/
Текст
Министерство образования и науки РФ
Новосибирский государственный университет
Физический факультет
Квантовая физика
Том 1
Основные понятия квантовой механики. Симметрии.
Учебное пособие
Новосибирск — 2013
п
Автор: Зелевинский В. Г.
Редактор перевода: д.ф.-м.н Дмитриев В. Ф.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Сербо В. Г.
Учебное пособие содержит современное изложение основных фундамен-
тальных положений квантовой физики с их применением в атомной и ядер-
ной физике. В первом томе курса подробно рассматриваются понятийный
аппарат квантовой механики, включающий волновую функцию, квантовую
динамику, дискретные и непрерывные симметрии, а также математические
методы и их применение к конкретным проблемам. Прослеживается связь
квантовой механики с классической. Изложение материала в каждой из 15
глав осуществляется по принципу от простого к сложному. Разделы глав,
наряду с теорией, включают задачи и их решения в количестве, достаточ-
ном для полноценного усвоения материала. Издание предназначено для
студентов физических и физико-технических факультетов университетов.
Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009-2018 гг.
©Зелевинский В. Г., 2013
©Новосибирский государственный университет, 2013
Оглавление
1 Происхождение основных квантовых понятий 1
1.1 Свет: волна или частица?............................... 1
1.2 Постоянная Планка, начало квантовой эры ............... 2
1.3 Фотоны................................................. 4
1.4 Спектроскопия и стабильность атомов.................... 6
1.5 Постулаты Бора......................................... 7
1.6 Атом водорода......................................... 11
1.7 Принцип соответствия.................................. 18
1.8 Пространственное квантование.......................... 22
1.9 Спин.................................................. 24
1.10 Волны де Бройля....................................... 25
2 Волновая функция и простейшие задачи 29
2.1 Свободное движение.................................... 29
2.2 Плотность и поток вероятности......................... 31
2.3 Принцип суперпозиции и неопределённость............... 34
2.4 Потенциальная стенка.................................. 35
2.5 Потенциальный барьер.................................. 37
2.6 Проникновение под барьер.............................. 41
2.7 Туннелирование........................................ 43
3 Связанные состояния 51
3.1 Потенциальный ящик.................................... 51
3.2 Ортогональность и полнота............................. 54
3.3 Дельта-функция........................................ 55
3.4 Эволюция волновой функции со временем................. 59
3.5 Мелкая яма и квантовое гало........................... 62
3.6 Резонансы............................................. 71
3.7 Плотность уровней..................................... 72
3.8 Периодические граничные условия ....................... 75
3.9 Считаем уровни в гладком потенциале.................... 76
4 Динамические переменные 81
4.1 Импульсное представление............................... 81
4.2 Знакомство с операторами............................... 84
4.3 Коммутаторы............................................ 87
4.4 Собственные функции и собственные значения............. 90
4.5 Импульс как генератор сдвига........................... 91
4.6 Введение в теорию групп................................ 94
4.7 Момент импульса, как генератор вращения................ 96
4.8 Преобразование операторов.............................. 98
5 Соотношения неопределённостей 103
5.1 Соотношение неопределённости в волновой механике.......103
5.2 Простые примеры........................................106
5.3 Дополнительность и вероятность ........................111
5.4 Волновой пакет: распространение........................114
5.5 Расплывание волнового пакета...........................117
5.6 Оценки по соотношению неопределённостей................121
5.7 Классификация молекулярных возбуждений.................126
5.8 Ширина уровня..........................................130
5.9 Ширина линии и эффект Мёссбауэра.......................134
5.10 Виртуальные процессы и реальные эффекты................136
5.11 Ещё раз к вопросу о пространственном квантовании.......139
б Гильбертовы пространства и операторы 143
6.1 Амплитуда вероятности..................................143
6.2 Суперпозиция и интерференция...........................144
6.3 Векторы состояния......................................148
6.4 Геометрия гильбертового пространства...................150
6.5 Линейные операторы ....................................155
6.6 Эрмитовы операторы.....................................157
6.7 Свойства эрмитовых операторов..........................160
6.8 Диагонализация.........................................162
6.9 Преобразования базиса..................................165
6.10 Непрерывные преобразования и генераторы................168
6.11 Проекционные операторы.................................170
6.12 Операторы наблюдаемых..................................172
6.13 Одновременная измеримость..............................175
6.14 Количественное описание соотношения неопределённостей . . 177
7 Квантовая динамика 185
7.1 Гамильтониан и уравнение Шрёдингера ...................185
7.2 Одночастичный гамильтониан.............................188
7.3 Уравнение непрерывности ...............................195
7.4 Распределение Вигнера..................................200
7.5 Картина Гейзенберга....................................202
7.6 Операторная динамика...................................203
7.7 Теорема вириала........................................207
7.8 Вероятность выживания .................................209
7.9 Правила сумм...........................................211
7.10 Законы сохранения......................................215
7.11 Формулировка интеграла по траектории...................218
7.12 Связь с классической механикой.........................221
7.13 Возвращение к картине Шрёдингера.......................223
8 Дискретные симметрии 227
8.1 Инвариантность относительно обращения времени..........227
8.2 Преобразование операторов при обращении времени........230
8.3 Инверсия и чётность....................................231
8.4 Скаляры и псевдоскаляры, векторы и псевдовекторы ......233
8.5 Сохранение чётности ...................................235
8.6 Симметрия кристаллической решётки......................239
8.7 Квазиимпульс и функции Блоха...........................241
8.8 Энергетические зоны ...................................245
8.9 Симметрия молекул......................................247
8.10 Ещё теория групп: сопряжённые классы...................252
8.11 Представления групп....................................252
8.12 Ортогональность и полнота..............................255
8.13 Характеры .............................................259
9 Одномерное движение: континуум 263
9.1 Задача на собственные значения.........................263
9.2 Непрерывный спектр ....................................265
9.3 Вырождение в континууме................................268
9.4 Матрица преобразования.................................271
9.5 Время задержки.........................................273
9.6 Однородное поле.......................................275
9.7 Функция Эйри и функции Бесселя .......................278
9.8 Асимптотическое поведение.............................281
9.9 Асимптотика функции Эйри..............................283
9.10 Функция Грина для одномерного рассеяния...............287
9.11 Потенциал как возмущение..............................292
9.12 Квазистационарные состояния...........................294
10 Вариационный подход и диагонализация 299
10.1 Вариационный принцип..................................299
10.2 Прямой вариационный метод.............................301
10.3 Диагонализация в усечённом базисе.....................304
10.4 Двухуровневая система.................................305
10.5 Расталкивание уровней и уклонение от пересечения......308
10.6 Эволюция во времени системы с двумя состояниями.......311
10.7 Яркое состояние и фрагментация........................313
10.8 Коллективные состояния................................317
10.9 Алгоритм Ланцоша......................................321
11 Дискретный спектр и гармонический осциллятор 325
11.1 Одномерные связанные состояния........................325
11.2 Линейный гармонический осциллятор.....................327
11.3 Полиномы Эрмита.......................................335
11.4 Гармонический осциллятор в плоскости: разделение переменныхЗЗЭ
11.5 Изотропный осциллятор.................................341
11.6 Решение задачи в полярных координатах.................343
11.7 Построение лестницы...................................347
11.8 Операторы рождения и уничтожения......................348
11.9 Операторное решение для гармонического осциллятора .... 352
12 Когерентные и сжатые состояния 357
12.1 Введение когерентных состояний .......................357
12.2 Перемещения на фазовой плоскости......................359
12.3 Свойства когерентных состояний .......................361
12.4 Когерентные состояния гармонического осциллятора......364
12.5 Линейный источник.....................................365
12.6 Квазиклассический предел, число квантов и фаза .......367
12.7 Парный источник ......................................370
12.8 Сжатые состояния......................................374
12.9 Подробнее о сжатых состояниях..........................377
13 Введение магнитного поля 383
13.1 Магнитное поле в классической механике ................383
13.2 Квантовая формулировка и калибровочная инвариантность . . 385
13.3 Наблюдаемы ли электромагнитные потенциалы?.............389
13.4 Уровни Ландау: энергетический спектр...................391
13.5 Уровни Ландау: вырождение и волновые функции...........393
13.6 Квантовый эффект Холла ................................398
13.7 Произвольный закон дисперсии...........................402
13.8 Симметричная калибровка................................407
13.9 Когерентные состояния в магнитном поле.................408
14 Макроскопическая квантовая когерентность 411
14.1 Идея макроскопической когерентности....................411
14.2 Макроскопическая волновая функция......................413
14.3 Гидродинамическое описание.............................414
14.4 Динамика макроскопического когерентного состояния......417
14.5 Эффекты Джозефсона ....................................419
14.6 Квантование циркуляции и квантовые вихри ..............424
14.7 Квантование магнитного флюксоида.......................428
15 Полуклассическая (ВКБ) аппроксимация 433
15.1 Эвристическое введение.................................433
15.2 Квазиклассическое приближение..........................437
15.3 Асимптотическое разложение.............................440
15.4 Стационарная фаза......................................441
15.5 Условия сшивки.........................................443
15.6 Квантование Бора — Зоммерфельда........................447
15.7 Квазиклассические матричные элементы...................450
15.8 Решения в комплексной плоскости........................453
15.9 Выход в комплексную плоскость..........................456
15.10 Еще раз о формулах сшивки.............................458
15.11 Близкие точки поворота................................460
15.12 Подход с использованием функционального интеграла.....464
Литература 469
Науки о природе видят славу Божию
в сокрытии её таинств, а славу царей —
в умении их понять.
Фрэнсис Бэкон, «Великое
восстановление наук»
Глава 1
Происхождение основных квантовых понятий
Строго говоря, привычное название «квантовая механика» является
устаревшим. Сейчас гораздо уместней говорить о единой квантовой теории
(циап^нт Н1еогу), которая охватывает все разделы точных наук от био-
физики до физики высоких энергий и космологии. Эта теория с одной
стороны является основой современного научного мировоззрения, а с дру-
гой стороны базой для реального технического прогресса (компьютеры,
квантовая электроника, нанотехнологии, ядерная и термоядерная энерге-
тика, сверхпроводимость и т. д.). Вопреки (или, может быть, благодаря)
своему всеобъемлющему характеру, квантовая теория теперь может стро-
иться чисто аксиоматически (подобно формальной термодинамике). Таким
образом можно было бы избежать в процессе изучения хронологического
повторения сложной и порой противоречивой линии развития квантовой
физики. Однако хотя бы краткое знакомство с историей возникновения
основных идей квантовой теории поучительно и, пожалуй, необходимо.
1.1 Свет: волна или частица?
Первым источником квантовых понятий был вопрос о природе света.
В XIX веке среди физиков доминировала волновая теория света. Уже в
1802 г. Томас Юнг объяснил явление оптической интерференции, используя
принцип суперпозиции волн. При фиксированных фазовых соотношени-
ях суперпозиция является когерентной. Это позволяет наблюдать типич-
ные интерференционные эффекты, как в стандартном опыте (Рис. 1.1), в
котором демонстрируются первичный и вторичные интерференционные
максимумы для света, прошедшего через две щели.
Волновые представления о природе света были окончательно сформиро-
ваны как следствие уравнений Максвелла (1861). Эти уравнения допускают
Рис. 1.1. Интерференция на двух щелях.
распространение электромагнитных волн в свободном пространстве (вдали
от источников, зарядов или токов). В силу линейности уравнений справед-
лив принцип суперпозиции, то есть сумма двух решений также является
возможным решением. Из принципа суперпозиции следует всё многообразие
явлений интерференции и дифракции, а также законов распространения
света через вещество (отражение, преломление, дисперсия, рассеяние и
ДР-)-
С другой стороны, ещё Ньютон придерживался корпускулярной точки
зрения на природу света. Кроме простых аргументов, связанных с прямо-
линейным распространением света {геометрическая оптика), он опирался
на монистическое представление о мире: признав атомизм вещества, бы-
ло бы странным допустить, что структура света и структура вещества
являются принципиально различными, а тогда естественно допустить и
существование корпускул света.
1.2 Постоянная Планка, начало квантовой эры
Только после двух столетий накопления экспериментальных данных вера
в корпускулы света смогла трансформироваться в научную гипотезу. Во
первых, было доказано атомное строение вещества, а после этого экспе-
риментальные данные, относящиеся к излучению чёрного тела, заставили
Макса Планка в 1900 году вновь обратиться к идеям дискретной природы
света. Таким образом, начало квантовой физики совпало с началом XX
века.
Известно, что электромагнитное поле, заключённое в некоторый объём,
можно представить как набор гармонических осцилляторов, отвечающих
различным частотным составляющим поля. Планк показал, что правиль-
ное (наблюдаемое) распределение энергии в спектре такого равновесного
(«чёрного») излучения нельзя получить, считая, что осцилляторы поля
приобретают и теряют энергию непрерывно. Необходимо было принять, что
для каждого осциллятора частоты V процессы поглощения и потери энергии
могут идти лишь дискретными шагами, порциями энергии 1±Е = 1ш. где
И — новая мировая константа. Постоянная Планка — это квант действия:
Н = 6.6262 • 10"34 Дж • с = 6.6262 • 10"27 эрг • с. (1.1)
В классической механике действие — это интеграл / СМ от лагранжиана С
вдоль траектории движения физической системы. Размерность действия
[энергия х время = импульс х расстояние] совпадает с размерностью
момента импульса. Квантование действия позволит нам позже перекинуть
мостик между классической и квантовой теориями.
Обычно удобнее использовать циклическую частоту ш = 2тлэ, и писать
1ш = 1тл. где
Н = — = 1.0546 • 10-27эрг • с. (1-2)
2л
В квантовой физике наиболее естественной единицей измерения энергии
является электронвольт — работа, совершаемая электроном при прохож-
дении потенциала в 1В. Зная заряд электрона е = 1.6022 • 10-19 кулон,
можно получить:
1 эВ = 1.6022 • 10“19 Кл • В = 1.6022 • 10“12 эрг. (1.3)
В ядерной физике и физике элементарных частиц совместно с единицей
электронвольт часто используются префиксы кило-, мега-, гига-, тера-:
1кэВ=103эВ, 1 МэВ=106 эВ, 1ГэВ=109эВ, 1ТэВ=1012эВ (те же префиксы,
которые используются для определения размера компьютерной памяти).
Для облегчения оценки порядка физических величин в будущем мож-
но заметить, что часто достаточно скомбинировать постоянную Планка
со скоростью света с и запомнить результат:
Кс ~ 200 МэВ • фм, (1.4)
где 1 фм = 10-13 см = 10-15 м.
Рис. 1.2. Фотоэффект.
На этой стадии можно пользоваться следующей предварительной кар-
тиной: поле излучения «состоит» из элементарных единиц—квантиле. а
энергия осциллятора частоты иц Е = пНиц определяется числом квантов
поля п, каждый из которых несёт энергию На) . Остаётся неясным, справед-
ливо ли это для любых физических систем, локализованы ли эти кванты в
пространстве и т. д.
1.3 Фотоны
Следующий важный шаг был сделан Эйнштейном (1905). Он пока-
зал, что если считать равновесное (” чёрное”) излучение газом частиц с
энергией Е = Ей и импульсом р = Е/с = Ед где к = ш/с — волновой
вектор, то, по крайней мере для достаточно больших си, формула Планка
для энтропии чёрного излучения может быть получена так же, как для
”нормальных”частиц в обычной кинетической теории газов. Эмпириче-
ские закономерности фотоэффекта (выбивание электронов из вещества
под действием света, Рис. 1.2), например то что изменение интенсивности
света не влияет на энергию фотоэлектронов, а лишь пропорционально
меняет их число, немедленно следуют из сохранения энергии в каждом
индивидуальном акте поглощения кванта.
Каждый металл характеризуется его работой выхода IV, которая равна
минимальной энергии, нужной для выбивания электрона из твёрдого тела.
Это аналог ионизационного потенциала для атомов или энергии отделения
для ядер. Если квант света с частотой си поглощается электроном в металле,
то максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна
ЛМакс. = (1.5)
и не зависит от интенсивности падающего света, а определяется элементар-
ным актом взаимодействия. Экспериментальное подтверждение Миллике-
Рис. 1.3. Эффект Комптона
ном (1915) этого соотношения фактически было одним из первых прямых
измерений постоянной Планка.
Итак, мы имеем новый элементарный объект — квант света или фотон
(это имя было предложено гораздо позднее). С другой стороны, соглас-
но специальной теории относительности, для любой свободной частицы
существует связь между энергией и импульсом:
Е2 = с2р2 + (тс2)2. (1.6)
Применимость этой формулы к фотонам была проверена в опытах по рас-
сеянию электромагнитных волн на электронах. Эксперименты (Комптон,
1923} показали, что фотон ведёт себя как частица с т = 0 и Е = ср.
Экспериментальный результат согласуется с выражением
ДЛ = 4л — зш2 (1.7)
тс \2у
для увеличения длины волны фотона Л = 2лс/са и, следовательно, умень-
шения его частоты и энергии при рассеянии на угол 9 на первоначально
покоящейся частице массы т (Рис. 1.3). Формула (1.7) является прямым
следствием соотношения Е = 1ис и законов сохранения энергии и импульса.
Задача 1.1
Вывести формулу (1.7); оценить длину волны, необходимую для измере-
ния эффекта Комптона на электронах.
Задача 1.2
Непосредственной проверкой корпускулярных свойств света является
измерение отдачи атомов при излучении. В опытах Фриша (1933) атомы
натрия излучали свет с длиной волны Л = 589 нм. Оценить скорость отдачи
атомов.
Очевидно, что результат (1.7) нельзя получить из классических уравне-
ний, не содержащих постоянной Планка. Суммируя эти знания с предыду-
щими идеями мы видим, что свет в различных экспериментах проявляет
свойства как волн, так и частиц. Волновые аспекты вытекают из уравнений
Максвелла. Корпускулярная картина показывает, что поле не только несёт
импульс и энергию, но при обмене ими с веществом ведёт себя как набор
отдельных частиц. Словарик для связи между корпускулярным (энергия и
импульс) и волновым (частота и волновой вектор) языками выглядит так:
Е = Ед р = Ек, (1.8)
или для длины волны:
с 2лс 2л
V СО к '
Иногда удобно ввести
- _ Л _ 1 _ П
2л к р
(1-9)
(1-Ю)
Таким образом получается, что постоянная Планка —это просто масштаб-
ный коэффициент, применяемый для перевода между двумя этими языка-
ми.
1.4 Спектроскопия и стабильность атомов
К началу XX века в дискретности вещества уже не было сомнений. Было
твёрдо установлено существование элементарных носителей электрического
заряда (электронов), нейтральных атомов, а также молекул, состоящих из
атомов. Было наблюдено, что пучок электронов (катодные лучи) в электро-
магнитных полях подчиняется классическим законам движения. Однако
это не так для системы электронов, локализованных в конечной области
пространства, такой как атом с размером около 10-8 см. В своих опытах
Резерфорд (1911) обнаружил наличие в атоме тяжёлого ядра крайне малых
~ 10-13 см = 1 фм размеров с положительным электрическим зарядом, ком-
пенсирующим полный заряд атомных электронов. Классическая механика
и электродинамика не могли объяснить стабильность атомов. Статическая
система зарядов, связанных лишь электростатическими силами, является
неустойчивой (теорема Ирншоу). В то же время в буквально понимаемой
планетарной модели атома электроны, движущиеся по кулоновским орби-
там (как в случае задачи Кеплера для гравитационного поля), излучают
энергию, как все ускоренные заряды. Вследствие излучения электроны
должны терять энергию и в конце концов свалиться на ядерный центр.
Ключ к решению загадки дала атомная спектроскопия. Спектры излуче-
ния и поглощения паров химических элементов, т. е. фактически отдельных
атомов, представляют собой серии характерных для данного элемента
очень узких спектральных линий, отвечающих определённым длинам волн.
Эмпирическая обработка огромного количества спектроскопических дан-
ных привела к комбинационному принципу Ритца: испускаемые длины
волн Л могут быть выражены через разности спектральных термов Тп,
которые можно нумеровать целыми числами (п! и п):
1 = тп,-тп. (1.11)
Л
Так, для водорода справедлива формула Бальмера,
у = ----2^) ’
Л \п »-)
где Ян = 109678 см-1 — постоянная Ридберга. Подобные закономерности
были найдены и для других элементов, причём масштаб (аналог постоянной
Ян) растет для более тяжёлых элементов. Комбинационный принцип (1.11)
не похож на известные законы классических излучателей, типичным приме-
ром которых служит вибратор, излучающий основную гармонику частоты
с^о и её обертоны пс^о- В планетарной модели атома частота ед) должна
была бы совпадать с частотой обращения электрона на орбите.
1.5 Постулаты Бора
Революционный шаг, заложивший основы квантовой теории, был сделан
Нильсом Бором (1913). Постулаты Бора позволили построить непротиво-
речивую модель атома и объяснить основные экспериментальные факты.
Правда, сами постулаты — зародыш будущей науки — пока выглядели чу-
жеродным довеском к классической физике.
Согласно Бору, атом (для простоты будем говорить о водороде, то есть
об атоме, состоящем из тяжёлого положительно заряженного протона в
центре и лёгкого электрона на орбите), действительно, напоминает солнеч-
ную систему. Однако среди классических орбит существуют выделенные,
отвечающие стационарным состояниям, где электроны вращаются в куло-
новском поле ядра без излучения. Аналогичные утверждения делаются в
Рис. 1.4. Квантование в фазовом пространстве.
отношении других классических систем, совершающих конечное периоди-
ческое движение. Стабильные орбиты образуют дискретную совокупность
(квантованы). Опираясь на существование кванта действия Л, Бор посту-
лировал, что для устойчивых орбит классическое действие за период ( [1]
§ 49) равно целому числу квантов:
рдд = пК = 2ттН, п = 1,2,... (1.13)
Для круговой орбиты радиуса г и постоянной скорости V это эквивалентно
квантованию момента импульса Г.
р = ??л’, У (1(/ = 2тгг I = тег = нН. (1.14)
Здесь впервые возникает квантовое число п, нумерующее стационарные
квантовые состояния.
Фазовый интеграл / рдхр где р и д —это канонически сопряжённые им-
пульс и координата, вычисляется за период движения вдоль замкнутой
классической траектории с энергией Е. Этот интеграл равен площади фа-
зового пространства (р, д), ограниченного траекторией движения, Рис. 1.4.
Из классической механики известно, что эта величина является адиаба-
тическим инвариантом. Если параметры системы изменяются медленно
(адиабатически), то такие величины остаются постоянными, или, точнее,
изменяются гораздо слабее, чем внешние условия. Обычно, если время из-
менения параметров системы характеризуется величиной т (т ^> Т. где Т —
период движения), то изменение адиабатического инварианта пропорцио-
нально ос ехр(—т/Т). Квантоваться могут только подобные классические
величины, а иначе условие (1.13) будет несогласованным, так как медленное
изменение параметров не меняет левой части, но в какой-то момент приво-
дит к внезапному скачку квантового числа в правой части, которая может
принимать только дискретные значения. Напротив, мы видим, что изменяя
параметры адиабатического инварианта, мы не меняем дискретную метку
п и классификация квантовых уровней остаётся стабильной.
Задача 1.3
Частица совершает малые колебания вокруг положения равновесия под
действием упругой силы Е = — кх, где ж —отклонение от положения равно-
весия. Такая система, линейный гармонический осциллятор, в классической
механике описывается функцией Гамильтона, которая в данном случае
есть просто сумма кинетической и потенциальной энергий,
2)2 1
Н = К(р) + ?7(ж) =----1—кх2. (1.15)
2т 2
Покажите, что, в соответствии с правилом (1.13), квантованные энергети-
ческие уровни Еп образуют эквидистантный спектр'.
Еп = п!гш, ш (1.16) V т
Решение
Для симметричного потенциала ?7(ж) = ?7(—ж), Рис. 1.5, условие квантова-
ния (1.13) принимает вид:
ГХп
4 / дх у/2т[Е — 17(ж)] = 2ттН, (1-17)
7о
где хп — это зависящая от энергии классическая точка поворота, в которой
17 (хп) = Е. Для вычисления интеграла введём переменную у(х) = П(х)/Е.
Это приводит к интегралу ду в фиксированных пределах. Так как
дх/ду ос 1 / ^7у, то с помощью подстановки у = зш2 приходим к эле-
ментарному интегралу дф сое2 = л/4.
В случае гармонического осциллятора можно избежать вычислений,
заметив, что область фазового пространства (р, ж), ограниченная орбитой
с энергией Е, есть эллипс х2/а2 + р2/Ъ2 = 1 с полуосями а = у/2Е/тш2 и
Ь = у/РтЕ. Площадь такого эллипса равна I = лаЬ = 2лЕ/ш. Амплитуда
колебаний для конкретной энергии равна Ап = у/п(2Н/тш).
Постулат Бора согласуется с нашим «словариком» (1.8). Если свободное
электромагнитное поле может быть представлено набором независимых
осцилляторных мод разной частоты, то квантование (1.16) приписывает кон-
кретное число квантов соответствующей частоты каждому стационарному
состоянию данной моды. Это и есть целое число п в постулате квантования.
Рис. 1.5. Потенциалы 17 ~ |ж|5.
Точное квантово-механическое решение для гармонического осциллятора,
которое будет рассмотрено в разделе 11, дает энергетический спектр
Еп = Ео(п-\—). (1.18)
\ " /
Самый нижний {основной) уровень п = 0 больше не соответствует состоя-
нию с Е = 0, как это было бы в случае классической частицы, покоящейся
в точке равновесия. Энергия нулевых колебаний равна Йш/2. В случае элек-
тромагнитного поля это означает, что даже состояние без фотонов {вакуум)
обладает энергией из-за квантовых флуктуаций. Принцип квантования в
форме (1.13) верен только для возбуждённых состояний сп> 1.
Задача 1.4
Как зависит энергия п-го уровня в потенциале 17{х) = а|ж|5 от квантового
числа п?
Решение
Используя метод из решения Задачи 1.3, получаем фазовый интеграл
ОС ^(2+5)/25? и
Еп <х п25/(2+5). (1.19)
Важные частные случаи: Еп ос п (гармонический осциллятор, з = 2 как
в Задаче 1.3); Еп ос п4/3 (<§ = 4), Рис. 1.5; Еп ос п2 (яма с вертикальны-
ми стенками, раздел 3.1, з -Д оо); Еп ос 1/п2 (Кулоновский потенциал,
формула (1.26) ниже по тексту).
Рис. 1.6. Притягивающий кулоновский потенциал.
Второй постулат Бора необходим для квантовой формулировки закона
сохранения энергии в радиационных переходах. Акты излучения и погло-
щения света протекают как переходы между начальным г и конечным
/ состояниями. Так как фотон имеет энергию Ед то закон сохранения
энергии имеет вид:
Е^ — Е^ =
(1-20)
где плюс и минус соответствуют поглощению Е/ > Е^ и излучению Е/ < Е^
соответственно. Возможность излучения означает, что дискретные состо-
яние, найденные в предположении отсутствия излучения, на самом деле
являются квазистационарными и имеют конечное время жизни. Кван-
тование без учёта излучения имеет смысл только пока период движения
много меньше времени жизни.
1.6 Атом водорода
Теперь применим боровское квантование к атому водорода, Рис. 1.6. Эта
система состоит из неподвижного тяжёлого протона (заряд +е) в начале
координат и электрона (заряд —е, масса т), движущегося по круговой
(для простоты) кулоновской орбите вокруг протона. Для орбиты радиуса г
и скорости г, действующая сила, согласно ньютоновской механике, равна
2 2
_ е тс
р = - = —
гу» гу»
(1-21)
Полная энергия электрона, сумма его кинетической К и потенциальной V
энергий, отрицательна'.
ТТ ть2 е2 е2 Е
Е = к + и=----------=-----= —.
2 г 2г 2
Квантование (1.13) в силу (1.21) может быть записано как
21-2 ( \ 2 2
п К = {тег) = тге .
(1-22)
(1-23)
Это позволяет определить радиусы стабильных орбит:
Б 2
9 2
гп = ---5- п = ап ,
тпы
(1-24)
где а — боровский радиус (радиус ближайшей к ядру водородной орбиты),
который равен
/Д
а = —= 0.529 А = 0.529 • 10"8 см = 0.0529нм.
ты
(1-25)
Для больших квантовых чисел, п 1, радиус (1.24) становится макроско-
пическим, например, для п = 104 Кп ~ 0.5 см. Такие состояния называются
ридберговскими.
Из (1.22), (1.24) и (1.25) находим энергии стационарных состояний (энер-
гетические уровни атома водорода):
2 1 4
е 1 те
2гп 2п2 Л2
(1-26)
Энергия основного п = 1 состояния атома водорода равна (с обратным
знаком) энергии ионизации и для водорода составляет
4
те
Т^иониз. = —Е± = 2 — 1 Ну = 13.6 эВ.
2 т
(1-27)
Иногда удобно использовать так называемые атомные единицы (а. е.), где
принято т = е = К = 1. В этом случае атомная единица равна 2 Ку (два
Ридберга или 1 Хартри), так что энергии стационарных состояний атома
водорода равны Еп = — 1/(2п2) а. е.
Характерные энергии в атоме водорода малы по сравнению с массой
электрона:
12 е4 122 2
^иониз. = X тс = -а тс < тс .
2 тт 2
(1-28)
Здесь мы использовали безразмерную постоянную тонкой структуры,
Пс 137.06'
(1-29)
Поэтому в атомной физике релятивистские эффекты обычно оказываются
малыми. Однако они растут для тяжёлых атомов, так как согласно (1.21),
вместо е2 везде войдёт Ее • е = 2е2, где 2 — заряд ядра. В формуле (1.28)
а нужно будет заменить на о<2. что при больших 2 может при к единице. Из (1.23) и (1.24) легко оценить скорость электрона орбите п: ближаться в атоме на
2е2 2а , = с , па п (1.30)
т. е. (г/с) 1, за исключением тяжёлых атомов, и уменьшаете зя для уда-
лённых орбит. Заметим, что в атомной системе единиц с= 1/а « 137.
Задача 1.5
Для наинизшей электронной орбиты атома водорода
а) оценить величину электрического поля ядра на орбите (в В б) оценить величину магнитного поля на ядре, создаваемого ор| движением электрона (в Тесла); в) сравнить величины кулоновских и гравитационных сил меж^ ном и протоном /см); битальным цу электро-
Решение
а) Электрическое поле на орбите можно выразить в термиш 1х энергии
основного состояния (п = 1):
е = 4 = = 5.14 • Ю9 В/см = 1.7 • 107 а.е./см, Пд еао (1-31)
где |Е1| = 13.6 эВ (1.27).
б) В соответствии с законом Биб—С авара магнитное поле элеме] I равно: эта (11 тока
В = ^|<11хН], (1-32)
где К — расстояние между элементом тока и точкой изме] от электрона, вращающегося с периодом Т по орбите радиусе эения. Ток эм г, равен
е ей Т 2кг (1.33)
Интегрируя выражение (1.32) по этой орбите, получаем вел нитного поля в центре: ичину маг-
2к1 ей В у • сг сгл (1-34)
Следовательно, для орбиты основного состояния:
К т2е7
г = а, V = ----, В = —
та спР
(1.35)
Используя выражение для постоянной тонкой структуры (1.29), из (1.35)
получаем величину магнитного поля:
в = а8 = 1.3 • 105Гс = 13Тл. (1.36)
в) Отношение сил равно:
Г р2 кулон. _ — 9 о к/ 1 п39 (1-37)
„ — г — Л.О /\ 1_О . ^грав. СтМ
где
С = 6.67 • 10-8 см3г-1с-2 (1.38)
гравитационная постоянная, а т и М — это массы электрона и протона
соответственно.
Для будущих оценок полезно отметить, что постоянная тонкой структуры
(1.29) определяет шаг в последовательности длин, служащих в качестве
верстовых столбов на дороге вглубь материи. Следующая остановка после
боровского радиуса (1.25) оказывается на комптоновской длине волны:
\с = аа= — = 3.862 • КГ11 см, (1.39)
тс
где числовое значение дано для массы электрона. Мы уже встречали эту
длину в выражении (1.7) для эффекта Комптона. Позже в разделе 5.10 мы
увидим, что эта длина определяет наименьший размер локализации для ча-
стицы массы ш, допустимый в соответствии с квантовой теорией и теорией
относительности. Продвигаясь далее вглубь, мы получаем классический
радиус электрона, который не содержит постоянной Планка:
е2
ге = аХс — <^2а = —т = 2.818 • 10-13 см. (1.40)
тР
Эта величина показывает предел применимости классической электродина-
мики. На меньших расстояниях электростатическая энергия е2/г в предпо-
ложении классического точечного заряда начинает превышать всю массу
электрона.
После нахождения набора стационарных орбит, можно воспользоваться
вторым постулатом Бора (1.20) и найти спектр излучения, испускаемого
атомом при переходе между орбитами п —> п/, п/ < п,
Для атома водорода выражения (1.26) и (1.41) дают:
те4 / 1 1 \ .
Шпп' = ~2Л (^2 - л) ’ (1'42)
или в терминах длин волн:
1 сапп/ те4 /1 1
Лпп/ 2тгс 4тгс/13 \п/2 п2
(1-43)
Мы пришли к комбинационному принципу (1.11) с предсказанием значения
для константы Ридберга (1.12), которую мы обозначим здесь как
4
= 109737 см-1. (1.44)
ТТГСПЧ
С классическим выражением для интенсивности излучения заряженной
частицы \дЕ/(Н\ ~ (е2/с3) (ускорение)2, можно грубо оценить время жизни
электрона на возбуждённой орбите, например, для перехода (п = 2) —>
—> (п = 1). В этом случае энергия перехода ^21 будет излучена за время
т ~ (^/тс2)(1/ск5). Так как период классического вращения по орбите
Т ос (тд/г^), то мы получим Т (/Дтс2)(1/а2). Отсюда следует, что т/Т ~
~ (1/а3) ~ 106, то есть возбуждённое состояние является долгоживущим
или квазистационарным. Основное же состояние является стабильным,
что противоречит классической картине.
Задача 1.6
Покажите, что различие между предсказанной постоянной Ридберга
Яоо и экспериментальным значением Ян (1.12) возникло как результат
предположения о бесконечно тяжелом ядре, в то время как учёт поправок,
связанных с отдачей ядра при движении электрона, приводит к их сов-
падению. Сравните атомные уровни трёх изотопов: водорода, дейтерия и
трития.
Решение
Для учёта этой поправки, при описании относительного движения элек-
трона и ядра, вместо массы электрона те и ядра М, следует использовать
приведённую массу:
(1-45)
В настоящее время обсуждается возможность того, что отношение масс
те/тр может изменяться со временем на масштабах времени жизни все-
ленной. Это изменение можно попробовать обнаружить с помощью преци-
зионных измерений спектров удалённых (старых) звёзд.
По модели Бора, атом водорода обладает бесконечной последовательно-
стью связанных состояний, сгущающихся к пороговому значению Е = О,
которое отделяет их от несвязанных состояний, соответствующих клас-
сическому инфинитному движению. Для энергий Е > 0 нет аналогов
постулатов Бора, которые позволяют выбрать квантованные траектории,
то есть все энергии доступны {сплошной спектр). На Рис. 1.7 схематически
представлен низко лежащий энергетический спектр. Поскольку энергетиче-
ские интервалы между соседними уровнями быстро убывают с номером
уровня п, то все спектральные линии, отвечающие переходам из разных
начальных состояний п в одно конечное состояние п/, оказываются близки-
ми и объединяются в спектральные серии. Исторически эти серии носят
имена ученых: п' = 1 — серия Лаймана, ультрафиолетовое излучение с
максимальной длиной волны 1216 А (переход из (п = 2)); п! = 2 — серия
Бальмера, видимый свет; серии с {п' > 2) отвечают инфракрасной области
спектра.
Задача 1.7
Существует много водородоподобных систем, к которым можно приме-
нить такой же подход. Найдите энергию основного состояния и наиболь-
шую длину волны для «лайманоподобной» серии позитрония (связанного
состояния электрона и позитрона, который является античастицей к
электрону, имея ту же массу, но противоположный по знаку заряд + е);
каонного и пионного мезоатомов (ядро с зарядом +2е и отрицательно за-
ряженным каоном т(К~) = 494МэВ/с2 или пионом т(тг-) = 140МэВ/с2
вместо электрона); мюонного атома (ядро с зарядом +2е и отрицатель-
но заряженный мюон, который является тяжёлым аналогом электрона с
массой т(ц-) = 106МэВ/с2); протония (связанного состояния протона и
антипротона).
Задача 1.8
В металлах и плазме при наличии свободных электронов заряд положи-
тельно заряженного центра (иона в плазме или примеси в твёрдом теле)
экранируется за счёт перераспределения электронов. В результате электро-
статический потенциал от центра перестаёт быть дальнодействующим и
падает по экспоненциальному закону
е~т
ЦМ = -Ее2------, (1.46)
Г
где у растёт, а радиус взаимодействия (дебаевский радиус) г в = 1/ц, умень-
шается с ростом плотности свободных электронов.
Используемый в ядерной физике похожий потенциал Юкавы описывает
взаимодействие между нуклонами через обмен мезонов. В этом случае
вместо 2е2 необходимо подставить константу взаимодействия /2, а радиус
1/у заменить на комптоновскую длину волны для мезона массы М: 1/у =
= К/Мс. Покажите с помощью квантования Бора, что экспоненциально
экранированный потенциал поддерживает лишь конечное число связанных
состояний. Оцените это число в терминах параметров /, ц и массы движу-
щейся в этом потенциале частицы. Это ограничение на число состояний
объясняет постепенное исчезновение спектральных линий в плазме с ростом
плотности свободных электронов.
Решение
Из правила квантования получается, что
2е2тц ( 1 4--| г2е~^г = п2Н2. (1-47)
\ йг)
Левая часть уравнения (1.47) экспоненциально уменьшается на больших
расстояниях дг 1. Поэтому для больших п решения отсутствуют и число
связанных состояний конечно. Максимально допустимый радиус может
быть найден из максимума левой части, который дается положительным
корнем уравнения уравнения:
г2 - - - 4 = 0 г = 1 + . (1-48)
р рЛ 2ц
Естественно, можно догадаться и без вычислений, что величина макси-
мального радиуса орбиты должны быть порядка г в = 1/ц. Максимальное
квантовое число, соответствующее числу связанных уровней в экраниро-
ванном потенциале, примерно равно
Д й 0.84 22 (1.49)
4 цл/ а
где а/2 = ^/(те2^)— боровский радиус наинизшего связанного состо-
яния в чистом кулоновском потенциале заряда 2е. Несмотря на то, что
квазиклассическое квантование (1.13) обычно плохо описывает низшие
связанные состояния, мы получили разумную оценку. Для очень малой ве-
личины дебаевского радиуса, г в < а/2 , экранированный потенциал вообще
не имеет связанных состояний, пмакс. < 1.
В случае Юкавского потенциала,
им = Л_е-(.Мс/ГД (1.50)
Г
квадрат константы связи /2 имеет размерность [энергия • расстояние]. Об-
мен мезонами, судя по предыдущему результату, не создаёт связанное
двухчастичное состояние, если притяжение слишком слабо: (/2/Нс) < 1.19 х
х (М/т), где т — приведённая масса взаимодействующих частиц. Этот
результат довольно близок к точному /крит./(^с) = 0.84(М/т), который
может быть получен из численного решения квантового уравнения Шрё-
дингера для потенциала Юкавы.
1.7 Принцип соответствия
Постулаты Бора позволяют получить точное решение (1.26) для атома
водорода в нерелятивистском приближении. Это удачное свойство чисто
кулоновского потенциала. В общем же случае при применении того же
алгоритма квантования получаются только приближённые решения. Оста-
ется также неопределённость с наличием решения для п = 0. Формально
такое решение позволило бы частице свалиться в центр потенциала (^ = 0
в соответствии с (1.14)).
В дальнейшем теория Бора была уточнена и развита А. Зоммерфельдом.
Орбитальный момент и эллиптические орбиты были согласованно включе-
ны в формализм. Это предполагает наличие дополнительных параметров
для описания формы стационарной орбиты. Кроме главного квантового
числа п, орбите приписывается орбитальный момент I = 0,1, ...,п — 1 и
магнитное квантовое число тп. которое описывает ориентацию орбиты
в пространстве. Энергия уровня не может зависеть от ориентации орбиты,
поэтому все подуровни с разными т являются вырожденными (имеют одну
и ту же энергию). В дополнение к этому, из-за специфических особенностей
кулоновского потенциала при данном п энергия не зависит от I. Это так
называемое случайное вырождение имеет глубокую физическую причину
и будет разобрано в главе 7 и главе 3 из второго тома. Орбиты с разными
значениями I и фиксированными п формируют атомные оболочки. Это
стало базой для основного достижения старой квантовой теории — объяс-
нения периодической таблицы Менделеева. Учёт релятивистских поправок
позволил описать атомные спектры более подробно.
Дискретность атомных состояний была продемонстрирована в опытах
Франка и Герца (1913), в которых наблюдались минимумы электронного
тока через газ при таких значениях ускоряющего потенциала, которые
отвечают энергиям электронов, достаточным для возбуждения дискретных
уровней атома при столкновении с ним электрона. Это уже не остави-
ло сомнений, что квантовая теория действительно описывает глубокие
свойства природы. Однако она ещё не была полностью согласованной и
последовательной теорией.
Если принять классические законы движения, но наложить на них усло-
вия квантования, то следует ожидать, что при некоторых условиях, моди-
фицированная теория должна воспроизвести все классические результаты,
в которых квантовые эффекты несущественны. Для науки характерно,
что новое развитие не отменяет старые результаты, а лишь ограничивает
область их применимости. Классическая наука (механика и электродина-
мика) должна стать частным предельным случаем более общей теории.
Одним из основных критериев, используемым Бором, было требование, что
квантовый подход к теории обязан воспроизвести правильные классические
результаты. Это известный принцип соответствия. Несмотря на все недо-
статки старой квантовой теории, этот принцип выполняется. Существует
промежуточная, полуклассическая или квазиклассическая, область, где
предсказания квантовой теории становятся неотличимыми от предсказаний
классической физики.
Рассмотрим сильно возбуждённые боровские уровни сп> 1. Радиусы
боровских орбит гп быстро растут с ростом п и достигают макроскопиче-
ских размеров. Такие ридберговские орбиты используются, например, в
физике мезоатомов (Задача 1.7). Высокоэнергичные пионы, рождённые в
результате взаимодействия элементарных частиц или в ядерных реакциях,
замедляются в веществе и могут быть захвачены на одну из ридберговских
орбит с большим п. Затем они опускаются до основного или одного из низ-
ших уровней, излучая каскад фотонов. На расстояниях, соответствующих
большим п, можно ожидать выполнения законов классической механи-
ки. Если это так, то комбинационный принцип для излучения должен
трансформироваться в классические законы.
При периодическом движении с частотой ощ классический заряд излучает
электромагнитные волны той же частоты или кратных частот (обертоны),
Дп • где Дп —целое число. На первый взгляд здесь нет ничего общего с
комбинационным принципом (1.11). Однако в квазиклассической ситуации
переходы удовлетворяют условиям
п — п'
Следовательно квантовая частота излучения (1.42) может быть аппрокси-
мирована как
4 2/2 4
те п —п те
Шпп 2й3 (пп')2 Ъ3п3 П’
(1-52)
Для тех же условий (1.51) классическая частота обращения на орбите равна
4
сп те
гп Й3п3 ’
(1.53)
так что излучаемые частоты в квазиклассической области действительно
кратны частоте обращения:
^излучения — Дп • Д
(1-54)
Этот частный пример подтверждает общее научное правило, что более про-
двинутая теория должна содержать результаты предыдущих исследований
как частные случаи, реализуемые при определённых физических условиях.
п » 1,
п » 1,
п
(1-51)
Теперь мы можем обобщить этот результат для движения в любых
связывающих потенциалах. Взяв производную от выражения
Еп = 4^ + г7(ж)’ Г-55)
2т
связывающего энергию Еп и классический импульс рп(х), получим уравне-
ние Гамильтона
(1ЕП = —арп = тп(2р.
(1.56)
Рассмотрим фазовый интеграл в пределах от точки поворота ап, до произ-
вольной точки х внутри области действия потенциала. В квазиклассической
области (1.51) это плавная функция от п. Чтобы вычислить производную
интеграла по п, достаточно продифференцировать только подынтегральное
выражение без дифференцирования пределов интеграла, так как подынте-
гральное выражение рп(х) обращается в ноль в точке поворота:
(1-57)
где 1п{х) —длительность классического движения с энергией Еп из точки
ап в точку ж, а Дп — расстояние между ближайшими уровнями:
△п = Еп - Еп-\ ъ Ее. (1.58)
Для того, чтобы найти Дп, продифференцируем условие квантования (1.13):
* д Е я
7ГД = — / рп (IX.
дп Е
и>п
(1.59)
Подобно (1.57) получаем:
7Ъп с1х
яК — /ап I ,
(1.60)
что определяет половину полного периода движения Тп:
Т- _ д Тп _ д
7ГП-Дп 2 -Ап^,
и, наконец:
(1-61)
△п —
(1-62)
Для гармонического осциллятора, согласно (1.16), частота Пп = ш не
зависит от квантового числа п (в классической механике период не зависит
от амплитуды).
Здесь мы пришли к более конкретной форме принципа соответствия.
Расстояние между ближайшими квазиклассическими уровнями (делённое
на К) равно классической частоте периодического движения при соответ-
ствующей энергии. В каждом малом интервале квазиклассический спектр
связанных состояний примерно эквидистантный, как для гармонического
осциллятора с частотой си, и плавно меняется от одного интервала энергий к
другому. Как обсуждалось ранее, это необходимо для корректного перехода
к классической теории излучения: частотный спектр квазиклассической
системы содержит основную частоту вращения и кратные гармоники, что
соответствует спектру излучения классического вибратора.
1.8 Пространственное квантование
Правило квантования не может относиться лишь к связанным состояниям
в кулоновском поле, оно имеет общий характер. Так, например, должен
квантоваться магнитный момент электрона. Действительно, классическая
электронная орбита представляет собой виток с током I = е/Т, где Т —
период обращения Т = 2тг/си. Такой виток обладает магнитным моментом
ц = ТА) с, где площадь эллиптической орбиты (сд —полярный угол) равна
А = Г = - ДЛ = 1 Г = 2- Г 1,11 = (1.63)
7о 2 2 Уо (И 2 Уо 2т 70 2т
здесь I — момент импульса, или орбитальный момент, который является
интегралом движения и который квантуется в соответствии с (1.14). Отсюда
получаем квантование магнитного момента:
е ГТ е1 еК ,
ц =-------= ----= -----п. (1.64)
сТ 2т 2тс 2тс
Тем самым мы предсказываем значение орбитального гиромагнитного
отношения:
9е = у = Г—- (I-65)
с 2тс
Магнитный момент должен быть равен целому кратному элементарного
магнитного момента, называемому боровским магнетоном. Для электрона
ей,
/л = гщв, 111в = д^=7,----= 9.27 • 1СГ21 эрг/Гс =
2тс (1.66)
= 0.927 • 10-23 Дж/Тл.
Рис. 1.8. Пространственное квантование.
Правило квантования (1.64) не содержит каких-либо параметров кулонов-
ского поля, поэтому естественно ожидать, что такой магнитный момент
связан с движением любой заряженной частицы.
Для того, чтобы сделать наши утверждения более определенными, нужно
учесть, что величины 7 и /7 являются векторами. Прямой опыт Штерна и
Герлаха (1922) показал, что квантуется проекция этих векторов на выделен-
ное в эксперименте направление - в случае Штерна—Герлаха направление
неоднородного магнитного поля. В этом эксперименте (Рис. 1.8) пучок ато-
мов отклоняется от прямолинейного движения неоднородным магнитным
полем БД?/), т. е. силой Р = ргд13г/ду. Классическая электродинамика
предсказывает распределение отклонённых атомов на регистрирующей
пластине в виде широкой непрерывной полосы, отвечающей всем значе-
ниями проекции непрерывно меняющейся от — // до +ц. Эксперимент
вместо этого дает дискретное число узких полосок, расположенных сим-
метрично относительно первоначального направления движения. Таким
образом, допустимы лишь определённые значения т. е. — при фиксиро-
ванном |/7| —определённые ориентации /7 и I по отношению к внешнему
полю (пространственное квантование). Расщеплённые компоненты пучка
отвечают всевозможным целочисленным значениям проекции в единицах
К в диапазоне, ограниченном максимальной проекцией 7:
4 = тП, т = -7,-7+ 1,...,О,...,7- 1,7. (1.67)
Поэтому, если орбитальный момент атома равен 7/1, то опыт Штерна—Гер-
лаха должен дать расщепление на (27+1) компонент с разными значениями
магнитного квантовое числа т.
1.9 Спин
В соответствии с правилом (1.67), число компонент на которые расщеп-
ляется пучок в опыте Штерна—Герлаха должно быть нечётным. Однако
в ряде опытов наблюдалось чётное число компонент, в частности наблю-
дались пучки, которые расщеплялись надвое. В атомной спектроскопии
также наблюдались примеры дублетов, которые не предсказывались тео-
рией. С. Гаудсмнт и Дж. Уленбек (1925) выдвинули гипотезу о наличии
у электрона внутреннего момента импульса. Этот дополнительный момент
или спин з не происходит от орбитального движения, как и вращение
планеты вокруг своей оси не связано с движением вокруг звезды.
Все опытные данные согласуются с полуцелым значением спина элек-
трона з = (1/2)^, причём пространственное квантование допускает лишь
две ориентации вектора з относительно поля:
п
2
8г
(1.68)
Величина отклонения пучка на опыте (Рис. 1.8) даёт спиновое гиромагнит-
ное отношение, которое оказывается вдвое больше орбитального (1.64),
з тс
(1.69)
Поэтому магнитный момент покоящегося Д = 0) электрона опять равен
боровскому магнетону
еН
/Д = 0) = ц3 = д38 = ---= 1 ив-
2тс
(1-70)
Элементарные частицы, формирующие ядра атомов, нейтроны и прото-
ны, а также составляющие их кварки, обладают таким же спином Н/2, но
их гиромагнитные отношения отличаются от простого результата (1.69),
потому что здесь необходимо учитывать влияние сильных (ядерных) взаи-
модействий. Соответствующая величина для магнитного момента протона,
аналогичная (1.66), называется ядерным магнетоном:
1 я.м. =
еН те
х---= 1Мв —
2трс тр
= 5.05 • 10 24эрг/Гс =
1836 Р /
= 0.505-10“26Дж/Тл.
(1-71)
Однако экспериментальные значения для протона и нейтрона равны:
/тр = 2.79 я.м., =—1.91 я.м.
(1-72)
Разница между ядерным магнетоном и экспериментальным значением
называется аномальным магнитным моментом . Обратите внимание, что
нейтрон электрически нейтрален, еп = 0, но его магнитный момент отличен
от нуля из-за ненулевого вклада от кварков и глюонов. Прецизионные
эксперименты показывают, что и магнитный момент электрона немного
отличается от значения (1.70). В отличие от протона аномальный момент
электрон довольно мал:
Ме = (1 + тг) МВ, (1-73)
где а — постоянная тонкой структуры, введенная в (1.29). Очень точные
измерения также определяют ещё меньшие поправки более высоких поряд-
ков. Это отклонение объясняется квантовой электродинамикой, с другой
стороны значения (1.72) до сих пор не могут быть получены теоретически,
хотя их отношение хорошо описывается в терминах кварковой структуры.
В общем случае момент импульса, имеющий орбитальную, спиновую
или комбинированную природу, будет называться угловым моментом, обо-
значаться буквой Л и измеряться в единицах Н. Безразмерная величина
3 квантуется с целым или полу целым значениями, а проекция 3~ на вы-
бранное направление квантования может принимать (27 + 1) значений,
3~ = 3. 3 + 1,..., +7. Как будет видно в главе 1 из второго тома, такое
квантование соответствует геометрическим свойствам вращения в трёхмер-
ном пространстве. Магнитный момент системы пропорционален её угловому
моменту:
р = дЙ5, (1.74)
где д — гиромагнитное отношение, специфичное для конкретной системы.
Структура покоящейся системы при добавлении слабого магнитного поля
В = Вг остаётся неизменной, но добавляется энергия магнитного взаимо-
действия:
ЯМагн = -л = -дШЗТ, (1.75)
которая расщепляет энергетические уровни покоящейся системы на 27 + 1
равноотстоящих подуровней с разными Зг {эффект Зеемана, глава 9, том
2)-
1.10 Волны де Бройля
Модель атома Бора и старая квантовая теория при всех их успехах
не смогли решить многих проблем, особенно касающихся интенсивности
излучения и строения сложных атомов. Сам рецепт квантования не имел
общего характера. В значительной степени это была гениальная догадка
Бора. Нужна была новая общая физическая концепция, которая легла бы
в основу новой теории. Эту ситуацию можно представить в виде таблицы:
Свет
Классическая
теория
Волновые явления
(уравнения Максвелла)
Вещество
Корпускулярная динамика
(уравнения Ньютона
при V с или Эйнштейна
при V с)
Квантовая
теория
Корпускулярная картина
(фотоны со свойствами
(1-8), (1-9))
???
Место «?» в таблице заняла картина волн де Бройля (1923). Предположим,
в духе ньютоновских идей монизма природы, что любому эксперименту
с частицами энергии Е и импульса р соответствует некий волновой процесс
с длиной
волны
Л и частотой (л такими, что
Л = —, ш = —. (1-76)
р п
Заметьте опять, что постоянная Планка играет только роль масштабного
фактора, используемого для перевода между волновым и корпускулярным
языками.
В предположении (1.76), движение частиц должно сопровождаться ти-
пичными волновыми явлениями. Так, при огибании частицами преграды,
имеющей размеры, сравнимые с длиной волны (1.76), или при отражении от
периодической структуры, должна наблюдаться дифракция. В опытах Дэ-
виссона и Дэюермера (1927) пучок электронов, отражённых от специально
ориентированного кристалла, дал типичную дифракционную картину, по-
хожую на дифракцию рентгеновских лучей. Штерн и др. (1931) показали,
что и более сложные образования, например, атомы гелия, обнаруживают
дифракцию на кристалле. Недавно интерференционные и дифракцион-
ные эффекты были продемонстрированы на макроскопических масштабах,
даже для больших молекул, таких как фуллерены Сео- Во всех случаях
найденная из опыта длина волны точно отвечала импульсу частицы в
соответствии с (1.76).
Задача 1.9
Оценить энергию электрона в опыте по дифракции на кристалле. Найти
длину и частоту волны де Бройля: для электрона со скоростью 1см/с;
для электрона с энергией Е = 100 МэВ: для теплового нейтрона (энергия
равна ЗТ/2 при комнатной температуре Т; здесь и далее мы будем опускать
константу Больцмана и измерять температуру по энергетической шкале;
1 эВ 11600К); для футбольного мяча.
Если предположить, что волновое описание является универсальным,
то его можно применить к связанным состояниям атома (состояния фи-
нитного движения классической механики), тогда в стационарном случае
мы должны получить картину стоячих волн. Это сразу приводит к посту-
лату Бора (1.13): для круговой орбиты радиуса г стационарная картина
возникает, если длина волны укладывается на орбите целое число раз, т. е.:
2лт
Л =----, 71 = 1,2,..., (1.77)
п
откуда мы отбираем радиусы гп = п\/2тг или, в соответствии с (1.76),
гп = пб/р, а орбитальный момент I — тигп = ргп = пб, что совпадает
с (1.14). Здесь ясно видно, что квантование возникает как следствие гра-
ничных условий, наложенных на волны де Бройля. Здесь можно вспомнить
классическую вибрирующую струну или волны в резонаторах, где таким
же образом граничные условия определяют нормальные моды колебаний.
Для длин волн короче характерных размеров системы, волновые аспекты
становятся менее выраженными, угол дифракции становится маленьким,
и мы подходим к области применения геометрической оптики. Распро-
странение волн вдоль прямых лучей аналогично движению по прямой
классических свободных частиц. Такая ситуация является промежуточной
между квантовой и классической механиками. Мы уже встречались с этим
при обсуждении принципа соответствия.
Прежде, чем сформулировать квантово-механический формализм, по-
лезно накопить информацию, связанную с поведением квантовых волн в
различных простых ситуациях. При этом мы будем пользоваться только
определением волн де Бройля и словариком соответствий между двумя
языками. Этот опыт позволит нам понять операционную интерпретацию
квантовых волн.
Дальнейшее чтение: [2,3].
28
Глава 1 Происхождение основных квантовых понятий
Лишь тот, кто рассматривает
предметы в их происхождении и росте,
сможет достичь их наиболее ясного
понимания.
Аристотель
Глава 2
Волновая функция и простейшие задачи
2.1 Свободное движение
Теперь отнесёмся к концепции волн де Бройля более серьёзно и рас-
смотрим распространение квантовых волн в простых ситуациях, когда
«естественные» физические соображения могут заменить точное знание
законов квантовой динамики. Начнём со свободного движения волны в бес-
конечном пространстве. Это крайне идеализированная картина, но она
может служить предельным случаем движения в ограниченном простран-
стве, если длина волны значительно короче, чем размеры доступного
объёма.
Пусть источник, находящийся бесконечно далеко, ж —> — оо, порожда-
ет пучок одинаковых независимых частиц массы т. Частицы движутся
с импульсом р вдоль оси х. В свободном движении энергия частиц равна
Е*(р) = р2/2ш (мы можем также рассматривать и движение с релятивист-
скими скоростями). Согласно словарику (1.76) соответствующие квантовые
волны можно представить в виде:
Ф(М) = Ае*кх~*ш*, (2.1)
где к = р/К и и) = Е/Н. Это наш первый явный пример волновой функции,
описывающей квантовое состояние, в данном случае свободное движе-
ние. Выбор знаков в показателе экспоненты является условным: здесь
описывается волна, бегущая направо, с/с>0иса>0. Действительно, с
увеличением времени I значение фазы (кх — сЛ) останется тем же только
при соответствующем увеличении х. Для волны, распространяющейся в
произвольном направлении к, волновая функция выглядит как
где энергия частиц,
Е = Нш =
К2 |к|2
2т
(2-3)
не зависит от направления распространения. Различные квантовые состоя-
ния с одной и той же энергией называются вырожденными. Состояние (2.2)
является плоской монохроматической (моноэнергетической) волной, где
волновой вектор к полностью определяет плоский волновой фронт, перпен-
дикулярный к, при постоянной фазе (к-г). Энергия определяется частотой
или длиной волны.
Амплитуда волны А является комплексным числом. А = |А| ехр(ш), где
а определяет фазу волны в начале координат, а абсолютная величина |А|
связана с интенсивностью волны I = |А|2. Однако, в данном конкретном
случае амплитуда не несёт никакой информации о квантовом состоянии.
Действительно, мы ввели «пучок частиц» только для того, чтобы иметь
возможность повторить наш эксперимент много раз в одинаковых условиях.
Нас же будет интересовать информация о свойствах отдельных частиц.
Для конструирования подобных ситуаций пучок можно сделать разрежен-
ным настолько, чтобы исключить взаимодействие между частицами. Для
изучения корреляций между двумя конкретными частицами, нам придётся
рассмотреть их совместную волновую функцию Ф(ж1,Ж2,Д, зависящую
от двух переменных и представляющую собой волну не в одночастичном,
а в удвоенном конфигурационном пространстве. Корреляции могут воз-
никнуть из-за взаимодействия между частицами или из-за того факта,
что частицы, получаемые с помощью одного и того же источника, яв-
ляются запутанными. Сейчас же мы сосредоточимся на рассмотрении
одночастичной динамики.
Поместим детектор в точку г, чтобы зарегистрировать присутствие
частицы в малом объёме д3г вблизи выбранной точки. Для волновой функ-
ции (2.2) амплитуда |А| определяет скорость счёта детектора. Число
отсчётов в единицу времени будет пропорционально интенсивности пада-
ющей волны |Л|2с/3г. Бесструктурные частицы проявляются как кванты
волн де Бройля, и каждое успешное событие (срабатывание детектора)
будет фиксировать одну частицу целиком. В предположении, что детек-
тор идеален, вероятность захвата одной частицы в данной точке есть
свойство изучаемого квантового состояния. Наше состояние (2.2) является
выделенным в том смысле, что
|Ф(гД)|2 = |А|2 = СОП81,
(2-4)
вероятность обнаружения частицы одинакова в любой точке пространства
в любой момент времени. Это следствие идеализированного образа плос-
кой волны, имеющей бесконечные размеры как в пространстве, так и во
времени. Необходимо отметить, что информация о квантовом состоянии
может получаться только как результат множества повторных независи-
мых идентичных экспериментов, так как каждое конкретное измерение
волновой функции разрушает её (частица регистрируется детектором).
2.2 Плотность и поток вероятности
В общем случае волновая функция Ф(г, /;) меняется от точки к точке
в пространстве и времени, причём меняется как фаза, так и амплитуда.
Это происходит даже в случае абсолютно стабильного источника, если
частицы могут взаимодействовать друг с другом или с внешними полями,
которые могут также быть частью измерительной аппаратуры. Абсолютное
значение квадрата волновой функции интерпретируется как вероятность
нахождения частицы в малом элементе объёма с/3г около заданной точки.
Эта величину естественно назвать плотностью вероятности р(г,/ф
р(г, /;) с13г ос |Ф(г, /;)|2 с13г. (2.5)
Выбор коэффициента пропорциональности в выражении (2.5) по существу
произволен: эту величину (если она константа) всегда можно включить
в амплитуду А волновой функции. Можно сказать, что квантовое состояние
описывается лучом в пространстве волновых функций, где постоянный
множитель в амплитуде не имеет значения.
Если квантовое состояние соответствует финитному движению, то волно-
вую функцию Ф можно нормировать. Иными словами, мы можем выбрать
не зависящий от координаты постоянный множитель таким образом, чтобы
результирующая функция удовлетворяла условию:
с13г |Ф(г, /;)|2 = У с13г р(г, /;) = 1; (2.6)
сходящийся интеграл определяет амплитудный множитель. В случае норми-
рованной функции, величина р становится в подлинном смысле этого слова
«плотностью» вероятности. Если нормировочный интеграл (2.6) расходится,
как в случае определённой во всём пространстве плоской волны (2.4), то
абсолютная нормировка невозможна. Так как постоянная амплитуда А не
несёт информации о квантовом состоянии, смысл имеет только относитель-
ная вероятность нахождения частицы в двух разных точках пространства.
Фактически ненормируемые функции появляются в результате идеализа-
ций, сделанных в целях упрощения задачи. На практике движение всегда
финитно.
Плотность вероятности р(г, I) в общем случае зависит от времени. Од-
нако мы можем рассмотреть систему, в которой частицы не создаются
и не уничтожаются. Это может быть стабильный атом или частицы в
ловушке. Тогда вероятность шу(Г) нахождения частицы внутри фиксиро-
ванного объёма V может меняться со временем только потому, что частица
попадает внутрь объёма или уходит из него. Эта вероятность определяется
интегралом от р по объёму V:
жД) = [ с13гр(г,1), (2.7)
К
и она будет меняться, если существует плотность потока вероятности
ф Эта плотность потока, как плотность тока жидкости в гидродинамике
или плотность электрического тока в электродинамике, есть произведение
плотности текущей субстанции, массы или заряда в этих примерах, а в
квантовой механике плотности вероятности, на локальную скорость V,
а = ру- (2.8)
Изменение вероятности (2.7) со временем обусловлено потоком вероятности
через поверхность 8 объёма V:
УДуУ = - 3). (2.9)
Знак минус в правой части выражения (2.9) соответствует тому, что поло-
жительное направление тока отвечает истечению из объёма, вследствие
чего вероятность нахождения частицы внутри объёма уменьшается. Вектор
элемента поверхности с/8 = (18 п в каждой точке направлен вдоль внешней
нормали п к поверхности.
Интеграл по поверхности можно преобразовать в интеграл по объёму:
(с/8 -з) = У (13г&гьу (2.10)
В пределе бесконечно малого объёма вокруг точки г из уравнений (2.7),
(2.9) и (2.10) следует важное уравнение непрерывности'.
др т
—- + бггз = 0.
Как и в других приложениях, уравнение непрерывности является локаль-
ным выражением закона сохранения. В гидродинамике сохраняется полная
масса жидкости, а в электродинамике сохраняется полный электрический
заряд. Если в системе нет источников или стоков, то в квантовой механике
сохраняется полная вероятность и частицам остаётся только возможность
мигрировать в пространстве, но не появляться или исчезать. В случае
финитного движения, ток на бесконечно больших расстояниях отсутству-
ет. Если увеличить тестируемый объём V, чтобы он включил в себя всю
систему, так что поток через поверхность будет равен нулю, мы получим:
с13г р = сопз^ (2.12)
т. е. полная вероятность сохраняется. Мы знаем из (2.6), что в случае
финитного движения мы можем нормировать волновую функцию так,
чтобы полная вероятность равнялась 1. Таким образом, можно утверждать,
что нормировка не будет меняться во времени.
В пределе бесконечного объёма и удалённого источника по примеру (2.2)
существует поток через бесконечно большую поверхность. Но локально
уравнение непрерывности (2.11) остаётся справедливым в любой точке г.
В конкретном примере плоской монохроматической волны мы должны
идентифицировать скорость в определении потока со скоростью частицы
р/т, поэтому:
Р = |Ф|2 = К ] = ^=|А|2—. (2.13)
т
Здесь обе величины р апб з постоянны во всём пространстве и времени, так
что уравнение непрерывности заведомо выполнено. Плотность постоянна
из-за нашей аппроксимации волны, равномерно размазанной по всему
объёму. В отличие от простого потока (2.13), в более сложных случаях
только конкретная динамика квантовой системы позволит определить вид
плотности потока вероятности, который будет удовлетворять уравнению
непрерывности.
Отметим важное следствие простого соотношения между энергией си-
стемы и частотой волны де Бройля. Для любой волновой функции с опре-
делённой сохраняющейся энергией мы будем иметь волновую функцию в
монохроматическом виде:
где б/ — все переменные, имеющие непосредственное отношение к систе-
ме (пространственные и внутренние переменные частиц). Следовательно,
плотность вероятности в ^-пространстве
= |Ф(<7Д|2 = |Д<7)|2, (2-15)
не зависит от времени. Состояние с определённой энергией называется
стационарным. В этом случае уравнение непрерывности упрощается:
= 0. (2.16)
2.3 Принцип суперпозиции и неопределённость
Плоская волна (2.2) даёт нереалистичную картину бесконечного простран-
ства, заполненного частицами поставляемыми стационарным удалённым
источником. В реальности геометрия любого эксперимента ограничена.
Коллиматоры, электростатические и магнитные линзы и другие устрой-
ства формируют пучок частиц после многочисленных преобразований —
преломлений, отражений от стенок и т. д. Каждое подобное взаимодействие
изменяет импульс частиц, по крайней мере по направлению. В результате
волновая функция в каждой точке является суперпозицией первичной и
всех вторичных волн. Предполагается, что это может быть выражено про-
стым сложением всех этих волн с их волновыми векторами и амплитудами:
Ф(г, I) = Апг(кп-г)е~ш{. (2.17)
п
Здесь мы предполагаем, что все вторичные волны имеют одну и ту же
энергию, так что итоговая картина, которая по-прежнему представля-
ет стационарное состояние, имеет не такое «скучное» пространственное
распределение: помимо некогерентной суммы интенсивностей отдельных
компонент, присутствует и их интерференция:
р(г) = 52|Ап|2 + 2Ке 52 (2.18)
п пары пДп'
Теперь плотность вероятности уже неоднородна в пространстве и в ней про-
являются максимумы и минимумы. Вероятнее всего обнаружить частицу
вблизи максимумов, и можно сказать, что экспериментальная установ-
ка, локализуя частицы в некоторых областях, уменьшает вероятность их
Рис. 2.1. Стоячая волна с узлом на непроницаемой барьере.
нахождения в других местах. В случае суперпозиции волн с разными часто-
тами сап, итоговая картина будет нестационарной, демонстрируя биения
во времени.
Неопределённость в импульсе — это цена, которую приходится платить
за локализацию в пространстве. Так как волновая функция (2.17) содержит
разные плоские волны, то можно ожидать, что эксперименты по измерению
импульса будут давать разные результаты. Развивая предыдущие рассуж-
дения, можно интерпретировать амплитуды Ап входящих в суперпозицию
волн, как их амплитуды вероятности, так что относительные вероятности
ад для различных знзчений кп пропорциональны |АП|2. Для конечной
суммы |АП|2 получаем абсолютную вероятность:
(2.19)
Более подробная информация о возможном положении частицы получа-
ется за счёт утери информации об импульсе. Это наша первая встреча
с так называемым принципом неопределённости. Необходимо подчеркнуть,
что такая неопределённость вытекает не из недостатков измерительных
приборов, а из самой сути волновой механики.
2.4 Потенциальная стенка
В качестве первого примера рассмотрим в деталях отражение квантовой
волны от очень сильного потенциального поля. Для простоты возьмём
одномерную волну (2.1) и возведём на её пути непроницаемую стенку
(Рис. 2.1) приложив бесконечно большой потенциал отталкивания:
Щх) =
О, х < 0;
оо, ж > 0.
(2.20)
В этом случае вероятность обнаружения частицы в правой части простран-
ства х > 0 должна быть равна нулю. В предположении непрерывности
волновой функции Ф(ж,Г) рассматриваем движение только слева х < 0
с граничным условием:
Ф(О^) = 0. (2.21)
В стационарных условиях, энергия сохраняется и зависимость волновой
функции от времени по прежнему является монохроматической:
Ф(ж,^) = ^(ж)е-^^^, т/>(0) = 0, Е=^—, (2.22)
где к > 0 — волновой вектор волны Аехр(г/сж) приходящей от удалённого
источника слева и формирующей падающий поток (2.13).
Условие ^(О) = 0 не может быть удовлетворено с помощью одной па-
дающей волны. Очевидно, что присутствие барьера создаёт отражённую
волну. Чтобы не нарушать стационарность (энергия Е постоянна (2.22)),
вторичная волна должна иметь волновой вектор к' той же самой величины
(здесь используется вырождение свободного движения по направлению). В
одномерном случае единственно возможным вариантом является к' = —/с,
что соответствует отражению от стенки. Таким образом, решение является
суперпозицией падающей и отражённой волн:
Де) = Аегкх + Ве~гкх. (2.23)
Граничное условие на барьере х = 0 (2.21) определяет амплитуду отражён-
ной волны В = — А, и волновая функция может быть записана в виде
^(ж) = 2гА8т(/сж). (2.24)
Это стоячая волна с распределением вероятности
р(ж) = 4|А|2 8ш2(/сж), (2.25)
которая имеет узлы в точках х = пл/к для целых п и пучности между
ними (Рис. 2.1).
Как уже обсуждалось, локализация частицы достигается ценой неопре-
делённости в импульсе, в данном случае из-за наличия отражённой волны.
Заметим, что интенсивность в максимумах теперь в четыре раза выше,
чем интенсивность падающей волны. Волновая функция (2.24) всё ещё
ненормируема, но относительная вероятность для различных значений
координаты хорошо определена. Что касается импульса, то две компоненты
с к и —к имеют равные вероятности обнаружения. Однако, если детектор
срабатывает только при определенном направлении импульса, например
вправо, то можно выделить компоненту падающей волны и измерить ин-
тенсивность |А|2 без интерференции. В этом случае мы выделяем только
одну компоненту полной волновой функции (2.24). Выбор конкретного экс-
перимента разрушает когерентность суперпозиции и преобразует состояние
обратно в падающую волну, которая в отсутствие отражённой волны не
является стационарным состоянием.
Уравнение непрерывности (2.16) в одномерном стационарном состоянии
сводится к
= 0 д = соп81. (2.26)
ах
Так как за барьером поток д = 0, то он должен быть равным нулю везде.
В самом деле, падающий и отражённый дг потоки сокращаются:
. 419 Кк . . _|9 Ик'
Ф = Щ ? Ф = \В\ = —дц (2.27)
т т
Задача 2.1
Рассмотрите трехмерное движение с непроницаемой стенкой в плоскости
х = 0. Получите закон Снеллиуса для ненулевого угла а между волновым
вектором падающей волны и нормалью к стенке.
2.5 Потенциальный барьер
Здесь мы разберём более реалистичный пример с барьером конечной
высоты. Предположим, например, что электрон с кинетической энергией
Е свободно движется слева (ж < 0) и при х = 0 испытывает внезапное
резкое повышение потенциала до конечной величины [/"о, как на Рис. 2.2, где
варианты (а) и (6) соответствуют значению энергии выше или ниже высоты
барьера. Путь к решению определяется двумя особенностями задачи: в
стационарной ситуации энергия Е сохраняется, и поток д постоянен.
Рис. 2.2. Потенциальный барьер конечной высоты.
Рассмотрим вариант, когда Е > Во Рис. 2.2 случай а. В этом случае
классическая частица с начальным импульсом к преодолела бы барьер
и прошла бы в правую область с уменьшенным импульсом к\ величина
которого дается сохранением энергии:
Лк2 П2к'2 тт /2тЦ - ЦА ,
—= —+ О) => к' = у] Д2 07 < /г. 2.28
2т 2т V ш
Знак перед квадратным корнем определяется тем, что частица летит впра-
во. Тогда справа от барьера волновой вектор и скорость уменьшаются (2.13)
по сравнению с тем, что было слева. Недостающая часть потока указывает
на наличие волны, распространяющейся влево. Барьер приводит к возник-
новению отражённой волны даже если Е > Гф. Надбарьерное отражение —
это чисто неклассическое явление.
Решение для случая Е > Во является суперпозицией падающей и отра-
жённой волн слева от барьера:
фД = АЛХ + ВЛХ. х < 0, (2.29)
и прошедшей волны,
фД = СеМх, X > 0, (2.30)
справа от барьера. В выражении (2.30) отсутствует распространяющаяся
влево волна, так как справа нет изменения потенциала, которое смогло
бы вызвать отражение. Решения по обе стороны от барьера должны быть
сшиты. Примем, что и волновая функция ?Дж), и её производная (с/'0/с/ж)ж=о
непрерывны в точке барьера. Позже будет продемонстрировано, что это
гарантирует непрерывность потока. Условия сшивки таковы:
Эти условия определяют амплитуды отражённой, В, и прошедшей, С, волн
в зависимости от произвольной амплитуды падающей волны:
В =
к~к' А
к + к,А
с 2к Л
к + к,А'
(2.32)
Для контроля проверим что в отсутствие барьера, к' = к. волна распро-
страняется без изменений: С = А и В = 0. Баланс между падающей,
отражённой и прошедшей частями потока,
кк । _|9 к(—к} ,_|9 Ик' ,_|9
Зг = — А2, = = — С2, 2.33
т т т
выполняется:
к 4к2к' . . |9 . .
Зг + Зг = - , ,М2 И = X (2.34)
т (к ± к')Л
Обычно вводятся коэффициенты отражения и прохождения, которые не
зависят от произвольного значения начальной интенсивности:
/?=—, Т=к (2.35)
дг дг
Тогда закон сохранения вероятности (2.34) можно записать в виде
К + Т = 1.
(2.36)
Задача 2.2
Покажите, что для потенциала на Рис. 2.2 вариант а, коэффициенты
отражения и прохождения будут такими же для волны, падающей справа.
Закон сохранения энергии должен учитывать все виды энергии, включая
внутренние степени свободы частицы. В следующем примере из нейтрон-
ной физики у нас кроме кинетической энергии есть взаимодействие спина
с магнитным полем —дВзг (1.75), где д — спиновое гиромагнитное отно-
шение, определяемое в формуле (1.74) через экспериментальное значение
магнитного момента нейтрона (1.72), а проекция спина зг может принимать
два значения ±1/2 в единицах к.
Задача 2.3
Магнитное зеркало Рис. 2.3. Плоскость х = 0 разделяет области х < 0
без магнитного поля и х > 0 с однородным магнитном полем В, направлен-
ным по оси г. Монохроматический пучок нейтронов падает из пространства
Рис. 2.3. Нейтронное магнитное зеркало.
без поля с импульсом р в плоскости хг. Угол падения (между р и осью х)
равен а. Найти углы отражения и преломления для нейтронов со спином,
направленным по и против оси г. Рассчитать коэффициент отражения для
обеих поляризаций спина.
Решение Стационарное состояние с энергией Е описывается волновой
функцией Ф(г, /;) = ^(г) ехр[— {г/К)Е1} (2.14). В полупространстве х < 0
координатную волновую функцию можно записать в виде суперпозиции
падающей и отражённой волн:
^(г) = Ае’(кТ + Ве’(к'Т, (2.37)
где к2 — к'2 — 2тЕ/к2. В отсутствие магнитного поля энергия не зависит
от направления спина. Поле В при х > 0 снимает вырождение состоя-
ний с проекциями спина ±1/2 и эти состояния приобретают различную
магнитную энергиию (1.75):
= = (2.38)
где у = —1.91я.м. — экспериментальный магнитный момент нейтрона,
(1.72). В полупространстве х > 0 есть только преломленная волна:
Дг) = Се^к"'г\ (2.39)
где волновой вектор различен для двух разных поляризаций:
П2к"2 = 2т(Е ± дВ). (2.40)
Условия сшивки
импульса кг = к*
в плоскости х = 0 требуют сохранение г-компоненты
= в то время как
к' — —к.
к" = к.
2т/аВ
(2-41)
Так как ц < 0, то угол преломления /3 таков, что
„ к-
*ап/3 = 7И'
к”
(2.42)
и /3(<§^ = +1/2) > а > /3(<§^ = —1/2). Подобно (2.32),
кх — к"
В = —------
кх + к"
‘2кх
кх + к"
(2.43)
и коэффициенты отражения для двух возможных поляризаций равны
1 \ 2
1 - 7±\
1 + 7±/
(2.44)
Для тепловых нейтронов (кинетическая энергия 1/40эВ, длина волны
1.8 А) и магнитного поля величиной 1 Тл коэффициент отражения (2.44)
близок к 1 % при угле падения близком ктг/2: сое2 а ~ 10-5. Заметим, что
для одной из поляризаций в принципе возможно полное внутреннее отра-
жение, хотя на практике это реализуется только в случае ультрахолодных
нейтронов. Потенциальная энергия в среде (в данном случае — магнит-
ного происхождения) играет ту же роль, что и показатель преломления
для распространения света.
2.6 Проникновение под барьер
Вернёмся к барьеру Рис. 2.2 и рассмотрим движение слева с энергией
Е ниже высоты барьера По (вариант 6). Это можно рассматривать, как
модель металла с работой выхода 11 = Ц®, если электрон поглощает фотон
с энергией На), которой недостаточно для фотоэффекта (1.5).
Из набранного опыта нам известно, что слева от барьера у нас есть
падающая волна вместе с отражённой волной, и волновая функция опреде-
ляется выражением (2.29). Классические частицы на границе х = 0 были
бы отражены. Однако здесь имеет место новое явление: волна частично
проникает под барьер, что абсолютно запрещено в классической механике.
Формально вычисленный волновой вектор слева х > 0 является мнимым:
к' = ±а/ —(Е - ?70) = ±гк, (2.45)
V /г2
где вещественная величина к > 0 определяется как
/ 2тп
к = \Д2<Ы-еУ Д46)
V А
Волновая функция в классически запрещённой области х > 0 имеет вид
ехр(±^ж). Нет никаких физических причин для бесконечного роста интен-
сивности за барьером, поэтому физическим является только экспоненци-
ально затухающее решение:
тДж) = Се~кх, X > 0. (2.47)
Таким образом, по аналогии с оптикой в случае полного внутреннего отра-
жения, волна проникает в классически запрещённую область (электроны
с энергией, недостаточной для вылета из металла, могут немного выглянуть
наружу) и глубина проникновения может быть оценена как
I ~ -. (2.48)
к
Можно сшить решения (2.29) и (2.47) таким же образом, как и в случае
надбарьерного движения. Мы можем просто использовать решение (2.32) с
подстановкой к' = ж чтобы получить
В = Л. С = Л. (2.49)
к + ж к + ж
Важно, что |В|2 = |А|2, то есть интенсивности отражённой и падающей
волн равны и ф = — ф. Отсюда следует, что К = 1 и поток в классиче-
ски запрещённой области отсутствует, даже если статическая плотность
вероятности под барьером не обращается в нуль.
В пределе очень высокого барьера По Е коэффициент н -д оо, глубина
проникновения становится очень малой, I -д 0, а амплитуда проникшей под
барьер волновой функции С -Д 0. При непрерывном стремлении к пределу
непроницаемой стенки подтверждается граничное условие (2.21), хотя в
этом пределе больше не выполняется условие непрерывности производной
бф/бх, которая автоматически обращается в нуль сразу за стенкой. И
Рис. 2.4. Барьер конечной ширины.
волновая функция, и её производная будут непрерывными, если заменить
потенциальную стенку на более приближённый к реальности потенциал,
который растет от 0 до [ф очень быстро, но непрерывно. Приближение
вертикального барьера имеет смысл, если длина волны частицы намного
больше, чем ширина области, где потенциал возрастает. В случае противо-
положного предела с энергией почти равной высоте барьера, коэффициент
к мал, а глубина проникновения в классически запрещённую область мо-
жет быть очень большой. Подобное квантовое гало наблюдается в слабо
связанных ядрах (раздел 3.5).
2.7 Туннелирование
В разделе 2.6 мы рассмотрели проникновение квантовой волны под
барьер, который при конечной высоте имел бесконечную протяженность.
Теперь предположим, что энергия все ещё ниже, чем высота барьера, в
то время как ширина барьера конечна в пределах от х = 0 до х = а > О,
Рис. 2.4. Это может быть моделью для двух кусков металла, разделённых
конечным слоем изолятора.
Разница по сравнению со случаем Ь Рис. 2.2 только в конечной про-
тяжённости барьера. Волновая функция слева, х < 0, всё ещё имеет ту
же форму (2.29). Однако, в отличие от необходимого выбора решения,
сделанного в (2.47) для бесконечно длинного барьера, здесь нельзя игнори-
ровать возможность существования обоих знаков для мнимого «импульса»
к. Экспоненциально растущее вдоль оси х решение не запрещено, так как
длина, возможная для его роста, конечна, и значения на концах интервала
являются конечными. Поэтому решение в подбарьерной области между
двумя стенками имеет вид:
Рис. 2.5. Вероятность прохождения (2.55) в зависимости от энергии
За барьером волновой вектор снова становится вещественным и равным
своему исходному значению к (если потенциалы справа и слева от барьера
находятся на одном уровне). За барьером может существовать только
распространяющаяся вправо волна:
^(ж) = Регкх, х > а.
(2-51)
Сшивка волновых функций на двух границах х = 0 и х = а показывает,
что коэффициент Р не равен нулю. Это означает, что волна может тунне-
лировать через классически запрещённые области, конечных размеров.
Задача 2.4
Выполните сшивку и найдите коэффициенты прохождения Т(Е) и от-
ражения В,(Е) для барьера на Рис. 2.4. Покажите, что в пределе малого
коэффициента прохождения величина амплитуды волны 29. экспоненци-
ально растущей под барьером (2.50), тоже подавлена.
Решение Предположим, что А = 1, тогда амплитуды различных частей
волновой функции равны:
(к2 + к2) 8тЬ(^а)
(к2 — к2) 8тЬ(^а) + г2кксоА1(на) ’
/ к\ ека / /А е~ка
С = 1 — г- ------——-, Б = 1 + г- ----------——-,
у н) 2со8п(л:а) \ н) 2со8п(л:а)
р = е~^а________________.
2кнсоА1(уиГ) + г(н2 — к2) 8шЬ(^а)
(2.52)
(2.53)
Коэффициент прохождения зависит от энергии, Рис. 2.5,:
Т(Е) = |Г|2 =------4^(У° ~ . (2.55)
к ’ 11 4Е(а1-Е) + [/Д1п112(ка) к 7
Для низких энергий, Е <7^ С7(). или/и широкого барьера, на 1, 8тЬ(^а) ~
~ со811(Да) ~ (1/2)ехр(юа) 1, коэффициент прохождения экспоненци-
ально подавлен:
ПЕ^^тлуе~2ка- (2-56)
Амплитуда растущей под барьером экспоненты подавлена таким же обра-
зом:
И ос е~2ка. (2.57)
На выходе за пределы барьера оба члена в уравнения (2.50) имеют один
и тот же порядок величины, ~ ехр(—на). Из-за надбарьерного отраже-
ния, коэффициент прохождения не достигает предела в 1 при энергии,
стремящейся к величине барьера Е -л- С/о:
Т(Е -> С70) = -,тт 1 < 1- (2-58)
4 7 1 + (С/0та2/2П2) к 7
Коэффициент прохождения приближается к 1 при высоких энергиях, что
показано на Рис. 2.5.
Множитель перед экспонентой в коэффициенте прохождения слабо за-
висит от энергии (2.56), в то время как зависимость самой экспоненты
является определяющей. Экспоненциальный фактор резко падает с ростом
массы частицы (сравните вероятности туннелирования для электрона и
протона). Мы можем воспользоваться этой драматической зависимостью,
чтобы оценить вероятность прохождения потенциального барьера произ-
вольной формы Рис. 2.6. Здесь будем считать, что потенциал барьера 17(х)
является гладкой функцией координаты.
Аппроксимируем имеющийся потенциал последовательностью прямо-
угольников, разделяя барьер между классическими точками поворота а и
6, где С/(а) = (/(&) = Е, на мелкие полоски шириной (Дзф и предполагая,
что внутри каждого кусочка потенциал можно заменить на соответству-
ющее среднее значение С/д Это можно сделать, если потенциал является
достаточно гладким. Тогда каждый короткий кусочек в тоже самое время
Рис. 2.6. Оценка коэффициента прохождения.
может быть достаточно длинным, чтобы 1, где — мнимая
часть волнового вектора (2.46) для конкретного С/д Полная вероятность
прохождения может быть оценена как произведение всех последовательных
вероятностей прохождения через кусочные барьерчики. Используя (2.56) и
игнорируя множитель при экспоненте, который слабо меняется по сравне-
нию с самой экспонентой, получаем:
Т « П т, = ре-2^(Ах)^ = е-2^[^(Ах)^] ~ ехр
где
(2.60)
V А
локальный мнимый волновой вектор, к(х) = |&(ж)| = \р(х)\/Н. В разделе 1.5
уже упоминалось, что ]*(р/К)с1х измеряет классическое действие вдоль
орбиты в единицах Н. Видно, что вероятность туннелирования определяется
мнимой частью классического действия вдоль классически запрещённой
«траектории».
Так как экспонента (2.59) очень чувствительна к малейшим изменениям
параметров и может изменяться на порядки, то именно она и определя-
ет порядок полного коэффициента прохождения. Оценка (2.60) являет-
ся удовлетворительной для многих практических ситуаций. Более того,
этот результат подтверждается в более точном квазиклассическом подходе
(глава 15). Аргументы против использования такой оценки могут быть
основаны на том, что мы просто перемножили вероятности частичного
туннелирования. В духе волновой механики необходимо было бы учесть
многочисленные промежуточные отражения волны от всех искусственных
границ и учесть интерференции всевозможных амплитуд. Однако, в нашем
случае экспоненциально подавленного прохождения, любое отражение по-
давляется дополнительным множителем ехр(—2юДж). Вклад отражённых
волн будет много меньше, чем у компоненты, прошедшей без отражений.
Задача 2.5
Холодная эмиссия. Электрическое поле <?, направленное вдоль оси х
перпендикулярно поверхности металла может вытягивать электроны через
поверхностный барьер Рис. 2.7. Оценить вероятность электронной эмиссии.
Решение Мнимый подбарьерный импульс равен
к(х)
(2-61)
где Е = — е. Вероятность туннелирования оценивается как экспонента (2.59)
от интеграла, взятого в пределах между классическими точками поворота
а = 0и6 = е/е<?. Знак перед полем гарантирует, что > 0. В результате
получаем
Т ~ ехр
4 у 2т ^.3/2
3 Ке&
(2.62)
Показатель экспоненты по порядку величины дается мнимой фазой —ет/Ту
которая приобретается волной, прошедшей во мнимом времени т ~ Ь/\и\ =
(е/е<?)/д/2т/е. Наша оценка справедлива, если итоговый коэффициент
прохождения мал, Т 1. Для энергии электронов е ~ 2 эВ, в случае очень
сильного электрического поля ~ 10МэВ/см, Т ~ 3 . Ю-9.
Задача 2.6
Альфа-распад. Альфа-частица является чрезвычайно сильно связанным
ядром гелия 4Не, которое состоит из двух протонов и двух нейтронов. Мно-
гие сложные ядра внутренне неустойчивы по отношению к формированию
и испусканию альфа-частиц. Тем не менее, чтобы вылететь из неустойчиво-
го ядра, альфа-частица должна преодолеть кулоновский барьер Рис. 2.8.
Возьмите в качестве приближенного ядерного потенциала ядра-остатка
прямоугольную яму с непроницаемой стенкой в начале координат г = 0
и радиусом ядра К. Оцените вероятность альфа-распада через кулонов-
ский барьер. Подобные оценки могут быть использованы для протонных и
двухпротонных распадов или кластерной радиоактивности с испусканием
тяжёлых заряженных фрагментов ядра.
Решение Экспоненциальная оценка (2.59) дается интегралом
Т ~ ехр
Рис. 2.7. Электронная эмиссия из металла, индуцированная электрическим
полем.
Рис. 2.8. Ядерный + кулоновский потенциал для альфа-распада.
где т — приведённая масса двух конечных ядер, = ЯхЯде2, 2\ =2 для аль-
фа-распада, тогда = Я — 2, где 2— заряд родительского ядра. Анало-
гичная оценка используется для оценки деления ядра на два фрагмента
с 2\ + 2^ = 2. Вычисляя интеграл (2.63) с точкой остановки В' = ^/Е
получаем
(2.64)
где у = д/ЕВ/= у/В/В'. Для не слишком большой энергии Е вылетевшей
альфа-частицы точка выхода В1 находится довольно далеко от ядра В1 В
поэтому обычно 7 1, сое-1 7 ~ л/2 и главный экспоненциальный член
экспоненты равен
Т ехр
(2.65)
Имея после туннелирования нулевую скорость, альфа-частица, ускоряется
из-за кулоновского отталкивания и приобретает на бесконечности скорость
V = у/2Е/т. Обычно результат (2.65) выражается в терминах этой скорости
и параметра Зоммерфельда гр
Т е-(2</М = е-27ГГ?, р = %1%2е
(2.66)
Эти рассуждения справедливы для ту 1.
То же выражение для вероятности прохождения может быть использо-
вано для оценки противоположных процессов: ядерного синтеза и других
ядерных реакций, которые происходят после того, как внешняя частица,
преодолев кулоновское отталкивание, проникает внутрь ядра. В частно-
сти, это важно для реакций термоядерного синтеза: таких как слияния
двух дейтронов и других реакций, протекающих внутри звёзд. Повышение
температуры имеет решающее значение для повышения вероятности тун-
нелирования из-за очень чувствительной экспоненциальной зависимость
вероятности от энергии.
И жили они на дне колодца...
Льюис Кэрролл
Глава 3
Связанные состояния
3.1 Потенциальный ящик
Мы уже обсудили простейший случай инфинитного движения, как мини-
мум с одной стороны, в кусочно-постоянных потенциалах. Теперь обратимся
к случаю запертой волны. Здесь граничные условия приводят к связанным
состояниям дискретного энергетического спектра. Для начала ограничим
одномерное движение, поставив с обеих сторон непроницаемые стенки,
Рис. 3.1.
Мы ищем стационарные состояния с энергией Е. Внутри потенциаль-
ного ящика одномерное движение является свободным. Квантовая волна
частицы массы т имеет волновое число /с, которое определяется значением
энергии с точностью до знака (двукратное вырождение). Двум знакам
соответствуют волны, идущие вправо или влево. Бесконечно высокие стен-
ки полностью отражают волну, которая при отражении меняет знак к
на противоположный. Стационарная картина должна состоять из двух
компонент:
Ф(х) = АЗкх + Ве~*кх, к = У2т#Д2. (3.1)
Мы уже знаем из предельного случая, разобранного в разделе 2.4, что
под бесконечными потенциальным барьером волны не проходят, и что
выполняются граничные условия:
ф(х = 0) = ф(х = а) = 0. (3.2)
Условие для х = 0 даёт В = — А, что соответствует отсутствию потока через
стенку. Следовательно, решение принимает синусоидальный вид (2.24):
ф(х) = 2гА8т(/сж). (3.3)
Рис. 3.1. Потенциал «ящика».
Для выполнения граничного условия на стенке х = а уже нет свободных
амплитуд (А = 0 приводит к тривиальному решению полного отсутствия
волны, -0 = 0). Единственный путь для удовлетворения граничного усло-
вия— это выбрать специальные квантованные значения волнового числа:
, П7Г
к = —, п = 1, 2,...
(3.4)
(п = 0 зануляет всю функцию, а отрицательные значения дают те же реше-
ния, но с противоположным знаком). Выбор (3.4) определяет дискретный
энергетический спектр:
К2ТГ2
2та2
п2,
(3.5)
и квантовое число п однозначно помечает стационарные состояния ^п.
Хотя добавление произвольного множителя не меняет относительные
вероятности, волновые функции связанных состояний (финитное движе-
ние) могут быть нормированы в соответствии с (2.6). В данном случае
нормировка может быть одинаковой для всех состояний п. Нормированные
стационарные волновые функции получаются в виде стоячих волн:
(3.6)
Возникшая картина в точности соответствует описанию нормальных коле-
баний струны, закрепленной на концах, Рис. 3.2. В соответствии с условием
квантования (3.4), длина а кратна целому числу полуволн: а = п(Л/2).
Вероятность |?Дж)|2 нахождения частицы в положении х осциллирует в про-
странстве, проходя через максимумы и минимумы (узлы, где ?Дж) = 0). При
очень больших квантовых числах п, колебания происходят настолько густо,
Рис. 3.2. Волновые функции низших стационарных уровней частицы
в потенциальном ящике.
что имеет смысл взять среднее значение 8т2, равное 1/2, в малом интерва-
ле Дж, который всё ещё содержит достаточно много периодов колебаний.
Такая усредненная вероятность,
---- Л т*
|т/|2Дж =----, (3.7)
а
соответствует естественному описанию частиц, равномерно распределённых
между стенками. Однако, используя увеличительное стекло, мы смогли бы
разрешить структуру минимумов и максимумов.
Легко обобщить это решение на трёхмерный ящик с размерами а, Ь и
с вдоль трёх ортогональных осей ж, у и г. В соответствии с граничными
условиями волновая функция исчезает на всех стенках объёма V = аЬс.
Следовательно, волновая функция характеризуется здесь тремя целыми
квантовыми числами пж, пу и пг\
а энергия стационарного состояния (3.8) равна
П27Г2
2т
Е(пх,пу,пг) =
а2 Ъ2 с2
(3-9)
3.2 Ортогональность и полнота
Набор стационарных волновых функций (3.6) с учётом временной зави-
симости, определяемой энергией (3.5),
Фп(жД) = 8Ш е-(г/П)Вп^ (3.10)
обладает стандартными свойствами, которые мы встретим и в более слож-
ных примерах.
Число узлов внутри ящика равно п — 1. Для каждого следующего состо-
яние число узлов увеличивается на единицу. Волновые функции состояний
имеют чередующуюся симметрию по отражению относительно середины
ящика х = а/2. Если сдвинуть точку отсчёта, положив у = ж —а/2, Рис. 3.2,
то можно записать волновую функцию как косинус для нечётных п и синус
для чётных п. Это позволяет разделить набор состояний на чётные и
нечётные функции от у. 'ф(-у) = ф(у) и ф(у) = —ф(—у) соответственно.
Таким образом, функциям можно приписать квантовое число чётность
Пп = (—)п+1. В этом простом случае чётность не является дополнительным
квантовым числом и полностью определяется номером п или энергией
состояния Еп. Существование определённой чётности стационарного состо-
яния следует из симметрии потенциала: ящик симметричен относительно
центральной оси. Для трёхмерной коробки инверсия всех осей по отноше-
нию к центру позволяет определить чётность стационарного состояния как
Легко проверить, что стационарные волновые функции, соответствую-
щие разным энергиям, ортогональны. Определим ортогональность двух
функций в терминах интеграла от их произведения по объёму ящика,
[ (1х = дгпп- (3.11)
л
Здесь был использован дискретный символ Кронекера
тпп
т = п.
т^п.
(3-12)
Предвидя, что стационарные волновые функции в других случаях могут
быть комплексными, хотя в случае ящика они вещественны, определим
ортогональность с использованием комплексного сопряжения левой функ-
ции произведения, чтобы норма функции (ш = п в (3.11)) всегда была
вещественна и положительна, а для нормированных функций равна 1.
Набор этих волновых функций также является полным: как следует
из стандартного преобразования Фурье любые колебания струны может
представить в виде суперпозиции нормальных колебаний, которые не что
иное, как наши стационарные состояния. Произвольная функция /(ж) с
нулевыми значениями на стенках ящика внутри этого ящика может быть
разложена в ряд (в общем случае бесконечный) Фурье по синусам:
ОО
/(ж) = 52/п^п(ж). (3.13)
п=1
Умножая обе части (3.13) на функцию ДД с помощью ортогональности и
условия нормировки (3.11) выделяем в правой части только слагаемое с
номером т:
/т = [ (3.14)
•/О
Если разложение в ряд (3.13) корректно, то функция /(ж) полностью
определяется коэффициентами /п. Они несут ту же информацию, так что
множество {/п} может быть названо волновой функцией в энергетическом
представлении. Теперь, подставив выражение (3.14) в разложение (3.13),
получаем:
/(ж) = Ож'/(ж') ^2 ^п(ж)Д(ж'). (3.15)
п
Это должно быть тождеством: для любой функции /(ж), удовлетворяющей
граничным условиям, сумма в (3.15) извлекает из полного интеграла (взя-
того по допустимому интервалу) значение этой функции в данной точке
внутри интервала. Это условие полноты может быть сформулировано с
помощью дельта-функции Дирака:
^2^п(ж)С(ж') = <5(ж - ж'). (3.16)
п
Ниже мы напомним основные свойства дельта-функции.
3.3 Дельта-функция
Дельта-функция Дх — хф) может быть определена, на физическом уровне
строгости как интегральный оператор, который, действуя на произвольную
регулярную при х = хо функцию /(ж), извлекает значение этой функции
в точке хо,
У с1х§(х - ж0)/(ж) = /(жо), (3.17)
если точка х = хо находится внутри интервала интегрирования. Если
интервал интегрирования не включает эту точку, то результат равен нулю.
Для того, чтобы так действовать, дельта-функция 8(х — хо) должна рав-
няться нулю везде, кроме точки х = хо, в которой её значение становится
бесконечно большим, для того чтобы результат интегрирования получился
конечным.
Такие сингулярные функции даже не рассматриваются математиками
как функции. Они принадлежат к классу обобщённых функций или распре-
делений. Условие полноты (3.16) означает, что в любой паре точек х Д х'
различные функции из бесконечного набора {Дп(ж)} имеют разные знаки
и результат стремится к нулю после сложения бесконечного числа практи-
чески случайных вкладов. Напомним, что функции ортогональны и имеют
разное количество узлов. Напротив, для х = х' все вклады бесконечной
суммы (3.16) положительны и результат этой суперпозиции бесконечен.
Можно подойти к описанию дельта-функции через предельный переход,
начинающийся с «нормальной» функции, которая в процессе перехода
концентрирует всю свою «силу» в одной точке х = жд. Подобные процессы
могут определяться по разному. Будем считать, что процесс сходится к
х = хо симметрично с обеих сторон, то есть мы строим чётную функцию:
8(х) = 6(—х). (3.18)
Дополнительно дельта-функция нормирована согласно
дх8(х — хо) = 1 (3.19)
по любому интервалу, включающему х = хо (фактически это частный
случай выражения (3.17)). Если один из пределов интегрирования (3.19)
совпадает с жо, то результатом интегрирования будет 1/2 из-за симметрии
5-функции.
Для нашей цели можно использовать различные процессы. Самый про-
стой способ заключается в рассмотрении последовательности прямоуголь-
ников с точкой хо в середине, шириной фу и высотой 1/фу, Рис. 3.3. Если
фу+1 = Фу/2 то предельный Лг ос прямоугольник имеет бесконечную
Рис. 3.3. Предельный переход, определяющий дельта-функцию.
высоту и исчезающее малую ширину, с фиксированной под прямоуголь-
ником площадью равной единице (3.19). В пределе, этот прямоугольник
под интегралом (3.17) «вырезает» значение любой регулярной функции
в точке сингулярности.
Среди других возможностей упомянем последовательность функций
Гаусса. Распределение Гаусса ^(ж;жо,<т), которое играет существенную
роль в статистическом анализе, имеет вид:
дц х0, а) = -Д= е-(^о)2/2<72. (3.20)
V 27ГСГ2
Это колоколообразная кривая, которая везде положительна, симметрич-
на относительно центра х = хо и нормирована на единицу для любых
значений хо и ширины а:
[ с1х д(х; жо, <т) = 1. (3.21)
3 —оо
Поэтому функцию Гаусса можно интерпретировать как нормированное рас-
пределение вероятности переменной х. Из-за симметрии, среднее значение ж,
которое мы отмечаем угловыми скобками, определяется математическим
ожиданием:
гоо
(х) = / с1х х 9{х-,хо, а) = хо, (3.22)
3 — ОО
а квадрат отклонений от х {вариация) дается параметром ширины а:
{{х — жо)2) = / (1х (х — жо)2^(ж; хо, (т) = / Зх х29(х; 0, а) = а2. (3.23)
3—оо 3 —ОО
При а —> 0 распределение Гаусса становится очень узким и очень высоким
в центре, таким образом приближаясь к дельта-функции с правильной
нормировкой:
Ит (Дж; жо, а) = 8(х — жо). (3.24)
ст—>0
Ещё два важных представления дельта-функции,
[ (1кегк^х~х°^ =‘2лд(х — хС, Нт — ---------=6(х — жо), (3.25)
7-00 ту—>0 7Г (ж - Ж0)2 + Ц2
появятся в дальнейших лекциях.
Нам нужно научиться работать с дельта-функцией. Для изменения мас-
штаба переменной используется следующее простое правило:
5(аж) = . (3.26)
Действительно, подставляя = аж, получаем
[ <1х/(х)б(ах') = - [ а^/(-Д(О =
3-е а 3-ае \а/
1 Гае 1 ДО) ’
= -/(0) / ЭД = -/(0)81ёп(а) =
3—ае ® 1Ф
Если функциональный аргумент д(х) в Дд(ж)) имеет несколько простых
корней д(п) = 0, то в непосредственной близости от ж = ту функция д(х)
может быть приближенно представлена как ((Зд/скГ)^ (х—г^. Следовательно,
используя (3.26), получаем:
Из выражения
У сгжУ(ж)жЩ) = [У(ж)ж]ж^о, (3.29)
мы можем принять, что
жДж) = 0, (3.30)
где левая часть рассматривается как оператор, применяемый к интегриро-
ванию функции /(ж), которая не имеет особенности при ж —> 0 типа 1/ж
или сильнее.
3.4 Эволюция волновой функции со временем
Полнота набора стационарных волновых функций позволяет решить про-
блему развития произвольного начального состояния во времени. Начнём
с волновой функцией Ф(ж,/; = 0) = /(ж). В соответствии с формулой (3.13)
начальное состояние представляет собой суперпозицию нормальных мод
'фп(х) с амплитудами /п, определяемыми из условий ортогональности (3.14):
/п = У^'С(жХДо). (3.31)
Каждая нормальная мода - это отдельная гармоническая составляющая,
которая эволюционирует во времени в соответствии со своей собственной
частотой = Еп/К. Поэтому временное развитие при I > 0 определяется
интерференцией всех имевшихся (возбуждённых вначале) гармоник:
Ш I) = У2 (3.32)
п
Аналогично (2.19), коэффициенты /п волновой функции в энергетическом
представлении должны быть интерпретированы как амплитуды вероятно-
сти нахождения системы в стационарном состоянии так что соответ-
ствующая вероятность равна шп = |/п|2.
Задача 3.1
Покажите, что нормировка состояния / с1х |Ф(ж, /;) |2 сохраняется во вре-
мени, и если начальная нормировка была определена как / 4х |Ф(ж, 0)|2 = 1,
то величины гвп нормированы как вероятности:
УУ = УУ |/п|2 = 1- (3.33)
п п
Таким образом, вероятностная интерпретация может быть использована
как в пространственном, так и в энергетическом представлениях волновых
функций. Оба эти представления несут равноценную информацию.
Задача 3.2
Частица в бесконечно высоком потенциальном ящике шириной а в началь-
ный момент представлена волновой функцией Ф(ж,/; = 0) = А ет3 (лж/а).
Найти волновую функцию в произвольный момент времени I > 0. Вернётся
ли частица в исходное состояние в какой-то определённый момент Т7
Полезно ввести пропагатор или функцию Грина С(х,Гх',0), которая
преобразует начальную волновую функцию при I = 0, в функцию, соответ-
ствующую произвольному моменту времени Г.
С(х, I- х', 0) = 52 (3.34)
п
Подставив это определение и амплитуды (3.31) в (3.32), можно записать
закон эволюции во времени как
Ф(ж,Г) = д,х' С(х, Г 0)Ф(а/, 0). (3.35)
Начальное состояние получается из этого выражения автоматически при
подстановке I = 0, так как из (3.34) и (3.16) следует, что
С(ж, 0; х\ 0) = 6(х — х). (3.36)
При отсутствии зависящих от времени внешних сил, выбор начального
момента времени является произвольным. В качестве начального момента
времени можно выбрать Г, тогда функция Грина будет зависеть только
от разности времён I — Г:
С(х, I- х', О = 52 (3-37)
п
*(.,,) = (3.38)
Здесь интегрирование учитывает интерференцию волн, приходящих в точку
х в момент от всех возможных источников х' в фиксированный начальный
момент Г (интегрирование по Г отсутствует).
Задача 3.3
Внезапное возмущение. Частица находилась в основном состоянии потен-
циального ящика, как на Рис. 3.1. В момент времени I = 0, правая стенка
была мгновенно перенесена изх = авх = Ь> ав соответствии с Рис. 3.4.
Какова вероятность того, что при I > 0 в новом ящике частица окажется в
возбуждённом состоянии? Обсудите специально случай Ъ = 2а.
Решение
Внезапное изменение параметров не меняет волновую функцию Ф(ж,0), ко-
торая служит отправной точкой для будущей эволюции (3.32). Однако это
Рис. 3.4. Иллюстрация для Задачи 3.3.
Рис. 3.5. Вариант Ъ = 2а, Задача 3.3.
развитие определяется теперь новыми условиями. Для нахождения ампли-
туд /п нам нужно разложить начальную волновую функцию фц старая (ж)
по стационарным волновым функциям фп. новая (ж) нового ящика'.
(3.39)
После интегрирования получаем
Л = 5 (3.40)
7Г — 1 О
Вероятность остаться на основном уровне в новом потенциале равна:
. р |9 4Л 8т2(тгЛ) , ч
^1 = |/1| = ^2 (Д2 _ 1)2 • (3-41)
Вероятность оказаться в возбуждённом состоянии п = 2, 3,... равна
^возбуждения = 1 ^1- (3.42)
В случае, когда Ъ = 2а, Л = 1/2, Рис. 3.5 вероятность возбуждения:
= Ш2 = 4 гЙгД (3-«)
7Г2 [(ТГ/Т) — I]2
В этом случае возбуждаются состояния только с нечётными п. Для чёт-
ных значений п новая функция является нечётной по отношению к новой
середине ящика х = а и соответственно там находится узел. Поэтому тако-
го рода функции также удовлетворяют граничным условиям для старого
ящика и не могут возбудиться, так как являются ортогональными к началь-
ной волновой функции, поскольку интегрирование проводится в пределах
старого ящика. Случай п = 2 является единственным исключением, так
как здесь новая функция представляет собой просто антисимметричное
продолжение до новой стенки старого основного состояния Рис. 3.2 и 3.5.
Раскрытие неопределённости в (3.43) дает:
1с2 = | = 50%, (3.44)
в то время как гщ = 32/9тг2 = 36%.
3.5 Мелкая яма и квантовое гало
Теперь перейдём от ящика с бесконечными стенками к более реалистич-
ному примеру притягивающей потенциальной ямы конечной глубины С/д.
Пусть потенциал за её пределами выходит на одинаковый уровень с обеих
сторон. Примем это значение потенциала за ноль энергетической шкалы
(Рис. 3.6).
Задача 3.4
Покажите, что яма на Рис. 3.6 содержит как минимум одно связанное
состояние для любой ширины а и глубины [/д.
Решение
Волновая функция основного состояния с энергией Е = —е должна экспо-
ненциально затухать под барьерами с обеих сторон (классически запрещён-
ная область):
. , ч Г Аепх, х < 0, /2тг
| Пе-ф-а)^ х>а,
х
Е = -8
Рис. 3.6. Потенциальная яма конечной глубины. Вертикальная пунк-
тирная линия в середине колодца, аналогично Рис. 3.2, соответствует,
симметричному выбору начала координат.
Внутри ямы должна существовать стоячая волна, аналогично (3.1):
Дж) = ВВкх + СеГгкх.
/2тДо — ё)
У П?
(3.46)
Выполняя сшивку на границах, мы получаем выражение, которое опреде-
ляет энергию е:
(3.47)
Это уравнение всегда имеет по крайней мере одно положительное решение
е. В пределе мелкой ямы, ка 1, уровень очень слабо связан Для
мелкой ямы к к® = у/2т11о / б2 и
к к$а
к~ ~Т
к$а
~т
т(С/оа)2
2П2
(3.48)
Это согласовано с приближением е По, если
тЦ$а2
Н2
(3.49)
Выражение (3.49) даёт критерий мелкой ямы или слабого притяжения.
Результат согласуется с требованием к$а 1 и показывает, что простран-
ственный размер волновой функции в слабо связанном состоянии значи-
тельно больше, чем размер а потенциальной ямы. Волновая функция не
локализована внутри ямы: её длина локализации (2.48) удовлетворяет тре-
бованию 1/к а. Как упоминалось выше, системы, в которых хвосты
волновой функции связанного состояния тянутся далеко в классически
запрещенную область называются теперь галообразуюгцими (Ьа1о зуз^етз).
Есть много примеров подобных систем в ядерной и молекулярной физике.
Техническая проблема по удовлетворению граничных условий Задачи 3.4
может быть упрощена путём выбора начала координат оси х таким образом,
чтобы края ямы соответствовали значениям х = ±а/2. В этом случае потен-
циальная яма становится симметричной относительно инверсии х -Л (—ж).
Можно ожидать, что решения в этом случае будут иметь определённую
чётность, подобно тому, что мы видели для решений в потенциальном
ящике. Тогда вместо уравнений (3.45) и (3.46) можно искать решение в
виде не имеющей узлов чётной волновой функции:
^(ж) = Ае±кх, |ж| > (3.50)
и
^(ж) = В соз(/сж), |ж| < (3.51)
где к и к имеют те же значения, что и в (3.45)-(3.46). Теперь достаточно
выполнить сшивку только с одной стороны.
Задача 3.5
Частица помещается в потенциальную яму конечной глубины 17$ Рис. 3.6.
Ширина ямы а определена таким образом, что в ней существует только одно
связанное состоянии с энергией связи е = ?7о/2. Вычислите вероятности
того, что частица находится в классически разрешённой и классически
запрещённой областях.
Решение
В наших условиях значительное упрощение следует из того факта, что:
к = к
6 2
(3.52)
При симметричного выборе координат, сшивка на одной из границ, напри-
мер, х = а/2, даёт:
Всо$(—\ = Ае КС^2, -Вк$т(—= -кАе .
V 2 / ’ \ 2 7
(3.53)
Отношение этих двух уравнений приводит к соотношению (3.47) между
параметрами:
( ка\
1ап — = 1
\ 2 /
ка = —
2
Доля вероятности, приходящаяся на запрещённую область (за пределами
потенциальной ямы), равна
/*оо д2
рои1 = 2 / <1хА2е~2кх = —е~ка.
Зф к
(3.55)
В силу условий сшивки (3.53) и (3.54) это равнозначно:
Р - в2 2 /УД _ -^2 /О
Глк “ к С°8 ( 2 ) ~ 2к ’ (3.56)
Аналогично, доля вероятности, приходящаяся на внутреннюю часть, равна:
^2 ^2
Рш = 2 / дх В2 со82(/сж) = —~[ка + 8ш(Ы)] = —-
до ЛК, ЛК,
Отношение этих вероятностей равно
(ГС (3.57)
и, используя, Р()и1 + Дп = 1, мы приходим к
2 2 + л
РОи1 = —— = 0.28, Дп = —— = 0.72. (3.59)
4 + 7Г 4 + 7Г
Доказательство существования связанного состояния в Задаче 3.4 бы-
ло основано на приближении к ~ ко для которого требовалось, чтобы
(/о Выполним это неравенство в предположении, что глубина Цо сю
в то время как ширина стремится к нулю а —> 0 таким образом, что пло-
щадь потенциальной ямы Цоа = д сохраняется. Этот предел соответствует
притягивающему дельта-потенциалу Рис. 3.7:
С/(ж) = — дд(х). (3.60)
В соответствии с (3.48), этот потенциал для любого значения д > 0 имеет
одно связанное состояние с энергией связи
с_тд2 /о «п
2П2 • (3.61)
В этом случае волновая функция состоит из двух симметрично затухающих
экспонент:
Дх) = Ае~КД К=^; (3.62)
Рис. 3.7. Притягивающий дельта-потенциал и волновая функция связанно-
го состояния.
вся жизнь связанного состояния проходит снаружи области притяжения.
Отметим, что вследствие бесконечной величины потенциала при х = О
у функции (3.62) в этой точке происходит скачок производной:
^'(х — 0) — ^'(х + 0) = 2клД0),
(3.63)
хотя сама функция непрерывна.
Только одномерные ямы с симметричными краями, как на Рис. 3.6, где
потенциал имеет одно и тоже предельное значение с обеих сторон, всегда
содержат по крайней мере одно связанное состояние. Рассмотрим случай
потенциальной ямы с одной непроницаемой стенкой Рис. 3.8. Если, вместо
бесконечного барьера, мы просто отразим в области х < 0 барьер, суще-
ствующий при х > 0, то задача сведётся к предыдущему случаю, когда
связанное состояние всегда существует. Тем не менее, бесконечная стенка
требует нулевого значения волновой функции ^(О) = 0 в начале коорди-
нат. С точки зрения удвоенной ямы, это означает, что нужно отобрать
только нечётные волновые функции. Основное связанное состояние в сим-
метричной яме описывается чётной по отношению к середине функцией.
Рис. 3.8. Потенциальная яма рядом с непроницаемой стенкой.
Существует ли в этом случае нечётное связанное состояние, необходимо рас-
смотреть отдельно. Оказывается, что такое связанное состояние существует
только для достаточно глубокой и широкой ямы, Рис. 3.8.
Внутри потенциальной ямы, 0 < х < а, решение является суперпозици-
ей (3.46) егкх и е~гкхгде к — внутренний волновой вектор. Условие в начале
координат позволяет выбрать правильную нечетную комбинацию:
тДж) = Аепф/сж), 0 < х < а.
(3.64)
За пределами потенциальной ямы, х > а, эта функция должна перейти
в убывающую экспоненту Ве~кх, где к зависит от энергии связи (3.45).
При гладкой сшивке логарифмическая производная Л = ф1 /ф также непре-
рывна. Эта величина удобна, так как исключает величины неизвестных
амплитуд. В нашем случае Л < 0 снаружи ямы. Тот же отрицательный
знак требуется для собственной функции (3.64). Если ка < л/2, 8ш(Ь)
по-прежнему растёт при х = а, Л > 0 и для связанного состояния сшивка
невозможна. Увеличивая глубину или расширяя яму, мы увеличиваем ка.
Критическим является случай ка = л/2, когда наклон горизонтален. Как
только будет выполнено условие ка > тг/2, то появится решение с отрица-
тельным наклоном, сначала с очень малым щ энергией связи е близкой к
нулю и длинным хвостом в запрещённой области. Когда яма углубляется,
энергетический уровень тоже идет вниз. Таким образом, первое связанное
состояние появляется при критической глубине'.
тт _ /7 \2 _
сгН “ ~ &ЛЛ
х
Рис. 3.9. Асимметричная потенциальная яма.
С дальнейшим увеличением произведения ?7оа2 появится новый уровень
при горизонтальном наклоне внутренней функции на границе.
Задача 3.6
Рассмотрите асимметричную потенциальную яму Рис. 3.9, где потенциал
с левой и правой стороны имеет пределы СД и СД, соответственно. При каких
условиях в этой яме будет существовать связанное состояние?
Решение
Если СД (Д. то условие существования имеет вид:
1ап 1
2та21/2
(3.66)
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно рассмотреть момент
возникновения решения с Е = СД. Решение всегда существует, если СД = СД.
Если [Д » [Д, то (3.66) совпадает с (3.65).
Задача 3.7
Электрон движется в потенциале, сформированном бесконечно высокой
потенциальной стенкой х = 0. На конечном расстоянии от стенки а нахо-
дится притягивающая потенциальная яма глубиной IV и протяжённостью
от х = а до х = Ь>а Рис. 3.10. Докажите, что в этом потенциале не
всегда есть связанное состояние. Объясните качественно, как изменение
параметров IV, а и с = Ь — а влияет на существование связанного состояния.
Найдите расстояние а, соответствующее первому появлению связанного
состояния в яме, если IV = 0.25 эВ, а ширина ямы с = Ь — а = 1 А.
Рис. 3.10. Иллюстрация к Задаче 3.7.
Решение
Волновая функция связанного состояния с энергией связи е имеет вид:
тДж) =
2тпе
(3.67)
0 < х < а;
^(ж) = В зш[к(ж — а)] + С сое[А:(ж — а)],
/ 2тп(]У — е)
V и2
^(х) = Ве~^х~ъ\ х > Ь.
(3.68)
(3.69)
Выбор определяется условием -0(0) = 0, которое отбирает гиперболический
синус, как правильную суперпозицию падающей и растущей экспонент.
Волновая функция ^(х) должна убывать под барьером справа. Внутри ямы
в качестве решения можно выбрать суперпозицию двух бегущих волн е±гкх
или эквивалентную форму (3.68). Сдвиг фазы в (3.68) и (3.69) упрощает
последующие выражения.
Четыре условия для сшивки приводят к системе четырёх однородных
линейных уравнений для амплитуд А, В, С и В. Эта система может иметь
нетривиальное решение только при выполнении дополнительного условия
(определитель системы равен нулю). В этом случае проще всего исключить
коэффициенты один за другим. Условия записываются как
Л81п11(л:а) = С, кАсо$1а(ка) = кВ;
(3.70)
В 8Н1(А;с) + С со8(/сс) = В, кВ со8(&с) — кС 8т(/сс) = — кВ. (3.71)
Теперь выражаем С и В в терминах А из (3.70) и подставляем в (3.71).
Получаем, что
Л[ксоз11(ка) зпДс) + /гзкЦка) соз(А;с)] = кП,
и
А[юсо811(к;а) сое(А;с) — к 8тЬ(^а) 8ш(/Д] = — кВ.
Отношение двух этих выражение даёт искомое условие
к /с81п11(л:а) 8ш(/сс) — юсо811(к;а) со8(/сс)
/с81п11(л:а) со8(/сс) + юсо811(к;а) 8ш(/сс)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
Нас интересует момент появления связанного состояния в потенциальной
яме. В этом случае энергия связи е и к стремятся к нулю и мы можем
воспользоваться разложениями со811(л:а) ~ 1 и 8шЬ(^а) ~ ка. В этом
пределе к = (2Ш1У/Й2)1/2 и (3.74) даёт:
к каАп(кс) — соъ(кс)
касоъ(кс) + 8ш(&с)
Отсюда понятно, что уровень появляется в момент, когда
1ап(/сс) = -Д.
ка
(3.75)
(3.76)
С увеличением расстояния до стенки а мы идём к пределу симметричной
потенциальной ямы, которая всегда содержит связанное состояние (для
больших а влияние отталкивающего потенциала непроницаемой стенки,
требующей -0(0) = 0, уменьшается). Также шанс возникновения связанного
состояния увеличивается при увеличении глубины (рост к) и ширины (рост
с) ямы. Следовательноб условие на существование связанного состояния
можно представить как
1ап(/сс) > -—.
ка
(3.77)
Отображая на графике обе части как функции к можно получить область
существования. Для мелких или узких ям, кс 1, условие упрощается и
выражение (3.77) можно записать как:
2 2т\У ас
к ас = ——— > 1.
(3.78)
С нашими численными значениями переход от (3.77) к (3.78) вполне обос-
нован, так как кс = 1/16 и чтобы возникло связанное состояние нам нужна
очень широкая яма, а > 16 А.
Рис. 3.11. Прохождение волны над потенциальной ямой.
3.6 Резонансы
Здесь мы обсудим прохождение волн над потенциальными ямами Рис. 3.11.
Существование связанных состояний с отрицательной энергией влияет на
прохождение волн с положительной энергией. Решение аналогично ре-
шению Задачи 2.4. Разница волновых функций в яме по сравнению тем,
что было в (2.50) заключается в том, что волновой вектор здесь является
вещественным, к' = у/2т(Е + ?7о)/^2. Результат для коэффициента про-
хождения может быть получен из (2.55) изменением знака Со и заменой
8тЬ(^а) на 8ш(^а):
Т(Е} = ^Е + Ер)
{ ’ 4Е(Е + Е0) + и^т2(к'а)
(3.79)
В пределе низких энергий, Е —> 0, к' —> ко — у/2тйр/^, коэффициент
прохождения, казалось бы. стремится к нулю пропорционально энергии:
Т(Е)
4Е
Со 8т2(/со^)
(3.80)
Однако, если коа = пл, где п = 1,2,..., 8т(&о&) = 0 и нам необходимо
вернуться к точному выражению (3.79). Можно заметить, что при Е -л- 0
и А?о = пл возникает абсолютное прохождение, Т(Е) 1. Более того
прохождение становится абсолютным всегда, когда выполняется условие
к'а = пл
к2
2тЕ п27г2 2
Уровни энергии, удовлетворяющие условию (3.81) обычно называются
резонансными. С эффективной длинной волны Л' = 2 я/к' резонанс возни-
кает, когда 2а = пХ'. Волна идущая слева, отражаясь от правой границы
ямы, возвращается к левой границе, проходя дополнительный путь 2а,
но при этом имеет ту же фазу, что и падающая волна. Отсутствие де-
структивной интерференции гарантирует абсолютное прохождение. Это
одномерный аналог эффекта Рамзау эра—Таунсенда, аномально слабого
рассеяния (резонансное прохождение) медленных электронов на атомах
газа при определённых энергиях.
3.7 Плотность уровней
Из нашего опыта с потенциальным ящиком в разделе 3.1 можно извлечь
полезную информацию для исследования систем многих тел. Посмотрим
на уровни энергии частицы в трехмерном ящике (3.9). Они определяются
квантованным волновым вектором:
х /12к2 /пт пу пг\ ,
ОД = —. к = 4-^.-^). (3.82)
В пределе больших квантовых чисел щ концы дозволенных векторов к
покрывают положительный октант эллиптической поверхности постоян-
ной энергии {изоэнергетическая поверхность) достаточно плотно. В изо-
тропном случае а = Ь = с эллипсоид переходит в сферу. Когда частицы
занимают множество одночастичных состояний, важно знать как много
этих состояний расположено вблизи конкретной энергии Е. Это будет
существенно влиять на отклик системы при внешнем возмущении.
На этом пути мы приходим к идее плотности уровней. Для любых
квантовых систем со спектром энергий Еа эта плотность формально опре-
деляется как частокол дельта-пиков при каждой разрешённой энергии:
РЦ) = ^(Я-Яа). (3.83)
а
Эта сингулярная функция приобретает ясный смысл при интегрировании
по малому интервалу /ХЕ, который всё ещё содержит множество уровней
при достаточно больших квантовых числах. Интеграл равен числу ДД
дельта-пиков внутри интервала, т. е. количество уровней в /ХЕ равно:
/ХЕ = / дЕр(Е) р(Е) /ХЕ. (3.84)
Это соответствует интуитивной идее плавной плотности уровней р(Е).
Ниже мы работаем только с этой гладкой функцией, поэтому можно убрать
знак усреднения. Таким образом, плавная плотность уровней практически
определяется отношением
/ х ДА
рЕ> ~ ЛЁ'
(3.85)
Интегрируя плотность уровней по всем энергиям от минимально возмож-
ной энергии Ео (основное состояние) до произвольной энергии Е, можно
определить совокупное число уровней Л7(Е) с энергией меньше Е:
ГЕ
Л<(Е) = / ЛЕ' р(Е'). (3.86)
Зе0
Для потенциального ящика с энергетическим спектром (3.82) плотность
уровней легко вычисляется. Выбирая вместо квантовых чисел гц в каче-
стве новых переменных компоненты кг вектора к и заменяя сумму по щ
интегралом / Л3к, что можно делать, если наша энергия Е находится в
области больших квантовых чисел, получаем:
р(Е) = °Е [ Ёк6(Е - Ёк2/2т). (3.87)
Л>о
Пусть объём ящика V = аЬс. Мы можем распространить интегрирование на
всё пространство, так как вклады каждого из октантов одинаковы (энергия
зависит от к2):
р(Е) = У [ 6(Е - Ёк2/2т). (3.88)
У (2л)°
Теперь мы используем Л3к = к2ЛкЛо. Интегрирование по телесному углу
Ло даёт 4л. Так как Лк = (Лк / ЛЕ}ЛЕ, то интеграл по энергии в согласии
с правилом интегрирования дельта-функций, даёт:
, 9 Лк
л
= 2^
Е=К2к2/2т
(3.89)
плотность уровней в ящике растёт ~ у/Ё.
Задача 3.8
Покажите, что в аналогичном подходе для двумерного ящика р(Е) не
зависит от энергии, а в одномерном случае она даже уменьшается ос Т/д/Ь’
с ростом энергии (действительно, в этом случае расстояние между со-
седними уровнями (3.5) увеличивается для больших квантовых чисел).
Результат (3.88) основан только на квантовании импульса р = Нк. Он
может быть переписан в форме применимой для любого закона дисперсии,
т. е. для произвольной зависимости (например, релятивистской) Е(р\.
рХ) = У ] 5(Е ~ Я(Р))’ (3.90)
Этот выражение следует также из принципа квантования Бора (раздел 1.3).
Каждый новый уровень требует Рис. 1.4 дополнительную площадь 2тгН
на фазовой плоскости или дополнительный объём (2тг^)^ в (/-мерном фа-
зовом пространстве. Повторяя вычисления для частиц с произвольным
изотропным законом дисперсии Е(р) и вводя скорость V = дЕ/др, мы
получаем
V ( в? \
₽(Е) = 2Й? 7 • (3-91)
27Г П \ V / Е=Е(р)
Как было показано Генри Вейлем, этот результат не зависит от формы
объёма, если сам объём достаточно большой и мы можем заменить суммы
на интеграл по квантовым числам [4]. Если частицы имеют ненулевой
спин, или другие внутренние квантовые числа, которые не влияют на
энергию, то плотность уровней должна быть умножена на внутренний
фактор вырождения д, равный для спина з числу вырожденных проекций
спина 2з + 1 (статистический вес). Плотность уровней играет одну из
основных ролей в квантовой статистической механике.
Задача 3.9
Найдите плотность уровней для фотонов в полости.
Решение
Используя закон дисперсии Е = ср и д = 2 (для данного волнового вектора
допустимы только поперечные поляризации), получаем:
= ^2^зсз-^ • (3.92)
3.8 Периодические граничные условия
Для получения плотности уровней мы использовали нулевые граничные
условия на стенках ящика. Для больших систем результат не зависит от кон-
кретных граничных условий. Для рассмотрения движения электронов или
других объектов в макроскопическом твёрдом теле, часто бывает удобно ис-
пользовать периодические граничные условия. А именно, мы предполагаем,
что наш образец размерами а, Ъ и с дополняется со всех сторон его точными
копиями. Левый край нашей «клетки» является правым краем соседней
области, который должен повторить правый край оригинальной клетки.
Поэтому волновая функция повторяется с периодами а, Ъ и с. Например,
она не меняется при сдвиге а вдоль оси х: <ф(х + а) = ?Дж). Для плоской
волны, ?Дж) = ехр[(г/К)рхх], это означает, что волна пересекает границу
без изменений:
е(гЛК(х+а) = е(г/К)рхх Рх = п. (3.93)
Кажется, что это квантование даёт в два раза меньшее число уровней, чем
результат (3.4) в случае ящика. Но для экспоненциальной функции поло-
жительные и отрицательные значения п различимы, что и восстанавливает
правильное общее число состояний. Более того, в данном случае число
состояний на самом деле больше на одно, поскольку также допускается
п = 0. Тем не менее, для очень большого общего количества состояний, эта
разница не имеет значения. В общем случае, изменение граничных условий
меняет количество уровней не более, чем на один.
Периодические граничные условия, после перехода к интегрированию
вместо суммы по дискретным компонентам момента,
(зм)
р
приводят к такой же плотности уровней, что и в (3.90). В случае дискретно-
го квантования в ограниченном объёме плоская волна может нормирована
в соответствии с
т/Дг) = 4=е(г/й)(р'г). (3.95)
При этой нормировке плоские волны с различными значениями квантован-
ного импульса ортогональны. Аналогично (3.11),
[ й3г^р'(г)^р(г) = ДР, (3.96)
где векторный символ Кронекера подразумевает равенство всех компонент
двух соответствующих дискретных векторов. Полнота набора плоских волн
в объёме (3.16) даёт
Е<?р(г)»'’;(г') = 1 = Л'(г - г'), (3.97)
р р
где координаты г и Г предполагаются внутри исходной клетки. В пределе
бесконечного объёма рецепт (3.94) даёт
/ДД'/'‘)р'1,'~,'') = '5<г-г')' <3-98’
представление (3.25) для трёхмерной дельта-функции
5(г — г7) = 8{х — х'}8(у — у')8(г — г'). (3.99)
Использование периодических граничных условий годится, даже если мы
рассматриваем задачу в бесконечном пространстве. В этом случае большой
объём V является не физическим объёмом, а удобным математическим
инструментом, позволяющим избежать интегрирования в бесконечных
пределах и правильно сосчитать квантовые уровни. Вычисления можно
проверить на предмет того, что физические результаты не должны зависеть
от искусственно введённого объёма V.
3.9 Считаем уровни в гладком потенциале
Если частица имеет связанные состояния не в свободном пространстве
внутри ящика, а в потенциале ?7(г), то также можно, обобщая наш преды-
дущий подход, оценить плотность уровней. Предположим, что потенциал
достаточно гладкий и слабо меняется на размерах порядка длины волны
частицы Рис. 3.12. Позже мы дадим более количественные оценки приме-
нимости этого подхода. Очевидно, что такой подход лучше работает для
больших квантовых чисел, когда энергия частицы растёт, а её длина волны
становится короче. Это, как мы уже отмечали, область квазиклассического
движения или аналог геометрической оптики.
В этой ситуации мы можем предположить, что элемент фазового объёма
д3г д3р достаточно мал для того, чтобы классическая энергия частицы
р2
е(р,г) = ---НГ(г), (3.100)
Рис. 3.12. Квазиклассическая волновая функция в связанном состоянии
между точками поворота.
была практически константой в пределах этого элемента. В тоже время
рассматриваемый объём должен содержать несколько длин волн, опреде-
ляемых локальными значениями импульса. Тогда по аналогии с (3.94) этот
элемент соответствует числу с13г с13р/(2тгЕ)3 квантовых состояний, а полная
плотность уровней определяется обобщением выражения (3.90):
(13Г (13р
(2лК)3
(3.101)
При отсутствии потенциала в области интегрирования, энергия (3.100) не
зависит от координаты, поэтому интеграл / с13г сводится к объёму V и мы
возвращаемся к выражению (3.88).
Откладывая интегрирование по координатам, мы может сначала вычис-
лить локальную плотность уровней, соответствующую данной координате:
(3.102)
Эта величина может быть вычислена так же, как было сделано ранее (3.91),
с помощью замены полной энергии на локальную кинетическую:
Р(Г’Е) 2тг2/г3
'рЗ \ 1 у-------------------
| (з.юз)
У /еМп(В,г)=К-а(г) /7Г П
Это квазиклассическое выражение обращается в нуль в классической точке
поворота, где Е = С/(г). Мы не можем продолжить эту плотность уровней
далее в классически запрещённую область, где 17(г) > е. Однако, если
частью плотности снаружи ямы можно пренебречь (это можно сделать не
всегда), то полная плотность уровней может быть найдена интегрировани-
ем (3.103) по области классического движения:
Г т3/2 Г _______
р(Е) = / <13г р(г, Е) = —=-— / Тг у/Е-Щг). (3.104)
У у/ЪтСпР Ув>Е/(г)
Задача 3.10
Найти квазиклассическую плотность уровней для частицы в поле изо-
тропного трёхмерного гармонического осциллятора
Е7(г) = ^тсо2г2. (3.105)
Решение Плотность уровней растет ~ Е2, как в случае фотонов (3.92):
7^2 (3.106)
Задача 3.11
Обобщите результат (3.106) на случай анизотропного трёхмерного ос-
циллятора,
Дг) = (Дх2 + Ду2 + Дг2). (3.107)
Решение
Воспользуемся растянутой системой координат и
найдём
Е2
р(Е) = —--------. (3.108)
Дальнейшее интегрирование плотности уровней по энергии даст полное
число связанных состояний (3.86). Например, предполагая, что притягива-
ющий потенциал является отрицательным везде и на больших расстояниях
асимптотически стремится к нулю, мы можем оценить полное число свя-
занных состояний интегрируя р(Е) по всем дозволенным отрицательным
энергиям:
М = 2Й3 / ~ = ^3 / [-^(Г)]3/2-
У 7е/(г) ЗтСК6 у
(3.109)
Задача 3.12
Предполагая, что потенциал V(г) имеет центральную симметрию (нет
зависимости от углов) и асимптотическое поведение ~ 1/г5, <8 > 0 при
г -Д оо, найдите, является ли полное число связанных состояний конечным.
Решение
Ответ зависит от поведения интеграла / У3г г-(3/2)5 на больших г. Интеграл
расходится для в < 2. Тогда число уровней бесконечно (потенциал спадает
слишком медленно, как, например, в случае кулоновского потенциала,
<§ = 1, спектр становится бесконечно плотным вблизи порога нулевой
энергии Е = 0, а соответствующие волновые функции имеют очень большой
размер). Однако это не квантовое гало, так как волновая функция спадает
быстрее, чем потенциал и движение происходит в классически разрешённой
области. Для <8 > 2 полное число связанных состояний конечно.
Мир — изменение...
Маркус Аврелий Антонин,
Размышления IV.3.
Глава 4
Динамические переменные
4.1 Импульсное представление
Реальный физический источник не в состоянии создать чистый моно-
хроматический поток частиц. Реальные квантовые волны всегда имеют
некоторый разброс импульса Др и соответствующий ему разброс по энер-
гии.
Необходимо обратить внимание, что мы обсуждаем волновую функ-
цию одной частицы, а не энергетический разброс среди частиц в пучке;
«пучок» используется здесь только для того, чтобы была возможность
повторять эксперимент при тех же условиях. Серия таких измерений выяв-
ляет вероятность — частоту появления конкретного результата измерения,
характеризующего состояние отдельной частицы.
Начальную волновую функцию свободного и для простоты одномерно-
го движения с некоторой неопределённостью импульса и энергии можно
представить, например, в момент времени I = 0 в виде волнового пакета:
Ф(ж, г = о) = / (4.1)
у 2кп
где Ф(р) — амплитуды плоских волн, собранных в пакет. Множитель (2тг/1)_1
добавлен, чтобы сделать будущую нормировку более удобной. Во время по-
следующей эволюции системы, каждая составная часть пакета распростра-
няется с его собственной частотой Е(р)/К, определяемой законом дисперсии
Е(р). В момент времени волновой пакет представляет собой суперпо-
зицию исходных компонентов с той же амплитудой Ф(р), но с другими,
зависящими от времени, фазами:
Ф(ж, Р) =
Ж/ А
(г/К)\рх-Е(р)1]
(4-2)
Многообразие накопленных компонентами волнового пакета фаз приводит
к интерференционной картине, которая развивается во времени.
Утверждение, что амплитуды Ф(р) не меняются со временем, означа-
ет, что при свободном движении импульс сохраняется, даже если он не
имеет определённого значения в приготовленном квантовом состоянии ти-
па пакета. Импульс частицы может быть измерен, например, с помощью
эффекта Комптона или каким-либо другим способом. При любом акте
регистрации определяется только одно из значений, которые представлены
в исходной суперпозиции (4.1) и сохраняются без изменений в процессе
невозмущённой эволюции. Измерение импульса выполняет разложение
распространяющегося волнового пакета на составляющие. Амплитуды Ф(р)
интерпретируются как амплитуды вероятности нахождения импульса в
небольшом интервале др около значений импульса р. Чем больше вероят-
ность
гс(р) др ос |Ф(р)|2сф, (4.3)
тем чаще значение р будет регистрироваться при измерении.
Набор амплитуд Ф(р) несёт ту же информацию, что и начальная коорди-
натная волновая функция Ф(ж). Действительно, выражение (4.1) просто
означает, что мы выполняем Фурье-анализ волнового пакета. Как известно
из теории интегралов Фурье: для «хорошей» (не очень сингулярной) функ-
ции Ф(ж) обратное преобразование определяет Фурье-образ изначальной
функции волнового пакета
Ф(р) = У^аде“(гЛ)р« (4.4)
Часто преобразования (4.1) и (4.4) записываются в симметричной фор-
ме, с коэффициентом (2тг^)-1/2 (или ДтгНД3^2 для трёхмерного движения
с интегрированием по д3р в выражениях (4.1) и (4.2)) в обоих выражениях
и для импульса, и для координаты. Мы предпочитаем, чтобы эти коэффи-
циенты собирались в определении координатного волнового пакета (4.1)
по аналогии с принятыми ранее в разделе 3.7 соглашениями. Для дока-
зательства справедливости выражения (4.4) достаточно подставить его
в выражение (4.1) и использовать представление дельта-функции через
интеграл (3.25), которое формулирует условие полноты (3.16) для набора
плоских волн.
Задача 4.1
Пучок частиц с законом дисперсии Е(р) разбивается при 1 = 0 на два
волновых пакета
ф(ж,г = о) = Щя)+ <(ж). (4.5)
Начальное перекрытие пакетов определяется как
гос
&<&(&) = д,х^*а(х)^ь(х). (4.6)
4 —оо
Волновые пакеты движутся в бесконечном пространстве вдоль оси х. Най-
дите как зависит от времени перекрытие
Решение Эволюция во времени перекрытия определяется через импульс-
ные волновые функции с/?ад(р) (4.2):
х
(4-7)
Интеграл по координате ж, равный 2тгб5(ра — ръ), аннулирует все интер-
ференционные вклады, включая временную зависимость, за исключением
когерентных по пространственной фазе. Используя дельта-функцию и
интегрируя по одному из волновых векторов, получаем:
9,.ь(Ч = / Д = 9.40)- (4-8)
Перекрытие остаётся неизменным, потому что при свободном движении
каждая из импульсных компонент движется независимо, в соответствии с её
импульсом и энергией. Только взаимно когерентные волны интерферируют
в бесконечном пространстве, а они имеют одинаковые зависящие от энер-
гии фазы. В любое время перекрытие точно так же выражается через
координатную волновую функцию ^«д(ж) (4-6) или через её импульсный
аналог </?ад(р) (4.8).
Вся эта процедура аналогична той, что мы обсуждали в ситуации части-
цы в потенциальной ящике в разделе 3.2. В обоих случаях мы используем
набор стационарных состояний (состояний с определённой энергией, кото-
рые эволюционируют во времени чисто гармонически), как полный набор
базисных функций. Всевозможные волновые функции в данной системе
могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных функций.
Комбинация может быть дискретной (ряд Фурье) для связанных состояний
в потенциальном ящике или непрерывной (интеграл Фурье) для волновых
пакетов. Это различие не является существенным, так как свободное дви-
жение можно также рассматривать по примеру раздела 3.8, как движение
в большом нормированном объёме, когда квантование спектра импульса и
энергии делает его дискретным, хотя и очень плотным. Набор базисных
функций полон в обоих случаях. Для волновых пакетов, условие полноты,
аналог выражения (3.16) выглядит как в (3.25):
/* ^КеШрх^г/1г)рх'у = Г Л_е(г/П)р(х-х') = §(х _ х'у (4,9)
2тг/1 2тг
Как и в случае дискретного набора коэффициентов /п из выражения (3.32),
где выписана волновая функция в энергетическом представлении, мы мо-
жем назвать амплитудную функцию Ф(р) волновой функцией в импульсном
представлении. Опять, следует подчеркнуть, что обе, и координатная, и
импульсная волновые функции содержат одну и ту же физическую инфор-
мацию и могут быть использованы для описания системы как альтернативы.
Так как при свободном движении сохраняется импульс, и его величина опре-
деляет энергию, то импульсное представление совпадает с энергетическим
представлением и зависит от времени как
Ф(р, I) = Ф(р, (4.10)
Как следует из (4.6) и (4.8), если координатная функция нормирована
в соответствии с (2.6), то соответствующая импульсная волновая функция
также нормирована:
/ = (4.11)
у 27Г/7
Аналогично ортогональность (2.11) функций Ф(ж) и Фх(ж) означает ортого-
нальность их импульсных представлений Ф(р) и Фх(р).
4.2 Знакомство с операторами
Если мы интерпретируем |Ф(ж)|2, как плотность вероятности обнаруже-
ния частицы около точки х (здесь мы фиксируем время и не отмечаем
явно этот факт, хотя измерение в другой момент времени I в общем случае
даёт другой результат), то результат многих идентичных измерений будет
давать среднее значение координаты в заданных условиях (сравните с
распределением Гаусса (3.22)):
дх ж|Ф(ж)|2.
(4.12)
Аналогично, среднее значение импульса определяется как
(р) = / ^рМр^-
(4-13)
Мы называем такие средние величины математическими ожиданиями.
В силу утверждения, что оба: и координатное, и импульсное представ-
ления несут одну и ту же информацию, должна быть возможность найти
среднее значение координаты непосредственно из импульсной волновой
функции, а математическое ожидание импульса непосредственно из коор-
динатной волновой функции. Можно получить такой алгоритм с помощью
выражения (4.4), которое при подстановке в (4.13) приводит к
<Р) =
<1х(1х' ^-е^^рхре-^к^х'ч>Зх)Ч>(х'). (4.14)
2тш
Интеграл по р может быть представлен как
дх )
(4-15)
а затем интегрирование по х' даёт итоговый ответ:
(4.16)
Таким образом координатное представление Ф(ж) позволяет предсказать
математическое ожидание и для координаты, и для импульса.
Результат (4.12) может быть переписан аналогично выражению (4.16):
(4.17)
Аналогично мы можем выразить оба срдних значения и в терминах им-
пульсной волновой функции:
(р) = / гФ*(р)РФ(Д
(4-18)
№ = [^ф*(р) (^4~}ф(рУ (4-19)
У 2тт \ ар)
Видно, что в координатном (импульсном) представлении координата (им-
пульс) появляется в виде множителя, тогда как в сопряжённом импульсном
(координатном) представлении они становятся дифференциальными опера-
торами.
Задача 4.2
Чему равно отношение средних значений импульса (рх}1/ (рх}ъ Для двух
возможных состояний одной частицы -01 (ж) = ехр(г/сж — ах2) и -02 (#) =
= ехр(г/сж — 2аж2), где к и а— вещественные константы.
Решение С помощью прямых вычислений мы получаем, что средние
значения импульсов одинаковы и равны (р) = Нк. Это частный случай
более общего утверждения из главы 7, которое связывает поток вероятности
тока с градиентом фазы волновой функции.
Легко повторить наши выводы для динамической переменной, кото-
рая является функцией координаты или функцией импульса. Например,
для среднего значения (К) кинетической энергии К(р) = р2/2т, мы пойдём
по пути уравнений (4.13)—(4.16), начиная с выражения:
(4.20)
и заканчивая выражением:
(4.21)
Мы приходим к выводу, что любое среднее значение может быть выраже-
но с помощью оператора определённого по-разному для любого конкретного
(координатного или импульсного) представления, но с результатом незави-
симым от представления. В общем случае, для динамической переменной
О введём оператор О (помеченный шляпкой) таким образом, что сред-
нее значение этой величины в любом представлении волновой функции Ф
может быть записано как:
У (/тФ*ОФ
У с/тФ*Ф
(4.22)
где / (1т означает интегрирование по всем переменным представления, вы-
бранного для волновой функции. Первое выражение (4.22) не предполагает
какой-либо нормировки волновых функций, в то время, как второе приме-
нимо только к нормированному случаю, как это было принято в (4.12) и
далее. В будущем, как правило, мы будем предполагать, что наши волновые
функции должны быть нормированы.
Позже мы будем иметь дело с более общими величинами, а именно
с матричными элементами, которые похожи на средние значения, но их
левое и правое состояние «бутербродоподобного» выражения могут быть
разными, по примеру перекрытия в Задаче 4.1. Мы будем использовать
удобные «бра-кет» обозначения Дирака (Ф |О|Ф7), которые состоят из бра-
вектора (комплексно сопряжённая функция Ф*), оператора и кет-вектора
(функция Ф7):
= у4тФ*(?Ф'. (4.23)
Такие величины формируют матрицу в общем случае бесконечномерную,
где строки и столбцы соответствуют всевозможным линейно независимым
состояниям Ф и Ф7. Для средних значений Ф7 = Ф мы иногда будем исполь-
зовать термин диагональный матричный элемент, в то время как в случае
разных функций матричный элемент будет называться недиагональным.
Позже мы обсудим более общие алгебраические и физические значения
матричных элементов — они определяют амплитуды перехода между состо-
яниями Ф7 и Ф. В следующей таблице мы подводим итоги наших изысканий
для операторов координаты и импульса:
Представление Оператор координаты Оператор импульса
Координата х —гКД/дх)
Импульс гНД/др) р
4.3 Коммутаторы
Аналогично кинетической энергии (4.20), для любой функции коорди-
нат /(ж) или импульса д(р) можно получить оператор умножения в его
собственном и в сопряжённом представлениях:
/(ж) => / = д(р) д = д(-гПа/<Лх).
(4.24)
Однако такое соответствие между классическими динамическими пере-
менными и квантовыми операторами не всегда является однозначным.
Например, в качестве оператора произведения координаты и импульса
можно взять или хр, или рж, но это даёт разные результаты:
трФ = — гКх ртФ = — гК—-—. (4.25)
ах ах
В таких случаях следует следить за порядком следования соответствующих
операторов. Операторы А и В являются некоммутирующими, если резуль-
тат их действия зависит от их порядка, иначе же операторы коммутируют.
Оператор, соответствующий такой разнице, называется коммутатором'.
[А, В] = АВ - В А = - [В, А]. (4.26)
В частности:
г_, т Г с/Ф б/ДФ) 1 /л _
\х,р Ф = — гК < х —-------> = гЙФ, (4.27)
( ах ах )
т. е. коммутатор координатного и импульсного оператора — это мнимая
константа (естественно, не зависящая от представления):
[х,р\=гН. (4.28)
Обобщение на многомерный случай с множеством координат х^ и соот-
ветствующих им сопряжённых импульсов р1 делается непосредственно: в
координатном представлении оператор импульса — это многомерный гра-
диент:
р = (4.29)
и
[Хг,Р^\ = (4.30)
Координатные (или импульсные) операторы, соответствующие разным
степеням свободы всегда коммутируют.
Задача 4.3
Докажите следующие тождества
[А, ВС] = [А, В]С + В[А, С], (4.31)
и
[А, [В, С]] + [В, [С, А]] + [С, [А, В]] = 0
(4.32)
(Тождество Якоби). Важно следить за циклической перестановкой опера-
торов.
Задача 4.4
Доказать
(4.33)
Задача 4.5
а) Введите безразмерный оператор орбитального момента или момента
импульса (в единицах К) для случая трёх-мерного движения как
1[г х р] = —г[г х V], (4.34)
и докажите, что коммутаторы его декартовых координат С с — ко-
ординатами радиус-вектора г, ср? — координатами вектора импульса и
друг с другом равны:
[^Хд] = К^кХк, (4.35)
[^г,Р?] = Кгдкрк, (4.36)
=^-Л. (4.37)
Здесь и далее в схожих случаях по умолчанию предполагается суммиро-
вание по повторяющимся индексам. е^к — абсолютно антисимметричный
тензор третьего ранга. Он меняет знак при перестановке любых двух
индексов. Свойства
^хуг — ^угх — ^гху ~ ~^ухг ~ ~^хгу ~ ~^гух ~ 1- (4.38)
Также докажите следующие свойства свёрток этого тензора:
&гукТ1тк ~ &гдк&1дк ~ ^гдк&гдк ~ 6. (4.39)
Схожий характер коммутаторов (4.35-4.37) имеет глубокий геометриче-
ский смысл (II том глава 1). Результат будет тем же и для коммутатора
[СД7-] = ге^к (4.40)
с любым пространственным вектором V и фактически может использо-
ваться для определения векторного оператора.
б) Покажите, что для любых двух векторов V и й, оператор орбитального
момента коммутирует со скалярным произведением (V • й) = ххйх +
+вуйу+вгйг. Позже мы увидим, что этот факт отражает инвариантность
скалярного произведения относительно вращения, так как орбитальный
момент в классической механике связан со вращением (раздел 4.7).
4. 4 Собственные функции и собственные значения
Для любого оператора физической величины мы можем найти специаль-
ные состояния, где эти величины имеют определённые значения. Волновая
функция состояния с фиксированным значением ж о координаты х (локали-
зованное состояние) в координатном представлении равна:
ФЖо(ж) = Щ - ж0). (4.41)
Любые другие состояния Ф(ж) описываются размытым распределением
координат с вероятностью |Ф(ж)|2. Аналогично волновая функция с опре-
делённым значением импульса ро в импульсном представлении имеет вид:
ФрДр) = 2тгЫ(р-р0), (4.42)
где дополнительный множитель взят для правильной нормировки, хотя
в данном случае это особого значения не имеет. Индексы в хо и ро здесь
означают квантовое число состояния, в то время как х и р — это пере-
менные. Мы можем охарактеризовать те же состояния в сопряжённых
представлениях:
фжо (р) = ул е~^рх Чх - ж0) = е~^^рх°, (4.43)
Ф„0(ж) = [ Д еШрх 2тгН8(р -р0) = е(г/^рох. (4.44)
У 2тгп
Очевидно, что в последнем случае координатная волновая функция — это
плоская волна с импульсом ро.
Необходимо привлечь внимание к двум обстоятельствам. Во первых,
состояние (4.41) с фиксированной координатой частицы имеет импульсную
функцию вероятности |ФЖо (р) |2 = 1, распределённую однородно по всему
импульсному пространству. Значение импульса абсолютно не определе-
но, соответственно, при измерении импульса можно получить любое его
значение с одинаковой вероятностью. Аналогично состояние (4.42) с фик-
сированным импульсом, или плоская волна, распределённая по всему ко-
ординатному пространству имеет абсолютно неопределённую координату,
так как |Фро(ж)|2 = 1. Это яркий пример соотношения неопределённостей,
которое будет в подробностях обсуждаться в главе 5. Конечно, эти состо-
яния являются предельными случаями не существующими в реальных
физических ситуациях.
Во вторых, мы можем заметить, что все эти состояния имеют специ-
альные математические свойства, то есть они не меняются при действии
соответствующих операторов. Для координатно локализованного состоя-
ния (4.35):
х5(х — то) = х5(х — то) = хп5(х — то), (4.45)
где второе равенство следует из определения дельта-функции как инте-
грального оператора, который вырезает только конкретную точку в области
интегрирования. Аналогичное свойство верно и для импульсного представ-
ления (4.42):
жФДр) = гП-^ФДр) = х0ФХо(р). (4.46)
ар
Независимо от представления, действие оператора на волновую функцию
состояния, где эта величина имеет конкретное значение, сводится к умно-
жению волновой функции на значение этой величины. Такие состояния
называются собственными состояниями данного оператора. Их волно-
вые функции соответственно называются собственными функциями, а
соответствующие значения переменной — собственными значениями. По-
этому локализованные состояния — это собственные состояния оператора
координаты, в то время как плоская волна —это собственное состояние опе-
ратора импульса. В этих случаях средние значения величин — это просто
их собственные значения:
^Ф*0(х)хФЖ0(х) = [ ^ФДр)хФХо(р) = х0. (4.47)
д /7Г Г1
4.5 Импульс как генератор сдвига
Существует большая свобода в выборе системы координат. Мы можем
перенести начало координат, повернуть оси, изменить масштаб и так далее.
Несмотря на то, что такие преобразования могут выглядеть формальными,
х+а
Рис. 4.1. Смещение волновой функции.
они важны по двум причинам. Во-первых, в новых координатах описание
физической системы может оказаться более простым и более прозрачным.
Второй, и очень важный аспект состоит в том, что преобразования могут
выявить симметрии системы. Идея симметрии является одной из самых
важных в области теоретической физики и особенно в квантовой механике,
где мы постоянно сталкиваемся с понятиями симметрии. Начнём с введения
простейших преобразований, а именно со сдвига.
Возьмём состояние, описываемое волновой функцией ^(ж), и сдвинем
этот квантовый объект на расстояние а вдоль оси х. Обозначим оператор,
выполняющий это смещение, как Р(а). Можно легко определить явный
вид этого оператора и найти его связь с операторами, введёнными ранее.
Этот вывод будет прототипом для более сложных случаев.
Геометрическая картинка смещения на Рис. 4.1 означает, что волновой
пакет просто сдвинулся без каких-либо искажений. Например, объект
локализованный ранее в точке х = жо, сейчас будет локализован в точке
х = хо + а:
тДж) = 5(х — хо)
-д Д(х) = 5(х — хо — а).
(4.48)
т. е. новая функция — это просто старая, взятая с аргументом (х — а). Легко
видеть, что это верно и для любой волновой функции: в точке х после
сдвига видно то же значение функции, которое было до сдвига в точке
(ж — а). Поэтому оператор сдвига работает следующим образом:
Р(а)'0(ж) = Д(х) = Дх — а).
(4.49)
Здесь мы можем использовать тот факт, что сдвиг зависит от непрерывного
параметра а, который может быть выбран бесконечно малым а -л- 5а.
Для любых непрерывных функций:
Р(5а)'0(ж) = Дх — 5а) Дх) — 5а
ах
(4.50)
где производная взята в точке начального положения. Это означает, что:
Т)(5а) = 1 — 5а — ,
ах
и это может быть выражено с помощью оператора импульса:
Т>(6а) = 1 - ^бар, (4.52)
А
Оператор производящий бесконечно малое преобразование называется ге-
нератором этого преобразования. Отсюда следует, что импульс — это гене-
ратор сдвига и этот факт может использоваться как основное определение
импульса.
Для того, чтобы перейти к конечному сдвигу, мы делим полное рас-
стояние а на маленьких фрагментов длиной 5 а = а/И и делаем И
последовательных малых сдвигов, умножая раз генератор (4.52). В пре-
деле -Д оо:
/ • \
Тд(а) = Пт (1 —• (4.53)
Этот предел даёт экспоненту от оператора импульса:
Да) = Л'/К)ар. (4.54)
Другой способ получения этого результата — это использование рядов Тэй-
лора вместо функции (4.49):
Дх - а) = У НД Дж) = е-“№)^(ж) = е-(’Л)«Р ^(ж). (4.55)
п\ ахп
п=0
Важным элементом этих рассуждений является тот факт, что разные сдви-
ги содержат один и тот же оператор р и потому коммутируют. Обобщение
для трёхмерного случая имеет вид:
Т)(эд) = е-^/П)ахрх е-(г/К)ауру е-(г/П)аДД = е-(гД)(а-р), (4.56)
где мы можем объединить сдвиги вдоль ж, у и г, потому что сдвиги вдоль
разных осей, генерируются разными компонентами импульса и, соответ-
ственно, коммутируют:
[&,&]= 0. (4.57)
Среднее значение координаты для сдвинутого состояния, в соответствии
с понятием сдвига, равно:
(х)<д = / с/ж'0/*(ж)ж'0/(ж) = / — а)х^(х — а)
7 7 (4.58)
= / дх ^{х'){х' + а)'0(ж/) = (х)р + а,
где предполагается, что исходные функции Дх) нормированы на 1. Мож-
но также переопределить координатный оператор таким образом, чтобы
результат измерения координаты остался бы после сдвига таким же, как
и до сдвига. Ясно, что для этого достаточно создать новый оператор в
соответствии с преобразованием волновой функции:
х х' = х — а, (4.59)
(х'Д = с1хД(х — фх’Дх — о) = (хД (4.60)
Стоит также отметить, что плоская волна после сдвига приобретает только
фазу, в соответствии с её координатным представлением:
Да)тДД) = тДД - а) = = е-Шро^ро^у (4.61)
Это важно для квантовой теории кристаллов, где есть симметрия относи-
тельно сдвига на целое число периодов решётки (глава 8).
4.6 Введение в теорию групп
С математической точки зрения сдвиги Р(а) образуют непрерывную
группу. В общем случае группа —это набор элементов {д}, имеющих стан-
дартные свойства: бинарная операция умножения определена таким об-
разом, что для каждой упорядоченной пары элементов существует
элемент дз, называемый произведением, который может быть записан как
<71*72 = 9з\ эта операция ассоциативная дДдъдз) — (^1 ^2)^3 5 существует
единичный элемент или 1, такой что д1 = 1д = д', для каждого элемента д
существует обратный элемент д~\ такой что дд[ = 1. Легко видеть, что
О/)-1 = /“ V1-
Задача 4.6
Построить возможные таблицы умножения для групп, которые содержат
два и три элемента.
Решение В обоих случаях результат будет уникальным, все группы из п = 2
элементов изоморфны и все группы из п = 3 элементов также изоморфны.
При п = 2 группа содержит элементы 1 и д, причём д2=1. Этот пример
соответствует группе инверсии, когда д = V — оператор инверсии.
Для п = 3 у нас есть элементы д, д[ и 1 со следующими нетривиальными
правилами умножения:
99 = 9~\ 9~Х9~Г^9- (4.62)
Этот пример соответствует плоскому вращению равностороннего треуголь-
ника на 120°, 240° и 360°. В обоих случаях п = 2 и п = 3 соответствуют
циклическим группам, которые состоят из элементов д,д2, ....дп~[. Для всех
групп с конечным числом элементов п, дп=1 для любого элемента д.
Очевидно, все сдвиги в евклидовом пространстве любой размерности
образуют группу. Умножение двух сдвигов 7? (ах) и Р(ад) — это их последо-
вательное действие, которое эквивалентно сдвигу на вектор а = ах + ад и
соответствует их сумме в обычном смысле векторной алгебры. Единичный
элемент — это «сдвиг» на а = 0, а обратный сдвиг:
(т>(а)) 1 = (4.63)
Эта группа является непрерывной, так как его элементы определяются
непрерывным изменением параметров а. Это позволяет ввести генерато-
ры р. Группа называется абелевой или коммутативной если, как в данном
случае, генераторы коммутируют друг с другом, или в общем случае,
#1^2 = .72.71- то есть таблица умножения является симметричной.
В квантовой механике мы часто имеем дело с группами, элементами
которых являются преобразования физических систем. Под действием груп-
пы преобразования, каждое состояние переходит в другое состояние той
же системы, а операция умножения определяется как результат двух по-
следовательных преобразований. Множество объектов, то есть волновых
функций, которые преобразуются только между собой под действием всей
группы преобразования образуют представление группы. Если нет мень-
шего подмножества внутри этого множества, которое может сформировать
представление, то представление называется неприводимым. Любая хоро-
шая функция может быть разложена в интеграл Фурье так, что достаточно
рассмотреть преобразование плоской волны (4.61). Плоские волны явля-
ются собственными функциями для всех сдвигов — каждая плоская волна
формирует неприводимое одномерное представление группы сдвигов. Это
общее свойство абелевых групп — их неприводимые представления, явля-
ющиеся одномерными, определяются общими собственными функциями
всех коммутирующих генераторов.
Нужно также отметить, что здесь и далее мы используем активное
описание преобразования, то есть преобразуем систему. Другой подход
использует пассивное описание преобразования, то есть когда преобразуется
система координат используемая для описания системы. В случае сдвига,
мы можем сдвинуть начало координат вдоль оси х на —а, что даст новое
Рис. 4.2. Вращение волновой функции.
описание объекта на расстоянии ж + а, как будто после активного сдвига
на а. В этом описании роли операторов Т> и Р-1 поменялись местами.
4.7 Момент импульса, как генератор вращения
Аналогично сдвигу, мы можем рассмотреть вращения системы вокруг
заданной оси. Если выбрать ось г в качестве оси вращения, то в плоскости
ху удобно использовать полярные координаты (р, р):
х = р сое р, у = р 81п р. (4.64)
Давайте выполним в этой плоскости вращение системы на угол а (поло-
жительное вращение против часовой стрелки), Рис. 4.2. Повторяя те же
рассуждения, что и для сдвига, преобразуем волновую функцию как
Щр,Л) = - «)• (4-65)
Соответствующий оператор будет обозначен как 7?Да), где индекс г указы-
вает на ось вращения. Из выражения (4.65) по аналогии с (4.48) находим,
что
Тг2(а)Д</?) = - а), (4.66)
где мы опустили переменные незатронутые вращением.
Ещё раз: у нас есть непрерывный параметр — угол поворота а, и с ним
мы проделываем те же действия, что были проделаны со сдвигом. Введём
бесконечно малый поворот на угол 5а и найдём соответствующий оператор:
- д
Т1Д5а) = 1-5а—. (4.67)
др
Отсюда соответствующий генератор пропорционален производной по углу
д/др или г компоненты момента импульса (4.34). Переходя к полярным
координатам (4.64), легко получить:
1 а
С = ул>у - УРх) = -г = 1 - 1да • С- (4.68)
Для вращения на конечный угол а мы восстанавливаем полный оператор
в его экспоненциальной форме:
тг2(а) = Ла-. (4.69)
Здесь аналогия между вращением и сдвигом заканчивается. В трёхмерном
пространстве у нас есть три независимых плоскости вращения, и соот-
ветствующие генераторы являются компонентами момента импульса,
направленными вдоль осей вращения перпендикулярно этим плоскостям. В
отличие от компонент р, генераторы вращения вокруг различных осей не
коммутируют (4.37). Операторы вращения образуют группу вращений К(3)
в трёхмерном пространстве, но эта группа неабелева. Последствия этого
факта будут обсуждаться в первой главе второго тома. Разница существует
и для двумерного случая. Группа К(2) является абелевой и имеет только
один генератор (вращение самой плоскости). Принимая ось г в качестве
оси вращения, находим собственные функции ^т(^) этого оператора 1г,
с собственными значениями обозначенными числом т\
ЬФтФЛ = -г2~ ФтЛ) = тф)т(<р) Фт(<р) ос егтЛ (4.70)
ар
аналогично плоской волне в евклидовой геометрии, в процессе вращения у
этой функции изменяется только фаза, см. (4.61):
Тг2(а)е^ = = е*т^~Л (4.71)
Но в компактной геометрии однозначная функция от координат должна
принять то же самое значение после полного поворота на угол а = 2л.
Это приводит к условию ехр(2лгт) = 1. Поэтому собственные значения
являются целыми числами, т = 0, ±1, ±2 .... Это не что иное, как простран-
ственное квантование из уравнения (1.49). Мы опять подтвердили, что
так называемые квантовые постулаты вытекают из требований симметрии,
а если точнее, то для данного случая — топологии. Отметим также, что,
как и в случае полного набора плоских волн, угловые функции ехр(гт^) с
целыми значениями т образуют полный набор в пространстве однозначных
угловых функций; соответствующее разложение — это просто ряд Фурье.
Для того, чтобы получить ортонормированный набор, нужно умножить
экспоненту на нормировочный множитель 1 / д/2тг-
= Д=ег”Л (4.72)
V 27Г
/*2тг -| /*2тг
/ = тг / = 6т>т. (4.73)
7о 27Г Уо
Будучи собственной функцией всех операторов поворота в плоскости, каж-
дая функция реализует одномерное представление этой абелевой
группы.
4.8 Преобразование операторов
Преобразование координатного оператора (4.59) является частным слу-
чаем более общего правила. Если мы хотим преобразовать и волновую
функцию -0, и оператор А, то мы применяем преобразование Т к результа-
ту действия Аф. Предполагая существование обратного преобразования,
получаем:
т(Аф = ТАТ~1Т'ф = А'^. (4.74)
Это означает, что преобразование самого оператора определяется как:
А^ А' — ТАТ-1. (4.75)
В случае сдвига мы получаем:
А => А(а) = Т>(а)АТ>(-а) = е^^Ае^^. (4.76)
Для получения результатов подобных преобразований можно использо-
вать наличие непрерывного параметра. Взяв производную от А (а) по пара-
метру а, и сохраняя порядок операторов, получаем:
= е-(г/К)ар гд е(г/К)ар^ (4.77)
ба б
Результат преобразования определяется коммутатором исследуемого опе-
ратора с генератором преобразования, в данном случае импульса. Для
простых операторов координаты и импульса выражения (4.24) и (4.77)
дают:
^(а) = </р(а) = 0 ,4
4а ’ 4а
Это дифференциальные уравнения решаются с начальными условиями:
х(а = 0) = т, р(а = 0) = р. (4.79)
Решение представляет из себя естественный результат преобразования
в результате сдвига:
ж(а) = х — а, р(а) = р, (4.80)
координатный оператор сдвигается как в (4.59), импульсный оператор
остаётся неизменным.
Задача 4.7
Найдите преобразование произвольной функции Р(х) при сдвиге Р(а).
Решение Оператор преобразования (4.76):
Р(х; а) = е-(*/п)аРГ(ж)е(^)“Р. (4.81)
Используя результат (4.33), из (4.77) получаем:
<ЭДж;а) дР(х;а)
= —(4-82)
Общее решение этого дифференциального уравнения в частных производ-
ных даётся произвольной функцией / со смещённым аргументом:
Р(ж; а) = /(ж — а). (4.83)
Из начальных условий Р(ж; 0) = Р(ж) получаем, что преобразованный
оператор есть смещённый начальный оператор:
Р(ж; а) = Р(х — а), (4.84)
в согласии с преобразованиями (4.49) и (4.59). Смещённый оператор играет
ту же самую роль по отношению к смещённой функции, что и начальный
оператор по отношению к прежней функции.
| Задача 4.8
Вычислите
Х(о) = У (о) = е~га^уеЩ
(4.85)
и найдите геометрический смысл преобразования.
Решение С коммутатором (4.35), разобранный выше к следующей системе уравнений: метод приводит
^ = У, У = -х, да да (4.86)
с начальными условиями
Х(0) = ж, У(0) = у. (4.87)
Решение представляет из себя преобразование вращения:
X = X СО8 а + у 8Ш СЕ, У = у СО8 а — X 8Ш СЕ, (4.88)
и координатное представление (4.64) находится в согласии с правилом (4.66):
X = рсо8((/? — а), У = рыпДр — а). (4.89)
Задача 4.9
Вычислите
2(0) = (4.90)
и объясните геометрический смысл результата.
Решение Если дважды использовать коммутатор (4.37), процедуру изло-
женную в Задаче 4-8 и решить простое дифференциальное уравнение, то
можно получить
Я(0) = 4 СО8 0 + 4 8Ш 0. (4.91)
Сходство с предыдущей задачей позволяет выявить простой геометри-
ческий смысл этого преобразования — вращение вокруг оси г. Момент
импульса преобразуется здесь как обычный вектор.
Задача 4.10
а) Докажите, что для операторов А и В, которые коммутируют с их
коммутатором [А, В] = С, а именно: [А, С] = [В, С] = 0, следующее
тождество истинно:
Д+в = ДДе-с/2_ (4,92)
б) Докажите более общий результат
еЛГе~Л = Г + [Д Г] +1 [д [Л, Д ] + 1 [д [д [Д Д ] ] + • • • . (4.93)
Решение
а) Рассмотрите оператор, содержащий вспомогательный параметр Л:
Г(Л) = е“АЛел(Л+%“АД (4.94)
вычислите 4Р / (IX и покажите, что решение имеет следующий вид:
Р = е-(А2/2)С_ (4,95)
б) Сделайте подстановку А => а А и разложите в степенной ряд по а.
Дальнейшее чтение: [5-7].
Это, по сути своей, совершенно новая
ситуация, не имеющая аналогов ни
в одном из классических направлений
философской мысли.
Джулиан Швингер
Квантовая механика
Глава 5
Соотношения неопределённостей
5.1 Соотношение неопределённости в волновой механике
Мы видели в предыдущей лекции, что в состоянии свободного движения
с определённым значением импульса плотность вероятности нахождения
частицы в точке (г, /;) не зависит от координат и времени. Детектор, который
регистрирует координаты и таким образом локализует частицу, может
щёлкнуть равновероятно в любой момент, как если бы частицы были
размазаны по всему пространству. Если смотреть с точки зрения волны,
мы имеем бесконечную в пространстве и времени стационарную волну.
Как иногда говорят (не лучшее выражение), детектор вызывает «коллапс»
волны в точку. Измерение — это оператор, который фиксирует положение
частицы, преобразуя плоскую волну в локализованное состояние. В конце
концов мы возвращаемся к физике процесса измерения.
Как мы подчеркивали ранее, плоская волна, которая не может быть
нормирована, является идеализацией реального эксперимента, где пучок
частиц, созданный источником и сформированный внешним полем, направ-
лен в экспериментальную зону, а частицы регистрировались в детекторе
одна за другой. Реальный же пучок всегда имеет конечную длительность
в пространстве и времени. Рассмотрим волновой фрагмент как импульс
определённой периодичности, но конечной длины (волновой цуг^ или волно-
вой пакет). С помощью специального затвора, который отрезает у волны
хвосты, мы создали сигнал вида:
Здесь мы записали Комплексное выражение, но далее используем его
реальную часть, изображённую на Рис. 5.1. Момент прохождения волны
Рис. 5.1. Волновой цуг выражения.
Рис. 5.2. Спектральный анализ сигнала, показанного на Рис. 5.1
определён с точностью Д^ ~ т. Из-за конечной длительности, волновой
цуг не эквивалентен монохроматичной волне определенной частоты сад-
Гармонический анализ даёт спектр сигнала, показанный на Рис. 5.2,
2 8Ш
Л — С^о
(5-2)
Этот спектр имеет сильный максимум при л = сто и слабые вторичные
максимумы с амплитудами уменьшающимися обратно пропорционально
расстоянию от центра шкалы частот. Высота главного максимума равна
г, в то время как ширина спектрального интервала Дса = л — сад? содер-
жащего наибольшие амплитуды гармоник преобразования Фурье, может
быть оценена как расстояние до первого нуля, Дса ~ 2 л/т. С увеличением
продолжительности г, спектр всё больше концентрируется вблизи центра,
при этом площадь под спектральной кривой сохраняется:
= 2л
(5-3)
(последний интеграл, полученный с помощью замены переменных =
= (л — сасОл равен л, как это легко получить интегрированием с помощью
вычетов). В пределе т —> оо, мы приходим к бесконечно узкому и беско-
нечно высокому спектру с фиксированной нормировкой. Это полностью
соответствует определению дельта-функции, так что мы получили ранее
обещанное представление (3.25), которое эквивалентно также (4.9):
гос
/ <11 = 2тг<5(а> - о>0). (5.4)
«/— ОО
Только в пределе бесконечной г, мы получим монохроматичную волну
определённой частоты.
Эти соображения дают типичный пример дополнительности^ возника-
ющей при рассмотрении величин, которые не могут иметь определённые
значения одновременно. Гармонический анализ позволяет выявить дополни-
тельные величины, например: длительность и частота, пространственный
размер и импульс. Из нашего примера мы видим, что их неопределённости
связаны выражением
М- Дс^ - 1, (5.5)
где мы указываем только порядок величины оценки, потому что мы ещё не
точно определили неопределённости Д/; и Дс^. В полной аналогии с этим
примером из координатного Фурье-анализа мы могли бы получить неопре-
делённость произведения пространственной ширины сигнала и разбросом
его волнового вектора:
Дж • ДА; ~ 1. (5.6)
В конечном итоге, переводя эти соотношения на язык частиц мы можем
записать соотношения неопределённостей между энергией и временем
пролёта:
ДЕ • Д^ - П, (5.7)
или координатами и импульсом:
Др • Дж ~ К. (5.8)
Они непосредственно вытекают из корпускулярно-волнового дуализма, вы-
раженного преобразованием Фурье, и должны быть интерпретированы как
невозможность создания состояния с точно фиксированными значениями
координаты и сопряжённого импульса. Такие состояния не существуют
в природе, и этот факт не зависит от точности наших измерительных
Рис. 5.3. Попытка выделить щель в эксперименте с двумя щелями.
инструментов. Отметим ещё раз, что постоянная Планка всего лишь мас-
штабный фактор, в то время как соотношение неопределённостей является
типичным волновым явлением, которое имеет свои аналоги в оптике, аку-
стике и других областях соприкасающихся с волной физикой, но не в клас-
сической механике частиц. Как мы увидим позже, существует нижний
предел произведения неопределённостей (5.8).
5.2 Простые примеры
Типичные примеры можно найти во всех учебниках, см. например лек-
ции [8]. Исторически обсуждения этой темы известными физиками сыграли
важную роль в принятии и понимании квантовой механики. Ниже будет
показано, что соотношения неопределённостей делают невозможным наблю-
дение квантовой интерференции различных путей эволюции одновременно
с фиксацией конкретной траектории.
Рассмотрим схему эксперимента с двумя щелями, Рис. 1.1. Добавим
к классической схеме детектор, Рис. 5.3, например, световое зеркало, ко-
торое позволит определить, по его слабой отдаче, какая щель была ис-
пользована частицей в отдельном событии. Тогда в соответствии с прин-
ципом неопределённости, интерференционная картина будет полностью
искажена. Аргумент состоит в следующем. Детектор (1 должен быть ма-
лым по размеру в направлении х распространения, иначе он будет также
регистрировать частицы проходящие через другую щель. Например, мы
установим его размером Дж а < а/2, где а —расстояние до экрана. Но
детектор, как квантовая система, также подвержена принципу неопре-
Рис. 5.4. Схема дифракции.
делённости. Ограничение на его положение даёт и ограничение на его
импульс, Дрб/ ~ Н/Ах^ ~ 2Н/а. Чтобы выполнить задачу регистрации
частицы, измеренный импульс отдачи рг детектора должен превышать его
неопределённость, рг > Др^. Импульс отдачи возникает при взаимодей-
ствии детектора с частицей при её регистрации. Поэтому импульс частицы
должен измениться по крайней мере на Др ~ рг > 2Н/а. После этого
частица движется к экрану. На этом пути (большем чем а/2) фаза кх
соответствующей волны де Бройля приобретает неопределённость больше,
чем ДА; • (а/2) = (Др/^) • (а/2) ~ 1 радиан. Это полностью разрушает
интерференционную картину.
Задача 5.1
Обсудите, с точки зрения соотношения неопределённостей, дифракцию
волны на отверстии в непрозрачном экране, Рис. 5.4.
Решение При размере отверстия ф мы имеем Дж ~ ф в то время как угол
дифракции р Л/с/, где Л с/ —длина волны. Тогда неопределённость
волнового вектора (компоненты к± перпендикулярной к падающему пучку)
составляет Ак± ~ кр ~ 1/с/, или ДА;^Дж ~ 1.
Однако, такое доказательство не является полностью убедительным.
Было бы естественно, ожидать, что неопределённость компоненты к_\_ из-
за дифракции ограничена сверху длиной исходного волнового вектора,
Ак± = А;етр, Рис. 5.4, и, следовательно, Ак± < к. Поскольку Дж < ф
неравенство выглядит как Ак± < к. В отличие от уравнения (5.8), его
можно считать сколь угодно малым за счёт уменьшения ширины щели б.
Чтобы понять, что происходит, мы должны копнуть немного глубже. Если
перед щелью, у < 0, при этом ось у перпендикулярна плоскости экрана,
у нас есть плоская волна егкуто после щели, у > 0, в плоскости ху
имеем также компоненты х импульса, кх = 0. Так как в стационарной
ситуации полная энергия Е сохраняется, то ку = у можно выразить через
равенство + ту2 = 2тЕ/К2 = к2. Соответствующая волновая функция
после щели зависит от двух переменных:
Дж, у) = Сег«ж+гта = Сег^х+^к2-^2у) . (5.9)
Здесь мы не можем утверждать, что \у\ < к. Если это так, то волна просто
распространяется под углом р к оси г/. с 1ап(/? = б,/у. Но это не дало бы
полный набор возможных решений. Мы должны принимать во внимание
также вариант, где |^| > /с, тогда \/к2 — ^2 = ±гд/^2 — к2. Физически
решение не может расти бесконечно, но выбирая знак +, мы приходим
к экспоненциально падающей с увеличением расстояния у от щели функции
(затухающая волна). Общее решение позади экрана представляет из себя
суперпозицию'.
К Г Гх+Л2-?у)
'Ф(х,у) = у — 7- (5-10)
Мы не можем направить волновой вектор вдоль мнимой оси ж, поскольку
тогда мы снова получим растущую в одном из направлений вдоль экрана
волну.
Амплитуды С($) определяются граничными условиями на щели у = 0.
Предположим, что падающая волна коллимируется на экране и имеет там
единичную амплитуду:
1= -ДД. (5.Г1)
у 27Г 2 2
Обратное Фурье-преобразование даёт:
СД) = С2 Ах е~*х = 28Ш(€Д2)_ (5.12)
д-а/2 €
Решение после экрана имеет вид:
ДЖ,у) = [ 6^ 81НДД2) егйх++ Г (5.13)
Д\<к € Д\>к тг
Первый интеграл содержит волны, распространяющиеся под углом сд к оси
?/, что по сути, приводит к неравенству < Ы, так как для вероятно-
сти | С(^) |2 необходимо выбрать ~ 1. Однако для малых (1 (по сравнению
с длиной волны, к(1 1), второй интеграл по-прежнему важен в случае
~ 1/с/ к. Это означает, что затухающие волны с |^| > к являют-
ся существенными, а аргумент, что Д/сж < /с, является неправильным.
Для Д/сж ~ 1/(1 мы возвращаемся к стандартному соотношению неопреде-
лённостей (5.8). Математически строгое решение для узкой щели, кН 1,
даёт, как было известно задолго до Рэлея, по существу тот же самый
результат с заменой 8т(Ы/2) в амплитудах (5.12) на Функции Бесселя
71(Ы/2) с аналогичными свойствами.
Давайте попробуем быть более изобретательными, вернувшись к экспе-
рименту с двумя щелями. Рассмотрим частицу с электрическим зарядом е.
Мы предполагаем, что дифракционные угол (Задача 5.1), а также отноше-
ние д Л/б/ длины волны к размеру щели, малы. Мы установим за щелями
(Рис. 5.5) две узкие (но покрывающие угол д) металлические трубки 7\
и Т2 достаточной длины, чтобы вместить весь дифрагирующий волновой
пакет. Трубки, однако, должны быть короче, чем расстояние, на котором
идущие через щели лучи пересекаются геометрически. В таких условиях
существует временной интервал Д^, когда волновой пакет, если он проходит
через определённую трубку, содержится полностью внутри неё. Теперь при-
ложим напряжение V к трубке 7\ в течение промежутка времени т < А1.
Переходными процессами можно пренебречь, если напряжение включается
и выключается сравнительно медленно. Частицы, движущиеся внутри ме-
таллических трубок перемещаются в области с нулевым электрическим
полем. Единственным эффектом временно приложенного напряжения яв-
ляется увеличение энергии еУ (или увеличение частоты еУ/К) для всех
монохроматических компонент волнового пакета в трубке Тф За время т,
волна в 71 приобретёт дополнительную фазу еУт/К. Если фазовый сдвиг
не кратен 2л, интерференционная картина на экране получит видимое
смещение, которые может управляться изменением Ут.
Первый вывод, который мы сделали, это то, что ситуация несколько
отличается от классического электромагнетизма. Не только поле, но и по-
тенциал, изменяют результат эксперимента. Это означает, что в квантовой
механике электромагнитные потенциалы играют роль отличную от тако-
вой в классической физике, они становятся видимыми, если различные
части волновой функции приобретают различные фазы. Аналогичные рас-
суждения верны также и для векторного потенциала. Наблюдаемость
потенциалов посредством разности фаз компонент волновой функции на са-
Рис. 5.5. Модифицированный эксперимент с двумя щелями. К одной
из металлических труб приложено дополнительное напряжение.
мом деле необходима для согласия с соотношением неопределённостей.
С другой стороны, эти новые особенности квантового мира имеют большое
практическое значение для многих приложений, в том числе в макроскопи-
ческой физике (глава 13).
Теперь мы можем попытаться использовать схему, показанную на Рис. 5.5,
с целью преодоления соотношения неопределённостей. Зафиксируем проб-
ный заряд точно в середине конденсатор, х = //2, с тем, чтобы не
создавать разность потенциалов между трубками Т± и Тд- Мы позволим
заряду двигаться в течение интервала г, в тот момент когда заряд е
находится внутри трубок. Идея заключается в использовании направления
ускорения заряда в качестве индикатора трубы, в которой распространяется
волна. Эта идея не работает только из-за соотношения неопределённостей —
устройство уничтожает интерференцию.
Задача 5.2
Показать, что этот эксперимент нарушает интерференционную картину.
Решение Напряжение на обкладках конденсатора при прохождении волно-
вого пакета с зарядом е равно V = е/С, где С —полная ёмкость конденса-
тора и трубки, а знак V должен решить проблему выбора между трубками.
Электрическое поле Г ~ V /I ~ е)1С появляющееся внутри конденсатора,
сообщает пробному заряду импульс р ~ е!Гт ~ ее!т/1С. Для того чтобы из-
мерить этот импульс его неопределённость должна быть мала, Др < р. Это
увеличивает неопределённость положения заряда —Дж К/Др ~ ЫС/ее'т.
С другой стороны, смещение Дж заряда от среднего положения создаёт
дополнительное напряжение
△V г е' Дж е' Н1С Н ~С — ~С1—т = Тт (5Л4)
Это приводит к дополнительному сдвигу фазы между трубками:
Д(/9 ет ДУ — ~ 1 радиан, (5.15)
которое размывает интерференционную картину.
5.3 Дополнительность и вероятность
Корпускулярно-волновой дуализм и соотношение неопределённостей за-
ставляет нас формулировать задачу в квантовой механике иначе, чем
в механике классической. Назовём состоянием системы любые невозму-
щенные временные эволюции после инициализации. В классическом случае
движение определяется набором координат и скоростей (или импульсов),
даже если число степеней свободы бесконечно велико (классическое поле).
Динамические переменные в классическом фазовом пространстве коор-
динат и импульсов также могут быть предоставлены с помощью функций
распределения вероятности. В этом случае мы будем иметь дело с классиче-
ским ансамблем системы, где каждый участник ансамбля воплощает одну
реализацию возможного набора переменных. В принципе, в любой копии
классического ансамбля возможен непрерывный мониторинг изменений
переменных — это основополагающий принцип, лежащий в основе класси-
ческой теории. Мы можем надеяться на улучшение экспериментальной
установки таким образом, что её влияние на систему в процессе измерения
становится меньше, чем любой заданный наперёд предел. В этом случае мы
можем определить переменные системы в любой момент с любой желатель-
ной точностью с незначительными искажениями, вносимыми измерением.
Атомная структура материи и квантование излучения внесли серьёзные
изменения в описание динамики процессов. Некоторые величины являются
дискретными по своей природе и не могут быть бесконечно делимыми.
Измерительная аппаратура, присутствие которой необходимо, поскольку
атом может быть изучен только по его взаимодействию, также состоит
из атомов (даже если их число астрономически большое), и её воздействие
на исследуемый объект не может быть меньше определенного предела,
которое может зависеть от характера эксперимента. Нижний предел возму-
щения является неизбежной особенностью атомного или квантового мира
и не может быть преодолен искусством экспериментатора.
Теперь ясно, что некоторые виды экспериментов могут быть взаимно
несовместимыми. Если мы говорим, что переменная А имеет в момент
времени I подтвержденное экспериментом определённое значение а, то это
означает, что измерение этой величины превратило начальное невозмущен-
ное состояние в состояние с определённым значением А. Такое действие,
которое должно было сильнее, чем выше упомянутый нижний предел, мо-
жет лишить нас возможности однозначно предсказать результат измерения
на близкий момент времени другой физической величины В. Мы можем
сказать иначе: в (том, что осталось после первого измерения) состоянии
с определённым значением переменной а, переменная В может не иметь
определённого значения. Состояния с одновременно определёнными вели-
чинами А и В, возможно, не существует, иными словами для некоторых
пар А н В не могут быть физически реализованы.
Наше соотношение неопределённостей (5.8) утверждает, что именно оно
даёт конкретный пример пары переменных, которые не могут иметь опре-
делённые значения в любом физическом состоянии. Эта несовместимость
означает, что природа не может ответить на вопрос, который сформули-
рован на повседневном языке, который оказывается недостаточным и не
применимым к физической реальности на микроскопическом уровне. Если
операторы соответствуют измерению физических величин, то отношение
неопределённости указывает, что результат зависит от порядка измерений.
Только если мы имеем дело с макроскопическими телами и процессами,
где действие несравненно больше, чем квант действия К, то мы можем пре-
небречь различиями на уровне К и вернуться к классической «реальности».
Далее в главе 13 мы увидим, что даже на макроскопических масштабах
можно наблюдать квантовые эффекты проводящие к макроскопической
когерентности.
Держа в уме существование квантовой неопределённости, необходимо
изменить формулировку динамической задачи. Состояние может быть опре-
делено набором одновременно совместимых величин А, скажем в момент
времени /д. Измеряя в момент времени величину В мы не можем
гарантировать, что результат будет уникальным. В серии экспериментов
при одинаковых условиях в общем случае мы получаем распределение
результатов. Каждое измерение даёт величину В, которая принадлежит
к спектру возможных значений этой величины, причём спектр может
быть как дискретным, так и непрерывным. В долгой серии одинаковых
измерений статистические закономерности будут проявляться, и мы
сможем оценить вероятность того или иного результата. После того, как
в индивидуальном акте измерения получена величина Ъ переменной В, мы
можем потерять возможность иметь определённое значение первоначально
фиксированной переменной А, даже если они не изменились в течение
предыдущей невозмущённой эволюции.
Измерения величин, связанных взаимными неопределённостями, явля-
ются дополнительными или комплиментарными. Интерференционная
картина на экране в эксперименте с двумя щелями свидетельствует о вол-
новой природе света и материи, однако, взаимодействие дифрагирующего
пучка с атомами детектора происходит квантовым образом, то есть атомы
поглощают и испускают свет дискретными порциями или фотонами. Ин-
терференционные полосы появляются после многих актов взаимодействия
фотонов с атомами экрана. Для достаточно интенсивных пучков стацио-
нарное распределение максимумов и минимумов появляется немедленно.
У слабых пучков, отдельные взаимодействия фотонов дают такую картину
постепенно, путем случайного появления в разных точках. Это означает,
что волновые свойства являются присущими отдельным частицам, в то
время как они наблюдаются статистически в различных точках во многих
актах взаимодействия, которые создают состояния, локализованные на
экране. Идя ещё дальше, можно предложить интерпретацию квантовой
теория вообще избегая понятие частиц [9]. Здесь мир управляется волнами
симметрии, а взаимодействие с детектором изменяет симметрию, в то вре-
мя как отдельные щелчки детектора случайны. Я скептически отношусь
к этой идее, потому что природа макроскопического детектора не ясна.
Как мы уже видели на простых примерах, в двухщелевой схеме попытка
поймать фотон на его проходе через определённую щель неизбежно локали-
зует его траекторию и, следовательно, вызывает неопределённость импуль-
са, нарушая фазовые соотношения и разрушая интерференцию. В этом
случае, серия измерений будет производить только простое наложение ин-
тенсивностей соответствующих отдельным щелям. Возможным выходом
из этой ситуации является формализация путём суперпозиции двух ампли-
туд (двух компонент волновой функции) Ф = Ф1 + Ф2. При невозмущённом
распространении через щели эта полная амплитуда достигает экрана и
образует интерференционную картину с интенсивностью пропорциональной
|Ф|2 = |Ф112 + |Ф212 + 2Ке (Ф?Ф2). (5.16)
При распространении с промежуточной фиксацией траектории неопределён-
ность результирующего импульса подразумевает декогеренцию по причине
которой интерференционный член исчезает и в результате чего
|Ф|2 = |Ф1|2 +|Ф2|2. (5.17)
Эти два типа экспериментов, один из которых связан с интерференционной
картиной на экране без фиксации траектории даже в виде выбора между
двумя щелями, а другой, с измерением промежуточных координат пучка и
уничтожения интерференции посредством этого возмущения, дополняют
друг друга. Различные эксперименты выделяют различные аспекты описа-
ния— волновые или корпускулярные. Корпускулярно-волновой дуализм —
это не утверждение, что один и тот же объект ведёт себя в одном экспери-
менте одновременно как волна и как частица. Напротив, из-за дуализма
такие эксперименты невозможны.
Отношение между двумя (или более) типами экспериментов установле-
но путём статистической интерпретации. Конкретный фотон может быть
зарегистрирован в любом месте экрана. Большое число фотонов попадает
в яркие места, где волновая интерпретация предсказывает большую интен-
сивность (5.16). Мы отождествляем интенсивность, или квадрат модуля
волновой функции, с вероятностью квантового процесса. Максималь-
но возможная квантовая информация о системе — это знание вероятно-
стей всех возможных экспериментов. Волновая функция кодирует все эти
вероятности. Например, Ф(г, /;) непосредственно определяет вероятности
координатных измерений, в то время как та лее функция Ф(р,^), запи-
санная в импульсном представлении, является амплитудой вероятности
импульсных измерений. Квантовая динамика должна предсказать все соот-
ветствующие вероятности через динамические уравнения подчиняющиеся
волновой функции системы.
5.4 Волновой пакет: распространение
Во многих ситуациях мы хотели бы объединить корпускулярные и волно-
вые свойства, пытаясь создать насколько возможно близкий к классической
частице объект с более или менее определённой траекторией и импульсом.
Не нарушая соотношения неопределённостей, мы можем позволить некото-
рые неопределённости координаты и импульса такие, что ещё могут быть
допустимы с практической точки зрения в соответствии с классическим
представлением частицы. Пространственный размер волновой функции
может быть малым по сравнению с характерным размером эксперименталь-
ной установки, например, размером вакуумной камеры или неоднородность
поля в ускорителе. В то же время неопределенность импульса может быть
значительно меньше чем средний импульс. Полное решение задачи на-
хождения «лучшего» сочетания такого рода будет дано позже, исходя
из общей теории, но уже сейчас мы можем рассмотреть распространение
узких волновых пакетов.
Построим волновой пакет путём наложения компонент импульса к с ам-
плитудами А(к), которые имеют значительную величину и тот же знак
в небольшом интервале ДА; вокруг среднего значения ко- В области ДА;,
энергия кванта Е(к) = /кДА;), может быть приближённо представлена
в виде разложения
х(к) + ко)
(5.18)
где с^о = си(А;о). С амплитудами, сосредоточенными в этом интервале,
волновая функция может быть записана как
Ф(жД = [ дк А(к)егкх~гш^.
(5.19)
В приближении узкого пакета (5.18), находим
Ф(ж, I) ~ / дк А(к) ехр < г(к — ко)
(5.20)
Волновая функция — это «носитель» плоской волны для центра пакета
(А;о, с^о) с «амплитудой» модуляции, задаваемой интегралом в формуле
(5.20), которая по-прежнему зависит от координат и времени, но, предполо-
жительно, содержит только медленно меняющиеся компоненты с малыми
волновыми векторами к — ко и частотами х — Рис. 5.6. Более того, эта
переменная амплитуда на самом деле зависит не от времени и координат
отдельно, но только от их комбинации х — (дх / дк)ок Для всех точек х и
моментов времени связанных условием,
дк ) 0
СОП81,
(5-21)
модуляция амплитуды имеет одно и то же значение. Это означает, что
в приближении (5.18), пакет движется как единое целое с групповой скоро-
стью
Ъд =
Рис. 5.6. Движение волнового пакета.
которая совпадает с классической скоростью частицы V = (ЕЕ/др (сравните
например с (3.91)). Групповую скорость следует отличать от фазовой ско-
рости грь = афк)/к. Отметим также, что конечная ширина в импульсном
пространстве приводит к энергетическому разбросу ДЕ ~ Уд Ар, в то время
как, за счёт конечного размера пакета в пространстве Ах, время пролё-
та также конечно А1 ~ Ах/ид. Поэтому соотношение неопределённостей
энергии-времени АЕ • А1 ~ Ах • Ар (выражение (5.7)) тоже выполняется.
Задача 5.3
Волновой пакет распространяется в среде с закон дисперсии грь = а Г ЬХ,
где а и Ъ — константы и Л — длина волны. Покажите, что произвольная
первоначальная форма волнового пакета периодически восстанавливается,
и найдите этот период.
Решение Здесь ш(к) = к (а + ЬХ) = ак + 2лЬ. По истечении времени Т,
волновой пакет
ф(Ж, г) = у || А^кукх-г^1 = е-2пМ у || укукх-гак1
описывается уравнением
+ Г) = е-27Г^<+Г [ — А(к~)е^х-а{1+т^. (5.24)
У 2л
Сдвиг фазы под интегралом означает перемещение всего пакет на рас-
стояние аТ, в то время, как полная фаза восстанавливается при ЬТ = п
(целое число), т. е. период равен 1/6. Фазовая скорость— (Л/Т) + а, и мы
наблюдаем волну из системы координат, где среда движется со скоростью а,
которая добавляется к «естественной» скорости ХЬ. Для линейного закона
дисперсии расплывания нет (раздел 5.5) и фазовая картина полностью
восстанавливается после смещения на длину волны.
Если амплитуда А (к) приблизительно постоянна в диапазоне Д/с, то мы
можем вывести её из интеграла (5.20), выполнив интегрирование точно, как
в уравнении (5.2). Максимум волнового пакета может быть найден из тре-
бования нулевой производной дхр/с1к фазы экспоненты в подынтегральном
выражении (5.20):
^(&) = (к - /с0)
(5.25)
Условие стационарной фазы: фаза не изменяется между смежными ком-
понентами к волнового пакета, их интерференция конструктивна, и в ре-
зультате амплитуда максимальна.
Не нарушая соотношения неопределённостей, мы пришли к тому, что
цуг волн имеет конечный размер Дж ~ 1/Д/с и свободно движется с клас-
сической скоростью. Расширив это описание на квазиклассический случай
в присутствии внешних полей медленно (по сравнению с Дж и Д^ Дж/ж$)
изменяющихся в пространстве и времени, движение может считаться сво-
бодными в каждом интервале малой длины. Затем мы применяем тот
же подход, но средний импульс к® будет плавно меняться вдоль пути, и
волновой пакет будет двигаться близко к классической траектории.
5.5 Расплывание волнового пакета
Вышеприведённые соображения становятся точными, если закон диспер-
сии линеен, как для распространения света в вакууме, когда со = ск.
Если это не так, то в разложении (5.18) присутствуют высшие члены. Они
привносят специфические квантовые эффекты, даже если ожидается, что
движение является почти классическим. Причина в том, что групповые
скорости (5.22) в разных частях волнового пакета с нелинейным законом
дисперсии различны. Подразделяя пакет на меньшие части, мы увидим,
что они движутся слегка по-разному, и эти эффекты накапливаются со вре-
менем, приводя к искажению пакета.
Из-за дисперсии разные гармоники волнового пакета пройдут разные
расстояния в течение времени I. Двигаясь вдоль траектории, волновой пакет
претерпевает квантовое расплывание. При неопределённости импульса Др,
разброс скоростей для частицы с р = то есть Дж ~ Ар/т, и размер будет
увеличиваться со временем как
(Дж)8рг ~ Дж • I
51
тЛх
т
Поскольку начальная неопределённость положения (Аж) о, и дополнитель-
ное расплывание (5.26) некогерентны, мы можем ожидать, что они скла-
дываются квадратично, так что пространственный размер пакета растёт
со временем приблизительно как
ДД ~ (Дж)^ + (Дж)2рг. (5.27)
В обычных условиях для атомных и ядерных пучков, а также для пучков
элементарных частиц в ускорителях эффект квантового расплывания мал
и отстаёт от нормального движения вдоль траектории.
Задача 5.4
Оцените расплывание протонного пучка радиуса 0.1 мм с энергией 1 ГэВ
на пути 10 м от ускорителя до детектора.
Задача 5.5
Пинг-понговский мячик прыгает, упруго отражаясь от плоской упругой
платформы радиусом 5 см. Оцените максимальное число отскоков.
Задача 5.6
Выведите оценку расплывания (5.27) прямым вычислением, учитывая
следующий член в разложении (5.18).
Задача 5.7
Покажите, что расплывание релятивистского волнового пакета в на-
правлении, перпендикулярном скорости, больше продольного расплывания
в у2 = (Г?/тс2)2 раз.
Как показано в разделе 3.4, временная эволюция может быть описа-
на (3.38) в терминах функции Грина (3.37). Для свободного движения
стационарные состояния — это плоские волны, так что с нормировкой (4.9)
мы получаем в одномерном случае
С(Ж, Х', О = У . (5.28)
Для невозмущённой эволюции пропагатор (3.37) всегда является функцией
разности т = I — Г. Это тривиально следует из определения стационарных
состояний, которые используются в качестве базиса в уравнении (3.34).
Вследствие однородной зависимости от времени смещение начала отсчёта
времени несущественно для распространения. Существенно, однако, что
для свободного движения пропагатор (5.28) зависит только от разности
пространственных координат = х — х', а не от х и х' по отдельности.
Это согласуется со смыслом импульса как генератора трансляций (раз-
дел 4.5): свободное движение инвариантно относительно сдвига начала
отсчёта координат.
Задача 5.8
Выведите явное выражение для пропагатора в одномерном и трёхмерном
случаях свободного движения.
Решение Для одномерного движения с Е(р) = р2 /2т,
V 2лгКт
а в трёхмерном случае
«=г~г' <5-зо>
В соответствии с уравнением (5.29), за время т исходная 5 функция (3.36)
расплывается на расстояние ~ Кт/пт, на больших расстояниях экспо-
нента в пропагаторе начинает быстро осциллировать, и даёт пренебрежимо
малый вклад в волновую функцию (3.38). Это согласуется с нашей простой
оценкой (5.26).
Задача 5.9
Найдите функцию Грина в импульсном представлении, С?(рД;р/Д/),
для свободного движения.
Решение Взяв импульсы р и р' в качестве независимых переменных в опре-
делении (3.37), мы используем полный набор «локализованных» импульс-
ных функций ФР0(р) (4.42) и получаем
СДрД;^/,/7) = -^-^2лК5(р — ро)2лК5(р'— ро)е^^^Е^ро>>^
= 2лК5(р — р')е^г^^Е^Т.
Это явно демонстрирует сохранение импульса при свободном движении
с произвольным законом дисперсии Е(р). Трёхмерное обобщение тривиаль-
но.
Задача 5.10
Для свободно движущегося гауссовского волнового пакета, описываемого
начальной волновой функцией
Ф(жД = 0) = Ле(г/п)роЖ-(ж-Жо)2/(4<72), (5.32)
найдите волновую функцию Ф(жД > 0) и средние значения (ж), (р), (х2} и
(р2) как функции времени.
Решение Нормированное распределение вероятности в начальный момент,
А = (2тгсг2)-1/4, является гауссовым (3.20),
|Ф(жД = 0)|2 = (Дж; жо, <т). (5.33)
Используя функцию Грина для свободного движения (5.30) и интегрируя
согласно уравнению (3.38) (гауссовы интегралы вычисляются выделением
полного квадрата в экспоненте), мы получаем
(27га2)1/4 л/1 + (Ж)/(2та2)
где
2та2Н2(х — р$1/т)2 + г№х21 + 4г/кг4тро[2ж — (р^/гп)\
2тЛ2(4сг4 + Н2С/т2)
(5.34)
(5.35)
Гауссовый пакет сохраняет гауссову форму. Распределение вероятности
в любое время I даётся выражением
|Ф(ж,^)|2 = д(х-,хД),сг(1Х
(5.36)
центр тяжести равномерно движется с классической скоростью,
(яД = Ж(Д) = -Л (5.37)
т
а среднеквадратичное отклонение,
сг2С) = [ДаД)]2 = (я2); - (ж)2 = СТ2 ч-2-^-, (5.38)
возрастает в соответствии с оценкой (5.27). Начальная ширина и расплы-
вание складываются квадратично. Импульсная функция распределения
также гауссова,
|Ф(р,Д2 = $(КРо,сД, (5.39)
но её центр тяжести и ширина не меняются со временем, как и ожидалось
вследствие сохранения импульса,
(р)=Ро, (5.40)
й2
= [др]2 = Д - Ро)2) = ^2 • (5.41)
Произведение неопределённостей растёт со временем,
Ь / Ь2/2
(△х).(Ар)=2У1 + Т^Л- (5Л2)
Обратите внимание, что наименьшее его значение (при = 0) равно
("(Да:). (Др)') =). (5.43)
5.6 Оценки по соотношению неопределённостей
Принцип неопределённости несёт не только отрицательное содержание,
устанавливая предел классической картине объекта, который имел бы од-
новременно определённое положение и определённую скорость. Мы можем
использовать этот принцип, чтобы получить положительную информацию
о многих квантовых явлениях.
Например, рассмотрим движение в притягивающем одномерном потенци-
але ?7(ж), имеющем минимум (классическое положение равновесия) в точке
х = 0. Если мы приблизительно знаем размер Ь области конечного движе-
ния вокруг минимума, то мы можем оценить неопределённость импульса
как Др К/Ь. Это соответствует минимальному значению в соотношении
неопределённостей. В связанном состоянии средний импульс (р) должен
быть равен нулю, поскольку нет предпочтительного направления (класси-
чески это было бы справедливо после усреднения по периоду финитного
движения). Мы всегда будем определять, как в формуле (5.38) Задачи 5.10,
неопределённость ДА величины А как среднеквадратичное отклонение
от её среднего значения (А),
(△А)2 = ((А - (А))2) = (А2 - 2А(А) + (А)2) = (А2) - (А)2. (5.44)
Рис. 5.7. Локализация волновой функции в мелкой яме.
Пока мы будем производить только грубые качественные оценки. Полная
энергия связанного состояния должна быть отрицательной, если значе-
ние потенциала на бесконечности берётся равным нулю (начало отсчёта
энергии). Кинетическая энергия даёт положительный вклад
/к} = ~ —
2т 2т 2тЬ2'
(5.45)
Мы ожидаем, что эта оценка может работать для основного состояния;
в возбуждённых состояниях кинетическая энергия может быть больше.
С помощью уравнения (5.45) мы заключаем, что любой притягивающий
одномерный потенциал, стремящийся к нулю с обоих сторон (рис. 5.7),
имеет по крайней мере одно связанное состояние (вспомните Задачу 3.6).
Чтобы прийти к этому заключению, мы должны понять, что длина ло-
кализации Ъ в общем случае не совпадает с размером а потенциальной
ямы. Если уровень слабо связан, то глубина проникновения в классически
запрещённую область велика, так что волновая функция распространяется
за пределы ямы {гало, раздел 3.5). В результате величину Ъ нужно опре-
делять самосогласованно из минимума полной энергии. Среднее значение
потенциальной энергии не совпадает с типичной глубиной ямы По — её
следует умножить на вероятность того, что частица находится в яме. Эту
вероятность можно оценить как отношение а/Ъ, если полный размер свя-
занного состояния Г > а. Таким образом, полную энергию можно оценить
как
^2 о,
ЕЩ = + ЩО) « ^-72 + (5.46)
Теперь мы можем минимизировать выражение (5.46) по отношению
к неизвестной длине локализации П. Нуль производной дЕ/дГ определяет
з = ГГлё!
таЦ0 Р ’ Р Ео
Рис. 5.8. Эффективный потенциал для Задачи 5.11.
Безразмерный параметр /3 (мы встретим этот параметр в других ситуациях
позже) даёт отношение кинетической энергии, какой она бы была если бы
частица была локализована внутри ямы размера а, к потенциальной энер-
гии (тоже внутри ямы). Если яма мелкая, или потенциал слишком слабый,
/3 1; тогда Ь а, и частица живёт в основном вне ямы. Минимальное
значение энергии,
р/д х та2ц^ цо
= -^2ГГ = <"'48)
отрицательно и мало, \Е\ [/д. То есть связанное состояние в притягиваю-
щем потенциале с симметричными значениями на ±оо всегда существует,
но может быть очень слабо связанным в мелкой яме. Это согласуется
с результатом (3.49) точно решаемой Задачи 3.4, а параметр (3.49) — это
= 1//3. В Задаче 3.6 мы видели, что в асимметричной яме не обязательно
существует связанное состояние.
Задача 5.11
Рассмотрите частицу массы т в гравитационном поле Земли (поверх-
ность рассматривается как непроницаемая плоскость, Рис. 5.8).
а) Используя соотношение неопределённостей, оцените энергию и среднюю
высоту над Землёй для основного состояния частицы. Дайте численные
оценки для нейтрона.
б) Для электрона нужно в добавок рассмотреть электростатические эф-
фекты. Предположив, что Земля — это идеальный проводник, оцените
среднюю высоту электрона в основном состоянии над Землёй.
Решение
а) Энергия частицы в гравитационном поле может быть записана как
/ -2 \
Е=С- + Дх)),
\ 2т /
оо,
тдх,
х < О,
х > 0.
(5.49)
По соотношению неопределённостей квантовая частица не может упасть
на Землю; вместо этого, она должна парить над поверхностью. Если
средняя высота в основном состоянии Ь, то типичная величина верти-
кального импульса К/Ъ^и среднее значение энергии может быть оценено
как
Л2
Е1Ь} = 2^ + ’"зЛ'
Эта функция имеет минимум при
г _ < 1/3
^ \ 2 /
\гшд )
Соответствующая энергия равна
Е = |(™,2/12)‘/2.
(5.50)
(5.51)
(5.52)
Правило квантования Бора—Зоммерфельда дало бы подобный ре-
зультат с несколько большим численным коэффициентом, 1.8 вместо
1.5 в уравнении (5.52). Согласно (5.50) и (5.51), Ь (2/3)(Е?/тд), т. е.
меньше, чем классическая точка поворота Е/тд\ частица локализована
внутри ямы. Средняя высота (5.51) убывает для тяжёлых частиц как
~ т-2/3. Для нейтрона мы получаем высоту Ь ~ 7 цм почти макроско-
пического масштаба (недавно это расстояние было измерено в связи
с поиском электрического дипольного момента нейтрона).
б) Для электрона высота (5.51) была бы в 150 раз больше, Г ~ 1 мм. Од-
нако для электрона предыдущее рассмотрение неверно, поскольку оно
не учитывает гораздо большей силы электростатического отражения.
Для Ь ~ 1мм эта сила, е2/(2Ь)2, на 7 порядков больше гравитацион-
ной, тд. Игнорируя гравитационную силу и повторяя ту же оценку
с минимизацией, что и в части а, для одномерного электростатического
притяжения,
Е=Р2 е2
2т 2Ь ’
мы получаем, как и следовало ожидать, длину, близкую к боровскому
радиусу а,
Й2 1
2те2 2 а
(5.54)
Задача 5.12
Используя соотношение неопределённостей, оцените энергию основного
состояния и длину локализации для
а) потенциала гармонического осциллятора,
С/(ж) = | тш2х2
(5.55)
б) крутого ангармонического осциллятора,
ПД) = Сх23, 5 = 2,3,...,
(5.56)
в) водородоподобного атома с зарядом ядра 2е.
Решение
а) Для гармонического осциллятора
(5.57)
б) В ангармоническом случае,
/п25с\1/(8+1) / п2 \Г(25+2)
Е ( ----- ) • —— 1
\ т8 / \тС /
(5.58)
При а = 1 этот результат совпадает с (5.57).
в) Для водородоподобного атома оценка случайно даёт точный результат
тЯ2е4
2П2
Ь = а (радиус Бора).
(5.59)
Е = -
Задача 5.13
Рассмотрите атом с ядром заряда 2 и двумя электронами с противопо-
ложными проекциями спина, но одинаковыми орбитальными волновыми
функциями (в случае одинаковых проекций спина, Принцип исключения
Паули (главы 39 и 42) не позволил бы электронам занять одну и ту же
орбиту). Оцените энергию основного состояния этого атома; не забудьте
про кулоновское отталкивание между электронами.
Решение Пусть типичные радиусы для двух электронов будут тд и
В основном состоянии их типичные радиальные импульсы, в соответствии
с соотношением неопределённостей, р\ К/г\ \\ р2 К/г2- Минимальная
энергия отталкивания для двух электронов может быть грубо оценена как
е2/|г1 — г2|тах = е2/(п + г2). Тогда энергия основного состояния будет
/ х П2/11\ 9 / 1 1 \ е2 ,
Е(уд, г2) = -— ( -д + -д ) - Ее2 [-I-) Ч--------. (5.60)
2т \г^ \ДД г2/ П+ г2
Электроны эквивалентны, и в основном состоянии должно быть г± = г2 = г.
Энергия становится функцией г,
ЕД г) = ГС- 2е2^~ ^/4). (5.61)
тпг г
Минимум этой функции достигается при (а = К2/те2 — боровский радиус)
Г = ^ = ^-(1/4), (5.62)
как если бы каждый электрон чувствовал кулоновское поле эффективного
заряда ядерный заряд частично экранирован вторым электроном.
Полная двухэлектронная энергия (5.61) для этого радиуса равна удвоенной
энергии одноэлектронной орбиты в водородоподобном поле эффективного
заряда (5.62),
4
Е = = -2ДГ Ку; (5.63)
Теперь мы предсказываем энергии связи (в Ку): 1.12 (отрицательный ион
водорода Н-), 6.12 (атом Не), 15.12 (положительный ион 1л+), 28.12 (Ве++),
45.12 (В+++) и 66.12 (С++++), в гораздо лучшем соответствии с данными,
чем можно было бы ожидать от такой простой оценки: эксперимент даёт
1.05, 5.81, 15.12, 28.12, 45.12 и 66.12, соответственно.
5.7 Классификация молекулярных возбуждений
Простые аргументы, основанные на соотношении неопределённостей,
позволяют понять типичную иерархию стационарных состояний молекулы.
Рис. 5.9. Схематическая картина двухатомной молекулы.
Рассмотрим для простоты двухатомную молекулу, Рис. 5.9. Два положи-
тельных иона отталкиваются кулоновскими силами, и связанное состояние
возможно только если существует и преобладает притяжение при помощи
заряда электронного облака. Пусть Ь будет средним расстоянием меж-
ду ионами. Валентные электроны, отвечающие за молекулярную связь,
должны быть локализованы в объёме такого размера. Тогда, по принципу
неопределённости, электрон приобретает кинетическую энергию локализа-
ции,
Л2
Ее1 ~ —72 , 5.64
где т — масса электрона, которая много меньше массы иона М. Средние
значения кинетической и потенциальной энергии в стационарном состо-
янии одного порядка (вспомните атом Бора и рассмотренные примеры;
строго это обосновывается теоремой вириала, обсуждаемой ниже). Таким
образом, уравнение (5.64) даёт оценку по порядку величины для энергии
нужной, чтобы перевести валентный электрон на более высокую орбиту —
электронное возбуждение молекулы. Поскольку размер молекул обыч-
но составляет ангстремы (боровский радиус равен 0.5 Д), электронные
возбуждения требуют энергии 1-10 эВ.
Чтобы получить представление о возбуждениях, связанных с ионами,
сначала посчитаем число «тяжёлых» степеней свободы. Для атомов
в молекуле мы имеем 3^ пространственных координат. Центр масс мо-
лекулы не имеет никакого отношения к внутренним возбуждениям, т. е.
у нас есть только 3^ — 1) внутренних степеней свободы. Три из них
соответствуют вращениям молекулы как целого. Это число независимых
плоскостей вращения в трёхмерном пространстве (в (/-мерном пространстве
у нас было бы 6(6 — 1)/2 плоскостей), или число углов, которые нужны,
чтобы зафиксировать ориентацию тела. Таким образом, только 3^ — 2)
степеней свободы описывают относительные расстояния между атомами
в молекуле.
В основном состоянии молекулы эти расстояния фиксированы минимиза-
цией энергии. Конечно, они «фиксированы» только в среднем, в пределах
соответствующей неопределённости. Эти средние расстояния (более точно,
средние значения расстояний) образуют скелет молекулы. Пары ионов
связаны химическими связями, и возможны квантовые возбуждения коле-
бательного типа. Поскольку атомы взаимодействуют кулоновскими силами
друг с другом и с электронным облаком, отдельные колебания вдоль каж-
дой связи не являются правильными модами колебаний, они вовлекают
в движение другие атомы. Нормальные моды, в значительной мере опре-
деляемые симметрией молекулярного каркаса — это такие комбинации
индивидуальных колебаний, где все атомы колеблются с одинаковой часто-
той. Как и в классической механике, число нормальных мод равно числу
колебательных степеней свободы, 3^ — 6.
Двухатомные, и вообще линейные, молекулы представляют собой ис-
ключительный случай (по нашему подсчёту, при Лг = 2 мы бы вообще не
имели колебаний). Как видно из Рис. 5.9, ось молекулы является в этом
случае осью симметрии. Вращение вокруг оси симметрии не соответствует
квантовому возбуждению, оно не меняет волновую функцию. Классически,
это вращение не создаёт никаких зависящих от времени мультипольных
полей, и потому не ведёт к электромагнитному излучению. Если коллек-
тивное квантовое вращение вокруг оси симметрии невозможно, система
с аксиальной симметрией имеет только два возможных типа вращений
вокруг осей, перпендикулярных к оси симметрии (с равными моментами
инерции). Поэтому в линейной молекуле число колебательных степеней
свободы равно 3^ — 5. В двухатомной молекуле остаётся одна колебатель-
ная степень свободы, колебания вдоль оси симметрии. Эти аргументы не
запрещают возникновения момента импульса вдоль оси симметрии, но
этот момент импульса не может генерироваться вращением молекулы как
целого — для этого нужно возбуждение отдельных частиц. Это заключение
верно и для вращений аксиально деформированных атомных ядер [10].
Чтобы оценить колебательную частоту со ~ к/М (1.16), где М — при-
ведённая масса (1.45) двух ионов, а к — коэффициент возвращающей силы,
возьмём предельный случай большой амплитуды колебаний ~ Ь. Такое
колебание полностью исказило бы электронную волновую функцию. Соот-
ветствующая потенциальная энергия ~ кЪ2 была бы порядка энергии (5.64),
требуемой для электронного возбуждения,
2
тБ2 П тЮ ’
Из этой оценки мы получаем колебательную энергию
ПШ ^П\ — ,
\М //ймБ
(5.65)
(5.66)
она меньше, чем электронная энергия (5.64), на множитель (ш/М)1/2.
Наконец, вращательная энергия может быть оценена через момент инер-
ции I МБ2 и квантованный момент импульса ~ Н как
Е
п2
мь2'
(5.67)
Эти оценки дают иерархию возбуждений,
Ето, : Е^ъ : Ее1 ~ : 1. (5.68)
Адиабатический параметр (ш/М)1/2 ~ 10-2 определяет термодинамику
газов: при абсолютном нуле молекулы находятся в основном состоянии;
с ростом температуры, сначала становятся активными вращательные сте-
пени свободы при Т ~ Д-О1- потом при Т ~ Еу[ь начинают возбуждать-
ся колебания, а электронные степени свободы размораживаются только
при довольно высокой температуре ~ Ее\. Соответственно, мы переходим
от инфракрасного к видимому и ультрафиолетовому излучению в молеку-
лярных спектрах.
Приведённые оценки также подсказывают адиабатический подход к тео-
рии молекул и твёрдых тел (приближение Борна—Оппенгеймера). Присут-
ствие малого параметра т/М подразделяет степени свободы на быстрые,
электронные, и медленные, ионные. Быстрое движение можно сначала
рассмотреть в фиксированном поле ионов, а потом электронная энергия
для данного расположения ионов, вместе с прямым кулоновским отталки-
ванием ионов, определяет эффективную потенциальную энергию ионов,
которая позволяет определить оптимальную структуру каркаса. Даже
в атомных ядрах, где нет ни лёгких и тяжёлых степеней свободы, ни па-
раметра, подобного т/М, возбуждения всё ещё приближённо следуют
той же иерархии: вращения имеют наименьшие энергии, далее следуют
колебания, а затем одночастичные (протонные и нейтронные) возбуждения.
В общем, существование низко л ежащих коллективных и более высоких
одночастичных возбуждений типично для многочастичных систем.
5.8 Ширина уровня
Согласно концепции квантовых волн, стационарное состояние с энергией
Е соответствует волновому процессу с частотой ш = Е/К. Если зависи-
мость Ф(^) от времени не является чисто гармонической, то эта функция
описывает нестационарный процесс без определённой энергии. Аналогично
импульсной волновой функции Ф(р), уравнения (4.3) и (4.4), преобразование
Фурье Ф(^) из временного в частотное представление (5.2) даёт функцию
Ф(си), которая должна интерпретироваться как амплитуда вероятности
найти компоненту волнового пакета со значением энергии Е = Ни).
Эксперименты показывают, что все возбуждённые состояния квантовых
систем нестационарны. По прошествии некоторого времени система перехо-
дит в менее возбуждённые состояния, в конце концов оказываясь в основном
состоянии. Только основные состояния изолированных систем могут быть
строго стационарны и имеют бесконечное время жизни. Механизмы пере-
хода могут быть различны. Переходы обычно связаны с взаимодействием
с другими системами, такими, как электромагнитное поле в радиацион-
ных переходах атомов (1.11). Атом не может быть изолирован от поля
излучения, и это с неизбежностью ведёт к конечным временам жизни
возбуждённых состояний.
Из многочисленных экспериментов (электромагнитное излучение атомов,
молекул и ядер, радиоактивность и т. д.) известно, что с высокой точностью
спонтанный распад может рассматриваться как экспоненциальный', число
возбуждённых объектов, «атомов», уменьшается со временем как
Я(П = Я(0)с^', (5.69)
где скорость распада 7 не зависит от начального числа ^(0) атомов. По-
скольку
1 <Ш
X ЛГ’
(5.70)
эта величина имеет смысл вероятности распада в единицу времени для от-
дельного атома. В течение среднего времени жизни, равного
_ 1
Г<-**
(5.71)
число атомов уменьшается в среднем в е раз. Используя для оценки модель
атомного электрона как классического осциллятора с частотой ш, мы можем
оценить радиационное затухание [11] §75:
где ге — классический радиус электрона (1.40). Для видимого света это
даёт скорость распада у ~ 10 7са, что означает, что время жизни т велико
по сравнению с периодом колебаний са-1, атомный осциллятор имеет
высокую добротность. В таких случаях мы можем называть состояния
квазистационарными.
Если вероятность Р(^) того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии
с энергией Е<у уменьшается экспоненциально,
Р(г) = |ф(г)|2 О< е-Д 7 > 0, (5.73)
то его волновая функция должна зависеть от времени как
Ф(7) <Х е-(’Л)^о4-(7/2)*5 I > 0 (5.74)
Тогда можно говорить о комплексной энергии 8 нестабильного состояния,
ФД ос е(_г/п)а, 8 = Ео - У. (5.75)
Мнимая часть комплексной энергии связана со скоростью распада,
1п1<? = — —, Г = Ну = -. (5.76)
Поскольку зависимость волновой функции нестабильного состояния
от времени не является гармонической, настоящая энергия состояния не
имеет определённого значения. Её Фурье спектр имеет много монохрома-
тических компонент:
гоо л. ,,—гсЛ
Это тождество можно немедленно проверить, вычисляя интеграл замыка-
нием контура интегрирования в нижней части комплексной плоскости си,
что возможно при I > 0, когда вклад большой дуги пренебрежимо мал
из-за множителя ехр[1ш(сиД]. В соответствии с нашей вероятностной ин-
терпретацией, плотность вероятности ги(си)с/си нахождения компоненты
Рис. 5.10. Резонансная кривая квазистационарного состояния.
с частотой ш (в интервале от а) до а) + с/си) определяется квадратом модуля
соответствующей Фурье компоненты,
/ \ 7 СОП81
= |О пса. (5.78)
к 7 |со - ЩД) + (г/2)7|2 к 7
Переходя к энергии, вводя Г (5.76) и нормируя вероятность так, что
/ (ГЕ'ш(Е) = 1, мы приходим к распределению Лоренца
1 Г
с1Е = Л (е-е0)2 + г2/4 аЕ’ (5,79)
Лоренцева кривая, Рис. 5.10, похожа на резонансную кривую классиче-
ского осциллятора с частотой Е^/К и затуханием у [1] §26. Величина Г,
равная ширине на половине максимальной высоты, обычно называется
шириной уровня. Эта величина характеризует энергетический интервал
вблизи резонансного значения Е$ {центра тяжести резонансной кривой),
в котором вероятность нахождения системы велика.
Таким образом, возбуждённые состояния нестабильны, и их время жиз-
ни т связано с шириной Г уравнением (5.76). Для т —> оо кривая ю{Е}
становится узкой ГчО и вытягивается вверх как на Рис. 5.10. Площадь
под кривой остаётся равной 1, так что (3.25)
Г -д 0 : гДЕ) -д 5{Е - Е$), (5.80)
и мы приходим к стационарному состоянию с определённой энергией Е$.
По своему смыслу, ширина Г характеризует неопределённость энергии
Е+Егес
Е ----
Ехсйес! 81а1е
Г
^^§оигсе
йсоаЬ8
у
Зоигсе
АЬзогЬег
Сгоипс! 81а1е
Рис. 5.11. Сохранение энергии и импульса в резонансной флуоресценции
распадающейся системы, а уравнение (5.76) представляет ещё один аспект
соотношения неопределённостей энергия-время (5.7). Это общий результат;
он не зависит от точного выполнения экспоненциального закона (5.69),
который привёл к лоренцевой кривой. Более того, можно ожидать (раз-
дел 9.6 из III тома) отклонений от экспоненциального закона. В самом деле,
лоренцева кривая имеет длинные хвосты при \Е — Е*о| Г. При слиш-
ком медленном убывании ш (Е?) среднеквадратичное отклонение энергии
от средней
сШ и)(Е)(Е — Ео)2,
(5.81)
расходится. Эта бесконечность является нефизической особенностью рас-
пределения Лоренца. В любой реальной системе энергетический спектр
не включает все энергии от — оо до +оо; он обрезается снизу на энер-
гии основного состояния. Поэтому распределение энергий нестабильной
системы не может быть точно лоренцевым. Далёкие энергетические хво-
сты соответствуют, в духе принципа неопределённости, очень коротким
временам. Начальная стадия распада должна отклоняться от экспонен-
ты. Отклонения также ожидаются при очень больших временах г, но
внутри физически существенного интервала времени распад очень бли-
зок к экспоненциальному, и лоренцева кривая обычно является хорошим
приближением к реальности не очень далеко от центра тяжести.
5.9 Ширина линии и эффект Мёссбауэра
В системах, испытывающих радиационный переход между начальным
состоянием г и конечным состоянием /, можно обнаружить фотоны с ча-
стотой (Щ/ = (Е^ — Е^)/Н. В силу неопределённости энергии нестабильного
состояния г, испускаемые фотоны будут иметь разброс частоты поряд-
ка Г*/Е. Если конечное состояние также неустойчиво, то наблюдаемая
ширина спектральной линии будет определяться суммой Г = Г\ + Гу.
Экспериментально измеренная ширина линии обычно превышает есте-
ственную ширину Г. Тепловое движение атомов со скоростями гтепл. приво-
дит к доплеровскому уширению Гр (^тепл./с)Ес*л Столкновения атомов
также заметно уширяют спектральные линии, так как атомные состояния
возмущаются от движения другого близконаходящегося атома, и этот неста-
ционарный процесс нарушает монохроматичность волновой функции атома.
Соответствующая ширина может быть оценена как Гстолкн. ~ Е/тстолкн., где
тСтолкн. — это время между столкновениями. Форма спектральной линии
в среде, также может быть отличной от той, которую имеет покоящийся
единичный атом.
Наблюдаемая ширина линии зависит от способа возбуждения системы.
Один из возможных процессов возбуждения — это поглощение электромаг-
нитной волны той же частоты, с которой, впоследствии она будет испущена
(резонансная флуоресценция или резонансное излучение). Если падающая
волна обладает широким энергетическим спектром ДЕ? Г, то все воз-
буждённые состояния могут быть заселены, а ширина линии излучения
совпадёт с естественной радиационной шириной Г. Однако, если падающая
волна имеет очень узкий спектр, что может быть достигнуто с помощью
лазера ДЕ? Г, то в следствии закона сохранения энергии возбуждаются
только соответствующие Фурье компоненты. В этом случае наблюдае-
мая форма линии излучения воспроизведёт спектр падающей волны, а её
ширина будет улсе, чем естественная ширина. Возбуждение в следствии
столкновения, как правило, характеризуется широким спектром.
В терминах резонансной флуоресценции существует значительное отли-
чие между атомами и ядрами Рис. 5.11. Предположим, что возбуждённое
ядро 1 (источник) в состоянии покоя излучает фотон с энергией Е4иисточ.
и рассмотрим будет ли этот фотон поглощён идентичным ядром 2. Фотон
уносит импульс р = Ес^источ./с, а исходное ядро приобретает равный и
противоположный по направлению импульс отдачи и, следовательно, кине-
тическую энергию отдачи Е?ОТДачи- Если ядро переходит из возбуждённого
состояния Е? в конечное состояние Е?о, то из законов сохранения следует,
что:
П2 Й2, !2
77 _ 77 । Ь. , । 77 77 __ /ТЭТДаЧИ _ ШИСТОЧ. (г лп\
-^0 । Ч^источ. । -^отдачи? -^отдачи 2М 2Мс2 '
Для ядра с атомной массой А ~ 50 и энергией возбуждения порядка
Е — Е$ ~ 1 МэВ, энергия отдачи (5.82) составляет порядка 10 эВ. Ядро 2
{поглотитель) принимает энергию и импульс фотона. Поэтому этот про-
цесс, Рис. 5.12, требует большую энергию фотона ^сиПоглот.5 чем надлежащая
энергия возбуждения Е — Е^ большую на ту же величину, что и энергия
отдачи. В результате возникает рассогласование по энергии, равное
^(^ПОГЛОТ. ^ИСТОЧ.) ~ 21?ОТдачи, (5.83)
Для низко лежащих возбуждённых ядерных уровней со временем жизни,
скажем, т ~ 10 13 с, ширина линии излучения (5.76) равна Г ~ 10-2эВ, то
есть меньше чем рассогласование по энергии (5.83). Поэтому отдача в след-
ствии закона сохранения импульса выбивает ядра за пределы резонанса.
Если атомы двигаются, то доплеровское уширение может помочь, сдви-
гая резонанс в нужном направлении. Однако при комнатной температуре
(для тех же ядер):
/ т
Гв ~ —Еэ ~ \ ---------7 Еэ ~ 1(Г5^ - ЮеУ, (5.84)
с V Мс2 к 7
то есть это работает не всегда. Резонансная флюоресценция ядер наблю-
дается только при очень высоких температурах (или в случае правильно
двигающегося источника или поглотителя) или для уровней с аномально
малым временем жизни (большой шириной).
Задача 5.14
Сделайте схожую оценку (используйте (5.72)) для того, чтобы показать
возможность наблюдения резонансной флюоресценции в рамках атомной
физики при типичных условиях.
Для ядер резонансную флуоресценцию можно наблюдать с помощью
эффекта Мёссбауэра (1958). В кристаллической решетке сильно связан-
ные ядра позволяют позволяют производить безоткатное излучение и
поглощение фотонов, так как существует заметная вероятность того, что
в процессе импульс отдачи будет принят всей решёткой в целом. Энергией
отдачи в этом случае можно пренебречь из-за макроскопические массы
кристалла. В отличии от свободного ядра, ядро на краю потенциала ре-
шётки локализовано и поэтому имеет широкое распределение по импульсу.
В частности существуют Фурье-компоненты волновой функции, которые
создают дополнительный импульс (аналог эффекта Доплера), необходимый
для компенсации отдачи. Подобный эффект был известен и до Мёссбау-
эра из физики медленных нейтронов, рассеянных на ядрах в кристалле.
Эффект Мёссбауэра позволяет наблюдать очень тонкие спектральные ли-
нии. С помощью эффекта Доплера, двигая источник или поглотитель
с небольшими относительными скоростями, порядка 1мм/с, можно изме-
нять отстройки для очень подробного исследования формы спектральных
линий. Это даёт эффективный инструмент чувствительный к крошечным
относительным сдвигам уровней, например, из-за разницы в химическом
составе окружающей среды или из-за слабого магнитного и даже гравита-
ционного полей.
5.10 Виртуальные процессы и реальные эффекты.
Из-за соотношения неопределённости энергия-время, точно определить
энергию возможно только для процесса бесконечной продолжительности.
Часто удобно разделить процесс на промежуточные этапы конечной дли-
тельности. При обсуждении резонансной флуоресценции, раздел 5.9 мы
говорили о фотонах, испускаемых источником и поглощаемых поглоти-
телем, как о реальных частицах с Е = На) и импульсом р = Е/с. Тем не
менее, если интервал времени Д/; между актами излучения и поглощения
становится очень маленьким, то в силу соотношения неопределённости
понятие фотона с определённой энергией становится бессмысленным. В та-
ком приближённом описании, граница между частицей с определёнными
энергией и импульсом и временным объектом, у которого недостаточно вре-
мени, чтобы приобрести свойства реальных частиц, становится размытой
и различие носит только количественный, а не качественный характер.
В таких ситуаций, мы говорим о виртуальных процессах или виртуаль-
ных состояниях системы. Если, как в приведённом выше примере, «новая»
частица появляется на короткий промежуток времени, то она тоже может
называться виртуальной. Такой подход облегчает квантовое описания слож-
ных состояний, например, из двух атомов (или ядер) и электромагнитного
поля, как в случае флуоресценции. Закон сохранения энергии выполняется
для всей системы в целом. Но в течение виртуального процесса энергия
каждой подсистемы не имеет определённого значения. Это источник самой
идеи о неустойчивом состоянии, ширины уровня и т. д. Такое приближенное
описание удобно из-за её непосредственной связи с экспериментальными
наблюдаемыми. Другие законы сохранения: импульса, момента импуль-
Рис. 5.12. Взаимодействие ядерных сил через обмен нейтральными (а) и
заряженными (Ь) мезонами.
са, заряда и так далее, всё ещё выполняются на каждом шаге. Есть ещё
один тип описания, часто используемого в релятивистской квантовой тео-
рии, с законом сохранения энергии, выполняющемся на каждом шаге, но
без стандартного соотношения (1.6) между энергией и импульсом виртуаль-
ной частицы. Другими словами, в этом случае масса виртуальной частицы
может принимать произвольные значения.
Задача 5.15
Известно, что радиус действия сильного взаимодействия между двумя
нуклонами порядка 11 (14-2)- 10-13см. Оцените массу самых лёгких
мезонов в предположении, что ядерные силы действуют, Рис. 5.12, путём
обмена мезонов.
Решение Излучение реального мезона единичным нуклоном запреще-
но законом сохранения энергии-импульса. Взаимодействие протекает как
виртуальный процесс конечной продолжительности т. Для того, чтобы нук-
лоны провзаимодействовали, виртуальный мезон должен иметь достаточно
времени, чтобы пройти расстояние между ними Я, К < ст. При нали-
чии виртуальных мезонов массы ш, неопределённость энергии системы
равна ДЕ? ~ тс2 ~ Н/т. Максимальное расстояние, которое мезон может
пролететь, определяет радиус действия ядерных сил:
11 ст (5.85)
тс
Другими словами, обмен квантами массы ш, объединяет частицы на рассто-
яние от комптоновской длины волны переносчика, в соответствии с (1.39).
Для виртуального фотона т = 0 сила является дальнодействующей (куло-
новской). Нуклон-нуклонное взаимодействие на расстоянии К ~ 2фм (5.85)
предсказывает существование переносчика с массой т ~ 200 те. Таким
образом и было предсказано (Хидэки Юкава, 1935) существование л-ме-
зонов (пионов). Обмена пионами приводит к потенциалу Юкавы (1.50),
который, однако, не достаточно силён для связывания двух нуклонов Зада-
ча 1.8. Существование связанного протон-нейтронного состояния, дейтрона,
обеспечивается дополнительным обменом более тяжелыми мезонами.
При более строгом рассмотрении мы должны использовать не отдельные
нуклоны и виртуальные мезоны, а исследовать сложную систему взаимо-
действующих нуклонов и мезонного поля, причём эта система в целом
будет иметь в основном состоянии определённую энергию. Подобная идея
может быть использована и при рассмотрении туннелирования раздел 2.7.
Виртуальные состояния возможны, когда частица попадает в запрещённую
область под барьером на короткое время ДЛ Это приводит к флуктуации
энергии АЕ Н/АГ Для малых △/; «мгновенная» энергия частицы может
превышать высоту барьера, и частица может преодолеть («перепрыгнуть»)
запрещённую область. Это также исключает возможность «поймать» части-
цу под барьером, так как это потребует дополнительной энергии большей,
чем высота самого барьера. Нам нужно ещё раз подчеркнуть, что при
точном решением квантовых задач в понятии виртуального состояния нет
необходимости. Полная волновая функция системы даёт всю информацию,
позволяющую, в частности, найти вероятности процессов туннелирования.
В Задаче 5.15 существование предельной скорости распространения сиг-
нала с имеет ключевое значение. В общем случае в релятивистской области
применимости появляются новые ограничения поверх обычного квантового
соотношения неопределённости [12] §1. Групповая скорость релятивистско-
го волнового пакета с усреднённой энергией Е и усреднённым импульсом р
равна V = рс2 /Е < с. Так как разбросы энергии и импульса пакета соотно-
сятся как АЕ V Ар, а время прохождения удовлетворяет АЪ ~ К/АЕ, то
мы приходим к новому ограничению (который исчезает в пределе с -Л оо):
Н
Ар • А1^ (5.86)
с
Это определяет оптимальную точность измерения импульса при заданной
продолжительности процесса измерения.
Другое отношение ставит ограничения на само понятие одночастичное
состояние. Для того, чтобы само понятие частицы массы т имело смысл, то
неопределённость энергии состояния, должна быть меньше, чем тс2, а сле-
довательно продолжительность измерения А1 > К/тс2. Уравнение (5.86)
задаёт границу неопределённость импульса Ар ~ тс и, следовательно,
частицы в состоянии покоя не могут быть локализованы лучше, чем в пре-
делах своей комптоновской длины:
Дж > — = Ас- (5.87)
Др тс
В случае попытки лучшей локализации, неопределённость энергии и им-
пульса могут возрасти настолько, что становится энергетически выгодным
рождение новых частиц, и задача теряет свой одночастичный характер.
В том случае вместо квантовой механики нужно использовать полную
релятивистскую квантовую теорию поля.
5.11 Ещё раз к вопросу о пространственном квантовании
Как уже отмечалось в разделе 1.8 момент импульса квантовой системы
квантуется и пропорционален целому или полуцелому (в случае спина)
числу, умноженному на К. В единицах К мы измеряем исключительно
момент импульса (сравнить (4.34) и (4.68)). Безразмерный вектор момента
импульса мы до сих пор обозначаем как Е Если на эксперименте выделить
направление % в пространстве и измерить, например, с помощью установки
Штерна—Герлаха, проекции углового момента = т на это направление,
то есть (2^ + 1) возможных результатов измерения с числом т, которое
меняется от —I до +С В следствие изотропности пространства, аналогичное
квантование будет обнаружено при любом выборе оси. Так как максимально
возможная длина проекции — то было бы естественно предположить,
что длина момента импульса равна = I. Однако такое предположение
несовместимо с соотношением неопределённости.
Предположим, что внутренняя структура исследуемых частиц не имеет
никаких корреляций с каким-либо выделенным направлением. Применив
в опыте Штерна—Герлаха поле с различной ориентацией, мы с одинако-
вой вероятностью получим все возможные значения проекций моментов
(конечно для каждой частицы можно измерить только одну конкретную
проекцию). Среднее значение по большому числу измерений (здесь
измерения относятся к разным экспериментальным настройкам) в силу
изотропии равно:
/2 = е + ^2 + р = (5.88)
сЛ/ у /С, /С, \ /
Так как возможные результаты квантованы, то среднее значение равно:
I. I.
& ~ Еб* Г т2 — пг2• (5.89)
2/'+1 2/'+1 к ’
т=—1 т=1
Рис. 5.13. Пространственное квантование
момента импульса и картина прецессии.
Вычисляя сумму квадратов целых чисел, мы получим:
(5.90)
Отсюда получается, что среднее значение «длины» вектора момента им-
пульса равно + 1) и, следовательно, всегда превышает максимальную
проекцию этого вектора на любое направление, Рис. 5.13.
Этот результат (он также верен и в случае квантования орбитального
момента по полуцелым числам) может показаться странным. Его следует
интерпретировать в духе соотношения неопределённости. Если существует
состояние, в котором вектор I будет в точности направлен вдоль определён-
ной оси, то можно выбрать это направление в качестве оси квантования,
и измерение будет обеспечивать проекцию на этом направлении равную
максимально возможному значению и совпадающую с д/Ж В действи-
тельности такое состояние не существует. У нас есть новая пара связан-
ных переменных С и азимутальный угол р. В классической механике
они являются канонически сопряжёнными, по аналогии с импульсом рх
и координатой х. В квантовой механике есть сходство между оператором
импульса (4.29) и оператором момента импульса (4.34) и (4.68). Они оба
выражены как производные по координатам: соответственно линейной и
угловой, а в более строгом подходе они оба являются генераторами сдвига
и поворота. Поэтому естественно ожидать, соотношение неопределённости
в виде А(^) • ~ Н. Если это так, то состояние с вектором момента им-
пульса, полностью ориентированного вдоль определённой оси квантования,
будет аналогом состояния плоской волны с точно определённым импуль-
сом р. В этом состоянии азимутальный угол будет неопределённым. Однако,
два взаимосвязанных условия делают это предположение неверным.
Во-первых, компоненты и в этом предельном случае будут полно-
стью установлены (равны нулю), что противоречило бы принципу неопре-
делённости для этих компонент, так как полярный угол тоже имеет опре-
делённое значение 0 = 0. Во-вторых, неопределённость Лсд не может быть
бесконечной, как того требует форма соотношения неопределённости пред-
ложенная выше. Действительно, угол является компактной координатой
определённой только на интервале 2тг, и нет никакого смысла говорить о его
бесконечной неопределённости. Кроме того, любая однозначная функция
от р должна быть периодическая с периодом 2л, как мы уже сталкивались
при создании полного набора азимутальных функций (4.71). Для всех та-
ких функций, неопределённость угла, безусловно, конечна (равна л/д/3
независимо от выбора интервала длины 2л).
Различие между импульсом с его бесконечным диапазоном в декартовых
координатах и момента импульса с его компактной областью определения
угла с точки зрения геометрии или топологии, имеет определяющее значе-
ние. Формально это видно также и потому, что операторы щ компонентов
импульса коммутируют (4.57), в то время как компоненты момента им-
пульса — нет (4.37). Результат от двух последовательных сдвигов вдоль
произвольных направлений не зависит от порядка операций. В противопо-
ложность этому, результат двух вращений вокруг разных осей действитель-
но зависит от их порядка. Группа вращений в трехмерном пространстве
является неабелевой. Многочисленные последствия этого будут освещены
в процессе изложения курса.
Так как точное выравнивание вектора I невозможно, то его «длина» все-
гда больше, чем максимальная величина его проекции. Ближайшим клас-
сическим аналогом является явление прецессии вектора момента импульса
вокруг оси квантования, Рис. 5.13. Угол конуса прецессии фиксируется
вместе с проекцией Поперечные компоненты усредняются и равны нулю,
(/х) = (/у) =0, но их среднеквадратичные флуктуации никуда не исчезают:
(4) = | + Г - ''4 > 0. (5.91)
Здесь мы сделали шаг вперёд, определив среднее по возможным направлени-
ям, которое обсуждали ранее с квантово-механическим средним значением.
Позже мы рассмотрим алгебру угловых моментов более подробно и строго
выведем свойства, которые обсуждаются здесь только в устной форме.
Если сделать формальный предельный переход К 0, то соотношения
неопределённости перестают создавать какие-либо ограничения на наблю-
даемые величины. Останавливается расползание волнового пакета (5.26)
и все физические величины могут иметь определённые значения в одно и
тоже время. Как мы уже упоминали, постоянная Планка просто предостав-
ляет числовую шкалу для измерения основанных на симметрии квантовых
законов. Если эта шкала намного меньше, чем та, которая используется для
физических измерений, то квантовые неопределённости становятся незна-
чительными. Для углового момента этот предел может быть достигнут
следующим образом: нужно уйти в сторону больших (макроскопических)
квантовых чисел, 1 -Д оо , когда 1(1 + 1) ~ I2 = (1|)тах- В этом случае
восстанавливается классическое понятие ориентации вдоль выбранного на-
правления. Затем мы полагаем К -д 0 таким образом, что величина углового
момента М остаётся конечной. Спин частицы не имеет макроскопического
предела, а вектор спина величины Н/2
3
з2 = ф + 1) = - (5.92)
исчезает в классическом пределе. Однако он проявляется, например, при
ферромагнетизме, когда в конкретном направлении выстаивается макро-
скопически значимое число спинов.
В заключение этой затянувшейся главы, необходимо подчеркнуть, что
квантовая теория основана на существовании дополнительных физических
величин и комплиментарных типов экспериментов. Эта комплиментарность,
в свою очередь, отражает специфические свойства симметрии наблюдаемых
величин. Комплиментарные эксперименты можно рассматривать как раз-
личные проекции одного и того же состояния микрообъекта на различные
физические ситуации. В некотором смысле это аналог различных систем
отсчёта в теории относительности, только вместо преобразования Лоренца,
есть правила преобразования квантовых амплитуд между различными
типами измерений. Но интерпретация результатов является вероятностной,
так что полная волновая функция может быть изучена только в серии
экспериментов, проводимых в одинаковых условиях. Соотношения неопре-
делённости — это численное выражение принципа дополнительности, т. е.
взаимодействия фундаментальных симметрий на квантовом уровне.
Дальнейшее чтение: [13-17].
Квантовые явления происходят не
в гильбертовом пространстве, они
происходят в лаборатории.
Цитата приписывается А шеру Пересу,
Ркузгсз Тодау, Август 2005, с. 66.
Глава 6
Гильбертовы пространства и операторы
6.1 Амплитуда вероятности
Познакомившись с квантовыми идеями в наших вступительных лекциях,
мы можем попытаться взглянуть на квантовую теорию с более общей точки
зрения. Некоторые темы нами уже рассматривались. Здесь мы обсудим
их в несколько более формальном подходе, введя в квантовую теорию
практическую математику.
Вопрос, на который должна ответить теория, может быть сформулиро-
ван в терминах вероятности результатов различных экспериментов. Пусть
в момент времени 1$ приготовлено квантовое состояние Фд (как всегда,
мы называем «состоянием» квантовую систему в своей невозмущённой
эволюции) с определёнными значениями (совместимых) переменных А. Мы
интересуемся вероятностью Р(В,1; А, Л)) измерения в момент времени I
определённых значений (также взаимно совместимых и, вообще говоря,
отличных от А) переменных В. Если переменные множества В имеют
непрерывный спектр возможных значений, мы должны говорить о плот-
ности вероятности Р(В) присутствия различных значений В, так что
вероятность нахождения В в интервале от В до В + дБ равна Р(В)с1В.
Для простоты мы будем использовать обозначения для дискретного спек-
тра, хотя расширение на непрерывный спектр не представляет труда. Как
правило, можно рассматривать только дискретный спектр, выполняя пре-
дельный переход к континууму в конце; часто это будет предполагаться
в дальнейшем без дополнительных пояснений.
Искомая вероятность является реальной неотрицательной величиной,
которая может быть представлена комплексной амплитудой вероятности
(В,1\А,10),
(6-1)
Полная фаза амплитуды не влияет на экспериментально наблюдаемые
величины. Определение (6.1) следует читать справа налево: состояние,
первоначально характеризуемое набором А, изменяется со временем в со-
ответствии с квантовыми законами, затем подлежит измерению распреде-
ления переменных В. Амплитуда, которая появляется в уравнении (6.1),
будет называться амплитудой вероятности состояния А в В-представлении.
Выбор представления зависит от нашей цели (то есть выбора представляю-
щих интерес величин В и соответствующей экспериментальной установки).
Амплитуда (В|А) (временные аргументы могут быть опущены, если время
не важно) является аналогом классической амплитуды волны.
Каждое измерение В будет давать в результате некоторое число. При
повторении измерений в одинаковых условиях, мы получаем распределение
вероятности. Было бы естественно попытаться нормировать вероятности
(6.1) таким образом, чтобы их сумма (интеграл в случае сплошного спектра)
по всем возможным значениям В была равна 1,
= 1- (6-2)
в
Если эта сумма (интеграл) сходится, мы всегда можем получить нормировку
(6.2) путём умножения всех амплитуд на численный множитель, который
не зависит от В. В случае возникновения расходимости, амплитуды не
нормированы, но относительные вероятности различных значений В по-
прежнему имеют смысл.
6.2 Суперпозиция и интерференция
Рассмотрим вероятность события, которое может произойти в результате
перехода системы через ряд независимых неперекрывающихся промежуточ-
ных состояний (может быть получено разными способами). Классический
подход состоял бы в следующем. Пусть А — выпускник средней школы.
Мы интересуемся вероятностью успешного получения, им или ей, степени
бакалавра В после окончания колледжа С. Тогда очевидно, что
Р(В;А) = ^Р(В;С)Р(С;Л), (6.3)
С
где Р(С; А) есть вероятность поступления А в колледж С, а Р(В', С) явля-
ется вероятностью получения степени по окончании этого колледжа. Это
классическое сложение и умножение вероятностей.
Рис. 6.1. Схема интерферометра с расщеплённым лучом.
В квантовой механике классическое правило (6.3) является недействи-
тельным. Возьмем, к примеру, устройство типа фотонного интерферометра,
рисунок 6.1. Пусть К — доля интенсивности, отражаемой от центральной
пластины О и Т — коэффициент прохождения. Тогда мы имеем
Р(С1;А) = Т, Р(В;С1) = Я, Р(С2;Л) = Я, Р(В;С2) = В, (6.4)
и общая вероятность достижения точки В есть, в соответствии с уравнени-
ем (6.3),
Р(В;А) = 2ВВ,
(6-5)
независимо от разности хода лучей света. Очевидно, что рецепт (6.3) не учи-
тывает разности фаз^ зависящей от длины пути лучей и, следовательно, не
включает эффектов интерференции. Относительную фазу расщеплённых
лучей света, не следует путать с общей фазой амплитуды (В|А), которая
на самом деле не имеет значения.
Задача 6.1
Получите правильный квантово-механический результат
Р(В;А) = 2КТ
(6.6)
где Е/К — частота фотона и ст — разница длин пути через С\ и С2. Следует
отметить, что при определённых условиях эта вероятность может быть
вдвое больше, чем классический результат (6.5); однако, она может также
Рис. 6.2. Иллюстрация принципа суперпозиции с помощью простого
эксперимента с поляризатором А и анализатором В.
обращаться в нуль. Это схематическое изображение интерференционно-
го компаратора, который позволяет измерять расстояния при известной
частоте света.
На квантовом языке падающий пучок в этом примере соответствует
состоянию фотона с определённым (по величине и направлению) вектором
импульса. После того, как луч был разделён, фотонное состояние сохраняет
величину импульса и энергию, хотя и не сохраняет направление (макро-
скопическое устройство поглощает импульс отдачи, и мы пренебрегаем
энергией отдачи, см. раздел 5.9). Так как общая система фотона и интер-
ферометра является замкнутой, но по прежнему есть состояние системы
в том смысле, в котором мы говорили в начале этого раздела. Однако
теперь это состояние представляет собой сочетание, суперпозицию состоя-
ний, соответствующих двум определённым направлениям распространения.
Если бы дополнительный детектор был включен в плечах интерферометра,
можно было бы поймать фотон в одном из них и это вовсе не было бы
«частью» фотона. Тем не менее, подобно тому, что мы видели в ходе экс-
перимента с двумя щелями в разделе 5.2, это дополнительное измерение
полностью нарушило бы интерференцию двух компонент путём фиксации
одной из возможностей.
Таким образом, выполняется принцип суперпозиции', состояние, являю-
щееся членом одного набора состояний, можно рассматривать как супер-
позицию состояний из другого набора. И наоборот, любая суперпозиция
снова является одним из возможных состояний системы. Правильное мате-
матическое выражение принципа суперпозиции можно найти с помощью
простого примера, см. рисунок 6.2. Пусть свет поляризован в направлении
А, в то время как мы интересуемся интенсивностью света прошедшего
через анализатор В. В соответствии с известным оптическим законом (или,
можно сказать, «в соответствии с экспериментом»), эта интенсивность
равна
Р(В;А) = соз2(а + /3). (6.7)
Но, согласно принципу суперпозиции, падающий пучок может быть пред-
ставлен в виде комбинации волн, поляризованных в двух взаимно перпенди-
кулярных базисных направлениях С1 и Сд. Анализаторы, соответствующие
этим двум направлениям, будет пропускать интенсивности
Р(Су А) = сое2 а и Р{С2\А) = со82(се + тг/2) = ет2 а. (6.8)
Для этих возможностей доли интенсивности, прошедшей через финальный
анализатор В, даются с помощью
Р(В, С1) = сое2 /3 и Р(В, СД = со82(тг/2 — /3) = еш2 /3. (6.9)
Мы опять видим, что соотношение (6.3) противоречит уравнениям (6.7)-
(6.9). Правильный результат (6.7) получается, если ввести амплитуды (6.2)
с соответствующими относительными фазами
(С1|А) = СО8СЕ, (С?2 I А) = СО8(а + 7Г/2) = — 8Ш СЕ,
(В\С1) = СО8 /3, (В|С2) = СО8(тг/2 — /3) = 8Ш /3.
Тогда
(В|С1) (С1|А) + (В\С2) (С2|А) = СО8СЕ СО8/3 — 81П СЕ 8Ш/3 =
= СО8(СЕ + /3) = (В|А).
Мы видим, что амплитуды вероятности с их относительными фазами, а
не сами вероятности, должны быть объединены правильным способом, что-
бы дать правильную интерференционную картину. Следовательно, вместо
классического правила (6.3), принцип суперпозиции может быть записан
в виде:
(В\А)^^(В\С){С\А), (6.13)
с
(6.10)
(6.И)
(6-12)
или, в более полной форме и для непрерывного спектра,
(В,1\А,10) = У с1С (В,1\С,0 (6.14)
Здесь Г — произвольный промежуточный момент времени (без интегрирова-
ния по Г). Для получения вероятности Р(В; А) берём квадрат суммы (6.13).
Это даёт парциальные вероятности каждого пути вместе с интерференцион-
ными членами между путями. Классический рецепт (6.3) восстанавливается,
если есть множество промежуточных состояний С с хаотическими фазами
амплитуд. В результате этого будет иметь место значительное сокраще-
ние перекрёстных членов, поэтому в пределе останутся только квадраты
отдельных амплитуд, и мы возвращаемся к классическому сложению ве-
роятностей (6.3). Таким образом, классическая теория восстанавливается
в результате полной некогерентности квантовых амплитуд.
6.3 Векторы состояния
Наряду с изучаемым состоянием Фд, можно посмотреть на результат
измерения набора динамических переменных, отличающихся от В, на-
пример, В. Это приводит к амплитуде < П\А > того же состояния А
в В-представлении. Если принцип суперпозиции (6.13) является универ-
сальным, то, используя новое представление, но тот же базисный набор
промежуточных состояний С, получим
Д|Д = У2Д|С)(С|Д. (6.15)
с
Мы заключаем, что, независимо от представления, имеет место равенство
= (6.16)
С
где вместо многоточий можно подставить характеристики используемого
представления. Последнее выражение похоже на разложение вектора а
в некотором А^-мерном векторном пространстве по базису {сп}:
а = ЕСп (Сп ’ (6Щ
п
Выбор представления аналогичен проектированию вектора а
на фиксированный вектор Ь, с1,..., по аналогии с уравнениями (6.13)
и (6.15):
(Ъ • а) = ^(Ь • еп)(сп • а). (6.18)
п
Различные представления служат в роли различных систем координат или
различных точек зрения на то же самое состояние А. «Промежуточные
состояния» С на самом деле это состояния той же системы, используемые
в качестве базисных векторов. Исходное состояние представлено в (6.16)
в виде линейной комбинации этих базисных векторов (принцип суперпози-
ции), и амплитуда каждой компоненты, присутствующая в суперпозиции,
задаётся проекцией исходного вектора на соответствующий базисный век-
тор (сравните с рис. 6.2).
Итак, каждому состоянию А квантовой системы мы можем сопоставить
вектор состояния, обозначаемый как |А) в абстрактном векторном про-
странстве, которое включает в себя все возможные состояния системы.
Это многообразие называется гильбертовым пространством. Компонен-
тами вектора |А) являются амплитуды вероятности (В1|А), (В2|И),---
для всех возможных результатов измерения Вг переменных В (В-представ-
ление) или, в другой системе координат, амплитуды вероятности (В1|А),
(ВдЦ), • • • (В-представление). Существуют полные наборы состояний про-
межуточных векторов |С), которые могут быть использованы в качестве
базиса, и принцип суперпозиции (6.16), по существу, является утверждени-
ем полноты набора, что позволяет нам использовать этот набор в качестве
базиса:
|.4) = Е|С)(С|А). (6.19)
С
аналогично обычным векторам (6.17).
Амплитуда вероятности нахождения в состоянии |А) частицы в точке
г в момент времени I — это просто наша старая волновая функция в ко-
ординатном представлении Фд(г,/;). На новом языке это «координатная»
компонента вектора состояния |А):
Фд(г,^) = (г, 1\А). (6.20)
Таким же образом, компонента «импульса» того же вектора состояния —
это волновая функция Фд(р,/;) в импульсном представлении,
Фд(р^) = (рДД-
(6-21)
Многие из наших предыдущих результатов можно переписать в терминах
соотношений между векторами состояния. Например, уравнение эволю-
ции во времени (3.38) состояния Ф(ж,Г)— это то же самое, что принцип
суперпозиции (6.14) в координатном представлении, где промежуточные
состояния берутся также в координатном представлении
(6.22)
Пропагатором в этих обозначениях является
С(ж,ж7^) = (ж, 1\х , I'). (6.23)
Гильбертово пространство является комплексным, поскольку, как прави-
ло, амплитуды являются комплексными. Число независимых компонент
(В|А) может быть конечным или бесконечным, в зависимости от спектра
соответствующих динамических переменных.
6.4 Геометрия гильбертового пространства
Сравнение принципа суперпозиции (6.19) с разложением по базису обыч-
ного вектора (6.17) показывает, что амплитуды вероятности (С|А) являются
проекциями вектора |А) на другой вектор |С) (в данном случае, принадле-
жащий выбранному базису).
В более математической терминологии, эти амплитуды являются внут-
ренними (скалярными) произведениями изучаемого вектора |А) и векто-
ра |С), используемого для идентификации одного из возможных путей
эволюции исходного состояния. В реальном векторном пространстве это
действительно «нормальное» скалярное произведение (сп • а) = (а • сп),
см. уравнение (6.17). В квантовой механике, однако, амплитуды являются
комплексными. Вероятность | (С|А) |2 есть перекрытие этих двух векторов
состояния и, таким образом, она должна быть равна вероятности обратного
эксперимента |(А|С)|2, где мы начинаем с состояния, зафиксированного
как |С), и измеряем его характеристики с помощью переменных А, в А-
представлении. Соответствующие амплитуды могут отличаться фазами,
и предполагается, что они являются комплексно сопряжёнными. Как мы
увидим в ближайшее время, это согласуется с тем, что мы уже использова-
ли в конкретных примерах в координатном и импульсном представлениях.
Во всех случаях комплексное сопряжение отражает обратное развитие
событий и, следовательно, имеет отношение к преобразованию обращения
времени, см. раздел 8.1.
Скалярное произведение двух векторов в гильбертовом пространстве:
(Фв,ФаЩ (В\А),
(6.24)
где мы использовали два эквивалентных обозначения, может быть опре-
делено для каждой упорядоченной пары \В) и |А) как функционал, для
которого справедливы следующие правила:
(1) условие взаимности:
(Фв|Фа) = (Фа,Фв)*; (6.25)
(п) линейность по отношению ко второму аргументу:
(Фв, сеФд + с/Фд/) = а(Фв, Фд) + с/(Фв, Фд')> (6.26)
где мы использовали суперпозицию состояний |А) и с произвольными
комплексными коэффициентами а и а7, и
(ш) неотрицательное определение скалярных квадратов (норм), всех
векторов |Ф) [все квадраты (Ф,Ф) являются вещественными, как следует
из (6.25)],
(Ф,Ф) > 0, (6.27)
где равенство (Ф,Ф) = 0 имеет место лишь для нулевого вектора, кото-
рый имеет все компоненты (скалярные произведения с любым базисным
вектором, и, таким образом, с любым другим вектором) равными нулю.
Как следует из условий (1) и (п), скалярное произведение антилинейно
по отношению к первому вектору,
(/ЗФв,Фа) = (Фа,/?Фв)* = (/?(Фл,Фв))* = Г(Фв,Фа). (6.28)
Скалярное произведение (6.24), по предложению П. Дирака, называется
бракет, где левый вектор —это бра-вектор, а правый — кет-вектор.
На самом деле, мы уже использовали это определение. В пространстве
функций Ф, квадратично интегрируемых в области их определения Г,
амплитуды вероятности (см. (3.14) и (3.31)) выражаются через интегралы
с соответствующим элементом объёма дт,
(Ф',Ф) = У <7тФ'*Ф. (6.29)
В случае конечной размерности с/, вектор |Ф) может быть представлен
в виде столбца, построенного из б проекций, сравните с (6.17),
Ф =
/ а-1 \
\ «а /
(6.30)
В своём собственном представлении базисные векторы Ф^- — это столбцы
с только одной, 7-ой ненулевой компонентой (равной 1). Тогда бра-вектор
представляет строку с комплексно-сопряженными компонентами, и мы
будем также использовать присоединённый вектор
Ф*= Д, (6.31)
так что скалярное произведение, использовавшееся в (6.30), определяется
как
а
(ФВ|ФЛ) = ^А = ^Ь*Ц. (6.32)
.7=1
Мы предположили здесь, что базисные векторы ортонормированы,
ф!ф, = 5л, (6.33)
хотя обобщение на случай неортогональных (но линейно-независимых)
базисных векторов тривиально. Скалярное произведение (6.32) является
частным случаем умножения матриц, (строка х столбец). Легко видеть,
что в обоих случаях (6.29) и (6.32), все аксиомы скалярного произведения
выполняются.
Если норму |Ф| = у/(Ф, Ф) связывать с длиной вектора, можно дополнить
гильбертово пространство понятием расстояния:
|Ф - Ф'| = У(Ф - Ф',Ф - ф'), (6.34)
и доказать все теоремы евклидовой геометрии для многомерных комплекс-
ных векторов. После этого можно рассматривать последовательности век-
торов, ввести понятия пределов и сходимости, и так далее.
Задача 6.2
Докажите, что неравенство треугольника:
|Ф - Ф'| < |Ф - Ф"| + |Ф" - Ф'|, (6.35)
справедливо для любых трёх векторов Ф, Фх и Ф".
Считая амплитуды вероятности связанными со скалярным произведе-
нием соответствующих векторов в гильбертовом пространстве квантовых
состояний системы, мы можем переписать принцип суперпозиции (6.13)
в виде:
(Фв, Фл) = (В\А) = 52(ФС, Фв)* (Фс, Фа), (6.36)
С
в полной аналогии с уравнениями (6.18) и (6.32). Например, возьмём в ка-
честве состояния Фв плоскую волну с импульсом р частицы, так что
скалярное произведение (В|А) в (6.36) является волновой функцией Фд(р)
состояния А в импульсном представлении, см. уравнение (6.21). В качестве
полного набора промежуточных состояний С можно взять множество лока-
лизованных состояний с определёнными значениями координаты г, так что
Ес /А' и, в соответствии с формулой (6.20), (Фсз Фд) = (ГЦ) = Фд(г)
является координатой волновой функции состояния А. Тогда (С\В) являет-
ся амплитудой вероятности нахождения координаты г в состоянии плоской
волны, то есть, координатной волновой функции плоской волны:
(ФС, ФВ) = (С\В) = <г|р> = е(^)(Р'г). (6.37)
С учётом комплексного сопряжения в уравнении (6.36), мы приходим
к стандартной форме преобразования Фурье (4.4):
ФДр) = уЛге-(г/п)(рТфл(г). (6.38)
Если мы возьмем в качестве набора промежуточных состояний С полный
набор состояний со всеми возможными значениями А' тех же перемен-
ных, которые используются для идентификации исходного состояния |А),
принцип суперпозиции принимает форму
(В|Л) = 5дв|Л')М'|Л). (6.39)
А'
Это равенство может быть выполнено в любом представлении В только
в том случае, если амплитуда (АХ|А) отбирает всего одну точку А' = А
во всей области интегрирования по А\ то есть:
где 6 — символ Кронекера для дискретного спектра и дельта-функции
Дирака для непрерывного спектра переменных А. Это означает, анало-
гично уравнению (6.33), что векторы состояния данного представления,
но с различными значениями переменных, должны быть ортогональны.
В дискретном спектре, вероятность можно нормировать,
Р(А;А) = |(А|А)|2 = 1, (6.41)
и тогда, используя свойство (ш) (6.27),
(А|А) = 1. (6.42)
Это совпадает с уравнением (6.40). С другой стороны, для А' Д А вероят-
ность найти значение А' в состоянии |А) с А Д А' должна исчезать, что
также следует из (6.40). Ненормированные состояния непрерывного спек-
тра могут рассматриваться с помощью предельного перехода. Напомним,
что саму 5-функцию следует понимать таким образом, см. раздел 3.3.
При условии выполнения нормировки, максимальный набор независимых
промежуточных состояний |С) образует полный ортонормированный базис,
который может быть использован для разложения (6.19) произвольного
вектора состояния |А). Условие полноты набора |С), как видно из (6.19),
формально можно записать в виде разложения единицы
Е|Ц(СД1. (6.43)
С
Это следует понимать как утверждение, что действие оператора в левой
части (6.43) на любой вектор состояния воспроизводит этот вектор в целом
можно собрать все проекции исходного состояния. Если мы поместим
уравнение (6.43) между локализованными состояниями, то получим
У^(г/|С)(С|г) = (г,|г) = 5(гх — г), (6.44)
с
что является нашим старым условием полноты (3.16) в новых обозначениях.
Если множество В полно, то полная вероятность всех возможных резуль-
татов измерения переменных В для данного (нормированного) состояния
|А) в сумме даст 1,
Ет д = е кдд|2 = = Еияидд =
в в в в (6.45)
= (Л|Д = 1.
Требование полноты, по существу, эквивалентно учёту вероятностей всех
возможных процессов.
Подводя итог, мы постулируем, что для каждой квантовой системы мож-
но ввести векторное пространство. Каждое возможное состояние является
вектором в этом пространстве, и может быть представлено в виде линейной
комбинации базисных векторов, принадлежащих к полному набору незави-
симых состояний. Наблюдаемые физические величины будут описывается
линейными операторами, действующими в этом векторном пространстве.
Строго говоря, мы можем работать с пучками, а не полными векторами,
так как нормировка векторов состояния является произвольной.
6.5 Линейные операторы
Линейный оператор С — это правило, по которому преобразуется состо-
яние из данного пространства в другое состояние в том же пространстве, и
такое преобразование линейно по отношению к произвольным комплексным
коэффициентам в сумме
$(аФл + 6ФВ) = а^Фд + ЬфЧ'в- (6.46)
Проекция вектора на данное состояние (формула (6.26)) является примером
линейного оператора. Если в результате действия оператора состояние
|Ф) не меняется, а только умножается на численный (в общем случае,
комплексный) множитель:
С|Ф) = д|Ф), (6.47)
это состояние является собственным вектором (истинным вектором) опе-
ратора соответствующим собственному значению (характеристическому
или истинному значению) ([. Совокупность собственных значений данного
оператора образует его спектр. Собственный вектор принадлежит к опреде-
лённому собственному значению, хотя для данного собственного значения
может существовать несколько линейно независимых собственных векто-
ров. В этом случае собственное значение называется вырожденным. Все
собственные векторы линейного оператора, которые принадлежат к одному
и тому же в собственному значению, образуют подпространство, и любая
линейная комбинация этих векторов также принадлежит к этому подпро-
странству. Размерность этого подпространства есть степень (кратность)
вырождения.
Рассмотрим полный набор ортонормированных состояний \п). Как мы
уже говорили, эти состояния удовлетворяют условиям (6.33) и (6.43),
(п|ш) = 5(п,ш), (6.48)
= (6-49)
п
В правой части (6.49) у нас фактически имеется единичный оператор, 1,
действие которого на произвольное состояние тривиально,
1|Ф) = |Ф>; (6.50)
Как правило, мы будем опускать шляпку у единичного оператора. Про-
извольный вектор может быть выражен в виде суперпозиции базисных
векторов,
|ф) = 52с«Н’ (б-51)
п
где коэффициенты разложения (обобщенные Фурье-амплитуды) находятся
из условия ортогональности (6.48) и равны
сп = (п|Ф). (6.52)
В силу свойства линейности (6.46), действие линейного оператора полно-
стью определяется его действием на векторы базиса \п):
да = У2с„еи (6.53)
п
Вектор, получающийся при действии <2 на базисный вектор \п), также мо-
жет быть представлен как комбинация базисных векторов \т) с некоторыми
коэффициентами фтп,
Ь\п) = Г.0тп\т). (6.54)
т
Численные коэффициенты (^тг1 образуют матрицу оператора в дан-
ном базисе, поэтому формулу (6.54) можно интерпретировать двумя спо-
собами: (1) как преобразование («вращение») базиса, когда повёрнутые
векторы базиса разлагаются по векторам старого базиса, и (и) как правило,
по которому любому оператору в фиксированном базисе \п) сопоставляется
соответствующая матрица. По аналогии с определением коэффициентов Фу-
рье в уравнении (6.52), матричные элементы (^тп могут быть определены
путём умножения (6.54) на бра-вектор (т\,
Отп = (т|е|п). (6.55)
В другом базисе матрица этого же оператора будет другая.
Произведение операторов, 8 = фЯ, является оператором, который есть
результат последовательного действия оператора К, а затем оператора С^.
Матричные элементы этого произведения операторов могут быть найдены
с помощью простой формулы,
8тп = (С-Й)тп = (т|СВ|п) = (т|С У2 Лп\1) = У ОтЛп, (6.56)
I I
то есть матрица произведения операторов является обычной матрицей,
получающейся в результате перемножения (строк на столбцы) матриц,
соответствующих перемножаемым операторам. Конечно, необходимо со-
блюдать порядок операторов, поскольку операторы в общем случае не
коммутируют и их коммутаторы, см. раздел 4.3, не обращаются в нуль.
Обратите внимание, что (6.56) можно также записать используя усло-
вия полноты (6.49) для промежуточного набора состояний \1). Единичный
оператор можно вставлять внутрь любого операторного соотношения:
(т\ек\п) = ^(т\е\1)(1\К\п) = У ОтМп- (6.57)
I I
Операторные соотношения, в отличие от матричных, имеют универсальный
вид, который не требует конкретизации базиса, поскольку они являют-
ся соотношения между величинами, независящими от выбора системы
координат.
6.6 Эрмитовы операторы
Операторы, соответствующие физическим наблюдаемым величинам,
должны иметь специальные свойствами. Установим связь (в общем случае
комплексных) матричных элементов операторов с реальными результатами
физических измерений.
Во-первых, определим для каждого линейного оператора комплексно
сопряжённый оператор ф*, потребовав, чтобы в любом базисе матричные
элементы двух операторов быть взаимно комплексно сопряженными,
Штп = ^тпУ- (6.58)
Во-вторых, введём другой оператор, связанный с Д. транспонированный
оператор 0У\ который получается в результате перестановки строк и столб-
цов в матрице,
0^ • — (^птп- (6.59)
С помощью формулы (6.57) легко устанавливаются простые правила для
произведения операторов:
(<ЭД)* = СУК*, (6.60)
($Я)Т = Кт^т. (6.61)
Введём теперь, путём объединения двух предыдущих свойств, понятие
эрмитово сопряжённого или присоединённого оператора . Для любого
оператора его эрмитово сопряжённый оператор определяется таким
образом, что для любых двух векторов |Ф) и |ФХ),
(СФ,Ф') = (Ф,<Уф'), (6.62)
то есть, его действие на кет-вектор даёт тот же результат, что действие Д
на бра-вектор. Очевидно, что ((Д V = <2 - С учётом соотношения взаимности
(6.25) мы находим, применяя (6.62) к базисным векторам,
(Фт, (Ж) = (СФт, Фп) = (Фп, Ж)* («*)„ = (Упт, (6.63)
или, используя (6.58) и (6.59),
Ц = (ётг = (ё*)т (6-64)
Из (6.60) и (6.61) для произведения операторов получаем
(СЯ)1 = (6.65)
Оператор С) является эрмитовым (самосопряжённым), если он совпадает
со своим эрмитово сопряжённым, <2 = . Матричные элементы оператора
удовлетворяют условию
^тп = (6-66)
диагональные элементы матрицы С)пп всегда вещественны, в то время как
любой недиагональный матричный элемент комплексно сопряжён со своим
зеркальным отражением относительно главной диагонали. Произведение
двух эрмитовых операторов является эрмитовым, только если они комму-
тируют:
(рку = = КЬ, (6.67)
что, в общем случае, не равно С) В. Тем не менее, всегда можно построить
две эрмитовых комбинации, антикоммутатор:
[$,Я]+ = + (6.68)
и (с множителем г) коммутатор (4.26):
г[$,Я] =г(<2Д-ад. (6.69)
Задача 6.3
Покажите, что
а) для любого оператора С оператор С + эрмитов; б) для любого эрмитова оператора С) и любых векторов |Ф) и Фх) лив аналог уравнения (6.66), справед-
(Ф'|$|Ф) = {Ф|$|Ф'>*; (6.70)
в) для произвольного оператора <2 оператор является эрмитовым, и
для любого вектора состояния |Ф) выполняется,
(Ф|^С|Ф) > 0. (6.71)
В главе 4 мы познакомились с операторами, соответствующими про-
стейшим динамическим переменным: координаты, импульса и момента
импульса. Свойство их эрмитовости зависит от класса функций, где они
действуют, то есть от гильбертова пространства. С некоторой осторожно-
стью, свойства эрмитовых операторов распространяются на пространства
бесконечной размерности (мы не углубляемся в математические детали).
Определим гильбертово пространство для одной частицы через координат-
ное представление [координатные компоненты (6.20) вектора состояния].
Скалярное произведение можно записать в виде интеграла (6.29) по бес-
конечному объёму или, для конечного объема У, как в разделе 3.8. Если
мы используем бесконечный объём и хотим, чтобы интеграл сходится, то
ограничиваемся квадратично интегрируемыми функциями. Локализован-
ное состояние (4.41) не принадлежит к этому классу, если мы считаем
дельта-функцию пределом «хороших» функций, которые принадлежат про-
странству Гильберта. Фурье-преобразование квадратично интегрируемой
функции даёт квадратично интегрируемую функцию в импульсном пред-
ставлении, где скалярное произведение может быть определено полностью
аналогично. Для конечного объема мы должны указать граничные условия,
которые определяют класс функций. Функции, аналогичные плоским вол-
нам, можно рассматривать с нулевыми или периодическими граничными
условиями на поверхности. Также может быть удобно добавить регуля-
ризующий множитель с пределом ту +0, что делает функции
квадратично интегрируемыми.
Задача 6.4
а) Покажите в координатном и импульсном представлениях, что оператор
х эрмитов на классе квадратично интегрируемых функций.
б) То же для оператора р.
Задача 6.5
Покажите, что оператор (4.68) орбитального момента относительно опре-
делённой оси эрмитов на классе периодических функций угла р с перио-
дом 2тг.
6.7 Свойства эрмитовых операторов
Собственные значения (6.47) и соответствующие собственные функции
эрмитовых операторов играют исключительно важную роль в квантовой
теории. Для операторов координаты и импульса мы привели их собственные
значения и собственные состояния в разделе 4.4. Считалось само собой
разумеющимся, что, в соответствии с их физическим смыслом, собственные
значения действительные числа. На самом деле, это свойство выделяет
эрмитовы операторы среди всех возможных линейных операторов.
Вернёмся к уравнению (6.47), которое определяет собственный вектор
|Ф) и собственное значение б/ оператора С^. Рассмотрим два вектора, |Фд) и
|Фд'), с собственными значениями ([ и одного и того же оператора С'.
< Ж> = Л>, е|Ф^) = ^|Ф^). (6.72)
Умножим второе уравнение на бра-вектор (Фд| и сделаем комплексное
сопряжение:
= (6.73)
Для эрмитова оператора <2 = и с использованием первого уравнения
(6.72), левую часть (6.73) можно переписать в виде
< Фд|С|Ф90* = (6.74)
Скалярное произведение в правой части уравнения (6.74) такое же, как
в формуле (6.73) и, взяв разность (6.73) и (6.74), получим
(</*-Д(Фд,|ФД = 0. (6.75)
Если |Фд/) такой же (ненулевой) вектор, как |Фд), = (/, его норма положи-
тельна (уравнение (6.27)) и из (6.75) следует, что д* = (/. Это показывает,
что все собственные значения эрмитовых операторов являются веще-
ственными числами. Если собственные значения разные, Д б/. то мы
приходим к выражению
(Фд|Фд/) = 0 если д Д б/, (6.76)
то есть, собственные векторы эрмитовых операторов, принадлежащие
к различным собственным значениям, ортогональны.
Задача 6.6
Найдите спектр собственных значений для оператора А = (^х +р, где —
произвольное комплексное число нужной размерности (оба слагаемых в А
должны иметь одинаковую размерность). Найти соответствующие собствен-
ные функции в координатном и импульсном представлениях. При каких
условиях собственные функции физически допустимы?
Решение Собственные функции в координатном представлении имеют
вид:
где А — собственное значение оператора А, и мы использовали х = ж,
р = — гКд/дх. Функция (6.77) может описывать физическое состояние
частицы, если плотность вероятности:
|^А|2 = е[(1тС)*2-2(1тА)Ж]/П (6.78)
не растёт неограниченно при больших |ж|. Для этого требуется, чтобы
выполнялось условие 1т (<Д < 0. Если — это вещественное число, то
оператор А эрмитов. Тогда, согласно (6.78), очевидно требуется, чтобы
собственные значения А были вещественными, в противном случае |^а|2
будет бесконечно расти на одной стороне. Такие же результаты следуют
из импульсного представления.
Одной из возможных ситуаций, которую мы ещё не обсуждали, является
случай, когда собственное значение ц вырождено. Любая суперпозиция
соответствующих собственных векторов является также собственным состо-
янием с тем же собственным значением, то есть они образуют подпростран-
ство нескольких линейно независимых собственных векторов. Из нашего
предыдущего рассмотрения нельзя сделать вывод, что эти собственные
векторы ортогональны. Тем не менее, мы всегда можем найти максималь-
ный набор взаимно ортогональных векторов, которые могут быть взяты
в качестве базиса в этом подпространстве. Для этой цели служит стандарт-
ная процедура ортогонализации, известная из линейной алгебры. Если
максимальное число линейно независимых векторов |ФД с одним и тем
же собственным значением эрмитового оператора равно д, это число
даёт размерность подпространства. Возьмём один из исходных векторов
|1) = |ФД, нормируем его (1|1) = 1 и построим линейную комбинацию
|2) = |Фд) + а|1), где |Фд)—какой-либо из (д — 1) остальных векторов.
Коэффициент а может быть определен таким образом, чтобы выполнялось
< 1|2> = 0 « = -<1|Ф2>, |2> = |Ф2> - <1|Ф2>|1>, (6.79)
то есть, мы вычитаем часть второго вектора, которая не ортогональна
первому вектору, см. Рис. 6.3. Нормировав |2) и продолжая в том же духе,
мы построим д ортогональных векторов — новый базис в этом вырожденном
подпространстве.
6.8 Диагонализация
Теперь мы можем обсудить практический алгоритм нахождения соб-
ственных значений и собственных векторов данного эрмитового оператора
Рис. 6.3. Иллюстрация процесса ортогонализации.
в пространстве конечного измерения. Мы ищем решение задачи на соб-
ственные значения:
$|Ф) = <?|Ф>, (6.80)
где оба набора, собственных векторов {|Ф)} и спектр {д} оператора, неиз-
вестны. Поставленная задача решается алгебраически с использованием
любого ортонормированного базиса |п), п = 1, для разложения неиз-
вестных собственных векторов:
а
|Ф) = ^2с„|п). (6.81)
п=1
Подставив (6.81) в уравнение (6.80) получаем:
= 9^2 СпН- (6.82)
п п
Проекция (6.82) на произвольной базисный бра-вектор (ш|, при исполь-
зовании ортонормированности (6.48) базисных состояний и матричных
элементов (6.55), даёт:
^п^тп О^гпп) = 0. ТП = 1, . . . , б. (6.83)
п
Мы пришли к однородной системе из б линейных алгебраических уравне-
ний для амплитуд {сп} собственного вектора в данном базисе. Тривиальное
решение, когда все сп = 0, всегда существует. Нетривиальные решения
существуют тогда, когда определитель из матрицы коэффициентов в урав-
нении (6.82) равен нулю,
Ое!(<Э - $7) = 0, (6.84)
где 1 — единичный оператор (6.50) с матричными элементами 5ШП в любом
ортонормированном базисе. Уравнение (6.84) называется характеристиче-
ским или секулярным и сводится к полиному Р(д) с/-ой степени, который
имеет (1 корней дд, а = 1,2,..., с/,, являющихся собственными значениями,
которые мы ищем. Для эрмитового оператора все собственные значения
вещественны. Для каждого собственного значения дц, возвращаясь к систе-
ме уравнений (6.83), находим д—1 амплитуд, выраженных через последнюю
амплитуду, которую можно определить, использовав условие нормировки:
(ф(“)|ф(“)) = У2 |4а) I2 = 1. (6.85)
п
Так как собственные векторы для различных собственных значений
ортогональны, а для вырожденных собственных значений они могут быть
ортогонализированы, в результате этой процедуры получается набор (1
ортогональных векторов в (/-мерном пространство, который может служить
в качестве нового базиса. В этом базисе оператор является диагональным
с собственными значениями на главной диагонали,
(ф(«)Д|ф(Д = (6.86)
Если мы определим, как и в (4.17), ожидаемое значение оператора в про-
извольном состоянии как значение его диагонального матричного элемента
для этого состояния, то это ожидаемое значение совпадает с собственным
значением. Переход от произвольного исходного базиса \п) к базису |ф(а)),
построенному из собственных векторов некоторого оператора, называется
диагонализацией. Примеры с важными физическими следствиями будут
отложены до главы 10.
Задача 6.7
Покажите, что любой оператор <2, который имеет конечный полный набор
собственных значений д(У. а = 1,..., с/, удовлетворяет полиномиальному
уравнению
Ра(О) = (С - 91)(С - 92).-(С - 9а) = 0. (6.87)
Уравнение (6.87) следует понимать как утверждение, что оператор в ле-
вой части уравнения уничтожает любой вектор в гильбертовом простран-
стве. Из этого результата следует, что любая регулярная функции эрмитова
оператора в (/-мерном пространстве может быть выражена как оператор-
полином степени не выше чем (1 — 1.
6.9 Преобразования базиса
Мы обсудили переход от произвольного базиса к базису собственных
векторов эрмитова оператора. Оба набора являются полными и ортонорми-
рованными. Существует бесконечное количество возможностей для выбора
базиса, что аналогично возможностям вращений трёх базисных векторов
в координатном пространстве. Все такие преобразования обладают общими
свойствами, которые приведены в этом разделе.
Мы помним, что оператор полностью определяется своим действием
на векторы базиса. При выстраивании базисных векторов в некотором
порядке, мы рассматриваем преобразование С/, которое даёт новый вектор
\п)' вместо вектора старого базиса |п),
П\п) = \пУ. (6.88)
Пусть новый вектор имеет представление в старом базисе в виде
н' = Ес™и- (6-89)
т
Набор коэффициентов Су определяет волновую функцию состояния |п/
в старом представлении и, в то же время, матричные элементы 17 в старом
базисе,
Итп = (гп\и\п) = (т\пУ = С™. (6.90)
Таким образом, новая волновая функция \п)' в старом представлении
просто является п-м столбцом матрицы преобразования 17тп.
Если преобразование 17 является несингулярным (не превращает любой
старый вектор в нулевой вектор), обратное преобразование С/-1 от нового
базиса к старому тоже существует,
С-1|п)' = |п), иц-1 = ц-1и=1. (6.91)
Если нуль принадлежит спектру оператора <2? то существует ненулевой
вектор |Ф) такой, что <2|Ф) = 0, так что оператор является сингулярным,
и его обратный оператор не существует. Для несингулярных операторов (У
и Я,
Если оба базисных набора, \п)' и |п), ортонормированы,
'(т\п)' = 5тп = (т|п), (6.93)
преобразование обладает особыми свойствами. Из уравнения (6.88) и его
эрмитово сопряжённого '{т\ = (т|Ш, следует, что
= (т\&17\пУ (6.94)
так что эквивалентность (6.93) для любой пары базисных векторов имеет
место, если оператор, выполняющий преобразование между двумя орто-
нормированными базисами, удовлетворяет условию
цТ = 1 = (6.95)
Такие преобразования называются унитарными. Произведение (последо-
вательное действие) двух унитарных операторов, 17 и У, является также
унитарным оператором:
ДтД = ЛЛ = = ЛУГ1, (6.96)
Единичный оператор 7, очевидно, является унитарным. Таким образом,
все свойства группы (см. раздел 4.6) выполняются и унитарные операторы,
действующие в пространстве данной конечной размерности с/, образуют
унитарную группу 17(6).
Унитарное преобразование сохраняет все физические амплитуды, вы-
ражаемые в виде перекрытия двух векторов состояния. Действительно,
произвольное состояние |Ф) при таком преобразовании 17 трансформиру-
ется в |ФХ), и новый вектор имеет в новом базисе те же амплитуды, что и
старый вектор в старом базисе,
|Ф) = уСп|п) - С|Ф) = ^сп\пУ = |Ф'>. (6.97)
п п
Отсюда следует
(Ф1|Ф2) (Ф'1|Ф'2) = ДФ1|СФ2) = (Ф1|С^Ф2) = (Ф1|Ф2). (6.98)
Операторные соотношения между векторами состояния в общем случае
меняются в различных представлениях. Пусть два исходных вектора |ФД
и |Ф2) связаны через оператор ф,
Применим несингулярное преобразование Т к обеим частям:
|Ф2)' = Т|ф2) = Щ|фх) = Т<7Г-17’|Ф1) = тет-^фх/. (6.100)
Это означает, что после преобразования Т роль оператора <2 будет играть
преобразованный оператор
у = тет~1 (6.Ю1)
(преобразование подобия). Мы можем найти условия, при которых эрмитов
оператор Д = остаётся эрмитовым, . Последнее равенство
приводит к
Т&Г-1 = (Т&Г-у = (6.102)
Легко показать, что
(Т~У = (Т1)-1. (6.103)
Поэтому эрмитовость <2 сохраняется, если
(НгрН = ТСТ~\ (6.104)
и, умножая обе части последнего равенства на И слева и на Т справа, мы
приходим к
= тЧД (6.105)
Оператор Нт должен коммутировать с произвольным эрмитовым опе-
ратором. Тогда, согласно Задаче 6.8, Т^Т = сопе! • 1. Таким образом,
унитарные преобразования 17 сохраняют эрмитовость операторов; в новом
базисе оператор
д = сеС-1 = СеС* (б.юв)
имеет точно такие же матричные элементы, как и прежде,
С'п' = Отп. (6.107)
Задача 6.8
Докажите, что оператор в векторном пространстве конечной размерно-
сти, коммутирующий с любым другим линейным оператором, является
константой, умноженной на единичный оператор.
Решение Так как [X, А] =0 для произвольного оператора А, мы можем
взять А только с одним ненулевым матричным элементом А&/, так что
Атп = 8тк$п1- Тогда, для любых гД должно быть,
[X, А]^' = ^Х^пАПд — А^ХП^ = Х^§1д — бц^Х^ = 0. (6.108)
п
Единственным решением является Х^ = или X = с -1. Доказательство
можно повторить для оператора А, являющегося произвольным эрмитовым
оператором (число независимых эрмитовых операторов равно с/2, как и
общее число независимых операторов).
6.10 Непрерывные преобразования и генераторы
Собственные значения унитарного оператора V являются комплексными
числами и с абсолютным значением, равным единице: если
Д|ф) = П|Ф>, (6.109)
то находим для гЭи = 1
(ф|ф) = <ф|СтС|ф> = м2(ф|ф>, (6.1Ю)
таким образом,
|п|2 = 1, и = ег7, (6.111)
с вещественным параметром у. Мы можем диагонализовать унитарный
оператор с помощью стандартной процедуры и найти все его собственные
значения ехр(гуп), которые расположены на окружности единичного ради-
уса. Если ввести эрмитов оператор С с собственными значениями уп, мы
получим операторное тождество,
II = е*6, (6.112)
которое действительно в произвольном базисе. Функцию от оператора
в уравнении (6.112) следует понимать как соответствующий степенной ряд.
Важный вывод состоит в том, что любой унитарный оператор может
быть представлен в виде (6.112) с эрмитовым оператором С. Во многих
случаях унитарные преобразования II(а) зависят от непрерывного веще-
ственного параметра а (или от нескольких параметров) и образуют группу
преобразований. Каждое преобразование И (а) имеет обратное (Н(а)) , а
единичное преобразование, II(«о) = Л изменением масштаба а может быть
приведено к исходному значению, «о = 0. Вблизи «о параметр а мал и,
в линейном приближении, С (а) ~ ад. При преобразовании II(а), которое
близко к единичному оператору (инфинитезимальное преобразование),
II(а) 1 + гад. (6.113)
Тогда эрмитов оператор д является генератором преобразования (см. раз-
делы 4.5 и 4.7), и обратное преобразование с той же точностью, есть
С/-1(а) = Ц^(а) « 1- гад. (6.114)
Общее правило операторного преобразования (6.106) может быть приме-
нено к бесконечно малым преобразованиям, когда
фФ) = С/|Ф) - |ф) = год|Ф>, (6.115)
и
= сес-1 - е. (6.И6)
С помощью операторов, преобразованных в линеаризованный вид (6.113),
(6.114), находим
= (1 + ш^)<2(1 — гад) — <2 ~ га(д(^ — <^д) = га[д, ФК (6.117)
преобразование операторов определяется в линейном приближении их
коммутаторами с генераторами преобразований. В главе 4 мы уже рас-
сматривали преобразования пространственного сдвига и поворота. Оба они
являются унитарными, как это ясно из их физического смысла: перекрытия
волновых функций не изменятся, если обе функции одинаково сдвигаются
в пространстве или поворачиваются на один угол. В обоих случаях мы
нашли экспоненциальное представление (6.112) с непрерывными парамет-
рами и соответствующими эрмитовыми генераторами, то есть операторы
линейного и углового момента. Результаты Задач 4.7 и 4.8 показывают, что
при сдвиге на вектор а, операторы координаты и импульса преобразуются
как
т = г — а, р = р. (6.118)
Компоненты любого векторного оператора V преобразуются при вращени-
ях на угол а вокруг оси г согласно
= К;СО8СЕ + ^8Ша, Уу = Уу СОЙ СЕ — Ух 81ПСЕ, У'%—У%. (6.119)
Заметим, что в (6.119) мы получили обычное преобразование для враще-
ния объекта на угол —се, в полной аналогии с преобразованием координат
при перемещении (6.118). Это связано с разницей между активной карти-
ной преобразования (преобразуется объект) и пассивной картиной, когда
система координат преобразуется в обратном направлении.
6.11 Проекционные операторы
Для того, чтобы явно применить полный операторный формализм к кон-
кретным квантовым переменным, мы должны сначала ввести класс про-
екционных операторов. Мы можем разделить пространство Гильберта
с полным базисом \п) на две части: подпространство Г, натянутое на часть
{п} Е Г базисных векторов и его ортогональное дополнение Г. Любой
вектор |Ф) однозначно представляется в виде суперпозиции:
|Ф> = |ф>г + |Ф>г, |Ф>г = ЕНИф>- (6.120)
пег
Проекционный оператор (проектор) Л г — это оператор, который отсекает
часть произвольного вектора, которая не принадлежат множеству Г,
ЛГ|Ф) = |Ф)Г. (6.121)
Очевидно, что:
Лг + ЛГ = 1. (6.122)
Проекционный оператор можно формально записать в виде:
ЛГ = У21ПХП1; (6.123)
пег
оператор
Кп = \п)(п\ (6.124)
проектирует п-ю компоненту вектора. Если Г совпадает со всем простран-
ством, Л г = 1. В этом случае Г является пустым множеством, а уравне-
ние (6.123) — это просто наше старое условие (6.43) и (6.49) полноты базиса.
Иногда бывает удобно представить произвольный оператор с матричны-
ми элементами (^тг1 в определённом базисе в виде:
<2 = У Отп\т){п\. (6.125)
тп
Матричный элемент (^тг1 соответствует переходу п так как мы
извлекаем п-ю компоненту вектора и перенаправляем её вдоль направления
т.
Любая степень проекционного оператора равна ему самому,
(ЛгУ = Лг, (6.126)
так как Г-проекция вектора уже полностью лежит в подпространстве Г, и
поэтому следующие проекции не изменяют результат. Отсюда следует, что
собственные значения проекционного оператора Лг либо 1, (любой вектор
|Ф)г является таким собственным вектором) или 0 (любой вектор |Ф)р такой
собственный вектор). Таким образом, проекционный оператор является
сингулярным и не имеет обратного оператора: невозможно однозначно
восстановить весь исходный вектор после того, как некоторых компоненты
были уничтожены при проектировании.
Задача 6.9
Покажите, что проекционные операторы являются линейными и эрмито-
выми.
Задача 6.10
Установите условия, при которых операторы суммы Лг + Лгд разности
Лг — Лг' и произведения ЛгЛщ двух проекционных операторов Лг и Лг'
являются снова проекционными операторами, на какие многообразия они
проектируют?
Задача 6.11
Для оператора с множеством {дд} собственных значений постройте
проекционный оператор Л& такой, что он проектирует компоненты на невы-
рожденной базисный вектор \к).
Решение
ГТ ~ Цп
9к - (1п
п(^к)
6.12 Операторы наблюдаемых
Теперь мы в состоянии построить оператор, который будет символизиро-
вать процедуру измерения динамической переменной А. Пусть состояние
\о) имеет определённое значение а этой переменной (в то же время, оно
может быть охарактеризовано определёнными значениями других величин).
Пусть Л(Ф) — оператор проектирования на подпространство состояний,
где А имеет данное значение Ф,
Л(а/)|а) = \а)8(а',а), (6.128)
проекция вектора \а) является полным вектором, если а совпадает с тре-
буемым значением а7 и эта проекция исчезает, если а ф а!. Оператор А
для динамической переменной А мы определяем как сумму проекционных
операторов (6.127) по всем возможным значениям а7 этой переменной (весь
спектр А), умноженной на соответствующее значение этой величины,
А = = а'\а') (а'\• (6.129)
а' а'
Задача 6.12
В соответствии с общим определением (6.129), операторы координаты и
импульса могут быть выражены как
х = У с1хх\х){х\, р = У ^-^р\р)(р\, (6.130)
где мы используем локализованные состояния |ж) и состояния плоской
волны |р), как полные наборы, и нормировка в импульсном пространстве
выбирается согласно (4.2). Докажите, что эти выражения определяют
стандартный коммутатор (4.28).
Решение С использованием координатной волновой функции (ж|р) =
= ехр[(г/К)рх] плоской волны, коммутатор операторов (6.130) равен:
[хД = I (1х^хрУг/^рх\х)(Р\-е-^^рх\р)(х\У (6.131)
Преобразуя состояния \р) в координатное представление и интегрируя
затем по р, получаем
[х,р\ = [ (1х Лу ре^^^р^х~у^\х)(у\(х — р) =
; а (6.132)
= / <Лхс1у\х')(у\(х-у)Ш — 6(х-у').
./ ду
Тогда матричный элемент коммутатора между произвольными состояниями
даётся с помощью
д
Ах йу ДД^ДуДс - уД — 6(х - у),
ду
(6.133)
Интегрируя сначала по х с использованием дельта-функции, мы приходим
к выражению:
-уД
У ду _
(6.134)
= гК
что доказывает [х,р\ = гб.
С учётом определения (6.129), результат действия оператора А на состоя-
ние |А) с определённым значением а переменной А сводится к умножению
состояния на эту величину,
А|а) = а/Л(а/)|а) — ах5(а, Ф)|а) = а|а). (6.135)
а' а'
Таким образом, если переменная А имеет в данном состоянии определённое
значение а, это состояние является собственным состоянием оператора
А с собственным значением как раз равным а. В результате измерения
А можно получить любое возможное значение а, и только одно из этих
значений. Таким образом, каждый возможный экспериментальный резуль-
тат является собственным значением А, и, наоборот, любое собственное
значение может в некоторых ситуациях появляться в результате измерения.
Спектр оператора, отвечающего данной наблюдаемой, предопределяет все
возможные результаты её измерений.
Теперь легко найти, как оператор А действует на произвольное состояние
|Ф), а не на состояние с определённым значением А. В общем случае,
переменная А не имеет определённого значения в состоянии |Ф). Тем не
менее, множество состояний |а), охватывающее все возможные собственные
векторы А, является полным, и мы можем разложить |Ф), используя этот
набор в качестве базиса,
|ф> = Еиип
а
Действие оператора А, см. уравнения (6.129) и (6.128), даётся с помощью
Ж) = А|а)(а|Ф) = ^>|а)(а|Ф). (6.137)
а а
Пусть есть много одинаковых систем, приготовленных в состоянии |Ф). При
измерении переменной А, каждое испытание даёт определённый резуль-
тат, одно из собственных значений а. Среднее значение за большое число
измерений является ожидаемым значением (А)ф. Согласно определению
вероятности Р(а;Ф) различных значений А, ожидаемое значение равно
(л)ф = У2аР(«;ф)- (6.138)
а
Вероятность равна квадрату амплитуды (а|Ф),
(А)ф = 5>|{а|Ф)|2, (6.139)
а
или, используя свойства взаимности (6.25) и линейности (6.26),
(А)Ф = а(а|Ф)*(а|Ф) = ^а(Ф|аДа|Ф) = (Ф а|а)(а|Ф). (6.140)
а а а
Сравнивая (6.140) с (6.137), мы получаем, что среднее значение пере-
менной А в состоянии |Ф) даётся диагональным матричным элементом
оператора А,
(А)ф = (Ф|А|Ф) = (Ф, АФ), (6.141)
как мы видели и ранее, см. (4.17). Поскольку все результаты измерений, а
также их средние значения, являются вещественными, операторы наблюда-
емых должны быть эрмитовыми. Отметим также, что для нормированного
собственного состояния |а), где А имеет определённое значение а, среднее
значение должно совпадать с этим собственным значением,
(А)а = а. (6.142)
Среднее значение само по себе не может полностью описывать распределе-
ние экспериментальных результатов. Следующей важной характеристикой
состояния |Ф) является среднеквадратичное отклонение измерений от сред-
него значения (А)ф, то, что мы называли неопределённостью , (ДА)ф,
в главе 5. Теперь мы можем определить эту величину точно,
(△А)Ф = У((А-(ДФ)2)Ф =
I-------------------- /--------------- (6-143)
= а/(А2 - 2АД)Ф + ДЩф = л/Д2)ф - (АД.
Неопределённость (ДА)ф исчезает тогда и только тогда, когда состояние
|Ф) является собственным состоянием оператора А. В противном случае,
результат измерения А не может быть предсказан однозначно, и квантовая
теория даёт только вероятности различных результатов.
6.13 Одновременная измеримость
Мы постулировали, что каждой динамической переменной А может быть
поставлен в соответствие эрмитов оператор А, действующий в гильберто-
вом пространстве системы. Набор собственных векторов \о) оператора А
является полным и ортонормированным. Однако полная характеристика
состояния требует знания максимального набора величин, которые могут
одновременно иметь определённые значения. Величины А и В одновре-
менно измеряемы в состоянии |Ф), если измерение каждой из них даёт
уникальный результат. Тогда состояние |Ф) должно быть собственным
состоянием обоих операторов, А и В,
А|Ф) = а|Ф), В|Ф) = 6|Ф). (6.144)
Если (6.144) выполнено, мы имеем
АВ|Ф) = А6|Ф) = ЦФ), ВА|Ф) = а6|Ф), (6.145)
то есть, состояние |Ф), где величины А и В одновременно измеряемы,
является собственным для коммутатора [А, В] с собственным значением
равным нулю,
(АВ-ВА)|Ф) = [А, В]|Ф> = 0. (6.146)
Для произвольной пары величин А, В условие (6.145) может быть выпол-
нено только для конкретных состояний |Ф), и часто не может выполняться
в общем случае. Однако существуют пары коммутирующих переменных,
которые удовлетворяют операторному тождеству
[А, В] = 0. (6.147)
Можно доказать, что (6.147) является необходимым и достаточным услови-
ем существования полного набора состояний, которые являются одновре-
менно собственными состояниями операторов А и В.
Тот факт, что уравнение (6.147) необходимо, можно легко показать.
Предположим, что такая система состояний |Фа&) = \аЬ) действительно
существует. Тогда произвольный вектор |Ф) можно разложить согласно
|Ф) = У2Н)(аЬ|Ф). (6.148)
аЬ
Поскольку
АВ|Ф) = ^2аЬ\аЬ)(аЬ\^) = ВЛ|Ф), (6.149)
аЬ
мы имеем для произвольного состояния |Ф)
[А, В]|Ф> = О, (6.150)
и это эквивалентно (6.147).
Обратно, пусть (6.147). справедливо. Покажем сначала, что любой соб-
ственный вектор |Ф) оператора А с невырожденным собственным значени-
ем а является в то же время собственным вектором В. Из А|Ф) = а|Ф) и
коммутативности АВ = В А следует, что
АВ|Ф) = ВА|Ф) = Ва|Ф) = аВ|Ф), (6.151)
то есть, В|Ф) также является собственным вектором А с тем же собствен-
ным значением а. Так как а невырожденно, векторы |Ф) и В|Ф) линейно
зависимы, В|Ф) = Ь|Ф), что означает, что |Ф) также является собственным
вектором оператора В. Теперь предположим, что собственное значение а
оператора А является (/-кратно вырожденным. Как указывалось выше (раз-
дел 6.8), в данном ограниченном (/-мерном пространстве мы можем всегда
диагонализовать оператор В. В результате получим линейные комбинации,
которые являются собственными векторами оператора В, причём любая
линейная комбинация векторов в этом подпространстве автоматически
является собственным вектором оператора А.
Задача 6.13
Пусть В и С два оператора, коммутирующих с А, \а) — собственное
состояние А с собственным значением а, и [В, С]|а) Д 0. Докажите, что
собственное значение а является вырожденным.
Ситуация, описанная в последней задаче, показывает пути к нахождению
дополнительных квантовых чисел для того, чтобы различать между состо-
яниями, вырожденными по отношению к некоторому оператору, в данном
случае — по отношению к оператору А. Отсюда следует, что, по крайней
мере, один из векторов В\о) и С|а) (или оба) являются линейно независи-
мыми от \о). Пусть, например, \о) и |В|а) линейно независимы. Мы можем
диагонализовать оператор В в вырожденном подпространстве А. Векторы
нового базиса имеют одинаковые собственные значения а оператора А, но
собственные значения Ъ оператора В не могут быть все равными (докажите
это!). Таким образом, собственные значения 1ц могут быть использованы
для классификация различных состояний с тем же значением а.
Задача 6.14
Операторы А и В антикоммутируют, АВ + В А = 0. Могут ли они
одновременно иметь определённые значения? Приведите пример антиком-
мутирующих операторов.
6.14 Количественное описание соотношения
неопределённостей
Рассмотрим пару эрмитовых операторов А и В и состояние |Ф), причём
[А, В] |Ф> ф 0. (6.152)
Как следует из предыдущего раздела, в состоянии |Ф) эти два оператора не
могут иметь одновременно определённые значения; по крайней мере, одна
из неопределённостей, (ДА)ф или (ДВ)ф, должна быть отлична от нуля.
Поскольку коммутатор двух эрмитовых операторов меняет свой знак при
эрмитовом сопряжении, см. уравнение (6.69), мы всегда можем представить
эрмитов оператор С в виде
[А,В]=гС, & = С. (6.153)
Мы также можем вычесть реальные ожидаемые значения А и В в данном
состоянии и использовать новые, также эрмитовы, операторы
А' = А - (А)ф, В' = В - (В)ф. (6.154)
Вычитание константы не меняет коммутатор,
[А',В'] = гС. (6.155)
Построим теперь новое состояние
где а — произвольный вещественный параметр. Так как, в соответствии
с условием (6.27),
(Ф|Ф) > 0, (6.157)
получаем
О < ((Т + ?аВ')Ф|Д' + ?аВ')|Ф) = (Ф|Д + гаВ')\А' + ?аВ')|Ф), (6.158)
ИЛИ
О < (Ф|(А,-шВ,)(А, + шВ,)|Ф) = (^\(А'2Гга[А',В']Га2В'2)\^). (6.159)
Величины, подобные (А/2), являются, по определению (6.143), квадра-
тами неопределённостей в данном состоянии (ДА)ф. Таким образом, по-
следнее неравенство можно записать в виде соотношения, связывающего
неопределённости некоммутирующих наблюдаемых,
(ДА)Р«(С)Ф + а2(ДВ)^0. (6.160)
Квадратичная форма должна быть положительной при любом веществен-
ном значении а. Это имеет место, если корни являются комплексными
числами, или
4(АА)Ф • (ДВ)^ > (6.161)
Мы получили количественную формулировку соотношения неопределённо-
стей,
(6.162)
Нижняя граница произведения неопределённостей для квантового состоя-
ния определяется средним значением коммутатора соответствующих опе-
раторов в этом состоянии.
Используя наши предыдущие результаты для коммутаторов, см раз-
дел 4.3, мы приходим к точной формулировке соотношений, которые ранее
использовались только при качественном рассмотрении в разделе 5.1,
Дж • Држ > (6.163)
Заметим, что уравнение (6.163) определяет универсальную нижнюю гра-
ницу, в то время как уравнение (6.164) зависит от состояния. Как мы
видели в Задаче 5.10, гауссовский волновой пакет (5.32) минимизирует
соотношение неопределённостей (6.163).
Задача 6.15
Определим информационную энтропию 1[ф] нормированной волновой
функции ф(х) как функционал
/ б/хр1пр, р=|'0(ж)|2. (6.165)
4 — оо
Покажите, что функционал (6.165) имеет максимальное значение для гаус-
совского волнового пакета (5.32) среди всех функций, удовлетворяющих
дополнительным условиям нормировки и заданной неопределённости коор-
динаты,
Д/, = 1' = (0.160)
Решение Добавим интегралы (6.166) к функционалу (6.165) с множите-
лями Лагранжа А и У и найдём максимум по отношению к вариации 6р.
Тогда множители определяются при выполнении условий (6.166), что даёт
Ртах —
1 е-(х-(х))2/2Д2
д/2тгД2
(6.167)
Максимальная энтропия равна
7тах — 2 л еД2.
(6.168)
Выражения, подобные энтропии, обеспечивают оценку соотношения
неопределённостей [18], которая сильнее (6.163). Однако для доказатель-
ства требуется более сложный математический аппарат. При симметричном
определении координаты и импульса волновые функции связаны преобра-
зованием Фурье,
ф(х)= [ (6.169)
У у2л У у2л
и можно ввести обобщённую норму,
(6.170)
и аналогично для . Будем предполагать стандартную нормировку
уД =.^ = 1.
Пусть п и п! — положительные числа, удовлетворяющие условию
п п'
(6.171)
(6.172)
так что п 2 и п! < 2. Тогда имеет место неравенство [19],
Г(п) =
(6.173)
Здесь п! является функцией п, определённой согласно уравнению (6.172).
При п = п! = 2, за счёт нормировки (6.171), Е(2) = 0. Таким образом, как
это следует из (6.173), производная ЕЕ/Лп 0 при п = 2. Непосредственное
вычисление этой производной даёт замечательное неравенство, связанное
с использованием информационных энтропий для функций координаты и
импульса,
ДтДж)] + 7[(Д&)] > 1 + 1п(тг) = 1п(етг).
(6.174)
Доказательство может быть распространено на функции многих пере-
менных, когда преобразование Фурье выполняется по отношению ко всем
из них; в этом случае правую часть уравнения (6.174) необходимо умножить
на величину с/. Поскольку гауссовские функции обеспечивают максималь-
ную энтропию, уравнение (6.168) можно связать с неопределённостями Д&
и Дж с помощью ряда неравенств [18],
д2 > 1 е21Ык)] > е-21[Р(х)]
к ' 2л е ^2
1
4Д2’
(6.175)
Для гауссовых функций неравенства обращаются в равенства; на границе ве-
личины в (6.175) дают стандартное соотношение неопределённостей(6.163).
Задача 6.16
Рассмотрим частицу с массой т в п-м стационарном состоянии в непро-
ницаемом потенциальном ящике шириной а. Найдите функцию распре-
деления и средние значения координат и импульсов частицы, средний
квадрат флуктуаций координаты и импульса, а также проверьте соотно-
шение неопределённостей; вычислите среднюю кинетическую энергию и
средний квадрат её флуктуаций.
Решение Нормированная стационарная волновая функция частицы, на-
ходящейся в потенциальном ящике 0 < ж < а, см. (3.6), даёт следующую
функцию распределение координат в п-м состоянии,
(6.176)
Фурье-преобразование приводит к волновой функции в импульсном пред-
ставлении
= / Лхе
= л/2а [1 - (-)«е-(’/й)ра]
(дт/а)
(дгп/а)2 — {р/К)2
(6.177)
Отсюда находим функцию распределения по импульсу
№п(р) = |<аД)|2 = 1[1 - (-)псо8(раД)] з--/М212- (6-178)
а [дт/ар — {р/Прр
Очевидная расходимость в точках р = ±плК/а компенсируется нулями
выражения в первой квадратной скобке.
Для последующих расчетов нам понадобятся интегралы
[ , 2-2 х
ахх 8Ш х = —
7 6
8П1(2ж)
х сое(2ж)
4
(6.180)
Очевидно, что среднее значение координаты находится в середине ящика
(6.181)
Величина среднего квадрата координаты равна
/ । 2| \ 2 1 1
(п|1 |п> = “ [з ~ 2|тп7р]
и дисперсия координаты составляет
(Дж)2 = (п|ж2|п) — (п|ж|п)2
а2 6
12 _ (тгп)2
(6.183)
При больших п результаты приближаются к результатам для классиче-
ского равномерного распределения вероятностей между х = 0 и х = а.
Действительно, квантовые вероятности (6.176) быстро осциллируют, и мож-
но заменить 8Н12(тгп/ж) его средним значением 1/2, так что |Дп(ж)|2 => 1/а.
Для вычисления средних значений р и р2 проще всего использовать
координатное представление и соответствующий оператор р = —гК(с1/с1х).
Тогда сразу видно, что
(п|р|п) = О,
(6.184)
как и должно быть для стоячей волны. Средний квадрат импульса равен
(п|р2|п) = (Др)2 = (^Д) ,
(6.185)
что легко получить, зная энергию частицы (внутри ящика полная энергия
равна кинетической),
т2Н2п2
2та2
2т
(6.186)
Для произведения неопределённостей из (6.183) и (6.185) получаем:
(А®)2 (Др)2 = — [(тгп)2 - 6] .
(6.187)
Соотношение неопределённостей имеет место даже для минимального
случае п = 1,
/ЛА/ЛА ^УТГ2— 6 Н
(М1(а")1 = й^7Г>2
(6.188)
При рассмотрении флуктуаций кинетической энергии, ситуация кажется
противоречивой. На первый взгляд, внутри ящика полная энергия сводит-
ся к кинетической К. значение энергии равное Еп фиксировано и,
следовательно, кинетическая энергия не флуктуирует, (п|/С2|п) = (п|/С|п)2.
С другой стороны, если мы воспользуемся для расчёта плотностью вероят-
ности распределения по импульсам (6.178),
то увидим, что этот интеграл расходится при больших импульсах. Дей-
ствительно, при \р\ оо распределение плотности гсп(р) ос р-4, и интеграл
от гсп(р) х р4 (6.189) является расходящимся.
Чтобы разрешить это противоречие, мы должны обсудить процедуру
физического измерения: При измерении величины кинетической энергии
частицы, заключённой в ящик, мы должны моментально удалить стен-
ки и позволить частице свободно двигаться. При внезапном возмущении
(Задача 3.3) волновая функция не успевает измениться, но импульс стано-
вится постоянной движения (так как потенциальных стенок больше нет),
так что каждая компонента импульса независимо может быть зарегистри-
рована с вероятностью тгп(р). Повторяя эксперимент много раз, можно
получить функцию распределения по импульсу или кинетической энергии.
Тогда результат должен совпасть с расчётом в соответствии с уравнени-
ем (6.189) и дать (/С2) сю. Фактически, это реальный способ измерения
импульсного распределения атомов в ловушке, например, в исследованиях
конденсата Бозе-Эйнштейна. Ловушка внезапно удаляется и измеряются
импульсы свободных атомов (в таких экспериментах потенциал ловушки
близок к потенциалу гармонического осциллятора).
Правильное рассмотрение в координатном представлении приводит к то-
му же заключению о расходимости интеграла. Таким образом, анализируя
мысленно процедуру измерения, мы должны рассматривать волновую
функцию во всём пространстве. Условие = 0 на стенке есть резуль-
тат предельного перехода, переноса стенки, находившейся на конечном
расстоянии, на бесконечность. В этом процессе кинетическая энергия не
равна общей энергии из-за наличия стенок. Как функция во всем простран-
стве, волновая функции непрерывна на стенке, первая производная имеет
конечный разрыв (равна нулю снаружи и конечна внутри), а вторая про-
изводная бесконечна из-за наличия бесконечного потенциала. Вследствие
этой бесконечности возникают очень высокие Фурье-гармоники, приво-
дящие к расходимости интеграла в импульсном представлении. Поэтому
вычисление (р4) должно проводиться следующим образом:
(6.190)
-4
где мы использовали эрмитовость оператора р и видим, что интеграл содер-
жит квадрат второй производной волновой функции. Вторая производная
бесконечна на границах, то есть интеграл содержит вклады 5(ж) и 5(х — а),
пропорциональные бесконечному потенциалу. Интеграл / (1х [5(ж)]2 = 5(0)
бесконечен. Конечно, всё это является следствием идеализированной моде-
ли с бесконечно высокими потенциальными стенками.
Задача 6.17
Все практические измерения имеют свои собственные ошибки, не связан-
ные с квантовыми ограничениями. Предположим, что частица находится
в квантовом состоянии ^(ж) со средним значением (х) её координаты
и квантовой неопределённостью (Дж)2. Экспериментальное устройство
характеризуется вероятностью гс(^) отклонения результата измерения
от фактического положения. Найдите среднюю величину результата многих
измерений х и его дисперсию Уаг(ж) = ж2 — ж2.
Решение Вероятность получения результата х даётся выражением
р(1) = / (6-191)
где -0(ж) нормирована на единицу. Используя это распределение вероятно-
стей, мы находим
х = (х) + У ей; = (х) + (6.192)
Уаг(ж) = (Дж)2 + У (Й; ш(^)^2 — (^)2 = (Дж)2 + Уаг(^), (6.193)
квантовые и экспериментальные неопределённости складываются квадра-
тично.
Дальнейшее чтение: [6,20-24].
Научно обоснованная теория всегда
должна содержать классическую
механику как предельный случай.
Вольфганг Эрнст Паули,
Волновая механика
Глава 7
Квантовая динамика
7.1 Гамильтониан и уравнение Шрёдингера
Законы временной эволюции квантово-механических состояний ограни-
чены принципами, которые уже появлялись в наших предыдущих рассуж-
дениях.
(1) Волновая функция содержит полную информацию (разрешённую
квантовыми соотношениями неопределённостей) о вероятностях возможных
измерений в системе.
(п) Принцип суперпозиции говорит нам, что сумма решений уравнения
движения также должна быть возможным решением.
(ш) Стационарное состояние, то есть состояние с определённой энергией
Е, эволюционирует монохроматически ~ ехр[— {г/К)Е1\, приобретая только
фазу и, следовательно, сохраняя все вероятности.
Из (п) следует, что уравнение движения должно быть линейным от-
носительно вектора состояния или волновой функции. Согласно (1), зна-
ние волновой функции |Ф(0)) в начальный момент времени I = 0 уже
предопределяет его квантовую (не возмущаемую измерениями) эволюцию.
В частности, волновая функция в очень близкий момент времени, или её
производная по времени, также определяются |Ф(0)). Так как эта зави-
симость линейна, производная является линейным функционалом самой
функции. Этот функционал может быть представлен линейным оператором
Гамильтона или гамильтонианом Н, так чтобы выполнялось
г/4|Ф(0) = Я|Ф«
С7Ь
(7-1)
Это уравнение Шрёдингера, которому подчиняется развитие во времени
любой квантовой системы. Из условия (ш) мы знаем, что для стационарного
состояния зависимость от времени имеет вид
|ФД) = |Д = |Ф(0)). (7.2)
Тогда из уравнения (7.1) видно, что энергия Е стационарного состояния яв-
ляется собственным значением гамильтониана, и независящий от времени
вектор состояния \ф} является соответствующим собственным вектором,
Я|Д=ДД. (7.3)
Как оператор реальной наблюдаемой, гамильтониан является эрмитовым
оператором.
Если гамильтониан Н явно не зависит от времени, мы говорим о за-
крытой или изолированной системе. Это не означает, что фактическое
состояние системы стационарно — всё зависит от начальных условий. Тем
не менее, в этом случае уравнение Шрёдингера (7.1) допускает формальное
решение
|ф(*)) = е-(гЛЖ|ф(0)^ (7.4)
которое сводится к (7.2) для стационарного начального состояния. В це-
лом, начальное состояние есть произвольная суперпозиция стационарных
состояний |п), принадлежащих к дискретному или непрерывному спектру,
и часто являющееся сочетанием того и другого,
|Ф(0)) = (7.5)
п
Состояния \п) образуют полный ортонормированный набор в качестве
собственных состояний эрмитового оператора, поэтому коэффициенты
разложения в (7.5) равны
Сп = <п|Ф(0)>, (7.6)
Теперь формальное решение (7.4) уравнения Шрёдингера может быть
записано (см. для сравнения раздел 3.4) как
|ФД) = Ес„|п)е-(^^. (7.7)
п
Задача 7.1
Одномерный гармонический осциллятор имеет дискретный энергетиче-
ский спектр,
/ 1\
Еп = Нш ( п + - 1 . (7.8)
Осциллятор приготовлен в начальном состоянии Ф(0) = А(-01 + -02 +
+ т^з), А ф 0, где фп — нормированные волновые функции стационарных
п-квантовых состояний. Будет ли волновая функция, в какой-то момент
I > 0, принимать вид
а) = В + (1/СШ + 'Й)];
б) ф = с(^1 + ф>2 + Фз + ^4);
в) ф = Вффз - ^2 + Фз),
г) = ВДз - ^2 - ФзУ,
д) Ф = + ^2 - ^з)?
Коэффициенты в этих примерах являются константами.
Решение Возможные варианты в и д.
Амплитуды вероятности сп нахождения компонент с энергией Еп опре-
деляют волновую функцию в энергетическом представлении. Соответ-
ствующие вероятности, |сп|2, не зависят от времени для любой замкнутой
системе. Произвольные операторы А без явной зависимости от времени
могут иметь неисчезающие, зависящие от времени матричные элементы
между двумя состояниями |Ф1 (/;)) и |Фд(^)), хотя, возможно, зависимость
полностью определяется энергетическим спектром:
(Ф2И|Л|Ф1И) = ..' (7.9)
тп
Здесь мы используем амплитуды в энергетическом представлении для
обоих состояний, с$ и Сп \ стандартное определение матричных элементов
Апт (уравнение (6.55)) и частоты перехода (лтп (уравнение (1.41)) между
стационарными состояниями. Таким образом, спектр преобразования Фурье
матричного элемента (7.9) содержит только частоты, соответствующие
возможным переходам между стационарными уровнями системы.
Формальное решение (7.4) является новым примером унитарного пре-
образования, см. раздел 6.9. Подобно пространственным сдвигам, порож-
даемым оператором импульса (4.54), мы имеем сдвиг системы во времени,
который естественно выполняется за счёт внутренней динамики. В самом
деле, скалярные произведения векторов состояния не зависят от времени
(Задача 4.1): для оператора А => 7, Апт = 5пт,
<ф2(0|Ф1(0> = = Есп2)*4х) = <ф2(о)|Ф1(о)>.
тп п
(7.Ю)
Таким образом, квантовая эволюция замкнутой системы является унитар-
ным преобразованием
СД) = е~(г/К}й\ (7.11)
в котором время является непрерывным параметром и гамильтониан —
соответствующим генератором (6.112).
7.2 Одночастичный гамильтониан
Конкретный вид гамильтониана для конкретной квантовой системы
не может быть «выведен». В классической механике лагранжиан или га-
мильтониан главным образом берутся из эксперимента, в соответствии
с некоторыми общими принципами. В квантовой теории, руководящими
принципами могут быть только соображения симметрии, переход к класси-
ческому пределу (раздел 1.7) и результаты эксперимента.
В разделе 4.2 мы ввели явно операторы координаты и импульса, действу-
ющие на волновые функции в координатном и импульсном представлениях.
Теперь используем эти знания, чтобы прийти к уравнению Шрёдингера
с определённым гамильтонианом. Прежде всего, мы должны преобразо-
вать уравнение (7.1) для абстрактного вектора состояния в уравнение для
волновой функции в фиксированном представлении.
В координатном представлении для одночастичной системы волновая
функция является проекцией вектора состояния на состояние, локализо-
ванное в данной точке,
Ф(гД) = (г|Ф(7)). (7.12)
Здесь базисное состояние |г) не зависит от времени, в то время как вектор
состояния |Ф(7)) эволюционирует в соответствии с уравнением (7.1). До-
бавляя полный набор локализованных состояний |гх) с помощью условия
полноты (6.49), получаем выражение
с13г' |гх) ^^(г^Ф^)) = У с13г' Н|г/)(г/|Ф(7)). (7.13)
Оно может быть записано в терминах координатной волновой функции,
с13г' \г')Иг ^Ф(г', /;) = д3г Н|г/)Ф(г/, Г). (7.14)
Спроектируем это уравнение на фиксированный локализованный бра-
вектор состояния (г|. Используя ортогональность
(г|г/) = 5(г — г7), (7.15)
получаем уравнение для зависящей от времени координатной волновой
функции,
гК & = у ФУ(г|Н|Г>(г'Д). (7.16)
В общем случае, это уравнение является интегральным (нелокальным)
уравнением.
Матричные элементы (г|Н’|г/) (ядро оператора Н) могут быть найдены
при условии, что мы берём квантовый гамильтониан в виде его классиче-
ский аналога, функции Гамильтона частицы в потенциальном поле, путем
подстановки вместо классических динамических переменных г и р кванто-
вых операторов. В координатном представлении, раздел 4.2,
г => г, р => р = —гН\7. (7.17)
Найдём матричные элементы (г|...|г/) этих операторов. Для оператора
координаты, который на данный момент мы обозначим как х, это просто.
Явно вводя локализованные волновые функции, получаем
(г|х|г/) = У д3х Дх — г)хДх — г7) = гДг — г7). (7.18)
Для оператора импульса имеем следующее выражение:
(г|р|г/) = У д3х Дх — г)(—гЙЛ7х)Дх — г7). (7.19)
Используя симметрию дельта-функции, мы можем взять производную
из интеграла,
(г|р|г/) = гЙЛ7г/ У д3х Дх — г) Дх — г7) = гЙЛ7г/Дг — г7) =
= —гЙЛ7гДг — г').
Для любой аналитической функции Т\р), получаем
(г|Р(р)|г/) = Р(—гЙЛ7г)5(г — г7). (7.21)
Применяя этот рецепт для гамильтониана,
Н = Н(г,р), (7.22)
и интегрируя по Г в (7.16), приходим к уравнению Шрёдингера в коорди-
натном представлении
=н(г,р)Ф(г,^), (7.23)
С7 Ъ
где г и р = —гЙЛ7 действуют, как и раньше, раздел 4.2, на функции
координат г.
Для общего случая этот рецепт точно не определён из-за возможного
различного порядка некоммутирующих операторов г и р. В нерелятивист-
ской квантовой механике мы допускаем, что одночастичный гамильтониан
Я(г,р) частицы с массой т в потенциальном поле 17 (г) может быть взят
из классической механики с операторной подстановкой (7.17),
Н = К + И, (7.24)
где нерелятивистская кинетическая энергия даётся
- р^
К= —, (7.25)
2т’ к 7
или, в координатном представлении (7.17),
К2
К =------V2. (7.26)
2т к 7
Собственные функции оператора кинетической энергии являются плос-
кими волнами, так как энергия зависит только от абсолютной величины
импульса р, каждое ненулевое собственное значение энергии бесконечно
вырождено, так как все направления р эквивалентны.
В присутствии потенциала, плоские волны перестают быть собственными
функциями гамильтониана. Потенциальная энергия 17 = ?7(г) в коор-
динатном представлении является как раз классической функцией 17(г).
Таким образом, мы можем сформулировать квантовую задачу для частицы
во внешнем потенциальном поле как уравнения в частных производных
,7.^717 = / + (727)
Рис. 7.1. Схематическая картина эволюции волновой функции в импульс-
ном представлении.
В уравнении (7.27) потенциал 17 в общем случае может также зависеть
от времени. Для постоянных потенциалов мы можем поискать стацио-
нарные состояния с чисто монохроматической зависимостью от времени,
которая характеризуется энергией Е, см. уравнение (7.2). Соответствующее
стационарное уравнение Шрёдингера (7.3) для координатной волновой
функции ^(г),
Ф(гД) = '0(г)е ?Дг) = (г^),
(7.28)
имеет вид
Г Ъ2 1
1- ^2 + С/(г)1
( 2т )
?Дг) = ТДДг),
(7.29)
При заранее не известном энергетическом спектре, уравнение (7.29) явля-
ется задачей на собственные значения.
Задача 7.2
Выведите одночастичное уравнение Шрёдингера для волновой функции
Ф(рД) (уравнение (4.4)) в импульсном представлении^
ф(р5^) = / б3ге ^/^(р'г)ф(ГД),
(7.30)
Решение Так как функция ?7(г), как правило, задаётся с помощью бес-
конечного операторного ряда 17 (16X7 мы приходим к интегральному
уравнению:
•л ДР=ёф(р- +./ Д? ф(р'- <’з1)
где Фурье-компонента потенциальной энергии определяется как
Цр= [ а3ге-^/п^рГц(г). (7.32)
Мы можем интерпретировать интегральный член в уравнении (7.31) как
описание процесса на Рис. 7.1, где частица передаёт импульс рх — р источ-
нику внешнего потенциала, преобразуя Ф(рх) в Ф(р); при этом учитываются
все возможности.
Простейшие квантовые задачи, обсуждавшиеся в главах 3 и 4, были
связаны с кусочно-постоянными потенциалами. В области, где V(г) = По
является константой, стационарное уравнение (7.29) приобретает вид
^2
72#) = (Е-[/0)#), (7.33)
2т
и общее решения при заданной энергии Е является произвольной суперпо-
зицией плоских волн с различными волновыми векторами к, но с одной и
той же энергией,
^г) = УскЛг' =Е-П0. (7.34)
2т
Это позволило нам решить многие задачи без фактического решения урав-
нений, но с использованием понятия квантовых волн. Коэффициенты
суперпозиции (7.34) могут быть найдены в соответствии с конкретными
особенности задачи. На границах различных частей потенциала решения
сшиваются для того, чтобы сохранять энергию фиксированной. Приравни-
вание функции и её первой производной обусловлено требованием к урав-
нению Шрёдингера, которое должно быть справедливо всюду, в том числе
в точках разрыва потенциала. Вторая производная волновой функции, в со-
ответствии с уравнением, имеет тот же скачок, что и потенциал. Уравнение
для гладкого потенциала может быть «выведено» путём деления области
движения на очень мелкие фрагменты и аппроксимации потенциала кон-
стантой внутри каждой части, как мы это делали для того, чтобы получить
вероятности туннельных переходов, см. раздел 2.7.
Задача 7.3
а) Моделью некоторых молекул может быть плоский ротатор, система
с только одной степенью свободы (азимутальным углом (/?), которая
описывается гамильтонианом вращения, где повороты порождаются
оператором — проекции углового момента на ось вращения,
- /г2^2
н = (7.35)
Здесь I — момент инерции. Найдите нормированные собственные функ-
ции плоского ротатора, собственные значения энергии и их вырождение.
Из вырожденных собственных функций постройте их комбинации, име-
ющие определённую чётность при отражениях в плоскости относительно
оси х.
б) Рассмотрите состояние ротатора с угловой волновой функцией
^(^) = Асоеп (/?, п целое 0.
(7.36)
Найдите распределение вероятностей проекции т = и энергии, а
также средние значения этих величин.
Решение
а) Собственные функции ротатора принадлежат оператору см. уравне-
ние (4.72). Собственные значения энергии выражаются через собствен-
ные значения т оператора
Ет = ^Г]
(7.37)
все энергии с \т\ ф 0 дважды вырождены; не вырождено только ос-
новное состояние т = 0, Ео=О. Отражение относительно оси х изме-
няет угол Функциями с определённой ж-чётностью являются:
со8(ш(/?) с положительной ж-чётностью, и 8т(т^) с отрицательной ж-чёт-
ностью. Так как переход от исходного набора (4.72) происходит внутри
вырожденного множества функций, эти функции также представляют
стационарные состояния, но в данном случае эти суперпозиции явля-
ются стоячими волнами. Как мы увидим в главе 8, новые состояния
инвариантны относительно обращения времени, в то время как исходные
состояния соответствуют бегущим (циркулирующим) волнам с опреде-
лённым направлением вращения; при обращении времени, они переходят
друг в друга.
б) С помощью биномиальной формулы разложим нашу функцию в ряд
Фурье:
ДД = А---5--
\
(7.38)
д._0 —
Это не что иное, как разложение по полному набору (4.72),
/ \ Их/2л п\ , ч .
Е Й0ГГЦ! “'-«<*’) <7'39>
к=0 к 7
Можно легко нормировать нашу функцию, вычислив таким же мето-
Дом |^|2:
Г27Г I Д|2 Г27Г
1 = |Л|2 / СО82" р=Д- фе2’"*=(1 + е~2Д2п. (7.40)
Л 2 п ,/0
Опять же, с помощью биномиального разложения получаем
Н1
(М! Г , 2г(п-^
. 2^^2п_куД0
(7-41)
Из ортонормированности ^т(^) следует, что выживает только член
к = п, и
1 = | д|2 2^(2п)! 22тг(2п —1)!!
11 22" (п!)2 11 2"п!
(7.42)
Из (7.39) получаем, что волновая функция даёт ненулевые вероятности
всех проекций орбитального момента импульса тп = п — 2/с, с к пт,
пробегающими значения от /с = п, ш = — п, до /с = 0, ш = п. Таким
образом, допустимые значения т равны, в соответствии с чётностью
состояния,
т = —п, — п + 2,..., п — 2, п.
(7.43)
Сделав замену к = (п — т)/2 и взяв нормировочную константу из (7.42),
получаем распределение вероятности
|А|22л Г п\ 1 2
22п [ [(п + ш)/2]![(п — ш)/2]! /
п\ Г п\
2п(2п — 1)!! [ [(п + ш)/2]![(п — ш)/2]!
(7.44)
Из-за симметрии относительно знака т (на самом деле симметрии
относительно обращения времени), получаем
(4) = 0; (7.45)
это можно было бы понять без расчетов, поскольку волновая функция
является вещественной.
Чтобы найти распределение по энергии, мы должны принять во внима-
ние, что состояния 'фт и вырождены. Таким образом, вероятность
нахождения энергии Ет при т ф 0 равна
Ре(^) = Р{гп) + Р(—т) = 2Р(т), (7.46)
где мы должны учитывать только положительные т с той же чётностью,
что п. Для нулевой проекции, что допускается только при чётном п,
РБ(0) = Р(0). (7.47)
Среднее значение энергии может быть найдено многими способами,
например, с помощью прямого вычисления
/»2тг (Я) = / й<^*(ДЯДД. 7о (7.48)
Здесь мы должны использовать
$ СО8П р = [п(п — 1) — П2 СО82 р] СО8П“2 (Д. Тогда (7.48) принимает вид (7.49)
ь2| д|2 р2тг (Я) = — / (1р [н2 СО82п (р — п(п — 1) СО82п“2 р]. 27 7о (7.50)
Простой расчёт в соответствии с изложенным выше со значением |А|
из (7.42) приводит к
К2 н2 (я) = Т ' 7 21 2п - 1 Конечно, значение п — 0 допускает только т — 0 и Е — 0. (7-51)
7.3 Уравнение непрерывности
Плотность вероятности (2.5) нахождения частицы вблизи точки г
эволюционирует во времени. Эта эволюция определяется уравнением Шрё-
дингера (7.23), наряду с комплексно сопряженным уравнением,
<ЭФ*
-гК—-— = Н*Ф*.
д1
Из этих двух уравнений получаем
= |^(Ф*Ф) = 7^{ф*(ЯФ) - (Я*Ф*)ф); (7.53)
данный результат не зависит от представления, которое мы использу-
ем. Плотность вероятности может измениться только тогда, когда либо
волновая функция имеет нетривиальную (зависящую от переменных) ком-
плексную фазу, или гамильтониан представляет собой сложную функцию,
или имеют место обе эти причины.
Гамильтониан может быть комплексным, но оставаться эрмитовым. На-
помним, что эрмитов оператор импульса (7.17) является мнимым в ко-
ординатном представлении. Иногда бывает удобно описывать ситуацию
с помощью искусственно введёного комплексного потенциала V = У+гГГ.
Мнимая часть ГГ добавляет новый член (2/К) 1ш([7)р = — Гр в производную
плотности вероятности по времени (7.53). Если 1ш([7) < 0, то плотность
спадает экспоненциально ~ ехр(—Г Г) со временем, см. раздел 5.8. Таким
методом можно описывать распад системы или её связи с другими ча-
стями, которые не учитываются явно. Случай 1ш([7) > 0 соответствует
присутствию источника частиц.
Для одночастичного гамильтониана (7.24) с реальным потенциалом,
только член кинетической энергии вносит свой вклад в эволюцию во вре-
мени (7.53), следовательно:
I? = -2Дф*Ц2Ф)-Ц2Ф*)ф} = -^-Дф*(\7Ф)-ЦФ*)ф}. (7.54)
Это уравнение непрерывности (2.11) с конкретным видом тока вероятно-
сти
а =-2Дф*ЦФ) - Цф*)ф|. (7.55)
2тг I
Как уже говорилось в разделе 2.2, уравнение непрерывности описывает
сохранение полной вероятности (и нормировки волновой функции) (2.12).
Для плоской волны, Ф = ЛД)ег(к'г\ ток (7.55) сводится к старому выра-
жению (2.13). Используя оператор импульса р = —гЙЛ7, мы можем также
записать ток (7.55) в виде
;=ке{*лф)}' (7-56)
который напоминает гидродинамическое значение тока (2.8).
Задача 7.4
Частица движется во внешнем эрмитовом, но нелокальном потенциале
С/, то есть определяемым ядром [7 (г, г7) согласно
С/Ф(г) = / с/3/?7(г, г7)Ф(г7).
(7.57)
Является ли уравнение непрерывности справедливым и в этом случае?
Сохраняется ли во времени нормировка волновой функции?
Решение Используя гамильтониан Н = К + 17 с обычными операторами
кинетической энергией Кии потенциальной энергии 17 (7.57), мы приходим
к аналогу уравнения непрерывности,
+ (Пуз(г, 7) = — |ф*(г, Г) [ д3г' [7(г, г/)Ф(г/, 7) —
С7 ь /1 I
— Ф(г, [ д3г' С/*(г, г/)Ф*(г/, 7) > ,
(7.58)
со стандартными определениями рир Обычное локальное уравнение непре-
рывности не выполняется: плотность вероятности может изменяться не
только за счёт локального тока, но также и за счёт действия на расстоянии
через поле 17. Однако, из-за эрмитовости потенциала [/(г,/) = ?7*(г/,г),
полная вероятность (нормировка) сохраняется,
с/3гр(г,7) = соп81.
(7.59)
Гидродинамическая аналогия тока может быть продолжена. Комплекс-
ная функция Ф может быть записана в виде двух вещественных функций,
амплитуды А(г, ^), которая должна быть равна квадратному корню из плот-
ности р, и фазы 5(г, ^),
ф = ^е(г/п)5. (7.60)
Вычислив ток в соответствии с уравнением (7.55), получаем
а = -У5, (7.61)
т
то есть, величина V8/т играет роль скорости, связанной с волновой функ-
цией не только для плоской волны, но для всего состояния, как целого.
Рис. 7.2. Иллюстрация к Задаче 7.5.
Опять же мы видим, что наличие нетривиальной фазы необходимо для су-
ществования тока вероятности.
Подставляя выражение (7.60) в уравнение Шрёдингера и выделяя дей-
ствительную и мнимую части, можно получить два связанных уравнения
для фазы 8 и амплитуды А = д/р. Уравнение для мнимой части совпа-
дает с уравнением непрерывности (2.11). Действительная часть сводится
к выражению:
_ г(У5)2 у Я У2у
д1 I. 2т 2т А .1
(7.62)
В пределе К -д 0 (7.62) переходит в классические уравнения Гамильтона-
Якоби^
Р^8, (7.63)
от
где фаза 8 волновой функции совпадает с классическим действием вдоль
траектории ( [1] §47), различные классические траектории, такие как лучи
в геометрической оптике, являются ортогональными к поверхности 8 =
= СОП81.
В каждой точке лучи имеют направление, определяемое градиентом 5,
который действительно играет роль скорости (7.61). Уравнение (7.62) для
действия, в отличие от классической механики, не замкнуто из-за при-
сутствия самосогласованного квантового «потенциала» — (/12/2т)(\72А/А),
что также зависит от амплитуды волнового пакета. Этот член отвечает
за конкретные свойства движения квантовой «жидкости», включая кван-
товую неопределённость, распространение и так далее (Интерпретация
квантовой механики Д. Бома [25]).
Задача 7.5
Два куска металла расположены так близко друг к другу, что хвосты
электронных волновых функций перекрываются, см. Рис. 7.2. Предполагая,
что эти волновые функции вблизи внутренней поверхности х = 0 имеют
вид
'01(ж) = А(х)ега и ?/д(ж) = В(ж)ег/3, (7.64)
где А(ж) и В(ж) вещественные функции, а а и /3 являются постоянны-
ми, но различными фазами, найти электрический ток через внутреннюю
поверхность. Для конкретного случая
А(ж) = ае~Хх, В(х) = ЪеХх, (7.65)
где а, Ъ и Л — вещественные константы (Л > 0), найдите максимально
возможный ток через этот переход.
Решение В области перекрытия волновая функция представляет собой
суперпозицию
^Д) = ?/ц(ж) + т/дД).
(7.66)
При этом электрический ток является током вероятности (7.55), умно-
женным на величину заряда электрона е. После простых алгебраических
преобразований мы находим (штрих означает производную по х)
Зе = —(ВА' - АВ') зт(а - /3).
(7.67)
Такой ток через туннельный переход наблюдается в сверхпроводниках,
разделённых тонким слоем вакуума или изолятора (эффект Дэ/созефсона.
раздел 14.5). Ток является сверхпроводящим, без напряжения на переходе.
Движущей силой является разность фаз а — /3; в равновесии фазы равны,
и ток исчезает. (В сверхпроводниках ток переносится коррелированными
электронными парами, е 2е). При виде (7.65) хвостов волновых функций,
2еКаЬХ
Д =----------8Ш а - /3),
т
(7.68)
ток является постоянным внутри перехода. Максимальная плотность тока
достигается при разности фаз Д — /3| = тг/2,
ЗГХ
2еКаЬХ
т
Общий ток может быть получен путём умножения плотности тока на пло-
щадь контакта.
Плотность вероятности и ток вероятности можно рассматривать как
средние значения соответствующих операторов,
р(г) = 5(х — г), (7.70)
•Кг) = ^“;[Р’5(Х_Г)]+’ (7-71)
ГТь
где антикоммутатор был определён в (6.68) и г — координата точки на-
блюдения, в то время как х является квантовым оператором координаты.
Этот вид операторов тривиально расширяется на систему многих частиц,
см. Задачу 7.11.
7.4 Распределение Вигнера
В классической механике, и, в особенности, в классической кинетиче-
ской теории, очень полезным понятием является функция распределения
У(г, р,^) в шестимерном фазовом пространстве. Будучи нормированной
на полное число частиц
с/3р/(г,р,/;) = Л^, (7.72)
эта функция содержит информацию о распределении частиц как по коор-
динате, так и по импульсу. Интеграл по импульсам даёт пространственную
плотность
У АЧ(г,рД = р(г), (7.73)
в то время как интеграл по координатам определяет импульсное распреде-
ление,
У Лг/(г,р,г) = Пр, (7.74)
Можно построить так называемое распределение Вигнера, которое играет
в квантовой механике такую же роль, как и функция распределения в фазо-
вом пространстве в классической механике. Начнём с матрицы плотности
одной частицы в пространстве координат
где зависимость от времени не указана в явном виде [обе функции в урав-
нении (7.75) берутся в одно и то же время]. Введём координаты системы
центра масс двух точек в (7.75) и их относительное расстояние,
К=—-—, г = Г1-г2. (7.76)
Распределения Вигнера И7(К, р) — это преобразование Фурье матрицы
плотности (7.75) по отношению к относительной координате г,
1У(Н,р)= />Лге"(г/й)(р'г)фф+ 0Ф*(П-0. (7.77)
Проверим интегральные свойства РИ(К, р). Интеграл по р приводит
к <5(г), когда волновые функции берутся в одной точке, представляя, таким
образом, пространственную плотность.
У ^зТУ(К,р) = |Ф(Н)|2^р(Н). (7.78)
Также, интегрируя по координатам, мы можем выразить волновые функции
Ф и Ф* как функции импульса,
У /ЯЖ(К,р)= У а3Н У Лге“(’/Й)(р'г)х
х [ 7Г-?7че('/П)р/'(К+г/2)ф(р')х (7.79)
У (2тг71)'5
X [ Р г,-(г/П)р"-(К.-г/2)ф*/ //ч
х У (27ГП)3 е Ф (Р
Выполняя интегрирование по К и г, а также используя возникающие
дельта-функции, получаем
У а3К ЩН, р) = |ф(р) I2 = Пр. (7.80)
Действительно, эти свойства распределения Вигнера аналогичны свойствам
классической функции распределения (7.73), (7.74).
Принципиальная разница в том, что классическая функция /(г,р,У)
всегда положительна, и поэтому её можно интерпретировать как плотность
вероятности в фазовом пространстве. Определение (7.77) показывает, что
распределение Вигнера является вещественной функцией, щн,р)* =
= Ж(Н, р). Тем не менее, невозможно гарантировать, что функция Вигнера
будет положительной. Нарушение положительности происходит как раз
из-за квантовой интерференции.
Задача 7.6
Покажите, что для суперпозиции двух плоских волн,
Ф(г) = ЛЛк'г) + Ве1^, (7.81)
с к д, распределение Вигнера содержит осциллирующие слагаемые,
которые пропорциональны 5(р— (^/2)(к+д))АВ сое((к—д)-К) (при условии,
что А и В вещественны).
7.5 Картина Гейзенберга
В предыдущей формулировке мы рассмотрели эволюцию вектора со-
стояния |Ф (/;)), которая управляется гамильтонианом В, согласно урав-
нению (7.4). Временная зависимость матричных элементов оператора А
давалась с помощью уравнения (7.9). Этот язык квантовой динамики под-
разумевает картину Шрёдингера. Существуют альтернативные способы
представления динамики. В картине Гейзенберга вектор состояния фик-
сирован каким он был в исходном состоянии, а операторы изменяются
со временем. Физические результаты идентичны в обеих картинах, хотя
во многих приложениях, картина Гейзенберга более похожа на классиче-
скую.
Произвольный матричный элемент (7.9) может быть выражен в терминах
унитарного преобразования 17(1) (см. уравнение (7.11)) начальных векторов
состояния,
(ФД)|А|ФД)) = <С7Ф2(О)ЩЩФ1(О)> = (Ф2(0)|СШ|Ф1(0)). (7.82)
Это преобразование является ещё одним примером преобразования базиса,
см. раздел 6.9, когда в новом базисе (в нашем случае, взятом при I = 0),
новые операторы имеют совершенно одинаковые матричные элементы.
Преобразованные операторы зависят от времени, даже когда исходные
от него не зависят. Мы будем называть их операторами Гейзенберга,
Ан(1) = ^АИ = = е^/П)НЬ ^е-(г/П)Н1 (7.83)
Теперь динамику можно описать по-другому. Вектор состояния (в картине
Гейзенберга) зафиксирован в исходной ситуации (циферблат часов), в то
время как операторы измерительные инструменты, движутся (как стрелки
часов). Результат измерения точно такой же, как и в картине Шрёдингера,
когда циферблат часов перемещается против часовой стрелки, а сами
стрелки неподвижны. Следует отметить, что Гамильтониан коммутирует
с оператором эволюции С, и поэтому не изменяется,
Ян С) = Я. (7.84)
Определение (7.83) позволяет вывести уравнение движения для операто-
ров Гейзенберга прямым дифференцированием,
(1АН
гп----
М
ЭА
= Т < -НА + 1К— + АН\Н.
01
(7.85)
Здесь среднее слагаемое учитывает возможную явную зависимость от вре-
мени исходного оператора А. Таким образом, уравнение движения опера-
тора выражается через коммутатор этого оператора с гамильтонианом
системы,
гП^ = Д,Я]н +. (7.86)
СП у Оь у ц
Коммутатор с гамильтонианом, [А,Н]я, рассчитывается непосредственно
с операторами Шрёдингера, а затем обкладывается операторами эволюции.
Для практического использования полезно иметь в виду, что для любой
пары операторов А и В выполняется
[АН,ВН] = [С^АСД-^вС] ^ДаДц = [Дв]я, (7.87)
то есть, коммутаторы всегда могут быть вычислены с операторами Шрё-
дингера, и только затем их можно преобразовать, что является следствием
унитарности оператора преобразования II.
7.6 Операторная динамика
В качестве важного примера рассмотрим стандартный гамильтониан (7.24)
частицы массы т в потенциальном поле V(г):
-
Я=^Г + ^).
(7.88)
Уравнения движения операторов (7.86) могут быть легко получены с помо-
щью простых методов раздела 4.3:
Рн = Гн = -^(гя); (7.90)
эти операторы не содержат явной зависимости от времени. Уравнения
(7.89) и (7.90) имеют точно такой же вид, что и уравнения движения
для динамических переменных классической механики.
Более того, в классической механике существует формализм, полностью
аналогичный нашим коммутаторам ( [1] §42). Классические уравнения
Гамильтона для динамических переменных, координат и сопряжённых
импульсов Рг(1) в системе, описываемой классической функцией Гамильтона
Н(урр), имеют вид
ан ан
ар, а ср
(7-91)
то есть, очень похожи на квантовые коммутаторы (4.33). Для любой функ-
ции А(^,рД), полная эволюция во времени вдоль траектории может быть
выражена через скобку Пуассона {А, Н} с гамильтонианом,
ЭА . ЭА . 1 ЭА г л ЭА
+ Л—Рг г + ~ргг ~ {А Н} + ——.
ацг арг ) аъ аъ
(7.92)
Здесь скобками Пуассона, в силу уравнений Гамильтона (7.91), являются
ия} = Е (7-93)
Эрг Эрг д^^ )
Динамическое уравнение (7.92) аналогично квантовому уравнению (7.86).
Мы можем определить скобки Пуассона для любой пары динамических
переменных, которые могут быть выражены как функции координат и
импульсов:
ив} = Е (7-94)
[ Э(Ц дрг дрг дрг)
г
и проверить, что все их алгебраические свойства совпадают с соответству-
ющими свойствами (4.31) и (4.32) квантовых коммутаторов. Соответствие,
как видно из (4.28) и (4.30), может быть установлено в виде
[А, В] о гб{А,В}. (7.95)
Тем не менее, квантовые уравнения записываются для операторов, и
можно взять любые матричные элементы этих уравнений. Принимая сред-
ние значения (7.89), (7.90) в любом состоянии |Ф) (как мы помним, это
начальное состояние |Ф(0)), но полученное ожидаемое значение такое же,
как если бы была взята волновая функция Шрёдингера |Ф(^)) с не зави-
сящими от времени операторами), мы приходим к теореме Эренфеста
(1927)\
(г); = Ж (7.96)
т
(р)4 = -(^(г)к (7.97)
Величина в левой части уравнения (7.96) представляет собой скорость цен-
тра тяжести волнового пакета; она связано с центром тяжести импульсного
распределения в соответствии с нормальным классическим выражением.
Уравнение (7.97) определяет ускорение центра тяжести через среднее зна-
чение силы. Но здесь картина может отличаться от классической.
Сила в уравнении (7.97) представляет собой среднюю силу, действующую
на волновой пакет, а не силу, действующая на центр масс. Траектория
центра тяжести будет совпадают с классической, если эти силы совпадают.
Есть три случая, когда усреднение по волновой функции приводит к тем
же значением, что и для силы, действующей только на центр тяжести:
(1) свободное движение, когда никакая сила тяжести не действует — центр
тяжести находится в покое или движется с постоянной скоростью; (п) ли-
нейный потенциал, например, для однородного поля, когда Р = сопэ!,
и, следовательно, классическое условие выполняется, и (ш) гармониче-
ский осциллятор, когда потенциал создаётся линейной силой, например,
в одномерного случае
1
У(х) = —кх2, Р = — кх, (7.98)
Во всех трёх случаях
ОДУ) = РДЛ (7.99)
В других случаях уравнения Эренфеста не совпадают с уравнениями
Ньютона. Разница между двумя сторонами уравнения (7.99) зависит от того,
насколько сильно микроскопическая сила Е(г) изменяется в пределах
размера волнового пакета. Если это изменение является гладким, мы можем
использовать разложение
Г(г) + + + ... ,
(7.100)
где все производные берутся в центре тяжести. При усреднении, член
с (г — (г)) исчезает,
(Е(г)) » Р(И) + | ( (1, - (х.)) - (;у) ) + (7.101)
Центр тяжести движется близко к классической траектории, если флукту-
ации силы в области волнового пакета малы. Шансы на это больше для
пакетов малого размера, хотя частица не может быть локализована лучше,
чем характерная длина волны Л. Таким образом, условие на классиче-
ский характер потенциального поля по отношению к частице с импульсом
р К/X есть Х2Р/К2 Р, где К — характерный размер неоднородности
поля, или
Е2 » А2, » 1, (7.102)
то есть, классическое действие на типичной длине, ~ рЯ, должно быть
много больше, чем величина квантовой постоянной К. То же самое условие
на малость длины волны, как известно, есть в геометрической оптике, когда
волновыми явлениями дифракции можно пренебречь. В противном случае,
квантовые флуктуации существенны, и понятие классической траектории
не применимо.
Задача 7.7
Частица с зарядом е находится в постоянном однородном электрическом
поле Г. Решить операторные уравнения движения и установить коммутаци-
онные соотношения между операторами Гейзенберга, взятыми в различные
моменты времени.
Решение Сила равна Р — еЕ. и, как следует из (7.89), (7.90), центр тяжести
ускоряется, как и в законе Ньютона,
р(Ц = р(0) + жЦ) = ж(0) + д. - — I2. (7.103)
тп 2 т
При этом операторы при I = 0 — это стандартные операторы Шрёдингера,
не зависящие от времени. Хотя центр тяжести (ж(Ц) движется по клас-
сической траектории, наличие квантовых флуктуаций видно даже здесь:
операторы координаты в различные моменты времени не коммутируют и
поэтому имеют взаимную неопределённость,
[ДД ДД] = — У - Д (АД • (ДаД/ > (7.104)
т 2 т
Однако, эта неопределённость такая же, как в распространении волнового
пакета при свободном движении, поскольку оно не изменено присутствием
поля. Вместе с тем, операторы импульса коммутируют в любые моменты
времени.
Задача 7.8
Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для потенциала линейного
гармонического осциллятора (7.98).
Решение Уравнения движения линейны и могут быть точно решены, как
и в классической механике:
й(0)
= соеЩ) ДО) + ешЩ) —
= со8(са7)р(0) — 8т(с^) тсаж(0),
где частота осциллятора равна со = у/к/т. Коммутационные соотношения
имеют периодическую зависимость от времени, например,
7 7?
[ж(7),ж(7/)] = - 81п(са(7/— 7)). (7.106)
7.7 Теорема вириала
Коммутационные соотношения бывают полезны для получения многих
важных выводов. Начнём с напоминания результата классической механики:
в любом состоянии финитного движения, среднее по времени от полной
производной по времени динамической переменной равно нулю. Среднее
по времени, которое определяется как
___ 1 Гт/2
А(7) = Пт — / (ИА(ф) (7.107)
Т .тт/2
равно нулю, если А(7) = В, так как (7.107) сводится к [В(Т/2) —В(—Т/2)]/Т,
и все динамические переменные изменяются в этом состоянии в конечных
интервалах времени, тогда как Т -д оо. Это утверждение также связа-
но с понятием равновесия в статистической механике: величины «типа
скорости» должны принимать равновероятные значениями при «обрат-
ном» и «прямом» движении, если вся система ограничена в своём фазовом
пространстве.
Квантовая механика приводит к аналогичному результату. Рассмотрим
стационарное состояние дискретного спектра. Дискретный спектр возни-
кает вследствие ограниченных граничных условий и представляет собой
конечное движения, при котором вероятность нахождения системы на боль-
ших расстояниях экспоненциально мала. При усреднении по стационарному
состоянию |Ф) с энергией Е, операторные уравнения движения для вели-
чины без явной зависимости от времени дают
гП(Ф|1|Ф) = (Ф|[А,Я]|Ф) = (Я-Я)(Ф|А|Ф) = 0, (7.108)
если среднее значение (Ф|А|Ф) не бесконечно. Это объясняет положение,
касающееся дискретного спектра в квантовой механике или конечного
движения в классическом случае. Отметим, что эта теорема, вместе с урав-
нениями (7.96) и (7.97), сразу показывает, что в любом стационарном
состоянии дискретного спектра,
(р) = 0, (Е) = 0. (7.109)
Очевидно, что это должно быть неправильно в континууме, где даже для
плоской волны среднее значение импульса не обращается в нуль (формаль-
но, волновые функции в уравнении (7.108) не нормированы).
Если взять в качестве нашего оператора А => (г • р), уравнение движения
гласит
с/ /Л /р Д
-Дг-р = — - р + г • Г).
аъ \т )
(7.110)
Так как среднее значение левой части равно нулю для волновой функции
дискретного спектра, мы приходим к теореме вириала, касающейся средней
кинетической и потенциальной энергий, в полной аналогии с такой теоремой
в классической механики,
2{К) = ((г-^)). (7.111)
Этот результат особенно прост в случае, когда потенциала имеет вид сте-
пенной функции, I/ К. где г —радиус в сферической системе координат,
или, в общем случае, если имеет место масштабирование потенциала,
ДЛж, Ху, Лг) = Х3Щх, у, г),
(7.112)
с вещественным параметром з. Для Л = 1 + е, 1, получаем
V + е(г • V)?/ = (1 + 8е\В (г • V)?/ = з17, (7.113)
и теорема вириала (7.111) упрощается до выражения
ч 2 -I- ч ч -I- 2
-Д), Е={Н} = (К + и} = — (Р) = — (К). (7.114)
В кулоновском случае, з = — 1, мы уже использовали это соотношение
для круговых орбит в (1.22). Для гармонического осциллятора, з = 2,
имеем (К} = (В). Теорема в том же виде (7.114) справедлива для системы
многих тел, когда закон подобия (7.112) имеет место для потенциала взаи-
модействия 17(г), где г является расстоянием между взаимодействующими
частицами.
7.8 Вероятность выживания
Начальное нестационарное состояние |Ф(0)) развивается в соответствии
с гамильтоновой динамикой (7.1). Для эрмитова гамильтониана Н дина-
мика унитарна, и норма вектора состояния сохраняется. Тем не менее,
вектор «вращается» в гильбертовом пространстве и через некоторое время
становится совершенно отличным от исходного.
Во многих практических задачах важно знать вероятность выживания,
то есть долю исходного состояния, которая сохраняется в эволюционирую-
щем векторе состояния |Ф (/;)),
РД = |(Ф(0)|ФД)|2. (7.115)
Согласно (7.4), эта вероятность равна квадрату диагонального матричного
элемента оператора эволюции в исходном состоянии,
РД = |(Ф(0)|е“(г/п)^|Ф(0))|2. (7.116)
Как уже говорилось в разделе 5.8, распад нестабильного состояния, как
правило, предполагается экспоненциальным, Р(1) ос ехр(—у^). Тем не ме-
нее, как мы упоминали ранее, на начальном этапе эволюция отклоняется
от экспоненциального закона. Мы можем оценить, что происходит вначале,
с помощью простого разложения точного выражения (7.116).
Такое разложение до членов второго порядка даёт
Р(<)
I IV
(7.117)
Здесь член нулевого порядка равен единице, члены ос I исчезают, в то время
как члены ос I2 объединяются в неопределённость энергии (Н2} — (Н}2 =
= (ДН)2 начального состояния,
Й (Ф(0)Д|Ф(0))2 - Г (Ф(0)\Н2|Ф(0)> = ~ ДН)2. (7.118)
/6 /6 /6
В результате, при малых временах,
Р(») = 1 - (7.119)
Вероятность выживания падает медленнее, чем по экспоненте; характерное
время этого этапа является обратно пропорциональным нопределённости
энергии нестабильного состояния, т ~ 1/(ДН).
Более сильный результат может быть получен [26] с помощью опера-
торных уравнений движения (7.86). Соотношение неопределённостей в
виде (6.162) может быть применено к производной по времени от оператора
Гейзенберга А (без явной зависимости от времени). Это даёт:
(ДЛ)(ДЛ)? | |([А/1])| = |
с1(А)
(И
(7.120)
где все средние значения операторов Гейзенберга вычисляются по состо-
янию |Ф(0)). Однако, тот же самый результат должен получаться как
среднее значение не зависящих от времени операторов Шрёдингера в
состоянии |Ф(^)) (теорема Эренфеста). Если мы возьмём проекционный
оператор (6.124) для начального состояния
А = |Ф(0)><Ф(0)|, (7.121)
его зависящее от времени среднее значение как раз является нашей вероят-
ностью выживания (7.115),
(ФДIА|ФД) = (ФД|Ф(0))(Ф(0)|ФД) = |<Ф(0)|ФД)|2 = РД. (7.122)
Так как проекционный оператор (7.121) удовлетворяет свойству (6.126),
А2 = А, его неопределённость может быть выражена как
(△А)2 = (А2) - (А)2 = (А) - (А)2 = Р(1 - Р). (7.123)
Теперь неравенство (7.120), написанное справа налево, даёт
(7.124)
Легко видеть, что в начале процесса это неравенство превращается в ра-
венство, совпадающее в линейном приближении, ~ с предыдущим ре-
зультатом (7.119). Если мы напишем (7.124) в виде
1 2(ДН)
ур(1 - Р) ' —~
ОР
(7.125)
и проинтегрируем обе части от начального значения Р = 1 до произвольного
значения Р, то получим
Г АР 2(ДЯ)
1 у/Р(1 - Р) С п *
или, вычисляя интеграл с помощью замены Р = сое2 а,
2/(ДН)^
сое2 ( —-—
(7.126)
(7.127)
7.9 Правила сумм
Во многих случаях, коммутационные соотношения позволяют получить
ценную информацию о физических процессах в системе без решения дина-
мической задачи.
Рассмотрим систему нерелятивистских частиц, взаимодействующих
посредством потенциальных сил У, которые зависят только от координат
частиц га (но зависимость от скоростей или импульсов отсутствует). Га-
мильтониан системы может также включать внешние потенциалы, [7а(га),
Пусть \п) — полный набор стационарных многочастичных состояний с энер-
гиями Еп и
<2 = 52 9а, Ча = д(Га), (7.129)
а
произвольный оператор, зависящий от координат га отдельных частиц
с массами тпа. Зафиксируем одно из многочастичных стационарных состо-
яний \г} и назовём энергетически-взвешенным правилом сумм следующую
сумму по всем состояниям \п):
ЗД] = | - ЕД\(пШ\2 + |(п|СД)|2}. (7.130)
п
Такие величины суммируют энергетически-взвешенные интенсивности всех
переходов из данного состояния \г) во все возможные состояния \п) (как
вверх, так и вниз по энергии).
Для того, чтобы вычислить сумму 5Д<2], перепишем её с помощью ком-
мутационных соотношений. После перегруппировки слагаемых в правой
части уравнения (7.130), выразим энергетически-взвешенную сумму через
двойной коммутатор,
эд = Д [[е,я],еД). (7.131)
Вычисление суммы требует знания среднего значения для начального
состояния \г), а не для всех промежуточных состояний \п).
Для независящего от импульса взаимодействия, коммутатор включает
в себя только кинетическую часть гамильтониана и может быть найден
в явном виде:
ю.и] = ЕТ1"-р’1 = (’132>
ао а
где обозначает антикоммутатор (6.68) (конечно, переменные для раз-
личных частиц, а Д Ъ, коммутируют). Второй коммутатор сводит выраже-
ние (7.131) к
•5.[О1 = Е^(,1^"""1211^ <7-133)
а 2//?б7
В результате, для всего энергетически-взвешенного правила сумм требуется
только знание специфических свойств начального состояния. Для оператора
2
монополя д = г ,
V*/= 2г, Д^2] = (7.134)
а а
В системе ТУ одинаковых частиц массы т, это выражение пропорционально
среднему квадрату радиуса (Я2Д = (1/ТУ) в состоянии |г),
5-[Ег2] = ^гЛ'<-к2>- <"135)
Задача 7.9
Получите энергетически-взвешенное правило сумм для дипольного мо-
мента системы зарядов еа, а = 1,..., ТУ,
с1 = уДг„. (7.136)
а
В приложениях мы предполагаем, что центр масс системы находится в на-
чале системы координат.
Решение Возьмём любую компоненту вектора с1. Дипольное правило сумм
(7.133) является универсальным для всех состояний \г):
ЭД = Е^. (7.137)
В атоме система центра масс привязана к ядру, и правило сумм (7.137)
для 7 электронов [правило сумм Томаса-Райхе-Куна (ТРК)] для любого
состояния \г) имеет вид,
П2е2
8М = —7. (7.138)
2т
Задача 7.10
Модифицируйте дипольное правило сумм для описания собственных
дипольных возбуждений в атомном ядре с 7 протонами и ТУ нейтронами
(атомный номер А = 7 + ТУ).
Решение Предполагая одинаковыми массы М для протонов (р) и ней-
тронов (п) и вводя радиус центра масс (ц.м.) в произвольной системе
отсчёта,
= Д У? Га = Д (У? гр + У> Гп) ’ (7.139)
а р п
получаем для дипольного оператора (7.136) по отношению к ц. м.,
(7.140)
Таким образом, в системе ц.м. как протоны, так и нейтроны имеют эффек-
тивные дипольные заряды,
К 2 Л
ер=—е, еп = -—е. (7.141)
А
Это значит, что при наложении электрического поля и сохранении центра
ядра в покое нужно сдвинуть протоны и нейтроны в противоположных
направлениях. Правило сумм ТКК (7.138) теперь принимает вид
й2р2 /V7
= 2М + == 2М ЗГ- (7'142)
При этом, если добавить вклад ядра как целого (масса АМ, заряд е2), мы
возвращаемся к результату ТКК,
П2е2 Ы2 П2е2 22 П2е2 ,
------+-------г-г =------2. (7.143)
2М А 2МА А 2М у '
Однако только часть (7.142) связана с внутренними возбуждениями ядра.
Происхождение коэффициента К2/А можно связать с приведённой массой
движения нейтронов относительно протонов.
Задача 7.11
Оператор плотности вероятности для системы из многих одинаковых
частиц может быть определён как обобщение уравнения (7.70)
р(г) = щ (7.144)
а
Определите Фурье-компоненту оператора плотности,
Рк = 1 Лге“^к'гУ(г) = У2е~г<'кг“')- (7.145)
а
Выведите энергетически-взвешенное правило сумм для оператора рю
Решение В этом случае мы снова получаем универсальное правило сумм,
независящее от выбора состояния |г),
/>2 1,2
ЗМ = (7.146)
2т
В длинноволновом пределе, кга <3 1, это равносильно дипольному правилу
сумм (7.138).
7.10 Законы сохранения
Операторы, которые не содержат явной зависимости от времени и ком-
мутируют с гамильтонианом, сохраняются,
[А,Н]=0, = (7.147)
Для операторов, которые имеют классические аналоги, законы сохранения
совпадают с классическими и имеют те же физические основания. Так,
в случае свободного движения, Н = К(р), импульс р сохраняется,
р = 0. (7.148)
В любой замкнутой системе гамильтониан не содержит явной зависимости
от времени и
Н = 0, (7.149)
что является утверждением о сохранении энергии.
Задача 7.12
Для частицы в потенциальном поле 13(г) найдите уравнение движения
для орбитального момента (4.34) и условия сохранения орбитального мо-
мента.
Решение Уравнение движения с использованием коммутаторов (4.30)
и (4.33) имеет вид
[Ркч &] — о- — [г X Р]д
гН 7 гН 7 дхъ
(7.150)
Как и в классической механике, изменение орбитального момента требуется
наличия вращающего момента
Т = [г х Г].
(7.151)
При выводе уравнения (7.150), коммутатор 7 с изотропной кинетиче-
ской энергией исчезает. Таким же образом, коммутатор (7.150) обращается
в нуль. Когда потенциал является изотропным, 17 = 17(г), сила направлена
по радиусу, и вращательный момент отсутствует. В общем случае, орби-
тальный момент коммутирует с любой скалярной функцией координат и
импульсов.
Во всех приведённых выше примерах основную роль в сохранении игра-
ет симметрия. Три основных классических закона сохранения — энергии,
импульса и углового момента — следуют из симметрии системы, её инвари-
антности относительно определённых глобальных преобразований. Этими
тремя сохраняющимися величинами являются генераторы непрерывных
преобразований, оставляющих систему (точнее, её гамильтониан) инвариант-
ным. Гамильтониан является генератором динамики, эволюции во времени
(раздел 7.1); импульс — генератором пространственных сдвигов (раздел 4.5),
а угловой момент — генератором вращения (раздел 4.7). Соответствующие
законы сохранения для замкнутой системы сохраняют постоянный потен-
циал и инвариантный относительно вращений потенциал, соответственно.
Таким образом, все три преобразования — это преобразования симметрии,
поэтому их генераторы сохраняется.
В общем случае, пусть 17— унитарное преобразование, оставляющее га-
мильтониан инвариантным. В соответствии с разделом 6.9, инвариантность
можно записать в виде
Н' = 1Ш1Г1 = Н. (7.152)
То есть, гамильтониан коммутирует с оператором преобразования 17,
17Н = Н17. (7.153)
Для непрерывного преобразования, как в указанных трёх основных слу-
чаях, генератор преобразования д (см. (6.113)) эрмитов, и равен Н,р и
7, соответственно. Следовательно, из [17, Н] = 0 следует сохранение вели-
чины, соответствующей генератору преобразования 17. Для дискретных
преобразований, генераторы не существуют, и само преобразование даёт
постоянную движения. В следующей главе мы увидим примеры дискретной
симметрии и соответствующие законы сохранения.
Стоит отметить, что закон сохранения не означает, что соответствующая
величина имеет определённое значение. Средние значения таких величин
действительно не зависят от времени, хотя состояние все ещё может быть су-
перпозицией различных собственных функций сохраняющегося оператора.
Подобно рассматривавшейся производной по времени от оператора (7.108),
матричный элемент любого коммутатора [А, Н] между стационарными
состояниями равен:
(ш|[А,Н]|п) = (Еп - Ет)(т\А\п). (7.154)
Для сохраняющейся величины, [А, Н] = 0, мы приходим к правилу отбора:
ненулевые матричные элементы Ашп могут существовать только на поверх-
ности энергии между состояниями с той же энергией, Ет = Еп. Однако,
если собственное значение энергии Еп вырождено, имеется несколько таких
состояний. При их классификации (см. раздел 6.13) с помощью квантовых
чисел другой величины В, которая не коммутирует с А, эти состояния не
имеют определённого значения А, несмотря на закон сохранения. Сохране-
ние всё же имеет место, так как любой матричный элемент, оператора А,
в соответствии с уравнением (7.9), не зависит от времени, и разрешённые
для А частоты переходов сотг1 исчезают,
(Ф2(ДА|ФД)) = ^с^*с^Атп. (7.155)
тп
В общем, матричные элементы оператора между двумя стационарными
состояниями с различными энергиями имеют чисто гармонические за-
висимости от времени, соответствующие частоте перехода между этими
состояниями,
<ФяД)Д|ФД*)> = (е-^-Е'У|Л|е-^'БУ) =
(7.156)
Типичным примером являются компоненты Д углового момента импуль-
са. Все три сохраняются в системе, инвариантной относительно вращений,
сохраняется также сумма их квадратов. Если нет вырождения с состоя-
ниями с другими значениями эта сумма имеет определённое значение
^(^ + 1), см. уравнение (5.90). Тем не менее, только одна из проекций
может иметь определённое значение в этом состоянии, за исключением
тривиального случая И = 0, когда все проекции исчезают. Ситуация, когда
симметрия состояния ниже, чем симметрия гамильтониана, называется
спонтанным нарушением симметрии. Система может иметь некоторое
значение хотя оси х и у физически эквивалентны. Это можно определить
по тому, как система была приготовлена. Однако симметрия восстанав-
ливается, если есть возможность вращения, которое приводит систему,
без получения ею энергии, к другой вырожденной ориентации. В отли-
чие от этого, коммутирующие компоненты р могут одновременно иметь
определённые значения.
Не всегда легко установить взаимосвязь между свойствами симметрии
системы и законами сохранения (есть также примеры «случайно» сохраняю-
щихся величин, например, в связи с конкретными значениями параметров).
Однако, как правило, такая взаимосвязь существует. В последнем примере
мы рассматривали кулоновское поле, где, наряду с орбитальным моментом
который сохраняется для любого изотропного потенциала, может быть
найдена другая константа движения, так называемый вектор Рунге-Ленца
( [1] § 15), который был, в сущности, известен гораздо раньше Лапласу.
Задача 7.13
Докажите, что вектор
М = ([р х 1] — [1 х р]) — а - (7.157)
сохраняется в поле V = а/г.
В классическом варианте, М является моментом количества движения
частицы, в то время как два элемента в первом слагаемом (7.157) могут
быть объединены в одно векторное произведение. Классический вектор
М направлен вдоль главной оси эллипса; это указывает на ориентацию
замкнутой траектории в плоскости вращения. Как и любой вектор, М не
коммутирует с орбитальным моментом, см. Задачу 4.5,
1^Мд]=гегдкМк. (7.158)
Таким образом, он не имеет определённого значения в состоянии с опреде-
лённым значением орбитального момента. Однако, другая классификация
с определённым значением проекции М и неопределённым орбитальным
моментом также возможна. Мы вернёмся к данному примеру при рассмот-
рении квантовой проблемы кулоновского взаимодействия.
7.11 Формулировка интеграла по траектории
Существует эквивалентный подход к квантовой динамике на основе
формализма функционального интеграла вместо операторов и уравнения
Шрёдингера [27]. В нерелятивистской квантовой механике такой подход
редко даёт лучшее решение проблем, но он становится мощным методом
в квантовой теории поля, особенно для получения результатов, выходящих
за рамки теории возмущений (стандартный метод, основанный на разло-
жении физических амплитуд по степеням силы взаимодействия, глава 4
том II). Здесь мы лишь проиллюстрируем метод интегрирования по пути
на простом одномерном случае.
Эволюция квантового состояния определена, если мы найдем функцию
Грина (пропагатор) (6.23), как амплитуду вероятности (ж, 1\х\ 1'} нахож-
дения частицы в положении х в момент времени С если она стартовала
из локализованного состояния х' в момент времени 1' < 1. Начальное и
конечное состояния являются собственными состояниями операторов Гей-
зенберга х(1!} и х(1) с собственными значениями х' и ж, соответственно.
Так, например,
х(1)\х,1) = = х\х,1). (7.159)
Состояние
(7.160)
является вектором состояния Шрёдингера, локализованного в точке х
при 1 = 0, удовлетворяющего
х\х) = х\х). (7.161)
Поэтому
\х,1) (7.162)
является решением уравнения (7.159). Так как момент 1 = 0 произволен,
то мы можем записать
|М) = е(гЛЖг-г')|М'). (7.163)
Рассмотрим теперь развитие во времени состояния для бесконечно малого
интервала времени от 1 до 1 + ДГ Пропагатор для этой эволюции имеет
вид (ж,/; + Д^|я/, 1). Конечное состояние, согласно (7.163), равно
|М + А*> = е(*/П)^(Л‘)|М>, (7.164)
И
(х,1 + А^я/,1) — {х,1\е (г/^)я(д0|ж/
(7.165)
Оператор Н = Н(х,р) входит линейно в матричный элемент (7.165), так
как △/; бесконечно мало. Поэтому, мы всегда можем представить его в виде,
когда все операторы х находятся слева от всех операторов р; для наших стан-
дартных гамильтонианов (7.24) эта проблема упорядочения не появлялась.
Поскольку гамильтониан в картине Гейзенберга тот же, см. уравнение (7.84),
мы можем подействовать им в момент I на бра-вектор, и заменить опера-
тор х его собственным значением ж, так что вместо Н(х,р) мы получим
к Н(х,р). Оставшаяся зависимость от р может быть рассмотрена анало-
гично, если мы сделаем преобразование к импульсному представлению
|ж',^ = У Д (р,1\х'Л\рЛ = У Д е_(г/п)рж'|р, Д (7.166)
Теперь действие операторов р в Н на кет-вектор в (7.166) приводит к замене
операторов на их собственные значения р, в то время как оставшееся
скалярное произведение (х^1\р^1) — это просто сопряжённая плоская волна
ехр[(г/^)рж]. В результате, пропагатор (7.165) не содержит операторов и
выражается в терминах классической функции Н(х,р),
(М + Аф'Д= [ -^_е-(’/к)1йМ(Д()-(«')р]. (7.167)
2тт
Для того чтобы описать весь процесс конечной длительности от I до Г,
мы представляем этот интервал времени в виде последовательности Д + 1
фрагментов Д^, так что Г = ф, И = Г + Д^, ..., I = = Г + (Д + 1)ДГ
Согласно главному свойству (6.22), полный пропагатор равен интегралу
по всем промежуточным точкам,
(жД|ж/Д/) = у* (1лД...с1хм (жД|жту, СуД^ту, Су-1) • • • (^1 Д1|Х,
(7.168)
Каждое промежуточное скалярное произведение даётся выражением вида
(7.167), которое содержит интегрирование по полному импульсу. Пропагатор
для конечного времени становится равным
(ж, 1\Д О = У П I- х', 1'^ (7.169)
п=1
где мы снова используем обозначения (6.23), а функция 8 в экспоненте
равна
^+1
8 = [(ж„ - хп-!~)Рп-1 ~ Н(хп,Рп-1)М]. (7.170)
п
В пределе Д ос и Д^ 0 разность хп — хп_\ в уравнении (7.170) можно
аппроксимировать с помощью производной ±(^П)Д^, от интерполирующей
функции х(1п) закреплённой на концах, ж(С) = х', х(1) = х. Результат
сводится к:
8 = — Н(ж,р)]пД/; -л- [ дт[хр — Н(ж,р)]т. (7.171)
п
Интегрирование по дхп дрп в (7.169) теперь выполняется по всем функциям
х(т), р(т), или по всем траекториям (путям) между (ж7Д') и (жД), вклады
которых взвешиваются пропорционально интегралу действия (7.171).
Полная амплитуда выражается через интерференцию всех возможных
путей:
{х^\х',О= [ е(г/П) СЛЛхр-Н(х,р)\Т , (7.172)
У 2тг/1
где мы ввели символ П для функциональных дифференциалов.
7.12 Связь с классической механикой
В классической механике уравнения движения следуют из принципа наи-
меньшего действия [1]. Система, описываемая координатами х (для про-
стоты мы указываем лишь одну координату), характеризуется функцией
Лагранжа, зависящей от координат и скоростей, С(х, х). Для нерелятивист-
ской частицы массы т в потенциальном поле 17(х), функция Лагранжа
равна, в соответствии с экспериментом,
С(х,х = г) = К(и) — Щх) = ---Щх). (7.173)
Классическое действие вдоль траектории ж (г), которое соединяет дан-
ную начальную точку х'(1') и конечную точку х(1), задаётся интегралом
действия
5[ж(т)] = [ дг С(х(т),х(т)). (7.174)
Фактическая траектория, реализуемая в классической механике, является
траекторией, которая соответствует экстремуму (минимуму для доста-
точно коротких траекторий) действия. Условие экстремума выполняется
на траектории, которая определяется уравнениями Эйлера-Лагранжа,
дх сП дх
В простейшем случае (7.173) это приводит к уравнению Ньютона,
ЭИ
ти = — —— = г.
дх
(7.175)
(7.176)
Функция Лагранжа связана с функцией Гамильтона согласно уравнению
Н(х,р) = хр — С(х, г(р)),
(7.177)
а скорость и = х должна быть выражена как функция импульса согласно
дС
р=дТ
(7.178)
Хотя интеграл действия (7.171), в соответствии с (7.177), походит на клас-
сическое действие (7.174), на самом деле он отличается. В формуле (7.172)
функции импульса р(т) — это переменные интегрирования, не связанные
с ж (г). Тем не менее, мы действительно приходим к классическому дей-
ствию в случае гамильтониана, который, как в (7.24) или (7.173), является
полиномом второго порядка по импульсу. Тогда мы можем проинтегри-
ровать импульсные переменные р(т) и получить квадрат в экспоненте.
Для гамильтониана Н(х,р) = У (ж) + р2/2т квадратичная форма перехо-
дит в — (р — ш±)2/2т + тх2/2, а остающийся после интегрирования член
тх2/2 дополняет функцию —У(ж) до классического лагранжиана (7.173).
Интегрирование распределения Гаусса по импульсам оставляет только
функциональный интеграл по координате,
рх р)
(ж, Д', I') = Л ПхЬЛК)8[х(т)],
V х'(н)
(7.179)
со стандартным классическим действием вдоль траектории ж (г) с фикси-
рованными концами, уравнение (7.174). Нормировочный коэффициент А/-
в (7.179) может быть рассчитан [он также включает фактор 1/(2тг/1)], но
проще найти его с помощью прямого сравнения с уравнением Шрёдингера,
как показано ниже.
Обратите внимание, что интегрирование по импульсным переменным
в функциональном интеграле эквивалентно выбору точки стационарной
фазы, где подынтегральное выражение (7.171) имеет экстремум,
=о _ , = 6Н (7180)
ор(т) ор
В простом случае (7.173) стационарная фаза соответствует р = рс1а88 =
в каждой точке. Таким образом, эта процедура (точная в случае распределе-
ния Гаусса) выбирает импульс, удовлетворяющий классическому уравнению
Гамильтона (7.180), и поэтому вес многочисленных траекторий, дающих
вклад в интеграл, сводится к классическому действию по экстремальной
траектории. Уникальная классическая траектория удовлетворяет принципу
наименьшего действия, что приводит к уравнению Лагранжа.
Альтернативная формулировка квантовой механики (Р. Фейнман [28])
принимает интеграл по пути в качестве отправной точки, предполагая [27],
что все виртуальные траектории с заданными граничными условиями,
которые не реализованы в классическом случае, дают вклад в полную
квантовую амплитуду процесса. Вклад траектории определяется, как
и в принципе Гюйгенса в оптике, её фазой, 8/К, равной классическому
действию по этому пути в единицах 8/К (мы подчеркивали ранее, что
постоянная Планка, по существу, обеспечивает масштаб).
7.13 Возвращение к картине Шрёдингера
Теперь, немного изменив обозначения, мы определим физическую ампли-
туду вероятности (х,1\хо,1о) нахождения частицы в окрестности точки х
в момент времени 1 при заданном начальном состоянии с волновой функ-
цией
(ж, , Л») — Ф(ж, 1; хо Ло)? (7.181)
и получим квантово-механическое уравнение Шрёдингера, продемонстри-
ровав тем самым эквивалентность двух формулировок.
Возвращаясь от символического определения интеграла по путям, мож-
но представить следующую наглядную картину. Разделим снова каждую
траекторию х (г) на очень большое число небольших фрагментов дли-
тельностью = (I — ^0)/^ и аппроксимируя траекторию в пределах
п-го фрагмента, п = прямой линией между точками хп_1 и хп,
см. Рис. 7.3.
Рис. 7.3. Построение функционального интеграла.
На каждом малом шаге координата х может меняться во всей доступной
области. В пределе Д ос. Д/; -д 0, мы выполняем полный учёт всех
возможных траекторий, так что функциональный интеграл становится
обычным многомерным интегралом с предельным переходом к самому
высокому разрешению и бесконечной размерности,
Ф(ж,^;жо,^о) = Нт [ — 1 е(»/^)Е^ Ж+1Д
Д4->о у
(7.182)
где каждый / дх^ охватывает всё пространство, и нормирующий фактор
ввёденный для каждого шага вместо фактора Д в (7.179), должен зависеть
от Д^, чтобы обеспечить существование независимого предела.
Если мы пойдём от х = хм на один шаг дальше, от I до НД^, то получим
Ф(зд+1,^ + Д^) = У 5[х„+1,а:„] ,
(7.183)
Здесь мы приобрели дополнительное интегрирование по соответству-
ющие дополнительной функции в экспоненте. Эта новая фаза не содержит
координат, относящихся к предыдущим моментам п < Д. Предыдущие
координаты могут быть проинтегрированы. Это определяет амплитуду
Ф(жту,/;), и мы получаем рекуррентное соотношение
Ф(жу+1,г +
дг) = у бгзде(г/п)5[зд+1,зд]
(7.184)
Уравнение (7.184) справедливо в первом порядке по ДЛ Мы долж-
ны последовательно пренебречь всеми членами второго и более высо-
ких порядков по ДЛ Если мы делаем ошибку порядка (Д/;)2 в каждом
из Д = (интервал времени Т)/Д^ фрагментов, суммарная погрешность не
будет превышать величины
(Аг)2А ~ (Аг)2 41 ~ тдг,
(7.185)
которая исчезает в пределе -д 0 при конечном Т. Будем считать,
что основной вклад в интеграл в пределе -д 0 происходит от путей
с |жту+1 — хм\ ос д/ДЛ как в процессе диффузии. Позже мы подтвердим это
предположение. На таких малых расстояниях потенциал ?7(ж) не изменя-
ется, и скорость можно аппроксимировать как (жту+1 — ж/у)/Д^, так что
вклад в фазу от функции Лагранжа (7.173) на небольшом интервале равен
(7.186)
После упрощения обозначений = ж, = х — ту, уравнение (7.184)
примет вид
Ф(Ж, I + △*) = У ^е(^)(™/2А^2 е-(г/П)Е7(х)А4ф^ _ (7,187)
где должен быть выполнен предельный переход Д^ —> 0. В этом пределе
первая экспонента под знаком интеграла при конечных ту очень сильно
осциллирует, в то время как амплитуда Ф, как предполагается, конечна. Это
приводит к сильным сокращениям, за исключением узкой области значений
р ~ в соответствии со сделанным выше предположением. В этой
оценке мы узнаём наши старые результаты для квантового расплывания
волнового пакета, см. раздел 5.5. Для малых Д/; мы можем разложить
волновую функцию под знаком интеграла согласно
-Г/ ч -Г / ч <ЭФ(жД) ту2 <Э2Ф(жД) .
дх +у дх2 (7-188)
и расширить интегралы по ту до ±оо, поскольку только узкая область вблизи
р = 0 даёт заметный вклад. Нечётный по ту член с первой производной по Ф
исчезает при интегрировании, в то время как интегралы от гауссовских
функций дают:
^е(гт/2ПА^)т?2 = Д 2^/----?
У . т ___________ (7.189)
й 2е(гт/2ПД^2 = фтп —.
т V т
Следующий член разложения (7.188) снова обращается в нуль из-за чётно-
сти, в то время как член ~ ту4 даст результат с дополнительным фактором
Д^ по сравнению с (7.189).
Аналогичным образом разложим левую часть (7.187):
Ф(ж, I + Д^) Ф(х, /;) + Д/; ——. (7.190)
(л
С той же точностью экспоненту в (7.187) можно представить как
е-(г/П)^)Д4 ~ 1 _ 1 у(хД1. (7.191)
К
Теперь мы должны сравнить члены низшего порядка в разложении
(7.188). Они равны, если нормировочный коэффициент выбрать согласно
е = лАп—. (7.192)
V тп
После этого коэффициенты первого порядка по Д^ дают справа уравнение
Шрёдингера,
дФ(ж, Г) _ ф(ж, /;) + [/(ж)Ф(ж, <). (7.193)
(У6 ^//6 \ (УЛЬ /
Используя предельный переход Д^ —> 0, мы свели оценку интеграла по кон-
тинууму к решению дифференциального уравнения. Метод интеграла
по траектории, который мы не используем в данном курсе, способен сфор-
мулировать все понятия квантовой механики, включая операторы, уравне-
ния движения и коммутационным соотношениям. Но он особенно полезен
в квантовой теории поля [29].
Дальнейшее чтение: [27,28,30-33].
Глава 8
С момента появления физики соображения
симметрии всегда давали нам необычайно
мощный и полезный инструмент для познания
природы. Постепенно они стали основой
теоретических формулировок физических
законов.
Ли Цзун-дао, Физика частиц и
введение в теорию поля
Дискретные симметрии
8.1 Инвариантность относительно обращения времени
В соответствии с разделом 7.10, симметрия преобразований, оставляющих
гамильтониан инвариантным, приводит к законам сохранения. Для дис-
кретных симметрий унитарный оператор преобразования II = ехр(г(7)
коммутирует с гамильтонианом, см. уравнение (7.153), и также сохраня-
ется эрмитова наблюдаемая С. Операция обращения времени Т является
исключением, так как она не приводит к закону сохранения. Тем не менее,
её следствия для квантовых систем незаменимы.
В классической механике уравнения движения в постоянном потенци-
альном поле инвариантны относительно обращения времени. Это утвер-
ждение следует понимать следующим образом. Для решения классических
уравнений требуются начальные условия — мы задаём значения координат
#(0) и импульсов р(0), которые берутся в некоторый начальный момент,
например, при I = 0. В результате решения уравнений до момента вре-
мени I > 0, мы определяем траекторию в фазовом пространстве #(^),р(^).
Система является обратимой во времени, если для любого «прямого» ре-
шения мы можем найти «обратное» решение, начиная с конечной точки
траектории с обратными конечными скоростями и пройдя весь путь об-
ратно в исходную точку через все промежуточные точки за то же время,
см. Рис. 8.1.
Классический гамильтониан Н(рцр) замкнутой системы является Т-
инвариантным, если Н(црр) = Н(цр—р). Это тот пункт, где можно раз-
личить координаты и импульсы, которые появляются на равной основе
в гамильтоновом формализме. Хотя в классической механике это различие
незначительно (напомним, однако, аргументы, используемые для состояний
финитного движения в разделе 7.7).
Рис. 8.1. Прямые и обратные траектории.
Т-инвариантность нарушается во внешнем магнитном поле. Благодаря
силе Лоренца, магнитное поле различает два противоположных направле-
ния скорости. Разница между постоянными электрическим и магнитным
полями связана с их происхождением: электрические поля генерируются за-
рядами, тогда как магнитные поля, создаются токами, которые обусловлены
движением зарядов. Если мы включим источник магнитного поля как часть
нашей системы, расширенная система снова будет Т-инвариантной, так как
обращение времени подразумевает, что все движения в системе должны
быть обращены. Обратный ток будет создавать обращённое магнитное поле
и вызовет обратное движение в системе, восстанавливая Т-инвариантность
всего большого комплекса. Те же рассуждения применимы к вращающейся
системе, в которой угловая скорость похожа на магнитное поле.
Нерелятивистская квантовая механика позволяет сформулировать об-
ращение времени близким к классической механике образом, но форма
результата зависит от представления. Рассмотрим уравнение Шрёдингера
для волновой функции Ф (^) в некотором представлении (число переменных
волновой функции произвольно),
гП^ = ЯФ(Д (8.1)
Предполагая, что система замкнута, дН/д1 = 0, выполним формальное
обращение времени, I -л —Г.
= (8.2)
Для приведения этого уравнения обратно к виду (8.1), сделаем комплексное
сопряжение, после чего получим
зфд-д
гК 7=Я*Ф*(-Д. (8.3)
Таким образом, обращённая во времени функция
ФД) = ф*(-Д (8.4)
удовлетворяет уравнению Шрёдингера с обращённым во времени гамиль-
тонианом
Н = Н*. (8.5)
Замена Ф —> Ф, Н -л- Н описывает обращение времени в квантовой механи-
ке. Здесь комплексное сопряжение по смыслу похоже на поворот траекторий
в классическом случае, для плоской волны ег(к г) оно эквивалентно замене
к -л- —к. Матричные элементы гамильтониана,
Я12 = (Ф1С)|Я|Ф2(0) = / б?тФД)ЯФ2(Д (8.6)
где Ф-функции и оператор Я, взятые в выбранном представлении с эле-
ментом объёма с/т, преобразуются в
Я12 = ДтФ1(-^)Я*Ф^-^) = у4т(ЯФ2(-Дф1(-Д (8.7)
или, используя эрмитовость (6.62) гамильтониана Я,
н12= [ йтФД-ДЯФД-Д. (8.8)
Мы видим, что в преобразованном матричном элементе Н\2 поменялось
не только направление во времени, но и роли «начального» Ф2 и «конеч-
ного» Ф1 состояний поменялись местами по сравнению с первоначальным
матричным элементом Я12, в соответствии с идеей замены между собой
начала и конца процесса.
Преобразованный гамильтониан (8.5) совпадает с исходным, если он ве-
щественный. Тогда мы говорим, что система Т-инвариантна, и обе функции,
Ф(^) и Ф(^), см. уравнение (8.4), являются решениями того же уравнения
Шрёдингера. Для стационарного состояния,
Ф(*) = ф(*) = (8,9)
ф и ф* удовлетворяют стационарному уравнению Шрёдингера с одной и
той же вещественной энергией Е. Если это собственное значение невы-
рожденно, есть только одно независимое решение с этим значением Е?, и
ф и ф* совпадают с точностью до величины относительной фазы. Если
собственное значение энергии вырождено, то ф и ф* могут быть незави-
симыми, и мы можем взять их комбинации, Ке('0) и 1тфф} в качестве
новых функций с тем же значением энергии. Таким образом, в случае
Т-инвариантности стационарные волновые функции базиса могут быть
выбраны вещественными.
8.2 Преобразование операторов при обращении времени
Обращение времени — это не обычное унитарное преобразование, так
как оно включает в себя комплексное сопряжения /С, уравнение (8.4). Его
действие на суперпозицию состояний не является линейным (см. уравне-
ние (6.46)), оно изменяет коэффициенты суперпозиции на их комплексно
сопряжённые (такие преобразования иногда называют антилинейными).
Мы можем определить операцию обращения времени как
Г=11Т1Сб^ (8.10)
где (Д заменяет в явной зависимости от времени, /С является
операцией комплексного сопряжения и 1Д — дополнительный унитарный
оператор, который необходим для обеспечения правильного поведения
физических наблюдаемых при обращении времени.
Оператор 1Д зависит от представления. Преобразование подобия (6.101)
определяет обращённый во времени оператор
Я = ТАТ-1. (8.11)
С другой стороны, во многих случаях мы знаем результат обращения вре-
мени из нашего классического опыта (на основе принципа соответствия).
Оператор координаты не меняется, в то время как импульс должен изме-
нить свой знак,
г = г, р = -р. (8-12)
Используя координатное представление (7.17), мы видим, что желаемый
результат достигается без добавления специального унитарного оператора
в уравнении (8.10); достаточно выполнить комплексное сопряжение:
р = /Ср/С"1 = Р* = (-гПУ)* = гШ = -р. (8.13)
Орбитальный момент также меняет знак,
?= 1 )С[г х р]/С-1 = -I (8.14)
К
Тем не менее, дополнительная унитарная операция необходима, когда
участвуют неклассические степени свободы. Спиновые компоненты, яв-
ляясь частью полного углового момента, должны изменить свои знаки
при обращении времени аналогично компонентам орбитального момента.
Поэтому требуется определение обращения времени Т с дополнительны-
ми унитарными операторами, действующими в спиновом пространстве,
см. раздел 5.5 из II тома.
Суммируя изложенное выше можно сказать, что вектор состояния Ф,
полученный из исходного вектора Ф с помощью операции Т, описывает
конечное состояние, в котором обращены все характеристики типа скорости:
если в состоянии Ф они были р и Л, в состоянии Ф все импульсы и угловые
моменты становятся р = — ри Л = - Л, соответственно. Если процесс г —> /
развивается в соответствии с уравнением Шрёдингера,
= (8.15)
то в обратном по времени процессе / —> г,
|Ф;) = е"(г/й)я‘|Ф/). (8.16)
Инвариантность относительно обращения времени {обратимость кванто-
вой механики) означает, что Н = В, так что для каждого прямого процесса
(8.15) существует обратный процесс (8.16), который развивается по тем
же законам. В настоящее время мы знаем, что Т-инвариантность нару-
шается в природе. Но это нарушение наблюдалось в небольшом эффекте
в специфических процессах распада нейтральных К- и В-мезонов [34].
8.3 Инверсия и чётность
Операция V пространственной инверсии — это другая дискретная сим-
метрия гамильтониана, имеющая важное значение для поиска и классифи-
кации стационарных состояний. Операция V меняет знак пространственных
координат таким образом, что локализованное состояния частицы |г) пре-
образуется согласно
|г) Р|г> = I - г>. (8.17)
В координатном представлении для произвольного состояния Д} имеем
(г|Р|'0) = [ с13Х (г|Р|х)(х|'0) = [(13х[гДх)[х^) =
7 ] (8.18)
= / с13х 5(г + х)^(х) = г).
Таким образом, действие оператора инверсии на координатную волновую
функцию просто есть
Р^(г) = г). (8.19)
При применении операции пространственной инверсии к плоской волне
^(г) = ехр[(г//1)(р • г)], она, как и ожидалось, эквивалентна изменению
направления движения, р —> — р.
Легко проверить, что оператор инверсии является линейным, в отличие
от оператора обращения времени. Оператор Р эрмитов и удовлетворяет
очевидному геометрическому соотношению,
Р2 = 1, (8.20)
которое показывает, что Р = Р^1, и, следовательно, эрмитов оператор Р
также является унитарным. Этот оператор имеет только два собственных
значения П = ±1. Эти собственные значения определяют квантовое число
чётность, которое различает чётные функции,
р?Дг) = г) = ?Дг), П =+1, (8.21)
и нечётные функции,
РДх) = ^(—г) = — ^(г), П = —1. (8.22)
Любая функция может быть однозначно представлена как суперпозиция
собственных функций оператора чётности,
,>(Г) = + «.„„„И = Д-Г) + Р(Г)Д~Г). (8.23)
Задача 8.1
Покажите, что чётность волновой функции (по отношению к соответ-
ствующему аргументу) та же самая в координатном и импульсном пред-
ставлениях.
8.4 Скаляры и псевдоскаляры, векторы и псевдовекторы
Преобразование пространственной инверсии для операторов, в соответ-
ствии с общим правилом (6.101), имеет вид
<§' = (8.24)
Инвариантная величина Ь' — Ь, коммутирует с оператором пространствен-
ной инверсии. Это даёт критерий для классификации наблюдаемых.
Полезно сочетать эту классификацию с классификацией, основанной
на свойствах вращения (позже они будут изучены гораздо более подробно).
Величины, инвариантные относительно вращений, называются скалярами.
Математическое определение скаляра 8 следует из значения углового
момента Л как генератора вращений,
[Л, 5] = 0. (8.25)
Тем не менее, скаляр не может коммутировать с пространственной инвер-
сией. Мы можем разделить скалярные наблюдаемые, удовлетворяющие
уравнению (8.25), на подлинные скаляры и псевдоскаляры, которые ме-
няют знак при инверсии пространства. Чтобы дать физический пример,
рассмотрим сначала векторы.
Как мы уже обсуждали, общее определение вектора V может быть
основано на его поведении при бесконечно малых вращениях, см. раз-
дел 6.10. Можно выделить два класса векторных наблюдаемых: истинные
(полярные) векторы V, декартовы компоненты К которых меняют знак
при пространственной инверсии,
РУТ-1 = РУР = -у, (8.26)
и псевдовекторы, или аксиальные векторы, компоненты которых, не изме-
няются при инверсии,
РАгР = Д. (8.27)
Операторы координаты, г, и импульса, р, являются истинными векторами.
Тем не менее, компоненты оператора орбитального момента, [г х р], постро-
енного как векторное произведение двух полярных векторов, не меняются
при пространственной инверсии, и поэтому орбитальный момент явля-
ется аксиальным вектором. Формальное доказательство, например, для
оператора координаты, с использованием эрмитовости оператора Р, сле-
дующее. Произвольный матричный элемент преобразованного оператора
РгР даётся с помощью
у* с/3Г'01*(г)РгР'02(г) = У с13Г г)г02( — г) =
= [ Л^(г)(-г)^(г),
что означает, что г является истинным вектором,
РгР = -г.
Аналогично
РрР = —р,
(8.28)
(8.29)
(8.30)
в соответствии с классическим определением р = тг, которое справедливо
и для квантовых уравнений движения (7.89) и (7.90). В дополнение к
разнице между электрическими и магнитными полями по отношению к
обращению времени, они ведут себя по-разному и при пространственной
инверсии: вектор электрического поля 8 и вектор электрического тока
3 являются полярными векторами, в то время как вектор магнитного
поля 13 аксиальный. А сила Лоренца ~ [ухВ], являющаяся векторным
произведением полярного и аксиального векторов, снова полярный (и
инвариантный относительно обращения времени) вектор.
Обратите внимание, что мы используем картину активного преобразо-
вания, которое действует на объект, в то время как координатные орты
сохраняются неизменёнными. Полярный вектор V превращается в — V;
затем его координаты Д относительно старого набора изменяют знак.
Координаты аксиальных векторов остаются прежними вместе с самим
объектом.
При пассивной формулировке, инвертируется система координат, =>
—Это преобразование превращает правую тройку координатных осей,
которые определяются в соответствии с х е^] = в левую тройку,
и, поэтому оно и меняет знак всех величин, определение которых содержит
указание на направленнность или направления вращения. Полярные векто-
ры не затрагиваются, а их координаты снова меняют знак. Аксиальные
векторы, такие как орбитальный момент, меняют свое направление, в то
время как их координаты, опять же, не меняются.
Теперь мы можем построить псевдоскаляр как скалярное произведение
полярного и аксиального векторов. Тем не менее, мы не можем использовать
примеры из предыдущего абзаца для этой цели. В самом деле,
(г • = (р • е) = о. (8.31)
Это свойство имеет простой смысл: если I является генератором вращения,
он перемещает частицы перпендикулярно радиус-вектору. Псевдоскаляр,
называемый спиральностью, может быть построен с использованием дру-
гого типа углового момента, а именно спинового момента 8, который, как
и любой угловой момент, также является аксиальным вектором. Спираль-
ность к является проекцией спина на направление движения,
Л = 8--. (8.32)
Р
По отношению к вращению спиральность — скаляр, хотя она меняется знак
при пространственной инверсии,
РкР = -к. (8.33)
8.5 Сохранение чётности
Если потенциал в уравнении Шрёдингера инвариантен относительно
операции пространственной инверсии,
П(г) = Н(-г), (8.34)
гамильтониан в целом, Н = К + 11, коммутирует с оператором простран-
ственной инверсии. Поэтому, мы можем приписать стационарным состоя-
ниям квантовое число чётность.
Другими словами, если волновая функция ?Дг) описывает стационар-
ное состояние Р-инвариантного гамильтониана с энергией Е, отражённая
функция г) также соответствует стационарному состоянию с той же
энергией. Если эта энергия не вырождена, две функции могут отличаться
только постоянным множителем, г) = щДг). Повторяя операцию ин-
версии, получим -0(г) = С'0(—г) = с2^(г), что означает, с2 = 1, с = ±1. Это
то же самое утверждение, что и полученное ранее на операторном языке:
при чётном потенциале (8.34) невырожденные стационарные решения име-
ют определённую чётность. Если собственное значение энергии является
вырожденным, ?Дг) и '0(—г) могут быть линейно независимыми. Однако
тогда любая их линейная комбинация также описывает стационарное со-
стояние с той же энергией и всегда можно построить чётную и нечётную
суперпозиции -0(г) ± 'М-г)-
Таким образом, если уравнение (8.34), или, в более общем виде,
[Р,Я] = 0, (8.35)
выполнено, стационарные решения уравнения Шрёдингера можно класси-
фицировать по чётности. В наших простых примерах главы 2, связанные
состояния в ящике, или, в случае конечной ямы (где у нас есть только
одномерная инверсия), могут приобрести определённую чётность, если
направить оси координат таким образом, что начало координат совпадает
со средней точкой. В задачах континуума (на отражение и прохождение),
симметрия была нарушена граничным условием, когда мы предположили,
что источник волны расположен с одной стороны от области наблюдения.
Симметрия восстанавливается из-за существования эквивалентного, зер-
кально отражённого решения с той же энергией, когда источник ставится
на противоположной стороне.
Задача 8.2
Установить соответствие между стационарными состояниями одномерно-
го движения в симметричном потенциале, ?71(ж) = ?71(—ж), и в потенциале
172(ж), который совпадает с 17(ж) при х > 0 и отрезан от левой половины
плоскости непроходимой стенкой при х = 0.
Чётность составной системы является мультипликативным квантовым
числом, будучи произведением чётностей подсистем или компонент. В при-
менении к элементарным частицам можно говорить об их внутренней
чётности: внутренняя волновая функция частицы также трансформиру-
ется определённым образом при пространственном отражении. Внутренняя
чётность протона и нейтрона одинакова (и не имеет значения, предполо-
жим ли мы, что она чётная или нечётная, потому что во всех ядерных
процессах, где чётность сохраняется, общее число нуклонов, нейтронов и
протонов, — так называемый барионный заряд — также сохраняется). Но
в релятивистской теории показывается, что эта чётность противоположна
чётности антинейтрона и антипротона. Кроме того, внутренние чётности
электрона и позитрона, кварка и антикварка противоположны. В случае
мезонов, таких как пионы или каоны, имеет смысл говорить о абсолютной
внутренней чётности, так как эти частицы могут быть созданы и погло-
щены по одной за раз, изменяя таким образом общую чётность состояния
№-60 (1=4)
Со-60 (1=5)
рокпгеЗ апНпеиШпо
1еЙ ро1апгес1 е1есйоп шоут§ Ьаск
Рис. 8.2. Схема эксперимента Ц. Ву и др.
определённым образом. Волновая функция этих мезонов является скаля-
ром при вращениях, но псевдоскаляром при пространственной инверсии,
что определяется внутренней структурой мезонов, построенных из кварка
и антикварка, которые имеют противоположные внутренние чётности.
Для того, чтобы получить информацию о внутренней чётности частиц,
нужно наблюдать процессы их образования, уничтожения и взаимной
трансформации и сравнивать чётности начального и конечного состоя-
ния, учитывая внутренние волновые функции частиц, а также волновые
функции их относительного движения. Эксперимент показывает, что боль-
шинство взаимодействий элементарных частиц инвариантно относительно
пространственной инверсии. Насколько нам известно, только гамильтониан
слабого взаимодействия не сохраняет чётность. Взаимодействия такого
типа возникают на очень малых расстояния между частицами, ~ 10 16 см,
они несут ответственность за очень медленные ядерные процессы, такие
как бета-распад нейтрона в протон, электрон и электронное антинейтри-
но, или бета-распад сложных ядер. Время жизни свободного нейтрона,
~ 103 с, велико по сравнению с характерным временем ядерных процессов
Ю-(21-23) с, КОТОрОе может быть оценено по времени пролёта частицы со
скоростью ~ (0.1 4- 1)с через ядерный радиус ~ 10-(12~13) см.
Грубо говоря, если чётность в процессе сохраняется, то в зеркально-
отражённой лаборатории процесс происходит полностью аналогично и
приводит к зеркально-отражённому результату. Это не так в бета-распаде.
В знаменитом эксперименте Ц. Ву и др. [35], Рис. 8.2, изучался бета-распад
поляризованного (имеющих фиксированную ориентацию углового момента
Л) ядра 60Со. Распределение испускаемых электронов зависит от угла
д между импульсом электрона р, или его скоростью V, и направлением
поляризации Л. Число электронов, испускаемых под углом оказалось
пропорционально
АД?9) ос 1 + се сое (8.36)
с коэффициента асимметрии а ~ —т/с (релятивистские электроны излуча-
ются, в основном, противоположно поляризации ядра).
В данном конкретном случае, результат связан со свойством так назы-
ваемого левого тока, ответственного за слабые взаимодействия, включая
бета-распад; антинейтрино практически полностью продольно поляризо-
вано вдоль движения (см. раздел 14.6 том III). Электрон отдачи с той же
поляризацией спина (суммарный спин должен сохраняться) из-за сохране-
ния импульса вынужден двигаться в противоположном направлении. Так
как сое д определяется скалярным произведением полярного вектора р и
аксиального вектора Л, — это псевдоскалярная величина. Поэтому в зер-
кальной лаборатории эта величина должна менять знак, и мы получили бы
различные угловые распределения, ос 1 — се сое д. Наличие скаляра и псев-
доскаляра в экспериментальном результате (8.36) делает результаты в двух
лабораториях неэквивалентными и соответствует несохранению чётности
в слабых взаимодействиях.
Для систем с сохранением чётности, операторы с определённым поведе-
нием при пространственной инверсии выявляют специфические правила
отбора: их матричные элементы при заданном начальном состоянии могут
быть связаны только с определённым классом конечных состояний. Опера-
торы, меняющие знак при пространственной инверсии, изменяют чётность
состоянии, так что чётность конечного состояния должна быть противопо-
ложна чётности исходного. Возьмём, например, переходы, индуцированные
дипольным моментом распределения заряда (Задача 7.9). Дипольный
переход, описываемый матричным элементом (/|с1|г), является единственно
возможным между состояниями противоположной чётности. Если чётность
сохраняется, среднее значение с1 в любом состоянии с определённой чётно-
стью запрещено. Наличие ненулевого дипольного момента в стационарном
состоянии указывает на несохранение чётности. Существование полярных
молекул (например, воды или Г4Нз) показывает, что либо состояние не
является стационарным, хотя, может быть, с большим временем жизни,
или ориентация молекулы фиксируется внешними полями. В свободном
стационарном состоянии молекула имеет определённый угловой момент и
вращение усредняет собственный дипольный момент.
Экспериментальный поиск в течение долгого времени электрического
дипольного момента в элементарных частицах, атомах и ядрах до сих пор
не представил каких-либо определённых результатов, понижая всё больше
и больше верхнюю границу для его значения. Между тем, несохранение
чётности в слабых взаимодействиях является хорошо установленным фак-
том. Проблема с дипольным моментом усугубляется векторным характером
этого оператора. Его среднее значение в стационарном состоянии должно
быть направлено по единственному сохраняющемуся вектору, характери-
зующему систему, а именно — по его полному угловому моменту. Тем не
менее, угловой момент меняет знак при обращении времени, в то время
как дипольный момент не меняет. Таким образом, обнаружение дипольно-
го момента противоречило бы также Т-инвариантности. Силы, которые
одновременно являются Р- и Т-нарушающими гораздо слабее, чем силы
«нормальных» слабых взаимодействий.
Другой полярный вектор, так называемый анапольный момент, про-
порциональный векторному произведению [г х з], где 8 является опера-
тором спина, изменяет чётность состоянии, хотя его существование не
противоречит Т-инвариантности. Нарушающий чётность анапольный мо-
мент был измерен в атомах цезия [36]. С другой стороны, магнитный
дипольный момент /7 является аксиальным вектором пропорциональным
орбитальному или спиновому моменту частицы, см. (1.74). Существования
ненулевого среднего магнитного момента согласуется как с Р- так и с
Р-инвариантностью.
8.6 Симметрия кристаллической решётки
Мы знаем, что оператор импульса генерирует перемещения в простран-
стве. Плоская волна является собственной функцией оператора импульса и,
следовательно, оператора конечного сдвига Р(а): при этом преобразовании
плоская волна просто получает дополнительную фазу, см. уравнение (4.61).
Смещение а может быть любым вещественным вектором. Кроме того,
различные операторы сдвига коммутируют, образуя абелеву группу.
Ситуация становится более интересной, когда вместо свободного движе-
ния мы переходим к движению в поле идеальной кристаллической решётки.
Сходство со случаем свободного движения остаётся в том, что можно на-
звать группой перемещений решётки. Бесконечная решётка не меняется
при сдвиге на целое число периодов, тогда как свободное пространство
инвариантно при любом сдвиге. Здесь мы имеем только дискретную под-
группу полной предыдущей группы. Это начало мира физики твердого
тела. Сформулируем ситуацию более точно (но не вдаваясь в подробности
кристаллографии).
Мы называем идеальным кристаллом систему, гамильтониан которой не
меняется при смещении ЗДКД на любой вектор решётки Н7. Эти векторы
маркируют узлы решётки и могут быть представлены в виде комбинаций
Нг = Пг(1)а1 + п^а2 + пр-’аз (8.37)
из трех базисных векторов а?, д = 1,2,3, с целыми коэффициентами
= 0, ±1,...,. Векторы а? линейно независимы, хотя и не обязательно
ортогональны. Минимальный объём, который может быть повторён при
построении всего кристалла, — это объём элементарной ячейки
У° = |[а1 ха2]-аз|. (8.38)
Для дальнейшего рассмотрения, мы также нуждаемся в обратной решёт-
ке с основанием, образованным тремя векторами Ъу, д = 1,2,3, которые
определяются через их скалярные произведения с векторами а? прямой
решётки,
(а7- • Ьу) = фу. (8.39)
В простейшем случае кубической решётки, когда векторы а? взаимно
ортогональны и равны по длине, |ах | = |ад | = |аз | = а, векторы Ьу также
образуют кубическую решётку с периодом, Ь= 1/а. Удобно построить
обратную решётку аналогично (8.37), но с дополнительным фактором 2тг,
используя семейство векторов
Кг = 2тг (пг(1)Ь1 + п^Ь2 + п^3)Ъ3). (8.40)
Тогда для любой пары векторов Н7 и К? имеет место простое тождество
ег(К^-К) = (8,41)
Инвариантность относительно сдвигов кристаллов Р(НД сохраняется,
строго говоря, только для бесконечной решётки. На самом деле, кристалл
имеет конечные размеры Ьх, Ьу, Ьх. Для макроскопического кристалла,
Ъ а, детали граничного условия имеют несущественное значение (хотя
они могут играть важную роль для нанокристаллов). Таким образом, мы
можем представить себе, что кристалл периодически продолжается во всех
направлениях, и пространство равномерно заполнено бесконечным количе-
ством идентичных копий реального образца. С использованием этого трюка
волновая функция объекта, движущегося внутри кристалла, удовлетворяет
тем же периодическим условиям, которые применялись в разделе 3.8.
8.7 Квазиимпульс и функции Блоха
Инвариантность относительно произвольных трансляций приводит к со-
хранению импульса при свободном движении. Хотя решётка инвариантна
только к трансляциям Р(В^) = 7^, отображающим решётку саму в себя,
мы всё же можем найти аналог импульса, который сохраняется в этой
ситуации.
Гамильтониан идеальной решётки коммутирует со всеми трансформаци-
ями решётки (периодические граничные условия передают эту инвариант-
ность кристаллу конечных размеров),
[Д,я] =0. (8.42)
Как операторы, принадлежащие к подгруппе полной группы трансляций,
эти трансляции также коммутируют между собой. Таким образом, энергия
Е и все сдвиги Т\ могут иметь одновременно определённые значения
в стационарном состоянии. Однако волновые функции в периодическом
потенциале в общем случае не являются плоскими волнами.
Рассмотрим задачу на собственные значения для объекта (назовем его
квазичастицей), который движется в идеальном кристалле. Стационарные
собственные функции ?Дг) всех подчиняются уравнению
ДДгЩсЩг). (8.43)
Как и для любого унитарного оператора, собственные значения — это ком-
плексные числа на единичной окружности |щ|2 = 1. С другой стороны,
результат должен быть просто сдвинутой функцией,
Д^(г) = ^(г-^). (8.44)
Чтобы найти числа су = с(В^), мы можем использовать групповое свойство
сдвигов на решётке: произведение сдвигов эквивалентно сдвигу =
= Ефу на вектор В7 + Ву. то есть
Т)^^(т) = с(Ву + Вг)^(г) = РуР#(г) = с(В7-)с(Вг)^(г), (8.45)
или
с(К7- + И*) = с(Ну)с(Нг). (8.46)
Решение, удовлетворяющее требованию унитарности, имеет вид
с(К7) = е"г(к-кД (8.47)
где к представляет собой произвольный вещественный вектор, характери-
зующий изменение фазы собственной функции при смещении на вектор
решётки,
ДДг) = Дг - К) = е"г(к'к’У(г). (8.48)
Сравнение (8.48) с аналогичным результатом (4.61) для пространственно
однородной системы показывает, что вектор к на решётке играет ту же роль,
что и волновой вектор р/К в однородном случае, оба определяются через
сдвиг фазы собственной функции при пространственном сдвиге. Таким об-
разом, естественно использовать слово квазиимпульс или кристаллический
импульс для вектора Йк, характеризующего волновую функцию квази-
частицы в кристалле (мы будем часто также называть волновой вектор
к квазиимпульсом). Так как плоская волна, в сущности, определяется её
трансформацией при смещениях, волновая функция квазичастицы также
определяется вектором к, поэтому мы будем использовать обозначение ^к.
Будем искать собственную функцию всех операторов трансляций как
произведение плоской волны и некоторой другой функции,
Д(г) = ег(кТИк(г). (8.49)
Тогда из уравнения (8.48) следует, что для любого сдвига Кд
пк(г - Кг) = пк(К). (8.50)
Это означает, что амплитудная функция п(г) не меняется при сдвигах
решётки. Мы пришли к теореме Блоха: волновая функция стационарного
состояния квазичастицы на решётке характеризуется квазиимпульсом к
и может быть представлена как в уравнении (8.49), где функция пк(г)
является периодической с периодом, равным периоду решётки. От плоской
волны в однородной среде, мы пришли к плоской волне, модулированной
с периодом решётки. В явном виде модулирующая функция пк(г) не может
быть найдена в общем случае; она, например, может иметь максимумы
или минимумы в узлах решётки.
Мы не удовлетворили периодическим граничным условиям (3.93). По-
скольку модулирующая функция является периодической на решётке, она
не меняется при сдвиге на размер Ь всего кристалла. Поэтому цикличе-
ские условия, которые применяются к фактору плоской волны в функции
(8.49), являются идентичными однородному случаю (3.93). Таким образом,
компоненты квазиимпульса равны
2тг
кг = —- п^, гц = 0, ±1, ..., (8.51)
Это означает, что квазиимпульс квантуется как обычный импульс в ящике
с циклическими граничными условиями.
Теперь обратимся к разнице между импульсом и квазиимпульсом. По-
следний не является уникальным. Он определяется посредством изменения
фазы (8.48) волновой функции при сдвиге решётки. Однако та же цель
может быть достигнута с любым вектором к7, который отличается от к
на произвольный вектор К (уравнение (8.40)) обратной решётки. В си-
лу (8.41), векторы к и к7 = к + К определяют одну и ту же фазу (8.47).
Когда вектор к пробегает по всему к-пространству, волновая функция ^к(г)
периодически появляется с периодом обратной решётки. Мы заключаем,
что волновая функция ^к(г) и её энергия — периодические функции на
обратной решётке.
Имеет смысл ограничить к-пространство минимальным набором век-
торов к, что определит все различные функции Очевидно, что этот
набор заполняет элементарную ячейку обратной решётки. Хотя выбор
таких ячеек не является уникальным, его объём 1/°с1рг фиксирован. Его
величина имеет значение, обратное объёму (8.38) элементарной ячейки
прямой решётки. Подсчёт квантованных, согласно (8.51), компонент кг
приводит, как и в (3.94), к интегралу по элементарной ячейке обратной
решётки,
<1ку 4кг = V Г з
пЛУ -I 2п/Ьх (27г)3 /
С учётом фактора 2 л в определении (8.40), эта величина равна
У • К°еСфГ = ^У°К°ес1рг = ЛГ, (8.53)
где представляет собой число элементарных ячеек в фактическом образ-
це. В результате, имеется нетривиальных различных значений квазиим-
пульса к.
Конечно, так и должно быть. Мы можем построить кристалл, добавляя
ячейку к ячейке, чтобы обеспечить возможность квазичастице быть лока-
лизованной на каждом месте (атомов, образующих решётку). Все места
одинаковы и все локализованные состояния также идентичны, что приво-
дит к одной той же волновой функции с центром в разных точках. Поэтому
любой атомный уровень повторяется в каждом месте, что приводит со-
стояниям всего кристалла. Теперь позволим квазичастицам путешествовать
всюду, изменяя своё местоположение; вместо локализованных состояний мы
приходим к волнам Блоха в качестве стационарных состояний в кристалле.
Тем не менее, число независимых состояний не может измениться при
преобразовании в другой базис — оно по прежнему должно быть равно ТУ.
Рис. 8.3. Одномерный кристалл.
Задача 8.3
В состоянии Блоха, которое характеризуется квазиимпульсом р, истин-
ный импульс, как правило, не имеет определённого значения. Показать,
что только те значения р имеют ненулевую вероятность, для которых
выполняется условие р = Кк + /Ж, где К является одним из векторов
обратной решётки. Случаи с К 0 называются процессами переброса.
Решение Прежде всего нужно показать, что любая функция /(г), которая
является периодической с периодом решётки, может иметь ненулевые
Фурье-компоненты только при д = К.
Задача 8.4
Рассмотрим стационарное состояние рассеяния двух квазичастиц в кри-
сталле: они стартуют на большом расстоянии как независимые объекты
с квазиимпульсами к1 и кд, подходят друг к другу, взаимодействуют и
уходят с асимптотическими значениями квазиимпульсов кз и к4. Показать,
что существует закон сохранения в виде
к1 + к2 = к3 + к4 + К, (8.54)
где К является одним из векторов обратной решётки. Случаи с К О
называются процессами переброса.
8.8 Энергетические зоны
Энергетический спектр квазичастицы в кристалле состоит из энергети-
ческих зон. Идентичные уровни энергии отдельных атомов вырождаются.
В результате соединения между ячейками в кристалле получаются зоны.
Каждая группа содержит уровней, которые характеризуются теперь
значениями квазиимпульсов.
Задача 8.5
Рассмотрим одномерную цепочку из идентичных притягивающихся
потенциальных ям с периодом а, см. рис. 8.3. Каждая яма имеет связанное
состояние с энергией е. Частицы могут туннелировать между соседними
ямами с амплитудой туннелирования г; туннельные (прылсковые) ампли-
туды должны рассматриваться как матричные элементы гамильтониана,
ответственные за переходы между соседними ячейками. Найти стационар-
ные состояния и энергетический спектр системы.
Решение Гамильтониан (в базисе локализованных состояний \Д, помечен-
ных по их местоположению, д = 1,..., ТУ,), может быть записан в терминах
его матричных элементов
Н33, ~ + фу'— 1). (8.55)
Нам нужно диагонализовать эту матрицу ТУ х ТУ. Стационарные бегущие
волны — это суперпозиции локализованных состояний,
№> = (8-56)
3
Уравнение Шрёдингера
Я|Д=Я|Д (8.57)
приводит к рекуррентным соотношениям для амплитуд ж?,
(е — Е)х3 + г(ж7-+1 + Хд_С) = 0. (8.58)
Решением является экспонента, х3 ос ехр(^), но условие унитарности
выбирает чисто мнимые экспоненты = гкср где к — квазиимпульс и а] —
координата,
х., = Хе1ксТ (8.59)
так, чтобы в каждой следующей ячейке, волна Блоха получала необходимую
фазу ка, в то время как квазиимпульс к различал возможные решения.
Величина (8.59) играет роль координатной волновой функции в нашем
дискретном пространстве; модулирующей функцией здесь является
константа. При подстановке (8.59), секулярное уравнение (8.58) определяет
энергетический спектр
Е(к) = е + 2г сое(А;а). (8.60)
Д-кратно вырожденный уровень е расширяется до энергетической полосы
от г — 2и до г + 2и. Квантование (8.51) квазиимпульса, к = (2л/Ха)п^ даёт
Д уровней с п изменяющимся от п = —Д/2, к = —я/а^ до п = X/2, к = л/а
и
Ш = (8.61)
Э
играет роль импульсной волновой функции в дискретном случае. Норми-
ровка функции (8.61) определяет X = 1/\/Д.
Как правило, квазиимпульс к не определяет однозначно состояние квази-
частицы, как в Задаче 8.5. Волновые функции с различной модуляцией
могут иметь одинаковые фазовые сдвиги при перемещениях. Если вместо
одного уровня в каждой яме мы будем иметь два уровня, то получим две
энергетических полосы с Д уровнями каждая. Уровни с одинаковыми к
следует отличать по дополнительным квантовым числам, например, свя-
занные с происхождением от определённого состояния отдельного атома,
или только по порядковому номеру, соответствующему возрастанию энер-
гии. Даже без периодического потенциала, свободные состояния движения
могут искусственно описываться с помощью квазиимпульса, \к\ < л/а для
произвольного значения периода а и номера зоны, см. рис. 8.4а. Наличие
потенциала с физическим периодом а приводит к новому спектру (8.60) в
зоне, рис. 8.46.
Сложность энергетического спектра, как правило, связана с тем, что
зоны могут перекрываться по энергии. С другой стороны, могут быть
запрещённые интервалы между зонами, где нет никаких уровней (Де на
Рис. 8.46). В твёрдых телах эта структура энергетических зон определяет
свойства проводимости (металлы, полупроводники и диэлектрики).
8.9 Симметрия молекул
В разделе 5.7 мы кратко упомянули о классификации возбуждений мо-
лекул. Ядра в молекуле образуют скелет, который имеет определённое
пространственное расположение. В нулевой точке амплитуды колебаний
ядер значительно меньше среднего расстояния между ними, эта простран-
ственная симметрия является характерным свойством молекулы, которое
позволяет предсказать нормальные колебательные режимы и степень вы-
рождения частот.
Мы знаем, что среди ЗД пространственных степеней свободы молеку-
лы с Д атомами три соответствуют перемещениям и три вращениям, как
Рис. 8.4. Спектр свободного движения и картина зон (а); спектр (8.60),
искажённый периодическим потенциалом (Ь).
целого. Остальные 3^ — 6 степеней свободы образуют моды нормальных
колебаний. Исключением являются линейные молекулы, которые имеют
только 32У — 5 глобальных степеней свободы, и мы можем перейти в дальнем
к их классификации, рассматривая движения вдоль оси и в перпендикуляр-
ных направлениях. Продольное движение атомов даёт ТУ — 1 нормальных
мод (перемещение в целом вдоль оси должно быть исключено).
Рис. 8.5. Нормальные моды СО2 молекулы.
Остальные (3^ — 5) — — 1) = 2^ — 2) степеней свободы соответствуют
поперечным колебаниям. Вследствие симметрии между двумя перпендику-
лярными осями, у нас есть — 2) мод с двойным вырождением. Таким
образом, для линейной молекулы СО2 с ^ = 3, как показано на рис. 8.5,
у нас есть две продольных моды (7, 2} и одна дважды вырожденная (5,
4) поперечная мода. Из-за идентичности атомов кислорода можно далее
утверждать, что из двух продольных мод одна симметрична, а другая
антисимметрична, по отношению к смещениям атомов кислорода.
Задача 8.6
Выполнить классификацию нормальных колебательных мод для мо-
лекулы, у которой имеется атомов в плоскости. В качестве примеров
рассмотреть плоские молекулы Н2О и ВР3.
Решение атомов в плоскости имеют плоских степеней свободы,
из них две поступательных и одна вращательная (вокруг вертикальной
оси), при этом 2^ — 3 плоских колебаний. Количество колебаний вне
плоскости равно (3^ — 6) — (2^ — 3) = ТУ — 3. Молекула воды = 3) имеет
только три плоских колебания. Для молекулы ВР3 = 4) мы находим
пять режимов колебаний в плоскости и только один вне плоскости (атомы
фтора и бора смещаются в противоположные стороны от плоскости).
Как и в примере с молекулой СО2, наличие одинаковых атомов даёт
дополнительные свойства симметрии. В этом случае для любой оси, перпен-
дикулярной к оси молекулы, возможен поворот молекулы на 180°, который
переводит молекулу в идентичную конфигурацию. Таким образом, это вра-
щение 7^(тг) принадлежит группе симметрии преобразований, при которых
молекулы преобразуются сами в себя. Наличие подходящей оси является
элементом симметрии. Если п эквивалентных дискретных конфигураций
Рис. 8.6. Оси шестого
порядка в молекуле бензола. Горизонтальная
плоскость также является элементом симметрии.
могут быть получены путем вращения вокруг некоторой оси на углы
2тг
од =—&, /с = 1,...,п, (8.62)
п
это ось симметрии Сп п-го порядка. Вращения 7?^ на углы (8.62) образуют
циклическую группу с единичным элементом ГД = 1 (вспомним решение
Задачи 4.6). В молекуле бензола, Рис. 8.5, мы имеем ось С&. Химическое
изображение представляет суперпозицию двух конфигураций с чередую-
щимися обычными и двойными связями атомов углерода (находящегося
в шести углах), которые смещены относительно друг друга таким образом,
что вся конфигурация восстанавливается после поворота на 2тг/6 вокруг
оси Се; эта ситуация иногда называется резонансом химических структур.
Группы симметрии, встречающиеся в молекулах, называют точечными
группами; в кристаллах, мы имеем дело с пространственными группа-
ми, включая трансляции. Другими элементами симметрии могут быть:
плоскость симметрии, вертикальная (оД или горизонтальная ДД по
отношению к оси симметрии (отражение в плоскости приводит к эквива-
лентной конфигурации); центр симметрии, соответствующая операция —
это инверсия Р, обсуждавшаяся ранее (обозначается как г в молекулярной
физике); и ось зеркального отражения п-го порядка, которую обычно
называют 8п. В последнем случае операции группы 8^ представляют собой
последовательности из к комбинаций вращения на 2тг/п вокруг оси 8п
с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Это — новый элемент только для чётных значений п; при нечётном п
наличие 8п означает, что одновременно существуют ось симметрии Сп и
горизонтальная плоскость сгд.
В линейных молекулах молекулярная ось обеспечивает симметрию
при любых вращениях вокруг этой оси, которая называется С^. Кроме
того, любая вертикальная плоскость является плоскостью симметрии Су.
Вся группа симметрии называется С^г. В присутствии центра симметрии
(как в случае СО2) с идентичными атомами, добавляется отражение ар
и группа называется Вращения электронов вокруг оси симметрии
оставляет гамильтониан инвариантным. Генератор таких вращений в про-
екции электронного углового момента = (Л • п), где п- единичный вектор
вдоль оси симметрии. В общем, мы должны вращать как орбитальные, так
и спиновые переменные, так что нам нужно два генератора,
Л =
=> П = Л + Е,
(8.63)
где мы ввели традиционные обозначения для собственных значений про-
екций углового момента на ось симметрии. Обратите внимание, что это
проекции на ось, которая скреплена с телом и перемещается вместе с са-
мой молекулой. Их не следует путать с проекцией на «пространственно-
неподвижные» оси, которые выбраны произвольно в лаборатории.
Проекция Л принимает целые значения. Её абсолютное значение |Л|,
как правило, помечается большими греческими буквами, соответствую-
щими стандартным спектроскопическим обозначениям для С Е, П, Д,
Ф,.. .для Л = 0,1,2,3,..., соответственно. Для группы симметрии отра-
жение относительно вертикальной (симметричной) оси оставляет гамиль-
тониан инвариантным, изменяя знак Л, если Л Д О, поэтому состояния с
= ±Л вырождаются. В соответствии со значением орбитального момен-
та, как генератора вращений, волновая функция приобретают множитель
е±гЛ<^ при повороте на угол (/?, знак определяется по смыслу вращения.
Поскольку отражение аг меняет этот знак, волновые функции с Л Д О
приобретают комплексное сопряжение. Е-уровни (Л = 0) могут иметь
вместо этого вырождения знак ±1 при отражении оу,; соответствующие
обозначения имеют вид
Добавляя центр симметрии (переходя к группе) мы приобретаем про-
странственную инверсию, отражение и вращение на 180° вокруг любой
горизонтальной оси, проходящей через центр (симметрия ). Состояния
разделяются по их чётности при пространственной инверсии; в молеку-
лярной физике обозначения следующие д (дегаЛе), Р = +1 и и (ипдега(1е),
Р = — 1. Похожие элементы симметрии могут быть определены для дефор-
мированных аксиально-симметричных ядер.
8.10 Ещё теория групп: сопряжённые классы
Здесь мы рассмотрим проблему симметрии с более абстрактной точки
зрения — с точки зрения теории групп.
Группа может быть разбита на классы (не подгруппы) следующим обра-
зом. Класс полностью определяется единственным элементом д. Пусть х
пробегает по группе. Отнесём все элементы хдх~[ к одному и тому же клас-
су и назовём их сопряжёнными к д (тот же результат может быть получен
для нескольких различных ж). Если / = хдх~[ и И = уду-1 принадлежат
к этому классу, они сопряжены друг с другом, потому что
Ь = У9У~Г = = (уяЩДуж-1)-1. (8.64)
Таким образом, не имеет значения, какой элемент класса изначально рас-
сматривать в качестве исходного. Взяв элемент, который не принадлежит к
этому классу, и повторяя процедуру, мы сформируем второй сопряжённый
класс. Продолжим идти по этому пути пока не исчерпаем группу. Еди-
ничный элемент 1 образует класс сам по себе, х1х~^ = 1 при любом х.
Этот класс является тривиальной подгруппой. Другие классы не содер-
жат единичного элемента и, следовательно, они не являются подгруппами.
В абелевой группе, каждый элемент образует отдельный класс хдх~^ = д.
В качестве примера сопряжённого класса, можно взять все вращения
КДа) в трёхмерном пространстве вокруг различных осей, но на один и тот
же угол а. В самом деле, фиксируя первоначальное направление по, мы
можем найти вращение Я-1, которое сочетает в себе любое направление п
с по. Тогда, мы сделаем поворот на требуемый угол а и, затем, возвратим
ось вращения в исходное положение с помощью преобразования К.
8.11 Представления групп
Представления групп связывают понятие симметрии с гильбертовым про-
странством квантовых состояний. Назовём представлением отображение
группы Г элементов {д} на группу линейных операторов д. действующих
в п-мерном линейном пространстве Д в данном случае, п — это размер-
ность представления. Пусть \к)—ортонормированный базис в линейном
векторном пространстве, к = 1,..., п. Оператор д определяется действием
д на векторы базиса и может быть охарактеризован его матрицей Р(д)
с матричными элементами ИдДд) в заданном базисе,
= Е ющщ що) = одю, (8-65)
3
где эквивалентное обозначение Дирака было введено для матричных эле-
ментов. Отображение
д д П(д~) (8.66)
должно быть гомоморфным, то есть, произведение элементов группы щ^2
должно соответствовать матричному произведению Р(^1)Р(^2) матриц,
отображающих эти элементы,
Де) = 7, (8.67)
где 1 —единичная матрица п х п и е — единичный элемент из
Рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в потен-
циале СДг). Пусть поле П(г) обладает пространственной симметрией, то
есть инвариантно относительно преобразований координат д. г -Д у' = дт.
так что 17 (дг) = 17(г). Эти преобразования могут быть дискретными, как в
случае кристаллической решётки, или непрерывными, как например враще-
ние. Определим представление как соответствие между элементами группы
д и операторами д, действующими на волновую функцию согласно
Жг) = ^'(г) = Дз,-1г)- (8.68)
Новая функция ф' имеет в точке г то же значение, которое было в точке
д-1г до преобразования.
Если удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера для
энергии Е, то взяв уравнение в точке д-1г и воспользовавшись инвари-
антностью потенциала, мы видим, что является решением с той же
энергией (в общем, не зависящим линейно от исходного решения). Это
означает, что оператор д, или матрица Р(д), действует в подпространстве
решений Ее уравнения Шрёдингера при заданной энергии Е. Размерность
этого векторного пространства является кратностью вырождения этого соб-
ственного значения. Другими словами, пространство Ее отображается само
в себя согласно представлению Е группы <3. Легко проверить гомоморфизм
этого соответствия: если д = цд/2-
5152^(г) = лДяДг) = ^ОГ1ОГ1р)) = Д0152)-1г) =
. (8.69)
= Ы.д г) = д^Л).
Далее будет более удобно говорить о матрицах Р(д), предполагая некото-
рый выбор базиса в Ее-
Если д -л Б(д) является представлением группы С/, мы можем построить
эквивалентное представление д -э = АР(д)А-1 с помощью любого
несингулярного оператора А. Справедливо следующее соответствие:
ЯЮЫ = (8.70)
= АВ А-1 АВ СК) А-1 = ВлЫтЫ-
Все представления, эквивалентные данному представлению, эквивалентны
друг другу и образуют класс эквивалентных представлений. Обычно мы
заинтересованы в поиске возможных неэквивалентных представлений.
Удобно выбрать из каждого класса, в качестве его основного изображе-
ния, унитарное представление, которое сохраняет скалярное произведение
векторов,
(-С>(з#1, В О) 7’2 ) = (^1,^2). (8.71)
В конечных группах каждый класс эквивалентных представлений содер-
жит унитарные представления. Это имеет смысл и для бесконечных групп,
которые обладают некоторыми свойствами компактности, как, например,
группа вращений, которая характеризуется угловыми параметрами, изме-
няющимися в конечных интервалах. Группа Лоренца не компактна (здесь
мы не будем вдаваться в подробности).
Представление Р(д), действующее в линейном пространстве С, при-
водимо, если С содержит нетривиальное (не пустое и не совпадающие
с самим С) инвариантное подпространство СД Инвариантность означает,
что для любого вектора из 721 и для любого элемента группы д, преоб-
разованный вектор О(Д)ф> принадлежит также к Если С не содержит
нетривиальных подпространств, инвариантных относительно всех Р(д),
представление неприводимо. Легко найти неприводимые представления
циклических групп (Д. Как и для любой абелевой группы, они являются
одномерными и каждое неприводимое представление даётся собственной
функцией всех элементов, д,д2, = е (единичный элемент). Собствен-
ные значения д есть еп = ехр(г2тгп/ТУ), где п = 1, 2,..., ТУ, и собственные
функции удовлетворяют уравнению дпфп = ^пФн- Для точечной группы
См вращений вокруг некоторой оси, собственные функции, как функция
азимутального угла р можно записать в виде фп(Д) = ехр(тсд). Можно
вспомнить раздел 4.7, где указывается что они являются собственными
функциями оператора проекции углового момента на ось симметрии. В
этом случае единственные нетривиальные значения этой проекции равны
0,1,..., АГ — 1.
Возьмём в качестве примера — группу симметрии системы, которая
имеет ось симметрии г п-го порядка (циклическая подгруппа Сп вращений
на углы 2лк/п\ и ось симметрии второго порядка, перпендикулярную
к г. Рассмотрим так называемое векторное представление: группу пре-
образований, определённую в (трёхмерном в данном случае) векторном
пространстве, которая представлена теми же элементами, рассматриваемы-
ми как операторы (матрицы) в этом векторном пространстве. Очевидно, что
существуют два инвариантных подпространства, одномерное (все векторы
вдоль оси г) и двумерное (все векторы в плоскости ху).
Пусть 721 является нетривиальным инвариантным подпространством
по отношению к Р(д). Рассмотрим действие Р(д) на векторы 721 и назо-
вём эту часть первоначального оператора РДд). Соответствие д -л- РДд)
является снова представлением, но теперь в меньшем пространстве 721.
Оно также является унитарным, если было унитарным Р(д) Говорят, что
приводимое представление Р(^) индуцирует представление РДд) в инвари-
антном подпространстве 721. Если Р(д) является унитарным, оно сохраняет
ортогональность между векторами в 721 и в остальном внутреннем простран-
стве 72 (ортогональном дополнении 72д = 721). Таким образом, дополнение
72д также инвариантно относительно Р(д). Это означает, что 72 разделено
на два взаимно ортогональных инвариантных подпространства, и приводи-
мое представление Р(д) распадается фактически на сумму представлений
Р1 и действующих в этих подпространствах. Это приведение может
быть продолжено до тех пор, пока начальное приводимое унитарное конеч-
номерное представление И можно разложить на неприводимые унитарные
представления (выразив через их сумму). Некоторые из этих непри-
водимых представлений могут быть эквивалентными. Так как мы можем
выбрать базисы независимо в подпространствах 72^-, они не перекрывают-
ся. В полном базисе все матрицы Р(д) являются блочно-диагональными,
количество блоков соответствует количеству представлений Ир
8.12 Ортогональность и полнота
Многие важные результаты основаны на лемме Шура: линейный опе-
ратор А, который коммутирует со всеми матрицами Р(д) неприводимого
представления группы 0. пропорционален единичному оператору в про-
странстве этого представления (сравните с Задачей 6.8). Действительно,
если \а) является собственным вектором А в этом пространстве, то для
любого д. вектор П(д)\а) принадлежит тому же собственному значению
а из-за коммутативности [Р(д), А] = 0. Таким образом, подпространство
Са вырожденных собственных векторов А является инвариантным под-
пространством. Однако представление Р(д) является неприводимым и не
может иметь нетривиальное инвариантное подпространство. Таким обра-
зом, будучи не пустым, Са совпадает со всем представлением пространства.
Это означает, что оно натянуто на вырожденные собственные векторы А,
то есть, в этом пространстве А = а • 1.
Любое представление П группы Г в п-мерном пространстве С определяет,
в произвольном ортонормированном базисе \Д матрицу Р(д), в соответ-
ствии со стандартным определением матричных элементов ИдДд), см. урав-
нение (6.54). Можно сказать, что представление определяет п2 функций
ИдДд), определённых на группе. Эти функции не являются независимыми,
так как они связаны групповым правилом умножения,
ад) = УВДШ (8.72)
I
Это предполагает существование соотношений ортогональности между мат-
ричными элементами ИдДд). Чтобы получить их, возьмём произвольный
оператор А, действующий в представлении пространства, и построим его
среднее по группе,
(8'3)
9
Здесь есть число элементов группы; для бесконечных групп обычно
можно обобщить (8.73), заменив сумму интегралом по параметрам группы.
Средний оператор А коммутирует со всеми Р(д). Действительно, для лю-
бого элемента группы Р(/)
= 4 Д/) Д (ЩДД1) = 1ДДДДД1). (8.74)
9 9
Теперь мы имеем возможность сделать замену д' = /д и использовать свой-
ство перестановки. Это означает, что новая переменная снова пробегает
по всей группе. Это приводит к
Д-т^Е^уДду-цд
9> _ (8.75)
д'
Согласно лемме Шура, для любого А, средний оператор (8.73) оказывается
пропорционален единичному оператору,
|Е ЛДДЛО’1) = СД)1, (8.76)
9
с численным коэффициентом, зависящим от выбора А. Чтобы найти этот
коэффициент, возьмём след матрицы (8.76). Используя циклическую инва-
риантность следа, получаем
1Е ТРОИЛО"1)] = Е ТМ = ТМ = сД)Тг1 = псД), (8.77)
9 9
или с(А) = ТгА/п. Так как оператор А произволен, мы можем выбрать его
только с одним ненулевым матричным элементом, скажем Д/с). Тогда
Ард = ддрдрд ТгА = ф/с, (8.78)
и И-й элемент уравнения (8.76) принимает вид
Т Е ДДЖгО”1) = | (8.79)
9
Для унитарного представления Р-1 = или Р/Дд-1) = ГДД) и, нако-
нец,
Д//с(^)Дд Д) = (^Л/о^Ду) — (8.80)
9
Здесь мы рассматриваем это соотношение ортогональности в виде скалярно-
го произведения Огд) матричных элементов, взятых как определённые
на группе функции. Тот факт, что п2 функций ТДД) ортогональны, мак-
симальное число линейно независимых функций на группе из элементов
означает ограничение п2 < на размерности неприводимых представле-
ний.
С помощью подобной конструкции, используя оператор
Тс 2) = Ту^лТодл^О"1), (8.81)
9
можно показать, что функции Р^Д) и Р^Д), генерируемые неэкви-
валентными неприводимыми представлениями, ортогональны в смысле
скалярного произведения (8.80) и >1(1,2) = 0 для 1 2. В общем, мы
можем записать условие ортогональности для представлений а и 3 как
(Д(“\ Д/}) = —5ар5и6^. (8.82)
ка
Определим регулярное представление д —> Д(д) в виде набора операторов,
действующих на функции ^(/), определённые на группе согласно
△ОЖ/) = ЛЛ)- (8.83)
Легко видеть, что в действительности это представление
△01)А(52)^(/) = Д01)^(/52) = Д/5102) = △(шЖД/)- (8.84)
Данное представление является Д-мерным (по числу линейно независимых
функций на группе), хотя, в целом, приводимым. Пространство функций
может быть разложено на сумму подпространств, а = 1,..., г, которые
преобразуются в соответствии с неприводимыми представлениями
Полный набор базисных функций можно будет разделить на наборы бази-
сов , Фп^} размерности па, принадлежащих каждому из подпро-
странств. Эти базисные функции преобразуются при А(д) согласно общему
правилу (8.65),
па
(8.85)
к=1
Тем не менее, в регулярном представлении (8.83), результат для любого /
должен быть ф^Дд). Подставляя / = е (единичный элемент), мы видим,
что базисные функции на группе можно разложить в ряд
па
ЗЗд) = ^ЗаДЧл (8.86)
к=1
где коэффициенты равны = ф^\е). Так как множество ф^ является
полным, любая функция на группе может быть представлена аналогичным
образом. Общее количество функций, порождённых всеми неприводимыми
представлениями, равно ТУ. С другой стороны, есть п2а функций в непри-
водимом представлении а. Это приводит к теореме Бернсайда: сумма
квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных представле-
ний равна порядку группы,
+ Ид + • • • + = М (8.87)
8.13 Характеры
Каждый элемент д группы в представлении Р(д) может быть охаракте-
ризован числом у(д), которое является инвариантным относительно выбора
базиса в пространстве представления (более точное обозначение было бы
ХлОД но мы часто будем опускать индекс Р). Это число, характеристика,
является следом соответствующей матрицы
Щ) = ТУ{1>0)} (8.88)
который, очевидно, не зависит от базиса. Переход к любому эквивалентному
представлению не меняет характеристики, поскольку
х\д) = Тг{Р'О)} = х(Д (8.89)
Поскольку характеристики являются функциями на группе, мы можем
вычислить их скалярные произведения с помощью суммы (интеграла)
по группе, как в (8.80) и (8.82). Элементы неэквивалентных неприводимых
представлений ортогональны и, следовательно, так же обстоит дело с их
характеристиками. Характеристики любого неприводимого представления
нормируются в соответствии с
(X, X) = УУ (? ^кк) ~ УУ ~ $]к$]к ~ ~ УУ $33 ~ 1- (8.90)
]к п п 3
Для произвольной пары представлений, а и /3, ортогональность характери-
стик можно записать в виде
(хЧх(/3)) = <Д?. (8.91)
Если представление приводимо, матрицы Р(д) могут быть приведены
к блочно-диагональному виду, где каждый блок соответствует неприводимо-
му представлению. Кроме того, каждое неприводимое представление
может входить несколько (та) раз. Поскольку след полной матрицы явля-
ется суммой следов блоков, характеристика приводимого представления
выражается как
хО) = Ето“х(а)^)- (8.92)
а
Здесь число та является одинаковым для всех элементов д и может быть
определено из ортогональности (8.91),
та = Ц,Х(а)).
(8.93)
Таким образом, характеристика у определяет все веса та. Поэтому, всё
приводимое представление фактически определяется без возможных неод-
нозначностей. Норма общей характеристики (8.92) есть
(х,Ц = (8-94)
а 0 а
Несмотря на то, что характеристика у(д) определяется в зависимости
от элемента д группы, характеристики всех сопряжённых элементов равны,
= Тг-Щодя-1)} = Тг{Р(х)П0)Р-1(х)} = ТгЩ#)} = Щ).
(8.95)
Таким образом, на самом деле характеристики фактически являются функ-
циями сопряжённых классов.
Задача 8.7 [14]
а) Показать, что множество {Т(а), 8 (а)}, где Т(а) — преобразования вдоль
оси х -л- х' = ж+а, при вещественном а, и 5(а)- отражения в плоскости,
перпендикулярной х = а, образует группу преобразований оси ж, при
которых все расстояния остаются инвариантными. Доказать правила
умножения:
Т(а)Т(6) = Т(а + 6), (8.96)
5(0)Т(а) = Т(-а)5(0), (8.97)
ЭД = ЭДЭДЭД(а), (8.98)
ЭДЭД = Т(2а-26). (8.99)
б) Разложить элементы этой группы в сопряжённые классы.
в) Найти одномерные унитарные представления групп.
г) Найти двумерное неприводимое представление группы с трансля-
циями Т(а), представленными диагональными матрицами .О^[Т(а)] с
диагональными матричными элементами ехр(=рг/са), где к — веществен-
ный непрерывный параметр (волновой вектор).
д) Показать, что матрицы Р(д) и характеристики у(д) неприводимого
представления размерности п удовлетворяют соотношению полноты
^Еэдэд1)^ а (8.Ю0)
9
где является порядком группы и 1 в правой части уравнения (8.100)
является единичной матрицей п х п.
е) Используя уравнение (8.100), показать, что матрицы Р(д) неприводимо-
го представления удовлетворяют добавочным ограничениям (линейная
зависимость)
»(я) = ^Х,п(ЪЫяЬ-11 (8.101)
н
ё) Показать, что для двумерного представления точки (г), характеризуе-
мой волновым вектором к, уравнение (8.91) даёт
1 /*27Г
Б^[8(а)] = - / с1(кЬ')соя[2к(а-Ь)]П^[3(Ь')]. (8.102)
71 7 о
Проверить это уравнение в явном виде.
ж) Показать, что любые три матрицы отражения Р[5(а)] в одном пред-
ставлении линейно зависимы, в частности
Б^[8(а)] = соя(2ка)В^ [5(0)] + ят^каЩ^ [5(тг/4А;)]. (8.103)
з) Пусть собственные состояния | ± к} операторов сдвига приняты в каче-
стве базиса двумерного представления точки (г). Найти собственные
состояния и собственные значения з отражения .О [5/0)] и выразить
собственные состояния Р[5(а)] в обоих базисах.
и) Введём оператор
<2 = /= [1 - гЗ(тг/4к)], (8.104)
который представляет собой суперпозицию прохождения и отражения
в плоскости, сдвинутой от начала координат на одну восьмую длины
волны. Доказать, что этот оператор унитарный и преобразует собствен-
ные состояния | ± к} операторов сдвига в собственные состояния .О [5(0)].
Найти эквивалентное представление группы (явный вид матриц Р[Т(а)]
и Р[5(а)]), соответствующее этому преобразованию.
Задача 8.8
Пусть у(а\д2)—характеристика, соответствующей квадрату элемента
группы д2 в вещественном представлении а. Вычислить её среднее по
группе (1/Л0ЕдХ(а\д2). /Представление а называется вещественным,
если все матрицы являются вещественными./
Нормальные моды колебаний молекул (раздел 8.9) определяются свой-
ствами симметрии. Для каждой нормальной моды мы должны рассмат-
ривать малые смещения 5г ядер от их положения равновесия г°. Эти
смещения преобразуются под действием преобразований, которые принад-
лежат к группе симметрии, 6т1 -Л- 5х'-. Представление группы симметрии
задаётся матрицей, которая выражает новые смещения в терминах старых.
Характеристики (следы) определяются диагональными элементами таких
матриц для каждой группы элементов.
Задача 8.9
Рассмотрим молекулу из атомов, у которых п атомов расположе-
ны на оси симметрии. Найти характер преобразования, соответствующий
вращению ГДо) на угол а вокруг оси симметрии.
Решение Диагональные элементы присутствуют только для тех ядер,
положения равновесия которых остаются неизменными при этом преобра-
зовании. В частности, для вращения вокруг оси симметрии диагональные
элементы появляются только для ядер с положением равновесия на этой
оси. Для оси г, являющейся осью симметрии, смещения каждого из этих п
атомов преобразуются как 5%' — 5% и
6Д — 5х сое а + 5у ет а, 5у' = бу сое а — 5х ет а, (8.105)
так что сумма диагональных элементов для этих п атомов равна п(1 +
+ 2 сое а). Смещения оставшихся IV — п атомов не дают вклада в харак-
теристику, так как для того, чтобы сохранить симметрию молекулы, они
должны быть переведены в положение других атомов (не диагональные
элементы). Это результат для всей молекулы, включая смещение центра
масс и его общее вращение. Эти неколебательные степени свободы да-
ют вклад 2(1 + сое се). В результате, колебательное представление имеет
характеристику
%(се) = (п — 2)(1 + 2 сое се). (8.106)
Единичный элемент, се = 0, даёт у(0) = Зп — 6. Тем не менее, в этом случае
все атомы дают вклад в диагональные элементы, так что п = ТУ, и мы
приходим к старому результату 3^ — 6 для общего числа нормальных
колебательных мод, см. раздел 8.9.
Дальнейшее чтение: [37-41].
Движенье меря как живое...
Уильям Вордсворт, Прелюдия
Глава 9
Одномерное движение: континуум
9.1 Задача на собственные значения
По определению, состояние является стационарным, если оно имеет
определённую энергию Е, а его эволюция во времени описывается экспо-
ненциальной зависимостью в картине Шрёдингера,
|Ф(г)> = е-(*му^>. (9.1)
Независящий от времени вектор состояния \ф} является собственным век-
тором гамильтониана системы 11. а энергия Е является соответствующим
собственным значением,
Я|Д=^|Д. (9.2)
Ожидаемое значение физической величины (без явной зависимости от вре-
мени)
(ФД I А|ФД) = {е~^^Е^\А\е~^Е1^ = А|Д, (9.3)
что является отличительной особенностью стационарности. Конечно, то же
самое следует из операторных уравнений движения в картине Гейзенберга.
Гамильтониан замкнутой системы является эрмитовым оператором. Его
собственные значения, формирующие энергетический спектр системы,
являются вещественными, а собственные векторы \ф} составляют полный
набор ортогональных состояний (мы помним, что собственные состояния
с различными собственными значениями автоматически являются орто-
гональными, а вырожденные состояния с одним и тем же собственным
значением Е могут быть ортогонализированы). Однако спектр {Е} не
задан априори, и задача решения уравнения Шрёдингера фактически яв-
ляется задачей о нахождении собственных значений и соответствующих
собственных функций гамильтониана.
Энергетический спектр может быть дискретным или непрерывным. Ре-
альные системы обычно обладают обоими типами спектра. Состояния
континуума появляются выше некоторой пороговой энергии возбуждения,
необходимой для распада системы. Координатные собственные функции
отличаются своим поведением в асимптотической области, на больших
расстояниях частицы от остальной системы. Плотность вероятности нахож-
дения связанных состояний частиц на очень больших расстояниях падает,
поэтому функции могут быть нормированы. Это граничное условие опре-
деляет энергетический спектр, см. главу 3. Фактически, любая реальная
система, рассматриваемая в нерелятивистской квантовой механике, име-
ет конечный объём. Плоские волны являются исключением, и их можно
рассматривать как предельную конструкцию для объёма движения, кото-
рый возрастает до бесконечности. В этом пределе можно выделить два
типа состояний с дискретным спектром, при которых расстояние между
уровнями конечно. Состояния, относящиеся к континуума, имеют в этом
пределе любую плотность, как мы видели в разделе 3.8 при использовании
периодических граничных условий.
В этом разделе мы ограничимся рассмотрением одномерного движения
одной частицы в реальном постоянном потенциале [7(ж). Проблемы с ку-
сочно-постоянными потенциалами могут быть рассмотрены на уровне волн
де Бройля, как мы это сделали в главе 2. Арсенал средств, собранных там,
будет полезен и в более реальных ситуациях. Когда потенциал является
гладкой функцией, а не набором постоянных фрагментов, мы приходим
к дифференциальному уравнению (7.27), которое для стационарного случая
и одного пространственного измерения приобретает вид
Л Г бР 1
ж) = ------+ П(ж) > ^(х) = Е^(х) (9.4)
( 2т ахЛ )
При этом спектр собственных значений энергии должен определять-
ся выбором физически приемлемых решений. Может оказаться удобным
переписать это уравнение в виде [сравните с (7.33)]
бРГ 9 х х х
—у + к\х}ф = 0, (9.5)
ах~
с зависящим от координат «волновым вектором» (волновым числом),
7 / \ /2т[Е — V(ж)] , .
= V 1 Г)2 к , (9.6)
который является вещественным в классически разрешённых областях,
Е > ?7(ж) и мнимым в классически запрещённых областях, Е < 17 (х).
9.2 Непрерывный спектр
Мы должны напомнить ещё раз, что бесконечное движение всегда мож-
но рассматривать как предел движения в очень большом, но конечном
объёме. Средние значения (Е) физических операторов, в общем случае,
определяются как
(97>
Такие величины могут иметь конечный предел, даже если волновая функ-
ция, взятая в бесконечном объёме, не нормируема, как, например, плоская
волна.
Пусть Диш является абсолютным минимумом потенциала. В любом
состоянии среднее значение потенциальной энергии больше этого числа,
(Д = | У (1хи(х)\^(х)\2 Пт[п. (9.8)
Среднее значение кинетической энергии всегда положительно,
/т^\ 1 Й2 /* 7 ,(12^(х) 1 К2 Г сШх) 2 , ,
(К} = л л— (Н'ф (ж)——5— = - -— / Ес —-— > 0. (9.9)
х 7 I 2т 7 к 7 Ес2 12т] Их к 7
Здесь мы предположили, что оператор импульса эрмитов, поэтому его
действие может быть перенесено (с помощью интегрирования по частям)
на левую функцию, а значение полученного в результате интегрирова-
ния члена исчезает для любого конечного объема в процессе предельного
перехода к бесконечности. Для асимптотики плоской волны с волновым
вектором к результат (9.9), естественно, равен К2к2/2т.
Объединяя уравнения (9.8) и (9.9) мы приходим к выводу, что спектр
возможных энергий ограничен снизу,
Е=(Н) = (К + 7)^ 17ш[п. (9.10)
Имея в виду этот предельный переход, в дальнейшем мы не будем явно
указывать нормировочный интеграл I.
-------------------------------Е>0
Рис. 9.1. Потенциал, исчезающий при х -д ±оо.
Важная информация может быть получена из уравнения непрерывно-
сти (2.11), которое в одномерном случае имеет вид
др
д1 дх
где ток был найден в уравнении (7.55),
К (*с1/ф с1/ф*
о—7 1 3-----Г”
2тг I ах ах
(9.И)
(9-12)
В стационарном состоянии плотность вероятности р = |?/1|2 не зависит
от времени, и ток д(х) является постоянным всюду,
с1 д
-ф- = О
ах
7 = СОП81.
(9.13)
Предположим, что потенциал ?7(Х) стремится к нулю снизу при х -Д ±оо,
см. Рис. 9.1. Тогда любое положительное значение энергии разрешено, так
как можно поместить источник частиц далеко от потенциала в области
свободного движения и создать частицы с произвольным вещественным
волновым числом к и энергией Е = Н2к2/2т, как мы делали в простых за-
дачах главы 2. В этой асимптотической области решение может содержать
только падающую волну и отражённую волну, но, так как энергия Е всюду
одинакова, отражённая волна имеет то же значение Е и, следовательно,
кге$ = —к. Таким образом, при х далеко влево (на стороне источника)
ЛПД-оо = + Ве-Д
2тЕ
Н2
(9-14)
где амплитуда А произвольно определяется источником, в то время как
В должна определяться решением в области потенциала; без потенциала
было бы В = 0 (нет причины для отражения).
-------------------------------------------Е(а)
Рис. 9.2. Асимметричный потенциал, (а) Энергия достаточна для прохож-
дения. (Ь) Случай полного отражения.
Асимптотическая волновая функция определяет ток (9.12). Интерферен-
ционные члены сокращаются, и мы получаем падающий р и отражённый
дг токи с одинаковой скоростью Кк/т и различной интенсивностью
^=^-^ = ^(Л|2-|В|2). (9.15)
Переходя к далёкой правой асимптотике, мы можем получить только
прошедшую волну с тем же волновым числом,
ДЖ)Щ+со = СеЩ (9.16)
и соответствующий ток
31 = - |С|2. (9.17)
ТП
Теперь уравнение непрерывности (9.13) устанавливает связь между интен-
сивностями трёх волн,
|А|2 = |В|2 +|С|2. (9.18)
Эта формула эквивалентна соотношению (2.36) между коэффициентами
отражения и прохождения,
П=—, Т=—, К + Т = 1. (9.19)
Т л
Если предельное асимптотическое значение потенциала Н-2 справа от-
личается от значения 1/1 = 0 слева, см. Рис. 9.2а, но мы всё ещё считаем
Е > С/д, то нам нужно изменить приведённые выше аргументы, посколь-
ку передаётся ток, который содержит другую асимптотическую скорость
частицы:
// м ?к'т 7/ /2т(Е - Ш |^|2
>+оо — (( ? к — \ —> , 3} — С . (9.20)
V /г т
Теперь сохранение тока даёт
&(|Щ2 - |В|2) = А/|С|2,
(9-21)
что эквивалентно (9.19). Обратите внимание, что мы используем только
асимптотические свойства потенциала и допускаем произвольное поведе-
ние между ними. Для того, чтобы найти В и С по отдельности, мы должны
связать универсальные асимптотические функции с конкретным решением
в области потенциала.
Теперь мы можем рассмотреть случай энергии ниже порога прохождения,
Е < СД, Рис. 9.26. Под барьером, далеко вправо, волновое число мнимое, и
мы должны выбрать экспоненциально убывающее решение,
/ / М -КТ /2т([Д - Е)
ДЩж-н-оо = Се , к = у------^2----.
(9.22)
Однако эта функция не имеет зависящей от координаты фазы (напомним
раздел 7.3) и не создаёт ток, д = 0. Так как ток является постоянным
во всём пространстве, он равен нулю также слева, и мы имеем полное
отражение ,
|В|2 = |А|2, П=1,
(9.23)
несмотря на тот факт, что волновая функция (9.22) проникает через барьер.
9.3 Вырождение в континууме
Не существует ограничения на величину энергии, если она больше, чем
низшее асимптотическое значение потенциала [Д; любое значение энергии
Е > [Д разрешено, а спектр непрерывен. Существует, однако, заметное
отличие между случаями Е > [Дд и Г-2 > Е > хотя энергетический
спектр непрерывен в обоих случаях. В первом случае движение бесконечно
в обоих направлениях. Мы можем начать с источника справа, который
должен дать нам другое, линейно независимое, решение с той же энергией,
то есть мы имеем двукратное вырождение. Во втором случае движение
бесконечно только влево, второе решение отсутствует, и нет вырождения.
В случае двукратного вырождения бесконечного движения, для того,
чтобы сравнить решения с источником на противоположных сторонах от
области потенциала, рассмотрим так называемый вронскиан (определитель
Вронского) построенный из этих двух решений. Вронскиан двух функций
/(ж) и д(х) определяется как
/
УУ[/,д] = Ое*
, = /д'-/'д,
(9.24)
где штрих означает производную д/дх. Рассмотрим два произвольных
решения одномерного уравнения Шрёдингера (9.5), ^1 и^2 с энергиями
Е\ и Д. соответственно,
Д' + Д(ДД = о, Д' + Д(ДД = о, Д2 = (9.25)
Если мы умножим второе уравнение на -01, первое — на и найдём их
разность, потенциальная энергия выпадает, и мы приходим к уравнению
ДД'- ДД'+ - ЕДДД = 0. (9.26)
Это не что иное, как уравнение для вронскиана Ш12 = ИД-01, ^2 ] из двух
решений,
= (9.27)
ах т
В частности, для двух вырожденных решений, Е\ = Е2. вронскиан является
константой,
= о, Д = Е2. (9.28)
ах
С вронскианом, определённым в произвольном месте, например, в асимпто-
тике, условие Ш = сопе! является дифференциальным уравнением первого
порядка, которое может быть использовано для нахождения второго линей-
но независимого решения т/д? если известно
Для вырожденной энергии в континууме, решение, дополнительное к най-
денному ранее, см. уравнения (9.14) и (9.20), может быть принято как
имеющее асимптотику с источником справа
(9.29)
[ В е гкх, х -д —оо,
с амплитудами падающей, отражённой и прошедшей волн Е,С' и В7, соот-
ветственно, и мы считаем, в общем случае, при различных асимптотических
значений потенциала, что асимптотические волновые числа к и к' могут
быть разными.
Задача 9.1
Доказать, что коэффициенты отражения и прохождения для источника
справа, Кг и Тг являются теми же, что и для источника слева, К[ и Д.
Решение Вычислите вронскиан двух решений в двух асимптотических
областях.
Задача 9.2
Дан чётный потенциал СДж) = ?7(—х) > 0, который спадает на больших
расстояниях. Определить два фундаментальных решения уравнения Шрё-
дингера для энергии 7?, которые даются чётными и нечётными функциями
и±(х) = ж) со значениями в начале координат
и+(0) = 1, Д(0) = 1; и_(0) = 0, и'_(0) = 1. (9.30)
Пусть безразмерные логарифмические производные этих решений в точке
хо за пределами области потенциала равны
и±(ж0)
А± = хо —т—г-
и±(х0)
(9.31)
Рассмотрим рассеяние волны, идущей с одной стороны и найдём вероятно-
сти отражения и прохождения в терминах А±. Это обеспечивает удобный
подход к численному решению задачи.
Решение Возьмём решение п(ж), которое состоит из падающей и отражен-
ной волны слева, прошедшей волны справа и комбинации двух основных
реальных решения между ними,
ркх । р^—гкх
С+и+(х) + С_п_(ж),
регкх
— ОО < X < —хо,
— Хо С X Хо,
Хо < х < ОО.
(9.32)
где Е = Н2к2/2т. Приравнивая решения при х = ±жо с учётом свойств
симметрии основных решений и их вронскиана IV (и^, и_) = 1, мы находим
в = -- А+ + гд А_ + /у
2 _ А+ — /у А_ — /су (9.33)
В = -- А+ + гд А_ + 1ц е-2*9,
2 _А+ — 1ц А_ — /(]_
где ц = кхц В терминах фаз определяемых как ехр(ш±) = (А± +
+ ч)/(А± — гц), коэффициент прохождения даётся
г |р,2 32(А+-А-)2 1 - 2 соз(а+ - а_)
11 =(92 + ЛУ(92 + Л1) = --------2------' <9'34)
Коэффициент отражения равен
К = |В|2 = 1 + 2со8^+ (9.35)
9.4 Матрица преобразования
Общее решение уравнения Шрёдингера в дважды вырожденном конти-
нууме представляет собой суперпозицию ранее рассмотренных случаев для
источника, расположенного слева и справа. В этом решении у нас есть
четыре асимптотических амплитуды,
тДж) =
Ае1кх + В е~1кх,
Сегк'х + Ве~гк'х
х —оо,
х ОО,
(9.36)
При заданных коэффициентах А и В мы однозначно определяем решение
дифференциального уравнения во всём пространстве. Кроме того, из ли-
нейности уравнения следует, что амплитуды С и В являются линейными
функциями А и В. Эта взаимосвязь может быть записана с помощью
матрицы преобразования М, которая выражает решение в виде двухкомпо-
нентного набора на выходе линейной зависимостью от двухкомпонентного
набора на входе,
С
В
(9.37)
Некоторые свойства матрицы преобразования могут быть установлены
с помощью общих рассуждений. Важное ограничение на матрицу М продик-
товано требованием инвариантности относительно обращения времени,
которое выполняется, если потенциал вещественный. Обращение времени,
см. главу 8.1, эквивалентно комплексному сопряжению плюс обмен ролями
волн, бегущих направо и налево. Тогда матрица преобразования должна
быть той же самой. Эта операция даёт
А^В*, В^А*, С В*, В^С*.
(9.38)
Таким образом, мы имеем для обращённой системы
Сравнивая это уравнение с комплексно сопряжённым к уравнению (9.37) и
требуя, чтобы они тождественно совпадали для любого А и В, находим
/3' = «*, а' = /3*, М = ( " . (9.40)
Теперь примем во внимание сохранение тока. По аналогии с (9.21) это
даёт
й(|А|2 - |В|2) = А/(|С|2 - Д|2). (9.41)
Из этого уравнения мы можем выразить С и В через А и В, используя
матрицу преобразования (9.40), в результате чего получим
к(|А|2 - |В|2) = к'(|а|2 - |/3|2) (|Л|2 - |В|2), (9.42)
и, окончательно,
а|2 - |/3|2>) = Пе1 М = Д. (9.43)
/ к'
Задача 9.3
Доказать утверждение Задачи 9.1, используя свойства матрицы преобра-
зования.
Задача 9.4
Рассмотреть случай симметричного барьера (к' = к) и найти матрицу
рассеяния 8, которая связывает падающую и выходящую волны,
/ В
\ С
(9.44)
Показать, что эта матрица унитарна,
38* = 3*3 = 1.
(9.45)
Решение С помощью матрицы (9.40) с |а|2 — |/3|2 = 1, мы получаем
-г 1 \
1 /3 )'
(9.46)
Унитарность 5-матрицы выражает закон сохранения вероятности, в данном
случае — при упругом рассеянии (включая отражение и прохождение).
9.5 Время задержки
Сохранение тока определяет только абсолютные значения амплитуд
в процессах отражения и прохождения. Однако информация, даваемая
решением уравнения Шрёдингера, не ограничивается только этим, так
как волновая функция при наличии тока является комплексной. Кратко
рассмотрим понятие фаз отраженной и прошедшей волн.
Рассмотрим отражение или прохождение падающего волнового пакета,
см. раздел 5.4, с амплитудой А(&), которая отлична от нуля в узком ин-
тервале волновых векторов. Для каждой монохроматической компоненты
мы можем найти амплитуды отражения, В (к), и передача, С {к'}. Хотя
первоначальная амплитуда А (к) может быть взята реальной, передаваемая
амплитуда является комплексной и содержит фазу 5 (к') (не путать с дель-
та-функцией). Эта разность фаз по сравнению со свободным движением
приобретается в результате изменения условий распространения в области
потенциала. Соответствующая часть волнового пакета с его зависимостью
от времени может быть записана в асимптотической области как
|С(/У)|
2 л
(9.47)
Вблизи центра тяжести пакета к^ фазовый множитель в подынтегральном
выражении можно записать в виде
Кк^х
Е(к^1\ +гД&')+г(А;'-М
с1Е 55
К5Е + 5к'
(9.48)
Так как 5Е = к?(к!/тп)5к' = НЕ 5к\ центр тяжести передаваемых пакетов,
который определяется по стационарной фазе, когда соседние компоненты
интерферируют конструктивно, движется согласно [см. последний член
в (9.48)]
X — Е
1-П
= 0.
Е=Е(к'о)
(9.49)
Мы пришли к выводу, что производная фазы 5(Е) по энергии определяет
время задержки волновых пакетов по сравнению со свободным движением,
55
5Ё’
(9.50)
Отрицательное т означает ускорение движения.
Задача 9.5
Определить время задержки волны, отражённой от барьера конечной
высоты ?7о (см. раздел 2.5).
Решение Удобно использовать (2.46) и тот факт, что \В\ = 1 (при А = 1).
Также введём вспомогательный угол 0, который определяется как
а к • а к в 1^гпи0
сое0 = — = а/—, ею 9 = —, ко = а (9.51)
ко V Го ко V И2
Тогда из (2.49),
_ к — гк к2 — к2 — 2гкн , _-9п
В = -----— = -------2------ = СО8(20) — г8т(20) = е е. (9.52)
к ~I- 2/ъ к0
Это означает, что фаза отражённой волны равна 5Г = —20, и, вычисляя
(19/(1Е, получаем время задержки
_ (19 К 2т 2 , _
тг = 2П —- = . = = —— = —, (9.53)
(1Е ^Е(Во - Е) ккн кт
где V = Ик/тп является классической скоростью частицы.
Задача 9.6
Определить время задержки для волн, отражённых от барьера конечной
длины а, и для волн, прошедших через этот барьер, см. раздел 2.6 (для
энергий ниже высоты барьера).
Решение Используя тот же угол 0, что в уравнении (9.51) амплитуды
из Задачи 2.4 можно записать в виде
В = -е-^1(1-е-2к“), (9.54)
С = | сое 9, Б = е-*(0+«) | соз 0 е~2ка, (9.55)
Р = -ге-^а+^ 1 8ш(20) е~ка, (9.56)
где
/ = V1 - 2е~2ка соз(46») + е~4ка, (9.57)
И
1ап^ = соИфюа) 1ап(20).
(9.58)
В пределе малой проницаемости барьера, ка 1, мы имеем -д 20, и
время задержки как отражённой, так и прошедшей волны совпадает с тем,
которое было найдено в (9.53).
Результат (9.53) является неожиданным: в пределе ка 1 время задерж-
ки при туннелировании не зависит от ширины а барьера! Этот странный
результат в течение длительного времени был предметом дискуссий. При-
нятый буквально, он эквивалентен наличию сколь угодно высоких (даже
сверхсветовых) скоростей в процессе квантового туннелирования. Тем не
менее, можно заметить, что весь вывод времени задержки (9.50) сделан
в предположении, что реальная амплитуда волнового пакета, |С(А/)1 в урав-
нении (9.47) является гладкой функцией энергии, которая может быть
просто взята в центре тяжести к = без вклада в стационарную фазу. Это
предположение недействительно в случае барьера с очень низкой проница-
емостью, ка Д> 1. Здесь барьерный фактор ехр(—ка) является функцией,
сильно зависящей от мнимого волнового числа. Передаваемый волновой
пакет оказывается очень отличающимся от падающего и отражённого. При-
нимая барьерный фактор во внимание при вычислении фазы (9.48), мы
приходим к комплексному выражению
т = Н
(16 . бк
оЁ + гааЁ
1
К
(9.59)
Грубо говоря, «туннелирование происходит в мнимом времени». Для очень
широкого барьера, стационарная точка перемещается дальше в плоскости
комплексного времени. Очевидно, что второй член в (9.59) связан с неопре-
делённостью скорости под барьером, Дж ~ К/та. При желании проследить
за движением внутри барьера, условия локализации приводят к Дж < а и
Др » К/а.
9.6 Однородное поле
В качестве важного примера рассмотрим движение заряженной частицы
в постоянном однородном электрическом поле 8 (Рис. 9.3).
Потенциальная энергия равна [7(ж) = —е<?ж, где е — заряд частицы,
стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид
2 777
г/" + —у (В + е8х\ф = 0. (9.60)
пл
Энергетический спектр является непрерывным и не вырожден, а свободное
движения возможно только с одной стороны. Также напомним, что это
Рис. 9.3. Одностороннее движение заряженных частиц в постоянном
равномерном электрическом поле, в предположении еГ > 0.
один из исключительных случаев, когда центр тяжести волнового пакета
движется вдоль классической траектории (Задача 7.7). В этой задаче удобно
перейти к импульсному представлению через стандартное преобразование
Фурье, раздел 4.1,
^(ж) = [ е^^рх<р(р), <р(р) = [ (1хе (г^рх^(х\
(9.61)
Потенциальная энергия становится линейной функцией от х = г^(с//с/р),
а уравнение, которое следует решить,—дифференциальным уравнением
первого порядка в переменных р,
=
ар
(9.62)
Решение этого уравнения очевидно,
р(р;Е) = (уе-^/НеО1(р3/^)-Ер\^
(9.63)
Легко проверить, что собственные функции для различных энергий орто-
гональны. Мы можем положить С = (еГ)~1//2 для всех Е, чтобы получить
обычную нормировку:
[ =
27Г^ (9.64)
= 7_ [ е(г/ПеЕ)[(р3/6т)-Ер] е~(г/ПеЕЩр3/впр-Е'р] =
еЕ У 2тгН
Здесь р является «координатой» волновой функции, в то время как Е,
изменяясь от — оо до оо, является квантовым числом, идентифицирующим
состояние. Мы можем проверить полноту (см. уравнение (3.16)) этого
множества функций:
У = е(*/^)(р'3-р3)/(6ш) у е^/ЯеЕ)(р-р')Е =
= 2тгН5(р — р\
где фактор 2лК соответствует нашему определению интегралов по импульс-
ному пространству.
Теперь мы можем найти координатную волновую функцию (9.61),
^в(ж) =
1 /* ^Р ^(г/П)\р(х—а)—р3/(6теЕ)]
у/ёЁ 7 2тгП
(9.66)
где а = —Е/(еЕ) является классической точкой поворота импульса при энер-
гии Е (Рис. 9.3). Как видно из уравнения (9.60), ^в(^) зависит от коорди-
наты и энергии в комбинации х — а, то есть различные энергии приводят к
одинаковому поведению на соответствующем расстоянии от точки поворота.
Вводя безразмерный импульс
Р
он
7 У 2те8\^3
Ь=ЕЕ
(9.67)
и безразмерную координату, измеренную в единицах длины волны 1/6,
= Ь(х — а\
(9.68)
мы находим волновую функцию в интегральной форме,
Ее =
(9.69)
/ 2тг
Обратите внимание, что полученная функция является вещественной. Это
говорит нам, что ток вероятности равен нулю, как и следовало ожидать, так
как здесь имеется полное отражение от барьера, даже если волна проникает
в запрещённую область У < 0.
9.7 Функция Эйри и функции Бесселя
Функция Эйри определяется как
1 Г00 /ц3
АД) = - Д соз — +
я -/О \ ’Э
(9.70)
Переходя в (9.69) к интегралу по положительным значениям ту, получаем
?«) = 4?А1<-е). (9.71)
Функция Эйри связана с широким классом цилиндрических функций, ко-
торые часто встречаются в приложениях. Это хороший пример, где мы
может получить математические знания, чтобы использовать их позже,
особенно для квазиклассики.
Как видно из уравнения (9.60) и подстановки (9.67) и (9.68), волновая
функция ^(€) удовлетворяет дифференциальному уравнению
|^-+С<’ = 0. (9.72)
где <( = 0 является точкой поворота, область <( > 0 соответствует классиче-
ски разрешённому движению и < 0 — область под барьером. Как всегда,
это уравнение имеет два линейно независимых решений, а физическим
решением является их определенная комбинация, А1(—^). В точке поворота
функция Эйри и её производная имеют конечные значения, которые могут
быть вычислены [42] непосредственно, если положить = 0 в определении
(9.70),
3“2/3 ( д \ 3“4/3
<9-73)
Результат выражается через Гамма—функции, которые имеют значения
Г(2/3) ~ 1.354 и Г(4/3) = (1/3)Г(1/3) ~ 0.893. Эти числа задают опреде-
ленную комбинацию, которую нам нужно найти.
Если мы введем новую переменную г таким образом, что г = (2/3)^3^2
(позже мы увидим причину этой замены переменной) и новую функцию
СД) = , (9.74)
I Д )е=(з/2)г2/3
то после простых алгебраических преобразований получим дифференци-
альное уравнение
Лс 1ас / щ
<7г2 + г йг \ 9г2/
(9.75)
Это конкретный случай уравнения для цилиндрических функций (так
называемых функции Бесселя) 2у(г),
& <2у 1 (1Эу 7 V \ _
ГД I 7 ' I ' У --
агЛ г аг \ гЛ у
(9.76)
где V является произвольным вещественным или комплексным параметром.
Наша функция С (г) соответствует и = ±1/3. Будем искать решение урав-
нения (9.76) в виде ряда. Для начала рассмотрим окрестности точки г = О,
которая является особой точкой для коэффициентов. В последнем члене
мы можем пренебречь 1 по сравнению с /Д/г2, если //ДО. Это приводит
к уравнению Эйлера, где все члены имеют одно и то же степенное поведение
УДг) ос г7. Таким образом, мы получим у = ±//, и, поэтому —два решения,
ведущие себя как г±" в начале координат.
Для определенного знака у мы можем попробовать найти весь ряд,
ОО
п=0
(9.77)
Чтобы удовлетворять этому уравнению, коэффициенты должны быть вза-
имосвязаны
^п+2(^ ± 2)(2// ± п ± 2) ± Ьп — 0. (9.78)
Это двух-членное рекуррентное соотношение показывает, что, начиная
с п = 0, мы получаем только чётные п, или, полагая п = 2к и = &2Ь
ак+1 = ~ 4(А: + 1)(Д А; + 1)' (9’79)
С помощью рекуррентного соотношения для гамма-функции (обобщение
факториала для нецелого аргумента)
Г(ж±1) =жГ(ж), (9.80)
мы приходим к решению уравнения (9.79),
йк = 22АТ(А: + 1)Щ + ^ + 1) ’ (9‘81)
и, с обычным выбором общего множителя по = 2 получаем стандартное
определение функции Бесселя,
ОО
•ад) = уз
к=0
(-)ку/2У'+2к
Г(к + 1)Г(к + „ + 1)'
(9.82)
Если V не является целым числом, две функции линейно независимы,
как можно видеть из их поведения вблизи начала координат. Так что общее
решение уравнения (9.76) является их линейной комбинацией,
(9.83)
Возвращаясь к исходной переменной и приравнивая коэффициенты в
формуле (9.83) к значениям (9.73) в начале координат, мы получим вы-
ражение для функции Эйри и, тем самым, решение для ^(€) квантовой
задачи (уравнение (9.71)) через функции Бесселя,
м-е) = У У (|е2/3) + (^2/3)
(9.84)
Если V = п является целым числом, мы не можем найти два линейно
независимых решения таким методом. Действительно, решение с V = — п
по существу та же функции, что и Тп, поскольку п первых членов ряда (9.82)
исчезают, потому что гамма-функции в знаменателе имеет полюса, и ряд
фактически начинается с к = п. Тогда, после переименования к — п = /,
мы сразу видим, что
(9.85)
Это означает, что для целого у мы должны искать второе независимое
решение. Мы сделаем это позже в соответствующем месте курса.
Задача 9.7
Вычислить определитель Вронского ИДф,,
Решение Используя метод раздела 9.3, получаем, что для любых двух
цилиндрических функций СДг) и Сд(г),
1У[С1,С2] = (9.86)
где константа зависит от выбора решений (71,2. Сравнение с рядом (9.82)
для индексов ±1/ показывает, что при С'1 = и С2 =
2/7
“ -Щ + 1)Г(1-0’
Используя тождества (9.80) и
Г(ж)Г(1 -х) = —, (9.88)
81П(7ГЖ)
которые следуют из определения гамма-функции,
Г(ж) = [ <Ие~Чх-\ (9.89)
мы находим
ТУ [ЛЩ 7-ад = -28Ш(гУ7Г). (9.90)
лг
Для целых г/, определитель Вронского равен нулю, что указывает на ли-
нейную зависимость и
9.8 Асимптотическое поведение
Теперь наша цель заключается в том, чтобы установить поведение функ-
ции Эйри в асимптотической области. Это значит достаточно далеко от
точки поворота. Мы используем этот пример, чтобы продемонстрировать
общие математические подходы к асимптотическим свойствам решений
дифференциальных уравнений, выраженных через различные специаль-
ные функции [43]. Общий подход восходит к Лапласу, также используется
конкретная форма метода наискорейшего спуска Римана.
Как правило, задача может быть сведена к исследованию интегрального
представления следующего типа:
о = (9.91)
где мы интересуемся поведением 1(^) при больших значениях параметра
пределы интегрирования также могут зависеть от ф Когда -Л оо, часто
может заметить, что основной вклад в интеграл происходит от областей
вблизи определенных точек гд Тогда мы можем изучить поведение функ-
ция /(г) в этих областях, сделать замену в интеграле, соответствующую
упрощённым выражениям, и вычислить интеграл.
Задача 9.8
Найти асимптотическое поведение при -л оо интеграла
г?о
Ж) = / аге-ДШ (9.92)
если функция /(г) не имеет особенностей внутри интервала интегри-
рования, включая г = го, учитывая, что вблизи начала координат её
основной член равен гД и она может быть представлена в виде ряда
гДб0 + + •••), аналогично функции Бесселя (9.82).
Решение В пределе -д оо и г > 0, ехр(—г<Д становится очень малой, за
исключением окрестности г = 0. Эта окрестность, которая сокращается
при увеличении определяет основной вклад в интеграл. Так как мы знаем
поведение подынтегральной функции в этой области, то можем выполнить
интегрирование почленно и получить асимптотику интеграла. Первый шаг
даёт
Г%0
ДД (Ье-Дъд + ЪД+Х + (9.93)
7о
Конечно, разложение строго справедливо только в некоторой окрестности
от начала координат, поэтому вместо го, мы должны были бы установить
некоторый предел г7. Однако, поскольку основной вклад в интеграл так или
иначе происходит от очень маленьких г, мы расширяем интегрирование
до бесконечности, что позволяет иметь погрешностью менее ехр(—гД).
Вспоминая определение гамма-функции (9.89), получаем
«>^ + '.4^+... (9.94)
Мы имеем право продолжить ряд, так как отброшенная часть экспоненци-
ально мала по сравнению с членами ряда.
Таким же образом, мы можем показать, что в аналогичном интеграле,
ДД (9.95)
9 а
асимптотическое поведение при -д оо определяется вкладами точек
г = гт, где функция д(г) имеет максимумы.
Задача 9.9
Получите формулу Стирлинга для асимптотики гамма-функции (9.89)
при х -д оо,
Г(ж + 1) ~ д/2тгж хх е~х. (9.96)
Решение Для Г(ж + 1) соответствующая функция д(х) = —г + ж1п(г) имеет
максимум, с1д/с1д = 0, в точке г = х. В непосредственной близости от этой
точки
д(уё) —х + ж1п(ж) — —- (г — ж)2. (9.97)
Тогда при больших ж,
г(1 + 1).е—'.1Мрл,е-.-,Л2, (,98)
Оставшийся интеграл (9.98) может быть продолжен до бесконечности, что
даёт распределение Гаусса с шириной а = д/ж. Интеграл Гаусса приводит
к формуле Стирлинга (9.96). Теперь мы можем проверить, что получим
от следующего члена разложении (9.97):
функция Гаусса в подынтегральном выражении фактически ограничивает
интегрирование шириной |г — х\ ~ л/х, так что поправка (9.99) добавляет
вклад порядка ехр[1/(Зд/^)]? который в пределе больших х не изменяет
асимптотики (9.96).
9.9 Асимптотика функции Эйри
Приобретя некоторый опыт, возвратимся к асимптотике функции Эйри,
через которую выражено решение задачи о движении в однородном поле
(9.71). Из общих соображений мы ожидаем, что приближённое решение
имеет вид осциллирующей функции в классически разрешённой области
х > а, или > 0, уравнение (9.68), которое соответствует большим отрица-
тельным аргументам функции А1(<Д. В классически запрещённой области,
далеко под барьером, х < а, или < 0, аргумент функции Эйри —большая
положительная величина, и здесь волновая функция, как ожидается, экс-
поненциально затухает. Обратите внимание, что функция Эйри не имеет
особенности в точке поворота х = а, или = 0, уравнение (9.73). Для
дальнейшего анализа удобно представить функцию Эйри (9.70) в виде
действительной части экспоненциальной функции,
-| ( рос
А1(С) = -Не
71 ио
выбор знака в показателе не имеет значения. В классически разрешённой
области мы имеем —Д> 1, т.е. = —|^|, |^| Д> 1,
А1(С) = -Не ( Г°
71 ио
(9.101)
Точка стационарной фазы даётся максимумом показателя степени
4- (|€1’7-тг) = 1€1 -л2 = 0 р = УД
(гТ) \ о /
(9.102)
Это действительно максимум, так как вторая производная отрицательна,
(9.103)
Окрестность этого максимума даёт основной вклад в интеграл, если |^| 1.
Беря г] = д/ПТ + ?/ и разлагая экспоненту до членов второго порядка по т/,
мы получаем
И>/~ Д (и3/2-/Ш2.
(9.104)
В интеграле (9.101) нижний предел равен р' = — д/ПТ; в асимптотике мы
можем заменить его на — оо, получаем
(9.105)
Последний интеграл гауссовского типа (хотя показатель осциллирует), он
даёт (—гтг)1/2!^!-1/4. Наконец, беря вещественную часть комплексного пока-
зателя и возвращаясь к — вместо |^|, мы получаем искомую асимптотику,
А1(е) ~ 1 /4 соз (|(-е3/2 - 7), -е» и (9.Ю6)
Это осциллирующее поведение с медленно уменьшающейся амплитудой
соответствует нашим ожиданиям распространения волны в классически
разрешённой области.
При большом положительном 1, стационарные точки показателя
экспоненты в интеграле (9.100) даются формулой ту2 = —ф Интеграл (9.100)
при > 0 сходится, если 1т(ту) < 0. Поэтому мы можем деформировать
контур интегрирования в нижней части мнимой плоскости ту, см. рис. 9.4.
Рис. 9.4. Контур интегрирования для асимптотики функции Эйри А1(^)
при » 1.
Новый контур содержит вертикальную часть А вдоль мнимой оси вниз,
к началу координат, до стационарной точки ту = — гд/€ и горизонтальную
часть В от стационарной точки до оо. Вдоль линии А, где ту = —гу и у
меняется от 0 до д/€? вклад в интеграл чисто мнимый, и поэтому не даёт
вклада в асимптотику. В оставшемся интеграле В мы можем положить
у — где х изменяется от 0 до оо, и экспонента может быть
записана как ехр{Р(жД)}, где
+ = -|^3/2_^х2-1-х3. (9.107)
О о о
Для больших гауссовский член — \Фх2 эффективно обрезает диапазон
значений ж, который даёт вклада в интеграл малыми х ~ Тогда по-
следний член в (9.107) имеет порядок 1. Пренебрегая этим членом
в асимптотике, мы приходим к гауссовскому интегралу по ж; стандартный
расчёт даёт
А1(С) ~ * /4 е-^3/2, е» 1; (9.108)
что объясняет выбор переменных в уравнении (9.74). Как и ожидалось, мы
получили решение, экспоненциально падающие в классически запрещенной
области.
Задача 9.10
Зададим классический импульс в разрешённой области для движения
в однородном поле, х > а,
р(ж) = у/2т(Е + ебх) = \/2те8(х — оф (9.109)
и мнимый импульс в запрещённой области, ж < а, где
|р(ж)| = \/2т(—Е — еЕх) = у/2теЕ(а — х). (9.110)
Показать, что асимптотика волновой функции (9.71) может быть выражена
как
ДД 2 СО8^(ж) — л/4\ X Д> су (9.111) ур(ж) ' 7
где А является нормировочной константой и
ДД ~Ае-фД х^а, (9.112)
где фаза свободного движения в разрешённой области равна
<рД = - т [ с1х'р(х'^ (9.113) •1а
в то время как затухание волновой функции в запрещённой области опре-
деляется мнимой фазой
ФД = - т [ с1х'\р(х')\. (9.114) 9 х
Решение Используйте асимптотику функции Эйри и простые интегралы
Г Лх'рД) = ЕДДе + ееДУ
V а Зес
[ - еЕх')3/2.
9 х Зес
(9.115)
Асимптотика (9.111) состоит из падающей и отражённой волны одинако-
вой амплитуды (ток должен сохраняться), полученной при р(ж) -Д
либо при дополнительной фазе л. Затухающая волновая функция в запре-
щённой области является, в сущности, той же волной с дополнительной
фазой 7г/2 или р(ж) -Д г|р(ж) | Наличие фазы тг/4в распространяющихся
волнах (9.111) связано с плавным поведением в области вблизи точек по-
ворота, которая не содержит никаких особенностей, но не описывается
асимптотическими выражениями. Точно решаемая задача в однородном
поле служит опорной точкой в общем квазиклассическом рассмотрении,
см. главу 15.
9.10 Функция Грина для одномерного рассеяния
Здесь мы разовьём регулярный метод решения уравнения Шрёдингера
в континууме, а позже обобщим этот подход для решения трёхмерных
задач. Значение этого метода состоит в возможности построить последова-
тельность приближений для случаев, когда точное решение не достижимо.
Уравнение, которое нужно решить, имеет стандартный вид (9.5), где
т 9 т 9 2тЕ х 2тГ(х)
к (х) = к1~У(х), к1 = V(ж) = —(9.116)
Будем считать, что потенциал У (ж) сосредоточен на конечном отрезке
оси х и может быть полностью проигнорирован при |ж| > а, где а можно
назвать областью потенциала, за пределами этого интервала V = 0; мы
можем также опустить индекс, переименовав ко -Д к (асимптотическое
волновое число).
Если потенциал отсутствует, то решение с источником слева было бы
просто плоской волной егкх (с произвольной нормировкой). В присутствии
потенциала решение будет содержать отражённую волну, а также фазовый
сдвиг (см. раздел 9.5) проходящей волны. Полное решение уравнения (9.116)
можно искать, выделив падающую волну,
'ФД = егкх + ^8с(ж), (9.117)
где рассеянная волна ^^(ж) содержит все эффекты, связанные с потен-
циалом. Так как падающая волна удовлетворяет уравнению свободного
движения, для рассеянной части, получаем
(9.118)
с полной функцией -0(ж) в правой части.
Предположим, мы знаем функцию Грина С(х, х'} дифференциального
оператора в левой части (9.118), то есть решение
б2
бх2
(9.119)
Обратите внимание, что функция Грина зависит от энергии Е = Н2к2/2т.
От дифференциального уравнения (9.118), перейдем к интегральному урав-
нению
В некотором смысле, это уравнение является более полным, чем диффе-
ренциальное уравнение, потому что мы можем включить в уравнение необ-
ходимые граничные условия. Этого можно добиться конкретным выбором
функции Грина. В самом деле, (9.119) не определяет однознач-
но: мы всегда можем добавить любое решение однородного уравнения
(без правой части).
Правильный выбор для источника в левой части должен гарантировать,
что тДзс содержит только отражённую волну е~гкх далеко влево от потенци-
ала, х —а, и только волну, распространяющуюся вправо, егкх при х а.
Эта асимптотика может быть достигнута, если функция Грина имеет те же
свойства, поскольку в уравнении (9.120) переменная х' ограничена областью
потенциала и переменная х относится к точке наблюдения в асимптотике.
Функция Грина (9.119) удовлетворяет уравнению свободного движения
при х ф х’. Поэтому будем искать эту функцию в форме, определяемой
требуемой асимптотикой,
В(х^е^кх,
С{х'Укх,
С?(ж, х} =
(9.121)
Для того, чтобы согласовать решения с обеих сторон от сингулярности,
проинтегрируем (9.119) в малом интервале \х — х'\ < р около точки х = х'.
Интегрирование даёт
\дсг=хЧг1
+к2
гх'+т)
3 х'—Т]
дх С(х, х') = 1.
(9.122)
Функция Грина сама по себе не содержит особенности в точке х = х'
(в противном случае её вторая производная была бы ещё более сингулярной
и это уравнение не могло бы быть удовлетворено). В пределе ту —> 0 область
интегрирования сжимается и интеграл С стремится к нулю. Таким образом,
условие согласования в области сингулярности даёт скачок производной
функции Грина (сравните соответствующие условия в (3.63)),
(9.123)
Непрерывность функции Грина и разрыв её производной приводят к систе-
ме уравнений для амплитуд В и С в уравнении (9.121),
Ве~гкх' = Сегкх', гк(Сегкх' + Ве~{кх') = 1, (9.124)
которая определяет функцию Грина
1 С гк(х х ) М
Отражённая волна при х -д — оо теперь выражается как
(9.125)
(9.126)
тогда как для прошедшей волны при х -Д оо мы получаем
^(ж) = е^ 1 + -Г [ (1х,е-гкД(х,')ДД .
(9.127)
Таким образом, у нас есть точные выражения для коэффициентов отраже-
ния и прохождения,
2 _ 1
= 4А-2
(9.128)
1 + —— [ Лх е гкхУ(х)'ф(х)
1
2гк
Эти точные выражения по-прежнему содержат искомое решение 'ф(х).
Сохранение вероятности, 11 Г Т = 1, обеспечивает полезное соотношение
между между отражательной способностью и мнимой частью интеграла
К + Т = 1 от волновой функции,
К =-------11П 7.
2к
(9.130)
аналог оптической теоремы, которая появится в трёхмерной задаче рассе-
яния.
Задача 9.11
Найти коэффициенты отражения и прохождения для очень узкого по-
тенциал, который моделируется дельта-функцией,
17(х) = д6(х).
(9.131)
Решение Результаты (9.128) и (9.129) обеспечивают формальные ответы
в терминах искомой волновой функции в начале координат, тДО),
г2 1 2
(9.132)
Е =
Т =
= 2тд
Оптическая теорема (9.130) содержит мнимую часть волновой функции
в начале координат,
(9.133)
Поскольку волновая функция непрерывна в нуле, то можно найти значение
с любой стороны. Функция в точке ^(0) даёт
ДО) = егкх + ЕмДДкх 2гк ДО) = ж=0 2гк (9.134)
2гк - /'
Окончательно, мы находим
г = И<=/2 + 1^ п /2 у2 + 4А:2' (9.135)
При низкой энергии К -Д 1, в то время как при высокой энергии, Е
тд2/2Н2, Т -д 1.
Задача 9.12
Найти прямое решение уравнения Шрёдингера для волновой функции
в непрерывном спектре для потенциала (9.130) без использования функции
Грина.
Решение Напишите общий вид решения с двух сторон от особенности и
получите соответствующие условия, аналогичные уравнению (9.123),
Д = 'Ф-,
(9.136)
Задача 9.13
В середине потенциального ящика шириной а прикладывается дополни-
тельный узкий потенциал притяжения, который может быть смоделирован
как д5(дГу д < 0 (рис. 9.5а). Для частицы с массой т найдите условие
существования состояния с отрицательной энергией.
Решение Без ящика, 5-потенциал притяжения имеет одно и только одно
связанное состояние, см. раздел 3.5. При наличии ящика, энергия этого
состояния увеличивается и связанное состояние с Е < 0 может исчезнуть.
Волновая функция связанного состояния в 5-потенциале должна быть
б(х)
Рис. 9.5. (а) Потенциал из Задачи 9.13, (6) Иллюстрация графического
решения.
чётной и обращается в нуль на стенках при х = ±а/2. Соответствующее
решение непрерывно в середине,
где
2те
Л2
81пЬ [к(х + а/2)],
— 81п11[л:(ж — а/2)],
е = —Е > 0.
О,
О,
(9.137)
(9.138)
Производная терпит разрыв в 5-потенциале как в (9.136),
д2
-^[/(+0)-/(-0)]+^(0) = 0,
что даёт
на
1апЬ — = —д = -\д .
2 т\д\
(9.139)
(9.140)
Решение существует, если прямая справа, как функция к, пересекает кри-
вую 1ап11(аа/2), то есть угол наклона прямой в начале координат должен
быть меньше, чем ка/2, Рис. 9.56,
Л2
т|#|
(9.141)
Сила 5-потенциала должна быть достаточно большой, в отсутствие ящи-
ка а л сю, выполняется уравнение (9.141) и связанное состояние всегда
существует, в согласии с разделом 3.5.
9.11 Потенциал как возмущение
Формальное решение (9.120) с функцией Грина (9.125), куда включены
подходящие граничные условия, открывает путь для практических прибли-
жений. Если потенциал слабый, мы ожидаем малую вероятность отражения
и почти полное прохождение. В этом случае волновая функция должна
быть близка к волновой функции падающей волны слегка искажённой
потенциалом.
Решение уравнения Шрёдингера может быть проведено на один шаг
дальше, по сравнению с (9.120), если использовать для итерации то же
выражение для волновой функции, как под знаком интеграла,
Дж) =егкх
Ах' (3(х, х')У (х') х
(9.142)
Эта процедура может быть продолжена, что приводит к бесконечному
боровскому ряду
^х) = е*х + ^Цп\х),
п=1
(9.143)
5ж1...5жп С(ж, Ж1)У(ж1)С?(ж1, Ж2)ГЛ(ж2)...ГЛ(жп)ег/сЖп. (9.144)
Структура этого ряда представлена на Рис. 9.6.
Функция (9.144) п-го приближения соответствует, справа налево, плоской
волне, распространяющейся в точку жп, взаимодействию с потенциалом
V (хп} в этой точке, затем свободным распространением [функция Грина
С(жп_1, жп)] до точки жп_1, затем снова взаимодействию V(жп-1), затем сво-
бодному распространению до жп~2 и так далее. После п взаимодействий она
х' х' х'
=1 = -1 + -Сн-1 + -Сн-Сн-1
1кх СУ СУСУ
Т е
Рис. 9.6. Борновский ряд как последовательность взаимодействий (V) и
свободных перемещений ((7).
заканчивается в точке наблюдения х. Таким образом, вся волновая функция
представлена в виде суммы по различным путям с многоступенчатыми
взаимодействиями. В наблюдаемых величинах, таких как коэффициент от-
ражения, все эти пути интерферируют. Интегрирования по х соответствуют
интерференции процессов с актами взаимодействия, происходящими в раз-
личных местах с потенциалом различной интенсивности. При достаточно
общих условиях этот ряд сходится [44].
Практически, мы используем этот подход, когда потенциал рассматри-
вается как слабое возмущение. Ряд является разложением по степеням
потенциала, и мы ожидаем, что младшие члены ряда дают хорошее прибли-
жение к точному результату. Ограничивая себя одношаговым рассеянием,
мы приходим к первому Борновскому приближению.
дц ~ Лх + / Лх'аЦх'Щх'укх'.
(9.145)
Уравнение (9.128) определяет коэффициент отражения,
(9.146)
Вероятность отражения определяется фурье-компонентой потенциала,
Уд= I дхУ(х)е~г(1Х, ц = -2к,
(9.147)
для волнового вектора у = — 2к. Внешний потенциал сообщает импульс
— 2Нк падающей волне с целью изменения её движения и преобразования
её в упруго отражённую волну. В многоступенчатых процессах, требуемая
передача импульса получается за счёт эффекта многих взаимодействий.
Мы не можем использовать уравнение (9.129), чтобы в том же приближе-
нии найти коэффициент прохождения Т; это даст недопустимый результат
Т > 1. Такая попытка неправильна, потому что мы уже избавились от всех
членов выше первого порядка (и нарушили оптическую теорему). Поэтому,
мы не можем взять члены второго порядка в уравнении (9.129). Тем не
менее, мы можем использовать Т = 1 — К с Я, найденным в (9.146). Следу-
ющие члены в волновой функции должны иметь второй порядок и должны
дать поправку к К третьего порядка (интерференция с первым порядком),
не меняя членов второго порядка в Т.
Коэффициент отражения мал, К 1, как предполагается в борновском
приближении, если |ХДк |2 "С 4/с2. Потенциал имеет ограниченную область
а и, поэтому, значительную компоненту Фурье для (/ ~ ^/а, как это
следует из соотношения неопределённости. Случай низкой энергии может
быть определен как тот, где длина волны частицы больше, чем область по-
тенциала ка 1. В этом случае компоненты Фурье имеют одинаковый
порядок как
/ 2 772 —
<1х V (ж) У а, (9.148)
где V является типичным значением потенциала в области его действия.
Тогда условие К 1 можно записать в виде
Й2а2т2 У У ЙЙ
Н2к2 к?/та1 Н2к2/т К
Первым фактором является отношение потенциальной к кинетической
энергии, К, что, в соответствии с соотношением неопределённости (5.45),
необходимо для локализации частиц в области взаимодействия, а второй
коэффициент представляет собой отношение потенциальной и фактической
кинетической энергии Е. Таким образом, для успешного применения бор-
новского приближения хорошо иметь слабый потенциал, по сравнению как
с К, так и с Е. В случае высокой энергии, длина волны мала, да 1, и соот-
ветствующие высокие фурье-компоненты малы, что облегчает применение
борновского приближения.
Задача 9.14
Рассмотреть потенциальный барьер, Рис. 2.4, и сравнить точное решение
с решением в борновском приближении.
9.12 Квазистационарные состояния
Квазистационарные состояний были рассмотрены в разделе 5.8 в связи
с ширинами уровней и конечным временем жизни. Волновая функция
такого состояния имеет временную зависимость (5.74),
ф(^) = ^-(^(вчг/2)^ (9.150)
то есть, формально аналогична временной зависимости стационарного
состояния с комплексной энергией
Г
Е = Е-г-. (9.151)
Как мы знаем, эрмитовы операторы могут иметь только вещественные
собственные значения. Гамильтониан частицы (9.4) эрмитов на классе
нормируемых волновых функций, и мы можем иметь только решения урав-
нения Шрёдингера с вещественной энергией. В наших задачах рассеяния
волновая функция была не нормируемой и рассматривалась в пределе
бесконечного объема. Однако величина энергии определяется удалённым
источником, который создаёт стационарный поток частиц с реальной Е > 0.
Рассмотрим теперь условия, при которых уравнение Шрёдингера может
иметь решения типа (9.150). Классический пример даётся радиоактивным
распадом (Г. Гамов (1928)}. Конечно, реальная проблема является трёх-
мерной, хотя качественно она может быть рассмотрена (см. Задача 2.6) как
одномерное радиальное движение, 0 < г < оо, которое ограничено бесконеч-
но высокой потенциальной стенкой при г = 0, Рис. 2.8. Это рассмотрение
соответствует, по существу, трёхмерному случаю с орбитальным моментом
И = 0. Соответствующее граничное условие для регулярного решения есть
= 0) = 0.
Область положительных энергий принадлежит непрерывному спектру.
«Нормальная» стационарная постановка задачи соответствует рассеянию
на потенциале [7(г) частиц с вещественной энергией Е > 0, испускаемых
источником при г —> оо и движущихся влево. Частицы (с энергией даже
меньшей, чем высота барьера, Е < Vт) проникают во внутреннюю область
и образуют отражённую назад волну после проникновения. В асимпто-
тической области [г —> оо, Е С/(г)], волновая функция стационарного
состояния является суперпозицией двух волн, падающей волны, идущей
справа и волны, отражённой от центра,
ф(г) ос е~гкг - 8(к)егкг, (9.152)
с волновым вектором к = \/2тЕ/к? и амплитудой рассеянной волны 8 (к),
аналогом 8-матрицы в Задаче 9.4. Из за сохранения тока коэффициент
отражения равен
К(к) = |5(А;)|2 = 1. (9.153)
Это означает, что 8(к) можно записать в виде
5(0 = е2*5(/г), (9.154)
где — фаза рассеяния (см. раздел 9.5) обусловленная наличием потен-
циала П(г); 8 (к) —это фаза, накопленная на пути к центру, а 25 является
полной фазы. Знак минус в уравнении (9.152) выбран таким образом, что
для свободного движения, V = 0, не должно быть никакого сдвига фазы, и
тогда
^(г) -д е~гкг _ егкг (х 8ш(/сг), (9.155)
что удовлетворяет граничному условию ^(0) = 0 в особой точке в начале
координат. При наличии потенциала (но за его пределами),
^(г) ос е~гкг — е2г5егкг (х 8ш(Ат + 5). (9.156)
В асимптотической области мы наблюдаем только свободное движение вол-
нового пакета, так что фазовый сдвиг, который определяет время задержки
пакета (9.58), полностью характеризует результаты рассеяния.
Эта формулировка не описывает радиоактивного распада, когда нет ни-
какого удалённого источника продуктов распада, например, альфа-частиц,
на бесконечности. Альфа-частица (ядро 4Не) образована из пары нейтронов
и пары протонов внутри ядра из-за сильного притяжения в системе. При об-
щей положительной энергии, есть ненулевая вероятность (2.63) для альфа-
частицы туннелировать наружу через классически запрещённую область
под кулоновским барьером. На больших расстояниях от центра у нас есть
только расходящаяся волна,
ос егкг. (9.157)
Но затем проблема приобретает особенности, подобные проблеме свя-
занных состояний с отрицательной энергией, которая будет рассмотрена
в главе 11. Для Е = —е < 0 волновая функция должна экспоненциально
спадать при г -Д оо,
?Дг) ос е КГ, н=\ (9.158)
V /г2
Такое решение возможно только при определенных значениях энергии
связи е, и спектр связанных состояний является дискретным. Таким же
образом, граничное условие (9.157) может быть выполнено только при
определённых значениях энергии Е = К2 к2/2т. В отличие от подлинных
связанных состояний, здесь граничное условие является комплексным, и
допустимые значения энергии будут также комплексными, как это было
в уравнении (9.151). Эти затухающие состояния называются состояниями
Гамова. Если бы потенциальный барьер (см. Рис. 2.8) имел протяжённость
до г —> оо, состояние с энергией Е было бы нормальным связанным со-
стоянием. Конечность барьера приводит к возможности туннелирования,
конечному времени жизни т Н/Г и смещению энергии к нижней части
комплексной плоскости (уравнение (9.151)).
Понятие квазистационарного состояния полезно, только если его время
жизни достаточно велико, по крайней мере, несколько периодов К/Е. Тогда
ширина мала по сравнению с реальной энергией, Г < Е, а собственное
значение Г близко к вещественной оси энергии. Волновой вектор к также
содержит мнимую часть,
(9.159)
Для малых ширин мы находим
(9.160)
На больших расстояниях, волновая функция (9.157) теперь также содержит,
помимо уходящей осциллирующей волны, растущую экспоненту,
7/, ПС р[^о + (Г/4П) Д2т/Е]г _ [гк0+(Г/2Пу0)]г
СУ О О •
(9.161)
где
/^Е , .
г0 =----= \ — (9.162)
т V т
является скоростью частицы в свободном движении за барьером. Мы видим,
что полная волновая функция (9.150) имеет асимптотику
Ф(гД) ос ег[ког~^/н] (9д63)
Отсюда видно, что рост волновой функции для квазистационарного состоя-
ния при г -Л- оо является результатом накопления вероятности нахождения
распадных частиц на больших расстояниях; все частицы, проникшие че-
рез барьер, уходят на бесконечность. Амплитуда вероятности одинакова
для всех точек (г, Г), связанных классическим уравнением движения
г
-----I = соп81 = 1$.
^0
(9.164)
Дальнейшее чтение: [24,43,45].
Ни одна из задач физики не имеет точного
решения.
А. Б. Мигдал, В. П. Крайнов, Приближённые
методы квантовой механики
Глава 10
Вариационный подход и диагонализация
10.1 Вариационный принцип
Стационарное уравнение Шрёдингера (9.2) для дискретного спектра
связано с определённой вариационной задачей минимизации функционала.
Пусть ф является некоторой квадратично интегрируемой функцией, нор-
мированной произвольным образом. Рассмотрим среднее значение энергии
в этом состоянии
(Д = р П = I = У (10.1)
как функционал от ф. Будем искать функцию ф, которая приводит к экс-
тремуму этого функционала. В непосредственной близости от экстремума,
первая вариация функционала,
5(Д = р - р 61 = 1 (<Ш - (Дф, (10.2)
обращается в нуль. Будем варьировать функции фиф* под интегралами и
использовать эрмитовость гамильтониана с целью получения
6(Е) = 1 У с1т {(5<) Ж - (Ж] + 1ЖУ - {Е)^]6^. (10.3)
Из уравнения (10.3) следует, что условие экстремума 5(Е} = 0 удовлетворя-
ется функцией ф, если эта функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера
Нф = (Е)ф, (10.4)
и тогда среднее значение (Е) в этом состоянии является собственным зна-
чением Гамильтониана. И наоборот, можно показать, что если функция
-0 обеспечивает экстремум (Е), она подчиняется уравнению Шрёдингера.
Этот вариационной подход означает, что минимально возможное собствен-
ное значение гамильтониана даёт абсолютный минимум функционала
(Е), что, в свою очередь, соответствует волновой функции основного
состояния системы.
Задача 10.1
Показать, что следующее за наименьшим Ет1п собственное значение Н
даёт минимум (Е) на классе функций, ортогональных (Предполагается,
что невырожденная).
Решение Условный экстремум может быть найден как абсолютный экс-
тремум функционала энергии с дополнительным членом, содержащим
множитель Лагранжа] в этом случае нужно искать экстремум нового
функционала
ЕД) = (Е) - ХД\Д (10.5)
Значение множителя Лагранжа Л должно быть найдено из условия ортого-
нальности функции ?/ц(А), минимизирующей функционал (10.5), к ранее
найденной функции основного состояния
<^О|'01(А)> = 0. (10.6)
Процесс можно продолжать таким же образом для более высоких состояний,
налагая дополнительные требования ортогональности для определения
новых множителей Лагранжа.
Задача 10.2
Рассмотрим систему в постоянном внешнем поле /, действующем на пе-
ременную Е системы так, что соответствующий член, добавленный к га-
мильтониану, равен
А = /е. (ю.7)
Покажите, что среднее значение (Е), найденное для волновой функции
основного состояния |-0о) (которое предполагается невырожденным), в
присутствии поля однозначно определяет это поле / [46].
Решение Пусть основное состояние 1^0^) соответствует приложенному
полю /1 и
Л) = д/ЕГфЕ (ю.8)
является средним значением оператора (10.7) в этом состоянии. Если Н —
гамильтониан системы без поля Д энергия основного состояния даётся
= ай’йД + (ю.9)
Изменяя поле, Д -Д Д, мы получим другое основное состояние |^о / и
энергию
Е^ = /2(42)|#|42)) + (Д2)|Я|Д2)). (10.10)
Предположим, что Д приводит к тому же значению (Р). Согласно ва-
риационному принципу, энергия Е^\ как собственное значение основного
состояния А1 + Н, ниже^ чем среднее значение этого оператора для любого
другого линейно независимого состояния, в частности
яД < (Д2)|а + Я|Д2)) = Л(Д + (Д2)|Я|Д2)). (10.11)
Это можно записать эквивалентным образом как
м < Д2) + (/1-/2)(Д. (10.12)
Тем не менее, состояние |м / аналогичным образом обеспечивает минимум
энергии поля Д. Также получаем
М ММА-АНП (Ю.13)
Уравнения (10.12) и (10.13) несовместимы. Это показывает, что предпо-
ложение неверно, и величина (Д) действительно однозначно определяет
приложенное поле Д хотя не обязательно, что любое среднее значение Е
определяет некоторое поле Д
10.2 Прямой вариационный метод
На практике вариационный метода служит удобным способом нахожде-
ния приближённых решений для основного и низколежагцих дискретных
состояний уравнения Шрёдингера в реальных ситуациях (сложных атомов,
молекул, атомных ядер, конденсированных средах), когда точные решения
не могут быть найдены. Существуют различные способы применения этой
идеи. Прямой вариационный подход состоит в выборе (на основе физических
соображений и правдоподобных ожиданий) пробной функции ф основного
состояния относительно простого вида с несколькими свободными парамет-
рами сед Затем вычисляется среднее значение (Е) = (ф\Н\ф} / (ф\ф} гамиль-
тониана в пробном состоянии и минимизируется зависящий от параметров
результат д(Е)/даг = 0. Отсюда определяются значения параметров, кото-
рые обеспечивают наилучшее приближение к волновой функции основного
состояния в выбранном классе пробных функций.
Если выбор был разумным, результат, как правило, близки к точно-
му. Поэтому при выборе пробной функции нужно принять во внимание
конкретные особенности задачи. Например, результат будет лучше, если
пробная функция уже удовлетворяет правильным граничным условиям.
Мы должны помнить, что фактическая энергия основного состояния всегда
ниже, чем та, которую мы нашли с помощью вариационного подхода (они
равны, если мы выбрали точное решение).
Задача 10.3
Используя функцию Гаусса
ф(х) ~ е~ах\ (10.14)
как пробную волновую функцию оцените энергию основного состояния
для частицы массы т в потенциале линейного гармонического осциллято-
ра (5.55).
Задача 10.4
Для частиц, заключённых в потенциальном ящике между х = 0 и х = а
(см. раздел 3.1), оцените энергию основного состояния с помощью пробных
функций (взятых только внутри ящика).
1. '01(ж) = х + сеж2; (10.15)
2. Д(Д = е“|а:“а|. (10.16)
3. — 8ш(сеж). (10.17)
Сравните результаты с точным решением.
Задача 10.5
В разделе 5.6 мы привели аргумент в пользу того, что любой притя-
гивающий одномерный потенциал с симметричными пределами на ±оо
содержит, по крайней мере, одно связанное состояние. Доказать это утвер-
ждение с помощью вариационного принципа при условии, что потенциал
[7(ж) удовлетворяет неравенству < 0.
Решение Наиболее подозрительный случай связан с мелкой ямой (Зада-
ча 3.4), где мы обнаружили, что решение всегда существует в виде (3.50).
Это решение является хорошим кандидатом для пробной функции. Удобно
(хотя и не необходимо) с самого начала нормировать функцию,
Дж) = Де~кЫ. (10.18)
Эта функция (обратите внимание, что она чётная) имеет скачок разры-
ва производной в начале координат. Поэтому нужно быть осторожным
при расчёте среднего значения кинетической энергии; самый простой способ
сделать это — использовать эрмитовость оператор импульса для квадратич-
но интегрируемых функций и интегрировать по частям (сравните с (9.9))
Й2 Й2
----/ с/ж'0(ж)\72'0(ж) = - / ЙХ |\7'0(ж)|2 =
2т I 2т х
Л” ь2 2
= 2-— / йх \7^(ж) =——.
2т 70 2т
Откуда
ь2 2 гос
(Е) =----+ к / (10.20)
2т ,/х
Эта энергия выше, чем фактическая при любом значении к. Хотя
при к -Д 0 (случай мелкой ямы с большой длиной проникновения) потен-
циальный член (линейный по к) больше, чем кинетический член, который
квадратичен по к. Поскольку этот член является отрицательным для потен-
циала притяжения, уравнение (10.20) даёт (Е) < 0. Поэтому фактический
уровень энергии является отрицательным, и состояние является связан-
ным. Пренебрегая экспонентой под интегралом, мы, по существу, пришли
к той же оценке, основанной на соотношении неопределённости, которая
была приведена в разделе 5.6; параметр к соответствует обратной длине
проникновения Ь в (5.46). Вместо уравнения (5.48) мы получаем мето-
дом минимизации по к улучшенную оценку энергии основного состояния
для мелкого потенциала притяжения любой формы.
(10.21)
10.3 Диагонализация в усечённом базисе
Пробная волновая функция также может быть выбрана как лучшее ре-
шение с помощью усечённого базиса (вариационный метод Рэлея-Ритца).
Предположим, что некоторый ортонормированный базис \п) качественно
близок к фактическому собственному базису гамильтониана, выберем огра-
ниченное подмножество состояний \п) и возьмём комбинацию конечного
числа с1 выбранных состояний,
а
|Д = У2с„|п), (10.22)
71=1
в качестве пробной функции. Тогда, выполнив диагонализацию гамильтони-
ана в усеченном пространстве, как это делалось в разделе 6.8 для произволь-
ного эрмитового оператора, сведём задачу к секулярному уравнению (6.84),
Пе1(Н - Е • 7) = 0. (10.23)
Решение его даёт д собственных значений и соответствующие волновые
функции, выраженные в виде набора с$ коэффициентов суперпозиции
(10.22). Наименьшее собственное значение, найденное этим методом, явля-
ется лучшим приближением к фактическому значению энергии основного
состояния, возможного в классе функций (10.22). Если выбор усечённого
пространства был физически оправдан, следующие собственные значения
могут также быть достаточно хорошими, хотя это и не обеспечивается ва-
риационным принципом. Для возбуждённого состояния (состояний) может
быть более правильным по отдельности обрезать полный базис, а затем
ортогонализировать полученные решения с различными обрезаниями.
Задача 10.6
Доказать, что при добавлении новых ортогональных базисных векторов
в (/-мерное множество из первоначального набора, мы приходим к значению
энергии основного состояния, которое никогда не превышает полученного в
предыдущем приближении (чем шире класс пробных функций, тем ближе
результат к точному решению). Поэтому энергия основного состояния
монотонно уменьшается в процессе расширения вариационного базиса.
Задача 10.7
Вывести секулярное уравнение, используя неортогональный базис.
Решение С помощью матричных элементов матрицы перекрытия О
для выбранного базиса
отп = (т\п),
получаем секулярное уравнение
ОеДЯ - ЕО) = 0.
(10.24)
(10.25)
10.4 Двухуровневая система
Среди различных ситуаций, которые представляют часто встречающиеся
физические условия, особое место занимают системы с двумя состояния-
ми. В Фейнмановских лекциях [47], почти всё здание квантовой теории
основано на изучении системы с двумя состояниями. Наиболее важным
примером, возможно, является система со спином 1/2. Как обсуждалось
в разделах 1.9 и 5.11, объект со спином 1/2 имеет при произвольным выбо-
ре оси квантования (обозначаемой как г), только два состояния, которые
отличаются проекцией спина = ±1/2. Конечно, эти состояния образуют
только базис, и любая суперпозиция этих двух состояний также возможна.
В этом случае система буквально имеет только два состояния. Во многих
случаях ограничение двумя состояниями является приближением, кото-
рое продиктовано физическими аргументами. Это можно рассматривать
как простейшее применение вариационного принципа: мы ищем решение
квантовой задачи, используя пробную функцию на усечённом двумерном
базисе.
Двухуровневая система должна служить в роли основной ячейки, куби-
та, будущего квантового компьютера, представляя два возможных базис-
ных состояния, 0 и 1, двоичной арифметики. К сожалению, для большин-
ства кандидатов, предложенных для реализации квантового компьютера,
двухуровневое приближение не является точным. Существование других
состояний может быть вредным для работы компьютера, создавая до-
полнительный источник разрушения квантовой когерентности в рабочем
двумерном пространстве (декогеренция).
В приближении двух состояний, наиболее общий эрмитов, не зависящий
от времени, гамильтониан может быть представлен в виде матрицы 2x2,
/ Ни Н12 \ / в1 V \
V Я21 Н22 ) ~ V V" ^2 / ’
(10.26)
где мы используем некоторый базис 11), |2) невозмущённых состояний и
указываем настоящие диагональные матричные элементы для невоз-
мущённых энергий и недиагональные матричные элементы 11\2 = V и
П21 = = V* для взаимодействия между невозмущёнными состояни-
ями. В отсутствие взаимодействия невозмущённые состояния являются
собственными состояниями гамильтониана с невозмущённой энергией. Да-
лее будут полезны обозначения
△ = е2_е1, 8 = УД2 + 4|у|2. (10.27)
мы будем считать, что Д 0.
Стационарные волновые функции \ф} представляют собой суперпозицию
базисных невозмущённых состояний, см. уравнение (10.22),
И) = С1|1> + С2|2>, (10.28)
где амплитуды сц2 могут быть найдены из условия нормировки
|С1|2 + |С2|2 = 1. (10.29)
Стационарное уравнение Шрёдингера
Я|Д=Я|^) (10.30)
сводится к набору (6.83) алгебраических уравнений для амплитуд сц2,
С1в1 + с2С = Ес\, С1У* + с2е2 = Ес2, (10.31)
и нетривиальные решения появляются при энергиях Е±, которые являются
корнями секулярного уравнения (6.84),
(^-в1)(^-е2)-|У|2 = 0,
(10.32)
Е± = - ^2 + Е1 ± -\/Д2 + 4| Щ2] = - (б1 + 62 ± $). (10.33)
Чтобы найти стационарные собственные векторы, нам нужно решить
одно из уравнений (10.31) для правильного значения Е. Если возмущение
является комплексным в исходном базисе, V = |У|ега, может быть удобным
избавиться от фаз, например, с помощью новых амплитуд
щ = сце^/2^, с2 = а2е-^2^, (10.34)
которые удовлетворяют уравнению
(61 - Е)а1 + |У|а2 = 0, (е2 - В)а2 + \УД = 0 (10.35)
и могут быть взяты реальными.
Задача 10.8
Найти амплитуды собственных функций.
Решение Решение следует из уравнения (10.35), где нужно выбрать △ > 0.
В этом случае решения П1 и а2 имеют одинаковые знаки. В случае отри-
цательного решения, их знаки противоположны. Общий знак произволен,
решение можно записать в виде
в + Д т в — Д
а2 , Й1 ; (10.36)
Легко проверить ортонормированность решений.
В невозмущённом пределе, У —> 0, верхний уровень \фД совпадает с |2),
а нижний, |0_), совпадает с |1),
Рис. 10.1. Расхождение уровней.
10.5 Расталкивание уровней и уклонение от пересечения
Как видно из уравнения (10.33), произвольное эрмитово возмущение V
приводит к отталкиванию уровней, рисунок 10.1 — новые энергетические
уровни Е± имеют интервал з больше, чем у невозмущённых уровней,
Е+ - Е- = 8 = УД2 + 4|У|2 > △. (10.39)
Расщепление, з = 2|К|, появляется даже для вырожденных невозмущённых
уровней, Д = 0.
Обратите внимание, что в случае вырождения все амплитуды собствен-
ных состояний имеют абсолютное значение 1 /д/2, то есть, независимо
от силы смешивания V, исходные состояния смешаны одинаково. Напри-
мер, для вещественного V и Д = 0, собственные состояния являются
симметричной и антисимметричной суперпозицией базисных состояний,
|<Ы = ^(|1)±|2))- (10.40)
Таким образом, вместо пересечения основных уровней, мы получаем их
отталкивание и максимальное смешивание; если параметризовать коэффи-
циенты смешивания (10.34) с помощью угла вращения базиса в плоскости,
П1 = соеф ад = 8ш?9, максимальное смешивание соответствует й = 45°.
Отталкивание уровней — это формально ещё одно проявление вариацион-
ного свойства: за счёт увеличения размера пробного пространства от (1 = 1
до (1 = 2 мы сдвигаем нижнее состояние ещё ниже (а верхнее состояние вы-
ше), чтобы избежать пересечения. Тем не менее, это формальное свойство
приводит к важным физическим следствиям. Рассмотрим сначала случай
Рис. 10.2. Ликвидация пересечения уровней.
слабого возмущений V. Чтобы выяснить, что является мерой слабости, бу-
дем искать двухуровневое решение, делая разложение по У/А. Небольшая
компонента верхнего уровня, уравнение (10.36), в данном случае не
исчезает, но остаётся малой,
а(+)= /УД2 + 4|У|2-Д |У|
1 V 2УД2 + 4|У|2 ~ д ’
(10.41)
где мы проигнорировали поправки второго порядка. Большая амплитуда
отличается от 1 только за счёт членов второго порядка. Безразмерное
отношение недиагональных элементов матрицы, обеспечивающих смешива-
ние, к интервалу между невозмущёнными уровнями служит показателем
слабого смешивания (предел теории возмущений будет рассматривать-
ся более подробно позже). Как правило, даже в многоуровневой системе
смешивание в основном происходит между невозмущёнными уровнями,
близкими по энергии.
Классическая теорема непересечения (Е. Вигнер, Длс. фон Нейман,
1929) утверждает, что уровни одинаковой симметрии почти всегда избега-
ют пересечения, зависящего от параметра. Пусть гамильтониан зависит
от вещественного параметра Л, и, как функция этого параметра, два невоз-
мущённых уровня 61 (Л) и 62(Л), пересекаются при Л = Лс, так что Д(АС) = 0.
Если имеется смешивающее взаимодействие У, которое, в общем случае,
также зависит от Л, пересечения фактического собственных состояний не
происходит (Рис. 10.2), Таким образом, вблизи Л = Лс
Щ)
Реальное пересечение может происходить только тогда, когда смешивающее
взаимодействие исчезает точно в той же точке, У(АС) = 0. Для двух
различных функций, Д(А) и У (А), вероятность иметь общий ноль мала,
хотя случайно это может произойти.
Особый случай имеет место, если система в точке пересечения обладает
определенной точной симметрией с состояниями |1) и |2), принадлежащим
различным классам симметрии. Тогда гамильтониан Н(ХС) не может сме-
шивать такие состояния, и У(АС) = 0. Уровни, зависящие от параметров,
обычно называются термами. Мы приходим к заключению, что термы с
различной симметрией могут пересекаться. Тем не менее, внутри класса
симметрии пересечения не происходят.
Задача 10.9
Пусть в системе со многими состояниями расстояния между попарно
невозмущенными уровнями Д и вещественные элементы матрицы смеши-
вания V = у/2 являются случайными величинами с функциями распре-
деления вероятностей /(Д)) и у (у). Показать, что если функции / и у не
имеют особенностей при нулевых значениях их аргументов, вероятность
Р(з) расстояния з между двумя соседними уровнями стремится к нулю
линейно при малых расстояниях з -д 0 (нет пересечения).
Решение Распределение по расстоянию между ближайшими уровнями
может быть записано, согласно (10.33), в виде
РД = У (/△/(△) У (1уд(уД8 - Уд2 + у2)- (10.43)
Интегрирование в плоскости (Д,?/) можно переписать в полярных коорди-
натах, Д = г сое сд, у = г ет сд,
Р(а) = скр гс1г со8(д)^(г ет(д)5(<8 — г) =
(10.44)
= 8 / С/(Д/(8СО8(Д)^(8 81П(Д).
Если функции / и у не являются сингулярными в начале координат, мы
приходим к линейному отталкиванию,
Р(з ^(У) = Сз, С = 2тг/(0)^(0). (10.45)
С геометрической точки зрения, мы искали вероятность нахождения точ-
но в начале координат двумерной плоскости, что требует одновременного
обращения в нуль двух декартовых координат. В системе с инвариант-
ностью относительно обращения времени матричные элементы V всегда
можно взять вещественными, см. раздел 8.1. Если инвариантность отно-
сительно обращения времени отсутствует, матричные элементы У, как
правило, комплексные, и V = 0 означает, что КеУ = 1т У = 0. Поэтому пе-
ресечение уровней требует обращения в нуль трёх независимых параметров
одновременно, что является ещё менее вероятным. С учётом аргументов
предыдущей задачи мы можем заключить, что вероятность получения
небольших расстояний з ведёт себя ос а2. В принципе, статистика спек-
тральных уровней для малых расстояний могла бы, следовательно, дать
информацию о наличии сил, нарушающих инвариантность относительно
обращения времени. Множественные отклонения от пересечений при силь-
ном перемешивании при тщательном рассмотрении приводят в сложных
системах к отталкиванию уровней и формированию довольно однородной
спектральной картины без больших зазоров между соседними уровнями и
без слияния уровней. Волновые функции после нескольких пересечений
превращаются в очень сложную суперпозицию исходных состояний. Это
приводит к общей картине квантового хаоса, см. главу 49.
10.6 Эволюция во времени системы с двумя состояниями
Эволюция во времени системы с двумя состояниями относительно проста,
если гамильтониан не зависит от времени. Любое начальное состояние
представляет собой суперпозицию стационарных состояний,
|Ф(* = 0)) = М<М + М<Щ. (10.46)
Она развивается во времени согласно
|ФД) = Щг)|т/Д+ (10.47)
где
Ь±Ч) = Ь±е~Мк}ЕЛ (10.48)
Эволюция также может быть выражено в терминах невозмущённого бази-
са (10.28),
|ФД)= [ь+(04+) +6_(04-)] Ц> + (10.49)
Задача 10.10
Пусть система изначально (I = 0) приготовлена в состоянии |1). Найти
вероятность Р2^) нахождения системы в состоянии |2) в момент времени I.
Решение Для этих начальных условий,
Ъ+ = — С2 \ Ъ_ = (10.50)
Тогда искомая вероятность есть
рд) = |4+)с(-) _ е-ШЕЛ I2 = ДД
(10.51)
Вероятность колеблется с частотой Раби, равной расстоянию з/Н между
точными частотами уровней. Максимальная вероятностью 4|У|2/<§2 дости-
гает 1, если невозмущённые уровни вырождены, Д = 0. На первом этапе,
зЪ 2/1, населённость верхнего уровня квадратично растёт со временем
[сравните с (7.119) и посмотрите, далее раздел 2.6],
Т12 .2
г
Р2
(10.52)
Задача 10.11
Показать, что уравнение (10.49) характеризует унитарность преобразо-
вания между невозмущенным и нестационарным состояниями.
В вырожденном случае, эволюция системы во времени, начиная с невоз-
мущённого состояния |1),
|Ч'И) = |(е
(г/П)В+^_ре-(г/П)В_^
(«Л)-Е+*_е
(г/П)Я_^|2^ (1053)
особенно проста. Переход к базису [ф±) = |±) (для простоты предположим,
что фаза а = 0)) имеет вид
тДО+ж-)). в =
(10.54)
так что временную эволюцию (10.53) можно переписать в виде
НО) = 4 [«
(«Л)-Е'+*|_|_^ е~(г/П)Е-1
(10.55)
Предположим, что верхнее состояние имеет энергию выше, чем порог для
некоторого распада, и в действительности является квазистационарным,
см. разделы 5.8 и 9.12. Это может быть описано с помощью замены Е^
на комплексную энергию Е = Е± — (г/2)д. После многих времён жизни
1 1/д, пучок двухуровневых частиц будет состоять только из нижней
комбинации | —) с 1/2 начальной интенсивности,
|Ф(0 => _ |2>у (10.56)
Теперь, если этот пучок претерпевает некоторое взаимодействие с окружа-
ющей средой (например, поглощение в среде), которая отличается для
невозмущенных состояний |1) и |2) , так что компоненты |1) и |2) приобре-
тают амплитуды Д и соответственно, состояние (10.56) преобразуется
согласно
Л(&Г1)-Ы2)). (10.57)
Примечательно, что это означает, что нестабильная распавшаяся компо-
нента |+) регенерируется, хотя и с меньшей амплитудой,
|ф) = Л К1 - 6)1 + ) + «1 + &)!-)] (10.58)
2д/ 2
Мы вернемся к двумерных систем в приложениях для спина 1/2, распада
каона и нейтринных осцилляций.
10.7 Яркое состояние и фрагментация
Хотя в многомерных задачах точная диагонализация редко может быть
достигнута, мы рассмотрим два модельных примера, где точное решение
легко получить, а лежащая в их основе физика поучительна и имеет
довольно общий характер.
Предположим, что первое приближение для гамильтониана Н было
основано на - 1 ортогональных базисных состояний. В результате диа-
гонализации в этом приближении были получены собственные состояния
| А;), А; = 1,..., — 1, гамильтониана 77, а также соответствующие собствен-
ные значения Эти состояния используются как новый базис 7>(ТУ — 1).
Для следующего приближения добавляется ТУ-е состояние. Среднее зна-
чение Н в этом состоянии равно (ТУ|77|ТУ) = Л; матричные элементы га-
мильтониана, которые связывают это состояние с предыдущими (ТУ — 1)
состояниями в базисе 23— 1), равны У&, для простоты У& будем считать
реальными. Новое состояние может располагаться как на краю старого
спектра, так и в середине. Типичная ситуация, когда такая проблема возни-
кает,—это яркое: физическая природа состояния |2У) может представлять
особый интерес. Оно взаимодействует с фоновыми состояниями \к) и, как
следствие, его интенсивность фрагментирована, так как оно разложено
по многим точным решениям полного ^мерного гамильтониана.
Матрица Н в базисе {|&), |7\Л)} выглядит следующим образом:
/ о ... И \
О с 2 ... 172
\ Н ... Л /
(10.59)
Мы ищем собственные состояния |Ф) в полном базисе размерности Е в
виде суперпозиций
|Ф) = 52<Д/). (10.60)
1=1
Оператор Н действует на это состояние согласно
/дг-1 \
н[ф) = 52гдю = 52С1 Е . (Ю.61)
1=1 1=1 \к=1 /
Это выражение должно быть равно
(дг-1 \
^Ск\к) + СЛ\Л) , (10.62)
к=1 /
где Е — искомые собственные значения Н в полном пространстве. Проек-
тируя уравнения (10.60)—(10.62) на отдельные ортогональные состояния,
мы приходим к системе линейных однородных уравнений для амплитуд
Ск и собственных значений Е,
?кСк + УкСх = ЕСк, & = 1,...,ЛГ-1, (10.63)
7У-1
11^ + 52 УкСк = ЕСЫ. (10.64)
к=1
Рис. 10.3. Графический анализ характеристического уравнения (10.66)
для ТУ-го состояния, добавленного ниже предыдущего — 1)-мерного
спектра.
Используя (10.63), выразим все коэффициенты С& через последний С^:
гь
Щ
Е — ек
(10.65)
Подставив этот результат в уравнение (10.64), мы приходим к характеристи-
ческому уравнению, являющемуся условием для нетривиального решения,
7У-1
ч2
Е - Ек
= Г(Е).
(10.66)
Анализ этого уравнения можно легко сделать графически, см. Рис. 10.3,
где последнее состояние размещено ниже, чем остальные. Правая сторона
уравнения (10.66), как функция энергии Г(Е), имеет ЛГ—1 полюсов в точках,
где находятся невозмущённые собственные значения ек. Так как
аг = ц2
аЕ~ \це- еку
(10.67)
Е(Е) монотонно уменьшается в каждом интервале, не содержащем полюсов
Е = в точках невозмущённых уровней. Левая часть уравнения (10.66)
как функция Е представляет собой прямую с наклоном, равным наклону
при пересечении оси абсцисс в точке последнего добавленного состояния
Е = 1) . Пересечения прямой линии со всеми ветвями Е(Е) дают ровно
новых собственных значений. Во всех ситуациях, наименьшее собственное
значение находится ниже самого низкого уровня предыдущего прибли-
жения, как это должно быть в рамках вариационного подхода. Таким же
образом, самое высокое собственное значение идёт вверх. Другие Лг — 2
собственных значений всегда находится между значениями, найденными
на предыдущей стадии.
Теперь, пометив собственные состояния новые собственные зна-
чения Еа и амплитуды суперпозиции (10.60) мы можем нормировать
волновые функции
(10.68)
к=1
с помощью условия
Ё|<^12 + |СлН2 = 1.
к=1
Вместе с (10.65), это определяет
|СлН ~ ^ + ХкГ1УД(Еа-гД'
(10.69)
(10.70)
Это выражение также может быть записано с помощью уравнения (10.67),
как
|с^|2= [1-(^/^да]
(10.71)
где для каждого собственного состояния производная берется при энергии
Еа соответствующего решения.
Задача 10.12
Функция Грина оператора
ДЕ) = (10.72)
Е — 11
имеет полюсы в точках, соответствующих собственным значениям Е = Еа.
Найти матричные элементы оператора (10.72) и показать, что вычеты в
полюсах являются просто весами (10.71) ярких состояний.
Сила яркого состояния разбита на все стационарных состояний. Для
слабой связи собственные значения энергии близки к их невозмущённым
значениям и фрагментация слаба, \Сх\ ~ 1 для ближайшего корня и
\Сх\ 1 для других корней. В противоположном пределе очень сильно-
го возмущения, когда суммарная интенсивность связи I = Ук столь
велика, что у/1 превышает область Де, покрываемую невозмущённым спек-
тром, низшее и высшее состояния отталкиваются далеко от области Де, и
равномерно делят всю силу,
(ДО№ - Л)2 « (ЯЫ§Ь - Л)2 = I, \См(Е1о^\) « ^(^1) « 1 (10.73)
Этим характеризуется переход к режиму удвоения, известному в квантовой
оптике, ядерной физике и физике конденсированных сред [48].
Задача 10.13
Показать, что полная сила яркого состояния сохраняется,
Е га2 = 1-
а11 гоо18 а
(10.74)
10.8 Коллективные состояния
Здесь мы рассмотрим, казалось бы, противоположную проблему форми-
рования яркого (коллективного) состояния, которое аккумулирует силу
многих невозмущенных состояний. Пусть Д ортогональных состояний \к)\
обладают невозмущенными энергиями е^, к = 1,..., Д. Они связаны меж-
ду собой факторизованными матричными элементами Н, равными {ЗЪкдкЧ
где /3 является константой связи (модель коллективного гигантского
резонанса или сверхизлучения\ факторизованное взаимодействие иногда
называют мультиполь-мультипольным, так как могут быть матричны-
ми элементами мультипольных операторов).
Матрица гамильтониана Н в базисе невозмущённых состояний имеет
ненулевые матричные элементы
Нкк' — 4" 1^1 &1 к'• (10.75)
Как и при решении предыдущей задачи, мы ищем собственные состояния
Н в виде суперпозиции Д базисных состояний,
|Ф) = ЕСД), (10.76)
к=1
где теперь все базисные состояния входят на равных. Как и ранее, мы
приходим к уравнению диагонализации в матричной форме
52 ^к'Нкк' Ск&к 4" [д^к ^Ск>1к, = ЕСк. (10.77)
к' к'
Рис. 10.4. Графическое решение уравнения (10.80).
Мы можем сразу написать формальное решение этого уравнения,
иг
(10.78)
Будем считать, что все мультипольные амплитуды не равны нулю. Умно-
жая обе части уравнения (10.78) на Е и суммируя по /с, получаем
А
= 0.
(10.79)
Если сумма, обозначенная А в уравнении (10.78) обращается в нуль, то
все коэффициенты Сд также исчезают, что приводит к тривиальному (ну-
левому) решению для собственных функций. Нетривиальные решения
определяются характеристическим уравнением для собственных значе-
ний Е:
1 _
я -
(10.80)
На Рис. 10.4 показано графические решения для положительных и отрица-
тельных значений /3. Общая картина аналогична той, что изображена на
рисунке 10.3.
ТУ—1 корней находятся между первоначальными энергиями в то время
как ТУ-е решение сдвинуто от исходного спектра вниз (если /3 < 0) или вверх
(/3 > 0). В вырожденном случае, = ё = сопз1, ТУ — 1 «истинных» корней
по-прежнему остаются вырожденными с невозмущёнными значениями ё,
тогда как отошедшее коллективное состояние имеет собственное значение
Дю11 — в + /3
к
(10.81)
В сущности, то же значение возникает в невырожденном случае очень
сильной связи, \/3\ -Л- оо. Как видно из Рис. 10.4, в данном случае уровня
отталкивается далеко друг от друга, и сдвиг может быть больше, чем
размер Де в исходном спектре. Если это так, мы можем ввести «центр
тяжести» ё невозмущенных уровней и набор ~ ё + ^, где все отклонения
от центра расположены в пределах Де. Тогда уравнение (10.80), где
мы удерживаем члены до второго порядка по отношению Де к большому
сдвигу коллективного уровня, приблизительно даёт
у (1о-82>
Теперь, мы можем зафиксировать выбор центральной точки е, требуя
Е&^ = °
к
ЕЛ/4
ЕЛ
(10.83)
е =
(невозмущённые собственные значения взвешиваются с их силами). При
таком выборе решение уравнения (10.82) методом итераций даёт для кол-
лективного собственного значения
/^Е^ +
к
Е - е /3 < +
I к
ДЕЛ)2’
(10.84)
(Е - ё)^
Если I2 является типичной (средней) силой невозмущённого состояния, ре-
шение (10.84) совпадает с таковым для вырожденного случая, см. уравнение
(10.84), если последний член в (10.84) удовлетворяет
ЕДЛ .. (Де)2
Д(ЕЛ)2~(Ж*2)2
(10.85)
Поправки имеют второй порядок по отношению Де к коллективному сдвигу.
Обратите внимание, что коллективные амплитуды С^оИ, см. уравне-
ние (10.78), для коллективного собственного значения Е?соц имеют те же
знаки, что и соответствующие амплитуды в то время как для остальных
внутренних корней относительные знаки различных амплитуд колеблются
и зависят от точного положения собственного значения энергии внутри
плотного спектра. Это является источником коллективности данного
специфического состояния: здесь вклады многих внутренних состояний яв-
ляются когерентными. В пределе сильной связи, амплитуды коллективной
суперпозиции равны
С^оП ~ /ЗА -------2 ~ СОП81 • /д,
-Ефп
(10.86)
или, после нормировки,
(10'87’
Рассмотрим Жмерный вектор связи 1 с компонентами {^}. Тогда вектор
амплитуды Ссо11 = {С^оИ} в этом пределе ни что иное, как нормированный
вектор связи, с которым построено коллективное состояние. Каждая ком-
понента Ссо11, порядка 1/д/А\ но они когерентны. Можно представить себе,
что состояния могут излучать, так что амплитуда излучения исходного
состояния (га<1| к) пропорциональна Д. Излучение коллективного состояния
определяется коллективной амплитудой
(гафсоП) = (гас!
Е ст11
к
к) сх У2 <Д°% ос ЛД/^ЛГ) ос Ды, (10.88)
к
где оценка суммы следует из того, что все элементы в сумме имеют одина-
ковый знак.
Амплитуда излучения в (10.88) когерентно усиливается ~ и ве-
роятность излучения усиливается на фактор ~ (суперизлучение) [49].
Это явление лежит в основе многих коллективных эффектов в различных
квантовых системах, таких, например, как так называемые гигантские
резонансы в ядрах или атомных кластерах, где частицы взаимодействуют
через мультиполь-му льтипольное взаимодействие. Оригинальное супериз-
лучение Дике, см. раздел 26.9, имеет место в системе двухуровневых
атомов, связанных общим полем излучения (Д пропорциональны ампли-
тудам излучения) внутри объёма, размер которого меньше, чем длина
волны излучения одного атома. Тогда связь создаёт новые комбинации
атомных состояний, в том числе суперизлучательную, которая имеет шири-
ну (см. раздел 5.8) в раз большую, чем радиационная ширина отдельных
атомов.
Математическая база для этого и подобных эффектов объясняется фак-
торизованной структурой матрицы (10.75): в режиме сильной связи (или
когда внутренние состояния близки к вырожденным), основная часть мат-
рицы равна 1д1]д Такая матрица имеет ранг 1, то есть только одно ненулевое
собственное значение, равное следу матрицы, I2. Именно это мы видим в
рассматриваемом пределе (уравнение (10.81)).
Выше мы упоминали о предположении, что парциальные амплитуды
Д Д 0. Если некоторые из них, например, исчезают, соответствующее со-
стояние \1) выпадает из процесса коллективизации, и собственное значение
е/ не изменится, как видно из исходного уравнения (10.77): это решение
имеет только одну ненулевую амплитуду С/ = 1 и собственное значение
Е = ер
10.9 Алгоритм Ланцоша
В реальных задачах, особенно в физике многих тел, сложность динамики
часто требует очень большого базиса даже для простейшего приближе-
ния, чтобы можно было надеяться отразить основные черты реальности.
Для примера, даже для нескольких частиц, которые могут быть распре-
делены по нескольким одночастичным орбиталям, комбинаторный рост
числа возможных многочастичных конфигураций безгранично увеличивает
размерность базиса. Такие масштабные вычисления могут быть выполнены
только численно. Здесь мы кратко обсудим один эффективный подход,
который имеет независимую ценность.
Пусть Н — эрмитов гамильтониан сложной системы; для простоты мы
считаем все его матричные элементы реальными, так что матрица гамиль-
тониана симметрична, Н\2 — #21, в любом ортогональном базисе. Нашей
целью является найти способ построения нескольких низших состояний наи-
более коротким путём. Начнём с произвольного вектора |'01), который на
практике должен быть выбран на основе наших физических представлений
о структуре основного состояния. Будем предполагать, что это состояние
нормировано на единицу. Действуя гамильтонианом Н на получим то
же состояние и некоторое дополнение, которое мы называем |/02> ? и которое
полностью принадлежит подпространству, ортогональному |^1):
Я|^1) = + |^2>, 61 = Я11. (10.89)
Нормируем новый вектор
|^2> = Н1М (ШМ, (10.90)
так что У1 = Н12 = Я21, и
я|^1> = е1|^1> + Н|^2>. (ю.91)
Продолжим процесс, подействовав Н на вектор |/02> • Это приведёт нас об-
ратно к | с той же амплитудой У1, представляющей диагональную часть
с коэффициентом Н22 = в2, и даст часть, ортогональную обоим преды-
дущим векторам. Предполагая, что третий вектор |-0з) нормирован, мы
имеем
На следующем шаге, получим
я|^з) = + Ез | ^3> +
(10.93)
Невозможно вернуться сюда с первым вектором, поскольку тогда мы бы
также имели вклад \фф) с той же амплитудой в уравнении (10.91). Вектор
|^4) снова ортогонален |^1), и |^з).
Таким образом, вместо полной диагонализации, повторение одной и той
же процедуры приводит гамильтониан к трёх-диагональному виду:
Н1
о
о
У1 о о
62 ^2 о
И2 ез Тз
0 Нз е4
(10.94)
Матрицу в таком виде не только намного легче диагонализовать, но и
сходимость обычно достигается гораздо быстрее. Одним из практических
способов нахождения собственных значений матрицы (10.94) является
использование рекуррентного соотношения для детерминантов Дп, полу-
ченного усечением этой матрицы до размерности п,
△п — &п^п—1 2-
(10.95)
Оно сразу следует из структуры (10.94).
Задача 10.14 [50]
Рассмотрим бесконечную матрицу типа (10.94), где диагональные эле-
менты расположены в порядке возрастания и существует предел,
V2
Пт ----= Л. (10.96)
Будем обрезать матрицу при различных растущих размерностях п и извле-
кать последовательности приближённых значений Е^ для самых низких
собственных значений Е^. Согласно вариационному принципу, эта после-
довательность корней детерминантов Дп монотонно уменьшается (мы
добавляем возрастающее давление сверху). Используя уравнения (10.95)
и (10.96) покажем, что в процессе последовательных обрезаний энергия
сходится к её реальной величине экспоненциально, так что при достаточно
большом значении п,
= Ео + сопз! • е“7П, (10.97)
где показатель 7 задаётся
- 2А2
(10.98)
если предел (10.96) удовлетворяет Л < 1/2. При Л = 0 сходимость очень
быстрая (факториал, как можно проверить на примере гармонического
осциллятора с линейным возмущением ос ж)); при Л = 1/2, сходимость мед-
леннее, как обратная степень Л, а для слишком сильного Л > 1/2, процесс
расходится, сравните с аналогичной нестабильностью в уравнении (12.87),
также связанной с трёхдиагональной матрицей. Экспоненциальная сходи-
мость может быть очень полезна при численной диагонализации больших
матриц гамильтониан, где параметр Л, как правило, мал.
Дальнейшее чтение: [46,50,51].
... проблемы, относящиеся к гармоническому
осциллятору, служат прекрасной
иллюстрацией общих принципов и
формализма квантовой теории.
А. Мессиа, Квантовая механика
Глава 11
Дискретный спектр и гармонический осциллятор
11.1 Одномерные связанные состояния
Одномерные связанные состояния имеют нормированные координатные
волновые функции, которые стремятся к нулю на бесконечности. Это
возможно только тогда, когда потенциал 17(ж) ограничивает движение
в обоих направлениях. Два условия
тДж -л- ±оо) -л- 0 (11.1)
могут быть выполнены только для некоторых специальных значений энер-
гии. Эти значения образуют дискретный спектр. Как показали квазиклас-
сические оценки в разделе 3.9, энергетический спектр может иметь любое
число связанных уровней, от нуля до бесконечности.
Задача 11.1
Доказать, что в одномерном случае невозможно вырождение связанных
уровней.
Решение Предположив, что существуют два связанных состояния с оди-
наковой энергией, нужно применить граничное условие (11.1) к вронскиану
(раздел 9.3) и показать, что функции пропорциональны друг другу.
Из вида (9.5) уравнения Шрёдингера можно увидеть, что в классически
запрещённых областях, Е < ?7(ж), кривизна ф" = — к2(х)ф имеет тот же
знак, что и волновая функция. Таким образом, функция не может коле-
баться под барьером. Она стремится к нулю монотонно (не имеет значения,
сверху или снизу, так как общий знак волновой функции произволен). Тем
не менее, колебания происходят в классически разрешённой области, как
мы знаем из нашего опыта с кусочно-постоянными потенциалами. Такая
Рис. 11.1. Последовательные волновые функции связанного состояния ид
с п =0, 1, и 2.
волновая функция похожа на стоячую волну с некоторым числом колебаний
между областями затухания вне классически разрешенных областей.
Дифференциальное уравнение первого порядка (9.27) для вронскиана от
двух решений справедливо также для дискретного спектра. Это позволяет
установить правила сравнения, которые помогают упорядочить связанные
состояния. Любое связанное решение имеет, по крайней мере, два нуля
[на бесконечности, уравнение (11.1)]. Если функция не имеет других нулей
(узлов), мы можем предположить, что она всюду положительна. Тем не
менее, любое другое решение должно иметь по крайней мере один нуль (не
на бесконечности) для того, чтобы быть ортогональным к первому реше-
нию. В самом деле, справедлива теорема колебаний, которая утверждает,
что волновая функция каждого следующего по энергии связанного состоя-
ния имеет ровно один дополнительный узел по сравнению с предыдущим
решением с меньшей энергией; узлы п-го решения расположены между
нулями предыдущего п — 1-го решения, см. Рис. 11.1.
Действительно, рассмотрим решения ^Дх) и -02 (#) с энергиями Е± и
соответственно, и Е-2 > Е±. Пусть х = а и х = Ь — два соседних
нуля нижней функции -01, и между ними функция ъД является, например,
положительной,
,01(а) = ?/ц(6) =0, ^1 > 0 при а < х < Ъ. (11.2)
В точках а и 6, определитель Вронского (9.24) для этих решений равен
ИЪСО = -^(Ь)^2(0. (И.З)
Между двумя нулями положительная функция ъ/ц сначала увеличивается,
а в конце уменьшается. Таким образом, ^1(а) > 0 и ^(Ь) < 0, так что
знак 1У12(а) является противоположным знаку ?/д(а), и знак Ш12(Ь) такой
же, как у С другой стороны, уравнение (9.27) с Е\ < показы-
вает, что знак производной между а и Ъ противоположен знаку
Если функция 2^2 не меняет знака в этой области, являясь, например,
положительной, Ш12 должна монотонно уменьшаться. Однако, согласно
предыдущему утверждению, знак Ш12 изменяется с отрицательного на
положительный, то есть Ш12 возрастает. Единственное разрешение проти-
воречия состоит в том, что 2^2 не может иметь одинаковый знак всюду в
интервале [а, Ь]. Это означает, что имеет, по крайней мере, один нуль
между соседними нулями любых собственных функций с меньшей энергией.
Таким образом, спектр упорядочен таким образом, что волновая функ-
ция основного состояния не имеет нулей при конечных значениях ж, первое
возбужденное состояние г/ц имеет один нуль (исключая ±оо), и ^фп имеет п
конечных нулей, см. Рис. 11.1. Из этого результата также следует, что если
потенциал I/(ж) имеет определённую чётность (см. раздел 8.5), волновая
функция основного состояния (если она связана) имеет положительную чёт-
ность; нечётная функция обязательно должна иметь дополнительный узел
в начале координат. Эти закономерности будут хорошо видны в следующем,
практически наиболее важном примере.
11.2 Линейный гармонический осциллятор
Мы уже имели дело с некоторыми аспектами потенциала гармонического
осциллятора. Теперь мы в состоянии решить соответствующее уравнение
Шрёдингера,
+ /с2(ж)'0 = 0, &2(ж) = (Е — -шса2ж2>) , (11.4)
ах2 л/ \ 2 /
точно. Конечно, этот потенциал, см. Рис. 1.5 (5 = 2), имеет только дискрет-
ный спектр энергетических уровней. Эта особенность потенциала является
нефизической, в реальных ситуациях квадратичный потенциал ~ х2 где-
то обрезается, что позволяет системе разрушаться при высокой энергии.
Однако, для низко лежащих уровней гармоническое приближение может
быть очень хорошим. На самом деле существуют системы, такие как моле-
кулы, которые содержат многие связанные состояния, похожие на простые
гармонические колебания. Проблема колебаний малой амплитуды вбли-
зи положения равновесия чрезвычайно важна как в классической, так и
в квантовой механике. Позже, в главе 13 II тома мы увидим, что во мно-
гих случаях, возбужденные состояния системы многих тел могут быть
приближённо описаны малыми колебаниями. Кроме того, представление
электромагнитного поля в виде набора нормальных колебательных мод,
см. главу 13 II том, является краеугольным камнем квантовой электроди-
намики.
В этом разделе мы детально изучим полное решение дифференциального
уравнения (11.4), чтобы продемонстрировать существенные моменты и
связанные с ними технические средства. После этого будет представлен
алгебраический метод решения, который гораздо проще для приложений
и обобщений. В качестве общего рецепта целесообразно начать с решения
вблизи особых точек уравнения, см., для сравнения, раздел 9.7. Для случая
линейного гармонического осциллятора единственная опасность происходит
от |ж| -Л- оо. При больших |ж|, то есть глубоко под потенциальным барьером,
энергетическим членом в уравнении (11.4) можно пренебречь, и мы находим
асимптотический вид решения
^(ж) ос е±аж2,
шх
се = ——
2П
(П.5)
Конечно, только убывающее решение со знаком минус в показателе экспо-
ненты может соответствовать физическому связанному состоянию. Урав-
нение (11.5) показывает, что типичная длина проникновения равна х ~
~ 1/д/сЁ ~ у/К/тш. Эта оценка нам уже известна из Задачи 5.12а. С по-
мощью этой длины, как естественного масштаба задачи, удобно ввести
безразмерную переменную
(11.6)
и использовать как новую координату. Перепишем уравнение Шрёдингера
Для ^(€):
(^2-^2+^М) = 0’
Е
(М2)’
(И.7)
где также введена безразмерная энергия е. В соответствии с (11.5), асимп-
тотическое поведение ^(€) определяется функцией ехр(—^2/2). Полное
решение должно содержать эту экспоненту, возможно, умноженную на дру-
гую функцию, которая не изменяет убывающий характер асимптотики,
М) = Щ)е“е2/2. (11.8)
Используя это подход, вычислим производную по
и получим
г" — 2^г + (е — 1)с = 0.
(11.10)
Это особая форма гипергеометрического уравнения, которое не содержит
особенностей, и может быть решено при помощи простой полиномиальной
функции.
Сразу видно, что полином низшего порядка удовлетворяет этому уравне-
нию: V = со = соп81 является решением, если е = 1; V = с^ выполняется
при е = 3. Это низшие чётное и нечётное решения. Так как потенциал сим-
метричен относительно пространственной инверсии, стационарные функции
имеют определенную чётность, так что следующим решением после этих
двух должен быть чётный полином второго порядка, V = С2^2 + сопе!,
который действительно является решением с е = 5 и сопе! = — сд/2. Как и
должно быть, более высокие решения добавляют узлы, один за другим, и
имеют чередующиеся чётности. Добившись успеха с низшими полиномами,
будем искать общее решение уравнения (11.10) в виде степенного ряда
= (н.п)
п
Подстановка данного выражения в уравнение (11.10) даёт
52 сп{п(п - 1)е"-2 - 2М"-1 + (е - 1)С} = о. (П.12)
п
Это равенство будет тождественно выполнено, если коэффициенты при
каждой степени сокращаются. Собрав все члены ос ^п, получаем
с„+2(п + 1)(п + 2) - сп2п + (е - 1)с„ = 0.
(11.13)
Таким образом, мы приходим к бинарному рекуррентному соотношению
2п - (е - 1)
Ста+2 — 7 . 9\/ । -1 \ С"‘ (И-1^)
(п + 2)(п + 1)
Взяв любое значение для со, мы сможем вычислить все чётные коэффи-
циенты С2/с; аналогично, начав с некоторого с± мы найдём все нечётные
члены С2/с+1. Это автоматически определяет чётные и нечётные решения.
Решение даётся конечным полиномом, если в какой-то точке сп ф 0, но
сп+2 = 0. Тогда все высшие члены ряда равны нулю. Это происходит, если
энергетический параметр равен
е = 2п + 1
Е = Еп = Ел (п + - ) ,
\ " /
(11.15)
что определяет эквидистантный спектр энергии для чётных и нечётных
п с шагом, равным Ел. Самое низшее решение, п = 0, является чётным, а
полином — это просто константа. Поэтому имеем функцию Гаусса, как и в
(П.5),
^о(С) = Аое~еЛ (П.16)
Более высокие решения представлены полиномами гп в порядке увеличения,
которые имеют п конечных узлов в соответствии с теоремой колебаний.
Чтобы быть уверенным, что не существует других, неполиномиальных,
решений, мы должны понять, что происходит, если ряд (11.11) не пре-
кращается на п-м шаге. Тогда у нас есть бесконечный ряд с предельным
соотношением сп^2/сп ~ 2/п между последовательными коэффициентами,
как следует из уравнения (11.14). Это то же поведение, как для увеличения
показателя
(П-17)
Рис. 11.2. График потенциала для Задачи 11.2
В самом деле, в этом ряде для 2к = п, сп = 1/(п/2)!, а для 2к = п + 2,
сп_|-2 = 1/[(п/2) + 1]!, что приводит к тому же асимптотическому соотно-
шению сп-\-2/сп = 1/[(п/2) + 1] 2/п. Таким образом, наш бесконечный
ряд асимптотически ведёт себя как ехр(+^2). Этот рост перевешивает убы-
вающую экспоненту в (11.8), так что, в результате, волновая функция
асимптотически растёт ос ехр(+^2/2), и мы приходим к расходящемуся ре-
шению, которое уже было отвергнуто в самом начале (см. уравнение (11.8).
Таким образом, только решение в виде конечного полинома удовлетворя-
ет физическим требованиям к связанному состоянию, и весь дискретный
спектр определяется формулой (11.15).
Задача 11.2
а) Найдите энергетический спектр Еп и постройте соответствующие соб-
ственные функции ^п(ж) для частицы с массой т в потенциальном поле,
изображённом на Рис. 11.2:
/ л Т \ 2
С/(ж) = Е/о (--, С/о > 0, а > 0. (11.18)
\х а/
б) Рассмотрите похожую задачу разложения потенциала вблизи классиче-
ской точки равновесия, приближённо описав его с помощью параболы и
решив задачу для гармонического осциллятора. Сравните спектр этого
приближённого решения с точным.
Решение
а) Решим стационарное уравнение Шрёдингера
К2 У2Г тт /о, х\2 , , (11.19)
Потенциал, Рис. 11.2 имеет форму ямы с левой стенкой, асимптотиче-
ски приближающейся к вертикальной оси, и параболической правой
стороной. Здесь возможен только дискретный спектр с Е " безразмерные положительные переменные > 0. Вводя
х 2т11оа2 2тЕа2 У=а' д= К ' 8= К ' (11.20)
перепишем уравнение для Ду) в виде
(ДД / 9 1 \ - У \У + ~2 И + (2<2 + = 0. Ф \ У ) (П-21)
Теперь посмотрим на поведение вблизи особых точек у +оо и у 0.
При очень больших значениях у нас есть осцилляторо-подобное поведе-
ние,
2 ^ду у -г +оо. ау2 (11.22)
Решение ведет себя как
2 ~ еау . (11.23)
Тогда находим
Д = 2ауД Д' = (2а + 4а2?/2)'0 ~ 4а2?/2?/;, (11.24)
и сравнение с (11.22) показывает, что
4а2 = ([ а = — (11.25)
где мы выбираем решение, убывающее на больших расстояниях. Вблизи
начала координат основные члены в уравнении равны
Х-ф _ (1 , ,г. ауЛ уЛ (11.26)
Это уравнение типа уравнения Эйлера с решением в виде степени пере-
менной (оба члена меньше на степень 2):
7(7-1) = д. (11.27)
В этом квадратном уравнении нам нужно выбрать положительный
корень для 7, чтобы избежать бесконечного роста волновой функции
при малых у,
р49 + 1 + 1]. (11.28)
Наконец, введём переменную
€ = (П-29)
и станем искать полное решение в виде, который учитывает поведение
вблизи особенностей,
ф = (11.30)
где п(^) должна быть регулярной функцией, которая не изменяет асимп-
тотическое поведение. Подставив это выражение в уравнение (11.21)
и убедившись после нескольких алгебраических преобразований, что
сингулярности сокращаются, мы приходим к уравнению для п(^):
{и" + (А - %)и'-Ви = 0, (11.31)
где
При отсутствии особенностей в уравнении (11.31), мы ищем решение
в виде степенного ряда,
о = Ес^- (п-33)
к
Коэффициенты с^ должны удовлетворять бинарному рекуррентному
соотношению
с*'+1 = Ч?++Л Л) (11-34)
Если ряд бесконечен, поведение членов высокого порядка, с^± ~ сДк
совпадает с поведением членов ряда, представляющего экспоненту
ехр(^). Такое поведение было бы сильнее, чем отрицательная экспо-
нента в (11.30) и, следовательно, могло привести к неприемлемому росту
волновой функции. Это означает, что ряд, на самом деле, должен быть
полиномом конечной степени. У нас есть полином степени п по ос ж2,
если сп ф 0, но с/с>п = 0. Для этого требуется В = —п, что является
условием квантования энергии, з = 8П,
+ _ у 1
П+2 + 4’
(11.35)
или, возвращаясь к исходным обозначениям для з и у,
(11.36)
Спектром задачи является спектр гармонического осциллятора с часто-
той
(11.37)
основное состояние сдвинуто с (^/2) на
(11.38)
Этот сдвиг всегда положителен, он обращается в нуль только при у 1.
Волновые функции могут быть явно построены с использованием
последовательных полиномов ипД). Общее выражение для волновой
функции можно записать в виде
/ । 2
Щж) = ( _пл +
\ 2 н2
(11.39)
Здесь Р1П — это нормировочный множитель, Р является так называе-
мой вырожденной гипергеометрической функцией, удовлетворяющей
уравнению (11.31), и обычно выражаемой в виде бесконечного ряда,
„р ..р -.ДЕ, В(В+1)е 1 В(В + 1)(В + 2)е'
* ' +А 1! + А(А + 1) 2! + А(Л+ 1)(Л + 2) 3! +'" * ' 1
Этот ряд становится конечным полиномом при В = —п где п 0 — целое.
Многие известные специальные функции могут быть представлены как
частные случаи вырожденной гипергеометрической функции. Например,
функции Бесселя, А = 2В,
функции параболического цилиндра, А = |,
неполные гамма-функции, В = 1,
полиномы Лагерра, В = — п,
последний случай — это наше решение.
б) Вблизи классической точки равновесия х = а потенциал близок к потен-
циалу гармонического осциллятора с эффективной частотой, которая
может быть найдена разложением потенциала вблизи этой точки и
аппроксимацией кривизны с помощью тсс2/2:
тт( \ 1 д217 , Л2 1 2/ \2 / 8(7о /11 ,-1 \
17 (т) — а) = гпшщх — а), ш = \ -------------(11.41)
2 ах1 2 V тР
Частота (11.37) в точности совпадает с частотой классического колеба-
ния около точки равновесия х = а. Однако смещение спектра в целом,
которое определяется формулой (11.38), теряется в этом приближении.
Данный сдвиг обусловлен формой фактического потенциала, ширина ко-
торого уже, чем у потенциала осциллятора, и все уровни выталкиваются
вверх.
11.3 Полиномы Эрмита
Вернёмся к решению (11.8) для гармонического осциллятора. Функции
г>п(€) (уравнение (11.11)) пропорциональны полиномам Эрмита НП(<Д,
которые определяются как
дп
•Н„«) = (-)"еС (11-42)
Как следует из этого определения, данные функции действительно явля-
ются полиномами определённой чётности Пп = (—)п. Низшие полиномы
Эрмита следующие
Но(О = С 7/1(0 = 20 7/2(0 = 40 -2, 7/з(О = 8€3 - 120 (11-43)
Многие их свойства могут быть получены с помощью производящей функ-
ции коэффициенты разложения которой в ряд Тейлора по степеням
1 пропорциональны полиномам от ф В нашем случае,
2Д, I) = е2^-*2 = У2 (11.44)
п=0
Выбор является правильным, если
( дпР\
= • (п-45)
Vе76/ 1=0
При написании производящей функции (11.44) в виде
Р(^Д) = , (11.46)
мы видим, что
аг 1 ' ае
(11.47)
откуда, действительно, при 1 = 0 получается определение (11.42) полиномов
Эрмита.
Задача 11.3
Доказать рекуррентные соотношения
= 2пНп-1Ш
2€Нп(€) = 2пнп_1(е) + нп+1(е).
(11.48)
(11.49)
Решение Вычислить производные дР/д^ и дР/д! производящей функции
Ж*)-
Как следует из (11.48) и (11.49), полиномы Эрмита совпадают с гп(Д)
при условии правильного спектра е = 2п + 1. Таким образом, собственные
функции стационарных состояний линейного гармонического осциллятора
равны
ЫС = Апе~?/2НП(Ц (11.50)
где константы Ап могут быть определены из нормировки. Полиномы Эр-
мита ортогональны с весом,
1пт = [ = хЛ2пп!6тп, (11.51)
и это, очевидно, есть условие ортогональности волновых функций (11.50).
Для доказательства рассмотрим интеграл 1пт при п ш, используя опре-
деление (11.42) для НП(<Д :
1пт = у (-)М 7/т(С) = (-Г У (П-52)
После п-кратного интегрирования по частям сокращаем (—)п и переносим
производную на многочлен Нт, так как полученные при интегрировании
члены обращаются в нуль на бесконечности,
Тпт
_^г?М€)
(%п
(11.53)
При п > т подынтегральное исчезает, потому что выполняется больше
дифференцирований, чем степень полинома Нт. Таким образом, волновые
функции с различными энергиями ортогональны, как и должно быть. В
случае нормировки п = ш, имеем
пп
С"
(11.54)
и только старший член полинома (коэффициент при <('") вносит свой
вклад. Согласно (11.42), этот коэффициент равен
(-)М2(-2е)"е“€2 =2пе". (11.55)
Отсюда,
1пп = I ^е-е2^(2"Г) = 2"п! / = 2''п!фТ (П.56)
в подтверждение (11.51).
Задача 11.4
Найти значение полиномов Эрмита в начале координат.
Решение Из производящей функции получаем
^п=оаа(0) = 0, Т/П=2ао) = (П-57)
Задача 11.5
а) Доказать следующее интегральное представление полиномов Эрмита:
НП(Ц = (-Г Д е«2 Г (18е-з2+2*а8п. (П.58)
б) Вычислить бесконечную сумму, где |д| < 1,
= (П..Я
п=0
Решение
а) Интеграл в (11.58) получается в результате п-кратного дифференциро-
вания по интеграла для п = 0, который является гауссовским. Таким
образом, мы приходим к определению (11.42).
б) Используйте представление (11.58) и перемножьте два интеграла. Это
даст
К (С ту; д) = 1 ее+^2 V [ Из с/Щ/Ге-82-8'42^8^8'^. (11.60)
(Д п! 7
При |д| < 1 все выражения сходятся, и сначала нужно просуммировать
по п, а затем вычислить гауссовы интегралы. В итоге, получим
К(Г ту; д) = 1 е[2€зд-(€2+>т2)д2]/(1-<?2)- (П 61)
V 1 -
Нормированные (по отношению к / с/^) волновые функции гармониче-
ского осциллятора равны
= (11.62)
или, в исходных переменных,
= (ДТ/4 -^=е-тшх2/2КНп , (П-63)
\ тгК / Л/2птг! \ V /
со стандартной нормировкой
Уп(х)
Рис. 11.3. Стационарные волновые функции гармонического осциллятора.
Несколько типичных волновых функций показаны на Рис. 11.3.
Задача 11.6
Рассчитать функцию Грина (пропагатор), см. уравнение (3.37), для ча-
стицы в поле линейного гармонического осциллятора.
Решение Используя волновые функции (11.63) и результаты (11.59) и
(11.61), получаем
С?(ж, Г х'\ ^) —
гпш
2тН$т[(л(1 — Г)]
х ехр <
2г^8ш[и;(/; — I')]
(11.65)
Используя уравнение (3.24), легко проверить правильность предела (3.36).
11.4 Гармонический осциллятор в плоскости: разделение
переменных
Хотя основная тема этого раздела — одномерное движение, мы можем,
пользуясь случаем, показать, как обобщить наше рассмотрение на многомер-
ный гармонический осциллятор. Для двух измерений (ж,?/) гамильтониан
Н - -1%_ + -т ш2х2 + Д- + -т ш2ь2
2тх + 2 х х + 2ту + 2 у *У
является просто суммой двух гамильтонианов для независимых линейных
осцилляторов,
Н = НХ + НУ. (П.67)
Так как вероятности событий, связанных с независимыми переменными, пе-
ремножаются, волновая функция может быть найдена в виде произведения
волновых функции для отдельных степеней свободы
Дж, у) = Х(я)У(у).
(11.68)
Такой подход называется разделением переменных.
С помощью (11.68) стационарное уравнение Шрёдингера может быть
записано как
1-НххДйуУ = Е. (11.69)
1
Два члена в левой части (11.69) зависят от различных переменных, и их
сумма может быть константой, только если каждый из них также является
константой. Очевидно, это означает, что полная энергия разделяется на
энергии отдельных движений,
НхХ(х) = ЕхХ(х\ НуУ{у) = ЕуУ(у), Ех + Еу = Е. (11.70)
Заметим, что разделение переменных вносит новые квантовые числа^ в дан-
ном случае — энергии подсистем. Разделение уравнений для колебаний по х
и по у даёт такой же спектр, как в (11.15),
Еу = Ншу
(П-71)
поэтому уровни полной энергии системы помечены двумя целыми кванто-
выми числами, пх и пу,
Е(пх, Пу) = ЕДпД + Еу(пу) = 1иих
(11.72)
Соответствующая волновая функция является произведением (11.68) функ-
ций осциллятора (11.63),
Д.пЩ,у) = ДЩ)ДДу)-
(11.73)
Это простое упражнение даёт представление о том, как распространить
данный подход на любое количество независимых степеней свободы осцил-
лятора.
Рис. 11.4. Спектр энергий двумерного гармонического осциллятора как
функция параметра деформации и = сох/(лу.
11.5 Изотропный осциллятор
Для произвольных частот лх и лу энергетический спектр задаётся, оче-
видно, случайным набором чисел. Тем не менее, если частоты связаны
простым соотношением, например, и = сзх!сзу = р/ц, где р и д —целые чис-
ла, спектр зависит от одной комбинации квантовых чисел = рпх + дпу.
Все состояния с одинаковым являются вырожденными, и спектр приоб-
ретает оболочечную структуру, см. Рис. 11.4. Такой резонанс может быть
хорошо интерпретирован с помощью классических фигур Лиссажу, изобра-
жающих периодические траектории в плоскости с периодом Т = фГу = рТх.
Интересный случай, в частности, возникает, когда частоты колебаний
по различным осям равны, шх = шу = ш. В этом случае мы можем ввести
общее квантовое число = пх + пу, и энергия
Е = Нш
= м^ +1)
(11.74)
зависит от ТУ, а не от двух независимых квантовых чисел. Поэтому д = ^+1
уровней с тем же ТУ, но различным распределением между пх и пу имеют
одну и ту же энергию. Структура оболочки задаётся с помощью
(1 = + 1 (пх,пу) (п,т)
“б 1 (ДО) (ОД)
1 2 (1,0), (0,1) (0,±1) . (11.75)
2 3 (2,0), (1,1), (0,2) (0,±2),(1,0)
3 4 (3, 0), (2,1), (1, 2), (0, 3) (0, ±3), (1, ±1)
Здесь, вырождение появляется только из-за равенства частот. Массы
осцилляторов тх,у и силы упругости могут быть разными, но частоты
совпадают, давая простейший резонанс между двумя режимами колебаний.
Если частоты не являются абсолютно равными, но все ещё близки, так
что их расстройка Аш шх^ точного вырождения нет. Тем не менее,
система по-прежнему имеет спектр из групп близких уровней с большими
промежутками между группами, чем внутри группы. Квазивыролсдение,
или близость к резонансу, в том числе более сложные случаи р/д, лежат
в основе структуры оболочек в системах многих тел, таких как атомы, ядра,
атомные кластеры и искусственные конденсированные среды, известные
как квантовые точки [10,52]. Будучи квантовым остатком классических
периодических орбит [4], оболочки появляются также в областях, отличных
от гармонического осциллятора.
Другим проявлением той же симметрии является появление новых по-
стоянных движения. Действительно, подобно рассмотрению квадратичных
форм гамильтониана в классической механике [1], мы всегда можем свести
кинетическую часть энергии к виду (1/2) (р^2 + р^2) с помощью преобразо-
вания переменных
Д
Ра = ЛЛр'а-, ха = ~^=- (11.76)
Такие канонические преобразования сохраняют классические скобки Пуас-
сона (7.94) между координатами и импульсами и, следовательно, оставляют
инвариантной внутреннюю гамильтонову динамику. Аналогично, такое же
каноническое преобразование квантовых операторов сохраняет их комму-
тационные соотношения (7.95) и операторные уравнения движения (7.96)
и (7.97). После такого преобразования, гамильтониан двух осцилляторов
(11.66) с равными частотами, очевидно, становится изотропным в плоскости,
где введены двумерные векторы г' и р\ Гамильтониан (11.77) является
инвариантом относительно вращений в плоскости ху. Таким образом, гене-
ратор таких вращений [в новых координатах (11.76)], орбитальный момент
вдоль оси г (раздел 4.5), сохраняется,
[С,Я] = 0. (11.78)
Сохранение орбитального момента обеспечивает возможность марки-
ровки стационарных состояний, помимо энергии, по квантовому числу т,
являющемуся собственным значением оператора (раздел 7.10). Однако
оператор коммутирующий с полным гамильтонианом, не коммутирует
с его частями Нх и 11у. так как вращение вокруг оси г смешивает х- и у-
координаты. Классификация стационарных состояний с использованием пх
и пу является несовместимой с определённым значением Эта ситуация
похожа на ту, что была рассмотрена в Задаче 6.13 и в примере вектора
Рунге-Ленца (раздел 7.10). У нас есть обычная квантовая дилемма: состо-
яния могут быть описаны либо в виде декартовых квантовых чисел, или
с использованием орбитального момента, но не одновременно. Мы знаем
из Задачи 6.13, что в этом случае стационарные состояния должны быть
вырожденными. В результате, задача двумерного изотропного осциллятора
допускает разделение переменных в двух наборах координат.
11.6 Решение задачи в полярных координатах
Введём полярные координаты (4.64) на плоскости, тогда оператор ор-
битального момента задаётся производной по углу (4.68). Гамильтони-
ан (11.77), где мы опускаем штрихи у переменных, содержит в кинетической
части оператор Лапласа для двух измерений, который может быть записан
в переменных (р, ср) как
д2 1 д 1 д2
др2 + р др + р2 др2
(11.79)
Угловая часть пропорциональна так что гамильтониан в полярных
координатах принимает вид
Л2 / д2 19
2 усф2 + р др
Н2(® 1
---- Н—
2р2-2
(11.80)
Зависимость от ср здесь только в части, связанной с орбитальным мо-
ментом, которая может быть интерпретирована как вращательная или
центробеленая энергия с моментом инерции I = тр2.
Новое разделение переменных подсказывает вид решения
Да Д = Я(ДФ(Д, (11.81)
и для угловой функции мы берём собственную функцию (4.72) оператора
проекции орбитального момента, соответствующего его целому кванто-
вому числу т [не путать с массой, которая была заменена с помощью
преобразования (11.77)],
ФШ(Д = -ДегтГ т = 0,±1,... (11.82)
V 2 л
Этот набор функций является универсальным и определяется инвариантно-
стью относительно вращений в плоскости. Энергетический спектр должен
быть найден из оставшегося радиального уравнения для функции
которая зависит от ш,
Й2 / Э2 1 д \ Й2т2 1 9 21 7-» / \ \ -1
\дЛ + ~р1Гр) + ДЛ + 2Ш Р ] Н'"Р> = ЕКт(р)- (П-83)
Обратите внимание, что энергия для т Д 0 не может зависеть от знака ш,
вследствие инвариантности относительно обращения времени, что делает
два направления вращения эквивалентными. Для каждого значения \т\
движение происходит в эффективном потенциале
+ <п-м>
р
Минимум этого потенциала смещается от начала координат в точку рДт) =
= (Д\т | /са)1//2, и нижняя точка эффективного потенциала даётся выраже-
нием
(^Лп)тт —
(11.85)
Задача 11.7
Решить дифференциальное уравнение (11.83), найти полный набор ра-
диальных собственных функций В,пт(р) и показать, что энергетический
спектр даётся
В(п, т) = ТилДп + \т\ + 1), (11.86)
где п является радиальным квантовым числом^ равным числу узлов Кт(р).
Член соответствует новой нижней точке (11.85) эффективного по-
тенциала для данного \т\.
Решение Уравнение, которое нужно решить, следующее [в новых единицах
(11.76) масса равна 1]
с!2 1(1
с1р2 р Лр
тп2 ы2
III Ш и ,9
Кт — О,
(11.87)
где к2 = 2Е/Н2. Аналогично мы поступили при поиске решения для ли-
нейного осциллятора и Задачи 11.2. Асимптотическое решение при р -д оо
определяется производными и основным потенциалом осциллятора; как и
ранее,
Кт <х е~ар2, а = Д (11.88)
Новым элементом является наличие при т ф 0 ротационной особенности в
начале координат, р -д 0. Эта особенность имеет геометрический характер:
азимутальный угол не определён в начале координат, так что зависимость
от сд должна исчезнуть, если функция имеет однозначный смысл в этой
точке. Поведение в окрестности начала координат определяется производ-
ными, а также центробежным членом; соответствующее уравнение Эйлера
имеет решение ос р7, которое определяет у = ±т — орбитальную проекцию
момента. Для т = 0 волновая функция без угловой зависимости стремится
к константе вблизи начала координат; для т ф 0 мы должны взять поло-
жительную энергию, чтобы получить узел радиальной функции, поэтому
выбираем
р -> 0.
(11.89)
Теперь, аналогично (11.8), явно включим асимптотическое поведение и
будем искать решение в виде
(11.90)
После этой подстановки мы получим новое уравнение для гт(р),
(I2 (2\т\ + 1 \ с1 2 л (\ । Л
—д +--------------4ар —- + к2 - 4а(\т\ + 1
арЛ \ Р ; ар \ /
— 0.
(11.91)
Поскольку уравнение не меняется при формальной замене р -Д —р, решение
является функцией р2, и удобно ввести новую переменную,
что приводит к так называемому уравнению Куммера
+ (Н + 1 - Д'т - 9 Н + 1 - ^- ) М»?) = 0, (11.93)
\ / 2 у Та}
где штрихи относятся к производным по у. Условие квантования В = —п
определяет энергетический спектр (11.86). Решение снова даётся полино-
мами Лагерраполиномы Лагерра ит(Д) = Р(В, А; у).
В новых координатах мы успешно разделили переменные и построили
собственные состояния с определёнными значениями = т и тем же
спектром энергии где, однако, главное квантовое число теперь представ-
лено как = 2п + \т\. В последнем столбце таблицы (11.75) показано,
как волновые функции в декартовых координатах могут быть поставлены
в соответствие с правильными вращательными линейными комбинация-
ми. Ясно, что состояния с т ф 0 всегда идут попарно и \т\ чётно при
чётном и нечётно для нечётного ТУ. Каждый квант вдоль оси х или
у увеличивает степень соответствующего полинома Эрмита и изменяет
чётность функции так, что чётность ТУ и |т| такая же, как чётность общего
количества декартовых квантов. Тогда, мы должны посмотреть на зависи-
мость от и выразить её через экспоненты екрДгпнр). Для вакуумного
состояния пх = пу = ТУ = 0, очевидно, т = 0, и это единственная волно-
вая функция, которая является одинаковой в обоих представлениях. Для
следующего уровня ТУ = 1, две декартовы функции содержат полиномы
пропорциональные х и у, их правильные вращательные комбинации есть
х ± гу = р(сое + г §т (/?) = ре±г(р. (11.94)
То есть, переход между представлениями выполняется согласно:
\п = 0; т = ±1) ос (т ± гу)\п = 0, т = 0)
ос \пх = 1, пу = 0) ± г\пх = 0, пу = 1). (11.95)
Комбинации (11.95) могут быть нормированы путём умножения на 1/д/2.
Переходя к У = 2 и начиная с
(ж ± гу)2 = р2е2ир = х2 — у2 ± 2гху^ (11.96)
получаем
\п = 0, т = ±2) ос (ж2 — у2 ± 2гху)\п = 0, т = 0). (11.97)
Для состояний \п = 1,ш = 0) нам нужна инвариантная относительно вра-
щений функция, которая суммирует два полинома, зависящих от координат,
но не содержит угловой зависимости. Естественного множителя х2-\-у2 = р2
недостаточно, так как функция р2|п = 0, т = 0) не является ортогональной
к вакуумной функции. Нам нужно сформировать соответствующий поли-
ном второго порядка р2 + сопе!, который обеспечивает ортогональность.
Вся эта техника значительно упрощается при использовании операторных
методов, что является нашей следующей темой.
11.7 Построение лестницы
При работе с дискретным спектром, полезно иметь в распоряжении опе-
раторы, которые могли бы возбуждать или снимать возбуждение системы,
реализуя переходы с одного уровня на другой. Это особенно легко сделать
в случае гармонического осциллятора. Предположим, что операторы А и
В удовлетворяют коммутационному соотношению
[А, В] = ХА (П.98)
с некоторым числом Л. Если это так, мы можем назвать оператор А соб-
ственным оператором В и Л — его собственным значением, хотя оно не
является собственным значением в обычном смысле. Рассмотрим действие
уравнения (11.98) на собственное состояние \Ь) оператора В с собственным
значением Ь. Используя
В\Ь) = Ь\Ь) (11.99)
и (11.98), получаем
в (А|0) = ([В, А] + Ав) |0 = (6 - Л) (а|Ь>) . (11А00)
Таким образом, действие А на собственное состояние \Ь) создаёт новый
вектор А|Ь), который снова является собственным вектором В, но со сдви-
нутым собственным значением, Ь' = Ь — Л.
Можно сказать, что собственный оператор А перемещает нас вниз по спек-
тру В, каждый раз понижая собственное значение В на одно и то же число
Л (в отличие от обычных собственных значений, Л измеряет расстояние
между уровнями). Из операторного соотношения (11.98) следует, что спектр
В содержит равнодистантную лестницу ,
10 Ь,
А|0 -4- Ь -А, (11А01)
А2|0 -4- Ь — 2Х,...
Эрмитово сопряжение (11.98) показывает, что таким же образом строит
растущую лестницу в спектре с собственными значениями 6*, 6* + А*,....
Если В эрмитов, это должна быть та же лестница, так что Ъ и Л явля-
ются реальными. Коммутатор двух эрмитовых операторов антиэрмитов,
см. уравнение (6.155), и начальное условие (11.98) не может быть выпол-
нено, за исключением Л = 0, когда операторы коммутируют и действие А
относится к подпространству состояний, вырожденных по отношению к В,
см. раздел 6.13. Лестничная конструкция может также быть выражена как
правило отбора для оператора А: его матричные элементы между двумя
собственными состояниями Ъ и У должны подчиняться
(У|[А, В] - ХА\Ь) = 0 = (6 - У - Х)(У\А\Ь). (11.102)
Это означает, что матричные элементы А в собственном базисе В могут от-
личаться от нуля только между теми состояниями, которые удовлетворяют
условию У = Ь — Л.
В качестве простого примера можно вспомнить коммутационные соотно-
шения вектора V с орбитальным моментом уравнения (4.35)-(4.37):
[4^] = тгдкУк. (11.103)
При помощи формирования вращательных комбинаций, сравните с (11.94),
= (11.104)
мы находим соотношения для лестницы
[УТЛ] = ±УТ. (11.105)
Таким образом, для любого векторного оператора, У_ понижает проекцию
углового момента на единицу, в то время как У± повышает эту проекцию
на единицу. Именно поэтому мы смогли построить состояния с Дт =
= +1 в предыдущем разделе простым действием повышающего оператора
х + гу = г+.
Является ли лестница бесконечной или конечной (в одном или обоих
направлениях), зависит от конкретного случая, как мы увидим ниже.
11.8 Операторы рождения и уничтожения
Линейные операторы вместе со своими коммутаторами образуют опера-
торную алгебру. Алгебра Гейзенберга-Вейля, образованная канонически
сопряжёнными операторами координаты х и импульса р (и единичный
оператор), является наиболее простой из возможных. Здесь единственным
нетривиальным коммутатором, как мы знаем, является
[х,р] = г!г.
(П.106)
В классической механике, мгновенное положение частицы может быть
задано точкой в фазовом пространстве (ж,р). Удобно ввести безразмерные,
взаимно эрмитово сопряжённые, операторы а и таким образом, чтобы
их классическое изображение было бы точкой в плоскости комплексной
переменной а, чьи реальная и мнимая части были бы пропорциональны
х и р, соответственно. Масштаб преобразований к новым переменным
произволен, мы будем использовать положительный масштабный параметр
/у, который имеет размерность у/тш, так что
1 / Л г \
а = .___ их 4— р ,
у/2П \ V )
(11.107)
Переменные а и имеют единичный коммутатор,
[а, а^] = 1.
(11.108)
Обратное преобразование имеет вид
(П.109)
Чтобы построить лестницу, сначала введём оператор ЛМп(1ехквантовый
оператор!числа,
IV = а^а,
(11.110)
который, согласно Задаче 6.Зв, является эрмитовым и неотрицательным,
> 0 (11.111)
для любого состояния \ф}. Это среднее значение может исчезнуть только
для состояния, уничтоженного оператором а. Такое состояние, если оно
существует, будет называться вакуумом и обозначаться |уас),
Коммутаторы с оператором (11.110) следуют из (11.108),
[а, У = а, (11.113)
Используя опыт предыдущего раздела, мы видим, что спектр оператора ТУ
образует лестницу с шагом Л = 1, где а является понижающим оператором
по отношению к ТУ, а является повышающим оператором. Если \п)
являются собственными состояниями ТУ, мы имеем, как и в (11.101),
ТУ|п) = п|п), ТУ = (п — 1) , ТУ = (п + 1) .
(11.114)
Продолжая двигаться по лестнице вниз с помощью понижающего опера-
тора а, мы можем прийти в противоречие с требованием (11.111), так как
собственное значение может стать отрицательным. Это можно избежать,
если при достижении нижней части лестницы |пт1п), дальнейшее примене-
ние понижающего оператора даёт нулевой вектор. По определению (11.112),
низшее состояние лестницы является просто вакуумом, |пт1п) = |уас). По-
скольку норма состояния а|уас) равна нулю, получаем
(уас|ТУ|уас) = пт1п = 0. (11.115)
Лестница заканчивается внизу на состоянии |уас) = \п = 0) = |0). Поднима-
ясь от этого состояния с помощью повышающего оператора а^, мы можем
восстановить всю лестницу с целыми ступенями, п = 0,1, 2,.... Лестница
бесконечна в направлении вверх, и мы можем назвать состояния \п) числом
состояний.
Чтобы закончить построение, нам нужно найти матричные элементы
соответствующих операторов, предполагая, что состояния лестницы \п)
должным образом нормированы, (п|п/) = 5пп>. Понижающий и повышаю-
щий операторы действуют согласно
а\п) = цп\п — 1), й^|п) = цп\п + 1). (11.116)
Здесь величина цп просто связана с цп:
Йп = {п + 1 |Й1’\п) = (п|й|п + 1)* = ц*+1. (11.117)
Чтобы найти эти матричные элементы, нам нужно нелинейное соотношение,
например,
(п|ТУ|п) = п = (п|й^й|п) = (п|й^|п—1)(п—1|й|п) = цп-1Мп = \йп|2- (11.118)
Фаза матричных элементов произвольна, поэтому они могут быть взяты
вещественными,
Мп — лАм Мп — у/п
(11.119)
Теперь все матричные элементы определены,
а\п) = у/п\п — 1), й^|п) = д/п + 1|п + !)•
(11.120)
Задача 11.8
Показать, что построение лестницы нормированных чисел состояний,
начиная с вакуумного состояния |0), задаётся с помощью
Н = Дд- |о>.
(11.121)
Здесь подходящий момент, чтобы перейти к языку квантов осциллятора.
Квантовое число п указывает на число одинаковых квантов, доступных
в состоянии |п), так что Ы является оператором числа. Понижающий
оператор а описывает поглощение кванта; все п квантов идентичны и
вероятность поглощения пропорциональна |Мп|2 = то есть количеству
доступных квантов. Повышающий оператор описывает испускание кванта,
соответствующая вероятность пропорциональна |цп|2 = п + 1 и состоит из
складываемых некогерентно вероятностей спонтанного излучения. Она
не зависят от числа существующих квантов, и индуцированного или вы-
нужденного излучения, пропорционального п; возможность вынужденного
излучения лежит в основе лазерной физики. На языке квантов мы говорим
о повышающих и понижающих операторах как об операторах рождения и
уничтожения, соответственно.
Задача 11.9
Доказать, что для любой функции Р справедливо операторное тождество,
еА“Г(а1')е"ла = Р(Ц + А).
(11.122)
11.9 Операторное решение для гармонического осциллятора
На основе алгебры Гейзенберга-Вейля был разработан способ квантова-
ния фазового пространства одномерного движения. В применении к гармо-
ническому осциллятору, этот способ приводит к полному решению пробле-
мы, которое проще, чем с помощью дифференциального уравнения второго
порядка.
Задача 11.10
Вывести альтернативную форму соотношения неопределенностей,
где среднее значение берётся в произвольном состоянии и г2 является
произвольным положительным параметром размерности [шса].
Решение Выразить оператор ТУ через операторы координаты и импуль-
са (П.107):
Задача 11.11
Показать, что для любого нормированного состояния частицы имеет
место неравенство
И2
Д - ж0)2) ((р - Ро)2) - ((ж - ж0)(р - Ро))2 > у, (11.125)
где
ж0 = (ж), ро = (р). (11.126)
Выбрав параметр масштаба г = у/тш с фактическими массой и частотой
гармонического осциллятора, из (11.124) получаем выражение для гамиль-
тониана гармонического осциллятора через оператор числа квантов с этими
параметрами,
Н = р2 + - тш2х2 = На) ( Ы + - ] . (11.127)
2гп 2 у 2 у
Квантование оператора числа квантов эквивалентно квантованию (11.15)
спектра энергии гармонического осциллятора. Стационарные состояния —
это операторы числа квантов, найденные выше.
Теперь легко найти собственные функции иу в координатном или им-
пульсном представлении. В координатном представлении оператор уничто-
жения (11.107) имеет вид (у = д/шса)
1 а = . др + тшх) - ДПтш = ( К + тшх | . (11.128) у2Кпш \ ах )
Вакуумное состояние \п = 0) уничтожается этим оператором или, в ко-
ординатном представлении, уравнение для (ж|0) = ^о(ж) имеет вид
| К + тшх ] фофГ) = 0. (11.129)
у ах )
Гораздо проще решать это уравнение первого порядка, чем задачу Шрё-
дингера второго порядка на собственные значения [энергетический спектр
уже найден в (11.127) и (11.118)]. Решение (11.129) очевидно с точностью
до нормировочной константы
фофД = СОП81 • е-тшх<2/2\ (11.130)
как мы уже знаем из уравнений (11.6) и (11.16). Используя общий резуль-
тат (11.121) и оператор рождения, сопряжённый с (11.128), мы можем
построить возбуждённые состояния,
1 1 Ф (1 \п
^пЦ) = —=—---------^\-Цг + тшх] ЩД (11.131)
д/п! Дйта))п/Л \ ах )
Все состояния будут автоматически нормированы, если вакуумное состоя-
ние было нормировано выбором постоянной в (11.130). Мы можем также
рассматривать уравнение (11.131), как конструктивный способ получения
полиномов Эрмита.
Задача 11.12
Найти оператор, который действуя на состояние вакуума создаёт лока-
лизованное состояние |ж).
Решение Используя полный набор координатных волновых функций
ФД^Ф — Д|п) (уравнение (11.58) операторное представление вектора состо-
яния \п) (уравнение (11.121)) и производящую функцию полиномов Эрмита
(уравнение (11.44)), находим
|ж) = У2Н(пД = (^)1/4е-(тшж2/2й)+\/2ти,/йжа+-(а+)2/2|0). (11.132)
п
Вся конструкция с операторами рождения и уничтожения тривиально
переносится на многомерные случаи. Для каждой декартовой степени
свободы операторы аД\ определены как в уравнении (11.127) с правилами
коммутации
[й«, й7-] = [й^, й^] = 0, [й.;, й^] =
(11.133)
Например, в двумерном случае гамильтониан (11.66) принимает вид
Н = Кшх
+ Кшу (1Уу + -
(11.134)
где операторы числа с неотрицательным целым спектром есть
Д = йЦ;.
(11.135)
Задача 11.13
Для двумерного гармонического осциллятора в плоскости ху с различ-
ными частотами а)х Д шу выразить оператор углового момента через
операторы рождения и уничтожения. Рассмотреть предельный переход
к изотропному случаю лх = лу и показать, что этот оператор становится
постоянной движения, в соответствии с разделом 11.6.
Дальнейшее чтение: [22,23,53].
Будучи результатом предсказаний и
наблюдений, состояния света, включая так
называемый «сжатый свет», породили
корреляционные эффекты, совершенно
необъяснимые с точки зрения классической
волновой теории.
М. П. Сильверман, Далеко не одна тайна
Глава 12
Когерентные и сжатые состояния
12.1 Введение когерентных состояний
Операторы рождения и уничтожения, использовавшиеся в главе 11,
связаны с образом классической фазовой плоскости (ж,р). Если бы они
были комплексными числами а и а*, а не операторами а и а\ можно
было бы ввести абсолютное значение и фазу, а = |се| ехр(г^) и найти
классические координаты и сопряжённый импульс (11.109), как реальную
и мнимую части изображающей точки на комплексной плоскости,
72П. .
х = ------|а| сое (/?,
р = \/2Ню\а\ еш(/9.
(12-1)
Элемент области на фазовой плоскости может быть выражен как
дЗ = дх др = 2й с/(Ке а) с/(1т а) = 2Л<72(Т.
поэтому величина
д2а дхдр
л 2тгН
(12-2)
(12-3)
имеет очевидный смысл —она подсчитывает (раздел 3.8) число квантовых
состояний квазиклассически соответствующих области дх др. Таким обра-
зом, комплексная плоскость а — это, по существу, классическая фазовая
плоскость. Наша задача будет заключаться в том, как найти её квантовое
изображение.
Ближе всего к классическому движению находятся когерентные со-
стояния, которые определяются как собственные состояния оператора
уничтожения. Такому состоянию |се) может быть сопоставлено произ-
вольное комплексное число а, которое является собственным значением
оператора а,
а\а) = а|а). (12.4)
Теперь покажем, что мы можем построить хорошее (нормируемое) со-
стояние (12.4) для любого а. Все эти состояния могут быть расширены
на полный набор числа состояний,
|«) = ^2Ста(а)|п), (12.5)
п
С
52 |Сп(а)|2 = 1. (12.6)
п
Легко убедиться, что ряд (12.5) должен быть бесконечным', оператор а
перемещает каждый член ряда на один шаг вниз, и только бесконечный
ряд может воспроизводить себя после этого. Это сразу показывает, что
нормируемые собственные векторы оператора рождения не существуют:
все члены ряда переходят на шаг вверх под действием и низшая ступень
лестницы никогда не может быть восстановлена.
Задача 12.1
Покажите, что с точностью до общей фазы, которая не зависит от п,
решение уравнений (12.4)-(12.6) есть
см = К= см = е-|°12/2 К=. (12.7)
уп! уп!
Состояния (12.4) для всех комплексных точек а называют когерентными
состояниями одномерного движения. Объединяя уравнения (11.121) и (12.7),
мы можем генерировать эти состояния из вакуума:
|а) = е-1«12/2 52 4^|п) = е-1“12/2 52 = е-1“12/2+^ |0). (12.8)
П V п
Следует отметить, что фаза амплитуды Сп(се), см. уравнение (12.7), равна
пс/9, где р— фаза собственного значения а. Компоненты волнового паке-
та (12.8) являются полностью синхронизированными с равными разностями
фаз р между всеми смежными компонентами. Это объясняет термин «ко-
герентное состояния».
12.2 Перемещения на фазовой плоскости
Мы уже рассматривали в разделе 4.5 операторы сдвига Р(а) вдоль
координатной оси. Обобщение этого оператора позволяет производить сдвиг
в произвольном направлении на фазовой плоскости. Соответствующий
параметр сдвига а является комплексным числом, а оператор может быть
определён согласно
Р(а) = (12,9)
Реальное а —это наш старый добрый оператор (4.54) с параметром сдвига
у/2/Ъ(а/п). Оператор общего сдвига (12.9) с комплексным а является
также унитарным,
р+(а) =р-1(а) = Р(-а). (12.10)
В выражении (12.9) операторы рождения и уничтожения запутаны, что
приводит к сложному степенному ряду. Это выражение можно упростить,
распутав а и а\ то есть представляя один и тот же оператор с помощью
экспонент, которые содержат а и а) по-отдельности.
Задача 12.2
Покажите, что операторы, преобразуемые с помощью (12.9), действи-
тельно сдвигаются на комплексную постоянную,
Р(а)йР-1(а) = а — а, Р(а)й^Р-1(а) = а^ — а*. (12.11)
Решение Стандартный способ решения таких задач начинается с введения
вспомогательного параметра т таким образом, что
й(т) = Р(та)йР-1(та), й(0) = а. (12.12)
Теперь мы можем вычислить производную по т. Производная правой части
содержит коммутатор
[ай’*’ — а*й, й] = —а, (12.13)
так что
) = —а й(т) = й(0) — ат = й — ат. (12.14)
ат
При г = 1 мы приходим к первому равенству (12.11).
Задача 12.3
Вывести распутанный вид для оператора сдвига (12.9),
Т>(л} — (=-|а|2/2 еаа^ -аЧ _ |о;|2/2 -а*а ао!
(12.15)
Первая форма (12.15) соответствует нормальному упорядочению опера-
торов рождения и уничтожения, когда все операторы а помещаются справа
от операторов вторая форма производит анти-нормальное упорядоче-
ние.
Задача 12.4
Установить правило умножения двух комплексных перемещений,
П(а)П(/3) = еИт(/Га) Г>(а + Д.
(12.16)
Возвращаясь к виду (12.8) волновых функций когерентных состояний,
мы видим, что когерентное состояние, соответствующее началу координат
фазового пространства, |се = 0), совпадает с состоянием вакуума с числом
\п = 0), тогда как произвольное когерентное состояние |се) появляется
в результате сдвига Р(се) вакуумного состояния. Действительно, с помо-
щью первой (нормальной) формы уравнения (12.15), когда все операторы
уничтожения, расположенные справа, дают нуль, действуя на вакуумное
состояние, получаем
|(Д = Р(а)|0). (12.17)
Согласно (12.16), любое комплексное смещение преобразует когерентное
состояние в другое когерентное состояние с фиксированной фазой,
|а + /3) = Т>Л + /?)|0> = е~г1т(-^^ Р(а)|/3) = еПт(/3*“) Д/З». (12.18)
Фаза была фактически зафиксирована сначала в определении (12.9) опера-
тора сдвига, поэтому она уже не произвольна в продукте (12.18). Согласно
нашему определению, среднее значение оператора смещения в вакуумном
состоянии есть
(0|Р(а)|0) = е“|а|2/2. (12.19)
12.3 Свойства когерентных состояний
Прежде всего мы замечаем, что средние значения различных операторов
в когерентном состоянии могут быть сразу же найдены, если оператор
был приведён к нормальной форме; пример мы уже видели в (12.19). Нор-
мальная форма любой операторной функции а и может быть получена
с помощью последовательности коммутаторов, в результате чего все опера-
торы а переносятся вправо. В итоге, мы приходим к Тогда
среднее значение становится равным
(а\^/ы(а^ка1\а) = (12.20)
к1 к1
В частности, среднее значение числа квантов просто равно
(п) = <ск|ЛЗсО = |а|2. (12.21)
Оно зависит только от величины сдвига от начала координат, но не от угла.
Задача 12.5
Докажите тождество для среднего значения произведения операторов
в когерентном состоянии,
(а|Д(Д - 1)(Д - 2)...(IV - к + 1)|а> = (а|(Д)\сД |Д = |а|2/г. (12.22)
Из основного результата (12.8) находим распределение вероятностей Рп
для числа квантов в когерентном состоянии |<Д,
РМ = |С„(Д|2 = е-1“1 (12.23)
п\
это волновой пакет с распределением Пуассона,
Рп = е-^(Л^. (12.24)
п!
Задача 12.6
Рассчитать неопределённость числа квантов в когерентном состоянии
|а).
Решение Характерной особенностью распределения Пуассона является
то, что дисперсия равна среднему числу (п),
(Дп)2 = (п2) — (п)2 = (п).
(12.25)
Для когерентных состояний, локализованных далеко от начала коорди-
нат, среднее число квантов велико, (п) = Д|2 1, и неопределённость
этого числа, хотя и растёт с числом квантов, становится относительно
небольшой,
1
Ап
Н
(12.26)
Зависимость 1 / Дп характерна для статистических явлений в макроскопиче-
ских системах с большим количеством компонентов, где роль флуктуаций
относительно подавлена.
Задача 12.7
Для произвольного когерентного состояния найти дисперсии положения
и импульса и показать, что соотношение неопределённостей (6.163) между
положением и импульсом достигает своего минимума.
Когерентные состояния, локализованные в разных точках, не ортого-
нальны. Перекрытие двух когерентных состояний равно
а) = е-(1Д12+1«12)/2у^1Д^(п|п'),
, Дп! уп'\
пп'
или, из-за ортогональности числа состояний,
{/3\а) = е~(К+1“12)/2 = е-(1/?12+1“12)/2+/3*«
п
Квадрат перекрытия,
I (/3 н I2 = е-к-№+/^+^* = е-\^\\
(12.27)
(12.28)
(12.29)
падает как экспонента от квадрата расстояния между соответствующими
точками комплексной плоскости, так что когерентные состояния, локализо-
ванные далеко друг от друга, почти ортогональны.
Из-за неортогональности, у нас слишком много независимых когерентных
состояний: по построению, они относятся к каждой комплексной точке.
Их набор избыточен. Тем не менее, можно записать разложение единицы
аналогичное условию полноты (6.49). Начиная с полного набора числа
состояний, мы можем вычислить интеграл по всей комплексной плоскости
/✓» 77/^ ТЪ
72а|а)(а| = / Л2 а У— |п/)(п|, (12.30)
7 , Сп\п'\
пп'
или, переходя к полярным координатам, |се| = А и (/?,
Интеграл по углу даёт 2тг5п/п, а интеграл по А равен
/‘ОС 1 /‘ОС 1
/ аАе~А2А2п+1 = - / <Ие~Чп = -п\ (12.32)
7 о 2 70 2
Наконец,
(12а |а)(а| = 7г|п)(п| = тг7, (12.33)
и разложение единицы в терминах когерентных состояний есть
У^|а)(а| = 1 (12.34)
Это согласуется с изображением классической фазовой плоскости, что мы
уже обсуждали (уравнение (12.3)) в начале этого раздела: в классических
переменных (ж,р) такой же результат эквивалентен
/ = (12.35)
Если бы мы хотели охарактеризовать квазиклассические квантовые со-
стояния с помощью центров локализации соответствующих когерентных
состояний, правильный рецепт подсчёта этого избыточного набора — это
считать одним представителем состояния область 68 = в плоскости
(ж,р), то есть рецепт, с которым мы уже неоднократно сталкивались.
12.4 Когерентные состояния гармонического осциллятора
Идентифицируя г — параметр масштаба в определении (11.107) операто-
ров рождения и уничтожения с величиной у/тш физического гармоническо-
го осциллятора, мы определяем его когерентные состояния как волновые
пакеты (12.8).
Главной особенностью этих состояний является простая зависимость
от времени. В соответствии с общим правилом, эволюция когерентного
состояния, то есть нестационарного состояния осциллятора,
1ФС = 0)) = |а>,
(12.36)
проходит через независимую фазовую динамику монохроматических ком-
понент,
|ФО = е
(г/К)Еп1\'
(12.37)
что для гармонического осциллятора сводится к
|Ф(0> = е-1«12/2-(*/2И V
Таким образом, когерентное состояние развивается как
\а;1) = е-(’/2)ш>е-ш’<;0).
(12.38)
(12.39)
За исключением общей фазы, которая не важна, центр когерентного состо-
яния просто вращается вокруг начала координат по окружности радиуса
А = |се| с угловой скоростью, равной частоте ш осциллятора. Состояние
остаётся когерентным с вращающейся фазой. Это является близкой ана-
логией классической траектории на фазовой плоскости гармонического
осциллятора.
Средние значения координаты и импульса осциллируют, как в классиче-
ской механике,
|се| соз((/? — с^),
(Ф(Г)\р\Ф(^)) = |се| — шГр
(12.40)
(12.41)
Волновой пакет постоянно минимизирует соотношение неопределённостей.
12.5 Линейный источник
Когерентное состояние может быть физически порождено действием
линейного источника, который излучает отдельные кванты один за другим.
В эрмитовой ситуации, источник должен быть способен поглощать кван-
ты с сопряженным амплитудой. Модель такого источника, применяемая
к гармоническому осциллятору, может быть описана гамильтонианом
Н =
1
2
+ Ха + А*аг.
(12.42)
Естественно предположить, что стационарное состояние такого осциллятора
будет иметь другую точку равновесия, по сравнению со случаем отсутствия
источника.
Математически мы выражаем эту идею, выполняя канонические пре-
образования к новым операторам Ь и Ь\ которые подчиняются той же
алгебре:
а = Ь + се,
аУ = + се*,
(12.43)
где се — неизвестная комплексная постоянная. Канонический характер пре-
образования очевиден, так как добавленная постоянная не меняет комму-
тационные соотношения.
Преобразованный гамильтониан имеет вид
Н — Нсо (ь^Ь + — -|-А)-|-(Нсост,-|-А*)-|-Нсо|се|-|-Асе-|-А*се*. (12.44)
Для того, чтобы включить источник в новые стационарные состояния, мы
выбираем параметр се таким образом, чтобы исключить опасные члены и
сделать количество новых квантов постоянным. Очевидно, что это может
быть сделано, если
се = — —, СЕ*
пи)
А
Йи)
(12.45)
Новый гамильтониан опять принимает форму гамильтониана гармониче-
ского осциллятора с исключённым источником,
ИР.
Йи>
Н = 5и) (ь^Ь + -
(12.46)
Новые стационарные состояния являются состояниями с определённым
количеством 6-квантов. В частности, основное состояние в виде вакуума
по отношению к 6-квантам удовлетворяет уравнению
&|ОЬ) = 0. (12.47)
Тогда уравнение (12.43) показывает, что новый вакуум является когерент-
ным состоянием старых квантов, локализованных около точки а, которая
определяется интенсивностью источника с помощью уравнения (12.45),
Й|0ь> = се|Оь>. (12.48)
Хотя частота стационарных квантов («6-квантов»), которые описывают
колебания вокруг нового центра, не изменилась, энергия всего спектр всегда
понижается на
= (12.49)
ПЛ
и переход к новой точке равновесия а делает систему более стабильной.
Задача 12.8
Постоянное однородное электрическое поле Г = применяется к гар-
моническому осциллятору, несущему электрический заряд е. Найти новое
основное состояние. Показать, что это состояние является когерентным и
вычислить равновесный дипольный момент (еж) частицы и поляризуемость
(отношение индуцированного дипольного момента к полю).
Решение Поле действует как линейный источник: возмущение в гамиль-
тониане имеет вид
/ д
—еЕх = —е8\ ------(а + й^), (12.50)
V 2тш
который определяет фактическое значение Л в (12.42). В результате, имеет
место сдвиг положения равновесия и спектра в целом,
Л п2 1 п2 1 Г2 Г2
Н =------1— тш2х2 — еЕх =------1— тш2(х — жо)2---------(12.51)
2т 2 2т 2 к 7 2тл2 ’ к 7
е<? , ч
хо =-----у, 12.52
таг
в соответствии с общими результатами. Новое основное состояние является
когерентным состоянием с
еЕ а = V 2ЙТТШ)3 (12.53)
Это соответствует среднему числу исходных а-квантов, поглощённых полем,
/ \ 2 е с (п)=а=~ 9, 2тЙш3 а их энергия даётся уравнением (12.49), (12.54)
е2Е2 АЕ = = — (п)Йш. (12.55)
Индуцированный дипольный момент определяется смещением (12.52),
е2<? а = ехо = 9 , тш2 (12.56)
что соответствует электрической поляризуемости
(1 е2
8 тпш2
Выигрыш энергии (12.55) можно классически интерпретировать в терминах
работы, выполненной источником электрического поля на перемещение
жо(^) точки равновесия,
ДВ = / дЕехо(Е).
7о
12.6 Квазиклассический предел, число квантов и фаза
Даже для произвольного (негармонического) гамильтониана Н(х,р), ко-
герентные состояния могут, нередко, обеспечивать хорошее приближение
для полуклассического движения, по крайней мере в течение не очень
больших промежутков времени. Точные операторные уравнения движения
могут быть записаны для операторов рождения и уничтожения в символи-
ческом виде:
а = [а, Н] = ^-г, = [йЛ, Н] = — (12.59)
а! осд а! оа
где вместо обычных производных, как в классическом уравнении Гамиль-
тона, мы использовали символ 5, показывая, что берём производные по
каждому оператору, встречающемуся в Я, но сохраняем порядок всех
остальных операторов. Например, в гармоническом случае это должно
привести к
Я Я Л Л
— а = —гсаа, —- ст = шсг ,
а! сп
(12.60)
так что эти операторы представляют собой нормальные моды с собствен-
ными частотами ±си,
аД) = а*е“У
а(1) = ае~^,
(12.61)
в соответствии с (12.39).
В квазиклассической области больших |се| 1, правая сторона комму-
татора (11.113) мала по сравнению со средними значениями а^а = /V или
снГ = К + 1. Игнорируя коммутаторы с погрешностью ~ 1/(п), мы можем
всегда поставить операторы в уравнения движения в нормальной форме и
взять матричные элементы в пробном когерентном состоянии |се) с
а = ДУеД (12.62)
где мы теперь используем классическую переменную У 1 вместо (п).
Затем вариационные производные в уравнении (12.59) могут быть замещены
обычными производными по отношению к классическим переменным.
Задача 12.9
Выразив Н в терминах АГ и и рассматривая последние как классиче-
ские функции времени, вывести уравнения движения
* = 1 (12.63)
Я д(р
Уравнения (12.63) и (12.64) показывают, что переменные АГ и число
квантов и фаза, являются канонически сопряжёнными для квазиклассиче-
ских волновых пакетов. Как это было для гармонического осциллятора,
любой гамильтониан, который не зависит от фазы Н = Н(А^), таким
образом, что фаза является циклической переменной, сохраняет число
квантов. Это может произойти только тогда, когда операторы рождения
и уничтожения вводят каждый член гамильтониана в равных количе-
ствах. Как и любой глобальный закон сохранения (7.10), данный тоже
связан с непрерывным унитарным преобразованием, которое оставляет
гамильтониан инвариантным. В этом случае, мы должны рассмотреть
преобразование фазы операторов,
аМь = аем, а1 С = аКМ (12.65)
Это преобразование является каноническим, сохраняя коммутационные
соотношения (11.113) неизменными. Операторное выражение Р(а,а^) не
меняется при фазовом преобразовании тогда и только тогда, когда оно
содержит равномерно операторы рождения и уничтожения.
Задача 12.10
Найти унитарное преобразование 17, которое приводит к (12.65),
СаС-1 = Ь, СаЧт1 = Ь1. (12.66)
Решение Оператор числа ТУ является генератором этого преобразования
(раздел 6.10),
С(т9) = е~г^. (12.67)
Как всегда в таких случаях, генератор непрерывного преобразования сим-
метрии сохраняется.
Из-за формальной аналогии между парой (ТУ, Тир) канонически сопряжён-
ных переменных и парой (р, х), возникает соблазн ввести соответствующие
квантовые операторы 77 и ф. Их коммутационное соотношение будет
[р,ТУ] = г. (12.68)
Тем не менее, это невозможно: нам известен квантовый оператор ТУ и его
собственные состояния |п); взяв матричный элемент (п|...|п/) операторного
тождества (12.68), мы приходим к
(п\ф\п')&' -п) = г6пп>. (12.69)
При п = п' правая часть равна г, в то время как левая часть обращается
в нуль, за исключением возможности бесконечно больших диагональных
матричных элементов ф. Тем не менее, фаза представляет собой компакт-
ную переменную с нетривиальным диапазоном изменения только от 0 до 2тг.
Таким образом, формальное соотношение неопределённостей
• АЛТ > | (12.70)
также не имеет смысла, так как неопределённость фазы не может беско-
нечно расти, когда мы переходим в состояние с определенным значением
ЛГ Уравнение (12.70) уже нарушается для когерентного состояния, кото-
рое имеет определенное значение фазы, = 0 и конечную дисперсию
количества квантов, уравнение (12.25).
В разделе 4.7 мы уже обсуждали похожую ситуацию, касающуюся ор-
битального момента и сопряжённого угла. В нашем распоряжении нет
фазовой переменной с бесконечным диапазоном значений. По сути, мы
должны ограничиться периодическими функциями фазы с периодом 2тг.
Тем не менее, в квазиклассическом случае мы можем говорить о состояниях,
похожих на когерентные, с почти точно определённой фазой и малыми от-
носительными флуктуациями числа квантов (12.26). Поле лазера является
примером, близким к этой ситуации.
12.7 Парный источник
Состояние, отличающееся от когерентного, может быть порождено ис-
точником, который создаёт и поглощает кванты попарно. По аналогии
с (12.42), мы можем написать модельный гамильтониан в виде
Н = Ко (а^а + - ) + Хаа + А*а^, (12.71)
\ " /
где Л характеризует силу источника. По сути, это наиболее общая эрмито-
ва однородная (без линейных членов) квадратичная форма, построенная
из операторов рождения и уничтожения; линейные члены всегда могут
быть устранены смещением (12.43).
Гамильтониан типа (12.71) может быть точно днагоналнзован с помощью
канонического преобразования Боголюбова для операторов. Здесь диагона-
лизация означает сведение к простой форме гармонического осциллятора
для новых квантов, то есть определение стационарных состояний для систе-
мы исходных осцилляторов плюс источник. Преобразование объединяет, в
общей форме, операторы рождения и уничтожения,
а = иЬ + ьЪ\ = и*Ь^ +
(12.72)
Здесь и и V — неизвестные комплексные амплитуды, и преобразование
сохраняет эрмитовость соотношений. Для того, чтобы сделать преобразо-
вание каноническим, мы должны гарантировать те же коммутационные
соотношения для новых операторов
[ьД] = [аД] = 1. (12.73)
Тогда, как легко найти, свобода выбора для преобразования амплитуд
ограничена условием
н2 - |Д = 1.
(12.74)
Задача 12.11
Показать, что преобразование, обратное к (12.72), даётся с помощью
Ь = и*а — таУ, = иа^ — т*а.
(12.75)
Преобразованный гамильтониан содержит члены с различными комби-
нациями новых операторов рождения и уничтожения,
н = Я20 + Я02 + Яп + | Пш, (12.76)
где
Я20 = Н]02 = ЪЪ(ЫМи + Хи2 + А*С2), (12.77)
И
Нц = |п|2 + Хит + АДД*) + 6^(йДг|2 + Хит + АДД*). (12.78)
Состояния с определённым количеством новых квантов будет стационар-
ным, если опасные члены рождения и уничтожения пар квантов сокраща-
ются. Это приводит к условию
Н2о = но2 = о, (12.79)
или, в явном виде,
(12.84)
Если ввести фазы комплексных амплитуд,
Л = Лет, и = 17ё11и, г = Уе^\ (12.81)
условие компенсации (12.80) принимает вид
+ ЛС72е^7л+27и) + ЛУ2е“^7л+27“) = 0. (12.82)
Тогда мы можем выбрать фазы согласно
7« = 71> = -|7А, (12.83)
и иметь дело с реальным амплитудами Л, 17 и V.
Для решения полученных уравнений удобно параметризовать амплитуды
таким образом, чтобы учесть условие нормировки (12.74):
17 = соей , V = 81пЬ .
Гиперболический угол у определяется из уравнения (12.82),
. 2Л
ЛсоепуЧ----8шпу = 0, 1аппу = — —-,
2 гш)
1 п /Пса-2Л\
л 2 \^ + 2Л/
Это определяет
2Л Кш
81П11 у =--. ---, соей у = —, ---.
У(М2 - 4Л2 У(М2 - 4Л2
Обратите внимание, что стационарное состояние возможно, если источник
не слишком интенсивный,
Лэ < . (12.87)
В области стабильности, оставшийся член Г7ц (уравнение (12.78)) опреде-
ляет новую частоту и смещение спектра (оператор ЬК должен быть записан
в виде КЬ + 1),
1уль = 4А17У + К(л(172 + У2) = 2Л ешЬ. у + 7кл соей у. (12.88)
(12.85)
С помощью простых алгебраических преобразований, используя уравне-
ния (12.84) и (12.85), определяем
Пшъ = у/(Гш)2 - 4Л2. (12.89)
Опять же, мы видим, что стационарный спектр требует такое же условие
стабильности (12.86). С подобной алгеброй мы также можем вычислить
нулевую энергию нового спектра
Е0 = Пш(^ + V2) + 2ЛЯУ = |м>. (12.90)
Задача 12.12
Рассмотреть задачу (12.71) в (ж, ^-представлении и интерпретировать
физическую причину нестабильности, когда (12.87) нарушается.
Задача 12.13
Записать операторные уравнения движения для аи а\ найти нормальные
моды Ь(^), Н (1) с монохроматической зависимостью от времени, как соб-
ственных операторов гамильтониана, аналогично (12.60) для осциллятора
без внешнего источника, а также установить эквивалентность результатов
канонического преобразования.
Задача 12.14
Рассмотрим систему с линейной связью двух одинаковых гармонических
осцилляторов,
Н = + Ъ^Ь) + Х(а^Ь + Ь^а). (12.91)
Найти энергетический спектр системы; выразить стационарные состояния
в терминах исходных операторов.
Решение Задача диагонализируется переходом к новым нормальным мо-
дам,
Преобразованный гамильтониан имеет две независимых колебательных
моды,
Я = (Тгш + А)стс + (Пш - Х)(1Ч. (12.93)
Вырождение снимается отталкиванием уровней, Ни) => Заметим, что
при |Л| > одна из новых частот отрицательна (система неустойчива).
В области устойчивости новые стационарные состояния есть
\пспа) =
(12.94)
но вакуум для с- и (1-мод такой же, как старый вакуум для а- и Ь-мод.
Поэтому
, х (а^ + ^)"с(^
— 7 । \ /г»
1 ' 2("с+"й)/2
(12.95)
и биномы можно алгебраически раскрыть, так как операторы рождения
коммутируют друг с другом.
12.8 Сжатые состояния
Каноническое преобразование (12.72), (12.74), используемое для состоя-
ний, порожденных сдвоенным источником, создаёт так называемые сжатые
состояния. Как указывается в [54], в отличие от квазиклассических коге-
рентных состояний, «сжатые состояния света лежат вне области любой
классической теории поля». Мы можем рассматривать собственное состоя-
ние |^) оператора 6, определённое формулой (12.72),
Ж) = €1Д (12.96)
с комплексным собственным значением ф Это когерентное состояние, но
по отношению к новому оператору, в отличие от когерентных состояний
|се) исходного оператора а.
Состояния, такие как (12.96), являются сжатыми по отношению к исход-
ным состояниям гармонического осциллятора, порожденным операторами
рождения об Координаты и импульсы подвергаются масштабному преоб-
разованию.
/ Нтш
(12.97)
Как и в когерентных состояниях, средние значения х и р в сжатом со-
стоянии определяются по формулам (12.97) с заменой Ь ж С т
Неопределенности х и р определяются как
Дж =
П
2тш
\и + г|,
Др =
Ктш
2
\и — ж|.
(12.98)
Эти результаты есть следствие коммутатора (12.73), и поэтому они спра-
ведливы для любого выбора сжатого состояния (значение ^). Произведение
неопределённостей равно
(Аж)(Ар) = | |и2 - г>2|.
(12.99)
Предел когерентного состояния соответствует \и\ = 1, V = 0, когда состояние
имеет минимум неопределённости К/2. В общем случае комплексных и и г,
|п2 - г2| > |п|2 - ф|2 = 1.
(12.100)
[Это становится ясным, если явно ввести относительные фазы между и и г;
в примере раздела 12.7 эта фаза отсутствовала (12.83).] Таким образом, в об-
щем сжатом состоянии, неопределённость произведения (12.99) превышает
квантовый предел Н/2. Тем не менее, неопределённость только в положении
(или импульсе) может быть сделана меньше, чем для основного состояния
гармонического осциллятора, выбором и и г, эта недетерминированность
сжата.
Общее определение сжатого состояния |се; г} включает в себя как сдвиг
Р(а), так и и сжатие с помощью оператора
ЭД = е^+-г*^-, (12.101)
где
г = |г|е^ = гег^
(12.102)
произвольное комплексное число, и мы ввели операторы для парного ис-
точника,
1 1
К_ = -аа, К+ = -сСаС (12.103)
Тогда сжатое состояние, которое определяется двумя комплексными пара-
метрами г и а, даётся
|а;г> =ЭД|а) = ЭДР(а)|0>; (12.104)
% = 0 соответствует когерентному состоянию |<т;0) = |се). Оператор (12.101)
является унитарным по построению, сг (г) = <5-1(г) = <5(—г), и, следова-
тельно, новые операторы 6, К , полученные сжатием,
(12.105)
удовлетворяют тем же каноническим коммутационным соотношениям, что
и а, о).
Задача 12.15
Показать, что операторы (12.103) вместе с оператором
удовлетворяют замкнутой алгебре коммутационных соотношений
[Ко, К±] = ±К±, [К_, К+] = 2К0,
(12.107)
так называемой <5^/(1,1) алгебры, которая близка, но отличается от алгебры
углового момента, см. главу 1 том II.
Теперь очевидно, что оператор Ь, полученный путём преобразования
(12.105), действительно имеет состояние |се; г} в качестве своего собственного
состояния, см. уравнение (12.96), с собственным значением = се,
6|се; г) = 5(г)а5^(г)5(г)|се) = 5(г)й|се) = а|а; г).
(12.108)
Однако, как мы видели в (12.99), сжатое состояние не является состоянием
с минимальной неопределённостью.
Задача 12.16
Найти явный вид нового оператора 6, полученного путём преобразования
того, который определён формулами (12.101), (12.102) и (12.105).
Решение С использованием алгебраических методов распутывания опера-
торов, раздел 4.8, найдём коэффициенты соответствующего канонического
преобразования (сравните с (12.75))
Ь = со8Ь(г)й — 8т11(г)е_г^а^. (12.109)
| Задача 12.17
Найти произведение неопределённостей в состоянии |се;г ехр (г!?)).
Решение
^2
(Дж)2(Др)2 = — [1 + 8т112(2г) еш2 19]. (12.110)
Это выражение при г = 0 сводится к минимальному значению, как должно
быть в когерентном состоянии. Минимальное значение также достигается
для реального параметра сжатия 19 = птг.
Задача 12.18
Докажите, что для реального г = г, преобразование 5(г) эквивалентно
сжатию вдоль оси координат в фазовом пространстве,
х хег. р => ре~г. (12.111)
12.9 Подробнее о сжатых состояниях
Рассмотрим чистое сжатое состояние
ЭД|0> = |0; Д. (12.112)
Парный источник преобразует вакуум |0) в сложную суперпозицию
различного, но только чётного количества квантов
|0;г) = ^Сп(г,Д2п}. (12.113)
п
Эта комбинация является вакуумом новых операторов Ь, то есть она удо-
влетворяет
ф) = 0. (12.114)
Среднее число квантов (ТУ) может быть найдено без использования точного
вида коэффициентов Сп,
(0;Да^а|0; Д = (0|5^(г)й^5(г)5^(г)й5(г)|0). (12.115)
Из преобразования, которое отличается от (12.109) заменой г -д —г, мы
находим
(0; г| ТУ10; г) =(0| [й’*’ со811(г) — аег® 8шЬ(т)] х
х [йсо8Ь(г) — а^е~г® 8шЬ(т)] |0),
и, наконец,
(0; Д7У|0; г) = (п) = 8П1112(г).
(12.117)
Используя те же методы, мы можем вычислить неопределённость числа
квантов, которая оказывается гораздо больше, чем в когерентном состоянии
при распределении Пуассона (12.25). В самом деле,
(0;ДД2|0;Д = (0; г|а^аа^а|0; г), (12.118)
и, используя явный вид преобразования <5(г) и переходя к среднему значе-
нию преобразованных операторов в старом вакуумном состоянии |0), мы
находим
(0;г|Д2|0;г) = (п2) = 8тй2(т)[8тй2(г) + 2 со81з2(г)]. (12.119)
Сравнение с (12.117) показывает увеличение флуктуаций числа квантов:
(Дп)2 = (п2) — (п)2 = 2(п)((п) + 1).
(12.120)
Задача 12.19
Определить коэффициенты суперпозиции (12.113) и проверить норми-
ровку и среднее число квантов (12.117).
Решение Используя явную форму (12.113), найдём нормировочные коэф-
фициенты
Сп(гЛ) =
л/(2Д!
д/сО811(г) п\2п
е г^1ап11(г)) .
(12.121)
Как и в случае когерентного состояния, фаза коэффициента Сп равна
—пф так что компоненты комбинации снова точно синхронизированы.
Как следует из (12.121), сжатый волновой пакет может содержать чётные
номера, 2п, квантов с вероятностью
ТТЛ _ |Г |2 _ (2п)![1ап11(г)]2п
2п 1 п| соз11(г)(п!)222п ’
(12.122)
Для проверки условий
У2 = 1, У2 2"14'2'» = 8т112(г),
п п
можно использовать ряд Тейлора (ж -д 1апЬ(г))
(2п)! г2п = 1
А, (п!)222„ '
(12.124)
Зависимость от времени первоначально построенного сжатого состоя-
ния гармонического осциллятора является более сложной, чем простое
вращение фазы (12.39). Используя явное разложение сжатого состояния
по состояниям числа квантов, мы получаем
|а; = \ае~Дге~2гД. (12.125)
Первоначально сжатое состояние осциллятора сохраняет свою сжатую
природу. В моменты времени 1п = (шг — ??)/2си, параметр сжатия периоди-
чески пересекает вещественную ось, и осциллятор возвращается в состояние
с минимальной неопределённостью.
Несколько иной вид сжатого состоянии соответствует детектору, который
по построению считает новые 6-кванты. Пусть (а^а) = па есть количество
старых а-квантов в исследуемом состоянии; тогда, в соответствии с (12.109),
Ь-детектор будет регистрировать
щ = (ЬЩ = со8112(г)(а^а) + 8т112(г)(аа^, (12.126)
или, используя коммутационные соотношения,
пь = 8ш112 (г) + [81п112(г) + соей2 (г)] па. (12.127)
В частности, для вакуумного состояния, па = 0,
пь = 8П1112(г) = 1 --(12.128)
соН1 (г) — 1
Мы всегда можем записать этот результат в виде теплового равновесия
числа квантов,
ПЬ = -^2-------, (12.129)
и интерпретировать выход детектора как указание на эффективную тем-
пературу, Те^, источника квантов, определив
Такая ситуация возникает в общей теории относительности [55], когда
равномерного ускоряющийся наблюдатель (например, в свободном падении
в гравитационном поле) регистрирует вакуумное состояние (для наблюдате-
ля в состоянии покоя), как равновесное состояния фотонов с Те$ = Кд/2лс,
где д —ускорение (эффект Унру [56]). Превращение квантов между двумя
системами совпадает с уравнением (12.72). В применении к чёрным дырам,
этот фотон поля соответствует тому, что называется излучением Хокинга
с температурой, определённой по массе чёрной дыры. Однако следует отме-
тить, что обычное излучение чёрного тела характеризуется распределением
Планка
ИД = е-пГко/т^ _ е-Гы/т^ ИД = 1, (12.131)
п
где все чётные и нечётные числа п присутствуют на равных. Поэтому,
хотя среднее число (п)р1 для распределения Планка (12.131) действительно
даётся уравнением (12.129) с температурой Т, флуктуации этого числа
(Ап)2 = ^2 «2ИД - (п)р1 = (п)р1 (<п)р1 + 1), (12.132)
п
меньше в два раза, чем для сжатого состояния (12.119).
Любой оператор, зависящий от координаты и импульса определенной ко-
лебательной моды, или, что эквивалентно, от операторов а и а\ может быть
записан в общем виде в терминах эрмитовых квадратичных операторов,
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Х+,Х_] = г (12.134)
и соотношению неопределённости
(ДХ+)(ДХ_) > 1/2.
(12.135)
В частности, как мы увидим при квантовании электромагнитного поля
(раздел 28.3), компоненты поля становятся линейными комбинациями опе-
раторов рождения и уничтожения. Для моды с частотой ш в когерентном
состоянии с временной зависимостью (12.61), амплитуда электрического
поля может быть выражена как
Рис. 12.1. Эллипс ошибок электрического поля (12.136) для чистого
сжатого состояния, а = 0, панели а и 6, и для общего сжатого состояния
с а ф 0, панели с и й.
Когерентное состояние имеет минимальную неопределённость и равные дис-
персии двух квадратичных компонент, смещённых на л/2 по фазе. В сжатом
состоянии, с периодическим минимумом неопределённости, одна квадра-
тура имеет уменьшенную дисперсию, см. например, уравнение (12.111).
Это можно увидеть во временной эволюции эллипса ошибок, что являет-
ся результатом сжатия круга ошибок когерентного состояния, Рис. 12.1
показывает данное временное поведение (Задача 12.20) математическо-
го ожидания величины амплитуды электрического поля (12.136) и его
дисперсии. Эллипс вращается вокруг своего центра, а центр вращения —
вокруг начала координат, как в обычном когерентном состоянии. Умень-
шение колебаний одной из квадратур в сжатом состоянии используется в
современных экспериментах, которые требуют особой точности. Сжатые
состояния могут быть получены по-разному средствами квантовой оптики,
включая так называемую понижающую параметрическую конверсию [54],
когда в оптическом резонаторе фотоны с частотой 2с^ преобразуются в
коррелированные пары частотой
Задача 12.20
Найти зависимость от времени (Г} и (Д<?)2 в общем сжатом состоянии
| се; г = г ехр(г?9)).
Решение См. Рис. 12.1. Среднее значение такое же, как в чистом коге-
рентном состоянии,
(а; г\Г\ог, г) = (а; 0|<?|а; 0) = д/2 <?о [ке(а) со8(с^)+1т(а) 8т(о;^ . (12.137)
Среднеквадратичная флуктуация поля та же самая, как в чистом сжа-
том состоянии с а = 0, и может быть выражена с помощью матричного
умножения,
(Д5)2;2 = (Д5)2.2 = 28$ ( 8П1Щ) ) а ( , (12.138)
\ Ы111 (л/6 } I
где матрица сжатия имеет вид
сое б ет б
еш б — сое б
Сжатие хорошо видно при б = 0, когда
соеЬдг) + ешЬдг) соеЬ(г) етЬ(г) (
; (12.139)
_ 1 / е2г 0 \
а 4 у 0 е~2г )
(12.140)
Дальнейшее чтение: [54,57-59].
Объяснять что-либо наличием «жизненной
силы» столь же бессмысленно, как
объяснять притяжение между магнитом и
железом наличием «магнетизма».
Дж. М. Шлейден, Основы научной ботаники
Глава 13
Введение магнитного поля
13.1 Магнитное поле в классической механике
До сих пор мы рассматривали квантовые проблемы с потенциальными
полями V(г). Магнитные поля, в отличие от статических электрических
полей не могут быть включены таким образом. Вместо этого мы обобщаем
принцип минимальности электромагнитного взаимодействия, используе-
мое в классической лагранжевой механике.
Для нерелятивистской заряженной частицы массой т и электриче-
ским зарядом е, электромагнитное поле включается посредством функции
Лагранжа [11],
2
гпл/ е / \
^(г^) = —-----еДг) +-(А(г) • у). (13.1)
Электромагнитное поле определяется здесь через потенциалы, скалярный
р, и векторный А. С помощью функции Лагранжа (13.1), канонический
импульс находится как
дО е
р = —-- = + - А. (13.2)
(/V с
Этот импульс теперь не совпадает с кинетическим импульсом
тх = р — - А. (13.3)
с
Лагранжево уравнение движения имеет вид
с/р дС
сП дг
Для г-ой компоненты уравнения (13.3) получаем
(Гц е ЗА, д<р е / ЗА] дА^
61 с 31 дx^ с 3 у дх1 Зх:]
(13.5)
На этом этапе введем электрическое, <?, и магнитное, 23, поля через произ-
водные потенциалов
Д 1 дА
8 = —\7</?------— ,
С 31
В = сиг! А = [V х А].
(13.6)
(13-7)
Последний член в (13.5) содержит е^^В^ [как всегда, подразумевается сум-
мирование по два раза повторяющимся индексам], и уравнение движения
принимает обычный вид с силой Лоренца,
т^- = е8 + -[V х В\. (13.8)
61 с
Как правило, подчёркивается, что уравнение движения содержит только
полей, Г и В, так что потенциалы, и А, можно рассматривать как
вспомогательные величины, которые не являются наблюдаемыми. Это
подчеркивается калибровочной инвариантностью теории: можно перейти
к другому набору потенциалов посредством калибровочного преобразования
1 31
А—>А'= А + Х7/, = р--Д, (13.9)
С 31
где / — произвольная однозначная функция координат и времени. При этом
поля, а следовательно, и уравнения движения, являются инвариантными
8' = - - — = 8, В' = сиг! А' = В. (13.10)
Задача 13.1
Покажите, что статическое однородное магнитное поле В может быть,
в частности, описываться следующим выбором векторного потенциала:
симметричная калибровка,
(а) А = |Дхг], (13.11)
а также калибровками, в которых поле фиксировано вдоль оси г,
(5) А = (-&/, 0,0), (13.12)
или
(в) А = (0,йж,0). (13.13)
Найти калибровочные функции /, которые осуществляют преобразования
между этими вариантами.
Можно определить функцию Гамильтона в соответствии с правилами
классической механики,
Я = (13.14)
с результатом
Я = + = А----------+ (13.15)
2 2т
Выражение функции Гамильтона через кинетического импульса (или ско-
рости) и скалярного потенциала не изменилось в присутствии магнитного
поля, но соотношение между кинетическим импульсом и каноническим
импульсом да.
13.2 Квантовая формулировка и калибровочная
инвариантность
Мы предполагаем, что в гамильтоновой формулировке квантовой меха-
ники мы можем по прежнему использовать уравнение (13.15), в котором
канонический импульс р и радиус-вектор г замещены соответствующими
операторами с нормальным коммутационным соотношением (4.30). Как
всегда, квантовая формулировка является более общей, чем классическая, и
поэтому не может быть получена из последней; рецепт квантования должен
быть проверен экспериментом.
Таким образом, мы начинаем с квантовым гамильтонианом частицы
в произвольном электромагнитном поле,
/ \ 2
( р — (е/с) А(г))
+ еДг).
Н =
(13.16)
Эту процедуру неформально можно назвать «удлинением» импульса,
6 А
р => р - - А.
(13.17)
Этот же принцип минимальности электромагнитного взаимодействия
будет применяться и к системам многих частиц; в присутствии электро-
магнитного поля, каждый оператор импульса в гамильтониане должен
быть изменён в соответствии (13.17) добавлением локального векторного
потенциала. После этого уравнения движения для операторов Гейзенберга
могут быть получены в обычном порядке,
(13.18)
в соответствии с классическим определением (13.3). Поскольку канониче-
ский оператор импульса р не коммутирует с координатами в аргументе
векторного потенциала, компоненты оператора скорости (13.18) не комму-
тируют между собой,
[г^Д] = -
^([р«’Д] + [А,^]).
Этот коммутатор прямо пропорционален магнитному полю,
Л 1 геК (дАд дАЛ гед
~ 2~ ( 75 Л / = 2~
тле \ охг охд ) тле
(13.19)
(13.20)
Две компоненты скорости, поперечные по отношению к направлению маг-
нитного поля, не могут иметь одновременно определенные значения. Это
следствие циклотронного движения частицы вокруг поля, которое изменя-
ет характер траекторий в фазовом пространстве.
Калибровочная инвариантность оказывается даже более важным эле-
ментом в квантовой физике. В релятивистской теории этот принцип на
самом деле определяет весь характер электромагнитных и других взаи-
модействий осуществляемых путем обмена векторными промежуточными
частицами [29]. В нерелятивистской теории это один из руководящих прин-
ципов. Однако ситуация становится более сложной по сравнению с (13.9) и
(13.10). Теперь инвариантность имеет место, если Уравнение Шредингера,
<ЭФ 1 / е ~ \2
гП—= —(р--А) Ф + е^Ф,
о1 2т \ с )
(13.21)
инвариантно относительно преобразования потенциалов (13.9). Но это
невозможно, если мы не изменим вместе с тем волновую функцию Ф => Ф\
Новое уравнение имеет вид
= Л (р - -А - -у/)2 ф/ + (е^ - -/) ф/’ (13-22)
о! 2т \ с с / \ с /
Легко видеть, что уравнение (13.22) эквивалентно предыдущему (13.21),
если волновая функция приобретает дополнительную нетривиальную фазу,
Ф' = Фехр(гд). Тогда
(р - -А - -V/) Ф' = { (р - -А) ф} е*7 - -(Х7/)Фе*7 - /П(^7)Фе'7,
(13.23)
так, что при выборе
р
1=7-?, (13-24)
ПС
дополнительные слагаемые сокращаются и приходим к результату, эквива-
лентному удлинению импульса,
(р- |а') Ф' = {(р- |а) ф}еТ (13.25)
То же самое происходит при многократном использовании удлинения им-
пульса. С выбором (13.24), дополнительные члены в части уравнения
со скалярным потенциалом также сокращаются. Тогда мы можем сократить
ехр(гд) везде и приходим к такому же уравнению как до калибровочного
преобразования. Мы пришли к выводу, что калибровочное преобразова-
ние (13.9) работает и в квантовой теории, если его дополнить преобра-
зованием волновой функции с фазой пропорциональной калибровочной
функции /,
Ф => Ф' = фе(^/М/. (13.26)
Таким образом, калибровочное преобразование превращается в унитарное
преобразование квантовых состояний, которое изменяет локально фазы
волновых функций с учетом изменившихся мерой внешних полей.
Современная релятивистская квантовая теории поля на самом деле сле-
дует обратному направлению аргументации: инвариантность по отношению
к локальным фазовым преобразованиям требует введения векторных ка-
либровочных полей через переопределение кинетических членов (13.17).
Как мы увидим позже, в случае векторного поля калибровочная инвари-
антность имеет место только если кванты поля безмассовые, как в случае
с фотонами.
Задача 13.2
Найдите выражение для тока вероятности в присутствии внешнего элек-
тромагнитного поля и проверьте калибровочную инвариантность уравнении
непрерывности.
Решение Стандартные выкладки приводят к
а=Ь+Т, (13.27)
где зо это старое выражение (7.55) для тока в потенциальном поле, в то
время как новое слагаемое, диамагнитный ток прямо пропорционально
векторному потенциалу и плотности вероятности р = |Ф|2 нахождения
частицы в данной точке,
Т(г) = - —|Ф(г)|2А(г). (13.28)
тс
Используя представление (7.61) для тока зо через фазу волновой функ-
ции, мы видим, что обе р и з инвариантны относительно калибровочных
преобразований, поскольку изменение диамагнитного тока компенсируется
изменением зо из-за изменения фазы (13.26).
Заметим, что поле скоростей, определенное как з/р, больше не является
безвихревым] его завихрение пропорционально магнитному полю,
снг1 — = —— снг1 А = —— В. (13.29)
р тс тс
Теорема Стокса даёт циркуляцию С поля скоростей по замкнутому контуру,
охватывающего силовые линии магнитного поля,
С = / 31 • V = —— / А • Ш = —— / снг1 А • г/8 =
У тс} тс у , }
е Г еФ
= -— / Б •</§ = -—,
тс У тс
где Ф является магнитным потоком через поверхность, опирающуюся на
контур. Этот результат также калибровочно-инвариантен так как гради-
ент однозначной калибровочной функции / не даёт вклада в контурный
интеграл (13.30).
зсгееп
Рис. 13.1. Схематическое изображение эффекта Ааронова-Бома в рассея-
нии вне соленоида с магнитным полем.
13.3 Наблюдаемы ли электромагнитные потенциалы?
Мы уже видели в разделе 5.2, на примере электростатической задачи,
что электромагнитные потенциалы играют различную роль в квантовой
теории по сравнению с их классическими аналогами. Наблюдаемые эффек-
ты потенциалов необходимы для того, чтобы результаты были совместимы
с соотношениями неопределённостей, Задача 5.2. Эти эффекты проявля-
ются через изменение фазы волновой функции, явление неклассического
характера.
Эффекты векторного потенциала можно наблюдать через квантовую
интерференцию в ситуации, когда изменения фазы волновой функции отли-
чаются для различных частей волнового пакета. Одним из наиболее ярких
проявлений этого рода является эффект Ааронова-Бома [60] (на самом деле
предвиденный ранее [61]), что вызвало лавину противоречивых публикаций,
но была полностью подтверждена экспериментом (см. обзорную книгу [62]).
Давайте изменим эксперимент с двумя щелями вставляя в область разде-
ленных пучков длинный, перпендикулярный к плоскости рисунка, соленоид,
рис. 13.1. Аксиальное магнитное поле полностью заключено внутри солено-
ида и имеет полный магнитный поток Ф. Снаружи соленоида поле равно
нулю в области, доступной для частиц. Все классические магнитные эф-
фекты полностью исключены, так как вероятность для частицы пересекать
область с ненулевым магнитным полем равна нулю. Однако внутреннее
магнитное поле создает векторный потенциал А снаружи, даже если там
В = сиг! А = 0. Для любого пути, один раз обходящего соленоид,
У А = Ф. (13.31)
Так как во внешней области векторный потенциал А является безвихревым,
мы можем попытаться представить А как градиент магнитного скалярного
потенциала у,
А = —\7у. (13.32)
Теперь мы можем устранить векторный потенциал (13.32) преобразованием
(13.9) с / = у. Однако при этом появляется дополнительная фаза волно-
вой функции (13.26). По любому пути аЬ, приращение фазы (р волновой
функции равно
ЛаЬР= [ У<^-бД=^- [ Ух-бД = -^- [ А ой. (13.33)
У а ,]а Кс
Это приращение не зависит от выбора пути между точками а и Ъ поскольку
путь не проходит через соленоид с полем внутри. Сравнивая разность фаз
волн проходящих через верхние и нижние прорези, мы находим
= -У ( [ А • ей - / А • ей ) = У / А/2+п • ей = Д (13.34)
Ис \У1 ,/2 / Кс
Эта разность фаз приводит к наблюдаемому сдвигу интерференционной
картины и величина этого сдвига определяется магнитным потоком че-
рез соленоид. Это происходит несмотря на то, что частицы не попадают
в область магнитного поля.
На самом деле мы не устранили векторный потенциал полностью. Маг-
нитный потенциал которого мы ввели в (13.32), в отличие от калибровочной
функции, не однозначная функция, ее прирост подсчитывает сколько раз
наш контур наматывается вокруг соленоида. Математически мы должны
говорить об изменении топологии так как теперь волновые функции опреде-
лены в двусвязной области вне соленоида. Калибровочная инвариантность
по отношению к любой однозначной функции все еще выполняется, так как
такая функция даст исчезающие фазовый сдвиг (13.34). Следует отметить,
что даже в случае соленоида с полем внутри, сдвиг интерференционных
полос может исчезнуть, если магнитный поток принимает такое значение,
что равно нескольким 2тг. Это соответствует магнитному потоку
Ф = пФ0 (13.35)
содержащего в точности целое число п квантов магнитного потока
Фо = = — = 4.14 • ю-7 Гс • см2 = 4.14 • 10-15 Вб (13.36)
в в
(Вебер = Теслах метр2). Таким образом, мы видим, что в квантовой меха-
нике наблюдаемы эффекты электромагнитных потенциалов, а не только
полей, но только через калибровочно-инвариантные характеристики, такие
как фазовые интегралы.
13.4 Уровни Ландау: энергетический спектр
Квантовомеханическая задача движения заряженной частицы в стати-
ческом однородном магнитном поле, впервые решенная Л.Д. Ландау [63],
имеет крайне важное значение для квантовой теории и многочисленных
приложений. Напомним сначала классическое решение.
Направим ось г вдоль магнитного поля, В = Вг. Уравнения движе-
ния (13.8) можно записать в виде
V = [сЗ X V], (13.37)
которое описывает круговое движение частицы в плоскости, перпендику-
лярной к вектору угловой скорости,
ш = —— В, (13.38)
тс
и свободного движения вдоль направления поля, т. е. по оси г в нашей
геометрии. Вращение происходит с циклотронной частотой
м=У (1з-з9)
Интегрируя (13.37) по времени, получаем
V = р х (г - Го)] + (13.40)
где мы предполагаем траекторию с центром в точке го = (жо,т/о) и про-
дольной скоростью го = щ. В координатах это решение имеет вид
ев х еВ / л \
гж = —Д-уД Уу =------------(ж-ж0), щ = г0. (13.41)
тс тс
Чтобы выразить это через канонический импульс (13.2), мы должны вы-
брать калибровку векторного потенциала. Например, при выборе (13.12)
имеем
еВ
тгх = рх Ч--у,
с
шгу=ру, тгг=рг,
(13.42)
или, сравнивая с (13.41),
Рх еВ еВ ру еВ
— + —у =—(у-уоГ — =-----
т тс тс т тс
(13.43)
где фиксированные координаты центра орбиты теперь могут быть связаны
с текущими координатами и компонентами импульса,
СРу Срх
еВ’ У°~ еВ
(13.44)
Следовательно, эти комбинации (13.44) являются интегралами движения
в калибровке (13.12).
Переходя к квантовому описанию, у нас есть гамильтониан который
может быть записан либо в терминах канонического импульса (13.16), либо,
что эквивалентно, через операторы скорости (13.15),
~ 9
- 'ШТ
11 = ------
2
(13.45)
Эта форма позволяет легко определить энергетический спектр. Действи-
тельно, продольная часть,
-2 -2
ти? рг
2 2т ’
(13.46)
сама по себе определяет свободное движение вдоль поля с сохраняющимся
импульсом и это движение имеет непрерывный энергетический спектр,
2
Ег = (13.47)
2т
Поперечная часть,
Я± = уОЧ + ^),
(13.48)
содержит некоммутирующие операторы их и иу: согласно (13.20),
у рЛ)
= (13-49)
Следуя [63], мы можем определить эффективную координату <2 и эффек-
тивный импульс Р,
С = Р = т$у, (13.50)
с каноническим коммутатором
[<Э,Р] = гП. (13.51)
Поперечный гамильтониан тогда сводится к гамильтониану гармонического
осциллятора,
Р2 1
Я± = — + -тД<22, (13.52)
2т 2
с циклотронной частотой (13.39). Энергетический спектр поперечного дви-
жения является дискретным,
Е±(п) = Еос (п + , (13.53)
и эти квантовые состояния называются уровнями Ландау.
13.5 Уровни Ландау: вырождение и волновые функции
Полный спектр, таким образом, определяется двумя квантовыми числа-
ми, дискретным п и непрерывным р~. Но в отсутствие магнитного поля мы
бы имели трехмерный непрерывный спектр свободного движения с тре-
мя константами движения рх,у,%- Это означает, Рис. 13.2, что состояния
свободного движения в поперечной плоскости объединились в группы, соот-
ветствующие дискретным Уровням Ландау. Собственные значения энергии
(13.53) являются на самом деле вырожденными.
Для того, чтобы найти недостающее квантовое число, выберем явно
конкретную калибровку, например (13.12), использованную ранее в клас-
сическом решении (13.42). Как и в (13.44), определим операторы жо и у$,
соответствующие центру орбиты.
/Юс
'' /Юс
й(пс
в=о в*о
Рис. 13.2. Происхождение вырождения уровней Ландау.
Задача 13.3
Докажите, что операторы хо и у о являются квантовыми интегралами
движения (коммутируют с гамильтонианом), но не коммутируют друг
с другом,
БЛо] = ^. (13.54)
х- и //-координаты центра орбиты не могут иметь одновременно опре-
деленные значения. Только в пределе очень сильного магнитного поля
23, неопределённость, связанная с (13.54) ничтожно мала; в классическом
случае это будет соответствовать исчезающему циклотронному радиусу.
В качестве недостающего третьего квантового числа можно взять одну
из координат центра циклотронной орбиты (этот выбор не является един-
ственным, любая комбинация вырожденных состояний, которые принадле-
жат к данному уровню Ландау, снова является возможным стационарным
состоянием). Это хорошо видно при непосредственном решении уравнения
Шредингера для ?/1(ж,//,г) в выбранной калибровке.
Используя гамильтониан (13.16) в магнитном поле (без электростатиче-
ского поля, (/? = 0), уравнение, которое надо решить, имеет вид:
1
2т
2 1
+ Ру +р22 ? = Еф.
(13.55)
В этой калибровке ж-координата циклическая, и сопряженный импульс рх
сохраняется. Разделение х и г переменных приводит к волновой функции
в виде произведения
= е(г/й)(Рг2+р^(у),
(13.56)
Рис. 13.3. Соответствие между //-положением центра орбиты и ж-импуль-
сом (при условии е < 0).
где теперь р~ и рх — собственные значения соответствующих сохраняющих
операторов, а д(у) есть собственная функция гармонического осциллятора.
Мы видим, что в этой калибровке роль отсутствующего квантового числа
играет или //-координата центра орбиты,
Уъ = -
срх
(13.57)
Функция д(у) удовлетворяет уравнению
11
—Ру + -тДу - уД д(у) = ( Е - ) д(у). (13.58)
2т у 2 I \ 2т /
Подтверждаются спектр гармонического осциллятора с циклотронной ча-
стотой и интерпретация //о, ур. (13.57), как //-координаты центра орбиты,
9п(УД Дагт'О8С- (у- у0).
(13.59)
Размер орбиты в //-направлении есть
3- 1(Г4ст/Д^.
(13.60)
Решение в выбранной калибровке соответствует фиксированному //о и
равномерному движению (плоская волна) в ж-направлении. Поскольку им-
пульс рх и //о координата взаимосвязаны через уравнение (13.57), получаем
Рис. 13.3 как описание общего циклотронного вращения. Наконец у нас есть
три квантовые числа и энергетический спектр, который зависит от двух
из них и не зависит от или //о,
Е(п,рх,р^ = 1шс
2
р
2т
Чтобы оценить степень вырождения уровней Ландау, предположим, как
в разделе 3.8, что частица находится в большом ящике с размерами Ьх,у,2>
которые гораздо больше, чем размер орбиты (13.60). Число различных
квантованных значений рх в интервале Држ равно Ъх8±рх/(2лК). Однако
полный интервал возможных значений рх ограничен требованием, чтобы
координата у$ лежала внутри ящика, 0 < уо < Ьу. Согласно (13.57), это
означает 0 < |(срж)/(е/3)| < Ьу, т. е. интервал Држ допустимых значений
квантового числа рх составляет \е\ВЬу/с, а число возможных квантованных
значений рх может быть оценена как
и =Ь^\е\ВЬ,
-у _ \е\В8
(13.62)
с 2лКс ’
где 8 = ГхГу — площадь поперечного движения. Принимая также во вни-
мание интервал Дщ продольного импульса, что квантуется с объемом
фазового пространства Ъг/^рг/(2лК) на одно квантовое состояние, мы на-
ходим общее число вырожденных состояний в объеме У, соответствующих
данному уровню Ландау и интервалу Дщ (результат один и тот же для лю-
бого уровня п),
(ш;з>
Вырождение растет линейно с величиной магнитного поля. Следует отме-
тить, что квантование поперечного движения (13.62) соответствует полному
магнитному потоку через площадь, равному
Ф = 85 = Ж ВВ = уу±Ф0, (13.64)
|е|
каждое состояние поперечного движения покрывает область, которая про-
низана одним квантом (13.36) магнитного потока. Приведенная выше оцен-
ка хороша для достаточно большого объема У, когда можно пренебречь
вкладами от сравнительно небольшого числа траекторий, которые дости-
гают границы или локализованы вблизи поверхности; однако подобные
поверхностные состояния представляют особый интерес в некоторых при-
ложениях.
Задача 13.4
Заряженная частица движется в присутствии статического однородного
магнитного поля В = В2 и статического однородного электрического поля
8 = 8Х. Найти энергетический спектр и стационарные волновые функций
частицы.
Решение Удобным выбором калибровки в этой геометрии является (13.13).
Гамильтониан частицы принимает вид
н = У (р - |а)2-е(г.г) = ’ДЙ + (13.65)
В этой калибровке гамильтониан не содержит у- и г-координаты, поэтому
зависимость от этих координат может быть факторизована в виде плоских
волн
Дж, у, г) =
(13.66)
где и ру являются собственными значениями соответствующих компонент
импульса, Рх и ру. Вводя ж-координату центра ларморовской окружности,
сру
х° = Рв’
(13.67)
и циклотронную частоту (13.39), перепишем уравнение Шредингера в виде
-2-| > ( 2
Д + 2 тш^х ~ жо)2 - еЕх д(х) = \е~^~
дД-
(13.68)
Новый центр орбиты смещается под действием электрического поля,
е<? тс2 8 ,
X = ж0 Ч----У = ЖО Ч-----ту. (13.69)
ггш~ е о2
Мы приходим к уравнению гармонического осциллятора
(13.70)
Таким образом, полный набор собственных функций такой же, как для гар-
монического осциллятора в ж-направ лении с центром в точке х = х, на ко-
тором накладывается свободное движение вдоль осей г и у ,
7/, _ ЛЛ)(РуУ+Рг2) / Ьагт.оес.
УпруРх — <Рп
(13.71)
Для функции (13.71), собственное значение энергии равно
Е(п,ру,рР = Пы,
-|\ 9 9 / г» \ 2
1 \ тс Ь \
Рис. 13.4. Геометрия эффекта Холла.
В отличие от случая чистого магнитного поля, Г = 0, здесь нет вырож-
дения по Ру. Действительно, это число определяет ж-координату центра
орбит (13.67) и различные значения жо дают разные величины электроста-
тической энергии в электрическом поле. Как видно из уравнения (13.71),
типичный размер квантовых флуктуаций вокруг классической орбиты
радиуса хо задаётся условием ~ 1, т. е. Ах ~ ^Кс!еВ^ что может быть
подавлено увеличением магнитного поля.
Наше нерелятивистское рассмотрение справедливо, только если Г В.
13.6 Квантовый эффект Холла
Когда, в проводниках или полупроводниках с подвижными носителями
заряда, магнитное поле искривляет траекторию носителей, линейный ток
приобретает поперечную компоненту, которая не может, однако, пересечь
границу образца. Это приводит к накоплению заряда на границе, пока
развивающиеся дополнительное напряжение (напряжение Холла Ун) не
обнулит поперечный ток.
Обычный закон Ома, т. е. пропорциональность з = а Г стационарного
тока приложенному электрическому полю, где а есть проводимость образца,
модифицируется в присутствии магнитного поля В. Для среды, которая
была бы изотропной без магнитного поля, полярный вектор тока может
быть сконструирован с использованием полярного вектора Г и аксиального
вектора В следующим образом
где появляется другая феноменологическая константа, сгт, связанная с маг-
нитным сопротивлением. Магнитное поле привносит эффективную анизо-
тропию — электрическое поле, с помощью силы Лоренца и результирующе-
го искривления траектории частиц, индуцирует ток в перпендикулярном
направлении.
Задача 13.5
Чему равны параметры а и ат в классической модели, где величина
стационарного тока определяется силой трения (столкновениями в среде),
пропорциональной скорости частицы.
Решение Уравнение движения заряда с массой т имеет вид
ту + 7У = - [у х В], (13.74)
с
где у = т/т есть коэффициент трения, а т является средним временем
свободного пробега (обратная частота столкновений). Составляющая тока
вдоль магнитного поля ф = пещ, где п— концентрация носителей, не
зависит от магнитного поля,
пе^т
Ф — — — ^о- (13.75)
т
Для «вращательных» компонент векторов в ж?/-плоскости, и^_ = их + гиу,
напомним ур. (11.94), находим с помощью циклотронной частоты лс =
= е$1п1с
пе2 с С /19
ы = пег+ = ---------<5+ = --------<5+. (13.76)
7 — гта)с 1 — шст
Разделяя х- и ^-компоненты, получаем двумерный тензор поперечной
проводимости
^0
1 + (шст)2
-шст
1
(13.77)
Симметрия этого тензора как функции магнитного поля, с^Д/З) = сгдД—23),
связана с тем, что при обращении времени магнитное поле меняет знак, а
кинетические коэффициенты симметричны (принцип Опзагера [64]). Опре-
деление (13.73) даёт
В реалистичном случае, когда проводник есть часть электрического
контура и постоянный ток течет вдоль оси ж,
ду ~ 0
» °уХ с, с,
-у =-------&х = —
ауу
(13.79)
Это компенсирующее поле Холла, перпендикулярное к ведущему полю
Ех и магнитному полю, связано с зарядами, накопленными на ^/-границе
образца вследствие искривляющего действия магнитного поля, Рис. 13.4.
В этих условиях основной ток может быть записан в пропорциональной
полю Холла форме,
К —
^0
1 + (шст)2
(13.80)
Эффект Холла количественно обычно выражается в терминах постоянной
Холла К и- которая появляется из определений его, УР- (13.75), и
= = (13.81)
15 1ХН15
Эффективная скорость переноса в ж-направлении есть классическая ско-
рость дрейфа,
какой она была бы [11] в скрещенных электрическом, 8У, и магнитном,
Вг, полях. Прямое измерение постоянной Холла Кн = ^у/^Зх позволяет
определить концентрацию носителей заряда и их знак (электроны или
дырки). Так как нормальная проводимость сто может быть измерена неза-
висимо, знание концентрации п также предоставляет информацию о т/т,
где т может быть эффективной массой. Конечно, эта модель, в которой
все электроны имеют одинаковую скорость, эффективную массу и частоту
столкновений, является сильно упрощенной.
Новые квантовые эффекты были обнаружены при очень низких темпера-
турах, Т 1 К и в сильных магнитных полях, В ~ 10 Тл. В таких условиях,
кванты циклотронной частоты имеют энергию порядка йьус ~ 10-3 эВ Т,
так что тепловое движение не размазывает дискретную структуру уровней
Ландау. Квантовый эффект Холла можно наблюдать в так называемом
инверсном слое на границе раздела двух полупроводников, таких как СаАз
и А1жСа1-жАз, где можно достичь высокой чистоты и низкой частоты
столкновений, шст 1.
Рис. 13.5. Пример наблюдения квантового эффекта Холла [65].
В терминах геометрических характеристик Рис. 13.4,
п=—, 8 = Ы, I — дхаЬ, Ун^Ъ8у,
8а
(13.83)
где 8 — площадь поверхности образца, перпендикулярная магнитному
полю, тока Холла принимает форму
1=--Ун.
8 В н
(13.84)
проводимость Холла является величиной, обратной сопротивлению
I _ ТУес
~ Ун ~ 8В '
(13.85)
Экспериментаторы обычно приводят график зависимости ЛС/е2, где Н
является постоянной Планка, от величины
V — ---.
8еВ
(13.86)
В соответствии с формулой (13.85), ожидается, что эти величины должны
быть равны друг-другу. Вместо этого, наблюдаются ступеньки, Рис. 13.5,
при целых значениях параметра п — целочисленный квантовый эффект
Холла [66].
Целочисленные значения и соответствуют точному заполнению у уров-
ней Ландау. Действительно, из (13.62) следует, что
(13.87)
При таких значениях магнитного поля, проводимость (13.85) квантуется
в единицах е2/Д так как
е2
а = »—, (13.88)
п
независимо от геометрии. Этот метод обеспечивает одно из наиболее пре-
цизионных измерений данной комбинации фундаментальных констант.
При точном целочисленном заполнении (13.87), продольное сопротив-
ление исчезает, так как тогда всегда можно построить, без каких-либо
затрат энергии, делокализованную линейную комбинацию вырожденных
заполненных уровней Ландау, которая соответствовала бы плоской волне
в ж-направлении. В некотором смысле, это пример сверхпроводимости.
Продольное сопротивление заметно лишь при значениях магнитного поля
в промежуточном режиме, между факторами заполнения г и г + 1. Более
сложные явления, которые связаны с эффектами кулоновского взаимодей-
ствия между электронами наблюдается [67] при малых дробных значениях
фактора заполнения г. Эти эффекты связаны с пространственной струк-
турой локализованных волновых функций, соответствующих замкнутым
орбитам электрона которые отталкиваются друг от друга [68].
13.7 Произвольный закон дисперсии
С квазиклассическими аргументами, мы можем расширить наше рассмот-
рение на более реалистичные ситуаций, особенно в физике твердого тела,
когда частицы, или любые объекты с общим названием квазичастицы,
могут быть описаны с помощью закона дисперсии [зависимость их энергии
В(р) от импульса, или квазиимпульса в кристалле, раздел 8.7], что может
отличаться от р2/2т.
Начнем снова с классического движение квазичастицы в статическом
однородном магнитном поле В. Для вывода уравнений движения, будем
рассматривать Е(р) как функцию Гамильтона и включим магнитное поле
минимальным образом через подстановку (13.17), так что
Я = Др - (е/с)А).
(13.89)
Аргумент Е можно назвать кинетическим импульсом, в результате нахо-
дим уравнение Гамильтона
дг дН дЕ
61 <9р сфкт
(13.90)
Для канонического импульса р получаем
Лг
(11
ЭН
дЕ / е\ дАд
др^п V с) ~дх^
(13.91)
или, используя (13.90),
&Рг
(11
= -^хВ]г + -
с с
дАг
дХ4
(13.92)
В терминах кинетического импульса, мы приходим к
с/рк с/р е дА е
—7— = —;--д— = - V х В\
(11 (11 С ОХд С
(13.93)
Таким образом, сила Лоренца имеет свою обычную форму и только связь
между скоростью V и кинетическим импульсом (13.90) является, в общем
случае, более сложной, чем в уравнении (13.3).
Конечно, энергия по-прежнему сохраняется,
НЕ _ дЕ </рк1п
Н1 5ркш Н1
(13.94)
так как сила Лоренца перпендикулярна скорости. Вторим интегралом дви-
жения, как и ранее, является проекция ркш на направление магнитного
поля. Мы видим, что движение в пространстве импульсов идет по траекто-
рии, которая лежит на пересечении поверхности энергии Т?(ркт) = сопэ!
с плоскостью (ркы • В) = СОП81. Уравнение (13.93) также показывает, что
небольшие поперечные смещения в импульсе и координате взаимосвязаны
следующим образом
с/ркт = - [Нг х й], (13.95)
с
Подобные друг другу, они отличаются друг от друга вращением на угол
тг/2 в поперечной плоскости и на масштабный коэффициент еВ/с.
В отличие от обычного случая с изотропным спектром Е = р2/2т,
траектория частицы с произвольным законом дисперсии не обязательно
замкнута. Тем не менее, по замкнутым орбитам движение периодическое, и
мы можем вычислить его частоту, аналог (13.39). Рассмотрим поперечную
плоскость (ху) в пространстве импульсов и две соседние замкнутые орбиты
в этой плоскости, Рис. 13.6. Орбиты являются следами поверхности энер-
гии для энергий Е и Е + НЕ. Для тангенциальной компоненты импульса
Е+аь
Рис. 13.6. Определение циклотронной частоты
для замкнутых траекторий с произвольным зако-
ном дисперсии.
в плоскости, рц, получаем из (13.93) (здесь мы имеем дело исключительно
с ркт и, следовательно, можно опустить индекс «кт»)
= (13.96)
а! с с ар±
где и г_\_ являются, соответственно, компонентами импульса и скорости,
перпендикулярными к траектории в плоскости (ху). Из уравнения (13.96)
находим:
^_(1р\\(1р± с
НЕ еВ'
так что период движения задаётся формулой
т_ с / с1р\\с1р± _ с Н8^
= ёВ ёЁ = ёЁ НЕ ’
(13.97)
(13.98)
где Н8^ является площадью кольца в импульсном пространстве меж-
ду двумя орбитами, разделенными энергией НЕ. Таким образом, частота
обращения по замкнутой орбите,
2л 2тгеВ
(13.99)
пропорциональна полю В и выражается через характеристики энергети-
ческого спектра. В случае Е = р2/2т, орбиты являются окружностями
с площадью
/ 2
^(р) _ ^.^2 _ 2\ _ 27гт ( Е —
\ 2т
тогда Л8^/ЛЕ = 2тгт, и частота (13.99) совпадает с обычным выражени-
ем (13.39).
В соответствующей квантовой задаче мы не можем прийти к точному ре-
шению для произвольного закона дисперсии. Но мы можем получить общий
рецепт полуклассического квантования. Аналогично уравнению (13.20),
находим коммутатор операторов компонент кинетического импульса,
[Рг ->Р]\ — ^гд к •
(13.101)
Принимая Е(р) в качестве квантового гамильтониана Н для частицы в маг-
нитном поле, мы получаем с помощью (13.101), следующие операторные
уравнения движения
_ Лг Г/ч Ч1 , ЗЕ
гГ,~Ц = г’^(р = гК
а1 др
(13.102)
= [Рг, Я(р)] = \рг,Рд] //1 = — СгДДк- (13.103)
Л1 Орд С
Эти уравнения совпадают по форме с классическими уравнениями (13.92)
и (13.93) и, следовательно, обладают теми же константами движения Е и
(р-Д.
Для поперечных компонент кинетического импульса, коммутатор (13.101)
даёт:
[Рх,Ру]^гЕв. (13.104)
Переменными Ландау (13.50) в этом случае являются
С = Р = Ру, (13.105)
с каноническим коммутатором (13.51). Теперь мы можем применить по-
луклассическое правило квантования Бора-Зоммерфельда (1.17) для пери-
одического движения по замкнутой орбите в поперечной плоскости. Это
приводит к выбору стационарных квантовых состояний в виде
РЛ^ = 2тгП(п + 7), (13.106)
где п — целое число, а у— фаза, которая, как правило, равна 1/2, как и
в случае гармонического осциллятора, и определяется точными граничными
условиями, см. главу 15. Точное значение у не имеет значения для наших
целей. В импульсных переменных, условие квантования (13.106) имеет вид
еВ
Ру Лрх = 27Г^ (п + у).
(13.107)
Но левая сторона уравнения (13.107) есть не что иное как площадь им-
пульсного пространства, 8^р\ заключенный внутри классической орбиты
с данной энергией. В наших классических решениях, уравнения (13.95)—
(13.100), мы встретились именно с этой величиной. Следует вывод, что
для произвольного закона дисперсии, характерной является квантование
площади замкнутой орбиты в пространстве импульсов,
8^ = 2тгН — (п + у).
с
(13.108)
Для е = р2/2т и у = 1/2, это совпадает с результатом Ландау (13.53).
Как следствие пропорциональности (13.95) между орбитами в импульс-
ном и координатном пространствах, площадь 8^ замкнутой траектории
в пространстве координат оказывается также квантованной,
5И = Г Лп + 7).
еВ
(13.109)
Как и ранее, уравнение (13.64), магнитный поток Ф = / <78^ • В возрастает
при переходе с одной соседней замкнутой орбиты на другой на один квант
потока,
А
ДФ = В——
ап
-----= Фо-
е
(13.110)
Задача 13.6
Показать, что степень вырождения квантованной орбиты определяется
формулой (13.63) независимо от закона дисперсии.
Решение Число состояний на одну орбиту Ландау и интервал Дщ про-
дольного импульса равно
ДА =
с1п (2тг/г)3
(13.111)
13.8 Симметричная калибровка
Среди различных возможных вариантов для векторного потенциала
статического однородного магнитного поля, выделяется симметричный
выбор (13.11), поскольку он не разрушает симметрию задачи. При таком
выборе, осевая симметрия магнитного поля относительно оси г сохраняется,
и орбитальный момент С является интегралом движения.
Как всегда в задачах с угловым моментом, удобно ввести повышаю-
щие и понижающие комбинации векторов (13.76). В данном случае мы
будем использовать эти комбинации для радиус-вектора г и для вектора
канонического импульса (т. е. для р, а не для кинетического импульса
ту)),
х± = X ± гу, р±=рх± гру.
(13.112)
Тогда компонента орбитального момента вдоль оси симметрии поля выра-
жается как
Л 1 /
С = т(хрУ - УРх) = 7^^+Р- - Х-Р+)-
п
(13.113)
Задача 13.7
а) Показать, что операторы
Хе = ± —Р±, Р±=Р±±гХ^х± (13.114)
2 тпшс 2
разделяются на пары с коммутаторами
[Х+Д_] = —, [Р_,Р+] = 2Нтшс, (13.115)
тшс
и что операторы Х± коммутируют с операторами Р±.
б) Предположим для определенности, что заряд е < 0, и шс = —еВ1тс.
Показать, что
/ 1
V 2Ктшс
\1^—р+
у 2 Лита)
(13.116)
(13.117)
являются двумя парами независимых операторов рождения и уничто-
жения с алгеброй (11.85) для каждой пары. (В случае е > 0, нужно
поменять местами Р_ и Р+, а также Х_ и Х^.)
в) Доказать, что операторы (13.116) и (13.117) диагонализируют одновре-
менно и гамильтониан поперечного движения (13.48) и орбитальный
момент (13.113),
Н± =
(13.118)
= о^а — Ь^Ь.
(13.119)
Стационарные уровни Ландау характеризуются здесь двумя квантовыми
числами осциллятора па и тц, так что энергетический спектр принимает
вид Еп = /кас(п+1/2), п = па, и орбитальный момент = п — щ маркирует
вырожденные по энергии состояния. Квантовое число И принимает
целые значения от7=—осдо7 = п.
Задача 13.8
Решить уравнение Шредингера и найти координатные волновые функ-
ции стационарных состояний с использованием симметричной калибров-
ки (13.11).
13.9 Когерентные состояния в магнитном поле
После того, как проблема движения в магнитном поле была сведена к си-
стеме двух независимых гармонических осцилляторов, можно построить
когерентные состояния с использованием стандартного метода гл. 12 [69].
Собственные состояния |се,/3) двух коммутирующих операторов уничтоже-
ния а и Ь могут быть помечены двумя соответствующими комплексными
квантовыми числами а и /3. Удобно, чтобы обе они имели размерность
длины таким образом, что
Х+|а,/3) = /3|се, /3), Р_\с^/3) = — гК -^-|сц /3). (13.120)
лл
Здесь К = у/Н/тшс — радиус самой нижней орбиты Ландау (13.60).
Используя определения (13.116) и (13.117) для осцилляторных операторов
а и 6, порождающих когерентные состояния (13.120), мы находим, как и
в Задаче 12.1, разложение когерентных состояний в терминах уровней
Ландау в симметричной калибровке:
оо п
КЯ = Е Е СПДД\ПД. (13.121)
п=0 ^=—с>е
Коэффициенты разложения можно легко найти, сравните с (12.7), и они
имеют вид
Спе(а,/3) = е-(№+1/312)/4д2-(,~га)пЛ 1 (13.122)
К 7 (2Д2Щ«/2х/п!(п-^)!
Аналогично (11.132), выразим когерентные состояния в терминах лестницы,
построенной на базе основного состояния |0; 0) = \п = 0,^ = 0),
|«, /3) = е-(1«12 + 1^12)/4^ е(-га/2й)Р++(Д/2^)Х_ |0; 0) (13,123)
Несколько следующих задач устанавливают основные свойства когерентных
состояний в магнитном поле, показывая их близкое родство с классическим
случаем.
Задача 13.9
Найти временную эволюцию когерентного состояния |се,/3).
Решение Состояние остается когерентной, по аналогии с (12.38),
|ФД) = е~гМ2^\а, 13е~ш^. (13.124)
Комплексная величина /3 равномерно вращается с циклотронной частотой,
в то время как а остается фиксированной (аналог циклотронного вращения
с определенной орбитальной скоростью вокруг данного центра).
Задача 13.10
Найти средние значения координат х.у и компонент импульса рх,ру
частицы в когерентном состоянии |се,/3).
Решение Результат соответствует картине, в которой а имеет смысл
неподвижного центра траектории в фазовом пространстве в то время
как /3 представляет собой бегущую переменную циклотронной орбиты
(гД)) = Ке(а + /3е_йф, (уД) = 1т(а -/Зе““ф, (13.125)
ьД + Зе-Д. (р„Щ) = . (13.126)
Задача 13.11
Найти координатную волновую функцию когерентного состояния.
Решение Результатом является гауссовый волновой пакет в переменных
ж±, смещенный в комплексной плоскости,
(ж,у|аД = 1 ^-(1/4Я2)[(х+-2/3)(Ж—2а)+|а|2+|/3|2-2аД (13.127)
V 2тгК2
Для центрального состояния, а = /3 = 0, которая является в то же время
и основным состоянием п = И = 0, имеем простой двумерный гауссовый
волновой пакет,
(ж,у|0,0) = Тд2 е-(^+^2)/4Н2. (13.128)
Задача 13.12
Доказать, что когерентные состояния минимизируют соотношение неопре-
делённостей для обеих переменных, х и у,
(Аж) • (АЩ = (Ду) • ДРу) =
(13.129)
Задача 13.13
Показать, что разложением единицы, аналогичной (11.33), здесь является
соотношение
= (13-130)
Дальнейшее чтение: [60-62,65,70-73].
Столетие спустя после открытия Планка
стало совершенно ясно, что квантовая
теория лежит в основе понимания
естественных явлений как на микро-, так и
на макроскопических масштабах.
Дж. Сьюэлл, Квантовая механика и
зарождение макрофизики
Глава 14
Макроскопическая квантовая когерентность
14.1 Идея макроскопической когерентности
В системе многих тел, волновая функция в координатном представлении
зависит от всех координат частиц га, а = 1,...,А. Гамильтониан взаи-
модействующих нерелятивистских частиц с массами та и зарядами еа
во внешнем электромагнитном поле, которое определяется электромагнит-
ными потенциалами сд и А, можно записать в виде
Ра - (еа/с)А(гаЙ 1 Л
-------X- + 12 + - 12 (14-1)
^4 I I--------------------------------------------^4
а а а^Ь
где иаъ описывают парные взаимодействия частиц. Тем не менее, при неко-
торых обстоятельствах, можно описать определенный класс явлений пола-
гая, что вся макроскопическая система находится во вполне определенном
квантовом состоянии. Это происходит, когда система обладает дальним
порядком [74], и важными примерами являются сверхтекучесть и сверх-
проводимость.
В макроскопической системе можно рассмотреть физически малый эле-
мент объема ДТ, который в среднем содержит большое количество частиц
А 1. Будем ограничиваться рассмотрением тех явлений, когда для всех
процессов на макроскопических масштабах характерно плавное измене-
ние в пространстве и времени. Тогда размер элемента объема, даже для
ТУ 1, все еще может быть мал по сравнению с масштабом заметного
изменения макроскопических величин. Поэтому для макроскопических
процессов весь элемент можно характеризовать центроидом координаты
К и общим моментом времени а последствиями запаздывания и разно-
сти фаз между разными частями одного и того же элемента пренебречь.
Это описание является неполным и может применяться для сглаживания
гидродинамических процессов; возбуждения одного или небольшого числа
частиц в объёме элемента не могут быть описаны таким образом.
До этого момента мы использовали квазиклассические понятия и не
вводили квантовую когерентность. Переходя к квантовой механике, мы мо-
жем попытаться определить вектор макроскопического состояния |Ф(Н,<
в котором вместо отдельных координат используется только их цент-
роид К. Число частиц в объеме ДУ не является точно фиксированным,
оно колеблется вокруг среднего значения А за счет обмена с соседними
элементами объема. Однако, при достаточно большом Д У, поверхностные
эффекты играют второстепенную роль по сравнению с объемными. Тогда
флуктуации ДД из-за потока частиц через поверхность относительно неве-
лики, и можно считать 1 ДД Д. Хотя вектор состояния |Ф) является
суперпозиция состояний |Д) с различными числами частиц, относительный
разброс все еще мал, ДД/Д 1. Эта ситуация уже обсуждалась в разде-
ле 12.6 и было показано, что адекватное описание даётся через когерентное
состояние, которое может быть суперпозицией состояний с различными
числами квантов, но с небольшим относительным разбросом.
Кроме того, и это главное, что отличает обычную гидродинамическую
ситуацию от макроскопической квантовой когерентности, усреднение неко-
торых величин по объему, размер которого гораздо больше, чем расстояния
между частицами, должно дать ненулевой результат. Для того, чтобы
формализовать эту идею, введем операторы и а создания и уничтожения
частиц аналогично тому, как это делали для квантов гармонического ос-
циллятора. Детали формализма будут обсуждаться гораздо позже (гл. 41),
но здесь мы будем просто считать, что такие операторы существуют для
любой точки г и оператор полного числа частиц внутри АV определяется
интегралом от оператора плотности, сравните с (11.110),
п(г) = й^(г)й(г), (14.2)
по этому объему,
Д= I Ай(г). (14.3)
Если состояние |Ф) подобно когерентному состоянию, то среднее значение
(Ф|й(г)|Ф) должно существовать, как для исходного когерентного состоя-
ния (12.4). Но нас интересует только свойство макроскопической когерент-
ности, когда это среднее значение не исчезает при усреднении по объёму
элемента. Такую дважды усреднённую величину можно назвать макроско-
пической волновой функцией.
14.2 Макроскопическая волновая функция [75,76]
Эта функция,
с?3/-<Ф|й(г)|Ф>, (14.4)
Удк(н)
зависит от координаты К центра объема и от времени. Среднее по объёму
стремиться к нулю для нормальной системы, как только размер объема пре-
вышает межчастичное расстояние. Среднее значение не стремиться к нулю,
если система является сверхтекучей (сверхпроводящей), когда квантовые
корреляции внутри объема синхронизируют движения отдельных частиц.
Как объясняется выше, вектор состояния является суперпозицией
|Ф) = У2^|^ (14.5)
д
состояний с определенным числом частиц. Поскольку оператор аннигиля-
ции переводит в - 1, среднее значение (14.4) есть
(14.6)
Внутренняя когерентность может существовать, если фазы амплитуд См
являются не случайными. Давайте наложим фазовую синхронизацию
Ш (14.7)
как в обычном когерентном состоянии, раздел 12.1. Здесь весовые множите-
ли рм имеют значительные значения только внутри типичного флуктуаци-
онного интервала ДД Д Д и эти значения почти не меняются в пределах
этого интервала. В таком случае
Ф(КД) = (&ИД (14.8)
где матричный элемент (Д — 1|й(г)|Д) дополнительно усредняется по вол-
новому пакету с вероятностями у/рм-^рм ~ рди но положениям радиус-
вектора г внутри ДУ.
Согласно определениям (14.2) и (14.3), максимально возможное значение
(а(г)), равное Дп = (Д/ДУ)1/2, может быть достигнуто в пространствен-
но однородном случае, когда все частицы находятся в одном квантовом
состоянии (конденсат Б оз е-Эйнштейна). В нормальной (несверхтекучей)
системе, усредненный матричный элемент мал, но в сверхтекучих системах,
таких как жидкий гелий-4, дальний порядок приводит к
(14.9)
где п3 является сверхтекучей плотностью [75] и Ы3 есть макроскопическое
число, того же порядка, что и общее среднее число частиц ЛЕ На самом
деле, это может служить определением недиагонального дальнего порядка.
Аналогичная ситуация имеет место в сверхпроводниках, где роль частиц
играют коррелированные электронные пары, гл. 46. Вводя сверхтекучую
плотность, запишем макроскопическую волновую функцию (14.6) в ви-
де, подобной гидродинамической форме (7.60) одночастичного уравнения
Шредингера,
ЦП,*) = Уп8(Н,*) емкД
(14.10)
т. е. в терминах двух вещественных функций, плотности п5(НД) и фазы
(/?(К, 1).
14.3 Гидродинамическое описание
Ситуация со многими частицами и плавно меняющимися макроскопиче-
скими свойствами есть квазиклассическая ситуация. Мы можем применить
полуклассическую динамику (12.62)—(12.64), сформулированную исключи-
тельно в терминах числа частиц и фазы волновой функции. Если Е = (Н)
является средней энергией элемента объема, его изменение после добавле-
ния дополнительной частицы есть химический потенциал,
дЕ
~дЙ ~
(14.И)
Динамические уравнения для когерентного состояния были выведены в За-
даче 12.9, без прямой ссылки на конкретный вид гамильтониана. Поэтому
фаза т?(Н, 1) меняется во времени в соответствии с
_ дЕ
^ = -д^=
(14.12)
Это рассмотрение можно также распространить на случай теплового рав-
новесия с ненулевой температурой, когда дЕ/дЕ должно быть изменено
на дЕ/дЕ, где Е является свободной энергией', в этом случае фаза макроско-
пической волновой функции становится термодинамической переменной.
Полному равновесию соответствует д = сопз!, когда фаза не зависит от ко-
ординаты и волновая функция (14.10) гармонично осциллирует во всем
пространстве с частотой д/К. Это справедливо даже в присутствии внешних
полей, когда обе величины Е и д содержат дополнительные вклады, но
равновесие по-прежнему соответствует постоянному химическому потенци-
алу. Распространяя рассмотрение на случай локального равновесия, когда
макроскопические величины плавно меняются в пространстве и времени и
д = ц(К,/;), получим из уравнения (14.12)
= С (14.13)
градиент химического потенциала определяет переменную силу Г, действу-
ющую на частицу. Сила обращается в нуль в условиях равновесия.
Теперь фаза макроскопической волновой функции становится механи-
ческой переменной. Наличие силы должно привести к изменению (1р8/(И
среднего локального импульса сверхтекучего движения на одну части-
цу, Р« = Т'ялч?. Это приводит к идентификацию сверхтекучей скорости V5
с градиентом фазы,
V 5 = —— (14.14)
т
Как мы помним из раздела 7.3, это согласуется с микроскопическим опре-
делением квантовой плотности тока. Обобщая это определение на макро-
скопическую волновую функцию (14.10), можем написать
а = — (ф*УФ - ФУф4 = п3 — = п3ч3. (14.15)
2тг \ 1т
Здесь мы говорим о сверхтекучем движении только, которое может быть
описано фазовой динамикой (14.13) без элементарных возбуждений. По-
следнее заимствовало бы энергию из сверхтекучего потока, что привело бы
к трению и тепловыделению. Если такое нормальное движение присутству-
ет наряду с сверхтекучим, нужно добавить соответствующий нормальный
ток.
Уравнение (14.14) можно применять, когда сверхтекучее движение яв-
ляется поступательным, по крайней мере локально. Если элемент объема
движется как целое с полным импульсом Р = ^р, микроскопическая
волновая функция Фо(г1, ...,Щу) принимает вид Ф = Фо ехр[(г//1)(Р • К)],
где К = является радиус-вектором центра масс. В этом
случае изменение полной микроскопической фазы даётся формулой =
= (ту8/К) га, т. е. для всех частиц а, д5р/дта = ту8/^ в соответствии
с (14.14). Эти аргументы являются недействительными, если движение име-
ет вихревой характер. Но тогда уравнение (14.14) в любом случае неверно,
поскольку она предсказывает безвихревое движение,
сиг^5 = 0. (14.16)
Возможна более общая формулировка квантовой гидродинамики [75], в ко-
торой операторы разных компонент вектора скорости V(К,) не комму-
тируют. Присутствие сш1м работает подобно магнитному полю, уравне-
ние (13.20).
Задача 14.1
а) Определим микроскопические операторы плотности и тока для системы
многих тел из тождественных частиц, как
п(Н) = У2<Да-Н), (14.17)
а
И
1(Н) = ё? Е[Р«Л(га - Н)]+, (14.18)
2т
а
соответственно [уравнение (14.18) содержит антикоммутатор (6.68), необ-
ходимый, чтобы сделать ток эрмитовым]. Тривиальным образом, опера-
торы плотности (14.17) для различных точек коммутируют. Выведите
коммутационные соотношения
У(Н), п(В/)] = -гПп(В^нЭ(К - К'). (14.19)
б) Микроскопическое поле скоростей может быть определено следующим
образом (в точках, где плотность п отлична от нуля)
да>Ч[Д)'И+- <14-2о>
Выведите коммутационные соотношения
[у(К),в(Н')] = -г — <5(Н - В'), (14.21)
[г)г(В),^(В')] = -Ле^к - (сигК(В))/г5(В - В').
(14.22)
Обратите внимание на следствие уравнения (14.21): оператор плотности
коммутирует с ротором скорости,
[п(Вф сиг! У(В/)] = 0. (14.23)
Отсюда следует, что существует класс безвихревых состояний, где сиг! V = 0,
компоненты скорости коммутируют, уравнение (14.14) определяет оператор
фазы р (с точностью до аддитивной константы), и потенциал скоростей
= (К/т)р и плотность являются канонически сопряженными величинами,
[С(В), п(В/)] = -гП5(В - В'), Л>(В) = VС(К). (14.24)
14.4 Динамика макроскопического когерентного состояния
Величина сверхтекучей скорости или плотности тока определяется кано-
ническим уравнением (12.63), который показывает изменение во времени
среднего числа частиц в элементе объема,
В равновесии фаза является постоянной величиной, и энергия не зависит
от конкретного значения фазы. Тогда ток отсутствует.
Рассмотрим два элемента объема ДУ1 и Дв когерентных состояниях
с различными фазами (/д и </?2- Если элементы объема взаимодействуют
(имеют общую границу или расположены достаточно близко, так что их
микроскопические волновые функции перекрываются), полная энергия
зависит от разности фаз р = р± — (/д- Эта энергия может быть записана
в виде
Е = Е1 + Е2 + 1Р(^), (14.26)
где IV (р) описывает взаимодействие элементов, уравнение (14.25) показы-
вает, что возникает поток частиц между этими элементами объема,
1 д\\г
М = -М2=к (14.27)
п др
Функция взаимодействия IV(р) не является универсальной и не может
быть найдена только из общих соображений. Ясно, что это периодическая
функция от р. Если отсутствуют внешние поля, которые могли бы создать
преимущественное направление потока, то IV (р) = ИД—р), и эта четная
функция может быть представлена рядом Фурье, который будет содержать
только косинусы сое (п(д). п-ый член этого ряда происходит от оператора,
который, действуя на когерентный волновой пакет ^2^ См\1У} с коэффици-
ентами (14.7), умножает все компоненты на ехр(±ш<д) = ехр[±ш(<Д1 — <д2)].
Как видно из структуры когерентных состояний, этот член описывает
перенос частиц из ДУ2 в ДУ1. Если ограничиться элементарными
процессами, когда границу раздела переходят отдельные частицы (в сверх-
проводниках — отдельные коррелированные пары), можно предположить,
что
1У((д) = —^со8(д, (14.28)
где константа д > 0, так как в равновесии, (д = О, энергия должна быть
минимальной.
При приближении (14.28), скорость обмена частицами
Д1 = —1У2 = дзшр. (14.29)
Таким образом, величина д, являясь матричным элементом переноса ча-
стиц, определяет максимально возможный ток Д1. Еще большая величина
тока может быть достигнута только с помощью нормальной (несверхтеку-
чей) компоненты. Согласно формулам (14.29) и (14.12), сверхтекучий ток
поддерживается перепадом Дц химического потенциала,
Д1 = — Д2 = дет Г [ 41' + (До^ , (14.30)
ио п /
где (До является начальной разностью фаз. Полную волновую функцию
двух контактирующих когерентных элементов объема можно записать
в виде
Ф(К) = Уш (К) + Уп2(К) е^2, (14.31)
где плотности П1(К) и п2(Н) падают за пределами их родных объемов и
слабо перекрываются хвостами. Тогда квантовый ток через контакт [77]
такой же, какой он был найден в Задаче 7.5,
3 = -^-л/п1П2 ( \71п— ] 8т(д; (14.32)
2т \ п2 /
амплитуда тока здесь определяется степенью перекрытия плотностей.
Переходя от дискретных элементов объема к непрерывной среде, вместо
<Д = <Д1 — <Д2, будем иметь дело с \7(Д. При этом энергия взаимодействия
V является функционалом этого градиента. Когда фаза меняется плавно,
первое слагаемое в градиентном разложении V можно записать в виде
ту = | У й3Яс(Н)(УД2. (14.33)
Формула для плотности тока аналогична уравнению (14.27):
1 5РЕ
3 = (14-34)
К о\у<р)
Сравнивая з = из (14.34) с (14.14), определяем
с(В) = — п5(Н). (14.35)
т
С этой идентификацией, энергия взаимодействия (14.33) соседних элемен-
тов объема сводится к кинетической энергии возникающего тока,
14.5 Эффекты Джозефсона
Макроскопическая квантовая когерентность ярко проявляется при джо-
зефсоновском туннелировании [78]. Эти эффекты возникают при слабом
контакте, Рис. 14.1, двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем
вакуума, изолятора или нормального металла.
Как мы уже упоминали, носителями тока в сверхпроводниках служат па-
ры коррелированных электронов (куперовские пары, 1956), е => 2е. Слабый
контакт играет роль потенциального барьера для этих пар. Если ширина
контакта достаточно мала, меньше, чем длина когерентности пары (раз-
дел 46.9), парные электроны могут туннелировать один за другим, сохраняя
их корреляции. Туннелирование создаёт электрический ток I. Пока вели-
чина тока не превышает своего критического значения 1С. ток остается
сверхпроводящей и не требует никакого напряжения на контакте для его
поддержания. Критическая величина определяется свойствами барьера,
которые определяют амплитуду туннелирования; 7С —> 0, если контакт
является слишком широким и электроны теряют свою когерентность при
туннелировании.
Рис. 14.1. Схема эффекта Джозефсона и эквивалентной электрической
цепи.
Как и в уравнении (14.29), при стационарном эффекте Джозефсона, ток
I < 1(. и разность фаз р через барьер устанавливается на таком уровне,
чтобы было
I = Дены/?.
(14.37)
Если ток в цепи превышает Д, разность восполняется нормальным током.
Тогда должно появиться напряжение V на контакте для поддерживания
нормального тока. Это создаёт разность △// = 2еУ химических потенциалов
для пар, и эффект Джозефсона становится нестационарным поскольку фа-
за теперь зависит от времени, уравнение (14.13), причем соответствующая
частота
2еУ
(14.38)
Действительно, туннелирования пар происходит с уменьшением энергии
пары на 2 эВ на каждый Вольт контактного напряжения, что превращается
в квант электромагнитного поля с энергией Тки, Рис. 14.2. Здесь контакт
Джозефсона выступает в роли генератора микроволнового излучения.
Задача 14.2
Рассмотрим барьер Джозефсона с фиксированным постоянным напря-
жением Уо и внешним полем переменного тока V сое (ДЯ + Ср). Рассчитать
ток через барьер.
Рис. 14.2. Стационарный и нестационарный эффект Джозефсона (вольтам-
перная характеристика).
Решение Фаза волновой функции находится из уравнения (14.30), а ток
из (14.37):
+ V соеД^' + ф)] +
(14.39)
или после интегрирования
I = 1С 8Ш
2еШ 2еУ .
—---Ь зтЫ + Ы + .
к кш
(14.40)
Это выражение можно записать в виде ряда по функциям Бесселя Д
целого индекса,
2еУ
кш
8Ш
2еУо тЛ+ 1
—-----кш ] I — кф + •
к )
(14.41)
Здесь используется интегральное представление этих функций Бесселя,
I 4в со8(г8т0 — кв),
о
(14.42)
Иногда уравнение (14.42) берется в качестве определения функции Бес-
селя целого порядка; можно показать, что она удовлетворяет уравнению
Бесселя (9.76) для целых и = к. Вычисляя производные по г под знаком
интеграла, находим
, х 1 Г
&Д____ -н
(1% к
о
сШ 8Ш0 соз(г8ш0 — кв),
и
/ VI Г77
=— ] (Ид [—28Ш2 в СО8(&0 — 2 8Ш0)+ (14 44)
+ 81П в 8т(/с0 — 2 81П 0)].
В последнем члене (14.44) интегрируем по частям и получаем
(гТ^(г)) = — сК) (—г + &со8 0) со$(кд — 2 8Ш0). (14.45)
Объединяя эти результаты, имеем
/ \ / к Г77
+ (г2 —/с2) Д (г) = — / с/0(гсо8 0 —&) со8(&0 —2 8Ш0). (14.46)
' ' 7о
Интеграл в (14.46) равен — 8т(&0 — 2 8Ш0), что исчезает на границах ин-
тегрирования если число к целое. Наконец получаем, функция (14.42)
удовлетворяет уравнению
г24' + + (г2 - к2^к = 0, (14.47)
которое есть не что иное, как уравнение Бесселя (9.76). Сравнение первых
членов разложения в ряд в окрестности точки 2 = 0 показывает, что это
решение уравнении Бесселя совпадает с рядом (9.82), который был нашим
первоначальным определением функции Бесселя.
Ток (14.41), ожидаемый в ситуации Задачи 14.2, имеет переменную ком-
поненту
К = 1с(~)кЛ | кГ ] 8ш(</?0 - АД), (14.48)
\ ^° /
если выполняется условие резонанса
2еТо = кНа).
(14.49)
При этом туннелировавшая пара высвобождает (или поглощает) энергию,
которая в точности равна той, что необходимо для излучения (или погло-
щения) к квантов микроволнового излучения. Для данного значения То
существует интервал токов
△Д = 2ДД
Рис. 14.3. Недоступная область и квантование
циркуляции.
где, как и в стационарном эффекте Джозефсона (14.37), Го не меняется,
в то время как фаза подстраивается таким образом, чтобы удовлетворить
условию (14.48); когда это невозможно, происходит скачок напряжения.
Высшие гармоники, ~ со8(п(/?), в энергию взаимодействия (14.28) приведут
к дробным резонансам, когда 2еГо = (к/п)Ни). В этом менее вероятном
процессе, туннелируют п пар с испусканием к квантов.
Глядя на уравнение (14.38), мы видим, что измерения напряжения и
частоты, т. е. полностью макроскопический эксперимент^ позволяет найти
значение отношения К/е фундаментальных констант природы [79]. Точность
результатов определяется точностью эталонов Вольта (на самом деле,
вольтметр измеряет как раз величину Дц, количество работы, необходимое
для перемещения элементарных носителей заряда). Этот метод, наряду
с квантовым эффектом Холла (13.88), является одним из лучших доступных
методов для измерения мировых констант; его преимуществом является
то, что он не содержит неопределенности, связанные с теоретическими
расчетами тонких эффектов квантовой электродинамики.
Задача 14.3
Показать, что напряжение на контакте Джозефсона с нормальным со-
противлением Я, при фиксированном токе I > 1С. Рис. 14.1, имеет вид
I2-!2
= --------с— Д (14.51)
I + Iс соДД)
где
ш _ Г2 п (14.52)
Среднее за период колебаний значения напряжения (14.51) вновь согласу-
ется с (14.38), V = 5и)/2е.
14.6 Квантование циркуляции и квантовые вихри
Макроскопические квантовые эффекты чувствительны к топологии
доступного пространства. Пусть область, где сверхтекучее движение описы-
вается как градиент потенциала, уравнение (14.14), является многосвязной
т. е. существует контур С, который не может быть сжат в точку непре-
рывной деформацией целиком внутри сверхтекучей области. Связность
может быть нарушена присутствием вихрей, спг1м ф 0, или закрытой
непроницаемой границы, Рис. 14.3. В этом случае фаза сд перестает быть
однозначной функцией координат К. В соответствии с периодичностью
волновой функции, мы по-прежнему требуем, чтобы изменение Дед фазы
после полного обхода контура было кратно 2тг,
Дед = у* (У7сд • с/1) = 2тгп, п = целое число. (14.53)
Так как контур С находится полностью внутри сверхтекучей области, где
справедливо уравнение (14.14), мы приходим к квантованию циркуляции
сверхтекучей скорости,
Г = / • Ш) = п = Гоп. (14.54)
4с т
В односвязной области, контур С можно непрерывно сжать в точку. Так
как дискретное квантовое число п не может непрерывно меняться, он
остается постоянным и, следовательно, если нет никакой сингулярности,
единственно возможным является п = 0. В противоположность этому, если
контур С окружает отверстие или область, где нарушается безвихревой
характер движения, условия (14.54) показывает, что поток спг1м через
поверхность, опирающейся на контур, квантуется,
[ с/8 • сиг^5 = (14.55)
4 гп
В частности, сиг! V5 может быть сконцентрирован в тонких вихревых линиях
каждый из которых несет целое число квантов потока [80].
Задача 14.4
Рассмотрим изолированную вихревую линию несущую п квантов цир-
куляции и расположенную вдоль центральной оси кругового цилиндра.
Пренебрегая малым радиусом линии, показать, что фаза макроскопической
волновой функции вокруг линии пропорциональна азимутальному углу а
с целочисленным коэффициентом пропорциональности: = па, в то время
как поле скоростей имеет вид
ц
Г = ^а(^) = ---(14.56)
тпг
Благодаря осевой симметрии движения, компонента Ьг полного орби-
тального момента импульса жидкости вдоль оси цилиндра сохраняется.
Для состояния с п квантами циркуляции, орбитальный момент в расчете
на одну частицу есть
^ = — = тта(г)г = пН. (14.57)
Для возбуждения вихревой линии в сверхтекучей жидкости можно вра-
щать контейнер. Можно оценить критическую угловую скорость Пс, когда
становится энергетически выгодным создание первого вихря, как это было
обнаружено в экспериментах с сверхтекучем гелии-4 [81]. Равновесие враща-
ющейся жидкости соответствует минимальной энергии Е во вращающейся
системе отсчета [1], которую иногда называют системой Рауса,
Е(П) = Е(0) + РЕ - (О • Ь), (14.58)
где Ь есть вектор углового момента. В цилиндрической геометрии враща-
ющегося сосуда, мы вращаемся вокруг оси симметрии, Л = и Ь = Ьг.
При критической угловой скорости П = Пс, состояние с вихревой линией
в центре становится основным с энергией Е(ПС), Рис. 14.4. За это платим
увеличением кинетической энергии жидкости II , которая даётся выраже-
нием (14.36) с квантованным полем скоростей (14.56),
= (14.59)
2 у \тг)
Здесь интеграл берется по объему вращающегося цилиндра. Если высота
цилиндра Д а радиус Л, получаем
РЕ = Т1яп8---- / —. (14.60)
т Уо г
Радиальный интеграл расходится на нижнем пределе. Физически, ниж-
ний предел соответствует естественному радиусу ядра вихря ф Внутри
Рис. 14.4. Вращение вихревой решетки (из [82]).
ядра сверхтекучесть разрушается, и радиус этой нормальной жидкости
определяется взаимодействием между частицами, уравнение (14.1). Этот
радиус порядка размера атома и его точное значение имеет второстепенное
значение из-за слабой логарифмической зависимости от него,
К2п2 К
\\ = 2тт3--- 1п —
т с
(14.61)
Как всегда с гидродинамическими вихрями, эта энергия пропорциональна
длине 2 вихревой линии. Энергия растет пропорционально квадрату, п2,
квантового числа циркуляции. Поэтому первый вихрь будет иметь единич-
ную циркуляцию, п = 1. Как следует из (14.58), когда скорость вращения
растет, эта перестройка будет происходить, когда ПГ = IV. Но полный
угловой момент единичного вихря есть 7УД где = 2лВ2п3 есть число
атомов в сверхтекучей жидкости. Это определяет критическую скорость
1К(п=1) К п К
\ 1С = ------ = ----- Ш —.
1ЯК тК2 %
(14.62)
За исключением логарифмического множителя, эту оценку можно бы-
ло бы получить с помощью простых рассуждений в духе соотношения
неопределенности.
Рис. 14.5. Вихревая решётка во вращающемся бозе-конденсате атомов
рубидия [83].
Если скорость вращения растет очень медленно, адиабатически, безвих-
ревое состояние остается основным состоянием из-за закона сохранения
момента импульса. Для создания вихря, нужно возмущение, которое портит
вращательную симметрию и меняет момент импульса жидкости. На прак-
тике это может произойти из-за любой малой неоднородности (царапины)
на боковой стороне цилиндра. Тогда вихрь рождается около поверхности
и затем переносится полем скоростей в центр. При дальнейшем увеличе-
нии угловой скорости, рождаются новые вихри, каждый с одним квантом
циркуляции и полем скоростей (14.56) вокруг соответствующих осей, как
можно увидеть экспериментально, если концы вихревых линий выходят
на поверхность жидкости и могут быть сфотографированы. Их равновес-
ное положение определяется взаимодействием вихрей. Глядя на форму их
полей скоростей, мы видим, что они должны отталкиваться друг от друга.
Таким образом, при большом количестве вихревых линий, они сформируют
вращающийся решетку [84] определенной плотности рг. см. схему Рис. 14.4
и реальную фотографию вихревой решетки в ловушке холодных атомов,
Рис. 14.5.
В непосредственной близости от каждой вихревой линии, г го, поле
скоростей по-прежнему растет, как в (14.56). Если период решетки намного
больше, чем радиус ядра можно предположить, что вихревые линии
очень тонкие и, согласно (14.55), для п = 1,
снг1 V5 = — го)е^\ (14.63)
т
где воспользовались двумерной дельта-функцией. Тем не менее, в более
крупном масштабе, больше, чем расстояние между вихрей, среднее поле
скоростей решетки (которая вращается как одно целое) должно соответ-
ствовать наиболее энергетически благоприятному типу вращения — вра-
щению твердого тела. Соответствующая средняя скорость должна быть
равна
(14.64)
Эту линейную зависимость легко можно понять, если рассмотреть, для
произвольного вихря на расстоянии г от центра, число других вихрей рядом
с ним которые поворачивают его влево и вправо, считая постоянной их
равновесную плотность. При таком среднем поле скоростей, мы имеем
сиг! V = 2П. (14.65)
Для создания такой завихрённости, число вихрей на единицу площади
должно быть
|спг1 VI т
2'кК/т лН ’
(14.66)
т. е. оно растет линейно со скоростью вращения.
14.7 Квантование магнитного флюксоида и электродинамика
Лондона
В сверхтекучей системе заряженных частиц (в сверхпроводнике), помимо
всего прочего, можно ожидать когерентных магнитных эффектов. По су-
ществу, система в целом ведет себя во многом аналогично одной частицы
в магнитном поле, глава 13. Требования калибровочной инвариантности
приводят к следующей плотности тока, как в (13.28),
Н в!
Ъ = п8ч8 = — п3\7р------- п3А, (14.67)
гл/ тс
где А является вектор-потенциалом магнитного поля, а т' и в1 есть, со-
ответственно, масса и заряд носителей тока, 2т и 2е для электронных
пар.
Для любого замкнутого контура С, полностью расположенного в об-
ласти действия представления (14.67) для тока, условие периодичности
для волновой функции даёт, аналогично (14.53),
г г Отгй
ф у3 • Ш 4-— ф А • сП = —-п (14.68)
4с т'с бс т'
с целым числом п. Как и ранее, для односвязной области, п = 0. Тогда
фаза р однозначна и она может быть удалена с помощью калибровочных
преобразований, сравните (13.9) и (13.26),
А - А' = А + V/, Ф => Ф' = Фе(ге'/п<Д / = (14.69)
В этой калибровке Лондона ток (14.67) сводится к своему второму слагае-
мому, который является диамагнитным током (13.28),
^ = _^А. (14.70)
тп'с
Теперь сверхпроводящий электрический ток, Ф = е'}8, локально связан
с векторным потенциалом,
77 е'2
ф = -ЛА, Л=^. (14.71)
тп'с
Это соотношение служит уравнением, характеризующим сверхпроводя-
щую среду, что вместе с уравнениями Максвелла определяет локальную
электродинамику Лондона. В частности, можно сразу предсказать эффект
Мейснера: статическое магнитное поле выталкивается из объема сверхпро-
водника. Статическое поле В = сиг! А удовлетворяет уравнению Максвелла
4л
снг123 = —Ф. (14.72)
с
Применяя к уравнению (14.72) операцию ротора и принимая во внимание
еще одно уравнение Максвелла
дКВ = 0, (14.73)
при условии, что п8 и Л постоянны по всему объему, и используя в правой
части равенство, которое следует из (14.71),
снг1ае = -Лй, (14.74)
получаем уравнение для магнитного поля,
V2# = — В.
(14.75)
с
Задача 14.5 Рассмотрим плоскую границу массивного сверхпроводника во внешнем
магнитном поле Йо, которое параллельно поверхности. Найти магнитное
поле внутри сверхпроводника.
Решение Поле экспоненциально спадает вглубь сверхпроводника,
Б(г) = в0е~г/6ь, (14.76)
где лондоновская длина проникновения даётся выражением
= а/Рг = а/г^’ (14.77)
V 4тгЛ у 4тгп5е/2
То же самое экспоненциальное правило проникновения имеем и для тока з.
В случае многосвязной области, уравнение (14.68) приводит нию так называемого флюксоида, к квантова-
Ф + ^4 У V., • (Я = пФд, где (14.78)
Ф = У А-<71 = У В-Л8 (14.79)
является магнитным потоком через площадь контура С, и
т, 2тгКс ф0 = е/ (14.80)
есть квант потока, который два раза меньше, чем в уравнении (13.36), если
= 2е. Измерение этой величины подтверждает, что в сверхпроводниках
ток переносится парами электронов.
Так как магнитное поле и ток существуют только в тонком слое толщи-
ной ~ 5ь вблизи поверхности, для контура С, который находится полностью
в объеме сверхпроводника далеко от поверхности, ток на контуре пренебре-
жимо мал. Тогда квантование флюксоида в (14.78) сводится к квантованию
магнитного потока Ф = пФд проходящего через внутреннюю поверхность
контура.
Многосвязная геометрия может быть реализована в присутствии отвер-
стия в сверхпроводнике, а также при неполном эффекте Мейснера. Послед-
нее имеет место в лондоновских сверхпроводниках в достаточно сильном
магнитном поле. Тогда поле проникает в объеме сверхпроводника в виде
вихревых линий, несущих квант магнитного потока, и имеем ту-же самую
физику, как для вихрей в сверхтекучей жидкости, с заменой внешнего
вращения на магнитное поле. Лондоновская электродинамика с локальным
соотношением (14.70) применима, когда длина проникновения 6 велика
по сравнению с длиной когерентности (размер области корреляции) элек-
тронной пары. Например, это имеет место в сверхпроводящих сплавах и
керамических сверхпроводниках с высокой температурой перехода в сверх-
проводящее состояние. При 6 > становится энергетически выгодным
проникновение поля и формирование вихревой линии, так как это зна-
чительно уменьшает работу на выталкивание магнитного поля (большая
область радиуса ~ 6 вокруг вихревой линии теперь заполнен магнитным
полем), тогда как энергетическая цена такой перестройки небольшая и
связана она с нарушением сверхпроводящей когерентности в малом объеме
внутри вихревой линии (радиуса < 5). Обратная ситуация, когда > 5,
имеет место в таких сверхпроводниках, как все чистые сверхпроводящие
металлы и соответствует электродинамике Пиппарда со сложным нело-
кальным соотношением между током и векторным потенциалом. В таком
случае образование вихревой нити не выгодно энергетически, и в сильном
магнитном поле сверхпроводимость разрушается во всем объеме.
В заключение сделаем комментарий, который станет более понятным
позже, после главы 12 из тома III, введение в релятивистскую квантовую ме-
ханику, и после обсуждения микроскопической теории сверхпроводимости,
глава 46. Существует глубокая аналогия между эффектом Мейснера, кото-
рого мы упрощенно описали с помощью уравнения Лондона (14.75), и по-
явлением массы в релятивистских волновых уравнениях. «Масса» т здесь
соответствует щели в энергетическом спектре элементарных возбуждений —
энергии, необходимой для извлечения частицы из когерентного конденсата.
Такой спектр похож на релятивистское выражение Е(р) = су/р2 + ш2с2; эф-
фективная масса в случае сверхпроводника пропорциональна лондоновской
константе Л и, следовательно, плотности конденсата п8. Сам конденсат
возникает самосогласованно из-за взаимодействия первичных частиц; это
аналогично хиггсовскому механизму возникновения массы элементарных
частиц в современной теории.
Дальнейшее чтение: [74-76,80,85-87].
... полуклассическая физика может быть
занимательной, равно как и полезной...
М. Брэк, Р. К. Бхадури,
Полуклассическая физика
... полуклассическая физика не только
полезна, но и занимательна.
Глава 15
Д. Пайне, Предисловие к той же книге
Полуклассическая (ВКБ) аппроксимация
15.1 Эвристическое введение
В предыдущих лекциях мы неоднократно упоминали квазиклассическую
область, где квантовые результаты можно интерпретировать в классиче-
ских терминах, плюс несколько простых квантовых постулатов, связанных
с волнами де Бройля и квантованием фазового пространства. Такой под-
ход на самом деле является весьма продуктивным и охватывает много
важных вопросов. Беря начало в работах по квантованию Бора-Зоммер-
фельда, метод получил математическое обоснование и дальнейшее развитие
в работе Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна (1926), и был назван позже ме-
тодом ВКБ; некоторые авторы называют его методом ДВКБ. добавляя имя
математика Гарольда Джеффриса, но многие математические идеи были
выдвинуты еще раньше Стоксом и другими учеными. Полуклассический
подход получил новый импульс в последнее время [4,88].
Начнем с эвристического подхода на основе нашего предыдущего опыта
и интуитивных аргументов. Рассмотрим стационарные состояния одномер-
ного движения в потенциальном поле С/(ж), Рис. 15.1. В областях (аЬ) и (6с)
характер волновых функций отличается. Область между классическими
точками поворота а и Ь разрешен в классической механике. Классический
импульс, соответствующий энергии Е,
р(х\Е) = у/2т[Е — Б (ж)],
(15-1)
обращается в нуль в точках поворота, [7(а) = [7(6) = Е , где частица, живу-
щая в потенциальной яме, отражается. В квантовой механике существует
конечная вероятность проникновения за точками поворота в подбарьерную
область; для конечной ширины барьера, туннелирование за его пределами
становится возможным. Тем не менее, для достаточно широкого барьера,
Рис. 15.1. Потенциал ?7(ж) с классически разрешенными и запрещенными
областями и точками поворота.Квантование в фазовом пространстве.
вероятность туннелирования экспоненциально мала, раздел 2.7, и жизнь
частицы в основном сосредоточена в классической области (аб). Для плав-
но меняющегося потенциального поля, теоремы Эренфеста, раздел 7.6,
показывают, что движение волнового пакета в классически разрешенной
области близка к ньютоновской. Поэтому можно ожидать, что для таких
потенциалов можно найти приближение, которое соответствует предельно-
му переходу от уравнения Шредингера к классической динамике и в то же
самое время учитывает основные квантовые эффекты.
В классическом случае, стационарная плотность вероятности р(х) нахож-
дения (в среднем в течение длительного времени) частицы в пределах с1х
вблизи точки х пропорциональна [сравните с уравнениями (3.7) и (6.176)]
времени М прохождения отрезка с/лу
с1Р = р(х)с1х ос с1р (15.2)
и, следовательно, обратно пропорциональна локальной скорости или им-
пульсу,
р(ж) а ТЛш = ’ г,(ж) = ЛГ = У Л (15-3)
Рис. 15.2. Качественное поведение квазиклассической (короткие волны)
функции в плавном потенциале с двумя точками поворота, тонкая линия
показывает 1/г(ж).
Если решение имеет полуклассический характер, можно предположить,
что квантовая плотность вероятности |Ф(ж)|2 будет близка к р(ж) из урав-
нения (15.3). Поскольку зависимость от времени стационарной волновой
функции экспоненциальная, можно ожидать, что квазиклассическая вол-
новая функция будет иметь вид
Ф(Д = 2^ Д/п)[±з(*)-и]5 (15.4)
да
где два знака перед неизвестной фазой 5(ж) соответствуют волнам, рас-
пространяющихся в противоположных направлениях по оси х.
Ожидается, что как классическая плотность, р(ж), так и ее предполагае-
мый квантовый предшественник, Ф(ж), будут иметь особенность в точке
поворота, где р(ж) —> 0 и частица движется очень медленно. Тем не менее,
уравнение Шредингера не имеет никаких особенностей в точках поворота,
так что точное квантовое решение не может иметь такое поведение, вспом-
ним, например, задачу о равномерном поле и функцию Эйри, раздел 9.9.
Тем не менее, уравнение (15.4) может дать разумное приближение, так как
корневая особенность является интегрируемой с1х/(х — а)1/2 сходится
в окрестности точки х = а), и окрестность вблизи точки поворота даже
в приближении (15.4) не даёт значительный вклад в интеграл /ае1х |Ф(ж)|2.
Понятие классического импульса может сохранить свое значение в кван-
товой теории, только если функция р(х) изменяется довольно гладко. Тогда
мы можем определить его в относительно широкой области движения, не
прибегая к принудительной сильной локализации частицы, Рис. 15.2. Сред-
няя вероятность |^|2 ведет себя похоже на 1/г(ж) с максимумами (но не
особенностями) вблизи точек поворота. С теми же оговорками, можно
использовать понятия переменной длиной волны Л(ж) = к/р(х) и волнового
числа к(х) = р(х)/К Приращение фазы квантовой волны на расстоянии дх
составляет к(х)дх, в то время как в виде (15.4), это изменение записывается
как ±д8/К Таким образом, фаза квазиклассической волновой функции
8(х)/К должна удовлетворять соотношению = Кк(х)дх = р(х)дху и,
следовательно,
5(ж) = дхр(х). (15.5)
Мы пришли к выводу, что общее квазиклассическое решение в классически
разрешенной области можно представить в виде
Ф(ж^) = 2___<Гу1е(г/п)Гр^ + Ве-Ч/К) Г (15 б)
V Р(^)
где нижние пределы интегралов произвольны, поскольку их вклад всегда
может быть включен в фазу соответствующих амплитуд. Теперь наша
задача найти, при каких условиях уравнение Шредингера допускает таких
решений.
Задача 15.1
Представление (15.6) порождает точный, но нелинейный подход [89,90]
к решению уравнения Шредингера (9.5), который известен как метод фазо-
вых интегралов. Подразумевается, что решение принимает вид, аналогич-
ный (15.6), но с амплитудами А (ж) и В (ж), которые являются неизвестными
функциями от ж,
Лх) = —Г=Г(ХУЗИ + 8(х) = (15.7)
л/Щ) 1 1 Ь.,
С двумя неизвестными функциями, у нас есть свобода наложить еще одно
условие, которое принимается как выражение для производной,
ф'(х) = гу/к(х)^А(х)ег8^ — В(ж)е-г5^^, (15.8)
которое выбрано таким образом, как если бы дифференцировались только
фазовые экспоненты в уравнении (15.7). Покажите, что
а) функцииА(ж) и В(ж) удовлетворяют связанную систему уравнений,
Т(х) = /(Ж)е-2^)В(Ж), ВД) = Щ)е2^Л(Ж), /Ц) = ЙД;
(15.9)
б) в классически разрешенной области Е > В(ж), имеет место сохранение
потока,
|А(ж)|2 — |В(ж)|2 = сове!; (15.10)
в) Вся проблема может быть сведена к уравнению Риккати для функции
отражения В(ж) = —В(ж)/А(ж),
К'(х) = -/(®)е2г5^ + /(ж)е-2г5(а:)/?2(ж); (15.11)
г) определяя фазу отражение ^(ж) (не обязательно действительную) по фор-
муле
К(х) = -е~2г^х\ (15.12)
получаем уравнение
1/(ж) = /(ж) 8т{2[5(ж) + 1?(ж)]} (15.13)
что может быть удобно для численного решения.
15.2 Квазиклассическое приближение
Мы показали в разделе 7.3, что для волновой функции записанной в тер-
минах двух действительных функций — амплитуды А = д/р и фазы 8/К,
уравнение Шредингера эквивалентно системе из двух связанных урав-
нений, одно из которых является уравнением непрерывности, а второе
представляет собой классическое уравнение Гамильтона-Якоби с допол-
нительным квантовым потенциалом. Фаза 8 аналогична классическому
действию вдоль траектории, раздел 7.12.
Теперь повторим то же самое для стационарной функции ?/(г) соответ-
ствующей энергии Е. Если
то, выделяя действительную и мнимую части в стационарном уравнении
Шредингера, получаем аналогично (7.62),
1т: 2(Ш • V5) + = 0, (15.15)
Ее: /г^2А = л[^5)2-р2(г)]. (15.16)
Уравнение (15.15) можно записать в виде
\7(А2\75) = О,
(15.17)
и оно, в силу (7.61), даёт не зависящее от времени уравнение непрерывности
V] = 0.
В одномерном случае (5 = 5(ж), дБ/дх = б7)? это уравнение даёт
СОП81
А =
(15.18)
Предположим теперь, что в (15.16) левая сторона (связанная с квантовым
потенциалом из уравнения (7.62)) мала по сравнению с каждым членом
в правой стороне. Так как большие слагаемые должны в сумме сократиться,
получаем (в одномерной задаче), не обращая внимания на небольшую
величину /12\72А,
5/2=Д 5" = ±р, 5 =
(15.19)
фаза интегрируется по классическому пути. Уравнения (15.18) и (15.19)
определяют волновую функцию квазиклассического вида (15.6). Таким
образом, данное приближение будет оправдано, если можно пренебречь
левой стороной в уравнении (15.16). Отметим, что без этого члена, решение
(15.19) выражается через классические величины, что естественно, посколь-
ку формально приближение соответствует предельному переходу К -Л- 0.
С фазой 5, найденной в (15.19), имеем, с точностью до несущественной
константы,
А(х) = -7^,
УЩ)
и отброшенный член равен
П2А" = п2
(15.20)
(15.21)
Эта величина должна быть значительно меньше, чем
. 2 2 1 1
Ар2 = р2—=
(15.22)
где длина волны определяется как Л = К/р. Пусть К характерный размер
неоднородности поля, и, следовательно, всех величин, которые определяется
полем, таких как р(ж) или Л(ж). Это означает, что все производные таких
функций можно оценить по порядку величины как ~ //К. Тогда условие,
что величина (15.21) мала по сравнению с (15.22) эквивалентно условию
2 /г
(рЯ)2
(15.23)
Мы получили снова условие (7.102), что движение, описываемое квантовой
теоремой Эренфеста, имеет квазиньютоновский характер. Классическое
действие ~ рК на длине неоднородности должно быть значительно больше,
чем квант действия К.
Условие, что длина волны мала по сравнению с типичным размером из-
менения поля, характеризует геометрическую оптику. Плавное изменение
длины волны аналогично подобному изменению показателя преломления
в среде. В местах быстрого изменения показателя преломления, происходит
заметное отражение света. Таким же образом, квантовый волновой пакет
перемещается с классической скоростью вдоль ньютоновской траектории,
если расстояние Я, где длина волны Л (ж) значительно изменяется, намного
больше, чем сама длина волны. Тогда локальная длина волны хорошо опре-
делена, Рис. 15.2. В противном случае, быстрые изменения или разрывы
потенциала приводят к отражению волн, и их интерференция с первичной
волной вызывает существенные квантовые эффекты. Условие
(15.24)
характеризует полуклассическое приближение как область геометрической
оптики для волн де Бройля. Обратите внимание, что отброшенные в реше-
нии (15.6) члены имеют малость второго порядка по квазиклассическому
параметру Х/К. Требование о небольшом изменении 5Х = (дХ/дх)5х длины
волны А(ж) = К/р(х) на расстояние 5х ~ Л можно записать в виде
дх
дХ
дх
(15.25)
или
К др
р2 дх
(15.26)
Учитывая определение (15.1), имеем цепочку эквивалентных условий,
Кт дБ
р3 дх
К 917 1
р дх 2(В — У)
Л \г\
2\Е — Ц\
(15.27)
< 1,
где сила Е = — дБ/дх. Вблизи точек поворота, где р -л- 0, Е ~ У, движение
не квазиклассическое. Резкое изменение потенциал, как около непроница-
емой стены, соответствует очень малым или нулевым значением Я, что
также нарушает условие квазиклассичности.
15.3 Асимптотическое разложение
При формальном предельном переходе К -л 0, когда постоянная Планка
стремится к нулю, любой потенциал без разрывов (так что К ф 0) удо-
влетворяет нашим условиям квазиклассичности, и можно ожидать, что
придем к классическим результатам. Тем не менее, переход к классической
механике, похожий на переход от волновой оптики к геометрической оптике,
довольно своеобразен. Волновая функция -0 не имеют прямого классическо-
го аналога. Она неаналитична., как функция К при К -л 0. Фазе волновой
функции действительно стремится к классическому действию (15.5) при за-
данной энергии, но 5 > Й и безудержно осциллирует при этом. Поэтому
регулярный подход к квантовым поправкам заключается в разложении
фазы по степеням К.
Будем искать волновую функцию в виде
Дж) = е^^Ч ^ = 5+-1пА (15.28)
г
Фаза р может быть представлена в виде степенного ряда
К2
р — 5о Т К8\ Н—— 5^2 + ••• (15.29)
Подставим это разложение в уравнении Шредингера (9.4) и выделим члены
с одинаковыми степенями К:
ЗД-^ = О. =
(15.31)
ад+ 5?-.51' = 0. (15.32)
2р6 дх у 4рь \дх)
Результаты (15.30) и (15.31) совпадают с найденным ранее (15.19), (15.20);
51 определяет амплитуду А.
В поправочном члене $2, уравнение (15.32), обе слагаемые одного порядка,
и в полуклассической ситуации (15.23) эта добавка мала: К82 1. Тем
не менее, ряд (15.29) является асимптотической. Для любого числа
членов этого ряда, существует такое малое значение Н, что разница
△лД) = 3 — V — 5,
п\
(15.33)
п=0
будет так мала, как хотите. Но для фиксированного реалистичного зна-
чения Н и достаточно больших ТУ, разность Д;у начинает расти. Если мы
находимся в квазиклассической области (15.23), первые члены ряда дают
хорошее приближение, и ошибка аппроксимации имеет порядок первого
отброшенного члена.
15.4 Стационарная фаза
Предполагая, что решения типа (15.6) обеспечивают хорошее прибли-
жение, построим волновой пакет из таких решении имеющих одинаковые
направления распространения и с энергиями сосредоточенными вблизи
центроида Ещ
Ф(ЖД = [ ^=е(г/П)[8(х-Е)-Е1]_ (15.34)
4е~е0 у/р(х;Е~)
Этот пакет обладает почти классическими свойствами. Действительно,
фаза компонентов пакета
не что иное, как классическое действие для частицы с энергией Е, так как
он удовлетворяет уравнению (7.63),
Л = _Е ду
д! ’ дх
(15.36)
= ±рМ'
в то время как дополнительный квантовый потенциал в (7.62) мал в этих
условиях. С такой точностью, имеем уравнение Гамильтона—Якоби для фа-
зы (15.35),
др
д!
1
2т
+ У(ж).
(15.37)
Мы ожидаем, что квазиклассическое приближение будет хорошо работать
в пределе коротких длин волн (высокие энергии). При этом различные
компоненты пакета (15.34) быстро осциллируют и очень стремительно
меняются от одного компонента к другому, это приводит, вообще говоря,
сильному сокращению различных вкладов в подынтегральную функцию.
Исключительная ситуация соответствует области стационарной фазы, где
соседние компоненты складываются в фазе. Это происходит, когда
др
дЁ
дЗ
аЁ~' = 0'
(15.38)
Уравнение (15.38) определяет движение центра тяжести пакета.
Чтобы убедиться, что движение в этом приближении действительно
классическое, достаточно явно вывести уравнение движения, что следует
из (15.38):
(15.39)
Здесь г (ж) представляет собой скорость вдоль классической траектории,
и мы выбрали начало отсчета времени в точке х = хо, так что (15.39)
определяет классическую траекторию х(Г) с начальным условием ж(0) = жд.
Квантовые флуктуации и квантовое расплывание волнового пакета со-
держатся в более высоких членах разложения (15.29). Таким образом,
с математической точки зрения, квазиклассическое приближение явля-
ется разновидностью метода стационарной фазы [43]. С точки зрения
континуального интеграла, разделы 7.11-7.13, виртуальные траектории ин-
терферируют и, в квазиклассической ситуации^ компенсируют друг друга,
так что только область стационарной фазы выживает, что обеспечивает
доминирование классической траектории и малость квантовых поправок.
В общем случае, нужно тщательно учитывать все виртуальные траектории.
15.5 Условия сшивки
Так как потенциал наиболее общего вида, Рис. 15.1, включает в себя
не только классически разрешенные области, нам нужно также решение
в запрещенной области под барьером, [7(ж) > Е. С тем же разложени-
ем (15.29), достаточно рассмотреть импульс, как мнимую величину, р(х) =
= г|р(ж) | = гКк(х). Это приводит к квазиклассическому решению
ф(ж^) = 1 + е-№№ (15Л0)
у|Щ)| у 7
Имея в наличии области обоих типов, разрешенные и запрещенные, как
(аЬ) и (6с) на Рис. 15.1, мы должны согласовать коэффициенты волновой
функции по обе стороны от точки поворота. Как мы помним из простейших
примеров гл. 2, это в действительности и есть основная часть решения. Ра-
нее мы могли это сделать прямым способом непрерывной сшивки. Но здесь
это невозможно, так как квазиклассические решения недействительны
в непосредственной близости от точки поворота из-за нефизических осо-
бенностей нарушающих неравенство (15.27), см. Задачу 15.2.
Ниже мы разработаем несколько подходов, чтобы избежать этих трудно-
стей и выполнить соответствующую сшивку. Прежде всего, как мы видели
в разделе 9.4, решения, найденные в разных частях пространства связаны
из-за инвариантности относительно обращения времени и сохранения тока.
Здесь можно получить аналог переходной матрицы (9.37) для соединения
решений через точку поворота. Используя квазиклассические выражения
(15.6) и (15.40), получаем из сохранения тока
|А|2 - |В|2 = 21т(С*Р) (15.41)
вместо полученного ранее уравнения (9.41). Теперь амплитуды С и П
должны быть выражены через трансфер-матрицу (9.40):
что в конечном итоге приводит к
1т(а*/1) = |. (15.43)
Однако, это все еще недостаточно для полного определения амплитуд.
Рассмотрим простейший способ нахождения соответствующих условии
сшивки, который работает в окрестности изолированной точки поворота
для потенциала ?7(ж) ведущего себя регулярно в этой окрестности. Так как
в точке поворота, скажем при х = 0, имеем V(0) = Т?, то вблизи этой точки
потенциал можно представить в линейном приближении как
С/(ж) ~ Е + х
\Лх)х=0
(15.44)
= Е -
Таким образом, в этой области мы сводим нашу задачу к точно решаемой
задаче для однородного поля, решение которой не сингулярное в точ-
ке поворота и имеет известную асимптотику, раздел 9.9. Заметим, что
асимптотика функции Эйри имеет как раз нужный нам квазиклассический
характер. Следовательно, наша программа выглядит так: найти точное
решение в окрестности (15.44) через функцию Эйри, а затем склеить его
непрерывно с квазиклассическими асимптотиками с обеих сторон.
Задача 15.2
Используя метод фазовых интегралов Задачи 15.1, показать, что точное
решение не имеет особенности в точке поворота [91].
Решение С использованием (15.11), получаем, что в классически разре-
шенной области, например вправо от точки поворота, х 0,
А(х) =-----Г= ]У(х)е^(х), В(х) = (15.45)
у/с(ж) у/с(ж)
где С является константой, а
IV(х) = ехр|2
(1х' ?(х') 8Ш2[5(ж/) + ^(ж7)]}.
(15.46)
В этой области волновая функция и ее производная имеют вид
^(ж) = ттщ 8ш[5(ж) + 19(ж)],
к 7 Ф) 47 147 4 71 (15.47)
?//(х) = СИ^(х) со8[5(ж) + 1?(ж)].
Теперь рассмотрим ж —> О, когда
к(х) = ау/х, 8(х) = —ж3/2, /(ж) = .
Тогда фаза ^(ж) удовлетворяет, с точностью до членов ~
Рх(ж) = /(ж) 8П1[2Р(ж)],
(15.48)
(15.49)
и эта часть полной фазы (15.47) является более важной, чем квазикласси-
ческое действие 5(ж). Следовательно, в непосредственной близости около
х -Л- О,
1ап[Р(ж)] = соп81Р(ж) ос у/х.
(15.50)
Слабым местом в нашей программе сшивки является сомнительное су-
ществование области перекрытия, где полуклассическое решение уже при-
менимо, но разложение (15.44) тоже остается в силе. Нам нужна область
х ~ х, такая что потенциал еще линейный, ж < Я, где К является типич-
ным масштабом изменения потенциала, и в то же время (с1Х/с1х)х=х <У. 1,
уравнение (15.24). Типичным импульсом в области (15.44) является
/-----— 2тхЩх = 0') 2тЕх Гх
р = ^/2тР0х ~ а/-------------\ —г=РО\ ~Б- (15-51)
V гС V 1ъ у 1г
Это соответствует длине волны
и квазиклассическое условие (15.24) принимает вид
/ ^ \ 2/3 / ^ \ 2/3
ж3/2д/Я— х Я1/3 \ — ) = Л(---- ) • (15.53)
Ро \Ро/ \РоП/
Благодаря главному условию (15.23), (К/роН) 1, видим, что можно
выбрать окрестность т т. в которой удовлетворяется двойное неравенство
/ П \2/3
К — < х < К. (15.54)
\роН;
Рис. 15.3. Два случая для потенциала вблизи точки поворота.
Тогда мы можем провести сшивку в точке х = х.
Задача 15.3
Выполните сшивку функции Эйри, раздел 9.9, с квазиклассическими
решениями по обе стороны от точки поворота. Выразите результат через
трансфер-матрицу (9.40), и покажите, что параметры а и /3 равны
а = - е“^/4, /3 = е^4, (15.55)
в соответствии с формулой (15.43).
Согласно последней Задаче, формулы сшивки для точки поворота ти-
па Рис. 15.3Ь, когда запрещенная область находится на правой стороне
классической области, имеют вид
А = е^/4С,+ |е“г7г/4Р, В = е“^/4 С + | еот/4 Б. (15.56)
Вблизи точки поворота типа Рис. 15.3а, когда барьер расположен на левой
стороне классической области, можно поступить таким же образом, и ответ
может быть получен из (15.56) заменой А о В, С О П. Теперь можно явно
сформулировать правила сшивки для различных возможных ситуации.
I. Точка поворота типа Рис. 15.ЗЬ.
(1) Дано, что при х > Ъ волновая функция уменьшается (В = 0, С = 1).
Правило соответствия между решениями с двух сторон от точки х = Ь
имеет вид
2
--- сое
у/Р
(15.57)
(п) Дано, что при х > Ь волновая функция увеличивается (С = 0, В = 1):
Рис. 15.4. К выводу полуклассического
правила квантования.
II. Точка поворота типа Рис. 15.3а.
(1) Дано, что при х < а волновая функция уменьшается:
( Гх , у 7г\
(15-59)
(п) Дано, что при х < а волновая функция увеличивается:
1 ( Г'г V
<=—> —— I . (15.60)
у/Р \Уа
Вообще говоря, эти формулы сшивки можно уверенно использовать только
в одном направлении, а именно в направлении, которое указано жирными
стрелками. В самом деле, предположим, что в уравнении (15.57) мы про-
должили решение слева направо и в области х < Ъ совершили небольшую
ошибку в фазе. Это эквивалентно небольшой примеси синуса из урав-
нения (15.58) к левой части (15.57). При дальнейшем продолжении, эта
примесь приводит, в соответствии с (15.58), к растущей экспоненте. Каким
бы малым не был коэффициент перед этой растущей экспонентой, она
превысит основную (падающую) экспоненту на достаточном расстоянии
от точки поворота. Это означает, что гарантирована только продолжение
в направлении растущей вещественной экспоненты.
15.6 Квантование Бора—Зоммерфельда
В качестве приложения наших общих результатов, выведем правило
квантования Бора—Зоммерфельда, которого раньше использовали без се-
рьезного обоснования, в частности в упрощенной форме для атома водорода,
раздел 1.6, и для частицы в магнитном поле, раздел 13.7.
Мы ищем энергетический спектр связанных состояний в квазикласси-
ческом потенциале, Рис. 15.4. Для связанного состояния, в подбарьерные
области х < а и х > Ъ волновая функция должна иметь только экспоненци-
ально затухающее поведения. Под левым барьером
(15.61)
Согласно (15.59), внутри потенциальной ямы имеем квазиклассическое
решение
а < х < Ь.
(15.62)
Это решение должно быть продолжено в область х > Ь. Удобно перепи-
сать (15.62) изменяя начало отсчета фазы:
(15.63)
или, используя простую тригонометрию,
(15.64)
где фазовый интеграл по разрешенной области обозначается как
1 Гь
[а, Ь] = — / с1хр(х).
а а
(15.65)
Как следует из (15.57) и (15.58), первое слагаемое в (15.64) после продолже-
ния под барьером, х > 6, порождает неправильную растущую экспоненту,
тогда как второе слагаемое генерирует правильную падающую экспоненту.
Связанное состояние существует, если коэффициент при первом члене точ-
но равен нулю; в этом случае применение формулы (15.57) в направлении
тонкой стрелки является безопасным. Таким образом, появляется следую-
щее условие квантования, которое определяет дискретный энергетический
спектр,
сое
р(х; Е)\
Ъ )
Это эквивалентно стандартному правилу Бора-Зоммерфельда
ь / Л
бхр(х; Е) = ( п 4— 1 яД п = 0,1, 2... (15.67)
\ " /
Нужно помнить, что энергия Е входит не только явно в определении (15.1)
импульса р(ж; Е), но и через пределы интегрирования: Е = 17(а) = 17(6).
Как обсуждалось качественно в главе 1, квазиклассически квантован-
ной величиной является фазовый интеграл (адиабатический инвариант),
равный классическому действию за период движения,
3 = рбх = 2тгк (п + . (15.68)
Строго говоря, полу классическое квантование может быть использовано
только для 3 т.е. для больших квантовых чисел п 1. Тем не менее,
как правило, (15.68) можно экстраполировать до основного состояния п ~ 1
для качественных оценок. Полученный результат будет точным для всех
состояний гармонического осциллятора, сравните уравнения (1.17) и (11.15),
а также может дать хорошее приближение для энергетического спектра и
в других подобных потенциальных ямах.
Разница полуклассического результата (15.67), (15.68), по сравнению
с оригинальным постулатом Бора (1.13), состоит в наличии энергии нуле-
вых колебаний, что даётся дополнительным членом 1/2. У нас есть полное
право оставить этот член: хотя он мал по сравнению с п в типичной квази-
классической области п 7Д 1, этот член оставлен корректно, поскольку он,
как поправка первого порядка, велик по сравнению с ранее отброшенными
членами второго порядка (15.21) или (15.29). Внутри ямы имеем следующее
количество переменных длин волн
к дх = (15.69)
Для основного состояния (если бы квазиклассическое приближение было
бы применимо при п = 0 ) мы имели бы внутри ямы не Л/2, как в случае
глубокой ямы, раздел 3.1, а только Л/4. Оставшаяся часть от половины
длины волны приходится на подбарьерные хвосты волновой функции. Тем
не менее, как в бесконечной яме, каждое следующее состояние отвечает
добавке Л/2. Таким образом, п даёт число узлов волновой функции внутри
ямы, в соответствии с осцилляционной теоремой, раздел 11.1. Площадь
фазового пространства между двумя соседними квазиклассическими свя-
занными состояниями составляет 2ттк = к, Рис. 1.4. Мы использовали это
Рис. 15.5. Проникновение через барьер.
обстоятельство в задаче с магнитным полем, раздел 13.7, где оно было
связано с квантованием потока, а также при подсчете плотности уровней
в разделах 3.8 и 3.9.
Задача 15.4
Примените правила сшивки к проблеме проникновения через барьер,
Рис. 15.5, и получите коэффициент прохождения (2.59).
Стандартное выражение (2.59) справедливо, если точки поворота а и Ь
находятся далеко друг от друга, так что между этими точками существует
область под барьером, достаточно удаленная от а и 6, чтобы можно было ис-
пользовать квазиклассическое приближение для волновой функции. В этом
случае к с1х 1, и коэффициент прохождения мал, Т 1. Если это не
так, и Т ~ 1, нужны более мощные методы учитывающие одновременно
обе точки поворота, а не каждый из них в отдельности. Такая ситуация
имеет место, например, если энергии Е близка к вершине барьера, и точки
поворота сближаются, устраняя квазиклассическую область между ними.
Такая более продвинутая методика будет вкратце рассмотрена начиная
с раздела 15.8
15.7 Квазиклассические матричные элементы
При п 1, квазиклассические волновые функции быстро осциллируют
в классически разрешенной области, Рис. 15.2. Такое поведение позволяет
упростить приближенные вычисления физических величин.
Сначала отнормируем волновую функцию связанного состояния, для че-
го надо вычислить / с1х |?^(ж)|2. Под барьером волновая функция быстро
падает, так как квазиклассическая длина проникновения мала, I ~ 1/к ~
% А/4</?. Поэтому сохраним только классически разрешенную область
в интеграле нормировки
1
----сое
л/Р
При п 1, квадрат быстро осциллирующего косинуса можно заменить
на его среднее значение 1/2. После этого интеграл легко выразить в терми-
нах классического периода движения Т, или частоты ш = 2л/Т, при задан-
ной энергии:
1 гь ах _ 1 _ 1 т
2т 1а V 2т Д) 2т 2
7Г
2гпш
(15.71)
Таким образом, нормированную волновую функцию п-го связанного состо-
янию приближенно можно записать в виде
12тшп 7 [х 7г\ 12тшп
'фп(х) = \/--- сой / кпах---= \ ------ сое (ртрхр (15.72)
V Т^Рп \Эап 4/ \ ТГРп
Вычисляя интеграл перекрытия / с/,Х1[>т11>п, увидим, что различные ква-
зиклассическими функций, ш Д п, взаимно ортогональны, если будем
игнорировать экспоненциально малые вклады подбарьерных хвостов и
быстро осциллирующие слагаемые. Рассмотрим более общую величину, а
именно матричный элемент произвольного оператора зависящего от ко-
ординаты или импульса частицы,
т Ь /*л/ ~ 2т /------- /У созЩж) а со8</?т(т)
Цпт= / аху —у/ШпШт / ах-----——()-----. (15.73)
7 тг 7 у/Рп ЛЛ
Здесь мы воспользовались приблизительным квазиклассическим выраже-
нием (15.72). Если, например, С} = будем иметь
(^пт = д//сОй[рп(ж) (/9т(ж)] +
7Г 7 у/РпРт 1 (15.74)
+ сой[рп(ж) + рт(ж)] к
Если обе фазы велики, как это и предполагается в случае квазиклассиче-
ской области, второй косинус в (15.74) осциллирует очень быстро, так что
интеграл от ее произведения на гладкую функцию исчезающе мал, и в том
же духе, как и раньше, можно пренебречь этим слагаемым.
Дальнейший расчет мы выполним для практически важного случая
близких уровней, когда п 1, т 1 (квазиклассическая область), но их
разность относительно небольшая, \п — т\/п 1. (Более общий случай
рассматривается в [92] §51.) В такой ситуации мы можем положить п = т
во всех гладких множителях (рэп шт = ш, рп ~ рт = р):
Разность фаз двух близких состоянии,
(15.76)
(15.77)
Производная в первом член в фигурных скобках (15.77) равна подынте-
гральной функции на нижнем пределе, и поэтому исчезает, рп(ап) = 0, а
второе слагаемое может быть выражена по формулам (1.57)-(1.62). Поэто-
му находим
- рт(х) « шп(п - т)1п(х),
(15.78)
что выражает разность фаз как возникающая от разницы во временах
движения по двум близким классическим траекториям. Это позволяет
получить матричный элемент (15.75) в форме
а) ГЬп с1х
Спт = - —--е(х)со8[(п - т)^п(ж)], (15.79)
7Г Лп МЧ
где, в пределах нашего приближения, интеграл покрывает классическую
область. Переходя к интегрированию по времени вдоль классической пути,
с1х/ь = сП, получаем
(2пт = -1;[ б^е(ЛД СО8(27Г(П (15.80)
В квазиклассическом пределе, матричный элемент оператора <2(ж) меж-
ду близкими дискретными состояниями, которые отличаются по энергии
на Ноц становится Фурье-компонентой по частоте со величины <2(ж(/;)),
как функции времени вдоль соответствующей классической траектории
(сравните с точным результатом из раздела 7.6).
Задача 15.5
Покажите, что квазиклассический матричный элемент зависящего от им-
пульса оператора (^(р) между близкими состояниями представляет собой
Фурье-компоненту классической функции ф(р(^)), где р(1) является клас-
сическим импульсом на соответствующей траектории.
Решение Замените импульс на дифференциальный оператор (—гКд/дх)
и используйте тот факт, что при действий этого оператора на квазиклас-
сическую волновую функцию следует учесть только производную быстро
меняющиеся фазы, пренебрегая производной гладкой функции 1/^/р.
15.8 Решения в комплексной плоскости
В разделе 15.5 мы сформулировали проблему сшивки квазиклассических
решений одномерного уравнения Шредингера, найденных в разных обла-
стях примыкающих к точке поворота. Для изолированной точки поворота,
проблема была решена с помощью продолжения в обоих направлениях
точного решения около точки поворота. Здесь мы рассмотрим идею бо-
лее общего подхода, которого можно будет распространить на проблему
с несколькими близкими точками поворота [93]. Подход основан на ана-
литическое продолжение волновой функции из одной области в другую
через комплексную плоскость, при этом избегая опасных территории на
вещественной оси, где квазиклассическое приближение является недействи-
тельным.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ф" + и(Р)ф = 0 (15.81)
в комплексной плоскости переменной г. Здесь п(г) является аналитическим
продолжением от вещественной оси функции
п(х) = &2(х) = ~лр[Е — С/(х)]. (15.82)
пл
Будем считать, что точка поворота находится в начале координат г = 0, то
есть п(0) = 0, и далеко от начала координат для потенциала 17 оправдан
квазиклассический подход. Два линейно независимые приближения (15.6)
к точному решению заслуживают особого обозначения:
(О, г) = г/’1/4 ехр (г [ у/йсР ] [1 + О(К)], (15.83)
\ Л) /
(г,0) = п х/4ехр(— г [ л/йсР ] [1 + О(^)],
\ 7о /
Рис. 15.6. Пересечение разреза.
В непосредственной близости от изолированной точки поворота, как прави-
ло, можно использовать для п(г) разложение (15.44), которое начинается
с линейного члена, п(г) ~ сг. Для определенности будем считать, что с > 0;
это соответствует случаю Рис. 15.3а. Мы уже показали (15.54), что такое
разложение справедливо в области, которая перекрывается с областью дей-
ствия квазиклассического приближения, если к К 1. В такой окрестности
наши функции принимают форму
(0, г) ос г-1/4 егсг3/2, (г, 0) ос г-1/4 е~гсг3/2, (15.85)
где новая константа с = (2/3) по-прежнему положительна. Можно
вспомнить, что уже встречались с такими выражениями при рассмотрении
функции Эйри в задаче однородного поля, разделы 9.8 и 9.9.
Из-за дробных степеней, точка поворота 2 = 0 является точкой ветв-
ления, и мы должны сделать разрез от этой точки, чтобы выбрать ветвь
функции. Точное решение уравнения Шредингера (15.81) не имеет особен-
ности в % = 0 — решение представляет собой однозначную аналитическую
функцию. Особенность появляется только в квазиклассическом представ-
лении решения, которое является недействительным около % = 0. Это
определяет правило для пересечения разреза: так как аналитическая функ-
ция не имеет скачков, это пересечение означает лишь изменение аргумента
на 2л, Рис. 15.6.
Возьмем в качестве разреза луч, нижний край которого соответствует
аг§ % = 5, а верхний край — аг§ % = 5 — 2л (положительным направлением
считается направление против часовой стрелки); соответственно, выраже-
ния для волновых функций снабдим индексами ±. Возьмем на нижнем (+)
крае, 2 = |г| ехр(г5), первую функцию (15.85) в качестве нашего решения,
(0, г)+ ~ | Д-1/4 е-г5/4 ехр [гф|3/2 ег^3/2^]. (15.86)
Перемещаясь вокруг точки поворота назад, не выходя из квазиклассической
области, будем иметь на верхнем (—) крае, 2 = |г| ехр(г5 — 2лг),
(0,г)_ ~ |г|-1/4е-г(^/4)+гтг/2 ехр В |г|3/2ег(3/2)(5-27г)1 , (15.87)
или
(О, г)_ ~ ф|-1/4 е-г^4 ехр гс|г|3^2е^3/2^]. (15.88)
С другой стороны, второе решение (15.85) на нижнем крае разреза имеет
форму
(г,0)+ ~ |г|-1/4е-г^4 ехр[—гс|г|3^2е^3/2^] = —г(0,г)_. (15.89)
Таким образом, при пересечении разреза против часовой стрелки, форма
решения меняется:
Д,0) -э -г(0, г), (15.90)
и, аналогично,
(0,г) -> -ф,0). (15.91)
Двигаясь по часовой стрелке, мы получим результаты (15.90) и (15.91)
с заменой (—г) г.
Рецепты (15.90) и (15.91) показывают, что комплексная плоскость содер-
жит сектора с различным поведением решений в зависимости от фазы
(Дг) = [ у/йсР. (15.92)
Л
Если фаза Дг) действительна, волновая функция ос ехр(г^) осциллирует.
Это аналог классически разрешенной области, где оба решения имеют
один и тот же порядок величины. Назовём линии действительной фазы
линиями уровня. Линии, на которых фаза Дг) чисто мнимая, называются
линиями Стокса, здесь одно из решений экспоненциально растет, когда
мы отходим от точки поворота % = 0, а другая падает (аналог классически
запрещенной области). Линии уровней иногда называются сопряженными
линиями Стокса.
Используя явное выражение (15.85), находим линии уровня,
1шД3//2 = 0 аг§г = 0, ±^-, (15.93)
и линии Стокса,
Кег3/2 = 0 аг§г = ±^-,7г. (15.94)
о
Рис. 15.7. Геометрия комплексной плоскости.
Семь линий начинаются, Рис. 15.7, в точке поворота: три сплошные линии
уровня (15.93), три пунктирные линии Стокса (15.94), и волнистая линия
разреза, верхний край которой сочетается с линией уровня 7, которая
совпадает с вещественной осью. Когда пересекаем линию уровня, где оба
решения осциллируют, вид решения не меняется, но мнимая часть фазы
проходит через нуль и меняет знак. В результате возрастающая функция
становится убывающей, и наоборот. На линии Стокса, реальная часть
фазы обращается в нуль, и различие в решениях максимально. На разрезе
свойство быть возрастающим или убывающим сохраняется, в то время как
форма решения меняется.
15.9 Выход в комплексную плоскость
Если квазиклассическое приближение справедливо, общее решение урав-
нения Шредингера (15.81) задается в виде суперпозиции
тДг) = А(0,г) + В(г,0). (15.95)
Как видно из (15.85), в случае с > 0 решение (0, г) является убывающим
в секторе 1-2, в то время как решение (г,0) является возрастающим. Если
амплитуда В растущей функции не обращается в нуль, мы не имеем права
держать на линии Стокса 1’ убывающий член А(0, г), так как он экспонен-
циально мал по сравнению с уже отброшенными поправками порядка К
к главному (возрастающему) члену. Однако на линии уровня 2 оба реше-
ния осциллируют, так что в непосредственной близости от линии 2 член
(О, г) снова должен быть учтен. Поскольку в рамках квазиклассического
приближению мы не можем проследить этот член по всему сектору 1-2,
в общем случае мы не знаем, какая должна быть амплитуда (0, г) члена
по прибытии на линию 2. В то же время, член (г, 0) доминирует во всем
секторе и, следовательно, он должен быть просто продолжен с 1 к 2 с той
же амплитудой В. Оказывается, что на самом деле, коэффициент перед
решением (0,г) меняется после пересечения сектора 1-2 — так называемое
явление Стокса.
Путь к полному решению проблемы сшивки проходит через комплексную
плоскость, Рис. 15.7, всегда оставаясь при этом в пределах области действия
квазиклассического приближения. Начнем с решения на линии уровня 7,
?/; = А1(0,г) + В1(г,0). (15.96)
Обходим точку поворота и, по прибытии на линию 2, имеем
<ф = И2 (0, г) + В2 (г, 0). (15.97)
Решение (г,0) растет в секторе 1-2 и, следовательно, непрерывно проходит
через весь сектор, В2 = В±. Если бы растущая часть решения отсутство-
вала (В1 = 0), решение (15.96) содержала бы только часть А± (0,г), и мы
могли бы продолжить эту часть до прямой 2 и прибыть туда с Л2 = А±.
В присутствии большой экспоненты, это уже не так, и амплитуда (0, г)
части решения будет другой. Запишем ее в виде
А2 = А1+еВ1, (15.98)
где введена неизвестная константа Стокса.
В секторе 2-3, функция (0, г) растет, и мы приходим на линию 3 с реше-
нием
= А3 (0, г) + В3(г, 0), А3 = А2, В3 = В2 + ту А2, (15.99)
где ту — новая константа. Наконец, мы приходим к линии 4 (нижний край
разреза) с третьей константой,
= И4 (0, г) + В4(г, 0), В4 = В3, И4 = А3 + < В3. (15.100)
Используя правила (15.90) и (15.91), перенесём это решение на верхний
край:
= -М4 (г, 0) - гВ4 (0, г). (15.101)
Из-за аналитичности решения, результат (15.101), полученный на прямой 1
после полного оборота, должен полностью совпасть с первоначальным
решением (15.96). Поскольку решения (0, г) и (г, 0) линейно независимы,
находим
В[ = гАх, Л-4 = ^В^^
(15.102)
или, используя промежуточные результаты (15.98-15.100),
В1(1 + ^) + ЛА1 = Мх, Ах(1 + фу) + Вх(е + С + = гВх. (15.103)
Уравнение (15.103) должно выполняться для любой начальной суперпо-
зиции (15.96), т. е. для произвольных Ах и Вх. Это полностью определяет
константы Стокса:
= р = < = г; (15.104)
только три из четырёх уравнений, следующих из (15.103), независимы.
Для обхода по часовой стрелке, константы Стокса равны —г.
Задача 15.6
Показать, что если около точки 2 = 0 функция п(г) пропорциональна 2П,
то все константы Стокса равна 2 г со8[тг/(гг + 2)]; в этом случае точное реше-
ние уравнения Шредингера (15.81) в вблизи 2 = 0 может быть выражено
в терминах функций Бесселя Д/(п+2р раздел 9.7
15.10 Еще раз о формулах сшивки
Теперь мы можем использовать константы Стокса для получения правил
сшивки раздела 15.5. Рассмотрим, например, случай с точкой поворота
на левой стороне барьера, Рис. 15.ЗЬ, и предположим, что в классически
запрещенной области х > 0 присутствует только убывающая функция. Нам
нужно найти решение в классически разрешенной области х < 0.
Схема линий в комплексной плоскости показана на Рис. 15.8. Удобно от-
считывать фазу функции г/(г) таким образом, что аг§щ = 0 при х < 0. Поло-
жительной полуоси х > 0 тогда соответствует аг§щ = —я, и = \и\ ехр(—ггг),
и \и\ = —и, так как и > 0 при х < 0, и и < 0 при х > 0. Если х > 0, имеем
(15.105)
Рис. 15.8. Комплексная плоскость для вывода правил сшивки.
в то время как при х < О,
[ с1х у/й = —г [ Зх у/й = — Г, Г > 0. (15.106)
Л х
Решения под барьером, х > 0 , содержат
ехр [ (1ху/и \ = е±ф. (15.107)
\ Л) /
Нужным нам решением (экспоненциально падающим) является (ж,0), так
как
(/»0 \ / гх \
г I с1х у/й I = ехр I — г / Зх у/й I = е-ф. (15.108)
Л / \ зо )
Таким образом, падающее решение (ж,0) задано на прямой 7’, х > 0. Это
означает, что во всем секторе 1-2 комплексной плоскости г имеем только
падающую функцию (г,0). Обернувшись в положительном направлении,
решение начинает расти после пересечения линии уровня 2 и достигает ли-
нию уровня 3 с той же самой амплитудой, скажем равной единице. Однако,
по дороге в секторе 2-3 возникает падающее решение (0, г). В соответствии
с формулой (15.108), в непосредственной близости от линии 3 решение
имеет вид
= (г, 0) + (0 + г) (0, г) = (г, 0) + г(0, г) 'ф = (ж, 0) + г(0, ж), (15.109)
где последнее выражение написано для вещественной оси х < 0. мы уста-
новили соответствие
(ж, 0) + г(0, х) О ^(ж) О (ж,0)
; п (15.110)
х < 0 точное решение х > 0
около х = 0,
или, в обозначениях (15.105) и (15.106), и с выбранными фазами,
и-1/4е*г + е^/2и-1/4е-*г & (|и|е-ст)-1/4е-ф, (15.111)
что даёт
2п-1/4со8 (г — о |п|-1/4е-ф, (15.112)
т. е. формулу сшивки, которая совпадает с (15.56).
15.11 Близкие точки поворота
В этом параграфе мы рассмотрим более сложный случай двух точек
поворота. Если они расположены близко друг к другу, например, в верх-
ней части барьера, так что нет никакой возможности для существования
полуклассической области между ними, линейное приближение (15.44) не
работает, и нельзя рассматривать точки поворота отдельно. Метод продол-
жения в комплексной плоскости подходит и здесь, но нужно обходит обе
точки так, чтобы путь пролежал в полуклассической области.
Предполагаем, что барьер имеет общий вид, Рис. 15.5. Схема линий
уровней в комплексной плоскости показана на Рис. 15.9. Каждая точка по-
ворота подразумевает свои разрез. Мы можем действовать аналогично тому,
как это делали для одной точки поворота. Используя те же обозначения
для частных решений, при х > Ъ (линия 1) имеем
= Л1 (6, ж) + В1 (ж, 6). (15.113)
В секторе 1-2, решение (Ь, г) убывает, тогда как (г, Ь) растёт. На линию 2
приходим к
= Л2 (6, г) + В2 (г, 6), В2 = Вь Л2 = Аг + ^Ву (15.114)
где константа Стокса отличается от того, что было найдено в предыдущем
случае.
Переходя от 2 к 5, мы не пересекаем линии Стокса, и решение всё ещё
представлено суперпозицией (15.113). Здесь удобно учитывать фазу точки
х = а, поэтому запишем
= (Л1+^1В1)(6, г) + В1(г, 6) = (Л1+^1В1)е7 (а, г) + В1С-7 (г, а), (15.115)
где фазовый интеграл
ра рЪ
у = г I (1х у/й = / сВ|р(ж)| (15.116)
Рис. 15.9. Геометрия линий уровней и линий Стокса для случая двух
близких точек поворота.
переставляет собой действительное положительное число. Случай у У 1
соответствует удаленным точкам поворота, когда можно обойти каждую
из них одну за другой, потому что квазиклассическое приближение справед-
ливо в области между ними. Нынешний подход работает для произвольного
значение у.
В секторе 3-4 решение (г, а) убывает, так что на линии 4
= Л.4 (а, г) + В4 (г, а) =
= Д1 + ^1В1)е7 (а, г) + [В1в-7 + + ^В1)](г, а),
(15.117)
где 771 — это новой константой Стокса. Теперь мы пересекаем разрез в по-
ложительном направлении и применяем правило (15.90),
= —М4 (г, о) — 1В4 (а, г).
(15.118)
Остальное продолжение прозрачно, без подробных объяснений,
линии 5, 6:
Ф = -г(Л4 + &В4)(г, а) - гВ4(а, г) =
= — геДЛд + 6В4)(г, 6) — гВ4е~7(Ь, г);
линия 7:
= -ге7(А4 + ^2В4)(г, 6) - г[е~7 В4 + 772е7(А4 + &В4)](Ь, г); (15.120)
линия 1:
= -е7(А4 + ^В4)(6, ж) - [е 7В4 + 772е7(А4 + ^2В4)](ж, 6). (15.121)
Сравнение результата (15.121) с исходным выражением (15.113) даёт
—А1 = е7(Л.4 + ^2^4), ~В\ = е7[772^.4 + (€2^2 + е 27)В4]. (15.122)
Из (15.117) и (15.121), находим после простой алгебры
1 + Ы1 = -е“27, €1+€2(€т + е-27) = 0; (15.123)
Ъ + щ(6??2 - е“27) = 0,
€1% + (€1Ш + е-27)(^2??2 + е-27) = - е-27.
Только три из четырех уравнений (15.123), (15.124) являются независимы-
ми, и общее решение можно записать в виде
€1 = €2 = С Ш = % = 1], -&1 = 1 + е-27. (15.125)
Чтобы вычислить коэффициент прохождения, воспользуемся общими свой-
ствами трансфер-матрицы из разделов 9.4 и 15.5. В нашем случае, при х а
имеем волны распространяющиеся вправо (амплитуда А) и влево (ампли-
туда В), а при х Ь соответствующие волны имеют амплитуды С и В.
Введём матрицу переходам следующим образом [это обратно тому, что
использовали в (9.31)],
Задача 15.7
Используя инвариантность относительно обращения времени, преобра-
зование тока и уравнение (15.118), показать, что в нашем случае роль
коэффициентов А и В играют величины — 1В\ и — М4, соответственно,
соотношение (15.126) будет иметь вид
В4 \ _ . ( а
Л ) Ч х
13 \( АА
а* ) \ В4 У
(15.127)
где
ВеШ = |а|2 - |/3|2 = 1.
(15.128)
С другой стороны, из (15.117) и (15.125) следует, что
В4 \ / т/е7 —е7 \ / А-[ \
А4 ) = \ е7 Д В1 1
Трансфер-матрица, следовательно, даётся выражением
7? -1 \
1 € Л
(15.130)
Условие (15.128) выполняется в силу (15.125), а константы и г/ должны
быть связаны между собой соотношением = —т]*, или, с учётом (15.125):
|е|2 = Ы2 = 1 + е-2У
(15.131)
Неизвестная фаза все еще остается в этом соотношении, хотя мы знаем,
что при д 1 имеем предел изолированной точки поворота, когда все
константы Стокса равны г, уравнение (15.104).
Чтобы найти вероятность прохождения, предположим, что падающая
волна приходит слева, хотя результат будет таким же и для волны, идущей
справа, Задача 9.1. Тогда В± = 0, и матрица М определяет коэффициент
отражения,
1 _ е27
1 + е~27 ” 1 + е27 ’
(15.132)
и коэффициент прохождения,
А1 2 _ 1 _ 1 1
А |а|2 |це7|2 1 + е27
(15.133)
Конечно, автоматически К + Т = 1 в силу (15.128). Результаты (15.132)
и (15.133) справедливы для любой ширины барьера и имеют простой смысл.
Для далеких точек поворота с квазиклассической областью между ними,
7 1, и мы возвращаемся к простому результату (2.59), Т —> Д = е-27.
Вероятность отражения может быть представлена в виде бесконечного
ряда,
К = 1 - е“27 + (е“27)2----= 1 - 71 + 7 - ... (15.134)
Это можно интерпретировать в духе суммы по путям: К становится мень-
ше чем 1 из-за вероятности одиночного туннелирования Д, но мы можем
вернуться назад после двух туннелировании (+Т2) и т. д. Процессы возвра-
щения высшего порядка были проигнорированы при выводе (2.59).
Квазиклассическими результат (15.133) является точным для потенциала
типа перевернутой параболы,
С/(ж) = 1?в — -шса2ж2, где Бв — это высота барьера. (15.135)
Задача 15.8
Найти параметр проницаемости у для параболического барьера (15.135).
Решение
7(е) =
(15.136)
В этом случае можно использовать точное решение уравнения Шредин-
гера в терминах так называемой функции параболического цилиндра [94].
Это очень полезно, так как во многих приложениях барьер может быть ап-
проксимирован параболой. Несколько иной подход, полностью основанный
на использовании матриц связи, предложен в [95].
15.12 Подход с использованием функционального интеграла
Квазиклассическое (ВКБ) приближение, рассмотренное несколько по-
дробно выше, можно считать приближением геометрической оптики к точ-
ной теории интеграла по путям, глава 7. Выше мы работали с классиче-
скими траекториями или их продолжениями в комплексную плоскость.
В классическую область, эти пути соответствуют стационарной фазе и
дают основной вклад в функциональный интеграл.
Чтобы перевести явным образом квазиклассический подход на языке ин-
теграла по путям, напомним, что квантовый пропагатор (для простоты мы
используем обозначения для одномерного движения) может быть записан
в виде функционального интеграла (7.179),
<Лх,1-,х'У = У Пх(т)е(г/Й)5[ж(т)1 (15.137)
где П включает в себя бесконечное произведение нормировочных множите-
лей (7.192) и 8 есть классическое действие (7.174),
8[х(Г)] = с/т/}^ж(т), ±(т)^ , (15.138)
вдоль траектории ж(т) с фиксированными концами, х(Г) = х\ х{1) = х.
В квазиклассической ситуации, действие намного больше, чем квант дей-
ствия К, и разным путям соответствуют сильно осциллирующие ампли-
туды, которые интерферируют и гасят друг друга, за исключением тех
траекторий, которые отвечают экстремуму действия и стационарной фазе
в интеграле (15.137).
В стационарных задачах, пропагатор (15.137) зависит только от 1 —
С(х,1; х'У) — ^2 \ (15.139)
п
где {^п(ж)} представляет собой набор стационарных волновых функций
с энергиями Еп. Тогда можно положить 1' = 0 и работать в энергетическом
представлении,
С?в(ж,ж/)= [ д! е^^Е1Сфх,1-, я/,0). (15.140)
7о
Здесь появляется так называемое редуцированное действие, 8 + Е1. Для ча-
стицы в потенциале ?7(ж), эта функция даётся интегралом / дхр(х) от клас-
сического импульса вдоль траектории, в то время как 8 является полной
фазой волновой функции, уравнения (15.34)-(15.39). Условие стационарно-
сти фазы (15.38) определяет доминирующую траекторию и квазикласси-
ческое приближение для волновой функции, как описано выше. Однако
это траектория является единственным решением классических уравнений
движения только в классически разрешенной области, Е > ?7(ж). В проти-
воположность этому, если ?7(ж) > Е, уравнение стационарной фазы (15.38)
не имеет действительных решений (для действительной времени I).
Задача 15.9
Найти классическое действие (15.138) для движения частицы в потенци-
але, имеющий вид перевернутой параболы (15.135), а также стационарные
точки для пути под барьером между точками поворота а и Ь при энергии Е.
Решение Из классического уравнения движения, тх = —дЛ/дх, или х =
= са2ж, находим общее решение х(г) в терминах гиперболических функций,
и, принимая во внимание граничные условия, ж(0) = х', х(1) = х, приходим
к выражению
5(ж, ж7; I) =
------—- \(х2 + Д2) созйФ^) — 2жД1 — Лв1-
(15.141)
Взяв производную д/д1, мы видим, что уравнение (15.36), др/д! = — Е
с х' = а и х = Ь, где Е = ?7(а) = 1/(6), может быть выполнено при дей-
ствительной времени 1 только если Е > 17р. Для подбарьерного движения,
можно найти бесконечное количество комплексных решений 1п разнесенных
по мнимой оси, как 1ш(^п) = —г(2п + 1)тг/са.
В общем, описание туннелирования с помощью классических траекто-
рий требует мнимого времени] можно вспомнить в этой связи обсуждение
времени туннелирования в разделе 9.5. Классическое уравнение движения
с заменой 1 -А —ът, где т действительно, совпадает с таковым для реального
времени, но с перевернутым потенциалом. Периодичность в мнимом вре-
мени, 2тг/си, найденная в Задаче 15.9, соответствует классическому периоду
по реальному времени в этом перевернутом потенциале и, следовательно, её
можно интерпретировать как результат многократных отражений волно-
вого пакета от барьера. Теперь все эти траектории дают вклад в амплитуду
туннелирования, и картина в комплексной плоскости довольно сложная, но
можно предположить, что суммирование таких вкладов воспроизводит [96]
уравнение (15.133), которого мы уже интерпретировали, уравнение (15.134),
в терминах многократных отражений. Подход интеграла по путям позволя-
ет идти дальше и учесть не только квазиклассические траектории, но также
и соседние пути, которые отвечают за отклонения от геометрической опти-
ки, такие как дифракционные эффекты в многомерном движении, особенно
в квантовой теории поля, в которой аналоги траектории в перевернутом
потенциале называются инстантонами.
В квазиклассическом пределе с малой амплитудой подбарьерных процес-
сов, многократные отражения маловероятны, и главная траектория даёт
лидирующий вклад. Результат можно оценить с помощью классического
действия по этой «мнимой» траектории. Ограничиваясь ведущим экспонен-
циально малым членом, имеем для вероятности перехода между (в общем
случае многомерными) конфигурациями А и В оценку
Рва ~ |е(г/й)5(в’л)|2 = е-(2/й)1т[5(в,А)]_ (15.142)
Такая оценка весьма полезна, например, в химических реакциях когда два
атома при достаточно высокой кинетической энергией образуют неустой-
чивую молекулу, которая снова распадается на атомы в возбужденном
состоянии (так называемое столкновение второго типа). Полная энер-
гия сохраняется, но происходит переход между двумя конфигурациями
с различными потенциальными функциями Пдщ(г) межатомного взаимо-
действия. Уравнение (15.142) может быть применено, если эти потенциалы
«пересекаются» на мнимом расстоянии го,
Ш = (15.143)
Тогда вероятность перехода может быть оценена как
Рва ~ е_(2/^1т[5(В’г°)+5(го’Л)1.
Важное обобщение этого подхода связана с расчетом плотности уров-
ня квантовых систем. Простейшие случаи были рассмотрены в глава 3.
Метод функционального интеграла позволяет развить мощный инстру-
мент, довольно практичный по крайней мере для систем с небольшим
числом степеней свободы [4,88]. Рассматривая системы с дискретным спек-
тром энергии (или в большом объеме квантования, как в главе 3), можно
представить пропагатор в виде (15.139) и перейти к энергетическому пред-
ставлению (15.140). Чтобы интеграл по времени сходился, рассмотрим его
как предел интеграла при комплексной энергии, которая приближается
к реальной оси сверху, Е -д Е + /0. Здесь /0 означает бесконечно малую
мнимую часть гту, у -Д +0. Тогда этот интеграл по времени даёт
сЕ(х,Д = ту ДЬДпД) (15.145)
к ’ 7 ^Е-Еп + г0' у 7
где х и х' — обобщёные многомерные координаты. След этой функции,
рассматриваемой как оператор в ^-представлении, даётся выражением
ТгСв
= / с1х х} = —--—---,
7 т ’ 7 ^Е-Еп + т&
(15.146)
где воспользовались ортонормированностью собственных функций ?^п(ж).
Во многих случаях приходится сталкиваться со знаменателями, как
в (15.146). Рассмотреть внимательнее этот предел: для любого действитель-
ного г,
г 1 г х-гу
пт -----= пт —-----9.
г + гу г2 + уЛ
Действительная часть здесь,
Ит -------у = Р.у.-,
т/^+о г2 + гр г
(15.147)
(15.148)
представляет собой главное значение, которое равно 1/г, если г Д 0, и
нулю, если г = 0. Если это выражение подпадает под интегралом / б/г. мы
должны исключить точку г = 0 из интеграла с помощью симметричного
предела, 1пщ^о Мнимая часть выражения (15.147) равна
ту
-г Нт 9
т/^+о г2 + у-
- = -гтг5(г),
где мы воспользовались свойствами дельта-функции, раздел 3.3, а мно-
житель л возникает из-за нормировки (3.19). Действительно, выраже-
ние (15.149) является чётной функцией г, равной нулю при ту -л- +0, если
г Д 0, и оно обращается в +оо, если г = 0.
Наконец,
Пт —-— = Р.у. - — гтг5(г). (15.150)
г + гц г
Теперь видно, что плотность уровней системы, уравнение (3.83), прямо
связана со следом пропагатора (15.146),
р(Е) = ^6(Е-ЕП) = Дке[тгвД (15.151)
п
В подходе интеграла по путям, след пропагатора Се даётся суммой вкладов
траектории, которые замкнуты, так как х' = х. В квазиклассической ситу-
ации, вычисление плотности уровня сводится к сумме по периодическим
классическим орбитам. Так как ведущий вклад даёт траектории с наи-
меньшим действием, на практике нам часто нужны только кратчайшие
периодические орбиты, которые полностью определяются симметрией си-
стемы. Детальное изучение этой обширной темы выходит за рамки наших
лекций.
Дальнейшее чтение: [4,88-93,95,96].
Литература
[1] Ландау Л., Лифшиц Е. Механика. — 5 изд. — М. : Физматлит, 2012. —
Т. 1.— С. 224. — 18В№ 978-5-9221-0819-5.
[2] Заттег М. Тке Сонсер1на1 Веуе1ортеп1 о! С^иап1ит Мескатсе. — К.У. :
МсСгалу-НШ, 1966.
[3] \Уе188кор1 V. Рку81С8 т 1ке ТдуепИе1к Сен1нгу. — СатЬпс1§е : М1Т Ргеее,
1972.
[4] Вгаск М., Вкайшл В. 8епнс1а881са1 Рку81С8.— Веас1ш§ : АОсйеоп-АУееЕу,
1997.
[5] Тке Ткеогу о! 8утте1гу АсИопе т (^нап1ит Мескатсе / С. СаеетеШ,
Е. с!е УНо, А. Ьеугего, РЛ. ЬаЫк — Вегкп : 8ргт§ег, 2004. — Уок 54 о!
Ьес1. Мо1ее Ркуз.
[6] Ме881ак А. С^иап1ит тескатсе.— Мшео1а : Воуег РнЬксаИоне, 1999. —
2 уо1нте8 т 1.
[7] М1гтан В. Сгонр Ткеогу: Ан 1н1шИуе Арргоаск. — 8т§ароге : АУогМ
ЗЛенИйс, 2000.
[8] Ранк АУ. УУауе тескатсе. — Мтео1а : Воуег РнЬксаИоне, 2000. — Уок 5
о! Ранк ЬеЛнгее он Рку81С8.
[9] Вокг А., МоИекон В., ГЛГЬеск О. // Еоннс1а1юп8 о! Рку8Ю8. — 2004. —
Уок 34. —Р. 405.
[10] Вокг А., МоИекон В. Мис1еаг 81гнс1иге.— 8т§ароге : АУогк! 8с1ен1Шс,
1998. —Уок 1 анй 2.
[11] Ландау Л., Лифшиц Е. Теория поля. — 8 изд. — М. : Физматлит, 2012. —
Т. 2. — С. 536.18ВИ: 5-9221-0056-4.
[12] Берестецкий В., Лифшиц Е., Питаевский Л. Квантовая электродина-
мика. — 4 изд. — М. : Физматлит, 2002. — Т. 4. — С. 720. — 18ВК: 5-9221-
0058-0. — Курс Ландау-Лифшица.
[13] Зонгсее ш С^иап1ит Месйатсв. — Мтео1а : Воуег РпЬйса1юп8, 1968. —
Уок 5 о! СШеше о! 8с1епсе.
[14] Войг А., ИНЬеск О. // Кеу. Мой. Рйу8. — 1995.- Уок 1. — Р. 67.
[15] Сойеп-Таппоийф С., Ош В., Ба1ое Е. С^иап1ит Месйатс8.— АУПеу-
1п1ег8С1епсе, 2006. — Уок 1 апс! 2.
[16] Вго^йе Б. В. Без 1псег1йийе8 В’Не18епЬег§ е! Б’1п1егргё1а1юп РгоЬа-
ЫЙ81е Ле 1а Мёсатцие Опс1и1а1о1ге. — Рапе : Вог<1а8, 1982.
[17] Наут V., Яопске В. Тйе Ипсег1аш1у Ргтс1р1е ш Нагтошс Апа1у818.—
8ргт§ег, 1994.
[18] В1а1утск1-В1ги1а I., Мустекк! Л. // Сотт. Ма1й. Рйуз.— 1975.—
Уок 44. — Р. 129.
[19] Вескпег АУ. // Ргос. Ка1. Асай. Зек БЗА. — 1975. — Уок 72.- Р. 638.
[20] Апйегзоп М., е! ак // 8с1епсе.— 1995. —Уок 265. —Р. 198.
[21] Войт А. С^иап1ит Месйап1с8: ЕоппйаИоп8 апй Аррйса1юп8.— 2 ейь
1юп. — К.У. : 8рпп§ег, 1986.
[22] Вугоп Е., ЕнПег К. Ма1йета11С8 о! С1а881са1 апй С^иап1ит Рйуъхсз.—
Мтео1а : Воуег РпЫ1са1юп8, 1992.
[23] Вйас Р. Тйе Рппс1р1е8 о! С^иап1ит Месйатсв. — 4 еййюп. — Ох1огй
Птуег811у Рге88, 1968.
[24] Зсйдут^ег 4. (^нан1ит Месйатсв: ЗутЬойет о! А1опнс Меа8нгетен18. —
Зргт^ег, 2001.
[25] Войт В. // Рйуе. Кеу. — 1952. — Уок 85. — Р. 166, 180.
[26] Е1етт§ С. // Кноуо Сит А. — 1973. — Уок 16. — Р. 232.
[27] Ееуптап К., Н1ЬЙ8 А. (^нап1ит Месйатсв апс! Ра1й 1п1е§га18. — К.У. :
МсСгалу-НШ, 1965.
[28] Ееуптап К. // Кеу. Мой. Рйу8. — 1948. — Уок 20. — Р. 367.
[29] АУетЬег^ 8. С^иап1ит Е1е1й Тйеогу. — СатЪпй§е Итуегейу Ргеее, 1995. —
Уой 1.
[30] Реге1отоу А., 2е1’йоу1сй У. С^иап1ит МесЬатсз: 8е1ес1ес1 Торхсз.—
8т§ароге : АУог1й 8с1еп11йс, 1998.
[31] Шапё 8. // РНуй. Кеу. А. - 1999. - Уо1. 60. - Р. 262.
[32] 2асйо8 С., Еаййе В., Сшйп^й! Т. С^иап1ит Месйатсе т Рйаее 8расе.—
8т§ароге : АУог1й 8с1еп11йс, 2005.
[33] йиеВп й. 2. Ра1й т1е§га1е т ^иап1ит тесйатсе. — 2004.
[34] ЕЫесйег К. // РЬуе. Кер. - 2002. - Уо1. 370. - Р. 537.
[35] С.8. АУи, Е. АтЫег, К.АУ. Наудуагй е! а1. // Рйу8. Кеу. - 1957. - Уой
105. —Р. 1413.
[36] С.8. АУоой, 8.С. ВеппеИ, В. Сйо е! ай // Зстепсе. - 1997. - Уой 275,
по. 5307. - Р. 1759.
[37] Сйтоге К. Ые Сгоире, Ые А1§еЬга8, апс! 8оте о! ТЬек АррйсаИопе. —
IV.У. : АУйеу 1п1ег8С1епсе, 1974.
[38] Не88 К. Айуапсей Тйеогу о! 8епйсопс1ис1ог Веутсее. — Еп§1едуоой Сййе :
РгепВсе Най, 1988.
[39] Ноййееоп Ь., Ваут С., Ескег! М. // Кеу. Мой. Рйуе. — 1987. — Уой 59. —
Р. 287.
[40] 8сйеп81ей I. А Соигее оп 1йе АррйсаИоп о! Сйоир Тйеогу 1о (^иап!ит
Месйатсе. — Мате : Уео Ргеее, 1976.
[41] АУ1§пег Е. 8утте1пе8 апс! КейесИопе. — В1оотт§1оп : 1псйапа ЕГтуег-
811у Ргеее, 1967.
[42] Вду1§й1 Н. ТаЫее о! Ы1е§га18 апс! О1йег Ма1йетаИса1 Ва1а. — 4 еййюп. —
М.У. : МастШап Сотрапу, 1961.
[43] ОКег Е. А8утр1о11С8 апй 8рес1а1 Еипс1юп8. — У.У. : Асайегтс Рге88,
1974.
[44] Тау1ог й. 8са11епп§ 1йеогу: 1йе ^иап1ит 1йеогу о! попге1а11У1811с соШ-
8ЮП8. — У.У. : АУйеу, 1972.
[45] Вах’ А. // 4ЕТР. - 1959. - Уок 36. - Р. 1762.
[46] НокепЬег^ Р., Кокп XV. // Ркуе. Кеу. — 1964. — Уок 136. — Р. В864.
[47] Реуптап К., ЬещЫоп К., ЗапсЕ М. Тке Ееуптап 1ес1игез оп рЬузтсз:
С^иап1ит тескатсе.— Ас1с118Оп-АУе81еу, 1965.
[48] 81оуапоу С., 2е1еутзку V. // Рку8. Кеу. С.— 2004.— Уо1. 70.—
Р. 014302.
[49] Шеке К. // Ркуе. Кеу. — 1954. — Уок 93. — Р. 99.
[50] Ногсй М., Уо1уа А., 2е1еут§ку V. // Ркуе. Кеу. Ье11. — 1999. — Уок 82. —
Р. 2064.
[51] Со1иЬ С., Ьоап С. V. Ма1пх Сотри1а1юп8. — ВаШтоге : Тэкпе Норкте
ИтуегеИу Ргеее, 1996.
[52] Кеппапп 8., Мапптеп М. // Кеу. Моск Рку8.— 2002.— Уок 74.—
Р. 1283.
[53] МойЫпзку М., Згтгпоу V. Тке Нагтотс О§сШа1ог т Мокегп Рку81С8. —
Ат§1ег(1ат : Напуоос! АсасЕпйс РиЬкекеге, 1996. — Уок 9 о! Соп1етро-
гагу Сопсер1е т Рку81С8.
[54] Ь.-А. АУи, Н.Х ЮтЫе, ХЬ. На11, Н. АУи // Рку8. Кеу. ЬеК.- 1986.-
Уок 57. - Р. 2520.
[55] АУа14 К. Сепега! Ке1аИу11у. — СЫса^о : Тке Итуегеку о! СЫса^о Ргеее,
1984.
[56] Ипгик АУ. // Ркуе. Кеу. О. — 1976. — Уок 14.- Р. 4.
[57] Сагги1кег8 Р., №е!о М. // Кеу. Моск Ркуе.— 1968. — Уок 40.— Р. 411.
[58] Сауее С. // Ркуе. Кеу. О. — 1981. —Уок 23.-Р. 1693.
[59] АУа11 В. // Ш1иге. - 1983. - Уок 306. - Р. 141.
[60] Акагопоу V., Вокт В. // Ркуе. Кеу. — 1959. — Уок 115. — Р. 485.
[61] ЕкгепЬег^ АУ., ЗМау К. // Ргос. Ркуе. 8ос. В. — 1949. — Уок 62.- Р. 8.
[62] Рееккт М., Топотига А. Тке Акагопоу-Вокт ЕЕес1. — Вегкп : Зргт^ег,
1989. — Уок 340 о! Ьес1. 1Чо1е8 Ркуе.
[63] Ьапйаи Ь. // Хе. РйУ8. - 1930. - Уо1. 64. - Р. 629.
[64] Ландау Л., Лифшиц Е. Статистическая физика.— М. : Физматлит,
2010. - Т. 5. - С. 616. - 18В№ 5-9221-0054-0. - Часть 1.
[65] Тйе С^иап1ит На11 ЕЙРес! / Е<4. Ьу К.Е. Ргап^е, 8.М. Сплин.— ГСУ. :
8ргт§ег, 1987.
[66] уоп К11121п§ К., Вогйа С., Реррег М. // РЬуз. Кеу. Ье11.— 1980.—
Уо1. 45.-Р. 494.
[67] Т§ш В., 81огтег Н., Соззагс! А. // Рйу8. Кеу. Ье11.— 1982. — Уо1. 48.—
Р. 1559.
[68] Ьан^Ыт К. // Рйу8. Кеу. ЬеК. - 1983. - Уо1. 50. - Р. 1395.
[69] ЕеЫтан А., Кайп А. // Рйу8. Кеу. В. — 1970. — Уо1. 1. — Р. 4584.
[70] Веггу М., Резйкт М. // Рйу81С8 ТсЛау. — 2010. — Р. 9. — Ан^неЕ
[71] ЗПуегтан М. С^иап1ит 8прегро8Йюп.— Вегйп : 8рпн§ег, 2008.
[72] 81оне М. С^иап1ит На11 Еййс!.— 8т§ароге : АУогИ 8с1еп11йс, 2001.
[73] уоп К1йх1п§ К. // Кеу. Мой. Рйу8. — 1986. — Уо1. 86. — Р. 519.
[74] Уап§ С. // Кеу. Мой. Рйуе. - 1962. - Уой 34.- Р. 694.
[75] Ьапйаи Ь. // ЙЕТР. - 1941. - Уо1. 11. - Р. 592.
[76] АпОегеоп Р. // Кеу. Мой. Рйу8. — 1966. — Уо1. 38. — Р. 298.
[77] АЛатахоу Ь., Ьагкт А. // ЙЕТР ЬеК. — 1965. — Уо1. 48. — Р. 875.
[78] йо8ерЙ8оп В. // Рйу8. Ье11. — 1962. — Уо1. 1. — Р. 25.
[79] Тау1ог В., Рагкег АУ., Ьан§енЬег§ В. Еинс1атеп1а1 Соп81ап18 апс! (^иап-
1ит Е1ес1гос!упапнс8. — Асаскпшс Ргеее, 1969.
[80] ТШеу В., ТШеу Й. 8ирегйшс1йу апс! ЗирегсопйисИуйу.— 2 еййюп.—
Вп81о1 : Ас!ат Нй^ег, 1986.
[81] Най Н., Утеп АУ. // Ргос. Коу. 8ос. А. — 1956. — Уо1. 238. — Р. 204.
[82] ВоппеПу К. // Аппи. Кеу. ЕЙЙЙ Месй. - 1993. - Уо1. 25.- Р. 325.
[83] Е. СЬеуу, К. МасИеоп, V. ВгеПн, 4. ВаИЪагсЬ — сопс!-та1/0104218.
[84] Реуптап В. Рго^гезз т Роду Тетрега1нге РНузюз / Ес1. Ьу С.4. Сог1ег. —
Ат81егс1ат : Вог111 НоПанф 1955. — Уо1. 1.— р. 17.
[85] Вагоне А., Ра1егпо С. Рку81С8 апс! АррПсаИопе о! Изе 4о8ерр8оп ЕЙЕесЕ —
кРУ. : 4оНп АУПеу & Зоне, 1982.
[86] Заеклу АУ. Е1ес1псИу, Ма^пеИет, апс! — Асас1епнс Ргеее, 2002.
[87] Зонт Е. // Кеу. Моск РНуе. - 1987. - Уок 59. - Р. 87.
[88] Си12дуШег М. СЬао8 т С1а881са1 апс! С^иап1ит МесЬатс8. — РРУ. :
Зргт^ег, 1990.
[89] ВаЫкоу V. // Зоу. РНуе. Пер. - 1967. - Уок 10. - Р. 271.
[90] Са1о§его Е. УапаЫе РЬа8е АрргоасЬ 1о Ро1епПа1 8са11егт§. — кРУ. :
АсаОепнс Рге88, 1967.
[91] Ргезпуакоу Ь. // РЕуе. Веу. А. — 1991. — Уо1. 44. — Р. 5636.
[92] Ландау Л., Лифшиц Е. Квантовая механика (нерелятивистская тео-
рия). — 6 изд. — М. : Физматлит, 2004. — Т. 3. — С. 800. — 18ВРР 5-9221-
0530-2.
[93] Неас1т§ 4. Ап 1п1гос1ис1юп 1о РЬа8е 1п1е§га1 МеПюсЕ. — Ьопс1оп :
МеПшеп, 1962.
[94] КетЫе Е. // РНуе. Кеу. — 1935. — Уок 48. — Р. 549.
[95] Еготап К., Еготап Р. 4АУКВ АрргохттаПоп.— Ат81егс1ат : Ког1Ь-
НоПапф 1965.
[96] Вгтк О., ЗтПапеку И. // Кнс1. РНу8.— 1983. — Уок А405. — Р. 301.
Предметный указатель
А
адиабатический инвариант, 8
аксиальный вектор, 233
алгебра 817(1,1), 376
алгебра Гейзенберга-Вейля, 348
алгоритм Ланцоша, 321
альфа-распад, 47
амплитуда вероятности, 143
антикоммутатор, 159
антилинейные преобразования, 230
атом водорода, 11
отрицательный ион, 126
В
вариационный метод Рэлея-Рит-
ца, 304
вариационный принцип, 299
вектор Рунге-Ленца, 218
вероятностная интерпретация, 111
вероятность выживания, 209
виртуальные процессы, 136
вихревая решетка, 427
внутренняя чётность, 236
волновая функция
асимптотическая, 264, 281
вероятностная интерпретация,
31, 82, 143
волновой пакет, 81, 103, 114
гармонического осциллятора,
338
затухающая, 108
квазиклассическая, 77, 435
макроскопическая, 413
монохроматическая, 33
нормировка, 31, 59, 144
ортогональность, 54, 154
полнота, 54, 76
пробная, 301
расплывание, 117
релятивистский волновой па-
кет, 118
узлы, 52
уровни Ландау, 396
условие сшивки, 443
эволюция во времени, 59, 81,
118
волны де Бройля, 26
вращение молекулы, 127
время задержки, 273
вронскиан, 269, 325
вырожденная гипергеометрическая
функция, 334
вырожденные состояния, 18, 30,
51, 155, 176, 190, 249, 268,
341, 393
Г
гамильтониан, 185, 385
гамма-функция, 279
гармонический осциллятор, 9
волновые функции, 338
двумерный, 339
динамика, 187, 205
изотропный, 341
когерентное состояние, 364
операторное решение, 352
эквидистантный спектр, 330
гауссовский волновой пакет, 120
генератор, 169
генератор вращения, 96
генератор пространственного сдви-
га, 91
геометрическая оптика, 76, 439
гигантский резонанс, 317
гидродинамическая аналогия, 197,
412
гипергеометрическое уравнение, 329
глубина проникновения, 42
гомоморфизм, 253
граничное условие, 36
групповая скорость, 115
группы
абелевы, 97
Лоренца, 254
неабелевы, 97
непрерывные, 169
пространственные, 250
сопряжённые классы, 252
унитарные, 166
циклические, 254
д
двухатомная молекула, 127
двухуровневая система, 305
дельта-функция, 55, 105
диагонализация, 162
диамагнитный ток, 388
дипольный момент, 213, 239
дискретный спектр, 325
дифракция, 107
доплеровское уширение, 134
дополнительность, 111, 142
дополнительные квантовые числа,
176
3
закон Био-Савара-Лапласа, 13
закон Ома, 398
закон Снеллиуса, 37
затухающая волна, 108
зеркальное отражение, 236
И
импульсное представление, 81, 153,
191
инвариантное подпространство, 254
инвариантность
относительно обращения вре-
мени, 227
индуцированное излучение, 351
интеграл Гаусса, 225
интеграл по пути, 464
интеграл по траектории, 218
интерпретация Бома, 198
интерференция, 110, 144
информационная энтропия, 179
К
калибровочная инвариантность, 384,
407
канонический импульс, 383
каноническое преобразование, 342,
365, 370
картина Гейзенберга, 202
картина Шрёдингера, 202
квазиимпульс, 242
квазиклассический, 368
квазиклассический матричный эле-
мент, 450
квазистационарное состояние, 11,
131, 294
квазичастицы, 402
квант, 3
квантование, 124
квантование Бора-Зоммерфельда,
447
квантование магнитного потока,
391, 406, 428
квантование орбитального момен-
та, 27
квантовое гало, 42, 62
квантовое состояние
вакуумное, 349
вектор в гильбертовом простран-
стве, 150
квазистационарное, 11, 294, 313
когерентное, 357
когерентное магнитное, 409
локализованное, 90
резонансное, 68
связанное, 51,122, 303
сжатое, 374
стационарное, 34
условие полноты, 363
квантовые вихри, 424
квантовый оператор
векторный, 89
вращения, 96, 170
единичный, 156
импульса, 85, 172
коммутационные соотношения,
87
комплексно сопряжённый, 158
координаты, 85, 172
лестницы, 347
линейные, 155
математическое ожидание, 85
матричное представление, 157
нормального упорядочения, 360
обратный, 98
обращения времени, 227
орбитального момента, 89, 96
повышающий, 350
понижающий, 350
представление, 87
преобразование, 167
проекционный, 170
пространственного сдвига, 169,
359
псевдовектор, 233
псевдоскаляр, 233
рождения, 351
сдвига, 92
скаляр, 233
собственная функция, 90
собственное значение, 90
транспонировать, 158
унитарный, 216
уничтожения, 351
уравнения движения, 203
фаза, 413
фазы, 368
числа квантов, 368
эрмитов, 157
квантовый хаос, 311
квантовый эффект Холла, 398
кванты осциллятора, 351
классический радиус электрона,
14
колебания молекул, 128, 249
комбинационный принцип Ритца,
6
коммутатор, 88, 157, 203, 217, 386
комптоновская длина волны, 14,
139
конденсат Бозе-Эйнштейна, 183,
413
конфигурационное пространство,
30
корпускулярно-волновой дуализм,
114
коэффициент отражения, 39, 267,
289, 463
коэффициент прохождения, 39, 267,
289, 463
кристаллическая решётка, 239
кристаллический импульс, 242
кубит, 306
кулоновский барьер, 48
ку перовские пары, 419
Л
лемма Шура, 255
лестничная конструкция, 347
линейный источник, 365
линии Стокса, 455
логарифмическая производная, 67
М
магнетон Бора, 22
магнитное зеркало, 40
магнитное квантовое число, 18
магнитное поле, 40, 383
магнитный момент
аномальный, 24
нейтрона, 24
орбитальный, 22
протона, 24
электрона, 22
макроскопическая когерентность,
411
матрица перехода, 462
матрица преобразования, 271
матрица рассеяния 8, 272
матричный элемент, 157, 189, 350,
450
мезонный обмен, 137
метод Лапласа, 281
мнимое время, 47, 275, 466
многосвязная геометрия, 424
множитель Лагранжа, 300
мультиполь-мультипольная сила,
317
Н
наблюдаемые, 172
направленнность, 234
недиагональный дальний порядок,
414
неортогональный базис, 305
непреводимое представление, 254
непрерывный спектр, 265
неравенство треугольника, 152
несохранение чётности, 237
О
обозначения Дирака, 87, 151
оболочечная структура, 341
обратимость, 231
обратная решётка, 240
одновременная измеримость, 175
одномерное
рассеяние, 287
одномерное движение, 51
в континууме, 263
связанное, 51
оптическая теорема, 289
орбитальный момент, 18
квантование, 140
сохранение, 215
ортогонализация, 162
П
параметр Зоммерфельда, 48
парный источник, 370
периодические условия, 75
плоская волна, 30, 90
плоский ротатор, 192
плотность вероятности, 33, 143, 195
плотность уровня, 467
полиномы Лагерра, 335
полиномы Эрмита, 335
полное отражение, 268
полуклассическое квантование, 18,
405
полярный вектор, 233
постоянная Планка, 2
постоянная Ридберга, 7
постоянная тонкой структуры, 12
постоянная Холла, 400
постулаты Бора, 7
потенциал
векторный, 109
возмущения, 292
гармонического осциллятора,
9, 327
гравитационный, 124
дельта-функции, 65, 289
Кулона, 10
кулоновский, 218
масштабирование, 208
нелокальный, 189, 197
периодический, 241
стена, 37
электромагнитный, 109, 384
яма, 65
ящик, 52, 181
потенциал Юкавы, 17, 138
потенциальная стенка, 35
потенциальный барьер, 45
поток вероятности, 32
правила отбора, 238
правила сумм, 211
правило сумм Томаса-Райхе-Ку-
на (ТРК), 213
представления групп, 252
преобразование базиса, 165
преобразование Боголюбова, 370
приближение Борна, 293
приближение Борна-Оппенгейме-
ра, 129
приближение Вентцеля-Крамер-
са-Бриллюэна (ВКБ), 433
приведённая масса, 15, 128
принцип Гюйгенса, 223
принцип исключения Паули, 126
принцип минимальности, 383
принцип соответствия, 19
принцип суперпозиции, 34, 144
присоединённый вектор, 152
проводимость Холла, 401
проникновение через барьер, 41
пространственная инверсия, 231
пространственное квантование, 97,
139
пространственно-неподвижная си-
стема, 251
процесс переброса, 245
Р
радиус Дебая, 18
разделение переменных, 339
распределение Вигнера, 200
распределение Лоренца, 132
распределение Пуассона, 361
расталкивание уровней, 308
растянутые координаты, 78
резонансная флуоресценция, 134
релятивистское соотношение неопре-
делённости, 138
С
сверхизлучение, 317
сверхпроводники, 419
сверхтекучая, 413
свойство перестановки, 256
связанные осцилляторы, 373
секулярное уравнение, 304
сила Лоренца, 384, 403
симметрия
калибровочная, 384
относительно обращения вре-
мени, 227
отражения, 64
преобразования, 92
решётки, 239
спонтанное нарушение, 217
система Рауса, 425
система, скреплённая с телом, 251
скалярное произведение, 151
скобки Пуассона, 204
слабое взаимодействие, 237
случайное вырождение, 18
собственная функция, 90
собственное значение, 90, 163
собственные значения, 155
собственные функции
орбитальный момент, 97
соотношение неопределённостей,
91, 103, 138, 174, 353, 364,
375
сопряжённые линии Стокса, 455
состояние Гамова, 297
спонтанное излучение, 351
стационарная фаза, 117, 223, 441
Т
теорема Бернсайда, 258
теорема вириала, 207
теорема Ирншоу, 6
теорема колебаний, 326
теорема непересечения, 309
теоремы Эренфеста, 205
теория возмущений
внезапное, 60
слабое, 309
тепловое равновесие, 379
тождество Якоби, 89
ток вероятности, 388
точка
поворота, 77
точка поворота, 45, 446
трёх-диагональная матрица, 322
туннелирование, 43, 275, 297, 419
У
угловой момент
вращение, 141
орбитальный, 96
прецессия, 141
удвоение перехода, 317
уклонение от пересечения уровней,
308
умножение матриц, 152
уравнение непрерывности, 32, 195,
266, 438
уравнение Риккати, 437
уравнение Шрёдингера, 185, 222
уравнение Эйлера, 279
уровни Ландау, 391
усечённый базис, 304
условия сшивки, 38
Ф
фаза рассеяния, 296
фазовая скорость, 116
фигуры Лиссажу, 341
формула Бальмера, 7
формула Стирлинга, 282
формулы сшивки, 458
фотон, 4
фотоны, 74
фотоэффект, 4
фрагментация интенсивности, 314
функции Бесселя, 278, 421
функции Блоха, 241
функциональный интеграл, 218
функция Гаусса, 57
функция Грина, 60
время эволюции, 60
гармонического осциллятора,
339
одномерное рассеяние, 287
операторная форма, 316
эволюция во времени, 118
функция Эйри, 278, 444
X
характеры, 259
химический потенциал, 414
холодная эмиссия, 46
ц
центр симметрии, 250
центральная симметрия, 79
центробежный потенциал, 343
циклотронная частота, 391, 404
циркуляция, 388, 424
Ч
частота Раби, 312
чётность, 54, 64, 193, 231, 303
Ш
ширина уровня, 132
Э
экранирование, 17, 126
эксперимент Дэвиссона-Джерме-
ра, 26
эксперимент Резерфорда, 6
эксперимент Фриша, 5
электрическое поле, 47, 206, 275,
366
электродинамика Лондона, 428
электродинамика Пиппарда, 431
элемент симметрии, 249
энергетическое представление, 55,
187
эрмитово сопряжение, 158
эффект Ааронова-Бома, 389
эффект Джозефсона, 199
эффект Комптона, 5
эффект Мейснера, 429
эффект Мёссбауэра, 135
эффект Рамзауэра-Таунсенда, 72
эффект Унру, 380
Я
явление Стокса, 457
ядерный магнетон, 24
яркое состояние, 314
Министерство образования и науки РФ
Новосибирский государственный университет
Физический факультет
Квантовая физика
Том 2
Атом в центральном поле
Учебное пособие
Новосибирск — 2013
п
Автор: Зелевинский В. Г.
Редактор перевода: д.ф.-м.н. Дмитриев В. Ф.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Сербо В. Г.
Учебное пособие содержит современное изложение основных фундамен-
тальных положений квантовой физики с их применением в атомной и
ядерной физике, втором томе курса подробно рассматривается строение
атома на примере атома водорода, обсуждаются тонкие и сверхтонкие
эффекты. Вводится спин и алгебра моментов, а также её приложения к
движению в центральном поле. Строится стационарная теория возмущений
и обсуждается влияние внешних электрических и магнитных полей на
атомные спектры. Разделы глав, наряду с теорией, включают задачи и их
решения в количестве, достаточном для полноценного усвоения материала.
Издание предназначено для студентов физических и физико-технических
факультетов университетов.
Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009-2018 гг.
©Зелевинский В. Г. 2013
©Новосибирский государственный университет, 2013
Оглавление
1 Момент импульса и сферические функции 1
1.1 Угловой момент как генератор вращений.................. 1
1.2 Спин................................................... 3
1.3 Мультиплеты углового момента........................... 5
1.4 Матричные элементы момента импульса................... 12
1.5 Реализация алгебры орбитального момента............... 16
1.6 Построение множества сферических функций.............. 19
1.7 Простейшие свойства сферических....................... 21
1.8 Скаляры и векторы..................................... 22
1.9 Тензоры второго ранга................................. 27
1.10 Сферические функции и полиномы Лежандра.............. 30
1.11 Угловой момент во внешнем поле....................... 34
2 Движение в центральном поле 39
2.1 Приведение к задаче одного тела....................... 39
2.2 Разделение угловых переменных......................... 42
2.3 Радиальная часть уравнения Шредингера................. 46
2.4 Свободное движение ................................... 50
2.5 Плоская и сферическая волны........................... 56
2.6 Сферическая потенциальная яма......................... 58
2.7 Короткодействующий потенциал.......................... 62
2.8 Добавление второго центра ............................ 63
2.9 Трехмерный гармонический осциллятор................... 66
3 Атом водорода 71
3.1 Связанные состояния................................... 71
3.2 Основное состояние.................................... 74
3.3 Дискретный спектр..................................... 76
3.4 Операторное решение................................... 86
3.5 На пути к прецизионной спектроскопии.................. 89
3.6 Решение в параболических координатах.................. 90
3.7 Состояния континуума.................................. 93
4 Стационарное возмущение 99
4.1 Введение.............................................. 99
4.2 Теория возмущения без вырождения......................101
4.3 Сходимость............................................106
4.4 Случай близкорасположенных уровней....................109
4.5 Адиабатическое приближение............................110
4.6 Молекулярный ион водорода.............................115
4.7 Взаимодействия атомов на больших расстояниях..........120
5 Спин 1/2 123
5.1 5^/(2) группа.........................................123
5.2 Спин 1/2: алгебра.....................................125
5.3 Спиноры...............................................130
5.4 Магнитный резонанс....................................135
5.5 Преобразование обращения времени и теорема Крамера .... 138
5.6 Состояния сопряженные по времени......................139
5.7 Спиноры как кубиты....................................141
б Конечные вращения и тензорные операторы 147
6.1 Матрицы конечных вращений.............................147
6.2 Сферические функции как матричные элементы конечных вра-
щений .................................................149
6.3 Теорема сложения......................................153
6.4 Преобразование операторов.............................155
6.5 Введение в правила отбора.............................158
6.6 Электромагнитные мультиполи...........................159
7 Сложение угловых моментов 165
7.1 Две подсистемы........................................165
7.2 Разложение приводимых представлений...................168
7.3 Две частицы спина 1/2.................................170
7.4 Тензорные операторы и обобщённые правила отбора.......175
7.5 Приложение к электромагнитным мультиполям ............177
7.6 Векторное сложение угловых моментов ..................179
7.7 Теорема Вигнер — Эккарта..............................183
7.8 Векторная модель......................................184
7.9 Электрический дипольный момент и анапольный момент .... 187
7.10 Ряды Клебша—Гордана....................................188
8 Тонкая и сверхтонкая структура 191
8.1 Спин-орбитальное взаимодействие.........................191
8.2 Спин-орбитальное расщепление............................193
8.3 Тонкая структура атома водорода ........................198
8.4 Тонкая структура в сложных атомах.......................201
8.5 Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие....203
8.6 Магнитная сверхтонкая структура........................207
8.7 Пример: один валентный электрон........................210
8.8 Квадрупольная сверхтонкая структура ...................213
9 Атом в статическом поле 217
9.1 Поляризуемость в постоянном электрическом поле.........217
9.2 Эффект Штарка..........................................219
9.3 Поляризуемость атома водорода .........................221
9.4 Эффект Штарка в атоме водорода.........................223
9.5 Неоднородное электрическое поле и дополнительные комментарии225
9.6 Классический эффект Зеемана............................226
9.7 Квантовая система в магнитном поле ....................228
9.8 Нормальный квантовый эффект Зеемана....................229
9.9 Аномальный квантовый эффект Зеемана....................231
9.10 Более сильное магнитное поле...........................232
9.11 Диамагнетизм...........................................235
9.12 К действительно сильным магнитным полям................237
Литература
241
Природа — это бесконечная сфера,
центр которой везде, а окружность —
нигде.
Б. Паскаль, Мысли
Глава 1
Момент импульса и сферические функции
1.1 Угловой момент как генератор вращений
Мы уже встречались несколько раз с оператором I орбитального мо-
мента (1.4.34). Коммутационные соотношения между его компонентами
были получены в Задаче 1.4-5. В разделе 1.4.7 мы ввели преобразования
вращения и интерпретировали оператор орбитального момента как генера-
тор вращений. Позднее, в разделе 1.7.10, мы кратко обсудили сохранение
углового момента. Орбитальный момент относительно неподвижной оси
появился снова в задаче двумерного осциллятора, разделе 1.11.5, и мы ввели
лестничные компоненты У± векторных операторов, уравнение (1.11.104),
которые меняют проекцию орбитального момента на ±1.
Теперь нашей целью является отслеживание общих геометрических и
алгебраических свойств углового момента в квантовой механике, чтобы
связать их с интуитивной картиной вращения. В отсутствие внешних полей,
конечный объект в покое (в системе отсчета, где полный линейный импульс
равен нулю, Р = 0), можно характеризовать сохраняющимся вектором
полного углового момента Л; орбитальный момент I частицы, уравнение
(1.4.34), является частным случаем.
Оператор полного углового момента Л является генератором, разделе
1.6.10, бесконечно малых вращений. Вращения в трехмерном пространстве
требуют трех углов для их параметризации, например, полярный и азиму-
тальный углы оси вращения по отношению к некоторой фиксированной
системы координат, и угол поворота вокруг этой оси. Рассмотрим поворот
на бесконечно малый угол 5 а вокруг оси, которая характеризуется единич-
ным вектором п. При таком вращении, волновая функция -0 меняется на
величину, пропорциональную 5а. Это преобразование, 7^п(5а), генерирует-
ся посредством действия оператора (Л • п), который является проекцией
углового момента на ось вращения,
-д = (1 — г(Л • (1.1)
здесь и всегда мы будем измерять все операторы углового момента в
единицах К. Уравнение (1.1) есть не что иное, как определение оператора
углового момента для данной системы; мы должны найти преобразованную
волновую функцию явным образом и сравнить результат с уравнением (1.1)
для того, чтобы определить оператор Л. Хотя конкретная форма оператора
углового момента различна для разных систем, его роль как генератора
вращений в трехмерном пространстве приводит к универсальной алгебре.
Конечный поворот на угол а, сравните (1.4.49) и (1.4.52), может быть
получен как предел большого числа, Аг ос. последовательных малых
поворотов на 5а = а/К вокруг одной и той же оси. Оператор конечного
поворота имеет вид
тгп(а) = Итдг-юо (1 - «(Л ‘ п) |)) = ехр(-г(Л • п)а). (1.2)
Здесь мы воспользовались тем, что повороты на разные углы вокруг одной
и той же оси коммутируют. Повороты сохраняют скалярные произведения
между векторами состояний в гильбертовом пространстве: амплитуды не
меняются при любом вращении К всего пространства,
(1.3)
Поэтому оператор преобразования (1.2) должен быть унитарным.
т^1г = \ => ^ = тг_1. (1.4)
Любой унитарный оператор V может быть выражен, уравнение (6.112),
как
V = ег6
п\
(1-5)
где экспонента является символическим представлением бесконечного ряда
и генератор С унитарного преобразования, Л в нашем случае, эрмитов.
В частном случае орбитального момента частицы, Л => удобно иметь
дело непосредственно с координатным представлением ?Дг) волновой функ-
ции частицы. Результат преобразования ?Дг) ПРИ вращении известен: после
поворота, в точке г значение волновой функции будет таким же, каким он
был перед поворотом в точке 7^-1г, где обозначает обратное вращение,
^(г) = 7?дДг) = ^(7^-1г). (1.6)
Как показано в разделе 1.4.7, это определяет орбитальный момент стан-
дартным в механике способом (1.4.34).
Наше определение поворота (1.6) означает, что мы поворачиваем физиче-
ский объект ("активная интерпретация"). Вращение системы координат
("навивная интерпретация") эквивалентно, с точки зрения преобразова-
ний, к противоположному повороту системы. Соответствующие операторы
конечного вращения были бы сопряжены к нашим операторам (1.2). Это
различие подчеркивает причину появления обратного преобразования в
уравнении (1.6). Координатная волновая функция ?Дг) есть, в обозначениях
Дирака, проекция (г^) вектора состояния \ф) на локализованное состояние
|г). Нас интересует координатная волновая функция (г|7?/?Д повернутого
состояния Но для унитарного преобразования 77 имеем
<г|тг<0> = <7гтг|^> = <7г_1г|Д, (1.7)
что как раз то, что нам нужно в свете уравнения (1.6). Здесь ТСф повора-
чивает физическую систему, тогда как 7^-1г вращает точку наблюдения в
противоположном направлении; эти амплитуды совпадают.
1.2 Спин
В общем случае, результат вращения не может быть сведен к явному
преобразованию координат (1.6). Волновая функция может состоять из
нескольких компонентов, которые подвергаются линейному преобразова-
нию при вращении, в дополнение к преобразованию (1.6) их координат-
ной зависимости. Такими компонентами могут описываться различные
внутренние состояния объекта, и обычно эти компоненты называются
спиновыми степенями свободы. Если 8 является векторным генератором
(1.1) этого преобразования, суммарный эффект вращения на волновую
функцию системы описывается полным угловым моментом,
Л = Ь + 8, (1.8)
где Ь обобщает одночастичный орбитальный момент 7, уравнение (1.4.34), на
произвольную систему. Для многочастичной системы, глобальное вращение
одинаково действует на все частицы, так что полный орбитальный момент
являются аддитивной комбинацией одночастичных моментов (полный
угловой момент з = I + 8 частицы состоит из ее орбитального и спинового
моментов)
= Ь = 8 = ^2®»; ]а = Ч + 8о. (1-9)
а а а
В качестве естественного примера рассмотрим векторную функцию У(г).
В каждой точке г мы имеем три функции Т^(г), но они являются компо-
нентами одного и того же векторного объекта. При поворотах не только
каждая из этих функций должна быть преобразована так, как отмече-
но раньше, но, кроме этого, компоненты V} преобразуются между собой
так, как это происходить для постоянного вектора V без координатной
зависимости. Покажем явный вид этого сочетания преобразований.
Для произвольного вращения 7^, имеем
тЩДуД = уж'(7г-Ч,7г-1у,7г_Ч), (по)
где обозначение Vх означает, что компоненты вектора также претерпевают
трансформацию. Как мы видели в (1.4.88), для бесконечно малого вращения
7?Д5а) на угол 5а вокруг оси г,
= х + дау, Г1~гу = у — 5ах, = ч. (1.11)
Это показывает, какие аргументы должны иметь вектора, как функций
координат, в правой части уравнения (1.10). С другой стороны, в дополнение
к этому параллельному переносу, вектор V сам поворачивается вокруг оси
г на угол 5 а так, что его азимутальный угол становится + 5а (углы
с индексом 0 характеризуют направление вектора V, а не радиус-вектора
точки г). Тогда
= |У| 8ш#о сое((/?о + да) ~ Ух — даУу, (1.12)
и, аналогично,
К ~Уу + даУх, У' = У*. (1.13)
Результат преобразования компонент (заметим снова, что это преобразо-
вание имеет знак, соответствующий активной интерпретации вращения и
противоположный тому, который имеет преобразование аргументов вол-
новой функции) может быть выражен как действие 3x3 матрицы 8г на
матрицу-столбец с элементами У{,
/ 0 —г 0 \
ТгДЩУ = (1 -гбаЗ^У, 3? = I г 0 0 .
\ О О О /
(1-14)
Задача 1.1
Построить матрицы Зх и 8у и показать, что все матричные элементы
матриц д = ж, у, г, можно записать в виде
(1-15)
Итоговое бесконечно малое преобразование нашей вектор-функции имеет
вид
7?^(5а)Уж(г) = Ух(х + у5а, у — хба, г)
= Кфт + уда, у — х8а, г) — 8аУу(х + уда, у — х5а, г),
(1-16)
или, собирая все члены первого порядка по 5а,
Кг(6а')Ух(г') = Ух(х,у,:У) - 6аУу(х,у,3) - 8а
дУх дУх\
%-у.—уУГ
Оу ох )
(Ы7)
В операторной форме, это означает, что для векторного поля
Тг^(5а) = 1 - г8а(8г + Ьг) = 1 - г5«Л, (1.18)
где орбитальный момент Ё, как обычно, имеет вид —г[г х V]. Конечные по-
вороты требуют возведения в степень полного оператора углового момента,
как в (1.2). Мы должны подчеркнуть, что операторы 8 и Ё действуют на
различные переменные, и поэтому они всегда коммутируют.
1.3 Мультиплеты углового момента
Используя только коммутатационные соотношения, можно решить задачу
классификации всех возможных собственных состояный углового момента.
Этот вывод может служить прототипом для более сложных ситуаций.
Как ясно из элементарных геометрических соображений, результат двух
последовательных поворотов вокруг различных осей зависит от их порядка,
— соответствующие операторы вращения не коммутируют, Задача 1.4-5.
Коммутационные соотношения углового момента являются одинаковыми,
независимо от специфики системы: они отражают геометрию трехмерных
вращений.
Задача 1.2
Докажите, что 3x3 спиновые матрицы 8^ вращательного преобразования
компонент вектора, уравнение ец. (1.15), удовлетворяют коммутационным
соотношениям
[8г, =гецк8к, (1.19)
аналогичным коммутационным соотношениям орбитального момента (1.4.37)
Решение Прямой расчет матричного элемента коммутатора матриц (1.15),
с помощью уравнений (1.4.39), дает
~ (&э\п(&к)пт (^к}1п(^у)птт1
= ^д1п^кпт 4“ ^к1п^дпт = ^д1^кт ^дт^к1 = ^дкпМтп = ^дкп^п^т^ (1-20)
что эквивалентно (1.19).
Так как коммутационные соотношения выявляют геометрическую связь
между поворотами, они должны быть одинаковыми для любого оператора
углового момента Л, спинового или орбитального, одночастичного или
многочастичного,
[<Д, Лу] = (1.21)
Иногда это символически записывается так
[Л х Л] = гЛ. (1.22)
Компоненты импульса р^ коммутируют, так как эти операторы порождают
сдвиги декартовых координат (1.4.52), и результат двух последовательных
сдвигов не зависит от их порядка (сдвиги составляют абелевую группу в
отличие от неабелевой группы вращений). Как следует из алгебры (1.21),
различные компоненты Л не могут иметь одновременно определенные
значения.
Важнейшим новым элементом, который появляется в этой алгебре, яв-
ляется возможность построить оператор С, так называемый оператор
Казимира, который коммутирует со всеми генераторами Д. Конечно, лю-
бая функция от С также удовлетворяет этому условию, но более сложная
алгебра может иметь несколько независимых операторов Казимира. Легко
видеть, что абсолютное значение квадрата момента импульса,Л2, играет
роль оператора Казимира, вспомним Задачу 1.4-5 Ь,
[Л, л2] = [Л, Л2 + Л2 + Л2] = о. (1.23)
Одна из проекций углового момента, скажем X, и оператор Казимира Л2
могут иметь определенные значения одновременно. Как мы это видели
на примере орбитального момента, такая маркировка векторов состояния
связана с выбором оси квантования и поэтому означает видимое нарушение
вращательной симметрии. Симметрия восстанавливается потенциальной
возможностью перехода в другой, повернутой системе координат.
Вместо двух эрмитовых компонент углового момента в плоскости, попе-
речной к оси квантования, и Л^, введем два новых оператора, эрмитово
сопряженных друг с другом, сравните с уравнением (1.11.104),
У = У±Лу, У = УУ. (1.24)
Согласно (1.21), эти операторы удовлетворяют соотношениям
[^,Л] = (1.25)
[Л_, Л+] = -2Л. (1.26)
Первое соотношение (1.25) имеет лестничный вид (1.11.105), и оно на самом
деле справедливо для ± компонент (1.11.104) любого векторного оператора.
Начиная с состояния с определенным значением М проекции Л^, оператор
Л_ уменьшает это собственное значение, М -У М — 1, в то время как Л^
увеличивает его, М —> М + 1. Пусть начальное состояние, помимо М, также
имеет определенное значение Л2. Оператор Казимира коммутирует с Л±,
поэтому все состояния, которые составляют лестницу различных значений
М, имеют одно и тот же значение С = Л2. Геометрически это означает,
что операторы Л± генерируют небольшие повороты вокруг вертикальных
осей, которые изменяют ориентацию (проекцию Л~ = М) вектора углового
момента относительно оси квантования но не меняют его абсолютного
значения, которое инвариантно относительно вращений и характеризует
лестницу в целом.
Рассмотрим лестничное семейство или мультиплет, состояний с за-
данным значением Л2 и различными значениями М. Так как для любого
состояния из лестницы
с = +) = (Д + Д + Д) > (Д) = М2, (1.27)
лестница не может быть бесконечной, она заканчивается (в обоих направ-
лениях) при некоторых предельных значениях Мтах и Мш[п. Эти значения
определяются величиной С оператора Казимира для рассматриваемого се-
мейства. На верхней (нижней) границе мультиплета действие повышающего
(понижающего) оператора должен дать нуль, подобно уравнению (1.11.112)
для алгебры Гейзенберга-Вейля. Используя эквивалентные выражения для
оператора Казимира, которые следуют из (1.23) и (1.26),
л2 = л2 +-(Л+)
= 4+ л2 - Л = л_4 + л2 + 4 (1.28)
и имея в виду, что среднее значение С одно и то же для всей лестницы,
после применения двух последних выражений (1.28) к состояниям с Мш[п
и Мтах соответственно, получаем
С = М^п — Мш[п = 4ах + Мнах- (1.29)
Соответствующее решение есть Мш[п = — Мтах. Максимально возможную
проекцию Мтах будем обозначать через б. Обычно это число просто назы-
вается ” угловым моментом и оператор Казимира через него выражается
так
С = Л(Л + 1). (1.30)
Как отмечалось в разделе 1.5.11 в связи соотношением неопределенно-
стей, значение оператора Казимира Л2 в мультиплете \6М} больше, чем
квадрат максимальной проекции М^ах = Л2. В состоянии с определенны-
ми значениями Л2 и X, некоммутирующие с X поперечные компоненты
Лж^ момента импульса не могут иметь определенные значения, что име-
ло бы место в случае, если можно было бы направить вектор Л по оси
г и получить Л2 = Л2 = М^ах. Различие связано с квантовыми флук-
туациями Л2 + Л2. Другими словами, невозможно построить состояние с
определенным значением момента импульса и определенной ориентаци-
ей в пространстве, например, вдоль оси квантования (из классической
механики мы помним, что компоненты момента импульса канонически со-
пряжены с угловыми координатами). Уравнения (1.21) или (1.26) приводят
к соотношению неопределенностей (1.6.163), (ДЛС)(ДЛ2/) > |(ЛД|/2 .
Начиная с наинизшего состояния = — Мтах = — Л и применяя
повышающий оператор 4, можно построить всю лестницу. Число шагов к
от М = — 7 до М = -\М всегда целое и составляет 27. Поэтому возможны
только целые и полуцелые значения 3.
Соответственно, значения проекции М по состояниям лестницы все целые
или все полуцелые. Состояния в мультиплете могут быть помечены как
\ЗМ), т. е. общим значением 3 (имя мультиплета) и отдельным ярлыком М
(персональное имя члена семейства), где — У < М < +7. Общее количество
состояний в семействе (в мультиплете) \ЛМ) равно & + 1 = 27 + 1.
Задача 1.3
Найти явные выражения для собственных функций уд со спином 5=1
и с проекцией 33 = а.
Решение Нормированные функций имеют вид
/ ° \
Хо = 0 ,
\ 1 /
1
Х±1 = ?2
(1-31)
Заметим, что эти три-компонентные функции (мы использовали здесь
декартовый базис) можно рассматривать как комплексные вектора у с
компонентами (ж, г/. г) записанными вертикально. Если е^ — ортонорми-
рованные вектора декартовой системы, решения (1.31) можно записать в
виде
Хо = ег, х± =-)=(ех ± геу), Щ ' X» = йга'- (1-32)
Задача 1.4
Рассмотрим некоторое состояние |7Л7) с квантовыми числами углового
момента 7 и 7^ = М. Найти среднее значение и среднеквадратичное
отклонение проекции углового момента (Л • е) на произвольный единичный
вектор е.
Решение Пусть направление е характеризуется полярным углом /3 и
азимутальным углом а в координатной системе с полярной осью вдоль оси
первоначального квантования г. Нас интересует оператор
(Л • е) = 7Ж 8Ш /3 сое а + 7^ ет /3 ет а + 7г сое /3. (1.33)
Поскольку поперечные компоненты 7Ж^, будучи линейными комбинациями
из 7±, имеют нулевые средние значения в состоянии |7М), то
((Л • е)) = (7г) сое /3 = М сое /3. (1-34)
Для расчета среднеквадратичной флуктуации интересующего нас опе-
ратора, мы должны знать средние значения квадратов и перекрестных
произведении его компонент (нужно следить за порядком операторов).
Комбинации + ^х,у имеют нулевые средние значения по той же
причине, что и }х,у. Чтобы найти другие вклады, заметим, что имеет
ненулевые матричные элементы только с ДМ = 2. Таким образом, ее
среднее значение равно нулю,
((Д + иУУ = Л - $ + г(ДД + МЛ = 0. (1.35)
Средние значения эрмитовых операторов являются вещественными чис-
лами, так что здесь действительная и мнимая части должны исчезать по
отдельности,
(Д) = (Д2), (1.36)
(ДД) — (ДД). (1.37)
Уравнение (1.36) вместе с (1.30) определяет среднее значение (1.5.91) попе-
речных флуктуации в соответствии с указанной выше неопределенностью,
(Д2) = (Д) = |№ + 1)-М2]. (1-38)
Коммутатор (1.21) определяет
(ДД-ДД)=гМ (ДД) =-(ДД) = (1.39)
Таким образом, все перекрестные члены в ((Л • е)2) исчезают, и
((Л • е)2) = (Л2) 8ш2 /3 сое2 а + (Л2) ею2 /3 еш2 а + (Л2) сое2 /3
= -[7(7 + 1) - М2] яп2 /3 + М2 сое2 /3. (1.40)
Как следствие азимутальной симметрии задачи, нет зависимости от ази-
мутального угла а после усреднения поперечных компонент. Из (1.34) и
(1.40) получаем неопределенность (дисперсию) проекции (1.33):
(△(Л • е))2 = |[7(7 + 1) - М2] 8Ш2 (3. (1.41)
Как и должно быть, эта флуктуация обращается в нуль при /3 = 0 (оси % и
е совпадают), минимальная дисперсия соответствует состоянию с М = 7,
которое максимально выстроена вдоль
Задача 1.5
Пучок частиц со спином 7=1 подготовлен поляризатором в состоянии
с 7^ = М. Найти долю интенсивности пучка прошедшего через анали-
затор, который пропускает частицы с проекцией М' на ось е, которая
характеризуется полярным углом /3 и азимутальным углом а, рис. 1.1.
Решение Классическая картина соответствует нахождению проекции раз-
личных направлений спина от конической поверхности вокруг оси е^ на
ось е. Коэффициенты пропускания Т(М/|М) представляют собой вероят-
ности нахождения частицы с проекцией (Л • е) = М' в состоянии с 7 = 1/.
Здесь как М, так и М’ могут принимать значения 0 и ±1. Передаточные
коэффициенты удовлетворяют очевидным уравнениям
Т(М'\М) = 1, ЛТ(М'\М) = ((Те)), У2 Л1/2Т(М'|М) = ((5-е)2).
М' М' М'
Средние значения здесь были найдены в (1.34) и (1.40). Два последних
уравнения не содержат Т(0|М),
Т(1|М) - Т(-1|М) = Мсое/З, (1.43)
Т(1|М) + Т(-1 \М) = М2 сое2 /3 + 1(2 - М2) ЯП2 !3, (1.44)
и определяют
1 ( ( М2\ 1
Т(±1|М) = -<^ М - — к1п-/3 + Л/-сон-/3±Л/со8/ЗС (1.45)
Этот результат снова не зависит от а и для /3^0 сводится к
Т(±1|М) = 1(М2±М); (1.46)
это выражение равно единице для М = ±1 и исчезает при М = =р1 и М = 0
из-за ортогональности соответствующих состояний. Из первого уравнения
(1.42) и уравнения (1.44) находим
Т(0|М) = 1 - М2 сое213 - 1(2 - М2) 8Ш2 (3, (1.47)
что при /3 —> 0 равно 1 для М = 0 и 0 для М = ±1.
1.4 Матричные элементы момента импульса
Теперь мы можем найти матричные элементы генераторов внутри мульти-
плета |ДМ). Будем действовать аналогично рассмотрения алгебры Гейзенберга-
Вейля в разделе 1.11.8.
Будучи собственными состояниями эрмитовых операторов Л2 и Д^, состо-
яния |ДМ) взаимно ортогональны и будем считать, что они нормированы,
(ФМ'^М) = Мм'м- (1.48)
Операторы связывают сопредельные состояния в мультиплете,
7±| ЛМ) = М±(ДМ)|ДМ ± 1) (1.49)
где, в результате эрмитовой сопряженности Д_ и Д^,
Вычисляя среднее значение оператора Казимира (1.28) в произвольном
состоянии находим абсолютные значения матричных элементов
Их фазы остаются произвольными, и, как это делали раньше,
уравнение (1.11.119), будем считать их реальными:
д±(71И) = у/(7^М)(7±М + 1).
(1-51)
Таким образом, декартовы компоненты момента импульса имеют простые
правила отбора по отношению к квантовым числам состояний в мульти-
плете:
О'МрММ) = |(д+(7ЛЩм,,м+1 + Д- Л ЛЩм',м-1) Л' д, (1-52)
О'М'ЛуОМ} = ^(ц+(7 М)5м,,м+1 — (1-53)
О'М'ЛМЮ = М8М,МЛ'^ (1.54)
Наконец, для всех состояний мультиплета,
О'М'УОМ} = 7(7 + ГЛмм'Лу- (1-55)
Все эти операторы действуют внутри мультиплета и не меняют ни величину
Л, ни любые другие (не-вращательные) квантовые числа, которые могут
присутствовать, но не указаны явно в бра- и кет-векторах.
Классическая картина, рис. 5.13, соответствующая состоянию
представляет собой прецессию вектора углового момента вокруг оси кван-
тования г: тогда Л2 и 4г фиксированы, средние значения (Лж) и (Л^) равны
нулю, в то время как средние значения Л2 и Л2 положительны.
Задача 1.6
Покажите, что в мультиплете |Л7И), матрица (Л • е) проекций Л на произ-
вольный единичный вектор е удовлетворяет полиномиальному матричному
уравнению
Л
П {(7-е)-М} = 0. (1.56)
м=-т
Здесь М следует понимать как умноженное на единичную матрицу.
Задача 1.7
Построить проекционный оператор Лдо(е), который действуя на произ-
вольную суперпозицию состояний мультиплета, выделяет компоненту с
проекцией (Л • е) = М.
Решение
Задача 1.8
Преобразование Гольштейна-Примакова [1]. Докажите, что операторы,
определенные так
Л = + й^й, 7_ = йд/ 27 + 1 — Дй, 7+ = й^ д/27 — й+й, (1.58)
где й^ и а являются стандартными операторами рождения и уничтоже-
ния алгебры Гейзенберга-Вейля, реализуют алгебру углового момента
(1.25,1.26).
Решение Внутри мультиплета с заданным 7, квантовое число М может
быть замещено эквивалентным числом п — количество шагов необходимых
для достижения состояния \ЗМ} начиная с наинизшего состояния |7 —7):
М = — 7 + п. С этой заменой, матричные элементы (1.51) принимают вид
ц_(7М) = Уп(27+1-п), ц+(7М) = У(п + 1)(27 - п). (1.59)
Коэффициенты Дп и д/п + 1 в уравнении (1.59) совпадают с матричными
элементами (1.11.119) операторов а и а^ соответственно, и имеют точно
такой же смысл. Каждый повышающий шаг создает квант отклонения
спина и постепенно меняет ориентацию вектора углового момента от <Г =
до 7г = +7 через все промежуточные состояния; второй множитель
под квадратным корнем в формуле (1.59) завершает лестницу на требуемом
конце. Число шагов п является собственным значением оператора И = й^й.
Используя очевидные свойства этого оператора (докажите их!)
а/(ЛГ) = да + 1)а, ару + 1) = ЛУУ (1.60)
можно записать уравнение (1.58) в другой форме,
Л = - Л а, (1.61)
Сравнение (1.61) с (1.58) показывает, что это представление сохраняет
нетронутыми эрмитовы свойства операторов 4~ и 7± и, следовательно,
является унитарным.
Картина спиновых отклонений очень полезна в теории макроскопическо-
го магнетизма [2]. Ферромагнетик при нулевой температуре находится в
основном состоянии максимальной намагниченности с макроскопически
большими значениями 4 и магнитного момента (в наших обозначениях
это было бы в направлении, противоположном оси г, М = — 7). Тепло-
вое движение вызывает колебания локальной намагниченности, которые
распространяются в среде, как кванты спиновых волн, магноны (раздел
IV. 10.4). Преобразование Гольштейна-Примакова хорошо подходит для
описания этой ситуации. Вблизи основного состояния (низкая температура)
п/(27 + 1) < 1и повышающий оператор Д ~ является оператором
рождения магнонов. Когда п возрастает, можно учесть поправки, возни-
кающие из-за конечности доступного пространства внутри мультиплета
[квадратный корень в (1.58)].
С точки зрения алгебры Гейзенберга-Вейля, все пространство состояний
\п) разлагается здесь на две части: на физическое пространство (0 < п < 27)
и нефизическое, для углового момента, пространство, п > 27. Физическое
пространство имеет конечную размерность 27+1 находясь в точном соответ-
ствии с вращательным мультиплетом ДМ}. Только в этом подпространстве,
где три оператора 7& связаны между собой физическим значением Л2, мож-
но выразить их в терминах двух операторов а и а); только здесь является
представление унитарным. Попытка продолжить формулы преобразования
за пределы мультиплета проваливается, потому что квадратные корни ста-
новятся мнимыми, 7± теряют свои свойства эрмитовости и ряды, которые
могут быть получены формальным разложением квадратного корня по
степеням ТУ/(27 + 1), расходится на границе мультиплета.
Задача 1.9
Представление Дайсона-Малеева. Показать, что алгебра углового мо-
мента реализуется следующим преобразованием операторов рождения и
уничтожения:
Это представление является конечным (не содержит квадратных корней)
и поэтому не требует никакого разложения на число квантов; оно также
завершается в правильных местах на концах мультиплета. Однако оно не яв-
ляется унитарным, так как разрушается условие эрмитовой сопряженности
между и
1.5 Реализация алгебры орбитального момента
Применим общую теорию к движению бесспиновой частицы. В этом
случае имеем дело только с орбитальным вращением, и соответствующие
генераторы — это компоненты орбитального момента I.
Как обычно, выберем ось квантования, назовем ее осью г, и перейдем от
декартовых координат к сферическим координатам г, в, р, которые более
подходят для описания вращений,
X = Г 8Ш0 СОе (Д, у = Г 81П0 81П(Д, г = Г СО8 0. (1.63)
Теперь нам нужно выразить динамические переменные в сферических
координатах.
Задача 1.10
Выразить декартовы компоненты 4 орбитального момента (1.4.28) и в
сферических координатах.
Решение Компонент уже был найден в (1.4.68),
4 = (1-64)
др
Для поперечных к оси квантования компонент находим
( д д\
= г 8Ш р —- + СО1 в СО8 р —— , (1.65)
\ ди др)
— г
д „ . 9
— СО8 р — + СО1 V 81П р ——
дв др
(1.66)
В приложениях мы будем иметь дело с лестничными комбинациями, ана-
логичными (1.11.104) и (1.24),
(о О \
+ гсо10 — ) .
ди д(р)
Используя (1.64-1.66), получаем
( 1 д . д
дО 3швд0 +
1 д2 1
зш2 в дф2 \
(1.68)
Оператор Лапласа в сферических координатах разлагается на радиаль-
ную и угловую части, причем последняя, по существу, и есть квадрат
орбитального момента (1.68),
—2 1 (Э 2 <9 1
V2 =-----т-------с1 .
(1.69)
Задача 1.11
Доказать уравнение (1.69) прямым вычислением без использования сфе-
рических координатах.
Решение Используя формализм Задачи 1.4-5, имеем
— &цк&гтп%]^ к%тп^ п, (1.70)
и, с помощью (1.4.33),
= Xд\/ кХд\/ к + (1.71)
Коммутаторы Хд и \7к дают
Vк^д — $]к Т к) к^к — 3 + Хк^(1.72)
и мы получаем
? = (г^) + (г^)2-г^2.
(1-73)
Так как
З2
дг2 ’
(г^)
(Г • V)2
дг дг
дг
(1-74)
находим
э 2 д2 2^2 , д 2 д
---к г —= —г V Ч г —.
дг дг2 дг дг
(1-75)
что эквивалентно (1.69).
Для приложений к проблеме движения частицы в центральном поле,
Гл. 2, нам нужно найти в явном виде координатные волновые функций,
которые образуют вращательные мультиплеты. В сферических координа-
тах они зависят от углов в и у) (радиальная координата г не меняется при
поворотах). Мультиплет в целом, неприводимое представление трехмерной
группы вращений, характеризуется квантовым числом соответствующим
квадрату углового момента = Щф + 1). Функций внутри мультиплета
могут быть помечены квантовым числом т проекции на выбранный ось
квантования. Соответствующие собственные функции являются сфериче-
скими Функциями р). Их можно рассматривать в качестве функций
на сферы единичного радиуса, и мы также будем использовать обозначение
У^т(п), где п — единичный вектор, направление которого определяется
полярным углом в и азимутальным углом р.
Согласно (1.30), мы должны решить задачу на собственные значения
= ^+1)У(0,Д (1-76)
Сразу можно разделить два угла предположив
= ©ш(0)Фт(Д (1-77)
При явном виде (1.68) угловой части Оператор Лапласа, получаем
8Ш0 <1 . й0 . 9 „ 1 й2Ф 9 _ .
—— — 8Ш0 — + С/ + 1)8Ш26* = —г = т2, (1.78)
О М <10 Ф
где т2 является удобным обозначением для новой константы разделения
переменных, и, следовательно, получаем еще одно квантовое число. Пара
обыкновенных дифференциальных уравнений для угловых функций имеет
вид
П + ?„2ф = о, (1.79)
и показывает, что т2 является собственным значением и
8Ш0 8Ш0 + 1) 81П2 в — Ш2]0 = 0. (1.80)
(ш ив
Уравнение (1.79) мы обсудили для плоской задачи, Гл. 1.11.5 и нашли
нормированные экспоненциальные решения (1.11.82) для целых значений
ш, выделяя периодические граничные условия для азимутального угла. Так
как т является целым числом, общая теория углового момента указывает,
что значение I тоже должно быть целым. Таким образом, орбитальный
момент квантуется в целых числах, и только спиновый момент, не связаный
с функциями пространственных координат, может привести к полуцелому
квантованию. Функция 0(0) зависит от обоих квантовых чисел, т и +
1). Как увидим ниже, для регулярных решений при целом I возможные
значения т для данного I ограничены неравенством \т\ < как и должно
быть для углового момента и его проекции.
1.6 Построение множества сферических функций
Наиболее естественный подход к сферическим функциям, как собствен-
ным функциям угловой части оператора Лапласа, восходит к электроста-
тике. Единичный точечный заряд, расположенный в начале координат
[плотность заряда = 5(г)]], создает сферически-симметричный электро-
статический потенциал <р = 1/г, а соответствующее уравнение Пуассона
имеет вид
V2- = — 4тгрс11(г) = — 4тМ(г). (1.81)
г
Вне начала координат, функция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа
V2-= О, г^О. (1.82)
Г
Исходя из этого фундаментального сферически симметричного решения,
мы можем построить бесконечное множество зависящих от угла решений
уравнения Лапласа применяя координатные производные к 1/г.
Заметим, что
9 1 1г г сое в
(1.83)
д д \ 1 1 х ±гу 81п в
л- ± I ” =----Г- =------2---
ох оу у г г т т
Последовательно беря производные, каждый раз добавляем функцию углов
в числителе и увеличиваем степень г в знаменателе, г-производная добавля-
ет только функций от сое 0, в то время как операторы \7± = д/дх ± гд/ду,
помимо функций от 0, также привносят множитель Таким образом,
для любого множества {е/ф постоянных векторов в1, ед, ..., е^, результат
Лкратного дифференцирования может быть записан в виде
(1.85)
с угловой функцией Г\ в числителе, который зависит от выбора векторов
•
Очевидно, что любая функция типа (1.85) является снова решением
уравнения Лапласа, так что применяя оператор Лапласа к функции
уравнение (1.85), мы должны получить нуль. С другой стороны, явно
действуя на ту же функцию оператором (1.69), получаем
Д = ^ + 1)Ге(0, р). (1.86)
Это означает, что функции 7^(0, р) на самом деле являются собственными
функциями квадрата орбитального момента с собственными значения-
ми ^(^ + 1), где, по построению, I — 0,1, 2,...; вспомним раздел 1.5.11 и
уравнение (1.5.90). Так как произведение Х7_рV— = V—= V2 — \7| не
создает новых функций от (/?, мы можем получить все типы возможной
азимутальной зависимости функций 7^(0, (/?), выбрав среди И производных
определенное число \7д или V-. Подобным образом мы построим мульти-
плет из (2^+1) различных угловых функций Р, назовем их теперь У^т,
которые являются сферическими гармониками ранга
Уе±т(0, Л = соп81/+17^“т|. (1.87)
Здесь т = 0,1,...,-И, и зависимость от р видно из (1.84), Уе±т ос
ехр(±гш(/?), в согласии с уравнениями (1.77) и (1.11.82). В соответствии
с общей теорией, мы будет маркировать все (2^ + 1) сферические функ-
ции для данного I положительными и отрицательными числами т =
—И + 1,..., — 1, 0,1,..., И — 1, Т Нормируя отдельно азимутальную часть,
запишем сферические функции в виде
Д = 0Щ0)ф= егтР (1.88)
V 2л
Члены мультиплета отличаются ориентацией в пространстве и, следователь-
но, могут быть преобразованы в друг друга путем вращений, порожденных
орбитальным моментом, раздел 1.4.7. Последствия мультиплетной структу-
ры, наряду с другим способом построения сферических гармоник, будут
рассмотрены позже.
1.7 Простейшие свойства сферических
Сферические функции как функции от в являются полиномами от зт в
и СО8 0, и поэтому они регулярны на концах интервала, в = 0, тг. Согласно
общих свойств эрмитовых операторов, сферических функций с различ-
ными квантовыми числами (^, тп) автоматически ортогональны, и будет
всегда предполагать такую общую нормализацию [выбор нормировочной
константы в (1.87)], что будем иметь
СоУДДг^УЩп) = [ (1(р [ 81п0(10Уе*т,(0,<р)Ует(0,<р) = 6е>е5т>т.
(1.89)
Здесь мы использовали обозначения с1о для элемента телесного угла. Воз-
можны еще произвольные фазовые множители в определении У^т. Будем
предполагать, что мнимые части возникают только из за азимутальных
функций ехр(гт^), в то время как функции 0^т(0) являются реальными.
Тогда У/-П1 и У*_ш пропорциональны друг другу. Общепринятый выбор
дается условием
у,_т(0,^) = (-Гу;т(0,Л- (1-90)
Позже мы вернемся к этому вопросу в связи с инвариантностью относи-
тельно обращением времени.
Как множество собственных функций коммутирующих эрмитовых опе-
раторов и множество сферических функций У^т(0, <р) для всех I и т
является полным, так что любая регулярная функция углов может быть
разложена на сферические функции У^т. Коэффициенты этого разложения
могут быть легко найдены с помощью условия ортонормированности (1.89).
Для произвольной функции углов Т(п), разложение имеет вид
Г(п) = У2^тУЩп). (1.91)
Ст
Согласно (1.89),
нт = I ЛЩт(п)Г(п). (1.92)
Подставляя (1.92) обратно в разложении (1.91), получаем тождество
Г(п) = [ У2 У^(п')УЩп). (1.93)
Ет
Поэтому условие полноты множества сферических гармоник можно запи-
сать в виде
52 У/т(п')Т’т(п) = <5(п - п').
Ст
(1-94)
Как мы знаем из раздела 1.8.3, помимо вращательной инвариантности,
система может иметь еще одну важную пространственную симметрию, а
именно по отношению к инверсии координат, г -л- —г. В декартовых коор-
динатах преобразование инверсии означает, что (ж,?/, г) -л (—х, —у, — г), в
то время как в сферических координатах
(г, 0, (/?) —> (г, 7Г — 0, (/? + тг),
(1.95)
так что 8Ш в не меняется, сое в меняет знак и Функция &~ггшР приобретает
множитель (—)т. Повороты коммутируют с инверсией; это легко можно
понять из геометрических изображений, а также проверить формально.
Это означает, что если состояние принадлежащее вращательному муль-
типлету имеет определенную четность, это квантовое число должно быть
одинаковым для всех членов мультиплета. Поскольку каждый оператор
градиента V*, также как любой компонент оператора импульса р1 = —гКдц
меняет четность функции, уравнение (1.87) показывает, что функции У^т
для всех разрешенных т имеют четность (—/,
Д^(п) = УЩ-п) = (-)Ч(п). (1.96)
1.8 Скаляры и векторы
Любая функция координат может быть представлена в качестве ря-
да сферических гармоник с коэффициентами, зависящими только от г.
Рассмотрим первые члены разложения. Слагаемое с И = 0, или з-волна,
пропорциональна сферической функции
Уоо = СОП81 = \Г- (1.97)
V 4л
и не зависит от углов. Оно не меняется при вращении, Уоо является скаля-
ром.
Для I = 1, р-волна, имеем три функции
У1О = \/т“СО80’ у1±1 = Т1/Д (1.98)
V 47Г V о7Г
Для любого вектора V можно ввести вместо декартовых компонент =
(УД Уу, УД, так называемые сферические компоненты Ут, т = 0, ±1:
И) =
У±1 — (Ух ± гУу).
(1.99)
Сферические компоненты У±1 отличаются лишь множителем =р1/д/2 от
лестничных компонент У±, уравнение (1.11.104), также используемых для
оператора градиента в разделе 1.6. Из (1.98) и (1.99) мы видим, что функции
У1т(п) являются по существу сферическими компонентами вектора п,
(1.100)
Используя “спиновые” комбинации единичных декартовых векторов (1.32),
также можно выразить сферические компоненты векторов как скалярные
произведения [с определением (1.6.32) для комплексных векторов у, что
здесь совпадает с (1.90)]
Кп = (-гц_т-С) = (хХ-х).
(1.101)
Задача 1.12
а. Показать, что любую угловую волновую функцию частицы с орбиталь-
ным моментом I = 1 можно записать в виде
Д(п) = (а • п), (1.102)
где а является постоянным комплексным вектором, который не зависит
от направления п = г/г.
Ь. Для волновой функции записанной в виде (1.102), найти средние значе-
ния компонентов орбитального момента
с. Для того же состояния, можно ли найти направление е для которого
среднее значение оператора Д • е) (проекция орбитального момента на
направление, характеризуемое единичным вектором е) равно 1? Другими
словами, является ли любое состояние частицы с И = 1 поляризованным
в некотором направлении?
Решение
а. Чтобы представить функцию (1.102) в виде суперпозиции сфериче-
ских функций У1т с произвольными коэффициентами Ст и определить
вектор а в терминах этих коэффициентов, возьмем вектор а со сфери-
ческими компонентами
вт = (-)гоС_тД, (1.103)
V 47г
или, в декартовом виде,
аг = Сф ах = а/-"— (С-1 — 6+1), ау = — (С+1 + С-1)-
V 4л V о7Г V о7Г
(1.104)
В общем случае, эти декартовы компоненты (ц. должны быть комплекс-
ными.
Ь. Поскольку функция -0 не предполагается нормированной, нужное сред-
нее значение должно быть записано в виде отношения двух угловых
интегралов (мы используем декартовы компоненты ^),
. -. Г с1о (а* • п) (а • п) , ч
\ * С/ Л (1.Ю5)
] ао (а* • п) (а • п)
Здесь важно, что а в общем случае является комплексным вектором;
оператор I берется в стандартном представлении как Дифференциаль-
ный оператор (1.4.34) действующий на углы единичного вектора. Начнем
с нормировочного интеграла в знаменателе формулы (1.105):
(1о (а* • п)(а • п) = а*ак Зотцп^ (1.106)
где подразумевается суммирование по дважды повторяющимся декарто-
вым индексам. Здесь мы сталкиваемся с типичным интегралом
= Щп!” (1'107)
Тензор второго ранга должен быть диагональным поскольку для г Д к
интеграл (1.107) обращается в нуль (положительные и отрицательные
вклады для каждой координаты компенсируют друг друга). Кроме того,
для г = к интеграл должен быть тем же самым для любого г (х, у или
г), так что результат интегрирование должен быть пропорционален
символу Кронекера,
Фк — А-Фк-
(1.108)
Чтобы определить константу А, вычислим след матрицы
1г I = = ЗА = б/б>»п2 = У (1о = 4л. (1.109)
Таким образом,
4л
(1.110)
О
и нормировочный интеграл (1.106) оказывается равным
[ Ло (а* • п)(а • п) = ^-^ка*ак = |а|2. (1-Ш)
а 6 6
Теперь среднее значение, которое искали, принимает вид
3 а*аь
А а-112)
с другим интегралом того же типа, где Д = —ге^тж/\7т,
-^-г'бк ~ (%О = ^Ит ^1о ПдТ11^д^гп Т1^Т1т^. (1.113)
Так как = 0 (векторное произведение вектора п на самого
себе), мы остались с выражением
Г 4л
^г^к ^Ик I (10ПдП1 ^г^кч (1.114)
так что
{^ = -ге-^А. (1.115)
Конечный результат можно записать в векторной форме,
= (-.116)
|а|
Момент импульса аксиальный вектор, и единственный аксиальный век-
тор, который может быть построен с помощью двух доступных векторов,
а и а*, есть их векторное произведение.
с. Ненулевое среднее значение орбитального момента возможно только
если а комплексный вектор; векторное произведение в (1.116) является
мнимым вектором, и среднее значение I действительно, как это должно
быть для эрмитового оператора. Если запишем комплексный вектор а в
терминах двух вещественных векторов, Ь и с,
а = Ь + гс, (1.117)
наш ответ принимает вид
2[Ь х с] ,
= ^2 с2 • (1.118)
Абсолютное значение этого среднего значения не может превышать 1
для любой пары вещественных векторов Ь и с, в соответствии с тем, что
собственные значения компонентов I есть 0 или ±1. Существуют два
особых случая. Значение 1 появляется при |Ь| = |с|, и когда эти вектора
перпендикулярны друг другу; это собственное состояние компоненты I
нормальной к плоскости, образованной векторами Ь и с, с проекцией
+ 1 на направление этой нормали, или -1 на противоположное направ-
ление. Такое описание аналогично поляризации фотонов; это особое
состояние имеет круговую поляризацию (правую или левую). Случай
параллельных векторов Ь и с соответствует состоянию с определенной
(равной нулю) проекцией I на их общее направление. Такое состояние
соответствовало бы продольной поляризации фотона (вдоль волнового
вектора), которая запрещена для реальных фотонов. За исключением
этих двух случаев, для общего состояния И = 1, нет направления, на
которое проекция момента импульса имела бы определенное значение.
Подобная же ситуация имеет место для любого значения углового мо-
мента 7^1. Только состояния со спином 1/2 всегда поляризованы в
некотором направлении.
Все векторы ведут себя одинаково при поворотах. Поэтому мы заключаем,
что любой векторный оператор преобразуется как сферическая функция
ранга 1. Нормированный радиус-вектор п является примером полярного
вектора, раздел 1.8.4. Его компоненты, подобно сферическим функциям
У1т, меняют знак при пространственной инверсии. Умножая функцию
определенной четности на мы меняем ее четность всегда на одну и ту
же мультипликативную величину (—/. Аксиальные векторы, такие как
не меняют знак при инверсии, и их действие на функцию не изменяет ее
четность, в соответствии с тем фактом, что все члены мультиплета имеют
одинаковую четность.
1.9 Тензоры второго ранга
Комбинируя два или более векторов, можно строить более сложные
объекты, тензоры, которые ведут себя как разные сферические функции.
Скалярное произведение двух векторов,
(а • Ь) — СЬх^х 4" ау^у 4"
(1.119)
может быть также выражено через сферические компоненты (1.98):
(а-Ъ)= (-Гат6_т.
ш=0,±1
(1.120)
Рассмотрим девять величин Тц = построенных из декартовых компо-
нент векторов а и Ь. Они являются приводимыми относительно вращений и
могут быть сгруппированы в меньших неприводимых сообществах. Сначала
отделим друг от друга две части с различными симметриями (подматрицы,
которые симметричны, 8, или антисимметричны, А, при перестановке
индексов матрицы),
Тц ~ 4” ~ ""I- ф/^г) 4" л(^г^7 ф/^г)* (1.121)
Задача 1.13
Показать, что повороты сохраняют перестановочную симметрию, так
что 8ц и Ац преобразуются независимо друг от друга при поворотах.
Симметричная часть 8ц все еще еще приводима, так как след Тг 8 = 8ц =
(а • Ь) является скалярной величиной и вообще не меняется при поворотах.
Мы можем вычесть инвариантный скаляр с таким коэффициентом, что
остальная часть будет бесследовой,
8^ = |(а • (1.122)
О
Симметричный тензор
1 / 2 \
~ ( СрЪд 4" СЬдЪг Д (& ’ Ь)^* ) (1.123)
\ О А
является бесследовым, Тг<2 = Сц = 0, и неприводимым. Он имеет пять
независимых компонентов. Антисимметричная часть,
1 1
сьуЬг) = ~в^‘/с[а хЬ]ь (1.124)
имеет три независимые компоненты. Она эквивалентна (по отношению к
вращениям) вектору [а х Ь]. Если оба вектора а и Ь полярные, компоненты
их векторного произведения не меняют знак при инверсии пространствен-
ных координат. Такой вектор является аксиальным, раздел 1.8.4. Подводя
итоги, разложение приводимого тензора Ту на неприводимые части 8у, Ау
и фу может быть символически представлено в виде
303 = 1 + 3 + 5, (1.125)
где подчеркнутые числа обозначают размерность 2^+1 мультиплетов
(неприводимых представлений группы вращений) ранга I.
Чтобы понять вращательные свойства симметричного тензора (1.123), мы
должны сравнить его трансформационные особенности с теми, которых име-
ют сферические гармоники. Так как все векторы преобразуются одинаково,
достаточно рассмотреть случай а = Ь = п(0, уф Тогда можно установить
взаимно однозначное соответствие между пятью нормированными сфери-
ческими функциями второго ранга У2т(п) и линейными комбинациями из
пяти компонентов (фу
К2о(п) = л/ (2 сое2 0 - 8Ш2 0~) => \ А- ^(2<2гг - Ьхх - Ьуу), (1.126)
V 1о7Г V 4тг 2
^2±1(п) = +а/со8б>81п6»е±г*’ => \ А- \Г(ехг±гЬУ), (1.127)
V о7Г V 4тг V 2
*2±2(п) = \ У 8ш20е±2г,р +> \А- а/| (Сжж ± 2гСху - 0уу). (1.128)
V 327Г V 4тг V о
Наоборот, компоненты (ф] являются линейными комбинациями У2т(п) и,
следовательно, соответствуют тензорному оператору второго ранга, 1 = 2.
Пять комбинаций в правых частях уравнений (1.126 - 1.128) организованы
таким образом, что они образуют сферический тензор
/ 4тг
02т ОС у — У2ш(п). (1.129)
Важным примером является тензор электростатического квадрупольного
момента [3], §41 для системы зарядов еа,
Огэ = У2е“(3ж«(а)ч(а)_ г2(а)ф- (1+30)
а
Это симметричный бесследовый, = 0, тензор, который имеет пять
независимых компонентов и, с точки зрения его вращательных свойств,
может быть установлено его взаимно однозначное соответствие (1.129) со
сферическими гармониками
Вывод таков, что любой набор из девяти величин 7Д, которые преобра-
зуются при поворотах как произведение двух векторов, можно разложить
на скаляр, вектор (антисимметричный тензор) и симметричный тензор вто-
рого ранга. Процедура может быть расширена на тензоры более высокого
порядка 7Д&... ~ . Мы еще вернемся к этой теме при обсуждении
общих тензорных операторов.
Задача 1.14
Рассмотрим вектор-функцию
Ф(г) = (ЧтЩп)1 п=-, (1.131)
где V является одним из трех векторных операторов г, р, действующих на
сферическую функцию. Доказать, что Ф(г) является собственной функцией
полного углового момента Л с квантовыми числами Л = I и М = т.
Решение Определим полный угловой момент как Л = I + 8, где оператор
спина 8 действует на векторные компоненты как в уравнении (1.15), 8^Ук =
—С другой стороны, для любого вектора, [^,Р&] = Так как
Ж = (^ + згуук = [4 Ук] + ЗгУк + Ук^ (1.132)
применяя Д к функции (1.131) и используя (1.132), получаем
= (1.133)
Поэтому действие полного углового момента на всю функцию (1.131) экви-
валентно действию орбитального момента только на сферическую функцию,
и вращательные квантовые числа в точности такие же, как для сфериче-
ской функции Укп1- В частности, для I = 0, Операторы с градиентом, V = р
и V = Л дают нуль, и остальной вектор г оказывается дает скаляр. В самом
деле, ясно, что здесь не координаты частицы, а радиальное поле, Ф ос г
("ёж"), обладает вращательной симметрией и не меняется при поворотах.
1.10 Сферические функции и полиномы Лежандра
Сферические гармоники У^т(п) являются общими собственными функ-
циями коммутирующих операторов и Поперечные компоненты ор-
битального момента согласно лестничного соотношения (1.11.105), что
справедливо для любого векторного оператора V, в том числе и для самого
передвигают состояние вдоль лестницы изменяя т на ±1, но остав-
ляя квантовое число I без изменения. Как и должно быть, повышающие
и понижающие операторы, явно заданные в уравнении (1.67), меняют
(^-зависимость функций должным образом добавляя фактор ехр(±гсд).
Используя эти алгебраические свойства, укажем способ построения сфе-
рических функции, альтернативный тому, что мы использовали в разделе
1.6.
Так как по построению, максимально возможное значение т (г-проекции)
в мультиплете есть I [” длина” вектора орбитального момента, вспомните
соотношение неопределенностей, уравнение (1.5.91)], верхнее состояние с
т = И не может иметь дальнейшего продвижения по лестнице и должно
уничтожатся повышающим оператором. Поэтому мы должны иметь
4^ = 0. (1.134)
Это дает простое уравнение первого порядка для функции 0^(0) опреде-
ленной формулой (1.67),
^^ = ^соС(9 0«. (1.135)
ас/
Решение (1.135), нормированное согласно (1.89), имеет вид
е»(«) = (ызв)
Чем больше тем больше эта функция сосредоточенна вблизи эквато-
ра, в = л/2, что характерно для полуклассической орбиты в плоскости,,
перпендикулярной к направлению орбитального момента.
Теперь мы можем действовать понижающим оператором уравнение
(1.67), и идти вниз по лестнице к нижележащим членам мультиплета. Таким
образом получим
Уи^ = ^=Цуи, •••, Уе.т = Г ! вУ~тУи- (1.137)
Л& |Д-т)!(2<)!_ к 7 к 7
Зная матричные элементы понижающего оператора, можно избежать гро-
моздких повторении нормализации. Результат может быть выражен в
терминах присоединенных полиномов Лежандра
'2^ + 1
(^ + т)!
(1.138)
РМ = (~У~т
(1 + т)! 1 1 <У~т
(Л-т)! 2^! зш™ в (о! сое 9У~т
8ШМ в.
(1.139)
©Щ0) = (-Г
2
Обратите внимание, что определения различных авторов могут отличаться
относительно фазы.
При 0 —> О, регулярная функция углов, такой как У^т, не может зависеть
от (/?, так как азимутальный угол не определен при 0 = 0. Поэтому все
функций Уцп обращаются в нуль при в = 0, за исключением Уф, что
не несет никакой ^-зависимости. При т = 0 присоединенные полиномы
Лежандра (1.139) сводятся к обычным полиномам Лежандра,
рДжОДРЛД
так что
/9/ 4- 1
УДп) = С —Р/(со80)-
V 4л
(1.140)
(1-141)
Легко видеть из (1.139), что все полиномы Лежандра равны 1 в направлении
вперёд
РХ1) = 1- (1-142)
Откуда, для направления вдоль оси квантования,
/э/ 4- 1
Пт(0 = о) = 5то\—у. (1.143)
V 4л
Полиномы Лежандра ортонормированы, как функции х = со§0, на отрезке
от -1 до +1,
[ М 8т0РДсо8 0)РХСО8О = [ с1хРр(х)Ре(х) =2 1 4г- (1.144)
00 д-1 + 1
Первые четыре полиномы имеют вид
1 1
Ро(ж) = 1? Р1(%) — х, Рд(ж) = -(Зж2 — 1), Рз(ж) = -(5ж3 —Зж). (1.145)
Принимая п7 = е^, единичный вектор в направлении оси г, и применяя
(1.93) и (1.141), получаем соотношение полноты
+одео = 471Дж -1) (1.146)
е
показывающее, что полиномы Лежандра компенсируют друг друга во
всех направлениях, за исключением переднего. Из-за соотношения пол-
ноты, азимут-независимые функции от СО8 0 можно разложить в ряд по
полиномам Лежандра.
Соотношение четности, уравнение (1.96), очевидно для Р^, которые яв-
ляются полиномами порядка от СО8 0. В частности, для направления
назад
РХ-1) = (-/ (1-147)
что приводит к аналогу уравнения (1.146),
У2(2^ + 1)(-)ДЩ = 4лДх + 1). (1.148)
е
Задача 1.15
Вывести общее выражение для полиномов Лежандра Р^(со8 0),
Решение Функция (1.149) определяет регулярное решение дифференци-
ального уравнения для полиномов Лежандра, что следует из (1.80) при
т = 0,
Д +^+1т=о' (1-151))
81П с/ у у
Коэффициент перед (1.149) определяется условием (1.142).
Задача 1.16
Доказать следующие полезные свойства полиномов Лежандра:
а. рекуррентные соотношения (штрих означает производную с1/с1х)
Р^фх) — хР'фх) = (^ + 1)Р^(ж), хР'фх) — Р/_х(ж) = ^(ж), (1.151)
где во втором уравнении для I = 0 мы предполагаем, что Р-1 (ж) = 0;
Ь. при х = 0, производные четных полиномов имеют вид
РДДх = 0) = 0; (1.152)
с. при х = 0 и для четного I
РА» = 0) = (~)"2 ДД = 0) = (~)"2 ДД (1-153)
Задача 1.17
Вывести квазиклассическую асимптотику для полиномов Лежандра.
Решение В целях приведения уравнения (1.150) к форме уравнения Шре-
дингера, введем новую функцию
Р^(0) = а/зшЙ Р^(сО8 0),
(1.154)
что удовлетворяет
й2Р^
----- +
с192
1
4 8Ш2 в
Ре = 0.
(1.155)
Тогда квазиклассическая асимптотика дается выражением
РфР) Лет
(1.156)
где постоянный множитель Л не может быть найден из уравнения (1.155).
Значения (1.153) определяют этот коэффициент для 1, когда можно
использовать Формулу Стирлинга (1.9.96) для факториалов,
V тЛ
(1.157)
Квазиклассическая асимптотика справедлива при больших Л за исключе-
нием узкой области углов вблизи полярной оси, 9 = 0 и 9 = л.
1.11 Угловой момент во внешнем поле
Скалярные операторы коммутируют с полным угловым моментом систе-
мы. Если система изотропна (нет внешних полей), Гамильтониан не должен
меняться при вращении системы как целой: он должен быть скалярным
оператором,
[Л,Н] = 0. (1.158)
(В релятивистской теории это утверждение остается в силе в системе цен-
тра масс; оно также может быть обобщено для преобразований Лоренца.)
Таким образом, для скалярного Гамильтониана Я, угловой момент Л явля-
ется интегралом движения. Мы должны подчеркнуть, что Л представляет
собой полный угловой момент системы, включая всех орбитальных и спи-
новых степеней свободы всех частиц: система инвариантна только если мы
повернем ее как целое, избегая любых искажении внутренней структуры.
Как отмечалось в разделе 1.7.10, сохранение углового момента (также как
другие классические правила сохранения) является следствием симметрии
системы, вращательной в данном случае.
Повороты связывают разные состояния внутри мультиплета | УТИ). Так
как эти состояния отличаются только ориентацией, что в отсутствие внеш-
них источников анизотропии не меняет внутреннюю структуру, все состоя-
ния | УТИ) с одним и тем же 3, но с различными М являются вырожденными
по энергии. Когда внешнее поле нарушает вращательную симметрию, уг-
ловой момент больше не сохраняется. Рассмотрим простейший пример
статического однородного векторного поля 13, которое связано с моментом
импульса взаимодействием
Я' = -дК(3 -В). (1.159)
Можно считать В магнитным полем. Тогда
Д = дКЗ (1.160)
представляет собой оператор магнитного момента, и д есть гиромагнитное
отношение магнитного момента к механическому моменту КЗ, вспомним
раздел 1.1.9.
Гамильтониан (1.160) содержит только проекцию углового момента на
направление поля; возьмем его в качестве оси г. Это единственное направ-
ление в пространстве, которое физически выделено. Вращение вокруг этой
оси по-прежнему не меняют систему: осевая симметрия сохраняется, в
то время как общая вращательная симметрия не имеет места. Полезно
подчеркнуть, что мы всегда предполагаем вращение системы в фиксиро-
ванном внешнем поле: если поле 13 рассматривается как часть системы
и тоже участвует во вращении, полная инвариантность восстанавливает-
ся. Генератор вращений в плоскости перпендикулярной полю является
сохраняющейся величиной 7^.
Оператор Казимира Л2 тоже коммутирует с Н (1.159). Поэтому мы
все еще можем маркировать стационарные состояния |77И) с теми же
квантовыми числами, что в случае полной вращательной симметрией. Но
поле расщепляет уровни энергии в мультиплете, и они теперь зависят от
М,
Ем = -дПВМ. (1.161)
Это Зеемановское расщепление линейно по величине поля и сохраняет центр
тяжести мультиплета. При д > 0 мы имеем выравнивание углового момента
вдоль внешнего поля, самое низкое энергетическое состояние соответствует
максимальному выравниванию с М = Л.
В задаче Ландау, раздел 1.13.4, мы не учитывали спин электрона. Взаи-
модействие спина с магнитным полем характеризуется, раздел 1.1.9, гиро-
магнитным отношением д8 = е)тс = 2^. Соответствующий вклад имеет
вид
Я8 = -&Л(8-Б) = -—(1.162)
тс
Вводя циклотронную частоту (13.38) и добавляя спиновый вклад (1.162)
к орбитальному квантованию (1.13.61), мы приходим к полному спектру
энергии частицы со спином 1/2 (с проекцией спинам = ±1/2 ) в статическом
однородном магнитном поле,
Е(п, = На)с (п 4-(81§п е)зг ) . (1.163)
\ /
Спектр Ландау приобретает дополнительное вырождение. Для электрона,
е = — |е|, состояния (п, 8г = 1/2) и п ± 1, 8г = —1/2 вырождены по энер-
гии, так что их емкость (1.13.62) увеличивается в два раза. Исключением
является основное состояние п = О, 8% — —1/2.
Существенная разница уравнении (1.159) от случая сферической симмет-
рии состоит в том, что теперь поперечные компоненты не коммутируют
с Гамильтонианом Н. Как мы знаем, они меняют М на ±1 и, следовательно,
Рис. 1.2. Прецессия углового момента во внешнем магнитном поле.
меняют энергию (1.161). Операторы Зх,у не сохраняется, вместо этого они
создают возбуждения в системе. Магнитное поле вызывает вращающий
момент, и уравнения движения для компонент углового момента, вспомним
Задачу 37.12, имеют вид
[Зк,Н] у11131ъек1п3п,
или, в векторных обозначениях,
Л = [П х Л], П = -уё.
(1.164)
(1.165)
Мы снова видим из (1.165), что 3~ сохраняется, тогда как поперечные
компоненты вращаются с угловой скоростью П =
Зх — ^4 Зу •)
Зу — 313х.
(1.166)
Для обычного гиромагнитного отношения, у = е^тс, эта Ларморовская
частота П в два раза меньше, чем циклотронная частота шс. Повышающие
и понижающие комбинаций (1.24) являются нормальными модами,
3± = ±гГ13±.
Их эволюция представляет собой чистое фазовое вращение,
ЛТ) = е±шД±,
(1.167)
(1.168)
где Шредингеровские операторы не зависят от времени. Это может
быть интерпретировано, рис. 1.2, как изображение классической прецес-
сии вокруг направления поля с угловой скоростью $2. Факт отсутствия
диагональных матричных элементов соответствует на классическом
языке усреднению по времени поперечных компонентов. Прецессия была
уже упомянута ранее в связи со стационарным состоянием |Л7И) просто
чтобы визуализировать образ состояния с заданными У и М, но никакого
физического вращения не предполагалось.
Гамильтониан (1.159) является подлинным скаляром, так как угловой
момент, магнитный момент и магнитное поле — все аксиальные векторы,
так что их произведение не только инвариантно относительно поворотов,
которое подразумевалось в предыдущих рассуждениях, но оно инвариантно
и при пространственной инверсии. Аналогичное гипотетическое взаимодей-
ствие момента импульса или магнитного момента с электрическим полем,
(/?•<?), было бы псевдоскаляром и привело бы к несохранению четности.
Кроме того, Гамильтониан (1.159) инвариантен относительно обращения
времени (Т-инвариантность), так как Л и магнитное поле меняют знак
при обращении времени, в то время как взаимодействие электрического
поля с магнитным моментом будет Т-неинвариантным. В противополож-
ность этому, обычное взаимодействие (с1 • <?) электрического дипольного
момента с электрическим полем является как Р-, так и Т-инвариантным.
Такое взаимодействие также приведет к расщеплению мультиплета |Л7И)
по проекциям М на естественное направление квантования, определенное
электрическим полем, но, в отличие от расщепления Зеемана (1.161), оно
не может расщепить состояния ±7И являясь безразличным к направлению
вращения, которое может быть изменено обращением времени.
Дополнительная литература: [4], [5], [6]
Сокольничий сокола не докричится;
Всеобщий распад; притяжение центра
слабеет; Все шире и шире круги
обезумевшей птицы, Над миром
анархия черными крыльями веет...
В.Б. Йиитс, Второе пришествие
Глава 2
Движение в центральном поле
2.1 Приведение к задаче одного тела
В этом разделе мы рассмотрим частицу, движущуюся во внешнем потен-
циальном поле Е/(г). Во многих случаях эта задача возникает в результате
приведения задачи двух тел\ мы уже использовали этот подход в задаче
1.1.6 вводя поправку к спектру водорода от отдачи тяжелого ядра. В общем
случае, это приведение проводят так же, как в классической механике [7]
Пусть две частицы взаимодействуют через потенциал V = П(г1 — гд),
зависящий только от их относительного расстояния. Волновая функция
Ф зависящая от координат щд обеих частиц удовлетворяет уравнению
Шредингера
^(К + С)Ф(п,г2^), (2.1)
где кинетическая энергия определяется массами обеих частиц. и 7722,
у Р1 Р2 (^1 ^2 \ .
К = = —7Г — 4----2 • (2.2)
2Ш1 2Ш2 2 \ 772 2 )
Координаты центра масс. К, и относительная координата, г, опреде-
лены как
Ш1Г1+т2г2
К= ------—-----, М = 7721 + 7722, Г = Щ - Г2. (2.3)
Соответствующие операторы градиентов преобразуются в соответствии с
^1 = Х7 + + \7н, V, =-V + + Х7н, V = V^. (2.4)
Рис. 2.1. Координаты в задаче двух тел
и импульсы частиц рц2 = —ГГДц выражаются через относительный им-
пульс р = —ИГ\7 и импульс центра масс Р =
р1=р+^Р. р2 = -р+^Р. (2.5)
Обратное преобразование координат, см. Рис. 2.1,
г,=кЛ. г2 = К - г; (2.6)
М М '
здесь мы ясно видим, эффекты отдачи, упомянутые в задаче 1.1.6. Для
операторов импульса находим
Р = Р1 + Р2,
ГП2
Ш1
р= мР1“мР2-
(2.7)
Задача 2.1
Для системы из двух частиц, преобразуйте операторы орбитального
момента, электрического дипольного момента и орбитального магнитного
момента в переменных относительно центра масс.
Решение Орбитальный момент раскладывается на орбитальный момент
центра масс и движения относительно него,
Ь = 4 + 4 = [Г1 X Р1] + [г2 X р2] = [К, х Р] + [г х р] = Ьс.т. + е (2.8)
Электрический дипольный момент определяется как
Л I ( I А-О I е1Ш2 “ в2Ш1 /О О А
а = С1Г1 + е2г2 = (б1 + е2)К Ч-—-----г. (2.9)
В нейтральной системе, + е2 = 0, дипольный момент не зависит от
выбора центра масс. Внутренняя часть, не зависящая от движения центра
масс, отсутствует для тождественных частиц, когда е\ = е2 и ггд = ш2. В
самом деле, то же самое происходит с любой системой частиц с одинаковым
соотношением е/ш, так как в этом случае весь дипольный момент
пропорционален вектору центра масс К. Орбитальный магнитный момент
частицы пропорционален ее орбитальному угловому моменту, см. раздел
1.1.8
р1 = дХ (2.11)
Для системы из двух частиц с гиромагнитными отношениями д-у и </2,
Р = 91С + 92^2, (2-12)
и преобразования (2.5,2.6) дают
91т1 + д2т2 1 91гп2 + д2тг / тгт2 \
М = ------------Ьс.т. +-------------Л 01 - 92) ЦВ X р] + [гхру.
(2-13)
Единственная часть этого оператора, который зависит исключительно
от относительного движения, Дге1 = описывается гиромагнитным
соотношением
^ге1
^1Ш2 + ^2Ш1
1 / в1 е2
2с т?
(2-14)
где мы предполагаем нормальное орбитальное гиромагнитное соотношение
частиц (1.65) и вводим приведенную массу ш, как в задаче 1.1.6,
111 тж
— =-1-, т = —ТЖ
т Ш1 ш2 М
(2-15)
Преобразование для кинетической энергии (2.2),
вновь приводит к сумме двух независимых компонент для относительного
движения и для движения центра масс. Если ни один потенциал не дей-
ствует на центр масс, суммарный импульс Р сохраняется, а движение в
целом описывается плоской волной, отделенной от относительных перемен-
ных (нерелятивистской инвариантностью Галилея). Поэтому волновая
функция записанная в новых координатах, Ф(К, гД), факторизована в
тривиальную плоскую волну центра масс с соответствующей кинетической
энергией и относительную волновую функцию
Ф(П,Г2Д => Ф(Н,гД = е(^)[(Р-Н)-(Р2/2М)4] (2.17)
Здесь Р - собственное значение полного импульса, в то время как функция
Ф(г, /;), обозначаемая тем же самым символом Ф, теперь описывает только
внутреннее движение упрощенной задачи одного тела с приведенной массой
(2-15)
+ Дг)|ф(г,Д (2.18)
ос 2т
Потенциал также может зависеть от времени. Для постоянного потенци-
ала, мы можем поискать стационарные решения,
Ф(гД) = е-^^в^(г), (2.19)
где стационарные волновые функции удовлетворяют выражению
Д2 + /г2(г)Дг) = О, А?(г) = ^[Е-Щг)]. (2.20)
2.2 Разделение угловых переменных
Центральный потенциал зависит только от абсолютной величины г, но
не от углов вектора г, ?7(г) = П(|г|) = СДг). Нецентральные взаимодей-
ствия, такие как тензорные силы в ядерной физике или силы между двумя
магнитными моментами, появляются тогда, когда частицы имеют опре-
деленные направления, выделенные их внутренними степенями свободы.
Для 17 = 1/(г), уравнение Шредингера (2.20) не содержит функций углов,
а гамильтониан инвариантен относительно вращений. Такая ситуация об-
суждалась в Гл. 7.10. Орбитальный момент I сохраняется (поскольку он
коммутирует с гамильтонианом). Однако только один компонент напри-
мер может иметь определенное значение т (не путать с приведенной
массой) в данном состоянии. Изменяя ориентацию системы, мы можем
изменить эту проекцию, но не значение энергии, поскольку операторы
вращений, раздел 4.7, коммутируют с Н. Поэтому энергетический спектр в
центральном поле всегда вырожден по отношению к проекции орбитального
момента.
Выбирая решение с определенным значением т, мы ограничиваем ори-
ентацию системы. Симметрия такого решения меньше, чем гамильтониана.
Это простейшее проявление спонтанного нарушения симметрии. Симмет-
рия восстанавливается в присутствии вырожденных состояний с различны-
ми величинами т. Полный набор таких состояний и вероятность изменения
ориентации и переходов от одного состояния к другому внутри одного и
того же набора указывает на вращательную инвариантность системы. Мы
уже встречали подобную инвариантность в двухмерной системе, Разд. 11.5,
где симметрия позволяет выделить азимутальный угол и найти универ-
сальную угловую функцию (11.82). Теперь мы реализуем аналогичную
программу для трех измерений.
Чтобы разделить радиальные и угловые переменные мы ищем решение
уравнения Шредингера в виде произведения
^(г) = ^(г, в, (/?) = Л(г)У{в, (/?).
(2-21)
С таким подходом уравнение (2.20) состоит из двух частей, зависящих
от различных переменных и, следовательно, каждая из которых равна
константе разделения С,
-у- + &2(г)г2 = — /2 У = С,
К дг \ дг ) У 7 У
(2.22)
где мы использовали оператор Лапласа в сферических координатах (16.69).
Константа разделения должна быть определена из граничных условий
для волновых функций. Это место, где возникает квантование — такие
константы являются источником квантовых чисел, ср. т.1, раздел 11.5.
Угловое уравнение,
/2У(6»,<^) = СТ(ОД,
(2.23)
является задачей по нахождению собственных значений оператора 2. В
соответствии с алгеброй углового момента, собственное значение С может
быть записано как Дф + 1), где I - неотрицательное, по луце л ое или целое
число. Дальнейшее разделение переменных (16.77) дает нормированное
экспоненциальное решения (11.82) с целыми значениями ш, отобранными
согласно периодическим граничным условиям для азимутального угла. Из
этого следует, что И также является целым, так что решения являются
сферическими функциями Важно, что угловые функции уни-
версальные^ не зависящие от потенциала [7(г). Таким образом, с полным
набором сферических функций, мы можем решить эту угловую задачу раз
и навсегда. Характерный потенциал вводится через радиальные уравнения.
Задача 2.2
Показать, что гамильтониан частицы массы т в сферически симметрич-
ном потенциале [7(г) может быть представлен в форме
й2 П2Р
Н = Д + + (2.24)
2т шг
и радиальный импульс определенный, как
1 д
рг = _щ_ г, (2.25)
г дг
канонически сопряжен к радиальной координате г.
Решение Оператор рг отличается от наивного выражения —ИгД/дг):
( д 1\
рг = -гН — + - . (2.26)
\дг г
Различие связано с различной геометрической природой радиального
движения в ограниченной области г 0. Квадрат оператора (2.26) равен
-2 ъ-2 ( ®
Рг = ~Н л~
\ 0Г
1\ / д 1\ ~ / д2 д 1 19 1
I I Л----1 I — I ТГЦ + я-------------1 я----1 2
гр / \ Т* / \ 0Т Т Т 0Т р^
Поскольку
3 1 1 1 д
т;--— л 4 “Г
(2.28)
мы приходим к выражению
которое является правильной формой радиального оператора кинетиче-
ской энергии ( радиальной частью оператора Лапласа). Коммутационные
соотношения
[рг,г] = —(2.30)
следуют из (2.26) поскольку дополнительный член 1/г коммутирует с г
если г ф 0.
Задача 2.3
Вывести операторные уравнения движения для г, рг и г9, и доказать
связь между ожидаемыми значениями в стационарном состоянии,
7
(ргГД = (2-31)
Решение С помощью (2.29) получаем, по аналогии с классической меха-
никой,
с1рг К2^2 Ш
—у— = —тт - -ул (2-33)
сП тг аг
Оператор г9 не коммутирует только с радиальной частью кинетической
энергии,
[ГД] = + (2.34)
Совместно с (2.32) это дает
б/г9
(И
ч ~ ^-1 I ~ Х) -'«-г
= —рггч + га----------г4 .
т 2т
(2.35)
Так как среднее значение производной оператора в стационарном состо-
янии дискретного спектра зануляется, см. т.1, раздел 7.7, мы приходим к
предложенному выражение (2.31).
2.3 Радиальная часть уравнения Шредингера
При определенном значении константы разделения С = + 1), ради-
альная часть уравнения (2.22),
1 (1
г2 (1г
+ к2(г)Е =
1(1+1)
(2.36)
должна определять, для каждого значения орбитального момента реше-
ние 11/(г) и спектр возможных энергий Е, вырожденных по т в результате
вращательной инвариантности потенциала. Мы называем эти решений
парциальные волны и используем традиционную символику для различных
значений Г.
I 0 12 3 4
эутЬо! в р (1 / д ...
(2.37)
и далее в алфавитном порядке.
Уравнение (2.36) может быть переписано с помощью с ^-зависимого
потенциала,
_1_
Г2 (1г
,2
+ АДг)Я = 0,
(2.38)
= дг) + пу+21}
(2.39)
Последний, центробежный, член в эффективном потенциале (2.39) изве-
стен из классической механики как представление вращательной части
„ 2
кинетической энергии с моментом инерции тг . «8-волновое уравнение не
содержащих этот член.
Во многих случаях полезно упрощение, основанное на параметрах созра-
нения тока. В трехмерной геометрии с фиксированным началом координат,
поток из центра распространяется через поверхность с площадью увеличи-
вающейся как ос г2. Постоянный поток, поэтому, должен падать как ос 1/г2.
Так было бы в случае, если бы абсолютное значение волновой функции
вело себя, независимо от I, ос 1/г. Давайте посмотрим на решение для
радиальной части в виде
Я(г) = ^21. (2.40)
Г
Радиальная часть оператора Лапласа (кинетической энергии радиального
движения) становится
1 с/ / 2 дК\ и" , х
“2 (г ~й~1=~’ 2-41)
аг \ аг) г
где штрих обозначает радиальную производную, а уравнение при решении
приобретает одномерную форму с эффективным волновым вектором к^(г)
см. уравнение (2.39),
и” + к](г)и = 0. (2.42)
Некоторые свойства решения являются общими для широкого класса по-
тенциалов. Позвольте нам оценить решения на больших расстояниях и в
окрестности нуля.
Будем считать, что потенциал имеет конечный радиус а, и при г > а
мы можем пренебречь потенциальным членом Е(г). Центробежный член
также уменьшается и, на достаточно больших г, + 1)/(2тг2) Е.
На таких расстояниях мы можем рассматривать движение как свободное
с волновым числом к.к2 = 2тЕ, так, что мы приходим к простейшей
одномерной задаче
и" + к2и = 0, (2.43)
с общим решением как произвольной суперпозицией волн распространяю-
щейся от (+) и к (—) центру,
и(г) = Ае'кг + Ве~1кг. (2.44)
В терминах исходной функции (2.40),
Дкг р—гкг
Е(г) = А — + В——, (2.45)
мы получаем суперпозиции сферической исходящей и входящей волн. Урав-
нение (2.45) подтверждает наши ожидания по части сохранения тока. Ра-
диальный ток в сферической волне единичной амплитуды с угловыми
квантовыми числами 7 и т есть, для определенного направления в про-
странстве,
Эг = --- Дт\ ( -й ------й —Г~ ) = ± --2 Дт\ , (2.46)
2тг у аг аг ) тг
так, что поток через элемент площади,
эЛ8 = ]гг2 <к> = ± — \Ует\2(1о, (2.47)
т
сохраняется как функция г. Здесь мы предположили, Е > 0 и бесконечное
движение с потенциалом С/ —> 0 на больших расстояниях. Для связанного
состояния, Е < 0, асимптотический волновой вектор является мнимым,
к = ж, а функция п(г) экспоненциально спадает,
и(г\ <х е~КГ к = \177777 (2 48)
V т
Мы должны отметить, что это асимптотическое решение не верно для
кулоновского потенциала, который уменьшается слишком медленно, ос 1/г.
Сферические полярные координаты имеют геометрическую сингуляр-
ность г -Л- 0, где углы не определены, а энергия вращения (для Д 0)
стремится к бесконечности. Если потенциал 17(г) конечен в г ч 0. нет
никакой физической сингулярности, и волновая функция должна быть
определена в нуле. В этом случае главные члены уравнения (2.42 дают в
начале координат
ц// - = 0. (2.49)
Это уравнение универсальное, не имеющее отношения к памяти о вели-
чине энергии или фактического потенциала. Уравнение Эйлеровского типа
имеет решение в виде степенной Функции
и = г7, 7(7 — 1) = 7Д + 1), (2.50)
с двумя возможностями, 7 = ^+1 ог 7 = — 7. Они определяют регулярное
и нерегулярное решения,
ос /+1, Ке ос /, (2.51)
(Лге§) 1 тэ 1
(2.52)
Задача 2.4
Предполагая центральный потенциал 17(г) удовлетворяющий условиям
применимости квазиклассического приближения, измените одномерное
решение, данное в гл. 15, таким образом, чтобы включить трехмерный
эффективный потенциал (2.39).
Решение Разница по сравнению с одномерным случаем в дополнительном
граничном условии 7?(0) = 0. Сингулярность может быть устранена путем
отображения полуоси г 0 на всю ось х с помощью замены
г = еж, г = 0 х = —оо, г = оо => х = оо. (2.53)
С новыми переменными уравнение Шредингера приобретает форму
^Щ)-ф + 1)е-&
и = 0.
(2-54)
Первая производная может быть устранена стандартным приемом введения
новой функции Е(х) в соответствии с
и = ех/2 Р(ж).
(2.55)
Р(ж) удовлетворяет
2 2тП , 7 1\ —2т
к -Ди^е )- Р+2 ) е
Г(ж) = 0.
(2.56)
Это уравнение имеет обычный вид с граничными условиями определенными
на х = ±оо. Квазиклассическая фаза новой волновой функции
Г1' / 2?77 7 1 \
5(ж) = I (1х ех \ к2 —17(еж) — ( 7 3— ) е~2х
7 V \ 2)
(2-57)
или, возвращаясь к исходной переменной г, уравнение (2.53),
Р / 2 777
5(г) = / Нг \ к2 —— 17(г) —
7 V ТР
(^+1/2)2
г2
(2.58)
Сравнение (2.58) с исходным уравнением показывает, что радиальная за-
дача может быть изучена в квазиклассическом приближении с тем лишь
отличием, что
ДЧ1) => и+1
(2.59)
Требование регулярности вблизи начала координат выбирает решение
(2.51). <8-волна не имеет центробежный барьера, в то время как все волны
1 > 0 подавлены вблизи начала координат. Этот факт сильно влияет на
свойства взаимодействия частиц на малых расстояниях. Это соображение
справедливо даже для кулоновского взаимодействия ~ 1/г, более слабого,
вблизи начала координат, чем центробежная энергия. Если потенциал более
сингулярен, чем 1/г2, мы сталкиваемся с ненормальной ситуацией падения
на центр так, что система может не иметь конечной энергии в основном
состоянии. На самом деле другие физические факторы должны играть
роль изменяя потенциал на очень малых расстояниях.
2.4 Свободное движение
В порядке описания радиальной волновой функции мы начнем со случая
свободного движения, 17 = 0, когда решение дается в виде сферических волн
как аналога плоских волн в декартовой геометрии. Поскольку они образуют
полный наборы альтернативных решений, плоских и сферических волны
могут быть представлены в виде суперпозиции решений другого класса.
Это взаимодополняемость имеет важное практическое значение: детектор
улавливающий рассеяную сферическую волну в определенном направлении
от отражателя на самом деле проецирует эту волну на плоскую волну с
определенным направлением импульса. Поэтому необходимо изучить эту
взаимосвязь.
Волновая функция ^(г) свободного движения в определенной парциаль-
ной волне с орбитальным моментом
Дг) = ^21 Уш(п), п = р (2.60)
удовлетворяет радиальному уравнению
и" + к2
(2-61)
Два линейно независимых решения (2.51) и (2.52) уравнения (2.61) отли-
чаются своим поведением в начале координат. Для свободного движения
мы должны выбрать правильное решение, п(0) = 0. Тем не менее, для
движения в центральном поле, свободное уравнение (2.61) справедливо
только в асимптотической области вне зоны действия потенциала. Здесь
общее решение будет суперпозицией регулярного и нерегулярного решений,
которые должны быть гладко склеены с регулярным решением в области
взаимодействия. Поэтому, мы должны знать свойства обоих решений.
Вводя размерную переменную р = кг. можно переписать уравнение (2.61)
как
= (2.62)
р _
Здесь энергетическая зависимость исчезла — откуда, решения для всех
энергий ведут себя аналогично, если расстояния измеряются в соответству-
ющих длинах волн. Действительно, свободное движение не имеет любого
внешнего масштаба длины.
При малых р, в соответствии с разделом 17.3, регулярное, Д, и сингу-
лярное, решения ведут себя как
Л-С.Л1, Р-0. (2.63)
р
В асимптотике, р -Д оо, оба решения суперпозиции исходящей, егр, и
входящей, е-гр, волн. Отнормируем (путем выбора СД регулярное решение
таким образом, что асимптотически
/^яазш(р + /Зе), р^-оо.
(2-64)
Фаза Д будет найдена ниже. Исследуя решения мы применим метод
факторизации [8].
Определим два набора дифференциальных операторов
± (2.65)
ар р
Тогда легко проверить, что уравнение (2.62) можно представить в двух
эквивалентных формах,
Тн ^+1и( = ~и( = АрДр^Щ- (2.66)
С помощью регулярных решений Д, введем набор функций
= Арре, /> = 1,2,... (2.67)
Теперь мы можем доказать, что функции од пропорциональны Д и найти
коэффициенты пропорциональности. Со вторым уравнением (2.66) мы
найдем
АрД-! = АрДрД = -Л. (2.68)
Если мы здесь подставим I -л I + 1, то мы придем к
аДщ = -Л+1, (2.69)
или, действуя на обе части (2.69) при помощи А^,
аЦ щ = -АДЛ1 = (2-70)
в соответствии с определением (2.67). Если мы сравним результат (2.70) с
первым из уравнений (2.66), мы увидим, что функции гве и Д удовлетворяют
одному и тому лее уравнению.
Чтобы убедиться, что гве регулярно в начале координат, мы используем
уравнение (2.67) с Д — 1) л I и асимптотикой (2.63) регулярного решения
/м-1,
= А^Л+1 ~ Л^)1^+1у+2 = (2? + 3)Се+1ре+1. (2.71)
Это означает, что гве также принадлежит к классу регулярных решений.
Но регулярное решение есть, с точностью до нормировки, уникальные, то
есть гве и Д просто пропорциональны, а их постоянное отношение может
быть найдено из (2.63) и (2.71),
№^(243)^/;. (2.72)
Ге
Таким образом мы определим реккурентное соотношение,
В+1 = -АЦ = -Л + 3) Гр- ЛЬ) (2.73)
Ге
которое позволяет последовательно построить все регулярные функции
Д. Для 5-волны, I = 0, регулярным при р = 0 решение уравнения(2.62)
является Со зтр. Для асимптотического выбора (2.64), Со = 1, и мы
получим
/о = 8тр, /Зо = 0. (2.74)
При следующем шаге (р-волна, — 1), в соответствии с уравнениями
(2.73) и (2.74),
/1 = -3— созр---------, (2.75)
'-О \ Р )
и в асимптотике (р —> оо)
/1 -> -3 — СОЗ р = 3 — 81П
’-О ’-О
(2.76)
Сравнение с требуемой асимптотикой (2.64) показывает, что 6*1 — (1/3)Со —
1/3, и
/1 = ^Р-сжр. Л = _1. (2.77)
Р 2
Нетрудно видеть, что общий результат
с = 1_________1 1 1 = 1 = Г2 7Ю
1- 2^+1 2^ — 1 5 3 (2^ + 1)!! (2^ + 1)!’ 1 ' 7
и
/7г
= (2.79)
В итоге, наше регулярное решение характеризуется асимптотиками
( [2^!/(2^ + 1)!]рЩ р^О.
[ зш(р-^/2), р —ос. (2’80)
В отличие от регулярного решения, основной член ряда, который пред-
ставляет при малых р нерегулярное решение д^ не определяет однозначно
функцию д%. Действительно, при добавлении к д% регулярной функции,
аД с произвольным постоянным коэффициентом а, главный доминиру-
ющий сингулярный член при р —> 0 не изменяется, однако стремится к
другим асимптотикам при р —> оо. Для полного определения р^, мы накла-
дываем требование, что на больших расстояниях д^ имеет асимптотики
аналогичные (2.80),
/ ^7Г \
Рг~соз1р-у1, р —оо. (2.81)
Такой выбор фазы означает определенное значение константы а. При
условиях (2.63) и (2.81) решение су полностью определено. Обратите вни-
мание, что старые реккурентные отношения действительны для функции
9^
Тн 37 = “37+1, = “37-1 •
(2.82)
В последовательности парциальных волн, операторы ) апс! оче-
видно играют роль операторов рождения и аннигиляции, соответственно.
Задача 2.5
Определить величину константы в уравнении (2.63).
Решение Результат может быть найден многими способами. Например,
рассмотрим Вронскиан (9.24)
1 г ^9^ /Г) лп\
, 9е = 9е - Л ~л~• (2.83)
ар ар
Как и в разделе 9.3, нетрудно показать, что этот Вронскиан не зависит
от р поскольку обе функции, Д и подчиняющиеся уравнению (2.61).
Поэтому мы можем вычислить его значение в асимптотике на больших
расстояниях,
(Р пт \ Р Рпт \
р —— + зш2 (р —— =1. (2.84)
С другой стороны, вычисляя IV при р —> О, мы находим
IV = 1 = (Ы)С(/П{р - = (2ШЖ, (2.85)
откуда
сда + 1)’
(2.86)
Задача 2.6
Докажите, что функции Д и д/ относятся к функциям Бесселя полуцелого
порядка, раздел 9.7,
(2.87)
Полные радиальные функции (2.40) выражаются через так называемые
сферические функции Бесселя и сферические функции Ноймана^
Цр) = ГД = ДД+1/2(р^ = _Д1 = (Дт ДД-(т/2)(Д
Р V ^Р Р V
(2.88)
Суммируем их свойства (эти функции комбинации элементарных триго-
нометрических функций с координатой в степени в знаменателе). Низшие
порядки
. . 8ШО СОЗ О
4о р) =----, по (р) =------,
р р
(2.89)
зшр СОЗ Р СОЗ/, зшр
41 р) = —---------, п^р) =------?--------. 2.90)
Р2 Р Р2 Р
Вблизи начала координат, р —> 0,
// / \ (2^-1)!!
~ (2^ + 1)!!’ Пе^ ~ Д+1 ’ (2‘91)
в то время как в асимптотике, р оо,
О,М^-С0Ф~{;Г/2). (2-92)
р р
Любые линейные комбинации и удовлетворяют тому же самому
свободному уравнению (2.61). В особенности, комбинации соответствуют
сферическим функциям Ханкеля первого и второго рода,
VI = // + где, г;е = }е- где, (2.93)
в асимптотике представляющие входящую или исходящую сферическую
волну,
иц ~ щ _{ег(р-^/2\ (2.94)
Сферические функции Ханкеля определяются как
^\р) = Др) + ™е(р), Рр(р) = ]е(р) ~ гпе(р). (2.95)
Их асимптотики даны
У1}(р) ~ УД/,) = (У1^/,))*. (2.96)
2.5 Плоская и сферическая волны
Сферическая волна,
= 7>(р)Уёш(п), р = кг, п = —, (2.97)
р г
образует полный набор регулярных в начале координат решений уравнения
Шредингера для свободного движения частицы с энергией Е = К2 к2/2т.
Любое другое регулярное решение может быть расширено с помощью этого
полного набора. В частности, это может быть применено к плоской волне,
которая, определенно, не имеет особенностей в начале координат,
ег(к.г) = СДк)ГДпШ (2.98)
Ст
Чтобы найти амплитуды Сдт в разложении (2.98), мы используем свобода
выбора оси квантования г для сферических функций У^т. Мы скомбини-
руем ось г с направлением волнового вектора к, так, что (ту = сое в)
к = кг, (к • г) = кг = кг сое в = ру. (2.99)
Плоская волна (2.98) имеет осевую симметрию вокруг оси г и не за-
висит от полярного угла р. Поэтому разложение содержит только Уф =
У(2^+1)/4^Ю, так, что
е^ = ^С^О)7Хр), = (2-100)
Из-за ортогональности (16.145) полиномов Лежандра,
сдхд (2.101)
Это соотношение должно быть одинаково правильным в р, так, чтобы
достаточно было вычислить левую сторону при некотором значении р.
Интегрирование по частям дает
к Лре^РХт) = - ^ с1г]егр11 РХ1) + ~[СР - (2.102)
7-1 Р 7-1 гр
где необходимо вспомнить граничные значения полиномов Лежандра (16.143)
и (16.148). Проинтегрированное выражение с правой стороны (2.102) равна
(2/р)г^ 8т(р — ^7г/2), в то время, как видно из дальнейшего интегрирования
по частям, оставшийся интеграл имеет порядок величины 1/р2 при больших
р. Приравнивая асимптотики (2.80) с правой стороны (2.101), мы приходим
к
| / 8Ш(Р - Рг/2) = ~Р С7 = гД2/' + 1). (2.103)
Уравнения (2.101) и (2.103) определяют полезные интегральные соотно-
шения,
Ш (2.104)
Таким образом, искомым разложением (2.98) плоской волны на сфериче-
ские волны является
оо
егкг = = Д2(+ 1)РХДМА (2-105)
^=0
или, в произвольной системе координат,
оо
ег(к-г) = Д21+ 1)РДо8 0(к;Г)ШД (2.106)
^=0
Возвращаясь обратно к уравнениям (2.103) и (2.104), мы можем записать
асимптотическую форму расширения при р —> оо,
С(к'г) => фЕ(2^ + 1)Л(со80(к,г))[^ - (-)^е-у
2гР^
= Е + 1) Л(СО8 0(к,г)) 8Ш(р ^/2). (2.107)
Набор полиномов Лежандра является полным, как мы можем видеть из
уравнений (16.147) и (16.149),
^2(2^+1)Р^(п, п') = 4тг5(п — п'), ^2(2^+1)(—/Р^(п, п') = 4тг5(п + п/).
Это показывает эквивалентное и геометрически прозрачное асимптоти-
ческое равенство: при р —> оо
ег(к-г) [Л(пк - п) - е~{кг 6(пк + п)1. (2.109)
гкг I
В асимптотике, плоские волны выглядят как суперпозиция исходящих
сферической волны в направлении к и входящих волны вдоль —к.
2.6 Сферическая потенциальная яма
Это самый простой, но очень важный пример — притягивающего потен-
циала глубиной ?7о и радиусом а, рис. 3.8. Задача сводится к одномерному
движению вдоль полуоси г 0.
Для связанных состояний (Е = — е < 0), волновой вектор внутри потен-
циальной ямы, 0 < г < а, 18 /со,
(2.110)
С заменой (2.40) и безразмерная переменной длины, определенной здесь
как р = к(рц радиальный уравнение Шредингера (2.61) снова принимает
вид (2.61) свободного движения. Выбирая регулярное решение внутри
потенциальной ямы, получим
7?(г) = ДуД/сог), 0 < г < а. (2.111)
В континууме, то же самое справедливо для бесконечного движения при
Е > 0. Для I = 0, нет центробежного барьера, и мы имееем стандартное
одномерное уравнение для п(г) с кинематическим условием п(0) = 0,
что можно имитировать непроницаемой стеной в начале координат и,
следовательно,
По(г) = СОП81 • 8ш(/сог). (2.112)
Это равносильно сохранению только нечетных решений задачи для
одномерной симметричной потенциальной ямы, простирающейся от —а до
+а.
Во внешней области, г а, связанное уравнение состояния включает в
себя мнимый волновой вектор,
к = ж, н = у ^_2 , е = —Е, (2.113)
и уравнение снова приобретает туже самую форму с мнимой безразмер-
ной переменной р = г кг. Чтобы получить экспоненциально затухающую
функцию под барьером, мы должны взять комбинацию 1ц из мнимого
аргумента,
Д(г) = В/ДДкг). (2.114)
Низшая функция этого типа
ДДжг) = е~кг
кг
(2.115)
И^\гкг) = г
(2.116)
Внутренние и внешние решения должны сшиваться на границе потенци-
альной ямы г = а. Достаточно соответствия функций и = г К (доказать
это\). Для = 0 нам необходимо сшить 8ш(&ог) с ехр(—кг). Как часто в
таких случаях, удобно исключить постоянные амплитуды приравнивая ло-
гарифмические производные при г = а, что ведет к уравнению для энергии
связи е,
1ап(&оа) = — —
к
(2.117)
Это уравнение может быть решено графически, но сразу видно, что
связанное состояние появляется, только если глубина потенциальной ямы
превышает критическое значение С/СГД Предполагая, например, положи-
тельный знак внутренней функции (2.11), мы следуем растущему синусу
к границе. Если внутренняя Функция достигает г = а с положительной
производной, то невозможно сделать непрерывную сшивку со спадающей
внешней экспонентой. Однако это становится возможным после того, как
фаза синуса к^а достигнет л/2. Таким образом, как мы уже обсуждали в
(3.65),
,сгЛ _ _р_ ттсгИ __ 1
0 2а’ 8та2
(2.118)
Дальнейшее углубление потенциальной ямы увеличивает энергию свя-
зи, и в какой-то момент внутренняя функция, приобретая узел внутри
потенциальной ямы, снова может быть склеена со спадающей внешней
Рис. 2.2. Графическая конструкция для сферического потенциальной ямы
(в этом случае существует четыре связанных 5-уровня)
функцией, так что колодец модет содержать два связанных состояния.
Каждый раз, новый уровень появляется с нулевой энергией связи, а затем
опускается вниз, по мере углубления потенциальной ямы. Момент появле-
ния уровня соответствует к = 0. Удобно ввести безразмерные переменные
удовлетворяющие уравнению (2.117),
г] = кть
€
1ан^
(2.119)
Они взаимосвязаны через уравнение окружности в плоскости (т/, Ц Рис-
17.2,
€2 + 'Г =
= С2-
(2.120)
При к -л- 0, переменная > ф предел, который не зависит от е. Для
И = 0, как видно из уравнения (2.117), это происходит, когда обе части
уравнения бесконечны,
(2.121)
так, что новорожденные уровни появляются, когда
О, = =
/г2тг2
2та2
Задача 2.7
Найти последовательность критических значений переменных 1}п при
появлении связанных состояний с I = 1 (р-волна).
Решение Используя точную форму сферических функций Бесселя и Хан-
келя для И = 1, найдем решение
А[8т(/сог)/(ког) — со8(&ог)], г < а,
В[1 + 1/(кт)] ехр(—кт), г > а.
Граничные условия могут быть записаны как
со! 1 _ 1 1
€ €2 ц + ц2
(2.123)
(2.124)
в терминах переменных (2.119), связаных уравнением (2.120). Новые р-
уровни появляются при со!^ -Л- оо, или = ПЛ,
^ = ^„2
2та2
П > 1.
(2.125)
Задача 2.8
Квадратный колодец радиуса а поддерживает только слабо связанное
«8-волновое состояние с энергией связи е. Найти глубину потенциальной
ямы.
Решение Глубина только слегка больше, чем критическая величина (2.118),
По = ПСГ11 + 51}. Это означает, что слегка больше, чем л/2, и, в первую
очередь в ц, мы находм из (2.120) С? ~ л2/4 + 2ц. Это определяет
617 = \ ^4- (2.126)
V та}
Энергия связи растет пропорционально квадрату избытка глубины по-
тенциала,
= та2 (.ТТ}2 = 71-2 (МТ)2
2/12 ’ 16 ’
(2.127)
2.7 Короткодействующий потенциал
Новорожденные состояния очень слабо связаны. Соответствующая внеш-
няя экспонента имеет большую длину проникновения 1/я и форму гало,
раздел 3.5, волновой функции в классически запрещенной области. Реше-
ния в континууме могут быть найдены с использованием одного и того же
граничного условия, но мы отложим их обсуждение до тех пор, пока мы
не сформулируем задачу рассеяния.
Во многих практических ситуациях, мы заинтересованы в вопрос суще-
ствования связанного состояния (-и) .Дальнодействующие потенциалы, как,
например, кулоновской силы, может иметь бесконечное количество связан-
ных состояний, в том числе очень большого пространственного размера. В
таких случаях у нас нет гало: волновая функция экспоненциально затуха-
ет, ~ ехр (—кт), в то время как потенциал спадает по степенному закону,
например ~ 1/т~, так что хвост слабосвязанной волновой функции все еще
находится в классически разрешенной области. В случае короткодейству-
ющего потенциала, 1/к ^> а. подавляющая часть волновой Функции может
быть в гало, за пределами потенциал, вспомним, например, раздел 3.5
Поскольку центробежный барьер для I ф 0 подавляет вероятность нахож-
дения частицы внутри притягивающего потенциала на расстояниях г < 1/к,
как правило, только «8-волновые связанные состояния имеют значительный
шанс существовать в короткодействующем потенциале. Последователь-
ность низших связанных состояний для каждого орбитального момента I
образует так называемые ираст линии. Как установлено, вдоль ирастовых
линий, состояния упорядочены в точном соответствии с возрастанием I.
Задача 2.9
Докажите, что низшее связанное состояние с орбитальным моментом
И в центральном потенциал имеет энергию, которая ниже, чем низшее
связанных состояний с орбитальным моментом Г > I.
Решение Энергия Е^ - ожидаемое значение эффективного Гамильтониана,
уравнение (2.39), для радиальной функции 7?Дг),
= = У йгг2ДГ(г)(к + Щг))яДг). (2-128)
Для высших значений орбитального момента, > С
Ее = {Ке\Не\ВЛ = {ЕеЛе.Ле') + \ Ю
^[ДГ + 1)-1(1 + 1)]
2тг2
Ее
(2.129)
Второе слагаемое в (2.129), очевидно, положительно. Что касается пер-
вого слагаемого, то мы можем применить вариационный принцип. Гамиль-
тониан 11/ имеет свою минимальную ожидаемую величину равную Е/ в
своем собственном состоянии Ер поэтому в любых других состояниях, в
том числе и в его ожидаемое значение больше. В результате, Ец > Е%.
Что касается «8-волны, можно заметить из рассуждений предыдущего
параграфа, что можно записать граничное условие для логарифмических
производных, для любой собственной волновой Функции К = п/г, как
(2.130)
где л:, см. уравнение (2.113), характеризует энергию связи е. Связанное
состояние существует, если логарифмическая производная взята изнутри
отрицательна, Л < 0, и две части волновой функции могут быть непрерывно
сшиты. Этот вывод справедлив для любого короткодействующего потенци-
ала и любой границы г = а, где движение уже свободно. Если основная
часть нормировочного интеграла / с/гг2|Я|2, определяется внешней частью,
где К ос ехр(—л:г)/г, весь эффект потенциала в основном описывается
одной величиной Л, и результат не зависит от конкретный вид потенциала.
2.8 Добавление второго центра
В случае, когда логарифмическая производная Л > 0 и нет связанных
состояний, присутствие еще одного центра притяжения, не очень далеко от
первого, можно породить связанное состояние. Предположим, что центры
идентичны и оценим как близко второй центр должны быть расположен.
Если длина проникновения 1/л:, велика по сравнению с радиусом /'о
потенциала, внешняя функция в большой области /'о < г < 1/л: может быть
представлена в виде
и = соп81е-^г ~ сопй1(1 — кг). (2.131)
Тогда полная «8-волновая функция ведет себя в этом регионе, как
^(г) ~ СОП81
Рис. 2.3. Графическое решение задачи двух центров, уравнение (2.135)
Пусть теперь второй центр на расстоянии (1 > /'о от первого. В точке г
вне обоих короткодействующих колодцев, волновая функция может быть
записана в виде суперпозиции двух одинаковых экспоненциально спадаю-
щих 5-волновых функций (мы можем присвоить постоянную амплитуду,
равную 1),
Дг) =
е-к|г-Г1| е-к|г-г21
|г - Г11 |г - г21
(2.133)
где Г1 и Г2 позиции центров. Вблизи (но все еще снаружи) первого центра,
г около Г1, приблизително получим ^|г — Гт | 1, и |г — гд| так что
1
|г-Г1|
~л~
(2.134)
— к +
Сравнение с уравнением (2.132) показывает, что теперь величина к эф-
фективно изменено другим выражением, зависящем от с/. Для сшивки
внешнего решения с внутренним внутри первой потенциальной ямы, харак-
теризующегося логарифмической производной Л, мы должны потребовать,
по аналогии с уравнением (2.130), чтобы
х = -к+д
а
(2.135)
Даже если Л > 0 и связанное состояние в отдельной потенциальной яме
невозможно, здесь оно все же может существовать. Как видно из рис. 17.3,
решение существует, если положительная логарифмическая производная
не превышает 1/ф
(2.136)
А
Грубо говоря, частица оказывается захваченной между двумя центра-
ми отражаясь туда и обратно; дополнительное слагаемое в уравнении.
(2.135) соответствует обменному потенциалу упомянутому в задаче 1.7, см.
уравнение (1.46).
Задача 2.10
Рассмотрим среду с идентичными центрами близкодействующего притя-
жения, распределенных с плотностью р. Логарифмическая производная
А для одного центра положительным. Покажите, что частицы в такой
среде связаны и найдите энергию связи в пределе малой к, соответствую-
щей длине проникновения 1/к большей, чем среднее расстояние до центра
<1~ р-1/3 [9].
Решение Прямое обобщение уравнения (2.135) дает граничные условия в
терминах суммы по дискретным центрам на расстояниях ф,
_ р 1^(1%
А = -^ + 22—^—- (2.137)
г
Переходя к непрерывной плотности, получим
/е~кг
д3г р---, (2.138)
или, для постоянной плотности,
4лр
к2
(2.139)
Рисунок, подобный рис. 2.3, показывает, что решение существует для
любой положительной плотности р. В пределе малых к мы можем оставить
только второе слагаемое в правой части (2.139) и получить
^лН2р
2 т X
(2.140)
Это справедливо в пределе А » 1/Ф Среда действует как отрицательный
постоянный потенциал, и частица оказывается связаной, хотя ее длина
локализации,^ 1/к, велика по сравнению с расстоянием (1 между центра-
ми. Такие соображение [уравнение (2.138)] недопустимо для идеальной
периодической структуры кристалла, где решение представлено в виде
непрерывного спектра Елоховских волн, раздел 8.7. Отличие заключается в
строго когерентной суперпозиции волн, отраженных от всех узлов решетки.
2.9 Трехмерный гармонический осциллятор
Трехмерный гармонический осциллятор делает возможным тривиальное
разделение переменных. Предполагая потенциал в виде
Г(ж,у,г) = (Дж2 + Ду2 + Дг2), (2.141)
получаем стационарные состояния как произведение стандартные функции
линейного осциллятора <фп с соответствующими частотами,
^пх,пу,пг (ж, у, = Лх (®; ихУфПу (у, иуУФпг Ц
(2.142)
и энергиями
Е(пх,Пу, пг) = /г
1\ / 1
2 ) + шу ( пу + 2
1
2
Как и в двумерной геометрии, раздел 11.5, изотропный случай,
1 9 9
шх — шу = = ш, И = -шш г ,
(2.143)
(2.144)
особенно интересен. Здесь мы сталкиваемся с большим вырождением, по-
скольку энергия зависит только от суммы трех квантовых чисел,
Е(пх, пу, пД =
. Лг Л
= Нш ( ) ,
Е = пх-\-Пу+пг.
(2.145)
Это экстремальный пример оболочечной структуры, так как спектр
представляет собой эквидистантную последовательность вырожденных
оболочек. Состояния внутри оболочке имеют одинаковые средние значения
(р2) апс! (г2). Действительно, в силу теоремы вириала мы имеем равенство
кинетической и потенциальной энергии в любом стационарном состоянии,
сс = д) = |я = |/^^+|).
Из (2.146) следует, что
(р2) = йлт (Ы + , (г2) = —.
у 2 у та) у 2 у
Задача 2.11
Покажите, что степень вырождения оболочки — той равна
= + 1)(7У + 2).
(2.146)
(2.147)
(2.148)
Большое вырождение не случайно очевидно связано с симметрией по
отношению к перестановке осей. Замещение ж-кванта уу-квантом ведет
к различной пространственной форме волновой функции, но не меняет
энергии. Таким образом, мы находим девять констант движения,
Тгк = а\ак, [Тгк,Н] = Ъ. (2.149)
Эти операторы не могут иметь одновременно определенные значения,
потому что они не коммутируют,
[Д/с? Дпп] = ^кт^гп ~ ^п^тк- (2.150)
Все 7Д коммутируют с полным числом квантов,
[Т)ьЯ = 0, IV = ^а\аг = ^Тц = 1гТ. (2.151)
г г
Восемь оставшихся независимых комбинаций генерируют представление
группы <52У(3) унитарных преобразований в пространстве ТУ. Мультиплеты
с различными ТУ являются различными неприводимыми представлени-
ями группы <52У(3), основанной на симметрии трех основных объектов,
квантов вдоль различных осей. В случае углового момента соответствую-
щая группа <52У(2) порождена двумя элементарными объектами, спинами
направленными вверх или вниз.
Задача 2.12
Выразите компоненты орбитального момента I в терминах генераторов
Дь-
Решение Члены рождения и уничтожения пар квантов взаимно сокраща-
ются, и в результате, в соответствии с классификацией (16.125), выража-
ются через антисимметричную часть тензора
= —— = (2.152)
В декартовых состояниях (2.142) три диагональные оператора, ГЦ = Тц
(без суммирования по г) одновременно диагонализируются, и это максималь-
ное количество операторов, которые могут иметь определенные значения
одновременно; это соответствует трем квантовым числам маркирующим
состояния. Конечно, проблема с потенциалом (2.144) может быть также
решена путем разделения переменных в сферических координатах. Это
дает тот же энергетический спектр, но с другой комбинацией вырожденных
собственных функций, обозначенных теперь квантовыми числами ТУ, I и т.
Задача 2.13
Выведите энергетический спектр изотропного гармонического осциллято-
ра (2.144), решая радиальное уравнение Шредингера. Установите границы
изменения орбитального момента I внутри данной ТУ-оболочки. Покажите,
что степень вырождения такая же, как в Декартовом базисе.
Решение С помощью переменных, введенных в (11.6) и (11.7), мы будем
искать решение радиального уравнения в виде
и = ^+1е~?/2ге(Ц (2.153)
При г/ — мы приходим к уравнению для вырожденной гипергеометри-
ческой функции,
с11 2т Г / 3\ "I 1 (е . 3\ . ч
??^2+ \ 2 / ~ ’7+2\2_ ~ 2 / = °' (2'154)
Спадающие асимптотитки определяют собственные щначения V как по-
линомы от г/ при условии, что
1 Л „ 3\ ,
- ) = п = О,1,.... (2.155)
2 \2 2/ у ’
Энергетический спектр находится как
Е = (2п + Е .
Л \ /
(2.156)
Получим соответствие между квантовыми числами в разных наборах
собственных функций,
У = 2п + I.
(2.157)
Отсюда следует, что в каждой оболочке все состояния имеют одинаковую
четность (—/, а квантовое число принимает значения ТУ, ТУ — 2,..., О или
1 в зависимости от четности ТУ. Подсчитывая вырождения мы находим,
как и в (2.148),
Л. 1 4- 1
г(Л') = 52(24 +1)^-^— = 5(Л' + 1)(Л' + 2).
ЖО
(2.158)
Точное соотношение между декартовым и сферическим решением доволь-
но громоздко, донако рассчитать минимальные значения квантовых чисел
достаточно легко. Вакуумное состояние, У = 0, не имеет вырождения,
пх — пу = = 0, и = п = 0. Эта 15-функция равна ехр(—^2/2) в обоих
системах координат. При У = 1 у нас есть три декартовых состояния,
пх = 1, пу = 0, = 0, 'ф ~ хе ^2;
пх = 0, пу = 1, = 0, 'ф ~ уе~^2/2;
пх = 0, пу = 0, = 1, 'ф ге-^2/2.
Они образуют три компоненты вектора ге-^2/2 и соответствуют угловой
зависимости У1т сочетаясь стандартным образом (16.100).
Задача 2.14
Установите точное соответствие между двумя множествами решений, в
декартовых и в сферических координатах, для У = 2 и У = 3.
Задача 2.15
Используя решение задачи 17.2, получите рекурсивные соотношение
между средними значениями различных степеней г, с применением тео-
ремы вириала и вычислите (г2 и (^4)ж для стационарного состояния
изотропного гармонического осциллятора с главным квантовым числом
и орбитальным моментом I.
Решение Применяя уравнения движения для оператора О = , полу-
чаем вместо (2.35)
^<?+1 д + 1 „(^ + 1)
—-— =--------рггч + га------г4 . (2.159)
сп га 2т
Теперь, используя О = рггд+\ получим
ДрИ+1) = -^г9+1 + 9 + ^РгГ9-1. (2.160)
0,1 0,1 т 2т
Однако среднее значение слева равно нулю, так что
/^^1 + + + ^-Л , 0. (2.161)
\ сп т 2т /
В первом слагаемом мы используем уравнение движения (2.32); во втором
слагаемом выражаем р2 через Гамильтониан (2.24) и подставляя среднее
значение Н через энергию Е и с помощью собственных значений ^(^+ 1);
в третьем слагаемом используем (2.160). Уничтожая р2 и (1рг/(11 с помощью
Гамильтониана и уравнения движения для рг, получаем рекуррентное
соотношение,
2В(д + 1)(г9) — тш2(с[ + 2)(г9+2) + -—
д2 -1
4
-^ + 1) =о, (2.162)
который включает только четные или только нечетные, а не последова-
тельные, степени г (уравнение осциллятора инвариантна относительно
формального преобразования г -Л- —г). При д = 0 получаем
Ещ
тш2
та)
(2.163)
в соответствии с теоремой вириала (17) = (К) = Е/2 для всех стационарных
состояний. Случай д = 2 определяет
^2
/ 4\
<Г = 2^
/ 3\ 3
3 ЛГ + - + --^ + 1)
\ 2/4
(2.164)
Понять атом водорода значит понять
всю физику.
Приписывается В. Вайскопфу, из
книги Д.С. Ридгена Водород:
Существенный элемент
Глава 3
Атом водорода
3.1 Связанные состояния
Движение в кулоновском поле представляет пример нетривиальной зада-
чи, которая позволяет получить точное аналитическое решение. Излишне
подчеркивать практическую важность этой проблемы.
Стационарные состояния, после отделения переменной центра масс, опи-
сываются уравнением Шредингера для волновой функции относительного
движения двух разноименных зарядов,
В2
-^2 + Дг)
^(г) =
Дг) =
Г
(3.1)
Здесь т-приведенная масса двух частиц, а у является произведением их
зарядов, д = Ес2 для водородоподобной системы, состоящей из электрона
с зарядом —ей ядра с зарядом Ее. Менее обычные системы такого рода
это, например, позитроний (связанное электрон-позитронное состояние,
т = те/2, д = е2), мезоатомы (связанные состояния отрицательно за-
ряженных пионов, каонов или мюонов с ядром) и связанное состояние
антипротона с ядром, та же физика описывает экситоны, электростатиче-
ски связанные состояния электрона и положительно заряженной дырки в
полупроводниках.
Уравнение (3.1) относящееся к классу задач с центральной симметри-
ей, обсуждается в разделах 16 и 17 и может быть решено с помощью
стандартного разделением переменных в сферической системе координат.
Энергетический спектр парциальных волн с орбитальным моментом I
определяется радиальным уравнением (-0 = (п/г)У^т)
2тд 1 + 1)
.2
_ 2 2 т Е
и = 0, к2 = -^-.
т
(3-2)
й? г
Для связанных состояний Е = —е < 0, и на больших расстояниях
волновая функция экспоненциально спадает,
(3.3)
С безразмерными переменными р = кг. уравнение (3.2) становится
д?и
(1г2
Г ШрД.) Ш+1)1
1 Ч-------I--5— и = 0.
е р2
(3.4)
Теперь мы будем действовать аналогично одномерным задачам, см. раз-
дел 11. Поскольку мы знаем асимптотическое поведение связанного состоя-
ния волновых функций вблизи начала координат и на больших расстояниях,
мы выделяем оставшиеся интерполяционную функции г(р) ища решение в
виде
п(р) = р^+1е Рг(р). (3.5)
Новая функция г(р) должна быть регулярной возле особых точек. Она
удовлетворяет (теперь штрих это производная по р)
.." + 2^-1)»'- + = (3.0)
\ р ) I е р \
Позвольте ввести вспомогательный параметр
е _ рЦ(р/К _ 9К _ 9 Дг /37)
8 8 К V 8
Это преобразует уравнение (3.6) к виду
ри” + 2Д + 1 - р)Д + [е - 2Д + 1)]г = 0. (3.8)
Мы пришли к уравнению для вырожденной гипергеометрической функ-
ции уже обсуждавшейся в (11.31). Энергетический спектр определяется
с помощью обычной процедуры. Решение должно быть выражено в виде
ряда
нр) = Ескрк, (3-9)
к=0
где коэффициенты д. подчиняются двучленному рекуррентному соотноше-
нию
2(А: + 1+1)-е ~ ,„1Л>
т (к + Дк + М + 2) к' ( ‘ )
Если бы ряд (3.9) была бы бесконечным, то дальние члены ряда удовле-
творяли бы С&+1/С& ~ 2//с, что эквивалентно асимптотическому поведение
ехр(2р) и, отсюда, расхождение волновых функций (3.5), п(р) ~ ехр(р).
Волновая функция связанного состояния, поэтому должна иметь полино-
миальное обрезание начиная с некоторой степени ТУ, т.е. см ф 0, в то время
как сту+1 = 0. Для полиномиального решения степени ТУ, уравнение (3.10)
требует
е = 2^+^+1),
(3.11)
когда
2(А — ТУ)
С/г+1 “ (А: + 1)(А: + 2^ + 2)
(3-12)
и волновые функции являются полиномами Лагерра.
Называя ТУ радиальным квантовым числом, определим главное кванто-
вое число как
2’
(3.13)
и уравнение (3.7) определит энергетический спектра связанного состояния
Е,
2тд2
2
тд
К2^2 2Н2п2'
(3-14)
Для водородоподобного атома этот точный результат совпадает со старой
формулой Бальмера (1.26).
Задача 3.1
Покажите, что полуклассическое квантование в соответствии с Задачей
17.4 дает в кулоновском поле точный результат (3.14).
С точки зрения соответствующего Боровского радиуса, а = й/2/те2,
энергии связи водородоподобного атома равна
п2 е1(Я) п2 2а’
и глубина проникновения для уровня п111 равна
1 / Н2 а
кп у 2теп 2
(3.15)
(3.16)
3.2 Основное состояние
Стационарные волновые функции,
^т(г) = Чт(0, Д (3.17)
Г
помечены главным квантовым числом п и вращательными квантовыми
числами = т. Так как степень полинома ТУ О, главное квантовое
число
п^+1. (3.18)
Собственные значения энергии (3.14) зависят только от п. Для заданных
п, все состояния \пбт\ где I — 0,...,п — 1 и т = —...,-Д вырождены.
Вырождение ведет к оболочечной структуре дискретного спектра.
Основное состояние это состояние с п = 1 (К-оболочка). Здесь ТУ = О,
а единственно возможное значение орбитального момента равно И = 0. В
спектроскопических нотации, /С-оболочка это 1з состояние, где перед сим-
волом орбитального момента мы ставим главное квантовое число. Угловые
квантовые числа основного состояния - 1т = 00, и волновая функция,
уравнение (3.5), дается выражением
Д+1
^100 ~ — е~Р вы=0(р) ~ е~р ~ е~2г/а, (3.19)
р
так как го(р) = со = сопе!, = 711а. При полной нормировке, волновая
функция основного состояния (3.19) равна
^юо(г) = ^1оо(г) = \/-Д е~2г!а. (3.20)
V ка6
Вероятность достичь начала координат для частицы в этом состоянии
конечна
уЗ
+оо(О)|2 = —• (3.21)
ка6
Для более высоких И эта вероятность стремится к нулю как определенная
степень г, в то время как для п > 1 и = 0 вероятность |'0пОо(О)|2 меньше,
чем (3.21) на величину п3 как видно из (3.16).
| Задача 3.2
Для электрона в основном состоянии атома водорода найти вероятность
быть в пределах классически запрещенной области.
Решение Классическая точка поворота г = К определена выражением
—е = —е2/Я; для атома водорода оно дает К = 2а. Вероятность быть в
классически запрещенной области равна
Р = [ с/3гЫ2 = 4я [ (1гг2-^е 2г/а.
2г>к ™3
(3.22)
Интегрирование дает
+ - +
а 2
(3.23)
Как это должно быть, Р —> 1 при Р —> О (нормировочный интеграл).
Для К = 2а, уравнение (3.23) дает Р = 13ехр(—4) = 0.238.
Задача 3.3
Для электрона в основном состоянии атома водорода найдите распреде-
ление вероятности импульса и проверьте соотношение неопределенностей
(АяДАЩ
Решение Волновая функция в импульсном представлении дана преобра-
зованием Фурье координат волновой функции,
(/Др) = У б!3г Дг)е“^^р‘г\ (3.24)
Используя волновую функцию основного состояния Д(г), перейдем к им-
пульсное распределение вероятностей,
= = + (3.“)
(2яКр тРК6 \ а2 /
где нормировка такова, что
</3рЖ(р) = 1. (3.26)
Среднее значение р2 может быть найдено путем интегрирования
(р2) = / ЛрТУ(р)р2 = (3.27)
Еще проще воспользоваться вириальной теоремой, которая дает среднее
значение кинетической энергии (К} = е, ог (р2) = 2ше = Н2/о2. Подобным
образом, мы используем координатную волновую функцию для вычисления
среднего значения
(г2) = У (/3г|Дг)|2г2 = За2. (3.28)
Благодаря сферической симметрии основного состояния, средние значения
(г) и (р) взаимно сокращаются, и
(ж2) = |(г2) = а2, (3-29)
О
1
(й) = 5 <р2> = (з.зо)
Произведение неопределенностей равно
△ж • Арх = (ж2)(р2) = а—= = -= (3.31)
ь -1 ауЗ уЗ
в сравнении с нижней границей Гауссиана К/2.
Так как радиусы орбит, уравнение (3.16), пропорциональны 1/ш, мюон
(масса д = 106 МэВ) в мезоатоме имеет самую низкую орбиту на величину
д/те 200 ближе к ядру, чем для электрона. Хотя ядро в атоме водорода
или водородоподобном ионе может рассматриваться как точечный положи-
тельный заряд, в мезоатомах, особенно тяжелых, с большими Я, размер
самой низкой боровской орбиты становится сравнимым с размером ядра.
Поэтому наши результаты для точечного ядра становится неверными, и
необходимо принимать во внимание реалистичное распределение заряда
внутри ядра. Обычно, наоборот, отклонения спектров мезоатомов от рас-
считанных исходя из предположения точечного ядра служить источником
информации о распределении заряда в ядре.
3.3 Дискретный спектр
Первое возбужденное состояние водородоподобной системы, п = 2, до-
пускает И = 0 (2 8 состояние с ^ = 1, = ш = 0) и = 1 (три 2р состояния
с = 1, т = 0, ±1 и ^ = 0). Все четыре состояния вырождены по энер-
гии и формируют Ь-оболочки. Радиальное квантовое число показывает
число радиальных узлов функции п(г) при г ф 0. Удобно использовать
1 = о,
2
(8) (р) (а)
-3/4(С/27)
-У4(С/27)
-У12(С/27)
— за.,,
— зр.л.за./,
— 38./,, Зр,/,
2 2 2 2 2
[ -7.(08)
со~104 МН/
2Р3Л
281/2,2р1/2
Рис. 3.1. Более детальная картина энергетического спектра водородопо-
добной системы; сравните с рис. 1.7. Тонкая структура будет объяснена
в разделе 23.3.
радиальные координаты в единицах Боровского радиуса, = г/а; тогда
р = кг = Дп. Радиальными собственными функциями,
ЗДабАС),
(3.32)
отнормированными в соответствии с
= 1,
о
(3.33)
являются: 1$(п = 1, Т = О, = 1):
/?ю(0 = 2еД
(3.34)
2з(п = 2,/' — 0,7У — 1):
(3.35)
2р(п = 2,1=1,1У = 0):
М-оболочки, Лг = 3. содержит одно За состояние, = 2, I = т = 0, три
Зр состояния, 1У=1,7=1,2тг = 0, ±1 и пять 36 состояний, ^ = 0, 7 =
2, т = 0, ±1, ±2, всего девять вырожденных состояний. Структура спектра
показана на рис. 18.1. Легко найти общую формулу для числа вырожденных
орбитальных состояний в оболочке с заданным значением п,
п—1 2 п—1
Е Е 1 = Е(^+1) = п2- (3-37)
2=0 т=—2 2=0
Как отмечалось ранее, вырождение по отношению к магнитному кванто-
вому числу следует из инвариантности вращения, в то время как кулонов-
ское поле добавляет определенное случайное вырождение по отношению
к 7 (или, что эквивалентно, к И для данных п) — внутри оболочки энер-
гия зависит только от п, но не зависит от 7, на классическом языке от
эксцентриситета орбиты. Релятивистские эффекты обсуждаемые в гл. 23
устраняют основную часть случайного вырождения, и возникает тонкая
структура, рис. 18.1 [масштабная константа С = а2^4 Ку, где а ~ 1/137
это постоянная тонкой структуры, которая будет введена в (23.43)].
Фактическая степень вырождения атома водорода дается выражением
2п2, поскольку электрон обладает спином 1/2, и мы должны учитывать два
возможных значения проекции спина т3 = ±1/2. В нашем нерелятивист-
ском приближении, энергия не зависит от спинового состояния электрона.
Из-за запрета Паули, который появится в нашем курсе позже, одиноч-
ные электроны в сложном атоме заполняют последовательные оболочки.
Это причина особой стабильности электронной структуры инертных газов:
доступный число электронов, равных 2 в нейтральном атоме, именно то,
которое необходимо для полного заполнения числа оболочек (гелий 2 = 2,
неон 2 = 10 = 2 ± 2 • 4, ...). Похожие эффекты структуры оболочек, но не
точного вырожденных, существуют в других системах, такие как кванто-
вые точки — искусственные ” атомы создаваемые замкнутым движением
электронов в полупроводниках [10], или атомных ядер; ядерные аналоги
инертных газов называются магические ядра. В ядрах и тяжелых ато-
мах, эффекты взаимодействия между частицами, становятся достаточно
сильные, и наша одночастичными картинка становится слишком грубой.
Задача 3.4
Объясните качественно, почему в сложных атомах вырождение состояний
с различным 7 одной и той же оболочки (при данном п) исчезает, и орбиты
с одними и теми же п, но большими 7 имеют более низкий энергию связи
(ядра экранировано другими электронами); вырождение по т по-прежнему
присутствует.
Конечно, выражения, например «орбита», «оболочка» и т.д., не могут
быть приняты в буквальном смысле. Как всегда в квантовой механике, в
отличие от оригинальной модели Бора, у нас есть облако вероятности ло-
кализации электронов. Облако имеет угловая форму, которая описывается
сферической функцией У^т(0, сд) и определенной радиальной зависимостью
с максимумами и узлами функции КпДг).
Задача 3.5
Для И = п — 1, аналога круговой классической орбиты, убедитесь, что
максимальная вероятность соответствует Боровским радиусам (1.25).
Решение С помощью (16.136), найдем волновую функцию водорода с
квантовыми числами пД = п — 1, ^ = 0, ш = локализованными в эквато-
риальной плоскости,
Дм = соп81 е гег^ 8ш^ в.
(3.38)
Максимум радиальной вероятности г21'0|2 соответствует
Ппах(п) = п2а.
(3.39)
Задача 3.6
Для атома водорода в основном состоянии найти
а) средние значения электростатического потенциала (сд(К)) (объяснить
асимптотику, Я —> оо, поведения) и электрическое поле (<ДВф;
Ь) произведение компонент (^(Н)^(К,)) в точке К вдали от ядра.
Решение
а) . Средний потенциал определяется плотностью заряда атома, которая
включает в себя точечное ядро и электронное облако,
(р(Н)) = е<5(Н) - е|^1Оо(К)I2 = еЯ(Н) - Де~2К/а. (3.40)
7га°
Легко проверить нейтральность атома, / с/3Яр(К) = 0. Решение уравне-
ния Пуассона
\72(</?(К,)) = -47г(р(Н))
(3-41)
может быть легко найдено, поскольку оно сферически симметрично
(ДД)) = е (1 + Г) е-2«/“. (3.42)
На малых расстояниях 11 а. этот потенциал сводится к потенциалу
голого ядра, в то время как на больших расстояниях, Я а, оно
экспоненциально спадает из-за электронного экранирования. Среднее
электрическое поле определяется градиент средний потенциала (3.42),
(99 1 \ г?
+ К2Л'%. <3.43)
аН ГГ) К
Поле имеет радиальное направление и на больших расстояниях экс-
поненциально убывает.
Ь) . Чтобы вычислить средний квадрат флуктуации электрического поля
нам нужны взять мгновенное поле ^(Н) созданное протоном в начале
координат и электроном в произвольной точке г, построить произведе-
ние компонент этого поля, и усреднить с вероятностью |'01оо(г) |2 для
электрона находится в точке г. Поле на больших расстояниях К такое
же как у электрического диполя с1 = — ег,
4’(Н) » (3.44)
где п7 = Н/7? единичный вектор в направлении наблюдение за по-
лем. Это поле диполя имеет нулевое среднее значение потому, что в
сферически-симметричном основном состоянии атома направление с1
усредняется. Поэтому средний потенциал и электрическое поле най-
денные ранее соответствуют сферической симметрии. Тем не менее,
билинейная корреляционная функция дипольного поля не обращается
в нуль. Из уравнения (3.44) находим
(^(Н)^(Н)) = Т У бг3г|^юо(г)|2[Зп'(а-п')-^][Зп'А.(а-п')-4]- (3.45)
В интеграле по д3 г пишем = —етр где мы вводим единичный вектор
вдоль радиуса, п = г/г. Интеграл затем разделяется на радиальную
часть, которая содержит |?^|2г4 и может быть легко вычислена, и угло-
вую часть с четырьмя интегралами типа (16.107). Собирая все части,
получим
е2а2
+ Зп'4). (3.46)
Средний квадрат флуктуации дипольного электрического поля атома,
С^2(к)> =
(3.47)
изотропен и убывает с расстоянием от атом медленнее, ос К 3, чем
среднее монопольное поле нейтрального атома.
Задача 3.7
С помощью метода, используемого для гармонического осциллятора в
разделе 2, получаем рекуррентное соотношение для стационарного состоя-
ния в кулоновском потенциале с квантовыми числами п и Е.
2((/+1)^^ЭпЛ^е2(2д+1)^-1)п,+^
д _ 1 1
1^-^ + 1) (^-2к, = 0.
(3.48)
Используя в (3.48) подходящие значения параметра б/. найти вириальную
теорему и вычислить средние значения (1/г)п^, (г)п^ и (г2)п^; выразить
результат в атомных единицах связанных с боровским радиусом, Н = т =
е = 1.
Решение Рекуррентные соотношение для ([ = 0 приводит к
(3.49)
Это ни что иное как теорема вириала
(К) — Е — (Ц) ——Е.
(3.50)
Используя радиус Бора и энергетический спектр водорода, как атомные
единицы,
т2272е4 22
1 а.и. (), Еп = - 2П%2 = -^а.п. (), (3.51)
получим (в атомных единицах)
2
п2
При д = 1 то же самое соотношение ведет к
/1 \ 4ЕМ + ЗЯе2 Д + 1) ( - ) = 0, т \г / (3.53)
которое эквивалентно [сравнить с (3.39)]
{гД = Г [%п2 - Д + 1)]. ДА В конечном итоге, для д = 2, тем же самым способом получим (3.54)
?/.2 Г 3 6В(г2) + 52е2(г) 3 — +1) =0, т [4 (3.55)
или
2 (г2Д = ^[5п2 + 1-3^ + 1)]. (3.56)
Такие же результаты могут быть получены путем прямого интегрирования
с точными волновыми функциями, но алгебраический способ более простой
и элегантный.
Задача 3.8
Обобщая правила сумм, раздел 7.9, вычислите
зД = ^е,-еД\дд2, 7 (3.57)
где к = 2 и 3, для связанного |п00) электрона в водородоподобном атоме.
Решение Использоя операторные уравнения движения (7.89), получаем
2 т. 2 Зг — — гЬ’п • [Н, г]п,7 = ^2 Т(Р7" ’ Р^) ~ ^2 (р2)пга- 7 7 (3.58)
Теорема вириала (3.50) дает
Д)-2^ (Яе2)2 т пп т 1 п| т 2П2п2 гЗ ’ (3.59)
В отличие от правил сумм ТРК (7.138), этот результат зависит от состояния
\п). Аналогичным образом,
н2 = ^2 52(^1 “ ^п)(РЗп • Рпз)- 3 (3.60)
Разность энергий может быть интерпретирована как следующий комму-
татор с одним или другим оператором импульса. Взяв симметрично их
полусумму и используя (7.90) находим
ьЗ ь4
(3.61)
Это верно для любого потенциала [7 (г). Для водородоподобного атома,
V2г7 = 4тгЯе26(г),
и уравнение (3.61) становится
_ 2тгЯе2П4 2 _ 2тгЯе2П4 23 _ Д2е2/тп
т2 п0° т2 тга3н3 Н2п3
(3.62)
(3.63)
Можно использовать эти два правила сумм для оценки энергии возбуж-
денных промежуточных состояний соответствующих максимуму дипольной
силы. Для основного состояния, п = 1,
-Е'Лр
3^ 2(2е2)2т
5® = П2
= 4|ЕП=1|.
(3.64)
Это означает, что эти возбужденные состояния главным образом принад-
лежат к континууму.
Тот факт, что вероятность для «8-волны имеет ненулевое значение в начале
координат, уравнение (3.21), имеет важное значение для многих физических
процессов. Так, например, структура ядра может сделать процесс захвата
электрона ядром энергетически разрешенным. Реакция р + е~ —> п + пе
происходит с превращением протона в нейтрон и излучением электронного
нейтрино. Этот процесс индуцируется слабым взаимодействием', в резуль-
тате ядро с избытком протонов преобразуется в другое, энергетически
более выгодное ядро, а высвобождающаяся энергия уносится нейтрино.
Процесс происходит благодаря обмену ТУ- и Я-бозонами. Из-за их большой
массы, ~ 100 ГэВ, диапазон этого взаимодействия очень мал, ~ 10-16см,
вспомним оценки из раздела 5.10. Поэтому процесс может иметь замет-
ную вероятность, только если у электрона есть шанс попасть внутрь ядра.
Это происходит только для «8-электронов; в зависимости от главного кван-
тового числа, это может быть ГС-захват, Ь-захват и так далее. Атомные
«8-оболочки играет также преобладающую роль в других процессах, такие
как внутренняя конверсия, когда возбужденное ядро энергию возбуждения
без реального излучения фотонов непосредственно одному из атомных
«8-электронов, который покидает атом.
Задача 3.9
Электрон находится в основном состоянии атом трития. Ядро трития 3Н
(один протон + два нейтрона) внезапно претерпевает бета-распад,
3Н 3Не + е~ + Ре,
(3.65)
превращаясь в ядро лёгкого изотопа гелия 3Не (два протона и один ней-
трон); новый электрон и антинейтрино образовавшиеся при бета-распаде
уносят электрический заряд и энергию. Найти вероятность для первона-
чального атомного электрона остаться в основном состоянии атома гелия.
Решение После того, как внезапное изменение потенциала, начальная вол-
новая функция не является больше стационарной собственной функцией
нового потенциала. Она содержит амплитуды новых собственных функ-
ций различных возбужденных (в том числе ионизированных) состояний.
Амплитуда оставшаяся в основном состоянии
Ад.в. = У Тг = У аг е~2г/а^Г е-г/а
478/'°°, 2 _3г/а 16С2 _
= —3“ / аг г е 1 = ^=~. (3.66)
Соответствующая вероятность Ад = (8/9)3 ~ 70%.
Общее выражение для радиальных водородоподобных волновых функций
(3.5) связанных состояний в притягивающем потенциале 2е2/г дается
ипД) = Спе (—А+1 ДДД дг/па) (3.67)
\па ) п 1 \па )
где полиномы Лагерра вводятся стандартным образом
ЧМ = «'Д <3-68>
п\ ахп
При обычном выборе фазы, нормировочная константа в (3.67) равна
Сп, = (-)
п—Е—1
1 Д(п-^-1)!
п у а (п + Д
Иногда полиномы (3.68) называются обобщенные в то время как термин
полиномы Лагерра зарезервирован для особого случая а = 0. Низшие
полиномы записываются как
ЬДх) = 1, Ь1(ж) = 1 + С1 —ж, Ь2(ж) = |[(1 + се)(2 + се) — 2(2 + <л)ж + ж2].
(3.70)
Задача 3.10
Докажите алгебраические свойства полиномов Лагерра (3.68): явный
вид полинома
та( \ _ Г(П + а + Г (~х)к . п ) Г(& + а + 1) А:!(п — А;)! ’ (3-71)
относится к Эрмитовым полиномам,
ВД = (-)п22’гп!71-1/2(ж2), ?/2п+1(ж) = Н^+МЩДх2); (372)
генерирующая функция,
Г(ж^) = (1 - ^)-(«+1)е-^/(1-0 = Ц(ж)Г\ 71=0 (3.73)
удовлетворяющая дифференциальным уравнениям
(1 - О2 - (1 - 0(! + аУТ = 0, (3.74)
дР (1-^)— +1Р = 0, дх И (3.75)
(дР\ ч = ЛЕ(хЗа=1 \дх)а (3.76)
(разложения (3.73)) сходится при \1\ < 1); рекуррентные соотношения с
фиксированной а,
(п + 1)1Д+1(ж) + (ж — а — 2п — 1)ЬДж) + (п + а)Ь^_1(ж) = 0, (3.77)
Л Т ( гр А
Ж —Д- = пЦ(Ж) - (п + (3.78)
рекуррентные соотношения для разных п,
ьДД) - ьДД),
(3.79)
(3.80)
3.4 Операторное решение
Как уже кратко обсуждалось в разделе 7.10, «случайное» вырождение
можно отнести к скрытой симметрии. Эта симметрия приводит к появлению
дополнительной констант в кулоновском поле, вектора Рунге’- Ленца,
А = - — —— Г[р х 1] — [(х рЙ . (3.81)
г 2тд \ /
Этот вектор, лежащий в плоскости классической орбиты Кеплеровской
задачи,
(/• А) = (А • Г) = 0, (3.82)
глядя из точки фокуса в перигелий. [Постоянная Планка появилась в
определении (3.81) из-за нашего условия по измерению угловых моментов в
единицах Л, классический/ = /с1) и двумя векторных произведения в (3.81)
равны.
В классической механике этот закон сохранения проявляется в замкну-
той петле периодической планетарной траектории так как наличие по-
стоянного вектора А фиксирует ориентацию орбиты в плоскости, перпен-
дикулярной другому сохраняющемуся вектору, I. Отклонения от точного
гравитационного (или кулоновского) потенциала ~ 1/г приводит [7] к иска-
жению орбиты, когда радиальные и угловые частоты слегка рассогласуются
и траектория становится розеткообразной вместо эллиптической ( сдвиг
перигелия в общая теория относительности). В квантовой механике вектор
А не коммутируют с угловым моментом. Как и для любого вектора,
[Д, Ау] = (3.83)
Поэтому невозможно найти состояние, в котором оба вектора, имеют опре-
деленные значения.
Как мы знаем из нашего обсуждения измеримости, раздел 6.13, собствен-
ные состояния гамильтониана в таких случаях должны быть вырожден-
ными — тогда можно построить два множества вырожденных собственных
функций для того, чтобы диагонализовать одну из этих констант движения
одновременно с гамильтонианом. Мы будем добавлять новые коммента-
риев на эту тему, когда мы будем обсуждать эффекта Старка, глава 24.
Теперь мы в состоянии найти энергетический спектр атома водорода чисто
алгебраическим способом.
Задача 3.11
Докажите операторные соотношения:
а) связь между А2 и Гамильтонианом 11.
А2 = 1 +----^Я(1 + ?); (3.84)
тд2
классический предел этой величины квадрат эксцентриситета орбиты [7],
/ 2ЕД(с1))2
е= Д1 + 1 / ; (3.85)
у тдл
Ь) коммутаторы компонент Ар
. . 2П2
[Д, А] = —г----2 егзкН^к- (3.86)
тдл
Рассмотрим вырожденный набор связанных кулоновских состояний с
отрицательной энергией, Н Е = —е. Оба вектора, I и А, действуют
только внутри этого семейства состояний. Если мы перенормируем вектор
Рунге-Ленца в виде
/ Эе
А = Д----^Па, (3.87)
V тдл
мы получим из (3.84)
/ч 2
а2 + ^ + 1 = ^-, (3.88)
в то время как коммутатор (3.86) теперь принимает вид, аналогичный
коммутатору компонент углового момента,
(коммутатор (3.83) не изменяется). Два новых моментоподобных оператора,
№ = (3.90)
разложение связанных коммутационных соотношений между а и I на две
отдельные группы,
[4±}, 7+ = 0- (3.91)
Операторная алгебра задачи теперь сводится к тому, что из двух <52У(2)
алгебр для сохраняющихся векторов угловых моментов Л^\ Мы ожидаем,
что собственные состояния помечены четырьмя квантовыми числами (це-
лыми или полуцелыми), две величины 7^) и две проекции 7^±\ Однако
из-за ортогональности (3.82), их величины должны быть равны,
(дД2 = |(/± а)2 = |(? + а2) = Л2 Щ + 1). (3.92)
Откуда, каждое стационарное состояние характеризуется тремя дискрет-
ными квантовыми числами, <7^ = = 7, 7^ и \ и энергия вырож-
денного набора состояний дается, см. (3.88) и (3.92), формулой Бальмера,
2 2
пг9 т9
= ~ез = 27Д1 + 4ДЛ + 1)] = 2^2’ (3'93)
где главное квантовое число проявляется как связь с числом состояниями
в 7-мультиплете,
п = 27 + 1. (3.94)
Так как оба, целое и полуцелым значения 9 разрешены, мы получаем
^ = 1, 2,.... Орбитальный момент И = Л^+^ + Л^-) пробегает в этом наборе
состояний все целые значения от0до27 = п—1, в соответствии с резуль-
татом, полученным из прямым решения дифференциального уравнения.
(Сложение угловых моментов будет обсуждаться гораздо более подробно
позже, в главе 22). Степень вырождения задаваемая полным количеством
комбинаций проекций, (27 + I)2, совпадает с той, которую дают уравне-
ния (3.37). Интересной особенностью этого операторного подхода является
очевидная симметрия между двумя сохраняющимися векторами.
| Задача 3.12
Рассмотрим двумерную кеплеровскую задачу,
Я = ——г = д/ж2 + у2. (3.95)
2т г
Сконструируйте алгебру углового момента, используя в качестве генерато-
ров сохраняющиеся операторы Ах ,АУ, и . найдите связь между А^. + А'2 и
энергией, и получить двумерную формулу Бальмера (3.93) с главным кван-
товым числом п = ^ + 1/2, где д должен быть целым числом. Покажите,
что вырождение собственных значений энергии равно 2п = 27 + 1.
3.5 На пути к прецизионной спектроскопии
В нашем рассмотрении атома водорода, или аналитическом или алгебра-
ическом, игнорируются многие физические факторы. Мы получили только
грубый скелет спектральной структуры, знание которого необходимо, но
далеко не достаточно для объяснения результатов наблюдений. Атомная
спектроскопия, по-видимому, наиболее точный раздел эксперименталь-
ной физики. Принятое в настоящее время значение постоянной тонкой
структуры (1.29), являющееся усреднением результатов наиболее точных
экспериментов различного типа, дано в [11]
1 = 137.035 999 084(±51), (3.96)
а
где величина ошибки относится к двум последним цифрам. Для такой
точностью, атомная теория должна учитывать множество малых эффек-
тов, которые отвечают за крошечные поправки к энергетическим уровням.
Поправки становятся еще более важными в тяжелых атомах, где, в до-
бавок, необходимо учитывать взаимодействие между электронами. Ниже
мы перечислим некоторые из эффектов, которые будут обсуждаться в
последующих главах.
1. Спин электрона упоминался только в отношении вырождения атом-
ных оболочек. Кроме того, он играет важную роль в отклик атома
на магнитное поле, это один из самых чувствительных датчиков.
2. В нашем рассмотрении мы не касались каких-либо релятивистских
эффектов. Поправки порядка (у/с)2 ~ о/2 задают так называемую
тонкую структуру спектра, источник термина а. Они складываются
из трех источников: следующие слагаемые после р2 /2т в разложении
в ряд величины кинетической энергии, спин-орбитального взаимо-
действия, которое, главным образом есть результат взаимодействия
магнитного момента спина электрона с магнитным полем возника-
ющим в результате движения электронов, а также определенные
делокализации электрона в следствии релятивистского соотношения
неопределенности, раздел 5.10.
3. Любые ядра, включая протон, имеют конечный размер, и, поэтому, в
небольшой области вблизи центра, потенциал отличен от потенциала
точечного заряда. Этот эффект особенно виден в разнице спектров
для разных изотопов (разные размеры ядер) и в мезоатомах, так как
мезоны проникают глубже в объем ядра.
4. Многие ядра, включая протон, имеют ненулевой магнитный момент,
который взаимодействует с магнитным моментом спина электрона,
создавая сверхтонкую структуру спектра.
5. Некоторые ядра (исключая протон) могут иметь ненулевые мульти-
польные моменты распределения заряда, начиная с квадрупольного
момента; это изменяет сверхтонкую структуру.
6. Квантовая теория поля предсказывает радиационные поправки связан-
ные с виртуальным излучение и поглощение фотонов и изменяющие
свойства {поляризацию) вакуума из-за присутствия заряженных ча-
стиц. Эти поправки привести к дополнительному смещению уровней
{сдвиг Лэмба).
Для того, чтобы количественно оценить влияние таких эффектов необхо-
димо разработать методы оценки малых поправок для волновых функций и
собственных значений. Такие методы даются в различных формы теорией
возмущений, раздел 4.
3.6 Решение в параболических координатах
Состояния с положительной энергией принадлежат к непрерывному спек-
тру. На самом деле они являются состояниями рассеяния. Как правило,
внешний электронный пучок взаимодействует с протон и рассеивается по-
сле этого под различными углами по отношению к исходному направлению,
которое может быть выбрано в качестве оси г. Волновые функции этой за-
дачи можно вычислить точно, аналитически решив уравнение Шредингера.
Удобным способом решения является использование параболт динагп [12] § 37, хорошо подходящих для геометрии задачи, хои нарушающих сферическую симметрию, тем не менее сохраняю] симметрию, так что по-прежнему хорошее квантовое числ покажем, что дискретный спектр также можно найти методом переменных в параболических координатах. Когда оси г определена, введем вместо гиг, две новых неот веских коор- ?я очевидно щих осевую о. Сначала разделения рицательно
определенные переменные 4 и у в соответствии с
?’ = € + ’?, - ту. (3.97)
Вместе с азимутальным углом (/?, этот выбор определяет
X = 2д/фу СО8С/Д у = 2д/фу 81ПС/9. (3.98)
Задача 3.13 Выведите уравнение Шредингера в параболических координа тах для ста-
ционарного состояния с энергией Е = Н2к2 /2т в кулоновском [7(г) = — Ее2/г и покажите, что переменные разделяются. потенциале
Решение После прямого преобразования оператора Лапласа, получим
+—1 ле л, л = о, [ а ) (3.99)
где вводятся два идентичных дифференциальных оператора О ствующих соответственно на переменные и ту, рОч, дей-
Л д д 1 д2 2 — Её Её + 77 Е~Е + Теперь мы можем искать решение в разделяемой форме (3.100)
ле^л = Л Д (3.101)
где Х(4) и У (ту) удовлетворяют идентичны уравнениям,
Г б2 т2 — 1 Вс 21 |<2 <2 + <+Адх^-0’ и аналогично для У (ту) с заменой Вс => Вп. Эти константы (3.102) разделения
связаны условием
(3.103)
3^ + 3^ = 2Я.
Уравнение (3.102) и его аналог для У(т?) имеют тот же вид, как и урав-
нение (3.2) для радиальной функции и (г) в сферических координатах, где
спектр связанного состояния дается уравнениями (3.13) и (3.14),
к2 1
а2 ^ + ^ + 1)2’
(3.104)
Чтобы установить четкое соответствие, отметим, что число 1(1 + 1) в
сферических координатах соответствует (т2 — 1)/4 в наших новых урав-
нениях, т.е. в решении (3.104) мы должны заменить I — (\т\ — 1)/2. Это
приводит к возникновению двух новых целое квантовых чисел, и
входящих в (3.102) и его У-аналоге,
к2 = 1
а ^ + (1/2)(|т| + 1)
а ^ + (1/2)(|т| + 1)’ (3'105)
Условие (3.103) воспроизводит спектр (3.14) с главным квантовым числом
п = ^ + ^+1 = ^^ + ^^? + \т\ + 1.
(3.106)
Задача 3.14
Покажите, что общее количество вырожденных связанных состояний
помеченных параболическими квантовыми числами совпадает с тем, что
мы нашли в (3.37).
Решение Число сочетаний и разрешенных формулой (3.106) при
заданных п равно п для т = 0 и, как следует из (17.148), п(п — 1)/2 для
каждого т ф 0, которые могут быть положительными и отрицательными.
Полная сумма равна п2.
Существование альтернативной системы координат, которая позволя-
ет полное разделение переменных связана с кулоновским вырождением.
Вместо сферических гармоник с определенным значением орбитального
момента, но с той же энергией в пределах данной основной оболочки, в
параболических координатах мы берем их комбинации с некоторой выде-
ленной осью. Это непосредственно связано с наличием дополнительных
констант движения (3.81).
3.7 Состояния континуума
Общая проблема рассеяние будет обсуждаться позже, но с кулоновским
потенциалом у нас есть редкий, точно разрешимый пример. Параболиче-
ские координаты (3.97) особенно удобны в этом случае, так как мы ожидаем,
что в решении присутствуют падающая волна ~ ехр(г/сг) и расходящей-
ся сферической волны ~ ехр(гАт), и обе функции содержат множитель
ехр(г^). Поэтому, следуя Дж. Швингеру [13], мы можем искать решение
уравнения (3.99) для рассеяния электрона ядром с зарядом Ее в виде [ср.
(3.101)]
^)7/) = е^1М (3.107)
д?
здесь, нет никакой ^-зависимости в силу осевой симметрии падающей
волны относительно оси г; С = т = 0 является константой движения.
Подход ( Ке118,107) приводит к уравнению для функции У (ту) (не путать
со сферическими функциями У.ш)
Г с/2 1 г/с+(2У/а) х х
уу+ тД +к }у(7?) = °- (3-108)
Здесь, энергия Е = Н2к2/2т положительна.
Задача 3.15
Сравните уравнение (3.108) с радиальным уравнением для дискретный
спектр и докажите, что решение формально можно записать в терминах
полинома Лагерра Ь^°(ж) = Ь_^(ж),
1Д) = (3.109)
где
параметр Зоммерфельда, не = Нк/т скорость на больших дистанциях.
Особое внимание необходимо, чтобы обосновать выбор знака комплексной
переменной — г(/ в индексе полинома Лагерра. Здесь мы имеем полиноми-
альное аналитическое продолжение комплексного ф Для нулевого верхнего
индекса а = 0, полиномы Лагерра были определены, уравнение (3.68), так
Рис. 3.2. а. Контур интегрирования для уравнения (3.112). Ь. Контур инте-
грирования для аналитического продолжения с комплексным индексом у
полинома Лагерра
С помощью теоремы Коши о вычетах, это можно записать в виде интеграл
по контуру в комплексной плоскости переменной г вдоль любой петли,
включающей точку ж,
Г (32 О % 2П
Ьп^^еЧ—--------------тт. (3.112)
у 2тгг (г — х)п±к
Теперь х может быть перемещена в любую комплексную точку, при условии,
что она находится внутри контура, рис. 18.2а. В особенности, в уравнении
(3.109) мы должны передвинуть эту точку, на мнимую ось, х = 2гкт].
Больше внимания необходимо уделить комплексному показателю, п =>
—гф Мы сохраняем аналитическую форму (3.112), но теперь точка 2 = 0
становится особой точкой и мы должны определить правильную фазу
при переходе через точку ветвления. Опять же следуя [13], мы выбираем
замкнутый контур, рис. 18.26, отг = оодог = оов направлении против
часовой стрелки содержащий две небольшие окружности вокруг 2 = 0
и 2 = 2гАщ и две пары путей параллельных вещественной оси. Интеграл
принимает вид
/* д у р % у ъС,
Ь-гА2гк^ = е2гкг1 ф — --——. (3.113)
/у / 2т (г - 2гкг))~<+1 у ’
В верхней части интеграла имеем 2 = 2гкр + х так, что
Из-за экспоненциального множителя ехр(—ж) под интегралом, большие
значения х > 1 не дают вклад в интеграл. Когда мы заинтересованы в
нахождении асимптотики волновой функции, х 1, мы можем аппрокси-
мировать
(21кг) + х)-* ~ = е-^1п(2гМ = е</2е-К1п(2^)_ (3,П5)
В оставшемся интеграле (3.114) верхний берег дает
гО — х гое
/ -гС+1 = ~ Х^~1е~х = — Г(г^), (3.116)
3 оо х 3 о
гамма-функцию мнимого аргумента, который определен для положитель-
ной действительной частью ф В интеграл по нижней берегу верхнего пути,
нам нужно сделать замену х жехр(2лг), которая не изменяется числи-
теля, но умножает знаменатель на (ехр(2лг))-г^ = ехр(2л^). В результате,
эта часть интеграла дает ехр(—2тгфГ(гф. Наконец, добавив два берега и
используя Г(г^ + 1) = гфГ(г^), находим
(ь_у2гкг])} = е^/2е-«0п(2МГ(1 + ^) 1 ~ ехр(-2тгС).
V 3 иррег 2К
Задача 3.16
Рассчитайте вклад нижней часть интеграла (3.113).
Решение В знаменателе интеграл содержит [ехр(гЗтг/2)2/сц]-г^+1, и в ре-
зультате
(4_Д2гМ ) = е“3</2 е42^К1п(2М г(1 _ ^). (З.ц8)
V / 1од^ег 4 Л КТ]
Комбинируя оба вклада, мы находим асимптотику, кт] 1, лагерровского
полинома в форме
Ь-^2гк^ « /«) 16-^111(2^) + У_ ег[2^+С1п(2М] | , (3.119)
I 2кг] 1 (1 Т С) )
где
р2тг< _ -1
/(О = е-3^/2 ——- Г(1 + <) (3.120)
не зависит от координат.
Теперь можно вспомнить о том, что первоначальная волновая функция
имеет вид
^(е, 7?) = Ь^а2гкг])е-^. (3.121)
Обычные координаты находятся из
€=|е+д 11 = Гг-л (з.122)
Углом рассеяния в является угол между падающим волновым вектором
(ось г) и направлением в котором наблюдалась рассеянная частица, по.
Тогда
г = г сое^,
(3.123)
В первом слагаемом асимптотического выражения (3.121) мы имеем ехр[г/с(^—
ту)] = ехр(г/сг), т.е. падающую волну
^пс = е-<1п[2Ь-8т2(0/2)]_ (3.124)
Второе слагаемое содержит ехр[г/с(^ + ту)] = ехр(гАт) дает исходящую сфе-
рическую волну. С помощью (3.123) находим
Л = ______________________ег{С1п[2/сг8ш2(6>/2)]-2гаг§[Г(гС+1)]} /о 1255
г 2уЫп2(0/2) ’ к ’ 7
Таким образом, мы видим, что выбор знака в (3.109) правильно отражает
граничные условия для физической задачи рассеяния. Рассеянной волны
исчезает в пределе 2 -д 0, когда -д 0. Величина
у = 2&8Ш ( - ) (3.126)
имеет простое значение. Это импульс (точнее, волновой вектор) передавае-
мый в процессе упругого рассеяния, (/ = |к — кх|, где к7 = (к-г/г) - волновой
вектор в направлении рассеянной волны. Теперь мы можем вычислить
сечение рассеяния да определяемое как отношение интенсивности зареги-
стрированного удаленным детектором, который охватывает телесный угол
до на расстоянии г к интенсивностью падающего потока (более подробно
мы обсудим это позже),
йа = г2 йо. (3.127)
| 'У’шС I
Наши асимптотические результаты (3.124) и (3.125) определяют
йст _ / С \ 2 _ / 22 \ 2
йо \2&8т2(0/2)/ \а</2 /
(3.128)
Это ничто иное, как классическое резерфордовское сечение,
На _ (2е2\2 1
(1о \ 4Е ) 8ш4(#/2)
(3.129)
Хотя в итоге сечение совпадает с классическим результатом, волновые
функции падающей и рассеянной волны содержат квантовые фазы за-
висящие от угла рассеяния. Даже падающая волна (3.124) искажается
кулоновским потенциалом, который имеет дальнодействующий характер.
Тем не менее, этот эффект не виден в сечении и может наблюдаться только
в виде интерференции с другим взаимодействием, например, ядерным,
которые может присутствовать вместе со кулоновским потенциалом.
Практически ни одну из физических
систем нельзя изучать без
использования подходящего
приближенного метода. Искусство
физика в большой степени состоит в
умении определить относительную
значимость различных факторов в
Глава 4 данной физической системе и в выборе
подходящего приближенного метода.
Стационарное возмущен^^бще говоря, для каждой задачи
существует свой приближенный
4.1 Введение метод...
А. Месена, Квантовая механика, Т. 2.
Существует очень мало задач квантов(^^ц^и/7к/уго>^^е^^^;
ное аналитическое решение. В некоторых случаях можно р^пц^тфдда^^-
му численно. А часто даже это не представляется возможным. Однако
практически всегда рассматриваемые физические эффекты не являются
равнозначными. Можно выделить наиболее значимые факторы в отличие
от менее важных. Если можно решить проблему без учёта менее важных
эффектов, то влияние проигнорированных при решении факторов можно
учесть как возмущение. Этот термин пришёл из небесной механики, где
гравитационное влияние планет мало по сравнению с влиянием Солнца.
Обычно (не всегда), добавление поправок, лишь слегка меняет волновые
функций дискретного спектра и уровни энергий так, сохраняя качествен-
ную картину спектра. Математически это может быть сформулирована
как аналитичность физических характеристик как функции от дополни-
тельных параметров. В этом случае можно искать поправки к исходным
или невозмущённым решениям в виде регулярного ряда по степеням но-
вых малых поправок. Однако есть ситуации, когда бесконечно слабое
возмущение резко меняет невозмущённую картину. В случае классиче-
ской механике в таких ситуациях говорят, что первоначальное состояние
было неустойчивым. Часто малое изменение начальных условий через
некоторое время полностью меняет траекторию движения (классический
хаос [14]). В квантовой механике принцип неопределенности не позволя-
ет описать начальные состояния в фазовом пространстве сколь угодно
точно. Тем не менее, аналогичные хаотические явления существуют и в
квантовой механике (глава 48). Особые проблемы возникают в случае вы-
рожденных уровней, когда в отсутствии возмущений любые суперпозиции
вырожденных состояний одинаковы, но даже слабое возмущение выбирает
непертурбативным образом, правильное сочетание, как соответствующее
направление в подпространстве вырожденных состояний.
Для того чтобы рассмотреть не зависящее от времени (стационарные)
возмущения в дискретного спектра, мы предполагаем, что гамильтониан мо-
жет быть разложен на невозмущенную часть и на часть, соответствующую
возмущению:
Н = Н° +дН', (4.1)
где д — это параметр, формально характеризующий величину возмущения.
Предположим, что мы знаем стационарные состояния \п) и энергии Е°
для невозмущённой системы (д = 0)
Н°\п) = Е°\п). (4.2)
Нам нужно найти стационарные состояния |Ф) и энергии Е для полного
гамильтониана:
(Н°+дН')\Ъ} = Е|Ф). (4.3)
Предположим, что возмущение Н' не меняет граничные условия. Тогда
функция |Ф) принадлежит тому же самому гильбертовому пространству и
может быть разложено по полному набору невозмущённых функций:
|ф) = У2с«Н’ (4-4)
п
где сумма по п включает в себя интеграл по непрерывному спектру, если он
в задаче присутствует. Как и в случае стандартной задачи диагонализации
(раздел 6.8 из первого тома), мы можем использовать ортонормировку
(п|т) = (5П1П (или дельта-функцию Дирака в случае непрерывных кванто-
вых чисел) и свести задачу к бесконечному множеству связанных линейных
однородных уравнений для коэффициентами сп:
ст(Е - Е°т) = д^спН’тп. (4.5)
п
Здесь = (т|Н/|п) является матричным элементом возмущения, раз-
ложенного по невозмущённому базису (4.2). Формально при нахождении
коэффициентов ст из системы уравнений (4.5) мы сталкиваемся энергети-
ческим знаменателем, характерным для этого вида теории возмущений.
Система уравнений (4.5) эквивалентна оригинальному уравнению Шрё-
дингера и точного решения не имеет, хотя численные методы диагонализа-
ции разработаны для матриц достаточно больших размеров. При таком
решении с помощью вариационного метода (раздел 10.3 из первого тома)
необходимо какое-либо физическое обоснование для урезания гильбертова
пространства. В этой главе мы вместо этого ищем простой метод регуляр-
ных приближений.
4.2 Теория возмущения без вырождения
Рассмотрим изменение невырожденного невозмущенного состояния \к)
под влиянием возмущения. Наиболее практически удобным методом явля-
ется теория возмущения Рэлея—Шрёдингера, где точное состояние |Ф) и
точная энергия Е развиваются из \к) и под действием возмущения.
Без возмущений д -д 0 мы имеем |Ф) = \к), т. е. сп = 5пь для выраже-
ния (4.4). При наличии возмущения в волновой функции (4.4) появляется
примесь состояний п ф к. Предположении аналитичности позволяет разло-
жить коэффициенты (4.6) по малому параметру:
ст = 8тк + дс^ + д2с$ + ..., (4.6)
Собственное значение энергии начинается с Е^ и гладко эволюционирует с
увеличением величины возмущения:
Е = Е°к+дЕ^ +д2Е^ + .... (4.7)
Вычислив энергетический член Е(д) для конечного, но малого значения
д, мы можем проследить его эволюцию назад вплоть до начального со-
стояния в предположение уникального «генетического» развития, Рис. 4.1
(здесь мы видим часть реального спектра сложных ядра 24М§, рассчи-
танных д использованием оболочечной модели [15], где роль параметр
играет сила межчастичного взаимодействия Л). Этот генетическое прибли-
жение основано на теореме непересечения из раздела 10.5 первого тома.
На Рис. 4.1 избегается пересечение уровней. Также существует вариант
теории возмущения Бриллюэна—Вигнера, где собственное значение энер-
гии не разлагается в ряд, в то время как волновая функция разлагается.
На практике этот вариант менее удобен.
Развитие уравнений (4.6) и (4.7) ведёт к системе уравнений для разных
значений т:
(е% ~ дЕ^ + д2Е$ + ...) (5тк + дс$ + д2 с$ + ...) = д Н'тп (§пк 4
п
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Регсеп! 1п1егас1юп 81геп§111
Рис. 4.1. Эволюция энергетического члена как функции от малого пара-
метра теории возмущения
(4-8)
где к — фиксированный номер интересующего нас состояния, а т пробегает
по всему гильбертову пространству. (Следует аккуратно обращаться с
численными индексами).
В начале мы берём выражение (4.8) с т = к, тогда невозмущённые
энергии и общий множитель д сокращаются, и
(41)+И2)+-)(1+Н1)+5242)+-) = Ея^(^+Н1)+<7242)+-).
п
(4-9)
Далее выделяем в отдельное уравнение первый
= ну
(4-10)
второй
4я+4*)4,,-Е«.<4*’. мч
п
и все высшие порядки по степени д. Низший порядок поправки (4.10)
к уровню энергии определяется средним значением возмущения в невозму-
щенном состоянии. Поэтому член с п = к из правой части выражения (4.11)
сокращается со вторым слагаемым из левой части и остаётся выражение
Е^ = ^Н'кпД (4.12)
пДк
в котором не содержится коэффициента с^\
Вычисляя выражение (4.8) с т ф к, мы получаем:
(^ - Е°т + дЕ$ + д2Е$ + ...) (Д) + дД + ...) = Н’тп (бпк + дД
п
(4-13)
Опять разлагаем это выражение по степеням малого параметра теории
возмущений:
(Е°к-Е°т)Д ^Н'тк, (4.14)
Л’ + (Ек - ЕДД = 52 ЯДД), (4.15)
п
и так далее. В предположении, что состояние \к) не является вырожденным
и мы не боимся поделить на разность энергий, мы получим:
= —-^7^, т ф к. (4.16)
ТП 77Ю 770 ' 7 ' 7
^к
Таким образом, собственный вектор эволюционирующий из невозбуждён-
ного состояния \к) в первом порядке теории возмущений
1Ф) = + 5'С™)И = (1 + дск)Д)+д 52 (4-17)
т т^к к
где поправки пока ещё не найдены. Энергия (4.12) не зависит от этих
коэффициентов:
Е = Е°к+ дН'кк + У 52 (4-18)
Ек ~ Еп
Отметим, что гамильтониан является эрмитовым Н' к = (Нкп)*.
Наконец, потребуем, чтобы решение |Ф) (4.17) было нормализовано:
(Ф|Ф) = 1.
(4-19)
В этих условиях члены первого порядка удовлетворяют выражению
с
। (В*
+ 4
(1)
к
= о.
(4.20)
неизвестный коэффициент должен быть мнимым ск = га и соответствую-
щая поправка волновой функции это первый член разложения фазы ег9а.
Постоянная величина фазы не имеет значения и мы можем постановить
(1) • о
ск — га — 0.
(4-21)
Это определяет ответ для первого порядка возмущения волновой функции
т = 1Ч + эЕ 7=Дд»)- (4-22)
й Е‘- - '
Уравнения (4.18) и (4.22) решают задачу поиска возмущенной волновой
функции и её новой энергией. Этот итерационный метод является регуляр-
ным, так что не сложно явно вычислить поправки в любом (не слишком
высоком) порядке. В конце концов, мы можем избавиться от вспомогатель-
ного параметра д полагая его равным 1, просто включив его в оператор ЁГ.
Структура разложения в ряд (4.8) демонстрирует, что для вычисления по-
правки энергии пго порядка достаточно знать поправку волновой функции
(п —1)го порядка. В первом порядке возмущения в состояние \к) добавляется
только примеси состояний \п) напрямую связанных с исходным состоянием
ненулевыми элементами матрицы возмущения Н'пк.
Задача 4.1
Найдите второй порядок возмущения вектора состояний, полученно-
го из невозмущённого состояния \к) и третий порядок возмущения для
энергии.
Решение Собирая члены следующего порядка, получаем:
(2) _ _ 1 |Ды|2
(4.23)
(2) _ 1 < X л ^тп-^пк _ ^кк^тк
^к~ Е°-Е°т \^Е°-Е° Е°-Е°т
(4.24)
Ек}
н’Л
Ек~Ет
(4.25)
В пом порядке возмущения входят примеси невозмущенных состояний,
которые могут быть достигнуты из исходного состояния \к) за п шагов
с использованием матричных элементов Н'. В результате этого процесса
перебираются все возможные пути, включающие (п — 1) промежуточное
(виртуальное) состояние. Если гамильтониан Н° имеет, наряду с дискрет-
ным спектром, где локализовано состояние \к) также и континуум, то в
общем случае возмущенное состояние |Ф) может принадлежать и непре-
рывному спектру, так как соответствующая примесь воспроизводится с
помощью Н'. Это произойдёт, если возмущенная энергия перейдёт в непре-
рывную часть спектра. Состояния из непрерывного спектра также должны
учитываться при переборе виртуальных состояний.
Поправка энергии первого порядка (4.10) известна без вычислений и
может быть просто включена в невозмущенную энергию в самом нача-
ле, так что в последующих итерациях участвуют только недиагональные
матричные элементы, которые и дают нетривиальный эффект. Обратите
внимание, что поправки к энергии из-за недиагональных элементов всегда
образуют циклы, к^п^т^к из выражения (4.25), а соответствующие
поправки к волновой функции образуют дерево (хотя и включающее в себя
циклы) с ветвями достигающими подмешанные состояния. Поправка к энер-
гии основного уровня второго порядка (4.18) всегда отрицательна из-за
знака в энергетическом знаменателе. Мы уже упоминали, что появление
таких знаменателей является типичной особенностью этого варианта тео-
рии возмущений. Как мы помним из задачи с двумя уровнями (раздел 10.5
из первого тома), смешивание состояний приводит к их отталкиванию. Ос-
новное состояние чувствует отталкивающее давление всех примесей сверху
и перемещается вниз, в то время как для других состояний баланса сил
сдвигающих вверх и вниз может оказаться любого знака. Таким образом, в
этой формулировке, теория возмущений содержит вариативные признаки.
4.3 Сходимость
Как видно из полученных результатов и Задачи 4.1, каждый новый
порядок теории возмущений добавляет недиагональный матричный элемент
возмущения Н'шк делённый на энергетический знаменатель Ек ~ Е°п - Таким
образом, очевидным условием применимости подхода Рэлея—Шрёдингера
является малость недиагональных матричных элементов по сравнению
с разностью значений энергий соответствующих невозмущённых уровней:
Если это условие выполнено, то в зависимости от требуемой точности
в своих вычислениях мы можем ограничиться, несколькими низшими по-
рядками теории возмущений. Так же очевидно, что если для исходного
состояние |&), существует состояние \к'), которое является вырожденным
по отношению к начальному Ек = Ек, или имеет энергию близкую по зна-
чению к энергии первого \Ек — Ек,\ \Н^^\, то поправка к состоянию \к)
становится большой и теория возмущения перестаёт в таком подходе рабо-
тать. В этом случае волновые функции \к) и \Е} являются нестабильными
и даже слабое возмущение Н' способно существенно их перемешать.
Тем не менее, если мы работаем в пространстве конечной размерности,
то как всегда в задаче диагонализации (раздел 10.3 из первого тому) для
матриц конечного размера, выражение (4.5) сводится к алгебраическому
уравнению, решение которого зависит алгебраически от параметру возму-
щения д. а все корни являются реальными, что исключает особенности
типа квадратного корня, становящегося мнимым. В этом случае пертурба-
тивное разложение в принципе сходится, хотя может случить, что сходится
слишком медленно, чтобы можно было прервать ряд в каком-либо порядке
возмущений.
Ситуация становится более интересной в реалистичных случаях беско-
нечномерного гильбертова пространства. Теория возмущений расходится,
даже если возмущение является слабым, меняет граничные условия или
асимптотику изначальных функции. Такая ситуация возникает, например,
если гамильтониан Н° имеет только дискретный спектр, а возмущение
трансформирует его в спектр непрерывный. Рассмотрим осциллятор с
ангармонической кубической поправкой, Рис. 4.2:
-2 1 <3
Н = Н°+дН, = ^- + -тШ2х2+д^. (4.27)
2т 2 3
Рис. 4.2. Потенциальная энергия кубической ангармоничности.
Для малых д мы можем решить задачу формально с помощью разви-
той выше теории возмущения. Мы получим новый набор стационарных
состояний. Как это видно из (11.109), энергии состояний изменятся во
втором порядке, а к основному состоянию подмешаются одно- и трёх-кван-
товые состояния. Однако эти формальные вычисления не показывают, что
реальные стационарные состояния гамильтониана (4.27), в отличие от со-
стояний в случае невозмущенного квадратичного гамильтониана, являются
несвязанными из-за проницаемого барьера конечных размеров, Рис. 4.2.
Состояния, найденные нами с помощью теории возмущения, являются ква-
зистационарными (раздел 5.8 из первого тому), и имеют конечное время
жизни.
Очевидно, что состояния, расположенные над барьером, абсолютно
неустойчивы. Потенциальный барьер существует для всех состояний с энер-
гией Е < Рис. 4.2. Верхушка барьера находится в х = яд = где
И7 (ад) = 0 и Е\ = С/(ад) = (шса2)3/6д2. Левая граница барьера расположе-
на в х = Х2 = — (3/2)шса2/д = (3/2)ад. Следовательно, при д -Д 0 энергия
7?1 —> оо, а точки адд уходят на — оо, а барьер становится очень широким
и высоким. В этом случае барьер удерживает множество невозмущенных
состояний, но только в течение конечного времени.
Задача 4.2
Продемонстрируйте, что время жизни состояний с энергией Е Д Е\
равно:
Т есоп^т3ш5/Пд2 (4.28)
Для малого д время жизни состояний, расположенных ниже верхуш-
ки барьера, очень длительное, так что приближение, предполагающее
стационарность состояния, является достаточно хорошим. Вероятность
распада 7 ~ 1/т мала и неаналитически зависит от д. При малых д в
уравнении (4.28) возникает особая точка. Поскольку поведение волновой
функции в случае > оо сильно отличается от стационарного, то теория
возмущения не в состоянии описать неаналитические эффекты.
Задача 4.3
Рассмотрим ангармоническую поправку четвёртого порядка к осцилля-
тору:
-2-1 -4
н = у- + -тш2х2 + д^-. (4.29)
Покажите, что разложение в ряд по теории возмущения расходятся и
обсудите причины этого.
Решение Рассмотрим матричные элементы возмущения четвёртого по-
рядка между состояниями невозмущенного осциллятора. При больших п
2
они растут квадратично ~ п , в то время как знаменатель увеличиваться
линейно ~ п. Поэтому при учёте высоких порядков теории возмущений
ряд расходится. Соответствующие примесей высоко возбужденных состоя-
ний описывают хвосты волновой функции, которые имеют типичные для
поправки четвёртого порядка асимптотики, отличаются от асимптотик
гармонического осциллятора. Можно предвосхитить расхождение: сходя-
щаяся теория возмущения в виде степенного ряда расширения должны
иметь некоторый круг сходимости в комплексной плоскости вокруг д = 0.
Но тогда это будет сходиться внутри круга и при отрицательных д. что
невозможно, поскольку для отрицательных д система неустойчива, точно
по той же причине, по какой она была неустойчива и в случае кубической
ангармонической поправки.
В случае (4.29) мы до сих пор рассматриваем только дискретный спектр.
Решение, полученное с помощью теории возмущений, является хорошим
приближением при малых д. но разложение в ряд по теории возмущений
даёт асимптотическое приближение, аналогично тому, которое обсужда-
лось в случае квазиклассики. Для любой наперёд заданной ошибки, мы
можем найти такое малое значение из д. при котором результат теории
возмущений будет близок к точному в пределах этой ошибке. Но для кон-
кретного значения д, начиная с некоторого порядка теории возмущений
{оцените этот порядок для ангармонической поправки четвёртого поряд-
ка!\ результаты вычислений будут всё больше и больше отклоняться от
точного ответа.
4.4 Случай близкорасположенных уровней
Как было показано, простые варианты теории возмущений не работают
в случае близколежащих или вырожденных уровней. Возьмём для примера
два невозмущенных состояния |1) и |2) с малой разницей Д по энергии
Опасные поправки в первом порядке возмущения (4.16) следуют из отно-
шения 4/Д/Д и ведут к большому коэффициенту смешивания. Слишком
малый знаменатель не будет влиять на поправку в первом порядке теории
возмущения, если матричный элемент 4712 будет отсутствовать.
Простым рецептом избавления от этого смешивания является диагона-
лизация полный гамильтониана Н в подпространстве этих двух состояний.
В результате мы получаем два новых вектора, представляющих из себя
надлежащую линейную комбинацию:
|«> = с{о)|1>+4а)|2>, а = 1,2. (4.30)
Для применения теории возмущений эти два состояния |се) заменяют
два старых. Конечно, гамильтониан Н диагонализируется диагонализу-
ется лишь в небольшом подпространстве. Остальные элементы матрицы
возмущения могут связать эту пару состояний с другими невозмущенны-
ми состояниями, однако которые в рамках нанашего предположения не
расположены по энергии слишком близко. В высших порядках теории
возмущений мы снова можем смешивать состояния (4.30), но это смешива-
ние будет содержать по крайней мере, вторую степень малого параметра
д2, а соответствующие энергетические знаменатели будут соответствовать
разницы энергий с уровнями, находящимися за пределами диагонализиро-
ванного подпространства. Если эта поправка прежнему не мало, то следует
расширить диагонализацию на другие состояния.
Диагонализация опасно близких состояний на самом деле является вари-
ационным приближением из раздела 10.3 первого тома. В примере (4.30),
мы ищем лучшие линейные комбинации в усечённом до двумерии базисе.
Задача с двумя уровнями была решена в разделе 10.4 из первого тома.
Теперь мы видим, что наши теории возмущений действительно следуют
из этих результатов в соответствующем пределе |4?12| Д. Используя
обозначения введённые в выражениях (10.26) и (10.27) и раскрывая ко-
рень в в выражении (10.33), мы приходим к пертурбативному решению
с расталкиванием уровней (сравнить с (4.18) в случае д = 1):
Е+ = Н22 +
Д12|2
А
Е- = Яц
|Я12|2
А
(4-31)
Здесь верхнележащее состояние (+) соответствует состоянию |2) с неболь-
шой примесью |Н12/Д| состояния 11), в то время как низколежащее состо-
яние (—) является состоянием с небольшой примесью |Л12/А| состояния
|2). Если параметр смешивания |Л12/Д| не мал, то смешивание становится
сильным, и результирующие комбинации будут близки к симметричным
и антисимметричным состояниям (10,40). В случае полного вырождения
Д = 0 будет полное совпадение.
Этот метод применим в общем случае (/-кратного вырождения или в слу-
чае б близколежащих уровней |1),... ,|с/) Предварительная диагонализация
полного гамильтонина Н в этом подпространстве даёт (1 надлежащих линей-
ных комбинаций нулевого порядка, которые можно использовать в качестве
отправной точки для подмешивания удалённых состояний с использовани-
ем теории возмущений. Эти комбинации будут взаимно ортогональны и
стабильны с точки зрения 11'. Из-за расталкивания уровней, изначальное
их вырождение исчезает, а новые начальные уровни расщепляются, как
минимум частично. Часто нет возможности выполнить предварительную
диагонолизацию и правильные линейные комбинации могут быть найдены
на основании имеющихся симметрий системы. Мы увидим примеры этому
при обсуждении множества конкретных задач.
4.5 Адиабатическое приближение
Если степени свободы системы можно разбить на две группы, медленные
и быстрые, то можно применить специальную форму теории возмущений.
Если система состоит из частиц с сильно различающимися массами, как,
например, в молекулах или твёрдых телах, такое разбиение вполне есте-
ственно. Мы качественно обсуждали это в гл. 5.7 и пришли к выводу, что
в молекулах существует чёткая классификация возможных возбуждений
(электронных, колебательных и вращательных), энергии которых умень-
шаются пропорционально параметру у/т/М, где т — масса электрона, а
М т — масса ядра. Аналогичное разбиение, на электронные и фононные
возбуждения (колебания решетки, гл. 44), подходит для твёрдых тел.
В приближении Борна”- Оппенгеймера, координаты ядра X = {Кд} сна-
чала фиксируются и рассматриваются как параметры, а движение электро-
нов (быстрых переменных х = {га}) рассматривается в поле неподвижных
(вообще говоря, необязательно находящихся в положении равновесия) ядер.
Электроны в молекулах и твёрдых телах движутся относительно быстро, и
их волновые функции могут приспособиться к медленно меняющимся поло-
жениям ядер. «Быстрый» гамильтониан 74у(ж;Х) в первом приближении
включает в себя кинетическую энергию Кх быстрых степеней свободы х и
их взаимодействие /7(ж,Х) с медленными переменными X, которые входят
в 77у(ж;Х) как параметры. Это приводит к адиабатическому уравнению
Шрёдингера
ЯДх; ХДД X) = Яа(Х)<(Ж; X) (4.32)
с собственными значениями, электронными термами Еа(Х\ определён-
ными для различных фиксированных значений медленных переменных
(координат ядер в случае молекул или твёрдых тел). Собственные функ-
ции ДДж;Х) образуют полную ортонормированную систему для каждого
значения X (функции для различных X в общем случае не ортогональны).
Параметрическое уравнение (4.32) приводит к полезным точным соотно-
шениям для матричных элементов
МДо(Х) = (в-х X а.х\. \ ОЛ. / (4.33)
Беря производную (4.32) по X, мы получаем (Н = 74у(ж;Х))
|| а; X) + нХ |а; X) = |а; X) + ЕаХ |а; Х), ОЛ. о л о л о л (4.34)
или, для матричного элемента (4.33),
/ /9/7 \ 6Е \Р,Х — о дра + ЕаМуа(Х). \ О Л / О Л (4.35)
Для /3 Д а и для невырожденных Еу(Х) и Еа(Х)у мы находим
мХх) - Еа(х) _ , (4.36)
и для /3 = се,
/ у дн ЭЕа (а,Х дх а,Х\ дх . (4.37)
Согласно последнему уравнению, производная собственного значения
по параметру равна среднему значению производной гамильтониана (про-
изводные бра- и кет-векторов сокращаются) — теорема Паули, которую
иногда приписывают Фейнману и Хеллману. Равенство (4.37) согласует-
ся с поправкой первого порядка (4.10) при бесконечно малом изменении
гамильтониана.
Задача 4.4
Используя теорему Паули и предыдущие результаты (Задачи 17.3, 17.15,
18.7}, вычислите средние значения (г-2) и (г-3) для стационарного связан-
ного состояния в кулоновском поле.
Решение Из уравнения движения для радиального импульса рг мы на-
ходим связь между двумя средними значениями (условие стационарной
орбиты)
2е2
+ 1)
т
(4.38)
динамическое равновесие кулоновской и центробежной сил. С другой сто-
роны, мы можем применить теорему Паули к радиальному гамильтониану,
записанному в виде, справедливом для состояний с заданным орбитальным
моментом I,
Не = кг +
+ 1)
2тг2
+ Щг)-
(4.39)
Рассматривая как параметр, получаем
П2(2^ + 1) / 1 \
2т V 2 /
дЕ
~дГ
(4.40)
Для данного радиального квантового числа Ч уровни энергии водородопо-
добного атома даются формулой
ш(Яе2)2 _ т(2е2')2
пе 2П2п2 2П2^ + е+ I)2’ 1 ’
и (4.40) даёт
г2
а2п3{(. + 1/2) ’
тогда как (4.38) определяет
23
а3п3^(^+ 1)(^+ 1/2)’
(4.43)
Полный гамильтониан содержит также «медленную» часть Н3(Х)У
Н = Н/(ж;Х) + Н5(Х), (4.44)
В молекулах или твёрдых телах, Н8{Х} включает в себя кинетическую
энергию ядер и межъядерных взаимодействий. Стационарное решение
полного уравнения Шрёдингера
НФ(ж, X) = ЕФ(ж, X), (4.45)
может быть найдено с помощью разложения по полному набору функций
быстрых переменных, найденному в (4.32), с амплитудами, зависящими от
X,
Ф(Ж,Х) = (4.46)
а
Медленная часть Н8 содержит производные по X и, следовательно, дей-
ствует не только на ^а(Х), но и на параметры X в функциях фа. Теперь
(4.45) принимает форму
Е (^ - РаДДД X) = 52 Д • (^(Х 5 X)). (4.47)
а а
Функции ^(ацХ) ортонормированы как функции от х при любом X, так
что проекция (4.47) на произвольную функцию ^(ж;Х) даёт
(^-^(Х))^(Х) = 52 [ ЛхД(х-хД3-^а(Х^а(х-Х}). (4.48)
а
Член в операторе 77$, который содержит энергию взаимодействия ?7$(Х)
медленных переменных, даёт снова 5^. Следовательно, ?7$(Х), вместе с
энергией Ед(Х) быстрых переменных для фиксированной конфигурации /3
медленных переменных, определяет эффективную потенциальную энергию
и^х) = и8(х) + Ец(х).
(4.49)
Этот потенциал можно объединить с кинетической энергией Кх медленных
переменных [часть правой стороны равенства (4.48), где оператор Кх дей-
ствует только на функцию <да(Х)], что даст эффективный гамильтониан
медленных переменных, включающий в себя вклад быстрых переменных,
усредненный по их движению,
= Кх + Ц^Х). (4.50)
Окончательно, (всё ещё точная) система уравнений может быть записана в
виде
(я - ^(х) = У2 ца (хда(х).
а
(4-51)
Интегралы 1@а содержат только те части медленной кинетической энер-
гии, которые один или два раза дифференцируют функции ^(ацХ) по
параметрам X,
Ы*) = /
(4-52)
Интегралы 1ра с /3 ф а связывают различные уравнения набора (4.51).
Без этой связи (первое адиабатическое приближение) каждый электрон-
ный терм даст набор независимых уравнений для медленных движений,
возможных для данной электронной конфигурации. Тогда мы получили
бы стационарные состояния Ф^ как собственные состояния
Н^\х) = Я^Ф^Х). (4.53)
Как обычно в теории возмущений, поправки к Ф^п\х) от будут
порядка отношения
(фДыф^Д
(4.54)
Сделаем грубую оценку, чтобы показать, что в типичной адиабатической
ситуации эти поправки могут быть действительно небольшими. В молекуле
с характерным разделением частот е/К быстрого (электронного) движения
и а) медленных (ядерных) колебаний, гл. 5.7, мы ожидаем, ~ На)/г 1.
Главный член в 1ра соответствует действию одного градиента \7х операто-
ра кинетической энергии Кх = —/12\7^/2М на параметры в электронной
функции ?ДДж;Х), а второй Vх действует снаружи на подмешанную коле-
бательную функцию Ф^п\х). Используя (4.36), мы перенесём градиент
внутри электронного матричного элемента на гамильтониан Ну так что
П2
ХМVI
ДУхНД)
Еа(Х) - Е^Х)
(4.55)
Так как /Д описывает электрон”—ядерное взаимодействие, первый гради-
ент даёт силу, действующую на ядро; для почти гармонических колебаний
эта сила равна Р ~ Мш2Х, если координаты X есть отклонения ионов от
положений равновесия. Внешний КХх можно оценить как равный импульсу
ядра Р. Знаменатель в (4.55) есть типичная энергия возбуждения электро-
нов е, в то время как в (4.54) знаменатель Нш. Эта очень консервативная
оценка даёт для основного или низколежащего состояния, когда (ХР) ~
ш(ХР) Кл
е е
(4.56)
Таким образом, мы ожидаем, что приближение, когда для каждой электрон-
ной конфигурации у нас есть независимая группа колебательных состояний,
может служить хорошей отправной точкой, при этом небольшие эффекты
смешивания электронных конфигураций рассматриваются как возмущение.
4.6 Молекулярный ион водорода
Мы можем проиллюстрировать общие соображения предыдущих разде-
лов приближённым рассмотрением иона Н^, системы одного электрона в
поле двух протонов, рис. 19.3. Для того чтобы связать протоны, электрон
должен создать отрицательно заряженное облако, которое будет притяги-
вать оба протона.
Полный гамильтониан системы равен
(4-57)
где т и М есть массы электрона и протона, соответственно, тдд = |г —Н1д|
- расстояние между электроном и протоном, в то время как К - расстояние
между протонами, то есть наш медленный параметр X; градиент V действу-
ет на координаты электронов, и VIд действуют на координаты протонов.
е
Рис. 4.3. Конфигурация молекулярного иона водорода
Хотя задача может быть решена точно с использованием эллиптических
координат [16], мы применим методы, объединяющие вариационный подход
и адиабатическое приближение.
При фиксированном расстоянии К быстрая часть гамильтониана равна
/ 1 1 \
ЯДг; Н) = V2 - е2 — + — = Кг + Щ + Я2. (4.58)
17 2т Г2 4
Как подсказывает наш опыт работы с задачей двух центров, гл. 17.8,
разумный вариационный подход соответствует образу электрона, общего
для обоих центров. Мы ищем решение уравнения (4.32) в виде суперпозиции
двух 15-функций атома водорода, локализованных возле каждого центра,
Дг) = С1^1 + С2^2, -01,2 = ^1801,2)- (4.59)
Можно ожидать, что лучшее приближение получится с учётом возможной
деформации каждой 1а орбиты в направлении к другому центру. Этого
можно достичь путём включения 2р и высших водородоподобных орбита-
лей с выделенными направлениями, или, что даже лучше, не фиксируя
форму орбиталей, а рассматривая их как неизвестные пробные функции.
Для иллюстрации мы ограничимся здесь простейшей версией (4.59) с 1а
орбиталями.
Функции -01,25 локализованные вокруг разных центров, не ортогональны.
Их перекрытие фактически есть основная сила, связывающая молекулу.
Нам нужно сейчас решить задачу диагонализации с неортогональными
пробными функциями, как в Задаче 10.7. В 2 х 2-мерном пространстве,
натянутом на функции -01,2 ? адиабатическое уравнение
(4.60)
сводится к системе двух связанных уравнений для амплитуд щд суперпо-
зиции (4.59):
(е + (?72)11^С1 + ^(?71)12 + ^О12^С2 = 0, (4.61)
(е + (?71)22^С2 + ^(^2)21 + ^6>21)с1 = 0. (4.62)
Здесь е = Ет5 — Е есть сдвиг энергии основного состояния молекулярно-
го иона по сравнению с энергией отдельного атома водорода. Мы ввели
обозначения для перекрытия
012 = О21 = У 43г ^(Н^/ЫН = о, (4.63)
волновых функций, матричные элементы
Г е2
(^2)11 = Ш22 = (13г- = V, (4.64)
7 Г2
потенциальной энергии, создаваемой другим центром, и
Ге2
(^1)12 = (Г2)21 = / <13г - ^2 = V (4.65)
7 п
амплитуды перескока от одного центра к другому, индуцированные по-
тенциалом второго центра (в нашем случае все функции и матричные
элементы действительны).
Задача 4.5
Рассчитайте величины (4.63-4.65) с 1<§ волновыми функциями водорода.
Удобно использовать безразмерные эллиптические координаты [16],
Г1 + г2 Г1 - г2 , .
€ = —б~ , V = ——, (4.66)
гС гС
где азимутальный угол р отсчитывается от оси, соединяющей центры. Эти
координаты изменяются в пределах
1 < < оо, — 1 < р < +1, 0 < р < 2л, (4.67)
и элемент объёма равен
с13г = -7?3(^2 — ц2) 7<( 7ц др. (4.68)
8
Решение Для интеграла перекрытия мы находим (X = К/щ а - боровский
радиус),
О = х Дзге-(п+г2)/а = Г (^2 - ту2) • 27Г, (4.69)
"а У 8%
или, после несложных расчётов,
О =
з )е
(4.70)
Как и ожидалось, перекрытие уменьшается экспоненциально с увеличением
расстояния между центрами. Аналогично находим
р2
У = —(1 + Х)е“х,
(4-71)
2
V = —Д1 — (1 + Х)е-2Х) •
ал. \ /
(4.72)
Перекрёстный член (4.71) спадает так же, как и перекрытие, в то время
как энергия взаимодействия электронного облака, локализованного на
одном центре, со вторым ионом быстро переходит к классическому пределу
точечного заряда, е2 / К.
Благодаря симметрии уравнений (4.61,4.62) мы можем сложить или
вычесть эти уравнения и получить симметричное
П + V
С1 = С2’ е = ТТо’
(4.73)
и антисимметричное
V — V
(4.74)
решения. Во втором случае имеется узел посередине между центрами и,
следовательно, малая вероятность для электронного облака, которое явля-
ется единственным переносчиком притяжения между протонами. Основное
состояние с максимальным притяжением соответствует симметричному
решению. После нормировки правильная волновая функция есть
/ _ ^1+^2
^8ут “ Д2(ТТо) ’
Рис. 4.4. Эффективный потенциал как функция расстояние между центра-
ми, в единицах е2 /а
и эффективный потенциал между протонами, с добавлением отталкивания
е2/Я, является притягивающим,
1ГНН) = Е18 + /(Х)-. (4.76)
к
где, в соответствии с (4.71), (4.72) и (4.73),
= (1 — 2Х2/3)е~х + (1 + Х)е~2х
’ 1 + (1 + Х + Х2/3)е~х
(4.77)
При малых расстояниях между центрами X 1 эта функция близка
к потенциалу центра с зарядом 2, /(X) ~ 2(1 — X); при очень больших
расстояниях /(X) ~ — (2/3)Х2е-^ и стремится к нулю снизу. Минимум эф-
фективного потенциала при X ~ 2.5, рис. 4.4, соответствующий К ~ 1.3 А,
даёт равновесное расстояние между протонами (экспериментальное значе-
ние равно 1.06 А), и согласие может быть улучшено при помощи выбора
более подходящей пробной функции. Заметим, что для более тяжёлой ча-
стицы, такой, как отрицательный мюон, ггщ = 206 те, вместо электрона (но
всё ещё М для того, чтобы сохранить адиабатическое приближение),
размер молекулы будет меньше на два порядка. Это значительно увеличит
вероятность термоядерной реакции между ядрами (мюонный катализ).
Задача 4.6
Опишите приближённо эффективный потенциал вблизи положения рав-
новесия потенциалом гармонического осциллятора, найдите частоту ко-
лебаний и подтвердите оценки гл. 5.7 и справедливость адиабатического
приближения.
4.7 Взаимодействия атомов на больших расстояниях
Химическая связь объясняется в основном взаимодействием атомов на
сравнительно коротких расстояниях, когда электронные облака взаимо-
действующих атомов значительно перекрываются. Такие силы спадают
экспоненциально вместе с волновыми функциями электронов. Существуют
слабые притягивающие силы Ван-дер-Ваальса (иногда называемые дис-
персионными силами Лоренца), которые спадают по степенному закону
и действуют поэтому на больших расстояниях. Будучи обусловленными
взаимодействием флуктуирующих электрических диполей, они отвеча-
ют за связывание молекулярных кристаллов и за отклонения уравнения
состояния газов от простых законов идеальных газов.
В Задаче 3.6 мы видели, что атомные электроны создают флуктуиру-
ющее дипольное электрическое поле, которое, в отличие поля средней
электронной плотности, падает ~ Я-3 на расстояниях В больших, чем ра-
диус атома. Взаимодействие двух диполей описывается гамильтонианом [3],
ец. (42.7)
1 г . . . я 1У
Нм = дз [(41 • 42) - 3(41 • п)(42 • п)] = , (4.78)
где дипольные операторы двух нейтральных атомов с зарядами ядра и
равны
^"1,2
41,2 = е 57 (га — К-1,2), К = К1 — К,2, (4.79)
а=1
а п есть единичный вектор вдоль К. Координаты ядра фиксированы в
адиабатическом приближении.
Слабые диполь-дипольные силы можно рассматривать по теории возму-
щений. Для основных состояний двух атомов средние значения дипольных
операторов исчезают, гл. 8.5. В первом порядке взаимодействие РИ подме-
шивает К основному СОСТОЯНИЮ |0102) СОСТОЯНИЯ |П1П2) с одним электроном
в каждом атоме, возбуждённым на следующие доступные орбитали про-
тивоположной чётности. Поправка к энергии основного состояния всегда
отрицательна, (4.18),
— об
П1П2
|(0102|ИЛ|п1П2)|2
Е(0, 0) — Е(п1, п2) ’
(4.80)
где ,Е(п1,П2) есть невозмущённые уровни энергии изолированных атомов.
Эта функция определяет притягивающий потенциал двух атомов на боль-
ших расстояниях,
ЛЕМД) =
(4-81)
Задача 4.7
Оцените константу С в (4.81) для двух атомов водорода в основном
состоянии.
Решение Ряды (4.80) можно просуммировать [17]. Мы ограничимся про-
стой оценкой {приближение полноты). Если средняя энергия возбуждения
в знаменателе (4.80) равна е, мы можем оценить результат с помощью
суммирования по полному набору состояний фгИд),
с « - |(0102Д|щп2)|2 = (4.82)
П±П2
Промежуточные энергии начинаются с 2р состояний, Е?(1112) = —2 х
(е2/2по) х (1/4), т.е. энергия возбуждения (3/4)(е2/ао). Средняя энергия
возбуждения, по соображениям размерности, должна быть е = ^(е2/ад) с
численным множителем ~ 1. При вычислении (IV2) мы можем выбрать
ось г вдоль Я, тогда
IV2 = е4(х!х2 + У1У2 - 2^1 г2)2,
(4.83)
и среднее значение для основного состояния равно
(0102Д2|0102) = 6е4^. (4.84)
В результате
ЛЕМД) = -
6 е2 /ао\6
<;</() ' Е /
| Точный расчёт даёт = 0.93.
Это рассмотрение справедливо, если большое расстояние К между ато-
мами не превышают длину волны Ло ~ Нс/е типичных атомных переходов.
При К > Ло становятся важными эффекты запаздывания, и закон взаимо-
действия изменяется с(4.81) на ~ Г7 [18], §85.
Новые эффекты появляются для двух тождественных атомов, один из
которых находится в возбуждённом состоянии \п) с чётностью, противо-
положной чётности основного состояния. Здесь мы должны использовать
теорию возмущений для вырожденных состояний. Действительно, состоя-
ния |01П2) и |п102) имеют одинаковую невозмущённую энергию. Диполь-
дипольное взаимодействие (4.78) имеет ненулевой матричный элемент для
передачи возбуждения между вырожденными состояниями,
\уп = (щ02|ж|01П2) = (п1|а1|01)-(02|а2|п2)-з(п1|(агп)|01)(02| (а2-п)|п2),
(4.86)
или, поскольку атомы тождественны,
\Уп = I(щ|Н1101>I2 - 3|(щ|(Н1 • п)|01>I2. (4.87)
Правильные линейные комбинации нулевого порядка, как мы знаем из
гл. 10.4-10.6, равны
|±) =-/= (|п102) ± |01П2)У (4.88)
Они расщепляются матричным элементом (4.87),
Е± = Е0 + Еп±}Г (4.89)
Если атомы медленно приближаются друг к другу в начальном состоя-
нии |п102), в результате последующей эволюции, описываемой таким же
образом, как и в гл. 10.6, будет периодически возникать состояние |01П2)
с резонансной передачей возбуждения второму атому. Частота передачи
определяется матричным элементом ИД/Я3 и зависит от расстояния К. Так
как расстояние меняется со временем, лучшим подходом будет включение
в рассмотрение адиабатической фазы, см. ниже, гл. 25.5.
Электрон - это точка, ничто в нем не
вращается. Спин - это такое же
внутреннее свойство электрона как и
масса.
С. Газиорович, Квантовая физика
Глава 5
Спин 1/2
5.1 Зи(2) группа
Как отмечалось в гл. 3.5, существуют наблюдаемые спектроскопические
эффекты, связанные с электронными и ядерными спинами; спины игра-
ют быстро возрастающую роль в области нанонауки и технологических
применений. Наименьшее нетривиальное значение спина 1/2, и, используя
частицы со спином 1/2 в качестве строительных блоков ”— электроны,
кварки и нейтрино — природа конструирует практически все вещества (объ-
единяя составные части со спином 1/2 можно получить произвольного
угловой момент У). Поэтому спин 1/2 заслуживает особого внимания.
Существует значительная геометрическая разница между целым и по-
луцелым значениями углового момента. Орбитальный угловой момент I
генерирует мультиплеты с целым = I. Спиновый угловой момент з может
принимать как целое, так и полуцелое значение. Мы можем понять, физиче-
ские причины этого различия. При вращении (16.2) вокруг оси квантования
г, волновые функции состояния | УТИ) с определенной проекцией М на ту
же ось, просто приобретает фазу,
7гДа)| ЛИ} = е~г^а0м} = е~гМаОМ}. (5.1)
Рассмотрим поворот на угол а = 2л. Состояния с целыми У не изменяют-
ся, ехр(—/2лТИ) = 1, а состояния с полуцелым <1 получают множитель — 1.
Как мы видели в разделе 1.1, орбитальный момент преобразует явную коор-
динатную зависимость волновых функций. Так как направления обознача-
емые углами 0 и 2л физически совпадают, однозначных волновой функции
должно быть периодической функцией углов с периодом 2л, то есть она
может иметь только целые значения М апб У. Другой аргумент происходит
от эквивалентности, раздел 2.5, полных наборов функций, плоских волн и
сферических функций только с целыми значениями I. Спиновые волновые
функции не являются явными функциями координат, таким образом тре-
бование периодичность отсутствует. Поскольку физические предсказания
даны в терминах амплитуд, которые билинейны по волновых функциям, то
допустимо двузначное представление группы вращений соответствующей
полуцелому спину.
С математической точки зрения, общие коммутационные соотношения
(1.21) определяют группу <52У(2), которая является так называемой группой
покрытия по отношению к трехмерной группе вращений 7^(3). Специаль-
ная унитарная группа 81А(п) являются группой унитарных п х п мат-
риц с определителем, равным 1. Такие матрицы образуют группу, потому
что результатом их перемножения является новая матрица того же клас-
са. Количество различные генераторов равна п2 — 1 число независимых
бесследовых матриц (единичная матрица дополняет этот набор линейно
независимых матриц до общего числа п2). В случае п = 2, число генера-
торов, три и алгебраическая структура такая же как для 7^(3) и <52У(2)
групп. Однако, это всего лишь локальная структура вблизи единичного
оператора, уравнение (1.1). Различные глобальные структуры (топологии)
проявляются в том, что две разные <52У(2) матрицы (они отличаются знаком
полуцелого спина) соответствуют одному и тому же вращению. Физически
идентичные повороты, отличающиеся на 2тг, согласно (5.1), дают +1 и
— 1, соответственно. Невозможно избавиться от этой двузначности просто
выбрав ветвь +1, поскольку тогда получается разрыв представления в
точке а = 0(= 2тг).
Задача 5.1
Покажите, что генераторы алгебры 8Ы/1) представлены бесследовыми
матрицами.
Решение Утверждение следует из коммутационных соотношений (16.21),
так как в любом представлении конечной размерности след коммутатора
исчезает в силу его (следа) циклической инвариантности,
1г /п = — 1г [<Д , = 0. (5.2)
Для данной системы, все возможные состояния имеют либо только целые
значения углового момента либо только полуцелые. В противном случае
можно было бы построить, согласно принципу квантовой суперпозиции,
состояние, которое будет линейной комбинацией / = • Суперпози-
ции имеет физический смысл только, если оператор О изменяющий угловой
।
।
____________।__________ь
Рис. 5.1. Конструкция Швингеровского представления
момент на полуцелую величину, существует; его отсутствие означало бы,
что целая и полуцелая подсистемы состояний никогда не интерферируют
и на самом деле нужно рассматривать их как различных систем (супер
отбор/ Поворот на 2 л преобразует волновую функцию в После
такого поворота, физические измерения с переменной О давали бы результа-
ты противоположного знака из-за интерференционного члена ('фгл |О|'0ьаи)-
Это несовместимо с идеей вращения системы как целого на угол 2л, без
изменения во внутренней структуре.
5.2 Спин 1/2: алгебра
Объекты со спином 1/2 реализуют низшее нетривиальное представление
812(2) группы размерности 2з + 1 = 2. В общей 812 (п) группе, фунда-
ментальные представления размерности п описывают подобные базовые
составляющие (простейший нетривиальный набор объектов, несократимые
при всех преобразованиях группы).
Задача 5.2
Представление Швингера Введите два типа операторов рождения и уни-
чтожения, а / а и Ь/ Ь, которые создают и уничтожают "частицы"со спином
8 = 1/2 и проекцией зг = 1/2 и -1/2, для а-типа и 6-типа, соответственно.
С помощью этих операторов, сконструируйте определенные состояниях с
данным общим моментом У и его проекцией М.
Решение В представлении Гольштейна-Примакова, Задача 1.8, мы ис-
пользовали операторы спиновых отклонений начиная с низшего состояния
= — У мультиплета. Назовем па числом шагов, необходимых для дости-
жения проекция М. Таким же образом мы могли бы начать с высшего
состояния и придти к тому же значению = М за щ шагов, рис. 1.1.
Поэтому, мы определим
М = 7 + па = 7 — щ.
(5-3)
Эти два числа, па и тц, полностью определяют мультиплет, 2 [представ-
ление <52У(2) группы], и состояние внутри мультиплета,
1 п 1
•^ = 2(п« + пб) = 2’ м = 2^Па~Пь^- (5-4)
Если бы мы могли интерпретировать па и пъ как число частиц типа а и 6,
соответственно, выражение (5.4) для М показало бы, что эти частицы несут
проекции спина 1/2 и -1/2. Такая интерпретация действительно, возможна.
Матричные элементы (1.51) теперь выглядят следующим образом [сравнить
с уравнением (1.59)]:
д_(77И) = \/па(пъ + 1), д+(ЛИ) = У (па + 1)пь. (5.5)
Эти комбинации точно соответствовать матричным элементам Гейзенберга-
Вейля (11.119) для двух типов операторов создания и уничтожения частиц
двух типов а и Ь. В соответствии с формулой (5.5), мы отождествляем
+_ = аЬ/ (5.6)
Если оператор Ь уничтожает частицы с = -1/2 в то время как
создает частицы с з~ = +1/2, их произведение увеличивает общую про-
екцию системы на 1, как и должно быть для 2^. Число шагов тцд
являются собственными числами операторов 22для двух видов квантов,
а их разность дает оператор X.
22а = Ха, 1% = Хб, X = -(/^а — Ь^Ь/ (5.7)
Новый аспект этого представления, чего отсутствовал раньше то, что
сейчас мы получили еще и оператор 2 максимальной проекции, «фамилии»
мультиплета, который равен половине от общего количества квантов, а не
только квадрату оператора Казимира С = Л2 С = ВЕV2 только
7 = + ьЩ = |(7у + Д) = /. (5.8)
Легко показать прямым вычислением, что операторы уравнение
(5.6), и X, уравнение (5.7), подчиняются нормальным коммутационным
соотношениям (1.25,1.26) и оператор Казимира С равен (ТУ/2) [(ТУ/2) + 1], в
согласии с (5.8). Состояния с всех неотрицательными квантовыми числами
па и пъ один-к-одному в соответствует (5.4) со множеством всех разрешен-
ных мультиплетов |УМ). Вакуумные состояния (1.11.112) по отношению
к обоим типам квантов па = щ = 0, описывают скалярный мультиплет
|У = М = 0) и удовлетворяют
а|00> = &|00> = 0, (5.9)
и произвольное состояние \пап/ построена аналогично (1.11.121):
(а/ПаСь/Пъ
\папь} = 1 ±± |00>. (5.10)
у/па\пь\
Перевод на язык группы 812(2} обеспечивает последовательное построе-
ние произвольных мультиплетов|УМ):
\2м) = ; } 1 }------|оо>. (5.п)
У(У + М)!(У-М)!
Согласно (5.8), даже четное число частиц приводит к целому У, в то
время как нечетное п соответствует полуцелым У. Откуда, Швингеровская
конструкция обеспечивает всех унитарные неприводимые представления
группы 812(2/ используя спины 1/2 фундаментального представления как
элементарные строительные блоки. Оператор добавляет один спин вверх
и увеличивает сумму У + М оставляя разницу У —М нетронутой, то есть и У
и М увеличиваются на 1/2. Операторы У±, уравнение (5.6), действует внут-
ри мультиплета просто заменяя одну частицу другой, противоположного
типа.
Канонический базис для спина 1/2, хм = |У = 1/2, М) состоит из двух
базисных векторов, М = ±1/2. Иногда удобно называть их «повышающим»,
Х\/2 = Х+ =Т, и «понижающим», Х-х/2 = X- =4- Все операторы в этом
пространстве - матрицы 2x2. Алгебра (16.22) выполняется при 8 = (1/2)а,
где компоненты может быть выбрана в качестве матрицы Паули
ах = ( 0 11 0 ) , ау = ( 0 - И 0 ) , а* = ( 1 00 - 1 ) . (5.12)
Легко проверить коммутационные соотношения (1.21) и матричные эле-
менты (1.50”—1.55); матрицы бесследовые в соответствии с общими ре-
зультатом задачи 5.1. Три матрицы имеют квадраты, равные единичной
матрице, и каждая пара из них антикоммутирует, см. ниже (5.14).
| Задача 5.3
Покажите, что Швингеровское представление может быть записано в
виде
Л = (5.13)
т,т/=±1/2
где мы переименовали а дл/2, б</-1/2- и 8тт' — (Хт|8|Хт/) стандарт-
ные матричные элементы момента импульса для 3 = 1/2. Это частный
случай формы вторичного квантования, которая очень полезно для фор-
мализма многих тел, раздел 41.
Вместе с единичной матрицей, матрицы (5.12) образуют полный набор
из четырех независимых матриц в пространстве 2x2. В частности, их
произведения тоже являются матрицами из того же набора. Это позволяет
объединить всю алгебру спина в тождестве
= $ы + г^ЫпСГп- (5.14)
Отсюда следует, что любой оператор функции матриц Паули ар мо-
жет быть приведен к линейному выражению, частному случаю Задачи
1.6.7. Первый слагаемое (5.14) эрмитово и симметричной относительно
векторных индексы к,1, второе антиэрмитово и антисимметрично. Часто
приходится иметь дело со скалярными произведениями (а-с?) матриц Паули
с не матричными векторами. Тогда (5.14) дает
(а • <т)(Ь • а) = (а • Ь) + г[а х Ь] • а. (5.15)
В соответствии с уравнением (5.15),
(п • а)2 = п2 = 1 (5.16)
для любого единичного вектора п.
Задача 5.4
Покажите, что оператор конечного вращения (16.2) для спина 1/2 может
быть представлен в виде линейной формы
7^п(а) = ехр[—г(8-п)а] = ехр[(—г/2)(сг-п)а] = сое(а/2) — г(а-п) 8ш(а/2).
(5-17)
Решение Выполните суммирование четных и нечетных слагаемых ряда
(1.5) по отдельности.
Задача 5.5
Найдите коэффициенты А (перед единичной матрицей) и В = {В&} в
разложении произвольной 2x2 матрицы М на полный набор {сг^, 7},
М = А+(В-а). (5.18)
Решение Как следует из (5.14),
Дс^сг/) = 25к1. (5.19)
Поэтому
А=|1гЛф Вк = ^1т(Мак/ (5.20)
Отсюда легко получить разложение (5.18) любой (не особой) матричной
функции /(а + Ь • а). В этом случае
л = 1 [/(а + &) +/(а — 6)], в = [/(а + Ь) - /(а - 0], (5.21)
где Ь это длина вектора Ь.
Задача 5.6
Найдите собственные значения оператора О = (оЧ), где ^ — орбитальный
момент оператора.
Решение Рассмотрим оператор О2 и применим алгебру (5.15),
О2 = = Г + ге^к^дсгк. (5.22)
Теперь мы должны принять во внимание, что компоненты I не коммути-
руют. Из-за антисимметрии е^к,
О2 =Г + /дк\Г, ^]<7к = Р + /цк^гзп^к = • Л (5-23)
Поскольку Г коммутирует со скалярным оператором О, можно подста-
вить его вместе с собственным значением и получить квадратное уравнение,
О2+ 0-^+1) = 0, (5.24)
с корнями (собственные значения О при заданном 1).
О+ = Л О_ = -(^ + 1). (5.25)
5.3 Спиноры
В представлении (5.12), матрица ср = 2з~ диагональная. Принимая ба-
зисные состояния х± в качестве собственных состояний с собственными
значениями ±1, получаем наш канонический базис углового момента с
г в качестве оси квантования. В представление соответствующем матри-
цам (5.12), базисные состояния |<§ = 1/2, зг = т = ±(1/2)) являются
двухкомпонентными столбцами
Х+ = ( ю ) , X- — ( 01 ) . (5.26)
В то время, как вращательное преобразование векторных компонент
соответствующих спину з = 1 было дано в Задаче 1.2 и гл. 1.8, состояния
(5.26) преобразуются при вращениях оператором (5.17). Такие объекты
включающие фундаментальное представление алгебры 8Ы(2/ называются
спинорами. Любое состояние со спином 1/2 может быть представлено в
виде суперпозиции
х = ( а+а_ ) = а+х+ + а-Х- (5.27)
базовых спиноров (5.26) с верхней (нижней) компонентой а^(а_) дающей
амплитуду нахождения величины зг равна 1/2 (— 1/2). Начиная с состояния
Х+ (спин поляризованный вдоль оси г) и применения различных вращений
(5.17), можно получить состояния с любой ориентация спина.
Задача 5.7
Построить состояние со спином 1/2 поляризованное вдоль оси п, который
определяется полярным углом 9 и азимутальный углом р.
Решение Используя геометрическую картину вращений, применим после-
довательные вращения Лг(р)71у(9) в состояние х+- Мы ожидаем, что эта
операция изменит направление вектора спина от оси г к оси п. С матрицами
вращения (5.17) в явной форме получаем
Хп = ТгД^Т^Д) ( 10 ) = ( е-**5/2 соз 0/2е**’/2 ЗШ0/2 ) . (5.28)
Как легко проверить непосредственным вычислением, что это, действи-
тельно, состояние со спином ориентированным в направлении п(0, р/.
(а-п)хп = Хп- (5.29)
Вместо вращения, можно прямо решить задачу нахождения собственных
значений (5.29).
Любой нормированный спинор х характеризуется двумя комплексными
амплитудами а± с |а^|2 + |а_|2 = 1, то есть тремя вещественными парамет-
рами. Они всегда могут быть выбраны в терминах углов 9 и (/?, так что
спинор приобретают вид (5.28) и бесполезную общую фазу. Изменив фор-
мулировку этого результата, мы приходим к важному выводу: для любого
спинора существует направление п такое, что спинор удовлетворяет урав-
нению (5.29). Это означает, что частицы со спином 1/2 всегда полностью
поляризованного в некотором направлении. (Такое утверждение не верно
на высших спинов.) Согласно (5.28), для состояния, поляризованного вдоль
п, анализатор, ориентированный вдоль оси г, обнаружит интенсивность,
доля которой составляет сое20/2 от полной интенсивности.
Задача 5.8
Используя общий результат Задачи 6.1 С найти проекционные операторы
Л±, которые проектируют из любого спинора х компоненту с а • п = ±1.
Решение
Л±(п) = |(1±ст-п). (5.30)
Эти операторы удовлетворяют общие свойства проекторов, раздел 1.6.11,
Л± = Л±, Л+Л_ = Л_Л+ = О, (5.31)
И
<7 • п(л±(п)х) = ±(л±(п)х). (5.32)
Задача 5.9
Пучок частиц со спином 1/2 поляризованный в направлении п(0, прохо-
дит через анализатор, который пропускает только частицы поляризованные
вдоль направления п,(0/,^/), Рис- 5.2. Найти коэффициент прохождения
(доля передаваемой интенсивности).
Решение Коэффициент прохождения определяется как
Тп'п = | (Хп7 |Хп) | ? (5.33)
где спиноры поляризованных частиц даются уравнением (5.28). Прямое
перемножение спиноров дает
Тп'п = - [1 + сое 0 сое 0х + еш0 ет0/сое((/9 — р')] = (5.34)
Рокпхег
Апа1ухег
Рис. 5.2. Схема эксперимента для Задачи 5.9
Конечно, прохождение не может изменяться при вращении всего устрой-
ства, поляризатор ± анализатора, как единого целого. Поэтому это должна
быть функция только доступных в задаче скаляров, а именно (пх • п), зави-
сящая от относительный угол между векторами пип7. Для совпадающей
поляризации, пх = п, мы должны иметь Т = 1 в то время как передача
обращается в нуль при п7 = — п, когда поляризатор и анализатор состояний
ортогональны. Будучи зависимым только от угла у между поляризатором
и анализатором, результат (5.34) можно записать в виде
Л'П = СО82 (5.35)
Обратите внимание, что для фотонов ответ на подобный вопрос будет
сое2 у. Это отражает геометрическую разницу между частицами со спи-
ном 1/2 и спином 1 (фотоны). Только скалярные и векторные операторы
могут иметь ненулевое среднее значение для состояний со спином 1/2, см.
далее, гл. 22. Поэтому векторы пип7 могут входить в ответ (5.34) только
линейно. Результат (5.34) может быть угадан немедленно при сравнении
со стандартным представлением (5.28), что дает вероятность сое2(0/2) для
анализатора, ориентированного вдоль оси г; поскольку выбор квантования
оси произволен, то результат (5.35) очевиден.
Задача 5.10
Найдите матричные элементы (Хт|7^п(<Д \Хт') оператора конечных по-
воротов, уравнение (5.17) на угол а вокруг оси п, характеризующейся
полярным углом 0 и азимутальный угол р.
Решение тит' принимают значения ±1/2, а соответствующие спиноры -
столбцы (5.26). Удобно записать скалярного произведения (±-п) в операторе
вращения как
1
(а • п) = агпг + -(а+п_ + а_п+), (5.36)
где
сг± = ах ± гау, п± = пх ± гпу = зт в е±гД пг = сое в. (5.37)
Диагональные матричные элементы равны
(х™ Дп(а)|Хт) = соз(а/2) - тг 8ш(а/2)<ХтЫХт)
= соз(а/2) г 8т(а/2) сов 0,
(5.38)
Недиагональные матричные элементы содержат операторы а± = 2з±;
(х+|7^п(а)|х_) = — гет(а/2) §тйе
(х_|7^п(а)|х+) = — гет(а/2) зшйе^.
(5.39)
(5.40)
Матрица вращения Задачи 5.10 отвечает на все возможные вопросы
связанные с геометрией спина 1/2. Таким образом, для получения резуль-
тата Задачи 20.9, нам нужна амплитуда вероятности нахождения проекции
т' на оси п7 для состояния с проекцией т на оси п. Предполагая, что
плоскость, определяемая этими двумя направлениями - это плоскость х%,
мы может вращаться на угол у вокруг оси у объединяя направления поля-
ризатора и анализатора. Использование в уравнениях (5.38)-(5.40) 9 = к)2
апс! (/? = 7г/2 как углов оси вращения и а = у, мы приходим к вероятностям
сой2(у/2), т т, апб 8т2(у/2), т —т.
Задача 5.11
В эксперименте Штерна-Герлаха анализируется пучок атомов со спином
7 путем его разложения на (27 +1) компонентов с различными проекциями
М' на направление неоднородного магнитного поля, рис. 5.3. Первоначаль-
но, все атомы были в состоянии с максимальной проекцией М = 7 на оси
г.
Рис. 5.3. Эксперимент Штерна-Герлаха
Каковы относительные интенсивности расщепленного пучка, если поляр-
ный угол направления магнитного поля 97
Решение Как упоминалось ранее, любое состояние момента 2 можно
построить с помощью 27 частиц со спином 1/2. В исходном состоянии пучка
все составляющие имеют проекции в~ = 1/2 выровненные вдоль оси г так,
что >Г = (27) х (1/2) = 7. Для каждой из них вероятность иметь проекцию
в л = +1/2 на ось поля равна сое2 (0/2), в то время как вероятность в л =
— 1/2 равна ет2(0/2). Чтобы получить полную проекцию среди 27
частиц (7 + М/ из них должны иметь в л — +1/2, а (7 — М/ должны иметь
вл = —1/2. Чтобы получить общую вероятность определенного значения
М' мы должны принять во внимание количество возможных способов
для выбора (7 + М/ или (7 — М/ частицами от полного число (27). В
результате, интенсивность пучка с проекцией равна
Г<АГ|М = = (т++и!
дЛ+М'
ат2 - . (5.41)
Легко проверить, что эти интенсивности правильно нормированы,
У2 т(м'\м = <г> = 1,
М'=^
(5-42)
Рис. 5.4. Магнитный резонанс — конфигурация поля
и наши предыдущие результаты для У = 1/2 и для ^ = 1 являются
частными случаями этого, более общего утверждения.
5.4 Магнитный резонанс
Во внешнем магнитном поле спин ведет себя как любой другой вектор
углового движения с магнитным моментом, раздел 1.11. Теперь рассмотрим
более сложное расположение зависящих от времени магнитных полей.
Пусть система спином 1/2 помещена в статическое поле 13 ~ и вращающееся
поле 13± в поперечной плоскости (яч/), рис. 5.4,
13х = 6со8(щ^), 13у = б8ш(с^).
(5.43)
Частицы взаимодействуют с магнитным полем посредством их магнитного
момента
/7 = д8Н& = '^ д а = да, (5.44)
где гиромагнитное отношение д8, или эффективный магнитный момент
д = д8К/2, является внутренним свойством системы. Время-зависимый
Гамильтониан (1.159), действующий на спиновые переменные равен
Н(Г) = — (ц • 23) = — д{агВг ± ахЪсъЛщ1) ± ауЬ8ш(с^)}. (5.45)
Волновая функция частицы, спинор у (7) с верхней компонентой а+(2) и
нижней компонентой а_(2), которые дают амплитуды вероятности нахож-
дения в момент 1 проекции спина 8% — ±(1/2) на направление статического
поля В~. Простая картина прецессии больше неверна поскольку проекция 8%
больше не сохраняется: поперечная составляющая магнитного поля может
изменять спин между состояниями 8г = ±(1/2) в результате действия
крутящего момента [д х В±].
Уравнение Шредингера
(5-46)
для компонент спинора а±(1/ после использования явного вид матриц
Паули, приводит к системе двух связанных линейный дифференциальных
уравнений,
гКа+ = —дВга+ — дЬе~гйЛа_, гНа_ = дВга_ — дЪег^а+. (5.47)
Задача 5.12
Решите уравнения (5.47) с начальным условием, что при 7 = 0, мы
начинаем со спина вверх, 8г = 1/2.
Решение Самый простой способ точного решения связан с заменой пере-
менных, которая устраняет явную зависимость от времени коэффициентов
в уравнении (5.46),
а±(2) = ет(г/2)^с±(7), (5.48)
путем перехода к «вращающейся» системе координат, вспомните теорему
Лармора классической электродинамики [3], § 45. Эта трансформация
приводит к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами,
гс+ = —с/с+ — со±с_, гс_ = е/с_ — ш±с^, (5.49)
где мы используем короткие обозначения для различных частот, частоты
прецессии в статическом поле
(5.50)
характерная частота прецессии вокруг поперечного поля,
рЬ = П (5.51)
и эффективная частота вращающейся системы координат,
/ ш ш + —. (5.52)
Теперь мы можем искать частное решение системы (5.49) как
сЩ) = Хе~гШ, С-Т) = (5.53)
и находим две собственные частоты,
ее ±0, (5.54)
и отношение амплитуд для двух мод (5.54),
Г± = --^-Х±. (5.55)
Фактическое решение представляет собой суперпозицию двух нормаль-
ных мод с амплитудами удовлетворяющими начальным условиям. Если
изначально а_^(0) = 1иа_(0)= 0, тогда
С+Д = М е~гШ+ ем, с_Д = г^ДтДД (5.56)
и Ъ и и
Вероятность нахождения спина с поляризацией противоположной исход-
ной, равна
2 2
= |а_(0|2 = 1с-(*)|2 = = /2^ 2 8ш2(Ш). (5.57)
е Ъ Си “Г" Си ।
Эта вероятность меньше единицы, за исключением случая резонанса,
ш = О
Гл = — = АЕ,
(5.58)
когда частота переменного поля совпадает с частотами переходов между
уровнями расщепленными основным статическим полем 13
Поглощение энергии поперечного поля как функции от его частоты ш
имеет типичную форму резонанса шириной Резонанс очень узкий,
когда Ъ 13 г. типичная ситуация для электронного спинового резонанса и
ядерного магнитного резонанса. Таким образом, центр тяжести этой узкой
кривой определяет магнитный момент системы //.
5.5 Преобразование обращения времени и теорема Крамера
Для частиц с внутренними степенями свободы такими, как спин, необходи-
мо определить унитарную матрицу [Лщ которая бы обеспечила правильное
преобразование таких переменных при обращении времени, раздел 8.2.
Любой оператор углового момента Л является Т-нечетным,
я = тят-1 = = -Л.
(5.59)
Для орбитального момента, это следует из преобразования импульса р,
уравнение (8.12). Но нам нужно дополнительный оператор 17т правильно
преобразовывающий спиновую часть углового момента.
В стандартное представлении матриц Паули (5.12), только одна из них,
ау, мнимая, в то время сгх и являются вещественными. Это соответствует
обычному выбору фазы матричных элементов углового момента (1.52)-
(1.54), когда понижающая, 1Х — гЛу, и повышающая, 7хГг7у. комбинации
имеют вещественные матричные элементы (16.51). В этом представлении
можно получить
17т — Чт<Ту (5.60)
с произвольный фазовым множителем |ц^|2 = 1, в качестве унитар-
ного оператора выполняющего обращение времени. Используя тождество
(5.14) включающее всю алгебру матриц Паули, легко проверить, что
8 = = -8,
(5.61)
как это должно быть при обращении времени (5.59).
Рассмотрим систему из частиц со спином 1/2. Естественным обобще-
нием (5.60) должно быть
Ст = Ы%(1)---^(Я, (5.62)
поскольку спиновые переменные всех частиц будут обращены. Принимая
во внимание, что матрица ау мнимая и а у = 1, найдем для этой системы
Т2 = итШ]Х = (-)* (5.63)
Пусть система с Т-инвариантным гамильтонианом находится в стацио-
нарном состоянии Ф. Если это состояние не вырождено, оно может быть
изменено при обращении времени не более чем на фазовый множитель,
ТФ = ехр(ш)Ф. Но тогда
Т2Ф = Т(егаФ) = е~гаТ^ = е~гаегаФ = Ф. (5.64)
Следовательно, для невырожденных состояний Т2 = 1 независимо от
числа частиц. Согласно (5.63), это означает, что система с нечетным
числом частиц со спином 1 /2 не может иметь невырожденные стационарные
состояния. Мы пришли к теорема Крамера: стационарные состояния Т-
инвариантной системы из нечетного числа частиц со спином 1/2 являются
вырожденных, по крайней мере двукратно. В простейшем случае одной
частицы, при отсутствии спин-зависимых сил, это всего лишь вырождение
спиновых состояний х±-
Вырождение Крамера может быть снято внешним полем нарушающим
инвариантность относительно обращения времени. Внешнее электрическое
поле оставляет минимум двукратное вырождение. Однако, магнитное поле
изменяет знак при обращении времени. Система во внешнем магнитном
поле В не инвариантна относительно обращения времени и вырождение сни-
мается. Если источник (ток) создающий магнитное поле 13 является частью
рассматриваемой системы, так что полная операция обращения времени
включает в себя 13 —13, вся система снова становится Т-инвариантной.
Тогда вырождение восстанавливается, потому что для каждого состояния
|Ф; 13} есть сопряженное состояние |Ф; —13} с такой же энергии. Если систе-
ма закручена извне, угловая скорость П также меняет знак при обращении
времени, и ситуация такая же, как для магнитного поля.
5.6 Состояния сопряженные по времени
Как мы видели в предыдущем разделе, поведение волновой функции при
обращении времени зависит от спина состояния и от представления. Мы
будем использовать представление, где спиноры преобразуются согласно
матрице Ц? уравнения (5.60) с фазовым множителем у? — —Г Для частиц
со спином 1/2, оператор поворота на угол а вокруг оси п был найден в экв.
(5.17). Таким образом, при нашем выборе оператор обращения времени
совпадает с вращением вокруг оси у на угол 180°,
йт = Т1у{л/ (5.65)
Действуя на спинор уш с = т = ±(1/2),
т -л- — т, а фазовый множитель дает
Утх+ = х-, йтх- = ~х+,
оператор V? изменяет
(5.66)
который может быть выражен как
йтХт = Н1/2~тХ-т- (5-67)
Мы знаем, что, по отношению к вращениям, система с угловым мо-
ментом можно считать как изготовленную и спинов 1/2. Изучая
поведение при обращении времени, мы должны, как и при доказательстве
теоремы Крамера, выполнить преобразование (5.67) для каждого спина. В
результате, состояние | Л7И) изменяет знак М и приобретает фазовый мно-
житель с показателем ^2(1/2 — т) = <! М. Таким образом, определение
время-сопряженного состояния, в соответствии с (5.67), следующее
|УМ) = 1/Т^М) = (-ЩМ|У - М).
(5.68)
Заметим, что второе обращение времени восстановило бы первоначальное
состояние \Л\Г} с фазовым множителем (—)2е/ равна 1 для целого 7 и -1
для полуцелого Л, в согласии с теоремой Крамера (5.63). Это может быть
записано в виде
Т~ = (-)2< (5.69)
Мы увидим появление фазы (5.68) в векторной связи углового момента,
когда это имеет отношение к обращенному движению, Л -Л- —Л. Определе-
ние (5.68) согласуется с вариантами выбора фазы матричных элементов
углового момента и коэффициентов векторной связи, раздел 7.5. К сожа-
лению, традиционное определение сферических функций У^т отличается
от предложенного формулой (5.68). Поскольку У/ш функции координат,
они подвергаются комплексному сопряжению при обращении времени, и
множитель относительной фазы равен (—)т,
УЩп) => У/Дп) = ( —(5.70)
вместо (—у~т как это было бы в соответствии с правилом (5.68). Это было
причиной для изменения определения сферических гармоник, использо-
ванных многими авторами, например, в [12], где дополнительный фактор
$ добавлен к обычному выражению Д.ш. Тогда комплексное сопряжение
согласуется с уравнением (5.68), так как (г^)* = (—Необходимо быть
осторожным в использовании фазовых конвенций различных авторов.
5.7 Спиноры как кубиты
Квантовая информация и квантовые системы связи, одна из наиболее
быстро развивающихся областей применения для квантовой физики. Би-
нарная система построена из чисел 0 и 1 используется для классических
вычислений. Мы можем установить соответствие между этими двумя числа-
ми и двумя возможными состояниями у± спина 1/2 определена в некотором
представлении характеризующимся выбором осей квантования. Выбранное
представление обычно называется вычислительным базисом. Физическая
реализация спиноров не ограничена частицами со спином 1/2. Элемен-
тарная двойная система может быть реализована очень различающимися
физическими системами, которые имеют два квантовых состояний доста-
точно изолированных от других состояний; алгебра Паули универсальна.
Произвольное состояние спинора представляет собой суперпозицию (5.27)
и, следовательно, содержит одновременно обе возможности, 0 и 7, с раз-
личными вероятностями, которые могут быть выявлены при проведении
измерений. До того, как измерение сделано, мы можем манипулировать со
спинорами различными внешними полями сохранив оба возможных резуль-
тата. Расширяя эту идею на множество связанных спиноров, где в общей
сложности состояний возможны, мы бы манипулировали ими всеми
одновременно, необычайно сильно увеличивая вычислительную мощь. Ин-
дивидуальный спинор играет роль элементарного вычислительного блока,
квантового бита (кубита). Эволюция спинора(-ов) осуществляется за счет
применения унитарных операторов; как мы знаем из предыдущих разделов,
все они могут быть сведены к комбинации матриц Паули, и достаточно
рассмотреть их действие в вычислительном базисе. В унитарной эволюции,
норма волновой функция сохраняется — это именно то, что мы хотели бы,
для управления всеми квантовыми вероятностями одновременно.
Язык квантовых вычислений был создан под сильным влиянием матема-
тической информатики, хорошо развитой для классических компьютеров.
Унитарные операторы изменяющие состояния кубита называется логически-
ми вентилями. Самый простые классические вентилями — УОТ, которые
изменяют значение кубита на противоположное, 0 & 1. Для спинорам ис-
пользуемых в вычислительном базисе, аналогичная операция выполняется
матрицей Паули сгж,
<7Х ( а+а- ) = ( а-а+ ) . (5-71)
В частности, базисные состояния преобразуются как х± о х=р, как в
классическом компьютере. В информатике, вместо используются
обозначения X, У, У, но здесь нам не нужно отказываться от нашей старой
системы обозначений. Таким образом, ах может быть названа квантовым
И ОТ вентилем. Поскольку квантовое состояние любого спинора описы-
вается соответствующим вектором поляризации п(фд), иногда полезно
использовать эти углы, описывающая квантовые эволюции как движение
этого вектора Блоха по сфере единичного радиуса. Операция ах изменяет
0 —> 7Г — ф 2тг у.
Еще один широко используемый вентиль Адамара дается матрицей
д (; д)=д-+<5'72*
Из-за того, что и сгх антикоммутируют, Н2 = 1. Легко видеть, что
оператор ТС преобразует произвольные спиноры &+х+ + &-Х-, где исполь-
зован вычислительный базис с осью квантования г, в той же суперпозиции
сщХх+а-Х-х состояний, поляризованных вдоль оси жив противоположном
направлении.
Задача 5.13
Опишите действие вентиля Адамара на состояние ух в терминах вектора
Блоха на единичной сфере.
Идея возможных операций для системы из нескольких кубитов может
быть проиллюстрирована примером двух спиноров. У нас есть четыре
доступных комбинированных состояния, которые могут быть помечены, в
вычислительном базисе, как
1 + +), 1 + 4 1-+), I--)- (5.73)
Общая волновая функция этой системы в виде линейной комбинации
из состояний (5.73) не может быть выражена как произведение |%1) • |дд)
двух независимых волновых функций: подсистемы запутаны (подробнее
о запутанности будет сказано в последней главе, раздел IV. 15.1). Теперь
мы можем построить оператор называемый Контролируемый КОТ вен-
тиль^ или, короче, СКОТ (иногда также называется Контролируемый-Х),
действующий в четырехмерном пространстве (5.73):
/ 1 о о о \
Ту ( 1 0 \ _ 0 10 0
О СКОТ = л = А А А 1
у 0 сгх ) 0001
\ 0 0 1 о /
(5-74)
В этой матрице базисные состояния отсортированы в соответствии с
линией (5.73), а оператор не может быть представлена как произведение
операторов действующих независимо на первом и втором кубитах.
Назовем, с помощью обычного языка, первый кубит «управление» а
второй «цель». Теперь мы можем видеть, как оператор Vскот действует:
если элемент управляющий кубит находится в состоянии 7, что означает
|+)1, спин вверх, тогда Vскот не изменить состояние кубита-цели, так что
1++) => 1++), 1 + -) => 1 + -).
(5.75)
Более того,
Усыот\ + +) = Усыот ( Ю00 ) = ( 1000 ) = | + +), (5.76)
И
еСыот\ + -) = 11сыот ( 0100 ) = ( 0100 ) = I + -), (5.77)
В отличии от этого, если спин управляющего кубита направлен вниз,
| — )1, действие Искот переворачивает состояния кубита-мишени,
Сскот\ —0 = |-----Кскот\--------) = | —0- (5.78)
Используя один кубит контроля и несколько кубитов целей, можно ге-
нерировать произвольную эволюцию состояний кубита. Для этой цели, в
принципе, достаточно использовать СК О Твентиль и вентили, действую-
щие на единичные кубиты. По аналогии с СКОТ можно сконструировать
Контролируемую-!! операцию для произвольного унитарного оператора
V таким образом, что для состояния вверх кубита управления ничего не
изменится в целевых кубитов, в то время как для состояния вниз кубита
управления, операция V будет воздействовать на цели.
Задача 5.14
Покажите, что оператор
УзУРАР =
/ 1 о о о \
0 0 10
0 10 0
\ 0 0 0 1 /
(5.79)
обменивает состояния двух кубитов: в том же самом базисе (5.73)
^9идр|++) = | ++), —) = |—(5.80)
Поскольку квантовая информатика стала почти отдельной сложной и
быстро развивающаяся отраслью квантовой науки, мы не можем углуб-
ляться здесь в подробности оставляя продолжение для Дополнительной
литературы. Тем не менее имеет смысл упомянуть, что есть не только пре-
имущества квантовых вычислений, но и серьезные (не только технические)
проблемы.
Один из примеров может быть дан с помощью так называемой теореме
о невозможности клонирования квантового состояния [19]. В то время
как возможно сделать практически полную копию классического объекта
(«распечатать новую копию» любой, изначально подготовленной книги, на
том же принтере), в квантовой механике это не всегда разрешено. Простое
доказательство состоит в следующем. Попробуем сделать вторую копию
квантового состояния Мы имеем систему цели в произвольном на-
чальном (нормированный) состояние и наша задача заключается в
использовании унитарной эволюции С/, чтобы получить в качестве выход-
ного преобразования => 1'01)*- Затем состояние двух наших систем
развивается как
^1^1) • |«о)< = |«1) • (5.81)
Предположим, что нам нужно скопировать другое состояние, с тем
же копировальным аппаратом, С/,
^|^2) • |«(Д = |«2) • |«’2><- (5.82)
Поскольку эволюция унитарна, 17^17 = 1, и норма перекрытия сохраня-
ется,
м = 4<^оI • <^1• До){ = {До| • 1^2> • До){ = Ш• (5.83)
С другой стороны, мы знаем резулььтаты эволюции (5.81,5.82), так, что
_Л/”= 4(С^о| • (^1^2) 1^0)4 = 4(^1|^2Ы^1^2) =А/”2. (5.84)
Поэтому мы должны иметь А/ = 1 или 0, а это возможно только для
клонирования именно ортогональных состояний. Другими словами, если
процедура клонирования работает для двух различных состояний базиса
|01) и 102), оно не будет работать для их произвольной суперпозиции,
Д01 + /502)- точную клонирование не представляется возможным даже
для смешанных состояний описываемой матрицей плотности, раздел 47, а
не чистой волновой функцией. Только после полной декогеренции, которая
эквивалентна возврату к мир без когерентной суперпозиции состояний, мы
вновь приобретем точное классическое копирование.
Еще один аспект может быть упомянуты здесь. Физики работают в
поисках масштабируемых кубитовых систем с большим количеством со-
ставляющих, которые в принципе позволили бы нам насладится всеми
теоретическими преимуществами реалистичных квантовых вычислений.
Для того, чтобы передавать и обрабатывать информацию, т.е. выполнять
сложную работу, входящие в состав кубиты должны взаимодействовать.
Однако взаимодействие в системе многих тел, с высокой плотностью уров-
ней быстро приводит к квантовому хаосу многих тел, раздел IV. 14, когда
уже нет смысла говорить о квантовых состояниях отдельных кубитов. Вме-
сто этого мы можем прийти к чрезвычайно сложным волновым функциям
многих тел, которые сделают проблему распутывания необходимой ин-
формации неразрешимой. Это означает, что должны быть разработаны
специальные сложные схемы для изоляции кубитов и включения их взаимо-
действия только на короткие временные интервалы, когда это необходимо
для вычислений.
Глава б
Теория углового момента по существу очень
формальна. Её основными составляющими
являются некоторые разделы теории групп и
тензорной алгебры. На этих страницах,
однако, изложение гораздо менее абстрактно,
чем подразумевают эти грозные термины.
М.Е. Роуз, Элементарная теория Углового
Момента.
Конечные вращения и тензорные операторы
6.1 Матрицы конечных вращений
Любое вращение может быть представлено как экспоненциальная функ-
ция (1.2) от генераторов, компонент углового момента Л. Никакое из них
не может изменить величину Л: начиная с состояния \ЭМ} и совершая
различные повороты, мы всегда получим набор состояний с разными М
(различные ориентации конуса прецессии) и тем же самым Л. Поэтому
любое состояние \ЭМ) преобразуется при вращении 7^ в суперпозицию
состояний, принадлежащих тому же мультиплету \ЭМ}. Математически
это может быть записано как
« = (6.1)
М'
где
= ЛМ'ЛОМ) (6.2)
есть матричные элементы конечных вращений 7^ в данном представлении.
Здесь мы учли, что состояния \ЭМ) с разными величинами М ортогональны
и считали, что они нормированы, (1.48). Унитарность вращений (1.4) влечет
унитарность матриц (6.1),
Р-7(Р-7)1' = (рДр-7 = 1, (6.3)
или, в явном виде для матричных элементов,
52 = 8КК>, 52= ^М'М. (6.4)
м к
Рис. 6.1. Иллюстрация к Задаче 6.1
В задачах 5.9, 5.10 мы рассчитали эти матричные элементы для спина 1/2;
они образуют матрицу
Задача 6.1
Для системы с угловым моментом У, найти перекрытие |(/|// волновых
функций и с максимальными проекциями Д = Д/ = У, если угол
между осями ги / равен у, Рис. 6.1. Рассмотрите предел очень больших
У.
Решение Рассматриваемые функции связаны вращением 7?^ (у) на угол
у вокруг оси у, перпендикулярной к плоскости (гУ). Соответствующая
Р-матрица обычно обозначается как с/(у). Для нашей задачи,
('Фм\'Фм/') = (1мм'(Ч (б-5)
Используя представление Швингера, мы видим, что для М = ЛД = У
все 2.] составляющих спина ориентированы одинаково, так что нам нужно
повернуть их все,
ЧгЛЧ = [с°8 (/] • (6-6)
В пределе 5 1 это выражение становится очень малым (произведение
очень большого числа перекрытий отдельных спинов). Перекрытие может
стать заметным только для очень близких направлений, у\/7 1, как
ожидается при переходе к классическому случаю.
На алгебраическом языке, матрицы (6.2) дают унитарное представление
группы вращений размерности (27 + 1). Это означает, что для враще-
ния, выполняемого в два приема, 7^ = 7^2 7^1, соответствующая матрица
(6.2), /Х(Т^) есть произведение матриц, представляющих индивидуальные
вращения, взятых в том же порядке,
гДтг) = п-/(7г2)р-/(7г1). (6.7)
Все геометрические свойства вращений однозначно отражены в соотно-
шениях между соответствующими матрицами. Поэтому единичная матри-
ца соответствует вращению на нулевой угол, а для обратного вращения
^^(Т^-1) = (I?*7 (7?/))-1. Матричный элемент удовлетворяет соотношению
= Щ(тг<,м = Б-УмЦЦ (6.8)
Представление И*1 неприводимо: мультиплет \ТМ) размерности 27 + 1 не
содержит никакого подмножества состояний, которое преобразуется само
через себя при всех вращениях. То обстоятельство, что унитарные пред-
ставления являются многомерными, за исключением случая скаляра 7 = 0,
есть следствие некоммутативности генераторов (группа 8Ы(2) неабелева).
Как мы помним, унитарные представления абелевых групп, например,
группы трансляций, одномерны.
Конечные вращения могут быть параметризованы различными способами
как непрерывные функции углов. Две часто используемые параметризации
есть (1) в терминах оси поворота п(0, р) и угла а поворота вокруг этой оси,
и (п) при помощи углов Эйлера [4], в этом случае Р-матрицы называются
функциями Вигнера. В любом случае, вращения трехмерного пространства
требуют для своего описания трёх независимых углов [в (/-мерном про-
странстве число независимых плоскостей вращения равно д(д— 1)/2, числу
генераторов 7& группы вращения 80(Ф)]. Мы увидим, что сферические
функции Уцп можно рассматривать как частный случай матриц конечных
вращений.
6.2 Сферические функции как матричные элементы
конечных вращений
Сферические гармоники У^т(п) есть волновые функции состояний \Ст)
(описываемых в системе координат с фиксированной осью квантования) в
координатном представлении,
Тет(п) = (п\1т). (6.9)
Рис. 6.2. Вращение, определяющее сферическую функцию
Пусть К есть вращение, Рис. 6.2, которое переводит вектор оси кванто-
вания в новое направление п,
= п(0, (/?). (6.10)
Вращение 7^-1, обратное к (6.10), действуя на состояние |^т), переводит его
в суперпозицию состояний мультиплета в соответствии с общим правилом
(6-1):
яДМ = (6.11)
гп/
Координатное представление этого равенства получается проектированием
вектора по локализованного состояния,
(по^Дм = 52<,т(тг-1)(п0|М = ^пД^тгДу.Щпо). (6.12)
тп' тп'
Используя унитарность вращений, запишем левую часть этого равенства
как
(поД-Дт) = Дп0|М = У^(7гпо). (6.13)
Направление по произвольно. Беря значение функции в направлении по-
лярной оси, по —> е^, мы приходим к У^т(7^е^), т. е. сферической функции
исходных углов 0, (/?, (6.10). В правой части равенства (6.12) мы можем
использовать результат (1.143) для У^т/(еД. Это приводит к искомому
соотношению
хип) = аДД ДитгД = (6.14)
V 4л V 4л
где Р(7^-1) есть матричный элемент вращения, который, в противопо-
ложность (6.10), поворачивает вектор п в направлении полярной оси, а
второе равенство использует связь между Р(Т^) и Р(7^-1) = (7^), см.
(6.8). Полиномы Лежандра (16.141) вещественны и
рдО80) = = <(п (6.15)
Как уже упоминалось ранее, общее трёхмерное вращение задается тремя
углами. Сферические функции связаны с особым типом вращений (6.14),
и зависят от двух углов; полиномы Лежандра зависят только от одного
угла. Это можно понять, пользуясь физической интерпретацией сфериче-
ских функций как описывающих угловую часть одночастичных волновых
функций ^(г) = В соответствии с нашим выводом, сферическая
функция относится к амплитуде вращения, которое связывает направление
г с осью квантования. Можно сказать, что вектор г является единственным
направлением в пространстве, которое выделено наличием в нём части-
цы. Следовательно, естественно выбрать это направление в качестве оси
квантования. Для того чтобы сделать это, нужно, в противоположность
Рис. 6.2, сначала повернуть вектор г на угол — вокруг лабораторной
(произвольной) г-оси в жг-плоскость, а затем на угол —9 вокруг оси у.
Эти два вращения отвечают оператору в равенствах (6.14) и (6.15).
Третий угол, отсутствующий в этом преобразовании, описывает вращение
вокруг оси г, которое не меняет любые физические величины, и, следова-
тельно, оказывается избыточным. Ситуация меняется в многочастичном
случае, когда возможно связать три оси с переменными системы и опре-
делить таким образом внутреннюю, связанную с телом систему координат,
в отличие от внешней, связанной с пространством системы координат.
Преобразование между этими системами играет важную роль в молеку-
лярной и ядерной физике, когда приходится иметь дело с несферическими
объектами. [?,16].
Задача 6.2
Выберем в многочастичной системе три ортогональных вектора к =
1,2,3, которые являются функциями переменных частиц и образуют правую
тройку, [е^ х е^] = (например, но необязательно, они могут быть
естественным образом связаны с главными осями плотности распределения).
Введем три скалярных произведения,
Т = (д.е0Д (6.16)
проекции полного углового момента вдоль внутренних осей. Докажите, что
1к коммутирует со всеми компонентами Д, и найдите )2 и коммута-
торы [Р, 1к].
Решение Компоненты 1к являются скалярами, поскольку векторы вра-
щаются вместе с системой. Сумма квадратов этих величин равна квадрату
углового момента,
У2(Щ2 = Л2 = Д<7+1), (6.17)
к
где последнее равенство даёт математическое ожидание для собственного
состояния Л2. Коммутатор даётся соотношением
[Р,1к] = -г^ы11, (6.18)
с обратным знаком по сравнению с обычными компонентами Д. углового
момента в лабораторной системе координат.
Р-функция в (6.14) зависит от квантовых чисел т и 0, что соответствует
преобразованию между лабораторной системой (проекция орбитального
момента ш) и внутренней системой, в которой проекция орбитального
момента на новую полярную ось, в направлении г, исчезает. Действительно,
имеем тождественно
(1 • г) = (г • 1) = 0. (6.19)
Это кинематическое ограничение запрещает вращение вокруг г, оставляя
только два угла динамическими переменными. Конечно, точно такую же
ситуацию имеем и в импульсном представлении,
(1 • р) = (р • 1) = 0. (6.20)
Задача 6.3
Установите ортогональность матричных элементов конечных вращений,
рассматриваемых как функции углов поворота,
= даз'$кк'5мм' 9 т . • (6.21)
и “I-
Здесь интегрирование производится по всем возможным направлениям,
описываемым тремя углами. Это дает множитель 8л2 («объем» группы
вращений), например, 4л для различных вариантов выбора направления
оси вращения и 2л для возможных поворотов вокруг этой оси; тот же
объем возникает при параметризации с помощью углов Эйлера.
Решение Повторим вывод гл. 8.12, используя интегрирование по углам
вместо суммирования по элементам группы; размерность представления
есть п = 27 + 1. Как частный случай, отсюда следует ортогональность
сферических функций У/П1 и полиномов Лежандра (а также полнота П-
функций как функций параметров группы).
6.3 Теорема сложения
Часто приходится иметь дело со скалярной функцией от угла у между
двумя направлениями, п(0, (/?) и (//). Будучи скаляром, такая функция
зависит только от скалярного произведения (п-п7) и может быть разложена
с помощью полиномов Лежандра Р^(со8д), где
сое у = (п • пх) = 8Ш в 8Ш в' сое((/? — (//) + сое в сое в'. (6.22)
В то же время, рассматривая Р^(соед) как функцию отдельно углов п или
п7, мы можем записать её в виде ряда по 1фт/(п) или Ур^Дп7). Однако
функция в целом, а также скалярное произведение (п • п7) инвариантны
при одновременных поворотах пип7. Беря вращение, в котором вектор
п7 направлен по г, мы можем представить Р^(п • п7) как сферическую
функцию Ущ(п). Это означает, что как функция п, исходная функция
двух единичных векторов преобразуется по представлению с орбитальным
моментом I. Поэтому ряд может содержать только функции У^/т/ с У = I.
Ситуация симметрична для пип7, так что разложение должно иметь вид
Л(п • п') = 52 <т,У^(п)У^(п'). (6.23)
тт'
При общем вращении п и п7 на угол /3 вокруг полярной оси функция
(6.23) не меняется, но каждое слагаемое приобретает фазу ехр[—г(т + т7)/3].
Следовательно, фактически имеются только члены с т' = — т, как это
можно видеть также из (6.22), так как функция зависит от разницы р —
а не от углов р и р’ по отдельности. Используя (16.90), мы получаем
РХп • п') = 52 4Ы«п') (6.24)
т
с новыми коэффициентами = (—)тА^т_т.
Мы всё ещё использовали не все следствия инвариантности (п • п7) отно-
сительно вращения. Применим произвольное вращение одновременно
клип7. Принимая во внимание унитарность Ш и правило преоб-
разования (6.11), мы имеем
уЩ7г-1п) = (п-ТЩг) = (п|тг|М = Е ^дадЦп). (6.25)
м
Произведя те же самые преобразования для сопряжённой функции в (6.24),
мы получаем
РЛ1 • п') = 22 ^^т(д)^т(тг)у^(п)У4,(п'). (6.26)
т////
Теперь сравним этот результат с выражением (6.24) для той же функции
до вращения. Сферические функции линейно независимы. Переобозна-
чая в (6.24) ш Чд / и сравнивая выражения, получаем соотношение для
коэффициентов
22 (6.27)
т
где К всё ещё произвольно. Очевидно, что решение В*т = В^ не зависит от
ш, потому что (6.27) есть не что иное как соотношение унитарности (6.4).
Это решение единственно, так как (6.27) может быть записано в матричной
форме В(К)ВВ\К) = В, где В есть диагональная (в ш-представлении)
матрица с элементами В^. Благодаря унитарности Р^(Т^) = Р-1(7^), что
означает, что матрица В коммутирует со всеми матрицами В (ГГ) непри-
водимого представления, В (IV) В = В В (IV). Такая матрица должна быть
пропорциональна единичной матрице (так называемая лемма Шура, гл.
8.12), т. е. матричные элементы В^ с данным все равны. Постоянная
В^ может быть найдена, например, если выбрать п7 вдоль оси г. Тогда
обе части (6.15) должны дать Р^(сое0). Используя (16.141) и (16.143), мы
видим, что В^ = (2^ + 1)/4тг. В конечном итоге, мы получили теорему
сложения для сферических гармоник,
Ре(п п') = 22 У^(п)у;т(п'). (6.28)
“I- _1_
т
В частности, для совпадающих пип7,
Ет,„(п)|з = (6.29)
' 47]-
т
Заметим также, что для единичных векторов равенство (6.22) есть просто
частный случай теоремы сложения (6.28) для 7=1. Мы провели вывод
во всех деталях для того, чтобы показать силу соображений симметрии,
которые позволили нам избежать явных вычислений. Теорема сложения
(6.28) позволяет нам переписать разложение плоской волны (17.106) в
форме(17.98), симметричной по к и г,
СЩк) = 4тггТдДпк), пк = ^, (6.30)
ег(к-г) = 47Г ггУ;т(пк)У,т(п);ХМ- (6.31)
От
6.4 Преобразование операторов
Напомним (гл. 6.9), что если векторы состояний \ф} преобразуются при
помощи унитарного преобразования П в \ф') = П\ф) и операторы О преоб-
разуются по правилу
б^б' = иби~\ (6.32)
то все физические амплитуды не меняются,
= <^2|<+1>- (б.зз)
Это означает, что новые операторы б' действуют после преобразования
точно так же, как старые операторы О до преобразования. Другими сло-
вами, в применении к вращению I/ = 7^, операторы повернулись вместе с
системой, так что физические измерения с помощью повёрнутых приборов
дали те же самые результаты.
Операторы можно классифицировать по их поведению при вращениях
точно так же, как векторы состояний были разбиты на мультиплеты в
соответствии с их трансформационными свойствами. Про набор 27+1
операторов Тфм, где 3 есть целое или полуцелое и М = -7,-7 + 1,... .3\
говорят, что они образуют тензорный оператор ранга 7, если операторы
набора преобразуются при вращениях по таким же правилам (6.1), как и
векторы состояний |7М),
Ом' мР^м' • (6.34)
М'
Для целого 7 = 7 тензорные операторы должны преобразовываться
как сферические функции У^т. В случае бесспиновой частицы тензорные
операторы ТДДг), которые являются функциями координат, должны иметь
такую же угловую зависимость, как У^т(п),
Лт(г) = ^(г)УЩп), (6.35)
где множитель АД г) одинаков для всех т. В этом случае легко проверить
непосредственно, что правило преобразования (6.34) сохраняет амплитуды,
равенство (6.33). Действительно, как мы знаем из (4.65), преобразование
(6.34) для функции от координат (6.35) должно давать Дт(7^-1п). [Напом-
ним, что здесь мы преобразуем оператор; первый множитель К в левой
стороне равенства (6.34) преобразует только Т/м и сокращается с 7^-1,
так что все функции после Тдм не затрагиваются]. Преобразованный мат-
ричный элемент будет отличаться от оригинала просто заменой угловых
переменных п 7^-1п под знаком интеграла, что не может изменить
интеграла. То же самое справедливо для функций импульса, которые будут
пропорциональны У^т(пр), где пр = р/|р|.
Задача 6.4
Покажите, что для любой пары А^ш и В^ш тензорных операторов одина-
кового ранга I свёртка^ образованная по такому же правилу суммирования
как (16.120),
5 = Е(-гл^_т, (б.зб)
т
есть скаляр (инвариант вращения).
В соответствии с разделом 1.8, любой векторный оператор есть тензор
ранга 1. Далее векторы подразделяются по поведению по отношению к
пространственной инверсии. Вектор координаты п есть пример полярно-
го вектора. Его компоненты, как и сферические функции У1т,изменяют
знак при пространственной инверсии. Любой оператор углового момента Л
ведёт себя как вектор при вращении, но как псевдовектор при инверсии
(аксиальный вектор).
Задача 6.5
Докажите, что спиновый угловой момент ведёт себя точно так же (псев-
довектор), как орбитальный момент: его компоненты преобразуются как
у вектора при вращении, сохраняя тот же знак при пространственной
инверсии.
Решение Пространственная инверсия не действует на спиновые операторы.
По отношению к вращениям, в соответствии с общим законом преобразова-
ния, преобразованный вектор спина есть
(6.37)
Подставляя оператор спина 7^п(а) из (20.17), мы получаем
1 8х = -[сой(«/2) — г(<т • п) йт(а/2)]а[сой(а/2) + г(сг • п) §т( а/2)]. (6.38)
Как и ожидалось, проекция спина на ось вращения п не меш тется,
(п • ё') = (п • 8')Пп(а')П~1(а') = (п • ё). (6.39)
Чтобы упростить выражение (6.38), мы используем алгебру м; (20.14). Например, для произведения трёх сг-матриц, это даёт атриц Паули
(ТуСрОр = фуСГ/с + (5д Здк&г 4" ^дгк' (6.40)
Конечный результат есть
= -{ср сой а — [п х сфйша + 2пфп • <т) йт2(а/2)}, (6-41)
или, в векторной форме
8х = 8 сой а — [п х з] 8та + п(п • а)2йт2 —. (6.42)
Это правильное преобразование вектора при конечном вращен предел малых а, получите для п = ии; возьмите
= 8Х + ОС8у^ 8у = 8у — О!.8Х, 8% — 8%, (6.43)
и сравните это с преобразованием координат, гл. 16.1. Если на: оператор преобразуется так же, как в (6.43), он будет соответсз рению такой же величины после вращения, в соответствии с о (6.33) преобразования операторов. Это преобразование являет и векторный гвовать изме- пределением ся обратным
к преобразованию вектора в (16.16).
6.5 Введение в правила отбора
Тензорные свойства операторов играют важную роль в расчётах физиче-
ских амплитуд, пропорциональных матричным элементам (^л2м2 \^м\'Фч1м1)-
Для заданных начальных и конечных мультиплетов состояний, мы имеем
здесь + 1)(27 + 1)(2Т1 + 1) различных матричных элементов. Одна-
ко, как мы увидим позже, только одно число имеет отношение к физике.
Остальные не зависят от природы системы, полностью определяясь гео-
метрическими соображениями. Некоторые матричные элементы исчезают
благодаря осевой симметрии состояний и операторов, другие оказываются
тесно взаимосвязаны.
Простейшие правила отбора могут быть установлены непосредственно из
определения тензорных операторов (6.34). Рассмотрим бесконечно малый
поворот на угол 5а вокруг оси п. Соответствующий оператор есть К =
1 — г (Л • п)5сц (16.1). Удерживая линейные члены в 5а, выразим левую
сторону (6.34) через коммутатор тензора Тдм с угловым моментом,
тгДмтг-1 = рм - • п),рм]. (6.44)
В данном представлении матричные элементы этого вращения есть
ОРм(Л) = $М'М - гдарм'р п)| 7М). (6.45)
Так как направление оси п является произвольным, формулы (6.44) и
(6.45) приводят к соотношению коммутации, действительному для любого
тензорного оператора
[Д, Рм] = У (<7М'| р ОМ)рм>, (6.46)
М'
где Тш может быть и декартовой, и сферической компонентой.
Для X = То компоненты в (6.46) имеем
[Л ,Рм] = Мрм. (6.47)
Это типичное лестничное соотношение, см. раздел 1.11.6. Мы заключаем,
что, действуя на состояние с определенной г-проекцией полного углового мо-
мента системы, тензорный оператор Тдм увеличивает эту проекцию на М.
Мы получили простое правило отбора: в переходах (а2^М2\Т^\(гКМ1),
где П1 и ад обозначают все дополнительные (не относящиеся к вращениям)
квантовые числа, единственными отличными от нуля амплитудами будут
такие, для которых Д 7^ = М2 — = М,
Тщ : АЛ = М. (6.48)
Наши обозначения в уравнениях (16.99) для сферических компонент векто-
ров согласуются с этим общим правилом. Результат не зависит от конкрет-
ных величин 71, 7д и дополнительных квантовых чисел сд, ад.
Повышающая, т = +1, компонента соотношения (6.46) содержит в
правой части только член М' = М + 1. Мы видим, что произведение
операторов 7+1, имеющих правило отбора ДТ^ = +1, и Тмм, создаёт
новый оператор с ДТ^ = М + 1. Для понижающей компоненты в (6.46)
т = — 1 и Д7^ = М — 1. В произведении операторов правила отбора для
проекции просто складываются алгебраически. Позже мы увидим, что
для абсолютной величины углового момента ситуация более сложна.
В применении к векторному оператору, Т±м -л Ум, общее соотношение
(6.47) даёт [Эг,У±1] = ±Р±1- Очевидно, вращение вокруг оси г не меня-
ет г-компоненту вектора, [Эг,Уг] = 0. В декартовых координатах такие
соотношения эквивалентны коммутаторам, сравните с задачей 1.4-5,
[Л, Г/] = геЫпСп (6.49)
что обобщает алгебру углового момента (16.21) на произвольный вектор.
Все эти правила коммутации имеют чисто геометрическое происхождение
и, следовательно, универсальны, будучи справедливыми независимо от при-
роды или поведения при инверсии тензорного оператора. Они могут быть
получены с помощью простых наглядных образов вращающихся векто-
ров, хотя данная выше формулировка является более общей. В частности,
соотношение (6.49) эквивалентно соотношениям (6.41) и (6.42), взятым
в пределе малых углов, где спин 8 должен быть заменен произвольным
вектором V.
6.6 Электромагнитные мультиполи
Электромагнитные мультиполи дают один из наиболее важных примеров
тензорных операторов. Они возникают в электродинамике в результате
мультипольного разложения полей, создаваемых ограниченной системой
зарядов и токов.
Рассмотрим систему точечных классических частиц с электрическими
зарядами еа, находящимися в точках га, Рис. 21.3. Электростатический
Рис. 6.3. Электростатический потенциал за пределами системы зарядов
потенциал этой системы, измеряемый в точке г даётся законом Кулона,
"(г) = ?кЛп-
Функция
1 _ 1
|г —г'| д/г2 + г'2 — 2гг' сое у
(6.50)
(6.51)
зависит от длин г, Г двух векторов и угла у между ними, а не от углов
векторов г и г7 по отдельности. Если г ф г7, эта функция не имеет особен-
ностей и может быть выражена с помощью бесконечного разложения в ряд
по полиномам Лежандра, с коэффициентами, зависящими от г и г7,
—л = уз л(с°8 7)/дУ)-
(6.52)
^=о
Электростатический потенциал (6.52) как функция от г удовлетворяет
уравнению Лапласа всюду, за исключением особой точки г = г7. Два
линейно независимых решения уравнения Лапласа для угловой симметрии,
задаваемой сферической функцией У^т, есть г^У^т и как следует
из (17.51,52). Теорема сложения (6.28) показывает, что полином Лежандра
в (6.52) есть суперпозиция сферических функций У^т(пг). Следовательно,
Д может зависеть от г как И, либо как и мы можем переписать
(6.52) как
= у2рхсо8 7){гУУ) +
1 1 е
Функции и 1ц определяются, с точностью до постоянных множителей,
размерностью общего выражения 1/[длина], так что
= (6-54)
1 1 Е
Рассматривая (6.52) для частного значения у, а именно для параллельных
векторов, сое у = 1, когда все = 1, мы получаем
-1 / //
|г _ г/| = 2-/ (д д+т + Д+1) • (6.55)
Из-за особенности при г = Р нам нужно рассмотреть две области. Если
г > Р,
Это значит, что в области г > Р мы имеем = 1 и = 0. Этот результат
вполне естественен, потому что мы можем положить /7 л 0 и получить
нефизическую особенность в сумме, содержащей д[ в (6.55). Аналогично,
мы должны положить = 0 и = 1 для г < Р. С естественными
обозначениями г< и г> для меньшего и большего из этих двух радиусов,
соотношение (6.54) принимает форму
ТТ^ = Ещтр^СО8^- (6-57)
В приложениях мультипольного разложения обычно рассматривают
потенциал (6.50) вне системы, т.е. в точке г с г > га. В этом случае
мы можем использовать разложение (6.57) и теорему сложения (6.28), и
получить
Дг) = Е 2/+ 1 гД1У^(п)-Ч(Ж»г)- (6.58)
Ып
Здесь электрический мультииольный момент ранга I = 0,1,... определён
для системы точечных зарядов а = 1, 2,..., А как набор (2^ +1) величин
А
М(ЕСт) = ^еагЩт(па), т = -I + 1,..., Н, (6.59)
а=1
где сумма берётся по всем зарядам еа, расположенным в га = (га, да. Га) =
(га,па). Точно таким же образом можно определить, вместо моментов для
распределения зарядов, мультипольные моменты для любой аддитивной
характеристики частиц, например, для распределения массы еа => та.
В квантовой теории мультипольные моменты следует рассматривать как
операторы, действующие на переменные частиц. Оператор М(Е^т), со-
держащий явно сферические функции, обладает свойствами, необходимыми
для тензорного оператора ранга I. Вводя оператор зарядовой плотности
НТ = ЕеаНТ ~ (6-60)
а
мы приходим к более общему выражению для мультипольного момента,
Л4(Е^,т) = 73г р(г)г^т(п), п =-. (6.61)
При записи в таком виде нет даже необходимости делать предположение о
существовании точечных частиц в системе; например, в ядре заряженные
пионы и другие переносчики ядерных сил включаются здесь вместе с
нуклонами, если р(г) есть полный оператор плотности электрического
заряда. Как и ожидалось, мы можем разделить геометрию мультипольных
операторов и их динамическую природу. Из любого распределения р(г),
оператор (6.61) извлекает неприводимый тензор ранга т.е. выделяет часть
с определёнными свойствами относительно вращения.
Наименьший мультипольный момент И = 0 есть монополь. Он определяет
скалярную часть, полный электрический заряд Ее,
1 1 Г 1
М(Я0,0) = = — / Тгр(Т = ^=^е. (6.62)
V 4 л V 4л 7 V 4л
Следующий член, И = 1, определяет вектор дипольного момента
а = У2еага= [ Лгр(г)г. (6.63)
а
Принимая во внимание соотношение (16.100) между векторами и сфериче-
скими функциями ранга I = 1, мы получаем
М(Я1, т) = \ V еага(па)т = \д,т. (6.64)
V 4л *—' V 4л
Следующие члены мультипольного разложения определяют квадруполь
(^ = 2), октуполь (^ = 3), гексадекаполь (^ = 4) и высшие моменты.
Физические свойства квадрупольного тензора (16.129) играют важную
роль в молекулярной и ядерной структуре.
Аналогичным образом можно определить магнитные мультиполи ш),
связанные с распределением токов. Конвекционный ток, связанный с ор-
битальным движением, и ток намагниченности, генерируемый спиновыми
магнитными моментами, определяют соответствующие вклады в магнит-
ный мультипольный момент ранга I [?],
+ ^у5а4) • V(^Щт(па)У (6.65)
а
Здесь и означают спин и орбитальный момент частицы а, соответ-
ственно; и Уа есть соответствующие гиромагнитные отношения. [Мы
всегда измеряем все угловые моменты в единицах /I, а гиромагнитные
отношения уа в магнетонах еК/ (2тас}\. Выражение (6.65) зануляется при
I = 0, показывая, что магнитных монополей не существует. При 1 = 1 мы
приходим к сферическим компонентам рП1 магнитного момента у,
М(М\,т) = а/А р,т, (6.66)
V 47г
Д = + &) (6.67)
а
Члены высшего порядка определяют магнитный квадруполь, И = 2, маг-
нитный октуполь I = 3, и так далее.
Когда я считаю, нас двое, ты да я
вместе.
Т.С. Элиот, Бесплодная земля, пер. Я.
Пробштейна
Глава 7
Сложение угловых моментов
7.1 Две подсистемы
При вычислениях часто приходится иметь дело с угловым моментом,
общим для нескольких составных частей или подсистем одной системы.
Прототипом этого является задача двух тел.
Рассмотрим две подсистемы с моментами и Общее квантовое про-
странство содержит (1 = (2^'1 + 1)(2<72 + 1) состояний, полученных путем
комбинаций различных членов мультиплетов 1л Ш1) и с проекци-
ями Ш1 = —.71,...,71 и Ш2 = — 725---572? соответственно. Эти базисные
состояния могут быть определены как
|лт1;^2т2). (7.1)
Если подсистемы не взаимодействуют, все четыре квантовых числа 71,72, ^1, иг2
сохраняются (мы предполагаем инвариантность относительно вращений
для всей системы). Тогда удобно использовать базисные состояния неза-
висимых подсистем. Каждая система может вращаться по отдельности
при помощи операторов угловых моментов 31 и 32, генерирующих соот-
ветствующие преобразования. Можно вообразить себе картину отдельной
прецессии составляющих угловых моментов вокруг общей оси квантования,
несвязанное представление, Рис. 22.1а.
Мы можем описывать систему по-другому, изучая её поведение при
общем вращении, когда подсистемы вращаются вместе. Генератор таких
вращений есть полный угловой момент
= Л1 + 32- (7.2)
В предыдущей картине отдельных прецессий оператор Л не имеет опреде-
лённого значения, так как результат сложения векторов (7.2) зависит от
Рис. 7.1. Представления сложения двух векторов: несвязанное (а) и
связанное (6)
мгновенной взаимной ориентацииД и32- Состояния (7.1) есть суперпозиции
состояний с различными определёнными значениями Л2. В случае взаимо-
действующих подсистем отдельные вращения в общем случае нарушают
структуру, что делает состояния (7.1) нестационарными, в то время как
общие вращения сохраняют внутреннюю структуру. Поэтому более удобно
описывать состояния квантовыми числами 7 и М, относящимися к гене-
ратору (7.2) общих вращений (связанное представление, Рис. 22.16), хотя
оба описания используют полный набор состояний, будучи, следовательно,
математически эквивалентными.
По отношению к общим вращениям, когда относительная ориентация
подсистем не затрагивается и они вращаются как целое, полный набор
состояний (7.1) приводим. Любая возможная относительная ориентация
будет порождать мультиплет | Л7И) состояний, преобразующихся только
сами через себя при произвольном вращении. Это показано на Рис. 22.16:
сначала мы определяем относительную ориентацию и соответствующий пол-
ный угловой момент Л (угловые моменты подсистем прецессируют вокруг
Л), а затем разрешаем всей конструкции вращаться вокруг фиксированной
в пространстве оси квантования, что определяет общую проекцию М. %-
проекции Ш1 и Ш2 перестают сохраняться (но абсолютные значения и
7'2 всё ещё сохраняются, потому что мы не меняем внутреннюю структуру
подсистем), так что мы получаем новый набор состояний
Ы2; ЛМ), (7.3)
которые образуют мультиплеты, неприводимые при произвольных враще-
ниях. Для отдельных угловых моментов подсистем действительной осью
квантования становится теперь ось полного вектора Л. Действительно, как
видно из квадрата равенства (7.2), состояние (7.3) имеет определённые
проекции
7(7 + 1) + л (л + 1) - л(л + 1)
(7-4)
и аналогично для 02 - Л).
Относительные ориентации, допускаемые в квантовой механике, кванто-
ваны в пространстве. Следовательно, возможный полный импульс 7, (7.2),
может принимать лишь конечное дискретное множество (положительных)
значений. В любом случае, набор новых состояний (7.3), где каждый муль-
типлет содержит 27+1 членов, должен быть таким же полным, как и
прежний набор (7.1), так что их размерности должны совпадать:
7 = ^(27 + 1) = 7172 = (2л + 1)(2л + 1). (7.5)
Л
Задача 7.1
Частица со спином в = 1/2 и орбитальным угловым моментом Е может
быть описана, в связанном представлении, общим угловым моментом
] = /+ 8. (7.6)
Найти возможные значения полного углового момента
Решение Возводя в квадрат определение (7.6), получаем, что
;•(; + 1) = Д + 1) + 5(5 + 1) + 2(Т 8) = Д + 1) + | + (Г 7). (7.7)
Используя результат Задачи 20 Д мы имеем две возможности, параллельной
и антипараллельной ориентации спинов относительно орбитального момен-
та. Соответственно, равенство (7.7) определяет два возможных значения
полного углового момента, ;0' + 1)=Л + 2^+| И 7Ц + 1)=^-1 Полнота (7.5) выполняется: - (7.8) •7=^-/ (7-9)
(/ = 2(7+-) +1 + 2 р--) +1 = 4^ + 2 = 2(2^+1). (7.10)
Рис. 7.2. Гильбертово пространство двух связанных мультиплетов
7.2 Разложение приводимых представлений
Для общего случая двух произвольных подсистем мы должны найти
все неприводимые представления, которые, взятые вместе, в связанном
представлении растягивают всё пространство (7.1). Это может быть сдела-
но с помощью простой конструкции, которая эквивалентна стандартной
процедуре нахождения характеров представлений в теории групп (следов
матриц
Расположим все базисные состояния несвязанного представления (7.1)
в х ^2 таблице Рис. 22.2, которая имеет д± столбцов, пронумерованных
числом Ш1, —Д < Ш1 < Д, и Д строк, пронумерованных г/д — Д С С
Д. Для определённости будем считать, что Д Д. Каждое состояние
(клетка таблицы) имеет определённое значение
М = Ш1 + Ш2 (7.11)
полной проекции Д = Д^ + Д^, равенство (7.2). Любое состояние \ЛГГ/
набора (7.3) будет суперпозицией состояний, лежащих на диагональной
линии, соответствующих данному значению М (7.11). Число квадратов на
этой линии равно числу мультиплетов (7.3), которые имеют это значение
проекции, т.е. с угловым моментом У М.
Начнём с верхнего правого угла, М = Д +Д. Это максимально возможная
полная проекция. Она строится однозначно (параллельность составляющих
моментов). Существует только один мультиплет, где присутствует это
значение М, дающее максимальную проекцию, так что это состояние имеет
наибольшее возможное значение 7тах = Мтах = Д + Д- Этот наивысший
мультиплет должен также содержать все другие члены, М = У — 1, У —
2, • • • , -</ = -(л + л)-
Давайте перейдем к следующей диагональной линии М = 7тах — 1- Име-
ются два таких состояния. Они могут образовывать две линейно независи-
мых комбинации. Одна из них принадлежит наивысшему мультиплету, как
было упомянуто в предыдущем абзаце. Эта комбинация |7тах М = Лпах-1)
может быть получена действием понижающего оператора
Л=Д+Д (7.12)
на максимально упорядоченное состояние (напомним, что компоненты Л
действуют только внутри мультиплета). В соответствии с (16.49) и (16.51),
результат может быть записан в виде симметричной комбинации
д/2Д |л Л - 1; лл) + д/ЯД |ЛЛ5 Л Л - 1)- (7.13)
С другой стороны, это должно быть равнозначно действию полного Л_,
7-|7 = 71+72 М = 71+72) = \/2(л + л) |7 = 71+72 М = л+л-1). (7.14)
Сравнение двух последних выражений даёт
1+ = 71+72 м = л+л-1) = 4 . 171 . |лл-1;лл)+л . 7 . |лл; л л-1)
У Л + Л У Л +72
(7-15)
Вторая возможная комбинация вдоль той же короткой диагонали с М =
Л + Л — 1 является наивысшей для второго мультиплета. Поэтому мы
открываем новый мультиплет, то есть значение полного углового момента
7 = Л + Л — 1 также возможно. Это состояние с другим У должно быть
ортогональным состоянию (7.14), хотя они имеют одно и то же значение
М. Используя ортогональность, мы находим
1+ = 71+72-1 М =71+72-1) = 1/ . . |7171-1;7272)-1/ . . |Л71;ЛЛ-1)-
У 71+72 У 71+72
(7-16)
Здесь мы можем добавить дополнительные произвольные фазы, например,
изменить общий знак —, это вопрос соглашения.
Следующий шаг на пути вниз обнаруживает три состояния с М =
Л + Л — 2. Две из трёх комбинаций принадлежат предыдущим мультипле-
там, а третья открывает новый мультиплет 7 = Л + Л — 2. Эта процедура
является очевидной и регулярной. Каждый шаг к более низкой диаго-
нальной линии добавляет новый мультиплет с постоянно уменьшающимся
угловым моментом. Это произойдет в последний раз, когда мы достигнем
диагонали, соответствующей М = ^ — ^2. На этом шаге мы открываем
мультиплет с наименьшим возможным угловым моментом +т1п = — 32-
После этого количество возможных проекций М не увеличивается, что озна-
чает, что мы не встречаемся с новыми мультиплетами, а просто заполняем
имеющиеся. Наинизший мультиплет будет заполнен на линии, проходящей
через левый верхний угол таблицы. Позже на каждом следующем шаге мы
завершаем один из мультиплетов, пока не придём к левому нижнему углу
с только одним состоянием М = — Мтах = — ^2, которое завершает
наибольший мультиплет 3 = + д2-
Мы можем подвести итог этого упражнения, сказав, что возможные
значения полного углового момента 3 при сложении векторов подсистем с
моментами и ]2 есть
|л - Д| < ± < Д ± 72- (7.17)
Каждое значение 7 появляется только один раз, и легко проверить вы-
полнение (7.5): мы использовали все квадраты нашей таблицы при пере-
группировке приводимого пространства несвязанного представления (7.1) в
неприводимые мультиплеты связанного представления (7.3). В то время как
проекции (7.11) складываются алгебраически, величины угловых моментов
складываются векторное неравенства (7.17) дают точно такие же огра-
ничения, которые будут справедливыми при сложении двух евклидовых
векторов {условия треугольника). Однако квантовая механика накладывает
дополнительное ограничение пространственного квантования для полного
углового момента, допустимые значения (7.17) которого, в соответствии с
общими правилами для группы 527(2), являются целыми или полуцелыми,
в зависимости от значений Д и р2- Результаты явного вычисления в Задаче
22.1 находятся в согласии с этими общими рассуждениями.
7.3 Две частицы спина 1/2
Здесь мы рассмотрим более подробно простой пример двух частиц со
спином 1/2, <§1 = 82 = 1/2. Одночастичные спиноры ут, т = ±1/2,
рассматривались в гл. 20.3. Два состояния каждой частицы порождают
четыре состояния ут(1)ут/(2) несвязанного представления (7.1). Теперь
мы можем следовать схеме, набросанной в предыдущем пункте, Рис. 22.3.
Согласно нашим правилам, векторное сложение двух спинов определяет
два мультиплета, триплет и синглет, с величинами полного спина
8 = 81+82 (7.18)
А ▼ А А
1 Т А Т
Рис. 7.3. Состояния системы двух спинов
равными 5=1 (три состояния, 8г = М = ±1,0) и 5 = 0 (одно состояние
М = 0), соответственно. Наивысшее, М = 1, и наинизшее, М = — 1, состоя-
ния, принадлежащие триплету, строятся однозначно по углам диаграммы,
11/2,1/2; 11) =П= Х+(1Д+(2), 11/2,1/2; 1-1) =Д= Х-(1Д-(2). (7.19)
Два состояния с М = 0 должны быть объединены в правильные линейные
комбинации с 5 = 1 и 5 = 0. Повторяя вычисления предыдущего параграфа
для Д = Д — 1/2 и .1 = 8 = 1, мы приходим к аналогу соотношения (7.15),
триплетной комбинации с М = 0,
|1о) = /|(и + л) =±(х+(1)х_(2) + х_(1)х+(2)). (7.20)
Ортогональная комбинация с М = 0, (7.16),
|00) = ±Д-Д =±(хЩ)хД2)-хД1ДД2)), (7.21)
принадлежит синглету 5 = 0. Легко видеть, что попытка понизить про-
екцию 8~ последующим действием оператора 5_ даёт состояние |1 — 1),
(7.19), для триплета (7.20), в то время как попытка сделать то же самое
для синглета (7.21) даёт нуль.
| Задача 7.2
Для системы из двух частиц со спином 1/2 найти общие собственные
векторы операторов 8%, 8у и .
Решение Используя (7.18) и алгебру матриц Паули, мы докажем, что
эти три оператора коммутируют, их собственные значения есть 0 или 1,
поскольку возможны только проекции 0 и ±1. Один общий собственный
вектор очевиден, синглетное состояние |00), (7.21). Также очевидно, что
состояние |10), (7.20), соответствует опредёленным значениям = 0,
5^ = 5^ = 1. Две другие комбинации могут быть получены перестановкой
осей; в базисе 155Д это
-П(|11> + |1 - 1>), 52 = 52 = 1, 52 = о,
И
-2=(|Ц> - |1 - 1>), = = 52 = о.
(7.22)
(7.23)
Отметим, что все три триплетных состояния, (7.19) и (7.20), симмет-
ричны по отношению к перестановке спинов 1 Д 2. тогда как синглетное
состояние (7.21) антисимметрично. Мы уже упоминали, рассматривая
чётность и разложение тензора второго ранга, что внутренняя симметрия,
соответствующая преобразованию, коммутирующему с вращением, должна
быть одинаковой для всех членов мультиплета. Пусть оператор спинового
обмена Ра переставляет спиновые переменные пары. Тогда он может быть
выражен через полный спин 8 пары,
р<7 = (_у+1. (7.24)
Другое выражение можно получить с помощью матриц Паули. Используя
Ч2 _ 2 _ 2
(СТ1 • <т2) = 4 (81 • з2) = 4--- (7.25)
и заменяя квадраты угловых моментов их собственными значениями, мы
получаем
(^ . <72) = 25(5 + 1) - 3 = { -3 (5 = 0, ) + 1 (5 = 1, ). (7.26)
Следовательно, оператор обмена (7.24) может быть записан в виде
Д = 1 + (сг1 • <т2).
Задача 7.3
В некоторых намагниченных телах взаимодействие соседних спинов 1/2,
(71 и (72, даётся формулой
Н = Дод • <т2) + (в • [од х од]), (7.28)
где скаляр А и вектор В определяются структурой материала (взаимодей-
ствие Дзялошинского”- Мория/ Найти стационарные состояния системы
двух спинов и их энергии.
Решение Удобно выбрать направление вектора В в качестве оси Три-
плетные состояния -01 ±1 = = 1,5/ = ±1) с полной проекцией спина
8~ = ±1 стационарны и вырождены, второй член в (7.28) не даёт вклада в
их энергию (он исчезает для параллельных спинов),
= х+(1)х+(2), Д_1 = Х_(1)Х_(2), Е11 = Е1_1=А. (7.29)
Триплетное и синглетное состояния с 8% = 0 смешаны,
/А = Д|(х+(1)Х-(2)±е—Х-(1)х+(2)), (7.30)
где фаза смешивания определяется из соотношения 1апа = В/А, и соот-
ветствующие уровни энергии расщепляются,
Е® = -А ± 2Ул2 + В2. (7.31)
Можно проверить правильность в пределе В — 0: состояние становится
синглетом, Е = —ЗА, а три оставшихся состояния образуют вырожденный
триплет, Е = А.
Задача 7.4
Обобщите свойство симметрии (7.23) для системы двух частиц с произ-
вольными равными угловыми моментами Д = Д = ф Найдите общее число
симметричных, 7У+, и антисимметричных, АС,состояний.
Решение Наивысшее состояние (с полным угловым моментом У = 7тах =
2у и Мтах = 2у) является уникальным и, очевидно, симметричным. По-
скольку понижающий оператор 7 = Д_ + Д_ также симметричен, все
состояния одного и того же мультиплета имеют одинаковую симметрию,
как и должно быть, так как обмен частиц является внутренней операцией,
коммутирующей с вращениями системы как целого. Из двух состояний с
М = Мтах — 1 одно, симметричное, принадлежит к тому же наивысшему
мультиплету, а другое имеет У = 2] — 1 и, с учётом ортогональности к
первому, антисимметрично, соотношение (7.16). Поэтому все состояния в
мультиплете У = 2] — 1 антисимметричны. Рассматривая далее триплет
состояний М = 2^ — 2 и отделяя одно симметричное и одно антисимметрич-
ное состояние, принадлежащие предыдущим мультиплетам, мы находим,
что третье состояние, которое открывает мультиплет 3 = 2] — 2, опять
симметрично. Таким образом, мы находим, что симметрия является пере-
менной,
: 3 = 2у 2д - 2,...; : 7 = 2^ - 1, 2д - 3,... (7.32)
Таким образом, все состояния \ЗМ) обладают определённой обменной
симметрией (—)2-у+'Л которая определяется значением полного углового
момента 3. Этот результат справедлив для всех значений у целых и полу-
целых.
Общее число состояний каждой симметрии может быть вычислено из
кратности (23 + 1) мультиплетов (7.32), но проще заметить, что все п =
2] + 1 состояний на диагонали тп\ — ^2 таблицы, квадратной в случае
2
71 = 72, симметричны, а остальные п — п недиагональные состояния могут
быть сгруппированы в симметричные и антисимметричные комбинации. В
результате,
п(п — 1) п(п + 1) , . , . п(п — 1)
= п+ у ’ = к ’ = (7+1)(27+1), ж = I ’ (2.7+1).
(7.33)
Задача 7.5
Покажите, что нормированная волновая функция системы двух частиц
С71=72и7 = 0 может быть записана в виде
|00) = -+= - «>). (7.34)
V "7 । -1-
V т
Решение Состояние |00) инвариантно относительно вращений (скаляр).
Мы уже указывали (Задача 21.4) правила построения скаляра с помощью
свёртки двух тензорных операторов одинакового ранга. В данном случае
мы имеем, по сути, такую же задачу (обобщённую для полуцелых спинов
подсистем). Так как 7 = 0 влечёт также М = 0, требуемая комбинация с
необходимостью имеет вид
|00> = ^Хт\]т-,] - т),
т
Е |х,у = 1.
т
(7.35)
Если это связанное состояние имеет 7 = 0, оно должно уничтожаться
при действии 7+ или 7_. Действуя как в (7.12), мы видим, что результат
зануляется, если Хт+\ = — Хт. Это означает, что все коэффициенты
Хт имеют одинаковую абсолютную величину и знакопеременны, так что
решение, учитывая нормировку (7.35), может быть записано в виде
(7.36)
Удобно выбрать коэффициенты вещественными, а = 0. Как и в декар-
товом скалярном произведении, все проекции т± = —тщ = входят в
произведение (7.34) с одинаковым весом.
Задача 7.6
Для двух частиц со спинами <§1 = з% = 1 постройте оператор Р спинового
обмена (1 о 2).
Решение В соответствии с Задачей 22.4, этот оператор коммутирует с
полным спином 8 = 81 + 82 и имеет в мультиплете со спином 3 = 0,1, 2
величину (—)5. С тремя возможными значениями спина легко построить
многочлен второго порядка по (§1 • 82),
Г = («1 • 82)2 + (§1 • 82) - 1. (7.37)
7.4 Тензорные операторы и обобщённые правила отбора
Электрические и магнитные мультиполи являются типичными примера-
ми операторов, образующих наборы (2А + 1) величин изолированных
по отношению к группе вращений. При поворотах 7\м преобразуются в
линейные комбинации величин, принадлежащих тому же набору, и правило
преобразования для целого Л в точности такое же, как и для сфериче-
ских функий У\м. Такой набор операторов, реализующих неприводимые
представления группы вращений, как было сказано, образует тензорный
оператор ранга Л. Физические следствия, которые вытекают из геометри-
ческих соображений, одинаковы для всех тензорных операторов одного
ранга, независимо от их физической природы.
В случае оператора, пропорционального сферической функции У\м, его
действие на состояние |У17И1) может рассматриваться как сложение век-
торов угловых моментов двух «подсистем», Л1 состояния и Л оператора.
В соответствии с правилами группы вращений, результирующий угловой
момент
л2 = + Л (7.38)
может принимать все значения Уд, с шагом единица, в пределах, установ-
ленных условием треугольника (7.17),
|У1 - А| < Л < Л + А. (7.39)
Проекции угловых моментов суммируются алгебраически, (7.11),
М2 = М1 + ц. (7.40)
Фактически, условия треугольника (7.39) симметричны по отношению ко
всем трём угловым моментам У1, Уд и А.
Соотношения (7.39) и (7.40) определяют правила отбора, гл. 21.5, ко-
торые одинаковы для любого тензорного оператора Тур матричные эле-
менты (а2Т2М2\Т\Да\Т\М\} тензорного оператора для любых состояний с
определёнными квантовыми числами углового момента (и произвольными
дополнительными квантовыми числами ар а2) могут быть отличны от нуля
в том и только том случае, если выполняются условия (7.39) и (7.40). На-
пример, мультипольные переходы мультиполярности А строго запрещены,
если ДУ = |Уд — У1| > А или А > У1 + Уд. В частности, правила отбора для
углового момента накладывают ограничение на мультипольные моменты,
которые могли бы иметь ненулевые средние в состоянии с угловым момен-
том У. Здесь нас интересуют диагональные элементы, У1 = д2 = У. Правило
(7.39) показывает, что ранг А разрешённых мультиполей удовлетворяет
условию
0 < А < 2У. (7.41)
Как следует из (7.41), система с угловым моментом У = 0 имеет только
А = 0, и, следовательно, может обладать ненулевым зарядом (21.62), но ни
одним из высших мультиполей. Грубо говоря, равномерное представление
всех пространственных направлений, специфичное для 7 = 0, усредняет
все возможные внутренние неоднородности. Система со спином 1/2, такая,
как нуклон или электрон, может иметь Л = 0 или 1, т. е. заряд и дипольный
момент, электрический (21.61) или магнитный (21.65). Ненулевой квадру-
польный момент, Л = 2, появляется только для систем с 7^ 1. Тензорные
операторы могут быть определены также для полуцелого ранга Л, и пра-
вила отбора (7.40) и (7.41) в точности те же самые. Однако, они вообще
не имеют диагональных матричных элементов. На практике такие случаи
возникают при создании или уничтожении частиц с полуцелым спином.
7.5 Приложение к электромагнитным мультиполям
Рассматривая свойства тензорных операторов относительно вращений
и их поведение при пространственном отражении, мы можем прийти к
важным выводам в отношении мультипольных моментов как физических
наблюдаемых.
Электрический заряд (21.62) является скалярным инвариантом отно-
сительно инверсии. Электрический диполь (21.63) меняет знак, как и
радиус-вектор, или любой «нормальный» {полярный) вектор. Импульс р
есть также полярный вектор, в то время как орбитальный угловой момент
(4.34) есть аксиальный вектор, его компоненты не меняют знак при ин-
версии. Как видно из геометрических соображений (вращение не меняет
смысла в инвертированной системе координат), любой угловой момент,
включая спин, должен быть аксиальным вектором. Скалярное произведе-
ние аксиального вектора и полярного вектора есть псевдоскаляр. Подобно
скалярам, псевдоскаляры инвариантны относительно вращений, но меняют
знак при инверсии. Важным примером псевдоскаляра является спираль-
ность частицы,
' = (8 н) (7-42)
то есть проекция спина на направление движения.
Таким образом, в дополнение к тензорным свойствам относительно вра-
щений, мы можем классифицировать операторы О по их поведению при
пространственной инверсии Р, т. е. по их чётности П(О), определяемой
оператором преобразования О' = РОР = ±(9 = П(О)О. Действуя между
состояниями \г) и |/) с определённой чётностью, П^ и Пу соответственно,
оператор О имеет дополнительное правило отбора
Пу = П(О)Пг, ДП = П(О). (7.43)
Легко видеть, что правила отбора по чётности для электрических и маг-
нитных мультиполей дополняют друг друга (иногда говорится, что элек-
трические мультиполи имеют естественную чётность),
ЕА: ДП = (-)А, МА: ДП = (-)А+1. (7.44)
Таким образом, средние значения (диагональные матричные элементы,
/ = г) равны нулю для нечётных электрических и чётных магнитных
мультиполей, если состояние имеет определённую чётность. В частности,
любая система в состоянии с определённой чётностью не может иметь
ненулевой электрический дипольный момент.
В таблице 1 приведены разрешённые электромагнитные мультиполи для
квантовых систем с различными значениями моментов (спинов). Величины
в скобках допускаются симметрией относительно вращений, но подавлены
по чётности. Существование гипотетического магнитного монополя, МО
оператора, строго запрещено, если чётность точно сохраняется. Нуклоны
со спином 1/2 могут иметь электрический заряд и магнитный момент;
электрический дипольный момент может возникнуть, если чётность не
сохраняется, и стационарные состояния не имеют определённой чётности.
Высшие мультиполи для нуклонов строго запрещены симметрией относи-
тельно вращений.
означает, что соответствующий гамильтониан инвариантен относительно
инверсии (истинный скаляр). Тогда его собственные состояния всегда могут
быть выбраны таким образом, чтобы они имели определённую чётность.
Однако этот выбор не является обязательным. Если некоторые состояния с
противоположными чётностями имеют одинаковую энергию (вырождены),
любая их линейная комбинация также будет стационарна, но не иметь
определённой чётности. Например, круговая поляризация фотона есть его
спиральность (7.42). Циркулярно поляризованный фотон не имеет опреде-
лённой чётности. При инверсии такое состояние превращается в состояние
с противоположной круговой поляризацией и той же энергией. Если излу-
чение неполяризованной системы содержит лево- и право- поляризованные
фотоны с различными вероятностями, это означает, что чётность в переходе
не сохраняется. Аналогичные выводы можно сделать из экспериментов с
продольно (вдоль импульса) поляризованными массивными частицами.
7.6 Векторное сложение угловых моментов
Мы нашли, что две подсистемы с квантовыми числами вращения
и 7'2,7722, будучи соединены вместе, могут образовывать системы с различ-
ными квантовыми числами , тз по отношению к их вращению как целого.
Амплитуды вероятности для различных возможных значений , тз при
векторном сложении даются коэффициентами Клебша”- Гордана (ССС),
которые часто обозначаются как (7з^з|71т15 72^2):
Ц17771;1277г2> = 0'з™з|11га1;12т2>|(1112)13тп3>, (7.45)
Ззт3
где скобки в последнем обозначении для связанного состояния напоминают
нам о величинах угловых моментов (7'1,72) составных частей. Разрешённые
значения 7'3,7723 в (7.45) даются правилами отбора (7.39) и (7.40).
ССС описывают преобразование между двумя возможными наборами
базисных состояний (две несвязанных подсистемы и объединённая систе-
ма). Оба набора являются полными, ортонормированными и одинаково
хорошими, хотя могут подходить лучше или хуже для данной физиче-
ской ситуации. Переход от одного набора к другому является унитарным,
так что коэффициенты 7'27722 |7зтз)? которые выполняют обратное
преобразование,
ЦшЩзтз) = 52 0'1^1 ;12т2|1зт3) 1117711 ;>2т2), (7.46)
Ш1Ш2
комплексно сопряжены коэффициентам в (7.45). При стандартном выборе
фаз для матричных элементов углового момента, ССС вещественны, и мы
будем использовать для них старомодное обозначение
С^2ГО2 = 01^15 72^2 Ц3т3) = <137тъ3 Щггм; 12ттъ2>.
Условия нормировки для обоих наборов состояний дают
= Л Л
^71^172^2^71^1 72^2 ЗзЗз тзт/3
т\гп2
(7.47)
Х^73Т72з /-ОЗТПЗ _ X X
71 гп1д2ГП2 7’12721 д2тп'2 пцт^ игп2гп2 •
Ззт3
(7.49)
Задача 7.7
Установите рекуррентные соотношения для ССС,
(7.50)
(7.51)
где есть матричные элементы для повышающей и понижающей
компонент углового момента (16.51).
Решение Подействуем операторами ]%± = + ^2± на обе части разложе-
ния (7.46) связанной системы |д’з7/лз) ? разложим результирующее состояние
|7зШз ± 1) снова по ССС и сравним с выражением в правой стороне равен-
ства.
Задача 7.8
Покажите, что
р7373
р7373
72Ш2-1
М-О2Ш2)
д_(лт1)’
(7-52)
Решение Рассмотрим соотношение (7.46) на верхней ступени лестницы,
пгз = 7з-
Эти соотношения, вместе с условиями нормировки (7.50) и (7.51), можно
использовать для последовательного вычисления ССС. Фазы, которые
не могут быть определены таким способом, могут быть фиксированы,
например, при помощи условий Кондона”- Шортли [?]. Выбор фаз для
ССС,
р1зт3 _ /_ф1Щ2-.7зр.7з-тз _ /_\71+72-7з р7зтт23 /у го\
ЛТП172Ш2 V / Л-Ш172-Ш2 V / 727722 717721’ '
связан с операцией обращения времени', когда мы меняем знаки всех про-
екций, это эквивалентно обратному обходу вокруг треугольника. Фазовые
соглашения для обращённых во времени состояний обсуждались в гл. 20.6.
Другое свойство, связанное с симметрией, выясняется, когда мы заменяем
исходное условие треугольника,
Л+]2=]з, (7.54)
на, казалось бы, эквивалентное
Лз+32 = Л1- (7.55)
Этот переход есть обращение во времени 32, и даёт соответствующую фа-
зу. Кроме того, нормировка ССС (7.48) была определена по отношению
к суммированию по нижним индексам и теперь должна быть изменена.
Поскольку геометрический смысл (7.54) и (7.55) одинаков, зависимость от
магнитных квантовых чисел (ориентация системы) не может измениться.
Поэтому С ОС для этих двух представлений должны быть просто пропор-
циональны,
р7зтз = /у
Л7П172т2 дз-тзд2гп2^ V ’ '
где х2 не зависит от проекций. Возводя в квадрат обе части (7.56), выпол-
няя суммирование по всем проекциям и используя нормировку (7.48), мы
получаем
2 _ 2Д + 1
ж - +г
С фазовыми множителями, снова определёнными из операции обращения
времени, мы можем записать налагаемые симметрией связи между (7.54,
7.55), и аналогичное соотношение при замене 33 => —Д как
рУЗТПЗ
° .71777,1 д2тп2
/ 2Д + 1 ^д1-7Т11
V 2Д + 1^3-т3 727П2
2Д 4-1 —тп2
2^2 4- 1-717771 .73-7773 •
(7.58)
С ОС определены для заданного упорядочения связанных моментов, Рис.
22.4. Но геометрически условие треугольника симметрично по отношению
ко всем трём моментам. Взамен ССС можно определить эквивалент ЗД
символов Вигнера,
Д Д Д
7721 /772 7773
ч/2ЛТТ
р73-7773
7771727772 '
Рис. 7.4. Сложение угловых моментов: 1 + 2 = 3, а; 1 + 2 + 3 = 0, бис
Как видно из ССС в правой части (7.59), здесь мы имеем + тп2 = — 7723.
Определение Вигнера соответствует условию треугольника в симметричной
форме
Л + 32 + Зз — 0.
(7.60)
3+символ имеет более простые свойства: при обмене двух столбцов он
приобретает симметричную фазу (—)-71+-72+-73.
Условия ортогональности (7.48) и (7.49) принимают для 3+символов
(7.59) вид
ГТ11ГП2
71 72
7721 7722
7з
ш3
71
7721
/ = ХЛ---------(7.61)
т2 т!3 ] 2^3 + 1 -73-73 тзтз’ к 7
Е<2-« + 1> ( т,
72
т2
7з
ш3
71
72
т'2
7з
ш3
^т2т'2 •
(7.62)
Переход от несимметричного соотношения (7.53) к симметричному (7.61)
можно опять рассматривать, Рис. 22.46, как изменение углового момента
Зз при обращении времени. Естественное изменение 7723 -Л- —7723 сопро-
вождается обычным изменением фазы при обращении времени: (—уз~тз.
Можно сообразить, что изменение всех трёх проекций эквивалентно общему
обращению времени и, поскольку в 3+символе т\ + т2 + 7723 = 0,
71
—Ш1
72
-т2
7з
-т3
71 72
7721 И12
73
7723
(7.63)
Фаза в (7.63) такая же, как при обмене столбцов, см. выше, потому что,
как легко видеть, этот обмен эквивалентен обратному движению вокруг
треугольника.
7.7 Теорема Вигнера”- Эккарта
Мы вывели правила отбора для тензорных операторов 7\м, связанные с
инвариантностью относительно вращений. Для угловых моментов У2, У1 и Л,
удовлетворяющих (7.39) и (7.41), в общем случае имеется много ненулевых
матричных элементов (мы явно указываем другие квантовые числа состоя-
ний, которые фиксированы для данного набора матричных элементов)
(а2У2М2|Дм|а1У1МД. (7.64)
Все матричные элементы с различными комбинациями проекций отра-
жают одну и ту же физику, различаясь взаимной ориентацией состояний
|а1 У17И1) и чз-ДЗ/д)- и зонда Поэтому, например, в таблицах физиче-
ских величин можно найти только одно число для магнитного момента
частицы или ядра вместо множества чисел, соответствующих различным
матричным элементам (УТИ7|/ф|УТИ). Является возможным отделить уни-
версальную геометрическую информацию от специфических внутренних
характеристик изучаемой системы.
Рассмотрим действие тензорного оператора на начальное состоя-
ние |а1У1ТИ1). В результате векторного сложения угловых моментов (7.38)
можно получить для промежуточного состояния единственную проекцию
углового момента, М7 = ТИ1 +ц, и множество значений углового момента У7,
разрешённых условием треугольника Л7 = Л + Л. Относительные амплитуды
возможных промежуточных состояний |У7М7) даются ССС, как в (7.46),
Т^<М) = С^м^Ы/М'}, (7.65)
РМ'
где сумма по М' содержит только один член. Теперь мы должны спроеци-
ровать состояние |У7М7) на конечное состояние |а2У2М2). Из-за ортогональ-
ности собственных функций, соответствующих различным собственным
значениям эрмитовых операторов, в сумме (7.65) выживает только член
У7 = У2, М7 = М2. Кроме того, матричный элемент (7.64) не может изме-
ниться, если начальное состояние, конечное состояние и оператор подверга-
ются общему вращению. Поэтому результат проекции (а2У2М2|У7М7) не
зависит от конкретного значения М2 = М' = + //.
Мы пришли к важному выводу: в любом матричном элементе (7.64)
тензорного оператора между состояниями с определёнными угловым мо-
ментом и его проекцией, вся зависимость от магнитного квантового числа
М1,ц и М2 входит только через ССС. Остающийся множитель не зависит
от М и даёт физическую амплитуду процесса, независимо от ориентации
системы. Все правила отбора по отношению к вращениям уже включены в
ССС. Это суть теоремы Вигнера”- Эккарта.
Используя З^-зушЬо! вместо ССС, запишем результат в виде
{а^2М2\Туа^М^ (~У~МС 7. ) м Ъ«2Л||ТА||а1Л).
у — 7 И 2 // V И1 у
(7.66)
Здесь не зависящий от М множитель вводится как заключённый в двой-
ные скобки (редуцированный) матричный элемент. Фазовый множитель
для конечного состояния в (7.66) согласуется с изменением при отражении
времени: конечное состояние (Мд = ц + М±) должно быть повёрнуто вспять,
чтобы сделать ситуацию симметричной. Мы видим, что геометрическая
часть информации отделяется в З^’-символ, тогда как внутренняя, не зави-
сящая от ориентации, физика сосредоточена в редуцированном матричном
элементе. Как указывалось ранее, достаточно одного числа, чтобы описать
весь набор матричных элементов (7.64), если квантовые числа вращения
состояний и операторов известны.
В физических таблицах значения для средних значений мультипольных
операторов в состоянии с угловым моментом Э в соответствии с соглаше-
нием приводятся для состояния с максимальной проекцией М = <1. Тогда
у = 0, и табличное значение
ТхКЛ = {аМ\ТхоМЛ- (7.67)
Например, векторная (Л = 1) компонента в (7.67) есть То = V?, см. (21.48).
Табличное значение магнитного момента есть, следовательно, среднее зна-
чение его проекции на ось квантования г в состоянии с максимальной
упорядоченностью системы вдоль г-оси.
7.8 Векторная модель
Теорема Вигнера”- Эккарта даёт нам обоснование простой процедуры,
которую использовали на заре атомной физики для расчётов средних
значений, как, например,
(аЭМ'\У\аЭМ),
(7.68)
где начальное и конечное состояния принадлежат одному и тому же муль-
типлету, но могут отличаться проекцией углового момента, а V есть произ-
вольный векторный оператор.
Рис. 7.5. Иллюстрация к векторной модели, а; смысл выражения (7.70), Ь
Наивный, хотя и правильный способ рассуждения состоит в следую-
щем. Квазиклассический образ, Рис. 22.5а, состояния \ЗМ} есть прецессия.
Вектор углового момента Л длины д/Л(Л~+Т) имеет проекцию М на ось
квантования, она прецессирует вокруг этой оси, образуя конус с фиксиро-
ванным полярным углом 0, СО8 0 = М/д/Л(Л + 1). Поперечные компоненты
Лж^ усредняются и имеют нулевые средние (Лж) и (Л^), но ненулевые сред-
ние квадраты величин (Л^) и (Л^). Сумма (Л^ + Л^) дополняет М2 до
полной величины Л(Л + 1) квадрата углового момента, Задача 16.4- В этой
ситуации любой вектор V, относящийся к системе, может быть в среднем
направлен только вдоль имеющегося выделенного направления, а именно,
углового момента Л. Эта пропорциональность двух векторов может быть
записана как векторная модель
У = г(а,Л)Л, (7.69)
где коэффициент пропорциональности есть скаляр г (а, Л), который может
зависеть от величины углового момента и других характеристик состояния
(а), и равенство следует понимать как эквивалентность двух операторов
для любого матричного элемента внутри мультиплета. Мы находим этот
множитель, беря проекцию на Л в обеих частях (7.69), Рис. 22.56:
Вместо этого нестрогого вывода мы можем использовать теорему Вигнера-
Эккарта (7.66). Вспоминая, что любой вектор является тензорным опера-
тором ранга 1 и вводя его сферические компоненты согласно (16.99),
мы можем написать матричный элемент (7.67) между состояниями одного
мультиплета как
ДМ'\У^М) = ( 3, ,, ) <а7||У||а7>.
\ 1У1 Ц) 1У1 /
Точно таким же способом мы находим для углового момента
(аМ'^аМ) = ЛУ~М' ( См, * м ) <МИМ>- (7.72)
Устраняя ЗДсимвол, мы находим, что матричные элементы любого век-
тора V и углового момента Л пропорциональны в векторной модели (7.69)
с коэффициентом
’'(“-7)= МИМ)' (7-73)
Стоит ещё раз подчеркнуть, что вся процедура имеет смысл только для
переходов внутри мультиплета \аЛИ). В то время как Л действует только
внутри мультиплета, произвольный векторный оператор V может иметь
также недиагональные по Л и а матричные элементы(7.67), которые не
связаны с матричными элементами Л.
Для установления окончательного соответствия уравнений(7.70) и (7.73),
вычислим средние значения скалярных величин Л2 и (ТП Расчёт прост:
запишем скалярное произведение в сферических компонентах (16.120);
выразим искомый матричный элемент в виде произведения матричных
элементов отдельных векторов с суммированием по промежуточным про-
екциям (поскольку по крайней мере один из векторов есть Л, все проме-
жуточные состояния имеют одинаковые квантовые числа аЛ); применим
теорему Вигнера-Эккарта (7.66) к каждому множителю; суммируем по
промежуточным проекциям с помощью (7.61). В результате получается
(а7М'|(Л • У)|а7М) = (а7||7||а7)(а7|| Ц|а7). (7.74)
2 Л -1— 1
Здесь V есть произвольный векторный оператор. Как и должно быть,
матричные элементы скалярной величины не зависят от ориентации (М =
М'). В частном случае V => Л левая сторона (7.74) равна +
1). Отсюда определяется редуцированный матричный элемент углового
момента
(а7||7||а7)2 = 7(7 + 1)(27 + 1). (7.75)
В конечном итоге, объединяя эти результаты, получаем
(а7М'|Ща7М) = МДД1М (7.76)
е/ “г -1-)
что есть не что иное, как векторная модель (7.69,7.70). Матричный элемент
скаляра (Л • V) в (7.76) не зависит от М.
7.9 Электрический дипольный момент и анапольный момент
Зная, что сохранение чётности есть не универсальное правило природы,
а также используя векторную модель, мы можем вернуться к вопросу о
разрешённых и запрещённых мультиполях. Как видно из таблицы 22.1,
существование электрического дипольного момента в системе со спином
1/2 допускается, если снять ограничения, связанные с сохранением
чётности. Конечно, мы по-прежнему сохраняем ограничения, налагаемые
инвариантностью относительно вращений.
На самом деле проблема более сложна. Дипольный оператор с1 есть
полярный вектор. Его среднее значение может быть вычислено с помо-
щью векторной модели. Это даёт эффективный дипольный оператор для
частицы со спином 1/2:
а = ДДЬДдщд (7.77)
Результат определяется средним значением псевдоскалярной величины
(<1 • з). Поскольку, в результате слабых взаимодействий, стационарные со-
стояния не имеют определённой чётности, это среднее значение может
отличаться от нуля. Однако ненулевое значение этой величины противоре-
чило бы инвариантности относительно обращения времени.
Действительно, спиноры |1/2,т) с проекцией спина т преобразуются
в соответствии с (20.67) при обращении времени. Дипольный момент Н,
как и вектор координаты г, инвариантен относительно Т-преобразования
(“Т-чётен”), тогда как вектор спина 8, как и любой угловой момент, Т-
нечетен. Поэтому скалярное произведение (сЬз) является Т-нечётным. Если
Т-инвариантность имеет место, среднее значение обращённого во времени
оператора в обращённом во времени состоянии должно быть таким же, как
и до Т-преобразования,
(1/2, ш|(й-8)|1/2, т) = (1/2, — т\ — (с!-ё)|1/2, — т)* = — (1/2, — ш|(Н-8)|1/2, — т)
(7.78)
(средние значения любого эрмитового оператора вещественны). В то же
время величина (с1 • з) является скаляром относительно вращения, и её
среднее значение одинаково во всех состояниях мультиплета. Значит, оно
равно нулю. Этот вывод справедлив для состояния с любым угловым мо-
ментом У (не обязательно со спином 1/2). Ненулевая спиральность ос (р-з),
в противоположность (7.78), может существовать, будучи произведени-
ем двух Т-нечётных векторов. Т-инвариантность также не противоречит
существованию Т-нечётных векторов, таких как магнитный момент Д.
Мы показали, что ненулевой электрический дипольный момент частицы в
стационарном состоянии был бы свидетельством комбинации несохранения
чётности и нарушения инвариантности относительно обращения времени [?].
Интенсивный экспериментальный поиск дипольного момента частицы пока
не дал результата. Текущие данные дают только верхний предел на уровне
10-23 е-см для протона, 10-25 е-сш для нейтрона и 10-26 е-см для электрона.
Положительный результат имел бы большое влияние на выбор теории
за пределами общепринятой в настоящее время Стандартной Модели
элементарных частиц.
Предсказанный очень давно {Зельдович, 1958} анапольный момент
недавно был открыт экспериментально [20] в ядрах 133Сэ. Это количе-
ственная характеристика для тока в тороидальной катушке; основной
вклад в анапольный момент связан с оператором
а = [г х з].
(7.79)
Мы видим, что а есть полярный Т-нечётный вектор, который может суще-
ствовать в квантовых состояниях с ненулевым спином У, соответствующий
эффективный оператор равняется
а =
((а-Л) .
7(7 + 1) ’
(7.80)
Величина (а • Л) есть Т-чётный псевдоскаляр и требует только несо-
хранения чётности, но не нарушения Т- чётности. Анапольный момент
был обнаружен с помощью наблюдения нарушения чётности в атомных
радиационных переходах, индуцированных слабыми взаимодействиями
между атомными электронами и ядром.
7.10 Ряды Клебша”- Гордана
Важные практические применения основаны на рассмотрении вращения
связанной системы.
Пусть произвольный оператор вращения 77 действует в соответствии с
(21.1) на систему в квантовом состоянии |Л7И). Если система состоит из
двух связанных подсистем с моментами 7] и 12-
|(7172)7М)= С^1ЛМ2|71М1;72М2),
АД М2
(7-81)
мы можем применить такое же вращение к правой стороне равенства,
действуя на обе части по отдельности
тг|лм1;72м2)= 5; р^М1(7г)р^М2(7г)|71м1;72м'). (7.82)
М'М'
Тогда
= У2 с^1ЛМд^М1(тг)1?^М2(7г)|лм(;Лм').
М± М2 м^ м^
(7.83)
С другой стороны, результат (21.1) эквивалентен
К\(ЫПМ)
М'
= Е СД^2м> ММ2М^. (7.84)
М'МрЩ
Поскольку несвязанные состояния ортонормированы, мы можем сравнить
коэффициенты перед ними в (7.83) и (7.84), что даёт
Е р-85)
ЛЦ М2 М'
Если мы умножим обе части на ^К2 и просуммируем по 4 и М,
свойство ортогональности (7.49) приводит к важному результату:
М±К± (^)М2К2 Е ъДм'мФ), (7.86)
ЗММ’
где мы переименовали М{, М'2 М2.
Ряды Клебша”- Гордана (7.86) позволяют разложить произведение П-
функций в сумму Р-функций того же аргумента, подтверждая полноту
матричных элементов конечных вращений как функций на группе. Как
частный случай, с помощью (21.14) получаем аналог этого соотношения
для сферических функций,
У^1Ш1 (п) У^2т2 (п) _ 1 гЛт ^1т(п) <7 Я7>
СЖТТ СЖТТ “ 717 4- е1т1 727+1’ ( }
1т
где все сферические функции относятся к тем же углам п = (0, сд). Конечно,
суммирование по т в правой части (7.87) [а также соответствующее сумми-
рование в (7.86)] является избыточным, поскольку выживает только один
член т = Ш1 + г/О- но эта форма является более симметричной. Наконец,
для полиномов Лежандра Р^(со§0) = РДж) мы получаем
РДх)РДх) = 52[с^о] Р^х).
(7.88)
В уравнениях (7.87) и (7.88), где все угловые моменты С, Д являются
целыми, мы видим, что левая сторона имеет чётность (—)^1+^2, ТОгда как
чётность I члена в правой стороне равна (—Это соотношение имеет место
тогда и только тогда, когда члены с неправильной чётностью исчезают,
— 0 71 + 72 + ^ — .
(7.89)
Тот же результат следует и из инвариантности относительно обращения
времени, см. первое равенство в (7.53).
Вместе с условием ортогональности (21.21) разложение Клебша-Гордана
определяет интеграл от трёх Р-функций
М1 (К) = у. С®. ,,2.м2 С^, .
1 и- г 1
(7.90)
Для сферических функций мы получаем отсюда
(271 + 1)(272 + 1) (т
4Д27+1) (1т1 е2Ш2
уЩ
710^20,
(7.91)
и для полиномов Лежандра
1 2
(1хРе(х)Ре1(х)Ре2(х) =
(7.92)
Соотношения (7.91) и (7.92) определяют угловую часть матричных элемен-
тов одночастичных тензорных операторов для движения в центральном
поле.
Понадобится сотня лет развития
физических и химических наук, чтобы
люди узнали, что такое атом.
П.Э.М. Бертло, цит. из книги Р.
Эспера, Из жизни ученых
Глава 8
Тонкая и сверхтонкая структура
8.1 Спин-орбитальное взаимодействие
В гл. 18.5 мы перечислили физические эффекты, которыми мы прене-
брегли при предварительном рассмотрении атома водорода. Эти эффекты,
будучи явно малыми по сравнению с основным кулоновским полем ядра,
важны сами по себе и ведут к интересным наблюдаемым явлениям, особенно
в связи с впечатляющими достижениями современной экспериментальной
спектроскопии. Теория возмущений, гл. 19, а также современная алгебра
углового момента, включающая спиновые эффекты, гл. 20-22, дают нам
возможность рассмотреть сейчас квантовую механику этих эффектов.
Тонкая структура спектра атома водорода возникает в результате сня-
тия «случайного» кулоновского вырождения релятивистскими поправка-
ми к гамильтониану порядка (г/с)2. Точный расчёт этих поправок будет
сделан на основе уравнения Дирака позже, гл. 37. Здесь мы рассмотрим
спин-орбитальное взаимодействие качественно. Соответствующий член
гамильтониана частицы должен иметь вид
Я^ = ИДг)(^-8). (8.1)
Действительно, спин электрона может входить только линейно (высшие
тензорные конструкции сводятся к линейным выражениям); полный га-
мильтониан является скаляром, так что 8 должен входить в виде скалярного
произведения с другим вектором, и второй вектор должен быть аксиальным,
если чётность сохраняется. Из пространственных переменных частицы мож-
но сконструировать только один аксиальный вектор, вектор орбитального
момента I.
Наличие спин-орбитального взаимодействия (8.1) показывает, что дви-
жение по орбите вызывает закручивание спина частицы. Если бы частица
двигалась в однородной среде, то не было бы никакой причины для такого
закручивания. Поэтому мы ожидаем, что РИ(г) связан с изменением потен-
циала, действующего на частицу, кулоновского для атома водорода. Сила
создаёт выделенное направление — радиальное для градиента изотропного
потенциала.
Механизм возникновения спин-орбитального взаимодействия является
общим для любой заряженной частицы со спином в ф 0, движущейся
в электрическом поле, которое даётся градиентом электростатического
потенциала, 8 = — Произведём классическую оценку эффекта. В
системе отсчёта, связанной с частицей, ядро движется со скоростью —V, и
его электрическое поле порождает магнитное поле,
В = — [V х 8\ =-------[р х 8\.
с тс
(8.2)
Поле В взаимодействует со спиновым магнитным моментом частицы, /Д =
д3 дя. Соответствующий член в гамильтониане равен
Не3 = -(/7 • В) = — з • х р].
тс
(8-3)
Для центрального потенциала, V(г) = е^(г),
Г 0Г
(8-4)
гамильтониан (8.3) принимает форму (8.1),
д8К 1 дГ
етс г дг
д8П2 1 д1Г
етс г дг
(8-5)
где, как обычно, угловые моменты записаны в единицах К. Эта классическая
оценка предсказывает радиальную функцию
тд// х (Л~ 1 дБ
етс г дг
(8-6)
действительно пропорциональную градиенту исходного потенциала.
Для электрона, д8 = е/тс, в водородоподобном атоме, II = — 2е2/г, наша
оценка даёт
ИДг) =
2е2К2
2„2Г3 ‘
Как будет показано в гл. 37, релятивистская квантовая механика предска-
зывает очень похожее спин-орбитальное взаимодействие с дополнительным
коэффициентом 1/2, так называемой Томасовской половинкой, которая воз-
никает при внимательном рассмотрении преобразования к неинерциальной
сопутствующей системе отсчета [21]. Спин-орбитальное взаимодействие
(8.7) слабо, так как его среднее значение мало, ~ (г/с)2 по сравнению с
энергией связи электрона е ~ т22е^/К2 ~ Я2е2/а,
Яс2/!2 22К2 е4^2 2
~ т2с2(а/Я)3 ~ Е т2с2а2 ~ Е П2с2 ~ е' (8'8)
Мы использовали здесь боровский радиус а и постоянную тонкой струк-
туры се, считая, что 2 а = Я/137 1 (это условие нарушается для тяжёлых
атомов, где релятивистские эффекты велики). Спин-орбитальное взаимо-
действие, подобное (8.1), также имеет место для нуклонов в атомном ядре,
но в этом случае оно является гораздо более существенным, так как связано
с сильными, а не с электромагнитными взаимодействиями.
8.2 Спин-орбитальное расщепление
Мы можем рассмотреть в общем виде следствия спин-орбитального взаи-
модействия (8.1). Это типичная проблема преобразования от несвязанного
представления двух отдельных подсистем (спин и орбитальный момент) к
связанному представлению с полным угловым моментом частицы,
] = /+8. (8.9)
Энергия теперь зависит от взаимной ориентации двух векторов, 8 и Т
Поэтому любое отдельное вращение одной из этих подсистем не сохраняет
энергию, и соответствующие генераторы не сохраняются,
[Кнц8\ ^0, [8,Н^5] 7^0. (8.10)
Тем не менее, совместное вращение орбитальных и спиновых переменных,
генерируемое полным вектором (8.9), не изменяет их взаимной ориентации
и сохраняет энергию,
[],Я] = 0. (8.11)
В отсутствие спин-орбитального взаимодействия мы имеем п2-кратное
вырождение уровней водорода, так что энергия Еп не зависит от кван-
товых чисел I, тц и т8. Как мы знаем из гл. 19.4, теория возмущений
должна применяться к правильным линейным комбинациям невозмущён-
ных функций. Эти комбинации должны быть диагональны по отношению к
полному гамильтониану, включающему возмущение, 11/3 в данном случае.
Вследствие инвариантности относительно вращений и сохранению ф эти
комбинации очевидны без обращения к секулярному уравнению: это свя-
занные состояния с определёнными значениями д и полной проекцией ту
«Длины», и 8 = 1/2 также всё ещё сохраняются, вместе с чётностью (—
Построение связанного спин-орбитального состояния |(^1/2)ДтД из
несвязанных состояний |^тд1/2тД есть стандартная задача сложения
векторов, Задача 22.1. Допустимые значения полного углового момента,
> = (8.12)
соответствуют параллельной и антипараллельной ориентациям I и 8. Спин-
орбитальное взаимодействие расщепляет соответствующие состояния. Для
каждого из двух значений у при данном И имеется мультиплет + 1 состо-
яний с различными проекциями ту, которые всё ещё вырождены — из-за
инвариантности относительно вращений энергия не зависит от ориента-
ции системы как целого. Соответствующие двухкомпонентные функции
связанных угловых и спиновых переменных называются сферическими
спинорами,
^+‘ш(п) = 1/2т8^тАП^гп8- (8.13)
гп/>тп8
Эти функции характеризуются определёнными значениями орбитального
момента Е, чётности (—)Д полного углового момента у и его проекции
Д = гп.
Задача 8.1
Найдите явный вид сферических спиноров (8.13). Для этих волновых
функций найдите вероятности двух значений проекций спина 8~ и средние
значения 8г.
Решение При заданных у и тп. возможны две комбинации, Д = т + 1/2и
= —1/2, или Д = т — 1/2 и 8д = +1/2,
(8-14)
Щт ~ а^/т+1/2Х- + ^т-1/2%+?
где а и Ъ - коэффициенты Клебша”- Гордана,
01 ^++1/2 1/2-1/2’ , _ сзт ^т-1/2 1/21/2’
(8.15)
Их значения могут быть рассчитаны, например, с помощью собственных
функций оператора
У- ё) = + 1(М- +^-5+). (8.16)
Этот оператор имеет собственные значения, Задача 20.6,
с • ю = I [ю+г - +г - ф+г], (8.17)
что даёт ^/2 и — (^ + 1)/2 для д = ^ + 1/2 и д = ^ — 1/2, соответственно.
Система уравнений для собственных функций (^ • з) в виде (8.14) есть
а [(/• з) + |(т + 1/2)] — | д/Д + 1/2)2 — т2 = 0, (8.18)
&[(/• з) — |(т — 1/2)] — |д/Д + 1/2)2 — т2 = 0. (8.19)
Детерминант этой системы определяет те же собственные значения (8.17)
для Д-з).
Нормированные (а2 + Ь2 = 1) решения для линейной комбинации (8.14)
есть
7=1+-, а — _ 2 Д — т + 1/2 V 21 +1 ’ “ \ Д + т + 1/2 ' 21 + 1 ' (8.20)
7' = 1 — 1, а — _ 2 1Е + т + 1/2 V 2/ + 1 ’ — т + 1/2 V 2/ +1 ’ (8-21)
Вероятности гс± и средние значения ДД = = (1/2)(у’+ - ад- .) есть
• о 1 1 + т + 1/2 — т + 1/2 т
7 =^+2’
21 + 1 ’ ~ 21+1 ’ ' 21 + 1’
(8.22)
Л 1 I — т + 1/2 ^ + т + 1/2 т
2{+1 - 2{+1 - (6'’> = ~277Т
(8.23)
Вычисляя аналогичным способом ДД, легко проверить, что (зг + ^Д = т.
| Задача 8.2
Для волновых функций Задачи 23.1 найти направление поляризации
спина для заданного углового аргумента п(0, (/?) сферических функций.
Решение Для любого спинора типа (8.14) локальное направление поля-
ризации даётся полярным углом /3 и азимутальным углом а, которые
определены таким образом, что
е-га/2 СО8^/2) = СОП81 • , (8.24)
ега/2 8ш(/3/2) = сопз1 • аУ^т+1/2(6>, (8.25)
Беря отношение, получаем
с” 1ап(в/2) = у',,+1/2У) (8.26)
3 У^тп—1/2\@> Т)
где отношение {а/Ь)^ нужно взять из (8.20) и (8.21) для двух возможных
значений д. Сферические функции Уст±1/2 имеют азимутальные фазы (т±
1/2)^. Поэтому а = р, т.е. спин в данной точке поляризован в плоскости,
проходящей через полярную ось г и эту точку. Запишем теперь сферические
функции в виде У^г = ехр(г^(/?)0^ (0). Полярный угол /3 определяется из
соотношения
1ап(.3/2) = У+1/2^. (8.27)
3 &Ст-1/2\у)
Например, для I— 1, = т = 1/2 = ^—1/2, используя 0ц = — д/3/8тг8Шв
и ©1о = д/3/4тгсое0, вместе с отношением а/Ь из (8.21), мы получаем
/3 = 20.
Задача 8.3
Рассчитайте
^<е/т(п) = (^ п)^<е/т(п) (8.28)
записав результат снова с помощью сферических спиноров.
Решение Оператор (с? • п) есть скаляр. Поэтому он не может изменить
квантовые числа дт полного углового момента. Однако он меняет чётность
и, следовательно, значение I на 1. Для данного у имеется только одно
допустимое значение
^ = 7±|^^' = ц|. (8.29)
Отсюда следует, что
(а • п)(^т(п) = СЩЩп), < = 1,
(8.30)
где постоянный множитель может быть найден прямым сравнением
решений в Задаче 23.1 для п, направленного вдоль оси г, когда сферические
функции даются соотношением (16.143).
С правильно определёнными линейными комбинациями мы можем при-
менить стандартную теорию возмущений, не заботясь о вырождении. Пере-
ходы внутри вырожденного мультиплета требуют изменения т?, что невоз-
можно для скалярного оператора 11/3. Поправка первого порядка (просто
среднее значение спин-орбитального потенциала в состояниях, описываемых
сферическими спинорами) приводит к разным смещениям параллельных и
антипараллельных состояний,
= (п^Д(г)(Г з)|п^'). (8.31)
Это вычисление производится элементарно с использованием (8.16). Сдвиг
энергии равен
— 2
З-
Яд +1) +1) - - (РИ(г))пд
(8.32)
Радиальные функции не зависят от д в этом приближении.
В соответствии с результатами Задачи 22.мы получаем спин-орбитальный
дублет.
— (IVЯУ)п1 /
3 =^ + 1/2,
3 = - 1/2-
(8.33)
Для положительного (ИДг))п^, как для электрона в атоме водорода, член
дублета с меньшим у имеет более низкую энергию. Для нуклонов в ядрах
знак спин-орбитального взаимодействия противоположен, и член дублета
с большим у смещается вниз. Полная величина расщепления в дублете
даётся соотношением
8.3 Тонкая структура атома водорода
Расщепление (8.33) можно непосредственно наблюдать в ядрах, где мы
можем использовать феноменологический спин-орбитальный гамильтониан
(8.1), и член 11/3 не мал. В атомах, однако, необходимо учесть другие
релятивистские эффекты того же порядка.
Как мы покажем в гл. 37, полный гамильтониан частицы массы т и
спина 1/2 в статическом потенциальном поле [Дг), включая все члены
второго порядка по и/с, есть
л ^2 а4 Я / \ Е/
Н = 8?ЛЛ + + ГЛЛ (а ’ Х ^) + 8?ЛЛ (8‘35)
Здесь мы имеем три поправки второго порядка к нерелятивистскому га-
мильтониану. Второе слагаемое в правой стороне (8.35) происходит от
разложения релятивистской энергии свободной частицы,
п2 4
д/т2с4 + с2р2 ~ тс2 3---------+ ... (8.36)
2т 8т6сЛ
Четвёртое слагаемое в (8.35) есть спин-орбитальное взаимодействие и сов-
падает, с точностью до коэффициента 1/2, с тем, что мы получили ранее из
полуклассических соображений. Последний член в (8.35) для кулоновского
потенциала не равен нулю только в начале координат,
V2г7 = —Яе2Х72 - = 4тгЯе26(г). (8.37)
Г
В то время как Н^8 работает только для состояний с ненулевым орби-
тальным моментом, поправка (8.37), так называемый дарвиновский член,
смещает только ^-состояния, где ^(0) 7^ 0-
Дарвиновский член можно приближённо интерпретировать как возни-
кающий вследствие квантовых флуктуаций, приводящих к созданию вир-
туальных электрон-позитронных пар. Первоначальный электрон анниги-
лирует с позитроном пары, Рис. 23.1. В течение времени жизни вирту-
альной пары, которое оценивается из соотношения неопределенностей как
Д[ ~ К/АЕ Н/тс2, компоненты пары могут сдвигаться на расстояние
порядка комптоновской длины волны электрона, ~ сД[ ~ К/тс = Хс-
После аннигиляции начального электрона остающийся электрон смещается
от исходного положения на ~ Хс- Это означает, что нерелятивистское
потенциальное поле V не может быть точно локализовано и должно быть
усреднено по объему ~ Х^ квантовых флуктуаций. Вследствие флуктуаций
Рис. 8.1. Квантовая флуктуация с рождением электрон”—позитронной
пары
положения электрона, г -д г + эффективный потенциал, действующий
на электрон, размазан по небольшому объёму,
19 9
Дг) => Дг + Д ~ Дг) + е • VД^) + — — Дг). (8.38)
2 9х^ 9хд
Усредняя этот потенциал по флуктуациям (это усреднение обозначим чер-
той сверху) и принимая во внимание, что перемещения вдоль разных
направлений не коррелированы,
?=о, = (8.39)
О
мы получаем
Дг + ё) = Дг) + У^2Дг). (8.40)
О
Результат усреднения можно рассматривать как небольшое постоянное
возмущение,
= —^Д. (8.41)
О О 6/77Г
что лишь незначительно отличается от точного результата второго порядка
в (8.35).
Полный вклад второго порядка малости сохраняет д как хорошее кван-
товое число. Сдвиг нерелятивистского уровня энергии в водородоподобном
атоме с зарядом ядра 2 есть, в Ридбергах,
= -^ (^77? - Т") НУ- (8-42)
п6 уд + 1/2 4п)
Хотя порядок величины такой же, как в (8.34), здесь сдвиг уровней опреде-
ляется только полным угловым моментом у. Кроме вырождения по т?, всё
ещё остаётся кулоновское случайное вырождение: здесь мы имеем двукрат-
ное слияние, два уровня противоположной чётности с одинаковыми пи у
но I = 1/2 вырождены, как и раньше. Это вырождение отсутствует толь-
ко для наибольшего орбитального момента в оболочке, И — Апах(^) = п — 1;
значит, во всех оболочках существует невырожденный наивысший уровень
3 — Дпах 4“ 1/2.
Задача 8.4
Получите результат (8.42).
Итоговая картина тонкой структуры в спектре водородоподобного атома
показана на Рис. 18.1. Мы использовали спектроскопические обозначения,
|п^') -Л п(^)7-, где (С) обозначает символ (<§,р, ф...) орбитального момен-
та. Пунктирные линии нарисованы для невозмущённых вырожденных
боровских оболочек, в то время как уровни с релятивистскими поправками
показаны сплошными линиями (без соблюдения масштаба). Энергетические
сдвиги измеряются в единицах
С = Тт = а2Я4 Ку. (8.43)
2 П2 к ’
Полное расщепление в дублете равно
п3 + 1/ п3^ + 1)
и быстро падает с ростом п и ф так как для сильно возбуждённых состояний
поле слабо, наряду со спин-орбитальным взаимодействием и другими ре-
лятивистскими эффектами, обусловленными ядром. Простая оценка ТУ (г)
показывает, что излучение, соответствующее переходам в одной расщеп-
лённой оболочке, относится к сантиметровому диапазону.
В ядрах спин-орбитальное взаимодействие настолько сильное, что боль-
шое расщепление дублета может сдвинуть партнеров дублетов в разные
главные оболочки, см. Рис. 23.2, например и 97/2- Благодаря обратно-
му знаку, уровень с д = ^ + 1 /2 опускается вниз по энергии и становится
нарушителем, когда достигает предыдущей оболочки осциллятора, имея
противоположную чётность по сравнению с местными уровнями (напомним,
что для случая гармонического осциллятора, в отличие от кулоновского
поля, каждая главная оболочка содержит одночастичные уровни только
2
еуеп
1 Део,
0(1(1
6 Щ
еуеп
4
еуеп
5 Щ
0(1(1
3
0(1(1
-8с/
-2у
-И
-Лр
-М
0*2-------------
-----8а4'2------
-'У
—?$
^9/г
----ИЪ------
----
-----//%----
...----Л/%----
^-2»% — ---
* - । и. ———
!р
Роэ-(га*)—де
------(6>—
------СО)—
Зр ’р----
?Л%_-
----
__/л'И
*'Л-Ж=
——г<АЬ
/уЗ>
•'/>Ъ
•И й/2 — (|4)—р2в 1-Г26
М)-(Я01
(ЛИ—
02)—[02]----82
(21—
(в >-(841
м>—
(лМэд
- (21-(451
< 61-(Я]
(М-
(51-(га)
(*Ь
(2).
(6Ь
50
28
20
(2)—(81-----8
Рис. 8.2. Нуклонный спектр в ядре, имеющем вид сферического потенци-
ального ящика с сильным спин-орбитальным взаимодействием
одинаковой чётности; сферический ящик не имеет вырождения, но харак-
тер спектра, тем не менее, близок). Этот сдвиг очень важен, потому что
он изменяет количество нуклонов, соответствующих полному заполнению
оболочки, так называемое магическое число.
8.4 Тонкая структура в сложных атомах
В многоэлектронных атомах нет случайного вырождения, типичного для
водородоподобных систем. За исключением тяжёлых атомов, релятивист-
ские эффекты всё ещё слабы, 2а 1, и величины орбитального момента и
спина сохраняются по отдельности. Теперь нам нужно поговорить о полном
орбитальном моменте Ь и полном спине 8 всех электронов,
ь = Е&.
а
(8.45)
Состояние сложного атома в главном приближении можно описать, фикси-
руя электронную конфигурацию (список одночастичных состояний, орбита-
лей, занимаемых электронами) и квантовые числа I и 5, характеризующие
Ь2 и 82. Состояния с разными значениями Ь и/или 3 имеют разные энер-
гии из-за кулоновского взаимодействия между электронами, чего нет в
водородоподобных системах. Это электростатическое расщепление зна-
чительно больше, чем релятивистское спин-орбитальное расщепление, а
все (2Ь + 1)(25 +1) подсостояния с различными проекциями Гг =
и Зг = Мд вырождены в нулевом приближении. Теперь мы снова долж-
ны найти правильные линейные комбинации, учитывая спин-орбитальное
взаимодействие.
Аналогично одночастичному случаю, расщепление всех уровней, воз-
можных для данных значений I и 5, может быть описано с помощью
эффективного спин-орбитального гамильтониана
Я^ = ТГЩЬ-8). (8.46)
Здесь есть эффективная константа, которая в принципе может быть
найдена из среднего значения микроскопического электронного спин-орбитального
гамильтониана в состоянии |Ь5') данной конфигурации. Её можно найти
также феноменологически по спектроскопическим данным. Эффективный
оператор (8.46) действует в пространстве (первоначально вырожденных)
состояний, которые отличаются только по квантовыми числам вращения
Мъ и М$, аналогично (ЕИ(г)) в (8.31). После диагонализации Нен мы
получим мультиплет тонкой структуры. Гамильтониан (8.46) зависит
только от относительной ориентации векторов Ей 8, будучи инвариантным
относительно вращений, порождённых полным угловым моментом
Л = Ь + 8. (8.47)
Мы снова имеем типичную задачу векторного сложения. Правильные
линейные комбинации есть связанные состояния | Л7И), где М = + М$,
и возможные значения Л определяются условиями треугольника (ТЪЗ}.
Аналогично (8.32), члены мультиплета (Ь, 5) смещаются на
5) = -у^[Л(Л + 1) - ЦЬ + 1) - 3(3 + 1)]. (8.48)
Число Л-компонент равно (2Ь< + 1), где Ь< есть наименьшее из Ь и 3,
и каждая компонента по-прежнему вырождена по М. Расстояние между
соседними компонентами даётся правилом Ланде,
Ел(Ь, 5) - Е^(Ь, 3) = (8.49)
Этот вывод справедлив, если интервалы Ланде (8.49) малы по сравнению
с электростатическим смещением уровней мультиплета, возникающим для
разных значений Ь и 8 одной и той же электронной конфигурации. Только
в этом случае Ъ и 8 - всё ещё хорошие квантовые числа (Р8-связь, или слу-
чай Рассела’- Сандерса). В более тяжёлых атомах релятивистские члены
более важны, и постепенно ситуация становится такой, что в основном опре-
деляется релятивистскими, а не электростатическими взаимодействиями. В
противоположном предельном случае спин-орбитальное взаимодействие яв-
ляется сильным и сначала оно связывает орбитальный и спиновый момент
отдельного электрона в его полный угловой момент з = I + 8, как мы рас-
сматривали для водородоподобного атома. После этого моменты отдельных
электронов складываются в полный электронный угловой момент
я = (8-5°)
а
Этот случай соответствует дд-связи, что больше подходит для тяжёлых
атомов. В ядре, из-за сильного спин-орбитального взаимодействия, нуклоны,
как правило, связаны по 77-типу.
8.5 Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие
Оператор магнитного момента частицы в центральном поле равен (в
единицах соответствующего магнетона, так как теперь мы будем включать
постоянную Планка в определение гиромагнитных отношений д1 и д3)
д = д38 + дД. (8.51)
Для того чтобы найти эффективный оператор магнитного момента внут-
ри 7-мультиплета, мы используем векторную модель, гл. 22.8,
ц = дДД, (8.52)
где эффективное гиромагнитное отношение есть
^(Л5)-щ + 1)“ Л> + 1) ’ ( }
Далее, нам нужно знать скалярные величины (22.74). Соотношение (8.9)
позволяет нам найти средние взаимные ориентации
/. /ч Д) + 1)+Ф+1) - ф + 1) . Ф' + 1) + ф + 1)-ф+1)
(Щ =--------------о------------’ О’’8) =------------5------------•
(8.54)
Конечно, эти величины одинаковы для всех состояний \(Рз)дт) с различны-
ми т. Наконец, эффективное гиромагнитное отношение (Фактор Ланде)
равно
7 1, п{(^+^Ъ'0'+1) + Ог-^)[^+1)-^(^+1)]}- (8-55)
4717 + -Э к ;
Как мы уже упоминали в гл. 22.7, табличная величина соответствует
состоянию с р = Д когда магнитный момент равен р = др Для электрона
мы можем положить = 1, д3 = 2 в единицах магнетона Бора цв, и
получим
ц =
ЗЛ^ + 1)-^+1) + 5(5 + 1)
2(7 + 1)
что сводится к
д _ ( е + 1, ] = 1' + 1/2,
МВ I С 7 = ^ - 1/2.
(8.56)
(8.57)
Для нуклонов спиновые гиромагнитные отношения определяются эмпи-
рическими магнитными моментами др и дп,
5(р) = 2др = 5, 58, дУ = 2дп = -3, 82 (8.58)
(в ядерных магнетонах, см. (1.71)). Для частицы, не имеющей внутренней
структуры, со спином 1/2 и зарядом е, спиновое гиромагнитное отноше-
ние предсказывается релятивистским уравнением Дирака и равно д8 = 2
(в единицах соответствующего магнетона). Это привело бы к спиновому
магнитному моменту для свободной частицы в точности равному одному
магнетону. Это так для электрона (или позитрона), с небольшими по-
правками КЭД порядка 10-3 из-за поляризации вакуума виртуальными
электрон-позитронными парами. Для нуклонов мы видим большую разни-
цу между фактическими значениями (8.58) и дираковскими значениями,
д3р^ = 2, д3п^ = 0. Эта разница (аномальные магнитные моменты) по-
рождается сильными взаимодействиями квантовой хромодинамики (КХД),
ответственными за внутреннюю структуру нуклона.
| Задача 8.5
Найдите магнитные моменты для протона и нейтрона в одночастичном
состоянии с квантовыми числами Мы). Поскольку нейтрон не несет элек-
трического заряда, считайте, что орбитальные гиромагнитные отношения
для нуклонов равны (в единицах ядерных магнетонов)
д? = 1, = 0. (8.59)
Решение Для д = (. ± 1/2 находим одночастичные магнитные моменты
1 1
МрО') - 2+^Р’ = / = ^+2’ (8-60)
где др и дп - величины (8.58), и
/ил = ДДД л.(л = -Д/*«. <8-61)
Зависимость магнитных моментов от д, даваемую (8.60) и (8.61), так назы-
ваемые линии Шмидта, 1937, для протонов и нейтронов можно сравнить
с экспериментальными данными для различных ядер, которые имеют
нечётное число протонов или нейтронов [?] . Для прямого сравнения мы
должны предположить, что весь магнитный момент ядра связан с по-
следней нечётной («непарной») частицей, и экспериментально измеренный
полный угловой момент д ядра равен угловому моменту д этого последнего
нуклона. В квазиклассическом пределе больших ;) я 8 магнитный
момент нейтрона, имеющий, в силу (8.59), только спиновую часть, равен
для всех д, в зависимости от параллельной или антипараллельной вза-
имной ориентации 8 и протонный магнитный момент линейно возрастает
как д ± др из-за орбитальной части. Следует отметить, что линии Шмидта
универсальны и не несут информации о характеристиках центрального
поля. Фактически одночастичные линии Шмидта дают лишь очень при-
близительное представление о действительных магнитных моментах ядер,
которые заметно меняются из-за многочастичных эффектов. Эксперимен-
тальные значения лежат в основном между линиями, и только если такое
значение действительно близко к одной из линий д = I ± 1/2, мы можем
попытаться определить орбитальный момент I последнего нуклона.
Задача 8.6
Уравнение Паули. Покажите, что гамильтониан Паули
/ \ 2
ст • (р - (е/с) А) )
“ - -——- <8-62’
правильно описывает поведение электрона в магнитном поле 13 = сиг! А
и предсказывает спиновое гиромагнитное отношение д3 = 2 в классиче-
ских единицах (е/2тс). Этот гамильтониан есть нерелятивистский предел
гамильтониана Дирака, гл. 37.5.
Решение Используя алгебру спиновых матриц, гл. 20.2, мы получаем из
(8.62)
Я = (6^ + ге^к<ук) Д (у - |д) (у - |а7) . (8.63)
Диагональный член (Д?) не содержит операторов спина и совпадает с
выражением для орбитального магнетизма, которое используется в нереля-
тивистской квантовой механике,
Л 1 / е \
ЯОгЬ = — (р - - А) . (8.64)
2т \ с /
Этот член содержит обычную кинетическую энергию К = р2/2ш, диамаг-
нитный член второго порядка
2
Дь = Д^А2. (8.65)
2тсЛ
и член первого порядка, отвечающий за орбитальный парамагнетизм
ДгД-Дт(р-А +А-р), (8.66)
4 I/ бС
что, в удобной симметричной калибровке для однородного статического
магнитного поля,
А = |[23хг], [7хА] = Б, V • А = 0, (8.67)
приводит к [в этой калибровке (р • А) = (А • р)]
^огь = —~ (А-р) = —х~— [йхг]-р = — —— 5-[гхр] = — (ГВ). (8.68)
огЬ тс к 7 2тс 1 2тс 1 2тс к 7 к 7
Результат (8.68) означает, что орбитальный магнитный момент, определён-
ный согласно
Д) (8.69)
равен
- еп я
М = 7,--
2тс
(8.70)
т. е. одному магнетону (при заданных значениях заряда и массы частицы).
(Вспомните простой квазиклассический вывод этого результата, гл. 1.8).
Оставшийся в уравнении (8.63) спиновый член антисимметричен и, сле-
довательно, содержит только перекрёстные слагаемые,
АфЫ = — еык(РгАд + АгРд)&к- (8-71)
^ / / бС
Выражение в скобках в уравнении (8.71) можно переписать в виде
Р^Ад + А^д = [Рг, Ад] + Ад]У + А^}д .
(8.72)
Последние два слагаемых симметричны относительно перестановки индек-
сов г О д и дают нуль при свёртке с антисимметричным тензором ёдуь в
то время как коммутатор даёт
Др1п = уМк = [V х А] • а,
р 2тс отз 2тс
(8.73)
или, поскольку 8 = а/2,
Я8р-П = • #), /Г = д8 = — = ^91- (8-74)
Таким образом, уравнение Паули предсказывает, что спиновый магнитный
момент частицы спина 1/2 в состоянии покоя равен (1/2)^р5, т.е. опять
одному магнетону.
8.6 Магнитная сверхтонкая структура
До сих пор при рассмотрении электронных атомных состояний было при-
нято во внимание только кулоновское поле ядра. Однако, как мы знаем из
гл. 22.5, ядра с ненулевым спином могут иметь также высшие мультиполь-
ные моменты внутреннего распределения заряда. Магнитные моменты
упоминались в предыдущем пункте, они имеют величину порядка ядер-
ных магнетонов. Многие ядра со спином I > 1/2 обладают несферическим
распределением заряда, которое характеризуется электрическим квадру-
польным моментом. Высшие мультипольные моменты также изменяют
поле, действуя на электроны, что приводит к появлению дополнительных
членов в атомном гамильтониане. Соответствующие изменения атомных
спектров рассматриваются как их сверхтонкая структура.
Начнём с эффектов для ядерных магнитных моментов. Магнитное ди-
польное взаимодействие ядерного магнитного момента у с магнитным
моментом электрона ре можно оценить по порядку величины как [3], § 44
(8.75)
Ядерный магнетон меньше магнетона Бора в отношении т/М массы элек-
трона к массе протона, и среднее расстояние валентного электрона от ядра
имеет порядок боровского радиуса а, так что
Сравнивая с расщеплением тонкой структуры (8.7), мы находим
6Е^ ~ 8Еез — ~ 1(Г3 8Е^ ~ 10-Щ,
(8.77)
где Е& есть типичная энергия связи электрона. Малость эффекта оправды-
вает название термина сверхтонкий.
Геометрия магнитной сверхтонкой структуры определяется эффектив-
ным гамильтонианом, который можно записать в виде взаимодействия
ядерного магнитного момента у с магнитным полем Б(0), создаваемым
электроном(ами) в ядре, расположенном в начале координат, и которое
считается точечным в этом приближении,
я'=-(М(о)).
(8.78)
Из-за слабости магнитного взаимодействия мы можем ограничиться при-
ближением теории возмущений, беря среднее значение возмущения (8.78)
в невозмущенном состоянии ядра и электронов. Ядерный магнитный ди-
польный оператор, в соответствии с векторной моделью, должен быть
пропорционален ядерному спину (полному угловому моменту ядра) I,
Д = дтКТ.
(8.79)
Гиромагнитное отношение д{ было найдено в Задаче 23.5 в одночастичном
приближении, точное значение для многочастичного случая можно взять
из эксперимента. Поле Б(0) должно быть усреднено по данной электронной
конфигурации, что даёт аксиальный вектор, направленный, в соответствии
с векторной моделью, вдоль единственного вектора, характеризующего
электроны как целое — полного углового момента Л электронов,
й(/) = уЛ. (8.80)
Здесь коэффициент у зависит от конфигурации и должен даваться атомной
физикой.
Мы видим, что эффективный гамильтониан сверхтонкой магнитной
структуры должен иметь форму
Я^ = -^П(5-1) = Л(5-1). (8.81)
Этот гамильтониан можно рассматривать совершенно аналогично гамиль-
тониану тонкой структуры (8.46). Соответствие между обоими очевидно,
8
Ь
Л = Ь + 8
I
Л
Г = 1 + Л.
(8.82)
Повторяя те же рассуждения, что и в случае тонкой структуры, мы
констатируем, что невозмущенные атомно-ядерные уровни с данными ./ и
4, но с разным полным угловым моментом Р атома, образуют мультиплет
сверхтонкой структуры (24 + 1) уровней, если I < Л, и (2Л + 1) уровней,
если Л < Р Каждый Р- уровень вырожден по общей проекции Рг = Мр.
Сдвиг энергии за счёт взаимодействия (8.81) выражается как в (8.49),
8ЕРЛ1) = ^ [РХ + 1) - ЛЛ + 1) - Щ + 1)] = АХр^^. (8.83)
Снова выполняется правило интервалов (8.49),
ЕГ(Л,1)-ЕГ-1(Л,1) = АР.
(8.84)
Таким образом, измерение сверхтонкого расщепления позволяет сделать
заключение о постоянной А и, следовательно, о магнитном моменте и
спине ядра. Атомная постоянная у должна рассчитываться независимо от
волновой функции атома.
8.7 Пример: один валентный электрон
В качестве иллюстрации мы рассмотрим простейший случай, когда маг-
нитное поле на ядре создаётся одним валентным электроном на орбите
\пГ}т); полностью занятые оболочки имеют нулевой угловой момент, так
что их общее магнитное поле исчезает.
В случае одного электрона вектор Л сводится к з = ^ + 8. Соответственно,
магнитное поле имеет два источника. Поле орбитального момента можно
найти по закону Био’- Савара [3], §43. Классический заряд е, движущийся
со скоростью V создаёт на расстоянии г магнитное поле
—* с
[г х V]. (8.85)
Соответствующий квантовый оператор направлен вдоль орбитального мо-
мента
- с/? 7 7
^ = — - = -2Мв^. (8.86)
тс т т
Спиновый магнитный момент у8 = д8Тг& создаёт другую часть магнитного
поля [3], §44,
4(0) = = _2/1в (8.87)
где п = г/г, единичный вектор в направлении электрона. Окончательно,
5(0) = — (1— 8 + Зп(8 • пЙ . (8.88)
г6 \ /
Этот оператор должен быть усреднён по всем квантовым числам, за ис-
ключением проекции т общего углового момента з, что приводит к эффек-
тивному оператору векторной модели, пропорциональномуз.
Задача 8.7
Покажите, что эффективный оператор векторной модели для величины
в скобках в равенстве(8.88) определяется соотношением
(/- з + Зп(8 • п)) = + 1) (]). (8.89)
Выражение (8.89) обращается в нуль для «8-электронов (^ = 0). Однако
в «8-состояниях волновая функция ^«(0) электрона отличается от нуля в
начале координат, и среднее значение 1/г3 расходится^ так что результат
оказывается конечным и правильным также и для И = 0. Для любого
значения I получаем, используя решение Задачи 19.4
- 2^
23(0) = -2/ав ч ---тт 1 (8.90)
а3п3Д + 1/2ДД + 1) 3 к 7
Это выражение определяет константу тд из уравнения (8.80). Оно справед-
ливо с точностью до релятивистских поправок, и поправок, учитывающих
конечный размер ядра. Коэффициент А, (8.81), который определяет на-
блюдаемое сверхтонкое расщепление, даётся соотношением
2^
А = 2ДВ а3п3(^ + 1/2)Щ + 1) П91' (8'91)
Для основного состояния атома водорода, п = 1, I = 0, 4 = 1/2, заряд
протона 2 = 1, спин 1р — 1/2, и магнитный момент протона рр — 2, 79 цту =
2, 79(ш/М2?)цв. Значит,
Ан = 2-5.58 ДД Д. (8.92)
7 к/ р За
По сравнению с нашей грубой первоначальной оценкой (8.75), мы имеем
дополнительный числовой множитель, близкий к 30. Сверхтонкая структу-
ра основного состояния атома водорода, Рис. 23.3, состоит из двух уровней,
синглета Р = 0 и триплета Р = 1. Интервал по энергии между ними,
согласно (8.84), равен константе А. Соответствующая частота перехода
и(Р = 1 -э Р = 0) =----= 1423 МНх. (8.93)
2лИ
Это знаменитая спектральная линия излучения межзвездного водорода с
длиной волны Л = 21 см. Являясь особенной линией самого легкого хими-
ческого элемента, она была предложена для поиска сигналов от внеземных
цивилизаций.
Значение частоты (8.93) отличается от очень точных экспериментальных
измерений на 0.2%. Это отклонение объясняется квантовой электродинами-
кой (наиболее точным разделом теоретической физики) поправкой (1.73) к
магнитному моменту электрона. Рассчитаны даже поправки более высокого
порядка (по степеням а), и результаты полностью согласуются с экспе-
риментами. И наоборот, последние измерения электронного магнитного
момента дают точное значение для постоянной тонкой структуры (18.96).
п=2,1=1
1=3/2
1=1/2
Б=2
Б=1
Б=1
Б=0
п=1,1=0 Ш
Рис. 8.3. Сверхтонкая структура основного состояния п = 1, 2$1/2 и
первые р-состояния п = 2, ^/2,3/2 атома водорода
Рис. 8.4. Расщепление Штерна”- Герлаха сверхтонкой структуры атома
водорода
В качестве примера применения отметим квантовый стандарт времени,
использующий радиочастотное излучение атомарного водорода. Между
расщеплёнными состояниями сверхтонкой структуры Р = 0 и Р = 1 воз-
можен радиационный М1 (обозначения гл. 21.6) переход с переворотом
спина; он наблюдается также в спектре межзвездного водорода. Инверсную
заселённость уровней сверхтонкой структуры, см. гл. 29.1, можно создать
с помощью установки Штерна”- Герлаха, Рис. 23.4, используя большую
разницу электронного и протонного магнитного момента. Мы можем от-
делить две верхние компоненты с магнитным моментом электрона вдоль
магнитного поля, Мр = 1, которая есть чистое Р = 1 состояние, и Мр = О,
которая является суперпозицией Г = 1 и Г = 0 с равными весами. Заселён-
ность верхнего Мр = 1, следовательно, выше, как это и необходимо для
инверсии. Если разделённый пучок попадает в радиочастотный резонатор
(Л ~ 21 сш), слабое спонтанное излучение будет вызывать самовозбуждение
и генерацию.
8.8 Квадрупольная сверхтонкая структура
Электрический квадрупольный момент ядра может иметь одночастич-
ную или коллективную природу. В первом случае он создаётся валентным
протоном, будучи порядка еЯ2, где К есть радиус ядра. Это возможно,
если валентный протон находится на орбите с полным угловым моментом
3 > 1/2. Коллективный квадрупольный момент зависит от степени дефор-
мации, которую можно охарактеризовать параметром /3, определяемым как
отношение разности радиусов ядра вдоль двух осей симметрии к среднему
радиусу ядра. В типичных деформированных ядрах деформация основного
состояния имеет порядок /3 ~ 0, 3, хотя в возбужденных состояниях некото-
рые ядра становятся сверхдеформированными с /3 ~ 0, 6, что соответствует
отношению осей, близкому к 2:1. Коллективный квадрупольный момент
(компонента вдоль оси симметрии, если ядро аксиально-симметрично) мож-
но оценить как ~ (32еК2, где 2е— заряд ядра. Коллективный эффект
может быть на один”—два порядка больше по величине, чем одночастичный.
Взаимодействие квадрупольного момента ядра с электроном приводит к
сдвигу энергии, который можно оценить в одночастичном случае как
е<2 е2К2 е2
® ~ ~ пз ~ ~
2
2
(8.94)
Для тяжёлых ядер К ~ 10-12 см, и <5Ео ~ 10-8 Еъ, сравните с оценкой
(8.77) для магнитного случая. Когда имеется коллективный квадрупольный
момент, квадрупольная сверхтонкая структура может быть важнее, чем
магнитная.
Согласно электродинамике [3], §42, ядерный квадрупольный тензор Сфу
взаимодействует с электростатическим потенциалом (/?, создаваемым атом-
ными электронами на ядре, через гамильтониан
= ’ <8-95>
ч 6 \ОХгОХд ) 0
где производные потенциала (компоненты градиента электрического по-
ля) берутся в центре ядра. Здесь в свёртке двух симметричных тензоров
подразумевается суммирование по повторяющимся декартовым индексам
г, у Квадрупольный тензор Сфу является бесследным, (16.130). Если I есть
ядерный угловой момент, эффективный оператор Сфу. усреднённый по всем
квантовым числам состояния ядра, за исключением проекции <Зг, должен
быть выражен как симметричный бесследный тензор через компоненты
I. С необходимостью этот эффективный тензор имеет вид (с некоторым
постоянным множителем д)
(8.96)
Задача 8.8
В соответствии с соглашением, в таблицах квадрупольных моментов
приводится величина которая есть среднее значение в состоянии
|1,Г = I) с максимальной возможной проекцией Т на ось квантования
(г). Найдите связь между и коэффициентом у в определении (8.96).
Решение
3$
9 “ 21(21-1)'
(8.97)
Нули в числителе (8.97)при 1 = 0 и 1 = 1/2 не означают, что у -л- оо,
поскольку при таких значениях I квадрупольный момент отсутствует, гл.
22.5.
Задача 8.9
Рассчитайте квадрупольный момент для одной частицы с зарядом е
на орбите с квантовыми числами
Решение
= е(3г2 - г2)„^ =1 (г2)„г- (8.98)
Результат зануляется при д = 1/2, как это и должно быть. Здесь отрица-
тельный знак отражает тот факт, что частица с максимальной проекцией
углового момента на ось г имеет волновую функцию, в основном сосре-
доточенную в перпендикулярной (экваториальной) плоскости, вспомните
(16.136); её облако сплюснуто и
(22)<|(г2). (8.99)
Аналогично выражению (8.96), симметричный тензор вторых производ-
ных электростатического потенциала может быть эффективно представлен
внутри мультиплета ОМ атомных состояний с моментом 7 как
дх^дх^ / 0
27(27- 1)
(8.100)
Мы сделали этот тензор бесследным, потому что только бесследная (ис-
тинно квадрупольная, а не скалярная) часть выживает при свёртке с бес-
следным квадрупольным тензором. В уравнении (8.100) рчч есть величина
(д2р/дг2)о в атомном состоянии \дХ = 7); сравните (8.97).
Задача 8.10
Рассчитайте рм для одного валентного электрона в состоянии \п^).
Решение Замкнутые оболочки образуют сферически симметричное ядро
с нулевым вкладом в квадрупольный момент. Валентный электрон даёт
вклад
д о- е
Рм = ТГГ \пв,3г= 3 1------г
<ЭД \ Г — Гдг
(8.101)
где гту и г - координаты ядра и электрона соответственно, а производные
должны браться при гту -Д 0. На основании (8.98) мы получаем
/ Зг2 — г2 \
= е \ /
\ / пСЦ
3 сое2 0 — 1
^3
2; + 2
4) • (8.102)
Г / тЛ
= е
Задача 8.11
Покажите, что квадрупольное сверхтонкое расщепление для семейства
мультиплетов с квантовыми числами Р, У, I даётся формулой
,.(3/2)Х(Х + 1)-27(7+1)7(7 + 1)
ИЕР (3. Г) - -------47(27 - 1)1(27 - 1)----' (8'103)
где величина X = Хр(^1) была определена в (8.83).
Изучение квадрупольной сверхтонкой структуры атома или молекулы —
это один из наилучших способов определения квадрупольного момента
ядра, если величина р^ известна или может быть рассчитана. Существует
целый ряд других эффектов, связанных с распределением зарядов и токов
внутри ядра. Во-первых, мы уже упоминали об изотопическом сдвиге атом-
ных уровней. Ядерные свойства, такие как магнитный и квадрупольный
моменты, среднеквадратичный радиус и т.д., изменяются при возбуждения
ядра; кроме того, атомные уровни вдобавок немного сдвинуты (изомерный
сдвиг). Атомные уровни зависят также от окружающей среды (химический
сдвиг). Это делает атомную спектроскопию полезным инструментом для
изучения свойств ядер и конденсированных сред, а также для точных
измерений фундаментальных констант. Особенно интересна спектроскопия
мюонных атомов, в которых мюон проникает глубоко внутрь ядра [?].
Глава 9
Всякое тело пребывает в том
состоянии, в котором оно находится,
до тех пор пока внешняя сила не
изменит это состояние.
И. Ньютон, цит. из книги Р.
Вестфолла, Не знать покоя —
биография Исаака Ньютона
Атом в статическом поле
9.1 Поляризуемость в постоянном электрическом поле
Рассмотрим систему заряженных частиц, находящихся во внешнем од-
нородном постоянном электрическом поле Е. Для определённости будем
говорить об «атоме», хотя результаты носят более общий характер.
Однородное электрическое поле характеризуется электростатическим
потенциалом
Дг) = -(<?• г), (9.1)
и потенциальная энергия взаимодействия системы с полем даётся суммой
по частицам с зарядами еа,
н' = ^еа^р(га) = -8 ^еага = -(8- й), (9.2)
а а
где мы ввели оператор (1 дипольного момента системы.
Часто внешнее статическое поле достаточно слабое, так что его можно
учитывать по теории возмущений. В первом порядке возмущённая волновая
функция соответствующая невозмущённому состоянию |&), даётся
суперпозицией (19.22) невозмущённых состояний,
1’Л) = 1Ч-ЕДД|»)- (9-3)
- Е”
Здесь и далее матричные элементы берутся для невозмущённых состо-
яний.
Правило отбора по чётности играет здесь большую роль. Возмущение
(9.3) генерирует примеси состояний |п), связанных с начальным состоянием
дипольными матричными элементами. Если невозмущённое состояние \к)
имеет определённую чётность, примешанные состояния должны иметь
противоположную чётность. В результате возмущённая волновая функция
(9.3) не имеет определённой чётности — система в электрическом поле может
приобрести постоянный дипольный момент, вспомните обсуждение в гл.
8.5. Среднее значение дипольного момента в в присутствии поля равно
Л)к = Ы’ЖФк'), (9.4)
где оба бра- и кет- вектора должны включать поправки первого порядка
(9.3),
я, = тк) - уз (тп) +
^к I Ек " Еп Ек~Еп
то ’ ^-пк) 3“ ’ ^кп^^-пк г\
= Акк - ? . --------ро _ П.О------• (9-5)
п^к к п
Здесь голый матричный элемент с1^ = (/с|й|/с) зануляется, если состоя-
ние имеет без поля определённую чётность. Результат (9.5) означает, что
дипольный момент (<!)& в приложенном электрическом поле состоит из
двух частей, исходного момента с1^, и наведённого момента который
пропорционален полю,
(аЬ = а^ + (а'Ь. (9.6)
Коэффициент пропорциональности между наведённым дипольным мо-
ментом и индуцирующим полем Г можно назвать статической поля-
ризуемостью (ср. Задачу 12.8),
(ЛЛ = (9.7)
Поляризуемость есть тензор второго ранга, зависящий от пробного
состояния \к),
Ы _ ^кп^пк + ^кп^пк м о\
к рр _ ро \ ' )
п^к п к
Определение (9.8) показывает, что тензор статической поляризуемости
является вещественным и симметричным, = а3^. Как видно из (9.7), а
имеет размерность объёма.
Для волновой функции (9.3) мы можем использовать общий рецепт
(19.18), чтобы определить изменение энергии вплоть до второго порядка
по отношению к электрическому полю
Ек = Ек - (8 • 1(^аД2, (9.9)
Еп~Ек
или, в терминах тензора поляризуемости (9.8),
Ек = Ек - (8-<Ткк) - | <^8г8г (9.10)
Мы пришли к классической формуле: энергия системы зарядов во внеш-
нем поле включает взаимодействие этого поля с исходным дипольным
моментом, (<? -<1^) (линейный член), и с дипольным моментом, наведённым
тем же полем (квадратичный член). Как и в классической электростатике,
Ц1 = = -(с + (<'")*) = НЛ*- (Я-И)
Таким образом, теория возмущений приводит к обычной картине си-
стемы зарядов, поляризованных однородным электростатическим полем.
Статическая поляризуемость является частным случаем теории линей-
ного отклика, которая вводит восприимчивость системы как отклик на
некоторое внешнее воздействие.
9.2 Эффект Штарка
В квантовой теории сдвиг (9.9) уровней энергии иногда называют эффектом
Штарка. Если исходные состояния \к) имеют определённую чётность, с1^ = 0
и линейный эффект Штарка отсутствует. Если имеется состояние \к) с опре-
делённым угловым моментом У Д 0, для применения теории возмущений
необходим выбор правильных линейных комбинации нулевого порядка, по-
скольку исходные состояния вырождены по проекции = М, независимо
от выбора оси квантования.
Возмущённая система, первоначально инвариантная относительно вра-
щений, теряет эту инвариантность, поскольку внешнее поле выделяет
направление в пространстве. Однако аксиальная симметрия по отноше-
нию к направлению поля по-прежнему остаётся. Поэтому проекция ф
углового момента на ось поля (<? = ф) всё ещё сохраняется, в отличие от Эх
и Эу. Если мы выберем ось г поля в качестве оси квантования, состояния
с определёнными значениями = М диагонализуют полный гамильто-
ниан и служат правильными линейными комбинациями для дальнейшего
применения теории возмущений. Правильные линейные комбинации опре-
деляются симметрией, и нет никакой необходимости в решении секулярного
уравнения.
Квадратичный эффект Штарка - это расщепление энергий магнитных
подуровней данного УМ-мультиплета по проекции М в слабом электри-
ческом поле. Зависимость расщепления от М может быть установлена
в общем виде. Давайте рассмотрим подпространство 2У + 1 состояний
|(&)У7И) мультиплета, где (к) обозначает все фиксированные квантовые
числа, не относящиеся к вращениям. В этом подпространстве мы введём
эффективный оператор таким образом, что его матричные элементы
равны компонентам (9.8) тензора поляризуемости. Наиболее общий вид
такого симметричного тензорного оператора для изотропной системы (опре-
делённое значение У) есть, в духе векторной модели и по аналогии с (23.96)
и (23.100),
хч хч 2 - \
УгУ/ + 'IлЦ — ~ У Фу 1 • (9.12)
о /
Этот тензор разложен здесь на скалярную часть, пропорциональную
следу агг [нет аналога в квадрупольном случае (23.96)], и бесследную
квадрупольную часть. В результате, оператор эффективно сокращается до
двух численных констант, скалярной и тензорной поляризуемости, Хк и @к-
Эти константы определяются структурой состояния |&); они всё ещё могут
зависеть от величины У, но не от компонент Уд
В случае У = 0 мы имеем просто сдвиг единственного состояния М = 0,
остаётся только скалярная компонента поляризуемости,
«к (7 = 0) = (9.13)
и выражение (9.8) для скалярной поляризуемости упрощается,
__ их их
= о акпапк
Х>к / > ГЛ О Г?О
^к- Ек
V- К/
(9-14)
Выражение (9.14) является положительно определённым для основного
состояния.
Задача 9.1
Покажите, что поляризуемость (9.14) для гармонического осциллятора
совпадает с точным результатом Задачи 12.8.
В атомной физике для дипольного перехода из основного состояния |0) в
возбуждённое состояние \п) вводятся так называемые силы осцилляторов
/пО ?
_ 2тшп0 2
,'п0 ” е2К ’
(9.15)
где т есть масса электрона, а = (Е° — Е^/К есть частота перехода.
Тогда статическая поляризуемость (9.14) основного состояния атома с 7 = О
может быть выражена через сумму сил осцилляторов,
е2
Хо = —
т
пДО
/пО
До
(9.16)
Это объясняет происхождение термина «сила осциллятора», так как
результат (9.16) действительно есть сумма поляризуемостей (12.57) от-
дельных атомных осцилляторов с частотами с^по5 взвешенных с их силами
/пО-
Задача 9.2
Найти квадратичное расщепление Штарка в мультиплете
Решение
1 Г 2 1
8Ек ОМ) = -- О \Хк - -ДМ + 1) - ЗА/2] }.
I О I
(9-17)
9.3 Поляризуемость атома водорода
Поляризуемость (9.8) содержит сумму по всем промежуточным состо-
яниям, возбуждённым из начального состояния дипольным оператором.
Это суммирование делает практическое вычисление нелёгкой задачей.
Точный ответ можно получить для квадратичного эффекта в основном
состоянии |0) атома водорода. Здесь можно даже точно решить уравнение
Шрёдингера при наличии электрического поля, разделив переменные в па-
раболических координатах [12], § 77. Мы ограничимся прямым вычислением
скалярной поляризуемости (9.14),
Хо^2е2У ^°та2До. (9.18)
Е°- к ’
п и
Ограничение п 0 не является необходимым, поскольку в любом слу-
чае гоо = 0. Задача может быть решена при помощи вспомогательного
оператора определённого таким образом, что
г|0) = [4,Я°]|0), (9.19)
где Н° есть невозмущённый гамильтониан атома водорода. Оператор
имеет смысл интеграла по времени г-координаты электрона (движение
вдоль поля).
Матричные элементы, необходимые в (9.18), можно теперь записать в
виде
гп0 = (п\[СН°]\0) = (Ео0-Е°п^п0. (9.20)
Это упрощает выражение для поляризуемости до
м = = (9221)
Н —
п и п
и сумма по промежуточным состояниям сводится к среднему значению
оператора в основном состоянии,
«о = -2е2(ге)оо. (9.22)
Задача 9.3
Найдите оператор и вычислите поляризуемость основного состояния
атома водорода.
Решение Предположим, что есть функция только координат, факти-
чески = ^(г, 0). Тогда (9.19), вместе с явным выражением для функции
основного состояния ?Д)(г), приводит к дифференциальному уравнению для
функции Это уравнение решается с помощью разделения переменных в
сферических координатах. В результате получим (а есть боровский радиус)
1 / г \ % (т
« = -?(.2+'’Г“59 = -? (,2 + о
так что
Хо = 2<0Ц2 (| + «) |0).
(9.23)
(9.24)
Благодаря сферической симметричности основного состояния, для любой
ад
(0|/(ф2|0) = |(0|Дф2|0). (9.25)
О
Используя явное выражение для волновой функции основного состояния,
получаем
(9.26)
(9.27)
9.4 Эффект Штарка в атоме водорода
Атом водорода своеобразен благодаря «случайному» кулоновскому вы-
рождению. Вследствие этого можно взять в качестве невозмущённого
состояния любую суперпозицию уровней с разными но одним и тем же
главным квантовым числом п. В частности, можно наложить друг на друга
Аорбитали противоположной чётности. Тогда невозмущённое состояние не
имеет определённой чётности, и невозмущённый дипольный момент с1^ не
обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к линейному эффекту
Штарка. Основное состояние является невырожденным, и для него возмо-
жен только квадратичный эффект. Линейный эффект появляется уже при
п = 2.
Задача 9.4
В рассуждении выше мы пренебрегали спин-орбитальным расщеплением,
считая, что эффект, связанный с электрическим полем, больше этого
расщепления. В этом случае все четыре состояния с п = 2, а именно 2<§
и 2р, можно рассматривать как изначально вырожденные, пренебрегая
спином электрона. Оцените величину электрического поля, для которого
это предположение является правильным.
Решение Рассмотрим четыре вырожденных состояния с п = 2. Сообра-
жения симметрии показывают, что нет необходимости брать линейные
комбинации их всех. Так как проекция = т на направление поля со-
храняется, р-состояния \п1т) = |211) и \п1т) = 121 — 1) не смешиваются,
так что для этих состояний может наблюдаться только квадратичный
эффект. Линейный эффект возникает для вырожденных состояний с од-
ним и тем же значением т, но разными а именно: для 2<§-состояния
2§(т=0)
2р(т=0, ±1)
[|2$(т=0))-|2р(т=0))]
|2р(т=М)>]
[|2§(т=0))+|2р(т=0))]
Рис. 9.1. Схема уровней оболочки п = 2 в атоме водорода в электрическом
поле, сильном по сравнению с интервалами тонкой структуры
|200) и 2р-состояния |210). Здесь мы имеем дело с вырожденным пределом
стандартной двухуровневой задачи, гл. 19.4. Возмущение равно
(9.28)
и правильные линейные комбинации есть
|Д = -^(|200)т|210))
(9.29)
с энергиями, сдвинутыми от невозмущёных значений Бальмера недиаго-
нальным элементом матрицы смешивания
= ±еЕ |<200|г|210>| .
(9.30)
Задача 9.5
Рассчитайте элемент матрицы смешивания и нарисуйте схему линейного
расщепления уровней для п = 2.
Решение Схема уровней показана на Рис. 24.1, и расщепление даётся
равенством (9.30) с
(200|г|210> = -За.
(9.31)
Квадратичный эффект для оболочки п = 2 также отличается от обсуж-
давшегося выше для п = 1. В р-состояниях орбитальный момент равен
И = 1, и тензор поляризуемости, усреднённый по всем квантовым числам,
за исключением С имеет вид (9.12) с Л -4- I. Если электрическое поле слабо
по сравнению с эффектами тонкой структуры, сохраняется вектор ф и,
соответственно, Л^)в (9.12). Ещё раз подчеркнем, что коэффициенты Хк
и /3& определяются внутренней структурой системы и зависят от И и ф но
не от т.
9.5 Неоднородное электрическое поле и дополнительные
комментарии
Если внешнее электрическое поле не является однородным, мультиполь-
ные моменты распределения заряда внутри системы взаимодействуют с
высшими производными электростатического потенциала р внешнего поля.
На практике поле обычно слабо меняется на размерах атома или ядра.
Поэтому наиболее существенные поправки происходят от неисчезающих
производных самого низкого порядка и, соответственно, самых низких
мультиполей системы.
Как правило, достаточно учесть квадрупольное взаимодействие, вспом-
ним (23.95), с градиентом внешнего поля
Щ (9.32)
где градиент берётся в начале координат, где находится атом (или ядро), и
С3;д есть оператор квадрупольного момента системы.
Задача 9.6
Найдите расщепление уровня |У7И) из-за ненулевого градиента электри-
ческого поля (дЕг/дг)о = — (д2р/дг2)о = —рп-
Решение
ЯТТ^(ТМ\ — л" П ^М2 — 3(3V) , х
(УМ) — р 4У — 1) ’ (9.33)
где есть квадрупольный момент системы в состоянии |&), определённый
стандартным образом, Задача 23.8, для подсостояния с максимальной
проекцией М = У.
Во всех рассмотренных выше случаях уровни с противоположными
значениями ±М проекции углового момента остаются вырожденными.
Это есть прямое следствие инвариантности аксиально-симметричного га-
мильтониана по отношению к отражению в любой плоскости, которая
содержит ось % электрического поля. Возьмём плоскость х%. При таком
отражении ^-компонента любого вектора меняет знак, в то время как х- и
г-компоненты остаются неизменными. Проекция углового момента на ось
г, = (хру — УРх)- меняет знак, М -Д —М. Поскольку гамильтониан с до-
бавленным электрическим полем не меняется, состояния |УМ) и |У — М)
вырождены. Кроме того, эти состояния переходят друг в друга при обраще-
нии времени, в то время как электрическое поле любой конфигурации не
нарушает Т- инвариантности, так что состояния, которые получаются из
| УМ) и \3 — М) в присутствии поля, остаются вырожденными. В магнитном
поле ситуация иная.
Строго говоря, однородное электрическое поле делает состояния, которые
мы рассматривали выше, квазнстацнонарнымн. Как и для холодной эмис-
сии из металла, Задача 2.5, в однородном электрическом поле возникает
конечная, хотя и небольшая, вероятность туннельного выхода частиц из
системы, например, ионизации атома. Однако время жизни по отношению
к ионизации полем обычно очень большое [12], § 77.
9.6 Классический эффект Зеемана
Переходя к эффектам статического магнитного поля, напомним, что мы
уже рассмотрели свободное движение, гл. 13, и спин, гл. 20.4, в магнитном
поле. Если система связанных заряженных частиц помещается в однород-
ное статическое магнитное поле 23, возникает характерное расщепление
спектральных линий. Расщепление в слабом магнитном поле называется
эффектом Зеемана.
В классической теории эффект Зеемана прямо следует из электродина-
мики. Согласно теореме Лармора [3], § 45 , поведение системы заряженных
частиц в произвольном сферически симметричном электростатическом
потенциале и слабом однородном магнитном поле такое же, как в том же
электрическом поле, но без магнитного поля, в системе отсчёта, которая
равномерно вращается с ларморовской частотой
= (9.34)
2тс
где отношение е/т считается одинаковым для всех частиц. Грубо суть
теоремы Лармора может быть объяснена на примере финитного движения
заряженной частицы по окружности с частотой что соответствует
кинетической энергии Е$ = (1/2)тг2сад. Если мы приложим магнитное
поле перпендикулярно плоскости орбиты, частота вращения станет сад +
т.е. Ео Е = (1/2)тг2(фо + ^ь)2- Если поле слабое, сад
Е Ео + = Ео + ГГД, (9.35)
где Ъ есть классический орбитальный момент. Дополнительная энергия,
Шь =------ЬВ=-иВ, (9.36)
2тс
в
о’ (ЛМ=-1)
1еЙ с1гси1аг
рокпгаНоп
В
л (ЛМ=0)
Нпеаг
рокпгаНоп
В
о+ (ЛМ=+1)
г1§111 с1гси1аг
рокпгаИоп
Рис. 9.2. Классический эффект Зеемана
возникает из взаимодействия орбитального магнитного момента у = д^Ь, д/ =
е/2тс с магнитным полем. На языке классической механики, в (9.36) при-
нимаются во внимание силы Кориолиса, но пренебрегается квадратичными
по центробежными эффектами.
В классической теории электрона атомный электрон рассматривается
как линейный осциллятор, который излучает свет с частотой, равной его
собственной частоте сад- В слабом магнитном поле 13 линия, вдоль кото-
рой электрон колеблется, начинает вращаться вокруг направления поля
с частотой Разложим первоначальное гармоническое колебание на
параллельную и перпендикулярную к В компоненты. Поле не влияет на
продольную компоненту, которая всё ещё генерирует спектральные линии
излучения с невозмущённой частотой с^о- Поперечная компонента может
быть представлена в виде суперпозиции двух круговых движений с противо-
положными направлениями вращения. В магнитном поле соответствующие
частоты расщепляются, сад —> М) ±
Со спектральной точки зрения, магнитное поле преобразует невозмущён-
ную линию в триплет Лоренца: л-компоненту с са = сао и а-компоненты с
а) ± Если наблюдатель смотрит в направлении, перпендикулярном к
магнитному полю, он видит л-линию как волну, линейно поляризованную
вдоль поля, Рис. 24.2. Как всегда, мы определяем направление поляризации
по электрическому полю излучаемой волны. Смещённые а-линии будут
линейно поляризованы перпендикулярно статическому магнитному полю.
Глядя вдоль магнитного поля, наблюдатель видит только а-линии с проти-
воположными круговыми поляризациями; л-линии здесь будут невидимы,
поскольку колеблющийся заряд не излучает вдоль направления движения.
Таким образом, согласно классической электромагнитной теории, все
спектральные линии атома в магнитном поле приводят к нормальному
эффекту Зеемана с триплетом частот. На опыте же чаще всего в атомах
наблюдается аномальный эффект Зеемана, когда число расщеплённых
компонент не соответствует триплету Лоренца.
9.7 Квантовая система в магнитном поле
Общий гамильтониан нерелятивистской системы заряженных частиц в
постоянном магнитном поле может быть записан в виде Н = Н° + Н\ где
магнитные эффекты даются выражением
( 2
н' = - 52 1 (₽“ А(Г«) + А(Г«) Ра) ” 9 2А2(Га^ + ' ^(га)
(9.37)
Нам уже приходилось иметь дело с частями этого гамильтониана в гл.
13.2 для орбитального магнетизма, в гл. 20.4 для спинового магнетизма и
в задаче 23.6.
В случае однородного магнитного поля 13 удобно использовать симмет-
ричную калибровку с векторным потенциалом
А(г) = |Дхг]. (9.38)
При таком выборе
(Цу А = 0 р • А = А • р, (9.39)
и гамильтониан немного упрощается,
Г 2
н = я° - 52 — (А(г«) • Ра) - Аа2(гв) + д^П(за -В)\. (9.40)
( тас \ / 2таГ )
Как и раньше, Н° означает часть гамильтона, которая не содержит
магнитного поля. В симметричной калибровке (9.38)
А • Р = | [Вх г] • р = • [г х р] = ^В Л, (9.41)
что явно соответствует орбитальному магнетизму, так что
Н = Н° - 52 Д • 4) - № х га)]2 + 9^а -В)}. (9.42)
( 2тас ®тасл )
Первое слагаемое в фигурных скобках здесь аналогично классическому
взаимодействию (9.36) орбитального магнитного момента с магнитным по-
лем. Аналогом следующего (квадратичного по полю) члена пренебрегалось
в классическом случае (9.35). Как можно увидеть из непосредственной
оценки, он может стать сопоставимым с предыдущим членом только в
очень сильном магнитном поле и на больших орбитах. На фоне линейного
члена квадратичные эффекты экспериментально наблюдались в спектре
поглощения щелочных металлов для переходов в сильно возбуждённые
состояния, п Е> 1, в магнитном поле В ~ 1Т, см. ниже, гл. 24.12.
9.8 Нормальный квантовый эффект Зеемана
Для относительно слабого однородного магнитного поля мы можем
пренебречь квадратичным членом гамильтониана (9.42). Давайте также
не будем принимать во внимание спиновый магнетизм. Для бесспнновых
частиц с одинаковым соотношением е/тп гамильтониан (9.42) становится
равным
Я = Я°-Д-Б-^4 = Я°-Д-Б-Ь, (9.43)
2тс 2тс
а
где Ь есть полный орбитальный момент системы. Гамильтониан (9.43) очень
прост. Конечно, мы выбираем ось квантования г вдоль магнитного поля,
тогда В = Вг. Если невозмущённый гамильтониан Н° был инвариантен
относительно вращений, так что анизотропия возникала только за счёт
магнитного поля, невозмущённые состояния имели определённые значения
Е2 и Д. Невозмущённая энергия зависит от Ь (и других квантовых
чисел), но не от Ъг = М. Как видно из (9.43), квантовые числа Ъ и М
также сохраняются для возмущённого гамильтониана Н. Стационарные
состояния \ЬМ} остаются стационарными, хотя их энергии изменяются:
ей
Еьм = Е°Ь-—ВМ = Е°Ь- /авВМ. (9.44)
2тс
Магнитное поле в этом случае просто расщепляет все вырожденные
ЬМ-мультиплеты на 2Ь + 1 компонент с различными значениями М. Рас-
щепление линейно по величине поля и эквидистантно, Рис. 24.3, с шагом,
равным кванту ларморовской частоты,
еН
Еьм+1 - Еьм = ~йвВ = --— В = Шь. (9.45)
2тс
В отличие от электрического поля, вырождение сопряжённых по вре-
мени состояний ЕМ снимается. Как обсуждалось выше, это связано с
ДМТ=-1 ДМдО ДМ;= + 1
Рис. 9.3. Нормальный квантовый эффект Зеемана и триплет Лоренца;
пример переходов ДМ = 0, ±1 между мультиплетами 7 = 2 и 7 =1 с
одинаковым гиромагнитным отношением
Т-нечётным характером магнитного поля, которое действует противопо-
ложным образом на состояния с противоположными направлениями вра-
щения.
Эти результаты точно соответствуют классическому нормальному эффек-
ту Зеемана. В самом деле, рассмотрим излучение невозмущённой частоты
с^о = (^1 — ^2)/^ отвечающее переходу между двумя невозмущёнными
мультиплетами, Рис. 24.3. При наличии магнитного поля вместо этого
возникает ряд переходов между различными компонентами двух расщеп-
лённых мультиплетов. Возможные частоты равны
Е' = ^1° ^2° _ ~м2) =Шо + аь^м. (9.46)
/ V IV И
Как мы увидим в теории излучения, наиболее интенсивными переходами
являются переходы с изменением проекции ДМ = 0, ±1. Это связано с пра-
вилами отбора для дипольного излучения, которое имеет самую большую
интенсивность по сравнению с другими мультиполями. Такие переходы
точно соответствуют лоренцевскому триплету ш = сто- =Ь Легко ви-
деть, что поляризация излучаемых волн также совпадает с тем, что мы
упоминали для классического случая. В л-переходе, ДМ = 0, излучаемый
фотон не несёт углового момента в направлении г, что означает, что волна
линейно поляризована вдоль поля, а- переходы с ДМ = ±1 соответствуют
круговой поляризации в плоскости, перпендикулярной полю.
9.9 Аномальный квантовый эффект Зеемана
Аномальный квантовый эффект Зеемана возникает, когда во взаимодей-
ствие с магнитным полем даёт вклад спиновый член в гамильтониане (9.40).
На практике это случается чаще, чем «нормальный» эффект. Для системы
одинаковых частиц, например, атомных электронов с гиромагнитными
отношениями и д3. гамильтониан (9.43) заменяется на
Н = Н° -П(д^ + дЯ)-В, 8 = ^8а. (9.47)
а
Дальнейшие расчёты в значительной мере зависят от соотношения между
величинами внешнего поля В и «внутреннего» поля, В^ ~ (1/с)|у х 8} ~
1 — ЮТ в атомах, которое приводит к расщеплению тонкой структуры, гл.
23.
За исключением самых тяжёлых атомов, релятивистские эффекты не
очень сильны, и Ь5-связь может служить хорошим приближением. То-
гда Ь и 8 являются хорошими квантовыми числами многоэлектронных
состояний. Пусть внешнее магнитное поле относительно слабо, так что
зеемановское расщепление мало по сравнению интервалами тонкой струк-
туры; это область правильного эффекта Зеемана. В такой ситуации тонкая
структура определяет Т также как хорошее квантовое число. Состояния
\Ъ833г = М) есть правильные линейные комбинации нулевого порядка.
Физическую картину можно интерпретировать таким образом, что Ь и
8 связаны спин-орбитальным взаимодействием в Л, который прецессиру-
ет вокруг поля В. Зеемановское расщепление даётся средним значением
магнитного взаимодействия в подсостояниях \Ь83М} мультиплета.
Задача аналогична задаче гл. 23.5, и результат можно взять непосред-
ственно из (23.55), изменив обозначения. Сдвиг энергии состояния \Ь83М}
равен
8ЕМ = -дПВМ, (9.48)
где эффективное гиромагнитное отношение вновь определяется фактором
Ланде,
_ 9е + 9з 9е - 98 + 1) ~ ^(^ + 1)
9 2 + 2 7(7 + 1) }
Здесь важно, что мы имеем дело с тождественными электронами, так
что гиромагнитные отношения = цв/^ 9з = Ущв/Ъ такие же, как для
одного электрона,
Д = + ^а)«а) = дЛ + дЯ- (9.50)
а
В отличие от нормального эффекта Зеемана, здесь расщепление не
одинаково, а определяется всеми квантовыми числами 8, Ъ и 3. Уровень
\Ъ83М} расщепляется на 27 + 1 эквидистантных компонент, в то время
как его центр тяжести не сдвигается,
^2Ши(Г57) = 0. (9.51)
м
Радиационные переходы между расщеплёнными по-разному зеемановски-
ми мультиплетами дают в общем случае более трёх спектральных линий.
Только спиновый синглет, 5 = 0, приводит к нормальному эффекту Зеема-
на.
9.10 Более сильное магнитное поле
Сейчас мы переходим к случаю, когда магнитное поле является сильным
по сравнению с расщеплением тонкой структуры, но конечно, всё ещё
слабее, чем электростатическое расщепление между уровнями с различ-
ными значениями Ь и 8, — только тогда мы можем использовать теорию
возмущений.
В таких «сильных» полях мы можем сначала пренебречь тонкой струк-
турой. Орбитальный момент и спин тогда становятся несвязанными подси-
стемами, выстроенными независимо друг от друга вдоль магнитного поля
13 = 13Тогда Г% и 8% коммутируют с гамильтонианом, который включает
внешнее магнитное поле, но не спин-орбитальное взаимодействие, и дают
хорошие квантовые числа Мв и М$. Рассуждая качественно, сильное маг-
нитное поле разрушает спин-орбитальное взаимодействие и заставляет Ь и
8 прецессировать по отдельности вокруг вектора 13 (эффект Пашена-Бака).
Правильные линейные комбинации в случае магнитного поля более силь-
ного, чем тонкая структура, есть несвязанные состояния \Г8МвМ$). Сред-
нее значение магнитной части гамильтониана (9.47) определяет сдвиги
энергии
5ЕМьм3 = -НВ{Г8МьМ8\деГгГд38г\Г8МьМ8) = -П13(дсМь +д3М8).
(9.52)
Подставляя стандартные гиромагнитные отношения для электронов, полу-
чаем
дЕМьм3 = -/лвВ(Мь + 2М$). (9.53)
Теперь спин-орбитальное взаимодействие (23.31) является вторичным эф-
фектом, что в первом порядке приводит к дальнейшим сдвигам уровней
6Е^Мз = {Ь8МьМ3\Мз^ • 8)\Ь8МьМ3) = ХУЬЗМЬМ3. (9.54)
В промежуточных случаях спин-орбитальное взаимодействие и внеш-
нее магнитное поле должны рассматриваться одновременно, что обычно
приводит к секулярному уравнению некоторого порядка. Несмотря на то,
что аналитически решить его невозможно, численную диагонализацию
выполнить просто и, как правило, легко сделать качественную интерполя-
цию между предельными случаями слабого и сильного поля, для которых
решение известно. Очень помогают соображения необходимости избегать
пересечения уровней с одинаковой симметрией, гл. 10.5. В самом деле, пред-
положим, что два уровня пересекаются при некотором значении В = В®.
Тогда их энергии близки в непосредственной близости от этого значения.
Эта эффективная двухуровневая задача обсуждалась в гл. 10.4 и 10.5.
Решение (10.42) показывает, что точное пересечение может произойти,
только если одновременно выполняются два условия, Нц(Бо) = ^22(^0) и
#12(^0) = 0. Два независимых условия, как правило, не могут быть удовле-
творены при помощи выбора одного параметра Йо- Пересечение происходит
только в том случае, когда, благодаря свойствам симметрии, элемент Н±2
смешивающей матрицы тождественно равен нулю.
Для нашей задачи точной константой движения для любого значения
магнитного поля является только проекция Е = М полного углового мо-
мента на направление поля. Уровни энергии Ем (В) сохраняют значение М
при изменении поля В. Поскольку все матричные элементы гамильтониана
между уровнями с различными М зануляются, эти уровни могут пересе-
каться, а уровни с одинаковой симметрией (с одинаковыми значениями М)
не пересекаются.
Задача 9.7
Начертите качественно расщепление уровня 2р в водородоподобном атоме
как функцию магнитного поля.
О -1/2 -1/2
-1 -1/2 -3/2
_________________________________ С>иап1ит питЬегк (81гоп§ йеМ)
Рис. 9.4. Схема уровней для 2р-состояния водородоподобного атома в
магнитном поле
Решение См. Рис. 24.4. В отсутствие магнитного поля мы имеем спин-
орбитальное расщепление между вырожденным дублетом 2р±/2 и вырож-
денным квартетом 2р3/2, который смещён в сторону больших энергий. В
достаточно сильном магнитном поле степень упорядоченности определяет-
ся, в соответствии с (9.53), квантовым числом тгл ± 2т3. Полная проекция
т = пц ± т8 сохраняется при эволюции системы. Уровни с одинаковым т
не пересекаются.
Задача 9.8
Ядро со спином 4, гиромагнитным отношением д и квадрупольным
моментом помещено в кристаллическую структуру, в которой имеется
градиент электрического поля на ядре, (дЕг/дх)о = — р". Кроме того,
под углом в с осью г приложено статическое магнитное поле 13. Найти
энергетическое расщепление мультиплета |4М).
Решение Мы должны объединить электрический квадрупольный эффект
(9.33), чётный по отношению к М —> —М, с эффектом Зеемана. Осложне-
нием при полуцелых значениях I является то, что магнитное поле имеет
поперечную компоненту /Зет#, которая связывает состояния М = ±1/2,
которые были бы вырожденными при наличии только электрического поля.
Поэтому мы должны рассмотреть отдельно это подпространство размер-
ности 2x2, где требуется точная диагонализация магнитной части. В
результате получим
1}[ЗМ2 -1(1 +1)] - дПМВ соз 0[1 + (€ - 1)<5|м\,1/2],
где параметр
е = ^/1 + а +1/2)2 ьп2
(9.56)
возникает при диагонализации.
9.11 Диамагнетизм
Магнитные эффекты, связанные с линейными членами гамильтониана
(9.42) исчезают, если состояние атома не имеет ни спина, ни орбитального
момента, 8 = Ь = 0. Это происходит, например, в атомах инертных газов,
где электроны полностью заполняют некоторые оболочки, и все их угловые
и магнитные моменты сокращаются.
В этой ситуации единственный эффект возникает от квадратичного члена
(9.42)
р2
а
где, поскольку рассматриваются атомные электроны, мы считаем все заря-
ды и массы одинаковыми. В магнитном поле, направленном вдоль оси г,
этот гамильтониан равен
р2К2
^(2) = (9-58)
Для расчёта среднего значения этого возмущения в невозмущённом
состоянии с Ъ = 8 = 0 необходимо знать среднеквадратичный радиус
атома, (Я2),
(9.59)
где 2 - количество электронов. Здесь мы использовали сферическую сим-
метрию состояния с Ь = 8 = 0. Окончательный результат для сдвига
энергии заполненной оболочки равен
6Е^ =
е2В22
12 тс2
(Я2).
(9.60)
Среднее значение магнитного момента, подобно электрическому диполь-
ному моменту (9.11), может быть записано в виде
д Г
В линейном приближении эта производная сводится к константе, которая
пропорциональна угловому моменту,
Л)м = -дКМ, (9.62)
где д есть соответствующее гиромагнитное отношение. Такие атомы обра-
зуют парамагнитный газ, в котором намагниченность пропорциональна
внешнему магнитному полю. Более точно, каждый атом имеет свой соб-
ственный магнитный момент (9.61) но без поля эти моменты для различных
атомов являются случайными и сокращаются. Поле расщепляет энергии
и делает более выгодным заселение низкоэнергетических подуровней с
магнитным моментом, направленным вдоль поля; энергия газа в целом
уменьшается.
В случае Ъ = 8 = 0 нет намагниченности отдельных атомов, но квадра-
тичный сдвиг (9.60) приводит к зависимости энергии от поля. По аналогии
с диэлектрической поляризуемостью, (9.7,9.11), можно определить стати-
ческую магнитную восприимчивость у как
Согласно формулам(9.60) и (9.61), эта величина диагональна, хгз = у5д,
и отрицательна^ энергия возрастает,
4Е'2» = -|уБ2.
(9.64)
Яе2
бтс2
(Я2).
(9.65)
Грубо говоря, характерный объём для электрической дипольной воспри-
имчивости (9.27) есть объём атома, а для диамагнитной восприимчивости
один размер заменяется классическим радиусом электрона (1.40), который
2
в а раз меньше.
9.12 К действительно сильным магнитным полям
Являясь эффектом второго порядка в магнитном поле, диамагнетизм, как
правило, очень слаб. Эффект Мейснера в сверхпроводниках, гл. 14.7, есть
проявление идеального диамагнетизма, когда магнитное поле полностью
вытеснено из основной части вещества. Диамагнитные эффекты больше в
молекулах, подобных бензольным кольцам с большим пространственным
размером, или в полупроводниках (или полуметаллах, таких как висмут) с
малой эффективной массой носителей заряда (электронов или дырок).
Другим экспериментально доступным примером являются сильно воз-
буждённые ридберговские атомные состояния, где кулоновский радиус
орбиты становится очень большим. С одним возбуждённым электроном
на такой орбите система напоминает водородоподобный атом [22]. Основ-
ные магнитные эффекты для ридберговских орбит с большим квантовым
числом п связаны с квадратичным членом Н^2\ поскольку площадь куло-
новской орбиты, важная для диамагнетизма, растёт ос г2 ос п4. Используя
ларморовскую частоту (9.45), мы можем пренебречь членами, линей-
ными по магнитному полю, и прийти к приближенному гамильтониану
Л у. 2 2 1
11 ~ -----------ь -тО/^г2 4п2 0,
2т г 2
(9.66)
где мы снова предполагаем однородное магнитное поле 13 = 13 г. Это по-
ле можно рассматривать как действительно сильное (не «сильное» по
сравнению с расщеплением тонкой структуры в смысле гл. 24.10, но срав-
нимое с электростатическим притяжением), когда диамагнитный и ку-
лоновский члены в уравнении (9.66) одного порядка. В этом случае мы
имеем й2г2/тс2 ~ 1/г. Это условие может быть также выражено при
помощи сравнения типичных пространственных масштабов, площади ор-
биты, г2 п4а2, где а = 0?/те2 есть обычный боровский радиус, и
размера, ~ К2, ларморовского движения (13.60), который уменьшается как
Я ос 1/\/й:
г2 п4а2 _ 4 В
в? ~ ТЛ = п
Здесь введена критическая величина поля,
9 Ч
т се
В,,=
(9.67)
(9.68)
= 2,35 - 109,
Кулоновский и диамагнитный члены становятся одного порядка вели-
чины для поля порядка Тесла (104 Гс) и п ~ 50 4- 100. Такие поля можно
изучать в лабораторных условиях.
Из-за конфликта симметрий, обусловленного одновременным наличием
сферически-симметричного кулоновского притяжения и сильного магнитно-
го поля, классическое движение на таких ридберговских орбитах становится
хаотичным [22]. Эксперименты по фотопоглощению ридберговскими ато-
мами [23] возле порога ионизации в поле 13 ~ 6 Т привели к открытию
так называемых квази-Ландау резонансов, с шагом по энергии, близким
к (3/2) И2С, в отличие от стандартных резонансов НПС для переходов с
циклотронной частотой Пс между уровнями Ландау, хорошо известными
при малых полях.
Задача 9.9
Объясните это открытие с помощью квазиклассических оценок для
движения электрона в экваториальной плоскости, которое определяется
гамильтонианом (9.66) при Е, близком к нулю.
Решение Мы можем поступить аналогично тому, как было сделано в
начале курса, гл. 1.7. Как и в (1.60), энергия перехода между сильно
возбужденными квазиклассическими уровнями равна кванту классической
частоты радиальных колебаний,
пл = ——,
Т ’
(9.69)
где скорость движения вблизи порога ионизации, Е 0, между радиаль-
ными точками поворота а и Ъ равна
- тО2д2 ।.
2 ь )
(9.70)
Интеграл (9.69) может быть вычислен с помощью замены переменных
г = ^(2е2/тП^)1/3 и у = ^3/2,
Т=М =^-1" л'< =^. (9.71)
7о д/1 — ^3 3$ ^/1 — ц2 ЗГ^ь
Частота(9.69), которая определяет расстояние между резонансами, сейчас
равна ЗПь = (3/2)Г2С.
При величине магнитного поля, превышающего Йо, (9.68), мы попадаем
в область физики сверхсильных магнитных полей, когда электронный диа-
магнитный эффект становится больше характерной кулоновской энергии.
Конечно, мы должны отказаться от рассмотрения магнитного поля как сла-
бого возмущения к нормальной атомной структуре. Напротив, магнитное
поле становится главной динамической силой. Имея малый циклотрон-
ный радиус Я, движение в плоскости, поперечной к магнитному полю,
сильно ограничено, в противоположность движению вдоль поля. Атомы
становятся сильно деформированными в направлении поля, приобретают
цилиндрическую или «иглообразную» форму.
Простое представление об этом экзотическом состоянии вещества можно
получить из оценки для атома водорода. Волновая функция основного со-
стояния электрона в кулоновском поле и сильном магнитном поле В~ будет
иметь размер 2 вдоль поля больше, чем поперечный размер Я, (13.60).
Кинетическая энергия продольного движения составляет порядка И2/т22.
Кулоновский потенциал е2/г = е2/ д/р2 + г2 должен быть усреднён по быст-
рому циклотронному вращению с поперечным размером орбиты р 11.
Поперечная волновая функция ^(р) должна быть нормирована в пределах
р 11. что означает, что -0 ~ (1/р). Тогда усреднение кулоновского потен-
циала по циклотронному движению даёт величину порядка (е2/Я) \тф2 /И).
Минимизация выражения
К2 1 е2
т Я2 ” ~2
(9.72)
где мы предполагаем, что \п(2 / И) 1, даёт оценку (а = К2/те2), (а/Я)2
(ВД)
К2 1 а
те2 1п(а/Л)2 1п(й/йо)’
(9.73)
где использовано определение критического поля (9.68). Энергия связи
основного состояния растёт ос 1п2(й/йо). Более аккуратное рассмотрение
можно найти в обширной литературе, например, в «мини-обзоре» [24].
Магнитные поля 13 Во не могут быть созданы в лаборатории. Однако
соответствующие эффекты магнитного поля могут существенно усиливать-
ся в конденсированных средах, не только из-за аномально малой эффек-
тивной массы носителей заряда, но и благодаря высокой диэлектрической
проницаемости, которая ослабляет кулоновское поле. Однако наиболее
важную мотивацию для изучения поведения вещества в крайне сильных
магнитных полях даёт астрофизика. Как стало известно из исследований
нейтронных звёзд, многие из них имеют на своей поверхности магнитное по-
ле гораздо более сильное, чем наше критическое поле Йо, достигая п/11-15)
Гс. Сильные магнитные поля влияют на все свойства различных астроно-
мических объектов, включая их уравнение состояния, излучение, скорость
охлаждения и другие приводящие к равновесию процессы. Ядерные реак-
ции могут изменять свои скорости, известные из земных экспериментов
(например, скорость бета-распада может быть другой, так как вылетающие
электроны или позитроны имеют совершенно иную плотность уровней в
сильном магнитном поле). Гидродинамические свойства также меняются,
равно как и наличие или отсутствие сверхтекучести.
Литература
[1] НоЫеш Т., РптакойЕ Н. // Ркуз. Кеу. - 1940. - Уо1. 58.-Р. 1098.
[2] Оузоп Р. // Ркуз. Кеу. - 1956. - Уо1. 102. - Р. 1217.
[3] Ландау Л., Лифшиц Е. Теория поля. — 8 изд. — М. : Физматлит, 2012. —
Т. 2,— С. 536. — 18ВТ8Г: 5-9221-0056-4.
[4] ЕОтопОз А. Ап§и1аг Мотеп1ит т фиапрдт Мескатсз. — Ргтсе1оп
ИтуегеИу Ргеее, 1974.
[5] ВтесЬнйагн Ь., Ьоиск 4. Ан§и1аг Мотен1ит т С^иап1ит Ркузтсз.—
Кеас1т§ : АОсИеон-АУееку, 1981. — Уок 8 о! Енсус1оресИа о! МаВзетаНсе
ап(1 Не АррПсаНоне.
[6] Козе М. Е1етеп1агу Ткеогу о! Ан§и1аг Мотеп1ит. — Мтео1а : Воуег,
1995.
[7] Ландау Л., Лифшиц Е. Механика. — 5 изд. — М. : Физматлит, 2012. —
Т. 1.— С. 224.18ВИ: 978-5-9221-0819-5.
[8] 1н€еМ Ь., Нн11 Т. // Кеу. МоО. РЬУ8. - 1951. - Уок 23.- Р. 21.
[9] Ваг А., 2е1с1оу1сЬ I., Реге1отоу А. 8са11епн§, Кеас1юп8 апс! Весау т
Мопге1а11У1811с С^иап1ит МесЬатсз. — 4егн8а1ет : Вгае! Рго^гат 1ог
8с1ен11йс Тган81а1юн8, 1969.
[10] Кеннана 8., Маннтен М. // Кеу. Мо<4. РЬуз.— 2002.— Уо1. 74.—
Р. 1283.
[11] Накнеке В., Ео§уге11 8., СаЬНеке С. // Рйуе. Кеу. ЬеН.— 2008. — Уок
100.-Р. 120801.
[12] Ландау Л., Лифшиц Е. Квантовая механика (нерелятивистская тео-
рия). — 6 изд. — М. : Физматлит, 2004. — Т. 3. — С. 800. — 18ВК: 5-9221-
0530-2.
[13] 8с1пушуег 4. С^иап1ит МесЬатсз: ЗутЬоНзт о! А1опнс Меа8игетеп18. —
8ргт§ег, 2001.
[14] Сн1хАуШег М. Сйаоз т С1а881са1 апс! (^нап1ит Месйатсв. — К.У. :
8ргт§ег, 1990.
[15] V. 2е1еуш8ку, В.А. Вгодун, К. Егахтег, М. Ного! // РЬуз. Вер.— 1996.—
Уок 276.-Р. 85.
[16] ЗиЛе! В. Ап§и1аг тотен!ит ТЬеогу 1ог В1а1опнс Мо1еси1е8.— К.У. :
АсасЗепнс Ргеее, 1975.
[17] ЕтеепесЬИх Е., БошЗон Е. // 2. РЬуе. — 1930. — Уок 60. — Р. 491.
[18] Берестецкий В., Лифшиц Е., Питаевский Л. Квантовая электродина-
мика. — 4 изд. — М. : Физматлит, 2002. — Т. 4. — С. 720. — 18ВК: 5-9221-
0058-0. — Курс Ландау-Лифшица.
[19] РЛеЕен М., С1шап§ I. С^иап1ит Сотрн1а1юн апс! С^иап1ит 1п1огта1юп. —
СатЪгМ^е ИшуегеИу Ргеее, 2000.
[20] ВеннеИ 8., КоЬег18 4., АУ1етан С. Е. // 8с1енсе. — 1997. — Уок 275.—
Р. 1759.
[21] Ихукзон С., 2нЬег 4.-В. (^нан1ит Е1с1(1 Тйеогу.— К.У. : МсСгаду-НШ,
1980.
[22] ЕпесЗпсЬ. Н., АУт1§ен В. // Рйуе. Кер. — 1989. — Уок 183. — Р. 39.
[23] Саг81он АУ., Тоткте Е. // АзЗгорйуз. 4.— 1969. — Уок 158. — Р. 839.
[24] КЬг1р1оу1сЬ I., КнЬан С. // Баеег РЬуехсе. — 2004. — Уок 14. — Р. 426.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Новосибирский государственный университет
Физический факультет
Квантовая физика
Том 3
Нестационарные возмущения, рассеяние, реакции
Учебное пособие
п
Автор: Зелевинский В. Г.
Редактор перевода: д.ф.-м.н. Дмитриев В. Ф.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Сербо В. Г.
Учебное пособие содержит современное изложение основных фундамен-
тальных положений квантовой физики с их применением в атомной и
ядерной физике. В третьем томе курса подробно рассматривается поведе-
ние квантовых систем под действием внешних полей, зависящих от времени.
Развитая теория иллюстрируется приложениями к широкому кругу кон-
кретных проблемам, включающих взаимодействие фотонов и заряженных
частиц с атомами и ядрами. Изложение материала в каждой из 10 глав
осуществляется по принципу от простого к сложному. Разделы глав, наряду
с теорией, включают задачи и их решения в количестве, достаточном для
полноценного усвоения материала. Издание предназначено для студентов
физических и физико-технических факультетов университетов.
Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009-2018 гг.
Оглавление
1 Нестационарные возмущения 1
1.1 Вероятность перехода................................... 1
1.2 Теория возмущений...................................... 2
1.3 Формальное разложение в ряд............................ 5
1.4 Адиабатические возмущения.............................. 9
1.5 Адиабатическая теория возмущений ..................... 10
1.6 Неадиабатические переходы............................. 13
1.7 Геометрическая фаза .................................. 16
1.8 Внезапные возмущения.................................. 19
1.9 Процессы встряхивания................................. 23
2 Периодические возмущения 27
2.1 Золотое правило....................................... 27
2.2 Выход за первый порядок............................... 30
2.3 Вырожденные состояния................................. 31
2.4 Квазиэнергия.......................................... 33
2.5 Конечные состояния в континууме ...................... 35
2.6 Приближение вращающегося поля......................... 41
2.7 Взаимодействие с квантованным полем................... 45
2.8 Одетые состояния...................................... 49
2.9 Сверхизлучение........................................ 50
3 Рассеяние быстрых заряженных частиц 55
3.1 Сечение рассеяния..................................... 55
3.2 Резефордовское рассеяние ............................. 58
3.3 Статический формфактор ............................... 60
3.4 Экранировка........................................... 63
3.5 Возбуждение и ионизация атомов........................ 66
3.6 Потери энергии........................................ 68
3.7 Кулоновское возбуждение............................... 71
4 Фотоны 75
4.1 Введение: классическое и квантовое поле............... 75
4.2 Гамильтоново описание поля излучения ................. 76
4.3 Квантование поля излучения............................ 80
4.4 Волновая функция фотона............................... 85
4.5 Векторные сферические гармоники....................... 87
4.6 Эффект Казимира....................................... 90
4.7 Формула суммирования Эйлера — Маклорена............... 92
4.8 Лэмбовский сдвиг...................................... 94
4.9 Взаимодействие излучения с веществом ................. 98
5 Излучение и поглощение фотонов 101
5.1 Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры...............101
5.2 Фотопоглощение........................................106
5.3 Длинноволновый предел ................................107
5.4 Высшие мультипольные переходы.........................110
5.5 Индуцированное и спонтанное излучение.................113
5.6 Дипольное излучение...................................114
5.7 Правила отбора и примеры..............................116
5.8 Фотоэффект ...........................................120
б Дисперсия и рассеяние света 125
6.1 Макроскопическое описание.............................125
6.2 Линейный отклик.......................................126
6.3 Принцип причинности...................................128
6.4 Функция диэлектрической проницаемости.................131
6.5 Свойства дисперсии....................................134
6.6 Квантовое затухание...................................137
6.7 Дисперсионные соотношения.............................139
6.8 Формализм рассеяния...................................140
6.9 Сечение рассеяния.....................................142
6.10 Когерентное рассеяние ................................145
6.11 Резонансная флуоресценция.............................146
6.12 Рассеяние на множественных центрах....................148
7 Основы квантовой теории рассеяния 151
7.1 Рассеяние и наблюдаемые...............................151
7.2 Сечение классического рассеяния.......................152
7.3 Матрица рассеяния .....................................156
7.4 Вероятность перехода в единицу времени.................158
7.5 Борновское приближение.................................159
7.6 Уравнение непрерывности ...............................162
7.7 Упругое рассеяние......................................163
7.8 Унитарность и оптическая теорема.......................165
7.9 Функция Грина..........................................167
7.10 Борновский ряд ........................................171
7.11 Применимость борновского приближения ..................173
7.12 Рассеяние при высоких энергиях.........................176
8 Метод парциальных волн 179
8.1 Анализ парциальных волн................................179
8.2 Упругое и неупругое сечения............................181
8.3 Упругие фазы рассеяния.................................183
8.4 Аналитичность..........................................184
8.5 Рассеяние при низких энергиях: примеры ................186
8.6 Фазы и их зависимость от энергии ......................190
8.7 Длина рассеяния........................................194
8.8 Резонансное рассеяние при низких энергиях..............197
8.9 Эффективный радиус.....................................201
8.10 Рассеяние со спин-орбитальным взаимодействием..........202
8.11 Поляризация и азимутальная асимметрия..................206
9 Дополнительные вопросы теории рассеяния 211
9.1 Классическое и квантовое рассеяние ....................211
9.2 Квазиклассическая амплитуда............................212
9.3 Квазиклассические фазы.................................214
9.4 Связь с приближением эйконала..........................218
9.5 Дифракционное рассеяние................................219
9.6 Дифракция на чёрной сфере..............................221
9.7 Оптическая модель......................................224
9.8 Многократное рассеяние в среде.........................227
9.9 Когерентное рассеяние на кристаллах....................231
10 Реакции, распады и резонансы 235
10.1 Каналы реакции.........................................235
10.2 Матрица рассеяния для многоканальных реакций...........237
10.3 Детальное равновесие...................................239
10.4 Сечения для медленных частиц...........................241
10.5 Пороги и унитарность...................................243
10.6 Изолированные резонансы; экспоненциальный и не экспонен-
циальный распады.............................................247
10.7 Квантовый еффект Зенона................................248
10.8 Резонансное сечение....................................254
10.9 Унитарность и сверх-излучение..........................256
10.10 Угловой момент и чётность..............................258
10.11 Узкий резонанс как составная система...................260
10.12 Интерференция резонанса и потенциального рассеяния .... 261
Литература 267
Старая идея статического пейзажа,
который подобен вечно звучащей
струне, должна быть забыта,
поскольку такой пейзаж существует
только в нашем воображении.
Д. Б. Боткин, Неблагозвучные
гармонии
Глава 1
Нестационарные возмущения
1.1 Вероятность перехода
Для замкнутой системы с гамильтонианом Н°, не зависящим от времени,
и соответствующим спектром Еп стационарных состояний |п),
Н°\п) = Еп\п), (1.1)
в общем случае, любой нестационарный волновой пакет
|Ч'И) = Е«,.И1») (1.2)
п
эволюционирует так, что со временем меняются лишь относительные фа-
зы компонент (квантовые биения). Амплитуда вероятности обнаружения
системы в п-том стационарном состоянии равна
ап(1) = апЛ)е~^Е^, (1.3)
поэтому вероятности
г^пС) = КД12 = К(0)|2 (1.4)
не зависят от времени. Средняя энергия системы также не зависит от
времени,
(Е) = ^ЕпШп. (1.5)
п
Эволюция системы меняется, если на систему наложено зависящее от
времени возмущение Н'(1) . Полный гамильтониан системы,
н = Н° + Н'Д), (1.6)
по-прежнему является оператором эволюции,
гП^|ФД) = [Я° + Я'Д]|ФД), (1.7)
хотя больше не соответствует сохраняющейся энергии. Мгновенный вектор
состояния |ФД)), как и раньше, может быть представлен суперпозицией
(1.2) невозмущённых стационарных состояний. Физически амплитуды ап(Г)
отвечают измерению с помощью внезапного выключения возмущения
Как будет детально показано ниже, при внезапном возмущении, (см. т. 1,
задача 3.3), волновая функция не успевает измениться и её значение в этот
момент служит начальным состоянием для дальнейшей эволюции управ-
ляемой опять невозмущённым, независящим от времени гамильтонианом.
Тогда, шп перестаёт меняться и может быть измерена.
С зависящим от времени Н' эволюция волновой функции не сводится к
изменению фаз. Абсолютная величина вероятностей шп теперь меняется
со временем, что может быть обнаружено в экспериментах с отключением
возмущения в различные моменты времени. Даже если в момент времени
в волновой функции |Ф(/д)) отсутствовали какие-то компоненты |п),
они могут появиться в последующие моменты. Это означает, что неста-
ционарное возмущение может вызывать квантовые переходы в состояния
отличные от начального. Если вероятность перехода мала, 1, то возму-
щение можно считать слабым, что позволяет развить специальную форму
теории возмущений, зависящих от времени. Подчеркнём, что здесь речь
идёт о вероятностях переходов между невозмущёнными стационарными
состояниями.
1.2 Теория возмущений
Для нахождения приближённого решения зависящего от времени урав-
нения (1.7) удобно использовать суперпозицию (1.2) с амплитудами ап(1)
переопределёнными таким образом, чтобы экспоненциальная зависимость
от времени невозмущённых состояний (1.3) была выделена явно,
|ФД) = ^апДв-(^Дп). (1.8)
п
Оставшаяся зависимость от времени амплитуд ап(1) порождается только
возмущением ЛДД. Преобразование от старых амплитуд в (1.2) к новым в
(1.8) носит название переход к представлению взаимодействия; в матема-
тике это метод вариации постоянных
Подставляя волновую функцию (1.8) в уравнение Шредингера (1.7) и
определение (1.1) стационарных состояний, мы получаем систему связанных
дифференциальных уравнений для новых амплитуд зависимость от
времени которых порождается только возмущением//7^),
гПат = штп = . (1.9)
п
где матричные элементы Н'шп возмущения Н'(1) берутся между независя-
щими от времени базисными векторами. Система (1.9) всё ещё эквивалентна
полному уравнению Шредингера. Трансформируя её в систему интеграль-
ных уравнений мы можем явно учесть начальные условия атДо)?
1 Г*
ат(1) = ат(*0) + V Н'тпУ)апУУШтпе (1-Ю)
гп Л
Дальнейшие приближения могут различаться в зависимости от конкретных
физических условий, связанных с силой и характером возмущения.
Пусть возмущение действует в течение ограниченного интервала времени.
В прошлом, в отдалённый момент времени, /о —сю, система находилась
в одном из невозмущённых стационарных состояний. Назовём это состо-
яние начальным обозначая его \г) и предполагая, что оно принадлежит
дискретному спектру, так что ап(—оо) = В режиме теории возмущений
вероятности переходов малы. Поэтому а^Т) остаётся близким к единице, а
\апуц\ 1 для новых возникающих компонент. Для т ф у в правой части
(1.9) мы оставляем только большую амплитуду щ ~ 1 и приближённо
получаем:
гПат ъ ~ (1.11)
Таким образом, амплитуда вероятности найти систему в конечном состоя-
нии |/), также дискретного спектра, равна
(1-12)
а вероятность перехода г -л- / даётся выражением
1 Д
] У*'
(ыз)
Таким образом, мы оправдываем использованное ранее понятие о мат-
ричном элементе Ну. как о величине связанной с амплитудой перехода.
Если говорить на языке виртуальных состояний, то переход в другое
состояние может ” случиться” в любой момент времени Г < при этом
возникает скачок фазы. Далее, мы должны учесть интерференцию всех
переходов происходящих в различные моменты времени Г. Поскольку мы
предположили, что возмущение перестаёт действовать в пределе
2
=
(Ы4)
определяется фурье-гармоникой возмущения с частотой равной частоте
перехода шр. Можно сказать, что в пределе бесконечного времени энер-
гия должна полностью сохраняться, что обеспечивает передачу точной
величины энергии Ец — Е7 от источника (или к источнику), которым явля-
ется внешнее поле. Приближение (1.11) справедливо тогда, когда поправки
высшего порядка малы.
Задача 1.1
Импульс конечной длительности пространственно однородного электри-
ческого поля
8(1) = ^0е“<2/т2 (1.15)
действует на заряженную частицу помещённую в потенциал гармониче-
ского осциллятора с частотой х. В приближении слабого поля найти ве-
роятность возбуждения после действия импульса частицы из основного
состояния в одно из возбуждённых состояний осциллятора. Установить
условия применимости теории возмущений. Рассмотреть случаи малой и
большой длительности импульса т по сравнению с периодом колебаний
(при одинаковой величине переданного частице импульса). Рассмотреть
колебания вдоль поля.
Решение Оператор возмущения имеет вид
Нг(1) = — её(Г)х = — еГ{й)
(а + й^).
(1-16)
В низшем порядке теории возмущений возможен переход только в первое
возбуждённое состояние п = О -Л п = 1 под действием оператора рождения
(Г. Вероятность перехода (1.14) для импульса поля Е(1) = Е*о/(^) даётся
выражением
1 Г00
г^ю = Ще^о)2^---- /
п1 2тш ]_оо
Для гауссова импульса (1.15),
Тею =
ке2Е$т2 е-ш^/2
2тбш
(1-17)
(1-18)
(1-19)
Полная передача импульса системе равна
Р =
с11еЕ(1) = л/тгеЕот.
Можно сравнить импульсы одинаковой мощности, но различной длитель-
ности,
Тею =
2тбш
(1-20)
Средняя энергия переданная осциллятору может быть найдена следующим
образом:
АЕ = Елидп =----е т /2. (1.21)
2т
При любой длительности теория возмущений справедлива если АЕ Нш.
Короткий импульс (с длительностью т много меньше периода осцилля-
ций, шт 1) передаёт всю энергию Р2/2ш, в то время как длинный
импульс, шт 1, неэффективен, переданная энергия экспоненциальна
мала и осциллятор остаётся в основном состоянии. Физическая причи-
на этого лежит в быстро-осциллирующем характере движения; действие
поля компенсируется в различных частях периода. Это общее правило -
медленно (адиабатически) меняющееся возмущение не может возбудить
систему. Система остаётся в своём первоначальном состоянии с волновой
функцией адиабатически подстраивающейся к медленно меняющемуся
возмущению и возвращающейся назад при выключении возмущения. Ниже
мы рассмотрим адиабатический случай более детально.
1.3 Формальное разложение в ряд
Если нас интересует переход г —> / в котором матричный элемент
аномально мал или равен нулю, то необходимо учесть следующий порядок
теории возмущений. Точная система интегральных уравнений (1.10) может
быть проитерирована,
ОтС) = аЩо) + -^ [ ^1 У НтпЛ)еШтп1:1 ап^о)
гП п
/ 1 \ 2 Н
+ - / <&1 / (1-22)
\гП/ Ло Ло п8
Используя опять начальное условие 1о -Л- —оо,ап(—оо) = фц, и остав-
ляя в итерируемом (третьем) члене (1.22) главный вклад з = г Находим
амплитуду перехода /' ч / во втором порядке,
0^(1) + Пу2\/;), (1.23)
где даётся (1.12), а
/ -1 \ 2 М
»?’<«>“ (ж) / <«>/ Л2Е^;„(41)Н,'„(«2)С"'-‘|+“'"‘1 (1.24)
Я—ОО </—ОО п
Включая члены второго порядка мы видим, что кроме прямого перехода
г —> / возможен двухступенчатый процесс г —У п —У / через промежу-
точные или виртуальные состояния (см. том 1, раздел 5.10). Вероятность
перехода по-прежнему тор = |ау(/;)|2, хотя теперь она включает интерфе-
ренцию одноступенчатого и всех двухступенчатых путей. Очевидно, что
этот результат справедлив только тогда, когда можно пренебречь вкладами
высших порядков.
Каждый оператор возмущения Н' сопровождается соответствующей фа-
зой зависящей от времени. Это связано с упоминавшимся выше представ-
лением взаимодействия. Унитарный оператор невозмущённой временной
эволюции
У°(^) = ехр[-(гД)Н°^] (1.25)
включён в волновые функции, как в (1.2) и (1.3). Соответственно, чтобы
сохранить неизменными физические амплитуды мы преобразуем операторы,
Н' => Н,
н'тп^ = (т|(С°о)’1Я/С)С°(^|п) = ЯДДе—(1.26)
Рис. 1.1. Структура области интегрирования во втором приближении.
Представление взаимодействия является промежуточным между представ-
лениями Шрёдингера и Гейзенберга. Здесь операторы О сохраняют свою
невозмущённую временную зависимость, как это было бы гейзенбергов-
ском представлении в отсутствие возмущения, а временная зависимость
индуцированная возмущением Н' остаётся в волновых функциях.
Рассмотрим теперь структуру второй итерации (1.24). Как видно из рис.
1.1, область интегрирования является частью (/д, И)-плоскости ограничен-
ной сверху диагональю = ^2- Сначала мы интегрируем при фиксиро-
ванном И < С вдоль вертикальной линии — оо < /д < И? а затем по всем
возможным значениям /д от — оо до 1. Если поменять порядок интегрирова-
ния, то интегрирование <ЙД ВДёт по той же площади и мы можем
сложить эти два интегрирования разделив результат на два. Во втором
слагаемом можно также заменить переменные /д так что результат
может быть представлен как
= I
(1-27)
Здесь мы интегрируем (с фактором 1/2) по всей носкости до I в обеих
областях, и^1 > ^2» Два оператора Н' хронологически упорядоче-
ны'. оператор с более поздним временем стоит слева. Вводя символ Т -
хронологического произведения операторов, можно представить результат,
как
1 / 1 \ Г /»/; г1 , .Л
42)^) = - - Т / бЫяД1)яу2) .
2 у/ау ч—
(1-28)
Итерации могут быть продолжены тем же путём. Результат записывается
в виде бесконечного ряда
29)
В п-том члене ряда переход происходит через п — 1 промежуточных со-
стояний и каждый оператор Н' берётся в представлении взаимодействия.
Операторы Н7^), взятые в разные моменты времени, в общем случае не
коммутируют и их порядок в ряде (1.29) фиксирован хронологическим
упорядочиванием - время возрастает справа налево. Можно использовать
все п\ перестановок времён интегрирования и, после переобозначений, при-
вести каждый член ряда к виду, аналогичному ад, сохраняя при этом
везде хронологический порядок. Можно также распостранить результат на
/ = г добавляя член нулевого порядка 1у^ = фу. Получившийся ряд очень
напоминает разложение экспоненты, но с временным упорядочиванием в
каждом члене,
1 / 1 \ п (
(У т{Д
(111... [ ^и(я'(й)
д—оо
..я'(яЙ.}.
' /г)
(1.30)
Обычно, его записывают в виде Т-экспоненты,
ау(ф = Т < ехр
-(г/й) [ сИ'Н'(1')
д—оо
}л
(1-31)
Это символическое выражение может быть полезно при выводе общих
формул, но оно обычно не помогает в конкретных расчётах, когда ряд
должен вычисляться приближённо и обрываться на каком-то шаге.
1.4 Адиабатические возмущения
Если возмущение Н'(1) является плавной функцией времени, например,
меняясь заметно только в течение большого интервала времени ~ г, его
фурье-разложение может иметь заметные компоненты только для малых
частот а) < с^о = 1/т. Тогда переходы с большими частотами ссо
подавлены. Мы уже видели это в задаче 1.1 в пределе шт > 1. Такие
медленно меняющиеся возмущения называются адиабатическими. Более
точно, для адиабатического возмущения по отношению к переходу г —> /,
изменение энергии за период//; ~ 1/^/г, должно быть мало по сравнению
с энергией перехода Е/ — Е^ = Нш
5Н
6Н> к
чг81
1
(11
(1-32)
Уже простая оценка показывает, что при выполнении условия (1.32)
вероятность перехода мала. Пусть, например, возмущение Н' плавно вклю-
чается в момент времени 1 = 0 и выключается при 1 = 1. При 1 > 1 переходы
уже закончились и полная вероятность перехода есть
(1.33)
Интегрируя это выражение по частям мы можем преобразовать его как
2
11
-I о
1 С
---- / <Иегш^ =-
шу, 4 о 41
(1-34)
или учитывая граничные условия для Н\
=А
41
(1.35)
Предполагая плавное поведение производной Н'^ вынесем из под интеграла
её максимальное абсолютное значение в квадрате и вычислим оставшийся
1.36
интеграл,
4 ат2 Ду Д 2)
~ллуг---------ёШ
Верхний предел вероятности перехода пропорционален квадрату малого па-
раметра адиабатичности |Й^|2/(/ка^)2, что находится в согласии с оценкой
(1.32).
Мы видим, что в случае, когда возмущение включается и выключается
адиабатически, реальные переходы довольно слабые. Внутри интервала
0 < I < ? вероятность перехода может быть заметной благодаря вкла-
ду верхнего предела в интегральном члене (1.34).Это значит, что вектор
состояния |Ф(^)) отличается от начального вектора \г) внутри этого интер-
вала. Если бы мы мгновенно выключили возмущение в некоторый момент
внутри интервала и разложили бы |Ф(^)) по стационарным состояниям
|/), мы нашли бы заметную вероятность переходов г —> /. Эти вероят-
ности обязаны, главным образом, резкому выключению возмущения. В
адиабатическом режиме вектор состояния |Ф(^)) плавно меняется, под-
страиваясь к медленно меняющемуся возмущению. В длительном процессе
волновая функция может значительно меняться. Однако, при I > Г система
с большой вероятностью вернётся к исходному состоянию.
1.5 Адиабатическая теория возмущений
В нашей оценке (1.36) мы видели, что хотя мы начинали со стандартной
теории возмущений, действительная малость была обусловлена не мало-
стью возмущения, а, скорее, медленностью его изменения. В этом случае
можно развить специальный вариант теории возмущений, где не требуется
малости возмущения Н'(Г). Вместо этого, малым параметром будет ско-
рость изменения возмущения в смысле неравенства (1.32). За большой
временной интервал медленный дрейф вектора состояния может привести
в конце к значительному его изменению.
В адиабатической теории возмущений нет смысла разбивать гамильто-
ниан на невозмущённую часть и возмущение, как это сделано в (1.6). Вместо
этого мы предположим, что гамильтониан зависит от некоторых параметров
Х^Гу которые являются плавными функциями времени, Н(б) = Н(Х(/;)).
Мы знаем уже, что вектор состояния будет меняться, приспосабливаясь к
эволюции Х(Г). При этом плавном изменении эволюционирующее основное
состояние будет оставаться основным, первое возбуждённое останется пер-
вым возбуждённым и т.д. Адиабатический уровень динамики напоминает
ламинарный поток в отсутствие всякой турбулентности (как пример, можно
взять реалистический спектр ядерных уровней при сильном смешивании,
том 1, рис 19.1). Чем меньше дХ/сП = X, тем точнее будет этот ламинарный
характер потока.
При фиксированном зачении X мы находим набор стационарных состоя-
ний |п;Х) гамильтониана Я(Х),
Я(Х)|п;Х) = Еп(Х)\щХ}. (1.37)
Набор мгновенных состояний |п;Х) может использваться в качестве пла-
вающего адиабатического базиса вместо фиксированного базиса, использо-
вавшегося в (1.8). Обычная фаза —Еп1/К должна быть заменена на полную
динамическую фазу, набегающую в течение процесса.
1 Г1
Д1) = -Д М' Еп(Х(О). (1.38)
Й 3 —оо
Она подобна пространственной фазе / Ых квазиклассической волновой
функции в плавно меняющемся потенциале. В каждый момент времени
плавающий базис (1.37) является полным и мы можем искать решение
уравнения Шрёдингера
^|ФО = Я(ХД)|ФО (1.39)
В форме разложения по мгновенным функциям \щХ(/;)),
|ФД) = У>Л^и(4)|п;ХД). (1.40)
п
В крайнем адиабатическом пределе волновая функция будет просто сле-
довать за изменением Х(1) вдоль энергетического терма в пространстве
параметров. В реальности, из-за конечной скорости движения X в этом
пространстве, ещё возможны переходы между адиабатическими термами,
которые описываются остаточной временной зависимостью амплитуд ап(1)
в (1.40). Временная производная функции (1.40) равна
1|ф) = У2е^ а
2 д'
^Еп(Х(Т))ап +апХ— |п;ХД),
(I О Л.
(1-41)
где учтено, что
ЯД|Ф) = ^е^(%пЯп(ХД)|п;ХД).
п
При фиксированном I и X = Х(Г) состояния |п; Х(Г)} ортонормировании!.
Поэтому, проекция на (т;ХД)| даёт для каждого т,
ат + X У Втп^аУ^-^^ = О,
п
(1-43)
где роль возмущения, индуцирующего переходы, играют матричные эле-
менты градиента волновой функции по параметрам,
^тп(,^ —
т\Х(б)
(1-44)
Система уравнений (1.43) всё ещё точная. Амплитуды ап в плавающем
базисе меняются со временем только из-за наличия X - изменения парамет-
ров. Если мы имели в далёком прошлом, — оо, набор коэффициентов
= ап(—ос) и эволюция является адиабатической, то можно ожидать,
что амплитуды ат будут почти постоянными, хотя сами базисные состоя-
ния могут значительно измениться. Адиабатическая теория возмущений
использует разложение по X,
ат — + атЧ^ + •••
В первом порядке из (1.43) мы получаем
а,Т = -Х^Втп^аоУ^-^.
(1-45)
(1.46)
Решение в первом порядке даётся интегралом по времени
АЧЩ- Г (1-47)
п
Для вычисления вероятности переходов рассмотрим определённое началь-
ное состояние С помощью уравнения (19.36) из тома 1 получаем
из (1.47) для конечного состояния / г:
= - Д' Д,,» -Гх(иУ<*')е,Ы*,)^,<*')к (1Л8>
7-оо -ЬцХ(1)) ьдлд))
Этот результат очень напоминает обычную теорию возмущений. Обоб-
щение на вычисление высших порядков адиабатического приближения
представляется очевидным.
Рис. 1.2. Диабатические и адиабатические термы.
1.6 Неадиабатические переходы
Адиабатическое приближение в форме (1.48) нарушается вблизи точек пе-
ресечения уровней. Сильное сближение различных адиабатических термов
Е(1) приводит к росту амплитуды перехода. Тогда, по аналогии со стан-
дартной теорией возмущений для близких уровней, низшее приближение
становится недостаточным и необходимо диагонализовывать гамильтониан
внутри этой подсистемы уровней и находить правильные линейные ком-
бинации. Общий результат может уже быть виден в случае двух близких
уровней.
Рассмотрим типичную ситуацию, когда два адиабатических энергетиче-
ских терма системы, \к,1) и к',1) пересекают друг друга в момент времени,
который мы примем за 1 = 0, рис. 1.2. В отсутствие взаимодействия способ-
ного смешивать эти состояния (или в случае различной симметрии термов,
что запрещает их смешивание) мы бы имели диабатические термы €^(1)
и €^(1) показанные на рис. 1.2 пунктирными линиями. Если имеется мат-
ричный элемент смешивания = У, то адиабатические уровни 1 и 2
отталкиваются друг от друга и вместо диабатического пересечения мы име-
ем адиабатическое псевдопересечение, показанное сплошными линиями на
рис. 1.2. При этом, матричный элемент смешивания определяет мгновенное
расстояние между уровнями (см том 1, уравнение 10.39).
Начнём с нижнего состояния еДГ) в далёком прошлом, I -л- — оо. При
медленном изменении уровней ДГ) и слабом взаимодействии VД) адиаба-
тическая эволюция будет идти вдоль терма 1. При этом волновая функция
плавно трансформируется из |&, — оо в V, оо. Система всегда будет оставать-
ся в нижнем энергетическом состоянии, в то время как верхний терм будет
оставаться пустым. В противоположность этому, в диабатическом режиме
быстрого прохождения система будет двигаться вдоль невозмущённого тер-
ма к,1). В общем случае процесс характеризуется вероятностью перехода
Р из 1 в 2, которая фактически есть вероятность остаться в состоянии
\к). Эта вероятность стремится к нулю в адиабатическом пределе и к 1 в
противоположном случае быстрого прохождения.
Двухуровневая система описывается зависящим от времени гамильтони-
аном
*(«) = ( Д Д! ) • (1-49)
\ V Г) ^к'Г) )
В предположении слабого взаимодействия, заметная вероятность перехода
существует только вблизи точки пересечения I = 0. Главная зависивость
от времени здесь может быть записана как
Д) ~ ику,б УД) У(0) = V (1.50)
(линейное поведение термов приближающихся к точке пересечения, ик >
ик>). В точке пересечения теория возмущений не работает. Однако, как в
квазиклассическом приближении, можно попытаться "обойти"опасную точ-
ку для нахождения вероятности перехода (прыжка) через энергетическую
щель между термами 1 и 2, подобно тому, как сшивались два квазиклас-
сических решения по разные стороны от точки поворота в координатном
пространстве.
При больших |^|, когда расстояние между уровнями \(ик — ик,)1\ велико по
сравнению с матричным элементом смешивания |П|, можно использовать
обычную стационарную теорию возмущений. Тогда, адиабатические термы
ведут себя как
|У|2
Д) = ик1 + , 1 1 + ..., (1.51)
(ик - ик')1
где опущенные члены имеют энергетические знаменатели с более высокими
степенями I. Разложение (1.51) определяет адиабатическую фазу (1.38),
Ч>кХ) = --^1----Д----------V 1п^ + "• Г-52)
2^ б(ик ик?)
не выписанные явно члены не растут при больших 1. Далее, мы действуем
как в квазиклассике (см.том 1, разделы 15.9-15.12) распостраняя решение
на комплексные значения 1. Мы предполагаем, что можно в комплексной
плоскости 1 обойти точку пересечения 1 = 0 вдоль дуги радиуса Т, который
достаточно велик, чтобы можно было пренебречь опущенными в (1.51)
членами, но достаточно мал, чтобы приближение (1.50) было справедливо.
По большой дуге 1 = Т ехр(га) мы должны связать отдалённое будущее,
а = 0, с отдалённым прошлым, а = ±тг, где знак зависит от направления
обхода по контуру. При больших Т, главный член, ос Т2, в фазе (1.52) ведёт
себя как
7/7 Т2 7/7 Т2
йрк => Нсоз(2а) + 8т(2а)]. (1.53)
Л Гс Л Гс
Когда мы приближаемся к действительной оси при а -Д ±я, реальная
часть в (1.53) даёт экспоненциально большой фактор, когда 8т(2а) > 0; это
фиксирует напрвление обхода по верхней дуге. В конечной точке мы имеем
1 = Т ехр(гя и логарифмическая часть фазы (1.52) даёт 1п(^) = /п(Т) = гя.
В результате амплитуда приобретает вещественный экспоненциальный
множитель
^4 = е(гтг)(-гД)|Ц|2/(ик-ик,) = е?г|У\2/[К(ик-ик,)]. (1.54)
Амплитуда волны нижнего состояния \к) при больших отрицательных 1
больше, чем амплитуда того же состояния при больших положительных 1
на фактор А (поскольку Таким образом, вероятность диабатиче-
ского перехода через энергетическую щель между двумя адиабатическими
уровнями даётся
р = _А_ = е-2тг|Ц|2/\Ыдк~ик,)]. (1.55)
А2
Вероятность остаться на адиабатической траектории есть 1 — Р.
Здесь мы следовали подходу [811у2004] для вывода вероятности перехода
Ландау-Зенера [Ьап1932,Хеп1932]. При очень малых скоростях, Н&и <Л |г|2,
мы возвращаемся к экстремально адиабатическому режиму, Р -д 0. Однако,
такая маленькая вероятность не может быть получена в рамках обычной
теории возмущений - результат имеет неаналитическую зависимость от
(иь ~ ик')- При быстром проходе, кАи |г|2, вероятность перехода близ-
ка к единице. Этот результат имеет широкую область применимости, от
столкновений молекул с электронными переходами между различными
энергетическими термами до ядерных реакций. Он может также быть
обобщён на случай множественных пересечений [Вет2000,81ту2004] в при-
ближении последовательности парных переходов.
1.7 Геометрическая фаза
Предположим, что внешние параметры X = меняются со време-
нем крайне медленно и описав замкнутую траекторию в пространстве
параметров, возвращаются к своим первоначальным значениям. В таком
адиабатическом процессе реальными переходами в другие состояния можно
пренебречь, поэтому волновая функция |Ф) также вернётся в своё началь-
ное состояние. При этом, волновая функция, из-за квантовой динамики,
может приобрести геометрическую фазу (М. Веггу [Вег1984]), которую не
следует путать с обычной динамической фазой (1.38).
Если стартовать при I = 0 со стационарного состояния |п;Х(0)), то
решение уравнения Шрёдингера (1.39) при дальнейшей адиабатической
эволюции может быть представлено в форме единственного члена |п; Х(1))
в суперпозиции (1.40), но с неизвестной дополнительной фазой /Зп (/;)),
|Ф(0> = ег^^е^(<)|п;ХД). (1.56)
Как и при выводе (1.43), проектируя на компоненту мгновенного вектора
состояния |п;ХД), мы приходим к уравнению для новой фазы,
п;ХД
ОХ,
(1-57)
или, вводя формальный вектор градиента в пространстве параметров
-ЦЗп(О = (п;ХДрх|п;ХД) • ХД.
(1.58)
После очень медленного и длинного перехода мы замыкаем контур С
и возвращаемся в начальную точку в пространстве параметров. Полная
приобретённая фаза /Зп даётся тогда интегралом по замкнутому контуру,
/Зп — I У^(п;х(^1^х|п;ХД)-Х(^) = г (/X • (п; Хрх|п; X). (1.59)
Здесь временные характеристики произвольного медленного процесса ис-
чезли и окончательное выражение имеет чисто геометрическую трактовку
с величиной фазы зависящей, в общем случае, от контура С. Посколь-
ку состояния п; X} предполагаются нормированными при всех значениях
параметров,
(п;Х|п;Х) = 1,
(1.60)
мы видим, что
(Х7х(п; Х)|п; X) = (п; Хрх|(п; X))* = -(п; Хрх|п; X). (1.61)
Следовательно, подинтегральное выражение в (1.59) является мнимым, а
фаза /Зп действительна,
/3П(С) = —1т у'<7Х-(п;Хрх|п;Х). (1.62)
Задача 1.2
Показать, что фаза /Зп инвариантна по отношению к выбору общей фазы
се(Х) векторов состояния |п;Х), которые предполагаются однозначными
функциями параметров, |п;X} => ехр(га(Х))|п;X} - аналог градиентного
преобразования.
Решение Использовать условие нормировки (1.60) и тот факт, что инте-
грал по замкнутому контуру от градиента однозначной функции равен
нулю.
В одномерном пространстве параметров замкнутый контур есть проход
вперёд и назад по одному и тому же пути, поэтому геометрическая фаза
равна нулю. Следуя [1], рассмотрим случай трёхмерного пространства пара-
метров, где формулы векторного анализа помогут в получении результата.
Интеграл (1.62) по замкнутому контуру есть циркуляция вектора (п\\7|п),
где мы опустили аргумент X. Циркуляция может быть преобразована в
интеграл от плотности потока ротора этого вектора через поверхность 5,
натянутую на контур С в пространстве параметров,
/3П(С) = — 1т • снг1(п|\7|п) = — 1т дЗ^кХ^'п]ХД|п). (1.63)
Симметричный по производным член ~ ХдХк\п} исчезает, так что
А,(С) = - 1т / 3 -1т / (V»! X IV,.). (1.64)
Другая форма этого результата получается при использовании тождества
(см. том 1, формула 19.36) для недиагональных матричных элементов
параметрического градиента. Если вставить полный набор состояний \п!,Х
между градиентами в (1.64), то диагональный вклад с п' = п исчезает из-за
(1.61) и мы получаем геометрическую фазу, как поток,
/3П(С) = - [ ЛГУДХ), (1.65)
вектора Берри,
{п : ХрхЯ|п';Х) х « Х| VxН|п; X)
V [ЯП,(Х)-ЯП(Х)]2
Следуя [1], мы можем рассмотреть пример частицы со спином 8 в стати-
ческом магнитном поле 13 и стандартным гамильтонианом
Я(й) = -^(8-й). (1.67)
Компоненты 13 являются нашими параметрами X, в то время как текущее
состояние \т) характеризуется проекцией спина = т на медленно меняю-
щееся направление поля, характеризуемое единичным вектором Ь = 13/\13\,
и энергией Ет = —дКтВ.
Задача 1.3
Найти вектор Берри Т^п(Ь) для этого примера.
Решение Вектор Берри даётся уравнением
Ут(й) = 1т
(1.68)
где текущее состояние |т), так же как и промежуточные состояния |т/)
берутся при текущем значении поля 13. Выбирая направление поля за ось г
при вычислении (1.68) и используя матричные элементы углового момента
находим, что вектор Берри направлен вдоль той же оси г, что естественно,
так как направление поля - единственное выделенное направление в данном
примере. Действительно, поперечные компоненты Ух,у обращаются в ноль,
поскольку для них требуется, чтобы один из матричных элементов в числи-
теле был бы матричным элементом который не имеет недиагональных
матричных элементов. Для г-компоненты имеем,
г = 1т Е
т'
(<$х)тт' (<$у}т'т (^у)тт' (<^ж)т/т
132(т — гп')2
(1.69)
и так как здесь т — т' = ±1, можно воспользоваться полнотой промежу-
точных состояний и получить
тт'Уу)т'т Уу)тт'
] = ^2 1Ш
В2'
(1-70)
Таким образом,
Туэ 777 1
V™ Д) = -2 Ь = -3 В = -т76 (1.71)
Результат (1.71) показывает, что поле вектора Берри в этом случае есть
поле "заряда"т помещённого в начало координат пространства магнитных
параметров. Другими словами, это поле монополя порождённого точкой
вырождения уровней энергии. Фаза Берри (1.65) в этом случае вычисляется
по теореме Гаусса и равна
/3Ш(С) = -т^(С), (1.72)
где $2(С) есть видимый из начала координат телесный угол поверхности
натянутой на контур С. Этот результат справедлив как для целого, так и для
полуцелого спина з. Для спина 1/2 полный поворот в плоскости на угол 2 л
порождает телесный угол П = 2л. При этом спинорная волновая функция
приобретает множитель ехр(г/3^1/2) = — 1 в согласии со свойствами группы
31/(2), см. том 1, раздел 20.1.
Результат последнего примера не зависит от величины спина и, следова-
тельно от степени вырождения состояний в отсутствие магнитного поля.
В общем случае, сингулярности связанные с пересечением уровней при
некоторых значениях параметров (особые точки) являются источниками
геометрической фазы. Это можно увидеть на примере пересечения двух
уровней. Эффективный гамильтониан этой пары уровней (сравните с (1.49))
всегда может быть записан через матрицы Паули как пропорциональный
(сг-Х, где коэффициенты X являются соответствующими параметрами (еди-
ничная матрица не даёт смешивания). Тогда, мы возвращаемся к примеру
с магнитным полем и спином з = 1/2, где вектор Берри (1.71) равен
У±1/2 = (1'73)
Геометрическая фаза здесь даётся по-прежнему телесным углом (1.72).
1.8 Внезапные возмущения
Этот случай является противоположным по отношению к адиабатиче-
скому. Здесь возмущение меняется настолько быстро, что его характерное
время т оказывается малым по сравнению с обратной частотой перехода
т Ранее мы обсуждали случай мгновенного изменения потенци-
ала, т —> 0, см. том 1, задача 3.3. В этом случае много фурье-компонент
доступно для переходов.
Пусть возмущение Н'(Г) внезапно включается при I = 0 и адиабатически
затухает при I -Р оо. Если возмущение слабое, то можно воспользоваться
общим результатом (1.14) и, действуя подобно (1.35), выразить вероятность
перехода как
2
=у
(И
сП
(1-74)
В этом случае временная производная от Н^(Г) не мала только в течение ко-
роткого промежутка времени т вблизи I = 0. Поскольку ехр(ш)рГ) почти не
меняется внутри этого интервала, мы можем положить экспоненту равной
единице. Остающийся интеграл даёт полный скачок матричного элемента
равный йуД/;) (возмущение отсутствовало при I < 0), и следовательно
и'/г = 1ЛЛ. Iя!'2’ (Г75)
р
Видно, что этот результат напоминает стационарную теорию возмущений
(см. том 1, 19.16); действительно, после момента I = 0 слабое возмущение
практически не индуцирует переходы.
В более общем случае, когда нет ограничения на силу возмущения и
единственное приближение связано с быстротой включения возмущения
(малое г), можно развить специфическую теорию внезапных возмущений.
Пусть гамильтониан меняется от Н до 11\ в коротком интервале времён
от I = 0 до I = т оставаясь независящим от времени вне этого интервала.
Тогда удобно использовать в качестве рабочего базиса полную систему \п)
стационарных состояний нового гамильтониана,
Н1\п) = Еп\п). (1.76)
Ищем решение при I > 0 как суперпозицию (1.8) состояний (1.76). Учиты-
вая, что в интервале 0 < I < т полный гамильтониан отличается от /71,
можно определить возмущение Н' как
н = Н' + Н1.
(1-77)
Интегрируя по времени уравнения (1.9), получаем для амплитуд перехода
систему уравнений аналогичную (1.10),
ат(1) = аш(0) - г- V Г сП1 Н'тпУ)е^'аЗО. (1.78)
П п
Поскольку ехр(гсатп/;/) 1 для 0 < 1' < г, то
~ ат(0) — [ (И Нтп(1 ^ап(1). (1.79)
П п
Результат (1.79) ещё более упрощается, если кроме условия штпт 1
выполняется и неравенство
(1.80)
(для слабых возмущений Н'тп На)тп это выполняется автоматически в
силу первого условия). В этом случае интегральный член мал и можно
пользоваться итерациями. В нулевом порядке
ат(^) — ат(0).
(1-81)
Это выражение совпадает с тем, которое получилось в ”наивном”подходе,
использованном в задаче 3.3, в первом томе: начальный вектор состояния
есть суперпозиция новых стационарных состояний,
|Ф(0)) = У«т(0)|т), ат(0) = (т|Ф(0)), (1.82)
т
и вероятность перехода |Ф(0)) |/) даётся
иу0 = |(/|Ф(0))|2. (1.83)
При мгновенном включении возмущения вектор состояния |Ф(0)) не успе-
вает измениться и служит начальным волновым пакетом для дальнейшей
эволюции под действием гамильтониана Н\. Для нахождения вероятностей
перехода достаточно знать вес различных новых стационарных состоя-
ний в начальной суперпозиции, то есть, разложить |Ф(0)) по собственным
функциям Н\. После 1 = т эти компоненты эволюционируют независимо,
приобретая соответствующую фазу.
| Задача 1.4
Для слабого возмущения получить результат (1.75) пользуясь стандарт-
ной теорией возмущений, зависящих от времени.
Итерируя начальное решение (1.81) в интегральном члене (1.78), находим
поправку первого порядка, обусловленную конечным временем включения
возмущения,
«ДД = йт(0) Д ^>„(0) /Д'ЯДД)- (1.84)
Используя значение (1.82) амплитуд ап(0) и полноту системы (1.76), мы
приходим к
аД(0 = (т|Ф(0)) - ГЯДД)(п|Ф(0))
= (т|Ф(0)) - | / М (т|Я'Д)|Ф(0)).
7 о
Вероятность перехода в этом приближении есть
Д = </|ф(о» - ^т^'а|я'Ю|Ф(о))
(1.85)
(1.86)
Задача 1.5
Слабое внешнее поле, приложенное к системе находящейся в исходном
состоянии \г) зависит от времени как,
ЯД) = <Д)А 9(1)-—Д- (1-87)
1 + е1/т
Найти вероятности перехода в конечное состояние |/) и рассмотреть преде-
лы внезапных и адиабатических возмущений.
Решение В рамках теории возмущений, вероятность перехода дается
=
1Д/
к2
(1.88)
Для вычисления Фурье-компоненты, мы можем замкнуть контур по дуге
большого радиуса в верхней части комплексной плоскости, 1т(Г) > 0; вклад
дуги равен нулю (мы предполагаем > 0). Полюса д(1) внутри контура
расположены вдоль положительной части мнимой оси, 1п = гтг(2п + 1), где
п = 0,1,.... Знаменатель вблизи этих точек равен — (1 — 1п)/т, а соответству-
ющие вычеты равны ехр(—+ 1)). Их сумма есть геометрическая
прогрессия, которая может быть выражена через гиперболический синус,
= .„Г Т (1.89)
АГ ЫШЦЯШрТ)
Возмущение д(1) изменяется от единицы в прошлом, 1 — оо, до нуля в
будущем,/; оо (сглаженная ступенька). Для очень плавного изменения,
которое длится много периодов, результат экспоненциально мал,
~ 4тг2т2е~27Гй;/гТ, шрт 1, (1.90)
это типичный адиабатический результат. Для очень резких изменений,
получаем
в согласии с приближением внезапного возмущения (1.75). Глядя на да-
лёкие Фурье компоненты (большие частоты перехода), можно увидеть,
общее математическое свойство: когда подынтегральное выражение не
имеет особенностей на вещественной оси, этот предельно далёкий хвост экс-
поненциально мал, (1.90). При т —> 0, особенности накапливаются вблизи
вещественной оси, и асимптотика имеет только степенное спадание (1,91).
Можно также отметить, что Функция д(б) описывает распределение ча-
стиц по уровням энергии в Ферми-газе, при этом 1 соответствует энергии
отсчитанной от поверхности Ферми, а т есть температура Т. Положения
полюсов на мнимой оси соответствуют так называемым частотам Ма-
цубары = 7гТ(2п +1), которые играют важную роль в статистической
физике Ферми-систем.
1.9 Процессы встряхивания
Типичная ситуация, когда можно говорить о внезапном возмущении
атома возникает в случае резкого воздействия внешнего агента на атомное
ядро. Это может быть, например, /3-распад с внезапным изменением ядер-
ного состава (нейтронОпротоном) и эмиссии позитрона (или электрона)
и нейтрино (или антинейтрино). Аналогичный процесс происходит, когда
система претерпевает быстрый толчок от энергичной внешний частицы или
электромагнитного поля , а время взаимодействия так мало, что можно
считать, что гамильтониан составляющих, электронов в атоме или нук-
лонов в ядре, внезапно изменяется. Для нового гамильтониана прежнее
состояние становится нестационарным, включая в том числе в принципе,
компоненты (1.76), соответствующие континууму. Это означает, что резкое
воздействие на ядро может привести к ионизации атома: грубо говоря,
ядро получает толчок, в то время как электроны (или слабо связанные
нуклоны) не улавливают его. В таких случаях мы говорим о процессах
встряхивания.
Пусть ядро внезапно получает импульс Сф его волновая функция ФдфП)
умножается на фактор ехр [(г/^)(Р • Л)]. Это следует из рассмотрения
оператора сдвига в импульсном пространстве, /С(<2). В полной аналогии с
оператором сдвига Д(а) в координатном пространстве, см. том 1, раздел
4.5, оператор /С(<2) должен действовать в импульсном пространстве, как
К(р)Ф(р) = Ф(р-р). (1.92)
Таким оператором является
7ЦС$) = ДЖЧ-н), (1.93)
а в координатном представлении волновая функция ядра ФдфП) просто
умножается на ехр[(г/^)(Р • К)]. Стационарными волновыми функциями
электронов в новой ситуации были бы их нормальные атомные функции,
движущиеся вместе с ядром. Если приобретённая скорость ядра массы М
есть V = Р/М, то электрон с массой т получит такую же скорость V = V,
если его приобретённый импульс будет равен д = тУ" = (т/М)р. Это
отвечает новым стационарным функциям,
Фп({га}) Ф„({га})е^Ч^г“. (1.94)
Вместо этого, на данный момент, у нас еще есть старая волновая функция
электрона, скажем Фо для основного состояния, у которой не было време-
ни измениться за время толчка. Вероятность для электронов оказаться в
возбужденном состоянии |/) после этого воздействия определяется пере-
крытием (1.83) модифицированной функции Фу, (1.82), с первоначальной
волновой функцией основного состояния,
Ш/о = |(е^ч^г“Ф/|Фо)|2 = I г“ |Ф0>
(1.95)
В частности, вероятность выживания основного состояния атома есть
и’оо = |(Фо|в-(^)ч'^г“|Фо)|2. (1.96)
Полная вероятность всех остальных процессов (возбуждения различных
связанных состояний и ионизации) составляет 1 — тсоо- Всё рассмотрение
справедливо, если время импульса г К^/У, то есть расстояние Ут
пройденное ядром за время действия возмущения мало по сравнению с
размером атома Ка^. Величина (1.96) представляет собой так называемый
атомный форм-фактор, он будет вновь появляться в разделе 3.3.
Задача 1.6
Найдите среднюю энергию, передаваемую электронам в процессе, когда
ядро приобрело скорость V.
Решение Очевидный ответ дается энергетически взвешенным правилом
сумм (см. т. 1. уравнение 7.146),
__ _ л/2 /V то
е = = Т = Ч-97)
л / / 6 л
7
где есть число электронов.
Задача 1.7
Найти полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода
(первоначально в основном состоянии) в процессе когда протон приобретает
скорость V в результате очень короткого импульса.
Решение Уравнение (1.96) дает для основного состояния атома водорода
«;ехс = 1 - ^00 = 1 - [1 + (ж/2е2)2]4- (Г98)
В этом случае скорость У = входит в отношении к типичной атомной
скорости (см. т. 1. Уравнение 1.30). При V <С иаы атом остается в основном
состоянии, если V вероятность возбуждения близка к единице.
Превращение частиц в свет, а свет в
частицы очень комфортно для хода
событий в природе, которая как будто
в восторге от таких трансмутаций
Исаак Ньютон, Оптика
Глава 2
Периодические возмущения
2.1 Золотое правило
Здесь мы будем обсуждать часто встречающийся класс задач, которые
включают в себя возмущения с периодической зависимостью от времени.
Эти проблемы имеют основополагающее значение для понимания совре-
менной лазерной физики.
Из-за требования эрмитовости, запишем гамильтониан монохроматиче-
ского возмущения как
ЯД) = Н'е~гш1 + ЛЛ. (2.1)
Детальное рассмотрение может зависеть от способа включения и выключе-
ния возмущения. В частности, даже стационарное возмущение является
частным случаем (2.1). Хотя и здесь, нас больше интересует развитие
вектора состояния во времени, а не сдвиги энергии, как в стационарной
теории возмущений (см. т. 1. Глава 19).
Мы начинаем с формального вывода знаменитого золотого правила.
Предположим, что возмущение (2.1) было включено в далеком прошлом, I =
—Т/2,Т—>оо,и мы ищем вероятность перехода при I = +Т/2.Стандартный
результат для амплитуды перехода в этом длительном процессе (см. урав-
нение 1.12),
У Гт/2 / \
а; = -- / (11 (н'пе-ш1 + (яД^Че^, (2.2)
А У-Т/2 ' '
ведёт к появлению 5-функции в пределе Т -л оо,
(а/)т->00 = (#/г + ЧГг)) • (2-3)
5-функция выражает сохранение энергии в процесе бесконечной длитель-
ности. Если а) > 0, то первое слагаемое описывает поглощение кванта
внешнего поля, Ец = Е^ + сщ а второй член описывает излучение кванта
Е^ = Ег — ш. Только эти процессы выживают при Т -д оо; принято гово-
рить, что они идут на массовой поверхности, в отличие от виртуальных
внемассовых процессов конечной длительности.Осциллирующие нерезо-
нансные члены с со ф ±сор усредняются до нуля во время длительного
процесса. Для сэр Д 0, только одна из 5-функций работает.
Формальное вычисление вероятности перехода (см. уравнение 1.14) об-
наруживает неопределенность, связанную с квадратом 5-функции. Чтобы
понять Физический смысл этой неопределенности, мы представляем одну
из 5-функций с фактором 2тг, как интеграл по времени в виде (2.2). Тогда,
первое слагаемое определяет вероятность как
п гТ/2
-Ы’-Я (2.4)
/2 1 э р
Из-за присутствия первой 5-функции, экспонента под интегралом может
быть положена равной единице и интеграл дает длительность Т процесса,
так что в этом пределе, вероятность перехода пропорциональна полному
интервалу времени Т,
2тт
= — \Н'Д 6(Е? -Е,-ПД Т. (2.5)
Это и есть золотое правило Ферми для вероятности перехода в единицу
времени ьор = ьор/Т,
2тт
^ = —(2-6)
Для квантового ансамбля И идентичных систем, вероятность перехода (2.6)
умноженная на И дает число переходов в ансамбле в единицу времени.
При Т -Д оо в (2.5) нарушается справедливость теории возмущений из-за
неограниченного роста вероятности. Однако, в действительности, энергия
практически уже сохраняется после нескольких периодов частоты перехода,
так что можно использовать золотое правило сравнительно благополучно.
Для того чтобы увидеть как возникает сохранение энергии, мы рассмотрим,
вывод (2.6) более подробно. Возьмем теперь за начальный момент I =
О и включим периодическое возмущение (2.1). Интегрируя по Г, как в
уравнении 1.12, но от нуля до Е находим
аДДИС—--------^ + (Я'|)/г-г7-(2.7)
7 7 Н(сор — сф 7 Н(сор-\-со)
Рис. 2.1. Резонансная часть вероятности перехода за конечное время, как
функция энергии конечного состояния.
Для слабого возмущения, эта амплитуда мала, если внешняя частота по-
ля ш существенно отличается от Вероятность перехода становится
значительной только близко к резонансу, когда (л оч ±шр.
Пусть частота близка к резонансу в одном из знаменателей, например,
ш ~ шр. Тогда только первый член в (2.7) удовлетворяет резонансому
условию и основной вклад в вероятность перехода будет
, / м2 \Н'п\2 2 \ , х
|О-'М| —Т (2'8)
Эта вероятность показана на рис. 2.1 в зависимости от конечной энергии
Ер Максимум соответствует точному резонансу, Еу = ЕглКш. а значение в
максимуме возрастает ос I2. В согласии с соотношением неопределенностей,
вероятность имеет заметную величину только в пределах интервала ос К/1
вблизи резонанса. Таким образом, при достаточно больших 1 (значительно
больше, чем типичные периоды К/шр), функция (2.8) имеет свойства 5-
функциии.
Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности между функ-
цией (2.8) и 5-функцией, вычислим площадь под резонансной кривой на
рис. 2.1:
Г । / м9 । I? /* 9 /Е/ — Ег — \ . ч
У =4|ВД У (Е|. _ _ м2 -----Ч (2.9)
где предполагается, что матричный элемент |#^|2 является гладкой функ-
цией энергии Еу (по сравнению с функциями быстро меняющимися с Ер
особенно на больших Г) и мало меняется внутри основного максимума
резонансной кривой. Теперь, из-за резкого максимума подынтегральной
функции, интегрирование может быть распространено до бесконечности.
Вводя аргумент синуса в качестве новой переменной х с началом в точке
резонанса, получаем
7- /‘ОС
^/1«/С)|2 = 4Д/г|2^ у Д10)
Так как оставшийся интеграл равен тг,
2тг
ЛЕДД\2 = -\нДЧ. (2.11)
Это дает правильную нормировку 5-функции и приводит снова к золотому
правилу (2.5),
О Т]-
\аД\2 = — 7\Н'Д 5Д -Е>-ПД, (2.12)
где I является длительностью процесса и при больших I, не имеет значения,
какая была начальная точка.
2.2 Выход за первый порядок
Предположим, что частота поля недостаточна для достижения конечного
состояния |/) из заданного начального состояния \г). В этом случае, нам
нужны следующие члены хронологически упорядоченного ряда теории
возмущений. Согласно уравнению 1.24, во втором порядке имеем
М' [ Н/Д0Н/пУ,')еш^е+^е'. (2.13)
Для оценки этого вклада воспользуемся теми же приближениями, что и
ранее.Члены второго порядка описывают передачу двух квантов внешнего
поля системе. Теперь мы находимся в резонансе с конечными состояниями,
которые отличаются по энергии от начального состояния на 2Ка). Во внеш-
нем поле Н\ мы удерживаем только члены, которые приведут к резонансу
при а) = с^/г/2,
= Ун'/пН'т [ [ Л1" _ (2.14)
г, о о
^/г(^) - I
Интегрирование по дает (опять же, оставив только наиболее важный
член)
1ГД^) = УЛ Н?пНпг /* (2.15)
п г(ШпЛ ~ 1
Используя этот результат в ау(^), переходя к пределу I -Д оо и вводя подхо-
дящую 5-функцию, мы приходим к золотому правилу (2.6) с эффективным
матричным элементом второго порядка
= (2.16)
/ с -*-^п
Такие эффекты работают в лазерных приложениях когда, например, энер-
гия одного кванта ниже порога ионизации, а путем добавления несколь-
ких квантов, мы можем получить необходимое количество энергии для
ионизации. Первый шаг двухступенчатого процесса должен быть вирту-
альным (внемассовым, нерезонансным).
Таким путём можно описать многоквантовые процессы. В частности, в
третьем порядке вместе с резонансом на частоте Зш перехода>, появляется
новый тип вклада Н'^Н'^Нц (плюс все перестановки хронологического
упорядочивания). Эти члены дают снова резонанс в простейшем переходе
г -д / с Для слабого поля, это просто малая поправка к первому
порядку, хотя она становится заметной для сильных полей.
2.3 Вырожденные состояния
Решение для системы вырожденных состояний даёт периодически (но не
гармонически) меняющиеся волновые функции.
Задача 2.1
Рассмотреть систему где периодическое возмущение Н'соз(д)В) имеет
большой матричный элемент между двумя вырожденными состояниями |1)
и |2). Найти эволюцию волновой функции со временем, если в начальный
момент система находилась в состоянии |1).
Решение В общей системе зависящих от времени уравнений (см. уравнение
1.9), мы удерживаем только уравнения, связывающие два вырожденных
уровня, с^12 = 0:
Ига± = Н'12 со8(с<Л) ад, гКаъ = Н[2 со8(аЛ) ах.
(2-17)
Точное решение этой системы уравнений легко найти, уели мы примем,
что в согласии с нормировкой |йц (/;)|2 + \а%(^)|2 = 1 и начальным условием
П1(0) = 1,
а1(^) = со8д(^), а2(Г) = -28Ш7^), у(0) = 0. (2.18)
Тогда, два уравнения (2.17) сводятся к одному уравнению на д(^),
Ку = Н[2 со8(с^). (2.19)
Интегрируя это уравнение с данным начальным условием, получаем,
Система осциллирует между двумя состояниями с максимальной заселённо-
стью второго уровня равной 8Ш2(Н(2/^)- Это решение также легко найти
используя матрицы Паули в двумерном пространстве.
Такая ситуация имеет место в атоме водорода, где состояниях2<§1/2 и
2р1/2 являются вырожденными, см. т. 1, раздел 24.2, если пренебречь лэм-
бовским сдвигом. Эти состояния могут быть сильно смешаны в постоянном
электрическом поле, давая новые стационарные суперпозиции. Здесь мы ви-
дим, что периодическое поле создает периодические изменения во времени
комбинаций первоначально вырожденных стационарных состояний.Число
линейно независимых комбинаций равно степени вырождения. Второе ре-
шение для задачи 2.1 будет соответствовать начальному условию 6X2(0) = 1.
Более общее начальное условие будет генерировать определенную линейную
комбинацию со8у(^) и $ту(Г).
Схема решения для И вырожденных состояний является прямым обоб-
щением двухуровневой задачи: мы ищем частное решение в виде
(2.21)
КАуу = СО8(с^) (2.22)
з'
временная зависимость удовлетворяется подстановкой
у(1) = —- 8т(^); (2.23)
Кзл
и мы приходим к статической проблеме собственных значений для Л,
ЛЛ, = ^Я33.Л,,! (2.24)
з'
что даёт п собственных значений Л и , следовательно, п функций д(^).
Правильная комбинация частных решений (2.21) должна находиться из на-
чальных условий. При решении этой задачи, мы пренебрегаем присутствием
всех других состояний в системе. Они могут быть учтены как возмущение
к указанному выше решению.
2.4 Квазиэнергия
Можно провести аналогию между поведением квантовой системы в пе-
риодической пространственной решетке, см. т. 1 Раздел 8.7, и в поле с
периодической зависимостью от времени. В первом случае импульс части-
цы не мог сохраняться из-за многократного рассеяния в периодическом
потенциале. Вместо этого, волновая функция может быть охарактеризова-
на квазиимпульсом, который определен с точностью до вектора обратной
решетки. Во многих случаях полезно использовать аналогичную идею для
возмущения периодического во времени.
Рассмотрим общий гамильтониан Я(^), периодически меняющийся во
времени с периодом Т,
Я(^ + Т) = Я(^). (2.25)
Решение уравнения Шрёдингера
= (2.26)
С7 Ъ
может быть представлено, как унитарная (поскольку гамильтониан эрми-
тов) эволюция произвольного начального состояния,
ФД = С(Щ(0), ^Д = С“1^), (2.27)
где П(0) = 1. Поскольку гамильтониан, определяющий оператор эволюции,
является периодическим, можно также утверждать, что
ф(^ + Т) = П(^)Ф(Т). (2.28)
Это эквивалентно следующему
ф(^ + Г) = П(^)Н(Т)Ф(0), (2.29)
и, следовательно,
Унитарный оператор эволюции за период, 17(Т) может быть диагонали-
зирован, его собственные значения есть (см. т.1, раздел 6.10) комплексные
числа ехр(год) на единичной окружности. Пусть фд есть набор собственных
векторов С/(Т), так что
ЩТДк = ега^к. (2.31)
Действуя обеими частями (2.30) на функцию -0^, мы получаем
ДД + ТМ = е^Д(^. (2.32)
Волновая функция, которая стартует при I = 0 с одной из функций фд,
ФД*) = УДШ, (2.33)
эволюционирует особенно просто,
ФД^ + Т) = е^ФД^), (2.34)
приобретая только фазу од после каждого периода Т гамильтониана.
Если бы мы имели независящий от времени гамильтониан, эволюция
стационарного состояния с энергией Е за интервал времени Т давалась
бы
Фя(г + Т) = (2.35)
В присутствии нестационарного возмущения энергия не сохраняется. Одна-
ко, эволюция за период состояния (2.34) Такая же, как для стационарного
состояния с энергией
~ Нод Ни)
Е ~ ~~ф ~ ~~2тт ак1 (2’36)
где и) = 2 л/Т. Величина Е называется квазиэнергией состояния Ф&. Суще-
ствование состояний с определённой квазиэнергией есть математическое
следствие теории Флоке, 1883 г., дифференциальных уравнений с перио-
дическими коэффициентами [СЫ1999]. Пример из задачи 2.1 определяет
периодическую функцию отвечающую квазиэнергии Е = 0. Согласно (2.34),
квазиэнергии определены по модулю 2ттН/Т = Ни), подобно квазиимпульсу
в решётке.
2.5 Конечные состояния в континууме
Для перехода г —> /, когда |/) принадлежит непрерывному спектру,
мы не можем точно зафиксировать отдельное конечное состояние. Имеет
смысл только вероятность перехода в спектральный интервал конечных
состояний с энергиями от Еу до Е?+с1Еу или в интервал других, непрерывно
меняющихся квантовых чисел.
Символически, мы обозначаем этот интервал как
= <1ру с/Еф
(2.37)
где <1ру имеет смысл плотности конечных состояний на единичный интер-
вал энергии. Золотое правило (2.6) будет давать теперь скорость перехода
в группу близко л ежащих конечных состояний,
2тг
йЩг = Д/г!2 ЧЕ/ ~ (Еу.
(2.38)
Если конечное состояние полностью характеризуется своей энергией, то
полная скорость перехода будет даваться интегралом по энергии,
2л Г 2л
= — У ЙД \Нр25(Е; -Ег-^) = — \Нр2, (2.39)
где матричный элемент берётся на энергетической поверхности. В реально-
сти, состояния в континууме обычно вырождены, например, по направле-
нию конечного импульса ру. Тогда, в (2.39) мы должны добавить плотность
конечных состояний,
2тг
= — |Я^|2йр/. (2.40)
Это стандартная форма золотого правила для переходов в континуум.
Явное выражение для с!ру зависит от нормировки состояний в контину-
уме; они должны быть нормированы на 5-функцию от тех непрерывных
переменных, которые порождают сЬу в (2.37). Часто бывает удобно ис-
пользовать нормировку в прямоугольной яме большого размера, которая
обсуждалась в начале курса, см. т. 1, разделы 3.7 и 3.8. Волновая функция
свободной частицы с периодическими граничными условиями имеет вид
(г|к) = Щг) = 2=ег(к'г)
(2-41)
Нормировочный объём V - вспомогательная величина, обеспечивающая
правильный подсчёт квантовых состояний в континууме; физические на-
блюдаемые не содержат его при правильных вычислениях. Функции (2.41)
нормированы так же, как и в дискретном спектре,
<к'|к> = У <73г<,(г)0к(г) = 6к'к- (2-42)
В этом случае, как мы знаем, плотность конечных состояний в интервале
Л3 к = Лкх Лку Лкг = к2 Лк Ло с правильно квантованными компонентами
волновых векторов в элементе телесного угла Ло определяется следующим
образом
V о V о
Лтд — з—лг к/ — з—гл к/ Лк/ Ло. (2.43)
(2тг)3 (2тг)3 7
Поскольку для свободного движения Е = К2 к2/2т, ЛЕ = (К2к/т)Лк,
= (2-44)
и
Лтд V тк/ V , ч
= = <2,45)
Если имеется несколько частиц в конечном состоянии, то в плотность
нужно включать число ячеек в фазовом пространстве, Ус/3р/(2тг/1)3, для
каждой из частиц и правильно учесть кинематические связи между ними.
Результат будет зависеть от системы отсчёта, используемой в описании
процесса (например лабораторной или системы центра масс). Если частицы
имеют дополнительные квантовые характеристики, такие как спин или
поляризация, а матричный элемент процесса не зависит от них, то плот-
ность состояний просто умножается на их число, (2з+1) для частицы со
спином в или на 2 для двух поляризаций фотона. Умножение означает, что
нет интерференции и для некогерентных процессов, в которых конечные
состояния имеют различные значения этих дискретных квантовых чисел,
мы складываем вероятности, а не амплитуды. Различные возможные ситу-
ации иллюстрируются ниже примерами и соответствующими диаграммами
на рисунках 2.2-2.6.
Задача 2.2
Найти плотность конечных состояний для
1. релятивистская частица в конечном состоянии;
2. эффект Комптона (см. т.1, раздел 1.3) — рис. 2.2;
3. электрон-электронное рассеяние — рис. 2.3;
4. тормозное излучение заряженной частицей в присутствии тяжёлого ядра
(свободная частица не может излучать, так как невозможно удовлетво-
рить законам сохранения энергии и импульса) — рис. 2.4;
5. рождение электрон-позитронной пары фотоном в поле ядра — рис. 2.5;
6. аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона — рис. 2.6.
Решение
1. Для релятивистской частицы,
В2 = т2с4 + р2с2, рНр = - НЕ, (2.46)
с2 V
где
с2
(2.47)
К
есть скорость частицы. Отсюда,
V р^Нр/Но у р2е
Нрг = —— * ' = —— Но. (2.48)
4 (2яК)3 НЕ^ (2тг/1)3 гу-
Рис. 2.2. Диаграмма для эффекта Комптона.
Рис. 2.3. Рассеяние электрона на электроне.
Рис. 2.4. Тормозное излучение на ядре.
уь(Е1э Г1к,) е+(Ерр+)
Рис. 2.5. Рождение электрон-позитронной пары
фотоном в поле ядра.
Рис. 2.6. Двух-фотонная аннигиляция
электрон-позитронной пары.
При V < с, это выражение совпадает с нерелятивистским результатом
(2.45), а для т = О, V = с, Е = Нш = Нек, мы получаем плотность
конечных состояний для фотона,
V
(,р/ = (2Дз Л? А°' (2‘49)
2. В системе отсчёта, где фотон с начальной частотой а) рассеивается на
покоящейся частице массы т (электрон), частота фотона рассеянного
на угол в в элемент телесного угла Ко равна (см. т. 1, раздел 1.3) I
1 + (/ка/тс2)(1 — сое 0) ’ (2.50)
Конечный электрон получает отдачу с энергией су и импульсом ру,
Е? = Ел^ + еу = Еу? + + пг2с4 * *. (2.51)
Вследствие сохранения импульса, импульс начального фотона Ек удо-
влетворяет условию /гк = /гку + ру. Тогда,
Е? = Ел) + т2с4 + /12с2(А;2 Е к2 — 2кк^ сое 0), (2.52)
ЕЕ? ( Н((л)? — ш сое 0) \
Т = Пс 1 + , 2.53
\ Ч /
или, вспоминая о сохранении энергии,
ЕЕ? /ка(1 — сое0) + тс2 ш? тс2 , .
—Т = Пс —-------------------= Пс —-------. (2.54)
Окончательно,
V к2е(1к? V Шг
Пр? = 77-—д —777— с1о = , щ Е). (2.55)
(2л)3 ЕЕ? (2л)3 штс2 к 7 *
Здесь еу = Е(уо — сиу) + ж2, и Но - элемент телесного угла в направлении
рассеянного фотона; направление ру электрона однозначно определяет-
ся законами сохранения.
3. В упругом рассеянии в системе центра масс имеем Р| = Р2 = Р- Р| =
—Р2 = р', и |р| = |рх| = р; тогда Е\ = Е-2 = Е\ = Е2 = Е. в достаточно
следить только за одним электроном в конечном состоянии. Поскольку
Е? = 2Е. то
V рЕ
ЛР1 = (^2^'10- (2'50)
4. Если считать ядро бесконечно тяжёлым (пренебрегая энергией отдачи
ядра Р2/2М), то импульс электрона не сохраняется и нужно рассмат-
ривать по отдельности импульсы испущенного фотона (частоты са) и
рассеянного электрона. Сохранение энергии даёт Е?у = Е + Нш = Е?о,
так что для фиксированной си, (1Е^ = НЕ, и
_ V рЕ Ук2Нк 1
(2-57)
5. Так же как и в случае тормозного излучения, ядро принимает на се-
бя излишний импульс. Разница по сравнению со случаем (4) в том,
что фотон теперь в начальном, а не в конечном состоянии. А вместо
начального электрона мы имеем дело с конечным позитроном. Прене-
брегая опять энергией отдачи ядра, имеем при фиксированной энергии
позитрона Е^. (ЕЕд = с1Е_, и
(1Е ЛЕ
— с1р+ д,р- —у-----= <1р+ (1р- (1Е+; (2.58)
используя (2.48), мы получаем
Р+Е+ р-Е- V с1о+ V Ло-
= ^(адз(2ЛДй +
(2.59)
6. В системе центра масс р+ + р = 0, Е^ = Е = Е. Оба фотона
приобретают одинаковую энергию Е± = Е%, которая также равна Е.
Для фотонов к1 + кд = 0, |кт| = |кд| = &, Е/ = 2Нск. Это даёт
, V к2
(2.60)
Задача 2.3
В процессе /3-распада индуцированного слабыми взаимодействиями вы-
деляется кинетическая энергия Е и начальное ядро (А, 2} с 2 протонами и
А — 2 нейтронами превращается либо ядро А, Я+1 с испусканием электрона
и электронного антинейтрино, либо в ядро А, 2— 1 с испусканием позитрона
и электронного нейтрино. В пренебрежении кинетической энергией отдачи
остаточного ядра и эффектами кулоновского поля ядра, Энергетический
спектр испущенных электронов (или позитронов) может быть представлен
как
АН = СОП8* ДДЧЩе, Ее) АЕе.
Найти функцию д(Е, Ее)
1. для безмассового нейтрино;
2. для нейтрино конечной массы т.
3. Было установлено, что электронное нейтрино т/е, или антинейтрино
Ре, рождённые в процессе /3-распада не имеют определённой массы,
будучи линейными комбинациями как минимум двух стационарных
типов нейтрино с массами и г/д
= СО8 7? 1^1) + 81П1? |772); (2.62)
определённо известно, что эти массы не могут превышать 1 эВ, хотя их
точные значения пока неизвестны. Эти нейтринные осцилляции будут
обсуждаться позднее. Как будет выглядеть результат в этом случае?
Решение
1. В этом случае мы имеем, Еу = сру = Е — Ее,
д(Е, Ее) = (Е- Ее)2ЕеЦЕ1 - т^сТ (2.63)
2. Модификация для конечной массы нейтрино одного сорта:
д(Е,Ее;т) = (Е — Ее)ЕеЦ[(Е - Ее)2 - т2а](Е% ~ т2с4). (2.64)
3. Для случая нейтринных осцилляций,
д(Е, Ее) = д(Е, Ее; Ш1) сое2 й + д(Е, Ее; 7722) зш2 й. (2.65)
Из-за малости масс т± и гщ модификации могут быть заметны только
в самом конце электронного спектра. Например, даже для самого обе-
щающего случая /3-распада трития, 3Н—>3Не + электрон + электронное
антинейтрино, где полная энергия выделяемая при распаде составля-
ет 18.6 КэВ (обычно она много больше, на уровне нескольких МэВ),
эта энергия всё равно много больше ожидаемых значений масс нейтри-
но (или антинейтрино). Такие эксперименты идут уже много лет, но
окончательный результат ещё не достигнут [2].
2.6 Приближение вращающегося поля
Вернёмся к взаимодействию атомных уровней с периодическим электро-
магнитным полем - главной проблеме квантовой оптики. В предыдущих
разделах мы видели решающую роль выполнения условия резонанса. Фак-
тически, мы уже обсуждали это в связи с магнитным резонансом (см. т.
1, раздел 20.4) и в разделе 2.3, где речь шла о вырожденных состояниях;
здесь мы рассмотрим резонансное приближение, которое будет полезно во
многих практических приложениях.
В простейшей ситуации мы имеем ” атом” в монохромотическом пол-
ле. Атомные состояния мы будем называть \д) (”основное”состояние) с
невозмущённой энергией Ед и |е) (” возбуждённое” состояние) с энергией
Ее = Ед + ^о- Внешнее поле
Н'(Г) = V соз(си/; + а) (2.66)
характеризуется своей частотой си, которая вообще говоря отличается от
сио, так что имеется расстройка
. Ее — Еа — .
Д = си0 - ш . (2.67)
Эрмитовское возмущение (2.66) индуцирует переходы как между состо-
яниями \д) и |е), так и в другие атомные состояния. Мы будем пред-
полагать, что оператор У = У^ имеет большие матричные элементы
V = (д\У|е) = (е|У|д)* для переходов д о е по сравнению с перехода-
ми в другие состояния. В квантовой оптике наиболее сильными являются
дипольные переходы между состояниями противоположной чётности. В
этом случае
V = -(<?•(!), (2.68)
где Г - электрическое поле внешней электромагнитной волны.
Далее мы ограничимся только двумя уровнями, пренебрегая перехода-
ми в другие состояния. Это приближение связано с резонансом, который
отвечает условию Д = 0. Таким образом, мы приходим к двухуровневой ди-
намике, в которой волновая функция есть линейная комбинация состояний
Ю и и
1фД) = “дШ + аД)|е), (2.69)
и амплитуды ад(Г) и ае(^) удовлетворяют системе дифференциальных урав-
нений
гНад = Едад + У(^)ае, гНае = Ееае + У*(Г)ад. (2.70)
Здесь мы используем произвольную зависимость от от времени V (/;) опи-
сывающую форму импульса поля.
Во многих проблемах взаимодействия излучения с материей, когда рас-
сматривается только пара атомных состояний связанных сильными ради-
ационными переходами, то удобно отобразить эти состояния на систему
спина 1/2 (на современном языке это кубит - элементарная ячейка будущих
квантовых компьютеров), см. т. 1, раздел 20.7. Состояние с ориентацией спи-
на вверх или вниз отвечает соответственно большей или меньшей энергии,
так что гамильтониан свободного атома есть
а!
Ее
о
0
Ед )
Ед + Ее -
—------1 4-----
2 2
(2-71)
Повышающий оператор = (1/2) (сгж + Юу) описывает поглощение резо-
нансного кванта, в то время как понижающий оператор з_ = (1/2) (сгж — гиу)
описывает излучение. Волновая функция изображается спинором,
|Ф> = ( ае|/ ) , (2.72)
\ ад\а) )
а полный гамильтониан даётся матрицей 2x2,
Я = ( у(е. ) = ^Ц^1 + ^аг + Ке(УДИ + 1т(УСЖ.
\ -^9 /
(2.73)
Выделяя невозмущённую зависимость от времени мы приходим к пред-
ставлению взаимодействия для новых амплитуд,
ад(1) = е~^ЕЛд(Л ае(1) = е~^ЕЛ>Л, (2.74)
которые удовлетворяют системе уравнений
гПЬд = У^е-^ЬЛ), Ш>е = У*{1)е^ЬЛ. (2.75)
Во многих случаях проблему можно заметно упростить используя резо-
нанс, так называемое приближение вращающегося поля. Монохроматиче-
ское поле (2.68) может быть представлено как
Н'(1) = |у[гИ+«) + е-*И+<Д (2.76)
полагая V действительным, а его фаза включена в а. Если расстройка
мала, △ ощ, в первом уравнении (2.75) первая экспонента из (2.76) почти
сокращает исходную временную зависимость ехр(—гощ^), оставляя только
медленно меняющуюся во времени экспоненту. В теории возмущений этот
член будет порождать малый энергетический знаменатель и, следовательно,
большую вероятность перехода, как в случае резонансного члена в (2.7).
Вторая экспонента быстро осциллирует и даёт нерезонансный вклад. В
приближении вращающегося поля такими членами пренебрегают. Таким
образом, мы оставляем только первую экспоненту из (2.76) в первом урав-
нении (2.75) и вторую экспоненту во втором уравнении. Система связанных
уравнений в приближении вращающегося поля принимает вид
гКЬд = | Уе~г^+(ЛеД гПЬе = 1уег^+аЧдД (2.77)
Это приближение справедливо, если решение действительно содержит
только плавную зависимость от времени.
Задача 2.4
Найти общее решение двухуровневой задачи в приближении вращающе-
гося поля.
Решение В действительности, эквивалентную проблему мы уже решали
для магнитного резонанса, см. т. 2, раздел 5.4. Имеются два независимых
решения,
=
ега^_е«(^+Д/2)4
Л+ег(О-А/2)4
(2.78)
ФД) =
^+Л/2)^
е-га^_е-г(^+А/2)^
(2.79)
Здесь мы положили Д > 0 и ввели частоту Раби
(2.80)
в которую входит расстройка внешнего поля и расщепление У2, как это
всегда происходит в двухуровневой проблеме. Оба члена в уравнении для
О должны быть много меньше о>о, чтобы резонансное приближение было
справедливо. Это значит, что поле волны, которое входит в У, должно
быть много слабее электрического поля в атоме. При этом, соотношение
между Д и У может быть произвольным. Амплитуды А± равны
В действительности, система уравнений даёт только линейную связь между
и А_; в (2.78) и (2.79) они выбраны так, чтобы для не связанных с
полем состояний (V —> О, Г2 = Д/2),
Ф_ -д Фе
Ф+ Ф, =
0.
1
(2.82)
Общее решение с произвольными начальными условиями даётся суперпо-
зицией
Ф = С_Ф_ + С+Ф+.
(2.83)
Не следует забывать, что это получено в представлении взаимодействия и
что полная зависимость от времени даётся переходом назад к амплитудам
ае(^) и ад(1) согласно (2.74).
Выделяя полную зависимость от времени в амплитудах а(^), мы видим,
что имются четыре квазиэнергии, которые в порядке возрастания равны
ЁД =Ед + пД - О,
ЁД =Ед + Д^+П
ЁД = Ее-ДД +о),
ЁД =Ее-ДД -о).
Здесь имеется попарное соответствие,
ЁД - ЁД = ЁД - ЁД = Що -Д) = Гш.
(2.84)
(2.85)
Вернее состояние в каждой паре можно интерпретировать как нижнее
состояние плюс квант внешнего поля.
2.7 Взаимодействие с квантованным полем
Рассмотрим теперь модель Джейнса-Каммингса [3,4], где внешнее моно-
хроматическое поле представлено квантовым гармоническим осциллятором.
Квантование поля детально будет обсуждаться в главе 4. Здесь мы нуж-
даемся только в идее фотонов, как квантов с энергией Нед которые могут
испускаться или поглощаться системами атомов. Моделируя поле гармо-
ническими квантами с возможными п-квантовыми состояниями \п) мы
сможем продвинуться к рассмотрению многофотонных процессов.
В рамках двухуровневой системы во внешнем поле с малой расстрой-
кой Д мы имеем такие резонансные процессы: поглощение кванта, когда
поле теряет один квант, \п) -Д \п — 1), в то время как атом возбуждает-
ся, \д) -д |е), и индуцированное излучение, которое отвечает переходам
\п) -д \п + 1), |е) -Д \д). Индуцированные процессы генерируют фотон
с теми же квантовыми числами, что и квант поля, до тех пор пока мы
игнорируем некогерентное спонтанное излучение. Гамильтониан даётся
спинорной моделью (2.73), в которой внешнее поле представлено гармони-
ческим осциллятором,
Н = 9 —- 1 4—+ Рл (с^а + + Н'. (2.86)
Резонансная часть гамильтониана взаимодействия может быть записана
как
Н' = Уа+а + (2.87)
где повышающие и понижающие спиновые операторы сг± = сгх ± гау имеют
матричные элементы
(е|а+|^ = <^|сг_ |е> = 1. (2.88)
Заметим, что здесь нет никакой явной зависимости от времени, поскольку
квантованное электромагнитное поле не есть внешний объект с заданной
временной зависимостью; теперь оно включено в степени свободы всей
системы.
Полное гильбертово пространство генерируется базисными состояниями
\д; п) и |е;п) которые характеризуются атомным уровнем и целым чис-
лом п = с^а квантов. Кроме полной энергии имеется другой очевидный
интеграл движения - полное число квантов, если приписать системе в воз-
буждённом состоянии один квант. По этой причине, только два состояния
для каждого п > 0 связаны резонансным гамильтонианом, \д; п} и |е; п — 1).
Основное состояние |д; 0) (отсутствие квантов поля) является стабильным.
Но, начиная с |д; п > 0), мы получаем двухуровневую динамику с волновой
функцией
|Ф(га>) = ( 4 |е; п - 1) А 89)
| Задача 2.5
Предполагая, что начальное состояние было суперпозицией многофотон-
ных состояний с атомом в основном состоянии,
|Ф(0)) =
о
(2.90)
найти волновую функцию при I > 0.
Решение В каждом двумерном секторе (2.89) удобно использовать пред-
ставление взаимодействия, выделяя тривиальную невозмущённую динами-
ку,
аИ(^) = е-(^/П)[(Вр+Ве)/2 + ^п]^(п)^^
Новые амплитуды Ь^д (^) удовлетворяют уравнению
(2-91)
(2.92)
где мы учли матричные элементы гармонического осциллятора (см. т. 1,
уравнение 11.119) и ввели расстройку А и зависящий от п параметр связи
Хп = (2У/К)у/п. Эта система уравнений может выть решена так же, как и
раньше, и для начального условия (2.90) мы получаем,
^П)С) =€п(сО8(^И)
(2.93)
(2.94)
где частота Раби зависит теперь не от амплитуды электрического
поля, как в (2.80) или от магнитного поля, как в Т. 1, уравнение 20.54, а
от п (интенсивности квантованного поля),
= х/А2 + |А„|2.
(2.95)
Осциллирующая зависимость амплитуд волновой функции от времени
порождает явление возрождения первоначального многофотонного волно-
вого пакета, рис. 2.7, характеризуемого коэффициентами суперпозиции
(2.90). Например, предположим, что мы работаем точно в резонансе, А = 0.
Рис. 2.7. Эволюция начального когерентного состояния в модели Джейнса-
Каммингса [5]; вертикальная ось показывает инверсную заселённость
атома как функцию безразмерного времени Т = VI.
Зависящая от времени вероятность найти атом в основном состоянии даётся
выражением
ряи = Е 1Е,«|2 = Е 12 Д • (2.96)
п п
или, используя нормировку в (2.90), |^п|2 = 1,
^)=|+|е1«-12“4^ЦДУ (2да
Л Л \ Г1 /
4 7
После старта фотонный пакет проходит быструю стадию декогерентности
("коллапс"). Можно оценить время возрождения. Если фотонный волновой
пакет имеет максимум при среднем числе фотонов п и с типичной шириной
(Дп) п, то можно ожидать, что максимум ряда Фурье (2.97) при I = Т,
будет достигаться тогда, когда компоненты соседние с максимальной будут
находиться в фазе,
(1 (2\У\у/ГТ\ _ \У\Т
(1п \ К ) п=п
(2.98)
Это определяет время возрождения
_ К гг 4лп
Задача 2.6
Предполагая многофотонный пакет гауссовым с большим средним числом
фотонов п > 1 и (Дп) = д/ф найти эволюцию гауссового волнового пакета
на малых временах (до начала возрождения). Эти начальные условия
соответствуют квазиклассическому когерентному состоянию, см. т. 1,раздел
12.6, рассматриваемому вблизи максимума волнового пакета.
Решение В этом случае,
|е„|2 = ~^= е-(п-пГ/2п^ (2,1.00)
V 2тгп
Подставив это в (2.97), и заменив суммирование по п, интегрированием
/ дп, а также распостранив интегрирование до — оо, получаем, вычислив
гауссов интеграл,
РД) = | | СОЗ (Щ^) е-\У\^/2. (2.101)
Это уравнение описывает стадию начала коллапса (быстрая декогерент-
ность). В этом приближении возрождение не описывается.
2.8 Одетые состояния
Когда мы включаем, как в (2.86), электромагнитное поле в нашу систему,
полный гамильтониан не зависит от времени. Поэтому, можно говорить
о стационарных состояниях системы в целом, атом + поле. Такие оде-
тые состояния возникают в сильных полях, когда теория возмущений
неприменима.
Мы рассмотрим только простейший случай двухуровневого атома и
частоты поля близкой к резонансу. Сильное поле может рассматриваться
классически, так что в приближении вращающегося поля гамильтониан
в представлении взаимодействия может быть опять записан с помощью
матриц Паули для атомных состояний как
н = | (Уст+ + У*<т_). (2.102)
Это стандартная двухуровневая задача, с которой мы встречались много
раз. Эффективное двумерное уравнение Шрёдингера
Я|±) = Я±|±),
(2.103)
даёт два стационарных состояния |±) с новыми энергиями Е±.
Задача 2.7
Найти энергии Е± и соответствующие стационарные состояния |±).
Решение Стационарные энергии прямо связаны с частотой Раби,
Е± = ± | V = ±| Д2А2 + |У|2, (2.104)
и состояния раздвинуты по энергии на частоту Раби. Волновые функции
даются
1 /
'Ж \ -У*/СЛ^А
1 / - А
ЛЛ \ - А
. (2.105)
Если два атомных уровня, связанные сильным лазерным полем, могут
испускоть фотоэлектроны, то в спектре электронов будет наблюдаться
удвоение резонансов с расстоянием между пиками. Подобная пара коге-
рентно связанных состояний появляется и в квантовом рассмотрении полей.
В модели Джейнса-Каммингса мы будем иметь полностью аналогичную
пару одетых состояний для каждого числа фотонов п > 1, с ращеплением
растущим как Дп, рис. 2.8.
2.9 Сверхизлучение
Как пример физического явления возможного при взаимодействии ин-
тенсивной электромагнитной волны с материей, мы обсудим явление свер-
хизлучения или, если говорить точно когерентное спонтанное излучение,
предсказанное Р. Дикке [6]. Это предсказание нетривиально, поскольку из
элементарной теории излучения известно, что спонтанное излучение неко-
герентный процесс. Однако, могут существовать возбуждённые состояния
системы К-атомов, в которых интенсивность излучения в ТУ2 раз больше,
чем у индивидуального атома. Ниже мы дадим упрощённое объяснение
этого эффекта.
Возвращаясь к спинорному описанию двухуровнего атома, обозначим
энергии возбуждённого и основного состояния как ЕЕ/2, так что гамиль-
тониан (2.71) свободного атома есть
= Езг. (2.106)
Амплитуды А* иА поглощения и излучения резонансного фотона комплекс-
но сопряжены и 1$ = |А|2 есть мера интенсивности спонтанного излучения
п=3
П=1
ОзсШаСог
Огеазес! зЫез
Рис. 2.8. Схема расщепления одетых состояний при взаимодействии
двухуровневой системы с квантовым гармоническим осциллятором.
одиночного атома при его переходе вниз. Поместим Ы тождественных ато-
мов в объём, стенки которого прозрачны для излучения резонансной часто-
ты. Размер объёма выберем так, чтобы он был много меньше длины волны
Л обсуждаемого перехода кга 1, и пренебрежём всеми разностями фаз
из-за различия расстояний проходимых волнами от разных излучателей.
Будем также пренебрегать прямыми взаимодействиями между атомами и
перекрытием пространственных волновых функций различных атомов. Ес-
ли все атомы возбуждены и излучают независимо, то полная интенсивность
I Тем не менее, даже в отсутствие прямой связи меду атомами
возможно когерентное излучение IV2 То.
Если векторный оператор спина-кубита 8 (а) действует в двухуровневом
пространстве атома а, можно определить полный ”спин”или квазиспин
системы как
§ =
а=1
(2.107)
Базис невзаимодействующих спинов состоит из 2^ конфигураций с различ-
ным распределением возбуждённых спинов. Обозначим заселённости двх
атомных уровней через = (7У/2) + М, где + М- - полное число
атомов, а М = 8~ = (7У+ — 7У_)/2 - проекция полного спина (сравните со
швингеровским представлением углового момента, т. 2, глава 7). Базис
независимых спинов не слишком удобен для описания процессов излучения,
которые фактически дают связь с континуумом. Эта связь описывается
оператором
н' = А* ^Д+(а)+Л ^Д_(а) = Л*6'++ (2.108)
а а
где все амплитуды Аа одинаковы в нашем длинноволновом пределе, так
что в (2.108), как и в структуру внутреннего гамильтониана Н° = Е8г,
входят компоненты полного спина. Квазиспин 8 в классическом пределе
называется вектором Блохер в приближении (2.108) его величина 8 со-
храняется. Таким образом, вся динамика вектора Блоха разворачивается
на поверхности сферы. Полный гамильтониан, включающий связь с кон-
тинуумом (2.108) диагонализуется в базисе полного спина 8 и проекции
М.
Задача 2.8
Вычислить число состояний д(М) с заданной степенью возбуждения,
даваемой полной проекцией М и число А/* (5) мультиплетов со спином 8.
Решение
№
<7(М) =
Д/2 + М)1Д/2- М)!’ (2.109)
А"(.5) = д(М = 5) -д(М = .5 + 1). (2.110)
При М = 7У/2, все атомы возбуждены, состояние единственное (мак-
симальная проекция вектора Блоха на ось г), д(7У/2) = 1, это возможно
только для 8 = 7У/2. Следующая проекция, М = 7У/2 — 1, может быть
построена д(2У/2 — 1) = ^ способами переворотом одного из спинов. Одна
комбинация из этих состояний принадлежит тому же максимальному
спину 8 = 7У/2. Это симметричная линейная комбинация с одинаковыми
амплитудами переворота для всех спинов, которая может быть получе-
на действием коллективного понижающего оператора 5_: другие ТУ — 1
комбинаций состояний с одним перевёрнутым спином принадлежат новым
мультиплетам с полным спином 8 = 7У/2 — 1.
В процессе однофотонного излучения, описываемого гамильтонианом
(2.108), сохраняется длина 8 вектора Блоха, но меняется его ориентация,
|5М) -л- \8М — 1). В этом случае излучение не может быть отнесено
к отдельному атому, мы имеем коллективные процесс излучения всей
запутанной системой. Амплитуда излучения пропорциональна
А{8 М - 1\8-\8 М) = Ау/(8 + М')(8-М + 1). (2.111)
Для одного атома, 8 = 1/2, М = 1/2, этот матричный элемент равен А;
для многих тождественных атомов интенсивность излучения (2.111) равна
I = 1^8 + М)(8 - М + 1), (2.112)
Если мы начинаем с выстроенного состояния 8 = М = АД 2, то мы можем
иметь только некогерентное излучение, I = ДЛГ. Для состояний с одним
перевёрнутым спином, М = 7У/2 — 1, когерентная часть даёт I = 2(2У — 1)1о>
в то время как остающиеся некогерентные комбинации дают I = (ТУ — 2)То.
Ясно, что по мере убывания М при перевороте большего числа спинов,
интенсивность излучения испускаемого коллективной суперпозицией с
максимальным спином 8 = ^/2 возрастает.
Механизм усиления объясняется связью индивидуальных спинов через
континуум. Виртуальное излучение спином а и поглощение его спином Ъ
создаёт когерентное супер-излучающее состояние. При этом не требует-
ся прямого спин-спинового взаимодействия. В состоянии с максимально
ориентированным спином вдоль оси г возможно только некогерентное из-
лучение. Связь через виртуальный континуум максимальна в ситуации,
когда половина спинов смотрит вверх, а половина вниз. Это происходит
(для чётных ТУ) при поперечной ориентации вектор Блоха, 8 = ТУ/2, М = О,
тогда
(2.113)
интенсивность при больших ТУ пропорциональна ТУ2. Состояния с М < О
опять менее выгодны для излучения.
Задача 2.9
Классическая аналогия с вращающимся дипольным излучателем здесь
вполне уместна. Если мы начинаем с вектора Блоха 8 ориентированного
вдоль оси г, то эта ситуация подобна неустойчивому равновесию маятника
смотрящего вертикально вверх, М = 8. Начинающееся спонтанное излуче-
ние заставляет маятник двигаться вниз уменьшая М = 8 сов в. Используя
баланс внутренней энергии и интенсивности излучения запишите классиче-
ское уравнение движения вектора Блоха как функции времени и решите
это уравнение.
Рис. 2.9. Развитие во времени супер-излучательного импульса в переходе
между вращательными уровнями У = 3 —> 7 = 2 молекулы НР [7], длина
волны 84 /ил.
Решение Зависящая от времени интенсивность излучения (2.112) диполя
I « 10(52 - А/2) = 1052 зт2 0,
(2.114)
достигает максимума при поперечной ориентации, в = л/2. Интенсивность
равна скорости потери внутренней энергии Н° = ЕМ
I = -Н° = -ЕМ = Е8ып0 • 0. (2.115)
Поэтому, уравнение движения для вектора Блоха имеет вид
0 = 8Ш0; (2.116)
Е
интенсивность (2.115) достигает максимума при 0 = л/2. Угол меняется
как
1ап - = ^ап ^2. (2.117)
2 2 к 7
Многочисленные эксперименты в квантовой оптике подтвердили меха-
низм супер-излучения Дикке. Понятно, что полная теория эффекта гораздо
сложнее, поскольку должны быть учтены эффекты плотности, а также
другие многочисленные факторы порождающие некогерентные эффекты.
В качестве примера мы показываем на рис. 2.9 одно из первых исследова-
ний [7] эффекта оптически накачанного газа НР. "Запаздывающая"стадия
некогерентного излучения сопровождается супер-излучающим пиком.
Теряется то, что передаётся другим.
Плиний Старший, Естественная
история
Глава 3
Рассеяние быстрых заряженных частиц
3.1 Сечение рассеяния
В этом разделе результаты теории возмущений зависящих от времени
будут использованы при обсуждении важной проблемы взаимодействия
пучка быстрых частиц с системой конечного объёма (атом, молекула, ядро).
Падающий волновой пакет отклоняется от первоначального направления
в результате рассеяния. Система {рассеиватель, мишень) после взаимодей-
ствия может остаться в своём первоначальном состоянии {упругое рассея-
ние). В этом случае, в системе центра масс процесс сводится к повороту
относительного импульса мишени и налетающей частицы; кинетическая
энергия относительного движения сохраняется, хотя некоторые внутренние
квантовые числа взаимодействующих систем, например ориентация спина,
могут измениться, если эти состояния вырождены. В процессе неупругого
рассеяния внутренние состояния меняются вместе с кинетической энергией
относительного движения. Если падающая частица и мишень были в своих
основных состояниях до рассеяния, то они могут возбуждаться, энергия
возбуждения берётся из относительного движения и кинетическая энергия
относительного движения уменьшается.
Рассмотрим упрощённую нерелятивистскую проблему, когда налетаю-
щая точечная частица (координата г)) взаимодействует с системой частиц
(координаты га) через потенциал, так что возмущение имеет вид
Я' = ^Щг-га). (3.1)
а
Интуитивно мы ожидаем, что для достаточно быстрых частиц (со скоро-
стью больше, чем характерные скорости частиц в мишени) эффективное
время взаимодействия будет малым, многократные процессы маловероятны
и полная вероятность рассеяния будет невелика. По этой причине мы будем
использовать золотое правило теории возмущений в виде, приведённом в
разделе 2.1.
Зависящая от времени сила, действующая со стороны системы на налета-
ющую частицу, может быть разложена, как функция времени, в ряд Фурье.
Каждая фурье-компонента частоты а) порождает соответствующий обмен
энергией На) между мишенью и налетающей частицей. В пределе больших
I энергия сохраняется: если и ё/ энегии соответственно начального и
конечного состояний падающей частицы, аЕг и Ец энергии мишени, то
сохранение энергии даёт
- е- = = -(Еу - Е^.
(3.2)
Пусть мишень первоначально находится в состоянии |г), а падающая
частица имеет импульс р (процесс рассматривается в системе центра масс,
поэтому все импульсы описывают относительное движение). Нас интересует
вероятность с1ггр найти рассеянный волновой пакет с импульсом рх в
элементе телесного угла (кц а систему в конечном состоянии |/). Если
состояние |/) принадлежит дискретному спектру, то плотность конечных
состояний определяется правилами раздела 2.5 для налетающей частицы.
Согласно золотому правилу вероятность перехода в единицу времени есть
2тг V
+Ег-Ч- (3.3)
Для нерелятивистской налетающей частицы, вводя плотность конечных со-
стояний и интегрируя по еу, получаем для вероятности перехода в единицу
времени с/лйр (т - приведённая масса)
(3-4)
Сама по себе вероятность перехода в единицу времени не годится для
сравнения с экспериментальными данными - она зависит от нормировки в
непрерывном спектре. Наблюдаемой величиной является эффективное диф-
ференциальное сечение рассеяния - отношение числа частиц, попадающих
в единицу времени в расположенный под определённым углом детектор, к
плотности падающего потока. Если падающий пучок приносит частиц в
секунду, то скорость счёта детектора будет Плотность падающего
потока равна произведению плотности пучка на относительную скорость,
7 = (]У/У)и = /У\р/т. В этом случае дифференциальное сечение равно
(1ш р т
,, = (А7Ю(г>/т)= 7 (3'5)
и из-за (3.4),
/ 2
^' = Д <3-6)
Фактор V2 в действительности сокращается в сечении (3.6), так как
волновые функции падающей частицы в континууме нормированы на тот
же объём. Матричный элемент амплитуды перехода зависит от переменных
как мишени, так и падающей частицы,
Я^ = (/;р'|Я'|г;р). (3.7)
Используя для падающей частицы плоские волны ^р(г) нормированные
на объём, находим
Н'^ = I с!3гД,(г)(/|Я'(г)|г)Д(г) = 4 Лг (3.8)
где (ф\Н'(г)|г) - матричный элемент взаимодействия (3.1) по состояниям
мишени, который всё ещё зависит от координаты г налетающей частицы.
Сечение характеризует элементарный акт взаимодействия независимо от
интенсивности пучка или нормировки на бесконечности. Полное сечение
= / “"“л (3'9’
получается интегрированием по всем углам рассеяния.
Вектор
Ч = —-— = к - к
п
(3.10)
определяет передаваемый импульсот системы к налетающей частице. Мат-
ричный элемент (3.8) есть фурье компонента амплитуды перехода (/|Н/(г)|г)
с соответствующим волновым вектором д,
д3г е
(3.11)
и окончательное выражение для сечения (3.6) имеет вид
2
с/о,
д3г е
=
(3.12)
где зависимость от нормировочного объёма V уже отсутствует.
3.2 Резефордовское рассеяние
В случае потенциального взаимодействия (3.1), матричный элемент в
(3.12) может быть записан как
[ а3ге~^{/\Н'(г)\г) = ^(/|е-^гДс/а)ч|г), (3.13)
а
где введены фурье-компоненты потенциалов взаимодействия (мы исполь-
зуем переменную х = г — га),
Шч = /б?3Же-^-хН(х). (3.14)
Для кулоновского взаимодействия между нерелятивистской падающей
частицей (заряда ед) ичастицей а в системе (заряд еа),
Га(г - го) = е0</?а(г - га) = е°6а , (3.15)
|г - Га|
фурье-образ легко вычисляется используя уравнение Пуассона связываю-
щего электростатический потенциал с плотнотью заряда рс}1 создающего
этот потенциал,
\72(Дх) = —4тгрс11(х). (3.16)
Переходя к фурье-компонентам находим
4тг и
(3.17)
В случае точечного заряда еа,
Дг!=М!г-гв!! - р^^еае-г^\ (3.18)
и матричный элемент (3.13) становится
Д (/I Е ^.(Ч). (3.19)
а
где 7е - полный заряд мишени,
= [ <13г Д (г) = Д=о = У2 еа, (3.20)
а
и введён зарядовый формфактор
Г,М = (Х‘10 = (Л Еад-(-''")|>). (3.21)
а
собирая все уравнения, мы приходим к дифференциальному сечению для
мишени испытывающей переход г —> / и частицы попадающей в телесный
угол до в результате кулоновского взаимодействия,
я р'
да^ = —
р
2т7еое\
йЗф2 /
2
|Дг(ч)|2^О.
(3.22)
Рассмотрим сначала упругое рассеяние, р' = р, / = г, Рр = Р. В этом
случае квадрат переданного импульса равен
д2 = (к7 — к)2 = 2&2(1 — сое 0) = 4&2 зш2 |, (3.23)
где 9 - угол рассеяния между начальным и конечным относительными
импульсами. В кулоновском случае результат даётся
НиЩ
Рис. 3.2. Формфактор и интерференция волн рассеянных и разных элемен-
тов объёма.
Классическое сечение Резерфорда для частицы с энергией е = р2/2т рассе-
янной на точечном заряде 2е (см. т.1, (1.129)),
2т2еое\ 2
И^ф2 )
т2еое \2
2К2к2 ет2(0/2))
1
81П4(0/2) ’
(3.25)
модифицировано статическим зарядовым формфактором
Ш = ф ы = ф [ Тге-^ ДЬ(г)),
дс Ие у
(3.26)
который есть нормированный фурье образ статической плотности заряда.
3.3 Статический формфактор
Смысл статического формфактора становится ясным из рисунка 3.2.
Рассмотрим интерференцию волн рассеянных элементом объёма в центре
системы (опорная волна) и произвольным элементом объёма д3г в точке
г. Как видно из рис. 3.2, эти волны идут под определённым углом к
детектору с разностью фаз (к7 • г) — (к • г) = (д • г). Формфактор Р(д) есть
суперпозиция всех волн, рассеянных различными элементами объёма на
данный угол, корректно учитывающая их относительные фазы. При этом
нужно помнить, что в рассматриваемом приближении подразумевается,
что только однократное рассеяние имеет заметную вероятность.
Формфактор (3.26) удобно нормирован так, что
Г(0) = 1. (3.27)
для точечной мишени,
(рс11(г)) = Яе<5(г), (3.28)
формфактор Р(д) = 1 и сечение (3.24) возвращается к формуле Резерфорда.
В этом пределе вся система зарядов действует как единое целое. В реаль-
ной ситуации распределение зарядов в конечном объёме с неизбежностью
порождает интерференцию, |Р(д) | < 1, и упругое сечение уменьшается по
сравнению с резерфордовским.
Если сделать обратное фурье-преобразование формфактора извлечён-
ного из экспериментального сечения, то можно получить информацию
о распределении плотности заряда внутри мишени. Для этой цели важ-
но измерять сечение до максимально возможных передач импульса. На
практике это трудно выполнимо, поскольку абсолютная величина сечения
(3.24) определяется сечением Резерфорда, которое очень быстро падает с
ростом ц. Тем не менее, такие эксперименты были проведены с электронами
рассеивавшимися на атомных и ядерных мишенях.
Предел д —> 0, когда справедливо уравнение (3.27) отвечает малым углам
рассеяния в. В терминах классической механики такое слабое рассеяние
имеет место при больших прицельных параметрах, когда налетающая
частица не проникает внутрь мишени и видит только полный заряд 71 е. В
этом случае справедлива формула Резерфорда. Малая передача импульса
означает, что
^Я<1, (3.29)
где Я - характерный размер системы. В этом случае, разности фаз между
волнами взаимодействующими с разными частями системы пренебрежи-
мо малы; налетающая частица неспособна разрешить пространственную
структуру мишени. Неравенство (3.29) всегда справедливо в пределе низких
энергий, когда длина волны падающей частицы велика по сравнению с
размером системы, кК <7 1. Однако, даже при высоких энергиях, когда
кК 1, имеется область очень малых углов рассеяния (или далеко лежащих
"траекторий”) в < \/кК, когда условие (3.29) всё ещё выполняется.
Следующие члены разложения формфактора по степеням ([ дают уже
больше информации о распределении заряда. В случае сферически симмет-
ричного распределения заряда, (рс11(г)) = рс11(г), интегрирование по углам
даёт ((ту = сое 0))
Р(д) = — [ г2 дг2тг [ дт)ег(1ГГ1 = [ дгг2рс\г) . (3.30)
У у.! 2е У дг
В этом случае формфактор зависит только от модуля д и первый член
разложения по степеням дК < 1 даёт
Д'?) ~ тг- [ б?гг2рсЬ(г) (1 - |д2г2) = 1-|г/2(г2): (3.31)
хе У у о / о
где мы определили среднеквадратичный радиус ,
(г2) = [ У3 г рсН(г)г2. (3.32)
У
Эта величина может быть экспериментально определена по наклону форм-
фактора, как функции д2 в пределе (3.29).
Противоположный к (3.29) предел,
дК^> 1,
(3.33)
достигается только при высоких энергиях или малых длинах волн, кК 1,
и не при слишком малых углах рассеяния. В этом случае экспонента
быстро осциллирует на размере системы и для любого гладкого распреде-
ления зарядов вклады от разных областей сильно сокращаются, так что
формфактор Р(д) 0. При больших д только мельчайшие структуры с
размером меньше длины волны \/д дают конструктивную интерференцию в
формфактор. Но, для гладкого распределения заряда только пренебрежимо
малая доля заряда находится в таком малом элементе объёма, что влечёт
Р(д) 0 вместе с сечением. Если распределение заряда концентрируется
в малых областях, например, сингулярности типа внутренних точечных
зарядов, то формфактор будет выявлять их при передачах импульса срав-
нимых с обратным размером этих составляющих. Мы видели, что для
идеализированного точечного заряда формфактор Р{д) = 1 для всех д.
Приведённые аргументы существенно повторяют объяснение соотношения
неопределённости в приложении к разрешающей способности микроско-
па. Для того, чтобы хорошо различать детали размера ~ а, необходим
микроскоп с длиной волны света < а. Исторически, именно рассеяние
электронов на нуклонах при больших передачах импульса (уже в реля-
тивистской области) выявило существование точечных составляющих -
партонов (предположительно кварков и глюонов) внутри нуклонов [8].
Если распределение заряда не имеет сферической симметрии, фурье-
компоненты а вместе с ними и формфактор Р(д), зависят от направле-
ния передаваемого импульса д. В этом случае удобно использовать разло-
жение плоской волны по сферическим функциям (см. т.2, уравнение 6.31)
и представить фурье-компоненты как
Рч= [ а3ге-г^рИ = ^^-^УьмЫрьм^, (3.34)
ьм
где мультипольные компоненты плотности равны ((п = г/г))
РьмЛ) = У Лг эь(дг)УьМ(п)р(О- (3.35)
В длинноволновом пределе, ([К 1, сферические функции Бесселя могут
быть разложены в ряд (см. т.2, уравнение 2.91),
(Ы9я«1 = ^1, У Лггьуьм(тл)рЬ\ (з.зб)
Этот интеграл есть не что иное, как мультипольный момент системы (см.
т. 1, уравнение 21.61),
(рьм)дпа = + ^1, Мьм, (3.37)
Таким образом, угловая зависимость формфакторов позволяет получить
ценную информацию о высших мультипольных моментах системы; их
вклад в сечение возрастает с увеличением передаваемого импульса (/. Это
справедливо как для операторов плотности и мультипольных моментов, так
и для их средних значений. Мы также не уточняли, что речь идёт именно
о плотности заряда, так как подобным же образом можно определить
плотности, формфакторы и мультипольные моменты для любой аддитивной
величины. Заметим, однако, что ненулевое среднее значение мультипольных
моментов ранга Ь может существовать только если полный момент системы
удовлетворяет условию треугольника Ъ < 27 (см. Т.2, уравнение 7.41).
3.4 Экранировка
Предыдущие результаты не могут быть непосредственно использованы
для рассеяния на нейтральной системе, 2 = 0. В этом случае кулонов-
ское поле исчезает на больших расстояниях. Но, если положительные и
отрицательные компоненты зарядового распределения имеют различную
пространственную структуру, то электрическое поле существует в окрест-
ности системы (см. т. 2, задача 3.6), и вызывает рассеяние заряженных
частиц.
Рассмотрим рассеяние заряженной частицы на нейтральном атоме, ко-
торый содержит ядро с зарядом 2е и 2 атомных электронов. Плотность
заряда,
рсЬ(г) = рпис1(г) + ре(г), (3.38)
равна нулю на достаточно больших расстояниях (г Яа^). При нереля-
тивистских энергиях электрона (мы ограничимся только этим случаем)
длина волны электрона всегда много больше размеров ядра, (/ЯПис1 1-
Поэтому, ядро может рассматриваться как точечный заряд, Тпис1(д) = 1-
Полный атомный зарядовый формфактор в этом приближении равен
Га1(д) = 1-Ге(д). (3.39)
Сечение рассеяния электрона атомом приобретает вид
Электронный формфактор Ре(д)стремится к нулю при 1. это отве-
чает близким траекториям и большим (в атомном масштабе) передачам
импульса. Тогда, падающая частица может находиться в области атома
ближе к ядру, чем нижайшая электронная орбита, и законы электростати-
ки говорят нам, что электрическое поле создаётся в этой области почти
полностью ядром. Уравнение (3.40)показывает, что в этом случае мы имеем
резерфордовское рассеяние на ядре. В противоположном пределе, при ма-
лых передачах импульса, 1, электронный формфактор Ре(д) -л- 1,
и упругое рассеяние исчезает. Здесь мы имеем большие прицельные па-
раметры и далёкие траектории, где поле ядра полностью экранируется
электронами. Таким образом, экранировка электронами работает при
= кПа,18Ш | < 1. (3.41)
Следует однако помнить, что наш подход основан на теории возмущений и
относится к однократному рассеянию. Это может быть справедливо только
для быстрых (хотя всё ещё нерелятивистских) электронов со скоростью
V = Кк/т больше, чем скорости атомных электронов га^ ~ ~ К/тК^
то есть при кК^ > 1. Поэтому область (3.41), где существенна экранировка
относится к малым углам, в < 1/(&Яа^). В результате, рассеяние на малые
углы имеет конечное сечение, в то время как чисто резерфордовское сечение
расходится ос 1/04.
Задача 3.1
Вычислить формфактор для основного состояния атома водорода
1. для точечного протона,
2. для протона конечного размера считая, что заряд протона равномерно
распределён в сферическом объёме радиуса Кр = 0.81т.
Решение
Вклад электрона в атомный формфактор равен
=-ц+(Дж <3-42’
Здесь формфактор нормирован на Ре(0) = — е, полный заряд электронного
облака. Когда длина волны падающей частицы становится много меньше
размера атома, да 1, формфактор стремится к нулю ~ (да)-4, что
свидетельствует об отсутствии всяких сингулярностей или скопления заряда
на малых масштабах: нет более мелких структур.
1. В противоположность этому точечный протон имеет заряд сконцентри-
рованный в исчезюще малом объёме, так что его формфактор вообще
не зависит от д ,
Рр(г) = еб(г) Рр(г) = е. (3.43)
В этом приближении длина волны падающей частицы, ~ 1/д, всегда
больше, чем размер протона, поэтому протон выглядит как точка. Пол-
ный атомный формфактор равен
Рн(?) = е {1 - [х + ((/а/2)2]2 } • (3-44)
При длинах волн больших, чем боровский радиус электронное облако
экранирует протон, атом выглядит как нейтральный объект и форм-
фактор зануляется. По мере уменьшения длины волны, формфактор
растёт как ~ е(да/2)2. А когда да 1, электронный вклад исчезает и
виден только заряд точечного протона (на очень малых расстояниях
находится пренебрежимо малая часть электронного заряда.
2. Для протона, рассматриваемого как малая сфера радиуса 1?р. зарядовый
формфактор, вместо (3.43), равен
Тф(^) = 7---7~ч—з [ (13гег^'г>> = х — х сое ж), х = дКр. (3.45)
— (4л/3)^
^Г^Гр %
Параметр х даёт сравнение длины волны ^1/дс размером протона Кр.
Для больших длин волн, ж 1, мы возвращаемся к пределу точечного
заряда (3.43) так как йшж ~ х — ж3/6 и сое ж ~ 1 — ж2/2. Для малых
длин волн, х 1, формфактор (3.45) осциллируя стремится к нулю как
соеж/ж-2 ( опять, нет более мелких структур внутри протона в этом при-
ближении). Передаваемый импульс для эксперимента предназначенного
увидеть размер протона должен соответствовать длине волны порядка
этого размера, х 1, то есть как минимум
~ -Г = 250МеУ/с. (3.46)
Нр
3.5 Возбуждение и ионизация атомов
При неупругом рассеянии быстрых частиц на атоме, когда атом возбуж-
дается, г —> /, сечение даётся уравнением (3.22), где фигурирует неупругий
формфактор
^(д) = ф(/|4пис1) -4е)10-
(3.47)
Для нерелятивистской налетающей частицы ядро может рассматривать-
ся как точечное, р^ = Ие, и эта константа не может вызывать никаких
ст Лпис1)
атомных переходов. Ясно, что оператор р^ действует только на внутрен-
ние переменные ядра и может вызывать возбуждение ядерных внутренних
степеней свободы. Но нерелятивистская частица не имеет для этого до-
статочной энергии и единственная возможность для неё - возбуждение
атомных электронных оболочек. В этом случае неупругое сечение даётся
(Г)
2теое\ 2
К2д2 /
&
р
г
е-^ч-га)
о=1
(3.48)
Оператор
^ = Е-=-(ч'г">
0=1
есть фурье-компонента полной электронной плотности [заряд еа = е убран
из плотности заряда (3.48)]. Эта величина есть одночастичный оператор в
том смысле, что он состоит из 2 членов, каждый из которых действует на
переменные одного электрона и может изменить только ту часть волновой
функции, которая зависит от этих переменных. Состояние |/) поэтому
имеет, в каждой из своих компонент, один электрон перемещённый на
другую орбиту и дырку в прежде занятом состоянии. Это состояние мы
называем одночастичным возбуждением или возбуждением типа частица
- дырка. Комбинации одночастичных переходов могут быть когерентными
(синхронное движение частиц и дырок) и соответствовать коллективным
возбуждениям (см. Т. 1, раздел 10.8).
Передаваемый импульс для неупругого рассеяния записывается, в отли-
чие от (3.23), как
ц2 = к2 + к'2 — 2кк' сое в. (3.50)
Минимальный переданный импульс при данной энергии возбуждения до-
стигается при рассеянии вперёд,
~ ь _ м _ Ае
(/тт ~ к к — , ,
п пи
Ег - Е'
Ни
(3.51)
Его величина удовлетворяет условию "С 1- Действительно, про-
стые оценки из соотношения неопределённостей и справедливости теории
возмущений показывают, что
тпу^ __ г>а1 ра1 уа1 11
V П V НаС
(3.52)
С другой стороны, для быстрых частиц,
<7тах = к + к' « 2к > -Д. (3.53)
Это значит, что параметр меняется в широких пределах.
При малых можно разложить экспоненту (3.48),
2
/2теое\ 2 р'
до у ) р
Вводя оператор дипольного момента (см. Т. 1, уравнение 21.63) мы получаем
2 /
- Д<Ы2.
р
то есть, дипольные переходы являются наиболее вероятными. Ниже мы
увидим, что дипольные переходы являются также и наиболее интенсивными
в оптическом диапазоне излучения и поглощения атомов. При больших д
роль высших мультипольных переходов возрастает.
По мере увеличения когда он становится больше единицы, экспо-
нента в матричном элементе начинает быстро осциллировать в области
интегрирования. Сечение может иметь заметную величину только если вол-
новая функция конечного состояния одного из электронов сокращает эту
экспоненту. Это возможно, если один из электронов описывается плоской
волной с импульсом близким к — д. В этом случае импульс приближённо
сохраняется так, что что налетающая частица передаёт почти весь импульс
—д электрону, который переходит в непрерывный спектр и атом ионизует-
ся. Этот случай напоминает классическое столкновение частицы массы то
со свободным электроном; импульс отдачи ядра здесь мал. Максимальные
передаваемые импульсы при таком столкновении равны
Й^тах = -//Н' =
2тоте Г 2тег,
------- V = <
то + те тег,
то те,
то = те.
(3.56)
3.6 Потери энергии
Быстрая заряженная частица теряет в веществе свою энергию путём
возбуждения и ионизации атомов. Пусть вещество содержит п атомов в
единице объёма. На длине дх падающая частица будет в среднем иметь
число столкновений, сопровождаемых переходами г —> /, равное пардх,
гценр есть проинтегрированное по углам сечение для данного перехода.
В каждом акте такого столкновения частица передаёт атому энергию
г — г' = Е? — Е}. Полная потеря энергии на единицу длины даётся суммой
всех возможных переходов г -Д /,
ис —л , \
(3.57)
В случае дифференциального сечения (3.48), вычисленного по теории
возмущений, для потерь энергии получаем
дг _ х /* , (2тепе\ 2 к' , х х |9
~дх = ”” у I (Рч)/г| , (3.58)
где как и ранее,
(3.59)
Для анализа этого выражения удобно перейти от интегрирования по углу
рассеяния О к интегрированию по передаваемому импульсу (/. Из (3.50) мы
находим
2тгс/
дНд = кк' ет в НО, — Но -э» 2л — ет 0 НО = —у Нд. (3.60)
к к кл
С этой заменой переменных и используя V = Кк/тп, мы получаем из (3.58)
ск /2сос\2х^, /*9тах Ну х |9 ,
“Л = 27ГП(тг) ' (3'6 }
Вычисление суммы по конечным состояниям в (3.61) является сложной
задачей, так как в согласии с законами сохранения , , пределы интегриро-
вания дт}п и дтах различны для разных конечных состояний.
Хорошую оценку суммы можно получить, если заменить точные пределы
интегрирования их некоторыми средними значениями ^тт и <7тах- В этом
случае мы можем поменять порядок суммирования по конечным состояниям
и интегрирования,
ск /2еое\2 Н(/7 ... . |9 ,
“Л~27ГП(ъг) Л. • (3-62)
\ / дтт у
Сумма в (3.62) вычисляется точно с помощью правила сумм Т. 1, уравнение
(7.146), что даёт
2
= (з.бз)
/
где 2 - число электронов в атоме (атомный номер элемента). Теперь можно
провести интегрирование в (3.62) и получить
Не
Нх
4лт2
СТ 1 ^тах
9 т ----.
теи2 4тт
(3.64)
Результат (3.64) оправдывает приближение, сделанное в (3.62). Зависи-
мость от пределов интегрирования достаточно слабая (логарифмическая).
Более того, этот результат не содержит постоянной Планка и поэтому
является существенно классическим; как таковой, он может быть получен
в классической электродинамике [9]. Тем не менее, квантовые аргументы
существенны при выборе пределов ср
Согласно оценкам (3.53) и (3.56), для заметных переходов /щтах ~ тпет.
Максимальный передаваемый импульс отвечает минимальному прицельно-
му параметру 6т1п ~ (<7тах)-1 ~ К/(тпеу) порядка длины волны электрона
в системе связанной с налетающей частицей. Классический результат (3.64)
справедлив только для таких столкновений. Что касается нижнего предела
передаваемого импульса, то, как видно из (3.51), /Щтт ~ Ё/т, где Е -
некоторая средняя энергия порядка энергии связи электронов в атоме. Эта
оценка минимального передаваемого импульса отвечает максимальному
прицельному параметру 6тах ~ (дтт)-1 ~ (сЭ/г)-1, где - характерная
атомная частота. При больших прицельных параметрах, Ъ > мы при-
ходим к столкновениям с эффективным временем взаимодействия т ~ Ъ/о
большим по сравнению с атомными периодами 1/сЭ. В этом случае, нале-
тающая частица действует на систему адиабатически, см. раздел 1.4, и
вероятность возбуждения становится малой.
На основании этих соображений мы приходим к формуле Бете,
(1х
9 9 9
ет\е п тет
1п —=—
три2 Е
(3.65)
Как видно из этой формулы, потери энергии зависят только от скорости
частицы и не зависят от её массы. Масса будет определять только средний
угол многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Этот угол
возрастает с уменьшением массы частицы.
В практических применениях необходимо будет учитывать релятивист-
ские эффекты, поляризацию среды налетающей частицей и (для электро-
нов) обменные эффекты с электронами в среде (обмен для тождественных
частиц будет обсуждаться позднее). Кроме того, роль других механизмов
потери энергии, таких как тормозное излучение в поле ядра, возрастает с
энергией падающей частицы. Методы квантовой электродинамики дают
оценку [10] для отношения ионизационных потерь (обсуждаемых выше) и
потерь на тормозное излучение,
(окДЩа _ Яг(МеУ)
(&ДДОП “ 600 ' 1 ‘ }
В дополнение к этому, для частиц с энергией несколько десятков МэВ, про-
цессы возбуждения и развала ядер вещества также становятся заметными.
Рис. 3.3. Кинематика экспериментов по кулоновскому возбуждению.
3.7 Кулоновское возбуждение
Подобный подход по теории возмущений работает в задаче о движении
быстрой заряженной частицы по заданной квазиклассической траекто-
рии Н(^) в кулоновском поле мишени, рис. 3.3. Это типичная ситуация в
ядерных экспериментах, где мы интересуемся слабыми возбуждениями, а
траектория отбирается прицельными параметрами таким образом, чтобы
ядро налетающей частицы и ядро мишени не перекрывались и эффекты
сильного, но короткодействующего взаимодействия были бы практически
исключены. Такие эксперименты, в частности, дают возможность обнару-
жения низко-лежащих возбуждённых состояний коротко-живущих ядер
используя их, как падающие частицы в последующих столкновениях {об-
ратная кинематика).
В системе координат мишени налетающая частица (с зарядом ед) окру-
жена кулоновским полем действующим на 2 составляющих в мишени с
координатами га, (с зарядами еа),
Я' = С„
а=1
|Га-НС)Г
(3.67)
Предполагая, что траектория Н(^) лежит вне мишени, мы используем
разложение (см. Т.1 уравнение 21.57) по полиномам Лежандра,
оо
= ео 2 2
е=0 а
р гр*'
где 9а(Г) - зависящий от времени угол между га и Н(^). Первый порядок
теории возмущений, зависящих от времени, (см. уравнение 1.12) даёт для
амплитуды перехода г /,
/
жду V
0<Д))
а
(3.69)
г
Если траектория К(Г) достаточно далека от мишени, мультипольное разло-
жение (3.69) быстро сходится и мы можем ограничиться нижними муль-
типоленостями I. Монопольный член, I = 0, не даёт вклада в неупругое
рассеяние в силу ортогональности состояний \г) и |/). В атомной физике
главный член соответствует дипольным переходам, И = 1. В ядерной фи-
зике сильнейшие низколежащие переходы имеют в большинстве случаев
квадрупольный характер, I = 2.
Рассмотрим дипольный случай более детально,
"г~ ллвчЛ
(3.70)
Если координатные оси направлены как на рис.3.3, оператор в (3.70) может
быть записан, как
= ха 81п 9(1) + га сое 9(1),
(3-71)
где все углы 9а для далёких траекторий приближённо совпадают с 0(^). Если
мишень в начальном состоянии имеет сферически симметричное распреде-
ление заряда, то орбитальный момент налетающей частицы сохраняется
вдоль траектории,
Ь = тЬь = тК2в
(Г дв
К2 Ът ’
(3.72)
Ь - прицельный параметр, рис. 3.3. Вводя оператор дипольного момента и
переходя от времени вдоль траектории к углу 9(1) мы приходим к амплитуде
М6) = -
ге0
Шуе
(10 [(Йж)у, 8Ш 0 + (Й2)уг СОЗ 0],
(3.73)
где 0(6) - классический угол рассеяния при I -Л оо для траектории пада-
ющей частицы вдоль оси г и характеризуемой прицельным параметром
6.
Часть траектории, отвечающая наименьшему расстоянию, К ^Ь. даёт
основной вклад в вероятность возбуждения. Если положить I = 0 в момент
наибольшего сближения, то 7?(^) ~ \/Ь2 + г262 для далёких траекторий
с малым углом рассеяния. Поэтому, эффективное время взаимодействия
будет порядка т = Ь/в. Если это время слишком велико, т то ВО3"
мущение меняется слишком медленно и мы приходим к адиабатическому
режиму с малой вероятностью возбуждения. Для т < мы можем пре-
небречь экспонентой в подинтегральном выражении в (3.73) и в результате
интегрирования получаем
О/(&) = -т|Ч-ДгЫ1 + СО8 0(6)] + (б/Д; 81110(6)1 (3.74)
Поскольку угол рассеяния 0(6) предполагается малым, то главный вклад
в (3.74) идёт от компоненты дипольного момента перпендикулярной по
отношению к направлению падающего пучка,
~ (3.75)
Задача 3.2
Используя дипольное правило сумм (см. Т.1, уравнение 7.138) показать,
что (3.75) даёт тот же результат (3.65) для потерь энергии.
Решение Средние потери энергии в столкновении с прицельным парамет-
ром Ь даются в приближении (3.75) выражением
(Д \ _ /| р __
у- = ЛЕ{-Е,). (3.76)
/ъ / /
Дипольное правило сумм даёт
22е%е2п 1 ,
- Л =---------^72’ (3-77)
\ах) ь твЛ (г
где т - масса составляющих мишени. Наконец, интегрирование по при-
цельным параметрам,
= Кьаь (К} , (3.78)
С1Х 3 у С1Х 3
воспроизводит результат (3.65), если в качестве пределов интегрирования
выбрать значения, обсуждавшиеся выше.
Глава 4
Фотоны
В квантовой теории все физические
сущности имеют свойства как полей,
так и частиц и поэтому квантовая
теория, несмотря на свою сложность,
демонстрирует глубокую гармонию
природы.
С.Н. Гупта, Квантовая
электродинамика
4.1 Введение: классическое и квантовое поле
В нашем обсуждении когерентных состояний (см. Т. 1, раздел 12.6) мы
касались вопроса о связи между классическим и квантовым описанием
фазы и интенсивности (измеряемой числом квантов) волны в одномодовой
системе. Классический предел получается когда много-квантовая функция,
такая как, например, когерентное состояние, имеет определённую фазу
и малые относительные флуктуации числа квантов, ДЛ^У 1. Это
выполняется в пределе ТУ 1, когда интенсивность настолько велика,
что дискретность числа квантов становится физически несущественной.
Противоположный предел малых ТУ требует полного квантового описания.
Нам нужно развить описание электромагнитного поля, а в общем случае,
любого волнового поля в квантовом пределе.
В наших предыдущих подходах предполагалось, что движение частиц
происходит в заданных внешних полях потенциальной или магнитной
природы, стационарных или зависящих от времени. Такое описание опреде-
лённо имеет ограниченную область применимости. В приближении фикси-
рованного поля пренебрегается обратным влиянием частиц на поле. Кван-
товые системы излучают и поглощают фотоны и поэтому меняют внешнее
поле. Этим можно пренебречь только для классических интенсивных полей.
В противоположном случае, квантовая природа поля и его взаимодействие
с веществом становятся решающими. В общем случае, поле само должно
рассматриваться как специфическая квантовая система взаимодействую-
щая с другими квантовыми системами (твёрдыми телами, молекулами,
атомами, ядрами, частицами). Новое свойство поля, по сравнению с нашим
предыдущим опытом, заключается в том, что поле имеет бесконечное число
степеней свободы - его "координатами"являются амплитуды поля в каждой
точке пространства.
Поле (например, электрическое поле 8) может иметь классический смысл
только после усреднения по некоторому пространственному объёму ДУ и
промежутку времени АЛ Такое усреднение связано с неопределённостью в
энергии ДТ? ~ /г/ДЛ В классическом случае эта неопределённость должна
быть меньше, чем полная энергия поля в этом объёме, Е ~ <^2ДУ К/ АГ
Если нас интересует компонента поля с частотой а) или периодом Т ~
1/си, то интервал усреднения должен быть много меньше, чем Т, иначе
поле усреднится до нуля. Это значит, что Д^ 1/сщ и поэтому К//КЪ
На). Отсюда следует, что средняя энергия классического поля должна
удовлетворять условию Е Ее, и среднее число квантов в классическом
пределе велико А ~ Е/Ее 1. Это условие необходимо для того, чтобы
можно было игнорировать влияние процессов излучения и поглощения на
поле (ДА А).
Квантование классического поля, как и любой переход к более общей
теории, требует некоторых постулатов. Мы рассмотрим эту процедуру в
упрощённом виде для электромагнитного поля; полную теорию можно
найти в книгах по квантовой электродинамике [10]. Мы рассмотрим только
поля излучения в пустом пространстве и покажем как можно перейти от
непрерывно меняющихся волновых полей Г и В к фотонам (напомнить Т. 1,
глава 1), число которых, их энергия и импульс могут меняться дискретно
в процессах излучения и поглощения квантов веществом.
4.2 Гамильтоново описание поля излучения
Наша стратегия будет заключаться в следующем. Энергию классического
электромагнитного поля мы представим как сумму энергий набора (беско-
нечно большого) гармонических осцилляторов с различными волновыми
векторами, поляризациями и частотами. Затем мы постулируем, что эти
осцилляторы должны быть проквантованны стандартным образом.
Поле излучения распостраняющееся в свободном пространстве может
описываться в различных калибровках. Пользуясь этой свободой мы всегда
можем работать только с векторным потенциалом А (г, /;), полагая что
скалярный потенциал отсутствует, д = 0 (радиационная калибровка). До-
полнительно, в свободном пространстве сйу<? = 0, что будет выполняться ,
если
сйуА = 0. (4.1)
Эта радиационная калибровка очень удобна для наших целей. Чтобы
избежать вопросов, связанных с поведением полей на бесконечности, мы
используем периодические граничные условия во вспомогательном объёме
V = Ь3; реальный резонатор может описываться подобным же образом. В
этом случае все волновые вектора дискретны (см. Т. 1, раздел 3.8).
Мы начнём с пространственного фурье-разложения классического век-
торного потенциала. Векторный потенциал - действительная величина, а
наши базисные функции - комплексные плоские волны. Из-за этого наше
разложение должно состоять из двух комплексно сопряжённых слагаемых.
А(гД = ^(ькСИк'г) +Ъ^(^е-’(к'г)). (4.2)
к
Из-за условия калибровки (4.1), комплексные вектора Ьк(^) должны быть
ортогональны своим волновым векторам
(к • Ьк) = 0. (4.3)
Таким образом, при условии (4.1), поперечный характер поля излучения
учитывается автоматически с самого начала.
Временная зависимость амплитуд Ьк(^) определяется динамикой клас-
сических полей. В пространстве свободном от зарядов и токов векторный
потенциал подчиняется волновому уравнению
/ 1 л2 \
ОА(Г’() 3 (? а? Н А(г'” = °' (4Д)
Поскольку различные компоненты разложения (4.2) линейно независимы,
то каждая из них должна удовлетворять волновому уравнению. Это даёт
Ьк(^) = Ьке-ш;Аф = ск. (4.5)
Здесь мы полагаем > 0, а решения с < 0 содержатся во втором члене
суммы (4.2); в обеих частях мы суммируем по всем квантованным векторам
к.
Векторный потенциал определяет электрическое и магнитное поля,
) Ефаддк^ - , (4.6)
к
В = сиг! А = г У2 к X (ьк(^)ег(к'г) - МД)е"г(к-г)). (4.7)
к
С этими выражениями мы можем сосчитать энергию поля излучения,
г । ^2
Е = Ее\ + -Ё'та^п = / ----• (4-8)
Энергия свободного поля должна сохраняться. Однако, прямая подстановка
разложений (4.6) и (4.7) в (4.8) даёт, на первый взгляд, зависящие от
времени члены. Проследим теперь, как неправильные члены сокращаются.
Первое, интеграл по объёму от произведения двух экспонент, которые
входят в выражение для квадрата поля, даёт символ Кронекера,
I Тге^к±кЛ = У6к,^к. (4.9)
Коль скоро два вектора в каждом сомножителе имеют одну и ту же величи-
ну, к7 = ±к, то соответствующие частоты равны, Электрическая
часть энергии редуцируется к
Ее] = Е к2{ 0Ьк • Ьк) + (с-с-)) - ((Ьк • Ъ_к)в-2ш^ + (с.с.)) }. (4.10)
к
Тем же путём мы для магнитной энергии получаем,
#та§п = Ту2^([кхЬк]-[кхЪк]+(с.с.)^ + ^[кхЬк]-[кхЪ_к]е“2гША:<+(с.с.)^.
к
(4.И)
В обеих выражениях (с.с.) означает комплексно сопряжённый член. Легко
увидеть, что из-за поперечного характера поля (4.3), не зависящие от вре-
мени члена в электрическом и магнитном вкладах равны и складываются,
в то время как зависящие от времени вклады сокращаются. Например,
первый член в магнитной энергии содержит
[к X Ьк] • [к X Ьк] = (^к)/^т(^к)^ =
= кЕ 2(Ък ЪО - (к • Ък)(к • ЬО = /г2(Ьк • ЪО- (4.12)
Поэтому, члены не сохраняющие энергию исчезают и
Е = Г~ Е к2 ((Ьк • Ьк) + (С-СЭ • (4.13)
4л ' \ /
До квантования величина (Ьь -Ь^) - действительна и можно просто удвоить
этот член. Однако, впоследствии амплитуды Ьь станут операторами.
Поперечная плоская волна может иметь две поляризации в плоскости
перпендикулярной к. Их можно описать с помощью двух ортогональных,
действительных единичных векторов, едю = 1,2, расположенных в этой
плоскости
(в1к • е2к) = (в1к • к) = (е2к • к) = 0. (4.14)
Три единичных вектора в1к,е2к и едк = к/А:, образуют правую декартову
тройку и описывают две возможные линейные поляризации волны с данным
к. Другой удобный выбор базисных векторов - два комплексных вектора в
этой плоскости,
= =р2=(е1к±ге2к). (4.15)
Скалярное произведение этих векторов должно быть определено с допол-
нительным комплексным сопряжением левого вектора,
(е±*-е±) = 1, (е±*-е*) = 0. (4.16)
Этот выбор, совпадающий с собственными векторами спина 1 для про-
екций ±1 (см. т.1, уравнение 16.32), отвечает циркулярной (левой или
правой) поляризации. В любом случае, поперечная амплитуда может быть
представлена как суперпозиция двух независимых поляризаций,
Ьк = У едк^Ак; (4-17)
Адо
где векторы едь и амплитуды Ъ\к в общем случае комплексные. Теперь,
каждая степень свободы поля в объёме V (нормальная мода) характери-
зуется волновым вектором и поляризацией и все моды дают независимые
вклады в энергию,
у ь2
Е = V ЕХк, ЕХк = —- ЬХкЬХк. (4.18)
*—' 27Г
кА
Координаты и импульсы нормальных мод определяются как
$Лк = у (г>Ак + ^к), Лк = V ^2 (&Ак - Ь*хк). (4.19)
Уравнение (4.5) показывает, что эти переменные удовлетворяют стандарт-
ным уравнениям движения для гармонических осцилляторов,
<2лк = Рхк, Рхк = <2дк = -^Фаю
(4.20)
Энергия поля (4.18) выраженная в терминах координат и сопряжённых им
импульсов есть классическая функция Гамильтона,
Н = ^НХк, 11Хк = 4р^ + ЦО^'). (4.21)
Лк
Классические уравнения Гамильтона найденные с использованием (4.21)
совпадают, конечно, с (4.20). Таким образом, классическое электромагнит-
ное поле излучения представлено набором независимых гармонических
осцилляторов.
4.3 Квантование поля излучения
Мы постулируем, что квантованное поле должно иметь стандартный
вид набора осцилляторных нормальных мод, в которых классические пе-
ременные С^хк и Рхк заменены эрмитовскими операторами (^хк и Рхк с
каноническими коммутационными соотношениями,
[<?Ак, <2л'к'] = [Ак, А'к'] = 0, [<3лк, А'к'] = г^<Хх'$к,к' (4.22)
Амплитуды ЬХк и становятся операторами ЬХк и /Д. которые взаимно
эрмитовски сопряжены. Уравнения (4.19) определяют
('Ак =
Сдк 4---Ак
Шк
а=\/У Д - Лль') (4'23)
V V \ /
Коммутационные соотношения этих операторов
[^Ак?^А7к7] — [^Ак’^А'к7] — [^Ак? ^ук7]
ДД----^АА^кк7-
(4.24)
Сравнивая эти результаты с разделом 11.8 первого тома, видим, что можно
ввести стандартные операторы рождения и уничтожения квантов
. _ / шкУ -
“Лк “ V 2тг/к'2 &Ак’
^кУ
2тг/1с2 Лк’
°Ак —
с нормированными коммутаторами
[Йдк? фук'] — ^АА'^кк7-
(4.26)
Наша цепочка преобразований заканчивается записыванием квантового
гамильтониана в виде
Н — Ядк, Ядк — ^Ак^Ак + ^Ак^дк) ~ (^Ак^Ак + ^Ак^дк)?
Ак
(4.27)
или используя коммутаторы (4.26),
ЯЛк = Пшк (й^каЛк + |) = ^>к Як + |) •
(4.28)
Теперь, поле характеризуется операторами пдк - числа квантов, фотонов
типа (Ак). Оператор числа квантов имеет в качестве собственных значений
любое неотрицательное целое число.
Окончательное выражение для векторного потенциала (4.2) в терминах
квантованных операторов рожения и уничтожения фотонов имеет вид
Ак
\/т^"(елкС‘<к'Г)“Лк(‘) +
(4.29)
Зависимость от времени операторов уничтожения даётся (4.5), а у опе-
раторов рождения она комплексно сопряжена, как это и должно быть
для гейзенберговских операторов в гармонических осцилляторах (см. Т. 1,
уравнение 12.60). Соответственно, операторы электрического и магнитного
полей равны
*) = -> Е Лд (бАкс'11"1 <.Лк(4) - елкс-<к-М*ь(()). (4.30)
Ак
И
В(г. 4) = • Е V [к х (еАк«"к 1Ч*(4) - е)^-<к'г)й*к(4))]. (4.31)
Ак ’
Как для любого гармонического осциллятора, имеется вклад нулевых
колебаний: полная энергия основного состояния , которое определяется
как вакуумное состояние, в котором отсутствуют кванты, все пдк = О,
расходится,
Ео = (4.32)
Лк 2
Расходимость возникает исключительно из-за бесконечного числа степеней
свободы. Для свободного электромагнитного поля эта расходимость несу-
щественна, так как может быть взята за начало отсчёта энергии. Но, в
этом содержится зародыш серьёзных расходимостей, возникающих в кван-
товой электродинамике и в общей квантовой теории поля, их изменение
при взаимодействии полей с веществом является наблюдаемым эффектом.
Задача 4.1
Построить оператор импульса Р для свободного электромагнитного поля.
Решение Поток энергии классического поля даётся вектором Пойнтинга,
8 = -^[^хй]. (4.33)
47Г
Полный импульс поля пропорционален интегралу по объёму от вектора
Пойнтинга [11],§32,
р = У8 = ^/ х Я <4-М)
Далее, подставляем локальные поля из (4.30) и (4.31) и интегрируем по
объёму, как в (4.9). Вспоминая, что щ = ск получаем
1 к ( 1 \
р = - Л\к г = Д + 4 • (4.35)
с к \ 2 /
Лк Лк 4 7
Этот результат показывает, что импульс свободного поля сохраняется.
Представления (4.28) и (4.35) находятся в полном согласии с идеей (см.
Т.1, раздел 1.3) фотонов, как квантов электромагнитного поля, а именно:
частиц имеющих нулевую массу покоя и характеризующихся квантовыми
числами - волновым вектором и поперечной поляризацией. Энергия и
импульс фотона даются выражениями,
ЕХк = = ^ск, рЛк = Пк.
(4.36)
Однако, полный импульс поля (4.35) также содержит вклад нулевых коле-
баний, который исчезает в силу изотропии вакуумного состояния.
В базисе состояний |{пдк}) с определённым числом фотонов операторы
векторного потенциала (4.29), электрического поля (4.30) и магнитного поля
(4.31) имеют ненулевые матричные элементы только при изменении числа
фотонов на Дп = ±1. Диагональные матричные элементы, а следовательно,
средние значения по состояниям с определённым числом фотонов равны
нулю. Грубо говоря, такие состояния имеют большую неопределённость в
фазе поля (см. обсуждение в Т. 1, раздел 12.6) и усреднение по фазе даёт
нулевое среднее значение. Для перехода к классическому полю необходимо
построить когерентное состояние, см. Т. 1, раздел 12.4.
Задача 4.2
Построить когерентное состояние для фотонной моды (Ак) и найти сред-
неквадратичную флуктуацию линейно поляризованного электрического
поля в этом состоянии.
Решение Когерентное состояние |се) есть собственное состояние оператора
уничтожения,
адкМ = (4.37)
Среднее значение электрического вектора поля (4.30) в этом состоянии
равно
(аД(гД)|а) = —гехк^~^^к (аег^к'г)~и;/е^ — (с.с.)) . (4.38)
С а = |а| ехр(г(/?),
(а|5(гД|а) = -гедк^ДД|а| §ш((к • г) -шк1 + ^. (4.39)
Таким же способом находим
(оД2(г, _|_ 4|а|28ш2 ((к • г) - шк 1 + . (4.40)
Среднеквадратичная флуктуация не зависит ни от координаты, ни от
времени, ни от амплитуды а и фазы, ни от поляризации,
(4-41)
Относительная флуктуация, (Д<?)2/(<?2), мала для большого числа фотонов
и2.
Следует также отметить, операторы полей в разных точках пространства-
времени в общем случае не коммутируют. Поэтому, они не могут одновре-
менно иметь определённые значения. Как показали Н. Бор и Л. Розенфельду
1933, любые две компоненты Б и 23, усреднённые по одному и тому же
пространственно-временному объёму, всегда измеримы. Для разных обла-
стей , но которые могут быть связаны световым сигналом, измерение в
одной области меняет состояние поля во второй области; тогда и возникает
соотношение неопределённостей, которое исчезает в классическом пределе
п 1, или формально К -л- 0.
Задача 4.3
Показать, что операторы поля в двух пространственно-временных точках,
(гД) и (г7 Д'), не коммутируют только если эти точки могут быть связаны
световым сигналом,
|г — г'| = с(1 — 27). (4.42)
Решение Коммутатор двух декартовых компонент (4.30) электрического
поля вычисляется с использованием основных коммутаторов (4.26),
[^(гЩ^ДгД')] = ^^У2еАкеАк81п(к-к-^Г), (4.43)
Лк
где в силу трансляционной инвариантности в пространстве и во времени,
результат зависит только от разностей К = г — г' иТ = I — Г. Сумма по
поляризациям при данном к не есть условие полноты, так как продольный
вектор к/к в сумме отсутствует. Поэтому
У? еАкеАк = ^7 Д • (4.44)
А
С помощью дифференциального оператора
1 д д д д
= (4.45)
с2 д1 дБ дх, дх-
коммутатор (4.43), после перехода к непрерывному пределу —> / V д3к/(2л)3,
может быть представлен как
[5г(г,*),^(гД')] = -4тггПс2С’гД(К.,Т), (4.46)
где введена универсальная функция распостранения (пропогатор)
Д(Н,Т) = / Тк
8т(к • Н — щТ)
^>к
(4.47)
Таким же путём можно найти, что коммутатор компонент магнитного поля
совпадает с (4.46), в то время как,
о о
[<Дг, Д Д(г'Д)] = -4тПсе^1— — А(К.,Т).
(У о (У У]
Переходя к сферическим координатам, интегрируя по углам к, записывая
интеграл Лк как (1/2) 4/с, так как подинтегральная функция чётная,
и используя стандартное определение 5-функции, мы получаем
△(Л,~ сТ> ~ 6(П + сТ^ Д49)
ттгсК
Это означает, что поля некоммутативны только в точках на световом конусе,
поскольку их измерения не являются независимыми.
4.4 Волновая функция фотона
Наиболее общее одно-фотонное состояние может быть представлено как
произвольная суперпозиция операторов рождения действующих на вакуум,
|Ф) = 5>Л1Дк|0). (4.50)
Ак
Набор коэффициентов Фдь может быть интерпретирован, как волновая
функция фотонного волнового пакета. Состояние может быть нормировано
согласно Хдк 1фАк|2 = 1-
Электромагнитные поля ассоциированные с таким состоянием фотона
определены, как
^(г,^) = (0|<?(г,/)|Ф), й(г,^) = (О|23(М)|Ф>. (4.51)
Эти матричные элементы вычисляются с помощью квантованных полей
(4.30), (4.31),
Дг, I) = г У2 4?^фАкеАкг(к-)—= г
Ак к
(4-52)
И
Е \ ^ФАк[кхеАк]вг(к'г)-^4 = г Е ./^[кхФСк)]^^)-^
V ^У ^У
(4.53)
где введена векторная волновая функция
$(к) = ^еАкФАк,
А
с очевидным свойством поперечности,
(к-Ф(к)) = 0.
(4.54)
(4.55)
Вектор поляризации едь указывает, как это стандартно принято, направле-
ние электрического поля (4.52) в каждой монохроматической компоненте
волны.
Задача 4.4
Показать,что вычисленная классически энергия поля, определённого в
(4.52) и (4.53) равна
Е=I ^М**(к),$(к))- (4-56)
Векторная волновая функция фотона Ф(к) должна преобразовываться
при поворотах, как любая векторная функция, см. Т. 2, разделы 1.2 и 1.3.
Здесь, мы работаем в импульсном представлении, так что преобразование
поворота, действующее на явную зависимость от переменных, к в нашем
случае, генерируется оператором орбитального момента взятым также в
импульсном представлении,
Ь = —г[к х \7к]. (4.57)
Собственными функциями оператора орбитального момента с определён-
ным значением ь2 = ць + 1) и = т (проекция на ось г произволь-
но фиксированную в пространстве), являются стандартные сферические
функции У^т(к) зависящие только от углов к. Кроме этого, векторные
компоненты Ф также преобразуются. Генератором этого преобразования
является спин фотона определённый в точности так же как и выше (см. Т.
1, раздел 16.2) Это определение отвечает спину 5=1, так что оператор
полного углового момента равен
Л = Ь + 8, (4.58)
и возможные значения 4 - неотрицательные целые числа, Л = Ь, Ъ ± 1.
Задача 4.5
Показать, что состояние 7 = 0 запрещено поперечным характером поля.
Решение Состояние с 7 = 0 - скаляр относительно вращений. Единствен-
ная возможность для векторного поля Ф(к) быть инвариантным относитель-
но поворотов, это иметь продольный (радиальный) характер, Ф(к) = к(Д&).
Но, такое поле не удовлетворяет условию (4.55); см. также Т.2, задача 1.14.
Поскольку фотон не имеет системы покоя, невозможно физически раз-
делить орбитальную и спиновую части 7, они всегда связаны. Очевидное
равенство (см. Т.2, уравнение 6.14),
(Ь • к) = 0, (4.59)
показывает, что спиральность к фотона, проекция полного углового момен-
та на направление движения, равна (8 • к)/&. Формально, как и положено
для спина 5=1, этот оператор может иметь собственные значения 0 и ±1,
но спиральность 0 запрещена условием поперечности. Действительно, роль
спина играют векторы поляризации едь? которые перпендикулярны к; их
сферические компоненты (4.15) аналогичны повышающим и понижающим
компонентам спина, а продольная компонента отсутствует. В квантовой
теории поля доказывается, что любая безмассовая частица со спином 5
может иметь только два значения спиральности, к = ±5 [12].
4.5 Векторные сферические гармоники
Векторные сферические гармоники являются собственными функциями
полного углового момента 7. Они отвечают определённым значениям 7, Ъ
и ф = М (спин 5=1). По этой причине для них используется обозначение
Х/гм(п)5 где векторное сложение организовано обычным образом (см. Т.
2, раздел 7.6),
Ъьм(п) = У2 С/У 1(7УЬт(п)ха, п Д (4-60)
К
та
Здесь, ха - собственные функции спина 1 с проекциями 8г = а = 0, ±1
на ось квантования. Можно использовать явную форму матриц спина
5 = 1 (см. Т.2, уравнение 1.15), с состояниями представленными трёх-
компонентными столбцами (см. Т. 2, уравнение 1.31) или векторами (см. Т. 2,
уравнение 1.32), которые совпадают с векторами поляризации еа, а = 0, ±1.
Обычно принято работать со сферическими векторами
(4.61)
та
Для данной величины полного момента существуют три линейно незави-
симых векторных функций с I = 7Д ± 1. Исключение составляет случай
7 = 0, где возможна только одна комбинация
Тою(п) = О™ 1<7У1т(п)е<т. (4.62)
та
С коэффициентами Клебша-Гордана из задачи 7.5 во втором томе и сфери-
ческими функциями ранга 1, (см. Т. 2, уравнение 1.98) получаем
Уою(п) = Д ^(-)стУ1ст(п)е_(Т = -Д ^(-)-псте_ст. (4.63)
V 3 у4тг
у а у а
В естественной системе, с полярной осью вдоль к остаётся только продоль-
ная компонента а = 0, па = 5ао,
Уою(п) = Д= е0 = Д= п. (4.64)
у4тг у4тг
Это формальное доказательство утверждения задачи 4.5.
Чётность векторных гармоник даётся чётностью (—сферических функ-
ций благодаря их к-зависимости умноженной ещё на одну минус единицу от
векторного состояния, П = (—)1/+1. Поэтому, для 7 = 1, чётность равна
(—)Л в то время как для Г = 7 чётность равна (—)'7+1. Продольные состо-
яния принадлежат к первому типу. Соответствующая волновая функция
имеет вид У(к) = кФ (к). Так как радиальное поле к инвариантно относи-
тельно вращений, то угловой момент этой функции 7 = /, совпадает с Ф(к).
Полный орбитальный момент, из-за присутствия вектора к, равен Ъ = I ± 1.
Пространственная инверсия даёт —У(—к) = —(—кФ(—к)) = к(—)гФ(к), то
есть чётность равна (—)г = (—)1/+1 = (—)‘7 (первый тип). Но продольное
состояние не соответствует реальному фотону. В результате, для каждого
7 ф 0 имеется два поперечных состояния с противоположной чётностью
(для 7 = 0 нет состояний вообще). В принятой терминологии излучённый
фотон с угловым моментом 4 и чётностью называется электрическим
мультиполем с мультипольностью 21, в то время как дополнительный
тип с тем же моментом 4 и чётностью (—)'7+1 называется магнитным
мультиполем. Можно напомнить изО Т.1 , раздела 22.5, что электриче-
ские мультипольные операторы 2И(Е7) системы зарядов имеют правила
отборов по чётности (—)Л А для магнитных мультипольных операторов,
Л1(М7), правила отбора по чётности есть (—)'7+1, что находится в согласии
с вышеприведённой классификацией.
Задача 4.6
Используя результаты задачи 16.14, т. 1, доказать что векторы опреде-
лённые как
\И1оп§) _ у
1 ТМ —пУ^М,
(е1) _
ЭМ ~
где \7П есть угловая часть градиента \7к умноженная на к, и
у(та№) _ г -у(е1) п
1 ЗМ — [П X I лм\
(4.65)
(4.66)
(4-67)
дают общую форму для продольных, электрических и магнитных сфериче-
ских векторов. Показать, что они ортогональны и нормированы на сфере
единичного радиуса,
У <1о(4.68)
где у обозначает тип вектора.
Решение Правильные квантовые числа 4М следуют из задачи 1.14, Т. 2.
Идентификация типа поперечного оператора следует из чётности, (—)‘7 для
электрического типа (4.66) и (—)^+1 для магнитного типа (4.67). Ортонор-
мированность проверяется непосредственно, используя интегрирование по
частям, там где встречается градиент. При этом возникает |\7П|2 - угловая
часть оператора Лапласа умноженная на к2. Действуя на У/м он даёт
7(7 + 1)Ъм.
Можно также определять сферические волны фотона разлагая экспонен-
ту в выражении для векторного потенциала по сферическим функциям
Бесселя. Подробности можно найти в литературе по квантовой электроди-
намике [10].
4.6 Эффект Казимира
Теперь мы рассмотрим два знаменитых эффекта где квантование элек-
тромагнитного поля и наличие вакуумной энергии приводят к важным
экспериментальным следствиям.
Энергия нулевых колебаний (4.32), будучи формально бесконечной, зави-
сит от спектра собственных частот электромагнитного поля. Этот спектр,
в свою очередь, определяется граничными условиями. До сих пор, мы рас-
сматривали свободное электромагнитное поле в большом вспомогательном
объёме V. Но, ничто не мешает испльзовать этот подход в реальном объё-
ме с физическими границами. Мы всё равно должны найти нормальные
моды поля излучения, представить произвольную конфигурацию поля как
суперпозицию нормальных мод и объявить коэффициенты суперпозиции
операторами рождения и уничтожения. Изменение граничных условий вли-
яет на спектр и, следовательно, на энергию нулевых колебаний. Изменение
энергии нулевых колебаний оказывается конечным и может быть измерено
экспериментально [13]. Это так называемый эффект Казимира [14].
Рассмотрим простейшую геометрию в которой реальные граничные усло-
вия накладываются на двух параллельных пластинах расположенных при
х = 0 и х = X <0.В такой постановке были проведены успешные из-
мерения [15]. Изменение положения X, как мы увидим, меняет энергию
нулевых колебаний. Это значит, что существует реальная физическая сила,
сила Казимира, действующая между двумя пластинами и зависящая от
расстояния между ними. Для простоты, мы предполагаем, что пластины из
идеального металла с нулевыми граничными условиями для электрического
поля. Нормальными модами являются плоские волны с волновым вектором
д вдоль ?/г-плоскости и стоячие волны ос 8ш(&ж) между пластинами, где
волновое число к квантовано,
к => кп = п, п = 1, 2,... (4.69)
Волновое уравнение (4.4) определяет спектр частот зависящих от расстоя-
ния X.
<Щд) = Су/<Х + (тгп/Х)2. (4.70)
Предполагая, что внутри резонатора вакуумное состояние поля (нет
реальных квантов, температура Т = 0), мы находим силу действующую
между пластинами, как градиент энергии нулевых колебаний,
дх 2 дХ к
В этом выражении сумма идёт по всем квантовым числам мод включая
поляризацию Л (фактор 2), двумерный вектор д и квантовое число п
волнового вектора (4.69). Для вектора д мы предполагаем стандартные
искуственные граничные условия на границах большой площади пластин
5, так что 3 с12д/(2л)2. Наблюдаемой величиной является давление,
сила на единицу площади пластин,
Р о К Г с12д ур дшп(ф) Кс2 у-л 2 /* ^4
~8 2 1 дХ =4ХзА.П У
(4.72)
Испльзуя
2 7 2лс^
а д = 2лд ад = —д— аш,
сЛ
(4.73)
мы приходим к
(т1п) леи
ии 4 7 -- -----
(4.74)
Сумма по нормальным модам в (4.74) расходится. Но в реальности,
при очень высоких частотах, металл становится прозрачным и волны
распостраняются как вакууме, не замечая стенок, так что нормальные
моды перестают зависеть от X. Конечный ответ для давления получится
если сравнить наш со случаем отсутствия пластин (X —> оо). В этом случае
нет условия квантования (4.69) и переменная п становится непрерывной,
так что при X —> оо,
(4.75)
Задача 4.7
Показать, что вакуумное давление (4.75) может быть интерпретировано,
как результат отражения свободных фотонов от пластины с изменением
знак импульса фотонов.
/д3к
^пХкюх2Пкх,
А
(4.76)
где пк - плотность фотонов (=1/2 для всех мод в нашем случае) и гх =
<?кх/шк.
Наблюдаемой величиной является дополнительное притяжение на еди-
ницу площади,
(4.77)
Дополнительная сила возникает от низких частот, когда длина волны
поперечных волн поядка расстояния между пластинами. Вклады высоких
частот сокращаются, так как проводник и вакуум одинаково прозрачны
для этих частот.
Чтобы вычислить разность (4.77) мы воспользуемся формулой суммиро-
вания Эйлера-Маклорена для плавной функции /(п), вывод которой см.
ниже,
00 гос 11 1
Е/(п)-/ </п/(п) = --/(0)--Л0) + ^Г(0)... (4.78)
п=1
В нашем случае (4.77) члены /(0) и Д(0) исчезают и ненулевой вклад
идёт от ///х(0) = — бстг/Х (не забудьте продифференцировать нижний
предел интеграла). Это даёт окончательный результат для сил Казимира
на больших расстояниях,
Теория и экспериментальные подробности эффекта Казимира обсуждаются
в [16].
4.7 Формула суммирования Эйлера-Маклорена
Мы следуем процедуре, которая может быть полезной в численном
вычислении интегралов ф(х)с1х от гладких функции /(ж). В качестве
опорного базиса мы введем набор полиномов специального вида (связанных
с полиномами Бернулли ) РП(Х), которые определяются рекуррентным
соотношением
ЛЛ=<4-8°>
вместе с дополнительным условием, которое фиксирует произвольную
постоянную допускаемую в ГП в соответствии с (4.80): мы предполагаем
что функцииРп, п > 0, имеют нулевое среднее значение на интервале (а, Ь)
нашего интегрирования,
[ с1х Рп(х) = О, п > 0. (4-81)
4 а
Начиная с Рц = 1, мы находим
Р1(ж) = х —
а + Ь
2
1 9 а + Ь а2 + 62+ 4аЬ
Г2(х) = - х2 - — х +-------------------
(4.82)
(4.83)
1 о а + Ь 2 а2 + 62 + 4а6 аЬ(а + Ь) 1 ( а + Ь
-^з(ж) = - х---— х +-------—------х------—----= -(х-а)(х-Ь) х--------—
О ТЕ _1_ _1_ О \
(4.84)
1 4 а + Ь о а2 + Ь2 + 4аЬ 2 аЬ(а + Ь) (а — 6)4 — 30а262
Г4 ж = — х4--------х3+------------х2----------!-х-±-----, ..
к ’ 24 12 24 12 720
(4.85)
Значения этих функций на концах интервала равны:
Ч(«) = -Ч(6) = -^у1, Г2(а) = Г2(Ь) =
г3(а) = ад = о, ад = ад = -^-14; (4.86)
В силу условия нормировки (4.81), Рп(о) = Рп(Ь) для п > 1.
Используя интегрирование по частям, мы можем записать
ах /(ж) = ах г0/ = ах г[/ = [гл] /рх р^'- (4-87)
Этот процесс можно продолжать вовлекая новые функции (4.80):
ах/= [гл - гл' + гл" - гл'"] Ч ах гл"", (4.88)
и так далее. Рассмотрим интервал а = 0 и Ь = 1. Тогда первый вклад даёт
[чф = |[/(1) + /(°)], (4.89)
так что
/Туи = 51/(1)+/(0)Ь^1/71)-/70)]+=|51Г(1)-Г(0)]+У'‘^к1Г'.
(4.90)
Если интервал интегрирования разделён на малые равные части, что обыч-
но делается в процессе численного интегрирования, операцию (4.87) можно
проделать для каждой части, а затем сложить результаты. В членах с
производными /(ж), все вклады в промежуточных точках сокращаются,
потому что краевые значения опорных функций одинаковы для всех ин-
тервалов. Если 6 —> оо и /(ж) пренебрежимо мала при больших ж, как это
имеет место в случае (4.77), мы идем через целые точки и получаем
Г ОО 1 °° 1 1 Г ОО
/ ^Дж) = -/(О)+22Лп) + -/'(О)-— Г(О)+Уо (4.91)
или, если мы хотим приближённо заменить сумму интегралом
°° Г ОО 1 1 1
52 /Ю = / НЛ - ъ /(0) - - /'(0) + Г(0) •.. (4.92)
у 0 А < А)
п=1
Если остаточный интегральный член в (4.91) пренебрежимо мал, мы прихо-
дим к формуле Эйлера-Маклорена (4.78). Дальнейшее разложение пойдет
по нечетным производным и следующий член равен —//х///(0)/30240.
4.8 Лэмбовский сдвиг
Атом водорода является единственной системой, которая имеет точное
решение нерелятивистского уравнения Шредингера, а также релятивист-
ского уравнения Дирака (для точечного протона). Здесь, нельзя списать
расхождение между теорией и экспериментом на приближенный харак-
тер вычислений. Надежно установленное расхождение свидетельствует о
наличии новых физических явлений.
Как мы знаем из Т. 2, раздел 8.3, электронные уровни2<§1/2 и 2р1/2 в
атоме водорода остаются вырожденными даже с учетом тонкой структуры.
В некоторых экспериментах, проведенных в 1930-х годах, были обнару-
жены указания, что уровень 2з}/2 находится выше 2р]у2 примерно 0.03
см-1. Однако соответствующий переход находится в радиочастотном диа-
пазоне. В то время, точные измерения в этом диапазоне были недоступны.
Только в 1947 году, после успехов в развитии техники радаров, точные
радио-спектроскопический измерения Лэмба и Ризерфорда [17] установили
существование сдвига
8Е2 = Е(281/2) - Е(2рД = 0.034спГ1 = 1057.8 МНг. (4.93)
Этот сдвиг, равный примерно 0,1 от тонкого расщепления между 2р3/2
и 2р!/2 уровнями, называется Лэмбовский или радиационный сдвиг. Он
растет ргор1о24 в более тяжелых водородоподобных ионах.
Открытие Лэмбовского сдвига сыграло исторически важную роль явля-
ясь, по сути первым указанием на нетривиальный характер физического
вакуума, как фактического основного состояния поля излучения. В соот-
ветствии с объяснением, данным Г. Бете, Лэмбовский сдвиг обусловлен
нулевыми колебаниями электромагнитного поля, которые создают, в до-
полнение к кулоновскому полю ядра, флуктуирующее поле влияющее на
атомный электрон. Физический вакуум (состояние, без реальных квантов)
имеет определенные наблюдаемые свойства, как мы уже видели, хотя и при
наличии материи, в эффекте Казимира. Открытие и теория Лэмбовского
сдвига дали мощный импульс для развития квантовой электродинамики,
наиболее точной ветви современной физики.
Не вдаваясь в формализм квантовой электродинамики, мы приводим
ниже полу-качественную оценку лэмбовского сдвига непосредственно осно-
ванную на действии флуктуирующего электрического поля на электрон.
Для легких атомов {2 а 1) и, поэтому, для нерелятивистских электро-
нов {г/с ~ 2а), и можно пренебречь магнитным полем Квантованное
электрическое поле создает и уничтожает виртуальные фотоны и приводит
к дополнительному смещению электронов. Среднее значение электриче-
ского поля в вакуумном состоянии исчезает, но его средний квадрат, в
соответствии с (4.30), равен
что соответствует половине нулевой энергии данной моды, (<^)(К/8тг) =
би)/4.
Флуктуационное смещение электрона подчиняется уравнению движения
= е8. (4.95)
Только моды с длиной волны больше, чем типичное смещение
могут дать существенный вклад. В противном случае эффект от различных
областей флуктуационного поля сокращается. Поэтому поле Г в уравнении
(4.95) можно считать однородным, и для временной компоненты Фурье
получаем
= е6ш. (4.97)
Среднее значение смещения, (^), исчезает, и мы находим для среднего
квадрата флуктуации
е2 2лКе2 , Л
= УтУ' (4'98)
вклады различных мод поля некогерентны, так что полный средний
квадрат смещения определяется суммой по модам с плотностью состояний
р(сУ) найденной в Т. 1, уравнение 3.92,
/* 7 / /*/Л\ Уш2с1(л 2Не2 Г г .
(€ ) = / = / (Яш) 2сз = ^^2^3 / (4.99)
Хотя результат формально расходящийся, нет реальной физической расхо-
димости, так как есть факторы, обеспечивающие фактическое обрезание.
Большие частоты не дают вклада из-за релятивистского роста инерции
электронов. Частоты малые по сравнению с энергией первого возбужде-
ния (которая того же порядка величины, что и энергия связи Е&) дать
малый вклад в теории возмущений. Поэтому мы можем оценить пределы в
интеграле (4.99) как
Й^тах ~ тс2, ~ Еь ~ (2о}2тс2. (4.100)
Во всяком случае, интеграл (4.98) только слабо, логарифмически, зависит
от этих пределов.
Таким образом,
а?тах _ 2Не (Л 1П1\
2 з п 2 з п (7 12 ’ (4.101)
ттл6 (хДып ттггУсР (Ха)2
где Ъ это число порядка единицы. Основной фактор в полученной амплитуде
дрожания электрона мал по сравнению с размером орбиты а и даже по
сравнению с комптоновской длиной волны Ас,
(?)
Не2
т2с3
е2 / Я \ 2
У (А) = ад2, аЗа2 _ 10-6а2
пс \ тс /
В соответствии с оценкой в сатах, только поля осцилляторов с Нк < тс.
или с длиной волны X 1/к > Н/тс = Хс являются эффективными. Это
показывает, что предполагаемое, неравенство (4.96) выполняется,
к% ~ каа3/2 < се3/2 = л/а 1. (4.103)
Ас
Усредняя потенциал, действующий на электрон по этим флуктуациям, мы
получаем, как и в разделе 8.3, Т.2, для дарвиновского члена,
44+7 ~ СИ Д (7^2Дг). (4.104)
В первом порядке, сдвиг уровня \пЕ) для водородоподобных атомов
можно определить с помощью (4.101),
8Еп1 = - Д) (V2 Дг))п, = —- 1п -—2 (V2Дг)и (4.105)
о Зл (Исе)2
В кулоновском поле
2е2
II =-----V2!! = 4тг^е25(г), (4.106)
Г
так что
СМсС = [ <13г = 47гЯе2|^(0)|2. (4.107)
В этом приближении сдвиг существует только для ^-состояний, которые
смещены вверх от партнерских р-состояний, рис. 4.1.
Для 7 = 0,
I/ |2- 23
Ы -7ГаЗпЗ’
и сдвиг быстро убывает с ростом п,
а3а2 4лИ4е2 Ъ
0Еп ~ д д- 1п ——
Зл тгагпг (Исе)2
в частности, для атома водорода,
г гл 4 з е2 1 Ь се3
оЕп = — а - 1п ~ — 1п
Зл а2п2 п се2 п
“о Еп-
СЕ2
(4.108)
(4.109)
(4.110)
Этот сдвиг содержит лишнюю степень се по сравнению с тонкой структурой
(см. Т.2, раздел 8.42), но из-за большого логарифма 1п(се-2) сдвиг 5Е всего
в 10 (а не 100) раз меньше. Расчет КЭД [10] определяет точное значение
постоянной 6, а также другие поправки и приводит к хорошему согласию
с экспериментом. Для уровней с7 = 1, сдвиг на два порядка величины
меньше, чем для 7 = 0.
П31/2
ПР1«
П51Л пРш
Рис. 4.1. Схема уровней для лэмбовского сдвига.
4.9 Взаимодействие излучения с веществом
В нерелятивистской теории взаимодействие с электромагнитным полем
включается по минимальному принципу: как и в разделе 13, Т.1, мы начнем
с гамильтониана частицы с зарядом е и сделаем минимальную подстановку
(3
р => р------А(г), Н Н — есДг),
(4.111)
где поле описывается потенциалов р и А. Мы знаем, что результирующая
теория калибровочно инвариантна. В современной релятивистской тео-
рии, ситуация обратная [12], требование калибровочной инвариантности
определяет форму взаимодействия.
Для поля излучения в калибровке (4.1), гамильтониан взаимодействия
имеет вид
н' = н[ + я' + я',
(4.112)
где три члена (два орбитальных и один спиновый член), похожи на то, что
было рассмотрено в разделе 13, т.1 для классического внешнего поля:
Н[ = -У2^-(ра-А(га)+А(га)-ра) = ~—(ра-А(га)), (4.113)
2тас \ тас \ /
где мы напомнили, что в поперечной калибровке (4.1) (р • А(г)) = (А(г) • р);
(4.114)
апс!
а
(4.115)
Здесь д* - гиромагнитное отношение частицы , которое не предсказывается
принципом минимального включения взаимодействия из-за возможных
эффектов сильного взаимодействия.
Разница по сравнению со случаем внешнего поля в операторном харак-
тере поля. Это приводит к процессам с изменением числа квантов. Члены
Н[ и Н3 меняют число фотонов на ±1 и отвечают за излучение или по-
глощение квантов. Член Н2 имеет правила отбора Дп = ±2 или 0. Он
ответственен за двухфотонные переходы или рассеяние света, излучение с
последующим поглощением или наоборот. В процессах рассеяния также
разрешено двойное применение однократных процессов (второй порядок).
Запишем в явном виде матричные элементы для нескольких типичных
физических процессов, рис. 4.2, в первом порядке поН':
а. излучение фотона в моде (Ак) с переходом системы из состояния \г) в
состояние |/),
(плк + 1;/|Я1|пАк; г) = -С-^(пЛк + 1)Щ — (ра-еАк)е г(к'Га)|г);
V V У? та
(4.116)
Ь. поглощение системой фотона (Ак) с переходом г —> /,
(пЛк-1;/|Я1|пАк;г) = -1/^-пЛка|^^(ра.елк)ег(к-г“)|г); (4.117)
V V ™а
с. двух-фотонный переход г —> / с излучением кванта (Ак ф А'к7),
(«Ак + 1, ПА'к' + 1; /Д2|пАк, пА/к/; г)
= 2 Л»Ак + 1)(.>д.к. + 1) (е)к е).к.)(/| Ю.
* у/^к^к' а ГПа
(4.118)
где фактор 2 возникает из-за двух эквивалентных операторов А;
4. поглощение квантов (Ак)и излучение квантов (А'к7) с переходом си-
стемы г —> / (рассеяние электромагнитной волны),
(пАк - 1, пА/к' + 1; / Д|«Ак, ПА'к'! г)
= 2 „ + 1)»Ак(е>к-е;,ь,)(/| 22 41 1!>; (4.119)
V^шкшк> у? та
Похожие события рассеяния также генерируются во втором порядке опе-
ратором Н\. Зависимость от времени гейзенберговских операторов была
Рис. 4.2. Типичные диаграммы для электромагнитных процессов.
опущена так как она будет учитываться при использовании золотого пра-
вила для вероятности перехода.
Если бы эти процессы происходили со свободными заряженными ча-
стицами, их начальное и конечное состояние было бы плоская волна с
импульсами и ру соответственно. Тогда, матричные элементы будут
содержать 5-функции, выражающие сохранение импульса,
а. 5(ру — р^ + /гк); Ь. 5(ру — р^ — /гк);
с. 5(ру — р^ + Кк + Так7); 5. 5(ру — р^ + Кк' — Так);
Для системы многих тел сохраняющейся величиной является суммарный
импульс всех частиц. Но, в реальных процессах также должна сохраняться
полная энергия, как подразумевается по золотому правилу. Для свободной
частицы два закона сохранения не могут быть выполнены одновременно.
Поэтому излучение и поглощение света свободной частицы (без изменения
его массы) запрещены, они могут иметь место только виртуально как часть
более сложного процесса; это будет видно при обсуждении фотоэффекта,
в разделе 5.8. Рассеяние света, процесс (1 (4.119), также возможен для
свободного заряда, ( томсоновское рассеяние в нерелятивистском случае
или эффект Комптона в релятивистском случае). Мы обсудим его более
подробно в гл. 6.
Неисчислимое количество
электрических частиц колеблются в
каждом языке пламени и источнике
света.
П. Зееман, Нобелевская лекция, 1903
Глава 5
Излучение и поглощение фотонов
5.1 Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры
Зависящее от времени электромагнитное поле может передавать энергию
системе зарядов возбуждая систему (поглощение света). Тоже поле спо-
собно принимать энергию от системы (индуцированное, или вынужденное
излучение). Возбужденная система также может излучать энергию в виде
фотонов без стимуляции реальным квантом ( спонтанное излучение). Все
эти процессы описываются гамильтонианом (4.107) взаимодействия между
полем излучения и вещества.
В результате поглощения и испускания фотонов атомами среды, Система
может прибыть в состояние термодинамического равновесия. Равновесие,
как для атомов так и для фотонов, достигается для каждой возможной
в среде частоты перехода а). В равновесии мы имеем стационарную за-
селённость атомов Е) в каждом квантовом состоянии \г) и стационарное
распределение фотонов с плотностью энергии р(со) для частоты ш. Следуя
А. Эйнштейну, 1917, рассмотрим условия равновесия.
Поглощая фотон с частотой а), атом выполняет квантовый переход г —> /
в состояние |/) с энергией Е/ = Е^ + бш. Скорость процесса поглоще-
ния должна быть пропорциональна числу имеющихся атомов в исходном
состоянии г и числу подходящих фотонов,
(П/г = (5.1)
где является коэффициентом Эйнштейна. Параллельно с этим, идут
также и обратные переходы / —> г с излучением фотонов с той же частотой.
Скорость излучения содержит индуцированный член, пропорциональный
число атомов в состоянии |/) и количеству уже доступных фотонов, и спон-
танное излучение, которое не зависит от состояния фотонов и определяется
только структурой атома,
Ау = + АуДу,
(5.2)
где введены ещё два коэффициента, и А^.
По очевидному смыслу, коэффициенты Эйнштейна являются скоростями
перехода в элементарных актах поглощения или излучения. Амплитуды
этих процессов были найдены в теории возмущений (1.12),
(5-3)
Так как и гамильтониан эрмитов, = (77^)*, мы находим
соотношение между амплитудами.
= ~ау{. (5.4)
Таким образом, вероятности прямых и обратных процессов отличаются
только на плотность конечных состояний ( принцип детального равновесия,
который будет вновь обсуждаться в теории рассеяния, раздел 10.3). Он
также, справедлив вне теории возмущений, как можно видеть, например, из
второго порядка амплитуды (1.27) или полное выражение (1.31). Конечная
плотность состояний включена в определение коэффициентов Эйнштейна,
так что детальное равновесие требует
в/г = Вц. (5.5)
Условие равновесия есть равенство скоростей, (ф = гф. и. вместе с (5.5),
это даёт уравнение для равновесной плотности фотонов,
(5-б>
Статистическая механика предсказывает, что в тепловом равновесии при
температуре Т (мы измеряем температуру в энергетических единицах,
полагая постоянную Больцмана кв = 1) заселённость атомного состояния
с энергией Е пропорциональна ехр(—Е/Т}. Поэтому в равновесии
Е = е-(Ег-Е{)/Т = еП^/Т. (57)
Хт
Применяя тот же принцип Больцмана к фотонному газу, мы получаем
равновесное число п фотонов данной моды (Лк) с частотой а),
П = 1 У е~^п+1^п, а — ^-, (5.8)
п=0
где статистическая сумма есть нормировочный множитель,
(5-9)
Простое суммирование геометрической прогрессии ведёт к распределению
Планка для числа фотонов данного сорта,
1 _ 1
еа — 1 ехр(/ка/Т) — 1
(5.10)
С плотностью фотонных состояний на единичный интервал энергии (1.3.92),
мы находим
Пса2 1
рЫ = .. о ------——— ------, (5.11)
7г2/1с3 ехр(/ка/Т) — 1
и уравнение (5.6) определяет соотношение между коэффициентами Эйн-
штейна сое®с1еп18,
А/ =
7Г2Нс3
(5.12)
Мы видим, что этот результат, полученный до развития квантовой механики
полностью подтверждается квантовой теорией.
В присутствии электромагнитной волны, все три процесса, поглощение,
спонтанное и вынужденное излучение, происходят одновременно в системе.
Таким путём устанавливается равновесие между веществом и излучением.
Изменение интенсивности волны с большим средним числом квантов п
при прохождении в среде определяется конкуренцией индуцированного
излучения и поглощения.Вероятности обоих процессов пропорциональны
доступному числу фотонов, то есть интенсивности волны I и заселённостью
атомов в квантовом состоянии, которое необходимо для начала перехода.
Для данного перехода между двумя состояниями атомов, интенсивность
волны растет пропорциональна 7У>, число атомов в верхнем состоянии, и
интенсивность уменьшаются пропорционально АД, числу атомов в ниж-
нем состоянии, способных поглощать кванты. Соотношения Эйнштейна
позволяют записать баланс простым образом,
— = СОП81 • 1(М> — АД).
ах
Проходящая волна может быть усилена средой, если М> > 7У<. Нормально,
равновесные заселённости уровней падают с энергией уровня, см. (5.7).
Например, для видимого света при комнатной температуре (фки/Т} ж 102,
и <У И<. Поэтому, необходимо создавать инверсную заселённость.
Квантовые приборы создающие инверсную заселенность энергетических
уровней позволяют получить генерацию и усиление электромагнитных волн
с уникальным сочетанием высокой мощности, монохроматичности, коге-
рентности и малого углового разброса. В зависимости от диапазона частот,
эти устройства называется мазеры или лазеры, от сокращений Мгсгоюаье
АтрИфсаИоп Ьу 8Ыти1а1ей Етгшзгоп о/ КаёбаИоп или Ыдк1 АтрИфсаИоп
..., соответственно. В формальном смысле, можно сказать, что среда с ин-
версной заселённостью имеет отрицательную температуру относительно
излучения данной частоты. Обсуждение современных устройств квантовой
оптики находится за пределами рамок нашей лекции. Приведем только
несколько простых примеров.
Оригинальный способ генерации отрицательных температур был исполь-
зован в молекулярном генераторе на молекулах аммиака. Специальное
устройство отклоняло от молекулярного пучка молекулы на более низком
уровне. В оставшемся пучке тогда мы имеем М> > 7У<. Конечно, вре-
мя жизни верхнего уровня относительно спонтанного излучения должно
быть достаточно большим. Приготовленный пучок с инверсной заселённо-
стью доходит до резонаторной полости с собственной частотой резонанса
о>0 = (Е> — Е^/К. Тепловое излучение с той же частотой, что всегда
присутствует в полости, индуцирует излучение фотонов молекулами пучка,
которые, в свою очередь, усиливают собственную моду резонатора. Часть
энергии может быть использована, в то время как оставшаяся часть дей-
ствует на новые входящие молекулы стимулируя новое излучение, что
обеспечивает высокую стабильность генерируемых частот.
В лазерах нет такого сортирующего устройства. Хорошо известной схе-
мой работы является схема на основе трех уровней, рис. 5.1. В равновесии,
наибольшее число атомов находится в состоянии 1 . Внешнее поле с ча-
стотой с^з1 , оптической накачки, возбуждает атомы до уровня 3. Если
скорость перехода гёдз перехода 3 -л 2 высока по сравнению с гщз , по
истечении времени тз ~ гё^1 атомы будут испытывать переход на уро-
вень 2. Состояние 2 должно быть метастабильным ( долгоживущим ,
Т2 ~ тз) • Таким образом, мы накапливаем атомы в состояние 2. При
высокой мощности накачки , можно достичь долгоживущую инверсную
заселённость для пары уровней 1 и 2, Лг2 > ^1- Типичные значения могут
быть 1аи% ~ 1()Т7~8) ; хорошо иметь широкий уровень 3, который помогает
Рис. 5.1. Трёхуровневая лазерная система
получить интенсивную накачки 1^3. Спонтанное излучение 2 1 по-
рождает волну требуемой частоты СЩ2. Распространяясь вдоль среды, эта
волна стимулирует излучение других атомов в состоянии 2. Множественные
отражения от зеркал, заменяющих резонаторную полость для оптических
частот А 5 • 10-5 см, усиливают волну из-за индуцированного излучения.
Если усиление превосходит потери на отражение, интенсивность растет как
лавина. Одно из зеркал является полупрозрачным для излучения выходя-
щего наружу. Волны, распространяющиеся не точно по оси, испытывают
меньшее число отражений и имеют меньше времени для усиления, что при-
водит к малому угловому разбросу основного излучения. Таким образом,
лазеры преобразуют энергию накачки с относительно широким разбросом
частот на монохроматическое излучение частоты са21- Трехуровневая схе-
ма используется, например, в широко известном рубиновом лазере , где
переходы примесных атомов хрома дают красную линию 694,3 нм.
Новые эффекты появляются при высокой плотности фотонов в лазерном
пучке. Например, вполне вероятно иметь одновременное взаимодействия
двух фотонов с тем же атомом. Если их суммарная энергия удовлетворяет
условию резонанса,
сщ + са2 = Шр,
(5.14)
возможно поглощение с двухфотонного переходом г —> /. Здесь мы выхо-
дим за рамки первого порядка теории возмущений и должны принимать
во внимание нелинейные (многофотонные) процессы. Они формально по-
являются в высших порядках по отношению к полю А, а соответствующие
амплитуды содержат больше операторов рождения и уничтожения, см.
раздел 2.2. В частности, возможна много-фотонная ионизация атома, когда
энергия одного фотона ниже порога ионизации.
5.2 Фотопоглощение
Теперь мы рассмотрим квантовую механику излучения и поглощения све-
та более детально. Элементарный акт поглощения фотона (Ак) квантовой
системой испытывающей переход г —> / описывается золотым правилом
(26.6) с матричным элементом (4.112),
2л 2тгК
Г ~
17 К лУ
2
5{Е/-Ег-Кл). (5.15)
В каждом акте энергия системы возрастает на Кл = Еу — Е7 и средняя
скорость поглощения энергии находится из
Клл^ =
4тг2пЛк
V
(5.16)
где мы использовали правило (1.3.26) переходя к 5-функции от частот и
ввели среднюю заселённость фотонов п\к-
Поток энергии фотонов падающий на атом в секунду равен
(бепеИу) х (уе1осИу) х (епег^у) = —^сКл. (5-17)
Отношение поглощённой энергии к падающему потоку даёт сечение погло-
щения^ сравните с сечением рассеяния, раздел 3.1, для данной частоты л и
конкретного перехода г —> / в системе,
2
6(л — л/ф (5.18)
или, для системы частиц с тем же отношением е/т,
2
6(л — л/ф (5.19)
4л2
Кел
4л2
тп2л
где а = е? [Ко. Для частиц со спином нужно таким же образом включить
взаимодействие (4.115) с магнитным полем волны.
Эти результаты отвечают бесконечно узкой линии поглощения. Но мы
знаем, что в действительности возбуждённое состояние |/) только ква-
зистационарно, см. раздел 1.9.12; оно имеет конечное время жизни и,
следовательно, неопределённость энергии — конечную ширину Г. Если па-
дающая волна имеет энергетический разброс ДЕ? > Г, она может возбудить
все монохроматические компоненты состояния |/) с сохранением энергии
внутри неопределённости. В стандартном приближении экспоненциального
распада, см. раздел 1.5.8, мы должны заменить 5Д — шр) на резонансную
кривую Лорентца,
(5.20)
Здесь мы учли также возможную конечную ширину начального состоя-
ния. При у —> 0, мы приходим обратно к Таким образом, мы
имеем естественную форму линии поглощения,
4тг2
Нсш
е*(к'Га)(еАк • ра)
2
7 __________1________
2тг Д — (ЛрУ2 + у2/4
(5.21)
Если, как это часто случается, матричный элемент в (5.21) есть плавная
функция частоты ш, т.е. приближённо константа внутри ширины линии у,
мы можем найти интегральное сечение,
2
4тг2
Нсшр
(5.22)
5.3 Длинноволновый предел
Для нерелятивистской системы частиц в связанном состоянии, разность
фаз для разных частиц в экспоненте матричного элемента, как правило,
небольшие. Это следует из простой цепи приближённых оценок, где К есть
размер системы:
(к • га) ~ кК = — К
с
ЕК р2 К V
Кс тКс р с
(5.23)
Поэтому для нерелятивистских систем, кН 1, размер, как правило, мал
по сравнению с длиной волны излучения. В атомах, за исключением самых
тяжелых те, кК ~ V/с ~ 2а 1. Неравенство кК 1 также справедливо
для большинства возбужденных ядерных уровней.
Пользуясь тем, что ехр(г(к-гД) ~ 1, мы упрощаем интегральное сечение
(5.22) до
(5-24)
В этом приближении вклады всех частиц когерентны, они излучают и
поглощают свет как целое. Если силы внутри системы зависят только
от координат частиц, га не коммутируют только с оператором кинетиче-
ской энергии, и уравнение движения (1.7.89) устанавливает связь между
недиагональными матричными элементами,
(Ра)/г = 1тасЩга)1ч-
(5.25)
Тогда сечение (5.24) определяется матричным элементом электрического
дипольного момента (1.21.63),
4л2
^|(елк-а/г)|2. (5.26)
Задача 5.1
Показать, что результат (5.26) может быть получен из гамильтониана
4 = -(И (5.27)
для взаимодействия дипольного момента системы с электрическим полем
волны (28.30), которое подразумевается однородным на размересистемы.
Задача 5.2
Вычислить интегральное сечение поглощения света линейным гармони-
ческим осциллятором (заряда е) в п-том стационарном состоянии, если
волна линейно поляризована под углом 9 по отношению к оси колебаний.
Решение
г е2
/ дш ап п+1 = 2л2 — сое2 9 (п + 1). (5.28)
/ ’ тс
Для п = 0 мы получаем классический результат [11].
Переходы генерируемые электрическим диполем классифицируются как
Е1 переходы в терминологии раздела II.6.6. Интенсивность дипольного
перехода часто выражается в терминах сил осцилляторов, определяемых
для каждого перехода как
2т(-Еу -
Е1. = V
(5.29)
где предполагается, что все частицы, обычно электроны в атоме или в моле-
куле, имеют одинаковый заряд. Для системы, находящейся первоначально
в основном состоянии, все силы осцилляторов положительны. Согласно
правилу сумм ТРК (1.7.138), в отсутствие зависящих от скорости сил,
/
числу электронов в атоме. Отсюда мы находим полное интегральное сечение
поглощения (сумма по всем возможным переходам 0 -Д
/* 2тг2е2
ско а = 2_^ / =------2. (5.31)
/ 7 тс
Этот результат совпадает с классическим пределом [11] будучи независящим
от типа потенциальных взаимодействий внутри системы.
Выражение (5.31) справедливо также для нейтральных атомов, если мы
ограничим сверху частоты света, чтобы избежать ядерных возбуждений
и рождения новых частиц. Если система не является электрически ней-
тральной, она будет двигаться в поле волны, как целое, что соответствует
классическому томсоновскому рассеянию [11], §78. Если мы интересуем-
ся только внутренними возбуждениями, мы должны отделить движение
центра масс. Это было сделано в Задаче 1.7.10 для атомного ядра, где
в результате появились эффективные заряды (1.7.141) для протонов и
нейтронов.
Задача 5.3
Полагая справедливым правило сумм ТРК,найти полное интегральное
сечение дипольного фотопоглощения ядра с 2 протонами и нейтронами;
разностью масс протона и нейтрона пренебречь, тр тп = т.
Решение Используя эффективные заряды (1.7.141), мы находим часть
ядерного сечения поглощения обязанную внутренним возбуждениям,
(1Е~ <техс
((<уг+к")2А') =
2тг2е2йЛГЯ
--------— = 0.06 —— МеУ-Ьагп,
тс А А
(5.32)
где 1 барн=10-24 ст2-----единица площади принятая в ядерной физике.
Таким образом, эффективная сила осциллятора для дипольных ядерных
переходов равна И2/А. Движение ядра как целого (массы пД^ + ТУ) = тА)
определяется вкладом центра масс, е^К, в дипольный момент, который
давал бы силу осциллитора (2/А)2 • А = И2/А. С этой добавкой, полная
сила осциллятора восстанавливается в согласии с (5.30),
В действительности, нельзя считать реалистические ядерные взаимодей-
ствия не зависящими от скорости, как это предполагается в провиле сумм
ТРК.
Задача 5.4
Предположим, что в дополнении к обычным силам зависящим от коор-
динат имеются обменные силы типа
^ехсЬ = — ^(|гр — Гп\уРпр, (5.34)
где Рпр — оператор превращающий протон в нейтрон и наоборот без из-
менения пространственных и спиновых характеристик частиц, рис. 5.2.
Показать, что этот вклад увеличивает (для сил отталкивания И(гпр) > 0)
правило сумм (5.30), которое для сферически симметричного состояния \г)
становится
52 = (г |52 Гпр^(Гпр)^пр\ | • (5.35)
/
Здесь сумма идёт по всем нейтрон-протонным парам.
5.4 Высшие мультипольные переходы
Несмотря на то, что дипольное приближение предыдущего раздела спра-
ведливо в длинноволновом пределе, А Я, для полного сечения фотопо-
глощения нерелятивистской системой, может оказаться, что для данного
перехода г —> / дипольный матричный элемент мал или равен нулю
из-за правил отбора по угловому моменту и чётности, см. раздел II.7.5.
Дипольный оператор не может вызвать переход между состояниями одина-
ковой чётности или с изменением углового момента ДУ > 1. В этих случаях
Рис. 5.2. Пионный механизм возможного обменного взаимодействия.
необходимо рассмотреть следующие члены разложения ехр[г(к-га)] в (5.22)
по степеням кН.
Линейные по кК члены в матричном элементе могут быть переписаны
как
р 1 р
г—(е • р)(к • г) =(М++ М_),
т 2т
(5.36)
где
М± = (е • р)(к • г) ± (е • г)(к • р). (5.37)
Используя уравнение движения (1.7.89), Мы получаем
М+ = т{е • г)(к • г) + (е • г)т(к • г) = т—- I (е • г)(к • г) 1. (5.38)
Так как (е • к) = О,
(5.39)
где <2^ —тензор электрического квадрупольного момента (II.1.130) данной
частицы; суммируя по всем частицам мы получаем полный квадрупольный
момент системы. С использованием гейзенберговских уравнений движения
для соответствующий матричный элемент может быть представлен в
виде
2'1^ 1
— (ЛТ^)у^ = —е-гк^С^) .р = е^к^^С^у Н ])р = —ре^к^С^у^ р. (5.40)
ЛТП О о
Этот член ответственен за квадрупольные переходы.
Задача 5.5
Показать, что этот результат может быть выведен из взаимодействия 11^
(II.9.32) квадрупольного момента системы с градиентами электрического
поля волны.
М_ в уравнении (5.36) равен
(5.41)
Вектор [к х е], согласно (4.31), определяет направление Ь магнитного
поля падающей волны. Таким образом, М_ отвечает за взаимодействие
орбитального магнитного момента с магнитным полем,
^-М_ = 0 • Ь)и; = Ь)ал
2т 2тс к 7 V 7
(5.42)
Задача 5.6
Показать, что вместе со спиновым членом Н' 1п, (4.110), результат (5.42)
может быть выведен из взаимодействия
Я^а§п = -(М’Д, Д = П058 + /^), (5.43)
полного магнитного момента частицы с магнитным полем волны (4.31) в
предположении однородности поля на размере атома.
Мы получили в одном приближении по отношению к параметру (кН) ~
г/с, квадрупольные (Е2) и магнитно дипольные (М1) переходы. Эти пе-
реходы имеют вероятности в среднем на фактор (&Я)2 ~ (г/с)2 меньше,
чем дипольные (Е1) переходы. В общем случае, высшие мультипольные
(ЕЕ) переходы и магнитные (МЕ — 1) переходы имеют одинаковый порядок
величины,
шТО ~ «'(МЬ - 1) ос (ИгД-^ДЕ!). (5.44)
Магнитные мультиполи, по природе магнитного взаимодействия, содер-
жат дополнительную степень г/с кК по сравнению с электрическими
мультиполями. В ядрах, специфические особенности структуры ведут к
большому усилению Е2 переходов. Мы не будем здесь углубляться в детали
мультипольного разложения, которое требует разложения фотонного поля
по сферическим волнам [10].
5.5 Индуцированное и спонтанное излучение
Матричный элемент излучения фотона отвечает уменьшению энергии
атома на ш и увеличению фотонных чисел заполнения, пхк
пАк + 1- Соответствующий матричный элемент оператора рождения фотона,
д/пАк + 1? порождает индуцированное (ос пхк) и спонтанное (не зависящее
от числа имеющихся до акта излучения фотонов) излучения.
Золотое правило определяет дифференциальную вероятность излучения
в единицу времени, которая должна содержать умножение на плотность
состояний излучённого фотона (3.92) в элемент телесного угла с5ц
, • - 2г.
(Л
2лКс3
2
(^Ак + 1)^-
2лК2
шУ
(^Ак + 1)^РУ
(5.45)
Как и должно быть, нормировочный объём V исчез из ответа. Интен-
сивность излучения (энергия в данной моде (Лк) излучённая в единицу
времени в угол 7о) даётся выражением
(Ихк — дес/г —
2лс3
г
2
(^Ак + 1)^0.
(5.46)
Если состояние поля не имеет определённого числа фотонов, то пхк должно
быть заменено на среднее значение пхк-) как, например, в случае теплового
равновесия (5.10).
Задача 5.7
Мы знаем (см. Задачу что фотон не может находиться в состоянии
с полным угловым моментом 7 = 0. Поэтому, сохранение углового момента
запрещает излучение одиночного фотона из 7^ = 7у = 0. Показать, что это
следует также из вида матричного элемента в (5.46).
Решение При выборе к вдоль оси квантования, показатель экспоненты
ехр[г(к - г)] не зависит от азимутального угла и поэтому не изменяет про-
екцию равную нулю для 7^ = 0. Но оператор (е* • р) содержит только
поперечные компоненты импульса, рх,у, которые меняют \М\ на 1 и ведут
к Му = ±1, которые невозможны для 7у = 0.
Весь оператор в (5.46) не действует на спиновые переменные, поэтому ар-
гументы Задачи 5.7 могут быть использованы для Г г = О Гу = О перехо-
да, который также оказывается запрещён для любых значений 5^, Л,
Такие переходы, однако, могут быть индуцированы спиновым магнитным
взаимодействием 11в то время как одно-фотонные Д = 0—>7у = 0
переходы запрещены абсолютно. Вместо этого, возможно излучение двух
фотонов во втором порядке теории возмущений или благодаря квадратич-
ному члену ~ А2. В ядрах возможен альтернативный процесс внутренней
конверсии, когда излучаемая энергия передаётся атомному электрону или
тратится на рождение электрон-позитронной пары.
Легко видеть, что коэффициенты Эйнштейна удовлетворяют соотноше-
ниям установленным в разделе 5.1. Если монохроматическая электромаг-
нитная волна частоты и) распространяется в среде, в которой атомы могут
испытывать резонансный переход с той же частотой, то элементарные
акты поглощения и излучения будут происходить с вероятностями уста-
новленными выше. Решающим отличием индуцированного и спонтанного
излучения является то, что акты индуцированного излучения увеличивают
интенсивность волны, поскольку испускаемые фотоны имеют те же кван-
товые числа (щ1атЬдакф При спонтанном излучении, фотоны излучаются
некогерентно по всем направлениям к. В общем случае, направление к
не совпадает с направлением падающей волны. Для волны с п\к 1,
спонтанное излучение не влияет на интенсивность.
5.6 Дипольное излучение
Рассмотрим сначала спонтанное излучение. В дипольном приближении,
~ 2тГС3
2
до.
(5-47)
Для системы с потенциальным взаимодействием, используя опять (5.25),
находим
^Лк = Дз I(еАк • <Ц) |2<Ь. (5.48)
Этот результат для интенсивности дипольного излучения очень похож
на классическую формулу [11], §67. Для того, чтобы проинтегрировать по
углом и просуммировать по поляризациям излучённого фотона, выберем
действительные векторы поляризации е1к и едк в поперечной плоскости
так, чтобы один из этих векторов был перпендикулярен к вектору с1у^
например (едк • ^/г) = 0- Если угол между векторами к и равен 0,
переходный вектор с!^ имеет компоненты вдоль к (ос сое#) и вдоль е1к
(ос 8Ш0). Тогда
КеАк • <Ы12 = Н/г|28Ш20. (5.49)
Угловая зависимость излучения, ос ет2 #, по отношению к волновому векто-
ру к такая же, как в классической электродинамике. Полная интенсивность
во все направления даётся
Ь = Т----3 1а/г|2 / (1° (5-50)
2лс6 у Зе5
Мы получили классическую формулу
о, .4 ___
1Ш= |Н(012 (5.51)
ОС
для излучения осциллятора со средним квадратом дипольного момента
|<1(^)|2. Так это и должно быть согласно принципу соответствия между
классической и квантовой теориями. Классический осциллятор может быть
представлен разложением в ряд Фурье,
оо
ад= 52 а_п = а*, (5.52)
п=—оо
где последнее равенство следует из того факта, что с1(^) есть действительная
функция. Поэтому, зависящие от времени компоненты дают
<1(^) = У^{с1пе~гпСл;^ + (1*егп^} = ^^{2со8(т;/;)-Кес1п — 2 8т(пс^) Ттс1п}.
п=1 п=1
(5.53)
При усреднении по времени, созвал) сое^'с^) = (1/2)5пп/ и т.д., мы полу-
чаем
|<1(^)|2 = 4^2 {(Кес1п)2со82(п(л;/;) + (1тс1п)28т2(п(л;/;)}>
п=1
оо оо
= 2 52{Тес1,,)2 + (1тс1,,)2} =2 52|с1,,|2. (5.54)
п=1 п=1
В классическом пределе матричные элементы (1^ переходят в фурье-
компоненты (1.15.80) с1п классической функции и мы приходим к
результату (5.50) —только одна гармоника из суммы (5.54) даёт вклад в
данный переход.
Величина обратная вероятности перехода в единицу времени определя-
ет время жизни возбуждённого состояния по отношению к спонтанному
дипольному переходу, г -Л /,
1 3 Л
(5.55)
Для оптических переходов в атомах, кК ~ л 11/с и с оценкой матрич-
ных элементов |с1|2 ~ е2Я2, мы получаем
гё ~ 1с1|2 ~ а(кК)2ш ~ а3^, т ~ (5.56)
пЛ шел
Используя а) ~ 1015 8-1,мы находим гё ~ ю(9~8) сек-1 и т ~ Ю“(8“9) сек.
Для низколежагцих ядерных возбуждений Е ~ 1 МэВ, ш ~ 1021 сек-1,
гё ~ Ю15 сек-1, т ~ Ю-15 сек.
Задача 5.8
Вычислить интенсивность спонтанного электрического квадрупольного
(Е2) и магнитно-дипольного (М1) излучения и сравнить с классическими
результатами [И], §71.
5.7 Правила отбора и примеры
Оптические спектры атомов создаются переходами внешних электронов.
Для них кК ~ а 1, и наиболее вероятны дипольные переходы с изме-
нением чётности ( правило Лапорта). В лёгких атомах спин-орбитальная
связь слаба и спектра можно классифицировать по Е5-связи, раздел II.8.4,
когда Ъ и 8 являются хорошими квантовыми числами стационарных со-
стояний. Дипольный оператор, как и любой электрический мультиполь, не
действует на спиновые переменные, что даёт правило отбора Д5 = 0. Мы
можем теперь сформулировать правила отбора для ЕЕ переходов, которые
справедливы, если возможно пренебречь спин-орбитальной связью,
ЩП; = (-У, А5 = 0,
(5.57)
Рис. 5.3. Разрешённые и запрещённые дипольные переходы пд -л- п'р.
Существование тонкой прявляется в расщеплении спектральных линий.
В водородоподобных атомах, в пренебрежении сверхтонкой структурой,
полный угловой момент обеспечивается электронами Л = з = И + 8. По-
этому, для дипольных ("разрешённых"} переходов, Д^* = О, =Ы и Д^ = ±1;
здесь чётность П = (—/ изменяется, П^Пу = —1, и переходы с Д^ = О
невозможны. Рис. 5.3 показывает разрешённые переходы пЛ -л п'р. Для
серин Лаймана, п -л п' = 1, разрешены два перехода, пр^/2 1^1/2 ? и
пРз/2 151/2- Поэтому, все линии серии Лаймана дублеты. Расстояние
между компонентами дублета определяется расщеплением верхнего, пр,
уровня, которое быстро падает с ростом п, см. раздел II.8.3. Наибольшее
расстояние имеет место для п = 2 (лаймановская-а линия в ультрафиолете).
Для серии Бальмера, п -Л п' = 2, конечными состояниями могут быть
25Х/2, и 2рз/2- Разрешены семь дипольных переходов: пз^/2 -л 2Р1/2,з/2 5 пР\/2
251/2; пРз/2 2Л/2; п^з/2 ^Р\/2,3/Ъ п^5/2 2Рз/2- На практике, наибо-
лее важной является так называемая На линия, п = 3 -Л п' = 2; Игнорируя
лэмбовский сдвиг мы имеем пять различных спектральных линий, рис. 5.4.
Расщепление между верхними уровнями мало и мы получаем две группы
близких линий на расстоянии Е(2р3^} ~ ^(2Р1/2) ~ 0.36 с-1. Этот бальме-
ровский дублет с почти одинаковым расщеплением для всех начальных п
был открыт Майкельсоном, 1887.
Рис. 5.4. Разрешённые дипольные переходы для п = 3 -л- п! = 2.
Тонкая струтура спектров сложных атомов генерирует мультиплеты
спектральных линий щфщЕуф -л- Более детальный анализ, ос-
нованный на величинах ККГ показывает, что наиболее интенсивными
являются главные линии с Д4 = ДЕ; остальные линии называются сател-
литами. Из-за сверхтонкой структуры, см. раздел II.8.6, единственным
точным правилом отбора остаётся правило отбора по полному моменту
атома Г = Л + I,
(5.58)
Тем не менее, в силу слабости сверхтонкого взаимодействия, чисто элек-
тронные правила отбора выполняются с высокой точностью. Дипольные
переходы между уровнями тонкой или сверхтонкой структуры одного элек-
тронного терма запрещены, так как все эти уровни имеют одинаковую
чётность.
Для атомных переходов между далеко раздвинутыми уровнями (разность
энергий ДГ? порядка энергии связи Е?Д, вероятности Е2 и М1 переходов
оказываются одного порядка величины. Для меньших частот, ДЕ? Е?^,
параметр кК уменьшается, в то время как г/с остаётся того же поряд-
ка; тогда М1 переходы становятся более вероятными, чем Е2, например,
между компонентами тонкой структуры данного электронного терма. С
оператором магнитного момента атомных электронов,
р = + 28) = рв(3 + 8), (5.59)
М1 переходы индуцируются оператором 8, поскольку Л сохраняется, ко-
гда не учитывается сверхтонкое взаимодействие. В Е5-схеме, состояния
характеризуются квантовыми числами п, Ь и 5, которые неменяются под
действием оператора 8. Только 8 может измениться, и мы получаем пра-
вило отбора для М1 переходов:
п; = пр Д5 = ДЕ = ДП = 0, Ту = л, Л±1. (5.60)
М1 переходы возможны также между компонентами тонкой структуры дан-
ного терма, в то время как Е2 переходы здесь практически невероятны из-за
очень низкой частоты, см. (5.42). Здесь излучение идёт в микроволновом
диапазоне.
Задача 5.9
В результате лэмбовского сдвига, см. раздел 4.8, электронный 2з уровень
в атоме водорода лежит выше, чем 2р±/2 уровень. Оценить вероятность
2з 2р^/2 перехода.
Решение Из-за малой выделяемой энергии вероятность спонтанного 2з —>
2Р1/2 дипольного излучения очень мала; она соответствует времени жизни
приблизительно 20 лет.
Время жизни метастабильного 2з^/2 состояния в атоме водорода действи-
тельно аномально велико [18]. Переход 2з^/2 1$1/2 В основное состояние
не может быть Е1, Е2, или М1 типа. Е1 переход запрещён по чётности;
Е2 невозможен, потому что ^ = ^/ = 0. М1 переход запрещён в нереляти-
вистском приближении, потому что М1 оператор (5.43) не может менять
радиальную функцию 2з -Л- 1<§; Этот переход становится разрешённым
благодаря малым релятивистским компонентам волновых функций, см.
раздел 13. Но такие примеси действительно очень малы для водорода и
соответствующее время жизни было бы около двух дней. В действительно-
сти, время жизни 2з±/2 уровня ~ (1/7) сек. определяется двухфотонным
излучением.
В присутствии слабого магнитного поля, появляются Е1 переходы между
зеемановскими компонентами различных термов с ДМ = 0, ±1 и пртиво-
положной чётностью,см. (II.9.44). Зеемановские подуровни одного терма
имеют одинаковую чётность и могут быть связаны М1 переходами между
соседними компонентами с ДМ = ±1. Эти переходы, используемые в элек-
тронном парамагнитном резонансе принадрежат обычно сантиметровому
диапазону. Строго говоря, полный момент Л, в противоположность его про-
екции М на направление поля, не сохраняется в магнитном поле. В высоких
порядках возникают примеси с / У, и некоторые ранее запрещённые
переходы становятся разрешёнными, хотя в слабом поле их вероятности
ещё малы.
В молекулах, из-за адиабатичности медленного движения тяжелых ионов,
см. раздел 1.5; оператор дипольного момента электронов может быть опре-
делен при фиксированных значениях К ионных координат, с1 -Л- с!(К). Если
ионы находятся в возбуждённом вибрационном состоянии вблизи точки
равновесия Ко, мы приближённо имеем
а(н) «а(По) +((н-По)-у)а. (5.61)
Второе слагаемое в (5.61) является векторным оператором по отношению к
ионным переменным. Молекулярные колебания вокруг равновесной точки
описываются стандартными функциями осциллятора. Оператор линейный
по смещениям ядер приводит к переходам между соседними колебатель-
ными состояниями с изменением числа колебательных квантов на ±1.
Ангармонические эффекты могут нарушать это правило отбора.
5.8 Фотоэффект
Фотопоглощение света системой испытывающей переходы в дискретном
спектре показывает резонансный характер. Для переходов в непрерывный
спектр, как правило, сечение есть гладкая функция от частоты света.
Выбивание электрона из атома в континуум становится возможным, когда
частота падающего света превышает порог ионизации. Мы помним, что
объяснение Эйнштейном этого закона фотоэффекта, см. раздел 1.1.3, было
одним из важных указаний на квантовую природу света.
Когда фотон взаимодействует со свободным электроном, поглощение не
происходит, так как законы сохранения энергии и импульса не могут быть
одновременно выполнены. Поглощение возможно только для связанного
электрона, когда избыток импульса может быть принят ядром или кри-
сталлической решеткой. Отсюда, качественно понятно, что вероятность
фотопоглощения увеличивается для сильно связанных электронов (конеч-
но, только если Ни) превышает энергию ионизации). Экспериментальное
сечение фотоэффекта, рис. 5.5, резко возрастает когда энергия достигает
Рис. 5.5. Сечение атомного фотоэффекта как функция частоты света.
порога ионизации следующей атомной оболочки (М, Ь, К\ но уменьшается
с дальнейшим ростом частоты, так как относительная степень связанности
электрона уменьшается. Небольшие пики на схеме возникают из тонкой
структуры атомных спектров. Энергия ионизации 1к основного состояния
атома определяет границу после которой сечение монотонно уменьшается,
ос в нерелятивистской области Кш тс2. Сильная зависимость от
заряда ядра, ос Я5, которая существует и дальше в релятивистской области,
это просто следствие усиления связанности.
Расчеты сечения фотоэффекта достаточно просты для диапазона частот
Кш <С тс2. (5.62)
Здесь электрон в континууме всё ещё может рассматриватся как нереля-
тивистский, р тс, в то время как его скорость велика по сравнению с
типичными атомными скоростями г>а1 на внутренних оболочках, поскольку
тс2 22е2 22с2
— ^Е^ЕЬ^ — = 2^Дте2)’
(5.63)
что означает малость параметра Зоммерфельда (1.2.66),
Ее2
Кс
(5.64)
В этих условиях импульс фотона много меньше импульса фотоэлектрона,
Кк Кш р2 с
р ср 2тср 2с
(5.65)
При выполнении условия V , искажение состояния выбитого электро-
на атомным полем невелико и мы можем использовать теорию возмущений,
полагая волновую функцию конечного электрона плоской волной с им-
пульсом р. Общее выражение (5.19) для сечения фотопоглощения нужно
проинтегрировать по энергии электрона с помощью 5-функции и умножить
на плотность конечных состояний
V
ар/ = ЩК)3 тр а° (5-66)
электрона летящего в телесный угол с/щ
= ^2“ КЖ(к'г)(еАк • р) 10|2Ф/. (5.67)
Здесь (сиАк) являются характеристиками падающего фотона, и мы пред-
полагаем, для простоты, чисто одночастичный переход (забывая о других
электронов в атоме). Упорядочение экспоненты и оператора импульса в
матричном элементе является произвольным, поскольку они содержат
коммутирующие компоненты.
Будем проводить расчет для начального состояния электрона в К-
оболочке, где его волновая функция водородоподобна (II.3.20),
Ж = \^е~2г/а’ Ш = ^е(г/й)(р-г). (5.68)
Матричный элемент,
Л7/, = (Ж(кЛеАк-р
<13Г е-(г/П)(р-йк)-г(_
(5.69)
может быть легко вычислен с помощью интегрирования по частям. Так
как (едк • к) = 0, мы получаем импульс р конечного электрона,
аЗгеЦЧ-Г)-2г/а
где определён передаваемый ядру импульс,
Лд = Лк — р.
(5.70)
(5-71)
Окончательное интегрирование даёт матричный элемент,
/64тгЯ5 (р-еЛк)
/г V а5У [(ад2 + 92]2’
и дифференциальное сечение,
(1а 32а
(1о тстН2
рТ Р(Р • еАк)2
а) [(Я/а)2 + д2]4 ’
(5.73)
Результат (5.73) может быть упрощён с помощью условий ограничива-
ющих область применимости нашего подхода. Выберем ось квантования
вдоль импульса фотона к и ось- х вдоль вектора поляризации едю Тогда
(р • еАк) = Р 81П 0 сое р, и
/г2#2 = Р2 2— сое в + Н2к2 ] ~ р2 ( 1 — 2— сое в ] р2 (1 — - сое 0^) .
у р ) \ р ) \ с /
(5.74)
Также,
р а тт Н2 Кт 1
К 71 К т7е2 7е2 ту
(5.75)
Таким образом, в наших приближениях,
Ла 32а
Ло тстк2
7 \ 5 р3 еш2 0 сое2 р
а ) (рД)8[1 — (т/с) сое 0]4
32аК 5 ет2 0 сое2 р
тш [1 — (т/с) сое 0]4
(5.76)
Как отмечалось в начале этого раздела, главная зависимость от энергии
Рис. 5.6. Угловое распределение фотоэлектронов.
при т/с 1 даётся фактором
ос Я5^7/2
СТ
(5.77)
Угловое распределение фотоэлектронов показано на рис. 5.6 а. Ось
х соответствует электрическому полю и линейной поляризации световой
волны; магнитное поле волны направлено вдоль оси ?/, в то время как вектор
распространения к = к%. При 1) < с, большинство электронов выбиваются в
направлении электрического поля фотона, тогда как сечение в направлении
к исчезает. С ростом к и, следовательно, скорости г, роль знаменателя
(5.76) увеличивается, и лепестки углового распределения наклоняются
вперед, рис. 5.6 Ь. Угловое интегрирование в (5.76) дает полное сечение
фотоэффекта из /С-оболочки, которое может быть представлено как
/ 13.6 \7/2
ак(ст2) 1СГ16 22 ’ , Еъ < кш < тс2.
\кш(еУ))
(5.78)
Наука есть организованная попытка
человечества понять природу
причинно-следственных связей
К.Х. Ваддингтон,Научнй подход
Глава б
Дисперсия и рассеяние света
6.1 Макроскопическое описание
В Гл. 5 мы рассматривали взаимодействие электромагнитной волны с
системой заряженных частиц, которое приводит к переходам между состо-
яниями системы и изменению энергии волны (поглощение и вынужденное
излучение). В этой главе мы обсудим поляризацию среды вследствие распро-
странения в ней электромагнитной волны. Здесь, в отличие от статического
случая (Гл. 1.23), нас более всего интересует зависимость возникаемого яв-
ления от частоты. По сути дела, оно будет частными случаем общей теории
линейного отклика квантовой системы на внешнее переменное возмущение.
Чтобы упростить задачу, представим среду, в которой распространяется
электромагнитная волна, в виде набора слабо взаимодействующих осцилля-
торов. В данной модели мы ограничимся случаем длинных волн, в котором
поле волны можно считать однородным на размерах атома. Рассмотрим
электрическое поле монохроматической волны в классическом пределе
немагнитной среды
Дг) = е^созИ) = е-(е-ш,< + е“Д,
(6.1)
где е - вектор поляризации. В классической теории электрона заряды,
удерживаемые атомом и обладающие определенными собственными ча-
стотами, под воздействием волны совершают вынужденные колебания с
вынуждающей частотой Если ш приближается к одной из собственных
частот осциллятора, возникает резонанс, амплитуды колебаний зарядов и,
следовательно, средний дипольный момент среды возрастают - происходит
динамическая поляризация среды.
Когда волна распространяется в резонансной среде, ее энергия расходует-
ся на возбуждение атомных осцилляторов. Вынужденные колебания атомов
в свою очередь излучают вторичные волны с той же частотой. Интенсив-
ность результирующего поля определяется интерференцией падающей и
вторичной(рассеянной) волн. В макроскопическом описании используется
функция диэлектрической проницаемости г (си) [19], §58 или показатель
преломления п(Дц
ДД) = п2(Д).
(6-2)
Описанное выше является одним из примеров обобщенной восприимчиво-
сти в теории линейных откликов.
В результате взаимодействия волны с веществом закон дисперсии в среде
будет отличен от закона дисперсии в вакууме,
к = — => к = — п(Д). (6.3)
с с
Фазовая скорость волны зависит от частоты,
Крк е>) = т = тт (6-4)
к пД)
отличается от групповой скорости (1.5.22),
дш с ск дп со дп
ъДД) = ~ТГ =-------5 5Г =ЪД----5Г' (6-5)
дк п пл дсо п да)
Данный факт приводит к дисперсии света аналогично "расползанию"квантового
волнового пакета в Гл.1.5.5. В зависимости от знака величины дп/дх) , го-
ворят о положительной (дп/дш < 0, > грь) или неотрицательной
(дп/дсо <0, > грн) дисперсии. В общем случае восприимчивость явля-
ется комплексной величиной. Мнимая часть п(Д) отвечает за затухание
волны в среде:
Дкх—ш1) ДхДп/с)х—I] Дш/с)хКеп—гш1—(ш/с)х1тп (д д)
Нашей задачей является найти квантовое описание данного явления, ко-
торое позволит вычислять характеристики среды такие как Да)) и п(а)) с
точки зрения атомных и молекулярных свойств.
6.2 Линейный отклик
В ограничении длинных волн гамильтониан возмущения может быть
записан (Задача 5.1) в виде
н' = -(ехД
(6.7)
где (1 — оператор дипольного момента атома, а (Г) — классическое внеш-
нее поле (6.1). В действительности теория может быть разработана для
любого возмущения в виде Р(1)О где Р(1) — слабое внешнее поле (в теории
возмущений все Фурье-компоненты независимы и, таким образом, доста-
точно рассмотрения монохроматического поля) и О — некоторый оператор
системы (не являющийся интегралом движения).
Удобно модифицировать монохроматическую временную зависимость
(6.1) в предположении, что поле медленно (адиабатически) включалось в
удаленном прошлом, при I -л- — оо. Это допущение позволит нам избежать
рассмотрения реальных переходов связанных с резким возникновением по-
ля в начальный момент времени, и позволит изучить стационарный случай.
Опишем подобное поведение поля добавив множитель адиабатического
изменения,
Н'^Н'е^, I—оо, ту —»+0, (6.8)
где ту - инфинитезимальная положительная величина, которую следует по-
ложить равной нулю после всех вычислений наблюдаемых величин. Когда
это возможно, мы будем просто писать +0 вместо ту. Теперь используем
обычную нестационарную теорию возмущений, описанную в Гл. 1.2, для
вектора состояния в присутствии по ля (6.7) в виде разложения по стацио-
нарным состояниям \п) невозмущенной системы с энергиями ЕПу
|ФД) = (6.9)
п
Найдем коэффициенты ап для начального состояния заданного основным
состоянием |0) при — оо,
<>„(« = -Ц' Л'Я„,
= 2Л(е^’1,)
ег(ш+ш„о)4
Ш + Шп0 - /0
ш - + г0
еР.
(6.10)
Поляризация системы в нестационарном состоянии, зависимая от време-
ни, задается ожидаемой величиной оператора <1 (6.9). В линейном прибли-
жении по Е получим
(а(0) = (фд|а|ФД) = а00+У {<(^)е^о<ап0 + ап(Ое-^о<ао„}. (б.п)
Подставляя коэффициенты ап из (6.10), получим
<<ад> = а»»Д'*Е(
V ,1
п^О
ш - шпо + г0
ш + шпо - гО
а*0(е • ап0) + с.с. .
(6.12)
Члены, пропорциональные Г представляют собой квантовый аналог клас-
сических вынужденных колебаний с частотой возмущения со. По аналогии
со статическим случаем (II.9.8) введем тензор динамической поляризуемо-
сти как зависимый от времени коэффициент между Фурье-гармониками
дипольного момента и электрическим полем (6.1),
(6.13)
Собирая вместе члены ос е в (6.12), получим
Г ^Хо(е • ^пр)
И Щ - шп0 + /0
пДО
ата0(е • а^о)
со + сопо + /0
(6-14)
и тензор поляризации
№о)Х <о«о)*
са — сапо Т го со + сапо Т ^0
(6.15)
Свойства симметрии данного тензора следующие [сравните с (II.9.8)],
(6.16)
Такое же выражение с соответствующими заменами матричных элементов
может быть получено для поляризуемости системы в начальном состоянии|г),
отличном от основного состояния. Естественным расширением расшире-
нием является поляризуемость системы в тепловом равновесии, когда
необходимо добавить суммирование по начальным состояниям \г) с больц-
мановскими весами Д/2)еЕ^Т (Гл. 5.1).
6.3 Принцип причинности
Если частота со не является находится в резонансе с частотами переходов
сщдь можно пренебречь бесконечно малой добавкой /0 в знаменателях. Тем
Рис. 6.1. Контуры интегрирования для г < 0, сплошная дуга, и для
г > 0 — тонкая линия, для причинной восприимчивости.
не менее следует сохранить данный член в случае близости к резонансу.
Это связано с физической задачей причинности отклика.
Пусть агд(т) - зависимая от времени функция, такая что функция такая
что функция является ее Фурье-образом,
(6-17)
Произведение (6.13) Фурье-компонент в пространстве частот соответствует
свертке функций во временной области,
(6.18)
В соответствии с (6.18), ядро а(1 — ^) определяет влияние поля, приложен-
ного в момент времени на отклик поляризации в момент I.
Как видно из (6.15), система отвечает виртуальными возбуждениями
О ч и. затем, обратными переходами п —> 0, так же как и для пере-
излучения волны классической антенной. При виртуальные переходы в
Гл. 1.5.10, энергия не сохраняется , ДГ? = ш — Дпо| Ф 0 на коротком вре-
менном интервале ~ К/ АЕ. Для частот а) вблизи резонанса с частотой
перехода шпо, энергия практически сохраняется, что соответствует почти
реальному переходу на массовой оболочке в долгоживущее промежуточное
состояние. Это проявляется в резонансном росте поляризуемости. Без /0,
подынтегральное выражение в (6.17) не определено вследствие присутствия
сингулярностей в точках резонанса. Добавление гр однозначно определяет
контур значение интеграла посредством задания контура интегрирования
в комплексной плоскости.е. Для р Д 0, сингулярности в точках
со = ±с^по — Д (6.19)
сдвигаются в нижнюю плоскость комплексной переменной со. В верхней
части функция а (со) {аналитична). При г < 0 контур интегрирования в
(6.17) может быть закрыт большой дугой в верхней плоскости, поскольку
подынтегральное выражение содержит
е-г(Ке^+г1ш^)т е-1т^|т|
Т = — \т\ < 0,
(6.20)
которое экспоненциально уменьшается на большой полуокружности с
1тсо > 0. Вследствие аналитичности оДД имеем
5(т) = 0, г < 0. (6.21)
Таким образом, в выражении (6.18) интегрирование производится только
в области I > Г. Это означает, что поле Г (Г) способно определить отклик
среды только для более поздних моментов времени, I > Г. Добавка +г0,
определяющая правила обхода контура, отражает причинную зависимость
отклика.
Часто приходится иметь дело с сингулярностями в знаменателе подоб-
ными уравнению (6.15). Данные правила вытекают из выделения действи-
тельных х и р при р -л +0,
1 _ _ х ту
I - — 9 9 — 9 9 Т $ 9 9 • (Д.22)
х ±гр хл-\-р хл + рл хл + рл
Действительная часть х/(ж2 + р2) выражения при р -л 0 равна 1/х для
всех конечных ж, тогда как при х = 0 она обращается в нуль. Данное выра-
жение является нечетной функцией относительно х и, таким образом, при
интегрировании с любой гладкой в х = 0 функцией, даст так называемое
главное значение (Р.у.) интеграла,
уничтожая симметричным образом вклад сингулярности.
Таким образом, получаем
Пт ---------5- = Р.у.
т/^0 Х^+р х
(6-24)
Мнимая часть выражения (6.22) является четной функцией х и при р -д +0
обращается в нуль для любых х кроме х = 0, при котором она принимает
бесконечное значение. Интеграл этой функции равен л для любых значений
ту, и, следовательно, мы получаем представление 5-функции с которой мы
имели дело в (1.5.80),
Пт = 7г5(ж). (6.25)
т/^+0 X2 + Р2
В результаты мы раскрываем обычные сингулярности как
1 1
= Р.у. — гтг5(гг), р -д +0. (6.26)
х ± гр-----------------------------------------------------------х
Разложение (6.26) разделяет виртуальные процессы вне массовой оболочки
от реальных процессов на массовой оболочке, которые требуют сохранения
энергии, выраженного 5-функцией.
6.4 Функция диэлектрической проницаемости
Используя правило (6.26), мы можем найти действительную и мнимую
части поляризуемости (6.15). Предположим для простоты, что основное
состояние изотропно
с^>) = 5г7а(са); (6.27)
в более общем случае мы должны были бы построить тензорное разложение
подобно тому как мы делали это в (1.24.12). (Новый элемент может быть
асимметричен относительно комбинации Г 7 что приведет к аксиальному
вектору как в Гл. И. 1.9; подобные среды называют гироскопическими.)
В изотропном случае (6.27)
Разложение (6.26) дает
КеаД) = 1^о|2 р-у- >
/г — и) —
77^0
1т«(ш) = 5? 1^п0|2^(ш “ шпо)- (6.30)
Здесь мы приняли ш > 0 и предположили, что основное состояние не
вырождено т.е. сопо > 0 и 5 (со + сапо) обращается в нуль при п ф 0.
При температуре не равной нулю оба слагаемых в уравнении (6.28) будут
давать ненулевой вклад, поскольку будут возможны так же и переходы
на более низкие энергетические уровни вследствие тепловой населенности
возбужденных состояний.
Каждый член в мнимой части (6.30) пропорционален частоте дипольного
перехода между состояниями 0 —> п вследствие воздействия возмущения.
Диэлектрическая проницаемость может быть определена как
е(са) = 1 + 4тг1Уа(са),
(6.31)
где - количество атомов в единице объема. Легко увидеть, что данное
выражение совпадает со стандартным макроскопическим определением
[19], § 77 связи
Р = 8 + 4лР = е8
(6.32)
между напряженностью электрического поля электрической индукцией
Р и поляризацией единицы объема V в среде слабо взаимодействующих
атомов(напр. газ). Поскольку мы не определили, что является источником
электрического поля в Гамильтониане возмущения (6.7), предположи, что
8 — это результирующее электрическое поле, действующее в системе и
отождествим его с макроскопическим полем в (6.32). Как следует из (6.30),
1т а > 0 Следовательно 1т е тоже положительно и, учитывая определение
(6.2), 1шп > 0. Таким образом, в соответствии с (6.6), волна, распространя-
ющаяся в среде, постепенно затухает. Квантовое рассмотрение показывает,
что причиной затухания волны, являются потери энергии на резонансное
возбуждение атомов.
Можно переписать действительную часть (6.29) с точки зрения силы
осциллятора Рпо (5.29):
ТДо
- До ’
(6.33)
п^0
здесь мы полагаем, что дипольные моменты создаются электронами (массы
т) и сингулярности следует рассматривать в смысле главных значений.
Данное представление в точности совпадает с понятием поляризуемости
в классической электронной теории где а)по - собственные частоты атом-
ных осцилляторов, а Рпо — эмпирические "силы". В пределе частот, много
больших атомных, применяя правило получаем:
Не а(уР) -д —
е2
тпш2
У2 ^п° ~
пДО
Яе2
тш2 ’
(6.34)
где 71 — количество электронов на один атом. В этом пределе справедливо
классическое решение для свободных зарядов, как и должно быть для
электронов со столь большими частотами, при которых можно пренебречь
связью электронов с атомом.
Для функции диэлектрической проницаемости (6.31) из (6.33) получим,
4тг Й4 е2
Еее(и;) = 1 + 4т^В,еа(и;) = 1--------
т
ЕДггО
Р2 — (Л2П ’
пуо
(6.35)
Что, в пределе больших частот (6.34) дает
Вее(с^) Д 1 -
4лР7е2 _ 1
та)2 а)2
(6.36)
Таким образом мы приходим к классическому выражению для диэлектри-
ческой проницаемости электронного газа, где
- плазменная частота^ п = Р 7 - полная плотность электронов. Здесь неяв-
но предполагается присутствие компенсирующего ионного фона, который
обеспечивает электростатическую стабильность системы.
В действительности полученные выражения (6.34) и (6.36) справедливы
для любых систем в приближении а) -д оо [19], § 59 (все еще предполагается,
что частоты не релятивистские). Для больших си, показатель преломления
среды п = д/ё ведет себя как д/1 — с^д/си2. При си < сид, п - мнимое, что
соответствует полному отражению света средой. При а) > сид, коэффициент
преломления действителен, что согласуется с ультрафиолетовой прозрач-
ностью металлов для которой модель свободных электронов применима
качественно.
Другой предельный случай может быть получен из (6.15) и (6.28) при
а) -Д 0. Результат для стационарного случая (а) = 0) естественным обра-
зом совпадает с полученным в Гл.П.9.1. В этом случае диэлектрическая
проницаемость
/пА т 4тгЛгс2 Рпо
е(0) = 1 +
I I V , Ш „ П
(6.38)
Среда состоящая из слабо взаимодействующих атомов приобретает свойства
диэлектрика ДО) > 0. Для плотных сред рассмотрение, основанное на (6.31)
уже не применимо, поскольку невозможно просто добавить поляризуемости
отдельных атомов. Локальное поле в среде отличается от макроскопическо-
го вследствие наличия поля поляризованных атомов. Подобные коллектив-
ные эффекты так же могут приводить к пространственной неоднородности
системы. Например, свободно перемещающиеся заряды могут экранировать
внешний источник поля как в задаче 1.1.8 Во многих подобных случаях
кроме зависимости Деи), так де необходимо учитывать зависимость е(к) -
пространственную дисперсию диэлектрической функции [19], § 103 ).
6.5 Свойства дисперсии
Давайте вновь обратимся к рассмотрению системы слабо взаимодейству-
ющих атомов и более внимательно исследуем зависимость г от частоты.
Типичное поведение вещественной части (6.35) показано прямыми линиями
на Рис. 6.2.
Вблизи резонансных частот сипо? где функция Деи) сингулярна, имеет-
ся область аномальной дисперсии Среда прозрачна вплоть до частоты
си = ^пО- При си > еипо, вещественная часть Не е(си) отрицательна — среда
становится непроницаемой (полное отражение). На рис. 6.2 дисперсия все-
гда положительна, дп/дсо > 0. Отрицательная дисперсия могла бы быть
возможна, если бы атомы были в возбужденных состояниях, к примеру в
тепловом равновесии. В таком случае сила осциллятора (5.27) для перехода
в основное состояние отрицательна.
Подобная картина тем не менее не верна непосредственной близости к
резонансу, неизбежно присутствует затухание волны вследствие реальных
переходов (6.30). В действительности, для поглощения точное равенство
ей = сипо не является необходимым. Как обсуждалось в Гл.5.2, возбужденные
состояния \п) обладают \п) естественной шириной Гп = й/уп. Принимая
это во внимание, мы должны произвести замену еипо еипо — (Д2)дп. В
присутствии конечных мы можем игнорировать у -Л- +0, а у > 0
Рис. 6.2. Вещественная часть диэлектрической функции в резонансной
области.
обеспечит причинно-следственную связь. Вместо (6.33) получим
________РпО_________
[^«0 - (С2)?п]2 -М2'
(6.39)
Если ширина мала, мы можем произвести дальнейшее разложение сохраняя
в знаменателе только линейные по дп члены,
^пО
шп0 - - ^п07п ’
(6.40)
В таком случае вещественная часть (6.35) диэлектрической функции примет
вид:
Р - 1 + 47гЖ2 V Ио - ДТД
т Но-^2)2 + ^по72‘
(6.41)
В отличие от (6.35), Кее не обращается в бесконечность, хотя имеет пик
ширины ~ дп вблизи резонансной области (см. рис. 6.3.).
Рис. 6.3. Диэлектрическая функция в резонансной области с учетом
ширины.
В такой же области ширины ~ уп, присутствует заметное поглощение,
4л1Уе2
1ш € = 4лIV Тш а = -----
(До - ^2)2 + шпЛп
(6.42)
В пределе исчезающе малых ширин уп, вследствие виртуальности (6.25)
данное выражение предсказывает набор бесконечно узких линий поглоще-
ния соответствующих резонансным частотам.
В непосредственной близости к резонансу преобладает один член суммы
(6.42),
1ша(^ — 2 ---------———, (6.43)
™ 4Д0[Ц-^п0)2 + 72/4]
или, с учетом явной формы силы осциллятора (5.27),
1тсиЦ шп0) & -^2,7—1', 2М1, (6-44)
-шп0)2 + 72/4]
Сравнивая данное выражение с сечением (5.19), полученным в дипольном
приближении, мы видим, что сечение фотопоглощения системой атомов
определяется мнимой частью поляризуемости ( например для света, поля-
ризованного вдоль оси ж),
, х 4тг2 1сДп|2 4тгсо , х / ч
стаДО -> п) =------— ------2-—ту- =------1шаД шп0). (6.45)
с 2тг Д-шп0)2+72/4 с
Данное выражение является одним из представлений оптической теоремы
описанной в разделе 8.8.
Задача 6.1
Покажите классический смысл оптической теоремы (сохранение светово-
го потока).
6.6 Квантовое затухание
Более точные вывод возникновения ширин в теории линейного откли-
ка может быть получено, если мы вернемся к общему подходу (1.9) к
рассмотрению нестационарных возмущений (теория квантового затуха-
ния, В. Вайскопф, Е. Вигнер, 1930). Проиллюстрируем данный подход в
простейшем случае, справедливом вблизи узкого резонанса.
Амплитуда ап(1) обнаружения системы в нестабильном возбужденном
состоянии \п) уменьшается с временем как
апХ = ап(0)е
(6.46)
Тогда амплитуда аоД) основного состояния ( или другого состояния связан-
ного с состоянием \п) путем излучения фотона) определяется выражением
(1.9). Т.к. энергия основного состояния + энергия фотона равна Ео + Ко,
по теории возмущений получим
гПа0 = {0\Н'\п)е^То+^-Еп)ап^ = (0|Я/|п)ег(ш-ш"о+г7"/2)‘ап(0). (6.47)
Учитывая начальные условия ап(0) = 1 и ао(О) = О,
а0Д) = (0|Н/|п) —----------; —. (6.48)
Х1 1 7 П(с^ - ^п0 + Пп/2) к 7
Вероятность излучения в интервале (ко на больших временах 1 (больших
чем время жизни 1/дп) дается выражением
_ |{0|Я/|п>|2
°" П2[Д-^п0)2 + 7Щ]
При суммировании по поляризациям фотона и интегрирование по плотно-
сти конечных состояний (помеченных ниже как /) мы можем использовать
золотое правило вероятности перехода (2.6), которое определяет ширину
как вероятность распада в единицу времени,
-,,, = Д|(0|Н'|<. (6.50)
В конечном итоге получим вероятность (6.49) в виде
(1и>0п = т------—277 (6.51)
2% (ш -шпоУ + ?Д4
где 5-функция сохранения энергии заменена функцией Лоренца. Если у
состояния \п) есть другие каналы распада, то знаменатель в (6.51) должен
включать в себя полную ширину, тогда как числитель представляет собой
парциальную ширину соответствующею излучению \п) -л- |0).
Задача 6.2
Покажите, что для перехода между состояниями \п!} и |п), имеющими
ширины дп/ и 7П соответственно, в приближении теории затухания форма
спектральной линии для перехода п/ —> п дается выражением (6.51) с
заменой тп + дп/, как это предполагалось в (5.20).
Решение Пусть ширина будет обусловлена переходом в основное со-
стояние |0) с частотой Д сапо- Тогда по теории возмущение аналогично
(6.51) для двойного перехода п! -л п -л 0 получим
= /г, ТГ~!--------V?---9 /лГ -----------7?--о—~Т . (6.52)
(2тг)2П4 [Д - ш„0)2 + 72/4][(ш + сУ - + 72,/4]
Теперь проинтегрируем по Д, например замыкая контур в верхней полу-
плоскости комплексной переменной Д и производя суммирование и вычетов
в Д = сапо + Пп/2 и Д = сап/о — (л + гдп//2. Результатом свертки двух функ-
ций Лоренца будем функция Лоренца с шириной, равной сумме ширин
изначальных функций,
(1и) = Т т------у + (6.53)
2% (ш - шп>п)2 + (7„/ + 7п)2/4
6.7 Дисперсионные соотношения
Принцип причинности математически основывается на аналитичности
функций восприимчивости, таких как динамическая поляризуемость а(Д)
, в верхней полуплоскости комплексной частоты. Из данного свойства
вытекают важные соотношения между вещественной и мнимой частями
функции отклика.
Применяя тождество (6.26) к поляризуемости, получим
Г° , / Л.Х) „ , аД') , ч / с1а/— = Р.у. / йш — йгаД). .1-^ ш' -ш + гО ]_гх ш' -ш (6.54)
С другой стороны интеграл (6.54) равен нулю. Действительно, мы можем
замкнуть контур интегрирования большой дугой в верхней полуплоско-
сти, т.к. вдоль этой дуги вклад в интеграл обращается в нуль вследствие
быстрого уменьшения поляризуемости (6.34) на больших частотах. Внутри
полученного таким образом контура подынтегральное выражение не имеет
сингулярностей - в соответствии с (6.28) полюсы поляризуемости располо-
жены в нижней плоскости. Здесь мы видим важность адиабатического
включения поля. Таким образом выражение (6.54) показывает, что
а Д) = — Р.у. — / с1ш' — . 7Г Д (6.55)
Разделяя вещественную и мнимую части, мы приходим к дисперсионным
соотношениям Крамерса-Кронига:
, . 1 Г00 , ,1та(и') КеаД) — Р.у,— / &Л — , 7Г 7-ос Д - Ш (6.56)
п 1 Г 7 /Кеа(сУ) 1та(а;) = — Р.у.— / дД— , 7Г 7-ос Д - Ш (6.57)
Несложно явным образом убедиться, что функция (6.28) удовлетворяет
дисперсионным соотношениям.
Задача 6.3
Соотношения (6.56) и (6.57) согласованы только если
р.у. Г р = ^Д - Д'). 7-ое Д' - ш ) (6.58)
Докажите это утверждение.
Поскольку принцип причинности имеет очень общий характер, любая
функция отклика должна удовлетворять дисперсионным соотношениям.
Тем не менее их конкретный вид может изменяться в зависимости от
асимптотического поведения восприимчивости при а) -Л- оо, как мы видели
в доказательстве рассмотренном выше.
Задача 6.4
Получите дисперсионные соотношения для диэлектрической функции и
докажите что
Д, (6.59)
где с^о — плазменная частота (6.37).
6.8 Формализм рассеяния
Рассеяние света квантовой системой тесно связано с явлением диспер-
сии рассмотренным в предыдущих разделах. Можно интерпретировать
рассеяние в терминах виртуального поглощения и излучения фотонов.
В данном разделе нас больше интересует рассеянная волна нежели чем
свойства отклика среды. Рассеянная (вторичная, переизлученная) волна в
общем случае имеет параметры (частота, направление распространения,
поляризация) отличные от первичной волны. Рассеяние так же возможно
на свободной частице, в том случае когда реальное поглощение запрещено
законами сохранения.
Процесс рассеяния вовлекает как минимум два элементарных действия:
поглощение первичного фотона (к, ш = с/с, Л) и излучение вторичного
(к, а) = с/с, Л). Соответствующие матричный элемент содержит оператор адь
аннигиляции начального фотона и оператор рождения конечного фотона
йд,к,. Рассмотрение взаимодействие волны на атомах в рамках теории
возмущения требует учитывать второй порядок по Гамильтониану Н[ ( см.
(4.113) и (4.114)) или Н'8 в (4.115). Матричный элемент второго порядка
для перехода г —> /, в соответствии с (2.16) включает в себя прохождение
через промежуточное виртуальное состояние п,
Здесь ТГг = Ег + Ел начальная энергия, а 11д - полная энергия промежу-
точного состояния (система + фотоны).
Рис. 6.4. Диаграммы второго порядка для процесса рассеяния.
Начальное состояние включает в себя атом \г) и налетающий квант
(Лк), конечное состояние включает в себя атом |/) и квант (Л'к7). Дважды
действуя оператором Н[ мы видим, что существует два пути от началь-
ного к конечному состоянию (см Рис. 6.4.). Процесс (а) включает в себя
поглощение начального фотона с последующим излучением конечного фо-
тона. Здесь промежуточное состояние не содержит фотонов, тогда как
атом находится в состоянии \п) таким образом, что = Еп. Могут
присутствовать наблюдающие фотоны, которые не меняют своего состо-
яния и, таким образом, не содержатся в знаменателе (6.60). Во вкладе
(6) атом сперва излучает конечный фотон, а затем поглощает начальный.
Здесь промежуточное состояние содержит в себе атом \п) и два фотона,
+ + . Теперь мы можем явным образом записать матричные
элементы как = (2л^с2)/[ПДсасУ]Хад, где
(/I Еа(еа/М(е'* • рДе г(к'-Га)|п)(п| ЕДеДт6с)(е • рДег(к,г^|Д
Е^ + Кш — Еп
(6.61)
п
(/I Еа(е«/т«с)(е • ра)ег(к'-Гп)|п)(п| Еь(еь/тьс)(е/* • рь)е г(к',Гь)|г)
Ег Т Кш — (Еп Т Кш Т
(6.62)
Производя суммирование данных вкладов, получим
= л/<“> + = -Ц= Е + "/»)' ((5-63)
V У/шш .
ао п
(е-*(к'-Г“)(ра • е'*Й (Л(к'гДрь • е))
Дш =-----------------------------(6.64)
Са (ЛПг
(6.65)
Теперь мы должны вспомнить, что Гамильтониан взаимодействия фото-
нов с веществом содержит также квадратичный по А член (4.114). Так как
линейный по А член учтен во втором порядке, в таком же приближении
мы должны включить вклад первого порядка от квадратичного члена.
Соответствующий матричный элемент показывает, рис. 6.4с,
(6.66)
Полная амплитуда дается суммированием (6.63) и (6.66). Здесь мы ограни-
чиваемся приближением больших длин волн (дипольное приближение) [в
противном случае следует также включить спиново-магнитный член ЕД
ур. (4.115)]. В дипольном приближении мы пренебрегаем неоднородностью
поля волны на атомных размерах и берем все показатели в точке К центра
атома. Вклад (6.66) таким образом существует для процесса когерентно-
го рассеяния без изменений системе, г = /. Следовательно в дипольном
приближении мы получаем амплитуду рассеяния виде
м^ = м$ + Дг =
27Г сг(к-к')-В
V Дало'
тать
(ра • е'*)/п(рь • е)„»
а?
(Ра ’ ^)/п(РЬ ’ е )щ
(Е + ^пг
+ П(е-е,*)5/Ль
(6.67)
Вероятность рассеяния определяется по золотому правилу,
2тг
с/лор = — \Мр\28ДД + Нш — К(ЕД
(6.68)
и плотности конечных состояний фотонов (2.49).
6.9 Сечение рассеяния
Дифференциальное сечение рассеяния в телесном угле может быть полу-
чено из (6.68) путем интегрирования по всем энергиям конечных фотонов
и деления на величину потока налетающих фотонов с/У (один фотон на
объем У),
(кгр 2я 2 Уш'2 V У2ш'2 2
—— = — \М^\ 3 3 — = 2 2 4 \Мц\ . (6.69)
ао п Ьтг'пс5 с 4тг27гс4
Преобразуем это выражение к общепринятой форме используя сперва
коммутатор
[(Ра • е'*), (гь • е)] = е-*е7[рш,г7-ь] = -ШаЬ(е е'*). (6.70)
(2)
Применяя (6.70), вклад в амплитуду (6.67) от Му 7 может быть представлен
в виде суммы по промежуточным состояниям
^/г<5аЬ(е • е'*) = г ((Ра • е'*)/га(гь • е)™ - (гь • е);п(ра • е'*)™) • (6.71)
п
Если мы подставим данное выражение вместо последнего члена в выраже-
ние (6.67) и, предполагая отсутствие сил, зависящих от скорости, с помо-
щью (5.25) введем матричные элементы дипольного момента с1 = ^2аеага,
амплитуда преобразуется к виду
м/г = -М= Лк-к')-к V (СДг +(6.72)
С/т = (а/п • е'*)(^ . е)о;/п (-1 - , (6.73)
Я/ш = (<ЦП • е)(4™ • е'*) ( С" + Х) • (б-74)
\ + ^пг )
Можно добиться дальнейшего упрощения применив закон сохранения энер-
гии ( путем умножения матричного элемента на 5-функцию от энергии),
шр = ш ш . (6.75)
Применяя (6.75), находим
и
/ \ + Д
^пг I 1 3 . ) — ^пг .
\ а) + и)Пг) а) + и)Пг
Следовательно выражения (6.73) и
, Г (а/п • е'*)(апг • е)
С/пг —
(6.74) преобразуются к виду
(а/п • е)(апг • е'*)_
(л) ^пг
В/пг — Ш [(й/п ' е )Дш ' в) Д/п ' ®)(^таг ® )] •
(6.77)
(6.78)
(6.79)
Тем не менее вклад от 6.79) исчезает как коммутатор,
52 [(а/п-е'*)(ат-е)-(а/п-е)(а^-е/*)] = </|[(а.е'*),(а-е)]|г> = о.
п
(6.80)
В конечном итоге, на энергетической оболочке (6.75),
л/,, = V
п
(а/п • е'*)(апг • е)
са ^пг
(а/п • е)(апг • е'*)
с<У + шп{
(6.81)
Задача 6.5
Получите такой же результат (6.81) с самого начала используя дипольный
Гамильтониан (5.27).
Теперь сечение (6.69) дается дисперсионной формулой Крамерса-Гейзенберга,
1925,
бсг/г _ шЛ3 ур Г Л/п • е'*)(апг • е) _ (а/та • е)(апг • е'*)
до б2 С4 |_ Ш Д + ^пг
(6.82)
Данный результат справедлив для рассеяния в оптическом, ультрафиоле-
товом диапазонах и для мягких рентгеновских лучей когда йил < тс2 и
можно пренебречь релятивистскими эффектами, тогда как длина волны
начального и конечного фотонов больше атомных размеров. Как нам из-
вестно из теории дисперсии, подход теории возмущений в подобном виде
справедлив только для частот далеких от резонанса; иначе необходимо
включить естественную ширину квазистационарных состояний.
6.10 Когерентное рассеяние
В случае когерентного (упругого) рассеяния, атомы остаются в началь-
ном состоянии / = г и частота фотона не изменяется о/ = Формула
дисперсии дает
. 2
(1<?г _ Л у- (Дп • е'*)(апг • е) _ • е)((атаг • е'*)
до /12с4 СО — ООпг 4“ СЩц
Сравнение с выражением (6.15) показывает, что сечение когерентного
рассеяния полностью определяется тензором поляризуемости в данном
состоянии |г),
до
(6.84)
или для изотопического состояния |г), в соответствии с (6.27),
со . /\|2/ /*\2
— = ^ |«М| (е . е ) .
(6.85)
Данный результат имеет классический вид: наведенный дипольный момент
(1 = а сечение пропорционально |с!|2 ос са4Д|2. Квантовые свойства
сосредоточены в поляризованности определяемой квантовой структурой
атомов.
Если частота ш велика в сравнении с атомными частотами (но длина
волны все еще больше размеров атома), то рассеяние происходит таким
же образом как на свободных зарядах. Применяя асимптотическое зна-
чение поляризуемости (6.34), мы приходим к результатам классической
электронной теории [11], § 78, Томпсоновское рассеяние,
/ \ 2
(—4 (е • е7*)2 = Я2Гд(е • е7*)2,
(6.86)
где введен классический радиус частицы (1.40). Обращаясь обратно к на-
чальному матричному элементу (6.67), видим, что рассеяние на свободных
зарядах полностью определяется квадратичным членом /Д- поскольку
выражение в квадратных скобках в (6.67) обращается в нуль в пределе
са оо.
Для описания упругого рассеяния можно ввести амплитуду рассеяния /,
которая зависит от угла рассеяния и поляризации начального и рассеянного
фотонов. Амплитуда рассеяния имеет размерность длины и нормирована
таким образом, что дифференциальное сечение упругого рассеяния равно
= 1/12- (6.87)
ао
Уравнение (6.85) показывает, что для изотропных систем
, Г
/ аН(е.е'*). (6.88)
с2
6.11 Резонансная флуоресценция
При приближении к резонансу ш -л- сечение (6.82) неограниченно
растет. Как и при рассмотрении эффектов дисперсии, данный неограничен-
ный рост происходит из-за того, что мы пренебрегли затуханием связанным
с возбуждением атомных состояний.
Вблизи резонанса необходимо учесть естественную ширину линии. Этого
можно добиться заменой Еп -л- Еп — (гК/2Дп. Основной (резонансный)
член в дисперсионной формуле принимает вид
2
(Е ) гей ^с4
УД/п-е'*)(с1пг-е)
1
+ ?Д4’
(6.89)
где означает суммирование по всем состояниям с энергией резонанса
Еп. например по проекция момента импульса если Д ф 0. Форма линии
предсказанная (6.89) совпадает с формой в процессе спонтанного излучения
фотона энергии возбужденным атом в состоянии |п), если возможно
пренебречь шириной состояния \г). Результат (6.89) применим в случае
широкого разброса по частоте падающей волны который должен превысить
ширину дп. Для падающей волны с очень узким разбросом частот, линия
рассеяния будет еще более узкой чем естественная ширина, если вспомнить
наши качественные рассуждения в Гл. 1.5.8 и 1.5.9. Так же мы обсуждали
возможность резонансной флуоресценции атомов и ядер в силу эффекта
Мёссбауэра.
Наглядное представление процесса, данное на рис. 6.4, изображает резо-
нансное возбуждение промежуточного состояния \п) и спонтанное снятие
возбуждения. Полностью когерентный процесс резонансной флуоресценции,
когда
/ = цсР = (л и е' = е, может быть связан с интенсивностью спонтанно-
го излучения (5.48), или естественной шириной промежуточного состояния
уп и его средним временем жизни тп,
1
7п = —
Тп
С 4сЛ
кил ЗКс3
(6.90)
|<1т|2-
В эксперименте, когда не регистрируются поляризация света и проекции
момента импульса атомов среды, наблюдаемое сечение должно быть усред-
нено по подобным параметрам начального состояния электромагнитного
поля и атомов, а так же просуммировано по конечным параметрам.
Задача 6.6
Покажите, что сечение резонансной флуоресценции определенное описан-
ным способом и проинтегрированное по всем направлениям к7 конечного
фотона равно
_ 27п + 1 7Г 7п 01 ч
СТге8 2(2Л + 1Д2 (ш_^.)2 + 72/4’
где к = л/с.
В соответствии с (6.91), сечение непосредственно в резонансе,
^"геб —
2ТП Т 1 4л
2(2Л + 1) ’
(6.92)
по порядку величины равно квадрату длины волны фотона и не зави-
сит от особенностей системы. Как мы увидим в дальнейшем в Гл. 10, это
максимально возможное квантовое сечение рассеяния.
Взаимосвязь (6.85) между сечением рассеяния и поляризуемостью а(л)
верно так же и в присутствии резонанса. Тем не менее, поляризуемость
наряду с амплитудой / (6.88) в данном случае становятся комплексны-
ми. В то же время мнимая часть определяет реальное поглощение
света системой. Сравнение (6.88) и (6.45) демонстрирует примечательную
связь между поглощением фотонов, которое является полным сечением
а всех процессов ослабления падающего пучка, и мнимой частью упругой
амплитуды для излучения вперед без изменения характеристик фотона,
е' = е,
4л
а = -—1т/. (6.93)
к
Мы вновь возвращаемся к оптической теореме в обобщенном рассмотре-
нии (Гл. 34), задачи рассеяния с точки зрения квантовой унитарности.
6.12 Рассеяние на множественных центрах
Состояние с определенным количеством фотонов, как и наш одиночный
рассеянный фотон, не аналогично осцилляции с определенной фазой. Для
этой цели нам нужно когерентное состояние (Гл. 1.12.4), которое не обла-
дает фиксированным количеством квантов. Тем не менее в присутствии
нескольких центров рассеяния, разница фаз волн, рассеянных на разных
центрах может принимать определенные значения. При когерентном рассе-
янии, атомы остаются в начальных состояниях. Таким образом, процесс
когерентного рассеяния на различных атомах физически неразличимы и
необходимо складывать амплитуды, а не сечения рассеяния на разных
центрах.
Пусть два идентичных атом в одинаковых квантовых состояниях распо-
ложены таким образом, что координаты их центров К1 и Кд. Как видно
из матричного элемента (6.81), полная амплитуда пропорциональна
М <х Дк-к')-*1 + Дк-к')-П2 _ (6.94)
Полная вероятность в этом случае определяется результатом интерферен-
ции,
|Л/ I2 ОС 11 + е*(к-к')-(К.1-В,2) |2 = 2|Х + СО8[(к _ к/) . (6_95)
которая зависит от разницей хода двух рассеянных волн (Рис. 6.5). Срав-
ните с обсуждением форм-фактора рассеяния заряженных частиц, данным
в Гл. 3.3. Таким образом, подобное рассеяние является когерентным.
Несложно перейти к рассеянию на упорядоченном наборе атомов, та-
ком как идеальный кристалл. Допустим, идентичные атомы расположены
в узлах кристаллической решетки {Ну}. Полная амплитуда рассеяния
определяется интерференцией волн, рассеянных на различных центрах,
М ос ^2 д = к — к'. (6.96)
э
Таким образом, рассеяние исследует систему на длинах волн соответствую-
щих передаче импульса д. В большом кристалле, сумма (6.96) обращается
в нуль для всех векторов д кроме векторов К (1.8.51) обратной решетки
для которых
ег(к-Ю = 1, (к • НО = 27гп, (6.97)
где Ну - любой вектор исходной решетки, в п - целое.
При когерентном рассеянии на решетке, к' = к и передача импульса
равна (3.23) (] = 2&8Ш0/2, где 0 - угол рассеяния. Условие д = К выражает
усиливающую интерференцию волн, рассеянных на различных плоскостях
кристаллической решетки. Данное условие может быть выполнено толь-
ко при 2к ЛУ1ш- Рассматривая для простоты кубическую решетку с
периодом а,
2л 2л
К = П, Кт;п = —, (6.98)
а а
когерентное рассеяние возможно только при к > л/а, т.е. или для рентге-
новских лучей или для еще более малых длин волн. Хотя при произвольной
ориентации монокристаллического образцы по отношению к падающей
монохроматической волне, условие д = К не удовлетворяется для любых
углов рассеяния, данное условие и наблюдение дифракции рентгеновских
лучей могут быть достигнуты либо поворотом образца либо использова-
нием поликристаллического образца. Условие Брэгга для когерентного
рассеяния может быть записано следующим образом
0 2л 0 х
2/с8ш- = —п => пЛ = 2а8ш-. (6.99)
2 а 2 к 7
Результат может зависеть от формы кристалла если сечение сравнимо с
его геометрической площадью.
Рассеяние с изменением состояния атома г Д / называют рамановским
рассеянием (некогерентным). Впервые оно было почти одновременно на-
блюдено Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом в кристаллах и Ч.В.
Раманом в жидкостях в 1928 г. Поскольку в принципе можно определить
какой именно атом был возбужден в процессе рассеяния, следует скла-
дывать сечения, а не амплитуды соответствующие различным центрам
рассеяния. Если атомов расположены в объеме небольших размеров в
сравнении с длиной волны излучения, К А, когерентное сечение будет
больше атомного в ~ IV2 раз, тогда как некогерентное рассеяние будет
больше всего лишь в Лг раз.
Одним из наиболее фундаментальных
инструментов физики используемых
для исследования атомных и
субатомных областей является
рассеяние известных частиц на
образце исследуемого элемента.
Глава 7
Р.Л. Либов, Введение в квантовую
механику
Основы квантовой теории рассеяния
7.1 Рассеяние и наблюдаемые
Львиная доля наших знаний о взаимодействии частиц с другими ча-
стицами, ядрами, атомами, молекулами и конденсированным веществом
получена из экспериментов по рассеянию. Теоретическая формулировка
задачи рассеяния непосредственно следует из типичной экспериментальной
постановки.
Схематически процесс рассеяния протекает в следующим образом. Пучок
частиц в определенном начальном состоянии \г) получают из удалённого
источника. Пучок характеризуется импульсом р частиц пучка, снарядов,
или импульсной функцией распределения , а также всеми внутренними
квантовыми числами, такими как спин, которые также могут быть заданы
вероятностным образом. Частицы считаются на энергетической поверхно-
сти , или на массовой поверхности , то есть это реальные свободно движу-
щиеся частицы с обычным соотношением между их энергией и импульсом,
в отличие от внемассовых виртуальных частиц, которые появляются в
промежуточных короткоживущих состояниях, см. Т. 1, раздел 5.10. Строго
говоря, мы никогда не имеем дело с плоской волной, имеющей определен-
ный импульс. Частицы пучка должны описываться волновыми пакетами
имеющими разброс импульсов и координат в соответствии с принципом
неопределенности. Но, регистрирующий прибор имеет конечные размеры и
обычно неопределенность импульса перекрывается угловым разрешением
детектора, хотя могут быть редкие ситуации, когда структура пакета имеет
решающее значение. Во всяком случае, можно использовать идеализиро-
ванную плоскую волну в качестве базиса, который позволяет восстановить
рассеяние пакета пользуясь принципом суперпозиции.
Исходный пучок вступает в взаимодействие с мишенью, которой в част-
ности, может быть еще один пучок (эксперименты на встречных пучках).
Взаимодействие происходит в микроскопической области, где мы не мо-
жем установить наши детекторы. После взаимодействия, продукты снова
свободные частицы, может быть другого типа, или в других внутренних
состояниях. Регистрируется только набор характеристик свободных ча-
стиц в конечном состоянии |/). Для данного начального состояния |г),
задачей квантовой теории рассеяния является предсказание вероятности
различных возможных конечных состояний. В конечном счёте, используя
эмпирические данные, мы стараемся извлечь информацию о механизме
взаимодействия и структуре взаимодействующих частиц. Здесь мы огра-
ничимся столкновениями двух тел, хотя в плотной среде одновременное
взаимодействие большего числа частиц может иметь важное значение; есть
также многочастичные силы, которые не проявляются в парных взаимодей-
ствиях. Количество конечных продуктов может быть произвольным, но мы,
в основном, будем рассматривать типичные процессы с двумя начальными
и двумя конечными частицами.
В разделе 3 обсуждалось рассеяние, как приложение, зависящей от вре-
мени теории возмущений. На практике, особенно когда теория возмущений
не работает, проще использовать не зависящую от времени формулировку
проблемы. Пусть имеется первоначальный пучок со стационарной плотно-
стью потока частиц (число частиц, проходящих через единицу площади
в единицу времени). Экспериментальный детектор регистрирует опреде-
ленное количество событий, соответствующих конечному состоянию |/), со
скоростью (количество событий в единицу времени). Отношение
Л
(7-1)
измеряет вероятность рассматриваемого процесса г —> / для одной падаю-
щей частицы. Имея размерность площади, эта характеристика называется
эффективным сечением. В качестве основных наблюдаемых в эксперимен-
тах по рассеянию, сечения характеризуют элементарные акты взаимодей-
ствия не зависящие от интенсивности пучка.
7.2 Сечение классического рассеяния
Напомним, упругие рассеяния в классической механике [20], § 18. В пар-
ном столкновении мы всегда используем систему центра масс, где стал-
кивающиеся частицы сближаются друг с другом и после взаимодействия,
расходятся под углом в по отношению к первоначальному направлению.
Рис. 7.1. Поперечное сечение и прицельный параметр.
Классически, угол рассеяния в = 0(6) определяется прицельным пара-
метром Ь, что связано с орбитальным моментом I как Ы = тгЬ, где V
относительная скорость вдали от рассеивателя и ш-приведенная масса
снаряда и частицы мишени. Все частицы падающей волны, летящие в
кольце между Ь и Ь + дЬ, рис. 7.1, будут отклоняться на угол между в и
в + дд. Поэтому, эффективное дифференциальное сечение есть площадь
кольца,
да = 2тгЬдЬ = 2тгЬ
дЬ
дд
дО;
(7.2)
символ абсолютного значения вставлен для того, чтобы всегда иметь поло-
жительное сечение. Конкретные свойства потенциалов скрыты в зависи-
мости 0(6). Полное сечение даётся интегрированием дифференциального
сечения по всем прицельным параметрам, или, что то же самое, по телес-
ному углу рассеянных частиц. Поперечное сечение зависит от характера
взаимодействия между снарядом и мишенью и от энергии Е относительного
движения.
Задача 7.1
Найти классические дифференциальное и полное сечения упругого рассе-
яния точечной частицы массы т и кинетической энергии Е на сферически-
симметричной потенциальной яме радиуса К и глубины [/д.
Решение Начальное состояние определяется прицельным параметром 6
и скоростью г = у/2Е/т. Классическая рассеяние возможно только для
Рис. 7.2. Геометрия рассеяния частицы на сферической потенциальной
яме.
Ъ < К. Таким образом, полное сечение равно площади сечения перпен-
дикулярного траектории частицы, т.е. площади геометрического сечения
мишени,
Гп
а = 27г/ Ь(1Ь = ~Н2. (7.3)
То же самое справедливо и для непроницаемой сферы (полное отражение
частицы).
На границе области мы имеем скачок потенциала от нуля до отрицатель-
ного значения — ?7о- Только нормальная составляющая скорости частиц
будет меняться (нет тангенциальной силы). Траектории, следовательно, бу-
дут преломляться на поверхности. Пусть «1 и «2 есть угол падения и угол
преломления, соответственно, рис. 7.2. Тогда наружняя, г, и внутренняя,
скорости связаны законом Снелла,
Гешах = г/зтс^-
Угол падения определяется прицельным параметром,
Ь
81ПСД = —.
К
Энергия частицы сохраняется,
9 /9
те то
Е = ---- =-------с/п,
2 2’
внутри ямы частица движется быстрее, поэтому «2 <
8Ш «2
8Ш «1
V
(7-7)
(обратная величина играет роль показателя преломления}. Угол отклоне-
ния «2 — «1 удваивается в точке выхода, так что суммарный угол рассеяния
О — 2(а2 — ад)- Совместно с уравнением. (7.7) это даёт
О
О
СОЗ----со1 «1 81П - —
2 2
Е
Е + Со
(7-8)
Исключая «1 с помощью уравнения (7.5) находим связь между прицельным
параметром и углом рассеяния,
О’ = ЯЕ 2----(Е + 1^^6/2)--------.
2Е + и0 - 2у/Е(Е + и0} соз(0/2)
Для центрального столкновения Ь — 0, угол рассеяния 0 — 0, в то время
как касательное столкновение, Ь —> К, приводит к максимальному углу
рассеяния вт,
О
2
Е
Е + Ио
(7-10)
Дифференциальное сечение получается, в соответствии с определением
(7.2), беря производную от уравнения (7.9). Результат может быть пред-
ставлен как
где
7гЛ2
аа = -----
2с
(с ст)(1 ССШ)
1 + с^у 2сст
0 От
с = сое -, ст = сое —.
2 2
(7.И)
(7.12)
Можно проверить, что в согласии с (7.3),
а
ет0 НО = 7гЛ2.
аи
(7.13)
В пределе очень высоких энергий, Е Ц). конус (7.10) сужается, и рас-
сеяние происходит по существу в направлении вперед. Здесь показатель
преломления близок к 1, а препятствие не меняет траектории. При малой
энергии, показатель преломления очень большой, рассеяние становится все
более и более изотропно, 9Ш -л- л.
С учетом квазиклассического квантования орбитального момента, можно
ввести парциальное сечение для данного рис. 7.1,
^ = 7г«1-б2) = -^(2^+1) (7.14)
Прицельный параметр Лтой парциальной волны в I раз больше, чем длина
волны Л ~ 1/&; здесь и ниже к = ти/Кестъ волновой вектор относительного
движения. Таким образом, парциальное сечение (7.14) определяется длиной
волны падающего пучка.
Наша цель заключается в разработке квантовой теории рассеяния и
нахождения связи эмпирических сечений с основными характеристиками
взаимодействия. Классическая картина будет являться частным случаем
общей теории.
7.3 Матрица рассеяния
Картина рис. 7.1 подразумевает стационарную постановку рассеяния с
постоянным падающим пучком поставляющим новые частицы. Другой под-
ход рассматривает временную эволюцию начального квантового состояния,
которое принадлежит энергетическому спектру в континууме. Состояние
было приготовлено в далёком прошлом, I -л- — оо, достаточно давно, чтобы
определить её энергию с хорошей точностью. Состояние \г) = |г; — оо),
как правило, волновой пакет, который удовлетворяет уравнению Шрё-
дингера с гамильтонианом Н$ невзаимодействующих частиц. Будучи так
приготовленным, волновой пакет движется к области взаимодействия с
мишенью (мы предполагаем конечный радиус взаимодействия). Взаимодей-
ствие описывается динамическим уравнением с полным гамильтонианом
Н системы ”снаряд + мишень”. Состояние \г) не является стационарным
состоянием Н и может испытывать переходы, как в снаряде, так и в мише-
ни. Различные возможные конечные состояния соответствуют различным
каналам процесса. Развитие во времени управляется оператором эволю-
ции (/(/До), который преобразует волновую функции заданную в момент
времени в волновую функцию в момент времени I.
В нашем случае, состояние |г; — оо) порождает
Покидая область взаимодействия состояние (7.15) несет в себе продукты
процесса рассеяния (конечные свободные частицы), которые регистрируют-
ся детекторами в отдаленном будущем, I оо. Соответствующий оператор
полной эволюции называется матрицей рассеяния, или просто 5-матрицей,
5 = У(+оо,-оо). (7.16)
Возможные конечные состояния |/) опять регулируются гамильтонианом
Но и могут быть представлены в виде суперпозиции стационарных состо-
яний Но с энергией Ер Амплитуда вероятности нахождения некоторого
конечного собственного состояния |/) в суперпозиции появившейся после
взаимодействия есть, в соответствии с квантовыми правилами, проекция
эволюционирующего состояния |г; +оо) на состояние |/),
(/|г; +оо) = </|5|г; -оо) = Ц8\г) = 8Л. (7.17)
Поэтому матричные элементы 5-матрицы на самом деле есть амплитуды
наблюдаемых процессов, так что, вероятность перехода г —> / равна
Юг = Юг|2- (7.18)
Поскольку динамика (7.15) соответствует невозмущенной квантовой эво-
люции, оператор [/(/;,/д) Для любого I и 1о является унитарным. В частно-
сти, 5-матрица, также, является унитарной,
88* = 8*8 = 1. (7.19)
Унитарность необходима для того, чтобы гарантировать учёт всех физи-
ческих каналов процесса. Вставляя произвольный полный набор проме-
жуточных состояний \п) в матричный элемент (/| ... \г) уравнения. (7.19),
получаем
Е(^) /п8пг = 52 8*п/8пг = 6/г, (7.20)
п п
или, для / = г,
Е|<М2 = УЮг = 1, (7.21)
п п
что явно выражает сохранение вероятности.
Будучи определяемой лежащей в основе динамикой, 5-матрица в некото-
ром смысле величина более фундаментального характера, чем гамильтони-
ан. 5-матрица связывает наблюдаемые состояния и имеет смысл в теориях,
которые не используют гамильтонов формализм. Единственным необхо-
димым условием является возможность определения асимптотических
состояний невзаимодействующих частиц.
7.4 Вероятность перехода в единицу времени
5-матрица знает все законы сохранения. Ее матричные элементы, как
амплитуды реальных физических процессов, исчезают, если состояние |/)
имеет значение интеграла движения, которое отличается от значения такого
же интеграла в состоянии \г). Другими словами, 5-матрица диагональна в
квантовых числах коммутирующих сохраняющихся операторов. Здесь мы
предполагаем, что и Но и полный Н имеют общие законы сохранения.
С учетом сохранения энергии и отделения возможного процесса вообще
без рассеяния, запишем 5-матрицу через матрицу перехода Т взятую на
энергетической поверхности,
3/г = 6ц - 2т6(Е/ - ЕгУПг. (7.22)
Во втором члене введена 5-функция, которая учитывает сохранение энергии
в непрерывном спектре, описывающим асимптотические состояния. Теперь
мы должны понять правильный способ вычисления её квадрата, который
появляется в вероятности переходов (7.18),
= |2Щдау-Щ|2, (7.23)
Этот вопрос уже рассматривался в теории возмущений в разделе 2.1.
Точное сохранение энергии соответствует бесконечной длительности
процесса. Резкая 5-функция возникает после предельного перехода,
л+^/2
2тгПд(Вг - Д ) = Пт / . (7.24)
Если выразить одну 5-функцию в (7.23) как интеграл (7.24), наличие второй
5-функции позволяет положить Е$ = Д во всех членах, включая интеграл,
который сводится затем к длительности процесса I. Таким образом, процес-
сы с достаточно точным сохранением энергии при I -л- оо (легко оценить
, что почти все реальные эксперименты удовлетворяют этому условию),
имеют полную вероятность (7.23) пропорциональную времени. Тогда мы
получаем вероятность перехода в единицу времени,
= 1Ш1 Д = - Ег). (7.25)
I—>сю г П
Можно показать, что стационарное и зависящее от времени описания в
теории рассеянии эквивалентны [Со11964]. Существуют математические
тонкости, связанные с необходимостью рассматривать волновые пакеты
вместо идеализированных плоских волн. Мы не будем обсуждать здесь
такие вопросы, почти всегда можно использовать плоские волны в качестве
полного базиса для разложения реальных волновых пакетов непрерывного
спектра.
Основное уравнение (7.25) называется золотое правило в связи с его
особой важностью, хотя первоначальное золотое правило Фермщ раздел
2.1, было написано в подобной форме только для случая, когда матрица
перехода Тр находится в теории возмущений. Покажем теперь, как этот
пертурбативный подход следует из общих рамок.
7.5 Борновское приближение
Согласно идеологии предыдущего раздела мы разделяем полный гамиль-
тониан Н на части, соответствующие свободному движению невзаимодей-
ствующих частиц, Но и взаимодействие, Н\
Н = Но + Н'. (7.26)
Обе части предполагаются не зависящими от времени, хотя мы можем
рассматривать рассеяние как процесс, происходящий во времени. Невоз-
мущенный гамильтониан Но формирует асимптотические стационарные
состояния |пП) с определёнными энергиями Нп, конечно, с эксперимен-
тальными неопределённостями ЗЕ. В пределе малой неопределённости
временная эволюция тривиальна,
(7.27)
где вектор состояния \п) не зависит от времени. Взаимодействие Н' несет
ответственность за переходы между невозмущенными состояниями (7.27).
Если вероятности переходов малы и всё рассеяние можно считать слабым
возмущением, мы можем сделать соответствующие упрощения, используя
разложение в ряд Тейлора по отношению к эффектам взаимодействия.
Полное уравнение Шрёдингера со взаимодействием есть
гП^|ФД) = (Я0 + Я')|ФД). (7.28)
Решается это уравнение переходом к представлению взаимодействия вы-
деляя явную временную зависимость (7.27), порожденную невозмущенным
гамильтонианом, оставшаяся часть все еще зависит от времени в присут-
ствии возмущения:
|Ф(0> = е-(г/п)^0<|ФД). (7.29)
В отсутствие возмущения |Ф) была бы не зависящей от времени волновой
функцией свободного движения, аналогично \п) в уравнении (7.27). В
бесконечном прошлом мы стартуем с начального состояния \г) свободного
движения, так что граничное условие к уравнению (7.29) есть
I —оо : |Ф(/ф |Ф(—оо)) = \г). (7.30)
|Ф(^)) называется волновой функцией в представлении взаимодействия.
Подставляя (7.29) в (7.28) мы видим, что вся временная зависимость в
|Ф(^)) обязана взаимодействию Н\
гП^|Ф(^)> = Я(ПД)|Ф« (7.31)
где гамильтониан Н' преобразован в представление взаимодействия соглас-
но общим правилам преобразования операторов при унитарном преобразо-
вании состояний (7.29),
Н[пЛ) = е^/К}йо1Н'е~^/К}йо1. (7.32)
Теперь возмущение явно зависит от времени.
Новое уравнение (7.31) позволяет определить оператор эволюции {/(^о),
где в нашем случае — оо. Имея в виду начальное условие (7.30), ищем
решение уравнения (7.31) в виде
|Ф(^)) = П(^,-оо)|г). (7.33)
Как следует из (7.30) и (7.31), оператор эволюции должен удовлетворять
операторному уравнению движения
гй|Т(Мо) = ЯыД)ДМо) (7.34)
вместе с очевидным начальным условием, справедливым для любого
Д4Ло) = 1- (7-35)
Из уравнений (7.34) и (7.35) можно получить интегральное уравнение
СД, -оо) = 1 - г- [ (К'Н-'ЛОЩС -оо). (7.36)
Уравнение (7.36) эквивалентно первоначальному уравнению Шрёдингера
(7.28) плюс начальное условие. Но его удобнее использовать для решения
итерациями, которые соответствуют упоминавшемуся выше тэйлоровскому
разложению. Здесь мы рассмотрим низший порядок, так называемое первое
борновское приближение.
Предполагая, что эффекты взаимодействия являются в некотором смыс-
ле слабыми (позднее мы уточним это утверждение), мы можем заменить
оператор I/ в подинтегральном выражении на его невозмущённое значение
1. Переходя затем к пределу I -Л- +оо мы получаем явное выражение для
5-матрицы (7.16) в первом порядке,
г Г+00
5^1- -у сИ'Н^(б). (7.37)
Беря матричный элемент (/18\г) 5-матрицы (7.37) между невозмущёнными
состояниями, / г, которые являются собственными состояниями Но с
собственными значениями соответственно Ец и Ег. и используя выражение
(7.32) для Н(п1(/;), получаем
Зл = --Н'л / = - Ег). (7.38)
7—оо
Сохранение энергии возникает, как и в (7.24), в результате предельного
перехода к бесконечной длительности процесса. Сравнение с точным выра-
жением (7.22) показывает, что амплитуда перехода Тр в первом борновском
приближении даётся просто недиагональным матричным элементом га-
мильтониана взаимодействия Н'. Наконец, золотое правило (7.25) даёт
вероятность перехода в единицу времени в борновском приближении,
2тт
= —(7.39)
которое совпадает с золотым правилом (2.6). С правильной плотностью
конечных состояний раздела 2.3, мы получаем дифференциальное сечение,
совпадающее с (3.6).
В первом борновском приближении возмущение действует только один
раз {однократный процесс). Амплитуда (7.37) интегрируется по всем воз-
можным временам взаимодействия и вероятность (7.18) полностью учи-
тывает интерференцию взаимодействий, которые происходят в разные
моменты времени. Следующие итерации уравнения (7.36) отвечают вкла-
дам многократного рассеяния. Можно найти формальное точное решение
полного интегрального уравнения (7.36), но в большинстве случаев оно
бесполезно. Простые задачи рассеяния одной частицы на внешнем потенци-
але могут быть решены численно, в то время как многочастичные задачи
в любом случае требуют дополнительных физических приближений. Ча-
сто уже борновское приближение даёт разумную качественную и даже
количественную картину.
7.6 Уравнение непрерывности
Элементы 5-матрицы и сечение могут быть рассчитаны в важном слу-
чае потенциального рассеяния описываемого уравнением Шрёдингера с
фиксированной энергией, Е = е,
|\72 + к2 - Дг)}Дг) = 0, к2 = (7.40)
Здесь мишень моделируется фиксированным потенциалом 17(г) без внут-
ренних степеней свободы. Такой подход позволяет нам разработать точные
методы и найти соответствующие приближения для конкретных ситуаций.
Фактически, некоторые результаты будут иметь гораздо более широкую
область применимости на более сложные случаи в том числе на неупругие
процессы.
На этой стадии мы будем интересоваться только упругим рассеянием
детектируя рассеянную начальную частицу. Потенциал предполагается
имеющим конечный радиус действия Я, будучи в остальном достаточно
произвольным (даже необязательно изотропным). Присутствие неупругих
процессов, которые выводят частицу из упругого канала, иногда может
быть учтено феноменологически введением комплексного эффективного
потенциала П(г).
Уравнение Шрёдингера с действительным потенциалом позволяет опре-
делить сохраняющийся ток, см. Т. 1, (7.55),
тЛ^)-С^Лф (7.41)
Ток удовлетворяет уравнению непрерывности, см. Т.1, (2.11), которое для
стационарного состояния с определённой энергией превращается в
Шу а = 0. (7.42)
Эффективный комплексный потенциал нарушает эрмитовость гамильтони-
ана, сохранение вероятности и инвариантность относительно отражения
времени. Даже в стационарном состоянии (постоянный падающий поток)
./ X а г
аОЛ =
2гт I
частицы ” исчезают” уходя в неупругие каналы. Повторяя стандартные
вычисления, мы находим
сНуз(г) = |^(г)|2 1т(г). (7.43)
Мнимая часть потенциала, 1ш[7, которую мы также предполагаем коротко-
действующей, должна быть отрицательной, чтобы описывать исчезновение
частиц; противоположный знак отвечает рождению частиц.
В отсутствие неупругих процессов поток / з • НА через бесконечно уда-
лённую, замкнутую поверхность равен нулю. В присутствии неупругих
процессов это уже не так, поток становится отрицательным. Его отноше-
ние к плотности падающего потока даёт сечение поглощения (полное
неупругое сечение или сечение реакции)
О-те! = -1 Ф] • (1А = -1 / (7.44)
7г 7 7г .Д’
Полное сечение есть сумма упругой и неупругой части,
= ^е! 3“ ^тей (7.45)
Обсудим теперь в деталях определение упругого сечения.
7.7 Упругое рассеяние
Удалённый источник формирует начальный поток частиц движущихся
вдоль оси к с энергией е. Поток описывается плоской волной
^(г) = е^к’г\ (7.46)
где мы пользуемся нормировкой на единичную плотность. Нормировка с
помощью большого объёма, которая могла бы быть удобной в борновском
приближении, должна записываться так,
ФЛ)
(7.47)
Детектор, расположенный далеко, на расстоянии г К, где К есть
характерный размер области взаимодействия, регистрирует упруго рас-
сеянные частицы в телесном угле с1о в направлении г = гп(0, 72). После
взаимодействия частицы движутся свободно и, в упругом рассеянии, они
имеют волновой вектор к7 той же величины, что и к, но направленный
вдоль г,
к7 = кп = к -. (7.48)
г
Неупругие каналы в этом случае не регистрируются, но учитываются
глобально в терминах поглощения (7.44).
В асимптотической области больших г, волновая функция искажённая
рассеивателем всё ещё является суперпозицией решений уравнения Шрё-
дингера для свободного движения. Она может отличаться от начальной
волны только на расходящуюся сферическую волну ~ екр{гкг}/г где зна-
менатель г возникает из-за распределения тока по большой поверхности,
как это обсуждалось в главе (разделе) 17. Амплитуда расходящейся вол-
ны может зависеть от угла рассеяния в между к7 и к. Таким образом,
асимптотический вид волновой функции может быть записан как
Дг) « ег(к'г) + /(к', к) —, (7.49)
Г
где /(к7, к) есть амплитуда рассеяния, имеющая размерность длины. Гра-
ничное условие (7.49) иногда называют условием излучения Зоммерфельда.
Для начальной волны с нормировкой (7.46), ток, обсуждавшийся в разде-
ле 7.6, равен = Кк/т = V, как это и должно быть для ] = ру с единичной
плотностью р. Уходящий поток определяется рассеянной волной в (7.49).
Радиальная компонента тока (7.41) равна
угловые компоненты тока убывают быстрее, чем ~ 1/г2. В данный момент
мы не интересуемся интерференцией между падающей и рассеянной волна-
ми. Интерференцию возможно наблюдать только при положении детектора
почти точно в направлении к, внутри исчезающе малого угла в([ Х/д где
д есть ширина коллиматора формирующего пучок. 9(/ это дифракционный
угол волны дифрагировавшей на границах коллиматора. Для в > в(] можно
пренебречь интерференционной частью асимптотического тока. Интерфе-
ренция в области взаимодействия, г < К, полностью учтена в амплитуде
рассеяния /.
Выражение для сечения немедленно следует из тех же аргументов, что
и при выводе (3.5). Детектор с площадью дА = г2до на расстоянии г будет
регистрировать
= Лсай М = >8Сай гЧо = у\/\2(1о (7.51)
частиц в секунду. Отношение скорости счёта к плотности падающего потока
определяет дифференциальное сечение рассеяния
Д Д = 1Л< (7.52)
ао ^ао
Этот результат не зависит от нормировки волновой функции.
7.8 Унитарность и оптическая теорема
Унитарность 5-матрицы (7.19), непосредственно связанная с сохранением
тока, налагает важные ограничения на амплитуду рассеяния. Рассмотрим
более внимательно асимптотику волновой функции (7.49).
Плоская волна в асимптотике выглядит как суперпозиция (1.17.109)
уходящей волны в направлении к и падающей волны в направлении —к,
ег(кт) _ [Л(Пк _ п) - е-^Пк + п)1. (7.53)
гкг Ь
Вычислим опять ток вероятности (7.41), но теперь с учётом интерференци-
онной части. Последняя была несущественна для вычисления сечения, за
исключением исчезающе малых углов, но в сохранении вероятностей она
играет важную роль. Как и раньше, на больших расстояниях мы должны
дифференцировать только экспоненты. Прямое вычисление с волновой
функцией (7.49) даёт
3 = г?{пк + П41! + Пк2^П ^/е-^г^кг + (7.54)
В уравнениях (7.53) и (7.54), как и ранее, ип это единичные вектора
вдоль к и г [или к7, см. уравнение (7.48)], соответственно.
В (7.54) мы имеем падающий и рассеянный потоки и их интерференцию.
Подставляя в интерференционный член асимптотики (7.53) плоских волн
и замечая, что из-за вектора + п, члены с 5(пь + п) не дают вклада
[напоминаем, что х8(х) = 0], мы приходим к току следующего вида,
3 = г{пк + п 41- - п 41 5(п - пк) 1т/(0)}. (7.55)
Как уже упоминалось, интерференция возможна только в направлении
вперёд, п = пь; соответствующая упругая амплитуда есть /(0) = /(к, к).
Окружим область взаимодействия большой сферой (г —> оо) и вычислим
полный поток через эту сферу. Начальная волна проходит сквозь сферу
без изменений, так что полный поток от неё равен нулю. Рассеянный поток
и интерференционный член дают
ЛА 3
= V [ с/ог2Щ------г;-^-1т/(0).
I г~ к
(7.56)
Интеграл в правой части уравнения (7.56) есть упругое сечение проинте-
грированное по всем углам,
(7-57)
Интеграл по бесконечно большой сфере в левой части (7.56) может быть
отличен от нуля только при наличии неупругих процессов и ток "утекает"из
упругого канала демонстрируя явное нарушение уравнения непрерывности.
Этот интеграл определяет сечение поглощения (7.44).
Возвращаясь к уравнению (7.56), мы получаем [сравните уравнения
(30.45,93) для рассеяния света] оптическую теорему, которая связывает
мнимую часть упругой амплитуда рассеяния вперёд с полным сечением
всех процессов, упругих и неупругих,
4тг
= сге1 + сг1пе1 = — 1ш/(0). (7.58)
К
Фактически, эта теорема говорит только о сохранении полного числа частиц.
Исчезновение частиц из начального пучка возникает из-за интерферен-
ции падающего потока с потоком рассеянным в направлении вперёд. Эти
частицы вновь появляются в упругом и неупругих каналах.
Задача 7.2
Показать, что для чисто упругого рассеяния (нет поглощения) опти-
ческая теорема (7.58) есть частный случай с = сге1 упругого условия
унитарности,
1[/(к',к)-/*(к,к')] <7п"Г(к",к')/(к",к), (7.59)
где интегрирование идёт по углам вектора к" = кп" имеющего ту же
величину, что и к и к7.
Решение Вывод делается непосредственно из уравнения Шрёдингера:
запишите уравнение Шрёдингера для волновых функций и с вол-
новыми векторами к и к7 равной длины; умножьте уравнения на -0^, и
ищ соответственно, вычтите одно из другого и проинтегрируйте по боль-
шому объёму, используя асимптотики (7.49) и разложение плоской волны
(7.53). При к = к7, уравнение (7.59) даёт снова оптическую теорему (7.58)
С ^ше! = 0.
Рассмотрим /(к7, к) как матричный элемент (к71/1к) оператора /, опреде-
лённого на энергетической поверхности |к7| = |к| = /с, который преобразует
начальную падающую волну в упруго рассеянную согласно правилу
+к = [ (7.60)
у 47Г
Тогда условие упругой унитарности (7.59) можно записать в операторном
виде
/ - р = 2гк/Ц. (7.61)
По физическому смыслу, амплитуда рассеяния / на энергетической по-
верхности эквивалентна общему оператору рассеяния Т в уравнении (7.22).
Их нормировка немного различна, Т о — 2/с/. Вводя для 5-матрицу как
оператор на энергетической поверхности,
5 = 1 + 2гк/, (7.62)
мы видим, что уравнение (7.61) эквивалентно условию унитарности (7.19).
7.9 Функция Грина
По видимому, наиболее общим подходом в теории рассеяния является
метод функций Грина. Будучи в принципе точным, он позволяет делать
множество приближений, в зависимости от конкретных физических ситу-
аций. Кроме того, он непосредственно обобщается на не потенциальные
задачи.
Нам нужно решить уравнение Шрёдингера с граничным условием излу-
чения (7.49) в асимптотической области. Будем искать решение в виде
^(Г) = е’(к-Г)+?ДГ), (7.63)
где рассеянная волна ?//(г) ведёт себя на больших расстояниях как / ехр (г Ат)/г.
Плоская волна удовлетворяет уравнению
(V2 + к2) е’(к'г) = 0, (7.64)
так что второй член в (7.63) должен быть решением неоднородного уравне-
ния
(V2 + кРуф'Л) = Дг)Дг) (7.65)
с полной функцией -0, уравнения (7.63), в правой части.
Функция Грина С (г, г7) определяется как решение свободного волнового
уравнения (по отношению к координате г) индуцированное единичным
источником расположенным в точке г7,
(V2 + &2)С?(г, г7) = —4тг5(г — г7). (7.66)
Это уравнение не определяет однозначно функцию Грина. Действительно,
всегда можно получить другое решение (7.66) прибавляя решение однород-
ного уравнения (7.64) с произвольным коэффициентом. Функция Грина
должна быть доопределена граничным условием. В нашей задаче мы тре-
буем, чтобы в асимптотике была расходящаяся волна,
—, г^>г'. (7.67)
г
В этом случае принцип суперпозиции даёт формальное решение уравнения
Шрёдингера (7.65) в виде
^'(г) = — [ д3г'О(т, г/)У(г/)?/;(г/). (7.68)
2тг/г2 у
Конечно, это всё ещё интегральное уравнение, уравнение Липпмана-Швингера.
Под интегралом стоит неизвестная функция -0. Уравнение (7.68) удобно
тем, что оно объединяет первоначальное уравнение Шрёдингера с гранич-
ным условием для , которое выполняется благодаря тому, что функция
Грина в (7.68) удовлетворяет уравнению (7.67).
Вспоминая решение уравнения Пуассона для точечного заряда,
V2 - = -4тг5(г), (7.69)
Г
легко видеть, что решение уравнения (7.66) с желаемой асимптотикой (7.67)
есть
гк\г-г'\
Рис. 7.3. Геометрический смысл разложения (7.71).
Оператор V2 + к2 действующий на (7.70) даёт ноль везде, за исключением
сингулярной точки г = г7, где он даёт 5-функцию, как в (7.69). Граничное
условие (7.67) также выполняется.
При г г' мы имеем, Гщ. 7.3,
|г — г7| = д/г2 — 2г(г' • п) + г'2 ~ г — (г7 • п), п = -. (7-71)
г
Поэтому показатель экспоненты в (7.70) приближённо равен кг — /с(п • г7) =
кг—(к7-г7) с обычным определением (7.48) вектора к7. Для асимптотического
поведения мы получаем,
С(г,г') , (7.72)
Г
что мы и хотели: расходящуюся сферическую волну (7.67) умноженную на
амплитуду, которая зависит только от ориентации рассеянного волнового
вектора к7 по отношению к вектору г7 некоторой точки в области взаимо-
действия; эта область в подинтегральном выражении (7.68) определяется
потенциалом С/(г7).
Таким образом, мы приходим к интегральному уравнению, которое сле-
дует из (7.63,7.68) и (7.70),
/Ъ/ь 11* 1*^ |
<’73>
Так же, как в обсуждении формфакторов в разделе 3.3, это уравнение вы-
ражает принцип суперпозиции. Волновая функция в точке г формируется
первичной плоской волной, приходящей сюда без всякого взаимодействия
и вторичными сферическими волнами излучёнными из точек г7 где суще-
ствует ненулевой потенциал. Вклад каждой внутренней точки г7 пропор-
ционален потенциалу С/(г7) и полной амплитуде ^(г7) волновой функции
в этой точке. Это уравнение самосогласованно, в отличие от борновского
приближения.
Беря в уравнении (7.73) точку г далеко от области взаимодействия,
г К, и используя (7.72), мы получаем точное выражение для амплитуды
рассеяния как коэффициент (7.49) перед расходящейся сферической волной
егкг/г,
/(к', к) = Д(г>(г'), (7.74)
где зависимость от к скрыта в функции -0 в подинтегральном выражении.
Задача 7.3
а) Для потенциала, который падает на больших расстояниях как V(г) ос
г~8, найти какие значения з допускают асимптотическое решение в виде
(7.74).
6) Для потенциала, который становится пренебрежимо мал на расстоя-
ниях г И. найти на каких расстояниях становится справедливым
асимптотическое представление (7.49).
Решение
а) Выражение для амплитуды рассеяния получено в предположении, что
асимптотическую волновую функцию можно разложить на падающую и
рассеянную волны. Уравнение (7.74) должно обеспечивать сходящийся
результат для обоих членов разложения (7.49) для Первый член
даёт борновское приближение, которое содержит интеграл
= (7.75)
Интеграл сходится при з > 1, в противном случае потенциал падает
слишком медленно и нет области где падающая волна не была бы иска-
жена; в частности, кулоновский случай не допускает строгого разложе-
ния волновой функции хотя формально вычисленное резерфордовское
сечение правильно (но фаза амплитуды рассеяния потеряна).
6) С правильным выбором функции Грина (7.72), интегральное уравнение
для рассеянной волновой функции принимает вид (7.73). В асимптотиче-
ской области, г К, где К - радиус действия потенциала, всегда можно
пренебречь г' в знаменателе. Но, в числителе функции Грина важно
понимать какую ошибку вносит такое приближение в фазу экспоненты.
Аккуратное разложение, включая члены второго порядка, даёт
Чтобы можно было пренебречь членами второго порядка в показателе
экспоненты, недостаточно иметь г В, нужно чтобы кВ2/г 1. В
случае быстрых частиц, кВ 1, мы должны уходить на расстояния
г кВ2 ~ В(кВ) В. Только на таких больших расстояниях функция
приобретает асимптотический вид. Оптический аналог этого хорошо
известен [И],§61.
7.10 Борновский ряд
Простейшей попыткой решения интегрального уравнения (7.73) является
решение итерациями. Подставим полное выражение (7.73) в последний
член. Это даёт
Дг)
е’(к-г) - -ТД [ ^г'С(г.г')1Цг')е ‘к'г'>
2тгт у
(7.77)
б3^б3г"С(г, г/)П(г/)С?(г/, г")П(г")ф(г").
Эта процедура может быть продолжена давая бесконечный борновский ряд
(в теории интегральных уравнений он называется рядом Неймана)
Мы начинаем с плоской волны (нет рассеяния). Следующий член содер-
жит эффект однократного рассеяния падающей волны в точке г' и после-
дующего свободного распостранения до точки наблюдения г. Интеграл
по всем точкам взаимодействия г' учитывает квантовую интерференцию
всех возможных амплитуд. Свободное движение ? чг от ” источника”в
точке г7 описывается функцией Грина С (г, г7), которая по этой причине
называется пропагатором свободных частиц. Третий член борновского
ряда описывает двукратное рассеяние с распостранением между рассеяни-
ями и после них, и т.д. Структура всего ряда регулярна и соответствует
картине многократного рассеяния. Будучи просто аналитическим выра-
жением принципа суперпозиции, этот ряд близко связан с формулировкой
Фейнмана квантовой механики как функционального интеграла по всем
возможным путям, см. раздел 1.7.11.
Борновский ряд может быть изображён диаграммами, 7.4, которые
позволяют немедленно написать аналитическое выражение для члена про-
извольно высокого порядка. Поскольку графическое выражение справа от
Рис. 7.4. Борновский ряд в диаграммах.
Рис. 7.5. Интегральное уравнение для волновой функции рассеяния.
первой функции Грина О и первой вершины взаимодействия V является
тем же самым бесконечным рядом, мы можем записать символическое
уравнение, 7.5, которое есть не что иное как первоначальное уравнение
(7.73).
Точное аналитическое решение интегрального уравнения (7.73) или сум-
мирование всего ряда обычно невозможно. Более того, даже численное
решение встречает серьёзные трудности если потенциал не имеет симмет-
рии и переменные не разделяются. Однако, сама структура ряда открывает
открывает пути для различных приближённых методов.
Простейшее приближение заключается в обрывании ряда на каком то
шаге. Это можно формально обосновать, если потенциал слабый, поскольку
каждый следующий шаг даёт дополнительную степень V. Первое борнов-
ское приближение учитывает только однократные процессы,
ДДг) = Дк-г) _ у (7.78)
Из (7.78) и (7.72) мы находим амплитуду рассеяния в борновском прибли-
жении,
/в(к'.к) = ач! (7.79)
где мы ввели фурье-компоненту потенциала Пд для переданного импульса
д, уравнения (3.14).
Дифференциальное сечение в этом приближении,
= (-0)
совпадает с тем, что было найдено в теории возмущений (упругий предел в
уравнении (3.12)). В этом порядке вся зависимость от энергии и угла рассе-
яния проявляется только через передаваемый импульс д. Для изотропного
потенциала [Дг), интегрирование по углам г' в (7.79) (беря д за полярную
ось ) даёт
Ые) = ~ Г Лг г2и(г). (7.81)
Д2 Уо дг
Задача 7.4
Для произвольного центрального потенциала 17(г) показать, что если
борновское приближение справедливо, произведение где сг(Е) есть
полное сечение рассеяния при энергии Е, является монотонно растущей
функцией Е.
Решение Это немедленно следует из борновского приближения для сече-
ния,
а = [ с1о— = 2л [ 8Ш0 <70 |/(Д|2, (7.82)
У ао Уо
преобразованного с помощью подстановки
ц = д2, (1/1 = 2к2 8Ш в Уф (7.83)
как
М/с2 ъ2 гЗшЕ/П2
а = д =^ё/„ <7'84)
отсюда следует, что Есг(Е) есть возрастающая функция энергии.
7.11 Применимость борновского приближения
Обрывание борновского ряда может быть обосновано, если отброшенные
члены малы по сравнению с удержанными. Каждый следующий член
даёт дополнительный интеграл от произведения потенциала и пропагатора.
Условие малости п-го члена по сравнению с п — 1-ым может быть записано
как
[/(г/)ег(к-г')
« |Лк'г)| = 1.
(7.85)
Наиболее опасной областью для нарушения условия (7.85) является
область малых г. Предполагая гладкость потенциала и отсутствие суще-
ственных сингулярностей получаем для г = 0 и низких энергий, к К 1,
ГП /Д / (г9
I (1г~т~
Л тВ2
4л----
4л П2
(7.86)
где мы ввели среднее значение потенциала й. Это значит, что средняя
потенциальная энергия й должна быть мала по сравнению со средней
кинетической энергией К ~ Л2/тВ2 обязанной, из-за соотношения неопре-
делённостей, локализации частицы в области взаимодействия. Заметим,
что этот параметр определяет мелкую потенциальную яму, см. раздел
1.3.5.
Применимость борновского приближения улучшается при высокой энер-
гии. Оно может быть справедливо, в смысле критерия (7.86), даже для
сильного взаимодействия. При возрастании энергии волновая функция
начинает быстро осциллировать внутри области интегрирования. Как и в
обсуждении формфакторов в разделе 3.3, интеграл определяющий рассеян-
ную волну в (7.73) становится мал из-за сокращения вкладов от различных
частей области интегрирования г' < В. Для г = 0 имеем из (7.85)
т
2тгН2
ег[/сг+(к-г)]
(7.87)
< 1.
Рассматривая для простоты изотропный потенциал I/(г) и выполняя инте-
грирование по углам, как и в (7.81), получаем
(7.88)
При низких энергиях, е2гкг — 1 ~ 2гкг, и мы возвращаемся к оценке (7.86).
Но при кВ 1, осциллирующий член е2гкг даёт почти исчезающий вклад
(гладкий потенциал не имеет таких высоких фурье-компонент). Тогда усло-
вие применимости борновского приближения становится намного слабее,
тЯ Й 1
ш и ~ КкВ^'
Таким образом, точность борновского приближения возрастает при высоких
энергиях (время взаимодействия мало, так что многократные процессы
менее вероятны)
Для кулоновского потенциала, 17(г) = 2е2/г. нельзя ввести определён-
ный радиус действия сил. Но, используя в (7.89) произвольный радиус К
и оценивая Й как й(7?), мы получаем эффективный критерий слабости
кулоновского взаимодействия в терминах параметра Зоммерфельда, см.
(1.2.66),
Хе2
Л =
пг
(7.90)
Кулоновское взаимодействие может рассматриваться как возмущение, если
тК 2е2
Ш А
т2е2
кК2
(7.91)
Задача 7.5
Вычислить в борновском приближении сечение рассеяния быстрой ча-
стицы на потенциале Юкавы, [7(г) = (д/г) ехр(—цг).
Решение Борновское приближение применимо если потенциал слабый,
условие (7.86), или для быстрых частиц условие (7.89). Первое условие даёт
дт///Л2 <7 1, что совпадает с условием отсутствия связанных состояний,
если потенциал притягивающий задача 1.1.8. Условие для быстрых частиц,
д/Кг 1, похоже на аналогичное условие для кулоновского потенциала
(7.91).
Амплитуда рассеяния может быть легко вычислена из (7.81). Диффе-
ренциальное сечение монотонно убывает с увеличением передаваемого
импульса,
1
(</2 + ц2)2’
(7.92)
Для ц —> 0, результат совпадает с резерфордовским сечением (3.25). Полное
сечение получается интегрированием по углам. Оно расходится при ц —> 0,
/ \ 2
1 с I 9т\
а = 16л —5—
\плр )
1
4&2 + //2
(7.93)
При низких энергиях, кН <7 1, рассеяние в борновском приближении
изотропно, как это уже обсуждалось в связи с формфакторами. При возрас-
тании энергии в рассеянии появляется пик вперёд, внутри конуса 9 < 1/кК.
Качественно, такие свойства рассеяния присутствуют и в классической
механике, задача 7.1. Но, следует отметить, что невозможно в борновском
приближении получить точный результат для 9^0. Борновская ампли-
туда /(0) - действительна, что противоречит оптической теореме (7.58).
Полное сечение, а следовательно и 1т/(0), являются величинами второго
порядка по отношению к потенциалу. Такими вкладами мы пренебрегаем в
низшем борновском приближении.
7.12 Рассеяние при высоких энергиях
Борновское приближение может быть подправлено так, чтобы выпол-
нялась оптическая теорема и расширилась область его применимости.
Единственное условие применимости этого приближения прицельного пара-
метра или приближения эйконала заключается в том, что энергия должна
быть велика по сравнению с потенциалом, й/Е 1. Борновский параметр
(7.89), (й/ К)(\/кК) ~ (й/Е){кВ7) может быть при этом большим.
При высоких энергиях в сечение рассеяния дают вклад много парци-
альных волн. Их интерференция приводит к выделению области вблизи
классической траектории с прицельным параметром 6, который опреде-
ляется средним орбитальным моментом интерферирующих волн, Ъ ~ (,/к.
Траектория близка к прямой линии и ось пучка г определяет направление
в котором волновая функция осциллирует наиболее быстро. Волновую
функцию можно записать как
ЛО ~ еагС(г), (7.94)
где амплитудная функция С(г) меняется медленнее, чем экспонента егкг с
большим к.
При подстановке волновой функции (7.94) в уравнение Шрёдингера мы
можем пренебречь поперечными (х и у) производными, которые малы по
сравнению с главным членом ~ 2(\7егкг) • (\7С), который содержит гради-
ент вдоль траектории. В этом приближении для медленно меняющейся
амплитуды мы получаем
= Т? с-'<г>с'<г>' <7-95>
Пренебрегая поперечными производными мы не учитываем дифракци-
онное уширение пучка, которое будет существенным на очень больших
расстояниях, как в дифракции Фраунгофера от удалённого источника света
[ББ2, § 61]. Но, наша цель найти амплитуду рассеяния /, которая, согласно
точному выражению (7.74), определяется волновой функцией в области
взаимодействия.
Решение уравнения (7.95) есть
С(г) = . (7.96)
Интеграл в (7.96) определяет эйконал, изменение фазы вдоль прямой тра-
ектории параллельной оси г. Волновая функция в (7.96) взята в точке
г = дА2 + Ь2,где Ь - двумерный поперечный вектор. Здесь мы не предпо-
лагаем, что потенциальная фаза в (7.96) мала.
В классическом пределе, фаза р волновой функции связана с классиче-
ским действием А = / р(1([ вдоль траектории, измеренной в единицах Н,
р о А!К. Изменение действия из-за присутствия рассеивающего потенциа-
ла равно
При высоких энергиях, Е С/, мы можем сделать разложение, выделив
член линейный по потенциалу,
(7.98)
П п/с 2
Это и есть сдвиг фазы в приближении эйконала (7.96).
Теперь мы используем эйкональное выражение,
(7.99)
дг
которое следует из уравнения (7.95), в определении (7.74) амплитуды
рассеяния,
/ = — [ ЛгЕ (7.Ю0)
2/7? У дг
Показатель экспоненты равен
кг — (к7 • г) = (к — к7) • г = —(д • г) (7.101)
со стандартным определением передаваемого импульса д. Поскольку траек-
тория близка к прямой линии и угол рассеяния мал, то д перпендикулярен
к к. Поэтому (д-г) ~ (д-Ь). Это позволяет проинтегрировать по г в (7.100),
/ = [ ЕЕ [ а2Ье-^-ъ\ (7.102)
2гтг У дМ
Интеграл по г в (7.102) даёт разность С(г = оо) и С(г = —оо) = 1. Полный
фазовый интеграл (7.96) даёт квазиклассическое выражение для 5-матрицы
при заданной величине прицельного параметра Ь,
5(Ь) = е2й(ь). (7.103)
Это соответствует фазе рассеяния
1 г + оо
5(Ь)—(-ад
в согласии с полуклассической интерпретацией (7.98).
Окончательно, амплитуда рассеяния (7.102) может быть записана как
У = А у <12Ь [5(Ь) - 1]е-^Ч. (7.105)
При достаточно высокой энергии, когда фаза рассеяния 5(Ь) мала, мы
можем положить 5(Ь) — 1 ~ 2г5(Ь). В этом случае, поперечный интеграл
(7.105) объединяется с продольным интегралом в (7.104), так что ампли-
туда рассеяния совпадает с результатом борновского приближения (7.79).
Иными словами, в эйкональном подходе сдвиг фазы вдоль траектории,
вычисленный в борновском приближении уходит в показатель экспоненты.
Амплитуда рассеяния вперёд даётся (7.105) при д = 0,
/(о) = ДД[»(Ь)-1|. (7.106)
Это комплексное (в отличие от борновского приближения) выражение
определяет, согласно оптической теореме (7.58), полное сечение
ст = 2 [ <726Ке[1 - 5(Ъ)]. (7.107)
Тенденция современной физики —
разложить всю материальную
вселенную по волнам, и чтобы не было
ничего кроме волн.
Дж. X. Джинс, Таинственная
Вселенная
Глава 8
Метод парциальных волн
8.1 Анализ парциальных волн
Если потенциал изотропный, II (г) — и (г), ситуация упрощается и мы
можем полностью использовать инвариантность относительно поворотов и
свойства углового момента. В центральном поле сохраняется орбитальный
момент I относительного движения и можно рассматривать рассеяние
индивидуальных парциальных волн с определённым I.
Каждая парциальная волна рассеивается независимо и 5-матрица диа-
гональна в ^-представлении. Элементами унитарной 5-матрицы являются
комплексные числа,
Зе = е2г6е (8.1)
которые могут зависеть только от энергии е — К2 к2/2т относительного
движения. В отсутствие поглощения упругая унитарность требует, чтобы
все собственные значения 5 находились на единичной окружности,
|$Д = 1 (8.2)
так что все фазы рассеяния ф действительны. Мы уже встречались с фа-
зами рассеяния и обсуждали их происхождение в приближении высоких
энергий, уравнения (7.103) и (7.104). Из физического смысла 5-матрицы
(7.16), как оператора эволюции начального состояния, можно понять, что
упругое рассеяние приводит к появлению дополнительного сдвига фазы 25/
парциальной волны при прохождении через область взаимодействия (раз-
ность между полной фазой и невозмущённой фазой свободного движения).
Определение (8.1) напоминает классическую картинку траектории при
отражении, задача 7.1: половина сдвига фазы 5/ набирается до и столько
же набирается после прохождения точки наибольшего сближения. Эта
полуклассическая картина полезна, когда в рассеянии участвуют много
парциальных волн. Она может быть обобщена на потенциалы зависящие
от спина и на наличие неупругих каналов.
Метод парциальных волн формулирует задачу рассеяния как задачу
вычисления фазовых сдвигов (фаз рассеяния). Прежде всего, мы должны
в подходящих терминах выразить наблюдаемые сечения рассеяния. Задача
рассеяния для бесспиновых частиц и центрально-симметричного потенциа-
ла является аксиально-симметричной: только одно направление выделено
экспериментальной постановкой - направление к начального падающего
пучка. Примем это направление за ось г. Угол рассеяния в это полярный
угол вектора к7, уравнения (7.48). Благодаря аксиальной симметрии ампли-
туда рассеяния /(к7, к) не может зависеть от азимутального угла вектора к7.
Она зависит только от в и энергии, которую мы не будем явно указывать.
Асимптотика волновой функции (7.49) принимает вид
« Лгсок Д/(0) —. (8.3)
Г
Амплитуда рассеяния /(0) может быть разложена по полиномам Лежанд-
ра, что в точности совпадает с разложением по парциальным волнам с
определённым орбитальным моментом
/(0 = УУ2^ + 1)рЯс°8 0Л. (8.4)
Задача 8.1
Показать, что сферические функции Удп(пк) являются собственными
функциями оператора /, уравнения (7.60), и что парциальные амплитуды /д
уравнения (8.4), есть соответствующие собственные значения вырожденные
по магнитному квантовому числу т.
Падающая плоская волна в (8.3) также может быть представлена как
суперпозиция парциальных волн. Мы уже находили в (7.53) это разложение
в асимптотической области,
Дсо80 _ 1 у+ _ (_Д-Д. (8.5)
2гкг
Здесь мы использовали условие полноты для полиномов Лежандра, см.
(1.16.146) и (1.16.148). Теперь мы собираем вместе входящую и уходящую
волны и получаем
Дг) ~ А ЕД + 1)Л(со80[(-)^-^ - (1 + 2гк/еДкг]. (8.6)
2кг
Входящая компонента ос е~гкг не меняется рассеянием. В противополож-
ность этому, уходящая волна искажается. Её амплитуда не равна единице;
она приобретает фактор
= 1 + ИкД (8.7)
Величины Зе, в уравнении (8.7), есть просто элементы 5-матрицы преобра-
зующие падающую волну (точнее её уходящую часть) в рассеянную волну.
Как мы уже обсуждали, для центрального поля 5-матрица должна быть
диагональной в ^-представлении. Амплитуда /, рассматриваемая как опера-
тор (7.60), также диагонализуется в этом представлении и её матричными
элементами являются парциальные амплитуды //. Парциальные волны
[отдельные члены в (8.6)] являются собственными функциями оператора
/ с соответствующими собственными значениями /д Выражение (8.7) в
точности совпадает с условием унитарности (7.62).
Дифференциальное упругое сечение (7.52) есть произведение двух раз-
ложений, (8.4) и такого же для сопряжённой функции /*. Оно не имеет
простого вида поскольку все парциальные волны интерферируют на детек-
торе стоящим под определённым углом. Интерференция исчезает в полном
сечении в силу ортогональности парциальных волн в интегралах по углам.
Записывая амплитуду рассеяния (8.4) как
/(О = ЕТ + 1)Л(СО80)(5, - 1), (8.8)
мы получаем полное сечение в виде суммы парциальных сечений,
ае1 = У2(2^+1)(2^' + 1)М* /4оЛ(со8 0)РДсо8 0) (8.9)
ей
= 4,^(21 + 1)1// = п Е<2<' + 1)1Я» - 1/
е е
8.2 Упругое и неупругое сечения
С той же асимптотической волновой функцией (8.6), мы можем вы-
числить теряющийся радиальный поток. Простая алгебра даёт сечение
поглощения (7.44)
Тне1 = -- [ йоУ (2? + 1)(1 - \ЗеI2). (8.10)
е
Рис. 8.1. Возможные пределы упругого сечения при заданном неупругом
сечении. Значения внутри заштрихованной области доступны.
Таким образом, 5-матрица определяет оба сечения, упругое и сечение
поглощения. Поглощение здесь входит только суммарно, без выделения
отдельных каналов. Оно отсутствует, если выполняется условие |5^|2 = 1,
уравнение (8.2). В присутствии поглощения, \8$\ < 1, и фазы ф становят-
ся комплексными. Разложение по парциальным волнам имеет простую
полуклассическую интерпретацию. В классической механике Лтая пар-
циальная волна соответствует частицам попадающим в площадь кольца
между и Рщ. 7.1. Площадь умноженная на вероятность захвата
1 — 18^|2 даёт неупругое сечение (8.10).
Важный момент заключается в том, что упругое рассеяние при \8$\ = 1
может иметь место в отсутствие поглощения, в то время как обратная
ситуация чисто неупругого процесса невозможна. Любое поглощение всегда
сопровождается упругим рассеянием. Это так называемый эффект тени,
типичное проявление волновых свойств. Поглощение искажает падающую
волну вырезая часть волнового фронта. При этом в фурье-разложении
искажённой волны с необходимостью появляются новые (дифракционные)
компоненты. Рис. 8.1 [?] показывает соотношение между возможными
величинами упругого и неупругого сечения.
Полное сечение равно сумме упругого, уравнение (8.10), и неупругого,
уравнение (8.10), вкладов,
= йЕ(2^+х)(2-Е(2^+!)(!-Не^)- (8-п)
Сравнивая (8.11) с (8.8) мы опять приходим к оптической теореме (7.58).
8.3 Упругие фазы рассеяния
Здесь мы более подробно рассмотрим случай чисто упругого рассеяния,
когда фазы рассеяния <^, определённые уравнением (8.1), действительны.
Записывая 5^ — 1 как 2гехр(г^) йш^, выразим амплитуду рассеяния (8.8)
в виде
/(6») = 1уУ2^+ 1)РХсо8б>)е^81п^. (8.12)
К
Асимптотика волновой функции (8.6) становится
ЛО * ^гЕ(-/(2^+1)Л(со8 0)[е-г/с’’-(-/5^] (8.13)
2кг
= -2— ^2 + 1)РХсо80)[(-Уе^+{кг _ ^е-у
лгкг
= — У2 + 1)РХсО8 [е’(^-^/2+<5«) - е-г(/гг-^/2+5,)]
= —- /(2^ + 1) Шсое 0)ег^ 8Ш
Ат I
Из последнего выражения видно, что 8% есть сдвиг фазы Атой парциальной
волны по сравнению с асимптотикой (1.17.80) входящей плоской волны.
Как мы уже отмечали, двойная фаза 28^ в 5/ набирается на пути к центру
и от центра.
В терминах фаз рассеяния упругое сечение (8.10) выглядит следующим
образом,
ае1 = + (8-14)
Фаза рассеяния 8% = пл при некоторой энергии отвечает отсутствию рассе-
яния в данной парциальной волне при данной энергии. Максимум рассея-
ния (резонанс) возникает при 8^ = л/2. В резонансе парциальное сечение
определяется не геометрическими параметрами системы, а длиной волны
Л = 2л/к,
тах = 4Д21 + 1) = 2ПД д2
к2 л
Этот предел волновой механики в четыре раза больше чем классическая
площадь кольца (7.14).
Чтобы найти фазы рассеяния, нужно решить радиальное уравнение
Шрёдингера для данной парциальной волны и найти решение ^(г), кото-
рое регулярно в нуле и имеет нужную асимптотику ~ &ш(кг — Гл/2 + 8%).
Этот асимптотический вид определяет фазу рассеяния 8%. Полная волновая
функция ф(г) может быть найдена как суперпозиция парциальных волн
с коэффициентами ехр(г^), см. последнюю строку в асимптотическом
представлении ф(г) (8.14). На практике может быть удобнее найти пару
„ (±)
взаимно комплексно сопряженных решении с асимптотическим по-
ведением ~ ехр(±г/сг). Эти функции образуют полный набор функций в
континууме. Их поведение в начале координат определяется асимптотикой
и не является регулярным. Но можно поискать их суперпозицию,
иД) = АфУД) - (8.16)
которая была бы регулярна в начале координат (сравните с (8.6)). Это
требование определяет 5/.
8.4 Аналитичность
5-матрица рассматриваемая как функция волнового вектора к может
быть продолжена на комплексные значения этой величины, которая играет
роль параметра в уравнении Шрёдингера. Здесь мы приводим только
краткую идею этого подхода, который оказался крайне прдуктивным.
Радиальная функция г^(г) имеет для действительных к вид (8.16) с
соответствующей асимптотикой. Продолжим эту функцию на комплекс-
ные значения к. Фаза рассеяния 5/ зависит от к и перестаёт быть дей-
ствительной для комплексных к. Предположим, что при каком то зна-
чении к = —ж, к > 0, т.е. на отрицательной мнимой полуоси, фаза
(к(—ж) -о- гос. Это значит, что 5-матрица обращается в ноль в этой точке,
Зе(-гп') = е2г^(“’к) = 0. (8.17)
В этом случае, только первый член, порождаемый \ выживает в асимп-
тотике этой парциальной волны (8.16),
иЛ) ~ е~г^г = е~Кг. (8.18)
Но это есть асимптотика волновой функции связанного состояния при
отрицательной энергии
е = {к2/2т){—ж)2 = —к2н2/2т. (8.19)
Можно заключить, что связанным состояниям с орбитальным моментом
к соответствуют нули матричного элемента 8^(к) на отрицательной мни-
мой полуоси. Обратное утверждение вообще говоря неверно, поскольку
имеющиеся связанные состояния не исчерпывают всех нулей 8^к).
Заметим теперь, что в уравнение Шрёдингера входит /с2, а не к. Фор-
мальная замена к -о- —к должна давать то же решение г^(г) с каким то не
зависящим от координат фактором. Но, при такой замене
[е-гкг _^_у.3^кукгу [егкг _уу.3^_ку-гу (8,20)
= Л-У-Зг-к)[е~{кг - (-У3^(-к)егкг].
Отсюда находим, что
З^(-к) = ЗЛ), (8-21)
т.е. нулям на нижней мнимой полуоси, к = —гн, соответствуют полюса 8^(к)
на верхней мнимой полуоси, к = +ж. Таким образом, знание 5-матрицы на
действительной оси и её аналитических свойств даёт также информацию
о связанных состояниях без явного использования гамильтониана или
волновой функции.
8.5 Рассеяние при низких энергиях: примеры
Мы вывели формальное решение задачи рассеяния в центральном поле
конечного радиуса. Все наблюдаемые величины выражаются через бес-
конечный набор фаз рассеяния 5^. Разложение по парциальным волнам
особенно удобно при низких энергиях, когда фазы убывают с ростом Е
и несколько первых членов разложения по парциальным волнам хорошо
приближают полное решение.
Как упоминалось ранее, область низких энергий определяется отношени-
ем характерного размера потенциала К к длине волны Л относительного
движения. Когда К/Х ос кК мало, различие в фазах между волнами иду-
щими в разных направлениях мало и ось падающего пучка не выделена.
Это значит, что рассеяние почти изотропно, так что наиболее существен-
ными являются вклады «8-волны и возможно нескольких других нижайших
парциальных волн. В этом случае можно обрезать ряд по парциальным
волнам на малых Г
Задача 8.2
Найти сечение рассеяния частицы малой энергии на притягивающей
потенциальной яме глубиной (7о и радиусом Я, Рис. 8.2.
Решение В случае низкой энергии длина волны велика по сравнению с
размерами ямы, к К 1. Основной вклад в сечение даёт «8-волна. Уравнение
Шрёдингера для функции и ос гф и для 1 = 0 записывается как
// о „ 9 2772 в и + к2и = 0, к2 = , г > Я; (8.22)
„" + /••% = о. У»-*’"***^. г<н (8.23)
Решение исчезающее в нуле и имеющее нужную асимптотику очевидно,
и = ААпк'г. г < Я; и = $т(кг + 5), г > К. (8.24)
Поскольку общая нормировка несущественна, мы имеем только один неиз-
вестный коэффициент А. Вместе с фазой рассеяния 5 он должен быть
найден из условия непрерывности волновой функции при г = К. Логариф-
мическая производная даёт
Ф к \ 5 = 1ап-1 ( — 1ап(А/Я) ) — кК. \к' ) (8.25)
парциальное сечение (8.14) равно
47Г • 2г ^0 = ТУ 81П 0. кЛ (8.26)
При очень низких энергиях
к V 0 М2 к2 _ 2т77) ГЪ Т V/ , ГЪ Т ‘ (8.27)
Если ко К не слишком близко к л/2, то при низких энергиях фаза рассеяния
стремится к нулю линейно по к,
коК (8.28)
При этом, амплитуда рассеяния (8.12) и сечение (8.26) конечны. Они тра-
диционно выражаются через длину рассеяния
а = — Ит Д кГ (8.29)
В нашем случае
§ ЬаЩо-й) ’ а = — пт - = —К —-— 1 , к—>о к ко!ь (8.30)
Ит ад = 4тга2.
клТ)
В мелкой яме,
крИ 1, 1ап(&оЯ) ~ &оЯ[1 + (&оЯ)2/3],
мы находим
(А:о-Й)2 _ А г,2 (^о-й)4 _ 167Г т2ДН6
Г о ’ 4тг1ъ .
(8.31)
(8.32)
(8.33)
т.е. длина рассеяния много меньше радиуса ямы и сечение много меньше
геометрического сечения ямы. Этот результат может также быть получен
используя первое борновское приближение. Действительно, из (31.81) мы
получаем при (/ —> 0
= Г^г2(-(70) = ^г0^, (8'34)
7г 70 3
что даёт то же самое сечение (8.33). Большая длина волны перекрывает
всю область рассеяния и длина рассеяния определяется в этом пределе
объёмом ямы.
Будем теперь углублять яму сохраняя к малым, но конечным. При
к$К = л/2, мы приходим к резонансу. Величина
1 = 1ап(СД)
7 - к>
мала по сравнению с К. Мы можем пренебречь членом —кК в (8.25) и
получить сечение вблизи резонанса:
5 = 1ап-1 —, (То = о 7?7 о • (8.36)
7 у2 + кЛ
Для резонансной ямы, при к -Д 0, сечение растёт до бесконечности. Условие
резонанса указывает на появление связанного состояния в яме, см раздел
II.2.6. При малых положительных энергиях волновая функция внутри ямы
слабо зависит от энергии и очень близка к волновой функции появившегося
связанного состояния. Увеличивая глубину ямы мы увидим уменьшаю-
щееся сечение; резонансное условие (8.36) больше не выполняется и мы
можем снова вернуться к нерезонансной формуле, которая даёт ноль се-
чения (8.31)при 1ап(/соЛ) = к^К. На каждом рождении нового связанного
состояния есть резонанс так, что сечение быстро колеблется между малым
Рис. 8.3. Рассеяние на потенциальном барьере.
и большим значением в зависимости от глубины. Формула Вигнера для
резонансного сечения (8.36) действительна для околокритической глубины,
когда его небольшое изменение приводит к появлению или исчезновение
дискретного уровня. Состояние с И = 0, которое не связано, но стало бы свя-
занным при небольшом углублении ямы называется виртуальным уровнем.
Задача 8.3
Вычислить сечение рассеяния при низкой энергии частицы на отталки-
вающем потенциальном барьере (высота радиус Я), Рис. 8.3.
Решение Решение во внутренней области под барьером, е < По, есть
4 • ! 7/7Э 7/2 2ш(С/0 - ^)
и = А 8ш11 к В. к2 = ------—5----
пл
Фаза рассеяния даётся [сравни с (8.25)]
5 = 1ап 1
(8.37)
(8.38)
Поскольку 1ап11ж меняется от —1 до 1, Резонансов нет и в пределе низких
энергий мы находим длину рассеяния
а = —К
ко К
(8.39)
отметим, что знак длины рассеяния положителен. Сечение даётся выраже-
нием
Для барьера бесконечной высоты, как следует из смысла фазы рассеяния,
+о сю, а —> Я, 5 —> —к К; (8-41)
сечение совпадает с площадью поверхности сферы,
Сто 4тгВ2. (8.42)
Это типичный волновой эффект: волна большой длины взаимодействует со
всей поверхностью, в то время как классическая частица чувствует только
площадь лЯ2 непроницаемого препятствия, см. (7.13). Для энергий выше
барьера, е > Ц\ц может опять возникнуть резонансное поведение.
Задача 8.4
Найти явный вид углового распределения для потенциального рассеяния
учитывая только <8-волну, р-волну и их интерференцию.
Решение Дифференциальное сечение равно |/|2, где амплитуда рассеяния
/ даётся разложением по парциальным волнам, которое в нашем случае
имеет вид
-д = [ет2 ф + 6 8Ш ф 81п ф сое(ф — Ф) сое в + 9 ет2 ф сое2 в\. (8.43)
ао кЛ I
Интерференция Тйе з- и р-волн противоположной чётности нарушает
симметрию по отношению к замене в -Д л — в.
8.6 Фазы и их зависимость от энергии
Чтобы оценить зависимость фаз рассеяния от выразим фазы через
точные радиальные функции цДг).
Вводя безразмерную переменную х = кг, радиальное уравнение Шрёдин-
гера переписывается в виде
(8.44)
где производная берётся по ж. В подобном уравнении для волновой функции
щ свободного движения,
„ Г Ш+1)-
+ 1-----2- — 0,
решение с правильной асимптотикой даётся, как мы знаем, в виде
ъХО = я%(я>). (8.46)
Удобно определить вронскиан
44(г) = (8.47)
функций щ и В асимптотической области мы нормируем наши функции
так, чтобы
7 1л \ 7 1л \ 8Ш 1 кг — 1 , 8Ш 1 кг —— + 5^ 1 . (8.48)
Тогда вронскиан (8.47) является в асимптотической области константой
44(ж И) — 8ш^. (8.49)
Фаза может быть найдена из уравнения для вронскиана,
1Ц 4 — 0, (8.50)
которое легко получить умножая (8.44) на г^, (8.45) на и вычитая одно
из другого. Интегрируя уравнение (8.50) от х = 0 до х = X, мы находим
4400 = 44(0) [ <1х ( ) ^(ж)^(ж). /о е (8.51)
Предположим, что вблизи начала координат потенциал 17(ж) либо не имеет
сингулярности, либо имеет сингулярность слабее центробежной энергии
~ Д^+1)/ж2, так что можно пренебречь 17 в уравнении (8.44). В этом случае
при ж —> 0 регулярные решения обоих уравнений пропорциональны друг
другу и И^(0) = 0. В пределе X оо, уравнения (8.49) и(8.51) определяют
фазы рассеяния по модулю 2л,
8ш<^ = - / ах ие(х)щ(х), ./о (8.52)
через решения цДж).
Результат (8.52) является точным для "хороших"потенциалов. Для доста-
точно больших можно заменить и^{х) в подинтегральном выражении на
свободную функцию Это было бы очевидно в классическом пределе, где
Рис. 8.4. Эффективный потенциал с центробежным членом для момента I
и точкой поворота д > К.
большие I соответствуют большим прицельным параметрам 1ц I/к > Я,
которые определяют траекторию лежащую вне области взаимодействия. Но
такое же заключение можно сделать и в квантовом случае. Центробежный
потенциал №(,((,+ 1)/2тг2 сильно подавляет обе функции щ и щ под барье-
ром, где они пропорциональны . Точки поворота для обеих функций
почти совпадают, Рис. 8.4, если они лежат дальше от начала координат,
чем К. В этом случае влияние потенциала V везде мало и можно ожидать
также малость фаз рассеяния.
Точки поворота е = ЦЦг) находятся при > Я, если
тт/ , 7^ + 1) П2^ + 1)
ДгЭ <---------—Д- е < -----Щ 7 (8.53)
к 7 2тпг2 2тК2 к 7
Это выполняется при
Д + 1) > —Д-Р = (кВ)2, (8.54)
Л/
что фактически совпадает с приведённой выше классической оценкой.
Если это условие выполняется, то фаза рассеяния 8ц мала, зш^ ~ и мы
получаем из (8.52)
5^ ~ — [ Их г2 (ж). (8.55)
7о е
Это выражение имеет простой смысл: присутствие потенциала действую-
щего на невозмущённую волновую функцию меняет фазу её осцилляций
на среднюю величину потенциала измеренную в естественных временных
единицах 1/е.
При достаточно низких энергиях к К 1, условие (8.54) справедливо
для всех 7 ф 0. Отсюда следует важное практическое заключение, что в
рассеянии при низких энергиях только «8-волна может иметь заметную фазу
рассеяния. С увеличением энергии начинают давать вклад и высшие парци-
альные волны. Подинтегральное выражение в (8.55) ограничено радиусом
действия потенциала К. В низкоэнергетическом пределе поведение волно-
вых функций здесь определяется центробежным членом гДж) ~ С^х^1 с
константой из(П.2.80). Тогда (8.55) непосредственно даёт низкоэнерге-
тическое поведение фаз рассеяния Д 0),
/‘эс ТТМ Г.2^+3 гос
5,^ - / Их С2х2е+2 = — С2 ----------- / Нг ЩгУ2^2. (8.56)
Фазы рассеяния убывают с
ос &2^+1 ос е^+1^2. (8.57)
В заключение можно утверждать, что при низких энергиях (8.53) можно
ограничиться низшими парциальными волнами. По этой причине, разложе-
ние по парциальным волнам, будучи эффективным при низких энергиях,
дополняет борновское приближение. Для дальнодействующих потенциалов,
которые спадают степенным образом, С/ ос 1/га, требуются отдельные,
более аккуратные оценки, см. [ВЕЗ, § 132].
Отметим, что в притягивающем потенциале, V < 0, фазы рассеяния (8.56)
положительны, в то время как для отталкивающего потенциала, 17 > 0,
они отрицательны. Это легко понять из сравнения реального решения
со свободным: частица в области притяжения проводит больше времени,
Рис. 8.2 и 8.3 (предполагается, что притягивающий потенциал не имеет
связанных состояний).
Задача 8.5
о) Для изотропного потенциала 17(г) проверить, что (31.74) в точности
совпадает с амплитудой (8.12) найденной методом парциальных волн.
6) Показать, что борновское приближение эквивалентно результату полу-
ченному разложением по парциальным волнам, если фазы рассеяния
малы и могут быть вычислены согласно (8.55).
Решение Для доказательства нужно воспользоваться разложением точ-
ного решения по парциальным волнам, разложением плоской волны по
парциальным волнам и точным выражением (8.52) для фаз рассеяния.
8.7 Длина рассеяния
Мы знаем, что термин ”низкие энергии”в задаче рассеяния обычно
значит, что длина волны 1/к = Н/то относительного движения велика по
сравнению с радиусом действия сил Ко,
кК0 < 1. (8.58)
Например, в нейтрон-протонном рассеянии это условие выполняется
вплоть до энергий относительного движения е до ~ 5 (~10 МэВ в системе
покоя протона). В области низких энергий только «8-волновое рассеяние,
I = 0, может иметь заметную фазу рассеяния 5о и давать вклад в сечение.
Благодаря дополнительному факту, что ядерные силы гораздо слабее в
пространственно нечётных состояниях, р-волновое рассеяние подавлено,
так что в действительности сечение п — р рассеяния почти изотропно до
е 10 - 15 МеУ.
Рассмотрим более детально «8-волновое рассеяние в короткодействующем
потенциале. Результаты оказываются универсальными в том смысле, что
они могут быть описаны малым числом физических параметров, которые
нечувствительны к деталям формы потенциала.
Упругое сечение рассеяния для «8-волны (в этом разделе мы обсуждаем
только «8-рассеяние и индекс И = 0 будем опускать) может быть просто
выражено через амплитуду рассеяния,
У = е,<5 81п5, ст = 4тг|/|2 = 1^-ат2 <5. (8.59)
к кЛ
Наш парциально-волновой анализ был развит для центрального потенциала
У (г). Для любой конкретной формы короткодействующего потенциала
мы можем найти радиус К такой, что при г > К потенциал исчезающе
мал и может быть опущен. Вне потенциала решение -0(г) = и(г)/г задачи
рассеяния имеет универсальную форму для I = 0,
е^
иМ = —— $т(кг + 5), г > К, (8.60)
к
где фаза рассеяния 6 зависит от от энергии или от к. Условие сшивки
внешней функции (8.60) с внутренней функцией из области потенциала
может быть сформулировано, как и в проблеме связанных состояний, с
помощью логарифмической производной Л внутренней волновой функции,
= Л = к ссДкК + 5).
(8.61)
Таким образом, фаза рассеяния 5 определяется через единственный пара-
метр Л. Для прямоугольной ямы или барьера точное решение изучалось
соответственно в Задачах 8.2 и 8.3. Сразу же виден один частный случай:
для очень сильного отталкивающего потенциала волновая функцияблизка
к нулю на границе, в то время как её производная конечна, так что А —> оо,
и фаза рассеяния есть
5 = - кН,
(8.62)
что подтверждает физический смысл фазы рассеяния: волна не проникает
внутрь и соответственно набирает меньшую фазу.
В общем случае, фаза рассеяния при малых к пропорциональна к. Это
имело место в вышеупомянутых задачах. Коэффициент пропорционально-
сти, взятый с обратным знаком, называется длиной рассеяния (8.29),
1ш1Д-^ = -а. (8.63)
/г—>0 к
Согласно уравнению (8.59) связывающему фазу и амплитуду рассеяния
/, длина рассеяния, это предельное значение амплитуды / при низких
энергиях,
, ,. ег58ш<5
пш / = пт-----------= — а.
к—^-0 к—^-0 к
Величина сечения (8.59) в этом пределе равна
1пп а = 4тга2.
к^Я)
(8.64)
(8.65)
Задача 8.6
Вычислить длину рассеяния для потенциала Рис. 8.5 с твёрдым оттал-
кивающим кором при г = Яо и притягивающей ямой глубины Яо между
Рис. 8.5. Потенциал для задачи 8.6
г = Ко и г = Я1 (грубая картина молекулярного потенциала типа Ван дер
Ваальса.)
Решение Решая уравнение Шрёдингера мы находим
1ап[А:о(Я1 - Яо)] , [гпйо /о
а = Н\------------------, к0 = \ (8.66)
ко V й
Без твёрдого кора, Ко = 0, результат совпадает с (8.39). Длина рассеяния
опять имеет резонансы для притягивающей ямы при ко(К± —Ко) = 7г(п—1/2)
для целых п 1.
Для непроницаемой стенки длина рассеяния совпадает с радиусом К
стенки. Однако, в общем случае, значение длины рассеяния может зна-
чительно отличаться от радиуса потенциала К. Длина рассеяния может
быть непосредственно определена по поведению внешней волновой функ-
ции (8.60), которую в пределе к -д 0, можно записать около границы как
линейную функцию
и(г) г — а. (8.67)
Поэтому длина рассеяния задается величиной радиальной координаты в
точке, где линейная экстраполяция волновой функции (8.67) обращается в
ноль.
Для мелких ям, не имеющих связанных состояний, рис. 8.6 (а) , внут-
ренняя волновая функция возрастает на границе, Л > 0, и экстраполяция
(8.67) приводит к а < 0. Углубляя яму все больше и больше, мы увеличи-
ваем внутренней волновой вектор и сдвигаем точку пересечения влево. В
конце концов абсолютное значение длины рассеяния превышает радиус
сил К. При критической глубине, соответствующей появлению связанно-
го состояния длина рассеяния идет в — оо, рис. 8.6 (Ь) , так называемый
унитарный предел. Если яма имеет связанное состояние, предельное по-
ведение фазового сдвига при нулевой энергии должно быть определено
как Пт^о 5 = я — ка. Если яма становится еще более глубокой, связан-
ное состояние спускается вниз по энергии. Тогда, внутренняя волновая
функция имеет отрицательную производную на границе Л < 0, а длина
рассеяния возвращается к действительной оси от +оо, Рис. 8.6 (с) . С
углублением потенциальной ямы, мы наблюдаем периодически появление
новых связанных состояний, и фазовый сдвиг каждый раз проходит через
7Г. Так как при очень высокой энергии (формально при г -Л оо) движение
становится свободным, разница между 5(& —> 0) и 5(& —> оо равна пя, где
п является числом связанных состояний в яме ( теорема Левинсона).
8.8 Резонансное рассеяние при низких энергиях
Большое отрицательное значение длины рассеяния показывает, что по-
тенциальная яма почти готова приобрести связанное «8-волновое состояние.
В таком случае говорят, что обычно есть виртуальный уровень, сравнить
с задачей 8.2. Для характеристики энергетической зависимости ампли-
туды рассеяния и сечения за пределом к -л 0, особенно в случае слабо
связанного или виртуального состояния, мы включаем следующий член
низкоэнергетического разложения {Л.Ландау, Я. Смородинский 1944)-
Для упругого рассеяния в центральном поле, отсутствие поглощения
позволяет один преобразовать выражение (7.61) для парциальных амплитуд
Д (собственные значения /) в уравнение
1т/е =/с|/^|2, ог 1т (-1) = -к. (8.68)
Поэтому, общее выражение для амплитуды Д совместимое с условием
унитарности имеет вид 1/Д = — гк, или
где (для действительной энергии) является действительной функци-
ей с размерностью обратной длины. Простая алгебра с использованием
(а)
(Ь)
(с)
Ч(г)
Рис. 8.6. Радиальные волновые функции для отрицательной (а) , почти
бесконечной (Ь) и положительной (с) длины рассеяния
соотношения Д = ехр(г5Д зшб^/к определяет функцию де(к) как
= к со! 5^.
(8.70)
Будучи действительной при действительной энергии, может рассмат-
риваться как функция е, т. е. к2. При низких энергиях, как мы видели в
(8.57), ос /с2^+1. Поэтому Д ос /с2^, и разложение д^ начинается с члена
~ 1//с2^.Для <8-волнового рассеяния, функция до (к) начинается с константы,
до ~> 7 в пределе низких энергий. Сравнивая (8.69) с определением длины
рассеяния, мы можем идентифицировать
, ч 1
до(О) = 7 = —•
а
В этом приближении мы можем учесть следующий член в знаменателе
(8.69), который мнимый и линеен по /с, и получить
/о = -п/ 1 =-----(8.72)
(1/а) + гк у + гк
Это даёт сечение за предельным значением (8.65),
4л 4ла2 , .
а = ---Т? = 1---ОТУ’ (8.73)
у2 + к2 1 + а2к2
а также его зависимость от энергии; сравнить с (8.36).
В нашем кратком обсуждении аналитичности, раздел 8.4, мы отмеча-
ли, что аналитическое продолжение 5-матрицы в комплексную плоскость
энергий имеет полюса в точках соответствующих энергиям связанных со-
стояний. Полюс (8.69) на верхней мнимой оси к соответствует к гн где к
эквивалентна энергии связи е = к2н2/2т. Если есть решение уравнения
к = —до(ж) для малых к. нК < 1, мы имеем слабо связанное состояние и
(8.71) показывает, что к ~ 1/а = —у. В этой ситуации, сечение (8.73) при
положительной энергии Е = к2 к2/2т однозначно определяется малой
энергией связи слабо связанного состояния (Е. Вигнер, 1933),
ЛЕ) = „ 1 . (8.74)
к 7 т Е+е к ’
Это так называемое резонансное рассеяние. Сечение было бы бесконечным,
если бы было возможным создать падающий пучок с отрицательной
энергией Е = — е. Поскольку энергия связи мала, то пучок с малой энергией
находится почти ”в резонансе”. Но фаза рассеяния до здесь близка к л, в
отличие от истинного резонанса, где 5 ~ л/2, ка уже отмечалось в связи с
задачей 8.2.
Выражение (8.73) фактически носит более общий характер, будучи спра-
ведливым даже если нет связанных уровней. В этом случае у2 = 2т\е\/К2
определяет энергию |е| виртуального уровня, который стал бы реальным
связанным состоянием, если бы яма была немного глубже. С заменой
е —> |е|, резонансная формула (8.74) приложима к обоим случаям. Та-
кая ситуация реализуется в нейтрон-протонном рассеянии в синглетном
спиновом состоянии. Синглетная длина рассеяния а8 будучи велика и от-
рицательна показывает, что глубина ямы близка к критическому значению
для появления связанного состояния. Соответствующая виртуальная энер-
гия определённая через сечение при нулевой энергии Е, или через длину
рассеяния,
2тгК2 К2 та(Е -д 0) 2та^ ’ (8.75)
очень мала в ядерном масштабе, ~ 70 кеУ. Поэтому при низких
энергиях синглетное п — р рассеяние значительно превосходит триплетное.
Задача 8.7
В нейтрон-протонном рассеянии при низких энергиях полный спин 8
пары сохраняется, но длины рассеяния различны для 5 = 0 и 5 = 1
из-за спин-спиновой части ядерных сил. Полагая, что триплетная сц и
синглетная а8 длины п—р рассеяния известны, найти вероятность рассеяния
с переворотом спина (спин-флип) неполяризованных пучков при очень
низких энергиях.
Решение Имеются четыре спиновых состояния у п — р пар, см. раздел
II.7.3. Для триплетных состояний с 8~ = ±1, нет переворота спина и сечение
равно 4тга2. Состояния с 8~ = 0 должны быть переписаны в базисе Х88? с
фиксированной величиной 5,
ММ) = ^(Хю + Хоо), (8.76)
ММ) = ^(хю- Хоо)- (8.77)
Рассеянная волна для начального состояния (8.76) пропорциональна
1 . . у|(а4Хю + а8Хоо), (8.78)
или, возвращаясь к состояниям сопределённой проекцией спина,
+ аДп ТМ) + - аДп М ?)• (8.79)
Первый член в (8.79) определяет сечение без переворота спина, 4тг(1/4)(щ +
а5)2 = л(щ + а5)2; второй член определяет сечение с переворотом спина
7г(щ — а$)2. Такие же результаты имеют место и для начального состояния
(8.77). Все четыре начальных состояния равновероятны. Поэтому, полное
сечение усреднённое по проекциям спина равно
а = |[2 • 4тга2 + 2тг(а4 + а8~)2 + 2тг(а4 - а8)2]. (8.80)
Сечение с переворотом спина равно
^шР = 2тг(щ — п5) , (8.81)
и вероятность переворота спина находится как
ай1р _ ________(^ ~ Д'й)2______ 82'
(у 4а2 + (щ + а8)2 + (щ - а5)2’
Для известных значений длин рассеяния вероятность (8.82)равна 0.65.
8.9 Эффективный радиус
Следующий член низкоэнергетического разложения амплитуды рассея-
ния (8.69), или функции до, из (8.70,8.71), квадратичен по /с,
до(^) = &со! ^о(^) = — - + + О(&4). (8.83)
а л
Это определение вводит навый параметр размерности длины го, который
называется эффективный радиус. Добавка к «8-волне, связанная с эффек-
тивным радиусом более важна, чем малый вклад р-волны, который даёт
поправку более высокого, ~ (кК)3, порядка к амплитуде рассеяния. Разло-
жения подобные (8.83), когда общий вид амплитуды рассеяния (или других
характеристик взаимодействия частиц) устанавливается из аналитичности
и других общих ограничений, а параметры находятся из эксперименталь-
ных данных, широко используются в так называемой эффективной теории
поля [21].
В этом продвинутом приближении амплитуда рассеяния (8.69) может
быть представлена как
= (-1/а) + (г0А:2/2) - 1к (8‘84)
Для полюса к = гн аналитического продолжения мы имеем теперь
н = —к -гол:2. (8.85)
В качестве примера мы обсудим приложение к п—р рассеянию при низких
энергиях. Значения длин рассеяния и эффективных радиусов, которые
используются в (8.85) различны для триплетного и синглетного состояний.
Выражение (8.85) позволяет вычислить триплетный эффективный радиус
Г(л через триплетную длину рассеяния и энергию связи дейтрона е =
К2 к2/2т (единственное связанное п — р состояние, дейтрон, имеется в
спиновом триплете, 5=1). Экспериментальные данные дают гм = 1.7 ф.,
в согласии с (8.85), и го5 = 2.7 ф.. Эффективный радиус всегда положителен
[22] и имеет величину близкую к радиусу сил. Поэтому, он предпочтителен,
как мера радиуса действия сил, по сравнению с длиной рассеяния, которая
будучи очень чувствительной к существованию связанных состояний, может
менять знак и сильно отличаться от К.
Оба параметра - длина рассеяния и эффективный радиус не дают кон-
кретной информации о форме и детальном поведении потенциала . Бо-
лее высокие порядки в разложении (8.83) были бы более конкретны, но
они экранируются вкладами высших парциальных волн. На практике,
низкоэнергетическое разложение мало полезно за рамками приближения
эффективного радиуса.
8.10 Рассеяние со спин-орбитальным взаимодействием
Число наблюдаемых возрастает, если падающий пучок поляризован или/и
меряется поляризация конечных частиц. В этих случаях мы должны рас-
сматривать амплитуду рассеяния как оператор по отношению к спиновым
переменным, в дополнение к её роли как оператору в координатном про-
странстве, ответственному за рассеяние к —> к/ см. уравнение (7.60).
Рассмотрим рассеяние частицы со спином 1/2 (например нуклон) на
системе со спином 0 (например ядро). Мы обобщим понятие упругого рас-
сеяния включив сюда случаи, когда вырожденные спиновые состояния
частицы могут меняться при рассеянии наравне с направлением движе-
ния. Относительная кинетическая энергия при этом также не меняется,
что обосновывает термин ”упругое”. Пусть падающая волна находится в
заданном спиновом состоянии,
’Фг = егЩм(Щ (8-86)
со спиновой функцией для определённой проекции спина ц = ±1/2
на ось пучка г. Детектор регистрирует рассеянную волну в направлении
к7 и в спиновом состоянии хд. Случай ц! Д ц называют рассеянием с
переворотом спина {спин-флип рассеяние), как в задаче 8.7. Это конечно
возможно только если взаимодействие с мишенью зависит от спиновых
переменных; в противном случае проекция спина сохраняется.
Важным практическим примером является спин-орбитальное взаимо-
действие Д-з); его роль в атомной физике обсуждалась в разделе II.8. В
неполяризованном пучке спиновые проекции ±1/2 находятся с равной веро-
ятностью. Необходимо подчеркнуть, что такой пучок не может описываться
чистой волновой функцией. Результаты должны быть получены отдельно
для каждой возможной проекции // и затем арифметически усреднены
по распределению вероятностей проекций начального спина. Это пример
смешанного квантового состояния описывемого матрицей плотности,
см. раздел IV. 13.
Таким образом, начальное состояние описывается ансамблем поляри-
заций. Вектор поляризации Р начального пучка есть среднее значение
оператора спина 8 усреднённого по ансамблю и отнесённого к его мини-
мальному значению 1/2,
Р = М = Ж (8.87)
1//
где сначала берётся диагональный матричный элемент (а) и затем усред-
няется (черта вверху) по ансамблю частиц пучка, апс!
В общем случае начальное состояние не является аксиально симмет-
ричным будучи характеризуемым вектором поляризации, в дополнение к
направлению г падения. Рассеяние теперь может зависеть от обоих углов
рассеянной частицы, 9 и р. Вместо (7.49), асимптотический вид волновой
функции становится
Дг,5г) « [е’Ж/ДдДщЩ (8.88)
где во входящей волне спиновое состояние такое же, как в начальном пучке,
в то время как в расходящейся волне оно может быть изменено амплитудой
рассеяния /; шляпка здесь обозначает оператор в спиновом пространстве,
(8.89)
м7
Для упругого рассеяния на бесспиновой мишени или на любой неполяри-
зованной мишени со случайным распределением спинов, по которым нужно
усреднять, сохраняющимися квантовыми числами являются Е, чётность
(—У, } = Н1/2 и Д. Проекции и зг в общем случае не сохраняются
по отдельности. Входящая волна с фиксированными 4 = [г х р\г/Й = 0
и з% = ц не имеет определённого д будучи суперпозицией д = I ± 1/2. Но,
взаимодействие с мишенью зависит от точных квантовых чисел, включая
р Как было видно из примера со спин-орбитальной связью в разделе П.8.1,
взаимодействие различно для двух возможных значений д. Компонента с
определённым д переходит в себя приобретая только фазу. Это значит, что
5-матрица диагональна в (^, ^-представлении. Её диагональные матричные
элементы дают фазы рассеяния,
5^- = е2г<Ч (8.90)
Мы имеем теперь две фазы рассеяния ^=^±1/2? которые мы обозначим
как 5^; соответствующие матричные элементы (8.90) равны 8^±\
Начальное состояние может быть разложено с помощью ККГ по базису
состояний с определённым д, и тогда каждая из них приобретает свою
фазу. Вместо вычисления ККГ мы можем получить желаемое разложение
в операторном виде. Пусть есть проекционные операторы отбирающие
компоненты с д = ± 1 /2 из любого произведения Лтой парциальной волны
и спиновой функции спина 1/2. В терминах этих операторов, оператор
авплитуды рассеяния (8.8) становится
Д0, Д = 2- 52(2^ +1) Ы+) - 1)У+) + ДГ - 1)Д РДозО'). (8.91)
//ЬК Ь -I
Скалярное произведение Д • <т) = 2Д • з) имеет собственные значения 1м
— Д + 1) для д = 1 + 1/2 и = + — 1/2, соответственно (задача П,5.6\ и
проекционные операторы даются выражениями
(+) ^ + ! + Д<7) (-) (+) (_)
А* ~ 2^ + 1 ’ ~ 2^+1 ’ А* +А^ -1' (8'92)
Зависимость от д возникает в результате переворота спина вызываемого
понижающими и повышающими операторами спина а±, которые сопро-
вождаются в (8.92) дополняющими операторами Гр компенсирующими
переворот спина изменением орбитальной проекции.
Используя явный вид (8.92), амплитуда рассеяния (8.91)становится
(8.93)
Действие оператора (+ • с?) на полином Лежандра легко вычислить в яв-
ном виде. Компоненты орбитального момента найдены в задаче II. 1.10.
Компонента не даёт вклада в (8.93), так что
• а) Де — Р ~ ау сое ^)
дРг
ао ’
(8.94)
Производная дР^/дО есть присоединённый полином Лежандра —ЕД,см.
(II.1.139) (сферическая функция УД пропоциональна ехр(г^)Рн)-
Комбинация в скобках в (8.94) может быть выражена через единичный
вектор н нормали к плоскости рассеяния образованной начальным к = кп
и рассеянным к7 = /сп7, волновыми векторами. Вектор п направлен вдоль
оси г. Вектор п7 имеет полярный и азимутальный углы в и р. Поэтому
_ Гп X п'1 [п X п'1 , . . , .
" |Г V /II = —~К~ = “ 81ПСО8°)' 8.95)
| [п X п'] | 81П 0
Тогда находим
с • К)Ре = г(сгх8тр- <7уСО8(р)(-Ре1) = г(<7 • ?)Ра. (8.96)
Окончательно, амплитуда рассеяния (8.93) записывается в виде
Мд = А(0 + В(0(^-Д, (8.97)
А(0) = 4у[Д1)(е2^+) - 1) + Ж^-> - 1)ф(со8 0), (8-98)
лк ь -I
В(0) = Е [е2г5'+) “ е2^’’] Л1(0). (8.99)
Вид амплитуды (8.97) единственный, который допускается общими тре-
бованиями симметрии. Действительно, из-за сохранения полного момен-
та и чётности, / может зависет только от скаляров (не псевдоскаляров)
(п • п7) = сое в и (у • <т) так как н есть единственный аксиальный вектор
построенный из полярных векторов пип7. Поскольку для спина 1/2, все
степени операторов спина сводятся к линейным функциям, мы приходим
выражению (8.97).
Азимутальная асимметрия связана только с нормалью V к плоскости
рассеяния. Без спин-орбитальных сил рассеяние независит от взаимтой
ориентации ё и 8. Тогда фазы для двух значений у совпадают и В(0) исче-
зает вместе с азимутальной асимметрией. Амплитуда А(0), в выражении
(8.98), сводится в этом случае к стандартному выражению (8.8).
8.11 Поляризация и азимутальная асимметрия
Чтобы найти наблюдаемые величины из операторной амплитуды (8.97),
мы должны вычислить матричный элемент = (Х/л'\/\Х/л) который
даёт амплитуду рассеяния в направлении п'(в,р) с изменением спиновой
проекции ц -д д'. Соответствующее дифференциальное сечение равно
(^) , = 1Щ12- (8-10°)
\ аО / /л^/л'
Если конечная поляризация не измеряется, сечение есть некогерентная
сумма по всем возможным //,
х (10 / // х аО / [л^-Д
Г
где последнее выражение получено для фиксированного начального ц.
Таким образом, в этом случае мы должны вычислять среднее значение
оператора /Д по начальному состоянию.
Сумма по начальным и конечным спиновым состояниям в общем случае
сводится к вычислению следа в соответствующем пространстве,
Е |Д|2 = Е(Е/л-М = Е(Ж- = (8-102)
Г г /
Для неполяризованого состояния, начальные значения ц равновероятны.
Усредняя по ним мы получаем, как и в (8.102),
?=|е(?) <8-1оз>
т
Для нашего вида амплитуды (8.103), легко найти (следы от матриц Паули
равны нулю)
(?) , = ИК + 1-В«. (8.104)
х ао / ипро!
с отсутствием азимутальной асимметрии.
Для начального пучка с различным числом частиц с проекцией ±,
мы имеем ненулевую поляризацию Р, см. (8.87). Среднее сечение (8.101)
должно вычисляться с учётом этого факта,
? = (Ж = + |В« + 2Ке(ТВ)(г7. Р). (8.105)
Такой эксперимент обнаруживает азимутальную асимметрию определяе-
мую начальной поляризацией перпендикулярной к плоскости рассеяния.
Стандартный способ представления этого результата - введение коэффи-
циента асимметрии а,
2Ке(А*В)
|А|2 + |В|2 •
(8.107)
Для конечного (рассеянного) пучка мы определяем поляризацию Рх так,
чтобы будучи умноженной на плотность рассеянной волны (/д )мм она бы
давала средний спин рассеянной волны в единицах 1/2, как в (8.87),
(8.108)
или усредняя (черта сверху) по начальному пучку,
р/ =
(М)ж
(8.109)
Поляризация из-за спин-орбитального взаимодействия возникает даже
если начальный пучок был неполяризован. Единственный аксиальный
вектор в задаче это опять вектор V нормали к плоскости рассеяния. Поэтому,
безо всяких вычислений мы знаем, что в этом случае
Р' = /3/7.
(8.110)
Простое вычисление среднего по ансамблю неполяризованных спинов в
(8.109) определяет коэффициент /3,
2Ке(А*В)
|А|2 + |В|2 “
(8.111)
Мы пришли к важному утверждению: поляризация /3 начального непо-
ляризованного пучка равна асимметрии а, (8.106,8.107), в рассеянии по-
ляризованного пучка на той же мишени. Если начальная поляризация Р
также присутствует, то результат более громоздкий но он также может
выть выведен из (8.109).
| Задача 8.8
Найти в терминах амплитуд А и В, в (8.98) и (8.99), поляризацию Р7
полученную в результате рассеяния частиц со спином 1/2 и начальной
поляризацией Р на бесспиновой мишени.
Решение
2Ке(А*В)/7 + (|А|* 1 2 * * * * * В - |В|2)Р + 2|В|2ДД • Р) - 21т(А*В)р х Р]
|А|2 + |В|2 + 2 Ке(А*В)(/7 • Р) ’
(8.112)
Глядя на выражения для амплитуды, (8.97 - 8.99), и коэффициенты
асимметрии а и поляризации /3, мы можем сделать следующее наблюдение:
эффекту поляризации и азимутальной асимметрии неполяризованного
пучка исчезают в первом борновском приближении. В этом случае фазы
рассеяния малы. Используя разложение 5-матричных элементов, ехр(2г5) ~
1 + 2г<5, мы видим, что А(0) есть действительная величина, а В(0) - мнимая,
так что А*В является мнимым и а = /3 = 0. Этот результат связан с
инвариантностью относительно обращения времени и специфическими
особенностями борновского приближения.
Для системы инвариантной относительно обращения времени вероят-
ность процесса не меняется при перемене начального и конечного состояний
и изменении знаков всех импульсов и спинов {детальное равновесие, ко-
торое будет обсуждаться ниже). Амплитуда (8.97) удовлетворяет этому
условию. Линейный по {Г • а) член, который появляется в сечении (8.105)
как результат интерференции между нормальной, А, и спин-флиповой, В,
амплитудами инвариантен относительно отражения времени. Действитель-
но, поляризация меняет знак, но и вектор нормали н также меняет знак,
потому что при отражении времени к => —к7 и к7 => —к,
V ~ [к х к'] => [(—к7) х (—к)] ~ — и.
(8.113)
В борновском приближении амплитуда рассеяния мала и поэтому эрми-
това. Это следует из условия унитарности (7.61), где можно пренебречь
квадратичным членом в правой части. Это видно также прямо из наших
выражений (8.97 - 8.99): А действительна при малых фазах, а - эрмитов-
ский, н - меняет знак при транспозиции п О п7 по знак восстанавливается
при комплексном сопряжении в этом члене поскольку В мнимое при малых
фазах. Для эрмитовской амплитуды /, вероятность не меняется при про-
стой перестановке начальных и конечных состояний без изменений знаков
импульсов и спинов. Из этих двух инвариантных операций следует инва-
риантность относительно только изменения знаков импульсов и спинов,
без перестановки начального и конечного состояний. Но, из-за симметрии
относительно инверсии и вращений, Рх направлена вдоль щ см. (8.110).
При изменении знаков спинов и импульсов Рх меняет знак, в то время
как /7 не меняет. Поэтому Рх = 0. Этот результат довольно общий и не
ограничивается частицами спина 1/2: всегда в борновском приближении
поляризация вначале неполяризованного пучка не появляется.
Поляризация может появиться даже в борновском приближении если
эффективный рассеивающий потенциал является комплексным. Спин-
орбитальный потенциал с мнимой частью ответственной за поглощение
частиц в неупругие каналы нарушает эрмитовость амплитуды рассеяния и
допускает появление поляризации.
Задача 8.9
Нуклон рассеивается на ядре, которое порождает комплексный потен-
циал 17(г) = (1 + ^)П(г) (где константа и У(г) действительны) и спин-
орбитальный потенциал, который по аналогии с атомной спин-орбитой
П.8.1, имеет вид
Д = (8.114)
г аг
с константой р имеющей размерность квадрата длины. Вычислить в бор-
новском приближении дифференциальное сечение рассеяния неполяризо-
ванного пучка и возникающую поляризацию Рх рассеянных частиц.
Решение Сечение даётся выражением
= |/в(Ю|2 (1 + €2 + , (8.115)
ао \ 4 /
где /в(0) есть борновская амплитуда для потенциала У(г). Поляризация
равна
р = РР. Р = ------, (8.116)
1 + + к^р2 ею2 в/4
Ибо некая наука может быть более
полезной, но никакая не имеет такой
красоты и прелести в своей
полезности. <...>
Роджер Бэкон, Большое сочинение
Глава 9
Дополнительные вопросы теории рассеяния
9.1 Классическое и квантовое рассеяние
Как следует из нашего первого обращения, раздел 7.1, к классической
картине рассеяния, полное классическое сечение рассеяния,
сгс1 = бЬ2кЬ, (9.1)
определяется интегрированием по всем прицельным параметрам Ь, для ко-
торых рассеяние имеет место. Если потенциал ?7(г) Не исчезает полностью
при Ь > 6тах, как это было в задаче 7.7, то полное классическое сечение
(9.1) бесконечно. Но, квантовое упругое сечение,
сге1 = У <Ло |/|2, (9.2)
оказывается конечным, если потенциал падает на больших расстояниях
быстрее, чем 1/г2.
Классическое рассмотрение может стать несправедливым на больших
прицельных параметрах из-за того, что большим расстояниям соответству-
ют малые углы рассеяния в. А для того, чтобы использовать классическую
картину, угол отклонения в должен превышать квантовую неопределён-
ность направления траектории. В этом же смысле, неопределённость Д6
прицельного параметра должна быть мала по сравнению с величиной Ь. Ма-
лый классический угол отклонения в может быть оценен через компоненту
импульса р± перпендикулярную начальному направлению движения,
6 ~ ~ (9.3)
Р Р
где Е± ~ (317/ЗЬ) ~ 17(Ь)/Ь- поперечная сила ответственная за изгиб траек-
тории и △/; Ь/и - характерное время взаимодействия, и - относительная
скорость. Отсюда
Ш Ы ЩЬ) Ь ЩЬ) ЩЬ)
(у # I М в )
ЗЬ р Ъ ри ри Е
С другой стороны, переходя на квантовый язык, неопределённость при-
цельного параметра, Д6, влечёт неопределённость поперечной компоненты
импульса, Арх ~ Н/АЬ. Это эквивалентно неопределённости в угле рассея-
ния,
Условия
н
(△0/
△0 < о, м < ь
(9-5)
(9-6)
Р
определяют пределы классического описания рассеяния,
0» Д0
К К
рДЪ рЬ
Ц(Ь) л
Е рЬ'
(9-7)
Если потенциал 17(Ь) убывает на больших расстояниях быстрее, чем куло-
новский (~ 1/Ь), неравенство (9.7) нарушается на больших Ь. В этом случае
малые углы рассеяния полностью определяются квантово-механической
дифракцией. В чисто кулоновском случае рассеяния заряда е на центре
с зарядом 2е, угол рассеяния 9 ~ Ее2 /риЬ, и условие классичности (9.7)
выполняется для всех Ь при достаточно большой величине параметра Зо-
ммерфельда,
Ее2
Ки
(9-8)
Обратное неравенство требуется для справедливости квантово-механической
теории возмущений 5.64).
9.2 Квазиклассическая амплитуда
Квазиклассичекое приближение может работать когда много парци-
альных волн дают заметный вклад в упругое сечение и дискретность
квантованного орбитального момента становится менее существенной. Это
возможно только при достаточно большой энергии. Для не слишком малых
углов рассеяния можно ожидать, что квазиклассическое приближение будет
переходить в классическую теорию. Как обсуждалось выше, в (9.5), угол
рассеяния в должен превышать К/(рЪ) ~ 1/^, что эквивалентно требованию
79 » 1. (9.9)
Поскольку полином Лежандра РДсое#) имеет нулей, область углов в
(9.9) должна превышать угловой размер ~ 1Д между нулями, что ведёт к
классическому усреднению. Квазиклассическое приближение может быть
справедливо в широком интервале углов, а с некоторыми улучшениями,
может описать и дифракционные эффекты.
Квазиклассические фазы могут быть найдены путем прямого сравнения
волновых функций для данного рассеивающего потенциала и для свобод-
ного движения. Эти фазы в классически разрешенной области за точкой
поворота 7?/. где классический импульс р^(г) исчезает, были найдены в
(II.2.58),
1 Гг 7Г
ФД) = Г / (1гРеД + 7- (9-10)
" Л, 4
Здесь
рДг) = 2т[Е — 17(г)] _ , (9.11)
и^(В^) = 0. Квазиклассическая фаза Ф^ для свободного движения даётся
таким же выражением с 17 = 0,
Ф?М = + р (9.12)
р°т = 0. (9.13)
Тогда, парциальная фаза рассеяния равна
= (фе - Ф?) . (9.14)
Фазы определяют амплитуду рассеяния
/(О = Е(2^+ 1)Л(с°8О(е2^ - 1). (9.15)
Для углов 9 Д 0, часть в (9.15), которая не содержит ехр(2г5Д исчезает
(см. (II.1.146)), так что
Ж = Л Е(^ + 1)Л(с°8ф2^, ^о. (9.16)
В квазиклассической области (9.9), полиномы Лежандра также могут быть
представлены их квазиклассическим пределом задача II. 1.17,
/ д 8т[0^ + 1/2) + 7г/4]. (9.17)
V 7ГГ 8Ш С7
Окончательно, квазиклассическая амплитуда рассеяния становится
1 / 2
ЛО) * Т \ —Ц Е + !/2) + тг/4]. (9.18)
гк V 7Г81ПС7
9.3 Квазиклассические фазы
Как всегда, в предельном переходе от квантового к классическому режи-
му существенный вклад в сумму в (9.18) дают много парциальных волн с
большими I. Эти вклады деструктивно интерферируют имея быстро меня-
ющиеся фазы. В этом случае классическая траектория выделена условием
стационарности фаз, см. раздел 1.15.4: фазы должны слабо меняться между
близкими значениями I.
Соседние парциальные волны складываются конструктивно если
[26е ± + 1/2)] = 2^ ± е = 0. (9.19)
Точка поворота для свободного движения равна, в согласии с классической
картиной,
= Г.«+Ф) = 1±Д
ЛТТЁ к
и прямым интегрированием мы находим из (9.12),что при г 7Л К^, фазы
равны точному результату (II.2.80) для свободного движения,
^г) = кг-~. (9.21)
Правильный результат здесь обязан замене 1(4 + 1) —> (I + 1/2)2, задача
11.24-
Таким образом, парциальные фазы рассеяния в квазиклассическом при-
ближении даются
Г 1 ГГ 7Г 7.ТГ 1
= Пт < - / скгррфф Ч----------------кг Ч-----> .
[гь ,7Пе 4 2 )
(9.22)
Члены расходящиеся при г —> оо очевидно сокращаются. Условие стацио-
нарности (9.19) даёт
Нг П(2^ ± 1)
Г2 Ц^(г)
(9.23)
Вводя классические переменные - прицельный параметр Ь искорость уе1осПу
V на бесконечности,
Ь = «? = '>(<+1/2). г = Л (9.24)
тв V т
мы получаем из (9.23)
/<эс Нг 1
-26 / / ±0 = 0. (9.25)
к(Ь) г2 0 - (Дг) Д) - (6/г)2
Это есть не что иное, как классическое уравнение [20], § 18, определяющее
угол рассеяния, как функцию прицельного параметра.
Задача 9.1
Найти квазиклассическую фазу предполагая, что потенциал 17(г) быстро
убывает как функция растояния так, что он мал вблизи точки поворота
данной парциальной волны
Решение Разность фаз (9.14) может быть разложена до первого порядка
по потенциалу,
/<эс 10 т /<эс НМ
НгЩг)- — р°Фг) = --^ / Нг 1 ; (9.26)
До &Р» 7А)2_(^+1/2)2/г2 >
Поскольку сходимость разложения по парциальным волнам определяется
волнами с 7 1, для короткодействующих потенциалов можно вычислять
фазы с помощью выражения (9.26). Можно показать [23], § 123, что фазы
(9.26) конечны, если потенциал 17(г) убывает с расстоянием быстрее, чем
кулоновский потенциал ~ 1/г; полное сечение конечно для для потенциалов
Рис. 9.1. Приближение прямолинейной траектории.
спадающих быстрее, чем 1/г2; амплитуда рассеяния вперёд конечна для
потенциалов спадающих быстрее, чем 1/г3.
Согласно (9.26), при больших I имеем по порядку величины
_ _ «,1>
1”~--------
Эта оценка может быть также переписана как
<^^(6),
(9.27)
(9.28)
где т Ъ/т - типичное время соударения. Чтоба сделать эту оценку бо-
лее точной, что расстояние наибольшего сближения 1Д при свободном
движении совпадает с прицельным параметром Ъ и используя координату
г = Дг2 — Ь2 движения вдоль невозмущённой классической траектории,
получаем из (9.26)
~ т Р II (Н
<^(У&2 + г2)- (9.29)
Это приближение прямолинейной траектории (сравни с (7.104)) подразуме-
валось при выводе (9.26).
Теперь мы можем перейти к интегрированию по времени полагая I = 0 в
момент наибольшего сближения; тогда % = и1 = Дк/тД и
1 Г ОО _______ 1 Г ОО
5(6) ~ —- / дШД/Ь2 + г262) =------ / дПДу/Ь2 + г262), (9.30)
* 7о 2Д у-ж
в сооответствии с оценкой (9.28). В этом приближении полный сдвиг фазы
25^ = 25(6), 6 = (/ + 1/2)/&, равен интегралу (делённому на К) от взаимо-
действия вдоль невозмущённой прямолинейной траектории. Приближение
(9.26) справедливо только для слабых потенциалов, т.е. для малых улов
рассеяния в 1 (прямая траектория) но достаточно больших И таких,
чтобы 10 > 1.
Задача 9.2
Вывести (9.26) из борновского приближения (8.55).
Решение Удобно использовать цилиндрическую систему координат с осью
г вдоль вектора к7 + к, который ортогонален к д = к7 — к. Вектор г имеет
г-компоненту вдоль оси и Ь в поперечной плоскости (ж?/),тогда г2 = г2 + Ь2.
Если д = то
д
(д • г) = (д • Ь) = дЬ сое (р = 2кЬ ет - сое (/?, (9.31)
и борновская амплитуда принимает вид
/В(0) =---Г°ьаь [°° (ЫЦу/Ь2 + г2)е-г2^5т(0/2)со^_
2тгД2 Уо 7о 7-00
(9.32)
Интеграл по (р даёт функцию Бесселя,
г2тг
/ ^е-г2А;Ь81п(0/2)со^ = 27Г7о (2^8т(0/2)). (9.33)
7о
Но для малых 0, как следует из сравнения уравнения (II. 1.155) с уравнением
Бесселя,
70((^+1/2)0) ^РХсоб0). (9.34)
С той же точностью, 2еш(0/2) ~ 0, и + 1/2 = кЬ. Вводя и г в качестве
новых переменных интегрирования, мы получаем
2п? /<эс /<эс гПМ
аг /\=РДО8 0). (9.35)
7о д/г2 - (^ + 1/2)2Д2
Это совпадает с точным парциально волновым разложением, в котором
фазы считаются малыми ~ 5^) и взяты из квазиклассики (9.26), а
сумма по парциальным волнам заменена на интеграл, ^2^(2^+ 1) —> 2
поскольку в этом пределе дают вклад много парциальных волн.
9.4 Связь с приближением эйконала
Последняя задача указывает путь к улучшению приближения для того,
чтобы учесть дифракционные эффекты и обеспечить выполнение оптиче-
ской теоремы.
Как и раньше, мы предполагаем, существенны вклады многих парциаль-
ных волн и что энергия велика по сравнению с потенциалом й с типичным
радиусом действия Я,
<9'30>
Здесь условие применимости борновского приближения, раздел (7.11), мо-
жет быть нарушено но углы рассеяния малы и мы можем использовать
приближение (9.34), так что
/(^ ~ фУ(2? + 1)(е2^-1).7о(2Шзт(0/2Л. КЬе = Д. (9.37)
Переходя от суммирования по I к интегрированию по прицельному пара-
метру, находим
/(0) = -^ Ь(1ЬД^ - фо(2АУ>8ш(0/2)). (9.38)
Если бы мы сделали разложение для малых фаз, ехр [2/5(6)] 1 + 2/5(6),
и взяли бы фазы вдоль прямой траектории (9.29), мы бы вернулись к
борновскому приближению, (9.32-9.34).
Эйкональное приближение (приближение прицельного параметра), вве-
дённое ранее в разделе 7.12 путём прямого решения волнового уравнения,
использует выражение (9.38) без разложения в показателе экспоненты.
Записывая функцию Бесселя в (9.38) как интеграл (9.33), мы получаем
выражение (7.100),
У(0) = -— / <тД ьДе2^ь = (бсоз бзш 0).
2л- Уо /о 4 7
(9.39)
Здесь фазы 5(6) могут быть вычислены согласно (9.29).
Задача 9.3
Прверить, что амплитуда (9.39) удовлетворяет оптической теореме, см.
раздел 7.8, для произвольных действительных фаз 5(6).
Решение Действительно, полное упругое сечение, после интегрирования
|/|2 по 52д, которое даёт двумерную 5^2\Ь — Ь'), равно
ае1 = 526 2[1 — соз(25(6))] = 1т/(0).
(9.40)
Эти результаты будут служить отправной точкой для рассмотрения
дифракционного рассеяния. Они также могут быть обобщены на нецен-
тральное поле. Метод работает также и в присутствии неупругих каналов,
но с комплексными фазами 5(6), когда \3^\ = | ехр[2/5(6)]| < 1.
9.5 Дифракционное рассеяние
Наличие неупругих процессов может быть первоначально обнаружено
как поглощение из-за его влияния на упругое рассеяние. Мы уже видели, см.
раздел 7.2, что поглощение и упругое рассеяние определяются через те же
самые параметры, элементы 5-матрицы. Поглощение обрезает или умень-
шает некоторые части фронта волны. В то же время упруго рассеянная
волна неизбежно искажена. Искаженная волна больше не плоская волна,
она содержит Фурье-компоненты с волновыми векторами отличными от
волновых векторов падающего пучка.
Дополнительное рассеяние с длиной волны Л малой по сравнению с радиу-
сом К потенциала аналогична дифракции света на препятствии. Квантовая
теория дифракционного рассеяния практически совпадает с описанием
дифракции параллельного коротковолнового луча идущего от удаленного
источника ( дифракция Фраунгофера, [11], § 61). Многие формулы могут
быть непосредственно взяты из оптики.
Одно из типичных приложений дифракционной картины можно найти
в задаче рассеяния достаточно быстрых частиц на ядах. Условие Л < К,
где К есть размер ядра, выполняется для нейтронов с энергией выше, чем
несколько десятков МэВ. Строго говоря, квантовая система, такая, как
атомное ядро, не имеет четкой границы. В более точном рассмотрения
нужно учитывать гладкое поведение ядерной плотности которая падает от
среднего значения в центре к нулю.
Сделаем простые оценки для быстрых нейтронов взаимодействующих с
тяжелым ядра. Если размер системы гораздо больше, чем длина волны
нейтронов, нейтроны видят отдельные составляющие внутри ядра, и мы
можем использовать понятие многократных столкновений в среде. Длина
Рис. 9.2. Дифракционная картина на чёрном диске.
свободного пробега нейтронов в ядерной материи оценивается как
Л^—, (9.41)
па
где п есть плотность частиц в ядерной среде 1038см-3, как это можно
извлечь из плотности в центре тяжёлых ядер) а а есть типичное сечение
рассеяния. Для неё мы можем взять экспериментальное значение сечения
рассеяния свободных нуклонов с кинетической энергией в системе центра
масс порядка нескольких десятков МэВ, а ~ 0.5 барн (1 барн = 10-24
см2). Отсюда мы находим Л 2- 10 14ст. Ядерная плотность, грубо
говоря, не зависит от массового числа А, поскольку тяжёлое ядро подобно
капле несжимаемой жидкости, объём которой V пропорционален А,и для
сферического ядра,
У = -7г/?3 Н = г0А1/3, г0 « 1.2Гт. (9.42)
О
Так как даже для относительно легких ядер мы имеем Л Я, вероятность
для нуклона пройти ядро без столкновения ничтожно мала, ~ 10-8. Поэто-
му мы можем естественно принять, что в этой области энергий, ядро ведёт
себя как черная сфера, которая поглощает (отнимает от падающего пучка)
все частицы попадающие внутрь прицельного параметра Ь ~ К.
Мы пришли к задаче о дифракции коротких волн, кК А> 1, на чёрной
сфере. Если мы смотрим на упруго рассеянные частицы, мы видим, неболь-
шие отклонения от классических траекторий, которые соответствовали бы
геометрической оптике. Однако, в отличие от оптики, где наблюдаемые
эффекты действительно малы для малых углов дифракции Фраунгофера,
в ядерной физике они полностью определяют экспериментальную картину.
Например, рассмотрим дифракцию на черном круге радиуса Я, рис. 9.2.
Дифракционный угол д определяется из условия А ~ Яетф и при наших
условиях он мал, д ~ Х/В 1. Сразу позади диска мы видим геометри-
ческую тень. Дифракционная картина начинается только на расстоянии
первого максимума, которое порядка
р е>2
ЯсоЫ ~ ~ -у- К. (9.43)
и А
Мы уже видели, задача 7.3. что это расстояние определяет возможность
асимптотического разделения падающей и рассеянной волн, которое необ-
ходимо для разложения по парциальным волнам. В оптике мы имеем
А ~ 10-5 см, К ~ 1 см, В2/X ~ 1 км, в то время как наблюдение ведётся
на расстоянии г <3^ В2/X. В противоположность этому, в ядерной физи-
ке К < 10-12см, А ю-(13-14) см, В2/А ~ Ю-^0”11) м, в то время, как
наблюдение ведётся на макроскопических расстояниях г В2/X.
9.6 Дифракция на чёрной сфере
В коротковолновом пределе, который мы здесь рассматриваем, в сечение
дают вклад много парциальных волн. Сечение поглощения,
(9.44)
выражается через коэффициенты прилипания,
о— 1 - \8е\2, 0 < О < 1. (9.45)
Окончательное выражение,
= ^Е(2^+1)0, (9.46)
имеет простой смысл: вклад парциальной волны есть вероятность захвата
частицы (дефицит унитарности 5-матрицы для данного ^), ф, умноженный
на соответствующую площадь тг(62+1 — 62) = (тг//с2)(2^ + 1).
Коэффициенты прилипания ф определяют черноту рассеивателя. Для
абсолютно чёрного препятствия, все частицы поглощаются как только они
попадают в площадь препятствия,
Л Г 1, ь < К, 1.е. I кп-, , .
и (О, Ь>П, 1.еЧ>кК. 10
Таким образом, элементы 5-матрицы равны
8е = е2^(М =
о, е < кк-,
1, (. > кВ.,
(9.48)
и интегрирование в упругой амплитуде (9.38) обрезается на радиусе сферы,
/(0) = гк / аъъ7о(2^8т(0/2)). (9.49)
Необходимо подчеркнуть опять, что всё рассмотрение законно только в
коротковолновом пределе, когда небольшие ошибки в предельном прицель-
ном параметре не играют роли из-за многих парциальных волн дающих
вклад в сечение.
Интегрирование в (9.49) даёт
Ж = 1 2 81Ц0/2) ^2кК^в/2»’ (9.50)
и мы находим дифференциальное упругое сечение
= д2 ^1 81п(6>/2)) _ ^2д4 Д(Х) = 81п(0/2). (9.51)
4еш2(0/2) ж2 \ \ )
При больших ж, х 1, функция Бесселя имеет асимптотику
(9.52)
так что для достаточно больших углов рассеяния, 2 8т(0/2) Д/кД) =
Л/Я, сечение (9.51) падает как ~ 1/ж3. Это в точности есть утверждение,
что дифракционные углы малы,
2 §ш(0/2) =
кН К
В этом режиме,
7<т ~ 2 р(кКО')
д,о О2
(9.53)
(9.54)
в то время как для очень малых углов, 0 \/кК, мы имеем 71 (ж) —> ж/2,
и сечение стремится к своему предельному значению.
(1(7
пт — =
6Ж0 (1о
Жт
(9.55)
Рис. 9.3. Угловое распределение для чёрного диска.
Угловое распределение, рис. 9.3, демонстрирует характерные особенности
дифракционного рассеяния. Сечение имеет острый пик вперёд, в < 1/кД
при больших углах присутствуют вторичные максимумы с периодичностью
по углу, определяемой фактором кК. Интенсивность вторичных максиму-
мов быстро убывает ~ 1/03.
Полное упругое сечение,
^е!
Г , (1а о Г п Л?(2кЕып(0 2?)
= (1о— = 2т(П2 / §ш 0 <10 ,
7 Ло 7о 4зш2 0/2
(9.56)
может быть вычислено с достаточной точностью предполагая, что можно
предел интегрирования устремить к бесконечности, поскольку в любом
случае главный вклад дают малые углы. Тогда мы получаем
,е| . 2тгВ2 Г М 0 « 2^ Г Лх
7о в 7о х
(9.57)
Как и в классической теории, в этом дифракционном пределе упругое
сечение равно геометрическому сечению чёрной сферы.
Задача 9.4
Показать, что в пределе (9.53), сечение поглощения (9.46) также равно
этому классическому результату,
Сте! = 7Г(-Н + А)2 « 7гЯ2 = (Те1,
(9.58)
и проверить, что выполняется оптическая теорема.
9.7 Оптическая модель
Обычно среда не может считаться абсолютно чёрной (как предполага-
лось выше). Например, если бы сложное ядро было бы чёрным, сечения
(9.57) и (9.58) росли бы монотонно с массовым числом ос К2 ос А2/3 и не
зависели бы от энергии в пределе кН 1. Эксперименты противоречат
такому предположению; угловые распределения рассеянных нейтронов
также отличаются от предсказаний чисто дифракционной модели.
Во многих случаях лучше рассматривать мишень как серую или по-
лупрозрачную. Дифракционное рассеяние в таких случаях может быть
описано оптической моделью, путём введения комплексного потенциала.
Параметры оптического потенциала трудно рассчитать теоретически. Как
правило, эти параметры устанавливаются эмпирически и зависят от энер-
гии рассеянных частицы. Для нейтронов, рассеянных на ядрах, мнимая
часть оптического потенциала не очень большая, 1т 5 - 6 МэВ при
энергии Е ~ 10 МэВ, в то время как реальная часть потенциала (глубина
эффективной потенциальной ямы) порядка 40-50 МэВ.
Оценим длину свободного пробега нейтрона Л в такой среде. Поскольку
кК > 1, можно пренебречь кривизной ядерной поверхности и провести
оценку для нейтрона пересекающего плоскую границу между двумя сре-
дами. Внутри поглощающего ядра волновой вектор нейтрона является
комплексным, К = К1 + ж2, и волновая функция спадает внутри ядра,
ЛО ос ег^ = е-(к2-г)+’(к1т). (9.59)
Комплексный волновой вектор выражен через комплексный потенциал,
ПК = Ц2т(Е-1Г), и =-Л - Ш2, (9.60)
где [Д > 0 (ядерное притяжение) и Г2 > 0 (затухание волны).
Если, согласно приведённым выше цифрам, [/"2 значительно меньше, чем
[71, мы получаем приближённые выражения:
-о Т, 7 А ЁД
= Не К « у-----------= ку1 + —,
т 2тП2 , Л 1
К2 = 1ш К ------ ---------= к —-----ТТ . .
2НЦ2т{Е + Л) Е 1 + Л/Е
Интенсивность волны (9.59) падает экспоненциально,
|^|2 ос е~2(к2'г),
(9.61)
(9.62)
Рис. 9.4. Рассеяние быстрой частицы на сером шаре.
и длина свободного пробега может быть оценена как
1 1 Е Г й[
--- =----а/Ц
2К2 2кЮ2У Е
(9.64)
Для упомянутых выше значений ЬфСД и Е, находим Л ~ 0.6 • 10-12 см,
т.е. значительно больше, чем наша предыдущая оценка (9.41). Как мы
увидим далее, из-за принципа Паули внутренние столкновения подавлены,
поскольку часть доступных конечных состояний уже занято нуклонами и
фазовый объём конечных состояний достижимых в столкновении сильно
уменьшается.
Используя оптическую аналогию, мы можем ввести комплексный пока-
затель преломления серой среды,
К К± + гК2
п = П1 + т2 = — =------------
к к
(9.65)
Предположим для простоты, что ядерный потенциал 17 моделируется
сферической ямой радиуса К. Быстрые нейтроны с кК 7Д 1 не чувствуют
кривизны поверхности. Пусть 2х^ - длина пути пересечения ядра быстрым
нейтроном с орбитальным моментом 7 (прицельный параметр Ъ = 7/к\ рис.
9.4. Прошедшая волна отличается от падающей на фазу
= (Ад — к)2х^ = к(п\ — 1)2ж^,
(9.66)
и подавлена по амплитуде на фактор ехр(—К2 • 2х^) = ехр(—2п2кх#). Так
же как в (9.48), мы находим элементы 5-матрицы,
Г ехр{—2х(\п2 — г(п1 — 1)]&}, 7 < кН;
[ 1, 7 > кН.
Как и раньше, главный вклад в рассеяние идёт от больших значений I.
Общее выражение (9.38) даёт (ж(Ь) = ДВ2 — 62)
/(6») = гк ! ьаь (1 - е-2/сж^Ь-«("1-1)]ро(2А;б8т(0/2)). (9.68)
Задача 9.5
Вычислть упругое рассеяние и сечение поглощения.
Решение Интегрирование по углам даёт
<те1 = 27Г ЪдЪ |1 - е-2^Н2-62[п2-г(п1-1)]|25 (9.69)
<Т1пе1 = 27г Ь ЛЬ [1 - _ (9,70)
После последующего интегрирования по х с х Ах = Ъ АЪ, мы получаем,
например для сечения поглощения,
9 е-°Д1 + аВ> - 1
Оте] — ТТЛ + 2"7Г-------5-------, а — ^п^к. (9-71)
от
В пределе слабого поглощения, аВ 1, результат пропорционален объёму,
(9.72)
О
В практических вычислениях нужно учитывать диффузность ядерной
границы, разницу в формах реальной и мнимой частей оптического по-
тенциала (поглощение сильнее вблизи поверхности), спин-орбитальное
взаимодействие и т.д. Гипотеза о резкой границе переоценивает отношение
Щз/сЦпе! из-за усиленного отражения от скачка показателя преломления.
Введение плавного изменения оптического потенциала уменьшает это отно-
шение в согласии с наблюдениями, что есть аналог просветлённой оптики.
Новые аспекты возникают в приложениях оптической модели к заряжен-
ным частицам. Здесь рассеяние аналогично дифракции света на сфере с
показателем преломления п ос (1 — сопе^/г), преломление отклоняет лучи
от сферы и искажает область тени.
9.8 Многократное рассеяние в среде
Здесь мы кратко коснемся очень важного приложения - рассеяния части-
цы в среде, которая содержит множество рассеивателей. Мы предполагаем,
хаотическое распределение этих центров, например атомов в жидкости или
примесей в неупорядоченных твердых веществах. Типичное применение
можно найти в нейтронной физике, в конденсированных средах длина
волны медленных нейтронов может быть порядка межатомных расстояний,
а в газах это расстояние превышает длину волны.
Рассмотрим случай короткодействующих потенциалов, когда сила дей-
ствует только на расстоянии небольшом по сравнению со средним рас-
стоянием между рассеивателями. Вследствие многократного рассеяния,
интерференция волн, рассеянных от различных центров, и волны, рассе-
янной вперед, с падающей волной приводит к отражению и преломлению
сигнала проходящего через среду. Мы начнем с рассеяния плоской волны
ехр[г(к • г)] на одном центре расположенном в начале координат. Обратное
фурье-преобразование выражения (7.74) определяет
Г(г)Щг) = -— [ Л3к'У(кх, к)е*(к/'г). (9.73)
т у (2тг)°
Отметим, что правая часть уравнени (9.73) содержит интегрирование по
всем векторам к7 в то время как амплитуда упругого рассеяния определена
только на энергетической поверхности |кх| = |к|. Поэтому, (9.73) есть
определение амплитуды вне массовой поверхности, которая совпадает с
обычной упругой амплитудой на энергетической поверхности. Сравнение
(9.73) с уравнением Шрёдингера даёт
(V2 + АДЩг) = -^2 / <$к' /(к', к) Чк'Ч (9.74)
Задача 9.6
Вывести уравнение аналогичное (9.74) для волновой функции -0к(г;го),
которая описывает рассеяние плоской волны с волновым вектором к цен-
тром расположенным в точке гд.
Решение
Д(к-г0) г
(V2 + к2Шг; г0) = —/ <13к' /(к', к)Ч (9.75)
Правая часть уравнения (9.75) описывает однократное действие операто-
ра рассеяния локализованного в точке го,
/(г0)^ Жк)Лк-к')-г°. (9-76)
Переходя к системе рассеивателей расположенных в точках ^к(г; {щ}),
мы должны найти конечную волновую функцию ^к(г5 {ГД) после много-
кратного рассеяния падающей волны с волновым вектором к . Для данного
рассеивателя в точке га, Эффективной падающей волной, вместо плоской
волны в (9.76), является функция ^а\г; {гД), которая учитывает присут-
ствие всех других рассеивателей. После суммирования волн рассеянных на
всех центрах мы получаем, вместо (9.75) и (9.76),
(\72+А;2)?/’к(г;г1,...,г7у) = - Д [ Тк'/(к', к) ег(к-к'Ч“ ДДГ; п,гдт).
а
(9.77)
Поскольку мы имеем много центров рассеивания, влияние каждого од-
ного из них на процесс рассеяния мало, ~ 1/7ХЛ. В сумме по а в (9.77), в
хорошем приближении можно заменить функцию ф^ на полную волновую
функцию ф^. После этого мы можем усреднить (9.77) по всему хаотиче-
скому распределению центров в объёме V с ограничением, что их средняя
плотность р = 7У/У фиксирована. В предположении короткодействующих
сил, рассеяние на данном центре не зависит от точного положения других
центров, так что в правой части (9.77) можно усреднять независимо фазу
экспоненты и волновую функцию ф независимо. Усреднённая функция
ф>ДД подчиняется тогда уравнению
(V2+адлд) = - * (9-78)
^7Г
а
Суммирование по рассеивателям и усреднение по их местоположениям
может быть заменено на интегрирование по объёму со средней плотностью,
^2 ег(к-к,)-г« => [ д3г рег(к~к )'г = р(2тг)35(к — к7). (9.79)
а
Таким образом, для хаотически расположенных центров, влияние среды
сводится к сокращению в среднем всех волн за исключением той, которая
рассеивается вперёд, на нулевой угол. Тогда остаётся только амплитуда
/(0) = /(к, к), мы возвращаемся опять на энергетическую поверхность и
находим
(V2 + /г2)Щг) = —4тгр/(0) Щг).
(9.80)
Видно, что усреднённое действие неупорядоченной среды сводится к
эффективному изменению волнового вектора волны,
к2 => К2 = к2 + 4тгр/(0).
(9.81)
Эффективный показатель преломления среды,
п = —-
к
4тгр/(0)
к2
(9.82)
определяется в этом приближении только плотностью среды и амплитудой
рассеяния вперёд на одном центре. Детали структуры вещества несуще-
ственны. В присутствии нескольких сортов, <§, рассеивателей, усреднённая
амплитуда в (9.82) будет равна р5/5(0). Во многих практических случа-
ях отличие показателя преломления (9.82) от вакуумного значения п = 1
мало, и можно пользоваться приближённым выражением
+ (9.83)
кЛ
Согласно (9.81), среда эквивалентна потенциальному барьеру высотой
Ц = — (к2-К2) =--------р/(0). (9.84)
2т т
Этот потенциал комплексный и содержит часть отвечающую поглощению
172 = 1тС/ = — р!т/(0), (9.85)
т
которая, в силу оптической теоремы (7.58), может быть выражена через
полное сечение,
ТТ К
1'г = -^1рка = -2гт7-
(9.86)
Этот результат согласуется с использованными выше элементарными оцен-
ками, основанными на длине свободного пробега Л частицы в среде. Дей-
ствительно, волновая функция в статистически однородной среде экспо-
ненциально затухает,
Ф ОС = е-руа1/2
(9.87)
и мы поолучаем для интенсивности пучка
|Ф|2 ос е~р™т = е~*/т,
(9.88)
где время свободного пробега равно
т = — = -, Л=—. (9.89)
рта V ра
Если применимо борновское приближение (7.79), реальная часть оптиче-
ского потенциала (9.84)даётся
[71 = Ее [7 = р (----------[ д3г ЩД = р [ д3г 17(г). (9.90)
т \ 2тгл// у У
Это прсто результат суммарного действия всех рассеивающих центров,
17(г — га), усреднённый, как и в (9.79), по их пространственному рас-
пределению с данной плотностью р = 7У/У.
Задача 9.7
Найти критический угол полного отражения медленных нейтронов от
поверхности ферромагнетика с внутренним полем В. Пренебречь поглоще-
нием и считать, что взаимодействие нейтронов с ядрами вещества слабое и
может характеризоваться положительной длиной рассеяния а, из (8.64).
(Более простая версия задачи была в задаче 1.2.3)
Решение Амплитуда рассеяния вперёд /(0) = —а < 0, так что среда менее
плотная для нейтронов, чем вакуум и показатель преломления меньше
единицы,
(9.91)
Даже для медленных нейтронов с А ~ 1 нм и а ~ 10-13 с ~ 10-6 нм,
отрицательный член в (9.91) мал, так что использование приближения
(9.91) оправдано. Ещё нужно добавить эффект магнитного взаимодействия
спина ±рВ для двух спиновых состояний, р магнитный момент нейтрона.
Как результат, появляется двойное лучепреломление нейтронного пучка
п(5) ~ 1 “ ^2тгра ± • (9.92)
Критический угол полного отражения дс определяется из
п = создс ^1---(9.93)
Из (9.92) мы получаем
7?с = У2[1 - п(Б)] =
1 . 2т
— \ тлра ± т- рВ.
ку пл
(9.94)
Этот угол меньше 1° для тепловых нейтронов с Еп = 0.25 эВ. Если магнит-
ный член в (9.94) превышает ядерный, нейтроны с одной проекцией спина
не будут отражаться и все отражённые нейтроны будут поляризованы;
сравните с задачей 1.2.3
9.9 Когерентное рассеяние на кристаллах
Как следует из уравнений (9.76) и (9.77), амплитуда рассеяния в среде
существенно отличается от амплитуды рассеяния на одном центре струк-
турным формфактором,
/(к', к) => /(к',к)Г(д), Г(д) = е“г(ч'Га), д = к' - к. (9.95)
а
После пространственного усреднения (9.79) В неупорядоченной среде
остаётся только рассеяние вперёд, д = 0, когда все центры рассеивают в
фазе. Конечная амплитуда пропорциональна числу центров; сечение в
этом случае пропорционально Аг2. В кристаллах, суммирование по всем
регулярно расположенным узлам отбирает определённые ненулевые век-
торы д, которые отвечают когерентному рассеянию на многих атомах.
Это присходит когда д = Ку - одному из векторов обратной решётки, см.
раздел 1.8.52. Для любого из них все вклады в сумму Р(д) равны 1. При
упругом рассеянии |к| = |кх|, когда
к'-к = Кд (9.96)
то это называется условием Брэгга. Этот результат согласуется с фак-
том установленным в главе 1.8: регулярная решётка создаёт потенциал
имеющий ненулевые фурье-компоненты только при импульсах совпадаю-
щих с векторами обратной решётки. По этой причине плоская волна не
является стационарным состоянием внутри кристалла. Рассеяние на перио-
дическом потенциале добавляет компоненты с импульсами отличающимися
от начального на один из векторов Кд
Смысл условий Брэгга ясен из геометрических соображений; это очень
похоже на рассеяние рентгеновских лучей обсуждавшееся в разделе 6.12.
Эти условия определяют
к'2 —к2, К2 = —2(к-К). (9.97)
Рис. 9.5. Геометрия брэгговского рассеяния.
а
Эти уравнения определяют (для различных К) плоскости в к-пространстве.
В терминах угла рассеяния ф
2 л 7 2 • 2
= 4Аг 81П —
2
(9.98)
Если {щ} - множество пространственных точек удовлетворяющих условию
(К • щ) = 2тгп, п = 1п1е§ег,
(9.99)
то эти точки определяют для различных п семейство параллельных плос-
костей. Согласно определению обратной решётки (1.8.52), эти плоскости
проходят через узлы этой решётки. Пусть расстояние между соседними
плоскостями (9.99) равно с/. Тогда длина вектора К, который определяет
это семейство может быть записана как К = 2тгп/с/, и из (9.98) мы находим
. 2л . 19
пл = —— п = 2а 81п —,
к 2’
(9.100)
где Л - длина волны частицы. Это обычная форма записи условия Брэгга,
которое определяет направления интерференционных максимумов в коге-
рентном отражении волны от системы кристаллических плоскостей. Только
векторы обратной решётки удовлетворяющие условию К < к/тр или длины
волн Л < 2с/, могут давать вклад в брэгговское рассеяние. Нейтроны с
Л > 2(1 проходят кристалл без заметного рассеяния.
Задача 9.8
Рассмотрим молекулу состоящую из регулярно расположенных одина-
ковых тяжёлых атомов. Предполагая применимость борновского прибли-
жения найти сечение упругого рассеяния частицы массы т на молекуле,
если известна амплитуда рассеяния /(д) на одном атоме. Укажите усло-
вие когерентного рассеяния, когда сечение усиливается на фактор ТУ2 По
отношению к рассеянию на одном атоме. Рассмотрите
а. два атома на расстоянии с/;
Ь. четыре атома по углам квадрата;
с. линейная цепочка атомов расположенных вдоль оси х в точках
а, 2а,..., ^а. Здесь полезна формула суммирования геометрической про-
грессии
1 -
1 - г
(9.101)
... летящая стрела находится в покое,
что следует из предположения, что
время состоит из мгновений, (третий
парадокс Зенона Элейского)
Аристотель, Физика
Глава 10
Реакции, распады и резонансы
10.1 Каналы реакции
Бинарная реакция
а + А Ъ + В (10.1)
есть обобщение процесса рассеяния на случай, когда конечные частицы
могут отличаться от начальных. В ядерных реакциях используется также
обозначение А(а, 6)В, где А и В есть ядро мишени и ядро продукта ре-
акции, а а и Ь — налетающая и вылетающая частицы. Обычно это значит,
что ядро мишени покоится, а частицы а формируют падающий пучок.
Частицы в середине обозначения, (а, Ь), это те, которые регистрируются
детекторами. В современных экспериментах с короткоживущими ядрами
А может использоваться обратная кинематика, когда эти ядра образуют
начальный падающий пучок.
Мы характеризуем реакцию указывая какие частицы находятся в свобод-
ном движении до и после взаимодействия (в асимптотических квантовых
состояниях) и могут быть зарегистрированы детекторами. Каждый возмож-
ный набор частиц вместе со всеми их квантовыми числами, описывающими
их внутренние состояния, (например, спин) образуют канал реакции. В
вышеприведённых обозначениях канал а = (А + а) есть входной канал, а
канал Ь = (В + Ь) есть выходной канал. Для каждого открытого (разре-
шённого по имеющейся энергии, см. ниже) канала в принципе возможна
постановка экспериментов, в которых этот канал может быть как входным,
так и выходным каналом.
Если входной канал и выходной канал совпадают, то мы говорим об
упругом процессе, в противном случае реакция неупругая. Ранее мы учиты-
вали наличие различных неупругих каналов как поглощение, приводящее к
уходу частиц из упругого канала. Конкретные неупругие каналы рассмат-
ривались только в рамках борновского приближения (теории возмущений).
Здесь мы познакомимся несколько ближе с физикой реакций. Конечно,
реакции более сложные, чем бинарные, также возможны.
Рассматривая все реакции в системе центра масс, мы можем записать
полную энергию в канале а, как сумму
Еа = еа + Е[Д (10.2)
кинетической энергии относительного движения еа = р2 /2ца, где ра есть
относительный импульс, ца = татд/(та + шд) приведённая масса в этом
канале и Е^Т внутренней энергии частиц а и А. Мы не рассматриваем
здесь обобщение на релятивистскую кинематику [24]. В реакции а -д Ь
сохраняется полная энергия Е,
Еа = га + Е^г = еь + ЁД = ЕЪ = Е. (10.3)
Изменение кинетической энергии в процессе носит название тепловой
эффект реакции или её Сф
Оъа = ~ = ЕД — ЁД. (10.4)
Он полностью определяется внутренней структурой реагентов.
Реакции а -д Ъ с (^ъа > 0 называются экзотермическими. Они энергети-
чески возможны при любой начальной кинетической энергии еа (выигрыш
в кинетической энергии за счёт внутренней энергии). Эндотермические
реакции, < 0, сопровождаются потерей кинетической энергии. Они
возможны только если еа + (^Ьа > 0, поскольку всегда должно быть 0.
Тогда необходимо, чтобы еа —(^Ьа > 0. Это значит, что существует
положительная пороговая энергия,
= -а,,. = Е“' - _е;~ > 0. (10.5)
и реакция а -д Ь возможна только выше этого порога, когда еа >
Величина полной энергии, при которой канал Ь становится активным,
Е = = + (10.6)
не зависит от канала а и определяет абсолютный порог Е^1 для канала Ь.
Ниже этого порога канал Ъ закрыт.
10.2 Матрица рассеяния для многоканальных реакций
Теперь мы можем обобщить одноканальное описание на случай многих
открытых каналов. Здесь мы также будем пользоваться стационарной фор-
мулировкой и работать на энергетической поверхности пр фиксированной
величине Е.
В канале а, волновая функция системы (а + А) может быть представлена
как произведение функции описывающей относительное движение и
внутренней волновой функции Фа частиц а и А,
Фа = ^афа^ (1о 7)
Полная волновая функция реакции содержит все возможные каналы,
ф = УДа. (10.8)
а
В упругом канале, а —> а, волновая функция относительного движения
?/А(г) имеет стандартный асимптотический вид
еааг + уаа/т (Ю,9)
Г
где ось % взята в направлении падающего пучка, /аа(в) — упругая ам-
плитуда и ка — волновой вектор относительного движения в этом канале,
еа = ^2к^/2ца. Волновые функции неупругих каналов Ь ф а не имеют пада-
ющей волны. В асимптотической области функция содержит только
расходящуюся сферическую волну с неупругой амплитудой /Ьа. Удобно
нормировать неупругие амплитуды таким образом, чтобы в асимптотике
фь « (10.10)
V йа г
С определением (10.10) радиальный поток уходящий к детектору площади
НА = г2Нок в канале Ъ равен
• ,Л \/Ьа\2 РЬ 2,
дьНА = —5------гьг аоъ- (10.11)
Г2 йа
Здесь гъ = Ккъ/Цъ ~ относительная скорость в канале Ъ. Поделив на падаю-
щий поток мы найдём дифференциальное сечение реакции а —> 6,
= |у6а|2 РЬЩ = |У«|2 (10.12)
НОк йа^а
Отношение волновых векторов связано с доступной плотностью конечных
состояний; оно уже появлялось и в борновском приближении.
Матрица рассеяния 8 теперь является оператором в пространтве каналов.
Обобщая одноканальное выражение мы определим матричный элемент
этого оператора для перехода а -д Ъ как
3Ьа = (1 - гТД = §Ьа + 2гЦкДь/Ьа.
(10.13)
Эти определения матрицы перехода Т и амплитуды / согласуются с (7.22) и
(7.62). Матрицы 8, Т и / всё ещё операторы по дополнительным квантовым
числам состояний канала. Сечение реакции (10.12) теперь может быть
переписано как
1 1аЬа ,6а|2 ТЬТ
Ноъ 4к%
(10.14)
Если взаимодействие в некотором канале является центрально симметрич-
ным, то мы можем использовать для волновой функции в этом канале
разложение по парциальным волнам, см. раздел 8. Тогда 8Ьа,ТЬа и /Ьа
диагональны по орбитальному моменту так что уравнени (10.13) может
быть написано для каждой парциальной волны,
Зьеа = 6Ьа - гЦа = 8Ьа + ыЦкДьЦ1.
(10.15)
Это очевидное обобщение выражения (8.7) полученного для упругого рас-
сеяния.
Предполагая центральную симметрию, мы можем выразить парциальные
амплитуды рассеяния через соответствующие элементы матрицы рассеяния,
ааа _ -| аЪа
Д' = -Ц----, Да = ----(10,16)
2гка 2гДДь У 7
Используя в (10.12) разложения по парциальным волнам и интегрируя по
углам подобно тому, как это было сделано в (32.9), мы получаем
ае1 = ааа = ^У2(2^+1)|5^-1|2, (10.17)
а е
^“ = ЙЕ<2'' + 1)1я!“12-
а е
С другой стороны, полное неупругое сечение было найдено в (8.10) как
сечение поглощения. В наших теперешних обозначениях,
а I
По определению поглощения,
& 1
и из сравнения (10.18) и (10.19),
1-|5Н2 = Е|ЯМ2.
Ь^а
(10.19)
(10.20)
(10.21)
Это есть не что иное, как особая форма условия унитарности (7.19), т.е.
сохранения вероятностей теперь в пространстве каналов,
5^5 = 1 ^3Ьа*3Ьс = 8ас.
ь
(10.22)
При с = а, выражения (10.22) и (10.21) совпадают. В терминах матрицы
перехода унитарность выражается как
НТ -ЦТ -Г1') = 0.
10.3 Детальное равновесие
Важные свойства многоканальной матрицы рассеяния следуют из инва-
риантности относительно обращения времени. В силу этой инвариант-
ности амплитуда /Ьа процесса а —> 6 должна быть равна амплитуде /аЬ
Т-обращённого процесса Ъ -н а.
Как мы знаем, обращение времени включает перестановку начального
и конечного состояний и обращение (обозначаемое тильдой) всех импуль-
сов и угловых моментов. Таким образом, инвариантность относительно
обращения времени даёт связь между амплитудами прямых и обратных
реакций,
(10.25)
для бесспиновых частиц мы бы имели соотношение взаимности, 8Ьа = 8аЬ
[?]. Используя уравнение (10.24), мы получаем для дифференциального
сечения (10.12) обратного процесса
^'аЬ = 1^612^ = \
17 1 к~ь 17 1 кЬ
поскольку величина импульса не меняется при отражении времени. Урав-
нения (10.12) и (10.25) позволяют сформулировать принцип детального
равновесия как соотношение между сечениями прямых и обратных процес-
сов,
скД 7 2 (1аЬа , 2
--- кЬ = ---- ка
(1Оа <1Оъ
(10.26)
Естественно, поскольку сравнение идёт при той же величине энергии Е в
системе центра масс, кинематики для этих двух процессов просто меняются
местами.
В борновском приближении инвариантность относительно обращения
времени ведёт к дополнительным симметриям, как уже обсуждалось в
разделе 8.10. В многоканальной задаче это тоже имеет место. Элементы
5-матрицы в борновском приближении пропорциональны соответствующим
матричным элементам гамильтониана возмущения (7.38), 8Ъа ос (Ь\Н'\а).
Поскольку гамильтониан эрмитовский, |5^а|2 = |5°^|2, и мы получаем
соотношение подобное (10.26), но для прямой, а -д Ь, и обратной , Ъ -д а,
реакций без обращения времени,
к2
Чг
В
(10.27)
Здесь нижний индекс В обозначает борновское приближение.
Комбинируя инвариантность относительно обращения времени, а -Д
Ь, Ь -д а, С борновской симметрией, а о Ь, мы заключаем, что имеется
инвариантность по отношению к простому изменению знаков импульсов и
спинов без обращения времени, а -д а, Ь -д Ь. В этом причина, по которой
не появляется поляризация при рассеянии неполяризованных частиц в
борновском приближении, см. раздел 8.10. Ненулевая поляризация воз-
никает (задача 8.7) для комплексного потенциала, который имитирует
существование неупругих каналов, но нарушает эрмитовость и инвари-
антность относительно обращения времени. Если, вместо комплексного
потенциала, мы бы описывали поглощение явно, с помощью неупругих ка-
налов, результат для упругого рассеяния выходил бы за рамки борновского
приближения.
Часто усреднённая форма принципа детального равновесия (10.26) быва-
ет довольно полезной. Пусть 4а и та соответственно спин частицы а (пол-
ный внутренний угловой момент) и его проекция. Определим усреднённое
сечение аЬа путём интегрирования по конечным углам суммирования
по проекциям спинов тщ и тц конечных частиц, усреднения по проекци-
ям спинов та и тд начальных частиц и усреднения по направлениям кб7
падающей волны,
Здесь вклады а -Д Ь и а -Д Ь входят на равных основаниях. Поэтому, для
усреднённых сечений имеем
= аЬй. (10.29)
Если мы проведём ту же процедуру усреднения (10.28) для принципа
детального равновесия (10.26), мы придём к его усреднённой версии,
(2Л + 1)(27Л + = (2/ь + 1)(27в + (10.30)
Выполнение соотношения (10.30) между сечениями прямых и обратных
реакций это простейшая проверка инвариантности относительно обращения
времени.
10.4 Сечения для медленных частиц
Вблизи порога для данного канала возникшие частицы движутся очень
медленно. Начальные частицы также могут быть медленными. В этих слу-
чаях можно получить общие оценки по аналогии с результатами раздела 8
для низкоэнергетического потенциального рассеяния. Такие универсальные
оценки можно делать только при наличии плавной зависимости от энергии,
что может иметь место для фона под возможными резонансами, которые
отвечают относительно долгоживущим квазистационарным состояниям.
Мы начнём с экзотермической реакции где начальная кинетическая энер-
гия мала. Пусть Ка — радиус сил между частицами во входном канале а.
Волновой вектор ка и кинетическую энергию еа = к2к2/2ца можно считать
малыми, когда, в согласии с критерием (8.58), длина волны относительного
движения велика по сравнению с радиусом взаимодейст вия, каКа 1.
В области взаимодействия г < Ка, парциальные волны с орбитальным
моментом I ф 0 подавлены ос (кагУ 1, см. (II.2.80). Соответствующие
амплитуды реакции малы и мы можем использовать оценку по теории
возмущений предполагая, амплитуды перехода пропорциональны матрич-
ному элементу гамильтониана взаимодействия Н'Ьа. В пределе малых ка
оператор Н' не зависит от малой входной энергии.
Для упругого рассеяния, а -д а, обе, начальная и конечная, волновые
функции в этом матричном элементе пропорциональны к&- Поэтому, ам-
плитуда перехода ос к^, и для упругого сечения (10.12) с Ь = а, мы
получаем
ос к^ ос Д. (10.31)
Это та же оценка, которая была выведена для потенциального рассеяния
через фазы рассеяния, см. (8.14) и (8.57).
Для неупругого экзотермического процесса а -д Ь, волновой вектор
конечной частицы къ имеет ненулевую величину (2т^^а)1/2/К , которая
не зависит от начального волнового вектора ка, когда ка -Д 0. Потому в
матричном элементе Н'Ьа только начальная функция чувствительна к ка,
так что ос к&, и согласно (10.12),
Ьа 7,21?—1 Д—1/2 /1Л
(Те ос — ос ка ОС еа 7 . (10.32)
При низких энергиях только «8-волна взаимодействует эффективно. Для
«8-волнового поглощения мы получаем возрастание сечения в согласии с
законом 1/г,
(?аа ос е“1//2 ос —. (10.33)
Закон 1/г справедлив для нейтральной частицы а, например для захвата
медленного нейтрона ядром, который сопровождается излучением другой
частицы (протона или альфа) или гамма кванта. Если начальная частица
а имеет положительный заряд, то центробежный барьер, порождающий
^-зависимость в выражениях (10.31) и (10.32) дополняется кулоновским
барьером. Вероятность поглощения тогда включает дополнительно про-
ницаемость кулоновского барьера (фактор Гамова), см. (1.2.66), который
зависит от произведения 2а2д зарядов частиц а и А,
р _ -2тт2а2Ае2/Пуа
Г а —
В результате, сечение поглощения для медленных частиц становится очень
малым.
Для эндотермической реакции а —> 6, например, рассеяние нейтрона
с возбуждением ядра мишени, мы сможем сделать общее заключение о
сечениях вблизи порога, когда рассеянный нейтрон (частица Ь) имеет очень
малую энергию у, = еа + (^Ьа = •> и конечный волновой вектор равен
Ч = - 411)- (10.35)
в этом случае конечное относительное движение медленно и его волновая
функция чувствительна к малому избытку энергии выше порога, будучи
пропорциональной к^ если конечное состояние имеет относительный орби-
тальный момент I. Такое же выражение (10.12) определяет сечение вблизи
порога для испускания частицы Лтой парциальной волне,
ос к^къ ос /с^+1 ос (еа — (10.36)
Опять, сечение заметно только в «8-волне где сечение растёт как корень
квадратный из избытка энергии выше порога. Для вылета положительно
заряженной частицы сечение, как и раньше, подавлено проницаемостью
П, (10.34).
10.5 Пороги и унитарность
Требование унитарности является мощным инструментом, который дик-
тует многие черты сечения. С увеличением энергии открываются новые
каналы реакции. Каждый новый порог есть особая точка в матрице рассе-
яния как функции энергии: в связи с появлением нового канала, который
имеет очень малое сечение около порога, сечения в ранее открытых ка-
налах, следует изменить для выполнения условия унитарности (10.22),
которое накладывает ограничение на все открытые каналы через сохране-
ние вероятности. Не входя в детали аналитических свойств 5-матрицы мы
проиллюстрируем возможное поведение на простом примере [25].
Упругий канал а открыт при любой положительной кинетической энергии
еа. Мы рассмотрим упругое сечение вблизи пороговой точки для неупругой
реакции а —> 6. Общий асимптотический вид многоканальной волновой
функции (10.8) реакции инициируемой во входном канале а есть, согласно
(Ю.Ю)и (10.16),
рккъГъ ГТ. 1
Ф ~ Дкатп)фа + у------ ГЧ.---- у (2^+1)РХсО8^)(5|а-56а)Ф6.
у гъ У ЦЬ 2гТкакь
(10.37)
Ниже порога реакции а -д Ь, волновой вектор къ в закрытом канале Ь чисто
мнимый, см. (10.35), къ = с реальным нъ > 0, где знак определяется
правильным поведением волновой функции на больших расстояния в
канале Ь: соответствующая часть волновой функции (10.37) падает экспо-
ненциально, ос ехр(—нцгъУ Это значит, что вероятность найти частицы Ь и
В в асимптотике —> оо равна нулю ниже порога, хотя эти частицы вир-
туально появляются на малых расстояниях д < Размер локализации
возрастает с уменьшением энергии связи Канал Ь открывает-
ся (частицы Ь и В не связаны) при къ = Къ = 0, или -Д оо, когда
асимптотическая форма (10.37) превращается в реальную уходящую волну
соответствующую этому каналу и частица Ь может достичь удалённого
детектора.
Рассмотрим «8-волну, когда условие унитарности (10.21) для двух откры-
тых каналов а и Ь даёт
|5Д|2 = 1 - |5^|2. (10.38)
Сразу выше порога реакции а -д Ъ, правая часть уравнения (10.38) линейна
по к^ как мы видели в (10.36),
\Д\2 = ркь. (10.39)
где р — действительная положительная константа. Тогда
|5Д|2 = 1-ркь. (10.40)
Откуда упругий элемент 5-матрицы имеет с точностью до членов квадра-
тичных по к^ вид справедливый выше порога,
50аа = М(кь) (1 - | кь) , (10.41)
где М(къ) — неизвестная фаза,
|М(^)|2 = 1 М(кь) = е^(кь) (10.42)
с действительной функцией (р(къ). В пороговой области (малые къ > 0)
мы можем разложить эту функцию в ряд Тэйлора с действительными
коэффициентами <рп,
р(къ) га ро + ргкь + |<^2^ + • • • (10.43)
Ниже порога канал а —> 6 закрыт и
8'Д2 = 1. (10.44)
Здесь 5-матрица полностью определена фазами рассеяния. Точно на пороге
3$а(къ = 0) = е2У (10.45)
где фаза рассеяния до взята при пороговой энергии. Из (10.41-10.45) мы
видим, что
(ДО = 250. (10.46)
Теперь мы предположим, что возможно аналитически продолжить упру-
гую часть 5-матрицы (10.41) в подпороговую область, где это выражение
приобретает вид
50аа = М(гк6) (1 - ф . (10.47)
Это выражение должно быть совместимо с условием унитарности (10.44)
ниже порога, которое даёт
1 = 15““|2 = \МЫ\2 (1 - Д ф (1 + Д ф га |ШМ2 (10.48)
если мы пренебрежём членами выше, чем первая степень къ- Таким образом,
уравнение (10.42) удовлетворено по обе стороны порога и в обеих областях
фаза (д(А^) должна быть действительной. С другой стороны, ниже порога
мы имеем вместо (10.43),
га 2<5О + г^иъ ~ + • • •, (10.49)
и функция только если она есть чётная функция волнового вектора и
все нечётные коэффициенты ряда Тэйлора исчезают. Поэтому, (Д1 = 0.
Окончательно, с точностью до членов порядка к^ упругая часть 5-матрицы
может быть записана выше и ниже порога как
5аа = е2г50 + (10.50)
ниже порога нужно просто заменить къ на
Упругое сечение (10.17) вблизи порога (на обеих сторонах!) может быть
записано теперь с помощью (10.50) как
<те1 =-^|1-50аа|2 = ^{48тЧ-/Же [кь (1 - е2^)] } + О(к2). (10.51)
±г Е
Рис. 10.1. Пороговые аномалии.
Выше порога для реакции а —> 6,
СГе! = 4- [4зш2 до - ркь{1 - соз250)] ,
(10.52)
или введя упругое сечение точно на пороге,
о, 47Г . 2
СТе1 = Т2 81П ^°’
С/
(10.53)
и выражение (10.35) для волнового вектора къ выше порога, мы получаем
_ ___ _Д1
ае1 — ^е!
Р I /
2\/ТГ<е"
Между тем, ниже порога, с мнимым къ = имеем из (10.51)
Сте1 = 4(4зш2 5о-рк6зт25о) = ст):}1
Сравнивая выражения (10.54) и (10.55), мы видим разрыв производной
упругого сечения, как функции энергии в упругом канале а на пороге
неупругой реакции а —> 6. Этот "острый выступ" определяется величиной
и знаком со! до на пороге. Рис. 10.1 [25] демонстрирует возможные типы
порогового поведения упругого сечения.
Аномалия не появляется, если частицы Ь и В испытывают взаимное
кулоновское отталкивание. В этом случае, проницаемость кулоновского
барьера (фактор Гамова (10.34)) в канале Ь стремится к нулю на поро-
ге, когда —> 0. Для кулоновского притяжения в канале Ъ ситуация
более сложная из-за резонансов связанных с дискретными кулоновскими
состояниями.
10.6 Изолированные резонансы; экспоненциальный и не
экспоненциальный распады
10.6 Изолированные резонансы; экспоненциальный и не
экспоненциальный распады
Типичную резонансную реакцию можно представлять как процесс иду-
щий через захват частицы а мишенью А с образованием промежуточного
состояния г. Через некоторое время, нестабильное состояние г распадает-
ся на конечные продукты Ъ и В, которые могут быть, в частности, теми
же, что и во входном канале а. Чтобы избежать более сложных вопросов
интерференции между различными резонансами, мы будем сначала пред-
полагать, что ширина Г резонанса г мала по сравнению с расстоянием до
других резонансов — резонансы не перекрываются.
Напомним наше первоначальное обсуждение нестабильных состояний,
раздел 1.5.8. Перекрытие вектора состояния |Ф(^)) с начальным состоянием
|Ф0) убывает со временем предположительно экспоненциально,
РД = |<Ф0|ФЦ)>|2 « е-г‘/п. (10.56)
Перекрытие (10.56) есть вероятность выживания, см. раздел 1.7.8. Ширина
Г определяет среднее время жизни состояния |Фо), Т = ^/Г, и неопределён-
ность его энергии, ДВ ~ К/т ~ Г. Временная зависимость (10.56) имеет
место, если эволюция во времени волновой функции даётся
|Ф(0> = е-^а|Ф0), (10.57)
где мы ввели комплексную энергию 8 = Во — |Г; её реальная часть Во харак-
теризует собственно энергию, а мнимая часть даёт ширину, обратное время
жизни. Все резонансные точки 8 расположены в нижней части комплекс-
ной плоскости энергии, Г > 0. Нормированное распределение вероятности
реальной части энергии даётся распределением Лоренца (1.5.79), которое в
теории реакций носит название формулы Брейта-Вигнера (БВД936), см.
рис. 1.5.10,
(^_^о)2 + Г2/4’ Ъ (10'58)
Важной особенностью БВ-распределения является бесконечность её вто-
рого момента: интеграл / с/В(В — Во)2/(В) расходится из-за очень слабого
убывания далёких крыльев БВ-распределения. Но мы знаем (см. раздел
1.5.8), что БВ-распределение не является полностью реалистичным для
вех энергий. Присутствие бесконечно малых энергий в (10.58) нефизично,
потому что нет состояний в гильбертовом пространстве системы с энер-
гиями ниже, чем энергия основного состояния. Нельзя утверждать, что
экспоненциальное убывание (10.56) справедливо в течение всего процесса
распада.
Реальное временное поведение распадающегося состояния определённо
должно отличаться от (10.56), по крайней мере на начальной стадии, как
мы видели в разделе 1.7.8. На ранней стадии эволюции скорость распада
определяется неопределённостью (флуктуацией) энергии ((Д7?)2) в на-
чальном нестационарном волновом пакете. Согласно уравнению (1.7.119),
вероятность распада, 1 — Р(^), растёт квадратично со временем {скорость
распада, — Р, возрастает линейно), в то время как для экспоненциального
распада вероятность распада линейна, а скорость распада постоянна. Здесь
уместно вспомнить вывод в разделе 2.1 золотого правила, которое пред-
сказывает постоянную скорость перехода (2.6). Это имеет место только
при достаточно большой длительности процесса, больше, чем время дей-
ствия возмущения. На очень коротких временах, при замене синуса на его
аргумент в уравнении (2.8), мы получаем результат аналогичный (1.7.119),
\аД)\2 = \Нр2^. (10.59)
Такое же поведение, типичное для малого времени действия возмущения,
Г11 1, можно увидеть в двухуровневой задаче, см. (II.5.56). В идеали-
зированном БВ-случае неопределённость энергии ((Д7?)2) бесконечна и
разложения используемые в (1.7.117) и (1.7.118) неверны.
Задача 10.1
Доказать неравенство (1.7.127) для вероятности выживания при I <
7г/1/2(Д7?), где АЕ — неопределённость энергии начального состояния,
Р(1) сое2 ( ДЕ) 1 ) , (10.60)
\ А у
используя альтернативное представление вероятности выживания в терми-
нах спектра Еп стационарных состояний \п),
РД = ^\сп\2\сДсо^Еп ^Ет^, (10.61)
пт
где |Ф0) = Епсп|п).
10.7 Квантовый еффект Зенона
Проблема экспоненциального или не экспоненциального распада близко
связана с возобновлением дискуссии по так называемым парадоксам Зенон.
Оригиналы парадоксов, приписываемых древнему философу Зенону из
Илей {Зенон Илейекий), обсуждались в "Физике"Аристотеля.
Древние парадоксы имеют отношение к природе пространства и времени.
Ахиллес никогда не догонит черепаху, потому что за любое конечное время
его движения черепаха продвинется чуть дальше; нельзя начать движение,
потому что прежде чем пройти всю дистанцию, нужно пройти половину
её и т. д.; движение невозможно вообще, потому что в либой момент вре-
мени летящая стрела занимает определённое положение в пространстве и
кажется неподвижной — ваше наблюдение ” замораживает "движение. Ана-
логию с парадоксом стрелы можно найти [26] в мысленном эксперименте с
распадающейся квантовой системой.
Грубо, парадокс можно описать следующим образом. Если начальное
состояние |Ф0) системы приготовленное при 1 = 0 нестационарно, то при 1 >
О оно эволюционирует в суперпозицию |Фо) стационарных и ортогональных
состояний (продуктов распада). Однако, если измерение обнаружит систему
всё ещё в первоначальном состоянии, то это можно рассматривать как
новое приготовление системы и начать отсчёт времени сначала. Производя
измерения через очень короткие промежутки времени, представляется
возможным полностью затормозить распад. Можно даже думать, что
отрицательный результат, ненаблюдение распада, должен уже сделать
распад невозможным. Действительно, если наш детектор не регистрирует
никаких продуктов распада, то это эквивалентно измерению отсутствия
распада и следовательно утверждению, что система находится в начальном
состоянии |Ф0); тогда можно снова начать отсчёт времени с нуля.
Вернёмся теперь к вероятности выживания (10.56) и предположим, что
за короткий интервал времени 51 эта вероятность убывает на
Р{51) = 1 - х{51)а, (10.62)
где х > 0 зависит от свойств начального состояния, а а > 0 — некоторая
степень, равная 1 для чисто экспоненциального распада. Повторим измере-
ния начального состояния раз за конечный интервал времени 1 = • 51.
Тогда, полная вероятность выживания даётся
РЛС =
1 — X
(10.63)
В пределе непрерывных измерений, 51 -л- 0, Аг ос. при фиксированной
конечной величине 1,
Р{1) -Л ехр х!{51)а .
(10.64)
Здесь видно различие между экспоненциальным, а = 1, и не экспонен-
циальным распадами. При а = 1, распад продолжается экспоненциально
независимо от стратегии измерений. В противоположность этому, при а > 1,
как это имеет место в стандартной ситуации с а = 2, вероятность распада
подавлена. При Л —> 0, вероятность выживания стремится к 1.
На самом деле нельзя иметь непрерывные измерения. Любые такие по-
пытки в соответствии с соотношением неопределенности энергия-время,
будут сильно искажать исследуемую систему. Тем не менее, наличие эф-
фекта Зенона за конечные но короткие интервалы между измерениями
было подтверждено экспериментами с атомами в ловушке под влиянием
периодических лазерных импульсов [27]. Поскольку не экспоненциальный
этап охватывает лишь небольшую часть начальной истории распада, суще-
ствует характерное время (иногда называется время Зенона 1%, оно обычно
того же порядка, что и типичные периоды невозмущенного движения в
квазистационарной системе), когда имеет место переход к нормальному
экспоненциальному поведению. Здесь измерения могут действовать в про-
тивоположном направлении ускоряя процессы распада. Этот анти-эффект
Зенона также был найден экспериментально [28]. Ситуацию может также
осложнить вмешательство волны отдачи идущей назад от измерительной
аппаратуры с примесями невозмущенных состояний отличных от имею-
щихся в начальном состоянии. Эти помехи могут вносить колебания во
временном развитии вероятности выживания.
Все эти нетривиальные эффекты появляются только вследствие фи-
зического взаимодействия устройства детектирования и распадающейся
или колеблющейся системы. Для того, чтобы разрушить суперпозицию
состояний, соответствующих начавшемуся распаду и вернуть систему в
исходное состояние, гамильтониан 11(] взаимодействия с детектором не
должен коммутировать с внутренним гамильтонианом Н' ответственным
за распад. (Мы еще вернемся к проблеме измерений в конце курса). Если
пассивный детектор просто ждёт прихода продуктов распада, но не взаимо-
действует непосредственно с системой, то он не может влиять на скорость
распада —его Гамильтониан коммутирует с Н'. Поэтому, " отрицательный
результат"эксперимента не производит никакого действия на систему и
такой парадокс Зенона исключён [29].
Нужно отметить, что не экспоненциальный ход процесса распада имеет
место и в самой поздней стадии, которая трудна для измерения из-за очень
небольшого количества оставшегося материала. В некоторых ядерных
процессах экспоненциальное развитие прослеживалось в течение 40-50
времён жизней. Механизм отклонения от экспоненциального распада при
1 т можно понять, на простой модели [30].
Задача 10.2
Найти поведение в пределе больших времен вероятности выживания в
потенциале Рис. 10.2 с непроницаемой стенкой при х = —а и отталкиваю-
щим барьером д5(х) при х = 0, если вначале частица была приготовлена в
стационарном состоянии ящика — а < х < 0.
Решение Начальная волновая функция даётся
Фо(ж) =
(10.65)
и Фо = 0 вне ящика. Развитие во времени определяется стационарными
состояниями ^фк(х) имеющегося потенциала. Они нумеруются волновым век-
тором к задачи рассеяния с энергией Е = К2 к2/2т. Условие регулярности
при х = — а даёт
А(к) 81п[/с(ж + а)], —а < х < О,
В{к}Лх + В'(к)е~гкх, х > О
(10.66)
Стандартные условия сшивки для дельта-функционного потенциала {задача
1.9.11} определяют
^ = Цк}, Г = хА хА (10.67)
где
_/7Ч 1 ГА V \ . /7 х /7 \1 тл 2тад Г\к) = - 1 1 — г -— 1 епцЫ) — гсоъ\ка) , V = —. л \ ка / /2 (10.68)
записана
Поэтому внешняя часть волновой функции (10.66) может быть
как
(10.69)
Начальное условие есть суперпозиция стационарных состояний,
фо(ж) = / ЛкС{кУфк{х},
1о
и решение задачи зависимости от времени даётся выражением
I дкС{к}^к{х}е~г№21/2т.
о
(10.70)
(10.71)
Для нахождения коэффициентов С (к), мы воспользуемся ортогонально-
стью набора ДДж). Их удобно нормировать как
[ (/ж ?Д/(ж)?Д(ж) = 5(& — А/). (10.72)
3 —а
С этой нормировкой,
С(к) = [ с1х Фо(^)аМж), (10.73)
3 —а
или, используя явный вид ?Д(ж),
С {к} = А(к) П^а/—^ Ап{ка}, (10.74)
{ка}^ — (птгр
с полюсами соответствующими энергиям состояний, которые были бы свя-
занными в ящике (резонансы) Вычисляя А (/с) соответствующие нормировке
(10.72) функций (10.69), мы сталкиваемся в области х > 0 со следующими
двумя сингулярными интегралами,
с1х 8т(А/ж) 81н(/сж) = ^[^(^ — к) — 5(А/ + к)] (10.75)
(здесь достаточно выразить подинтегральное выражение через экспоненты),
и
с1х со8(/с/ж) 8т(/сж) = 7г25(/с)5(/с/), (10.76)
где правая часть очевидно имеет вид 2(к)5(к — к'\ и интегрируя обе части
по к' и пользуясь интегралом Френеля находим 2 (к) = 7Г25(&). Из этой
алгебры,
Л(Ц = У
к
[(Ы)2 + каУ 8т(2Ы) + V2 ею2 (Ы)]1/2
(10.77)
Перекрытие начального состояния с состоянием в момент времени 1 даётся
<Фо|Ф(О> =
ак с2хУКкЧ/2т.
(10.78)
Функция А2(А:) имеет бесконечное число полюсов в комплексной плоскости
к, они дают экспоненциально падающие члены в функции перекрытия
(10.78). После обсуждавшейся ранее начальной стадии, полюс ближайший
к действительной оси будет определять ”нормальный”экспоненциальный
распад. Однако, в пределе 1 оо, экспонента в (10.78) быстро осциллирует
и основной вклад будет давать область малых волновых векторов, ка <У 1
поскольку тогда С2(&) ос (ка)2, этот предел определяется интегралом
Лке гНк2^2т(ка)2 ос! 3/2,
(10.79)
который получается при введении новой переменной б/ = ку/Н1/2т. Тогда
вероятность выживания ведёт себя как
Р(1) ос
СОП81
(10.80)
Как видно из решения, не экспоненциальный распад в пределе больших
времён есть следствие существования нижней границы энергетического
Рис. 10.3. Зависимость от времени распада в модели задачи 10.2 [30].
спектра Е = 0 в этой модели. Рис. 10.3 показывает полную временную зави-
симость распада; Т = &1/2гпа?. Сплошная линия обозначает вероятность
выживания, а пунктирная линия обозначает связанную с ней вероятность
нахождения частицы внутри ящика, |Ф(жД)|2, которая ведёт себя по-
чти так же, но слегка превышает Р(Г) поскольку она включает вероятность
возвращения в ящик, но в состояния отличные от начального.
10.8 Резонансное сечение
Нестабильное состояние может приближённо рассматриваться как при-
надлежащее дискретному спектру, если его время жизни достаточно велико
или соответствующая ширина очень узкая. Дискретный спектр может быть
выделен, если неопределённость энергии состояний меньше, чем среднее
расстояние между уровнями И, АЕ ~ К/т < Е. Это значит, что уровни не
перекрываются,
Волновой пакет временно захваченный в дискретный спектр с расстоя-
нием между уровнями ~ Р, может быть приближённо представлен как
ехр[(—2кг/Н)пВ1[фп. Он (также приближённо) воспроизводит себя с
периодом возврата или времени Вайскопфа, К/В. Условие (10.81) означает,
что время жизни внутри системы превышает время возврата,
К К
Б
(10.82)
Значение к ~ 1 является границей между двумя физически различными
динамическими режимами, слабая связь с континуумом, когда е < 1 и
спектр состоит из изолированных квазидискретных уровней и сильная
связь, когда е > 1 и состояния перекрываются. Долгоживущие состояния
во многих отношениях близки к истинно стационарным и поэтому их часто
называют квазистационарными.
Нестабильные состояния рождаются в различных реакциях и, через
некоторое время, распадаются обратно в континуум. Они изучаются в
процессах возбуждения и девозбуждения. В экспериментых по рассея-
нию долгоживущие состояния видны как узкие резонансы в сечении, как
функции энергии. В неперекрывающемся режиме параметризация Брейта-
Вигнера, (10.58), может быть достаточно хорошим приближением. Однако,
такое феноменологическое описание обычно не входит в детали внутренней
структуры резонансных состояний. Мы рассмотрим область энергий, где
в сечении доминируют изолированные резонансы с комплексной энергией
8 = Ег — (г/2)Гг.
Будем строить амплитуду ТЬа для процесса а -Л- Ь идущего через изоли-
рованный резонанс г по аналогии с теорией возмущений. Здесь нам нужны
процессы как минимум второго порядка, а —> г —> 6. Описание такого
двухступенчатого процесса должно включать входную амплитуду (г|А|ф,
выходную амплитуду (6|А|г), которые пропорциональны соответствующим
матричным элементам полного гамильтониана между состояниями канала
и промежуточными состояниями (точное соответствие зависит от норми-
ровки волновых функций в континууме), и энергетический знаменатель,
разность между начальной энергией Еа в канале а, (10.2), и энергией
промежуточного состояния. В противоположность нормальной теории воз-
мущений в дискретном спектре, последняя энергия должна быть замене-
на комплексной энергией, потому что состояние нестабильно и не имеет
определённой реальной энергии. Введём для краткости обозначение для
амплитуды перехода = (6|А|г). Тогда, амплитуда реакции при энергии
Е = Еа принимает Брейт-Вигнеровский вид,
ТЬа(Е) = Аьг
_________________да*
Е-Ег + (г/2)Гг г
(10.83)
. С общим размерным фактором, как в (10.17-10.19), мы получаем эффек-
тивное сечение пропорциональное квадрту модуля амплитуды (10.83),
<7Ьа =
Ь2
дЪ да*
Еа — Ег + (г/2)Гг
(10.84)
При такой нормировке амплитуды А". имеют размерность корня квадрат-
ного из энергии. В общем случае они зависят от энергии реакции, Е = Еа,
через волновые функции в континууме, они должны исчезать на соот-
ветствующих порогах. Однако, для узких резонансов далеко от порогов
соответствующих каналов, Однако, для узких резонансов и далеко от
порогов соответствующих каналов явная зависимость от энергии в энерге-
тическом знаменателе является наиболее значимой потому что амплитуды
и кинематические факторы (функции от ка и къ) почти константы внутри
энергетических интервалов меньших, чем расстояние между резонансами
или от резонанса до порога.
Мы построили БВ-формулу ” руками”. Главная её особенность это ре-
зонансное поведение, как в (10.58) вокруг энергии Ег. Энергетическая
ширина наблюдаемого сечения это величина Гг, прямо связанная с време-
нем жизни промежуточного состояния. Отметим, что резонансное усиление
видно при реальной энергии реакции, в то время как полюс амплитуды
расположен в комплексной плоскости Чем меньше ширина, тем ближе резо-
нансный полюс к действительной оси, тем выше максимум сечения ос Гр2
в точке резонанса Е = Ег. Резонанс виден в любом канале Ь связанным с
долгоживущим промежуточным состоянием г ненулевой амплитудой А^.
10.9 Унитарность и сверх-излучение
Резонансное поведение в нашем феноменологическом подходе определя-
лось положением полюс Ег в нижней части комплексной плоскости энергии
и набором амплитуд А". для всех открытых каналов а связанных с резонанс-
ным внутренним состоянием. Однако, эти параметры не могут принимать
произвольных значений. Как мы видели в пороговой области, требование
унитарности налагает ограничения на элементы матрицы рассеяния.
Давайте проверим, выполняется ли это требование для используемой
параметризации, которую можно представить как
ТЬа^АьгдА^*, (10.85)
где пропагатор при данной действительной энергии Е,
д(Е} = тД = Е-Е 4-6//21Г (10'86)
удовлетворяет очевидному тождеству
1 Г
1Шд = -(д-д*) = -уд*д. (ю.87)
2г 2
Перемножая матрицы Т и и учитывая (10.87), мы видим, что условие
унитарности (10.23)требует
Е |Д|2 = Д (10.88)
С
Ширина Гг, будучи обратно пропорциональна времени жизни резонанса,
даёт полную скорость перехода из резонанса г во все разрешённые каналы
распада. Поэтому, величины должны интерпретироваться как парци-
альные ширины резонанса г по отношению к данной моде распада (канал
с)
ГСГ = \АСГ\2, Гг = ЕГг- (10.89)
С
Если частица Ъ может быть испущена с оставлением ядра остатка В в раз-
личных конечных состояниях Вг. то каждому такому состоянию формально
соответствует конкретный канал = (Ь + В*). Тогда мы можем найти пол-
ную ширину испускания для частицы Ь как сумму по всем возможным
состояниям ядра остатка,
ГД) = ЕГг+Д (10.90)
Ьг
С возрастанием энергии выше порога ширины нестабильных состояний
растут вместе с доступным фазовым объёмом в континууме. Соотноше-
ние (??) перестаёт выполняться и резонансы начинают перекрываться.
В этом режиме появляются новые явления: статистические (Эриксонов-
ские) флуктуации сечений из-за хаотических фаз интерферирующих ре-
зонансов и аналог оптического сверх-излучения, раздел 2.9. Со связью
квазистационарных состояний и континуума выражаемой амплитудами
эти состояния приобретают новы механизм связи между собой аналогичный
взаимодействию через яркое состояние, см. т.1, разделы 10.7 и 10.8. Это
взаимодействие между состояниями к и I может быть описано неэрмитовой
добавкой к к внутреннему гамильтониану,
Ны = - | У>реп)« (10.91)
С
Грубо говоря, система может виртуально распасться из состояния I в ка-
нал с и затем вернуться обратно в другое состояние к, потому что они
перекрываются и их энергии неопреде лены внутри ширин. Для изолиро-
ванных резонансов важен только диагональный член к = I и эффективный
гамильтониан (10.91) ведёт к комплексной энергии в знаменателе (10.86) с
полной шириной одного резонанса даваемой (10.88). Формальный вывод
эффективного резонанса можно найти в книге [38].
В пределе сильного перекрытия, когда параметр (10.81) велик к 1,
анти-эрмитовский член (10.91) играет ведущую роль в пропагаторе (10.86),
и основное взаимодействие между внутренними состояниями происходит
через континуум. Подобно сверх-излучению из-за связи кубитов через об-
щее поле излучения, это взаимодействие приводит к реструктуризации
ширин. В результате, несколько состояний приобретают значительную
часть полной суммарной ширины, а оставшиеся (захваченные) состояния
возвращаются к режиму без перекрытия. В сечении реакции широкое со-
стояние видно как огибающая узких резонансов. Число широких состояний
равно числу ненулевых собственных значений матрицы Н, которое равно
числу открытых каналов. В этом пределе решение динамической задачи
аналогично тому, как это делалось для эрмитовского факторизованного га-
мильтониана в т.1, раздел 10.8, но в данном случае коллективные состояния
концентрируют распадную ширину, а не силу мультипольных переходов
(сдвиг вдоль мнимой оси в комплексной плоскости энергий). Контригра
эриксоновских флуктуаций против сверх-излучательных переходов играет
важную роль в процессах передачи сигналов через различные квантовые
системы. Детальное обсуждение этих вопросов выходит за рамки книги.
10.10 Угловой момент и чётность
В нашем рассмотрении мы не учитывали вырождение из-зи возможно-
сти различных проекций углового момента. Полный угловой момент
в системе центра масс сохраняется и поэтому равен угловому моменту
промежуточного состояния ("спину резонанса"),
3 = = 7Г = Г. (10.92)
Проекция = М полного углового момента на ось квантования также
сохраняется. Состояния с различными М имеют одинаковую энергию, т.е.
мы фактически имеем + 1) вырожденных резонансных состояний с
одинаковыми резонансными свойствами, которые не зависят от ориентации
системы как целое.
Квантовое число М измеримо, так что процессы соответствующие ортого-
нальным состояниям с различными М не интерферируют. В эксперименте
без регистрации М и поляризационных состояний начальных частиц а
(спин и А (спин Уд), мы должны суммировать по М и усреднять
некогерентную сумму резонансных сечений для разных М по начальным
проекциям. Это даёт
аЬа = Л 2’7 + 1_____________Аг.^
к2а ОТ + 1)(2Ч + 1) Е - Ег3 + (г/2)Гг7
(10.93)
где полный угловой момент У указан отдельно, в дополнение к другим
квантовым числам г резонанса. Вводя парциальные ширины (10.89), мы
получаем
Ьа = Ц _____274-1___________ПДД________ /10 94\
к2 (27а + 1)(27л + 1) (Е-Ег3у + У^/Г к ’
Зависящий от спина статистический фактор здесь равен вероятности найти
величину полного углового момента при векторном сложении Л = Ла + Лд
равную резонансному значению У.
Если мы не рассматриваем распады за счёт слабых взаимодействий,
пространственная чётность П также сохраняется. Она определяется внут-
ренними чётностями частиц и чётностью волновой функции относительного
движения, т.е. орбитальным моментом относительного движения в данном
канале:
П = ЩПД-Д = пг = ЩПД-А
(10.95)
10.11 Узкий резонанс как составная система
В резонансе, Е = Егд, сечения всех каналов выражаются простыми
соотношениями, которые имеют очевиддный вероятностный смысл,
Ьа = 47Г 27 + 1
(2Л + 1)(27д + 1) 1Д ’
(10.96)
будучи пропорциональными произведению вероятности захвата и
вероятности распада Г^/Ггт. Тогда входной и выходной каналы статисти-
чески независимы. Конечно, это было изначально заложено в приближении
изолированного резонанса (10.83).
Идея статистической независимости является главной в теории состав-
ного ядра (Н. Бор, 1936), или составной промежуточной системы в общем
случае. Физически мы ожидаем справедливость такой картины если резо-
нанс достаточно долгоживущий, чтобы было возможно достичь состояния
близкого к тепловому равновесию, когда память о входном канале теря-
ется и распад на разные выходные каналы определяется статистически.
Отметим, что в случае одноканального (упругого) рассеяния, парциальная
и полная ширины совпадают и резонансное сечение не содержит никакой
динамической информации; оно определяется, за исключением спиновых
статистических факторов, начальной длиной волны Ха ос АД1.
В окрестности изолированного резонанса все каналы а -д Ъ демонстриру-
ют одинаковое Брейт-Вигнеровское поведение (10.94). Отношение сечений
для различных каналов есть просто отношение парциальных ширин,
(7Ьа
аса
(10.97)
Для данного входного канала а, отношение (полное неупругое)/(упругое)
тогда равно
^ше1 _ ~ по\
а 1 ~ ааа ~ ра ~ ра ' ( • )
ае1 о к к
В терминах полного сечения это может быть записано (опуская очевидные
индексы) как отношение вероятностей
^е! = Фы ДД? °1пе1 = ? Г = Ге1 + ГДпе1. (10.99)
Одинаковое положение пика в сечениях в разных каналах свидетельствует,
что мы имеем дело с одним изолированным резонансом.
Этот подход может быть обобщён на учёт пороговых эффектов важных
для медленных частиц. В этих случаях парциальные и полные ширины не
константы, а плавные функции энергии или волнового вектора в соответ-
ствующем канале. Рассмотрим, например, реакцию при низкой энергии еа
во входном канале. Тогда, как мы знаем, упругая ширина в Лтой парциаль-
ной волне должна зависеть от энергии ос к^+1 ос Поэтому можно
л- оД
определить не зависящую от энергии приведенную ширину угсогласно
/р \ П1/2
= , (Ю.ЮО)
где е® = Ег — Д1/111' есть кинетическая энергия в резонансе. Поскольку в
нашем подходе все каналы входят на равных основаниях, за исключением
различия в плотности конечных состояний, которое эффективно учиты-
вается фактором к~2 ос е”1, подобная зависимость от энергии ос
появляется и в парциальной ширине испускания медленных частиц в Л
той парциальной волне. Как мы помним из теории рассеяния, подавление
высших парциальных волн идёт от центробежного барьера и параметром
малости является кК, где К характеризует радиус взаимодействия.
10.12 Интерференция резонанса и потенциального рассеяния
Узкий резонанс соответствует квазистационарному состоянию, которое
почти связано взаимодействиями внутри составной системы. На практике,
резонансы в сечении наложены на плавный фон. Плавная часть сечения
обязана процессам, которые не влекут образование долгоживущих внут-
ренних состояний. Слабая зависимость от энергии фона показывает, что
соответствующие взаимодействия имеют малый временной масштаб (пря-
мые процессы). В более продвинутой микроскопической теории это может
рассматриваться как признак присутствия высокоэнергичных резонансов,
от которых видны только низкоэнергетические хвосты, или очень широких
(короткоживущих, таких как сверх-излучательных) возбуждённых состоя-
ний, которые теряют свой резонансный характер. Потенциальное рассеяние
также может приводить к тем же конечным состояниям, что и распад
узкого резонанса и все эти процессы интерферируют.
Для простоты мы рассмотрим один «8-волновой резонанс. Упругое рас-
сеяние состоит из резонансной части и ”потенциальной”части, которая
включает все вклады с плавной зависимостью от энергии. Эти части долж-
ны складываться когерентно, на уровне амплитуд,
А1 =/ге8 +/ро^. (Ю.101)
Упругое сечение содержит интерференционный вклад,
<Те1 = 4тг|/е1|2 = 4тг|/гез + /ро1|2. (10.102)
Два вклада в (10.101) различимы по их энергетической зависимости; мы
предполагаем, что резонансная часть /ге8 может быть распознана по её
брейт-вигнеровской форме (10.93).
Разложение на резонансную и потенциальную части естественно возника-
ет из феноменологического анализа 5-матрицы, если последняя имеет резо-
нансный полюс в комплексной плоскости энергии. Радиальная «8-волновая
функция в асимптотической области г > К входного канала а выражается,
см. (8.16), с помощью матричного элемент 8 = 8$а как
и(г) ос е~гкг - 8егкг. (10.103)
Зависящая от энергии величина 8 определяет оба, упругое (10.17)и полное
неупругое (10.19) сечения. Полюса их аналитического продолжения на
мнимую ось к = ж дают энергии возможных связанных состояний, см.
раздел 10.4. Теперь мы ищем квазистационарные состояния связанные с
полюсами при комплексной энергии 8.
Если бы мы могли создать в реальности состояние с этой комплексной
энергией, то соответствующий волновой вектор к был бы также комплекс-
ным. Для долгоживущего состояния, Г Е$,
1 __ (т-л $ 7 (\ • Г \ _ /2цаЕо
к ~ у 7Л \ 0 ” 2Г) ~ к° V ” г7Ё^) ’ к°~ у п2 ‘ (В * 10-104)
В полюсе 8 мы можем пренебречь первым членом в (10.103), который
даёт падающую волну. Оставшаяся расходящаяся волна даёт растущую на
больших расстояниях интенсивность,
егкг ~ егког е(даГ/2П2/го)г_ (10.105)
Эта ненормируемая функция описывает волну частици испущенной из
нестабильного состояния и движущейся из начала координат со скоростью
V = Кк^/ца. Действительно, восстановив зависящий от времени фактор
(10.58), мы имеем в точке комплексного полюса
«(г) о< Л°г е-^Ео* е(г/2П)[(гН-«], (10.106)
волновой пакет движущийся наружу со скоростью г.
В задаче рассеяния элементы 5-матрицы должны находиться при сшив-
ке внешней волновой функции (10.103) с реальным решением уравнения
Шрёдингера при той же положительной энергии Е внутри области взаимо-
действия г < К. Фактически, мы должны знать только логарифмическую
производную внутренней волновой функции на поверхности сшивки г = К.
Удобно определить безразмерную логарифмическую производную
Х(Е) = п(-Е\ . (10.107)
\и аг; г=к
Предполагая эту функцию известной в точке г = Я —0, мы можем записать
условие сшивки функции (10.103)
л<е>=;+сходов)
Если бы не было неупругих каналов, А(Е*) была бы действительной и
уравнение (10.108) немедленно показало бы, что |5| = 1 как и должно
быть в упругом рассеянии (8.2). В общем многоканальном случае А(Е*) есть
комплексная функция, которую можно разделить на действительную и
мнимую части,
АЦ) = А1Ц)-гА2Ц) 8 = -е~*кН (Ю.Ю9)
(кК + А2) + гА1
В присутствии поглощения (неупругие каналы), |5| < 1; легко видеть, что
это неравенство влечёт А2 > 0. Используя (10.17) и (10.19), мы выражаем
упругое и неупругое сечения,
7Г . .9 47Г _97ч./? кН -ъп .
сте1 = 1 - 5 2 = -2 е 2гкК-----— - е гкКыпкП
кЛ к1 А — гкК
„ - Т П _ I - 47Г кКХ^
те1 А)2 Г 1*1) к2 ^П + Х^2 + Х2-
(10.110)
(10.111)
Глядя на выражение (10.110), естественно сделать разложение (10.101,10.102)
вводя амплитуду потенциального рассеяния, в согласии со стандартным
определением (9.12),
/ро1 = Т 8Ш 5о, = -кН.
К
Фаза рассеяния до была бы единственным эффектом рассеяния на непрони-
цаемой сфере радиуса , см. (8.41). В нашем случае возможно проникновение
в область взаимодействия и это есть источник появления квазистационар-
ных состояний спрятанный в резонансной части амплитуды рассеяния,
7ге8 — 7 с
к
кК
Л — гкК
(10.113)
Заметм, что 5-матрица потенциального рассеяния, 5ро1 = е2г$°, входит в
резонансную амплитуду как дополнительный фактор, потому что рассея-
ние на квазистационарном уровне с необходимостью включает свободное
движение вне сферы взаимодействия, которое связано с фазой рассеяния
50 = -кК.
Для нахождения условия существования узкого резонанса рассмотрим
область низких энергий, кК 1, в которой доминирует «8-волновое рассе-
яние. Резонансная часть (10.113) может быть значительной только если
комплексная величина Л тоже мала, |Л| ~ кК. Мы бы имели точный ре-
зенанс (полюс амплитуды /ге8), если бы было Л1 = 0, Ад = —кН. Как мы
уже обсуждали, это соответствовало бы квазистационарному состоянию,
достигаемому в упругом рассеянии. Однако это невозможно в физической
области в присутствии неупругих каналов, когда должно быть Ад 0. Тем
не менее, для малых Ад > 0 мы всё ущё можем видеть узкий резонанс.
Действительно, пусть Ео есть реальная часть энергии, где А1(Е*о) = 0. В
окрестности этой энергии
А|(В)Д^Д (Е — Ео) + • • = ДЕ~Ео) + ... (10.114)
\^Е р Е=Ео
Предполагая, что А) < 0, мы можем определить ширины следующим
образом, сравните с (10.99),
Ге1 = -^, Г1пе1 = -^Д Г = Ге1 + Г1пе1. (10.115)
Л1 Л1
Тогда, резонансная часть упругой амплитуды (10.113) приобретает брейт-
вигнеровский вид,
1 .2^0 (1/2)Ге1
к Е - ^0 + (г/2)Г’
(10.116)
с полюсом в комплексной плоскости. Это немедленно даёт брейт-вигнеровское
резонансное выражение для неупругого сечения (10.111),
__ тт Ге1Г1пе1
СТ1пе1 “ № (е _ Еоу + (1/4)г2’
Рис. 10.4. Интерференционная картина потенциального и резонансного
рассеяния.
которое совпадает с (10.94) после суммирования по всем неупругим каналам
Ъ (здесь мы не учитываем спиновых факторов ).
В упругом канале сечение даётся интерференцией (10.102); в непосред-
ственной близости к резонансу во многих случаях можно пренебречь потен-
циальным рассеянием и вернуться к результатам раздела 10.6. Присутствие
потенциальной части плавно меняющейся с энергией искажает форму брейт-
вигнеровского резонанса. Из-за интерференции форма теряет симметрию
относительно резонансной энергии Ец. Рис. 10.4 показывает типичную
наблюдаемую картину. Легко видеть, что упругая фаза рассеяния для
резонанса интерферирующего с гладким потенциальным рассеянием имеет
универсальную энергетическую зависимость вблизи резонансной энергии,
Г
6 = 5- агс1ап (10.118)
Если 5 фаза потенциального рассеяния вдали от резонанса (её измене-
ние мало внутри ширины резонанса), полная фаза меняется на л при
прохождении резонанса.
Литература
[1] Веггу М. // Ргос. В. 8ос. Ьоп<1. А. — 1984. — Уо1. 392.-Р. 45.
[2] 011еп Е., АУеткеттег С. // Кер. Рго§. Рку8.— 2008.— Уок 71.—
Р. 086201.
[3] Заупее Е., Ситтт^е Е. // Ргос. ШЕЕ. — 1963. — Уок 51. — Р. 89.
[4] 8коге В., КтёЫ Р. // 3. МоЗ. ОрЕ - 1993. - Уок 40. - Р. 1195.
[5] Вигек V., Зех I. // I. МоЗ. ОрЕ - 1989. - Уок 36. - Р. 1427.
[6] Шеке К. // Ркуе. Кеу. - 1954. - Уок 93. - Р. 99.
[7] РЕ ЗкпЬаподуЕг 1.Р. Негтап 3. М., Рек! М. // Ркуе. Кеу. Ье1Е — 1973. —
Уок 30. - Р. 309.
[8] Ееуптап К. Р1ю1оп-Нас1гоп 1п1егас1юп8. — КеасИп§ : Веп^атт, 1972.
[9] Еегпн Е. 1Чис1еаг Рку81С8.— СЫса^о, 1950.
[10] АкЫегег А., Веге81е1зку V. С^иап1ит Е1ес1гос1упаппс8.— 1п1ег8С1епее,
РЕУ., 1965.
[11] ЬапЗаи Ь., ЫЬккг Е. Соигее о! ТкеогеЕса! Рку81С8. С1а881са1 Ткеогу о!
Е1е1(18. — Ох1ог(1 : ВиКегуюгШ-Нететапп, 1996. — Уок 2.
[12] УУетЬег^ 8. (^иап1ит Иек! Ткеогу. — СатЬпс1§е Итуегеку Ргеее, 1995. —
Уок 1.
[13] Ьатогеаих 8. // Ркуе. Кеу. Ье1Е — 1997. — Уок 78. — Р. 5.
[14] Саекпк Н., РоМег О. // Ркуе. Кеу. — 1948. — Уок 73. — Р. 360.
[15] Вгеиег Н.-Р., Ре1гиссюпе Е. Тке Ткеогу о! Ореп С^иап1ит 8у81ет8.—
Ох1ог(1 Итуегеку Ргеее, 2002.
[16] М. Вогс1а§ И. М., Мо81ерапепко М. // РЬу8. Еер.— 2001. — Уок 353.—
Р. 1.
[17] ЬатЬ АУ., ЕеВтеНогс! Е. // РЬуе. Ееу.— 1947. — Уок 72. — Р. 241.
[18] ВеИхе Н., 8а1ре1ег Е. С^иап1ит МесЬатсз о! Опе- ап<4 Тдуо-Е1ес1гоп
А1оте. — ВегИп : 8ргт§ег, 1957.
[19] Ьапс1аи Ь., Ы&Ы!/ Е. Сошъе о! ТкеогеИса! Ркунхсн. Е1ес1гос1упат1с8 о!
СопИпиоие МесИа. — Ох1огс1 : ВиШнлуогШ-Нететапп. 2000. — Уок 8.
[20] Ьапс1аи Б., БИзкИх Е. Соигзе о! ТЬеогеИса! Ркузхсз. Мескатсз.— Ох-
1ог(1 : Ви11епуог1Ь-Нететапп, 2003. — Уок 1.
[21] Ере1Ьаит Е. // Рго§. Раг1. Миск Ркуз.— 2006. — Уок 57. — Р. 654.
[22] ВоЬг А., Мо11е1зоп В. Мис1еаг 81гис1иге.— 8т§ароге : АУогН 8с1еп1Шс,
1998. —Уок 1 апЛ 2.
[23] ЬапОаи Ь., ЫЬЬЕх Е. Соигзе о! ТЬеогеИса! РЬузюз. С^иап1ит МесЬатсз:
Моп-Ве1а11У1з11с ТЬеогу. — Ох1ог<4 : ВиНегдуогИх-Нететапп, 2003. —
Уок 3.
[24] РПкикп Н. Ее1а11У1з11с РагИс1е Ркузхсз. — 8рпп§ег, 1979.
[25] Базь А. И. // ЖЭТФ. - 1959. - Т. 36. - С. 1762.
[26] М18га В., ЗиЛагзкап Е. // 4. Ма111. Ркуз. — 1977. — Уок 18. — Р. 756.
[27] АУ.Н. Еапо Б.Л. Нетхеп Л. В., Жпе1апс1 Б. // Ркуз. Ееу. А.— 1990.—
Уок 41. —Р. 2295.
[28] М.8. Ехзскег В. С.-М., Еаххеп М. // Ркуз. Ееу. ЬеЕ. — 2001. — Уок 87. —
Р. 040402.
[29] НоЕа М., Мопкадуа М. // Рку8. Ееу. А. — 2004. — Уок 69. — Р. 052114.
[30] Б.А. Б1си8 ЖЖ Еерко Е. 8. // Рку8. Ееу. А. - 2002.- Уок 65.-
Р. 032116.
Министерство образования и науки РФ
Новосибирский государственный университет
Физический факультет
Квантовая физика
Том 4
Релятивистская квантовая механика, квантовая теория
многих тел, квантовый хаос
Учебное пособие
п
Автор: Зелевинский В. Г.
Редактор перевода: д.ф.-м.н. Дмитриев В. Ф.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Сербо В. Г.
Учебное пособие содержит современное изложение основных фундамен-
тальных положений квантовой физики с их применением в атомной и
ядерной физике. В четвертом томе курса подробно рассматриваются реля-
тивистская квантовая механика, квантовая теория многих тел, квантовый
хаос. Вводится уравнение Дирака, рассматриваются свойства его решений,
в том числе для свободного движения, для атома водорода, для движе-
ния в магнитном поле. Обсуждаются симметрии элементарных частиц,
свойства нейтрино и каонов. Вводится вторичное квантование в приложе-
нии к атомным и ядерным многочастичным конфигурациям. Подробно
рассматриваются свойства систем тождественных частиц, коллективные
явления, сверхпроводимость. Вводится понятие о квантовом хаосе. Изложе-
ние материала в каждой из глав осуществляется по принципу от простого
к сложному. Разделы глав, наряду с теорией, включают задачи и их ре-
шения в количестве, достаточном для полноценного усвоения материала.
Издание предназначено для студентов физических и физико-технических
факультетов университетов.
Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009-2018 гг.
Оглавление
1 На пути к релятивистской квантовой механике 1
1.1 Ограничения подхода.................................... 1
1.2 Релятивистские единицы................................. 2
1.3 Преобразования Лоренца................................. 2
1.4 Энергия и импульс...................................... 4
1.5 Тензоры и обозначения.................................. 5
1.6 Уравнение Клейна”- Гордона............................. 9
1.7 Сохранение тока....................................... 11
1.8 Частицы и античастицы................................. 12
1.9 Электромагнитное поле................................. 14
1.10 Минимальная электромагнитная связь.................... 16
1.11 Фотоабсорбция при высоких энергиях ................... 19
1.12 Ядерный фотоэффект.................................... 21
1.13 Оценки процессов в КЭД................................ 23
2 Уравнение Дирака: Формализм 29
2.1 Введение уравнения Дирака............................. 29
2.2 Ковариантная форма и алгебра.......................... 31
2.3 Ток................................................... 33
2.4 Зарядовое сопряжение.................................. 35
2.5 Релятивистские преобразования......................... 37
2.6 Оператор спина........................................ 39
2.7 Билинейные коварианты ................................ 42
3 Уравнение Дирака: решения 47
3.1 Свободное движение.................................... 47
3.2 Море Дирака........................................... 48
3.3 Явные решения......................................... 50
3.4 Полный набор решений.................................. 53
3.5 Уравнение Паули....................................... 56
3.6 Эффекты второго порядка............................... 58
3.7 Центральное поле ..................................... 60
3.8 Кулоновское поле ..................................... 64
3.9 Стационарное однородное магнитное поле................ 68
4 Дискретные симметрии, нейтрино и каоны 71
4.1 Преобразование четности для дираковской частицы....... 71
4.2 Преобразование обращения времени...................... 73
4.3 СРТ преобразование.................................... 75
4.4 Безмассовые частицы................................... 76
4.5 Нейтрино в безмассовом пределе........................ 78
4.6 Пересмотр несохранения четности....................... 80
4.7 Осцилляции нейтрино................................... 83
4.8 Нейтрино Майорана..................................... 86
4.9 Странность............................................ 88
4.10 Нейтральные каоны и СР-четность....................... 89
4.11 Нейтральные каоны и квантовая регенерация............. 92
5 Идентичные частицы 97
5.1 Неразличимые частиц................................... 97
5.2 Перестановочная симметрия............................. 98
5.3 Бозоны и фермионы.....................................100
5.4 Волновые функции невзаимодействующих частиц...........103
5.5 Двухнуклонные состояния...............................107
5.6 Рассеяние тождественных частиц........................118
5.7 Интерферометрия интенсивности.........................122
б Изоспин 127
6.1 Введение изоспина.....................................127
6.2 Изоспиновая инвариантность............................129
6.3 Изоспин системы многих тел............................131
6.4 Изоспин и пространственно-спиновая симметрия..........132
6.5 Беглый взгляд на более общую картину .................136
6.6 Соотношения между сечениями...........................138
7 Вторичное квантование 145
7.1 Представление числа занятости.........................145
7.2 Введение во вторичное квантование.....................147
7.3 Статистика Бозе.......................................149
7.4 Ферми-статистика......................................151
7.5 алгебраические соотношения............................152
7.6 Операторы одного тела.................................154
7.7 Операторы двух тел....................................158
7.8 Межчастичное взаимодействие в базисе плоской волны .... 159
7.9 Межчастичное взаимодействие в конечной системе.162
8 Атомные и ядерные конфигурации 165
8.1 Приближение независимой частицы.......................165
8.2 Добавление вращательной инвариантности................166
8.3 Конфигурации многих частиц............................168
8.4 Обменное взаимодействие...............................174
8.5 Двухэлектронная система...............................176
8.6 Атом гелия — оптический спектр........................181
8.7 Правила Хунда.........................................182
8.8 Симметрия частица — дырка.............................184
8.9 Структура оболочки....................................186
9 Фермионы 189
9.1 Идеальный Ферми-газ...................................189
9.2 Спиновый парамагнетизм................................195
9.3 Орбитальный диамагнетизм..............................198
9.4 Введение в среднее поле...............................200
9.5 Статистическая модель.................................203
9.6 Экранирование в электронном газе......................207
9.7 Приближение Хартри — Фока.............................209
9.8 Пространственно однородные системы....................212
9.9 Кулоновский газ.......................................214
9.10 Теория функционала плотности..........................217
10 Коллективные возбуждения 221
10.1 Линейная цепочка......................................221
10.2 Фононы................................................226
10.3 Фононные моды ........................................228
10.4 Спиновые волны........................................231
10.5 Возбуждения частица — дырка...........................239
10.6 Флуктуации плотности..................................241
10.7 Приближение случайных фаз ...........................243
11 Бозоны 247
11.1 Бозе-эйнштейновская конденсация.......................247
11.2 Конденсат как резервуар;
химический потенциал..................................250
11.3 Слабо неидеальный газ.................................252
11.4 Фононы................................................254
11.5 Сверхтекучесть........................................257
11.6 Канонические преобразования...........................258
11.7 Фононы как волны плотности............................262
11.8 Приближение локальной плотности.......................264
11.9 Неоднородный газ......................................267
12 Спаривание фермионов
и сверхпроводимость 271
12.1 Спаривание............................................271
12.2 Пары и старшинство....................................274
12.3 Мультипольные моменты в схеме старшинства ............277
12.4 Вырожденная модель и квазиспин........................278
12.5 Каноническое преобразование...........................282
12.6 Теория БКШ. Пробная волновая функция..................286
12.7 Минимизация энергии...................................289
12.8 Энергетическая щель...................................291
12.9 Спектр возбуждений....................................295
12.10 Энергия конденсации..................................300
12.11 Амплитуды переходов..................................301
13 Матрица плотности 305
13.1 Смешанные состояния и матрица плотности...............305
13.2 Свойства матрицы плотности............................307
13.3 Тепловое равновесие...................................311
13.4 Поляризационная матрица плотности.....................315
13.5 Применение к рассеянию................................320
13.6 Энтропия ансамбля.....................................323
13.7 Эволюция матрицы плотности............................326
13.8 Ещё о линейном отклике................................327
13.9 Электропроводность....................................329
14 Квантовый хаос 333
14.1 Классический и квантовый хаос.........................333
14.2 Локальная спектральная статистика: распределение Пуассона 336
14.3 Гауссовый ортогональный ансамбль........................342
14.4 Распределение межуровневых интервалов...................345
14.5 ГОА и информация........................................349
14.6 Классы универсальности..................................350
14.7 Полукруговой закон......................................353
14.8 Хаотические собственные функции.........................360
14.9 Сложность и информационная энтропия.....................365
14.10 Распределение Портера-Томаса и связанные с ним распределения368
15 Квантовые запутанные состояния 371
15.1 Квантовая запутанность..................................371
15.2 Телепортация............................................373
15.3 Математика запутывания..................................375
15.4 Квантовые неравенства Белла.............................378
15.5 Парадокс ЭПР(Б) и скрытые переменные....................381
15.6 Экспериментальные тесты ................................385
15.7 Декогерентность и парадокс измерения....................386
Литература
391
Квантовомеханически, решения с
отрицательной энергией внутренне
присущи любой релятивистской
теории. Даже если мы запретим их
вначале, квантовые взаимодействия
неизбежно восстановят их позже.
М.Каку, Квантовая теория поля
Глава 1
На пути к релятивистской квантовой механике
1.1 Ограничения подхода
Эта глава посвящена релятивистскому обобщению квантовой теории.
Здесь мы ограничиваемся одночастичной проблемой рассматривая свобод-
ное движение уединенноё частицы и движение во внешнем электромагнит-
ном поле.
Как отмечалось в разделе 1.5.10, одночастичное описание имеет ограни-
ченную применимость. Внешнее поле должно быть существенно гладким
в пространстве и времени. Количественно, характерный масштаб К или
харатерное время I заметных изменений поля не может быть слишком
малым. В соответствии с (1.5.85), пространственный масштаб К должен
превышать комптоновскую длину волны частицы, а I должно быть больше
характерного времени,
Если неравенства (1.1) нарушаются, и поле слишком сильно локализует
частицу в пространстве и времени, импульс и энергия частицы приобретают
слишком большую неопределенность
Др > тс, ДЕ? > тс2.
(1-2)
В этом случае уже нельзя гарантировать одночастичный харатер движе-
ния.
Удобно выполнить Фурье анализ поля. Тогда можно сформулировать
ецй. (1.1) как ограничение на волновой вектор к и частоту а) поля,
1 тс 1 тс2
В противном случе энергия поглощаемая от поля порядка массы ча-
стицы, которая приводит к неопределенности числа частиц. Ясно, что эти
ограничения, имеющие релятивистскую природу,явно выражаются через
скорость света с.
1.2 Релятивистские единицы
Все уравнения сильно упрощаются, если записаны в подходящих едини-
цах. В релятивистской области наиболее удобно положить Н = 1 апб с = 1.
Тогда пространственные переменные и время имеют одинаковую размер-
ность («длины»), в то время как импульс, энергия, масса, частота и вол-
новой вектор имеют одинаковую размерность обратной длины. Например,
комптоновская длина волны частицы с массой т, есть Л = И/тс => 1/т.
Очевидно, угловой момент, действие и скорость V теперь безразмерны; для
любого физического сигнала V < 1.
Элементарный заряд е также становится безразмерным, а постоянная
тонкой структуры а = е2 ~ 1/137. В любое время можно вернуться к «нор-
мальным» единицам, вставляя обратно Н и с и вычисляя заново численное
значение
Нс^ 197МеУ-1т. (1.4)
Повсюду в этой главе мы используем почти исключительно только реля-
тивистские единицы. Отдельные использования других единиц отмечены
явно.
1.3 Преобразования Лоренца
Лоренцева ковариантность является необходимым требованием, чтобы
любая теория была правомерной в релятивистской области. Во всех уравне-
ниях различные члены должны одинаковые свойства при преобразованиях
Лоренца между интерциальными системами отсчета. Лишь в этом случае
уравнения будут ковариантны, то есть будут сохранять свой вид, в соот-
ветствии с идеей эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в
специальной теории относительности.
Пространственно-временные координаты события образуют 4~вектоР
= (ж0, х1, х2, ж3) = (Сг)- (1.5)
Стандартное преобразование Лоренца к системе, движущейся со скоростью
V вдоль оси х по отношению к исходной системе, выражают координаты
того же события в новой системе :
х'° = 7(ж° — гж1), хп = 7(жх — их°\ х'2 = ж2, х'3 = ж3, (1.6)
где релятивистский фактор (7 1) определяется выражением
Обратное преобразование дается теми же формулами (1.6) с и -л- —V.
Аналогично инвариантности г2 = ^2/=| 2 з(^г)2 ПРИ евклидовых враще-
ниях, преобразование Лоренца сохраняет релятивистский интервал между
двумя событиями. Если одно событие задано в качестве начала отсчета
пространственно-временного континуума, т/; = 0, а второе имеет координа-
ты (1.5), интервал между ними равен д/т?, где
х2 = (ж0)2 - (жг)2 = I2 - г2.
г=1,2,3
(1-8)
Тйе туапапсе сйгесПу 1о11оау8 1гот (1.6),
/2 _ 2
(1-9)
Величина (1.8) может рассматриваться как норма 4-вектора х^ в простран-
стве Минковского. К счастью, не будет путаницы с обозначением нормы,
о
х , которая одновременно означает вторую пространственную координату
в уравнении (1.5); в самом деле, нам не понадобится второе значение, за
исключением случая вектора импульса ниже.
В противоположность евклидовым векторам, норма в пространстве Мин-
ковского не является положительно определенной. Векторы хр с х2 > О
являются времениподобными^ а векторы х2 < 0 — пространственноподоб-
ными. Только события, разделенные времениподобными интервалами могут
быть связаны физическими сигналами. В произвольной лоренцевской систе-
ме отсчёта их упорядоченность во времени сохраняется. Нулевой интервал
х2 = 0 соответствует сигналу с и = 1 (распространение фронта световой
волны, см. задачу 4-3). Времениподобные события с 1 > 0 располагаются в
верхней («будущее») половине внутренней области светового конуса, обра-
зованного мировыми линиями х2 = 0 светового сигнала. Они не могут быть
переданы в нижнюю («прошлое») область, соответствующую 1 < 0 с помо-
щью непрерывного преобразования Лоренца. Следовательно причинность
гарантирована, и события могут быть причинно связанными. Простран-
ственноподобные интервалы разделяют события, которые не могут быть
связаны каким-либо физическим сигналом с V < 1. Подобные события не
являются причинно связанными; их упорядоченность во времени зависит
от системы отсчета, и существует системы, в которой они одновресенны.
1.4 Энергия и импульс
Переменные с тем же самым законом преобразования Лоренца, что
и координаты (1.6) называются ковариантными 4-векторами. Пометим
их координаты верхними индексами, р = 0 (временные компоненты) и
// = 1,2,3 (пространственные компоненты). Р?ной пример дает вектор
энергии-импульса
рМ = (р0,рх,р2,р3) = (е, р). (1.10)
Квадрат нормы Минковского
Р2 = (р0)2 - Г, = е2 - Р2 Д11)
г=1,2,3
разумеется, является инвариантом преобразования Лоренца. Он определяет
инвариантную массу т объекта,
р2 = т2. (1.12)
В неподвижной системе координат (р = 0) объекта, его масса совпадает
с полной энергией е. В произвольной системе координат дисперсионное
соотношение выражает энергию частицы уву функцию ей импульса
е2 = р2 + т2. (1.13)
Физическая частица обладает вещественной массой и времениподобным
4-импульсом, р2 > 0. Более того,, устойчивая система имеет основное
состояние с минимально возможной энергией. Появление новой частицы
увеличивает энергию системы; иначе системы могла бы быть неустойчивой
по отношению к генерации бесконечного множества частиц . Это означает,
что физический корень дисперсионного соотношения (1.13) есть
ер = +\/р2 + т2. (1.14)
Р?сключительный случай нулевого 4-импульса, р2 = 0, соответствует без-
массовым частицам. Такая частица в любой системе отсчета движется со
скоростью света, и
еР = |р|-
(1-15)
В заданной системе отсчета, энергия (1.14) может рассматриваться как
Гамильтониан свободной классической частицы. Уравнение движения Га-
мильтона определяет скорость
с/г де р
(И <9р е
(1-16)
В терминах скорости, энергия и импульс частицы масой т определяются
как
е = дш, р = 7??1т,
(Ы7)
где релятивистский фактор д был определен в (1.7). В случае медленного
движения, V 1 и энергия частицы (1.14) может быть представлена как
ее масса + нерелятивистская кинетическая энергия + релятивистские
поправки, см. уравнение (1.23.36),
ер
Р2 Р4
2т 8т3
(Ы8)
В квантовой механике, такое же выражение (1.16) определяет групповую
скорость, раздел 1.5.4, узкого волнового пакета, образованного плоскими
волнами
Фр(г,Г) = соп$1е рг)
(Ы9)
описывающего свободное движение подобных частиц. Обычно, группо-
вая скорость может быть ассоциирована с распространением физического
сингала (за исключением областей аномальной дисперсии в средах). Как
видно из (1.14) и (1.16), < 1, равенство становится справедливым для
безмассовых частиц.
1.5 Тензоры и обозначения
Правило (1.8,1.11) образования Лоренц-инвариантов может быть обоб-
щено для тензоров высшего ранга с помощью метрического тензора в
пространстве Минковского. Оно позволяет вводить весьма удобные тен-
зорные обозначения. Заметим, что в нашей системе обозначений мы не
используем мнимые компоненты времени 4-векторов, как это часто делают
многие авторы.
Определим метрический тензор аэ 4 х 4 та!пх (ц, у = 0,1,2,3),
который является диагональным с ненулевыми матричными элементами
доо = 1, дп = ди = дзз = -1-
(1-20)
РТногда говорят, что он имеет сигнатуру (+, — ,—,—). Для произвольно-
го контравариантного 4-вектора а1' = (а0, а), метрический тензор (1.20)
определяет его ковариантное дополнение, маркируемое нижними, а не
верхними индексами,
Д = •> (1.21)
таким образом, что по = а0, а^ = —а1. Греческие индексы всегда пробега-
ют значения 0,1,2,3 в то время, как латинские имеют значения 1,2,3. С этого
момента мы будем опускать знак суммирования, подобно (1.21), используя
стандартное правило - опускаются повторяющиеся индексы (один верх-
ний, другой нижний), по которым производится суммирование . Например,
вместо (1.21) мы будем писать а/у = д^а".
С метрическим тензором (1.20), скалярное произведение двух 4-векторов
а и Ь определяется как
(аб) = а • Ь = а°Ь° — агЬг = а^д^Ь" = = ауЬу. (1.22)
г=1,2,3
Ранее обсуждавшиеся величины х2 апс! р2 являются скалярными квадрата-
ми апбр^р^, соответственно. Очевидно, любое скалярное произведение
(1.22) является лоренцевым инвариантом.
Контравариантные 4-тензоры ранга г задаются множествами 4Г компо-
нентов тлимз . /чу которые при преобразовании Лоренца преобразуются как
произведения контравариантных 4-векторов н/У| н//2 ... аМг. Умножение на
д^^ с суммированием по /ц, где I - один из 1,... ,г, образует смешаный
тензор с опущенным (контравариантным) верхним индексом {цД, уЛ1еге /ц,
и (ковариантным) нижним индексом Таким образом можно получить
тензоры, которые контравариантны по с индексам , с = 1,..., г, и ковари-
антны по оставшимся г — с индексам, вплоть до полностью ковариантного
тензора ТД •
Для каждой пары контравариантных и ковариантных индексов операция
свертки позволяет преобразовать исходный тензор ранга г = р + д
в новый тензор ранга г — 2, котрый является суммой ТГрГ.'- Та-
ким образом, для тензора второго ранга свертка приводит к скаляру
(инвариантный тензор ранга 0),
=> дХ1Д^
Другими словами, свертка выполняется перемножением д^Т^ = Т^.
(1-23)
= Т? => Т^.
Л
Для самого метрического тензора, определим контравариантный двойник
д^, как тензор обратный к д^. Численно это соответствует оригинальному
тензору (1.20), д^ = д^. Смешаный тензор в этом случае есть просто
единичный кронекеров тензор 5у со всеми диагональными элементами
равными 1 и нулевыми внедиагональными элементами,
дх^ = €
(1-24)
Метрический тезор инвариантен по отношению к преобразованию Лоренца.
В качестве примера, рассмотрим операторы градиента (д/д1 и V). Стан-
дартное соответствие между вектором энергии-импульса (1.10) и кванто-
выми операторами (отмеченными крышечкой при необходимости) это
д
р° = е => р° = г — , р р = —/V. (1.25)
Так как р° и р образуют контравариантный вектор (1.10), имеем
( д \
р^ р^ = г I —V 1 (1.26)
что определяет контравариантный градиент
(1-27)
дх^
образуемый частными производными по отношению к ковариантным ко-
ординатам = (С —г), аналогично этому, ковариантный градиент,
д
дх^ ’
ди =
(1-28)
образован производными по отношению к контравариантным координатам
Во всех уравнениях различные члены должны иметь тензор той же
самой структуры и те же самые свободные индексы в тех же самых позициях
(верхних или нижних).
Общее преобразование Лоренца [конкретный пример дан в (1.6)] является
линейным преобразованием Л контравариантных координат 4-вектора, и
может быть записано в матричной форме
-М V — ЛМ
сЛУ Т сЛУ X еЛУ •
(1-29)
Здесь соложения индексов определяются контравариантностью вектора х^.
В матрицах верхний индекс р нумерует строку, а нижний индекс ю
соответствует столбцу. Таким образом, для преобразования Лоренца вдоль
оси ж, уравнение (1.6), матрица преобразования
/ — уу 0 0 \
ДД _ 7 00 -( ?(1-^сгх) 0\ ( .
17 0010 \ о 1 ) '
\ 0 0 0 1 /
Второе представление использует матрицу 4x4, записанную с исполь-
зованием блоков 2x2, которые формально выражаются через матрицы
Паули.
Преобразование ковариантных компонет видно из простой цепочки ра-
венств,
— 9^ ~ ^рсг9 ~ (1.31)
Здесь используются правила поднятие и опускания компонент тензора.
Матрицы в (1.31) и (1.30) отличаются знаком скорости,
л; = (7(1+Д "У (1.32)
Группа Лоренца является группой преобразований, сохраняющих норму
Минковского векторов,
У у') = х'уу = МУУяу = УуУ (1.33)
которая подразумевает, что матрицы группы должны удовлетворять соот-
ношению
= 6°. (1.34)
Легко проверить, что, как мы уже отмечали, метрический тензор инва-
риантен относительно преобразования Лоренца. В самом деле, тензоры
преобразуются как произведения векторов (1.29),
д^ = = ДМРД^ (П35)
где на последнем шаге используется правило поднятия и поускания индек-
сов. Опуская верхний индекс // см. (1.34), получим
д'^ = = 5т9^Т = 9^- (1-36)
Мы не будем изучать здесь общую структуру группы Лоренца, см. [\УеП998].
1.6 Уравнение Клейна”— Гордона
Нерелятивистское уравнение Шрёдингерадля движения может быть
«выведено» подстановкой квантовых операторов (1.25) для энергии е и
импульса р в нерелятивистское дисперсионное соотношение е = р2/2ш.
Плоские волны (1.19) образуют полный набор решений. Произвольное реше-
ние может быть представлено суперпозицией плоских волн с амплитудами,
определенными Фурье-разложением исходных функций Ф(0,г).
Явный релятивистский аналог должен иметь решение для плоской волны
с определенным импульсом и энернией, связанными релятивистским зако-
ном дисперсии, (1.13) который включает массу покоя. В притивоположность
уравнению Шрёдингера, производные по времени и пространству должны
появляться в том же порядке, стобы гарантировать Лоренц-ковариантность.
Этого можно достичь, если использовать оператор подстановки уравнения
(1-25),
/ гх \ 2
(г—) Ф = [(-/V)2+ т2]ф, (1.37)
у д!) I
или, в явной форме Лоренц-инвариантности (сравни не операторное выра-
жение (1.12)),
р2Ф = —<Э2Ф = т2Ф. (1.38)
Здесь 4-вектор является 4-градиентом (1.26), а дифференциальный
оператор второго рорядка в уравнении (1.38) это оператор д’Аламбера
а2
д2 = □ = - V2. (1.39)
Это скалярный квадрат (1.22) вектора 5м, который дает Лоренц-инвариантное
4-мерное обобщение трехмерного оператора Лапласа. Заметим, что, вслед-
ствие второго порядка, Ф апс! Ф* являются решениями того же самого урав-
нения (обратимая во времени инвариантность свободного релятивистского
движения). Нужно также упомянуть, что второго порядка производных
по времени , заданная начальная волновая фкнкция Ф(/ц) не полностью
определяет будущее эволюционной системы, здесь необходимо знать также
начальное значение производной Ф(/д)- Это относится к конкретной форме
плотности вероятности, которая, вообще говоря, включает производную по
времени волновой функции, см. ниже уравнение (1.46).
В (1.37) мы «вывели» уравнение Клейна”- Гордона”- Фока, или проще,
уравнение Клейна”- Гордона, (УКГ), которое является основым релятивист-
ским волновым уравнением для любоё свободной частицы. Это скалярное
уравнение для однокомпонентной волновой функции Ф(ж). Для безспи-
новых частиц это единственное волновое уравнение. Волновые функции
для частиц с ненулевым спином — многокомпонентные объекты. Р?С...
компоненты определяют амплитуды различных внутренних состояний, свя-
занных с внутренней структурой. Соответствующие волновые уравнения
описывают динамику этих компонент, и, следовательно, они более члож-
ны, чем УКГ. Однако, дисперсионное соотношение для частицы в целом
по-прежнему задается соотношением (1.13). Следовательно, даже в этом
случае волновая функция свободного двиения должна быть решением
УКГ. По построению, отыскивая решение (1.38), как собственное состояние
оператора р,
Ф(ж) = Ф(^,х) = СОП81 • е~г^р'х^ = СОП81 • е-гИ-р'х), (1-40)
где = (е, р) - собственное значение рр, мы находим желаемое дисперси-
онное соотношение (1.13) между е и р.
Другие виды решений, отвечающие полю, создаваемому источником
частиц, описываются УКГ. Пусть, например, тяжелая точечная частица
расположена в начале координат. В модели ядра сильные взаимодействия
создают пионное поле вокруг источника. Реальные пионы с массой
удовлетворяют УКГ, но в нуклонном поле кванты виртуальны, статиче-
ское сферически симметричное решение для пионного поля должно иметь
сингулярность в центре, как в электростатическом случае. Такое решение
Дг) = - е-«л\ (1.41)
Г
где А^ = 1/т^, или К/т^с в обычных единицах, есть комптоновская длина
волны пиона. Поле экспоненциально падает на расстоянии А^, в соответ-
ствии с простейшими оценками Задача 1.5.15. Пион, как легчайшая частица
сильного взаимодействия (адрон) определяет диапазон ядерных сил, Рис.
1.5.12. На ближних расстояниях, силы определяются более тяжелыми ме-
зонами с меныпейц комптоновской длиной волны. В пределе, когда масса
пиона ничтожно мала, потенциал Юкавы (1.41), см. Задача 1.1.8, наклады-
вается на обычный кулоновский потенциал точечного заряда, когда силы
переносятся безмассовыми частицами (фотоны в электродинамике).
1.7 Сохранение тока
Сохранение вероятности есть неотъемлемое свойство теории. Такие свой-
ства, локальные законы сохранения, выражаются уравнениями того же
типа, что и уравнение непрерывности (1.2.11). В релятивистском случае
мы рассматриваем векторное поле тока
МП = (-7°0) ЛО)) (1.42)
зависящее от координат х = (С г), где 7°(ж) = р(ж) - плотность сохра-
няемого количества. В соответствии с уравнением (1.2.12), сохраняемая
полная постоянная движения является объемным интегралом временной
компоненты тока по всему пространству,
с = У а3х 3°. (1.43)
Ток. удовлетворяющий уравнению непрерывности, называется консерва-
тивным током. Электрический ток консервативен, поскольку полный
электрический заряд является точной константой движения. Другие кон-
станты движения могут генерировать свои собственные консервативные
токи.
Вводя 4-вектор градиента (1.26), перепишем уравнение непрерывности
как 5°70 — (—V-Д = 0, которое ничего не значит, но инвариантное скалярное
произведение (1.22) 4-градиента и 4-тока (1.42), или Изе 4-дивергенция тока,
= 0. (1.44)
В более общих случаях можно получить сохраняющийся тензор более
высокого ранга, удовлетворяющий
= о. (1.45)
Тогда все компоненты объемного интеграла / д?хТа"'®"'ш являются постоян-
ными движения. Сохранение нерелятивистского тока, раздел 1.7.3, следует
из уравнения Шрёдингера для свободного движения и для движения в
любом внешнем потенциале Этот закон сохранения эквивалентен
унитарности - сохранению плоной вероятности экспериментов, проделан-
ных с частицей. Однако, переменные р, уравнение (1.2.5), и] из уравнения
(1.7.54) не образуют 4-вектор, так как описание, очевидно, не является
Лоренц-ковариантным.
Определим 4-ток для УКГ, как релятивистское обобщение шрёдингеров-
ского вероятностного тока (1.7.54),
Ш = -Ггф^ф) _ (^ф*)ф1 (1.46)
2гт
Легко проверить, что этот ток сохраняется. Уравнение (1.44) удовлетво-
ряется, поскольку в выражении члены с произведением градиентов
ызаимно уничтожаются, в то время как члены с ()2 уничтожаются в силу
УКГ для Ф и Ф*.
Релятивистский ток (1.46) можно представить как 4-градиент фазы,
также как в (1.7.61). Он исчезает для вещественных полей Ф = Ф*, подобно
тому, как это было в случае пространственных компонент тока з в нереля-
тивистской задаче. Однако, временная компонента в (1.46) очевидно ведет
себя не так, как в нерелятивистском случае (1.2.5). Чтобы понять разницу,
вычислим ток (1.46) для плоской волны (1.40). Это дает, в полной аналогии
с шрёдингеровским случаем, уравнения (1.2.27, 1.2.33),
^ = -|Ф|2. (1.47)
т
Временная компонента тока (1.46)
/ = р=-|Ф|2. (1.48)
т
Р?Р- (1.17) ясно, что разница с нерелятивистским случаем обусловлена
д-фактором (1.7), д = е/т. В неподвижной системе отсчета частицы е —> ш,
и (1.48) сводится к (1.2.5). Это приближенно справедливо для медленного
движения вплоть до поправок р4 к кинетической энергии (1.18). В си-
стеме отсчета, в которой частица движется со скоростью г, имеет место
лоренцевское сокращение длны вдоль направления движения на величину
1/д. Чтобы сохранить значение консервативной величины, плотность долж-
на возрастать на множитель у = е/т. Это то, что мы получили в уравнении
(1.48). Важно, что плотность это временная компонента 4-вектора, а не
лоренцевский скаляр.
1.8 Частицы и античастицы
Вследствие линейности УКГ (1.38), любая суперпозиция плоских волн
(1.40) с правильным соотношением (1.13) между энергией и импульсом
снова является решением УКГ . Наоборот, плоские волны образуют полный
набор, таким образом, любое решение УКГ может быть представлено их
суперпозицией.
Однако, дисперсионное соотношение (1.13), выведенное из УКГ, квадра-
тично и разрешает оба знака для е, в противоположность «нормальному»
физическому требованию положительности энергии (1.14). С другой сторо-
ны, решения с г < 0 не могут быть отвергнуты как нефизические, поскольку
это может разрушить полноту решений для плоских волн и нарушить
принцип суперпозиции. Следует заключить, что такие решения допустимы,
но е < 0 не может интерпретироваться как энергия частицы.
Отметим, что сохраняемая плотность (1.48) отрицательная для решений
с отрицательной «энергией». Следовательно, невозможно интерпретиро-
вать эту плотность, как вероятностную плотность, как это было сделано в
нерелятивистской квантовой механике. Сохраняемая величина — это некий
заряд иакой, что для решений в виде плоской волны, знаки для положи-
тельной и отрицательной г противоположны.
Мы приходим к идее античастиц, которые описываются состоянифми,
удовлетворяющими тому же самому уравнению, но с г < 0. Любой сохраняе-
мый заряд принимает противоположные значения для частиц и античастиц.
Для вещественного поля = 0; отсутствие сохраняемых зарядов делает
в этом случае частицы тождественными их античастицам (нейтральное
поле).
Для г < 0 положительная величина — е = |е| должна интерпретироваться
как энергия античастицы. РТногда удобно говорить о положительной и
отрицательной "энергиях имея ввиду различные решения УКГ. Для |е| т
в случае массивного поля, т Д 0, эти классы решений разделены энерге-
тическим промежутком Де = 2т (верхний и нижний континуум). Суще-
ствование античастиц, в этом смысле, является следствием лоренцевской
инвариантности. Попытка обойти проблему знака энергии выполнением
квантования (1.25) в уравнении (1.14) вместо (1.13) может привести к урав-
нению с производной по времени первого порядка, но пространственные
производные до бесконечного порядка возникают из-за квадратного клорня
в (1.14).
Переосмысление в терминах частиц и античастиц с положительными
энергиями, но противоположными зарядами получает большую ясность в
квантовой теории поля. После вторичного квантования, раздел 18, поле
Ф(ж) становится оператором в пространстве Фока. Это пространство объ-
единяет все состояния Гильбертовых пространств с произвольным числом
частиц и античастиц. Ф-оператор уничтожает частицы и создает антича-
стицы в обоих случаях, уменьшая заряд системы. Соответствующие члены
в разложении плоской волны Ф-оператора являются формой (1.40) с по-
ложительной и отрицательной е, соответственно. Тогда в обоих случаях е
дает разность энергии Ег — Еу между начальным и конечным состояния-
ми системы с числом частиц Т 1- Полная формулировка дается
аналогично квантованию электромагнитного поля, раздел 4.3.
Для того, чтобы увидеть, что движения частиц и античастиц — непроти-
воречивы в простейшем случае ненулевого заряда, а именно, электрического
заряда, мы должны расширить У КГ, чтобы описать движение во внешнем
электромагнитном поле иначе, чем свободное движение.
1.9 Электромагнитное поле
Вектор-потенциал А (ж) и скалярный потенциал (Дж) = А0 (ж) образуют
4-вектор электромагнитного потенциала
А^(х) = (А°(Ц,А(Ц) (1.49)
со стандартным поведением, уравнение (1.29), при лоренцевских преобра-
зованиях.
Как уже обсуждалось в разделе 1.13.2, электромагнитные потенциа-
лы не определяются единственным образом электромагнитными полями.
Сохраняя векторный характер А (С г) можно сделать калибровочное преоб-
разование,
А(С г) => А7(С г) = А(С г) + \7/(С г), (1.50)
Я/*
ЛТ г) => ЭТ г) = Дг, г) - — (1.51)
с той же функцией /(С г), как в (1.50). В ковариантных обозначениях
уравнения (1.26), калибровочное преобразование (1.50, 1.51) 4-векторного
потенциала (1.49)
АДж) => А'Дж) = А^(х) - (1.52)
РТспользуя два 4-вектора, градиент (1.26) и векторный потенциал (1.49),
введем тензор поля
Е^ = д^Ау - дуА^. (1.53)
По построению, этот тензор антисимметричный, Е^ = —Е1^, и следова-
тельно, имеет шесть независимых (вне диагональных) компонент. Прямое
сравнение с (13.6) и (13.7) показывает, что (Д / = 1,2,3)
(электрическое поле) и
Рзк = -^ЫВ1 (1.55)
(магнитное поле). Здесь - 3-мерный антисимме тричный тензор. Та-
ким образом, «векторы» электромагнитного поля Е и 13 действительные
компоненты антисимметричного тензора, а не векторы в пространстве
Минковского.
Следующая тождественность является формальным следствием опреде-
ления (1.53):
дхЕ^ + = 0. (1.56)
Легко видеть, что эта комбинация антисимметрична по отношению ко всем
трем индексам и, следовательно, (1.56) содержит только (4 • 3 • 2)/3! = 4
независимых уравнения, которые сооответствуют первой паре уравнений
Максвелла, независимо от зарядов и токов,
&1уВ = 0, (1.57)
спг1<? = — (1.58)
СтЪ
Вторая пара аоказывает, как поля генерируются зарядами и токами,
сИу Е = 4тгрсь, (1.59)
- дЕ
сигШ = — + 4тг]сЬ. (1.60)
С7 Г
Эти уравнения, выраженные в терминах тензора (1.53) и вектора тока
устроены как в (1.42), явно Лоренц-ковариантны,
= 4<ь. (1.61)
Уравнение (1.56) может быть выражено в другой форме, используя
полностью антисимметричный 4-тензор г^ур. аналогично 3-тензору (4.38),
но имеет 6! независимых компонент, равных ±1. Свертка тензора поля
(1.53) дает так называемый дуальный тензор
Этот новый тензор также является антисимметричным и изменяет роль
электромагнитных полей:
Роу = В), (1.63)
Теперь мы можем выписать уравнение (1.56) в форме
^ХрдЛхР = 0 (1.64)
где очевидно, что существуют только четыре независимых уравнения.
1.10 Минимальная электромагнитная связь
Система уравнений Максвелла достаточна, чтобы определить поля, за-
данные распределением зарядов и токов во времени и в простанстве. Вторая
пара (1.59,1.60) накладывает ограничения на эти распределения. Посколь-
ку сНу снг1= 0, эти уравнения совместны, только если плотность заряда
и плотность тока удовлетворяют уравнению непрерывности. Это следует
немедленно из ковариантной формы (1.44), (1.61): поскольку антисим-
метрия тензора поля, д^дуР^ = 0. Таким образом, электромагнитное
поле взаимодействует с сохораняющимся током. Характер взаимодействия
может быть зафиксирован требованием калибровочной инвариантности.
Мы знаем, что калибровочная инвариантность эквивалентна фазовому
преобразованию (1.13.26) волновой функции заряженной частицы; в наших
единицах,
ф^фе*е/Д (1.65)
где е - электрический заряд частицы, а /(ж) “— произвольная регулярная
калибровочная функция координат и времени. С подобным преобразовани-
ем,
•Э^Ф ^(5Дф) + ге(^/)ф)еге/. (1.66)
Уравнения, содержащие оператор 4-импульса (1.26) будут изменяться в
соответствии с
р^Ф ((^Ф) - е(ад/)ф)е’е/. (1.67)
Теперь изменение калибровки (1.65) волновой функции будет компенси-
роваться, если заряд взаимодействует с вектором поля с помощью
«длинной производной»,
(1.68)
м поле, возникающее таким образом, должно иметь свое калибровочное
преобразование (1.52) с той же функциецй /(ж), как в (1.65). На этом языке
электромагнитное поле является калибровочным векторным полем, и мы
приходим к процедуре введения взаимодействия заряженной частицы с
электромагнитным полем путем подстановки
р^ -э р^ - еА^
(1.69)
использованной ранее, раздел 1.13, по аналогии с классической теорией.
Это так называемая минимальная связь. Ситуация более сложная для
частиц со сложной внутренней структурой.
У КГ (1.38) для заряженной частицы, взаимодействующей с электромаг-
нитным полем ((/?, А) берется в форме
(р — еЛ)2Ф =
(1-70)
Например, для отрицательного пиона заряд — е; в статическом кулоновском
поле ядер заряд Яе; аналог уравнения Шрёдингера для атома водорода
— р2 > Ф = ш2Ф.
(1-71)
Это уравнение можно применить для пионных (млм каонных, с отрицатель-
ным каоном вместо пиона) атомов для состояний, которые не проникают
вглубь ядер, где ядерные силы игнорируются в уравнении (1.71) становятся
доминирующими. Даже на атомных орбитах, далеких от ядер, эти силы
все еще важны, становясь ответственными за возможный ядерный захват
пиона или каона, эффект, который вместе с электромагнитным (обячно
рентгеновским) излучением, делает все мезоатомные орбиты, включая ос-
новное состояние, квазистационарными. Пренебрегая захватом, мы можем
определить водородоподобные спектры таких мезоатомов.
Задача 1.1
РТспользование нерелятивистского уравнения Шрёдингера для атома
водорода в качестве реперной точки, чтобы найти спектр граничных состо-
яний, предсказанных уравнением (1.71).
Решение Стационарные состояния с энергией Е являются решениями
проблемы собственных значений
/ 2>2\21
< р2 + т2 — ( Е Ч--) > -0(г) = 0. (1-72)
\ г /
со стандартной процедурой разделения угловых переменных, которая мо-
жет быть переписана для радиальной функции 7?^(г) = щ(г)/г частичной
волны как
Г (I2 2Е2е2} 2ч ,
+ ------------------\ие=Е2-т2ие. 1.73
Это согласуется с уравнением (1.18.2) для атома водорода с очевидным
соответствием:
ш + 1) => Ш + 1) - Я2е4, к2=>Е2-т2, е2 => е2 —. (1.74)
т
В уравнении Шрёдингера спектр граничного состояния (1.18.14) дан урав-
нением
^=-7|У <^>)
где главное квантовое число (1.18.13), п = Д + И + /, отличается от И на
целое. Теперь вместо I мы должны использовать как это следует из
первого равенства (1.74),
/ = У(^ + 1/2)2 - Я2е4 - 1/2 = ^ - Де, (1.76)
где Де, определенное этим уравнением есть требуемый сдвиг м, следова-
тельно, также главным квантовым числом. Подстановками (1.74) и (1.76),
получим, вместо (1.75),
<-т2 т&С <
2т 2(п — Де)2 т2
Это новое уравнение для Еп/ с результатом
Епе = , Ш (1.78)
У1 + [Я2е4/(п-АЭ2]
Появляется «дополнительное» кулоновское вырождение, раздел II.3.2, и
уровни в той же главной оболочке разделяются в соответствии с их угловым
моментом I. Нерелятивистский предел соответствует разложению в ряды
по степеням Я2е4 = (2Д)2,
(^)2 Е^т[1 (М2 СМ4р 1 П
2^ + Г [ 2п2 п3 _8п 2^+1/
Эта теория перестает работать при 2 а > 1/2, когда, в соответствии с
(1.76), До становится комплексной. В таких сильных полях одночастичная
аппроксимация не работает, и размер орбиты порядка комптоновской длины
волны, при нарушении релятивистских соотношений (1.3).
Релятивистские поправки, предстказанные УКГ, не согласуются с экспе-
риментальными данными по тонкой структуре водородоподобного спектра
для ионов с одним электроном. Это показывает, что УКГ для скалярной
функции Ф не описывает квантовое поведение релятивистских электронов.
Однокомпонентная функция Ф соответствует частице со спином <8 = 0. Для
частиц с большим спином существует внутренняя многокомпонентная ди-
намика, в дополнение к общерелятивистскому требованию, чтобы каждая
компонента удовлетворяла УКГ.
1.11 Фотоабсорбция при высоких энергиях
Здесь мы должны совершить поверхностный обзор процессов при энерги-
ях выше, чем могут быть описаны в основах нерелятивистской квантовой
механики. Чтобы облегчить сравнение по порядку величины мы должны
использовать обычные единицы.
Сечение атомного фотоэлектрического эффекта падает при тс2,
как это обсуждалось в разделе 5.8. Фотоэффект - это главный канал
поглощения мягкого намма-излучения до жнергий Кео ~ (10 — 100) КэВ.
Еаши результаты хорошо работают до Кео ~ тс2/2, и фотоабсорбция от К-
оболочки является главной частью полного эффекта. Когда мы доходим до
На) порядка нескольких МэВ, главный механизм поглощения гамма-лучей
это эффект Комптона, раздел 1.1, рассеяние света от электронов, которые
могут рассматриваться как свободные частицы при таких больших значе-
ниях Кео. Р?спользуя наши вычисления раздела 5.8, мы можем отследить
превращение света внеграничных электронов в комптоновском рассеянии,
где электрон может рассматриваться как свободная частица.
При возрастании ш, длина волны фотона становится меньше размеров
атома . В матричных элементах (6.61) и (6.62), функция ег(к'г) осциллирует
на размерах атома, и амплитуда рассеяния с переходом электрона в дискрет-
ный спектр быстро убывает. Это то же самое, что и уменьшение атомного
форм-фактора с увеличением передачи импульса, обсужденная в разделе
3.3. Тогда, по аналогии с рассеянием заряженных частиц, роль процессов,
связанных с излучением электрона атома в пространство, возрастает. Если
конечный импульс электрона близок к р = — к7), осциллирующая экс-
понента ег(к-к )’г уничтожается плоской волной элек трона. В этом случае,
для заданного угла рассеяния в между кик7, частота л' рассеянного
фотона определяется законами сохранения импульса и энергии, которые
те же самые, что и для рассеяния свободного электрона, - это тот же
эффект Комптона. Это проявляется в сдвиге узкой линии с частотой л',
определенной выражением (1.1.7),
= _____________________
1 + (7кДтс2)(1 — сое^)
(1.80)
Ширина линии Комптона (1.80) зависит от неопределенности Др импульса
электрона в атоме. В пределе Йл/тс2 1 это дает Томсоновское рассеяние
свободных электронов с сечением (6.86).
При высоких энергиях, Йл тс2, для не слишком малых углов рассея-
ния, конечная длина волны X' = 2тгЛс(1 — СО8 0) не зависит от начальной
частоты л, поскольку определяется комптоновской длиной волны А^. Точ-
ное вычисление комптоновского рассеяния в квантовой электродинамике
дается формулой Клейна”- Нишина”- Тамма, 1929-1930 [АкЬ.1965],
да 2 ^/2
т«=г^
(1.81)
где е апс! ех - векторы поляризации для исходного и конечного фотонов,
соответственно, /'о - классический радиус электрона (1.1.40), и л' опреде-
ляется через угол рассеяния (1.80). Для л’ = л, мы снова приходим к
томсоновскому рассеянию (6.83).
Задача 1.2
Вычислить полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов на
у = Йл/тс2 » 1.
Решение
2 1
а = 7гг0 —
(1-82)
Для атома результат должен быть умноже на число 2 электронов. Сечение
падает с ростом частоты л. Это означает, что проникающая способность
гамма-лучей или жесткого рентгена возрастает.
Новый процесс, е+е~ рождение пары, становится возможным для н > 2,
то есть йл > 2тес2 ~ 1 МэВ. Это возможно в присутствии ядер, которые
получают недостающий импульс, чтобы удовлетворить законам сохранения
. В то же время, энергия отдачи ядра мала, поскольку велика его масса
Рис. 1.1. Роль различных механизмов фотопоглощения
. Сечение рождения пары [АкЫ965] возрастает с частотой ос Я2 1пса, и
непрерывно зависит от ш для широкого диапазона частот. При V > 10,
создание пары является доминирующим механизмом фотопоглощения.
Рис. 11.1 грубо иллюстрирует относительную роль различных механизмов
фотопоглощения тяжелыми атомами, как функцию энергии фотона.
1.12 Ядерный фотоэффект
Начиная с энергии фотонов в несколько МэВ, становится возможным
ядерный фотоэффект. Фотон поглощается ядром, пока один или несколько
нуклонов не будут вытолкнуты (энергия удержания нуклона в ядре обычно
7-8 МэВ, хотя может быть существенно меньше, до сотен КэВ, в крупных
ядрах). Вследствие сильного взаимодействия сежду нуклонами в ядре, су-
ществуют относительно долгоживущие состояния с энергией возбуждения
выше порога распада. Эти квазистационарные состояния имеют чрезвы-
чайно сложные волновые функции в терминах одночастичных переменных.
Качаственная картина такова: можно сказать, что энергия возбуждения
распределена по многим степеням свободы, и средняя энергия на нуклон
недостаточна, чтобы нуклон вылетел — составные ядра, один из лучших
примеров квантового хаоса многих тел, раздел 24.
Эта картина (А. Вокг, 1936) может быть интерпретирована в духе тер-
модинамика, как «нагретая капля» ядерной материи. Ее время жизни
превышает время Вайскопфа (10.82) расплывания волнового пакета, ана-
лог времени расплывания Пуанкаре в классической механике. Существует
вероятнгсть редких флуктуаций с энергией возбуждения, сконцентриро-
ванной на отдельном нуклоне, который может покинуть ядро. Однако,
этот процесс отличен от собственно фотоэффекта. Вытолкнутый нуклон
теряет память канала возбуждения, который создан сложным ядром, и
Рис. 1.2. Гигантский резонанс в ядерной фотоабсорбции; два пика со-
ответствуют колебаниям вдоль оси деформации растяжения (меньшие
частоты) и вдоль одной из двух более коротких осей (большие частоты и
двойная ширина) [8рП958]
излучение напоминает испарение из жидкой капли. Угловое распределение
эмиттируемых частиц, в противоположность к (5.74), близко к изотропному,
в то время как энергетический спектр близок к максвелловскому. Вместо
испарения ядра, могут также эмиттироваться гамма-лучи зависящие от
доступных дискретных состояний при низкой энергии возбуждения ядра.
Конечно, составное ядро может быть создано не только гамма-лучами, но
также и в различных ядерных реакциях.
Во всех ядрах наблюдается широкий (шириной 3-4 МэВ) максимум фо-
тоабсорбции при энергиях в среднем обратно пропорциональных радиусу
ядра, Рис. 11.2. Этот максимум возбуждается электрическим дипольным
переходом, и обычно называется гигантским дипольным резонансом. По-
хожие. но менее выраженные резонансы существуют для других низких
мультиполярностей. Этот резонанс может грубо интерпретироваться как
коллективное дипольное колебание фотонов по отношению к нейтронам.
Сечение фотоабсорбции проинтегрированное по резонансу, / (1Е~ а, почти
переполняет полную сумму диполей, Задачи 5.3, 5.4- Большая ширина пока-
зывает, что состояние гигантского резонанса имеет короткое время жизни
(действительно, всего несколько периодов колебаний). Будучи в состоянии
разрешить тонкую структуру спектра в области резонанса, можно увидеть
огромное число узких квазистационарных состояний с промежутками в
1 — 10 эВ, которые упоминались выше как хаотические смешаные состоя-
ния, распадающиеся в процессе медленного испарения. Будучи однажды
возбуждены, когерентная суперпозиция смешанных состояний гигантского
резонанса, см. главу 20, типичное коллективное возбуждение типа частица-
дырка (см. также раздел 1.10.8), которое распространяется также на свои
некогерентные компоненты с немного разной энергией. Это порождает уши-
рение резонапнса; прямой выход дает лишь малую долю полной ширины
гигантского резонанса. В экзотических ядрах с большим преобладанием
нейтронов, наблюдается нижележащая ветвь (так называемый пигмей)
дипольного резонанса, предположительно индуцируемая колебаниями ней-
тронной оболочки относительно сердцевины ядра.
При энергиях Неи порядка Гэв, отдельно от атомных и ядерных процессов
(включая комптоновское рассеяние нуклонов ), становится возможным
образование фотонов или других частиц . При достаточно высокой энергии,
гамма-лучи могут генерировать электрон-позитронный ливень: частицы
рождаются парами при торможении первичного фотона в поле ядер, и
испускать новые фотоны, которые, в свою очередь, порождают новые пары
итд.
1.13 Оценки процессов в КЭД
Точные вычисления вероятностей электродинамических процессов с
релятивистскими частицами возможны только при использовании КЭД-
формализма, который находится вне рассмотрения нашего курса. Ниже мы
попытаемся дать некоторые качественные оценки, основанные на нашем
прежнем опыте. Здесь мы используем обычные единицы.
Интенсивность дипольного излучения электроном, движущимся с уско-
рением и можно оценить классической формулой,
б/2 е2 .2
Д Д г '
(1.83)
Для частоты осциллятора си, темп эмиссии фотонов
I е2 2 2
—- ~ -—5- си и ~ аси -
Неи пси с5 \ с
(1-84)
При усреднении один фотон эмиттируется за (1/а) (с/с)2 периодов (Т ~
1/си) колебаний. Следовательно, время жизни возбужденного осциллятора
(с/г)2(1/сесг), или, для атома, где (г/с) ~ Нш ~ тс2(Еа)2, т = те.
11 Н 1 10-9 8
аш (Ясе)2 тс2 се(Ясе)4 Я4
(1.85)
Отношение времени жизни к периоду колебаний, т/Т ~ шт ~ се-1 (Ясе)-2
1, определяет малость ширины уровня Г = Ну в сравнении с его энергией:
Е/Г Кш/ду шт Уу \ (высокая добротность атомного осциллятора).
Предельная длина цепочки световых волн (длина когерентности)
Н 1
10 ст
тс се(Ясе)4 Я4
(1.86)
Чтобы оценить процессы излучения для быстро движущейся частицы,
мы можем снова использовать уравнение (1.83). Если скорость электрона
изменяется на Дг в течение времени Д^, интенсивность излучени я может
быть оценена как
1М
с3
Дг\2 е2 (Дг)2
— -- ———-
Д^ у с3 Д^
(1-87)
Взяв Д/; в качестве характерного времени движения электрона, мы ожида-
ем, что спектр излучения содержит, главным образом, частоты ш ~ 1/Д^
(мы здесь не рассматриваем ультрарелятивистское движение сЕ> тс2).
Типичная энергия испущенного фотона Еу ~ Нш ~ Н/&1, а полная вероят-
ность испускания
1&1 е2 (Дг)2 Д^
Нш с3 Н
р2
Л?<д”>2
СЕ
(1.88)
Последовательные акты испускания почти независимы, поэтому вероят-
ность испускания двух фотонов, по порядку величины, есть корень квад-
ратный из вероятности одиночного испускания,
(1.89)
Даже для релятивистских частиц, когда Дг/с ~ 1, испускание дополни-
тельного фотона подавляется малым множителем ~ се.
Подобным образом можно оценить вероятность аннигиляции пары (е+, е~]
Аннигиляция пары (при свободном движении или в состоянии позитрония
) на один реальный фотон запрещена законами сохранения. Однако, этот
процесс возможен как виртуальный. Например, связь с полем излучения
дает возможность позитронию на короткое время стать фотоном, а это
приводит к наблюдаемому сдвигу энергетических уровней позитрония. Мы
можем оценить этот сдвиг.
Электрон не может быть локализован точнее, чем на размере его компто-
новской длины волны Лс, уравнение (1.5.85). Для аннигиляции, позитрон и
электрон должны находиться внутри этого пространственного интервала.
Если так, вероятность передачи однофотонному состоянию может быть
оценена как гщ, уравнение (1.88), с Дг ~ с, те. иц ~ а. Это означсает, что
для времени, проведенного партнерами на этом расстоянии < Лс, доля а
может быть ассоциирована с виртуальным состоянием фотона. В основном
состоянии позитрония, партнеры находятся в среднем на относительном
расстоянии порядка радиуса Бора, а ~ \с/а. Они приближаются друг к
другу на расстояние ~ Хс на долю времени, равную отношению соответ-
ствующих объемов, (Лс/а)3 ~ се3. Наконец, полная доля времени, которая
может быть идентифицирована с однофотонным состоянием а • се3 = се4.
Эти соображения справедливы лишь для ^-состояния относительного дви-
жения, иначе вероятность тесного сближения становится слишком малой.
Таким образом, ^-состояние позитрония обладает сдвигом уровня, равным
«4 2
произведению этой вероятности, се на изменение энергии, ~ тс , при
переходе на состояние фотона,
5Е ~ Дтс2. (1.90)
Отметим, что этот сдвиг того же порядка, что тонкое или сверхтонкое
расщепление в позитронии, раздел 1.24. В отличие от энергии, угловой мо-
мент сохраняется в матричном элементе перехода. Поскольку спин фотона
равен 1, энергетический сдвиг (1.90) существует только для ортопозитро-
ния (триплет, У = 5 = 1) и отсутствует для парапозитрония (синглет,
7 = 5 = 0).
Для реального процесса двухфотонной аннигиляции, электрон и пози-
трон должны приблизиться на относительное расстояние ~ Хс и испустить
два фотона с энергией Ни) ~ тс2. В сравнении с однофотонным процес-
сом с вероятностью ~ се4, необходимо испустить еще один фотон в тече-
ние времени существования однофотонного состояния. Соотношение
неопределенности, ~ й/тс2 определяет скорость испускания второго
фотона се/Д^ ~ атс2/Н, и полную скорость двухфотонной аннигиляции
ш ~ се4 . атс2/К ~ аътс2/К. Отсюда мы можем получить время жизни
парапозитрония
Н
рага о
тсЛ
~ 10 9 8.
(1-91)
Сравнение (1.91) с (1.86) показывает, что для парапозитрония отдельные
времена жизней возбужденных состояний по отношению к излучению и
основного состояния по отношению к двухфотонной аннигиляции имеют
одинаковый порядок. Как видно из (1.91), ширина основного состояния
парапозитрония Грага ~ ^/трага ~ тс2а5, что в а раз меньше, чем ин-
тервалы тонкой ст руктуры (1.90). Это исключает, что при аннигиляции
ортопозитрония допустимы только три фотона (это обхясним позже).
Соответствующая вероятность содержит дополнительный множитель а,
поэтому время жизни тОГ1Ьо больше на два порядка, ~ 10-7 8.
Задача 1.3
Рассмотрим эффект Зеемана в основном состоянии поизтрония, пред-
полагая величину магнитного поля такой, что этот эффект сравним с
расщепрением между пара- и ортопозитронием; соответствующий Гамиль-
тониан может быть записан как
Н' = А(з+ • 8_) -
(1-92)
Здесь з± относится к спину электрона и позитрона.
Решение Нужно лиагонализировать Гамильтониан (1.92) в 4 х 4 простран-
стве (синглет парапозитрония и триплет ортопозитрония). полная проекция
спина 8~ сохраняется. Триплетные состояния, 8~ = ±1, аналогичны 2р и 2з
уровням водорода в случае линейного электрического поля, Задача 1.24- 5,
являются правильными линейными комбинациями в присутствии магнит-
ного поля. Состояния триплета и синглета с 8~ = 0 смешанны, вековое
уравнение дает
6Е(8г = 0) = -^
(1.93)
Высшее состояние при 13 = 0 отвечает ортопозитронию; при 13 ф 0 оно
является суперпозицией состояний синглета и триплета.
| Задача 1.4
Вследствие синглетной смеси, время жизни верхнего состояния Задача
11.3 сокращается в присутствии магнитного поля (подавление ортопози-
трония). Оценим поле 23, которое сокращает время жизни тог^о в Ю раз.
Процессы с виртуальными парами вносят вклад также в рассеяние света
зарядом, раздел 6. В дополнение к поглощению фотона с последующим
испусканием и процесс с обратной последовательностью, Рис. 6.4, который
приводит к сечению 10-25ст2, падающий фотон у может созда-
вать виртуальную е+ — е~ пару. Позитрон пары аннигилирует с исходным
электроном в новый квант Д. Чтобы оценить вероятность аннигиляции, на
понадобится произведение вероятности в единицу времени йД^ для фотона
быть на нужном расстоянии ~ Хс от электрона, вероятностм иД^ породить
пару, и вероятности иД аннигиляции с испускани ем фотона Д. Как и
ранее, Д2^ ~ ~ а. Скорость Д^ определяется отношением объема
трубки (с сечением и длины, равной скорости фотона с) к полному объ-
ему V, Д^ ~ (К/тсДДс/У). Тогда сечение определяется этой скоростью,
деленной на падающий поток с/У,
Д^Д2^Д3^
ДУ
(1.94)
будучи того же порядка, что и обычное томсоновское сечение (30.83) для
рассеяния свободными электронами. При точных вычисления, оба типа
орассеяния должны подсчитываться сложением их амплитуд, а не веро-
ятностей. Следует также учитывать виртуальные пары при рассеянии
заряженных частиц, в особенности при высоких энергиях и для больших
углов рассеяния (малый прицельный параметр). Только пары всех заря-
женных частиц, а не электрон-позитронные пары. Ясно, что для фотонов
с энергией может оказаться важным только образование виртуальных
пар частиц с массами М незначительно превышающими Лее/с2.
Знаменитый математик Марк Кац однажды поделил гениев
на два класса. Он сказал: существуют обычные гении, чьим
достижениям могут подражать интеллигентные люди,
проделав исключительно тяжелую работу, и поймав удачу.
Затем приходят волшебники, изобретения которых так
поразительны, так противоположны интуиции их коллег,
что трудно догадаться, как человек может представить их.
Глава 2 Дирак был волшебником.
Г. Сегр, Фауст в Копенгагене
Уравнение Дирака: Формализм
2.1 Введение уравнения Дирака
Здесь мы введем уравнение, которое рассматривается многими физиками,
как наиболее важное и элегантное уравнение всей современной физики.
Уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2, которые являются
главными компонентами материи — электроны, нейтрино, кварки и нук-
лоны. Внешнее электромагнитное поле также может быть добавлено для
электрона с помощью принципа наименьшего действия, раздел 11.10, хотя
ситуация для нуклона является более сложной из-за сильных взаимодей-
ствий.
Обращаясь к релятивистски ковариантному описанию для частицы со
спином 1/2 мы должны помнить, что волновая функция должна быть
многокомпонентной: нам нужно описать два возможных состояния спина
и состояния с отрицательной энергией, которые позже будут объяснены
заново в терминах античастиц —позитронов, антинейтрино, антикварков и
антинуклонов. Таким образом, мы ожидаем, что минимальное число ком-
понент волновой функции будет равно четырем. Такая функция называется
биспинором, и мы можем описать её как столбец Ф с четырьмя компонента-
ми Фц2Д4. Все операторы, действующие на такие функции,должны быть
матрицами 4x4. Чтобы иметь стандартную форму Гамильтониана,
5Ф
= (2Л)
и, следовательно, разрешить обычную вероятностную интерпретацию, сов-
местимую с релятивизмом, оператор импульса р = —/V должен входить в
Гамильтониан Н линейно, поскольку уравнение (2.1) линейно по отноше-
нию к производным по времени. Для свободного движения, координаты и
время не могут входить в уравнение явно, если мы предполагаем однород-
ность пространства и времени. Последнее связано , как в классической и
нерелятивистской квантовой механике, с сохранением энергии-импульса.
Откуда, компоненты импульса могут появляться только с постоянными
коэффициентами, которые, однако, должны быть матрицами в простран-
стве биспиноров. Общая линейная форма в компонентах импульса (как
принято ранее, К = с = 1)
Н = «1^1 + оДД + «зРз + Рт = (« • р) + /Зш. (2.2)
Здесь щ и /3 — безразмерные постоянные эрмитовы матрицы 4 х 4, и
т — константа размерности энергии,которая, естественно, должна быть
идентифицирована с массой частицы, поскольку для покоящейся частицы
мы должны иметь Е = т.
Вследствие принципа суперпозиции, каждая компонента биспинора -0
представляет возможное состояние свободной частицы с релятивистским
законом дисперсии (11.13). Так будет в случае, если
Я2 = т2 + р2. (2.3)
С другой стороны, квадрат оператора (2.2) должен быть вычислен с ко-
эффициентами матричной природы, учитывая, что матрицы коммутиру-
ют с пространственно-временными производными, но, вообще говоря, не
коммутируют друг с другом. Сохраняя правильный порядок матричных
множителей, получим
Н2 = /32т2 + трд[Д адД + РгРдагар (2.4)
где присутствует антикоммутатор операторов /3 и ар Последний член в
(2.4) содержит на самом деле только симметричную комбинацию «-матриц,
то есть снова антикоммутатор. Так как уравнения (2.3) и (2.4) должны
совпадать, мы получим матричные условия
/32 = 1; [/3,Д+ = 0; (2.5)
а2 = 1 О'= 1,2,3); ДаД = 0, г Д'. (2.6)
Уравнения (2.5) и (2.6), в соответствии с эрмитовостью, = оц, = /3,
являются лишь условиями, которые определяют алгебру матриц Дирака
ад и (3. Этим условиям можно удовлетворить различными наборами мат-
риц, которые взаимосвязаны унитарными преобразованиями. Все такие
наборы физически эквивалентны; переход к другому набору означает про-
сто разные линейные комбинации четырех уравнений (2.1). Стандартное
представление, где матрицы выбраны как
/ 1 0 0 0 \
010 0 / 0 а \
00-1 0 ’ а ~ \ а 0 ) '
\00 О -1 /
(2-7)
зачастую удобно. Здесь и ниже мы используем для краткости двумерную
форму четырехмерных матриц, где блоки 2x2 являются нулевыми матри-
цами, единичная матрица 1 и матрицы Паули ад Мы использовали такую
форму в уравнении (11.30), где, однако, размерность четыре происходит из
пространственно-временной размерности, а не из биспинорной структуры.
Мы приходим к уравнению Дирака для свободной частицы массы т,
г—= {^т +(а-р)}Ф. (2.8)
По построению уравнения (2.3), каждая компонента биспинора удовлетво-
ряет КГ Действительно, общие условия не предопределяют размерности
матриц и волновых функций. Однако, четыре это минимально возмож-
ная размерность; функции с большим числом компонент могут описывать
частицы с большими спинами.
2.2 Ковариантная форма и алгебра
Матрицы 3 и а подходят для рассмотрения в некоторой фиксированной
системе отсчета. Чтобы получить явно ковариантное выражение, полезен
различный набор матриц, 7/; = (70,7),
7о = /3,
у = /За =
0 а
—а 0
(2-9)
Их соотношения коммутирования можно легко вывести из (2.5) и (2.6):
[7ю ф] + — 2ду^, ц, V — 0,1, 2, 3.
(2.Ю)
Здесь мы используем стандартный метрический тензор уравнение
(11.20). В соответствии с (2.10),
7о = С 7122,з = -1. (2-И)
Для того, чтобы выписать уравнение Дирака в новой форме, умножим
(2.8) на матрицу уо = /3, и придем к (Е = гд/д± = /5°)
{у0Е - (у • р) - пг}Ф = 0, (2.12)
или, в ковариантной форме,
(умГ-т)Ф = 0. (2.13)
Иногда также удобно ввести «скалярное произведение» V не матричного
вектора Vм = (V0, V) на матричный ум,
Е = 7Да‘ = 7оГо-(7-У), (2.14)
таким образом, уравнение Дирака принимает изящную форму
(р — ш)Ф = 0. (2.15)
конечно, ковариантные свойства все еще демонстрируются рассмотрение
действительного преобразования Лоренца пространственно-временных ко-
ординат и преобразованием биспинора, порожденного переходом к другой
системе отсчета.
В соответствии с четырьмя матрицами ум, полезна также дополнительная
матрица,
75 = «71727370- (2-16)
В стандартном представлении (2.7),
Заметим, что в этом представлении матрицы уод,з,5 вещественны, в то
время как у2 мнимая, аналогично стандартному представлению двумерные
матрицы Паули а. Матрицы уо,2,5 симметричны, а уцз антисимметричны.
В результате, матрицы уо и уз эрмитовы, в то время как пространственные
матрицы у = (у1дз) антиэрмитовы. Множество алгебраических свойств
инвариантны при изменении представления, будучи полностью определены
отношениями коммутации (2.10).
Задача 2.1
Доказать алгебраические свойства:
7б = 1; [75,7Щ = 0, М = 0,1,2,3. (2.18)
Задача 2.2
Показать, что все 7-матрицы имеют нулевой след.
Решение Вследствие циклической инвариантности следа и свойств (2.18),
М?м) = Д7/Л5) = Д?57л75) = -Д7Л7||) = -<т(7м) = 0. (2.19)
Таким же образом мы покажем, что 1г(75) = 0, и след любого произведе-
ния нечетного числа 7-матриц исчезает. Для четного числа матриц мы
получим в силу антикоммутаторов (2.10):
(7д7^) = 11г ([7М, 7^]+) = 11г (2$>) = 4$>. (2.20)
Процедура естественно обобщается на большее (четное) число множителей
для следа. Мы используем соотношения коммутации, чтобы переставить
левый множитель вправо, и в конечном счете циклическая инвариантность
позволяет привести след к исходной форме. Накопленные по пути антиком-
мутаторы дают рост новым следам с уменьшением числа сомножителей
вдвое. Например, случай четырех матриц сводится к предыдущему примеру
(2-20),
1г(7/Ла7м7р) = ^9кХ9^ ~ 9кц9Х„ + 9^9x0- (2-21)
Другой полезный пример дается
1г(757к7л7/Л0 = -4ге«л^, (2-22)
где, как в уравнении (11.62), мы вводим полностью антисимметричный
тензор ранга 4 Результат (2.22) можно легко понять, так как каждый
матричный множитель внутри 75 матрицы должен найти своего партнера
среди оставшихся матриц, а это возможно только если все из них различны;
вдобавок, результат антисимметричен по отношению к тем матрицам,
поскольку они антикоммутируют.
2.3 Ток
В противоположность УКГ, для уравнения Дирака возможно построить
сохраняющуюся положительно определенную плотность прямым копирова-
нием результатов Шрёдингера. Определим эту плотность
р = (2.23)
как скалярное произведение (числовая функция координат, а не матрица)
эрмитово сопряженного биспинора Ф^, который является строкой,
= (ф*,ф*,ф*,ф*), (2.24)
построив комплексно сопряженные компоненты, оригинального биспинора-
столбца Ф.
Из уравнения Дирака (2.8) придем к уравнению для биспинора
5Ф^ + + —г—— = Фт/3т + (рФ)т • Й, С7Ъ (2.25)
где (рФ)^ = г\7Ф^. Комбинируя (2.8) и (2.25), найдем уравнение движения
для плотности (2.23):
= -V • (ФШ). Таким образом, получим уравнение непрерывности (2.26)
=о, (2.27)
с сохраняющейся плотностью тока
з = ф^ЙФ. (2.28)
Существование сохраняющегося тока позволяет прямое обобщение полного
формализма Гильбертова пространства с плотностью (2.23) понимаемой
вероятностным образом, и амплитудой, определяемой как скалярное про-
изведение
(а|6)4 = / Лг'ЩгДФД, Д (2.29)
Мы можем (формально на этой стадии) представить плотность р и
плотность тока з как временные и пространственные компоненты, соответ-
ственно, 4-тока 4^ = (рД), если определим, вместо эрмитово сопряженного
биспинора Ф^, дираково сопряженный биспинор
Ф = фД = фЦ0. (2.30)
Тогда 4-ток
4^ = Фу^Ф. (2.31)
2.4 Зарядовое сопряжение
Теперь мы покажем, что уравнение Дирака содержит решения, которые
можно сгруппировать парами и интерпретировать как относящиеся к ча-
стицам и античастицам. Предполагаемая симметрия между частицами и
античастицами должна проявиться в том, что свободное движение двух
типов объектов тождественно. Однако, они могут распознаваться по их
поведению во внешнем поле, которое чувствительно к заряду, если наша
интерпретация решений с отрицательной энергией соответствует частицам
с положительной энергией, но противоположным зарядом имеет смысл.
Принцип минимума, применительно к электромагнитному полю, свя-
зан с калибровочной инвариантностью, как мы помним из раздела 11.10.
Если частица имеет электрический заряд е и при свободном движении
подчиняется уравнению Дирака (2.8), в поле = (р, А), уравнение
должно быть модифицировано введением длинных производных (11.68,69),
11 11 ер, р => р — еА. В случае уравнения Дирака это приводит к
подстановке свободного Гамильтониана:
Н = /Зт + (<5 • р) => /Зт + ер + а • (р — еА). (2.32)
Уравнение Дирака во внешнем поле приобретает вид
<ЭФ
г-— = {/Зт + ер + а • (р — еА)}Ф, (2.33)
С7 Ъ
или, как обобщение уравнения (2.15),
(р — еА — тп)^ = 0. (2.34)
Можно непосредственно проверить, что, поскольку поле (р, А) веще-
ственно, уравнение непрерывности (2.27) содержит те же самые выражения
(2.23) для плотности и (2.28) для плотности тока. Так как оператор им-
пульса входит в уравнение линейно, нет так называемого диамагнитного
члена, ~ А|Ф|2, в выражении для тока (1.14.70), хотя ток изменяется в
присутствии поля вследствие изменения волновых функций.
Пусть Ф описывает одно из возможных состояний частицы; в стацио-
нарном случае это может быть решением в определенной положительной
энергией Е и, соответственно, с зависимостью от времени ~ ехр(—1Е1).
Соответствующая античастица это двойник с отрицательной энергией, ко-
торый должен меняться от времени как ехр(гЕ^). Следовательно, переход
к античастицам, зарядовое сопряжение, по-видимому, включает опера-
цию комплексного сопряжения. Комплексно сопряженный биспинор Ф*
удовлетворяет уравнению, комплексно сопряженному к (2.33),
<ЭФ*
—г—— = + ер + а* • (р* — еА)}Ф*. (2.35)
(Л
Отметим, что Ф* все еще биспинор столбец, но с комплексно сопряжен-
ными компонентами, и обе, временная и пространственная производные
входят с множителем г и меняет знак (р* = — р), поскольку внешнее поле
вещественно. Теперь изменим знак всех членов в (2.35) и умножим уравне-
ние на постоянную 4x4 матрицу С, которую выберем позже таким образом,
чтобы преобразованное уравнение совпало с исходным:
УСД = {тС(-^С-х — е<р + Са* (р + еА^ЩСФ*. (2.36)
В матричные члены должны быть вставлены = 1, для того, чтобы
иметь во всех членах новый, зарядово сопряженный, биспинор
Фс = СФ*. (2.37)
Зарядово сопряженный биспинор (2.37) подчиняется тому же уравне-
нию Дирака (2.33), но с противоположным зарядом — е, если зарядово
сопряженный оператор С удовлетворяет матричным соотношениям
С(-/3*)С-Х = (3, СсГС-1 = а. (2.38)
Однако, ясно, что такая матрица С существует, поскольку матрицы /3' =
—/3* и а' = а* удовлетворяют тем же коммутирующим соотношениям, что
и исходные матрицы, и может быть преобразована унитарным преобразо-
ванием. Такой выбор даже не единственен.
Задача 2.3
Найти матрицу С в стандартном представлении (2.7) матриц Дирака,
налагая дополнительное условие
Л=С = С~1. (2.39)
Решение
С — г/3(Х2 — П2-
(2.40)
Таким образом, у нас есть пара биспиноров, Ф и Ф^, описывающих
движение (в том же самом внешнем поле) частиц с зарядами ±е. Реше-
ние Фс должно принадлежать античастице, если решение Ф описывает
частицы. Если Ф - собственный вектор Гамильтониана с энергией Е. и
все его компоненты имеют одинаковую зависимость от времени е~/Е1. все
компоненты биспинора СФ* имеют зависимость от времени егЕ\ как для
энергии —Е. При свободном движении Ф и Ф^ - решения того же уравне-
ния с противоположным знаком энергии. Как обсуждалось в отношении к
релятивистскому закону дисперсии, раздел 35.8, решения с энергиями ЕЕ
появляются парами. Без внешних полей, действующих на заряд, частицы
и античастицы неразличимы. Выполняя операцию зарядового сопряжения
над решением с отрицательной энергией, мы получим физическое решение
с положительной энергией, действительно совпадающее с решением для
частицы. В присутствии внешних полей, решение для частицы отлично
от решения для античастицы; из решения с Е < 0 и заданным зарядом, с
помощью зарядового сопряжения мы получим решение с Е > 0 и противо-
положным зарядом. Зарядовое сопряжение позволяет рассмотреть, вместо
решения для электрона се<0иЕ<0, решение для позитрона с Е > 0 и
е > 0.
2.5 Релятивистские преобразования
Физические процессы не зависят от выбора лоренцевской системы отсчета.
Во всех таких системах уравнение для физических законов имеют ту же
форму, будучи выраженными через величины, относящиеся к выбранной
системе отсчета. Наши уравнения можно переписать в ковариантной форме,
которая ясно показывает, что все члены подчиняются единым правилам
преобразования.
Используя контравариантный оператор импульса (11.26), запишем урав-
нение Дирака (2.15) как
(Йм^М — пг)Ф = 0. (2-41)
Теперь выполним преобразование Лоренца (11.29), заданные матрицей Л.
Должны ли матрицы преобразовываться как компоненты 4-вектора,
если величина должна быть инвариантом. Тогда волновая функция Ф
в новой системе отсчета должна удовлетворять тому же уравнению (2.41),
то есть должна также быть инвариантом (релятивистский скаляр). Однако,
наши величины являются универсальными матрицами, не зависящи-
ми от системы отсчета. Следовательно, релятивистская ковариантность
уравнения Дирака требует, чтобы волновая функция Ф преобразовывалась
определенным образом. Должно существовать линейное преобразование 5,
Ф' = 5Ф,
(2.42)
такое, что новая функция Фх в новой системе координат удовлетворяет
уравнению того же самого вида,
(П/Хм - ™)ф' = 0. (2.43)
В соответствии с релятивистским законом дисперсии (11.12), масса т
является скаляром; производные относятся к новым координатам.
Матрица 5 = <5(Л) не может зависеть от координат и должна быть уни-
версальной 4x4 матрицей (поскольку биспинор имеет четыре компоненты),
полностью определяемой преобразованием Лоренца Л; она не сингулярна,
поскольку обратное преобразование Лоренца определяет обратную матрицу
<5-1. В уравнении (2.42) новая функция Фх берется в точке Д в то время
как старая функция Ф берется в соответствующей, В смысле уравнения
(11.29), точке х = Л-1Д,
Ф/«(^) = 5/(Л)Ф/3(Л-1Ж'). (2.44)
Это очевидное обобщение преобразования волновой функции при вращени-
ях, раздел 1.16.1. Преобразование 4-градиента дает (11.27)
д'Ф
лф = —
дхц
/ЭФ «Эф
_ Лд = л ^ф
дх'„ дх,
(2-45)
используя (2.45) и (2.42), перепишем исходное уравнение Дирака (2.41) как
т^8 ХФХ = 0,
(2.46)
или, умножая на матрицу 5 слева,
8гА^у1л8~1д,1'-ф/ - тФ' = 0.
(2.47)
Уравнение (2.47) для преобразования волновой функции будет удовлетво-
рять условию релятивистской ковариантности, то есть совпадать с (2.41),
если
5 А^ъ 5”1 = 5-45 = Л/Ьщ
(2.48)
Это условие, которое определяет матрицу 5, и откуда следует правило
преобразования (2.42) волновой функции Дирака при преобразованиях Ло-
ренца. Выбор матрицы 5 может быть определен дополнительным условием
(в действительности, нормализацией функции Ф), например,
бе! 5 = 1. (2.49)
Нетрудно понять смысл условия (2.48). Если волновая функция Ф была
скаляром (Фх = Ф), ковариантность должна означать для д/; преобразование
как 4-вектора,
= (2.50)
Теперь хотелось бы найти такое преобразование 5, которое возвращало бы
д-матрицам их исходную форму. Как всегда, при преобразовании (2.42),
операторы преобразуются в соответствии с
7' => 7" = 57'5-х = ЗА^З'1. (2.51)
Требование д" = д7У есть лишь условие ковариантности (2.48).
2.6 Оператор спина
Возможные преобразование координат системы отсчета включают обыч-
ные трехмерные вращения. Генератор этого преобразования связан со
спином дираковской частицы.
Здесь, простая техника состоит в прямом обобщении того, что было сде-
лано для нерелятивистской частицы в разделе 1.16.2. Мы проиллюстрируем
это нахождением матрицы 5 для вращения, 5 = Для бесконечно
малого угла вращения в соответствии с разделом 1.16.1,
х' = х — у бср, у' = у + х г’ = г, I' = I. (2.52)
Матрица преобразования Л в окрестности начала координат может быть
записана как
Л = 1 + 8<р- Л, (2.53)
где 4x4 матрица Л с матричными элементами Х„ играет роль генератора
преобразования Уравнение (2.52) показывает, что
X? = -Аз1 = -1. (2.54)
Матрица П также близка к единичной матрице,
7г = 1 + • г, (2.55)
где матрица т должна быть определена. С той же точностью, = 1—
и
= (1 - • 071/(1 + дуэ • г) = 7г/ + <5<^[7г/, т]. (2.56)
С другой стороны, уравнения (2.48) и (2.53) требует, чтобы это было ничем
иным, как
= Ъ + (2.57)
Таким образом, матрица т должна удовлетворять условию
(2-58)
ИЛИ, явно,
[71,т] = “72, [72, т] = 72. (2.59)
Решением этих уравнений является
Т = | 7172 + 7, (2-60)
где ту - матрица, коммутирующая с 71 и 72. Однако, нормализация (2.49)
требует выполнения условий
<Тей (1 + 5(/?т) = 1 + 5</Лг(т) = 1, 1г(т) = 0, (2.61)
которые исключают матрицу ту и дают
т = |7172- (2-62)
В стандартном представлении (2.9) этот результат имеет вид
_ _1 А СПСГ2 ° А _ _ О' сг3 о \ , ,
Т 2 у 0 <71(72 ) 2 \ 0 <73 / ' ?
Теперь естественно определить оператор спина дираковской частицы как
8 = |Д (2.64)
Где релятивистские 4x4 матрицы спина
/ а 0 \
\ О ° )
(2.65)
Таким образом, генератор вращений определяется аналогично нереляти-
вистскому случаю,
* V
Т = --^3 = -^з,
(2.66)
и аналогично для вращения вокруг других осей.
Алгебра 4x4 матриц не отличается от той, что для матриц Паули.
Как обычно, мы восстановим унитарный оператор вращения,
ТгДД = е^т = е~г^3 = = СО8 - гзт |43.
(2.67)
Как должно быть для частицы со спином 1/2, раздел 20, вращение на
полный угол 2л дает + 2 л) = —7?Д<^).
Задача 2.4
Найти преобразование <5(гж) волновой функции Дирака, отвечающее
лоренцеву растяжению, переходу к системе отсчета, движущейся со скоро-
стью и вдоль оси х относительно исходной системы отсчета.
Решение Решение дается аналогично случаю вращения, но результат не
унитарен,
<5(гж) = соей | + «1 81пЬ 1ап11^ = с,
(2.68)
или 1ап11^ = с/с в обычных единицах.
Не унитарность представления группы Лоренца отражает характер преоб-
разований. В противоположность вращению с компактными непрерывны-
ми параметрами, углами, растянутый «угол» не компактен, изменяется
от — оо до +оо. В практических задачах этот параметр, стремительность,
может быть удобен, потому что растяжение происходит вдоль той же оси
за два шага, с параметрами Д и ^2? он будет описан аддитивным образом
= Д + ^2 ? в противоположность более сложным лоренцевским добавкам
скоростей.
2.7 Билинейные коварианты
Нам нужно рассмотреть, как как физические наблюдаемые величины
(матричные элементы различных операторов) преобразуются при преоб-
разованиях Лоренца. Мы начнем с величины, правило преобразования
которой может установлено на основании общих соображений.
4-вектор тока (2.31) должен преобразовываться также, как вектор
координат (11.5). Используя сопряженный спинор Дирака Ф и выполняя
преобразование Лоренца Л, получим
Д => = Л^Фд^Ф = Ф(ЛфдДФ, (2.69)
где матрицы Д определены в соответствии со стандартным правилом
(11.21). Условие (2.48) лоренцевой ковариантности уравнения Дирака теперь
показывают, что
Д = Ф5-17^5Ф. (2.70)
Преобразование сопряженного спинора дается выражением
Ф' = (Ф)'Цо = ФГ<$Чо = Ъо-З'До- (2.71)
Следовательно, преобразование вектора тока должно быть в виде
Д = ф'Дф' = Ф7о5Цо7л5Ф. (2.72)
Два выражения, (2.70) и (2.72) совпадают, если
705*70 = (2.73)
Ниже мы покажем, что это соотношение верно.
Задача 2.5
Доказать, что оператор <5до<5^до коммутирует со всеми матрицами дм.
Решение Запишем условие релятивистской ковариантности для биспинора
Ф^ и используем свойства эрмитова сопряжения, раздел 36.2,
7^ = 7о7д7о-
(2.74)
Существуют 16 линейно независимых 4x4 матриц. Мы можем выбрать
базис в этом операторном пространстве следующим образом: единичная
матрица 1 — скаляр-, 4 матрицы — вектор-, 6 матриц
(2-75)
— антисимметричный тензор; 4 матрицы 77^75 — псевдовектор (см. опре-
деление (2.16) матрицы 75); матрица 75 — псевдоскаляр-, множитель г добав-
лен для эрмитовости. Значения отдельных членов будут ясны несколько
позже, но очевидно, что только единичная матрица коммутирует со всеми
7М (формально это можно требовать, ссылаясь на лемму Шура, раздел
1.8.12). Следовательно, результат Задачи 36.5 показывает, что
5до5^7о = 77 = соп81 • 1. (2.76)
Теперь мы можем найти константу 77. Во-первых, матрица <57о<5^ очевид-
но, эрмитова. Тогда из (2.76) следует, что 7770 эрмитова, т.е. 77 вещественна,
поскольку <1е1<5 = 1, мы имеем
<1е1 (570^70) = |с!е15|2 • Де! (70)|2 = 1 = ту4. (2.77)
Это показывает, что 77 = ±1. Остается понять смысл знака 77. Записав
снова (2.76) как <57о<5^ = 7770 и беря обратный оператор от обеих частей,
мы находим
(5|)-1705-1 = 170 77о5-1 = 5Ц0, (2.78)
11
и, следовательно,
5Д = 5Цо7о<5 = гпоЗ-^оЗ. (2.79)
Применяя (2.48) условие лоренцевской ковариантности, получим
= 77ОЛОМ7М = 7(7оЛо°7о - 7оЛо/с7/г) = ~ ^оак~)- (2.80)
Однако, оператор <5^5 по построению имеет вещественные положительные
собственные значения, поэтому его след положителен. В соответствии с
(2.80),имеем
1г(5^5) = 4т7Л0° > 0.
(2-81)
Мы заключаем, что р = +1, если Ло° > 0, т.е. для преобразований, которые
не содержат инверсии времени, и р = — 1, если Ло° < 0 для преобразований,
включающих обращение времени.
Таким образом, Для преобразований, которые не обращают стрелку
времени, уравнение (2.73) справедливо, и ток поистине, ведет себя как
4-вектор ( ток меняет знак при обращении времени). Легко видеть, что
любой матричный элемент вида
ум = ф17Мф2 (2.82)
преобразуется как 4-вектор. Плотность вероятности (2.23) является четвер-
той компонентой вектора, а не скаляром, см. также обсуждение в конце
раздела 11.7. Следовательно, наша обычная нормировка Ф^Ф = 1 не явля-
ется релятивистским инвариантом.
Инвариантная нормировка возможна для матричного элемента ФФ,
который аналогичен току, но вместо «векторных» матриц 7м, использует
«скалярную» матрицу 1. Используя уравнения (2.71) и (2.73), получим (для
преобразований без обращения времени)
Ф' = Ф5Л (2.83)
И
Ф',Ф( = Ф1($-15Ф2 = Ф1Ф2- (2.84)
Матричные элементы «тензорного» оператора (2.75),
ТДу = ф 1<Т ^Ф 2) (2.85)
преобразуются как компоненты антисимметричного тензора второго ранга,
У = Ф1^Ф'2 = Ф^-^^Фг, (2.86)
и, используя условие ковариантности (2.48),
ту = Л^Л^Фкт^Фз = А^А;Трт. (2.87)
Задача 2.6
Показать, что матричные элементы «псевдоскалярного» оператора 75,
Р = Ф175Ф2, (2.88)
преобразуются при преобразовании Лоренца Л как
Р => Р' = Ф175Ф2 = Р • Л.
(2.89)
Детерминант матрицы Л является Якобианом перехода от старых ко-
ординат к новым. Якобиан определяет изменение элемента объема. Для
непрерывных преобразований Лоренца (без отражений пространства или
времени), 4-объем инвариантен [ЬЬ2], и Якобиан равен 1. Тогда Р' = Р. Для
преобразований с инверсией одной из трех координатных осей, <Те± Л = — 1,
и Р' = —Р, т.е. матричные элементы (2.88) в самом деле, обладают свойства-
ми псевдоскаляра. Аналогично, можно показать, что «псевдовекторные»
матричные элементы,
= Ф17м75Ф2, (2.90)
ведут себя, как компоненты аксиального вектора (как истинный вектор при
вращениях растяжениях, но не меняющий знака при пространственных
инверсиях).
Мы можем суммировать, что операторы всех физических наблюдаемых
для дираковской частицы могут классифицироваться в соответствии с их
свойствами по отношению к преобразованиям Лоренца. Эти свойства не
зависят от того, совпадают ли биспиноры Ф и Ф или описывают различные
состояния, или даже различные дираковские частицы. Если Гамильтониан
взаимодействия двух таких частиц сохраняет четность, он должен быть
скаляром. Тогда он может быть построен, например, сжатием величин
с одинаковыми свойствами преобразований , например, как (вектор х
вектор),
(^)12(^)34 = (Ф17мФ2)(Фз7мФ4), (2.91)
или (псевдовектор х псевдовектор),
(ЛО12СМ34 = (Ф17л75Ф2)(Фз7л75Ф4). (2.92)
Если Гамильтониан не сохраняет четность, можно также иметь взаимодей-
ствие типа (вектор х псевдовектор),
(ГО12(^)з4 + (Н.с.). (2.93)
Это случай слабого взаимодействия, которое может быть сконструировано
как произведение токов 7м = 17// — Аф которые содержат перекрестные
члены (2.93).
Дальнейшее чтение: [АкЫ965], [ЬЬ4], [Ееу1962], [\Ущ1967], [Вщ1965]
Физическая теория считается
удовлетворительной, если с ее
помощью мы можем сделать
количественные предсказания
физических величин.
Дж.М. Джох и Ф. Рорлих, Теория
фотонов и электронов
Глава 3
Уравнение Дирака: решения
3.1 Свободное движение
Мы начнем с основной проблемы свободного движения для частицы
Дирака с массой т Д 0. Рассматривая стационарное состояние с энергией
Е, мы можем отделить временную зависимость стандартным образом и
выписать биспинорное решение как
Ф(М) = (3-1)
Биспинор, зависящий от времени Д(г), удовлетворяет стационарному урав-
нению Дирака,
Нф = ЕД, (3.2)
с Гамильтонианом (12.2),
Н = /Зт + (Й • р). (3.3)
Оператор импульса р очевидно сохраняется, и решение может быть взято
в виде плоской волны
Дг) = ег(р'гЦр), (3.4)
где р теперь - собственное значение импульса, а п(р) - числовой биспинор,
удовлетворяющий задаче на собственные значения
{[Зт + (Й • р)}п(р) = Еп(р). (3.5)
Другая форма этого уравнения следует из (12.15),
где 4-вектор импульса р/у = (Е*, р). Уравнение (3.5), на самом деле, пред-
ставляется множеством из четырех связанных линейных однородных урав-
нений для компонентов биспинора п; форма (3.6) дает лишь различные
комбинации тех же уравнений.
Мы «вывели» уравнение Дирака в разделе 12.1 из требования, чтобы
каждая компонента многокомпонентной волновой функции удовлетворяла
УКГ. Уравнение Дирака напоминает квадратный корень из УКГ . Возвра-
щаясь к квадратичному оператору, действуя оператором + (а • р)),
с помощью уравнений (12.5) и (12.6), мы уберем все матрицы и получим
положительные и отрицательные собственные значения для энергии,
Е2 = т2 + р2 Е = ±ЕР = ±\/т2 + р2. (3.7)
Теперь нам нужно проверить, что оба знака, на самом деле, возможны
и появляются парами, т.е. для каждого собственного вектора и с одним
из собственных значений Е уравнения (3.7), существует другой собствен-
ный вектор с собственным значением —Е. Это может быть установлено с
помощью зарядового сопряжения, раздел 12.4.
3.2 Море Дирака
Преобразуем уравнение Дирака аналогично тому, как это было сделано
в уравнениях (12.35) и (12.36). Ожидая,что античастицы движутся в том
же поле и в направлении, обратном движению частиц, сначала изменим
р -Л- —р в уравнении Дирака (3.5),
— (а • р))и(—р) = ЕД—р). (3.8)
Теперь возьмем комплексное сопряжение и изменим общий знак,
(3*т + (а* • р))гГ(—р) = — Еи*(—р). (3.9)
После этого зарядовое сопряжение, раздел 12.4, дает
+ (Са*С-1 • р))с«*(-р) = -ЕСи*(-р). (3.10)
С определением (12.38) преобразования С, результирующее уравнение имеет
вид
((/5т + (а • р)) (См*(-р)) = -Дсг?(-р)).
(з.и)
Рис. 3.1. Энергетический спектр уравнения Дирака для свободного движе-
ния)
Это означает, что для каждого биспинора п(р) с энергией Е, существует
биспинор-двойник, Си*(—р), который является решением того же свобод-
ного уравнения Дирака с энергией — Е. Их четырех линейно независимых
решений для заданного вектора р, два отвечают энергии Е = Ер > О,
а два — энергии Е = — Ер < 0. Разрешенный спектр энергии свободного
движения, Рис. 37.1, состоит из двух континуумов, с энергетическим за-
зором от -тс2 до +тс2. Понимая буквально, эта картина не может быть
удовлетворительной с физической точки зрения. Электроны с Е > 0, в
присутствии третьего тела, могут испускать фотоны с энергией > 2тс2 и
выполнять переход к континууму, который не имеет дня. Как обсуждалось
в разделе 12.4, разумная интерпретация состоит в том. что решения с поло-
жительной энергией описывают частицу, электрон, в то время как решения
с отрицательной энергией подвержены функции зарядового сопряжения,
описывающей античастицу, позитрон:
ие1(р,^ > 0) = и(р,Ер),
иро8(р, Е > 0) = Си*(-р, -Ер).
(3-12)
Оригинальная интерпретация состояний с отрицательной энергией, по
Дираку, состояла в следующем. Предположим, что в основном состоянии
мира, все состояния с отрицательной энергией заполнены однородным
электронным фоном, море Дирака. Будучи абсолютно однородным, фон
не влияет на результаты экспериментов с низкой энергией из-за широкого
энергетического зазора. Существование заполненного моря делает переход
электронов в эти состояния запрещенным принципом исключения Пау-
ли, раздел 15.4. Внешнее поле достаточно высокой частоты, со > 2тс2/К,
может помочь электрону фона перейти в верхний континуум. Это будет
наблюдаться как появление частицы с Е > 0 и дырки в состоянии с Е < 0.
Во внешнем электромагнитном поле все электроны движутся в одном
направлении, для энергий обоих знаков. Но это означает, что дырка в
фоне движется в противоположном направлении, как это может делать
позитрон.
Новая интерпретация зарядового сопряжения помогает избежать введе-
ния ненаблюдаемого моря электронов. Возбуждение электрона из нижнего
континуума в верхний, естественно, ведет себя как рождение электрон-
позитронной пары внешним полем. Обратный процесс заполнения состоя-
ния дырки электроном это аннигиляция пары. Однако, высокая возмож-
ность таких процессов налагает ограничение на рассмотрение электрона во
внешнем поле, как одночастичная проблема. При высоких частотах поля,
число частиц перестает быть фиксированным, а это необходимо, чтобы
решать задачу многих тел для электрона и электрон-позитронных пар. Это
приводит к наблюдаемым эффектам КЭД, относящимся к релятивистским
соотношениям неопределенности, разделы 1.5.10 и 11.1.
3.3 Явные решения
Теперь можно найти решение уравнения Дирака (3.5) для свободного
движения. Имея ввиду будущий переход к нерелятивистскому пределу,
удобно ввести два двухкомпонентных спинора (/?, у вместо четырехкомпо-
нентного биспинора и. Сгруппируем две верхних и две нижних компоненты
в форму
и = ( и^изи^ ) = ( <рх ) . (3.13)
В стандартном представлении матриц Дирака (12.7), уравнение (3.5)
принимает вид
Е ( <РХ ) - Л • ₽) ( XV ) - т ( р - х ) = 0. (3.14)
Мы получим множество из связанных попарно уравнений для спиноров ср
и X,
Ер> - (ст • р)х = тр, Е'у - (ст • р)<^ =-тх,
(3.15)
и можно выразить один из спиноров через другой:
= Е---
Е — т
(3.16)
Условие разрешимости этого однородного набора снова приводит к соб-
ственным значениям для энергии (3.7). Решение содержит произвольный
двухкомпонентный спинор . Например, с произвольной <р найдем у для
Е = ЕЕр. Двукратное вырождение состояний с определенным знаком
энергии относится к произвольности двухкомпонентного спинора, т.е. к
возможности двух независимых внутренних состояний частицы,
(3-17)
Эти два внутренних состояния соответствуют спину 1/2 дираковской ча-
стицы.
Преимущества стандартного представления дираковских матриц стано-
вится очевидным, если интересоваться нерелятивистским пределом и <Е с.
Для положительной энергии, Е = Ер > тс2, в этом пределе Е — тс2 Е тс2.
Тогда уравнение (3.16) показывает, что верхние компоненты биспинора
много больше, чем нижние,
• Р) у
----р ~ -р.
2т с
(3.18)
Наоборот, для решений с отрицательной энергией, Е = — Ер. верхние
компоненты малы, р ~ (г/с)у. В системе покоя частицы, р = 0, один из
спиноров исчезает, а оставшиеся две компоненты обеспечивают обычное
нерелятивистское описание для частицы со спином 1/2.
Для нерелятивистских приложений мы еще можем использовать некова-
риантную нормировку для биспинора,
(3.19)
Для решения с положительной энергией биспинор равен, уравнение (3.16),
(3.20)
Теперь
и
, (Р ------
Е + т
=|лг|2 [х+
Полагая двухкомпонентный спинор нормализованным, ((/?^Д) = 1, приме-
няя (3.19) и используя алгебру матриц Паули (1.20.16), найдем
(Л) = |М2 [1 + /ГД Ч9] = |Я|2 ДУ (3.22)
к 7 1 1 [ (Е + т)2] 1 1 Е + т к 7
Окончательно, решение с положительной энергией, нормализованное в
соответствии с (3.19) дается выражением
Задача 3.1
Используя оператор Гейзенберга уравнения движения, найти оператор
скорости для дираковской частицы и его собственные значения.
Решение Оператор скорости может быть определен как
V = г = —г[г, Н] = —г[г, (<5 • р)] = <5, (3.24)
или са в обычных единицах. Легко видеть, что собственные значения
всех дираковских матриц равны ±1, т.е.собственные значения компонент
скорости равны ±с.
Парадоксальный результат Задачи 13.1 может быть положен в основу,
если мы вернемся к собственному состоянию некоторой компоненты ско-
рости, или соответствующая матрица Дирака нестационарна. Такое
состояния является суперпозицией решений с положительными или от-
рицательными энергиями, поскольку оператор перемешивает верхние
и нижние компоненты. Для такого состояния, |Ф|2 содержит быстроос-
циллирующие члены с промежутком частоты, (+Ер) — (—Ер).р > 2т, так
называемое ЕШегЬегиедипд (дрожащее движение). Это может свободно ин-
терпретироваться как относящееся к квантовым флуктуациям создания
и аннигиляции виртуальных пар, сравни с дарвиновским членом, раздел
1.23.3. Уравнение (3.24) показывает, что различные компоненты скорости не
коммутируют, аналогично тому, что имеет место для частиц в магнитном
поле, уравнение (1.13.20). НЗдесь, эффективное «поле» создается спином
частицы, и взаимодействие спина с пространственным движением частицы
является неизбежным свойством в релятивистской области.
Задача 3.2
Найти ожидаемое значение скорости дираковской частицы в стационар-
ном состоянии.
Решение Прямое использование оператора (3.24) к состоянию (3.23) с
положительной энергией дает
(V) =
Е + т
2Е
(<Тр)
Е + т
что приводит к правильному релятивистскому выражению для скорости
свободного движения с импульсом р,
(<Т • р)(Т + ст(<7 • р) \ _ р
2Е ЛЕ'
(3.26)
3.4 Полный набор решений
Множество решений для свободного движения с импульсом р должно
завершаться добавлением решения с отрицательной энергией, Е = — Ер.
которое может быть найдено тем же способом.
Задача 3.3
Построить нормированные биспиноры г(р) с отрицательной энергией и
проверить их ортогональность к биспинорам п(р) с положительной энерги-
ей и тем же импульсом р.
Решение С нормализацией (г^г) = 1 и (х^х) = 1,
Чр) =
\Е\ + т
2|Д
( -((<?• р)/(1Д + т))х% ).
(3.27)
Присущий спин может быть квантован по отношению к любой оси, чтобы
определить два ортогональных двухкомпонентных спинора для каждого
знака энергии. Одна возможность, особенно удобная для высоких энергий,
состоит в том, чтобы использовать направление импульса р в качестве
оси квантования. Проектция спина частицы на направление движения
называется спиральностью. Соответствующий оператор имеет вид
''р = 1рГ (3'28)
где 52 - релятивистский аналог матриц Паули (12.65). Собственные значения
спиральности равны ±1, образуя состояния с правой или левой продольной
поляризацией, аналог круговой поляризации для фотонов.
Задача 3.4
Вывести оператор уравнения движения для оператора 52 свободной ди-
раковской частицы и показать, что спиральность сохраняется (аксиальная
симметрия аокруг направления движения).
Решение Для Гамильтониана (12.2), оператор 52 не коммутирует с опера-
тором скорости а,
О
&к
О’ & \ о •
д 1 = 226^/сСЕ^,
(3.29)
где используется коммутатор = 2Е^^а^. Отсюда,
[52, Н] = — 2г[а х р].
(3.30)
При свободном движении импульс сохраняется и может быть представлен
своим собственным значением р. тогда
[Д-Р),я] = о, (3.31)
спиральность сохраняется и может быть использована для двух характер-
ных линейно независимый состояний с заданными р и Е.
Мы можем также ввести символ оператора ^р, который характеризуется
знаком энергии для заданного р,
Ср = Ер + Цт2 + р2. (3.32)
Ер
Собственные значения снова равны ±1. Четыре возможных комбинации
значений спиральности и определяют полный базис
Подитожим: полный набор решений уравнения Дирака для свободного
движения может быть выбран как
ФрДг, 0 = ег(Р-г)-<^4и^(р), (3.33)
где биспинор и^(р) задан выражениями (3.23) для = 1 и (3.27) для
^ = — 1, соответственно. Квантовое число к фиксирует внутренний двух-
компонентный спинор, и может быть взято, например, в представлении
спиральности. Функции (3.33) одновременно являются собственными функ-
циями следующих операторов:
= рФр(/п (3.34)
ЯФр^ = СЕрФр</г, (3.35)
= (3.36)
= (3.37)
Явный вид биспиноров и зависит от представления дираковских матриц;
они могут быть нормированы, например, согласно
(и^ДрЦДр)) = (3.38)
[Мы помним, что для инвариантной нормализации должен использоваться
скаляр йи, ец. (12.84).] Общее решение уравнения Дирака дается суперпо-
зицией
Ф(М) = 52 52 / аС/г(Р)иС/г(Р)ег(Р'Г)“С'Е;р<, (3-39)
С=±1 н=±1 '
где коэффициенты (^(р) определяются исходным биспинором Ф(г, 0),
аДр) = У <Л3г е-г(р'г)и^(р)Ф(г, 0). (3.40)
Задача 3.5
Показать, что Преобразование Фолди-Ваутхуйзена [Ро11950],
ф' = Сф, [ЛтшЗ (3.41)
где
0 = ^. # = (3.42)
/3 и а — дираковы матрицы (12.7), и р = |р|, приводит уравнение Дирака
для свободного движения с импульсом р к виду, в котором решения с
положительной и отрицательной энергиями явно расщеплены.
Решение Преобразованный Гамильтониан (3.41) дается выражением
Н' = ег^ + (а • р))е = {3\/т2 + р2,
(3.43)
и в стандартном представлении (12.7) мы получим два расщепленных
двухкомпонентных уравнения для энергий ±Г?р. Для доказательства можно
использовать эквивалентную форму
Г = — 1ап 1
2
г/3 ----
т
(3.44)
и степенные ряды для 1ап х, в соответствии с тем, что
(<5 • р)2 =р2.
(3.45)
3.5 Уравнение Паули
В нерелятивистской квантовой теории, уравнение Паули, Задача 1.23.2,
дает зорошее предсказание для спинового гиромагнитного отношения элек-
трона (или позитрона). Наша задача состоит в том, чтобы вывести уравне-
ние Паули из релятивистского уравнения Дирака.
Уравнение Паули не включает какой-либо явной ссылки на море Дирака
для отрицательных энергий. В нерелятивистском пределе, V/с 1, ниж-
ние компоненты биспинора были малы для свободного движения. Теперь
нам нужно рассмотреть полное уравнение Дирака (12.33) в присутствии
внешнего электромагнитного потенциала (До, А). Выпишем это уравнение
(для стационарного случая с энергией Е) в терминах двухкомпонентных
биспиноров р(г) и у (г); для тогог, чтобы отслеживать релятивистский
параметр с/с, мы вернемся к основным единицам:
(Е — еАо — тс2)(р = са • (р — -А) у, (3.46)
(Е — еАо + тс2)х = са • (р — -А) ср, (3.47)
Рассмотрим решение для положительной энергии,
Г)
где |е| тс2 в нерелятивистской области. Влияние нижних компонент,
* = 2,„С= Л - сЛ„ " ' (р 1А) ” <3'49)
будет слишком мало, если потенциалы не сдвинут энергию слишком далеко
от границы верхнего континуума, и не имеют высоких компонент Фурье,
пространственных с к > тс/К или временных с ш > тс2/Н. Тогда нижний
спинор порядка г/с, сравним с верхним, и, пренебрегая эффектами высших
порядков, мы можем положить
Выражение (3.50), используемое в правой части уравнения (3.46) приводит
к замкнутому уравнению для верхнего спинора, оно велико в нереляти-
вистском пределе,
(3.51)
Этой нерелятивистскрй аппроксимацией первого порядка для уравнения
Дирака является уравнение Паули, где верхний двухкомпонентный спинор
р играет роль обычной шрёдингеровской волновой функции; орбитальный
гиромагнитный коэффициент д[ = е/2тс и спиновое гиромагнитное отноше-
ние д8 = 2д[ предстказываются этим уравнением автоматически. Из вывода
ясно, что это прямое следствие спиновой структуры Дирака и минимально-
го пути включения взаимодействия с электромагнитным полем. Небольшая
разница (1.1.73) между этими предсказаниями и наблюдаемым магнитным
моментом электрона и мюона, аномальные магнитные моменты, объ-
ясняется аналогично лэибовскому сдвигу, радиационными поправками —
взаимодействия с полем вакуума. Для нуклонов аномальные магнитные
моменты, уравнение (1.1.72), превышают обычные магнитные моменты, как
следует из уравнения Паули. Это причина сильных взаимодействий, не
учитываемых в уравнении Дирака. Магнитный момент нуклона не может
быть вычислен в рамках КЭД (нужно рассматривать кварковую структуру
нуклонов, описываемую квантовой хромодинамикой, КХД), и должно быть
включено в уравнение Дирака в качестве эмпирического параметра.
3.6 Эффекты второго порядка
Тонкая структура атома, в соответствии с нашими простыми оценками
раздела 1.23, появляется как релятивистская поправка второго порядка,
~ (г/с)2. Для аккуратного вывода необходим следующий шаг помимо
уравнения (3.50).
Для простоты мы ограничим наше рассмотрение случаем чистого потен-
циала без магнитного поля, А = 0, еАо = П(г). Их (3.49) мы получим
1 ~ 1 Л
V = ------------ С (7 • р)ф ~ - 1 —
2тс2 + е — 17 2тс у
е-Ц
2тс2
(3.52)
Исключая х из уравнения (3.46), мы найдем новое уравнение для верхнего
спинора,
(е - = с(а- р)у
гД'”'
(3.53)
1 -
А?) (^Р)”'
Для того, чтобы получить уравнение Шрёдингера с релятивистскими
поправками, нужно учесть, что здесь, включая члены второго порядка,
верхний спинор не может служить в качестве нерелятивистской волновой
функции, полскольку он определен другим правилом нормировки. Если
биспинор Ф(г) нормирован на 1, то
1 Дл-Ф’фД/МЛ + А). (3.54)
и нам нужны поправки, не выше, чем второго порядка, этого достаточно
чтобы взять при этом условии нижний спинор X с первым порядком по
с/с, как это найдено в уравнении (3.50),
1 ~ /У+ ((? р) Й (Д *Д) 1 • (3-55)
У \ 2тс ) \ 2тс ) I
используя эрмитовость оператора (с? • р), мы найдем с той же самой точно-
стью
1+<г<
4т2 с2
Р2
4т2 с2
(3.56)
где свойства матриц Паули позволяют нам избавиться от них. Последнее
выражение, опять с нужной точностью, может быть симметризовано по
отношению к бра- и кет-спинорам,
+ 8т2 с2
+ 8т2 с2
(3.57)
•
Из (3.57) видно, что новый спинор,
Г р2
= [! +
(3.58)
корректно нормализован и может играть роль нерелятивистской волновой
функции до второго порядка.
Для того, чтобы вставить новую волновую функцию (3.58) в уравнение
(3.53), разумно вычислить
р2 р2 р2
1 + 8т2с2] = Г + 8т2с2] Г + 8т2с2] ^'59^
Пренебрегая членами четвертого порядка, это равно
р2 р2
(Е - + (Е - + (Е - <3'(5О)
Здесь, первый член мы можем выразить с помощью уравнения (3.53),
которое дает
р2
_1 +8^2?]
62 1
= 2 2 {Р2(е~ -2(<т-р)(е-{/)(<Тр) + С-^)р2}<Л (3.61)
2т 8тт(Э
В выражении внутри скобок в (3.61) члены, содержащие е уничтожаются,
в то время, как оставшиеся могут быть преобразованы к
{...} = ?^217 + 2п(<7-[VII х р]). (3.62)
Уравнение для корректной функции -0 может быть выведено действием на
обе части (3.61) оператора
^2 “I —1 ~ 2
1 + 8т2с2 ~ 1 ” 8т2с2 ’ (3‘63)
В левой части (3.61) мы получим (е — 17)^, в то время как в правой части
нужно умножить на оператор (3.63) только первый член, тогда как второй
член уже второго порядка,
(е -17)^ = 1 -
Р2 \
8т2 с2 /
р2
2т
Р2 \ ,
8т2 с2 /
1 -
+ ^2 + «)}<?. (3.64)
Мы приходим к аналогу уравнения Шрёдингера,
Н'ф = е'ф, (3.65)
с эффективным Гамильтонианом второго порядка (и правильным /з-членом!)
н = т- - + Дг) + х р] + (3-66)
2т 8т3с2 4т2 с2 \ / 8т2с2
Физический смысл выведенных поправок и полученная модель тонкой ст
руктуры атомного спектра обсуждались в разделе 23.3.
3 .7 Центральное поле
Здесь мы рассмотрим уравнение Дирака для частицы в статическом
внешнем поле [7 (г) о (г) с центральной симметрией без нерелятивистского
упрощения. Однако, нам следует помнить, что многие понятия внешнего по-
ля и соответствующие описания частицы в этом поле с помощью уравнения
Дирака имеют ограниченную правомерность.
С использованием внешнего поля и одночастичной формулировки, ради-
ационные поправки относящиеся к испусканию и поглощению виртуальных
фотонов пренебрежимо малы. Для легких атомов, где и/с ~ 2а 1, наше
прежнее рассмотрение по теории возмущений полностью справедливо. Вир-
туальные процессы дают лэмбовский сдвиг, раздел 4.8, атомных уровней
порядка • (2 а)2 1п(1/2а). Это превышает поправки ~ (г/с)4 от точного
решения уравнения Дирака, которые дают вклад ~ Е^(2а)4. Следователь-
но «точное» решение уравнения Дирака, на самом деле, обычно превышает
точность, позволяющую пренебречь радиационными поправками. Тем не
менее, в тяжелых атомах, когда 2 а стремится к 1, радиационные поправ-
ки от виртуальных процессов играют сравнительно малую роль, и новые
эффекты, возникающие при сильных полях заслуживают обсуждения. На
практике, здесь также обычно необходимо принимать во внимание конеч-
ность размеров тяжелых ядер, поскольку такой потенциал отличается от
кулоновского.
Из за присутствия спин-орбитальной связи, спин и орбитальный момент
не сохраняются отдельно, а полный угловой момент строго сохраняется.
Гамильтониан в центральном поле дается (с К = с = 1) выражением
Н = /Зт + (а • р) + Щг), (3.67)
и вектор орбитального момента I не коммутирует с импульсом р,
Н] = [^ (<5 • р)] = г[а х р]. (3.68)
Результат (3.30) показывает, что сохраняемый релятивистский оператор
полного углового момента
] = е+ Д = е + в. (3.69)
Как и ранее, уравнение (3.13), мы введем верхний сд и нижний у спиноры
и выпишем стационарное уравнение Дирака,
(/Зт + (а • р) + Дг)) ( рх ) = Е ( срх ) , (3.70)
как множество из двух связанных дифференциальных уравнений для двух
спиноров,
(Е - т - = (д • р)у, Ц + т - 77)х = (а • рД (3.71)
Мы будем искать стационарные состояния с точными квантовыми чис-
лами д и Ц = т. соответствующие двухкомпонентные спин-орбитальные
функции являются сферическими спинорами Задача 23.1. Поскольку
спиноры сд и х отличаются действием псевдоскалярного оператора (а • р),
они должны иметь противоположную четность. Существует только одна
пара сферических спиноров с одинаковыми р т и различной четностью,
Задача 1.23.3; они имеют дополнительные значения И и С орбитального
момента (1.23.29),
+ / = 2ф (3.72)
Таким образом, подходящий подход к решению множества (3.71) таков
^ = ( ) = ( Г(г)О^т(п)С(г)О^ш(п) ) , (3.73)
где радиальные функции Р(г) и С (г) следует определить.
Сферические спиноры и взаимосвязаны оператором (а-п) (мы
используем радиальный единичный вектор п). Между тем, наши уравнения
(3.71) содержат оператор (а • р). Во-первых, нам нужно связать эти два
оператора. Используя (1.23.30), мы найдем
Л • р)х = Л • р)С(г)О^т(п)
Сг(т}
= (а • р)(<7 • п)СДМЩп) = (а • р)(а • г)-^,т(п). (3.74)
Алгебра спина позволяет проделать следующие вычисления:
(а • р)(а • г) = (р • г) + г(а • [р х г]) = — г(сйуг) — г(г • V) — г(а • Г). (3.75)
с обозначением О' = с1С/с1г,
(г.^ОД а од=с,_с (3 70)
7^ С7 7^ Г Г
и Луг = 3, мы получим
(а • р)Х = ~г (в' + в) (3.77)
где релятивистское квантовое число V вводится для удобства,
^ = -М(Йк, = да+1)-Л'+1)-) = ( -Л1*' ЛЛ/г ’ (3-78>
Д I -С • 7 — -С 1 / ^ •
это может быть коротко записано как
И =7 + 1/2, (3.79)
С помощью аналогичной процедуры, применяемой к (<т • р)(/д где взято
дополнительное значение мы исключим спин-угловые переменные
и придем к связанному множеству из двух дифференциальных радиальных
уравнений,
С' + Ц^С = гЦ-т-77)Г, Р' + Д-^- Р = г(Е + т - Р)С. (3.80)
Это множество можно слегка упростить стандартным преобразованием
для трехмерного движения [ранее мы использовали 7?(г) = п(г)/г],
Г(г) = А1, С(г) = —г (3.81)
когда мы найдем для новых функций
/' + -/ = (Е + т-1Г)д, д'--д^-(Е-т-Е)/. (3.82)
г г
| Задача 3.6
Решить уравнения (3.82) для случая свободного движения.
Решение С V = 0, мы можем исключить одну из компонент, например д
и получить уравнение типа Шрёдингера,
+ (к2 — —/ = 0, к = \/ Е2 — гп2.
(3.83)
с 7 -л V с центробежным членом. Общее решение является суперпозицией
функций д/^±(д+1/2) (^г)? где 3— функция Бесселя, регулярная на исход-
ном решении, для обоих значений //, есть д/^^+1/2- Исходные функции Е
и С - такие же сферические функции Бесселя, как и в нерелятивистском
случае, действительно определяемые пространственной геометрией,
Е — т
Е(г) = ЩЦкг),
(3.84)
где — постоянная нормировки.
Задача 3.7
Полагая, что потенциал 17(г) в (3.82) спадает достаточно быстро при
г -Л- оо, найти универсальную асимптотическую форму решения.
Решение В асимптотике, уравнения (3.82) сводятся к
/' и (Е + т)д, д' (т- Е)/. (3.85)
Общее решение этого множества дается формклами
Г(г)@~КГ + Векг, д(г) = -7^—Еле-кг - ВекП. (3.86)
V т + Е
Здесь
к = \/т2 - Е2. (3.87)
Случай \Е\ > т (непрерывный спектр, к мнимая, ±гк) соответствует
задаче рассеяния, и обе части решения необходимо описывать убегающей и
приходящей сферическими волнами. Для \Е\ < т (внутри энергетического
зазора), к вещественно (для нерелятивистской задачи мы используем то же
обозначение Е). Физически ограниченные состояния с экспоненциальным
спадом на больших расстояниях требуют, чтобы В(Е) = 0, что определяет
дискретный энергетический спектр , если он существует.
3 .8 Кулоновское поле
Точное решение уравнения Дирака может быть найдено для кулоновского
поля (в наших текущих единицах е2 = а),
Щг) = (3.88)
Г
хотя, как отмечалось выше, область его справедливости ограничена тяжелы-
ми атомами. Мы будем искать дискретный спектр, предполагая притяжение,
71 > 0, и вещественное значение к. уравнение (3.87).
Множество уравнений для решения дается выражениями (3.82),
Д + - /— \ Е + т-\--— ] д = 0, д'--д+ \ Е — т ----— ] / = 0. (3.89)
Г \ Т* / Г \ Т* /
Процедура решения проходит те же самые шаги, что и для нерелятивист-
ского случая, раздел 18.2. Введем безразмерную переменную длины
р = кг, (3.90)
определяющую асимптотическое поведение для ~ ехр(—кр), и степенной
закон вблизи начала координат ~ р7. Главные слены двух уравнений (3.89)
в г ч 0 определяют
7 = уЧ - (Яа)2; (3.91)
положительный знак корня выбран,чтобы избежать сингулярности в начале
координат, как обычно, мы должны искать полное решение в форме
У(р) = е~рр^и(р), д(р) = е~р рЛ(р), (3.92)
а гладкие функции Др) апс! г(р) могут быть найдены как степенные ряды,
и(р) = Уикрк, ъ(р) = ^ъкрк. (3.93)
к=0 к=0
Задача 3.8
Вывести рекурретные соотношения для коэффициентов и и опреде-
лить дискретный спектр граничных энергетических состояний. Показать,
что граничные состояния соответствуют конечным полиномиальным реше-
ниям.
Решение Уравнения для коэффициентов к = 0 разделены,
(у — /Дго — 2аи§ = 0, (у + Дио + 2ав§ = 0.
(3.94)
Летерминант этой системы снова определяет поведение (3.91) в начале
координат. Для к > 0 получим
т — Е
---— ик-г + 2аик - (у - V + к\ск + ук_х = 0,
(3.95)
----- 1 - 2отк - (7 + V + к}ик + ик_х = 0,
т — Е
(3.96)
Комбинируя уравнения (3.95) и (3.96), найдем соотношение между коэф-
фициентами ик апс! г&,
ик \ ---------2а + у + Р + к] = гД \ ----------------(у + V + к) - 2а] . (3.97)
\ V пг — Е / \ V пг — Е /
Асимптотики рядов при к -Л- оо показывают, что бесконечные ряды
ведут себя при больших р как ехр(2р) с расходимостью ос ехр(+р) решения
(3.92). Следовательно, нам нужны полиномиальные решения, которые
обрываются при конечном числе & = ТУ, таким образом, что и иы
последние ненулевые коэффициенты, в то время как = г;у+1 = 0.
Если, таким оборазом, мы найдем из системы (3.95-3.96)
(3.98)
при условии, уравнение (3.97) с к = дает
(3.99)
Окончательно, решение для энергии, мы приходим к дискретному спектру,
Е(К, =
т
У1 + [Яа/(Д+ 7)]2’
(3.100)
где и входит через определение у, уравнение (3.91).
Наивысшая степень ТУ играет роль гаАга! квантовго числа К = 1, 2,...,
возможны два значения и. Особый случай при ТУ = 0. Тогда система
уравнений (3.95,3.96) сводится к
иу
т — Е 2а
т + Е у + I
Это может быть справедливо, если 7 + // = // + д/т/2 — (Яа)2 < 0, т.е. V < 0.
Уровни могут быть расположены как
Г 0,1,2,..., р < 0
1 1,2,..., 1/>0.
(3.102)
Иногда называется радиальным квантовым числом только для V < 0, в
то время, как для V > 0 этот термин относится к - 1.
Состояния с одинаковыми ^и \у\ = д + 1/2 вырождены, за исключением
уровней с У = 0; это следствие «случайного» нерелятивистского кулонов-
ского вырождения по отношению к I для заданного главного квантового
числа. Физическое соображение состоит в том, что орбитальный момент
I более не сохраняется из-за спин-орбитальной связи. Может быть, болкк
правильно здесь говорить о вырождении двух состояний с одинаковыми у
и четностью, определяемой верхним спинором, (—/.
Задача 3.9
Найти нерелятивистский предел дираковского спектра (3.100), включаю-
щий члены второго порядка.
Решение Аналог главного квантового числа
72 = А" + |/7| = А + 7 + |.
Разложение уравнения (3.100) по степеням {2а)2 дает
(3.103)
Е(тр Д ~ тп —
т(2<Д2
2п2
(3.104)
в соответствии с результатом возмущения (1.23.42).
Обладая непрерывной зависимостью энергетических уровней от заряда
2. мы уже можем охарактеризовать энергетические уровни атома нередя-
тивистскими квантовыми числами, взятыми для верхнего спинора. Невы-
рожденный уровень каждой оболочки соответствует максимальному орби-
тальному моменту ^тах = п — 1Д = Апах + 1/2, V = — ]’ — 1/2, ан<4 А = 0.
Наинизшие состояния таковы п К V И д
1-31/2 10-10 1/2
2«1/2 2^1/2 2 1-10 1/2 21 111/2
ЗРз/2 2 0 -2 13/2
3-81/2 ЗР1/2 3 2-10 1/2 32 111/2
3^3/2 ЗД/2 3 1-21 3/2 3 1 2 2 3/2
Зб?5/2 3 0 -3 2 5/2
Здесь, вырожденные дублеты размещены вместе и разделены горизонталь-
ными линиями от других дублетов; Двойные линии отмечают главные
оболочки. Разделение дублетов радиационными поправками высшего по-
рядка мало.
Детали волновых функций (выраженные в терминах гипергеометриче-
ских функций, раздел 1.11.5) можно найти в [Ве11957]. Мы обсудим кратко
только поведение вблизи центра, где волновые функции ~ рл/гу2_(^а)2-1.
Экспонента здесь отрицательна даже при малых 2 а, если ф| = 1, т.е.
для всех 8- и р-уровней. Однако, эта сингулярность очень слабая и не
появляется вовсе, если кулоновский потенциал регуляризирован при г —> О
конечным размером ядер. Ситуация становится более опасной при 2а > 1.
Решения сильно осциллируют при г -Л- 0, и это нефизичное поведение
показывает, что одночастичное уравнение Дирака теряет достоверность,
поскольку необходима регуляризация.
Конечно, граничные кулоновские уровни обладают энергией внутри реля-
тивистского энергетического зазора, Е < т. Энергия основного состояния,
в соответствии с (3.100), дается выражением
Её,8. = Я(0; -1) = ту/1 - (7а)2. (3.106)
Для заряда величиной 2 = 1/се ~ 137 эта энергия обладает мнимой частью,
что должно интрпретироваться как распад нестабильного состояния, раздел
5.8. И опять, этого можно избежать регуляризацией потенциала. Однако,
Энергия связи убывает с ростом заряда 2. Существует критический заряд
2С, при котором энергия основного состояния пересекает границу нижнего
континуума,
Точная величина 7С завист от предположения относительно распределения
заряда внутри ядер, 7С ж 170.
Точка 71 = 7(. соответствует нестабильности дираковского вакуума. В
самом деле, если существует электронный уровень с Е < —т, вакуум
нестабилен по отношение к образованию спонтанных пар. Электрон от-
сталой пары занимает этот уровень, в то время как позитронный партнер
убегает на бесконечность с нулевой кинетической энергией, — как резуль-
тат, полная энергия системы уменьшается на величину \т + Е\ (сумма
энергий партнеров). Действительно, две пары могут быть созданы вслед-
ствие двукратного вырождения спина основного состояния, поэтому часть
системы остается после реструктурирования на конечном расстоянии с
зарядом 7С — 2. Эта теория [2е11971] до настоящего времени не получила
экспериментального подтверждения, вследствие отсутствия стабильных
ядер с с зарядом порядка 170. Такие системы могут образовываться на
время при столкновении тяжелый ионов, но динамические эффекты, обра-
зование позитронов параллельными механизмами и короткое время жизни
составной системы не позволяют экспериментально наблюдать реальных
эффектов вакуумной нестабильности при критических полях.
3.9 Стационарное однородное магнитное поле
В этой задаче мы можем продолжить аналогичный вывод уравнения
Паули, раздел 37.5, но без разложения по степеням г/с.
Наш Гамильтониан здесь содержит только векторный потенциал А,
который определяет магнитное поле В — сиг! А,
Н = /Зт + а • (р — еА). (3.108)
Система уравнения для двухкомпонентных спиноров выглядит как
тр + а • (р — сА)у = Ер, -тх + б • (р — еАЗ)р = Е%. (3.109)
Отсутствие скалярного потенциала позволяет нам исключить вовсе нижний
спинор х и получить уравнение Шрёдингера в замкнутом виде для верхнего
спинора,
^Е2 — т2 — • (р — еА)) } р = 0. (3.110)
Как выведено в Задаче 1.23.6,
/ \ 2
(<т-(р —еА)) (р — еА)2 — е(а • 23). (3.111)
Ясно, что корректный спиновый магнетизм появляется только вследствие
принципа наименьшего действия, включающего электромагнитное взаимо-
действие, раздел (11.10), что было применено к уравнению Дирака, а не к
У КГ, которому удовлетворяет любая компонента при свободном движении.
Задача 3.10
Найти энергетические уровни дираковской частицы в однородном стати-
ческом магнитном поле.
Решение Решение аналогично тому, что было проделано для нереляти-
вистской задачи, раздел 1.13.5. С магнитным полем 13 = 13% и калибровкой,
выбранной как в уравнении (1.13.12),
[е2 — т2 — р2 — р2 — (рх + еВу)2 + еВ<т^ = 0. (3.112)
Продольный момент сохраняется, рдр = рдр. Спинор р может быть взят,
как собственное состояние сд с собственным значением а = ±1. При нашей
калибровке импульс рх также сохраняется и может быть подставлен кон-
стантой, которая определяет //-координату центра орбиты, = —рх)е13.
Тогда уравнение принимает вид
[ру + (ей)2(у - Уо)2] <Р [е2 — т2 — р2 + еаВ^ <р. (3.113)
Оператор в левой части (3.112) это нерелятивистский гармонический ос-
циллятор с частотой 2|е|Б. Это определяет энергетический спектр уровней
Ландау, вырожденных при рХу или //о,
Е2ДЛ = т2 + р2 + \е\В(2п + 1) - еВа. (3.114)
Основной уровень Ландау, п = 0исг = е/|е|,не вырожден (орбитальный и
спиновой магнитные эффекты отсутствуют), все другие уровни дважды
вырождены, например, Еп+\д — Еп-± 1ог е > 0. Легко проперить правый
нерелятивистский предел: 1ог Е > 0,
е
е
сшс = \е\13/т апс1 Дв = \е\/2т. Нижний спинор у может быть найден в виде
(3.109) и при нашей калибровке содержит матрицы Паули сд апб сгх. Этот
внедиагональный характер структуры спина происходит из внутренней
нерелятивистской связи между спином и орибальным движением.
1
2
2т
Нарушение симметрии возникает всегда, когда что-либо,
что ранее считалось ненаблюдаемым, оказывается в
реальности наблюдаемым. Известные примеры таких
открытий — это асимметрия физических законов,
возникающая при зеркальном отображении, сопряжении
частиц и античастиц или обращения хода времени не из
прошлого в будущее, а наоборот. Оказывается, все эти
явления, которые ранее считались ненаблюдаемыми,
фактически наблюдаемы.
Глава 4 Ц.Д. Ли, Введение в теорию поля
Дискретные симметрии, нейтрино и каоны
4.1 Преобразование четности для дираковской частицы
Если квантовая система инвариантна при пространственной инверсии,
соответствующий оператор V коммутирует с гамильтонианом, и стацио-
нарные состояния могут классифицироваться по отношению к четности
как константы движения. Гамильтониан Дирака (12.2) свободной частицы,
очевидно, может вести себя как скаляр по отношению к инверсии, если
матричный оператор а мог бы рассматриваться как полярный вектор,
который меняет знак при инверсии пространственных координат. Однако,
как в случае вращение или лоренцевского растяжения, параграф 12.5, на-
ши матрицы Дирака универсальны, и, следовательно, нам нужно вернуть
их к исходной форме в помощью преобразования биспинора Ф, сравни с
уравнениями (12.50) и (12.51).
Действуя 4x4 матрицей инверсии, Р, аналогично уравнениям (12.42) и
(12.43), преобразуем биспинорную волновую функцию как
Ф(гД) => Фр(гД) = РФ(—гД). (4.1)
В преобразованной системе координат (р => —р) уравнение Дирака (12.12)
принимает вид
( + (у • р) - т ] РФ(-гД) = 0. (4.2)
У ОС )
Уравнение будет инвариантным при инверсии, если мы удовлетворим усло-
виям
Р-17оР = 7о, Р-17^ = ~7- (4-3)
Решение (4.3) может быть записано как
V = (4.4)
где мы можем вставить произвольный фазовый множитель т]р, равный 1
по абсолютной величине.
Таким образом, верхний и нижний двухкомпонентные спиноры преобра-
зуются противоположным образом,
Дг, I) => т/рД-г, I), х(г, I) => -турх(-г, I). (4.5)
Эти спиноры имеют противоположную внутреннюю четность, как мы уже
видели в явном решении, уравнение (13.16). Заметим, что две компоненты
в или х преобразуются тождественно. Это соответствует тому факту,
использовавшемуся в нерелятивистской теории, что компоненты нереляти-
вистского оператора спина не изменяются при инверсии (спин, как любой
угловой момент, является аксиальным вектором).
Двойная инверсия Р2 может рассматриваться как тождественное преоб-
разование или как вращение 2тг. Для частиц со спином 1/2, 2тг-вращение
меняет знак волновой функции, параграф 1.20.1, вследствие двузначного
представления группы 817(2). Это означает, что двойная инверсия может
либо вернуться к исходной волновой функции, либо поменять ее знак,
Р2 = ^70 = Т]р = ±1. (4.6)
Мы получили четыре возможности, Т]р = ±1, ±г, и, соответственно, четыре
типа частиц Дирака. Эти классы отличаются поведением при зарядовом
сопряжении, параграф 12.4.
В самом деле, рассмотрим действие пространственной инверсии на заря-
довое сопряжение функции (12.37), предполагая, что эта функция преобра-
зуется таким же образом, как и исходная функция,
РФс(г, I) = тур7оФс(-г, I) = ??р7оСФ*(-г, I). (4.7)
Для комплексно сопряженной функции имеем
РФ*(гД) = т^7*Ф*(-гД), (4.8)
потому что
РФс(г, I) = 7УР70 Д 7цРФ*(г, (4.9)
г)?
или, используя СудС 1 = — 70, как это следует из (12.38),
РФс(гД = -^СРФ*(гД = -^СРС-1СФ*(г^) = -^СРС-1Фс(г^).
'Пр Пр Пр
(4.10)
мы приходим к следующему свойству дираковских частиц:
Р = -^СРС~1. (4.11)
Пр
Два вышеупомянутых класса характеризуются различным поведением по
отношению к комбинированной инверсии СР,
№ = ±1. СР = -РС. 412)
Чт = ±>. сг = гс. ' '
Только вторая опция возможна, если свойства преобразования биспиноров
Ф и Фс тождественны. В частности, это должен быть случай для ней-
тральных частиц, которые тождественны своим античастицам (Частицы
Майорана) [МаД937].
В случае первой опции, СР = —РС, частица и античастица имеют про-
тивоположную внутреннюю четность: в левой части этого равенства,
пространственная инверсия выполняется над частицей, в то время как в
правой части этой операции это производится над античастицей. Это соот-
ветствует нерелятивистскому пределу уравнения Дирака, в предположении,
что внутренняя четность двумерного спинора р (главная часть решения
с положительной энергией) и у (для решения с отрицательной энергией
) та же самая. Тогда их четности явно противоположны, поскольку они
взаимосвязаны псевдоскаляром (<т • р), ец. (4.5).
4.2 Преобразование обращения времени
Обобщая нерелятивистские результаты, параграф 1.8.1, мы ищем ан-
тилинейное преобразование, которое включает обмен начальными и ко-
нечными состояниями в матричных элементах, Ф(гД) -Л СДФ*(г, —/;), где
дополнительная 4x4 матрица Пр = Т необходима, чтобы гарантировать
правильность свойств преобразования внутренних переменных, таких как
спин, параграф 1.20.8.
Мы ищем преобразование уравнения Дирака,
г —= (рп + а • р)ф(г,Д (4.13)
изменяющее 1^—1,
—г ——+ а • р^Ф(г, —<), (4.14)
и осуществляя комплексное сопряжение,
г = С9*”1 ” 'р)ф*(г’(4.15)
с учетом того, что р* = —р. Действуя унитарным оператором Т на компо-
ненты биспинора волновой функции, получим
. = - ТсГТ1 р)ТФ*(г, -Д (4.16)
Таким образом, функция
Фг(гД) = ТФ*(г,-^) (4.17)
удовлетворяет тому же уравнению Дирака, показывая инвариантность,
если матрицы Дирака преобразуются согласно
Т/ГТ-1 = (3, ТаТ~х = —а. (4.18)
Это можно сравнить с зарядовым сопряжением (12.38), которое производит
прямо противоположное действие.
Задача 4.1
Показать, что в стандартном представлении (12.7) мы можем положить
Т = Ц = Т-1 = П17з- (4.19)
Легко видеть, что в присутствии электромагнитного поля (Д, А) ин-
вариантность обращения времени имеет место только, если, вдобавок к
преобразованию волновой функции (4.17) и операторов Дирака (4.18), век-
торный потенциал меняет знак, А -л- —А, в кто время как не изменяется.
Это объясняется природой векторного потенциала, наведенного токами,
который должен инвертироваться при обращении времени. Произвольный
фазовый множитель р? с абсолютным значением 1 может также инверти-
роваться в определении (4.19).
4.3 СРТ преобразование
Теория квантового поля утверждает [АУеП998], что при любом подходе
с локальными взаимодействиями, который признает относительность и
сохранение вероятности (унитарность динамики, параграф 7), инвариант-
ность имеет место по отношению к произведению СРТ трех дискретных
преобразований, обращения времени Т, пространственной инверсии Р и
зарядового сопряжения С. Для свободного уравнения Дирака это означает,
что после умножения и преобразования (12.40), (4.4) и (4.19),
Ф(г, ^) => —г?7р75Ф(—г, —^), (4.20)
где матрица 75 была определена в уравнении (12.16), и мы положили
фазовые множители для С- и Т-преобразований равными 1.
По существу, полное СРТ-преобразование сводится к четырехмерной
инверсии координат и времени, дополненной заменой всех частиц на анти-
частицы, это может быть отмечено только для взаимодействия с полем,
например, электромагнитным, что вполне допустимо между частицами
и античастицами. Этот результат согласуется со старой идеей, что анти-
частицы могут рассматриваться как частицы, движущиеся обратно во
времени. Поскольку импульс р и спин 8 частицы переходят при 4-инверсии
в р (пространственное отражение отменяется при обращении времени)
и —8 (обращение времени), СРТ инвариантность предсказывает те же
вероятности этих двух процессов,
р, 8 рх, 8х (рагПс1е), (4-21)
и его СРТ-образ,
р, —8 => рх, —8х (апПрагПс1е). (4.22)
Универсальность СРТ-инвариантности во всех принятых ныне теориях
позволяет судить об инвариантности по отношению к отдельным дискрет-
ным преобразованиям по результатам экспериментов, в которых прове-
рялась дополнительная инвариантность. Например, отсутствие инвари-
антности при комбинированной инверсии СР может рассматриваться как
доказательство нарушения инвариантности обращения времени, Т
4.4 Безмассовые частицы
Рассмотрим ограниченный случай уравнения Дирака для частицы с
т = 0. Такая частица движется в любой системе координат со скоростью
света. Приблизительно это также соответствует описанию любого ультра-
релятивистского движения, Е т. В согласии с этим уравнение Дирака
дает (13.7) энергетический спектр (с = 1)
Е = ±|р| =±р. (4.23)
Удобно ввести единичный вектор
Р Р /X
п = — = — 8ЩпВ. (4.24)
Тогда четырехкомпонентные безмассовые спиноры (13.15) удовлетворяют
простым уравнениям
У = Д X = Л'П)Х, X = Д V = (Д п>- (4-25)
Оператор (с? • п) совпадает со спиральностью к для положительной энергии
и с —к для отрицательной энергии.
Мы можем перейти к линейным комбинациям спиноров р и у,
^(±) = 4= (4.26)
V "
Они подчиняются отдельным уравнениям Вейля,
= ± (<т • (4.27)
В противоположность нерелятивистскому пределу, когда компоненты ниж-
него спинора малы, в ультрарелятивистском пределе, когда можно пре-
небречь массой, два спинора входят в уравнение (4.26) с равным весом.
Новые спиноры имеют определенную спиральность, соответствующие
частицы продольно поляризованы. Для такой частицы не нужно четырех
компонент, они полностью описываются двухкомпонентными спинорами.
В самом деле, частицы Дирака при свободном движении сохраняют свою
спиральность, Задача 13.4- Следовательно, квантовые состояния, описыва-
емые спинорами сохраняют свою индивидуальность без смешивания
с партнерами. Это означает, что мы можем использовать просто двух-
компонентное описание вместо уравнения Дирака. Смешивание и
возможно только внешними полями или взаимодействием с другими
частицами.
Важно, что продольная поляризация безмассовой частицы является
релятивистским инвариантом. Для т ф 0, можно найти систему отсчета,
движущуюся быстрее частицы. В этой системе спиральность частицы
будет иметь противоположный знак. Но для т = 0 такая система не
существует. Следовательно, должно быть возможным нахождение явного
инвариантного определения спиральности безмассовых частиц. Это можно
сделать с помощью оператора 75, ец. (12.16). Мы определим проекционный
оператор хиральности как
Л(±) = -1=(1Т75). (4.28)
V "
Используя стандартное представление (12.17) матрицы 75 и действуя на
произвольный биспинор (13.13), получим
х А
±<р + х /
(4.29)
или, в терминах спиноров Вейля (4.26),
д(±)
Л±^ \
±л^)
х /
(4.30)
Естественно, проекционный оператор хиральности сводит биспинор к двух-
компонентному спинору определенной киральности. Тот же результат для
безмассовой частицы, в силу (4.27), может быть достигнут с помощью
оператора спиральности,
1 ± (<т • п)
0
0 \ \
1 ± (а • п) ) \ х )
л^
± л±^
(4.31)
Таким образом, для безмассовых частиц спиральность и хиральность экви-
валентны,
7 • п) = -75, (4.32)
это означает, что здесь спиральность является Лоренц-инвариантным псев-
доскаляром.
4.5 Нейтрино в безмассовом пределе
Долгое время было широко принято, что нейтрино не имеют массы. Те-
перь почти определенно, что масса нейтрино конечна, хотя, вероятно, очень
мала по сравнению даже с массой электрона, который является легчайшим
среди известных частиц; единственно точно безмассовой частицей является
фотон (а гравитон может быть добавлен после детектирования гравитацион-
ных волн). Из-за малой массы, имеет смысл представить мир безмассовых
нейтрино. Прямое измерение масс нейтрино весьма затруднительно, мы
можем только обозначить некоторые верхние границы.
Сейчас мы знаем три типа {поколении), или ароматов нейтрино, связан-
ных с тремя поколениями заряженных лептонов, — электрона, мюона и
таона (г-лептона). Соответствующие нейтрино и антинейтрино образуются
в слабых взаимодействиях вместе с их напарниками - заряженными лепто-
нами. Слабые взаимодействия генерируются левыми токами. Это означает,
что волновая функция сгенерированного или взаимодействующего ней-
трино в матричном элементе взаимодействия умножена на левосторонний
проекционный оператор В пределе т —> 0, эта левая спиральность
может быть инвариантна, и мы имеем только левостороннее нейтрино, —
со спином, антипараллельным к импульсу. Частицы йе, образуемые вместе
с электроном в обычном /3-распаде нейтрона,
п р + е~ + Ре, (4.33)
или в аналогичном /3--распаде сложных ядер, называются электронными
антинейтрино. Эта терминология относится к предполагаемому сохране-
нию лептонного заряда, при котором электрон имеет лептонный заряд +1,
а его нейтринный партнер должен иметь противоположный лептонный
заряд —1. Частица, образуемая вместе с позитроном в ядерном /3+-распаде
ядер А с 7 протонами и = А — 7 нейтронами,
+ Л+ /4. (4.34)
является электронным нейтрино с лептонным зарядом +1. Эксперименты
показывают, что антинейтрино в таких процессах (4.33) правополяризова-
ны, в противоположность к нейтрино. Сопоставляя частицу, нейтрино, с
решением Е > 0, и антинейтрино с античастицей, мы видим, что обе они
(а • п) = —1, поэтому в безмассовом пределе нейтрино, связанные со сла-
бым взаимодействием, описываются уравнениями Вейля (4.27) с нижним
знаком. Дополнительная опция может иметь место при взаимодействиях,
управляемых правыми токами, которые не наблюдались.
ЬеЙ пегйппо пеШгшо
ЬеЙ апНпеи1ппо апНпеи1ппо
Рис. 4.1. Схема зарядового сопряжения и пространственной инверсии для
нейтрино и антинейтрино
Откуда, стационарные волновые функции безмассовых нейтрино ха-
рактеризуются псевдоскалярным квантовым числом спиральности. При
пространственной инверсии спиральность меняет знак, поэтому мы не полу-
чим ту же самую функцию с знаком + или — , как это могло быть в случае
состояния с определенной четностью; вместо этого, мы придем к отлично-
му от него состоянию. Существование частицы с продольной поляризации,
аналогично круговой поляризации фотона, которая сама не указывает
на несохранение четности. В случае фотонов, сохранение четности вос-
станавливается существованием фотонов с противоположной круговой
поляризацией, но с той же энергией. В случае нейтрино этот аргумент
не работает, потому что безмассовое нейтрино всегда левополяризовано,
и не оно не существует с правой поляризацией. Делая пространственную
инверсию и обращая спиральность нейтрино, мы приходим к не существова-
нию (в безмассовом случае) правого нейтрино. Это означает максимальное
несохранение четности. Эксперимент показывает, что в сильном и электро-
магнитном взаимодействиях четность сохраняется. Безмассовое нейтрино
не принимает участия в этих взаимодействиях, в то время как в слабых
взаимодействиях, где нейтрино является активным участником, четность
не сохраняется. Структура слабых взаимодействий с только левыми токами
оказывается такой, что гарантирует отсутствие перемешивания нейтрино и
антинейтрино.
Продольная поляризация безмассового нейтрино означает, в то же вре-
мя, нарушение инвариантности по отношению к зарядовому сопряжению.
Таким же образом, как нарушение инвариантности по отношению к про-
странственной инверсии Р выведено преобразование левого нейтрино в
невозможное правое нейтрино. При операции С спиральность не меня-
ется, левовинтовое нейтрино переходит в несуществующее левовинтовое
антинейтрино, Рис. 14.1.
Однако, можно видеть, что при преобразовании соединения СР мы пре-
образуем левое нейтрино в правое антинейтрино, описываемое тем лее
уравнением Вейля (4.27) с нижним знаком. При отсутствии разделения С-
Р-инвариантности, природа в этом пределе, кажется, остается инвариант-
ной при комбинированной инверсии СР. В соответствии с гипотезой Л.Д.
Ландау, 1956, сохранение комбинированной четности замещает нарушение
инвариантности по отношению к пространственной инверсии и зарядово-
му сопряжению по отдельности. В первое время небольшое нарушение
СР-инвариантности наблюдалось [Сйг1964] при распаде долгоживущих
компонент нейтральных каонов на два пиона; физика нейтральных каонов
будет кратко обсуждаться ниже Эффекты СР-нарушения наблюдались
также для нейтральных В-мезонов [Р1е2002]. Вследствие СРТ-теоремы,
эти результаты говорят о нарушении инвариантности обращения времени.
И наоборот, экспериментальное открытие корреляций Т-нарушения, напри-
мер, появление Т-нечетных членов, таких как 8П • [ре х р^], в вероятности
/3-распада (4.33) поляризованных нейтронов может быть подтверждени-
ем СР-нарушения. Эта зависимость от угла между плоскостью движения
электрон-нейтрино и исходным поляризованным нейтроном меняет знак
при обращении времени.
4.6 Пересмотр несохранения четности
Мы ввели концепцию нарушения четности в параграфе 1.8.5. Практиче-
ски, это несохранение обнаружено во всех процессах, управляемых слабыми
взаимодействиями, безотносительно присутствия или отсутствия нейтрино.
В течение долгого времени, так называемый 0-распад положительно
заряженных каонов на положительный и нейтральный пион,
К+ 7Г+ + 7Г°, (4.35)
оставался загадкой. Псевдоскалярные мезоны, такие как пионы и каоны,
имеют нулевой спин 4 и отрицательную внутреннюю четность П. Их кван-
товые номера спин-четности могут быть записаны как 7П = О-, как те
Рис. 4.2. Вынужденная поляризация пионного распада
псевдоскалярные операторы (источник термина «псевдоскалярные мезо-
ны»). Мы можем рассматривать процесс (4.35) в неподвижной системе
координат К+. Четность Ц начальной волновой функции определяется као-
ном, 1ф = = — 1. В конечном состоянии мы имеем два пиона, поэтому их
комбинированная внутренняя четность положительна, а полная четность
конечного состояния (—/, где Е - орбитальный момент относительного
движения пионов. Но спины всех трех частиц равны нулю, и сохранение
углового момента требует Е = б к = 0, Тогда Пу = (—/ = +1 = —Пд По-
скольку 0-распад, который должен быть запрещен сохранением четности,
содержит более 20% всех распадов Л + . четность нарушается при слабых
взаимодействиях.
Как отмечалось в параграфе 1.8.5, псевдоскалярные корреляции, такие,
как образованные скалярным произведением (р • Л) полярного вектора,
например, импульса, р, и аксиального вектора, например, углового момента
или спина, Л, характерны для несохранения четности. Подобный эффект
наблюдался в принудительной поляризации мюонов или электронов (свой-
ства заряженных лептонов, е, ц, и т аналогичны, за исключением свойств
их масс) в пионных распадах,
7Г+ { ц+ + ; 7Г- { /т~ + ьре~ + йе. (4.36)
Рассмотрим снова в неподвижной системе координат такой процесс распада
пиона с квантовыми числами Лп = О-, Рис. 14.2. Здесь удобно использовать
базис плоской волны для наших обсуждений. Конечные частицы, движу-
щиеся одна за другой в этой системе должны иметь нулевую проекцию
полного спина на направление движения (проекция орбитального момента
на направление р исчезает). Тогда спины конечного нейтрино (антинейтри-
но) и позитрона (электрона), или положительного (отрицательного) мюона,
противоположны. Но безмассовые нейтрино или антинейтрино всегда по-
ляризованы. Это автоматически фиксирует спиральность заряженного
лептона. Например, отрицательный мюон или электрон, обязательно, по
виртуальным законам сохранения, правополяризован в тг~ распаде,в то вре-
мя как положительный мюон или позитрон, обязательно левополяризованы
в 7г+ распаде.
С другой стороны, если дираковская частица с т ф 0 имеет большую
энергию Е т, в ей волновой функции можно пренебречь массой. Струк-
тура слабого взаимодействия (левые тока) универсальная для всех лепто-
нов; в ультрарелятивистском пределе они будут вести себя как нейтрино,
а античастицы как антинейтрино, во всех процессах, управляемых сла-
быми взаимодействиями. Откуда, существует естественная поляризация
ультрарелятивистских лептонов: частицы левополяризованы, а античасти-
цы правополяризованы. Таким образом, в так называемых Ке% анс!
распадах,
К+ -д 7Г° + { е+ + 77ец+ + , (4.37)
в большинстве случаев положительные лептоны е+ и будут иметь есте-
ственную (правую) поляризацию. Здесь не существует строгой корреляции
спиральности, как это было в двухчастичных распадах (4.36). Однако,
в тех редких случаях, когда нейтральный пион в распадах (4.37) очень
медленный и несет малый импульс в неподвижной системе распадающейся
частицы, импульсы заряженных лептонов снова антикоррелируют с такими
нейтрино. Как в двухчастичных распадах, мы получим корреляцию спи-
ральностей: полный спин должен исчезать, чтобы обеспечить сохранение
углового момента (Дк = Д = 0). В таких случаях, заряженные лептоны
обладают кинематически навязанной поляризацией, противоположной есте-
ственной. Для безмассовых позитронов или /Д. такие случаи должны быть
строго запрещены. Поскольку те электронные распады пионов
(4.36) подавлены этим несоответствием поляризаций гораздо сильнее, чем
мюонные распады. В результате, доля (коэффициента ветвления) элек-
тронных распадов только порядка 10-4, несмотря на то, что, из-за близких
масс гп~ и доступный в мюонном распаде фазовый объем, параграф
2.3, значительно меньше, чем в электронном распаде.
Задача 4.2
Рассмотреть распад положительного поляризованного мюона,
Л -+ е+ + 1/е + (4.38)
и показать, что наиболее энергичные позитроны движутся вдоль спина
исходного мюона.
Решение Энергия позитрона максимальна, если электронное нейтрино и
мюонное антинейтрино движутся вместе в направлении, противоположном
движению позитрона. В этом случае их полная спиральность исчезает,
и спин позитрона должен быть вдоль исходного спина ц+. Но в слабых
распадах быстрый позитрон имеет естественную поляризацию античастицы
(правовинтовую), т.е. его спин и импульс параллельны. При зарядово
сопряженном распаде,
е~ + + Ре, (4.39)
максимум углового распределения наиболее энергичных электронов на-
правлен противоположно спину ц~.
4.7 Осцилляции нейтрино
Термоядерные реакции на Солнце включают процессы, управляемые сла-
бым взаимодействием, и производят значительную генерацию электронных
нейтрино. Надежность солнечных моделей предсказывает поток нейтрино
на Землю, приблизительно равный 6.6 х 1О10 электронных нейтрино на
ст2 в секунду. Дефицит нейтрино при наблюдениях почти определенно
указывает, что нейтрино имеют ненулевую массу, и осциллируют между
различными ароматами. Высокоэнергичныие нейтрино, которые образовы-
ваются в мюоном распаде в атмосфере [мюон является продуктом пионного
распада (4.36), в то время как пионы генерируются первичными компо-
нентами космических лучей, например, протонами, при их столкновении с
ядрами в атмосфере] могут также осциллировать.
Осцилляции возникают в результате несоответствия между состоянием
нейтрино, образованным в процессе, подобном /3-распаду, и Собственными
состояниями гамильтониана нейтрино. Обычный /3-распад создает заря-
женные лептонов и соответствующие нейтрино с тем же самым ароматом /
(е, ц или г). Однако, собственные состояния гамильтониана а = 1, 2, 3,
которые имеют определенные массы та, являются комбинациями различ-
ных ароматов. Преобразование из представления аромата в собственные
состояния масс задается унитарной матрицей V размерности, определяемой
числом смешивающихся ароматов,
Ы = (4.40)
а
Мы имеем уже упоминавшуюся выше в Задаче 2.3 возможность. Таким об-
разом, конечное состояние после /3-распада нестационарно, что порождает
последующие осцилляции.
Мы рассмотрим простейшую модель квантовых осцилляций, предпо-
лагая, что они имеют место только для двух ароматов, например, для
электронного и мюонного нейтрино. Предположим, что начальная энергия
Е, высвобождаемая в процессе, распределена между двумя частицами, одна
из которых - нейтрино в состоянии с определенным ароматом. Например,
пионный распад порождает мюон и мюонное нейтрино, что описывается
волновой функцией, содержащей две стационарные компоненты, щ и ^2-
Пусть угол смешивания будет 13,
\гД = сое?? + 81п?9 фд), (4-41)
в то время как состояние с дополнительным ароматом, например, элек-
тронного нейтрино ортогонально,
\не) = сое?? Ф2) — |щ), (4.42)
Исходная волновая функция мюонного нейтрино, сгенерированная слабым
взаимодействием, в соответствии с (4.41),
Ф(жД = 0) = со8?1егр1Жф1) + $ш13егр2Х\1Д). (4.43)
Временная эволюция этого нестационарного состояния соответствует двум
стационарным компонентам с энергией Ер% = т1д + Р1 2>
|Ф(жД)) = СО8Й ег^Р1Х~Е1^\ю1) + (4.44)
Для детектирования определенного типа нейтрино, нам нужно использо-
вать слабое взаимодействие с мишенью. Это взаимодействие дает различие
между электронным и мюонным нейтрино, так что мы должны отобразить
обратно результата (4.44) в терминах состояний с определенным ароматом,
ф1) = СО8 19 \ гД — 8Ш?9 фе), 1^2) = СО8 19 \Д) + 8Ш й \иД, (4.45)
Волновая функция (4.44) во время I прослеживается в
|Ф(ж, I)) = \^) (соз2 7? ЛР1Х~Е1^ + зш2 1? ЛР2Х~е^
+ |1/е)со8г? - ег(.Р1Х~ЕЛу (4.46)
Предположим, что наш детектор в точке х регистрирует только элек-
тронные нейтрино подсчетом числа электронов образуемых в результате
реакции детектирования. Тогда подсчитываемая скорость есть прямое
доказательство преобразования исходных мюонных нейтрино, она пропор-
циональна
1еЦ1) = |<1/е|Ф(ж, г)>|2 = СО827? 8Ш21?|е^1-Е24’ _ег(Р1Х-^4)|2_ (447)
Таким образом, зафиксированная интенсивность осцилляций, как функция
времени и координат детектора
1е(ж, /;) = - ет2(2Р) [1 — сое р(ж, /;)], (4.48)
где фаза осцилляции
I) = (р1 - р2)х - Щ - Е2)1.
Поскольку масса нейтрино в любом случае очень мала, и они движутся с
околосветовой скоростью, мы можем положить х ~ I (в единицах с = 1) и
разложить энергии по малому параметру ( отношению массы к импульсу),
Е = у/р2 1 тп2 р 4-------,
2р
(4.50)
что приводит к
2 2
2р2 2р1
Ш2 — ш2 _ Д(т2)
2р
(4.51)
Л
где мы можем приближенно положить Р1 = Р2 = Р- Таким образом, осцил-
ляции (4.48) описываются выражением
, ч (2лх
соер(ж) = сое I ---
\ Т
где длина осцилляции
4лр
Д(т2) ’
(4-52)
(4.53)
Амплитуда осцилляции (4.48) зависит от угла смешивания Р. Если этот
угол близок к максимуму, д ~ 45°, эксперимент позволяет определить
Д(т2), а не сами массы. Для очень большого Д(т2), длина Ъ может
стать слишком малой, и осцилляции усредняются детектором. Текущее
ограничение, Д(т2) < 1 еУ2 дает существенно большую длину осцилляций.
4.8 Нейтрино Майорана
Существование нейтрино ненулевых масс, которое следует из результа-
тов солнечных и земных экспериментов [Сш2007,Соп2008], заставляет нас
вернуться к вопросу о характере этих масс. Мы упоминали, что нейтрино
рождаются в слабых взаимодействиях, таких как бета распад, которые
левополяризованы. Это может быть прямым указанием только на безмассо-
вые нейтрино, и это заложено в Стандартной Модели элементарных частиц,
где мы можем использовать двухкомпонентные нейтрино Вейля. Проблема
массы нейтрино, естественно, порождает исследования за рамками Стан-
дартной модели.
Мы обсуждали СР-симметрию между левым нейтрино и правым анти-
нейтрино в пределе нулевых масс, Рис. 14.1. Различие между нейтрино
и антинейтрино традиционно относят к знаменитым экспериментам Р.
Дэвиса, 1955 [Вау1955]. Если мы назовем «антинейтрино» частицу Ре,
полученную в обычном бета-распаде (4.33) вместе с электроном, эта ча-
стица, как показано экспериментально, не может индуцировать обратную
реакцию типа
А(Д + 1^+1 + е . (4.54)
Из отсутствия такого процесса можно заключит, что нейтрино (испущенное
в бета-распаде позитрона) и антинейтрино из электронного бета-распада
являются различными частицами, как на Рис. 14.1. Это можно формально
приписать сохранению электроном лептонного заряда Ье, предполагая,
что этот заряд равен +1 для частиц (е-, 1/е) и —1 для античастиц (е+, Ре).
Реакция (4.54) должна нарушать Ъе вдвое.
Аналогичное заключение следует из отсутствия двойного безнейтринного
бета-распада. Имеются случаи, когда обычный бета-распад нестабильных
ядер энергетически запрещен, но двойной бета-распад, соответствующий
схеме
Л(Я - 2Ц+2 + 2е+ + 2Ре, (4.55)
наблюдается, хотя безнейтринный распад
Л(ЯЦ А(2 - 2Ц+2 + 2е+, (4.56)
не был надежно зафиксирован. В качестве механизма для такого процесса
можно представить два акта нормального бета-распада с виртуальным ан-
тинейтрино, испущенным на первом шаге и затем поглощенным, включая
второй акт, как в (4.54). Безнейтринный процесс может быть эксперимен-
тально обнаружен фиксацией полной энергии двух испущенных электронов.
«Однако, теперь мы знаем, что ситуация не столь ясна, как аргументи-
ровано выше» [Но11989]. Если слабое взаимодействие основано на левых
токах, антинейтрино из бета-распада, будучи правополяризованным, не
может индуцировать реакцию (4.54); аналогично, требования спирально-
сти не позволяют безнейтринный двойной бета-распад. Для схемы частиц
на Рис. 14.1 — нет требуемого сохранения лептонного заряда. Тем не ме-
нее, эти заключения справедливы только для дираковских безмассовых
частиц, которые можно удобно описать двухкомпонентными спинорами
Вейля. Как мы теперь знаем, нейтрино не являются безмассовыми, спи-
ральность перестает быть релятивистским инвариантом, и возможность
иметь нейтрино и антинейтрино тождественными частицами должна быть
рассмотрена снова. В этом случае они должны быть частицами Майорана.
Поиск безнейтринного двойного бета-распада продолжается.
Определим хиральные левый, Ф^и правый Фд биспиноры с помощью
операторов хиральности (4.28) применительно к произвольному состоянию
Ф,
Фь = ЦДф, Фд = ДДф, Ф = Фь + Фл. (4.57)
Для уравнения Дирака у нас есть лоренц-инвариантный скалярный член
массы (12.84)
Мв = тФФ, (4.58)
и, поскольку матрица 75 антикоммутирует с 70 в определении сопряженного
по Дираку биспинора Ф (Задача 12.1), мы можем переписать (4.58) как
Мг> = т(фьФк + ФкФь). (4.59)
Дираковский член массы появляется при динамическом преобразовании
состояния хиральности. Только безмассовая частица может сохранять свою
хиральность.
Другая возможность, нейтрино Майорана, появляется, если частицы
и античастицы, описываемые зарядово-сопряженными состояниями Фс
(12.37,12.40), тождественны. Конечно, это разрешено только для действи-
тельно нейтральных частиц — иначе их заряды должна были быть проти-
воположными. Лептонный заряд нейтрино теряет свой смысл. Формально
говоря, дополнительная матрица 72, которая отражает, в соответствии с
уравнением (12.40), результат зарядового сопряжения, восстанавливает
правильную хиральность в лоренцевском скаляре. Тогда массовые члены
для левой хиральности могут иметь вид
Мм = {(Фь)сФь + Н.с.} , (4.60)
а аналогичные члены с массой тд возможны для состояний правой хи-
ральности. Массовые члены этой структуры описывают переход частицы в
ей зарядово сопряженную античастицу. Тогда механизм безнейтринного
двойного бета распада становится возможным. Даже если безнейтрин-
ный двойной бета распад происходит с помощью другого механизма, без
промежуточного нейтрино=антинейтрино, эта частица должна быть майо-
рановской природы, поскольку такой процесс может сам быть виртуальным
шагом, приводящим к преобразованию нейтрино в антинейтрино [8с111982].
В принципе, даже наличие обоих типов масс, Дирака и Майорана, не за-
прещено. Только эксперименты могут решить эту проблемы, что также
весьма важно для астрофизики и космологии [С4оп2008].
4.9 Странность
Нейтральные /С-мезоны, каоны, образовываются в столкновениях силь-
новзаимодействующих частиц, адронов, в совокупности с другими неста-
бильными частицами, гиперонами, более тяжелыми аналогами нуклонов
Типичная реакция может быть следующей: нейтральный каон К® создается
вместе с Л-гипероном в столкновении пиона тт~ с протоном,
л- + р -л- К® + Л°. (4.61)
Для всех этих нестабильных частиц (тг, К, Л,...), общим свойством явля-
ется долгое время жизни, порядка 1()М8~10) 8, по сравнению с характерным
временем 10-23 с, пролета на расстояние 1 фм =10-13 см, ядерных сил.
Медленный распад показывает, что слабое, а не сильное (ядерное), вза-
имодействие ответственно за этот процесс распада, также как для бета
распада (4.33). Вероятность создания реакции, подобной (4.61), велика,
что, безусловно, указывает на сильное взаимодействие. Можно заключить,
что энергетически разрешенные быстрые распады каонов и гиперонов,
такие как Л° —> р + тг-, запрещены для сильных взаимодействий новым
законом сохранения, который справедлив для сильных взаимодействий, но
может нарушаться в слабых процессах. Такая гипотеза ( М. Гелл-Манн,
К. Нишиджима, 1955} приписывает новое аддитивное квантовое число,
странность, адронам, странность 8 равна нулю для «обычных» адронов
(нуклоны и пионы), но отлична от нуля для странных частиц, гиперонов
и каонов. Полная несхожесть экспериментальных данных подтверждает,
что странность может быть присуща частицам следующим образом:
: К+, К° => 3 = +1; К~,К° =} 3 = -1;
: Л°, 2+’°- => 5 = -1; (4.62)
Н-°=>5 = -2, $Г^8 = -3.
Эта классификация позже находит естественное объяснение в терминах
кварковой структуры адронов: каждая единица странности связана с под-
становкой одного из легчайших, вверх, и (электрический 2е/3), и вниз, (1
(заряд —е/3), кварков с нулевой 8 = 0 странностью', з, кварк с зарядом
—е/3 странностью —1. В адронных взаимодействиях, каоны аналогичны
пионам, они также имеют спин-четные квантовые числа 7П = О- (псевдо-
скалярные мезоны); гипероны являются аналогами нуклонов (спин 1/2).
Мы можем представить появление странного кварка, как внутреннее воз-
буждение с/-кварка. Сохранение странности в сильных взаимодействиях
объясняет отсутствие быстрых распадов гиперонов в нестранные частицы,
нуклоны и пионы. Также благодаря этому сохранению, странные частицы
могут рождаться в столкновениях нестранных адронов только парами,
как в реакции (4.61), где полная странность продуктов равна нулю. Это
называется ассоциативная продукция.
Сравните, например, две несомненно похожие реакции,
л- + р -л» Е- + К+ апс1 л- + р -л» Е+ + К . (4.63)
Только первая из них допускается сильными взаимодействиями; во второй
реакции странность не сохраняется, = — 2 Д 5^ = 0. Поскольку все
гипероны имеют отрицательную странность, при столкновениях нуклонов
только каоны с 8 = +1, те. К+ и К® могут генерироваться вместе с ги-
перонами. Их античастицы, К~ и К®, имеют 8 = — 1 и могут рождаться
только вместе с антигиперонами Л и Е, которые имеют 8 = +1. Дру-
гая сохраняющаяся величина в сильных взаимодействиях это барионный
заряд равный +1 для протона, нейтрона и гиперонов и —1 для их антича-
стиц. Следовательно, для создания антигиперонов нам нужны исходные
антинуклоны.
4.10 Нейтральные каоны и СР-четность
Здесь мы обсудим одно из из наиболее впечатляющих приложений ос-
новных правил квантовой механики, распад нейтральных каонов, К® и К®.
Эти распады управляются слабыми взаимодействиями, и мы предполагаем,
что странность нарушается слабыми взаимодействиями, но инвариантность
по отношению к комбинированной инверсии СР всё ещё сохраняется.
Начнем с двухпионного распада
К° 27Г° (4.64)
в неподвижной системе координат пиона. Нейтральный пион 7г° обладает
определенной,отрицательной, СР-четностью: при пространственной инвер-
сии Р его волновая функция меняет знак как любой псевдоскаляр (включая
также /С°), в то время как при зарядовом сопряжении л0 не меняет, потому
что СР|тг°) = — |тг°). Это ясно в кварковой модели, где мезоны построены
как пары кварк-антикварк: кварк и антикварк, подобно членам электрон-
позитронных пар , обладают противоположной внутренней четностью .
Тогда СР-операция дает — (—/, где I - относительный орбитальный мо-
мент кварковой пары равен нулю (<8-волна) для легких мезонов. Полная
СР-четность конечного состояния в процессе (4.64), отделена от продук-
та (—)2 = +1 внутренних СР-четностей пионов, включая также четность
(—У их относительного движения с орбитальным моментом I. Хотя спины
/С° и л0 нулевые, сохранение углового момента требует I = 0. Это дает
СР|2тг°) = + |2тг°), и сохранение СР-четности определяет, что она должна
быть также +1 для исходного /С°. Однако, из-за того, что странность, /С°
отличается от ее античастицы К\ и, следовательно, не имеет определенной
СР-четности,
СР\К^ = -\К°), СР\К°) = -\К°). (4.65)
Этот парадокс разрешается таким образом, что состояния К® и К® созда-
ваемые при сильных взаимодействиях имеют определенную странность, но
они не являются правильной линейной комбинацией по отношению к сла-
бым взаимодействиям. (Вспомните, что массивные нейтрино, генерируемые
в слабых взаимодействиях не были правильными линейными комбинациями
по отношению к их гамильтониану масс). Если СР-четность сохраняется в
слабых взаимодействиях, «диагональные» комбинации являются таковыми
с определенной СР-четностью,
= = ^(щ°> + щ°>)- (4.66)
В соответствии с (4.65), имеем
СР1К?) = \К°С, СР|К2°) = -|К2°). (4.67)
Рис. 4.3. Кинематика векторной добавки орбитальных моментов при
трехмезонном распаде К®
с СР-сохранением, процесс (4.64) разрешен для комбинации К®, но не для
Теперь мы перейдем к трехпионным распадам,
. О_ 0 7^0 . + I I _0
К —> 37Г , К —> 7Г + 7Г + 7Г .
(4.68)
Мы можем классифицировать конечные состояния, разрешённые в этих
процессах. Во всех случаях конечная система должна иметь полный угловой
момент 4 = ,1 к = 0. Поскольку спины пионов также нулевые, мы получим
ограничения на орбитальный момент их относительного движения. Полный
орбитальный момент Ь = I + С построен добавкой относительного орби-
тального момента I пионных пар, 2тг° в первом случае или, например, 7Г+ и
л- во втором, и относительного момента С последнего л0 по отношению к
центру масс первой пары, Рис. 14.3. Так как Ь = 0, мы должны иметь И — С.
В первом случае (4.68), это верно даже потому, что волновая функция
двух тождественных пионов должна быть симметрична, см. раздел 15. По
этой причине, здесь И = С четны. Следовательно, СР-четное состояние
Зл0 определяется только внутренней СР-четностью пионов и равна —1 для
нечетного числа пионов. В итоге, только СР-нечетная комбинация К®,
уравнение (4.67), может распадаться в Зл0. Для второго процесса (4.68),
СР-четность системы (л+л-л°) является продуктом СР-четности подси-
стемы (л+л-), СР-четность л° (равна —1), и четность (—/ орбитального
движения л0 относительно пары (л+л-). Когда применим к паре (л+л-),
С- и Р-операции эквивалентны, обе меняются л+ о тг~. Это означает,
что СР-четность (л+л-) пары всегда +1. Подитожив наши аргументы,
мы заключаем, что СР-четность состояния |л+л-есть (—)^+1, и для
четных I = Г трехпионные состояния имеют СР = — 1, в то время как для
нечетных И — С они имеют СР = +1.
Мы можем составить список распадов нейтральных каонов, разрешенных
сохранением СР-четности:
= : К* (27Г°), (7Г+7Г-), (7г+7г-7г0)^=оаа; (4.69)
СР = -1 : К2° -4 (37Г°), (7г+7г-7г°)^=еуеп. (4.70)
Высвобождаемая в двухмезонных распадах энергия и соответствующий
фазовый объем намного больше, чем в трехмезонных распадах. Это опре-
деляет, что вероятность распада (4.69) намного больше, чем в (4.70). В то
же время, трехмезонный распад К® подавляется центробежным барьером,
поскольку испускание л0 с С = 0 здесь запрещено. В самом деле, экспе-
римент различает два вида нейтральных каонов, долгоживущие, К^, и
короткоживущие, К®. Их времена жизни
т3 = 0.9 • 1О“10 8, ть = 5.4 • 10“8 8, (4.71)
соответственно. Быстрый распад, К®, встречается в двухпионном режиме, в
то время как медленный распад, К^, развивается в трехмезонных каналах,
поэтому возможно идентифицировать К® с К®, и с К®.
В экспериментах Кронина и др., 1964 [С11Г1964], были обнаружены редкие
события (с относительной вероятностью ~ 0.002),когда долгоживущая
компонента распадалась на два пиона. Эти эксперименты показывают,
что СР-четность не сохраняется в подобных распадах, и, на основании СРТ-
теоремы, инвариантность обращения времени нарушается. Прямо говоря,
К® является, следовательно, не чистым К® состоянием; Оно содержит
примесь К®- Аналогично, есть, главным образом, К® с небольшой
примесью К®. СР-нарушение делает возможными ненулевые электрические
дипольные моменты элементарных частиц, раздел 1.22.9. Похожее малое
СР-несохранение наблюдалось в эксперименте с нейтральными В-мезонами
[Р1е2002].
4.11 Нейтральные каоны и квантовая регенерация
Распады нейтральных каонов обнаруживают примечательные свойства
основ квантовой физики, даже если мы забудем о малом СР-нарушении.
Здесь, одно их главных правил квантовой механики, принцип суперпозиции,
проявляет себя уникальным образом. Ситуация, некоторым образом, ана-
логична нейтринным осцилляциям, но она более ясная и легче проверяема
экспериментально.
Нейтральные каоны образуются в сильных взаимодействиях, например
(4.61), имеет определенную странность по отношению к сильным взаи-
модействиям. Однако, каоны нестабильны и распадаются через слабые
взаимодействия (4.64,4.68-4.70). Если распады происходят с сохранением
СР-четности, нам нужно представить порожденные К® как суперпозицию
состояний (4.66) с определенной СР-четностью, но всегда без определенной
странности, последняя не сохраняется в слабых взаимодействиях,
(4.72)
откуда, порожденный К® является комбинацией долгоживущих К® и ко-
роткоживущих К® компонент.
После интервала времени который много больше, чем время жизни
/Ср, но все еще мал по сравнению с временем жизни К®, короткоживущая
компонента К® умирает, и пучок каонов состоит из К®, но имеет только
половину интенсивности,
(4.73)
С определением (4.66) для К®, мы наблюдаем, что в пучке который
исходно состоял из К® со странностью +1 теперь появились античастицы,
К®, со странностью —1:
1 1
7^2 У2
(4.74)
Пусть пучок (4.74) проходит через среду. Сильные взаимодействия с яд-
рами среды, включая рассеяние каонов и генерацию гиперонов, различны
для частиц, /С°, и античастиц, К®, из-за их различной странности. В столк-
новении с ядрами, античастицы К® имеют большую вероятность создания
гиперонов с той же странностью —1, в то время как для частиц (стран-
ность +1 отлична от таковой для гиперонов) такие процессы запрещены в
сильных взаимодействиях; — только рассеяние К® нуклонов возможно.
Предположим, что в достаточно тонкой мишени, античастицы К® почти
полностью поглощаются в результате неупругих столкновений с ядрами.
На выходе из мишени, состояние пучка описывается компонентой волновой
функции частицы (4.74),
1 1
\/2 У2
|К") = ||Л'Л).
(4.75)
Это состояние аналогично начальной точке полного процесса, но с 1/4
интенсивности Свободно двигаясь, К® из уравнения (4.75) снова может
быть представлен суперпозицией (4.39) с двумя экспоненциально распада-
ющимися модами. Из-за этого, затухающая короткоживущая компонента
К® испытывала регенерацию в среде. После этого мы снова наблюдаем
быстрые двухмезонные распады (4.64), характерные для К®.
В действительном эксперименте регенерация намного более сложная. На
практике, нужно принять во внимание рассеяние К® на мишени, также
как неполное поглощение К®. Вместо (4.75), волновая функция пучка на
выходе из регенератора должна записываться как
/Щ|^0>+^°>) = + (4.76)
где |^| = 1, описывает упругое рассеяние К®, которое не меняет пол-
ной интенсивности пучка, но меняет его фазу, а ту, |ц| < 1, описывает
упругое рассеяние и поглощение К®. Амплитуда регенерации К® пропор-
циональна (^ — ту). Процесс строго зависит от мельчайшей разности масс
Дт между состояниями К® и К® Их виртуальные слабые взаимодействия
и, следовательно, их энергии, слегка различны. Эксперимент подтвердил
эффект регенерации, который следует из основных квантовых постулатов
и позволяет измерить Дш.
Задача 4.3
Рассмотрим пучок К® во время I = 0. Времена жизни К® и К® равны
Т1 и Т2, соответственно (т2 л). Найти интенсивность К® как функцию
времени.
Решение Исходная волновая функция
| ФО = 0)) = \К°) = 4= (|/ф + |К2°)). (4.77)
с массами т± и //?2 для К® и К®, соответственно, время эволюции экс-
поненциально распадающихся состояний с определенной СР-четностью
устанавливаются как (с = К = 1)
|Ф(0> = 4= <(е-гт1‘-4/2т1|К1°) + е-гт2‘-‘/2т2|К20)} , (4.78)
или, вводя снова базисные состояния с определенной странностью,
|ф/^\\ — 1 Г [е-гт11-1/2т1 । е-гтД-р2т2"| ।^0\ _ Ге-гт11-1/2т1 _ е-гтД-р2т2"|
(4.79)
Амплитуда К® компоненты со странностью 5=1 равна (Дт = пц — тлз)
[е-(?72)Аш^-52т1 _ е-(г/‘2)Лт1-1/2т2^ (4,§0)
а измеренная интенсивность актами взаимодействия (образование гиперо-
нов, Л и Е, вдоль траектории обусловлена только наличием К®) пропорци-
ональна
0е + е-^Т2 — 2е-^/2)(1/Т1+1/Т2) со8(Дт^). (4-81)
Поскольку Т2 п, в течение интервала времени 1< т-2 можно наблюдать
характерные осцилляции,
А(^°;^) ос 1 + - 2е~1/2т1 со8(ДтТ). (4.82)
Период осцилляции определяется разностью масс Дт. Такие эксперимен-
ты определяют Дт ~ 0.4-10-5 эВ, мельчайшая разница масс, определенная
в физике частиц.
Паули доказал, что антисимметричные
частицы имеют полу целый спин,
симметричные частицы имеют целый
спин. Исключения неизвестны.
Э. Ферми, Заметки по квантовой
механике
Глава 5
Идентичные частицы
5.1 Неразличимые частиц
В нерелятивистской квантовой механике, каждый сорт частиц характе-
ризуется определенными параметрами (масса, спин, заряд и так далее).
К счастью, более глубокая теория должна предсказывать возможные зна-
чения этих параметров. Мы возьмем их в качестве эмпирических исход-
ных данных. Параметры эти идентичны для всех частиц данного типа.
Мы разделим частицы на классы, и те, что относятся к одному классу,
неразличимы. Это подразделение уникально, поскольку сигнатуры кван-
товые числа — определяющие класс имеют дискретные спектры значений.
Дискретность является важной для стандартного решения, называемо-
го парадоксом Гиббса, имеющего отношение к перемешиванию энтропии
различных и одинаковых газов, раздел 23.
В классической механике, система идентичных частиц является лишь
предельным случаем общей системы, взятой для случайно совпадающих
значений параметров. В квантовой механике идентичность частиц приводит
к новым физическим явлениям, основанным на взаимодействии статистик
и квантовой интерференции.
Пусть классические уравнения движения имеют решение, когда частица
а движется вдоль траектории А, в то время как идентичная частица Ъ дви-
жется вдоль траектории В. Вследствие идентичности частиц, существует
обмен множеством начальных условий, который приводит к решению с
частицей а, следующей по пути В, и Ь, следующей по пути А. Частица с
отметкой а та же самая в конце пути, какой она могла быть, несмотря на
факт, что две пары траекторий выглядят одинаково, и соответствующие
точки в двух решениях проходятся в те же моменты времени и с теми
Рис. 5.1. Два пути идентичных частиц, неразличимых в квантовой механи-
ке
же скоростями. В квантовой механике нет меток, способных различить
идентичные частицы. Можно подготовить неперекрывающиеся начальные
условия, выстреливая два протона из различных источников. Пусть они
взаимодействуют или просто пересекают перекрывающиеся пространствен-
ные области. После этого невозможно сделать различие между двумя
конечными состояниями, показанными на Рис. 15.1.
Амплитуды, а не вероятности двух событий следует добавить, и мы
получим качественно новое явление, интерференцию (конструктивную или
деструктивную) идентичных частиц.
5.2 Перестановочная симметрия
Все характеристики идентичных частиц а и Ь в гамильтониане Н(а,Ь)
точно те же. Мы используем здесь символы частиц а.Ь. • • • для полного
набора одночастичных переменных, которые включают также спин и другие
внутренние степени свободы.
Чтобы сформулировать ситуацию в терминах симметрий, мы введем
оператор перемещения Раъ = Р^, который меняет местами (а о 6) все
переменные наборов а и Ъ в волновой функции,
Ра6Ф(а, 6) = Ф(Ь, а).
(5-1)
Аналогичный оператор обмена может быть введен для части переменных
также. Оператор Майорана Р^ь обменивает только пространственные коор-
динаты, го о ц: оператор Бартлетта Р^ь переставляет только спиновые
координаты частиц а и Ь. Полный оператор перемещения (5.1) обычно
называеют оператором Гейзенберга. Если нет дополнительных переменных,
очевидно, что
ГаЬ = КьКь- (5-2)
Когда их применяют дважды, все операторы перемещения дают единич-
ность,
(РаЪ)2 = (Кь)2 = (Кь)2 = 1- (5-3)
Следовательно, любой оператор перемещения имеет два собственных значе-
ния, равных ±1, и его собственные функции разделяются на два множества,
симметричное и антисимметричное по отношению к обмену сооответ-
ствующих переменных. Произвольная функция не имеет определенной
симметрии, но она всегда может быть представлена как суперпозиция
функций с определенной симметрией,
Ф(а, Ь) = | [ф(а, Ь) + Ф(6, а)] + | [ф(а, Ь) - Ф(&, а)]. (5.4)
В системе многих тел из ТУ идентичных частиц, можно ввести ТУ (ТУ —1)/2
операторов перемещения Их последовательное действие позволяет
прийти к произвольной перестановке переменных относительно исход-
ной функции Ф(а, 6,...). Полное число функций, полученных таким обра-
зом, равно числу ТУ! различных перестановок. Ситуация многих тел более
сложна, чем в уравнении (5.4) вследствие увеличения числа возможных
смешанных симметрий.
Проблема, возникающая для ТУ > 2 относится к тому, что операторы пере-
мещения, включающие множество объектов не коммутируют. Например,
Для ТУ = 3 мы находим прямо
АзА2Ф(1, 2, 3) = АзФ(2,1, 3) = Ф(3,1, 2), (5.5)
откуда, действуя в противоположном порядке, мы получим результат,
который, вообще говоря, отличается от (5.5),
А2АзФ(1, 2, 3) = Р12Ф(3, 2,1) = Ф(2, 3,1), (5.6)
то есть [Р1з,Р12] Д 0. Правильное соотношение коммутации
Р12Р1з = АзА2- (5.7)
Будучи некоммутативными, операторы перемещения не имеют полного
общего набора собственных функций. Функции смешанной симметрии
ведут себя по-разному при разных перестановках. Это противоречит нашей
идее неразличимости частиц, так как перестановка идентичных частиц не
может менять физики.
Однако, всегда две функции — одновременно собственные функции всех
перестановок. Эти исключительные функции полностью симметричны и
полностью антисимметричны. Пусть, в самом деле, Ф(1, 2, 3) являются соб-
ственными функциями всех трех операторов Р-^Ръз и Рз1 с собственными
значениями (равными ±1) А12,А23 ап<1 А31, соответственно. Идентичность
(5.7), примененая к Ф(1, 2, 3) дает А12А13 = А23А12. Это показывает, что
А13 = А23, и таким же образом мы найдем, что А13 = А12. Откуда, все
три собственных значения равны. Это верно, вообще говоря, потому что
Ф(1, 2,..., ТУ) является общей собственной функцией всех операторов Раъ
тогда и только тогда, когда все собственные значения Хаъ равны их равны
их общей величине +1 (полностью симметричная функция Ф5) или — 1
(полностью антисимметричная функция Фд).
Мы заключает, что только функции Ф5 или Фд совместимы с идеей нераз-
личимости частиц. Достаточно взять функции точной симметрии в качестве
начальных условий для эволюции во времени. Будучи симметричными при
всех перестановках переменных идентичных частиц, гамильтониан системы
многих тел коммутирует со всеми операторами перестановок,
[Раь,Н] = 0. (5.8)
Все операторы Раь- следовательно, являются константами движения, и
исходная симметрия волновой функции сохраняется во времени. Симмет-
рия не может быть разрушена возмущением, потому что для идентичных
частиц, возмущенный гамильтониан симметричен, также как остается неиз-
менным закон сохранения (5.8). Уравнение (5.8) является, на самом деле,
определением неразличимости.
Конечно, нет необходимости конструировать исходное состояние сим-
метризованным или антисимметризованным для всех частиц заданного
типа по Вселенной. Если частицы не взаимодеймтвуют и не пересекаются,
нет никакой разницы, идентичны они или нет, физические предсказания
остаются теми же, когда исключается квантовая интерференция.
5.3 Бозоны и фермионы
Теорема квантовой т еории поля спина и статистики (В. Паули, 1940)
утверждает, что волновые функции идентичных частиц с целым спином
должны всегда быть симметричными, а таковые для частиц по луце л ого
спина всегда должны быть антисимметричными по отношению к любой
перестановке всех переменных идентичных частиц. Это формально следует
из закона преобразования волновых уравнений, описывающих соответству-
ющие поля в 4-мерном пространстве Минковского. Только подходящим
выбором перестановочной симметрии, квантованные поля будут подчи-
няться причинности и иметь положительную энергию частиц, которые
появляются в качестве квантов поля. В известном смысле, это является
геометрическим свойством мира Минковского, которое несправедливо в
некоторых моделях низкой размерности. Для бесспиновых частиц требова-
ния симметрии следуют [Рез2006] из идентификации точек (г1,Г2) и (г2,Г1)
шестимерного конфигурационного пространства и тщательного изучения
непрерывности волновой функции в таком пространстве. [Мы встречали
случай двух идентичных пионов (частиц с нулевым спином) в распадах
нейтральных каонов, раздел 14.10.] Однако, это доказательство трудно
обобщить на частицы с ненулевым спином; спин является существенно
релятивистским свойством.
Предполагая связь между спином и статистикой, мы существенно умень-
шаем число возможных состояний системы многих тел. Только состояния с
правильной перестановочной симметрией, Ф<$ и Фд, являются разрешенны-
ми, и тип симметрии фиксирован для частиц данного типа. Статистические
свойства, строго зависящие от числа доступных состояний, весьма различны
для этих двух случаев. Частицы целого спина подчиняются симметричной
статистике (Бозе”- Эйнштейна), они называются бозонами. Частицы полу-
целого спина подчиняются статистике ( Ферми”- Дирака), они называются
фермионами. Материя, главным образом, состоит из фермионов - лептонов
и барионов, кварков на более глубоком уровне. Однако, мы все еще не
знаем состав темной материи во Вселенной.
При высокой энергии возбуждения (температуре), когда доступное число
квантовых состояний велико, и среднее число частиц на квантовое состоя-
ние 1, эффекты квантового перекрытия можно игнорировать, поэтому
система иногих тел приходит к классическому пределу статистики Больц-
мана. Легко оценить, когда квантово-статистические эффекты становятся
важными для классического газа. Средняя энергия на частицу ё = (3/2)Т.
(Мы выразили температуру Т в энергетических единицах, положив посто-
янную Больцмана кв = 1; переход к тепловым единицам дается равенством
1 = 11600 К.) Средний импульс частицы с массой т есть р ~ у/тё ~ VтТ
соответствует волне де Бройля с температурой Хт ~ б/р ~ б/тТ. При
уменьшении температуры, Хт увеличивается, в конечном счете, достигае-
мое значение порядка среднего расстояния между частицами /'о — п-1/3,
где п = 1$/V - плотность газа (число частиц на единицу объема). Волновые
пакеты, соответствующие разным частицам начинают перекрываться при
температуре вырождения Тф
^2П2/3
Та-------
т
(5-9)
Тогда картина классического газа, состоящего из различимых, простран-
ственно разделенных частиц, теряет смысл, и можно использоать кванто-
вую статистику.
Для электронов в типичных металлах, температура вырождения состав-
ляет 1-10 эВ, величину, большую температуры плавления. Это означает,
что электроны в металлах, в любом случае, должны рассматриваться
как вырожденный квантовый газ. В полупроводниках можно варьировать
плотность и, следовательно, температуру вырождения. Для нуклонов при
плотности п ~ 0.17 фм-3, что приблизительно соответствует значению
внутри ядер, оценка (5.9) дает Та ~ 10 МэВ. Это соответствует энергии
возбуждения порядка сотни МэВ в ядрах с массовым номером А ~ 100.
Для низкоэнергетической ядерной физики это справедливо ниже Та по-
этому здесь, как и в металлах, эффекты квантовой статистики являются
ключевыми.
Здесь может быть уместен один комментарий. Во многих случаях со-
ставные объекты выглядят как целые. Тогда нужно подсчитывать число
фермионных составляющих для того.чтобы определить тип квантвой ста-
тистики. Тип статистики для нейтральных атомов определяется паритетом
числа нейтронов в ядрах (число протонов равно числу электронов). Атом
зуКЬзо состоит из ядер (37 протонов и 50 нейтронов) со спином (полный
угловой момент ядра) 3/2 и 37 электронов атома с полным спином 1/2,
который, на самом деле, определяется одним внешним электроном валент-
ности. Такой атом образует Бозе-газ. Бозе-конденсация паров рубидия при
сверхнизких температурах порядка 2х10-8 К наблюдалась в 1995 году
в качестве первого примера такого явления, предсказанного давно: все
идентичные атомы занимают наинизший энергетический уровень в камере
(атомной ловушки) [Ре12002]. Пренебрегая взаимодействием между ато-
мами, мы можем записать волновую функцию многих тел, как результат
идентичных одноатомных функций,
Ф(1,...,Я = Щ1)Щ2)...ЩЛТ
(5.10)
Такая функция очевидно симметричнв. Температура конденсации, ниже
которой манроскопическая функция атомов, занимающая отдельное микро-
скопическое состояние, может быть оценена из (5.9) для плотности п ~ 1012
см-3 в ловушке. Атомы находятся в сверхтонком состоянии (см. раздел
1.23.6) с полным угловым моментом Р = 2, который должен рассматривать-
ся как спин целого атома. Ясно, что такая трактовка приближенна. При
высоких плотностях электронные оболочки, различных атомов начинают
перекрываться, и фермионная природа электронов, которая не позволяет
завершить симметрию, вступает в игру. В строгом смысле, нуклоны также
являются не просто фермионами, поскольку на малых расстояниях они
начинают чувствовать структуру кварков и глюонов. Обычно предполага-
ется, что при нормальных плотностях ядра такие эффекты весьма важны,
хотя проблема не изучена тщательно.
Задача 5.1
Рассмотрим две идентичные частицы на одночастичной орбите, характе-
ризующейся угловым моментом у Найти разрешенные значения полного
углового момента 3 системы двух тел.
Решение Как показано в Задаче 1.22.2, симметрия двухчастичной вол-
новой функции Р12 = (—)2-7+'7. Для бозонов д является целым, и стати-
стическое требование Р12 = +1 приводит к четному У. Для фермионов д
полуцелый, является нечетным числом, а требование V = — 1 снова дает
четное 7. В обоих случаях только четные значения У допустимы,
7 = 0,2,-•• ,27 , 7 = 0, 2, •••27-1
(5.И)
Также полезно вспомнить, что, как показано уравнением (1.20.68), двой-
ное применение операции обращения времени действует по-разному на
системы с целым и полуцелым угловыми моментами. Поскольку, с правой
спиновой статистикой связи первый (второй) случай реализуется даже
для четного (нечетного) числа фермионов, операция Т2 возможна, чтобы
различить эти случаи.
5.4 Волновые функции невзаимодействующих частиц
Рассмотрим вначале систему двух невзаимодействующих частиц, кото-
рая может занимать два одночастичных состояния (орбитали) ъ/д и т/д.
нижние индексы 1 и 2 относятся к полному набору переменных частиц
(не меток частиц!). Полная волновая функция Ф(1,2) является продуктом
одночастичных функций, поэтому имеется четыре возможности:
7/11(1)7/11(2), 7/12(1)7/12(2), 7/11(1)7/12(2), 7/12(1)7/11(2). (5.12)
Все опции (5.12) разрешены для различимых частиц. В случае Бозе
мы должны симметризовать но первый и второй результаты (5.12) уже
симметричны. Объединяя третий и четвертый случаи в нормированную
симметричную комбинацию Ф<$, мы получим
: тЛ1(1)-01(2), -02(1)^2(2), 4=П1(1)^2(2) + ^2(1)^1(2)]. (5.13)
Оставшаяся нормализованная антисимметричная комбинация Фд также
разрешена для фермионов,
: -)= Н1(1)^2(2) - ^2(Щ1(2)]. (5.14)
Заметим, что функции разных классов симметрии взаимно ортогональны.
Комбинации чистой симметрии в уравнениях (5.13) и (5.14) показывают
простейшие квантовые затруднения для идентичных частиц без динамиче-
ского взаимодействия, см. раздел 49.
Фермионная функция (5.14) имеет вид детерминанта Слетера,
Фд(1, 2) =-)=
^(1) тД2)
^2(1) ^2(2)
(5.15)
с элементами ^(с), где строка с номером г отмечает занятые орбитали,
а столбец с номером с отмечает переменные частицы. Вообще говоря, в
Ферми-системе из ТУ идентичных частиц, волновая функция меняет знак
при перемещении Гаъ- При перестановке, выполняемой несколькими, р
перемещениями, конечное изменение знака будет (—)р. Полное число пере-
становок равно ТУ!. Если волновая функция для различимых частиц будет
Ф(1,..., ТУ), то для идентичных фермионов соответствующая нормированная
антисимметричнвя функция принимает вид
Фд(1,...,я = ~^= 5Д-)рРФ(1,...,М (5.16)
V 2 V . р
Здесь, сумма пробегает по всем ТУ! перестановкам, подсчитывая их отно-
сительные знаки. Аналогично, волновая функция ТУ идентичных бозонов
может быть представлена в полностью симметризованной форме,
Ф5(1,...,Я = ^РФ(1,...,ЛГ). (5.17)
V 2У . р
Различия между волновыми функциями двух типов статистики ключевые.
Вероятность нахождения двух бозонов в одной пространственной точке
не исчезающе мала, в то время епе таковая вероятность для двух фермио-
нов с параллельными спинами равна нулю, что отражает статистическое
« отталкивание ».
В случае невзаимодействующих частиц, фермионная волновая функция
(5.16) становится детерминантом Слетера (39.15) для частиц,
= (5.18)
где изучается которая перечисляет взаимно-ортогональные одночастич-
ные орбитали, занятые частицами в состоянии многих тел, и нам нужны, по
крайней мере, независимых орбиталей чтобы разместить фермио-
нов. Детерминанты Слетера автоматически антисимметричны, поскольку
любая перестановка двух столбцов (или строк) меняет знак детерминан-
та. Нормирующий множитель перед детерминантом для фермионов
равен 1/\/7У1. Если число доступных орбиталей было бы меньше, чем ТУ,
некоторые из частиц должны совместно использовать орбиталь. В этом
случае мы можем получить близкий к нулю детерминант с совпадающими
строками. Мы приходим к принципу исключения Паули\ в невзаимодей-
ствующих Ферми системах нет частиц, занимающих одну и ту же орбиталь.
Принцип Паули есть частный случай общего требования антисимметрии.
Функция с более чем одной частицей на той же орбитали, как первый из
двух результатов в (5.12), необходимо симметрична по переменным этих
частиц.
Очень удобно, особенно в случае больших ТУ, описать полную функцию
многих тел в терминах чисел занятости (ожидаемые значения для числа
частиц на каждой орбитали). В случае невзаимодействующих фермионов
и ортогональных орбиталей, числа занятости могут принимать только
значения 0 (пустая орбиталь) и 1 (занятая орбиталь). В случае невзаимо-
действующих бозонов, развешенные числа занятости это целые от 0 до А^,
последний случай соответствует полному конденсату. Представление номе-
ра занятости будет развито в разделе 17 в схеме вторичного квантования с
операторами, действующими на числа занятости (создания и аннигиляции
частиц).
Задача 5.2
ТУ идентичных частиц распределены по П ортогональным одночастичным
орбиталям. Вычислить полное число Л/^ТУ, П) возможных состояний многих
тел точной симметрии для бозонов и фермионов.
Решение Для фермионов, полное число Л/- разрешенных состояний можно
вычислить, комбинируя, в соответствии с принципом Паули , П возможно-
стей для первой частицы, оставляя П — 1 для второй, П — 2 для третьей
и так далее, до $2 — — 1); конечно, должно быть IV < $2. Поскольку
частицы идентичны, результат следует поделить на ТУ!,
О!
(5.19)
Как и должно быть, состояние уникально, Л/- = 1, для пустого пространства,
ТУ = 0, так же как и для целиком заполненного, ТУ = Ч. Ответ симметричен
по отношению к частицам (ТУ) и дыркам (П — ТУ).
Для бозонов, задача эквивалентна следующей. Поместим ТУ вдоль прямой
и вставим случайно расположенные П — 1 границу между ними, образуя П
ячеек. Каждое положение границы дает конкретное распределение бозонов
в Ч ящиках. Полное число объектов (частицы + стенки) равно Ч + ТУ — 1.
Число различных конфигураций Ч — 1 стенок дает ответ,
Для различимых частиц число состояний есть просто . Это следует
из обоих уравнений (5.19) и (5.20) после исключения перестановочного
множителя ТУ! в знаменателе, и взяв классический предел низкой плотности,
ту < ч.
С межчастичным взаимодействием принятым во внимание, простые
[симметризованные, как в (5.10), или антисимметризованные, как детер-
минанты Слетера (5.15)] результаты одночастичных орбиталей более не
являются стационарными. Процесс взаимодействия перемещает частицы
между орбиталями. Присутствие или отсутствие существенно влияет на ам-
плитуды переходов. Таким образом, переход фермиона на занятую орбиталь
запрещен.
Даже для взаимодействующей Ферми-системы, детерминанты Слетера
для всех возможных популяций орбиталей обеспечивают полным набо-
ром ортогонализированных антисимметричных волновых функций. Этот
набор регулярно используется как базис для решения проблемы многих
тел. Отметим, что для этой цели можно использовать любьой полный
набор одночастичных орбиталей, хотя практически определенный выбор
может быть более удобен. Числа занятости различны в разных представ-
лениях. В суперпозиции, представляющей действительное стационарное
состояние, числа занятости, вообще говоря, дробные (между 0 и 1). То же
самое справедливо для возбужденных Ферми-систем, встречающихся при
рассмотрении теплового ансамбля.
Задача 5.3
Может быть удобно рассмотреть частиц, распределенных по неор-
тогональным орбиталям фу,и = 1, поэтому (анти)симметричная
Ы-частичная волновая функция дается уравнениями (5.16) и (5.17), где
Ф(1,...,Л^) является простым произведением -01(1)...-^(ТУ). Найти пере-
крытие двух таких функций Ф и Ф, построенных на множествах {фД апс!
{р/Д, соответственно.
Решение Если функция системы многиз тел этого типа нормирована,
результат для фермионов
(Ф|Ф) = / Ре* е'?/' (5.21)
У|Ое10^| • |Ое10^|
в терминах детерминантов матрицы скалярных произведений
= (5.22)
Для бозонов мы получим постоянную, ту же самую комбинацию произве-
дений, как (5.21), но везде со знаками плюс.
5.5 Двухнуклонные состояния
В качестве нашего первого реалистического примера, мы рассмотрим про-
стейшее взаимодействие ядерной системы Лг = 2 нуклонов. Здесь можно яс-
но увидеть конкретную особенность, которое отличает протон-нейтронную
(р — п) систему от системы двух идентичных нуклонов, р — р или п — п,
вопреки тому факту, что ядерные силы в различных парах почти иден-
тичны (зарядовая независимость сильных взаимодействий). Поскольку
центр масс системы многих тел может быть выделен в общем виде, раздел
17.1, и, предполагая равенство масс протона и нейтрона, такое глобаль-
ное движение полностью симметрично, мы можем интересоваться только
относительным движением.
Волновые функции относительного движения двух частиц имеют ра-
диальную, угловую и спиновую части. Полный набор состояний может
быть образован с использованием сферических гармоник УДДп) для уг-
ловой части [п(0, р) - единичный вектор вдоль г = гп = Г1 — гд]. Это
определяет квантовый номер четности П = (—/. Мы будем использовать
стандартные спектроскопические символы <§,р, ф /, д, ф г, 7,... для значе-
ний 0,1,2,3,4,5,6,7,... орбитального момента I. Спиновая функция
двухнуклонной системы, обсуждавшаася в разделе 22.3, может соответ-
ствовать 5 = 0 (синглет) или 5=1 (триплет) значениям полного спина
8 = 81 + 82. (5.23)
Триплетные состояния симметричны по отношению к обмену переменных
спина, осуществляемому оператором Бартлетта Р+ а синглетное состояние
антисимметрично
= (-)5+1. (5.24)
В двухнуклонной системе пространственная симметрия меняет знак отно-
сительной координаты, следовательно, это эквивалентно обмену простран-
ственных координат, даваемому оператором Майорана Рг. Обращаясь к
(5.2), мы получим
Рг = (_/, Р = ргр° = (_ ДЗ+1. (5.25)
Вообще говоря, относительный орбитальный момент I и спин 8 пары не
являются с необходимостью сохраняемыми величинами. Но вращательная
инвариантность гарантирует сохранение полного углового момента
Л =/+8. (5.26)
Состояние с заданными значениями И и 5 могут быть сведены к 7 = И
для спинового синглета и к 7 = Ц ± 1 для спинового триплета ( в ис-
ключительном случае И = 0 только 7 = 5=1 возможно). Как в атомной
спектроскопии, результирующее состояние можно обозначить как 25+1 (^)л,
где {Г} употребляется для символа орбитального момента. Используя эту
терминологию, все возможные двухнуклонные состояния можно классифи-
цировать как в таблице 15.1.
3 е=о 1 2 3 4
Зт§1е18, 5 = 0 ./ = 1 18о 1з2 Уз 15'4
Таблица 15.1 Тпр1е1з, 5 = 1 3 = И-\ 3Ро ч 3/2 39з
з = е 3Р1 Зз2 3/з 391
3 = е + 1 381 3Р2 Ч 3/4 39б
Поскольку единственные точные константы движения это д и (игно-
рируя слабые взаимодействия) четность П = (—/, удобно использовать
сокращенную символику 7П, указывающую только эти квантовые числа. В
двухнуклонной системе четность синглетных состояний (—/ = (—)‘7 опре-
деляется однозначно величиной <7. Для триплетных состояний квантовые
числа У и П не полностью определяют состояние: существуют две возможно-
сти с разными = У ± 1. Триплетные состояния с I = 7, а также состояние
Зро аллП1 Тп = О-, являются уникальными. Переупорядочим состояния,
соответствующие точным квантовым числам Тп сильного взаимодействия
(Таблица 15.2).
Таблица 15.2 [0.2ст]
о+ 0“ 1+ 1“ 2+ 2- з+ 3" 4+
8шДе18 Тпр1е18 Зо з„ Ро 351,3 6?1 31 31 з2 ч2 3„ 3 р Р2, 12 3 л 3 _ «з, 9з Уз 3/з 31 354
В принципе, взаимодействие может смешивать состояния с одинаковы-
ми Тп, но разными I или 8. Существуют две возможные суперпозиции,
совместимые с сохранением Тп. Во-первых, можно смешивать триплетные
и синглетные состояния с теми же например, *р1 и 3р1 {«вертикаль-
ное перемешивание»). Во-вторых, разрешена суперпозиция триплетных
состояний с = Т ± 1 {«горизонтальное перемешивание»). Механизм гори-
зонтального перемешивания связан с тензорными силами, устроенными
как скалярное произведение тензоров второго ранга в спиновом простран-
стве, ос 51^2^ — (1/3)(§1 -82)^3 и угловой квадрупольный оператор ос ЗДДп),
ответственен за смешивание двух орбитальных моментов той же четности
М = 2.
Отметим, что состояния, доступные для вертикального перемешивания,
имеют противоположную перестановочную симметрию (5.25), а именно,
такое же поведение по отношению к Рг, но противоположное по отношению
к Ра. В противовес этому, горизонтальное перемешивание комбинирует два
состояния с одинаковой симметрией. Следовательно, лежащая в их основе
физика очень разная. В действительности, горизонтальное перемешивание
более сильное, и единственно возможное пограничное двухнуклонное состо-
яния это дейтрон, д = с р — п волновой функцией, как суперпозицией
3<§1 +3 с/1, см. таблицу 39.2.
Мы перечислили двухнуклонные состояния без упоминания, различны
ли нуклоны, как в случае дейтрона, или идентичны. Однако, в последнем
случае только антисимметричные состояния с величиной V = — 1 опера-
тора обмена (5.25) разрешены статистикой Ферми. Следовательно, только
подкласс состояний, выбран для п — п или р — р систем, где орбитальная
(Рг) и спиновая (Р67) симметрии дополнительны, а именно
0+(Ч), 2+(1с/2), 4+(154),...; (5.27)
И
О-(3ро), 1~(3М 2-(3р2+ 3/2), 3-(3/з),-.. (5.28)
Наивные ожидания могли быть такими, вследствие зарядовой независимо-
сти ядерных сил, существование пограничного дейтрона (электрический
заряд И = 1) может предполагать существование пограничных состояний
п — п {7 = 0, динейтрон) и р — р {7 = 2, дипротон или 2Не). Такие гра-
ничные состояния не существуют. Причина этого могла стать понятной
следующим образом.
Дейтрон, с энергией связи 2.225 МэВ (нижнее значение по ядерным
масштабам), не имеет возбужденных граничных состояний. Поскольку
ядерные силы зарядово независимы, гипотетические граничные состоя-
ния п — п и р — р должны иметь те же квантовые числа 3<§1 +3 дц, что
и единственное граничное п — р состояние. Однако, уравнения (5.27) и
(5.28) говорят нам, что такие состояния запрещены статистикой Ферми.
Идея зарядовой независимости должна быть сформулирована, как эквива-
лентность ядерных сил в тех же самых квантовых состояниях. Весьма
плодотворный путь формулировки зарядовой независимости лежит через
введение высшей симметрии, изобарического спина, или коротко изоспина,
другой группы 8П(2), основанной на представлении протона и нейтрона,
как двух состояний нуклона. Полный формализм спина представлен здесь,
со строгими предсказаниями для многонуклонных систем. Даже более
высокие симметрии работают в мире элементарных частиц.
Задача 5.4
Пионы л-, частицы со спином 0 и отрицательным электрическим заря-
дом, могут быть захвачены на водородоподобную орбиту ядер и образовать
кулоновский мезоатом (оценить энергию связи и размер наинизшей орбиты
для ядер с зарядом 71). Процесс завершается либо распадом (38.36) пиона
на мюон и мюонное антинейтрино, либо ядерным захватом пиона. Рассмот-
реть л-мезоатом дейтерия, где пион, захваченый из основного состояния
мезоатома (процесс, управляемый сильным взаимодействием) приводит к
ядерной диссоциации на два нейтрона,
я- + (1 -л- п + п. (5.29)
Показать, что процесс (5.29) возможен только, если пион имеет отрица-
тельную внутреннюю четность (псевдоскалярная частица), как это исполь-
зовалось в разделе 14.
Решение С бесспиновым пионом в основном «8-состоянии мезоатома и спи-
ном дейтрона (полный угловой момент) равным 1, полный угловой момент
начального состояния в процессе захвата (5.29) равен .Ц = 1. Следовательно,
конечное состояние двух нейтронов должно также иметь угловой момент
Уу = 1. Уравнение (5.25) разрешает единственную комбинацию квантовых
чисел двух нейтронов с 4 = 1, а именно 3Ц1 с отрицательной четностью.
Четность начального состояния совпадает с внутренней четностью пиона,
поскольку для самой нижней «8-орбиты в мезоатоме I = 0, и состояние
дейтрона, комбинация з- и (/-орбиталей, также четная. Из сохранения чет-
ности в процессе (5.29) мы заключаем, что пион обладает отрицательной
внутренней четностью.
Задача 5.5
В системе двух идентичных невзаимодействующих бесспиновых бозо-
нов одна частица находится в стационарном состоянии с нормированной
волновой функцией ^1(г)? которая имеет положительную четность, в то
время как другая частица находится в состоянии с нормированной волновой
функцией ^2(г) отрицательной четности. Определить:
а) распределение вероятности координат гс(г) для одной частицы, если
позитрон или другая частица произвольны;
Ь) вероятность нахождения частицы в верхней полуплоскости г 0;
с) вероятность нахождения обеих частиц в г 0.
(1) Ответить на те же вопросы для двух фермионов в одинаковых состоя-
ниях спина.
е) Ответить на те же вопросы для двух различимых частиц.
Решение
а) Правильно симметризованные волновая функция двух бозонов
Дг1,г2) = -^{^1(Г1)^2(Г2) + ^1(Г2)^2(Г1)}. (5.30)
Поскльку волновая функция симметрична, требуемая вероятность мо-
жет быть найдена для любых частиц, например, для Г1Г, интегрируя
по всем возможным позициям гд, получим:
ш(г) = с/3Г1 Н3Г2 5(г1 — г)|'0(г1, Г2)|2. (5.31)
Одночастичные волновые функции предполагаются нормализованными,
У Лг|^1(г)|2 = У Тг |^2(г)|2 = 1; (5.32)
и они ортогональны вследствие противоположной четности,
У с13г Д(г)'(/’2(г) = 0. (5.33)
Интегрирование в (5.31) дает
Дг) = | (1^1(г)I2 + |^2(г)I2) , (5.34)
поскольку мешающий член пропадает вследствие ортогональности (5.33).
Множитель 1/2 гарантирует правильность нормировки
У (/3/' К’(г) = 1. (5.35)
Ь) Для функций определенной четности, интеграл по верхней полуплоско-
сти равен
[ Лг |^1,2(г)|2 = |. (5.36)
Следовательно, вероятность нахождения одной частицы в верхней полу-
плоскости, при произвольном положении другой частицы, получается
из (5.34),
> 0) = / Лг Дг) = | (| + |) = (5-37)
с) Чтобы найти вероятность нахождения обеих частиц одновременно в
полуплоскости, вернемся к полной волновой функции (5.30),
ш(^1 апс1^2 0) = / с/3Г1 (13Г2 |'0(г1,1*2)|2- (5.38)
Однако, в полуплоскости одночастичные волновые функции не обяза-
тельно ортогональны, и их перекрытие дается интегралом
I = [ й3г^1(г)^2(г). (5.39)
используя уравнения (5.36) и (5.39), мы получим
апс1 ^2 > 0) = | + Д|2. (5.40)
б) В случае фермионов волновая функция должна быть антисимметричной
по пространственным переменным (спиновые части уд и уд волновой
функции идентичны, и, следовательно, их произведение автоматически
симметрично). Пространственная часть дается детерминантом Слетера,
Д1, 2) = 4= Н1(Г1)^2(Г2) - ^1(г2)^2(г1)] Х1Х2- (5.41)
V "
Вычисления производятся тем же способом, как для бозонов, предпола-
гая. что спинор х нормирован как (у|у) = 1. Тогда уравнения (5.34) и
(5.36) все еще справедливы. Однако, одновременная вероятность (5.40)
должна теперь быть равна
гс(г1 апс1 ^2 > 0) = | — |4|2. (5.42)
(Легко доказать, что это выражение всегда неотрицательно).
е) Для различиных частиц нет перестановочной симметрии,
^(г1, г2) = ^1(п)^2(г2). (5.43)
Вероятности нахождения одной частицы в точке г одинаковы для двух
частиц,
«Дг) = |^1(г)|2, «Дг) = |^2(г)|2.
(5.44)
Для каждой частицы вероятность нахождения в верхней полуплоско-
сти равна 1/2, и их одновременные вероятности быть в верхней полу-
плоскости равны 1/4. Переменные спина, если имеются, не влияют на
результат.
Мы видим, что неразличимость частиц вводит эффект интерференции,
относящийся к интегралу перекрытия (5.39). В случае бозонов, это при-
водит к эффективному притяжению частиц, в то время как фермионы с
параллельными спинами ощущают эффект расталкивания, как это было
сравнено для двух различных частиц (принцип Паули). Для фермионов
с противоположной проекцией спина интерференция отсутствует, вслед-
ствие ортогональности спиноров, поэтому они ведут себя как различимые
частицы.
Задача 5.6
Два идентичных бесспиновых бозона с массами т образуют молекулу,
вследствие потенциального взаимодействия между ними, И = (&/2)(г1 —
Г2)2. Определить спектр стационарных состояний молекулы.
Решение Волновая функция движения центра масс по построению симмет-
рична. Волновая функция относительного движения является собственным
состоянием гамильтониана
о2 1
Нге1 =-----к -кг2, (5.45)
т 2
где г = Г1 — г2 апс! р — координаты и импульс относительного движения,
соответственно, и мы принимаем во внимание, что приведенная масса равна
т/2. Энергетический спектр дается стандартным решением для гармоники
изотропного осциллятора, где собственное значение энергии зависит только
от главного квантового числа,
ЕД) = Пш\Д + Д ,
(5.46)
В системе многих тел, перестановочная симметрия пространственной вол-
новой функции эквивалентна четности. Для осциллятора это совпадает с
(—)^; все орбитальные моменты I при заданном имеют ту же четность,
что и ТУ. Только симметричные состояния допустимы для идентичных
бозонов, следовательно, разрешенный спектр (5.46) ограничен четными
состояниями,
ТУ = 0,2,4,...
(5-47)
| Задача 5.7
Молекулярный водород Щ может существовать в двух формах, пара- и
орто-, которые отличаются полным спином ядра 8 = 81 +82 двух протонов,
образующих молекулу, спин ядра равен 8 = 0, и 8 = 1 для пара- и
орто-водорода, соответственно. Обсудить возможные состояния молекулы
водорода Нд с точки зрения статистики идентичных частиц и допустимы
квантовые числа [8сЬ.1937].
Решение Молекулярная волновая функция должна быть антисимметрич-
ной относительно перестановки протонов. Электронная и колебательная
волновые функции основного состояния симметричны в координатах прото-
на. Функция спина ядра антисимметричнв для пара-водорода и симметрич-
на для орто-водорода. Точная полная антисимметрия должна быть обуслов-
лена дополнительной симметрией угловой волновой функции молекулы,
симметричной для пара-водорода и антисимметричной для орто-водорода.
Двухатомная молекула обладает вращательными спектрами, соответству-
ющими вращению вокруг оси, перпендикулярной к оси молекулы, раздел
1.5.7. Волновая функция ориентации есть просто Уьм(п)? с единичным
вектором п, описывающим ориентацию оси молекулы в пространстве. Эта
функция приобретает множитель (—)ь при обмене протонами (для двухча-
стичной системы это эквивалентно пространственной инверсии). Откуда,
только состояния с четным Ъ = 0, 2,... разрешены для пара-водородной
молекулы, и только нечетным Ь = 1,3,... разрешены для орто-водородной
молекулы. Вращательный спектр орто-водорода начинается с Ъ = 1, что
приносит добавочную вращательную энергию в сравнении с основным
состоянием пара-водорода, Ь = 0. При комнатной температуре, которая вы-
ше, чем интервалы вращательной энергии, газообразный водород является
статистической смесью двух модификаций с отношением орто:пара=3:1,
равным отношению числа магнитных подуровней. При низких температу-
рах, все молекулы релаксируют к пара-водородной фазе. Чтобы сохранить
значительную долю орто-водородных молекул при низкких температурах,
охлаждение должно производиться быстрее, чем время релаксации.
Задача 5.8
Рассмотрим упругое рассеяние нейтрона молекулами пара- и орто-водорода
при очень низкой энергии, когда длина волны нейтрона больше, чем сред-
нее растояние между протонами молекулы водорода (0.75А). Показать,
что сравнение этих сечений позволяет определить знак длины рассеяния
п — р. Исторически, этот важный эксперимент (Р. Саттон и др.) [8и11947]
по определению знаков длины волны синглета, а$, и триплета, щ, был вы-
полнен, следуя предложениям Дж.Швингера и Е. Теллера [8сЬ_1937]. Знак
амплитуды рассеяния важен для вопроса существования граничного п — р
состояния (отличного от дейтрона).
Решение Измерение п — р сечения рассеяния не дает информации о знаке
а. Более того, эксперимент с неполяризованными нейтронами и протонами
может мерить только усредненное значение для сечения синглета и триплета
: для данного столкновения существует вероятность 1/4 иметь пару в
синглетном состоянии и 3/4 иметь ее в состоянии триплета. Наблюдаемое
сечение
1 3
(5.48)
Вследствие разницы в допустимых вращательных уровнях, неупругое рас-
сеяние нейтрона различно для пара- и орто-водорода даже без ядерных
сил, зависящих от спина.
Для большой длины волны нейтрона, он имеет когерентное взаимо-
действие с двумя протонами, сравни раздел 9.9; мы должны добавить
соответствующие амплитуды упругого рассеяния. Чтобы получить пра-
вильный результат для любого состояния спина, выпишем эффективную
длину рассеяния для п — р взаимодействия как
а — -(1 — Р°)а8 + -(1 + Ра)а^.
А А
(5.49)
Здесь а3 и щ синглетная и триплетная длины п — р рассеяния, соответствен-
но, а Ра оператор обмена для спина (1.22.27). Комбинации (1/2) (1 =р Ра) в
(5.49) отражают произвольное состояние его синглетной или триплетной ча-
сти. Используя явное выражение (1.22.27) оператора спинового обмена, мы
получим эффективную длину п — р рассеяния как оператор, действующий
на переменные спина,
Теперь мы можем применить это к рассеянию молекулой водорода. В
пределе очень низких энергий мы пренебрегаем размером молекулы в
сравнении с длиной волны нейтрона. Тогда мы можем просто добавить
величины (5.50) для двух протонов и ввести эффективную длину рассеяния,
симметричную по отношению к протонам,
А = а(1) + 6(2) = | [за* + а8 + (а< - а5)(ст„ • 8
(5.51)
где 8 — спин ядра молекулы, уравнение (5.23). Учитывая разность фаз,
возникающую вследствие перемещения между протонами в молекуле, мы
можем получить также члены, которые антисимметричны в спинах про-
тонов. Они ответственны за переходы орто-пара и пара-орто. Упругое
рассеяние, также как пара-пара и орто-орто возбуждения, управляются
симметричными членами.
Упругое рассеяние описывается элементами матрицы (тп/М'\А\тМ), нде
т, т' и М, М' - начальная и конечная проекции спина для налетающего
нейтрона и молекулы, соответственно. Наблюдаемое упругое сечение без
поляризации нейтрона или исходного молекулярного газа и без измеряе-
мой конечной поляризации, пропорционально квадрату этого матричного
элемента, усредненного по начальным поляризациям и просуммированного
по конечным поляризациям,
<ге1 х 9/9Л п У I{т'М'\А\тМ}|2. (5.52)
' тМт'М'
Стандартный путь для вычисления таких сумм следующий. Сумма по
начальным и конечным состояниям спина сводится к следу в спиновом
пространстве,
ЕИ//2 = Е(Ел},-4/.) = Е<л’-4).. = ъ'(А*-4>- (»•»)
/г г / г
Стандартная алгебра спина дает
(ап • 8)2 = З^ЗМ^ + = 82 - (ап • 8). (5.54)
След компоненты произвольного углового момента равен нулю. В резуль-
тате, мы имеем
Тг (ТЗ) = 2(25 + 1) | [(За* + а5)2 + 5(5 + 1)(а4 - а5)2]. (5.55)
Чтобы сравнить сечения для п — р и п—Щ рассеяний, мы должны подсчи-
тать коэффициенты различных отскоков (приведенные массы), т = М/2
для рассеяния от свободных протонов, и т = (2/3)М для рассеяния от
молекулы. Амплитуда рассеяния пропорциональна приведенной массе, а
сечение пропорционально квадрату приведенной массы. Для нейтрона
рассеяние вне границы протона в тяжелой молекуле, приведенная масса
близка к массе нуклона М, и сечение может быть в четыре раза больше.
чем для свободного протона. Для обеих модификаций молекулы водорода,
мы найдем сечение упругого рассеяния протона как
^рага^тг^—— (Зщ + а$) = (Зсц + а$) . (5.56)
X О / Л У
И
^ЪгОю ~ ц [(Зщ + а5) + 2(щ а5) ]. (5.57)
Сечение для свободных протонов, в тех же обозначениях, равно
а = 4тг(|а2 + |а2Д[(За< + а5)2 + 3(а< - а5)2]. (5.58)
Комбинация различных измерений позволяет определить длины рассея-
ния с их знаками: щ ~ 5.44 фм, а8 ~ —23.72 фм. Из-за противоположных
спинов триплета и синглета длина сечения орто-водорода значительно пре-
вышает таковую для пара-водорода. Взглянув снова на нашу иллюстрацию
значения длины рассеяния, Рис. 8.5, мы понимаем, что результат находится
в соответствии с присутствием граничного состояния триплета (дейтрон) и
отсутствием граничного состояния синглета.
5.6 Рассеяние тождественных частиц
В духе примера на Рис. 15.1, мы можем рассмотреть процесс рассеяния
двух неразличимых частиц. Даже в классической механике мы имеет два
случая для регистрации продуктов рассеяния одним и тем же детектором,
размещенным (в системе центра масс) под нектороым углом в. В случае I,
детектор И регистрирует частицу а, рассеянную на угол 0; тогда частица
Ь может быть зарегистрирована дополнительным детектором при угле
л — в. В случае II, частица а рассеяна на угол л — в от оси столкновения,
в то время как детектор И находит вместо нее частицу 6, тождественную
частице а.
Наблюдаемое классическое сечение - просто сумма элементарных сечений
прямого, к -д к', и обменного, к -д — к', процессов:
с/щДк7, к) = бсг(к', к) + скг(—к7, к). (5.59)
В случае центрального поля, дифференциальное сечение зависит только
от угла рассеяния 0, и (5.59) упрощается до
= с/сг(0) + — О'),
(5.60)
поэтому
йсгс1(90°) = 2с/сг(90°).
(5.61)
Для того, чтобы найти правильный рецепт для квантового рассеяния,
мы отметим, что правильная (анти)симметричная волновая функция двух
тождественных частиц в системе центра масс дается выражением
(1 ± Раб)Дг; За, 8ь)~^ [Дг; 8а, 8Ь) ± Д-Г; 8Ь, 5а)],
(5.62)
где г = га — - релятивистская координата, за а зь — переменные спина,
и знаки + и — относятся к бозонам и фермионам, соответственно. В про-
стом случае, когда пространственные и спиновые переменные разделены,
^(д^ваЗъ) -Д '0(г)х(<§а, 5^), функция (5.62) может быть записана как
1
— ДОхва, 8Ь) ± 'ФЦОхД, $а)]
= 4= [(^5 + ДД%5 + ХА) ± (Д - Фа)(Х8 ~ Хд)], (5.63)
V "
где комбинации центральной симметрии
Фз,А = 1 [Дг) ± Д-г)], Х8,А=^[хва,8ь)±хвь,8а)]- (5.64)
Очевидно, подобная (анти)симметризация может быть выполнена также
для не факторизованных функций. Таким образом, уравнение (5.63) дает
Д?(г, 8а8Ь) = С2 (Фзхз + ФаХа)
в Бозе-случае, и
Фр(г, 8а8Ь) = д/2 (ФаХ8 + ФзХа)
(5.65)
(5.66)
в Ферми-случае. Симметрии координатных и спиновых волновых функций
всегда дополняют одна другую обеспечивая корректность полной симмет-
рии.
В упругом рассеянии, асимптотический вид пространственной (относи-
тельное движение) и спиновой волновых функций дается выражением
Д(г;«а,5б)
Лк-г)+/(к'Л)Д_ хва,8ъ),
Г
где векторы г и к7 = кт/г меняют знак при обмене частицами (переход меж-
ду случаями I и II на Рис. 15.1). Простанственные функции определенной
симметрии имеют асимптотику
Л,Л = | <рк'г) ± + Д [/(к',к) ± /(-к', к)]
(5.68)
Например, для бесспиновых бозонов, мы имеем просто уз = 1 и уд = 0,
поэтому уравнение (5.65) дает ^вд/2?А$(г)- Налетающая часть асимптотиче-
ской волновой функции (1/д/2){ехр[г(к-г)]+ехр[—г(к-г)]}, что соответствует
потоку (1/2)Нк/т в каждой волне, к апс! —к, но нельзя сказать, какая
частица движется слева, а какая справа. Рассеянная часть волновой функ-
ции равна (1/д/2)(ег/сг/'г)[/(к/, к) + /(—к7, к)], и полный поток рассеянных
частиц в заданном направлении является суммой потоков, относящихся к
обеим частицам,
т
-Р[Дк',к) + Д-к',к)]
2 ,
Г 1
-^68.
гу» гу» Л
(5.69)
Как и в стандартной теории рассеяния, мы получаем сечение (нижний
индекс 0 указывает спин частицы)
^ = |/(к',к) + Д-к',к)|2
ао 1 1
= |/(к', к)|2 + |/(-к', к)|2 + 2Ке (Г(к', к)/(-к', к)). (5.70)
В сравнении с классическим результатом (5.59), амплитуды прямого и
обменного процессов добавлены когерентно, и мы имеем дополнительный
интерференционный член. В частности, для центрального поля мы имеем
ДД = 1/« + \1Д - < + 2Ке (ЛОЖ - о), (5.71)
И
ДЛЛД
Сечение при 90° больше классического результата (5.60) в два раза.
Для фермионов со спином 1/2, спиновая ситуация менее тривиальна,
поскольку синглет, 8 = 0, у = уд, и триплет, 8 = 1, у = уз, являются
допустимыми состояниями спина. Соответственно, мы выбираем дополни-
тельные пространственные функции и
(5-72)
ЗАДАЧА 15.9. Доказать, что синглетное и триплетное сечения для спин-
независимых взаимодействий раны
(^уД =1Ж,к) + /(-к',к)|2,
\ /5=0
(^уД =|/(к',к)-/(-к',к)|2.
\ Ло ) 3=1
(5.73)
(5-74)
В случае триплета (5.74), знак интерференционного члена противопо-
ложен таковому для случая Бозе, и, для центрального поля, сечение для
угла рассеяния в 90° обнуляется. Уравнения (5.70) и (5.73) немедленно
показывают, что при частичном расширении волны для этих случаев толь-
ко четные-^ волны выживают, в то время как только нечетные-^ волны
остаются в случае (5.74).
Если при столкновении двух тождественных фермионов все возможные
начальные состояния спина равновероятны, то наблюдаемое сечение есть
результат усреднения спина:
^1/2 1 + -(^1/2 \ .
б/о 4 у Но ) 5=0 4 \ Но ) 5=1
используя (5.73) и (5.74) мы приходим к
= |/(к', к)|2 + |/(-к', к)|2 - Не (/* (к', к) Д-к', к)). (5.76)
(1о
Для центрального поля это предсказывает
(5.77)
Эти результаты позволяют сделать заключение относительно спинов частиц,
если силы, например, кулоновская, известны.
Задача 5.9
Показать, что при столкновении двух поляризованых пучков тождествен-
ных частиц со спином 1/2 имеет место
^ = ^(1-со87)|/(к',к) + У(-к',к)|2 + |(3+со87)|/(к/,к)-/(-к',к)|2,
ао 4 1 1 4 1 1
где 7 —угол между направлениями поляризаций пучков. Для неполяризо-
ванных пучков, среднее значение сое 7 = 0, и (5.78) приходим к предыдущим
результатам уравнений (5.75) и (5.76).
Задача 5.10
Обобщить результат (5.76) для столкновения неполяризованных пучков
тождественных частиц з.
Решение Подсчитывая число спин-симметричных и спин-антисимметричных
состояний, мы получим: для целого <§,
ТГ = ТЧТ Нк'’к) + /(_к'’к)|2 +Дтт |Жк) - /(-к'Л)|2 , (5.79)
ао 2з + 1 1 1 2з + 1 1 1
и, для по л у цел ого <§,
2ГП|/(к''к’ + /Ьк''к)|2 + 5ГП |.«к'.к) -. (5.80)
Отметим, что полное сечение теперь должно вычисляться как
1 Г 7 (1а , ч
(5.81)
для того, чтобы избегнуть двойного подсчета актов рассеяния.
5.7 Интерферометрия интенсивности
Когда две тождественные частицы прибывают к двум детекторам из
удаленного протяженного источника, возникает корреляция, обусловленная
тем, что события (1,1; 2,11), с прибывшей частицей 1 в детектор I и частицей
2 в детектор II, и (1,11; 2,1) неразличимы приемным устройством, Рис. 15.2.
Этот принцип был впервые предложен и практически использован Р.
Хенбюри Брайном и Р.К. Тейсе ом,. 1954, Для измерения радиуса звезд
с помощью протонных корреляций [НВТ 1954] и независимо использован
для идентификации частиц (конкретно пионов) образуемых при распадах
адронного резонанса [Со11960]. Ныне, этот метод, НВТ интерферомет-
рии, является одним из главных инструментов для изучения особой фазы
горячей ядерной материи, создаваемой при столкновении двух тяжелых
ультрарелятивистских ядер в исследовании кварк-глюонной плазмы. Столк-
новения служат источником тысяч эмиттируемых частиц, которые могут
анализироваться на основе метода событие за событием.
Рис. 5.2. Схема интерферометрии интенсивности
Простейший случай соответствует источнику, который состоит только
из двух эмиттеров, А и В, Рис. 15.2. Пара детекторов, I и II, регистри-
руют прибытие двух тождественных частиц с 4-импульсами А?1 (сс?1, кд) и
А?2(ф25 кд). Волна, распространяющаяся от эмиттера А к детектору I, может
быть записана как ехр[—гк • (ад — жд)], где мы используем четырехмерные
обозначения, к • х = — к • г. Каждый акт эмиссии может быть охаракте-
ризован неизвестной фазой сед или ав- Волна, испущенная эмиттером А
может быть зафиксирована любым детектором, например,
АЩ) ЦХ) -4- 1(^1) : е-{к1<Х1~ХА^аА.
(5.82)
В результате, амплитуда вероятности регистрации двух частиц двумя
детекторами може быть записана как
М(кък2)
е-гк1-(х1-хА)-\-гаА-гк2-А2-хв)-\-гав _±_ е-гк1-(х1-хв)Хга'в-гк2-(х2-хА)Хга'А }
(5.83)
Здесь, мы предскажем два возможных типа статистики испущенных частиц
и пренебрежимо малый шанс испускания обеих частиц одним и тем же
точетным источником.
Вероятность такого коррелированного события пропорциональна
шл) = \м(къ ад2 = |[2 ± / ± /*],
где
У = еК^-к1)(хА-хв)-\-г(а'А-аА-\-а'в-ав)
(5.84)
(5.85)
Предполагается, что фазы эмиссии случайны, и нужно усреднить / +
/* по этим фазам. Усреднение приводит к ненулевому результату, если
только ад = а'А апс! а в = о^в. В этой ситуации хаотических источников
вероятность корреляции сводится к
РИ(/д, /д) = 1 ± сое^(/с2 — к\) • (жд — жв)} = 1 ± со8(# • Л), (5.86)
где у = к\ — к2 ~ относительный 4-импульс двух частиц, а К характеризует
пространственное и временное расстояние между эмиттерами, т.е. размер
и протяженность источника.
Практическое измерение, по существу, подсчитывает долю совпадений
для двойного детектора в сравнении с подсчетом от одного. Последний,
например, для детектора I, может быть определен в терминах амплитуды
1 ± е-г/с(ж1-жв)+гс1в } .
Соответствующая вероятность равна
Дк) = |т(А:)|2 = - {2 ± (/1 + Д*)} , Д = е^А-Хв)+г(аА-ав)
Л
и нормированная функция корреляции может быть определена как
С(к1,к2)= ТД’Ух- (5.89)
и^кгщкз)
Чтобы гарантировать статистическую независимость отдельных включен-
ных множителей в знаменателе, они могут быть взяты от разных событий.
При полной хаотичности источников, процедура усреднения независимых
фаз ад апб ав дает Д = 0. Тйеп гс(&) —> 1, и
С(къ к2) = 1 ± со8(<2 • Я). (5.90)
Здесь мы видим, что интерференция первого порядка амплитуд, прихо-
дящих от различных источников исчезает, но мы еще наблюдаем интер-
ференцию второго порядка, которая объясняет член интерферометрии
интенсивности.
Различие между двумя типами квантовой статистики становится ясным
в уравнении (5.90). Для полностью хаотичных источников, мы имеем при
<2^0
Г 9
СЦ 0) = | 0
бозоны,
фермионы,
и это показывает прирост бозонов и фермионную дыру для тождественных
частиц с тем же импульсом, к± = к%. При больших (/ и протяженном источ-
нике размером К 1/д, усреднение по этому размеру дает корреляционную
функцию С —> 1 для обеих статистик.
Задача 5.11
Рассмотреть источник с пространственно-временной интенсивностью р(ж)
и вывести аналог корреляционной функции точечного источника (5.90).
Решение Интегрируя по 4-мерному объему источника и вводя Фурье-
компоненту
<5.92)
мы получим
С(9) = 1 ± Ц|2. (5.93)
При более реалистическом рассмотрении, структуры не полностью хао-
тичны, и корреляционные функции зависят не только от б/. но также от
импульса центра масс двух частиц (к\ + Ад)/2.
Гораздо худшая проблема - изобрести
новый символ, если мы таким образом
убираем не несколько логических
трудностей, а уверенность в строгости
доказательств.
Ф.Л.Г. Фреге, Основания арифметики
Глава б
Изоспин
6.1 Введение изоспина
В стороне от фундаментальных симметрий, связанных с основными
свойствами пространства и времени, конкретные взаимодействия обнару-
живают дополнительные симметрии, которые, вообще говоря, могут лишь
приближенно нарушаться другими частями гамильтониана. Если нару-
шения относительно слабы, имеет смысл начинать с идеальной картины,
где симметрия рассматривается как точная, и неинвариантные взаимодей-
ствия выключены. Это увеличивает полезность иерархии приближений,
способных организовать и упорядочить эмпирические данные.
Основные свойства протона и нейтрона почти одинаковы. Оба они имеют
спин 1/2 и барионный заряд В = 1, почти равные массы, и их сильные
взаимодействия (ядерные силы) почти тождественны. Разница электро-
магнитных свойств зачастую маловажна, поскольку именно сильные взаи-
модействия управляют наиболее значительной частью ядерной динамики.
Мы приходим к идее считать нуклоны двух сортов как различные состоя-
ния того же самого сильновзаимодействующего объекта. Этот объект имеет
теперь внутреннюю степень свободы, которая определяет кго прроявления
как протона или нейтрона. Таким образом, мы имеем «двухуровневую»
систему с двумя базисными состояниями
\р} = ( ю ), н = ( 01 ). (6.1)
Состояния (6.1) имеют определенный электрический заряд, = 1 апс!
(фп = 0 в единицах е, т.е. они являются сосбственными состояниями опе-
ратора заряда С^. Относя к базису (6.1), по аналогии с обычным спином,
как ^-представление, мы можем сказать, что эта «ось квантования» отно-
сится к взаимодействию с электромагнитными полями, что позволяет нам
различать два зарядовых состояния нуклона.
Назовем пространство, охватываемое базисными спинорами (6.1) зарядо-
вым пространством. Все операторы в этом пространстве представлены
матрицами 2x2, как в случае спинорных состояний частицы со спином 1/2.
Мы можем создать полный набор матриц, действующих в этом двумерном
пространстве, используя в качестве базиса единичную матрицу, а матри-
цы 71дз определены в точности как матрицы Паули (1.20.12) в спиновом
пространстве. Очевидно, оператор заряда
Недиагональные операторы, порождают переходы между зарядовыми со-
стояниями нуклона, как это имеет место в бета-распаде, и относятся к
слабым процессам. Оператор, повышающий заряд, имеет вид
т+ = ( 0 О ) ’ т+^ = °’ т+^ = ’ (6-3)
оператор, понижающий заряд
т-= ( 1 о)=(т+)Т’ = т-Н = °- (6-4)
Операторы т± построены из матриц Паули,
т± = Т1±гт2, (6.5)
тем же способом, как повышающмй и понижающий операторы = <7х±г<7у
произвольного оператора углового момента. Мы можем комбинировать
матрицы Т1дд в матричный «вектор» г, который полностью аналогичен
вектору а спиновых матриц Паули. Однако, нам следует помнить, что ось
3 этого пространства фиксирована, будучи определяемой электрическим
зарядом, или, вообще говоря, электромагнитными взаимодействиями.
Продолжая аналогию, мы говорим об изоспине нуклона
* = (6.6)
который действует в 2 х 2 зарядовом (изо-) пространстве с естественным
базисом (6.1), где основные состояния имеют определенный заряд в качестве
собственного состояния оператора
<2 = 2 + ^з- (6.7)
Правильное полное произношение сокращения «изоспин» это изобарический
спин, который объединяет состояния изобар, с тем же самым массовым
числом, как у протона и нейтрона или ядер с тем же суммарным числом
А = 71 + протонов, 7 = <2, и нейтронов, ТУ. В ядрах А совпадает с
полным барионным зарядом В ядер. Невеорно расшифровывать термин
«изоспин» как изотопический, что имеет отношение к изотопам, имеющим
одинаковый электрический заряд 7, но разные массы А (разные изото-
пы, относящиеся к одному и тому же химическому элементу). Ядра с
одинаковым ТУ и различными А называются изотонами.
На языке изоспина, протон и нейтрон являются разными проекциями
изоспина на ось 3 изопространства,
= = (6.8)
Здесь мы используем соглашение, принятое в физике частиц. В ядерной
физике традиционно проекции изоспина назначаются разными способами,
— 1/2 для протона и +1/2 для нейтрона. Тогда для стабильных ядер, име-
ющих, как правило, больше нейтронов, чем протонов, полная проекция
изоспина може быть положительной; оператор заряда (6.7) должен быть
переопределен, соответственно, как (1/2) — {3.
6.2 Изоспиновая инвариантность
Мы должны ввести дополнительную степень свободы, связанную с изо-
спином, без реального увеличения содержания теории. С этой точки зрения,
мы получили просто другую классификацию возможных состояний. На-
стоящая физика войдет в игру с идеей симметрии , лежащей в основе,
гамильтониана в изоспиновом пространстве.
Зарядовая симметрия соответствует преобразованию обращения знака
проекции 1%: р О п. С этой целью можно использовать соответствующий
оператор вращения на угол л в изоспиновом пространстве. Мы может
макже ввести всевозможные вращения в изопространстве, используя опера-
торы аналогичные (1.20.17), но построенные из т-матриц вместо сг-матриц.
Подобные преобразования образуют группу изоморфную к группе 5^/(2).
Используя основные состояния (6.1) в качестве строительных кирпичей, как
мы делали при рассмотрении теоремы Крамера, раздел 1.20.5, мы можем
получить мультиплеты (неприводимые представления) с произвольным
изоспином, в точности, как это было проделано для кглового момента, по
тем же правилам векторной связи. Квантовые числа мультиплетов могут
назначаться многонуклонным состояниям.
Зеркальная симметрия сильных взаимодействий подразумевает инвари-
антность при преобразовании зарядовой симметрии. На основании этой сим-
метрии состояния протона и нейтрона должны быть вырождены. Поскольку
их электромагнитные свойства различны, это эквивалентно утверждению,
что различие их масс обусловлено исключительно электромагнитными
взаимодействиями, предположительно кваркового уровня. Преобразование
зарядовой симметрии является особым случаем 8Ы(2) операций. Зарядовая
независимость ядерных взаимодействий предполагает, что для заданного
множества квантовых чисел, обычно относящегося к пространственным и
спиновым переменным, ядерные силы одинаковы для любой пары нуклонов,
пп, рр или пр. В более смысле, инвариантность изоспина предполагает,
что сильный гамильтониан инвариантен для всех элементов изоспиновой
группы. Инвариантность изоспина гамильтониана сильного взаимодей-
ствия Н8 может быть сформулирована, как закон сохранения для полного
изоспина Т,
А А
[Т,Д]=0, Т = у1в = -Утв.
а=1 а=1
(6-9)
Если это неверно, стационарные состояния ядра должны содержать опре-
деленные квантовые числа изоспина и соответствующую симметрию в
зарядовом пространстве. Это, действительно, случай, особенно для легких
ядер, где изоспиновая симметрия может быть явно видна в ядерных спек-
трах, и сечения реакции, а кулоновские эффекты могут рассматриваться
как возмущения. В тяжелых ядрах с большим зарядом и большим избытком
нейтронов сильное электростатическое поле способно наружать инвари-
антность изоспина. Однако, на самом деле, это поле, главным образом,
расщепляет энергии стационарных состояний, но, будучи очень гладким
внутри ядер, приводит к относительно умеренному перемешиванию уров-
ней с разными изосаинами, делая идею изоспина все еще применимой,
даже если это малополезно практически. Позднее мы вернемся к лежащей
в основе ее физике, и ее отношению к динамике обычных (спиновых и
пространственных) переменных.
6.3 Изоспин системы многих тел
Практическое обобщение понятия изоспина для системы многих тел,
таких как ядра атомов, впереди. В этом случае мы предполагаем полную
вращательную инвариантность (6.9) в изоспиновом пространстве, поэто-
му стационарные состояния системы многих тел могут быть помечены
сохраняющимся квантовым числом Т полного изоспина, которое является
изопространственным аналогом полного углового момента, относящимся к
собственным значениям «длины» изоспина, Т2 = Т(Т + 1).
Оператор заряда системы дается естественным расширением уравнения
(6-7),
"1^ Г1 "I ^4
С = У? 2 + = Тз + Т' (6.10)
а=1
Если мы забудем на минуту об электромагнитных взаимодействиях, ко-
торые выделяют ось 3 и нарушают изотропность изопространства, мы
можем классифицировать все ядерные состояния изомультиплетами. В
случае стационарных состояний, все 2Т + 1 состояния мультиплета могут
иметь одну и ту же энергию в пределе точной инвариантности изоспина.
Кулоновские эффекты расщепляют мультиплеты, но соответствие между
их членами могут еще очевидно служить важным спектроскопическим
инструментом. Отметим, что состояния внутри заданного изомультиплета
относятся к различным ядрам (то же самое А, но различные 2}. Они часто
называются изобарическими аналогами состояний (ПАС). Закон сохране-
ния (6.9) является, конечно, точным для компоненты Тз, относящейся к
электрическому заряду, уравнение (6.10), поскольку все состояния данных
ядер (вертикальная шкала) имеют одинаковую проекцию
7з = |(^-я = я-^. (б.п)
Они относятся к разным изомультиплетам (горизонтальная шкала).
Так как алгебраические свойства спина и изоспина тождественны, разре-
шенные значения Т квантованы целыми (полуцелыми) числами в системе
с четным (нечетным) числом нуклонов. Это дает рост вырождению муль-
типлетов с заданным Т, которое содержит 2Т + 1 аналогичные состояния с
проекциями Тз = —Т,..., +Т в соседних ядрах, или, эувивалентно, с зарядом
(6.10). Если ядро состоит из 2 протонов и = А — 2 нейтронов, мы имеем
<2 = Я, Тз = — (1/2)(7\Л — 2) (обычно в стабильных ядрах ТУ Тогда
МеУ
”О(Т--1) "МТ-О) "С(Т-+1)
Рис. 6.1. Семейство ядерных изомультиплетов
разрешенные значения изоспина ограничаны снизу значением проекции,
Т>|Т3| = |^-Я|.
(6-12)
Верхняя граница также очевидно определяется максимальной проекцией
изоспина в системе из А нуклонов,
(6.13)
Пример семейства ядерных изомультиплетов дан на Рис. 16.1.
Задача 6.1
Сравнить ядра §60з апс! у6Кд. Какое из ядер имеет большее число воз-
бужденных состояний?
6.4 Изоспин и пространственно-спиновая симметрия
Ядерные силы строго зависят от пространственной и спиновой сим-
метрий рассматриваемого состояния. Сейчас мы можем показать, что
инвариантность изоспина и сохранение изоспина физически эквивалентны
утверждению, что в ядерных взаимодействиях пространственно-спиновая
симметрия волновой функции сохраняется. Мы уже упоминали, что вве-
дение изоспина не увеличивает числа степеней свободы ядра, или числа
возможных состояний. Это только удобная классификация, связанная с
инвариантностью (6.9) сильных взаимодействий. Эта классификация дей-
ствительно относится к пррестановочной симметрии волновой функции
системы многих тел в «обычных» переменных координаты и спина. Если
эффекты наружения инвариантности изоспина, в частности, обусловленные
электромагнитными взаимодействиями, могут рассматриваться как малые
поправки, мы имеем приближенную изоспиновую симметрию.
Давайте образуем изоспиновые состояния для двухнуклонной системы.
Это может быть сделано по точной аналогии со спиновыми состояниями,
раздел 1.22.3. Для А = 2, можно построить изотриплет Т = 1 с подуров-
нями 7з = — 1 (два нейтрона), Тз = 1 (два протона), и 7з = 0 (нейтрон
и протон), и изосинглет Т = Тз = 0 (нейтрон и протон). Вводя обозна-
чение Для изоспиновой волновой функции, мы имеем правильную
комбинация п — р состояний:
= |Р1Р2>, ^1-1 = |П1П2), О10 = -2=^|Р1П2) + |П1Р2>), (6-14)
^00 = - |П1Р2)). (6.15)
Изотриплетное состояние симметрично по отношению к преобразова-
нию зарядовой симметрии, р О п, в то время как изосинглетное состояние
1?оо антисимметрично. Естественно ввести оператор обмена Рт, который ме-
няет местами зарядовые переменные нуклонов. Его собственные значения в
изотриплетном и изосинглетном состояниях равны +1 и —1, соответственно,
поэтому, аналогично случаю спина, можно написать
Гт = |[1 + • т2)] ?^(-)т+1. (6.16)
Сейчас мы можем добавить зарядовые переменные к переменным коор-
динаты и спина и построить полную двухнуклонную волновую функцию
как произвечению координатной, спиновой и изоспиновой частей,
Ф(1,2) = Дг1,г2)х5'5'гЛгТз- (6-17)
Суть в том, что мы не должны цвеличивать число степеней свободы по
сравнению с расщепленным (протон-нейтрон) описанием. Следовательно,
должно существовать правило для характерной комбинации множителей
пространство-спин и изоспин.
Если нуклоны тождественны, пространство-спиновая часть фх антисим-
метрична, в соответствии со статистикой Ферми. Как видно из (6.14), в
этом случае изоспиновая часть О симметрична, а полная волновая функ-
ция (6.17) антисимметричнв по отношению к полной перестановке всех
переменных 'РГ'РС7'РТ. Вследствие инвариантности изоспина, силы та же
самые для состояния Пщ, уравнение (6.14), п — р системы. Следователь-
но, мы назначаем состояния п — р системы, которые антисимметричны в
пространственных и спиновых переменных, изоспину Т = 1. У них есть
собственные аналоги в случае тождественных нуклонов, а полная волно-
вая функция Ф антисимметрична. Произвольные состояния появляются в
трехзаряднойформе с сигнатурой Т = 1.
Состояния п — р имеют симметричную пространственно-спиновую функ-
цию фх, не имеющую аналогов для тождественных нуклонов, и не могут
относиться к изотриплету. Необходимая изоспиновая функция в этом слу-
чае Г2оо, которая антисимметрична по зарядовым переменным. В результате,
полная функция (6.17) снова антисимметрична.
Мы приходим к обобщенному принципу Паули\ полная двухнуклонная
функция антисимметричнв по отнощшению к перестановкам веет, простран-
ственных, спиновых, и изоспиновых переменных. Комбинация операторов
обмена позволяет выписать этот оператор, как правило выбора для физи-
ческих состояний с правильной статистикой,
рграрт = (_)Л-$+1+Т+1 = (6.18)
Возвращаясь к перечислению двухнуклонных состояний, раздел 39.5,
теперь мы можем добавить квантовое число изоспина. Все состояния допу-
стимые для тождественных нуклонов, даже синглеты и нечетные трипле-
ты^ иеют Т = 1; все оставшиеся состояния, нечетные синглеты и четные
триплеты, включая состояние дейтрона, имеют Т = О,
Г = 1 : 40, 4,1,2, Ч2, (6.19)
Т = 0 : 41, 41, Чдз, .... (6.20)
Задача 6.2
Аргументировать, что если ядерные силы по отношению к пространствен-
ной четности и изоспину инвариантны, спин 8 системы из вух нцуклонов
сохраняется.
Решение При заданном I, т.е. заданной четности, триплеты и синглеты
всегда относятся к разным значениям Т. Если нет случайного вырождения,
Рис. 6.2. Октет барионов и нонет псевдоскалярных мезонов
стационарное состояние, будучи охарактеризовано определенным изоспином
Т, имеет, как следствие, определенный спин 8.
В соответствии с результатом последней задачи, вектикальное переме-
шивание двухнуклонных состояний, раздел 39.5, не имеет места. Горизон-
тальное перемешивание возможно и, более того, имеет место в реальности.
Единственное граничное состояние двух нуклонов это дейтрон, тяжелый
изотоп водорода Такая пр система имеет спин-пространственную вол-
новую функцию, как суперпозицию состояний 3<§1 и 3с/1. Отсутствие пп и рр
аналогов подтверждает изоскалярный, Т = 0, характер дейтрона. Можно
сказать, поскольку ядерные силы приводят к уникальному граничному
двухнуклонному состоянию с такими квантовыми числами, которые не раз-
решены [см. (6.19)] для Т = 1, существование дейтрона с невозбужденными
пр-аналогами, доказывает отсутствие граничных пп или рр состояний.
Как теперь ясно из (6.19), сохранение изоспина это просто сохранение
пространственно-спиновой симметрии. Для случая двух нуклонов, изоспин
и пространственно-спиновая симметрия совпадают в смысле уравнения
(6.18). Однако, изоспиновый формализм оказывается исключительно удоб-
ным и мощным в проблеме многих тел, где свойства симметрии более слож-
ные. Широко говоря, даже в случае многих тел, состояние с максимальным
Т обладает более тождественными нуклонами и, как следствие, проявляет
пространственно-спиновую симметрию в меньшей степени. Поскольку ядер-
ные силы обладают притяжением в состояниях с пространственно-спиновой
симметрией, ядро имеет основное состояние, соответствующее наименьшему
разрешенному изоспину, который равен обсолютному значению проекции,
Т§.8. = ГГз| = Д-^|/2.
6.5 Беглый взгляд на более общую картину
Как уже упоминалось, вращательная симметрия в обычном пространстве
и изоморфная изобарическая симметрия в зарядовом пространстве описы-
ваются преобразованиями группы 8Ы(2). Это группа унитарных матриц
2 х 2 с детерминантом, равным 1. Такие матрицы определяют преобразова-
ние элементарных объектов, в этом случае двухкомпонентных спиноров,
соответствующих спину 1/2 или изоспину 1/2, образующих фундаменталь-
ное представление группы <52У(2). Объекты с высшими значениями спина
или изоспина можно построить комбинацией подходящего числа спиноров.
Эта конструкция может быть обобщена на высшие симметрии. Основная
симметрия КХД, уветовая симметрия, описывается группой 5^/(3) пре-
образований в фундаментальном пространстве цветных кварков. Цвет
вводится как новое квантовое число, которое не следует путать с арома-
том (характеризующим и, (I. 8 или более тяжелые кварки). В группе <52У(2)
число генераторов равно 2 х 2 — 1 = 3 (независимо от вращений спина).
Взаимодействие между кварками требует 3 х 3 — 1 = 8 цветовых состояний
для частиц (глюонов), изменяющих цвет кварков (мы вычли тождествен-
ный оператор). Только «белые», или бесцветные, частицы (синглеты по
отношению к цветовым 8И(3) преобразованиям, такие как нуклоны (три
кварка дополнительных цветов) или мезоны (кварка+антикварк) могут
наблюдаться как асимптотически свободные состояния.
В качестве первого шага, идея изоспиновой инвариантности может быть
естественным образом расширена до высших адронных мультиплетов, Рис.
16.2. Например, сильные взаимодействия инвариантны при преобразовани-
ях внутри триплета пионов, 7г+,0,_ с разными электрическими зарядами.
Квантовые числа, такие как нулевой спин и отрицательная внутренняя чет-
ность, одинаковы для всех пионов. Пионы классифицируются как остояния
с изоспином Т = 1 и Тз = +1,0,—1, соответственно. И вновь, электро-
магнитные эффекты приводят к слегка различным массам нейтральных
и заряженных пионов и различным временам жизни. Для нейтрального
пиона, главным каналом распада служит электромагнитный распад на
два протона, который невозможен для заряженных пионов. Распад заря-
женных пионов происходит значительно медленнее с помощью слабого
взаимодействия в мюон (более тяжелый аналог электрона) и соответствую-
щее мюонное нейтрино, например, тг+ уравнение (38.36).
Конечно, абсолютное сохранение электрического заряда не разрешает
существования таких систем, как суперпозиция протона и нейтрона (так
называемое правило супевыбора). однако, все члены изомультиплетов с
разными электрическими зарядами (6.10) для заданного барионного заряда
могут существовать и должны иметь почти тождественные свойства по
отношению к ядерным силам . Хотя электромагнитные, прежде всего,
кулоновские, эффекты нарушения изоспиновой инвариантности, все еще
во многих случаях показывают хорошую точность и дают руководство для
реконструкции гамильтониана сильных взаимодействий.
Для мезонных триплетов, таких как пионный, С/ = К (симметрия по
отношению к центру мультиплета). Зарядовая симметрия сдвигается бари-
онным зарядом В, так что для нуклонов (В = А = 1) и мезонов (В = 0),
общее правило идентификации членов мультиплетов может быть записано
как
е = | + т3. (6.21)
Барионный октет объединяет нуклоны и гипероны, все они фермионы со
спином 1/2. Возбужденные нуклоны, например, гипероны, имеют дополни-
тельные квантовые числа. Х+,0,_-гипероны характеризуются, раздел 38.9,
странностью 8 = — 1 (не путать со спином 5 = 1/2 для всех членов октета),
и роль барионного заряда в таких соотношениях, как (6.21) теперь играет
гиперзаряд У = В + 8. Для нуклонов мы имеем 8 = 0, У = В = 1, для Л и
Е гиперонов 8 = — 1, У = 0). Каскадные гипероны, Е- апс! Н°, обладают
странностью 8 = — 2 и гиперзарядом У = — 1. В общем определении,
е = | + Т3. (6.22)
Каоны (снова без барионного заряда, В = 0, м, следовательно 7з = (^ — 8/2)
образуют два изодублета, (К®, К+) со странностью 8 = У = +1 и (К~, К®)
с 8 = У = — 1. В центральной части, добавлен изоскалярный ту-мезон,
Т = 8 = У = 0. Все эти частицы псевдоскаляры, имеют нулевой спин и
отрицательную четность.
Существование семейств, таких как на Рис. 16.2, объясняется теори-
ей кварков. Фермионы барионного октета имеют трехвалентные кварки,
объединенный в полный спин 1/2; присутствие моря пар кварк-антикварк
также возможно. Концепция изоспиновой 81Л{2) инвариантности обобще-
на до высших симметрий в КХД, где это относится к тому факты, что
два легчайших кварка, и (пр) и д (сЬэмт), имеют одинаковые массы и
взаимодействия. Верхняя строка в барионном октете дает нуклоны, постро-
енные только с этими валентными кварками. Каждый шаг вниз заменяет
один из этих кварков на странный кварк с 8 = — 1. Более того, в при-
ближении пренебрежения различием и, д кварков из з (странный) кварк,
носитель странности , у нас уже были три фундаментальных объекта,
таких, что соответствующая группа (приближенной) инвариантности яв-
ляется атоматом-<5^/(3), или даже 8Ы(6), если взаимодействия не зависят
от спина. Мезонный октет (естественно, нонет с включением ту-мезона)
построен с парой валентных кварка и антикваркак с полным нулевым
спином. Верхняя строка содержит и или (1 кварк и а, что дает 8 = +1.
Центральная трока не содержит странных кварков, нижняя имеет «8-кварк
и й илис/ антикварк. Семейство более тяжелых частиц может бытьпострое-
но аналогичным образом, изменением связи кварковых спинов, добавляя
высшие орбитальные функции и/или более тяжелые кварки. Здесь мы не
будем вдаваться в детали кварковой теории.
6.6 Соотношения между сечениями
Инвариантность изоспина ядерных сил расширяется на все адроны, по-
строенные из и и (1 кварков, позволяет предсказать соотношения между
сечениями разных реакций с участием частиц, которые относятся к задан-
ным изобарическим мультиплетам. Сравнение реакций должно быть взято
в тождественном центре масс, энергий и углов рассеяния, для одинаковых
состояний спина.
В качестве примера, рассмотрим реакции включающие триплет (Т = 1)
пионов, 7г+,0,_. Уже из зарядовой симметрии, не принимая ао анимание
инвариантность полного изоспина, можно сделать некоторые предсказания.
Это преобразование инвертирует 1%, изменяя р О п, л+ О л-, л° О л°.
Это немедленно приводит к равенству сечения для образования л+ и в
пр столкновениях
р+плп+п+ л+, р + п лр + р + . (6.23)
В более сложных случаях нам нужно использовать инвариантность полного
изоспина. Исходное и конечное состояния представляются как суперпозиция
собственных функций изоспина Птт3-
Задача 6.3
Предполагая изоспиновую инвариантность, сравнить сечения образова-
ния пиона и дейтрона в пр и рр столкновениях,
(а) п + р л° + с/; (6) р + р л+ + д. (6.24)
Решение Поскольку дейтрон имеет Т = 0, в обоих случаях конечное
состояние имеет изоспин Ту = = 1. Откуда, реакции возможны только
для начального изоспина Д = 1. рр система всегда имеет Т = 1, в то время
как, в соответствии с (6.14) и (6.15),
|рп) = -/= Дю + ^оо). (6.25)
V "
Доля состояния Т = 1 равна лишь 1/2. Поскольку при Т = 1 обе реакции
должны иметь равные амплитуды вследствие изоспиновой инвариантно-
сти (конечные состояния представляют различные проекции Т = 1, в то
время как физика сильных взаимодействий не зависит от ориентации в
изопространстве), мы предсказываем а^ = 2а а.
Действительно, соотношения между реакциями в том же изоспиновом ка-
нале определяются ССС, которая та же самая для изоспина 8Ы(21) группы,
как и для углового момента 5^/(2). В случае (6.25), ССС=1/д/2- Суще-
ствует простой способ соединить различные реакции между членвми тех
мультиплетов, избегая вычисления ССС, так называемая фабрика Смуш-
кевича. В качестве примера рассмотрим все возможные зарядовые каналы
для пион-нуклонного рассеяния (без и с обменом зарядов):
+ 0 -
1) 7Г+Ц тС~р 1Х) 7Г~П 7Г~П 2) 7Г°р -Д 7Г°р 2') 7Г°П -Д 7Г°П 3) 7Г°р тС~П 3') 7Г°П 7Г~р 4) 7Г~р 7Г~р 4') 7Г+П 7Г+П 5) 7Г~р 7Г°П 5') 7Г+П 7Г°р 10 1 0 2 0 10 1 10 1 0 2 0
(6.26)
Реакции С — 5’ зарядовые отражения реакций 1-5 , и имеют те же са-
мые сечения, а^ = а^. Теперь мы представим, что все реакции (6.26)
происходят одновременно внутри черного ящика, начиная с полностью
изоспин-поляризованного состояния, когда все члены нуклонного и пионно-
го мультиплетов равноправны, т.е. все начальные изоспиновые проекции
равновероятны. Вследствие изоспиновой инвариантности, в зарядовом про-
странстве нет направления, которое может быть выделено как результат
реакций — состояние будет оставаться изоспино-неполяризованным. Это
означает, что заселенность разных мезонных состояний будет оставаться
одинаковой. В свою очередь, это возможно, только если сечения удовлетво-
ряют условию
+ СТ3 + СТ4 = 2(ст2 + (Т5).
(6.27)
Вдобавок, мы можем вспомнить принцип детального равновесия, раздел
34.3, который говорит нам, что аз = а у = 05, и, окончательно, мы приходим
к нетривиальному результату
1 /
^2 = “ (СГ1 + а4 - сг5).
(6.28)
Из-за быстрого распада 7Г° -Л- 2д, мы не можем на практике осуществить
реакции 2 и 3. Тем не менее, мы можем предсказать из сечения в терминах
экспериментально наблюдаемых реакций с заряженными пионами.
Задача 6.4
Вывесли соотношения между сечениями образования пионов в ядерных
столкновениях,
Более детальные результаты могут быть получены при явном исполь-
зовании ССС применительно к состояниям изоспина. Возьмем в качестве
примена пион-нуклонное рассеяние. Пион+нуклонная система может иметь
Т = 1/2 с 7з = ±1/2 ап<4 Т = 3/2 с Т3 = ±1/2, ±3/2. В предпожении
точнуой изоспиновой инвариантности ядерных сил, Т сохраняется. Се-
довательно, существуют только две независимые амплитуды Для
рассеяния, /1/2 и /3/2.
Задача 6.5
Выразить наблюдаемые сечения заряженных пионов, рассеивающихся
нуклонвми через амплитуды Д/2 ап<4 /Зу2 для рассеяния в состояниях с
определенным Т.
Решение Достаточно рассмотреть только рассеяние пионов протонами,
поскольку рассеяние нейтронами может быть получено с помощью заря-
довой симметрии (в действительности, нет чисто нейтронных мишеней,
и информация о рассеянии нейтронами может быть извлечена неявно из
экспериментов на ядрах, содержащих как протоны, так и нейтроны). Для
связи изоспина 1 пионов с нуклонным изоспином 1/2, мы используем ССС,
найденную в Задаче 1.22.1 для вектора, связывающего орбитальный момент
1 и спин 1/2, и образующего пион-нуклонные состояния, как правильную
комбинацию состояний ^тт3 с определенным изоспином:
КЩ = Г^з/23/2; \К~П) = ^3/2-3/2;
1/2—1/2;
^3/2-1/2“ V о ^1/2-1/2;
^3/2 1/2 — о ^1/2 1/2 5
П
^3/2 1/2 + у д ^1/21/2 •
(6.30)
Отсюда, мы определим амплитуды перехода (элементы матрицы рассея-
ния),
М(7Г+р -> 7Г+р) = Дз/23/2|/|^3/23/2) = /з/2',
(6.31)
^3/2 -1/2 + \/ о ^1/2 -1/2
^3/2 -1/2 — о ^1/2 -1/2
— у [(^3/2 -1/2111^3/2 -1/2) - (^1/2-1/21/1^1/2-1/2)] — у (/з/2“/1/2);
(6.32)
М(я~р -> тГр) = | (/3/2 + 2/1/2). (6.33)
Сечение пропорционально \М\2.
Эксперименты показывают, что все состояния лД рассеяния имеют
резковыраженный явный резонанс с центром при жнергии пиона около 190
ИэВ. Резонансные сечения относятся как
сг(тг+р 7г+р) : а(тг~р 7г°п) : а(тг~р к~р) = 9:2:1. (6.34)
Это точно то, что должно наблюдаться, если взаимодействие в состоя-
нии Т = 3/2 намного сильнее в резонанской области, чем в состоянии
Т = 1/2, У3/2 /1/2- Мы заключаем, что при этой энергии пион-нуклонное
взаимодействие осуществляется, главным образом, через промежуточное
состояние с Т = 3/2. Анализируя угловое распределение рассеянных ча-
стиц, было открыто, что угловой момент этого состояния также равен
7 = 3/2 («3-3 резонанс»). Резонанс может быть описан формулой Брейта”-
Вигнера с энергией Е ~ 1236 МэВ и шириной Г ~ 120 МэВ. Мы видим,
чтосуществует квазистационарное состояние, называемое Д-резоонансом,
или дельта-изобарой, как спин-изоспиновое возбуждение нуклона с кван-
товыми числами 7 = 3/2иТ = 3/2. На языке кварков, это состояние с
параллельными спинами и изоспинами трех кварковых составляющих. В
соответствии с изоспиновой инвариантностью, должног быть 2Т + 1 = 4
состояний с проекциями Т% = ±1/2, ±3/2 и электрическими зарядами,
определенными в соответствии с (6.10) из7з = <2 — В/2 = ф — 1/2,
△++ △+ Д° А~
(л-Д) (7Г°р), (7Г+п) (7ГОп), (7Г“р) (7Г~п) (6.35)
Т3 +3/2 +1/2 -1/2 -3/2
Задача 6.6
Установить изоспин конечного состояния в распаде К+ -л- 7Г+7Г°.
Решение Этот распад управляется слабыми взаимодействиями и не сохра-
няет изоспин. Однако, пространственная структура конечного состояния
(спины равны нулю) определяет его изоспин. В двухпионной системе век-
тор связи разрешает для изоспинов Т = 0,1, 2. Действительное значение
7з = ±1 исключает Т = 0. В случае Т = 1, волновые функции двух пионов
могут быть антисимметричны в зарядовом пространстве, как это должно
быть для вектора, связывающего два вектора в их векторное произведение,
см. раздел 1.16.9. Из-за Бозе статистики, пионы (спин 0) рассматриваются в
обобщенном смысле как тождественные частицы различных зарядовых со-
стояний, полная волновая функция (пространственная+зарядовая) должна
быть симметричной, могло бы требовать пространственную волновую функ-
цию для Т = 1 быть антисимметричной. Это эквивалентно отрицательной
четности двухпионного состояния, т.е. нечетного значения орбитального
момента I. Однако, I должно быть равно нулю вследствие сохранения
орбитального момента (спин К+ равен нулю). Из-за этого противоречия,
единственная возможность есть Т = 2.
Задача 6.7
Показать, что для любого изоспинового инвариантного нуклон-нуклонного
взаимодействия, неравенство между сечениями п — р и р — р при 90° должно
выполняться,
с/сгПр(тг/2) 1 б?СТрр(7г/2)
Ло 4 Ло
Решение Имеются две изоспиновые амплитуды, Т = 1 для четного спи-
нового синглета и нечетного триплета, и Т = 0 для нечетных синглетов и
четных триплетов. Но нечетные состояния не дают вклада при 90°. Для
р — р рассеяния, ЛаРр/Ло = Лат=\/Ло для любого угла. Для п — р случая,
(6.36)
мы имеем (0°) спиновые триплеты при Т = 0 и спиновые синглеты при
Т = 1; для неполяризованных пучков, синглет и триплет входят со своими
статистическими весами. Компоненты с Т = 1 одинаковы при р — р рассея-
нии и при п — р рассеянии если спиновая инвариантность имеет место, это
приводит к неравенству (6.36).
Глава 7
Вторичное квантование
Философия, написанная в этой
великой книге, Вселенной, которая
остается непрерывно открытой нашему
взору. Но книга не может быть понята,
пока вначале учишься понимать язык
и читать буквы, из которых она
составлена. Она написана на языке
математики...
Г. Галилей, Исследователь,
цитируется в С. Дрейк, Открытия и
мнения Галилея
7.1 Представление числа занятости
В разделе 15 мы рассмотрели общие свойства проблемы многих тел в
квантовой механике и квантовой сттистике. Неразличимость тождествен-
ных частиц предполагает квантовую интерференцию между различными
путями достижения одного и того же конечного состояния. Это стати-
стическая интерференция, или даже кинематическая, явление, которое
проявляется безотносительно взаимодействия между частицами. Возника-
ющая перестановочная симметрия разрешает только два класса волновых
функций, полностью симметричные и полностью антисимметричные по
отношению к перестановкам всех квантовых чисел двух тождественных
частиц. Соответственно, мы имеем два типа возможных статистик и два
сорта частиц, бозоны и фермионы.
Волновые функции симметричны при перестановках бозонных перемен-
ных и антисимметричны при перестановках фермионных. Для любого
состояния различимых частиц, можно получить его двойник для тожде-
ственных частиц, делая симметризацию или антисимметризацию исходной
функции. (Конечно, попытка симметризовать функцию, которая уже анти-
симметричнв, приведет к нулевому итогу.) Результатом является, например,
детерминант Слетера для невзаимодействующей Ферми-системы. Его ана-
лог для Бозе-системы, «постоянный», образован как детерминант, но со
всеми членами, входяшими со знаком +. С ростом числа частиц, это стано-
вится все более сложной задачей работать с такими волновыми функциями
в обычном координатном (или импульсном) представлении.
Другой важный момент в том, что во многих случаях мы имеем дело с
ситуациями, когда число частиц не фиксировано. Чтобы описать процессы
с переменным числом частиц, нам нужно обобщить концепцию квантово-
механического пространства Гильберта. Гильбертово пространство для
заданного числа частиц является только сектором в более обширном про-
странстве Фока, которое включает секторы с различным числом частиц
всех типов. Это приводит к абсолютной необходимости в релятивистской
квантовой теории, где число частиц до известной степени зависит от масшта-
ба рассмотрения. Следовательно, это очень трудно разработать формализм,
который мог бы автоматически навязывать симметрию состояний в соот-
ветствии с типом статистики и, в то же время, позволять рассматривать
процессы с переменным числом частиц.
Простейший способ делать это состоит в том, чтобы использовать пред-
ставление числа занятости. Пусть |Л) произвольный полный набор од-
ночастичных состояний, характеризующихся квантовыми числами (Л),
например, (рсг) для эдектронов, иписываемых импульсом р и проекцией
спина а. На этой стадии нам не нужно знать гамильтониан, урпаляющий ди-
намикой. Мы используем только полноту множества |Л). Мы предполагаем,
что состояния |Л) ортонормированы,
(А|А') = 6Ау, (7.1)
хотя это ограничение может также быть убрано, потому что можно рабо-
тать с неортонормированными множествами также. Символ Кронекера в
(7.1), как обычно, должен пониматься как 5-функция Дирака для непре-
рывных квантовых чисел Л. Конечно, на практике некоторые множества
|Л) могут быть более удобными, чем другие. Иногда, особенно в приложе-
нии к конечным системам (атомы, молекулы, ядра), состояния |Л) будут
называться орбитами, или орбиталями.
Теперь мы образуем состояния многих тел 81а1еэ
|{пЛ}) = |т,п2,...,пА,...) (7.2)
введением множеств целых п\, которые показывают, сколько частиц на
каждой орбите |Л). Мы предполагаем, что орбиты |Л) упорядочены каким-
то (произвольным) способом, и они всегда появляются в таком порядке
в описании состояния многих тел (7.2). Чтобы провести различие между
состояниями одной частицы и многих тел, мы используем круглые скобки
в определении для первых (позже также и для двухчастичных состояний)
и угловые скобки для последних. Числа являются числами заняточти
в данном базисе |Л). В соответствии с типом статистики, они могут быть
лишь 0 и 1 для Ферми-статистики и произвольными неотрицательными
числами для Бозе-статистики. Нам понадобится формализм, который будет
удовлетворять этим требованиям автоматически.
Мы включим в рассмотрение все состояния в различным полным числом
частиц
* = (7.3)
А
‘Это означает, что мы работаем в пространстве Фока. С числами занятости,
выбранными в соответствии с типом статистики, бесконечное множество
состояний многих тел (7.2) является полным в пространстве Фока. Вслед-
ствие тождественности частиц, нам не нужно указывать, какие частицы
занимают орбиту 11), какие занимают орбиту |2) и так далее. Поскольку все
свойства одночастичных орбит известны, представление числа занятости
содержит полную информацию. В самом деле, любое состояние многих тел
может быть разложено по полному множеству (7.2) состояний с определен-
ными числами занятости, а затем мы можем ответить на вопрос, относя-
щийся к распределению координат, импульсов, вероятностей перехода или
какой-либо иной. В произвольном состоянии многих тел. выраженнном как
суперпозиция состояний (7.2), ожидаемые значения занятости орбиталей,
вообще говоря, не являются целыми.
7.2 Введение во втричное квантование
Единственные переменные в представлении числа занятости, основанные
на орбитальном базисе |Л), это целые пд, и квантовые операторы, которые
должны быть определены как действующие на эти «координаты». Простой
пример того, как это можно сделать, дан, следуя примитивным аргументам.
Рассмотрим невзаимодействующую систему частиц, где гамильнониан
является суммой независимых одночастичных гамильтонианов,
Н = У>(Д (7.4)
а
Здесь суммирование производится по частицам, и мы не задаем их число,
поскольку в каждом векторе пространства Фока с заданным значением
гамильтониан имеет вид (7.4). Действительно, он может иметь тот же вид
также для различимых частиц.
Если частицы тождественны, то все операторы ё одинаковы. Выбирая
орбиты |Л) как собственные функции одночастичного гамильтониана е,
е|А)=вд|А), (7.5)
полная энергия системы в состоянии многих тел (7.2)
Е = ^ехпх. (7.6)
А
Другими словами, состояние многих тел является собственным состоянием
полного гамильтониана, выраженного, вместо уравнения (7.4), в терминах
операторов чисел занятости с целочисленными собственными значени-
ями Пд,
^л|{пд}) = пЛ|{пЛ}), Н\{пх}) = Е\{пх}). (7.7)
Это лишь то, что мы хотим: оператор, действующий на числа занятости.
В этом случае операторы (7.7) днагональны, они не изменяют чисел пд.
Например, для свободного движения, когда Л -Л- (р,сг), гамильтониан
это просто то же, что и кинетическая энергия, а полная энергия является
суммой индивидуальных энергий, взятая по занятым «орбиталям» (плоским
волнам).
Если ты мы взяли другой базис ф) как наше множество одночастичных
орбит, оператор е, вообще говоря, не должен был быть диагональным,
= (7-8)
V1
Если мы возьмем частицу на орбите ф), действие ё переносит эту частицу
на другую орбиту с амплитудой преноса, заданной матричными эле-
ментами оператора ё в этом базисе. Таким образом, в новом базисе
оператор ё более не диагоналей. Например, в стандартном представлении
аппроксимации тесной связи электронов в кристалле, основные состояние
находятся на этих локальных орбитах, несмотря на то, что кинетическая
энергия действукт как оператор перемещения, движущий частицы с од-
ного места на другое. Базис делокализованных волн Блоха подходит для
диагонализации кинетической энергии.
Полный гамильтониан Н в пространстве Фока также не диагоналей в
базисе многих тел |{п^}), построенном аналогично (7.2), но с использова-
нием других орбит ф) вместо |Л). Однако, он все еще блочно диагональный
по отношению к секторам пространства Фока, если он сохраняет число
частиц. Отметим, что гамильтониан невзаимодействующей системы (7.4)
содержит только члены, которые могут менять орбиту не более чем одной
частицы: это оператор одного тела.
Проблема работы в базисе, где гамильтониан не диагоналей, относится к
тому факту, что исходное «физическое» состояние (7.2), будучи разложено
по полному множеству сосстояний |{пгУ}) обязано быть их суперпозицией с
нецелыми средними занятостями. В исходном базисе |Л) мы имеем целые
числа занятости. Но произвольная орбита |Л) является суперпозицией
орбит \С). Даже для одной частицы в состоянии |Л), орбиты \у) заполнены
с дробными вероятностями. Делая переход действием некоторого оператора,
следует подсчитывать эти вероятности, поскольку они значительно влияют
на результата. Например, если состояние фермиона уже заполнено на
90%, это должно не позволить другому фермиону занять эту орбиту с
той же легкостью, как это могло бы быть для пустого состояния. Нам
нужно транслировать все операторы в представление числа занятости
таким образом, чтобы результат их действия явно отражал существовавние
занятости орбит. Нам также нужно не только перемещать частицы между
орбитами, но создавать и аннигилировать, меняя их полное число (переход
между секторами в пространстве Фока).
Подходящие инструменты даны построением операторов создания и анни-
гиляции. Мы уже имели подобный опыт: для квантового осциллятора, этот
аппарат обсуждался детально в отношении к алгебре Гейзенберга-Вейля,
раздел 1.11.8; было обобщено для многих фотонных мод электромагнит-
ного поля в разделе 14.3. Интерпретируя различные состояния поля, как
имеющие различное число квантов, мы могли генерировать произвольное
полное их число. Вследствие их неразличимости, кванты гармонического
осциллятора, так же как фотоны, являются бозонами, и это то. откуда мы
начинали. Но аналогичное описание возможно также для фермионов.
7.3 Статистика Бозе
Операторы создания и аннигиляции позволяют нам работать в представ-
лении числа занятости, где состояния характеризуются числом квантов
в разных модах. В системе многих тел тождественных частиц, аналог
подобного подхода называется в торичным квантованием. Для наших
целей достаточно понимать, что этот математический переход от представ-
ления, где базичные веторы являются обычными волновыми функциями
Шрёдингера Ф(1, 2,..., ТУ) с числовыми аргументами, комбинирующими
все одночастичные переменные, к базису состояния многих тел уравнения
(7.2) в представлении числа занятости, который использует определенный
одночастичный базис |Л). Только в релятивистской теории поля вторичное
квантование приобретает более глубокое значение.
Процедура вторичного квантования зависит от типа статистики частиц.
Для бозонов, формализм практически совпадает с тем, что мы использова-
ли для осцилляторов. Мы определяем базис одной частицы |Л) и строим
состояния (7.2) со всеми возможными занятостями пд, которые в случае
Бозе могут быть произвольными неотрицательными числами. Базис мно-
гих тел |{пд}) нестационарен во взаимодействующей системе, но все еще
неполон, и подсчитывает правильно для перестановочной симметрии.
Для каждого одночастичного состояния |Л), мы вводим аннигиляцию,
ад, и создание, операторов, которые действуют на числа занятости,
аналогичног тому, что мы использовали для гармонического осциллятора,
Йд| = СЛ | ...,Пд - 1,...),
Д| = д/пд + 1 | ..., пд + 1,...). (7.9)
В этих уравнениях, числа занятости пд/ всех орбит с X' Д Л неизменны.
Мы также определим оператор числа занятости, уравнение (7.7),
М = фд (7.10)
для каждой орбиты |Л). Числа в определении состояний (7.2) являются
собственными значениями операторов (7.10). Затем мы воспроизведем
все требуемые соотношения операторов, включая правила коммутации,
аналогично (1.11.108) и (1.11.113).
Мы предположим, что операторы для различных мод Л коммутируют
друг с другом. Тогда полная алгебра операторов може быть записана как
[ад, ад/] = [Д, Д,] = 0, [ад, Д,] = 5дд/. (7.11)
Операторы числа заполнения (7.10) удовлетворяют лестничной структуре,
и из собственные значения - неотрицательные целые. Полное число частиц
не фиксировано, и мы включим пространство Фока целиком со всеми
возможными значениями полного оператора числа частиц
А = (7.12)
А
Аналогично (1.11.121), нормированный вектор состояния может быть по-
строен явно созданием частиц из состояния вакуума |0) = |{пд = 0}),
|{"а})=П^(<11)"|0). (7.13)
V д/пд!
Л
Все операторы аннигиляции дают нуль, действуя на ваеккмное состояние.
На основании коммутатора (7.11), все операторы создания (7.13) переста-
новочны. Это означает, что волновая функция симметрична по отношению
к перестановкам, как это и должно быть для Бозе-статистики.
7.4 Ферми-статистика
Здесь, возможные числа занятости могут быть только 0 и 1. Чтобы
удовлетворить этому требованию, мы введем самомопряженные анниги-
ляцию, йд, и создание, йд, операторы, постулированные для них, вместо
(7.11), антикоммутационыых соотношений, [й, Ь\ + = аЬ + Ьа,
[аЛ,аА/]+ = [Д, Д,]+ = 0, [аЛ, Д]+ = $хх'- (7.14)
Величины, удовлетворяющие алгебре (7.14) называются переменными Грас-
смана.
Первые два равенства (7.14) дают для Л = Д'
йдйд = 0, йдйд = 0. (7.15)
Это гарантирует принцип Паули: запрещено размещение двух тождествен-
ных фермионов на одной орбите. Определяя операторов числа занятости
для каждой орбиты тем же способом (7.10), как для бозонов, и используя
последний антикоммутатор в (7.14), мы получим
Лх = а[ах, 1 - М = аАД. (7.16)
Простая алгебра тогда приводит к
^х = аАйА«1«А = «дС1 “ аА«А)ад, (7.17)
или, используя (7.15),
Д = М. (7.18)
Однако, собственные значения оператора числа занятости равны 0 и 1, как
и должно быть для Ферми-статистики.
Вектор состояния для системы многих тел может быть построен как в
уравнении (7.13); это состояние автоматически обнуляется, если п\ > 1.
Любая перестановка оператора создания изменяет общий знак вектора со-
стояния вследствие антикоммутативности. Следовательно, волновая функ-
ция показывает корректность перестановочной симметрии. Действительно,
вектор состояния (7.13) в случае Ферми есть просто произведение операто-
ров создания йд для всех занятых орбит (п\ = 1). Он антисимметричен и,
следовательно, соответствует детерминанту Слетера в «первичном кванто-
вании».
Следует упомянять одну тонкую вещь. Мы говорили при определении
состояния многих тел (7.2), что множество одночастичных орбит |Л) должно
быть упорядовено некоторым образом. Это было неважно для случая Бозе
из-за симметрии операторов. Но в антисимметричном случае Ферми это
содержит большую сложность в сравнении с (7.9), матричные элементы
операторов создания и аннигиляции. Легко понять на простых примерах,
что матричные элементы должны быть взяты как
аЛ|...,пА,...) = (-)*’аа/па| ...,пл - 1,...),
аА |...,пд,...> = (—)*’А л/1 - пл |... ,пд + 1,.. (7-19)
где квадратные корень отражает ограничения принципа Паули, а фаза
рх = 22пд'
А'<А
(7.20)
определяется числом переходов, которое необходимо для того, чтобы по-
- - !
ставить внешний оператор а\ или в его естественное место в доупоря-
доченной последовательности орбит. Вакуумное состояние удовлетворяет
(1.11.112), как в Бозе случае.
7.5 алгебраические соотношения
Все операторы могут быть представлены как состоящие из простейших
блоков йд, йд или йдйд/ (аннигиляция, создание или перемещение частицы).
Ниже мы даем несколько тождеств, чтобы импользовать в практических
вычислениях в операторах аторичного квантования. Тождеста выведены
непосредственным применением элементарных правил, таких как (7.11) и
(7.14). Некоторые результаты справедливы для обоих типов статистики. В
других верхний (нижний) знак относится к бозонам (фермионам).
Задача 7.1
Используя цифровые обозначения для орбит, доказать правила коммута-
ции для парных операторных блоков,
[Й1, й|й3] = Ф2Й3, [й1, й|й3] = -Фз4, (7.21)
[Й1, йдй|] = Ф2Й3 ± Ф3Й2, (7.22)
[й^Й2, Й3Й4] = Й23Й1Й4 — Й14Й3П2, (7.23)
и, для операторов создания и аннигиляции пар. важных в приложениях,
[Й1Й2,ЙзЙ4] = 523^14 <^24^13+ ^24^3^1 +513^4^2 ± 523^4^1 ±514а|а2. (7.24)
Знаки легко прикинуть в соответствии с симметрией или антисимметрией
исходных операторов при перестановках. Отметим, что во всех случаях мы
вычисляем коммутаторы, а не антикоммутаторы.
Для вычисления матричных элементов операторов между состояниями
многих тел (7.13), достаточно вставить необходимый оператор между бра- и
кет-состояниями и вычислить итоговые ожидаемые значения вакуума. Они
не исчезают, если только числа операторов создания и аннигиляции равны.
Вследствие вакуумного условия (11.112), ожидаемые состояния вакуума
равны нулю, если операторы вставлены в нормальную форму со всеми
операторами создания слева от всех операторов аннигиляции. Для произ-
вольной начальной последовательности операторов в исходном матричном
элементе, нужно привести их к нормальной форме коммутаторами или ан-
тикоммутаторами. Результат состоит только из 5-символов, образованных
в этом процессе. Например,
(0|й14|0) = 612, (7.25)
(0|а1а2«з«4|0) = 623614 ± 624613. (7.26)
Рецепт для произвольной ожидаемой вакуумной величины ясен. Вы
начинаете с вакуума справа и должны вернуться к вакууму слева. По пути
любой оператор рождения должен аннигилироваться оператором уничто-
жения. Необходимо сгруппировать все разделы начального операторного
выражения в пары (в таком анти-нормальном порядке!), напишем
512 для каждой пары {сокращение) и возьмем сумму вкладов (продуктов
сокращения) от всех таких разделов. Конечный знак каждого вклада будет
+ для бозонов, в то время как для фермионов он определяется четног-
стью перестановки, которая приносит партнерам заданное сокращение
вблизи друг друга. Это так называемая теорема Вика. Например, для
тождественных бозонов очевидный результат [он следует немедленно из
(1-П.121)],
(0Д(а^|0) = к1, (7.27)
соответствует комбинаторному подсчету всех сокращений.
7.6 Операторы одного тела
Чтобы применить разработанный формализм к физическим задачам,
нам нужно выразить все операторы наблюдаемых в виде вторичного кван-
тования. Бкдкт полезно напомнить, что исходный одночастичный базис
|А) достаточно произволен. Как мы делали в (7.8), мы может произвести
унитарное преобразование для другого полного множества орбит ф),
|Л)^И = ;Г|Л)(ЛИ (7.28)
А
Унитарная матрица (Аф) = (р\А)* преобразует операторы рождения и
аннигиляции, ад —> а^, —> а^. Новые операторы имеют те же свой-
ства, поэтому преобразование должно быть каноническим, сохраняющим
коммутационные соотношения.
Новые базисные состояния ф) являются ничем иным, как состояния-
ми йХ|О) с одной частицей на верху вакуумного фона. Это означает, что
операторы рождения преобразованы тем же способом, как в уравнении
(7.28),
4 = Е(Л|04 Д29)
А
Оператор аннигиляции преобразован в соответствии с сопряженным урав-
нением,
Л = (7.30)
А
и коммутатор (или антикоммутатор) сохраняется,
Мк = ЕМЛл'КЖа.М = ЕМЛЛИ = (7.31)
АА' А
Мы использовали полноту множества |А),
Е|Л)(Л| = 1. (7.32)
А
В случае одночастичных переменных с непрерывным спектром, 5-символы
во всех коммутационных соотношениях должны быть подставлены 5-функциями.
Рассмотрим вначале оператор типа одного тела [как в (7.4)], который
задан суммой вкладов да всех тождественных частиц. Мы можем взять
множество |ф) собственных состояний одночастичного оператора ф
з|«) = з|«), (7-33)
в качестве нового одночастичного базиса ф), уравнение (7.28). В этом
базисе форма оператора вторичного квантования действующего в
пространстве Фока очевидна: его собственное значение дается суммой по
всем орбитам |ф) вкладов, равных собственному значению ([ для заданной
орбиты, умноженному на число занятости пч. Это собственное значение
оператора
е(1) = Е = Е (7-34)
Теперь мы используем закон преобразования (7.29,7.30). чтобы найти
форму для произвольно выбранного базиса |А),
с(1) = Е д(А|д)а}Д|А/)аЛ/ = Е(Е(л19)<?(91л/))аАйл'- (7-35)
<?АА' XX' д
Поскольку сумма в (7.35) равна матричному элесменту оператора ф
Е(Л|</)«(«|Л') = (Л|<7|Л'), (7.36)
а
мы приходим к общему выражению для произвольного оператора одного
тела в форме, инвариантной к унитарным преобразованиям базиса,
С(1) = Е(1М2)«1«2. (7.37)
12
Подобный оператор представлен суммой членов, перемещающих уединен-
ную частицу с орбиты |2) на орбиту |1); амплитуда перехода равна матрич-
ному элементу уединенной частицы (1|ф2).
Важный пример дается операторами плотности
р(<1) = ^Д<1-Ча), (7.38)
а
которые определяют вероятность амплитуде получить значение б/ для од-
ночастичной переменной д в системе тождественных частиц. В частном
случае оператора положения, д —> г, это обычная пространственная плот-
ность, которая появляется в уравнении непрерывности. Своим значением,
оператор (7.38) совпадает с 7Уд, использованном в (7.34). Форма вторичного
квантования оператора плотности является, следовательно, тривиальной
в собственном базисе |д) оператора ф но более сложной в произвольном
базисе,
№) = У = а\ад = У2(91л)*(91а')«айА'- (7.39)
ЛА'
Часто имеют дело с представлениями координаты и импульса, где со-
ответствующие операторы рождения и спин и другие внутренние
характеристики могут быть добавлены к г и р при необходимости. [В
координатном представлении обозначение ^(г) вместо также часто
используется.] Если координатные плоские волновые функции (1.3.95) нор-
мированы в конечном объеме V, соотношение между представлениями
даетмя выражением
4 = 52 Д, 4> = / Тг (7.40)
р
Таким образом, оператор пространственной плотности (7.144)
р(г) ее у = фг = 1 52 е(*/й)(р'-р)-г4аР'. (7.41)
рр7
Оператор, диагональный в координат ном представлении, весьма внедиаго-
нален в импульсном представлении.
Задача 7.2
Для основного состояния идеального Бозе газа частиц в ящике объе-
мом V) найти среднее число частиц в объеме V < V, среднеквадратичную
флуктуацию этого числа и корреляционную функуию этой плотности (7.41)
в разных точках.
Решение Беря среднюю плотность как ожидаемые значения для основного
состояния |Фо(^)) (15.10), мы придем к тривиальному результату:
<Л'-> Д Е > = 7 Е = Д»(7.42)
кк7 кк7
который не зависит от координаты г внутри объема. Среднее число частиц
в меньшем объеме V
= I с13г (1УГ) = I б3г п = пт. (7.43)
Э V Л V
Для ожидаемого значения квадрата этого оператора мы получим
ДД)) = Д 03г [ Лг'
к!к2кзк4
(7.44)
Здесь матричный элемент
(ЙкхФо(^)|^к2^к3 |^к4фо(^)) = ^к!0^к40^к2к3 [1 + (Л^ - 1)5к2о]•
(7-45)
Это сводит уравнение (7.44) к
(7.46)
к
Поскольку
к
Уб3к ,
дде
= К5(г — К),
(7.47)
мы находим среднеквадратичную флуктуацию,
(7.48)
которая, естественно, исчезает для г = 0 и г = V. Относительная флук-
туация падает как 1 / д/Ж как всегда для экстенсивных статистических
величин. Отметим, что такие же результаты для ожидаемых значений
(7.43), (7.46) и (7.48) могут следовать из классического биномиального
распределения
рдэ =
АП
- ИД.
V \ Му / у \ М—Му
у) \ О
(7.49)
Корреляционная фкнкция плотности может быть определена как
С(г,г') = (<</) -п2.
(7.50)
Аналогично уравнениям (7.46) и (7.47),
(ЯЯ'Пр [4Дг-г') + (^-1)],
поэтому
С(г, г7) = п 8 (г — г7)
(7.51)
(7.52)
1
V
последний член дает только малую поправку 1/У.
7.7 Операторы двух тел
Рассмотрим теперь оператор, зависящий от переменных пар тождествен-
ных частиц. Наиболее важный пример это гамильтониан взаимодействия
двух тел.
Характерная структура оператора двух тел
а^Ъ
При вторичном квантовании она принимает инвариантную форму
= у2(12|/(2)|34)аТ14«за4 (7.54)
1234
с прозрачным физическим значением. Чтобы увидеть, как выражение
(7.54) появляется, предположим, что зависит от переменных ср апс!
взаимодействующих частиц. Тогда мы можем формально переписать
(7.53), включая член самодействия а = 6,
аЬ а
= [ - ч') -
7 аЬ а
Вводя оператор плотности (7.38,7.39) для переменной д, это преобразуется
к
Г(2) = / <^Д(2ДД){ ДД, - № - <№
(7.56)
Оператор в фигурных скобках в уравнении (7.56), в силу коммутационных
соотношений,
— 5(д — ф)а^ад = Еф^Ф^ф^фу. (7.57)
Транспонирование двух последних оператора дает общий знак плюс, потому
что оператор (7.56) принимает вид
ф)й^й^,йд/йд. (7.58)
Преобразование к произвольному базису приводит к уравнению (7.54), где
коэффициенты (121 /134) являются матричными элементами оператора двух
тел для перехода (3,4) (^3),
(12|/(2)|34) = У ададД^д^ЮРЧя^Ч^дДД)- (7.59)
Здесь -01 (#) = (#|1) - функции преобразования базиса, т.е. волновые функ-
ции состояний |1) в (/-представлении. Отметим порядок аргументов этих
функций в подинтегральном выражении (7.59).
7.8 Межчастичное взаимодействие в базисе плоской волны
Как мы отметили, оператор двух тел, главным образом, появляется
при рассмотрении взаимодействия между частицами. В системе не очень
высокой плотности, наиболее важные взаимодействия происходят парами,
и мы ограничимся этим случаем. Если необходимы взаимодействия многих
тел, рассмотрение может быть расширено прямым образом.
Если взаимодействие частиц а и Ь можно описать оператором 13^ полный
гамильтониан взаимодействия в системе многих частиц, в соответствии с
уравнением (7.53), равен
= (7.60)
аДЬ
Здесь множитель 1/2 необходим, поскольку каждая пара а, Ь (а ф Ь) должна
подсчитываться только раз. Для тождественных частиц, это дает рост
формы вторичного квантования (7.54),
Я' = | У2(12Д134)а14йзЙ4. (7.61)
2 1234
г1=г4 Р/2+р Р/2+р
(а) (Ь) (с)
Рис. 7.1. Диаграмма взаимодействия двух тел
Структура взаимодействия, Рис. 17.1а, описывает столкновение двух тел
с парой частиц, подвергающихся переходу (ДЗ—>ЗД), где, в соответствии
со структурой матричного элемента (7.59), мы маркируем приходящую и
уходящую линии диаграммы против часовой стрелки, > 3 —> 3 —> 7. Это
представление процесса может быть отнесено к каналу частица-частица.
Для эрмитова гамильтониана, = Н\ матричные элементы двух тел
удовлетворяют условию
(12|[/|34) = (43|7/|21)*.
(7.62)
Другое свойство матричных элементов следует из коммутационных соотно-
шений одночастичных операторов: для произвольной статистики частиц,
одновременная перестановка начальной и конечной частиц не изменяет
амплитуды процесса,
(12|[/|34) = (21|[/|43).
(7.63)
При перестановке только начальной (или только конечной) частиц, ори-
гинальные матричные элементы не имеют никакой симметрии. Однако,
полная сумма (7.61) содержит только симметризованную (для) или анти-
симметризованную (для фермионов) часть. Следовательно, может быть
удобным ввести матричные элементы определенной симметрии,
| (12 Д|34) = | [(12 Д|34) ± (21 Д|34)],
и записать полный оператор взаимодействия как
Н' = | У2(12Д134)4а2йзЙ4.
4 1234
(7.64)
(7.65)
В качестве примера мы рассмотрим случай потенциального взаимодей-
ствия, которое зависит от относительного расстояния г между частицами
и не несет какой-либо зависимости от дополнительных квантовых чисел
частиц, как спин или изоспин. Множество подходящих одночастичных кван-
товых характеристик в этом случае |1) = |г1,<Т1), и вершина потенциала,
Рис. 17.16, имеет структуру
(12|С7|34) = - Г4ЖГ2 - Г3)Д|Г1 - г2|). (7.66)
Гамильтониан полного (не симметризованного) взаимодействия дается
выражением
У'^Ж3Г2^(|Г1 -Г2|)41<7142<72«г2а2аГ1а1- (7.67)
<71 (72
Для спин-спинового взаимодействия 17^ = ГДгаД(8а • зД мы имеем
(12Д|34) = (8СТ1(Т4 • 8(Т2(Тз)5(г1 - г4)5(г2 - Г3)С7(|Г1 - г2|), (7.68)
И
Н' =| 22 / Тг1а3г2и(\г1 -Г^Хв^ •8<72<7з)41а142а2«г2<73аг1<74-
(71(72(73(74
(7.69)
Импульсное представление подходит для пространственно-однородной
системы, когда каждое столкновение сохраняет полный импульс пары. Ис-
пользуя снова нормализацию в объеме V, уравнение (7.40), мы преобразуем
гамильтониан (7.67) следующим образом (все импульсы квантованы в том
же объеме):
= Е
СГ1СГ2 Р1Р2РЗР4
^Р1СГ1 ^р2СГ2 ^Р2СГ2 ^Р^ СГ1
х Лг2 С7(|Г1 - г2|)е(^)[г1-(Р1-р'1)+г2-(р2-р^)]. (7.70)
Вместо четырех импульсов ра частиц в процессе, мы вводит, Рис 17.1с, пол-
ные импульсы Рх и Р в канале частица-частица и относительные импульсы
рх и р, до и после столкновения, соответственно,
р р р' р'
Р1 = ^-+Р, Р2 = ^--Р, Р'1 = ^- + Р', Р2 = ^--Р'- (7-71)
Интеграл по координатам в уравнении (7.70) теперь разбит на произведение
двух независимых интегралов, по координате К = (г1 + гд)/2 центра масс
и по относительному расстоянию г = Г1 — г2 пары,
У а3Г1 Лг2 /7(|Г1 - Г2|)е(г/й)[г1-(р1-р1)+г2-(р2-р2)]
= У у (/Зг{/(г)е(^)г-(р-р'). (7.72)
Интеграл центра масс показывает сохранение импульса,
У Л_йе(’/й)к'(р-р') = У5рр,, (7.73)
в то время как результат рассеяния определяется фурье-компонентой по-
тенциала, соответствующего передаче импульса р' — р, сравни с аппрокси-
мацией Борна (раздел 7.5),
С7р/_р = уЛг77(г)е(г/п)г-(р“р/). (7.74)
Окончательно, гамильтониан взаимодействия в импульсном представлении
= 2У 52 52 ^Р'-рО'р+Р/2,сг1 ^—р+Р/2,0-2^-Р'+Р/2,0-2%'+Р/2,<71- (7-75)
<71(72 Ррр7
7.9 Межчастичное взаимодействие в конечной системе
Дадим пример пространственно ограниченной системы, где лучший од-
ночастичный базис является не одной из плоских волн, а базисом, относя-
щимся к симметрии задачи (атом, молекула, атомные ядра).
В таких приложениях естественное одночастичное представление обес-
печивается средним полем, раздел 19. Модель ядерной оболочки обычно
использует сферический базис |1ш1) с спин-орбитальной связью, где 1
комбинирует все квантовые числа связанной системы 01 = ^1 + 81), за
исключением проекций полного углового момента, = т. Гамильтониан
двух тел принимает вид
н' = | У2 (1”г1,2т2Д|Зтз,4«г4)«1т1«2т2аЗт3а4т4- (7.76)
1234;{т}
Если изоспиновая инвариантность учитывается явно, можно аналогично
выделить проекцию изоспина 1з = т каждой частицы.
Сохранение углового момента налагает ограничения на амплитуды. В
самом деле, если взаимодействие V является вращательно инвариантным,
полный угловой момент Ь исходной пары {3,4} должен быть равен тако-
вому для конечной пары {1,2}. Начальное связанное состояние |3тз,4т4)
является суперпозицией связанных состояний с определенным значением
Ъ и полной проекции = Л,
\Зт3, 4т4) = ДД ]зтз 134; ГЛ). (7.77)
АЛ
Аналогичное представление справедливо для конечного состояния,
(1т1,2ш2| = ^сДД2тД2ДД. (7.78)
Ь'Л/
В этих определениях мы упорядочиваем одночастичные состояния таким
образом, что, как на Рис. 17.1, квантовые числа 1 и 4 могут соответствовать,
для различимых частиц, первой частице, а 2 и 3 второй.
Матричные элементы V, как произвольного скалярного оператора, не
изменяют вращательные квантовые числа, Ь' = Т, Л7 = Л. Более того,
матричные элементы скаляра не зависят от проекции Л. Следовательно,
амплитуда процесса может быть записана как
(1т1; 2т2 Д|Зт3,4т4) = С2^^Лт4 34), (7.79)
АЛ
с эффективными матричными элементами 17^(12; 34), где т-зависимость
была исключена. Теперь мы можем комбинировать ССС с операторами
рождения и аннигиляции и образовывать рождения пары,
ркт= Е <4™,»»«»!.„С,. <7-8°)
ГП1ГП2
и эрмитово-спряжённые операторы аннигиляции пары,
РьлМ) = 52 72^2 ^2Ш2 ^1Ш1 • (7.81)
ГП1ГП2
Таким образом, вращательно-инвариантное взаимодействие в канале частица-
частица может быть приведено к виду
н' = \ 52 ^(12;34)р1л(12)Ал(43). (7.82)
1234;АЛ
В качестве легкого обобщения мы получим для изоспиново-инвариантного
взаимодействия
= 52 127712^1/2^ 1/2т2 тЛ2т2т2 ’ (7.83)
Ш1т2,Т1Т2
-РЬЛ;Й3(12) = ^717П1/2ш2 ^1/2п 1/2т2 ^2т2т2 ^1тп1Т1 •> (7.84)
7771т2,Т1Т2
Я' = | У2 ^(12;34)Р1Л;йз(12)Рад(43), (7.85)
1234;ГЛЩ3
где 7 полный изоспин пары (0 или 1 для нуклонов), и
(1Ш1Т1, 2т2Т2|?7|ЗтзТз, Глт^т^)
= 52 ^117771 72т2^1/^11/2т2^1/^4 1/2тз^147774 1зТ773 ^(12’ (7.86)
ЬЛЩз
Операторы нуклонной пары, уравнения (7.83) и (7.84), имеют простые
свойства симметрии, которые следуют из Ферми-статистики и дополнитель-
ности между спин-пространственными и изобарическими переменными.
Если мы переставим два оператора рождения в сумме уравнения (7.83),
результат получит знак минус. Теперь мы восстановим соответствие между
ССС и порядком операторов обмена нижней пары индексов в обоих ССС,
которые приносят в фазах (—)^1+^-^ и (_ )1/2+1/2-^ р результате, мы
получим оператор Р\ но с противоположным порядком невращательных
квантовых чисел 1 и 2\
^л.Из(12) = (-)'’,1-'2111‘^л.а,(21). (7.87)
В частности, для пары тех же самых одночастичных орбит, 1=2, сумма
Г +1 должна быть нечетным целым. Это соответствует факту, обсужда-
ющемуся в следующем разделе (вспомним также Задачу 15.7), что пара
эквивалентных фермионов (7=1) может иметь только четный полный
угловой момент Ъ. Квазидейтронная пара (7 = 0) может иметь только
нечетные значения А: как мы уже обсуждали, реальный дейтрон имеет
7 = 0 и полный угловой момент Г = 1 (ранее это обозначалось как У). Этот
результат также является аналогом обобщения принципа Паули (16.18),
выведенным в I«8-схеме. Аналогичным образом, мы можем получить только
четные Ь для бозонной пары (без спина или изоспина).
Неразличимость идентичных частиц
имеет важные, экспериментально
проверяемые следствия. Например,
спектры многоэлектронных атомов
могли бы быть совершенно
различными, если бы электроны
атомов были различимы.
Е. Мерцбахер, Квантовая механика
Глава 8
Атомные и ядерные конфигурации
8.1 Приближение независимой частицы
При хорошей аппроксимации, многоэлектронный атом это система из
тождественных фермионов со спином 1/2 (электроны) в среднем поле,
создаваемом совместно центральным ядром и всеми электронами, мы остав-
ляем задачу вывода этого поля для следующего раздела и рассматриваем
здесь это поле как внешнее. Аналогично, электроны в молекуле также
движутся в среднем поле, создаваемом ионами, тяжелая масса которых
подтверждает адиабатическую картину, раздел 1.19.5, и всеми прочими
электронами. В аналогичной манере, атомные ядра могут рассматриваться
как система независимых нуклонов в общем среднем поле. В этом случае
нет центрального тела, и полное поле обусловлено взаимодействием прото-
нов и нейтронов, но снова мы можем начать с приближения независимых
частиц. Новейший пример дается холодными атомами в атомных ловушках,
где отдельные атомы в некотором приближении могут рассматриваться
как независимые. В этом случае поле ловушки , в самом деле, является
внешним.
Волновая функция многих тел системы в целом должна быть полностью
симметрична или антисимметрична при перестановках всех, пространствен-
ных и спиновых, переменных произвольных пар частиц. Это справедливо
безотносительно присутствия межчастичных взаимодействий. В прибли-
жении независимых частиц, существует особый одночастичный базис |Л),
который состоит их правильных орбиталей, найденных для заданного
внешнего поля. Каждое распределение частиц по доступным орбиталям
согласуется с типом статистических форм конфигурации.
В виде вторичного квантования, волновая функция многих тел кон-
фигурации может генерироваться с помощью операторов рождения йд,
помещающих все частицы на требуемые орбитали Если обозначение Л
комбинирует все одночастичные квантовые числа, в волновую функцию
независимых фермионов, каждое занятое состояние появляется только раз.
Результат в представлении числа занятости имеет вид
т = П(«1гю).
(8.1)
и числа занятости пд равны 0 или 1. Это полностью эквивалентно волновой
функции, записанной как детерминант Слетера. Здесь принцип Паули
содержится в правилах антикоммутации для операторов рождения йд.
Аналогичным образом, мы можем выписать волновую функцию независи-
мых бозонов, но тогда числа занятости пд могут принимать произвольные
целые значения от 0 до IV. Следовательно, нам нужно добавить нормирую-
щие множители,
т = П4д(«1г1°).
V х/пд!
(8-2)
которые необходимы из-за неразличимости частиц (предполагая 0! = 1, мы
можем использовать ту же самую форму для фермионов также). В обоих
случаях, для бозонов и для фермионов, энергия конфигурации независимых
частиц дается выражением
Щ{пА}) = У^ехпх,
(8-3)
где ед - энергии независимых орбиталей.
8.2 Добавление вращательной инвариантности
Предположим, что среднее поле обладает сферической симметрией. Это
является хорошим приближением во многих случаях для атомов и ядер. В
таком поле, одночастичное движение сохраняет угловой момент, квантовые
числа частицы: I, и т8 в связанной спин-орбитальной схеме, или ], I
(или четность), и ту в связанной схеме.
Однако, детерминант Слетера построенный заполнением таких ор-
биталей обычно не имеет определенного значения полного орбитального
момента Ъ и полного спина 8, или полного углового момента б. Поскольку
стационарные невырожденные состояния вращательно инвариантной си-
стемы как целого должны иметь определенные значения полного углового
момента, мы вынуждены отказаться от волновой функции как отдельного
детерминанта Слетера (8.1) и комбинировать определенное число таких де-
терминантов способом, определяемым правилами связи углового момента.
То же самое справедливо для Бозе-систем, где нам нужно комбинировать
состояния (8.2).
В некоторых случаях такая связь осуществляется почти автоматически,
и мы видели примеры для двух нуклонов, раздел 15.5. Для фермионных
орбиталей без спин-орбитальной связи, когда каждая одночастичная вол-
новая функция является продуктом пространственной и спиновой частей,
не более чем две частицы могут иметь те же орбитальные квантовые чис-
ла (пД, шД. В случае пространственного совпадения для двух частиц,
спиновая волновая функция пары, Х8М3^ необходимо антисимметрична
(синглет Хоо)- Это то же самое, как результат для рассеяния, когда орби-
тальная функция симметрична, раздел 15.6. Такая ситуация имеет место в
атоме гения. В основном состоянии два электрона занимают низшую 15
орбиту, поэтому они автоматически образуют спиновую синглетную пару.
Квантовые числа пары фиксированы без особых усилий:
Д=^2 = Ь = 0, 51 = 52 = 1/2, 5 = 0, 7 = 0, (8.4)
что соответствует спектроскопическому символу 15о -
Напишем волновую функцию основного состояния гелия в виде вторич-
ного квантования (8.1) с операторами рождения
|ф°) = ^0001/2^000-1/2^^ (8’5)
Здесь мы выстраиваем орбитали в порядке убывания проекций. Волновая
функция (8.5) может быть переписана с помощью правил антикоммутации,
1Фо) = 2^0001/2^000-1/2 _ Фмю-1/2^000 1/2^ 1^’ (8-6)
Этот результат эквивалентен (а = ш5)
1фо) = |Е(-)1/"2^4ю,4ю-,Ю). (8.7)
а
или, вспоминая значения коэффициентов Клебша-Гордана (1.22.36),
1фо) = -у= У/ Г°/2(Т 1/2—сг^ОООсг^ООО —<т|0) = ~г=: [®000,8=1/2*^000,5=1/2]5=010)’
у у
(8-8)
где символ [АдВ^^м обозначает вектор связи двух подсистем 3 +У = Л.
Таким образом, в этом случае исходный детерминант Слетера, в самом
деле, дает определенные значения Ъ = 8 = Л = 0. Конечно, это происходит,
потому что мы берем конфигурацию полного «8-уровня.
Перейдем к возбужденным состояниям атома гелия. Если в оболочке 1<8
остается один электрон, в то время как второй переходит к оболочке с I > 0,
они не эквивалентны более в том смысле, что нет ограничений на спин
волновой функции, поскольку пространственные функции уже разные. Оба,
синглетное и триплетное состояния разрешены, и правильная вращательная
волновая функция с определенными значениями (автоматически
равными тпл возбужденного электрона) и 5, М$ таковы
№пРгпе8М3) ~ 52 ^1/2 а 1/2сг,^000сг^п^сг/1^^ (&•$)
V " /
аа'
Если оба электрона размещены на разных орбитах с ненулевым нам
нужно добавить вектор связи орбитальных моментов [И']ьмь- Создание
таких пар может быть описано оператором вторичного квантования пар
(17.80). Окончательно, Ъ и 8 должны быть связаны с полным угловым
моментом квантовыми числами У, М. Таким образом, конфигурации все-
го двух электронов показывают многообразие возможных вращательных
мультиплетов.
Здесь мы можем легко изменить определение того, что мы называли кон-
фигурацией. При вращательной инвариантности, одночастичные энергии не
зависят от сохраняющихся магнитных квантовых чисел, тпф и т8 в расщеп-
ленной схеме, и со спин-орбитальной связью. Мы будем комбинировать
в конфигурации все распределения частиц с одинаковым числом частиц на
вырожденных орбиталях. Например, в сложном атоме мы можем положить
П1 частиц на орбите Д, п% частиц на орбите и так далее, без точного
определения занятых значений тпф и т3. Все распределения с одинаковыми
значениями Пф относятся к одной конфигурации, в новом значении этого
слова; в модели ядерной оболочки это иногда рагШгоп (раздел). Внутри
раздела, многие значения полного углового момента обычно еще относятся,
в отсутствие межчастичных взаимодействий, к одной и той же энергии.
8.3 Конфигурации многих частиц
Для двух частиц разрешены состояния, которые были найдены в За-
даче 15.1. В многочастичной конфигурации, ограничения, наложенные
требованиями квантовой статистики, определяют разрешенные значения
вращательных квантовых чисел. Чтобы найти эти значения, можно начать,
как мы делали в задачах с обычным связанным угловым моментом, раздел
1.22.6, с состояния максимально возможного углового момента. Это обычно
легко, поскольку проекции складываются алгебраически. Это «корневое»
состояние должно быть построено с учетом статистики. Тогда мы можем
применить оператор понижения и спускаться вниз, заполняя на каждом
шаге открытые ранее мультиплеты, приписывая оставшиеся статистически
разрешенные состояния новым мультиплетам. Этот процесс лучше понять
на примерах.
Задача 8.1
Три нейтральных атома, каждый во внутреннем состоянии с полным
угловым моментом Р = 0, находятся на орбите в орбитальным моментом =
2 в атомной ловушке. Определить возможные значения полного углового
момента системы; проверить полное число состояний с результатом (15.20).
Решение Атомы подчиняются статистике Бозе, и полное число состояний,
в соответствии с уравнением (15.20) для А = 3 и 9 = 5 (число различных
проекций орбитального момента), равно
7’
^’^^ЗЙ!5- (8-10)
Чтобы найти возможные значения полного углового момента
Ь = /1+/2 + 4 (8.11)
во-первых, мы образуем расщепленное состояние (т1,т2,тз) = (2,2,2)
с наивысшей проекцией М = Р% = 6. Такое состояние единственно и это
подтверждает существование Ь = 6. Проекция М = 5 может быть со-
здана тремя способами, (1, 2, 2), (2,1, 2) и (2, 2,1). Но для тождественных
бозонов это представляет только одно состояние, поскольку мы должны
образовать симметричную комбинацию из всех их, например, действуя
с А = ^1- + ^2- + ^з- на корневое состояние. Существует только одна
симметричная комбинация, она относится к мультиплету с Ь = 6, следова-
тельно, у нас нет других состояний с М = 5 и значение Р = 5 недопустимо.
На следующем шаге, М = 4, у нас две независимых возможности, сим-
метричная комбинация трех состояний с одной проекцией, равной 0 и
двумя другими проекциями, равными 2, и симметричная комбинация трех
состояний типа (1,1,2). Наличие двух симметричных состояний с М = 4
показывает появление, с непрерывным заполнением высшего мультиплета
Ь = 6, нового мультиплета Ъ = 4. Следующий шаг вниз, М = 3, дает три
симметричных комбинации типов (-1,2,2), (0,1,2) и (1,1,1). Две комбинации
соответствуют предыдущему мультиплету сЬ = 6иЬ = 4, вто время как
присутствие третьей означает, что мультиплет с Ъ = 3 также разрешен.
Продолжая этот процесс, мы найдем также возможные значения Ъ = 2 и
Ъ = 0. Таким образом, наш обзор всех возможных состояний дает следу-
ющие разрешенные значения Ъ для трех тождественных бозонов с I = 2
(«квадрупольные бозоны»):
Ь = 6, 4, 3, 2, 0. (8.12)
Полное число состояний равно
Л = ^(2Ь + 1) = 1.3+ 9 + 7 + 5 + 15, (8.13)
ь
в соответствии с уравнением (8.10). Этот результат также применим к коле-
бательным состояниям сферических ядер: квадрупольная форма колебаний
может быть моделирована квантованием поверхностных возбуждений вол-
нового типа, фононы, обладающих угловым моментом 2.
Задача 8.2
В средних и тяжелых ядрах спин-орбитальная связь обычно сильна,
потому что нуклоны заполняют одночастичные уровни с определенными
значениями Ядро 43 С а может быть рассмотрено как конструкция
инертной сердцевины 40Са и трех валентных нейтронов на орбитали (^ =
/7/2- Определить возможные значения полного углового момента I ядра;
проверить полное число состояний.
Решение Полный угловой момент равен
1=31+32 + Зз- (8-14)
Число разрешенных состояний, в соответствии с уравнением (15.19) для
^ = 3 и 9 = 8, равно
8’
л<(3’8) = чч = 36 (8-15)
Мы можем действовать тем же способом как в предыдущей задаче. Наивыс-
шее состояния можно достичь заполнением, в соответствии с принципом
исключения Паули, (т1,Ш2,тз) = (7/2, 5/2, 3/2). Конечно, это означает.
что нам нужно построить детерминант Слетера с теми занятыми одноча-
стичными орбиталями, или использовать три соответствующих оператора
рождения. Это дает наивысшее М = 15/2, и. следовательно, наивысшее
I = 15/2. Это единственное построенное состояние, и, следовательно, нам
не нужно объединять несколько детерминантов. Существует также только
одно состояние (детерминант Слетера) с М = 13/2, а именно (7/2,5/2,1/2).
Это состояние относится к предыдущему мультиплету I = 15/2. Откуда,
значение полного углового момента I = 13/2 не разрешено. На следующем
шаге, М = 11/2, мы получаем два возможных распределения проекций,
(7/2,3/2,1/2) и (7/2,5/2,-1/2). Одна комбинация этих состояний приводит к
I = 15/2, другая открывает новый мультиплет с I = 11/2 который, в свою
очередь, должен иметь члены со всеми возможными проекциями. Покажем
полную процедуру:
М = 15/2 7/2 5/2 3/2 I = 15/2
М = 13/2 7/2 5/2 1/2 —
М = 11/2 7/2 3/2 1/2 7/2 5/2 -1/2 I = 11/2
М = 9/2 5/2 3/2 1/2 7/2 3/2 -1/2 7/2 5/2 -3/2 I = 9/2
М = 7/2 5/2 3/2 -1/2 7/2 1/2 -1/2 7/2 3/2 -3/2 7/2 5/2 -5/2 1 = 7/2
М = 5/2 5/2 1/2 -1/2 5/2 3/2 -3/2 7/2 1/2 -3/2 7/2 3/2 -5/2 7/2 5/2 -7/2 1 = 5/2
М = 3/2 3/2 1/2 -1/2 5/2 1/2 -3/2 5/2 3/2 -5/2 7/2 -1/2 -3/2 7/2 1/2 -5/2 7/2 3/2 -7/2 I = 3/2
М = 1/2 3/2 1/2 -3/2 5/2 -1/2 -3/2 5/2 1/2 -5/2 5/2 3/2 -7/2 7/2 -1/2 -5/2 7/2 1/2 -7/2
(8.16)
Состояния с отрицательными значениями М не дают новой информации.
Эта процедура перечисления собирает все возможные значения углового
момента (последний столбец). Значения I = 13/2 и 1/2 не разрешены.
Соответствующее полное число состояний равно
ЛГ = + 1) = 16 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 = 56, (8.17)
I
в согласии с общим правилом (8.15).
Задача 8.3
В атомах Ь5-связь ближе к реальности из-за слабого спин-орбитального
взаимодействия. Атом азона имеет наинизшую электронную конфигурацию
1<§2 2<§2 2р3. Определить возможные квантовые числа Ь,8^ для этой
конфигурации.
Решение
Здесь перечисление чуть более сложное, прежде всего, потому что нам
нужно перечислить орбитальный момент и проекции спина отдельно, а за-
тем комбинировать их способом, разрешаемым статистикой Ферми. Только
р-уровень доступен для размещения частиц, и доступные $2 = 3 х 2 = 6
одночастичные состояния (т^,т5) суть
(а) (1,1/2); (а7) (1, —1/2);
(Ь)(0,1/2); (У) (О,-1/2);
(с) (-1,1/2); (с7) (—1, —1/2).
Теперь мы заполняем эти состояния тремя частицами, образуя состояния
многих тел. Начнем с максимально возможной проекции полного орбиталь-
ного момента Мь = 2. Это можно делать двумя путями, оба включают
(а) и (а'): (аа'Ь), Мв = 1/2, и (сш'У), Мв = —1/2. Поскольку все ситуации
будут симметричны для положительных и отрицательных Мь и М$, мы
можем снова ограничиться состояниями с положительными значениями
обеих проекций,
= 2 : (аФб), М8 = 1/2. (8.18)
Следовательно, состояние сЬ = 2и8=1/2 разрешены, их символ стано-
вится 2 29: соответствующий полный угловой момент может быть 7 = 3/2
или 5/2. Для М8 = 1 мы имеем
Мь = 1 : (пас), М8 = 1/2; (аЬЬ'\ Мв = 1/2. (8.19)
Одна комбинация этих состояний относится к предыдущему мультиплету,
другая открывает новый с Ъ = 1 и 8 = 1/2, т.е. 2Р с 7 = 1/2 или 3/2.
Окончательно, комбинации, разрешенные для Мв = 0, включают
Мв = 0 : (абс); (абФ); (аУс); (сЛс), (8.20)
с проекцией спина Мв = 3/2 для первого, и Мв = 1/2 для трех остальных
случаев. Это показывает новый (третий) мультиплет сЬ = 0и5 = 3/2,
который должен быть отмечен как 45, и здесь 3 = 3. Три оставшиеся состо-
яния с Мъ = 0 завершают три мультиплета. Теперь мы можем перечислить
все возможные члены конфигурации р3:
2^3/2,5/25 2^1/2,3/2; 4^3/2- (8.21)
Полное число состояний должно быть
6’
ЛЛ(3’6) = зГз!' (8-22)
В самом деле, подсчитывая все состояния (8.21) с различными 3 и Мд, мы
получим
Л'' = 53(27 + 1) =4 + 6 +2 + 4 + 4. (8.23)
т
8.4 Обменное взаимодействие
Когда частицы взаимодействуют, волновая функция многих тел, взятая
как детерминант Слетера или как произведение независимых одночастич-
ных функций перестает быть стационарной. Мы уже отмечали, базис,
даваемый конфигурациями независимых частиц, совместимыми с типом
статистики, полон и зачастую удобен, что учитывать эффекты взаимодей-
ствий.
Рассмотрим в качестве примера двухчастичную систему (в действи-
тельности, это может быть система валентных электронов или нуклоны
наверху ядра, которые могут приближенно считаться инертными). Пусть
тождественные частицы занимают одночастичные состояния |1) и |2) и,
пренебрегая их взаимодействием, мы можем иметь энергию пары
Е° = б1 + е2. (8.24)
Мы предполагаем, что взаимодействие V между частицами может рас-
сматриваться как возмущение. Для различных одночастичных состояний,
и только в этом случае, разрешенном для фермионов, невозмущенная
волновая функция может быть записана как
где мы используем оператор рождения частицы, и |0) означает вакуум или
состояние инертного ядра, которое не содержит орбиталей |1) и |2).
Общий вид взаимодействия в форме вторичного квантования дается
уравнением (17.61),
С = | У2(341^156)аза4а5Йб. (8.26)
2 3456
Мы обрамляем этот оператор бра- и кет-векторами (8.25) и вычисляем
ожидаемое значение, без возможного возмущения ядра,
<#’12Щ|#’12> = | (34|С7|56)(0|а1а24«465аб4«110)- (8.27)
2 3456
Очевидное правило выбора определяет ненулевой вклад в бесконечную сум-
му в (8.27): операторы аннигиляции 5,6 должны освобождают от исходных
операторов 2,1 (мы не рассматриваем разрушение ядра ), и аналогично,
операторы 3,4 занимают позиции 1,2. Это, конечно, тривиально, поскольку
мы рассматриваем только двухчастичное взаимодействие с фиксированны-
ми начальным и конечным состояниями. Здесь, существование мешающих
путей взаимодействия, аналогично Рис. 15.2, входит в игру. Таким образом,
ЙбЙбЙгЩ^О) = (^62^51 Т 5б1#52)|0). (8.28)
То же справедливо для конечных пар частиц. В результате,
^12^1^12) = | {(21|Г|12) т (21Д121) т (12Д112) + (12|С7|21)} , (8.29)
или, на основании очевидной симметрии (41.63),
<^12|С7|^12> = (21 \Щ 12) щ (12|?7| 12). (8.30)
Эта автоматическая (анти)симметризация, см. (17.64), соответствует диа-
грамме Рис. 15.1; знаки — и + берутся для фермионов и бозонов, соответ-
ственно.
В случае различимых частиц, описываемых операторами а и 6, вместо
(8.30), гамильтониан взаимодействия должен иметь вид
= У2(34Д|56)«з4^а6, (8.31)
3456
и мы получаем энергию взаимодействия
независимо от предположения, что операторы а, о) коммутируют или ан-
тикоммутируют с Ь, Только прямой член, (21|С7|12), описывает взаимо-
действие между частицами, тогда как тождественность частиц приводит к
дополнительному обменному вкладу, (12|[7|12).
Задача 8.4
Вычислить прямые и обменные матричные элементы для взаимодей-
ствия двух тождественных частиц в однородной среде, уравнение (17.75),
предполагая, что взаимодействие не зависит от спинов частиц.
Решение Состояние |^12) есть
|^12> = ^2а241СТ1|0>. (8.33)
Полный импульс пары, Р = Р1+Р2, не изменяется при перестановке частиц,
в то время как относительный импульс, р = (р1 — рд)/2, меняет знак, ср.
раздел 39.6 и Рис. 39.1. Это дает
= у (Со С2Р5а1а2)- (8.34)
Обменный процесс со спин-независимым взаимодействием эффективен
только для частиц с одинаковым состоянием спина («параллельные» спины).
8.5 Двухэлектронная система
Обменное взаимодействие играет важную роль в определении наиболее
энергетически предпочтительных состояний систем с тождественными
частицами. Идея того, как это получается, может быть понята из простого
примера двухэлектронного атома (гелий или атом с двумя валентными
электронами на верхних заполненных оболочках).
Нерелятивистский гамильтониан двухэлектронной системы во внешнем
(ядерном) поле дается выражением
тт Р1 + Р2
11 = --------
2т
-Ее2
1 1 А
------1----)
Г1 г2 7
|Г1 - г2|’
(8.35)
Для простоты, мы будем рассматривать последний член (8.35), электрон-
электронного электростатического взаимодействия, как возмущение. В
приближении нулевого порядка, мы берем обычную водородоподобную
волновую функцию независимых электронов. Полная волновая функция
должна быть построена как правильная антисимметричная комбинация,
учитывающая также спиновые переменные. Пусть электроны будут в прост
пространственных состояниях \ Д с квантовыми числами пД,ти \17) с кван-
товыми числами п!Д' ,т!. Полные пространственные волновые функции
двух тел с определенной симметрией равны
Ф<9(Г1,Г2) = -^=^(Г1)^(г2) + ^Дг1М/(г2)) (8.36)
и
Фд(г1,г2) = -)= Д(гх)^(г2) - (8-37)
для у Д у', и
Ф5(Г1, г2) = ДДгДДДтД (8.38)
для у = у'. Полная спиновая функция Х8М3 должна быть синглетом,
Хост и триплетом, Х1М$- Аналогично разделу 39.6, разрешенные атомные
волновые функции
Фз • Хоо Фд • Х1М5, = 1, 0,-1. (8.39)
В нулевой аппроксимации, все четыре функции (8.39) вырождены, и их
энергия является суммой энергий Бора для занятых орбит у и у',
+ (8.40)
Уже в первом приближении теории возмущений, кулоновское отталки-
вание расщепляет вырожденные состояния (8.39). Для у = у', антисим-
метричная пространственная функция (8.37) зануляется, и единственное
возможное состояния это спиновый синглет Ф^Хось который будет сдвинут
вверх кулоновским расталкиванием.
Задача 8.5
Рассчитать по теории возмущений основное энергетическое состояние
гелиеподобного атома и энергию ионизации.
Решение Здесь нам понадобится только прямой интеграл, включающий
две водородоподобные волновые функции фДг} для заряда Е = 2,
у е2
•7 = / с?3Г1(/3Г2^о(г1)^о(г2)|-г- (8.41)
] |Г1 - г2|
Используем мультипольное разложение (1.21.58) кулоновского потенциала,
Ф ж—л 4тг гл
|п -г2| = 2^ + 1 У^П| )У"'(пЛ
Ет >
(8.42)
и примем во внимание только монопольный член I = т = 0, оставшийся
после интегрирования изотропных функций. С явным разложением этих
функций, (8.41) он сводится к двум радиальным интегралам (а - радиус
Бора),
Д/6р2 гос Г гос >
^ =------т— / с1/гц \ / (1г2г1г±-\- / (Гд г^Г2 г (8.43)
7 о 17о г± )
Элементарное интегрирование дает
5 Ее2
8 а
(8.44)
Основное энергетическое состояние в этом приближении равно
п т Л^)2 5 Ее2
Ео — 2во + >1 — —2—--Ь —--
2а 8 а
(8.45)
После ионизации атома мы остаемся с положительным ионом в основном
состоянии с энергией — (Яе)2/2а; следовательно энергия ионизации равна
(^е)2 ^2е2
2а 0 2а
(8.46)
Задача 8.6
Улучшить результат теории возмущений предыдущей задачи, подставив
заряд ядра варьируемым параметром.
Решение Экранировка заряда ядра другим электроном может быть ап-
проксимирована эффективным зарядом ядер. Следовательно, мы использу-
ем пробные водородоподобные волновые функции электронов, подставляя в
фо действительный заряд 2 варьируемым параметром ф С этой функцией,
кинетическая энергия электронов равна
К0 = 2^ГЬ = (8.47)
2а 2а к ’
потенциальная энергия притяжения к заряду ядра 2 равна
(8.48)
электростатическая энергия электрон-электронного взаимодействия стано-
вится, вместо (8.44),
5 Д2
8 а
(8.49)
Полная энергия Е*о(С) = + 17о + ^ достигает минимума при
(8.50)
Энергия ионизации становится [сравни с (8.46)]
Энергия (8.51) отличается от действительного значения для гелия на 5.5%
(как это должно быть, точное основное состояние имеет меньшую энергию,
чем его варьируемое приближение). Для более тяжелых гелиеподобных
атомов, варьируемый результат быстро достигает экспериментального зна-
чения, показывая увеличение достоверности приближения среднего поля.
с у ф 12, все четыре состояния (8.39) разрешены; поскольку взаимо-
действие спин-независимое, три триплетных состояния будут оставаться
вырожденными. Но синглетное и триплетное состояния будут расщеплены
Это чисто квантовый эффект тождественных частиц: даже когда силы не
зависят от спинов, полный спин 3 определяет дополнительную симметрию
пространственной части волновых функций и по этой причине влияет на
энергию.
Вычисляя, аналогично (8.30), энергетический сдвиг состояний (8.36) и
(8.37), мы придем к аналогичному результату: в первом приближении, это
дается суммой прямого и обменного вкладов кулоновского взаимодействия
I/ между электронами,
(Ф5|П|Ф5>(гл/рДД) + (^|ПфД),
(ФдД|Фд)(^г//Д|^'г/) -
(8.52)
обычно прямой, Зууц и обменный, Куу/ интегралы введены,
М = Д'\1}\у'О = У Ли бг3г2|Д(г1)|2Дг1,г2)|Д(г2)|2, (8.54)
= (уи'ДиД = Ус?3Г1 сг3Г2С(г1)С,(г2)17(г1,Г2)^'(г1)^(г2). (8.55)
Только прямой интеграл Зуу/ имеет простой классический аналог — обыч-
ное электростатическое взаимодействие пространственно распределенных
заряженных облаков |?Д|2 и |Фд|2- Обменный интеграл КгЕ возникает
полностью из-за квантовой интерференции
Прямой интеграл дает равный (положительный) сдвиг энергии для обоих
значений спина, 5 = 0 м 1; такой же сдвиг имеет место для различимых
частиц. Обменный интеграл также положителен для кулоновского взаи-
модействия, но для тех же пар (т/Д), этот член делает пространственно-
симметричную функцию Ф<$ выше по энергии, чем антисимметричный
Фд. Откуда, при отсутствии спин-зависимого взаимодействия, спиновые
синглетные состояния оказываются выше, чем триплетные состояния для
той же двухэлектронной конфигурации. Это качественно понятно: триплет
связан с антисимметричной функцией Фд, которая имеет узел при Г1 = гд,
поэтому электроны приближаются друг к другу с меньшей вероятностью,
что уменьшает положительный эффект кулоновского отталкивания. Окон-
чательно, для г ф г', имеем
5Еуд (5 = 0) = Лд + К„д, = 1) = Лд - К^. (8.56)
Для двух электронов в том же пространственном состоянии, г = г', из
(8.38) мы находим
6Е„„ = (8.57)
Здесь, обменный вклад отсутствует, как это было в (8.34) для антипарал-
лельных спинов.
Дополнительный важный урок этого рассмотрения состоит в том, что,
как отмечалось ранее, корректная (анти)симметризация волновой функции
необходима только если волновые функции тождественных частиц перекры-
ваются. Если состояния ф) апс! фх) локализованы в разных пространствен-
ных областях, обменный интеграл Куу/ исчезает, и физические результаты
совпадают с теми, что получены с использованием несимметризованной вол-
новой функции (прямой интеграл остается, обладая дальнодействуюгцим
характером кулоновского взаимодействия).
(132Р)1?,
— Э /, О ------------- ------------------
(182р)3Р0,12
(1828)18„
-58,4 —----------------------------------
-59 -------------- — --------——
(182)180
“79 777777777777777 --------------
Е(еУ) 8=0 8=1
Рис. 8.1. Энергетический спектр наинизшего состояния атома гелия
8.6 Атом гелия — оптический спектр
Наши результаты объясняют главные свойства оптического спектра
атома гелия, хотя теория возмущений недостаточна для количественных
предсказаний.
Основное состояние соответствует конфигурации 1<§2, где степень 2
говорит, что мы имеем два эквивалентных парных электрона на наинизшей
оболочке 1$ (п = 1, I = т = 0). В соответствии с принципом Паули,
спиновая волновая функция является синглетом ддо, атомные квантовые
номера Ь = 5 = 7 = 0, нс помощью спектроскопических обозначений мы
пометим основное состояние атома как
25+1(Г)7 5о.
(8.58)
Наинизшие возбужденные состояния соответствуют переходу электрона
на орбиту п = 2. В связи с этим, электроны становятся неэквивалентными,
и мы получаем возможные члены
Ь
1§25 0 1<90 351
152р 1 Д 3Р0,1,2
(8.59)
Мы получили две серии уровней, Рис. 18.1, синглет и триплеты. Синглетное
основное состояние может быть названо парагелий, по аналогии с пара-
и орто-позитронием. Для всех синглетов, Л = Ь, и отсутствует тонкая
структура. Триплетные состояния начинаются с конфигурации ортоге-
лия \з2з и Ъ = 0. Для заданной конфигурации, состояния с большим Ъ
обладают более высокими энергиями, как проявляет эффект экранировки
из-за электрон-электронного отталкивания. Высшие триплеты, Ъ > 0, для
заданного Ъ могут иметь три значения 7 = Ь, Ъ ± 1, которые расщеплены
релятивистскими эффектами тонкой структуры.
В оптическом диапазоне излучения мы имеем электрические дипольные
переходы. Такие переходы между триплетами и синглетами запрещены,
вследствие ортогональности спиновых состояний. Следовательно, состояние
ортогелия долгоживущее (метастабильное). Будучи возбужденными при
атомных столкновениях, атомы в триплетном 5-состоянии образуют иной
газ. отличный от парагелия. Последний является диамагнетиком, раздел
1.24.11, в то время как ортогелий парамагнетик.
В этом примере мы снова видим, что требования определенной перестано-
вочной симметрии совместимы с классификацией стационарных состояний,
отвечающих собственным значениям глобального оператора (Ё, 8, Л). Все
эти операторы аддитивны, т.е. они выражаются как суммы тождествен-
ных одночастичных операторов, раздел 17.6, и коммутируют со всеми
перестановочными операторами Раъ-
8.7 Правила Хунда
Энергия обмена (8.56) взаимодействий между двумя тождественными
частицами, определенная пространственной и дополнительной спиновой
симметриями, может быть выражена как искусственное спин-спиновое
взаимодействие. Это формально относится к оператору обмена спинами
(1.22.27), который выглядит аналогично взаимодействию, зависящему от
взаимной ориентации спинов.
Как использовано при решении Задачи 15.7, комбинации (1 =р Ра)/2
выделяют синглетную или триплетную часть любой величины, зависящей
от спиновых переменных двух частиц. Следовательно, ожидаемое значение
дЕ^д электростатической энергии для электронов, занимающих разные
орбитали г апс! н’ может быть записано как
= | [3 5Е.Д8 = 1) + 5Е„Д8 = 0)]
+| [бЕ^ДЗ = 1) - 6Е^(8 = 0)] («л • сг2). (8.60)
Здесь спин-зависимый член равен
= (8.61)
что в случае атома эквивалентно эффективному выравниванию спинов
д > 0).
В сложных атомах с многими валентными электронами, это эффективное
электростатическое взаимодействие расщепляет состояния одной и той же
конфигурации, которые были вырождены в приближении независимых
частиц, в соответствии с разными схемами связи углового момента. Как
мы видели на простом примере атома азота, Задача 18.3, в качестве резуль-
тата электростатического расщепления мы имеем несколько возможных
электронных термов с комбинациями (Ь, 5) совместимыми с принципом
Паули. Эти термы имеют разные энергии; релятивистские эффекты даль-
нейшего расщепления каждого Ь5-терма на уровни тонкой структуры ВЗЗ
оказываются меньше. Окончательно, мы можем идти вглубь сверхтонкой
структуры, характеризуемой квантовыми числами ЪЗЗР.
Эмпирические данные и более точные расчеты для сложных атомов
устанавливают правила Хунда для определения наинизшего по энергии
Ь5-терма. В соответствии с первым правилом, наинизший терм соответ-
ствует максимально возможному значению полного спина 3. С идеей
эффективного спин-спинового взаимодействия (8.61) мы понимаем этот
результат как предпочтение для наиболее симметричной полной спиновой
волновой функции, которая соответствует статистике Ферми, минимуму
пространственной симметрии, и, следовательно, минимальному кулонов-
скому отталкиванию. Второе правило выбирает наинизший терм среди
состояний с максимальным 3 и различными значениями А. если имеются
несколько возможных. Минимальная энергия соответствует максималь-
ному разрешенному значению Ь. Это снова соответствует минимальному
перекрытию пространственных орбит электростатически отталкивающихся
электронов; максимальное перекрытие задано парными электронами на
сопряженных по времени орбитах |^, т^) и |Д —т^), раздел 1.20.6, которые
связаны с минимальным значением Ь = 0.
ЗАДАЧА 18.7. Определить наинизший терм для атома азота, где возможное
множество квантовых чисел было найдено в Задаче 18.3.
РЕШЕНИЕ. В соответствии с правилом Хунда, терм основного состояния дол-
жен быть 4 8*3/2 с максимальным спином 8 = 3/2иА = 0. Это может быть найдено
без полного перечисления всех возможных состояний. Достаточно установить,
что максимальный спин равен 3/2, и он соответствует выравниванию всех трех
электронных спинов. Тогда все орбитальные проекции Ш( электронов должны
быть различными добавками к = 1 + 0 + (—1) =0. Следовательно, Ь = 0,
как всегда в случае состояния с максимальным спином для полузаполненной
орбитали.
8.8 Симметрия частица”—дырка
В атомах, заполненные оболочки являются конфигурациями, где все од-
ночастичные состояния с разными проекциями спина, т5, и орбитального
момента, возможные для заданных квантовых чисел п и заняты.
Тогда полные проекции М$, М5, Мд спина, 5, орбитального, Ь, и полного
углового момента, 7, обнулены. Состояние заполненных оболочек един-
ственно, и, очевидно, вращательно инвариантно. Соответствующий терм
это х5о и 8 = Г = б = 0.
В ядрах (или тяжелых атомах), спин-орбитальная связь является силь-
ной, и, вместо Г8 связи, следует использовать дд-схему связи, когда мы
впервые находим 3=^ + 8 для каждой частицы, а затем связываем их с
полным угловым моментом Л = В этой схеме индивидуальное значе-
ние орбитального момента значительно и определяет четность одноча-
стичной орбитали. Ядерная ^«8-связь генерирует спин-орбитальный дублет
д = ± 1/2, с разделением знака противоположно атомному случаю —уро-
вень с большим д имеет низшую энергию. Тогда мы займем ^'-уровни один
за другим, и заполним ^'-уровень снова показывающий свойства заполнен-
ной оболочки 7 = 0; поскольку только б и четность П имеют определенные
значения, обычно обозначение 7П используется в спектроскопии, поэтому
заполненный уровень соответствует состоянию 0+.
Задача 8.7
протонов в ядре занимают оболочку с угловым моментом ф Каков
наибольший возможный угловой момент 7П1ах(^г) системы?. При каком
числе частиц это наибольшее значение достигает максимума?
Решение При заданном ТУ,
Л„„(А) = | А(2.7 + 1 - Л').
(8.62)
Наибольшее возможное значение этой величины достигается при полуза-
полненной оболочке,
2
, _ (2? + I)2
тах — $
(8.63)
Если заполненная оболочка может принимать Л фермионов, но в дей-
ствительном состоянии имеет только IV < П частиц в этой оболочке, мы
можем также сказать, что состояние многих тел имеет П ЛГ дырок. Это
особенно удобно для оболочки, занятой > П/2 частицами ($2 всегда
четное число). Дырки, как отдельные объекты, подчиняются статистике
Ферми, поскольку одночастичное состояние занято либо пусто. Формально,
мы можем сделать каноническое преобразование частица-дырка простым
обменом между операторами рождения и аннигиляции. Вакуум в картине
дырок является полностью заполненной оболочкой, оператор = а^т
создает дырку с квантовыми числами р т (для определенности мы ис-
пользуем здесь 77-схему; также справедливо в ^«8-схеме для операторов
в то время как оператор = а^т заполняет в пустом месте
аннигилирует дырку. Антикоммутационные свойства (41.14) инвариантны
при преобразовании частица-дырка.
Рассмотрим состояние из частиц в оболочке емкостью Л. Пусть это
состояние имеет вращательные квантовые числа ЛЛ. Мы знаем, что в
этом случае нам нужно образовать специальную комбинацию детерминан-
тов Слетера, или операторов рождения а\ с правильной вращательной
симметрией. Если мы поставим недостающие (П — АД частиц в дополни-
тельную комбинацию, мы получим заполненную оболочку с квантовыми
номерами \ЗМ = 00). Это означает, что дополнительная комбинация имеет
квантовые номера 7, — М, и существует взаимно однозначное соответствие
между состояниями из V и О - V частиц, или между состояниями из
частиц и дырок, поэтому
|00; ) = -Д== (8.64)
7А/ + 1 м
где мы используем правило (1.22.34), образующее вращательный инвари-
ант. Заметим, что дырочная компонента совпадает в уравнении (8.64) с
сопряженной по времени, в соответствии с (1.20.68). Результат (8.62) обла-
дает явной симметрией частица-дырка. В схеме Ь5-связи, состояния дырок
имеют те же значения всех угловых моментов, 5, Ь, и У, как и состояния
частиц.
Задача 8.8
Используя правила Хунда, найти наинизший терм для атомных конфи-
гураций р1^ с электронами на р-орбите.
Решение может принимать значения от нуля до шести, и симметрия
частица-дырка гарантирует, что все возможные состояния те же самые для
М = 0 и 6, 1 и 5, 2 и 4. Полузаполненная оболочка, Задача 18.6, может
рассматриваться с точки зрения частицы или дырки. Наинизший терм
^ = 0,6 г50
ЛГ = 1,5 2Р1/2, 2Р3/2
Я = 2,4 3Р0, 3^2
К = 3 453/2.
(8.65)
Знак расщепления тонкой структуры меняется при полузаполненной обо-
лочке: ниже ^ = Г2/2 наинизшее значение 7 опускает (нормальная элек-
тронная спин-орбитальная связь), в то время как выше ^ = Л/2 тонкая
структура определяется дырками с эффективным противоположным заря-
дом, поэтому тонкая структура инвертируется.
8.9 Структура оболочки
Как мы видела в примерах гармонического осциллятора и кулоновского
потенциала, уровни частиц имеют тенденцию группироваться в сгустки с
более или менее широким зазором между ними. В тех двух исключительных
примерах, имеется точное вырождение многих орбиталей с очень разными
пространственными формами, но с той же энергией. Это вырождение явля-
ется следствием особой симметрии, как мы обсуждали в соответствующих
разделах. Однако, даже в случаях, где отсутствует точная симметрия, часто
мы можем видеть явную оболочечную структуру с одночастичным уров-
нем плотности модулированной максимумами (оболочки) и минимумами
(зазоры между оболочками).
Появление оболочечной структуры дискретного спектра, вообще говоря,
имеет полуклассическое происхождение в почти резонансном соотношении
между частотами отвечающими движению различных степеней свободы.
В пределе полного разделения переменных, квантовая энергия частицы
является суммой парциальных энергий,
Е(гц, п2,п3) = 51(П1) + г2(п2) + ез(«з)-
(8.66)
Оболочка образуется, когда малая вариация, скажем, увеличение на 5п{
квантового числа может быть с высокой точностью скомпенсировано вариа-
цией, —других квантовых чисел так, что полная энергия меняется лишь
слегка. Это условие может быть записано для достаточно больших кванто-
вых чисел, когда с парциальными энергиями ефпг) можно приближенно
Рис. 8.2. Схема одночастичных уровней в поле анизотропного аксиально-
симметричного гармонического осциллятора
обращаться, как с непрерывными функциями
« 0.
СЬТр (ТПу
(8.67)
Однако, в полуклассической области, зазор с/е/с/п = △ между смежными
дискретными уровнями для данных степеней свободы равен частоте ш соот-
ветствующей периодическому классическому движению с той же энергией,
уравнения (1.1.62 и 1.15.78). Следовательно, уравнение (8.67) образования
оболочки, на самом деле, является условием приближенного классического
резонанса между двумя периодическими движениями,
ШгбПг & Шдбпу
(8.68)
Для изотропного гармонического осциллятора уравнение (8.68) является
точным, поскольку щ = (Лу но оно справедливо приближенно, в некотором
интервале квантовых чисел, в случае слегка различных частот и а)у
Когда частоты удаляются, оболочечная структура размывается, но она по-
является снова в области следующего резонанса, например, при отношении
частот близком к 2:1.
Задача 8.9
Нарисовать систему одночастичных уровней для потенциала аксиально-
симметричного гармонического осциллятора с различными значениями
отношения частот, сцДах = сравнить с Рис. 1.18.2 для
двумерного случая.
Решение Смотри Рис. 18.2, где параметр деформации равен б/ = (фх —
сиД/сио, И) = (2са± + саД/3, числа показывают максимальные занятости
оболочек. Деформация может быть переведена в отношение осей.
Глава 9
Фермионы
9.1 Идеальный Ферми-газ
Говорят, что вскоре после открытия
уравнения Шрёдингера для волновой
функции электронов Ф, которое
блестяще оправдалось для малых
систем таких как или 2, П.М. Дирак
объявил конец химии, поскольку все
ее содержание описывалось этим
великим по силе уравнением. «К
сожалению», как говорят, добавил он,
«практически во всех случаях
сложность этого уравнения не
позволяет получить его решение».
В. Кон.,Нобелевская лекция, 1998
Точное решение реалистической квантовой задачи о системе многих
частиц, взаимодействующих между собой и с внешним полем, невозмож-
но (и было бы бесполезным). Нужны приближённые методы, основанные
на эвристической информации, физических гипотезах и инструктивных
упрощённых моделях. Более того, вместо точной чрезвычайно сложной вол-
новой функции нам нужно ограниченное количество информации, которая
может быть непосредственно связана с наблюдаемыми величинами. Взаимо-
действие обычно не является слабым, и прямолинейное применение теории
возмущений на основе картины независимых частиц не работает. Тем не
менее мы начнём с идеального газа невзаимодействующих частиц — этот
шаг необходим для того, чтобы найти подходы к физике реалистических
систем со взаимодействием.
Эта идеализированная картина уже обсуждалась в главе 18 для атом-
ных и ядерных конфигураций. В идеальном Ферми-газе мы имеем И
тождественных фермионов в общем внешнем поле, и нерелятивистский
гамильтониан даётся формулой
н = уДка + саД (9.1)
а=1 а=1
Волновые функции системы как целого Ф строятся из одночастичных
функций удовлетворяющих
Иа = ед^А-
(9-2)
Вследствие неразличимости частиц, все операторы ка идентичны. Решение
уравнения (9.2) даёт полный ортонормированный набор функций и
их энергии ед. Многочастичные стационарные состояния Ф даются слэте-
ровскими детерминантами (или относительно простыми их комбинациями,
имеющими определённые значения некоторых интегралов движения), см.
главу 18. Эти состояния соответствуют различным распределениям частиц
по одночастичным состояниям 'фу. На языке вторичного квантования, мы
выбираем различных орбиталей фу и действуем на вакуум |0) опера-
торами рождения йд, по одному на каждую из выбранных орбиталей.
Энергия каждого стационарного состояния даётся суммой (18.3). Основное
состояние соответствует заполнению низших орбиталей. Мы называем
энергией Ферми энергию ер самого высокого из занятых состояний. Ес-
ли имеются вырожденные состояния с такой энергией, то они образуют
поверхность Ферми Ер.
В простейшем пространственно однородном случае потенциал 1йа -л-
[7(га) в (9.1) определяется стенками большого ящика объёма V = Е3 с
периодическими граничными условиями, см. раздел 1.3.8. Соответствующие
орбитали — это плоские волны |А) = |рсг) с импульсом р и проекцией спина
а на некоторую ось квантования,
^р<т(г, 52) = (гррст) = -Е е(г/п)(р'г)х<7(52). (9.3)
Здесь — спиновая функция, а компоненты волнового вектора явля-
ются дискретными, = р^Н = (2тг/Е)пд Одночастичные энергии состоя-
ний (9.3),
Р2
6А = 2^’ (9'4)
не зависят от а и от направления р.
В основном состоянии системы все орбитали (9.3) заняты вплоть до
энергии ер, характеризуемой, в соответствии с (9.4), импульсом Ферми
Рр = у/2тер. В термодинамическом пределе большого объёма V и боль-
шого числа частиц при фиксированной плотности п = /V, импульс
Ферми зависит только от плотности. Число частиц равно числу занятых
орбиталей |рсг),
= ^2 Прсп прсг = 1 если р < рр и 0 если р > рр. (9.5)
рсг
Переходя к интегрированию со стандартным подсчётом орбиталей (1.3.94),
мы имеем для основного состояния
= У (9.6)
9 (2тгП)3 1р<рр 67Г2П3 ’
где д — число вырожденных внутренних состояний частицы, в нашем
случае число проекций спина (2<§ + 1). Занятые орбитали образуют сферу
Ферми в импульсном пространстве, радиус которой равен
/6тг2/г3 АД1/3 /67Г2П3 \1/3 . .
РЕ=( ------- 77 = -------И • 9.7
\ 9 V/ \ д /
Среднее расстояние между частицами го ~ п-1/3 ~ 1/кр определяется
волновым вектором кр = рр/Н.
Таким же образом мы можем вычислить энергию основного состояния
идеального Ферми-газа:
Ео = Е пр„гр<7 = дУ [ Е (9.8)
или, используя (9.6),
Е0 = -^Е = -ерЕ. (9.9)
5 2т 5
Средняя кинетическая энергия частицы, ё = Е^/Е = (3/5) ер, растёт с
плотностью ос п2/3. Это согласуется с основанной на соотношении неопре-
делённостей оценкой температуры (15.9), соответствующей наступлению
квантовых эффектов в вырожденном газе. Когда плотность возрастает
и расстояние между частицами /д = [3/(4тгп)]1/3 уменьшается, энергия
взаимодействия обычно увеличивается. Однако кулоновская энергия газа
заряженных частиц увеличивается только как ос 1/го ос п1/3, т.е. медленнее,
чем кинетическая энергия. Вопреки интуиции, плотный кулоновский газ
оказывается ближе по своим свойствам к идеальному газу: относительная
роль взаимодействия убывает.
Во многих приложениях важную роль играет плотность состояний на
поверхности Ферми ир. Поскольку любое слабое возмущение Ферми-газа
может повлиять только на слой моря Ферми вблизи поверхности (частицы
в глубоких состояниях не могут возбуждаться, поскольку соседние места
выше по энергии уже заняты), именно гр определяет, насколько сильным
будет отклик газа на возмущение. По стандартному определению (1.3.83),
см. также §2.5, плотность одночастичных состояний есть число таких
состояний на единичный интервал энергий (мы также подразумеваем здесь
единичный объём),
, ч д
(9.10)
где мы проинтегрировали по телесному углу, предполагая изотропный
энергетический спектр е(р). Для е(р) = р2 /2т мы получаем
_ / а 9т
(9.И)
или, сравнивая с выражением (9.6) для плотности п = ^/V, мы приходим
к плотности состояний на единичный объём
Зтп Зп
»Р = ~2~ = о—
Рр 2ег
(9-12)
Задача 9.1
Рассмотрите атомное ядро {2 протонов и Е нейтронов) в модели Ферми-
газа. Покажите, что нейтрон-протонный дисбаланс — 2 имеет своей
ценой энергию симметрии, пропорциональную Т2/А, где 7з — проекция
изоспина (16.11), А = + 2 — массовое число, и мы предполагаем —
2\/А 1. Выразите коэффициент пропорциональности через энергию
Ферми гр симметричного ядра = 2).
Решение Полная кинетическая энергия нейтронного и протонного Ферми-
газов есть
Е]у + Ер — %
(9.13)
в терминах кинетических энергий нуклонов. Из (9.9)
Ер + Ер = соп81- <
дД/з ^5/3
= СОП81------ртз----
(9-14)
поскольку объём ядра пропорционален числу нуклонов А. Энергия (9.13)
минимальна при = 2 = А/2. Изменение энергии из-за избытка нейтронов
равно
-Е'бутт — -ЁД/- 3“ -Е'Я 2.ЕД/2 —
СОП81
ДДз-
/V5/3 + 2-5/3 _ 2
или, вводя изоспин 27з = Я — IV, |7з| А,
ъутт —
СОП81
Л2/3
АД/з1
/Т-12
13
А ’
(9.16)
Собирая коэффициенты, мы находим
^зутт — д ^Р д ~ &Р • (9.17)
В действительности этот эффект объясняет только около половины энергии
симметрии; остальное происходит от нуклонных взаимодействий, зависящих
от изоспина, которые сильнее для нейтрон-протонных пар с Т = 0, чес для
пар одинаковых частиц (Т = 1).
Задача 9.2
19.2 Найдите корреляционную функцию плотностей в различных точках
для идеального Ферми-газа в ящике.
Решение Оператор плотности для данной проекции спина даётся
^ = ^е’(к/-к)-г4дк/(Т (9.18)
кк'
(ср. с (17.42)), и среднее значение полной плотности в основном состоянии
Ферми-газа есть
22 (мд = -122 ег(к,“к)'Г5к'кпкст = 4 22= г ~п’ (9‘19)
& кк'сг ксг
причём каждая спиновая компонента даёт вклад п/(2<§+1). Корреляционная
функция плотности содержит
^(г1СГ1;г2Сг2) = (ТУ'г^Дгз^), (9.20)
или
Л'(г^1;г2а2) = у, Е с.ИЬ-к| > ' •«! (<ЕЛг.Х.,Л,.Д.
к1к2кзк4
как это было бы и для различимых частиц. Для разных проекций спина
<71 ф <72 матричный элемент в (9.21) задаёт кд = кд кд = кз, и корреляция
плотности отсутствует,
К(Г1<Т1;Г2<Т2 ± <Т1) = -^2
25 + 1
(25 + 1)2’
(9.22)
Корреляции появляются при <72 = <71 = <7. Теперь есть два случая, в
которых матричный элемент отличен от нуля: первый, к2 = к1, к4 = кз,
приводит к предыдущему нескоррелированному результату (9.22), тогда
как вторая возможность, к2 = кз, к4 = к1, определяет
А'(п«да) = ’Д + Д ЛЬ-Ь'Н''-") пЬ1„(1 - (9.23)
^5 + 1; I/ к1к2
В корреляционном члене уравнения (9.23) сумма по к1 берётся по занятым
состояниям к\ < кр. тогда как сумма по пустым состояниям к2 даёт
(г = Г1 - г2)
(9.24)
Полная сумма по к2 равна Г<5(г), так что
и интегрирование приводит к
(9.25)
(9.26)
V
2тг2г3
[зпДрг) — (крг) СО8(Д?г)].
(9.27)
Таким образом, результат для корреляционной функции (ср. с (17.52)),
С(Г1<7, Г2<т) = ТЦгцт, г2<т) —
/ п \
\25 + V
есть (г = Г1 гд)
Т)
С (га) = -----------5(г)
к 7 25 + 1
[$ш(крг)
(крг) со8(А?рг)]2
4тг4г6
(9.29)
Корреляция всегда отрицательна, как и следовало ожидать по принципу
Паули (так называемая корреляционная полость), но она быстро убывает
на больших расстояниях, рис. 19.1; осцилляции показывают интерферен-
ционную картину с характерной длиной волны 1/кр порядка среднего
расстояния между частицами. Обратите внимание, что нетривиальные кор-
реляции появляются только из-за обменных эффектов между частицами с
параллельными спинами.
С(х)
Рис. 9.1. Корреляционная функция плотностей для фермионов с одинако-
выми проекциями спина; х = крг > 0; Со = 4тг4/ср.
9.2 Спиновый парамагнетизм
Когда на Ферми-газ действует внешнее поле, основное состояние пере-
страивается так, чтобы минимизировать энергию в новых обстоятельствах.
В качестве примера мы рассмотрим, как электронные спины ведут себя в
постоянном магнитном поле.
При отсутствии магнитного поля минимум энергии соответствует рав-
ным числам электронов с проекциями спинов з~ = ±1/2. (Подобным
образом, энергетически наиболее выгодная ситуация по отношению к изо-
спину достигается при равном числе протонов и нейтронов, см. задачу 19.1.
Частицы с обоими проекциями спинов занимают одинаковые сферы Ферми,
п Р3р
П+ = П~ = 2 = бЛЛ' (9'30)
Энергии Ферми равны,
2
= Ек. (9-31)
р р 2т к ’
В присутствии магнитного поля В = ВТ мы должны учесть дополнитель-
ную энергию взаимодействия спинов (д8 = — \е\/тс) с полем,
-(Д • й) = -д3ПзгВ = ± двВ- (9.32)
Одночастичные энергии для двух проекций спина раздвигаются,
Ер ± Мвй. (9.33)
2т
При данном импульсе, энергия одной проекции спина превосходит энергию
другой на Однако в минимуме полной энергии наибольшие энергии
для обоих проекций должны быть одинаковы, поскольку в противном
случае было бы выгодно перевести частицы из группы с большей энергией
в группу с меньшей. Поэтому основное состояние характеризуется условием
(+)2 (-)2
4+) = + МгЛ = 4-) = ---мвв, (9.34)
2т 2т
или
(+)2 (-)2
+ 2дв# = ^—• (9.35)
Таким образом, две поверхности Ферми в импульсном пространстве
расщепляются, и в основном состоянии < 7У_. Смещение в слабом
магнитном поле, рис. 19.2,
=4^4»-" .п
Рис. 9.2. Смещение поверхностей Ферми для двух проекций спина в
магнитном поле.
может быть вычислено из (9.35). В слабом поле смещение мало по сравне-
нию с невозмущённой энергией Ферми. Мы можем положить, подобно (9.16),
/) 77
«+= Д п = -(1 + я), (9.37)
Л л
и разлагать по степеням х (сравните с (9.17)):
Р^2 Рр (6тг2)2/3/г2
2т 2т
п\2/3
2)
1
тД3 (1 + тД3]
4 (Зтг2п)2/3Й2
- х------------
3 2т
4
о
(9.38)
где ер — нормальная энергия Ферми-газа с полной плотностью тг без
магнитного поля. Из этого и уравнения (9.35),
3 йвВ
2 ер
(9.39)
практически всегда эта величина действительно весьма мала.
Результат (9.39) определяет магнитный момент системы (на единичный
объём),
/ \ 2 Зп
ц = цв(^ п+) = цвпх = рв-— В.
2ев
Мы получили парамагнетизм Паули, частичное выстраивание спинов в
магнитном поле, и нашли парамагнитную спиновую восприимчивость
др 2
Хз = дВ=
(9.41)
Уравнение (9.12) для плотности состояний на поверхности Ферми позволяет
нам записать эту величину как
= Рв»р-
(9.42)
Задача 9.3
19.3 Покажите, что результат в виде (9.42) является универсальным —
не зависит от энергетического спектра невозмущённого газа е(р).
Решение Энергетический слой, на который влияет поле 13 — Де ~ рв!3-
Две поверхности Ферми расщепляются на Де ~ рвЕГ Число состояний
каждого спина в этом слое на единичный объём есть
Дп = (1/2)?7рДе = рв^вЕ). (9.43)
Магнитный момент равен
р = рв Емп = р2вюв13, (9.44)
что эквивалентно (9.42).
9.3 Орбитальный диамагнетизм
Орбитальное движение электронов в вырожденном Ферми-газе кванту-
ется, что подробно обсуждалось в главе 1.13. В среднем энергия каждого
уровня Ландау увеличивается на энергию нулевых колебаний с цик-
лотронной частотой оос = \е\13/тс. Поэтому влияние магнитного поля на
орбитальное движение должно быть диамагнитным, энергия системы уве-
личивается, в отличие от парамагнитного эффекта выстраивания спинов,
уменьшающего энергию системы.
Полная орбитальная энергия в статическом однородном магнитном поле
13 есть энергия занятых уровней Ландау. В слабом поле, рв!3 ер, внутри
поверхности Ферми находится очень много уровней Ландау. Поскольку
магнитное поле нечётно по отношению к обращению времени, положение
энергии Ферми может измениться только во втором порядке по 13, что
означает, что сдвиг мал по сравнению с расстояниями между уровнями, и
им можно пренебречь. В основном состоянии мы занимаем уровни Ландау и
соответствующие состояния продольного движения вплоть до ер, и полная
энергия на единичный объём может быть записана как
Е -2 \ф
(2тгП)2с
(9.45)
п
где одночастичная энергия (1.13.61) даётся формулой
е(п,р^) =
Л , р!
2 / 2т’
(9.46)
и мы учли вырождение (1.13.62) каждого уровня Ландау, добавив множи-
тель 2 для проекций спина. Функция 9(у) в (9.45) — обычная ступенька,
равная 1 при у > 0 и 0 при у < 0.
С ростом величины 13 увеличиваются также циклотронная частота и
ёмкость уровней. Поэтому уровни Ландау пересекают поверхность Ферми
52р один за другим и становятся пустыми, тогда как население частиц рас-
пределяется по оставшимся уровням ниже 52р, которые увеличивают свой
объём. После каждого пересечения 52р число занятых уровней уменьшается
на 1, и вся картина приблизительно повторяется, потому что полное число
занятых уровней всё ещё огромно. Поэтому свойства системы приближённо
периодичны как функция вр/1тлс, или обратного магнитного поля, так на-
зываемый эффект де Гааза-ван Альфена. Ниже мы вычислим регулярную
часть орбитального магнетизма, соответствующую усреднению по этим
осцилляциям. Относительное изменение магнитного поля между двумя
перестройками 313)13 Тюзс)ер.
Усреднение, которое выделяет регулярную (монотонную) часть магнит-
ного отклика, может быть произведено путём замены дискретной суммы
по п в уравнении (9.45) на интеграл с помощью формулы суммирования
Эйлера-Маклорена, §4.7. Вместо (4.90) мы получаем с нижним пределом а
(9.47)
Теперь, беря а = 1/2 и дополняя интеграл в (9.47) куском от 0 до 1/2
(внутри этого интервала мы можем интерполировать /(ж) ~ /(0) + ж/х(0)),
мы приводим эту формулу к удобному виду
00 ГОС 1
У2/(п + 1/2)~/ (1х/Д +
та=0 7° 24
Задача 9.4
19.4 Определяя орбитальную магнитную восприимчивость уогь как в
формуле (1.24.63) вычислите её величину для Ферми-газа [1], §59.
Решение Используем формулу суммирования (9.48) в выражении (9.45)
для энергии. Член с интегралом в (9.48) даёт часть энергии, которая не
зависит от магнитного поля. Весь эффект происходит из поправочного чле-
на (1/24)//(0), т.е. из возникновения квантованного дискретного спектра.
Этот член легко вычислить прямым интегрированием по щ: производная
от 0(р) есть <5(р). Этот член даёт
^(2) = -|хогЬ^2, (9.49)
где диамагнитная восприимчивость равна
ХогЬ =-| Д (9.50)
со стандартным выражением (9.12) для плотности состояний пр на поверх-
ности Ферми без магнитного поля.
Таким образом, орбитальный диамагнетизм (Ландау, 1930) Ферми-газа
равен —1/3 от спинового парамагнетизма (Паули, 1927). Полный результат,
2 2 / х
X = Хз + ХогЬ = +д (9-51)
о
является парамагнитным. Существование диамагнитных металлов связано
главным образом с тем фактом, что орбитальное движение электронов
в металле имеет энергетический спектр, где масса электрона заменяется
на эффективную массу. Если эта масса мала по сравнению с нормальной
массой электрона, то циклотронная частота увеличивается вместе с от-
рицательной орбитальной восприимчивостью; спиновый парамагнетизм
содержит голую массу электрона.
9.4 Введение в среднее поле
В реалистических системах частицы взаимодействуют. Если радиус вза-
имодействия К не очень маленький, в многочастичной системе на каждую
частицу эффективно воздействуют по крайней мере несколько других ча-
стиц. Характерным параметром является отношение П/ тр Пп1/3 * * * * В радиуса
сил к среднему расстоянию между частицами /'о ~ п-1/3, где п — плотность
частиц. Если этот параметр велик или по крайней мере сравним с 1, изме-
нение движения одной частицы не приводит к радикальному изменению
сил в данном месте. Такая ситуация приближённо реализуется в твёрдых
телах, а также в сложных атомах и ядрах.
Мы приходим к идее эффективного поля, которое в среднем управля-
ет движением частиц. Эффективное поле производится внешним полем
(если оно приложено) и средним полем всех остальных частиц. Мы будем
стараться найти среднее поле, которое даёт наилучшее приближение к
истинному квантовому состоянию многочастичной системы. Оптимальные
одночастичные состояния |Л) являются собственными состояниями этого
поля. С другой стороны, занимая низшие состояния |Л), мы получаем слэте-
ровский детерминант в качестве волновой функции |Ф) всей системы. Если
среднее поле найдено правильно, то частицы движутся в состоянии |Ф)
таким образом, что создаваемое ими поле в среднем совпадает с исходным
эффективным полем, которое, следовательно, является самосогласованным.
Простейшая версия самосогласованного поля может быть найдена с
помощью приближения Хартри. Хотя пробная волновая функция |Ф)
даётся слэтеровским детерминантом и поэтому удовлетворяет требованиям
статистики Ферми, мы пренебрегаем влиянием антисимметрии на энергию.
Например, рассмотрим атом с зарядом ядра X и электронами (для иона
Нерелятивистский гамильтониан электронов даётся выражением
(9.52)
Самосогласованное поле 14, дающее приближение к многочастичному га-
мильтониану (9.52), формируется полем ядра и средним полем простран-
ственного заряда электронов:
(9.53)
Теперь мы предположим, что одночастичные электронные волновые функ-
ции удовлетворяют уравнению Шрёдингера в этом поле,
Г Й2
+ Дг)-
( 2т
(9.54)
Уравнение Хартри (9.54) даёт орбитали ^а(г) с энергиями ед. Теперь мы
должны удовлетворить условию самосогласованности: плотность заряда
равна ръ = е| (г&) |2, и сумма по занятым орбиталям Ь должна опять дать
потенциал 17 (9.53). На практике можно начать с правдоподобного анзаца
17^ для поля, и, после нахождения орбиталей в этом поле, прийти к потен-
циалу 17^. Если он отличается от 17мы делаем следующую итерацию:
решаем одночастичную задачу с этим новым потенциалом, находим под-
правленные орбитали и вычисляем следующее приближение Обычно
после нескольких итерация потенциал воспроизводит себя.
Рис. 9.3. Эффективный заряд, обусловленный электронным экранировани-
ем.
Строго говоря, эффективное поле (9.53), действующее на данный элек-
трон, зависит от состояния рассматриваемого электрона, и нет единствен-
ного общего потенциала 17. Однако в многочастичных системах общий
потенциал может быть хорошим приближением. Таким образом, в сложных
атомах можно использовать потенциал экранированного заряда ядра,
г
где эффективный заряд 71 (г) зависит от расстояния до ядра, как показано
на рис. 19.3. На малых расстояниях 7(г) -д 7 (нет экранирования, чистый
заряд ядра), тогда как на больших расстояниях электрон находится в поле
остаточного заряда 7(г) -Д % = 7 — — 1); для нейтральных атомов г = 1.
Мы можем качественно заключить, что самые глубокие атомные орбиты
похожи на водородоподобные с зарядом 7. тогда как внешние орбиты
близки к водородным. Таким образом, внешний радиус электронного облака
всегда близок к боровскому радиусу атома водорода. Решения уравнения
Хартри (9.54) имеют обычные водородоподобные квантовые числа
однако кулоновского вырождения больше нет. Одночастичные энергии
могут быть выражены как
1 е2
а
(9.56)
где 7п^ показывает отличие от спектра водородоподобного атома, обуслов-
ленное экранированием. Параметр 7п[ принимает значения между г и 2,
убывая с ростом п и Т
9.5 Статистическая модель
В Ферми-системе с достаточно большим числом частиц большинство ча-
стиц занимают орбитали с большими квантовыми числами из-за принципа
Паули. Эти состояния можно описывать полу классически. В этом случае
можно построить статистическую форму метода среднего поля, прибли-
жение Томаса-Ферми. Применяя такой метод к конечной системе, такой,
как сложный атом, ядро или атомы в ловушке, мы не можем надеяться
описать детали оболочечной структуры. Цель этого подхода — описание
усреднённых свойств системы.
Посмотрим, как можно рассмотреть тяжёлые атомы таким образом.
Главная идея состоит в том, чтобы использовать среднюю локальную плот-
ность электронного облака, сравните с §3.9. В тяжёлом атоме эта плотность
велика везде, кроме периферийной области, и гладко меняется как функ-
ция расстояния до центра (для простоты мы предполагаем сферическую
симметрию). Поскольку квазиклассические волновые функции электронов
локально характеризуются некоторой длиной волны (вспомните §15.1), мы
можем приписать им локальный классический импульс р(г). В каждом
месте наинизшая энергия достигается при локальном распределении Ферми,
характеризуемом локальным импульсом Ферми рг(г), который связан с
локальной плотностью обычным образом ((9.6) с д = 2),
п(г) =
Рр(г)
Зл2К3
(9.57)
Локальная энергия Ферми ер не может зависеть от координат, потому что
тогда состояние системы не было бы стационарным, ток бы перераспределил
электроны в области с меньшими ер и уменьшил энергию. В равновесии,
подобно уравнениям (1.3.100) и (9.34),
= [/(г) + = соп81.
2т
(9.58)
Здесь 1}(г) — потенциал среднего поля, который мы и ищем. Он связан с
локальной плотностью (9.57) как
(9.59)
Чтобы потенциал V(г) был самосогласованным, мы должны решить
уравнение Пуассона с плотностью заряда, образованной точечным ядром с
зарядом 710 и электронным облаком с плотностью ре(г) = — еп(г),
V2!/ = \72(—ес/?) = 4ле[7ед(г) — еп(г)].
(9.60)
Вследствие сферической симметрии мы получаем при г ф 0:
2т7-/ \ 1 ( о А тт/ \ 2 / \ 4в (2777/)^/ г , \л%1сХ
= Тт) = п(г) =----------------37ГП3
(9.61)
Удобно упростить это уравнение переходом к безразмерным переменным.
Заряд ядра определяет граничное условие в начале координат,
7с1
------, г 0. (9.62)
г
Мы вводим новую функцию х(г) как
7е2
ер -Щг) = —х(г), (9.63)
так что
Тогда уравнение (9.61) может быть переписано как
2 1 а
2е 7Г
гЛ аг
г
2е2 Н2х
г (1г2
4е2(2ш)3/2
ЗтгК3
(9.65)
или
(12Х
(1г2
4 • 23/2
Зл
2\ 3/2
те \
)
27/3 Г/2
(Зл)2/3
(9.66)
Наконец, мы вводим безразмерную координату ж,
г = а2
0.885,
(9.67)
где а — боровский радиус, и сводим задачу к универсальному уравнению
Томаса-Ферми (без параметров)
= %3/2
с1х2 у/х
(9.68)
Чтобы решить это нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка, нам нужно, кроме условия в начале координат (9.64), определить
второе граничное условие. Если существует внешняя граница атома г = Я,
где п(Я) = 0, то на этой поверхности С/(Я) = ер. Снаружи поле должно
совпадать с кулоновским полем полного заряда Я — Л^, где — число
электронов. Это ведёт к граничному условию
'(ПЛ _ (Я-ЛГ)е2
. (1г ] г^к ~ К2
(9.69)
Для функции х (9.63) это значит
2 -
2
хД) = о,
К 21/3
а Ъ
(9.70)
Задача 9.5
Докажите, что граничное условие (9.70) обеспечивает правильную нор-
мировку полного заряда электронов,
Для нейтрального атома, 71 = , потенциал ГД 7?) = 0, и потому модель
потребовала бы ер = 0. Все электроны имеют меньшие, т.е. отрицательные,
энергии, будучи связаны в атоме. Теперь из (9.68) и (9.70) следует, что при
некотором конечном значении х = X функция у (ж) и все её производные
зануляются, тогда единственное подходящее решение есть у = 0. Это
значит, что нетривиальное решение, описывающее нейтральный атом в
модели Томаса-Ферми, невозможно при конечном значении К, и радиус
атома К бесконечен. Функция у асимптотически убывает к нулю как
144
х(ж) = х -л оо. (9.72)
х6
Согласно (9.59), это соответствует асимптотическому поведению плотности
п ос г-6. В то же время радиус положительных ионов, 7 > X, конечен. Мо-
дель не предсказывает стабильных отрицательных ионов. Действительно,
при 7 < X наклон Лх/бх положителен на границе, тогда как решение внут-
ренней задачи (г < Я) определённо даёт отрицательный наклон, поскольку
плотность убывает, стремясь к нулю на поверхности.
Главное достоинство этой довольно переупрощённой модели в её общих
качественных предсказаниях. Для всех нейтральных атомов уравнение
Томаса-Ферми и граничные условия универсальны. Поэтому мы приходим
к общему распределению электронов, которое меняется от одного атома к
другому простым перемасштабированием. Из (9.67) следует, что типичный
параметр длины порядка а7~^3, так что размер области, которая содержит
основную часть электронного заряда, зависит от ядерного заряда как
ос Я-1/3. Как мы уже заметили, самые внутренние электроны находятся
на расстоянии порядка а)7, тогда как самые внешние на расстоянии ~ а.
Задача 9.6
19.6 Оцените среднюю скорость электронов и энергию полной ионизации
атома в модели Томаса-Ферми.
Решение
--«Я1/3, Еюп-И7/3Ку. (9.73)
Подход Томаса-Ферми даёт разумные оценки для средней электронной
плотности; его можно также обобщить, учтя обменные и релятивистские
эффекты. Тем не менее, его область применимости весьма ограничена.
В нём теряется оболочечная структура атома; она заменяется на модель
капли с гладкой плотностью заряда, так что мы не можем изучать отдель-
ные электронные состояния. Лучше всего модель применима для атомов
инертных газов с полностью заполненными оболочками, тогда как для
периферийных орбит валентных электронов она недостаточна. Близкая по
духу модель жидкой капли используется для описания макроскопических
свойств сложных ядер; как и для атомов, она должна быть дополнена
учётом оболочечной структуры.
9.6 Экранирование в электронном газе
Мы можем применить подход Томаса-Ферми к большой однородной
электронной системе. Это может быть модель электронной плазмы или
электронов в металле, см. также ниже §19.9. Мы предполагаем нулевую
температуру, поскольку температура вырождения электронов в металлах
очень высока (1эВ = 11600К). Электростатическая стабильность системы
достигается компенсирующим положительно заряженным фоном, модели-
рующим ионную решётку. В равновесии система имеет постоянную элек-
тронную плотность п(г) = п, выражающуюся стандартной формулой (9.6)
для Ферми-газа.
Поместим внешний точечный заряд ео в начале координат. (Это может
быть примесь, вакансия или флуктуация ионного фона). В зависимости от
знака ео в его окрестности появится избыток или недостаток электронной
плотности в ответ на нарушение электростатического равновесия. Новое
пространственно-неоднородное распределение электронов п(г) вместе с де-
фектом генерирует электростатический потенциал с/?(г), удовлетворяющий
уравнению Пуассона
\72(/9 = — 4тг{ео<5(г) — е[п(г) — п]}. (9.74)
Потенциал, действующий на электрон, есть —е^(г), так что уравнение
согласованности (9.61) принимает вид (при г ф 0)
= ^(М3/2 {[ер + м,.)|3/2 _ гр}. (9.75)
о7г а
Для малого возмущения, вызванного внешним зарядом, |е<^| <С Ер,
2 2е2(2т)3/2 ___
77Д «-------(9.76)
и, выражая энергию Ферми через невозмущённую плотность п,
2 2е2(2т)3/2(Зтг2п)1/3 4тгпе2 Зт2
V2!/? = —-—Ь=—— Р =-----------V-
т рЛр
Величина
^0 =
4тгпе2
(9.77)
(9.78)
т
является классической плазменной частотой (6.37), которая характеризу-
ет отклик плазмы на локальное нарушение электронейтральности. Любая
локальная неравновесная плотность заряда 5р генерирует ток <5] по уравне-
нию непрерывности,
^ = -с11у(<У). (9.79)
Электронный ток = — пейч самосогласованно поддерживается электри-
ческим полем,
т = ~е (9.80)
которое, в свою очередь, создаётся той же самой флуктуацией заряда,
(Цу (58) = 4тг(5р). В результате, локальная флуктуация ведёт к осцилляци-
ям плотности заряда,
<Э2(5р) 4тгпе2 ч 2/с ч
^2 — ~ ~ (9.81)
с электронной плазменной частотой (9.78).
В соответствии с (9.77) возмущение потенциала удовлетворяет (гр =
рр/т — скорость на 52р)
а;2
У72сд = 3 (9.82)
Решение этого уравнения, убывающее на бесконечности и переходящее в
потенциал е$/г заряда ео в начале координат, есть
= К = (9.83)
Г Ср
Статический внешний заряд экранируется подвижными электронами,
вспомните задачу 1.1.8. Радиус экранирования равен
1 Ор
д/З с^о
(9.84)
Это характерная длина смещения электронов в среде, нужного, чтобы
сбалансировать внешний заряд и восстановить равновесие {поляризаци-
онная длина). Возмущение в электронном газе распространяется на это
расстояние за время порядка периода плазменных колебаний.
9.7 Приближение Хартри-Фока
Сравнивая метод Хартри из §19.4 с соображениями из §18.4, 18.5, мы
видим, что потеряли обменные эффекты. Мы можем попытаться включить
их в концепцию среднего поля; в результате получится метод Хартри-
Фока.
Рассмотрим общий фермионный гамильтониан с двухчастичным взаимо-
действием,
Н = У^(-Кд + Па) + УаЪ — (9.85)
« аЬ(а^Ь) а аЬ(а^Ь)
Применим вариационный подход, взяв в качестве пробной многочастичной
функции слэтеровский детерминант, построенный из ортонормированных
орбиталей Л = 1, ..., ТУ. Наша цель — найти наилучший набор орбита-
лей, минимизирующий полную энергию системы. Повторяя рассуждения
§18.4, мы можем вычислить среднее значение гамильтониана (9.85). Оно
включает сумму одночастичных вкладов и энергию взаимодействия, как
прямые, так и обменные члены для каждой пары частиц,
52 (А|Щ) + | 52 ((ЛЛ'|У|Л'Л) - (ЛЛ'|У|ЛА')), (9.86)
А; (осс) XX'; (осс, А^А')
где сумма берётся по занятым орбиталям от 1 до Ж В явном виде,
(А|Щ') = У'йт1^(1)(^1 + Г1)Ж'(1), (9-87)
И
(А1А2|С|А3А4) = У’с/т1Йт2<(1Ж2(2)С(1,2Ж3(2Ж4(1), (9-88)
где аргументы (1), (2)... означают весь набор одночастичных переменных,
включая спиновые, а их элемент объёма обозначен (1т.
Чтобы найти функции мы варьируем энергию (9.86), рассматривая
фх и фу как независимые переменные. Варьирование матричных элементов
по фу даёт
(9.89)
6^\У\и'О
= I ^^(<^<(1^ (9.90)
Мы вводим оператор эффективного поля ТУ, действующий на переменную
1 через матричный элемент взаимодействия с другими частицами:
ид(1) = У адД2)С(1ДЩ2). (9.91)
Изменяя обозначения во втором члене в (9.90), мы можем переписать его
как
= Ус?тЛД(1)[5Лл1Ц/;у/(1)^г/(1) + 5АЛ'1Цг/(1)^(1)]. (9.92)
Из-за суммы по занятым состояниям в (9.86) два члена в (9.92) дают
равные вклады и сокращают множитель 1/2; таким же образом мы можем
рассмотреть обменные члены.
Осложняющим обстоятельством является то, что результирующее са-
мосогласованное поле различно для разных одночастичных состояний, и
поэтому функции фх не являются автоматически ортогональными. Мы
можем искать минимум энергии при дополнительном условии ортогональ-
ности,
(А|У) = У^^А' = <*ЛЛ'- (9-93)
Это можно сделать с помощью + 1)/2 множителей Лагранжа ?хх' =
?х'х- Таким образом, мы решаем вариационную задачу
Д^-Е^ИЛУ)) =о. (9.94)
\ XX' /
Параметры вхх' должны определяться в конце из + 1)/2 условий
ортогональности (9.93).
Собирая все члены в выражении для вариации энергии (9.86), мы полу-
чаем
[ (1Т! 6<(1) < А(1Щ(1) + У2 Д-УА'(Щл(1) - Ж'а(1)^Д'(1) - гАА'^А'(1)] ( = 0.
I л' )
(9.95)
Для произвольных вариаций 5-0д(1) уравнение (9.95) приводит к уравнени-
ям Хартри-Фока,
Ш(1) + УУ^А'А'(1Ж(1) - ЮДЩЩ) - елл'^А'(1)] = 0. (9.96)
X'
Это нелинейные зацепляющиеся уравнения для функций -0д.
Если пренебречь обменными членами и неортогональностью -0д, опуская
в (9.96) недиагональные члены, РЕд/д и едд/ с У А, мы получим
+ СДа(1) = ел^л(1), (9.97)
то есть Шрёдингеровскую задачу на собственные значения для энергий
ед = еАА и эффективного поля
Гд(1) = 52 Ю'А'(1) + Д1). (9.98)
А'(^А)
Из определения ЕЕ (9.91) мы видим, что поле (9.98) — это среднее значение
энергии прямого взаимодействия частицы на орбитали Л с внешним полем
и всеми остальными частицами. Таким образом, уравнение (9.98) сводится
к уравнению Хартри (9.54).
В некоторых задачах молекулярной и ядерной физики удобно работать с
неортогональными одночастичными орбиталями. Например, электронные
функции, локализованные около различных ядер в молекуле, не ортого-
нальны, вспомните молекулярный ион водорода, §1.19.6. Некоторые ядра
могут иметь кластерную структуру, будучи построены из а кластеров (ядер
4Не), нуклонные волновые функции в разных кластерах не ортогональны.
Обобщение на такие случаи прямолинейно, вспомните задачу 15.3.
9.8 Пространственно однородные системы
Как правило, уравнения Хартри-Фока можно решить только числен-
но итерациями. Во многих случаях (атомы, молекулы, кристаллы) такие
вычисления дают результаты в разумном согласии с экспериментом. Даль-
нодействующий характер кулоновского взаимодействия благоприятен для
приближения среднего поля, поскольку отталкивание уменьшает важность
близких встреч нескольких частиц; такие корреляции недоступны для кар-
тины среднего поля. В отличие от этого, в ядрах прямое применение при-
ближения Хартри-Фока работает плохо, главным образом из-за сильного
короткодействующего отталкивания. Сначала нужно решить двухчастич-
ную задачу в присутствии других частиц. Решение может значительно
отличаться от двухчастичного рассеяния в вакууме из-за принципа Паули,
который делает многие конечные и промежуточные состояния недоступны-
ми. После этого можно построить эффективное сглаженное взаимодействие,
которое служило бы исходным для конструирования самосогласованного
поля. Конечно, необходимо иметь в виду, что метод Хартри-Фока никогда
не даёт точного решения многочастичной задачи. В лучшем случае это
просто хорошее нулевое приближение. Следующий шаг должен учесть
корреляции между частицами, которые не описываются их средним незави-
симым движением, нечувствительным к флуктуациям, вызванным малым
числом частиц.
Уравнения Хартри-Фока можно точно решить только для простран-
ственно однородной системы (в большом объёме V). Такая система без
взаимодействия есть идеальный Ферми-газ. Предположим, что внешнее
поле создаётся только стенками контейнера, а взаимодействие зависит толь-
ко от относительного расстояния между частицами, [7(1,2) = [7(п — гд).
Проекция спина каждой частицы а сохраняется, и матричный элемент
(9.91) диагоналей по спиновым переменным. Тогда член прямого взаи-
модействия в (9.96) содержит сумму по частицам X' с обоими проекциями
спина а = ±1/2, тогда как в обменном члене сумма берётся по частицам X'
с той же проекцией спина а, что и у частицы Л.
Задача 9.7
Покажите, что в только что описанном случае плоские волны (9.3) дают
точные орбитали Хартри-Фока, и найдите их энергии.
Решение Плоские волны с разными (Л) = (р, а) ортогональны, и мы мо-
жем положить вхх' = ^Л^ЛЛ'5 величины ед являются Хартри-Фоковскими од-
ночастичными энергиями (собственными значениями). Уравнения Хартри-
Фока имеют вид
К2
^2Д(г,Зг)
2т
+ Х(Ж'аД)Д(г, Д-ЮДг)Д'(г> «г)) = ех'Фх^'Д
X'
(9.99)
Здесь сумма берётся по занятым состояниям. Предполагая, что Хартри-
Фоковский базис даётся плоскими волнами (9.3), и используя числа за-
полнения прсг, равные 0 вне Хр и 1 внутри Хр, мы вычисляем матричные
элементы среднего поля. Для прямых вкладов мы получаем
лС'Дг) = Х^(г) => Х^' / д
X' р'а' з'г
(9.100)
что даёт, с функциями -0 в виде плоских волн,
м(а1Г)(Г) = — ^2 пР,сг/ у* с/3Д П(г — г') = п?7о. (9.101)
рД'
Здесь мы используем Фурье компоненты взаимодействия,
(9.102)
и полную плотность
п=^52пр(Т. (9.103)
рсг
Таким образом, прямой член сводится к константе, и нулевая Фурье компо-
нента ?7о равна интегралу по объёму от взаимодействия со всеми остальны-
ми частицами. В обменном члене мы имеем только одну проекцию спина
1ДДг) => 1 У - г')^,. (9.104)
Переходя к интегрированию по относительной координате г — г7, мы полу-
чаем в обменном члене
У ЮДг) Д (г, 5г) 1 У ПР^Д_Р, -Д е(^)(р-г). (9.105)
Мы видим, что плоская волна ехр[(г/^)(р • г)] воспроизводится во всех чле-
нах, и поэтому она даёт решение уравнений Хартри-Фока. Этот результат
очевиден, потому что в однородной системе импульс частицы сохраняется.
Коэффициент при этой экспоненте определяет энергию частицы,
Р2 1
=> брег = — |-П?7о т7 > Пр'дЦр р'• (9.106)
2т V
р7
Член п?7о соответствует (рис. 19.4а) виртуальному рассеянию вперёд ча-
стицы (р, а) сферой Ферми полной плотности п, когда передача импульса
Р = 0. Последний член в (9.106) описывает обменный процесс (рис. 19.4Ь),
когда частица (р, а) передаёт импульс р рх фоновой частице с квантовыми
числами рх и о’ = а, и обменивается ролями с этой частицей.
Рис. 9.4. Две диаграммы для приближения Хартри-Фока, прямая (а) и
обменная (Ь), в однородной Ферми-системе.
Поскольку одночастичные волновые функции не меняются по сравнению
с невзаимодействующим Ферми-газом и поправка к энергии линейна по
взаимодействию, в этом конкретном случае приближение Хартри-Фока
на самом деле эквивалентно первому порядку теории возмущений. Для
конечной системы (атом, ядро или атомы в ловушке) приближение Хартри-
Фока выходит за пределы теории возмущений и определяет равновесную
форму среднего поля.
9.9 Кулоновский газ
Для электронного газа в металлах или плазме метод Хартри-Фока может
применяться с соответствующими изменениями. Из-за дальнодействующего
кулоновского отталкивания такой газ нестабилен. Равновесие достигается
благодаря присутствию нейтрализующего положительного заряда. В метал-
лах это обеспечивается ионами решётки. Если мы пренебрежём эффектами
кристаллической структуры, мы можем использовать то же приближение
желе, что и в §19.6, беря вместо реальной дискретной решётки однородный
компенсирующий фон положительного заряда.
Рассеяние электрона фоном точно компенсирует член Хартри /?77о в
уравнении (9.106). С Фурье компонентой (3.17) кулоновского электрон-
электронного взаимодействия,
и исключая нулевую Фурье компоненту, компенсируемую ионами, мы
получаем закон дисперсии электронов в приближении однородной среды,
Р2 1 тт Р2 1 4лге2Н2
= о 77 / > р' — л 77 / > пр/сг 1 Т\2 (9.108)
2т V 2т V р — р'г
рУр Р7^Р
Задача 9.8
19.8 Вычислите энергию электрона ерсг и полную обменную энергию
Е“сН = Д Е <9-109’
ррЧрУр)
Решение Интегрируя в (9.108) и (9.109) по импульсам от р = 0 до рр, мы
получаем
р2 6рст " 2т ' 9/99 \ + (9.110) тт \ 2ррр Р — Ре )
^ехск = УУг (9.Ш)
Заметьте, что энергия электрона (9.108) может быть найдена как изменение
полной энергии взаимодействия (9.109) при добавлении одного электрона с
квантовыми числами (р,сг):
2 у^ехсЬ
—— + —~------•
2т ^^рсг
(9.112)
В соответствии с простыми аргументами §19.1, кулоновская энергия
Ферми-газа (в приближении Хартри-Фока — обменная энергия) меньше,
чем кинетическая энергия (9.9), в газе высокой плотности,
Ео
ер ррК К1 2 а
^ехсЬ (е2рр/К) те2 г^те2 г о
Ферми-газ с кулоновским взаимодействием приближается к идеальному
Ферми-газу, Е$ > ^ехс}1. при большой плотности, когда среднее расстояние
между частицами г о ~ п-1/3 Тг / рр становится малым по сравнению с
характерной кулоновской длиной, боровским радиусом а. Часто это выра-
жают через обратный параметр г8 = г$/а, который мал в случае высокой
плотности — почти идеального Ферми-газа. В противоположном случае
малой плотности, г8 > 1, квантовые статистические эффекты слабее, чем
кулоновское взаимодействие, и система приближается к упорядоченному
состоянию Вагнеровского кристалла, управляемому классическим электро-
статическим отталкиванием.
Задача 9.9
Найдите парамагнитную спиновую восприимчивость электронного газа
в приближении Хартри-Фока.
Решение Уравнение (9.42) всё ещё применимо, но плотность состояний
на поверхности Ферми стала другой из-за изменившегося закона диспер-
сии (9.110). На Ер,
Отсюда плотность состояний на единичный объём (9.10)
= 2Рк 4тгфк = г/0
Р (2тг/г)3 Лер 1 — (те2 /ррттК)'
где г"о — плотность состояний наЕ/. для невзаимодействующего Ферми-
газа (9.12). Сравнивая с выражением (9.111) для обменной энергии, мы
получаем
1 + (2/3)ЯехсЬ/(ЖД
(9.116)
Поэтому спиновая парамагнитная восприимчивость даётся выражением
Хз =
1 + (2/3)_ЕехсЬ/(ЖД’
Из-за отрицательной обменной энергии (9.111) энергетически выгодно вы-
строить электронные спины в одном направлении. Действительно, обменная
энергия — это просто следствие корреляции электронов с параллельными
спинами (вспомните также правила Хунда, §18.7). Поскольку внутренняя
корреляция помогает ориентировать спины, мы получаем > у°. С ро-
стом отношения 7?ехсН/(1Уер) при уменьшении плотности ос ру1 ос п-1/3, в
некоторой точке выигрыш в обменной энергии может стать больше про-
игрыша в кинетической энергии, и будет выгодно выстроить все спины
в одном направлении. Это был бы фазовый переход в ферромагнитное
состояние. На самом деле этому мешают корреляции между электронами с
антипараллельными спинами. Приближение Хартри-Фока пренебрегает
такими корреляциями.
К сожалению, приближение Хартри-Фока для электронного газа не
вполне удовлетворительно из-за неаналитического результата с сингуляр-
ностью спектра (9.112) на поверхности Ферми. Поэтому высшие поправки
к энергии основного состояния не могут быть вычислены в теории возму-
щений.
9.10 Теория функционала плотности
Подходы Томаса-Ферми или Хартри-Фока имеют целью построить волно-
вую функцию основного состояния многочастичной системы вариационным
методом. На самом деле для макроскопически большого числа частиц такая
волновая функция бесполезна. Физические эксперименты обычно имеют
дело с макроскопическими наблюдаемыми или с элементарными возбуж-
дениями, т.е. с малыми отклонениями от основного состояния. Первая
часть этой задачи решается подходом функционала плотности (В. Кон,
Л. Шам [?]), который выбирает локальную плотность п(г) в качестве
основной переменной, характеризующей основное состояние [?].
Как следует из задачи 1.10.2, плотность основного состояния п(г) одно-
значно определяет потенциал П(г), действующий на плотность. Взяв
к = с13г С/(г)п(г), (9.118)
мы можем буквально повторить доказательство из этой задачи с
(#) => п(г) = (Ф0|п(г)|Ф0). (9.119)
Для данного внешнего потенциала [/(г), истинная плотность основного
состояния п(г) минимизирует энергию основного состояния, которую мож-
но рассматривать как функционал от плотности, 1?[п(г)]. Минимизация
должна производиться с дополнительным ограничением для полного числа
частиц,
У Л3гп(т) = (9.120)
Теория утверждает, что существует функционал энергии, но не опреде-
ляет его точную форму. Однако всегда можно ввести фиктивные квазича-
стицы Кона-Шама, занимающие такие одночастичные состояния ^у(г),
Л = 1, ..., что они дают полную плотность
п(г) = X 1^а(г)|2- (9.121)
А=1
Тогда минимизация функционала от плотности может быть выражена в
терминах одночастичного уравнения для функций которое самосогла-
сованно зависит от полной плотности. Вывод производится аналогично
приближению Хартри, §19.4, и требует введения лагранжевых множителей
вх для нормировки волновых функций квазичастиц, / б3 г \рх(г)|2 = 1.
Как это обычно делается, мы предполагаем, что полная энергия состоит
из классической кинетической энергии /С[п(г)], внешней потенциальной
энергии ТГехЦ^г)], энергии взаимодействия типа Хартри, даваемой класси-
ческим выражением, соответствующим прямому взаимодействию,
Ешь [п(г)] = | с/3г с/3/С/(г — г/)п(г)п(г/), (9.122)
и остаточной квантовой поправкой к энергии взаимодействия и кинетиче-
ской энергии, которую обычно называют обменно-корреляционной энергией
^хс[п(г)],
1?[п(г)] = К + Ее^ + + Е^с. (9.123)
Вариация членов взаимодействия даёт соответствующие потенциалы,
</е„(г) = (9.124)
~ [ ^г' II(г — г')п(г'), (9.125)
оп(г) у
^хс[п(г)] = (9.126)
Вариационная процедура, подобная той, что использовалась в приближении
Хартри (9.54), дат уравнения Кона-Шама для набора функций сдд,
5 V2 + Дп(г)] у>А(г) = (г), (9.127)
( 2т )
с полным эффективным потенциалом
Г[п(г)] = СТеДг) + У Лг'17(г - г')п(г') + 17хс[п(г)]. (9.128)
Как и в приближении Хартри или Хартри-Фока, эти уравнения нужно
решать самосогласованно, начиная с пробной плотности по(г), находя
эффективный потенциал и функции (Дд, определяя следующую итерацию
пДг) и продолжая до сходимости; если используется хорошее приближение
для ?7ХС, то получившаяся плотность будет близка к истинной функции
п(г). Таким образом как это ни удивительно, точная плотность и энергия
основного состояния (9.123) могут быть вычислены в терминах фиктивных
орбиталей невзаимодействующих квазичастиц в поле (9.128).
Не существует точной теории которая могла бы определить обменно-
корреляционный член (9.126). Это нужно делать приближённо для каждой
конкретной системы. Для металлов можно использовать приближение
локальной плотности (ЬВА), в котором предполагается, что локальные
свойства реальной системы близки к свойствам однородного электронного
газа той же плотности, последние можно определить теоретически, см.,
например, (9.111) для обменных эффектов. Можно улучшить это прибли-
жение, учитывая градиенты плотности. Подобный подход используется в
ядерной физике с так называемой параметризацией Скирма. Эту теорию
можно обобщить на случай бозонов, магнитных эффектов и эффектов, за-
висящих от спина, многокомпонентных и сверхпроводящих (сверхтекучих)
систем. Она также даёт полезный подход к тем возбуждённым состояниям,
которые могут рассматриваться как флуктуации плотности.
При определенных заданных условиях, и
только при этих условиях, у собрания людей
появляются новые черты, которые сильно
отличаются от характеристик отдельных
людей, составляющих это собрание. Чувства
и мысли всех собравшихся принимают одно
направление, сознательная личность
исчезает. Формируется коллективный
разум... Таким образом у собрания
появляются черты того, что в отсутствии
более подходящего выражения я буду
Глава 10 называть организованной толпой...
Г. Лебон, Толпа
Коллективные возбуждения
10.1 Линейная цепочка
В предыдущей главе мы обсуждали многофермионные системы без взаи-
модействия или в приближении, когда взаимодействие сводится к среднему
полю. Теперь мы переходим к ситуации, когда взаимодействие создаёт
новые типы коллективного поведения, которые отсутствовали в случае
невзаимодействующих частиц.
Простой начальный пример — линейная цепочка атомов, связанных
упругими силами. Это упрощённая одномерная модель кристалла, где силы
имеют электростатическое происхождение, происходя от прямых взаимо-
действий между ионами и взаимодействий через электронные облака. Как
обсуждалось ранее (§19.5), электроны адиабатически подстраивают своё
движение под медленно меняющиеся положения ионов. Можно начать с
классической картины и квантовать её подобно квантованию электромаг-
нитного поля. Однако мы можем прямо написать квантовый гамильтониан,
который зависит от координат ионов и сопряжённых импульсов .
Этот гамильтониан содержит кинетическую энергию,
й2
К = У -Д-, (10.1)
2М к ’
где для простоты мы взяли все массы М одинаковыми, и энергию взаимо-
действия, которая зависит от расстояний между ионами,
(Ю-2)
зз'
Мы предполагаем, что (1) минимум потенциальной энергии даётся периоди-
ческой решёткой, Хд = Хд = ^ а, с периодом а, и (и) решётка стабильна, так
что типичный размер волновой функции каждого иона (амплитуда нулевых
колебаний) мал по сравнению с а. Тогда удобными координатами являются
отклонения атомов от своих равновесных положений, йд = Хд — Ху и при
\ид\ а мы можем разложить потенциальную энергию по степеням йу
В минимуме 17 силы обращаются в ноль, и разложение начинается с
квадратичных членов,
с = и0 +1 + - (10.3)
зз'
где мы не выписали явно кубические члены, члены четвёртой степени и
т.д. Сила, действующая на атом у в линейном приближении есть
дтт
-^з ~ ~ ~К~ = — 52 Сзз'йз'- (Ю-4)
С7 с/м
з'
Коэффициенты возвращающей силы Суу зависят только от расстояния
между атомами, Сду = СД —/)• Очевидно также, что полная потенци-
альная энергия не может измениться при сдвиге всей цепочки как целого,
йд -Л- йд + сопэ!. Поэтому должно выполняться тождество
52С0--/) = О. (10.5)
з'
Нам нужно зафиксировать граничные условия на концах цепочки. Для
длинной цепочки точная форма этих условий не очень существенна, и,
как мы делали раньше, мы поместим цепочку на кольцо, использовав
периодические граничные условия,
йд = йд+м. (10.6)
Операторные уравнения движения имеют тот же вид, что и классические
уравнения,
д=В’ =б- (1о-7)
Используя (11.4), мы приходим к системе связанных операторных уравне-
ний,
Мц + 52 се - ЬЩ) = 0. (10.8)
з'
Как мы знаем из §8.6, трансляционная симметрия решётки приводит к тому,
что стационарные состояния могут характеризоваться квазиимпульсом к.
В соответствии с этим, мы ищем нормальные моды решётки в виде
й^к, I) = = Ьк(1)СкаС (10.9)
Квазиимпульс к квантуется, поскольку условие (11.6) даёт (Ь = —
полная длина цепочки)
егка1^ _ । д. _ х (1п1е§ег). (10.10)
Чтобы перечислить все различные решения, достаточно ограничиться
значениями в одной элементарной ячейке обратной решётки, §8.7,
(10.11)
а а
Значения к вне этой ячейки могут быть сведены к первой зоне Бриллю-
эна (11.11) прибавлением вектора обратной решётки К = 2тгп/а, где п —
целое число, что возвращает к тем же нормальным модам (11.9). С учё-
том квантования (11.10,11.11) мы получаем нормальных мод вместо
исходных независимых движений отдельных атомов. Таким образом мы
находим коллективные возбуждения взаимодействующей системы, хотя
число степеней свободы не изменилось.
Операторные амплитуды диагонализуют систему (11.8), приводя к
отдельным уравнениям для каждой моды. Используя тот факт, что силовые
константы С зависят только от от расстояний, мы получаем
52 си - з'ука^ = е’м 12 со - Це-гка^-^ = егк^ск, (юд
з' з'
где Фурье компонента силы равна
= 52<ЛЛе“’Ы". (10.13)
п
С учётом С(п) = С(|п|) и симметрии положительных и отрицатель-
ных значений к в (45.11) Фурье компоненты действительны, и мы можем
записать уравнение (11.13) как
Ск = ^с°8(Ып)С(|п|) = С-к. (10.14)
п
Нормальная мода к удовлетворяет уравнению гармонических колебаний,
Ьк + ш1ЬДД0, (10.15)
с частотой
= (10.16)
Операторные амплитуды Ьк(1) имеют гармоническую зависимость от вре-
мени ~ ехр[—ш)(кук\, и система стабильна, если все Фурье компоненты
Ск 0, и потому ш(к) действительны. Мы можем рассматривать ш(к) 0,
поскольку полный оператор отклонения эрмитов и должен включать оба
члена ос ехр(&)/;].
Трансляционная инвариантность взаимодействия (11.5) показывает, что
С'о = 52й|п|) = 0 с^=0 = 0. (10.17)
п
Для длинной цепочки квазиимпульс к — почти непрерывная переменная,
и мы можем рассматривать непрерывный спектр ш(к). В соответствии
с (11.16), при малых к мы должны иметь
^2Ю^2(0) + - (—)^2 + - (Ю.18)
Поэтому при малых к (длина волны много больше периода решётки а)
спектр — линейная функция волнового вектора,
ш(к) ~ г /с, (10.19)
и, интерпретируя волны, бегущие по решётке, как звуковые волны, мы
получаем скорость звука
”=(М=„- (1о-ад
Таким образом, коллективное движение с большими длинами волн похоже
на волны плотности в сплошной среде, где дискретность атомной структуры
не существенна.
Задача 10.1
45.1 Найдите спектр нормальных мод и скорость звука для цепочки со
взаимодействиями только между ближайшими соседями.
Решение Как следует из (11.5), в этом случае ненулевые силовые кон-
станты — это С(1) = С(—1) = — (1/2)С(0), причём должно быть С(0) > 0.
Спектр (рис. 45.1) даётся формулой
(10.21)
а скорость света равна
(10.22)
(Ь)
Рис. 10.1. Частотный спектр одномерной цепочки со взаимодействием
ближайших соседей.
Нулевая частота волн в пределе больших длин волн — это глубокое след-
ствие спонтанно нарушенной симметрии. Трансляционная симметрия
была нарушена выбором положения цепочки, хотя все другие положения
были бы эквивалентны, имея ту же энергию. Симметрия восстанавливается
существованием бесконечно многих вырожденных основных состояний,
отличающихся друг от друга только глобальными сдвигами. Но звуковая
волна в пределе к -Д 0 есть просто общий сдвиг всех атомов, посколь-
ку фаза колебаний всех атомов одинакова. Этот предел коллективного
возбуждения эквивалентен свободной трансляции в другое вырожденное
основное состояние, что не требует добавочной энергии, поэтому 0.
Эти аргументы представляют простой пример общей теоремы Голдстоуна,
которая утверждает присутствие ветви в спектре возбуждений, имеющей
нулевую энергию в длинноволновом пределе и восстанавливающей нарушен-
ную симметрию (голдстоуновская мода). Строго говоря, это утверждение
справедливо только в пределе большой системы, когда можно игнориро-
вать дискретность волновых векторов и говорить о непрерывном спектре
возбуждений.
10.2 Фононы
Общее решение динамической задачи для периодической цепочки даётся
произвольной эрмитовой суперпозицией нормальных мод,
йД = ^Ъкегка^^ + ъ\е-гк^+шк1) . (10.23)
к
Мы можем найти коммутационные свойства операторных амплитуд и
бд., вернувшись к исходным операторам координат и импульсов отдельных
атомов, которые удовлетворяют при равных временах соотношению
[ругу] = — гЖу. (10.24)
В терминах нормальных мод (11.23) импульс атома выражается как
Л = Мщ = {ькЛ^~ш(-к^ - . (10.25)
к
Коммутатор (11.24) не должен зависеть от времени. Это возможно только,
если
л, ьл = И, 4'] = °> [4,4] = 2к$кк', (ю.2б)
с некоторой действительной амплитудой 2%. Тогда мы получаем
]рД'] = -гМ^Шк(укегка^ + Де-^~^). (10.27)
к
Множитель Здд/, который требуется в (11.24), появляется, если 0^2к не
зависит от /с, потому что сумма по всем модам даёт
У егка^~^ = . (10.28)
к
Поэтому 2% = Вводя, по аналогии с квантованием электромаг-
нитного поля, новые операторы
^к А / &к) Й = \ а!, (10.29) 1 2МЫшк к' к \> 2М1Ушк к' к 7
мы получаем алгебру осцилляторных операторов рождения и уничтожения,
\^кч^к'\ ~ &к'\ ~ 0? \^кч^у\ ~ $кк'•> (10.30)
Эта интерпретация подтверждается тем, что временная зависимость этих
операторов, ехр(—ш)1) для оператора уничтожения и ехр(гаЛ) для оператора
рождения (с положительным си), соответствует смыслу этих операторов
(§11.7 и §28.3).
Окончательное выражение для атомных переменных через нормальные
моды колебаний решётки имеет вид
= 2^2МШк + 4е~^+гШк'} (Ю-31)
к ’
Производя ту же реинтерпретацию в терминах частиц, что и в случае
фотонов (§28.3), мы приходим к картине фононов, квантов колебательного
движения многочастичной системы. В этом одномерном примере фононы
характеризуются своим волновым вектором (квазиимпульсом в первой зоне
Бриллюэна) и соответствующей частотой си (/с) или энергией Нсо(к). У нас
есть явные выражения для физических величин через операторы рождения
и уничтожения фононов, которые удовлетворяют статистике Бозе (11.30)
вне зависимости от статистики исходных ионов.
Задача 10.2
45.2 Покажите, что те же правила квантования следуют из условия, что
исходный гамильтониан (11.1,11.2) имеет вид
Я = Яо + У ЫО (д + |) , (10.32)
к
где операторы фононных чисел заполнения с целыми собственными значе-
ниями равны
У = а\ак. (10.33)
10.3 Фононные моды
В общем случае трёхмерной решётки с несколькими атомами в элемен-
тарной ячейке можно обобщить результаты, полученные для линейной
цепочки. Но имеет смысл подчеркнуть несколько новых особенностей.
Задача 10.3
45.3 Найдите фононный спектр линейной цепочки с чередующимися
атомами а и Ь.
Решение Гамильтониан цепочки с элементарной ячейкой из двух атомов
даётся выражением (СаЪ = Съа)
^41К2 о, "
К 1ГлЬ
Трансляционная инвариантность требует, как и в (11.5),
Ес”'’<") = 0-
пЬ
Уравнения движения имеют вид
ж + -Л- У саЬе - дд = о.
а з'Ь
(10.34)
(10.35)
(10.36)
Мы вводим амплитуды с определённым квазиимпульсом В^(^) ос ехр[—
как в (11-9) и приходим к системе двух связанных уравнений,
«Ачч = л-Е^'(Ес”"<п>е“"")3 л~Е4Д”‘-
а Ь п а Ь
(10.37)
Эта система даёт две ветви спектра,
т = 172Ё + 2Л ±{!(с™ ГК2 . 4(гП2
±к ’ 2 \Ма Мь) \\Ма Мъ) МаМъ
Их свойства можно понять в длинноволновом пределе. Из (11.35) следует,
что в этом пределе
с^а = Д = -С$ъ = С, (10.39)
и
Д(к) = 0, (10.40)
Пт
>0
Пт
Нижняя ветвь (11.40), начинающаяся с нулевой частоты, это опять гол-
дстоуновская мода, и из (11.38) мы находим, что в этой моде Ва = Вь, обе
подрешётки движутся вместе, как единое целое. Верхняя ветвь начинается
с конечной частоты (11.41), и соответствующие амплитуды удовлетворяют
ВаМа + ВЬМЬ = 0, т.е. центр масс элементарной ячейки остаётся в покое,
и мы имеем только относительное движение двух атомов в ячейке в проти-
вофазе, которое определяется приведённой массой двух атомов. Нижняя,
акустическая, ветвь соответствует звуковым волнам и имеет спектр, начи-
нающийся с линейной зависимости си(&), как можно увидеть из разложения
при малых к. Верхняя, оптическая, ветвь с конечным си(О) — это аналог
молекулярных колебаний, распространяющихся от одной ячейки к другой
из-за трансляционной симметрии решётки.
Пусть имеется з атомов а = 1, ...,<§ в ячейке ф их механика характери-
зуется векторами смещения иуа из положений равновесия. Потенциальная
энергия выражается подобно (11.3),
= о. +1 У2 сДудд$а, + ... (10.42)
Силовые константы, опять же зависящие от расстояний з — У, теперь явля-
ются тензорами, где индексы а, ... относятся к декартовым компонентам,
поскольку деформация решётки в процессе колебаний в общем случае
анизотропна. Любое смещение решётки как целого по-прежнему не меняет
её энергии, так что мы имеем, аналогично (11.5),
^(Н'М (10.43)
Уравнения движения атомов в этом приближении линейны,
+ = (10.44)
а У;а'
Решения — опять блоховские волны с квазиимпульсом к, но теперь, как в
случае электромагнитного поля (§28.3), это векторная величина, так что
нам нужно ввести операторы мод как векторы поляризации Ьа(к) для каж-
дого (квантованного) значения к. Априорно мы не знаем, куда направлены
эти векторы. Поэтому мы ищем решения (11.44) для нормальных мод в
виде
йДк,0 = Ьа(М)е’(кА (10.45)
Квантование квазиимпульса подобно тому, что было в предыдущих моде-
лях.
Компоненты векторных операторов Ьа(к) удовлетворяют уравнениям
для связанных гармонических колебаний,
ЬЖ + ^ЕС“АкЖ1к) = о- (Ю-46)
а'
Здесь силовые константы (к) определены как в уравнении (11.14).
Таким образом, для каждого значения к мы получаем систему За уравнений.
Частоты колебаний а) получаются из
Ое1 {с^'(к) - ш2Ма6аа>6аа>} = 0. (10.47)
Поскольку из-за трансляционной инвариантности (11.43) имеется предель-
ное свойство
11П1С“У(к) = ЕС«Т0 - Л = 0, (10.48)
система уравнений (11.46) всегда имеет три решения с равными 6а(0)
для всех атомов а в ячейке, соответствующие нулевой частоте. Это наши
знакомые голдстоуновские моды, описывающие произвольное бесконечно
малое смещение кристалла в эквивалентное положение без изменения
энергии. При к 0 эти корни дают акустические ветви спектра колебаний,
в которых не происходит нарушения структуры внутри ячейки, и ячейки
движутся как единое целое. В кристаллах с одним атомом в элементарной
ячейке существуют только эти ветви.
Остальные 3(<§ — 1) ветвей спектра соответствуют оптическим колебани-
ям. В длинноволновом пределе они имеют конечные частоты, описывающие
относительное движение атомов в ячейке, периодически повторённое в
других ячейках. Векторные амплитуды Ьа(к) являются суперпозициями
монохроматических волн с определёнными поляризациями. Мы можем
идентифицировать нормальные моды по взаимно ортогональным векторам
’ котоРые находятся из уравнений (11.46) для каждого квазиимпульса
к, атома а в ячейке и собственной частоты с^2(Лк).
Задача 10.4
45.4 Введите правильно нормированные (уравнение (11.30)) операторы
рождения и уничтожения для фононных мод и выпишите операторное
разложение для поля смещения Ц)а(^) в терминах фононов.
Решение Подобно уравнению (11.31) мы получаем
ц. I И -г(к-а)+го4Ак)А 0 4д\
Ак V
Мы не можем явно найти нормальные моды в общем виде для любого
типа решётки. В некоторых случаях соображения симметрии помогают
получить результат. В кубической решётке три ортогональных главных оси
эквивалентны. Пусть волновой вектор к смотрит вдоль одной из главных
осей. Тогда симметрия показывает, что, в случае одного атома в элемен-
(А)
тарной ячейке, три нормальные моды е^ соответствуют направлениям
главных осей, так что имеется продольная волна и две вырожденных
поперечных волны (с равными частотами). В длинноволновом пределе,
аналогично (35.19), при в = 1 мы получаем три типа звуковых волн со
скоростью звука, зависящей от направления к и поляризации е^. Учи-
тывая высшие члены в разложениях (11.3,11.34) и (11.42), мы получим
ангармонические эффекты, которые приводят к дисперсии звука, зависи-
мости скорости звука от длины волны. Формально, эти эффекты связаны с
членами в гамильтониане, содержащими более двух операторов рождения
и уничтожения фононов.
10.4 Спиновые волны
Как мы обсуждали в §43.4, требования квантовой статистики ведут к
специфическому взаимодействию, зависящему от спинов, даже если гамиль-
тониан системы тождественных частиц не содержит спиновых переменных
явно. В этом причина правил Хунда (§43.7), которые определяют электрон-
ный терм с наибольшим возможным спином 8 как энергетически наиболее
выгодный среди всех значений спина, совместимых с принципом Паули
для данной конфигурации.
Обменная часть электростатического взаимодействия ответственна за
коллективные магнитные явления, ферромагнетизм и антиферромагне-
тизм. Хотя настоящий гамильтониан в конденсированной среде может быть
очень сложным, основные черты могут быть описаны так называемым
гамильтонианом Гейзенберга. Этот гамильтониан описывает взаимодей-
ствие локализованных атомных спинов таким же образом, как мы видели
в простейшем случае (43.61),
Я="| Е Ль(8а-86), (10.50)
аЫдДЪ)
где обменные интегралы Заъ = зависят от расстояния между спинами
а и Ь и обычно быстро убывают с ростом расстояния. В кристаллах они
могут быть анизотропными, так что мы бы имели тензор б(у3 (мы не
рассматриваем здесь такие случаи).
Задача 10.5
45.5 Рассмотрите систему спинов 1/2 в однородном магнитном поле
13(1) = Ь(1)п фиксированного направления вдоль единичного вектора п, но
меняющегося со временем по величине. Спины взаимодействуют попарно с
одинаковой силой взаимодействия У в каждой паре,
Н1п1(а,6) = Ж-86), (10.51)
где афЬ. Найдите перекрытие /(/;) = (ФХ(/;)|Ф(/;)) состояний, которые в
начале были одним и тем же состоянием |Фо), но подвергались воздействию
различных магнитных полей 1/(1) и Ь(1) соответственно (такие величины
характеризуют точность воспроизведения системы; они важны для оценки
эффектов неизбежных возмущений).
Решение Полагая гиромагнитное отношение отдельных спинов равным д.
получим магнитный член гамильтониана
нт = -дПУДе) 8а) = • 8), (10.52)
а
где 8 — полный спин системы. Легко видеть, что величина 3 сохраняется,
поскольку все пары спинов взаимодействуют одинаково:
1 /V
Е ^ь = ^ЛД--, (10.53)
— 2 о
аЬ(аДЬ)
(10.55)
(10.56)
где // помечает оси координат (суммирования по // нет), и мы учли, что
(<§а)2 = 1/4 для всех а и //. Таким образом,
1 (§2 - ^) . (10.54)
Все классы состояний с различными значениями 8 эволюционируют неза-
висимо. Магнитная часть гамильтониана и член взаимодействия коммути-
руют, и оператор эволюции для поля Ь(С) равен
= = ег{Фр)(п-8) + (7/2)[82-(ЗЯ/4)М5
где
Ф Д) = 9 [ Ь(^)-
Точность воспроизведения для начального состояния |Фо) выражается как
/ = (Фо|(СУдСД|Фо), (10.57)
где С' и Фх(^) соответствуют возмущённой зависимости В нашем
случае
/Д = <Ф(0)|ЛфО)-ф/О)Кп-8)|Фо). (ю.58)
Для начального состояния с некоторой проекцией 8~ = М на направление
поля
= е4Ф(*)-Ф'0)]м _ (10,59)
результат не зависит от знака Обычно практический интерес представ-
ляет средняя точность воспроизведения по начальным состояниям одного
класса (спина 5),
Ж = (10.60)
+ м
Суммирование геометрической прогрессии для целого 5 ведёт к
- 1 Г 2 соз[(5 + 1)а/2] зт(5а/2)
23 + 1 [ зт(а/2)
(10.61)
где а(Г) определено в (11.60). В случае малого возмущения За <+ 1
ч , 5(5 + 1) 2/ ч
Ж~1- к 6 МД
(10.62)
Часть, не зависящая от времени, происходит от вклада состояния М = 0 , на
которое не влияет магнитное поле. Такой член отсутствует для полуцелых
5, когда результат имеет вид
2 со8[(25 + 1)а/4] 8ш(5«/2)
(25 + 1) 8ш(а/4)
(10.63)
Рис. 45.2 показывает результат (11.62) как функцию а для различных
значений 8.
1(0 1(0
8=4, а(0=сЛ 8=4, а(0=8т(о)0
-1 - -1
Рис. 10.2. Точность воспроизведения /(/;) как функция возмущения се(^),
уравнение (11.60), для 8 = 1, 4 и 20.
При положительных в основном состоянии все спины выстроены
параллельно. Тогда спин основного состояния 8 = за принимает макси-
мально возможное значение 5тах = -^5, где мы считаем все спины равными,
— материал является ферромагнетиком. Мы встречаем ситуацию, формаль-
но такую же, как в нашем обсуждении сверзизлучения в §31.2, где спины
вводились искусственно для описания чисел заполнения атомных состоя-
ний. Основное состояние ферромагнетика сильно вырождено, поскольку
все проекции 8~ имеют одинаковую энергию. Это очевидное следствие вра-
щательной инвариантности. Здесь мы видим ещё один пример спонтанно
нарушенной симметрии (выше мы обсуждали нарушение трансляцион-
ной инвариантности). Внешнее магнитное поле сняло бы вырождение,
определив предпочтительное направление выстраивания спинов. Без поля
все направления в пространстве эквивалентны. Фактическое основное со-
стояние выбирается системой в зависимости от её истории, в результате
каких-то возмущений в прошлом. Нужно ожидать голдстоуновской моды
в спектре возбуждений, связанной с бесконечно малыми поворотами, ко-
торые бесплатно переводят систему в состояние с другой эквивалентной
ориентацией.
Простейший способ возбудить систему — это изменить ориентацию одного
спина, скажем 8а. Однако это не ведёт к стационарному состоянию, потому
что выбранный спин взаимодействует с соседями. Переворачивая один
спин, мы на самом деле возбуждаем спиновую волну, распространяющуюся
по системе. Ферромагнитное основное состояние |0) с 8г = 8 удовлетворяет
= 0 для всех а. (10.64)
Энергия основного состояния даётся формулой
з2
Е° = -^ Е (10-65>
аЬ(Ъ^а)
где сумма берётся по всем взаимодействующим парам.
Чтобы увидеть, что происходит после переворота одного спина, запишем
операторные уравнения движения для компонент з^\
гПё^ = = -геа/37 Ль$ьЛ (10.66)
Здесь мы использовали стандартные коммутационные соотношения для опе-
раторов спина и симметрию Возьмём в операторных уравнениях (11.67)
для поперечных компонент а = х, у матричный элемент (си| • • • |0) между
основным состоянием и возбуждённым состоянием с энергией Е = Ни). Мы
ищем операторы, действующие как операторы рождения возбуждений и
потому имеющие зависимость от времени ос ехр(гси^). В коммутаторе мы
получаем — ф). тогда как в правой части один из спиновых опе-
раторных множителей относится к г-компоненте и, действуя на основное
состояние, даёт своё собственное значение з. В результате мы приходим к
линейной системе уравнений,
-МШК|О) = -гз У2 ЛьДзъ-^|0); -М^15а|0) = 18
Ь(Да) Ь(Уа)
(10.67)
Нам нужно выбрать понижающую компоненту = зх — гзу, удовлетво-
ряющую
ммдоо = з 'Г льДзД - 4-)|о>. (Ю.68)
Эта связанная система уравнений показывает, что существует ветвь спектра
возбуждений, генерируемая переворотом отдельного спина и включающая
все остальные спины через их взаимодействие.
Теперь вспомним трансляционную инвариантность, = 7(|а — Ь|).
Вследствие этого стационарные состояния являются блоховскими волнами
с некоторым квазиимпульсом к. Оператор рождения 6^ такого состояния
должен быть суперпозицией локальных переворотов спинов с фазами,
определяемыми квазиимпульсом,
'4 = -4Е>!.Нс~'<к'а)' <10-69)
а
и временной зависимостью ос ехр[ш(к)ф Обратное преобразование, в соот-
ветствии с (11.28) — это
8Г> = У (Ю.70)
Таким же образом, как в уравнениях (11.13,11.14), мы вводим
7к = 5>(а-ЪДк'(а-ь) = 52 Дь)е“’(к'Ь); 7о = 52'/(Ь)- (10-71)
ь ь ь
Координатная зависимость в виде бегущей волны воспроизводится во
всех членах, и мы получаем энергетический спектр
Легко видеть, что (в ферромагнитном случае) То и энергия возбуж-
дения (11.73) положительна. Как мы и ожидали,
Итсак = 0, (10.73)
/с—>0
что соответствует голдстоуновской моде, генерируемой оператором 8а =
8^ бесконечно малого глобального поворота всех спинов без изменения
энергии.
Задача 10.6
45.6 Найдите спектр спиновых волн для периодической линейной цепочки
спинов с периодом а и взаимодействием ближайших соседей, 4а,а+1 =
4а+1,а = Т > 0. Рассмотрите длинноволновой предел точного решения.
Решение Уравнение (11.73) даёт
кшк = 2з 4 (1 — со8(Ы)). (10.74)
При ка 1 мы получаем закон дисперсии
= з4а2к2, (10.75)
начинающийся с нуля и подобный частице с эффективной массой к?/24за2,
примерно на порядок тяжелее массы электрона.
Волновая функция спиновой волны может быть записана как
|к) = .46*|0) = е-<к“!«<-> |0>, (10.76)
* а
синхронизованная суперпозиция состояний с переворотом отдельных спи-
нов.
Задача 10.7
Нормируйте состояние спиновой волны соответственно
<к|к'> = 6кк,. (10.77)
Решение Нормировочный множитель в уравнении (11.74) равен А =
1/У21.
Теперь мы можем ввести нормированные операторы рождения спиновой
волны,
йк = 7I>^'’•<гV'<к''‘,' (1О8)
и определить сопряжённые операторы уничножения, осуществляющие
переход (0|• • • Дк) обратно в основное состояние,
= (1о-га)
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
1»к.41 = Д ^г«к->-<к'-ь>1й+>.«<->]. (Ю.80)
аЬ
Коммутатор в правой части уравнения (11.81) равен так что
1“к-“к'1 = (ю.81)
а
В любом симметричном по спинам состоянии среднее значение {а*) не
зависит от а и определяется средним значением полной проекции 8г,
(8утт|Д|8утт) = (10.82)
Тогда суммирование по а в уравнении (11.82) даёт и мы получаем
коммутатор (11.82):
(еутт|[ак, а^,]|8утт) = (10.83)
В основном состоянии это точно 1, тогда как в состоянии спиновой волны
мы вместо этого имеем — 1)/7\^. При очень больших поправка прене-
брежимо мала для всех состояний, где число перевёрнутых спинов мало по
сравнению с полным числом ТУ, и, игнорируя её, мы можем рассматривать
квантованные спиновые волны как гармонические кванты, магноны. Роль
поправки возрастает с числом возбуждённых магнонов. Это приводит к
новому, кинематическому, взаимодействию магнонов, которое может быть
описано [?] с помощью преобразования Холстейна-Примакова от спиновых
операторов к бозонным, см. задачу 16.8 и последующее обсуждение. Оно
должно быть добавлено к нормальному динамическому взаимодействию,
которое может предпочитать образование комплексов перевёрнутых спинов.
Отличие от статистики Бозе особенно ярко выражено для спина з = 1/2.
Действительно, в случае бозонов мы должны иметь возможность создать
одно и то же возбуждение несколько раз. Однако для спина 1/2 возможен
только один переворот, так что узел с перевёрнутым спином не может
участвовать в дальнейших возбуждениях.
Антиферромагнитный случай Эд < 0 гораздо более сложен. Даже в
случае взаимодействия только ближайших соседей и спина 1/2 определение
основного состояния требует более мощных методов (анзац Бете). Хотя
ясно, что соседние спины предпочитают быть в синглетном состоянии пары,
данный спин не может быть в синглетном состоянии с обоими соседями
одновременно. Можно также упомянуть системы типа квантового стекла,
где константы взаимодействия Эд различных пар принимают случайные
значения, включая случайный знак. Численные эксперименты вроде бы
указывают, что в этом случае спин основного состояния может принимать
любое значение, но в среднем он растёт с числом спинов ос д/Ж как и можно
было бы ожидать при случайных константах связи отдельных спинов.
10.5 Возбуждения частица—дырка
В однородном Ферми-газе простейшие возбуждения можно получить из
основного состояния, перемещая частицу из моря Ферми в более высокое
одночастичное состояние. Этот процесс создаёт пару из частицы выше
5Д и дырки внутри Хр. Например, обменный процесс, показанный на
рис. 44.ЗЬ, можно интерпретировать как виртуальное рождение частицы
(р, а) и дырки (р/сг) при взаимодействии со внешней частицей (р,сг).
После взаимодействия внешняя частица получает импульс рх и заполняет
свободное состояние дырки (аннигилирует с дыркой, как в теории Дирака),
тогда как вторичная частица продолжает распространение.
Любое внешнее поле, сохраняющее число частиц, может рождать только
парные возбуждения частица-дырка. Рассмотрим процесс, когда система
получает импульс Р, и частица переходит в состояние р + Р выше Xр.
оставляя дырку в состоянии р, рис. 45.2. Это состояние можно получить
действием двух одночастичных операторов на невозмущённое основное
состояние |0) Ферми-газа,
|Ф°(р,Р)) = 4+рар|0).
(10.84)
Возбуждение может сохранить или перевернуть спин возбуждаемой части-
цы, но мы здесь опускаем спиновые индексы орбиталей частицы и дырки.
Энергия возбуждения этого состояния с полным импульсом Р равна
я°(р,р) =
(Р + Р)2
2т
р2
2т
(Р-Р) ! Р\
т 2т
Рис. 10.3. Рождение пары частица-дырка внешним полем.
Рр 2рР к
К К
Рис. 10.4. Область пар частица-дырка.
Такое состояние возможно только при |р| < рр и |р + Р| > рр.
Найдём область возможных значений энергии возбуждения (11.86) как
функцию полного импульса Р этого комплекса. Для данного значения Р
импульс дырки р может находиться внутри разности объёмов двух сфер
Ферми, сдвинутых на — Р по отношению друг к другу, рис. 45.4. Различные
углы между партнёрами в паре частица-дырка определяют (рис. 45.5)
возможные значения энергии возбуждения,
Р2
О < Я°(р,Р) < РтЕ + —, Р < 2рр;
2т
р2 р2
- Рур < Е°(р, Р) < — + Рур, Р > 2рР, (10.86)
2т-----------------------------------------------------2т
где Ур = рр/т — скорость частицы на Хр. Два разных выражения появля-
ются в (11.87) поскольку при Р = 2рр перекрытие между сферами Ферми
на рис. 45.4 исчезает, и после этого нет никаких ограничений на состояния
дырки, их можно брать в любом месте внутри Ер.
Рис. 10.5. Континуум состояний частица-дырка.
Энергии Е?°(р,Р) образуют континуум для каждого значения полного
импульса Р пары частица-дырка. В длинноволновом пределе Р <Р рр
верхняя граница континуума приближённо является прямой линией с
наклоном дЕ°/дР = ур. Все возможные возбуждения имеют групповую
скорость меньше ур. Если внешнее поле создаёт в Ферми-газе волну с
волновым вектором к и частотой и), имеющую групповую скорость с1ш/(1к <
ур, то такая волна оказывается в резонансе с некоторыми возбуждениями
частица-дырка с той же скоростью внутри континуума. Любое слабое
взаимодействие между ними привело бы к резонансной передаче энергии
от внешней волны моде частица-дырка с теми же квантовыми числами. Это
взаимодействие быстро преобразовало бы энергию волны в возбуждения
частица-дырка при выполнении законов сохранения энергии и импульса, и
волна стала бы слабее {затухание Ландау}. В противоположность этому,
диссипация гораздо меньше для волн, энергия и импульс которых находятся
вне континуума, поскольку она бы потребовала одновременного рождения
нескольких пар частица-дырка, что значительно менее вероятно.
10.6 Флуктуации плотности
Взаимодействие между фермионами открывает возможность появления
волновых возбуждений без затухания Ландау (вне континуума частица-
дырка). Мы здесь рассмотрим класс таких волн, связанных с флуктуа-
циями плотности. Характерный квантовый оператор — это флуктуация
плотности,
Эрмитово сопряжённый оператор был введён в (7.112) и использовался
для вывода правила сумм (7.113). Обратите внимание, что предельное
значение
Ро = 4 = У (10.88)
— оператор числа частиц.
Задача 10.8
Найдите выражение для оператора (11.88) во вторично-квантованном
виде в базисе плоских волн.
Решение Оператор (11.88) — Фурье компонента оператора плотности (42.41).
По определению из §42.6,
4= 52 ФУр^р'^'И^рЛ- (10.89)
р'рсг'сг
Интегрирование в матричном элементе даёт символы сохранения спина и
импульса ^р^р+пк^сг'сг? и в результате
4 = 52 4+йк,Др<7 • (ю.9о)
рст
Действуя на основное состояние, оператор р^ создаёт однородную комбина-
цию всех возбуждений частица-дырка, доступных в континууме рис. 45.5
вдоль вертикальной прямой с полным импульсом Р = Нк.
Мы предполагаем, что частицы взаимодействуют попарно через потен-
циал 17(га — гД, зависящий от относительных координат пары,
- 2 -1
" = « + С' = Е?!т + 2 <10-91)
а аЬ
Такое взаимодействие можно выразить в терминах операторов флуктуации
плотности,
^ = |Е^(4рк-Д, (10.92)
к
где использовались определения (11.88) и (11.89) вместе с Фурье компонен-
той потенциала взаимодействия,
Дг) = 1^С7к^кг). (10.93)
Оператор ТУ в (11.93) компенсирует добавленный член с га = г&. Конечно,
тот же результат легко вывести во вторичном квантовании (11.91).
Как и при выводе правил сумм (§7.8), мы используем тот факт, что опе-
раторные функции координат коммутируют с членом взаимодействия. Из
кинетической энергии мы получаем уравнение движения для флуктуаций
плотности,
4 = 4 ЙЙ] = * Е е*(к'Га) (. (10.94)
гп \ 2т т )
а 4 7
Этот универсальный результат не зависит от взаимодействия: каждая
компонента флуктуаций плотности осциллирует со своей частотой, опреде-
ляемой энергией возбуждения частица-дырка (11.87). Вычисление второй
производной по времени уже включает взаимодействие через операторы
импульса ра, присутствующие в (11.95),
4 = - Е‘="кг”) (У + УУ У - 7 Еадк(ю.95)
а х 7 к7
Эти точные нелинейные уравнения не могут быть решены точно. Мы
применим приближение случайных фаз (ПСФ) [?], которое хорошо работает
для описания коллективных мод в многочастичных системах.
10.7 Приближение случайных фаз
Мы хотим изолировать в точных уравнениях движения наиболее коге-
рентные процессы, соответствующие волновому вектору к.
Нелинейный (последний) член в (11.96) содержит такой вклад, происхо-
дящий от к7 = к. Мы предполагаем, что взаимодействие между частицами
является отталкиванием, так что ?7к > 0 по крайней мере при малых к.
Используя обозначение
= пкХк, (10.96)
мы имеем
4 + ^4
= -Е',,к(У + УУ У - 7 Е ,;ик к')44_к,. (10.97)
а к7^к
Первый член в правой части (11.98) содержит вклад отдельных возбуж-
дений частица-дырка, сравните с (11.87). Рассмотрим большие длины волн,
Кк рр- Поскольку континуум при малых к сжат вокруг 52р, мы можем
оценить этот член в среднем
2
++^) М-Е°(к))<
т )
(10.98)
где мы выделили когерентный вклад слоя континуума для данного импуль-
са Р = Кк. Нелинейные члены с к' / к не имеют никакой когерентности.
ПСФ пренебрегает этими членами и приводит к предсказанию коллектив-
ной моды с законом дисперсии
4+44 = °’ 4 = 4 + (+°Т))2-
(10.99)
Рис. 10.6. Плазменные колебания и континуум частица-дырка.
Важный случай соответствует кулоновскому взаимодействию электронов
в твёрдых телах или плазме, где нулевая Фурье компонента Ц) исключается
компенсирующим фоном, тогда как при к 0, в соответствии с (44.96),
47ге^
(Ю.ЮО)
/Г
Тогда величина определённая в уравнении (11.97), переходит в плаз-
менную частоту уравнение (44.66). Поскольку второй член в (11.100)
порядка (кур)2 при малых /с, мы приходим к заключению, что при боль-
ших длинах волн флуктуации плотности в кулоновском газе являются
плазменными колебаниями, определяемыми электронейтральностью. На
карте рис. 45.5 эта частота расположена выше континуума. Поэтому такие
колебания имеют слабую диссипацию, которое можно вычислить через
некогерентные члены, не учитываемые в ПСФ. Вычисление этого затуха-
ния требует более продвинутой техники. С ростом к дисперсионная кривая
флуктуаций плотности идёт вверх и входит в континуум, рис. 45.6. Та-
ким образом, затухание плазменных колебаний становится важным при
к а)о/вр. Используя явные выражения для плазменной частоты и скоро-
сти Ферми, легко получить оценку критической длины волны колебаний,
Лс ~ у/аг о, где а — боровский радиус, а го ~ п-1/3 — среднее расстояние
между электронами. Более короткие длины волн сильно затухают.
Конечное значение плазменной частоты при малых к является следствием
дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия (особенность
~ 1/А;2 в (11.101)). Записывая уравнение (11.100) для кулоновского случая
в виде
шк = шо + (ю.101)
где — численный коэффициент, близкий к 1, мы видим, что плазмен-
ная частота играет роль эффективной массы в “релятивистском” законе
дисперсии кванта волны плотности, плазмона, — конечной энергии в длин-
новолновом пределе. Для потенциала 17 с конечной Фурье компонентой
17о, как в газе нейтральных частиц, спектр осцилляций плотности зву-
коподобный, поскольку оба члена в (11.100) ведут себя как ос к2. Как
упоминалось в §44.6, плазменные колебания можно возбудить локальным
нарушением нейтральности. При 5р ос ехр[г(к • г)] электрическое поле
является продольным по отношению к волновому вектору к. В неко-
тором смысле, соответствующий квант, плазмон, является продольным
аналогом поперечного фотона. Это возможно только в материальной среде,
и в противоположность безмассовому фотону плазмон имеет ненулевую
эффективную массу.
Глава 11
Бозоны
Уникальность конденсата Бозе-Эйнштейна в
том, что он представляет собой чисто
квантово-статистический фазовый переход,
иначе говоря, он реализуется даже при
отсутствии взаимодействия. Эйнштейн
определял этот переход как конденсацию
«без участия сил притяжения»... С другой
стороны реальные частицы постоянно
взаимодействуют, даже поведение
слабо-взаимодействуюгцего Бозе-газа
отличается от поведения идеального
Бозе-газа.
В. Кеттерле , Нобелевская лекция 2001 г.
11.1 Бозе—Эйнштейновская конденсация
Как мы кратко упоминали в §5.3, газ невзаимодействующих бозонов
при низкой температуре переходит в фазу с макроскопическим числом
заполнения низшего одночастичного состояния. Конечно, это должно про-
изойти даже для классического газа различимых частиц, но только при
чрезвычайно низкой температуре, сравнимой с расстоянием до первого
возбуждённого одночастичного состояния, Т ~ К2/тУ2^, где V — объ-
ём системы. В квантовом Бозе-газе эффекты неразличимости делают эту
температуру (5.9) больше в ~ ТУ2/3 раз, где — число частиц.
Изучение свойств Бозе-газа при конечной температуре Т — задача
статистической физики. Здесь нас будет интересовать чисто квантовый
предел Т = 0, когда все невзаимодействующие частицы образуют Бозе-
Эйнштпейновский конденсат (БЭК), т.е. занимают низшую орбиталь, и
одно одночастичное состояние имеет огромное число заполнения = ТУ.
В реалистических системах частицы взаимодействуют. Первый вопрос,
на который нужно ответить — выживает ли конденсат в присутствии
взаимодействия между частицами.
Сначала попробуем учесть эффекты взаимодействия по теории возму-
щений. Рассмотрим пространственно однородную систему тождественных
бесспиновых бозонов в термодинамическом пределе больших V и ТУ. В
основном состоянии |0) все частицы занимают одночастичной состояние с
наинизшей энергией. С периодическими граничными условиями эта орби-
таль характеризуется нулевым импульсом р = 0 и нулевой энергией, так
Рис. 11.1. Процесс рассеяния: (а) частиц конденсата; (Ь) создание занятых
состояний ри р выше конденсата.
что волновая функция конденсата — это просто константа 1 / д/Й• Взаимо-
действие 17(г) между частицами вызывает процессы рассеяния. В первом
порядке теории возмущений нам нужно только среднее значение энергии
взаимодействия между частицами конденсата. Применяя уравнение (17.64),
мы вычисляем (рис. 21.1а)
Ео = — Ио (О|4а^аоао|О).
(И.1)
Оператор здесь равен 7Уо(М) 1)? так что вклад взаимодействия в конден-
сате в энергию основного состояния, (7%) = ТУ, равен
Ео = - По
1У(1У
V
1)
(П.2)
Как и должно быть, в термодинамическом пределе с фиксированной плот-
ностью п = /V эта энергия, Ео ~ (1/2)ПопТУ, пропорциональна числу
частиц (экстенсивная величина). Здесь и далее мы предполагаем, что
нулевая Фурье-компонента потенциала взаимодействия По конечна, что
верно в случае нейтральных атомов.
В следующем приближении нам нужны недиагональные матричные эле-
менты оператора взаимодействия. Единственный процесс, разрешённый
сохранением импульса, показан на рис. 21.1Ь — это столкновение двух
конденсатных частиц, создающее пару (р, р). Невозмущённая энергия
этого состояния равна 2(р2/2т), и матричный элемент перехода даётся
формулой
Мр = (Одг 2;р, рД|0Д,
(11-3)
где мы указываем число частиц в конденсате. Применяя снова уравне-
ние (17.64), мы находим
Мр = —— (Оту_2|й_рйр Пр/ар/а^р/аойо|Оту) = — Цр- (И-4)
V V
Р
Поэтому в линейном порядке по взаимодействию основное состояние при-
обретает примесь состояний с одной парой (р, — р) выше конденсата, и
амплитуда этого смешивания равна
Мр
2(р2/2ш)
т - 1)
V
(И.5)
Маленький квантованный вектор р может быть представлен как (2тг/гУ-1/3)г7,
где безразмерный вектор V имеет целые компоненты порядка единицы. По-
скольку существенные импульсы малы, удобно для последующего ввести
длину рассеяния а (§8.7), которая в борновском приближении даётся выра-
жением
а = - Пт /(А:) = ——у Цо.
к^о
(И-6)
Здесь мы учли, что приведённая масса в столкновении двух тождествен-
ных частиц массы т равна ш/2. В этих обозначениях мы получаем для
амплитуды смешивания (11.5)
х/АфУЩ) « ^7р
V1/3 Г/
(И-7)
Для типичного расстояния между частицами /'о ~ п 1//3 и гладкого потен-
циала, ?7р ~ По, мы приходим к оценке
Нр)|~ (П.8)
Го
Следовательно, в термодинамическом пределе теория возмущений нико-
гда не применима, поскольку её применимость потребовала бы а .
что может быть справедливо только при а = 0. Как ясно из уравнения (11.4),
этот результат является следствием эффекта стимулированного усиления
любого процесса, который возбуждает частицы из макроскопически запол-
ненного Бозе-конденсата, то же эффект, что и в лазерах. Даже в случае
взаимодействия, являющегося слабым в смысле обычного борновского
приближения в двухчастичной задаче, теория возмущений для многоча-
стичной системы не работает, и нам нужны более мощные теоретические
инструменты.
11.2 Конденсат как резервуар;
химический потенциал
Чтобы выяснить, что происходит с конденсатом и низко л ежащими воз-
буждёнными состояниями в присутствии взаимодействия, мы предполагаем,
что в системе со взаимодействием (которое мы по прежнему считаем сла-
бым) конденсат выживает [?] — макроскопически большое число частиц
Ло занимают одночастичную орбиту с р = 0. Это предположение нужно
будет проверить по результатам.
Для очень большого числа Ло операторы йо и йд могут рассматриваться
как с-числа (сравните с нашими аргументами насчёт макроскопической
квантовой когерентности, глава 1.14). Разница между Ло и + 1 прене-
брежима, и коммутатором
[Йо, 4] = (Д + 1) - Я = 1 (11.9)
можно пренебречь по сравнению с Ло. В истинном основном состоянии Ло не
имеет определённого значения, поскольку процессы рассеяния (рис. 21.1Ь)
удаляют пары частиц из конденсата. Однако среднее значение (Мп) этой
флуктуирующей величины остаётся макроскопически большим во всех
слабовозбуждённых состояниях. Поэтому мы можем положить (Шрёдинге-
ровские операторы, не зависящие от времени)
йо ~ йд => д/Ло, (11.10)
где мы опустили скобки в (Не).
Таким образом, частицы с ненулевыми импульсами живут в контакте с
макроскопическим резервуаром конденсатных частиц. Гамильтониан (17.64)
даёт точные уравнения движения для Гейзенберговских операторов бозо-
нов:
гййр = [йр, Н]
р2 1
= 2^йР+2у Е(^р-р'-р/2+^-р-р'+Р/2)йТ_р+рй_р,+р/2йр,+р/2, (11.11)
р'Р
р2 1
—2^Др—2у Е(^Р-р'-р/2"*~^-Р“Р'+р/2)4>'+Р/2®-р'+Р/2®-р+р-
р'Р
(П-12)
11.2 Конденсат как резервуар;
химический потенциал
Частный случай этих точных уравнений для частиц конденсата, р = О,
есть
[Йо, Н] — — У^(Цу+р/2 + 1/р-Р/2)«рйр+Р/2«-р+Р/2- (11.13)
РР
Выделим в сумме в уравнении (11.13) вклады, содержащие конденсатные
операторы:
... и0^ „ 1
гПао = — а^аоао + —
^^1рйрй—рйр + (Но + Пр
Р#»
)й^йрй0} + ^, (11.14)
где ^2 не включает конденсатных операторов. Пренебрегая этими членами,
относительно маленькими при Ко К 1, можно искать решение уравне-
ния (11.14) и сопряжённого уравнения для в виде
аД) = а]0 =
(11.15)
где амплитуды, в духе предыдущих аргументов, представлены как с-числа,
а частота //. связанная с уничтожением или рождением конденсатной
частицы, может быть найдена из среднего значения уравнения (11.14) по
основному состоянию,
й = До + у + (До + С/рДр}- (11.16)
р^о
Здесь мы ввели числа заполнения надконденсатных частиц, р О,
Пр = (й^йр), (11.17)
и аномальное среднее значение
△р = (Й_рЙр)в2^И (11.18)
которое не зануляется в присутствии конденсата, который может погло-
щать или производить пары частиц с полным импульсом, равным нулю.
Позже мы увидим, что оба средних значения (11.17) и (11.18) по основному
состоянию системы не зависят от времени.
Поскольку
(Яо - 1|[й0,Я]|Я0) = (Я№ - (Яо - 1|йо|Яо), (11-19)
конденсатная частота (11.15) описывает изменение энергии, связанное с
извлечением частицы из конденсата,
ЭЕ
V = - Е’дго-х « —(11.20)
В самом деле, главный вклад в среднюю энергию конденсата даётся чле-
ном (11.1) в гамильтониане, содержащим наибольшее число конденсатных
операторов, вместо которых подставляются с-числа в соответствии с (11.10),
ад2. (11.21)
Производная этого члена по ТУо совпадает с первым членом в уравне-
нии (11.16) Следующий член возникает из-за вкладов в гамильтониан,
содержащих два конденсатных оператора.
Таким образом, мы вводим // как химический потенциал конденсата. Как
обычно в статистической механике, такие величины используются в задачах
с переменным числом частиц. Поскольку точное основное состояние должно
быть суперпозицией состояний с разными числами частиц в конденсате,
нам нужен параметр такого типа, чтобы иметь возможность регулировать
в среднем полное число частиц
^^ + ^пр. (11.22)
р^о
11.3 Слабо неидеальный газ
Чтобы найти свойства основного состояния и спектр возбуждений, вер-
нёмся к уравнениям движения (11.11) и (11.12) для р ф 0. В нелинейных
членах в правой части сохраним главные вклады, содержащие два кон-
денсатных оператора. Это эквивалентно приближению слабо неидеального
Бозе-газа, с химическим потенциалом (11.16) упрощённым до первого чле-
на,
ц^По^=поПо. (11.23)
Таким образом мы приходим к системе уравнений (р 0)
2 1
Ишр = — Пр Т — | (По Т Пр)пдНо^р Т ПрЩЩо^-—р г, (11.24)
Шо'-р = - — ((Но + ^р)«ойой^ + С7ра^йр|. (11.25)
л т V
Здесь в правой части мы имеем конденсатные операторы с их зависимостью
от времени (11.15). Мы можем искать решение в виде
ар(1) = е~^^Ар(1\ ар1) = (11.26)
Тогда зависимость от времени, связанная с химическим потенциалом, со-
кратится, и мы можем подставить с-числа д/Ж) вместо конденсатных опера-
торов. В результате мы получаем линейную систему связанных уравнений,
гКАр = [ер + по(?7о + С/р)]Ар + поЖ>^-Р’ (11.27)
тА1р = - [ер + по(Ло + Ср)] Мр - поирАр, (11.28)
Здесь мы использовали обозначения
= ’>»Д- (И-29)
Решения уравнений (11.27-11.28) — это нормальные моды Бозе-газа. Из
одного и того же состояния с одним квантом |р) можно получить основное
состояние либо понижая (~ йдйр) частицу с импульсом р в конденсат, либо
повышая (~ а1рпо) из конденсата партнёра —р из пары (р, — р). В обоих
случаях мы получаем состояние с нулевым полным импульсом, но с разны-
ми числами частиц в конденсате, ТУо + 1 и ТУо — 1 соответственно. Основное
состояние содержит комбинацию таких практически неразличимых ком-
понент, и в обоих амплитудах конденсатный оператор можно заменить на
соответствующую константу. Взяв матричные элементы между основным
состоянием |0) и состоянием с одним квантом возбуждения с импульсом р
и энергией (относительно основного состояния) Ер. мы получим
Яр(0|Ар|р) = [ер + п0Д0 + Гр)](0Др|р) + поС7р(О| Др|р), (11.30)
ЯР(0|Д_Р|р) = — [ер + п0 До + ?7р)](0|Д р|р) - поГр(О|Ар|р), (11.31)
Потребовав, чтобы детерминант этой системы алгебраических уравнений
обращался в нуль, мы получим энергетический спектр возбуждений Е± с
двумя возможными знаками перед квадратным корнем. По определению,
энергия возбуждения должна быть положительной, ток что физический
корень — это
Ер = л/[вр + по(?7о + С/р)]2 — (по?7р)2 = а/(ер + пдС/о)2 + 2(ер + поС/о)С/р.
(П.32)
Вспоминая значение химического потенциала (11.23) в этом приближении,
мы получаем
Ер —
(11.33)
Отрицательный корень той же системы уравнений соответствует матрич-
ному элементу (—р| • • • |0); такие переходы опять могут быть произведены
либо оператором ар, либо а1р.
11.4 Фононы
Мы нашли спектр элементарных возбуждений в Бозе-газе со слабым вза-
имодействием. Если Фурье-компоненты взаимодействия (7р не возрастают
слишком сильно с ростом импульса, то при достаточно больших импуль-
сах этот спектр сводится к спектру отдельных частиц, возбуждённых из
конденсата,
Однако в пределе больших длин волн второй член под знаком корня
становится главным, и спектр является линейной функцией импульса,
77 ~ /ПоС/° /11 ОГЛ
Е/р ~ ср, с = \ ----. (11.35)
V т
Таким образом, взаимодействие превращает некогерентное движение ча-
стиц в звуковые волны со скоростью звука с, определяемой плотностью
конденсата и интегралом от взаимодействия по объёму, [/д 5 или длиной рас-
сеяния (11.6). Решение в целом оказывается физически разумным только в
случае отталкивания с С/д > 0. Тогда частицы не образуют двухчастичных
связанных состояний. В случае притяжения Бозе-газ был бы нестабилен
по отношению к образованию таких связанных групп частиц.
Задача 11.1
Решите задачу о спектре возбуждений в приближении среднего поля.
Это можно сделать путём более тщательного решения уравнений (11.11)
и (11.12): произведите линеаризацию, учитывая, в добавок к членам с
двумя конденсатными операторами, также средние значения Др и пр,
уравнения (11.17) и (11.18). Одновременно с этим нужно более точное
выражение (11.16) для химического потенциала, покажите, что в таком
самосогласованном подходе спектр сохраняет качественные черты, най-
денные в приближении слабо взаимодействующего газа, а именно переход
между двумя режимами (11.34) и (11.35) с фононным спектром при малых
импульсах.
Переход между двумя типами спектра возбуждений, корпускулярным (11.34)
и волновым (11.35), рис 21.2, происходит при длинах волн, соответствующих
рс ~ тс ~ у/тп1/о ~ К\/па А \ — ~ туи (11.36)
V па у а
Обычно го а, иначе систему нельзя назвать газом, она ближе к сильно
взаимодействующей жидкости. Понятие звуковых волн имеет ясный смысл
только для длин волн, больших расстояния между частицами, когда можно
говорить о когерентных многочастичных возбуждениях. В этой задаче
коллективный характер поддерживается присутствием конденсата.
Рис. 11.2. Эмпирический спектр возбуждений жидкого 4Не; наклон тонкой
линии показывает критическую скорость по критерию Ландау (11.43).
Кванты звуковых волн, фононы, определяют все низкотемпературные
статистические свойства. Фононный спектр при малых волновых векторах
был предложен Ландау, 1941- для объяснения термодинамики жидкого
4Не. При р рс эмпирический спектр меняет характер (так называемый
ротонный минимум, рис. 21.2), что может объясняться либо заметным
изменением эффективных Фурье-компонент взаимодействия (достаточно
предположить, что Фурье-компоненты взаимодействия ведут себя как Пр ~
Пр — соп81 • | р |), либо другой природой возбуждений (этот вопрос до сих пор
обсуждается). При достаточно больших импульсах возбуждения фононного
типа становятся нестабильными относительно распада на ротоны [2]. В
общем следует помнить, что жидкий гелий — не газ, тогда как наши
соображения ограничены случаем слабо взаимодействующего газа.
Фононный спектр можно рассматривать как ещё один пример голдсто-
уневской моды, вспомните главу 44. Здесь труднее увидеть, на каком этапе
наше приближённое решение вводит спонтанное нарушение симметрии.
Это происходит, когда мы подставляем вместо конденсатных операторов
йо и йд число д/Жь уравнение (11.10). Вместо этого можно положить
а0 => \/ЛЛа- 4 => (П-37)
с произвольным действительным а. Это фазовое преобразование конденсата
сохраняет коммутационные соотношения и ведёт к другому, но совершенно
эквивалентному основному состоянию. Поэтому среди возможных коллек-
тивных возбуждений имеется глобальное (во всём пространстве) изменение
фазы конденсата без изменения энергии, которое является длинноволновым
пределом реальной фононной ветви.
И это действительно так. Для бесконечно малого фазового преобразова-
ния мы имеем из (11.37
5а$ = 5а® = —га\/7Ур.
Это значит, что в голдстоуновской моде
дар _
В фононной моде мы имеем из (11.30) или (11.31)
(0ЦР|р) =__________п0Пр________
(0|Ат_р|р) Ер - [^р + по(По + Пр)]
При значениях энергии возбуждения (11.33) и химического потенциа-
ла (11.23) в пределе р -л 0 правая часть стремится к —1, в согласии
(11.38)
(11.39)
(11.40)
с (11.39). Таким образом, присутствие фононной ветви с нулевой энергией
в длинноволновом пределе восстанавливает инвариантность относительно
фазовых преобразований конденсата (калибровочную симметрию). Эта
симметрия была нарушена специфическим выбором фазы конденсата.
11.5 Сверхтекучесть
Как было установлено в знаменитых экспериментах Капицы и Аллена
и Мизенера, 1940, жидкий 4Не является сверхтекучим при температурах
ниже 2.2 К. Эта жидкость течёт без вязкости через капилляры и щели,
непроницаемые даже для газов.
Сверхтекучесть — одно из замечательных макроскопических кванто-
вых явлений. Его понимание основывается на свойствах энергетического
спектра элементарных возбуждений системы. Необходимое условие сверхте-
кучести было сформулировано Ландау, 1941- На микроскопическом уровне
трение и диссипация энергии в движущейся среде происходит через рожде-
ние элементарных возбуждений, которые поглощают энергию глобального
движения. Но требуемые передачи энергии и импульса должны быть взаим-
но согласованы, а это зависит от спектра возбуждений системы. Возьмём
простейший случай однородно движущейся квантовой жидкости в лабора-
торной системе. Это движение ограничено стенками сосуда. Взаимодействие
между стенками и системой имеет характер трения если рождение воз-
буждений (реальных, а не виртуальных) в жидкости за счёт кинетической
энергии разрешено законами сохранения. Тот же результат получится, если
движущаяся жидкость обтекает макроскопическое препятствие.
Удобно рассматривать систему отсчёта, в которой жидкость покоится,
тогда как стенки или макроскопические тела движутся относительно неё
со скоростью и. Движущийся объект имеет макроскопическую энергию Е
и импульс Р. В элементарном акте взаимодействия стенки или препятствие
потеряют энергию ДЕ? и импульс ДР. В нашей системе с дискретным
квантовым спектром этот процесс создаст элементарное возбуждение с
импульсом р и энергией е(р). В соответствии с законами сохранения,
е(р) = ДЕ, р = Р. (П.41)
Поскольку для макроскопического объекта ДЕ = (и • Р), необходимое
условие для обмена энергией-импульсом есть
е(р) = (и-р). (11.42)
Условие (11.42) определяет угол между импульсом новорожденного воз-
буждения и относительной скоростью. Но оно может быть выполнено
только если Др) < ир, т.е. не при всяком спектре возбуждений. Должно
выполняться очевидное ограничение, что относительная скорость и должна
превышать критическую скорость ис, рис. 45.2,
(е(р) \
--- . (11.43)
р 7
Если этот критерий Ландау выполнен, то относительное движение будет
затухать. При скоростях меньше критического значения обмен энергией и
импульсом, связанный с рождением элементарного возбуждения, запрещён.
Тогда система является сверхтекучей.
В идеальном (невзаимодействующем) Бозе-газе в основном состоянии все
частицы находятся в конденсате. Элементарное возбуждение, создаваемое
оператором йрПо, переводит частицу из конденсата в состояние р Д 0 и
требует энергию е(р) = р2/2ш. В соответствии с критерием (11.43), крити-
ческая скорость равна нулю. Это значит, что коллективное движение такого
газа как целого невозможно — сколь угодно слабое взаимодействие со стен-
ками будет возбуждать отдельные частицы, разрушая макроскопическое
движение.
Ситуация меняется в неидеальном Бозе-газе. Даже слабое взаимодей-
ствие между частицами радикально меняет спектр, потому что идеальный
Бозе-газ неустойчив из-за макроскопического усиления матричных элемен-
тов, связанных с конденсатом. Фононный спектр (11.35) удовлетворяет
критерию Ландау (11.43) с критической скоростью, равной скорости звука,
ис = с. Для течения с меньшей скоростью мы можем ожидать сверхтекуче-
сти. Из-за ротонного минимума в эмпирическом спектре гелия (рис. 21.2)
критическая скорость меньше с: легче родить элементарное возбужде-
ние, соответствующее этому минимуму. В действительности критическая
скорость ещё меньше; вероятно, она определяется рождением маленьких
вихревых колец.
11.6 Канонические преобразования
Вернёмся к выводу фононного спектра в Бозе-газе. Как мы обсуждали,
операторы ар и а1р дают альтернативные пути связи основного состояния с
возбуждённым состоянием с одним элементарным возбуждением фононного
типа. До тех пор, пока число таких возбуждений много меньше они
независимы и могут рассматриваться как квазичастицы, подчиняющиеся
статистике Бозе.
Это можно сформулировать, введя квазичастичные операторы для р ф О
как линейные комбинации операторов Ар и их эрмитово сопряжённых,
которые совпадают с исходными операторами ар и их сопряжёнными при
1 = 0, уравнение (11.26),
6р = 1/рАр + ГрА^р, (11.44)
4 = 44р + ^л-р’ (п-45)
Это преобразование Боголюбова [3] приводит к новым бозонам, если сохра-
няются коммутационные соотношения,
[^Р’^р'] = ^ррх 1пр1 — кр1 = 1; (и.4б)
в изотропной среде коэффициенты преобразования не зависят от направле-
ния импульса, ир = ир, ир = ир. Все операторы Ъ автоматически коммути-
руют, так же, как и операторы М. Таким образом, мы имеем каноническое
преобразование от старых бозонных операторов к новым; детерминант
преобразования равен 1.
Линейное преобразование (11.44-11.45) при условии (11.46) можно обра-
тить,
Ар = ирЬр ирЬ^_р, Ар = НрЬр УрЬ—р, (11.47)
Этот формализм близок к тому, что мы использовали в §1.12.8 для сжатых
состояний гармонического осциллятора в присутствии источника, который
рождает кванты парами. Здесь, как видно из рис. 21.1, роль такого источ-
ника играет конденсат. Пары, рождённые при столкновении двух частиц
конденсата, состоят из двух различных бозонов р и — р, сопряжённых друг
другу в смысле обращения времени.
Задача 11.2
21.2 Найдите оператор, соответствующий нормальной моде, ЬР(Б) ос е~гаЛ,
покажите, что На) = Ер, уравнение (11.32), и найдите коэффициенты кано-
нического преобразования.
Решение Соотношение между коэффициентами имеет вид
^р _ &р З- по(?7о “4 Бр) Ер _ поКр
Нр Т1(АЕр Ер -|- 8р 4- тщ(Со 4" Кр)
с условием нормировки (11.46), мы получаем
2 _ 8р + П0(С/0 + Цр) + Ер 2
Пр~ 2Ё~Р ’
^р + по(С/о + Ур) ~ Ер
2Ер
Взяв длинноволновой предел и используя явные выражения для спек-
тра (11.32,11.33), мы видим, что при р тс амплитуды ир и ир возрастают
до одного и того же значения (их разность (11.46) мала по сравнению с
каждым из них),
ир ~ ир
тс
2р ’
0 < р тс.
(11.50)
Этот результат показывает, что отношение (11.40), которое равно —Вр/ир в
соответствии с (11.47), действительно стремится к —1 в пределе р тс,
как и должно быть для голдстоуновской моды, уравнение (11.39).
Задача 11.3
21.3 Выведите все результаты альтернативным путём, в формулировке,
не зависящей от времени: введите неизвестный химический потенциал р
так, что Н -л- Н' = Н — //IV; проведите каноническое преобразование и
выразите полный гамильтониан через новые операторы 6р и 6р; выделите
члены с четырьмя, двумя и одним конденсатным оператором; замените
конденсатные операторы на с-число д/Жй тогда члены с двумя конденсат-
ными операторами дают квадратичную форму от операторов с р 0; эта
форма диагонализуется как в §1.12.7 выбором амплитуд щ щ коэффициент
при диагональном члене ЬрЬр определяет энергию элементарного возбуж-
дения, которая совпадает с (11.32) после правильного выбора химического
потенциала (11.20), гарантирующего отсутствие энергетической щели в
спектре элементарных возбуждений, Ер -л- 0 при р —> 0.
Поскольку амплитуды нормальных мод, Ър и 6р, являются Бозе-опе-
раторами с определённой частотой, основное состояние системы в этом
приближении является вакуумным состоянием |Фо) относительно этих
квантов. Операторы Ьр зануляют вакуумное состояние,
Ыф0> = 0, р + 0, (11.51)
тогда как операторы рождения создают кванты нормальных мод,
Теперь мы находим плотность надконденсатных частиц (11.17),
Пр = <Ф0| Д АР|ФО>. (11-53)
С помощью канонических преобразований (11.47) и вакуумных правил (11.51)
мы получаем
где последнее выражение верно при р тс. Уравнение (11.54) даёт хвост
макроскопической плотности конденсата при малых, но ненулевых импуль-
сах.
Задача 11.4
21.4 Найдите числа заполнения при больших импульсах, р тс.
Решение
р тс.
(11.55)
Поскольку при р тс числа заполнения быстро падают, мы можем
оценить полное число надконденсатных частиц как
Г (/п тп с 1 /тпс\ 3
пР>о * / ЛЛЛ (зг) • (11.56)
Ур<тс (2тгПТ 2р 87Г2 \ п )
Весь этот подход работает, если большинство частиц всё ещё находятся в
конденсате. Уравнения (11.56) и (11.35) показывают, что
»Р>о _ 1 (тпоцо\3/2 _ /п0а3
По 87Г2По \ К2 ) У 7Г ’
где а — длина рассеяния (11.6). Мы видим, что малым параметром при-
ближения слабо неидеального Бозе-газа является д/^о^3 ~ (а/го)3/2.
Задача 11.5
Найдите аномальное среднее значение (11.18).
Решение
△т? = — НрСр = (11.58)
В длинноволновом пределе Др ~ (—тс/2р).
11.7 Фононы как волны плотности
Дополнительный взгляд на ситуацию даётся описанием в терминах коор-
динатных переменных.
Оператор рождения элементарного возбуждения (11.45) в длинноволно-
вом пределе (11.50), когда ир и вр приближённо равны, имеет вид
^«ир(Д + Л_р). (11.59)
Сопоставим это с оператором флуктуаций плотности (17.41). В многоча-
стичном представлении этот оператор использовался для вывода правила
сумм (§1.7.9). В импульсном базисе вторичного квантования мы имеем
вместо (1.7.145) выражение (20.90) для бесспиновых бозонов,
^р = 524+р'“р'- (п-б°)
р7
В области малых импульсов слабо неидеального Бозе-газа операторы с
р = 0 соответствуют макроскопическим числам заполнения, и их можно
заменить на д/Жь Тогда флуктуация плотности связана с возбуждением
частицы из конденсата, и после этой подстановки уравнение (11.60) сводится
к
Рр \/М)(«Р + °-Р)- (11.61)
Здесь два члена происходят от рх = 0 и рх = — р в сумме (11.60) соответ-
ственно. Поэтому элементарное возбуждение Бозе-газа, создаваемое опера-
тором (11.59), является, в фононной длинноволновой области, ничем иным
как флуктуацией плотности, распространяющейся как волна с определён-
ным импульсом. Это позволяет очевидным образом переинтерпретировать
голдстоуновскую моду. В пределе р —> 0 фаза флуктуации плотности везде
одинакова и эквивалентна глобальному преобразованию (11.37); постоянная
фаза не требует энергии.
Если оператор рр имеет большой матричный элемент между основным
состоянием и возбуждённым состоянием |р), то мы предполагаем, что
один этот переход насыщает правило сумм (1.7.146), которое в явном
виде (1.7.130) записывается как
- Е0) |(Фп(р)|Д|Ф0>|2 = (11.62)
п
где мы суммируем по всем промежуточным состояниям |Фп(р)) с импуль-
сом р. Насыщение означает, что единственное состояние |р) с энергией
возбуждения Ер даёт значительный вклад в правило сумм, т.е.
2
Ер\(р\рр\Ъ0)\2^1У. (11.63)
ГТь
Величина
8Р = (Фо|Рр4|Фо) (П-64)
называется статическим формфактором. Она выражает корреляционную
функцию флуктуация плотности. Подставляя в уравнение (11.64) пол-
ный набор возбуждённых состояний с импульсом р и опять предполагая
насыщение, мы получаем
‘’р = Е |(4)«о|2 ~ 1<Р|Эр|Фо|2 - (11.65)
п
Теперь результат (11.63) может быть переписан в виде, предложенном
Р. Фейнманом,
Статический формфактор (11.64) — это функция, прямо связанная с
экспериментально наблюдаемыми величинами, особенно с парной корреля-
ционной функцией, которая определяется как
9^ = Тут - п ( Е <*(г + га-гь)\, (11.67)
\аЬ(а^Ь) /
вероятность найти две частицы на расстоянии г друг от друга. Сред-
нее значение в (11.67) берётся либо по основному состоянию |Фо), либо
по соответствующему тепловому ансамблю при ненулевой температуре.
Статический формфактор есть по существу Фурье-образ корреляционной
функции:
Таким образом,
3Р = ^ + ^(^-1) у Лге“(гЖР-г)5(г). (11.69)
Здесь член происходит от корреляции с самим собой, а = Ь.
11.8 Приближение локальной плотности
Существуют физические аргументы, позволяющие связать уравнение (11.66)
со скоростью звука и, следовательно, с нашим предыдущим результа-
том (11.35) для спектра элементарных возбуждений при больших длинах
волн. Применим к системе слабое статическое возмущение плотности, ме-
няющееся в пространстве с волновым вектором к = р/^,
Н' = Л / с13г р(г) сое(к • г),
(11.70)
или, в терминах операторов флуктуаций плотности (помечаемых здесь
волновым вектором к),
н' — 2 (Рк + Рк)-
(П-71)
Мы предполагаем, что система стабильна по отношению к таким слабым
(А —> 0) возмущениям. Однородное основное состояние получит модуляцию
плотности, и его энергия во втором порядке теории возмущений сводится к
Д4о12 _ _У 1(4Ы2
““ Ео - Еп 2 уу Еп - Ео
(11.72)
Задача 11.6
Найдите среднее значение оператора флуктуаций плотности и возмуще-
ния Н' в возмущённом основном состоянии |Фд).
Решение
<Ф^|рк|Ф'о> = -А^к;
(Ф(,|Я'|Ф'0) = -у2Хк = -А2Хк.
(11.73)
(11.74)
Теперь вычислим изменение энергии другим путём, с помощью макро-
скопических аргументов. Полная энергия возмущённого состояния равна
Е = (Ф'О|Н + Н'|Ф'О). (11.75)
Чтобы найти среднее значение исходного гамильтониана Н в новом со-
стоянии, мы используем, подобно идее функционала плотности (§19.10),
приближение локальной плотности. А именно, если невозмущённая энер-
гия может быть записана как Ео = Пе(п), то при больших длинах волн
возмущения, когда кг о ЛЛ 1, большие части системы чувствуют просто
плавное изменение локальной плотности, тогда как её градиенты всё ещё
достаточно малы. Поэтому мы ожидаем, что локально внутренняя энергия
системы всё ещё может быть описана тем же функционалом е(п) с плавно
меняющейся плотностью п(г):
(фоД1фо) = / Лгг(п(г)).
(11.76)
При малых изменениях плотности, п -Л п + Дп(г), мы можем использовать
разложение
е(п(г))
/ \ А 1 / А \2
Ф) + д- Дп + (Лп) + •••
дп 2 дп2.
(П.77)
Модуляция плотности возмущением (11.70) может быть найдена из (11.73):
(р(г)) = п + Дп(г) = п + 2сое(к • г), (11.78)
что может быть выражено через ту же сумму Хк, которая была определена
в уравнении (11.72),
Дп(г) = —2 Хк сое(к • г). (11.79)
Член первого порядка в разложении (11.77) обращается в нуль после инте-
грирования осциллирующего косинуса, интеграл по объёму от сое (к • г)2
во втором члене даёт П/2, и у нас остаётся
+) (Д П Д Е«+Л2 ЛЛ (11-80)
где X — та же величина Х^, взятая в длинноволновом пределе к —> 0.
Собирая все члены порядка А2 в (11.72, 11.74, 11.75) и (11.80), мы приходим
к
у
2
V дп2
(11.81)
или
V
~2
X (д2е\ 1
2п \ дп2 /
(11.82)
Теперь мы можем связать величину X, уравнения (11.72) и (11.82), со
скоростью звука. Давление Р в невозмущённой среде равно
(11.83)
но производная по объёму при фиксированном X может быть выражена
как
п
(11.84)
так что с Д = УДп),
де
Р = п----е.
дп
(11.85)
Как следует из равновесной гидродинамики [4], скорость звука определяется
производной давления по массовой плотности тп,
9 1 дР п д2е
с = —----- =------.
т дп т дп2
Уравнение (11.82) теперь говорит нам, что
X — Пт п —
Еп — Ео 2п 2тс2 2тс2
п
(11.86)
(11.87)
Это соотношение называется правилом сумм для обратной энергии.
Последний шаг в нашей цепочке аргументов состоит в том, что мы ожи-
даем, что в слабо неидеальном Бозе-газе правила сумм, такие, как (11.87),
в длинноволновом пределе насыщаются единственной голдстоуновской
ветвью спектра элементарных возбуждений Хр, р = Нк. Тогда уравне-
ние (11.87) определяет физическую нормировку матричного элемента флук-
туации плотности,
I 4- I2 X
5к=|(1ф>»)| =е^ = Е„—2
(11.88)
Вместе с правилом сумм (11.66) это даёт универсальный фононный спектр,
(11.89)
с макроскопически определённой скоростью звука. Поскольку при нуле-
вой температуре // — дР/дп, это определение совпадает с определением,
использованным в микроскопических рассуждениях, уравнения (11.20)
и (11.38).
11.9 Неоднородный газ
До сих пор мы обсуждали основное состояние и элементарные возбуж-
дения в пространственно-однородном случае. Тогда возбуждения харак-
теризуются своим импульсом р. Во многих случаях Бозе-система имеет
пространственно-неоднородную конфигурацию. Все недавние успехи в по-
лучении Бозе-конденсации [5] связаны со специальными ловушками, где
могут охлаждаться атомы. Ловушку можно описать потенциалом 17°(г),
обычно близком к потенциалу гармонического осциллятора, возможно
анизотропного. Тогда гамильтониан газа содержит кинетическую энер-
гию, взаимодействие между частицами через потенциал 17(г) и внешний
потенциал 17°(г). Во вторично-квантованном виде (42.67),
Н = К + д3г а^С/°(г)аг + | д3г д3г' — г')аг?аг. (11.90)
Гейзенберговские уравнения движения для операторов уничтожения
имеют вид
Н1аг = [аг, Н]
Г
= — -—\72аг + С/°(г)аг + / д3г' д3г а1,17(г —
2т I
г')агтг.
(11.91)
Поскольку нас интересует макроскопически когерентное движение, мы
применяем аргументы и формализм главы 1.14 и заменяем матричные
элементы операторов аг и на макроскопическую волновую функцию
Ф(г), представляющую конденсат и в общем случае пространственно-неод-
нородную,
И2
г^Ф(г) =-----V2
к } 2т
Ф(г) + С/°(г)Ф(г) +
^/ФДгОЩг-гОФДОФМ. (11.92)
Функция Ф(г) удовлетворяет нелинейному уравнению типа Шрёдингера.
Нелинейность соответствует самосогласованному среднему полю, создавае-
мому взаимодействующими частицами.
Теорию можно далее упростить для газа низкой плотности с отталки-
вающим взаимодействием, например, типа твёрдых сфер. Тут мы имеем
попарные взаимодействия при низких энергиях, так что существенно толь-
ко «8-волновое рассеяние. Такое двухчастичное взаимодействие полностью
описывается длиной рассеяния а, уравнение (11.6), являющейся точным
решением двухчастичной задачи. Тогда вместо истинного потенциала мы
можем использовать в уравнениях движения псевдопотенциал
4тт/?2
[7(г —г') д5(у — г'), д =-----а. (11.93)
т
Это приводит уравнение (11.91) к локальной форме:
гз
г/1Ф(г) =----\72Ф(г) + ?7°(г)Ф(г) + д|Ф(г)|2Ф(г). (11.94)
2т
Это уравнение Питаевского-Гросса [6, 7] широко используется в физике
Бозе-систем; его справедливость для чисто отталкивательного взаимодей-
ствия была строго доказана значительно позже [8]. В случае потенциалов
типа Ван дер Ваальса (задача 8.6) применимость такой упрощённой формы
может быть сомнительна [9] из-за присутствия резонансов в рассеянии,
обусловленных притягивательной частью.
Хотя соображения главы 14 о макроскопически когерентном состоянии
всё ещё применимы, нелинейность уравнения (11.94) привносит много раз-
нообразных физических явлений, успешно изучаемых в атомных ловушках.
Здесь мы приводим только пару примеров. В случае решений, не завися-
щих от времени, макроскопическая волновая функция эволюционирует со
временем тривиальным образом, как обсуждалось в (1.14.10) и (1.14.12), в
соответствии с
Ф(гД = Дг)е-^Д |Щг) I2 = п(г), (П.95)
где п(г — распределение плотности. Стационарное уравнение имеет вид
^2
V2Д^) + + ^1 "^(г) 12^(г) = мДг), (П.96)
2т
и интеграл от функции |^(г)|2 нормирован на полное число частиц ТУ.
Нормировка фиксирована, потому что уравнение теперь нелинейно. Это
уравнение определяет, подобно приближению Томаса-Ферми (§19.5), рав-
новесную плотность газа.
Пространственная конфигурация зависит от соревнования характерных
длин, корреляционного радиуса определяемого взаимодействием, рассто-
яния между частицами г о ~ п-1/3 и размера внешнего потенциала К. Для
корреляционного радиуса мы получаем, приравнивая кинетический член
~ /12/(т^2) и член взаимодействия дп, оценку ~ /(тдп). Коллектив-
ные колебания, которые мы нашли выше, относятся к фононному типу,
если длина волны больше ф Эта длина больше межчастичного расстояния
на множитель
1
Го
н
у/тдп1/6
(па3Г1/6,
(11.97)
где мы использовали длину рассеяния а. Из-за степени 1/6 это отношение
не очень велико даже в разреженном газе, когда па3 ~ (а/го)1/3 < 1. Если
корреляционный радиус мал по сравнению с типичным размером внешнего
потенциала, и мы не интересуемся поведением на таких малых расстояниях,
то только внешний потенциал определяет макроскопическое распределение
плотности,
#п(г) + П°(г) = СОП81 = ц,
(П.98)
по аналогии с уравнением Томаса-Ферми (19.58).
Для основного состояния решение -0 может быть взято действительным,
тогда как возможная координатная зависимость фазы соответствует при-
сутствию токов, уравнение (1.14.15). Нелинейный член в уравнении (11.94)
позволяет найти пространственную структуру вихря, где фаза квантуется
(§1.14.6) в единицах кванта циркуляции (1.14.54). Считая вихревую линию
направленной по оси г, а фазу равной (,а, где а — азимутальный угол, а I —
момент импульса на частицу (1.14.57), мы получаем уравнение Питаевского-
Гросса (11.96) для радиальной части функции ?/(г) = А(г) ехр(г^а), где
А(г) = д/п(г),
Т? (1
2тг (1г
ЛА \ о
г + 9а (Н = М(г).
(11.99)
Теперь мы видим, что радиус ядра вихря действительно определяется
корреляционным радиусов, качественно введённым выше. Определим
П2
2тдг1д ’
(11.100)
где по — постоянная равновесная плотность. При К химический
потенциал меняется в присутствии вихря незначительно, и мы всё ещё
можем полагать // = дп$. Тогда, вводя безразмерную радиальную коор-
динату у = ги относительную плотность /(?/) = А(^т/)/д/по, мы можем
переписать уравнение (11.99) в приведённой форме:
1 Л
У Лу
/О) - /3Ы = °-
\ Лу) \ у2)
(11.101)
На больших расстояниях от вихря, у /, решение определяется нелиней-
ностью и даёт / = /3, что соответствует / —> 1, так что плотность равна
невозмущённой тщ. Вблизи оси вихря мы оставляем производную и центро-
бежный член; их совместное действие приводит к типичному поведению
/ ~ у№. При I ф 0 решение обращается в нуль в ядре вихря (область без
когерентного конденсата, п(г) -Л 0). Размер ядра порядка 1 в приведённых
единицах, то есть г ~ корреляционный радиус. Поведение решения в
промежуточной области может быть найдено численно. Во вращающейся
ловушке вихри образуют решётку (§1.14.6), которая имитирует вращение
твёрдого тела.
Эксперимент не оставляет сомнения в том,
что, с той точностью, которую имеют
измерения, сопротивление исчезает. В то же
время произошло нечто неожиданное.
Исчезновение произошло не постепенно, а
внезапно.
X. Камерлинг Оннес, Нобелевская лекция,
1913
Глава 12
Спаривание фермионов
и сверхпроводимость
12.1 Спаривание
Сверхпроводимость твёрдых тел, в соответствии с теорией Бардина-
Купера-Шриффера (БКШ), является результатом притягивающих парных
корреляций между электронами, которые преодолевают их кулоновское
отталкивание. Притяжение происходит, как мы обсуждали в §20.8, от де-
формаций решётки. Куперовские пары образуют коллективное состояние,
в некоторых отношениях подобное Бозе-конденсату, обладающее свойством
сверхпроводимости (сверхтекучести заряженных частиц). С другими ис-
точниками притяжения аналогичные эффекты спаривания работают в
других Ферми-системах, таких, как жидкий изотоп гелия 3Не. Особые
черты проявляются в конечных сверхтекучих системах, таких, как атом-
ные ядра, фермионные атомы в ловушках, или маленькие металлические
зёрна. Физика нейтронных звёзд в значительной степени определяется
сверхтекучестью нейтронов или других составляющих, включая кварки.
Пусть фермионы движутся в среднем поле, индивидуальные одноча-
стичные состояния в котором будут обозначаться |А). Мы предполагаем,
что система инвариантна относительно обращения времени, и наиболее
сильное притяжение действует между Т-сопряжёнными орбитами (§11.5.6).
Так обстоит дело для сверхпроводящих металлов и атомных ядер. Такой
тип спаривания благоприятен для сил притяжения, поскольку перекрытие
между спариваемыми орбиталями максимально. Такая пара инвариантна
относительно обращения времени; в пространственно-однородной системе
она должна иметь нулевой полный импульс Р (квазиимпульс в периодиче-
ской решётке), а также нулевой полный спин 8 = 0, в сферических ядрах
пара имеет нулевой полный момент импульса Л. Известны и более сложные
типы спаривания, например в жидком 3Не [?, 10].
Спаривание в конечной вырожденной системе даёт поучительный пример
решаемой многочастичной задачи [11]. Волновая функция пары с 7 = 0
была построена в задаче 1.22.4 для одной сферической ^'-оболочки, где Т-
сопряжённая орбита определяется соответствующей фазой (II.5.67). Удобно
ввести специальное обозначение, не предполагающее сферической симмет-
рии, а основанное исключительно на инвариантности относительно обраще-
ния времени. Для каждого одночастичного состояния |А) Т-сопряжённое
состояние будет обозначаться |А); например, в однородной системе состо-
яние с тильдой соответствует противоположному импульсу и проекции
спина. С нашим выбором фаз в сферическом базисе, одночастичное об-
ращение времени в в произвольном базисе может быть определено через
разложение по полному набору сферических состояний,
|А) = Г<М =» |А) = Е(4..П-Г ”|7 -»•). (12.1)
Важно, как упоминалось в §1.20.6, чтобы двухкратное обращение време-
ни воспроизводило исходное фермионное состояние с противоположным
знаком,
|А) = Дт(-)2Дт) = — |А). (12.2)
Это следствие статистики Ферми (полуцелые значения Д.
В общем случае двухфермионное спаренное состояние может быть полу-
чено из вакуума действием оператора пары
см
А
где определение одночастичного оператора а~ для Т-сопряжённой орбиты
включает все фазовые множители, так что Сд = Сд, и
4 = -4; (12-4)
А
подобное равенство верно и для оператора уничтожения ад.
Обычно эффекты спаривания играют важную роль только в относитель-
но узком слое моря Ферми вблизи поверхности Ферми 52р. Это определённо
верно для металлов и ядер, где выигрыш в энергии из-за спаривания мал по
сравнению с энергией Ферми ер. (Ситуация может быть другой в сверхпро-
водниках с высокой температурой перехода в сверхпроводящее состояние;
полная теория этого случая всё ещё отсутствует). Точный результат может
быть получен в упрощённой модели, где в операторе пары (12.3) С\ = 1, и
все одночастичные состояния дают равные вклады. Это оправдано, если
мы пренебрежём различиями кинетической энергии (или, в более общем
случае, энергии в среднем поле) частиц в слое, положив е\ = е = сопэ!.
В более реалистическом рассмотрении мы учтём изменение ед когда веса
разных орбит в операторе пары становятся различными.
Сумма в включает $2 членов, где $2 — ёмкость слоя (чётное число
состояний |Л), соответствующее Н/2 Т-сопряжённым парам). Для одного д-
уровня С. = 2^ + 1. Члены, соответствующие Л и Л, на самом деле равны друг
другу, что следует из (12.4) и статистики Ферми (17.14). Поэтому можно
убрать множитель 1/2 перед (12.3) и ограничить суммирование половиной
одночастичных состояний, только П/2 “положительными” состояниями. Но
проще использовать определение (12.4) с суммированием по всем доступным
состояниям. Заметьте также, что оператор (12.3) отличается от С^=Л=0.
использовавшегося в (17.81), постоянным множителем.
Задача 12.1
Нормируйте состояния одной пары, получаемые как Р^|0).
Решение Введём эрмитово сопряжённый оператор уничтожения пары Р
и вычислим норму
<О|РР*|О> = | ууо|даЛ4410). (12.5)
4 XX'
Свёртывая операторы в матричном элементе, мы приходим к
(0|РР*|0) = ) <12.6)
XX'
где все фазовые множители включены в определение индексов с тильдой.
Суммирование по X' оставляет 6\Х = 1 в первом члене и, вследствие (12.2),
5 ~ = — 1 во втором. В результате,
ЛЛ
(0|РР*|0) = (12.7)
что приводит к нормировке состояния одной пары
11 пара)
(12-8)
По сравнению с (II.7.30) для случая одного ^'-уровня, нормировка содержит
дополнительный множитель д/2 из-за статистики Ферми.
12.2 Пары и старшинство
Теперь мы начинаем заполнять слой около Xр парами. Поскольку они
имеют целый (нулевой) спин У, они являются квазибозонами, и мы можем
создать их много. В то же время они не являются настоящими бозонами,
и их сосуществование в одном месте искажается статистикой Ферми со-
ставляющих; мы кратко обсуждали статистику составных объектов в §15.3.
Повторное применение оператора содержит перекрывающиеся члены с
тем же (Л, Л), которые не работают из-за принципа запрета Паули. Несколь-
ко похожая ситуация была указана в связи с бозонным представлением
Холстейна-Примакова операторов момента импульса, задача 1.16.8. Чтобы
двигаться дальше, изучим более детально алгебру операторов пар.
Задача 12.2
Покажите, что
[Р,р1] = 2-У (12.9)
где
= (12-ю)
А
— оператор (17.12) полного числа частиц. Это согласуется с уравнени-
ем (12.7), где Ы и Р, действуя на вакуумное состояние, дают нуль.
Уравнение (12.9) помогает вычислить нормировку состояния двух пар,
полученного повторным действием оператора рождения пары,
(0|Р2(р1)2|0) = (0|р([Р,Рт] + Ртр)р1|0). (12.11)
Оператор IV в коммутаторе (12.9) действует в уравнении (12.11) на со-
стояние с одной парой и даёт 2, остальные операторы сводятся к (12.7).
Во втором члене в (12.11) мы опять образуем коммутатор и используем
Р|0) = 0. Собирая все члены, мы получаем
(0|Р2(Р*)2|0) = 2у - 1).
(12.12)
Поучительно обсудить смысл результата (12.12). Если ёмкость простран-
ства велика и число частиц относительно мало, $2/2 П, то, включая
множитель д/П/2 в определение Р и и пренебрегая ТУ в (12.9), мы
бы свели операторы пар к нормальным бозонам. В этом приближении
коммутатор в уравнении (12.11) был бы равен 2!($2/2)2. Разница между
этим бозонным пределом и квазибозонным результатом (12.12) обусловлена
эффектом блокировки Паули. У нас есть $2/2 различных возможностей
для первой пары (Л, Л) и только П/2 — 1 для второй пары, поскольку две
орбиты (одно состояние пары) уже заняты первой парой. Для большого
$2/2 различие невелико, и картина Бозе-конденсата пар качественно верна.
Задача 12.3
Выведите общий результат для состояния И частиц, образованного п =
7У/2 парами чётно),
(0|Рп(Р^)п|0) =
п!Д/2)!
[(ОД-<
(12.13)
В уравнении (12.13) множитель п\ — остаток Бозе-конденсата, а другие
два факториала отражают блокировку, усиливающуюся, когда оболочка
заполняется парами. Блокировка более заметна, если имеются неспаренные
частицы, так что больше 2п, где п — число пар. Число неспаренных
частиц,
з = 2У-2п, (12.14)
называется старшинством', эта схема классификации, широко используе-
мая в атомной и ядерной физике, была введена Рака [Касай]. Состояние с
частицами и старшинством з может обозначаться | ТУ где многоточие
фиксирует орбиты неспаренных частиц. Например, в ядре с нечётным А
одна орбита |Л) заполнена валентной частицей. Присутствие неспаренной
частицы блокирует состояние пары (Л, Л), которое становится недоступным
для пар. В нашей схеме трёхчастичное состояние с одной парой обознача-
ется |3; в = 1д), где непарная орбита указана явно.
| Задача 12.4
Постройте нормированное состояние с неспаренной частицей на орбите
|А).
Решение Нормировка находится из
(о|аДрЦ|о) = -1. (12.15)
Л
Здесь для вычисления мы опять используем коммутатор (12.9), где ТУ
даёт 1 при применении к одночастичному состоянию. Простой смысл урав-
нения (12.15) — неспаренная частица удаляет одно состояние пары из
доступного объёма.
Задача 12.5
Обобщите предыдущий результат на состояние с ТУ частицами и п парами.
Решение Добавление каждой дополнительной пары действует таким же
образом, как в (12.13), но доступный объём уменьшается на одно состояние
пары,
(ОЬР"(Р*)МЮ> = П2.16)
Уравнение (12.16) определяет нормировку состояния |ТУ = 2п + 1; <§ = 1д).
Тот же результат (12.16) верен, когда обе орбиты пары, Л и Л, заня-
ты неспаренными частицами. Это состояние отличается от спаренного
состояния (12.8), где пара равномерно распределена по доступному про-
странству, а не блокирует некоторую конкретную пару Т-сопряжённых
орбит. Поскольку одно состояние пары уже блокировано одиночной части-
цей, присутствие Т-сопряжённого партнёра не меняет ситуации. Поэтому,
как в (12.16),
(о|йАадр"(Р’)"й’Ц|ч) = (Д'ДУ
Наконец, две неспаренные частицы на орбитах А и У, принадлежащих
двум различным Т-сопряжённым парам, блокируют два состояния пар,
приводя к
Состояния с двумя неспаренными частицами — это = 2п + 2;<§ =
2х,Х')- Состояния с более высокими значениями старшинства могут быть
построены подобным образом. Заметьте, что на этом этапе мы не ввели
явно гамильтониан, так что схема старшинства просто даёт базис, удобный
для описания парных корреляций.
12.3 Мультипольные моменты в схеме старшинства
В приложениях к атомной и ядерной физике практически интересно
вычислить средние значения мультипольных моментов в чистых состояниях
со старшинством в = 1 (одна неспаренная частица). Здесь мы рассмотрим
состояние с одной валентной частицей на сферической орбите \утп = д),
как требуется определением (22.65) мультипольного момента, поскольку
изотропные пары не дают вклада в момент импульса.
Мультипольные моменты относятся к классу одночастичных операто-
ров, во вторично-квантованном виде выражаемых уравнениями (17.34,37).
Только диагональные члены в ^’ш) базисе дают вклад в средние значения,
так что эффективные операторы могут быть записаны в виде
<2 =
т
(12.19)
Пусть чётный остаток состоит из п пар. Нам нужно вычислить матричный
элемент
<2(п) = (Ы = 2п+ 1;$ = 1у|<Ж = 2п + 1;$ = 1Д.
(12.20)
Удобно перейти к “дырочному” представлению, используя (12.19) =
1 — Для любого мультипольного момента, кроме скалярных, за-
мкнутая оболочка не даёт вклада, и след ^Зттг(?тг1^1/7г) = 0. В матричном
элементе (12.20) можно перенести оператор ат влево, а оператор а)т впра-
во, коммутируя их сРп и (Р^)п соответственно (это делается бесплатно,
поскольку Ри Я содержат только пары Ферми-операторов). Включая
норму (12.16) состояния со старшинством 1, мы получаем
с =
т
(0\цатРп(РУа1па}\0')
(0|аДп(-Р'|')п4|°)
(12.21)
Матричный элемент в числителе (12.21) обращается в нуль при т = д
вследствие принципа Паули, и даётся формулами (12.17) и (12.18) для т = д
ит ф] соответственно. Подставляя отношение норм из уравнений (12.16—
12.18), мы получаем
<2 = -О'|д|>) - /9ч I 1 П Ц (ш|д|т). (12.22)
Вследствие обращения следа в нуль сумма в (12.22) равна — (Л^|Д — (Л^|^)«
Наконец,
е = ош - + ш'д (12.23)
Первый член — это нормальный одночастичный результат. Добавочный
вклад, пропорциональный числу пар п, отражает искажение из-за присут-
ствия неспаренной частицы.
Окончательный результат зависит от характера мультипольного операто-
ра. Для операторов, чётных относительно обращения времени, их средние
значения по Т-сопряжённым состояниям равны, и (П = + 1)
«НЖЛДДД)- (12.24)
В начале оболочки (п = 0) и в её конце (п = ^ — (1/2)) уравнение (12.24)
совпадает с простым результатом для одночастичного (<2 = Д|^|/)) и
однодырочного (<2 = — Д|^|Д) состояний. Предсказывается, что чётные по
времени мультипольные моменты как функции п интерполируют между
этими пределами. Их абсолютные величины меньше, чем на краях, и они
меняют знак вблизи наполовину заполненной оболочки.
Для операторов, нечётных по времени, Т-сопряжённые орбиты имеют
противоположные средние значения, и результат (12.23) совпадает с чисто
одночастичным значением Д|дД). Это означает, например, что на магнит-
ный момент ядра не влияет наличие пар, и для состояний со старшинством
8 = 1 он должен быть равен значению Шмидта, задача II.8.5. Конечно, все
эти результаты основаны на многочастичной волновой функции, постро-
енной только из пар и одной неспаренной частицы; другие динамические
корреляции делают реальную ситуацию более сложной.
12.4 Вырожденная модель и квазиспин
Здесь мы рассмотрим точно решаемую модель, которую, по-видимому,
впервые изучил Рака. Она является первой разумной микроскопической
моделью сверхпроводимости, хотя это не было понято в то время.
Предположим, что вблизи Ер частицы взаимодействуют посредством сил
притяжения спаривающего типа. Сила взаимодействия мала по сравнению
с гр и даже с расстоянием между основными оболочками. Но она может
быть порядка расщеплений между д-подоболочками. В грубом приближе-
нии мы считаем все одночастичные уровни в некотором интервале около
поверхности Ферми вырожденными (имеющими энергию е). Полное число
орбит в этом слое равно П.
Спаривающее взаимодействие Vр ведёт к процессам рассеяния частиц
на Т-сопряжённых орбитах (Л, Л). В результате частицы либо остаются на
той же паре орбит, либо переходят на другую пару (Д', Д'). Состояния с
разорванными парами не дают достаточного перекрытия волновых функ-
ций, и мы просто предполагаем, что взаимодействие выключается, если
орбиты частиц не являются Т-сопряжёнными друг другу.
Матричные элементы рассеяния, вызванные спаривающим взаимодей-
ствием,
= (А',А'|РР|А,А), (12.25)
мы заменяем на их среднее постоянное значение ((7 > 0),
ЦД = -С- (12.26)
Из-а малости радиуса взаимодействия отдельные матричные элементы (12.25)
малы — обратно пропорциональны объёму ядра. В самом деле, одноча-
стичные волновые функции в подынтегральном выражении нормированы
на полный объём, тогда как силы отличны от нуля только при маленьких
расстояниях между частицами. Используя наш опыт с двухчастичными
операторами во вторично-квантованном виде (17.71), мы постулируем, что
гамильтониан вырожденной модели спаривания имеет вид
н = е& - СР^Р. (12.27)
Произведение операторов рождения и уничтожения пар (12.3) содержит
все вышеотмеченные процессы перехода пар.
Диагонализация гамильтониана (12.27) может быть произведена элегант-
ным операторным методом. Без вычислений ясно, что операторы Р и
образуют лестничную структуру (§1.11.7), оператор IV меняется на ±2 на
каждом шаге по лестнице,
[Р, У = 2Р, [р1, У = -2#1. (12.28)
Алгебра замыкается коммутатором (12.9). Три оператора,
с- = р, с+ = р'. Д = Д-|).
(12.29)
образуют алгебру 5^/(2), изоморфную алгебре момента импульса (1.16.25,26).
“Момент” С можно назвать квазиспином.
Проекция квазиспина определяется числом частиц и объёмом до-
ступного одночастичного пространства. Поэтому — точный интеграл
движения, принимающий одно и то же значение для всех состояний с дан-
ным ТУ. По мере заполнения оболочки меняется от — (П/4) для пустой
оболочки (ТУ = 0) до +(П/4)для полностью заполненной (ТУ = П); = 0
для оболочки, заполненной наполовину (ТУ = (П/2)). Другой интеграл
движения — квадрат квазиспина,
Д)2 = Д - Д+ ргр. (12.зо)
Он принимает значения Т2(Т2 +1), где С целое или полуцелое в зависимости
от значения При данном ТУ различные состояния имеют различные
значения Д которые могут меняться от >Стт = \Сг\ до максимального
Значения /Тщах ~ (^Д)тах ~ 4,
(12.31)
Таким образом, каждое ТУ-частичное состояние характеризуется квазис-
пиновыми квантовыми числами С и Д. Среднее значение гамильтониа-
на (12.27) определяет, в соответствии с (12.30), энергию состояния,
Р(Г, АГ) = гАГ + у (IV - Д 2) - СЦГ + 1).
(12.32)
Предположим, например, что П/4 целое и число частиц ТУ чётно. Тогда
и С целые, и основное состояние имеет максимальный квазиспин С — П/4.
Квантовое число старшинство <§, введённое в классификации состояний
в §46.2 — это удвоенное отклонение квазиспина С от своего максимального
значения,
(12.33)
Как следует из (12.31), з может меняться от 0 в основном состоянии до
полного числа частиц ТУ в случае оболочки, заполненной меньше, чем на
половину < $2/2), или до числа дырок, $2 — ТУ, если ТУ > $2/2. При
чётных ТУ старшинство тоже чётное. Энергетический спектр (12.32) как
функция старшинства имеет вид
Е8Д)=еМ + 2.Д-8)Д + 8-П-2). (12.34)
Из (12.34) видно, что квантовое число старшинство описывает сокращение
фазового пространства, доступного для взаимодействующих пар вследствие
блокировки в орбит з частицами (при ТУ < П/2), не участвующими в парных
корреляциях. По сравнению с основным состоянием с 8 = 0 ненулевое
значение 8 в (12.34) приводит к заменам ТУ—>ТУ — $, $2—>$2 — 2а, которые
уменьшают число состояний, доступных для пар, и эффективно подавляют
притяжение.
Энергия возбуждения состояний с фиксированным ТУ, но ненулевым
старшинством, равна
ЩЛО-ЩЛО = ^зД-з + 2). (12.35)
Пока энергия возбуждения (12.35) растёт как СТПа/4, т.е. пропорци-
онально числу разорванных пар. Потеря связи для первого разрыва пары,
5 = 2,
2Д = (12.36)
есть энергия связи пары. Она определяет энергетическую щель в спектре
возбуждения пар, тесно связанную со сверхпроводящими свойствами. Эф-
фект пропорционален объёму фазового пространства $2 (потеря доступного
пространства для всех пар). Коллективная природа связи обусловлена
когерентной комбинацией всех доступных состояний в волновой функции
пары, уравнения (12.3) и (12.8).
Добавим нечётную частицу к чётной системе, ТУ —> ТУ + 1. Для нового
(нечётного) числа частиц квазиспин С полуцелый, и 8 нечётно. Макси-
мально возможное значение квазиспина равно Т2тах = ($2/4) — (1/2), что
соответствует 8 = 1, т.е. одной неспаренной частице, блокирующей одно
состояние пары. Энергия основного состояния Е3=1(М + 1) нечётной систе-
мы следует из (12.34) при ТУ—>ТУ + 1и5 = 1. Она может быть выражена
через энергию основного состояния исходной чётной системы как
СШ
^71 (ТУ + 1) = Е0(ТУ) + е + —. (12.37)
Потеря энергии опять имеет коллективный характер, будучи пропорцио-
нальна числу пар АД 2; каждая из пар потеряла одно состояние для воз-
можного рассеяния.
Сравнение энергий основных состояний Ео(ГГ) и Ео(Е + 2) двух соседних
чётных систем показывает, что
Е0Д + 2)- Е0(Д = 2е + СИ ~ Р1. (12.38)
Это значит, что, вследствие спаривания, основное состояние нечётной
системы сдвинуто вверх от средней энергии основных состояний её чётных
соседей на половину величины щели (12.36),
Е, (.V) = + ^ + 2Д’<ЛГ) + = ЫЕНЫЕ + У + д
(12.39)
Это объясняет чётно-нечётный эффект в формуле ядерных масс [Во111998]
как потерю энергии спаривания из-за блокировки Паули для нечётной
системы.
12.5 Каноническое преобразование
Присутствие парных корреляций влияет на вероятности всех процессов
в системе. Простейший пример — передача пары. В реакции между двумя
ядрами пара нуклонов может передаваться от одного ядра к другому с
сохранением корреляции между составляющими. Этот процесс, аналогич-
ный эффекту Джозефсона в сверхпроводниках (§1.14.5), микроскопически
может быть описан парой операторов Р и . Добавляя или удаляя кон-
денсатную пару, они не меняют старшинства.
Алгебра квазиспина (12.29) позволяет использовать матричные элемен-
ты (1.16.49) момента импульса для амплитуды передачи одного и того же
старшинства,
Д + 2-8рДД = -УД-Л^-5)(Л^-5 + 2), (12.40)
Д — 2; 5|Р|ЛГ; $) = -7(12 - IV - 5 + 2)(1У - й).
При малых 8 ~ 1 и далеко от краёв оболочки, Лг П — Лг П 1,эти
матричные элементы равны друг другу, и их общее значение есть
Д + 2; зД |М зДД- 2; 5|РД; з) « - IV). (12.41)
Мы получили когерентный эффект усиления для передачи конденсатной
пары вследствие бозонного стимулированного излучения или поглощения
пар, подобно тому, что мы видели в сверхизлучении, §2.9.
Теперь мы можем перейти к одночастичным процессам в присутствии
конденсата. Гамильтониан спаривания (12.27) даёт уравнения движения
для фермионных операторов рождения и уничтожения,
[ЙЛ,Я] = ваА + сДя, [а\,Н] = -еа\ +СР]ах, (12.42)
Л Л Л
где использовались фермионные правила коммутации (17.14). Мы можем
взять матричный элемент (ТУ; 0| • • • |ТУ + 1; 1д) в первом из этих операторных
уравнений и (ТУ; 0| • • • |ТУ — 1; 1д) во втором. В обоих случаях 1д означает
состояние с одной неспаренной частицей на орбите Л, но конденсат содержит
ТУ частиц в первом случае и - 2 во втором. Действие Р в первом случае
переводит АД 1 ч - 1 с тем же з = 1, а последующее действие а~
создаёт Т-сопряжённого партнёра для неспаренной частицы Л, так что мы
приходим к конденсату из К частиц. Во втором случае можно рассуждать
подобным образом. Матричные элементы Р и К были вычислены выше.
Матричный элемент коммутатора эквивалентен матричному элементу а или
а\ умноженному на разность энергий, известную из (12.34). Таким образом
мы приходим к системе линейных уравнений для матричных элементов а и
об Эти матричные элементы можно найти с точностью до нормировочного
множителя, который можно определить из антикоммутатора (17.14).
В том же приближении, что и в (12.41), мы получаем
1п- к 4 /ту
(Д;0|аЛ|Д + 1; 1Л> = а/——, (ТУ; 0|Ц |Д - 1; 1Д = а/-. (12.43)
V и л V
Одночастичные амплитуды не равны 1 или 0, как это было бы в модели
независимых частиц. В присутствии конденсата амплитуды — числа между
О и 1 (так называемые факторы когерентности).
При выводе уравнений (12.43) мы на самом деле пренебрегли разницей
между конденсатами, содержащими К или К ±2 частиц. Зависимость от К
плавная, и это приближение оправдано при К 1; для второй половины
оболочки опять нужно использовать число дырок П — ТУ вместо ТУ в этой
оценке. Мы можем упростить анализ, введя приближённое описание, не
использующее состояния с точным числом частиц. Вместо этого в теории
используется среднее число частиц для нескольких соседних систем. Это не
проблема в макроскопических сверхпроводниках. В случае ядер этот подход
описывает средние свойства соседних ядер и может быть недостаточно
точным для индивидуальных свойств ядер.
“Среднее” основное состояние |0) — это то, что мы называли макроско-
пическим когерентным состоянием в главе 14 — суперпозиция основных
состояний нескольких чётных систем | Д; 0) в некотором интервале ДД
вокруг Д таком, что 1 Д ДД Д. Одночастичное возбуждение |<§ = 1д) с
квантовыми числами Л может быть получено из основного состояния |0) с
чётным действием специального оператора Ьд,
ь+|0> = |« = 1Л>. (12.44)
Обратите внимание, что амплитуда равна 1. Объект, рождаемый опера-
тором 6д или уничтожаемый оператором Ьд, приближённо представляет
элементарное возбуждение системы. Обычно его называют Боголюбовской
квазичастицей.
В соответствии с уравнением (12.43), амплитуды рождения настоящей
частицы из конденсата или дырки на сопряжённой орбите равны
= + Д1М0) = дЖ^-1;1А). (12.45)
V и и V и и
Пренебрегая разницей чисел конденсатных частиц в двух случаях в (12.45),
мы можем скомбинировать эти выражения и получить оператор квазича-
стицы (12.44)
ь\ = и\а\ + У\а-Х, (12.46)
где параметры их и и\ на самом деле не зависят от Л в нашей вырожденной
модели,
/п-д /д
«А = »А = (12.47)
Эрмитово сопряжённый оператор равен
бА = ДаА + ца|. (12.48)
Преобразование от частиц (а, а^) к квазичастицам (6,6^), изобретённое
Н.Н. Боголюбовым, 1958, является мощным инструментом в квантовой
теории многих тел. В присутствии конденсата есть два пути создать одно-
частичное возбуждение с квантовыми числами Л: непосредственно создать
частицу с такими квантовыми числами (первый член в (12.46)) или уничто-
жить Т-сопряжённого партнёра в конденсатной паре (второй член в (12.46)),
сравните с рассмотрением бозонов в §45.6. Элементарное возбуждение да-
ётся правильной линейной комбинацией этих амплитуд. Оно нормировано
естественным образом,
ы2 + Ы2 = 1. (12.49)
В системе, инвариантной относительно обращения времени, амплитуды
их и и\ могут быть выбраны действительными и совпадающими для Л
и Л. Однако нужно быть осторожным с относительным знаком ампли-
туд, поскольку, вследствие правила (12.4) обращения времени, операторы
обращённых квазичастиц (в Т-инвариантной системе) равны
= иха^ - юхах, Ь~х = иха~х - гАД. (12.50)
Ситуация более сложна при отсутствии Т-инвариантности, например, во
внешнем магнитном поле. Тогда амплитуды преобразования становятся в
общем случае комплексными.
Квазичастицы опять являются фермионами, запрещено повторять созда-
ние квазичастицы дважды. Вследствие нормировки (12.49) антикоммутатор
сохраняется,
[к 4'1+ = дхх/. (12.51)
Остальные антикоммутаторы (17.14) тоже сохраняются. Например,
[ЬХ, ЬХ,]+ = ДД ДА, + ДДДА,. (12.52)
Здесь 5-символы отличаются знаком от (12.6), так что
[Д, Д]+ = дххЧхих - ихух)*. (12.53)
Результат равен нулю при правильном выборе фаз Т-сопряжённых ор-
бит, разность фаз между и^ и их должна быть равна разности фаз меж-
ду аналогичными множителями и (это автоматически выполняется в Т-
инвариантном случае). Поэтому преобразование Боголюбова является ка-
ноническим.
Тогда как оператор (12.46) создаёт элементарное фермиевское возбужде-
ние, его сопряжённый оператор (12.48), действуя на основное состояние,
даёт нуль,
как видно из (12.47,12.48) и (12.45) с учётом правил од = — а~ и при
отождествлении конденсатов в обоих членах (12.45). Поэтому основное
состояние конденсата является вакуумным состоянием для квазичастиц.
Легко найти обратное преобразование к (12.46) и (12.48),
ах = и\Ь\ - = ихЬ[ - ухЬ~х- (12.55)
С учётом (12.54) среднее значение оператора числа фермионов (41.16) в
основном состоянии |0) оказывается равным
пл = <0|пл|0> = |0) = Д (12.56)
В вырожденной модели (12.47) средние числа заполнения однородны во
всём пространстве,
пл = (12.57)
Таким образом, амплитуды и\ и т\ характеризуют распределение частиц в
основном состоянии,
= л/пл, «л = л/1 - «л- (12.58)
За исключением амплитуд (12.47), которые в этом специфическом случае
не зависят от одночастичных квантовых чисел, существенные результаты
для произвольной невырожденной схемы одночастичных уровней очень
похожи. Любой оператор для исходной фермионной системы может быть
переведён на язык квазичастиц с помощью канонического преобразования,
что позволяет вычислять все матричные элементы физических величин.
Цена, которую необходимо заплатить за это упрощение — несохранение
числа частиц.
12.6 Теория БКШ. Пробная волновая функция.
Вооружившись точными результатами в вырожденной модели, мы можем
разработать более общий подход, применимый в реалистических ситуациях.
Это было впервые сделано в статье [ВС81957] о микроскопической теории
сверхпроводимости. Хотя этот метод является приближённым, можно пока-
зать, что он даёт точные результаты в пределе больших макроскопических
систем. В конечных системах, таких, как ядра, как мы уже упоминали, в
некоторых случаях точность этого подхода недостаточна.
Рассмотрим общий гамильтониан спаривания для Ферми-системы. Он
состоит из независимых частиц с энергиями ед и спаривательного взаимо-
действия с матричными элементами, даваемыми уравнением (12.25). Схема
одночастичных уровней ед произвольна, но сила спаривания предполага-
ется малой по сравнению с энергией Ферми ер (это может быть неверно
для высокотемпературных сверхпроводников). Спаривание существенно в
некотором слое около поверхности Ферми 52р. Плотность одночастичных
уровней рр на Тр (§19.1) играет важную роль в результатах.
Одночастичные орбиты подразделяются на Крамерсовские дублеты
(Л, Л), вырожденные в силу предполагаемой Т-инвариантности. Мы приме-
ним вариационный метод. Построим пробную волновую функцию основно-
го состояния, учитывающую существование конденсата пар, и найдём её
параметры путём минимизации энергии основного состояния Ео.
Спаривательное взаимодействие рассеивает пару из одного дублета со-
стояний в другой. Для разорванной пары взаимодействие гораздо слабее, и
мы пренебрежём им, как мы делали раньше. Неспаренная частица вредна
для всех пар из-за эффекта блокировки. Поэтому мы предположим, что
в основном состоянии для чётного числа частиц нет дублета состояний,
занятого только одной частицей. В этом приближении пары всегда дви-
жутся по доступному пространству как единое целое. Волновая функция
основного состояния — это суперпозиция компонент с разными числами
заполнения дублетов состояний. Мы возьмём средние числа заполнения в
качестве вариационных параметров. Соответствующие амплитуды — это
параметры и\ и пд, уравнение (12.58). В соответствии с Т-инвариантностью,
числа заполнения обоих компонент дублета одинаковы. Для каждого дуб-
лета и\ = Гд даёт амплитуду вероятности найти обе компоненты дублета
занятыми, тогда как и\ = и^ даёт амплитуду вероятности того, что оба
этих состояния пусты. Сумма вероятностей равна 1, уравнение (12.49),
поскольку мы пренебрегли вероятностями частичного заполнения только
одного из дублетных состояний.
Приближённая волновая функция может быть записана как произведение
по всем дублетам состояний,
|о) = Р[{ид - (12.59)
А
Здесь оператор
аналогичен (12.3) для данного дублета и, в отличие от (12.3), каждый дублет
представлен только одним множителем в бесконечном произведении (12.60),
где |уас) означает абсолютный вакуум, вообще без частиц.
Очевидный недостаток изящно выглядящей волновой функции (12.60)
— она не сохраняет число частиц. В бесконечном произведении (12.59)
есть даже ненулевая амплитуда, происходящая от перемножения всех
множителей щ соответствующая пустому состоянию |уас); произведение
всех множителей V даёт бесконечно много частиц; присутствуют также все
промежуточные случаи. Однако это обычная ситуация в статистической
механике макроскопических систем, где невозможно гарантировать точное
сохранение гигантского числа частиц.
Соответствующий рецепт статистической механики рекомендует исполь-
зовать большой канонический ансамбль, где система считается открытой и
число частиц флуктуирует вокруг среднего значения IV. Нужное среднее
значение обеспечивается введением химического потенциала ц, как мы
это делали для бозонов в присутствии конденсата в §21.2: гамильтониан
заменяется на
Н' = Н- цД. (12.61)
Все собственные состояния зависят от //. которое потом выбирается таким
образом, что среднее значение IV по основному состоянию равно нужному
среднему числу частиц,
ДЧ = х (12.62)
Это уравнение задаёт необходимое значение //.
В равновесной макроскопической системе флуктуации числа частиц рас-
тут как ДД ~ д/Д, и их относительная роль мала, ДД/Д ~ 1/д/Д. Это
то же самое, что и раньше, когда мы пренебрегали различием конденсатов.
В ядерных задачах может быть желательно улучшить приближение, убрав
фиктивные флуктуации числа частиц. Здесь мы будем действовать, как в
статистической механике, вводя химический потенциал (12.61).
Гамильтониан, обобщающий (12.27), может быть записан через одноча-
стичные энергии ед и матричные элементы (12.25) как
н' = Е +Е V (12-63)
А АЛ'
где суммы теперь берутся по дублетам. Здесь одночастичные энергии
сдвинуты на химический потенциал, = ед — ц. Практически спаривание
сконцентрировано вблизи 52р, так что химический потенциал совпадает
со своим невозмущённым значением ер, уравнение (19.9). Наша пробная
волновая функция предполагает ненулевое заполнение (гд) выше Ди
присутствие дырок (пд) ниже 52р. Это бы дало более высокую энергию
для невзаимодействующих частиц. Но этот проигрыш будет более чем
скомпенсирован выигрышем в энергии взаимодействия.
12.7 Минимизация энергии
Вычислим среднее значение
Ео = (0|Н/|0> (12.64)
сдвинутого гамильтониана (12.63) по пробному состоянию (12.59). Истинная
энергия системы в этом приближении отличается от этого значения на
Др).
В члене независимых частиц оператор п\ просто заменяется на своё сред-
нее значение В члене взаимодействия рассмотрим элемент с переходом
А7 —> А для А ф X'. Он даёт ненулевой вклад в (12.64) если в начальном
состоянии (правая часть матричного элемента (12.64)) дублет А7 заполнен
(амплитуда гд/), а дублет А пуст (амплитуда пд). С другой стороны, в
конечном состоянии (левая сторона матричного элемента) дублет А7 дол-
жен быть пуст (амплитуда пд/), тогда как дублет А заполнен рассеянной
парой (амплитуда гд). Множители произведения (12.59), не участвующие
в рассматриваемом процессе, проносятся без изменений и дают 1 в силу
нормировки (12.49).
Мы приходим к полной энергии в виде суммы энергий независимых
частиц и вкладов всех возможных процессов рассеяния пар,
Ео = 52 2еАг’А + 52 ГдА'«Л^А«А''УА'• (12.65)
А АЛ'
Диагональные члены взаимодействия с У = А дают ^дд?,д — однократ-
ную сумму вместо двойной суммы в (12.65). Поэтому их вклад меньше на
множитель П, и может быть опущен.
Чтобы произвести минимизацию по пд и гд, связанным условием норми-
ровки (12.49), мы выражаем их через числа заполнения, как в (12.58),
-^0 = 52 2еАпА + 52 Ча'л/Ы1 - ПА>А'(1 - «А')- (12.66)
А АА'
Все пх независимы, поскольку о сохранении числа частиц (в среднем)
заботится химический потенциал.
Варьирование энергии (12.66) даёт систему уравнений
= 0 (12.67)
для каждого Л. Индексы Л и X' в (12.66) эквивалентны, и каждый из них
может совпадать с внешним Л в (12.67). Мы оставляем только один вклад
и умножаем результат на 2. Дифференцирование приводит к
2=-'а + 2-4=== /»>-(!- ’>а.)=0. (12.68)
2\/па(1 - пА) Д
Введём обозначение
△а = “У^АА'УпА/(1 - пА/) = (12.69)
Л' Л'
Знак минус выбран потому, что нас интересует случай притяжения, когда
матричные элементы в основном отрицательны. Условия минимума (12.68)
принимают вид
24\/па(1 - «а) = Ал(1 - 2па).
(12.70)
Стоит ввести ещё одно обозначение
Ех = +Д2 + Д2. (12.71)
Тогда после простой алгебры мы получаем решение квадратного уравне-
ния (12.70) для чисел заполнения,
ПЛ = 1(1±М (12.72)
Величина Дд, уравнение (12.69), аккумулирует эффекты спаривания.
Без спаривающего взаимодействия Е\ -д |е^|, так что
ПА^ПА= з(1± д^)- (12-73)
Одночастичные энергии положительны выше // и отрицательны ниже //.
Поэтому мы должны выбрать знак минус в (12.73), чтобы гарантировать
правильные числа заполнения, равные 1 ниже // и 0 выше р. Конечно, это
просто определение энергии Ферми, /а = ер.
В присутствии сил спаривания величина Е\ отлична от |е^| в слое 5е ~ △
около Ер, где Д ер — среднее значение Дд. Вне этого слоя можно
пренебречь Дд и вернуться к невозмущённым числам заполнения (12.73).
Поэтому мы опять должны выбрать нижний знак в (12.72). Следовательно,
решение задачи минимизации — это
= 1(1 - = 1= 1(1 +|С- (12-74)
Однако это всего лишь формальное решение, поскольку величина Дд,
входящая в Е\, зависит от чисел заполнения по определению (12.69).
12.8 Энергетическая щель
Неизвестную величину Дд обычно называют энергетической щелью,
потому что, как мы увидим, её величина определяет минимальную энергию
возбуждения вблизи Ер, где невозмущённая энергия е' = е — р мала. Чтобы
найти Дд, мы должны подставить параметры (12.74) в (12.69), что приводит
к нелинейному уравнению для Дд.
Комбинация, входящая в уравнение (12.69) — это
= УпЛ(1 - пА) = (12.75)
Она исчезает в нормальном пределе (без спаривания), когда все числа
заполнения равны 1 или 0. Уравнения (12.75) и (12.69) приводят к инте-
гральному уравнению для Дд,
дА = -ЕЧА'т|У (12.76)
Л' х'
Это уравнение играет фундаментальную роль в теории сверхпроводимости
БКШ. Тривиальное решение Дд = 0 (нормальный Ферми-газ) всегда воз-
можно. Чтобы найти нетривиальное решение — если оно существует — мы
примем некоторые свойства потенциала спаривания, которые определяют
существование и симметрию Дд.
В однородной макроскопической системе пары характеризуются полным
импульсом Р, сохраняющимся в процессах рассеяния, и относительным
импульсом р. Полный импульс каждой пары должен быть равен нулю в
основном состоянии без тока. Абсолютные величины р и рх близки крр, и
рассеяние описывается углом между начальным относительным импуль-
сом рх и конечным р. Матричный элемент как функцию угла можно
разложить по полиномам Лежандра. Конденсат формируется парами в со-
стоянии относительного движения (парциальной волне), соответствующем
максимальному притяжению. Обычно это происходит в «8-волне, и потому в
синглетном по спину состоянии. В сверхтекучем 3Не спаривание происходит
в триплетном по спину р-состоянии, есть несколько термодинамических
фаз, отличающихся связью между спином и орбитальным моментом [10].
Для з-волнового спаривания матричные элементы взаимодействия не
зависят от угла рассеяния, и их можно заменить на эффективную константу.
Ситуация в ядрах качественно похожа, хотя матричные элементы различны
для разных комбинаций А и У. Однако приближение (12.26) эффективной
константой в некотором слое около 52р (и нулём вне этого слоя) может
дать разумную оценку,
<А, « -Свхвх>, (12.77)
где обрезающие множители 9\/ ограничивают пространство спаривания
внутренностью энергетического слоя —вблизи 52р. В этом
приближении
= (12.78)
А' 2Ех'
так что Дд — константа внутри слоя,
△Л = 0ЛА- (12.79)
Нетривиальное значение Д удовлетворяет уравнению
А
где Д входит в знаменатель через Е\, уравнение (12.71).
Чтобы решить уравнение (12.80), мы заменяем суммирование по слою ин-
тегрированием по одночастичным энергиям с плотностью уровней Д(е) ~
Ср на 52р. Эта плотность уровней считает вырожденные дублеты, и потому
отличается от пр (43.11) множителем 1/2. Тонкость этой замены состоит в
том, что в дискретном спектре уравнение (12.80) может не иметь решений,
что означало бы Д = 0. Взаимодействие должно быть достаточно сильным,
чтобы обеспечить образование конденсата процессами рассеяния пар, пре-
одолевая интервалы между уровнями дискретного спектра. Действительно,
минимальное значение знаменателя в (12.80) — это |. Тогда критическая
сила спаривания Ос определяется соотношением [12]
вх
2Н1’
1 = с^Е
А
(12.81)
Нетривиальное решение отсутствует при С < С1с. Если перейти к непрерыв-
ному спектру, то интеграл в (12.81) имеет логарифмическую особенность
на Ер, где Д —> 0. Тогда С?с —> 0, и конденсат появляется при сколь угодно
слабом взаимодействии. Это значит, что в макроскопической Ферми-системе
нормальное состояние нестабильно по отношению к силам притяжения,
вызывающим образование конденсата пар (эффект Купера).
В конечной системе замена суммы интегралом оправдана только тогда,
когда сила спаривания сверхкритична, в противном случае нет никаких
корреляций спаривания. С сильным спариванием в непрерывном прибли-
жении интегрирование сводится к
1 = С / де' / к 7 Си'р / де' /
2л/еа + Д2 70 + Д2
и может быть легко произведено,
, _ „ ,, €+ее + а2 ~ , 2^
1 — Сг Юр 1п -—----- ~ Сг Юр 1п ,
(12.82)
(12.83)
где мы предположили, что Д <С С Наконец, модель даёт решение для
параметра щели,
Д « 2^ехр(--Т-1
(12.84)
Результат является неаналитической функцией силы О при С? —> 0 (су-
щественная особенность не позволяет разлагать в ряд Тэйлора), и он не
может быть выведен в теории возмущений даже при малом О (ещё одно
свидетельство нестабильности нормального моря Ферми относительно при-
тягивающих взаимодействий). Однако нужно помнить, что это заключение
справедливо только для макроскопических систем, тогда как для конечных
систем весь метод не работает в случае слабого взаимодействия.
Возвращаясь к параметрам (12.74) волновой функции, мы получаем
простую картину одночастичных чисел заполнения для постоянной (или
Рис. 12.1. Средние числа заполнения для нормального Ферми-газа (пунк-
тирная линия) и для нетривиального решения БКШ (сплошная линия).
медленно меняющейся как функция Л) энергетической щели Д. Числа
заполнения, вместо резкого разрыва в нормальном Ферми-газе, плавно
уменьшаются от 1 существенно ниже Ер до 0 существенно выше Ер. Шири-
на переходной области энергий порядка Д, т.е. меньше ширины слоя взаи-
модействия ~ 2^ (эта ширина ~ А?р(2Д/ер) в импульсной шкале рис. 22.1).
Задача 12.6
Покажите, что результаты вариационного подхода можно получить с
помощью метода канонического преобразования, предполагая, что квази-
частичные операторы даются (12.46) и (12.48). Выразите гамильтониан
через новые операторы Ь и Ь\ используя обратное преобразование (12.55).
С помощью коммутационных соотношений приведите преобразованный
гамильтониан к нормальной форме по отношению к Ь и &. Член взаимодей-
ствия, билинейный по операторам, имеет два типа структур, Ь^Ь и (55 + бШ).
Второй тип соответствует “опасным диаграммам” создания или уничтоже-
ния двух квазичастиц. Их присутствие сделало бы систему нестабильной.
Выбор параметров щ V канонического преобразования, обращающий в нуль
опасные члены, определяет стабильное основное состояние (сравните с
§1.12.7). Покажите, что для гамильтониана спаривания получившиеся пара-
метры совпадают с теми, которые были найдены вариационным методом.
Мы можем непосредственно проверить, что квазичастичные операторы,
найденные в вырожденной модели, имеют точно такие же свойства в реали-
стическом случае, если они определены с соответствующими амплитудами
и. V. Действительно, подействуем оператором рождения квазичастицы
уравнение (12.46), на основное состояние (12.59). Член и\а^ помещает
частицу в пустую орбиталь |Л), которая имела амплитуду и\. Член
уничтожает Т-сопряжённого партнёра из конденсатной пары, которая при-
сутствовала с амплитудой т>\. Суперпозиция этих двух амплитуд даёт, в
согласии с (12.44),
41°) = 4 П "Д' - гА'Р{,}|уас),
Х'ДХ
(12.85)
что есть в точности состояние (12.44) с з = 1.
Задача 12.7
Проверьте, что основное состояние (12.59) удовлетворяет вакуумному
условию для квазичастиц (12.54).
12.9 Спектр возбуждений
Величина Еу введённая в процессе решения, уравнение (12.71), имеет
важный физический смысл, оправдывающий это обозначение. Эта энергия
связана с дополнительной валентной частицей, которая блокирует уровни
пар и уменьшает общий выигрыш энергии при образовании конденсата.
Добавим частицу на орбите Л к спаренной чётной системе и вычислим
энергию ИД получившегося состояния. При этом добавляется энергия заня-
той орбиты относительно энергии Ферми (е^) и вычитается член удалённой
пары 2едГд в (12.65). Но вблизи Ер одночастичная энергия мала, доба-
вочная частица попадает почти на поверхность Ферми. Однако есть другой
эффект, связанный с блокировкой состояния пары, ставшего недоступным
для рассеяния других пар. Этот вклад оказывается конечным на Ер из-за
суммирования по многим состояниям пар. Этот эффект происходит от
второго члена в (12.65), где мы должны теперь вычеркнуть вклады забло-
кированной орбиты из обоих сумм, по А и по У, что даёт равные вклады.
В результате, полная энергия, связанная с добавочной частицей, равна
Ю = ^л(1 - 2гД - 2иАг>л ихх>их^х'-
X'
Сумма в (12.86) равна —Дд, уравнение (12.69). Используя значения
параметров (12.71,12.74) и (12.75), мы приходим к
Тх = 4 (1-1 +Д)
\ -С'А/
Ех
= ЕХ.
(12.87)
Таким образом, величину Е\ можно назвать энергией квазичастицы. Имен-
но эта энергия добавляется к системе при возбуждении, производимом
оператором рождения квазичастицы (12.44). Теперь смысл термина энерге-
тическая щель становится яснее. На 52р собственная энергия добавляемой
частицы стремится к нулю, но минимальная энергия возбуждения конечна
и равна Д. Она происходит исключительно от блокирующего влияния
добавочной частицы на все другие пары.
Рис. 12.2. Спектр одночастичных возбуждений вблизи поверхности Ферми
в системе со спариванием.
В нормальной макроскопической системе спектр одночастичных возбуж-
дений вблизи Ер является линейной функцией импульса,
= е(р) - еР УР(р-рр), р>рр. (12.88)
То же верно для дырочных возбуждений,
= ер - е(р) Яй гР(рР -р), р < рР; (12.89)
в обоих случаях ир — скорость на поверхности Ферми. Этот спектр имеет
две ветви, для частиц и дырок, которые соединяются на Ер, где энер-
гия возбуждения обращается в нуль, рис. 12.2. В системе со спариванием
мы имеем плавное поведение со щелью Д на Ер. Подобно уравнению
Дирака, щель (12.71) играет роль массы в спектре возбуждений, в её отсут-
ствие одночастичный спектр был бы линейным по импульсу (12.88,12.89),
как для безмассовой частицы. Возбуждения теперь имеют смешанную
частично-дырочную природу, что отражено в квазичастичном канониче-
ском преобразовании (12.50).
Чтобы возбудить чётную систему, мы должны разорвать одну из пар.
Если после этого партнёры занимают одночастичные орбиты А и У, то
энергия возбуждения равна
ИДа' = Ех + ЕХ' •
(12.90)
Очевидно, такие возбуждения начинаются с более высокого порога, равно-
го (ИДд')шт = 2Д, что соответствует появлению двух квазичастиц. Такое
поведение необходимо для сверхтекучести в макроскопической системе.
Действительно, критерий сверхтекучести Ландау (21.43) определяет конеч-
ную критическую скорость
Жпт _ 2Д _ Д
-Ртах 2рр рр
(12.91)
В заряженной Ферми-жидкости незатухающий ток означает сверхпроводи-
мость. В этих лекциях мы не будем подробно изучать электродинамику
сверхпроводников [?,13].
В главе 1.14 мы описывали основные черты сверхпроводящего состояния
с помощью макроскопической когерентной волновой функции. В микроско-
пическом подходе эту роль по существу играет щель Д, которая в состоянии
с током приобретает фазу, зависящую от координат, а ток пропорционален
градиенту этой фазы. Пространственная протяжённость макроскопической
волновой функции определяет так называемую длину когерентности 1С.
Величина щели Д указывает энергетический слой вокруг Ер, где есть скор-
релированные конденсатные пары; в соответствии с уравнением (12.75),
это область сглаживания поверхности Ферми. Неопределённость импульса
этого волнового пакета можно оценить как 5р ~ 2^/ьр^ и пространственная
длина когерентности 1С ~ К/5р ~ Кхр/Д. Эта длина обычно превосходит
расстояние между частицами на 2-3 порядка. В ядрах формально вычис-
ленная длина когерентности больше размера ядра. Пары слабо связаны и
сильно перекрываются. При сильном притяжении образовались бы тесно
связанные молекулы, что сильно отличается от картины БКШ. Переход
между двумя режимами, от слабо связанного собрания куперовских пар к
конденсату бозонных молекул, может наблюдаться в атомных ловушках с
переменной эффективной силой взаимодействия [Ке§2004].
298
и сверхпроводимость
Резюмируя основные черты спектра возбуждений системы со спари-
ванием, мы можем использовать схему старшинства, развитую исходно
для вырожденной модели. Классификация состояний по числу з неспа-
ренных частиц особенно полезна в ядрах и других конечных системах.
Энергетическая щель в этой модели даётся уравнением (12.42). Теперь мы
можем распространить это описание на реалистический случай. Основное
состояние имеет <8 = 0, первые возбуждённые состояния чётной системы
соответствуют <8 = 2, тогда как основное состояние ядра с нечётным А
имеет <§ = 1. Спектр возбуждений чётной системы имеет щель 2Д; спектр
возбуждений нечётной системы не имеет щели, поскольку неспаренную
частицу можно возбудить на другую орбиту без сильного искажения конден-
сата. В нечётной системе при энергиях ~ 2Д находятся состояния с тремя
квазичастицами, <8 = 3. Эта конструкция легко может быть продолжена.
Рис. 12.3. Типичная зависимость (а) макроскопической щели от темпе-
ратуры, и (Ь) корреляционной энергии спаривания в мезоскопической
системе от энергии возбуждения.
Состояния с большим старшинством становятся всё менее и менее скор-
релированными. Каждый раз нужно решать уравнение для щели, подоб-
ное (12.76), но с новыми числами заполнения,включая эффект блокировки.
Если вероятность найти неспаренную частицу на орбите Л равна /д (не
спутайте эту функцию с парным числом заполнения пд, присутствующим
уже в основном состоянии (12.59)), то вероятность найти дублет состояний
(Л, Л) пустым и доступным для рассеяния пар равна
РХ = 1 /л Д (12.92)
Тогда вместо главного уравнения (12.76) мы получим
△л= (12-93)
Д! 2Ех'
Это происходит, когда энергия возбуждения (которую можно обсуждать
также на языке температуры Т) растёт, увеличивая вероятности /д(Т)
термального возбуждения квазичастиц. Нетривиальное решение Д ф О
уменьшается с температурой и обращается в нуль при критической темпе-
ратуре Тс, которую можно найти из (12.93) с Д = 0. В макроскопической
системе это наблюдается как фазовый переход из сверхпроводящего со-
стояния в нормальное, рис. 22.3а. В конечных системах, таких, как ядра,
нет резкого фазового перехода, но Д постепенно уменьшается. Когда она
становится меньше среднего интервала между энергиями орбит в нормаль-
ной системе, уже не имеет смысла говорить о щели в спектре. Рис. 22.ЗЬ
[Ног2007] показывает коррелятор (Р^Р), аналог энергии спаривания в урав-
нениях (12.27 и (12.101)), для всех состояний со спином У = 0 и изоспином
Т = 0 в оболочечной модели ядра 2881, ограниченных 1<§ и Ос/ орбиталями,
близкими к поверхности Ферми. Только низшие состояния показывают
развитое (изоспиново-инвариантное) спаривание; число валентных частиц
слишком мало: 6 протонов и 6 нейтронов.
Рис. 12.4. Плотность квазичастичных (квазидырочных) уровней в сверх-
проводящей системе.
Квазичастичные возбуждения в чётной системе, вытолкнутые выше по-
рога 2Д, увеличивают плотность уровней в этом районе. Новая плотность
уровней неспаренных частиц с энергией Е = д/в2 + Д2 (урав-
нение (12.81)) равна, как обычно, числу уровней Лп/ЛЕ на единичный
интервал энергии. Мы получаем в терминах невозмущённой плотности
уровней т/(е)
(1п ск Е
Е > Д.
(12.94)
В макроскопической системе эта функция имеет (интегрируемую) особен-
ность на пороге из-за скопления квазичастичных состояний, вытолкнутых
из щели, рис. 12.4.
12.10 Энергия конденсации
Теперь мы можем обосновать, что сверхпроводящее состояние с нетриви-
альным решением Д энергетически выгодно по сравнению с нормальным
состоянием с Д = 0.
В модели с постоянными матричными элементами (12.76) энергия основ-
ного состояния Т?о (с несущественным сдвигом на ц(Д)) равна
Ео = - с(. (12.95)
А А
Здесь достаточно рассмотреть только энергетический слой толщины во-
круг 52р, где распределение частиц отлично от случая нормальной Ферми-
системы. Вклад первого члена в (12.95) может быть выражен через инте-
грал, как в (12.82),
<12-9б>
Второй член в (12.95) равен, как видно из (12.78), Д2/2(7. Используя
уравнение (12.82), мы опять переписываем его в интегральном виде,
7^(2) _
в0 —
А2 1 Л 2 /
—~ —МД / , =
20 2 у/е/2 + А2
(12.97)
Чтобы найти энергию конденсации 7?сопа, нам нужно вычислить разность
между энергиями основных состояний спаренной и нормальной системы,
последняя равна сумме всех одночастичных орбит ниже 52р,
(1г'г'.
(12.98)
Задача 12.8
Вычислите энергию конденсации
^сопс! = Ед + Е® — Е/погт.
(12.99)
Решение Собирая все члены и производя интегрирование, мы получаем
^СОпа = ^(€2-€У€2 + А2)-
(12.100)
Эта энергия отрицательна при любом ненулевом значении параметра
щели. Таким образом, нетривиальное решение энергетически предпочти-
тельно. В приближении Д, которое использовалось в (12.83),
ЯСОпа = -1аЧ- (12.101)
Этот результат имеет простой физический смысл: спаривание существенно
меняет одночастичный энергетический спектр в интервале порядка Д. Этот
интервал содержит гдД состояний. Каждое из них приобретает добавочную
энергию связи порядка Д.
В макроскопических сверхпроводниках энергия конденсации в едини-
це объёма (полная плотность уровней пропорциональна объёму) равна
плотности энергии магнитного поля которое нужно, чтобы разру-
шить сверхпроводимость. Поэтому уравнение (12.101) прямо определяет
критическое магнитное поле Ес.
12.11 Амплитуды переходов
Как мы обсуждали в связи с процессом передачи (12.41), факторы ко-
герентности, определяемые свойствами конденсата, сильно влияют на ве-
роятности переходов. Посмотрим на матричные элементы одночастичных
операторов, которые определяют мультипольные моменты и радиационные
переходы в ядрах и процессы типа спиновой релаксации и поглощения
света в макроскопических сверхпроводниках.
Общий одночастичный оператор, не меняющий число частиц, может
быть записан как (7.37),
где сумма берётся по всем одночастичным орбитам. Чтобы найти его
действие на спаренную систему, мы производим каноническое преобразова-
ние (12.55) к квазичастицам. Результирующий оператор содержит члены
(^/\3 с разными правилами отбора по старшинству Да.
Сначала рассмотрим вклады ~ ЬЩ сохраняющие число квазичастиц,
Да = 0. Имеется два члена этого типа,
Со = ^2 </АА' + Ух^ДДх/) (12.103)
АЛ'
Второй член в (12.103) можно привести к нормальной форме,
- Сьу (12-104)
Таким образом мы извлекаем неоператорный член (диагональное среднее
значение)
С = 1>ааПа (12.105)
А
который определяется числами заполнения п\ = Гд. Два операторных
члена с Да = 0 комбинируются в оператор, ответственный за процесс
рассеяния квазичастицы полем Д.
Со = ^2 9ЛА' (диЛхЪх' - Щ (12.106)
ЛА'
Во втором члене (12.106) мы можем сделать замену переменных суммиро-
вания, А —> А\ Д' —> А, сделав операторы такими же, как и в первом члене.
В Т-инвариантной системе амплитуды щ V не меняются при обращении
времени. Окончательный ответ зависит от свойств поля С по отношению к
обращению времени.
Для Т-чётного поля, д^д/ = дуд, матричный элемент М\\г рассеяния
квазичастиц Ъ\Ъ\/ равен
МС = ЧХХ'(иХиХ' - ^Л')- (12.107)
В Т-нечётном случае, = —дуд, матричный элемент содержит другой
фактор когерентности
МС = 9лл'(«а«л' +'Уа'1’а')- (12.108)
На диагональный матричный элемент Т-нечётного мультипольного момен-
та спаривание не влияет,
= дХх(и2х + ^) = (12.109)
Например, магнитный момент квазичастицы на данной ядерной орбите со-
храняет Шмидтовское значение, как мы видели в схеме старшинства (12.23).
Амплитуда рождения двух квазичастиц тем же полем (разрыв пары)
даётся членом Да = 2,
<^2 = -^9хх'ихтХ'Ъ\Ъу. (12.110)
XX'
Есть две возможности произвести две квазичастицы ъ\ъ\д Л = //. X' = д'
и Л = д',Х' = д. Опять для Т-чётного поля мы получаем матричный
элемент
РХХ' = УххДхкх' + их'Ух). (12.111)
В Т-нечётном случае амплитуда равна
РХХ' = ЧххДхух' ~ их'Ух). (12.112)
Теперь рождение диагональной пары Л — X' запрещено, Рх2 — 0. Это
пара с квантовыми числами конденсата, и поэтому она Т-чётна, а поле Т-
нечётно. Эти результаты незаменимы при вычислении отклика спаренной
системы на любые внешние поля.
Оказывается, для наших целей гораздо
больше подходит не волновая функция, а
нечто иное, называемое матрицей плотности.
Так что при небольшом возрастании
сложности уравнений (не при сильном
возрастании) я использую матрицу
плотности.
Р.Ф. Фейнман, 1п1егпаЫопа1 ^игпа1 о/
ТкеогеЫса1 Ркузгсз, тп. 21 (1982), с. 467-488
Глава 13
Матрица плотности
13.1 Смешанные состояния и матрица плотности
До настоящего времени мы работали, главным образом, с чистыми кван-
товыми состояниями, описываемыми вектором состояния |Ф). Это обо-
значение соответствует специально подготовленной, например, в качестве
собственного состояния определенного оператора Гамильтона, изолирован-
ной квантовой системе, когда можно пренебречь ей взаимодействием с
окружением. Последнее возникает только в качестве измерительной ап-
паратуры. Однако, это лишь идеализация реальной ситуации. Например,
мы несколько раз упоминали системы с тепловым возбуждением. В этом
случае, предполагается, что системы находится в тепловом равновесии с
нагревателем, термостатом, который поддерживает определенный уро-
вень возбуждения системы. Другим важным обстоятельством является
конечная точность аппаратуры, создающей начальное состояние.
Действительно, описание системы как части большого механизма явля-
ется более общим, чем то, что подразумевается под чистым квантовым
состоянием. Такое описание становится обязательным во всех случаях,
когда мы имеем дело с частью динамических переменных и усредняем
по наблюдаемым степеням свободы. Тогда, вместо чистого состояния, мы
должны иметь дело с смешанными квантовыми состояниями, описыва-
емыми матрицей плотности р, а не с волновой функцией. Представим
задание, состоящее из двух частей, чистая система и ее окружение. Вторая
часть, в частности, может быть лишь набором переменных той же самой
системы, который нам не интересен или просто не может быть проверен
экспериментально, как это обычно имеет место в задаче многих тел. Пред-
полагая, что большая система, как целое, может считаться замкнутой и
описываться волновой функцией |Ф), мы вводим полный набор функций
|/д ф, где чистые состояния \к) относятся к нашей системе, в то время как
ф) характеризуют возможные состояния окружения.
Таким образом, произвольное состояние полной системы может быть
представлено суперпозицией основных состояний,
|ф) = ЕсДДД (13.1)
ку
Амплитуды Ск-У могут зависеть от времени; они нормированы в соответ-
ствии с
52юд2 = ъ (13-2)
ку
Пусть А произвольный оператор, действующий только на переменные на-
шей подсистемы. Результаты наших измерений описываются ожидаемыми
значениями (Ф|А|Ф). Матрица элементов А диагональная в квантовых
числах окружения,
{к''1А\А\к'1А) = 8„цАкц. (13.3)
Следовательно, наблюдаемое значение А принимает вид
(Ф|А|Ф) = 52 С^,С^(А;>Д|А;;О = ЕЛ^ЕС^СЕ- (13Л)
к'у' ку к'к V
Мы определяем матрицу плотности рккц действующую в гильбертовом
пространстве исследуемой системы как результат отслеживания перемен-
ных окружения,
Ркк' = Е = сСсСч (13.5)
У
где подчеркивание сверху означает “усреднение”по состояниям окруже-
ния. Матрица р с элементами (13.5) определяет ожидаемые значения всех
наблюдаемых величин:
(фД|ф) = 52^'^**'= Е(Д)^'^ — Тг дд (1з.б)
к'к к>
След Тг здесь и ниже относится только к состояниям нашей подсистемы.
Следуя нормировке (13.2), матрица плотности нормируется в соответствии
с
Тгр= (Ф|Ф) = 1. (13.7)
Функция распределения гДа) различных значений а оператора А выража-
ется как
гДа) = Тг{5(А — а)р}. (13.8)
Таким образом, матрица плотности представляет вероятности всех экс-
периментальных результатов при условии неполноты информации, когда
система находится в смешаном состоянии, и ее переменные запутаны с
окружением.
13.2 Свойства матрицы плотности
. Для чистого состояния (нет связи со средой), знание матрицы плотности
эквивалентно знанию волновой функции. Если система находится в чистом
состоянии |се) и мы используем произвольный базис \к) в разложении (13.1)
с коэффициентами С^, матрица плотности (13.5) этого состояния, р(а\
равна
Р{кк'-С^ = (к\а){а\к'). (13.9)
Это просто проекционный оператор, который проецирует компоненту про-
извольного состояния |Ф) вдоль заданного вектора |се):
(1з.ю)
к' к'
Таким образом, для чистого состояния |се), оператор плотности это проек-
тор
= |а)(ск|. (13.11)
Его матрица может быть представлена как простое произведение (13.9).
Задача 13.1
Доказать, что матрица плотности чистого состояния, уравнение (13.9),
удовлетворяет определению (6.126) проекционного оператора,
(УД2 = У*). (13.12)
Это означает, что собственные значения оператора плотности чистого состо-
яния равны 1 и 0 для вектора этого состояния и для любого ортогонального
вектора, соответственно.
В общем случае смешанного состояния, оператор плотности эрмитов,
Рдк = 53 ~ Рк] ~ Р- (13.13)
V
Следовательно, собственные значения р вещественны. Диагональный мат-
ричный элемент р в любом базисе неотрицателен,
т = Е1сМ2>°- (13-14)
V
Поскольку, следуя (13.7) и след инвариантен,
= С (13-15)
к
числа ррр располагаются между 0 и 1, достигая крайних значений для
чистого состояния; в противоположность чистому состоянию (13.12), в
общем случае Тгр2 < 1.
Явное представление матрицы плотности (13.5) зависит от выбора базиса.
Матрицу плотности можно диагонализовать. В её собственном базисе
Ррр' ~ Рр^рр'1 0 рр 1, рр = 1. (13.16)
р
В этом базисе оператор плотности является суммой проекционных опера-
торов для базисных векторов |р),
= (13.17)
р
Используя этот базис, мы можем широко интерпретировать собственные
значения рр как вероятности собственных состояний \р) в ансамбле, обра-
зованном окружением. Эта интерпретация поддерживается вычислением
ожидаемого значения любой величины:
(А) = Тг(Ар) = ^рр{р\А\р). (13.18)
р
Здесь мы имеем двойное усреднение, первое по чистому квантовому состоя-
нию \р) из собственного базиса , а второе по статистическому ансамблю
населённому в соответствии с вероятностями рр.
В качестве примера мы можем взять одночастичную матрицу плотности.
В координатном представлении, р(г,гх), нижние индексы кк' определения
(13.5) становятся непрерывными координатами, и ожидаемое значение
оператора А дается выражением
(А) = Тг(рА) = [ д3г д3г' р(г, г/)(г/|А|г). (13.19)
Для оператора А (г), который является функцией координат, его коорди-
натные матричные элементы А(г)5(г — г7), и уравнение (13.19) содержит
только диагональную часть р(г, г) матрицы плотности, которая играет
роль плотности вероятности гс(г),
д3г р(г, г)А(г).
(13.20)
В чистом состоянии ,0(г) мы имеем гДг) = ^(г)!2.
Задача 13.2
Найти соотношение между одночастичной матрицей плотности в им-
пульсном и координатном представлениях и плотностью вероятности для
импульсно-независимых операторов В(р).
Решение Используя преобразование (1.6.37), мы находим
(р|р|р') = р(р,р') = У И ЛгШ^р'-г'-р-гУ(г,г')- (13-21)
Обратное преобразование
р(г, г') = [ р')- (13.22)
Для импульсно-независимого оператора -В(р),
<Р|-Е(Р)|р') = В(р)(2тг/г)3Др - р'), (13.23)
и ожидаемая величина равна
(13'24)
т.е. плотность вероятности импульса равна
и’(р) = р(Р-р) = / д3гд3г'е^^ Гз)р(г,г/),
/Др“'<р) = ъ
(13.25)
Задача 13.3
Доказать, что в любом базисе матричные элементы р удовлетворяют
неравенству,
РккРи Ры|“- (13.26)
т.е. все миноры матрицы плотности положительно определены.
Решение Доказательство, которой можно найти в справочниках по ал-
гебре, проводится следующим образом, при к = I и 2, равенство очевидно.
Возьмем к Д I и размерность пространства 3. Для любого эрмитова
оператора <2 и любой матрицы плотности, среднее значение (<32) > 0
Следовательно,
(<2 } = Тг(/5<2 ) = ргд(^п(^пг = 0. (13.27)
гдп гдп
Здесь <2 произвольна, и мы можем выбрать оператор, который имеет
в качестве ненулевых матричных элементов только С^-п = = х и
(^1п = = у для перехода от \к) и \1) к определенному состоянию |п), где
п Д к,1. Соберем все ненулевые вклады в сумме (13.27):
тИ2 + Р//Ы2 + Рк1ху* + Р1кХ*у + Рпп(\х\2 + у|2) > 0. (13.28)
Поскольку это должно удовлетворяться для любых ж, у и рпп, сумма пер-
вых четырех членов в (13.28) должна быть 0, т.е. билинейная форма
элементов р в /^/-подпространстве неотрицательна, и ее детерминант 0, в
соответствии с (13.26).
Недиагональные элементы матрицы плотности относятся к явлению
интерференции. Давайте повторять измерение величины А в смешанном
состоянии, описываемом матрицей плотности р^. Каждое измерение по-
рождает одно из собственных состояний \а) этого оператора. В результате,
мы получим распределение вероятностей гДа), уравнение (13.8), поэтому
конечная матрица плотности диагональна в базисе собственных функций
А,
р = ^2 гс(а)|а)(а|. (13.29)
а
В терминах исходного базиса найденное распределение может быть записа-
но как
ш(а) = <а|р|а> = ^(а\к) ркк> (С\а), (13.30)
к к'
которое содержит некогерентную сумму и интерференционные члены,
Да)-Ет1«)12+ Е Ркк'{Ф){а\ьТ- (13.31)
к кк' (к^к')
Исходные недиагональные элементы ръкч к к', ответственны за потенци-
альную возможность когерентной интерференции различных компонент
начального состояния, степень когерентности, или контраст интерферен-
ционного рисунка, можно вычислить с помощью спектральной величины
Пкк' = . Ркк' (13.32)
V Ркк Рк'к'
В соответствии с результатом (13.26) Задачи 23.3, \Вкк'\ С 1, и максималь-
ная когерентность, = 1, достигается для чистых состояний, как
видно из (13.9).
13.3 Тепловое равновесие
Как показано в статистической механике, тепловое равновесие с тер-
мостатом при температуре Т создает каноническую матрицу плотности
системы, даваемую выражением
р = 1 е~Й1т, = Тг (е-^Л), (13.33)
где Н - гамильтониан системы, контактирующей с обширным тепловым
источником, а температура выражена в энергетических единицах. Оче-
видно, базис стрелки здесь совпадает с базисом стационарных состояний
гамильтониана.
При тепловом равновесии описываемого ансамбля (13.33), вероятность
заполнения определенного стационарного состояния \п) зависит только от
энергии Еп, безотносительно всех других характеристик этого ансамбля.
Все микроскопические состояния в узком энергетическом окне могут быть
подсчитаны с равными вероятностями. Это возможно только, если все
эти состояния имеют практически идентичные макроскопические свойства.
Лежащий в основе механизм равновесия обеспечивается смешаными кван-
товыми состояниями в области высоких уровней плотности вследствие
взаимодействия с термостатом (или между разными частями системы).
Это перемешивание приводит к квантовому хаосу, наблюдаемому в флук-
туациях и корреляциях, раздел 24.
Статистическая сумма,
2(Т) = ^е~рЕп = Тг(е-/3#), /3=1, (13.34)
п
которая формально входит в качестве нормирующего множителя для мат-
рицы плотности, играет важную двойственную роль. Во-первых, она пе-
рекрывает зазор между внутренней структурой системы, воплощенной в
ее энергетическом спектре Еп, и макроскопическими наблюдаемыми тер-
модинамическими величинами, выражаемыми для удобства в терминах
свободной энергии,
Я(Т) = -Т1п Я, р = (13.35)
Система в термодинамическом равновесии не имеет определенной энергии;
ее распределение дается рп = (1/'2} ехр(—/ЗЕпу усредненная энергия может
быть найдена как
(Е) = Тг (Яр) = 1 52 Епе~РЕп • (13.36)
п
С другой стороны, знание функции разделения (13.34) как функции тем-
пературы позволяет извлечь плотность уровней системы. В самом деле,
статистическая сумма это преобразование Лапласа плотности уровня:
Я(^) = Тг (У дЕ е~рЕ8(Е - Я) | дЕ (13.37)
Плотность уровня, в свою очередь, можно найти обратным преобразова-
нием Лапласа функции разделения, если последняя известна в широком
диапазоне температур.
Задача 13.4
Найти среднюю энергию гармонического осциллятора при температуре
Т.
Решение С известным энергетическим спектром Еп = + 1/2), мы
суммируем геометрические ряды и находим
2 = е-^(п+1/2) = е = 2 1 — 8т11(/3/ка) (13.38)
Средняя энергия дается выражением (13.36),
. , /1 1 \ (Е) = пи) \ —|— = пи) со1п —- . ' 7 \ 2 - 1 / \2Т ) (13.39)
Это распределение Планка, которое служит первым зернышком квантовой
механики, раздел 1.1. Мы интерпретируем этот ответ как результат ком-
бинирования квантовых флуктуаций (энергия нулевого уровня Наз/2) с
тепловыми флуктуациями, которые создаются при усреднении числа (п)
квантов теплового возбуждения,
(Д = /^(2 + (п)), = (13.40)
Поскольку ожидаемые величины кинетической и потенциальной энергий
гармонического осциллятора равны в каждом стационарном состоянии,
этот аналог классического равнораспределения также справедлив для рав-
новесного ансамбля. Следовательно, среднеквадратичное смещение от рав-
новесного положения может быть найдено как
. 9. 1 ._ 1г / 1гш\ (ж2) = X (Е) = СО111 ( 7777 1 • та)2 та) \ 2Т / (13.41)
Задача 13.5
Найти матрицу плотности в координатном представлении, р(х,х'), для
гармонического осциллятора при температуре Т.
Решение Матрица плотности р(х, х') дается выражением
(ж|р|/) = УУж|п)1е ^П(п|ж') = 1у2^п(ж)С(ж')е п п (13.42)
Здесь сумма совпадает с пропагатором С(х,х'П — 1'}, уравнение (1.3.37),
продолжено в комплексные времена,
1 — / => — гН{3. (13.43)
Пропагатор при вешественном времени для гармонического осциллятора
был найден в (1.11.65). Подстановка (13.43) вместе с нормировкой (13.38)
приводит к
Щ,ж') = у = 1ап11 АМ . (13.44)
V лй \2Т)
Диагональные элементы матрицы плотности, х’ = ж, могут интерпретиро-
ваться как функция распределения тс (ж), уравнение (13.20), координаты
осциллятора, взаимодействующего с источником тепла,
-{тш/К)ух2
лП
ЩМ = 1'
(13.45)
Это распределение Гаусса с дисперсией (ж2) найдено в (13.41). Отметим,
что разность между классическим случаем, когда у = 1ап11а —> а, постоян-
ная Планка не входит в ответ, и мы получаем результат больцмановской
статистики,
тш2 р-тШ2х2/2Т
27ГТ
Тг
(13.46)
и квантовым пределом а 1, \\’11еп у —> 1, и мы восстанавливаем неопре-
делённость координаты в основном состоянии осциллятора, уравнение
(1.11.16),
РЦ = |ЩД2 = 2А
V лп
(13.47)
Равновесие канонического ансамбля (13.33) может быть обобщено для
случаев, когда другие макроскопические величины, кроме энергии, даются
их средними значениями, хотя их микроскопические значения флуктуиру-
ют вследствие взаимодействия с источником тепла. Чтобы зафиксировать
наблюдаемые средние значения, вводят, подобно температуре, которая
определяет среднюю энергию, аналогичные величины интенсивности (ло-
кальные, не увеличивающиеся пропорционально объему или числу частиц).
Мы используем химический потенциал ц, когда полное число частиц
флуктуирует вокруг его среднего значения,
(13.48)
где след берется по всем собственным состояниям с разным числом частиц.
Если нам нужно зафиксироать угловой момент системы, Л, при усреднении
мы вводим угловую скорость О.
1 с-/3[я-(бЛ)]
= Тг/е-Я-Н-^-я)]
(13.49)
в случае полного импульса Р, мы добавляем в экспоненте —(V • Р), где V
играет роль скорости системы как целого.
13.4 Поляризационная матрица плотности
Состояние спина системы часто дается в терминах матрицы плотности.
Будучи либо сформированной, например, комбинацией магнитных полей,
или полученной в результате химической или ядерной реакции, она может
быть некогерентной смесью различных возможностей.
Рассмотрим систему, “частица со спином (ей полный угловой момент) у,
который сформирован в состоянии, характеризуемом матрицей плотности
РшшО где т и т' возможные проекции на оси квантования. Для чистого
состояния с фиксированной проекцией Д = то, эта матрица плотности
может быть
Рттп' ^тто^ш'тпо •
(13.50)
В противном случае неполяризованной частицы все проекции равновероят-
ны,
$тт/ / -I о г -I \
Ртт' = 9 . , • (13.51)
Соответственно, поляризация частицы задается в этих крайних случаях
вектором
0) = Тг Ор) = {
е2т0,
0,
(13.52)
Задача 13.6
Определить матрицу плотности спина для частицы 2 со спином 7'2,
смешанной с ненаблюдаемой частицей 1 со спином Д в состояние
с фиксированными квантовыми числами полного углового момента и его
проекции.
Решение Смешанная (связанная) волновая функция полной системы
ОМ) = С^1]2Ш2 Ыт.-мпЛ). (13.53)
Ш1Ш2
По-определению (13.5) мы находим
(ЛМ) _ (р!М \2 <13 54^
/т,2т/2 Г™2 31™^ ]2т'2 ит2т2 \^д1М-т2 д2т2) ’
Матрица плотности диагональна вследствие сохранения проекции углововго
момента, но диагональные матричные элементы зависят от /гд Только для
Г = М = О матрица плотности неполяризована,
(00) _ ^3132Опгт2 ггч
Рт1т2 - 9„- , 1 • (16.0^
Если мы интересуемся нахождением спина, ориентированного вдоль оси,
которая не совпадает с исходной осью, использованной для определения
матрицы плотности, то нам нужно сделать вращательную комбинацию
этих осей. Если мы вращаем обе оси, исходная используется для подго-
товки системы, а другая ось для измерения или вторичного эксперимента,
на один и тот же угол, результат не должен меняться. Следовательно,
преобразование матрицы плотности, р -л- р\ должно быть обратным по
отношению к преобразованию операторов, А А' = ЫАи~\
ТОрА1) = ТОрйАй~0 = ТгД-уг/А) = Тг(рЛ). (13.56)
Мы использовали здесь циклическую инвариантность оператора следа,
которая показывает, что переход \]т} \зт'} оператором под знаком
следа сопровождается обратным переходом -л \]т) для оператора р.
Полный набор операторов, действующих в пространстве \]т} охвачен
тензорными операторами которые могут связывать отдельные состо-
яния в этом пространстве. Такой набор ограничен правилами векторной
связи, разделы 21 и 22, 0 < А < 2^, в то время как проекции ш,ш/ и
ц должны удовлетворять обычному алгебраическому закону сохранения,
т! Гц = т. Следовательно, поляризационная матрица плотности всегда мо-
жет быть представлена суперпозицией матричных элементов разрешенных
тензорных операторов,
А,„„. =
А//
(13.57)
где коэффициенты Клебша-Гордана (ККГ) гарантируют правила кор-
ректного выбора (некоторые авторы используют в этом определении 3]-
символы). поляризационные моменты, или спин-тензоры, Т\р. полностью
характеризуют матрицу плотности. Фаза в (13.57) соответствует правилу
обращения времени, обсуждавшемуся в разделе II.7.6, поскольку проекция
т' уничтожена.
Задача 13.7
Определить поляризационные моменты для неполяризованного состоя-
ния.
Решение В силу ортогональности ККГ, мы можем решить уравнение
(13.57) для поляризационных моментов:
....................... (13.58)
тт'
Матрица плотности неполяризованного состояния дается уравнением (13.51),
поэтому
Та"
V т
г* = 27ТтЕ(-)'_"’с^.л... (13-59>
27 т- 1 —
т
Как следует из Задачи 1.22.5,
(_у)-т
(13.60)
снова используя свойство ортогональности, мы находим
^00 л^А// _ ^А0^//0 /-1 о 61 1
Ц-тзт^д-тдт— Д- 1 ’
только скалярный момент Тоо описывает неполяризованное состояния.
Вообще говоря, поляризованное состояние объекта со спином д характе-
ризуется либо (2^ + I)2 элементами эрмитовой матрицы плотности [(2^ + 1)
с вещественными диагональными элементами и (2^ + 1)2^ параметрами,
приходящими из совместного комплексного сопряжения недиагональных
элементов], или, эквивалентно, (2^ + I)2 спин-тензорами 7\м, ограниченны-
ми правилами треугольника.
Задача 13.8
Построить спин-тензоры для частицы со спином 1/2 и отнести их к
наблюдаемым значениям компонент спина.
Решение (2<§ + 1)2 = 4 разрешенных спин-тензоров содержат скаляр, Т/ю, и
три компоненты вектора Тщ. В соответствии с теоремой Вигнера-Эккарта,
раздел 1.12.7, векторная часть пропорциональна матричным элементам
оператора углового момента, в этом случае спина 8, или матрицам Паули
а. В самом деле, мы знаем, что 1 и а образует полный набор матриц 2x2.
Разложение (13.57) принимает вид
р = А+(В-<т), (13.62)
а коэффициенты находятся из Задачи 1.20.5,
А=ДгР=^ В = |НД) = |(Д (13.63)
В результате, общая матрица плотности спина 1/2 может быть записана
как
/5= |(1 +((ст)-ст)/ (13.64)
Скалярная часть А соответствует отсутствию поляризации, уравнение
(13.61),
Тоо = (13.65)
ат в то время как векторная часть определяет вектор поляризации (8.86),
Р = 1г(ра) = (а), (13.66)
',= 2(.1 + (₽-+ = 2(р1; + .Р, 1-Р, ) (Ш’7)
Вектор поляризационного момента Т]^ пропорционален ожидаемому зна-
чению соответствующей сферической компоненты ожидаемого значения
спина,
Тцл = а(о>) = оРц. (13.68)
Коэффициент а может быть найден, например, из г-проекции, ц = О,
поскольку мы знаем соответствующие ККГ из (1.22.20):
71о = &Рг
У? ^1/2-т 1/2т(~)1/'2
т=±1/2
1
2 Лг)тт
(13.69)
Задача 13.9
Определить векторный спин-тензор Т]^ для частицы с произвольным
спином д в терминах ожидаемых значений компонент з.
Решение Спин-тензолр определяется как
= <13-70)
тт'
По теореме Вигнера-Эккарта, матричные элементы углового момента могут
быть выражены через те же ККГ,
= (13.71)
где Хд относится к приведенному матричному элементу. Следовательно,
Т1/Л = ^(1/л)т'т'Ртт' = (13.72)
П7 П7
•7 тт' ,7
Остается определить коэффициент Хр Это может быть сделано вычисле-
нием (р) = + 1). Используя (13.71) и ортонормированность ККГ, мы
получим
У2 = Г'С + 1)(27' + 1), (13.73)
и 3
и наконец,
/ з
^=Д+1ж,+1)(13-74)
Для спина 1/2 этот результат совпадает с (13.69), если вспомнить, что
8 = (1/2)сг.
13.5 Применение к рассеянию
На практике, состояние пучка частиц смешанное, а не чистое. Формализм
матрицы плотности полезен для описания как начального состояния, так
и продуктов взаимодействия. Мы обсуждали рассеяние частично поляри-
зованного пучка частиц со спином 1/2 в разделе 8.10. Здесь мы опишем
вкратце более общий подход.
Рассмотрим процесс рассеяния с сечением, определенным квадратом
амплитуды /. Вообще говоря, амплитуда является оператором (зависящим
от углов рассеяния), который преобразует начальные внутренние пере-
менные, включая спиновые, к их конечным значениям. Пусть начальное
состояния описывается матрицей плотности (например, по отношению к
спиновым переменным) . Каждое чистое начальное состояние будет пре-
образовываться оператором рассеяния в суперпозицию конечных состояний.
Начальная амплитуда С& чистого состояния \к) дает рост суперпозиции
конечных состояний |т), и амплитуда вероятности нахождения в состоянии
\т) дается матричным элементом оператора рассеяния, С'т = /тк^к-
Пройдя по всем чистым состояниям к ансамблю экспериментов с непол-
ной информацией, мы получим преобразование матрицы плотности (черта
сверху означает усреднение по ансамблю):
Ртт' ~ Стл^т' ~ /тк^к ( /т'к'Ск'} — /ткРкк'/тп'к' ~ рР)тптпЦ
к к' кк'
(13.75)
или, в операторной форме,
р' = Гр Г (13.76)
Дифференциальное сечение процесса с регистрацией всех внутренних со-
стояний дается выражением (сравни с разделом 8.10)
/Д Е 1С12 = Тгр' = Тг(/Д1). (13.77)
т
Здесь мы предполагаем, что начальная матрица плотности нормирована
как в уравнениях (13.7) и (13.15). Для неполяризованных частиц спина <§,
начальная матрица плотности (13.51) определяет
т.е. простое усреднение по состояниям спина.
среднее значение ($ = (<2/ любого наблюдаемого ф после процесса
рассеяния вычисляется с помощью конечной матрицы плотности (13.76).
Поскольку / не является унитарным оператором, р' нормализован к диф-
ференциальному сечению (13.77). Следовательно, наблюдаемые значения
выражаются как
,, = туол = тдДдП
(1(у/(1о (1(т/(1о
(13.79)
В частности, поляризация Рх рассеянных частиц определяется как
Тг(8/Д^)
(13.80)
Задача 13.10
Частица со спином з рассеивается на ядре со спином 3. Предполагая,
что исходная мишень не поляризована, в то время как исходный пучок
поляризован Р (и нет высших поляризационных моментов), выразить
дифференциальное сечение и конечную поляризацию частиц в упругом
рассеянии, управляемом амплитудой
Решение Начальная матрица плотности р^ налетающего пучка содержит
только Тоо и Тщ моменты спина,
(13.81)
(нормируем) и, см. уравнение (13.74),
ф + 1)(2з + 1)
(13.82)
Это определяет начальную матрицу плотности (13.57),
(р) _ ^тт'
Ртт‘ ~ 2а + 1
3
з(з + 1)(2з + 1)
Е(-Гт'С^т, 8тР„ (13.83)
г“ = Дтт
или, в силу (13.71) и (13.73),
,(р) _ 1
тт' 28 + 1
Это выражение не предполагает какой-либо особой геометрии; вектор
поляризации имеет произвольное направление, безотносительно к оси кван-
тования. Для спина 1/2 мы приходим к результату (13.64), использованному
в разделе 8.10,
‘тт’ 2 и'тт ~ \итт' х
(13.85)
в то время как высшие компоненты матрицы плотности не существуют.
Принимая во внимание также неполяризованную матрицу плотности
мишени,
(О _ $мм'
Рмм' - 2<7+г
(13.86)
и вводя оператор рассеяния Р, который в отличие от /, действует также на
переменные мишени, мы получим дифференциальное сечение, усредненное
по состояниям мишени,
= Тг (РрЛ) = ------1------г (Тг(#+* 1 * * * *') + —2-- (тг(Г5#Ъ • рф .
<1о У У ) (25 + 1X27 + 1)1 5(5 + 1) К к 7
(13.87)
В терминах неполяризованного сечения,
(Д+г8 + 1)У + 1)Тг(#Я’ (ШЙ>
мы получим
Ла / Ла \ Г 3 _ Тг(РвРД 1 , х
—- = — < 1 + ---------г Р • > • (13.89)
Ло уЛо^у ф + 1) Тг(ГМ) ]
Для конечной поляризации находим,
р/ = ТГ(5Д+^) + [3/(5(5 + 1))] Р •
1 Тг(##*) + [3/(ф + 1))]Р -Тг(#8#1) ’
Поляризация исходно неполяризованного пучка может быть использо-
вана для вторичного рассеяния и приводит к азимутальной симметрии
вторично рассеянных частиц по отношению к их волновому вектору к7,
полученному после первичного рассеяния.
13.6 Энтропия ансамбля
Квантовый ансамбль, определенный матрицей плотности р может харак-
теризоваться энтропией ансамбля
3[р] = — Тг(р 1пр). (13.91)
В противоположность к информационной энтропии, раздел 24.5, энтропия
(13.91) дается следом, т.е. она инвариантна при унитарных преобразованиях
базиса. В собственном базисе (13.17) мы можем вычислить энтропию как
8 = ~^рР^рр. (13.92)
р
Это показывает, что энтропия чистого состояния, рр = 5рро, равна нулю.
Любое смешанное состояние имеет большую энтропию — это несет меньшую
информацию.
Определение энтропии может быть применено к тепловому равновесию
ансамбля. Взяв производную по свободной энергии (13.35), мы находим
ЭР ЭР
(Е') = Г + (3— = -Т — + Г = Г + ТЗ, (13.93)
ор О1
где термодинамическая энтропия определяется как
ЭР
8 = ~Э^- (13-94)
с явным видом (13.33) канонической матрицы плотности, мы непосред-
ственно видим, что термодинамическая энтропия (13.94) совпадает с общим
выражением для энтропии ансамбля (13.92),
8 = ~5лрта1п рта, рп = 1 е~Еп1т. (13.95)
п
Задача 13.11
Найти энтропию ансамбля со спином 1/2, определенную вектором поля-
ризации Р.
Решение Собственные значения поляризационной матрицы плотности
(13.64),
Р± = ЦД Р=1₽|, (13.96)
имеют простое значение вероятностей нахождения частицы со спинами
вверх или вниз относительно направлению поляризации Р. Для энтропии
ансамбля мы находим
1 + Р п 1 + Р 1-Р . 1-Р
---- 1п---------- 1п---
(13.97)
Чистое состояние характеризуется волновой функцией; тогда поляризация
Р является единичным вектором, Р = 1, и энтропия исчезает.
Задача 13.12
Энтропия смешивания. Рис. 23.1. Два равных объема V наполнены газом
из тождественных частиц со спином 1/2 в каждом объеме; Температура
и давление одинаковы в обеих частях. Частицы в двух частях находятся
в чистых состояниях -01 и (вообще говоря, не ортогональных). Най-
ти энтропию равновесного состояния после того, как перегородка между
объемами была убрана, и газы перемешались из-за диффузии.
Рис. 13.1. Начальное состояние двух газов в Задаче 13.12.
Решение Любое состояние частицы со спином 1/2 поляризовано, поэтому
начальная поляризация газов была задана единичными векторами щ ипд.
Вначале части системы описываются матрицей плотности (??),
1 + (<7-П1;2)
^,2 = -----~2----•
Конечная поляризация равна
р = |(П1+П2).
Это состояние характеризуется матрицей плотности
, _1 + ('<?' Р) _ Р1 + Р2
Р~ 2 2
(13.98)
(13.99)
Энтропия чистого состояния равна нулю, а изменение энтропии равно ее
конечному значению
5 = -2Лт
1 2 2
(13.101)
Результат может быть без труда представлен в терминах перекрытия
исходных волновых функций (1.20.35). он равен
(^1|^2) = | [1 + (пх • п2)] = 1 +^°87 = со82(д/2), (13.102)
где у - угол между направлениями поляризаций:
Р2 = СО82 = ТУ(Р1Р2). (13.103)
тогда уравнение (13.101) показывает, что энтропия растет после перемеши-
вания на величину
5 = -2ЛГ11 + СО8(7/2) ь 1 + со8(у/2) 1 - 005(7/2) 1 - 003(7/2) 1
(2 2 2 2 /’
(13.104)
Для ортогональных СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ, 7 = 7Г, СО8(7/2) = 0, и
3 = 2IV 1п2, (13.105)
в то время как для идентичных поляризаций, 7 = 0,
5 = 0. (13.106)
Для классических газов, мы имеем только эти два крайних результата
, приводящих к парадоксу Гиббса'. Нарушение непрерывности энтропии
смешивания, когда мы идем от разных газов, и соответствующая энтропия
прыгает на 1п 2 на частицу, как результат удвоения доступного объема, к
идентичным газам без изменения энтропии. В квантовом случае мы не мо-
жем изменить дискретности квантовых чисел, таких как заряды, которые
различают типы частиц. Но мы можем непрерывно изменять направление
поляризации, и таким путем рассматривать все гильбертово пространство.
Это восстанавливает непрерывность, и энтропия перемешивания может
принимать любое промежуточное (всегда неотрицательное) значение. Такое
же заключение справедливо для любой пары начальных волновых функ-
ций ^1, ^2 ? которые отличаются непрерывным изменением внутреннего
параметра [?].
13.7 Эволюция матрицы плотности
Эволюция во времени чистого состояния управляется гамильтонианом
системы через уравнение Шрёдингера. Динамика смешанных состояний
должна описываться в терминах матрицы плотности. Уравнение движе-
ния для матрицы плотности замкнутой системы также определяется ее
гамильтонианом Н.
Используя полный ортонормированный набор \к) не зависящих от време-
ни состояний замкнутой системы мы представим любое чистое состояние
(13.1) как суперпозицию
(13.Ю7)
к
Здесь, в противоположность Главе 1, состояния |&), вообще говоря, не яв-
ляются собственными состояниями энергии, состояние (13.107) развивается
во времени в соответствии с
г/гДф) =^Е^|А:) = Я|Ф) = ЕС^1^- (13.108)
к к1
Это эквивалентно системе уравнений для амплитуд С& и их комплексно-
сопряженных,
ШС1^^СкН1к, -гПС*п = ^С*кН*пк. (13.109)
к к
Откуда, матрица плотности системы,
Р1п = С1С*П, (13.110)
должна быть решением уравнения
^Р1п = ^(Н1кРкп Р1кПпк). (13.111)
к
Вследствие эрмитовости гамильтониана, Н*к = Н^п, уравнение (13.111)
может быть написано в операторной форме,
Ж±р=[Н,р] (13.112)
{уравнение фон Неймана, как квантовый аналог уравнения Лиувилля в
классической механике).
С гамильтонианом не зависящим от времени формальное решение урав-
нения (13.112) есть
р(1) = (13.113)
Уравнения (13.112) и (13.113) отличаются знаком времени от соответству-
ющих выражений в картине Гейзенберга, раздел 1.7.5. Но это должно быть
так, потому что только таким образом различные картины эквивалентны
[сравни схожие аргументы, относящиеся к вращению, уравнение (13.56)].
В самом деле, ожидаемое значение не зависящего от времени оператора
А с матрицей плотности эволюционирующей согласно уравнению (13.112)
дается выражением
Д)( = Тг (Ар(^) = Тг(Ле“(’/п)^У(0)е(г/п)ф. (13.114)
Используя циклическую инвариантность следа, мы видим, что уравнение
(13.114) совпадает с тем. что мы ожидали для зависящего от времени
оператора Гейзенберга А(Е) и стационарной матрицы плотности,
(Д = = Тг(Л(*)р(0)). (13.115)
Матрица плотности становится стационарной, уравнение (13.112), если
она коммутирует с полным гамильтонианом. Тогда она может быть диагона-
лизована одновременно с гамильтонианом, и базис уравнений (13.16-13.17),
совпадает с базисом стационарных состояний. Стационарная матрица плот-
ности является функцией констант движения, прежде всего, энергии. Это
то, что мы должны видеть в описании теплового равновесия, раздел 13.3.
Будучи смещена от равновесия возмущением, система будет подвергнута
релаксации к равновесию. Сигнатура релаксации дается недиагональными
матричными элементами матрицы плотности в представлении энергии, они
должны уменьшаться до нуля. Небольшая часть макроскопической системы
может быть (приблизительно, но с высокой степенью точности) рассмотре-
на в рамках той же эволюции как результат усреднения по многим актам
слабого взаимодействия с окружением. Это является стандартной чертой
развития в статистической физике равновесных систем.
13.8 Ещё о линейном отклике
В терминах матрицы плотности можно описать отклик квантово-механической
системы на возмущение, зависящее от времени. Это может быть, в частно-
сти, слабое взаимодействие с окружением. Этот пример иллюстрирует, как
теория возмущений может формулироваться на языке матрицы плотности.
Мы уже имели дело с теорией линейного отклика в разделах 6.2-6.5.
Пусть возмущение, зависящее от времени Н'(1) действует на систему, опи-
сываемую стационарной матрицей плотности р°. Эволюционное уравнение
(13.112)
гбр = [Н,р] + [Н'Д),Я (13.116)
Равновесная матрица плотности р° удовлетворяет уравнению
[Н,р°] = 0. (13.117)
Для достаточно слабого возмущения, мы можем искать решение для матри-
цы плотности как слабо-неравновесную часть, наложенную на стационарное
решение,
+ (13.118)
где мы предполагаем, что зависящая от времени часть пропорциональна
возмущению ( линейное приближение). Эта аппроксимация справедлива,
если система стабильна, и слабое возмущение не приводит к изменению ее
структуры. Часть линейного отклика, р'(1), удовлетворяет уравнению
гПД = [Я, р'] + \Н'(1),р°], (13.119)
где мы пренебрегли членом второго порядка [Н'{1), р'(1)].
Задача 13.13
Показать, что операторное решение уравнения (13.112) для возмущения,
которое началось в отдаленном прошлом, 1 -л — оо, может быть записано
как
рД) = -1 Г с11'е^Й^-^[Н\Л,ро]е-^Й^-^. (13.120)
а —сю
Решение Проверяем прямым дифференцированием. Первый член (13.116)
исключен использованием картины Гейзенберга по отношению к невозму-
щенному гамильтониану 11. ец. (13.113).
Коммутатор [Н'(Г), р°] может быть сведен к коммутатору с невозмущен-
ным гамильтонианом для случая теплового равновесия, когда матрица
плотности р° имеет канонический экспоненциальный вид (13.33). В самом
деле, для любого оператора А, предполагая, что
[А, е~рй] = е“^Х(/3), (13.121)
поэтому Х(0) = 0, мы придем к производной
Л1 = е^[Н,А]е^Й. (13.122)
Беря теперь интеграл по частям, мы находим Х(/3) и
[А, е~?н] = е~?н / а/З' е!5 н[Н, А\е~? н. (13.123)
Мы будем использовать это тождество для вывода формулы Кубо. Посколь-
ку все функции Н коммутируют, решение (13.120) можно записать теперь
как
Д1Д--Р0 [ 4ё Л 4^еК’Л)а'-4)+л^[яД'(/)]е-[т(4'-*)+л^.
п 4-оо 4о
(13.124)
13.9 Электропроводность
Мы применим разработанный формализм к системе с подвижными элек-
тронами в однородном, достаточно слабом электрическом поле когда
возмущение имеет вид
= “ 52 е« (^) • Га) = - / Лг (ёД) -г) У2еЛ(Г -Га). (13.125)
а а
При тепловом равновесии (матрица плотности р°), электрические токи
отсутствуют, но они появляются в присутствии электрического поля, кото-
рое может быть либо внешнего происхождения, либо результатом тепловых
флуктуаций. В линейном приближении, появившийся ток з пропорционален
полю, как это выражено законом Ома
Ш = [ М' агк(1-1')Ек(1'). (13.126)
Отклик является причинным, раздел 6, ток реагирует только на поле,
действовавшее в более ранние моменты. Пропорциональность реализуется
с помощью тензора проводимости сг^{т), который зависит от времени
задержки т между возмущением и откликом. В кристаллах отклик часто
анизотропен, поэтому нам нужен тензор, а не скалярная константа.
Запаздывающая временная зависимость определяет частотную диспер-
сию отклика. Вводя т = 1 — Г, мы перепишем (13.126) как
ЗЛ) = [ - т). (13.127)
•/о
Эта свертка может быть записана как прямая пропорциональность между
Фурье-компонентами тока и полем,
— [ дтсг^(т^е &к’,ш — СЦк;ш &к;ш- (13.128)
до
В более общей ситуации, нужен также нелокальный в пространстве отклик,
когда поле в одной точке наводит ток в других местах, поэтому а зависит
от координат (пространственная дисперсия) или, в Фурье-представлении,
от волнового вектора, который мы не рассматриваем здесь.
Ожидаемое значение тока исчезает в равновесии,
Тг(13°) = 0, (13.129)
и только возмущение р' матрицы плотности дает вклад в ожидаемое значе-
ние тока,
0(М)) = тф(гДр'}. (13.130)
Оператор р' должен быть найден из (13.124) для возмущения (13.125).
Коммутатор \Н', Н] для 1Г как функция координат, определяется только
кинетической энергией,
[н,н\С] = [к,н\С] = -1(13.131)
Коммутатор под интегралом приводит к
5? ^-[раЛ-^а)5(г-га)] = 4Мр«Дг “Га)]+. (13.132)
2т0 Ь 2та
Сумма в (13.132) является локальным оператором плотности электрическо-
го тока, который отличается от вероятностного тока (1.7.50) присутствием
электрических зарядов еа,
3(г) = 52уМРаЛ(г-Га)] + . (13.133)
а 2//?б7
Окончательно, интегрируя по частям, мы переносим градиент вектору г и
получаем
[Я, Я'(Д = гП У Лг (Дг) • ](г)) . (13.134)
Это выражение имеет ясное значение мощности, выделяемой электрическим
полем, которое производит работу над движущимися частицами в объеме
системы.
Таким образом, мы вычисляем возмущение (13.124) матрицы плотности
слабым электрическим полем,
рД) = Р°У <И' У (13' ТГ (Дг')•<](г))е_^,Лг/й)(<'-*)]л\
(13.135)
Собирая все результаты в (13.127), мы приходим к тензору проводимости
(13.126),
а/з' у азг ^г)е[-(г/п)т-ян^. (13.136)
Здесь усреднение означает след с невозмущенной матрицей плотности р°.
Результат включает оператор тока, взятый в картине Гейзенберга в
комплексное время,
е[(г/Й)т+/?]Н^е[(г/П)т+/3]Н = (13.137)
Окончательная формула Кубо теперь может быть написана как корреля-
ционная функция двух операторов тока,
счЩ) = У «Ц (•7^°) У т - гК/3')^ , (13.138)
где первый оператор тока берется в произвольной точке, например, в начале
координат (система предполагается пространственно однородной).
Формула Кубо упрощается при высокой температуре, /3^0. Харак-
терная разность времен г, отвечающая существенной амплитуде отклика
является временем корреляции тг; токи, разделенные временным интер-
валом тг. не коррелируют, и ожидаемое значение их корреляции
исчезает. Физически это может быть время между столкновениями частиц.
При высокой температуре, К(3 = К/Т оно становится много меньше, чем тг.
Отбрасывая /3х в экспоненте, интеграл дает /3 = 1/Т, и результат
(.ДО) У с?3г^(г,т)) . (13.139)
Формула Кубо (13.138,13.139) является типичным примером вывода ки-
нетических коэффициентов для слабых отклонений от статистического
равновесия. В левой части, тензор проводимости, относится к сопротив-
лению и омическим потерям в среде. Правая часть это корреляционная
функция токов, относящаяся к флуктуациям, которые распадаются, ко-
гда система релаксирует к равновесию. Таким образом, мы имеем здесь
конкретную форму флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Флуктуа-
ционные и диссипативные явления должны быть отнесены к равновесию,
поскольку любая флуктуация, безотносительно, внешнего (наведенного
внешним полем) или внутреннего происхождения должна распадаться (с
диссипацией энергии) таким образом, чтобы гарантировать реальность
термодинамического равновесия.
Наука — это попытка привести хаотическое
многообразие нашего чувственного опыта в
соответствие с логически последовательной
системой мышления.
А. Эйнштейн, Физика и реальность
Глава 14
Квантовый хаос
14.1 Классический и квантовый хаос
. С недавних пор стало известно, что проявление хаотической динамики
в классических системах является скорее правилом, чем исключением [14].
Хаос возникает из-за высокой чувствительности детерминистических урав-
нений движения к малым вариациям начальных условий. Решения стабиль-
ны лишь в простейших случаях — таких, как гармонический осциллятор
или задача Кеплера. Неизбежные возмущения могут изменить характер
движения от регулярного к хаотическому.
Интегрируемое движение в системах с п степенями свободы характеризу-
ется существованием п интегралов движения Р^ являющихся однозначны-
ми функциями переменных (координат {дд} и импульсов {ра}, а = 1, ...,п)
в инволюции. Последнее означает, что они сохраняются одновременно, т.е.
для них скобки Пуассона (1.7.93) обращаются в нуль: {Р^Рд} = 0. Это
дает возможность [15] перейти с помощью канонического преобразования к
переменным действие-угол, к п парам сохраняющихся импульсов А и сопря-
женных им циклических координат (углов) таких, что преобразованный
гамильтониан оказывается от этих углов независящим: Н = Н(Р). Уравне-
ния движения Гамильтона (7.91) в этих новых переменных приобретают
вид:
Л=Д=°’
Движение для каждой из разделяющихся переменных в конечной системе
оказывается периодическим, и последнее уравнение определяет соответ-
ствующие частоты:
= гЦО) + ^1-
(14-2)
При несоизмеримом (иррациональном) отношении частот движение квази-
периодично. Для траекторий со слегка различающимися частотами накап-
ливающаяся разница фаз (14.2) растет во времени линейно.
Рис. 14.1. Регулярное движение в прямоугольном (а) и круглом (6) би-
льярдах, и хаотическое движение (300 отражений) в бильярде-стадионе
(с) (Предоставлено С. Ьешепкор/’ом).
Обычно существование интегралов движения связано с наличием сим-
метрии в системе. Если симметрии разрушены, система становится неин-
тегрируемой, и единственной характеристикой траектории остаются ее
начальные условия. Однако из-за высокой чувствительности к малым из-
менениям начальных условий близкие в фазовом пространстве траектории
расходятся со временем экспоненциально — расстояние между ними растет
как ~ ехр(Л^), где Л — так называемый показатель Ляпунова. В этой
ситуации даже небольшие ошибки округления в определении начальных
условий приводят спустя некоторое время к совершенно различным тра-
екториям. Несмотря на полное знание описывающих движение простых
динамических законов предсказуемость движения оказывается утраченной.
В прямоугольном бильярде Рис. 14.1а с зеркальным отражением от стенок
импульс сохраняется по абсолютной величине; добавление со всех сторон
идентичных копий бильярда позволяет “распутать” траекторию так, что
она превращается в прямую линию. В круглом бильярде, 14.16, сохраняется
угловой момент. В случае же бильярда в форме стадиона (с) граничные
условия несовместимы с сохранением и линейного, и углового импульса.
В результате одиночная траектория покрывает все фазовое пространство
и в пределе больших времен остается возможным лишь статистическое
описание.
Точного аналога подобного классического хаоса в квантовой механике нет,
поскольку само квантовое описание является вероятностным изначально.
Задание с произвольной точностью начальных условий в фазовом простран-
стве также невозможно из-за соотношения неопределенностей. Волновой
пакет, отвечающий начальной волновой функции, подвержен квантовому
расплыванию, которое спустя некоторое время 1 скроет классическое раз-
бегание траекторий. Это объясняет причину, по которой многие авторы
предпочитают говорить лишь о квантовых проявлениях классического ха-
оса [16], т.е. об особенностях поведения квантовых систем, отражающих
наличие хаоса в динамике их классических аналогов.
Можно показать, что динамика, порождаемая уравнением Шредингера
для замкнутой системы с не зависящим от времени гамильтонианом Н
интегрируема, по крайней мере в области дискретного спектра, в частности
— для частицы в бильярде, независимо от формы его границ. Амплитуды
волновой функции |Ф(^)) = ^2/. Съ(1)\к) в произвольном полном
ортонормированном базисе состояний \к) удовлетворяют системе связанных
линейных уравнений
гПСк = ^Нк1С1. (14.3)
I
Амплитуды Сд и матричные элементы Ищ, в общем случае комплексны, и
в них можно выделить действительную и мнимую часть
ск = ок + гРк, нк1 = Н'к1 + гЯ", (14.4)
где Рк, Н'к1 апс! Нк1 действительны, причем для эрмитового гамильто-
ниана
Н'к1 = н'1к, Я" = -Я". (14.5)
В результате шредингеровская динамика (14.3) приобретает классическую
гамильтонову форму
= А = -^, Щ.6)
где эффективный классический гамильтониан
Е [Н'МЛ1 + па) + н'^р^ - опт] . (ид
к1
описывает динамику связанных классических осцилляторов. В базисе ста-
ционарных состояний квантового гамильтониана Нщ, -л- Е^З^ц антисиммет-
ричная часть Нп исчезает, и эффективный гамильтониан (14.7) оказывается
очевидно интегрируемым
+ (14.8)
к
описывая набор независимых осцилляторов. Классически, движение такой
системы регулярно и квазипериодично.
На проблему квантового хаоса возможен взгляд и с другой стороны: от
классической квантовая эволюция отклоняется лишь на временах 1 > Г.
Математически это может быть сформулировано, как существование двух
различных предельных переходов. С одной стороны, сначала полагая К О,
мы через квазиклассическую область попадаем в область классической
механики. Там мы можем долго Г двигаться вдоль классических тра-
екторий. С другой стороны, точная квантовая эволюция вплоть до 1 I*,
с последующим переходом в конце к классическому пределу приведет к
другому результату — т.е. эти два предельных перехода не коммутируют.
Отсюда ясно, что классический хаос оказывается лишь (кратко)временным
этапом эволюции квантовой системы. Конечно, в реальности время Г
может оказаться и астрономически большим. Наше доказательство регу-
лярности шредингеровской динамики уязвимо при применении к очень
большим системам, в пределе базиса бесконечной размерности: в этом слу-
чае квазипериодическое движение огромного числа мод с несоизмеримыми
частотами может оказаться неотличимым от хаотического из-за все более
растущей примеси удаленных состояний с сильно осциллирующими волно-
выми функциями в процессе долговременной эволюции. В этом случае хаос
проявится скорее в гильбертовом, чем обычном фазовом пространстве.
14.2 Локальная спектральная статистика: распределение
Пуассона
. Простейшие проявления квантового хаоса видны в корреляциях и флук-
туациях энергетических уровней. В соответствие с гипотезой [17], квантовые
спектры систем, хаотических в классическом пределе, имеют универсаль-
ные статистические свойства (впоследствии эта гипотеза получила строгое
доказательство).
-10 О 10 20 30 4(1 50 Ы1 70 Я0 9(1 100 110
Рис. 14.2. Динамика уровней в зависимости от интенсивности взаимо-
действия (0 соответствует невзаимодействующим частицам, 100 — реали-
стичной интенсивности взаимодействий) в оболочечной модели ядра [18].
Как уже обсуждалось в разд. 1.10.5, энергетические термы одинако- вой
симметрии отталкиваются друг от друга в процессе параметрической
эволюции как функции плавно меняющихся параметров ядра. При малых
расстояниях 8 типичным оказывается линейное расталкивание ос з (1.10.45).
Состояния разной симметрии не смешиваются, если гамильтониан дан-
ным видом симметрии обладает — соответственно, в процессе параметри-
ческой эволюции такие состояния пересечься могут. Возникновение хаоса
является следствием разрушения в системе симметрий, в результате ко-
торого становится возможным смешивание уровней различных семейств,
предотвращающее их пересечения. В одночастичном движении (типа би-
льярда) за смешивание уровней ответственны граничные условия. В мно-
гочастичной системе эти эффекты порождаются взаимодействиями, сме-
шивающими конфигурации невзаимодействующих частиц. Парадоксально,
но это означает, что в хаотических системах структура уровней выгля-
дит более упорядоченной“турбулентный” поток становится “ламинарным”,
см. Рис. 14.2. Здесь фрагмент спектра (все состояния имеют одни и те же
квантовые числа У = Т = 0) показан для расчетов в рамках оболочечной
модели [18] для ядра 24М§, в зависимости от интенсивности взаимодействий.
Все пересечения уровней подавлены.
В качестве первого примера рассмотрим регулярную квантовую систему.
В ней мы имеем независимые последовательности (семейства) уровней с
различными точными квантовыми числами. Пусть Дя последовательность
имеет среднее расстояние между соседними уровнями , отвечающее
парциальной плотности уровней = 1 /, а полная плотность уровней р =
рд. Для каждой последовательности можно определить распределение
расстояний между ближайшими уровнями, вероятность РДД обнаружения
пары смежных уровней на расстоянии з. Мы собираемся найти полное
распределение Р(з) для всех пар соседних уровней, не ограничиваясь их
принадлежностью к одному и тому же семейству. Для удобства введем
вероятность
гос
Иф) = / с1хР(х) (14.9)
4 з
найти следующий уровень на расстоянии больше чем з от уровня, располо-
женного в нулевой точке отсчета энергии.
Для простоты рассмотрим два семейства, с соответствующими парци-
альными распределениями РДз) и Так же, как и в (14.9) введем
функции ТИ152(^), подставляя в подинтегральное выражение Р1д(ж) вместо
Р(ж). Следующий (за исходным) уровень может принадлежать любому
из семейств, с относительной вероятностью р\^/Р- Если он принадлежит
семейству 1 и расположен на расстоянии > <§, то уровни семейства 2 в
интервале [0, <§] отсутствуют. Обозначим плотность вероятности такого от-
сутствия Аналогичным образом можно определить и <21 (а). Тогда
функция (14.9) удовлетворяет следующему логическому тождеству
/‘ОС /‘ОС
1У(5) = — / 4хР1(х^2(з) + — / 4х Р2(ж)<Э1(<§). (14.10)
Р 4 8 Р 4 8
Введем условную плотность вероятности Т?2($) обнаружения ближайшего
уровня 2 в интервале [<§,<§ + с/з] при условии, что уровень 1 расположен в
нулевой точке отсчета энергии. Тогда предшествующий уровень семейства
2 может находиться лишь в области до нулевой точки, и расстояние между
этими последовательными уровнями семейства 2 больше, чем з. Поэтому
4?2(<5) пропорционально 1^2 ($)5
^2(5) = СОП81 ^(з) = СОП81 /* (ПхРъ^х). (14.11)
4 8
Константа определена условием нормировки
[ бРЯ2(з) = 1 (14.12)
7о
(Предыдущий уровень может находиться где угодно слева нулевой точки).
Меняя порядок интегрирования аналогично тому, как это делалось при
выводе хронологического произведения в ец. (25.28), получим
гос гос гос гх гею
/ с/л (1х р2(х) = / (1х / (1л р2(х) = / (1х хР^х) = (14.13)
7о 4 8 4о 4о 4о
среднее межуровневое расстояние в семестве 2. В результате
гос
НД) = Р2 / с?жР2(ж). (14.14)
4 8
Таким образом уравнение (14.10) приобретает вид (Р = 1/р — среднее
межуровневое расстояние в объединенной последовательности уровней
двух семейств)
Иф) = И [рф)Сф) + Рф)Сф)]. (14.15)
Функции <Э7 («§) и Кд(з') связаны очевидным соотношением
(^(з) = [ с/хК^з). (14.16)
4 8
(если ближайшие уровни находятся на расстоянии > <§, они отсутствуют в
интервале [0, <§]). Поэтому
Д,Д) = (14-17)
и из (14.15) следует
Иф) = + =-б4- (ДфЗ. (14.18)
у аз аз 4 аз \ /
Для большего числа семейств те же соображения позволяют получить
Иф) = -Р^|, <2 = П<^. (14.19)
1=1
Из смысла XV (§), определенной в (9), имеем
с/2 О
= (14.20)
С другой стороны, из уравнений (14.16) и (14.14) следует
ГОС ГОС ГОС ГХ Г(Х)
ПдС^з) = / (1у / с1хРд(х) = / с1х (1уР:](х)= / с1х (х—з)Рд(х).
4 8 4 у 4 8 4 8 4 8
(14.21)
Для малых расстояний <§ < 1Д, с учетом определения для среднего меж-
уровневого интервала и нормировки Ру, это дает
(14-22)
И) э \ /
Если все одного порядка, П^ ~ пП. то для большого числа наклады-
вающихся друг на друга семейств п 1, приходим к эспоненциальному
поведению
еД1-Д)П ~ е-3Т. (14.23)
\ пЛ/п»1
Следовательно, распределение по расстояниям между ближайшими сосед-
ними уровнями (14.20) ведет себя как
(14.24)
Хотя наш вывод не позволяет предсказать предельное поведение Р(з') при
8 Л> П, при больших з функция Р(з) заведомо быстро стремится к нулю.
Выражение (14.24) применительно ко всем з называют распределением
Пуассона. Оно хорошо согласуется с численным моделированием суперпо-
зиций нескольких независимых семейств уровней тогда, когда для данного
уровня наиболее вероятный ближайший сосед принадлежит другим се-
мействам. В этом случае отталкивания между смежными уровнями нет,
распределение межуровневых интервалов максимально для малых ин-
тервалов, а большие отвечают гигантским флуктуациям. Распределение
Пуассона известно также как распределение, описывающее во времени
случайные события радиоактивного распада. В нашем случае распределе-
ние Пуассона для соседних уровней может рассматриваться как признак
регулярной динамики, см. Рис. 14.3.
Рис. 14.3. Распределение интервалов между ближайшими уровнями для
круглого бильярда радиуса К (распределение Пуассона) и его эволюция
при помещении внутри бильярда на радиусе г точечного 5-рассеивателя
[19].
Предыдущее рассмотрение неявно базировалось на предположении, что
существует единая функция Р(з'), которая не зависит от абсолютного по-
ложения изучаемых уровней. Это свойство спектральной эргодичности
имеет место лишь тогда, когда средние характеристики спектров — та-
кие, как парциальные плотности рр фиксированы. В реальных системах
плотность уровней быстро растет с энергией. Поэтому, применительно к
спектральной статистике мы подчеркиваем слово “локальная”. Глобальные,
или секулярные свойства спектров не универсальны. Универсальность мо-
жет быть восстановлена посредством масштабирования спектров [20] путем
измерения межуровневых интервалов з в единицах локального среднего
межуровнего расстояния И. Это позволяет сравнивать между собой раз-
личные участки спектров, принадлежащие даже разным системам. Часто
этим пользуются для того, чтобы увеличить объем данных и улучшить
статистическую надежность результатов.
14.3 Гауссовый ортогональный ансамбль.
Теперь мы попытаемся описать хаотическую квантовую систему. Рас-
смотрим набор квантовых состояний, возникающих в результате процесса
перемешивания, превращающего волновые функции в очень сложные ком-
бинации исходных “простых” базисных состояний. Предположим, что все
состояния принадлежат к одному и тому же классу по отношению к имею-
щимся точным симметриям — т.е. они могут смешиваться.
Ключевым является вопрос, о такой формулировке критерия предель-
ного хаоса, которую можно было бы взять в качестве отправной точки.
Огромная матрица гамильтониана в исходном “простом” базисе весьма
сложна. Однако предположение об эргодичности открывает возможность
рассматривать различные подматрицы Н как новые копии некоторого ан-
самбля матриц. Выясним, каким должно быть распределение вероятности
Р(Н) матриц Н для случая предельного хаоса. Поскольку после переме-
шивания связь с первоначальным базисом теряется, его в определенном
смысле можно считать случайным — любой другой базис будет столь же
хорош. Тем самым, мы приходим к формулировке основного требования
предельного хаоса: вероятность Р(ЕР) по отношению к преобразованиям
базиса должна быть инвариантна. Матричные элементы гамильтониана
в произвольном случайном базисе предполагаются независимыми и неко-
релированными, и искомая вероятность Р(Н) сводится к произведению
вероятностей Рр(Нр) отдельных матричных элементов. Сформулирован-
ные условия вполне достаточны для определения явного вида функции
Р(ЕР)- Ниже мы последуем способу, предложенному в [21].
Прежде всего, определимся с классом описываемых систем. Мы рассмот-
рим ансамбль систем, инвариантных по отношению к обращению времени.
Как мы знаем из Разд. 8.1, в этом случае для волновых функций всегда
можно выбрать вещественный базис, а гамильтониан должен быть эрмито-
вым. Каждый элемент такого ансамбля представляет собой вещественную
симметричную матрицу, Пу = Ну , а набор допустимых преобразований
дается ансамблем ортогональных матриц. Предположение об отсутствии
корреляций приводит к анзацу:
Р(Я)= П РЛНц\ (14.25)
а инвариантность по отношению к ортогональным преобразованиям требует,
чтобы распределение вероятности Р(Н) для матричных элементов Н^у
было во всех других базисах одним и тем же.
Нам достаточно рассмотреть блок матрицы размером 2 х 2 с веществен-
ными элементами 77ц , П22 и Нт2 — #21- Совместная вероятность наличия
трех заданных значений матричных элементов в выбранном базисе равна
Р(Я) = Рц(Яц)Р12(Я12)Р22(Я22). (14.26)
Ортогональное преобразование базиса в данном случае — параметризован-
ный углом 9 обычный поворот, и вектора нового базиса
|1Х) = со8 0|1) — 8Ш0|2), |2х) = 8ш 0\ 1) + со80|2). (14.27)
Матричные элементы в новом базисе
Н1/1/ = СО82 0 Яц + 81П2 0 Н22 — 2 8Ш 0 СО8 0 Н12,
Ну 2' = 8П12 0 Яц + СО82 0 Н22 + 2 8Ш 0 СО8 0 Н\2, (14.28)
И
Нуу — 81Н 9 СО8 9 (Яц — Н22) + (СО82 0 — 81П2 0)Я12. (14.29)
Задача 14.1
Выпишите условия инвариантности для бесконечно малого поворота,
удерживая лишь линейные по 0 члены, получите дифференциальные урав-
нения для вероятностей Ру и найдите их решения.
Решение Условие инвариантности имеет вид
Рц(Нц)Р12(Н12)Р22(Я22)
Р11(Яп)-20Я12
(1Ры
ан1г
-Р12(-^12) + 0(Н11 ~ Н22)
(1Р12
ан12
ир
Р22(Н22) + 20Я12 —
(1Н
(14.30)
В линейном приближении
/ 1 6?Р22_________1 б?Рц\ 1 1 <7Р|2 _ /14ЧП
12(р22<Ш22 Рц <Ши) + 2(Я11 22)Р12ЙР12 • ( • )
Стандартное процедура разделения переменных порождает две констан-
ты, С и Е^ а результатом, после соответствующей нормировки, является
произведение трех гауссовых распределений,
Р11 =
.[Ее-С(Н11-Е0)2/4
\4л
р-22 = р,, =
V 4-тг V 2-тг
(14.32)
Отметим, что полная вероятность (48.19) может быть записана, как
Р(Я) = Соп81е-(с/4)[(Я11-'Бо)2+(Я22--Ео)2+я12+я211
= СОП81 еЧС/4)1Н(й-я°1)2]5 (14.33)
т.е. выражена явно через очевидно инвариантный след оператора Н — Ео1.
Выбор центроида спектра Ец значения не имеет и он может быть положен
равным нулю. Таким образом, предельный хаос соответствует гауссовому
распределению с нулевым средним значением и одной и той же дисперсией
для всех диагональных элементов, тогда как для всех недиагональных
элементов дисперсия оказывается вдвое меньшей:
9 1
(14.34)
Отсутствие корреляций между различными элементами позволяет пред-
ставить этот результат в виде
Н^Нк1 = (6ц6дк + <5дЛд) —, (14.35)
где использовано новое обозначение С = 41У/а2 и учтена размерная инва-
риантность (скейлинг) матричных элементов, обратно пропорциональных
квадратному корню из размера матрицы . Явное выделение скейлинга
необходимым не является, но удобно при сравнении результатов для разных
размеров матриц, т.к. среднее значение
2 2
(Т7яр = ЕЖЖ = Д = у
гэ А7
(14.36)
не зависит от , и мы можем рассматривать предел Лг ос.
14.4 Распределение межуровневых интервалов.
Непосредственное обобщение двумерного результата (14.33) на произ-
вольные размерности приводит к гауссовому ортогональному ансамблю
(ГОА) случайных вещественных матриц, определяемому нормированной
[ср. с (14.32)] функцией распределения
(,---\ 7У(7У-1)/2 / ,-
Д) ‘=~Л'Т'(А2,/“2 (1«7)
или эквивалентным ему выражением (14.35).
Вероятность (14.37) зависит лишь от собственных значений Еа,
Тг(Н2) = Е%, (14.38)
С1 = 1
а не от — 1)/2 углов 0л определяющих “ориентацию” данного базиса
по отношению к собственному базису [в примере Лг = 2 (14.27) у нас был
только один угол]. Мерой (1/1 в пространстве случайных матриц Н при
вычислении наблюдаемых вероятностей является “декартово” произведение
дифференциалов независимых матричных элементов (141\-2 СШ22, •••,
т.е. среднее по ансамблю должно вычисляться в соответствии с
Я(Я) = /Др(Я)Г(Я) = I Ц (ЯЛЯ(Я)Р(Я). (14.39)
Для получения распределения собственных значений нам нужно сделать
преобразование к переменным {ЯД,0Д и проинтегрировать Р(ЕГ) по несу-
щественным углам. Результат опять может быть понят на примере случая
^ = 2.
Задача 14.2
Вычислите якобиан 4 для преобразования от исходного базиса (Яц, Я22, Яц)
к набору переменных (Е-^ Е2,9).
Решение Из уравнений (14.28) и (14.29) (28) и (29) следует, что данное
преобразование имеет вид
Яц = Е1 СО82 0+Е2 8Ш2 0, Н22 = Е1 81П2 0+Е2 СО82 0, Нц = (Я[ —Р2) 8Ш в СО8 в.
(14.40)
откуда
7==Е' -Е"- (14-41)
одВ1, В2, р;
Якобиан (14.41) при пересечении уровней обращается в нуль. Это вполне
ожидаемо из того, что преобразование к собственным значениям и углам
оказывается в этом случае сингулярным (обратное преобразование при
пересечении уровней не определено, т.к. может быть взята любая суперпо-
зиция вырожденных уровней). Результирующее распределение для матриц
2x2 оказывается однородным по 0,
Р(Е1,Е2,0) =СОП8Щ1 - Е2\е~2^+Е^/а2. (14.42)
Несмотря на отсутствие корреляций между матричными элементами, по-
ложения уровней оказываются скоррелированными из-за расталкивания
уровней, см. разд. 1.10.5. В согласии с нашим прежним выводом в случае
обратимой во времени динамики расталкивание уровней линейно.
Задача 14.3
Найдите распределение Р(з) по межуровневому интервалу з — рассто-
янию между Е1 и Е2, и вычислите средний интервал Е для двумерного
случая.
Решение Нормируя вероятность (14.42) и интегрируя, найдем распределе-
ние
/2ч 2/2
(1Е+(1Е_МР(Е+,Е_, 0)3(8 -Е+ + Е_) = -?е~3 /а (14.43)
с характерным расталкиванием уровней на малых расстояниях и с гауссо-
вым хвостом на больших. Средний интервал
(14.44)
В безразмерных переменных х = з/П получим распределение Вигнера [ [?],
стр. 199],
лх
Р(х) ах = — е
(14.45)
Максимум этой функции, см. Рис. 14.4, отвечает х = 2/л, а общее распо-
ложение уровней оказывается гораздо более упорядоченным в отличии от
неупорядоченного распределения Пуассона в случае регулярной динамики.
Рис. 14.4. Распределение Вигнера для межуровневых интервалов Р(ж),
в сравнении с распределением интервалов в хаотическом бильярде-
стадионе. [22].
Задача 14.4
Найти распределение межуровневых интервалов Р(з) для ансамбля эрми-
товых случайных вещественных матриц 2 х 2 с гауссовым распределением
матричных элементов, с нулевым средним значением и разными диспер-
сиями, а для диагональных матричных элементов 77ц и Н22 и т для
недиагональных Н\2 — Н21 [23].
Решение Нормированная совместная функция распределения собственных
значений 0, формула (14.27), имеет вид
Р^Е^Е ,0) = 1 5 С )2/4а2 52[со82 6>/а2+8т26>/2т2]/4, ^4.46)
(2л)3/2 <т2т
где з = Е± Е . Как и следовало ожидать, функция распределения для
следа матрицы з = Е+дЕ , инвариантного по отношению к ортогональным
преобразованиям, не зависит от т . Функция распределения межуровневых
интервалов вычисляется как
гос гЕ+ гтг/2
Р(з) = с1Е+ с1Е- I МР(Е+,Е_,0)6(8-Е+ + Е_)
4оо 4 оо 4—^12
= 8 с-^(<72+2т2)/16<72т2 г
2у/2<тт
82(д2-2т2)\
16<т2т2 / ’
(14.47)
где 1о — модифицированная функция Бесселя первого рода, /о(О) — 1.
Линейное расталкивание на малых з выступает в качестве универсального
свойства динамики уровней, Разд. 10.5. Параметр т оказывает основное
влияние на гауссово распределение при больших распределение Вигнера
отвечает г2 = а2/2.
Для произвольной размерности вместо (14.42) мы получим однородное
распределение по углам 9^ и попарно линейное расталкивание между всеми
уровнями
РСОе(^1,...,^) = соп8^ П \Е{-Е^е~^/а2^Е1. (14.48)
Хотя распределение по расстояниям между ближайшими уровнями не
удается записать в виде аналитической формулы, но численно показано,
что Р($) очень близко к формуле Вигнера (14.45). Вычисления уровней
для множества хаотических в классическом пределе систем, таких как
бильярды асимметричной формы, подтверждают справедливость этого
распределения, Рис. 14.4.
Примечательно, что справедливо оно и для систем, у которых не суще-
ствует явного классического аналога - таких, как сложные атомы [24] и
ядра [18]. В таких случаях распределение исходных матричных элементов
не зависит от базиса и, обычно взятое в базисе невзаимодействующих ча-
стиц, оказывается далеким от гауссового. Тем не менее, для локальных
спектральных характеристик предсказания (ГОА) остаются справедли-
выми в области высокой плотности уровней, где простые невозмущеные
волновые функции атомных или ядерных конфигураций полностью пе-
ремешаны. Тем самым, область применимости локальных характеристик
ГОА оказывается значительно шире, чем это могло бы казаться из их
формального определения.
14.5 ГОА и информация.
Различные разделы физики используют понятие энтропия в довольно
различных контекстах. Как сказано в книге “ (^иап1ит Еп1/гору" [25], эн-
тропия не есть какая-то определенная величина, а скорее представляет
собой целое семейство концепций. Общим чертой представителей этого
семейства является то, что они выражают меру неупорядоченности или
негативной информации. Тепловая энтропия достигает максимума рав-
новесном состоянии, определяемом требованием равновероятности всех
микроскопических состояний, совместных с весьма общими макроскопиче-
скими условиями, например — заданной средней энергией, определяемой
в терминах температуры. В этом случае наблюдатель имеет минимум ин-
формации о фактической микроскопической ситуации — вспомним Задачи
1.6.15 и 23.12.
Используя то же самый подход, можно определить информационную
энтропию гамильтонова ансамбля, характеризуемую функцией распреде-
ления матричных элементов Р(Н^
3 = - У ан Р(Н) 1п Р(Н). (14.49)
Найдем функцию Р(Н\ которая максимизирует энтропию с учетом условия
нормировки,
10 = У аНР(Н) = 1, (14.50)
среди всех распределений с одним и тем же центроидом Ео и той же самой
дисперсией,
12 = ан Р(Н)Тг{(Н - Е0Ц} = СОП81 (14.51)
(иначе и нет возможности сравнивать разные распределения).
Максимум энтропии при дополнительных условиях находится с помо-
щью множителей Лагранжа Л ап<4 //. поиском безусловного максимума
выражения
3 = 3-Х1о- ц!2, (14.52)
и последующего определения значений уа1иез о! Л апс! ц из требования, что-
бы уравнения (14.50) и (14.51) были удовлетворены. Формальная вариация
функционала 3 по функции распределения Р(ЕГ) дает
— 1п Р -1 - А - дТг{(Я - Е01)2} = 0. (14.53)
Это определяет
Р(Я) = ^-/^{(Я-До!)2},
(14.54)
что эквивалентно распределению ГОА (14.37), с соответствующим выбором
А = ехр(—1 — Л) и /а = /а2. В самом деле, ГОА дает равновесное распреде-
ление матричных элементов с минимумом доступной информации. Выбор
а фиксирует локальный разброс по энергии А для данного фрагмента
спектра.
14.6 Классы универсальности.
ГОА отражает общие свойства систем с инвариантностью к обращению
времени: для них возможен выбор вещественного базиса и использование
вещественного симметричного гамильтониана. Соответствующая функ-
ция распределения инвариантна по отношению к группе ортогональных
преобразований О для базиса,
ббт = 1.
(14.55)
Задав определенный начальный базис, мы пробегаем по всем возможным
представлениям, применяя всевозможные преобразования О. Как мы знаем,
произвольная матрица х этого типа имеет .Л^+Л^(Л^ —1)/2 = 7\Л(7\Л+1)/2
параметров. В ГОА зависимость от IV — 1)/2 “угловых” параметров пре-
образования однородна и отделяется от нетривиальной зависимости (14.48)
от собственных значений. Если инвариантность к обращению времени на-
рушена, например из-за наличия магнитного поля, вещественным базисом
волновых функций мы обойтись уже не сможем. Фаза волновой функции
всегда связана с движением, однако в Т-инвариантной ситуации столь же
возможно и обращенное по времени движение, и мы можем образовывать
вещественные Т-инвариантные комбинации — такие, как стоячие волны.
В отсутствии Т-инвариантности такой возможности нет, и в общем виде
гамильтониан [рассмотренный в (14.4) и (14.5)] содержит и вещественную
симметричную Н\ и мнимую антисимметричную части. Соответству-
ющая матрица имеет IV + 1)/2 параметров для действительной части
и IV — 1)/2 (недиагональных) параметров для мнимой, всего Л^2 пара-
метров. В этой ситуации группой допустимых преобразований является
группа ^/(Л^) унитарных матриц 7/,
Если потребовать инвариантности распределения Р (Н) по отношению к
унитарным преобразованиям, то для воспроизведения выкладок подобных
(14.27), нужно (для случая ^ = 2) четыре независимых параметра — два
вещественных диагональных элемента и комплексный элемент смешивания.
В результате мы придем формально к тому же самому распределению
(14.33), но с другой нормировкой — из-за другого числа параметров в
евклидовой мере (14.39). Это определит гауссов унитарный ансамбль, ГУА.
При преобразовании к собственным значениям Е& и .У2 — У угловым
переменным, У2 х У2-мерный якобиан 4, аналогично (14.41), будет иметь
У безразмерных столбцов (при дифференцировании по собственным зна-
чениям) а остальные У (У — 1) столбцов будут иметь размерность энергии.
Следовательно, 3 является полиномом по Е& степени У (У — 1). Этот поли-
ном очевидно симметричен по отношению к перестановке всех собственных
значений. Как и раньше, якобиан обращается в нуль в точках вырождения,
в которых по меньшей мере хотя бы два собственных значения совпадают
Е} = Еу и обратное преобразование не определено. Поскольку число пар
уровней равно У (У — 1)/2, якобиан степени У (У — 1) должен содержать
квадраты относительных расстояний Е^ — Еу Подобные рассуждения в
случае ГОА (14.48) дают линейный закон расталкивания, здесь же мы
приходим к квадратичному:
РсиЕЦ1,..,ЯД = СОП8-^ П \Е{-Еуе-^а2^ЕК (14.57)
Результаты для ГОА и ГУА подтверждают простые выводы, ранее сфор-
мулированные нами при обсуждении пересечения уровней в Разд. 10.5.
Задача 14.5
Для случая У = 2 получить ГУА распределение для расстояний между
ближайшими уровнями.
Решение Интегрирование способом, аналогичным примененному в Задаче
12.3, дает
2
Р(х) = 32^е-(4/^ж2. (14.58)
Наконец, упомянем используемый не столь часто гауссов симплекти-
ческий ансамбль, ГСА. Он возникает в особом случае, когда имеется сим-
метрия по отношению к обращению времени Т, но Т2 = — 1, и полный
угловой момент может принимать только полуцелые значения (нечетное
число фермионов). Из разделов (1.20.5) и (1.20.6) мы знаем, что энергии
сопряженных по обращению времени орбит вырождены, но в отсутствии
вращательной симметрии они принадлежат одному и тому же классу, в
отличии от вращательно инвариантных систем, где партнеры характе-
ризуются различными значениями ±7И точного интеграла движения >Е
и должны относиться к разным классам. Тем самым, у нас возникают
матрицы, которые в любом допустимом базисе содержат вырожденные
дублеты сопряженных по обращению времени состояний. Преобразования,
сохраняющие эту структуру, образуют симплектическую группу и могут
быть представлены с помощью кватернионов (мы здесь делать этого не бу-
дем). Такая ситуация может быть реализована в жидкостях в присутствии
электрического поля (магнитное поле нарушило бы Т-инвариантность).
Другой пример можно найти в деформированных ядрах с нечетным числом
нуклонов и отсутствием аксиальной симметрии, в результате чего проекции
углового момента на любую связанную с ядром ось не сохраняются.
В случае ГС А мы имеем дело с дублетами вырожденных состояний.
Взаимодействие между дублетами может смешивать их без нарушения
вращательной инвариантности. Например, матричные элементы для взаи-
модействия между дублетом (1,1) и дублетом (2, 2) должны удовлетворять
соотношениям
Я12 = Н-21 = Я12 = Д, = Н{2. (14.59)
Для каждой пары дублетов мы поэтому имеем две пары комплексно со-
пряженных матричных элементов или четыре вещественных параметра;
полное число параметров для дублетов, включая двукратно вырож-
денных энергий, равно + 47У^ — 1)/2 = 27У2 — ЛГ Размерность якобиана
равна числу столбцов 2ЛДЛ^ — 1), отвечающих производным по “угловым”
параметрам, так что каждая пара разностей энергий входит в четвертой
степени, и совместное распределение собственных значений принимает вид:
РС8Е(Я1,...,ЯЛГ) = СОП8^ П |Я;-(14.60)
Для всех канонических гауссовых ансамблей - ГОА, ГУА и ГС А мы можем
записать результат сходным образом с законом расталкивания \Ег — Ед\@, ,
где /3 = 1, 2 и 4, соответственно (нормировочная константа зависит от и
/3).
Мы пришли к выводу, что глобальная симметрия определяет классы
универсальности. Ожидается, что в реальных системах при достаточно
высокой плотности уровней локальная спектральная статистика будет соот-
ветствовать одному из таких классов. При небольших возмущениях система
может постепенно трансформироваться из одного класса в другой: включая
магнитное поле, мы можем плавно перейти от ГОА к ГУА. Мы определили
классы, исходя из симметрии гамильтониана. Можно построить классы,
обсуждая и другие физические величины. Важным примером является
матрица рассеяния [26]. Ввиду унитарности 5-матрицы ее собственные
значения — комплексные числа на окружности единичного радиуса. Стати-
стика таких спектров определяется циркулярными ансамблями. Для систем
с гамильтоновой динамикой есть прямая связь этих результатов с гауссо-
выми каноническими ансамблями. Однако 5-матрицы можно обсуждать и
в теориях, где гамильтониан даже и не определен явным образом.
14.7 Полукруговой закон
. Для того, чтобы пояснить основную идею более сложных приемов,
используемых в теории случайных матриц, рассмотрим теперь задачу
о средней плотности уровней для ГОА большой размерности, Лг ос.
Сама по себе задача чистого ГОА имеет лишь академический интерес,
поскольку глобальное поведение уровней в реальных системах отличается
от ожидаемого в ансамблях случайных матриц (см. следующий раздел), но
мы используем эту возможность для демонстрации принципов простейших
диаграммных методов.
Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианами
Н = Н0 + У, (14.61)
где Но и V — большие ЛгхЛг эрмитовы матрицы, Но — постоянный оператор
с определенными собственными значениями в то время как V содержит
случайные параметры. Физические результаты получаются усреднением
по ансамблю этих параметров. Для определенности, мы предполагаем
здесь, что V принадлежит ГОА, и его вещественные некоррелированные
матричные элементы У12 с нулевым средним значением распределены по
нормальному закону и удовлетворяют (14.35) при подстановке Н -л V. Из
этого определения следует
_____ / 1 \ _____ ор
(^2)12 = - (1 + - Г12, Ъ-У2 = -(7У + 1). (14.62)
В пределе -л оо, усредненный след в (14.62) пропорционален [сравните
с квадратом следа в (14.36)]. Практически те же результаты получаются для
ГУА, корреляционная функция двух матричных элементов для которого
________ _______ а2
У12Гз4 = ^12^43 = — <514^23,
и, вместо (14.62) , имеем
(У2)12 = уФ2, ТгУ2 = у У,
(14.63)
(14.64)
так что в пределе больших эти величины совпадают.
12 3 4
Рис. 14.5. Диаграммное представление: (а) матричный элемент У12; (б)
корреляционная функция двух матричных элементов V.
Для представления усреднения более сложных выражений мы исполь-
зуем простые диаграммы, Рис. 14.5. Пусть толстый прямоугольный блок,
Рис. 14.5а, соответствует матричному элементу У12 = ГД- Свертки (14.62)
или (14.63) показаны штриховыми линиями Рис. 14.56, связывающими вер-
шины, которые, в соответствии с дельта-символами Кронеккера должны
совпадать; второй (скрещенный) граф для ГУА отсутствует.
Оператор Грина С (г) определяется, как решение уравнения
С(г)(г Н) = 1.
(14.65)
Возьмем в качестве численного параметра г (с размерностью энергии)
комплексное число; тогда решение уравнения (14.65),
(14.66)
является хорошо определенным для эрмитового гамильтониана Н имею-
щего спектр только вещественных значений, так что выражение (14.66)
сингулярностей не имеет. Когда комплексная точка г приближается к оси
вещественных энергий, скажем, сверху: г —> Е + 1.0, из тождества (6.26)
следует
1
Е Н
С(У + гО) = Р.у.
гттд(Е Н).
(14.67)
Мы строим диаграммную технику для вычисления усредненных по ан-
самблю матричных элементов функции Грина 642(2).
Общая в таких случаях процедура начинается с нулевого приближения
для функции Грина,
С°(г) = (14.68)
г - Но
так что
С-Д) = С°-Д) - к (14.69)
Выбирая точку г вне вещественного спектра, где С имеет полюса, мы
можем произвести формальное разложение по степеням о? V
а = а° + с°ус° + а°уа°уа° + ... (14.70)
и усреднить его почленно. Это усреднение устранит все члены нечетных
степеней V, оставив лишь четные (7(2п)
а = а° + + ... (14.71)
Для понимания механизма усреднения рассмотрим член второго порядка:
(7(2) = &уа°У&. (14.72)
Среднее для матричного элемента (14.72), в соответствии с законом рас-
пределения для ГОА (14.35) принимает вид
_____ 2
= У? ^13^45^62^34^56 = У^ ^13^45^62 №б ^45+ ^35^46 ) • (14.73)
3456 У 3456
Суммирование (по и 5) в первом члене приводит к следу (7°, так что
________ 2
<4? = Д Е С13 + Е С43^2], (14.74)
3 4
или, через произведения операторов,
[(Тг СО)(ѰѰ)12 + (С°СоТС°)12]. (14.75)
Здесь метка Т означает матричное транспонирование.
Рис. 14.6. Усреднение второго (а) и четвертого (6,с) порядков.
Глядя на возникающие диаграммы, Рис. 14.6а (тонкой линией обозначены
матричные элементы невозмущенной функции Грина), мы видим, что
второй граф соответствует одной непрерывной линии 1-3(=5)~4(=6)-2
составленной из чередующихся тонких и штриховых участков. В отличии
от него, первый граф содержит, помимо линии от входа до выхода 1-3 (=6)-
2, отдельную часть 4~5 из тонкой линии, замкнутой штриховой линией,
что означает совпадение концов и взятие следа. Вдали от сингулярностей
след содержит членов одного порядка величины. Мы предположим, что
в пределе Лг ос.
= 4ТгдД) (14.76)
имеет асимптотически значение не зависящее от . Второй член в (14.75)
имеет порядок 1Д ив асимптотике им можно пренебречь. Тем самым в
обсуждаемом пределе мы получаем вклад не зависящий от ТУ:
____ 2
=у5оДоСо)12. (14.77)
Для ГУА этот результат является точным, поскольку член с перекрестны-
ми свертками в этом случае отсутствует.
Теперь становится понятным, что в пределе Лг ос в разложении (14.67)
мы должны удерживать все члены, которые содержат число независимых
следов, компенсирующее обратные степени ТУ, возникающие из элемен-
тарных сверток. В порядке 2п, мы имеем п сверток, дающих множитель
(а2/4ТУ)п; откуда видно, что для его компенсации нам нужно произведение
п следов произведений функций Грина. Если, из-за перекрестных сверток,
число следов меньше требуемого, получающимся вкладом в асимптотиче-
ском пределе можно пренебречь.
Задача 14.6
Рассмотрите член четвертого порядка и найдите вклад, который выжи-
вает в пределе Лг ос.
Решение Нам надо усреднить
«12 = (14.78)
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Двена-
дцать членов отвечает шести различным способам спаривания матричных
элементов V, в результате которых выживают только два, Рис. 12.66, с.
Аналитически, оба для ГОА и ГУА
____ / 2\ 2 г -1 >
= (у) Жовово)120о)2 + (СоСг°)125о^ТгДоСо)к (14.79)
Граф Ъ на Рис. 14.6 является итерацией вклада второго порядка а, тогда
как граф с представляет вставку диаграммы второго порядка в самого
себя.
При ближайшем рассмотрении становится ясно, что асимптотике выжи-
вают лишь блоки-“раЛ/га”, содержащие концентрические штриховые линии
без пересечений. Для суммирования всех соответствующих вкладов мы
введем усредненный массовый оператор М, который в каждом порядке
пропорционален следу функции Грина,
2
^1(2и^ТгДМ)512. (14.80)
Тогда наши результаты для второго и четвертого порядков записываются
как
с(2) = аом°а°, (14.81)
с(4) = а°мосомос° + с°м(2)с° = с°м°с^ + а°м^а°. (14.82)
Обозначим полную усредненную функцию Грина толстой линией, Рис. 14.7.
Любой граф (посмотрим, например, слева направо) начинается с тонкой
линии (7°. После этого идет неприводимая часть, охватываемая следом.
Неприводимость в данном случае означает, что эту часть нельзя разорвать,
разрезав лишь одну функцию Грина, т.к. она замкнута следом. После этого
имеется полный набор графов, которые составляют ту же (7, как видно из
первого члена в (14.82). Второй член в (14.82) дает следующее приближение
ШШШ
Рис. 14.7. Уравнение Дайсона для средней функции Грина и среднего
массового оператора.
для массового оператора, вставленного после левого С°. Это логическое
тождество называется уравнением Дайсона,
а = а° + а°ма.
(14.83)
Такие уравнения всегда могут быть написаны для оператора типа резоль-
венты (14.66) в виде разложения (14.61). Отсюда непосредственно видно,
что разложение (14.70) может быть представлено в виде (14.83) с М -л V.
Но это не то, что мы подразумевали здесь — наше уравнение (14.83) запи-
сано для средних величин, и массовый оператор (14.80) здесь представляет
собой единичный оператор с коэффициентом, являющимся функционалом
от усредненного оператора Грина. Собирая все порядки вместе, получим
лЩ) = 4-тгад.
(14.84)
Формальное решение уравнения Дайсона может быть записано как
(14.85)
или, в нашем случае
(14.86)
Усредненный по гауссовому ансамблю оператор Грина в базисе регулярной
части гамильтониана Но диагоналей.
В результате получаем нелинейное уравнение для числовой функции
(14.84),
а2
[С° Д) мД
(14.87)
Если невозмущенная функция Грина С° (г) известна (в терминах собствен-
ных значений Но), массовый оператор может быть получен из этой функции
соответствующим сдвигом % -л- % — М(г) значения ее аргумента, посред-
ством функционального уравнения Пастура:
2
= ЖТг • (14.88)
Особый случай вырождения Но при энергии Ео приводит к квадратич-
ному уравнению
а2 1
МГ) = -Л-----(14.89)
к 7 4 х-Ео-МСУ к 7
с решением
= | [г - Яо ± уД - ЕЬ)2 - а2] . (14.90)
Это отвечает ГОА или ГУА с центроидом спектра (33) в Е = Ео. Для следа
оператора Грина аналогично (14.76), получим
1 ---- 4
9<Л ~ (14.91)
и, следовательно, знаменитую формулу Вигнера-Пастура:
Д) = Л [г~ Е°~ ЕУ2 - «2] > (14.92)
где нами выбран знак минус в (90), для обеспечения правильного поведения
д(Е) ос 1/г при \г\ -л- оо, следующего из определения (14.76) для систем с
конечной спектральной областью.
Полученный с помощью разложения (14.70) результат можно продолжить
аналитически из асимптотической области г на вещественную ось. Таким
образом тождество (14.67) свяжет след (14.92) с плотностью уровней
р(Е) = ^Уу(Е~Еа) = Тг5(Е~Н). (14.93)
а
Плотность уровней описывается мнимой частью следа д(г) в пределе г
стремящейся к вещественной оси
р(Е) = — — 1т Тг (7(Т? + гО). (14.94)
7Г
Плотность уровней, усредненная по ансамблю дается следом усредненного
оператора Грина (14.91),
____ 1 ------------------
р(Е) =----1т Тг + /0) =---------1тд(Е + /0). (14.95)
7Г 7Г
Для ГОА или ГУА, в уравнении (14.92)мнимая часть появляется при
извлечении квадратного корня, когда \Е — Е*о| < а:
- Е0)2 - а2 => г^а2 — (Е ~ Е0)2. (14.96)
В итоге мы приходим к полу круговому закону (см. У1§пег, в [27], стр. 145):
р(Е) = ЛГ -Д Уа2 - Е20(а2 - Е2), (14.97)
7га2
где начало отсчета энергии выбрано при Ео = 0, и ступенчатая функ-
ция в отражает появление резких границ усредненного энергетического
спектра при Лг ос. Величина а, введенная при определении корреля-
ционных функций (14.35) или (14.64) есть радиус полукруга. Отметим,
что а несколько различающимся образом связана с дисперсией исходных
матричных элементов в ГОА и ГУА: имеем = (а2/4Л^)(1+ для ГОА
и |ГД/|2 = а2/4Д для ГУА: для последнего нет разницы между диагональ-
ными и недиагональными элементами.
Интересные физические результаты могут быть получены из двухто-
чечных корреляторов, таких как, например, р(Е)р(Е'). Здесь, в принципе,
снова можно было бы воспользоваться методом 1/^разложения. Однако
этот метод работает лишь при условии, что К\Е' — Е\ 1. На очень малых
расстояниях между интересуемыми энергиями, при ДГ? ~ 1/Д (т.е. порядка
среднего межуровневого расстояния) разложение отказывает, и необходи-
мо развитие более мощных и, очевидно, более сложных математических
методов [28]. Стоит, однако, заметить, что в практических случаях при
высокой плотности уровней столь малые межуровневые расстояния редко
представляют интерес. Исключительным является случай низкоэнергетиче-
ских нейтронных резонансов в тяжелых ядрах (долгоживущие состояния
в возбуждаемые при захвате медленных нейтронов в сложных ядрах), ко-
торые в свою очередь индивидуально наблюдаемы как квазистационарные
состояния компаунд-ядер.
14.8 Хаотические собственные функции
. Уравнение (14.42) отражает однородность ГОА распределения для
двумерных случайных матриц по отношению к углу в: вероятность не
зависит от ориентации базиса в параметрическом пространстве. Стартовав
с произвольного базиса и меняя угол, можно тем самым перебрать все
ортогональные базисы.
В случае матриц 2x2 ориентация параметризована одним углом, и един-
ственное ограничение, налагаемое на амплитуды С& собственных векторов
|се), а = Iх, 2' в базисе |&), к = 1, 2
= сое#, Сд =— 8т#; С2 =ет#, С% =сое#, (14.98)
остается их нормировка
Е(СТ)2 = 1- (14-99)
к
В этом случае совместная вероятность полного набора вещественных ам-
плитуд С& для любого собственного вектора |се) определяется уравнением
Р({С$У) = тЦ1 - (С“)2 - (СД2), (14.100)
гдн А — нормировочная константа.
Для нахождения вероятности определенной компоненты, например СД
нужно совместное распределение проинтегрировать по остальным компо-
нентам С^,
Р1(С1“) = У (1С%Р(С?,С^ = 2^у йС^фдС^ЦС^)2). (14.101)
Используя правила для интегралов с 5-функциями, Разд. 1.3.3, получаем
выражение (здесь в — опять ступенчатая функция)
Л(С) = А— 0(1 - С2), (14.102)
V 1 — Су
справедливое для каждой из амплитуд С%- Наконец, последнее интегриро-
вание определит константу А = 1/тг. Получившееся распределение имеет
интегрируемые особенности в точках С = ±1. Среднее значение каждого
из весовых множителей С2 равно
__ 1 А 1
С2 = - / ЛС , = -, (14.103)
ТГ 7-1 2 к 7
что следует из нормировки (14.99) и равной вероятности для каждой из
двух амплитуд. В более общем Лг-мерном случае мы ожидаем, что подобным
образом среднее значение весов (С^)2 18 1/7У. Амплитуды С& для каждого
собственного вектора |се) распределены равномерно по сфере единичного
радиуса в Лг-мерпом евклидовом пространстве,
рдС1,см = Луф - 52 Д). к=1 (14.104)
Для нормировки этого распределения нам нужно вычислить 2У-мерный
интеграл в правой части уравнения (14.104). Элемент объема в этом про-
странстве может быть разложен на произведение элемента телесного угла
с1ох и радиальной части,
Л'= йодг Д2 = 52^. к=1 (14.105)
Интегрирование по углам дает полный телесный угол в измерениях, или
площадь поверхности единичной сферы,
г г ы Л(^= / ЙС1 ••• к=х (14.106)
В радиальном интеграле возникает множитель 1/2, т.к. вклад дает лишь
положительный корень в дельта-функции или, если действовать формально
(€ = я2)
Г - в?) = Г Мх/ёж1 - е = ^1- (14.107)
В итоге А]у = 2/5;у.
Таким образом, для компонент отдельной волновой функции распре-
деление ГОА имеет вид
2 Ы рдс1,...мж = ^ф-52сД к=1 (14.108)
Задача 14.7
Вычислите площадь поверхности единичной сферы в Лг-мерном ев-
клидовом пространстве.
Решение Простейший способ вычисления этой геометрической величины
состоит в использовании дополнительного гауссова интеграла,
= ЛЕе-п2Е^\. (14.109)
7о
Выражая через Г-функцию, имеем
Ьг = 5)у1щУ/2). (14.110)
С другой стороны, использование декартовых координат в С-пространстве
и тождества (14.105), дает
фу = ([ (1Ее-в2Е1^-1= [ ^Сехр[-\2^]. (14.111)
к=1
Здесь интеграл в действительности есть произведение идентичных гаус-
совых одномерных интегралов,
(гос \ М
/ <1С е~С} =7г7У/2. (14.112)
Сравнивая (14.110) и (14.112), получаем
2т^/2 ^7Г^/2
= Г(ЛГ/2) = Г(ЛГ/2 + 1)' (14.113)
Откуда объем сферы
Г)А' ДГ/2
= = (Ш14)
Отсюда следуют известные результаты: У1 = 2 К (расстояние между кон-
цами линейного отрезка), У2 = тгТ?2 (площадь круга), Уз = (4/3)тгК3 и т.д.
Интересно, что при фиксированном радиусе К объем сначала растет с ,
достигает максимума при = 4, а затем быстро падает. Максимум площа-
ди сферы (14.113) отвечает = 7. Можно понять, почему так получается:
представьте себе Л^-мерный куб с ребром 2К и вписанной внутрь сферой;
каждая координата С при больших в среднем равна Я/д/СМ <4 К, т.е.
куб в действительности оказывается почти пустым.
Задача 14.8
Найдите функцию распределения для отдельной компоненты Л^-мерной
волновой функции в ГОА.
Решение Все компоненты равновероятны. Интегрируя (14.108) по СфСх,
мы получаем функцию распределения для С\ = С,
2 г / 00 \
Л(С) = У7/ С2 ТКк)- (14.115)
Как и в предыдущей задаче мы интегрируем по углам и радиусу в 1)-
мерном пространстве,
[с1ом 1 [ 2 <5(1 С2 Я2) = ^Щ(1 С2)(7У 3)/2.
7 7о
(14.116)
Эволюция этой функции распределения показана на Рис. 14.8
Рис. 14.8. Распределение (14.116) для различных значений IV.
На практике часто представляет интерес предел очень больших IV. В
нейтронных резонансах тяжелых ядер типичным является ~ 105~6. В
этом пределе общее выражение ГОА (14.116) упрощается. Поскольку С2 в
среднем ос 1/Л^, мы можем положить С2 = х/К х и перейти в (14.116) к
пределу Лг ос:
=> е-/2 = е-^/2_ (14 П7)
Нормируя, мы получаем гауссово распределение
Р1(С) = У^е-Лгс2/2, (14.118)
с вполне ожидаемой дисперсией С2 = 1/7ХЛ. Нормировка может быть также
получена непосредственно из (14.116) и (14.113), если воспользоваться для
Г-функции приближенной формулой Стирлинга.
14.9 Сложность и информационная энтропия
. Степень сложности индивидуальной волновой функции |се) в кон-
кретной системе может быть охарактеризована информационной энтропией
Шеннона:
/« = -Е(^“)21п(^)2-
к
Эта величина не инвариантна по отношению к ортогональным преобра-
зованиям базиса \к) — скорее, она выражает относительную сложность
собственных состояний |се) по отношению к данному референтному базису.
В задачах типа бильярда таким естественны референтным базисом являет-
ся координатное представление, так что соответствующая информационная
энтропия собственной волновой функции ^(г) определяется как
1а = -^ ЛЬ |^а(г)|21п|^а(г)|2. (14.120)
В многочастичных системах обычно выбирается базис независимых частиц
в среднем (самосогласованном) поле, исходя из того, что самосогласованное
поле по своему построению (Разд. 11) включает в себя усредненные харак-
теристики регулярного движения, отделяя их от хаотических флуктуаций,
поэтому оно обеспечивает удобную меру сложности. Информационную эн-
тропию индивидуального состояния не следует путать с энтропией ансамбля
(14.49). Для самих базисных состояний 1а = 0 (тот же результат отсутствия
сложности мы бы получили в базисе собственных состояний, где каждое
собственное состояние имеет лишь одну компоненту). В противоположном
случае, когда собственное состояние равномерно размазано по всему бази-
су, со всеми компонентами в точности равными 1 / д/Ж информационная
энтропия достигает своего максимума 1пЛг. Величина
1а = е1а (14.121)
играет роль длины локализации^ которая показывает распределенность вол-
новой функции по референтному базису. Начальные состояния полностью
локализованы, тогда как равномерно размазанное состояние имеет равно-
великих компонент где — полная размерность гильбертова пространства.
Между ними имеются различные состояния |се) с главных (по
значимости) компонент и 1а ~ 1пАа.
Задача 14.9
Вычислите среднее значение информационной энтропии в ГОА при
больших АГ
Решение Аппроксимируем сумму интегралом, распространив в нем инте-
грирование до бесконечности,
аср-ллртт (14.122)
делая замену переменной С 1о х = Сд/ТУ/2, и используя распределение
(14.118, получаем
Т = ас С2 1п С е-^2/2 = 1пД№), (14.123)
где параметр локализации определяется численным интегралом
= - ехр [—1= [ дхх2 1п хе~х] = 2ес-2 = 0.482, (14.124)
2 \ V 7о /
здесь с = 0.577 — так называемая константа Эйлера. Таким образом, типич-
ная локализационная длина <$;ТУ ~ ТУ/2. Меньшая величина, по сравнению
с максимально возможным ее значением равным ТУ, объясняется тем, что
невозможно сконструировать все состояния с амплитудами ±1 хотя бы
потому, что все состояния должны быть взаимно ортогональными.
Другой полезной мерой сложности индивидуальной функции |се) является
так называемое гптегзе рагНсграНоп гаНо,
Л«= [Е|^|4]-1. (14.125)
к
Сумма здесь дает средневзвешенный квадрат амплитуды С2 с весовой
функцией, определяемой разложением состояния (вероятности даются
теми же С2). Поскольку в хаотическом пределе С2 = 1/ТУ, величина (14.125
порядка . В общем, эту величину можно интерпретировать как число
главных компонент данной волновой функции |се), снова по отношению
к исходному базису \к). Для типичных хаотических функций гауссово
распределение амплитуд предсказывает
Л=у, (14.126)
Во всяком случае, число главных (т.е. больших) компонент состояния |се)
можно оценить, как = ЗЛа. Обе меры, информационная энтропия 1а и
шуегзе рагНстраНоп гаНо Аа, характеризуют более или менее одну и ту же
физику, но 1а более чувствительна к малым компонентам, тогда как Ла —
к основным компонентам. В пределе ГОА, как следует из (14.123,14.124) и
(14.126), отношение этих независимых мер сводится для общих хаотических
функ- ций к универсальному числу,
еХГД) => 1.446, (14.127)
и зависимость от размерности исчезает.
Практический пример вычисления информационной энтропии всех 3276
состояний с определенными квантовыми числами = 2+0 в ядре 28 81
показаны на Рис. 14.9. Состояния получены полной диагонализацией реали-
стической гамильтоновой матрицы в зд оболочечной модели (гильбертово
пространство для 6 протонов и 6 нейтронов в 0с?5/2 ? 0^3/2 и 1^1/2 орбита-
лях). Начальный базис \к) отвечает приближению среднего поля, заданного
тремя эмпирическими одночастичными энергиями. Конечный размер про-
странства определяет симметричную картину, наиболее сложные состояния
находятся в середине спектра при наибольшей плотности уровней. Две
особенности заслуживают упоминания: (1) даже в максимуме информацион-
ная энтропия не достигает значения ГОА; (И) зависимость 1а оказывается
гладкой функцией энергии возбуждения, что указывает на сильное сме-
шивание, из-за чего смежные состояния изначально различной природы
приобретают похожую структуру, или “выглядят одинаковыми” [29]. В
этом заключается микроскопическое обоснование термодинамики: кван-
товый хаос делает макроскопические характеристики соседних состояний
идентичными. Также показано, что в середине спектра отношение (14.127)
близко к 1.44.
Рис. 14.9. Длина локализации (14.123), вычисленная в ядерной оболо-
чечной модели [18] для класса состояний с угловым моментом 7 = 2,
положительной четностью и изоспином Т = 0 в ядре 28 81; состояния
упорядочены по возрастанию энергии.
14.10 Распределение Портера-Томаса и связанные с ним
распределения
. Веса индивидуальных компонент,
< = ЮД, (14-128)
могут быть извлечены из эксперимента, предназначенного для анализа
сложного состояния. Например, вероятность захвата медленного нейтрона
тяжелым ядром в компаунд состояние |се) пропорциональна перекрытию
сложной волновой функции компаунд состояния с начальным простым
состоянием |&), которое в данном случае представляет собой нейтрон в
континууме (в «8-волне при очень низкой энергии Е) плюс ядро в основ-
ном состоянии. Это перекрытие определяет нейтронную ширину ко-
торая входит в сечение образования компаунд-ядра, см. Разд. 10.11. Для
«8-волны ширина пропорциональна Е, см. Разд. 34.4. Приведенная ширина
7« = определяется весом (14.128) для конкретного компаунд состоя-
ния |се). Поэтому мы ожидаем, что распределение приведенных нейтронных
ширин совпадет с распределением типичных весов одиночных ком-
понент в хаотической волновой функции нейтронного резонанса.
Распределение Рш(ы) получается непосредственно из Р(С) заменой пере-
менных (кем-то было сказано, что теория вероятности является на самом
деле наукой о замене переменных),
4С1
Р^ = 2Р(С)-^ (14.129)
аге
где множитель 2 возникает из-за того, что одно и то же гт соответствует
положительным и отрицательным амплитудам С. Вводя среднее значение
ш = 1/7У, мы приходим к распределению Портера-Томаса (ПТ),
РРТД) = , Х_ е-^. (14.130)
V 2тгшш
Оно очень хорошо описывает распределение приведенных нейтронных ши-
рин нейтронных резонансов [21].
ЗАДАЧА 24.10. Найдите совместное распределение двух компонент, С& апс!
в (одной и той же) хаотической волновой функции. Используя этот резуль-
тат в пределе А —> оо, получите функцию распределения для средней ширины
Г = (^1 + "ЛА «71,2 = (Сх“>2)2.
РЕШЕНИЕ. Тем же способом, что и раньше мы найдем
Р(С'1)С'2) = ^(1-С12-С22)^2’2. (14.131)
В пределе больших А , это сводится к произведению двух независимых гауссовых
распределений (14.118). Переходя к новым переменным Г и = лц — л?2, получим
Р(Г,ЫГ<%=-.аг, (14.132)
к 2тгй) СГ2-е2/4
где, как и раньше, л) = 1/А. Интегрируя по в пределах ±2Г, приходим к чисто
экспоненциальному распределению,
Рг(Г) = 4е-г/й’. (14.133)
1Л
Технические достижения последних лет дали
нам возможность ставить эксперименты,
которые раньше мы могли проводить только
в уме. Реализация на практике мысленных
экспериментов подтверждает корректность
законов квантовой механики. Эти новые
эксперименты так или иначе связаны с
существованием квантовой запутанности...
С. Газиорович Квантовая физика, 3-е изд.
Глава 15
Квантовые запутанные состояния
15.1 Квантовая запутанность
Понятие квантовой запутанности столь же старо, как и сама кванто-
вая механика. Однако, лишь сравнительно недавно эта концепция снова
попала в центр внимания. Основная причина — задача по созданию кван-
тового компьютера. Здесь мы рассмотрим лишь несколько общих идей,
относящихся к этой безудержно развивающейся области.
Мы уже не раз имели дело с запутанными состояниями во многих частях
этого курса. Точнее, надо говорить о запутанных подсистемах квантовых
систем в заданном состоянии. В действительности, формализм сложения
угловых моментов, см. Разд. 1.7, весь построен на запутанных состоя-
ниях — собственные состояния полного спина в случае двух связанных
подсистем обычно оказываются именно такими запутанными состояниями.
Соответствующий пример можно найти в Задаче 1.7.2] рассматриваемые
там состояния и являются так называемыми запутанными состояниями
Белла. Важно понимать, что понятие запутанности обычно относится к
конкретным наблюдаемым, или к конкретным постановкам эксперимента.
Для простоты рассмотрим случай двух подсистем, где мы допускаем
возможность измерения переменных, принадлежащих одной из подсистем.
В случае двух спинов мы в принципе можем измерять спин либо первой,
либо второй подсистемы, либо обеих сразу. Соответствующие процедуры
.(1) .(2) п
представлены эрмитовыми операторами или их произведениями. В
качестве других примеров можно рассмотреть распад заряженного пиона
7Г± -Л- + фотодиссоциацию дейтрона с/Ад —> р + п, рождение электрон-
позитронной пары двумя фотонами, или внутреннюю конверсию гамма-
излучения из возбужденного состояния ядра в электрон-позитронную пару.
Аналогично, можно рассматривать двухфотонный переход в атоме с реги-
страцией поляризации одного или обоих фотонов. Для избежания ненужных
усложнений мы начнем с примеров двух различаемых компонент пары,
когда не возникает сомнений, чей же спин измеряется.
С независимыми (не запутанными) компонентами пары и конечное спи-
новое состояние перед измерением есть простое не связанное произведение
(А) (В) / А тэ\
спиноров Х1 А2 ’ где веРхние индексы (А, В) помечают принадлежность
к подсистеме, а нижние индексы (1,2) характеризуют конкретное одноча-
стичное спиновое состояние. Однако в случаях распада, упомянутых выше,
конечное состояние может отражать ограничения, налагаемые законами
сохранения. Тогда состояния продуктов распада могут оказаться взаимо-
связанными даже при отсутствии явного взаимодействия между ними,
например, в смысле сложения угловых моментов. Если партнеры должны
находиться в синглетном спиновом состоянии, конечная волновая функция
должна иметь вид
Хоо =
(15-1)
Здесь одночастичные спиновые состояния заданы осью квантования г, хотя
для синглетного спинового состояния волновая функция инвариантна к
поворотам и поэтому при любом другом выборе оси квантования она будет
иметь тот же вид.
Для спинового триплета такой инвариантности нет, но волновая функ-
ция ую для полного спина 8 = 1 и его г-проекции 8~ = 0 имеет, в г-
представлении вид, подобный (15.1), хотя и с противоположным знаком в
суперпозиции.
Хю =
(15-2)
Для триплетного спинового состояния уц запутывания нет, поскольку вол-
новая функция является произведением х+^Х+^• Формулировка понятия
запутанности в широком смысле включает в себя как взаимообусловлен-
ность комбинированных состояний измеряемых подсистем, так и постановку
соответствующих экспериментов. Состояние называется запутанным, если
в результате определенного типа экспериментов, производимых над под-
системами, его нельзя представить как произведение волновых функций
соответствующих подсистем. Измерение проекции спина первой подсисте-
мы в случае (15.2) неизбежно воздействует на систему, непосредственно
не измерявшуюся, (собственно это и называется свойством запутывания).
Ниже, после рассмотрения свойств запутывания на примере квантовой
телепортации мы перейдем в Разд. 15.3 к его строгому математическому
определению.
15.2 Телепортация
Концепция запутанности проявляется в алгоритме, предложенном в [30]
для передачи данного квантового состояния между двумя наблюдателями,
так называемой квантовой телепортацией.
Рассмотрим начальное запутанное квантовое состояние, доступное для
обоих наблюдателей А апс! В, традиционно называемых в литературе по
квантовой информации Элис (АИсе) и Боб (ВоЬ) (тем самым, мы продол-
жим использовать наши обозначения, введенные выше). Для простейших
подсистем с двумя квантовыми состояниями, кубитов (дпЬИз), предполо-
жим, что состояние пары кубитов имеет, например, вид
(ЦаЛв) + | Та;Тв))- (15.3)
Задача заключается в передаче неизвестного квантового состояния, сооб-
щения
|Д = аЦ)+Ш) (15.4)
от А к В. Измерение наблюдателем А свойств состояния \ф} разрушило бы
когерентную комбинацию (15.4). Вместо этого А следует воспользоваться
квантовой запутанностью с В в качестве средства коммуникации.
Полное состояние |Ф) включая наблюдателей содержит три кубита и
может быть записано в виде
|ф} = \ф'фАВ} = — (а| ДпТдТв)+/?| ДДаДвНЯ ТтТдТв))-
(15.5)
В обозначениях для всех компонент спины упорядочены как | ”сообщение” эрт, А
Далее, удобно разложить подсистему А + “сообщение” по полному базису
запутанных состояний Белла для данной подсистемы,
|%±) = ДтДд) =Ь | ДтДд)), (15.6)
|С±) = ^ (| ^Та) ± | Ша)) • (15.7)
Из уравнений (15.5-15.7) находим
|ф) = 2 |ц+) (а1 +^)+1*-) (а1 ~ ^)
+ 1С+)(а1 Фв) + /5| -кв)) + 1С-)(а1 Тв) - Р\ кв))]- (15.8)
На данном этапе А производит измерение в представлении состояний
Белла (15.6,15.7) и получает, с равной вероятностью, одно из этих состоя-
ний, которое отвечает выбору соответствующей линейной комбинации для
состояний кубита В, с теми же (с точностью до знака) коэффициентами,
как и в неизвестном состоянии сообщения. Для каждого из четырех со-
стояний |х±) и |С±)5 результат измерения произведенного наблюдателем
А и переданный наблюдателю В посредством любого классического ка-
нала коммуникации позволяет определить операцию, которую В должен
применить к состоянию своего кубита, чтобы состояние сообщения. (15.4)
Задача 15.1
Установите протокол унитарных операций, предписанных наблюдате-
лю В для восстановления неизвестного состояния в каждом из четырех
возможных исходов эксперимента, произведенного наблюдателем Ьу А.
Решение Способ (записанный с помощью матриц Паули, который должен
быть применен к кубиту, находящемуся в распоряжении В) не зависит от
неизвестного состояния и может быть обговорен заранее, для обеспечения
успешной телепортации:
1С+) ^х, |Х—) = г(ту, |х+) 1? К—) (15.9)
По завершению процесса начальное состояние в месте нахождения А
разрушено, но оно полностью восстановлено в месте нахождения В. По-
этому теорема о запрете клонирования, Разд. 1.5, не нарушена. Исходная
запутанность квантовых состояний А и В более не существует по заверше-
нию процедуры. Конечно, мы не можем передать физическую реализацию
состояния |'0), а можем лишь реконструировать идентичное состояние на
другом кубите.
15.3 Математика запутывания
. Для того, чтобы ввести строгое определение собственно запутанно-
сти, рассмотрим снова две подсистемы, А и В, общей квантовой системы.
Предположим, что размерность гильбертова пространства подсистем соот-
ветственно равна па и пв и, для определенности, пд < п^.
Пусть ^а) и \кв) — произвольные полные ортогональные наборы состоя-
ний индивидуальных подсистем. Любое нормированное состояние составной
системы может быть представлено в виде разложения
= Е^!2 = 1- (15-Ю)
1& дк
При наличии запутанности не существует базиса, в котором состояние
|Ф) могло бы быть представлено в виде простого произведения |^*д)|А:в). В
общем случае, не более чем па векторов большей подсистемы,
|^;В)=ЕС^1М, (15-И)
к
могут быть включены в это разложение. Набор состояний (15.11) может
быть ортогонализован и нормирован стандартными процедурами линейной
алгебры, Разд. 1.6. Эффективно, в этом новом базисе процедура сведется
к диагонализации матрицы чья размерность не более, чем пд х пд.
Тогда исходное состояние представляется, как
1ф) = Е^'1Л)Ь), (15.12)
1
Где каждое состояние первой подсистемы имеет лишь одного партнера
во второй, обозначаемого тем же символом \д). Поскольку фазы новых
базисных состояний произвольны и партнеры принадлежат различным под-
системам, мы всегда можем подбором этих фаз ненулевые числа Су сделать
вещественными и положительными; С? = 1. Обычно это удобно для упо-
рядочивания ненулевых чисел в убывающем порядке, С± С 2 ... Сг.
где г < пд — ранг (иногда называемый рангом Шмидта) запутанности.
Оставшиеся числа Сд раны нулю. Запутанность имеет место лишь при
г > 1.
Известным является пример векторной связи угловых моментов двух
подсистем. Для определенных квантовых чисел 7, М о! системы в целом
имеется взаимное соответствие между состояниями дл с определенными
значениями 71, М\ и состояниями ув второй подсистемы с квантовыми чис-
лами 7д •> М2. Здесь механизм запутывания подчиняется требованию инвари-
антности по отношению к общим поворотам подсистем, безотносительно к
их индивидуальным размерностям. Фазы коэффициентов Клебша-Гордана
можно включить в определение соответствующих состояний, оставляя
лишь их абсолютные значения так же, как это сделано в (15.12) для ко-
эффициентов разложения 0. Этот результат основан на сингулярном
разложении (§гпди1аг та1ие бесотрозШоп). Любая (не обязательно эрмито-
вая и не обязательно квадратная) матрица С с пд строками и пв столбцами,
и, в общем случае, комплексными матричными элементами, всегда может
быть представлена в виде произведения трех матриц,
С = (15.13)
где па х па матрица ип# хп# матрица В в унитарны, тогда как В —
диагональная матрица с г упорядоченными положительными элементами,
г < па С пв, и нулевыми оставшимися. Ненулевые диагональные элемен-
ты Су матрицы В называются сингулярными значениями. Сингулярные
значения Су определены единственным образом, хотя и имеется свобода
выбора преобразований В а и В у. Разложение (15.13) является обобщением
приведения эрмитовой матрицы к диагональному виду; однако в случае
диагонализации пространства Ан В совпадают, так что унитарные преоб-
разования базиса должны быть одни и те же для А и В, В а = В в , ранг
г равен размерности, г = па = тщ и знак вещественных собственных
значений Су определяется исходной матрицей.
Для формального доказательства (15.13) мы можем рассмотреть эрмито-
ву пв х пв матрицу (ГС имеющую пв действительных неотрицательных
собственных значений. Мы можем диагонализовать эту матрицу унитарным
преобразованием Т,
ЩсЩт = (15.14)
где АДаё диагональна и мы упорядочили сначала неотрицательные матрич-
ные элементы в убывающем порядке, затем — нулевые значения. Неотри-
цательный (левый верхний) угол матрицы АДаё есть В2. Соответствующее
разложение матрицы преобразования Т в верхней, Ти, и в нижней, Ту
частях, приводит к
Матрица П2 имеет хорошо определенный квадратный корень Р, и обратную
матрицу, I?-1. Тогда мы можем ввести IIд = СТи1)~\ таким образом, что
= С. (15.16)
Отождествляя Ти с IIв мы удовлетворим (15.15) и всем последующим
(строго говоря, эти матрицы должны быть дополнены нулевыми строками
и столбцами для обеспечения их унитарности в полном гильбертовом
пространстве).
Если же мы интересуемся лишь одной из запутанных подсистем, мы
построим сначала полную матрицу плотности р = |'0)('0| и затем редуци-
рованную матрицу плотности, см. Разд. 13.1, беря след по переменным
партнера, например,
РА = Тгв(|^^|) =52ц2ЫОа|. (15.17)
1
Редуцированная матрица плотности рв для второй подсистемы получается
таким же образом и содержит те же числа С2. Можно сказать, что базис раз-
ложения Шмидта есть собственный базис для обеих сокращённых матриц
плотности рл и рв- Это напоминает ситуацию с симметрией частица-дырка,
см. Разд. 8.8, в конфигурациях оболочечной модели, которая справедлива
независимо от размерностей взаимодополняющих пространств для частицы
и дырки.
Замечательным свойством этого разложения является то, что энтропия
Шеннона состояния, см. Разд. 14.9,
ПФ] = -^С21п(С2) = -Тг(рл 1прл) = -Тг (рв 1прв), (15.18)
3
здесь совпадает с энтропией (фон Неймана) для ансамбля (Разд. 13.6)
редуцированных матриц плотности. Поэтому эта величина может быть
использована как мера степени запутанности. В случае двух подсистем
с равными спинами эд = Эв = ф сложенными в полный спин 7 = 0,
индекс суммирования в (15.18) есть проекция т, размерности равны, пд =
пв — 2^ + 1, и все сингулярные значения равны Ст = 1/^/2^ + 1. Это
соответствует максимальной энтропии,
7[^(7 = 0)] = 1п(27 + 1) = 1ппд = 1ппв, (15.19)
которая сигнализирует о максимальной запутанности.
Задача 15.2
Рассмотрите бозе газ двухуровневых атомов при нулевой температуре.
Газ взаимодействует с резонансным лазерным полем, которое вызывает
в атомах переходы между двумя внутренними состояниями. Постройте
редуцированную матрицу плотности и найдите энтропию запутанности
между двумя атомными бозе конденсатами.
Решение Здесь удобно представление Швингера для угловых моментов
(см. Задачу 11.5.2}. Полный набор состояний всей системы, состоящей из
= ТУд + Лщ атомов может быть охарактеризован либо распределением
(ТУд, ТУ#) по атомным состояниям А и В, либо квантовыми числами углового
момента ТУд = 3 + М, Лщ = 3 — М,
|Л'-4'Л"В> 3 |ли> = Л/ + ЛОД./-Л/)! |о>' (15-20)
где а^ и — операторы рождения для атомов сорта А и В, соответственно.
Эти состояния являются произведениями ортонормированных функций
для парциальных конденсатов. Произвольная волновая функция двухком-
понентного конденсата (для фиксированного числа частиц и потому
3 = 2У/2) имеет вид
\^ = ^См^М). (15.21)
м
Редуцированная матрица плотности дается выражением
Ы/2
РА= ^2 \См\2ЛаНМа\, (15.22)
М=-1Ч/2
энтропия запутанности 1[ф] может быть записана, как в (15.18); ее мак-
симум равен 1п(27 + 1) = 1п^ + 1), как уже было упомянуто в (15.19).
Максимум соответствует состоянию с однородным распределением атомных
амплитуд по всем возможным заполнениям, ТУд = 0,1,..., ТУ.
15.4 Квантовые неравенства Белла
. Запутанная система двух спинов 1/2 может служить хорошим примером
для иллюстрации существования корреляций между результатами измере-
ний, выполненных двумя партнерами по запутыванию. Эти корреляции
принимают форму особых неравенств. Мы рассмотрим простейшую форму
такого неравенства.
- (у)
Предположим, что наша аппаратура способна измерять переменные 4^
для подсистем д = 1,2 (результаты могут быть обобщены на большее
число подсистем). Мы можем считать, что эти операторы представляют
компоненты спинов для определенной оси квантования, помеченной сим-
волом а. Операторы, соответствующие различным подсистемам, д ф д'
коммутируют. Для простоты, предположим, что собственные значения
всех операторов равны ±1, как это имеет место для матриц Паули щд это
означает, что
ФД2 = 1. (15.23)
Также можно предположить, что наблюдаемые (Д^) всех этих величин в
обсуждаемом состоянии принимают произвольные значения (всегда лежа-
щие между -1 и +1 и отличные от нуля).
Выберем для двух подсистем независимо две пары операторов а = 1, 2
и построим специальным образом [31] четыре корреляционных функции
(наблюдаемые в данном состоянии полной системы)
= а,/? = 1,2. (15.24)
Производя эксперименты над системой мы можем определить наблюдаемые
п = С11 + С12 + СД - С22. (15.25)
Неравенство
|Я| 2С2 (15.26)
следует алгебраически из определения (15.25) и нормировки (15.23). Дей-
ствительно, из (15.23) следует, что
Е = 4. (15.27)
7=1,2а=1,2
Простые алгебраические выкладки, с учетом коммутативности переменных,
относящихся к разным подсистемам, дают
(/ \ 2 / \ 2 \
(гР - -4 [е}2) + Д2)]) + Д2(1) - 4= [е}2) - Д2)]) ).
\ 21-1 -I / I 4
\/ 211 -I / /
(15.28)
Поскольку выражение (15.28) неотрицательно, из (15.27) непосредственно
следует доказательство неравенства (15.26). Теперь можно показать, что
верхняя граница этого неравенства, \К\ = 2д/2, может быть достигнута в
корреляционных экспериментах со спином.
Задача 15.3
Рассмотрим систему со спином 0, распадающуюся на две частицы со
спином 1/2. (15.1). Эксперименты 1 и совершаемые над первой частицей,
измеряют соответственно проекции ее спина на оси, направленные под
углами «1 и «2 по отношению к оси г. В то же самое время, эксперименты
над второй частицей измеряют ее проекции спина на оси, направленные под
углами /?1 и /?2- Вычислите величину Я, (15.25), и покажите, что предельное
значение (15.26) достигается для некоторых выборов углов а и /3.
Решение Каждое измерение дает наблюдаемое значение ±1 оператора
(<7 • п) для данной частицы и заданного направления анализатора п. Соот-
ветствующие вероятности в измерениях над обоими партнерами определят
величины С, (15.24). Амплитуда вероятности прохождения через фильтр
анализатора с углом а для частицы, поляризованной вдоль оси г равна
сой(се/2) (Разд. 1.20.3). Для прохождения двух частиц находим
(а(1)/3(2)|хоо) =
СОЙ — СОЙ
2
7Г — /3
---------СОЙ
2
1 . {3 — а
—= ЙШ -------.
Д2 2
(15.29)
л — а
2
Л
сой — >
2 /
Таким образом, вероятность измерения обоих спинов вдоль соответствую-
щих направлений равна
Р(сЛ,М) = Дп2 АД (15.30)
Таким же образом мы получим то же значение для
РМ,/и) = |8т2^А^ (15.31)
и
Р(а Т, /И) = Р(« М) = | сон2 ДА, (15.32)
так что сумма четырех возможных исходов складывается в единицу. По-
скольку произведения двух измеряемых результатов, нормированных усло-
вием (15.23), равны для четырех возможных случаев +1,+1,—1,—1, корре-
ляционная функция (15.24) принимает вид
С(а, /3) = Р(а Т, /3 Т) + Р(а /3 ;) - Р(а Т, /И) - Р(а /3 Т)
= 81П2 —--— — СО82 —--— = — СО8(« — /3). (15.33)
Беря различные комбинации углов, находим величину (15.25):
К = — СО8(«1 — /31) — СО8(«1 — /З2) — СО8(«2 “ /?1) + СО8(«2 “ /З2) • (15.34)
Выбирая, например, значения углов в эксперименте
«1 = 0, а2 = = р @2 = -р (15.35)
Получим предельное значение
Р = —3 сое + сое = —2д/2. (15.36)
15.5 Парадокс ЭПР(Б) и скрытые переменные
. Квантовые неравенства Белла демонстрируют замечательную особен-
ность квантовой механики, а именно — невозможность введения локальных
скрытых переменных, которые ” исправили”бы вероятностный характер
квантовомеханических утверждений и придали бы этой теории классически
детерминистическое содержание.
Кажущаяся парадоксальность природы квантовой механики была под-
черкнута в известной статье Эйнштейна, Подольского и Розена [32]. Па-
радокс был впоследствии облечен в более прозрачную форму в терминах
запутанных спиновых состояний в работе Бома [33] и получил новый ак-
роним (ЭПРБ). Проблема связана с неизбежностью корреляций между
событиями, разделенными пространственно таким образом, который ис-
ключал возможность связи между ними посредством обмена каким-либо
физическим сигналом. 1 Возвращаясь снова к эксперименту, рассматри-
вавшемуся в Задаче 15.3, мы можем установить независимо направления
'В специальной теории относительности (СТО) интервал между такими событиями
называется пространственно-подобным. Согласно СТО такие события не могут быть
связаны причинно-следственными отношениями.
а и /3 в измерительной аппаратуре на краях установки, которые мы мо-
жем выбрать сколь угодно далеко друг от друга. Запутанность спинов
эволюционирует во времени согласно уравнению Шрёдингера. Если на
левом краю зарегистрированный спин направлен вверх, и оси в анализа-
торах выбраны одинаковым образом на обоих краях, можно утверждать
с определенностью, даже до любого измерения, что второй спин будет
направлен вниз. Само по себе это утверждение означает лишь сохранение
полного спина, равного нулю. Однако, ориентация оси левого анализатора
может быть установлена лишь в самый последний момент — тем не менее,
при получении положительного результата можно немедленно предсказать
результат измерения в правом анализаторе.
Это выглядит, как невидимая связь, информирующая удаленный спин о
выбранном эксперименте с бесконечной скоростью. Более того, посколь-
ку вторая частица "не знает какой тип эксперимента будет произведен,
кажется, что она заранее имеет определенные значения проекции спина
на различные оси, ”некий элемент физической реальности по термино-
логии ЭПР. Но это находилось бы в очевидном противоречии с кванто-
вой механикой, поскольку соответствующие операторы не коммутируют.
Квантовомеханический результат не согласуется с какой-либо локальной
причинностью, исходящей из предположения, что оба спина после рас-
пада начального состояния приобретают определенные направления, и
в эксперименте остается лишь измерить их предопределенные значения.
Он ближе "копенгагенской "интерпретации Бора, согласно которой изме-
ренные значения динамических переменных не существуют до момента
измерения а, скорее, являются результатом взаимодействия с измеряющим
прибором. Локальность могла бы остаться, если бы квантовое состояние в
действительности определялось бы посредством некоторых скрытых пере-
менных, которые определяли бы реально существующую ориентацию обоих
спинов в каждом конкретном измерении. Тогда квантовая механика стала
бы статистической теорией соответствующей вероятностному усреднению
по лежащим в основе процессов скрытым переменным. К счастью, данный
вопрос может быть разрешен с помощью конкретных экспериментов. Такие
эксперименты действительно были выполнены, и их результаты полностью
подтвердили наличие квантовых нелокальных корреляций.
Следуя Беллу [34], можно показать, что определенные наблюдаемые
корреляции между измеряемыми результатами в квантовой механике ока-
зываются другими при сравнении с ожидаемыми в любой локальной тео-
рии, основанной на существовании скрытых переменных, что обеспечивает
надлежащие исходы измерений во взаимно удаленных точках. Предполо-
жение о неких скрытых переменных Л означает, что вероятности, подобные
(15.30-15.32) задаются на скрытом уровне распределением /(А), которое
определяет локально результаты экспериментов на обоих противоположных
концах г и д
Р^(аа,/ЗЬ) = У <7А/(А)Р(г)(аа;А)Р(Л(Д;А), (15.37)
где рМ(сеа; А) — вероятность результата а или в случае спина) экспе-
римента, произведенного в точке г анализатором, ориентированным вдоль
направления а под локальным контролем переменных А. Здесь мы пред-
положим, что функция распределения /(А) нормирована стандартным
образом,
У>С/А/(Д) = 1. (15.38)
Теперь становится возможным показать формально, что предположение
о скрытых переменных (15.37) противоречит квантовым неравенствам
Белла. Вместо (15.33) мы теперь имеем
С(а, /3) = У (IX /(А) [рТ (а ф. А)р(2) (/з А) + рТ (а ;; А)р(2) (/3 ;; А)
-Р(1)(а А)Р(2)(,в ;; А) - Р(1)(а А)Р(2)(^ "Г; А)], (15.39)
или
С(а,/3) = У ^А/(А)[рТ(а ^;А)-Р(1\а ;; А)] [р(2\^ ^;А)-Р(2\^ Ц,; Л)].
(15.40)
Эта величина определена усреднением по скрытым переменным произ-
ведений наблюдаемых, измеренных на противоположных концах, таких
как
хТ(а; А) = рДа А) - рДа А), (15.41)
откуда
С(а,Д= [ ЙА/(А)Х(1)(а;А)Х(2)(^;А). (15.42)
Поскольку исходы | и | являются взаимоисключающими и сумма их
вероятностей равна единице, величины X ограничены ±1,
|Х(^(а;А)|^1. (15.43)
Теперь мы собираемся вычислить комбинацию Я, (15.25). Первая половина
этой комбинации
С(а1,/31) + Г(а1,/?2) = У с/А/(А)хТ(а1;А)[х(2)(/31;А) + х(2)(/?2;А)].
(15.44)
Переходя к абсолютным значениям и вспоминая неравенство (15.43), мы
вместо (15.44) получим
|С(а1,/31) + Да1Л2)| < У 6?АУ(А)|М2)(/31;А) + Х(2)(/32;А)|. (15.45)
Тем же самым образом
|С'(а2,/?1)-С(а2,/?2)| < У с?А/(А)|^<2)(Э1; А) - ^<2Д/32; А)|. (15.46)
Поскольку все |Х| < 1,
|Х(2\/31;А) + М2\/32;А)| + |Х(2\/31; А) - МД/32; А)| < 2 (15.47)
(если одно абсолютное значение достигает 2, другое обращается в нуль).
Уравнения (15.45-15.47) вместе с нормировкой (15.38) приводят к
|С(«1,/31) + ЙаьА)! + ЙМ1) - С(а2,/?2)| < 2, (15.48)
и потому функция корреляции (15.25) удовлетворяет
\К\ < 2, (15.49)
в явном противоречии квантовому примеру (15.36). Насколько можно
проследить происхождение разногласия, оно возникает с предположением
факторизации вероятности (15.37) в произведение локальных вероятностей
при одном и том же значении скрытых переменных. Квантовая механика
подобной факторизации не допускает.
15.6 Экспериментальные тесты
. Таким образом, введение скрытых переменных приводит к разногла-
сию с правилами обычной квантовой механики. Разница между (15.37) и
ограничением (15.49) конечна и может быть проверена экспериментально,
если экспериментальная погрешность может быть сделана меньше, чем эта
разница.
Наиболее убедительные эксперименты [35,36] были выполнены А. Аспек-
том с коллабораторами, которые использовали схему Рис. 15.1а. Вместо
частиц со спином 1/2 в экспериментах изучался двухфотонный переход
возбужденного 15о состояния атома кальция с конфигурацией валентно-
го электрона 4р2, Рис. 15.16. Прямой однофотонный переход в основное
состояние с теми же квантовыми числами *5о в конфигурации 4<§2 невоз-
можен (7 = 0 —> 7 = 0 однофотонные переходы запрещены, Разд. 5.7).
Радиационный переход идет через два дипольных перехода в видимой
области спектра через промежуточное состояние *Р1 с конфигурацией
4з4р. Поскольку полный угловой момент, уносимый фотонами должен
быть равен нулю, их поляризации комплементарны (параллельны или
перпендикулярны оси поляризатора), и мы имеем ситуацию аналогичную
парадоксу ЭПР(Б). Результаты оказываются в отличном согласии с кванто-
вомеханическими предсказаниями, предсказывающими сильное нарушение
неравенства(15.49).
Рис. 15.1. Схематический вид эксперимента Аспекта (а), фотонная поля-
ризация измеряется вдоль направлений а и Ь; соответствующие уровни
атома кальция (6) [?]
Последние три эксперимента этой группы [36] исключили возражения,
связанные с возможным влиянием измерений на противоположных концах,
которое могло бы устанавливаться из-за предварительной фиксации на-
правлений измеряемой поляризации (углов а и /3). В них экспериментаторы
использовали переключатель, менявший эти направления за времена более
короткие, чем время распространения фотона до места регистрации. Тем
самым нормальная {субсветовая — более медленная, чем скорость света)
передача сигнала была исключена. Еще более сильные выводы в том же на-
правлении были получены в менее давних экспериментах с использованием
массивных частиц и фотонов, см. например, [37,38].
15.7 Декогерентность и парадокс измерения
. В обычной копенгагенской парадигме акт измерения приводит к кол-
лапсу волновой функции в новую, являющуюся собственной функцией
измеряемой переменной, с собственным значением, устанавливаемым ис-
ходом измерения. Тем самым акт получения физической информации о
реальном состоянии системы лежит в некотором смысле вне квантовомеха-
нического формализма.
Классический экспериментальный прибор определяет, какую величину
предполагается измерить. В этом смысле набор возможных исходов и соот-
ветствующих собственных состояний задан. Волновая функция изучаемого
состояния является суперпозицией разных функций базиса. Эксперимент
проектирует исходную комбинацию на одну из функций этого набора и
коэффициент суперпозиции проявляет себя (точнее, квадрат его абсолют-
ного значения) как частота различных результатов в в серии идентичных
экспериментов. В этой формулировке не обсуждается "механизм"коллапса.
В сущности, она отказывается от включения структуры классического
прибора в формализм. В то же самое время законы квантовой механики,
включая соотношение неопределённостей, могут быть справедливы лишь
при условии, что классический прибор сам подчиняется этим соотношениям
(вспомним эксперимент с двумя щелями из Разд. 1.1). Такая ситуация вы-
глядит логически неудовлетворительной, особенно на современном уровне
экспериментального искусства.
Мы уже знаем (Разд.1.14), что при определенных условиях вполне макро-
скопические объекты могут вести себя так, как будто они находятся в одном
квантовом состоянии. Сверхтекучесть и сверхпроводимость являются наи-
более известными примерами такой макроскопической когерентности. С
использованием современной квантовой оптики стало возможным наблюде-
ние типичных квантовых явлений в атомных пучках на макроскопическом
масштабе. Поэтому макроскопический размер системы не является доста-
точной причиной для объявления ее поведения классическим (что, кстати,
вполне могло бы породить проблемы на раннем этапе становления кван-
товой механики). С другой стороны, если измеряющий прибор так же
полностью квантовый, весь процесс измерения должен описываться уравне-
нием Шрёдингера, и никакого "коллапса"волновой функции быть не может.
Квантовая суперпозиция будет эволюционировать далее в соответствии с
гамильтонианом, что с неизбежностью включает взаимодействие системы
с измеряющей аппаратурой.
Здесь мы подошли к парадоксу измерения [?]. В какой-то момент экспери-
мент должен закончиться с определенным значением измеряемой физиче-
ской величины. Это означает, что сделан выбор среди многих допустимых
исходов. Но волновая функция описывает потенциальную возможность
сразу всех допустимых результатов. Каким-то образом все кроме одного
должны быть отброшены, а проявиться, с определенной вероятностью, лишь
один выбранный, как реальное значение без какой-либо интерференции с
другими частями волновой функции. Если мы продолжим дальнейшую
эволюцию волновой функции, результат процесса измерения останется
навсегда.
Поскольку разнообразные экспериментальные тесты квантовой механи-
ки неизменно подтверждают ее справедливость, нам нужно попытаться
разрешить этот парадокс непротиворечивым рассмотрением процесса взаи-
модействия изучаемой системы с прибором и, в более широком смысле — с
внешней средой. Мы не станем обсуждать здесь более эзотерические версии
— как, например, интерпретацию квантовой механики, основанную на так
называемой множественности историй/миров [39]; в соответствии с этим
способом рассуждений квантовая суперпозиция выживает во всех актах
измерений, и все альтернативы воплощаются во множестве параллельных
историй, но мы можем наблюдать одну лишь связанную с нашим миром;
каждый акт измерения расщепляет волновую функцию, порождая все
новые и новые параллельные вселенные. Как сказал Ричард Фейнман, "это
возможно, но я не очень счастлив бы был от этого" [40].
Хотя эта проблема не может рассматриваться как полностью решен-
ная, похоже физическое прояснение этого парадокса весьма возможно.
Проследим это на простом эксперименте, являющемся прототипе общей
ситуации [?]. Рассмотрим дихотомическую квантовую переменную (име-
ющую лишь два собственных значения, ±1) — такую, как спин частицы.
Мы начнем с уравнения Шрёдингера, порождающего, как результат пред-
шествующей эволюции, суперпозицию
= а+|+) + а_| —). (15.50)
Затем эта частица взаимодействует с детектором — например, прибором
типа Штерна-Герлаха. Учитывая это взаимодействие, мы приходим к об-
щей волновой функции частицы и детектора; последний, также являясь
квантовой системой, описывается набором волновых функций \Б). В их
объединенном фазовом пространстве мы до взаимодействия имеем неко-
реллированную полную волновую функцию
|Ф) = \ф; Б). (15.51)
В ответ на взаимодействие, правильно себя ведущий детектор послуш-
но совершает переход в состояния скор еллир о ванные со спином частицы,
для состояния спина |+), и для состояния спина |—). Клас-
сически, указатель на приборе выбрал бы правое или левое отклонение
от нулевого положения. На этом этапе, еще описываемом стандартной
квантовой механикой, мы имеем запутанное состояние, присущее системе
и измерительной аппаратуре,
|Ф') = а+|+;Р(+)) +а_|-;Д-у (15.52)
Состояние (15.52) содержит в полной мере эффекты квантовой интерфе-
ренции. Расщепленные части волновой функции могут быть снова сведены
в исходное состояние, ничего необратимогоне произошло. Если, например,
состояние (15.50) отвечает комбинации уоо (15.1), она вращательно инва-
риантна и может быть записана таким же образом и по отношению к оси
квантования х. Соответственно (15.52) показало бы детектор в состояниях
Д(±У = 2= (Д(+)) ± . (15.53)
"детектор даже не определил бы набор альтернатив!" [?].
Это как раз то место, где мы должны вспомнить, что (а) детектор яв-
ляется макроскопическим телом с огромным числом степеней свободы и
(б) он никогда полностью не изолирован от окружающей среды. Если мы
исключим случаи идеальной макроскопической когерентности, данное поло-
жение указателя не определяет однозначно внутреннее состояние детектора.
Имеются миллиарды микроскопических состояний детектора и окружаю-
щей среды, г), которые совместимы с конкретным показанием Б^
указателя и позволяют нам однозначное получение того же результата
измерения. Это именно то, что мы можем принять в качестве определения
классического прибора, предполагаемого в копенгагенской интерпретации
Бора. Тем самым, (15.52) было бы лучше записать в виде чрезвычайно
огромной
|Ф'> = <1+^С'+)| + ;О<+). ,(+))+„_ ^|С<±>|2 = 1.
г г г
(15.54)
Поскольку в конце мы фиксируем лишь положение указателя и усредня-
ем по ненаблюдаемым переменным внутренней структуры и окружающей
среды, мы переходим к описанию в терминах матрицы плотности. Рас-
сматривая результат эволюции и динамического взаимодействия все еще
как чистое квантовое состояние, мы имеем
р = |Ф')(Ф/|. (15.55)
Если мы введем четыре матрицы плотности для аппаратуры + окружающей
среды,
Д/ = сДсД а,/3 = ±, (15.56)
полная матрица плотности (15.55) подразумевает вид
Р = (15.57)
Пусть теперь это сложнейшее чистое состояние начнет эволюционировать.
Спустя очень короткое время декогерентности фазы огромного числа коэф-
фициентов приведут к полной потери памяти о начальном состоянии.
Единственными величинами, выжившими после усреднения, останутся
Д =\сД\Чгдда)3. (15.58)
Фактически мы приходим к редуцированной матрице плотности
Ргеа = Е1а“|21СС|21а51?(аЬ(а))(а;Л(аЬ(а)|, (15-59)
где недиагональные по отношению к внутренним переменным матричные
элементы отсутствуют. Окончательно, нашим результатом измерения явля-
ется только показания указателя, независимо от всех других переменных.
Это можно выразить взятием следа по переменным г (се),
Рро!п1ег = Т*г(а) Лей = X К|2|Я(а)) Д(о) |
а
= |а+|2Д(+)>Д)(+)| + |а_|2Д(-Др(-)|. (15.60)
Декогерентность, неизбежная при работе с классическими приборами,
разрушает суперпозицию и оставляет нам лишь классические вероятности
взаимоисключающих результатов. Эти вероятности, однако, полностью
определены исходным квантовым состоянием. Тем самым данный механизм
разрешает парадокс измерения.
Нужно подчеркнуть аналогию подобных аргументов с тем, что тра-
диционно заложено в основу статистической механики. Декогерентность
необратима, после потери памяти о фазах в суперпозиции полное состояние
(15.54) восстановить невозможно. Хорошо известное возражение Лошмидта,
что рост энтропии в процессе стремления к статистическому равновесию
должен быть обратим ввиду симметрии к обращению времени микроско-
пической динамики было парировано в свое время Л. Больцманом пред-
ложением обратить все микроскопические импульсы в макроскопической
системе. В нашем сценарии энтропия также возрастает при переходе от чи-
стого состояния к статистической смеси, но процесс обратить нельзя. Даже
бесконечно малая ошибка в фазе суперпозиции разрушит обратимость.
Литература
[1] ЬашХаи Ь., ЬИзЬкг Е. Соигзе оГ ТкеогеЫса! Ркузкз. 81аЫзЫса1 РЬузкз,
Раг! 1.— 3 есИИоп.— Охкэгс! : ВххКегу-охкк-Нехпетапп. 2000. — Уок 5.
[2] РИаеузкп Ь., 81гт§аг1 8. Во8е-Ет81е1п СопОепеаВоп. — Охкэгс! : СЛагеп-
Ооп Ргеее, 2003.
[3] Во^окиЬоу К. // Л. РкУ8. И88К. - 1947. - Уок 11.- Р. 23.
[4] ЬапОаи Ь., ЫЬккг Е. Соигзе о! ТкеогеВса! Ркузхсз. Е1шс1 Мескатс8.—
2 есИИоп. — Ох1ог<1 : Ви11ег\уог111-Нететапп, 2000. — Уок 6.
[5] АпОегеоп М. // 8с1епсе. — 1995. — Уок 269. — Р. 198.
[6] Ркаеузкп Ь. // 8оу. РкУ8. ЛЕТР. - 1961. - Уок 13.-Р. 451.
[7] Сго88 Е. // Л. Ма1к. РкУ8. - 1963. - Уок 4. - Р. 195.
[8] Е.Н. ЫеЬ К. 8., Уп^уазоп Л. // Ркуз. Кеу. А.— 2000.— Уок 61.—
Р. 043602.
[9] СеИтап 8. // ЕРЬ. - 2009. - Уок 87. - Р. 13001.
[10] Ье^еК А. // Кеу. Моск Рку8. - 1975. - Уок 47.- Р. 331.
[11] Касак С. // РЬуетса. - 1952. - Уок 18.-Р. 1097.
[12] Ве1уаеу 8. // К§1. Банек. Укк Зекк. Ма1.-Еу8. Мескк — 1959. — Уок 31,
по. 11.
[13] Зскп&г Л. Ткеогу о! ЗирегсопОисИуИу. — IV.У. : ДУе81у1е\у Рге88, 1999.
[14] 8скиз1ег Н., Лиз! АУ. ВеКгпйшзНс Скаоз.— АУешкеш : АУПеу, 2005.
[15] Ьапдаи Ь., Ы&ккг Е. Соигзе о! ТкеогеНса! Ркузкз. Мескашсз.— Ох-
Гогс! : ВиМепуогЛк-Нететапп, 2003. — Уок 1.
[16] Нааке Е. (^иап!ит 81§па!игез о? Скаоз. — Вег1т : 8ргт§ег, 2004.
[17] О. ВоЫ§аз М.-Л. С., 8сктк С. // Ркуз. Кеу. ЬеК.— 1984. — Уок 52.—
Р. 1.
[18] V. 2е1еушзку В.А. Вгохуп М. Н., Егаг1ег РЕ // Ркуз. Кер. — 1996. — Уок
276. - Р. 85.
[19] 8. Какау О. В., Изктап 8. // Л. Ркуз. А. - 2003. - Уок 36. - Р. Ь529.
[20] Т.А. Вгос1у Л. Е1огез Л. Г. Р. М. А. Р., АУопе 8. // Кеу. Мод. Ркуз.—
1981. —Уок 53. Р. 385.
[21] Вокг А., МоКе1зоп В. ЬГис1еаг 81гис1иге.— 8т§ароге : АУог1д 8с1еп1Шс,
1998. - Уок 1 апд 2.
[22] Л.Е. Ьарпзе А. Ноззетшгадек Л. Ь.-Р. К. X. Л. К., Кгд§ег Н. // Ркуз.
ЬеК. А. - 2010. - Уок 374. - Р. 2000.
[23] Р. Скаи Нии-Та1 кк 8., Хзаскег Р. V. // Л. Ркуз. А, — 2002, — Уок 35.-
Р. Ы99.
[24] У.У. ИатЬаит А.А. СпЬакта С. С., Ког1оу М. // Ркуз. Кеу. А.—
1994. - Уок 50. - Р. 267.
[25] Окуа М., Ре1г В. (^иап1ит Егкгору аш! Из Изе.— Вегкп : 8ргт§ег,
1993.
[26] Оузоп Е. // Л. Макк. Ркуз.- 1962,- Уок 3.- Р. 140, 157, 166, 1199.
[27] 81а11з11са1 Ткеопез о! 8рес1га: Г1ис1иа11опз / Ед. Ьу С.Е. Рогкег. — ккУ. :
Асадепйс Ргезз, 1965.
[28] Т. Сикг А. М.-Ск, АУе1депши11ег Н. // Ркуз. Кер. - 1998. - Уок 299.-
Р. 299.
[29] Регстуа! I. // Л. Ркуз. В. — 1973. — Уок 6. - Р. Ь229.
[30] С.Н. ВеппеК С. Вгаззагд С. С.-К. Л. А. Р., АУооКегз АУ. // Ркуз. Кеу.
ЬеК. — 1993. — Уок 70. — Р. 1895.
[31] Я. С1аизег М. Ноте А. 8., Но1! Е. // РЬуз. Кеу. Ье!!. - 1969. - Уо1. 23. -
Р. 880.
[32] А. Ета^ет В. Р., Козеп М. // РЬуз. Кеу. — 1935. — Уо1. 47. — Р. 777.
[33] ВоГпп О., ВиЬ Л. // Кеу. Мок. РЬуз. - 1966. - Уо1. 38.- Р. 453.
[34] Ве11 Л. ЗреакаЫе ап<1 ипзреакаЫе т с[иап!ит тескатсз. — СатЬп<1§е
ИтуегзИу Ргезз, 1993.
[35] А. Азрес! Р. С., Ко§ег С. // Ркуз. Кеу. Ье!!. - 1981; 1982. - Уо1. 47;
49. — Р. 460; 91.
[36] А. Азрес! Л. В., Ко^ег С. // РЬуз. Кеу. Ье!!.— 1982.— Уо1. 49.—
Р. 1804.
[37] М.А. Колсе В. К1е1ртзк1 V. М.-С. 8. АУ. I. С. М. а. В. АУ. // Ж!иге. -
2001. — Уо1. 409. — Р. 791.
[38] 8. СгоЫаскег Т. Ра!егек К. К.-С. В. М. 2. М. А., 2еШп§ег А. // Иа!иге. —
2007. — Уо1. 446, 449. — Р. 871, 252.
[39] ТЬе Мапу-АУогНз 1п!егрге!а!юп о! (^иап!ит Мескатсз / Е<1. Ьу В.8. Ве-
АУ1!!, МА Сгакат. — Ргтсе!оп ИшуегзИу Ргез, 1973.
[40] Ееуптап К. // 1п!. Л. ТЬеог. РЬуз. — 1982. — Уо1. 21. — Р. 467.