ь \

неклассная
работа по математике
в 4-5 классах
Методическая библиотека
школы
Внеклассная работа
по математике
в 4—5 классах
Под редакцией С, И. Шварцбурда
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1974
51 (07)
В 60
А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, В. Д. Головина,
И. И. Крючкова, Л. А. Литвачук
Рекомендовано Главным управлением школ
Министерства просвещения СССР
Внеклассная работа по математике в 4—5 классах. Под
В 60 ред. С. И. Шварцбурда. М.» «Просвещение», 1974.
191 с. с ил. (Метод, б-ка школы).
На обороте тит. авт.: А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд,
В. Д. Головина и др.
Пособие согласовано с программами по математике для 4—5 классов, утверж-
денными Министерством просвещения СССР.
В книге отражен материал кружковых занятий по математике, олимпиад
и математических вечеров.
В
60501-575
103 (03)-74
Подп. изд.
© Издательство «Просвещение», 1974 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	4
Кружковые занятия в 4 классе	12
Упражнения .	12
Методические указания и решения (4	класс)	41
Кружковые занятия в 5 классе	89
Упражнения .	89
Методические указания и решения (5	класс)	113
Проведение зачетов по внеклассной работе	.	»	156
Упражнения для зачетов в 4 классе	156
Упражнения для зачетов в 5 классе	160
Методические замечания, указания и ответы к зачетным
упражнениям	162
Олимпиады , .	.	...	172
Примерный набор упражнений для школьной олимпиады
в 4 классе	.	.	173
Примерный набор упражнений для школьной олимпиады
в 5 классе	174
Математические вечера	»	177
Математический вечер	в	4	классе	180
Математический вечер	в	5	классе	181
У ченые-математики	185
Рекомендуемая литература .	.	,	.............189
ВВЕДЕНИЕ
Важнейшими задачами единой трудовой политехнической шко-
лы являются подготовка высокообразованных, всесторонне разви-
тых людей, вооружение учащихся глубокими и прочными знаниями
по каждому предмету учебного плана, воспитание у них стремления
к непрерывному совершенствованию знаний и умения самостоя-
тельно пополнять их и применять на практике.
«В целях развития разносторонних интересов и способностей
учащихся и их профессиональной ориентации в средних общеобра-
зовательных школах организуются факультативные занятия по
выбору учащихся. Для этих же целей могут быть организованы
школы и классы с углубленным теоретическим и практическим изу-
чением отдельных предметов, различных видов труда, искусства
и спорта» *,— говорится в «Основах законодательства Союза ССР
и союзных республик о народном образовании».
Место внеклассных занятий по математике в 4 — 5 классах в об-
щей системе углубленного изучения предмета в средней школе
Один из важных принципов постановки- факультативных заня-
тий и работы классов с углубленным изучением предмета — фор-
мирование готовности любого учащегося, проявившего устойчивый
интерес и склонности в той или иной области, принять участие в
соответствующей форме обучения.
Однако, чтобы выбор дополнительной учебной деятельности ока-
зался надежным, а работа учащихся старших классов по углублен-
ному изучению предмета успешной, необходима тщательно проду-
манная и повсеместно организованная система «дофакультативной»
подготовки, система учебно-воспитательных мер, помогающих каж-
дому учащемуся «найти себя», избрать интересные и посильные
1 «О состоянии и мерах по дальнейшему совершенствованию народного обра-
зования в СССР. Материалы шестой сессии Верховного Совета СССР восьмого со-
зыва 17—19 июля 1973 года». М., Политиздат, 1973, стр. 69.
4
ему занятия, активно развивать свои способности. Для этого
нужна и этому служит широко развернутая массовая внеклассная
работа по математике в младших и средних звеньях средней школы.
Естественно, что в младших и средних классах преждевременное
проведение факультативных занятий или дополнительное, углуб-
ленное изучение каких-либо учебных дисциплин было бы совершенно
неоправданным.
Наиболее естественной и проверенной формой дофакультатив-
ной подготовки учащихся 4—6 классов, соответствующей их возраст-
ным особенностям и возможностям, является внеклассная работа.
В настоящее время в связи с переходом школы на новое содержание
математического образования создаются благоприятные условия для
организации внеклассной работы: сейчас тематика занятий может
быть значительно расширена и пополнена по сравнению с прежними
возможностями внеклассных занятий, ограниченных рамками кур-
са арифметики старой программы.
Опыт передовых советских учителей позволяет утверждать, что
внеклассная работа 4—6 классов — неотъемлемое звено в общей
системе повышенной математической подготовки учащихся средних
учебных заведений.
Основные цели внеклассной работы — развитие у учащихся инте-
реса к предмету, накопление определенного запаса математических
фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляю-
щих знания, приобретаемые в основном курсе.
Начало внеклассной работы по математике в современных усло-
виях должно было бы переместиться уже в начальные классы.
К сожалению, пока еще нет достаточно обобщенного опыта ор-
ганизации внеклассной работы по математике с младшими школьни-
ками; почти нет пособий для такой работы, адресованных учителям
математики начальных классов.
Учитывая роль, которую должны сыграть внеклассные занятия
в общей системе повышенной математической подготовки учащих-
ся, необходимо в первую очередь позаботиться о серьезном улучше-
нии этого вида работы с учащимися в среднем звене школы, т. е.
в 4—5 классах.
Прежде всего здесь следует добиться наиболее массового охвата
учащихся внеклассной и, особенно, кружковой работой: только при
этих условиях можно надеяться на то, что не будет «утерян» ни один
учащийся, обладающий потенциальными математическими способ-
ностями, которые позволили бы ему в будущем приобщиться ко
многим видам деятельности, тесно связанным с математическими
знаниями и развитием.
Предлагаемая читателю книга является учебно-методическим
пособием для учителей математики 4—5 классов по вопросам ме-
тодики и организации систематической внеклассной работы со
-^йачительным числом учащихся — в тесной связи с новым содержа-
щем обучения по новым программам и учебникам. Излагаемый
Здесь ориентировочный учебно-методический материал призван
5
помочь учителю правильно определить место внеклассной работы
в 4 и 5 классах в общей системе математического образования и»
в частности, в деле повышенной математической подготовки уча-
щихся средней школы.
Особенности внеклассной* работы в 4—5 классах. Основные ха-
рактерные особенности внеклассной работы по математике: неко-
торая произвольность выбора тематики занятий; разнообразие форм
работы с учащимися; занимательность; выделение сравнительно
небольшого учебного времени на одну и ту же тему. Внеклассная
работа с учащимися 4 и 5 классов имеет свои дополнительные осо-
бенности. Одна из них — недостаточно развитый, несформировав-
шийся и еще неустойчивый интерес к предмету у большинства уча-
щихся, принимающих участие в этой работе. Вместе с тем именно
на этом этапе у учащихся такой интерес может и должен начать
формироваться. Конечно, результаты успешных занятий матема-
тикой часто не зависят от срока начала внеклассной работы. Мате-
матическая одаренность или способности конкретного человека раз-
виваются в любом возрасте, лишь бы были благоприятны для этого
условия. При этом необходимо учитывать, что разнообразие мате-
матических теорий и их приложений требуют способностей разного
характера. Чтобы обнаружить, какие именно способности могут
развиваться у данного учащегося, ему полезно принять участие в
самой разнообразной математической деятельности. Конечно, для
проверки способностей детей на разном материале нужно много
учебного времени. Невозможно не учитывать такие особенности по-
ведения младших школьников, как обязательность, исполнитель-
ность, которые позволяют учителю еще до «озорного» возраста
6—7 классов заинтересовать учащихся предметом. Без внимания
учителя к организации внеклассной работы в начальном и среднем
звеньях общеобразовательной школы многие подростки и юноши
никогда не придут в математику.
Эти обстоятельства подсказывают еще одну особенность проведе-
ния внеклассных занятий по математике в самом юном возрасте —
на занятия надо приглашать учащихся, не дожидаясь пробуждения
у них собственной инициативы. Внеклассная работа по математике
в 4—5 классах должна быть массовой, охватывать по возможности
не менее трети всех учащихся. Разумеется, названное число ориен-
тировочное, т. к. в одних классах в эту работу будет вовлечено
больше, а в других меньше учащихся.
Одной из особенностей проведения внеклассной работы в 4—5
классах является особое внимание учителя к поощрению учащихся.
Такая забота характерна и для занятий со старшими учащимися, а
в младших классах особенно важно не пропустить незамеченным ни
один успех школьников в их дополнительной математической дея-
тельности. В доброжелательности учителя, умении удивляться са-
мым, казалось бы, незначительным сдвигам в работе своих воспитан-
ников проявляется педагогическое мастерство, степень влияния учи-
теля на формирование и развитие интереса к предмету у учащихся.
6
Учителя, хорошо знающие особенности учеников возраста 4—5
классов, учитывают, что эти учащиеся нередко с большим удо-
вольствием выполняют кропотливые расчеты и выкладки. В этом
возрасте мало развит «критицизм», присущий более взрослым уча-
щимся, но очень популярна искренняя критика товарищей, нетер-
пимость к списыванию и дают себя знать побуждения раннего воз-
раста: «Я сам!» Ученики 4—5 классов, как правило, очень любят
посильные индивидуальные поручения — подготовить доклад,
сообщений, написать заметку в стенгазету, участвовать в дежур-
стве, составить список или перечень. (Эта черта, в частности, спо-
собствует развитию у них интереса к изучению теоретико-множе-
ственного материала.)
В проведении внеклассной работы необходимо также опираться
на любовь учащихся этого возраста к сказкам и различным инте-
ресным, веселым историям.
Организационные формы. Внеклассная работа по математике
зарождается, в сущности, на занятиях в классе. Задачи повышен-
ной трудности, помещенные в учебниках 4 и 5 классов,— это соб-
ственно упражнения для внеклассных занятий. Однако часть этих
упражнений может быть и должна быть решена в классе при всех
учащихся (хотя не нужно требовать, чтобы их умел решать каждый).
Именно эти упражнения (или им подобные) связывают содержание
и формы классных и внеклассных занятий.
Внеклассная работа с учащимися самим своим названием пред-
полагает, что ее проводят вне уроков, обязательных для всех.
Ее основные формы: кружковые занятия, конкурсы, решения задач,
вечера и сборы, добровольные зачеты, математические стенгазеты
и т. п.
В данной книге освещены почти все указанные виды работы
(одни — полнее, другие—схематично), указано примерное рас-
пределение часов занятий. Так, здесь осуществлено планирование
по темам и занятиям кружковой и другой внеклассной работы,
предполагающее равномерное распределение времени занятий, учет
занятости, физических возможностей и психологических особенно-
стей школьников 4—5 классов.
Невозможно не указать на то, что внеклассная работа по мате-
матике в 4—5 классах — сильнодействующее педагогическое сред-
ство. Оно может принести пользу, но в руках невнимательно отно-
сящегося к делу учителя эта работа может обратиться против уча-
щихся, отпугивая их от занятий математикой, оказывая вредное
влияние на здоровье детей. Поэтому вовсе нет надобности заставлять
каждого ученика перерешать все упражнения, приведенные ниже.
Пусть дети решают столько задач, сколько смогут. Этого будет дос-
таточно для постепенного математического развития каждого уча-
щегося в отдельности и всего класса в целом.
Ориентировочно предполагается в течение учебного года прове-
дение 25 занятий кружка, 2 зачетов (о них будет сказано ниже),
Г школьной олимпиады (в один тур) и 1—2 математических вечеров
7
или сборов. Если учесть, что к этому добавится еще и районная олим-
пиада учащихся 4—5 классов, то получится, что внеклассной рабо-
той некоторые учащиеся 4—5 классов будут заняты 29 раз в год.
Всего в учебном году этих классов 35 учебных недель. Таким обра-
зом, предложенный в книге план ведения внеклассных занятий
весьма плотен, и поэтому возможно отступление от него в сторону
некоторого сокращения числа и объема занятий.
Б пособии регламентированы дозы времени каждого занятия.
Регламентированы и домашние задания, хотя в кружковой работе
не следует требовать полного их выполнения.
Несколько методических замечаний. Внеклассная работа, как
показывает опыт советской школы, зависит от индивидуальных ин-
тересов учителя. Математическая и общепедагогическая квалифика-
ция организатора внеклассной работы также не может не оказать
влияния на ее качество и научно-методический уровень. Боль-
шое значение имеют и личные вкусы учителя. Поэтому трудно дать
конкретные методические указания по внеклассной работе, кото-
рые удовлетворили бы любого учителя. Однако все же могут быть
высказаны и некоторые общие соображения, относящиеся к мето-
дике ведения кружковых занятий, организации вечеров, игр, вик-
торин и пр.
Прежде всего о кружковых занятиях. Их проведение в значи-
тельной степени близко к урокам. Сходство классных и внекласс-
ных занятий определяется организационной формой коллективной
учебной работы, когда учитель ведет занятие с группой учащихся,
проводит необходимые пояснения, спрашивает учащихся и т. п.
При этом желательно учащимся предоставлять больше инициативы,
давать им больше возможностей высказывать собственные суждения
по обсуждаемому вопросу. Надо учесть, что иногда ошибочные
рассуждения и их опровержения, тренировка в «разговоре» на мате-
матические темы дает учащимся больше пользы, чем изложение учи-
телем готовых и «гладко сообщенных» решений. Ребята нуждаются
в развитии собственной инициативы, своего личного подхода к ре-
шению данной задачи. (Это часто совсем небольшое отличие от ре-
шения, предлагаемого учителем или другим учащимся, но его надо
обязательно выслушать всем участникам занятий или учителю.)
Важно поощрять различные способы решения задач, не стремиться
Навязывать свое решение. Иной раз лучше решить двумя-тремя
способами одну задачу, чем одним способом три задачи. Вместе с
тем учителю необходимо следить за тем, чтобы тематика занятий
была разнообразной, а примерное содержание, которое изложено
в данной книге, по возможности, выполнено. Темп проведения круж-
ковых занятий должен постепенно возрастать.
В книге даны все решения предлагаемых упражнений вовсе
не потому, что учителю трудно будет справиться с решениями.
Они приводятся для сокращения времени подготовки учителя к
занятию и для того, 'чтобы он мог, имея один вариант решения,
разработать другие способы, обсудить предложения учащихся.
8
।
Весьма сложным является начало организации внеклассных
занятий, особенно для молодого, начинающего учителя. Здесь мо-
гут возникнуть трудности и у опытного учителя, которые глав-
ным образом связаны с недостаточной активностью кружковцев;
у учащихся^ могут возникать затруднения при решении задач, ко-
торые учителю представлялись самыми легкими. В связи с этим
перед учителем стоит методическая задача — расчленять трудные
задачи на более простые вопросы или мелкие задачи на ту же
тему, но доступные учащимся. Полезно разработать конкретные
методические подходы (систему вопросов и упражнений), подво-
дящие учащихся к решению трудных задач. Вместе с тем необхо-
димо приучать детей находить самостоятельные приемы решения,
не дожидаясь подсказки или наводящих вопросов. Трафарет и
подсказка здесь не помогают, особенно в отношении выделения оп-
ределенных типов задач и методов их решения. Здесь подсказка
и чрезмерно полные разъяснения учителя способны «механизиро-
вать» и сделать стандартными подходы учащихся к решению за-
дач и помешать развитию творчества и самостоятельности в ра-
боте. Ценность содержания внеклассной работы определяется разно-
образием тематики и методов решения задач, новизной по отноше-
нию к содержанию урока математики в классе. Школьников обяза-
тельно надо учить ориентироваться в незнакомых ситуациях и
областях, решать задачи на незнакомую фабулу, с непривычным
для них математическим содержанием.
Нецелесообразно на занятиях кружка проводить систематическое
повторение ранее пройденных вопросов, так как основная задача
кружковой работы — развитие творческого подхода, повышение
уровня математической подготовки, но не сообщение учащимся оп-
ределенных математических фактов, подлежащих обязательному
усвоению. Если учащийся пропустил какое-то занятие, то нет ника-
кой надобности для него организовывать повторение на следующем
занятии кружка с задержкой остальных учащихся. (Восполнение
пробелов и упущений в подготовке отдельных учащихся можно
проводить в индивидуальном порядке, но, конечно, если тема идет
плохо и учащиеся почему-то плохо ее усваивают, можно и немного
увеличить время на эту тему.)
К занятию учителю следует готовиться. Необходимо обдумы-
вать (а иногда и записывать) план каждого занятия кружка, учи-
тывая разнообразие методов работы с учащимися. Включать в этот
план отдельные фрагменты бесед учителя, рассказов, выступлений
учащихся с короткими сообщениями по истории математической
теории, биографии ученых, интересными решениями задач, сообще-
ниями о самостоятельных «исследованиях» и т. д. (Это поможет
обобщению опыта внеклассной работы, систематическому улучше-
нию ее организации и методики.)
Как уже было отмечено, большую пользу учащимся приносит
разбор разных способов решения одной и той же задачи, что может
быть осуществлено при проведении первого же занятия кружка в
9
четвертом классе на тему «Поиски закономерностей». Учащиеся мо-
гут придумывать на одно и то же условие задачи разные решения,
которые удовлетворяют поставленным требованиям. Такие решения
надо поощрять. Предварительного продумывания всех организа-
ционных вопросов требуют и другие виды внеклассной работы. Так,
проведение игр математического содержания нуждается в забла-
говременной и тщательной подготовке раздаточного материала и
демонстрационных плакатов, которые должны быть всем хорошо
видны.
Значительной подготовительной работы требует организация
вечера или проведение математической викторины. При этом не
следует забывать, что сама подготовка не менее полезна для уча-
щихся, чем проведение мероприятий, особенно если в этой подго-
товке участвуют многие учащиеся.
Результаты работы учащихся и их проверка. Любое практически
настоящее, важное дело немыслимо без учета и информации о ре-
зультатах работы. Какими бы методами мы ни пользовались и в
каких бы условиях ни проводилось обучение, нельзя обойтись без
проверки полученных учащимися знаний и навыков, без проверки
проведенной работы, без так называемой обратной связи получения
информации о ходе и качестве усвоения изучаемого материала.
Проверка качества учебной работы учащихся необходима и
во внеклассной работе. Конечно, в процессе работы учитель слы-
шит ответы и выступления детей, получает информацию об отдель-
ных успехах того или иного учащегося (даже если проводит заня-
тия не один, а, например, с помощью старшеклассников или студен-
тов). Однако эта информация часто не однородна у разных учителей,
руководителей кружков, она не дает возможности сравнивать рабо-
ту разных кружков и создать у учителя сложившееся мнение об об-
щепринятых критериях оценки их эффективности, о том, какие ре-
зультаты учащихся следует высоко расценивать безотносительно
к уровню работы конкретного кружка.
Ранее не было попытки установить единый для всех школ под-
ход к изучению успехов участников внеклассной работы по мате-
матике, установить единые критерии и методы проверочной работы.
Поэтому в предлагаемом читателю пособии организация внеклассной
работы включает конкретные предложения по проверке знаний,
умений, навыков и развития учащихся. Для этой цели предлагается
проведение двух зачетов и олимпиады в один тур в 4 классе и столько
же зачетов и олимпиад в 5 классе. Цели и организационно-методи-
ческие формы проведения этих видов учета успехов учащихся обсуж-
даются в соответствующем месте предлагаемой книги.
Организация небольших по объему содержания зачетов, олим-
пиады в один тур, премирование учащихся во время соревнований
на вечерах и викторинах, индивидуальные наблюдения руководите-
лей кружков во время занятий — все это представляет собой уже
систему мер для получения достаточно полной информации о ходе
внеклассной работы и успехах каждого учащегося в отдельности.
10
В пособии учебно-методический материал излагается следую-
щим образом: сначала дается перечень задач на каждое из занятий
кружка, потом излагаются методические указания и решения всех
задач. Далее рассмотрено содержание олимпиад, содержание и ме-
тодика зачетов, даются ответы к задачам, вынесенным на зачеты,
затем описаны методика и содержание математических вечеров.
Учителю, прежде чем начать работу, полезно прочесть всю кни-
гу. В ходе работы можно вносить в содержание внеклассных за-
нятий те или иные изменения, которые полезны для данного класса
и которые соответствуют вкусам самого учителя.
Предлагаемое учителям пособие согласовано с новой программой
и учебно-методическими пособиями по математике для 4—5 клас-
сов. Приведенные здесь задачи частично составлены авторами,
частично заимствованы из известных учителям книг и статей по
внеклассной работе, а также из научно-популярных журналов
(«Наука и жизнь», «Знание — сила» и др.).
Авторы выражают благодарность В. Л. Гутенмахеру, А. 14. Ор-
лову и Т. Л. Сытиной за то что они внимательно ознакомились с ру-
кописью книги и дали авторам ценные советы.
Авторы будут благодарны за замечания и предложения учите-
лей. Просим их направлять по адресу: Москва, 129846, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция мате-
матики.
Авторы.
КРУЖКОВЫЕ ЗАНЯТИЯ В 4 КЛАССЕ
УПРАЖНЕНИЯ
ЗАНЯТИЕ 1
1. По какому правилу из натурального ряда чисел можно по-
лучить следующую последовательность:
2; 1; 4; 3; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 12; 11;...?
Как из этой последовательности можно получить такие после-
довательности:
а)	9; 8; 11; 10; 13; 12; 15; 14; 17; 16; 19; 18; ..
б)	4; 2; 8; 6; 12; 10; 16; 14; 20; 18; 24; 22; . ..?
2.	По какому правилу составлена следующая последователь-
ность чисел:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; .. .?
3.	Найдите правило размещения чисел в клетках таблицы:
34	37	40	43
35	38	41	44
36	39	42	45
37	40	43	46
61	63	66	70
62	65	69	73
64	68	72	75
67	71	74	76
4.	В году 365 дней и 53 вторника. Какой день недели был 1 ян-
варя этого года?
Домашнее задание
5.	Как из натурального ряда чисел получить следующую по-
ел едовател ьность:
а)	1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; . .
б)	4; 7; 10; 13; 16; 19; 22;	.?
12
6. Найдите ^правило размещения чисел в клетках таблицы,
заполните свободные клетки:
17	20	25	
18	19	24	
21	22	23	
			
				
6)		41	35	33
		43	37	39
		45	47	49
				
7. 1 января 1973 года был понедельник. Какой день недели бу-
дет 1 января 1976 года? 1 января 1977 года?
ЗАНЯТИЕ 2
8. Найдите правило нахождения числа, помещенного в окошке
чердака (рис. 1). Вставьте число в свободное окошко.
9. Найдите правило нахождения числа, помещенного в среднюю
клетку. Заполните свободную клетку:
84	19	16
53	И	21
и !0. Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за
$^мин. За сколько минут муравьишка проедет на жуке расстояние,
jbf4 раза большее, если скорость жука в 7 раз больше скорости гу-
сеницы?
13
11.	Таня начертила 2 прямые линии. На одной из них она отме-
тила 3 точки, на другой — 5 точек. Всего было отмечено 7 точек.
Как она это сделала?
Домашнее задание
12.	Найдите правило составления последовательности чисел
и вставьте вместо звездочки пропущенное число:
5; 14; 41; 122; *; 1094.
Рис. 2
13.	Найдите правила размещения чисел
в полукругах и вставьте недостающие числа
(рис. 2).
у 14. Мама замесила тесто. Из получен-
ного теста можно сделать 20 одинаковых
калачей или 25 одинаковых булочек.
Какова масса всего теста, если на один
калач идет на 10 г теста больше,
чем на одну булочку?
ЗАНЯТИЕ 3
15. Запишите арабскими цифрами числа: XXII, XXXIV, DXIV;
MDCLXVI; DCTIX; MCXLVI.
16. Запишите римскими цифрами: 24; 48; 1937; 444; 3527; 183 693.
И г р а в «бу м». Учащиеся по очереди говорят числа в
порядке их счета: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Вместо чисел, делящихся на-
цело на 7, или чисел, оканчивающихся цифрой 7, следует говорить
слово «бум». Если кто-нибудь из играющих ошибся в счете или не
сказал вместо положенных чисел слово «бум», то игра останавлива-
ется, провинившийся игрок выбывает, и игра начинается сначала.
Первым начинает теперь игрок, идущий вслед за тем, кто ошибся.
Игра продолжается до тех пор, пока не останется один человек. Он
становится победителем.
Домашнее задание
18.	Запишите арабскими цифрами числа: XXXIV; XXIX;
CDXXI; СМШ; MCMXLV.
19.	Запишите римскими цифрами числа: 49; 574; 1147; 1974;
5003.
20.	Выберите нужную фигуру из четырех пронумерованных
(рис. 3).
21.	Из 10 спичек составлен рисунок ключа (рис. 4). Переложите
в нем 4 спички так, чтобы получить три квадрата.
14
Рис. 3
Рис. 4
9
ЗАН ЯТИЕ 4
22.	Сколько чисел по правилам римской нумерации можно за-
писать с помощью цифр I; V; X?
23.	Из спичек составлено равенство (рис. 5), которое, как вы ви-
дите, неверное. Как переложить одну спичку, чтобы получить вер-
ное равенство?
Рис. 5
24.	Одна из фигур на рисунке 6 чем-то отличается от остальных.
Укажите эту фигуру.
Рис. 6
25.	Путь от дома до школы Буратино проделал пешком, обратно
он двигался той же дорогой, но первую половину пути он ехал на
собаке, а вторую половину пути — на черепахе. Известно, что ско-
рость собаки была в 4 раза больше, а скорость черепахи в 2 раза мень-
15
ше, чем скорость, с которой Буратино шел в школу пешком. На ка-
кой путь — из дома до школы или из школы до дома — затратил
Буратино больше времени?
Домашнее задание
26.	Из спичек составлено равенство (рис. 7), которое неверно.
Как переложить одну спичку, чтобы получилось верное равенство?
IV=
Рис. 7
27. На рисунке 8 дано некоторое множество фигур. Все фигуры,
кроме одной, имеют общее свойство. Какая фигура лишняя?
Рис. 8
28.	Чтобы сделать некоторую деталь на станке, надо затратить
3 мин на закрепление детали, 15 мин на ее обработку и 2 мин на
снятие готовой детали со станка. Сколько времени требуется рабо-
чему на изготовление 20 таких деталей, если он будет одновременно
работать на двух станках и если обработка на станке идет автомати-
чески, т. е. в течение 15 мин обработка детали на станке не требует
вмешательства рабочего?
ЗАНЯТИЕ 5
29.	Для зашифровки Сережа начертил квадрат со стороной в
8 клеток и вырезал в нем 5 окошек (рис. 9). Какую ошибку допустил
Сережа в изготовлении такой квадратной решетки? Почему нельзя
вырезать окошки как угодно?
30.	Петя начал изготовлять квадратную решетку для шифровки.
Он вначале вырезал 3 окошка (рис. 10). Какие окошки в этой решет-
ке теперь нельзя вырезать?
31.	Сколько окошек надо вырезать в решетке, если сторона квад-
рата 10 клеток? 8 клеток? 16 клеток? (При этом надо помнить, что
при использовании полученной квадратной решетки для шифрова-
ния все клетки должны быть заполнены.) Можно ли при таком ус-
ловии приготовить решетку из квадрата со стороной в 7 клеток?
в 11 клеток?
16
						F 'I	
		г Ч к л					
							
			У				
							
							
							
							
Рис. 10
Рис. 11
32.	Почему квадратная решет-
ка, сделанная Ниной (рис. И),
считается плохой для зашифровки
^записей?
33.	Поезд длиной 225 м идет со
скоростью 54 км/ч. За сколько се-
кунд поезд пройдет мост длиной
в 450 м?
Домашнее задание
34.	С помощью квадратной ре-
шетки (рис. 12) расшифруйте за-
пись (рис. 13).
Рис. 12
17
е	п	и	м	р	з	енльмхнрот
о	а	н	й	н	и	е и и е з н и е к н
&
н	д	с	ю	е	ещтиааэнзта
м	и	н	о	е	г	десовлосас
му	о	м	у	а	н ч д о т л р о е а
тоетгкмрбнабинао
аибнаоотлсепкб ба
бтриаектка о д а о е 5
Рис. 13
35.	Изготовьте решетку из квадрата со стороной в 10 клеток.
Зашифруйте предложение: «Природа говорит языком математики:
буквы этого языка — круги, треугольники и иные математические
фигуры» (Г. Галилей).
36.	Вместо каждой звездочки поставьте такую цифру, чтобы по-
лучилось верное равенство (числа не должны начинаться с нуля):
а)	*****—*«**== 1;
б)	***+***—1997.
37.	Ребята заметили, что участок ветки в 15 см гусеница пропол-
зла за 7 мин. Найдите длину гусеницы, если скорость ее движения
3 см!мин.
ЗАНЯТИЕ 6
38.	Каждая буква означает цифру. Одинаковыми буквами обо-
значена одна и та же цифра. Какие цифры обозначены в записях:
а) , XYXZ б) АВ-А = ССС?
+ YXZ
MZMKZ
39.	Найдите правило нахождения числа, помещенного в треу-
гольник. Поставьте число в свободный треугольник, используя най-
денное правило (рис. 14).
Рис. 14
18
Рис. 15
40.	Одна из фигур на рисунке 15 чем-то отличается от осталь-
ных. Найдите эту фигуру.
41.	Поезд длиной в 450 м проходит мост за 35 с и проходит мимо
дежурного по станции за 15 г. Найдите длину моста и скорость по-
езда.
Домашнее задание
42.	Каждая буква обозначает цифру. Одинаковыми буквами
бозначена одна и та же цифра. Расшифруйте запись:
СМК

43.	В записи 66666666 поставьте между некоторыми цифрами
знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого
равно 264.
44.	Найдите правило размещения чисел в клетках квадрата.
Заполните свободные клетки:
				69	
114	21	24	27	30	
	54	9	12	33	
		18	15	36	81
	48	45	42		
	99				
19
Рис. 16
45.	Обойдите фигуру на рисунке 16, не отрывая кйр'андаша от
бумаги и не проходя дважды по одной линии.
ЗАНЯТИЕ 7
46.	Сколько времени потребуется человеку, чтобы сосчитать
миллиард зерен, если он в минуту будет считать по 100 зерен?
47.	От Земли до Марса около 60 млн. км. Сколько времени
придется лететь на ракете от Земли до Марса, если скорость
ракеты будет 10 км/с> Сколько времени потребовалось бы самолету,
летящему со скоростью 1000 км/ч, чтобы преодолеть это расстояние?
48.	В нашей стране проживают около 250 млн. человек. Если
все люди встанут в одну шеренгу, то какой длины будет эта шеренга?
(Пусть каждый человек занимает место длиной в 50 см),
49.	В записи 5*6*7*8 замените звездочки знаками действий так,
чтобы получилось выражение, значение которого равно 39.
Домашнее задание
50.	Самая высокая гора на Земле — Джомолунгма. Ее высота
8848 м. Сколько этажей имел бы дом высотой с эту гору, если счи-
тать, что расстояние между этажами 4 м?
51.	Какую годовщину Великой Октябрьской социалистической
революции отмечали в MCMLXVII году?
52.	Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, различные
буквы — различные цифры. Расшифруйте записи:
ЛУГ— УЖ-ЛАД
Г ДР^ЖРР
ЮГ + ЕЖЛ = ЖЕГ
53.	В каких случаях месяц имеет 5 воскресений?
ЗАНЯТИЕ 8
54.	Какие из множеств А, В, С, D, Et F, М, Р являются конеч-
ными и какие бесконечными:
20
A — множество пятизнач-
ных чисел?
В — множество всех песчи-
нок на Земле в данный мо-
мент времени?
С — множество точек пря-
мой?
D — множество точек луча?
Е — множество четных чи-
сел?
F — множество чисел,
оканчивающихся двадцатью
нулями?
М — множество пионеров
в Ленинграде на данный мо-
мент времени?
Р — множество точек ок-
ружности?
Рис. 17
55.	На доске было произведено действие умножения. Часть
цифр заменили звездочками. Восстановите запись:
* **
* 8
।	***
~	# *
* * * * О
56.	Белому коню надо попасть на клетку, где стоит сейчас бе-
лый король (рис. 17). Укажите путь коня, если он не должен вста-
вать на поле, занятое или битое черными фигурами. Движется конь
по правилам шахматной игры.
Домашнее задание
57.	Придумайте 3 примера
бесконечных множеств и 3 при-
мера конечных множеств.
58.	Число оканчивается циф-
рой 9. Если эту цифру отбросить
и к полученному числу приба-
вить первое число, то получится
306 216. Найдите это число.
59.	На шахматной доске в
нижнем левом углу стоит шаш-
ка. Двое играющих ходят ею
по очереди, передвигая шашку
на соседнее поле. Допускаются
лишь такие направления дви-
жений, какие указаны на ри-
сунке 18. Выигрывает тот, кто
Рис. 18
своим ходом поставит шашку на верхнее правое поле.
Как должен играть начинающий, чтобы выиграть?
60.	Сколько времени потратит человек на сон в течение
70 лет жизни, если считать, что в каждом году 365 дней и он
тратит на сон в среднем 7 ч в сутки?
ЗАНЯТИЕ 9
61.	В школе 400 учащихся. Докажите, что среди учеников этой
школы найдутся хотя бы 2 ученика, отмечающие свое рождение
в один и тот же день.
62.	В 300 ящиках упакованы апельсины. Известно, что один
ящик не может вместить более 120 апельсинов. Докажите, что
имеются по крайней мере 3 ящика с одинаковым числом апель-
синов.
63.	На 8 Марта было куплено 9 роз. Можно ли разделить
64.	На столе стоят в ряду 3 одинаковых сосуда с водой и 3
таких же пустых сосуда (рис. 19). Требуется расположить эти
сосуды так, чтобы пустые чередовались с наполненными. Как
это сделать, если разрешается брать только один сосуд?
Домашнее задание
Рис. 20
65.	В классе 30 человек. В диктанте Витя Малеев сделал 12
ошибок, а остальные не больше. Докажите, что по крайней
мере 3 ученика сделали ошибок поровну, считая и ноль ошибок.
66.	Если учащихся поса-
дить по 2 человека на скамей-
ку, то семи учащимся не хва-
тит места. Если на каждую
скамейку посадить по 3 чело-
века, то останется 5 свободных
скамеек. Сколько было уча-
щихся и сколько было скамеек?
67.	На рисунке 20 дана нео-
бычная шахматная доска, на ко-
торой расположены 5 белых фи-
гур (две ладьи, два слона и ко-
роль) и один черный конь.
22
Белый король должен «съесть» черного коня при условии, что
конь неподвижен, а король не может становиться под шах на
поле с2.
ЗАНЯТИЕ 10
68.	В соревновании по вольной борьбе участвовало 12 человек.
Каждый участник должен был встретиться с каждым из остальных
по одному разу, Докажите, что в любой момент соревнования име-
ются два участника, проведшие одинаковое число схваток.
69.	Тане не хватило 7 коп., а Гале — 2 коп., чтобы купить по ко-
робке цветных карандашей. Когда они сложили свои деньги, то их
не хватило даже на покупку одной коробки. Сколько стоит коробка
карандашей?
70.	Группе учащихся было поручено выкопать ямки для посадки
яблонь. Если каждый ученик возьмет из кладовой полопате, то двум
ученикам не хватит лопат. Если каждый ученик возьмет из кладо-
вой по одному лому, то одному ученику не хватит лома. Если каж-
дый ученик возьмет или лом или лопату, то 3 инструмента останутся
в кладовой. Скольким учащимся было поручено выкопать ямки,
сколько лопат и сколько ломов было в кладовой?
71.	Мишу спросили: «Три, три да три — что будет?» Он ответил
«дыра». Это записали так:
три+три+три=дыра
Какие цифры зашифрованы в этой записи, если одинаковые бук-
вы обозначают одинаковые цифры, а разные—разные цифры и если
известно, что
(ы+ь/) : ы=ы?
Домашнее задание
72.	В ящике лежали вперемешку 6 белых и 10 голубых носков.
Каково наименьшее число носков надо взять из ящика, не глядя в
него, чтобы иметь не меньше одной пары носков одного цвета?
73.	В хвойном лесу 800 000
елей, и ни на одной из них не 09)
более 500 000 игл. Докажите,
что в этом лесу растет не менее
двух елей с одинаковым числом /
игл.	к.
74.	Найдите правило нахож-
дения чисел, помещенных на / I
«голове» (рис. 21). Заполните А.
свободный кружок.	(?з) (55
75.	В девяти клетках распо-
ложены 4 белые и 4 черные шаш-
ки (рис. 22). Требуется поме-
нять эти шашки местами, при
этом белые шашки могут дви-
гаться только вправо, а черные—
Рис. 22
23
только влево. Шашки можно перемещать только на свободное
место либо передвигая, либо «перепрыгивая» не более чем через
1 шашку.
ЗАНЯТИЕ И
J 76. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко,
лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке,
сосуд с лимонадом стоит между
Рис. 23
кувшином и сосудом с квасом, в
банке не лимонад и не вода. Ста-
кан стоит около банки и сосуда
с молоком. Куда налита каждая
жидкость?
J 77. На озере находятся
7 островов, которые соединены
между собой мостами так, как
показано на рисунке 23. На ка-
кой остров должен доставить ка-
тер путешественников, чтобы они
могли пройти по каждому мосту
и только 1 раз? С какого ост-
рова катер ‘должен снять этих
людей? Почему нельзя доставить путешественников на остров А?
78. На лесопилке имеются бревна длиной 6 м и 7 м.‘ Надо на-
пилить 42 чурбака длиной 1 м. Какие бревна выгоднее пилить?
Домашнее задание
J 79. Для Вани, Толи и Мишй есть три пирога: с рисом, капустой
и яблоками. Миша не любит пирог с яблоками и не ест с капустой;
Ваня не любит пирог с капустой. Кто что ест?
80. Можно ли ходом коня попасть из левой нижней клетки в
правую верхнюю клетку обычной шахматной доски, побывав на
каждой клетке, и притом только 1 раз?
В бочке налит квас. Как перелить из нее в другую бочку 6 л
кваса с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?
ЗАНЯТИЕ 12
82.	Если задуманное число умножить на 5 и к полученному ре-
зультату прибавить 1, потом полученную сумму увеличить в 6 раз
и к результату прибавить 2, затем новую сумму умножить на 7 и по-
лученное произведение увеличить на 4, то получим число, которое
в 16 раз больше числа 135. Найдите задуманное число.
83.	В первом матче футболисты «Звездочки» забили в ворота
противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и еще
один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в
третьем матче, и еще один мяч. В третьем матче они забили вдвое
24
меньше мячей, чем в первом, и еще один мяч. Сколько всего мячей
забили футболисты «Звездочки» за три матча?
84.	В зале висели в ряд 6 картин так, как показано на рисунке
24. Из них 3 картины большие и 3 картины маленькие. Написаны
эти картины Андреем, Борисом, Валей, Галей, Денисом и Еленой.
Известно, что картины Андрея и Дениса одинаковые по размеру.
Рис. 24
Картины Гали и Елены также имеют одинаковый размер. Картина
Дениса висит через две картины от картины Елены, а картина, на-
писанная Андреем,— через картину от картины Гали. Известно,
что картина Дениса больше, чем картина Бориса. В каком порядке
расположены на стене картины учащихся?
Домашнее задание
85.	На вопрос путника: «Сколько у тебя в стаде голов скота?» —
пастух ответил: «Если бы к моему стаду добавить одну корову, то
третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имею-
щимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их со-
ставили бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький
козленок». Сколько голов скота было в стаде?
86.	Из кирпичей сложен прямоугольный параллелепипед. Раз-
меры каждого кирпича: 5 X 10x20 см. Ширина параллелепипеда рав-
на большему размеру кирпича. Передняя грань параллелепипеда
изображена на рисунке 25. Посчитайте, из скольких кирпичей сложен
прямоугольный параллелепипед, если кирпичи уложены вплотную
друг к другу, без раствора.
Рис. 25
Рис. 26
25
87.	На карточках, которые расположены в верхнем ряду (рис.
26) и перевернуты обратной стороной, изображены те же рисунки,
что на карточках, находящихся в нижнем ряду. Только порядок
их расположения другой.
В каком порядке разложены карточки верхнего ряда, если
известно:
а)	плюс не рядом с треугольником, треугольник не рядом с кру-
гом;
б)	круг не рядом со звездой, а звезда не рядом с плюсом;
в)	треугольник не рядом с квадратом, а квадрат не рядом с кру-
гом;
г)	звезда расположена рядом с квадратом и находится справа
от него?
ЗАНЯТИЕ 13
88.	Начертите прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см. Вырежь-
те его. Затем разрежьте этот прямоугольник на 3 прямоугольника,
так, чтобы из них можно было составить квадрат.
89.	Каждую из изображенных на рисунке 27 фигур можно пре-
вратить в квадрат, сделав только один разрез ножницами по прямой
линии. Как это сделать?
90.	Из 5 спичек выложен пятиугольник (рис. 28). Переложите
Рис. 27
26
спички так, чтобы получились одновременно пятиугольник, четы-
рехугольник и треугольник.
91.	Ваня и Таня должны были встретить-
ся на станции, чтобы вместе поехать на по-
езде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня
думает, что его часы спешат на 35 мин, хотя
в действительности они отстают на 15 мин. А
Таня думает, что ее часы отстают на 15 мин,
хотя они на самом деле спешат на 10 мин. Что
произойдет, если каждый из них, полагаясь
на свои часы, будет стремиться прийти за
5 мин до отхода поезда?
Рис. 28
Домашнее задание
92.	Каждая из фигур, которые изображены на рисунке 29, со-
стоит из двух или нескольких фигурок рисунка 30. Запишите для
каждой сложной фигуры (рис. 29) номера фигурок (рис. 30), из ко-
торых она состоит.
Рис. 29
Рис. 30
27
93.	Попробуйте нарисовать эту фигуру, изображенную на ри-
сунке 31, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды
Рис. 31
одну и ту же линию.
94.	Шестизначное число начинает-
ся с единицы и кончается семеркой.
Если семерку перенести на первое
место, т. е. поставить перед единицей,
то число увеличится в 5 раз. Найдите
шестизначное число.
Рис. 32
Рис. 33
28
ЗАНЯТИЕ 14
95.	Для игры надо разрезать квадрат так, как показано на ри-
сунке 32. Теперь, используя все 7 фигурок, на которые разрезан
квадрат, надо составить силуэты фигур, данных на рисунке 33.
Кто первый это сделает, тот и выиграл.
96.	Из 15 монет, одинаковых с виду, одна фальшивая. Неиз-
вестно, тяжелее или легче она, чем остальные. Как это узнать, сде-
лав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
97.	Если вы ввертываете правой рукой электрическую лампочку
в патрон, то вы ее вращаете по направлению движения часовой стрел-
ки. В какую сторону надо вращать патрон левой рукой, чтобы вы-
вернуть лампочку, которую вы держите неподвижно правой рукой?
Домашнее задание
98.	Составить из всех фигур, на которые разрезан квадрат
(рис. 32), фигуры, силуэты которых даны на рисунке 34.
99.	Как разделить поровну 8 л молока между двумя звеньями,
если молоко находится в 8-литровом ведре, а имеются 2 пустых би-
дона — 3-лнтровый и 5-литровый?
100.	В четырех пакетах лежат по одинаковому числу конфет.
Если из каждого вынуть по 9 конфет, то во всех останется столько,
сколько было в каждом. Сколько конфет было в каждом пакете?
Молоток
Револьвер
ЛеЪедь
Курица
Рис. 34
29
101. В примере (рис. 35) вместо
некоторых цифр поставлены кру-
•4	4).	> жочки. Ни одно число не равно 0
и не начинается цифрой 0 (однако
— •)« 2 = •• на 0 числа оканчиваться могут).
Под чертой каждое число равно
сумме чисел соответствующего
столбца, причем сумма чисел перво-
(••+ • + • 0 ) +•• = •• го столбца равна результату дейст-
Рис. 35
вий в первой строке, сумма чисел
второго столбца равна резуль-
тату действий во второй строке,
сумма чисел третьего столбца равна результату действий в третьей
строке и, наконец, сумма чисел четвертого столбца равна резуль-
тату действий в четвертой строке. Восстановите запись.
ЗАНЯТИЕ 15
102.	Решите уравнения
а)	Зх+5==5лг—3;
б)	5а—7—За—1;
в)	4(у+2)=3(3у~4).
103.	У Кати имеется 21 медная монета. Есть ли среди них 7 мо-
нет одинакового достоинства?
Домашнее задание
104.	Решите уравнение:
5х+3х—2-2(Зх+5).
105.	Составьте условие задачи, которая решалась бы с помощью
уравнения 4(х—5)—-Зл—2. Решите ее.
Рис. 36
106. Каждую из фигур (рис. 36) надо разрезать на две равные
фигуры.
ЗАНЯТИЕ 16
107. Имеются 5 бидонов и 2 ведра с молоком. В каждом бидоне
в 3 раза меньше молока, чем в ведре. Если из каждого ведра отлить
по 4 я молока, а из каждого бидона по 1 л молока, то во всех бидонах
будет молока столько, сколько станет молока во всех ведрах. Сколь-
ко литров молока было в бидоне и сколько литров молока было в
ведре?
108. Миша купил книгу, заплатив за нее несколько двадцатико-
пеечных монет. Если бы он за нее заплатил пятнадцатикопеечными
монетами, то ему пришлось бы дать продавцу на одну монету боль-
ше. Сколько стоила книга?
109. Имеются медные монеты разного достоинства (1,2,3, 5 коп.).
Напишите множество сумм, которые можно составить из трех монет.
ПО. Рядом стоят два барана — один головой к северу, другой —
к югу. Могут ли они увидеть друг друга, не поворачивая головы?
Домашнее задание
111.	Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: «Если к
половине моих лет прибавить 12, то узнаешь, сколько мне было 12
лет назад». Сколько лет отцу?
112.	Вдоль сторон квадратной площадки через каждые 2 метра
установлены столбики. Вдоль одной стороны установлен 21 стол-
бик. Каков периметр площадки? Сколько столбиков установлено
вокруг всей площадки?
113.	У причала стояла лодка. Она могла вместить двух человек.
К реке подошли четверо. Все они переправились через реку на этой
лодке без посторонней помощи и продолжили свой путь, причем
лодка была оставлена у того же причала. Возможно ли это?
114.	Представьте число 36 в виде произведения трех натураль-
ных чисел всевозможными способами.
ЗАНЯТИЕ 17
115.	Витя купил 4 книги. Все книги без первой стоят 46 коп.,
без второй — 44 коп., без третьей — 41 коп., без четвертой —
37 коп. Сколько стоит каждая книга?
116.	Имеется 5 карточек. На каждой карточке написано число.
Сумма всех чисел 46. Сумма чисел на первых двух карточках равна
20, а сумма чисел на двух последних карточках —11. Если сложить
числа на двух первых карточках и прибавить к ним число четвертой
карточки, то получится 24, и, наконец, если к числу на первой кар-
точке прибавить число на четвертой карточке, то получится 12. Най-
дите числа, которые написаны на каждой карточке.
117.	Для проведения соревнований по лыжам была выбрана су-
дейская коллегия, в которую вошли Петя, Игорь, Лена и Оля. Из
них надо выбрать председателя и заместителя. Запишите множе-
ство вариантов такого выбора.
118.	Расшифруйте запись, если одинаковые буквы означают
-одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.
Б
. АААА
+ А А АА
АААА
БАЛЛА
31
Домашнее задание
119.	Отцу столько лет, сколько дочери и сыну вместе; сын вдвое
старше дочери и на 20 лет моложе отца. Сколько лег каждому?
120.	Две пачки печенья, пачка сахара и банка варенья имеют
массу 1 кг 900 г. Масса одной пачки печенья, двух пачек сахара и
банки варенья 2 кг 200 г, а одной пачки печенья, пачки сахара и
двух банок варенья 2 кг 700 г. Определить общую массу трех банок
варенья, четырех пачек печенья и трех пачек сахара.
121.	Здесь зашифровано стихотворение. Путем перестановки
букв в слове и изменения порядка слов в строке попытайтесь рас-
шифровать это стихотворение:
ооркгм анаш чпетал ятна
рлиунао чкяим укчре в
ен шеит начтеак чаьпл
чмя тнтуое ен в чреек.
Рис. 37
122.	На путевом треугольнике (рис. 37) находятся локомотив и
2 вагона. Надо поменять местами вагоны так, чтобы локомотив ос-
тался между ними. (На поворотном круге можно устанавливать толь-
ко 1 вагон.)
ЗАНЯТИЕ 18
123.	Развертка какого прямоугольного параллелепипеда дана
на рисунке 38?
Рис. 38
32
124.	Имеются 4 куска проволоки длиной 18 см каждый. Как из
них сделать каркасную модель параллелепипеда с размерами 8 см,
4 см и 6 см, не разрезая этих кусков проволоки?
125.	Попробуйте перевязать посылки так, как показано на ри-
сунке 39. Шпагат нигде не должен проходить дважды по одному,
месту. Постарайтесь изобразить решение каждой задачи на раз-
вертке.
Рис. 39
126.	Володя, Саша, Игорь и Алеша удили рыбу. Все вместе вы-
ловили 40 ершей. Володя поймал на4рыбки больше Саши, Сата-
на 4 больше Игоря, Игорь — на 4 больше Алеши. Сколько ершей
поймал каждый мальчик?
Домашнее задание
127.	Какой из кубиков, изображенных на рисунке 40, точно та*
кой же, как кубик Л1?
Рис. 40
128.	Проведите 4 прямые через 9 точек (рис. 41), не отрывая
карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии.
129.	Встретились 2 фронтовых друга — Борис и Николай. Бо-
рис говорит: «У меня уже 3 сына, причем произве- •	• ф
дение всех возрастов равно 36, а сумма их лет
равна числу окон в доме напротив». Николай ему
в ответ: «Этих данных мне недостаточно, чтобы	•	•	•
определить, сколько лет каждому твоему сыну».
Борис: «Да, я забыл тебе сказать, что старший •	•	>
сын у меня «рыжий». «Ну, теперь ясно, сколько Рис. 41
2 № 6156
33
лет каждому твоему сыну»,— ответил Николай. Определите, каким
образом удалось Николаю найти возраст каждого из сыновей Бо-
риса.
ЗАНЯТИЕ 19
130.	Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 50:
1+2+3+4+ .. .+48+49+50.
131.	Найдите значение выражения:
2m+4m+6m+8m+10m+ -+96m+98m+100m, если zn=23.
132.	Какой цифрой оканчивается произведение:
21-22-23-24-25-26-27-28-29?
13	3.. Какой цифрой оканчивается произведение 21 множителя,
каждый из которых равен 3?
134.	У Наташи 25 монет разного достоинства (10 коп., 15 коп.,
20 коп.). Имеются ли среди них 9 монет одинакового достоинства?
Домашнее задание
135.	Найдите значение выражения:
99,9—99,8+99,7—99,6+99,5^99,4+
+ .. .+50,3—50,2+50,1—50.
136.	Какой цифрой оканчивается про-
изведение:
7-17-27-37-47<57-67-77-87-97-107-117?
137.	В кружках фигуры (рис. 42) на-
до расставить числа 1, 2,3,4,5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12 так, чтобы сумма чисел,
размещенных в вершинах каждого квад-
рата, равнялась 26, а суммы чисел, раз-
мещенных по диагоналям внешнего
Рис. 42	квадрата, отличались бы на 2.
138.	У Володи и его отца сегодня день рождения. Отец старше
сына ровно в 11 раз. Через 6 лет он будет старше только в 5 раз.
Сколько лет Володе?
ЗАНЯТИЕ 20
139.	Число записано с помощью натуральных чисел, идущих в
порядке счета от 1 до 30:
123456789101112...2930.
Сколько цифр в этом числе? Какая цифра стоит в этом числе на
16-м месте? На 21-м месте?
140.	На стоянке стояли мотоциклы и легковые машины, всего
27 транспортных единиц. Миша сосчитал, что у них всего 85 колес.
Сколько машин и сколько мотоциклов стояло на стоянке, если из-
вестно, что там было только 3 мотоцикла с коляской?
141.	В редакцию журнала прислали рассказ, повесть, очерк,
стихотворение и фельетон, которые написали Андреев, Борисов,
Ветров, Гришин и Денисов. Каждый написал только одно произ-
ведение.
34
Ветров думал, что стихотворение сочинил Борисов, Борисов
предполагал, что Гришин написал фельетон, а Андреев — повесть
Гришин считал, что Денисов написал повесть, а Ветров — очерк»
Андреев думал, что Борисов написал рассказ, а стихотворение со-
чинил Гришин.
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предполо-
жениях. Кто что написал?
Домашнее задание
142.	Найдите значение выражения:
26-25—25-24+24-23—23-22+22.21—21-20+20-19—19- 18+18х
Х17—17-16+16-15—15-14.
143.	Найдите значение выражения:
3,4m+12,l+2,8p+3,7m+2,l+4,3p, если тп+р+2=10.
144.	Имеются 8 ящиков. В некоторых из них лежит по 8 ящиков
меньшего размера. В некоторых из меньших ящиков лежит еще по
8- ящиков еще меньшего размера. Всего заполнено 25 ящиков. Най-
дите общее число ящиков.
145.	Имеется 16-литровый сосуд, доверху наполненный молоком.
Кроме того, есть 2 пустых сосуда — 6-литровый и 10-литровый. Как
разделить молоко на 2 равные части, используя для переливания
только эти сосуды?
ЗАНЯТИЕ 21
146.	Начертите 2 треугольника так, чтобы их общей частью был:
а) шестиугольник, б) пятиугольник, в) четырехугольник, г) треуголь-
ник, д) точка.
147.	В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек
собирали марки СССР, 11 человек собирали иностранные марки,
Рис. 43
из них 6 человек собирали и марки СССР и .иностранные марки*
Сколько мальчиков в классе собирали марки? Сколько мальчиков
собирали только марки СССР и сколько мальчиков собирали только
иностранные марки?
148.	Контрольная работа пр математике состояла из задачи,
уравнения и примера на все действия с .числами. Контрольную
работу писали 40 учеников. Правильно решили только задачу 2
человека, только пример — 4 человека,, только одно уравнение—
3 человека. Не решили только задачу 7 человек, только уравне-
ние—5 человек, только пример — 6 человек. Остальную выполнили
всю работу правильно. Сколько таких учащихся?
Рис. 44
149.	Нужно срочно доставить
9 пакетов в пункты, указанные
на плане, звездочкой (рис. 43).
Посыльный, посмотрев на план,
быстро сообразил, как ему ехать.
Он вручил пакеты, объехав пун-
кты, ни разу не проезжая дважды
одним и тем же путем. Какой
маршрут выбрал посыльный?
Домашнее задание
150-	Начертите 2 угла так,
чтобы их общей частью был.: а) че-
тырехугольник, б) треугольник,
в) отрезок, г) луч, д) точка.
151.	В школе зимрй работали
3 спортивные секциилыждая,
хоккейная и конькобежная..В них
занимались 38 человек, извест-
но, что в лыжной секции Зани-
мался 2Г человек, среди которых
3 человека занимались еще ' в
конькобежной секции, 6 чело-
век — еще в хоккейной секции и
1 человек занимался ЬДноврёмей-
но во всех трёх секциях. В конь-
кобежной секции занимались’ 13
человек, среди которых 5 человек
занимались одновременно в двух
секциях. Сколько человек зани-
малось в хоккейной секции?
152.	Какая из шести про-
нумерованных фиСур должна
занять свободное место в табли-
це (рис. 44)?
36
ЗАНЯТИЕ 22
153,	Цифра десятков в обозначении данного двузначного числа
втрое больше цифры единиц. Если эти цифры переставить, то полу-
чится число, меньшее данного на 36. Найдите данное число.
154.	Аня, Катя, Оля и Нина собирали макулатуру. Оля собрала
больше, чем Катя. Аня и Катя вместе собрали столько же макула-
туры, сколько собрали Оля и Нина. Нина собрала меньше макула-
туры, чем Катя й Оля вместе. Как распределились места между де-
вочками по количеству собранной макулатуры?
155.	Одинаковые буквы означают одинаковые цифры. Разные
буквы означают разные цифры. Расшифруйте запись:
ABCD-CD^BCD
^СР
ЕС
DK
BCD
BCD
156.	На стадионе. 3 спортсмена готовились к финальным сорев-
нованиям по прыжкам в высоту, а тем временем собравшиеся зри-
тели строили предположения о возможном победителе.
«По-моему, первое место завоюет Андреев»,— сказал один из
зрителей.
«Что касается /Борисова, то он не будет последним»,— заметил
Другой.
«Васильеву не занять первое место»,— заявил третий.
По окончании соревнований оказалось, что прав был лишь один
из зрителей, а двое других ошиблись. Как распределились места
между этими тремя спортсменами?
Домашнее задание
157.	Витя задумал двузначное число, в котором цифра десятков
в 2 раза меньше цифры единиц. Если цифры в этом числе переста-
вить, то полученное о б р а щ е н.н о е число будат на 36 больше
задуманного. Найти задуманное Витей число.
158.	В семи кружках расставлены числа от 1 до 7 так, что сумма
четырех чисел, расположенных в вершинах
каждого четырехугольника составляет 13
(рис, 45), Расставьте эти же числа так, чтобы
гумма четырех чисел в вершинах каждого
четырехугольника была равна 14, 15,16,17.
159.	Вася в 2 раза старше своей сестрен-
ки. Наташи. У Наташи было в 3 раза боль-
ше орехов, чем у Васи. Число орехов
у Наташи больше числа лет Васи на 35, а
Число орехов у Васи больше числа лет
Наташи в 3 раза. Сколько лет Наташе и
Васе? Сколько орехов было у каждого?
37
160.	Андрей» Борис, Виктор и Григорий состязались в пере-
тягивании каната. Хотя и с трудом, но Борис мог перетянуть
Андрея и Виктора, вместе взятых. Если с одной стороны стано-
вились Борис и Андрей, а с другой — Григорий и Виктор,
то ни та, ни другая команда не могла перетянуть канат на свою
сторону. Но если Виктор и Андрей менялись местами, Григорий
и Андрей легко побеждали своих противников. Кто из ,них был
самый сильный, кто занимал второе место, кто — третье и кто
был самый слабый?
3 А Н Я Т И Е 23
161	. «Через семь лет,— сказала Таня Гале,— нам с тобой вме-
сте будет 39 лет». «Когда тебе, Таня, было столько лет, сколько мне
теперь, ты была вдвое старше меня»,— добавила Галя. Сколько лет
Гале и сколько Тане?
162.	Имеются синие, красные и зеленые карандаши. Докажите,
что среди 13 наборов, состоящих из двух карандашей, обязательно
найдется по крайней мере 3 одинаковых набора.
163.	Найдите сумму:
1+5+3+8+5+11 +7+14+9+17 +11 +20+13+23+15+2.6.
164.	Пленника ввели в подземный лабиринт (рис. 46). При входе
ему сказали, что из подземелья есть еще только один открытый выход;
если он найдет его, то будет на свободе. Сказав это, стражники за-
хлопнули дверь» и пленник остался один. Ни один луч света не про-
никал в подземелье, В руках у пленника ничего не было, чтобы остав-
лять какие-то пометки; кроме того, пол и стены коридоров лабирин-
та были везде одинаково гладкими и сложенными из твердого мате-
I
Рис. 46
38
риала. До потолка не дотянуться рукой. Однако пленник» который
не знал плана подземелья, уверенно пошел вперед, и через некото-
рое время он был на свободе. Найти путь, по которому шел пленник.
Домашнее задание
165.	Колхозница принесла на базар корзину яблок. Первому
покупателю она продала половину всех яблок и еще 1 яблоко, вто-
рому — половину остатка и еще 1 яблоко, третьему — половину но-
вого остатка и еще 1 яблоко и т. д. Последнему — шестому — покупа-
телю она также продала половину оставшихся яблок и еще 1 яблоко,
причем оказалось, что она продала все свои яблоки. Сколько яблок
принесла колхозница для продажи?
166.	В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов,
причем в каждом ящике лежали яблоки только одного сорта. Мо-
жно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
167.	Какой цифрой оканчивается значение выражения:
17-27*37’47*57-67-77-87—1Ь21-31-4Ь5Ь6Ь7Ь81?
168.	Цифра единиц двузначного числа в 2 раза больше цифры
десятков. Если к этому числу прибавить 27, то получится обра-
щенное число (число с переставленными цифрами). Найдите
двузначное число.
ЗАНЯТИЕ 24
169.	При делении некоторого числа на 53 получится остаток,
равный 48. У делимого отбросили две последние цифры, и получен-
ное число стало делиться на 53 без остатка. Какие цифры были от-
брошены?
170.	Средний возраст 11 футболистов команды 22 года. Во время
игры 1 из игроков получил повреждение и ушел с поля. Средний
возраст оставшихся на поле игроков стал 21 год. Сколько лет футбо-
листу, ушедшему с поля?
171.	Рыбак поймал рыбу. Масса хвоста этой рыбы равна 1 кг,
масса головы такова, какова масса хвоста с половиной туловища,
а масса туловища равна массе головы и хвоста вместе. Какова
масса все® рыбы?
172.	Человеку надо переправить через реку волка, козу и кор-
зину с капустой. Лодка может выдержать только человека, а с ним
или только волка, или только козу, или только капусту. Оставить
волка и козу, а также козу и капусту никак нельзя. Помогите че-
ловеку перевезти волка, козу и капусту через реку.
Домашнее задание
173.	Оле было дано пятизначное число. К этому числу она долж-
на была прибавить 200000 и полученную сумму умножить на 3.
Вместо этого Оля приписала справа к этому числу цифру 2 и полу-
чила верный результат. Какое число было дано Оле?
39
174.	Кузнецу принесли 5 обрывков цепи по 3 звена в каждом
и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец, раскрыв только 3
звена, выполнил заказ. Как он это сделал?
175.	Расстояние между городами А и В равно 240 км, В 8 ч утра
из города А в город В выехал велосипедист, в это же время из го-
рода В в город А по той же дороге вышла автомашина. Через 4 ч
расстояние между мотоциклистом и автомашиной стало 80 км. Оп-
ределите время их встречи.
ЗАНЯТИЕ 25
476.	Арбуз стоит 10 коп. и еще пол-арбуза. Сколько стоит арбуз?
Л77. 4 птицы съели, 4 гусеницы за 4 мин. За сколько минут 10
птиц съедят 10 гусениц?
178. Горело 5 свечей. Две из них потущили. Сколько свечей
останется?
\/170. Костя отметил всего 6 точек, причем 5 точек он отметил
Внутри треугольника ЛВС, а 4 точки внутри треугольника MKD.
Как ой "это сделал?
180.	Перед вами верное равенство:
354-10—45=42+12—54.
4
Запишем его в другом виде: 5-7+5-2—5-9=6-7+6*2—6*9.
Применив распределительный закон, получим:
5-(7+2—9)=6*(7+2—9).
Разделим обе части равенства на одно и то же выражение (7+2—9),
получим 5=6. Итак, мы доказали, что 5=6. Где ошибка в нашем до-
казательстве?
181.	В квартире есть стенные часы с боем. Оци отбивают целые
часы (один удар в 1 ч, два удара в 2 ч, три удара в 3 ч йт. .д.) и
u . .. одним ударом, каждые полчаса.
।	‘ п	П * Сколько ударов в сутки делают
часы?
182.	Из спичек сложено чис-
. ।	ЭД	ло (рис. 47). Переложив спич-
У  т» c==sw ==i=a ки, уменьшите его в 3 раза.
рис. 47	183. Из спичек сложено ра-
венство (рис. 48). Как видите,
оно неверно. Как, переложив две
V	спички, сделать. это равенство
- верным?
। |] г  Il 184. Миша и Коля возвраща-
। в -	. Ц лись в село верхом на лошадях.
•	I II Не доезжа'я 500 м до села, они
П	решили устроить необычное
I	состязание: «Чья лошадь послед-
" > U	ней войдет в село, тот и выиг-
Рис. 48	рал». Прошло 15 минл а ни один
40
всадник йе сдвинулся с места. Мимо шел прохожий; узнав об усло-
виях этого соревнования, он дал ребятам совет: Через несколько
минут стал известен победитель. Какой совет дал ребятам прохожий?
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
(4 КЛАСС)
Занятия 1 и 2
Тема. Поиски закономерностей
Учебно-воспитательные цели. Не обладая математической общ-
ностью, упражнения этих занятий призваны наталкивать учащихся
на поиски правил, закономерностей, способов записи, построения
заданных или создаваемый «конструкций», последовательностей
чисел и т. п. Эти упражнения имеют цель как воспитательную^так и
разййвающую. Учителю, ведущему кружковые занятия, естествен-
но, необходимо видеть эти цели, заботиться об их достижении в про-
цессе работы. Мы в свою очередь напомним педагогу, на какую имен-
но из сторон учебно-воспитательного процесса необходимо обратить
внимание во время занятий.
Упражнения на данную тему призваны развить у учащихся, на-
блюдательность, интуицию, смекалку, потребность увидеть весь за-
ложенный в упражнения смысл, увидеть закономерность. Эти
упражнения не сразу даются учащимся и не всем с одинаковым успе-
хом. Они способствуют развитию трудолюбия, упорства в достиже-
ний конкретной цели.
В процессе выполнения предлагаемых упражнений эмоциональ-
Ное’напр^хкёние может меняться — наряду с возникшей досадой от
ряда неудачных проб и возникающим в связи с этим чувством не-
терпейия появляются радость от успехе©; уверенность в собственные
•СИЛЫ: Учитель,-Внимательно следящий за настроением учащих-
ся во время занятий, должен стремиться к наибольшему эффек-
ту --^раЙЕитиЮ у учащихся веры в свои силы. Эти свойства харак-
тера очейьг важно воспитать йа ранней ступени обучения и разви-
вать В дальнейшем, так как они и являются первыми ростками твор-
ческой,^ исследовательской работы и ведут к развитию интереса к
предмету. Четвероклассникам в связи с возрастными особенностями
-Лучше предложить эти упражнения в виде игры.
•  На первых порах^ успех учащегося не должен оставаться без вни-
мания. Учителю необходимо похвалить школьника, отметить его
среди успешно работавших и т. п. Вместе с тем не следует без конца
хвалить одного и того же учащегося. Зазнайство, которое может
возникнуть в результате постоянного захваливания, также вредно
Шйяет на развитие личности, в частности на развитие математичес-
ких Способностей.
-Методические указания. Начать занятие предоставляется полез-
ным с краткой беседы или рассказа учителя о натуральном ряде чи-
41
сел и его некоторых свойствах. Например, полезно обратить внима-
ние учащихся на такие свойства ряда натуральных чисел — Закс-?
номерность расположения их чисел в ряду такова, что числа в нем
идут в порядке счета предметов, каждое последующее число больше
предыдущего на единицу, начинается ряд с единицы. В натуральном
ряду найдется место для любого натурального числа. После этого
числа идет число, большее его на единицу, например за числом 33 401
вдет число 33 402.
Важно обратить внимание учащихся на бесконечность натураль-
ного ряда. Этот факт обозначается в записи с помощью многоточия:
Г, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .......
Можно задать 2—3 вопроса такого типа: «Какое число в нату-
ральном ряду идет непосредственно перед 10 000, после него?»
Здесь же уместна шутка: «Что означает запись «ОДТЧГЬЗ Как ее
продолжить?» Разгадка: О — один,. Д — два, Т — три и т. д.
В процессе работы выясняется смысл терминов «член последо-
вательности», «предыдущий член последовательности», «последую-
щий член последовательности», «последовательность».
При решении задач важно найти одну из возможных закономер-
ностей. Здесь приводятся наиболее естественные хотя возможны и
другие.
Решения
1.	Легко заметить, что первая последовательность получена
путем перестановки двух соседних членов натурального ряда: чет-
ные числа поставлены на нечетные места, а нечетные числа,— на
четные места.
Вторая последовательность получена из предыдущей путем при-
бавления к каждому члену числа 7, третья последовательность чи-
сел — путем умножения каждого члена на 2.
Учителю не следуёт давать учащимся сразу все три последова-
тельности, их следует записывать на доске по мере выполнения за-
дания, выделяя для этого необходимое время на обдумывание. По-
лезно поставить вопрос: «Будут ли данные последовательности на-
туральными рядами чисел?»	‘	1
2.	Способ составления последовательности следующий:, пер-
вые два члена равны 1, каждый следующий равен сумме двух пре-
дыдущих.
3.	а) В первой клетке первого ряда находится число 34, а каждое
следующее число в этом ряду больше предыдущего на 3. Каждое
число каждого столбца на 1 больше предыдущего (или числа в каж-
дом столбце идут в порядке счета).
Можно дать и другое правило размещения чисел в клетках таб-
лицы: в каждом столбце расположены числа в порядке счета, .при
этом первый столбец начинается с числа 34, а каждый следующий
столбец начинается с числа, которое стоит в конце предыдущего
столбца.
42
б) Числа идут в порядке счета, начиная
с числа 61. Их расположение показано на
рисунке 49 стрелками.
4.	В невисокосном году — 52 полные
недели и еще 1 день. Так как в году 53
вторника, то этот год начинается и закан-
чивается вторником. Ответ: 1 января был
вторник.
5.	а) Числа первой последовательности
получаются путем умножения членов нату-
рального ряда самих на себя.
б)	Чтобы получить вторую последова
тельность, надо каждое число натурального ряда умножить на 3
и прибавить 1.
6.	а) Числа идут в порядке счета, начиная с числа 17. Их поря-
док расположения показан на рисунке 50 стрелками. Пропущены
числа: 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.
б) Первое число 33, каждое следующее больше предыдущего на
2. Их порядок расположения показан на рисунке 51 стрелками. Про-
пущены числа: 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63.
Рис. 49
(£/)	41	35	J5
	43	31	39
(55)	45	41	49
^7)	(59)	(gf)	(ft?
Рис. 50
Рис. 51
7.	1973, 1974, 1975 годы — невисокосные, значит, с 1 января
1973 года по 31 декабря 1975 года пройдут 156 полных недель (52 х
X 3=156) и еще 3 дня: понедельник, вторник, среда. Отсюда 1 января
1976 года — четверг; 1976 год високосный. В нем 52 полные недели
и еще 2 дня: четверг и пятница. Следовательно, 1 января 1977 года—
суббота.
8.	Правило нахождения числа, помещенного в окошке чердака,
следующее: надо сложить числа, указанные на окнах дома, и из по-
лученной суммы вычесть число, указанное на двери:
72+27—43=56;	34+21—19=36.
Следовательно, искомое число равно 87, так как 315+261—
—489=87.
9.	Чтобы получить число, находящееся в средней' клетке,
надо к сумме цифр числа левой клетки прибавить сумму цифр числа
правой клетки:
12+7=19;	8-3=11.
Отсюда искомое число равно 15, так как 5+10=15.
43
£	10. 1-й способ рассужде-
ния. Если бы муравьишка проехал на
^**4.	гусенице расстояние в 4 раза большее,
чем он проехал на самом деле, то ему на
В	к этот ПУТЬ потребовалось время в 4 раза
& Jr	больше, т. е. 112 мин (28-4=112). Так
как скорость жука в 7 раз больше ско-
рости гусеницы, то время, затраченное
рис. 52	жуком на этот путь, должно быть в 7 раз
меньше, т. е. 16 мин (112:7=16).
2-й способ рассуждения. Если бы муравьишка
ехал на жуке тот же путь, который он проделал верхом на гусенице,
то он затратил бы на него в 7 раз меньше времени, т.е. 4 мин (28 : 7=
=4). Но на жуке он проехал расстояние в 4 раза большее, и сле-
довательно, на жуке муравьишка ехал. 16 мин (4-4=16).
11. Одной из отмеченных точек является точка пересечения
данных прямых. Эта точка будет лежать как на одной, так и на дру-
гой прямой (рис. 52).
f2. FlepiBoe число 5. Для получения каждого последующего чи-
сла надо предыдущее число умножить на’З и из полученного произ-
ведения вычесть 1. Вместо звездочки надо поставить число 365.
13. В правом полукруге по движению часовой стрелки располо-
жены числа, которые получены из натурального ряда чисел путем
умножения каждого числа самого на себя. В каждом секторе левого
полукруга расположены числа на 1 меньше, чем число, находящееся
в противоположном секторе. Недостающие числа: в Правом полукру-
ге 16, в левом полукруге 24.
14. Если от каждого калача отрезать 10 г теста, то из этих .200 г
теста (10-20=200) можно сделать 5 булочек (25—20=5). Следова-
тельно, на каждую булочку идет 40 а теста (200 5==40) . Отсюда всего
теста было 1 кг (40*25=1000).
Занятия 3 й 4
Тема. Римские цифры
Учебно-воспитательные цели. В программу курса математики
4 и 5 классов входит лишь десятичная система,счисления. Притом в
учебниках этих классов внимание учащихся не останавливается на
системах счисления, хотя в пункте 87 дополнительного§12 «Как лю-
ди научились считать» в качестве «свободного чтения» для учащихся
рассказывается о различных обозначениях чисел, в том числе о при-
мерах записи чисел в римской, славянской и, наконец, арабской
позиционных системах, о записи дробей в древнем Египте и пр.
Прочитав этот пункт учебника, учащийся может с интересом вос-
принять содержание занятия.
Цель занятия — более подробное ознакомление учащихся с'рим-
скими цифрами и их использованием на практике. Дело в том, что
римские цифры, несмотря на неудобство использования, не выходят
44
из употребления, и культурному человеку необходимо в известной
степени уметь ими пользоваться. Эти цифры.употребляются для за-
писи номеров месяцев года, номеров томов и главкниг и т. ц>/Есте-
ственно, что учащийся должен быть готов к восприятию таких
записей — уметь записывать римские цифры и правильно их пони-
мать/В этом заключается образовательное и воспитательное зна-
чение рассматриваемой темы занятий на кружке. Тема доступна по-
чти всём учащимся, й желательно пригласить как можно больше
учащихся на занятия по этой теме.
Методические замечания. Занятие хорошо начинать с неболь-
шого, на 10—15 мин доклада одного из учащихся. В этом докладе
целесообразно осветить историю возникновения цифровой письмен-
ности ряда народов. После доклада или во время его желательно
продемонстрировать диафильм1.
В беседе учителя, которая может последовать после доклада уча-
щегося и демонстрации диафильма (или вместо них), следует на-
помнить учащимся об арабской (или индийской) системе счисления
и обозначении цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Изобрели эту систему
индийцы, а арабы познакомили европейцев с этим изобретением в
начале XIII в. Затем важно сообщить учащимся о практическом ис-
пользовании римских цифр (их всего семь).
Значения римских цифр в десятичной системе счисления.
Римские цифры	I	V	X	L	С	D	М
Их значения	1	5	10	50	100	500	1000
Происхождение римских цифр связано с соответствующими ла-
тинскими словами, которые играли роль цифр: I — «и», V — «вэ»,
X — «Икс», L — «эль» С — «це», D — «де», М — «эм». С помощью
этих букв, которые выполняли роль цифр, записывали любое число
до миллиона. В наше время римские цифры употребляются на ци-
ферблатах часов, нумераций-томов, глав, разделов книг, записи дат
событий и т. д.
* При записи чисел римские цифры располагаются, как правило,
£ порядке старшинства, но иногда этот порядок меняется, так как
правило предусматривает, что одна и та же цифра не должна повто-
ряться в записи числа более трех раз подряд.
' ' Таким образом, в римской, в общем-то непозиционной, системе
счисления имеются определенные зачатки позиционной системы.
На этом занятии кружка учитель подробно излагает общепри-
нятую систему записи и чтения римских чисел.
Один, два, три — записываются соответственно так: I, II, III,
(т. ё. бдна единица, две единицы, три единицы). Четыре записывается
471£м.: В. С. Солодовников. Как люди научились считать. М.. сту-
«Диафильм», 1967.
45
IV: единица, поставленная слева, вычитается от пяти. Единицыже,
поставленные справа, прибавляются, поэтому шесть, семь и восемь
записываются так: VI, VII, VIII.
Девять записывают как IX (от десяти отнимается единица);
одиннадцать, двенадцать, тринадцать и т. д. записываются так:
XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, .XVIII, XIX и т. д.
Чтобы узнать, какое число записано римскими цифрами, доета-
точно сложить значения всех его цифр; при этом, если младшая
цифра окажется перед старшей, то значение этой младшей цифры
вычитается из значения старшей.
Пример 1. X X XV11= 10+10+10-+-5+1+1 =37.
CLXIII = 1004-50+10+H-l + l = 163.
XL=50—10=40.
CXL=100+(50—10)= 140.
Пример! 102=100+1 + 1=011.
374= 100+100+100+50+10+ 10+(5—1)=*
=CGCLXXIV.
Большое число, например 29 635, записывается следующим об-
разом:
ХХ1ХЛ DCXXXV
Маленькая буква т обозначает слово «тысяча», которое произо-
шло от латинского слова mi Не («милле» — «тысяча». Обцчно она за-
писывается ниже, как индекс).
Римская нумерация, хотя и экономна (с помощью5 семи цифр
записываются числа до миллиона), но очень неудобна: сравнитель-
но небольшие числа записываются длинно, и никакого облегчения
при вычислении не получается: арифметические действи^ письмен-
но производить очень неудобно, поэтому практически. приходится
считать устно.
Решения
15.	Ответы: 22, 34, 514, 1666, 500 009, 1146.
16.	Ответы: XXIV, XLVIII, MGMXXXVII, CDXLIV,
MMMDXXVII, CLXXXIII^ DCXCIII.
17.	Дети очень любят эту игру. На вид она очень простая, но
это совсем не так. Больше всего ошибок бывает в случае, когда два
раза подряд вместо чисел 27 и 28 приходится говорить слово «бум».
Трудность подстерегает и в случаях 35, 37 или 47, 49. Игра проходит
быстро и оживленно. Она воспитывает у учащихся внимание.
18.	Ответы: 34, 29, 421, 903, 1945.
19.	Ответы: XLIX, DLXXIV, MCXLVII, MCMLXXIV, VJII
или MMMMMII1.
20.	В каждом ряду должно быть 3 вида фигур и 3 типа окраски.
Ответ: 4.
21.	Необходимо снять спички, изображающие кольцо ключа,
и расположить их так, как показано на рисунке 53.
46
22.	С помощью цифр I, V, X можно записать все
числа от 1 до 39 включительно, т. е. 39 чисел. Чис-
ло сорок уже записывается с помощью цифры L, а
именно XL.
23.	Ответ: VI+V=XI.
24.	Среднюю фигуру нельзя движением по плос-
кости совместить с другими.
25.	Вторую половину пути из школы до дома Бу-
ратино ехал столько времени, сколько он бы затратил
пешком на весь путь. Значит, на всю дорогу из школы
до дома он затратил больше времени, чем на дорогу
от дома до школы, независимо, с какой скоро-
стью он двигался на первой половине обратной до-

роги.	Рис. 53
26.	X—IX или V—IV—1. Перекладыванием одной
спички превратить цифру V в цифру X или цифру X в цифру V.
27.	Лишняя фигура д. Если все остальные фигуры повернуть
«вниз головой», то они не изменят своего положения.
Работа на
Змин
15 мин
2 мин Змин
J 5мин Змин
15 мин
\2 мин Змин
Работа на
И станке
\3мин3мин
15 мин
2мин 2мин Змин
Условные обозна чения:

Работа рабочего по закреплению детали

Работа рабочего по снятию детали
Работа станка
Простой
Рис. 54
28.	Процесс работы на втором станке сдвинется по времени на
5 мин (3+2=5). Это видно из схемы на рисунке 54. Значит, на обра-
ботку потребуется 20-10+5=205 мин, или 3 ч 25 мин.
Занятия 5 и 6
Тема. Расшифровка записей
Учебно-воспитательные цели. Один из элементов развития куль-
туры человека — чтение и запись условных выражений. Конечно,
47
для этой цели требуются определенные навыки мышления? Это мы-
шление требует применения определенного алгоритма, логический
разгадки, умения выявить существующую закономерность. *•
Вместе с тем тематика упражнений, связанных с расшифровкой
и зашифровкой, в некоторой степени носит увлекательный характф,
прививает интерес. В качестве примера, укажем интерес люд£й
разного возраста к разного. рода ребусам, кроссвордам и др. ।
Тематика 5-го и 6-го занятий кружка имеет вполне определенные
математические цели. Так, с помощью квадратной решетки учащее-
ся подготавливаются к изучению поворота фигур вокруг T04idta.
В дальнейшем учащиеся выполняют ряд упражнений на действуя
с числами. Цель этих упражнений — лучшее усвоение законов; и
алгоритмов действий, понимание зависимости между компонентами.
Все это, несомненно, повышав! культуру вычислений и развивает
навыки- счета.
Методические замечания. Занятия на тему «Расшифровка запи-
сей» хорошо начать с рассказа о пользовании тайнописью
революционеров-подпольщиков. Для этого они применяли особые
способы письма, зашифровывали свои записи. Такие способы письма
называют тайнописью или криптографией. Мы ознакомили учащихся
с одним из таких способов зашифровки записей с помощью так на-
зываемой квадратной решетки. Все задачи этой темы связаны с квад-
ратными решетками. Возьмем квадрат со стороной в 10 клеток и
вырежем окошки так, как показано на рисунке 55. Зашифруем с по-
мощью этой квадратной решетки следующую запись:
Следующее занятие математического кружка состоится через
неделю, двадцать пятого октября в двенадцать часов дня.
С этой целью наложим квадратную решетку на чистый лист бу-
маги и, вписывая в каждое окошко по одной букве, запишем первые
25 букв текста (рис. 56). Далее, повернув квадратную решетку на
Рис. 55	Рис. 56
43
' „с л е ё
ск о д г	у	о
ю к р Щ
у ж к	в	а
е 3 а с
н я от и в
м о с т т
о ей т см
а я т
чие р е ¥
Рис. 57
з	с	5	л	е	р	е	я	н	.$
с	к	е	о	д	г	д	у	до
едюекнлращ
д	ю	у	ж	ц	к	д	е	в	а
а вдзцаааст
н	т	я	ь	о	т	'п	и	я	е
ьмтач с астт
,о. ооеивтгс.м.
даояноятбс
ч и в к р ё /л е /7 ч
—	-1.1 — —.	|»||
Рис. 58
четверть оборота по направлению дв и ж е-
ния часовой стрелки, продолжим таким же образом
записывать текст. Получим следующую картинку (рис. 57). Чтобы
продолжить запись, снова повернем квадратную решетку еще на
четверть оборота по направлению движения часовой стрелки. За-
писав следующие 25 букв текста, мы вновь повернем решетку на
четверть оборота в том же направлении и запишем оставшиеся 22
буквы. Чтобы заполнить все клетки решетки (иначе расшифровать
запись будет легче), вставим конец нашего текста слово «все» (ко-
нечно, можно поставить любые три буквы). Получим наш текст в за-
шифрованном виде (рис. 58).
Как видно из рисунка 58, полученную запись, не зная секрета,
прочитать очень трудно. Чтобы расшифровать ее, надо знать распо-
ложение окошек в квадратной решетке.
Квадратную решетку нетрудно изготовить самому. Чтобы разо-
браться в правилах ее построения, следует-решить чй^едлоЖ^нные
упражнения.
Решения
29.	При изготовлении квадратной ршетки прежде всего. ьнаДо
уметь находить соответственные клетки квадрата при'Шо п^Цфотах
на 9СГ. Другие клетки решетки,^роме,.уже вдаёзанны^^не'м^ут
служить окошками. Такие клетки'fe рисунке бУ'Отмечряй'одигйкЬ-
выми числами. Сережа как раз вырезал две пары таких сей
венных клеток, и поэтому при.заа
зетст-
ровке записи буквы будут пе-
SUM*
рекрывать одна другую.
30* См. объяснение к предыдущему упражнению.
31. Так как квадрат поворачивается :4 раза, то;
а^для квадрата со стороной в 10 клеток надо вырезать 10 х
X 10 : 4=25 клеток;
<9
1	2	J	4	5	6	7	1
7	8	9	10	11	12	8	2
6	12	13	19	15	13	9	3
£	11	15	16	16	19	10	9
4	10	14	16	16	15	11	§
3	9	13	15	19	13	12	6
2	8	12	11	10	9	в	7
1	7	6	§	4	3	2	1
Рис. 59
б) для квадрата со стороной в
8 клеток надо вырезать 8-8 : 4=16
клеток;
в) для квадрата со стороной в 16
клеток надо вырезать 16-16 : 4=64
клетки.
32.	Квадратная решетка, сде-
ланная Ниной, считается плохой,
так как окошки, вырезанные под-
ряд, дают возможность прочесть
сразу целое слово или его большую
часть, т. е. запись, зашифрованную
этой решеткой, гораздо легче раз-
гадать.
33.	В этой задаче надо догадать-
ся, что время прохождения поезда
по мосту начинается с момента выезда на мост тепловоза и кончается
моментом прохождения по мосту последнего вагона поезда. Поэтому
расстояние, которое проедет за это время тепловоз, будет равно 450+
+225—675 м. Скорость поезда: 54 км/ч=54000 л</ч=900 м/мин~
= 15 м/с. Следовательно, время прохождения поезда по мосту
равно: 675 15=45с.
34.	Зашифрована следующая запись: «Пройдет немного времени,
и недоучки, не знающие математики, не смогут работать ни на за-
воде, ни в колхозе, ни на транспорте. Это слова академика С. Л. Со-
болева».
При расшифровке записи текст разбивается на 2 квадрата. Сна-
чала расшифровывается запись в первом квадрате, а потом — во
втором.
36.	а) Разность между пятизначными и четырехзначными чис-
лами может быть равна единице лишь в том случае, когда четырех-
значное число стоит при счете непосредственно перед пятизначным,
т. е. 10 000—9999=1.
б) Одно из искомых чисел должно быть четное, а другое — не-
четное. Одно из слагаемых должно быть меньше, чем 200 : 2=1000,
и больше, чем 1996 2=998. Следовательно, ответ: 998+999, или
999+998.
37.	За 7 мин голова гусеницы проползает 3-7=21 см,. Это рас-
стояние складывается из длины участка ветки и длины гусеницы:
21—15=6 см.
38.	а) Очевидно, что буква М означает цифру 1, так как сумма
трехзначного и четырехзначного чисел может дать число пятизнач-
ное, только начинающееся с 1. Отсюда вытекает, что Х=9. Кроме
того, сумма двух равных однозначных чисел может оканчиваться
на ту же цифру только тогда, когда цифра равна 0; значит,
Z=0.
(Проверьте: 1 + 1 = 2; 2+2=4; 3+3=6; 4+4=8; 5+5=10; 6+6=
= 12; 7+7=14; 8+8=16; 9+9=18.)
50
Отсюда получаем:
9У 9 О
У 9 О
10 1 /СО
Теперь легко убедиться, что /С—8, У=5. Ответ: 9590+590—
= 10180.
б) Рассуждаем так: число, записанное тремя одинаковыми цифра-
ми С, может делиться на число С и на число 111. Число 111 может
делиться только на 3 и на 37. Отсюда легко видеть, что второй одно-
значный множитель Л=3. (Л=#С, так как по условию одинаковые
цифры обозначаются одинаковыми буквами.) Получаем ЗВ-3=ССС.
Отсюда легко найти, что В=7, а С=1, т. е. 37-3=111.
39.	Надо из произведения чисел, помещенных в квадратах, вы-
честь число, записанное в кружочке:
5-8—13=27;	10-8—7=73.
Следовательно, в квадрат надо записать число 953, так как 41 X
•х24—31=953.
40.	Каждый треугольник, кроме фигуры D, можно получить
один из другого поворотом. Отсюда лишняя фигура £).
41.	Найдем скорость поезда: 450 : 15= 30 м/с. Тогда «голова»
поезда пройдет за 35 с расстояние 30-35=1050 м. Следовательно,
длина моста равна 1050—450=600 м.
42.	Трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами,
может делиться на эту цифру, на число 3 и на число 37. Из произ-
ведения ВА- К=ААА получаем В А -/С=4-3-37, так как 37-/С=777
ни при каких Я. Отсюда ВД=37-2=74. Значит, 74-Л=444 и К=6.
Теперь легко восстановить всю запись:
6 С £6 4, или £ = 2,
и, наконец, 74-936= 69 264.
Рис. 60	Рис. 61
51
43.	66+66+66+66=264.
44.	Порядок размещения чисел в клетках квадрата ибказай на
рисунке 60. При этом первое число 9, а каждое следующее на 3 еди-
ницы больше предыдущего. Теперь легко заполнить все пустые
клетки квадрата. Получим следующую таблицу:
57	60	63	66	69	72
114	21	» " 24	27	30	чг • 75
111	54	9	12	аз	78
108	51	18	15	36	81 Л
105	48	45	42	39	84
102	99	96	93	90	87
45.	Выполнение этого упражнения показано на рисунке 61.
Занятие 7
Тема. Числа-великаны
Учебно-воспитательные цели. Важным элементом развития
учащихся служит жизненно-наглядное представление о больших
числах. Это необходимо для тогог чтобы конкретнее представлять
многие сведения из географии, биологии, истории, физики, астро-
номии и др. С большими числами часто приходится встречаться и в
повседневной жизни.
Методические указания. Занятие полезно начать с известной
легенды о награде изобретателю шахматной игры.	3
Шахматная игра была придумана в Индии. По преданию, индий-
скому принцу Сираму эта игра очень понравилась, и ди захотел
щедро наградить ее изобретателя. «Проси, что хочешь. Я Достаточно
богат, чтобы исполнить твое самое смелое желание»,—сказал принц
изобретателю шахмат — ученому, которого звали Сета.
Изобретатель сказал, чтобы ему в награду дали столько зерен
риса, сколько получится в сумме, если на первый квадрат шахматной
доски положить 1 зерно риса, на второй — 2 зерна, на третий — 4
зерна и т. д., увеличивая число зерен каждый раз вдвое. Принц рас-
смеялся такой, по его мнению, дешевой награде и приказал немед-
ленно выдать учёному рис за все 64 квадрата шахматной доски t
52
Но награда в таком размере не была выдана изобретателю, так как у принца не нашлось такого количества зерна, которое по-							
просил шутник-ученыи. Если произвести подсчеты, то: за 1-ю клетку— 1 зерно				за	9-ю клетку—		256 зерен
»	2-ю	«—» — 2	зерна	»	10-ю	«—» —	512 «—»
»	3-ю	«—» — 4	«—»	»	11-ю	«—» —	1024 зерна
»	4-ю	«—» .— 8	зерен	»	12*ю	«—» —	2048 зерен
»	5 ю	«—» — 16	«—»	»	13-ю	«—» —	4096 «—»
»	6-ю	«—» — 32	зерна	»	14-ю	«—» —	8192 зерна
»	7-ю	«—» *— 64	«—»	»	15-ю	«—» —	16 384 «—»
»	8-ю	«—» — 128	зерен	»	16-ю	«—» —	32 768 зерен
Мы видим, что число зерен стало очень быстро увеличиваться:
уже за 17-ю клетку надо было заплатить 65 536 зерен, а за 18-ю
клетку — 131 072 зерна.
Полный подсчет показывает, что изобретателю надо было выдать
за все 64 клетки столько зерен риса:
18 446 744 073 709 551 615.
Для чтения этого числа надо знать, что пятый класс носит на-
звание «триллионы», шестой класс — «квадриллионы», а седьмой
класс —.«квинтиллионы».. Тогда это число читается с помощью 22
слов: «восемнадцать квантиллионов четыреста сорок шесть квадрил-
лионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда
семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шесть-
сот пятнадцать».
Математики подсчитали, что все это зерно будет иметь массу
около 700 мдрд. Если, его рассыпать по всей земной суше, то об-
разовался бы слой риса толщиной около 1 см. Вот почему принц не
мог выдать такую награду изобретателю шахмат.
Ну, конечно, двадцатизначное число очень большое. А велико
ли число миллиард? Для его записи требуется всего 10 цифр. По-
пробуем решить задачу 46.
Решенгш
46.	Пр нашему условию, сосчитать до миллиарда человеку по-
требуется 1 000 000 000 100—16 000 000 мин, или (16 000 000 : 60—
= 166 667), т. е. примерно 170 000 ч, или (170000 : 24=7000) около
7000 суток, т. е. более 16 лет беспрерывного счета. Если же человек
будет считать по 8 ч в день, то ему понадобится около 50 лет жизни.
Если же учитывать, что человек не может считать с такой скоро-
стью, то ему понадобится еще больше времени.
47.	Ракета будет лететь 60 : 10= 6 млн. с, или около 1667 ч,
что составляет примерно 70 суток. Так как скорость самолета
1000 км/ч, то на все расстояние ему потребуется 60 000 ч, или
2500 суток, т. е. примерно 7 лет.
53
48.	250 000 000-50=12 500 000 000 см, т. е. 125 000 км.
49.	5+6-7—8=39.
50.	8848 : 4=2212 этажей.
51.	MCMLXVI 1 = 1967. В 1967 году отмечалась 50-летняя го-
довщина Великой Октябрьской социалистической революции.
52.	Из условия
ЛУГ
УЖ
ЛАД
вытекает, что Л = 0.
Из условия
ЕЖО
получаем, что Е = 1, отсюда
ЮГ	, ЮГ
ЕЖА	+1Ж0
=г~=: принимает вид	, откуда вытекает,
что Ж—2. После этого данное выражение будет выглядеть так:
ЮГ
1 2 0
2 1 Г,
откуда находим, что /О—9.
Подставляя найденные значения букв в условие, получаем:
ЛУГ— У2=Л0Д
‘ 9Г+ 12 0= 2 1Г-
Из действия сложения в среднем столбце записи, получаем, что
Р=8. Заметим, что в первом столбце, умножая число 9Г на Г, мы
получаем произведение, оканчивающееся на ту же цифру Г. Следо-
вательно, учитывая, что средняя строка имеет вид Г-Д8=288, по-
лучаем: Г=6. Теперь легко восстановить всю запись:
576— 72 = 504
6 - 48 = 288
96+ 120 = 2 16
58. Февраль невисокосного года не может иметь 5 воскресений.
Если же год високосный, то февраль будет иметь 5 воскресений в
том случае, когда 1 февраля — воскресенье. Апрель, июнь, сентябрь
и ноябрь имеют по 30 дней. Эти месяцы могут иметь по 5 воскресений,
если 1-го или 2-го числа — воскресенье. Остальное месяцы имеют
31 день. Значит, если в них 1-е, 2-е или 3-е число — воскресенье,
то и месяц будет иметь 5 воскресений.
54
З анят и е 8
Тема. Конечные и бесконечные множества
Учебно-воспитательные цели. Основные теоретико-множествен-
ные понятия вводятся в 4 и 5 классах в основном для уточнения
математического языка, их изучение не является самоцелью.
В 4 классе учащиеся знакомятся с конечными множествами. Очень
мало примеров бесконечных множеств в 5 классе. В 6 классе при изу-
чении геометрии учащиеся встречаются в основном с бесконечными
множествами и действиями над ними. Как показал опыт, такое рас-
пределение примеров конечных и бесконечных множеств по классам
вызывают большие затруднения у шестиклассников. Кроме того, у
них создается ложное впечатление, что бесконечные множества отно-
сятся лишь к примерам из геометрии. Ликвидация указанного раз-
рыва — актуальная методическая задача. Поэтому целесообразно
отработать эту тему на внеклассных занятиях.
Таким образом, целью занятия является ознакомление учащихся
с примерами как конечных* так и бесконечных множеств.
Методические замечания. На этом занятии никаких теорети-
ческих вопросов рассматривать не надо. Достаточно привести при-
меры конечных множеств, число элементов которых определяется
вполне конкретным натуральным числом, и бесконечных множеств,
в которых не может стоять вопрос о числе элементов.
Например, множество учащихся школы — конечное множество.
Действительно, это множество можно задать списком и установить
число учащихся (элементов множества).
Множество зерен пшеницы в товарном вагоне — конечное мно-
жество. Число зерен пшеницы, составляющих содержимое вагона,
тоже можно указать. Правда, здесь мы сталкиваемся с определен-
ными техническими трудностями: чтобы пересчитать эти зерна, надо
иметь много людей или затратить очень много времени, может быть,
.брлыцц продолжительности жизни человека. Зато можно сразу ука-
зать число,; которое превышает число зерен пшеницы в вагбне.
Множество чисел натурального ряда — бесконечное множество,
тдк как очевидно, что процесс перечисления элементов этого множе-
ства никогда не будет законченным.
Множество точек на отрезке — также бесконёчное множество.
Решения
54.	А — конечное множество, так как можно сосчитать число
всех пятизначных чисел. Число элементов этого множества равно
90 000.
В — конечное множество. Хотя практически сосчитать число
песчинок нельзя, но теоретически это возможно.
С, D и Е — множества бесконечные.
Е— множество бесконечное, так как впереди двадцати нулей
можно написать любое число, а натуральных чисел бесконечно
много.
М — множество конечное.
Хотя практически сосчитать
подряд всех пионере© трудно,
но иметь список всех пионе-
ров на данный моментцсе-таки
возможно.
Р — бесконечное множе-
ство.
55.	Из условия:
видно, что при умножении
трехзначного числа на 8 полу-
чается трехэначное число. От-
сюда. заключаем, что? первый
множитель может начинаться
с цифры 1, вторая цифра это-
го числа может быть, илк.1,
или 2 и, наконец, третья циф-
ра иди 5, или 0.
Вариант 125-8 не подхо-
дит, так как. получается четы-
рехзначное число, вариант 110
также не подходит, так как
при умножении числа ПОгна
любое другое число не полу-
чится четырехзначное число
(ем. условие *—****);Оста-
ется принять, что первый мно-
житель 115 или 120. п
/При умножении 115 или
120 на однозначное число мо-
жет получиться четырехзнач-
ное число только в том случае,
когда,- второй множитель ра-
вен 9. Следовательно, задача
имеет, два решения;
920
+ 1035
11270
1080
1 1760
56.	Отметим все «битые»
поля крестиком и, начиная
разбирать задачу с конца, лег-
ко находим путь коня (рис. 62).
58. Условие задачи удобно
записать в таком виде (рис.63).
56
Теперь нетрудно в полученные
фигуры вставить искомые цифры
(рис. 64).
Эту задачу можно решать и с -
помощью уравнения. Пусть мень-
шее слагаемое х, тогда большее'
Юх+9, отсюда:'
10х+9+х—305216; х^27837.
59. Решёйке задачи удобнее
рассматривать с конца. Чтобы
начинающему игроку сделать ход.
на клетку h8, надо,’ чтобы до это-
тс хода шашка была на полях;'
/г 7, ql или э для этого Иеоб4
ходимо, чтобы шашка начинаю-
щего^ была на одном из полей
/8, fe6 (йа рисунке 65 белым
кружком отмечено положение
ша-шек Начинающего; а черным —
положение шашек противника).
Другое положение шашки начи-
нающего, например на поле 67,
приводит к проигрышу. Чтобы
начинающему попасть на эти
поля, противник должен быть на
одном из полей е8' е7, /7, §6,
g5, а следовательно, шашка
начинающего должна быть перед
этим "ходом противника на по-
лях й8;*/6; М. Отсюда Предыду-
щее положение противника дол-
жно быть йа* одной из клеток c8t
с7, d7; еб, е5, /5, д4, g3, ЛЗ
(рис.- 66): Рассуждая таким об-
разом дальше, приходим к выво^.
ду, что для выигрыша шашка	игрока должна
диться на одном из полей, отмеченных на" рисунке 67.
60^ Ответ. Около двадцати С половиной лет.
нахо-
Занятия 9 и 10
Тема. Принцип Дирихле
Учебно-воспитательные цели. Для изучения математики в по-
следующих классах, а также в практике повседневной жизни очень
важно воспитывать у учащихся умение ставить в однозначное соот-
ветствие элементы одного множества к элементам другого множест-
ва. Умение составлять такое соответствие служит целям всесторон-
57
него развития мышления учащихся, умению на практике видеть
приложения весьма абстрактных и общих математических теорий.
В обиходе этот принцип называют принципом размещения
вещей в ящиках. По существу, дело сводится к установлению соот-
ветствия между элементами конечных множеств.
Методические замечания. Занятия надо начать с конкретных
примеров, в которых могут встретиться равночисленные и неравно-
численные множества.
Рассмотрим пример с чашками и блюдцами. При установлении
соответствия между множеством чашек и множеством блюдец, мы
можем встретиться с тремя возможными случаями:
а)	на каждое блюдце поставили по одной чашке, и у нас не ос-
талось ни одного свободного блюдца и ни одной свободной чашки;
б)	расставили все чашки, остались свободные блюдца;
в)	заняли все блюдца, остались лишние чашки.
В. первом случае говорят, что между множеством чашек и мно-
жеством блюдец установлено взаимно однозначное соответствие. Дей-
ствительно, каждому блюдцу соответствует одна и только одна чаш-
ка, и, наоборот, каждой чашке соответствует одно и только одно блюд-
це. Число элементов одного множества равно числу элементов дру-
гого множества. Про такие множества говорят, что они равночис-
ленны.
Во втором и третьем случаях установить взаимно однозначное
соответствие между множеством блюдец и множеством чашек нель-
зя. Число элементов одного множества больше числа элементов дру-
гого множества. Множества неравночисленны.
О равночисленное™ и неравночисленнссти множеств можно го-
ворить лишь тогда, когда имеем дело с конечными множествами.
Таким образом, взаимно однозначное соответствие можно установить
между двумя конечными множествами только в том случае, когда эти
множества равночисленны. На рисунках иногда элементы множеств
изображают в виде точек, а соответствие между ними указывают с
помощью стрелок (рис. 68).
Если в множестве А меньше элементов, чем в множестве В, и
все элементы этих множеств участвуют в соответствии, то обязатель-
но от некоторых элементов множества А должно исходить более од-
ной стрелки (рис. 69). Это свойство неравночисленных множеств по-
Я	МА	в
Рис. 68	Рис. 69
58
лучило название принципа Дирихле, по имени известного не-
мецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805—1895).
Принцип Дирихле часто формулируют в простой форме так:
«Если вещей у нас больше, чем ящиков, по которым мы хотим их
разложить, то по крайней мере в одном из ящиков должно быть
две или большее число вещей».
Иногда этот принцип высказывают в шутливой форме:
«Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каж-
дой клетке находилось не больше двух зайцев».
Значение принципа Дирихле поясним на решении задачи.
Задача. В городе Н имеется 200 тыс. жителей. Докажите,
что в городе Н имеется по крайней мере 2 человека с одним и тем же
числом волос на голове. Известно, что на голове у одного человека не
больше 100 000 волос.
Для решения задачи распределим жителей по группам: к первой
группе отнесем жителей, не имеющих на голове волос; ко второй—
жителей с одним волосом, к третьей — жителей с двумя волосами
и т. д., к последней группе относятся жители, которые имеют на го-
лове 100 000 волос.
Мы получили конечное множество таких групп, число элементов в
этом множестве равно 100001. (Элементы этого множества пусть
играют роль ящиков.) С другой стороны, множество людей, прожи-
вающих в городе Н, также конечное множество, их число 200 000.
(Элементы этого множества пусть играют роль вещей.) Следователь-
но, обязательно встретится группа людей, в которой не меньше
двух людей. (Вещей у нас больше, чем ящиков.)
Решения
61.	Так как в году не больше 366 дней (число клеток), а в школе
учится 400 учащихся (число зайцев), то, согласно принципу Ди-
рихле, обязательно найдутся по крайней мере 2 ученика, отмечаю-
щие свое рождение в один и тот же день.
62.	Распределим ящики по группам. К первой группе отнесем4
ящики, в которых нет апельсинов; ко второй группе — ящики с од-
ним апельсином и т. д.; в последней группе будут ящики, в которых
находится 120 апельсинов. Получили 121 группу. В самом крайнем
случае пусть в каждой группе находится по 2 ящика, тогда будем
иметь 242 ящика. Но по условию задачи имеется 300 ящиков. Те-
перь, согласно принципу Дирихле, найдется группа, в которой бу-
дет 3 ящика.
63.	Задач а-шутка. Под словами «две матери» и «две дочери»
можно подразумевать трех человек: бабушку, маму и дочку.
64.	Задача- шутка. Взять второй сосуд, перелить его со-
держимое в пятый сосуд и поставить на прежнее место.
65.	Задача, аналогичная задаче 62 из упражнений для коллектив-
ной работы. Достаточно учащихся распределить по группам: I —
учащиеся, написавшие диктант без ошибок; II — учащиеся, сде-
59
лавшие в диктанте ,1 ошибку, Ш — учащиеся, сделавшие в диктанте
2 ошибки, и т. д.
66* 1-й способ.. Используем вначале второе условие задачи.
Пусть с каждой занятой скамейки встанет по одному человеку. Из
них 10 человек можно посадить (по 2 человека) на 5 свободных ска-
меек и, согласно первому условию, останется еще 7 человек.. Зна-
чит, с занятых скамеек встали 17 человек, а так как с каждой ска-
мейки вставадбгпо одному человеку, то, значит, занятых скамеек было
17 да ещё 5 свободных скамеек. Следовательно, было 22 скамейки,
аучащихся 17* 3==В1 г(или 22 • 2+7=51).
.... 2-й с ц о~с о'К. Используем первое условие. Пусть учащиеся ос-
вободят 5 скамеек; ё.’ встанут 10 человек. Эти 10 человек да еще
7 человек, которыми хватило места, могут, согласно второму усло-
вию; подСестыЛто. одйому к учащимся, оставшимся сидеть на рсталь,-
^ы^Скам|й.каЖ. ОтрШЙм кроме пяти освободившихся скамёек,^было
ёщеД 7 сйамееи. Далее решение идет аналогично решению по пер-
boNty/способу".
cgX>0^6< Задача допускает более простое решение с по-
мощью уравнения. ^Нуеть имелось х скамеек, тогда было 2%~Г7
учащихся (по первойул^словию) или (х—5)-3 учащихся (повторому
уелдв^^Знайит^^ '*•
2х+7=(х—5)*3.
11*11
Но с этим способом: решения данной задачи учащиеся 4 класса
могут познакомитьсянемного позже, когда научатся решать уравне-
ния подобного вида.
67.	cl—д1,й1^с1/й—dl, cl— с2, d2—<rl, сЗ—d2, с2—сЗ, Щ—с2,
Ы al.
1
68.	По условиям соревнования каждый участник должей. про-
вести 11 схваток. Распределим участников По группам. К { .группе
отнесем тех, кто в данный момент не провел ни однбй схвадкИ;
ко II группе — тех, кто провел 1 схватку и т. д. К последней; ХИ
группе отнесем тех,кто провел все И схваток. Но одновременно,йё
могут существовать I и XII группы. Действительно, если хбтя бы
один участник провел все схватки, то не может быть участника, ко-
торый не провел бы ни одной схватки. Отсюда число групп может
быть только 1*1, а Число участников 12. Согласно принципу Дирихле.,
к одной“йз групп должно принадлежать, по крайней мере, два участ-
ника. Это и доказывает утверждение, данное в задаче.
69.	У Тани была 1 коп., а у Гали6 коп. Коробка карандашей
стоила 8 коп.
70.	Используем первое условие задачи и дадим двум оставшимся
учащимся по одному лому, тогда, согласно третьему условию, три
лома останется. Значит, в кладовой было 5 ломов. Используем вто-
рое условие и дадим оставшемуся ученику лопату, тогда, согласно
60
третьему условию, три лопаты оста-
нется. Следовательно, в кладовой было
4 лопаты. Теперь легко найти число
учащихся: 5+4—3=6.
71.403+403+403=1209.
72.	Достаточно взять 3 носка.
73.	Распределим ели по группам:
I группа — ёлй, йе имеющие игл,
Г1 — группа — ели с одной иглой
й t. Д. Последняя группа — ели с
500 000 иглами. Таким образом, число
елей в лесу превышает число групп.
Следовательно, по принципу Дирихле,
найдется по крайней мере 2 ели с
одинаковым числом игл:
74.	Число, помещенное на «го-
лове», равно полусумме чисел, по-
мещенных на «ногах». Искомое чис-
ло 172:
75.	Решение задачи видно из ри-
сунка 70.
Рис. 70
Занятия И и 12
Т е м а. Применение графов
к решению задач
Учебно-воспитательные цели. Тео-
рйя графов пока не нашла своего
отражения в учебниках математики
новой программы. Отличаясь просто-
той теоретических сведений, нагляд-
ностью и доступностью, теория гра-
фов может с пользой найти отражение на самом раннем этапе
обучения школьников. С помощью этой теории можно решить на
доступном для младших школьников уровне ряд достаточно слож-
ных задач. Эта теория может найти свое применение в таких обла-
стях математики, как математическая логика, комбинаторика
и др. Поэтому изучение в школе этой темы имеет большое обще-
образовательное, общекультурное и общематематическое значе-
ние. В повседневной жизни все большее применение находят гра-
фические иллюстрации, геометрические представления и. другие
приемы и методы наглядности. С этой целью изучение элементов
теории графов полезно ввести хотя бы во внеклассной работе.
Методические замечания. Изучение темы полезно начать с ре-
шения конкретной задачи:
Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать
за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом
Рис. 71
С
Рис. 72
Рис. 74
за руку. Сколько мальчиков пое-
хало за город, если всего было
10 рукопожатий?
Будем решать эту задачу
графически. Вначале от-
метим на бумаге две точки А и
В и соединим их отрезком. Точ-
ками будем изображать мальчи-'
ков, а отрезок будет обозначать
рукопожатие. Добавим еще одну
точку С и соединим ее с точка,-
ми Л и В двумя отрезками. Все-
го получится три отрезка(рис.71).
Отметим следующую точку D и
соединим ее отрезками с тремя
точками А, В и С. Теперь уже
получилось шесть отрезков. На-
конец, отметим пятую точку Е
и соединим ее со всеми точка-
ми, отмеченными ранее. Полу*
чим 10 отрезков (рис. 72). Зна-
чит, на вокзале встретились
5 мальчиков.
Фигура, которая получилась
на рисунке 72, состоит из точек
и линий, соединяющих эти точ-
ки. Такую фигуру принято на-
зывать графом. Линии графа
называ ют р е б р а м и, а точки—
вершинам и. .Вершины гра-
фа иногда для удобства обозна-
чают не точками, а кружочками
или другими фигурками. В гра-
фене обязательно, чтобы каждая
вершина была соединена со всеми
остальными (рис. 73); если в гра-
фе ни одна часть не является
замкнутой линией, то такой граф
называется деревом (рис. 74).
В некоторых графах на линиях
указывают направления в виде
стрелок.
Графы помогают решать не-
которые задачи. Разберем
одну из них:
Встретились трое подруг:
Белова, Краснова и Чернова. На
одной из них было надето черное
62
платье, на другой — красное, а на третьей — белое. Девочка в
белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями,
а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в
какое платье был одет?
Здесь мы имеем два равночисленных множества: множество фа-
милий и множество цветов платьев. Между этими множествами надо
установить взаимно-однозначное соответствие. Для этого построим
Рис. 75
Рис. 76
граф. Пусть белые кружочки Б, К и Ч изображают элементы пер-
вого множества (Белова, Краснова, Чернова), а черные кружочки
б, к и ч — элементы второго множества (белое, красное, черное).
Условимся соединять эти кружочки штриховой линией, если между
ними нет соответствия. Если же соответствие между кружочками
установлено правильно, то будем соединять их сплошной линией.
Из первого условия вытекает, что девочка в белом платье не мо-
жет быть Черновой. Отметим это на чертеже, соединив кружочки
Ч и б штриховой линией (рис. 75). Из второго условия следует, что
кружок Б не соответствует кружку б, кружок К — кружку к и
кружок Ч — кружку ч (цвет платья не соответствует фамилиям). От-
мечая это на чертеже, получим рисунок 76.
Теперь видно из чертежа, что кружку Ч может соответствовать
лишь кружок к, а кружку б — только кружок К. Отмечаем эти
соответствия сплошной линией (рис. 77) .Теперь ясно, что кружок
Б может соответствовать только кружку ч (рис. 78).
Следовательно, Белова одета в черное платье, Чернова — в крас-
ное платье и Краснова — в белое платье.
Эту задачу можно решить с помощью таблицы, которую часто
называют таблицей истинности:
Рис. 77	Рис. 78
63
	белое	красное	г черное
Белова			
Краснова			
Чернова		•л	
Условие, что девочка в белом "платье не может быть Черновой,
отмечается в соответствующей клетке таблицы словом «нет» (Иногда
используют слова «ложно», .«неверно» иЛи Знак «—»). Второе усло-
вие, что фамилия каждой девочки не соответствует цвету платья, дает
возможность заполнить еще три клетки словом «нет». Теперь из
1	”	белое.	красное	черное
Белова	нет		
Краснова		нет	•
Чернова	нет		нет 'г
таблицы видно, что Краснова одета-в белое платье^аполняем соот-
ветствующую клетку таблицы словом «да» (или Словами «истийно^
«верно», или знаком «+»). Отсюда вытекает, что Краснова не одета
в черное платье. Таблица принимает вид:
•	еелоё	—	г- ‘красное	черное
Белова	нет		
Краснова	да	нет	нет
Чернова	нет		нет 1
Из таблицы ясно видно, что на Беловой черное платье, а следом
вательно, Чернова в красном платье. Учащимся полезно показать
оба способа решения подобных задач. Однако способ решения за-
дач с помощью графов, на наш взгляд, являетсябояее наглядным и,
(Л
Рис. 79	Рис. 80
кроме того, дает возможность знакомить учащихся с важной теорией
математики. В связи с этим в дальнейшем решение подобных задач
дается на основе теории графов.
В некоторых задачах условие, записанное с помощью графа, по-
могает найти правильный ход решения. Например, требуется ре-
шить задачу:
Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом полученную
сумму умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и, наконец*
полученную разность разделить на 19, то получится число 23. Най-
дите задуманное число.
Начертим граф по условию задачи (рис. 79). Теперь сразу видно,
что решать эту задачу следует с конца, заменяя данное действие на
ему обратное (рис. 80). Получаем;
23-19=437; 437+76=513; 513:9=57; 57—24=33. Итак, за-
думанное число 33.
Решения
76.	Пусть кружочки Б, С, К и Бн изображают элементы множе-
ства данных сосудов, а кружочки м* л> к* в изображают элементы
множества данных видов жидкостей. Из условия задачи вытекает,
что Б не соответствует м и л\ К не соответствует л и к; Бн не соот-
ветствует лив; наконец, элемент м не может соответствовать С и
Бн. Отметив это штриховыми линиями, получим рисунок 81. Теперь
Рис. 81
Рис. 82
3 № 6156
65
Рис. 83
Рис. 85
видно, что элементу м соответ-
ствует элемент К, а элементу
Бн — элемент к (отметим это
сплошной линией). Значит, К не
соответствует в (отметим штри-
ховой линией) (рис. 82) и т. д.
Ответ: в бутылке находится
лимонад, в стакане — вода, в
кувшине — молоко, в банке —
квас.
77.	Имеются только два ос-
трова В и D с нечетным числом
мостов. Следовательно, на одном
из них и должно начинаться пу-
тешествие, а на другом — закан-
чиваться.
78.	Чтобы напилить метровые
чурбаки из шестиметровых бре-
вен, потребуется 42 6-5—35
распилов, а чтобы напилить та-
кие же чурбаки из семиметровых
бревен, потребуется 42 7-6=
= 36 распилов. Значит, выгоднее
пилить шестиметровые бревна.
79.	На рисунке 83 кружочка-
ми В, Т, М отмечены элементы
множества {Ваня, Толя, Миша},
а кружочками р, к, я — элементы
множества {рис, капуста, ябло-
ки}. Штриховые линии Вк, Л1к,
Мя изображают данные условия
задачи. Теперь видно, что М
соответствует р, а р не соответ-
ствует Т и В (рис. 84). Отсюда
В соответствует я, а Т соответ-
ствует к.
80.	Каждый ход коня пере-
водит его с клетки одного цвета
на клетку другого цвета. Чтобы
66
Рис. 86
с черной клетки попасть опять на черную клетку, надо сделать
четное число ходов. При таком условии коню придется побывать
на нечетном числе белых клеток. Шахматная доска имеет четное
число белых клеток. Следовательно, побывать коню на каждой
клетке один раз не удастся.
81.	Решение задачи состоит из двух повторяющихся циклов.
Первый цикл переливания кваса показан на рисунке 85.
82.	Составим граф по условию задачи. Легко можно наметить ход
решения (рис. 86): 135-16=2160; 2160—4=2156; 2156:7=308;
308-2=306; 306 : 6=51; 51—1=50; 50 : 5=10.
83.	Составим граф по усло-
вию задачи (рис. 87). Теперь хо-
рошо видно, что во всех играх
забито одно и то же число мя-
чей. Из того, что а-2+1=а, вы-
текает, что а=2. Ответ. В трех
матчах забито 6 мячей.
84.	Из последнего условия
картина Дениса большая, а кар-
тина Бориса маленькая. От-
сюда картина Андрея тоже боль-
шая, следовательно, картины
Гали и Елены маленькие, а зна-
Рис. 87
чит, картина Вали большая. В условии сказано, что картина Дени-
са (а она большая) висит через две картины от картины Елены (она
маленькая). Это может быть только тогда, когда последняя карти-
на — Елены, а третья картина — Дениса. Теперь из условия, что
картина Андрея (она большая) висит через картину от картины Гали
(она маленькая), видно, что вторая картина — Андрея, а четвертая
картина — Гали. Итак, Картины расположены по именам худож-
ников в следующем порядке: Бо-
риса, Андрея, Дениса, Гали,
Вали, Елены.
85.	Составим граф по усло-
вию задачи (рис. 88), видим сле-
дующий ход решения: 1 ♦3*7=21;
21—1=20; 20-3=60; 60—1=59.
В стаде было 59 голов скота.
Рис. 88
57
б)
Рис. 89
в)
86. Ширина прямоугольного
параллелепипеда, сложенного из
кирпичей, 20 см. Из рисунка
видно, что его длина 60 о*, а вы-
сота 45 см. Значит, объем прямо-
угольного параллелепипеда ра-
вен 60 х 20 х 45—54 000 см3 Объ-
ем одного кирпича 20x10x5=
= 1000 см3. Следовательно, пря-
моугольный	п а ра л л ел еп и п ед
сложен из 54 000 : 1000=54 кир-
пичей.
87. Из условия «г» получаем
следующее расположение квад-
рата и звезды (рис. 89, а). Из ус-
ловия «б» вытекает, что около
звезды может быть треугольник
или звезда должна быть крайней
правой фигурой. Но из условий
«а» и «в» он не может стать слева
от квадрата, так как он не рядом с плюсом, не рядом с кругом и не
рядом с квадратом. Значит, треугольник является крайней правой
фигурой (рис. 89, б). Из условия «в» квадрат находится рядом с
плюсом, отсюда впереди плюса стоит круг (рис. 89,в).
Занятия 13 и 14
Тема. Равносоставленные фигуры
Учебно-воспитательные цели. Решение задач на указанную тему
имеет общематематические цели, связанные с измерением площадей
фигур и объемов тел. Эти задачи имеют и другие воспитатель-
ные цели: у учащихся развиваются конструкторские способно-
сти, эстетическое чувство (при составлении заданного числа фигур
различных конструктивных решений).
Рис. 90
Методические замечания.
Вопросы о равносоставленности
фигур изучаются на конкретных
задачах. Фигуры, изображенные
на рисунке 90, не равны, но со-
стоят из равных фигур «деталей».
Такие фигуры называются р а-
в н о с оста в ленным и.
Занятие 14 полезно посвятить
игре « Т а н г р а м». Эта игра
возникла в древнем Китае около
четырех тысяч лет назад. Назва-
68
иие этой игры-головоломки на составление различных фигур, равно-
составленных квадрату, произошло от имени ее изобретателя
Танг. Раньше этой игрой очень увлекались и даже устраивали спе-
циальные соревнования.
Решения
88.	Решение задачи дано на
рисунке 91.
89.	Выполнение задания по-
казано на рисунке 92.
90.	Ответ дан на рисунке 93.
91.	Если бы Ванины часы шли
верно, а он думал, что они спе-
шат на 35 мин, то он бы вышел
на 30 мин позже (с учетом запаса
времени в 5 мин). В этом случае
он опоздал бы на поезд на 30 мин.
По условию Ванины часы шли
неверно, отставали на 15 мин.
Значит, Ваня опоздает на 45 мин.
Если бы Танины часы шли
верно, а она думала, что они
Рис. 91
Рис. 93
Рис. 92
69
Рис. 94
а> 1 ДПОО
7 1 дпо<>
а 1 Д[7|@<$> 7
X________5_
7 1 Д[2]®<5>
Рис. 95
отстают на 15 мин, то она бы вышла на 20 мин раньше срока (с уче-
том запаса времени в 5 мин). На самом деле Танины часы спеши-
ли на 10 мин. Значит, Таня вышла еще на 10 мин раньше по-
ложенного срока. Следовательно, Таня придет на станцию за
30 мин до отхода поезда.
92.	Л состоит из 2 и 7; В — из 2,4 и 6; С — из 3 и 5; D — из
2, 6 и 7; Е — из 4 и 6; F — из 3, 4 и 5; К — из 1, 2 и 6; М — из
2, 4> 5, 6 и 7; W — из /, 2, 3,5 и 6; О — из 2, 5, 6 и7; Р — из 1,2,
6,7; R — из / и 5; S — из /, 2, 6 и 7; Т — из 2, 4, и 7; L — из 2,5,
6 и 7; X — из 2, 4 и 6;Y — из 1, 2, 4, 5, 6 н 7; Z — из 1, 2, 3, 4,
5, 6 и 7.
93.	Выполнение упражнения дано на рисунке 94.
94.	Условие задачи удобно записать так, как показано на рисун-
ке 95, а. Одинаковые значки означают одинаковые цифры. Эту за-
пись легко расшифровать (рис. 95, б)
95.	Построение фигур дано на рисунке 96.
96.	На левую и правую чашки весов положили по 5 монет. Если
весы будут в равновесии, то вторым взвешиванием сравним, напри-
мер, массы монет на левой чашке и оставшихся 5 монет. Отсюда
узнаем, тяжелее или легче фальшивая монета, чем настоящая. Если
же при первом взвешивании одна из чашек весов будет перевеши-
вать, то ее можно сравнить вторым взвешиванием с оставшимися
пятью монетами. Если при втором взвешивании весы будут в равно-
весии, то фальшивая монета легче настоящей; если же весы не будут
в равновесии, то фальшивая монета тяжелее настоящей.
97.	Надо вращать против направления движения часовой стрелки.
98.	Построение фигур дано на рисунке 97.
99.	Решение видно из таблицы.
8-литровое ведро	8	3	3	6	6	1	1	4
5-литровый бидон	0	5	2	2	0	5	4	4
3-литровый бидон	0	0	3	0	2	2	3	0
100.	Из четырех пакетов взяли 4*9—36 конфет — столько, сколь-
ко их было в трех пакетах. Значит, в каждом пакете 36 : 3=12
конфет.
'101. Прежде всего используем дополнительное условие: сумма
чисел первого столбца должна быть равна результату верхней стро-
ки. Отсюда все числа первого столбца должны начинаться с 1. Пер-
вое число первого столбца должно делиться нацело на 5. Значит,
оно может быть или 10, или 15. Число 15 отпадает, так как сумма
чисел первого столбца должна быть меньше 50. Отсюда первое чис-
ло столбца 10.
71
Молоток
и?
Револьвер	Доп
Леведь	Курица
Рыба

Рис. 97
Пр нимая во внимание» что результат первой строки должен
быть не менее 47, легко расшифровать верхнюю строку (10 : 5+5) X
Х7=49, а затем первый столбец 10+14+12+13=49. Получаем
следующую запись:
(10 : 5+ 5) 7 = 49
(14 »— 4) * = *
(12—1— *) 2 = *0
(13—0 + «*) —5 = **
(49 + *+*0)+** — **
Теперь легко восстановить запись второй строки (14 : 2—4)3=9
и второго столбца 5+2+1+1 =9, а затем четвертого столбца
7+3+2+5=17 и четвертой строки (13—1 + 10)—5=17. Окончатель-
но вся запись расшифровывается так:
(10 5+5)	7 = 49
(14 2— 4) -3=9
(12 — 1— 1)	2 = 20
(13 —1 + 10) —5=17
(49+9 + 20)+17 = 95
Занятия 15 и 16
Т е м а. Использование весов при решении уравнений
Учебно-воспитательные цели. В 4 классе учащиеся решают
в основном уравнения, используя зависимость между компонента-
ми арифметических действий. В связи с этим решение уравнений,
72
содержащих переменную одновременно и в левой и в правой
частях, учащиеся не могут выполнять на основании изученных
правил. Между тем более сложные задачи, решение которых
вполне доступно учащимся 4 класса, могут выполняться на основе
наглядных представлений, возникающих при использовании весов.
Этот методический прием имеет целью развить у учащихся уме-
ние решать линейные уравнения.
Бытовой прибор «Весы» понятен учащимся младшего возраста.
Он только подсказывает учащемуся, как решать уравнения, а тео-
ретические основы решений уравнений, содержащих переменную
в обеих частях, рассматриваются в последующих классах. В 4 клас-
се следует сделать метод уравнений привычным приемом при реше-
нии текстовых задач. Значит, цель учителей — воспитывать у уча-
щихся привычку использовать уравнения в практике решения задач
Методические замечай и я.
При решении задач с использо-
ванием вёсов полезно пользовать-
ся прибором «Весы»1. Приведем
пример использования весов
при решении задачи.
Задача. На одной чашке
весов лежат 2 одинаковых пакета
Рис. 98
с мукой и гири 3 кг и 5 кг (рис. 98). На другой чашке весов 3 таких же
пакета с мукой и гири 3 кг, 1 кг и 1 кг. Весы находятся в равно-
весии. Какова масса одного пакета с мукой?
По условию задачи записываем уравнение:
2х 4“ 3 -р о — Зх 3 4-1	1.
После упрощений получаем уравнение:
2х 4- 8 — Зх 4~ 5.
Снимем с обеих чашек весов по 5 кг. Получим уравнение:
2х4-3 = 3х.
Теперь снимем по 2 пакета муки с каждой чашки. Получим х = 3.
При решений этой задачи мы от рисунка перешли к уравнению,
достаточно сложному для учащихся. Однако,.вернувшись к весам,
мы довольно легко решили задачу. Метод решения задачи—приме-
нение уравнения.
Используем теперь другой ход рассуждений: зададим уравнение
и по нему представим себе картину с весами.
Пусть надо решить уравнение:
Зх = 5х— 4.
Для решения этого уравнения представим себе, что х — масса
одного пакета муки в килограммах. На левую чашку весов положим
3 таких пакета, тогда согласно уравнению из 5 пакетов, которые на-
ходятся на правой чашке, надо отсыпать всего 4 кг, чтобы весы
были в равновесии (рис. 99).
1 Устройство прибора* Весы» описано в журнале «Математика в школе», 1970,
№ 6.
73
Рис. 99
Рис. 100
Проделаем мысленно следующую операцию: насыпаем в эти
5 пакетов недостающие 4 кг муки. Чтобы равновесие не нарушилось,
придется на левую чашку весов поставить гири в 4 кг (рис. 100).
В соответствии с рисунком 100 получаем уравнение:
ЗхН~4=5х.
Сняв с каждой чашки весов по 3 пакета с мукой, получим:
4=2х.
Отсюда масса одного пакета муки 2 кг. Таким образом, корнем
уравнения Зх=5х — 4 является число 2.
Решетя
102,	Ответы, а) 4, б) 3; в) 4.
103.	Медные монеты выпускаются достоинством 1 коп., 2 коп.,
3 коп., 5 коп. Возьмем крайний случай; пусть Катя имеет 6 монет
каждого достоинства, тогда их будет 24 монеты. Значит, не обяза-
тельно, что у Кати имеется 7 монет одинакового достоинства.
104.	Ответ'. 6.
105.	Ответ*. 18.
106.	Решение показано на рисунке 101.
Рис. 101
107.	Пусть в одном бидоне х л молока, тогда в ведре Зх л молока.
Уравнение: 5*(х—1)=2-(Зх—4). Ответ. В бидоне 3 л молока, а в
ведре — 9 л.
108.	Пусть за книгу заплатили х монетами по 20 коп., тогда 15-
копеечных монет должно быть х+1. Уравнение: 20х=15(х+1).
Ответ. Книга стоила 60 коп.
109.	{3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15.}
Например: 3-1 + 1 + 1; 4= 1+1+2; 5=1 +2+2; 6-3+1+2; 7-
— 5+1 + 1; 8=5+2+1; 9=5+2+2; 10=5+2+3; 11=3+3+5;
12=5+5+2; 13=5+5+3; 15=5+5+5. 14 представить нельзя в
виде суммы трех медных монет.
74
ПО. 3 а д а ч а-шутка. Да, если они стоят головой друг к другу.
111.	Пусть половина числа лет отца х, тогда ему сейчас 2 х лет.
Уравнение: х+12=2х—12. Ответ. Отцу 48 лет.
112.	Периметр площадки 160 м. Всего установлено 80 столбиков.
113.	Задача-шутка,. В условии не сказано, что 4 человека
подошли к одному берегу, поэтому переправиться одним из них на
один берег, а другим на противоположный берег не составило боль-
шого труда.
114.	36- 1-1-36 = 1-2-18 = 1-3-12= 1-4-9= 1-6-6 = 2-2-9 =
=2-3-6=3-3-4.
Занятие 17
Тема. Применение уравнений с несколькими переменными
к решению задач
Учебно-воспитательные цели. Этот прием решения задач, по
существу, тот же метод уравнений. Однако новый элемент здесь вве-
дение нескольких переменных и нескольких
уравнений. Воспитательным элементом здесь является сам
тот факт «свободного» введения любого числа переменных, употреб-
ление нескольких букв, запись нескольких уравнений с различными
переменными. Уже на самой ранней ступени обучения у учащихся
должна возникать необходимость в широком применении буквенной
символики, использовании нескольких уравнений и переменных при
решении задач.
По существу, учащиеся здесь встречаются с простейшими, систе-
мами треугольной формы. Перед учащимися не время вводить понятие
«система» или даже произносить это слово, но важно подчеркнуть,
что при решении некоторых трудных задач очень сложно или вооб-
ще невозможно обходиться одним уравнением. Значительно проще
вводить несколько переменных и несколько уравнений. Важное
значение для математического развития учащихся имеет возмож-
ность сразу же перевести условия задачи на язык уравнений, уви-
деть все условие задачи сразу.
Методические замечания. Чтобы убедить учащихся в достоин-
ствах метода уравнений, рассмотрим ряд задач, решение которых
облегчается введением нескольких переменных и нескольких урав-
нений.
Задача. Таня купила в магазине шариковую ручку, карандаш,
общую тетрадь и альбом для рисования. Ручка, карандаш и тетрадь
вместе стоят 50 коп. Ручка, карандаш и альбом стоят вместе 78 коп.
За ручку, тетрадь и альбом она заплатила 87 коп., а за каран-
даш, тетрадь и альбом — 55 коп. Сколько стоит каждый предмет
в отдельности?
Эту задачу легче решить, если записать условие с помощью пе-
ременных. Пусть ручка стоит х коп., карандаш — у коп.,тетрадь —
г коп., а альбом—v коп.
75
Запишем условие задачи так:
х 4“ у 4~ 2 И- 0 = 50	(1);
х+ {/4-04-0 = 78	(2);
х+0+?+а= 87	(3) ;
0 4-f/ + z + t> = 55	(4).
Отсюда легко узнать, что
3%+3z/4-3v4-3z=270,
или, применяя распределительный закон, получим:
3(х+у+г+v)=270,
откуда
х+г/+?+а=90.	(5)
Сравнивая равенство (5) с равенством (1), получим, что
и = 90 — 50;
v = 40.
Сравнивая равенства (5) и (2), получим:
2 = 90—78;
z=12.
Сравнивая равенства (5) и (3), а потом (5) и (4), будем иметь:
^ = 90—87;	£/ = 3.
% = 90—55;	х = 35.
Значит, ручка стоит 35 коп., карандаш — 3 коп., тетрадь — 12 коп.,
альбом — 40 коп.
Решения
115.
0+#+z+n=46;
x+0+z+v=44;
x+f/+0+^“41;
х 4~ У 4- £ + 0=37.
Значит, 3х+3у+3г+3^=168,
или
x+*/+z+0=56,
т. е. все книги стоили 56 коп. Отсюда первая книга стоила 10 коп.
(56—46), вторая — 12 коп. (56—44), третья — 15 коп. (56—41),
четвертая — 19 коп. (56—37).
116.	Д + В + С +О+ £ = 46;
Д+В	= 20;
D + E^ 11;
Д 4- Е	+ D	=24;
A	+D	= 12.
76
9
i\\\www\w

ахттштитиншин
Легко видеть, что 4+B+D+E=31; следовательно, С=
= 46—31 = 15.
Так как 4+B+D+£=31, то
£-31—24=7, значит, D-11—7=4 (или 0=24—20).
Теперь найдем:
4 = 12—4=8 и £=20—8=12.
Ответ: 8, 12, 15, 4, 7.
117.	{ПИ, ИП, ПЛ, ЛП, ПО, ОП, ИЛ, ЛИ, ИО, ОИ, ЛО, ОЛ},
где И — Игорь, П — Петя, Л — Лена, О — Оля. (На первом месте
стоит председатель, а на втором — его заместитель).
118.	Ответ.
2
.	9999
+ 9999
9999
29999
119.	Пусть дочери — х лет, тогда сыну — 2 х лет, а отцу —
(2x4*20) лет. Уравнение 2х+20=х+2х. Ответ. Отцу — 60 лет,
сыну — 40 лет, дочери — 20 лет.
120.	2а+&+с=1900;
а+2&+с=2200;
л+6+2с=2700.
Значит, 4а+4Ь+4е= 6800,
т. е. a+fe+c—1700.
Теперь легко найти:
а—1900—1700=200;
Ь—2200—1700=500;
с=2700—1700=1000.
Ответ. Масса 3 банок варенья, 4 пачек печенья и 3 пачек сахара
вместе 5 кг 300 г.
121.	Зашифровано стихотворение:
«Наша Таня громко плачет:
Уронила в речку мячик.
— Тише, Танечка, не плачы
Не утонет в речке мяч.»
122.	Последовательность движения показана на рисунке 102.
Занятие 18
Тема. Задачи, связанные с прямоугольным параллелепипедом
Учебно-воспитательные цели. Целью этого занятия является
решение ряда задач, в которых прямо или косвенно используется
прямоугольный параллелепипед. Таким образом, на этом занятии
78
углубляются и расширяются приобретенные в основном курсе
знания.
Методические замечания. Методика проведения этого занятия
должна быть тесно связана с методикой изложения аналогичных воп-
росов основного курса. Особенно важно на этих занятиях широко
использовать наглядные пособия: чертежи, рисунки, модели.
Решения
123.	Из данной развертки мож-
но получить параллелепипеды а),
г), д).
124.	Решение задачи показано
на рисунке 103.
125.	Решение задачи дано на
рисунке 104.
126.	Пусть. Алеша поймал х
рыбок, тогда Игорь поймал (х+4)
рыбки, Саша — (х+8) рыбок, Во-
лодя — (х+12) рыбок. Уравнение:
4х+24=40. Ответ. Володя пой-
мал 16 рыбок, Саша — 12 рыбок,
Игорь —8 рыбок, Алеша—4 рыбки.
127.	Кубик з).
128.	Решение дано на рисун-
ке 105.
129.	Число 36 можно предста-
вить в виде произведения трех
натуральных чисел восемью спо-
собами (см. занятие 16, упражне-
ние 114). Однако, сумма этих
чисел одинакова только в случае
1+6+6-2+2+9=13. Так как
Николай сказал, что данных задачи
недостаточно, то, значит, число
окон в доме напротив равно 1$.
Когда Николай узнал, что у Бо-
риса есть старший сын, он понял,
что произведение 1-6-6 не годит*
ся. Ответ. Сыновьям Бориса было
2 года, 2 года и 9 лет.
Рис. 103
Рис. 104
Рис. 105
79
Занятия 19 и 20
Тема. Задачи, связанные с действиями над конечными
числовыми рядами
Учебно-воспитательные цели. Цель этих занятий — дальней-
шее развитие тематики упражнений, связанных с изучением раз-
личных закономерностей и свойств чисел.
Методические замечания. В процессе решения задач этих за-
нятий очень важно осуществить цели повторения, закрепления ранее
изученного материала как основного курса, так и методов решения
задач на кружковых занятиях.
Решения
130.	Сумма двух чисел, равноудаленных от концов ряда, равна
51. Таких пар 25. Следовательно, сумма равна 51-25=1275.
131.	Суммы 2 m+100/n=4m+98/n= -•- = 102 tn. Таких пар 25.
Значит, 102т-25=2550 tn. Если т=23, то 2550 т=2550-23=58 650.
132.	Так как среди множителей есть числа, оканчивающиеся
на 5 и на четную цифру, то все произведение оканчивается нулем.
133.	3; 3-3=9; 3-3-3=27; 3-3-3-3=81; 3-3-3-3-3=243. Та-
ким образом, через каждые четыре множителя последняя цифра
произведения повторяется. Число 21 состоит из пяти раз по четыре
да еще 1. Значит, произведение оканчивается цифрой 3.
134.	Возьмем случай, когда у Наташи имеется по 8 монет каж-
дого достоинства, но в этом случае будет только 24 монеты. Следо-
вательно, найдется 9 монет одинакового
достоинства.
135.	Можно заметить, что 99,9—99,8
=99,7—99,6= .. .=0,1. Таких пар бу-
дет (1000—500) 2=250. Отсюда 250 х
ХОД =25.
136.	7; 7-7 оканчивается цифрой 9,
7-7-7 оканчивается цифрой 3; 7-7-7-7
оканчивается цифрой 1, а 7-7-7-7-7
оканчивается опять цифрой 7. Значит,
умножая цифру 7 саму на себя 12 раз,
получим в конце произведения цифру 1.
137.	Ответ дан на рисунке 106.
138.	Пусть Володе х лет, тогда отцу
Рис. 106
11 х лет. Через 6 лет Володе будет х+6
лег, а отцу 11 х+6 лет. По условию выражение х+6 меньше выра-
жения 11 х+6 в 5 раз, отсюда получаем уравнение 5(х+6)=11 х+6.
Omeetn. Отцу 44 года, Володе 4 года.
139.	При записи чисел от единицы до 30 встретятся 9 однознач-
ных чисел и 21 двузначное число. Следовательно, в данном числе
21-2+9=51 цифра. На 16-м месте стоит цифра 1, на 21-м месте —
цифра 5.
80
140.	Если вычесть мотоциклы с колясками, то на стоянке было
бы всего 24 транспортные единицы и у них будет 76 колес. Если бы
на стоянке были бы одни мотоциклы, то всего колес было бы
24-2=48, т. е. на 76—48= 28 колес меньше. Но у автомашины на
2 колеса больше, чем у мотоцикла. Значит, автомашин на стоянке
было 28:2=14, а мотоциклов 24—14=10.
141.	При вычерчивании графа надо учитывать, что каждый из
писавших произведение знал, что он написал. Например, условие
«Борисов предполагал, что Гришин создал фельетон, а Андреев —
повесть» говорит о том, что Борисов не создавал ни фельетона, ни
повести. Ответ. Андреев написал фельетон, Борисов — очерк,
Ветров — повесть, Гришин — рассказ, Денисов — стихотворе-
ние.
142.	25(26—24)+23(24—22)+21 (22—20)+19(20—18)4-17(18—
—16)+15(16—14)=2(25+23+21 + 19+17+15)=2-40-3=240.
143.	3,4m+12,l+2,8p+3,7m+2,l+4,3p=7,lm+7,lp+14,2=
=7,1 (m+p+2)=7,l-10=71.
144.	Пусть занято «больших ящиков и Ь средних ящиков, тогда
всего будет 8+8«+8Ь ящиков. Но 8+8«+8Ь=8+8(«+6). По усло-
вию «+Ь=25. Отсюда 8+8-25=208. Ответ. Всего было 208
ящиков.
145.	Решение задачи видно из таблицы:
16-литровый сосуд	16	6	6	12	12	2	2	8
10-литровый сосуд	0	10	4	4	0	10	8	8 а
6-литровый сосуд	0	0	6	0	4	4	6	0
Занятие 21
Тема. Нахождение общей части фигур
Учебно-воспитательные цели. Основной целью этого занятия
является нахождение пересечения двух или нескольких множеств.
Особенно важно включение в эту тему геометрического материала,
который служит пропедевтикой при изучении геометрии в 6 классе.
Вместе с тем здесь учащиеся встречаются с учебным материалом, ко-
торый будет изучаться и в 5 классе.
Методические замечания. На данном этапе обучения нежела-
тельно вводить термин «пересечение множеств», так как его место
в основном курсе 5 класса. Однако не только доступность материала,
но и эффективность его изучения на кружковых занятиях требует
включения упражнений на нахождение общей части множеств.
81
Решения
Рис. 107
15
Рис. 109
146.	Решение дано на ри-
сунке 107. При выполнении это-
го упражнения полезно восполь-
зоваться цветными карандаша-
ми.
147.	Начертим 2 пересекаю-
щихся круга (рис. 108). Пусть
один круг А обозначает мно-
жество мальчиков, собирающих
марки СССР, а второй круг
В — множество мальчиков, соби-
рающих иностранные марки.
Общая часть этих кругов — это
множество мальчиков, собираю-
щих одновременной марки СССР
и иностранные марки. Из рисун-
ка видно, что 9 человек собирали
только советские марки, 5 чело-
век собирали только иностран-
ные марки. Всего 20 мальчиков
собирали марки.
148.	Начертим три пересека-
ющихся круга (рис. 109). Пусть
круг А — множество учащихся,
решивших правильно задачу, В—
множество учащихся, решивших
правильно уравнение, и С —
множество учащихся, решивших
правильно пример. Обозначим
каждую из полученных частей
кругов буквами D, Е, F, Л4, ЛГ,
Р, ZC По условию D—2, F=3,
7V—7, Af=5, Е—6. Теперь легко
найти Ю К=40—(2+3+4+7 +
+5+6)-13.
149.	Выполнение упражнения
показано на рисунке ПО.
150.	Выполнение упражне-
ния дано на рисунке 111.
151.	Пусть А — множество
учащихся, занимающихся в лыж-
ной секции, В — множество уча-
82
Рис. НО
щихся, занимающихся в хоккей-
ной секции, и С — множество
учащихся, занимающихся в конь-
кобежной секции (рис. 112). По
условию А— 21, Е=6, К—3 и
Л1 = 1. Следовательно, 0=21—
•—(6+3+1)~ 11. По условию
С=13, /C+7V=5. Так как /(=3,
то 7V—2. Легко найти Р=1. Те-
перь ясно, что F—37—(11 +
+ 6+1+3+2+7)=7 и В-16,
т. е. в хоккейной секции занима-
лись 16 человек.
152.	В каждой строке должны
быть 3 вида больших фигур; зна-
чит, в пустой клетке должен
быть круг. В каждом столбце
затушевана одна и та же фигура,
значит, в третьем столбце дол-
жен быть затушеван кружок.
Отсюда, в пустую клетку мож-
но внести либо фигуру № 1,
либо фигуру № 5. Но в каждом
столбце затушеванные фигуры занимают одно из трех возмож-
ных положений, поэтому фигура № 1 отпадает. Значит, в пустую
клетку следует поместить фигуру № 5.
Занятия 22—25
Тема. Упражнения по различным вопросам ранее изученного
материала
Учебно-воспитательные цели. Последние занятия кружка имеют
целью закрепить изученный материал, развить творческое отноше-
ние к решению задач повышенной трудности, развить активность
учащихся. Очень важно, чтобы эти занятия развили у значитель-
ного числа учащихся уверенность в своих силах, желание решать
задачи.
Методические замечания. Эти занятия кружка необходимо по-
святить углублению знаний не только способных учащихся, но
и значительной части средних учеников. Учитель должен учесть,
что, чем больше учащихся заинтересуются математикой, достигнут
конкретных успехов, тем легче будет продолжать занятия кружка
в 5 классе. На этих занятиях следует строить работу так, чтобы уча-
щиеся выполняли задания самостоятельно.
Заключительное занятие желательно начать беседой о работе
кружка за год. Упражнения этого занятия небольшие по объему
и носят главным образом занимательный характер. Домашнего за-
дания оно не имеет.
Решения
153.	Пусть цифра единиц х, тогда цифра десятков Зх. Следова-
тельно, данное число Зх* 10+х, а обращенное число х- 10+Зх. Отсю-
да уравнение 31х—13х=36; х=2. Ответ. Данное число 62.
154.	Запишем условно данные задачи так: К<0, А+К=О~\-Н
и	Из первых двух данных вытекает, что А>Й. Из того,
что 0>Л\ А>Н и Н>0\К (т. е. Н>0), имеем А>И>О>К-
Ответ. Аня собрала больше всех макулатуры, за ней идет Нина,
потом Оля и, наконец, Катя.
155.	Ответ. 3125 : 25—125.
156.	Как видно из таблицы, только один случай из 6 возможных
распределений мест между спортсменами отвечает условию задачи.
Ответ. Василий занял первое место, Борисов — второе и Анд-
реев — третье.
157.	Пусть цифра десятков х, тогда цифра единиц 2 х, задуманное
число 10х+2х, а обращенное число 20х+х. Уравнение: 21х—12х=
=36, х=4. Ответ. Задуманное число 48.
158.	Ответ задачи дан на рисунке 113.
84
Таблица к задаче № 156
	1-й зритель	2-й зритель	3-й зритель
АБВ •	Да	да	да
АВБ	ДЭ	нет	да
БАВ	нет	да	да
БВА	нет	да	да
ВАБ	нет	нет	нет
ВБА	нет	да	не7
159.	Пусть Наташе х лет, тогда Васе 2х лет, число орехов у На-
таши 2x4-35, а у Васи — Зх. По условию задачи 2x4-35 больше
Зх в 3 раза. Следовательно, 2х4~35=9х, х=5. Ответ, Наташе 5 лет,
а Васе 10 лет. У Наташи было 45 орехов, а у Васи 15 орехов.
160.	Запишем данные задачи условно так: Б>Л4-В, Б+А=
= Г4-В и Г+Л>Б4“В. Из последних двух условий вытекает, что
Г>Б> а А>В, Отсюда Григорий самый сильный, за ним идет Бо-
рис, потом Андрей и самым слабым оказался Виктор.
161.	Пусть Тане было раньше х лет, тогда в то время Гале было
2х лет. В настоящее время Тане 2х лет. Значит, с того момента
прошло 2х—х=х лет. Следовательно, сейчас Гале Зх лет. Через
7 лет Тане будет 2x4-7 лет, а Гале 3x4-7 лет. Уравнение 2x4-74-
4-3x4-7=39, х=5. Ответ, Тане 10 лет, Гале 15 лет.
162.	Из имеющихся карандашей можно составить следующие
наборы: сс, ск, сз, кк, кз, зз. Если взять по 2 одинаковых набора, то
будет всего 12 наборов. Значит, согласно принципу Дирихле, среди
13 наборов найдется по крайней мере 3 одинаковых набора.
Рис. 113
85
Рис. 114
163.	(1+3+5+7+9+11 + 13+15)+(5Ч-8+П + 14+17+20+
+23+26)-(14-15)-4+(5+26)«4=188.
164.	Конечно, самый короткий маршрут, которым должен был бы
идти пленник, показан на рисунке 114 пунктирной линией. Но плен-
ник ведь не знал лабиринта, и, чтобы не сбиться с пути, он должен,
касаясь одной правой рукой стены, идти по пути, указанному на
рисунке штриховой линией. (Аналогично, он мог бы выйти из ла-
биринта, касаясь стены левой рукой.)
165.	Составим граф по условию задачи, учитывая, что если кол-
хозница продает половину своих яблок, то половина их у нее и
остаётся (рис. 115). Теперь легко решить задачу. Ответ. В корзине
было 126 яблок.
166.	Пусть имеется по 8 ящиков яблок одного сорта, тогда всего
будет 24 ящика. По условию задачи имеется 25 ящиков. Следователь-
но, найдется 9 ящиков с яблоками одного сорта.
167.	Ответ. Цифрой 0.
168.	Пусть цифра десятков х, тогда цифра единиц 2х, искомое
число 10х+2х, а обращенное 20х+х. Уравнение: 21х— 12х=27,
х=3. Ответ. Искомое число 36.
169.	По условию задачи число полных сотен делится на 53.
Так как 48 больше, чем 100—53, то, следовательно, 2 последние
цифры и были 48.
•2 +1 -2	+ 1	'2	-2	+ /	-2	-2 *7
126 63 62	31	30	15	14	7	6	3	2	1	0
Рис. 115
86
170.	Сумма лет всех 11 игроков равна 22-11=242. После того
как 1 игрок ушел, сумма лет 10 игроков стала равна 21-10=210.
Значит, игроку, ушедшему с поля, было 242—210=32 (года).
171.	Пусть масса половины туловища рыбы равна х кг, тогда
масса всего туловища 2х кг, а масса головы х+1 кг. С другой сто-
роны, масса туловища соответствует массе головы и хвоста вместе,
т. е. х+1 +1 кг. Уравнение: х+2=2х, х=2. Ответ. Масса рыбы 8 кг.
\Jil2. Человек берет козу и переправляет ее на другой берег, воз-
вращается один и забирает капусту. Возвращаясь, он оставляет на
берегу капусту, а козу забирает с собой обратно. Оставляет козу
на берегу, а забирает волка. В последний раз он перевозит козу.
173.	Пусть пятизначное число х, тогда (х+200 000)-3=10х+2,
х=85 714. Можно решить задачу по-другому: прибавить к пяти-
значному числу число 200 000 — все равно, что приписать к нему
слева цифру 2. Тогда условие можно записать так:
v 2ABCDE
х	3
ABCDE 2
Расшифровав эту запись, получим:
v 285714
х 3
857142
174.	Раскрыв 3 звена в одном обрывке цепи, кузнец получил 4
звена (т. е. 3 промежутка), которые соединил между собой раскры-
тыми тремя звеньями.
175.	Задача имеет 2 решения. Если расстояние, равное 80 км,
стало между велосипедистом и автомашиной до момента их встречи,
то скорость их сближения (240—80) 4=40 км/ч. Следовательно,
встреча произойдет через 240 : 40=6 ч после их выезда, т. е. в
14 ч. Если расстояние,' равное 80 км, стало между велосипедистом
и автомашиной после их встречи, то скорость их сближения
(240+80): 4=80 км/ч, а значит, встреча произойдет через 240 : 80=Зч,
т. е. в 11 ч.
176.	Цену арбуза составляют 10 коп. и стоимость пол-арбуза.
Значит, половина арбуза стоит 10 коп., а весь арбуз 20 коп.
177.	10 птиц съедят 10 гусениц тоже за 4 мин.
178.	Свечи никуда не денутся. Их было 5, столько же и оста-
нется.
179.	Треугольник АВС и треугольник MKD имеют общую часть,
на которой Костя и отметил 3 точки.
180.	Ошибка состоит в том, что левую и правую части равенства
разделили на 0. На 0 делить нельзя!
181.	1+2+3+..,+12=13-6=78; 78-2=156; 156+24=180.
87
182.	Решение дано на рисунке 116.
183.	Из числа VII сделать XII, переложив одну спичку, а из
числа XI сделать VI, тоже переложив одну спичку.
184.	Прохожий посоветовал каждому сесть на лошадь против-
ника.
КРУЖКОВЫЕ ЗАНЯТИЯ В 5 КЛАССЕ
УПРАЖНЕНИЯ
ЗАНЯТИЕ 1
1.	На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое
ребро увеличить на 10%?
2.	Цена ткани снижена в январе на 10%, а в июне еще на 12%.
Определите новую цену ткани, если до первого снижения она
стоила 15 рублей за метр,
3.	После долгих поисков Генри нашел на чердаке план острова»
на котором его дед Родригес закопал свои сокровища. На плане
(рис. 117) были изображены дороги, указано место, куда нужно по-
ставить корабль, а остальное было непонятно:
какие-то буквы a, b, с, d и надпись: «Двигайся
adadcbbaabcdcbadc». Генри знал, что некоторые
части записи были лишними.
Где спрятаны сокровища?
Домашнее задание
4.	На сколько процентов увеличится полная
поверхность куба, если каждое его ребро увели-
чить на 20%?
5.	Найдите произведение в умножении
., 6 *
Рис. 117
* *
* *
6.	Кубические миллиметры, заключающиеся в одном кубическом
метре, приставлены друг к другу в виде полоски. Сколько времени
потребуется, чтобы проехать эту полоску при скорости 50 км!ч?
89
ЗАНЯТИЕ 2
Рис, 118
7.	Двое рабочих — высокий и низкий — вышли одновременно
из одного и того же дома и пошли на свой завод. У одного из них
шаг был на 20% короче, чем у товарища, но зато он успевал за одно
и то же время делать на 20%
больше шагов, чем его товарищ.
Кто из них раньше пришел на
завод?
8.	Свежие грибы содержат
90% влаги, сушеные—12%.
Сколько сушеных грибов выйдет
из 10 кг свежих?
9.	В кружках треугольника
(рис. 118) расставьте все девять
значащих цифр так, чтобы сум-
ма их на каждой стороне состав-
ляла 20.
10.	На одном заводе работают
три друга: слесарь, токарь и
сварщик. Их фамилии Борисов,
нет ни братьев, ни сестер, он са-
Иванов и Семенов. У слесаря
мый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре
Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.
Домашнее задание
11.	Имеется центнер огурцов. Количество содержащейся в них
влаги составляло 99%. Полежав на складе, огурцы подсохли. Те-
перь количество содержащейся в них влаги составляет 98%. Какой
стала масса всех этих огурцов?
12.	Все значащие цифры разместите в кружках треугольника
(рис. 118) так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.
13.	Имеются 9 палочек различной длины от 1 до 9 см. Квадраты
с какими сторонами и сколькими способами можно составить из
этих палочек? (Не обязательно использовать все палочки; способы
составления одного квадрата считаются разными, если использо-
ваны разные палочки.)
14.	Расшифруйте равенство:
* ***____* * * *
если известно, что оба слагаемых и сумма не изменятся, если все
эти три числа прочитать справа налево.
ЗАНЯТИЕ 3
15,	Древесина только что срубленного дерева массой 7,5 ц
содержала 64% воды. Через неделю количество воды стало состав-
лять 48% от массы дерева. На сколько уменьшилась при этом пер-
воначальная масса дерева?
90
16.	Имеются 4 палочки длиной I см, 4 палочки длиной 2 см, 7 па-
лочек длиной 3 см, 5 палочек длиной 4 см. Можно ли из всех пало-
чек этого набора сложить прямоугольник?
17.	На плоскости отмечено 6 точек так, что никакие три из них
не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели пря-
мые. Сколько всего провели прямых?
18.	В ящике лежат красные, зеленые, синие и желтые шарики.
Известно, что красных шариков в 2 раза больше, чем синих; си-
них в 2 раза больше, чем зеленых, а число желтых шариков боль-
ше 7. Сколько шариков каждого цвета лежит в ящике, если всего их
27?
Домашнее задание
19.	В магазин привезли овощи. В пер-
вый день продали 35% и еще 240 кг. В ма-
газине осталось 540 кг овощей. Сколько
килограммов овощей привезли в магазин?
20.	На перекрестке А автомобилист
разбил стекло левой фары, и теперь ему
надо кратчайшим путем попасть в ремонт-
ную мастерскую В, не попав при этом в
пункт М. Сколькими способами он может
выбрать маршрут? (Рис. 119.)
21.	На доске было произведено умно-
жение двух чисел. Потом часть цифр
стерли и заменили звездочками. Попро-
буйте восстановить стертые цифры:
W 2 W
Х *7
Рис. 119
-л-
* * * -X
X 9С- 9г X 8
ЗАНЯТИЕ
22.	Найдите ошибки в следующем рассуждении:
«Четырежды четыре — двадцать пять».
16 : 16=25 25. Это очевидное равенство. После вынесения за
скобки общего множителя из каждой части этого равенства будем
иметь:
16(1 1)=25 (1 1).
Зная, что 1 1 = 1, получаем: 4-4—25.
23.	Найдите ошибку в «доказательстве»: С руб. = 10 000 С коп.
С руб. = 100 С коп.
1 руб. = 100 коп.
Всякие два равенства можно почленно перемножать. Применим
это утверждение к написанным выше равенствам, получим новое
равенство:
С руб. —10 000 С коп., что явно неверно.
24.	Четыре ученицы — Мария, Нина, Ольга и Поля — участ-
вовали в лыжных соревнованиях и заняли 4 первых места. На воп-
рос, кто какое место занял, они дали 3 разных ответа:
1)	Ольга заняла 1-е место, Нина — 2-е,
2)	Ольга — 2-е, Поля — 3-е,
3)	Мария — 2-е, Поля — 4-е.
Отвечавшие при этом признали, что одно из высказываний каждого
ответа верно, а другое неверно. Какое место заняла каждая из уче-
ниц?
25.	Разместите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 по одному около вершин
треугольника и около середины его сторон так, чтобы сумма трех
чисел, расположенных около любой стороны, была одна и та же.
Домашнее задание
26.	В таблицу вписаны числа по некоторому правилу. Найдите
это правило и впишите недостающие числа (рис. 120).
27.	Впишите недостающее число в таблицу на рисунке 121.
28.	На столе лежат 15 карандашей. Двое берут по очереди либо
1, либо 2, либо 3 карандаша. Проигрывает тот, кому осталось взять
1 последний карандаш. Как должен играть начинающий игру чтобы
он заставил своего противника взять последний карандаш?
29.	Цена альбома была снижена вначале на 15%, а потом еще раз
на 15 коп. Новая цена альбома после двух снижений 19 коп. Опре-
делите его первоначальную цену.
ЗАНЯТИЕ 5
30.	Администратор одной гостиницы решил разместить в 12 од-
номестных комнатах 13 человек, не допуская поселения в одной
комнате двух человек. Предупредив тринадцатого (под этим номе-
ром занесенного в список приехавших), что он временно помещается
в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за
размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с
первой.
В итоге в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек
был помещен во второй комнате, четвертый — в третьей, пятый —
в четвертой и так далее до двенадцатого, который, очевидно, был
вселен в одиннадцатую комнату. Двенадцатую комнату, которая,
$2
как видим, осталась свободной, администратор представил временно-
му жильцу первой комнаты — тринадцатому клиенту гостиницы.
Итак, 12=13. Где ошибка?
31.	Некто взялся доказать, что дважды три равно четырем, а не
шести. Для этого он попросил одного из присутствующих вырезать
из плотной бумаги отрезок.
— Разрезав этот отрезок пополам,— сказал он,— будем иметь
один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем
иметь второй раз 2, проделав ту же операцию над другой из полови-
нок, получим третий раз 2. Беря, три раза по два, мы получили 4,
а не 6. В чем заблуждение странного «математика»?
32.	Три ученицы — Алла, Вера и Кира — на новогодний бал
пришли одна в красном, другая в белом, третья в синем платье.
В высказывании: а) Алла была в красном, б) Вера не в красном,
в) Кира не в синем платье — одна часть верна, две части неверны.
В каком платье была каждая из учениц?
Домашнее задание
33.	Рабочий в феврале увеличил производительность труда по
сравнению с январем на 5%, а в марте увеличил ее снова по сравне-
нию с предыдущим месяцем на 10%. Сколько деталей изготовил ра-
бочий в марте, если в январе он изготовил 200 деталей?
34.	На весы положили 5 груш и 3 яблока так, как показано на
рисунке 122. Чтобы весы были в равновесии,гна правую чашку весов
поставили гирю в 20 г. Определите массу одной ,груши, если извест-
но, что общая масса фруктов равна 780 г.
35.	Найдите множимое в записи:
' * * *
' *2
*08
* 6 *
*12*
36.	Составьте из 12 спичек 4 квадрата так, как показано на ри-
сунке 123. Уберите 2 спички, чтобы осталось всего 2 квадрата.
Остальные спички не трогайте.
Рис. 122
$3
ЗАНЯТИЕ 6
37.	Назовите фигуры, изображенные на рисунках 124, 125,
126. Являются ли параллельными линии, изображенные на рисун-
ке 127?
Рис. 124
Рис. 127
38.	Некто утверждал, что 45—45=45. Рассуждал он так: «За-
писываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных
чисел от I до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых
в обратном порядке (от 9 до 1):
_ 9+8+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7 + 8 + 9
8 + 6 + 4+1+9 + 7 + 5 + 3 + 2
Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел
первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем еди-
ницу из двух, имеем 11— 9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить,
что
8+6+4+1 +9+7+5+3+2=45.
Итак, 45—45=45». В чем здесь ошибка?
39.	Каждая точка с целочисленными координатами обозначена
буквой (рис. 128). Например, точка с координатами (0; 0) есть А;
а
94
(2; 1) — точка Ж; точка Ч(—1; 2) ит. д. Такую сетку можно ис-
пользовать в качестве шифра.
а)	Расшифруйте запись: (—1; —2), (2; —3), (—2; —3), (1; —1),
(0; 1), (1; -1), (-1; 0), (-2; 0), (0; -2);
б)	Какое слово зашифровано последовательностью точек с коор-
динатами (2; 0), (1; -1), (—1; —1),(1; -1), (-2; -3), (2; -3)?
в)	Зашифруйте слово «математика».
40.	Несколько четырехзначных чисел распределены по трем
группам следующим образом:
I группа: 3721, 1732, 1723;
II группа: 3271, 3172, 1273;
III группа: 7213, 7132, 7231.
Определите признак, по которому произведена разбивка на
группы.
41.	Расставьте в клетках (рис. 129) четные числа 4, 6, 8, 12, 16,
18 так, чтобы в любом направлении по вертикали, горизонтали
или диагонали получалось в сумме 30.
Домашнее задание
42.	Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды.
После некоторого времени он впитывает еще некоторое количество
воды и содержит уже 15% влаги. На сколько увеличится при этом
масса 25,75 т только что добытого каменного угля? (Ответ дать
с точностью до 0,1 г.)
43.	Из 8 внешне одинаковых монет 7 золотых и 1 фальшивая,
которая несколько легче остальных. Требуется при помощи не более
чем двух сравнений массы данных монет на чашечных весах, не
пользуясь гирями, найти фальшивую монету. Можно ли это сде-
лать и как?
44.	В выражении 2,5—2,5*0-4,6—4,6 поставьте скобки таким
образом, чтобы значение этого выражения было положительным.
45.	Если со второй полки переложить на первую столько книг,
95
сколько было на первой, то на первой полке будет книг в 3 раза
меньше, чем на второй. Сколько книг — самое меньшее — могло
быть на каждой полке?
ЗАНЯТИЕ 7
46.	Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их
туфли были одного из тех же трех цветов. Известно, что только у
Ани цвета платья и туфель совпадают. Ни платье, ни туфли Вали не
были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет
платья и туфель каждой из подруг.
47.	В велогонках приняли участие пять школьников. После го-
нок четыре болельщика заявили, что:
а)	Сережа занял II место, а Коля — III;
б)	Надя заняла III место, а Толя —V;
в)	Толя занял I место, а Надя — II;
г)	Сережа занял второе место, а Ваня — IV.
Зная, что одно из показаний каждого болельщика верное, а дру-
гое ложное, найдите правильное распределение, мест.
48.	Логическая задач а-шутка.
Два города А и В расположены рядом. Жители обоих городов
часто навещают друг друга. Известно, что все жители города А всег-
да говорят только правду, а жители города В всегда лгут.
Какой вопрос следует задать жителю, которого вы встречаете
в одном из городов (вы не знаете, в каком), чтобы по его ответу «да»
или «нет» можно было сразу же определить, в каком городе- вы на-
ходитесь?
Домашнее задание
* 49. При составлении расписания уроков на понедельник трое
преподавателей высказали' пожелания, чтобы их уроки были:
по математике—Ьй или 2-й;
по истории — 1-й или 3-й;
по литературе — 2-й или 3-й.
Сколькими способами и как при составлении расписания можно
удовлетворить пожелания всех преподавателей?
50.	Плитка шоколада прямоугольной формы состоит из 5x8
равных долек. Она разламывается на сорок одинаковых отдельных
частей по прямым, разделяющим дольки. Сколько раз придется для
этого ломать плитку на дольки?
51.	Среди одинаковых по внешнему виду 76 шариков имеется
1 более легкий. Какое наименьшее число взвешиваний надо сделать
на чашечных весах без гирь, чтобы найти более легкий шарик?
ЗАНЯТИЕ 8
52.	Вера, Нина, Оля и Люба надели платья разных цветов
(красное, синее, белое, голубое). На вопрос, кто из них в каком
-платье, три девочки ответили:
96
1)	Оля — в синем, Люба — в белом;
2)	Оля— в красном, Нина — в синем, Люба — в голубом;
3)	Вера — в синем, Люба — в голубом*
В каждом ответе одна часть, верна, а другая неверца. -Какого
цвета платье надела каждая девочка?
53. Три учительницы — Ирина Васильевна, Дарья Михайловна
и Софья Петровна — преподают различные предметы (химию, био?
логию, физику) в школах Минска, Львова, Курска.
Известно:
1)	Ирина Васильевна работает не в Минске, а Дарья Михайлов-
на не во Львове;
2)	та, которая живет в Минске, преподает не физику;
3)	работающая во Львове, преподает химию;
.4) Дарья Михайловна преподает не биологиюл
Какой предмет и в каком городе преподает каждая учительница?
54. Дан прямоугольник, основание которого в 2 раза больше
высоты.
1)	Разрежьте этот прямоугольник на 2 части так, чтобы из них
можно было составить прямоугольный треугольник.
2)	Как нужно разрезать данный прямоугольник на 2 части, чтобы
из них можно было составить равнобедренный треугольник?
3)	Как нужно разрезать данный прямоугольник на 3 части, чтобы
из них можно было составить квадрат?
Домашнее задание
55^ Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в со-
ревнованиях, причем никакие два мальчика не делили между собой
какие-нибудь места. На вопрос, какие места заняли ребята, трое
ответили:
1) Коля — ни первое, ни четвертое;
2)- Боря — второе;
3) Вова не был последними
Какое место заня^ каждый Мальчик? t к
5в.-Из: спичек сложена фигура (рис.
130)	. Требуется/убрать 3 спички и пе-	ff
реложить 2 ^пички так, чтобы осталось ff
5 равныхтреугол^никой;Как это сделать?
57.	На сколько процентов увеличит- ff 2^ Ж
ся площадь квадрата, если периметр iff	%\
его увеличить на 80%? 1	ffi
58.	Софизм «5—1»; Вычтем из чиселх5 ff ff\^ ff \
и 1 одно и 'то же число З.Щолучим ff у ^^ff	ж
2н—2. Умйожйм каждое из этих чисел ••'ф'1 =** ~	‘
само на себя, получим 4=4? Значит^	Рис- 130\
должны быть равны и исходные числа.
Где ошибка?
4 A#
97
ЗАНЯТИЕ 9
59.	5 школьников из 5 различных' городов приехали в Смоленск
для участия в областной математической олимпиаде. «Откуда вы,
ребята?» — спросили мы их. Вот, что ответил каждый.
А н д р е е в: «Я приехал из Рославля, а Григорьев живет в Га-
гарине».
Борисов: «В Гагарине живет Васильев, я прибыл из Вязьмы».
Васильев: «Из Рославля приехал я, а Борисов — из Ельни».
Григорьев: «Я прибыл из Гагарина, а Данилов —- из Яр-
цева».
Данилов: «Да, а действительно из Ярцева*, Андреев живет
в Вязьме».
Мы удивились противоречивости их ответов. Ребята объяснили:
«Каждый высказал одно утверждение правильное, а другое — лож-
ное. Но по нашим ответам вполне можно установить, откуда мы
приехали». Откуда приехал каждый школьник?
60.	Марина, Лариса Жанна и Катя умеют играть на разных ин-
струментах (виолончели, рояле, гитаре, Скрипке), но каждая толь-
ко на одном. Они же владеют разными иностранными языками
(английским, французским, немецким й испанским), но каждая толь-
ко одним.
Известно?
1)	Девушка, которая иГрает'на гитаре, говорит по-иСпански.
2)	Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает
английского языка.
3)	Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и це знает
английского языка.
4)	Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолон-
чели.
5)	Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.
Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык
знает?
61.	Рассмотрим равенство «5=6».
35+10—45=42+12—54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки, долу-
чим:
5(7+2—9)=6(7+2—9).
Разделим обе части этого равенства на общий множитель* Получим
5=6. Где ошибка?
Домашнее задание
62.	Из костей домино можно складывать «окошки» с одинаковыми
суммами очков вдольГкаждой стороны каждого отдельного «окошка».
Употребляя все 28 костей домино, составьте 7 одинаковых «окошек»,
обладающих указанным свойством, среди которых не было бы
«окошка», изображенного на рисунке 131.
98
Рис, 132
Замечание. Числа очков в угловых квадратах входят в
счет дважды — вдоль горизонтальной стороны и вдоль вертикаль-
ной стороны; кроме того, суммы очков должны быть одинаковыми
только вдоль сторон каждого «окошка». У разных «окошек» они
могут быть различными.
63.	Пластинку, изображенную на рисунке 132, разрежьте на 6
равных пластинок.
64.	В одном из ленинградских институтов на разных курсах
учились 4 товарища. Самый младший из них учился на I курсе,
а самый старший — на IV. Определить имя, фамилию каждого сту-
дента и курс, на котором он учился, если известны следующие факты:
1)	Борис был персональным стипендиатом;
2)	Василий должен был летом ехать на практику в Омск, а Ива-
нов собирался ехать домой в Донбасс;
3)	Николай был курсом старше Петра;
4)	Борис и Орлов были коренными ленинградцами;
5)	Крылов в прошлом году окончил школу и поступил на тот
же факультет, где учился Карпов;
6)	Борис иногда пользовался прошлогодним конспектом Василия.
ЗАНЯТИЕ 10
65.	В шахматном’турнире принимали участие 6 партнеров раз-
ных профессий: токарь, слесарь, инженер, учитель, врач и шофер.
Известно:
а)	в первом туре Андреев играл с врачом, учитель с Борисовым,
а Григорьев с Евдокимовым;
б)	во втором туре Дмитриев играл с токарем, а врач — с Бори-
совым;
в)	в третьем туре Евдокимов играл с инженером.
Известно также, что по окончании турнира места распределились
так:
Борисов занял I место, Григорьев и инженер поделили II и III
мёста, Дмитриев занял IV место, а Золотарев и слесарь поделили
V и VI места.
4*
99
Какие профессии имели Григорьев, Дмитриев и Евдокимов?
66.	В купе одного из вагонов поезда Москва — Одесса ехали
москвич, ленинградец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одес-
сит. Их фамилии начинались буквами Д, Б, В, Г, Д и Е. В дороге
выяснилось, что:
а)	Л и москвич врачи;
б)	Р и ленинградец — учителя;
в)	В и туляк — инженеры;
г)	Б и Е — участники Отечественной войны, а туляк в армии
совсем не служил;
д)	харьковчанин старше Я;
е)	одессит старше В;
ж)	Б и москвич сошли в Киеве;
з)	В и харьковчанин — в Виннице.
Определите профессию каждого из этих 6 пассажиров и место
жительства каждого из них.
67.	В ящике лежат 35 шариков. Двое играющих по очереди вы-
нимают их из ящика, причем по условию игры каждый обязан вы-
нуть в свой ход не менее одного шарика и не более пяти. Проиграв-
шим считается тот, кто вынужден будет своим ходом вынуть из
ящика последний шар. Может ли игрок, делающий ход первым,
обеспечить себе выигрыш? Каким образом?
Домашнее задание
68.	В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты
вышли 30, а из второй 40, то людей в комнатах осталось поровну.
Сколько человек было в каждой комнате первоначально?
69.	Поезд идет из Москвы в Ленинград, В поезде едут пассажиры
Иванов, Петров и Сидоров. В бригаде, обслуживающей поезд, та-
кие же фамилии у машиниста, кондуктора и кочегара.: Известно?,
что;
1)	пассажир Иванов живет в Москве;
2)	кондуктор живет на полпути: между Ленинградом,, и Москвой;
3)	пассажир — однофамилец кондуктора — живет в Ленин-
граде; .
4)	ближайший сосед кондуктора (пассажир) зарабатывает втрое
больше, кондуктора;
5)	пассажир Петров зарабатывает в месяц 200 руб.;
6)	Сидоров (из бригады) выиграл у кочегара партию на биллиарде.
Определите фамилию машиниста.	>
70. Взято трехзначное число, в котором крайние цифры отли-
чаются больше чем на 1. Написав его справа налево; вёгёйтайт из
большего меньшее. Затем полученную разность снова записывают
справа налево и эти два числа складывают. Доказать, что получен-
ная сумма не зависит от того, какое трехзначнбе 4ислЪ было; 'пер-
воначально выбрано.	h
100
v.a<	й’й'С-Й
^(71. Чему ;равно>84, если 8-8^54?
Чему равно 100, если 5-6—33?
73. Из шуточной биографии школьника: «Экзамены за 13-й класс
я сдал на отлично, все мои оценки в сумме составили 30. В школу
я пошел, как все дети, в 12 лет»; За какой класс сдавал экзамены
школьник и сколько было экзаменов?
.74. Отцу 32 года, сыну 5 лет< Через сколько лет отец будет в де-
сять раз старше сына?
Домашнее задание
75.	Чему равно 74, если 5*10—42?
76.	В бумагах одного математика была найдена странная авто-
биография: «Я окончил школу 33-летним юношей и поступил в
том же году в институт, который успешно закончил в возрасте 42
лет., Вместе сО своей 4 маленькой сестренкой, которая училась в
третьем классе средней школы и была в возрасте 20 лет, я поехал
«а учительскую работу. Школа помещалась в десяти километрах
от железной дороги. Это расстояние я нё спеша легко преодолевал
за 1 ч, а на велосипеде даже за каких-нибудь 100 мин. Работа в школё
мне давалась легко, нагрузка у меня была небольшая — 100 ч
в неделю. Сестра моя училась очень хорошо и окончила школу че-
рез 12 лет, будучи еще совсем молоденькой девушкой — ей едва
исполнилось 32 года». Как выяснилось, все числа в этой автобио-
графии написаны в пятеричной системе счисления. Расшифруйте
автобиографию.
77.	В нашем городе живут пятеро друзей:.Ива нов, Петренко, Си-
дорчук, Гришин и Веселов. Профессия у них разные: один из них —
маляр, другоймельник, третийпарикмахер. Петренко и
Гришин никогда не держали в руках малярной кисти. Иванов и
Гришин давно собираются посетить мельницу, на которой работает
их товарищ. Петренко и Веселов живут в одном доме с почтальо-
ном. Ейдорчук нёдавно был в загсе одним йз свидетелей, когда Пет-
реикб и дЬчь парикмахера сочетались Законным браком. Иванов и
Петренко каждое воскресенье играли в городки с плотником й ма-
ляром; А ГриШйН и Веселов по Субботам обязательно встречаются
в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон предпочитает
бриться сам. Определите профессий каждого из друзей.
ЗАНЯТИЕ 12
78.	Изобразите 47 в троичной системе.
79* Число 200 изобразите в семеричной системе,
8(к Число 163 изобразите в двенадцатеричной системе.
81,	Выразите числа 1926 и 273 в двенадцатеричной системе.
82.	Ученик одной из московских школ на математическом сборе
рассказал автобиографию: «Я родился 110 марта 30 321 года. В 12
101
лет я пошел в школу. В 30 333 году, меня приняли в октябрята, а в
30 341 году, когда мне было 14 лет, я стал пионером. Сейчас я учусь
в 10 классе,в школе 3234. Учусь я хорошо. Очень часто получаю
балл «10». Как объяснить странные числа, использованные в этой
автобиографии?
83.	Переведите в восьмеричную систему десятичные числа 12005;
8791; 6348; 38697.
Домашнее задание
84.	Запишите в десятичной системе счисления числа 108; 1008;
1000s; Ю0008.
85.	Пользуясь результатами предыдущей задачи, переведите в
восьмеричную систему числа 8; 64; 512; 4096.
86.	Запишите в десятичной системе счисления числа 10б*; 100Б;
10006; 100005.
87.	Существует ли система счисления, в которой одновременно:
а) 3+4=10, а 3-4=15?
б) 2+3=5, а 2-3=11?
ЗАНЯТИЕ 13
88.	Выполните действия над числами, записанными в пятеричной
системе счйсления:
а) , 42ЮЗ б) 2143 в) v 213 г) ^42
"*"2 1:32	— 334 Х 3	Х31
89.	Разделите 120101 s на 1023.
90.	НайДите сумму:
а) 1 Q 1 1 0 1 1 1 00 12 б) 3400042,.
. 1001010110 12	, 1 244 04 35г
+ . 10001 101 1а	'41 1 22401, •
1 0 1 1 1 1 1 0 1 02	------------
91.	Найдите произведение:
а)	111205-31ОБ-113б;
б)	201223-200128.
Домашнее задание
92.	Какое число больше и на сколько:
а) 10110П010012 или 34012Б?
б) 12002203 или 43401б?
93.	Найдите второе слагаемое
321:03214,
* 2 * 0 * 2 4 *5
13*0*3** 1,
102
। :
94-	Выполните действия в троичной системе:
755048+340210Б—1001100118.
95.	В какой системе счисления верно высказывание: 1)2-2=100?
Й) 2-2=11? 3) 10 число нечетное? 4) 2-3=11? 5) 3-3=14?
ЗАНЯТИЕ 14
96.	(Отгадывание задуманного числа по спичкам.)
Загадавший мысленно делит задуманное число пополам, полу-
ченную половину опять пополам и т. д. (от нечетного числа отбра-
сывается единица) и при каждом делении кладет перед собой
спичку, направленную вдоль стола (если делится число четное),
или поперек стола (если приходится делить нечетное). Какие числа
задумал ученик, если к концу операции у него получились сле-
дующие фигуры:
а) рис. 133; б) рис. 134; в) рис. 135?
97.	Найдите первое слагаемое:
. * *0 »0 * 1 * * 1а
+ .10 111*10*,
100*1 *00010,
98.	В какой системе счисления справедливо равенство 3-4=10?
Рис. 133
Рис. 134
99. В какой системе счи- <
сления справедливо равенство
10-10=100?
100.	Составьте таблицу умно-
жения чисел для шестеричной
систем?,!.
101.	Пользуясь таблицей пре-
дыдущей задачи, выполните
умножение 352а-2450.
Рис. 135
103
Домашнее задание
102.	Составьте таблицу сложения однозначных чисел в восьме-
ричной системе.
103.	Составьте таблицу умножения однозначных чисел в восьме-
ричной системе.
104.	Выполните указанные действия в восьмеричной Системе
счисления:
а) 426+352;
б) 17-71.
105.	Дано
*=^-111111
(наборы из трех вертикальных черточек разрешается читать в этой
Записи сразу тремя различными способами). Чему равен х?
ЗАНЯТИЕ
15
106.	Даны следующие множества:
А — множество учеников данной школы;
В — множество учеников пятых классов данной школы;
С множество учащихся всех школ данного города;
D — множество учащихся пятых классов, посещающих кружко-
вые занятия по математике;
Е — множество всех учащихся школ СССР.
Записать буквы, обозначающие множества, так, чтобы каждая
буква (кроме последней) обозначала подмножество следующего
.множества.:
Ю7. На школьной сцене висят 7 ламп» Сколько существует спо-
собов освещения сцены?
14)8. Ввазе лежат груша, яблоке», слива, персик, банан й апель-
син. Сколькими способами может человек выбрать фрукты из этой
вазы?..
Домашнее задание
109.	В коробке 12 карандашей различных цветов.Сколькими Спо-
собами можно вынуть несколько карандашей из коробки?
110.	В комнате 5 лампочек. Сколько существует Способов осве-
щения? (Под способами освещения подразумевается следующее:
каждая лампа может гореть и не гореть. Два способа считаются раз-
личными, если они отличаются состоянием хотя бы одной лампы.)
111.	Даны множества:
А— множество целых чисел,
104
В — множество четных чисел;
С— множестве. нечетных чдеел;?х
D — множество отрицательных чисел;
Д — множество неотрицательных -чисел.
Указать, какие из данных множеств являются подмножествами
другцх данных множеств,
112.	Один шестиклассник о себе писал так: «Пальцев у меня
24, на каждой руке 5, а на ногах 12». Как же так могло быть?
ЗАНЯТИЕ 16
113.	Одному из учащихся было поручено написать заметку в
стенную газету об успеваемости класса за первое полугодие. Он взял
журнал и выписал следующие сведения: из 40 учащихся класса не
имеет «троек» по русскому языку,—.25 человек, по математике —
28, по физике — 3i г по математике,и физике —.22, по математике
и русскому языку — Гб, по физике й русскому языку — 16, 12 че-
ловек учатся без «троек» по всем предметам. Редактор, прочитав
заметку и подумав, сказал: «Ты ошибся в счете,> данные явно не-
верные».
Объясните, почему эти сведения^ не могут быть верными.
114.	В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, зани-
маются' плаванием— 25, ходят на лыжах -- 27. Одновременно за-
нимаются плаванием и баскетболом —- 15, баскетболом и лыжами —
16, плаванием и лыжами — 18. Один человек освобожден от заня-
тий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми указанными
видами спорта? Сколько человек занимается только в одной спор-
тивной секции?
’ 1Д5. Постройте четырехугольник, вершины которого имеют
координаты (—1; —1); (—1; 1), (1; 2), (2; —2). Выполните снммет’
гфию-елр,* относительно оси абсцисс. Запишите координаты Вершин
полученного четырехугольника.
- Ив. /Дан треугольник АВС< координаты вершин * которого:
7);4?<0;г 1). Поетройтетреуголъннк BjС19 сим-
метричный треугольнику АВС относительно оси ОУ, и запишите
координаты вершин многоугольника, полученного при пересечении
треугольников.
задание
. .117, Йз 1 Об студентов английский язык изучают 28 чел., немец-
кий -т-Зб чел. французский — 42, английский и немецкий — 8,
английский и французский — 10, немецкий и французский5.
Всё три языка изучают три студента. Сколько студентов изучают
только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?
118.	Дан треугольник MNK, координаты, вершин, которого:
Л4(7;3); /V(—2; —6); К(1; 0) Постройте симметричный ему относи-
105
тельно оси ОХ треугольник MiHiXi. Запишите координаты вершин
многоугольника, полученного при пересечении треугольников.
119.	Как изменится по величине число 2120008, если:
а)	отбросить справа один нуль;
б)	отбросить справа три нуля?
120.	Установить, в какой системе счисления выполняется каждое
из равенств:
а)	23+14=42;
б)	71—36=33.
ЗАНЯТИЕ
17
121.	Даны множества целых чисел:
Д = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Найти A UB-
122.	Пусть множество С есть множество букв русского алфавита,
входящих в слово «математика», a D — множество букв, входящих в
слово «арифметика», Найдите C(jO.
123.	Найти объединение множества натуральных четных чисел
и множества натуральных нечетных чисел.
124.	Дан треугольник АВС, координаты вершин которого:
Л(3; 7), В{—6; 2), С (0; 1). Постройте треугольник А'В'С, симмет-
ричный треугольнику АВС относительно оси OY и запишите коор-
динаты вершин многоугольника, являющегося объединением этих
треугольников.
Домашнее задание
125.	Даны два множества С={—3; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4;}и©=
= {2, 3, 4, ,5, 6}. Найдите С 1}D.
126.	Пусть М —множество букв русского алфавита, входящих
в слово «луноход», a N — множество букв, входящих в слово «спут-
ник». Найдите М и N.
127.	Дан треугольник MNK, координаты вершин которого:
Л1(7; 3), 2V (—2; —6), К (1; 0). Постройте треугольник сим-
метричный треугольнику MNK относительно оси ОХ. Запишите
координаты вершин многоугольника, являющегося объединением
этих треугольников.
128.	Выполните указанные действия:
а)	32406+4023б;
б)	232658—47628;
в)	3225-145.
ЗАНЯТИЕ 18
129.	Даны множества целых чисел:
Л = {0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7}; В=(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
С='-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}; D = {2, 3» 4, 5, 6}.
106
Перечислите элементы, входящие 6 множества:
а) А и Ви С UD; б) А Л В л С Л D; в) (Л П В) и (С Л D); г) (Л и В) Л
Л (CUD).
130.	А — множество букв в слове «универмаг», В *.— множество
букв в слове «лекторий». Назовите элементы, принадлежащие мно-
жествам:
а) Л и В; б)Лп'В.
131.	Напишите все подмножества множества 7И, если М={тет-
радь, ручка, карандаш}.
132.	Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух
треугольников?
Домашнее задание
133.	Даны множества целых чисел:
1,0,1,2,3,4,5}; N={—2, — 1, 0, 1, 2, 3}; /<={—3, _2,
-1, 0, 1, 2}; />= {—4, -3,-2, ^1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Перечислите элементы, входящие в множества:
a) MUJVUPU/C б)	в) (2И Utf) Л(Ки^
134.	В вазе лежат персик, абрикос, яблоко и груща. Сколькими
способами человек может брать фрукты из вазы?
135.	Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух
четырехугольников?
J36. «Странная семья». У меня ИЙ братьев, младшему 100Q лет,
а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001-м классе.
Что это за семья?
ЗАНЯТИЕ 19	г
137.	Если сумма четырех чисел есть число нечетное, то произведе-
ние их — число четное. Докажите.
138.	К двузначному числу прибавили 5, сумма оказалась крат-
ной 5. Когда от него отняли 3, сумма оказалась кратной 3. А кбгда
его разделили на 2, то оказалось, что и частное делится на 2. Най-
дите число.
139.	Числа от 1 до 9 расположили в виде квадратной таблички.
При этом оказалось, что сумма чисел; стоящих в каждом столбце,
и сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой.
В какой кЛетке может стоять 1?
140.	Какие числа могут стоять в центре квадратной таблички,
рассмотренной выше?
Домашнее задание
141.	Сколькими способами можно расставить скобки в выраже-
ниях а~3 : 3 : 3 : 3 и Ь=2 : 2 : 2 : 2 : 2? Сколько при этом можно
получить различных значений?
142.	Миша встал на верхнюю ступеньку движущегося вниз эска-
латора одновременно е Колей, который встал на нижнюю ступеньку
107
движущегесяизверх эскалатора. Через:36.секунд ступеньки), некото-
рые встали Миша и Коля, псровнялись. Каждый эскалатор движется
со скоростью 50 м!мин. Чему равна длина эскалатора?
143.	Восстановите цифры, замененные звездочками:
****** * **
**»* | *8*
* **
* **
* * * *
* ** *
б
144.	Пусть а — нечетное натуральное число, b *— натуральное
число. Докажите, что числа а и ab+4 взаимно простые.
ЗАНЯТИЕ 20
145.	Произвольно взяток натуральных числа и составлены сумма,
разность и произведение их. Докажите, что среди этих 3 чисел по
крайней мере одно, кратное 3.
146.	Найдите каждый множитель в записи:
» * **
* *
* * * *
* * * *
*** * *
При этом известно:
1)	четырехзначный множитель кратен 5;
2)	первый мнржцтельне изменяется, если прочитать его справа
налево;
3)	произведение кратно 9.
147.	Задумайте многозначное число. Найдите сумму цифр этого
числа» отнимите ее;от задуманного числа, затем в полученной числе
зачеркните одну цифру (безразлично какую}и сообщите вое; осталь-
ные. Я немедленно назову вам зачеркнутую цифру.
.''и.....
Домашнее зад&нив
*i.l in i । ! р । к	1481 Докажете, что из’любых 11
чисел всегда можно выбрать два
таких числа, разность которых
кратна 10.
149. Разложите число 75 на два
слагаемых так, чтобы большее из
•.	.	- X них было бы в 3 раза. больше их
Рис.» 136	разности.
Ж
150.	Разрежьте фигуру, показанную на рисунке 136, на 4 ранные
-части.
ЗАНЯТИЕ 21
151.	Разобьем некоторое четырехзначное число справа налево
на грани по две цифры в каждой и сложим эти грани. Докажите,
что если полученная сумма делится на 11 без остатка, то и испытуе-
мое число кратно 11.
152.	Из трех цифр, среди которых нет нуля, образовали все воз-
можные трехзначные числа с различными цифрами. При этом ока-
залось, что сумма двух самых больших из этих чисел равна 1444.
Каковы взятые цифры?
153.	Даны 3 различные не равные нулю цифры. Из них состав-
лены все возможные трехзначные числа; Докажите, что сумма этих
чисел обязательно делится на 6 и на 37.
Домашнее задание
154.	Докажите, что если в трехзначном числе средняя цифра ра-
вна сумме крайних, то число делится на 11.
155.	Придумайте девятизначное число, которое делилось бы на
11. ____________________________
156.	При каком условии число аЪсь делится на 4?
157.	Пусть А и В —две точки на плоскости; будем обозначать
через [ЛВ] множества точек, лежащих на отрезке между А и В,
включая сами точки Л и В; через (ЛВ1 будем обозначать то же мно-
жество, но без точки Л, и аналогично будем обозначать [ЛВ) и (ЛВ).
Какие из следующих утверждений верны: Л£(ЛВ1; В^[ЛВ);
В € (ЛВ1U BD); D £ (DA) U [ВО]; О GIЛ В] UIBD); В £ [ЛВ) Ц [BD1;
ВС(ЛВ)п(ВО1? (6 — знак принадлежности точки к множеству;
(_Ги П—знаки объединения и пересечения множеств.)
ЗАНЯТИЕ 22
158; Какие из фигур на рисунке 137 являются развертками пря-
моугольного параллелепипеда?
Рис. 137
156.	Чему равен угол между двумя пунктирными прямыми, про-
веденными на поверхности изображенного на рисунке 13Й кубЦ?
160.	Два пионерских лагеря С и D расооложеньглнх разные сто-
роны и на разных расстояниях от шоссе. Где сл еду ет> устроить авто-
;Ю9
Рис. 138
бусную станцию, чтобы она одинаково
отстояла от обоих пионерских лаге-
рей?
161.	Построить треугольник, симметрич-
ный треугольнику АВС относительно отрезка
AD, соединяющего вершину А треугольника
с серединой D стороны ВС. Заштрихуйте фи-
гуру, образованную объединением треуголь-
ников.
Домашнее задание
162.	Какие из фигур на рисунке 139 являются развертками куба?
Рис. 139
163.	Составьте слова из букв русского алфавита, имеющие одну
горизонтальную ось симметрии.
164.	Даны круг К я его хорда АВ. Постройте круг К19 симметрич-
ный кругу К относительно хорды АВ, и заштрихуйте фигуру, обра-
зованную пересечением кругов К и
165.	Сумма четырехзначного и трехзначного чисел равна 4190, а
сумма обращенных чисел равна 6980. Найдите эти числа.
ЗАНЯТИЕ 23
166.	Посреди большого треугольного участка земли некто решил
построить дом и проложить от него к границам участка три прямые
дорожки. Каждая дорожка ведет от дома к какой-то из сторон уча-
стка и перпендикулярна к этой стороне. Участок имеет форму равно-
стороннего треугольника. Где следует расположить дом, чтобы сумма
длин всех трех дорожек была минимальной?
167.	Даны две окружности и отрезок АВ (рис. 140). Постройте
отрезок, равный й параллельный отрезку АВ, концы которого лежат
на данных окружностях.
НО
Рис. 140
Рис. 141
168* Найдите точку, равноудаленную от crop он урла и от концов
Данного отрезка (рис. 141).
169.	Дан прямоугольник ABCD. Постройте прямоугольник, по-
лучаемый из прямоугольника ABCD поворотом нау гол 90° в направ-
лении против часовой стрелки вокруг середины Стороны АВ.
Домашнее задание
170.	Даны две пересекающиеся прямые и ось симметрии, пере-
секающая их. Постройте прямые, симметричные данным относи-
тельно оси.
171.	Сколько осей симметрии имеет фигура, образованная окру-
жностью и точкой?
\12.Z_ABC и zLCBD — смежные; ZLCBD ==36°; NB±ADt МВ —
биссектриса угла АВС. Определите Z_AfBN .(рис. 142).
173.	В нашем классе 1000112. учеников. 111100а% из них учится
на хорошо и отлично. Сколько учеников учится на хорошо и отли-
чно?
174.	Магазин продал кусок тка-
ни в течение четырех дней. В 1-й
>. 1
день было продано -g- всего куска и
еще 5 л, во 2-й — 20% остатка и
еще 10 м, в 3-й день — 25% нового
остатка и еще 9 л*, в 4-и день— —
того, что осталось после продажи
в 3-й день, и остальные 13 м.
Сколько метров было в куске?
Рис. 142
1П
В
Рис. 143
ЗАНЯТИЕ 24
175.	Дорога 5Л пересекает ре-
ку SB под острым углом. Всадник
из пунктаС (С — внутри угла Д£В)
должен по возможности скорее до-
браться до дороги S4 (чтобы с по-
путной машиной передать письмо),
но при этом сначала’ ему нужно
напоить коня в реке SB. Как он
должен ехать? (Рис. 143).
176.	Постройте биссектрису угла, вершина которого не помеща-
ется на чертеже.
177.	Вращением на какой угол около своего центра равносторон-
ний треугольник может быть совмещен сам с собой?
Домашнее задание
178.	Вращением на какой угол около своего центра квадрат мо-
жет быть совмещен сам с собой?
179.	У берега реки надо поставить водонапорную башню, из ко-
торой вода доставлялась бы по трубам в селения Л и В. В какой то-
чке ее нужно соорудить, чтобы общая длина труб до обоих селений
была наименьшей? (Берег считать прямолинейным, Ди В— по одну
и ту же сторону реки.)
7
180.	Даны .на числовом луче 2 точки, соответствующие числам
з
и бэд. Найдите числа, которые соответствуют точкам на числовом
луче, расстояние от которых до точки, соответствующей.: большему
числу, было бы в. 5 раз больше, чем До точки, соответствующей мень-
шему числу.
ЗАНЯТИЕ 25
181,	Найдите угол, равный 25% своего. сме^кыого<; г	-
182.	Что больше — единица третьего разряда-четверичной^си-
стемы или единица четвертого разряда троичной системы?
183.	Представьте себе, что вы машинист паровоза, ведущего пас-
сажирский состав. Всего в составе поезда 13 вагонов. Поезд обслу-
живает бригада в 30 человек. Начальнику поезда 46 лет, кочегар
на 3 года старше машиниста. Сколько лет. машинисту поезда?
184.	Задача древней Греции.
— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посе-
щают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот. сколько,— ответил философ: — половина изучает мате-
матику^ четверть— музыку, седьмая часть пребывает в молчании,
и, кроме того, есть еще три женщины.
112
185.	Перимётр равнобедренного треугольника 63 си. Длина одной
стороны втрое больше длины другой. Найдите длину большей сто-
роны.
186.	Найдите объединение множества равносторонних треуголь-
ников и множества равнобедренных. Найдите пересечение этих мно-
жеств.
187.	Один ученик нашел новое правило умножения смешанных
чисел. Объяснил он это правило таким образом:
«При сложении смешанных чисел надо складывать отдельно це-
лые и отдельно дроби.
Например:
4+8t=(7+8>+(1+t)-i4
При вычитании делается тоже-самое, в случае надобности де-
лается «заем»:
4-21 =4-4=(8-2)+(|—I)=е|.
Точно так же надо поступать и при умножении смешанных чи-
сел: целые умножать на целые, дробь — на дробь. К примеру:
71.21=(7.2)+(1.4)_14+1-14».
Можно ли производить умножение смешанных чисел так, как пред-
лагает этот ученик?
188.	Припишите к числу 43572 справа или слева одну цифру так,
чтобы получившееся число разделилось на одиннадцать.
189.	Если квадрат разделить на 4 одинаковых квадрата и чет-
вертую часть отрезать, то можно ли оставшуюся часть разбить на
4 одинаковые по величине и форме фигуры?
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
(5 Класс)
Занятия 1—3
Тема. Проценты
Учебно-воспитательные цели. Процент — частный случай;де-
сятичной дроби, это Дробь 0,01; В связи с этим на процент^ распро-
страняется' теория Десятичных дробей. Первоначально проценты
применялись преимущественно при коммерческих расчетах. В даль-
нейшем область применения процентов расширилась, и в настоящее
время проценты стали применяться в физике,- технике, химий, меди-
цине, в жизненной практике. Поэтому более глубокое ознакомление
учащихся с процентами укрепит знание десятичных дробей, позна-
комит с задачами, имеющими применение в различных жизненных
ситуациях.
Методические замечания. На данную тему отводится Три занятия
кружка; хотя в дальнейшем задачи на проценты будут включейы в
задачи для домашней работы.
11$
На первом занятии учителю полезно провести беседу и сообщить
учащимся, что слово «процент» состоит из двух латинских слов:
«про» — на и «центум» — сто (сравните со словом «центнер»), что в
переводе обозначает «на сто». Если хотят сказать, что на каждые
100 единиц плана перевыполнение было на 12 единиц, то говорят,
что план перевыполнен на 12 процентов. Из итальянского слова
cento получилось сокращение cto, а из него знак %, который окон-
чательно закрепился в печати в конце XVII века. Надо сообщить уча-
щимся, что иногда они могут встретиться с понятием, очень близ-
ким к проценту,— промилле (на тысячу)*. Промилле называется ты-
сячная часть; так, 0,007 есть семь промилле и обозначается 7°/в0, где
знак °/00 обозначает множитель 0,001.
Решения
1.	Примем ребро куба за .единицу, тогда объем куба будет равен
1 куб. ед. 10% — это , или Следовательно, ребро нового куба
равно 14-0,1 — 1,1. Объем нового куба: 1,1-1,1-1,1 = 1,331 куб.
Теперь нетрудно узнать, на сколько кубических единиц увеличился
объём куба: 1,331—1=0,331 (куб. ед.)
0,331 : ,1 • 100=33,1— на столько процентов увеличился объем
куба.
2.	Сначала вътчислим 10% от первоначальной цены ткани, узнаем
цену ткани после первого снижения:
(15 100)-10=1,5 (руб.); 15—1,5=13,5 (руб.).
Теперь можно узнать цену ткани после второго снижения:
(13,5 : 100)-12=0,135-12=1,62 (руб,); 13,5^-1,62= 11,88 (руб,>,
3.	Идти по направлениям abed, adcb, cbad нельзя, так как они при-
водят на тот же перекресток, с которого начинается путь. Следова?
тельно, из записи эти наборы букв надо выкинуть. Останется нап-
равление adbac. Однако и здесь пути db и ас приведут на тот же пере-
кресток, с которого начали двигаться. Поэтому и эти наборы букв
из записи надо выкинуть. В итоге остается только буКра а. Значит,
чтобы найти клад, надо сойти с корабля и пройти до направлению
а до первого перекрестка.
4.	Примем ребро куба за 1. Так как 20% — это или jq , ре-
бро нового куба равно 1+0,2= 1,2. А далее решение можно записать
так: (1,2-1,2-6) : (1-1-6)=1,44 = 144%. Такимобразом, поверхность
куба увеличилась на 44%.
5.	Если внимательно рассмотреть запись умножения, то можно
увидеть, что оба произведения двузначного числа 6* на цифру еди-
ниц и цифру десятков множителя — числа двузначные/Значит, мн<>
житель равен 11. Отсюда следует, что последняя цифра множимого
6. Искомое произведение 726.
6.	1 ле3=10003 лш3. Длина полоски 1000 км. Ответ: 20 ч.
8
7.	Шаг первого рабочего (низкого) составляет шага второго
рабочего, а количество шагов, сделанных первым, составляет
числа шагов, сделанных вторым. Отсюда, скорость низкого рабочего
8	12	96
составляет ттг • Тп = Тпп скорости высокого. Следовательно, высокий
JU iU ши
рабочий придет на завод раньше.
8,	Сначала узнаем, сколько процентов составляет масса сухого
вещества, т. е. масса сухих грибов, у которых влага почти полно-
стью удалена: 100%—90% = 10%.
10% от 10 кг составляют 1 кг. По условию задачи в сушеных гри-
бах содержится 12% влаги, а сухое вещество составляет 100%—
—12% =88%. Теперь можно ответить на вопрос задачи: 1 : 0,88«
«1,136 (кг).
Ответ: из 10 кг свежих грибов выйдет 1,1 кг сушеных.
9.	Решение задачи дано на рисунке 144.
10.	Решение можно искать с помощью таблицы соответствия
фамилий и профессий. Целесообразно применить и другой способ,
используя понятие «графа».
Построим графическую схему отношения, заданного в условии
задачи. Для этого выделим множество Р фамилий и множество, Q
профессий, элементы которых будем обозначать точками. Точки мно-
жества Р назовем буквами Я, Б, С (Иванов, Борисов, Семенов);
точки второго множества — сл9 т9 св (слесарь, токарь, сварщик).
Если точке из одного множества соответствует точка из другого,
соединим их сплошной линией, а если не соответствует, — штри-
ховой. Условие задачи указывает на несоответствия, поэтому вначале
должна возникать схема, изображенная на рисунке 145. Из условия
задачи следует, что для каждой точки из множества Р существует
одна и только одна точка из множества Q, и наоборот, каждой то-
чке из множества Q соответствует одна и только одна точка из множе-
Рнс. 144
Рис. 145
115
Рис. 146
Рис. 147
ства Р. Таким образом, если какая-то точка оказывается соединен-
ной с двумя точками другого множества штриховыми линиями* то
с его третьей точкой ее необходимо соединить сплошной линией,
так как точка С соединена с точками «сл» и «т» множества Q штрихо-
выми линиями, то с третьей точкой того же множества она должна
быть соединена сплошной линией. Далее, так как точка «сл» соеди-
нена с двумя точками Б и С множества Р штриховыми линиями, то с
третьей точкой И она должна быть соединена сплошной линией
(рис. 146). Две точки «ел» и «се» множества Q «заняты», остается
точку Б соединить с точкой т (рис. 147).
Ответ: Иванов — слесарь» Борисов — токарь, Семенов —
сварщик.
1L Ответ: 50 кг.
12. Решение дано на рисунке 148.
равна 45 см, поэтому из них
нельзя составить квадрат со сто-
роной, более 11 см.. Можно; заме-
тить, что для его составления
потребуется не менее 7 палочек.
Отрезки длиной 7 см* & см,
9 см, 10 см и 11 см. можно со-
ставить следующими способами.
13. Сумма длин всех палочек
; Рис, J48.5
Таким образом* из данного на-
бора. палочек можно сложить
116
одним способом квадраты со сторонами	8,' Г(У, П елк-и .пятью спо-
собам/ квадрат со стороной 9 см,
141 22+979=1001.	г
15.	Сначала узнаем, сколько воды содержится в толйкр /то сруб-
ленном дереве: 7i,5: 100-64—4,8 (^); тогда сухой 'дрсйёсины содер-
жится 7,5^-4,8^=2,7 (ц);,
100%—48% = 52% массы дерева через5 неделю составляют 2,7 ц
сухой древесины. Теперь можно узнать массу дерева через неделю:
2,7 : 52 100^5,2 (ц),
7,5—5	,2—2,3 (ц)— настолько уменьшится масса дерева за неделю.
16.	Обозначим длины сторон прямоугольника через а и Ь, тогда
периметр равен 2(a+fe). Для? целых а й ^периметр — четное число.
Сумма длин всех палочек равна 53 сМ (число нечетное). Поэтому из
всех палочек данного набора сложить прямоугольник нельзя.
17.	15 прямых.
18.	Предположим, что среди шариков в ящике лежит только один
зеленый, тогда синих и красных шариков там 2 и 4; остальные 20 —
желтые. Одно решение найдено. Если предположить, что в ящике
лежат 2 зеленых шарика, то там окажется 4 синих, 8 красных и 13
желтых шариков. Если же зеленых5шариков не меньше 3, тогда си-
них не меньше 6, красных не меньше 12, а желтых должно быть не
больше 6, но это противоречит условию задачи.
Следовательно, задача имеет два* решения, рассмотренных выше:
1) 1 зеленый шарик, 2 синих, 4 красных и 20 желтых;
2) 2 зеленых шарика, 4 синих, 8 красных и 13 желтых.
19.	После первого дня'продажи осталось 100%—35% =65% ово-
щей,. что составляет 240+540=780 (кг). Узнаем, сколько овощей
привезли в магазин: 780 : 65*100—1200 (кг),
20/ В точку В, минуй точку М, можно попасть, лишь проходя
через точку С или через точку D. Поэтому все пути разделим?на 2
группы: проходящие через точку С и проходящие через точку D.
Первая группа состоит из 5 маршрутов, так как из точки 4 в точку
С можно лопасть пятью способами, а из € в: В — одним Способом.
Далее -Нетрудно Заметить; ^0=из А в D можно попасть через Е или
через 1Р; из А в Е можно Попасть тремя способами7 а из 4 в F — двумя
^способами/ Попасть из А в © можно пятью способами. Из D в В
можно попасть двумя способами, следовательно, йа Жй В через© мо-
<Жно попасть десятью способами. При выбореi кай^доро способа каж-
•ДЬ1Й-раЗ‘учитывалйсь лйшь'крятчайшие пути.
Окончательно общее число 'маршрутов равно 15,
21.	Множимое — 124, множитель — 97. /
I-	! ’	• ’	’	•
Занятия 4—6
Тема. Математические софизмы
Учебно-воспитательные цели. «Софизм» — слово греческого про-
исхождения и в переводе означает толоволомку, хитроумную вы-
думку/Математические софизмы являются примерами Таких ошибок
1П
в математических рассуждениях» когда при очевидной неправиль-
ности результата ошибка, приводящая к нему, хорошо замаскйро
вана.
В истории математики софизмы играли существенную роль, они
способствовали более глубокому уяснению понятий и методов мате-
матики.
Академик Иван Петрович Павлов говорил, что «правильно поня-
тая ошибка — это путь к откровению». Уяснение ошибок в мате-
матических рассуждениях часто содействовало развитию матема-
тики., В этом плане особенно поучительна история аксиомы Евклида
о параллельных прямых*
Учащимся математические софизмы могут быть очень полезны;
Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает созна-
тельному.усвоению изучаемого материала; воспитывает вдумчивость,
наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается.
Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Учащиеся с большим-ин-
тересом воспринимают софизмы, и, чем труднее софизм, тем боль-
шее удовлетворение доставляет его разбор;
Методические замечания. Практика преподавания показывает,
что возможности целесообразного использования математических
софизмов Возрастают цо мере продвижения учащихся к более серь-
езному -изучений) математики в старших классах. Особенно ттнтере?
сно эта работа может быть поставлена на кружковых занятиях уча-
щихся старших классов. Знания по математике учащихся пятых
классов еще невелики. Однако на кружковых .занятиях можно по-
знакомить учащихся с несложными математическими софизмами,
основанными на нарушении законов действий. При этом, если учесть;
что. учащиеся 4—5 классов склонны эмоционально реагировать
на абсурдность утверждений, прочность усвоения матёматического
факта значительно повышается. В педагогическом плане математи-
ческие софизмы должны использоваться не столько для предупрежу
денийошибок, сколько для проверки степени сознательности, усвое-
ния материала. Начинать надо с самых простых софизмов г доступных
пониманию учащихся, постепенно усложняя задачи по мере накоп-
ления учащимися математических знаний.
Решения
*
22.	Ошибка заключается в том, что распределительный закон
умножения автоматически переносится на деление, что неверно.
23.	Умножить С рублей на 1 рубль нельзя, так как никаких «ква.-
дратнь$ рублей» и ^квадратных копеек» не существует.
24/На рисунках 14,9 и 150 точки «верхнего» множества соответст-
вуют именам учениц, а «нижнего» —- занятым местам.: Сплошные от-
резки соответствуют высказываниям первой ученицы, штриховые —
второй, штрих-пунктирные — третьей. Отрезки, соответствующие
ложному высказыванию, будем перечеркивать. Предположим, что

Нина заняла второе место. В таком
случае (рис. 149) Поля заняла 3-е и
4-е места, что по условию задачи не-
возможно.
Предположим, что Оля заняла 1-е
место (рис. 150), тогда Мария заняла
2-е место, Поля—3-е место, Нина —
4-е.
25.	Решение дано на рисун-
ке 151.
26.	Можно заметить следующую
закономерность в расположении чи-
сел: число, стоящее в каждой клетке,
начиная с третьей, равно числу,
стоящему на две клетки раньше,
плюс 1. Следовательно, в клетках
должны стоять числа 11, 14.
27.	Каждое число, начиная с тре-
тьего, равно сумме двух предшеству-
ющих чисел. Ответ*. 17.
28.	Расчет будем вести с конца.
В последнем туре первый игрок дол-
жен оставить второму 1 карандаш.
В предпоследнем туре он должен
оставить второму игроку 5 каранда-
шей (так как если второй игрок
возьмет 1, 2 или 3 карандаша, то пер-
вый игрок может взять соответствен-
но 3, 2 или 1 карандаш; во всех слу-
чаях на долю второго игрока останет-
ся 5—4=1 карандаш). Рассуждая
аналогично, найдем, что еще раньше
первый игрок должен оставить вто-
рому 9 карандашей. Если теперь вто-
рой игрок возьмет 1, 2 или 3 каран-
даша, тогда первый соответственно
берет 3, 2 или 1 карандаш, и во всех
случаях на долю второго игрока оста-
ется 9—4=5 карандашей.
Количество карандашей, оставля-
емых (от конца игры) первым игро-
ком второму, выражается рядом чи-
сел 1, 5, 9, в котором первое число
равно 1, а каждое следующее на 4
больше предыдущего. Продолжим этот
ряд чисел дальше; так как у нас
15 карандашей, получим числа: 1, 5,
9, 13. Следовательно, начальным сво-
Рис. 149
Рис. 150
Рис. 151
119
нм ходо^ первд	должен взять 2 карОдаша," ©ставив па-
ртнеру il3f .и‘.после -каждого последующего fypa оставлять ему
соответф'вённ^ ^,/5 карандашей и, Наконец,hl карай&аш. (Если
игра и ^йБоснрвадЙ&^вМргрышной стратегии заинтересуют детей,
то можйо йар^^роМать^Деловые даннёе условия, а затем рассмот-
реть решение:;задачи при буквенных Данных.)
29.	После первого унижения новая цена равна 100%-т15%=85%
прежней, что: доставляет 15+19=34 (ков О? •Тецерь убжно опре-
делить первоначальную стоимость альбома:
34 85*100=40 (коп.).
30.	В рассуждении появилась скрытая ошибка, когда было ска-
зано, что «в первой комнате оказалось два человека, третий человек
был помещен во второй комнате». Слово «два» -тг количественное чис-
лительное, а «третий» — порядковое. Это и дало возможность отв-
лечь читающего от факта, что второй клиент остался4 без, комнаты.
31.	В данном утверждении в качестве множимого сначала высту-
пают две половины от целого . отрезка ; а потом две четверти от того
же отрезка. Такая иллюстрация является ложной, так как в резуль-
тате вопрос об умножении двух единиц на три заменен вопросом о
числе отрезков.
32.	Могут представиться 2 возможности: Алла была в красном
платье и Алла была не в красном платье (т. е. в белом или в синем).
Изобразим эти возможности, первую отрезком Ак, а вторую отрез-
ком Ас и Аб (исходящими из одной точки). Если Алла была в крас-
ном платье, то в синем могла быть или Вера, или Кира. Поэтому к
отрезку Ак присоединим 2 отрезка Вх и /Сс. Путь АКВС закончим
Кб, а путь А*КС закончим В6. Однако условию задачи ни один из
путей не удовлетворяет.
Разберем вторую возможность. В результате получим 4 логиче-
ские возможности, но условию задачи удовлетворяет путь АсВкК$
(рис. 152).
Итак* Алла была в синем платье, Верав красном, Кнрй в
белом.
т	ИГ ' Ис I 11 —^£—< Рис. 152	33. 231 .деталь наготовил рабочий в марте. М, Снимем с обеих чашеквесовпо.две груши и ио одному, .яблоку; тогда видно, что масса груши больше массы яблока на 20 г. Пусть яблоко имеет; массу а,;тогда груша имеет массу x-j-2Q е. По условию задачи известно, что 5 груш иЗябдока имеют общую массу 780 г. Значит, ' '' 5 (х+20)+3х=780; 8х+100=780; 8х-680; х=85. Отсюда: х+20=105. Ответ: 105 г.
120
Рис. 153
Рис. 154
35.	Множимое равно 254.
36.	Решение показано на рисунке 153.
37,	Квадрат, треугольник, прямая линия. Линии, изображенные
на рисунке 127, параллельны.
38.	Ошибка состоит в том г что занимаемую единицу возводили в
ранг десятка.
39< а) ты молодец*
б)	хоромы,
в)	(—2, —3) (0, 0)	-2) (-2, 0) (-2, -3) (0, 0)
(-!> -2)(0, 2)(-1, 1)(0,0).
40.	Разбивка чисел на группы произведена по разряду цифры 7.
41.	Решение дано на рисунке 154.
42.	Масса 25,75 т только что добытого каменного угля увеличится
на 3,9 т.
43.	Положим на каждую чашку весов по 3 монеты. Могут пред-
ставиться два случая:
1) весы будут в равновесии • (тогда фальшивая монета находится
среди оставшихся двух. В этом случае обнаружить фальшивую мо-
нету -легко ,—г для этого .на чашки весов надо положить по; одной из
этих монет);
2) весы не будут в равновесии. Тогда фальшивая монета среди
трех монет, вес которых меньше. Положим из	монет две на
чашкивесовсесл и весы останутся в равновесии, то тогда третья осга-
Фшаяся’монета фальшивая^ если нетало тогда фадьшивдяг монета та,
которая легче*	-''
44; Имеются- 3 решения; удовлетворяющие условию задачи:
1) '2,5-2,5-(6-4,6-4,6); 2J 2,5—(2 >5-0-4,6—4,6); 3) 2,5—2,5х
•х0-(4,6^-4,6).г
45.	Пусть на первой полке было х книг, а на второй ^(По ус-
ловию задачи у>х). После того как со второй полки-переложили на
первую х книг, то на- первой стало 2 х книг, на второй - х'книг,
причем на первой стало в Зраза меньше, чем на второй. Составляем
уравнение:
Ьх^у—х^
121
Отсюда получаем:
7х—у.
Наименьшее значение х — единица. Значит, на первой полке —
самое меньшее — могла быть 1 книга, на второй — 7 книг.
Занятия 7—10
Тема. Применение графов к решению задач.
Учебно — воспитательные цели. Слово «граф» в математической
литературе появилось совсем недавно. Между тем понятие графа ис-
пользуется не только в математике, но и в технике и даже в повсед-
невной жизни под разными названиями — схема, диаграмма.
Особенно большую помощь графы могут оказать при решении
логических задач, которые уже встречались учащимся на преды-
дущих занятиях. Представляя изучаемые объекты в наглядной фор-
ме, графы помогают держать в памяти многочисленные факты, со-
держащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.
Значение логических задач в обучении учащихся трудно переоце-
нить. Они вырабатывают умения устанавливать связи между объек-
тами, наблюдательность, настойчивость в преодолении трудностей.
Пятиклассникам логические задачи окажут большую услугу в по-
следующем обучении, особенно при изучении геометрии, когда уча-
щимся придется доказывать теоремы, представляющие цепочку
логических рассуждений, сводящих доказываемую теорему к ранее
доказываемым теоремам и аксиомам.
Школьникам необходимо прививать вкус к логическим рассуж-
дениям, и здесь использование графов в живой и наглядной форме
поможет привлечь внимание учащихся к логическим задачам. Не
случайно М. И. Калинин говорил, что «математика дисциплинирует
ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что Мате-
матика — это гимнастика ума».
Методические замечания. На первом занятии по данной теме
учащимся следует сказать, что часто по самым разным поводам мы
чертим фигуру, состоящую из точек, изображающих какие-то объ-
екты, соединяем эти-точки линиями, если соответствующие объекты
находятся друг к другу в каких-то отношениях. При этом у нас полу-
чается граф.
Г р а ф о м называется любое множество точек, некоторые из ко-
торых соединены Линиями или стрелками. Точки, изображающие
элементы множества, называются вер щи нами графа. Если
начало й конец стрелки совпадают, то ее называют петлей.
Далее необходимо перейти к рассмотрению конкретных примеров
графов.
Прй этом необходимо учесть, что на, кружковых занятиях в 4
классе учащиеся уже познакомились с простейшими графами и наг
учились с их помощью решать некоторые задачи. В 5 классе предла-
гаются задачи, в которых рассматриваются три или больше множеств
объектов.
122
Решения
46,	Условимся объекты изображать точками, а отношения между
ними — отрезками; при этом расположение точек и длины отрезков
считаем произвольными. Далее, если точки из одного множества со-
ответствуют точкам из другого, будем соединять их сплошной ли-
нией, а если не соответствуют — штриховой.
Выделим множество имен’, множество цветов платьев и множество
цветов туфель. Обозначим их соответственно Л4, АГ, Р. Точки множе-
ства М назовем буквами Л, В, Н\ точки множества N назовем бук-
вами з, с, б; точки третьего множества — буквами бт, ст, зт. По усло-
вию задачи для любой точки, одного из трех множеств в каждом из
остальных множеств найдется одна и только одна точка, ей соответ-
ствующая.
Граф, изображенный на рисунке 155, содержит все заданные в ус-
ловий элементы множеств и отношения между ними. Таким образом,
задача сводится к нахождению трех «сплошных» треугольников с
вершинами в разных множествах.
Так как Наташа была в зеленых туфлях, а туфли Вали не были
белыми, остается единственная возможность: туфли’у Вали синие.
На рисунке 156 соединим сплошным отрезком точки В и cTt
отсюда следует, что у Анй туфли были белыми. Соединим соответст-
вующие точки сплошным отрезком.
У Ани цвета платья и туфель совпадали. Получаем: у Ани белое
платье. Один сплошной Треугольник мы получили. Далее цвета пла-
тьев и туфель у Вали и Наташи не совпадали. Следовательно, у Ради
зеленое платье, а у Наташи синее. Получили еще два сплошных тре-
угольника (рис. 156).	'	4
47.	Предложение, что Серёжа занял второе место, верно (см. граф
на рисунке 157). Высказывания первого болельщика будем обозна-
чать сплошными линиями, второго — штриховыми, третьего —
штрих-пунктирными, четвертого — сплошными тонкими линиями!
Рис. 155	Рис. 156
123
Рн?. 157
Рис.. 158
Читаем ответ: Толя — 1-е место, Сережа — 2-е, Надя —3-е,
Ваня может занять только 5е место, тогда Коля — 4-е.
Предположим, высказывание, что Коля занял 3-е место, верно
(рис. 158). Читаем: Надя — 2-е место, Коля — 3-е, Ваня — 4-е,
Толя — 5-е, остается Сережа — 1-0 место,
Итак; задача имеет два решения.
48.	Задач а-шутка. Следует задать вопрос: «Вы живете в эточм
городе?»
Ответ: «да» — независимо от того, кто отвечает,— житель го-
рода А или житель города В означает, что вы находитесь в городе А.
Ответ: «нет» при любых условиях будет означать, что вы находи-
тесь в городе В.
49.	Двумя способами: математика — I, история — III, литера-
тура — II; математика — II, история — I, литература — III.
/ взвешивание
Ц взвешивание
-Ц! взвешивание
'IV взвешивание
Рис. 159
124
50.	39 раз^При каждом разломе число
кусков увеличивается "на 1, поэтому пр^
любом способе раз^омфв ’их будет 39.
51.	Решение для, одного случая дано
на рисунке 159. Если же легкий шарик
попал в группу из 26* шариков, то рас-
суждения можно провести аналогично.
52.	Выделим два множества: верхнее —
множество имен, нижнее — множество цве-
тов платьев.
Высказывания первой девочки будем
отмечать сплошными линиями, высказы-
вания второй — штриховыми, третьей —
штрих-пунктирными. . -Предположим, что
Оля в синем платье, верно; тогда по-
Рис. 160
лучаем, что Оля и Нина в синем платье.
Противоречие (рис. 160).
Предположение, что Люба в белом платье, верно (рис. 161). Чи-
таем ответ: Люба в белом платье, Оля в красном платье и Вера в
синем платье. Для Нины осталось голубое платье.
53.	Выделим три множества: множество имен, множество городов
й множество профессий. Граф на рисунке 162 содержит все задан-
ные в условии элементы множеств и отношения между ними.
Задача сводится к нахождению трех сплошных треугольников с
вершинами в разных множествах.
По условию задачи та из учительниц, которая живет во Львове,
преподает химию, но Дарья Михайловна не живет во Львове, следо-
вательно, она не преподает химию. Проводим штриховой отрезок
хД. Из условия задачи следует, что если какая-то точка одного мно-
жества соединена с двумя точками другого множества двумя.штрихо-
Рис. 161
Рис. 162
125
Рис. 164
выми линиями» то с третьей точ-
кой этого множества она соединяется
сплошной линией. Проводим сплош-
ной отрезок Дф. Затем проводим
штриховой отрезок ДМ, далее—
сплошной отрезок ДЛ. Точки ф и К
соединим сплошным отрезком (если
в треугольнике с вершинами в раз-
ных множествах имеются две сплош-
ные стороны, то и третья сторона
должна быть сплошной).
Проводим сплошной отрезок МС,
потом проводим сплошные отрезки
ИЛ, Их, 6М, 6С. Читаем ответ:
Ирина Васильевна преподает химию
во Львове, Дарья Михайловна — фи-
зику в Курске, Софья Петровна —
биологию в Минске.
54.	Решение дано на рисунке 163
(а, б, в),
55.	Вова занял 1-е место, Боря —
2-е место, Коля — 3-е место, Юра —
4-е место.
56.	Решение дано на рисунке 164.
57.	Площадь квадрата увеличится
на 44%.
58.	Ошибка заключается в том, что
если квадраты чисел равны, то это еще
не означает, что сами числа равны.
Рис. 165
126
59.	Андреев —из Рослав-
ля, Борисов — из Ельни, Ва-
сильев — из Гагарина, Гри*
горьев — из Вязьмы, Дани-
лов —из Ярцева.
60.	Условию задачи соот-
ветствует граф, изображен-
ный на рисунке 165. (Оши-
бочно Ж соединено с А, надо
Ж соединить с Ф так, как
на рисунке 166.)
Принцип решения остается
таким же, как и разобранный
на предыдущих кружковых
занятиях. Получили, что на
скрипке не играют ни Марина^
ни Лариса, ни Жанна; следо-	Рис. *166
вательно, на скрипке играет
Катя. Проводим сплошной отрезок КС (рис. 166).
Марина и Лариса не знают английского языка, Жанна знает
французский • следовательно, .английский может 'знать только Катя.
Проводим сплошной отрезок ЛАзатем сплошной отрезок АС. По-
лучим сплошной треугольник ЛАС. Далее .проводим сплошной
отрезок ВЖ, ВФ. Получим второй сплошной треугольник ВДФ.
Теперь видно, что надо провести сплошной отрезок PH. Далее
убеждаемся, что однозначного выбора третьей точки для каждой
из лар PH и Г И условие задачи, не обеспечивает. Следовательно,
возможны два решения: РИМ и ГЛ И либо РНЛ и* ГМИ.
61»	. Делить на общий множитель нельзя, так как он равен нулю.
62.	Решение дано на рисунке 167.
63.	Решение дано на рисунке 168.
64.	Из условия (1) и (6) следует: либо Борис на П курсе (так как
персональные стипендии раньше второго курса не присуждаются),
127
ООО_р!о_о о о
О о[6 О|О olo б
О О О О|О ООО
О О|О О|О О|О о
Р_О]О olo О|О_О
о_о[о о оо
о О О <УО о о о
|о о о о|
О О|О о
О О|О о
О Qlo О
Рис. 168
а Василий —на III, либо Борис на III
курсе, а Василий — на IV, Первое пред-
положение сразу отпадает, так как Ни-
колай и Петр могут быть на I и на
IV курсах, такой разрыв противоречит
условию задачи.
Итак, пусть Борис на III курсе, а
Василий — на IV (см. граф, изображен*
ный на рисунке 169). Ответ: Борис —
Карпов —III курс, Василий—Орлов —
IV курс, Петр — Крылов — I курс, Ни*
колай — Иванов — II курс.
3 а м е ч а н и ё. Решение задач с помощью
графов позволяет обнаружить избыточность
условия. В этом можно убедиться при решении
задачи 65.
65.	Построим граф, соответствуюШий
условию задачи (рис. 170).
Можно провести сплошные отрезки БШ, ВЗ, ИА независимо друг
от друга, что говорит об избыточности условия задачи. Далее можно
провести сплошные отрезки ГТ, ДУ, ЕС. Ответ: Григорьев — то-
карь, Дмитриев — учитель, Евдокимов — слесарь.
66.	Получаем ответ: А — одессит, Б — ленинградец, В.— киев*
лянин, Г — туляк, Д — харьковчанин, Е — москвич; Л и Е —
врачи, Б и Д — учителя, В и Г — инженеры. Из условия задачи мо-
жно почерпнуть 17 фактов. Все ли они являются необходимыми?
Нет, так как два факта подтверждают, что В не москвич.
Можно убедиться в том, что для решения задачи необходимо всего
15 фактов; следовательно, 2 факта лишние.
67.	Может. Задачу удобнее решать «с конца». Чтобы обеспечить
себе выигрыш, первый игрок (начавший игру) должен оставить на
Рис. 169
Рис. 170
128
долю второго один шарик и после сйоёго последнего хода. Далее
первому игроку нужно сделать так, чтобы после его предпослед-
него хода в ящике осталось 7 шариков. (Действительно» если
второй игрок возьмет 1, 2, 3, 4, 5 шариков, то первый может
взять шариков соответственно 5, 4, 3, 2, 1. Во всех случаях на
долю второго игрока останется один шарик.) Рассуждая аналогично,
найдем, что еще раньше первый игрок должен оставить второму
13 шариков, так как если второй игрок возьмет 1, 2, 3, 4, 5 ша-
риков, то первый соответственно берет шариков 5, 4, 3,2, 1. Тогда
во всех случаях на долю второго останется 13—6=7 шариков.
Еще ходом раньше первый игрок должен оставить второму
19 шариков и т. д. Количества шариков, оставляемых (от конца
игры) первым игроком второму, составляют ряд чисел 1, 7, 13, 19.
Так как всего 35 шариков, то, продолжая ряд дальше, получим
числа 1, 7, 13, 19, 25, 31. Следовательно, первый игрок должен
первым ходом вынуть 4 шарика, оставив партнеру 31, и затем
оставлять перед ходом партнера пёследовательно шариков:
25, 19, 13, 7, 1.
68.	I способ. Так как всего вышли 30+40=70 человек, то в
каждой комнате осталось по (76—70) 2=3 человека. Следователь-
но, в одной комнате было 30+3=33 человека, а в другой 40+3=43
человека.
II способ. Эту задачу можно решить с помощью уравнения.
Пусть в первой комнате было х человек, тогда во второй было (76—
—х) человек. Когда из первой комнаты вышли 30 человек, то в ней
осталось(х—30) человек, а во второй, после того как из нее вышли
40 человек, осталось (76—х—40) человек. Составляем и решаем урав-
нение:
х—30=76—х—-40;
2х=66;
х=33.
Следовательно, в первой комнате было 33 человека, а во второй—
43.
69.	Сидоров — машинист.
70.	Обозначим цифры трехзначного числа через a, ft, с9 причем
пусть первая из них больше, чем последняя. Произведем вычитание
так, как это делается при письменном вычитании многозначных
чисел;
__а_____b_____с
с	b	а
а—с—1; 9; 10+с—а
К полученной разности прибавим обращенное число:
а—>с—1 9 10+с—а
’’ 10 + с—а 9	а—с—1
10.	8
t
Видно, что сумма 1089 не зависит от выбранного чйсла.
5 № 6156

Занятие 11
Тема. Системы счисления
Учебно-воспитательные цели. Преимущества позиционной сис-
темы перед непозиционными очевидны.
Однако возникает вопрос: почему нельзя ограничиться только рас-
смотрением десятичной системы, а надо изучать системы с другим ос-
нованием?
Позиционные системы с различными основаниями используются
в математике не одну сотню лет для изучения свойств чисел. В част-
ности, записывая целые числа в различных системах, можно получать
признаки делимости и ряд других вопросов делимости.
Однако всеми этими вопросами занимался узкий круг людей, в
основном специалисты по теории чисел.
Положение в корне изменилось с момента возникновения вычис-
лительных машин. Современная «машинная» математика возникла
15—20 лет назад, когда появились первые быстродействующие вы-
числительные машины, основанные на применении радиоэлектрон-
ной техники. В настоящее время вычислительные машины работают
со скоростями, достигающими сотен тысяч и даже миллионов опера*
ций в секунду (такое же количество операций опытный вычислитель,
вооруженный арифмометром, может выполнить за несколько меся-
цев работы).
Для радиоэлектронных элементов, которые в основном исполь-
зуются в вычислительных машинах, характерно наличие двух устой-
чивых состояний. Когда через электронную лампу идет tokl то
лампа «горит»; когда через нее ток не идет, «не горит». По этому же
принципу двух состояний — «да» или «нет» — работают полупровод-
никовые элементы. Эти свойства радиоэлектронных элементов стали
причиной того, что именно двоичная система оказалась наиболее
удобной для вычислительных машин.	1
Восьмеричная система находит применение при составлении
программ работы на вычислительных машинах. Известно, что/коли-
чество разрядов в двоичном числе бывает довольно велико. Поэтому
двоичное число разбивают влево и вправо от запятой на тройки
двоичных разрядов — триады, а затем каждую триаду заменяют со-
ответствующей восьмеричной цифрой. Запись числа становится втрое
короче, этим самым уменьшается вероятность описок и просчетов
при переписывании.
Электронно-вычислительные машины (ЭВМ) используются в на-
стоящее время во многих отраслях народного хозяйства. Роль их
возрастает с каждым годом. Поэтому знакомство учащихся с раз-
личными позиционными системами будет иметь большое познаватель-
ное и воспитательное значение.
Методические замечания. Приступая к данной теме, учитель
предлагает учащимся задачу 71. Вопрос этой задачи может пока-
заться странным. Учитель говорит, что вопрос этот все же не лишен
130
смысла. Однако задачу можно будет решить позже, когда мы по-
знакомимся с системами счисления.
Нижеследующий материал сообщается учащимся в виде рассказа
учителя.
Способ наименования и записи чисел, как известно, принято назы-
вать системой счисления. Для записи любого числа в десятичной си-
стеме используются цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. И что особенно
важно, значение каждой цифры в этой системе определяется не только
ею самой, но и местом (позицией), которое она занимает в записи
числа. Отсюда эта система получила название позиционной десятич-
ной системы счисления. Например, число «два» изображается циф-
рой 2. Можно написать 002, 02 и т. д. В любом случае цифра 2 стоит
на первом месте справа; если эта цифра переместится на второе место
справа, то получается число 20 (2 десятка) и т. д. Таким образом, для
позиционной системы характерно, что число разбивается на разряды.
Например, запись 968 означает, что число состоит из 8 единиц, 6
десятков и 9 сотен. Единица каждого следующего разряда в 10 раз
превосходит единицу предыдущего разряда. Число 10 называется
основанием системы счисления, и потому наша система счисления
носит название десятичной. Запишем число 1458 в виде суммы раз-
рядных единиц. Получим:
1458-1 - 1000+4-100+5* 10+8= 1 -103+4 -102+5 • 10+8.
Кроме десятичной системы счисления, существуют позиционные
системы счисления с любым другим натуральным основанием (кроме
1). В древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система
счисления. Остатки этой системы мы еще находим в сохранившемся
до наших дней делении часа на 60 мин, а минуты — на 60 с. Широкое
распространение в древности имела двенадцатеричная система. Ос-
татки этой системы счисления также сохранились до наших дней.
Хорошо известно такое название числа 12 — дюжина. До сих пор
сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжи-
нами (столовые приборы в сервизе, стулья в мебельном гарнитуре).
У ряда африканских племен и в древнем Китае была в употреб-
лении пятеричная система счисления, в Центральной Америке была
распространена двадцатеричная система.
Решения
71.	После беседы учителя учащиеся могут догадаться, что числа,
входящие в задачу , записаны не по десятичной системе. Пусть осно-
вание неизвестной системы х. Число 84 тогда означает 8 единиц вто-
рого разряда и 4 единицы первого:
84=8х+4.
Число 54=5х+4. Получаем и решаем уравнение:
8-8=5х+4; 64=5х+4; х=12.
Итак, числа записаны в двенадцатеричной системе. Отсюда находим
число 84=8х+4:
8-12+4-100.
5*	131
72.	Пусть основание неизвестной системы счисления х. Число
33 означает Зх+З. Имеем уравнение: 3х+3=5-6, что дает х=9.
Числа записаны в девятеричной системе счисления. Число 100
в этой системе равно 81 (в десятичной системе).
73.	Так как в школу принимают с семи лет, то запись 12 означает
7 в десятеричной системе счисления. Это позволяет найти основание
системы счисления, равное 5. Следовательно, ученик сдавал экза-
мены за 8 класс и набрал 15 баллов, откуда следует, что он сдавал
3 экзамена.
74.	Пусть отец будет старше сына в 10 раз через х лет. Тогда отцу
будет 32+х лет, а сыну 5+х лет. Имеем уравнение:
32+х=10 (5+х), откуда х=—2.
Значит, 2 года назад возраст отца в 10 раз превосходил возраст сына.
Проверка: 32—2=30; 5—2=3; 30 3=10.
75.	Числа записаны в двенадцатеричной системе счисления, 74=
= 7-12+4=88.
76.	Так как использовалась пятеричная система, то записи чи-
сел, встречающиеся в автобиографии, можно расшифровать так:
33=3-5+3=18 (лет); 42=4-5+2=22 (года); 20=2-5+0=10(лет);
10=1-5+0=5 (о*); 100=5-5=25 (мин); 12=1-5+2=7 (лет); 32=
=3-5+2=17 (лет).
77.	Петренко — мельник, Иванов — парикмахер, Сидорчук —
почтальон, Гришин — плотник, Веселов — маляр.
Занятие 12
Методические замечания. Прежде чем приступать к решению
задач, учитель должен рассказать учащимся, что все позиционные
системы с любым натуральным основанием устроены одинаково.-Для
записи любого числа в каждой такой системе употребляют такое
число цифр, которое определяется основанием системы счисления.
При этом различных цифр (с учетом цифры 0) должно быть на 1 боль-
ше количества натуральных чисел, меньших основания, так как все
эти числа в данной системе являются однозначными и должны изоб-
ражаться разными знаками. Так, в десятичной системе счисления
употребляется 10 цифр; в пятеричной системе достаточно пяти цифр:
0,1, 2, 3, 4; в восьмеричной — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Так как числа 10
и 11 в двенадцатеричной системе должны быть однозначными (они
меньше основания системы), то вводят для этих чисел обозначения
ОиТ. И в этом случае для изображения чисел нужно двенадцать
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1.
Чтобы различать, в какой системе записано число, будем указы-
вать индексом основание системы: 2819, 312i2 и т. д. (Для десятичной
системы основание можно не указывать.)
Далее.учитель может перейти к изображению чисел в недеся-
тичных системах счисления на конкретных примерах. Объяснение
можно вести в такой форме.
132
1 •
Допустим, нужно изобразить какое-нибудь число в пятеричной
системе счисления. В этой системе единица высшего разряда в 5
раз больше единицы низшего; на первом месте справа стоят в ней
простые единицы (не выше четырех), на втором месте — пятерки (а
не десятки), на третьем — не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д.
Поэтому число 33 означает не 3 10+3 (как в десятичной системе),
а 3-5+3=18; число 100 означает одну'единицу третьего разряда в
пятеричной системе, т. е. 25.
Изобразим число 116 в пятеричной системе. Разделим число 116
на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:
116 5=23, остаток 1.
Значит, число простых единиц будет 1, далее 23 пятерки не могут
стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной
системе 4 и больше четырех единиц ни в одном разряде быть не мо-
жет. Поэтому делим 23 на 5:
23 : 5=4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде «пятерок» будет 3, а в тре-
тьем — 4. Итак, 116=4-25+3-5+1, в пятеричной системе 431*.
Все выполняемые действия для удобства располагают так:
116 | 5
1 I 23 5
Числа, которые мы подчеркнули, выписывают справа налево и
сразу получают изображение числа в другой системе.
Решения
78.
47 | 3
1 115
Ответ: 12023.
Проверка:
79.
1-27+2-9+0-3+2=47.
200
7
28J 7
0 | 4
Ответ: 4047.
Проверка: 4-49+0-7+4=200.
80. Ответ: 117 ц.
133
81	.Число 1926 в двенадцатеричной системе записывается как
114612. Число 273 в двенадцатеричной системе записывается как 139i2.
82.	В записи чисел, встречающихся в рассказе, наибольшая ци-
фра 4; значит, система счисления пятеричная. Запишем все числа в
десятичной системе счисления:
1 ю6= 1 -54-1-5+0=30; 12ь= 1 -5+2=7;
303335=3-54+0-53+3-52+3-5+3=1968;
30321б=3-5*+0-58+3-53+2-5+1 = 1961;
303415=3-5*+0-53+3-52+4-5+1 = 1971;
145==Ь5+4=9; 10^-1-5+0=5;
3234д=3-53+2-52+3-5+4=444.
83.	Ответ: 27345в, 21127e, 14314e, 1134518.
84.	Ответ: 8; 64; 512; 4096.
85.	Ответ: 10в; 100в; 10008; 100008.
86.	Ответ: 5; 25; 625; 3125.
87.	а) Равенства 3+4=10 и 3-4=15 одновременно выполняются
в семеричной системе счисления.
б) Не существует системы счисления, в которой выполняются дан-
ные равенства: равенство 2-3=11 справедливо лишь в пятеричной
системе, в которой не может быть 2+3=5, поскольку в ней нет
цифры 5.
Занятия 13—14
Методические замечания. Занятие посвящено арифметическим
действиям в различных системах счисления. Предварительно поле-
зно напомнить учащимся, что сложение в десятичной позиционной
системе сводится к сложению однозначных чисел, причем возможен
перенос из младших разрядов в старшие. Умножение многозначных
чисел «столбиком» также сводится к многократному умножению од-
нозначных чисел и последующему их сложению. Деление многознач-
ных чисел сводится к делению однозначных чисел, умножению и
вычитанию.
Таблица сложения
0	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	(1
3	4	10	И	12
4	10	11	12	13
Таблица умножения
1	2	3	4
2	4	11	13
3	11	14	22
4	13	22	31
134
Эти же правила применимы и для чисел, записанных в любой дру-
гой позиционной системе счисления. Только нужно помнить, что
всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается
сумма, большая основания системы или равная ему, надо сделать пе-
ренос в следующий разряд. Обычно для облегчения выполнения дей-
ствий составляют «таблицу сложения» и «таблицу умножения» в тех
системах, в которых даны числа, и пользуются ими непосредственно.
После сказанного выше составляем с учащимися таблицы сложе-
ния и умножения, скажем в пятеричной системе (для простоты запи-
сываем числа, опуская индекс 5, см. таблицы на стр. 134).
Далее учащимся можно сказать: чем меньше основание системы,
тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения.
Составим таблицы сложения и умножения для троичной системы:
Самые маленькие таблицы сложения
двоичной системы:
и умножения получаются для
О
10
В этом смысле двоичную систему можно назвать самой простой из
всех известных. Тот факт, что числа в двоичной системе записыва-
ются очень длинно, искупается простотой выполнения над ними всех
арифметических действий.
1001011101
х 100101
1001011101
1001011101
1001011101
101011101110001
Выполнение действия сводится фактически к переписыванию чи-
сел в надлежащем расположении.
135
Ршенця
88.
а) . 4203
+ 2132
11340
89.
б) 2143 в) v 213 г) Ответ-.
“ 334 х 3	2402.
1304	1144
120101э 1023
Ю23	11013
1113
“ 102.
2013
“ 1023
223
90.	а) Ответ: 1110011110112
б)	Ответ: 1013220416.
91.	а) Ответ: 1002304100Б.
б)	Ответ: 11120000113.
92.	а) 1011011010012 больше 340125 на 539
б)	12002203 меньше 43401Б на 1737.
93.	42404242б.
94.	20122210123.
95.	1) Когда 100 записано в двоичной системе.
2) Когда число 11 записано в троичной системе.
3) 10 — число нечетное, когда оно записано в пятеричной си-
стеме, а также в системах счисления с основаниями 3, 7, 9.
4)	Когда 11 записано в пятеричной системе счисления.
5)	Когда 14 записано в пятеричной системе счисления.
96.	а) Так как последняя спичка во всех случаях означает число
1, то, выполняя последовательные удвоения (начиная с конца) и не
78
157
19
Рис. 171
забывая прибавлять, где надо, еди-
ницу, получаем число 157 (рис.
171).
Тот же результат можно полу-
чить, рассуждая иначе. Учтем, что
«лежащая» спичка должна соответ-
ствовать в двоичной системе нулю
(деление на 2 без остатка), а «сто-
ящая» — единице. Тогда, читая
справа налево, будем иметь:
1	0	0	1110 1, или,
128 (64) (32) 16 8 4 (2) 1
(в десятичной системе в скобках
изображено значение отсутствую-
щих разрядов).
Отсюда 128+16+8+4+1-157.
39
136
б) Задуманное число по двоичной системе изображается так:
1	0	1111110 0
512 (256) 128 64 32 16 8 4 (2) (1)
В десятичной сйстеме: 512+128+64+32+16+8+4=764.
в) Задуманное число в двоичной системе изображается так:
1	0	0	0	1	0	1	1
128	(64)	(32)	(16)	8	(4)	2	1
В десятичной системе: 128+8+2+1 = 139.
97.	Первое слагаемое равно 11010011012.
98.	В двенадцатеричной системе.
99.	Данное равенство справедливо в любой позиционной системе.
100.
	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41
101.	Ответ: 1452446.
102.
	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6 1	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16 	
137
103.
	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61
104.	а) Ответ: 1000.
б)	Ответ: 1527.
105.	х=^=37.
Три вертикальные черточки в числителе .означают число 111, запи-
санное в десятичной системе; три вертикальные черточки в знаме-
нателе — римскую цифру 3; первые три вертикальные черточки
в правой части также означают римскую цифру 3, а следующие
три вертикальные черточки — число 7, записанное в двоичной
системе счисления.
Занятие 15
Тема. Множества. Подмножества
Учебно-воспитательные цели. Понятие множества является од-
ним из основных понятий современной математики. В настоящее
время большинство разделов математики построено на теоретико-
множественной базе. Понимание основных идей теории множеств
помогает внести ясность и в вопросы школьной математики. Ос-
новные понятия теории множеств настолько просты, что ввести их
в обучение математике можно очень рано. Данная тема помогает
увлечь ребят, разбудить их фантазию, научить рассуждать.
Методические замечания. На даннОлМ занятии ставится цель
научить учащихся находить число подмножеств данного множества.
Учитель говорит учащимся, что, изучая множество, можно вы-
делить группу его элементов по какому-либо более узкому приз^
наку, которым все элементы данного множества не обязательно об-
ладают. Например, среди учеников данного класса можно выде-
лить множество мальчиков; множество девочек; множество уче-
ников, цвет волос у которых русый; множество учеников, увлекаю-
щихся математикой, и т. д.
Полезно напомнить учащимся, что если каждый элемент множест-
ва В является элементом множества А., то множество В называется
138
подмножеством множества А: В с:А. Напоминается чтение этой
записи: множество В входит или содержится в Д (множество А со-
держит множество В).
Пустое множество и само данное множество всегда есть под-
множества данного множества.
Далее учитель дает учащимся задачу для устного решения:
«Сколько подмножеств имеет данное множество, состоящее из од-
ного элемента? двух, трех элементов?» и т. д. Ответы могут быть
самыми неожиданными. После этого задача подробно разбирается
на доске.
Если множество состоит из одного элемента, то оно имеет два
подмножества: пустое ф и само множество {а}.
Пусть теперь множество состоит из двух элементов {а, /?}. Тогда
к подмножествам ф и {а} добавляются подмножества {&} и {а, Ь}.
Число подмножеств увеличивается в два раза: 2-2=4.
Рассмотрим множество, состоящее из трех элементов {a, bt с}.
Подмножествами данного множества обязательно будут все под-
множества множества, состоящего из двух элементов, а также и те,
которые получатся, если к каждому из них добавить третий элемент с:
<р; {а}; '{Ь}; {а, Ь);
(с}; {а, с}; {Ь, с}; {а, Ь, с}.
Число полученных подмножеств равно 4-2=8. Учащиеся смо-
гут подметить, что с добавлением одного элемента к элементам дан-
ного множества число подмножеств увеличивается вдвое.
Составим таким же образом все подмножества множества, со-
стоящего из четырех элементов {о, bt с, d}. Сначала выпишем все
подмножества множества, состоящего из трех элементов:
ф; {а}; {Ь}; {а, Ъ}\ {с}; {а, г}; {Ь, с}; {л, 6, с}, и к каждому из
них добавим четвертый элемент d: {a, d}; {й, d}; {a, bt d}; {с, d};
{с, с, d}, с, d|, bt С9 d| .-
Решения
106.	Ответ: DczBczAcCclE.
107.	Определим число подмножеств множества, состоящего из
семи элементов. Это будет 27=128. Следовательно, существует
128 способов освещения школьной сцены.
108.	Эта задача на определение числа подмножеств множества,
состоящего из шести элементов. Число таких подмножеств 2*=64.
Следовательно, фрукты из вазы можно выбрать 64 способами.
109.	212=4096.
ПО. 2*=32.
111.	D<=A-> Ес: A; BczA-, СаА.
Замечание. Так как учащиеся знают отрицательные числа, необходи-
мо сказать им, что формула четного числа 2 k (где k — целое), нечетного 2k — 1
(где k~ целое число). (На уроках им сообщались такие формулы: четного числа
2nt где п — натуральное число, нечетного 2n 1, где п — натуральное число.)
139
112.	Ученик воспользовался восьмеричной системой счисления:
24в=2-8+4=201(>;
12$—1-8+2—101а.
Занятие 16
Тема. Пересечение множеств
Методические замечания. Учитель напоминает учащимся, что
пересечением множеств называется множество, состоящее из всех
общих элементов данных множеств. Обозначается пересечение так:
лпв.
Цель этого занятия — показать, что можно находить пересече-
ние нескольких множеств и рассмотреть задачи, где это понятие
используется. При этом различные соотношения между множест-
вами выступают ярче, если их иллюстрировать схемами, изображая
множества кругами. Эти круги называются кругами Эйлера. Далее
можно разобрать вместе с учащимися задачу: «В пятых классах
школы училось 70 человек. Им было предложено записаться в три
кружка: по математике, литературе и истории. Староста подсчитал
число учащихся, желающих участвовать во внеклассной работе, и
получил такие результаты. В кружок по математике записалось
51 человек, по литературе — 40, по истории — 22. 6 человек
решили заниматься во всех кружках, математикой и литературой
решили заниматься 32 человека, одновременно заниматься мате-
матикой и историей решили 11 человек, а литературой и историей
8 человек. Получив результаты, староста сказал: «Можно поду-
мать, что у нас в пятых классах обучается не 70 человек, а 170.
Все хотят заниматься в кружках».
Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас
есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу,
ни историю. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»
Введем обозначения.
А —множество всех учащихся;
Рис. 172
В — множество учащихся (кружков-
цев), увлекающихся математикой;
С — множество учащихся (кружков-
цев), увлекающихся литературой;
D — множество учащихся (кружков-
цев), увлекающихся историей. Из усло-
вия задачи следует, что все эти множе-
ства пересекаются. Пересечение множеств
В, С и D (В Л СП D) содержит 6 эле-
ментов (это следует из условия за-
дачи).
Пересечение множеств В и С (В ft С)
содержит 32 элемента, но 6 элементов
принадлежат множеству D (рис. 172).
140
Рис. 173
Рис. 174
Можно определить, сколько человек записалось в кружки по мате-
матике и литературе (32—6—26 человек). Пересечение множеств В
и D (В f] D) содержит 11 элементов, но 6 элементов принадлежат
множеству С; следовательно, в кружки по математике и истории
записалось 11—6<--5 человек.
С 0 D содержит 8 человек, но 6 элементов принадлежат мно-
жеству В; значит, в кружки по литературе и истории записалось
8—6—2 человека.
Теперь легко определить, сколько учащихся посещают только
один кружок — по математике: 51—(6+26+5) = 14 человек; по
литературе: 40—(6+26+2)—6 человек; по истории: 22—(6 1-5+2)=
—9. Всегов кружки записалось: 14+6+9+26+5+6+2=68 человек.
Следовательно, два ученика не будут посещать занятия ни
одного из кружков.
JPeuiemtA
113.	Составляем схему Эйлера (рис. 173). Подсчитаем число
учащихся, входящих в данные множества: 31+4+2+5—42 (Чёл.),
что невозможно, так как в классе 40 учащихся.
114.	- Составим схему Эйлера. По условию задачи все три мно-
жества пересекаются (рис. 174).
А — множество лыжников; В — множество баскетболистов;
С— множество пловцов. Число элементов пересечения трёх мно-
жеств; обозначим через А. Заполняем схему (рис. 174). По условий)
задачи в классе 40 человек, составляем уравнение:
25+27—(34—Х)+16—Х+26- (31— Xj+1 =40
Отсюда Х=10.
Получаем, что баскетболом занимаются 5 человек, только плава-
нием — 2 человека, только лыжами — 3 человека., z
115.	Полученный четырехугольник	(рис*. 1’75) имеет
следующие координаты: —1; 1), Вх(—1; — 1), Cr (1; —2), Dr
(2; 2).
W1
116.	Пересечением треуголь-
ников АВС и AtBxC служит
многоугольник MPQC (рис. 176).
Л4 (—1; 3), Р(О;4), Q(l; 3),
С(0; 1).
Рис. 176
117.	Составляем схему Эйлера
(рис. 177). Всего изучают ино-
странные языки 80 человек:
30+13+20+2+3+5+7=80 (чел.).
Не изучают иностранные языки
20 человек:
Рмг 17е»
100—80=20 (чел.).
118.	Пересечением треуголь-
ников служит многоугольник
со следующими вершинами
(рис. 178), координаты которых:
(1; 0), (3; 1), (4; 0), (3; -1).
119.	а) уменьшится в 3 раза,
б) уменьшится в *27 раз.
120.	а) в пятеричной систе-
ме, б) в восьмеричной системе.
Занятия 17—18
Тема. Объединение множеств
Методические замечания. С понятием объединения двух мно-
жеств учащиеся познакомились на уроках математики. На занятиях
кружка надо обратить внимание учащихся на следующие факты:
Рис. 177	Рис.
142
а)	если пересечение данных конечных множеств не пусто, то
число элементов объединения множеств меньше суммы числа эле-
ментов этих множеств;
б)	если два конечных множества имеют пустое пересечение, то
число элементов объединения множеств равно сумме элементов
данных множеств.
Иллюстрировать эти факты можно на конкретных при-
мерах.
Рассмотрим 2 восьмизначных числа: 65425109 и 98874183. Мно-
жество цифр, входящих в первое число, есть {0, 1, 2, 4, 5, 6Г 9},
а во второе число {1, 3, 4, 7, 8, 9). Составим множество, в которое
входили бы все элементы данных множеств, получим {О, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}.
Это множество и называют объединением данных множеств.
Множество цифр первого числа содержит 7 элементов, а множество
цифр второго числа 6 элементов. Сумма же содержит 10 элементов,
так как повторяющиеся элементы 1, 4, 9 в сумму входят только
один раз.
Рассмотрим второй пример.
В классе 30 мальчиков и 12 девочек. Объединением множества
девочек класса и множества мальчиков класса будет.множество уча-,
щихся класса, содержащее 42 элемента, так как пересечение данных
множеств пусто.
Решения
121.	A UB-{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
122.	С={м, а, т, е, в, к}; £>={а, р, и, ф, м, е, т, к};
C(j£={a, р, и, ф, м, е, т, к}.
123.	Множество всех натуральных чисел.
124. Объединением треугольников АВС и	служит мно-
143
гоугольник ARB^BQA^P (рис. 179). Координаты его вершин:
А (3; 7), R (1; 3), В, (6; -2), С (0; 1), В (-6; ^2), Q (-1; 3),ЛХ (—3;
7), Р(0; 4).
125.	Си£>={—3; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6).
126.	М = {л; у; н; о; х; д};
Лг={с; п; у; т; н; и; к);
М U М={л; у; н; о; х; д; с; п; т; и; к).
127.	Объединением треугольников MNK и	является
многоугольник MQNtKNFMtR (рис. 180), координаты вершин ко-
торого:
М(7; 3); Q(3; 1); А\(-2; 6); К (1; 0); W (—2; —6); F (3; -1);
-3); R(4; 0).
128.	а) 123135; б) 163038; в) 111 134.
129.	а) {—3; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9};
б)	{3; 4);
в)	{2; 3; 4; 5; 6; 7};
г)	{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6).
130.	А= {у; н; и; в; е; р; м; а; г};
В—{л; е; к; т; о; р; и; й);
a)	A U В—{у; н; и; в; е; р; м; а; г; л; к; т; о; й};
б)	А Л В={е; и; р}.
131.	Так как данное множество состоит из .трех элементов, то
число подмножеств данного множества равно 23—8.
Перечислим эти множества:
ф; М; {тетрадь}; {ручка}; {карандаш}; {тетрадь, ручка};
{тетрадь, карандаш}; {ручка, карандаш}.
132.	Точка; отрезок; треугольник; четырехугольник; пяти-
угольник; шестиугольник; пустое множество (рис. 181).
133.	а) {—4; -^3; -т-2; — 1; ,0; 1; -2- 3; ,4; 5):
б)	{-1; 0; 1; 2};
в)	MUW={~2; —1; 0; 1; 2; 3; ,4; 5};
/<и р={_4; -3; _..2; -1; 0; 1; 2; 3; 4};
(MUA0n(KU/»)={-2; —1; 0; 1; 2; 3; 4}.
134.	Задача на определение числа подмножеств данного мно-
Рнс. 181
И4
47
Рис. 182
жества. Число таких подмножеств равно’24= 16. Следовательно,
шестнадцатью способами можно выбрать фрукты из вазы.
135.	При пересечении двух четырехугольников могут полу-
читься:
а) точка, б) отрезок, в) треугольник, г) четырехугольник, д) пя-
тиугольник, е) шестиугольник,- ж) семиугольник, з) восьмиугольник,
и) пустое множество (рис. 182).
136.	Числа записаны в двоичной системе.
Ответ: В семье 4 брата. Младшему 8 лет, а старшему 15 лет, он
учится в 9 классе.
Занятие 19
Тема. Признаки делимости
Учебно-воспитательные, цели. На кружковых занятиях ста-
вится цель — познакомить учащихся с признаками делимости на
9 и на 11 и с помощью этих признаков научить доказывать неко-
торые несложные математические утверждения. Учащиеся на этих
занятиях познакомятся с доказательством нескольких простейших
теорем, что окажет им большую помощь в дальнейшем.
Методические замечания. Признаки делимости в курсе 5 класса
используются при разложений чисел на простые множители, для
приведения дробей с большими числителями и знаменателям# к #е-
сократщ<ому>;;^шду'. Признак делимости на 9 для указанных выше
целей Йе Нужен. Однако есть много интересных зада<, где этот
признак используется, поэтому было бы полезно познакомить с ним
учащихся.	\
На первом занятии по данной теме првторяются уже цзде^ные
учащимся признаки делимости пр# решении более сложныхЦдач.
Решения	\
__ ч
137.	Если все слагаемые — нечетные числа, то сумма будет
четным числом.
Действительно,
М5
2	7	6
9		1
4	3	8
8	1	6
3	§	7
4	9	2
8	3	4
1	5 | 9	
6	7 J 2	
Рис. 183
2п+1 +2й+1+2Z+1 +2/п+1=2n-\-2k+2l+2m+4.
Отсюда следует, что сумма является четным числом, что проти-
воречит условию задачи. Значит, среди этих чисел есть хотя бы одно
число четное, но тогда и их произведение — число четное.
138,	Обозначим двузначное число через ab. Так как по условию
задачи сумма ab+5 делится на 5, то отсюда следует, что ab делится
на 5. Далее разность ab — 3 делится на 3; следовательно, ab кратно
3. Из третьего условия следует, что число делится на 4. Числа 3, 4, 5
попарно взаимно простые. Следовательно, ab делится на 3-5-4=60.
Единственное двузначное число, делящееся на 60, есть число 60.
139.	Так как сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45, то сумма чисел,
стоящих в каждом ряду, равна 15. Единицу до 15 можно дополнить
только двумя способами:
15=1+8+6	15=1+9+5
Следовательно, единица не может стоять ни в угловой клетке, ни
в центре таблицы. Например, число, стоящее в центре, можно двумя
слагаемыми дополнить до 15 четырьмя способами. В любую из остав-
шихся клеток единица может быть поставлена (рис. 183).
Замечание. Полезно сообщить учащимся, что квадратную таблицу,
рассматриваемую в этой задаче, называют магическим волшебным квадратом 3 хЗ.
В общем случае магическим п2-квадратом называют квадрат, разделенный на п2
клеток, заполненных первыми натуральными числами так, что суммы чисел, стоя-
щих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диа-
с л(п2+1) к
гоналеи квадрата, равны одному и тому же числу: Sn— ~— Если одинаковы
£
лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то
квадрат называют полумагическим.
140.	Число, стоящее в центре таблицы, можно дополнить до
15 четырьмя способами. Если осуществить перебор чисел от 1 до
9, то можно обнаружить, что таким свойством обладает только чис-
ло 5.
141.	Рассмотрим выражение 3 : 3 : 3. В этом выражении скобки
можно расставить двумя способами: (3 3) 3 и 3 : (3 : 3). Теперь
рассмотрим выражение 3 : 3 : 3 : 3. Возможны три случая:
а)	3 : (3 : 3 : 3)	(2 способа);
б)	(3 3) (3 3)	(1 способ);
в)	(3:3 3) 3	(2 способа).
Следовательно, в выражении 3 3 3:3 скобки можно расста-
вить пятью способами и при этом получить три различных числа:
146
9; 1; -i-. Рассуждая аналогично, получим, что в выражении 2 2 2
скобки можно расставить двумя способами, а в выражении
2 2 :2 2 — пятью.
Теперь рассмотрим выражение 2 : 2 : 2 : 2 : 2:
а)	2 :	(2 :	2 : 2 :	2)	5	способов;
б)	(2	2)	(2 2	2)	2	способа;
в)	(2	2	2) : (2:2)	2	способа;
г)	(2	: 2	2:2)	2	5	способов.
Всего 14 способов. При этом получаются четыре различных числа
х/8, Ч2, 2, 8.
142.	Длина эскалатора равна 60 м.
143.	110768 112=989.
144.	Предположим, что а и аЬ+4 делятся на натуральное
число d, тогда ab будет делиться на d. Составим разность (аб+4)—
—ab=4. Эта разность также будет делиться на d. Следовательно,
d=l, 2, 4. По условию задачи а— нечетное число; значит, 2 и 4 не
являются делителями числа а. Остается единственная возможность
d=l. А это означает, что а и а&+4 взаимно простые числа.
Занятие 20
Тема. Признак делимости на 9
Методические замечания. Признак делимости на 9 пятиклассни-
кам следует доказать для произвольного четырехзначного числа,
сказав после этого, что указанный прием можно использовать при
выводе этого признака для любого числа.
Изложение вывода признака может быть таким.
Возьмем произвольное четырехзначное число abed и запишем
его в виде суммы разрядных единиц:
abcd= 1000й+1006+ 10c+d - (999+1)а+(99+1)6+(9+ l)c+d=
(999а+996+9с)+ (a+b+c+d).
Первое слагаемое в скобках делится на 9, следовательно, чтобы
сумма делилась на 9, надо, чтобы второе слагаемое в скобках
делилось на 9, т. е. (а+6+c+d) : 9.
Вывод: число будет делиться на 9, если сумма цифр этого
числа делится на 9.
Решения
145.	Если одно из чисел кратно 3, тогда и произведение их
будет кратно 3.
Если же одно из этих чисел не кратно 3, тогда они могут иметь
вид Зп+1 или Зп+2. Пусть взяты два числа первого вида Зп+1 и
Зт+1, тогда их разность Зп+1—3m—1=3 (и—т) кратна 3. Цели
же взять два числа второго вида Зп+2 и Зт+2, то их разность
Зп+2:—3m—2=3 (n—m) тоже кратна 3. Допустим теперь, что одно
147
из чисел имеет вид Зп+1, а другое З/п+2. В этом случае кратной
3 будет их сумма: 3n+l+3m+2==3 (п+/п4-1).
146.	а) Первый множитель не может оканчиваться нулем, так
как если он будет оканчиваться нулем, то первая цифра его тоже
О и число не будет четырехзначным. Значит, последняя и первая
цифры 5 и первый множитель имеет вид: 5**5.
б)	Произведение первого множителя на каждую цифру второго
множителя — четырехзначное число; следовательно, второй мно-
житель 11.
в)	Так как произведение кратно 9, а второй множитель 11,
то число 5**5 кратно 9, причем обе средние цифры его одинаковы.
5+*+#+5У=27, так как сумма цифр должна быть четной. Отсюда
следует, что 5+*-|-*+5=18 и, значит, одинаковые средние цифры 4.
147.	Разгадка фокуса заключается в том, что если от какого-
либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на
9. Зная это, подыскиваем цифру, которая вместе с суммой сообщен-
ных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без
остатка. При выполнении фокуса может случиться, что сумма со-
общенных цифр сама делится на 9. Это показывает, что зачеркнутая
цифра есть либо 0, либо 9. Значит, так и надо ответить: 0 или 9.
148.	Среди любых 11 чисел всегда имеются по крайней мере
два таких числа, которые оканчиваются одной и той же цифрой,
а значит, разность этих двух чисел оканчивается нулем, т. е. крат-
на 10.
149.	Пусть наибольшее слагаемое х, тогда наименьшее 75 ^-х
Рис. 184
Теперь составляем и решаем -урав-
нение:
3(х—'(75—х))—х;
3(2х—75)=х;
6х—225—х;
5х-225;
45.
Наибольшее слагаемое 45, наимень-
шее 30.
150.	Решение дано на рисунке;! 84.
Занятие 21
Тема. Признак делимости на 11
Методические замечания. Для пятиклассников вывод признака
делимости на 11 можно рассмотреть для произвольного четырех-
значного числа. Вывод может быть таким. Рассмотрим четырех-
значное число abed.
Представим это число в виде суммы разрядных единиц abcd=
= 1000о+100Ь+ 10c+d=d+10(с+1 Ob +100а).
Вычтем из числа abed число 11(с+106-г100а). Получим d — с —
—10(b+J0a):. Эта .разность будет иметь тот же остаток от деления
на 11, что и число abed.
448
Прибавим к этой разности число ll(i>+10a), кратное 11. Получим
d—с+6 + 10а, также имеющее от деления на 11 тот же остаток,
что и число abed. Вычтем из него число На, кратное 11. В резуль-
тате получим число:
d—c-\-b—a==(d+b)—(а+с), имеющее тот же остаток от деления
на 11, что и исходное число.
Вывод: число делится на 11, если разность суммы цифр,
стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных
местах, кратна 11. Испытаем число 98 855 075:
9+8+5+7=29;
8+5+0+5= 18;
29—18=11;
значит, данное число делится на 1.1.
провести для любого многозначного числа.
Доказательство можно
Решения
151.	Данная задача представляет другой признак делимости
на 11. Можно предложить одному из учащихся сделать небольшое
сообщение на следующем занятии (смл Я- И. Перельман.
Занимательная алгебра. Тема «Делимость на 11»).
152.	Пусть a, 6, с — искомые цифры, причем а>Ь>с. Тогда
самые большие из образованных чисел; abc и acb, причем ahc>
^>aeb. По условию задачи abc-\acb~ 1444. Каждое число в левой части
равенства представим в виде суммы разрядных единиц, сделаем
приведение подобных слагаемых:
100а+ 10Ь+с+ 100а+ 10с+6= 1444;
200а+11(Ь+с)=1444;
11(6+с)—44-200(7—а). (*)
В равенстве (*) левая часть делится на 11; значит, и правая часть
должна делиться на 11, но это возможно, если а=7. Получаем:
b+c=4, 6=3 и с=1. Итак, были взяты цифры 7, 3 и 1.
153.	Пусть а, Ь, с — различные цифры, отличные от 0. Соста-
вим всевозможные трехзначные числа abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Запишем каждое из чисел в виде суммы разрядных единиц и найдем
их сумму:
100(а+а+6+6+с+с) + 10(6+6+а+а+с+с) + (с+6+с+а+
b+a)=200(a+b+c) + 20(а+6+с) + 2(a+b+c)=222(a + 6+c)=6x
x37(a+6+c).
154.	По условию задачи рассматриваемое число имеет вид:
100а+ 10(а+с)+с= 110а+11с, которое делится на 11.
149
155.	Например, 978652213.
156.	Представим число аЪсъ, записанное в пятеричной системе,
в виде суммы разрядных единиц:
abc^=a • 54-6 • 5+с= (24а+а)+(4b+b)+c = (24а+4Ь)+(а+Ь+с).
Чтобы сумма делилась на 4, надо, чтобы второе слагаемое а+
+ 6+с делилось на 4, т. е. сумма цифр числа abcb делилась на 4.
157.	А 6 (ЛВ] — неверно; В £ (ЛВ) — неверно; В £ (ЛВ] U
U (ВО) — верно; D £ (ОЛ) U [BD] — верно; D С [ЛВ] (J [BD) — не-
верно; В 6 [ЛВ) и [BD] — верно; В € (Л В) п (BD] — неверно.
Занятия 22—25
Тема. Геометрические преобразования
Учебно-воспитательные цели. На уроках математики в 5 клас-
се у учащихся формируются наглядные представления о параллель-
ном переносе, осевой симметрии и повороте плоской фигуры; уча-
щиеся изучают навыки в решении задач на повторение: деление
отрезка пополам, построение перпендикуляра к прямой, деление
угла пополам, построение треугольников по основным элементам.
При обосновании построений используются некоторые элементы
дедукции, учащиеся постепенно начинают «чувствовать» логику
рассуждений и отличать дедуктивные доказательства от эксперимен-
тальных. Для подготовки ребят к овладению систематическим кур-
сом геометрии особенно важна работа по применению понятий,
умение обнаружить эти понятия в измененном чертеже. Эту цель
и преследуют кружковые занятия.
Методические замечания. Проводя занятия по данной теме,
учитель должен стремиться к тому, чтобы учащиеся по возможности
самостоятельно проводили наблюдения, приходили к догадкам,
делали выводы.
Решения
158.	Развертками прямоугольного па-
раллелепипеда являются фигуры 1, 4.
159.	Если соединить концы пунктир-
ных прямых, то получится равносторонний
треугольник. Счедовательно, искомый угол
равен 60°.
160.	Для решения задачи надо вспом-
нить, что*множеством точек, одинаково
удаленных от концов данного отрезка,
является его ось симметрии. X — искомая
точка (рис. 185).
161.	Решение дано на рисунке 186.
150
Рис. 186
Рис. 187
162.	Развертками куба являются фигуры 1, 2, 4.
163.	Например, носок, сон.
164.	Решение дано на рисунке 187.	____
165.	Пусть искомое четырехзначное число abed, а трехзначное
число tnnk, тогда задачу можно условно записать так:
abed
mnk
4Л90
deb а
knm
6980
Отсюда следует, что а=4 или а=3.
Пусть а—4, тогда т~6, и мы получим:
но сумма &+6 не может быть равной 0 или 1. Значит, а=/=4. Следо
вательно, отсюда т==7.
, 3bcd	. dcb3
'	7 nk	** kn7
4T90	69 8 0
Теперь легко видеть, что &~4.
, 34cd	dc43
'	7 nk	' kn7
4T90	6980
Следовательно, n—3.
, 34cd	. dc43
73k	ф k37
41 90	6980
157
Отсюда с=5.
3454
736
4 19 О
4543
637
6980
Значит, k=4, a d=6. Ответ: 3456 и 734.
166. Дом можно расположить в любом месте участка, так как
сумма длин трех дорожек постоянна и равна высоте треугольника.
Покажем это. Пусть сторона равностороннего треугольника равна
а, а высота h. Возьмем внутри треугольника произвольную точку А
(рис. 188) и проведем через нее перпендикуляры к сторонам тре-
угольника: AFt A Q, АР. Соединим точку А с вершинами треуголь-
ника. Площадь каждого из полученных треугольников равна:
AF-a АР a AQ*a
, площадь данного
треу голышка
равенство:
2
. Получаем следующее
АР а ! AQa_ah

Отсюда получаем, что ЛВ+ЛР+
167. Учащиеся знают, что при парал-
лельном переносе каждая фигура пере-
ходит в равную ей фигуру. Кроме того, надо подчеркнуть еще раз,
что при параллельном переносе все точки фигуры перемещаются
вдоль параллельных прямых, в одном и том же направлении и на
одно и то же расстояние.
После рассмотрения задач на
фигур, например треугольника
предлагается данная задача.
Искомый отрезок МР можно
Рис. 189
параллельный перенос различных
окружности, четырехугольника,
получить, осуществив параллель-
ный перенос окружности О на
отрезок ЛВ в направлении от А
к В (рис. 189).
Можно сказать учащимся, что
если одна окружность может
быть получена из другой па-
раллельным переносом на отре-
зок АВ в направлении от Л к В
или от В к Л, то задача имеет
множество решений, в остальных
случаях — не более четырех ре-
шений.
152
168.	Искомая точка С нахо-
дится, как точка пересечения
биссектрисы угла и середин-
ного перпендикуляра отрезка
АВ (рис. 190).
169.	Решение дано на рисун-
ке 191.
170.	Пусть а и b—данные
пересекающиеся прямые, а I —
ось симметрии ; +, Ь' — искомые
прямые (рис. 192).
171.	Если точка совпадает
с центром данной окружности,
то фигура имеет бесконечное
множество осей симметрии.
Если данная точка не совпа-
дает с центром данной окружно-
сти, то такая фигура имеет одну
ось симметрии.
172.	ЛАВС= 180°—36е-144°
(рис. 193); следовательно,
/LABM —72°, так как МВ —
биссектриса угла АВС;
Z.MBN = ZLNBA—Z_A ВМ.
АЛ4ВМ=90°—72°= 18°
173.	21 ученик учится на
хорошо и отлично.
174.	Используя последнее
2
условие задачи, имеем, что
О
материи, оставшейся после тре-
тьего дня продажи, составляет
13 м. Значит, остаток после
третьего дня продажи состав-
ляет 13 4-= 19,5 м. Отсюда 4-
3	4
остатка после второго дня про-
дажи составляет 19,5+9—28,5 м.
Следовательно, после второго
дня продажи осталось 28,5
4
=38 м. у остатка после первого
дня продажи составляет 38+10=
“48 м. Или остаток после пер-
ло 4
вого дня продажи равен 48:-=-=
О
5
=60 м, Отсюда у имевшегося
Рис. 193
153
Рис. 196
материала составляет 60+5—
=65 м. Значит, всего материи
было 65 :4~=78 м.
175.	Построим точку, симмет-
ричную точке С относительно
SB (рис. 194). СК=КР; CP±SB.
Затем проведем РЛ4_[_<$Л. Пере-
сечение отрезка МР и SB дает
точку F. Искомый путь CFM..
Путь CFM будет кратчайшим.
Действительно, для любой точ-
ки X, взятой на луче SB (рис.
194), имеем: длина ломаной
CXY равна длине ломаной PXY9
но длина ломаной PXY больше
длины отрезка МР, так как
МЯ=УХ, а НР<ХР.
176.	Решение видно из ри-
сунка 195. Достаточно выпол-
нить параллельный перенос
угла АВС на отрезок а || ВА,
построить биссектрису ОК угла
АОЕ и выполнить параллель-
ный перенос на отрезок аг
177.	Ответ: на 120°
178.	Вращением на 90°.
179.	Построим точку В19 сим-
метричную В относительно пря-
мой I (берег реки). Соединим
точки А и X (рис. 196). Получим
искомую точку Y Действитель-
но, из свойств симметрии сле-
дует, что YB—YBr. Точки Я, У,
Вг лежат на одной прямой. Если
предположить, что существует
еще какая-то точка Y± (рис. 196),
то получим ломаную ЛУ1В1.
Но отрезок короче ломаной,
соединяющей его концы.
180.	Ответ: и 2^.
181.	Ответ: 36°.
182.	Единицей 3-го разряда
четверичной системы служит
число 16, а единицей 4-го раз-
ряда троичной системы — чи-
сло 27.
154
183.	Задач а-шутка. Л4ашинисту столь-
ко лет, сколько тебе, так как из первой
строчки следует, что машинист — это ты!
184.	Нетрудно составить уравнение, где
х — число учеников, посещающих школу:
1	I 1 - 1 1 . I Q —
2	X I X ! у X I о X,
х-28.
185.	Предположим, что большей сто-
роной является основание равнобедренного
треугольника. Обозначим длину боковой
стороны через х см\ тогда:
Рис. 197
х+х+3х=63; 5х=63; х=12,6.
Если боковая сторона 12,6 см. то основание треугольника 37,8 см.
и, следовательно, сумма боковых сторон оказалась меньше основа-
ния» Такого треугольника не существует.
Пусть большей стороной является боковая сторона. Тогда, обо-
значив длину основания за х см. составляем и решаем уравнение:
3х+3х+х=63;	7х—63;	х=9.
Если основание 9 см. то боковая сторона 27 см. Такой треугольник
существует. Ответ: 27 см.
186.	Объединением данных множеств является множество рав-
нобедренных треугольников, а пересечением — множество рав-
носторонних треугольников. Так как множество равносторонних
треугольников является подмножеством множества равнобедрен-
ных треугольников.
187.	Умножать смешанные числа так нельзя, так как при таком
способе умножения происходит нарушение распределительного
закона умножения.
188.	Например, можно к числу 43572 приписать справа цифру 1.
Полученное число 435721 будет делиться на 11 (см. признак дели-
мости на 11).
189.	Можно. Решение дано на рисунке 197.
ПРОВЕДЕНИЕ ЗАЧЕТОВ
ПО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ЗАЧЕТОВ
В 4 КЛАССЕ
ПЕРВЫЙ ЗАЧЕТ (ноябрь, декабрь)
1.	В трех ящиках лежат белые, синие и красные шары. В ящике
с надписью «Синий и красный» лежат один белый и один синий шары.
В другом ящике с надписью «Красный и белый» лежат один крас-
ный и один синий шары. Из условия видно, что надписи на ящиках
не соответствуют цвету лежащих в них шаров. Угадайте закономер-
ность распределения шаров по ящикам и установите, какого цвета
шары лежат в третьем ящике с надписью «Синий и белый».
2.	Выясните, по какому правилу расположены числа в ряду:
186, 345, *, 713;
найдите третий член ряда.
3.	По какому правилу нарисованы рыбки в клетках таблицы
(рис. 198)? По этому же правилу расположите елочки в пустых
клетках второй таблицы.
Рис. 198
156
4.	В римской нумерации записано какое-то число. К нему при-
ставлено снизу его перевернутое изображение. Получилось число,
вдвое большее данного. Найдите это число.
5.	Слово «кастрюля», состоящее из 8 букв, можно зашифровать
с помощью полоски из 8 клеток так: в полоске вырезают четыре окош-
ка (рис. 199) и в них записывают первые четыре буквы этого слова.
I »
ИГ-ТИП
ЯИ_ЯИЯИ—J
Рис. 199
Рис. 200
Потом полоску переворачивают, как показано на рисунке 200,
и в вырезанные окошки записывают остальные 4 буквы.
Изготовьте из бумажной полоски в 8 клеток шифровку, но с дру-
гим расположением вырезанных окошек и зашифруйте с ее помощью
слово «картошка».
6.	В некотором шифре слово «ребус» записывается «беурс»,
слово «решил» — «шеирл». Как записать в этом шифре слово «до-
ска»? Что означает зашифрованное слово «чукра»?
7.	Каких чисел среди первых 10000 больше — делящихся на
3 или не делящихся на 3?
8.	Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту
же линию дважды, нарисуйте фигуру (рис. 201). Можно ли таким
же .образом нарисовать другую фигуру (рис. 202)?
9.	Доказать, что из каждых 6 человек найдутся 3, которые*
либо все знакомы друг с другом^ либо все трое не знакомы. >
10.	В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех
перекладываний уровнять число орехов в кучках. Перекладывать!
из одной кучки в другую можно только так: класть столько ope-1
хов, сколько их уже было во второй кучке.	i
11.	На соломинку длиной в 10 см нанизаны 12 ягод фмлдн^ки.
Покажите, ?что найдутся 2 ягодки, расстояние между ; которыми |
меньше чем! 1 см. !	!	* .у |
12.	В классе 36 учеников. КаЖДому- было !дано задание рёШить 1
по выбору одну из семнадцати предложенных задач. Докажите,
что какую-то задачу решали сразу трое.
13.	Вместо звездочки поставьте такие цифры, чтобы вычитание
было выполнено правильно:
5 * 1 *
— 39*6
* 1 24
14.	Замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное
равенство:
****-(- **** ~ *9997.
15.	Сколько раз встретится цифра 5 в ряду чисел:
1; 2; 3; 4;	98; 99?
ВТОРОЙ ЗАЧЕТ (апрель, май)
1. Из 75 одинаковых по виду колец одно несколько отличается
от других по весу. Двумя взвешиваниями на чашечных весах без
гирь определите, легче оно или тяжелее.
2. Имеется куб, который содержит столько же кубических сан-
тиметров, сколько квадратных сантиметров в площади всей его
Рис. 203'
поверхности. Какая длина ребра у это-
го куба?
3.	Как из шести спичек, не ломая их,
сложить четыре треугольника, каждая
сторона которых равна 1 спичке?
4.	Можно ли ходом шахматного коня
обойти все клетки доски (рис. 203), по-
бывав на каждом поле только один раз?
5.	Отцу 41 год, старшему сыну 13
лет, дочери 10 лет, а младшему сыну 6
лет. Через сколько лет отцу будет столь-
ко лет, сколько его детям, вместе взятым?
6.	Два ученика хотели купить-моро1-
женое. У одного не хватило 10 копеек,
у другого 2 копеек. Тогда они сложили
свои деньги вместе, и все равно им не хватило на покупку даже
одной порции. Сколько стоила одна порция мороженого?
7.	30 учеников выстроены прямоугольником по 6 человек в ряду
и по 5 в шеренге. Сначала выбрали самого высокого в каждом ряду
и из 5 отобранных — самого низкого. Им оказался Карпов. Затем
выбрали самого низкого из каждой шеренги и из шести отобран-
ных— самого высокого. Им оказался Сомов. Может ли Карпов
оказаться ниже Сомова?
8.	На трех полках стоят книги. На нижней полке в 2 раза мень-
ше книг, чем на остальных двух. На средней в 3 раза меньше, чем
на остальных, а на верхней 30 книг. Сколько всего книг на трех
полках?
158
9.	В математическом кружке составляли
Один из учеников придумал такой ребус:
числовые ребусы.
* * *
* •х* 0
* •» 4 6 *
Учитель посмотрел на этот ребус и сказал: «Одна из цифр ре-
зультата неверна; кроме того, ее вообще можно заменить звездоч-
кой и расшифровать ребус». Расшифруйте этот -
ребус, выясните, какая цифра неверна.
10.	Разбейте квадрат, сторона которого 16
клеток, на фигурки, изображенные на рисунке —т—
204. Можно ли разбить на такие фигурки квад-
рат со стороной в 9 клеток?		—
11.	Разделите 4 одинаковых яблока поровну рис< 204
между 6 ребятами, разрезая каждое яблоко
только один раз.
12.	В ящике 70 шаров: 20 синих, 20 белых, 20 красных и 10
черных. Какое наименьшее число шаров надо взять, чтобы хотя
бы 1 был черным, хотя бы 10 были одного цвета?
13.	На одном берегу реки 3 взрослых и 2 мальчика. Как всем
переправиться на другой берег, если лодка вмещает одного взрос-
лого или двух мальчиков?
Рис. 205
14.	На рисунке 205 показан железнодорожный разъезд, на ко-
тором находятся 2 поезда А и Б. Как пропустить поезд А вперед,
если в поезде Б 10 вагонов, а в тупике Т помещается только 5 ва-
гонов и один паровоз?
15.	Из стакана черного кофе перелили одну ложку в стакан
с мат оком, потом из стакана полученной смеси перелили такую
же ложку жидкости обратно в стакан с кофе. Чего больше — молока
в кофе или кофе в молоке?
159
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ЗАЧЕТОВ
В 5 КЛАССЕ
ПЕРВЫЙ ЗАЧЕТ (ноябрь, декабрь)
1.	Население некоторого города увеличивается ежегодно на 5%.
Можно ли с уверенностью сказать, что население города увеличится
вдвое раньше, чем через 20 лет?
2.	Один из двух множителей увеличили на 20%, а другой умень-
шили на 20%. Изменилось ли произведение?
3.	В каком случае получится большая сумма: если каждое сла-
гаемое увеличить на 5% или только первое слагаемое увеличить на
10%, а второе слагаемое оставить без изме^
О нения?
4.	Пройдя половину пути, пароход уве-
личил скорость на 25%, благодаря чему он
прибыл на место на 30 мин раньше срока.
Сколько часов пароход был в пути?
5.	Двое играют в следующую игру: они по
очереди ставят фишки, среди которых 2 бе-
лые, 2 синие, 2 красные и 2 зеленые, в кру-
жочки фигуры, которая изображена на ри-
сунке 206. Как может игрок, делающий ход
Рис. 206 вторым, добиться того, чтобы любые четыре
подряд стоящие фишки были разного цвета?
6.	Длины всех сторон треугольника выражаются целым Числом
дециметров. Одна сторона 3 дм, другая 1 дм. Каков периметр
треугольника?
7.	Какой геометрический принцип лежит в разбивке букв по
следующим группам:
I - А, Д, М, П, Т, Ф. Ш;
II В, Е, 3, К, С, Э; ГО;
III — О, Ж, X, Н; IV — Б, Г, Л, И, Р, У, П, Ч, Ь, Ъ, Ы, Я?
8.	Найдите обыкновенную дробь с однозначным ‘знаменателем,
которая меньше , но больше .
9.	В первом ящике 15 синих шаров, во втором 12= белых шаров.
Одним ходом разрешается взять 2 белых шара или 3 синих». Вы-
игрывает тог, кто берет последний шар. Как должен играть начи-
нающий, чтобы выиграть?
10.	Найдите ошибку в следующем «доказательстве»: пусть дано
верное равенство (2—3)2=(6—5)2. Отсюда вытекает, что 2—3=
= 6—5. Перенося—3 в правую часть, а —5 в левую часть равен-
ства с противоположными знаками, получим, что 2+5=64-3, откуда
получаем, что 7=9.
11.	Расшифруйте запись, в которой звездочки обозначают
цифры, если известно, что каждое из чисел не меняет своего зна-
чения, если цррчцтать его справа, налево;;	г
160
*#*=**#*.
12,	Найдите двузначное число, которое, будучи прочитано
в семеричной системе, равно числу в восьмеричной системе, но
прочитанному справа налево.
13.	На питание школьников было израсходовано 10 кг сахару
в 3 дня, и была составлена следующая ведомость:
	Взято	Осталось
1-й день	3 кг	7 кг
2-й день	2 кг	5 кг
3-й день	5 кг	0 кг
Итого	10 кг	12 кг
Откуда взялись лишние 2 кг?
14.	Четыре брата — Коля, Саша, Вася и Петя — учились
в 3, 4, 5, и 6 классах. Кто в каком классе учился, если Петя — от-
личник и младшие братья стараются брать с него пример, Саша
уже изучает в школе физику, а Коля помогает младшему брату
решать задачи?
15.	Число 121 квадрат 11. В каких системах счисления число,
записанное в виде 121, также является полным квадратом?
ВТОРОЙ ЗАЧЕТ (апрель, май)
1.	Сформулировать признак делимости на 4 в двенадцатеричной
системе счисления.
2.	Какие числа, записанные в четверичной системе счисления
одинаковыми цифрами, записываются в двоичной системе счисле-
ния хотя и другими, но тоже одинаковыми цифрами?
3.	Шутка из «автобиографии» одного математика: «Учиться
я начал очень рано и уже в 33 года перешел в выпускной класс.
Последний урок совпал с моим днем рождения, когда мне исполни-
лось 100 лет». В каком возрасте пошел в школу этот мальчик?
4.	В комнате собралось 17 человек. Десять из них знают анг-
лийский язык, 13 — немецкий и французский, 2 человека владеют
сразу тремя языками: немецким, французским и английским. Нет
ли ошибки в этих данных?
5.	Как с помощью четырех кольев, двух колец и веревок за-
ставить козу пастись на участке прямоугольной формы?
6.	В четырех пакетах лежат по 5 шариков, причем в трех па-
кетах каждый шарик весит по 10 г, а в оставшемся пакете по 9 г.
6 № 6156
161
Как одним взвешиванием на точных весах с гирями определить,
в каком пакете более легкие шарики?
7.	В самолете летят 3 пассажира: Волков, Зайцев и Медведев.
Такие же фамилии у пилота, штурмана и радиста. Известно, что
пассажир Волков живет в Москве, штурман живет на полпути между
Москвой и Ленинградом, а пассажир — однофамилец штурмана —
живет в Ленинграде. Пассажир — земляк штурмана — вдвое стар-
ше его. Зайцеву 37 лет. Медведев и радист уже 5
лет летают вместе. Установите фамилию пилота,
штурмана и радиста.
8.	Бросают 2 игральных кубика. На гранях
кубика отмечены числа, как показано на его раз-
вертке (рис. 207). Какое число очков на обоих куби-
Рвс. 207 ках чаще всего можно получить?
9.	В классе 30 учеников. 15 учеников посеща-
ют литературный кружок, 11—биологический. Из них 4 ученика
участвуют в работе обоих кружков. 5 учащихся занимаются в ли-
тературном и математическом кружках, а 3 — в биологическом
и математическом. Только 1 ученик посещает все три кружка.
Остальные учащиеся занимаются только в математическом кружке.
Сколько всего учащихся занимаются в математическом кружке?
10.	Найдите наибольшее четное пятизначное число, первые
3 цифры которого образуют куб натурального числа, а последние
3 цифры — квадрат натурального числа.
11.	Дробь у несократима. Будут ли несократимы дроби
а а	b
Ъ^а ’ Г+ад ’ 2а+3д ‘
12.	Число записано с помощью 30 единиц и нескольких нулей.
Может ли оно быть полным квадратом?
13.	Даны три прямые, которые пересекаются в одной точке.
Эти прямые являются биссектрисами некоторого треугольника.
Восстановите треугольник, если задана вершина А треугольника.
14.	Хозяева трех домов пользуются тремя колодцами. Но колод-
цы время от времени пересыхают. Поэтому каждый хозяин решил
проложить дорожки от своего дома ко всем трем колодцам, но так,
чтобы эти дорожки не пересекали дорожек соседей. Можно ли это
сделать?
15.	В одном поселке живет 50 школьников, а в другом 100.
Где удобнее всего построить школу с таким расчетом, чтобы об-
щий путь, проходимый всеми школьниками, был наименьшим?
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ, УКАЗАНИЯ
И ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТНЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Целями такой формы работы, как проведение зачетов, являются
развитие самостоятельности в работе, развитие готовности доб-
ровольно и самостоятельно выполнить большое задание за большой
срок, что требует от учащихся более высокого уровня развития ин-
162
тереса к изучению математики. Такая форма отчетности соответст-
вует возрастным особенностям учащихся, их желанию участвовать
в соревнованиях и добиваться успеха, стремлению показать свои
достижения перед товар ищами.
Проведение зачетов создает условия для совершенствования ин-
дивидуального подхода учителя в работе с учащимися. Такая форма
работы дает возможность охватить и тех учащихся, которые по
какой-либо причине вовсе не посещали или пропустили часть
занятий кружка.
Зачеты дают возможность придать всей внеклассной работе
завершенную форму, подвести итоги, ликвидировать имевшиеся
пробелы, организовать повторение.
В свое время все учащиеся сдавали экзамены по математике
в каждом классе. Их отмена связана с необходимостью ликвиди-
ровать перегрузку учащихся учебной работой. Однако многие
учащиеся в выпускных 8-х—10-х классах и особенно на вступитель-
ных экзаменах в вузы показывают знания ниже своих возможно-
стей, излишне нервничают и т. д. Учащиеся, которые проявляют
интерес и способности к занятиям по математике, должны уметь
отчитываться в проделанной работе.
Проведение зачетов наряду с кружковой работой и олимпиадами
дает возможность выявить наиболее способных, трудолюбивых
и интересующихся математикой учащихся.
Организация зачетов — весьма важный элемент в работе. В году
проводится два зачета. На каждом зачете учащийся должен уметь
решать заранее указанные 15 задач. Список этих задач полезно
дать учащимся за 2—3 месяца до зачета через стенную печать. При
этом нет надобности учащимся торопиться с решением опубликован-
ных задач.
На зачете проверяется только умение решать данные 15 задач.
Завышение этих требований может привести к перегрузке и иска-
жению замысла проводимых зачетов.
Зачет проводится устно. Никаких письменных решений задач
представлять не надо. Учащийся на зачете «тянет» три задачи и
объясняет решения тех из них, которые он лучше знает. Для по-
лучения зачета достаточно объяснить решения двух задач. При этом
следует учитывать оригинальные идеи в решении задач.
Для официального признания успеха учащегося заводится
зачетная книжка, в которой указываются факт сдачи зачета, да-
та и подпись учителя. На рисунке 208 показан примерный
образец такой зачетной книжки. Изготовление зачетной книжки
следует поручить в виде общественной работы старшим школь-
никам.
Представляется особенно важным, чтобы упражнения, предназ-
наченные для зачета, учащиеся выполняли самостоятельно. Поэ-
тому их не следует разбирать с учащимися во время кружковых
занятий. Желательно, чтобы учащиеся сами осознали бессмыслен-
ность чужой помощи в этой работе.
6*
163
Зачетная
книжка
по математике
Лишь осенью после летних каникул; на первых занятиях круж-
ка последующего класса в качестве повторительной работы воз-
можен на кружке разбор некоторых упражнений, вынесенных на
зачет в прошлом году.
Решения н первому зачету для учащихся 4 класса
1.	Можно заметить, что в каждом ящике лежит шар, цвет ко-
торого указан на коробке первым, а цвет второго шара на коробке
не указан. Ответ: Синий и красный.
2.	Первые цифры указанных чисел составляют последователь-
ность первых четырех нечетных чисел: 1, 3, 5, 7. Вторые цифры со-
ставляют убывающую последовательность: 8, 4, 2, 1 (каждое после-
дующее число в два раза меньше предыдущего). Третьи цифры также
составляют убывающую последовательность: 6, 5, 4, 3. Ответ: 524.
3.	В каждой следующей клетке таблицы (при движении слева
направо) рыбка повернута на 90° по направлению движения ча-
совой стрелки.
4.	Ответ: Число V.
5.	В этом задании полезно разобрать число случаев различного
расположения вырезанных окошек.
6.	Ответ: Слово «доска» зашифровывается записью «сокда».
Запись «чукра» расшифровывается словом «ручка».
7.	В каждой тройке подряд стоящих натуральных чисел одно
делится на 3, а два других — нет. Следовательно, чисел, которые
не делятся на 3, среди первых 10 000 чисел больше.
8.	Надо подсчитать число узловых точек, в которых сходится
нечетное число линий. Если число узловых точек с нечетным числом
сходящихся линий будет больше 2, то начертить фигуру указанным
в задаче способом нельзя.
9.	Условимся изображать людей точками. Если люди знакомы,
то соединим точки синими отрезками, если же незнакомы, то соот-
164
ветствующие точки соединим красными отрезками. Из первой точ-
ки должны исходить пять отрезков, среди которых обязательно
будут по крайней мере три одного цвета, например синие. Точки,
которые соединены с первой точкой синими отрезками, обозначим
цифрами 2, 3 и 4. Если две из них соединены также синим отрезком,
например 2 и 3, то точки 1, 2 и 3 обозначают трех знакомых людей.
Если же никакая пара из точек 2, 3 и 4 не соединена синим отрез-
ком, то они будут изображать трех незнакомых.
10.	Решение задачи видно из таблицы:
	1-я кучка	2-я кучка	З-я кучка
1-й шаг 2-й шаг 3-й шаг	° II 7 1 СЧ	1 СЧ 00 ОО	14+14 = 28 28—12=16 16	12 124-12 = 24 24—8 = 16
11.	Разделив соломинку на 10 равных частей, получим, что
каждая часть равна 1 см. Так как ягод было 12, то хотя бы на одной
части будут находиться по крайней мере две ягоды, расстояние
между которыми меньше 1 см.
12.	Так как каждый ученик решает одну задачу, то должно по-
лучиться 36 решений, а задач всего 17 видов. Следовательно, сог-
ласно принципу Дирихле, хотя бы одну задачу решали трое.
13.
51 10
— 3986
1 124
14.	9998+9999—19997, или 9999+9998=19997.
15.	10 раз цифра 5 стоит в числе единиц и 10 раз в числе десят-
ков. Всего 20 раз.
Решения ко второму зачету для учащихся 4 класса
1.	Например, можно разбить все кольца на 3 кучки: 20, 20 и
35, Затем положить 2 кучки по 20 колец на разные чашки весов.
Если вес их окажется одинаковым, то сравнить оставшиеся 35 ко-
лец с 35 кольцами из 40 одинаковых, которые лежат на весах. Если
же одна из кучек (по 20 колец) оказалась легче, то сравнить ее
с 20 из 35 одинаковых, которые не были использованы во взвеши-
вании.
2.	п3=6п2, или н=6.
3.	Из 6 спичек составляется правильная треугольная пирамида.
4.	Нельзя, так как одним ходом конь попадает с белой клетки
на черную или с черной на белую. Следовательно, число белых и
165
черных клеток может отличаться на 1, ес-
ли мы хотим обойти все клетки по одному
разу. На данной доске черных клеток
больше, чем белых.
5.	41+х=29+Зх; х-6.
6.	У одного ученика либо одна копейка,
либо ни одной копейки, поэтому одна пор-
ция мороженого стоила 11 коп. или 10 коп.
7.	На пересечении ряда, в котором стоит Карпов, и шеренги,
в которой стоит Сомов, стоит ученик, который не выше Карпова
и не ниже Сомова. Следовательно, Карпов не ниже Сомова.
8.	Пусть половина книг, стоящих на средней полке, выражается
числом х. Тогда на нижней полке х+15 книг. Отсюда уравнение
6х=х+15+30, х=9. Ответ'. На средней полке 18 книг, а на ниж-
ней полке 24 книги.
401
2005
20451
10.	Из двух таких фигур можно составить прямоугольник
(рис. 209), а такими прямоугольниками легко покрыть квадрат со
стороной 16 клеток. Квадрат со стороной в 9.клеток разбить на
такие фигурки нельзя, так как число 81 не кратно 4.
11.	Каждое яблоко надо разделить на две неравные части:
1	2
у и у (т. е. отрезать от яблока одну треть его). Каждому до-
2 А
станется по -g- яблока.
12.	В первом случае достаточно вынуть 61 шар, во втором случае
37 шаров.
13.	Сначала переправляются два мальчика и-один возвращается
обратно. Потом переправляется на другой берег один взрослый,
а лодку возвращает второй мальчик. Дальше этот процесс вновь
повторяется.
14.	Сначала в тупик Т загоняют 5 вагонов, а оставшиеся вагоны
поезда Б вместе с паровозом проезжают
вперед. Затем поезд А проходит также
вперед и, захватывая из тупика Т 5 ва-
гонов, движется в первоначальное поло-
жение. Такие же маневровые операции
проводят с остальными 5 вагонами и па-
ровозом Б.
15.	Так как в результате перелива-
ний количество жидкостей в обоих ста-
канах не изменилось, то и количество
Молоко
с косре
Косре
с молоком
Рис. 210
166
кофе в молоке равно количеству вытесненного молоком кофе из
стакана с кофе. Ответ: Количество кофе в молоке равно количе-
ству молока в кофе (рис. 210).
Решения к первому зачету для учащихся 5 класса
1.	Так как население города возрастает каждый год на 5%,
а каждый раз эти 5% берутся от все большего числа, то за 20 лет
население возрастет более чем в 2 раза.
2.	Надо сравнить выражения:
а*Ь и 1,2 а-0,86=0,96 ab.
Эти выражения не равны, и, следовательно, произведение изме-
нится.
3.	В первом случае имеем а+6+0,05а+0,056, во втором случае
а+6+0,05а+0,05а.
Если а>Ъ, то 0,05а>0,05& и во втором случае будет большая
сумма. Если же а<Ь, то большая сумма будет в первом случае.
4.	Вторую половину пути пароход шел со скоростью, равной
1,25 от первоначальной скорости. Значит, на вторую половину пути
он затратил 0,8 того времени, которое было потрачено на прохож-
дение первой половины пути. Следовательно, 0,2 этого времени
составляет 30 мин. Значит, на первую половину пути затрачено
150 мин, или 2,5 ч, а на вторую половину — 2 ч, Пароход был в пу-
ти 4,5 ч.
5.	Игроку, который делает ход вторым, надо ставить фишку
такого же цвета, какого ставит первый игрок, но на противопо-
ложную клетку.
6.	Третья сторона треугольника должна быть больше разности
двух других сторон (т. е. больше, чем 3—1=2) и меньше суммы этих
сторон (т. е. меньше, чем 3+1=4). Натуральное число, которое
заключено между числами 2 и 4, равно 3. Отсюда периметр
треугольника 7 дм,
7.	В первой группе буквы симметричны относительно верти-
кальной оси, во второй — относительно горизонтальной оси, в треть-
ей — относительно обеих осей. К четвертой группе принадлежат
буквы, не имеющие осей симметрии.
5
8.	Ответ: .
6
9.	В первом ящике 5 групп по 3 шара, во втором — 6 групп по
2 шара. Первый игрок должен брать шары так, чтобы число групп
в обоих ящиках было одинаковым, т. е. первым ходом он должен
взять одну группу из второго ящика. Этим ходом он заставит про-
тивника нарушить это равенство. Отсюда следует, что положение
0 групп в первом ящике наступит раньше, чем во втором.
10.	Из того факта, что квадраты чисел равны, не вытекает ра-
венства самих чисел.
167
1L Ответ: 22+979=1001.
12.	Решение: 7л+й=8&+а; 76=6а; л=7, &=6, т. е. 76?=67я.
13.	Бессмысленно находить сумму чисел во втором столбце,
так как остаток следующего дня входит в остаток предыдущего дня.
14.	Ответ: Саша учится в 6 классе, Петя в 5 классе, Коля
в 4 классе и Вася в 3 классе.
15.	Число 121 в любой системе счисления (кроме двоичной,
где нет цифры 2) является квадратом числа, записанного в этой
системе как 11. В самом деле:
Решения но второму зачету для учащихся 5 класса
L На 4 делятся те и только те числа в двенадцатеричной систе-
ме, последняя цифра которых кратна 4, т. е. последней цифрой
может быть 0, 4, 8.
2.	Числа вида 2'in—1, т. е. числа 3, 15, 63 и т. д., записываются
как 112=34; 1112=334; 1111112=3334 и т. д. Сюда же можно отнести
и число 1.
3.	Так как 33+1 = 100, то основание системы счисления 4.
Отсюда следует, что при поступлении в школу мальчику было
5 лет.
4.	Сведения ошибочны, так как из 13 человек, знающих немец-
кий и французский языки, только 2 человека знают и третий —
английский — язык. Следовательно, в комнате находилось по
крайней мере 11 + 10=21 человек.
5.	Если вбить 2 кола и натянуть между ними веревку со свобод-
но скользящим по ней кольцом и к кольцу привязать козу, то поле,
на котором она будет пастись, представит собой прямоугольник
с двумя полукругами (рис. 211). Пересечением двух фигур можно
получить прямоугольник (рис. 212). Таким образом, коза должна
быть привязана к двум кольцам, свободно скользящим по перпен-
дикулярно натянутым веревкам.
Ряс. 211
168
Рис 212
6.	Надо из первого пакета взять 1 шарик, из второго — 2, из
третьего — 3 и из четвертого — 4 шарика. Сколько граммов не
будет хватать на весах до .100 г, таков и номер интересующего нас
пакета.
7.	Так как Зайцеву 37 лет и это число не кратное 2, то Зайцев
не может быть земляком штурмана. Значит, Зайцев живет в Ле-
нинграде и фамилия штурмана — Зайцев. Медведев и радист из
одного экипажа; следовательно, фамилия пилота — Медведев, а ра-
диста — Волков.
8.	Составим таблицу:
Сумма очков	* Число способов	Возможные варианты		
2	1	1+1		
3	2	- 1+2;	2+1	
4	3	1+3;	3+1; 2+2	
5	4	1+4;	4+1; 2+3;	34-2
6	5	14-5;	5+1; 2+4;	4+2; .3+3
7	6	1+6;	64-1; 24-5;	5+2; 3+4; 4+3
169
Продолжение
Сумма очков	Число способов	Возможные	варианты
8	5	2+6; 6-J-2; 3+5;	5+3; 4+4
9	4	3+6; 6+3; 4+5;	5+4
10	3	4+6; 6+4; 5+5	
11	2	5+6; 6+5	
12	1	6+6	
Таким образом, наиболее часто появляется сумма 7.
9.	Изобразим с помощью кругов Эйлера условие задачи
(рис. 213). Теперь легко найти» что число учащихся, посещающих
только математический кружок, равно 8. Следовательно, матема-
тический кружок посещают всего 15 учеников.
10.	Ответ: 96 196.
11.	Дробь несократима, так как если бы у чисел а и а-\~Ь
был общий множитель, то он был бы и у их разности, т. е. у числа
Ь, а по условию задачи числа а и b взаимно простые. Аналогично
рассуждая, получаем, что и вторая дробь также несократима.
Третья дробь сократима только в том случае, когда числа b и 2а
имеют общий множитель, т. е. только в том случае, когда число
Ь четное.
12.	Не может, так как сумма цифр этого числа равна 30 и,
следовательно, само число делится на 3, но не делится на 9.
13.	Отразим точку А симметрично относительно прямых, кото-
рые не содержат точку А. Получим точки Лхи Л2. Обе точки лежат
на стороне треугольника, противоположной вершине А (рис. 214).
литературный биологический
математический
Рис. 213
Рис. 214
17Q
Рис. 215
Проведем через точки At и прямую.
Точки пересечения В и С этой прямой с дву-
мя биссектрисами, не проходящими через 4,
будут вершинами искомого треугольника.
14.	Обозначим дома точками Л, В, С, а
колодцы — точками I, II, III. Соединим точ-
ку Л с точкой I, точку I — с точкой В, точ-
ку В — с точкой II, точку II — с точкой С,
точку С — с точкой III и точку III — с точ-
кой Л. Получим замкнутую линию (рис. 215).
Теперь нужно точку Л соединить с точкой II.
Предположим, что линия, соединяющая их,
проходит внутри замкнутой линии. Точку
В надо соединить с точкой III. Эта линия не должна пересекаться
с другими и, следовательно, должна пройти вне участка, ограничен-
ного замкнутой линией. Теперь точку С с точкой I мы не можем
соединить так, чтобы она не пересекала других линий ни внутри,
ни вне замкнутой линии.
15.	Школу удобнее всего построить в поселке, где живут 100
школьников, так как если ее построить в другом месте, то 50 школь-
ников первого поселка и 50 школьников второго поселка, независи-
мо от расположения школы, вместе пройдут путь, равный 50-а
(где а длина дороги между поселками). Оставшиеся 50 школьников
из второго поселка в этом случае должны пройти путь до школы
больший, чем тот, который они прошли бы, если школа будет рас-
положена в самом поселке.
ОЛИМПИАДЫ
Проведение олимпиад в 4 и 5 классах общеобразовательной
школы в период перехода на новое содержание математического
образования — важное средство ознакомления учащихся с осново-
полагающими математическими идеями» с новыми для них методами
решения задач, объединяющими, как правило, сведения из раз-
личных разделов курса.
Новая для учащихся форма внеклассной работы —- олимпиада —
должна предстать перед ними увлекательным соревнованием, при-
вивающим интерес и любовь к данному предмету, расширяющим
кругозор и систематизирующим знания и навыки.
Поэтому столь ответственна роль организаторов первых в жиз-
ни школьника олимпиад. Неумело составленные задачи могут от-
пугнуть ученика своей сложностью и непривычностью» непривле-
кательностью формулировок, преждевременностью ознакомления
с используемым здесь фактическим материалом.
С другой стороны, если олимпиадные задачи мало отличаются
от обычных «школьных», т. е. олимпиада превращается в допол-
нительную контрольную работу, то это может охладить сильных
учащихся, создать у них иллюзию беспрепятственной доступности
данного предмета и в конце концов ослабить стремление детей к уг-
лублению знаний по математике.
Итак, олимпиады в 4 и 5 классах по математике способствуют,
во-первых, знакомству учащихся с этой увлекательной формой
внеклассного обучения; во-вторых, способствуют расширению мате-
матических знаний учащихся; в-третьих, знакомят их с интересными
задачами и изящными, порой неожиданными методами их решений.
В целом можно сказать, что олимпиады, будучи связующим зве-
ном для школьного курса математики, служат в основном развитию
творческой инициативы детей.
Возможна следующая организация олимпиады в 4—5 классах.
Для участия в олимпиаде приглашают всех желающих, т. е.
как кружковцев, так и остальных учащихся. Участникам состяза-
ния предоставляют условия четырех задач, на решение которых
172
выделяют 3 ч. Подбор задач осуществляют таким образом: первая
задача должна быть общедоступной по своему решению и ориги-
нальной по формулировке, основанной на жизненных наблюде-
ниях учащихся; вторая и третья задачи должны сочетать матема-
тические факты и термины из различных разделов курса; в четвер-
тую желательно включить материал логического содержания.
Олимпиада должна быть сложной, рассчитанной на нестандартный
прием решения.
В период подготовки учащихся к олимпиадам желательно озна-
комить детей с историей школьных олимпиад, с результатами меж-
дународных олимпиад, с биографиями видных ученых и победи-
телей школьных олимпиад.
Кроме того, как на занятиях кружка, так и на уроках учитель
должен сообщать учащимся о том, как правильно распределить
свои силы и время на олимпиаде, как самостоятельно готовиться.
Следует знакомить участников олимпиады с новыми, нестандарт-
ными методами решения задач.
Разбирать решения задач олимпиады целесообразно своевре-
менно, когда еще свежи в памяти учащегося ощущения, связанные
с соревнованием; в строгой и торжественной обстановке.
Лучший подарок в качестве поощрения за призовое место —
математическая книга с теплой напутственной надписью препода-
вателя или руководителя олимпиады.
ПРИМЕРНЫЙ НАБОР УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ В 4 КЛАССЕ
1 ВАРИАНТ
1.	На экскурсию записались две группы учащихся. В первую
группу не явился один человек из числа записавшихся, а во вторую
группу пришло на два человека больше, чем записалось. После
этого в первой группе оказалось на одного человека больше, чем
во второй группе. В какую группу записалось больше человек и
на сколько?
Решение. В первую группу записалось больше учащихся,
чем во вторую группу, так как даже при условии, что в первую груп-
пу не пришел один человек, а во вторую пришло на два человека
больше, чем предполагалось, то и в этом случае в первой группе
оказалось на одного человека больше. Если бы в первую группу
пришли бы все, то тогда в ней было на два человека больше, чем
во второй группе. Теперь ясно, что в первую группу записалось
на 2+2=4 человека больше, чем во вторую группу.
2.	Расшифруйте запись:
• "X-“Х-—— 1.
Решение. 10’1—9=1.
3.	Доказать, что 7 телефонов нельзя соединить между собой
так, чтобы каждый из них был соединен с 3 другими телефонами.
173
Решение. Так как каждый провод имеет 2 конца» то общее
число концов проводов четно, В нашем случае к каждому телефону
должно быть присоединено 3 конца. Всего же телефонов 7; следова-
тельно, общее число концов должно быть 7-3=21, но это число не-
четное. Следовательно, это невозможно.
II ВАРИАНТ
1.	4 «А» и 4 «Б» классы участвовали в посадке деревьев. 4 «А»
класс посадил на 5 деревьев больше, а 4 «Б» на 6 деревьев больше,
чем предполагалось посадить по плану. После этого оказалось, что
4 «А» класс посадил на 2 дерева больше, чем 4 «Б». Какому классу
по плану надо было посадить деревьев больше и на сколько?
Решение. Если 4 «А» класс посадил на 2 дерева меньше»
то он посадил бы столько, сколько посадил 4 «Б» класс. Но в этом
случае 4 «А» перевыполнил бы задание на 5—2=3 дерева, а 4 «Б» —
на 6 деревьев. Значит, по плану 4 «А» классу нужно посадить на
6—3=3 дерева больше, чем 4 «Б».
2.	Найдите делимое, делитель и частное в записи:
*2** 9*=**#,
если известно, что делитель — число четное.
Ответ: 9292 : 92=101.
3.	Было 3 листа бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части.
Часть полученных кусков разрезали снова на 3 части и т. д. Когда
подсчитали общее число кусков, то их оказалось 1974. Докажите,
чТо подсчет был произведен неправильно.
Решение. При каждом разрезании общее число кусков бу-
маги увеличивается на 2 (вместо 1 куска появляются 3 куска). По-
этому все время будет получаться нечетное число кусков: после
первого разрезания 3+2=5, после второго 3+2+2=7 и т. д. Сле-
довательно, 1974 куска никогда не получится.
ПРИМЕРНЫЙ НАБОР УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ ШКОЛЬ-
НОЙ ОЛИМПИАДЫ В 5 КЛАССЕ
1 ВАРИАНТ
1.	Стоимость транзистора сначала снизили на 20%, а спустя
некоторое время его стоимость вновь снизили на 10%. Сколько про-
центов составляет теперь стоимость транзистора по отношению к
первоначальной стоимости?
Решение. Пусть первоначальная стоимость транзистора бы-
ла х рублей, тогда после первого снижения она стала х—0,2 х=0,8 х
руб. После второго снижения стоимость транзистора стала 0,8 х—
—0,1 *0,8 х=0,72 х руб. Таким образом, последняя стоимость тран-
174
эистора на х—0,72 х=0,28 х руб. меньше первоначальной. Следо-
вательно, стоимость транзистора понизилась на -100% =28%.
2.	Вычислить:
9	1000	999	998	997	996
iooi+ТобТ 1001 + ТШГ—Ю01 +••• и т-д-
Известно, что в данном числовом выражении знак «плюс» встре-
чается 499 раз.
Решение. Так как в выражении знаки «минус» и «плюс»
чередуются, то всего знаков будет 499*2=998. Следовательно,
_ 3
данный ряд заканчивается числом :
/1000	999 \	( 998
\1001	1001)	V001
997
1001
Tool 1001
—____499 =
1001 *
502
1001 *
3.	На одном острове живут правдолюбы и лжецы. Первые всегда
говорят правду, а вторые всегда лгут. Приезжий спросил у острови-
тянина, кто он. Не расслышав ответа, он спросил у другого остро-
витянина, что сказал первый. Второй островитянин ответил:
«Лжец». Кто был этот второй островитянин?
Решение. Первый островитянин мог ответить, что он «прав-
долюб» в любом случае. Действительно, если он «правдолюб», то
он ответит правду; если же он «лжец», то он скажет неправду. Вто-
рой сказал слово «лжец», значит, он сказал неправду и, следова-
тельно, он сам является «лжецом».
4.	На рыбалке Коля, Петя и Вова поймали по 2 рыбы каждый.
Причем среди пойманных рыб было 2 щуки, 2 карася и 2 окуня.
Ребята договорились по одной рыбе оставить себе и по одной пока-
зать школьным товарищам. Докажите, что при любом варианте
улова мальчики могут принести в школу три рыбы разного вида.
Решение. Всегда. Действительно, Коля может принести
в школу любую рыбу из пойманных им, например щуку. При этом
если он поймал 2 щуки, то у остальных мальчиков надо выбрать
2 разные рыбы. Если же он поймал 2 разные рыбы, то такая же,
как его оставленная себе, рыба, например карась, поймана другим
мальчиком, скажем Петей. Тогда в школу Петя принесет карася,
а Вова окуня (так как у Вовы будет обязательно хотя бы один окунь).
II ВАРИАНТ
1.	Стоимость набора «Юный конструктор» сначала снизили на
10%, а спустя некоторое время вновь снизили его стоимость на
20%. Какой процент составляет теперь стоимость этого набора по
отношению к первоначальной его стоимости?
175
Решение. Пусть первоначальная стоимость конструктора
была х руб., тогда после первого снижения она стала х—0,1х=
=0,9х руб. После второго снижения стоимость конструктора стала
0,9х—0,2‘9х=0,72х руб. Таким образом, последняя стоимость
конструктора на х—0,72х=0,28х руб. меньше первоначальной.
Значит, стоимость конструктора понизилась на 100% =28%.
2.	Вычислить:
1002	1001
1003 + 1003
1000
1003
999
1003
998	997
1003 + 1003
35
1003 ’
_......  R	/4002	1001 \	/1000	999 \
Решение.	о	\jq03	щоз/	\1003	1003J
1	_к 1002 — 34 l j- 484 л 519
1003	2	* 1003~ °	1003“*41003‘
1003
3.	Имеется 8 фишек: 2 белые, 2 синие, 2 красные и 2 желт-ые.
Петя и Коля по очереди ставят фишки в вершины куба. Начинает
Коля. Может ли Петя добиться того, чтобы в четырех вершинах,
лежащих на одной грани, были фишки разного цвета?
Решение. Одним из решений может быть следующее: каж-
дым своим ходом Петя должен ставить фишку того же цвета, что
поставил Коля, но в противоположную вершину куба. В результате
ни на одной грани не окажется фишек одинакового цвета.
4.	Докажите, что монетами в 2 коп. и 3 коп. можно разменять
рубль большим числом способов, чем монетами в 2 коп. и 5 коп.
Решение. Пусть число трехкопеечных монет п, тогда число
двухкопеечных монет (100—3 п): 2. Это число должно быть целым
и неотрицательным. Отсюда п — четное число и 3 п^ПОО. Следова-
тельно, п может быть равно 0, 2, 4, .. ., 32. Всего 17 способов. Ана-
логично рассуждая, получим для второго случая, что число спо-
собов размена равно 11.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЧЕРА
Цель и характер проведения математических вечеров (утренни-
ков) несколько отличны от обычных целей и привычного образа дей-
ствий, когда учащийся «занимается» математикой — решает за-
дачи, доказывает теоремы, выполняет геометрические построения
или является зрителем и слушателем литературно-художественного
вечера.
Прежде всего на таких вечерах, как правило, присутствуют
не только те учащиеся, которые проявили свои способности в ма-
тематике, но и школьники, которые такого интереса к математике
еще не имеют, а их успехи по этому предмету весьма скромны. Сте-
пень их участия в математическом вечере зачастую ограничивается
лишь таким видом деятельности, который прямо не связан с пред-
метом: подготовкой оформления вечера, выпуском газеты, исполне-
нием ролей в инсценировках, подготовкой билетов и премий, дек-
ламацией стихотворений, раздачей материала для игры, организа-
цией соревнований и т. д.
Организация математических вечеров для школьников млад-
шего и следующего за ним возраста имеет своей целью в первую
очередь заинтересовать их предметом, представить им серьезные
математические идеи в занимательной форме, вызвать удивление,
желание «помечтать», попробовать самому сформулировать и ре-
шить задачу.
Конечно, нужно при этом помнить, что чрезмерное увлечение
занимательной стороной математики не даст желаемого результата.
На одних «шуточках» и внешних эффектах не привьешь учащемуся
настоящего и устойчивого интереса к занятиям математикой.
При проведении математического вечера учителям необходимо
руководствоваться словами Б. Паскаля: «Предмет математики на-
столько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его не-
много занимательным». Ибо путь в математику у разных людей
различен. Многие большие математики проявляли интерес к науке
еще в школьные годы. Одних интересовала занимательная сторона
математики — задачи-головоломки, других исторические задачи,
третьих жизненный путь великих ученых. Ценность математичсс-
177
ких вечеров не только и не столько в их математическом содержа-
нии, сколько в характере деятельности учащихся на этих вечерах.
Это вечер, на котором дети фантазируют, учатся рассуждать,
правильно мыслить и говорить. Таким образом, время, проведен-
ное на математическом вечере, для учащихся работает не на одну
лишь математику, а имеет общекультурную ценность и воспита-
тельное значение.
Общеизвестно следующее высказывание В. И. Ленина о фантазии:
«Напрасно думают, что она нужна только поэту. Это глупый
предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие диф-
ференциального и интегрального исчислений невозможно было бы
без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности»2.
Учителя знают, какая изобретательность нужна подчас для ре-
шения математической задачи. Иной раз диву даешься — откуда
у учащихся столь неожиданный ход мысли, такое «простое» реше-
ние! Развивать эту сторону ученической деятельности необходимо
при каждом удобном случае: на уроке, во время занятий кружка
и т. д. Однако весьма благоприятные условия для развития твор-
ческой фантазии школьников создаются на математических вечерах.
Существует достаточно обширная литература по вопросам про-
ведения математического вечера. Формы таких вечеров бывают раз-
ными. Они могут проходить в виде викторин или КВНов (клубов
веселых и находчивых), соревнований одной группы учащихся с
другой. При этом содержание вечера не может, естественно, огра-
ничиваться одними лишь математическими вопросами. Математи-
ческая тематика предстает перед учащимися в игровой форме —
в виде ребусов, кроссвордов, викторин, занимательных вопросов
и ответов, загадок, софизмов и тщательно замаскированных оши-
бок в рассуждениях, которые учащиеся должны обнаружить, и
др.
Занятия такого вида вызывают острый интерес у учащихся, дают
им возможность вдоволь пофантазировать, опираясь как на «здра-
вый смысл»и интуицию, так и на рассуждения, подчиняющиеся ло-
гике, принятой в математических доказательствах.
Тематика и методика проведения математических вечеров весь-
ма разнообразны. Содержание вечеров может группироваться во-
круг исторической темы (история математической идеи, теории,
математического открытия, биографии великих математиков), при-
меров приложения математики в различных областях науки и тех-
ники.
Содержание вопросов, которые обсуждаются на вечере, не обя-
зательно должно быть посвящено собственно математической те-
матике. Они могут охватывать области смежных дисциплин, в том
числе тех из них, которые будут изучаться в будущем. Например,
полезно посвятить один из вечеров пятых классов использованию
математики в курсе физики и черчения — тема, которая подкрепила
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 45, стр. 125.
178
бы важные функции межпредметных связей курса математики чет-
вертых и пятых классов, осуществляя подготовку к изучению в по-
следующих классах черчения и физики. Содержание вечера может
быть посвящено и таким важным идеям математики, как использо-
вание теоретико-множественных понятий для решения ряда задач
или геометрические преобразования. (В последнем случае, естест-
венно, нет надобности на вечере устраивать уроки геометрических
построений, но важно пользоваться большим числом иллюстраций,
которые посвящены, например, распознаванию симметричных фи-
гур относительно оси, центра. Возможны здесь и такие вопросы —
«Как провести прямую, чтобы данная фигура разбилась на две сим-
метричные фигуры и чтобы проведенная прямая была осью симмет-
рии?» и т. п.)
В методике проведения вечера следует учитывать особенности
возраста учащихся 4 и 5 классов, а именно детям необходима пос-
тоянная активная деятельность. Поэтому большая часть времени
у учащихся должна быть занята выполнением упражнений, реше-
ние которых не требует пространных рассуждений, длительного
времени, не связано с громоздкими вычислениями и тождественными
преобразованиями. Краткость решения, неожиданность резуль-
тата, занимательность, глубина математической мысли, приложи-
мость теорий, связь с другими предметами — вот главные заботы
при разработке содержания конкретного математического вечера.
Методической заботой организатора вечера должно быть стрем-
ление добиться активного участия школьников в работе, вызвать
дискуссии, споры, публичный обмен мнениями, утверждениями,
опровержениями и, наконец, подробный и популярный разбор,
правильного решения вопроса, оглашение фамилий учащихся, ко-
торые способствовали отысканию истины (но не обязательно добив-
шихся конкретных математических результатов — на это и есть
вечер популяризации математики!).
Содержание вечера должно перекликаться с материалом школь-
ного курса математики и отчасти отражать содержание занятий
в кружке (должны же кружковцы иметь возможность показать се-
бя!) и в достаточной мере быть доступным и вновь пришедшим уча-
щимся, не уделявшим до этого большого внимания занятиям мате-
матикой.
Математические вечера нецелесообразно проводить часто. Их
подготовка занимает немало времени, подбор материала и т. п.»
в ней участвуют многие учащиеся. Вдень проведения вечера в 4—5
классах желательно в школе не проводить других массовых меро-
приятий. Часто в подготовке и проведении вечера активную помощь
оказывают старшие школьники. Значит, надо, чтобы и они были
свободны. Словом, математический вечер надо включать в обще-
школьный план работы, поэтому таких вечеров должно быть мало —
один-два на учебный год.
Опыт работы школы № 444 Москвы, на основании которого
составлен данный материал, подсказывает, что в 4 классе можно
179
рекомендовать 1, но не более 2-х вечеров, а в 5 — можно провести
и 2 вечера.	<
План проведения вечера, как уже было сказано выше, должен
быть согласован с общешкольным планом и с планами классных
руководителей. При желании провести 2 вечера лучше первый про-
вести к концу I четверти, а 2-й к началу IV четверти (чтобы не
мешать проведению олимпиад и кружковой работы).
Весь порядок проведения вечера должен быть подробно сплани-
ровав и расписан: материал и задания учащимся должны быть за-
ранее даны. Необходим и четкий порядок контроля за выполнением
заданий. Здесь в помощь следует привлекать старших учащихся,
учителей смежных классов, которые совместно готовят вечер. В по-
ручениях необходимо учесть: оформление зала, приглашение гос-
тей, проведение отдельных фрагментов вечера, выставки работ
учащихся (классные тетради, лучшие контрольные работы, ориги-
нальные решения задач; лучшие задачи, составленные самими уча-
щимися, лучшие газеты и математические бюллетени).
Вечер занимательной математики замышляется таким образом;
как определенный отчет о состоянии математического образования
в классах данной параллели.
Одним из разделов вечера может быть оглашение результатов
работы кружковцев, оглашение результатов конкурса решения
объявленных задач, а в конце года и объявление результатов про-
веденного зачета. Не следует забывать и различные занимательные
«фокусы», отгадки задуманных чисел и др. Полезной для учителя
окажется книга «Математические вечера» х.
Особенно хорошо разработаны в этой книге темы вечеров «Мир
чисел», «История математической символики», «Как считали наши
предки». Правда, рекомендации автора, в каком классе проводить
те или иные темы, устарели в связи с введением новых программ.
Учителю, который пожелает одну из названных тем перенести в 4
или 5 класс, придется изменить ряд вопросов, согласовать содер-
жание с программой класса и возрастными особенностями уча-
щихся. Приведем схематическое описание примеров вечеров в 4
и 5 классах.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЕЧЕР В 4 КЛАССЕ
(октябрь)
НАЗВАНИЕ ВЕЧЕРА «КВМ»(КЛУБ ВЕСЕЛЫХ МАТЕМАТИКОВ)
Подготовка вечера,
Придумать названия команд (желательно каждой команде иметь
и свой определенный девиз). Команды по возможности отличаются
формой одежды или отличительными знаками, согласованными с наз-
1 Ф. Г. П е т р о в а. Математические вечера, Ижевск, «Удмуртия», 1968.
180
ваннами, команд и девизом. Каждая, команда за 3—4 дня до прове-
дения вечера выпускает математическую газету, в которой отра-
жены следующие вопросы: биография одного из известных матема-
тиков, желательно «земляков» (для местности проживания уча-
щихся или республики); интересный математический факт (доступ-
ный и ясно изложенный для учащихся 4 класса); 4—5 заниматель-
ных задач.
Для проведения вечера команды подготавливают приветствия,
выбирают капитанов, придумывают 3—4 вопроса для команды со-
перников (сюда могут быть включены как математические задачи,
так и просто загадки, задачи на смекалку и т. п.).
Необходимо выбрать жюри (например, один-два учителя и
несколько учащихся 4 и 5 классов и старшеклассников).
Для привлечения большего количества учащихся полезно под-
готовить для вечера небольшую сценку на математическую тему и
художественную самодеятельность.
Проведение вечера
Краткое изложение плана: а) приветствие команд; б) разминка
(ответ на 2 вопроса логического характера от жюри, один-два воп-
роса на сообразительность и устный счет); в) вопросы команд;
г) задачи на равносоставленность и устный счет геометрических
фигур; д) сценка из комедии «Недоросль» Фонвизина; е) задачи
со спичками (подготовить палочки или спички со срезанными го-
ловками); ж) номера художественной самодеятельности; з) объяв-
ление результата конкурса стенных газет на математические темы;
и) подведение итогов.
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОДГОТОВКИ К ВЕЧЕРУ
1. Ребусы (изобразить на больших плакатах):
.	5 *
' * *
8 **
2, Задачи со спичками: шутка «Из трех получается четыре» (на
столе лежат *3 спички. Не прибавляя ни одной спички, сделайте
из трех четыре); б) шутка «Три да два — восемь» (положите на
стол 3 спички, добавьте к ним еще 2 так, чтобы получилось 8).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЕЧЕР В 5 КЛАССЕ
Программа математического вечера должна быть в 5 классе
содержательнее и разнообразнее, чем в 4 классе. Следует пятиклас-
сников обеспечить соответствующей литературой, чтобы они смогли
Х81
расширить и углубить свои знания по предмету, подобрать интере-
сующий их материал для своих сообщений—докладов. В 5 классе
как и при подготовке к вечеру в 4 классе, много внимания необхо-
димо уделить оформительской работе.
ПОДГОТОВКА К ВЕЧЕРУ
Оформление зала
Вывешиваются плакаты-высказывания:
Математик должен быть поэтом в душе» (С. В. Ковалевская).
«...Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок
приводит» (М. В. Ломоносов).
Организуется выставка книг по занимательной математике.
Изготовляется и вывешивается плакат, содержащий задачи-
шутки, софизмы, геометрические иллюзии.
Проведение вечера
Вечер занимательной математики в 5 классе можно расчленить
на два отделения. Приведем ориентировочное содержание каждого
из отделений.
1	отделение. Это отделение может быть посвящено докладу на
определенную тему, который делает учащийся (или два учащихся)
5 класса, и математическому соревнованию на тему, близкую к док-
ладу.
Например, если заслушать доклад «Как считали люди в ста-
рину», то весьма желательно для 5 класса; так как развитие вни-
мания и интереса к правильному и быстрому счету не должно вы-
падать из поля зрения учителя, то уместно организовать и решение
вычислительных задач. Тематика: действия над числами, близкими
к 10, 100, 1000 ит. п., умножение на 5,25, 125, 15 и т. д., возведение
в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, и др.
2	отделение. Проведение викторины. Со сцены организа-
тор читает условие задачи и некоторые из них сопровождает на-
глядными пособиями: рисунками, плакатами, схемами, графами или
графиками. За правильные ответы первый из ответивших получает
определенное число очков в зависимости от полноты и четкости
ответа. Изложение задач и вопросов викторины перемежается фо-
кусами, шутками, отдельными номерами самодеятельности. Итоги
викторины объявляются тут же на основании постановления жюри.
Учащиеся, набравшие наибольшее число очков, получают премию.
Полезно иметь несколько премий (например, 1—2 первые, 2 вто-
рые, 3^—4 третьи). Помимо премий, хорошо объявить список ус-
пешно выступивших учащихся, подвести итоги и по классам (можно
и по звеньям). Такие итоги развивают дух коллективизма и стремле-
ние повысить успехи своего класса, звена и т. п.
182
Ниже приводится набор упражнений для викторины. Естест-
венно, этот набор учитель может менять, дополнять или уменьшать
в объеме, увеличивать или уменьшать сложность упражнений. При
этом необходимо твердо помнить, что упражнения викторины долж-
ны быть легче выполняемых на занятиях в кружке, так как в ве-
чере участвуют такие учащиеся, которые ранее не решали задач,
выходящих за пределы классных занятий.
Рис. 216
1.	Сколько треугольников на рисунке 216? (Ответ: 12.)
2.	Сколько квадратов на рисунке 217? (Ответ: 11.)
3.	Не производя вычислений, ответить, делится ли число
2 613 456 на 36, на 72. (Ответ: да.)
4.	Я задумал пятизначное число, отнял от него единицу и полу-
чил четырехзначное число. Какое число я задумал?
5.	Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы.
Бегун-марафонец бежит с постоянной скоростью. Старт дан у
первого столба. Через 6 мин бегун был уже у шестого столба. Через
сколько минут после старта бегун будет у двадцатого столба?
6.	Гусь стоит 20 руб. и еще половину того, что он на самом деле
стоил. Так сколько же стоил гусь?
7.	Две дюжины помножить на три дюжины. Сколько получится
дюжин?
8.	Нужно соединить пять звеньев цепи в одну цепь (рис. 218).
Это легко сделать при помощи 8 операций: расковать кольца 3, 6,
9, 12 (4 операции) и зацепить ими соответственно кольца 4, 7, 10,
13 /4 15
Рис. 218
183
13 (еще 4 операции). Как соединить все звенья шестью операциями?
(Ответ: расковать звенья 1, 2, 3 и соединить ими остальные зве-
нья.)
9.	В квадратном зале для танцев расставить вдоль стен 10 кре-
сел так, чтобы у каждой стены стояло поровну кресел. (Ответ:
см. на рис. 219.)
Рис. 219
10.	Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец
старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?
11.	Одна-две задачи на множества.
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
В дополнение к сведениям из истории математики, имеющимся
в учебниках математики 4 и 5 классов, ниже приводятся краткие
биографии крупнейших математиков, чьи имена или сыграли выдаю-
щуюся роль в развитии той математической теории, о которой идет
речь в учебниках, или имеют прямое отошение к развитию среднего
математического образования.
В работе с учащимися, естественно, могут быть использованы
биографии и других ученых-математиков.
АРХИМЕД
Древнегреческий ученый Архимед родился в 287 году до нашей
эры в городе Сиракузы острова Сицилия, входящем в состав нынеш-
ней Италии. Архимед начал интересоваться математикой, астроно-
мией и механикой еще в раннем возрасте. Для совершенствования
своего образования юноша переехал в Александрию (Египет) — на-
учный и культурный центр того времени.
Через некоторое время он снова вернулся в свой родной город
Сиракузы. Еще при жизни об Архимеде распространялись легенды,
поводом для которых служили его поразительные изобретения.
Например, согласно одной из легенд, Архимед однажды выско-
чил на улицу с криком «Эврика!» (Нашел!). И действительно, в
этот момент он открыл важнейший закон физики. Согласно другой
легенде, построенный при царе Гиероне роскошный корабль никак
не удавалось спустить на воду. Только благодаря Архимеду удалось
соорудить систему блоков, которые помогли выполнить эту работу.
Размышления Архимеда над принципами работы рычагов по-
служили поводом для его крылатых слов: «Дайте мне точку опоры,
и я сдвину Землю!».
Архимед нашел хорошее приближенное значение числа л в виде
22
обыкновенной дроби у*
Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили свое время.
Архимед погиб во время захвата Сиракуз в 212 году до нашей
эры.
185
РЕНЕ ДЕКАРТ
Французский математик и философ Рене Декарт родился в 1596
году.
Рене был болезненным мальчиком и в школе-интернате, где он
учился, ему даже разрешили не ходить на занятия. Задания по всем
предметам он выполнял быстро и все свободное время посвящал
занятиям математикой.
После окончания школы он 3 года учился в университете города
Пуатье и получил профессию юриста.
Декарт первый предложил объединить методы геометрии и ал-
гебры. Эта связь выразилась в методе координат. Декартов способ
установления связи между точками и числами положил начало новой
математической теории, придавшей алгебраической символике про-
стоту и общность.
Умер Декарт в 1650 году.
ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ
Пафнутий Львович Чебышев родился в 1821 году. Первоначаль-
ное образование получил дома, в 16 лет поступил на физико-мате-
матический факультет Московского университета и окончил его в
1841 году.
Будучи студентом, П. Л. Чебышев написал первую научную ра-
боту «Вычисление корней уравнения». Большой вклад П. Л. Че-
бышев внес в теорию чисел и теорию вероятностей
П. Л. Чебышев в юности любил строить сложные механизмы
и изобрел более 40 различных видов механизмов* Для механизации
счета он изобрел арифмометр-автомат.
В 1859 году он стал академиком Петербургской академии наук.
За заслуги в области математики и ее приложений П. Л. Чебышев
стал членом иностранных академий. Он по праву считается основа-
телем Петербургской математической школы.
П. Л. Чебышев принимал активное участие в улучшении среднего
математического образования, будучи советником Министерства про-
свещения. Он разрабатывал программы и содержание математичес-
кого образования в гимназиях.
Умер П. Л. Чебышев в 1894 году.
АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КРЫЛОВ
Алексей Николаевич Крылов родился 15 августа 1863 года. Он
окончил в 1884 году Петербургское морское училище, в котором про-
явил интерес к математике. В 1890 году А. Н. Крылов окончил Мор-
скую академию и был оставлен при ней для подготовки к научной
деятельности. А. Н. Крылов хорошо понимал, что основой научных
методов кораблестроения является математика. Созданная им «те-
ория непотопляемости» — глубокая и оригинальная работа по ма-
тематическим расчетам — предотвратила гибель многих судов,
186
В 1916 году А. Н. Крылов был избран в Академию наук. Он внес
большой вклад в теорию и практику кораблестроения и подготовку
ученых-математиков — прикладников.
В 1943 году А. Н. Крылову присвоено звание Героя Социалисти-
ческого Труда. Умер А. Н. Крылов 26 октября 1945 года. Его имя
присвоено Военно-Морской академии. Стипендии и премии имени
А. Н. Крылова учреждены во многих научных и учебных заведениях
нашей страны.
МСТИСЛАВ ВСЕВОЛОДОВИЧ КЕЛДЫШ
Мстислав Всеволодович Келдыш родился в 1911 году. Окончил
физико-математический факультет Московского университета в
1931 году. В 1946 году М. В. Келдыш был избран академиком Ака-
демии наук СССР и является членом многих зарубежных академий
наук.
М. В. Келдыш внес свой научный и практический вклад во мно-
гие области науки и техники. Анализ вибраций самолетов, теория
подводных крыльев катеров, электронная техника и вычислитель-
ная математика, механика, ядерная энергетика и проблемы изуче-
ния космоса — вот лишь краткий перечень областей научных ис-
следований М. В. Келдыша.
М, В. Келдыш возглавляет Научно-исследовательский институт
прикладной математики Академии наук СССР. Он —лауреат Ле-
нинской и Государственных премий. В 1961 году М. В. Келдыш из-
бран Президентом Академии наук СССР.
Он — трижды Герой Социалистического Труда, член ЦК КПСС,
депутат Верховного Совета СССР.
М. В. Келдыш в своих трудах показал, какую большую роль в
разных областях науки, техники и народного хозяйства играет ма-
тематика.
ИВАН МАТВЕЕВИЧ ВИНОГРАДОВ
Иван Матвеевич Виноградов родился в 1891 году. Научную ра-
боту И. М. Виноградов начал еще до Великой Октябрьской револю-
ции, но лишь в советское время у него появились возможности пол-
ностью проявить свои способности и развернуть широкие научные
исследования.
В 1929 году И. М. Виноградов избран академиком Академии наук
СССР. Вот уже более 40 лет он возглавляет крупнейший центр ма-
тематической науки — Математический институт им. В. А. Стеклова
Академии наук СССР.
И. М. Виноградов является основателем ряда самостоятельных
отраслей математической науки, основные из которых относятся к
теории чисел.
И. М. Виноградов является лауреатом Ленинской и Государст-
венных премий, а также ряда международных премий. Ему дважды
187
присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден
высшей наградой Академии наук СССР — Золотой медалью имени
М. В. Ломоносова.
АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ
Андрей Николаевич Колмогоров родился в 1903 году. В 1920 году
Андрей Николаевич поступил в Московский университет на фи-
зико-математический факультет.
Уже в 1922 году А. Н. Колмогоров представил научную работу
по теории множеств. С этого времени появляется ряд его первоклас-
сных научных работ и открытий в теории вероятностей, математи-
ческой логике, тригонометрических рядах, интегралах и т. д. В го-
ды Отечественной войны А. Н. Колмогоров применял математику
в теории стрельбы.
В 1939 году он был избран академиком Академии наук СССР.
А. Н. Колмогоров все годы работает в Московском университете и
очень много сделал для улучшения математического образования
в высших учебных заведениях страны.
Уже много лет А. Н. Колмогоров преподает в организованной им
школе-интер нате № 18 при МГУ для увлекающихся математикой
учащихся из сельской местности и из малых городов. А. Н. Колмо-
горов много времени отдавал и отдает внеклассной работе, проведе-
нию математических олимпиад, изданию журнала «Квант».
Под руководством А. Н. Колмогорова проводится перестройка
всей системы математического образования в нашей стране. Андрей
Николаевич лично участвует в подготовке новых программ и учеб-
ников по математике для средней общеобразовательной школы.
А. Н. Колмогоров — действительный член многих иностранных
академий и научных обществ. Он — лауреат Ленинской и Государ-
ственных премий, ему присвоено высокое звание Героя Социалисти-
ческого Труда.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Айзенк Г. Проверьте свои способности. М., «Мир», 1972.
Андреев А. А. Попробуй отгадай. Ташкент, Изд-во ЦК ЛКСМ Узбекистана,
1962.
Антонович Н. К. 100 математических игр для учащихся 5—8 классов. Но-
восибирск, 1963.
Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков, «Просвещение», 1971.
Балк М. Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике.
М., Учпедгиз, 1956.
Берман Г. Н. Приемы счета. М.—Л., ГИТТЛ, 1950.
Берман Г. Н. Счет и число. М.» ГИТТЛ. 1956.
Берман Г. Н. Число и наука о нем. М.—Л., Гостехиздат, 1949.
Брадис В. М., Минковский В. А., Харчева А. К. Ошибки в математических
рассуждениях. М., Учпедгиз, 1959.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия.
М., Изд-во АН СССР, I960.
Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М., «Наука», 1969.
«Встреча с тремя Неизвестными». «Пионер», 1966—1974.
Гарднер Мартин. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и
головоломки. М., «Наука», 1964.
Гарднер Мартин. Математические досуги. М,, «Мир», 1972.
Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. М., «Мир», 1971.
Гель фонд М. Б. и Павлович В. С. Внеклассная работа по математике в
8-летней школе. М., «Просвещение», 1965.
Германович П. Ю. Вопросы и задачи на соображение. Л., Учпедгиз, 1957.
Германович П. Ю. Математические викторины. М., Учпедгиз, 1959.
Германович П. Ю. Сборник задач по математике на соображение. М., Учпед-
гиз, 1960.
Гертберг С. М. Как люди научились считать. М.—Л., Госиздат, 1930.
Глейзер Г. И. История математики в школе. М., «Просвещение», 1964.
Денман И. Я> Возникновение системы мер и способов измерения величин.
М., Учпедгиз, 1956.
Депман И. Я. История арифметики. М., Учпедгиз, 1959.
Депман И. Я. Мир чисел. Л., «Детская литература», 1966.
189
Депман И. Я- Рассказы о математике. Л.» Детгиз, 1954.
Депман И. Я» Рассказы о решении задач. Л., Детгиз, 1957.
Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. М., Физматгиз, 1961.
Дышинский Е. А., Игротека математического кружка. М., «Просвещение»,
1972.
Игнатьев В- А. Внеклассная работа по арифметике в начальной школе, М.*
«Просвещение», 1965.
Кордемский Б. А. Математическая смекалка. М., ГИТТЛ, 1958.
Кордемский Б. А. Очерки о математических задачах на смекалку. М., Учпед-
гиз, 1958.
Кордемский Б. А. и Русалев Н. В. Удивительный квадрат. М.—Л., ГИТТЛ,
1952.
Котов А. Я. Вечера занимательной арифметики. М., «Просвещение», 1967.
Купицкий Р. В. День и ночь. Времена года. М., Гостехиздат, 1954.
Кэрролл Л. История с узелками. М., «Мир», 1973.
Линьков Г. И. Внеклассная работа по математике, М., «Просвещение», 1965.
Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М., Физматгиз, 1959.
Литцман В. Где ошибка? М. Физматгиз, 1962.
Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах. М., Физматгиз,
1963.
Лурье А. М. и Дышинский Е. А. В помощь учителю математики. Кудымкар,
Коми-Пермяцкое ки. изд-во, 1960.
Методические советы по организации и проведению математических вечеров
в школе. Новосибирск, 1966.
Минковский В. Л, За страницами учебника математики. М., «Просвещение»,
1966.
Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII веке. М., Учпедгиз, 1953.
Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. М., Учпедгиз, 1958.
Оре О. Графы и их применение. М., «Мир», 1965.
Перельман Я- И. Живая математика. М. —Л., ГИТТЛ, 1948.
Перельман Я- И. Занимательная алгебра. М., ГИТТЛ, 1955.
Перельман Я< И. Занимательная арифметика. Л., «Молодая гвардия», 1934.
Перельман Я. И. Занимательная геометрия. М.—Л., ГИТТЛ, 1951.
Перельман Я. И. Занимательная астрономия. М., «Наука», 1966.
Петер Р. Игра с бесконечностью, М., «Просвещение», 1968.
Петрова Ф. Г. Математические вечера. Ижевск, «Удмуртия», 1968.
Подашев А. П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. М«,
Учпедгиз, 1962.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., ИЛ, 1957.
Пойа Д. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.
Пойа Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970.
Полак Г. Б. Занимательные задачи. М., Учпедгиз, 1948.
Полак Н. Ф. Время и календарь. М., Физматгиз, 1953.
Попов Г. Н. Сборник исторических задач поэлементарней математике. М.—Л.,
ОНТИ, 1938.
Постников М. М- Магические квадраты. М., «Наука», 1964.
Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII—-XIX веков. М.» Уч-
педгиз, 1956.
190
Серебровская Е. К. Опыт внеклассной работы по математике в V—VII классах.
М., Учпедгиз» 1954.
Селешииков С. И. История календаря и хронология. М., «Наука» 1972.
Строй к А. Я- Краткий очерк истории математики. М.» «Наука» 1969.
Таран Н. Г. Математические вечера в школе. Майкоп, Адыгейское кн. изд-во,
1964.
Труднее В. И. Считай, смекай, отгадывай, М., Учпедгиз, 1960.
Чистяков В. Д. Математические вечера в средней школе. М., Учпедгиз, 1958.
Чистяков В. Д. Рассказы о математиках. Минск, «Высшая школа», 1966.
Чистяков В. Д. Старинные задачи. Минск, «Высшая школа», 1966.
Широков В. Ф. Сборник арифметических задач на соображение. М., Учпед-
гиз, 1949.
Штеннгауз Г» Математический калейдоскоп. М.—Л., ГИТТЛ, 1949.
Штейнгауэ Г. Сто задач. М., Физматгиз, 1959.
Шур Я. И. Рассказы о календаре. М., Гослитиздат, 1962.
«Юному математику» Кудымкар, Коми-Пермяцкое кн. изд-во, 1960,
Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., Физматгиз, 1961.
Александр Семенович Чесноков,
Семен Исаакович Шварцбурд,
Валентина Дмитриевна Головина,
Инна Ивановна Крючкова,
Леонид Абрамович Литвачук
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИКЕ В 4—5 КЛАССАХ
Редактор Э. К. Викулина
Художественный редактор Е. И. Карасик
Технические редакторы Г. Л. Татура,
В. С, Якунина
Корректоры Л. П. Михеева, В. Г, Соловьева
Сдано в набор 20/111 1974 г. Подписано к печати
25/VI 1974 г. 60x907ie. Бумага типогр. № 2.
Печ. л. 12. Уч.-изд. л. 11,19. Тираж 81 тыс. экз.
Заказ № 6156.
Издательство «Просвещение;»
Государственного комитета
Совете Министров РСФСР по делам издательств,
полиграфии й книжной торговли.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41.
Отпечатано с матриц в областной типографии
управления издательств, полиграфии и книжной
торговли Ивановского облисполкома, г. Иваново-8,
ул. Типографская. 6.
Цена без переплета 30 к., переплет 10 к.