М.Ю.Шуба
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ
В ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1994

ББК 74.262
Ш95
Рецензенты:
кандидат педагогических наук, доцент Б. А. Кордемский;
доктор педагогических наук,
доцент МПГУ им. В. И. Ленина В. И. Крупич
Шуба М. Ю.
Ш95 Занимательные задания в обучении математике: Кн. для
учителя.— М.: Просвещение, 1994.—222 с: ил.— ISBN
5-09-004601-8.
В книге изложены приемы составления занимательных заданий и
методика их использования на уроках. Автор, учитель математики,
заслуженный учитель России, не только описывает разнообразные занимательные
методы обучения, но и предлагает более 500 содержательных задач,
подобранных в соответствии с программой курса математики 5—9 классов.
ш 43ш!™?-^22 Б3
ISBN 5-09-004601-8 © Шуба М. Ю., 1994
ББК 74.262

Глава
I
СОСТАВЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Сделать учебную работу насколько возможно
интересной для ребенка и не превратить этой
работы в забаву — это одна из труднейших
и важнейших задач дидактики.
К. Д. Ушинский
Обучение — это ремесло, использующее
бесчисленное количество маленьких трюков.
Д. Пойа
§ 1. ПРИЕМЫ СОСТАВЛЕНИЯ
ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
В методической литературе нет общепринятого определения
понятия «занимательность обучения математике». Оно считается
интуитивно ясным. Однако, чтобы исследовать это понятие, его
надо как-то выделить. Поэтому предлагаем следующее рабочее
определение.
Под занимательностью на уроке понимаем те компоненты урока
(способы подачи учебного материала, специфические свойства
информации и заданий, связанные с учебным материалом, а иногда и
с организацией обучения), которые содержат в себе элементы
необычайного, удивительного, неожиданного, комического, вызывают
интерес у школьников к учебному предмету и способствуют
созданию положительной эмоциональной обстановки учения.
В дидактике и методике математики уже выдвинуты и
обоснованы основные положения, касающиеся занимательности обучения.
Перечислим некоторые из них.
Во-первых, всю занимательность обучения, следуя К. Д. Ушин-
скому, принято делить на «внешнюю» (не связанную с
содержанием урока) и «внутреннюю», причем «внутренняя»
занимательность предпочтительнее «внешней» и удельный вес ее должен
постепенно увеличиваться.
Во-вторых, все материалы занимательного характера обычно
разбивают на три группы: материалы, занимательные по форме;
материалы, занимательные по содержанию; материалы,
занимательные и по форме, и по содержанию.
В-третьих, основу занимательности, используемой на уроках,
должны составлять задания, непосредственно связанные с
программным материалом.
з

Однако рассматривать занимательность обучения только с
учетом связи с учебным материалом и без учета воздействия их
на мыслительную деятельность ученика нецелесообразно. Поэтому
в основу разбиения материалов занимательного характера
предлагаем положить два существенных свойства понятия «учебная
занимательность»: связь с учебным материалом и воздействие на
мыслительную деятельность учащихся.
Получаем следующее разбиение:
— организационная занимательность;
— информационная занимательность;
— внеучебные задания занимательного характера;
— учебные занимательные задания.
Под организационной занимательностью будем понимать
занимательность, связанную с организацией урока и лишь косвенно
связанную с учебным материалом.
Например, лучший «решатель» устных упражнений
награждается значком «Самый смекалистый» и может носить его до
следующего урока. Фамилии лучших «решателей» заносятся в
специальный альбом, один из разделов которого озаглавлен
«Смекалистые в нашем классе (школе)». Учащимся, блестяще
проявившим себя на уроке, предоставляется право решать задачу из
специального альбома или из какой-нибудь математической книги.
Под информационной занимательностью будем понимать
информацию учебно-познавательного характера, которая вызывает
любопытство учащихся. Обычно эта информация не ставит перед
учащимися проблемы, а заставляет их задуматься об общих
вопросах математики.
Например, во время изучения понятия степени занимателен и
полезен для учащихся будет следующий рассказ: «Представьте
себе гору (высотой километр) в миллион раз тверже алмаза. Один
раз в миллион лет к горе прилетает птичка и слегка касается
клювом камня. В конце концов в результате этих
прикосновений гора износится до основания. Трудно представить
промежуток времени, необходимый для этого. Однако с помощью
степеней записать его легко. Вычисления показали, что это
произойдет через 1035 лет».
Под внеучебными занимательными заданиями будем понимать
задачи, обычно не связанные непосредственно с программным
материалом.
Например: зачеркните все 9 точек четырьмя отрезками, не
отрывая карандаша от бумаги (рис. 1).
Под учебными занимательными заданиями будем понимать
задания, непосредственно связанные с программным материалом
и способствующие усвоению и закреплению его учащимися.
Например: какие числа можно поставить вместо
квадратиков, чтобы получилось верное равенство (О +П )•—=—?
Учебные задания занимательного характера ценны тем, что
4

они наряду с привитием
школьникам интереса к учению
способствуют также определен- • • •
ному накоплению учебных зна- # # #
ний, умений и навыков.
Занимательные задания мож- • • •
но разбивать и дальше с учетом
воздействия их на мыслитель- Рис. 1
ную деятельность учащихся.
Эти занимательные задания могут быть как репродуктивного,
так и творческого характера.
Рассмотрим виды занимательных заданий подробнее.
1. Занимательные вопросы, задачи, упражнения. Все
компоненты учебной задачи (ее подача, решение, анализ, ответ,
выводы) могут быть иногда необычными для учащихся. Поэтому
считаем занимательной задачей такую задачу, в которой
содержатся элементы занимательности либо в форме подачи задачи,
либо в сюжете задачи, либо в способе решения, либо в
иллюстративном материале к задаче. Иногда занимательность для
учащихся заключается в неожиданности ответа задачи или в
выделении элементов игры при ее решении и т. п.
2. Практические работы занимательного характера. Под
практической работой занимательного характера понимаем такую
работу, при выполнении которой ученик попадает в необычную
ситуацию, где необходимо проявить смекалку, чтобы выполнить
поставленное задание. В основном выполнить эту работу надо
необычным инструментом (например, «заржавевшим» циркулем)
или даже вообще без инструментов. Причем практическая работа
составлена так, что ее выполнение невозможно без хорошего
знания учебного материала.
Например, ученику выдаются два треугольника, вырезанные из
плотной бумаги (рис. 2, а), у которых основания равны и высоты
равны. Требуется доказать, что эти треугольники равновелики,
используя линейку без делений.
Приложив их дважды, как показано на рисунке 2, б, в, ученик
делает вывод, что треугольники равновелики (линейка нужна для
того, чтобы убедиться, что в нервом случае основания
треугольников лежат на одной прямой, тогда высоты треугольников равны).
3. Дидактические игры. В игре всегда содержится элемент
неожиданности и необычности, решается какая-либо задача,
проблема, т. е. игра выполняет на уроке те же функции, что и
занимательная задача.
Так как дидактическая игра может носить и репродуктивный,
и творческий характер, то считаем целесообразным выделить два
вида таких игр: игровая ситуация, когда ученика увлекает форма
5

а)
б)
Рис. 2
задания; математическая игра, когда ученика увлекает
содержание задания. Возможны сочетания этих двух видов. Рассмотрим
их подробнее.
Игровая ситуация. В подобных ситуациях внимание
школьников привлекает необычная форма задания или неожиданная
организация выполнения задания. Очень часто здесь присутствует
соревновательный элемент. Возможности для создания игровых
ситуаций чрезвычайно велики. Рассмотрим примеры.
Задумай число. Учитель предлагает каждому ученику
задумать число и после этого дает указания, какие действия с
этим числом надо произвести. В конце концов учитель «угадывает»
результат. Учащиеся заинтересованы, хотят узнать, в чем тут дело.
Этому желанию и соответствует задание: обосновать
«угадывание» ответа.
Назови формулу. Один из учащихся выходит к доске и
берет у учителя карточку, на которой записана формула некоторой
линейной функции. На доске начерчена таблица:
X
У
Один из учеников называет любое значение х. Ученик у доски
записывает его в таблицу и, подставив это значение в
формулу, записывает соответствующее значение у. Ему называют
еще одно значение аргумента, он записывает его в следующую
клетку и внизу пишет соответствующее значение функции. Ему
могут задать еще несколько значений х. Выигрывает ученик,
который первый назовет формулу, записанную на карточке.
Математическое лото. Эту игровую ситуацию можно
использовать при проведении повторительно-обобщающих уроков.
В барабан помещают шарики с номерами пунктов учебника,
которые уже изучены. Класс делится на группы, обычно по
рядам. Команды составляют по 4—5 вопросов по каждому пункту.
Вызванный ученик крутит барабан, достает шарик, показывает

номер. Соперники задают вопрос. Вопрос оценивается в 1 балл,
ответ — в 3 балла. Участвуют все. Затем подсчитывается сумма
баллов у каждой группы. Определяется группа-победитель.
Учащиеся повторяют материал с желанием и интересом.
Математическая игра. В методической литературе под
математической игрой понимается такая игра, исход которой может быть
предопределен предварительным теоретическим анализом.
Математическая игра чаще всего состоит в поочередном выполнении
играющим или играющими определенных действий-ходов с целью
решения поставленной задачи. Приведем пример.
Игра в —66. Играют двое. Первый записывает любое
целое отрицательное число, большее — 10, второй, устно прибавив
к нему целое отрицательное число, большее —10, записывает
сумму, первый к этой сумме устно прибавляет целое
отрицательное число, большее —10, и записывает сумму и т. д.
Побеждает тот, кто запишет число —66.
Приемы занимательности
Основным способом составления занимательных задач
является способ составления их по аналогии. Суть его заключается в
следующем: составитель вспоминает какую-либо занимательную
задачу и преобразует ее в похожую с некоторыми изменениями.
Например, учитель вспомнил или прочитал следующее
занимательное задание: «На доске был начерчен квадрат. Потом его стерли,
оставив одну из сторон. Восстановите квадрат с помощью
циркуля и угольника». Он по аналогии может составить такое
задание: «На доске был начерчен координатный луч. Потом часть его
стерли, осталась только его часть, изображенная на рисунке 3.
Восстановите луч».
Нередко занимательно сформулированная учителем проблема
позволяет учащимся высказывать самостоятельно математические
идеи (разумеется, соответствующие их уровню развития).
Приведем пример необычной постановки вопроса о единицах
измерения объемов в V классе.
Учитель. Давно это было. Два могущественных царя
заспорили, кто из них богаче. Оба имели обширные плодородные
земли, засеянные золотистой пшеницей. Это и было их главное
богатство. Осенью, когда урожай был собран, владыки думали
разрешить свой спор. Но как сравнить между собой горы пшеницы,
состоящие из многих миллиардов зерен? Можно было бы, конечно,
свезти пшеницу в одно место и сравнить кучи. Но на это ушло бы
немало дней, да и тогда никто не мог бы точно сказать, какая
из них больше. Оба царя позвали своих мудрецов, чтобы те
сравнили их богатства. Мудрецы посовещались, и самый мудрый из
них обратился к правителям:
«О, государи! Мы нашли про- I I
стой способ разрешить ваш 4 6
спор. Для этого нужно...» Рис з

Но перед тем как выслушать решение мудрых математиков,
подумайте, ребята, что вы предложили бы на месте мудрецов. Как
сравнить кучи зерен?
Что же именно (какие моменты, особенности и т. д. учебного
материала и организации обучения) делает изучение математики
занимательным для учащихся? Иными словами, мы хотим выявить
приемы занимательности и уже на их основе составлять учебные
задания занимательного характера.
Все приемы занимательности можно разбить на три группы:
приемы занимательности, связанные с подачей задания; приемы
занимательности, связанные со структурой задания; приемы
занимательности, связанные с организацией и процессом решения.
Это деление в определенной степени условно. Оно прежде всего
нужно для того, чтобы легче было ориентироваться при
составлении занимательных заданий. Отметим также, что многим приемам
даны образные, яркие, необычные названия и прежде всего для
того, чтобы они остались в памяти учителя и легко
вспоминались им при составлении занимательных заданий. Разумеется,
учитель может придумать и свои названия, которые ему кажутся более
удачными.
Приемы занимательности, связанные с подачей задания
Приемы этой группы дают возможность то или иное задание
облечь в занимательную форму. Рассмотрим несколько таких
приемов.
Математический герой. В урок вводится какой-либо
математический герой, который или решает задание, или предлагает его
для решения, или придумывает фокус и т. д.
Например, однажды Витя Верхоглядкин записал выражение
25'jc«4. Потом он вместо х стал подставлять в это выражение
по очереди числа 13, 21, 39, 47. Получив значение каждого
произведения, он очень удивился тому, что все числа оказались
«круглыми». Не могли бы вы, ребята, объяснить почему?
Необычная запись, чертеж, схема и т. д. Ярким примером
данного приема является задание, связанное с занимательным
квадратом. Занимательный квадрат — это квадрат, разбитый на 9 клеток;
в каждую клетку записывается один элемент (число, степень,
одночлен и т. д.) так, чтобы суммы или произведения всех
элементов по любой горизонтали, вертикали (а часто и диагонали)
удовлетворяли определенному условию
(например, были бы равны одному и тому же
элементу). Приведем пример.
Запишите одночлены
*, х\ х\ х\ х\ х\ х\ х9
в пустые клетки квадрата так, чтобы
произведение их по любой горизонтали, вертикали
и диагонали было равно х1Ъ.
хь

Задумай. Учитель (ученик) задумывает математический
объект, а ученики (учитель) должны отгадать то, что задумано, или
то, что связано с задуманным.
Пример. Я задумал два числа. Задайте только один
вопрос и, выслушав ответ, скажите, одинакового ли они знака.
Логический каркас. Путем логических рассуждений требуется
выявить из нескольких утверждений одно (несколько) верное
(неверное) утверждение.
Пример. Из следующих трех равенств только одно верное.
2,7-3,9=105,3; 5,3-9,6 = 50,88; 4,3-7,3 = 29,999.
Какое? Не торопитесь находить произведение чисел.
Задание с продолжением. Новое задание получается из
предыдущего путем дописывания к формулировке старого задания
одного или нескольких слов (символов).
Пример. Запишите такой четырехчлен, чтобы его можно
было разложить на множители (когда ученики выполнят это
задание, учитель повторяет его и продолжает условие) и чтобы
первый из множителей был Зх — 2с (учащиеся выполняют. После
чего учитель повторяет предыдущие два задания и дополняет их
последним условием), а второй множитель был равен 5с — 7.
В итоге учащимися будет выполнено три задания.
Соответствие. Даны два (и более) ряда математических
объектов. Для каждого объекта из одного ряда требуется найти
соответствующий из другого. Критерий соответствия может быть
самым разнообразным.
Пример. В таблице перепутаны соответствующие значения
стороны квадрата, его периметра и площади. Учитель называет
любое число из таблицы. Ученик находит и показывает его, а
потом и соответствующие ему числа. Например, учитель говорит:
«Периметр 32 см». Ученик указкой показывает на число 32 и
говорит: «Периметр 32 см, сторона 8 см (показывает), площадь
64 см2 (показывает)».
а
Р
S
1
20
81
2
36
25
3
28
100
4
4
4
5
32
16
6
8
1
7
40
9
8
12
49
9
16
36
10
24
64

Приемы занимательности, связанные со структурой задания
Обращение. В обычных упражнениях требуется по указанным
компонентам и действиям получить результат. Таких заданий
на уроках математики много. Они необходимы в обучении. Но
иногда эффективны и обратные упражнения: по указанным
компонентам и результату отыскать действия или по указанным
действиям и результату найти компоненты.
Подобные обращения можно провести практически на любом
математическом материале, в любых видах заданий, причем
обучающий эффект этих заданий подчас не меньше, чем обычных,
так как подобные задания обычно требуют от учащихся
глубокого владения программным материалом, тщательного анализа
условий и требований, сообразительности и рационализации
решения.
Пример. В следующих равенствах расставьте скобки и
знаки действий так, чтобы соблюдался порядок действий,
показанный римскими цифрами:
а) 4 ® 7 ® 5 ® 9=12; б) -3 © 5 ® 8 ® 10= —19.
Пример. Даны две точки Л и Б, отмеченные на белом листе
бумаги. Начертите такую систему координат, чтобы точки имели
следующие координаты:
a) A(U 3), В(-3; 3); б) Л(1; 2), В(1; -4).
Противоречие. В одном и том же математическом объекте или
утверждении два (или более) свойства противоречат друг другу.
Ученику надо выявить противоречие и устранить его.
Например, требуется записать правильную дробь, у которой
числитель больше знаменателя на 2.
Запрет. При каком-либо высказывании, решении ученику
предлагается пользоваться только определенными объектами или
запрещается пользоваться заранее оговоренными объектами
(числом, символом, операцией, свойством, рассуждением,
инструментом и т. д.). Этот прием основан на том, что внезапное
сужение поля выбора вызывает занимательный эффект.
Пример. Используя только чертежный угольник, постройте
угол, равный углу ABC (рис. 4).
Измени чертеж. Составитель пытается видоизменить чертеж к
какой-либо задаче. Какие-то элементы чертежа убирает, что-то
добавляет и т. д. Полученный чертеж часто подсказывает идею
новой задачи.
Пример. Представьте себе, что равные треугольники
ABC и А\В\С\ на рисунке 5 переместились так, что точки
А и А\ и точки С и С\ совпали. Проведите мысленно отре-
ю

Рис. 4
Рис. 5
зок ВВ\. Докажите, не выполняя нового чертежа, что на нем
АС±ВВ{.
Найдите ошибку. Ученику предлагается отыскать ошибку
(ошибки) в решении (ответе) одного или нескольких заданий.
Пример. Некоторая линейная функция задана таблицей:
X
У
-2
-8
-1
— 4
0
-2
1
1
2
4
Задайте ее формулой, если известно, что одно из значений
функции записано неверно.
Особый случай. В любом математическом объекте или
рассуждении составитель ищет особый (предельный, частный) случай,
ибо он часто бывает необычным и привлекает внимание.
Пример. В четырехугольнике известен один из углов. Какой
это четырехугольник, если можно вычислить все остальные его
углы?
Провокация ошибки. Учитель так строит учебную ситуацию,
что ученики, как правило, ошибаются при решении какого-либо
задания. Например, предлагается взять любые два из чисел
12, 42, 51, 69 и составить обыкновенную дробь, чтобы она была
несократимой.
Рассмотрим особо приемы, связанные с различными
соотношениями условия задачи, ее требованиями и ее решения.
Такие задания наиболее часто используются при повторении,
т. е. тогда, когда основной материал темы усвоен учащимися и
поэтому появляется возможность значительно разнообразить
задачи. Данный прием схож с описанным выше приемом
«Обращение». Обычно учащимся предлагается формулировка задания, а
п

они должны найти решение. Ценность такого подхода неоспорима.
Именно так встают задачи перед человеком и решаются им в
повседневной деятельности. Задумаемся, однако, в чем
заключается цель математических учебных задач. В том, чтобы
научить школьников их решать, т. е. научить их тщательно
изучать условие задачи, сопоставлять ее компоненты, улавливать
схему решения и т. д.
Примеры. 1. Учитель. На доске записано решение
некоторой задачи: «Пусть мама заплатила за покупку х р. Тогда у нее
осталось 562 — х (р.). Составим и решим уравнение: 562 — л: = 411;
х = 562 — 411; jc= 151. Ответ: 151 р.». Кто из вас сможет по этой
записи сформулировать задачу?
2. Учитель. Задача начинается словами: «Турист за 3 дня
проехал 70 км». Составьте три задачи с данным началом и одним
из решений:
I. 1) 70-4=28; II. 1) 70-4-=28; III. 1) 70--|-=28;
о о о
2) 70--f=30; 2) 28--|-=12; 2) 70-28 = 42;
3) 28 + 30 = 58; 3) 28+12 = 40; 3) 42~=35;
4) 70-58=12. 4) 70-40 = 30. 4) 42-35 = 7.
3. Учитель. На экзамене была предложена задача:
«Бригада рабочих должна была в определенный срок изготовить 272
детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала
перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за день до срока изготовила
280 деталей. Сколько деталей изготовила бригада к сроку?»
Решая эту задачу, ученик составил следующее уравнение:
272 __щ . 280-10* . j
х jc + 4
Определите, какую величину он обозначил через х.
Доведите решение до конца, объяснив, что обозначают выражения
х. * + 4; *?.; 280-10*;
и дайте обоснование составленному уравнению.
При составлении учебных заданий занимательного характера
важно учитывать психологические особенности мыслительной
деятельности учащихся. Приведем примеры.
Нарушение стереотипа. Старые, неполные знания довлеют над
людьми даже после получения новых, более полных знаний.
Например, изучая в течение нескольких лет положительные числа, для
которых всегда справедливы неравенства х<2х, с>-|-,
учащиеся с трудом осознают, что при прохождении темы
«Отрицательные числа» эти неравенства верны не всегда. Чтобы ускорить пони-
12

мание этого факта, полезно использовать задания, которые
помогают школьникам сделать обобщение.
Пример. Что больше: а) х или 2х\ б) а или — а; в) с или — ?
Использование новых мыслительных операций. Психологи
отмечают, что приемы мышления, которые находятся в стадии
освоения их детьми, являются для детей занимательными. Из этой
закономерности можно вывести важное следствие: приемы
мышления, которые являются обычными для школьников, их освоивших,
могут быть занимательными для тех учащихся, которые их еще
только осваивают. Роль заданий, направленных на пропедевтику
таких приемов мышления, трудно переоценить. Опыт показывает,
например, что учащимся после окончания начальной школы вполне
доступны (и интересны!) рассуждения в один-два логических
шага.
Пример. Даны 5 чисел: —9, — 2, 6, —3, —5. Выберите из
них такие 4 числа, чтобы их произведение было положительно.
Найдите это произведение. (Пауза.) У всех получилось 270.
Почему? Один из учеников (или сам учитель) может следующим
образом обосновать «угадывание». Так как произведение —
положительное число, то в данном случае все 4 множителя должны
быть отрицательными (иначе произведение будет отрицательно).
Значит, надо перемножить числа —9, —2, —3, —5, а это
произведение равно 270.
Приемы занимательности, связанные с организацией
и процессом решения задания
Использование игровых моментов. Отметим, что игровые
моменты в той или иной степени присутствуют практически в любом
занимательном задании. Это и понятно, ибо понятия
«занимательность» и «игра» тесно связаны.
Предлагая использовать на уроках какие-либо упражнения,
учитель задает себе вопросы: а нельзя ли их предложить учащимся
в игровой форме? Не будет ли это более эффективно? Опыт
показывает, что иногда это можно делать. Так, целесообразно
использовать игровые моменты при закреплении учебных навыков,
когда учащимся приходится выполнять ряд однотипных
упражнений.
Возможности использования игровых приемов на уроке
чрезвычайно разнообразны и нуждаются в специальном
исследовании. Приведем лишь несколько примеров.
«Игра с числами». Каждый ученик имеет 31 квадрат (со
стороной 1 см), вырезанный из плотной бумаги. В каждый квадрат
вписано одно из целых чисел от —15 до 15. Учащиеся
выкладывают их на столах в порядке возрастания (готовятся к выполнению
заданий). При изучении темы «Сложение и вычитание целых
чисел» можно предложить школьникам разнообразные упражнения.
13

Например, по теме «Сложение целых чисел» даются следующие
задания:
а) Укажите как можно больше пар чисел, чтобы их сумма была
равна —23: □-f □ = — 23.
Правильность результатов проверяют учитель и сосед по парте.
Задание можно усложнить. Например:
б) П + П+П=-15;
в) П + П+П + П=-3.
Тестовые вопросы. На доске записано выражение —18а.
Учитель задает кратко вопросы*. Ученик должен быстро отвечать.
Вопрос: Ответ:
1) Коэффициент? —18.
2) Разбейте на два равных слагаемых. —9а + ( — 9а).
3) Разбейте на два неравных слагаемых. — 10а + ( — 8а).
4) Разбейте на три равных слагаемых. — 6а + ( — 6а) +
+ (-6а).
5) Разбейте на три неравных слагаемых. — а + (— 2а) +
(15)
()
6) Разбейте на два множителя. — 6-За.
7) Разбейте на три множителя. — 2-3-За.
8) Найдите значение выражения — 18а, если:
а=1, -18.
а = 0, 0.
а=-2. 36.
Зашифрованные примеры. Процесс решения подобных заданий
очень увлекателен. Составителю надо добиваться того, чтобы
зашифрованные компоненты касались существенных свойств
математических объектов.
Пример. Подставьте вместо квадратиков такие числа, чтобы
равенства были верными:
а) 3^y+UT-8—-9-J5-,
б) з^2^1 26"21 =l^-=l-Lr
б) з-^--2^-1 =l^-=l-rLr-
С одного взгляда. Учитель (ученик) выполняет какое-либо
задание очень быстро с помощью: а) конкретных знаний,
умений, навыков; б) догадки, сообразительности; в) рассуждений;
г) некоторой хитрости.
* Примечание. Здесь вопросы не задаются в строгой форме, так как
это не влияет на понимание их учащимися.
14

Пример. Сравните дроби:
35" и 53~'
Рис. 6
1 1 31 13
Первая дробь больше —, вторая меньше —, значит, тг>То •
Выбор. Из нескольких математических объектов необходимо
выбрать объект, обладающий указанными свойствами.
Пример. Из пяти выражений (а—I)2, (а —2)2, (а —З)2,
(а —4)2, (а — 5)2 выбрали два, возвели в квадрат и нашли сумму
трехчленов. Получилось 2а2— 10а+ 17. Какие два выражения
выбрали?
Восстановление. По части какого-либо математического
объекта требуется восстановить весь объект.
Пример. Восстановите координатную прямую, часть
которой изображена на рисунке 6.
Составление подобных заданий можно проводить
следующим образом. Берется «целый» математический объект и от него
«отсекается» какая-либо часть. По оставшейся части требуется
восстановить весь объект.
Стрела. По двум-трем данным требуется выполнить
значительное количество однотипных заданий, придерживаясь данного
алгоритма.
Пример. Найдите произведение одночленов, записанных в
двух соседних клетках, и запишите его в третью клетку. Затем
найдите произведение последних двух одночленов и запишите
результат в следующую клетку и т. д. Какой одночлен будет в
восьмой клетке?
X
Естественно, предлагаемый перечень приемов занимательности
не претендует на полноту. Но для практических целей их вполне
достаточно. Именно использование приемов занимательности
позволило автору составить несколько сот заданий, приведенных в
главе II.
Целенаправленное составление занимательных заданий
(накопление задач)
Учитель иногда специально ставит себе цель составить
занимательные задания к данному уроку (или ряду уроков) по данной
учебной теме. Основными «инструментами» придумывания
занимательных материалов в этом случае являются приемы
занимательности. Именно приемы «сдвигают» мысль с мертвой точки. Имен-
15

но приемы помогают преодолеть стереотипы и заслоны
мышления учителя. Именно приемы дают необычное направление
мысли, которое сродни творчеству. В этом-то и заключается
ценность приемов занимательности: с их помощью любой учитель
может делать то, что без них доступно только талантам. При этом
не надо месяцами ждать, когда тебя осенит. Приемы
занимательности помогают значительно ускорить этот процесс.
Конечно, придумывание занимательных заданий — дело
индивидуальное. Каждый составитель это делает по-своему. Мы хотим
показать те подходы, которые использовались при составлении
занимательных заданий, приведенных в главе II. Не со всем, может
быть, читатель согласится. Однако знакомство с «кухней»
составления задач будет, вероятно, полезно.
Можно составлять занимательные задания как к отдельному
пункту (уроку), так и к целой теме сразу. Оба эти процесса
аналогичны, разница только в количестве затраченного времени.
Предпочтительнее готовить задания ко всей теме. При этом
экономится время. Составление может протекать по двум направлениям.
Первый подход состоит в том, что учитель просматривает
первое задание (или несколько заданий) по учебной теме. Затем он
берет первый прием занимательности из списка. В результате этого
может появиться новая идея, которая соединяет в себе «учебность»
и необычность. Возникшую идею, какой бы несерьезной она ни
казалась, следует записать. На этом этапе главное — стремиться к
тому, чтобы возникло как можно больше таких необычных идей.
При этом надо стараться пока не оценивать их с методической
точки зрения. Иногда на основе несерьезных идей возникают
интересные задания. Поэтому их полезно периодически
просматривать.
Затем составитель берет второй прием занимательности. Мысль
его получает новое направление. Он пытается преобразовать те
же задания в соответствии с новыми мыслями и записывает
возникшие идеи и т. д. до последнего приема из списка.
Теперь становится ясной ценность использования приемов
занимательности. Ведь переход к другому приему есть не что иное,
как смена стратегии поиска. Эта смена стратегии хорошо
стимулирует творческий процесс.
После этого составитель прочитывает другое задание (или
группу заданий) и вспоминает первый прием занимательности,
потом второй и т. д. до последнего. Так просматриваются
все задания темы (пункта).
Конечно, это лишь примерная схема составления. На деле все
гораздо сложнее. Например, составитель зачитал прием, а идея
не возникает. Ничего страшного. Переходим к следующему приему,
потом к следующему и т. д. Всегда найдутся несколько
приемов, которые дадут «зацепки» сознанию, и в результате
рождаются интересные мысли.
Кроме того, некоторые приемы не только дают мысли соста-
16

вителя необычное направление, но являются руководством к
действию. Например, «Обращение», «Задание с продолжением»,
«Логический каркас» и некоторые другие. Со временем
накапливается и опыт составления занимательных заданий.
Часто возникает такая ситуация. Ничего не придумав по
данному приему, составитель переходит к следующему и думает уже в
новом направлении. Однако неожиданно возникает мысль,
связанная с предыдущим приемом (а может быть, с любым приемом из
списка). Такие скачки вполне закономерны. Поэтому важно знать
приемы наизусть и давать приемам краткие и выразительные
названия. Тогда происходит своеобразное наложение приемов, что
помогает рождению ярких образов и нестандартных идей.
При целенаправленном составлении часто возникает задача
не по теме, т. е. основанная на учебном материале другой темы.
Эти идеи надо записывать впрок. Вообще к составлению
занимательных задач надо подходить широко, «открыть» сознание,
дать ему возможность свободного выхода за рамки данной темы.
Приведем несколько советов учителю, который заинтересуется
этим увлекательным делом. Начинать составление задач лучше
всего с приема, который обычно дает хороший результат,
например «Обращение», «Выбор», «Запрет» и др. Удачное начало как бы
дает заряд бодрости составителю, помогает включаться в
творческий процесс. Когда какое-либо задание составлено, то полезно
проанализировать, а нельзя ли было его составить с помощью
другого приема. Часто мысль составителя получает другое
направление, и он может наткнуться на новую интересную идею.
Со временем у учителя возникнет потребность задуматься и о
самих приемах, об их последовательности в списке, об их
совершенствовании. У него появятся любимые приемы, а подчас будут
возникать и свои приемы. В результате этого обдумывания у
учителя появится список приемов, который соответствует его стилю и
позволит сократить время непродуктивной работы.
Итак, мы рассмотрели первый подход к составлению
занимательных заданий.
Второй подход заключается в том, чтобы перебирать
задания, а не приемы. Здесь в отличие от первого подхода
сознание составителя как бы привыкает к данному приему, вживается
в него, и мысли, появляющиеся в результате перебора различных
учебных заданий, сочетаясь с этим необычным направлением
мысли, дают порой интересные идеи.
Итак, когда все возникшие идеи записаны, составитель (при
желании и наличии времени) может попробовать сочетать приемы
(обычно по два-три). При соединении приемов возникают
необычные направления мысли, которые подчас трудно себе представить.
Помогает повысить эффективность составления занимательных
заданий идея чередования. Приемы как бы распадаются на две
группы: общие (общее направление мысли) и конкретные (руководство
к действию). Их полезно при составлении чередовать конкрет-
17

ный прием — общий прием — конкретный прием и т. д. «Заземлен-
ность» конкретного приема сменяется широким полетом мысли
общего приема, и этот контраст дает положительный эффект.
Можно чередовать подходы к составлению. Например, один
пункт проработать с помощью первого подхода (задание —
приемы), а другой пункт — с помощью второго (прием —
задания).
Можно взять две разные учебные темы и составлять
занимательные задания то на базе одной, то на базе другой.
Составитель и сам сможет придумать различные чередования. Конечно,
многое зависит от вкусов, склонностей и способностей составителя.
Одному удобнее чередовать подходы, а другому, наоборот, это
мешает. Учитель должен попробовать все, а потом выбрать тот
путь, который ему наиболее подходит.
Итак, все возникшие идеи записаны. Перед тем как закрыть
учебник, полезно еще полистать те страницы, которые были
прочитаны. Этот «прощальный» взгляд иногда «зацепляется» за то,
что раньше было не замечено. В результате может возникнуть еще
несколько идей. И вот теперь учебник можно закрыть, но работу
по составлению задач еще некоторое время продолжить. Учебные
задания в какой-то мере сковывают полет мысли своими жесткими
рамками. Надо попробовать отвлечься от конкретных заданий и
просто поразмышлять, сочетая задания и приемы, которые
приходят в голову без всякой системы.
В дальнейшем учитель может заниматься подобной
отвлеченной работой практически в любое время. Иными словами, у него
будет создана база для свободного поиска идей. В этом, на наш
взгляд, и заключается одно из важных следствий
целенаправленного составления занимательных заданий. Оно создает почву для
продуктивного творчества.
Со временем учитель создаст свою систему приемов
занимательности. Она будет соответствовать его стилю, склонностям,
возможностям. Но на этом не следует останавливаться. Система
приемов не должна быть застывшей. Нужно стремиться к поиску новых
приемов и усовершенствованию уже известных.
Одна яркая идея, интересный факт, необычная задача могут
породить новый прием занимательности. Поэтому знакомство с
любым необычным фактом, нестандартной мыслью важно
рассматривать с точки зрения их преобразования в прием
занимательности. А потом оценить его продуктивность и решить, стоит ли
его включать в свою систему.
Для постоянного пользования надо составить компактную
систему любимых приемов. И знать эти приемы досконально.
Выявить соответствие того или иного приема тому или иному
учебному материалу, выбрать наиболее эффективные сочетания
приемов.
Мы рассмотрели некоторые возможности целенаправленного
составления занимательных заданий. От учителя уже здесь требу-
18

ется творческий подход. Еще большая раскрепощенность мысли
нужна при свободном составлении занимательных задач. К
обсуждению некоторых вопросов, связанных с этим составлением, мы и
переходим ниже.
Свободное составление занимательных заданий
(накопление идей)
При свободном составлении занимательных заданий основное
внимание уделяется поиску идей, ассоциаций, фактов, на основе
которых и могут быть они составлены.
Кто из учителей не мечтал научиться генерировать идеи,
придумывать изюминки, отыскивать методические находки. Конечно,
можно воспользоваться тем, что предлагают другие. Однако это не
самый лучший путь. «Наиболее глубокий след оставляет то, что
тебе удалось открыть самому» (Д. Пойа). Разве это не парадокс?
Профессия учителя одна из самых творческих. А учителей (и
студентов) даже не знакомят с методами генерирования идей!
Не претендуя на глубину изложения, хотим поделиться опытом
поиска и нахождения идей. Разумеется, не все в этом опыте
бесспорно, даже далеко не все бесспорно. Однако вдумчивый читатель
многое может почерпнуть из знакомства с творческой «кухней»
коллеги.
Ученые приходят к выводу, что умению работать творчески
можно специально учиться. На первых порах желательно
познакомиться с опытом творческой деятельности других. Однако этого
мало. Узнать новую идею — это не то же самое, что выдвинуть,
предложить ее. Основное препятствие на пути поиска нового —
шаблонность мышления. Поэтому ученые предлагают на первых
этапах творческой деятельности использовать специальные
указатели, которые помогают сдвинуть сознание с мертвой точки.
Опыт показывает, что среди таких указателей могут быть
приемы занимательности.
Возникает вопрос, почему именно занимательность
стимулирует создание нового. Видимо, оба понятия «творчество» и
«занимательность» тесно связаны. Главное заключается в том, что они
обладают общей важнейшей характеристикой: и то и другое должно
быть необычным.
Связь этих понятий подтверждается еще и тем, что они могут
взаимно обогащать друг друга. Так, некоторые приемы
занимательности сходны с приемами творческого мышления. И те и другие
не только дают необычное направление мысли, но и часто являются
непосредственным руководством к творческому действию. Таким
образом, неожиданно открывается еще одно достоинство
занимательного подхода: он помогает выработке творческого мышления.
Итак, приемы занимательности дают толчок творческому
мышлению, создают своеобразную базу для творческой работы. Но
одними этими приемами нельзя ограничиваться. Ведь при всех их
19

достоинствах они имеют и существенный недостаток. Если
пользоваться одними приемами занимательности, то этим мы
ограничиваем, сужаем поиск новых идей. Из стимуляторов они порой
могут превратиться в тормоз. Поэтому важно иногда не следовать
этим указателям, а постараться дать мысли общее направление.
Это направление не связывается с конкретными указателями и
поэтому позволяет мыслить свободно и широко, что способствует
появлению новых идей.
Достаточно продуктивны, на наш взгляд, следующие общие
направления мыслительной деятельности:
— необычный подход к рассмотрению вопроса;
— поиск ассоциаций:
— перенос идеи из другой области знаний;
— «игра» с объектами и идеями.
Конечно, разделение стимуляторов мысли на конкретные и
общие условно. Обычно они тесно переплетены и взаимно обогащают
друг друга.
Необычный подход к рассмотрению вопроса. Данное
направление мысли бывает очень перспективным, Учитель заранее
настраивает себя на поиск необычного и в процессе работы всегда помнит
об этом. Надо стремиться не столько сделать что-то лучше, сколько
сделать это необычно, по-новому.
В чем заключается необычный подход? Рассмотрим это на
примере учебной задачи. Прежде всего надо выяснить, что в данном
задании является обычным, стандартным, примелькавшимся.
Потом надо попытаться настроить себя на изменение этого
обычного. Все изменения записываются и затем анализируются с точки
зрения их дидактической полезности.
Трудность здесь в том, что сознание как бы проходит
мимо стандартных моментов, которые встречались уже сотни и
тысячи раз.
Например, ученик читает задание и сразу начинает его решать.
Это «сразу» до того привычно и естественно, что учитель даже
не задумывается о каком-нибудь изменении. Значит, если ученик
будет решать задачу не сразу, то это будет непривычно и
может быть занимательно. Очевидно, что в этот промежуток
времени, когда у него перед глазами текст задачи, он может что-то
делать с задачей. Что же? Он может, скажем, попробовать
видоизменить задание. А как можно видоизменить его? Что-то убрать
или добавить к формулировке. Возникает идея: ученик не сразу
решает предложенное задание, а сначала что-то стирает в условии
или, наоборот, что-то дописывает. Итак, идея оформилась.
Теперь надо выяснить, зачем это нужно и нужно ли вообще,
т. е. придать идее дидактический смысл. Это сделать зачастую не
так просто.
Попробуем применить эту идею к конкретному учебному
материалу. Возьмем линейное уравнение Ъх— 3 = 7*+ 8. Возникает
задание: прибавьте к правой части уравнения такое число, чтобы
20

полученное уравнение имело корень — 8. Или так: вместо
квадратика в уравнении
запишите такое число, чтобы полученное уравнение имело
корень — 8.
Это задание необычно (таких еще не решали), но будет ли
оно методически оправдано? Видимо, да. Оно допускает более
одного подхода к решению. Можно вместо х подставить —8 и найти
искомое число. Можно перенести выражение с переменной в левую
часть, а числа — в правую, упростить обе части и подобрать
искомое число. Так как в итоге получаются два уравнения (с
квадратиком и без квадратика), то учитель может спросить: а)
равносильны ли уравнения; б) какое число можно подставить вместо
квадратика, чтобы полученное уравнение имело корень 0? Здесь
уже можно проявить и некоторую сообразительность. Выражение
с переменной (после переноса и упрощения) не будет иметь
нулевой коэффициент, значит, достаточно, чтобы в правой части сумма
чисел (после переноса) оказалась равной 0. Поэтому вместо
квадратика надо взять число —11. Учитель может предложить и такое
уравнение: □ + 5х — 3 = 7л: + 8+ □ . Ясно, что его можно свести
к предыдущему: искомое число разбить на два слагаемых и одно
из них перенести в левую часть. Как видите, именно необычный
подход, необычное направление мысли помогли натолкнуться на
нетривиальную идею. Конечно, люди мыслят по-разному, и у
другого получилось бы другое задание, может быть, не менее интересное,
но без необычного подхода найти эту идею было бы
затруднительно.
Рассмотрим еще один пример необычного подхода. На уроке в
VI классе учитель познакомил ребят с правилами сложения
положительных и отрицательных чисел. Предположим, что до конца
урока осталось 4—5 мин. Сколько заданий может быть решено за
это время? Ну, 5—10, от силы 20. Итак, стандарт найден. Пробуем
изменить этот стандарт: за оставшееся время на уроке будет
выполнено 50, 100 заданий! Конечно, ученик столько примеров не
решит. Но ведь, кроме учеников, на уроке есть учитель! Ему
это вполне по силам. Эти смутные мысли постепенно
оформляются, и в результате появляется интересный методический прием.
На доске записано (или на экран проецируются) 50 верных
равенств (типа —5 + 8 = 3, — 9 + ( —3) = — 12 и т. д.). На карточке у
учителя записаны те же 50 примеров, но без ответов (карточка
демонстрируется учащимся). И вот он встает спиной к доске,
смотрит на карточку и выдает за 4—5 мин 50 правильных ответов. На
ребят эта концовка урока производит ошеломляющее впечатление.
А учитель говорит, что и они смогут так же быстро считать, если
будут тренироваться, и что в конце изучения темы можно будет
это проверить (например, организовать небольшое соревнование).
Разумеется, на практике все значительно сложнее. Идея во-
21

обще может не появиться, а появившись, может быть нереализуема
на уроке (так как ее невозможно методически обработать),
наконец, методически обработанная, она может «не пойти» на
уроке. Надо анализировать причины неудач, ибо только так
набирается опыт.
Учителю полезно специально искать «обычные» моменты, ибо
это труднее, чем из них получить «необычные». Рассмотрим
несколько таких возможностей (конечно, при желании их количество
может быть значительно увеличено).
Обычно
Предлагается задание,
которое надо выполнить.
Предлагается задание, его
обязательно надо решить.
Предлагается
формулировка задания (словесная или
записанная символами).
Предлагается записать
разобранные решения.
Ученики в тетрадях пишут
то, что и ученик на доске.
Ученики при выполнении
упражнения что-то пишут.
Учитель предлагает задачу,
учащиеся решают ее.
Необычно
Предлагается решение, по
нему надо сформулировать
задание.
Предлагается задание
(несколько заданий), но решать
его не надо (!), суть
заключается в другом (скажем,
подсчитать количество корней,
которые извлекаются «нацело»).
Предлагается задание «без
слов».
Предлагается записать
разобранные решения «в
обратном порядке».
Ученики в тетрадях пишут
совсем не то, что ученик на
доске (например, заполняют
таблицу, причем это заполнение
связано с тем, что и как решает
ученик у доски).
Ученики при выполнении
упражнения не пишут (а
например, передвигают специальные
квадратики).
Учащиеся предлагают
задачу, учитель решает ее.
Разумеется, не всякий необычный момент может быть
использован на уроке. Многое здесь зависит от опыта учителя и его
чувства меры. И обязательно надо анализировать результаты
использования необычных подходов, как удачных, так и неудачных.
Используя необычный подход как метод поиска идей, учитель
стремится вырваться из узких рамок методических канонов. Они
не дают возможностей для маневра, жестко программируют
деятельность ученика и учителя, ограничивают свободу в поиске
решения проблем и ориентированы преимущественно на исполни-
22

тельскую деятельность учащегося. Необычный подход
способствует преодолению этих моментов. Разумеется, сказанное не
означает отбрасывания канонов. Надо стараться органично увязать
и «фиксированные» задания и «свободные».
Поиск ассоциаций. Это направление мысли часто не осознается
человеком. Когда он увидел, прочитал, услышал и т. д. что-то, то
иногда по ассоциации в сознании возникает интересная идея.
Иногда эта идея сразу оформляется в виде задания.
Например, в одном из художественных фильмов есть такой эпизод.
Во время Великой Отечественной войны нужно было захватить
крупный город, который был хорошо укреплен фашистами.
Возникла идея провести атаку ночью, чтобы избежать крупных потерь.
Однако появилась и трудность: бойцам надо было пробежать
несколько километров до укреплений в полной темноте и при
этом не сбиться с правильного направления. Солдаты
предложили такой выход. Надо зажечь два костра на некотором
расстоянии друг от друга и в направлении к городу. Тогда советские
солдаты будут бежать так, чтобы, оглянувшись, они видели всегда
один костер (т. е. чтобы ближний костер закрывал дальний).
И действительно, атака была проведена стремительно и точно.
Видна прямая аналогия с геометрическим понятием
полупрямой. Действительно, первый костер — это «начало луча», второй
костер — «точка луча». Они однозначно определяют полупрямую.
Как мы видим, здесь уже фактически есть задание, которое
можно предложить на уроке. Оно опирается на теоретические
знания, содержит элементы проблематичности, интересно
учащимся. Кроме этого, ребята понимают также, что
сообразительность может понадобиться в самой неожиданной ситуации.
Ассоциация здесь сработала как бы в чистом виде.
К сожалению, таких находок встречается не так уж много.
Чаще ассоциация не так прозрачна. В одной из телепередач было
такое сообщение. В Японии приступили к выпуску автомобилей,
которые состоят из четырех компонентов. Водитель может разбирать
автомобиль на эти компоненты и собирать из них автомобиль, но
уже в другом виде. Возникает идея: а что если ученику предложить
не задачу, а несколько ее компонентов? Он сам составит
задачу (или несколько задач) и решит ее. Можно попробовать
это сделать так. На доске записано несколько условий задач
(без вопросов). Под ними— несколько вопросов. Если дано три
условия и два вопроса, то всего получается шесть задач. Причем
среди них могут быть нереальные задачи и ученик должен
обосновать, что они не имеют смысла.
Новая информация часто дает ассоциацию, и в результате
может возникнуть идея. Надо только настроить себя на выявление
тех моментов, которые могут дать ассоциацию. Как правило, сами
эти моменты необычны и не обязательно должны быть связаны с
математикой или процессом обучения. Недостаток этого пути
поиска идей связан с тем, что надо быть всегда готовым «ассоцииро-
23

вать» какую-либо информацию или момент. А это не всегда
удается. Поэтому этот путь можно дополнить другим, при котором
учитель специально ищет ассоциации. Этот путь хорошо известен
ученым и изобретателям и дает порой хорошие результаты. В чем же
он заключается?
Желательно задерживать свой взгляд на любом явлении,
записи, объекте и т. д., потому что это может послужить толчком к
«озарению». Поэтому-то и полезно накопление таких фактов.
Неважно, что некоторые из них могут остаться нереализованными.
Те задания, которые все-таки будут составлены,— достаточное
вознаграждение для составителя.
Например, в книгах по истории математики при доказательстве
теоремы Пифагора используется треугольник с квадратами,
построенными на его сторонах (рис. 7, а). На основе этого рисунка и
благодаря приему «Обращение» возникает идея: а если «обратить»
этот процесс — даны квадраты, составить из них
прямоугольный треугольник? На основе этой идеи сразу или через некоторое
время может возникнуть следующее задание.
Ученику выдаются три квадрата, вырезанные из пластика
(рис. 7,6). Нужно показать, не пользуясь инструментами, что
площадь большего квадрата равна сумме площадей двух других.
Подчас одна фраза, факт могут породить идею. Так,
исторический факт о том, что Фалес посетил Египет и поразил жрецов тем,
что измерил высоту пирамиды по ее тени, подсказал идею, на
основе которой была составлена следующая задача-рассказ.
Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи.
Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному
дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед
ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в
запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фа-
а)
6)
Рис. 7
24

раон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн
природы.
— Кто ты? — спросил верховный жрец.
— Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
— Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту
пирамиды, -не взбираясь на нее?
Жрецы согнулись от хохота.
— Будет хорошо,— насмешливо продолжал жрец,— если ты
ошибешься не более чем на 100 локтей!
— Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем
на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот
чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они —
жрецы Великого Египта!
— Хорошо,— сказал фараон.— Около дворца стоит пирамида,
мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство.
Иногда даже одно слово может породить интересную
ассоциацию, если его удастся удачно соединить с учебным
материалом. Обычно это — яркое, в какой-то степени редкое слово.
Возьмем, к примеру, слово «заготовка», оно рождает такие
мысли: ученик должен дома сделать какую-то заготовку, чтобы
потом ее использовать на уроке для выполнения того или иного
задания (сравним с «домашней заготовкой» шахматного мастера).
Видимо, результат выполнения задания должен зависеть от
качества заготовки. Если заготовка хороша, то ученик быстро
сможет выполнить задание. Значит, ученики должны быть знакомы с
будущим заданием, поэтому учитель объясняет им, что на
следующем уроке будет предложено какое-то задание. Каждый может
подготовиться к его выполнению. При этом будет учитываться не
только качество, но и скорость выполнения задания.
Теперь надо эту идею удачно соединить с учебным
материалом. Возьмем, например, тему «Равенство треугольников». Учитель
сообщает в конце урока, что на следующем уроке будет
предложено такое задание: за 3 мин начертить как можно больше
равных треугольников в разных положениях. Каждый ученик
может подготовиться к выполнению этого задания. Разумеется,
запрещено заранее чертить равные треугольники.
Это сообщение встречается ребятами с воодушевлением. Их
фантазия работает вовсю, лучшей была признана заготовка одного
из учеников, который в картоне вырезал отверстие в форме
треугольника. Таким образом, одно лишь слово — «заготовка» —
позволило придумать интересный прием.
Со временем процесс рассуждений, изложенный выше,
сворачивается и результат (идея или задание) может появиться почти
сразу с восприятием ассоциирующей зацепки. Но для этого надо
подготовить почву, т. е. рассуждать по шагам. Иными словами,
надо учиться искать новые идеи. Один из путей этого поиска —
25

использование ассоциативного ряда. Опишем, в чем он
заключается. Запишем два ряда ассоциативных слов.
Занимательные термины
необычный
занимательный
нестандартный
нешаблонный
неожиданный
удивительный
смешной
непривычный
и т. д.
Методические термины
урок
уравнение
понятие
соотношение
фигура
вычисление
задание
ответ
и т. д.
Теперь будем брать по одному термину из каждого ряда.
Соединение этих слов рождает необычные ассоциации, и иногда
может возникнуть интересная мысль.
Перенос идеи из другой области знаний. Это направление
мысли тесно связано с двумя предыдущими. Суть его в
следующем. Интересную идею, не связанную ни с математикой, ни с
обучением математике, попробовать так видоизменить, чтобы ее можно
было использовать на уроках математики. Для этого идею надо
абстрагировать (т. е. отвлечься от того конкретного материала,
на котором она основана), а потом наполнить полученную
абстракцию или схему другим конкретным содержанием (в нашем случае
математическим). Важно, чтобы при переносе идеи достоинства ее
сохранились.
Например, учителя русского языка используют иногда задания,
аналогичные следующему:
е к а
т ю г
у Д о
и н о
р к а
Надо догадаться, какое слово запишется в прямоугольнике сверху
вниз, причем сделать это устно.
Значит, надо придумать такое задание, в котором участвует
несколько объектов, причем некоторые элементы этих объектов
заданы в косвенной форме. Эти элементы легко восстанавливаются,
однако требуют все же умственных усилий (хотя бы для того,
чтобы удержать их в памяти). При этом умственное усилие за-
26

манчиво, ибо требует определенной сообразительности и быстро
ведет к цели (выполнению задания).
Итак, идея абстрагирована. Теперь наполним эту схему
конкретным математическим содержанием. Этот этап, пожалуй, самый
сложный. Здесь тоже можно действовать двумя способами.
Можно целенаправленно «прочесать» тему за темой с точки зрения
наполнения этой идеи (схемы). А можно в случайном порядке
вспоминать некоторые учебные вопросы, пытаясь наткнуться на
удачный материал.
Например, попробуем взять натуральный ряд чисел. Если
некоторые цифры в нем заменить звездочками, их легко восстановить,
когда данные числа обладают каким-либо свойством. Так, если
данные числа должны быть кратны трем, то возникает схема
будущего задания. Можно записать в столбик три трехзначных числа,
средние цифры в них заменить звездочками и тогда надо вместо
звездочек записать такие цифры, чтобы число, ими образуемое
(сверху вниз), тоже было кратно трем.
:3
:3
:3
Крайние цифры каждого числа можно, видимо, взять любыми.
Например:
5*7
3* 1
2*8
Вместо звездочки в первом числе можно тогда взять цифры О,
3, 6, 9, во втором 2, 5, 8, в третьем 2, 5, 8. Получается
довольно интересная картина: нельзя подобрать цифры (вместо
звездочек) так, чтобы их сумма была кратна трем! Одно задание уже
есть.
Видимо, это задание будет полезно с методической точки
зрения: многократно используется признак делимости на три.
Несколько проверок подсказывают, что, вероятно, таких цифр
подобрать нельзя. Конечно, можно попытаться это проверить простым
перебором чисел, но ведь вариантов здесь очень много. Всегда
в классе находятся несколько человек, которые не удовлетворены
таким длинным путем решения. И они сами (без внешнего
побуждения!) пытаются рассуждать. К этому они подготовлены, это им
посильно, это, наконец, самый простой путь. В самом деле, сумма
искомых цифр двух последних чисел может быть 4, 7, 10, 13, 16.
27

Прибавляя к этим числам любую из средних цифр первого числа
О, 3, 6, 9, убеждаемся, что эта сумма не может быть кратной трем.
Потом полезно сравнить оба способа решения (перебором или
рассуждением). Ребята сами убеждаются в ценности второго
способа.
Это задание интересно учащимся еще и некоторой
необычностью ответа (задачи из учебника приучили их к мысли, что
решение всегда есть).
Мы видим, что перенос идеи дал неплохое задание. Но
предположим, что оно по каким-либо причинам не удовлетворяет нас.
Например, учитель убежден, что большинство учащихся
запутается в цифрах и не сможет прийти к правильному выводу. Что
ж, попробуем пойти по несколько другому пути. (Этот путь
целесообразно рассматривать и тогда, когда предыдущие вполне
нас удовлетворяют.)
Заметим, что у второго и третьего чисел наборы искомых
цифр одинаковы (2, 5, 8). А что, если и первое число подогнать к
нему? Тогда решение возможно,— например, 228 кратно трем. И
вдруг мы замечаем удивительную особенность — любое сочетание
цифр даст число, кратное трем!
Итак, мы получили второе задание, и тоже с небольшим
подвохом. Учащиеся быстро подберут нужные цифры, сообщат их
классу, а учитель с невозмутимым видом (или интригующе!) будет
говорить: «А еще?» Ребята с удовольствием отыскивают все новые
сочетания. Они записываются на доске, и их количество быстро
растет. Учитель ждет затаив дыхание, наступит ли момент х. И вот
он наступает! Сразу несколько учеников удивленно восклицают:
«А можно по любому, всегда подойдет!» В этот момент
наивысшего торжества учащиеся, которые «копали» отдельные варианты,
смотрят на ряд цифр 2, 5, 8 уже совсем другими глазами.
Они пытаются подойти теперь к решению с общих позиций!
Можно сделать вывод: если сложим три двойки, то сумма будет
кратна трем. И теперь ясно, что если двойку заменить числом,
которое на 3 или на 6 единиц больше, то сумма опять разделится на
три.
Таким образом, второе задание тоже приемлемо с
методической точки зрения. Но его при желании можно видоизменить.
Например, так. Учитель предлагает вместо звездочек подставить
такие цифры, чтобы число, образованное ими сверху вниз, не было
кратно трем. Учащимся надо будет догадаться, что эта задача
решения не имеет.
Таким образом, перенос идеи дал три интересных задания.
Чаще всего они оказываются интересными для учеников не только
внешне, но и внутренне. Иными словами, внешняя идея как бы
помогает открыть внутреннюю красоту математики и донести эту
красоту до учащихся. Вероятно, это объясняется тем, что
внешняя идея позволяет увидеть необычный ракурс обычных
математических объектов, усмотреть связи, которые раньше ускользали
28

от внимания составителя, уловить интересные свойства
объектов.
Если в голову ничего не приходит, то можно попробовать
переформулировать абстрагированную идею. В нашем случае это
можно сделать так: элементов нет, но ученик должен их
представлять (!), чтобы решить задание. Новый поворот мысли дает
и новый импульс поиску.
При этом часто получается задание, мало связанное с
первоначальной идеей. Это тоже неплохо. Ведь наша цель — придумать
что-то новое. И вовсе не обязательно ограничивать себя жесткими
рамками. Иными словами, ценность абстрагированной идеи не
только в том, что она при соединении с учебным материалом
может дать интересное задание, но и в том, что она
раскрепощает мысль, дает ей новое необычное направление, свободу
поиска, в результате чего тоже могут появиться задания (другие,
но, может быть, не менее интересные).
Следовательно, намечаются такие этапы составления
занимательных заданий:
— осознание новой идеи и ее преимуществ;
— абстрагирование (схематизация) идеи;
— наполнение абстрагированной идеи новым конкретным
содержанием;
— методическая обработка полученного задания (об этом
этапе см. следующий параграф).
Рассмотрим еще один пример переноса идеи из другой
области знаний. В психологической литературе часто встречаются
словесные тесты, подобные следующему:
ДРА ... ЦЕРТ
Вместо точек надо записать такое слово (или слог), чтобы
получилось два слова. В данном задании можно записать слово КОН.
Попробуем его абстрагировать:
слог слог слог
слово слово
Возможно, возникнет аналогия:
число число число
квадрат квадрат
Тогда можно составить задание: «Даны два числа. Между ними
запишите такое число, чтобы первое и второе числа
образовывали квадрат целого числа и второе и третье числа тоже
образовывали квадрат». Теперь надо подобрать конкретные числа, и
задание составлено.
29

Мы видим, некоторые идеи довольно легко переносятся в другой
материал. Но попробуем не ограничиться этой «прямой»
аналогией. Абстрагируем исходное задание:
объект 1 объект 3 объект 2
объект А объект В
Сформулируем идею в общем виде: объекты 1 и 3 и объекты
3 и 2 каким-то образом сцепляются, получаются объекты А и В.
Можно предложить и другую формулировку (пользуемся
обращением): объекты А и В имеют общую часть; если эту общую
часть (объект 3) изъять, то получается объект 1 и объект 2.
По-видимому, вторая формулировка более перспективна, ибо дает
конкретный путь поиска. Надо подобрать два математических
объекта, у которых есть общая часть (т. е. одинаковые
элементы). Причем эти объекты должны быть особенными. Иными
словами, они должны обладать каким-то свойством, которое будет
выделять их среди остальных объектов. Так, в только что
рассмотренном примере объекты А и В являются не просто числами,
а квадратами целых чисел. С таким же успехом можно было
бы их сделать, например, простыми числами.
Итак, мы хотим подобрать два объекта, которые обладают
общим свойством и имеют общие элементы. Возьмем, к примеру,
тему «Степени». Возникает такое задание:
«Даны две степени х2Ъ и хЪ1. Надо назвать такую степень
с тем же основанием, чтобы при умножении ее на х2Ъ получилась
степень, из которой можно извлечь корень третьей степени, а при
умножении ее на хЪ1 получилась степень, из которой можно
извлечь корень пятой степени». Иными словами, надо к числу 25 и к
числу 37 прибавить такое число, чтобы в первом случае сумма
была бы кратна 3, а во втором — кратна 5. Это число 8. Значит,
искомая степень — х*.
Задание получилось несколько тяжеловесным, хотя хорошо
видны и его достоинства, ученику надо знать свойства степеней
и уметь их использовать в непривычной ситуации.
Далее можно пойти двумя путями. Можно попробовать
видоизменить составленное задание, придать ему легкость и изящество,
а можно попробовать резко изменить направление поиска. Взять,
например, другой (скажем, геометрический) учебный материал.
Контраст часто дает интересные мысли.
Пусть прямоугольник и параллелограмм имеют общий
треугольник (рис. 8, а).
Если этот треугольник изъять, то получатся равные
трапеции. Пусть эти трапеции будут объектами 1 и 2, а треугольник —
объект 3. Прямоугольник — объект Л, параллелограмм — объект
В. Если учесть, что прямоугольник является параллелограммом,
то может возникнуть такое задание:
30

а)
Рис. 8
\
На магнитной доске прикреплены две равные трапеции и два
равных треугольника. Требуется приложить треугольники к
трапециям так, чтобы получились два параллелограмма, причем эти
параллелограммы не должны быть равны (рис. 8, б). Как
приложить треугольники, догадается тот ученик, который твердо знает,
что прямоугольник тоже параллелограмм. Решение займет на
уроке всего несколько секунд. Оно необычно, интересно и полезно.
Получившееся задание ничем не напоминает тот словесный
тест, с которого мы начали размышление. Так бывает трудно даже
предположить, куда нас уведет необычное направление мысли.
Конечно, можно не останавливаться на полученных двух
заданиях. Можно попробовать соединить абстрагированную идею с
другим учебным материалом.
Полезен и другой путь поиска ассоциаций — просмотр
методической литературы и книг по занимательной математике. В этих
книгах и пособиях приводятся занимательные задачи, многие из
которых являются и дидактическими. Разумеется, из этих книг
надо брать не сами задачи, а идеи, на основе которых эти
задачи составлены. Дело в том, что приемы занимательности не
могут охватить все многообразие занимательных задач. Ведь
некоторые из них настолько своеобразны и неповторимы, что не имеет
смысла на их основе формулировать тот или иной прием. Но
именно своеобразие этих задач сразу привлекает внимание
составителя и направляет его мысль по новому, необычному пути.
Так, нередко в книгах по занимательной математике
предлагается ряд заданий тестового характера, на которые надо отвечать
очень быстро. Обычно эти задания с подвохом и практически не
связаны с программным материалом, поэтому их непосредственное
использование на уроках неприемлемо. С другой стороны, нелегко
ученику быстро ответить на ряд простых учебных вопросов.
И мгновенные ответы на эти вопросы свидетельствуют о хорошем
владении изученным материалом. Возникшая идея соединить
ряд кратких вопросов, связанных между собой, с прохождением
определенной темы оказалась плодотворной. Более того, эта идея
дала жизнь и новому приему, который можно назвать «Тестовые
вопросы по определенной теме» (см. с. 14). Задания, составленные
с помощью этого приема, приводятся в главе II.
«Игра» с объектами и идеями. Совершенно своеобразный путь
отыскивания новых направлений мысли заключается в так назы-
31

ваемой «игре» с объектами и идеями. Суть ее в следующем.
Учитель варьирует свойства какого-либо математического объекта
с целью выявления в нем необычных закономерностей,
удивительных особенностей, которые можно использовать при составлении
занимательного задания. Если при поиске ассоциаций зацепки
появляются как бы сами собой, то здесь учитель настраивает
себя на поиск особенного, необычного.
Так, в уравнениях типа ax-\-b = cx-\-d, где a-\-b = c-\-d
(например, 8х + 3= \0x-\- 1; \3х — 3= — Ъх-\-15 и т. д.), можно
заметить, что все они имеют один и тот же корень 1 (так как при х= 1
а-1 +Ь = с-1 -\-d верно).
Эта интересная особенность может быть использована при
составлении следующего занимательного задания:
Решите уравнение 7х — 5 = 6* — 4.
После того как корень 1 учащимися найден, учитель проецирует
на экран еще 6 уравнений (с квадратиками):
; 2) 7х-П=9х-4;
3) 2х — 4=Пх — 7; 4) Djc + 3 = jc+6;
5) Зх-9 = 2х-П; 6) Ъх-А= -2х+ □ .
Учитель говорит, что он может быстро вставить такие числа,
что каждое из уравнений будет иметь корень 1. Учитель называет
нужное число в первом уравнении, учащиеся проверяют. Потом
во втором и т. д. Начиная со 2—3-го уравнения, учитель
предлагает ребятам самим назвать нужное число.
Данная учебная ситуация имеет несомненные методические
достоинства. Во-первых, учитель заинтриговал учащихся. Им
интересно самим назвать нужное число. Психологически они уже
настроились на серьезную работу. Во-вторых, проверку можно
произвести двумя способами: решить уравнение или подставить вместо
переменной число 1. Тем самым повторяется и закрепляется
учебный материал. В-третьих, два способа проверки наталкивают
и на два способа нахождения нужных чисел. И чем больше будет
рассмотрено уравнений, тем больше учащихся постараются вести
поиск подстановкой вместо переменной х числа 1. Свобода
учащихся при выборе способа решений ничем не ограничивается,
они сами выбирают оптимальный путь (на этот путь их
наталкивает сама постановка задания). Наконец, в-четвертых, к 5—6-му
уравнению многие ученики улавливают закономерность и
называют нужные числа без вычислений. Причем важно отметить,
что учитель прямо не требует отыскать эту закономерность.
Учащиеся сами (конечно, не без помощи учителя) ее находят.
Одним из основных путей выявления необычных моментов при
«игре» с математическими объектами и является нахождение в
них особых случаев. И если составитель специально стремится к
их поиску, вероятность нахождения необычных моментов
значительно повышается.
32

Например, «играя» со степенями, имеем: а5 + а5 = 2а5.
Неожиданно замечаем, что если а = 2, то получается интересное
равенство 25 + 25 = 2-25 = 26, или 25 + 25 = 26.
Да, в этом что-то есть. Что же? Ага! Ведь можно продолжить:
= 28 и т. д.
Что дальше? Можно попробовать объединить все эти
равенства. Получим: 25 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210. Ясно чт0
эта сумма равна 211. Действительно,
Найден путь быстрого нахождения суммы такого вида. Теперь
составим задание: «Найдите значение выражения 25 + 25 + 26 +
_|_27 + 28 + 29». Это задание имеет два решения: обычное и
короткое. Чтобы решить коротким способом, ученику придется
сделать то микрооткрытие, которое совершил и сам учитель.
После решения этого задания учитель может рассказать
ребятам, как он натолкнулся на идею этого задания. И может
предложить им самим «поиграть» с математическими объектами!
Это задание наталкивает на интересную практическую
рекомендацию. При «игре» с буквенными равенствами (а они составляют
основу школьной алгебры) попробовать вместо букв подставить те
или иные числа. Иногда может появиться интересная мысль.
И второй важный вывод. Так как составитель ищет необычное
в каком-либо учебном материале или математическом объекте, то,
очевидно, это необычное будет тем или иным образом входить в
задание. Значит, ученику надо будет для решения опираться на это
необычное и, следовательно, выявить его. Вот это выявление, это
открытие нового и будет, пожалуй, самым ценным в подобных
учебных заданиях.
Еще больше возможностей поиска необычного обнаруживается
при «игре» с геометрическими объектами (фигурами). Приведем
некоторые из этих возможностей, связанные с чертежами фигур. В
чертеже любой фигуры можно:
— проводить любые линии, отрезки;
— увеличивать (уменьшать) отдельные части;
— поворачивать отдельные части;
— отрезать любую часть;
— искать особые точки и отрезки;
— перегибать чертеж;
— представить себе равными элементы, которые не равны,
и наоборот и т. д.
2 Заказ 633 33

в
М
б)
D
Рис. 9
Кроме этого, можно повторить чертеж дважды, трижды, т. е.
рядом (вплотную или нет) начертить такой же (а может быть, и
видоизмененный чертеж), построить симметричную фигуру,
наложить друг на друга два (или более) чертежа или приложить их
друг к другу, попробовать расположить вершины
многоугольника в узлах решетки и т. д.
Попробуем, например, повторить дважды какую-либо фигуру.
Пусть это будет равносторонний треугольник (рис. 9).
Если соединить вершины В и С этих треугольников, тогда
получим рисунок 9, б.
Ясно, что АВСМ равносторонний. Имеем конструктивное
задание.
Учитель проецирует на экран чертеж и говорит:
— Даны два равных равносторонних треугольника (рис. 9, б).
Представим, что вершины В и С этих треугольников соединены
отрезком. Получился еще один треугольник (аВСМ). Какого он
вида?
Учащимся, чтобы ответить на этот вопрос, надо, во-первых,
представить треугольник, во-вторых, видеть, что мысленно
проведенный отрезок должен быть параллелен основанию, в-третьих,
надо использовать известные теоремы в то время, когда часть
внимания уже занята. Наконец, все это надо проделать лишь для
того, чтобы подтвердить сверкнувшую в голове догадку:
треугольник-то будет тоже равносторонним! Эта догадка во многом
помогает найти логическое доказательство. Вот уж воистину,
«прежде чем доказывать, мы должны научиться догадываться»
(Д. Пойа).
Таким образом, простое повторение равностороннего
треугольника привело к интересному конструктивному заданию,
которое и привлекательно для ребят, только-только начавших
изучение геометрии.
Можно было бы привести еще немало заданий, созданных на
основе «игры» с геометрическими объектами. Но читатель,
видимо, сможет теперь это сделать и сам. Поэтому приведем лишь
выводы, касающиеся составления учебных заданий
занимательного характера.
Процесс составления занимательных заданий протекает более
продуктивно, если учитель:
34

1) выявил и сформулировал для себя приемы составления
заданий занимательного характера;
2) постоянно пополняет свой фонд необычных идей,
занимательных фактов, интересных наблюдений, образных
представлений.
Приемы занимательности важны не только тем, что с их
помощью можно быстро изобретать занимательные задания, но и
тем, что они как бы помогают учителю подготовить себя для
свободного творчества. Действительно, они (приемы
занимательности) помогают преодолевать стереотипы мышления, дают
непосредственное руководство к действию и при этом развивают
интуицию и фантазию учителя. Овладев приемами
занимательности, учитель с большим умением, старанием и практическим
эффектом может заняться свободным конструированием
занимательных заданий и даже свободным поиском идей.
Существует два вида открытий: 1) Цель известна, ищут
средства ее достижения, т. е. идут от цели к средствам. 2)
Открывают какой-либо любопытный факт, потом думают, для чего бы
он мог пригодиться, т. е. идут от средств к цели.
Целенаправленное составление занимательных заданий
больше соответствует первому виду открытий, а свободное
составление — преимущественно второму виду. Оба пути важны, однако
ценность их возрастает, когда учитель их совмещает, чередует,
объединяет и т. д. Думается, именно возможность их сочетания
(наряду с целевой установкой учителя создать что-либо полезное
для ребят) создает необходимую сосредоточенность и повышает
вероятность озарения (инсайта).
§ 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ НА УРОКАХ
Под методикой использования занимательных заданий на
уроках математики понимаем методы, средства и приемы подачи
занимательных задач, занимательные формы организации
обучения.
Методика использования учебных занимательных заданий в
общих чертах сходна с методикой использования обычных заданий,
и, хотя четкой границы между ними провести невозможно,
использование занимательности обладает некоторыми
особенностями.
Рассмотрим вначале некоторые тенденции в использовании
занимательности на уроках математики.
Первая и основная тенденция заключается в том, что учителя
автоматически переносят на урок занимательные материалы из
внеучебной занимательности, но внеучебные занимательные
материалы создавались для других целей и только редкие из них могут
быть использованы на уроках. Мы предлагаем из внеучебной
35

занимательности брать приемы, формы, идеи, а не конкретные
материалы.
На основе этого ошибочного подхода в практике учителей
появилась и вторая отрицательная тенденция — основное
внимание уделяется зрелищности, интересности, увлекательности
материалов и совершенно (за редким исключением) игнорируется
выполнение ими дидактических функций. Многие учителя поэтому
полагают, что роль использования занимательности заключается в
том, чтобы поднять тонус учащихся, дать кратковременный
отдых и пр. Однако установлено, что работа на уроке, внешне
эффективная и нравившаяся и ученикам, и учителю, фактически
оказывается бесполезной. Почти все внешне интересные
привходящими моментами уроки оказывались в итоге малоэффективными,
ибо уводили в сторону от выполнения учебных задач урока.
Третья тенденция, непосредственно вытекающая из второй,
заключается в том, что многие учителя не задумываются над
вопросом, органично ли входит тот или иной занимательный материал
в урок. На уроках порой используется такая занимательность,
которая надолго выбивает учащихся из колеи. Другая
крайность состоит в том, что учителя используют ограниченное число
приемов занимательности. В итоге подача занимательных
материалов становится однотипной, что довольно скоро надоедает
учащимся и теряет свой эффект.
Наконец, четвертая тенденция заключается в том, что учителя
не пытаются сами составлять занимательные материалы. А ведь,
составляя их, учителя значительно глубже поймут существо
занимательности и смогут эффективнее ее использовать как на уроках,
так и во внеклассной работе.
Думается, что все это в совокупности и привело к порочной
методике использования занимательности на уроках, иногда
практикуемой учителями математики. Эта «методика» заключается в
следующем. Учитель ограничивается сообщением, что при
выполнении плана урока оставшиеся в конце урока несколько минут
будут посвящены занимательной математике. Такой подход явно
несостоятелен. При этом на первых порах действительно
наблюдалось возросшее внимание ребят к изучению учебного материала.
Однако, спустя некоторое время (обычно 2—3 месяца), ученики
остывали и даже занимательные пятиминутки не могли подогреть
их интерес к школьной (как они теперь поняли, скучной!)
математике. Намного продуктивнее будут уроки, если удастся
органично вкраплять занимательный материал в структуру урока,
придавать ему дидактические, развивающие и познавательные
функции и тем самым уничтожить явную границу между
занимательным и учебным материалом.
Таким образом, противопоставление занимательного и
учебного материала не дает положительных результатов.
Сформулируем выводы, которые полезно учитывать при
использовании занимательных заданий на уроках математики.
36

Использование занимательных заданий целесообразно тогда,
когда есть опасность непринятия учащимися какого-либо учебного
задания;
при прохождении сложных тем или при постановке трудных
дидактических задач урока;
при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется
выполнить значительное количество однотипных упражнений;
при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.
При этом следует отдавать предпочтение занимательному
материалу, отражающему существенные моменты изучаемого, а также
занимательным заданиям неоднократного использования.
Для каждого занимательного материала, который
предполагается использовать на уроке, учитель должен выяснить: будет ли он
занимательным для учащихся данного класса? Органично ли он
войдет в структуру урока? Будет ли его использование
эффективным?
Учителю надо постараться избежать таких ошибок в
использовании занимательности на уроке, как отвлечение от темы и
дидактических задач урока (резкий скачок в сторону),
неподготовленность занимательного задания предыдущей учебной работой на
уроке, отсутствие учета всех категорий учащихся и др.
Методика использования заданий,
составленных с помощью приемов занимательности
Необычный учебный материал обладает некоторыми
особенностями по сравнению с обычным.
Например, обычная схема учебных заданий такова:
Дано
Исходные данные
Найти
Искомые результаты
Однако, чтобы учащиеся научились решать задачи, вовсе не
обязательно всегда избирать этот путь. Иногда полезно нарушать
эту схему.
Например, наряду с обычными (и важными) заданиями —
выполнить умножение столбиком — рекомендуется использовать
иногда видоизмененные задания. Рассмотрим пример.
Вместо звездочек надо записать цифры и в обоих множителях
поставить запятые так, чтобы пример был выполнен верно.
V342
684
342
37

Чтобы восстановить пример, ученик должен проанализировать
ситуацию, выделить существенные моменты в ней, вспомнить
правила, проявить определенную сообразительность. Проводимый
анализ в свою очередь ускоряет формирование навыка и
запоминание правил. Этим компенсируется некоторая потеря времени по
сравнению с обычным заданием (выполнить умножение).
Эта связь между учебными заданиями и догадкой ученика
присуща заданиям, составленным с помощью многих приемов
занимательности («Обращение», «Зашифрованные задания» и др.).
Их методическая ценность в том, что ученику надо глубже
вникать в существо задания, выделять главные моменты,
учитывая связи между компонентами, и т. д. Благодаря этому учебный
навык, на формирование которого направлено это задание,
вырабатывается быстрее, ибо он связан с продуктивной мыслительной
деятельностью ученика.
Еще одно достоинство многих занимательных задач
заключается в том, что при их решении у ученика часто возникает
необходимость менять ход мысли на обратный. Примеров этому было
приведено уже достаточно.
Как известно, умение менять ход своей мысли на
обратный — ценнейшее качество ума. Занимательные задания
способствуют формированию гибкости ума, освобождению мышления от
шаблонов.
С помощью приемов занимательности создаются задания,
которые могут служить мостиком от стандартных задач к
нестандартным.
Известно, что учащиеся с трудом решают нестандартные
задачи. Причин этому много. Одна из них, на наш взгляд,
заключается в резком переходе от стандартных задач к
нестандартным. Необходимы переходные задания. Довольно часто ими
являются занимательные задачи благодаря их важной
особенности: трудность этих задач можно варьировать. Задания,
составленные с помощью приемов занимательности («Зашифрованные
задания», «Задание с продолжением», «Выбор», «Задумай»
и т. д.), освобождены от той жесткости, фиксированное™,
запрограммированности, которая присуща многим учебным заданиям.
Действительно, учебное задание обычно заранее определяет
весь основной ход решения. И для выполнения дидактических
задач это очень важно. Однако наряду с ними в обучении
надо использовать и задания, которые дают учащимся
определенную свободу при их решении. Ведь это же есть не что иное,
как творческий подход. Некоторые приемы занимательности
(«Выбор», «Соответствие», «Задумай» и др.) прекрасно этому
способствуют.
Свобода при выполнении занимательных заданий важна и в
методическом отношении. В некоторых случаях, например,
появляется возможность подготавливать учащихся к формированию
умений и навыков (часто на интуитивной основе). В других свобода
38

помогает интуитивному освоению идей математики и приемов
умственной работы.
Таким образом, приемы занимательности часто связаны с
общими проблемами обучения: развитием приемов мышления,
общеучебных умений и навыков и т. д.
Значит, кроме прироста математических знаний, умений и
навыков, занимательные задания часто выполняют и другие, не
менее важные цели: развитие мышления и способностей ученика.
Рассмотрим методические особенности занимательных
заданий, составленных с помощью некоторых приемов
занимательности. (Напомним, что суть приемов описана в § 1.)
Восстановление
Основное достоинство подобных заданий — они требуют от
ученика выделения существенных связей между компонентами
заданий, при этом часто происходит смена хода мысли учеников на
обратный. Важно и то, что в подобных заданиях удается
дозировать их сложность путем уменьшения количества существенных
связей между объектом и его частью. При этом увеличивается
свобода действий ученика, которая в обычных условиях
достигается очень редко.
Чтобы можно было восстановить какой-либо объект по его
части, необходимо, чтобы часть объекта была существенным
образом связана с искомым объектом.
Здесь намечаются два подхода:
1. Часть объекта жестко определяет искомый объект, т. е. по
части объекта с помощью логических рассуждений единственным
образом можно восстановить и весь объект. Вероятность ошибки
уменьшается, ибо ученик знает, что у него должно получиться, и
контролирует себя.
В младших классах подобные задания являются пропедевтикой
дедуктивного метода. Ведь, имея некоторые данные, ученик из них
выводит новые данные. Причем его работа облегчается тем, что
он предвидит, к какому результату он стремится.
2. Часть объекта не определяет жестко искомый объект. И
этот подход имеет свои достоинства. Возникает та свобода,
которой часто не хватает на уроках математики, причем степень
свободы учитель вправе и вполне способен варьировать. Главное
здесь заключается в том, что у учащихся есть реальная
возможность раскрепоститься, выйти из рамок, заранее им уготованных,
иногда даже проявить фантазию, причем все это на вполне
доступном материале.
Кроме того, ученик, выполняя подобные задания, приобретает
и навыки обобщения.
Заметим, что саму часть некоторого объекта тоже можно
считать некоторым объектом. Поэтому ученик как бы имеет дело с
двумя взимосвязанными объектами (иначе искомый объект нельзя бы-
39

ло бы восстановить). Следовательно, решая подобные задания,
ученик будет использовать существенные связи между объектами,
т. е. он самим заданием будет поставлен перед необходимостью не
только эти связи использовать, но и специально их выделять.
После такой подготовки ученик более сознательно
воспринимает идею обобщения и конкретизации учебного материала.
Выбор
Пример. Среди чисел 0,4; 1,4; 2,4 выберите такое число,
третья степень которого будет заключена между числами 2 и 3.
Обращает на себя внимание возможность различных подходов
к решению этого задания. Ученик может по очереди (или в
любом порядке) возводить каждое из данных чисел в куб, пока не
найдет искомое число. При этом он заметит, что некоторые числа
можно и не возводить в степень, так как полученное число явно
выйдет за указанные границы.
Ученик может поступить и по-другому. На основе заданного
условия он прикидывает, каким может быть искомое число, и потом
ищет его среди данных. Причем некоторые задания строятся так,
чтобы этот неочевидный путь приводил к цели гораздо быстрее.
Есть еще и третий, комбинированный путь. В этом случае
ученик совмещает оба вышеуказанных подхода. Во всех случаях
непосредственное возведение чисел в куб сочетается логическими
рассуждениями, причем ученик догадывается (а впоследствии
убедится), что рассуждение экономит время решения.
Последующий коллективный анализ различных способов
решения позволяет выявить самое рациональное и изящное решение.
Учащиеся все чаще задумываются над вопросом, как полученное
задание решить проще, оригинальнее, быстрее. Получается как бы
выбор «в квадрате»: ученик выбирает не только искомый объект
(в данном задании число), но и подходящий путь решения.
Важно отметить, что учитель, специальным образом подбирая
данные в том или ином задании, может ставить и решать
дополнительные дидактические задачи. Так, если рациональным
оказывается прямой путь (от данных чисел к проверке условий), то схема
поиска может напоминать метод доказательства от противного.
Действительно, ученик рассуждает так: «Предположим, что
первое число обладает данным свойством, проверяем; если
получаем противоречие, то делаем вывод: число не обладает указанным
свойством. Предположим, что второе число обладает данным
свойством». И т. д.
Таким образом, ученик интуитивно осваивает метод
доказательства от противного. Неоднократное прохождение этой схемы
в сознании ученика закрепляется.
Рассмотрим на примере, какие методические подходы
возможны при использовании задания, составленного на основе
приема «Выбор».
40

Пример. Из чисел 2^г, 8-|-, 12-|-, 5-*-, 3^-,
4-^-выберите такие два, чтобы их сумма была натуральным числом.
Задание необычно, а потому интересно ребятам. Их
привлекает сама идея выбора, не ограниченного ни учителем, ни
учебником.
После того как на доске будут записаны 3 равенства
(задача имеет 3 решения), идет их обсуждение. Выявляется самый
быстрый, рациональный путь. Надо найти среди этих чисел такие
два, чтобы сумма числителей была равна знаменателю, т. е. 7.
Задание вполне оправданно и с методической точки зрения.
Ведь, выработав у учеников навык сложения и вычитания дробей
с одинаковыми знаменателями, учитель должен поддерживать его
целый год! Однако обычно повторение изученного материала
малоинтересно для подростков (и потому малоэффективно). Данное
задание устраняет эту трудность. Причем учитель может выбрать:
либо сначала повторить с учениками правила сложения и
вычитания дробей, либо сразу (без повторения правил) предложить
данное задание, а при обсуждении его решения вспомнить и
правила.
Ценность этого задания также и в том, что его можно
естественным образом продолжить. Это достигается неожиданными (для
учащихся) вопросами учителя. Например: а чему равна сумма
всех данных чисел (можно добавить: найдите ее устно)? Ребята
быстро находят эту сумму, тем более что на доске записаны
суммы чисел, сложенных парами. Тогда такое задание: выберите
два числа из данных, такие, что их разность равна натуральному
числу. Ребята догадываются, что такие числа выбрать нельзя, и
обосновывают свой вывод. Они незаметно втягиваются в
своеобразную игру в «неожиданные вопросы».
Следующий вопрос: а сможете ли вы выбрать три числа, чтобы
их сумма была равна натуральному числу? Да, это числа с
числителями 1, 2, 4. Найдите их сумму. А еще можно выбрать такие
три числа? Нет, потому что сумма любых трех числителей (кроме
названных) будет больше семи. Но этот естественный ответ
оказывается ошибкой: ведь сумма трех числителей может быть
равна 14.
Ребята увлечены, и каждое новое задание встречается ими
с воодушевлением. Их можно понять: ведь все задания строятся
с теми же данными. На осознание нового вопроса тратятся
мгновения. Кроме того, с каждым новым заданием подросток как бы
говорит себе: «А, вот тут в чем дело, но теперь-то я покажу, на
что я способен». Т. е. удачное занимательное задание,
неожиданные вопросы, элементы догадки как бы вводят его в особое
возбужденное состояние, когда включаются его ресурсы и стремление
показать себя с лучшей стороны (а все предпосылки для этого
искусно создал учитель).
41

На уроке возможны и должны быть естественные переходы от
одного приема к другому. Один прием, как бы широк он ни был, не
может охватить все тонкости урока.
Задумай
Напомним суть этого приема на примере.
Учитель. Задумайте натуральное число, умножьте его на 2,
отнимите 1, умножьте на 3, прибавьте 3, разделите на б.
Получается задуманное число!
Ребята удивлены этим угадыванием, и учитель объясняет
разгадку: «Пусть задумано число х, и тогда получаем: 2х, 2х— 1,
(2jc — 1)• 3 = 6jc — 3; 6jc; x». Ребята вполне удовлетворены, сами
составляют подобные математические фокусы и сами их
объясняют, т. е. подобное игровое задание полезно использовать на
уроке и с методической точки зрения.
Однако прием «Задумай» можно развивать дальше. Во-первых.
В зависимости от того, кто задумывает и кто отгадывает,
возможны такие ситуации: 1. Учитель задумывает — учащиеся
отгадывают. 2. Учащиеся задумывают — учитель отгадывает. 3. Одна
группа учащихся (или один ученик) задумывает — другая группа
(или другой ученик) отгадывает. 4. Один ученик задумывает —
остальные отгадывают.
Во-вторых. Очевидно, чтобы отгадать, можно воспользоваться
той информацией, которая дана. Однако часто этой информации
недостаточно и надо задать вопросы задумавшему что-либо.
Вопрос — важная характеристика ситуации «задумай». И здесь
возникает несколько градаций: 1. Вопросов не задают. 2. Задается
только один вопрос. 3. Задается более одного вопроса.
Рассмотрим эту градацию.
1. Вопросов не задают. Один из примеров был приведен выше.
Учитель не задал ни одного вопроса, однако узнал задуманное
число.
2. Задается только один вопрос. Например, каждый ученик
задумал какой-то математический объект, учитель задает всем
общий вопрос. Потом, когда ученики отвечают на этот вопрос,
учитель сразу же называет задуманный ими объект.
Обратная ситуация: учитель задумывает какой-либо
математический объект, предлагает ученикам задать только один вопрос и,
выслушав ответ, узнать, какой объект он задумал.
Данная ситуация много дает в учебном и развивающем
отношении. Здесь начинает закладываться у учащихся умение задать
оптимальный вопрос.
Пример 1. Учитель. Я задумал два одночлена.
Задайте только один вопрос и, услышав ответ, назовите их.
Ученик может, например, задать такой вопрос: чему равна
разность квадратов задуманных одночленов?
42

Учителю вместе с учениками полезно потом оценить
качество заданных вопросов, выявить из них оптимальные. Но ведь
задания так составлены, что эти вопросы обязательно касаются сути
изучаемого материала. Ученики начинают интуитивно это
понимать и стремятся дойти до этой сути. Тут многое зависит от
мастерства учителя, от подбора заданий, от умения правильно
проанализировать заданные вопросы, не обидеть учащихся.
Поэтому-то и важно эти ситуации чередовать с теми, когда
учитель сам задает вопрос, чтобы отгадать задуманный ими
объект. Это одна из возможностей показать творческую кухню
учителя. Начинать надо с очень простых заданий.
Пример 2. Учитель. Я задумал два числа, задайте
только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, какое из них
больше.
Вопросы могут быть разными (и это очень важно в
методическом отношении). Например: какое из этих чисел расположено
на координатной оси правее (левее)? Какого знака будет
разность, если из первого числа вычесть второе?
Причем иногда ученики задают такие вопросы, о которых
учитель даже и не подозревал. Так воспитывается гибкость,
оригинальность мышления. Эти задания становятся той
промежуточной фазой между стандартными и нестандартными заданиями,
которая так важна в обучении.
Пример 3. На доске записаны числа — 5, 8, — 2, 3. Надо
задумать любое число из этих четырех и, задав один вопрос,
отгадать, какого оно знака. (Можно предложить ученикам самим
придумать такой вопрос.)
Вопрос учителя: какого знака будет произведение оставшихся
трех чисел?
Проанализировав несколько ситуаций (когда задумано то или
иное число), учащиеся приходят к выводу, что этот вопрос
корректный. У них возникает стремление самим научиться задавать
такие вопросы. Учитель может провести небольшой анализ этого
решения сам. Он отметит, что в данном случае задуманное число
нужно связать с оставшимися и, опираясь на эту связь, составить
оптимальный вопрос.
3. Задается более одного вопроса. Можно продолжить
ситуацию, описанную в предыдущем примере.
Задумано три числа (а, &, с), нужно задать только два
вопроса и, выслушав ответ, назвать числа в порядке
возрастания.
Эта ситуация сложнее. Ее можно обсудить в классе, а можно
и предложить для обдумывания дома.
Ученик может предложить два вопроса из следующих: какое из
чисел больше: а или Ь? (Ответ: Ь.) Какое из чисел больше: а или с?
(Ответ: с.) Какое из чисел больше: с или Ь? (Ответ: Ь.)
43

Задуманы числа а, с, Ь. В этой ситуации ученику надо
составить стратегию поиска, т. е. предвидеть будущее. После каждого
ответа он получает некоторую информацию, и важно (ученик
это интуитивно чувствует), чтобы эта информация была
полезной.
В более сложной ситуации предлагается найти минимальное
количество вопросов, которого достаточно, чтобы отгадать
задуманный объект. Здесь ученик должен задуматься об оптимальной
стратегии.
Ситуации отгадывания с помощью двух и более вопросов могут
быть самыми разнообразными. Вот несколько возможностей.
Отгадывающий слышит ответ на свой вопрос и поэтому
может корректировать последующие вопросы, а может и не иметь
такого права, тогда ему надо заранее составить оптимальные
вопросы.
Учитель задумывает какой-либо математический объект и
заявляет, что этот объект уже сегодня на уроке встречался
(своеобразная подсказка). Например, учитель чертит на доске несколько
фигур и говорит, что каждая из них имеет общее свойство
с задуманной фигурой. Ученики должны отгадать эту фигуру
(задавая вопросы или, может быть, и без вопросов).! Перед тем
как задавать вопросы, отгадывающий имеет право попросить
назвать какой-либо признак задуманного объекта.
Учитель дает противоречивые ответы на вопросы. Ученикам
надо заметить эту противоречивость и указать на некорректность
ответов.
Учитель (или ученик) задумывает два объекта и отвечает,
имея в виду либо первый объект, либо второй. Отгадать надо хотя
бы один объект.
Может быть задуман несуществующий объект или задуман
объект, который может быть разгадан без вопросов (хотя об этом
и не говорится!).
Можно наложить запрет на заранее оговоренные вопросы.
Можно предусмотреть ситуацию, когда ученик имеет право не
отвечать на один какой-либо вопрос.
Могут играть парами (каждый задумывает объект, по
очереди задают друг другу вопросы и отгадывают объект,
задуманный партнером).
Разнообразные возможности приема «Задумай» этим не
исчерпываются.
Задание с продолжением
Главное достоинство этого задания — экономия времени на
уроке, и возник этот прием как одно из решений проблемы:
сократить время на знакомство с задачами.
Прочитав условие задания и вникнув в него, ученик решает
его успешно. Продолжение задачи заинтересовывает его, к тому же
44

требуется меньше времени на знакомство с условием. Решение
второй задачи может быть аналогичным решению первой задачи,
а может быть совершенно другим. Если решение аналогично,
то ученик закрепляет навыки выполнения данной операции (часто
на более высоком уровне). В другом случае, когда решение резко
отличается от предыдущего, ему надо проявить определенную
гибкость ума, чтобы сориентироваться в возникшей ситуации.
Когда задача продолжается во второй раз, то внимание
учащихся усиливается, так как обычно получается более сложная
задача. Ученик принимает ее и стремится ее решить (ведь с
предыдущими заданиями он успешно справился!).
Отметим психологическую особенность: если ученик решает три
задачи из учебника, то решение предыдущих в малой степени
стимулирует успех в решении следующей. К тому же требуется
больше времени на чтение и усвоение задач. Иная картина в
заданиях с продолжением. Успешно решенные задачи как бы
мобилизуют силы ученика на решение последующих задач.
Кроме того, ученику приходится взглянуть на задачу с
различных точек зрения. Ведь основная часть задания остается
неизменной! И продолжения позволяют вскрыть все тонкости в задаче.
Происходит неявное обучение углублению в задачу, которое
впоследствии становится потребностью ученика.
Отметим еще один важный момент. Постепенно до учащегося
доходит мысль о том, что эти последовательные продолжения
есть не что иное, как ограничения. Несколько ограничений дают
возможность определить какой-либо объект или класс объектов
(вспомним: определить — это значит ограничить!). Важно то, что
ученикам предоставляется возможность самим это осознать, пусть
и на интуитивном уровне.
Рассмотрим теперь различные возможности предъявления
задания с продолжением учащимся. Самый простой путь: на доске
записана задача, ученики решают ее. Затем учитель дописывает
два-три слова или символа — получается вторая задача. Потом
учитель опять дописывает и т. д. Можно текст задания
спроецировать через кодоскоп на экран и, сдвигая полоску бумаги
(которая закрывает последующий текст), открывать по очереди
продолжения задачи. Когда ребята привыкнут к подобным заданиям,
можно использовать такой методический прием. Сразу записать
задачу и все продолжения ее, отделяя одно продолжение от
другого красной чертой. Сколько черточек — столько и
заданий.
Иногда удается составить продолжения так, что полученные
задания будут идти в порядке повышения их трудности. В этом
случае решение предыдущих заданий в какой-то мере помогает
решению последующих. Тогда ученику разрешается выбрать задачу с
любым количеством продолжений, и он освобождается от
решения предыдущих задач. Этот методический прием очень полезен,
ибо дает ученикам право выбора, учит их соразмерять свои жела-
45

ния со своими возможностями, дает возможность при неудаче
вернуться к предыдущей задаче.
В свою очередь учитель тоже приобретает возможность
методического маневра. В зависимости от условий он решает,
предложить учащимся цепочку заданий (т. е. задание с
продолжением) или сразу дать последнюю задачу из этой цепочки.
Со временем можно предлагать ученикам самим составлять
содержательные продолжения задач. Причем здесь возникают
разнообразные методические возможности. Например, какое может
быть продолжение, чтобы в итоге получился такой-то объект; из
нескольких продолжений выберите любое и решите задачу или
выберите такое, чтобы получился данный объект; придумайте общее
продолжение для двух различных задач и т. д.
Запрет
Этот прием позволяет ставить перед учеником определенную
трудность, за счет чего можно варьировать сложность задания,
добиваясь определенной дидактической цели. Так, в одной и той
же учебной ситуации можно поставить несколько различных
запретов в зависимости от уровня подготовленности ученика,
учебной цели, наличия времени.
В случаях, когда на однообразном математическом материале
надо отработать какой-либо навык у учащихся (а такие случаи
встречаются в процессе обучения очень часто), запрет вносит в
урок разнообразие и при этом полностью основан на учебном
материале.
То, что ученик тратит на преодоление запрета часть своего
внимания и ему труднее (чем обычно) переключаться на
следующий материал, развивает его внимание, память, подвижность
ума и гибкость мышления, вырабатывается умение пере слючать-
ся с одного объекта на другой.
Кроме того, задания, связанные с запретом, являются
пропедевтикой мыслительного приема — анализа, ибо ученик как бы
сосредоточивает внимание на основных свойствах, отбрасывая
второстепенные.
Из этого следует, что использование приема «Запрет» будет
оправдано с методической точки зрения, если будет касаться
существенных моментов изучаемого материала.
Но тут же таится и опасность. Если запрет преодолевается
с трудом, то на его преодоление уходит большая часть
умственных сил ученика и на «соседний» материал у него не остается ни
сил, ни желания.
К использованию приема «Запрет» учитель должен подходить
осторожно, не увлекаться разнообразными возможностями, тонко
чувствовать, когда запрет надо ослабить, или вообще отказаться
от его использования в данной ситуации.
Ситуация «Запрет» богата разнообразными возможностями.
46

Например, запрет на определенную цифру, действие и т. д., т. е.
запрет на использование какого-либо математического объекта.
Возможен запрет на какую-либо учебную деятельность.
Иногда запрет действует только тогда, когда данный
математический объект удовлетворяет определенному условию. Такой
запрет можно назвать условным. Приведем пример.
На доске записано 24 натуральных числа: 2, 3, 4, ..., 23, 24,
25. Ученик показывает указкой на число 2 и говорит: -^/2,
показывает на число 3 и говорит: -\/3 и т. д. Если корень из числа
извлекается, то ученик называет результат. Так, показывает на
число 4 и говорит: 2. Если число составное, то он представляет
его в виде произведения. Например, показывает на число б и
говорит: V2-V3, показывает на число 8 и говорит: 2-^/2 и т. д.
Кто сможет назвать весь ряд без ошибки?
Возможны и необычные (шуточные) запреты, которые
непосредственно не связаны с учебным материалом. Они вносят
некоторое разнообразие в урок. Так, при выполнении некоторого
задания учитель запрещает пользоваться ручками при его решении.
После некоторого замешательства учеников вдруг заявляет, что
пользоваться карандашами никто не запрещал!
Различаются запреты и по длительности их действия.
Например, запрет на что-либо при решении одного задания, нескольких
заданий. Запрет в течение всего урока и даже в течение
нескольких уроков.
Зашифрованные задания
Зашифрованные задания часто требуют рассуждений,
обратных тем, к которым привыкли ученики. Например,
произведение разности двух выражений и их суммы выполняется по
формуле разности квадратов. Закрепляется навык использования
этой алгебраической формулы. Именно в этот момент важно
вкраплять в систему упражнений задания, требующие рассуждений в
обратном порядке:
Чтобы восстановить это равенство, надо уловить связи между
объектами, проявить некоторую сообразительность. А с
методической точки зрения эти задания очень ценны, так как готовят
учащихся к следующему учебному этапу — умению раскладывать
разность квадратов двух выражений на множители.
В более сложную ситуацию попадает ученик, когда ему
приходится использовать не одну-две связи между объектами, а
больше: например, когда при сложении дробных чисел некоторые числа
заменены квадратами.
Этот прием дает хорошую возможность для обучения учащихся
составлять самостоятельно какие-либо задания. Любой ученик в
47

состоянии, например, в верном равенстве некоторые числа
зашифровать. Потом он может проверить себя: попробует
расшифровать получившийся пример и сравнить его с исходным
заданием. А затем на уроке (или вне урока!) предложить
расшифровать этот пример учащимся (или своим друзьям).
Фактически зашифрованные задания (или по крайней мере
отдельные их виды) есть не что иное, как клубок логических связей,
который надо распутать. Ученик со временем начинает
понимать, что очень часто описание объектов обладает избыточной
информацией, что ее можно сократить различными способами,
т. е. пример можно зашифровать по-разному. Причем эти
шифровки отличаются по сложности расшифровывания. Некоторые
ученики самостоятельно приходят к проблеме максимального
сокращения информации, например: какое наибольшее количество чисел
в примере можно зашифровать, чтобы потом можно было его
восстановить?
Кроме того, ненавязчиво проводится мысль о том, что
математический объект может быть однозначно задан своей частью или
своими свойствами.
Ценность такого подхода заключается в том, что он позволяет
в «пустыню однообразных упражнений» (необходимых, однако,
для выработки какого-либо навыка) вкраплять зашифрованные
задания, которые повышают интерес к этой иногда однообразной,
но нужной деятельности, развивают творческие способности
учащихся.
Использование зашифрованных заданий позволяет иногда
показать тот или иной метод учебной работы. Например, некоторые
методы решения задач можно показать уже в V—VI классах.
Пример. Какую цифру можно подставить вместо звездочки,
чтобы получилось верное неравенство —5,37 <С—5,*9?
Детям еще сложно одновременно учитывать несколько
факторов. Так, в данном задании им надо сравнить сразу и
отрицательные числа, и десятичные дроби. Для некоторых ребят это
непосильная задача. Учитель этим заданием иллюстрирует один из
самых важных методов решения задач, который коротко можно
назвать — рассмотри вспомогательную задачу. В самом деле, если
нам трудно удерживать в голове одновременно два момента,
то можно попробовать рассмотреть только одну трудность!
Запишем сначала модули этих чисел: 5,37 и 5,*9. Из двух
отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Значит,
5,37>5,*9. Теперь видим, что вместо звездочки можно подставить
цифры 0, 1,2. Яркость ситуации, простота решения надолго
запоминаются ребятами. А необычный для них совет «Рассмотри
вспомогательную задачу» пригодится им для решения более
сложных задач.
Еще одна возможность использования зашифрованных
заданий — подготовить учащихся VII класса к принятию метода дока-
48

зательства от противного, так как при восстановлении
зашифрованных примеров мы фактически используем обоснования,
аналогичные этому методу доказательства.
Пример. Расшифруйте умножение: ^Ьс
хаа
, ЬЬЬ
bddb
Решение полностью построено на методе доказательства от
противного.
1) аф\. Предположим, что а=1, но тогда bc-\=bbb.
Получаем противоречие, значит, аф\.
2) Ь<5. Предположим, что 6^5, но тогда ЬЬ + ЬЬфйй.
Получаем противоречие, значит, fe<5 и т. д. Схема рассуждений
повторяется несколько раз, закрепляется в сознании ученика и
готовит его к восприятию такой же схемы на геометрическом
материале.
Отметим еще один прием использования зашифрованных
заданий. Учитель записывает на магнитной доске числовое или
буквенное равенство. Некоторые числа или переменные закрывает
карточками и предлагает учащимся восстановить равенство. После
некоторой паузы ученики приходят к выводу, что равенство
восстановить невозможно (или, наоборот, можно восстановить
несколькими способами). Тогда учитель предлагает им указать
на ту карточку, при снятии которой пример уже
восстанавливается единственным образом.
Логический каркас
Очень важна первая встреча с заданием, составленным с
помощью данного приема. Эту встречу можно организовать,
например, в V классе с помощью рассказа: «Следователь, для
того чтобы раскрыть преступление, сначала записывает все
возможные версии (т. е. предположения). Потом вычеркивает те
предположения, которые противоречат установленным фактам.
Оставшиеся версии, какими бы невероятными они ни казались,
принимаются за основу дальнейшего расследования». «При чем тут
математика?» — можете вы спросить. «Терпение! — продолжает
учитель.— Посмотрите на следующее задание.
Из двух равенств одно верное, а другое неверное.
1) 352-427=150 308;
2) 564-376 = 212 064.
Узнайте устно (т. е. без вычислений), какое равенство верно, а
какое неверно».
49

Слово «устно» несколько смутит ребят и в то же время
заинтересует. И в этой атмосфере учитель продолжает беседу. Вместе с
учащимися он выясняет, что первое равенство неверное (так как
цифра единиц произведения должна равняться 4, а не 8). Учитель
может предложить выполнить это умножение. Далее он обращает
внимание ребят на условие. В нем сказано, что одно равенство
верное, а другое неверное. Так как первое равенство неверное,
то... Ученики делают вывод: второе равенство верное.
Учитель обращает внимание учащихся на отличие этого
задания от похожих, просит проверить, какое из следующих равенств
верное, есть ли здесь верные равенства и т. д.
Далее он может предложить аналогичные задания, с тем чтобы
учащиеся уже сами обосновали решение и сделали вывод: в
некоторых заданиях можно утверждать, что такое-то равенство верное,
не производя вычислений.
Нетрудно увидеть, что в данном фрагменте
сконцентрировалось несколько методических идей (это вообще свойственно
занимательным моментам): пропедевтика логических рассуждений,
идея самоконтроля, интуитивная пока идея, что свойства
некоторых математических объектов можно вывести логически. Кроме
этого, в образной форме вводится идея логического каркаса,
которая неоднократно будет встречаться в дальнейшем.
В ненавязчивой форме учитель проводит знакомство учащихся
с дедуктивным методом. Причем яркость и наглядность ситуации
способствуют тому, что вывод, сделанный в классе, понятен
практически каждому. А это уже первая ступенька в понимании
простейших дедуктивных рассуждений. Кроме того, ребята прочно
запоминают прием самоконтроля: нахождение ошибочного
равенства по цифре единиц (по последней цифре), т. е. выполняется
как бы побочная цель, и это тоже очень характерно для
занимательных материалов,
В дальнейшем учитель может продолжить или усложнить
эту ситуацию. Например, рассмотреть три равенства, из
которых два неверных и одно верное. Самое полезное с
методической точки зрения положение верного равенства в середине.
Тогда рассуждения могут проводиться по такой схеме.
Первое равенство — явно неверное. Второе — пока непонятно,
оставим его. Третье — явно неверное. Значит, верным будет
второе равенство.
Со временем равенства естественным образом заменяются
утверждениями. Количество их (в том числе и количество верных)
может быть увеличено.
Очень полезно использовать такой вариант этой ситуации,
когда из нескольких утверждений 3—4 верных, а 1—2 неверных.
Здесь уже обнаруживается явная связь с приемом «Найдите
ошибку».
Учитель может предложить учащимся самим составить
задание, используя прием «Логический каркас».
50

Надо отметить и такое методическое достоинство данного
приема. Ведь поиск решения здесь в общем-то аналогичен поиску
решения в любой сложной задаче. Сначала формируем несколько
путей решения, проводим их прикидку и делаем вывод: какие
из способов надо детально обследовать?
Ученики вполне подготовлены к интуитивному пониманию
этого метода, принимают его и используют при решении задач.
Ситуации, создаваемые с помощью приема «Логический
каркас», помогают также осознать учащимся идею контрпримера.
В самом деле, чтобы установить ложность какого-либо
утверждения, достаточно увидеть ошибку. В то же время если мы не видим
ошибку, то это еще не говорит о том, что утверждение истинно.
Выполнение заданий с использованием приема «Логический
каркас», как правило, происходит в интересной, запоминающейся
для учащихся форме, сохраняющей их полную самостоятельность.
Особенно важна ситуация «Логический каркас» при
повторении изученного, когда рядом оказываются утверждения из
различных тем. Например, верным может оказаться утверждение,
которое давно забылось и которое надо на данном уроке
вспомнить.
При использовании этого приема учителю надо тщательно
подбирать утверждения, чтобы они отражали существенные моменты
изученного материала.
Найдите ошибку
Этот прием давно уже используется учителями и доказал свою
эффективность с методической точки зрения: вырабатывается
критичность мышления, развивается самоконтроль ученика и др.
Кроме того, использование подобных заданий на уроке приучает
ребят к внимательности, позволяет предупредить появление
типичных ошибок, т. е. провести своеобразную профилактику
ошибок.
Известно, что прямое указание учащемуся на допущенную им
ошибку часто малоэффективно, даже если он эту ошибку
исправил. Поэтому сначала используются задания, в которых ошибки
бросаются в глаза. Потом можно постепенно переходить к
замаскированным ошибкам, т. е. таким, которые при беглом
просмотре можно и пропустить.
Как задания, так и способы их предъявления могут быть
самыми разнообразными. Разберем один из возможных путей.
На доске записано (или спроецировано на экран) несколько
утверждений, в том числе и неверные, которые надо отыскать
и указать в них ошибки. Например, из десяти равенств несколько
ложных, причем их количество можно сообщить учащимся, а
можно и не сообщать. После каждого ответа учитель предлагает
ученику что-то изменить в записи, чтобы равенство оказалось
верным. Тут важно предусмотреть различные способы исправле-
51

ния. Например, выявлено неверное равенство 0,9•( — 0,9)=0.
УчеМк может исправить так:
а) 0,9 + (-0,9) = 0;
б) 0,9-(-0,9)= -0,81.
Особый интерес представляют утверждения, в которых
допущено более одной ошибки. Например, если в равенстве — 3,2 • 0,5 =
= 16 ученики видят только одну ошибку, то характер ошибки,
которую они называют, дает дополнительную информацию учителю.
Одна из блестящих возможностей — использование на уроках
сочетания этого приема с приемом «Математический герой».
Например, в арсенале Вити Верхоглядкина столько ошибок,
недочетов, неправильностей, неверных рассуждений, что ученики
каждый раз с удовольствием их находят. Причем опыт показывает,
что после разбора ошибочного решения Вити у самих учащихся
впоследствии ошибки подобного рода встречаются значительно
реже.
Важно, чтобы предъявление задания и его решения было
разнообразным: словесным, письменным, графическим, в виде
рисунка. Желательно разнообразить подачу того или иного задания.
Пример. Степе Смекалкину понадобилось только
полминуты для того, чтобы убедиться, что все следующие
утверждения Вити Верхоглядкина неверные:
1) 2541 —простое число; 2) -т^г—несократимая дробь;
о/и
3> f=f • 4> -^-сократимая дробь; 5) ±+±+±=1.
А вы сможете это сделать?
Это же задание можно преподнести и по-другому.
Учитель. Кто (первый) найдет верное утверждение из
следующих пяти?
Можно это задание подать и так:
«Долго трудился Витя Верхоглядкин над самостоятельной
работой. Наконец он выполнил все пять предложенных заданий:
1) 2541 —простое число;
94е) -.
2) -^- — несократимая дробь;
^ч 32 _ 19 .
6) Т9""32 '
4) -j|r — сократимая дробь; 5) JL+JL+-1- = 1.
Каково же было его удивление, когда учитель только
взглянул на его работу и почти тотчас поставил ему оценку. Как вы
думаете, какая это оценка?»
Отметим, что задания на нахождение ошибок дают простор
инициативе учащихся. В самом деле, решить задание чаще всего
можно одним способом, а проверить его решение удается часто
52

двумя-тремя. Причем проверка его правильности обычно
возможна только при хорошем владении учебным материалом. Ошибки
учащихся как бы провоцируются самим процессом познания,
причем провоцируются стихийно и неуправляемо. Возникает мысль:
а нельзя ли попробовать хоть как-то упорядочить этот процесс?
В некоторых случаях это можно сделать, если учитель
опередит стихию и сам специально натолкнет ученика на ошибку.
Парадоксально, но объяснимо.
Дело в том, что встреча с ошибкой будет происходить под
контролем учителя, она будет вскрыта, выявятся причины ее
возникновения. Яркость ситуации служит тому, что ученики
запоминают свои ошибочные действия (может быть, даже
бессознательно) и в дальнейшем стараются не допускать их.
Пример (задание предлагалось учащимся сразу же после
рассмотрения вопроса о произведении нескольких множителей).
На доске записано 5 чисел: —1, —2, —3, —4, —5. Учитель
спрашивает: произведение этих чисел больше 50 или меньше?
Почти все учащиеся убеждены, что больше. Их даже не
останавливает предварительная подсказка учителя, что задание будет на
внимательность. Ошибка ясная — ученики забыли про знаки! На
это их специально провоцирует задание. Видимо, появление
в условии задачи положительного числа 50 каким-то образом
ориентирует на действия с положительными числами. Учителю же
важно использовать этот психологический момент в учебных
целях. Он может задать только один вопрос: а сколько тут
отрицательных чисел? И все сразу встанет на свои места.
Некоторые дети смущены своей очевидной ошибкой, другие
раздосадованы, некоторым, наоборот, становится весело: такого пустяка
не заметили! Тот факт, что ошиблись почти все, причем все
очень старались не ошибиться, производит на ребят сильнейшее
впечатление. Уж теперь-то они будут помнить о знаках и не
попадут впросак!
В параллельном классе обычное решение большого числа
однотипных заданий для выработки такого же навыка дало меньший
эффект, хотя и заняло больше времени.
Любой учитель постепенно накапливает фонд типичных ошибок
учащихся. Исправлять уже «сформированные» ошибки — дело
трудное и неблагодарное. Так не лучше ли использовать
провокацию какой-либо ошибки с целью предупреждения ее
возникновения? Именно провокацию ошибки, ибо обычное сообщение о
том, что некоторые ученики здесь, как правило, допускают такие-
то ошибки, учащимися плохо воспринимается.
Провокация ошибки есть не что иное, как учебная задача с
подвохом. Было бы интересно и полезно исследовать внеучебные
задачи с подвохом (которых очень много в различных сборниках
на смекалку). Тогда можно было бы выявить те моменты, которые
делают эти задания заданиями на засыпку, и учитывать
выявленные моменты в обучении.
53

С одного взгляда
Ценность этого приема замечена давно. Еще в
дореволюционных задачниках по математике были популярны задания типа:
«Почему известно наперед?»
Сама постановка вопроса наталкивает учащихся на поиск
нешаблонных решений. Ученики постепенно привыкают более
тщательно изучать условия задач и начинают видеть путь решения,
который не сразу бросается в глаза, но сразу приводит к цели.
Этот подход переносится ими и на решение задач, в которых
отсутствует указание на специальный поиск быстрых решений. Это
умение сродни творческому подходу, к тому же такое решение
почти всегда бывает изящным, красивым, что само по себе очень
важно.
Так приобретается у учащихся вкус к исследовательской работе.
Эту способность видеть суть с одного взгляда надо специально
воспитывать у учащихся.
Надо учитывать и психологическую сторону этих заданий.
Они заинтриговывают учащихся. Ребята чувствуют, что здесь
что-то есть. В работу включаются все ресурсы: знания, опыт,
интуиция.
Пример. Назовите дробь со знаменателем 371, которая
меньше —.
Если, размышляя над этой задачей, ученик задумывается об
особенности дроби —, он сможет догадаться до довольно
неочевидного факта: дробь меньше —, если ее числитель меньше
половины знаменателя. Тогда уже легко назвать несколько искомых
дробей.
Рис. 10
Пример. В окружности
радиуса 5 см проведены два взаимно
перпендикулярных диаметра. Из
точки В окружности опущены
перпендикуляры ВА и ВС на
диаметры. Найдите отрезок АС
(рис. 10).
Догадка сверкнет в голове
ученика, если он скажет себе:
«Надо найти диагональ
прямоугольника». Тогда он сразу
увидит, что ЛС=5 см.
Подобные задания помогают
вырабатывать у учащихся приемы
решения задач. Ученик приходит
54

к мысли, что задачу иногда легче решить, если ее удастся удачно
переформулировать. Никакие призывы учителя к тому, чтобы
ученик пользовался тем или иным эвристическим приемом
мышления, ни к чему не приведут, если у него (ученика) не будет уже
сформирована (пусть на интуитивном уровне) готовность к
этому. Решение заданий, составленных с помощью приема «С одного
взгляда», очень хорошо формирует такую готовность.
Действительно, эти задания так составляются, что своим изящным
решением подчеркивают суть того или иного приема. Эти задания
строятся обычно на неочевидных моментах, связанных с
существом математики или эвристическими приемами. Поэтому
ценность этого приема трудно переоценить.
Соответствие
При знакомстве учащихся с заданиями, составленными с
помощью данного приема, надо отметить, что соответствие между
объектами всегда будет однозначным и полным, т. е. каждому
объекту одного ряда будет соответствовать единственный объект
другого ряда.
При выполнении первых заданий такого вида ученик обычно
для каждого объекта первого ряда ищет последовательно
соответствующий объект другого ряда. Но он скоро догадывается, что
иногда полезнее для какого-то объекта из второго ряда найти
соответствующий из первого. Это очень важно, ибо любое
математическое утверждение (например, формулу) ученик должен видеть
в двух направлениях: слева направо и справа налево.
Со временем ученик начинает видеть и чувствовать простые
пары, т. е. когда соответствие объектов видно почти сразу.
При решении подобных заданий ученик сравнивает объекты,
выбирает нужный и у него вырабатывается навык использования
«метода исключения».
Во многих заданиях, основанных на этом приеме,
обнаруживается связь с «Логическим каркасом». Если для какого-либо
объекта трудно сразу подобрать соответствующий, то ученик
догадывается сравнивать другие объекты и два оставшихся будут
соответствующими само собой.
В отдельных заданиях может быть использован прием
«Провокация ошибки». Ученик должен быть внимательным, так как он
скоро узнает, что некоторые объекты могут быть очень похожими,
но не идентичными, т. е. не соответствующими.
Задания, составленные с помощью занимательных приемов,
дадут эффект, если их удается разнообразить. Приведем только
одну из таких возможностей. В одном из рядов один из объектов
не задан. Ученик сам должен догадаться, что это за объект, и
записать его.
55

§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ПРИЕМОВ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ
«СЛОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
Известно, как нелегко формируется у учащихся навык
сложения положительных и отрицательных чисел. Ученик, четко
отвечающий, например, правило сложения чисел с разными знаками,
при решении упражнений нередко ошибается. Дело осложняется
еще и тем, что для выработки стойкого навыка ученику
необходимо выполнить значительное количество однообразных
упражнений.
Посмотрим, как можно преодолеть эти трудности с помощью
занимательных моментов. Ниже приводятся некоторые подходы,
направленные на выработку у учащихся навыка сложения
отрицательных и положительных чисел. При этом преимущественно
описываются те учебные моменты и ситуации, которые так или
иначе связаны с занимательностью. Иными словами, из описания
уроков по данной теме взяты только те фрагменты, которые имеют
занимательный характер и направлены на выработку стойкого
навыка сложения отрицательных и положительных чисел.
На указанную тему отведем десять уроков, которые можно
распределить следующим образом.
Первые два урока направлены на выработку у учащихся
интуитивного представления о сложении чисел без введения
соответствующих правил. На третьем уроке введем правило сложения
отрицательных и положительных чисел, первичное закрепление
навыка. На четвертом — восьмом — основательное закрепление
навыка. На девятом уроке — контрольная работа. Десятый урок
резервный.
Первые два урока являются подготовительными. На основе
понятий изменения величины и изменения координаты точки
учащиеся интуитивно подходят к необходимости введения правил
сложения и фактически сами (не осознавая того) используют эти
правила!
Проведя краткую беседу об изменении величин, учитель
переходит к вопросу об изменении координат точек (на доске
изображена координатная прямая).
Пусть дана точка А (7). Как найти координату новой точки,
если координата 7 меняется на 3 единицы? на —3 единицы?
Аналогично точки В ( — 7), С ( — 2).
Если координата 7 меняется на 3 единицы, то получится
координата 10. Учитель предлагает это говорить короче: 7 да 3 будет
10; 7 да —3 будет ...; —6 да 4 будет ... и т. д.
Учащиеся с помощью координатной прямой находят искомые
координаты, записывают эти фразы.
Теперь ученики готовы к самостоятельному выполнению
подобных упражнений. Для этого используется специальное учебное
пособие — «квадратики» (см. с. 13).
56

На экран проецируется запись:
— 6 да —4 будет ...
— 5 да —3 будет ...
— 1 да — 13 будет ...
— 7 да — 2 будет ...
Ученики, используя координатную прямую, выкладывают на
парте равенства из «квадратиков»:
-6
-5
-1
-7
-4
-3
-12
-2
-10
-8
-13
-9
Учитель в процессе выполнения учащимися этого задания
проверяет правильность решения. Потом следует парная
проверка (т. е. называние (запись) ответов соседу по парте).
В результате выполнения этих упражнений ученики приобрели
некоторый опыт. Многие учащиеся последние 1 —2 примера
выполняли уже без обращения к координатной прямой. Это говорит о
том, что они уловили суть. Теперь они подготовлены к вопросу:
« — 20 да —30 будет?» Выход за пределы «квадратиков»
привлекает их, и большинство из них успешно справляется с
предложенной «микропроблемой».
«Квадратики» возвращаются в исходное положение, и на экран
проецируется другая группа упражнений (числа с разными
знаками, причем для сложения учащимся не надо переходить
через 0):
— 7 да 4 будет ...
15 да —10 будет ...
—14 да 10 будет ...
7 да —5 будет ...
Опять последнее задание составляется так, чтобы дать
возможность учащимся выполнить его без обращения к координатной
прямой. Если в первой группе заданий учащиеся интуитивно
чувствовали, что для более быстрого решения надо складывать,
то здесь они догадываются использовать вычитание. Закреплению
этого интуитивного представления способствует и вопрос учителя:
« — 30 да 20 будет?»
Третья группа заданий, для выполнения которых надо
переходить через 0:
— 2 да 3 будет ...
— 8 да 10 будет ...
14 да —15 будет ...
8 да — 11 будет ...
57

Вопрос учителя: «—20 да 30 будет?..»
При необходимости количество упражнений в каждой группе
можно увеличить. Надо только следить, чтобы в равенствах
не встречались одинаковые числа.
Для «быстрых» учеников заготавливаются примеры, которые
они записывают в тетради (типа — 25 да 55 будет?..).
На дом можно предложить учащимся составить (кто сколько
сочтет нужным) примеры типа —2 да 5 будет 3, —5 да —9 будет
—14 и т. д.
На третьем уроке выясняется: все, что делалось на
предыдущих уроках, есть не что иное, как сложение чисел.
Рассматриваются 3—4 примера с использованием координатной прямой.
Потом учитель предлагает некоторым учащимся поделиться
секретами быстрого сложения. Ученики предыдущей работой
подготовлены к самостоятельному выводу правил. В результате
обсуждения формулируются два правила (которые рассматриваются
параллельно): сложение отрицательных чисел и сложение чисел с
разными знаками. Эти правила кратко записываются на доске и
отрабатываются учащимися.
Далее учитель говорит: «Обычно мы стараемся решить как
можно больше упражнений. Сегодня же, наоборот, к этому не надо
стремиться. Главное — правильно проговаривать
последовательность выполнения шагов при сложении». И на 2—3 примерах
показывает, как это делать. Потом он спрашивает:
— Ну, как, просто?
— Просто,— отвечают ребята.
— Не спешите! Я уверен, что не один из вас не раз еще
ошибется.
Ученики уверены в обратном. Они выполняют
самостоятельно упражнения и для каждого проговаривают вполголоса
правило сложения. Учитель ходит между рядами и проверяет их
решения. Увидев ошибку, он восклицает: «А-а! Попался, голубчик.
Какой знак надо поставить?» (Или: «Что нужно сделать с
модулями?») Ученик смущенно исправляет ошибку. Все учащиеся еще
тщательнее проговаривают правила, чтобы не попасть впросак.
Потом ответы проверяются.
Начиная с четвертого-пятого уроков алгоритм сложения
свертывается:
1) сначала ставим знак суммы;
2) складываем или вычитаем модули слагаемых.
Для того чтобы стимулировать у учащихся потребность в
отработке навыка сложения, можно использовать и такой игровой
прием.
На доске записано 40—50 несложных примеров на сложение.
Учитель за 1 —1,5 минуты устно находит и называет все ответы,
чем приводит ребят в восхищение. Он говорит, что так считать
должны научиться и научатся все учащиеся, если они будут
хорошо тренироваться, и что уже на этом уроке начнем эту тренировку.
58

На доске записаны 10 примеров на сложение. Например:
1) -4 + (-5); 6) 13 + (-7);
2) 9 + (-11); 7) 14 + (-15);
3) -10 + 4; 8) 0 + (-3);
4) -6 + (-3); 9) -9 + 9;
5) -7 + 7; 10) 13 + (-16).
Учащимся предлагаются следующие задания:
а) Назовите знак каждой суммы в порядке возрастания
номеров.
6) Назовите знак каждой суммы в порядке убывания номеров.
в) Скажите, что нужно делать с модулями в каждом примере
в порядке возрастания номеров.
г) Что нужно делать с модулями в каждом примере в
порядке убывания?
Потом учитель показывает пример, ученик называет знак, что
делаем с модулями, и ответ.
На следующем уроке работа с 10 примерами продолжается.
Разумеется, слагаемые уже другие. Учитель вызывает любого
желающего. Он показывает пример, ученик сразу говорит ответ.
Учитель показывает другой пример, ученик называет ответ и т. д.
Сначала желающих мало. Однако, когда один из учеников
блестяще выполнит все задания, желают выйти к доске почти все.
На этом уроке полезно спросить 3—4 учащихся. Не все из них,
конечно, получат оценку, так как навык еще неокончательно
сформирован.
Заканчивая эту часть урока, учитель сообщает, что на
следующем уроке он опять спросит любого желающего «говорить ответы».
Каждый ученик может подготовиться к этому. Для этого полезно
дома записать 10—20 несложных примеров на сложение и
повесить этот листок на видном месте. В свободную минуту будет
возможность для тренировки.
Учащиеся с воодушевлением воспринимают этот совет. Все они
хотят вычислять быстро и правильно. При этом времени на
тренировку уходит очень мало. Важно то, что ученик в течение дня
многократно обращается к примерам, которые на виду. Важна
при этом и помощь родителей. Они зачастую проверяют своего
ребенка. Причем проверка носит как бы игровой характер. Иногда
возникает и соревнование между ребенком и взрослым.
На следующих уроках учитель вызывает по 2—3 ученика
«говорить ответы». Теперь от желающих нет отбоя. Важно то, что и
слабоуспевающие учащиеся охотно принимают участие в такой
проверке. И учитель вполне удовлетворен. Он-то понимает, что это
не проверка, а тренировка.
Этот момент так увлекает учащихся, что они по совету
учителя тренируются и тогда, когда у доски отвечает какой-либо
ученик. Они стараются про себя назвать правильный ответ быстрее
его.
59

После нескольких уроков учитель может проверять стойкость
выработанного навыка с помощью шутливого приема: когда
ученик говорит неверный ответ, учитель два раза негромко стучит
указкой по доске. Ученик исправляется, но оценка за ответ
снижается. Иногда учитель два раза стучит по доске и после верного
ответа. Если ученик не поддался на провокацию, то получает
заслуженную пятерку с похвалой учителя. Если же ученик под
дружный смех своих товарищей называет другой ответ, то садится
на место (оценка, конечно, не ставится). Учитель говорит, что
нужно быть уверенным в своих знаниях.
Методические возможности 10 примеров на этом не
исчерпываются. На одном из уроков учитель неожиданно спрашивает:
«А сколько, по-вашему, потребуется времени, чтобы записать
ответы ко всем примерам?» После обсуждения и подсчетов ученики
останавливаются на одной минуте. Учитель предлагает это
соревнование назвать экспресс-проверкой (т. е. быстрой проверкой).
Он договаривается с ребятами: как только они слышат слова
«экспресс-проверка», то сразу записывают 10 номеров (с 1-го до
10-го) примеров. На экран проецируется изображение 10
примеров. В тетрадях ученики пишут только ответы под
соответствующими номерами. Учитель засекает время, и работа
начинается. Кто-то решит за полминуты, тогда оставшееся время
проверяет свои ответы. Потом на экран проецируются правильные
ответы или их зачитывает один из учащихся и каждый ученик
проверяет либо свои ответы, либо ответы своего соседа. Оценка не
ставится. Такая проверка проводится на нескольких уроках. Она
нравится ребятам и занимает мало времени. На одном из
последних уроков темы проводится экспресс-зачет. Обычно с этим
зачетом справляются все.
На последних уроках темы вновь используются «квадратики».
Задания с ними становятся разнообразными и интересными.
Например, учитель пишет на доске: □ + □ = —12. Это
значит, что каждому ученику надо выложить как можно больше
пар чисел, сумма которых равна —12. Ребята с охотой
принимаются за работу. Первые пары находятся без труда. Но потом
их отыскивать все труднее. Наконец ученики доходят до такого
момента, когда из оставшихся чисел уже нельзя выбрать нужную
пару. Тогда проводится парная проверка: соседи по парте
проверяют друг друга. Учитель предлагает новое равенство, например:
□ + □ + □ =-3 и т. д.
Эта работа нравится ребятам. Кроме этого, у нее много и
других методических достоинств.
Во-первых, экономится время на уроке. Примеры не надо
записывать. Поэтому учебное время расходуется только на
вычисление. При этом учителю очень легко проверять правильность
ответов. Во-вторых, ученик в уме просчитывает больше примеров,
60

чем у него выложено на парте. В-третьих, подобные задания
удовлетворяют любому темпу вычисления: один ученик выложит 4—5
пар (или троек) чисел, в то время как другой только 2—3. При
этом прервать решение можно безболезненно на любой паре.
Наконец, важно и то, что использование «квадратиков» вносит
разнообразие в урок, воспринимается учащимися как увлекательная
игра и при этом они успевают прорешать значительное
количество однотипных упражнений.
Все это говорит в пользу данного методического приема.
Важно только его органически увязать с обычными подходами и не
потерять чувство меры в его использовании.
Отметим еще, что ограниченное количество чисел дает
дополнительные возможности. Так, использование «квадратиков»
допускает вопросы на сообразительность. Например, перед тем как
выкладывать пары чисел, сумма которых равна — 25 (СИ + СИ =
= —25), учитель задает вопрос: «Как вы думаете, а сколько
таких пар можно выложить?» Ответы учащимися даются самые
разнообразные. Учитель записывает их на доске, а потом
предлагает выполнить это задание. «Поиграв» с числами, учащиеся
убеждаются, что таких возможностей только три. Потом можно
отметить тех, кто оказался прав в своих предположениях, и
выяснить причины ошибок у других.
Вообще возможностей здесь необычайно много. Вот лишь
некоторые из них:
1) □ + □ = □;
2) □ + □=□ + □;
3) □ + □ = □ + 1 и т. д.
Например, во втором задании надо выложить как можно
больше четверок чисел, чтобы сумма первых двух была равна сумме
остальных.
Любой учитель сможет придумать и свои задания. Можно это
предложить сделать и учащимся.
Кроме указанных выше заданий, целесообразно использовать
для закрепления навыка и занимательные задания, подобные тем,
которые приведены в главе II. Многие из них на
сообразительность. Именно сочетание упражнений на отработку навыка с
заданиями на сообразительность, при решении которых этот навык
совершенствуется, и дает наибольший эффект.
Предпоследний урок темы — контрольная работа. Ребята были
немало удивлены, увидев на доске такой текст:
Я буду внимателен!
Я буду внимателен!
Я буду сначала ставить знак и лишь потом складывать
или вычитать модули.
Я буду внимателен!
Я буду внимателен!
61

Перед выполнением контрольной работы учащиеся
вполголоса прочитали хором этот призыв. Соответствующий настрой
создан. Ребята взялись за работу. Надо отметить, что ошибок,
связанных со сложением положительных и отрицательных чисел,
практически не было.
Итак, использование занимательных заданий и игровых
моментов на уроках с целью выработки навыков сложения
положительных и отрицательных чисел методически и психологически
оправданно.
На наш взгляд, органически включить занимательность в урок
можно на материале любой учебной темы. В наиболее удачных
случаях стирается грань между занимательным и учебным
материалом. Умение этого добиться и является одним из основных
качеств учителя-мастера.
§ 4. ОБ ОДНОМ ЗАНИМАТЕЛЬНОМ ПРИЕМЕ ОБУЧЕНИЯ
УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИКЕ
Учителям математики известно, какой популярностью
пользуются у подростков книги В. Левшина о Магистре Рассеянных
Наук.
Этот интерес школьников и подсказал нам идею создания
отдельной группы приемов занимательности. Так, на наших уроках
часто «присутствует» многознайка и всеумейка Витя Верхогляд-
кин. Ребята сразу понимают, что Витя весьма посредственный
ученик, но зато отчаянный хвастунишка. Он любознателен,
наблюдателен, но в то же время зачастую не может правильно решить
простую задачу или решает ее нерационально.
Витя то изобретает «математические очки» (надел их и
увидел решение), то попадает в невероятную историю, то делится
своими математическими познаниями. Он часто путает транспортир
с транспортером, составное число называет сложным, правильную
дробь — нормальной, а неправильную — ненормальной.
Опыт показывает, что иногда в урок полезно вводить еще
одного математического героя. Для контраста лучше
использовать персонаж, который был бы полной противоположностью Вите
Верхоглядкину. У нас это Степа Смекалкин. Степа никогда не
хвастает, но в своих ответах и решениях он почти всегда прав.
Он часто иронизирует над хвастливым Витей.
Включение математических героев (сокращенно будем писать:
МГ) в урок может быть разнообразным. Это и решение МГ какой-
либо задачи, и ответ МГ на вопрос, и сообщение МГ по какой-
либо учебной теме. МГ может предложить ученикам задание,
рассказать, в какую ситуацию он попал недавно, и т. д. Обычно от
лица МГ говорит на уроке учитель или один из учеников класса.
При этом учащиеся учатся внимательно анализировать условия
задач, более осознанно проводить поиск решения, правильно
оформлять решение, решать задачи несколькими способами и вы-
62

бирать из них наиболее рациональный, самостоятельно составлять
задачи. Все это очень важно для учащихся. Если к тому же учесть,
что математическая сущность предлагаемых задач преподносится
в яркой и интересной форме, то становится ясной методическая
ценность использования этих приемов на уроках математики.
Возможности использования МГ на уроках чрезвычайно
разнообразны. В нашей практике мы использовали такие приемы:
1) МГ решает задачу;
2) МГ предлагает задачу;
3) МГ «играет» с математическими объектами;
4) МГ делится своими знаниями (например, отвечает по какой-
либо учебной теме);
5) МГ используется как персонаж задачной ситуации. В
каждом подходе есть свои методические достоинства.
Рассмотрим некоторые подходы подробнее.
1) МГ решает задачу.
Учащимся сообщается решение, предложенное МГ, а они
должны проверить правильность и рациональность этого решения.
Обычно решения Вити Верхоглядкина либо ошибочны, либо
нерациональны. Учащиеся начинают осознавать важность
критического подхода к тому или иному решению, высказыванию,
утверждению. После этой подготовительной работы учителю легче
организовать, например, эффективную взаимопроверку работ
учащихся и проверку собственной работы.
Пример. Однажды учитель предложил Вите Верхоглядки-
ну сравнить дроби 0,31 и 0,6.
— Это очень просто,— начал Витя.— Целые части этих дробей
равны. Сравним дробные части. 31 больше 6, значит, и 0,31 больше
чем 0,6.
Согласны ли вы с таким решением?
Ученики должны отметить, что Витей опущен первый шаг в
правиле (алгоритме) сравнения десятичных дробей. Ошибка здесь
находится быстро, достаточно только вспомнить правило.
В следующей задаче ученикам надо уже внимательно
проанализировать условие задачи, чтобы отыскать ошибку в решении.
Пример. Витя Верхоглядкин решает у доски следующую
задачу: «Школьники сажали деревья два дня. В первый день они
посадили \- всех деревьев, что составило 30 деревьев. Сколько
о
деревьев посадили школьники во второй день?»
— Ну, эта задача простая,— начал решать Витя.— Найдем
сначала одну третью часть от 30 деревьев, а потом две третьих,
будет 20 деревьев. Потом из 30 деревьев вычтем 20, получится
10 деревьев.
63

Пишет: 1) 30:3-2 = 20 (дер.)
2) 30 — 20=10 (дер.)
Значит, во второй день посадили 10 деревьев.
Согласны ли вы, ребята, с этим решением?
Формулировка задачи, которую решает Витя, записана на
доске или проецируется на экран. Решение Вити записывается на
доске учителем (учеником).
В процессе обсуждения выясняется, что Витя Верхоглядкин
невнимательно прочитал условие задачи. Он нашел — от 30 де-
9 *
ревьев, когда сказано, что посадили — всех деревьев (а не от 30
о
деревьев). Учитель предлагает учащимся решить теперь эту
задачу правильно.
Пример. Однажды на уроке учитель предложил учащимся
следующую задачу: «Таня купила в магазине яйца и положила
их в небольшую корзиночку. По дороге домой она сообразила,
что число купленных яиц делится без остатка и на 2, и на 3, и на 5,
и на 10, и на 15. Сколько же яиц несла Таня домой?»
Витя Верхоглядкин поднял руку самый первый. Когда его
спросили, он с гордым видом ответил:
— Эта задача не имеет решения. Чтобы найти число яиц, надо
перемножить числа 2, 3, 5, 10, 15. Получится 4500 яиц. Разве
может поместиться столько яиц в одной корзиночке?
А вы, ребята, согласны с решением Вити? Кто скажет, в чем
он ошибся?
После обсуждения этого решения ребята приходят к выводу:
ошибка заключается в том, что Витя перемножил все данные
числа. А ведь можно найти значительно меньшее число,
обладающее указанным свойством. Возникает вопрос: какое? Эта
ситуация может быть использована учителем либо как проблемное
введение в тему «Наименьшее общее кратное», либо как первичное
закрепление понятия «наименьшее общее кратное».
Уже на этих примерах видно, что Витя Верхоглядкин допускает
такую ошибку, которую могут совершить (или совершают)
ученики, т. е. это типичная ошибка. Для обнаружения типичных
ошибок учащихся полезно создавать яркую ситуацию. Именно
необычность ситуации помогает закрепить ученикам в памяти суть
совершаемой ошибки и в дальнейшем совершать ее значительно
реже, а может быть, и вообще избежать.
Так, многие учащиеся не ощущают потребности в проверке
правильности своего решения. Например, разложив натуральное
число на простые множители неверно, не видят ошибочности
своего решения даже тогда, когда эта ошибка очевидна. Чтобы
обратить внимание учеников на важность и возможность такого
видения, учитель предлагает следующее задание:
Витя Верхоглядкин должен был разложить на простые множи-
64

тел и числа 186, 367, 780. Он старательно трудился и к концу урока
подал учителю тетрадь с решениями:
а) 186 = 2.2.3-3.5;
б) 367 = 2.3-3.3.7;
в) 780 = 2-2.2.3.3.11.
К его удивлению, через несколько секунд тетрадь к нему
вернулась, где каждый пример был подчеркнут красной пастой.
Не сможете ли вы объяснить, как удалось учителю установить
так быстро, что все числа Витя разложил неверно?
Сама постановка задания понуждает анализировать решение
Вити. Причем учащиеся знают, что все решения ошибочны.
Поэтому их цель не только в том, чтобы установить ошибку, но и
в том, как, не производя вычислений, догадаться, что все равенства
неверные. Это смещение цели поиска, с одной стороны,
интересно, а с другой — чрезвычайно полезно для выработки навыков
самоконтроля. Ребята догадываются, что в первом примере в
разложении не может быть множителя 5, во втором — множителя 2,
а в третьем, наоборот, не хватает множителя 5.
Если учитель отметит возможность подобной микропроверки
еще в нескольких примерах, то учащиеся привыкают ее
проводить.
Иногда МГ (обычно это Степа Смекалкин) предлагает
безукоризненное решение (его удобно показывать через кодоскоп) как
образец решения задач данного вида.
Обсуждать решение какой-либо задачи не менее полезно, чем
анализировать условие этой задачи. Именно при таком
обсуждении закладываются исследовательские навыки, так как эти
микроисследования проводятся на доступном учебном материале и в
интересной для учащихся форме.
Важна в подобных ситуациях роль учителя. Он выступает
часто как бы в трех лицах: учитель, который дает задание Вите
Верхоглядкину; учитель в роли Вити; учитель, который спрашивает
мнение учащихся о решении Вити и участвует в анализе этого
решения. Эта многоликость открывает дополнительные
возможности. Так, иногда Витя Верхоглядкин (в лице учителя) может
защищать свое решение, приводя, казалось бы, вполне разумные
доводы, которые учащимся надо опровергнуть, т. е. учитель
как бы провоцирует ребят на спор, где они будут правой
стороной, и авторитет учителя при этом не пострадает.
Важно и то, что учитель может организовать этот спор в
нужный момент урока, направить его в нужное русло (ведь в лице
Вити Верхоглядкина он непосредственный участник спора).
Учитель так ставит защиту, что ученикам приходится обосновывать
свои утверждения, приводить контрпримеры и т. д. Иными
словами, в такой непринужденной обстановке учитель учит ребят
элементам полемики.
Рассмотрим теперь пример, когда МГ решает какое-либо
задание нерационально.
3 Заказ 633 65

Пример. Однажды на уроке Витя Верхоглядкин решал еле-
0 A. Q Q
дующее задание: «Найдите значение выражения .' ' ' ».
1 ,о • 4, о
— Это очень просто,— начал Витя.— Перемножим числа,
стоящие в числителе и знаменателе, получим 9,36 и 6,24. Теперь
разделим первое число на второе. Получим 1,5. Это и есть ответ.
Однако, несмотря на то что ответ был правильный, учитель
снизил Вите оценку за это решение. Почему?
В процессе обсуждения выясняется, что это задание можно
решить намного быстрее и проще. Надо предварительно
сократить дробь.
Часть учащихся, несмотря на многократные призывы учителя
сначала сокращать дробь, выполняют эти задания
нерациональным способом. Яркая ситуация, эффектно созданная учителем
с помощью МГ, как бы отпечатывается в сознании ученика. Он
сам чувствует, что данное решение не лучшее. Анализ ситуации
закрепляет в его сознании нужный путь. В дальнейшем учитель
иногда спрашивает: «Так, значит, будем решать по способу Вити
Верхоглядкина?» Для тех учеников, которые подобные задания
решают нерационально, этот вопрос более полезен, чем обычное:
«Как будешь решать? Что будешь делать сначала?» И т. д.
Рассмотрим еще одно нерациональное решение МГ.
Пример. Однажды на уроке учитель показал ребятам куб и
предложил Вите Верхоглядкину найти площадь поверхности этого
куба.
— Это элементарно,— бодро начал Витя.— Сначала измеряем
два ребра, исходящие из одной вершины. Первое ребро равно
10 см, и второе ребро равно 10 см. Найдем площадь этой
грани: 10-10=100 (см ). Теперь измерим другие два ребра.
Первое равно 10 см, и второе равно 10 см. Перемножим их, будет
100 см2. Это площадь второй грани...
Потом Витя точно так же нашел площадь четырех оставшихся
граней. Все они оказались равными 100 см2.
— Теперь,— продолжал Витя,— сложим все найденные
площади, будет 600 см2. Это и есть площадь поверхности куба.
Как же он был удивлен, когда учитель не поставил ему
пятерку. Как вы думаете, почему?
Во время обсуждения этого решения выясняется, что Витя
вообще не знает, что такое рациональное решение. Ведь было
достаточно измерить только одно ребро (ибо дан куб!) ч найти площадь
одной грани, наконец, проще 100 см умножить на 6, чем их
складывать шесть раз.
Учитель не должен упускать благоприятного момента,
созданного этой ситуацией. Важно не только то, что Витя решал
нерационально, не менее важно выяснить, почему он так решал.
Оказывается, такое Витино решение прямо связано с его
недостаточными познаниями. Он, видимо, не знает, что у куба все ребра равны
66

и все грани равны. Так ненавязчиво проводится мотивация
важности овладения знаниями. Причем сам назидательный вывод
делать совсем необязательно.
Иногда ученикам сообщается не решение того или иного
задания, а только ответ.
Зная условие задачи и ответ, учащиеся получают
дополнительную информацию для анализа. Зачастую именно знание ответа
заставляет ученика более тщательно изучить условие задачи,
увидеть связи, которые не лежат на поверхности. Важно и то, что
при обдумывании подобных заданий ход мысли обычно меняется
на обратный. Кроме этого, когда ответ сообщается заранее, иногда
возникает возможность нескольких путей обоснования его.
Пример. Витя Верхоглядкин записал два натуральных
числа. Разделил первое на второе, получилось 0,7. Разделил второе
на первое, получилось 0,13. Не ошибся ли он?
Это задание для учащихся, начавших изучать взаимно
обратные числа, совсем не простое. Если они затрудняются сделать
какой-либо вывод, учитель предлагает им записать любые два
натуральных числа и выполнить указанные действия. Некоторые
учащиеся запишут частные в виде дробей. Например, — и —. Од-
7 5
ну из таких пар можно записать на доске. В этот момент многие
догадываются, что должны получиться взаимно обратные числа.
Следовательно, надо проверить, верно ли равенство 0,7«0,13=1.
Оно неверно. Значит, Витя ошибся.
Ребятам очень нравятся подобные задания. Здесь надо
соображать и рассуждать.
Отметим еще и то, что данные ответы получены Витей.
Значит, существует почти полная уверенность, что они ошибочны.
Такая установка часто помогает учащимся в поиске правильного
решения.
Иногда ученикам сообщается только идея решения. Они эту
идею подхватывают и используют для решения.
Пример. Как-то Витя Верхоглядкин и Степа Смекалкин
разговорились после уроков.
— Эх,— сказал Витя,— еще бы немного времени, и пятерку бы
получил. А задание-то какое было трудное!
— Какое? — поинтересовался Степа.
— Найти сумму всех натуральных чисел от одного до
двадцати. Я как начал складывать. Осталось прибавить всего
несколько чисел, а тут звонок.
— Значит, тебе надо было найти сумму 1 +2-f 3 + ... + 18 +
+ 19-+-20 и ты не смог этого сделать?
— А ты бы смог? — с обидой отозвался Витя.
— Я сделаю это за одну минуту.
— Ну это вряд ли. А как?
67

— Обрати внимание на следующее свойство этого ряда чисел.
Сложим сначала стоящие по краям.
— Получим 21,— подсчитал Витя.— Ну и что?
— Теперь сложим числа, которые стоят вторыми от края, т. е.
числа 2 и 19.
— Сумма равна 21.
— Теперь сложим числа, стоящие третьими от края, т. е. числа
3 и 18.
— Опять получается 21. Да, я понял! — воскликнул Витя.
Скажите, ребята, что понял Витя и чему же равно значение
данной суммы.
Опыт показывает, что эту задачу полезнее предлагать для
решения после введения понятия рационального решения.
Сообщив задание, надо дать учащимся время вникнуть в условие.
После указанной подготовки с решением справляются многие.
Тем не менее полезно не торопиться знакомить учащихся со
Степиным предложением. Может быть, кто-то в классе и сам
сообразит, в чем тут дело, особенно когда сумма будет записана на
доске. Уместен, видимо, здесь будет и рассказ о маленьком Гауссе,
который сам дошел до этой идеи.
Итак, мы рассмотрели самую большую группу заданий, в
которых МГ решает задачу. Очевидно, не все возможности здесь
приведены. Учитель, вероятно, сможет предложить и свои
подходы. Во всех случаях важно всегда отмечать учебную цель того или
иного задания. Только тогда ситуация будет эффективна.
2) МГ предлагает учащимся задачу для решения.
Так как предлагаемые задания обычно составлены МГ, то они
обладают и дополнительными методическими особенностями. Во-
первых, предлагаемая задача может быть некорректной и
учащимся надо это увидеть и обосновать. Во-вторых, она может быть
корректной, но требовать для своего решения нестандартного подхода.
В-третьих, эти задания являются первой ступенькой в умении
самостоятельно составлять задачи.
Так, учащиеся часто составляют задачи, не учитывая их
содержание с точки зрения здравого смысла. Учитель предлагает им
решить задачу, составленную Витей Верхоглядкиным.
Пример. На стройку привезли 100 кг кирпича. На постройку
дома пошло jt всего количества. Сколько кирпичей
израсходовали?
Решив задачу устно, ученики замечают смехотворность ответа:
на постройку дома было израсходовано два десятка кирпичей!
Предлагается в этом доме поселить Витю Верхоглядкина.
Обсуждение полезно закончить вопросом: какое изменение
можно внести в условие, чтобы ответ был реален? Ученики
догадываются: привезли не 100 кг, а 100 т кирпича.
68

Пример. Витя Верхоглядкин предлагает такую задачу:
«Двое шли — рубль нашли. Четверо пойдут — сколько
найдут?»
Дети улавливают через комизм ситуации ее суть: прямой
зависимости тут нет.
Эти и подобные им задания занимают на уроке немного
времени, и целесообразность их использования несомненна. Если
учитель, учебник показывают, как надо составлять задачи, то Витя
говорит, как не надо этого делать. Соединение этих путей и дает
нужный эффект в формировании навыка составления задач,
критического подхода к ним и т. д.
Пример. Степа Смекалкин задумал правильную дробь. При
умножении ее на 2 получилось натуральное число. Какую дробь
задумал Степа?
Это обычная задача на сообразительность и рассуждение.
Ничего не изменилось бы, если вместо Степы в условии было бы
записано «один ученик». Действительно, можно предлагать задание и
так. Однако участие в задаче любимого МГ (особенно Вити Верхо-
глядкина) как бы подстегивает учащихся. И их сочетание с
интересными заданиями (например, на сообразительность) очень
полезно. Не надо только перегибать палку и от имени МГ
предлагать обычную (ничем не отличающуюся от соседних) задачу.
3) МГ «играет» с математическими объектами.
И Витя Верхоглядкин, и Степа Смекалкин очень
любознательны, увлечены математикой. Их интересуют математические
закономерности, они любят «играть» с числами и фигурами. Часто в
результате такой «игры» у них появляются интересные задачи и
вопросы, которые они и предлагают учащимся. Уже сам факт такой
любознательности полезен для школьников. Ребята начинают
понимать, что математические объекты чрезвычайно интересны,
обладают многими неожиданными свойствами, о которых они раньше
и не подозревали. Им хочется самим попробовать себя в подобной
деятельности. Так зарождается огонек пытливости, который и
должен раздувать учитель. Кроме этого, при использовании
подобных заданий возможны разнообразные методические подходы,
которые органично вплетаются в урок, не нарушая его целостности.
Например, математические объекты, с которыми «играет» МГ,
существуют и учащимся надо придумать хотя бы один такой
объект, сделать обобщение.
Пример. Степа Смекалкин записал в тетради двузначное
число. Потом, переставив в нем цифры местами, получил еще одно
двузначное число. Затем он нашел разность полученных чисел. В
ответе получился нуль. Не могли бы и вы найти число,
обладающее тем же свойством?
Учащиеся исследуют данную ситуацию на числах, потом дела-

ют обобщение: таким свойством обладают все двузначные числа
с одинаковыми цифрами. Можно обосновать этот вывод и
теоретически: так как разность двух чисел равна нулю, то
уменьшаемое равно вычитаемому, значит, цифры должны быть
одинаковыми.
Пример. Витя Верхоглядкин начертил координатный луч,
выбрал единичный отрезок, разбил его на 6 равных частей, отметил
3 5
точку О с координатой — и точку А с координатой —, записал
их координаты. Потом он стер часть луча, остался только рисунок
(рис. 11). Витя уверяет, что никто не сможет восстановить
О А
н ь
3_ 5_
6 6
Рис. 11
координатный луч. А что вы думаете по этому поводу? (Учитель
предлагает сделать рисунок в тетрадях и попробовать
восстановить координатный луч.)
Обсуждая эту задачу (или обдумывая индивидуально),
учащиеся догадываются, что надо найти с помощью линейки середину
отрезка О А. Полученная точка будет иметь координату —. Теперь
легко восстановить и единичный отрезок и луч. И здесь учитель
может продолжить ситуацию: если бы Витя оставил только одну
точку, то смогли бы мы восстановить луч? Можно предложить
придумать подобное задание дома.
Игра с математическими объектами обычно связана с
обобщениями, так как касается их существенных свойств. Поэтому
использование подобных заданий на уроках целесообразно.
Другая возможность использования игры с математическими
объектами заключается в следующем. МГ не может объяснить,
почему данный объект обладает тем или иным свойством (или
объясняет это неверно). Это предлагается сделать учащимся.
Пример. Витя Верхоглядкин записал выражение 25-л>4.
Потом вместо х стал подставлять по очереди числа 13, 21, 39, 47 и,
найдя значение каждого произведения, очень удивился, что все
числа получились круглые. Не могли бы вы объяснить, почему?
Сколькими нулями будет оканчиваться каждое число?
У учащихся появляется идея упростить это выражение:
25«х«4 = (25«4) х= IOOjc. Теперь на вопрос задачи можно ответить
устно. После этого ребята понимают, почему удивился Витя:
он выполнял это задание нерационально.
70

Пример. Витя Верхоглядкин записал два числа, для
каждого из них нашел обратное. Потом перемножил все четыре числа.
Неожиданно в результате получилась единица. Почему? Не могли
бы вы придумать такие два числа, что и у Вити?
Важно отметить возможность двух принципиально различных
подходов к решению: практический (ученик записывает
конкретные числа и выполняет указанные преобразования) и
теоретический (ученик неизвестные числа сразу обозначает буквами). В
классе полезно реализовать оба подхода. Наличие практического
и теоретического способа решения характерно для подобных
заданий и соответствует индуктивному и дедуктивному способам
мышления.
Часто предлагаемые МГ объекты не существуют, и учащимся
надо доказать это.
Ценность подобных заданий неоспорима. Ведь в их решении
используется такой важный прием, как контрпример, т. е.
закладываются основы умения доказать что-либо сведением к абсурду.
Причем учащимся самим приходится выискивать контрпримеры, так
как они поставлены перед такой необходимостью постановкой
задания.
Эмоциональность подобных заданий способствует поиску
оригинальных решений.
Пример. Витя Верхоглядкин отыскал два числа,
произведение которых больше 0, а частное меньше 0. Сможете ли вы
назвать хотя бы пару таких чисел?
Сделав несколько проб, учащиеся догадываются, что таких
чисел не существует. Некоторые уже могут объяснить это с
помощью рассуждения: так как произведение двух чисел больше 0,
то числа одного знака, а частное чисел одного знака не может быть
отрицательно, значит, таких чисел нет. Важно и то, что этот
вывод некоторые ученики могут сделать сразу, а другие — после
подготовительной работы с числами.
Рассмотрим еще один пример на эту же тему.
Пример. Витя Верхоглядкин утверждает, что существуют
два числа, которые одновременно и противоположны и взаимно об-
ратны. Согласны ли вы с ним?
И здесь у ученика есть выбор: рассмотреть эту ситуацию на
конкретных числах и сделать вывод или сразу рассуждать в
общем виде. Это задание сложнее предыдущего, и обосновать
ответ ученику уже непросто. Это может сделать учитель.
Если числа противоположны и не равны 0, то имеют разные
знаки, следовательно, их произведение не равно 1 и они не будут
взаимно обратными. Если же числа равны 0, то их произведение
тоже отлично от 1, значит, они не взаимно обратны. Вывод: таких
чисел не существует.
71

Используя подобные задания на уроках, учитель иногда
предлагает учащимся самим «поиграть» с числами или фигурами.
Например, после обсуждения задания: «Витя Верхоглядкин,
утверждая, что разделил луч на две равные части, но держит свое
открытие в секрете. Почему?» — учитель может предложить
ребятам подумать, какое похожее задание придумал бы Витя с прямой.
4) МГ делится своими знаниями.
Во всех предыдущих заданиях МГ решал или предлагал
задания. Однако этим его возможности не ограничиваются. МГ, обычно
это Витя Верхоглядкин, может сделать сообщение по той или
иной учебной теме (от лица В. Верхоглядкина говорит учитель).
Ученики должны отыскать в этом рассказе ошибки и
неточности.
Пример. После изучения темы «Координатная прямая»
учитель решил проверить, как ее поняли, и вызвал Витю
Верхоглядкина. Витя обрадовался, что ему достался такой легкий вопрос,
и ответил так:
— Координатная прямая — это линия с выбранной на ней
точкой отсчета, единичным отрезком и направлением (чертит)
(рис. 12).
Здесь точка О — начало отсчета. Справа от точки О будут
положительные числа, а слева — отрицательные. Каждая точка на
координатной прямой имеет свою координату. Например, А (2),
ВО А
1 ь—i 1 1 1 1 —
-4 -3-2-10
Рис. 12
В (— 1). Для любого числа на координатной прямой можно найти
другое число, ему противоположное. Например, —3 и 3, 100 и
— 100. С помощью координатной прямой можно сравнивать
числа. Нужно только помнить правило: «Из двух чисел меньше
то, которое ближе к нулю».
Далее учитель предлагает учащимся назвать те ошибки и
неточности, которые допустил Витя.
На первых порах ученикам трудно воспринимать на слух
подобные тексты. Можно спроецировать (если это
возможно) этот рассказ на экран. Тогда учащимся легче искать
ошибки.
Рассказы лучше составлять небольшими. Обычно они
содержат 1—2 ошибки и 1—2 неточности. Нецелесообразно вставлять
в рассказ задания и вопросы, требующие письменных
вычислений. Лучше всего, если ошибки и неточности будут теоретического
72

характера, ибо учебная цель подобных заданий заключается в
том, чтобы учащиеся в игровой непринужденной обстановке
вспомнили материал по данной теме. Тот факт, что им надо поправить
Витю, обеспечивает их внимание и контроль.
Рассмотрим еще одно сообщение Вити Верхоглядкина по теме
«Равные дроби»:
«Для некоторых дробей всегда справедливо следующее
основное свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить
или разделить на одно и то же число, то получится равная ей
дробь. Например (пишет), j^=^\ ^=j\ •
Числа, которые можно записать в виде дроби -^-, где афО
и ЬфО и а и b — целые числа, называются рациональными. Зна-
2 5 г-
чит, —, — и т. д.— рациональные числа, а числа 5, —7 и т. д.
не являются рациональными, они целые.
Любую дробь можно привести к новому знаменателю.
Например, приведем дробь — к знаменателю 20. (Пишет.) 20:5 = 4,
значит, и числитель и знаменатель дроби надо умножить на 4:
JL—H
5 ~20 '
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий
делитель называется сокращением дроби. Обычно сокращают на наи-
35 7
меньший общий делитель, например: —=—».
Отметив недостатки и ошибки в рассказе, учащиеся
предлагают пути для их устранения. Потом учитель может отметить и
достоинства данного сообщения: Витя из всей темы выбрал самые
важные вопросы.
Для закрепления можно использовать такой прием. Текст
проецируется на экран (или записан на доске). Ошибки и недочеты
подчеркнуты. Учитель предлагает одному из учеников заново
читать текст, но подчеркнутые утверждения заменять
верными. Остальные учащиеся внимательно проверяют своего
товарища.
Учитель на первых порах сам составляет тексты подобных
сообщений. Со временем можно привлекать и учащихся к
составлению подобных сообщений. Ребятами эта работа воспринимается
как увлекательная игра. Можно даже проводить конкурс на
самый удачный рассказ для Вити Верхоглядкина. При этом
лучше всего, если ученики объединяются в группы по своему
желанию.
5) МГ используется как персонаж заданной ситуации.
Это, пожалуй, самая малочисленная группа заданий.
Включение МГ (обычно Вити Верхоглядкина) в сюжет задачи иногда
73

оправдано. Ребята полюбили незадачливого Витю, и каждая
встреча с ним им приятна и привлекает их внимание. К тому же
даже в этих заданиях Вите не везет. Приведем здесь только одно
такое задание.
Пример. Витя Верхоглядкин — отличный хоккеист.
Недавно он выступал в матче за честь школы. Игра продолжалась
два периода по 30 минут. Третью часть матча Витя подбирал себе
коньки, клюшку и одевался в хоккейную форму. А две третьих
матча он сидел на скамейке запасных. Остальное время он играл.
Сколько шайб забросил Витя?
Задачу можно решить двумя способами — непосредственно,
найдя, сколько минут играл Витя, и в общем: какую часть матча
играл Витя. На уроке полезно рассмотреть оба способа. Выходит,
что Витя совсем не играл, а значит, не смог забросить ни одной
шайбы. Ребята сочувствуют Вите. Юмор ситуации ими оценен
вполне.
Использование МГ на уроках помогает учителю
разнообразить методические приемы, решать многие дидактические задачи,
расширять возможности контакта с детьми, прививать
школьникам интерес к математике и учебной деятельности.
Задания с использованием МГ привлекают учащихся и
принимаются ими. Кроме этого, как было показано, они обладают и
несомненными методическими достоинствами.
Немаловажное значение играют и возникающие у школьников
мотивы: «А смогу ли я?», «А чем я хуже?», «А я сделаю лучше!»
и т. д. Ведь Витя Верхоглядкин и Степа Смекалкин
воспринимаются ими как сверстники. Происходит своеобразное соревнование
учащихся с МГ. Им хочется подражать безукоризненному Степе,
им хочется опровергнуть хвастливого Витю, им хочется
придумать что-то новое, как это делают их любимые герои. Учитель,
таким образом, как бы влюбляет школьников в МГ, а потом это
использует в учебных и воспитательных целях.
Однако, чтобы эти задания помогали решать дидактические
цели урока и темы, их надо соответствующим образом обработать.
Перед тем как использовать то или иное задание, учитель
устанавливает, какие методические трудности надо преодолеть на уроке.
Именно это учебное направление мысли и дает верный ориентир
в использовании МГ.
При этом надо в полной мере пользоваться преимуществами
подобных заданий. Они помогают сместить акценты: не учитель
обосновывает (приводит рассуждение, контрпример и т. д.), а сами
учащиеся. Это смещение заложено в самой сути заданий.
Важно также сочетание именно двух героев. Они как бы являют
собой два образца: так надо делать (Степа Смекалкин) и так не
надо делать (Витя Верхоглядкин). Ребята учатся на ошибках
Вити, при этом не только констатируют ошибку, но и анализируют,
что не учел Витя в том или ином решении, утверждении и т. д.,
что он не знает.
74

Со временем учащиеся начинают осознавать, что Витя Верхо-
глядкин замечает обычно только то, что лежит на поверхности, и
часто поэтому попадает впросак. Степа же рассматривает
существенные связи между объектами, и поэтому его решения,
утверждения, задания, им предлагаемые, безукоризненны.
Иногда учитель в какой-то степени вынужден ограничить показ
учащимся своей творческой кухни, так как желание учителя
продемонстрировать поиск решения какого-либо задания
воспринимается учащимися как его ошибки. Здесь уместно призвать в
помощники МГ. Ведь решение какого-либо задания Витей Верхо-
глядкиным есть не что иное, как один из путей поиска
решения (на котором Витя и остановился, не проверив его
правильности).
Использование МГ на уроке — перспективный методический
прием, помогающий повысить эффективность обучения
математике.

II
Глава учебные задания
ЗАНИМАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
Истинный педагог постарается сделать учение
занимательным, но никогда не лишит его
характера серьезного труда, требующего усилия
воли.
К. Д. Ушинский
Творческим считается любое действие,
которое эффективно и вызывает удивление.
Дж. Брунер
§ 1. V КЛАСС
Натуральные числа и действия над ними
1. Найдите число, у которого:
а) цифра десятков больше цифры единиц в 5 раз;
б) цифра единиц на 9 меньше цифры десятков.
2. Из цифр 3, 5, 8 можно составить трехзначное число 583.
В этом числе каждая цифра используется по одному разу. Какие
еще трехзначные числа можно составить из данных цифр? Какое из
составленных чисел будет: а) наибольшим; б) наименьшим?
3. Уловите закономерность в следующих рядах чисел и доци-
шите по два числа в каждом ряду:
1) 2, 4, 6, 8, ...; 2) 1, 3, 5, 7, ...;
3) 1, 10, 100, 1000, ...; 4) 1, 2, 4, 8
4. Тестовые вопросы.
На доске записано число 36. Учитель задает вопросы, ученик
быстро отвечает.
1) Назовите число:
а) большее 36; б) меньшее 36.
2) Представьте число 36 в виде суммы:
а) двух равных слагаемых; б) двух неравных слагаемых;
в) трех равных слагаемых; г) трех неравных слагаемых.
3) Назовите дополнение числа 36:
а) до 100; б) до 1000.
4) Представьте число 36 в виде произведения:
а) двух равных множителей; б) двух неравных множителей.
5. Степа Смекалкин записал в тетради двузначное число.
Потом, переставив в нем цифры местами, получил еще одно число.
Затем он нашел разность этих чисел. В ответе получился нуль.
Не могли бы вы назвать число, обладающее таким же свойством?
6. Степа Смекалкин задумал число. Потом он умножил это
число на 19 и к произведению прибавил 19. В ответе у него тоже
получилось 19. Какое число задумал Степа?
76

7. Степа Смекалкин задумал число. Потом он умножил это
число на 23 и от произведения отнял число 23. В ответе у него
получился 0. Какое число задумал Степа?
8. Подставьте вместо звездочек такие знаки действий, чтобы
равенства были верными:
а) 4*4* 13=13; б) 21 ♦8*8 = 21.
9. Игровой момент.
Учитель. Я задумал некоторое натуральное число, а вы
должны отгадать его. Для этого один из вас называет любое число,
например 11. Я это число либо прибавляю к задуманному, либо
отнимаю от задуманного числа и сообщаю вам результат. На
доске пишу: 11 —>- 25. Скажите, какое число я мог задумать. Да, я мог
задумать либо 14, либо 36. Чтобы вы точно узнали задуманное
число, еще один ученик называет число, например 7. На доске я пишу:
7 ->- 21. Какое число я мог задумать? 14 или 28. Задуманное
число 14.
10. Учитель предложил Вите Верхоглядкину решить
следующую задачу: «Купили 20 тетрадей по 3 р. за штуку и 15 линеек
по 4 р. за штуку. Сколько стоит вся покупка?» Решая эту
задачу, Витя составил числовое выражение: 20-3— 15-4. Потом
Витя нашел его значение. Получился 0. И Витя записал в ответе: 0.
Согласны ли вы с его решением? Что вычислил Витя?
11. Игровой момент.
Учитель. Задумайте любое число, меньшее 20. Умножьте
его на само себя. Теперь скажите, чему у вас равно произведение,
а я назову задуманное число.
12. Найдите значения следующих сумм:
1+3; 1+3 + 5; 1+3 + 5 + 7; 1+3 + 5 + 7 + 9.
Получились равенства:
1+3 = 4; 1+3 + 5 + 7=16;
1+3 + 5 = 9; 1 +3 + 5 + 7 + 9 = 25.
Уловите закономерность в этих равенствах и, опираясь на
нее, запишите, чему равны суммы
1+3 + 5 + 7 + 9+11 и 1+3 + 5 + 7 + 9+11 + 13.
Сколько слагаемых надо взять, чтобы сумма была равна 100?
13. Поставьте вместо звездочек такие знаки действий, чтобы
выполнялся порядок действий, указанный римскими цифрами.
Можно пользоваться скобками.
® © © Q
а) 15 * 3 * 2; б) 48 * 9 * 3;
(D © ®
в) 64 * 8 * 4 * 2.
77

14. Поставьте вместо звездочек такие знаки действий, чтобы
равенства были верными:
а) 49*7 = 7; б) 39*7*6 = 3;
в) 29* 11 * 17*7 = 4.
15. Даны три числа: 5, 8, 11. Степа Смекалкин составил из
них числовое выражение и нашел его значение. Получилось 47.
Какое выражение составил Степа?
16. Даны два буквенных выражения: 9-х —7 и 23 — х. Если
в эти выражения подставить вместо буквы х некоторое число, то
значения полученных числовых выражений будут равны. Найдите
это число, если известно, что оно меньше 5.
17. Вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы все
уравнения имели один и тот же корень 2:
а) Зх + 5=Ш; б) 7х-4=П; в) П-11х=12.
18. Учитель. На доске записано решение некоторой задачи:
«Пусть мальчик заплатил за мороженое х р., тогда у него
осталось (56 — х) р. Составим уравнение: 56 — х = 41; х=15. Ответ:
15 р.». Кто из вас сможет составить задачу по данному решению?
19. Учитель. Ребята, сейчас вы будете выполнять
необычное задание. Я записал на доске начало условия некоторой
задачи и начало ее решения. Вы должны по этим данным
сформулировать задачу и решить ее.
Запись на доске: «За три дня туристы прошли 75 км.
Решение
Пусть во второй день туристы прошли х км, тогда за три дня
они прошли (20+ х+25) км. Составим уравнение».
Свойства арифметических действий
над натуральными числами
20. Дано выражение 937 + а + 876. Подставьте вместо а такое
число, чтобы легко было устно найти значение полученного
числового выражения.
21. Значение какого числового выражения больше:
а) 111+3127 + 777 или 333 + 3129 + 555;
б) 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 или
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1?
22. Подставьте вместо квадратиков такие числа, чтобы
равенства оказались верными:
а) 219 + 314+П =1314;
б) 89+ □ +74+ □ =200;
в) 387+ □ +□ +13=1000.
78

23
41
34
19
23. В клетки квадрата запишите такие
числа, чтобы сумма чисел по любой вертикали и
горизонтали была равна 100.
24. Витя Верхоглядкин и Степа
Смекалкин разговорились после урока математики.
— Эх,— сказал Витя,— еще бы немного
времени и пятерку бы получил. А задание-то
какое было трудное!
— Какое? — поинтересовался Степа.
— Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 20. Я как
начал складывать. Осталось прибавить всего пять чисел, а тут
звонок...
— Значит, тебе надо было найти сумму
1+2 + 3 + 4 + ... + 17+ 18+19 + 20
и ты не смог этого сделать за урок?
— А ты бы смог? — с обидой спросил Витя.
— Я сделаю это за одну минуту. Обрати внимание на
следующее свойство этой суммы. Сложим числа, стоящие по краям.
— Получим 21,— произнес Витя,— ну и что?
— Теперь сложим два числа, которые стоят вторыми от концов,
т. е. числа 2 и 19.
— Их сумма равна 21.
— Да. Теперь сложим числа, стоящие третьими от концов,
т. е. числа 3 и 18.
— Опять получается 21! — воскликнул Витя.—Да, я понял,
как найти сумму всех чисел.
Подумайте, ребята, каким же образом можно найти устно
сумму чисел.
25. Некоторое двузначное число умножили на 10, полученное
произведение умножили на 100, потом то, что получилось,
умножили на 1000. Сколькими нулями будет оканчиваться
полученное число?
26. Вместо звездочек запишите пропущенные цифры:
a) V243
А ***
, 243
+ 243
б) V312
А **♦
, 312
"•"624
*****
*****
в) V4132
А ****
, 8264
"•"4132
*******
27. Что больше: сумма 11 слагаемых, каждое из которых
равно 19, или сумма 19 слагаемых, каждое из которых равно 11?
28. Брюки стоят 700 р. Пальто в 6 раз дороже, чем брюки, а
ботинки в 6 раз дешевле, чем пальто. Сколько стоят ботинки?
29. Степа Смекалкин придумал такой математический фокус:
«Задумай число. Умножь его на 5. Полученное произведение
79

умножь на 2. То, что получится, раздели на 10. В результате
получилось задуманное число». Почему Степа всегда оказывался
прав?
30. Числа 2, 2, 2, 5, 5, 5, 13, 13, 13 расставьте в клетки
квадрата так, чтобы произведения чисел по любой горизонтали
и вертикали были равны 130.
31. В клетки квадрата запишите недостающие числа так,
чтобы произведение чисел по любой вертикали и горизонтали было
равно 480.
12
6
24
2
32. Вместо квадратиков запишите такие числа, не равные нулю,
чтобы значения полученных числовых выражений было легко
вычислить устно: а) 2-78- □ ; б) 3- □ .7-25; в) □ -9-125.
33. На сколько больше ног у 17 котят, чем у 17 цыплят?
34. Опираясь на распределительный закон умножения, вместо
квадратиков запишите такие числа, чтобы равенства были
верными:
1) 5-(10 + 6)=П +□; 2) (□ +11)-3 = 21 + П;
3) 4-(П + П)=16 + 20; 4) (7 + 8)-П =70+П;
5) □ .(II—7)=П —21; 6) (П-12).5=150-П;
7) 20.(П-П) = 80-60.
35. Витя Верхоглядкин записал выражение 25-х-4. Потом
он вместо х стал подставлять в это выражение по очереди числа
13, 21, 39, 47. Найдя значение каждого произведения, он очень
удивился тому, что все числа оказались круглыми. Не могли бы вы
объяснить, почему? Сколько нулей будет стоять в конце каждого
полученного числа?
36. а) Числа и буквы 3, 3, 3, 7, 7, 7, х, х, х
расставьте в клетки квадрата так, чтобы
произведение выражений по любой вертикали и
горизонтали было равно 21*.
б) То же: 9, 9, 9, а, а, а, Ьу by by
произведение равно 9ab.
37. Подставьте вместо квадратиков такие
числа, кроме 1, чтобы равенства оказались
верными:
80

а) □ -x.7 =
б) □ -4- □ -6 = 606;
в) □ -3- □ -а- □ =210а.
38. Опираясь на распределительный закон умножения, вместо
квадратов запишите такие числа или буквенные выражения, чтобы
равенства были верными:
1) (35 + а)-2=П+2а; 2) 36-12=(6-4). П ;
3) (□ — □)•10=140—10х; 4) П + П =7-(у+11);
5) □ .(4т—П)=20т —15; 6) 9с+ □ =(9 + 6)- П .
Дробные числа
39. Заполните таблицу. Для этого впишите в клетки числа,
удовлетворяющие обоим условиям.
Число
Кратно 4
Кратно 11
Кратно 15
Кратно 3
Кратно 5
Кратно 7
40. а) Даны четыре числа: 2, 3, 5, 7. Три из них перемножили.
Получилось 70. Какие числа перемножили?
б) Даны пять чисел: 2, 3, 5, 7, И. Три из них перемножили.
Получили 105. Какие числа перемножили?
41. Степа Смекалкин утверждает, что для любого из чисел
сможет мгновенно назвать один его делитель и одно его кратное.
И ни разу не ошибся, хотя ему задавали и многозначные числа.
8 чем тут секрет?
42. Игровой момент.
Учитель вызывает ученика и предлагает ему записать на доске
любое число. Потом без труда между двумя любыми цифрами
этого числа записывает такую цифру, что полученное число делится на
9 без остатка. Учащиеся проверяют учителя, выполняя деление.
43. Вместо звездочек вставьте такие цифры, чтобы
четырехзначное число 7*4* было кратно 2, 3, 5, 6, 9, 10 одновременно.
44. Назовите наименьшее трехзначное число, кратное: а) 2;
б) 3; в) 5; г) 9; д) 10; е) 2 и 5 одновременно; ж) 3 и 5
одновременно.
45. Витя Верхоглядкин задумал двузначное число. Когда он
разделил его на 9, то получился остаток 1; когда он разделил
81

задуманное число на 10, то в остатке тоже получилось 1. Какое
число задумал Витя?
46. Разделите число 101 с остатком на каждое из чисел 2, 4,
5, 10, 20, 25, 50. Почему в каждом случае получается остаток 1?
47. Игровой момент.
Учитель. Ребята, у меня в руках веревка. Ее длина 120 см.
Мне необходимо от нее отрезать кусок длиной 30 см, но у меня
нет под рукой линейки. И все же я могу отрезать требуемый
кусок. Кто скажет, как это сделать? Как это сделать, если
необходимо отрезать кусок длиной 45 см?
48. Два десятилитровых ведра полностью наполнены водой. Из
первого сначала выливают — ведра воды, потом выливают — ос-
тавшегося количества воды. Из второго, наоборот, сначала
выливают — ведра воды, а потом — оставшегося количества воды.
О Z
В каком ведре останется воды больше?
49. Витя Верхоглядкин хвалился, что всего за час нашел число,
обладающее удивительным свойством: — этого числа и — этого
числа были равны! Не могли бы вы за 1 минуту назвать такое
число?
50. Вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы
равенства оказались верными:
Df-D-i-; 2)13-10.2-; 3)f=9-P-;
4)П=11Г; 5)ТТ=3ТГ
51. Придумайте число а, которое удовлетворяет следующим
условиям одновременно:
52. Вместо квадратиков запишите такие равные дроби, чтобы
равенства были верными: а) П + П = 1; б) П + П + П = 1;
в) П + П+П + П=1.
53. Из чисел 2-у-, 8-у, 1-|-, 5-у, Зу-, 4-у выберите такие
два числа, чтобы их сумма была натуральным числом. Будет ли
сумма всех шести чисел натуральным числом?
54. Витя Верхоглядкин — отличный хоккеист. Недавно он
принял участие в матче за честь школы. Игра продолжалась два
периода по 30 минут. Третью часть матча Витя подбирал себе
о
коньки, клюшку и одевался в хоккейную форму, —матча он сидел
82

на скамейке запасных. Остальное время Витя играл. Сколько
шайб он забросил?
55. Игровой момент.
Даны дроби: у, у-, у-, у-, у. Из них выберите любые две,
найдите их разность, выделите целую часть. У всех в ответе
получилось натуральное число. Почему?
56. Математики Древнего Египта вместо обычных для нас
знаков « + » и « —» использовали знаки «У\» и «2V» («идущие
ноги»). Вы сейчас сможете узнать, какое действие обозначали
каждым из этих знаков. Среди равенств:
20
6
20
Л
/V
20
20 =
20 '
20"'
v 7
В) 20
А
л.
20
3
20
20 '
2
~20
одно неверное, остальные верные. Какое действие обозначено
знаком «У\»? знаком «Д.»?
с 7 11
57. Степа Смекалкин записал три числа — , — , — и составил
1У 1У 1У
12
из них некоторое числовое выражение. Его значение равно — .
Какое числовое выражение составил Степа?
Десятичные дроби
58. Что легче: 0,3 килограмма железа или 0,3 килограмма
ваты?
59. Восстановите координатный луч, т. е. отложите на нем
единичный отрезок (рис. 13).
60. Однажды учитель предложил Вите Верхоглядкину
сравнить дроби 0,31 и 0,6.
«Это очень просто,— начал Витя.— Целые части этих дробей
равны. Сравним дробные части. 31 больше 6, значит, и 0,31 больше
чем 0,6». Согласны ли вы с таким решением?
61. Некоторое число удовлетворяет одновременно трем
неравенствам. Найдите его:
а) 3,5<П<4,1; б) 2,11<П<2,5;
3,7< □ <4,0; 2,4 < □ <2,72;
3,6< □ <3,9; 2,39< □ <2,42.
62. В некоторой десятичной 0 А
дроби все цифры одинаковы. V ' ^
Какое это число, если оно боль- °>ь
ше 2,21, но меньше 2,221? Рис. 13
83

63. Найдите ошибку:
1) 3,27 «3,3; 2) 2,99 ж 3,0;
4) 0,75ж0,7; 5) 8,18«8,2.
3) 12,34» 12,3;
64. Все числа 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4 обладают
одной особенностью, связанной с округлением чисел. Какой?
65. Витя Верхоглядкин задумал число. Сначала он округлил
его до десятых, получилось 6,4. Потом он округлил задуманное
число до целых, получилось 7. Не ошибся ли он?
Арифметические действия над десятичными дробями
66. Три друга — Коля, Витя и Миша — решили купить шайбу,
которая стоит 1 р. У Коли и Вити было по 0,25 р., а у Миши —
0,45 р. Будут ли они вечером играть в хоккей?
67. Вместо квадратиков запишите такие десятичные дроби,
чтобы равенства оказались верными: а) СИ + СИ = 1; б) СИ +
□ П П
р
+ □=0,7; в)
1,4
1,2
0,7
+ П-0,1.
68. В пустые клетки квадрата впишите
такие числа, чтобы сумма чисел по любой
горизонтали, вертикали и диагонали была
равна 3.
69. Даны числа: 2,67; 3,75; 3,51; 2,43.
Сумма двух из них равна сумме оставшихся.
Запишите это равенство.
70. Игровой момент.
0,03
0,04
Сумму данных чисел запишите в третью клетку. Сумму
чисел, стоящих во второй и третьей клетках, запишите в четвертую
клетку и т. д. Кто быстрее найдет число, стоящее в последней
клетке?
71. Учитель записывает на доске числа 0,1; 0,2; 0,3.
Спрашивает, какое следующее число надо записать? (0,4.) А
следующее? (0,5.) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5, ... . Сумма нескольких первых
чисел этого ряда равна 4,5. Сколько слагаемых в этой сумме?
72. Вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы
равенства были верными:
а) 4,2- □ =3,9; б) □ -2,7 = 2,3;
в) П-П=3,1; г) П-П=4,75.
73. Даны числа: 0,8; 1,6; 2,9; 3,7. Разность двух из них
равна одному из оставшихся чисел. Запишите это равенство.
84

74. Вместо звездочек поставьте знаки « + » или «—» так,
чтобы равенства были верными:
а) 5,5* 1,9*2,6=1;
б) 7,9*3,4*4,2 = 7,1;
в) 6,1 * 13,5* 12,4 = 5.
75. Игровой момент.
Я задумал некоторую десятичную дробь, а вы должны отгадать
ее. Для этого один из вас называет любую дробь, например 0,3.
Я это число либо прибавляк) к задуманному, либо отнимаю от
задуманного числа и сообщаю вам результат. На доске пишу: 0,3-^8,4.
Скажите, какое число я мог задумать. Да, я мог задумать либо
8,1, либо 8,7. Чтобы вы точно узнали задуманное число, еще один
из вас называет любую дробь, например 1,1. На доске я пишу:
1,1-* 9,2. Какое число я мог задумать? 8,1 или 10,3. Итак,
задуманное число 8,1. Для простоты вычислений вы будете
называть числа, меньшие трех, с одним знаком после запятой.
76. В трех пакетах содержится 1,5 кг крупы, причем массы
первого и второго пакетов составляют вместе 1,3 кг, а второго и
третьего — 0,9 кг. Сколько крупы в каждом пакете?
77. В двух кастрюлях налито поровну воды. Сколько литров
надо перелить из одной кастрюли в другую, чтобы во второй
стало на 3 л больше?
78. Игровой момент.
Задумайте число. Прибавьте к нему 0,32, результат запишите.
Отнимите от задуманного числа 0,32, результат запишите. Оба
результата сложите, что получится, разделите на 2. У всех будет
задуманное число. Почему?
79. Игровой момент.
Учитель записывает на доске числа: 0,025; 0,25; 2,5; 25; 250.
Как получается этот ряд чисел? Затем учитель закрывает листом
бумаги какое-либо число и предлагает назвать его. Потом
закрывает другое число и т. д.
80. Игровой момент.
Задумайте десятичную дробь. Умножьте ее на 2. Произведение
умножьте на 5. В полученной дроби перенесите запятую на один
знак влево. Получится задуманное число. Почему?
81. Витя Верхоглядкин записал в тетради число 7. Потом
умножил его на некоторое другое число. К его удивлению, в
произведении получилось число меньше 7. Может ли такое быть?
82. На какое число можно умножить дробь:
1) 9,1; 2) 0,4; 3) 7,5, чтобы произведение оказалось
натуральным числом?
83. Одного человека спросили:
— Сколько вам лет?
— Порядочно,— ответил он.— Я старше некоторых своих
родственников в 600 раз.
Возможно ли это?
85

84. Масса драгоценных камней измеряется в каратах, причем
1 карат равен 0,2 г. Геолог нашел два алмаза. Первый— массой 51
карат, а второй — массой 10,1 г. Какой алмаз ценнее?
85. Что больше: 0,2-3,43-0,6 или 0,4-3,42-0,3?
86. Витя Верхоглядкин славится своей силой. Однажды он
хотел поднять десятилитровое ведро, полностью наполненное водой,
но не смог этого сделать. Тогда он отлил 0,6 ведра воды, но
опять не смог поднять ведро. Потом он отлил 0,5 того, что
осталось в ведре. И после этого покорил рекордный вес. Чему равен
этот рекорд, если масса ведра 0,5 кг?
87. Придумайте такие два числа, чтобы их произведение было
равно: а) 0,5; б) 0,111 и чтобы ни в одном множителе не
встречалась цифра 1.
88. Игровой момент.
Задумайте число. Умножьте его на 4. Результат умножьте на
0,25. В итоге у вас получится задуманное число. Почему?
89. Числа 0,7; 0,7; 0,7; 5; 5; 5; 0,4; 0,4; 0,4
запишите в клетки квадрата так, чтобы
произведение чисел по любой горизонтали и
вертикали было равно 1,4.
90. Вместо звездочек поставьте такие знаки
действий (« + », «—», «•»), чтобы равенства
были верными (можно использовать скобки):
а) 2,3*4,7*0,3 = 2,1; б) 6,1*0,2*0,22=1;
в) 0,2 *0,3 * 0,5=0,03.
91. Игровой момент.
Задумайте две десятичные дроби. Из большего числа вычтите
меньшее. Результат запишите. Теперь сложите задуманные числа.
Результат запишите. Потом сложите полученные результаты и
сумму разделите на 2. У всех получится одно из задуманных чисел.
Почему?
92. Из серебра можно изготовить тончайшую проволоку, 1,8 км
которой весят 1 г. Из 1 г платины можно сделать проволоку
длиной 60 км. Сможет ли каждый из вас удержать в руке моток
серебряной или платиновой проволоки такой длины, что ее можно
было бы протянуть до Луны?
Проценты
93. Витя Верхоглядкин записал два числа. Нашел 1% каждого
числа. Полученные числа оказались равны. Может ли такое быть?
94. Игровой момент.
Задумайте десятичную дробь. Умножьте ее на 100. Найдите
1% полученного числа. В итоге получится задуманное число.
Почему?
95. У горного барана массой 150 кг масса рогов равна 30 кг.
Сколько процентов составляет масса рогов от массы тела: 20% или
25%?
86

96. Рост человека археологи могут определить даже по
отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости
составляет 22% роста человека, а локтевой кости составляет 16% роста
человека.
а) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной
39,3 см. Вычислите, каков был рост человека.
б) Как можно доказать, что локтевая кость длиной 20,3 см не
могла принадлежать тому же человеку?
Измерение геометрических величин
97. Учитель, а) Представьте себе мысленно отрезок АВ.
На нем лежит точка X. На какие отрезки разбивается отрезок АВ
этой точкой? б) На какие отрезки разбивается отрезок АВ двумя
точками X и У, лежащими на нем?
98. Учитель, а) Представьте себе мысленно прямую XY. На
ней отмечены две точки А и В. На какие фигуры эти точки разобьют
прямую? б) Дан луч ОХ. На нем отмечены две точки А и В. На
какие фигуры эти точки разобьют луч?
99. Учитель показывает учащимся чистый лист бумаги и
говорит: «На обратной стороне листа у меня начерчена одна из фигур:
отрезок, прямая, луч. Задайте только один вопрос и, услышав
ответ, скажите, что это за фигура».
100. Начертите отрезок АВ длиной 11 см. Отметьте на нем
точку С так, чтобы длина отрезка АС была на 1 см меньше, чем
длина отрезка СВ.
101. Степа Смекалкин начертил некоторый отрезок АВ. Затем
он начертил отрезок CD, длина которого на 1 см больше длины
отрезка АВ, потом отрезок MN, длина которого на 1 см меньше
длины отрезка АВ. Когда Степа сложил длины всех отрезков,
получилось 24 см. Найдите длины отрезков.
102. Игровой момент.
Учитель чертит на доске луч АХ, потом от точки А (начала
луча) откладывает 6 отрезков по 20 см. Затем левая часть
рисунка стирается (рис. 14). Имея линейку с делениями, надо
восстановить точку А.
103. а) Учитель чертит на доске отрезок АВ длиной 70 см.
Спрашивает учащихся, как отметить середину отрезка АВ. Когда
середину обозначили точкой X, учитель стирает часть отрезка с
обоих концов (рис. 15). Надо отметить на прямой точки Л и В.
б) Учитель чертит на доске отрезок CD длиной 90 см.
Спрашивает учащихся, как отметить на отрезке две точки X и У, чтобы
отрезок CD был разделен ими на три равные части. Когда точки
X и У отмечены, учитель стирает часть отрезка CD с обо-
—I \ I 1
X X
Рис. 14 Рис. 15
87

Рис. 16
их концов (рис. 16). Надо восстановить на прямой точки
С и D.
104. Витя Верхоглядкин провел 11 диаметров окружности.
Потом он подсчитал число проведенных радиусов, получилось 21.
Правилен ли его ответ?
105. В велосипедном колесе 20 спиц. А сколько будет
промежутков между спицами?
106. Степа Смекалкин построил окружность. Провел ее
диаметр АВ. Потом окружность стер. На листке остался только
отрезок (рис. 17). С помощью циркуля и линейки восстановите
окружность, которую стер Степа.
107. Сколько дуг на рисунке 18? А сколько секторов?
108. Учащимся показывается круг, вырезанный из бумаги.
Необходимо разрезать этот круг на две части так, чтобы они были
равны (т. е. при наложении совпали).
109. Ученику выдается набор моделей нескольких углов,
вырезанных из бумаги. Надо разложить их на столе в порядке
убывания градусных мер без использования транспортира.
110. На доске начерчены углы (рис. 19) и отдельно
записаны их градусные меры: 180°, 30°, 150°, 90°. Назовите
градусную меру каждого из углов.
111. Учитель показывает четырехугольник, вырезанный из
фанеры, острые углы которого равны 60° и 45°, а один из углов
прямой (рис. 20). Какие углы можно построить с помощью этого
четырехугольника?
112. Учитель начертил ААОВ= 120°, лучами ОС и OD
разделил его на 3 равных угла. Потом лучи ОА и ОВ были стерты
(рис. 21). Учащимся надо восстановить лучи ОА и ОВ.
ИЗ. Витя Верхоглядкин начертил квадрат и нашел его
периметр и площадь. Получилось Р = 20 см, S = 36 см2. Верно ли он
посчитал?
°У
М
88

Рис. 20
114. Игровой момент.
Учитель показывает учащимся лист бумаги, говорит, что на
обратной стороне листа начерчен квадрат, и предлагает учащимся
задать только один вопрос и, выслушав ответ, сказать, какова
длина его стороны.
115. В одной старинной математической рукописи шутливо
обсуждалась возможность асфальтирования дороги для муравья
(длиной 100 км и шириной 1 мм). Сможете ли вы найти площадь
этой дороги?
116. Учитель показывает квадрат со стороной 10 см,
вырезанный из плотной бумаги, и говорит:
— Сейчас я проверю ваш глазомер. Какова, по-вашему, длина
стороны этого квадрата? (Потом учащимся сообщается, что длина
его стороны равна 10 см.)
— Какова площадь этого квадрата?
— Как разрезать его на два равных прямоугольника? (Ученик,
вызванный к доске, объясняет и разрезает.)
Учитель прикладывает полученные прямоугольники (рис. 22, а).
— Какая получилась фигура?
— Чему равны длина и ширина этого прямоугольника?
— Чему равна площадь этого прямоугольника?
Учитель прикладывает полученные прямоугольники по-другому
(рис. 22, б).
— Какова площадь этой фигуры?
— Можно ли ответить на этот вопрос, не производя никаких
измерений?
117. Зрачок человеческого глаза может изменять свой диаметр
(в зависимости от яркости освещения) от 2 до 9 мм. Во сколько
раз расширенный зрачок пропускает больше света, чем суженный?
а)
Рис. 22

118. Землетрясения распространяются по земной поверхности
со скоростью до 800 м/с. Какую площадь может охватить
землетрясение через 1 минуту после своего возникновения?
119. Как определить количество спичечных коробков в ящике,
не распаковывая его, если один из таких коробков имеется?
120. Учитель показывает два прямоугольных
параллелепипеда, у которых нижние грани равны (чтобы показать это,
параллелепипеды прикладываются друг к другу этими гранями). Как узнать
без вычислений, объем какого тела больше?
121. Однажды на уроке учитель предложил Вите Верхоглядки-
ну найти площадь поверхности куба, который он держал в руках.
— Это очень просто,— бодро начал Витя.— Сначала измеряем
два ребра, исходящие из одной вершины. Первое равно 10 см, и
второе равно 10 см. Теперь найдем площадь этой грани: 10 смХ
X Ю см = 100 см2. Теперь измерим другие два ребра: первое
равно 10 см и второе равно 10 см. Перемножили их, будет 100 см2 —
это площадь второй грани.
Потом Витя точно так же измерил ребра оставшихся граней и
нашел их площади. Они оказались равными по 100 см2.
— Теперь,— продолжал Витя,— сложим все эти площади,
будет 600 см . Это и есть площадь поверхности куба.
Как же он был удивлен, что учитель не поставил ему
оценку «5». Как вы думаете, почему?
122. Из железа выплавили три куба с ребрами 3, 4 и 5 дм.
Потом их все расплавили и выплавили один куб. Как вы думаете,
чему равна длина его ребра?
Повторение. Решение задач
123. Степа Смекалкин составил такую задачу: «Летом мы всей
семьей как-то пошли в наш огород копать грядки. Меньше всех
вскопала грядок моя сестренка Лена. Я вскопал грядок больше,
чем она. Мама больше, чем я, а папа вскопал больше всех.
Сколько грядок вскопал каждый из нас, если всего было вскопано
10 грядок?» Попробуйте эту задачу решить устно.
124. В свободные клетки квадрата запишите такие числа, что-
а)
4
11
_8_
11
2
11
6)
1 Q
1Q
90

бы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали и диагонали
была бы равна: а) 1 —; б) 18—.
125. Придумайте такое число, которое при уменьшении его на
единицу разделилось бы без остатка на 2, 3, 5 одновременно.
126. Витя Верхоглядкин отыскал правильную дробь, которая
больше 1, но держит свое «открытие» в секрете. Почему?
127. Учитель. Я задумал некоторую дробь. Задайте мне
только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, правильная это
дробь или неправильная.
128. Назовите дробь, для которой одновременно выполняются
следующие условия: а) числитель — однозначное число; б)
знаменатель— двузначное число; в) знаменатель больше числителя в
50 раз.
129. Придумайте такое число, что если к нему прибавить 0,3,
то сумма будет меньше чем 5,9, а если от него отнять 0,3, то
разность будет больше чем 5,1.
130. Вместо квадратиков запишите такие выражения, чтобы
равенства были верными:
1) 5,3* + 2,1*+П =10*; 2) 7,3а-□ + 19,1а= 19,1а;
3) П+9,Зс-6,1с = 5с; 4) □ + 1,16+ D =2,16.
131. Вместо квадратиков запишите такие числа или
выражения, чтобы равенства были верными:
1) 0,Зл> □ -10 = 6*; 2) П-0,2.56 = 0,9а6;
3) \у7с-0АЬ-П\=\7аЬс; 4) П-0,5а.П=За.
132. Решите устно уравнение:
12-12-12 = 6-*.6.
133. Задача. Сумма двух чисел равна ... . Одно из них
в ... раз больше другого. Найдите эти числа.
Вставьте в условие задачи вместо точек такие числа, чтобы при
ее решении было составлено уравнение
* + 5*=108.
134. Задача. В магазин привезли мячи. Синих мячей было
в 2 раза меньше, чем красных. Сколько было мячей каждого
цвета, если всего их привезли ...?
Какое из чисел 29, 45, 67 надо записать вместо точек, чтобы
задача имела решение? Решите эту задачу.
135. Ученику выдается полоска из нелинованной бумаги. Как
без измерений отрезать от нее: а) 0,5 всей полоски; б) 0,25 всей
полоски; в) 0,75 всей полоски?
136. Ученику выдаются две полоски нелинованной бумаги. Как,
пользуясь линейкой, отрезать от большей полоски такую часть,
чтобы, приложив ее к меньшей полоске, получились равные
фигуры?
91

а)
Рис. 23
137. Игровой момент.
Дан прямоугольник, у
которого длина в 2 раза больше
ширины (рис. 23, а). Учитель
стирает с доски всю фигуру,
кроме боковой стороны (рис.
д) 23, б). Надо восстановить
фигуру.
138. Ученику выдается
кусок мягкой проволоки.
Пользуясь одним угольником, сложить из нее контур квадрата так,
чтобы концы проволоки сходились в вершине квадрата.
139. Учитель показывает учащимся прямоугольник со
сторонами 1 м и 1 см и квадрат со стороной 1 дм, вырезанные из бумаги,
и спрашивает: «Площадь какой фигуры больше?»
140. Ученику выдаются четыре фигуры, вырезанные из бумаги
(рис. 24). Площади этих фигур: 2 см2; 4 см2; 8 см2; 16 см2.
Учитель спрашивает: «Какую площадь имеет каждая фигура?»
141. Площадь какой заштрихованной фигуры больше (рис. 25)?
142. В бак кубической формы с ребром 1 м выливают ведро
воды (10 л). Какой высоты будет слой воды в баке?
Рис. 24
«N
ш
2см
Рис. 25
92

f 2. VI КЛАСС
Основное свойство дроби
1. Запишите в каждую из клеток таблицы по одному
натуральному числу, которое удовлетворяло бы обоим условиям:
Число
Простое
Составное
Четное
Нечетное
Кратное 5
2. Запишите в каждую клетку по одной цифре так, чтобы все
двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами, были
простыми и различными:
2
3. Витя Верхоглядкин должен был разложить на простые
множители числа 186, 367, 780. Он старательно трудился и к концу
урока подал учителю тетрадь с такими решениями:
а) 186 = 2.2-3.3.5;
б) 367 = 2.3-3.7;
в) 780 = 2-2.2.3.11.
К его удивлению, через несколько секунд тетрадь вернулась к
нему. Не сможете ли вы объяснить, как удалось учителю так
быстро установить, что все числа Витя разложил неверно?
4. Учитель. Я задумал число. Из следующих утверждений
о нем три верных и одно неверное. Это число: 1) двузначное;
2) простое; 3) полный квадрат; 4) кратно 7. Найдите задуманное
число.
5. Однажды учитель предложил учащимся следующую задачу:
«Таня купила в магазине яйца и положила их в небольшую
корзиночку. По дороге домой она сообразила, что число яиц
делится и на 2, и на 3, и на 5, и на 10, и на 15. Сколько яиц
купила Таня?» Витя Верхоглядкин поднял руку самый первый.
Когда его спросили, он с гордым видом ответил:
— Эта задача не имеет решения. Чтобы найти число яиц,
надо перемножить числа 2, 3, 5, 10, 15. Получится 4500 яиц. Разве
может в одной корзинке поместиться столько яиц?
А вы, ребята, согласны с его решением? Кто скажет, в чем
Витя ошибся?
93

6. Найдите двузначное число, которое одновременно кратно
3, 5, 7.
7. Вите Верхоглядкину учитель предложил выполнить
следующее задание: «Запишите все двузначные числа, сумма цифр
которых равна трем. Найдите наименьшее общее кратное этих
чисел». Витя все сделал, что требовалось, и записал ответ: 623.
Верен ли его ответ?
8. Числа 10, 12, х имеют наименьшее общее кратное,
равное 660. Каким числом может быть х?
9. Витя Верхоглядкин в школу идет — ч, а из школы — ч. Как
о 1и
вы это объясните?
10. Игровой момент.
Задумайте любую дробь. Умножьте числитель и знаменатель
на 10. Сократите полученную дробь на 2, потом полученную
дробь сократите на 5. У вас получится задуманное число.
Почему?
11. Степа Смекалкин задумал дробь, у которой знаменатель —
двузначное число. Сократил ее. Получилось —. Какую дробь
задумал Степа?
12. Из чисел 6, 15, 18, 45 выберите такие два числа, чтобы
составленная из них дробь была несократимой.
13. Игровой момент.
На столе учителя в произвольном порядке лежат 30 карточек.
На каждой из них записана одна из следующих дробей:
11111111111 11 1 1
2 ' 3 ' 3 ' 4 ' 4 ' 5
1 1 1L 1 1 1
12 ' 12 ' 12 ' 15 ' 20 '24
Учитель вызывает ученика и называет какое-либо натуральное
число, например 12, 24, 60 и т. д.
Задания:
1) выбрать две дроби, наименьший общий знаменатель
которых равен данному числу. Выбрать (и положить парами) все
такие дроби;
2) учитель подает карточку ученику, который должен
отыскать на столе еще такую дробь, чтобы наименьший общий
знаменатель этих двух дробей был бы равен названному учителем числу
(например, учитель подает карточку — и говорит: наименьший
1 о
общий знаменатель 60);
3) учитель дает ученику две карточки и предлагает найти
такие две дроби, чтобы у них был такой же наименьший общий
знаменатель, как и у заданных дробей.
94
5 '
11
24 '
6 '
19
24 '
6 '
7
30 '
8 '
23
36 '
8 '
19
60 '
9
31
60 '
1 9 '
79
100 '
10 '
1
120 '
10 '
119
120

14. Даны три цифры: 2, 5, 7. Из них можно составить
правильные дроби, например —•, — и т. д.
Составьте из этих цифр наибольшую и наименьшую
правильные дроби.
15. Игровой момент.
а) К доске выходят двое учащихся. Учитель предлагает им
называть дроби с числителем 1. Первый называет и записывает
любую дробь. Второй должен записать дробь, меньшую первой.
Первый должен записать дробь, меньшую, чем та, которую записал
партнер, и т. д. Учащиеся на местах проверяют. Игра
прекращается по сигналу учителя.
б) Та же ситуация, но один ученик называет дробь большую, а
другой — дробь меньшую, чем та, которую называет партнер.
Знаменатели не должны повторяться.
16. Запишите дробь -^-. Числитель и знаменатель этой дроби
умножьте на 3. Потом числитель и знаменатель дроби —
умножьте на 5. У вас получатся две дроби. Кто быстрее всех найдет,
чему равна их разность?
17. В следующих равенствах вместо звездочек запишите
знаки действий « + » или « —» так, чтобы эти равенства были
верными:
18. Используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4 по одному разу,
составьте такие дроби, чтобы их сумма была равна —.
19. Вставьте в пустые клетки квадрата такие дроби, чтобы
сумма чисел по любой горизонтали, вертикали и диагонали была
равна —.
2
15
1
12
1
10
95

20. Подставьте вместо квадратиков такие числа, чтобы
равенства были верными:
п
5 , [-1 3 _р 10+D _ft19_0D .
13 0 П _ 1 26-21 _ , _5__ 1 1
"^ зо "'зо"1
21. В каждый квадрат (рис. 26) запишите дробь, которая не
является натуральным числом и при умножении на --—дает натураль-
13
ное число.
22. Степа задумал правильную дробь. При умножении ее на
2 получилось натуральное число. Какую дробь задумал Степа?
23. Что больше: ~-~~ или ±.±.± ?
24. Игровой момент.
Вместо а (аФО) в равенство а-—=1 подставьте такое число,
чтобы полученное числовое равенство было неверным.
25. Произведение трех чисел равно ^-. Найдите первое из этих
чисел, если известно, что два других являются взаимно обратными.
26. Однажды Витя Верхоглядкин весь вечер пытался отыскать
две правильные дроби, которые были бы взаимно обратны, но
безуспешно. Почему?
27. Учитель записывает на доске выражение 2—•*•— и го-
э 11
ворит: «Вы можете назвать любое значение х, а я сразу же
назову значение данного произведения. Кто сможет сделать то же
самое?»
28. Витя Верхоглядкин записывал два числа, находил для
каждого из них обратное. Потом умножал все четыре числа.
И, странное дело, в произведении всегда получалось число 1.
Почему?
29. Витя Верхоглядкин записал
в тетради два натуральных числа.
Разделил первое на второе, полу-
. L -+ Натуральное ЧИЛОсь 0,7. Разделил второе на
/j число первое, получилось 0,13. Не
ошибся ли он?
30. Сможете ли вы подобрать
такое натуральное число, чтобы
рис 26 оно было корнем уравнения
96

15
^ Натурапь ное
число
31. В течение одной минуты
запишите как можно больше
уравнений, у которых был бы
корень -у.
32. В каждый квадрат
(рис. 27) впишите такое
натуральное число, чтобы при
делении — на него в частном полу- Рис. 27
1 о
чалось натуральное число.
33. Учитель. Я задумал два взаимно обратных числа. Их
частное равно —. Какие числа я задумал?
34. Напишите три дроби, произведение которых равно 1, а
каждая дробь не равна 1.
35. Каждое из чисел —, —, —, — , —, —- можно умножать
о У 4 12 о о2
на числа 2, 3, —, —, причем множители могут повторяться. В еле-
2 о
дующих равенствах впишите такие множители, чтобы эти равен-
о 112
ства были верными. Например, —-2-2- ———=—-.
2 3 3 3
1)
3)
5)
2
3 "
3 #
4
3
8 #
з ;
_ 1
~~ 9 '
1
4 '
2)
4)
6)
1
9 "
1
12"
27
32"
= 4;
_ 1
~~ 2 '
36. Какие числа можно записать вместо звездочек, чтобы
равенства были верными:
О * * Т * С * II
а) -5 =:_L. б) =— ?
; 8 * * 9 ' ' * 7 * 13 '
37. Вместо квадратиков подставьте такие дроби, чтобы
получилось верное равенство:
38. Произведение двух чисел равно 1. А сумма этих же
чисел будет больше или меньше 1?
39. Учитель. Я задумал правильную дробь. Задайте только
один вопрос, такой, что, выслушав ответ, сможете назвать эту
дробь.
40. Дробь — представьте в виде: а) суммы двух дробей
с различными знаменателями; б) разности двух дробей с
различными знаменателями; в) произведения двух дробей; г)
частного двух дробей.
4 Заказ 633 97

41. Игровой момент.
Тестовые вопросы.
Дана дробь —. Учитель коротко задает вопросы. Ученик
отвечает.
1) Дополнение до 1?
2) Больше или меньше — ?
3) Обрати в десятичную дробь.
4) Обратное?
5) Представь в виде суммы (знаменатели одинаковы).
6) Представь в виде суммы (знаменатели различны).
7) Представь в виде разности (знаменатели одинаковы).
8) Представь в виде разности (знаменатели различны).
9) Представь в виде произведения.
10) Представь в виде частного.
42. Игровой момент.
На доске таблица. Справа записана
некоторая дробь (например, -|ч. Учитель
указкой показывает число в таблице, ученик
должен найти устно -2- этого числа и назвать
о
результат. Например, учитель показывает
число 20, ученик говорит: «-^- от 20 равно 12».
Учитель показывает другое число и т. д.
43. В следующих утверждениях вместо звездочек запишите
такие числа, чтобы эти утверждения были истинными:
1) -|- от 70 равно *; 2) — от 15 равно 10;
3) 4~ от 30 равно 24; 4) -^- от * равно 18.
44. Витя Верхоглядкин написал в сочинении: «Полярники
проснулись от страшного треска. Их льдина раскололась пополам.
В следующий миг и от половины осталась лишь ее восьмая часть.
К утру от оставшейся льдины сохранилось не более сотой части.
К счастью, все постройки уцелели. А ведь считали, что эта
массивная льдина площадью 50 000 м2 вполне надежна». Почему
учитель назвал это сочинение математически безграмотным?
45. На одну чашку весов положен кусок мыла, на другую —
о
— такого же куска и еще гирька массой 50 г. Весы оказались
в равновесии. Какова масса куска мыла?
46. Игровой момент.
Учитель. Запишите любое натуральное число, кратное 5.
Найдите -|- этого числа. Скажите, сколько у вас получилось,
98
20
16
11
14
24
10
9
25
8

и я сразу назову задуманное число. Кто из вас может это сделать?
47. Витю Верхоглядкина вызвали на уроке к доске и
предложили решить следующую задачу: «Ребята сажали деревья два
дня. В первый день они посадили — всех деревьев, что состави-
о
ло 30 деревьев. Сколько деревьев они посадили во второй день?»
— Ну, это простая задача,— начал Витя.— Найдем сначала
одну третью от 30 деревьев, а потом две третьих, т. е. 30:3-2,
будет 20 деревьев. Потом из 30 вычтем 20, получится 10 деревьев.
(На доске запись: 1) 30:3-2 = 20; 2) 30 — 20=10 (д.).) Значит,
во второй день посадили 10 деревьев.
Согласны ли вы, ребята, с этим решением? Как надо
правильно решать эту задачу?
48. Игровой момент.
Учитель, а) Ребята, у меня в руках веревка, ее длина
160 см. Мне необходимо от нее отрезать кусок длиной 20 см, но у
меня нет под рукой линейки. И все же я могу отрезать требуемый
кусок. Как это сделать? б) Как от этой же веревки отрезать
кусок длиной 60 см?
49. Однажды ученые нашли в Индии древнюю
математическую рукопись. Их заинтересовала одна запись:
10
3
40
12
Впоследствии выяснилось, что индийцы-математики так
записывали пропорцию. Запишите ее в современном виде и проверьте,
верна ли она.
50. Какие числа можно вставить вместо квадратиков, чтобы
пропорции были верными:
а) П:-|-=.±.:П; б) -§-:□-□ :-±-?
51. Среди чисел 6, 9, 10, 12, 15 выберите четыре числа,
с помощью которых можно составить верную пропорцию.
52. Как найти толщину листа бумаги, на которой напечатан
учебник?
53. Пачка писчей бумаги в 500 листов имеет высоту 5 см.
Какой высоты получится столб из миллиона листов такой бумаги,
если их положить друг на друга?
54. Однажды Витя Верхоглядкин пошел с друзьями в поход.
За час они прошли 5 км. Витя быстро подсчитал, что за сутки они
пройдут 5-24=120 (км). Не ошибся ли он?
55. Верблюд в течение одного часа выдерживает груз массой
200 кг. В течение какого времени он выдержит груз массой 2 т?
56. Игровой момент.
Учитель. Представьте себе, что на Земле произошла
перепутаница и для процессов, описываемых прямой пропорциональ-
99

ностью, используют обратную пропорциональность и наоборот.
Тогда бы мы говорили:
— Чем больше купил конфет, тем меньше заплатил денег.
— Чем дольше горит свеча, тем она длиннее и т. д.
Сможете ли вы придумать подобные перепутанные
высказывания?
57. На контурной карте поставьте карандашом точку
диаметром 1 мм. Какие размеры будет иметь озеро круглой формы,
чтобы на карте оно изобразилось данной точкой?
Положительные и отрицательные числа
58. Однажды Витя Верхоглядкин в течение целого часа
пытался отыскать два противоположных числа, которые оба
были бы отрицательны, но безуспешно. Почему?
59. Витя Верхоглядкин утверждает, что нашел три неравных
числа, модули которых равны. Согласны ли вы с ним?
60. Игровой момент.
Учитель. Я задумал два противоположных целых числа.
Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, найдите эти числа.
61. Витя Верхоглядкин утверждает, что существуют два числа,
которые одновременно и противоположны и взаимно обратны.
Согласны ли вы с ним?
62. Игровой момент.
К доске выходят двое учащихся. Первый называет и
записывает любое число. Второй называет и записывает число,
модуль которого больше, чем модуль первого числа. Первый
называет и записывает число с еще большим модулем и т. д.
Учащиеся на местах проверяют правильность ответов. Игра
прекращается по сигналу учителя.
63. Игровой момент.
Учитель указывает на одного ученика, тот называет любое
отрицательное число. Учитель быстро указывает на второго
ученика, тот должен назвать число, меньшее первого. Учитель
указывает на третьего ученика, тот должен назвать число, которое
заключено между первыми двумя (т. е. больше второго числа, но
меньше первого). Повторить несколько раз.
64. Заполните таблицу. Для этого в каждую клетку впишите
число, удовлетворяющее обоим условиям.
Число
Положительное
Отрицательное
Больше
-3
Меньше
7
Больше
0
Меньше
0
Больше —1,
но меньше
1
100

©
-2
-4
1
G
(D
-6
-5
65. Игровой момент.
Ученик, вызванный к доске, называет и
показывает указкой по очереди то «красные»,
то «синие» числа, записанные в таблице
(«синие» числа в таблице обведены кружочком).
При этом «красные» числа надо называть в
порядке возрастания, а «синие» — в порядке
убывания, т. е. ученик должен назвать числа
в такой последовательности:
-6, 2, -5, 0, —4, -1, —2, -3, 1.
При первой же ошибке ученик садится на место и вызывается
другой.
66. Игровой момент.
Учитель стоит лицом к учащимся. Один из учеников
записывает на доске любое целое отрицательное число, большее —33.
Учитель утверждает, что, задав всего четыре вопроса, отгадает
записанное число. Сформулировав первый вопрос, учитель
указывает на одного из учеников. Тот отвечает. Если учащиеся не
согласны с его ответом, то они поднимают руки. Если же согласны,
то руку никто не поднимает и учитель задает второй вопрос
и т. д. Пусть, например, записано число —3. Учитель задает такие
вопросы: «Это число больше или меньше: 1) — 16; 2) —8; 3) —4;
4) -2?
67. Игровой момент.
Тестовые вопросы.
На доске записано целое отрицательное число, например —19.
Ученик должен быстро ответить на вопросы, которые учитель
задает в краткой форме.
1) Какое это число?
2) Его модуль?
3) Где располагается на координатной прямой?
4) Соседние с ним целые числа?
5) Два числа, меньшие его?
6) Два числа, большие его?
7) Противоположное число?
8) Расстояние между точками с координатами 19 и —19?
Арифметические действия над положительными
и отрицательными числами
68. Игровой момент.
Даны числа: —1, —2, —3, —4, —5, —6, —7, —8, —10.
Используя каждое число по одному разу, составьте три верных
равенства.
101

п
п
Рис. 28
69. Придумайте три отрицательных числа, сумма которых
больше чем — 1.
70. Игра в —10.
Играют парами. Первый записывает любое из чисел —1, —2,
— 3. Второй устно прибавляет к записанному числу любое из
чисел —1, —2, —3 и записывает результат. Первый устно
прибавляет к записанному числу одно из чисел —1, —2, —3 и
записывает результат и т. д. Выигрывает тот, кто запишет —10.
71. а) В клетки квадрата запишите четыре
числа так, чтобы сумма любых двух из них была
отрицательной.
б) В клетки квадрата запишите четыре числа
так же,как в а), но чтобы в одну из клеток было
записано какое-либо положительное число (например, 5).
72. Даны три числа. Два из них являются
противоположными. Найдите третье число, если сумма всех чисел равна —5.
73. Расставьте в квадратиках
(рис. 28) девять чисел из
следующих десяти: —5, —4, —3, —1,0,
1, 2, 3, 4, 5—так, чтобы сумма
чисел, лежащих в одном ряду,
была равна нулю.
74. В клетки квадрата
впишите такие числа, чтобы сумма чисел
по любой вертикали и горизонтали
была равна нулю.
75. Игра в —15.
Играют парами. На листе
записано число —15. Первый устно
прибавляет к нему одно из чисел 1, 2, 3
и записывает сумму. Второй устно
прибавляет к этому числу одно из
чисел 1, 2, 3 и записывает сумму и т.д.
Выигрывает тот, кто запишет
число 0.
76. Вите Верхоглядкину учитель
предложил выполнить дома
следующее задание: найти сумму всех
целых чисел от —499 до 501. Он в обычное время садится за
работу, однако дело идет очень медленно. Тогда на помощь
приходят мать, отец, сестра и брат. Вычисляли, пока от усталости не
стали смыкаться глаза, и при этом ругали неразумного учителя,
задающего маленьким детям такие задачи.
А вы, ребята, как бы решили эту задачу? Напомню, что
надо найти значение выражения —499 + ( —498) + (—497) +
+ ( — 496)+... + 497 + 498 + 499 + 500 + 501.
102
-3
7
5
3

4
-3
3
— 11
0
5
-7
-1
-9
-8
12
-5
2
-4
-6
11
77. Сумма четырех чисел, стоящих
в одном ряду (по вертикали,
горизонтали, диагонали), равна: а) —10; б) —24.
Назовите эти числа.
78. Подставьте вместо квадратиков
такие числа, чтобы равенства оказались
верными:
а) 627 + П =0;
б) 315-819+П =315;
в) □ +472 + □ =472;
г) 381-П =-19.
79. Замените звездочки знаками « + » или «—» так, чтобы
получились верные равенства:
1) 7,2* (-5,3)= 12,5; 2) -3,7 * (-6,4)= - 10,1;
3) 3,6* 8,1 = -4,5; 4) -4,9 * 1,7= -3,2;
5) _б,1 * (-2,3)* 3,8 = 0; 6) 3,9 * 7,4 * (-9,3)= - 12,8.
80. Вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы
получились верные равенства:
1) _9-12 = 9-П; 4) П + П = -8;
2) -2+П = П-3; 5) П-П = -8.
3) □ -7 = 13-П;
81. Учитель записывает на доске числа —3, 5, —7 и говорит:
«Я сложил два числа и от полученной суммы отнял третье. В
результате у меня получилось некоторое отрицательное число.
Какое?»
82. Игровой момент.
Задумайте два числа. Из первого вычтите второе, результат
запишите. Теперь из второго вычтите первое, результат запишите.
Сложите результаты, получится 0. Почему?
83. Игровой момент.
Учитель дает ученику, стоящему у доски, карточку, на которой
записано какое-либо целое число, например —3. Один из
учащихся называет любое целое число, например — 5. Ученик у доски либо
прибавляет это число к записанному, либо отнимает это число от
записанного. Например, прибавляет, тогда на доске пишет:
— 5->- —8. Второй ученик называет целое число, например 4.
Ученик у доски опять либо прибавляет это число к —3, либо
вычитает его из —3. Если отнимает, то на доске пишет: 4-^—7.
Учитель контролирует правильность ответов. Учащиеся должны по
этим записям назвать число, записанное на карточке.
84. В следующих равенствах расставьте скобки и знаки « + »
или «—» так, чтобы соблюдался порядок действий,
указанный римскими цифрами, и равенства оказались верными:
103

®
а) 7
= -25.
13
15=-3; б) -9
15
4 =
85. Запишите в клетки квадрата числа
-1, 2, -3, -4, 5, —6, -7, 8, -9 так,
чтобы по любой горизонтали, вертикали и
диагонали произведение чисел было бы
положительным.
86. Перемножаются все целые числа
от —1 до — 5 включительно. Будет ли их
произведение больше 100?
87. Даны 5 чисел: —9, —2, б, —3, —5.
Выберите из них такие 4 числа, чтобы их
произведение было положительным. Найдите это произведение.
У всех получилось 270. Почему?
88. Число —2 разделите на такое число, чтобы частное было
числом: а) обратным делимому; б) противоположным делимому.
89. Однажды Витя Верхоглядкин заинтересовался таким
вопросом: можно ли найти два числа, чтобы их частные были равны,
т. е. а: Ь = Ь: а? Ясно, что если числа равны, то и частные их равны.
А существуют ли неравные числа, обладающие этим свойством?
Витя целый вечер искал такие числа, но так и не смог их найти.
Поэтому он сделал вывод, что таких чисел не существует. Согласны
ли вы с ним?
90. Можно ли в выражение ^ф§- вместо а подставить такое
а-\-Ь
целое число, чтобы значение числового выражения тоже было
целым числом?
91. Витя Верхоглядкин отыскал два числа, произведение
которых больше нуля, а частное меньше нуля. Сможете ли вы назвать
такие числа?
92. Игровой момент.
На доске записаны следующие примеры:
-2,5-3= 5,3-(-2)= -5,5-(-4)= —7,1 -10 =
—15,3:( —3)= 20,5:(25) = -27,9:9= - 15,2:10 =
Учитель называет число, а учащиеся находят, результатом
какого действия это число является. Например, учитель говорит:
— 3,1. Ученик отвечает: —27,9:9=—3,1. Повторить несколько
раз.
93. Игровой момент.
Учитель. Я задумал два числа. Задайте только один вопрос
и, выслушав ответ, скажите, одного знака эти числа или нет.
94. Степа Смекалкин записал 3 числа: —3, —9, 5. Используя
эти числа, Степа составил некоторое числовое выражение и
нашел, что его значение равно —24. Запишите полученное
равенство.
104

95. Замените звездочки знаками действий так, чтобы
равенства получились верными:
а) —3,2 * 5= — 16;
б) -9,1 * (— 10) = 91;
в) (-3,2* 7,4)* (-6)=-25,2;
г) -1,1 * (-7,3* 2,7)* (-4)=-44.
96. Между числами —3; 2; —5 поставьте такие знаки
действий, чтобы получилось число: а) возможно большее; б) возможно
меньшее.
97. а) Сумма двух чисел (каждое из которых отлично от нуля)
равна нулю. А произведение этих чисел будет больше или меньше
нуля?
б) Произведение двух чисел равно нулю. А сумма этих чисел
будет больше или меньше нуля?
98. Игровой момент.
Даны 9 чисел: —9, —7, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2. Используя
эти числа и все знаки действий, составьте как можно больше
верных равенств. Например, —9 —( — 7)= —2; —2-(— 1) = 2. Одно и
то же число можно использовать несколько раз.
99. Игровой момент.
Учитель. Запишите любое целое число. Прибавьте к нему 5,
запишите полученное число. Прибавьте к первому числу —5 и
запишите полученное число. У вас будет записано три числа.
Сложите их и сумму разделите на 3. У всех получится задуманное число.
Почему?
100. Игровой момент.
Тестовые вопросы.
На доске записаны два целых числа, например — 11 и 3.
Ученик быстро отвечает на вопросы, которые учитель задает
в краткой форме (см. с. 14).
1) Модули?
2) Какое число больше?
3) Два целых числа между ними?
4) Два числа, меньшие обоих чисел?
5) Два числа, большие обоих чисел?
6) Сумма чисел?
7) Разность?
8) Произведение?
9) Частное?
10) Среднее арифметическое?
Рациональные числа
101. а) Даны три дроби: -|-, -^-, -^-. Две из них
перемножили, получилось —. Какие дроби перемножили?
105

б) Даны четыре дроби: —, —, —, —. Три из них пере-
о 7 11 13
о
множили, получилось —. Какие дроби перемножили?
102. Однажды на уроке Витя Верхоглядкин выполнял
следующее задание: «Найдите значение выражения 2*\'^Л >.
1 ,о • 4,о
— Это очень просто,— начал Витя.— Перемножим числа,
стоящие в числителе, получим 9,36. Перемножим числа, стоящие в
знаменателе, получим 6,24. Теперь разделим первое число на
второе. В частном будет 1,5. Это и есть ответ.
Однако, несмотря на то что ответ был правильный, учитель
снизил Вите оценку за такое решение. Почему?
103. Придумайте такие два числа, чтобы их произведение
было равно 1, а сумма была бы меньше 1.
104. Даны четыре числа: —^-, ^-, —^-, —]-. Три из них
О 4 о 2,
сложили. В сумме получилось целое число. Какое?
105. В следующих равенствах вместо квадратиков запишите
такие числа, чтобы эти равенства оказались верными:
а) П-^-3-5 4^=4--П 3_5 ;
б) _9^+П^_(9П_П^) = _
35 / 35 *
106. В следующих равенствах поставьте знаки действий и
скобки так, чтобы эти равенства были верными (римские цифры
показывают порядок действий):
v 1©5©12П .v 2 ® 5 © t 7 ,
а) ~т * тт * 1т=0; б) т * т * 1тг=~1-
107. На прямой отмечена точка А. На этой же прямой
отметьте точку О так, чтобы А (— 4). Единичный отрезок возьмите в
1 см.
108. Восстановите координатную прямую, т. е. отметьте точку
О, найдите единичный отрезок и направление (рис. 29).
109. Игровой момент.
На уроке используется переносная демонстрационная доска
(вырезанная из фанеры), на которой изображена координатная
■4-
J -2 5-4 -2
а) 6) в)
Рис. 29
106

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -J -2 -1
Рис. 30
прямая, а на шнуре укреплена подвижная точка или две точки
разного цвета (рис. 30).
1) Учитель (ученик) укрепляет точку, учащиеся называют
ее координату.
2) Учитель (ученик) называет число, учащиеся укрепляют
точку с данной координатой.
3) Учитель (ученик) укрепляет точку, учащиеся укрепляют
другую точку так, чтобы их координаты были противоположны.
4) Учитель укрепляет две точки, спрашивает, какое число
меньше; больше; на сколько единиц.
110. Игровой момент.
На доске записано расстояние между точками, например
5 единичных отрезков. Учитель называет любое число, которое
будет означать координату одного из концов отрезка, и указывает
на ученика. Тот должен назвать такое число (координату), чтобы
расстояние между точками с этими координатами было равно 5.
Повторить несколько раз.
111. Найдите координаты точек Л и В, если известно, что
расстояние между ними равно 8 единичным отрезкам, а координата
точки С — середины отрезка ЛВ, равна 3.
Прямоугольная система координат на плоскости
112. Учитель. Я построил на доске прямую и
перпендикуляр к ней.
а) На этом перпендикуляре отметил две точки Л и В, а.на
прямой — точку С (рис. 31, а).
Потом учитель стирает прямые, сохранив указанные точки
(рис. 31, б), и предлагает учащимся восстановить прежний
рисунок, используя угольник.
В
а) Рис. 31 5)
107

■ , с ,
-6 -« -2
-2
-6
Рис. 32
0 2
б) Аналогично на прямой
отметил две точки М и N, а на
перпендикуляре—одну точку Р.
113. Ученику выдается лист
щВ бумаги произвольной формы и
< ^£ ^ предлагается дважды перегнуть
д • ЭТОТ ЛИСТ, ЧТОбЫ ПОЛуЧИЛСЯ ПрЯ-
' J мой угол.
114. а) На доске начерчен
#f прямоугольник A BCD. Учитель
стирает его, сохранив три
вершины А, В, С. Надо
восстановить прямоугольник.
• S б) Аналогично у квадрата
остаются две вершины
(которые не являются
противоположными).
Построение проводить с
помощью угольника и циркуля.
115. На доске начерчен квадрат ABCD.
а) Учитель отмечает на одной из его сторон точку Ху
например на стороне АВ. Потом стирает квадрат, оставив точки Л, X, С.
Восстановите квадрат с помощью угольника и циркуля.
б) Аналогично отмечены точки X и Y на противоположных
сторонах. Остаются точки Л, Ху Y. Надо восстановить квадрат.
116. Туристы, пройдя от пункта Л на юг 3 км, а затем 5 км
на восток, попали в пункт В. Сделайте рисунок в масштабе и
измерьте расстояние между точками Л и В.
117. На координатной плоскости отмечены точки Л, В, С, D, £,
F, О, Р, /?, S (рис. 32). Витя Верхоглядкин записал их координаты
так:
Л (-2; 4), В (2; 3), С (-5; 0), D (4; 1), £(0; 2),
f(3; -3), О(0; 0), Р(-7; 3), S (3; -7), /?( —3; -6).
Верно ли он их записал?
118. Постройте на координатной плоскости точки:
а) Л(-4; -2), В(-3; -1), С(-2; 0), D(-l; 1);
б) М(2\ 6), JV(3; 4), Р(4; 2), /((5; 0);
в) Х{-2\ -5), Y (-2; -2), Z(-2; 1).
Эти точки располагаются в определенной последовательности.
Уловив ее, отметьте еще 2—3 точки. Назовите их координаты.
119. За одну минуту отметьте на координатной плоскости как
можно больше точек, у каждой из которых сумма абсциссы и
ординаты: а) равна 5 (т. е. х+у = Ь)\ б) равна —3 (т. е. х + у= — 3).
120. На листе бумаги отмечены две точки Л и В. Начертите
на этом листе такую систему координат, чтобы Л (2; 3) и В ( — 2; 3).
121. Составьте рассказ по следующему графику движения
(рис. 33).
108

10
t;
Время, ч
Рис. 33
Линейные уравнения с одним неизвестным
122. Найдите такое число, которое каждое из следующих
уравнений обращает в верное равенство: 7х — 3 = 3*+17; 3 (3* — 5) =
= 8*-10; 8х-6х=10.
123. Используя верное равенство 5-2 — 3 = 2-3+1, составьте
уравнение, корень которого равен: а) 2; б) —3.
124. Придумайте задачу, при решении которой составляется
следующее уравнение: х + 2х = 30. Решите ее устно.
125. Два ученика решали задачу: «Турист за два дня прошел
32 км, причем за второй день он прошел на 2 км меньше, чем за
первый. Какое расстояние он прошел за первый день?» Оба
ученика верно составили уравнения. Но эти уравнения оказались
разными: 1) х + х — 2 = 32; 2) jc + jc + 2 = 32. Почему? Решите
задачу указанными способами.
126. Один ученик решал задачу, которая начиналась
словами: «За три дня в магазине было продано 720 кг яблок». Он
составил следующее уравнение: jc + 2jc + 3jc = 720. Используя эти
данные, сформулируйте задачу полностью и решите ее.
127. По чертежу, приведенному на рисунке 34, составьте
задачу, чтобы ее решение привело к уравнению 2jc + 6jc = 32. Решите
задачу.
128. Витя Верхоглядкин задумал число. Потом он: 1) умножил
его на 2 и к произведению прибавил 2; 2) умножил его на 3 и к
произведению прибавил 3; 3) умножил его на 4 и к произведению
прибавил 4; 4) умножил его на 5 и к произведению прибавил 5.
Неожиданно все результаты
оказались равными. Какое
число задумал Витя?
129. Вместо квадратиков
запишите такие выражения,
чтобы получились верные равенства:
X КМ/Ч
Зх км/ч
32 км
Рис. 34
109

=6jc; 2) 5а-9а + □ + а = -6а;
3) jo/ — 2ху + 3ху — П =— jo/; 4) Ъас — 7ас + 3ас= □ — 4аг,
5) П+3*/+П=6*/; 6) П + П + П=-2*.
130. Каждое из выражений —4а; —За; —2а; —а; 0; а; 2а; За;
4а запишите в клетки квадрата так, чтобы после приведения
подобных членов по любой горизонтали, вертикали и диагонали
получился нуль.
о
а
0
4а
2)
2а
4а
За
3)
-За
За
131. Игровой момент.
Используя каждое из выражений —5а; —За; —а; 0; а; 2а; 4а
по нескольку раз, составьте как можно больше верных равенств.
Например, —За + 2а=—а; 4а + 2а — 5а = а.
132. Витя Верхоглядкин придумал такую игру. Он задумывал
любое число а. Умножал его на 3, полученное произведение
умножал на 7. Результат записывал. Затем он задуманное число а
умножал на 4, полученное произведение умножал на 5. Результат
записывал. И потом из первого вычитал второе. У него всегда
получалось задуманное число. Почему?
133. В первом шкафу было х книг. Во втором шкафу — в 2 раза
больше, чем в первом, т. е. 2х книг. В третьем шкафу — в 2 раза
больше, чем во втором, т. е. 2«2* = 4* (книг). В четвертом
шкафу — в 2 раза больше, чем в третьем, т. е. 2-4jc = 8jc (книг).
Сколько книг было во всех шкафах вместе, если в первом шкафу 12 книг?
134. Игровой момент.
Выражение 24ab представить в виде: а) суммы двух слагаемых;
б) произведения двух множителей. Например:
a) 24ab = 20ab + 4ab\ б) 24ab = l2a-2b.
135. Игровой момент.
Тестовые вопросы.
На доске записано выражение —18а. Учитель кратко задает
вопросы ученику, который должен отвечать быстро.
1) Коэффициент?
2) Разбей на два одинаковых слагаемых.
3) Разбей на два неодинаковых слагаемых.
4) Разбей на три одинаковых слагаемых.
5) Разбей на три неодинаковых слагаемых.
6) Разбей на два множителя.
по

7) Разбей на три множителя.
8) Найди значение —18а, если а=\у а = 0, а= — 2.
136. Игровой момент.
Учитель. Задумайте число, вычтите из него 5 и т. д. по
формуле ((* —5)-( —2)+12—14):2 + *.
В результате получится 4. Почему?
137. Однажды Витя Верхоглядкин получил на дом такое
задание: «Найдите значение выражения
3(2* —8) —4(1,5* —8,5)
при х= 1; —3; 5». Витя принялся за работу. Он подставил в
данное выражение вместо буквы х число 1, выполнил действия,
получил 10. Подставил число —3, получил 10. Подставил 5, и у него
опять получилось 10. «Какое странное выражение,— подумал
Витя,— всегда получается 10. Но я найду такое число, чтобы
значение этого выражения оказалось равным другому числу». И он
стал вместо х подставлять разные числа. Но, к его удивлению, в
ответе всегда получалось 10. Он просидел весь вечер, но так и не
добился своего. Как вы думаете, ребята, почему?
138. Игровой момент.
Учитель. Решив дома уравнение
0,2-5 (3,2*-1) = (13-25*)-0,4,
вы узнаете номер домашнего задания.
139. Один ученик решал задачу, которая заканчивалась
словами: «Найдите эти числа». Он составил такое уравнение:
* + (*+ 1) + (* + 2) + (х + 3)= _ 14. Используя эти данные,
сформулируйте задачу и решите ее.
140. Игровой момент.
Запишите любое двузначное число. Поменяйте в нем местами
цифры — получится второе число. Сложите эти числа. Полученное
число кратно 11. Почему?
141. Витя Верхоглядкин, выполняя домашнее задание, решил
уравнение так: 15х — 30= \2х — 24; 15 (* — 2)= 12 (* — 2); 15=12.
Ответ: решения нет. В чем его ошибка?
Повторение. Решение задач
142. Запишите такие три дроби с различными знаменателями,
чтобы их сумма была равна 1. Например,
6 ^ 3 ^ 2 *
143. Используя каждое из чисел 3, 6, 7, 14 по одному разу,
составьте такие две дроби, чтобы их разность была равна нулю
(4 способа).
Ш

144. Вместо квадратика в выражении 3—-5—• П запишите
такое число, не равное нулю, чтобы полученное произведение
легко было найти устно.
145. Придумайте такие две дроби, чтобы их произведение было
равно 1, а сумма была бы равна 7^-.
146. Подставьте вместо звездочек такие числа, чтобы
равенства были верными:
\ 9-L |-^_ — _!_ i2. 7-2 __ 14 л—•
' 20 21-~20* * — 1-3~~ 3 Т'
24 25
25
1-1
0.5
-'*
2
7
0
1
-3,7
147. Старинные задачи.
а) Лев может съесть овцу за 2 ч, а волк — за 3 ч. За
сколько часов они съедят ту овцу вместе?
б) Лев может съесть овцу за 2 ч, волк — за 3 ч, а собака —
за 6 ч. За сколько часов они съедят ту овцу вместе?
148. Игровой момент.
а) Учитель предлагает
внимательно рассмотреть таблицу и
мысленно назвать данные числа в
порядке возрастания. Один из
учеников называет (и показывает) числа
в порядке возрастания, потом в
порядке убывания.
б) Учитель указывает на любое
число, ученик называет ему
противоположное. Потом ученик называет обратное число.
в) Учитель чередует: показывает число и спрашивает, какое
число ему противоположно, показывает другое число и
спрашивает, какое число ему обратно, и т. д.
149. Игровой момент.
Учитель. Я задумал число. Задайте только один вопрос,
чтобы, услышав ответ, вы смогли назвать знак задуманного мною
числа.
150. Игровой момент.
В клетки квадрата записаны числа —5, —3,
-2, 4.
а) Из них можно взять любые два числа и найти
их сумму или разность. Например, — 5+( — 2)= —7.
Учитель называет число, например —6, а ученики
должны устно составить и назвать равенство, в
котором сумма или разность чисел (из данных) равна
— 6: —2 — 4=—6. Учитель называет другое число, ученики
отвечают и т. д. Если можно составить два различных равенства
112
-5
-3
4
-2

(например,—5 + 4= —1 и—3 —( —2)= —1),тоучительпредлага-
ет назвать оба равенства, причем равенства, в которых слагаемые
отличаются только порядком следования (например, выражения
— 5 + ( — 3)= —8 и — 3 + ( — 5)= —8), не считаются различными.
б) То же, но числа либо умножают, либо делят.
151. Степа Смекалкин записал в тетрадь три числа: —5; —9;
— 3. Потом составил из них числовое выражение и нашел его
значение. Получилось 1. Какое числовое выражение составил Степа?
152. В следующих равенствах расставьте скобки и знаки
действий так, чтобы соблюдался порядок действий, показанный
римскими цифрами, и равенства оказались верными:
а) 4® 7®5 ©9=12;
(и) CD (ffj)
б) -3 ^ 5 ^ 8 ^ 10= -1.
153. Среди четырех чисел три обладают одним свойством, а
четвертое не обладает. Оно как бы лишнее. Например, даны
четыре числа: 2; 8; 11; 14. Из них лишнее число 11, так как
это — единственное число, которое нечетно (остальные три числа
четные). Найдите в каждом следующем ряду чисел одно лишнее:
1) 5, 13, 21, 37; 2) 6, 14, 19, 27;
3) 4, 9, 12, 16; 4) 5, -11, 12, 23;
5) -4, -7, -9, 11.
154. Даны два двузначных натуральных числа а и b (a>b\
запишите в порядке возрастания числа:
а + Ь, а — Ьу Ь — а, aby -£-, —.
о а
155. Ученику выдается кусок мягкой проволоки длиной около
20 см и предлагается, используя угольник, сложить из
проволоки контур прямоугольника так, чтобы концы проволоки сходились
в одной из вершин прямоугольника.
156. В скобках запишите такие выражения, чтобы равенства
были верными при любых значениях букв:
а)х + ( ) = ауб)с-Ь+( ) = rf; в) у-а-( )=-Ь.
157. Однажды на уроке Витя Верхоглядкин получил
следующее задание: «Можно ли сказать, что всегда: 1) а больше —а?
2) х меньше 2х? 3) с больше т!г?» Витя на эти вопросы
ответил так:
1) а всегда больше —а, так как положительное число больше
отрицательного; 2) х всегда меньше 2х, так как 2х это х да
еще ху а это больше, чем один х\ 3) с всегда больше -~, так как
десятая часть числа меньше самого этого числа.
Но все ответы Вити оказались неверными. Учитель даже
сказал, что он забыл про отрицательные числа. А как бы вы ответили
на эти вопросы?
из

f 3. VII КЛАСС
Алгебра
Линейные уравнения
1. Число 11 является корнем только одного из следующих
уравнений:
Назовите это уравнение.
2. Витя Верхоглядкин решил однажды уравнение 5х — 20 =
= 9х — 36 так: вынесем за скобки в левой части уравнения число
5, а в правой части — число 9. Получим 5 (х— 4) = 9(х— 4).
Разделим обе части уравнения на одно и то же число х — 4.
Получим 5 = 9. Так как это равенство неверное, то делаем вывод:
уравнение корней не имеет.
Согласны ли вы с этим решением? Почему?
3. Игровой момент.
Используются только уравнения вида ах-\-Ь = с. На доске
записано уравнение 7х — 4=10. Его корень 2. Из трех чисел 7; —4;
10 первое отбрасывается, а остальные два используются для
составления нового уравнения: —4#+10 = ... . В правой части
надо записать такое число, чтобы полученное уравнение тоже
имело корень 2. Это число 2. И т. д. Третье уравнение будет
10*+ 2 = 22, четвертое 2х + 22 = 26 и т. д.
Дано уравнение 3* + 8= — 7.
Записать с помощью приведенного выше способа как можно
больше уравнений, имеющих корень —5.
4. Игровой момент.
Учитель. Найдите корень уравнения Зх + 5 = 7х— 11.
Учащиеся. 4.
Учитель. Смотрите! Я стираю два числа 5 и 7, получаю
запись: Зх+ = х—11. Теперь я хочу записать вместо стертых
чисел такие, чтобы полученное уравнение имело корень 5. Какие
числа я могу записать?
Учащиеся. В правой части можно записать любое число
(кроме чисел 7 и 3 — почему?), например 2. Тогда в левой части
уравнения надо записать число —16.
114

Учитель. Вернемся к первому уравнению: 3jc + 5 = 7х — 11
Я могу стереть и другие два числа, например 3 и 11, или 5 и 11,
или 3 и 7. Внимание! Запишите новое уравнение, такое, чтобы
оно имело корень —4. Кто больше запишет таких уравнений?
5. Ученик решал задачу, которая начиналась словами: «Турист
за три дня прошел 91 км». Он составил уравнение:
Восстановите условие задачи и решите ее.
6. В одном научно-фантастическом рассказе говорится, что
на Земле произошла катастрофа и все процессы замедлили свой
ход в 300 раз. Какова была бы на Земле скорость поезда (60 км/ч),
пешехода (3 км/ч), самолета (1500 км/ч)? Будет ли это
замедление функциональной зависимостью?
7. Запишите загадки, пословицы, поговорки, основанные на
функциональной зависимости.
Приведите примеры интересных нефункциональных
зависимостей.
8. Представьте, что на координатной плоскости отмечена
точка А (5; 3). Ее сдвинули на 2 единицы вниз, а потом на 3
единицы влево. Получили точку В. Назовите ее координаты.
9. Игровой момент.
За одну минуту отметьте на координатной плоскости как можно
больше точек, у каждой из которых:
а) сумма абсциссы и ординаты равна —2;
б) разность абсциссы и ординаты равна 3.
10. Отметьте на координатной плоскости указанные ниже
точки. Они располагаются в определенной последовательности.
Догадайтесь в какой и отметьте еще три точки, соблюдая эту
последовательность. Назовите координаты этих точек.
1) Л (-4; 2), В(-3; -1), С(-2; 0), D(-l; 1);
2) М(2; 6), yV(3; 4), Р (4; 2), /((5; 0), L (6; -2);
3) Х( — 9\ -5), У(-9; -2), Z(-9; —1).
11. Отметьте на координатной плоскости точки, заданные
координатами. Соедините их отрезками в порядке следования. Тогда вы
получите изображение страшного зверя. Какого?
(5; 1), (6; 2), (6; 3), (5; 6), (4; 7),
(5; 8), (6; 8), (8; 9), (9; 9), (7; 8),
(9; 8), (6; 7), (7; 6), (9; 6), (11; 5),
(12; 3), (12; 2), (13; 3), (12; 1),
(7; 1), (8; 2), (9; 2), (8; 3), (6; 1),
(5; 1) и (5; 7).
12. Чтобы построить график линейной функции, Витя Верхо-
глядкин нашел координаты двух точек: А (— 3; 3) и В (3; —3).
Запишите формулу этой функции.
115

13. Учитель. Один из ученых сказал, что в настоящее
время поверхность Луны лучше изучена, чем «внутренность» Земли.
Однако известно, что каждые 100 м в Земле температура
повышается на 3 °С. Писателей-фантастов часто привлекала тема
путешествия к центру земного шара. Но возможно ли это? Давайте
посчитаем. Пусть температура почвы 0 °С. Какова будет
температура Земли на глубине 100 м, 200 м, 500 м, 1 км, 30 км, 100 км,
1000 км? Будет ли эта зависимость функцией? Запишите ее
формулу. Узнайте, какую температуру выдерживают самые
жаростойкие материалы. Сделайте вывод.
14. Некоторая линейная функция задана таблицей:
X
У
2
-8
1
— 4
0
— 2
1
1
2
4
Задайте ее формулой, если известно, что одно из значений
функции записано неверно.
15. Игровой момент.
Ученик выходит к доске, задумывает линейную функцию и ее
формулу записывает на карточке. Ученики должны отгадать эту
формулу. Они по очереди задают значения х. Ученик записывает
значение х на доске в таблице и сразу же пишет
соответствующее значение у. Потом следующее значение х и т. д.
Выигрывает тот ученик, который первым назовет формулу задуманной
функции. Чтобы задать значение ху ученики поднимают правую
руку, чтобы назвать формулу — левую.
16. На доске записаны 8 чисел: —5,6, —1,3, —4,9, —10, 18.
Заключите в скобки такую пару чисел, чтобы она была
решением линейного уравнения 2х — Зу=— 35.
17. Дана пара (— 3; 7). Запишите еще две пары, такие, чтобы
все три пары были решениями одного и того же линейного
уравнения с двумя неизвестными.
18. Даны координаты шести точек: Л ( — 5; —10), В (3; 6),
О(0; 0), С(—1; —4), D (4; 8), £( — 3; —6). Пять из них
лежат на одной прямой. Назовите координаты шестой точки.
19. Степа Смекалкин записывает два уравнения с двумя
неизвестными и сразу же записывает пару чисел, которая является
решением обоих уравнений. Как это ему удается сделать?
20. Однажды Витя Верхоглядкин «доказал», что 4=8. Он ре-
шил систему уравнений < 9 у_ способом подстановки:
[X-Z 2
2^2 —
= 8; 4 = 8. Где ошибка?
116

21. Степа Смекалкин решал некоторую систему уравнений. В
одном из уравнений он выразил у через х и подставил полученное
выражение вместо у в другое уравнение. Получилось —4jc + 5X
X ~ * =60. Восстановите систему уравнений и решите ее.
22. Учитель. Задумайте два числа. Найдите их сумму и их
разность. Результаты сообщите мне, и я назову задуманные числа.
Кто сможет это сделать?
23. Учитель. Сейчас вы увидите только часть решения
некоторой задачи. Попробуйте по этой части сформулировать всю
задачу и решить ее: «Пусть стороны прямоугольника будут х и у см.
f x — y = 4,
12(jc + (/) = 20».
24. Учитель. Сейчас вам будет предложена необычная
задача. Вам будет известна только часть условия (рис. 35) и система
в
Рис. 35
уравнений, которая получается при решении этой задачи, а вам
надо будет восстановить всю задачу и решить ее.
+ </).2 = 280,
-14^ = 280.
Степень с натуральным показателем
25. Десять секунд на размышление.
1) Витя Верхоглядкин однажды написал число, которое
больше своего квадрата. Возможно ли это?
2) Число З5 представили в виде суммы слагаемых, каждое из
которых равно 3:
Сколько слагаемых получилось?
3) Сократите дробь
524
26. Из чисел 2, 3, 5 берутся любые два и составляется
степень, основание которой равно одному из этих чисел, а показа-
117

тель — другому (например, З2). Составьте все возможные степени
и запишите их в порядке возрастания.
27. В Древней Индии была такая легенда. Стоит камень
размером в кубический километр, в миллион раз тверже алмаза. Один
раз в миллион лет к нему прилетает птичка и трется клювом о
камень. В конце концов в результате этого камень износится. Как
вы думаете, сколько лет понадобится для того, чтобы камень
износился до основания?
28. Упростите выражение
2и+2и+212
29. Игровой момент.
Играют двое. Первый записывает одну из степеней: а2 или а3.
Второй задумывает одну из степеней: а2 или а3 — и умножает ее на
записанную степень. Результат пишет рядом. Первый задумывает
одну из степеней: а2 или а3 — и умножает ее на степень, которая
записана последней, и т. д. Кто запишет а10, тот выиграл.
30. Игровой момент.
Учитель задумывает какую-нибудь степень с основанием а.
Ученик называет любую степень с тем же основанием. Учитель
либо делит задуманную степень на предложенную, либо умножает
и записывает результат. Например, учитель задумал а30. Ученик
назвал а11. Учитель пишет на доске: а11-*-а19. Значит, он мог
задумать либо степень а8, либо степень а30. Другой ученик
называет степень с тем же основанием, например а . Учитель пишет:
а5 ->- а35. Значит, он задумал степень а. Ученики должны
отгадать задуманную степень.
31. Игровой момент.
Квадрат разделен на девять клеток. В центре записана
какая-нибудь степень с основанием х, например х2. Играют двое.
Они по очереди записывают в клетки квадрата одну из следующих
степеней: ху jc3, х4, х5, х6, х7, х9. Каждая степень используется в
течение игры только один раз. Выигрывает тот, после чьего хода
произведение степеней по какому-нибудь ряду (т. е. по какой-
нибудь горизонтали, вертикали, диагонали) будет равно указанной
степени с основанием jc, например х19.
32. При а = 2, Ь = 5 значение выражения аъЬх равно 5000.
Найдите х.
33. Задание с продолжением.
Запишите степень с основанием с, которую можно представить:
1) в виде квадрата; 2) и в виде куба; 3) и в виде четвертой
степени; 4) и в виде пятой степени.
34. Запишите вместо квадратиков такие степени числа 2, чтобы
получилось верное равенство: П 5 • П6 = П 7.
35. Из чисел 2; 3; 5 берутся любые два и составляется
степень с отрицательным показателем, например 5~3. Запишите все
возможные степени. А теперь запишите их в порядке возрастания.
118

36. Впишите в клетки квадрата такие степени числа ху чтобы
произведение их по любой горизонтали, вертикали, диагонали было
равно х~3.
а)
л'2
х-1
х-4
б)
х-{
х-4
в)
х~х
37. Запишите вместо квадратиков такие степени числа 2, чтобы
получилось верное равенство:
Одночлены и многочлены
38. Тестовые вопросы.
На доске записаны одночлены Ют2 и 2т2. Учитель задает
вопросы в краткой форме, ученик быстро на них отвечает.
1) Сумма?
2) Разность?
3) Разность?
4) Произведение?
5) Частное? (пгфО.)
6) Частное?
7) Квадрат?
8) Квадрат?
9) Квадрат суммы?
10) Квадрат разности?
39. Замените выражение 100*
тождественно равным, если при записи коэффициентов
можно использовать только цифру 1.
40. В пустые клетки квадрата впишите
такие одночлены, чтобы после приведения
подобных членов в любой строке и в любом столбце
получалось 2х.
41. Стрела.
— 2х
-Ъх
4х
X
Найдите произведение одночленов х и — 2у и запишите его в
третью клетку. Найдите произведение последних двух одночленов
119

и результат запишите в следующую клетку и т. д. Какой одночлен
будет в 8-й клетке?
42. Используя каждый из одночленов a; b\ ab\ ab2\ a2b2\ аъЬ\
аАЬъ по нескольку раз, составьте как можно больше верных
равенств, например ab2-a = a2b2.
43. Даны два одночлена 2а2Ь4 и 4а3&5. Один из них возвели в
квадрат, другой — в куб. Результаты перемножили. Получилось
128a12fe22. Запишите это равенство.
44. Запишите трехчлен второй степени, чтобы его значение
при х = 2 было равно 21.
45. Стрела.
5х-3у
-2х + у
Найдите сумму выражений 5х — Ъу и — 2х + у и результат
запишите в третью клетку. Найдите сумму двух последних
выражений и запишите результат в следующую клетку и т. д. Какое
выражение будет записано в 7-й клетке?
46. В пустые клетки таблицы
запишите такие выражения, чтобы сумма всех
трех выражений по любой горизонтали,
вертикали и диагонали была равна 0.
47. 1) Сумма двух двучленов равна
321. А их разность равна
— 1. Назовите эти двучлены.
2) Даны два трехчлена вида ах2 +
+ Ьх + с. Сумма их равна — 2х + 6, а их
разность равна 4х2. Запишите эти
трехчлены.
48. Представьте двучлен Ъхъ — 7 в виде суммы трехчленов.
49. В левую колонку таблицы запишите такие три одночлена,
чтобы выполнялись указанные условия.
-а-Ь
2а-Ь
№ п/п
1
2
3
4
Три одночлена
Сумма
a + a2 + a3
2а2 + а5
12а2
10а3 (1+а2)
Произведение
а6
а9
60а6
210а"
120

50. Используя каждый из одночленов
5х, х\ -4х2, 9а, а2, 5а3, Зха, 7а2х, -7х2а, -х2а2
по одному разу, составьте пять двучленов так, чтобы каждый из
них можно было разложить на множители.
51. Из следующих многочленов: 1) — бах — 2х— 15а + 6;
2) 1 -4-а2Н-а3 + а10; 3) 35ах-20х + 21а-12; 4) Зх + 5а—
— бах — Ь
только один можно разложить на множители. Какой? Разложите
его на множители.
52. Выполните умножение:
а) (Зх + 5)(2у + 7); б) (2х —3) (6i/+1); в) (х —2) G/ —9).
После того как задание выполнено и решение проверено,
учитель предлагает учащимся запомнить левые части равенств и по
многочленам, стоящим в правых частях равенств, восстановить
левые части.
53. Вместо квадратиков запишите такие выражения, чтобы
полученный четырехчлен можно было разложить на множители:
1) а6 + 8а+П+72; 2) 2ху-4+П+П:
3) 9а2Ь — □ +9а-П.
54. Степа Смекалкин утверждает, что для любого двучлена
он сможет дописать такой двучлен, что полученный четырехчлен
можно будет разложить на множители. А вы сможете это
сделать?
55. Используя каждый из одночленов баб; ЪаЬ\ 2аЬ\ —8а;
— 6а; —4а; 36; Ь\ —Ь\ —4; 2; —2 по одному разу, составьте такие
три четырехчлена, чтобы каждый из них можно было разложить на
множители.
56. Вместо коэффициентов многочлена ах3-\-bx-\-cx-\-d
запишите числа 3; 5; 6; 10 так, чтобы полученный четырехчлен
можно было разложить на множители.
57. Задание с продолжением.
1) Запишите такой четырехчлен, чтобы его можно было
разложить на множители
2) и чтобы первый множитель был равен Зх — 2с,
3) а второй 2х-\-7у.
58. Учитель. Разложите на множители многочлен 35а2 —
— 21ах + 30ас—18хс.
1) Если я изменю знак каждого коэффициента на
противоположный, получится многочлен — 35а2 + 21 ах — ЗОас + 18хс.
Можно ли его разложить на множители?
2) Если я изменю все знаки, кроме одного. Можно ли
разложить?
3) Если я изменю только два знака. Можно ли разложить?
59. Витя Верхоглядкин однажды доказал, что все числа
равны между собой. «В самом деле,— говорил он,— пусть даны два
числа а и Ь. Пусть они не равны и их разность равна некоторому
121

числу с, т. е. а — Ь = с, или а = Ь + с. Умножим обе части этого
равенства на а — Ьу получим а (а — Ь) = (Ь + с) (а — Ь). Раскроем
скобки, получим a2 — ab=ab — Ь2 + ас — be. Перенесем член ас в
левую часть, получим a2 — ab — ac = ab — b2 — be. Вынесем за
скобку в левой части равенства общий множитель а, а в правой —
общий множитель 6, получим а (а — Ь — с) = Ь (а — Ь — с). Разделим
обе части равенства на одно и то же число а — Ь — с, получим,
что а = 6, т. е. любые два числа равны между собой».
Согласны ли вы с таким рассуждением?
Формулы сокращенного умножения
60. Учитель. Задумай два одночлена. Составь их сумму, их
разность. Перемножь полученные двучлены. Назови результат, а
я скажу, какие одночлены ты задумал.
61. Игровой момент.
Играют парами. Первый пишет любой одночлен, являющийся
квадратом, например 9г\ Второй вычитает такой одночлен,
чтобы полученный двучлен можно было разложить на множители,
например 9л:2 — 4г, 9л:2 — 6а, 9л:2 —7л:, 9х2 —9л:, 9л:2 —3 и т. д.
При этом за определенное время стараются записать как можно
больше двучленов.
62. Игровой момент.
Учитель. Запишите любой двучлен с коэффициентами,
равными либо 1, либо —1. Я запишу рядом еще два двучлена,
такие, что мгновенно найду их произведение. А вы сможете это
сделать?
63. Игровой момент.
Учитель. Запишите любое двузначное число. Я рядом
запишу еще одно двузначное (но не круглое) число и смогу устно
найти их произведение. Кто сможет сделать то же самое?
64. Сумма трех выражений равна Зл:, а их произведение равно
л:3 — 9л:. Найдите эти выражения.
65. Игровой момент.
Учитель. Задумай любое натуральное число, меньшее 20.
Возведи его в квадрат, результат запиши. Теперь удвой
задуманное число, результат запиши. Сложи полученные результаты
и прибавь к ним единицу. Скажи, сколько у тебя получилось,
а я назову задуманное число.
66. Игровой момент.
Играют парами. Первый записывает одночлен, являющийся
квадратом, например 4л:2. Второй прибавляет или вычитает какой-
либо одночлен (но обязательно такой, чтобы в итоге полученный
трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена),
например 20л:*/. Первый прибавляет такой одночлен, чтобы
полученный трехчлен был квадратом двучлена, т. е. 25у2. Второй
записывает квадрат двучлена, т. е. (2х + Ьу)2. Потом партнеры
меняются ролями.
122

67. У ч и тел ь. 1) Я задумал два одночлена. Можете ли вы
задать только один вопрос и, услышав ответ, угадать их? 2) Я
задумал двучлен. Можете ли вы задать только один вопрос и,
услышав ответ, угадать его?
68. Из пяти выражений (а- I)2, (а-2)2, (а-3)2, (а-4)2, (а-5)2
выбрали два, выполнили возведение в квадрат и нашли сумму
трехчленов, получилось 2а2— 10а +17. Какие выражения
выбрали?
69. Запишите в пустые клетки такие одночлены, чтобы на
каждом из лучей (начиная с центральной клетки) получился
трехчлен, который можно преобразовать в квадрат двучлена.
а4
70. Запишите в пустые клетки такие
одночлены, чтобы по вертикали,
горизонтали, диагонали, содержащим
одночлен 6х4у2, получился трехчлен,
который можно представить в виде
квадрата двучлена.
71. Игровой момент.
В выражении а6 — ? вместо знака
вопроса запишите такой одночлен,
чтобы полученный двучлен можно было
разложить на: 1) два множителя; 2) три
множителя; 3) четыре множителя. При
этом в каждом случае множители должны быть различными.
72. В равенствах
(Их—10) + (12х —3)=П,
(1 Ijc— 10) —(12л: —3)= □
вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы полученные
уравнения оказались равносильными.
73. Витя Верхоглядкин читает задачу: «Две противоположные
стороны квадрата увеличили, а две другие уменьшили на 5 см
каждую. Как изменилась площадь фигуры?»
123

— Ясно,— думает Витя,— ну, конечно же, никак!
А что вы думаете по этому поводу?
74. Даны 9 выражений:
() (а-2);
2 (а — 3) — (а+ 5); 7а —(2а + 4);
6 + (а-17); 17-7 (а+ 2);
(4а—И) —3 + а; 2а — 3 (За + 2) + 9;
5(а-2) + 6.
Объедините их в три группы по три выражения так, чтобы
в каждой группе оказались тождественно равные выражения.
75. Докажите, что верно равенство
3.145 + 2.454 = 3.143 + 2.457.
76. Придумайте такие два неравных числа, чтобы квадрат
первого, сложенный со вторым числом, был равен квадрату
второго, сложенному с первым числом.
Приближенные вычисления
77. Степа Смекалкин утверждает, что если на доске
запишут верное неравенство, то он сможет не раздумывая записать еще
одно верное неравенство. А вы сможете?
78. Пусть х и у — натуральные числа. В следующих
утверждениях замените звездочки одним из знаков «>>», «<С», « = » так,
чтобы эти утверждения оказались верными:
1) если х>8, то х + 3* 10;
2) если 6х = 50у, то х * у;
3) если 5л: > 10 и у>х, то у * 1;
4) если х>уу то у+ 2 * х + 5;
5) если х>у, то 60 — х* 75 — у;
6) если */<С5, то Зу * 17.
Геометрия
Введение в геометрию
1. Игровой момент.
Учитель. На одной прямой отмечены три точки Л, В и С.
Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, какая
точка лежит между двумя другими.
2. Отметьте на прямой четыре точки А, Ву С, О так, чтобы
выполнялись заданные условия:
1) ОА<ОВ'У
2) ОС>ОВ\
3) точка С лежит на отрезке АВ.
124

3. Витя Верхоглядкин однажды заявил, что сможет начертить
два отрезка, которые будут иметь больше одной общей точки.
Возможно ли это?
4. Точка О лежит на отрезке АВ. На отрезке АО отметьте
точку С так, чтобы ОВ = ОС.
5. Постройте угол, на сторонах которого будут лежать точки
Л, В и С и чтобы при этом стороны угла не пересекали отрезок
XY (рис. 36). Сколько решений имеет задача?
А.
Рис. 36 Рис. 37
6. На листе бумаги изображен угол (рис. 37). С помощью
транспортира измерьте градусную меру этого угла.
7. Даны смежные углы и три утверждения о них:
1) один из них на 90° больше другого;
2) их градусные меры относятся как 4:5;
3) один из них в 3 раза меньше другого.
Одно из этих утверждений противоречит двум остальным.
Найдите его.
8. Даны две пересекающиеся прямые. Известно, что:
1) один из углов в 5 раз больше одного из оставшихся;
2) сумма двух углов равна 80°;
3) сумма трех углов равна 330°.
Одно из этих утверждений противоречит двум остальным.
Найдите его.
9. Игровой момент.
Учитель. У меня на листе начерчены два угла. Задайте
только два вопроса и, услышав ответ, скажите, являются эти
углы вертикальными либо смежными или не являются ни
вертикальными, ни смежными.
10. Несколько лучей имеют общее начало — точку О и
образуют углы 30°, 60°, 90°, 150°, 180°. Сколько лучей всего проведено?
Треугольник
11. Дан ААВС. Как можно быстрее постройте треугольник,
ему равный, используя линейку и циркуль.
12. Из следующих пяти треугольников (рис. 38) только три
равных. Назовите их.
125

Рис. 38
Рис. 39
13. Даны ААВС и ААхВхСх (рис. 39). Известно, что AD =
DE EF = FC = AxDx = DxEx=ExFx = FxC\\ BC = BxCx\ ^C =
Докажите, что aABD = aA\BxD\.
14. Учитель. Ребята, на следующем уроке вам будет
предложено за 1 минуту начертить как можно больше равных
треугольников. Каждый из вас может подготовиться к выполнению
этого задания. Подумайте и подготовьтесь!
15. Из концов отрезка АВ провели лучи AN и ВМ так, что
углы NAB и МВА оказались равными (рис. 40). Проведите
прямую так, чтобы на чертеже появились равные треугольники.
Докажите, что они равны.
16. Начертите фигуру так, чтобы ее можно было разбить:
1) на два равных треугольника;
2) на три равных треугольника.
17. Витя Верхоглядкин начертил фигуру, имеющую углы,
причем два угла равны, однако это не равнобедренный треугольник.
Возможно ли это?
18. Учитель. Представьте себе, что равные треугольники
ABC и Л1В1С1 (рис. 41) переместились так, что точки А и А\ и
Рис. 40
126

точки С и С\ совпали. Проведите мысленно отрезок ВВ\.
Докажите, не выполняя нового чертежа, что ACLBB\.
19. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием АС.
Где надо отметить точку /(, чтобы аАКВ = аСКВ?
20. В треугольнике ABC Л£ = 3,2 см, ВС = 3,2 см. Каков
периметр треугольника, если у него все углы равны?
21. Учитель. У меня в руках два листа бумаги.
(Учитель поднимает листы чертежами к себе.) На одном начерчен
равносторонний треугольник, а на другом — разносторонний. Задайте
только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, какой
треугольник на каком листе изображен.
Построения с помощью циркуля и линейки
22. Игровой момент.
Учитель. Дан равносторонний треугольник (рис. 42, а).
Часть этого треугольника я стираю, получается новая фигура
(рис. 42, б). Восстановите данный треугольник.
23. Ученику выдается прозрачная пленка, на которой
изображен угол и проведена биссектриса этого угла (рис. 43). Как с
помощью такого инструмента разделить данный отрезок пополам?
В
а) 5)
Рис. 42 Рис 43
24. Как разделить отрезок пополам, если построение можно
выполнять только в одной полуплоскости?
25. Как разделить отрезок пополам, пользуясь только
шаблоном острого угла?
26. Среди советов «Как читать книгу» есть и такой: «Очень
хорошо, если книга лежит на наклонной поверхности,
перпендикулярной к оптической оси глаза. Тогда расстояние от него до
верхней и нижней частей страницы одинаково». Почему?
27. Игровой момент.
Учитель. На доске изображен угол, проведена его
биссектриса (рис. 44, а).
1) Я стираю один луч. Получается следующий чертеж (рис.
44, б). Восстановите угол.
2) Теперь я стираю оба луча, остается одна биссектриса.
Восстановите угол.
127

5)
28. Предположим, что у нас есть прибор, позволяющий очень
точно проводить биссектрису любого угла, кроме развернутого.
Есть также линейка без делений. Как с помощью этих
инструментов построить прямой угол?
29. Градусная мера угла ABC равна 56°. С помощью циркуля
и линейки постройте угол 28°, не проводя биссектрису данного
угла.
Параллельность прямых
30. Параллельные прямые а и Ь пересекаются прямой с
(рис. 45). Известно, что сумма трех углов (из данных четырех)
равна 340°. Найдите каждый угол.
31. Учитель накладывает две полоски бумаги, как показано
на рисунке 46. Затем предлагает подумать, нет ли здесь равных
отрезков.
32. Прямые а и Ь на рисунке 47 параллельны. Проведите
прямую так, чтобы на чертеже образовался правильный
треугольник. Можно использовать циркуль и линейку.
33. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен
70°. Степа Смекалкин находит градуснуюГмеру угла при основании
треугольника следующим образом:
1) делит 70° на два, получает 35°;
2) из 90° вычитает 35°, получает 55°.
Не сможете ли вы объяснить, на чем основан этот способ?
128
Рис. 45
Рис. 46

Рис. 47
34. Игровой момент.
Учитель. Я задумал один
из данных пяти треугольников
(рис. 48). Задайте только два
вопроса и, выслушав ответ,
скажите, какой треугольник я
задумал.
35. Витя Верхоглядкин
начертил прямоугольный
равносторонний треугольник. Не
сможете ли вы повторить его
успех?
36. На доске закреплен каркас равностороннего треугольника.
Учитель. Сейчас я проверю ваш глазомер. Как вы думаете,
какого вида этот треугольник, каков его периметр? (Потом
учитель сообщает, что это равносторонний треугольник, его
периметр 30 см.)
Далее учитель неожиданно начинает «разворачивать»
треугольник (рис. 49). Каков периметр получившейся фигуры
(учитель указкой обводит ее по периметру)?
37. Разбейте равносторонний треугольник на: 1) 2; 2) 3; 3) 4;
4) 6; 5) 8; 6) 12 равных треугольников.
Рис. 48
Рис. 49
5 Заказ 633
129

§ 4. VIII КЛАСС
Алгебра
Алгебраические дроби
1. Игровой момент.
За 1 минуту запишите как можно больше таких двучленов,
чтобы при вынесении общего множителя в скобках осталось 2х — 3.
2. Игровой момент.
За 1 минуту запишите такие пять дробей со знаменателем х — 2,
которые можно сократить.
3. Игровой момент.
За 1 минуту придумайте как можно больше таких дробей, чтобы
после их сокращения получилась дробь —1—.
4. В числители алгебраических дробей —— и -—-
запишите один и тот же двучлен, чтобы обе дроби оказались
сократимыми.
5. Витя Верхоглядкин задумал два числа. Из первого вычел
второе, результат записал. Из второго вычел первое, результат
записал. Потом нашел отношение полученных результатов. Не
сможете ли вы сказать, чему оно равно?
6. Игровой момент.
Играют парами. У каждого партнера по 5—7 карточек. На
каждой карточке записан либо одночлен, либо двучлен. Первый
выкладывает на стол любую карточку. Второй должен под ней
положить такую свою карточку, чтобы полученная дробь
оказалась сократимой, при этом он говорит, на какой множитель
сокращается дробь и что получится после сокращения. Потом партнеры
меняются ролями.
7. Учитель. Я задумал две алгебраические дроби с
одинаковыми знаменателями. Их сумма равна , разность равна
. Какие дроби я задумал?
CL — о
8. Вместо квадратиков запишите такие одночлены, чтобы
равенство оказалось тождеством:
D +*/+□ ^ 1 | ! i_L
2ху 2у "Г Ц ^ ху '
9. Игровой момент.
Учитель. Я задумал некоторую алгебраическую дробь, и вы
сможете отгадать ее. Для этого один из учеников записывает на
130

доске любую дробь (для удобства будем использовать букву jc), a
я найду произведение этих дробей и запишу его. Например, ученик
записал дробь
1-х
7 + х
Какую дробь я задумал?
10. Стрела:
1)
2)
3)
1
х— 1
х3
т
а3
1
а
b
сложение в 5-й клетке?
умножение в 7-й клетке?
деление в 7-й клетке?
11. Даны выражения: bx-\-b2\ jc2; Ь + jc; x. Используя каждое
из них по одному разу, запишите две дроби, чтобы их
произведение было равно:
JL;r)f.
а) А:в)&*;
12. Витя Верхоглядкин записал две алгебраические дроби.
Когда он первую дробь разделил на вторую, то получил -~, а
когда вторую разделил на первую, то получил -^. Не ошибся ли он?
13. Найдите два одночлена, если известно, что их произведе-
14. В следующем тождестве один из знаков действий
заменили звездочкой:
х у ) \ х у ) у—х
Какой это знак?
15. Вместо звездочек поставьте такие знаки действий, чтобы
равенство оказалось тождеством (можно пользоваться скобками):
131

Квадратные корни
16. Уловите закономерность в следующем ряду чисел:
и допишите следующие пять чисел.
17. Дан ряд чисел: 81649253 6.
Если некоторые числа, например 16 и 9, поставить под знаком
корня (8 УТб 4 У§ 2 5 3 6) и найти произведение полученных
значений, то получим 12. Поставьте два радикала так, чтобы в итоге
получилось число 40.
18. Витя Верхоглядкин как-то хвалился, что сможет проделать
следующий фокус. Какой бы корень ни был записан, он сможет
устно умножить его на некоторое число и в результате получится
рациональное число. Согласны ли вы с ним?
19. Даны четыре числа: -у/2, УЗ, Уб, У7. Из них составляются
всевозможные частные, например ^;^:;^гит. д. 1) Сколько та-
-уЗ у7 -уб
ких частных можно составить? 2) Найдите наибольшее и
наименьшее частные. 3) Чему равно произведение всех частных?
20. 1) Изобразите число 2 ровно двумя двойками, используя
известные действия (можно применять скобки).
2) Используя шесть раз число -\[3 и знаки действий, получите
число 6.
3) Используя числа Уз и У5 по два раза, получите число 2.
21. Каждое из чисел У2 и УЗ можно использовать по
нескольку раз. Если мы У2 возьмем два раза, а Уз — три раза, то
произведение У2«У2-Уз-УЗ-УЗ будет равно 6 УЗ. Запишите такое
произведение, чтобы его значение было равно: 1) 6; 2) 2 УЗ; 3) 18;
4) 12 Уб.
22. Что больше: У2 + У2+,.. + л/2 или У2-У2-...-У2?
п слагаемых п множителей
23. Учитель. Я задумал положительное число. Возвел его в
квадрат, результат записал. Потом из задуманного числа я извлек
квадратный корень, результат записал. Оказалось, что одно из
полученных чисел в 27 раз больше другого. Какое число я задумал?
24. В пустые клетки квадрата
запишите такие числа, чтобы
произведения трех чисел по любой горизонтали
и любой вертикали были равны
16У30.
25. Придумайте такие два
числа а и Ьу чтобы выполнялись
одновременно следующие три
условия:
a) -\fa и Уй> — иррациональные
числа;
132
V8
V48
V12

б) -^а-л[Ь — натуральное число;
в) х£ — рациональное число.
sfb
26. Вместо х и у назовите такие натуральные числа, чтобы
выполнялось неравенство <\#<
27. Докажите несколькими способами равенство ->/2«-\/8 = 4.
28. Докажите, что произведение чисел в каждой строке и в
каждом столбце — постоянное число.
Vis
л/108
V45
V27
V45
V72
VT80
Vis
V27
29. Игровой момент.
Учитель. Ученик называет любое число вида л[ау где а —
натуральное число, меньшее 20. Я записываю его и устно
умножаю на некоторое число (П), полученное произведение я
записываю. Вы должны отгадать мое число. Например, ученик назвал У5,
я его умножил на некоторое число, получил ^/35. На доске запись:
V5- □ =35. Какое число я задумал?
30. Игровой момент.
На доске записано 24 натуральных числа: 2, 3, 4, ..., 23,
24, 25. Ученик должен назвать весь ряд. Он показывает указкой
на число 2 и говорит: -yj2, показывает на число 3 и говорит: УЗ.
Если корень извлекается, то ученик делает это — показывает на
число 4 и говорит: 2. Если число составное, то он должен
представить его в виде произведения. Например, показывает на число
6 и говорит: У2*л/3> т е под знаком корня должны называться
только простые числа. Кто сможет назвать весь ряд без ошибки?
31. Десять секунд на размышление.
На решение каждого из следующих заданий попробуйте
затратить не более 10 секунд.
1) у у '"'у—=1. Сколько множителей в числителе?
2) Что больше: А или В, если
133

3) Чему равно а, если 10 Уа = а
4) Вычислите
32. Придумайте уравнение, которое имеет два корня, сумма
которых равна нулю.
33. Игровой момент.
Играют парами. Первый записывает число вида a^fb, где
а и Ь — натуральные числа, меньшие 15, например 7 л[\0. Второй
должен записать число вида Ь л/а, т. е. 10 -/7- Потом числа
сравниваются. Побеждает тот, у кого число оказалось больше.
Потом первым записывает число другой партнер и т. д.
34. Витя Верхоглядкин и Степа Смекалкин играют в такую
игру. Каждый записывает по одному положительному числу на
листе бумаги. Потом Степа находит их сумму и делит ее на два, а
Витя находит их произведение и извлекает из него квадратный
корень. Выигрывает тот, у кого получится большее число. Они
играли несколько раз, и почти всегда выигрывал... Как вы думаете,
кто?
Квадратные уравнения
35. Степа Смекалкин, не решая уравнения вида ах2-\-с = 0у
сразу говорит, имеет оно корни или нет. А вы сможете это
сделать?
36. Расшифруйте следующую запись: а
□ =
или П = —
37. Верно ли Витя Верхоглядкин выделил квадрат двучлена
в каждом случае:
а) *2 + 8х-10 = (х + 4)2+16-10==(х + 4)2 + 6;
б) х2 —7jc + 3=(jc—Z-)2_^_3 = (jc —3,5)2 —3^-;
в) х2 — 2х = (х — 2)2 + 4?
38. Степа Смекалкин подставил в трехчлен х2 — 6х + 5
вместо х два числа, вычислил значения полученных выражений.
Они оказались равными. Не смогли бы вы сделать то же
самое?
39. Степа Смекалкин подставил в трехчлен 2х2-\- 11л: — 20
вместо х два числа. Вычислил значения полученных выражений. Они
оказались равными 1. Найдите эти два числа.
40. Витя Верхоглядкин утверждает, что если в квадратном
уравнении ax2-\-bx + c = 0 числа а и с имеют разные знаки, то
уравнение имеет корни. Согласны ли вы с ним?
134

41. Корни какого из уравнений
jc'2-6jc = 0; jc2 —2jc —24 = 0;
jc2-10jc + 25 = 0; jc2-2jc + 24 = 0;
jc2 —6jc— 16 = 0
обладают свойством:
1) сумма корней равна 6, а произведение корней равно —16;
2) один из корней равен 6;
3) корни равны;
4) каждый из корней на 2 меньше, чем корни уравнения
jc2 —6jc— 16 = 0?
42. Дан график функции у = х2. Он пересекается прямой
так, что абсциссы точек пересечения равны 2 и —2. Назовите
уравнение этой прямой, проведите ее, запишите уравнение, которое
будет иметь эти корни (т. е. 2 и —2).
43. Можно ли 20 разбить на два слагаемых, чтобы их
произведение было равно 75?
44. Даны уравнения:
1) х2 + 4х — 5 = 0; 2) х2 — 4jc + 3 = 0;
3) 2*2-5х + 3 = 0; 4) 3jc2-8jc + 5 = 0;
5) —7jc2+ 13jc —6 = 0.
Все они обладают одним и тем же свойством. Каким?
45. Известно, что jc2 + 6jc + 9 = 0. Найдите значения выражений:
а) х2 —9; б) *2 + 4х + 3; в) 2х2-х-\5.
46. Десять секунд на размышление.
Найдите х + у. Найдите ху.
*2-1/2=16, 2)
2
x "*" у 11 •
47. Докажите, что система уравнений f 4л:2 — 25£/2 = 100,
\2х — 5у = 0
не имеет решения.
48. Устно решите систему уравнений
49. Придумайте задачу о прямоугольнике, решение которой
приводит к системе уравнений
jc£/= 120,
Решите эту задачу.
50. Несколько друзей, встретившись, поздоровались каждый
с каждым. Сколько было друзей, если известно, что число их
оказалось равным числу рукопожатий?
135

Геометрия
Четырехугольники
1. Тестовые вопросы.
В параллелограмме ABCD (рис. 50) AM — биссектриса угла
Л, MN\\AB. Известно, что АВ= 10 м, AD = 15 м. Учитель называет
отрезок, а ученик быстро говорит, чему равна длина названного
отрезка:
1) MN\ 2) ВМ\ 3) AN\ 4) ВС; 5) AN\ 6) ND\ 7) МС.
2. Дан параллелограмм. Проведите два отрезка так, чтобы
получилось четыре пары равных треугольников.
3. Известно, что в параллелограмме ABCD АВ = ВК = КС =
= CD (рис. 51). С помощью одной линейки постройте прямой угол.
4. Отметьте три точки, которые лежат на одной прямой, не
проводя самой прямой.
5. Дан отрезок. С помощью одного угольника отметьте точку,
равноудаленную от концов данного отрезка.
6. На плоскости отмечены четыре точки: Л, В, С, D (рис. 52).
Витя Верхоглядкин проверяет, будут ли они вершинами
прямоугольника, следующим образом: находит середину отрезка
АС — точку О, проводит окружность с центром в точке О и
радиусом ОА. Если другие две точки (В и D) лежат на этой
окружности, то ABCD — прямоугольник; если не лежат, то ABCD не
является прямоугольником. Так ли это?
7. Игровой момент.
Учитель. Ребята, на следующем уроке вам будет
предложено такое задание: за 1 минуту начертить на альбомном (т. е.
нелинованном) листе как можно больше ромбов. Каждый из вас
может подготовиться. Для этого на листе можно заранее
начертить только две прямые и на этих прямых отметить концы
отрезков. Подумайте и подготовьтесь!
8. Лучи АХ и В К лежат на параллельных прямых. Отметьте на
луче АХ точку D, а на луче BY точку С так, чтобы
четырехугольник ABCD оказался ромбом. Можно пользоваться циркулем
и линейкой, но нельзя измерять (или откладывать) отрезок АВ.
9. Дан четырехугольник ABCD (рис. 53, а). Опустим высоту из
точки В на основание AD. «Отрежем» полученный треугольник и
«приставим» его справа (рис. 53, б). Какой должна быть
исходная фигура, если в результате получился квадрат?
А' 'I/ %В
Рис. 51 Рис. 52
136

в
с в
м
Рис. 53
СКВ
Рис. 54
10. В треугольнике ABC Z.A= Z.B (рис. 54), CMNK —
квадрат. Назовите равные отрезки. Докажите их равенство.
11. 1) В некотором четырехугольнике диагонали равны, а он
не прямоугольник, диагонали взаимно перпендикулярны, а он не
ромб. Что это за фигура?
2) В некотором четырехугольнике есть и равные стороны, и
параллельные стороны, и диагонали в нем равны и
перпендикулярны, а он не квадрат. Что это за фигура?
3) В некотором четырехугольнике две стороны равны, другие
две стороны тоже равны, диагонали равны и взаимно
перпендикулярны, а это не квадрат. Что это за фигура?
12. На взаимно перпендикулярных прямых: 1) а\ и а2; 2) Ь\
и fe2; 3) С\ и С2\ 4) d\ и di отметьте по две точки так, чтобы
полученные четыре точки стали вершинами: 1) квадрата; 2) ромба,
не являющегося квадратом; 3) прямоугольника, не
являющегося квадратом; 4) параллелограмма, не являющегося ромбом.
13. Игровой момент.
Учитель. Я начертил трапецию на листе бумаги. Задайте
только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, будет ли она рав-
нобокой.
14. Игровой момент.
Учитель. Однажды Витя Верхоглядкин сложил трапецию
из четырех прямоугольных треугольников. Не сможете ли вы
повторить его достижение? А «улучшить» (т. е. использовать меньшее
число треугольников)?
15. В некотором четырехугольнике известен один из углов.
Какого вида может быть этот четырехугольник, чтобы было
возможно вычислить все остальные углы этого четырехугольника?
Векторы и координаты
16. Совершите параллельный перенос квадрата ABCD в
квадрат A\B\C\D\ так, чтобы их общая часть составляла четверть
от данного квадрата.
17. Используя только угольник, начертите два равных вектора.
18. Игровой момент.
137

Учитель. Ребята, на следующем уроке вам будет
предложено такое задание: за 1 минуту начертить на альбомном (т. е.
нелинованном) листе как можно больше равных векторов.
Заранее чертить на листах ничего нельзя. Подумайте и подготовьтесь!
19. Дан параллелограмм ABCD. Проведите два отрезка так,
чтобы на полученном чертеже образовалось как можно больше пар
равных векторов.
20. Игровой момент.
У^ч и т е л ь. У меня на листе бумаги начерчены два вектора
а и Ь. Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, скажите:
1) коллинеарны ли они; 2) равны ли они.
21. Игровой момент.
Учитель. Ребята, сейчас вам будут на 5 секунд показаны
координаты пяти точек. Вы должны будете назвать точку,
лежащую в III четверти. Итак, внимание! (На экран проецируется
запись: Л ( — 5; 3), В (4; 9), С (-4; -3), D(4; -7), £(-6; 7).)
22. Какая из следующих точек лишняя: А ( — 3; 6), В (5; 7),
С (-4; 1), D(4; -3), £(1; 3), F(4; 2)?
23. Треугольник задан на координатной плоскости своими
вершинами А (2; 3), В ( — 3; 5); С(—1, —2). Не отмечая точек на
плоскости, назовите координаты трех точек, лежащих внутри
треугольника. Какие стороны треугольника пересекут ось х? ось у?
24. Из следующих пяти точек выберите такие четыре, чтобы
они давали начало и конец двум равным векторам:
А (2; 1), В(-2; 2), С(1; 3), D (3; 3), £(-3; -1).
25. Степа Смекалкин утверждает, что для любого вектора,
заданного координатами начала и конца, быстро сможет записать
координаты начала и конца вектора, равного данному.
А вы сможете?
26. Подберите такие целые числа a, by c\9 с2 в равенстве
а (2; a) + b(b\ 3) = г (г,; с2\ чтобы |г| = 13.
27. Даны две точки А ( — 3; 2) и В ( — 2; 3). Найдите
координаты точки С, чтобы выполнялось равенство: 1) АС = СВ\ 2) АС =
= ВС.
28. Представьте себе координатную плоскость. На ней
проведен вектор. Начало вектора лежит на оси ху конец — на оси у, а
модуль вектора равен -/Гз. Назовите координаты начала и конца
этого вектора.
Метрические теоремы
29. Докажите, что диагонали прямоугольника равны, не
опираясь на признаки равенства треугольников.
30. Дан равносторонний треугольник. Что нужно знать, чтобы
вычислить его сторону?
138

31. Как вы думаете, что найдено в следующем решении
(рис. 55):
32. Игровой момент.
Ученику выдаются модели трех квадратов (рис. 56). Не
пользуясь никакими инструментами, докажите, что площадь одного
из них равна сумме площадей других.
Рис. 55
Рис. 56
33. Сформулируйте задание по его решению:
=-1; * = 7; */=-7; В (7; -7);
2) ЛВ = Л/(-3-7
34. За 15 секунд отметьте на координатной плоскости как
можно больше точек, расстояние от которых до точки А (— 3; 2)
равно 4.
35. Отметьте несколько точек так, чтобы расстояния между
любыми двумя точками оказались равны.
36. Дано уравнение прямой ах-\-Ьу=\, где а и Ь —
коэффициенты. Степе Смекалкину называют координаты какой-либо
точки, а он быстро называет такие значения а и ft, что прямая
проходит через указанную точку. А вы сможете это сделать?
37. Запишите уравнение прямой, которая лежит только во
II и III четвертях.
38. На координатной плоскости отмечены точки А( — 3; 2),
В (2; 4), С(—1; —3). Запишите уравнения окружности, чтобы:
1) все точки лежали внутри окружности;
2) только одна точка лежала внутри окружности;
3) только две точки лежали внутри окружности.
39. Каждая из точек Л ( — 5; 4), 5(1; — 3), С (2; — 2), D ( — 2; 3)
лежит на одной из следующих линий:
1) биссектриса II и IV координатных углов;
139

2) прямая, параллельная оси х и отстоящая от нее на 3
единицы;
3) прямая, параллельная оси у и отстоящая от нее на 5 единиц;
4) окружность с центром в точке О и радиусом д/П).
Выясните, какая точка на какой линии лежит.
40. Начертите отрезок, концы которого удалены от начала
координат на 5 единиц и не лежат на осях координат.
41. На координатной плоскости проведена окружность.
Сделайте необходимые измерения и запишите уравнение этой
окружности.
42. Окружность касается осей координат и лежит в I
четверти. Назовите ее уравнение, если известно, что центр этой
окружности удален от начала координат на 3 -у2.
Движение
43. Начертите две прямые а и b и отметьте две точки А и В
так, чтобы точка С была симметрична точке А относительно
прямой а, а точке В относительно прямой Ь.
44. Отметьте точку Х\, симметричную точке А относительно
точки О, точку Лг, симметричную точке Х\ относительно
прямой 6, точку ХзУ симметричную точке Лг относительно точки /(,
точку Ха, симметричную точке Хз относительно прямой с
(рис. 57).
К
Рис. 57
45. Игровой момент.
Учитель. Ребята, на следующем уроке вам будет
предложено такое задание: за 1 минуту на альбомном (нелинованном)
листе отметить как можно больше пар точек, симметричных
относительно точки О. Подумайте и подготовьтесь!
46. Представьте себе точку Л, лежащую в I четверти
координатной плоскости. Точка В симметрична точке А
относительно оси у. Точка С симметрична точке В относительно оси х.
Точка D симметрична точке С относительно оси у. Что вы можете
сказать:
1) о точках А и D;
2) о точках А и С;
3) о фигуре ABCD?
140

47. Степа Смекалкин начертил некоторую фигуру. Потом
отметил некоторую точку О и начертил фигуру, симметричную данной
относительно точки О. В результате обе фигуры образовали
параллелограмм. Какую фигуру Степа начертил? Где была взята
точка О?
48. Точка А при некотором движении переходит в точку А\
(рис. 58). Отметьте:
1) центр симметрии;
2) ось симметрии;
3) центр и угол поворота.
В
С
А А/А/Г- правильный ^АВ=^ВС= ~АС AFKC квадрат
ABUHN FB=BK
а) 5) в)
Рис. 58 Рис. 59
49. Даны точки Л и С. Постройте точку В, симметричную
точке А относительно точки С, не проводя луч АС.
50. Существует ли четырехугольник, у которого только одна
ось симметрии, проходящая через вершину этого
четырехугольника?
51. В одну и ту же окружность вписаны правильный
треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, правильный
восьмиугольник. Запишите их периметры в порядке
возрастания.
52. Десять секунд на размышление.
Верно ли, что на каждом из рисунков (рис. 59)
треугольник ABC правильный?
53. Используя только чертежный угольник, впишите в данную
окружность квадрат и опишите около нее квадрат. Чему равно
отношение сторон этих квадратов?
54. Постройте два правильных треугольника, чтобы их
пересечением был правильный шестиугольник.
55. Вырежьте из бумаги два равных правильных
треугольника. Один из них разрежьте на три части так, чтобы из
всех четырех фигур можно было составить правильный
шестиугольник.
141

§ 5. IX КЛАСС
Алгебра
Линейные неравенства и системы
1. Составьте такое выражение, чтобы его значение при х= — 3
было положительным, а при х = 3 было отрицательным.
Запишите его.
2. Какой знак: «>» или «О — надо поставить вместо
звездочки: 2х — 5*9, если известно, что число —6 является решением
этого неравенства, а число 6 не является решением этого
неравенства?
3. Назовите число а, удовлетворяющее всем трем
неравенствам:
7,3<а<8,4, 9,7<а + 2<10,5, 4,1<а-3<4,8.
4. Решите устно неравенство
Л £_<г 1
521 467^ '
если известно, что х — положительное число.
5. Игровой момент.
Учитель задумывает целое число, а учащиеся должны его
отгадать. Один ученик называет любое целое число, учитель
записывает на доске промежуток, который включает в себя оба числа: и
то, которое задумал учитель, и то, которое назвал ученик.
Другой ученик называет целое число, учитель опять записывает
на доске промежуток, включающий в себя два числа: и то,
которое задумал учитель, и то, которое назвал ученик, и т. д.
Игра заканчивается, как только ученики назовут задуманное
число.
6. Две авторучки дороже трех блокнотов. Что дороже: 7
авторучек или 10 блокнотов?
7. Витя Верхоглядкин к каждому из чисел 0, 1, 2, 3
прибавил одно и то же число. Затем нашел произведение крайних
членов и средних членов. Первое произведение оказалось меньше
второго. Какое число прибавил Витя к каждому из данных
чисел?
8. Запишите положительную обыкновенную дробь. Прибавьте
к ее числителю и знаменателю единицу. Сравните полученную
дробь с исходной. Какой вывод можно сделать?
142

Числовые функции
9. Найдите область значений функции:
1) у = х2+х-20\ 2) у = (х — 4)*+9\ 3) i/ = (jc —7)2 —2.
10. Витя Верхоглядкин начертил графики функций у = х3 и
t/ = jc5, а потом стер оси координат (рис. 60). Назовите координаты
точек Л, В, С. Графиком какой функции является линия I, линия II?
11. Дана функция f (x) = xwo. Назовите в порядке возрастания
числа /(-30), /(50), /(0), /(1), /(-5), /(130), /(-51).
12. Найдите АВ (рис. 61), если ОК=240\.
13. Учитель. Я задумал степенную функцию с
натуральным показателем. Задайте только один вопрос и, выслушав ответ,
скажите, эта функция четная или нечетная.
14. Известно, что точки А ( — 3; —2), 5(1; 5), С(3; 2),
D(—1; —5) принадлежат одному и тому же графику. Выясните,
может ли эта функция быть четной; нечетной.
15. Известно, что одно из утверждений о функции f(x)=xn
ложно, а другие два истинны.
1) Уравнение хл=15 имеет одно решение.
2) /(-12) = /(12).
3) Точка А ( — 2; 4096) принадлежит графику данной функции.
Выясните, будет ли данная функция четной.
16. Докажите, что линия, изображенная на рисунке 62, не
является графиком функции / (х) = 2х4 — х2— 1.
17. Графики функций у = х, у=х2, у = х3, у = х4, у = хь
проходят через одни и те же две точки. Назовите координаты этих
точек.
Рис. 61
У
1
Рис. 62
143

18. Из функций y = ax2-\-bx + cy y = ax-\-b, y = ax3, у=—
выберите такие две, графики которых имеют только две общие
точки.
Квадратичная функция
19. На какой двучлен надо умножить 5л: — 4, чтобы получилось
10jc2 + 7jc-12?
20. У ч и т е л ь. Я задумал два числа. Задайте только один
вопрос и, выслушав ответ, назовите, чему равна сумма и
произведение этих чисел.
21. Степа Смекалкин однажды удивил своих одноклассников
следующим «фокусом». На доске записывали любой квадратный
трехчлен, который имеет два корня. Степа быстро записывал
рядом еще один квадратный трехчлен, причем его корни были
противоположны корням данного трехчлена. Как это сделать?
22. Однажды Витя Верхоглядкин получил задание: постройте
график функции у = 0,05х2. Он нашел координаты пяти точек,
отметил их на плоскости, провел плавную линию. Однако
полученный график совсем не был похож на параболу (рис. 63). В чем
тут дело?
23. На рисунке изображен график функции у = ах2-\-с (рис.
64). Как следует изменить положение осей координат, чтобы эта
парабола стала графиком функции у = ах2?
24. Восстановите систему координат, если известно, что данные
параболы являются графиками функций у = х2-\- \0x-\-25 и
у=— х2+10х — 25 (рис. 65).
У[
Рис. 63
Рис. 64
25. Задание с продолжением.
1) Запишите функцию, графиком которой является парабола,
2) и ее ветви опущены вниз,
3) и она проходит через точку (—1; —8).
26. Одно из следующих утверждений о некоторой квадратичной
функции неверно, а остальные верные:
144

о
а) при х^.— функция
возрастает, а при х>-5- функция убывает;
б) ветви параболы
направлены вверх;
в) график полностью лежит в
нижней полуплоскости, кроме
одной точки;
г) парабола проходит через Рис. 65
точку (-1; -3-jL).
Найдите неверное утверждение, запишите эту функцию,
постройте ее график.
27. Витя Верхоглядкин построил две параболы, одна из
которых не пересекает ось Ох, а другая не пересекает ось Оу, сколько
бы их ни продолжали. Возможно ли это?
28. Постройте график квадратичной функции, если известно,
что он проходит через точки ( — 4; 4), ( — 2; —3), (0; 4).
29. Запишите квадратичную функцию, которая:
1) убывает на промежутке (—оо; —5] и возрастает на
промежутке [5; + оо);
2) возрастает на промежутке (— оо; 5] и убывает на
промежутке [5; + оо);
3) убывает на промежутке (— оо ; — 1] и возрастает на
промежутке [7; + оо).
30. О некоторой квадратичной функции известно, что: 1) у = 0
при jc=1; 2) функция принимает наименьшее значение, равное
— 4, при х = 3.
Запишите эту функцию.
Прогрессии
31. Игровой момент.
Учитель. Я задумал некоторую арифметическую
прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы
быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии.
32. На доске записаны все натуральные числа с 1 до 50, кроме
чисел, кратных 5.
1) Выберите из них пять, чтобы они образовали
арифметическую прогрессию.
2) Выберите из них десять, чтобы они образовали
арифметическую прогрессию.
33. На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,
28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа,
а учитель мгновенно называет само число. Потом он предлагает
учащимся объяснить, как ему это удается.
145

34. Дана последовательность
_2_ J5^ 28 4]_ 54_ 67
13 ' 13 ' 13 ' 13 ' 13 ' 13 ' "' '
1) Будет ли она арифметической прогрессией?
2) Найдите а\о.
35. Игровой момент.
Учитель. Я задумал некоторую арифметическую
прогрессию. Задайте только два вопроса и сразу назовите, чему
равна Sioo.
36. Задайте арифметическую прогрессию с помощью всего двух
чисел, причем нельзя использовать а{ и d.
37. Игровой момент.
Учитель записывает на доске любое число, например 60.
Учащиеся должны придумать арифметическую прогрессию, чтобы
сумма трех первых ее членов была равна 60. Кто больше
придумает таких прогрессий?
38. Придумайте арифметическую прогрессию, в которой S3 = Ss.
39. Игровой момент.
Учитель. Я задумал геометрическую прогрессию. Задайте
два вопроса, чтобы после ответов вы смогли быстро назвать третий
член этой прогрессии.
40. Придумайте такую геометрическую прогрессию, чтобы ни
в одном из ее членов не встречалась цифра 1.
41. Первый член некоторой геометрической прогрессии равен
2. Подберите такой знаменатель, чтобы четвертый член этой
прогрессии был больше 120 и меньше 130.
42. Дано: fti = 10 000; Ьп + \=Ьп-П\. Какое число можно
подставить вместо квадратика, чтобы пятый член прогрессии был:
а) меньше 1; б) равен 1; в) больше 1?
43. Придумайте геометрическую прогрессию, в которой S3 = Ss.
Геометрия
Подобие треугольников
1. Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника
120° и 50°. Чему равен меньший угол второго треугольника?
2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен
70°. На продолжении основания взяли точку и соединили ее с
вершиной треугольника (рис. 66). Оказалось, что ААВС со aADB.
Найдите углы треугольника CDB.
3. Сколько можно получить треугольников, подобных
треугольнику ABC, проведя через точку М различные прямые (рис. 67)?
4. Используя тетрадный лист в клетку, начертите с помощью
линейки два подобных треугольника, которые не являются
прямоугольными.
146

[70
А С
Рис. 66
D
С В
Рис. 67
А1 С7
Рис. 68
5. В треугольнике ABC точка О — центр описанной
окружности. Точка А\ симметрична точке О относительно точки А.
Точка В\ симметрична точке О относительно точки В. Точка С\
симметрична точке О относительно точки С (рис. 68). Докажите, что
ААВС со AAiBid.
6. Используя только угольник, начертите три подобных
треугольника.
7. Игровой момент.
Учитель. Ребята, на следующем уроке вам будет
предложено такое задание: за 1 минуту начертите на нелинованном листе
бумаги как можно больше подобных треугольников. Дома вы
можете обдумать способ построения, но на листе чертить ничего
нельзя. На уроке вы можете пользоваться любыми
инструментами.
8. Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Ха-
пи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному
дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули
перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в
запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне
сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители
вечных тайн природы.
— Кто ты? — спросил верховный жрец.
— Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
— Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту
пирамиды, не взбираясь на нее? — Жрецы согнулись от хохота.—
Будет хорошо,— насмешливо продолжал жрец,— если ты
ошибешься не более чем на сто локтей.
— Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем
на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец
утверждает, что может вычислить то, чего не могут они —
жрецы Великого Египта.
— Хорошо,— сказал фараон.— Около дворца стоит пирамида,
мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство.
(Учитель предлагает учащимся предложить способ измерения
высоты пирамиды.)
147

Площади многоугольников
9. Какую часть площадь заштрихованной фигуры составляет
от площади треугольника (рис. 69)?
10. В прямоугольнике проведена диагональ, в одном из
получившихся треугольников проведена медиана (рис. 70). Найдите
соотношения между площадями фигур Ф|, Ф2 и Фз-
а)
S)
Рис. 69
б)
11. Разбейте правильный треугольник на 3 равновеликие части.
12. Витя Верхоглядкин утверждает, что существует
треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а его площадь больше
1 км2. Что вы скажете по этому поводу?
13. В треугольнике проведена средняя линия. Из середин
боковых сторон на основание опущены высоты (рис. 71). Что
больше: площадь прямоугольника или сумма площадей
заштрихованных треугольников?
14. Что больше: площадь одного правильного треугольника со
стороной 10 см или сумма площадей десяти правильных
треугольников со стороной 1 см?
15. Ученику выдаются два треугольника, вырезанные из
плотной бумаги. Требуется доказать, что эти треугольники
равновелики, используя только линейку без делений.
16. Игровой момент.
Учитель держит в руках каркасную модель прямоугольника.
Выяснив с учащимися, что это за фигура, он начинает медленно
«сдвигать» верхнее основание относительно нижнего. Каким
должен быть острый угол второго четырехугольника, чтобы его
площадь была вдвое меньше площади прямоугольника?
17. Стороны четырехугольника равны по 1 м. Может ли его
площадь быть меньше 1 см2?
Рис. 71
148

18. Даны два квадрата. С помощью циркуля и линейки без
делений постройте квадрат, площадь которого равна сумме
площадей данных квадратов.
19. Боковая сторона трапеции с основаниями 3 см и 13 см
разбита четырьмя точками на 5 равных частей. Через эти точки
проведены отрезки, параллельные основаниям (рис. 72).
Получилось 5 трапеций, у каждой из которых высота равна — вы-
5
Рис. 72 Рис. 73
соты данной трапеции. Известно, что сумма площадей двух из
них равна площади одной из оставшихся. Найдите эти трапеции.
Длина окружности. Площадь круга
20. Около правильного треугольника описана окружность.
Периметр треугольника увеличили на 1 см. На сколько увеличится
длина описанной окружности?
21. Что больше: длина большей окружности или сумма длин
меньших окружностей (рис. 73)?
22. Теннисный шарик и баскетбольный мяч обтянуты
проволокой «по экватору». Длину проволоки увеличили на 1 см. Где
зазор будет больше?
23. Витя Верхоглядкин утверждает, что построил такие два
круга, что длина первой окружности больше длины второй
окружности, а площадь первого круга меньше площади второго круга.
Возможно ли это?
24. Даны правильный треугольник, квадрат, правильный
шестиугольник. Периметры всех фигур равны. Около каждой фигуры
описали окружность. Площадь какого круга больше?

ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ.
КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
V класс
1. а) 51; б) 90. В этих заданиях в доступной форме используются две
математические идеи: метод перебора и метод доказательства от противного,
а) Если цифра единиц 0, то цифра десятков тоже 0 (5-0 = 0), значит, цифра
единиц нулем быть не может. Если цифра единиц равна 1, то цифра десятков
равна 5. Число 51 удовлетворяет условию задачи. Если цифра единиц 2, 3, ..., 9,
то произведение будет равно 10 или больше 10, что противоречит условию
задачи. Значит, цифра единиц не может быть больше 1. Итак, искомое число 51.
Аналогично можно обосновать, что в задании б) искомое число 90.
2. Наибольшее число — 853, наименьшее — 358. Перед решением следует
пояснить термины «наибольшее число», «наименьшее число».
3. Каждое последующее число больше предыдущего: 1) на 2; 2) на 2;
3) в 10 раз; 4) в 2 раза. При затруднении учащихся учитель объясняет решение
заданий 1 и 3.
4. Для другого отвечающего на аналогичные 10 вопросов меняется только
число. Сложность заданий можно варьировать.
5. Любое число, состоящее из одинаковых цифр. Для учащихся будет вполне
достаточно назвать какие-либо конкретные числа. Ответ можно обосновать. Так
как разность равна нулю, то уменьшаемое равно вычитаемому, значит,
двузначное число состоит из одинаковых цифр.
6. 0. Можно взять любое число (например, 1), выполнить указанные действия,
потом взять другое число (например, 2) и посмотреть, что получится. В
результате всегда получается число, большее 19. Какое число еще надо проверить?
Учитель может обосновать ответ: одно из слагаемых равно сумме, значит,
другое слагаемое равно 0 и поэтому задуманное число равно 0.
7. 1 (см. предыдущее задание).
8. а) 4 — 4+13=13; 4:4-13=13;
б) 21+8 — 8 = 21; 21-8:8 = 21.
Указание. Обратите внимание на то, что одно из чисел в левой части
равенства равно числу в правой части.
9. Этот игровой момент является базовым. Подобные отгадывания можно
использовать и при изучении десятичных дробей (см. № 75), и при изучении поло-
150

жительных и отрицательных чисел (см. № 83, VI класс), и при изучении степеней
с натуральным показателем (VII класс). Методическая ценность их заключается в
том, что, кроме непосредственного закрепления программного материала, ученик
должен проявить и определенную быстроту мышления. Так, он должен уметь (или
научиться!) рассматривать взаимно обратные действия в совокупности, уметь
переходить от одного действия к обратному. При определенных навыках учащихся
выполнения действий сложения и вычитания учитель может перейти и к другим
действиям. Целесообразно эти игровые моменты использовать неоднократно.
Тогда учащиеся будут подготовлены к ним в будущем, когда сложность вычисления
несколько возрастет.
10. Нет. Правильное выражение: 20-3+ 15-4= 120. Витя нашел разницу в
стоимости 20 тетрадей и 15 линеек. Обязательно надо указать на абсурдность ответа
Вити.
11. Этот игровой момент целесообразно использовать перед объяснением
понятия квадрата числа.
12. Сумма равна числу слагаемых, возведенному в квадрат:
1 +3 + 5 + 7 + 9+ 11 =62 = 36; 1 +3 + 5 + 7 + 9+11 + 13 = 72 = 49.
13. Например: а) 15-3 — 2; б) 48:(9 + 3); в) (64 + 8):4 — 2. Учитель может
изменить задание, предлагая учащимся обязательно использовать скобки (или,
наоборот, их не использовать).
14. а) 49:7 = 7; б) 39:(7 + 6) = 3; в) (29+ 11):(17-7) = 4.
Если в примерах б) и в) у учащихся возникнут трудности, то учитель
может сделать подсказку: последнее действие — деление. Желательно, чтобы на уроке
ученики выполнили только часть заданий, а оставшиеся закончили дома.
15. 5-11 —8 = 47. Перед выполнением задания целесообразно предложить
учащимся устно составить несколько выражений из данных чисел. Задание можно
предложить и на дом, так как для его решения требуется перебрать несколько
вариантов.
16. 3. При обсуждении задания учащиеся должны высказать идею решения:
надо проверить 5 чисел (0, 1, 2, 3, 4), так как по условию задачи одно из них
искомое.
17. а) За: + 5=11; б) 7х — 4=10; в) 34—11 а: =12. Это задание полезно при
закреплении понятия «корень уравнения». Указание. Вместо х подставьте в
уравнения число 2.
18. «У мальчика было 56 р. После того как он купил мороженое, у него
остался 41 р. Сколько стоит мороженое?» Учитель предлагает решение этой
задачи записать (запись решения на доске закрывается). Это задание можно
предложить при объяснении способов решения текстовых задач с помощью уравнения.
19. «За три дня туристы прошли 75 км. В первый день они прошли 20 км, а в
третий — 25 км. Сколько километров они прошли во второй день?»
Продолжение решения: 20 + * + 25 = 75; * + 45 = 75; jc = 30. Ответ: 30 км.
20. а = 63; 124; 1063; 1124 и т. д. Если учащиеся затрудняются, то учитель
подводит их к мысли о дополнении одного из слагаемых до 1000 (2000 и т. д.).
21. а) 111+3127 + 777<333 + 3129 + 555, так как 111+777 = 333 + 555, а
3127<3129; б) 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8<9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1, так
как 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1.
Учащимся полезно попытаться выполнить задания устно. Это понуждает
151

их внимательнее присмотреться к выражениям, сравнить их компоненты и в
итоге прийти к рациональному решению.
22. а) 781 — дополнение числа 219 до 1000; б) например, 11 и 26 —
дополнения чисел 89 и 74 до 100; в) любые два числа, составляющие в сумме 600.
23. | 1 1 1 Опыт показывает, что подобные задания с
занимательным квадратом должны быть
преимущественно устными или полуустными. При
сложных вычислениях темп выполнения резко
замедляется и задание перестает быть занимательным для
учащихся. Данное упражнение направлено прежде
всего на закрепление сочетательного свойства
сложения.
24. В сумме 10 пар, причем сумма каждой
пары чисел равна 21, значит, вся сумма равна 210.
25. Если двузначное число оканчивается нулем, то произведение будет
оканчиваться 7 нулями; если двузначное число не оканчивается нулем, то
произведение будет оканчиваться 6 нулями. Этот вопрос с подвохом. Он направлен на
воспитание внимательности учащихся. Учитель может и заинтриговать учеников,
сказав предварительно, что на этот вопрос обычно отвечают быстро и
неправильно.
23
30
47
41
25
34
36
45
19
26. а) 243
Х101
243
+ 243
б) 312
А201
312
+ 624
в) 4132
А1002
8264
+ 4132
24543 62712 4140264
Упражнение направлено против типичной ошибки, допускаемой
некоторыми учащимися при умножении на число, в записи которого есть нули.
27. 19+19 + ... + 19=19-11; 11 + 11 +...+ 11 = 11 • 19.
11 раз
19 раз
По переместительному свойству умножения 19-11 = 11 • 19, значит, указанные
суммы равны.
28. 700-6:6 = 700 (р.). Полезно предложить учащимся сделать вывод (если
первое число умножить на второе число и произведение разделить на то же число, то
получим первое число).
29. Пусть а — задуманное число. (а-5)-2 = а (2-5) = а-10; а-10:10 = а. Задание
направлено на закрепление вывода из решения предыдущего упражнения. В то
же время оно готовит учащихся к восприятию буквенной записи свойств
арифметических действий.
30. Числа можно расставить несколькими способами. Вот два из них:
2
13
5
5
2
13
13
5
2
5
13
2
2
5
13
13
2
5
152

31.
8
5
12
6
4
20
10
24
2
0
3
2
12
Целесообразно это задание предложить на скорость выполнения (кто
быстрее?). Для проверки внимательности учащихся можно предложить аналогичные
задания, но в одну из клеток записать число 0.
32. Например: а) 2-78-5; б) 3-4-7-25; в) 8-9-125. Задание можно
использовать, когда у учащихся в процессе предыдущей работы закрепились в памяти
равенства: 2-5=10; 4-25=100; 8-125=1000.
33. На 34 ноги. Можно рассуждать так: у каждого котенка на 2 ноги больше,
а всего 17 котят. Значит, у 17 котят на 34 ноги больше, чем у 17 цыплят. Учитель
после этого указывает, что данное решение основано на распределительном
свойстве умножения: 17-4—17-2= 17 (4 —2)= 17-2 = 34.
34. 1) 5-(10 + 6) = 50 + 30;
2) (7+11).3 = 21+33,
3) 4.(4 + 5)= 16 + 20;
4) (7 + 8)-10 = 70 + 80;
35. 25-*-4 = (25-4)-л:=100л:; два нуля.
36. Например:
5) з-(11 —7) = 33 — 21;
6) (30—12).5= 150 — 60;
7) 20-(4-3) = 80-60.
3
7
X
X
3
7
7
X
3
Указание. В одном ряду не может быть одинаковых множителей.
37. а) 6-л>7 = 42л:; б) 5-4-3-6 = 606; в) 2-3-5-а-7 = 210а.
При затруднении учащихся, например, в задании б) учитель задает вопрос:
на какое число надо умножить 4, чтобы получилось 60? При успешном
выполнении заданий можно предложить еще такое: 120а представить в виде
произведения так, чтобы множителей было как можно больше (120а= 1 -2-3-4-5-а).
38. 1) (35 + а)-2 = 70 + 2а;
2) 36—12 = (6 —4)-3;
3) (14 —х). 10= 140—1Ос;
Задания 3, 5, 6 несколько сложнее остальных. При затруднении учащихся
учитель спрашивает: какое число надо умножить на 10, чтобы получилось 140?
Какое выражение надо умножить на 10, чтобы получилось
4)
5) 5(4m-3) = 20m-15;
6)
153

39. Например:
Число
Кратно 4
Кратно 11
Кратно 15
Кратно 3
12
33
15
Кратно 5
20
55
15
Кратно 7
28
77
105
Когда задание будет учащимися выполнено, то при проверке желательно
рассмотреть различные способы заполнения таблицы. Этим учащиеся подводятся к
мысли, что существует более одного числа, кратного двум данным числам.
40. а) 2-5-7 = 70; б) 3-5-7=105. Задания могут быть решены некоторыми
учениками подбором с элементами рассуждений. Учитель должен всячески
поощрять таких учащихся, а) Так как произведение оканчивается 0, значит, оно
кратно и 2, и 5, тогда третий множитель равен 7. б) Так как 105 оканчивается 5, то
это число кратно 5. Разделим 105 на 5, получим 21. Значит, другие множители 3 и 7.
Можно рассуждать и так. Число 105 не кратно 2 и 11. Значит, остаются числа
3, 5, 7. Проверим: 3-5-7=105 (верно). Следовательно, искомые числа 3, 5 и 7.
41. Степа называл заданное число, ибо оно будет делителем и кратным для
самого себя. Учащиеся об этом иногда забывают.
42. Учитель записывает такую цифру, чтобы сумма всех цифр полученного
числа была кратна 9. Игровой момент можно повторить. Это задание очень
полезно перед введением признака делимости на 9, так как заинтриговывает учащихся
и вызывает у них интерес к обоснованию (на числах) признака делимости.
43. Если число кратно 9 и 10, то оно делится без остатка и на числа 2, 3,
5, 6. Значит, искомое число 7740. Почему записываются данные цифры,
предлагается объяснить учащимся. Ученики могут затрудниться относительно числа 6.
Поэтому предварительно учитель должен обсудить с ними утверждение: если число
кратно 3 и 2, то оно кратно 6. Учитель может вообще исключить число 6 из
данных делителей.
44. а) 100; б) 102; в) 100; г) 108; д) 100; е) 100; ж) 105. Задания е и ж
могут вызвать затруднения у учащихся. Поэтому их полезно обсудить. Например,
задание е. Так как число кратно 5, то оно оканчивается или цифрой 0, или цифрой 5.
Так как число кратно 2, то оно оканчивается четной цифрой. Данное число кратно
2 и 5 одновременно, значит, оно может оканчиваться только цифрой 0.
45. 91. Указание: если из искомого числа вычесть 1, то каким числам
будет кратно полученное число? На примерах полезно рассмотреть это свойство.
Например, 31:6 = 5 (ост. 1). Вычтем из 31 остаток 1, тогда получится число,
кратное 6.
46. Так как число 101 — 1 = 100 кратно данным числам (см. предыдущее
задание).
47. 30 см составляют от 120 см — часть. Значит, веревку надо сложить пополам,
потом еще пополам и отрезать один из четырех получившихся кусков. Во втором
154

случае отрежем — часть веревки, останется кусок длиной 90 см. Отрежем от
остатка половину — останется 45 см.
48. Останется поровну. Указание. Обратите внимание, сколько литров
воды в каждом ведре было первоначально. Полезно к этому заданию вернуться
в VI классе (при изучении дробей), тогда данное о емкости ведер будет лишним.
49. Например, 10. Указание. Возьмите число, кратное 10. После решения
учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что этим свойством обладает
любое число и что в VI классе они будут подробно изучать это свойство.
Задание целесообразно использовать при закреплении темы. Последний
пример требует сообразительности. Учитель может задать вопрос: если из 23 вычесть
5, то произведением каких чисел будет полученное число?
51. —. Учитель. Какие дроби удовлетворяют первому неравенству? вто-
рому неравенству? обоим неравенствам одновременно? Дополнительное задание:
составьте два двойных неравенства, чтобы данная дробь ( например, — j
удовлетворяла обоим неравенствам.
Указание. Какую часть единицы составляет каждое слагаемое?
Можно дать дополнительное задание, в котором слагаемые могут быть
неравными.
53. 2— и 4— ; 8— и 3— ; 1— и 5— . Да. Следует обратить внимание
учащихся на то, что на второй вопрос можно ответить, используя результат первой
части задания.
54. Ни одной, так как Витя в матче не играл. Учащиеся могут предложить
такое решение:
1) 30-2 = 60 (мин); 2) — от 60 мин составляет 20 мин;
о
2
3) — от 60 мин составляют 40 мин;
о
4) 20 + 40 = 60 (мин).
Учитель предлагает найти другой способ решения. Если ученики не могут
1 , 2 3 , / 1 2
этого сделать, то учитель сам покажет его: —-\——=— =1 I — матча да — мат-
о 3 3 \ 3 3
ча, будет — матча, т. е. весь матч).
Это решение быстрее приводит к цели. Важно обратить внимание учащихся
на тот факт, что при этом способе решения не используется
продолжительность матча, т. е. в условии задачи это данное можно опустить.
55. Заметим, что имеем дроби с одним и тем же знаменателем. Разность
любых двух числителей делится на 7 без остатка. Можно обосновать и так:
2
выделим в каждой дроби целую часть; дробная часть каждого числа будет — , зна-
155

чит, разность любых двух чисел будет натуральным числом. Желательно, чтобы
эти рассуждения провели сами учащиеся.
56. Можно рассуждать по-разному. Например, из равенств а) и в) следует,
что «У\» означает « + ». Значит, «Д.» означает «—», и в случае б) он поставлен
ошибочно. Учащиеся могут решить эту задачу и подбором.
11 Т f\
57. — +Tq~Tq • Перед решением полезно записать 1—2 числовых выражения,
которые можно составить, используя данные дроби. В противном случае некоторые
ученики не понимают требования задачи.
58. Одинаково. Это вопрос-ловушка. Чтобы учащимся было понятно, в чем тут
дело, учитель (при объяснении ответа) может еще раз прочитать вопрос, но
несущественные слова опустить (в данном случае это название материала): «Что
легче: 0,3 килограмма или 0,3 килограмма?»
59. При затруднении учащихся учитель предлагает им выполнить следующее:
«Измерьте длину отрезка О А. Если мы разобьем длину отрезка на 6 равных частей,
то какова будет длина одной части? Какую часть единичного отрезка он
составляет?»
60. Нет. Для сравнения десятичных дробей сначала надо уравнять число
знаков после запятой: 31<60, значит, 0,31 <0,6.
61. Например: а) 3,8; б) 2,41. Учителю полезно показать рациональный
путь решения. Так, в задании б) найдем среди левых частей неравенств
наибольшее число 2,4. Среди правых частей найдем наименьшее число 2,42. Значит,
искомое число больше 2,40, но меньше 2,42, например 2,41. Вопрос: а есть ли
еще такие числа? Да, 2,411; 2,412; 2,4135 и т. д.
62. 2,22. Так-как оба числа начинаются с цифры 2, то и искомое число
начинается с этой цифры. Значит, искомое число состоит из одних двоек. Проверим:
2,2 не подходит, так как 2,2<2,21; 2,22 подходит, так как 2,21 <2,22<2,221;
2,222 не подходит, так как 2,222 > 2,221.
63. Ошибка допущена при округлении числа 0,75.
64. Все эти числа при округлении до целых дают число 3. При затруднении
учащихся учитель предлагает им округлить каждое число до целых.
65. Ошибся. Указание. Из первого приближенного равенства следует, что
цифра десятых может быть равна 3 или 4. Но тогда при округлении этого числа
до целых не получится 7.
66. Нет, так как денег не хватит на покупку шайбы: 0,25 + 0,25 + 0,45 =
= 0,95; 0,95<1. Указание. Надо выяснить, что означает вопрос задачи с
математической точки зрения (хватит ли у них денег на покупку шайбы?).
Учащиеся могут решить задачу, переводя рубли в копейки. Учитель предлагает им
решить задачу без перевода рублей в копейки.
67. Например: а) 0,3 + 0,7=1; б) 0,2 + 0,5 = 0,7; в) 0,06 + 0,04 = 0,1. Третье
задание более трудное. Можно предложить учащимся записать число 0,1 в
виде 0,10. Дополнительное задание: LJ + Ы + LJ =0,1. Учащиеся по аналогии
число 0,1 представляют в виде 0,100 или опять в виде 0,10.
68. Когда учащиеся заполнят квадрат, то одному из них предложить это
записать на доске и сделать при этом обоснование. Например, сложим числа в
нижней строке, получим 2,1. Сколько не хватает до трех? 0,9. Сложим числа в
третьем столбце, получим 1,9. Сколько не хватает до трех? 1,1. Сложим числа,
156

1.3
0,8
0,9
0,6
1
1.4
1,1
1.2
0,7
стоящие в углах (т. е. 0,9 и 1,1), получим 2,
значит, в центре должно стоять число 1 и т. д.
69. 2,67 + 3,51=3,75 + 2,43. Проще всего
задание можно выполнить, сравнивая суммы
последних цифр. Подбором учащиеся быстро
устанавливают, что 7+1=5 + 3. Значит, надо
проверить, равны ли суммы 2,67 + 3,51 и
3,75 + 2,43.
70. 1, 23.
71. 9 слагаемых.
Учитель записывает на доске: 0,1; 0,2;
0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,10; 0,11 —или
предлагает учащимся этот ряд записать в тетрадях. При затруднении —
вопрос: как узнать, сумма 6 слагаемых больше 4,5 или меньше? Надо найти эту
сумму. Учащиеся убеждаются, что она меньше 4,5, значит, надо проверить сумму 7
слагаемых, 8 слагаемых и т. д.
72. а) 0,3; б) 5; в) например, 3,3 — 0,2 = 3,1; г) например, 5 — 0,25 = 4,75.
Полезно сильным учащимся предложить усложненные задания. Например, в
третьем задании записать дроби с двумя знаками после запятой. Учащиеся тогда
должны догадаться, что цифры сотых в этих числах должны быть равны.
Например, 3,89 — 0,79 = 3,10 = 3,1.
73. 3,7-0,8 = 2,9.
74. а) 5,5-1,9-2,6=1; б) 7,9 + 3,4-4,2 = 7,1; в) 6,1-(13,5-12,4) = 5.
Полезно предложить учащимся дома составить (по желанию) подобные равенства,
заменить знаки действий звездочками и рассмотреть их на следующем уроке.
75. Можно вспомнить подобный игровой момент с натуральными числами
(см. № 9), сыграть 1—2 раза. Потом перейти к десятичным дробям. Опыт
показывает, что это отгадывание дается учащимся непросто. Поэтому
целесообразно сначала потренироваться, чтобы после одного ответа учащиеся быстро
называли оба возможных числа. Потом перейти к отгадыванию задуманного числа.
Целесообразно использовать этот игровой момент неоднократно. Иногда можно
предлагать задумать число одному из учащихся.
76. 0,6 кг, 0,7 кг, 0,2 кг. 1) 1,5—1,3 = 0,2 (кг) — содержится крупы в третьем
пакете; 2) 0,9 — 0,2 = 0,7 (кг) —содержит второй пакет; 3) 1,3 — 0,7 = 0,6 (кг) —
содержит крупы первый пакет. Обратите внимание учащихся на то, что задачу
можно решить устно.
77. 1,5 л. Если учащиеся затрудняются, предложить ту же задачу, но с
четным числом, например 4 л. После этого ученики догадаются, что число 3 надо
представить в виде двух равных слагаемых. Задание целесообразно использовать
до объяснения правила деления десятичной дроби на натуральное число.
78. Учащимся можно предложить провести обоснование на конкретном
примере. Например, (5 + 0,32) + (5 — 0,32)= 10, 10:2 = 5, мы прибавили 0,32 и вычли 0,32.
Можно обосновать и в общем виде. Пусть задумано число а, тогда (а+ 0,32) +
_|_(а_0,32) = а + а + 0,32 — 0,32 = а + а; а + а в 2 раза больше, чем а.
79. Каждое последующее число в 10 раз больше предыдущего. Когда ученики
потренировались в отгадывании отдельных чисел, учитель может закрыть весь ряд
и спросить, кто его запомнил.
157

80. Умножив число на 2, потом на 5, мы фактически умножаем его на 10, так как
а-2-5 = а-(2-5) = а-10.
81. Да, если множитель меньше 1. Если ученики затрудняются, то учитель
предлагает умножить 7 на дробь, меньшую 1 (например, на 0,2). Полезно
предложить учащимся сформулировать вывод: если число а умножается на число,
большее 1, то произведение будет больше а; если число а умножается на число,
меньшее 1, то произведение будет меньше а.
82. Например, на 10, 100 и т. д. Для второго и третьего заданий учитель
может предложить учащимся назвать числа, которые не оканчиваются нулем.
83. Да, если родственник—младенец. Пусть, например, ему 0,1 года (т. е.
1,2 месяца), тогда 0,1-600 = 60 (лет), что вполне допустимо. При затруднениях
спросить учащихся: может ли родственнику быть 1 год? А больше 1 года?
84. Первый, так как 51-0,2=10,2, а 10,2>10,1.
85. 0,2-3,43-0,6>0,4-3,42-0,3, так как 0,2-0,6 = 0,4.0,3, а 3,43>3,42.
86. 2,5 кг. Учащимся предложить устно решить задачу.
87. а) Например, 0,5 = 0,2-2,5; 0,5 = 2-0,25 и т. д.
б) Например, 0,111=3,7-0,03; 0,111=0,37-0,3 и т. д.
Указание: а) представьте 0,5 = 0,50, а число 50 разложите на множители;
б) найдите делители числа 111.
88. Пусть а — задуманное число, тогда а-4-0,25 = а-(4-0,25) = а-1 =а.
89. Усложненное задание: то же, но
не указывать, чему равны произведения
чисел. Или: указать произведение, но
не указывать числа.
90. а) (2,3+ 4,7)-0,3 = 2,1; б) 6,1 X
Х0,2-0,22=1; в) 0,2-0,3-0,5 = 0,03.
Можно эти задания предложить
учащимся на дом.
91. Обоснование можно провести
либо на числах, либо на буквах.
Например, пусть задуманы числа 7,3 и 5,1,
тогда получим 7,3 — 5,1 -f 7,3 + 5,1 = 7,3 - 2.
После деления на 2 получится одно из задуманных чисел. Пусть задуманы числа
а и Ь (пусть а>Ь), тогда получим a — b-\-a-\-b = 2a\ 2a:2 = a.
92. Серебряный моток — нет, а платиновый — да. Полезно провести
обсуждение этой задачи. Например, для серебряной проволоки. Надо узнать, сколько
раз (приближенно) 1,8 км уложится в расстоянии от Земли до Луны. Что для этого
надо знать? Расстояние от Земли до Луны. Учитель сообщает это расстояние:
340 тыс. км. Значит, надо 340 000 разделить на 1,8 — столько граммов будет весить
вся проволока, разделив это число на 1000, узнаем массу проволоки в
килограммах: 189 кг. Может ли ученик удержать такой моток? Аналогично для платиновой
проволоки: 5,7 кг. Такой моток ученик сможет удержать. Данная задача
показывает учащимся, что для решения иногда достаточно и приближенных вычислений.
Более того, точные вычисления здесь нецелесообразны.
93. Да, если Витя записал равные числа. Учитель может продолжить
задачу: а если в условии будет указано, что числа не равны? Тогда 1% от первого
0,7
0,4
5
5
0,7
0,4
0,4
5
0,7
158

числа и 1% от второго числа не равны, так как если числа не равны, то и сотые
части их не равны.
94. Пусть а — задуманное число, тогда а-100:100 = а. Предложить учащимся
самим обосновать ответ.
95. 20%. Учитель указывает, что задачу можно решить несколькими
способами. Можно предложить учащимся описать их устно.
1-й способ. Найти 20% от 150 кг. 2-й способ. Найти 25% от 150 кг.
3-й способ. Найти, сколько процентов составляют 30 кг от 150 кг. 4-й способ. 20%
составляют 1/5 от 100%, а 30 кг от 150 кг? 5-й способ. 25% составляют 1/4 от
100%, а 30 кг от 150 кг?
96. а) 39,3:22-100ж 178,6 (см);
б) 20,3:16-100« 126,9 (см).
Так как эти длины отличаются друг от друга приблизительно на 50 см, то
очевидно, что кости принадлежали различным людям.
97. а) АХ и ХВ\ б) АХ; XY; YB.
98. а) На луч АХ, отрезок А В, луч BY.
б) На отрезок О А, отрезок АВ, луч ВХ.
99. Сколько концов у этой фигуры? Если учащиеся затрудняются, то учитель
спрашивает, в чем сходство и различие этих фигур.
100. Пусть дан отрезок АВ длиной 11 см (рис. 74). От точки В отложим
отрезок BD длиной 1 см. Разделим теперь отрезок AD пополам точкой С. AC = CD =
= 5 см. Значит, точка С делит АВ на отрезки длиной 5 см и 6 см.
101. 8 см, 9 см, 7 см. Учитель может дать указание в виде схемы (рис. 75).
102. Продолжить прямую влево, отложить влево от крайней слева точки два
отрезка по 20 см, отметить точку А.
103. а) Продолжить прямую в обе стороны, отложить от точки X в обе стороны
по одному отрезку длиной 35 см, отметить точки А и В.
б) Продолжить прямую в обе стороны; отложив от точки X влево отрезок
длиной 30 см, получим точку С; отложив от точки Y вправо отрезок длиной
30 см, получим точку D.
104. Нет, радиусов должно быть 22. Учитель предлагает учащимся обосновать
ответ. Так как каждый диаметр состоит из двух радиусов, то радиусов должно
быть в 2 раза больше, чем диаметров, т. е. 22.
105. 20 промежутков. Для решения используется идея соответствия. Справа от
каждой спицы один промежуток, значит, промежутков столько же, сколько спиц.
106. Измерить длину отрезка АВ, разделить ее пополам, отложить отрезок
полученной длины от точки А, получим точку О — центр окружности. Построим
окружность радиусом О А. Желательно, чтобы это построение описал один из
учеников.
107. 6 дуг и 6 секторов. Вопрос: когда сосчитали число дуг, то надо ли
считать число секторов или их число можно сразу назвать? Да, можно назвать
сразу, так как, сколько дуг, столько и секторов.
I I
А С D В
I I I 1 I I I
I
Рис. 74 Рис. 75
159

108. Перегнуть круг так, чтобы края совпали (т. е. по диаметру),
и потом разрезать его по сгибу. Кто из учащихся догадается, как выполнить
задание, тот непосредственно разрезает круг у доски. Необходимо заготовить несколько
кругов. Можно это задание предложить учащимся на дом.
109. Сравнить углы наложением.
ПО. ^£=150°, ^£ = 30°, ^М = 90°, ^0=180°.
Желательно, чтобы учащиеся обосновали ответ: Z.0 развернутый, значит,
его градусная мера 180°; Z.E острый, значит, его градусная мера меньше 90°, т. е.
равна 30°; Z-B тупой, значит, его градусная мера больше 90°, но меньше 180°, т. е.
150°. Тогда градусная мера оставшегося угла М равна 90°.
111. 45°, 60°, 90°, 180°, 30°, 150°, 120° и т. д.
112. Когда угол АОВ разбили на три равных угла, то их градусные меры
стали равны по 40°. Значит, от луча ОС и от луча OD надо отложить углы по 40°
в разные стороны. Стороны ОА и ОВ этих углов будут искомыми лучами.
113. Нет. Я = 4а, 4а = 20, а = 5 см. S = a2; 52=^=36. Можно рассуждать и так:
5 = 36 см2, значит, сторона квадрата равна 6 см, а периметр будет равен 24 см, а не
20 см. Следовательно, Витя ошибся. Наконец, третий способ: Я = 20 см, значит,
сторона квадрата должна быть равна 5 см, но S=36 см2, значит, сторона
квадрата равна 6 см, а не 5 см. Следовательно, Витя ошибся. Желательно
рассмотреть с учащимися все три способа решения.
114. Каков его периметр или какова его площадь, т. е. задавать надо вопросы
о той величине, которая непосредственно связана с длиной стороны квадрата.
115. 5=100 км-1 мм=100 000 м-0,001 м=100 м2=1а.
116. Учитель должен иметь несколько квадратов со стороной 10 см на случай
неверного разреза квадрата на равные прямоугольники.
117. В 20 раз. Учитель может предложить учащимся вопрос задачи
сформулировать на математическом языке: во сколько раз площадь расширенного зрачка
больше площади суженного?
1) S,=3,14-22«12,6 (мм2);
2) S2 = 3,14.92«254,5 (мм2); 3) 254,5:12,6^20 (раз).
118. 7238 км2. 1) 800 м/с-60 с = 48 000 м=48 км;
2) S=3,14.482«7238 (км2).
119. Установить, сколько раз спичечный коробок укладывается в каждом из
измерений ящика (коробок находится всегда в одном и том же положении,
например наибольшей гранью снизу), и перемножить полученные числа. Желательно
иметь на уроке ящик и коробочку. Задание полезно использовать перед
объяснением объема прямоугольного параллелепипеда.
120. Поставить их рядом равными гранями вниз (или измерить их высоты).
Так как площади нижних граней равны (а*Ь=ху), то а>Ь-с будет больше x-y-z,
если с больше z.
121. Витя решал задачу нерационально. Достаточно измерить только одно
ребро, так как дан куб, то все ребра будут равны 10 см. Достаточно вычислить
площадь одной грани (100 см2), тогда площадь каждой грани будет равна 100 см2,
так как грани у куба равны. Наконец, проще 100 см2 умножить на 6, чем
складывать 100 см2 6 раз само с собой.
122. 6 дм. Обычно ответы учащихся значительно отличаются от
правильного. Им полезно предложить проверить равенство
160

123. 1 грядка, 2 грядки, 3 грядки, 4 грядки.
Указание. Обратите внимание, что вскопано всего 10 грядок. Может
ли Лена вскопать, например, 4 грядки? Нет. Тогда Степа должен вскопать не
меньше 5 грядок, а мама — не меньше 6. Значит, всего будет вскопано больше
10 грядок. А может ли Лена вскопать 3 грядки? Нет. Проверяя таким образом
числа 3, 2, 1, учащиеся подходят к правильному ответу.
124. а) б)
4
11
3
ТТ
8
11
9
11
5
ТТ
1
11
2
11
7
ТТ
6
11
4
^Т9
з
4Т9
«г-
19
9
10Т9
5
6Т9
«г-
19
2
3Т9
7
8Т9
6
19
125. Например, 31. Вычтем из искомого числа один, тогда полученное число
будет кратно 2, 3 и 5 одновременно. Наименьшее общее кратное данных чисел
равно 30 (можно взять и любое кратное, например 60, 90 и т. д.). Значит,
искомое число 31 (61, 91 и т. д.).
126. Такой дроби нет, так как правильная дробь меньше 1. На конкретных
примерах ученики легко могут показать истинность этого утверждения. Например,
3 3 5
— <1, так как —<-=-. Можно показать, как это утверждение доказывается.
О 0 0
Пусть дана правильная дробь -г- , где а и Ь — натуральные числа и а<:Ь. Число 1
можно представить в виде дроби со знаменателем Ь: 1 =~ . Имеем: — < — , так
о о о
как знаменатели равны, а<.Ь по условию, значит, — <С 1.
127. Например, можно спросить: эта дробь больше или меньше 1?
128. —. Если числитель будет больше 1, то знаменатель не будет двузначным
50
числом. Дополнительный вопрос: каким числом может быть числитель? Почему?
129. Например, 5,5. Дополнительный вопрос: а есть ли еще такие числа? Да,
например 5,53. Учащимся предлагается записать еще несколько дробей и проверить,
удовлетворяют ли они данным условиям.
130. 1) 2,6х; 2) 7,3а; 3) 1,8с; 4) например, 0,36 и OJb. Учитель должен
добиться, чтобы учащиеся увидели (и смогли объяснить) рациональный путь решения в
задании 2: так как одно из слагаемых равно сумме, то 7,3а— I I равно нулю.
131. 1) 2; 2) 0,9а; 3) 100а; 4) например, 2 и 3. В последнем задании можно
поставить ограничение: множители должны быть отличны от единицы. Тогда
ученику придется использовать дроби, например 12 и 0,5; 0,6 и 10 и т. д.
6 Заказ 633 161

132. 48. Уравнение 12-12- 12 = 6-jc-6 представим (устно) в виде 6-6-4-12 =
6-6-х, значит, х = 48. Другой способ:
12-12-12
х ;* 48
— 6-6 • —
133. Сумма двух чисел равна 108. Одно из них в 5 раз больше другого.
Найдите эти числа.
134. Пусть в магазин привезли х синих мячей, тогда красных мячей 2х, а всего
привезли х + 2х, т. е. Зх мячей. Так как число мячей равно Зх, то оно должно быть
кратно 3. Значит, вместо точек надо записать число 45 (ибо только оно делится на
3 без остатка). Тогда Зх = 45, х=15, 2х = 30. Ответ. 15 мячей, 30 мячей.
135. а) Согнуть пополам и по сгибу разрезать, б, в) Согнуть полоску по-
1 3
полам, потом еще пополам, отрезать — часть, останется —, т. е. одна часть будет
составлять 0,25 всей полоски, а другая — 0,75 всей полоски.
Указание: обратить десятичные дроби в обыкновенные. Ученик получает
только одно из трех заданий. Учитель может варьировать сложность задания.
Так, слабому учащемуся достанется первое задание, а сильному — последнее.
136. Измерить, на сколько длина первой полоски больше длины второй.
Полученную разницу разделить пополам и отложить от края первой полоски. Отрезать
кусок данной длины и приложить его к другой полоске. Усложнение
задания: сделать то же, но без линейки. Для этого положить меньшую
полоску на большую и свободную часть полоски согнуть пополам, по сгибу
разрезать (рис. 76).
137. Провести перпендикуляры к отрезку через его концы, отложить на них
по два данных отрезка, полученные точки соединить. Желательно, чтобы ученики
сначала описали ход построения и только потом восстановили прямоугольник.
138. Сложить кусок проволоки пополам, потом еще пополам, получим стороны
искомого квадрата, теперь можно сложить и квадрат. Длину проволоки удобнее
всего взять от 15 до 30 см.
139. Площади равны. Учитель сначала предлагает сравнить площади фигур на
глаз, потом проверить свое предположение вычислениями.
140. Треугольник имеет наименьшую площадь, значит, его площадь 2 см2.
Площадь маленького квадрата в 2 раза больше площади треугольника (это
можно проверить наложением), значит, площадь этого квадрата 4 см2. Площадь
прямоугольника в 2 раза больше площади квадрата, значит, она равна 8 см2.
Площадь оставшегося квадрата равна 16 см2.
141. Равны. Полезно учащихся подвести к выводу: площади фигур могут быть
равны даже тогда, когда сами фигуры между собой не равны.
142. 1 см. Указание. Подумайте, какую часть объема куба составляет
ведро воды. 1 л = 1 дм3, 10 л=10 дм3, 1 м3=1000 дм3. Значит, объем 10 л воды
составляет —— объема куба. Поэтому высота слоя воды будет равна I см.
__________________ Ответ всегда неожидан для учащихся.
I I ! 1 Можно перед решением предложить им
■ I ^Г высказать свои предположения, а потом
■ ' ' проверить себя с помощью вычислений.
Рис. 76
162

VI класс
Число
Простое
Составное
Четное
2
14
Нечетное
13
21
Кратное 5
5
25
Полезно обсудить, какие простые числа можно вписать в таблицу.
Выясняется, что простое четное число только одно (2), простое число, кратное 5, тоже
только одно (5), а простых нечетных чисел — бесчисленное множество.
2. Например, 23 137. Можно предложить учащимся дома записать (по
желанию) как можно больше решений. Их всего 20:
23 113, 23 117, 23 137, 23 171, 13 173, 23 179, 23 197, 23 711, 23 713, 23 717,
23 719, 23 731, 23 797, 29 711, 29 713, 29 717, 29 719, 29 731, 29 737.
3. а) Если перемножим данные числа, то произведение будет оканчиваться
нулем.
б) Среди делителей данного числа не может быть числа 2, так как это число
нечетно.
в) Произведение чисел в правой части равенства не дает числа,
оканчивающегося нулем.
4. Если число простое, то оно не может быть квадратом и не может быть
кратно 7. Получается два ложных утверждения. Отсюда делаем вывод, что число
составное и все остальные утверждения истинные. Из всех двузначных чисел,
являющихся квадратами чисел, только одно число кратно 7, это 49.
Указание учащимся. Предположите, что задуманное число простое. Может ли это
быть?
5. Не согласны. Ошибка Вити в том, что для нахождения числа, кратного
2, 3, 5, 10, 15 одновременно, он перемножил эти числа. Можно найти число,
гораздо меньшее. Какое? Чем будет являться это число для чисел 2, 3, 5, 10, 15?
(Это задание целесообразно использовать при первичном закреплении понятия
«наименьшее общее кратное>.)
6. Наименьшее общее кратное чисел 3, 5, 7 равно 105. Следовательно,
двузначного числа, которое одновременно кратно этим числам, не существует.
Некоторые учащиеся с трудом понимают, что значит «не существует». Учитель указывает:
не существует числа, удовлетворяющего данным требованиям. Например, не
существует двузначного числа, которое меньше 9. Полезно предложить учащимся
самим придумать такие примеры.
7. Нет. Существует только три двузначных числа, сумма цифр которых
равна трем: 12, 21, 30 (эти числа учащиеся могут выявить сообща; они
записываются на доске). Далее ученики выполняют задание самостоятельно.
12 = 22-3; 21=3-7; 30 = 2-3-5. Значит, наименьшее общее кратное равно
22-3-5-7 = 420. Учитель спрашивает, а нельзя ли доказать, что наименьшее общее
кратное чисел 12, 21, 30 не может быть равно 623 без вычислений. Можно.
Приведем некоторые варианты рассуждений.
1) Так как одно из чисел кратно 10, то и наименьшее общее кратное должно
быть кратно 10.
163

2) Аналогично наименьшее общее кратное данных чисел должно быть
четно.
3) Аналогично наименьшее общее кратное должно быть кратно трем.
8. Наименьшее общее кратное чисел 10 и 12 равно 60; 660:60=11. Значит,
число х может быть равно 11 (а также 22, 33, 44, 55 и т. д.). Для учащихся
достаточно, если они придут к тому же выводу подбором. Дополнительный
вопрос: а кто назовет наибольшее такое число х> Это число 660. Полезно
предложить для проверки найти наименьшее общее кратное чисел 10, 12, 55.
2 4
9.—=—. Это задание целесообразно использовать перед объяснением
3 1U
основного свойства дроби. Учащиеся сравнивают данные дроби, обращая их в
минуты, и делают вывод, что они равны. Далее учитель предлагает сравнить их
числители и знаменатели и сделать вывод.
10. Мы сначала числитель и знаменатель дроби умножим на 10, а потом
полученную дробь сократим на 10.
66
11. —. Указание. На какое число мог Степа сократить дробь? Почему
80
он не мог сократить задуманную дробь, например, на 3?
12. Это невозможно, так как все числа имеют общий делитель 3. Указание.
Попробуйте изменить формулировку задачи и свести ее к более простой. (Найти
два числа, которые не имеют одинаковых делителей, кроме 1.)
13. Ученик выкладывает нужные карточки на столе. При проверке ученик
повторяет вопрос и поднимает карточки, чтобы учащиеся их могли видеть.
Усложнение задания: надо выбрать не по одной, а по две дроби,
чтобы их наименьшим общим знаменателем было данное число. К доске могут быть
вызваны несколько учеников одновременно.
Если карточки прикрепить к доске, то можно организовать работу со всем
классом (например, конкурс групп).
7 2
14. — , — . Правильная дробь, составленная из данных цифр, будет наимень-
шей, если числитель будет наименьшим, а знаменатель — наибольшим.
15. Игровой момент должен быть подготовлен. Для этого полезно повторить
правило сравнения дробей с одинаковыми числителями. Игровой момент
направлен на закрепление учащимися этого правила.
16. Разность равна нулю, так как полученные дроби равны — , а значит, равны
о
между собой. Это задание полезно включить в упражнения по закреплению
навыков сложения и вычитания дробей. Некоторые учащиеся придут к
рациональному решению только после приведения дробей к наименьшему общему
знаменателю.
,_ . 1 1 1 _ 11 1 1 1 . 1 , 1 , 1 1 _
17' а) Т"Т5=То; б) Т2-Т-У=Т: в) 2О+7оо-+25-7о=о-
Указание. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю.
2 1 11
18. -sH—т==То - Перед выполнением учащимися этого задания полезно вы-
яснить, как они поняли его условие. Учитель спрашивает: какую дробь можно, на-
1 4
пример, составить из данных цифр? —, — и т. д. Если при выполнении самого за-
2. о
164

дания учащиеся будут затрудняться, то можно спросить их: какими могут быть
знаменатели искомых дробей, чтобы их наименьший общий знаменатель был
равен 12? Только числа 3 и 4. Значит, надо рассмотреть только две возможности:
1,2 2,1
т+тит+т-
19. Указание. Предварительно
приведите дроби к наименьшему
общему знаменателю.
* •> 4+4-
- 3й-4-
26-21 5 1
"^о—='зо=1Т
1
15
1
20
2
15
3
20
1
12
-IS
1
30
7
60
1
10
Желательно, чтобы учащиеся
смогли обосновать свои ответы. Например:
а) Так как после приведения дробей к наименьшему общему знаменателю
числитель первой дроби стал в 2 раза больше, то и знаменатель первой дроби стал в 2
раза больше.
ой __ 13 13 13 26 39 39
21. Например, у,т,т,т,т, -g-.
Обычно три числа ученики находят легко. Потом возникает заминка.
Некоторые даже утверждают, что таких чисел больше нет. В нужный момент
учитель спрашивает, кто нашел дробь с числителем, не равным 13.
22. —. Так как в произведении получилось натуральное число, то
знаменатель дроби равен двум. Так как дробь правильная, то числитель равен 1.
151171 1
Т'зГ'"б"<Т'зГ'Т' так как Т'
_11 57
~ з *Т' а 31 <зТ *
24. Задание можно использовать перед объяснением понятия «взаимно
обратные числа».
26. Потому что таких дробей не существует. Учащиеся на примерах
должны осознать это свойство: если дана правильная дробь, то обратная ей
дробь будет неправильной. Сильные ученики могут обосновать это свойство. Так
как дана правильная дробь, то числитель меньше знаменателя, тогда в обратной
дроби числитель будет больше знаменателя, т. е. дробь будет неправильной.
27. Учитель повторяет названное учеником число, так как
После нескольких ответов учащиеся догадываются, что они могут и сами
обосновать, почему учитель называет значение произведения быстро и правильно.
165

28. Потому что перемножаются две пары взаимно обратных чисел
V а Ь )
29. Ошибся, так как произведение частных должно быть равно 1
Это задание полезно использовать в сочетании с предыдущим.
30. х = Ъ. Указание. Число 5,2 обратите в обыкновенную дробь и пред-
2 1 1
ставьте ее в виде суммы целой и дробной частей. 5,2 = 5—= 5—= 5Н——;
10 о о
х-\ =5 + -=-. Дополнительный вопрос: не найдется ли еще один корень уравне-
X О
ния? Да, это -=-.
о
31. Например, х-7=1; х-14 = 2; х-21 =3 и т. д. Желательно предварительно
рассмотреть решение уравнения вида ах = Ь, где а и Ь — натуральные числа.
оои 124824 _
32. Например, t£>Tk->tf>7k"'7E'7Eh Тф д* Первые четыре дроби нахо-
1о \о 1 э 1 э 4о 4о
дятся быстро. Потом возникает заминка. Тогда учитель спрашивает, обязательно
ли знаменатель дроби должен быть равен 15.
2 3
33. — и "тг. Учитель предлагает учащимся записать любые два взаимно
о 2
обратных числа и найти их частное. Например, -^-^-е~=т^- Записав несколько
/ О 4У
частных на доске (из тех, что назовут ученики), учитель предлагает им сделать
вывод. Как найти искомые числа?
3 4 5
34. Например, ——f"-^~=1- Первая мысль, которая приходит в голову учени-
4 5 3
ка,— взять две взаимно обратные дроби. Однако, поразмыслив, он отвергает
этот ошибочный путь. Чтобы произведение было равно 1, все числители и
знаменатели должны «взаимно сократиться». Возникает идея: в числителях и в
знаменателях должно быть по два равных числа, но записать их надо в разной
последовательности. Учитель может отметить, что данное рассуждение дает одно
из правильных решений, но не охватывает все.
35. Например:
2)±.3.3.2.2=4;
3> 3 1 1 I _ 1
5. 3 1 _ 1 . 16 1 1 _4_ 1
Можно эти задания предложить и для устного решения. Тогда ученик должен
назвать количество тех или иных множителей.
o*u 43787 115711W
36. Например: а) _._._=—; б) -у у •J3=T3 ' Желательно' чтобы Уча*
щиеся обосновывали свои решения. Например: а) Числитель первой дроби равен 3,
а числитель произведения не кратен 3, значит, в знаменателе одной из дробей
166

должно стоять число 3 (или кратное 3). Аналогично рассуждая, замечаем, что
в числителе должно стоять число 8 (или кратное 8). Так как числитель
произведения равен 7, то в числителе одной из дробей должно стоять число 7 (или
кратное 7). Аналогично в знаменателе — число 9 (или кратное 9). Это обоснование
может привести сам учитель как образец рассуждений.
37. Например, — и 1 —. Указание. Выясняя, на какое число надо ум-
ножить —, чтобы получилось —, учащиеся замечают, что первый множитель
равен 2. Значит, вместо квадратиков можно записать любые два числа, сумма
которых равна 2.
38. Больше. Так как а-6=1, то числа а и b взаимно обратны, значит, одно
из них больше или равно 1. Следовательно, их сумма будет больше 1. Учитель
предлагает сначала на основе примеров сделать вывод, а потом обосновать его.
39. Например, чему равно дополнение этой дроби до единицы; чему равна
обратная данной дробь; чему равен квадрат этой дроби? Это задание необходимо
подготовить.
40. Например: а) 1+А ;б)^_^.
Указание. Надо так записать сумму или разность дробей со
знаменателем 50, чтобы одна из дробей (или обе) была сократима. Следует обратить
9
внимание учащихся на то, что представить — в виде частного проще всего ис-
Ы)
пользуя произведение. Можно предложить аналогичные задания и с другими
дробями.
41. Например: 1) ^; 2) меньше у; 3) 0,35; 4) у = 2у; 5) ~+|>;
13 9 2 9 1 1 7 I .10
6) 20+Т0; 7) 20"20; 8) 20~Т0; 9) Т'ТО ' 10) УУ
Можно эти задания предложить учащимся выполнить письменно.
2 4
43. 1) 60; 2)-г-; 3) -=-; 4) 22. Эти задания целесообразно предложить
3 о
учащимся перед решением задач на дроби. Учитель может при затруднении
подсказать ученикам направление поиска. Например, в третьем задании: 30 разделим
на некоторое число и то число, которое получится, умножим на 4, получим 24.
На какое число надо разделить 30? Учащиеся могут задание выполнить и
методом подбора.
44. J-й способ. 1) 50 000~ = 25 000 (м2);
2)
3)
2-й способ. 1)
2)
25 000
3125-
2 8
50 000
.1.3,
гаг-31
100
1
1 ^?ЛГк
25 (м2
,25 (м
1
1600 '
= 31,25
);
2).
(м2).
167

45. 200 г. Задачу можно решить двумя способами. Например, с помощью
3 3
уравнения. Пусть масса куска мыла х, тогда масса -г- куска будет —х г.
3 1
Составим уравнение: х—— х = 50; — х = 50; х = 200. Второй способ можно разоб-
3 1
рать устно. На сколько масса куска мыла больше, чем масса — куска? На —
куска. Значит, масса — куска мыла составляет 50 г, а масса всего куска — 200 г.
46. Надо полученное число умножить на —. Этот игровой момент
целесообразно использовать перед объяснением вопроса о нахождении числа по его дроби.
47. Нет. Пусть всего посадили х деревьев, тогда в первый день посадили
(х:3)-2 деревьев. Составим уравнение: х:3-2 = 30; х:3 = 15; х = 45; 45 — 30= 15
(деревьев). Полезно попросить учащихся найти ошибку в решении Вити. Для
этого надо, чтобы краткое условие задачи и Витино решение были записаны на
доске.
48. а) Сложить веревку пополам, еще пополам, потом еще пополам. Каждый
кусок тогда будет составлять — часть веревки, т. е. 20 см; б) отрезать 3 куска
по 20 см.
49. 10:3 = 40:12. Верна.
ел и , 2 2 1 «х 2 16 1 32
50. Например: а) у и — ; — и 4 и т. д.; б) — и —; — и — и т. д.
Указание: воспользуйтесь основным свойством пропорции. Например:
^г-|Г-|34 144_ 4
a) LJ • LJ =-е---5"=-с~*-^-=:Тк: • Теперь дробь — надо представить в виде произ-
э У о «3 1 э 1э
ведения двух дробей.
51. 6, 9, 10, 15, так как 9:6=15:10; 6:9=10:15; 10:6=15:9; 6:10=9:15.
Проще всего воспользоваться следующим свойством: если произведение двух
чисел равно произведению каких-нибудь других двух чисел, то из этих чисел
можно составить верную пропорцию. Это свойство для учащихся очевидно. Какие
два произведения равны? 9-10 = 6*15. Сколько верных пропорций можно
составить?
52. Измерить толщину всех листов и результат разделить на количество
листов. Учитель спрашивает, а нельзя ли, используя этот правильный путь,
устно найти толщину одного листа. Можно. Для этого надо устно разделить одно
число на другое. Возникает идея измерить толщину не всех листов, а только ста
листов. Дополнительный вопрос: какая зависимость между количеством листов и
толщиной учебника?
53. 100 м. Можно перед решением предложить учащимся высказать свои
предположения.
54. Ошибся, так как туристы не могут идти 24 ч без остановок и с одной
и той же скоростью.
55. Учащиеся интуитивно понимают, что зависимость не будет прямой
пропорциональностью. Чтобы они лучше это осознали, можно предложить шуточный
вопрос: трое шли — три рубля нашли, семеро пойдут — сколько найдут?
56. Учитель при затруднении учащихся может «подсказывать> тему
высказывания. Например, скорость: чем больше скорость, тем больше требуется времени
168

на весь путь. Этот игровой момент целесообразно использовать при повторении,
когда учащиеся усвоили понятие прямой пропорциональности, понятие обратной
пропорциональности, могут приводить примеры.
57. Учащиеся должны сами узнать масштаб карты и выполнить вычисления.
Обычно масштаб карты 1:25 000 000. Тогда диаметр озера будет 25 км.
58. Потому что противоположные числа (отличные от нуля) имеют разные
знаки.
59. Нет, таких чисел не существует. Если бы такие три числа
существовали, то на координатной прямой в одну сторону от точки О были бы отложены два
равных отрезка и концы бы их не совпадали, а это невозможно.
60. Например: а) Чему равен модуль одного из чисел? б) Сколько
единичных отрезков между точками, координатами которых являются данные числа?
61. Нет. Если числа противоположны и не равны нулю, то имеют разные
знаки, следовательно, произведение их не равно 1, т. е. числа не могут быть взаимно
обратными. Если числа равны нулю, то они не будут взаимно обратными.
Учитель предлагает учащимся рассмотреть это утверждение на примерах, потом
наталкивает их на обоснование в общем виде.
64. Учитель предлагает учащимся объяснить, почему не во все клетки таблицы
Число
Положительное
Отрицательное
Больше
-3
1
-2
Меньше
7
4
-1
Больше
0
2
—
Меньше
0
—
-3
Больше— 1,
но меньше
1
0,5
-0,7
могут быть записаны числа, и обращает их внимание на то, что таблица может
быть заполнена неоднозначно.
66. Учитель должен называть такие числа, чтобы количество оставшихся чисел
всегда уменьшалось вдвое. Например, задумано число —17. Учитель задает такие
вопросы: «Задуманное число больше или меньше:
1) -16; 2) -24; 3) -20; 4) -18?>
67. Примерные ответы на вопросы теста: 1) целое отрицательное; 2) 19;
3) левее точки 0 на 19 единиц; 4) -20 и -18; 5) -25; -30; 6) -13, -10;
7) 19; 8) 38 единичных отрезков.
68. — 1+( —4)=—5; -2 + (-6)=-8; —3+( —7)=—10.
Учащимся придется проверить гораздо больше равенств, ибо не все пути
ведут к цели.
Например, -4 + (-2)=-6; —3+( —7)= — 10; _-1+(-5)#-8.
69. Например, -0,1+(-0,2)+ (-0,3)=-0,6; -0,6>-1.
Указание: запишите любое отрицательное число, большее —1.
Представьте его в виде суммы трех слагаемых.
70. Первый должен записать числа —2; —6; —10. Учитель может вызвать
любого ученика на соревнование. Потом полезно провести обсуждение. Если пер-
169

-3
7
-4
5
-6
1
о
-1
3
вый запишет число —6, то обязательно выиграет. Почему? Если первый запишет
число —2, то обязательно выиграет. Почему?
71. а) Например, можно записать все отрицательные числа;
б) записать отрицательные числа, модули которых больше 5.
72. —5. Так как если два числа противоположны, то их сумма равна 0.
Значит, третье число равно сумме, т. е. —5.
73. В центре надо записать нуль, остальные два числа из каждой тройки
должны быть противоположны. Задание используется при закреплении
равенства а + (—а) = 0. Поэтому целесообразно спросить учащихся, какое число они
поставили в центре.
74. Желательно, чтобы проверка была проведена с
обоснованием самими учащимися. Учитель спрашивает,
какое число будет стоять в конце первой строчки.
Ученик отвечает: в первой строчке сумма данных чисел равна
2, значит, третье число должно быть —2 и т. д. Можно
усложнить задание, уменьшив количество данных чисел.
76. Для каждого отрицательного числа в данной
сумме найдется противоположное. Значит, сумма всех
слагаемых, кроме двух последних, равна нулю.
Искомое значение данной суммы равно 1001.
77. а) -3, 5, -8, -4; -9, -8, 12, -5; б) -И, -7, -8, 2. Для
того чтобы проверить, как учащиеся поняли задание, устный счет можно построить
следующим образом. Учитель показывает 1—2 ряда чисел и спрашивает, чему
равна их сумма. Потом задает вопрос: сумма чисел какого ряда равна
— 10? —24?
78. а) —627; б) 819; в) любые противоположные числа; г) 400.
Желательно, чтобы учащиеся объяснили рациональный путь решения. Например, б) ив). Так
как одно из слагаемых равно сумме, то сумма других двух слагаемых должна
быть равна нулю, т. е. эти числа должны быть противоположными.
79. 1) 7,2 —( — 5,3) =12,5; 2) -3,7+ (-6,4)= - 10,1;
3) 3,6-8,1 = -4,5; 4) -4,9+1,7=-3,2;
5) -6,1-(-2,3)4-3,8 = 0; 6) 3,9-7,4 + (-9,3)= - 12,8.
Задания 5 и 6 несколько труднее предыдущих, так как количество
возможностей здесь резко возрастает. Можно сказать учащимся, что рассуждения
помогут сократить время поиска правильного решения. Например, задание 5.
Сумма трех слагаемых равна нулю. Значит, сумма двух каких-либо чисел должна
быть противоположна третьему числу. Исходя из этого уже легче составить
требуемое равенство.
80. 1) —9—12 = 9 —30; 2) например, —2-f-1 =2 — 3; 3) например, 10 — 7 =
= 13—10; 4) например, —6-|-( —2)= —8; 5) например, —5 — 3=—8.
Указание (для заданий 2—5). Вместо одного квадрата запишите число
и найдите число, которое надо подставить вместо второго квадрата. С равенствами
4 и 5 можно потренироваться отдельно. Учитель указывает на какой-либо
квадрат, называет число (например, —3). Ученик быстро называет верное
равенство — 3-|-( — 5)= — 8. (Учитель чередует: то положительное число, то
отрицательное, то четвертое равенство, то пятое.)
170

81. — 15 = ( —3 + ( —7)) —5. Учащиеся выполняют обычно это задание
подбором. Учитель задает вопрос, почему у всех вычитается число 5, а не какое-либо
другое. Этим вопросом стимулируется потребность обосновать данный факт. Если
вычесть число —3 (или —7), то сумма не будет отрицательной. Учитель
указывает, что это простое рассуждение позволяет сразу записать верное равенство.
82. Учитель предлагает учащимся на примерах выполнить указанные
действия и сделать вывод. Какие выражения получаются, если из первого числа
вычесть второе, а из второго вычесть первое? Противоположные. Значит, их
сумма равна нулю. Можно обосновать и непосредственным преобразованием:
83. № 9 (V класс).
84. а) (7-8) + (13-15)=-3; б) —9 + (3- 15) —4= -25.
Задание можно предложить учащимся в конце урока, чтобы его выполнение
они закончили дома и попытались составить подобные задания.
85. Учащиеся сразу или после нескольких
попыток придется провести (может быть, на
интуитивном уровне) небольшое рассуждение. Так как
произведение трех чисел должно быть
положительно, то среди этих чисел либо одно
положительно, либо все три положительны. Но среди
заданных всего три положительных числа.
Значит, в каждом ряду должно быть одно
положительное число и два отрицательных. Следовательно, положительные числа надо
записать по диагонали.
86. Нет, так как произведение пяти отрицательных чисел будет отрицательно.
87. Так как произведение — положительное число, то все четыре множителя,
выбранные из данных чисел, должны быть отрицательны (иначе произведение не
будет положительным числом). Значит, надо найти значение произведения
-9-( —2)-( —3)-( —5). Оно равно 270.
2
— 4
-7
-1
5
-9
-3
-6
8
88. а) -2:4= —i;
б) —2:(—!)=2.
Учитель предлагает учащимся переформулировать задания: число —2
разделить на такое число, чтобы получилось: а) ——; б) 2.
89. Нет. Из того, что Витя их не нашел, нельзя сделать вывод, что таких
чисел не существует. Равные числа, о которых говорится в условии, могут
натолкнуть учащихся на мысль о противоположных числах (ведь их модули тоже
равны). Действительно, а:( — а)=—а:а верно при аФО.
Учащимся достаточно привести примеры. Если они затрудняются, то
учитель может спросить: модули каких чисел равны?
90. Да, если при этом значении а дробь будет сократимой. Очевидно, что
это возможно только при отрицательных значениях а. Проверяя устно
значения — 1, —2, —3, —4, —5, —6, —7, —8, —9, —10 (далее можно не проверять,
так как модуль числителя будет уже меньше модуля знаменателя), находим
искомые значения а: —3, —5, —7, —9.
91. Нет. Таких чисел не существует. Учащимся полезно уяснить, что если
произведение двух чисел больше (меньше) нуля, то их частное тоже больше
(меньше) нуля.
171

93. Например, произведение (частное) этих чисел больше нуля или меньше?
Если учитель скажет, что больше нуля, то числа одного знака, если — меньше
нуля, то числа разных знаков. Этот игровой момент целесообразно продолжить.
Учитель отвечает, что произведение больше нуля. Учащиеся говорят, что числа
будут одного знака. Тогда учитель говорит: «Задайте еще один вопрос и узнайте, эти
числа положительные или отрицательные». Учащиеся могут, например, спросить,
сумма этих чисел больше или меньше нуля. Если сумма больше нуля, то числа
положительные; если сумма меньше нуля, то числа отрицательные.
94. -3-5 + (-9)=-24.
95. а) -3,2-5=-16; б) -9,1 •(- 10) = 91; в) (-3,2 + 7,4).(-6)= -25,2;
г) — 1,1 •( — 7,3 — 2,7) -( — 4)= —44. Последнее задание целесообразно предложить
учащимся на дом (по желанию).
96. а) — 3-2-( — 5) = 30; б) — 3 + 2-( — 5)= — 13. Учитель спрашивает
нескольких учащихся, записывает на доске составленные ими числовые выражения и
предлагает ученикам сравнить их значения.
97. а) Так как сумма двух чисел равна нулю, то они противоположные,
значит, имеют разные знаки. Следовательно, произведение этих чисел меньше нуля.
б) Так как произведение двух чисел равно нулю, то одно из них равно нулю, а
другое — любое. Значит, сумма может быть меньше нуля, равна нулю, больше нуля.
Для учащихся достаточно, если они на конкретных примерах сделают вывод.
99. Когда ученики на примерах убедятся, что получается задуманное число,
учитель спрашивает: «А нельзя ли это доказать?» Пусть а — задуманное число.
Тогда a-h(a-f5)-fa —5 = За, За:3 = а, а — любое целое число.
100. Ученик может дать такие ответы:
1) 11 и 3; 2) 3>-11; 3) -5; 0; 4) -13; -20;
5) 7; 10; 6) —8; 7) —14; 14; 8) —33;
9) -3-1, -А; 10) -4.
5 9 3 5 7
101. а) — и —г ; б) —;-=-; —. Дополнительный вопрос к заданию б): по-
У 11 0/11
чему среди множителей не может быть дроби — ? Потому что тогда в
знаменателе произведения было бы число 13 или кратное 13.
102. Потому что это решение нерационально. Надо сократить дробь, тогда
задание можно выполнить устно.
103. Любые два отрицательных числа, которые являются взаимно обратными.
Например, —-•( —о"/1»! —Т~Н ~~~2~))<l Задание напРавлено против
распространенного мнения учащихся, что взаимно обратные числа обязательно
положительны.
104. — 1. Указание. Приведите дроби к наименьшему общему
знаменателю. Каким числом должна быть сумма числителей трех дробей, чтобы в итоге
получилось целое число? (12 или —12.)
172

АО ОС
ч—i—i—i—i—i—(—i *- —нн—i—i—I—i—(—i—i—i—i—I—•
-4-10 0 3
Рис. 77 Рис. 78
Учитель может помочь учащимся обосновать свои решения. Например, он
показывает какой-либо квадратик и спрашивает, какое число вместо него надо
записать и почему.
Задание учитель может предложить учащимся на дом (по желанию).
107. См. рисунок 77.
Вопросы: точка А будет лежать на координатной прямой слева или
справа от точки О? Почему? Сколько единичных отрезков между точками Л и О?
Как отметить точку О?
108. Сначала надо найти длину единичного отрезка.
109. Эту модель можно использовать и при объяснении нового материала
(сравнение чисел, сложение и вычитание чисел), а также практически во всех
последующих заданиях (там, где ее применение целесообразно).
ПО. Сначала можно использовать координатную прямую (см. № 109), потом
можно обойтись и без нее. Постепенно можно усложнять задания: называть
дробные числа, предлагать учащимся называть сразу оба таких числа.
111. Отметим точку С на координатной прямой (рис. 78). Так как расстояние
АВ равно 8 единицам, то расстояния от точек Л и Б до точки С равны по 4
единицы. Откладывая от точки С по 4 единичных отрезка в обе стороны, получим
искомые координаты: Л (— 1) и Б (7) или Л (7) и В (— 1).
112. Провести прямые Л В и MN и через точки С и Р провести к ним
перпендикуляры.
113. Произвольно перегнуть лист, потом еще раз перегнуть так, чтобы сгибы
совпали. Ученик проделывает это с листом бумаги, потом перпендикулярность
сгибов проверяется с помощью угольника. Можно предложить это задание каждому
ученику.
114. а) Из точки Л проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ.
Далее учащиеся могут предложить два способа. Первый: из точки С провести
прямую, перпендикулярную отрезку ВС. Второй: на прямой, перпендикулярной
отрезку АВ, отложить от точки Л отрезок длиной ВС. Получим в обоих случаях
четвертую вершину прямоугольника.
б) Из точек А н В проведем прямые, перпендикулярные отрезку А В. От точек
Л и В на этих прямых отложим по одному отрезку длиной АВ. Получим другие
две вершины квадрата.
115. а) Проводим прямую АХ. Через точку С проводим перпендикуляр к
прямой АХ. Получим точку В. Через точку Л проводим перпендикуляр к отрезку
АВ и на нем откладываем от точки Л отрезок длиной АВ. Получим точку D.
ABCD — искомый квадрат.
б) Проводим прямую АХ. Через точку Y проводим прямую, параллельную
прямой АХ. Через точку Л проводим перпендикуляр к прямой АХ. Получим точку
173

В — точку пересечения построенного перпендикуляра и прямой, проведенной через
точку Ху и т. д.
118. Все точки лежат на одной прямой на одном и том же расстоянии друг
от друга.
119. Построив несколько точек, учащиеся догадываются, что точки должны
лежать на одной прямой. Указание. Вместо абсциссы запишите любое число
и найдите ординату точки.
120. Соединим точки А и В, измерим длину отрезка А В, разделим его на
4 равных отрезка (они будут единичными). Через середину отрезка А В (точку С)
проведем перпендикуляр к отрезку АВ (это будет ось у), отложим на нем 3
единичных отрезка от точки С вниз, получим точку О. Проведем через нее прямую,
перпендикулярную оси у (это будет ось х). Отложим единичные отрезки.
Указание. Начертите в тетради систему координат, отметьте точки А и В и посмотрите,
как они располагаются относительно осей координат.
121. Например: «Прошлым летом ученики нашего класса ходили в поход.
Вышли мы в 8 ч утра и шли довольно быстро, за 1,5 ч мы прошли 6 км. Потом
мы на полчаса сделали привал и пошли дальше. В 12 ч дня мы пришли в лес, где
и остановились. 2 ч мы играли, купались, варили кашу и обедали. Затем мы со
скоростью 3 км/ч отправились назад и пришли домой в 5 ч вечера. За весь день мы
прошли 18 км».
122. 5. Из третьего уравнения устно находим, что х = 5. Это число обращает в
верные равенства и первое, и второе уравнения. Значит, оно искомое. Другой
путь: решить все уравнения и убедиться, что корень каждого из них равен 5.
123. а) 5* — 3 = 3* + 1; б) запишем данное равенство в виде 5-2 + ( — 3) =
= —2-( — 3)+ 1, тогда 10+*= —2х-\-1 — искомое уравнение. Учителю надо
показать решение подобных заданий на простых примерах: 1) 5*7 = 35 —
используя эт© равенство, назовите уравнение, чтобы его корень был равен 7 —► (5х = 35);
аналогично 1+2-7=15+ 1+2*=15; 7 + 4 = 2-7-3 — * + 4=2*-3.
124. Например: «Взрослый билет в кино стоит в 2 раза дороже, чем детский.
За один взрослый билет и один детский билет уплатили 30 р. Сколько стоит
детский билет в кино?» * + 2* = 30; 3* = 30; *=10. Детский билет стоит 10 р.
125. Один ученик за х обозначил путь, пройденный туристом в первый день,
а другой — во второй день. Учитель подчеркивает, что, хотя уравнения
получаются различные, ответы, разумеется, одинаковы.
126. Например: «За три дня в магазине было продано 720 кг яблок. Во второй
день продали в 2 раза больше яблок, чем в первый, а в третий день продали
в полтора разе больше, чем во второй. Сколько килограммов яблок продали в
первый день?» * + 2* + Зл: = 720; 6* = 72; *=120.
127. Например: «Из двух пунктов, расстояние между которыми 32 км,
навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. Они
встретились через 2 ч. Скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста.
Найдите скорость пешехода». Решение. Пусть х км/ч — скорость пешехода,
тогда 2jt+6* = 32; 8* = 32; *=4.
Скорость пешехода 4 км/ч.
128. Пусть задуманное число х, тогда 2* + 2 = Зх + 3; *= — 1. Действительно,
Значит, Витя задумал число —1.
174

129. 1) 1U; 2) —За; 3) Ъху\ 4) 5аг; 5) например, у и — 2у\ 6) например,
х\ 2х и — 5х.
Задание целесообразно использовать для устного решения (на закрепление
навыков приведения подобных слагаемых).
130.
1)
а
— 4а
За
2а
0
-2а
-За
4а
— а
2)
-За
2а
а
4а
0
-4а
— а
-2а
За
3)
— а
4а
-За
-2а
0
2а
За
-4а
а
Первое задание обычно не вызывает затруднений. При его проверке учитель
предлагает учащимся объяснить, как они заполнили ту или иную клетку квадрата.
При решении заданий 2 и 3 учащиеся уже должны разобрать несколько путей.
Учитель, проверяя правильность заполнения квадратов, должен помнить, что в
углах квадрата стоят выражения, у которых модули коэффициентов — нечетные
числа; в центре стоит 0.
131. Задание целесообразно начать на уроке, а продолжить дома (по
желанию).
132. Пусть задумано число а, тогда 3-7-а — 4-5«0 = 21 а — 20а = а. Учащиеся
уже самостоятельно могут обосновать результат «фокуса».
133. х + 2х + 4х + 8х=\5х\ 15х= 15-12=180 (книг).
Целесообразно решить эту задачу двумя способами (второй способ —
нахождение количества книг в каждом шкафу), потом сравнить их. Первый способ
позволяет решить задачу устно.
134. Например: a) 24afc = 10afc + \4ab\ 24ab = 30ab + ( — 6ab); б) 24ab =
= \2ab-2; 24ab = 24a-b. Можно устроить соревнование между учащимися. Потом
выражение полезно заменить (например, —2\ху).
135. Примерные ответы: 1) —18; 2) — 9а + ( — 9а); 3) — 10а+ (—8а);
4) _ба + (-6а)+( — 6а); 5) -а-2а-15а; 6) -6-За; 7) -2-3-За; 8) -18;
0; 36. Для сильных учащихся задание можно усложнить (например, взять
выражение —24ху).
136. ((x-5)-(-
Необязательное задание на дом. Придумать аналогичный «фокус» и
предложить его на следующем уроке.
137. Потому что значение этого выражения не зависит от х:
З.(2х— 8)—4.(1,5х-8,5) = 6х— 24— 6х + 34=10.
138. Так как х=0, то домашнего задания нет. Учитель может так составить
уравнение, что корнем будет натуральное число, которое будет показывать номер
нужного упражнения из учебника.
139. Чтобы составить задачу, надо сначала решить уравнение: дг+(*+1) +
+(* + 2)-|-(дг-|-3)= — 14;4x + 6=14;jc= —5. Значит, в условии задачи говорится о
175

последовательных целых числах. Задача: «Сумма четырех последовательных
целых чисел равна — 14. Найдите эти числа».
Ответ: —5; —4; —3; — 2.
140. Любое двузначное число можно записать в виде Юа+ 6, где а — цифра
десятков, b — цифра единиц. Пусть дано двузначное число \0х-\-уу тогда после
перемены цифр местами будет 10*/ + *. Сложим их: 10* + */+ \0у + х= 11*+ 1 \у =
= 11 {х + у). Значит, сумма этих чисел кратна 11. Целесообразно сначала учащимся
предложить проверить это свойство на конкретных числах, а потом учитель
доказывает его в общем виде.
141. Делить на х — 2 можно при условии, что хф2. Однако корень
уравнения как раз равен 2 (так как число 2 обращает его в верное равенство).
Значит, делить на выражение х — 2 нельзя.
142. Указание. Число 1 надо представить в виде дроби с каким-либо
знаменателем, а дробь эту представить в виде суммы дробей с одинаковыми
знаменателями. Числа надо так подобрать, чтобы две (или все три) дроби
сократились. Например:
, 12__1_ , 2 9_ 1,1,3
12" 2 +Т2+Т2~Т2~+"б' + Т-
lyfO 3 7 6 14 14 7 6 3 _
143. -£•=-— ; — = -— ; —=— ; — = — . Так как разность чисел равна нулю,
о 14 о 7 о о 14 7
то они должны быть равными. Записав одно верное равенство, мы можем из него
получить остальные (используя, например, основное свойство пропорции). Учи-
3 7
тель отмечает, что равенство -^-=тт можно записать по-другому: 3:6 = 7:14.
b 14
144. Надо назвать число, обратное одному из известных множителей.
145. 7 и —. Задание предложить для устного решения.
146 а) 2-^1^-^-^-^-4А.
14Ь- а) 220 *21~20 21~ЬЗ"3~43 '
' 24 25 24 25 1-1
Учитель предлагает учащимся обосновать, почему вместо того или иного
квадратика они поставили данное число. Усложнение задания: заменить звездочками
еще несколько чисел. Например:
а) 20**21~20' * "1-3~ * " * '
б) 12
147. а) За l4- ч; б) за 1 ч.
о
а) За 1 ч лев съест -jr- овцы, а волк — овцы, значит, вместе они съедят
Z о
1,15..^ ,56,1..
за 1 ч -—+-—=— (овцы). Следовательно, овцу они съедят за 1:—=—=1-— (ч).
zoo о о о
Последнее действие можно объяснить так. Предположим, что лев и волк за 1 ч съе-
176

дят 2 овцы. За сколько они съедят 1 овцу? Надо 1 разделить на 2. Аналогично и в
решении задачи: надо 1 разделить на 2 и т. д.
б) Эта задача решается аналогично. Она несколько проще, и ее можно
предложить для самостоятельного решения.
149. Например: 1) Это число больше нуля? 2) На координатной прямой это
число правее или левее начала отсчета? 3) Если это число умножить
(разделить) на положительное (отрицательное) число, то какого знака будет
произведение?
150. а) Всего можно составить 18 верных равенств:
1) _5-4=-9; 2) -54-(-3)=-8; 3) —5 + ( —2)= -7;
4) _3-4=-7; 5) -2-4=-6; 6) —3 + ( —2)=—5;
7) _5-(-2)=-3; 8) -5-(-3)=-2; 9) —5 + 4= — 1;
10) —3 —( —2)= —1; 11) -34-4=1; 12) —2 —( —3)=1;
13) -24-4 = 2; 14) -3-(-5) = 2; 15) -2-(-5) = 3;
16) 4-(-2) = 6; 17) 4-(-3) = 7; 18) 4-(-5) = 9.
Учитель может выписать на карточку числа, стоящие в правых частях равенств,
и называть их. Возможность составления двух различных равенств надо для себя
отметить.
б) Здесь тоже можно составить 18 верных равенств:
1) —5-( —3)=15; 2) —5-( —2)=10; 3) -5-4=-20;
4) _з.(-2) = 6; 5) —3-4= — 12; 6) —2-4=—8;
7) — 5:(— 3) = 1 -^-; 8) -5:(-2) = 2,5; 9) —5:4= — 1-1-;
3 4
Ю) —3:( — 5)=— ; 11) —3:( —2)=1,5; 12) — 3:4— — -^-;
13) -2:(-5) = 0,4; 14) (-2):(-3)=у; 15) -2:4=-0,5;
16) 4:(-5)=—i; 17) 4:(-3)= - \± ; 18) 4:(-2)=-2.
Указание. Если учитель называет число с целой частью, то учащиеся
сначала обращают его в неправильную дробь; если учитель называет десятичную
дробь, то ученики сначала представляют ее в виде обыкновенной дроби (тогда
решение значительно облегчается).
151. — 54~( — 3) — ( —9)=1. Целесообразно это задание предложить для
устного решения.
152. а) (4-7).(5-9)= 12; б) -3-(5-8)-10= - 1.
153. 1) 21 — не простое; 2) 19 — не составное; 3) 12—не квадрат числа;
4) — 11 — не положительно; 5) 11 — не отрицательно. Возможны и другие
ответы.-
154. b — а, —, —, a — b, a-\-b, ab. Учитель предлагает учащимся вместо
букв а и b взять конкретные двузначные числа и сравнить значения получившихся
числовых выражений. Потом идет обсуждение и на доске записывается ответ.
Учитель указывает на любые два соседних выражения и спрашивает, почему при
любых а и b (где а и b — двузначные числа) одно выражение больше дру-
177

гого. Ученики должны объяснить. Например, учитель показывает на выражения
— и — . Ученик отвечает, что так как а>£, то дробь — правильная, а дробь —
а о а о
Ь а
неправильная, значит, —<— и т. д.
155. Последовательность сгибов может быть, например, такой, как на
рисунке 79.
156. а) а — х\ б) Ь — c + d\ в) у — а + Ъ.
2) з) 4)
Рис. 79
VII КЛАСС
Алгебра
1. Второе. Учащиеся могут рассуждать следующим образом. Подставим 11
вместо х в первое уравнение. Получим — -|~-—"=3. Это — неверное равенство, ибо
\Z lo
в левой части оба слагаемых меньше единицы. Далее замечаем, что третье
уравнение потребует меньше времени на проверку, чем второе. Проверим: —-=Ц —1.
Это — неверное равенство, ибо дробное число не может быть равным
целому. Значит, число 11 является корнем второго уравнения. Теперь в этом можно
убедиться путем вычислений.
2. Число 4 — корень уравнения Ъх — 20 = 9* — 36. Так как Витя делил обе части
уравнения на х — 4, то он фактически делил на 0, что невозможно. Поэтому он и
получил абсурдный ответ.
3. 3* + 8=-7, 8* + 7=-33, 7*-33=-68, — 33х-68=97 и т. д.
5. Турист за три дня прошел 91 км. Во второй день он прошел на 5 км меньше,
чем в первый, а в третий день =- расстояния, которое он прошел за два дня.
о
Сколько километров проходил турист каждый день?
Пусть в первый день турист прошел х км, тогда во второй день он прошел
(х — 5) км, за два дня — (х+х — 5) км, или {2х — 5) км, а в третий день он прошел
2 2
-=- (2jc — 5) км. За три дня турист прошел 91 км, значит, х + (х — 5) + (2х — 5) —= 91;
О о
(2x-5) + (2*-5)~ = 91; (2x — 5)~=91; 2*-5=65, х=35, *-5 = 30,
о о
(2*-5)~=26.
Ответ: 35 км, 30 км, 26 км.
178

6. 0,2 км/ч, 10 м/ч, 5 км/ч.
Будет функциональной зависимостью. Далее (или позже, через несколько
уроков) учитель может предложить задать эту зависимость формулой.
8. В (2; 1). Количество таких заданий учитель может увеличить. Они решаются
устно с опорой на координатную плоскость или без нее.
9. Отметив несколько точек, удовлетворяющих заданным условиям, ученик
обнаруживает, что все они, кажется, лежат на одной прямой. Каждая новая
точка убеждает его в справедливости этой гипотезы. Победителем можно признать
ученика, который догадается провести эту прямую с помощью линейки.
10. Каждая группа точек обладает такой особенностью: точки лежат на
одной прямой и на одном и том же расстоянии друг от друга. Учитель может
предложить некоторым учащимся назвать координаты последних точек без их
построения, а некоторым ученикам — и без построения точек вообще.
11. Это — изображение зайца. Дополнительное задание: изображение орла —
(-13, -14), (-11, -И), (-10, -7), (-7, -4), (-5, -3), (-4, -3), (-3, -4),
(-4, -4), (-5, -5), (-4, -6), (-5, -8), (-6, -9), (-5, -9), (-9, -И),
(-10, -12), (-11, -14), (-13, -14) и (-4, -3,5).
12. у= — х. Дополнительный вопрос: рационально ли выполнил задание
Витя? Нет, ибо для построения графика функции у=—х одна точка
очевидна - (0, 0).
13. у = 0,03л:.
14. у = 3х — 2, не принадлежит графику функции точка (—1, —4).
Дополнительное задание: то же, но уже два значения функции в таблице
записаны неверно.
X
У
-2
-2
-1
3
0
1
1
2
2
-3
3
-5
Ответ: у= —2х+\\ точки ( — 2; —2) и (1; 2) не принадлежат графику.
16. ( — 4; 9). Учащиеся могут выполнить задание перебором. Однако учитель
должен отметить (если этого не сделали ученики) возможность «сократить опыт
рассуждением». Замечаем, что положительные и отрицательные числа в данном
ряду чередуются. Значит, числа в искомой паре будут иметь разные знаки. Первое
число в паре не может быть положительным, ибо тогда второе число отрицательно
и 2х — 3у будет больше нуля. Итак, первое число в паре отрицательно. Поэтому
надо проверить только 4 пары. Пары (— 1; 3) и (— 10; 18) отпадают, так как в
первой из них числа слишком малы, а во второй — слишком велики. Из оставшихся
двух пар находим искомую — ( — 4; 9).
17. Можно составить уравнение с двумя неизвестными, решением которого
будет пара ( — 3; 7), например Ъх + 2у = — 1. Теперь легко подобрать еще два
решения этого уравнения, например I 0; — — j , (3; —8).
179

18. Точка С. Задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим их.
1) Можно отметить данные точки на координатной плоскости. Тогда сразу будет
видна лишняя точка. 2) Координаты точек А, В, О, D, Е удовлетворяют условию:
ордината равна абсциссе, умноженной на 2. Координаты точки С не удовлетворяют
этому условию. Значит, точка С искомая. 3) Предположим, что точка О лежит на
прямой. Тогда эта прямая является графиком функции y = kx. Легко видеть, что
координаты всех точек, кроме С, удовлетворяют этому равенству (если к = 2).
Значит, точка С искомая.
19. Записав левую часть уравнения, например Ъх — Ьу, Степа подставляет
вместо неизвестных какую-нибудь пару чисел, например (2; —3). Получает первое
уравнение: 3* —5*/ = 21. То же самое он проделывает и со вторым уравнением:
5л: — 2i/ = 5• 2 — 2• (— 3) = 16, 5* — 2*/= 16. Пара (2; —3) является решением обоих
уравнений.
20. Умножим обе части второго уравнения на 2, получим систему
Теперь непосредственно видно, что система не имеет решения.
21. </=-Ц^, 2</=1-3*.
Система уравнений может быть записана в таком виде:
Решив уравнение —4* + 5 -х—=60, получим, что х=— 5, а тогда у = 8.
22. Пусть задуманы числа хну, тогда
х-у=Ь.
Решая эту систему способом алгебраического сложения, получим, что
а + Ь а — Ь ..
х = —-—, у = —-—. Иными словами, надо найти полусумму и полуразность
названных чисел. Учитель предлагает учащимся самим разобраться в этом и
сделать вывод.
23. Периметр прямоугольника равен 20 см, а одна из сторон больше другой
на 4 см. Найдите стороны прямоугольника.
(х — у = 4,
l 10;
2*=14, Jt = 7, </ = 3.
Итак, стороны прямоугольника 7 см и 3 см.
24. Задача, очевидно, на движение. В первом случае машины (ибо сумма
скоростей равна 140 км/ч) движутся навстречу друг другу 2 ч, а во втором одна
из машин догоняет другую 14 ч. Теперь можно сформулировать задачу: «Две
машины одновременно начинают движение из пунктов, расстояние между которыми
280 км. Если они движутся навстречу друг другу, то встретятся через 2 ч, если
180

они движутся в одном направлении, то одна из машин догонит другую через 14 ч.
Каковы скорости машин?»
U
2х=160,
0, £/ = 60.
Значит, скорости машин 80 км/ч и 60 км/ч.
25. 1) Да, если это число положительно и меньше 1.2) 81. Пусть будет п
слагаемых, тогда 3 + 3 + ... + 3 = Зл, 35 = 3л, 34 = я, л = 81. 3) —.
26. 23, З2, 52, 25, 53,35. Можно предложить учащимся, перед тем как они запишут
степени, угадать наибольшую и наименьшую. Записать их, а потом проверить себя.
27. Вычисления математиков показывают, что для этого понадобится 1035 лет.
Легенда дает возможность учащимся представить громадность числа 1035.
28. 216. Учитель предлагает отыскать как можно больше способов упрощения
выражения. Приведем два из них.
1) Замечаем, что 2|| + 2||=2-2||=212.
Точно так же 212 + 2|2 = 213 и т. д. Последняя сумма 2|5 + 2|5 = 216.
2) Вынесем 2й за скобки, используя распределительный закон: 21 * —f— 21' —f—
-j-2l2 + 2l3 + 2l44-2l5 = 2M (1 + 1 -г-21 -|-22 + 23 + 24) = 211 -32=21' -25 = 216.
29. Можно предложить учащимся подумать о выигрывающей стратегии.
Удобно умножение степеней свести к сложению показателей. Стратегия: первый
выиграет, если будет записывать степени а2, а6, а10. Затем учитель может
усложнить правила игры. Например, умножать можно на одну из степеней а7, а9,
а". Выиграет тот, кто запишет а63. Выигрывающая стратегия: а9, а27, а45, а63.
32. jc = 4. Если бы в правой части было число 1000, то ясно, что тогда х
был бы равен 3 (ибо а363 = (а6)3 = 103 = 1000). Но в правой части число 5000,
значит, показатель степени Ьх на единицу больше, чем 3, т. е. равен 4.
33. Например, с60. Искомое выражение должно быть степенью с показателем,
который кратен числам 2; 3; 4; 5, т. е. кратен 60 (НОК(2; 3; 4; 5) =60).
34. 45-86=167. Учитель может предложить более простое задание, заменив
квадратами не все степени: 45« LJ =167; I I • I I = 167.
35. 3~5, 5~3, 2~5, 5"2, З"2, 2~3.
36. Задания составлены в порядке возрастания трудности. Покажем, как
можно быстро составлять такие задания. Так как степени перемножаются, то
составление данного задания сводится к составлению занимательного квадрата.
х~2
х-3
х2
х3
х-1
х-5
х-4
X
1
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Сумма чисел по любому ряду этого занимательного квадрата равна 15. Но
здесь все числа положительны. Чтобы получить отрицательные числа,
воспользуемся одним свойством занимательного квадрата: если из каждого числа вычесть
181

одно и то же число, то сумма чисел по любому ряду также будет равна одному
и тому же числу. Вычтем, например, число 6, получим:
— 2
-3
2
3
— 1
-5
— 4
1
0
х-2
х~3
х2
х3
х-1
х-5
х'к
X
х°
или
Из последнего квадрата легко получать разнообразные задания,
«выбрасывая» некоторые степени.
37. 85»32~4 = 2~5. Можно облегчить задание, заменив квадратиками не все
степени, например: П 5.32~4 = 2~5, 85- □ ~4= □ ~5.
Дополнительное задание: запишите степени числа 3:
38. 1) 12т2;
5) 5;
2) 8т2; 3) -8т2
6) 4-;
о
7) 100т4;
4) 20т4;
8) 4т4;
9) 144т4; 10) 64т4.
39. Например, \\\х—\\х.
40.
-2х
9х
-Ъх
7х
-\\х
6х
-Зх
4х
X
Задание усложнится, если в клетках квадрата будет записано не три, а два
или даже один одночлен.
41. — 8192*V3. На доске удобно использовать схематичную запись задания:
произведение в 8-й клетке? Можно предлагать одночлены и с
дробными коэффициентами, например:
5 з
Тба
произведение
в 6-й клетке?
43. (2aV)3.(4<rV)2 = 8aV2*. 16aV°= 128a'V2.
Дополнительное задание: то же из одночленов — 3*У и 2х6у9 получилось
— 108jc2I4/39. Здесь в отличие от первого задания равенство можно записать
сразу (— Зх3у7 можно возвести только в куб, иначе произведение не будет
отрицательно). Можно и усложнить задание. Например, так. Даны три одночлена:
2a3by 4a26\ &a5b2. Один из них возвели в квадрат, один из оставшихся воз-
182

вели в куб, полученные результаты перемножили. Получилось 512a"V. Запишите
это равенство.
((8а562)2. (2а36)3 = 26al0b423aV = 512а1 V.)
44. Например, Зх2 + 5х — 1. Задание решается с конца. Составим числовое
выражение вида а-22 + Ь-2 + с, чтобы его значение было равно 21, например
3• 22-|-5-2 —1=21. Теперь можно легко записать и трехчлен: Зх2-\-Ьх—\. Учитель
может предложить учащимся «поиграть» парами (на уроке или дома). Каждый
называет партнеру два числа (значение х и значение трехчлена), и потом оба по
этим данным составляют трехчлены. После этого проверяют друг друга.
45. 9л: — Ту. Схематичная запись: | Ъх — Зу \ — 2х-\-уУ^ сложение в 7-й
клетке? ^
46.
-а-Ь
ЗЬ
а — ЗЬ
2а-Ь
0
Ь — 2а
2Ь—а
-ЗЬ
а + Ь
Дополнительное задание: в пустые клетки таблицы запишите такие
выражения, чтобы сумма была равна 3a-f-66. Ответ.
2а
За+Ь
а — Ь
b
a + ЪЬ
2а
За-\-Ь
а + 2Ь
— а-{-ЗЬ
\Ь
а — Ь
2а-\-ЗЬ
47. 1) лг3-Ьлг и х2+1; 2) 2*2-х + 3 и -2*2 +
Первое задание решается устно. Его решение поможет выполнить второе
задание, которое намного сложнее. Покажем, как ученики могут рассуждать при
решении. Так как разность трехчленов равна 4г2, то второй и третий члены
равны между собой. Так как сумма трехчленов равна — 2дг + 6, то коэффициенты,
стоящие при х2, должны быть противоположны. Итак, первый член равен 2дг*
или — 2т2, второй равен — х, а третий равен 3. Искомые трехчлены: 2х2—х-\-3
и -2x2-jc + 3.
183

48. Например, (3*5 + 2jc3 — 5х)+(-2*3 + 5х-7).
Дополнительное задание: запишите такую разность двух двучленов с буквой х,
чтобы значение этого выражения при *= — 3 было равно —17. Учащиеся уже
подготовлены к этому заданию. Начинать надо не с разности двучленов, а
с выражения, которое получится после упрощения этой разности. Пусть,
например, это будет 2х— LJ , чтобы значение этого выражения при х— — 3 было
равно — 17, вместо квадратика надо записать число 11. Получаем 2аг — 11. Теперь это
выражение нетрудно представить в виде разности двучленов, например (5х — 31) —
-(Зх-20).
49. 1) а, а2, а3; 2) а2, а2, а5;
3) За2, 4а2, 5а2; 4) За3, 7а3, 10а5.
Для экономии времени учащиеся могут записать только одночлены, не
вычерчивая таблицу.
Первые два задания довольно просты. В третьем можно рассуждать
следующим образом. Так как сумма одночленов равна 12а2, то все они имеют
буквенную часть а2. Так как коэффициент произведения одночленов оканчивается
нулем, то коэффициент одного из одночленов равен 5 (а почему не равен 10?),
а один (или оба) из коэффициентов других одночленов — четное число. Отсюда
получаем одночлены: 5а2, За2, 4а2.
Полезно вместе с учащимися проанализировать эти рассуждения. Хотя они
и приводят быстро к цели, однако с математической точки зрения небезупречны.
Например, верно ли, что если сумма трех одночленов равна 12а2, то все они
имеют буквенную часть а2? Кто сможет опровергнуть это утверждение? Достаточно
привести контрпример За5 + 12а2 — За5. Но тогда произведение таких одночленов
не может быть равным 60а6. Поэтому мы и не рассматриваем это ответвление.
50. Например: 1) х2 — Зха; 2) 5jc-4jc2; 3) 7а2х + а2; 4) 9a-7x2a; 5) -JtV + 5a3.
Учащимся при решении надо смотреть вперед, ибо при случайном подборе
последний двучлен не всегда можно разложить. Дополнительные задания:
используя те же одночлены, составьте: а) три трехчлена, чтобы каждый можно было
разложить на множители; б) такой, который содержит больше членов, чем
другие, который можно разложить на множители. Сколько в нем будет членов?
51. 35ax-20jt + 21a-12 = (5jt + 3)(7a-4).
Можно рассуждать так. Первый четырехчлен на множители разложить
нельзя, ибо у него нет общих множителей, а группировка ничего не даст из-за
того, что у него три отрицательных коэффициента. Второй четырехчлен на
множители разложить нельзя, так как показатель последнего члена слишком велик.
Можно ли разложить на множители третий четырехчлен, сразу не видно.
Пропустим его пока. Четвертый четырехчлен разложить на множители нельзя, ибо
группировка последнего члена с любым из других ничего не дает. Вывод: на
множители можно разложить третий четырехчлен. Проверим.
52. Это задание служит своеобразной пропедевтикой разложения
многочленов на множители. Деятельность учащихся можно организовать следующим
образом. На листах бумаги учащиеся выполняют предложенные задания (и
соответствующие задания из учебника). Решения проверяются. Потом учитель
предлагает учащимся запомнить левые части равенств и сдать листочки учителю. После
этого на экран проецируются многочлены, которые были записаны в правых частях
равенств:
184

a) 6jh/ + 21x+10(/ + 35; б) \2ху + 2х- 18*/-3; в) дн/-9х-
Ученики в тетрадях записывают их и пытаются восстановить множители.
53. Например:
2) 2ху — Ь + хус — 2с = (ху — 2)(2 + с);
3) 9а26-а6 + 9а-1=(9а-1)(а6+1).
54. Пусть, например, записан двучлен 5х-\-Зу. Третий член надо взять таким,
чтобы он имел общий множитель с одним из данных членов. Возьмем,
например, Зху. Затем вынесем этот общий множитель, получим Зу(х-\-\). Каким же
должен быть четвертый член, чтобы сгруппировать его с оставшимся членом и,
вынеся общий множитель за скобки, в скобках получился тот же двучлен, что и
раньше (т. е. х+ 1)? Очевидно, надо прибавить число 5. Итак, Ьх + 3у + 3ху + 5 =
= (х-\-1) (Зу-\- 5). Учитель предлагает поискать и другие способы. Один из самых
простых следующий. Умножим двучлен Ьх + Зу на какой-либо одночлен,
например с, получим Ъху + Зус. Его и надо «дописать» к данному двучлену. Имеем
5х + Зу + Ъхс + Зус=(5* + Зу) (с + 1).
На одном из следующих уроков можно организовать своеобразную игру:
один ученик пишет любой двучлен, а другой «дополняет» его до четырехчлена,
а потом оба раскладывают полученные многочлены на множители.
55. 1) 6а6
2) 2а6
3) ЗаЬ-Ьа-Ь + 2=(За-\)(Ь-2).
Это задание можно предложить для домашнего решения.
56. Всего можно составить 8 таких многочленов:
1) 3*3 + 5х2 + 6х + Ю; 2) 3jc3-t-6jc2H-5a:H- 10;
3) 5*3 + Зх2+1Ох + 6; 4)
5) 6*3 + Зх2+1Ох + 5; 6)
7) 1(к3 + 5х2 + 6* + 3; 8)
Решение этого задания можно провести в форме соревнования: кто больше
составит таких четырехчленов и разложит их на множители? Полезно обсудить
вопрос, почему многочленов именно восемь.
57. Например: 2) 6*2+ 15х — 4хс— \0с\
3) Ъ
58. (5а — Зх)(7а + Ьс). 1) Да; 2) нет; 3) да. Данное задание — хороший
повод для выявления закономерностей разложения на множители связанных со
знаками членов. В первом случае можно в получившемся четырехчлене вынести
за скобки —1. Во втором три коэффициента будут одного знака и поэтому
группировка ничего не даст. В третьем случае или все коэффициенты будут одного
знака, или два будут положительны и два отрицательны. Следовательно,
разложить четырехчлен на множители можно.
59. Нет. Делить обе части равенства на а — Ь — с нельзя, ибо а — Ь — г = 0.
60. Своеобразная пропедевтика формулы а2 — Ь2=(а — b) (a + b). Учитель
может предложить любому ученику попробовать себя в роли отгадчика.
62. Учитель, не давая своего решения, предлагает учащимся обдумать дома
эту ситуацию и на следующем уроке проделать все это с любым двучленом.
185

Покажем один из возможных подходов на примере. Пусть записан двучлен
а3 — Ь2. Можно «дописать» два таких двучлена:
тогда произведение равно al2 — b*.
63. Это можно сделать с помощью формулы разности квадратов. Пусть
записано число 53, учитель умножает его на 47:
Три-четыре примера он может показать, при этом все промежуточные
вычисления выполняются в уме. Потом учитель предлагает учащимся разобраться,
в чем тут дело, и попробовать сделать то же самое.
64. jc, х — 3, х-\-3. Они находятся путем разложения выражения jc3 — 9jc на
множители: х3 — 9х — х(х — 3)(* + 3). Действительно, сумма множителей: х+х +
-f-3 + x — 3 = 3*. Значит, искомые одночлены: х, х— 3, х-\-Ъ.
65. х2 + 2х + 1 =(*+1)2, т. е. надо извлечь квадратный корень из названного
числа и вычесть единицу. Ученики по очереди называют числа, учитель мгновенно
отгадывает задуманное число. Если ученик хочет сделать то же, он может
воспользоваться таблицей квадратов. Эту игровую ситуацию можно использовать или
перед введением формулы квадрата двучлена, или при ее закреплении (тогда
ученики алгоритм операции могут связать с уже введенной формулой).
67. 1) Чему равно произведение суммы этих одночленов и их разности?
2) Чему равен квадрат этого двучлена?
68. (а-1)2; (а-4)2.
Учитель может предложить и другие задания с данными выражениями.
Например, разность двух выражений равна 4а—16; сумма трех выражений равна
За2- 18а + 29.
Дополнительное задание: устно возведите каждый двучлен в квадрат и
найдите сумму получившихся трехчленов (5а2 — 30а -+- 55).
4с6
4cV
1
2а2
а4
2а3
а2
2а2Ь2
Ь4
186

Вместо а4 можно записать и более сложный одночлен, например 16а462.
Это задание можно видоизменить, если записать одночлену в других клетках,
например:
б*5
60а:5
12л:5
ЗОх5
Указание. Чтобы быстро заполнить клетки, в центре надо записать
одночлен 9*10.
70. См., например:
9*8
9*У
х'
хУ
6*У
9*4
9у4
хУ
У*
71. Например:
1) а6-а = а(а5-1); а6-Ь2 = (а3-Ь)(а3
2) a*-a2b2 = a2(a2-
3) a6-aV = a2(a-
Дополнительное задание: допишите такой одночлен, чтобы полученный двучлен
можно было разложить на 5 множителей, va 6 множителей и т. д. Например, на
6 множителей можно разложить так:
-al6) = a6 (1 -а) (1
+а2) (1 +а4) (1 +а8).
72. Например, (1 \х— 10) + (12х-3)=33, (1 Ijc—10) — (12л: — 3)= -9, оба
уравнения имеют корень 2. Задание решается очень быстро, если левые части равенств
упростить и вместо х подставить любое одно и то же число, например 2.
73. Площадь уменьшится на 25 см2.
187

Пусть сторона квадрата х см, тогда стороны прямоугольника равны (х + 5) см
и (х — 5) см, а его площадь равна (х + 5)(х —5) см2, т. е. (г2 — 25) см2, что меньше
площади квадрата на 25 см2.
74. 1) За + 2(а-2); 7а — (2а + 4); 5(а-2) + 6;
2) _7(а-1)-4; 17-7 (а+ 2); 2а-3 (За+ 2) + 9;
3) 2(а —3) —(а + 5); 6 + (а—17); (4а—11) —За.
75. Пусть 145=а, 454 = 6, тогда 143 = а —2, 457 = 6 + 3. Имеем 3-145 +
+ 2-454 = За + 26; 3-143 + 2-457 = За-6 + 26 + 6 = За + 26. Задание является
хорошим поводом для беседы об одном из приемов решения: рассмотри общий
случай.
3 2
76. Например, — и -=- или 0,9 и 0,1 и т. д. Пусть числа а и b удовлетворяют
и о
заданному условию, тогда a2 + b = b2 + a\ a2 — b2 = a — by (a — b)(a + b) = a — b. Так
как аФЬ по условию, то разделим обе части равенства на разность а — Ь,
получим а + 6 = 1. Итак, искомыми будут любые два числа, сумма которых
равна 1.
77. Учитель не ограничивает фантазию учащихся. Каждый новый способ
формулируется и записывается кратко на доске. Приведем некоторые
возможности. Пусть записано верное неравенство ~>-рг. Тогда будут верны и такие
1 о 1 /
неравенства:
1) — -гз<— -рг (умножить на —1);
2) тъ<-гт (обратные числа);
1 о 14
3) "Тё~>ту (дописать цифру);
13 4
4) у5>уу (стеРеть ЦИФРУ) и т- А-
78. 1) х + 3>10; 2) х>у\ 3) у>\\ 4) (/+2<х+5; 5) 60-
6) Зу<17.
Геометрия
1. Например, какой из трех отрезков АВУ ВС и АС наибольший? Учитель
заранее заготавливает чертежи. Ученик, задававший вопрос, должен назвать точку,
лежащую между двумя другими. Другие учащиеся, если они не согласны с этим
ответом, предлагают свои. Потом чертеж открывается и выясняется, кто был прав.
Учитель может предложить учащимся придумать другие возможные вопросы.
Например, может быть предложен неочевидный вопрос: отметьте на этой прямой
точку X левее всех данных точек. Длина какого из отрезков АХ, ВХ, СХ больше
одного и меньше другого из оставшихся отрезков?
2. Это сделать невозможно, ибо условия 1 и 2 не могут выполняться
одновременно.
3. Да, если общая часть двух отрезков тоже будет отрезком. Учителю
полезно предложить это задание после разбора случаев взаимного расположения
двух различных прямых (или отрезков). Этот разбор провоцирует учащихся
на поспешный вывод: это невозможно. Чтобы правильно ответить на вопрос,
ученикам придется проявить определенную изобретательность.
188

A^
Рис. 80
4. Путь построения: от точки О влево надо отложить отрезок длиной ОВ.
Получим точку С. Дополнительный вопрос: всегда ли задача имеет решение?
Иными словами, где можно отметить точку С, чтобы задача имела решение?
Точку С надо отметить так, чтобы длина отрезка ОА была больше длины
отрезка ОСУ т. е. точка О должна лежать между точкой В и серединой отрезка АВ.
5. Таких углов можно построить сколько угодно (рис. 80).
Эту ситуацию можно продолжить. После того как на доске появится чертеж,
учитель видоизменяет его (рис. 81, а).
Некоторые учащиеся уверены, что теперь задача не имеет решения. Однако
это не так, и учитель предлагает найти его (рис. 81,6).
6. Учитель указывает, что данных сторон угла «не хватает», чтобы измерить
угол, а продолжить эти лучи нельзя. Как же быть? Надо провести
дополнительные лучи и измерить градусную меру вертикального угла.
7. Из первого утверждения следует, что градусные меры углов 135° и 45°; из
второго — 80° и 100°, из третьего — 45° и 135°. Значит, второе утверждение
противоречит другим.
8. Найдем острые углы в каждом случае: 1) 30°; 2) 40°; 3) 30°. Значит,
второе утверждение противоречит другим.
9. Например: 1) у этих углов общая вершина; 2) сколько пар дополнительных
прямых на чертеже? Если учащиеся задают несущественные вопросы, то учитель
при обсуждении должен это показать. Например, привести контрпример.
10. 4 луча. Задача легко решается с помощью логических рассуждений.
Так как один из углов равен 180°, то два луча должны быть дополнительными.
Так как один из углов равен 90°, то третий луч перпендикулярен этой прямой.
Четвертый луч делит один из прямых углов на углы в 60° и 30°. Тогда один из углов
будет равен 150°.
П. Можно продолжить две стороны треугольника за общую вершину и
отложить на них отрезки, равные соответственно данным сторонам, потом соединить
полученные точки (рис. 82).
12. 1; 3; 4.
13. AFBC= AFiB\C\ (по первому признаку равенства треугольников),
значит, BF = B\F\ и /LAFB— /-A\F\B\. Точно так же рассматриваются и остальные
пары треугольников, пока не «дойдем» до AABD и дЛ|Я|£|. Учитель может это
делать наглядно: доказали, что BF = B\F\, стираем стороны ВС, FCy £|С|, f iCr,
доказали, что ВЕ = В\Е\, стираем стороны BF, EFy B\F\, E\F\ и т. д. Чтобы это
189

в
/Sl
\
/
/
\
\
/
/
\
\
/
/
\
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 84
экспресс-доказательство прошло без заминки, полезно предварительно вспомнить
такое свойство: если два угла равны, то и смежные им углы равны.
14. Один из возможных быстрых способов такой. Ученик дома заготавливает
шаблон (рис. 83), т. е. из куска картона или твердой бумаги вырезает
треугольник. Теперь легко построить равные треугольники.
Можно предложить способ с использованием клетчатой бумаги (см., например,
рис. 84). Тогда ученик должен доказать, что полученные треугольники равны
между собой.
15. Надо найти середину отрезка А В — точку О и через нее провести прямую,
пересекающую лучи AN и ВМ (рис. 85). Тогда AAOF= ABOD (по второму
признаку равенства треугольников).
Эти задача — своеобразная пропедевтика решения задач, при решении
которых используются дополнительные построения. На чертеже (рис. 85) лучи
AN и ВМ лучше делать разными по длине, ибо некоторые ученики просто
соединяют точки N и М. Дополнительное задание (рис. 86). 1) Проведите отрезок так,
чтобы получились равные треугольники. 2) Проведите два отрезка так, чтобы
получились равные треугольники.
16. 1) Например, равнобедренный треугольник, параллелограмм и т. д.—
обычно здесь особых затруднений у учащихся нет, ибо эти фигуры уже встречались
им при доказательстве равенства треугольников.
2) Предыдущее задание и чертеж наталкивают учащихся на мысль «обратить»
решение. Сначала надо начертить три равных треугольника, которые и дадут
искомую фигуру. Предыдущий чертеж уже дает два треугольника, поэтому к нему
надо «добавить» третий, им равный.
17. Да, это может быть, например, четырехугольник.
18. аВСВ\ равнобедренный, из вершины С проведена биссектриса угла,
значит, СА±ВВ\. Учитель помогает учащимся представить новый чертеж с по-
Рис. 85
Рис. 86
190

мощью каркасных моделей. Когда он скажет, что точки А и А\ и точки С и d
совпали, то может показать это на модели. Тогда учащимся легче будет осмыслить
новый чертеж. Потом можно будет повторить доказательство на том чертеже,
который учащиеся представляли себе мысленно.
19. Точку надо взять на высоте, проведенной к основанию треугольника.
Тем учащимся, кто быстро выполнит это решение, учитель предлагает
дополнительное задание: докажите, что точка К не может не лежать на высоте, проведенной
к основанию.
20. 9,6 см. Все углы равны между собой только в равностороннем
треугольнике, значит, третья сторона равна 3,2 см, а периметр — 9,6 см. Задача для
устного решения. Дополнительное задание: а каков должен быть периметр
треугольника, чтобы углы при основании были равны? Ответ: периметр может быть
любым числом — ошибочен. Учитель предлагает опровергнуть его. Для этого
достаточно привести контрпример. Пусть Я = 20 см. Коллективный анализ приведет
к выводу: треугольник не существует.
Значит, длина третьей стороны должна быть меньше 6,4 см, а периметр —
меньше 12,8 см.
21. Например: 1) есть ли у первого треугольника равные стороны; 2) равные
углы; 3) является ли медиана первого треугольника высотой (биссектрисой); 4)
делит ли медиана (биссектриса, высота) треугольник на равные треугольники?
И т. д. Учитель поощряет учащихся придумывать как можно больше
разнообразных вопросов. В сущности ученики перечисляют свойства равностороннего
треугольника.
22. Надо продолжить основание и на нем от точки А отложить длину отрезка
АВ, полученную точку С соединить с точкой В. А АВС искомый.
23. Надо приложить чертеж так, чтобы биссектриса угла оказалась
перпендикулярной данному отрезку, а концы отрезка лежали на сторонах угла (рис. 87).
Учитель предлагает учащимся доказать, что АО = ОВ.
24. См. рисунок 88.
25. См. рисунок 89. Углы О AC, OBC, OBD% OAD построены с помощью
шаблона. аАСВ равнобедренный, значит, АС = ВС. ОС — общая, значит, ААСО =
= АВСО, АО = ОВ.
26. Потому что CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ (рис. 90).
Условие задания лучше разобрать коллективно. Это можно сделать наглядно.
Каждый ученик положит книгу наклонно. Учитель спрашивает, почему
расстояния от глаза до верхней и нижней строчек равны. Затем учащиеся выполняют
чертеж.
27. 1) Надо отложить угол, равный данному. 2) Ученики ответят, что
восстановить невозможно. Тогда вопрос: а что надо знать, чтобы это можно было сде-
Рис. 87
А
D-
С)
С
Рис.
?
88
в
Рис
с
>
D
89
191

в
А
Рис. 90
Рис. 91
Рис. 92
Рис. 93
лать? Надо, например, знать градусную меру данного угла. Учитель сообщает,
что она равна 62°, и учащиеся восстанавливают чертеж.
28. Провести произвольный луч из вершины развернутого угла и построить
биссектрисы полученных смежных углов. Эти биссектрисы и будут образовывать
прямой угол. Удобнее всего это задание предложить после разбора решения такой
задачи: «Найдите угол между биссектрисами смежных углов».
29. См. рисунок 91. BKD = 2S°.
Усложнение: построить угол, градусная мера которого равна 14°.
Можно подготовить учащихся к решению этой задачи, предложив им предварительно,
например, такую задачу: АВ = ВС, Z.ABD=\26° (рис. 92). Найдите углы при
основании треугольника.
30. 20°, 160° и 160°. Один из углов легко находим, если учесть, что сумма
всех четырех углов равна 360° (360° —340° = 20°). Теперь вычислим оставшиеся три
угла. Задание удобно предложить для устного решения по готовому чертежу.
31. Возникает предположение, что AB = CD и AC = BD (рис. 93). Учитель
предлагает проверить это предположение. Учащиеся обдумывают, как это сделать.
После коллективного обсуждения учащиеся приходят к выводу: из того, что
AB\\CD и AC\\BD% нужно доказать, что AB = CD и AC = BD. Это удается
сделать, если провести отрезок-ДО (или ВС). Тогда AADC= A DAB (по второму
признаку). Итак, интуиция нас не обманула: AB = CD и AC = BD.
32. От точки В на прямой Ь отложить вправо отрезок длиной АВ. Полученную
точку С соединить с точкой А. ААВС искомый. Учитель предлагает доказать это.
33. 1) Степа опустил высоту на основание равнобедренного треугольника.
Она является и биссектрисой, поэтому делит угол при вершине пополам
(70°:2 = 35°).
2) В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 55° (90° — 35° =
= 55°).
34. Например: 1) этот треугольник прямоугольный? Если «да», то: 2) есть у
него равные стороны? Если же на первый вопрос последует «нет», то: 2) сколько
у него равных сторон?
35. Учитель предлагает учащимся найти как можно больше способов
доказательства того, что такой треугольник не существует. Приведем несколько
возможных планов такого доказательства.
Так как этот треугольник прямоугольный, то: а) один из его углов равен 90°;
б) у него только два острых угла; в) у него не все углы равны; г) у него не
все стороны равны; д) высота, опущенная из вершины острого угла, не является
медианой и т. д.
192

в
м
Аналогично можно рассуждать исхо- ,
дя из того, что дан равносторонний
треугольник. Главное для учителя — не
ограничивать поле поиска и поощрять
оригинальные способы доказательства.
36. Очевидно, что AD = BD = BM =
= МС = КС = АК=№ см (рис. 94).
Значит, периметр получившейся фигуры равен
60 см. Дополнительное задание:
докажите, что эта фигура является: 1)
треугольником; 2) равносторонним
треугольником.
37. Возможные варианты приведены на
рисунке 95.
Учитель заранее чертит на доске шесть равносторонних треугольников.
Каждый ученик может начинать решение с любого задания. Потом к доске
вызываются сразу шесть учащихся, каждый из них выполняет построение и доказывает
равенство треугольников.
2)
5)
6)
Рис. 95
VIII КЛАСС
Алгебра
4. Например, а2 — 4.
5. —1. Пусть Витя задумал числа а и 6, тогда отношение разностей равно
а — Ь а — Ь
Ь — а~ а — Ъ~~~
1 Заказ 633 193

6. Приведем примерный набор выражений, которые могут быть записаны на
карточках:
х; х2\ х3; х-3; 3-х; х + 3;
2х-6; 15-5х; х2-9; 9-х2;
х2-3х; (* —3)(х + 3); 2х2-|-6х;
х3-3х2.
Задание можно усложнить.
5 2
7. и -. Знаменатели искомых дробей равны а —3, а числители
а — о а — о
легко подбираются. Дополнительное задание: сумма равна , а разность
2х —7
равна 1. Так как разность равна 1, то при вычитании получилась дробь .
Теперь двучлен 4x-f7 надо представить в виде суммы таких двух выражений,
чтобы их разность была равна 2х—7, например 2х — 7 = 3х— (х-|-7).
П+у+П П у П _ х у 2 _ 1 1 1
2х(/ 2х(/ 2xi/ 2x(/ 2xi/ 2xy 2xy 2y 2x xt/ '
веденные преобразования показывают, что тождество будет иметь вид —^ =
zxy
=-—[--—| . Постепенно задания можно усложнять, например: какой одночлен
1-х , □ 1
надо записать вместо квадратика, чтобы равенство —-—| г~=~з оказалось
тождеством? Решить это задание можно несколькими способами (желательно
устно).
Например: 1) g 1 g =—5-, 1 — х + х- LJ = 1, откуда LJ=1.
2) —2~=~т з—I —5~=~2"» LJ =1. 3) Какую дробь надо прибавить к
дроби —j—, чтобы получилось -д-? Очевидно, -у, т. е. -у. Значит, LJ =1.
х5
9. s . Учителю лучше не сразу задумывать дробь, а после того, как
один из учеников запишет на доске свою дробь. Этим учитель может варьировать
трудность заданий. Такой же игровой момент можно использовать и для других
действий.
10. I) -г—г\ 2) -j- 3) -rj (см. N9 41, VII класс).
Аналогичное задание можно предложить и на деление.
12. Ошибся. Обозначим задуманные Витей дроби хну, тогда он получил:
х а у 1 „ х у t a \
—=-г-, — = —7- "о =1, следовательно, и произведение — 7 должно
у Ъ х аЬ ух » г Ъ аЪ
194

равняться 1. Значит, Витя допустил ошибку. Дополнительное задание: сделайте
такое исправление в решении Вити, чтобы ошибки не было. Нужно так
исправить полученные частные, чтобы они в произведении давали 1. Например, второе
частное взять — или первое частное — ab.
13. a7b5 и аъЬ1'. Произведение двух одночленов равно а12612, значит, в их состав
не входят другие буквы, кроме а и 6, частное равно -гг. значит, разность
о
показателей должна быть равной 2. Получаем одночлены а7Ъъ и аъЬ7.
14. Деление. Знаки « + » и «—» отвергаем, так как в результате этих
действий одна из переменных исчезнет. Знак «•» не подходит, так как произведение не
будет равно . Значит, звездочкой заменили знак «:». Проверку можно не
делать, ибо в условии задания сказано, что это равенство является тождеством..
а , а2\а3 а + Ь
16. VlOO. лД2Т. V169. л/Т96. V256-
Если извлечь корни, то получим ряд: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, ...,
т. е. из натурального ряда чисел выбрасывается каждое третье число.
17. 81 Уб4 9 V25 36. Среди данных чисел нет нулей, следовательно, значение
одного из корней должно оканчиваться пятеркой (чтобы произведение корней
было равно 40). Итак, один из корней -\/25, другой ^64. Можно использовать
«подвижные» радикалы, тогда числа надо записывать на железном листе, а к
радикалам с обратной стороны приклеить кусочки магнитной резины.
18. Да. Проще всего умножать данное число на это же число.
Дополнительное задание: когда Вите сказали, что это просто, ибо -\[а-^[а = а, он ответил, что
может сделать то же самое, записывая число, не равное данному. А вы сможете?
Например, -\/7-У700 = 70, "\/7'л/28=14 и т. д.
19. 1) 12 частных; 2)^,^2.; 3) 1. Указание. 1) л/2 можно разде-
V2 V?
лить на три числа, УЗ — на два, -^Ъ — на одно, итого 6 частных. Кроме того,
можно составить частные, им обратные. Всего будет 12 частных. 2) Наименьшее
частное получится, если наименьшее число разделить на наибольшее, т. е.
-^= . Наибольшим частным, очевидно, будет число -*— , т. е. обратное наименьшему.
л/7 V2
Ученики неожиданно наталкиваются на интересную проблему. Пусть дано
несколько чисел (кроме 0) и числа, им обратные. Если число а — наименьшее
среди данных чисел, то будет ли число — наибольшим среди обратных? Учитель
может предложить учащимся обсудить (обдумать) эту проблему.
20. 1) (л/2)2 = 2; 2) например, (->/3-V3-f л/3)(л/3-л/3-л/^) = 6; л/
21. 1) 6 = V2-V2-V3-V3; 2) 2V3 = V2-V2-V3; 3) 18=У2-л/2-\/3-л/3-л/3-л/3;
4) 12V6=^.V2-V2-V2-V2-V3-V3-V3.
195

Количество возможностей увеличивается, если будет разрешено еще
использовать другие действия,— например, представьте число 1 в виде произведения двух
множителей: (л/3 —л/2)(УЗ + У2)= 1.
22. При п^б сумма больше,
при л>6 сумма меньше.
Это задание можно предложить учащимся для исследования. Например, при
лг = 5 имеем У2+У2 + У2+У2+У2 = 5->/2; л/2-У2-У2.у2-У2 = 4У2, 5 л/2>4 У2;
при п = 6 имеем у2+72 + У2 + У2 + У2 + У2 = 6->/2, V2-V2'V2-\/2-\/2-V2 = 8,
при п = 7 имеем У2 + .. .+^2 = 7-fiy ф. ....V2 = 2-2.2 -^=8 л/2,
23. 9. Пусть я задумал число а, тогда а2 = 27-\/а. Отсюда а=9.
Дополнительное задание: составьте аналогичную задачу, чтобы задуманное число
оказалось равным 100. (а2== 1000 -у/а.) В общем виде: а2 = (Уа)3-Уа, так как
24.
4л/3
2л/5
2л/3
2V5
4V2
4V5
2д/2
2л/3
или
V48
V20
V20
V32
V80
V8
V12
Задание легко усложнить, если данные числа записать так, чтобы ни в одном
ряду не было двух чисел. Например:
V8
V32
25. Например, 8 и 18. а) ^8 и УГв — иррациональные числа; б) У8«УГ8 =
/о о
= 12 — натуральное число, -*=г=-т рациональное число. Интересная
проблема для учащихся: какими должны быть числа а и 6, чтобы все три условия
выполнялись? Числа 8 и 18 подсказывают направление поиска. У8-УГ8 = 2-У2»3-У2 = 12,
т. е. после вынесения множителей из-под знака корня подкоренные выражения
должны быть одинаковыми, ибо тогда произведение корней будет натуральным
числом. Тогда и при делении корень исчезнет. Легко теперь подобрать нужные
196

числа: возьмем, например, корни ЗУ5 и 7 Уб, внесем множители под знак корня,
получим У45 и У245. Итак, можно взять числа 45 и 245.
26. Например, ЗУб. Надо подобрать такие натуральные числа х и у, чтобы
выполнялось неравенство 36<х2(/<49. Оказывается, всего можно назвать только
17 пар натуральных чисел. В самом деле, пусть дс=1, тогда 36<(/<49, т. е.
£/ = 37, 38 48; пусть х= 2, тогда 9<(/<12—, т. е. (/=10, 11, 12; пусть а: =3,
тогда 4<t/<5-^-, т. е. (/=5; пусть дс = 4, тогда 2-j-<t/<3—, т. е. (/=3; пусть
У 4 1о
11 24
х = 5, тогда 195<^<^25' ? С ССЛИ JC'>^' Т0 натУРального числа t/ подобрать
нельзя.
27. 1-й способ. У2»У8
2-й способ. У2»У8
5-й способ. У2-У8
4-й способ. -\/2-^/S
5-й способ. У2-У8
-:*|
У2-У8 = а, 16 = а2, а = 4 (так как а>0).
28. Проще всего вынести множитель из-под знака корня в каждом числе.
Зд/2
6V3
3V5
Зл/3
Зл/5
6V5
3-V2
Зл/3
Теперь видно, что все произведения состоят из одинаковых множителей:
3-3-6--V2-V3-V5, значит, произведения чисел в любой строке и в любом столбце
равны между собой.
29. После 1—2 прозрачных примеров типа -yjb* LJ =У35 учитель начинает
записывать более сложные числа, например -y/b- LJ =25, УТО- LJ = 10 У1000 и т. д.
После тренировки можно предложить учащимся называть числа вида а л[Ь, где
а и Ь — натуральные числа, например 2УЗ- LJ =18, 5Уб- LJ =30У2 и т. д.
Придумывать нужные числа учитель может очень просто. Например, ученик
назвал 5 Уб, учитель умножает его на 2 -\/3 и записывает число 30 У2.
31. 1) 10 множителей; 2)
) а=10;4) 55.
= 11 -5 = 55). Некоторые ответы ученик получает интуитивно (ведь время
ограничено). Потом надо решение разобрать.
197

32. Например, х2 — 5 = 0, корни Уб и — ^5. В общем виде: х2 — а = 0, где а>0.
33. В результате игры учащиеся приходят к выводу: для победы первого надо,
чтобы а было больше Ь. Учитель предлагает обосновать это предположение.
Рассмотрим разность записанных чисел: a^[b — b л[а=л[а~Ь (л[а — л[Ъ). Ясно, что а У&>
>Ь Уа, если а>Ь.
34. Чаще выигрывал Степа. Так как это предположение выдвигается самими
учащимися, учитель предлагает его доказать. Потом он обращает внимание
учеников на слова «почти всегда выигрывал». Почему не «всегда», а «почти всегда»?
Выясняется, что если числа а и b равны, то —-—= Уа6, т. е. Степа не
выигрывает.
35. Если числа а и с одного знака, то уравнение имеет корни; если
разных знаков, то не имеет. Дополнительное задание: приведите примеры уравнений
вида ах2 -\- с = 0: а) не имеющих корней; б) имеющих корнями дробные числа;
в) имеющих корнями иррациональные числа.
36. Находятся корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Зашифрованная
запись является своеобразной опорой при выводе формулы корней квадратного
уравнения.
37. Витя везде ошибся. Должно быть так:
а) *2 + 8*-10=(* + 4)2-16-10 = (* + 4)2-26;
4.Q 1
б) ^_7 + з (35)2^ЬЗ (35)29
^ЬЗ = (д:-3,5)9;
в) х2 — 2х = (х — 2)2 — 4.
38. Вместо х надо подставить, например, числа 1 и 5. Большинство учащихся
решают это задание подбором. Однако есть и другой, более продуктивный
путь. Опишем его. Подобрать искомые значения х было бы проще, если х
встречалось только в одном слагаемом. Значит, возникает идея выделить квадрат. Пусть
х2 — бдс-|-5 = 0 (т. е. мы найдем такие значения *, при подстановке которых в
трехчлен значение его будет равным нулю):
*2-6* + 9 = 4,
(*-3)2 = 4,
1*-3|=2,
дс= 1 или * = 5.
Итак, при х=\ и дс = 5 значения трехчлена будут равны между собой.
Дополнительное задание: а кто найдет два таких значения *, чтобы они были
целыми и имели разные знаки? Очевидно, надо взять такое значение этого трехчлена,
чтобы после прибавления к нему 4 получился квадрат некоторого числа, которое в
свою очередь должно быть больше 3. Возьмем, например, число 12. Имеем:
jc2 — 6л:-f-5 = 12, *2-6* + 9 = 16,
(л;_3)2=16, |*-3|=4,
х = 7 или х= — 1.
39. —7 и 1,5, 2*2+ \\x — 20=1, значит, надо решить уравнение
2л:2-f 11* — 21=0.
198

40. Да, Витя прав. Если а и с имеют разные знаки, то Ь2 — 4ас всегда
положительно, значит, уравнение будет иметь корни.
41. 1) х2 — 6х— 16 = 0; 2) х2 — 6* = 0;
3) Jt2-10* + 25 = 0; 4) х2-2х—24 = 0.
Например, в последнем задании сумма корней уравнения л:2 — 6х —16 = 0
равна 6, значит, сумма корней искомого уравнения должна быть равной 2. Это или
уравнение х2 — 2х — 24 = 0, или х2 — 2*+ 24 = 0. Однако второе уравнение не имеет
корней (дискриминант явно отрицателен). Значит, искомое уравнение х2 — 2х —
-24 = 0.
42. t/=4, уравнение х2 — 4 = 0.
Это задание можно усложнить. Достаточно взять квадратичную функцию,
например i/ = jc2 + 2jic—15. Пусть абсциссы точек пересечения равны —3 и 1. Для
решения можно подставить вместо х числа —3 и 1, получим у= —12 в обоих
случаях, значит, искомая прямая параллельна оси х и отстоит от нее на 12 единиц и
находится в нижней полуплоскости. Ее уравнение у= —12. Искомое уравнение с
корнями — 3 и 1: х2-\-2х — 15= — 12 или х2-\-2х — 3 = 0.
43. Да, 5 и 15. Можно устроить небольшое соревнование. Класс
разбивается на команды. На доске кратко записаны условия 5—10 заданий, например:
Номер задания
Сумма
Произведение
1
2
1
2
-5
-6
3
20
75
4
-10
25
5
11
-26
6
-30
200
Ученики на листках пишут только ответы. По команде учителя листки
сдаются, консультанты подсчитывают очки (за правильное решение одного задания
начисляется одно очко), выявляется лучшая команда.
44. Некоторые учащиеся отметят, что уравнения вида ах2-\-Ьх-\-с = 0, где
а + Ь + с = 0. Другие подсчитывают, что каждое из них имеет два корня, один из
которых равен единице. Итак, это квадратные уравнения особого вида. Один корень
равен 1, а другой? Другой корень легко находится по теореме Виета: х\-х2 = —,
значит, *i = l, *2=— • Учитель предлагает назвать корни записанных уравнений.
Потом можно предложить учащимся придумать еще один вид квадратных
уравнений, где корни находились бы столь же быстро. Очевидно, надо взять х= — 1,
тогда получатся уравнения вида ах?-\-Ьх + с = 0, где а — Ь + с = О. Другой корень
будет равен — — .
а
45. Все значения равны 0.
46. 1) 8; 2) 5,5.
47. Из первого уравнения следует, что (2х — 5(/)(2дс-|-5(/)= 100, но 2х — 5t/ = 0,
значит, 0=100. Иными словами, не найдется такой пары чисел, которая
одновременно обращала бы оба уравнения в верные равенства: если 4х2 — 2Ьу2 равно 100,
то 2х — Ъу не может быть равным нулю, и наоборот, если 2х — Ъу равно 0,
то 4х2 — 2Ъу2 не может быть равным 100. Можно привести такую аналогию. Пред-
199

ставьте себе, что существуют все сокрушающий смерч и несокрушимый
столб. Представьте теперь, что все сокрушающий смерч налетел на
несокрушимый столб. Что произойдет? Дело в том, что они не могут существовать
одновременно, ибо взаимоисключают друг друга. Точно так же и в нашей системе
уравнения как бы взаимоисключают друг друга.
48. (20; 10). Из первого уравнения получаем (х—у)2 = Ьх. Значит, 102 = 5*.
* = 20, г/= 10.
49. «Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см2, а
диагональ 289 см». Эту ситуацию можно «обыграть».
— Да,— говорит учитель,— стороны придется поискать! Вот если бы надо
было найти периметр прямоугольника, то задача решалась бы гораздо быстрее.
— Почему же? — спрашивают ученики.— Ведь, чтобы найти периметр
прямоугольника, надо знать его стороны.
— А вы уверены в этом? — озадачивает учащихся учитель.
Совместное обсуждение этой интересной проблемы приводит к выводу: для
нахождения периметра прямоугольника можно и не знать длины его сторон,
достаточно знать сумму смежных сторон прямоугольника. Это направление поиска
приводит к цели:
ху=\20, 2*1/= 240,
х2 + у2 = 289, х2 + 2ху + у2 = 529,
I*+у 1=23,
= 23 (так как хну — положительные числа),
2 (х -\-у) = 46. Итак, периметр прямоугольника равен 46 см.
50. 3 человека. Пусть повстречались х друзей, тогда
() =*; Jt2-3* = 0; *i=0, *2 = 3.
Геометрия
1. После любого ответа учитель может спросить: почему? Ученик должен
обосновать свой ответ. Например, ВМ = \0 м. Так как AM— биссектриса, то
Z. 1 = Z.2; так как AD\\BC и AM — секущая, то Z.2= Z.3, значит, Z. 1 = Z3,
следовательно, &АВМ равнобедренный и /Ш=10 м.
Один и тот же ученик отвечает на все семь вопросов.
2. Надо провести диагонали параллелограмма.
3. Надо провести отрезки А К и /CD, тогда Z. A KD = 90°. Точка К служит в этом
задании своеобразной подсказкой, и учащиеся самостоятельно выдвигают гипотезу,
что /LAKD прямой. Учитель предлагает учащимся доказать или опровергнуть эту
гипотезу. Доказать, что Z.AKD = 90°, можно несколькими способами. Например,
так (рис. 96): Z. BA D + ^ A DC = 180°, значит, Z. KA D + Z. /(D/l=90o,
следовательно, Z. A KD = 90°.
Спустя несколько уроков к этой задаче можно вернуться, усложнив ее. «С
помощью одной линейки постройте прямоугольник» (рис. 97). Проанализировав
условие задачи, учащиеся приходят к выводу: надо найти середину отрезка AD,
это будет точка N (рис. 97). Проведем отрезки BN и CN. Тогда KLMN —
прямоугольник. Но как построить точку N с помощью одной линейки? Проще всего про-
200

в
90е
D А
Рис. 96
вести прямую через точку К и точку пересечения диагоналей, тогда она
пересечет сторону AD в точке N.
4. Приведем одно из возможных решений. Отметим две произвольные точки
А и В. Проведем через точку А прямую а, а через точку В прямую b так, что
а||Ь (рис. 98).
Отложим на данных прямых от точек А и В в одну полуплоскость
относительно прямой АВ два равных отрезка АА\ и ВВ\. Проведем прямую А\В\.
Отметим на ней произвольную точку С\, через точку С\ проведем прямую с,
параллельную прямой Ь. На этой прямой с от точки С\ отложим отрезок С\С длиной В\В
(в ту же полуплоскость, где лежат точки А и В). Точки А, В, С искомые,
так как АВ\\А\С\\\ВС, т. е. точки А, В, С лежат на одной прямой.
5. Построим произвольный прямоугольник, одна из сторон которого есть
данный отрезок. Проведем диагонали прямоугольника. Точка пересечения диагоналей
есть искомая точка. Можно усложнить задачу: постройте серединный
перпендикуляр к данному отрезку. Тогда надо построить два прямоугольника, у которых
одна из сторон является данным отрезком.
6. Нет. Все вершины могут лежать на этой окружности, однако
четырехугольник ABCD может и не быть прямоугольником. Учащиеся могут привести
контрпример. Продолжение задания. Витя Верхоглядкин утверждает, что если
точки В и D (или одна из них) не лежат на окружности, то четырехугольник ABCD
не будет прямоугольником. Верно ли это? Да, ибо тогда не все углы данного
четырехугольника будут прямыми.
7. Для быстрого выполнения задания можно использовать различные
заготовки. Приведем некоторые из них (рис. 99).
Побеждает тот ученик, который догадывается воспользоваться обыкновенной
ученической (двусторонней) линейкой
(рис. 100).
Учитель предлагает учащимся
доказать, что полученные четырехугольники
будут ромбами, что четырехугольник,
составленный из четырех ромбов (с общей
вершиной), тоже будет ромбом, что ромбы равны;
предлагает сосчитать число ромбов на рисунке.
8. Проведем биссектрисы углов А и
Я, точки пересечения их с данными
лучами обозначим соответственно С и D,
тогда ABCD — ромб, ибо ААОВ = 90° Рис.98
201

I I 1
5)
Рис. 99
Рис. 100
(О — точка пересечения биссектрис), значит, А ЛВС равнобедренный и АВ = ВС.
Отметим, что на доске надо начертить одинаково направленные лучи.
Аналогичное задание можно предложить и при изучении трапеции, отметить
точки С и D так, чтобы четырехугольник ABCD оказался равнобокой трапецией.
9. Исходная фигура должна быть параллелограммом, у которого высота,
проведенная к основанию, равна этому основанию. Задание удобно предлагать,
используя кодоскоп. Учитель заготавливает каркасы двух фигур, проецируемых им на
экран.
10. AM = MC = CK=KB = MN=NK и AN=NB.
Доказательство можно организовать следующим образом. Учитель отмечает
штрихами любые два отрезка и предлагает доказать их равенство.
11. См. рисунок 101.
1) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными равными диагоналями.
2) Равнобокая трапеция со взаимно перпендикулярными диагоналями.
3) Дельтоид.
12. Приведем по одному способу решения в каждом задании.
1) От точки А отложить на лучах равные отрезки АА\, АА2, ААз, ААА
(рис. 102, а). Тогда А\А2АЪАА — квадрат, так как треугольники А\АА2, А2АА3,
А3АА4, АААА\ равны и равнобедренны.
2) От точки В (рис. 102, б) отложить равные отрезки ВВ\ и ВВ$ на прямой Ь\
и равные отрезки ВВ2 и ВВ* на прямой Ь2 (при этом ВВ\ ФВВ2). Тогда В\В2ВзВ4 —
ромб, так как треугольники В\ВВ2> В^ВВ2л В\ВВ*, ВзВВ* равны и не
равнобедренные.
3) Нельзя построить, ибо прямоугольник, у которого диагонали взаимно
перпендикулярны, является ромбом (рис. 102, в).
4) Нельзя построить, ибо параллелограмм, у которого диагонали взаимно
перпендикулярны, является ромбом (рис. 102, г).
Учитель может предложить выбрать из данных четырех заданий два любых
с целью решить их как можно быстрее. С этой точки зрения ученику целесооб-
Рис. 101
202

в2
а)
d,
D
d2
г)
разно выбрать два последних задания. Первые два задания тогда можно
предложить для решения отдельно.
13. Например: 1) будут ли углы при основании равны; 2) будут ли диагонали
равны; 3) если опустить высоты на нижнее основание, то будут ли они отсекать
равные треугольники? И т. д. Ученик, задавший вопрос, должен обосновать его
(т. е. доказать, что при утвердительном ответе трапеция будет равнобокой, а при
отрицательном ответе не будет равнобокой). Полезно предложить учащимся дома
придумать новые вопросы. В результате такого обдумывания учащиеся иногда
предлагают довольно неочевидные вопросы. Например, если через точку D
провести прямую а, параллельную отрезку АВ, и отрезок ВС продолжить до
пересечения с прямой а (рис. 103), то будет ли A DC К равнобедренным?
14. См. рисунок 104. Трапецию
можно составить из четырех, из трех,
из двух прямоугольных
треугольников. Выяснить, каким условиям при
этом должны удовлетворять данные
трапеции.
15. Этот четырехугольник может
быть или параллелограммом, или
равнобокой трапецией. А
16. Например, см. рисунок 105.
18. Проще всего провести несколь- Рис- ЮЗ
ко параллельных прямых (используя
ученическую двустороннюю линейку) и пересечь их другими параллельными
прямыми. Почему тогда векторы будут равны?
Рис. 104
203

I
Рис. 105
в . м , к , с в „ м
А N L D А N D
19. См. рисунок 106.
Можно предложить учащимся подсчитать количество пар равных векторов
(на первом рисунке их 42, а на втором — 56 без учета нулевых векторов).
Дополнительное задание: как провести два отрезка MN и KL, чтобы
получилось ровно 15 пар равных отрезков? Это невозможно, ибо число пар равных
векторов должно быть четным (почему?).
20. 1) Например: лежат ли они на параллельных прямых? Чему равен
угол между векторами? Равен ли угол между векторами 0° или 180°? Равен ли
модуль суммы этих векторов сумме их модулей? И т. д.
2) Обычно учащиеся заявляют, что одного вопроса здесь недостаточно,
ибо надо выяснить, сонаправлены ли данные векторы и равны ли их модули.
Однако учитель утверждает, что это возможно сделать. Он может предложить
ученикам обдумать эту ситуацию дома. Приведем один из возможных вопросов:
если соединить начала и соединить концы векторов, то получится ли в итоге
фигура, изображающая параллелограмм?
21. Учитель, перед тем как показать точки с их координатами, дает учащимся
некоторое время поразмышлять: а чем координаты искомой точки отличаются
от координат других точек? Тогда ученики настраиваются: надо назвать точку,
обе координаты которой отрицательны. В данном случае это точка С.
22. Точка D лежит в нижней полуплоскости. Если учащиеся затрудняются
ответить на вопрос, то учитель предлагает им отметить данные точки на
координатной плоскости.
23. Например, (—1; 0), (—1; I), (—1; 2). Отрезки АВ и АС пересекут ось у,
отрезки ВС и АС — ось к.
24. Л, В, С, D. лЬ = £Я, ОЛ = Я£, вЬ = ЕА, DB=AE.
Дополнительное задание: измените координаты точки С так, чтобы
получились три равных вектора. Сколькими способами это можно сделать? Например,
Ci (I; — 1). Это можно сделать восемью способами. Учитель предложит учащимся
найти их (С2(4; 5), С3(-4; -4), С4(-1; 3), С5 (7; 3), Сб(-8; -3), С7 (8; 5),
Св(-7; -I)).
204

25. Надо абсциссы данных точек
изменить на одно число и ординаты
данных точек изменить на одно
число. Тем учащимся, которые
затрудняются это сделать, учитель предлагает
рассмотреть чертеж (рис. 107) и
сделать выводы.
26. c?-f-C2=l69, значит, надо
подобрать два целых числа, чтобы
сумма их квадратов была равна 169,
например 5 и —12. Кроме этого,
У
i = 3+a.
Итак, искомые числа: а= —15,
6 = 3, ci=5, с2= —12. Подбирая С\ и рис jq7
С2, будем легко находить и числа
а и Ь.
27. 1) С ( — 2,5; 2,5), т. е. точка С — середина отрезка АВ.
2) Такой точки не существует. Так как АС = ВС, то АС\\ВС, т. е. точки Л, В, С
лежат на одной прямой. АС и ВС не могут быть сонаправлены, чтобы при этом
выполнялось равенство АС —ВС.
28. Например: 1) (3; 0) и (0; 2); 2) (3; 0) и (0; -2);
3) (-3; 0) и (0; 2); 4) (-3; 0) и (0; -2).
29. Пусть дан прямоугольник ABCD. Проведем его диагонали (рис. 108). По
теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 и AC2 = CD2 + AD2. Значит, BD2 = AC2 и
30. Например: 1) высоту; 2) радиус вписанной (описанной) окружности.
31. Найдена высота равностороннего треугольника. Учитель может предложить
учащимся самим составить подобное задание. На следующем уроке один ученик
записывает на доске решение, а другие разбираются в нем. Дополнительное
задание: что такое —^— (см. рис. 109)? Это радиус описанной около квадрата
окружности.
32. Меньшие квадраты прикладываются так, чтобы угол между их сторонами
составлял 90° (это можно сделать, используя третий квадрат). К этим квадратам
прикладывается больший квадрат (рис. 110). Тогда а2-\-Ь2 = с2, что и требовалось
доказать. Разумеется, стороны квадратов должны быть подобраны
соответствующим образом. Например, можно вырезать модели квадратов со сторонами 6 см,
8 см, 10 см.
Рис. 108
Рис. 109
Рис. 110
205

33. Например: «Точка С — середина отрезка АВ. Известно, что А ( — 3; 5),
С (2; —1). Найдите длину отрезка АВ». Дополнительный вопрос: а нельзя ли это
задание решить проще? Да. Можно найти длину отрезка АС и удвоить ее. Учитель
может предложить учащимся к следующему уроку составить аналогичное
задание.
34. Проще всего провести окружность с центром в точке А и радиусом 4.
Координатную плоскость учащиеся готовят заранее. Кроме этого, учитель
должен позаботиться, чтобы у учащихся на столах лежали циркули. Для этого можно
перед данным заданием предложить такое, при решении которого используется
циркуль.
35. Надо отметить или две любые точки, или три точки, которые являются
вершинами равностороннего треугольника. Дополнительное задание: докажите,
что не существует более трех точек, удовлетворяющих данному условию. Пусть на
плоскости отмечено больше трех точек, удовлетворяющих данному условию.
Возьмем какие-нибудь три из них. Они должны быть вершинами равностороннего
треугольника. Тогда каждая из оставшихся точек должна лежать на
пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Значит, если и
существуют такие точки, то это должна быть точка пересечения высот
треугольника. Однако расстояние от этой точки пересечения до любой вершины
треугольника не равно стороне этого треугольника. Следовательно, существует не
более трех точек, лежащих на плоскости, удовлетворяющих данному условию.
36. Пусть, например, задана точка А (5; 6), тогда 5a-f-66=l. Теперь
нетрудно подобрать и коэффициенты. Например: I) a = 0, Ь=—\ 2) а=—, 6=0;
D о
3) Д=тт:. Ь=-г~ и т. д. Надо дать возможность проверить себя тем учащимся,
которые придумали путь отгадывания. Ученик выходит к доске. Ему называют
координаты точки. Он пишет уравнение. Потом учащиеся проверяют, будет ли эта
прямая проходить через данную точку. Во время проверки некоторые учащиеся
догадываются, в чем тут дело.
37. Например, х = —3. Искомая прямая должна быть параллельна оси у
(иначе она не будет лежать только во II и III четвертях). Общий вид уравнения
будет х — а, где а<сО. Некоторые учащиеся забывают об ограничении a<C0.
Учитель предлагает привести контрпример. Дополнительные задания: а)
назовите уравнение прямой, которая не будет лежать ни во II, ни в IV четверти; б)
назовите уравнение прямой, которая не лежит ни в I, ни во II, ни в III четверти.
Многие учащиеся уверены, что такой прямой нет. Учитель же утверждает, что есть
даже две. Тогда многие ученики догадываются — это оси координат.
38. Например: 1) х2 + у2= 100; 2) (х + З)2 + (г/- 2)2 = i; 3) (л: + 2)2 + (// — 5) = 25.
Дополнительное задание: запишите уравнение окружности, которая проходит
через данные точки. Оказывается, что А АВС прямоугольный, значит, центром
окружности является середина отрезка ВС, половина длины этого отрезка является
радиусом искомой окружности. Итак, (х — 0,Ь)2-{-(у — 0,5)2= 14,5.
39. Запишем уравнения данных линий: 1) у= —х\ 2) у = 3\ 3) х= —5; 4) х2 +
-j-iy2= Ю. Теперь ясно, что точка В лежит на окружности, точка С — на
биссектрисе, точка D — на прямой // = 3. Разумеется, ученики это могут сделать и устно.
40. Построим окружность х2 + у2 = 25, отметим на ней любые две точки (кроме
тех, которые лежат на осях) и соединим их. Дополнительное задание: начертите
206

а) б) в)
Рис. 112
отрезок, концы которого удалены от начала координат на 5 единиц, чтобы этот
отрезок проходил через точку Л (—1, —2).
41. 1) Проведем по две касательные к окружности, параллельные осям
координат.
2) Докажем, что получившийся четырехугольник — квадрат.
3) Найдем координаты его центра и длину стороны — это будут координаты
центра окружности и длина диаметра.
4) Запишем уравнение окружности.
42. Пусть радиус окружности равен х (рис. 111). Тогда х2-\-х2 = (3 У2)2,
х==3. Координаты центра окружности (3; 3), значит, ее уравнение: {х — 3)2 +
Задача для устного решения. Желательно, чтобы чертеж учащиеся
представили мысленно.
43. Для решения учащимся потребуется сменить ход мысли на обратный.
Сначала надо отметить точку С, а потом лишь отмечать точки А и В.
44. Учитель может предложить учащимся угадать местоположение
точки Л"4, а потом проверить себя. Это угадывание можно организовать следующим
образом. Учитель через кодоскоп проецирует на экран данные точки и прямые,
прикрыв искомую точку Х4 специальным шаблоном. Ученик указкой показывает
предполагаемое местонахождение точки, учитель снимает шаблон, и сразу видно,
ошибся он или нет. Иногда ученик показывает искомую точку в другой
полуплоскости.
45. См., например, рисунок 112. Во всех случаях через точку О надо
провести как можно больше прямых, пересекающих данные линии. Учитель отмечает
точки любой пары и предлагает ученику доказать, что они симметричны
относительно точки О. Иными словами, учащимся надо догадаться начертить
центрально-симметричную фигуру.
46. Точки А и D симметричны относительно оси х, точки А и С симметричны
относительно точки О (учитель предлагает учащимся доказать это), ABCD —
прямоугольник. Дополнительный вопрос: при каком условии ABCD будет
квадратом?
47. Степа мог начертить любую часть параллелограмма, которая содержит в
себе по крайней мере две смежные стороны, включая все три вершины
(например, см. рис. ИЗ). Точку О надо взять в середине отрезка BD. Почему в
результате образуется параллелограмм? Потому, что при центральной симметрии
прямая переходит в параллельную прямую.
48. 1) Центр симметрии — середина отрезка АА\. 2) Ось симметрии —
серединный перпендикуляр к отрезку АА\. 3) Центр поворота — любая точка на
207

D
D
Рис. 113
L
оси симметрии. Проще всего угол поворота взять 60° или 120° (если
исключить поворот на 180°).
49. Приведем один из возможных путей. Пусть даны точки А и С (рис. 114).
Проведем через точку А любые две прямые а\ и аг так, чтобы они не проходили через
точку С. Через точку С проведем две прямые С\ и сг, параллельные прямым
а\ и а2. Точки пересечения обозначим К и D. От точки К на прямой АК и от точки
С на прямой DC вниз отложим отрезки длиной А К. Получим соответственно
точки М и N. От точки D на прямой AD и от точки С на прямой КС вправо
отложим отрезки длиной AD. Получим соответственно точки F и L. Проведем
прямые MN и FL, точка их пересечения — В — искомая, так как AADC= ABNC,
и, значит, АС = ВС. Дополнительное задание: постройте центр симметрии двух
точек Л и В, не проводя самого отрезка. Можно построить квадрат с диагональю
АВ и провести прямые через середины противолежащих сторон.
50. Большинство учащихся решат эту задачу интуитивно, по догадке, однако
полезно показать, что и логический путь здесь эффективен. Предположим, что
существует четырехугольник, у которого только одна ось симметрии. Тогда его две
противоположные вершины лежат на этой оси /. Пусть это будут точки Л и С.
Две другие вершины должны быть симметричны относительно оси /. Пусть это
будут точки В и D (рис. 115). Четырехугольник ABCD будет искомым, если
точки Л и С не будут симметричны относительно прямой BD. Очевидно, что
этого можно добиться, причем бесконечным числом способов.
51. Яз, Я4, Яб. /V
52. а), б) —да, в) —нет.
53. Впишем прямой угол в окружность, тогда его стороны пересекут ее в
концах диаметра. Проведем этот диаметр АВ. Построив еще один диаметр, найдем
центр окружности, через который проведем прямую, перпендикулярную АВ, она
пересечет окружность в точках С и D. ACBD — квадрат, вписанный в
окружность. Отношение сторон квадратов равно 1:2.
54. См. рисунок 116.
55. См. рисунок 117. В одном из треугольников надо соединить его вершины
с центром, полученные три треугольника искомые.
Рис. 114
Рис. 115
208

Рис. 116 Рис. 117
IX КЛАСС
Алгебра
1. Например, — 2х. Дополнительные задания:
1) составьте такое выражение, чтобы его значение при дс= —5 было
положительным, а при х=— б было отрицательным (например, 30 —дс2);
2) составьте такое выражение, чтобы его значение при х= — 7 было
отрицательным, при х = 0 было положительным, а при х — 7 было отрицательным
(например, 1 —х2).
2. Нельзя поставить ни знак«>», ни знак «О. Еслидг = —6, то 2-( — 6) — 5<
<9; если дс = 6, то 2-6 —5<9, т. е. оба числа —6 и 6 либо являются решениями
неравенства 2х — 5<9, либо не являются решениями неравенства 2х — 5>9.
3. Например, 7;73. Решением будет любое число из промежутка (7,7; 7,8).
4. Решением является любое положительное число. Если #:>0, то ттгг^т^»
521 467
тогда 5fr-W<0<1-
5. Учителю надо записывать такие промежутки, чтобы задуманное число
можно было отгадать за 2—4 шага. Покажем на примере, как это можно сделать.
Уже первый промежуток не должен быть слишком длинным. Поэтому учителю
удобнее задумывать число после того, как первый ученик назовет число. Пусть,
например, первый ученик назвал число 0. Учитель задумывает число 3 и пишет:
(0; 5]. Значит, задуманное число среди чисел 1, 2, 3, 4, 5. Второй ученик
называет, например, число 3. Учитель пишет: [3; 4). Значит, задумано число 3. Иными
словами, смысл этого игрового момента заключен в варьировании круглых и квад
ратных скобок. Поэтому учитель предлагает обосновывать отгадку. Постепенно
учитель начинает записывать так промежутки, что для отгадывания числа их надо
рассматривать в совокупности. Например, на доске записаны три промежутка:
( — 3; 2\ [1, 5), (— оо; 2} Задумано число 2.
6. 7 авторучек дороже. Пусть одна авторучка стоит х р., а один блокнот —
У р., тогда 2х>Ъу. Из этого неравенства получаем 6jc>9t/ и х>\,Ьу.
Складывая их почленно, получаем 7х> 10,Ъу. Значит, 7 авторучек дороже 10
блокнотов.
209

7. Можно прибавить любое число. Пусть прибавим число х, тогда получим
числа *, *+1, * + 2, * + 3.
8. Если в исходной дроби числитель меньше знаменателя, то полученная дробь
будет больше исходной; если в исходной дроби числитель больше знаменателя, то
вторая дробь будет меньше исходной; если, наконец, в исходной дроби числитель
равен знаменателю, то вторая дробь будет равна исходной.
Пусть, например, дана дробь —, а<6; докажем, что , , , >— . Запишем
о о-\-1 о
разность этих дробей:
а-\-\ a ab + b — ab — a b — a
b b(b+\) b(b+\)
Так как b(b+[)>0 и 6>а, то . ,~~ ,. >0.
Аналогично рассматривается случай, когда а>Ь и a=b.
9. 1) у-^-20-^-- 2) /у>9; 3) у>-2.
Первое задание как бы направляет мысль учащихся и в остальных случаях
находить область значений функций раскрытием скобок и приведением выражений
к квадратному трехчлену. В то же время эти задания решаются устно. Можно
предложить все три задания и проверить учащихся. Тогда обсуждение
нерационального решения как бы закрепится в памяти («Решал, решал, а ответ сразу
видно!»). Учитель может предложить это задание и в другом виде:
— Сейчас вам будут показаны три функции. Вам надо из них выбрать любую
и как можно быстрее найти область ее значений.
Потом показываются функции, учащиеся решают, затем полезно обсудить, кто
какую функцию выбрал и почему.
10. А (—1; —1), Я(0; 0), С(1; 1).
Линия I — график функции у=х3.
Линия II — график функции у = х5.
11. /(0), /(1), /(-5), /(-30), /(50), /(-51), /(130).
Потом учитель записывает функцию / (*) = *101 и предлагает то же задание. Это
задание будет более сложным, если четную и нечетную функции сочетать.
Например, /(#)=л:100, g(#) = jt101. Назовите в порядке возрастания числа: /( — 50), g (3),
/(Ю)» £(-"!)» /00» £(~"~7)- Чисел много брать не надо, ибо ученику надо не
только помнить о том, что / (а:) — четная функция, а^(х) — нечетная, но и быстро
сравнивать их значения, используя свойство степенной функции.
12. АВ= 14. *4 = 2401. Разложим число 2401 на множители: 2401 =7-7-7-7 =
= 74. Значит, * = 7, АВ = \4.
13. Например, в каких четвертях расположен график функции? Верно ли, что
/( — 3) = /(3)? Назовите наименьшее значение этой функции. Назовите область
значений этой функции. Сколько решений имеет уравнение ^ = 5? И т. д.
14. Эта функция не может быть четной, ибо / (3)=?£/ ( — 3). Функция может быть
нечетной, но с уверенностью судить об этом нельзя из-за недостатка информации.
15. Четная.
210

Из первого утверждения следует, что / (х) нечетная; из второго — / (х) четная.
Теперь все зависит от третьего утверждения. Так как ( — 2)"=4096, тол- четное
число. Значит, функция f (х) является четной.
16. Так как линия проходит через начало координат, то она будет графиком
данной функции, если /(0) = 0. Это не выполняется, значит, данная линия не
является графиком функции / {х)-=2хА — х2 — 1. Учителю полезно отметить тот факт,
что если бы это равенство (/(0) = 0) оказалось верным, то утверждать обратное
(т. е. что линия является графиком данной функции), конечно, нельзя.
17. (0; 0) и (1; 1). Задание можно предложить и в другом виде. За 1 минуту
запишите как можно больше функций, графики которых проходят через точки
(0; 0) и (1; 1).
18. у = ах2 + Ьх + с и у=ах-\-Ь\ у = ах3 и у=—; у = ах + Ь и у=—.
Это задание-исследование можно предложить в качестве домашнего задания.
19. На 2х + 3.
1-й способ. Разложим 1 Or2 -f 7х — 12 на множители: 1 Ох2 + 7х — 12 = (5л: — 4)X
X(2*-f3). Значит, искомый двучлен 2x-f3.
2-й способ (по догадке). (5л: — 4)(ax+b) = \0x2-\-7x— 12. Очевидно, что а = 2,
Ь = 3, значит, искомый двучлен 2x-f3.
20. Вопрос: назовите квадратный трехчлен, у которого корни равны
задуманным числам.
21. Надо изменить знак второго коэффициента. В самом деле, пусть Х\ и *2 —
корни квадратного трехчлена ах2-\-Ьх-\-с, тогда ах2-\-Ьх-\-с = а(х— Х\)(х — Х2) =
= а {х2 — хх\— хх2-\-х\Х2). Если изменить знаки корней, то свободный член
останется без изменения, а второй коэффициент изменит свой знак на
противоположный.
22. Дело в том, что Витя отметил точки, которые лежат только на одной
ветви параболы. Лучше заранее заготовить чертеж. Дополнительный вопрос:
какие точки отметил Витя и какие точки ему надо было отметить?
23. Ось у оставить без изменения, а ось х сместить на с единиц.
24. Для первой функции t/ = 0, если х=—5, для второй —1/ = 0, если х = 5,
кроме того, вершины обеих парабол лежат на оси х. Значит, надо через вершины
парабол провести прямую — это будет ось х. Отрезок с концами в вершинах
парабол разделить пополам — это будет точка О, провести ось у. Единичный отрезок
равен — длины отрезка, соединяющего вершины данных парабол.
25. Например, у= — Ьх2 + 2х + 7, у = — Ъх2 + 2х — 1.
26. Из первого и третьего утверждений следует, что ветви параболы
направлены вниз, а во втором утверждении сказано, что ветви направлены вверх.
Значит, второе утверждение неверно, а все остальные верные. Итак, график
квадратичной функции лежит в нижней полуплоскости, касается оси х и ветви его
направлены вниз. Точка касания имеет координаты 1~г\ 0J . Так как парабола
( зу л
касается оси х, то функцию можно представить в виде #=а( х—— I , ибо
квадратный трехчлен имеет равные корни. Подставив вместо х и у координаты точки,
через которую проходит график — 3—=а( — 1——) , получим, что а= — 1.
211

(3 \ 2 3 9
х~~г) * или У = х;2-\—п х~Та • Теперь нетрудно
построить ее график.
27. Парабола может не пересекать ось х, но не может не пересекать ось у.
В самом деле, пусть дана квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с. Какие бы
числа а, 6, с мы ни взяли на оси t/, всегда найдется точка, которая в то же
время принадлежит и параболе. Это точка (0; с). Значит, любая парабола
пересекает ось (/, если ее неограниченно продолжать.
28. Сначала найдем числа а, 6, с искомой квадратичной функции у = ах2-\-
-\-bx-\-c, а потом построим ее график. Отметим данные точки на координатной
плоскости. Подставим координаты точки (0; 4) в равенство у=ах2-\-Ьх-\-с,
получим с = 4. Точки ( — 4; 4) и (0; 4) имеют одинаковые ординаты, значит, они
симметричны относительно оси симметрии параболы, т. е. относительно прямой
х= — 2. Так как эта прямая проходит через точку параболы ( — 2; —3), то
данная точка является вершиной параболы. Абсцисса вершины параболы
находится по формуле х= — — , откуда — 2= — — , 6 = 4а. Подставим теперь координаты
этой точки вместо х и у равенства у = ах2-\-Ьх-\-с, получим — 3 = а( — 2)2-f-
+ 4а (— 2)-|- 4, откуда а =— , 6 = 7. Итак, искомая функция у = 1 ,75а:2 -|- 7х-\- 4.
Теперь нетрудно отметить еще 2—4 точки и провести параболу.
29. 1) Например, у = х2 — 25. Ветви параболы направлены вверх, значит, а>0.
Пусть для простоты а=1, тогда
Итак, функция у=х2 — 25 искомая. Придавая а различные положительные
значения, можем записать сколько угодно функций, удовлетворяющих данным
условиям.
2) Например, у=—х2-\-1 Ох — 25.
3) Например, у = х2 — 6х — 7.
Дополнительное задание: назовите еще одно условие, чтобы в каждом
случае можно было назвать единственную функцию. В последнем задании,
например, можно задать точку параболы, кроме точек (— 1; 0) и (7; 0), можно назвать
наименьшее значение функции и т. д.
30. Из второго утверждения следует, что вершина параболы — точка (3; —4),
ось симметрии параболы — прямая х = 3. Для точки (1; 0) будет симметричной
точка (5; 0). Значит, корни трехчлена ах2 + Ьх + с есть 1 и 5. Имеем у=а(х—\)Х
Х(х—5) = а(х2 — 6х+5), подставив в это равенство координаты точки (3; —4),
получим а (3— 1)(3 — 5)= — 4, а=\. Итак, искомая функция у=х2 — 6x-f5.
31. Проще всего спросить: 1) чему равен шестой член и чему равна разность;
2) чему равен восьмой член и чему равна разность? Если больше вопросов не
последует, то учитель может стимулировать их — «запрет> на d, т. е. не разрешается
спрашивать, чему равна разность. Можно задать такие вопросы: чему равен
шестой член и чему равен восьмой член прогрессии?
32. 1) Например, 7, 17, 27, 37, 47.
2) Например, 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46.
212

Эту ситуацию можно продолжить. Учитель предлагает записать 5 чисел,
образующих арифметическую прогрессию, но чтобы разность не была равна ни 5, ни 10
(как это было в предыдущих примерах). Как это ни странно, таких чисел выбрать
нельзя. Например, пусть d = 2t тогда искомые числа равны ах, щ + 2, ах -f 4, ах +6,
а\ + 8. Для любого ах одно из данных чисел будет оканчиваться или 5, или 0, а
значит, будет кратно 5.
33. Учитель помнит только формулу л-го члена а„ = 3л — 2 и, быстро
подставляя задаваемые значения п, находит соответствующие значения ап.
34. Исключим целые части в каждом члене, начиная со второго:
2 2 2 2 2 2
ТЗ' 1ТЗ' 13' d13' 413' *13' - '
Очевидно, эта последовательность чисел является арифметической прогрессией
с разностью 1. Десятый ее член можно найти и без формулы п-го члена:
35. Например: 1) чему равен щ и чему равен щОо', 2) чему равен а]00 и чему
равна Sgg; 3) чему равен аюо и чему равна Sioi?
36. Можно задать арифметическую прогрессию двумя любыми ее членами
ап и ат (например, as и <3б) или значениями двух сумм нескольких ее членов Sn и Sm
(например, Ss и Ss). Почему?
Учитель предлагает учащимся записать несколько членов прогрессии,
если:
1) аъ= — 8, аб=— 6;
2) S5=-15, S6=-12.
Рассмотрим второе задание:
Se — S5 = fl6, значит, ав = 3.
5 'Т" 6
6, значит, а\ = — 7, d = 2. Итак, получаем прогрессию
_7, -5, -3; ....
37. Например, 15, 20, 25
Пусть п\ — первый член, a d — разность искомой прогрессии, тогда п2 = п\ -\-d>
S3 = 3(ai-frf). Так как S3 = 60, то ax-\-d = 20. Исходя из этого соотношения
можно записать сколько угодно прогрессий, удовлетворяющих данному условию,
например 1, 20, 39, ..., —6, 20, 46 и т. д. Можно предложить учащимся обдумать
подходы к решению этой проблемы дома, а на следующем уроке назвать число,
которое будет суммой трех первых членов арифметической прогрессии.
38. Например, 7, 5, 3, 1, —1; ... .
Пусть а\ — первый член, а d — разность искомой прогрессии, тогда
S3 = (a,+d).3; S5 = (a,+2d).5:
213

Пусть ai=7, тогда d= — 2. Получаем прогрессию 7, 5, 3 Подставляя
вместо а любые числа, получим сколько угодно искомых прогрессий. Учитель
может предложить учащимся найти другой способ решения этого задания. S3 = Ss,
если а4 и а5 как бы уничтожают друг друга, т. е. являются противоположными
числами. Пусть это будут числа —6 и 6, тогда d=\2. Получим, начиная с
конца: 6, —6, —18, —30, —42. Итак, искомая прогрессия: —42, —30, —18,
-6, 6, ... .
39. Например: 1) чему равен второй член и чему равен знаменатель
прогрессии; 2) чему равен четвертый член и чему равен знаменатель прогрессии;
3) чему равен второй и чему равен четвертый члены прогрессии?
40. Например, 5, 5, 5, ... (q=\) или 5, —5, 5, —5, ... (q= — \). Далее следует
«запрет> на знаменатели, равные 1 или —1. Этим стимулируется новый поиск.
Находится еще одна возможность, когда знаменатель — целое круглое число.
Например, 2, 20, 200, 2000 и т. д.
41. Например, ^ = 4. Пусть знаменатель прогрессии равен q, тогда b4 = b\q3,
120<2<73<130, 60<<73<65. Удобно взять q = 4t хотя допустимы и другие
значения, например q = ^
42. Можно взять число: а) меньшее 0,1; б) равное 0,1; в) большее 0,1.
43. Пусть Ьi — первый член, а <? —знаменатель искомой прогрессии, тогда
q-\
q-\
q-\
q-\
причем q=fc 1; q = 0, —1. Случай q = 0 отбрасываем как тривиальный. Итак,
можно назвать такую прогрессию: 3, —3, 3, —3, ... .
Целесообразно предлагать это задание совместно с аналогичным для
арифметической прогрессии.
Геометрия
10°
1.
2.
3. 3 треугольника (рис. 118).
Дополнительное задание: а если треугольник не прямоугольный? Тогда
4 треугольника. Кроме прямых, параллельных другим сторонам треугольника,
можно провести прямые, как показано на рисунке 119.
В С
в с
Рис. 118
214

I ' Г А С
Рис. 119
О А
4. Одно из возможных решений приведено на рисунке 120.
Учитель предлагает нескольким учащимся объяснить построение и доказать
подобие треугольников.
Например, строим произвольный непрямоугольный A ABC. Проводим высоту к
основанию, получаем д ОВС. Все стороны этого треугольника увеличиваем (или
уменьшаем) в одно и то же число раз (в нашем случае в 2 раза), получим
АО\В\С\. Отмечаем точку А \. д ABC со дЛ \В \С\, так как стороны ВС и А С
треугольника ABC пропорциональны сторонам В\С\ и А\С\ треугольника А\В\С\ и
АС=АС{.
5. АВ — средняя линия AA\B\Ot ВС — средняя линия АВ\С\О, АС —
средняя линия АА\С\О.
Значит, стороны ААВС пропорциональны сторонам АА\В\С\, и поэтому
ААВС со AAyBtCi.
Это задание можно предложить и в конструктивной форме. аАВС =
= AMNK. Внутри каждого треугольника отмечают произвольную точку.
Соединяют ее с вершинами «своего» треугольника (рис. 121). Каждый из отрезков делят
пополам и полученные точки попарно соединяют.
Что вы можете сказать о треугольниках А\В\С\ и M\N\K\? (Учитель по
ходу условия схематично выполняет чертежи.) Эти треугольники равны, ибо они
подобны данным треугольникам с одним и тем же коэффициентом подобия.
6. Начертите прямоугольный треугольник и опустите высоту из вершины пря-
могб угла. Задание целесообразно предлагать спустя некоторое время после
решения такой задачи: «Докажите, что высота прямоугольного треугольника,
опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных
исходному». Конечно, учащиеся могут предложить и другие решения. Два из них
приведены на рисунке 122.
а)
с м
Рис. 121
В)
215

Рис. 122
Дополнительное задание: учащемуся выдается три модели прямоугольных
треугольников, вырезанных из картона. Требуется найти среди них два подобных
без использования инструментов. Ученик прикладывает два треугольника, как
показано на рисунке 123.
Далее он проверяет, используя оставшийся треугольник, будет ли /LABC
прямым и будут ли отрезки AD и DC лежать на одной прямой. Если оба эти условия
выполняются, то эти два треугольника подобны.
7. При решении возможны, разумеется, различные подходы. Приведем один
из них. Ученик строит угол с любой градусной мерой. Потом пересекает стороны
этого угла параллельными прямыми, используя двустороннюю линейку. Или,
сдвигая угольник по одной из сторон угла, проводит лучи, которые будут лежать
на параллельных прямых. Дополнительный вопрос: пусть ученик успел провести
11 параллельных прямых (рис. 124). Сколько пар подобных треугольников тогда
получится? На чертеже всего 11 треугольников, д А\СВ\ подобен десяти
оставшимся треугольникам и т. д., АА10СВю подобен одному оставшемуся треугольнику (а
именно дЛцСВц). Итого будет 55 пар подобных треугольников. Казалось бы,
трудно придумать более продуктивный способ построения подобных
треугольников. Однако сделать это совсем несложно! Можно, например, из вершины угла,
построенного в самом начале, провести биссектрису, а отрезки Д£, проводить ей
перпендикулярно.
8. Вполне вероятно, что Фалес использовал подобие треугольников. Он мог
измерить длину шеста и длину тени от этого шеста и мог измерить длину тени
от пирамиды. Составив пропорцию, можно легко найти высоту пирамиды.
Обычно учащиеся затрудняются при решении этой задачи-рассказа. Учитель
может помочь им. Интонацией он выделяет фразу: «Солнце уже садилось...>
Учащиеся догадываются: можно воспользоваться тем фактом, что предметы
отбрасывают тень. Когда учащиеся обсудят идею решения, учитель может дать им
конкретные данные, например: высота шеста — 4 локтя, длина тени шеста — 6
локтей, длина тени пирамиды — 200 локтей. Тогда высота пирамиды приближенно
равна 133,3 локтя.
216
У
Aw/
AD С
Рис. 123
Рис. 124

м
9. Прежде всего выясняем, что средняя линия треугольника отсекает от
его площади четвертую часть. Поэтому если площадь треугольника в каждом
случае равна S, то площадь заштрихованной фигуры будет равнаs~ S,—-S>T-S. Учи-
о 4 1Ь
тель может предложить учащимся самим придумать такие заштрихованные части
и предложить эти задания на следующем уроке. Единственное условие — при
решении не должно быть громоздких выкладок.
10 S * S * S =1*1*2
Пусть площадь прямоугольника равна S, тогда 5Фз=—-S и 5ф(-|-5ф2=~ S,
5ф| = 5Фг, так как их основания равны и высоты равны.
11. Предположим, что искомые части — треугольники, основаниями которых
являются стороны данного треугольника. Чтобы эти треугольники оказались
равновеликими, необходимо равенство их высот. Проще всего тот случай, когда
высоты опущены из одной точки. В таком случае высоты будут равны, если они
опущены из центра вписанной окружности. Соединив центр вписанной
окружности с вершинами данного треугольника, получим одно из возможных решений.
Учитель предлагает учащимся обдумать и другие способы разбиения. К этой
задаче полезно вернуться при изучении площади трапеции, тогда количество новых
возможностей возрастает. Можно устроить своеобразный конкурс. Ученик, который
дома нашел новое разбиение, вывешивает свое решение и защищает его. Если
защита пройдет успешно (т. е. он докажет, что полученные части равновелики, то
этот листок вкладывается в специальную папку).
12. Витя Верхоглядкин на этот раз прав. Если в треугольнике один из
углов очень близок к развернутому, то высоты его могут быть очень малы,
а площадь очень велика (ибо стороны его будут иметь большие длины). В классе
можно обсудить идею решения, а конкретные значения учащимся можно
предложить подобрать дома. Например, возьмем для удобства равнобедренный
треугольник с тупым углом а при вершине и боковой стороной а. Тогда
SA =-2" я2 sin a- Пусть а = 179°, тогда sin a«0,0175. Чтобы площадь
треугольника оказалась больше 1 км2, достаточно а взять равным, например, 11 км.
13. Они равны. Приведем одно из возможных доказательств. Пусть MN —
средняя линия треугольника ABC, MK-LAC и NL±AC (рис. 125). Проведем
отрезок NP, параллельный стороне АВ (точка Р лежит на стороне АС). Тогда
сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей
треугольников MBN и PNC. Площадь каждого из этих треугольников составляет четвертую
217

Рис. 127
Рис. 128
часть от площади А ЛВС, значит, их сумма составляет половину площади A ABC.
Следовательно, площадь прямоугольника тоже составляет половину площади
А ЛВС и, значит, равна сумме площадей заштрихованных треугольников. Когда
это доказательство будет разобрано, учитель неожиданно заявляет, что задачу
можно решить быстрее. Как?
Можно провести еще одну (третью) среднюю линию А ЛВС (рис. 126). Тогда
прямоугольник разбивается на три треугольника, каждый из которых равновелик
какому-то заштрихованному треугольнику.
И. S,=y-
S
6O°=4"*sin 60°;
2 = 5 sin 60°.
Значит, площадь треугольника со стороной 10 см больше. К этой задаче полезно
вернуться при изучении темы «Площади подобных фигур>. Тогда она решается
устно: сторона треугольника больше в 10 раз, значит, его площадь больше в 100 раз.
15. Треугольники вырезаны так, что основания их равны и высоты,
проведенные к этим основаниям, равны. Тогда, приложив эти треугольники дважды, как
показано на рисунке 127, ученик делает вывод, что они равновелики. Линейка
нужна для того, чтобы убедиться, что высоты треугольников равны.
16. 30°. Пусть стороны прямоугольника а и 6, тогда S\=ab, S2 = ab sin a,
sin ol=—, а = 30°.
17. Да, например, ромб со стороной I м, у которого острый угол очень мал.
Какой, например?
18. См. рисунок 128. Надо построить прямоугольный треугольник с
катетами а и 6, равными сторонам данных квадратов, и на гипотенузе с как на
стороне построить квадрат, тогда с2 = а2 + Ь2.
19. Длины нижних оснований полученных пяти трапеций образуют
арифметическую прогрессию, разность ее равна 2. Значит, стороны 3, 5, 7,9, 11, 13 см. Так как
высоты этих трапеций равны, то нужно выбрать три пары чисел, таких, что
сумма чисел в первых двух парах равна сумме чисел в последней. Подбираем:
3 + 5 + 7-1-9= 11 —|— 13. Значит, искомые трапеции (начиная с верхнего основания)
первая, третья и пятая.
2л V3
20. На
см, или приближенно на 0,53 см.
Пусть длина стороны данного треугольника равна а см, тогда радиус
описанной окружности равен а\^Ъ см, а ее длина 2na:^j3 см. Периметр треугольника
увеличился на 1 см, тогда длина стороны нового треугольника равна( а+—J см,
218

радиус новой окружности (a+i-V.y3 cm, a периметр 2я(а+-1Л:л/5 CM
3 —2яа:73 = -^— см. Дополнительные задания: то же, но
окружность описана около: а) квадрата; б) правильного шестиугольника.
21. Они равны. Пусть радиус большей окружности равен /?, тогда ее длина
равна 2л/?. Пусть радиусы меньших окружностей равны гь г2, г3, тогда их
длины соответственно равны 2лг(, 2лг2, 2лг3. Сумма длин этих окружностей
равна 2лг,+2лг2 + 2лг3 = 2л(г,+г2 + г3) = 2л#.
22. Зазоры будут одинаковы. Пусть г — радиус теннисного шарика и R —
радиус баскетбольного мяча, тогда Л=2лг, а /2 = 2л/?. После удлинения проволоки
на 1 см получим длины 2лг+1 и 2л/? +1. Вычислим теперь радиусы
полученных окружностей: 2лГ(=2лг+ 1, п=г+— ; 2nR\=2nR+ I, /?i =/?+-- , т. е.
зазоры будут одинаковы, причем ширина зазора не зависит от радиуса.
23. Нет. Чем больше длина окружности, тем больше площадь круга.
24. Больше площадь круга, в котором заключен треугольник. Пусть около
треугольника описана окружность радиуса RXt около квадрата — радиуса /?2, около
шестиугольника — радиуса /?3. Тогда a3 = R\ л/3, а4 = /?2У2» аб = /?3; За3 = 4а4 = б0б,
значит, 3/?iV3 = 4/?2y2 = 6/?3. Отсюда получаем, что R{ >/?2>/?з- Значит, площадь
круга с радиусом R\ будет наибольшей.

ЛИТЕРАТУРА
Беррондо М. Занимательные задачи: Пер. с фр. Ю. Н. Сударева/
Под ред. и с предисл. И. М. Яглома.— М.: Мир, 1983.
Гик Е. Я. Занимательные математические игры.— 2-е изд., перераб. и доп.—
М.: Знание, 1987.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IV—VI кл.: Пособие для
учителей.—М.: Просвещение, 1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе: VII—VIII кл.: Пособие
для учителей.— М.: Просвещение, 1982.
Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителя.—
М.: Просвещение, 1981.
Кедров Б. О творчестве в науке и технике (Научно-популярные очерки
для молодежи).—М.: Мол. гвардия, 1987.— (Эврика).
Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой (Материал для
клас. и внеклас. занятий).— М.: Просвещение, 1981.
Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел (Матем.
головоломки и задачи для любознательных): Кн. для учащихся.— М.:
Просвещение, 1986.
Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе
математики 4—5 классов: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1986.
Леман И. Увлекательная математика: Пер. с нем. Ю. А. Данилова.—
М.: Знание, 1985.
Маслова Г. Г., Я н г и б а е в а Э. Занимательные задачи и игры с
математическим содержанием в 4—5 классах // Современные проблемы методики
преподавания математики: Сб. статей: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-
мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н. С. Антонов, В. А. Гусев.— М.: Просвещение,
1985.
Методика преподавания математики в средней школе: Общ. методика: Учеб.
пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов /В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин,
Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.:
Просвещение, 1980.
Минский Е. М. От игры к знаниям: Развивающие и познавательные
игры младших школьников: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1982.
Нагибин Ф. Ф., К а н и н Е. С. Математическая шкатулка: Пособие
для учащихся 4—8 кл. средн. шк.—5-е изд.—М.: Просвещение, 1988.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные
занимательные задачи.— М.: Наука, 1985.
Петрович Н. Т., Цуриков В. М. Путь к изобретению (Десять
шагов).—М.: Мол. гвардия, 1986.
Проблемы научного творчества: Сборник аналитических обзоров.— М.:
ИНИОН, 1985.—Вып. 4.— (Сер. «Науковедение за рубежом>).
220

СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Составление и использование занимательных заданий .... 3
§ 1. Приемы составления занимательных заданий 35
§ 2. Методика использования занимательных заданий на уроках 35
§ 3. Использование занимательных приемов при изучении темы
«Сложение положительных и отрицательных чисел» .... 56
§ 4. Об одном занимательном приеме обучения учащихся
математике 62
Глава II. Учебные задания занимательного характера 76
§ 1. V класс 76
Натуральные числа и действия над ними 76
Свойства арифметических действий над натуральными числами 78
Дробные числа 81
Десятичные дроби 83
Арифметические действия над десятичными дробями ... 84
Проценты 86
Измерение геометрических величин 87
Повторение. Решение задач 90
§ 2. VI класс 93
Основное свойство дроби 93
Положительные и отрицательные числа 100
Арифметические действия над положительными и
отрицательными числами 101
Рациональные числа 105
Прямоугольная система координат на плоскости 107
Линейные уравнения с одним неизвестным 109
Повторение. Решение задач 111
§ 3. VII класс 114
Алгебра —
Линейные уравнения —
Степень с натуральным показателем 117
Одночлены и многочлены 119
Формулы сокращенного умножения 122
Приближенные вычисления 124
Геометрия 124
Введение в геометрию 124
Треугольник 125
Построение с помощью циркуля и линейки 127
Параллельность прямых 128
§ 4. VIII класс 130
Алгебра —
Алгебраические дроби —
Квадратные корни 132
221

Квадратные уравнения 134
Геометрия 136
Четырехугольники —
Векторы и координаты 137
Метрические теоремы 138
Движение 140
§ 5. IX класс 142
Алгебра —
Линейные неравенства и системы —
Числовые функции 143
Квадратичная функция 144
Прогрессии 145
Геометрия 146
Подобие треугольников —
Площади многоугольников 148
Длина окружности. Площадь круга 149
Ответы. Решения. Краткие методические замечания 150
V класс —
VI класс 163
VII класс 178
Алгебра —
Геометрия ....... 188
VIII класс 193
Алгебра —
Геометрия 200
IX класс 209
Алгебра —
Геометрия 214
Литература 220

Учебное издание
ШУБА Михаил Юрьевич
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. Б. Грызлова
Младший редактор Н. Е. Терехина
Художники Б. Л. Николаев, П. Т. Грицюк
Художественный редактор Е. Р. Дашу к
Технический редактор М. М. Широкова
Корректоры Н. В. Бурдина, Л. С. Вайтман
ИБ № 14771
Сдано в набор 16.02.93. Лицензия ЛР № 010001 от. 10.10.91. Формат 6OX9O7ie.
Бумага офсетная № 1. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14.
Усл. кр.-отт. 14,5. Уч.-изд. л. 13,61. Тираж 30 000 экз. Заказ 633.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение> Комитета
Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул.
Чернышевского, 59.

В 1994 году
в издательстве «Просвещение»
выйдут следующие книги по математике:
Ткачева М. В. Домашняя математика, 8 кл.
Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи
Гущев Ю. А. Экспресс-аренда
Галицкий М. JI., Гольдман А. М. Сборник задач по
алгебре для 8—9 классов
Шарыгин И. Ф. Решение задач, 10 класс
Шелохович В. Ф. и др. Решение подскажет компьютер.
Информатика в экологии и природопользовании
Звавич JI. И. и др. Задания для проведения
письменного экзамена по математике в 9 классе
Гейн А. Г. Изучение основ информатики и ВТ в 10—
11 классах. Методическое пособие к учебнику
информатики авторов Гейна А. Г. и др.
Цудницин Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ
письменных экзаменационных работ по алгебре и
началам анализа