/
Автор: Фарков А.В.
Теги: воспитание обучение образование математика внеучебная (внеклассная и внешкольная) воспитательная работа задачи по математике
ISBN: 978-5-8112-3006-8
Год: 2008
Текст
, * г А. В. Фарков
Внеклассная
работа
по МАТЕМАТИКЕ
5-Ц классы
А. В. Фарков
Внеклассная
работа
по МАТЕМАТИКЕ
5 —11 классы
3-е издание
Москва
Айрис-пресс И
2008
ЭДК 372.016:51
ББК 74.200.58+22.1
Ф24
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление О. Е. Бауриной
Фарков, А. В.
Ф24 Внеклассная работа по математике. 5—11 классы /
А. В. Фарков. — 3-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.:
ил. — (Школьные олимпиады).
ISBN 978-5-8112-3006-8
*
В пособии рассматриваются вопросы организации и методики проведения
основных форм внеклассной и внешкольной работы по математике для уча-
щихся^-! 1 классов: факультатива, кружка, олимпиады различных соревнова-
ний, недели математики, школьной математической печати и т. д.
Предложены примерные разработки для указанных форм внеклассной и
внешкольной работы.
Книга адресована учителям математики, в первую очередь начинающим.
Будет полезна и студентам педвузов, а также преподавателям вузов, работни-
кам Центров дополнительного образования. Домов детского творчества для
организации внешкольной работы по математике.
ББК 74.200.58+22.1
УДК 372.016:51
© ООО «Издательство
ISBN 978-5-8112-3006-8 «АЙРИС-пресс», 2006
От автора
В конце XX века некоторые из традиционных форм вне-
классной и внешкольной работы по математике: клубы весе-
лых математиков, общества юных математиков, вечерние ма-
тематические школы, слеты юных математиков, внеклассное
чтение и некоторые другие, практически исчезли. А популяр-
ность других форм внеклассной и внешкольной работы по ма-
тематике: стенной печати, факультативов, кружков, олимпи-
ад, школ при вузах и т. п. во многих регионах России, стала
снижаться. В то же время появилось много новых популяр-
ных как у учителей, так и учащихся новых форм внеклассной
и внешкольной работы по математике: математические бои,
регаты, турниры, карусели, нестандартные олимпиады, ме-
ждународный конкурс — игра ♦Кенгуру — математика для
всех» и др.
В предлагаемом пособии наряду с традиционными форма-
ми организации внеклассной и внешкольной работы по мате-
матике рассмотрены и новые формы внеклассной и внешколь-
ной работы с учащимися по математике. Данное пособие адре-
совано, прежде всего, учителю математики, особенно начина-
ющему. В нем подробно рассмотрен материал, относящийся к
организации внеклассной и внешкольной работы по матема-
тике. Также пособие будет полезно и студентам педвузов.
Пособие состоит из нескольких частей, в которых рас-
сматривается подробно какая-то одна из форм внеклассной
или внешкольной работы: факультативы, кружки, олимпиа-
ды, соревнования и т. д. При этом в. каждой части наряду с
методикой подготовки и проведения той или иной формы вне-
классной или внешкольной работы с учащимися приведены и
примеры. При написании данного пособия автор использовал
как свои наработки, так и переработанные, измененные раз-
работки других авторов из имеющейся в наличии литерату-
ры. Неполный список использованной литературы приведен
в конце пособия.
Автор выражает глубокую признательность профессору
Вологодского государственного педагогического университе-
3
та, доктору педагогических наук Тестову В. А. и заслуженно-
му учителю Российской Федерации из школы № 1528 г. Мо-
сквы Кондратова О. И. за ряд ценных советов, позволивших
улучшить данное пособие.
Автор будет благодарен всем тем, кто выскажет конкрет-
ные замечания и предложения по улучшению данного rfoco-
бия. Все замечания по улучшению данного пособия можно
высылать в издательство.
Раздел 1
Внеклассная и внешкольная работа
по математике
Под внеклассной работой по математике понимаются не-
обязательные систематические занятия учащихся с препода-
вателем во внеурочное время. Внеклассная работа по матема-
тике является составной частью учебно-воспитательного про-
цесса, осуществляемого’школой и учителем.
В теории ц методике обучения математике различают два
типа внеклассной работы.
К первому типу относится внеклассная работа с учащи-
мися, отстающими от других в изучении программного мате-
риала (дополнительные занятия после уроков). Основной це-
лью ее является своевременная ликвидация (и предупрежде-
ние) имеющихся у учащихся Пробелов в знаниях и умениях
ho курсу математики. Данный тип внеклассной работы и в
настоящее время есть в школе. Но он должен носить ярко вы-
раженный индивидуальный характер:, занятия с учащимися,
Пропустившими занятия из-за болезни или другой уважитель-
ной причины, занятия с учащимися, перешедшими из другой
Школы, и т. п.
Как показывает передовой опыт работы учителей матема-
тики, при проведении данного типа работы лучше придержи-
ваться следующих рекомендаций:
1. Дополнительные занятия по математике целесообразно
Проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 челове-
ка в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно
однородны как с точки зрения имеющихся у школьников про-
белов в знаниях, так и с точки зрения обучаемости.
2. Следует максимально индивидуализировать эти заня-
тия (например, предлагая каждому из таких учащихся за-
ранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в
^Процессе его выполнения конкретную помощь каждому).
5
3. Занятия с отстающими в школе целесообразно прово-
дить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий
с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.
4. После повторного изучения того или иного раздела ма-
тематики на дополнительных занятиях необходимо провести
итоговый контроль с выставлением отметки по теме.
5. Дополнительные занятия по математике, как правило,
должны иметь обучающий характер; при проведении занятий
полезно использовать соответствующие варианты самостоя-
тельных или контрольных работ, а также и тесты.
6. Учителю математики необходимо постоянно анализи-
ровать причины отставания отдельных учащихся при изуче-
нии ими математики, изучать типичные ошибки, допускае-
мые учащимися при изучении той или иной темы.
Вторым типом внеклассной работы является работа с
учащимися, проявляющими к изучению математики повы-
шенный, по сравнению с другими, интерес и способности. По-
следний тип и является собственно внеклассной работой в тра-
диционном понимании этого слова.
При этом внеклассная работа является естественным про-
должением и дополнением основных форм организации учеб-
но-познавательной деятельности учащихся на уроке.
Наиболее важными задачами внеклассной работы на со-
временном этапе развития школы являются следующие:
• пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся
к математике и ее приложениям;
• расширение и углубление знаний учащихся по програм-
мному материалу;
• развитие математических способностей и мышления у
учащихся;
• развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески
работать с учебной и научно-популярной литературой;
• создание актива, способного оказать учителю математики
помощь в организации эффективного обучения математи-
ке всего коллектива данного класса;
6
• расширение и углубление представлений учащихся 9
практическом значении математики в технике, эконо-
мике;
• расширение и углубление представлений учащихся о
культурно-исторической ценности математики, о роли ве-
дущих ученых-математиков в развитии мировой науки;
• осуществление индивидуализации и дифференциации;
• разностороннее развитие личности.
Рассматривая содержание внеклассной работы с учащи-
мися, интересующимися математикой, отметим следующее:
1. В содержание внеклассной работы необходимо вклю-
чать вопросы, выходящие за рамки школьной программы по
математике, но примыкающие к ней. Это признаки делимости
чисел на 7; 11; геометрические построения при помощи одной
линейки и т. п.; исторические экскурсы по той или иной те-
ме, математические софизмы, задачи повышенной трудности
ит.д.
2. В содержание внеклассной работы необходимо вклю-
чить и вопросы, вошедшие в содержание математического
образования в последние десятилетия: логика, теория веро-
ятностей, комбинаторика и т. п.
3. В старших классах необходимо учитывать профиль, ко-
торый выбрали учащиеся.
При этом рассмотрение того или иного вопроса будет зави-
сеть от вида и формы внеклассной работы.
Внеклассная работа может осуществляться в самых раз-
нообразных видах и формах. Условно можно выделить следу-
ющие три основные вида внеклассной работы.
1. Индивидуальная работа — работа с учащимися с це-
лью руководства внеклассным чтением по математике, подго-
товкой докладов, рефератов, математических сочинений, из-
готовлением моделей; работа с консультантами; подготовка
некоторых учащихся к участию в городской (районной) или
областной олимпиаде.
2. Групповая работа — систематическая работа, проводи-
мая с достаточно постоянным коллективом учащимся. К ней
7
можно отнести факультативы, кружки, спецкурсы, электив-
ные курсы.
3. Массовая работа — эпизодическая работа, проводимая
с большим детским коллективом. К данному виду относятся
вечера, научно-практические конференции, недели матема-
тики, олимпиады, конкурсы, соревнования и т. п.
На практике все эти три вида внеклассной работы тесно
связаны друг с другом.
На сегодня наиболее распространенными формами вне-
классной работы по-прежнему остаются факультативы,
кружки, олимпиады, недели (декады) математики, стенная
печать. Но появляются спецкурсы и элективные курсы как
разновидность факультативов.
С 2005 года во многих регионах России в старших клас-
сах общеобразовательных учреждений появились профиль-
ные классы.
Профиль есть та или иная комбинация (сочетание) базо-
вый, профильных и элективных курсов, отвечающая общим
рамочным требованиям, существующим в отношении норм
учебной нагрузки (от 33 до 36 часов в неделю). Основны-
ми профилями на сегодня являются: гуманитарный, физико-
математический, экономический, технический.
Необходимо отметить, что внеклассная работа по матема-
тике должна организовываться не только в физико-математи-
ческом профиле.
Например, в гуманитарном профиле внеклассная работа
по математике рекомендуется для тех учащихся, которые еще
не совсем определились с выбором, тех, кому математика ин-
тересна, и тех, кто будет поступать в гуманитарные вузы, где
требуется определенная математическая подготовка (в част-
ности, на психологические, филологические факультеты не-
которых университетов сдается математика в качестве всту-
пительного экзамена).
В техническом же профиле рекомендуется проведение
таких форм внеклассной работы, как факультативов, учеб-
но-практических конференций, дополнительных тематиче-
8
ских курсов» межпредметных интеллектуальных соревнова-
ний, физико-математических олимпиад, деловых игр и др.
Все эти указанные формы внеклассной работы будут иметь
свои особенности. На факультативах желательно рассмотреть
такие темы, цак «Составление и решение простейших диффе-
ренциальных уравнений», «Элементы теории вероятностей и
математической статистики», «Приближенные методы реше-
ния алгебраических уравнений», «Некоторые численные ме-
тоды» и другое. На учебно-практических конференциях уча-
щимся технического профиля можно предложить доклады
типа:
• Метод Монте-Карло с примером практического его при-
менения для расчета системы массового обслуживания;
качества и надежности изделий;
• Решение инженерно-технических задач;
• Случайные события. Введение в теорию вероятностей.
На дополнительных тематических курсах учащиеся:
• знакомятся с общими проблемами применения математи-
ки в будущей профессии;
• изучают дополнительные главы по элементарной матема- *
тике, углубляющие и расширяющие основную програм-
* му, например: плоские кривые в пространстве, неевкли-
дова геометрия и т. п.;
• готовят свои рефераты (учитель читает сначала неболь-
шую лекцию, затем проводится самостоятельное изуче-
ние учащимися материала, консультации). При проведе-
нии дополнительных тематических курсов учитель может
применять и нетрадиционные методы проведения заня-
тий. 1
Данные курсы учащиеся выбирают по желанию.
К межпредметным интеллектуальным соревнованиям
относятся:
• соревнования на лучшее решение задачи по физике (хи-
мии) с применением математики;
• соревнования на лучшее решение прикладной математи-
ческой задачи средствами физики, информатики, черче-
ния;
у .
9
• соревнования на лучше решение нестандартной (комбини-
рованной) задачи по смежным предметам школьного кур-
са, например физика-химия.
Также в профильных классах будут иметь особенности и
другие формы внеклассной работы, на которых мы остановим-
ся позже.
В отличие от внеклассной работы, которая проводится с
учащимися одной школы учителями математики (а иногда и
родителями учащихся) этой же школы, внешкольная работа
по математике организуется с учащимися нескольких школ
какого-то региона. При этом внешкольные занятия с учащи-
мися могут организовываться как на базе какой-то школы,
так и на базе вузов, Центров дополнительного образования,
Домов творчества и т. п.
Внешкольная работа, прежде всего, предназначена для
учащихся, уже увлеченных математикой.
Основными целями организации внешкольной работы яв-
ляются:
• развитие мышления и математических способностей уча-
щихся;
• углубление знаний учащихся по математике.
Основными формами внешкольной работы по математике
на сегодня являются:
• математические кружки и факультативы при вузах, До-
мах творчества, Центрах дополнительного образования;
• летние математические школы;
• математические соревнования между школами, городами
(различные виды олимпиад, кубок Колмогорова, Ураль-
ские турниры и т. д.);
• районные и городские научные конференции школьни-
ков.
Проводят внешкольную работу, как правило, преподава-
тели и студенты вузов, работники Центров дополнительного
образования, Домов творчества, а также и учителя некоторых
школ.
10
I
В последние годы наряду с терминами внеклассная и вне-
школьная работа по математике часто употребляется и термин
дополнительное математическое образование.
Дополнительное математическое образование школьни-
ков понимается как образовательный процесс, имеющий свои
педагогические технологии и средства их реализации, по про-
граммам, дополняющим государственный стандарт средней
школы. Дополнительное математическое образование школь-
ников тесно связано С внеклассной работой по математике,
вместе они входят в состав непрерывного математического
образования.
К современному дополнительному математическому обра-
зованию относятся:
• Центры дополнительного образования;
очно-заочные школы и летние физико-математические
школы для одаренных детей;
U системы спецкурсов, факультативов, кружков, читаемых
* вузовскими преподавателями;
• научно-исследовательская работа со школьниками (в рам-
ках подготовки их к научно-практическим конференци-
| ям разного уровня: городским, региональным, федераль-
Гс ным);
олимпиады (городские (районные), областные (республи-
В: канские), зональные (окружные), всероссийские);
В» подготовительные курсы (в вузах и школах);
Ь • репетиторское образование и т. п.
| В современных условиях весь этот набор осуществляется
^как на платной основе (родительская плата), так и на бесплат-
ной основе (финансирует вуз или другие организации);
Перейдем к рассмотрению основных форм внеклассной и
Йнешкольной работы по математике.
Раздел 2
Факультативные занятия по математике
История появления, значение факультативов, виды
факультативов
Слово «факультативный» означает «необязательный»,
предоставленный собственному выбору.
В истории появления факультативов можуо выделить не-
сколько этапов.
Первый этап (конец XIX — начало XX века — 1966 г.).
Впервые идея дополнить обязательные занятия по предмету
в школе необязательными появилась в конце XIX — нача-
ле XX века. К числу тех, кто начал претворять эту идею в
жизнь, относится и П. Ф. Каптерев. Он вместе с педагогами-
энтузиастами начал создавать для учащихся предметные фа-
культативные семинары, позже названные «кружками». В
этих кружках программу составлял сам педагог, учитывая
свои интересы, возможности и интересы и возможности уча-
щихся. Число учащихся в этих кружках не ограничивалось,
посещение их было добровольным, отметки учащимся не ста-
вились, не было зачетов, экзаменов. Принимались в кружки
учащиеся, независимо от их успеваемости. Учителю за прове-
дение факультативов оплаты не было.
Второй этап (1966-1987). 10 ноября 1966 г. ЦК КПСС
и Совет Министров СССР издают Постановление «О мерах
дальнейшего улучшения работы средней общеобразователь-
ной школы», которое рекомендует проведение факультатив-
ных занятий в 7-10 классах.
С этого момента проведение факультативов учителями
стало оплачиваться, важность их стали осознавать педагоги
школ. Но все же широкое распространение факультативы по-
лучили лишь с 1971 г. Согласно данному Постановлению, фа-
культативные занятия рекомендовалось проводить по единой
12
общероссийской программе, хотя учитель имел право выбо-
ра разделов из рекомендованных Министерством образования
программ. Для 7-10 классов предлагалась программа «Из-
бранные вопросы математики», рассчитанная на 1 ч в неделю.
Для учащихся 9-10 классов предлагалась программа «Мате-
матика в приложениях», также рассчитанная на 1 ч в неделю.
Вместе с этой программой для учащихся 8-10 классов предла-
галась и программа «Алгоритмы и программирование», так-
же рассчитанная на 1 ч в неделю в каждом из классов.
В программу «Избранные вопросы математики» входили
такие разделы, как:
• делимость и простые числа;
♦ системы счисления и устройство ЭВМ;
-
• бесконечные множества;
• элементы комбинаторики и теории вероятностей;
• комплексные числа и многочлены;
• многогранники.
Программа «Математика в приложениях» включала в се-
бя такие вопросы, как многогранники, последовательности,
уравнения, функции, графики. Также уделялось внимание
методу итераций, практическим работам, графическому ре-
шению задач с параметрами, функциям, координатам в гео-
метрии, дифференциальным уравнениям и применению их в
жизни.
В программу «Алгоритмы и программирование» входило
ознакомление учащихся с элементами программирования для
ЭВМ, причем это знакомство преимущественно осуществля-
лось на задачах. В качестве первоначального языка описа-
ния алгоритмов был выбран язык блок-схем. Также изучались
массивы, основы моделирования и др.
Для проведения занятий по данным программам посте-
пенно появлялись и пособия для учителей, в частности «Ме-
тодика проведения факультативных занятий в 9-10 классах:
Избранные вопросы математики» (М.: Просвещение, 1983).
Составителями данного пособия являются И. Л. Никольская
и В. В. Фирсов и др. Данное пособие представляло собой 8 ста-
тей, в каждой из которых давались методические рекоменда-
13
ции по изучению соответствующей темы; указывалось при-
мерное распределение времени, отводимого на изучение те-
мы; приводились ответы, решения, указания к задачам; вы-
делен материал первостепенной важности, необходимой для
изучения на занятии под руководством учителя, и материал,
который можно предложить учащимся для самостоятельной
работы. Также по каждой теме указано примерное содержа-
ние зачета, дан список дополнительной литературы. На зачет
предлагалось вынести теоретический вопрос и задачу.
Но к 1987 г. факультативы в 7-8 классах стали больше
напоминать кружки, а в 9-10 классах факультативы стали
больше всего использоваться для углубления основного курса,
решения задач повышенной трудности, подготовке учащихся
к поступлению в вузы. При этом учитель в журнал часто за-
писывал тему, рекомендованную по вышерекомендованным
программам, а на самом деле велась другая работа. А ряд фа-
культативов превратился даже в дополнительные занятия со
слабоуспевающими учащимися. В ряде школ факультативы
остались лишь в 10 классе, очень мало их было на селе. Круж-
ки к этому времени стали трактоваться как вспомогательная
форма, менее престижная, предназначенная лишь для уча-
щихся с «зачаточным уровнем интереса».
Третий этап (1987 — н. в.). Министерству образования
пришлось пересмотреть свои позиции. Проявилось это в сле-
дующем:
• были разработаны новые программы для факультативов;
• учителям было разрешено использовать свои, авторские
программы факультативов;
• в базисном плане РФ предусматривалось увеличение чи-
сла часов как на факультативные, так и на групповые и
индивидуальные занятия;
• факультативы по математике рекомендовалось вести с
7 класса.
Основным назначением факультативных занятий явля-
ется развитие способностей и интересов учащихся в сочета-
нии с общеобразовательной подготовкой по математике и на
ее основе.
14
Целями организации факультативных занятий явля-
ются:
• расширение кругозора учащихся;
• развитие математического мышления и способностей;
• формирование активного познавательного интереса к
предмету;
» углубленное изучение математики;
• содействие профессиональной ориентации учащихся в об-
ласти математики и ее приложений;
• «обкатка» нового школьного содержания, новых методов
обучения.
Все факультативы по математике условно можно разде-
лить на три видах
1) факультативы, предназначенные для повышения ма-
тематического уровня учащихся, они тесно связаны с основ-
ными курсами математики. Их главная задача — углубить
знания, полученные учащимися на уроках. На таких факу ль- -
Тативах уделяется больше внимания вопросам школьной про-
граммы;
. 2) факультативы, которые дополняют знания учащихся,
^полученные ими на уроках. Основная цель таких факультати-
вов — расширение знаний учащихся. На таких факультати-
вах основное внимание уделяется темам, которые обычно не
входят в школьную программу, в том числе рассматриваются
и методы решения олимпиадных задач;
3) спецкурсы. Основная цель спецкурсов: рассмотрение
^Некоторых важных тем, отсутствующих в основном курсе ма-
тематики. Задачи спецкурсов те же, что и факультативов, но
юни имеют и некоторые отличия. Основные отличия школь-
ных спецкурсов от факультативов:
• продолжаются они один триместр или семестр (полуго-
1 дне);
• часов для спецкурса выделяется меньше: от 16 до 32 ч;
• тема предлагается для рассмотрения одна (например: эле-
менты логики, задачи с параметрами, уравнения, олимпи-
адные задачи, комплексные числа, элементы теории веро-
ятностей и статистики и т. п.);
• темы спецкурсов постоянно меняются; в случае большого
числа учащихся, желающих прослушать какой-то спец-
курс, его можно повторить через полгода, но для других
учащихся.
Но могут быть факультативы и комбинированного харак-
тера.
С 2004 года Министерство образования и науки Ьвело в
9 классах элективные курсы. Элективные курсы — это обяза-
тельные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие
в состав профиля обучения. Они реализуются за счет школьно-
го компонента учебного плана. Элективные курсы вЫполнятОт
следующие основные функции:
• являются «надстройкой» профильного учебного предме-
та, в этом случае дополненный учебный предмет стано-
вится в полной мере углубленным;
• развивают содержание одного из базовых учебных предме-
тов, что позволяет поддерживать изучение смежных учеб-
ных предметов на профильном уровне или получать до-
полнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по выбранному
профилю;
*
• способствуют удовлетворению познавательных интересов
в различных областях деятельности человека.
Число элективных курсов предлагается больше, чем чи-
сло курсов, которые должны выбрать учащиеся. Из предла-
гаемых ряда курсов ученик должен выбрать обязательно 2 и
прослушать их до конца года. Сделано это с целью реализации
предпрофильной подготовки учащихся.
Примерными темами элективных курсов для учащихся
9 класса могут быть:
• Избранные вопросы математики;
• Специальные методы решения олимпиадных задач по ма-
тематике;
• Текстовые задачи и методы их решения;
• Доказательство тождеств и неравенств;
• Целая математика (рассматриваются различные подходы
к решению одной и той же задачи) и др.
16
Также элективные курсы вводятся и в 10-11 классах. Но
здесь учащимся предлагается уже больше курсов. Учащиеся
должны выбрать 5-6 курсов в течение двух лет.
Темы элективных курсов по математике будут зависеть от
того, для учащихся какого профиля они предлагаются. Для
учащихся социально-гуманитарного, филологического, худо-
жественно-эстетического и других профилей, изучающих ма-
тематику на базовом уровне, можно предложить такие темы:
• Комплексные числа и операции над ними;
• Многочлены с одной и несколькими переменными;
• Дополнительные главы по математике;
• Обратные тригонометрические функции, их свойства и
графики и др.
Учащимся же физико-математического, физико-химиче:
ского, социально-экономического, информационно-техноло-
гического и других профилей, изучающим математику на про-
фильном уровне, можно предложить такие темы:
• Олимпиадные задачи по математике (сравнения по моду-
лю; применение алгоритма Евклида при решении уравне-
ний в целых числах, сокращении дробей; комбинаторные
и вероятностные задачи; применение классических нера-
венств; теорема Безу и др.);
• Подготовка к ЕГЭ (решение задач уровня С);
• Дополнительные разделы геометрии;
• Уравнения и неравенства с параметрами;
• Функциональные методы решения уравнений и нера-
венств;
• Математика (дополнительные главы);
• Элементы теории чисел и др.
Одним из отличий элективных курсов от факультативных
курсов является и то, что нет ограничения минимальности для
посещения ими учащимися (в принципе некоторые электив-
ные курсы могут посещать и 1-5 учеников).
Разработка как тематики элективных курсов, так и учеб-
но-методических комплектов по элективным курсам ведется
в настоящее время как учителями школ, так и преподавате-
лями вузов.
17
Содержание факультативных курсов
Содержание факультативных курсов зависит от про-
грамм, по которым ведутся занятия. Тем не менее, содержа-
ние факультативов в 7-9 классах, независимо от програм-
мы, должно носить практическую, занимательную направ-
* ленность, то есть здесь факультативы больще выполняют
функции кружков; а в 9-11 классах — содержание должно
быть направлено на углубление изученного материала, подго-
товку учащихся к поступлению в вузы. 4
Министерство образования России выпустило для исполь-
зования учителями математики специальные программы по
факультативным занятиям. • '
Для учащихся 7-9 классов программа называется «За
страницами учебника математики с приложением «Матема-
тическая мозаика». Согласно данной программе, в 7 классе
предлагается рассмотреть такие вопросы: системы счисления,
простые и составные числа, геометрические построения, заме-
чательные точки в треугольнике, решение задач повышенной
трудности. В 8 классе предлагается рассмотреть такие вопро-
сы: числовые множества, метод коордцнат, элементы матема-
тической логики, геометрические преобразования плоскости;
а в 9 классе: функции и графики; уравнения и неравенства,
их системы, замечательные теоремы и факты геометрии; ло-
гическое строение геометрии; задачи повышенной трудности.
«Математическая мозаика» рассчитана для каждого клас-
са на 16 ч. Предлагаются следующие темы:
• для 7 класса: Магические квадраты, математические ре-
бусы, шифровки, игры, лист Мебиуса и т. п.;
• для 8 класса: Принцип Дирихле, логика, комбинаторные
задачи, задачи на разрезание и т. д.;
• для 9 класса: Контрпримеры, эвристики и т. п.
Все вопросы предлагалось рассматривать в занимательной
форме.
Параллельно на основе изучения и обобщения опыта луч-
ших учителей-практиков А. Ю. Михайловским была предло-
жена вторая программа для учащихся 7-9 классов, названная
18
«Углубление основного курса». В нее автор включил задачи
повышенной трудности, исторические сведения, заниматель-
ные задачи, игры, софизмы и т. п. В 9 классе акцент предла-
галось сделать на подготовке учащихся к углубленному из-
учению математики в 10-11 классах. Программа рассчитана
на 64-68 ч на каждый год. Предлагалось рассмотреть такие
вопросы:
• для 7 класса: изучение множеств, графики функций |г/| =
= f(x) и у = |/(х)|, уравнения с модулем, деление многочле-
нов, решение задач на построение и др.;
• для 8 класса: задачи на построение с помощью одного цир-
куля, одной линейки; различные доказательства теоремы
Пифагора, метод координат и др.;
• для 9 класса: метод математической индукции, вектор-
ный метод решения планиметрических задач, преобразо-
вание графиков функций и др.
В каждом классе наряду с перечисленными вопросами
предлагаются и задачи повышенной трудности.
Для учащихся 10-11 классов Министерство образова-
ния предложило программу углубленного изучения основного
курса математики наряду с решением таких задач, как про-
должение образования, сдача вступительных экзаменов в вуз.
В качестве одного из возможных факультативных курсов по
углубленному изучению математики предлагается «Подгото-
вительный факультатив», который долго являлся наиболее
популярным среди учителей математики. Основной целью
. данного курса является замена репетиторства и подготовка
учащихся к поступлению в вуз.
Основные принципы, используемые при проведении дан-
ного факультатива:
• регулярности (основная работа учащихся должна прово-
диться ежедневно дома, а не на занятиях факультатива);
• параллельности (предлагалось одновременно изучать не-
сколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и
вглубь);
19
• опережающей сложности (дома предлагается решить по
10-12 задач за неделю, причем 6-8 должны быть доступны
всем, 2—3 — небольшой части учащихся и 1 — ни одному);
• смены приоритетов (при решении достаточно трудных за-
дач отдавать приоритет идее; при решении стандартных,
простых задач главное — правильный ответ);
• вариативности (сравнение различных методов и способов
решения одной и той же задачи);
• моделирования реальных ситуаций (то есть задач без кон-
кретных ответов) и др;
Для факультативов «За страницами учебника математи-
ки» и «Подготовительный факультатив» были выпущены спе-
циальные пособия:
• Факультативный курс по математике: Учебное пособие
для 7-9 классов средней школы / сост. И. Л. Никольская.
М.: Просвещение, 1991;
• Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по ма-
тематике: Решение задач: Учебное пособие для 11 класса
средней школы. М.: Просвещение, 1991;
• Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для
10 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвеще-
ние, 1994.
Если факультативный курс проводится по авторской про-
грамме, то она должна быть утверждена в школе. Програм-
ма содержит такие разделы: пояснительная записка, учебно-
тематический план, содержание программы, требования к
знаниям, умениям учащихся, литература.
В качестве примера рассмотрим авторскую программу фа-
культативного курса по математике для учащихся 10 класса.
i
Призер. Авторская программа факультатива по математике
для учащихся 10 класса школы № 7 г. Коряжмы
Составитель: старший научный сотрудник кафедры матема-
тического анализа и методики преподавания математики Коря-
жемского филиала Поморского государственного университета им.
М.В. Ломоносова, кандидат педагогических наук, доцент Фар-
ков А. В. ,
20
Пояснительная записка
Данный факультатив по математике для учащихся 10 класса от-
носится к группе факультативов, которые предназначены как для
дополнения знаний учащихся, полученных ими на уроках, так и для
их углубления. Новыми темами для учащихся являются «Уравне-
ния и неравенства с модулем», «Уравнения и неравенства с параме-
трами». Для углубления знаний, полученных учащимися на уроке,
предназначена тема «Текстовые задачи».
Целями организации факультативных занятий являются:
• расширение и углубление зйаний и умений учащихся по мате-
матике;
• развитие способностей и интересов учащихся;
• развитие математического мышления;
• формирование активного познавательного интереса к предмету;
• содействие профессиональной ориентации учащихся в области
математики и ее приложений;
• подготовка учащихся к сдаче Единого государственного экза-
мена и к поступлению в вуз.
Основными принципами, используемыми при проведении дан-
ного факультатива, являются:
• регулярность (основная работа учащихся должна проводиться
ежедневно дома, а не на факультативе);
• опережающая сложность (дома предлагается решить по 5-10
задач на неделю, причем 3-5 доступны всем, 1-3 — небольшой
части учащихся и 1-2 — ни одному ученику);
• смена приоритетов (при решении достаточно трудных задач от-
дается приоритет идее; при решении стандартных, простых за-
дач главное — правильный ответ);
• вариативность (сравнение различных методов и способов реше-
ния одного и того же уравнения или задачи).
Основными формами организации учебно-познавательной дея-
тельности на факультативе являются лекция, практикум и сорев-
нования.
Отметки на факультативах, как правило, ставить не планиру-
ется.
Программа факультатива составлена на полугодие и предусма-
тривает занятия с учащимися 10 классов школы № 7 г. Коряжмы в
период с 22 января по 21 мая 2005 г. в объеме 17 ч. Занятия плани-
руется проводить по субботам по 1 академическому часу.
' 21
Учебно-тематический план
№ п/п Тема Всего часов Лек- ция Прак- тикум Сорев- нова- ние Примерная дата проведения»
1 Уравнения с модулем 2 1 1 0 22, 29 января
2 Неравенства с модулем 2 1 1 0 5,12 февраля *
3 1 Уравнения с параметром 3 1 1 1 19, 26 февраля, 5 марта
4 Неравенства с параметром 3 ~| 2 0 12, 19 марта, 2 апреля
5 Текстовые задачи 7 2 4 1 9,16, 23,30 апреля; 7,14, 21 мая
Содержание факультативных занятий
. Тема 1. Уравнения с модулем
Модуль числа. Свойства модуля. График функции у = |х|. Ме-
тоды решения уравнений с модулем. Решение комбинированных
уравнений, содержащих переменную и под знаком модуля.
Тема 2. Неравенства с модулем
Теорема о равносильности неравенства с модулем и рациональ-
ного неравенства. Основные методы решения неравенств с модулем.
Тема 3. Уравнения с параметром
Понятие уравнения с параметром, примеры. Контрольные зна-
чения параметра. Основные методы решения уравнений с параме-
тром . Решение систем уравнений с параметрами.
Тема 4. Неравенства с параметром
Понятие неравенства с параметром, примеры. Основные методы
решения неравенств с параметрами; Задачи с параметрами.
Тема 5. Текстовые задачи
Понятие текстовой и сюжетной задачи. Основные типы сюжет-
ных задач. Решение сюжетных задач на прогрессии, движение, ра-
боту, проценты, смеси, сплавы. Олимпиадные задачи.
। • ,
Основные знания, умения
В результате факультативных занятий учащиеся:
должны знать: ,
22
Л
• основные методы решения уравнений и неравенств с модулем,
с параметром,
• основные типы сюжетных задач и приемы их решения;
должны уметь:
• применять изученные методы и приемы при решении уравне-
ний и неравенств с модулем, с параметром; сюжетных задач
различных типов.
С , ' 1
Литература
1. Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А. и др. Сборник задач
ро математике для поступающих в вузы: учеб, пособие / под ред.
М. И. Сканави. 6-е изд. М.: ОНИКС; Альянс-В, 2000.
2. Литвиненко В. Н., МордковичА.Г. Практикум по элементар-
ной математике: Алгебра. Тригонометрия: учеб, пособие для сту-
дентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Про-
свещение, 1991.
3. Шарыгин И.Ф. Решение задач: учеб, пособие для 10 кл. об-
щеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 1994.
* • •
с •
i..
Организация факультатива, основные формы,
методы, средства обучения на факультативных
занятиях
t
Факультативы могут организовываться как для учащихся
одного класса, так и параллельных классов одной школы. Но
можно организовать факультативы и для учащихся несколь-
ких школ одного города.
Учащиеся выбирают факультативы добровольно, но вы-
бравшие уже обязаны посещать его до конца учебного года.
Минимальное число учащихся для факультативных занятий
<должно быть 10 человек. Можно также проводить факульта-
тивные занятия и для учащихся двух (или даже трех) последо-
вательных классов (чаще всего в малокомплектных сельских
школах). Но в этом случае будет труднее продумать содержа-
ние такого факультативного курса. Факультативные занятия,
как правило, проводятся после уроков.
Г 23
* .
t
Хотя факультативы являются специфической формой
внеклассной работы, но они содержат в себе и многие при-
знаки урока. Проводятся факультативы по расписанию, с по-
стоянным составом учащихся^ по утвержденной программе и
часто по специальным пособиям. Но отметки на факультати-
вах, как правило, не ставятся. Учащиеся добровольно выби-
рают факультативные занятия, могут прекратить посещение
факультативов в конце года или полугодия.
Основными формами организации учебно-познаватель-
, ной деятельности учащихся являются: изложение узловых
вопросов данного факультативного курса учителем (лекцион-
ным методом), семинары, собеседования (дискуссии), тема-
тическое комбинированное занятие, соревнование, решение
задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам,
так и по решению цикла задач), математические сочинения,
доклады учащихся и т. д.
Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-
либо одной форме иди методу изложения. Вместе с тем, па-
мятуя о том, что на факультативных занятиях по математи-
ке самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее
положение, следует все же чаще применять решение задач,
рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и
научно-популярной литературы и т. п.
Одной из возможных форм ведения факультативных за-
нятий по математике является разделение каждого занятия
на две части. Первая часть посвящается изучению нового ма-
териала и самостоятельной работе учащихся по заданиям те-
оретического и практического характера. По окончании этой
части занятия учащимся предлагается домашнее задание по
изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого за-
нятия посвящена решению задач повышенной трудности и
обсуждению решений особенно трудных или интересных за-
дач. Эта форма проведения факультативных занятий может
способствовать успешному переходу от форм и методов обуче-
ния в школе к формам и методам обучения в высших учебных
заведениях.
24
V .
f
Естественно также при проведении факультативных заня-
тий в основном использовать методы изучения (а не обучения)
математики, а также проблемную форму обучения.
При проведении факультативов необходимо увязывать со-
держание факультативного курса с программным урочным
материалом. Для этого можно на факультативах проводить
систематизацию материала, рассмотренного на уроке; продол-
жать изучение материала, начатого на уроке; подробнее рас-
сматривать материал, о котором лишь упоминалось на уроке.
Основные применяемые методы обучения: лекция, семинар,
доклады, экскурсии, подготовка и заслушивание рефератов,
практические работы и т. д.
Примерными темами рефератов могут быть:
Операции над множествами;
♦ Числа Фибоначчи;
• Полуправильные многогранники и т. п.
Акцент на факультативных занятиях должен быть на са-
мостоятельную работу учащихся. Необходимо больше уде-
лять внимания индивидуальной работе учащихся и меньше —
фронтальной работе.
Основным средством обучения на факультативных заня-
тиях должна быть учебная книга по математике.
Раздел 3 .
Математические кружки
Математические кружки по математике являются основ-
ной формой внеклассной работы с учащимися в 5-6 классах, с
7 класса их заменяют факультативы, но кружки также могут
проводиться.
Основными задачами проведения кружковых занятий
являются:
• привитие интереса учащимся к математике;
• углубление знаний учащихся по математике;
• развитие математического кругозора, мышления, способ-
ностей, исследовательских умений;
• воспитание настойчивости, инициативы.
Частично эти задачи реализуются на уроке, но оконча-
тельная и полная реализация их переносится на внеклассные
занятия, в первую очередь на кружки.
к * ' •
Организация работы кружка
В основе кружковой работы лежит принцип добровольно-
сти. Кружки могут быть организованы как для хорошо успе-
вающих учащихся, так и для всех желающих. Также могут
быть кружки с секциями (если умного желающих занимать-
ся математикой вне уроков); кружки с уровнями: для более
сильных учащихся и средних учащихся. В кружок могут объ-
единяться как учащиеся одного класса, так и параллельных
классов; также кружок может быть организован и для уча-
щихся двух-трех классов, например, 5-6 или 7-9 классов. В
таком случае учителю будет просто труднее продумать содер-
жание занятий.
На одном из'Первых уроков математики в классе (в сен-
тябре) надо рассказать учащимся о том, что для желающих
будет организован кружок, чем будут заниматься учащиеся на
26
кружке, что нового и интересного узнают ребята на кружке,
В чем польза кружковых занятий, как они будут проходить,
выявить желающих. Кружок может проводиться при любом
числе желающих; лучше, если учащихся в нем не менее 5 че-
ловек, но и не больше 15.
На первых занятиях кружка надо выработать своеобраз-
ный Устав (права и обязанности членов кружка), выбрать ста-
росту (председателя, лидера, командира и т. п.). Если в круж-
ке есть несколько секций, то желательно выбрать президиум
. (название могут помочь предложить и ученики). В состав пре-
зидиума можно включить как учащихся, так и учителя — ру-
ководителя кружка, а также и известных математиков, мето-
дистов вузов (если такие являются родителями кружковцев).
Также кружок может иметь свое название, эмблему, девиз
/(если того пожелают учащиеся).
Занятия кружка обычно проводятся 1 раз в 1-2 недели.
Продолжительность занятия кружка для учащиеся 5-7 кл. —
<45 мин, для учащихся 8-10 классов (в 11 классе кружков
обычно не бывает) — до 1,5 ч. Для более сильных учащихся
время занятия можно в 5-7 классах увеличить до 80-90 мин.
Начинать работу кружка лучше с середины сентября или •
’с 1 октября, а завершать в конце апреля (начале мая). В те-
чение года кружковые занятия должны увязываться с други-
ми формами внеклассной работы по математике, в подготовке
* и проведении которых активное участие должны принимать
[ члены кружка. В каникулы предметные кружки проводить
г не рекомендуется.
ii
Планирование работы кружка
План работы кружка лучше составлять на год, хотя на-
чинающему учителю математики лучше план составлять на.
четверть или полугодие. Форма плана может быть любая\ Рас-
смотрим возможный вариант:
Пример. План работы кружка
Номер занятия кружка 1 Дата прове- дения Содержа- ‘ ние занятия Учащие- ся, ответ- ственные за подго- товку Срок для подготов- ки « Приме- чания
18 27.02 Решение старин- ных задач Иванов В. До 20.02
Для удобства занятия кружка целесообразно увязывать с
планом всей внеклассной работы по математике (если такой
план имеется в школе). Примерная форма такой увязки может
быть следующая:
Пример. Форма увязки с общим планом по внеклассной работе
Месяц Неде- ля Тематика кружкового занятия Другие формы внеклассной работы
Ноябре 1 Как возникла Математическая
» 2 , алгебра стенгазета
3 Графы Математическая
4 олимпиада (первый тур)
Программа кружка
Г** ’
Программу кружковых занятий составляет сам учитель.
Основными требованиями к программе являются:
• связь содержания программы с изучением программного
материала;
• особенности школы, учащихся;
• использование исторического материала;
• решение более трудных задач;
• использование занимательности;
• учет желайий учащихся;
• наличие необходимой литературы у учителя.
28
д• • Пишется программа по форме, принятой в данной школе.
Это может быть программа, похожая на программу факульта-
тива, а может быть и проще, типа вышерассмотренного плана.
Содержание занятий
Содержали^ занятий кружка зависит от возраста учащих-
ся, их интересов, основных целей кружка, наличия необходи-
мой литературы у учителя. Возможными темами кружковых
Занятий могут быть:
Задачи, решаемые с конца ( 5-6 к л.).
> Числа-великаны и числа-малютки (5-6 кл.)
• Запись цифр и чисел у других народов (5-6 кл.).
♦ Занимательные задачи на проценты (6 кл.)
• Арифметические ребусы (5-7 к л.)
W Геометрические упражнения со спичками (5-6 кл.)
♦ Задачи на разрезания и перекраивания фигур (5-7 кл.)
Простейшие графы (6-7 к л.)
> Геометрические построения с различными чертежными
инструментами (7-8 кл.)
М Недесятичные системы счисления (5-7 кл.)
L* Взвешивания (5-7 кл.)
ив Неопределенные уравнения (8-10 к л.)
Ь Полуправильные многоугольники (9 кл.)
& Различные доказательства теоремы Пифагора (8 кл.)
йв Теорема Птоломея (8 кл.)
Геометрические задачи на местности (8 кл.)
Й* Измерение расстояний и углов на практике (7-8 кл.)
й Индукция в математике (8-9 кл.)
* Математическая индукция (9-10 кл.)
Принцип Дирихле (6-9 кл.)
!• Периодические дроби (9 к л.)
* Занимательные комбинаторные задачи (7-9 к л.)
Что такое теория игр? (10 кл.)
Решение планиметрических задач с помощью тригономет-
рии (10 кл.)
29
• Геометрия на сфере (10 кл.)
• Комплексные числа (8-10 кл.)
При этом на некоторые темы можно выделить по несколь-
ко занятий кружка.
Z •
Основные формы проведения кружковых занятий
\ . *
Возможны два подхода к организации работы кружка.
, 1. Данный подход применим в том случае, когда кружки
состоят из секций. Секции могут быть следующие:
• учебно-исследовательская (учащиеся занимаются иссле-
дованиями, готовят себя к написанию рефератов);
• конструкторская (изготовление наглядных пособий, мо-
делей, приборов для кабинета математики);
• оформительская (подготовка и выпуск классных и школь-
ных математических газет, различного оформления по
подготовке к олимпиадам, вечерам);
• любителей решения задач (решение задач, проведение
конкурсов, олимпиад и т. п.).
В данном случае придется работу секций планировать по
отдельности, как отдельные кружки. Но иногда полезно про-
водить и заседание нескольких секций одновременно >
2. При малом числе учащихся секции не организовать, а
интересы учащихся разнообразны. Поэтому надо проводить
кружковые занятия в различных формах. При этом особую
подготовку необходимо посвятить подготовке первых заня-
тий, показав все, что ученики могут узнать на кружковых
занятиях, чему научиться, какую пользу могут извлечь из по-
сещения занятий. Рассмотрим возможные формы проведения
кружковых занятий при данном подходе.
Комбинированное тематическое занятие
Примерная структура данного занятия может быть следу-
ющей:
30
jl. Доклад кружковца (или выступление учителя) по избран-
ному вопросу на 5-10 минут.
2. Основная часть — решение задач по определенной теме
участниками кружка, причем в числе этих задач должны
быть задачи и повышенной трудности.
3. Решение задач занимательного характера, задач на сме-
калку, разбор математических софизмов, фокусов, прове-
дение математических игр и развлечений.
4. Ответы на вопросы учащихся.
В качестве примера рассмотрим методику проведения од-
ного из таких занятий по теме «Инварианты» для учащихся
J16-7 классов.
Пример. Занятие по теме «Инварианты» для учащихся 6-7 классов
£ ‘ ‘
t . 1. Работа по теме занятия
Учитель вводит понятие инварианта: инвариантом неко-
дорого преобразования называется величина или свойство, не
^изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инва-
рианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) и
Остаток от деления. Хотя встречаются и другие стандартные
инварианты: перестановки, раскраски и т. п. Причем приме-
( лйение четности — одна из наиболее часто встречающихся идей
Угри решении олимпиадных задач.
Вспомнить определения четного и нечетного числа. Особое
^внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объ-
яснить, что означает термин «разная четность». Рассмотреть
Йдесколько простых примеров. Например, число х + 2 и^еет ту
оке четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные),
Я при прибавлении единицы четность числа меняется. Далее
Кможно сформулировать два важных общих утверждения, на
^которых основано применение идеи четности и нечетности:
" I Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четно-
стью количества нечетных слагаемых.
( Привести примеры:
1. Число 1 + 2 + ... + 10 — нечетное, так как в сумме 5
нечетных слагаемых.
•1.
I 31
2. Число 3 + 5 + 7 + 94-11 +13 — число четное, так как в
сумме 6 нечетных слагаемых.
2. Знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел
определяется четностью количества отрицательных сомножи-
телей.
Примеры:
1. Число (—1) • (—2) • (—3) • (—4) положительно, так как в
произведении четное число отрицательных сомножителей.
2. Число (-1) • 2 • (-3) • 4 • (-5) отрицательно, так как в
произведении нечетное число отрицательных сомножителей.
После этого учитель разбирает с учащимися подробно ре-
шение следующих задач. •
1. Учитель написал на листке бумаги число 10.15 учеников пе-
редают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или
отнимает от него единицу — как хочет. Может ли в результате
получиться число 0?
Прежде чем разобрать решение данной задачи, предло-
жить учащимся выполнить данную операцию (при этом в за-
висимости от числа учащихся можно изменить числа 15 и 10).
Заметить закономерность: после каждого хода характер чет-
ности меняется: после первого ученика число становится не-
четным; после второго — четным; после третьего — нечет-
ным. Тогда после пятнадцатого число будет нечетным. Поэто-
му нуль в конце получиться не может.
2. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предла-
гается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть
любые два числа, и если они одинаковые, то допишите к остав-
шимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число
останется на доске?
Решение. Сумма 15 исходных чисел равна 7. А 7 — число
нечетное. Рассмотрим, какая сумма чисел будет получаться
после выполнения операции. Если вычеркнем 2 нуля, то по-
сле дописывания нуля на доске будет 7 нулей и 7 единиц.
Сумма этих 14 чисел будет нечетная. Если вычеркнем 2 еди-
ницы, то на доске останется после дописывания нуля 9 нулей
32
К 5 единиц. Сумма данных 14 чисел будет нечетной. Нако-
нец, вычеркивая нуль и единицу и приписывая единицу, мы
получим на доске 7 нулей и 7 единиц, сумма которых снова
Является нечетным числом. Таким образом, мы замечаем, что
е выполнения данной операции на доске получается на
t число меныце, причем сумма оставшихся чисел все время
ается нечетной. Так как 1 — нечетное число, а 0 — чет-
то на доске после выполнения 14 раз указанной операции
Получается нечетное число, т. е. 1.
Вывод. Инвариантом в задачах 1 и 2 являлась четность
|куммы чисел (она нечетная).
Все костяшки домино выложены в цепь. На одном конце
депи оказалось 3 очка. Сколько очков на другом конце?
Решение. Всего имеется семь костяшек с тройкой на кон-
»е: 0-3, 1-3, 2-3, 3-3, 4-3, 5-3, 6-3. Костяшка 3-3 имеет
^тройку» на обоих концах. Всего получается восемь «троек».
Так как при игре в домино в цепи они должны располагаться
рарами, то на другом конце цепи будет 3 очка.
Вывод. При решении аналогичных задач полезно иногда
фбъекты разбивать на пары. Инвариантом здесь является чет-
fкость количества троек на всех костяшках.
В. Квадрат 5x5 заполнен числами так, что произведение чисел
& каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется стол-
бец, в котором произведение чисел также отрицательно.
Решение. Найдем произведение всех чисел в квадрате. Так
Ьак произведение чисел в каждой строке отрицательно, то и
произведение всех чисел будет отрицательно. Но с другой сто-
йроны, произведение всех чисел равно и произведению чисел
п столбцах. А так как произведение всех чисел отрицательно,
ио найдется столбец, в котором произведение чисел является
Йугрицательным.
Вывод. Инвариант — знак произведения чисел (он отри-
цательный).
II. Устные упражнения
5. Какие часы чаще показывают точное время: те, которые от-
стают на 1 минуту, или те, которые стоят?
33
6. На дереве сидело 20 ворон. Охотник выстрелил и убил 2 во-
рон. Сколько ворон осталось на дереве?
7. Математик, оказавшись в небольшом городке, решил под-
стричься. В городке было лишь две парикмахерских. Загля-
нув к одному мастеру, он увидел, что в салоне грязно, сам
мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстри-
жен. В салоне второго мастера все было чисто, а сам владелец
был безукоризненно одет, чисто выбрит и аккуратно подстри-
жен. Тем не менее, математик отправился стричься к первому
парикмахеру. Почему?
III. Самостоятельная работа учащихся
8. Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с по-
мощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей?
9. Конь вышел с поля al шахматной доски и через несколько
ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число
ходов.
10.2007 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их
расставить по росту, если за один ход разрешается перестав-
лять только 2 людей, стоящих через одного?
11.16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разло-
жить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух
соседних корзинах отличалось на 1?
IV. Домашнее задание
12. На столе стоят 6 стаканов. Из них 5 стоят правильно, а один
перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновре-
менно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить пра-
вильно?
13. Мише учитель математики поставил в дневник отметку
♦2>’. Миша, желая скрыть от мамы данный факт, порвал свой
дневник на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому не-
которые из этих частей (может быть, и не все) он порвал на 4
части и так далее. Мама нашла 20 «кусочков» дневника. Все
ли куски нашла мама?
14. Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера
так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихо-
ванному квадрату (рис. 1).
34
Рис. 1
В зависимости от класса и уровня обучаемости учащихся
fccero для самостоятельной работы учащимся можно предло-
жить от 3 до 5 задач. При таком подходе каждый ученик имеет
^возможность проявить свою инициативу, самостоятельность,
способность к творчеству.
По ходу занятия учитель может делать обобщения, фор-
мулировать выводы.
В качестве домашнего задания (как показывает опыт, луч-
jiie давать 3 задачи: одну очень легкую на рассмотренный ма-
‘^ериал, вторую — посложнее, но тоже на рассматриваемый
Материал, а третью — на тему следующего занятия или на
Повторение).
Вместо устных упражнений можно рассмотреть:
Г а) сообщение ученика
v В качестве примера такого сообщения можно предложить
американский (индийский) способ умножения (на Руси его
Называли способ умножения крестиком).
И 1 Умножим 32 на 21.
т Запись на доске:
ft
£
А.
к*
32
' 1 Х21
672
Возникает вопрос: Как получили результат так быстро?
роисходит объяснение решения.
Первый шаг.
);
^Учитель говорит: 2x1 = 2.
35
32
Х21
772
।
Второй шаг.
32
Х21
.72
Учитель говорит: 2х2 + 3х1 = 7, пишем 7 левее цифры 2.
Третий шаг.
32
Х21
6 72
< •
Учитель говорит: 3x2 = 6, пишем 6 левее цифры 7.
После этого происходит объяснение, а почему так можно
умножать (единицы получаются умножением единиц, десят-
ки — умножением единиц на десятки и десятков на единицы,
сотни — умножением десятков на десятки).
б) решение занимательных задач.
Например:
• Учитель изображает на доске картинку и комментирует
ее: «Точками обозначены жилища Бабы Яги и Кощея Бес-
смертного. Линия внизу — речка. Задумали как-то нечи-
стые построить на ее берегу общую купальню, да только
никак не могут прийти к согласию относительно места, где
ее делать (ведь надо устроить ее так, чтобы расстояние от
нее до их жилищ было одинаковым). Помогите нечисти!»
(Данную задачу можно предложить при решении задач по
геометрии на нахождении геометрических мест точек в
8 классе.)
• Баба Яга варит волшебное зелье: к 1,5 кг меда она добавила
100 грастертых волчьих когтей, 100 г дегтя и 300 г слез ки-
киморы. Сколько процентов волшебного зелья составляют'
слезы кикиморы? (Данную задачу можно рассмотреть при
решении более сложных задач на проценты.)
Много подобного рода задач можно найти в книге [17]:
в) решение математических софизмов, фокусов, задач-
шуток, игр и т. п., но не связанных с темой занятия.
Например:
• Софизм. Докажем, что 2-2 = 5.
36
Доказательство: 1 = 1. Заменим 1, как 4 : 4 и 5 : 5.
В итоге получим: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем в левой части
равенства за скобки 4, а в правой — 5, в итоге получим,
что 4 • (1 : 1) = 5 • (1 : 1). Разделим обе части равенства на
число в скобках: 1:1. Тогда получим: 4 = 5„ А так как
4 = 2 • 2, то получили, что 2-2 = 5. Где ошибка?
Фокус. Запишите любое трехзначное число, но такое, что-
бы крайние цифры отличались на 5. Поменяйте местами
в этом числе крайние цифры. Получим второе число. Вы-
чтите из большего числа меньшее. Разделите разность чи-
сел на 9. Ответом будет число 55. Почему?
(Секрет фокуса. Первое число: 100а + 10b + с, где а, Ь,
с — соответственно число сотен, десятков и единиц. Тогда
второе число будет 100с + 10b 4- а. Найдем разность чисел
(пусть первое у нас больше): 99а — 99с. После деления дан-
ной разности на 9 получим число 11(а—с). Так как а-с — 5,
то результат будет равен 55.
Игра: определение возраста. Учитель обращается к уча-
щимся и предлагает угадать, сколько лет им (или их стар-
шим сестрам, братьям, родителям). Просит сказать ему,
сколько получится, если от числа, в 10 раз большего, чем
число лет того, чей возраст угадывается, вычесть произве-
дение какого-нибудь однозначного числа на 9. После по-
лучения ответа от ученика учитель говорит возраст.
(Объяснение игры: пусть искомый возраст х, тогда в ре-
зультате требуемых действий получается 10х — 9k, где k —
любое однозначное число. Преобразуем полученную раз-
ность: 10х — 9k = 10х - ЮЛ - k = 10(х - Л) + k. Так как
возраст того, у кого он угадывается, больше 9 лет, a k 9,
тох-Л > 0. В этом случае число 10(х—Л)+Л имеет k единиц,
и если эти единицы отбросить, то одновременно изменится
и разряд оставшихся цифр, то есть десятки станут едини-
цами, а сотни — десятками. Само же число уменьшится в
10 раз и будет равно х - k. Прибавим к нему отброшенное
число k и находим искомый возраст х. Например, ученику
14 лет, он называет учителю число 140 - 36 = 104. Тогда
10 + 4 = 14 — возраст ученика).
37
Время и место этой части занятия, не связанной напрямую
с темой занятия, определяет учитель.
t
Математические соревнования, игры, викторины
, f *
Такого рода занятия ;1учше проводить систематически, че-
рез 4—6 тематических занятий, это будет своеобразный итог
работы за 1-2 месяца. Но обязательно проводить и в конце
учебного года.
При такой форме организации кружкового занятия, все
оно посвящается какому-то соревнованию, игре.
В качестве таких соревнований и игр наиболее часто ис-
пользуются:
• брейн-ринг,
• устная олимпиада,
• математическая карусель,
• математическая драка,
• конкурс « Начинающий математик »,
• математическая игра «Счастливый случай»,
• игра «Математик-бизнесмен» и др.
Математическая драка является разновидностью лич-
ной олимпиады, она относится к нестандартным олимпиадам.
Для ее проведения учитель подбирает 8-12 задач разной труд-
ности, в их число включаются как задачи на методы решений,
изучаемые на кружке, так и задачи, методы решений которых
не рассматривались. Очень трудных задач, на решение кото-
рых надо потратить много времени, не включают. Условия
задач раздаются каждому участнику олимпиады, при этом ря-
дом с условием задачи указывается и ее цена в баллах. Учени-
ки приступают к решению той из задач, которая им под силу.
Первый решивший какую-то из задач поднимает руку, назы-
вает номер задачи и выходит к доске ее объяснять. В случае
верного решения он получает то число баллов, которое указа-
но рядом с решенной им задачей. В противном случае, ученик
получает то же число баллрв, но со знаком «минус», а цена за-
дачи увеличивается. Таким образом, ученик «ввязывается» в
38
Ираку с задачей, если считает, что он сможет ее победить. На
Сколько баллов увеличить цену задачи или во сколько раз —
•решает учитель. Математическая драка завершается по исте-
чении 45-60 минут.
Пример. Задачи для математической драки для учащихся 7 класса
' •
В качестве задач, которые можно применить для матема-
тической драки для учащихся 7 класса, можно использовать
Следующие:
3. Брат и сестра по очереди пишут цифры со старшего разря-
да по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя,
остальные цифры — совершенно произвольные. Если запи-
санное число разделится нацело на 11, то победителем объ-
является написавший последнюю цифру, а если не разделит-
ся, то победителем будет написавший предпоследнюю цифру.
-Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть
Записано 6 цифр? — 3 6.
SL Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил
Сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил
жисло 2. Какое число задумал Алеша? — 3 6.
Д. Две девочки играют в игру — отрывают лепестки у ромашки,
Содержащей 14 лепестков. За один ход разрешается отрывать
Яибо один лепесток, либо два лепестка, расположенных ря-
$ом друг с другом. Побеждает та девочка, которая оторвала
последний лепесток. Кто выиграет при правильной игре? —
S'
4. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски
ягак, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения
ше имеет.) Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто
жыиграет при правильной стратегии? — 3 6.
Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит до-
лгой из школы на автобусе, другой — на трамвае, третий — на
^^троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить
ёдруга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил трол-
лейбус, третий друг крикнул из автобуса: «Боря, ты забыл в
t£пколе тетрадь!» Кто на чем ездит домой? — 4 6.
I 39'
6. Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот
момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас
Игнату, если через 15 лет ему и сестре будет вместе 100 лет? —
6 6.
7. В вершинах куба записаны числа 2,0,0, 3,1,9, 5, 7. За один
ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах од-
ного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько
ходов получить нули во всех вершинах? — 46.
8. Можно ли шахматную доску с вырезанным угловым полем
покрыть плитками размером 1x3 клетки? — 6 6.
9. На рис. 2 изображено 13 точе#. Сколько квадратов с верши-
нами в этих точках можно нарисовать? (Точки располагаются
все в вершинах квадратиков со стороной 1.) — 66.
10. Разрежьте фигуру (рис. 3) на 2 равные части. — 5 6.
11. Из бочки, содержащей не менее 10 л бензина, отлейте ров-
но 6 л, используя бидон вместимостью 5 л и девяти литровое
ведро. — 5 6.
Решения и ответы
1. Выиграет второй игрок при следующей стратегии: каждым
свои ходом он повторяет цифру, записанную соперником. В
этом случае получается число вида aabbcc, которое всегда де-
лится на 11.
2. Решаем с конца: (2 • 7 + 6): 4 • 3 — 5 = 10.
3. Выигрывает второй игрок при следующей стратегии. Неза-
висимо от первого хода первого игрока второй игрок отрыва-
ет такое количество лепестков, чтобы оставшиеся лепестки
40
разбились на две одинаковые по длине цепочки лепестков. А ,
раждым своим следующим ходом он отрывает такое же число
Лепестков, что и соперник, в симметричной цепочке лепест-
4. Выиграет второй игрок, применяя следующую стратегию:
йа каждый ход соперника он отвечает ходом слона, которое
to ставит на клетку, симметричную клетке слона соперника
Относительно прямой, проходящей между четвертой и пятой
Горизонталью шахматной доски.
5. Так как Алеша не ездит на троллейбусе и провожает друга до
автобусной остановки, то он ездит на трамвае. Так как третий
$руг кричал Боре из троллейбуса, то Боря ездит на автобусе, а
Пфетий друг — Витя — на троллейбусе.
Г
Игнат Сестра
Тогда 2х X
Сейчас 4х Зх
Через 16 лет 4x4-15 3x4-15
у,
Уравнение: 7х 4- 30 = 100. Поэтому х = 10. Игнату сейчас
0 лет.
. Сумма всех чисел первоначально была равна 27 — это число
сечетное. При прибавлении двух одинаковых чисел четность
Уммы не изменится, А так как сумма шести нулей равна ну-
йо — число четное, то получить нули во всех вершинах куба
гудет нельзя.
I Произведем раскраску доски в три цвета (рис. 4, цифра со-
етствует номеру цвета).
Заметим, что плитка размером 1x3 клетки всегда покры-
вает по одной клетке каждого цвета. Черных клеток на ри-
сунке только 20 штук, поэтому на доске нельзя разместить
рол ее 20 плиток, а 20 плиток не покроют доску полностью.
Следовательно, требуемого покрытия не существует.
Можно нарисовать (рис. 5) 4 квадрата со стороной 1 клетка;
— со стороной, равной диагонали клетки; 1 — со стороной
в 2 диагонали клетки, 1 — со стороной 2 диагонали клетки.
®сего получается 11 квадратов.
$0. См. рис. 6.
I 41
Sl
1 2 3 1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3 1
Рис. 4
Рис. 6
5 л 0 5 0 5 1 1 0 5 0
9 л 0 0 5 9 0 1 1 6
В конце занятия учитель подводит итоги драки, награжда-
ет победителей (им является ученик, набравший больше всего
баллов; в качестве приза можно вручить книгу). Также про-
исходит разбор наиболее трудных задач. При этом некоторые
задачи можно предложить и для решения домой.
Другие примеры соревнований и игр, которые можно про-
вести на занятиях «кружка, будут рассмотрены позже.
42
I
Заслушивание докладов, рефератов учащихся
На кружковых занятиях надо формировать и первона-
чальные навыки учебно-исследовательской работы по мате-
матике у учащихся.
| Для этого:
проводить книжные выставки, посвященные одному ма-
тематику или одной теме;
предлагать учащимся выполнение заданий по подбору до-
полнительного материала по изучаемой теме, показывать
сведения о математических понятиях, теоремах (кто ввел,
когда, как возникла теорема); .
проводить занятия внеклассного чтения;
учить подготовке написанию математических сочинений,
рефератов, докладов;
готовить и проводить читательские конференции (учащи-
еся готовят доклады, рефераты, сочинения по теме или к
юбилею математика).
Учащиеся должны знать разницу между сочинением, ре-
фатом и докладом.
Сочинение — это изложение результата осмысления ма-
риала, обобщение его и краткое изложение выделенного со-
ржания.
Реферат — краткое изложение в письменном виде содер-
жания научного труда (трудов), литературы по теме с подбор-
ной самостоятельно решенных задач.
Доклад — краткое изложение некоторой рассмотренной
теории с полученными выводами и обобщениями.
На подготовку сочинения учащимся обычно дается 3-4 не-
5?ели, на доклад 1-2 месяца, а на реферат — 1-2 четверти.
Работы учащихся на занятии оцениваются по типу ра-
юты, наличию собственной оригинальной идеи, анализу ли-
•ературы, освоению новых методов, приемов, исследованию
гроблемы, качества исследования, практической значимо-
сти, оригинальности подхода и качества оформления, каче-
ства доклада и ответов на вопросы.
ft*
£
43
1
. Так как наиболее подходящим самостоятельным делом
для большинства кружковцев является подготовка доклада,
то рассмотрим основные методические рекомендации по под-
готовке доклада учащимся.
1. Перед тем как предложить подготовку доклада учени-
ку, учитель сам должен показать образец выступления с до-
кладом учащимся и продумать темы докладов. Примерными
темами докладов могут быть:
• Как люди научились считать;
• История возникновения обыкновенных и десятичных дро-
бей;
• История календаря;
• Геометрия в Древнем Египте;
♦ Теорема Пифагора и пифагоровы числа;
• Qt Евклида до Лобачевского.
• Архимед.
• Что такое топология?
• Выдающиеся отечественные математики.
• Значение математики для науки и практики и др.
2. Начинать подготовку докладов учащимися надо с не-
больших выступлений, например:
• изложение решения некоторых задач;
• сообщение условия некоторых задач;
• подготовка краткой справки об ученом-математике; о тер-
мине;
• показ математического фокуса; софизма; правил счета.
И только после того, как данное выступление было грамот-
но и интересно подготовлено учащимся, ему можно поручить
более серьезное задание: подготовку сообщения или доклада.
3. Давать задание необходимо не менее чем месяц до про-
ведения занятия кружка.
4. Порекомендовать учащемуся литературу; дать указа-
ния по плану и узловым моментам выступления. (Иногда пе-
ред подготовкой доклада предложить задачу по теме доклада,
а саму литературу дать через неделю.)
5. Определить время для выступления. Пусть ученик на-
пишет доклад, прослушает свое сообщение (для этой цели
44
кожно порекомендовать записать свое сообщение на магни-
тофон).
6. Через 2 недели проверить, что сделано, оказать помощь.
[ • 7. За неделю до выступления просмотреть конспект, по-
слушать доклад, проверить наглядность.
8. После окончания докладчика учителю необходимо от-
ветить его достоинства и недостатки.
Основными требованиями к докладу являются:
• текст доклада ученику лучше излагать своими словами;
все новые термины должны быть разъяснены;
в начале доклада объяснить значение темы, чем она может
быть интересна для присутствующих;
выделить основные понятия, основную идею в докладе;
продолжительность доклада должна быть от 5 до 15 минут.
В качестве рефератов можно предложить такие темы:
Математические софизмй;
Делимость и простые числа;
Геометрия на местности и др.
Разбор заданий городской (районной) олимпиады;
анализ ошибок, сделанных кружковцами
Данная разновидность кружка необходима в том случае,
ели этого разбора не было после проведения олимпиады.
Решение задач на разные темы (чаще при подготовке
I к олимпиадам, конкурсам, на повторение; а также в тех
случаях, когда часть кружковцев по некоторым
причинам пропустила ряд занятий)
Рассмотрим пример данной формы занятия. Автор про-
водил его после рассмотрения текстовых задач, решаемых с
гконца, математических ребусов, инвариантов и геометриче-
ских задач на разрезания.
i 45
iJ*.
Пример. Типы задач
1. Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, позволь мне
взять одно яблоко из твоего сада». Царь ему разрешил. Пошел
крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забо-
ром. Каждый забор имеет только одни ворота и около каждых
ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу
и сказал: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада».
«Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне полови-
ну яблок, что возьмешь, и еще одно», — поставил условие
страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охра-
няли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин
после того, как он отдаст положенные части трем стражам, а
у него останется одно яблоко?
2. Восстановите цифры в записи следующего деления:
14** |*7
* * 5 * *
* 1
“О
3. Разрежьте каждую из фигур (рис. 7) на три равные части.
Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны
быть равными и по площади и по форме.
Рис. 7
4. На чудо-дереве растут бананы и ананасы. За один раз раз-
решается сорвать с нее 2 плода. Если сорвать 2 банана или
2 ананаса, то вырастет еще 1 ананас. А если сорвать 1 банан и
1 ананас, то вырастет”! банан. В итоге на дереве остался один
Влод. Что это за плод, если вначале на дереве было 12 бананов
,13 ананасов?
5, У мальчика было 10 монет достоинством 1 р. и 5 р. Он на-
считал 35 р. Не ошибся ли мальчик?
К. Решите ребусы:
ТУЗИК РЕБУС
+ТУЗИК Х Р
КАРТУЗ сссссс
jX Однажды Незнайка со своими друзьями собирал яблоки. На-
звали они не очень много — меньше шестидесяти, но и не-
|$хало — больше пятидесяти. Разделили все яблоки поровну.
НВдруг видят — Чебурашка к ним бежит. Не беда, что из дру-
гой сказки. Надо и его яблочком угостить. Каждый малыш
{Отдал Чебурашке одно яблоко, и оказалось, что у всех опять
Йгблок поровну.
Сколько было всего малышей?
Сколько яблок они собрали?
По скольку яблок досталось каждому?
Решения и ответы
1 Решаем задачу с конца. Перед последними воротами у кре-
стьянина должно остаться (1 + 1)-2 = 4 яблока; перед вторы-
ми — (4 + 1) 2 = 10 и перед первыми — (10 + !)'• 2 = 22 яблока.
к 1431 : 27 = 53.
«.Способы разрезания показаны на рис. 8.
Рис. 8
47
4. Так как четность числа бананов не меняется, то оставшийся
плод — ананас.
* 5. Числа 1 и 5 — нечетные. Всего их 10. Сумма 10 нечетных
чисел будет четной, а 35 — число нечетное. Значит, мальчик
ошибся.
6.54 271 + 54 271 - 108 542; 79 365•7 - 555 555.
7. Общее число яблок должно делиться на два соседних нату-
ральных числа (на число всех малышей и на это число, уве-
личенное на единицу). Среди чисел, больших 50, но меньших
60, этому условию удовлетворяет только число 56.
Изготовление разверток, моделей различных тел
I
При этом практиковать такие формы занятия надо с
5 класса. Подобного рода занятия рекомендуется проводить
или по 1 в год, или подряд 5-6. Например, в 5 классе можно
по теме «Параллелепипед». Причем можно предложить уча-
щимся и изготовление усеченного тетраэдра, октаэдра, куба.
Также могут быть и другие формы. Например, каждое из
занятий кружка является комбинированным, до тема заня-
тия не указывается. При этом каждое занятие включает в себя:
• приемы устного счета;
• рассказ на математическую тему;
• * решение олимпиадных задач; Л
• игру или соревнование;
• занимательные задачи, стихи;
• биографические миниатюры.
На кружке также можно проводить традиционные олим-
пиады, вечера. Вечера лучше проводить в форме театрали-
зованного представления. Темами могут быть: «Некоторые
свойства геометрических фигур», «История развития чисел»,
«Парадоксы теории вероятностей». Организовывать вечера
можно в форме «Счастливого случая», «Что? Где? Когда?»,
« Звездный час ».
48
I
• I
Итоговое занятие кружка
Начинается с беседы учителя о том, как поработал кру-
йкок в течение данного учебного года (что рассмотрели учащи-
еся, чему научились, какие навыки приобрели, что изучили
иового). Затем проводится олимпиада итоговая (устная или
Нестандартная) по задачам, рассматриваемым в течение учеб-
ного года, или предлагается ряд разнообразных задач, в том
фксле и занимательных, для устного и письменного решения.
Завершается занятие перспективами кружка в будущем году,
Предлагается литература для чтения летом.
В качестве примера рассмотрим итоговое занятие кружка,
Г веденное автором для учащихся 7 класса.
тример. Итоговое занятие для учащихся 7 класса
Ё I. Правила устной олимпиады
В
Учащимся предлагаются для решения по несколько задач
жа первом и втором этапах. Продолжительность этапа огова-
ривается: 30-40 мин. Учащиеся, решив задачу, поднимают
руку. К нему подходит учитель или помощник из старшеклас-
сников. Ученик устно рассказывает решение задачи, при этом
’Имеет право показывать свои записи в тетради. В случае вер-
ного решения задачи, учитель в соответствующей графе та-
блицы, ставит знак ♦+». Если задача решена неправильно, то
. ставится ♦ — ». Учащийся имеет право на 3 попытки объясне-
> Йий одной задачи. Если все три попытки решить задачу не
шривели к успеху, то данную задачу ученик больше не объяс-
няет. Решив оговоренное число задач (2 или 3) с первого этапа,
р'ученик переходит на второй этап, на котором ему предлагает-
ся еще несколько задач. Решив какую-то из задач 2 этапа или
доставшиеся задачи с первого этапа, ученик вновь поднимает
руку и объясняет задачу.
Побеждает ученик, решивший за указанное время наи-
большее число задач. В случае одинакового числа верно ре-
• шейных задач у нескольких учащихся, победителем является
р ученик, сделавший менее всего попыток.
t 49
> •.
£
Все попытки учителя объяснить решение задачи заносят-
ся учителем в специальную таблицу.
Таблица для учета итогов олимпиады
№ п/п Фамилия, имя 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Всего
•
• • •
II. Проведение олимпиады
Первый этап
1. Имеется два сосуда вместимостью 5 л и 7 л. Как с помощью
таких сосудов налить 6 л?
2. Учащиеся школы решили организовать инструментальный
ансамбль. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится в
9 классе. Ударника зовут не Валерием, а ученика 10 класса
зовут не Леонидом. Михаил учится не в 11 классе. Андрей —
не пианист и не ученик 8 класса. Валерий учится не в 9 классе,
а ударник — не в 11. Леонид играет не на контрабасе. На каком
инструменте играет Валерий и в каком классе он учится?
3. Имеется 4 пакета разной мдссы и весы с 2 чашечками без
гирь. С помощью 5 взвешиваний расположите пакеты по весу.
4. Найти значение дроби: АоьЛад8 tlfi ’
оо2•4Уо — 116
* * •
Второй этап
л
5. На столе ваза, в которой находится 11 конфет. Двое по очере-
ди берут по одной, две или три конфеты. Проиграет тот, кому
осталась последняя конфета. Кто выиграет при правильной
стратегии, если начинает первый?
. 6. Дан угол в 37°. Построить циркулем угол в 3°.
7. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли
2 пешехода и встретились на расстоянии 300 м от А. Дойдя
до пунктов назначения (первый до В, а второй до А), они оба
повернули обратно и встретились на расстоянии 400 м от В.
Найти длину АВ. i
50
кВ школьной математической олимпиаде участвуют 9 учени-
ков 7 класса. За каждую решенную задачу ученик получает 2
^четных очка, а за каждую нерешенную или решенную не-
правильно получает — 1 зачетное очко (или одно штрафное
|>чко). Всего для решения было предложено 10 задач. Дока-
жите, что среди участников олимпиады найдется, по крайней
мере, 2 ученика, набравших одинаковое число очков. (Счи- •
Кается, что ученик, набравший штрафных очков больше, чем
учетных, набрал Об.)
В. Сравнить 999710 и 100 0038.
| Методический комментарий. Продолжительность перво-
го этапа: 30-40 минут, второго: 30-50 минут.
^Решения и ответы
Г •
|,6 л можно получить только в 7-литровом сосуде, для этого
достаточно получить 4 л в 5-литровом сосуде и из 7-литрового
ртлить 1 л или получить в 7-литровом сосуде 1 л и долить туда
5 л. Оба варианта рассмотрены ниже.
5 л 0 5 0 2 5 0 4 4 5
7л 7 2 2 7 4 4 0 7 6
5 л 5 0 5 3 3 0 5 1 1 0 5 0
7л 0 5 5 7 0 3 3 7 0 1 1 6
,2. Для решения задачи воспользуемся 2 таблицами.
Используя данные задачи, заполним таблицы, используя
юсе факты, кроме «пианист учится в 9 классе» и «ударник
учится не в 11 классе». Тогда получаем:
Инструменты Саксофон Ударные Пианино Контрабас
Михаил — — —
Валерий —— —
Андрей — —
Леонид — —
51
Класс 8 9 10 11
Михаил —
Валерий —
Андрей —
Леонид
Из первой таблицы сразу узнать сложно* на чем играет Ва-
лерий: есть 2 варианта — на пианино или контрабасе. Пусть
Валерий — пианист, тогда он должен учиться в 9 классе, но мы
знаем, что пианист не учится в 9 классе. Поэтому Валерий —
играет на контрабасе. Заполним первую таблицу, используя
полученный факт:
Инструменты Саксофон Ударные Пианино Контрабас
Михаил 4" — —
Валерий — — —
Андрей — — —
Леонид — —
Из данной таблицы получаем, что пианист — Леонид, а удар-
ник — Андрей. Учитывая это, заполним вторую таблицу.
Класс 8 9 10 11
Михаил —
Валерий — 1
Андрей •— — •—
Леонид — 4- — —
Тогда из нее получаем, что Валерий учится в 11 классе. Таким
образом, Валерий играет на контрабасе и учится в 11 классе.
3. Сначала пронумеруем пакеты. Потом взвесим пакеты 1 и
2, 2 и 3,1 и 3. Таким образом, эти 3 пакета за 3 взвешивания
расположили по весу. Теперь взвесим четвертый и средний па-
кет. Наконец взвесим четвертый и самый легкий (или самый
тяжелый) пакет.
52
Bt Сделаем преобразования:
$82 + 498 • 381 382 + 498-381 =
№2 • 498 — 116 (381 + 1) • 498 - 116
= 382 + 498 - 381 в 382 + 498 • 381 _
Г 381 • 498 + (498 - 116) 381 • 498 + 382
№ Разобьем конфеты на кучки: * **** **** **. Для выигрыша
начинающему надо взять сначала 2 конфеты, а затем число,
которое вместе с числом конфет, взятым соперником, дает в
тумме 4.
Ж. Задачу можно решить многими способами. Приведем вари-
ант без использования построения углов 30°, 45°, 60°:
| 1) 10 • 37° - 360° = 10°, 10° • 3 = 30°, 37° - 30° == 7°,
30° - 7° = 3°.
До первой встречи пешеходы прошли пути, сумма которых
фавна АВ = 8. В промежутке между первой и второй встре-
чей пешеходы прошли пути, сумма которых равна 2s. Поэто-
му промежуток времени между их встречами будет также в 2
[раза больше промежутка времени до первой встречи. Следо-
звательно, путь, пройденный пешеходом из А между встреча-
ли (s — 300 + 400) м, будет в 2 раза больше пути, пройденно-
го им до первой встречи (300 м), а значит, имеем уравнение:
L — 300 + 400 = 2 • 300, откуда з = 500 м.
Ея. Учащихся всего — 9, а число различных вариантов набран-
удых очков — 8 : 20 (решено 10 задач); 17 (решено 9 задач); 14
^(решено 8 задач), 11 (решено 7 задач), 8 (решено 6 задач), 5 (ре-
Йпено 5 задач), 2 (решено 4 задачи), 0 (решено меньше 4 задач).
ЙГогда обозначив учащихся за «зайцев» и варианты набранных
Вчков за «клетки», учитывая, что 9 > 8, по принципу Дири-
ле, получим, что, по крайней мере, 2 ученика будут иметь
Одинаковое число очков.
?9.999710 < 10 00010 = (104)10 = Ю40 = (10s)8 = 100 0008 <
j<1000038.
III. Подведение итогов олимпиады и занятий кружка
Г
1. Подводятся итоги устной олимпиады, победители на-
ь граждаются призами. Производится разбор задачу вызвавших
затруднение.
2. Учащиеся знакомятся с одной из новых книг по мате-
матике, адресованных учащимся. В качестве примера можно
предложить книгу И. Ф. Шарыгина («Уроки дедушки Гаври-
лы, или Развивающие каникулы»). Данная книга является
рассказом о летних приключениях мальчика в деревне у де-
душки, в сюжетную линию которого вплетены занимательные
задачи различной степени трудности. Учащимся можно летом
предложить познакомиться с данной книгой.
3. Рассматриваются перспективы работы кружка в следу-
ющем году.
Для того, чтобы работа кружка достигла намеченных це-
лей, работа кружка должна освещаться в математической га-
зете, в которую желательно поместить план работы кружка,
задачи для проведения различных конкурсов и многое другое.
С целью контроля уровня обученности учащихся можно
использовать такие формы контроля:
• в начале каждого занятия проводить небольшие самосто-
ятельные работы, включая в них по 2-3 задачи, аналогич-
ные рассмотренным;
• проводить устные зачеты в конце каждого полугодия, при
этом задачи для зачета предлагать учащимся заранее;
• вести учет по итогам самостоятельной работы и проводи-
мым соревнованиям.
Методика подготовки кружкового занятия
• 1 ♦
Подготовка кружкового занятия учителем математики
может осуществляться по следующему плану:
1. Изучаются все вопросы, намеченные на данное занятие.
2. Решаются все подобранные задачи вновь.
3. Выясняется, что в предложенном материале является
наиболее интересным и наиболее трудным.
4. Подобранные для решения на занятии кружка задачи
располагаются по сложности (или трудности). При этом за-
дачи с большими выкладками на занятие не берутся. Акцент
делается на задачах с интересной идеей.
54
Й 5. Задачи отпечатываются на отдельных листочках для
рждого ученика.
Й; 6. Подбираются более простые (подготовительные) задачи
^случае затруднений у учащихся в решении той или иной
Ьдачи, а также и задачи — «двойники» (т. е. задачи с одной
Идеей, но разного уровня трудности).
р 8. Для заинтересованности учащихся подбираются задачи
[ошибками; фокусы, занимательные задания, игры, задачи,
(^держащие материалы сегодняшнего дня, и т. п. Например,
4ри изучении различных систем счисления можно занятие
^ачать с такой задачи:
«В бумагах одного чудака-математика была найдена его
Автобиография. Она начиналась строками: «Я окончил курс
университета 44 лет от роду. Спустя год столетним молодым
Человеком я женился на 34-летней девушке. Незначительная
тазница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что
мы жили общими интересами и мечтами. Спустя несколько
Лет у нас была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалова-
нье я получал в месяц всего 200 рублей, из которых десятую
Састь приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жи-
| и на 140 рублей в месяц». Учащимся ставится вопрос — чем
|1ожно объяснить такие противоречия в числах? С помощью
рассуждений находится ответ на данный вопрос. Затем прово-
дится работа по теме занятия. Домой же можно предложить
Нащимся составить аналогичное задание.
(Числа в задаче все записаны в пятеричной системе счи-
сления.)
’ 9. С целью реализации идеи опережающего обучения в
Оппело предлагаемых на занятии задач включить и задачи, ко-
торые будут рассматриваться на следующих занятиях.
Для подготовки и проведения кружковых занятий можно
(порекомендовать следующую литературу[5,6,16,18,19, 29].
Раздел 4.
Олимпиады по математике
Математические олимпиады являются одной из разно7
видностей соревнований. Сегодня олимпиады по математике
являются наиболее массовой формой внеклассной рабрты по
математике.
Целями проведения олимпиад являются:
• расширение кругозора учащихся;
• развитие интереса учащихся к изучению математики;
• общий подъем математической культуры, интеллекту-
ального уровня учащихся;
• выявление учащихся, проявивших себя по математике,
для участия их в следующем туре олимпиад и для органи-
зации индивидуальной работы с ними;
• знакомство учащихся с важнейщими проблемами и мето-
дами современной математики.
Первые олимпиады по математике начали проводиться в
Венгрии с 1896 г., назывались они Этвешское соревнование.
Сборник задач этих олимпиад был издан на русском языке в
1896 г. С1894 г. в России выходил журнал ♦ Вестник опытной
физики и Элементарной математики>, где читателям предла-
гались математические олимпиады на конкурс. Можно ска-
зать, что это были первые заочные олимпиады. Первые мате-
матические олимпиады в СССР состоялись в Тбилиси — 3 но-
ября 1933 г. и в 1934 г. — в Ленинграде, а с 1935 г. стали
проводиться в Москве. В то время основная цель их была в
выявлении способных в математическом отношении школь-
ников для организации их дальнейшего обучения и, насколь-
ко это возможно, более раннего их привлечения к научной
работе.
На самых первых олимпиадах даже действовало прави-
ло, в соответствии с которым победители олимпиад не имели
права принимать участия в последующих олимпиадах.
56
г Видимо, родоначальники олимпиадного движения уже •
тогда понимали, как опасна «профессионализация» соревно-
вательной деятельности.
А сегодня по результатам, показанным учащимися на раз-
личных этапах Всероссийской олимпиады, зачастую оценива-
ют работу учителей, учебные заведения и органы управления
рреждениями образования.
£ Наряду с традиционной системой олимпиад в России по-
йяедние годы проводятся и другие олицпиады. К йх числу
ожно отнести олимпиады среди будущих абитуриентов ву-
{ьов, многоуровневые олимпиады, нестандартные олимпиады,
мочные олимпиады и др.
Традиционные олимпиады по математике проходят, как
Ьавило, в пять туров: школьный, районный (городской),
Областной (краевой, республиканский), зональный (окруж-
ной) и всероссийский. Данный вид олимпиад остается самым
массовым и популярным как среди учащихся, так и среди
учителей.
V* И хотя популярность традиционных олимпиад высока, в
Большинстве регионов все меньше (по сравнению с восьмиде-
сятыми годами) проводится олимпиад для учащихся 5-8 клас-
тов, хотя именно в этом возрасте дети наиболее любознатель-
ные желают участвовать в различных соревнованиях. Сегодня
практически большинство учащихся этих классов находятся
не олимпиадного движения. Олимпиады же готовят учащих-
ся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции,
едричем главная ценность олимпиад состоит не в выявлении
победителей и награждении особо одаренных учащихся, а в
Общем подъеме математической культуры, интеллектуально-
lb уровня учащихся.
! Традиционные школьные математические
олимпиады
Г •
Математические олимпиады в школе, как правило, про-
водятся отдельно для каждой параллели классов, начиная с
6 класса.
Основными целями школьной олимпиады являются:
• расширение кругозора учащихся;
• развитие интереса учащихся к изучению математики;
• выявление учащихся, проявивших себя по математике,
для участия их в районных (городских) олимпиадах и для
организации индивидуальной работы с ними.
Школьные математические олимпиады проходят в не-
сколько туров. Сначала можно провести внутриклассную
олимпиаду, затем внутришкольную. Иногда проводят подго-
товительный тур, чтобы отобрать участников школьной олим-
пиады. Но считаю более правильным, если в школьной олим-
пиаде примет участие каждый желающий ученик. Все эти
вопросы прорабатывает оргкомитет школы, в который, как
правило, входят: заместитель директора — председатель орг-
комитета, председатель школьного методического объедине-
ния учителей математики — заместитель председателя орг-
комитета, а также члены оргкомитета: учителя математики и
представители старшеклассников.
Для составления, проверки и оценки работ участников
олимпиады создается жюри, в состав которого входят пред-
седатель и члены жюри. Председателем жюри чаще всего
является руководитель школьного методического объедине-
ния учителей математики (заведующий кафедрой). Членами
жюри могут быть учителя математики и преподаватели ву-
зов, работающие в данной школе; старшеклассники (для про-
ведения олимпиад в младших классах) и студенты педвузов,
проходящие педпрактику в школе.
Состав оргкомитета, жюри, порядок проведения олимпи-
ад в школе утверждается директором школы.
Время проведения школьных олимпиад определяется в со-
ответствии с «Положением о проведении Всероссийской олим-
пиады в данном учебном году» и, как правило, для 8-11 клас-
сов — это октябрь-ноябрь, а для 5-7 классов — январь-март.
Возможно и одновременное проведение олимпиады для всех
классов, если в январе (декабре) проводится II тур для 5-
11 классов.
58
Председатель оргкомитета собирает оргкомитет и распре-
деляет обязанности для всех членов:
• подготовка текстов олимпиады;
• разработка положения о проведении олимпиады, поощре-
нии победителей;
• подготовка помещений для проведения олимпиад;
• подготовка объявления и т. д.
Составление текста школьной олимпиады
Наиболее ответственным моментом подготовки олимпиа-
ды является составление текста олимпиады.
Рассмотрим основные требования к тексту школьной
олимпиады.
1. Число задач в тексте олимпиадной работы должно быть
от 4 до 7.
2. Все задачи в тексте работы должны располагаться в по-
рядке возрастания трудности (или сложности).
3. В числе первых задач должны быть 1-2 задачи, доступ-
ные большинству учащихся.
4. В середине текста олимпиады должно быть 2-3 задачи
повышенной трудности, их должны решить примерно поло-
вина участников.
5. Последними в тексте олимпиады должны быть 1-2 за-
дания более трудных, их должны решить единицы.
6. Включаемые задания должны быть из разных разделов
школьного курса математики, но, как правило, на материал,
изученный в данном учебном году и во втором полугодии пре-
дыдущего года.
7. В числе заданий текста олимпиады могут быть занима-
тельные задачи, задачи-шутки, софизмы, задачи прикладного
характера.
8. Для заинтересованности учащихся в посещении круж-
ков желательно включать задания, аналогичные рассмотрен-
ных там.
9. В качестве одной из задач может быть задача, в условии
которой фигурирует год проведения олимпиады.
59
10. В числе задач не должно быть задач с длительными
выкладками, задач на использование трудно запоминающих-
ся формул, на использование справочных таблиц.
11. В текстах олимпиад для разных классов могут быть и
одинаковые задания.
Подробнее с рекомендациями по составлению текста
школьной олимпиады можно ознакомиться в книге [22].
Пример. Тексты школьных олимпиад
5 класс
Вариант 1
1. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы сложение бы-
ло выполнено правильно:
73*8
4-* *46*
9*36
97125
2. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображенной на
рис. 9.
Рис. 9
Рис. 10
3. Квадрат состоит из 9 квадратов (рис. 10). Сколько всего квад-
ратов?
4. Найдите наибольшее целое число, которое при делении на
13 с остатком дает частное 17.
5. Чтобы сжить со света сорока летнего Змея Горыныча, Кощей
Бессмертный придумал приучить его к курению. Он подсчи-
тал, что если Змей Горыныч будет каждый день выкуривать
60
по 17 сигарет в течение года, то умрет через 5 лет, а если —
по 16, то умрет через 10 лет. До скольких лет доживет Змей
Горыныч, если не будет курить?
Ответы и решения
1.7328 + 80461 + 9336 = 97 125.
2. Р = 84 см, S = 344 см .
3.14.
4.233.
5. Продолжительность жизни Змея Горыныча уменьшается на
10-5 = 5 (лет), если он будет курить в течение года 17—16= 1
(сигарету) в день. При выкуривании 17 сигарет в день в тече-
нии года продолжительность жизни Змея Горыныча умень-
шится на 5 • 17 = 85 (лет). Таким образом, продолжительность
жизни Змея Горыныча составит 404-85 + 5 = 130 (лет). Поэто-
му некурящий Змей Горыныч доживет до 130 лет.
Вариант 2
1. Запишите все натуральные числа, делящиеся на 2, лежащие
на числовом луче между числами 1992 и 2007.
2. Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким обра-
зом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был пря-
моугольный.
3. Робинзон Крузо решил позавтракать свежеиспеченным че-
репашьим яйцом. Когда-то он привез с разбитого бурей ко-
рабля двое песочных часов. Одни из них были рассчитаны на
4 минуты, а другие — на 7 минут. Чтобы испечь черепашье
яйцо, надо положить его в горячие угли ровно на 5 минут.
Каким образом Робинзону Крузо с помощью песочных часов
отсчитать ровно 5 минут?
4. С научной станции отправляется экспедиция на полюс. В
распоряжении экспедиции 3 одинаковых вездехода, баки ко-
торых вмещают горючее на один день пути. У каждого везде-
хода один бак и, кроме того, каждый может везти с собой по
3 канистры с горючим. Горючего в каждой канистре хватает
тоже на 1 день. Экспедиция решила добраться до полюса за
61
3 дня, при этом путешествие начать на всех вездеходах одно-
временно, достичь полюса на одном из вездеходов и вернуться
обратно. Как это сделать?
5.Из числа 12345678910111213...5657585960 вычеркните
100 цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.
Ответы и решения
1.1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006.
2. Смотри рис. 11.
6 класс
Вариант 1
1. Поставьте вместо звездочек цифры:
59,27
+ * * ,45
78,*3
182,1*
2. Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя
их знаками действий.
3. При каких значениях а дробь будет неправильной?
а о
4. Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так,
чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног
равнялось 10.
5. Разрежьте изображенную на рис. 12 доску на 4 одинако-
вые части, чтобы каждая из них содержала 3 закрашенные
клетки.
3. Робинзон Крузо «завел» одновременно четырехминутные и
семиминутные песочные часы. После того, как в четырехми-
нутных часах песок закончился, он вновь «завел» их. Как
только закончился песок в семиминутных часах, Робинзон
Крузо положил яйцо в горячие угли. В это время в четырех-
минутных часах песка осталось на 1 минуту. Перевернув че-
тырехминутные часы через 1 минуту еще раз и дождавшись,
когда песка в них не будет третий раз, Робинзон вынет яйцо.
Таким образом, всего яйцо пеклось 5 минут: 2-4 — 74-4 = 5.
4. В конце первого дня пути один вездеход, передав по кани-
стре на другие два, возвращается на станцию. Тогда у дру-
гих двух вездеходов остается горючего на 4 дня пути. В конце
второго дня пути к полюсу один из вездеходов передает 1 ка-
нистру горючего другому и возвращается назад. Оставшийся
вездеход в конце третьего дня пути достигает полюса. Затем,
имея трехдневный запас горючего, экспедиция на этом везде-
ходе возвращается обратно.
5.99999785960 — оставшееся число.
Рис. 12
62
Ответы и решения
1. 59,27 2.55:54-5 = 16. З.Приа^4.
+44,45
78,43
182,15
63
4. Обозначим число гусей в одном хлеве за х, а число козлят за
У, тогда учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, по-
лучим уравнение: 2х + 4у = 10. Из данного уравнения имеем,
что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно
гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хле-
вах будет по 1 козе и 3 гусям, в трех хлевах — по 2 козам и 1
гусю.
5. Решение приведено на рис. 13.
Вариант 2
1. Решите уравнение: 0,5 - (х + 3) = ^ • (11 — х).
6
2. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше и
меньше 1.
3. Переложите одну из семи спичек, изображающих число
уд так, чтобы получившаяся дробь равнялась
4. Двое учащихся играют в такую игру. Первый называет дву-
значное число, второй прибавляет к нему еще какое-нибудь
однозначное число, не равное нулю; к полученной сумме пер-
вый снова прибавляет однозначное число, не равное нулю, и
так далее, пока не получится число 100. Кто выиграет при
правильной игре: первый или второй? (Выигравшим считает-
ся тот, кто прибавляет последнее число для получения 100.)
5. Фигура «верблюд» ходит подоске 10 х 10 следующим обра-
зом: сначала она сдвигается на соседнее поле, а затем сдвигает-
ся еще на три поля в перпендикулярном направлении. Можно
64
ди пройти ходом «верблюда» с какого-то исходного поля на
соседнее с ним поле?
Ответы и решения
о
2. Числа ? и 1 представим в виде дробей со знаменателем, крат-
У
ным 15, т. е. в виде ~п и Так как 9 л должно делиться на
Ул Ул
15, поэтому п = 5k. Тогда = 48, 1 =
У У • 5k 45 45
Между числами - и 1 лежат дроби 44» 4f, 48» 44- Усло-
9 45 45 45 45
вию удовлетворяет лишь 48 = 48 •
45 15
Z4 14
Ответ: —
15
q VI = 6 = 2
IX 9 3*
4. Выигрывает первый игрок. Для этого он называет любое дву-
значное число, оканчивающееся на 0. А каждым следующим
своим ходом прибавляет однозначное число 10 — а, где а —
число, названное соперником.
5. Произведем шахматную раскраску доски в черные и белые
клетки. Пусть первоначально верблюд будет находиться на
клетке белого цвета. Тогда каждым своим следующим ходом
он будет на клетке вновь белого цвета. Таким образом, цвет
поля, на котором стоит «верблюд», будет являться инвариан-
том. А так как два соседних поля имеют разную раскраску,
то пройти с одного поля на другое ходом «верблюда» будет
невозможно.
/ класс
Вариант 1
1. Решите уравнение: 2006 — х| = 2007.
2 1
2. Мальчики в классе составляют - учащихся всего класса, -
их числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?
3. На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается со-
единять любые две из них отрезком, не пересекающим отрез-
ков, проведенных ранее. Играют двое. Проигрывает тот, кто
65
не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной страте-
гии?
4. Вычислите: — fi9 ’ *20.
84-312 —611
5. Саша произнес истинное утверждение. Миша его повторил
дословно, и оно стало ложным. Что мог сказать Саша?
Ответы и решения
1. Так как модуль числа 2006 — х равен 2007, значит, это число
равно 2007 или —2007. Для нахождения всех корней уравне-
ния решим уравнения: 2006 - х = 2007 и 2006 - х = -2007.
Корнями данных уравнений будут х = — 1 и х = 4013.
2. Обозначим число всех учащихся в классе за х. Тогда мальчи-
2 2 12
ков в классе будет -х, а отличников среди них: =:х • i = т^х.
5 5 7 35
Так как число отличников будет целым при наименьшем чи-
сле учащихся, равном 35 (классов по 70, 105 и более учени-
ков не бывает), то мальчиков будет • 35 = 14, а девочек:
35-14 = 21.
3. Выиграет первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе
стороны от которой располагаются по 9 точек. После этого
на каждый ход соперника он отвечает аналогичным ходом по
другую сторону от хорды.
4. Перейдем к основаниям степени 2 и 3, а потом вынесем об-
щий множитель:
41- 95 + 69 120 = 212 З10 + 29 З9 23 3 5
81. З12-6й ‘ 212 • З12 — 211 • З11
212 • З10 • (1 + 5) _ 2 • 6 _ 4
2П.311 (6-1) 3-5 5'
5. Например, «Меня зовут Саша».
Вариант 2
1. Выразите 10 пятью девятками. Укажите как можно больше
способов. Применять можно все известные вам знаки арифме-
тических действий.
2. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство:
(х - У)(х 4- у) - (а - х + у)(а - х - у) — а(2х - а) = 0.
66
3. В некотором месяце три четверга пришлись на четные числа.
Какой день недели был 26 числа этого месяца?
4. Двоим друзьям потребовалось вычислить 42 — 3 . Они заме-
тили, что результат, число 7, равен сумме оснований квадра-
тов, т. е. чисел 4 и 3. Проверив свое открытие на числах 10
и 11, друзья установили, что оно подтверждается и в случае
II2 — 102 = 21 = 11 + 10. После этого друзья нашли все пары
(a, b) натуральных чисел а > Ъ, для которых разность а2 — Ь2
равна сумме а + Ъ. Как друзьяхм удалось найти все такие числа
(а, W
5. Как разрезать квадрат 5x5 прямыми линиями так, чтобы
из полученных частей можно было составить 50 равных ква-
дратов? Не разрешается оставлять неиспользованные части, а
также накладывать их друг на друга.
Ответы и решения
1. Приведем 5 способов: 9 + 99 : 99 = 10; 9 + 999 9 = 10;
99 : 9 — 9 : 9 = 10; (9 + 9 : 9) • 9 : 9 = 10; 9 + 9 : 9 — 9 + 9 = 10.
3. Так как четных четвергов три, то всего четвергов в месяце
должно быть 5, причем первый четверг должен быть в нача-
ле месяца и в четный день. Значит, этот четверг приходится
на второй день месяца, тогда следующие четверги будут 9,
16, 23, 30. Если первый четверг попадает на четвертое число
месяца, то в месяце будет всего 4 четверга. Если четверг попа-
дает на первый или третий день месяца, то не будет 3 четных
четвергов. Тогда 26 будет воскресеньем. Итак, 26 будет вос-
кресеньем.
4. Применив формулу а2 — Ъ2 = (fl - b)(a + Ъ) к равенству
а2 — Ъ2 = а + Ь, получим а — b = 1. Значит, все пары (а;&),
для которых а — b = 1, будут являться решением уравнения
а2 — Ь2 = а + Ь.
5. Сначала квадрат 5x5 разрежем на 25 квадратов 1x1, затем
каждый из полученных квадратов разрежем по диагонали на
4 треугольника, из которых, прикладывая большие стороны
двух треугольников друг к другу, можно получить по 2 квад-
рата.
67
8 класс
Вариант 1
1. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство
1 -2-4-8-16= 19
стало верным.
2. Постройте график уравнения (х - 1) • у = 0.
тт 11
3. Докажите, что значение выражения--—— 4-------есть
1-3-/3 1 + Зх/З
число рациональное.
4. Среди 4 монет одна фальшивая, отличающаяся по весу от
всех остальных. Как найти ее с помощью 2 взвешиванцй на
чашечных весах без гирь?
5. Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пяти-
конечной звезды.
Ответы и решения
1. |1 - 2| - |4 - 8| - 16 = 19.
2. Графиком уравнения являются 2 прямые, заданные уравне-
ниями: у = 0 и х = 1.
3 1 + 1 = 1+ЗУЗ + 1 -Зч/З _ _ 1
1-ЗУЗ 14-Зч/3 1-27 13’
4. Обозначим монеты 1, 2,3 и 4. Взвесим сначала монеты 1 и 2.
Пусть весы будут не в равновесии. Значит, фальшивая монета
1 или 2. А монеты 3 и 4 будут настоящие. Тогда взвесим монеты
1 и 3. Если весы будут в равновесии, то монета 2 — фальшивая,
а если — не в равновесии, то фальшивая монета — 1.
Теперь рассмотрим случай, когда при взвешивании монет
1 и 2 было равновесие. Это означает, что монеты 1 и 2 настоя-
щие, а фальшивая монета среди монет 3 и 4. Заменим монету
1 на монету 3. Если весы будут в равновесии, то фальшивая
монета — 4; а если не в равновесии, то — фальшивая монета
будет 3.
5. На рис. 14: Z7 = Z14-Z3, Z6 = Z2 4-Z5 (по теореме о свойстве
внешнего угла треугольника). Тогда Z1 4- Z2 4- Z3 4- Z4 4- Z5 =
= Z7 4-Z6 4-Z4 = 180°.
68
Вариант 2
1. Представьте в виде рациональной дроби:
, и и a - 2b bl
2. Найдите значение выражения —-—, если 77 = £.
О и Ь
3. Разложите многочлен х8 + xi + 1 на три множителя.
4. Вершину А прямоугольника ABCD соединили с серединами
сторон ВС и CD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое
длиннее другого?
5. 2007 человек выстроены в шеренгу. Всегда ли можно расста-
вить их по росту, если разрешается переставлять любых двух
людей, стоящих только через одного?
Ответы и решения
? а - 2Ь а
b b
1 * + 1
’ 2х 4- Г
-2 = 5-2 = 3.
3. Сначала представим данное выражение в виде разности
квадратов: х8 4- х4 4-1 = х8 4-х4 4-14- х4 — х4 = (х4 4-1)2 — (х2)2 =
= (х4 4-1 — х2) • (х4 4-14-х2). Второй сомножитель здесь преобра-
зуем аналогично: х4 4-1+х2 = х4+14-х2 4-х2—х2 = (х24-1)2—х2 =
= (х2 4-1 — х)(х2 4-1 4- х). Таким образом, исходное выражение
раскладывается так: х84-х44-1 = (х4—х24-1)(х2—х4-1)(х24-х4-1).
4. Допустим, что AM = 2АК (рис. 15). Обозначим ВС — Ь,
I г.2 I п2
АВ = а. Тогда, так как АК = \ а2 4-- и AM = \ b2 4-
V 4 V 4
получим, что АВ = а = 0, чего не может быть.
69
Рис. 15
5. При перестановке людей сохраняется четность номера ме-
ста. Например, человек, стоящий вторым, может быть пере-
ставлен на четвертое, шестое, восьмое, ... две тысячи шестое
место. Поэтому, если самый высокий человек стоит, напри-
мер, вторым, то он никогда не станет первым.
9 класс
Вариант 1
1. Найдите значение выражения:
(1+Уа)(1 + ^а)(1 + ^а)(1+ ’</а)(1+ Va)(l- Ш приа = 2008.
2. Сократите дробь:
х3 4- 5х2 — 4х — 20
х2 4- Зх - 10
3. Решите систему уравнений:
((Зх + у)2 4- 2(х — у)2 = 96,
\3х + у — 2(х — у).
4. Имеется две кучи камней: в одной — 2008, а в другой —
2006. За ход разрешается брать любое количество камней, но
только из одной кучки. Проиграет тот, кому нечего брать. Кто
выиграет при правильной стратегии?
5. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый ку-
пил пенал и ластик, заплатив 40 руб.; второй купил ластик и
карандаш, заплатив 12 руб.; третий купил пенал, карандаш и
две тетради, заплатив 50 руб.; четвертый купил пенал и тет-
радь. Сколько заплатил четвертый школьник?
70
Ответы и решения
1. Применяя формулу (х — у)(х + у) = х2 — у2 последовательно
для последних 2 множителей, в результате получим:
(1 - \/а)(1 + х/а} = 1 - а.
При а = 2008, 1 — а = —2007.
х3 + 5х2 —4х—20 _ х2(х + 5) - 4(х + 5) = (х - 2)(х + 2) =
х2 + Зх - 10 [х + 5)(х - 2) х - 2
= х + 2 (при х 2, х —5).
3. Введем новые переменные: и = Зх+^/, и = х— у; решим систе-
му уравнений относительно переменных и и и. Затем найдем
X и у.
Ответ: (3; —1); (—3; 1).
4. Выиграет первый игрок. Первым ходом он уравнивает число
камней в обеих кучках, взяв из первой кучки 2 камня. А каж-
дым следующим своим ходом берет столько камней, сколько
взял его соперник, но из другой кучки.
5. Вместе первый и второй мальчик купили пенал, 2 ластика и
карандаш, заплатив 52 рубля за всю покупку. Так как третий
мальчик заплатил 50 рублей за пенал, 2 тетради и карандаш,
то ластик стоит дороже тетради на 1 рубль. Тогда как пенал
и ластик стоят 40 рублей, то пенал и тетрадь будут стоить 39
рублей.
Ответ: 39 рублей.
Вариант 2
1. Александр, Борис, Виктор и Григорий — друзья. Один из
них — врач, другой — журналист, третий — спортсмен, а
четвертый — строитель. Журналист написал статьи об Алек-
сандре и Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом
ходили в поход. Александр и Борис были на приеме у врача.
У кого какая профессия?
2. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время
продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столь-
ко процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за
какую сумму он ее купил?
71
3. Натуральное число х возвели в третью степень. Докажите,
что хотя бы одно из чисел х3 + х или х3 — х делится на 10.
4. Листок календаря частично закрыт предыдущим листком
(рис. 16). Какая его часть больше — закрытая или открытая?
5. Найдите действительные решения уравнения
(х + 2)'1 + X4 - 82.
Ответы и решения
1. Используя таблицу, получим: Борис — строитель, Алек-
сандр — спортсмен, Григорий — врач, Виктор — журналист.
2. Обозначив за х пистолей стоимость лошади и учитывая, что
при продаже было потеряно х%, имеем следующее уравнение:
х—= 24. Решая его, получаем х = 40 или х = 60 пистолей.
Ответ: 40 или 60 пистолей.
3. Найдем последнюю цифру выражений х3 + х их3 — х:
х оканчивается 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
о х оканчивается 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
х3 4- х оканчивается 0 2 0 0 8 0 2 0 0 8
х — х оканчивается 0 0 6 4 0 0 0 6 4 0
Из таблицы видно, что хотя бы одно из чисел х3 + х и х3 — х
делится на 10.
4. Больше будет закрытая часть, так как Si = S2, S3 = S4
(рис. 17).
72
Рис. 17
5. Обозначим у = х + 1, тогда данное уравнение примет вид
(х + I)4 5 + (у — I)4 = 82, которое после упрощения примет вид:
у4 + бу2 — 40 = 0. Данное биквадратное уравнение имеет реше-
ния у = ±2. Следовательно, х = 1 или х = — 3.
10 класс
Вариант 1
1. Решите неравенство: х4 — 4х + 12х2 — 24х 4- 24 < 0.
2. Решите уравнение:
sin х • cos х • cos 2х • cos 8х — i sin 12x.
4
3. Решите систему уравнений:
(x + f/)(x + i/ + z)= 72,
(у + z)(x + у + z) = 120,
(z + x)(x + у + z) = 96.
4. В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины ко-
торого делят окружность в отношении 2:5:17. Найти пло-
щадь треугольника.
5. В акционерном обществе «Елки-палки» 1999 акционеров,
причем известно, что любые 1000 из них в совокупности обла-
дают контрольным пакетом акций (то есть не менее чем поло-
виной акций). Какую наибольшую долю акций может иметь
один акционер?
Ответы и решения
1. Выделим полный квадрат:
х4 — 4х 4- 12х2 — 24х 4- 24 < 0 <=>
<=$> х4 — 4х + 4х2 - 4х2 4- 12х2 - 24х + 24 < 0 <3*
О (х2 - 2х)2 4- (8х2 - 24х + 24) < 0.
Но(х2-2х)2 0 для любых х, а 8х2-24x4-24 > 0 для любых х,
так как 8 > 0, a D < 0. Поэтому (х2 - 2х)2 4- (8х2 - 24х 4- 24) > 0.
Ответ: решений нет.
2. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:
sin х • cos х = ~ sin 2x, sin 2x cos 2x = sin 4x,
2
тогда получим уравнение sin4x • cos8x = sinl2x. Далее ис-
пользуем формула синуса суммы для sin 12х = sin(8x 4- 4х)
и получаем, что sin8xcos4x = 0, откуда sin8x = 0 или
cos4x = 0. Решением совокупности этих уравнений будет
х = Х = ё + где т п е В итоге ПОЛУЧИМ
х = где т G Z.
Ответ: х = где т е Z.
о
3. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение
(х 4- у 4- z)(2x 4- 2у 4- 2z) = 288, из которого найдем x + y + z = 12
или х + у + z = —12. Подставляя вместо (х 4- у 4- г) числа 12 и
-12, получим в первом случае: х = 2, у = 4, г = 6; а во втором:
х = -2,«/ = -4, z = -6.
Ответ: (2; 4; 6); (-2; -4; -6).
4. Пусть АпВ : ^АтВ : ^ВрС = 2:5: 17. Положим
^АпВ = 2х; ^АтВ = 5х; ^ВрС = 17х (рис. 18). Тогда
2х 4- 5х 4- 17х = 360°, откуда х = 15°, значит, ^АпВ = 30°;
^АтВ = 75°; ^ВрС = 255°. Поэтому углы треугольника
АВС будут соответственно равны 15°; 37,5°; 127,5°. Из тео-
ремы синусов следует, что АС = 27?sinB = 27?sin37,5°,
ВС = 2jRsin А = 21?sin 127,5°. Далее
с ___АС • ВС •
Ъавс----2—~ sin С
21?sin 37,5° • 21?sin 127,5° • sin 15°
2
74
Так как
sin 37,5° х sin 127,5° = 0,5(cos 90° - cos 165°) = 0,5 cos 15°,
to Sabc ~ 772 cos 15° sin 15° =
4
5. Пусть доля акций некоего акционера равна х. Тогда выбе-
рем из остальных 1998 акционеров 1000 с наименьшим чи-
слом акций — ясно, что их доля в совокупности будет не бо-
лее |gg^(l “ *)• Отсюда находим: то есть
х 0,001 или 0,1%. Значит, наибольшую долю акций один
акционер может иметь 0,1%.
Вариант 2
1. Докажите, что sin6 х + cos6 х > 0,25.
2. Расстояние между серединами сторон АВ и CD выпуклого
четырехугольника ABCD равно расстоянию между середина-
ми его диагоналей. Найдите угол, образуемый прямыми ВС и
AD при их пересечении.
3. Постройте график функции у = 2х2 + 3 х| + 2.
4. Найдите сумму:
--Ц= + /- 1 7- + ••• + - 1 -т=—.
1 + 72 Т2 + Т3 72007 + 72008
5. Решите в целых числах уравнение х‘ — Зху + 2у2 = 7.
75
Ответы и решения
1. Воспользуемся формулой суммы кубов:
sin6 х 4- cos6 х = (sin2 х + cos2 x)(sin3 4 x — cos2 x • sin2 x + cos4 x) =
= 1 • (sin2 x + cos2 x)2 — 3 sin2 x cos2 x
= 1 — - sin2 2x.
•Так как sin2 2x 1, to — sin2 2x а значит,
4 4
1 - | sin2 2x 0,25.
4
2. Обозначим за M, N, К, L середины отрезков AB, CD, AC и BD
(рис. 19). В треугольнике ABC отрезок MK — средняя линия,
поэтому МК параллельна ВС и МК = ±ВС. В треугольнике
£
BCD отрезок LN параллелен ВС и LN = ^ВС. Тогда MKNL —
параллелограмм. Но так как KL = MN, то MKLN — пря-
моугольник. Тогда угол между прямыми ВС hAD равен углу
между параллельными им прямыми МК и ML, a Z.KML = 90°,
значит, и угол между прямыми ВС и AD есть прямой.
3. График функции изображен на рис. 20. График состоит из 2
частей парабол: у = 2х2 + Зх + 2 при х 0; у = 2х2 - Зх + 2 при
х < 0.
76
4. Домножим каждую дробь на выражение, сопряженное зна-
менателю:
—+ + ••• + --------------------------=
1 + 72 72 + 73 1998 + 71999
= __(1 __ 72) - (72 - 73) - ... - (72007 - 72008) = 72008 - 1.
5. Разложим (—3xz/) на два слагаемых (—ху) и (2ху). Тогда по-
лучим: х2 - ху - 2ху 4- 2у2 = 7. Сгруппируем и вынесем за
скобки (х - Z/); получим: (х — у)(х — 2у) = 7. Учитывая, что
7 = 1 • 7 = 7 • 1 = (-1) • (-7) = (-7) • (-1), получим следующие
четыре системы уравнений:
<х-у = 1, (х-у = 7, (х —t/ = —1, fx-z/ = -7,
\х-2у=7; (x-2z/ = l; \х-2у = -7; (х-2г/ = -1.
Решая данные системы, найдем решения исходного уравне-
ния: (-5; -6); (5; 6); (13; 6); (-13; -6).
Ответ: (-5; -6); (5; 6); (13; 6); (-13; -6).
11 класс
Вариант 1
1. Постройте график функции у =
sin 2х
2 cos х ’
2. Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения
х2 + (2 - а)х — а - 3 = 0 была наименьшей.
3. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 2 см. Паук находится в цен-
тре грани ABBiAi. Какую наименьшую длину может иметь
путь паука по поверхности куба в вершину С?
4. Докажите, что 2а + ~ > 3 при 0 < а < 1.
аг
5. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаим-
ного пересечения и через полученную точку проведена пря-
мая, параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок ее,
ограниченный продолжениями диагоналей, если основания
равны анЬ.
Ответы и решения
1 sin2x _ 2sinх-cosх
1. Хак как ---------- - — = sin х, то графиком функции
С* Wo «Л VV/O Д
будет синусоида с выколотыми точками х = + 2лп.
2. Найдем сумму квадратов корней уравнения:
Х1 + х2 = (*1 + хг)* 2 - 2х,
х2 = (2 - а)2 + 2(а + 3) =
= а2 - 4а + 4 + 2а + 6 = а2 - 2а 4-10 = (а - I)2 + 9.
Значение данного выражения будет наименьшим при а = 1.
3. СО = \ 10 см (рис. 21).
Рис. 21
4. Найдем производную функции f(a) = 2а 4- Д;
а2
f'(a) = 2 - 4 < 0 при a G (0; 1).
а6
Значит, /(а) убывает на (0; 1), а поэтому f(a) > f(l) = 3, т.е.
2а + -1 > 3.
az
5. Пусть DMNE — данная трапеция, а АВ — искомый отрезок
(рис. 22). Тогда ADME и Л АМЕ; ADNE и ACNE; AMNE и
ААСЕ являются подобными; поэтому
АС = Л1.
a h ’
(1)
78
CB = h±.
° h ’
AC /И + It
b h
(2)
(3)
Из (1) и (2) следует, что AC = ВС; а из (1) и (3) следует, что
АС = . Так как АВ = АС + СВ и АС = СВ получим:
а - о
АВ = (если а > Ь).
а — о
Рис. 22
Вариант 2
1. Постройте график функции
у = \/4 sin1 х — 2 cos 2х 4- 3 + \/4 cos4 х + 2 cos 2х 4- 3.
2. Решите систему уравнений:
< Х+2у 2-у’
3. Найдите все решения уравнения: х2 + 5у2 + 4ху + 2у + 1 = 0.
4. Существует ли в пространстве фигура, для которой выпол-
няются следующие соотношения: АВ = CD = 8 см; АС = BD =
= 10см;АВ + ВС= 13см?
79
5. На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешает-
ся стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если
они одинаковы, и минус — в противном случае. Докажите, что
последний оставшийся на доске знак не зависит от порядка, в
котором производились стирания.
Ответы и решения
1. Так как
\/4 sin4 х — 2 cos 2x4-3 4- х/4 cos4 х 4- 2 cos 2х 4- 3 =
= V 4 sin4 х — 2 4- 4 sin2 х 4- 3 4- х/4 cos4 х + 4 cos2 х 4-1 =
У 4 sin4 х 4- 4 sin2 x 4-1 4- х/4 cos4 x 4- 4 cos2 x 4-1 =
= 2 sin2 x 4-1 4- 2 cos2 x 4-1 = 4,
то графиком функции будет прямая, заданная уравнением
У = 4.
2. Выразим из первого и второго уравнений х 4- 2</| и найдем у
из уравнения -—----- , у = 1. Тогда из уравнения |х 4- 2| = 1
находим х = —1; —3.
3. Преобразуем данное уравнение к виду (х 4- 2у)2 4- (у 4-1)2 = 0.
Его решением будет пара (2; -1).
4. Данная фигура существует. Ее можно получить из 2 равных
треугольников АВС и BCD, приложенных друг к другу по сто-
роне ВС под некоторым углом (рис. 23).
Рис, 23
5. При указанной операции не меняется четность количества
минусов. Поэтому последний знак — плюс, если было написа-
но четное число минусов, и минус, если нечетное.
С другими примерными текстами школьных олимпиад
можно познакомиться по книгам [22, 23, 25, 28].
80
Проведение олимпиады
Школьные олимпиады проводятся, как правило, вне уро-
ков. Возможно проведение олимпиад на кружке или факуль-
тативе, но для более объективной картины лучше бы прово-
дить олимпиады с утра или после 3-4 уроков, перенося осталь-
ные уроки на другие дни. Проведение школьной олимпиады в
выходные дни нецелесообразно.
Продолжительность школьной олимпиады рекоменду-
ется:
• в5-6кл. — 1-1,5 ч;
• в 7-8 кл. — 1,5-2 ч;
• в9-11кл. — 2—Зч.
Для участников олимпиады можно подготовить и специ-
альные памятки, особенно это важно для тех учащихся, кото-
рые впервые участвуют в олимпиадах.
Памятка участнику олимпиады
1. Прочитайте все задачи и наметьте, в каком порядке вы бу-
дете их решать. Помните, последние задачи обычно более
сложные.
2. Если для вас задача решилась слишком легко, то, скорее
всего, вы не поняли условие или где-то ошиблись.
3. Если задача не решается — попробуйте упростить ее усло-
вие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи
и т.д.) или порешать ее «с конца», «от противного», по-
ставить вместо чисел переменные и т. д.
4. Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь
от нее и оценивайте положение* Если есть хоть небольшие
успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кру-
гу, то задачу лучше оставить (хотя бы на время).
5. Почувствовав усталость — сразу отдыхайте (посмотрите в
окно, закройте глаза, отвлекитесь).
6. Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет
проверить рассуждения и освободить мысли для других
задач.
81
7. Перед сдачей работы проверьте еще раз написанное — пой-
мут ли ваши решения задач члены жюри?
В указанное время все участники олимпиады приходят
в классы, в которых она будет проводиться, рассаживаются
по местам. Желательно каждому участнику предоставить от-
дельный стол. На столах заранее разложена бумага для вы-
полнения работ, тексты олимпиады. Один из членов жюри
знакомит участников с текстом олимпиады, числом баллов
за каждое задание, временем выполнения работы, правилами
оформления заданий. Задания могут быть выполнены в любом
порядке. Черновик должен быть подписан и сдан. После этого
участники олимпиады приступают к решению заданий. Кон-
сультироваться с товарищами, поворачиваться, использовать
какую-то литературу на олимпиаде запрещается.
За несколько минут до окончания работы член жюри пре-
дупреждает участников об окончании времени выполнения
работы и учащиеся начинают сдавать работы, подписав их.
После необходимого перерыва (5-10 минут) ученики воз-
вращаются в класс, где один из членов жюри проводит разбор
заданий олимпиады. Нецелесообразно отодвигать время раз-
бора на занятие кружка или факультатива.
Проверка, оценка заданий, выявление победителей
После разбора заданий члены жюри по каждому классу
приступают к проверке заданий олимпиады. Проверяют и оце-
нивают решения заданий школьной олимпиады члены жюри.
Желательно, чтобы в каждой параллели было не менее 3 чле-
нов. В малочисленных школах можно олимпиаду проводить
для учащихся из двух или трех классов в одном кабинете или
организовать проведение олимпиады для учащихся в разное
время. Также можно привлечь к проведению учителей физи-
ки, химии, начальных классов, воспитателей групп продлен-
ного дня, старшеклассников, студентов. Одному учителю оце-
нивать результаты олимпиады нелегко, да и может сказаться
субъективизм.
82
Возможны два варианта проверки:
1) каждый член жюри проверяет только 1-2 задания из
текста олимпиады и карандашом оценивает каждое задание,
выставляя рядом с заданием определенное число баллов;
2) каждый член жюри проверяет несколько работ участ-
ников, оценивая все задания.
Оба варианта проверки имеют как плюсы, так и минусы.
Поэтому после проверки всех работ надо снова всем членам
жюри еще раз обсудить число баллов, выставленное за каж-
дое задание. Работы участников, набравших наибольшее чис-
ло баллов, рекомендуется проверить еще раз с председателем
жюри школьной олимпиады по математике.
Самым сложным и ответственным моментом в проведении
математической олимпиады является оценка заданий. В зави-
симости от того, сколько баллов было выставлено за задания,
возможны следующие подходы к оцениванию заданий.
1. Подход, применяемый в последние годы для городских
(районных) олимпиад, при котором все задания оцениваются
исходя из 7 баллов. Данный подход рассмотрим позже.
2. Подход, применяемый для заданий, которые все оцене-
ны разным числом баллов в зависимости от сложности (труд-
ности) задания. В этом случае задания, оцененные 3, 5, 7, 10
баллами, при аналогичных решениях будут оцениваться с по-
мощью следующей таблицы переводов:
5 3 7 10
Безупречное решение 5 3 7 10
Решение с недочетами 4 2,5 6 9
Неполное решение с негрубыми ошибками 3 2 4-5 6-8
Неверное решение, но есть продви- жение в верном направлении 1-2 1 1-3 1-5
Главное отличие второго подхода состоит в том, что более
трудные задания оцениваются большим числом баллов.
3. Подход, аналогичный второму, но каждое задание член
жюри оценивает значками +, ±, —, 0, которые означают:
• +: верное решение;
83
• ±: верное решение с недочетом;
• найдена идея решения, но решение не доведено до конца
или выполнена лишь часть задания;
• решение неверное, но ученик искал его, хотя и не на-
шел;
• 0: отсутствие решения, ученик не приступил к решению.
Тогда число баллов за каждое задание выставляется в со-
ответствии с этими значками:
Максималь- ное число баллов за задание 3 4 5 • 6 7 8 9 10 11 12
4“ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2-2,5 3 4 5 6 7 8 9 9-10 10-11
ЯР 1,5-2 2 2-3 2-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-8 3-9
— 1 1 1 1 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Главным недостатком третьего подхода к оцениванию мо-
жет быть большое расхождение у членов жюри при выставле-
нии знака
Возможны, конечно, и другие подходы.
После того как жюри перепроверило работы всех участни-
ков, и особенно набравших наибольшее число баллов, опреде-
ляются победители и призеры. Они должны быть независимо
от того, сколько баллов набрали участники. Если такого не
получилось, значит, текст олимпиадной работы составлен с
нарушением требований. И виноват составитель текста, а не
ученики.
Абсурд, если первое место не присуждается ни одному уче-
нику школьной олимпиады. Отличием в подведении итогов и
определении победителей и призеров от спортивных являет-
ся то, что победителей и призеров в каждой параллели может
быть несколько.
Итак, кто же является победителем школьной олимпиа-
ды? Ясно, что ученик, набравший наибольшее число баллов.
84
Но так как субъективизм членов жюри может проявиться все
равно при оценке заданий, то можно установить специальные
границы в процентах от максимального числа баллов. Наибо-
лее подходящими являются:
I место присудить всем участникам, набравшим больше
75% от максимального числа баллов за все задания олимпи-
ады (если все же при неудачном тексте олимпиады никто не
набрал данного числа баллов, необходимо опустить число бал-
лов до 70%, 65% ...).
Олимпиада — это соревнование, а в любом соревновании
бывают победители, они должны быть и здесь.
II место присуждается участникам, набравшим от 50 до
75% от максимального числа баллов, и III место — набравшим
от 33 до 50%.
Данные границы участникам олимпиады можно не сооб-
щать. Примерные границы от максимального числа баллов
указаны в таблице:
Макси- мальное число баллов 20 25 • 30 35 40 45 50
I место 15-20 19-25 22-30 26-35 30-40 33-45 37-50
II место 10-14 13-18 15-21 18-25 20-29 23-32 25-36
III место 7-9 9-12 10-14 11-17 13-19 15-22 16-24
Не будет необычным, если в некоторой параллели больше
половины участников будут призерами. Это только повысит
интерес учащихся к участию в олимпиадах. На следующий
год желающих, думаю, будет больше. После определения по-
бедителей заполняется протокол, члены жюри подписывают
его. Как правило, в школе апелляции по олимпиадам не рас-
сматриваются. Тем не менее, ознакомиться со своим решени-
ем ученики имеют право.
После определения победителей и призеров олимпиады по
каждой параллели руководство школы совместно с оргкоми-
тетом и жюри олимпиады проводит награждение. Согласно
«Положению о Всероссийской олимпиаде школьников», по-
85
бедители всех этапов награждаются грамотами, дипломами и
призами.
Провести награждение победителей и призеров олимпиа-
ды можно на математическом вечере или торжественной ли-
нейке. В качестве призов могут быть книги по математике, ху-
дожественные, научно-популярные книги, денежные призы.
Все зависит от конкретных условий школы. Для проведе-
ния олимпиад можно привлекать и спонсоров.
Некоторые регионы проводят школьные олимпиады по
единым текстам, что вряд ли целесообразно применять вез-
де, т. к. отдельные школы региона резко отличаются по уров-
ню развития учащихся и тексты в одной школе могут решить
практически все учащиеся параллели, а в другой — больше
1-2 задач никто не решит. Да и учебников сегодня несколько
в каждом классе.
Если уж и давать единые тексты, то в качестве заочного
тура с целью лучшей подготовки учащихся к участию их в
олимпиадах.
Особенности проведения традиционных олимпиад
в малокомплектных школах
При малом числе учащихся в классах учителя математики
часто не проводят классных олимпиад. Причины этого могут
быть разные: учителя и без проведения олимпиады знают, ко-
го можно направить на городскую (районную) олимпиаду; ма-
ло желающих участвовать в олимпиаде и др. Вряд ли данный
подход оправдан. В данном случае лучше изменить методику
проведения олимпиад в части требований к текстам олимпиад;
в требованиях к оценке выполненных заданий и определении
победителей.
Суть данных изменений может быть в следующем:
1. Текст школьной олимпиады должен составляться для
учащихся нескольких классов.
2. Задания, включаемые в текст, должны состоять из двух
уровней (частей).
86
В первую часть (вариативную) включаются задания, учи-
тывающие класс, в котором учатся участники.
Во вторую часть (инвариантную) включаются олимпиад-
ные задачи, предназначенные в первую очередь для проверки
уровня развития мышления учащихся и отбора наиболее про-
двинутых учащихся в изучении математики. Они являются
одинаковыми для нескольких классов.
3. Задания лучше всего оценивать исходя из максималь-
ной оценки за одно задание: 5 б. или 7 б.
4. Победителей и призеров определять по набранной сумме
баллов также для 2-3 классов.
5. В члены жюри можно включить учителей начальных
классов, учителей физики, информатики.
<
Пример. Текст школьной олимпиады для учащихся 7-9 классов
Вариативная часть
7 класс
1. Среди перечисленных выражений указать такие, которые:
а) тождественно равны а2: (—а)2; —(—а)2; —а2
б) тождественно равны а2: (—а)3; —(—а)3; —а3.
2. Двоим друзьям потребовалось вычислить 52 — З2. Они заме-
тили, что результат, число 8, равно удвоенной сумме основа-
ний квадратов, т. е. чисел 5 и 3. Проверив свое открытие на
числах 12 и 10, друзья установили, что оно подтверждается
и в случае 122 — 102 = 44 = 2(12 + 10). После этого друзья
нашли все пары (а, Ь) натуральных чисел а > Ь, для которых
разность а2 — ft2 равна 2(п + Ь). Как друзьям удалось найти все
такие числа (а, 6)?
З. Как разрезать квадрат 5x5 прямыми линиями так, чтобы
из полученных частей можно было составить 50 равных квад-
ратов? Не разрешается оставлять неиспользованные части, а
также накладывать их друг на друга.
8 класс
- v ( 6 1 А у2 + + 9
\ 3 - у J 5
87 . __„ ,
2. Докажите, что значение выражения---—— +-----——
1-5\/3 1 + 5\/3
число рациональное.
есть
3. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольни-
ка, пересекаясь, образуют квадрат.
9 класс
1. Сократите дробь: ——~~ 20
х2 + 3х — 10
2. Равнобокая трапеция ABCD разбивается диагональю АС на
2 равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.
3. Сколько цифр содержит число 45 • 513?
Инвариантная часть
4. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых
чисел от 1 до 100 включительно?
5. Решите уравнение в целых числах: х 4- у = ху.
б. 5 школьников приехали из 5 различных городов в Архан-
гельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда
вы, ребята?» — спросили их организаторы. Вот что ответил
каждый из них:
Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев живет в Кар-
гополе».
Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из
Коряжмы».
Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов — из Котласа».
Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вель-
ска».
Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же
живет в Коряжме».
Организаторы очень удивились противоречивости ответов
приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них
высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но
по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал.
Откуда приехал каждый школьник?
88
Городские и районные олимпиады по математике
Подготовка олимпиады
Одной из наиболее распространенных форм внешкольной
работы по математике, как показывает опыт, и в настоящее
время являются городские (районные) олимпиады.
Районные (городские) олимпиады являются вторым туром
единой системы всероссийских математических олимпиад.
Основными целями проведения городских (районных)
олимпиад являются:
• повышение интереса к изучению математики;
• выявление наиболее способных учащихся по математике.
Также городские (районные) могут преследовать и такие
цели:
• содействие целенаправленному выбору профессии;
• воспитание организованности, дисциплинированности,
воли;
• привитие навыков к систематическим занятиям внеклас-
сной и внешкольной работой;
• пробуждение желания учащихся самостоятельно при-
обретать знания и применять их на практике.
Олимпиады также оказывают положительное влияние на
общий уровень преподавания математики в школах, во мно-
гом позволяют выявить качество математических знаний,
умений учащихся. Кроме того, в какой-то степени ориенти-
руют учителя на более высокий уровень преподавания. Но не-
обходимо помнить, что вместе с этим районные олимпиады
не должны являться единственной и основной формой вне-
школьной работы по математике.
Районная олимпиада проводится примерно по следующе-
му плану:
• создание оргкомитета;
• составление текстов олимпиад;
• создание жюри;
• проведение олимпиады;
• проверка решений;
89
• подведение итогов и награждение победителей и призеров.
Районные (городские) олимпиады являются массовым со-
ревнованием, охватывающим лучших учащихся всех школ
данного района (города). Проводятся такие олимпиады 1 раз
в год. В городских (районных) олимпиадах участвуют победи-
тели или призеры школьных олимпиад (согласно положению
об олимпиаде). Но могут участвовать и все желающие. В этом
случае при определении командного первенства между шко-
лами (чаще всего неофициального) их результаты не учиты-
ваются.
Пример. Форма положения об олимпиаде. Положение
о математической олимпиаде «Юные дарования»
Утверждаю:
Заведующий отделом образования
администрации г. Коряжмы
В. В. Порохина
30 марта 2004 г.
Положение о математической олимпиаде
«Юные дарования»
1. Цели:
• выявление наиболее одаренных учащихся по математике;
• привитие интереса к занятиям математикой;
• активизация работы факультативов и кружков.
2. Сроки и место проведения:
17 апреля 2004 г. с 9 ч 30 мин в МОУ «СОШ № 6».
3. Состав оргкомитета.
Т. В. Техтелева — директор МОУ «СОШ № 6»;
А. В. Фарков — доцент кафедры математического анализа и ме-
тодики преподавания математики КФ ПГУ;
Н. Н. Нечипорук — руководитель ГМО учителей математики;
С. Н. Мелентьева — методист по УД.
4. Участники олимпиады.
К участию в олимпиаде допускаются учащиеся 5-7 классов до
5 учеников каждой параллели школ города.
5. Порядок проведения.
Учащиеся прибывают на олимпиаду совместно с представите-
лями школы. Состав представителей от школы: 3 человека.
90
Состав жюри определяется по каждому из классов в 9 ч 30 мин
17 апреля на общем собрании членов оргкомитета и представите-
лей, участвующих в олимпиаде школ. Учащиеся выполняют работу
в классе каждый самостоятельно, работы шифруются председате-
лями жюри классов, затем сразу же проверяются членами жюри.
Работы оцениваются по единым критериям, действующим для оцен-
ки олимпиадных заданий (каждое оценивается исходя из 7 баллов).
Работы учащихся, претендующих на призовые места, совместно пе-
репроверяются членами оргкомитета и жюри класса.
По каждой из параллелей классов определяются победители и
призеры в личном первенстве, командное первенство среди школ не
подводится.
Итоги подводятся 17 апреля сразу после окончания олимпиад,
до учащихся результаты доводятся в тот же день после 14 ч.
Победители и призеры в каждой параллели награждаются
грамотами и ценными призами. Жюри может учредить специ-
альные призы для отдельных учащихся.
В последние годы для оказания финансовой помощи в про-
ведении олимпиад все больше привлекаются спонсоры. Было
бы очень хорошо, если бы эти спонсоры в школьные годы до-
бивались определенных результатов в олимпиадах.
Районная (городская) олимпиада по математике прово-
дится под непосредственным руководством районного (город-
ского) отдела образования. Ответственным за осуществление
всех организационных мероприятий обычно назначается рай-
онный (городской) методический кабинет. Для подготовки и
проведения олимпиады создается оргкомитет, который чаще
всего возглавляет руководитель районного (городского) мето-
дического объединения учителей математики. В оргкомитет
включают наиболее опытных, авторитетных учителей мате-
матики ряда школ, а также преподавателей вузов, научно-ис-
следовательских институтов, техникумов, училищ, коллед-
жей, которые имеются на территории района (города). Коли-
чество членов оргкомитета может быть 3-7 человек.
Оргкомитет осуществляет всю подготовительную рабо-
ту по проведению олимпиады. Он определяет место и вре-
мя олимпиады, готовит тексты для проведения олимпиад,
комплектует состав жюри для непосредственного проведения
91
олимпиады и проверки заданий, проводит торжественное от-
крытие и закрытие олимпиады.
В случае, если областной (краевой, республиканский) орг-
комитет разрабатывал единый для всего региона текст, рай-
онный (городской) оргкомитет имеет право изменить незначи-
тельно этот текст. Критерием здесь является общий уровень
математической подготовки учащихся данного района. Сде-
лать это можно следующим образом. Представителям школ
можно предложить подготовить по 1-2 задания для проведе-
ния олимпиад. В день проведения олимпиады, за 1-2 часа до
ее начала, один из членов оргкомитета собирает представите-
лей школ и дает им решить предложенные тексты областным
управлением образования. Если сами учителя затрудняются
решить некоторые задания или считают некоторые из заданий
нецелесообразными для включения в текст олимпиады, то та-
кие задания целесообразно заменить. Решать задания текста
олимпиады заранее целесообразно и потому, что в заданиях
могут быть как ошибки, так и опечатки. Так же в тексте есть
задачи на школьный материал, но он по некоторым учебникам
ко времени проведения олимпиады может быть неизученным,
и лишь сами учителя смогут это выявить. Такое в практике
проведения олимпиад иногда встречается. Тогда вызвавшую
затруднение задачу заменяют одной из задач, предложенных
представителями школ (главное, чтобы остальные задания,
вместе с вновь включенными, соответствовали требованиям
тексту олимпиады). В случае разногласий вопрос решается го-
лосованием. Хорошо, если составители текста олимпиады за-
ранее предусмотрели возможные варианты усложнения или
упрощения текста. Например, указывается: в случае, если
жюри посчитает данный вариант легким, предлагается заме-
нить задание № 2 на № 5* и порядок предлагаемых задач из-
менить: 1, 3, 4, 5, 5*. Если необходимо упростить текст, то
предлагается заменить задачу 5 на 5**, тогда порядок зада-
ний в тексте может быть следующим: 1, 5**, 2, 3, 4.
Если этого не предусмотреть, может получиться неприят-
ная картина, которая иногда повторяется в ряде регионов из
года в год: учащиеся не могут справиться с предложенным тек-
92
стом олимпиады, а жюри не может определить ни призеров,
ни победителей. И кто виноват? Ответ однозначен — соста-
вители текста и органы управления образованием данного го-
рода (района). Они забыли, что олимпиада, кроме выявления
наиболее способных учащихся, должна быть для учащихся
праздником, стимулировать их к дальнейшему развитию.
В последние годы городские (районные) олимпиады в ря-
де регионов проводятся, как правило, для учащихся 8(9)-
11 классов. Объясняется это следующими причинами:
• областные (республиканские) олимпиады проводятся для
учащихся 9-11 классов;
• тексты олимпиад часто приходят в городские (районные)
отделы образования только для учащихся 9-11 классов;
• для проведения олимпиад в 5-7(8) классах у городских
(районных) отделов образования нет средств.
Есть, думаю, и другие причины.
Основные требования к тексту городской (районной)
олимпиады
Во многом, будет ли олимпиада интересной, запоминаю-
щейся; будут ли реализованы ее цели, зависит от текста олим-
пиадной работы.
Тексты олимпиад могут составлять:
а) методисты городского (районного) отделов образова-
ния с привлечением опытных учителей математики, знающих
средний уровень умственного развития учащихся города (рай-
она) и требования к текстам олимпиад;
б) преподаватели кафедр методики преподавания матема-
тики и математики вузов, которые имеются в данном регионе;
в) работники областных органов управления;
г) различные энтузиасты — специалисты, представители
Центров дополнительного образования одаренных школьни-
ков, работники клубов «Эврика» и т. п., но под эгидой отдела
образования.
В тексты олимпиадной работы включаются, в основном,
так называемые олимпиадные задачи.
93
Можно принять такое определение: под олимпиадной за-
дачей по математике будем понимать задачи повышенной
трудности, нестандартные по формулировке или по методам
их решения.
При таком определении понятия олимпиадной задачи под
класс олимпиадных задач попадут как задачи повышенной
трудности (в том числе и рассматриваемые на уроках), так
и нестандартные задачи, использующие необычные идеи, а
также специальные методы их решения.
Решение олимпиадных задач требует от учащихся как хо-
рошей подготовки в области школьной математики, так и хо-
рошего развития некоторых качеств мышления, в частности
гибкости, глубины, осознанности.
К олимпиадным задачам можно отнести задачи по геомет-
рии, в которых для нахождения правильного способа решения
учащиеся должны выполнить дополнительное построение, пе-
рейти к необычному методу решения; задачи на применение
принципа Дирихле, инвариантов, логические задачи, уравне-
ния в целых числах и многие другие типы задач.
Требования к олимпиадным задачам очень высокие: они
должны быть красивыми, интересными, формулировки их
должны быть яркими и запоминающимися, а решение должно
основываться на оригинальных идеях. При этом особую цен-
ность на олимпиадах представляют задачи, в определенной
степени посильные большинству учащихся и в то же время
содержащие элементы, которые могут заметить лишь самые
наблюдательные учащиеся.
Рассмотрим основные требования к текстам городских
(районных) олимпиад.
1. Число заданий в тексте должно быть от / до 6 (чаще
всего 5).
2. Все задания должны быть расположены в порядке
возрастания трудности или сложности.
3. Первые 1-2 задания должны быть доступны боль-
шинству участников олимпиады; в числе их могут быть
как и наиболее легкие «олимпиадные» задачи, так и задачи,
аналогичные задачам продвинутого уровня школьных учеб-
94
ников, контрольных работ. Условия задач можно немного из-
менить. Желательно, чтоб такие задачи содержали «изюмин-
ку», заметив которую сообразительный ученик решил бы ее
быстрее и красивее.
7 8 9 10
1. Расставьте числа ~уу в порядке убывания. (6 класс)
о У 10 11
2. Найдите все такие числа а, при которых дробь ? являет-
ся целым числом. (8 класс)
3. Сколько может быть шестизначных чисел с суммой цифр,
равной 2? (5-9 классы)
Включение в текст работы задачи, посильной для боль-
шинства учащихся, вселяет в учащихся веру в свои силы, воз-
буждает энтузиазм, пробуждает желание лучше учиться по
математике и добиваться дальнейших успехов на следующих
олимпиадах.
4. Следующие 2—3 задачи должны быть более трудны
ми, хотя бы одну из них должно решить большинство
участников, а в общем — с ними должна справиться при-
мерно половина участников. Это могут быть задачи, не рас-
сматриваемые на уроках, но с идеями их решения ученики
встречались во внеклассной работе, при самостоятельном зна-
комстве с различными пособиями.
1. Как набрать из озера 8 литров воды, имея девяти литровое и
пятилитровое ведра? (5-6 классы)
2. Расшифруйте следующую запись примера на сложение, в
котором разным буквам соответствуют разные цифры, а оди-
наковым — одинаковые: (5-6 классы)
СПОРТ
СПОРТ
КРОСС
3. Решите уравнение: х4—7х34-14х -7x4-1 = 0.(10-11 классы)
5. Последние 1-2 задачи могут содержать материал,
не изучаемый в школе. Это задания, аналогичные задачам
95
областных (республиканских) олимпиад. Данные задания под
силу только некоторым из участников.
1. В комнате собрались 8 человек. Некоторые из них лгут, а
остальные — честные люди, всегда говорящие правду. Один из
собравшихся сказал: «Здесь нет ни одного честного человека*.
Второй сказал: «Здесь нс больше одного честного человека*.
Третий сказал: «Здесь не более двух честных людей* и т. д.
до восьмого, который сказал: «Здесь не более семи честных
людей*. Сколько в комнате честных людей? Ответ обоснуйте.
(7-11 классы)
2. Решите в натуральных числах уравнение: 19m+98/z = 1998.
(8-11 классы)
3. В каждую клетку квадратной таблицы 25 х 25 вписано про-
извольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым
столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом
столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех
чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 напи-
санных произведений не может оказаться равной нулю. (8-
11 классы)
6. В качестве предложенных задач должна быть зада ча,
содержащая год проведения олимпиады.
1. Запишите подряд 22 пятерки: 5555...5. Поставьте между не-
которыми из цифр знаки арифметических действий так, что-
бы в результате получилось число 2006. (5-6 классы)
2. Запишите подряд 25 пятерок: 5555...5. Поставьте между
всеми цифрами знаки арифметических действий так, чтобы
в результате получилось число 2006. (5-6 классы)
3. Александру в 2006 году исполняется столько лет, сколько
составляет сумма цифр года его рождения. В каком году ро-
дился Александр? (5-6 классы)
4. В ряд выписано 11 девяток: 99999999999. Поставьте между
ними знаки арифметических действий так, чтобы получилось
число 2005. (5-6 классы)
96.
5. Восстановите пропущенные цифры (5-6 классы):
1*03
х
*
20* *
6. Сколькими нулями оканчивается произведение:
1 • 2 • 3 4 •... • 2006 • 2007?
(6-9 классы)
7. 2006*** делится нацело на 2004. Сколько способов суще-
ствует заменить **♦ цифрами? (5-8 классы)
8. Сумма 2006 натуральных чисел — число нечетное. Каким
числом: четным или нечетным является произведение этих
чисел? (8-11 классы)
9. Сравните числа: \/2006 + у/2004 или 2>/2005. (8-9 классы)
10. На какую цифру оканчиваются числа:
а) 19992006;
б) 1998:006. (8-9 классы)
11. Делится ли число 22006 - 42005 на 10? Почему? (7 9 классы)
12. Найдите сумму коэффициентов многочлена, получающего-
ся после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых
в выражении (4 — 5х + х2)2005 (4 + 5x4- х2)2006. (9-11 классы)
13. Решите в натуральных числах уравнение: х2 — у2 = 2005.
(9-11 классы)
14. Решите в целых числах уравнение: х3 — х2 — х = 2006. (9-
11 классы)
15. На какую наибольшую степень числа 7 делится число
1 • 2 • 3 • 4 •... • 2005 • 2006?
(7-11 классы)
16. Определите знак выражения
I cos 2006° • sin 2006° • tg 2006° • ctg 2006°.
(10-11 классы)
97
7. В 5—6 классах в текст необходимо включать 1—2 за-
нимательных задачи.
1. До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей
убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим явиться ко
двору, и молвили они:
Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Айеша Попович».
Алеша Попович: «Я убил змея».
При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое
слукавили. Кто убил змея?
2. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович всту-
пили в бой с великанами. Получив по три удара богатырскими
палицами, великаны обратились в бегство. Больше всего уда-
ров нанес Илья Муромец — 7, меньше всех Алеша Попович —
3. Сколько всего было великанов?
3. Медведь поручил волку сосчитать количество зверей в лесу:
медведей, зайцев и выяснить, кого на сколько больше. После
подсчета волк доложил: всего указанных зверей 100, волков
на 25 больше, чем медведей, зайцев на 30 больше, чем волков.
Услышав это, заяц расхохотался и сказал, что этого быть не
может. Прав ли он?
4. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин
сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, ся-
дет между дядей Федором и котом, то кот окажется крайним
слева. В каком порядке они сидят?
5. Буратино отпил полчашки черного кофе и долил ее моло-
ком. Потом он отпил i чашки и долил ее молоком. Потом он
о
отпил | чашки и долил ее молоком. Наконец, Буратино допил
содержимое чашки до конца. Чего Буратино выпил больше:
кофе или молока?
8. Включаемые задачи должны быть как из разных
разделов школьного курса математики (не должно быть
двух текстовых задач, двух уравнений и т. п.), так и чисто
«олимпиадные» (использующие специальные методы реше-
ния); при их решении должны применяться различные прие-
мы, идеи.
98
При включении в текст задач, использующих програм-
мный материал, необходимо быть особенно осторожным.
Ведь один и тот же материал может изучаться по различным
учебникам не только в разное время учебного года, но и в раз-
ных классах. Учебников сейчас много (в различных классах
от 3 до 8, а еще есть и экспериментальные учебники).
9. В текстах олимпиад для различных классов могут
быть как одинаковые задачи, так и задачи, использующие
одну идею, но с постепенным усложнением от класса к
классу.
1. Задача Ньютона. Трава на всем лугу растет одинаково бы-
стро и густо. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а
30 коров — за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за
96 дней? (Предполагается, что коровы поедают траву равно-
мерно.) (можно предложить в 9-11 классах)
2. Разделите прямоугольник 3 х 4 на две равные части. Най-
дите как можно больше способов. Разрезать можно лишь по
стороне квадрата 1 х 1 и способы считаются разными, если
получаемые фигуры не будут равными при каждом способе,
(можно предложить в 5-8 классах)
3. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них раз-
бил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и
Коля ответили: «Не я», а Миша — «Не знаю». Потом оказа-
лось, что двое из них сказали правду, а двое — неправду. Знает
ли Миша, кто разбил стекло? Ответ объясните.
4. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Кто-то разбил
мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал? » пятеро свидетелей
ответили так.
Первый: «То ли Петя, то ли Вася».
Второй: «То ли Петя, то ли Коля».
Третий: «То ли Коля, то ли Миша».
Четвертый: «То ли Миша, то ли Вася».
Пятый: «Незнаю».
Потом оказалось, что трое из свидетелей сказали правду,
а двое неправду. Знал ли пятый свидетель, кто разбил стекло?
99
5. Петя. Коля, Вася, Саша и Вова играли в футбол. Кто-то из
ребят разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» они
ответили так.
Коля: «Это не я и не Петя».
Петя: «Это не я и не Саша».
Вася: «Это не я и не Петя».
Саша: «Это Коля или Вова».
Вова: «Незнаю».
Потом оказалось, что двое из ребят сказали правду, а
трое — неправду. Знал ли Вова, кто разбил стекло?
(Задачи 3, 4, 5 можно предложить соответственно в 5, 6, 7
классах.)
10. Задачи, требующие формального применения фор-
мул, с громоздкими вычислениями, с применением трудно
запоминающихся формул, не включаются в тексты олим-
пиад.
11. Желательно включение в текст большинства та-
ких задач, которые бы позволяли оценивать их решение
разным числом баллов (к числу таких задач можно отнести
логические задачи, на поиск различных вариантов разреза-
ния, геометрические и другого сорта задачи).
12. Так как различные районы (города) одной области (рес-
публики) могут сильно отличаться по уровню обученности и
обучаемости, а некоторые вопросы и просто не изученными,
то жюри городской (районной) олимпиады должно иметь
право вносить изменения в рекомендованные вышестоя-
щими органами управления тексты олимпиад. Это может
быть как упрощение, так и усложнение текста олимпиады.
Возможные варианты этого были рассмотрены выше.
Лучше, если составителями текстов являются одни и те
же люди в регионе, им легче устранить ошибки, промахи, со-
вершенные в прошлом году.
Конечно, могут быть и другие требования.
*
Пример. Тексты городских и районных олимпиад
Рассмотрим тексты городских и районных олимпиад, по
которым проводились олимпиады в ряде регионов России.
100
5 класс
Вариант 1
2004 - 2003 + 2002 - 2001 + ... + 2 - 1
2004 • 45 + 55 - 2004
1. Вычислить:
2. Для нумерации книги для детей понадобилось 204 цифры.
Сколько страниц в книге, если нумерация книги начинается
с первой страницы?
3. Разрежьте квадрат размером 4 х 4 на 4 равные фигуры. Раз-
резать можно лишь по стороне квадрата 1 х 1 и способы счи-
таются разными, если полученные фигуры не будут равными
при каждом способе.
4. В квартирах № 1, № 2, № 3 жили три котенка: белый, черный
и рыжий. В квартирах № 1 и № 2 жил не черный котенок.
Белый котенок жил не в квартире № 1.В какой квартире жил
каждый котенок?
5. Папа купил на праздник своим детям коробку конфет. Фе-
дя взял половину конфет и половинку одной конфеты. Аня
взяла половину остатка и еще полконфеты. Коля взял поло-
вину нового остатка и еще по л конфеты. Маша взяла половину
оставшихся конфет и еще пол конфеты. После этого в коробке
осталась одна конфета. Сколько конфет было в коробке?
6. Когда у рыбака спросили, как велика пойманная им щука,
он сказал: «Я думаю, что хвост ее — 1 кг, голова — столько,
сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько
голова и хвост вместе». Сколько весит щука?
Решения
1. Группируя числа в числителе, легко заметить, что числи-
тель равен сумме 1002 единицы. Поэтому исходное выраже-
ние равно
1002 = 1002 = 1
2004(45 + 55) 2004 • 100 200*
Замечание. Так как не по всем учебникам математики к
моменту проведения олимпиады может быть изучена тема «со-
кращение дробей», то ответ можно оставить и в виде 9ППЛПП•
ttVV^vV
101
2. Для нумерации страниц с первой по девятую понадобит-
ся 9 цифр, для нумерации страниц с 10 по 99 понадобится
90 2 = 180 (цифр). Итак, использовано 189 цифр. Осталось
204 — 189 = 15. Так как с сотой страницы на нумерацию од-
ной страницы потребуется 3 цифры, то всего страниц в книге
будет 99 + 15 : 3 = 99 + 5 = 104.
Ответ: В книге 104 страницы.
3.4 способа решения изображены на рис. 24.
Рис. 24
4. Так как в квартирах № 1 и М 2 жил не черный кот, то черный
кот жил в квартире № 3. Так как белый кот жил не в квартире
№ 1, а квартира № 3 занята черным котом, то белый кот живет
в квартире № 2. Тогда рыжий кот живет в квартире № 1.
Ответ: В квартире № 1 жил рыжий кот; в квартире № 2
жил белый кот; в квартире № 3 жил черный кот.
5. Решаем задачу с конца.
1) (1 + i) • 2 = 3 (конфеты) — осталось после Коли.
2)(3+-ч-2 = 7 (конфет) — осталось после Ани.
3) 7+i^ - 2 = 15 (конфет) — осталось после Феди.
4)(154-i)-2 = 31 (конфета) — была в коробке.
Ответ: В коробке была 31 конфета.
6. Так как 1 голова = 1 хвост + -1 туловища и 1 туловище =
= 1 голова + 1 хвост = 1 хвост + ~ туловища + 1 хвост =
= — туловища 4- 2 хвоста, то J туловища = 2 хвоста. А затем
1 туловища = 4 хвоста. Так как хвост — 1 кг, то туловище
будет 4 кг, а голова — 3 кг. Итого щука весит 8 кг.
Ответ: Щука весит 8 кг.
102
Вариант 2
1. Не выполняя умножения, найдите частное:
(1003 • 2005 - 1002): (1003 + 2005 • 1002).
2. У Кенгуру насморк. Он пользуется квадратными платками
размером 25 х 25 см. За восемь дней Кенгуру израсходовал
3 м2 ткани. Сколько платков в день тратил Кенгуру?
3. Восстановите ребус:
КИС
+кси
иск
(Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые
цифры, а разным буквам — разные цифры).
4. Две чашки и два кувшина весят столько, сколько 14 блюдец.
Один кувшин весит столько, сколько 1 чашка и 1 блюдце.
Сколько блюдец уравновесят кувшин?
5. Три друга — Винни-Пух, Пятачок и Кролик пошли гулять
в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех
же цветов. У Винни-Пуха цвет рубашки и туфель совпадал, у
Пятачка ни туфли, ни рубашка не были красными, а Кролик
был в зеленых туфлях. Как были одеты друзья?
6. Разделите квадрат 5x5 клеток с вырезанной центральной
клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше
способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.
Решения
1. (1003 • 2005 - 1002): (1003 + 2005 • 1002) =
= ((1002 + 1) • 2005 - 1002): (1003 + 2005 • 1002) =
= (1002 • 2005 4- 2005 - 1002): (1003 + 2005 • 1002) =
= (1002 • 2005 + 1003) : (1003 + 2005 • 1002) = 1.
2.1) 25 х 25 = 625 (см2) — площадь одного платка.
2) 3 м2 = 30000 см2.
3) 30000 : 625 = 48 (платков) — израсходовал Кенгуру за
8 дней.
4) 48 : 8 = 6 (платков).
Ответ: 6 платков тратит Кенгуру в один день.
103
3. 495 + 459 = 954. Начать с цифр десятков: И = 0 или И = 9.
Первый случай не может быть, так как С + И = К. Таким
образом, И = 9, тогда К = 4, соответственно, С = 5.
4. Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из воз-
можных.
Так как 2 чашки и 2 кувшина уравновесят 14 блюдец, то
1 чашка и 1 кувшин уравновесят 7 блюдец. Так как 1 кув-
шин весит столько, сколько 1 чашка и 1 блюдце, то 2 чашки
и 1 блюдце весят столько, сколько 7 блюдец. Отсюда полу-
чим, что 1 чашка весит столько, сколько 3 блюдца. Значит,
1 кувшин уравновесят 4 блюдца.
5. Узнаем сначала туфли друзей. Так как у Кролика туфли бы-
ли зелеными, а у Пятачка — не красными, то красные туфли
были у Вини-Пуха, а тогда синие будут у Пятачка. Так как
у Вини-Пуха цвет рубашки и туфель совпадал, а туфли были
красными, то и рубашка будет красная. Так как у Пятачка
ни туфли, ни рубашка не были красными, а туфли оказались
синими, то рубашка могла быть только зеленая. Поэтому у
Кролика будет синяя рубашка.
6. Всего существует 7 способов (рис. 25).
Рис. 25
104
6 класс
Вариант 1
1. Запишите подряд 22 пятерки: 5555...5. Поставьте между не-
которыми цифрами знаки арифметических действий так, что-
бы в результате получилось число 2004.
2. Восстановите пропущенные цифры в примере:
* 0*3
х
* * *
2 * * * *
+ Л
* * * о
621**1
3. Разрежьте квадрат размером 4 х 4 на 4 равные фигуры. Ре-
зать можно только по сторонам клеточек. Найдите как можно
больше способов.
4. Мама купила яблок и сказала детям, чтобы они, вернувшись
из школы, разделили их поровну. Первым пришел Андрей,
взял треть яблок и ушел. Вторым пришел Борис, взял треть
оставшихся яблок и ушел. Затем вернулась из школы Валя,
она взяла 4 яблока — треть от числа яблок, которые она уви-
дела. Сколько яблок оставила мама?
5. В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и
одной 200-граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разре-
шается сделать только три взвешивания?
16. В древней рукописи приведено описание города, располо-
женного на 8 островах. Острова соединены между собой и с ма-
териком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах
берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 мо-
|ста и на один остров можно пройти только по одному мосту.
Может ли быть такое расположение мостов?
Решения
1. Возможный вариант:
5-5-5-5 + 5- 5- 5- 5 + 5- 5- 5- 5 + 5- 5- 5 + 5 + 5:5-5:5-5:5.
105
2.3003-207.
3. Смотрите решение задачи № 3 (5 класс, вариант 1).
4. Решаем задачу с конца. Так как 4 яблока составляют треть от
того, что осталось после Бори, то весь остаток будет 12 яблок.
2
Но 12 яблок составляют яблок, оставшихся после Андрея,
значит, после Андрея осталось 18 яблок, которые, в свою оче-
редь, составляют числа яблок, купленных мамой. Значит,
о
мама купила 18 : 2 • 3 = 27 (яблок).
5. При первом взвешивании положим на левую чашу 200 г и
уравновесим весы с помощью крупы, тогда крупы на левой
чаше будет 4400 г, а на правой — 4600 г. Теперь 4400 г раз-
делим пополам, тогда на каждой чаше будет по 2200 г крупы.
При третьем взвешивании отвесим с помощью гири 200 г кру-
пы, тогда получим массу оставшейся крупы в одной из кучек
2000 г = 2 кг.
6. Найдем число концов у всех мостов: 5 + 4- 4 + 3- 3+1 = 31,
что является нечетным числом. Так как число концов у всех
мостов должно быть четным, то такого расположения мостов
быть не может.
Вариант 2
1. В бассейне с горизонтальным дном размерами 20 м х 50 м на-
ходится 100000 л воды. Можно ли в этом бассейне проводить
соревнования по плаванию?
2. Восстановите ребус:
АББВ
АББВ
ВББС
Найдите все возможные варианты. (Одинаковым буквам
должны соответствовать одинаковые цифры, разным — раз-
ные.)
3. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст
составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына
в 3 раза?
4. Бабушка подарила каждому внуку по несколько яблок и
груш, причем всем досталось поровну фруктов. Внуку Пете
106
досталась пятая часть всех яблок и седьмая часть всех груш.
Сколько внуков у бабушки? Ответ объясните.
5. Счетчик автомобиля «Жигули» показывал 12 921 км. Через
два часа счетчик стал показывать число, которое одинаково
читалось в обоих направлениях. С какой скоростью ехал авто-
мобиль?
6. Разделите квадрат 5x5 клеток с вырезанной центральной
клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше
способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.
Решения
1. 100 000 л = 100000 дм3 = 100 м3. Площадь бассейна равна
1000 м2. Значит, высота бассейна будет 0,1 м (или 10 см). При
такой глубине соревнования провести нельзя.
2. 2004+2004 = 4008 или 1002+1002 = 2004 или 2995 + 2995 =
«= 5990 или 3997 + 3997 = 7994.
3. Обозначим возраст сына за х лет, тогда возраст отца будет
4х. Так как суммарный их возраст составляет 50 лет, то имеем
уравнение х + 4х = 50. Из уравнения получаем х = 10. Итак,
вначале сыну было 10 лет, а отцу — 40 лет. Пусть отец станет
старше сына в 3 раза через п лет, тогда 3 • (10 + п) = 40 + п.
Решением уравнения будет п = 5. Отец будет старше сына в
3 раза через 5 лет.
4. Если бы Пете досталась не седьмая, а пятая часть всех груш,
то он получил бы пятую часть всех фруктов. Но это больше,
чем он получил на самом деле. Значит, на самом деле доля
каждого внука составляет меньше пятой части всех фруктов.
Поэтому внуков больше пяти. С другой стороны, если бы Пете
досталась седьмая часть всех яблок, он получил бы седьмую
часть всех фруктов. Но это меньше, чем он получил на самом
деле. Поэтому внуков меньше семи. А если внуков больше
пяти, но меньше семи, то их шесть.
5. Через два часа счетчик автомобиля будет показывать число,
которое начинается на 13 и оканчивается на 31, так как сле-
дующая возможная пара: 14 и 41 не будет удовлетворять усло-
вию задачи (за 2 часа автомобиль не может проехать больше
1000 км). Таким образом, получаем число 13*31. Определим,
107
какая цифра может стоять в разряде сотен. Для этого рассмот-
рим все возможные варианты.
1) 13 031 - 12 921 = 110 (км).
110 : 2 = 55 (км/ч) — скорость автомобиля.
2)13131- 12921 = 210 (км).
210 : 2 = 105 (км/ч) — скорость автомобиля.
3) 13 231 - 12 921 = 310 (км).
310 : 2 = 155 (км/ч) — скорость автомобиля.
4) 13 331 - 12 921 = 410 (км).
410 : 2 = 205 (км/ч) — скорость автомобиля. Данный слу-
чай и все остальные являются нереальными, поэтому быть не
могут.
Ответ: 55 км/ч, или 110 км/ч, или 155 км ч.
6. Смотрите решение задачи №6(5 класс, 2 вариант).
7 класс
Вариант I
1. Вычислите:
о 1 4 1 1116 .118 5
117 119 117 119 119’
2. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
3. Расшифруйте пример на сложение, где одинаковые буквы
означают одинаковые цифры, а разные буквы — разные циф-
ры. Объясните, как вы рассуждали?
ААБ
+АБА
БАА
БВВБ
4. Сколькими нулями оканчивается произведение:
1 • 2- 3-4-... -2005-2006?
5. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре пря-
моугольника, площади трех из которых 2 см2, 4 см2, 6 см2
(рис. 26). Найдите площадь прямоугольника.
108
2 4
6
Рис. 26
6. Отцу и двум его сыновьям вместе 48 лет. Через 5 лет возраст
отца будет в два раза больше суммы возрастов его сыновей,
а Коле будет столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет
отцу, Коле и Юре?
Решения
1 2 1 л1 1 116 * 118 5 = . 1 \ (d _ 1 \ _
1’3117 4119 1117 5119 119 \ +117> 119/
-(2~ И?) (6“ Т1э) —1Т9 = 12+1Т7 И9 + 1171Ц9 12+
, 6 , 2 1 5 = JO-
117 119 117-119 119 117’
2. В 12.00 стрелки часов сходятся вместе. После этого за 20 ми-
нут минутная стрелка проходит i окружности, то есть описы-
вает угол в 120°. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее
минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за
20 минут опишет угол в 120° : 12 = 10° и будет образовывать
с минутной стрелкой угол в 120’ — 10 =110°.
3. Так как сумма Б+А+А оканчивается цифрой Б, то А+А окан-
чивается цифрой 0. Поэтому А = 5. (Цифра А не может быть 0,
потому что с нее начинаются первые два слагаемых.) Тогда
сумма 55Б + 5Б5 + Б55 не больше, чем 559 + 595 4- 955 = 2109.
Поэтому Б = 1 или Б = 2. Но 552 + 525 + 255 = 1312 — не под-
ходит. Значит, Б = 1. Отсюда — ответ: 551 + 515 +155 = 1221.
4. Нули образуются от перемножения четных чисел и пятерок.
Посчитаем число пятерок в произведении. В каждом множи-
теле, стоящем на 5,10,...»2005 месте, есть как минимум од-
на пятерка. Получили 2005 : 5 = 401 пятерку. Но в числах
25, 50,..., 2000 будет по 2 пятерки. Значит, надо добавить еще
2000 : 25 = 80 пятерок. В числах 125.250,2000 стоят по
3 пятерки, значит, добавляем еще 2000 : 125 = 16 пятерок. В
109
числах 625, 1250, 1875 стоят по 4 пятерки. Поэтому добавля-
ем еще 3 пятерки. Итого имеем 401+80+16+3 = 500 пятерок.
При умножении их на четные числа (а их больше 500) полу-
чим, что полученное произведение оканчивается 500 нулями.
5. Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и
площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона будет
в 2 раза больше. Аналогично и вторая сторона правого ниж-
него прямоугольника будет больше стороны верхнего левого
прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь ниж-
него правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади
левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см2.
Поэтому площадь в<?его прямоугольника будет равна 24 см2.
6. Через 5 лет отцу и сыновьям вместе будет 48+5-3 = 63 (года).
Так как через 5 лет возраст отца будет в 2 раза больше суммы
возрастов его сыновей, то через 5 лет отцу будет 42 года, а
сыновьям вместе 21 год. Поэтому сейчас отцу будет 37 лет, а
Коле и Юре вместе — 11 лет. Пусть Коле сейчас х лет. Посколь-
ку Коле через 5 лет будет столько лет, сколько Юре сейчас, то
он на 5 лет младше Юры. Значит, х + х+5 = 11, откуда х = 3.
Таким образом, сейчас Юре — 8 лет, а Коле — 3 года.
Вариант 2
1. Какой угол образуют часовая и минутная стрелка в 12 ч
40 минут?
2. Какое из чисел
объясните.
7777777773
7777777778
8888888882
8888888887
больше? Ответ
3. Выясните, делится ли на 3 число 1 + 2 + 22 +... + 22005 + 22006.
4. Одна из цифр четырехзначного натурального числа равна
нулю. При вычеркивании нуля это число уменьшается в 9 раз.
На каком месте стоит нуль? Найдите все такие числа.
5. Учитель математики, проверив контрольные работы у трех
друзей: Алексея, Бориса и Василия, сказал им: «Все вы напи-
сали работу, причем получили разные отметки („3“, „4“, „5“)*
У Василия — не „5“, у Бориса — не „4“, а у Алексея, по-моему,
„4“». Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному
ученику сказал отметку верно, а другим двум неверно. Какие
отметки получил каждый из учеников?
110
Решения
1. В 12.00 стрелки часов сходятся вместе. После этого за 40 ми-
нут минутная стрелка проходит окружности, то есть описы-
о
вает угол в 240°. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее
минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за
40 минут опишет угол в 240° : 12 = 20° и будет образовывать
с минутной стрелкой угол в 120 ’ 4- 20° = 140 .
2. Преобразуем левую и правую части:
7777777773
7777777778
5
7777777778’
8888888882 = 5
8888888887 8888888887’
о
8888888887 > 7777777778 =>
5
8888888887
7777777778
5 ,5
8888888887 7777777778
8888888882 7777777773
8888888887 7777777778‘
3. В исходной сумме сгруппируем по два слагаемых:
1 + 2 + 22 + ... + 22005 + 22006 =
= (1 + 2) + 22(1 + 2) + ... + 22ОО‘(1 + 2) + 22006 =
1 = 3 х (1 + 22 + ... + 22004)+ 22006.
В данной сумме первое слагаемое делится на 3, а второе слага-
емое не делится на 3. Поэтому сумма не делится на 3.
4. Четырехзначное число, одна из цифр которого 0, может
иметь вид: aObc, abOc, abcO. Последний случай невозможен,
так как при вычеркивании нуля число abc() уменьшится в 10
раз. Используя условие задачи, имеем: aObc abc х 9. Из
данного равенства получим, что с = 5. Тогда а065 = а65 х 9.
Найдем Ь. Так как 96 + 4 оканчивается на Ъ, то b = 2 или 7.
Для первого случая получаем равенство: п025 = о25 х 9. Из
данного равенства подбором находим а = 2. Получили число
2025. Проводя аналогичные рассуждения для 6 = 7, найдем
а = 6, а число получим 6075.
Во втором случае (abOc = abc х 9) решений нет.
Ответ: Нуль стоит на месте сотен, числа: 2025 и 6075.
111
5. Рассмотрим три случая.
Первый случай. Пусть учитель сказал верно Алексею.
Значит, у Алексея — «4». Так как Борису и Василию учитель
назвал неверные отметки, то у Бориса — «4», а у Василия —
«5». Получилось, что у двух учеников оказались одинаковые
отметки, что противоречит условию задачи. Данный случаи
невозможен.
Второй случай. Пусть учитёль сказал верно Василию. То-
гда у Василия отметка — не «5». Так как учитель сказал не-
верно об отметках Алексея и Бориса, то у Алексея отметка —
не «4», а у Бориса — «4». Тогда у Алексея будет отметка «5»,
а у Василия — «3».
Третий случай. Рассмотрим предположение, что учитель
.сказал верно про отметку Борису. Тогда Борис получил не « 4 ».
Так как утверждения про отметки Алексея и Василия — лож-
ные, то Алексей получил отметку — не *4», а Василий — «5».
Получается, что отметку «4» не получил ни один из учеников.
Этот случай также противоречит условию задачи.
Таким образом, Алексей получил отметку «5», Борис —
♦4», а Василий — «3».
8 класс
Вариант 1
1. На какую цифру оканчивается число З2005 + 42006?
2. Число 2007 представьте в виде разности квадратов двух на-
туральных чисел.
3. Дан угол в 34 . Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол в 12°? Если да, то обосновать; если нет, то по-
чему?
4. Три брата — Александр, Борис и Сергей преподают различ-
ные предметы в школах Архангельска, Северодвинска и Кот-
ласа. Александр работает не в Архангельске, а Борис не в Севе-
родвинске. Архангелогородец преподает не математику. Тот,
кто работает в Северодвинске, преподает химию. Борис препо-
дает физику. Какую дисциплину преподает Сергей и в школе
какого города?
112
5. Аня младше Вани. Когда Ване было столько лет, сколько
Ане сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Ане с Ваней
теперь. Сколько лет было Ване, когда матери было столько
лет, сколько Ване теперь?
Решения
1. Найдем последнюю цифру Зл при различных значениях п:
3; 9; 7; 1; 3; 9;.... Замечаем зависимость: через 4 числа цифра
повторяется. Так как 2005 = 501 • 4 + 1, то число З2005 окан-
чивается такой же цифрой, что и З1, то есть 3. Рассматривая
различные степени числа 4, получаем зависимость: если по-
казатель степени п — четный, то 4Л оканчивается на 6, а если
нечетный, то 4Л оканчивается на цифру 4. Так как 2006 — чи-
сло четное, то 4Л оканчивается на цифру 6, а значит, и число
З2005 + 42006 оканчивается на цифру 9.
2. Так как 2007 = 1 - 2007 = 3 • 669 = 9 • 223, а а2 - Ъ2 = (а - Ь)х
х(а 4- д), то для нахождения решения задачи надо найти реше-
ния следующих систем уравнений:
(а 4- b = 2007,
\a — b = 1;
(а 4- b = 669,
\а — b = 3;
а + Ъ = 223,
а — Ъ = 9.
Решениями данных систем уравнений будут пары следующих
чисел: (1004; 1003), (336; 333) и (116; 107).
З. Один из возможных вариантов. Построить угол 90 с помо-
щью циркуля и линейки, затем от одной из сторон угла 3 раза
отложить угол 34°. Получим 12° = 34° • 3 — 90°.
4. В данной задаче говорится о трех братьях (Александре, Бо-
рисе и Сергее), городах, в которых они работают (Архангель-
ске, Северодвинске и Котласе), и предметах, которые они пре-
подают (математике, химии, физике).
Определим сначала предмет, который преподают братья.
Составим таблицу.
Математика Химия Физика
Архангелогородец
Северодвинец
Котлашаниц
113
Так как архангелогородец преподает не математику, то
доставим «минус» в соответствующей клетке. Так как северо-
двинец преподает химию, то поставим «плюс» в соответству-
ющей клетке. Поэтому северодвинец не может преподавать
математику и физику, а архангелогородец и котлашанин —
химию. В итоге получим такую таблицу.
Математика Химия Физика
Архангелогородец — —
Северодвинец — + —
Котлашанин —
Из таблицы следует, что архангелогородец преподает фи-
зику, а значит, математику преподает котлашанин.
Теперь выясним, как зовут архангелогородца, северо-
двинца и котлашанина. Для этого снова воспользуемся таб-
лицей. Учтем, что Александр работает не в Архангельске, а
Борис не в Северодвинске.
Александр Борис Сергей
Архангелогородец —
Северодвинец —
Котлашанин
Так как по условию задачи Борис преподает физику, а из
предыдущих рассуждений мы выяснили, что архангелогоро-
дец преподает физику, то получим, что Борис живет в Архан-
гельске. Учитывая это, получим следующую таблицу.
Александр Борис Сергей
Архангелогородец — -J- —
Северодвинец —
Котлашанин —
Больше никаких сведений о зависимости между именем и
городом у нас нет. Рассмотрим два возможных случая.
Первый случай. Пусть Александр работает в Северодвин-
ске. Тогда Сергей будет работать в Котласе.
114
Второй случай. Пусть Александр работает в Котласе. То-
гда Сергей будет работать в Северодвинске.
Оба случая возможны. Таким образом, Сергей работает в
Котласе учителем математики или Сергей работает в Северо-
двинске учителем химии.
5. Пусть Ане сейчас а лет, Ване — b лет, маме — с лет. Ване было
столько лет, сколько сейчас Ане b — а лет назад, но маме тогда
было лет с — (Ь — а) = с +а — b и это число равно а 4- b — 3. Таким
образом, с = 2Ь — 3. Маме было столько лет, сколько Ване
теперь с — Ь лет назад, но Ване тогда было Ь — с + Ь = 2Ь — с — 3.
Итак, Ване было 3 года.
Вариант 2
1. Упростите выражение:
(У2 + I)2 - (V2 - З)2 - \/32 - \/з — 2>/2 + у/п + бу/И.
2. В магазин поступила тонна фруктов: яблоки в ящиках по
18 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и
вишни в коробках по 10 кг. При этом яблок поступило в два
раза больше, чем груш, а вишен столько же, сколько слив.
Сколько фруктов каждого вида поступило в магазин?
3. В четырехугольнике ABCD (рис. 27) углы при вершинах В
и D — прямые, АВ = ВС, а высота ВН равна 1 дм. Найдите
площадь четырехугольника.
Рис. 27
4. Постройте график функции, предварительно упростив ее:
(х - 2)2 + 8х
(2 + х)2
целом х.
5. Докажите, что
х
3
6
является целым числом при любом
Решения
1. Представив подкоренные выражения 3 — 2х/2 и 11 4- 6\/2
соответственно как (>/2 - I)2 и (3 + У2)2, после упрощений
получим 4\/2 - 4.
2. Обозначив число ящиков с яблоками, грушами, сливами и
вишнями за х, у, г, t, получим в соответствии с условием за-
дачи 3 уравнения с 4 неизвестными. Учитывая, что х, у, z, t
являются целыми, в результате получаем, что в магазин при-
везли 10 ящиков яблок, груш — 12 ящиков, слив — 10 ящи-
ков, вишен — 14 ящиков.
3. Выполним дополнительное построение: проведем прямую
ВК, параллельную прямой АО, и продолжим отрезок DC за
точку С. В результате получим два равных треугольника АВН
и СВК (они прямоугольные, АВ = СВ, ZABH = Z.CBK =
= 90° — ZHBC), поэтому ВК = ВН = 1 дм. Тогда площадь че-
тырехугольника ABCD будет равна площади квадрата HBKD
со стороной 1 дм, то есть 1 дм2.
4. Упростив дробь, получим у = 1 при х -2. Графиком дан-
ной функции будет прямая у = 1, без точки (-2; 1).
5. Приведя дроби к общему знаменателю и, разложив числи-
тель на множители, получим:
* -I- Я2 jd = 2х + Зх2 + х3 _ Х(х + 1)(х 4- 2)
3 2 6 6 6
Так как в числителе стоят 3 последовательных целых числа,
то одно из них обязательно делится на 2 и одно — на 3. То-
гда произведение этих 3 чисел будет делиться на 6, то есть
g + + -g- является целым числом при любом целом х.
9 класс
Вариант 1
1. Докажите, что 5 4- 52 4- 53 4-... 4- 52006 делится на 6.
116
2. Постройте ромб, в котором высота равна 5 см, а одна из диа-
гоналей 6 см.
3. Найдите цифры сотен и единиц числа 42*4*, если известно,
что оно делится на 72.
4. Решите уравнение: у4 4- 2х4 + 1 = 4х2г/.
5. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А
в В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и тронул-
ся дальше лишь тогда, когда мотоциклисту оставалось треть
пути до В. Мотоциклист, доехав до В, без остановки поехал
обратно в А. Велосипедист больше остановок в пути не делал.
Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В?
Решения
1.5 + 52 + 53 + ... + 5200В = 5(1 + 5) + 53(1 + 5) +... + 52005(1 + 5) -
= 6(5 + 53 + ... + 52005). Так как первый множитель делится
на 6, то и все произведение делится на 6.
2. Построим прямой угол FEK (Е — вершина). Затем на лу-
че EF отложим отрезок ЕВ = 5 см. Проведем окружность
с центром в точке В и радиусом 6 см, а точку пересечения
этой окружности со стороной ЕК обозначим через D. Прове-
дем серединный перпендикуляр к отрезку BD и прямую BL,
параллельную прямой ED. Точку пересечения данной прямой
и серединного перпендикуляра обозначим за С, а точку пере-
сечения серединного перпендикуляра с прямой ED обозначим
за А. Легко проверить, что ABCD — искомый ромб.
3.42048 или 42840. Использовать признаки делимости на 9 и
на 4.
4. Преобразуем уравнение к виду: (у2 - I)2 + 2{у — х2)2 = 0,
которое будет равносильно следующей системе уравнений:
Гу2-1 = 0,
\у - х2 = 0.
Данная система уравнений имеет 2 решения: (1; 1) и (—1; 1).
5. Так как велосипедист после того, как проехал одну треть пу-
ти, остановился и ждал, пока мотоциклист проедет две трети
пути, то треть пути велосипедист проехал быстрее, чем мото-
циклист две трети. Поэтому велосипедист весь путь s проедет
117
быстрее, чем мотоциклист 2s. Значит, велосипедист приедет
в В раньше.
Вариант 2
1. Верно ли, что точкиЛ(-1; 0), В(0; 1), 0(1; 6) и 0(2; 14) лежат
на одной параболе у = ах2 + Ьх + с? Если да, то на какой? Если
нет, то почему?
2. Дан параллелограмм ABCD. Пусть К — середина стороны
ВС,М— середина стороны CD,AK = 6, AM = 3, Z.KAM = 60°.
Найдите длину стороны АО. Ответ обоснуйте.
3. Докажите, что если А(А + В + С) < 0, то уравнение
Ах2 + Вх + С = 0
имеет два действительных корня.
4. Найдите все прямоугольники, у которых обе стороны изме-
ряются целым числом сантиметров, а периметр (в сантимет-
рах) вдвое меньше площади (в квадратных сантиметрах).
5. В комнате собрались 8 человек. Некоторые из них лгут, а
остальные — честные люди, всегда говорящие правду. Один из
собравшихся сказал: «Здесь нет ни одного честного человека».
Второй сказал: «Здесь не больше одного честного человека».
Третий сказал: «Здесь не более двух честных людей» и т. д.
до восьмого, который сказал: «Здесь не более семи честных
людей». Сколько в комнате честных людей? Ответ обоснуйте.
Решения
1. Подставляя координаты 4 точек в уравнение у = ах2 + Ьх + с,
получим систему 4 уравнений с 3 неизвестными, которая не
имеет решений. Значит, данные 4 точки не лежат на одной
параболе.
2. Задача имеет множество решений. Рассмотрим одно из них.
Проведем в трапеции AKCD среднюю линию ML (рис. 28). Она
будет параллельна AD и КС, причем AL = 3 см. Обозначим
АО = 2х, тогда КС = х. Так как треугольник ALM — равно-
бедренный с углом при вершине 60 , то он — равносторонний,
118
Рис. 28
поэтому LM = 3 см. А тогда, используя свойство средней ли-
нии трапеции, имеем: ~ = 3, откуда х = 2, а значит,
AD = 4 см.
3. Так как А(А 4- В + С) < 0, то А О.Так как /(х) = Ах2+Вх+С,
то /(1) = А + В + С. Рассмотрим 2 случая:
1)А<0=>А + В + С>0, значит, /(1) > 0. Тогда ветви
параболы направлены вниз, а вершина параболы находится
выше оси абсцисс. Значит, парабола пересекает ось абсцисс в
2 точках. Поэтому соответствующее уравнение /(х) = 0 имеет
2 действительных корня.
2)А>0=>А+В + С<0, значит, /(1) < 0. Тогда ветви
параболы направлены вверх, а вершина параболы находится
ниже оси абсцисс. Значит, парабола пересекает ось абсцисс в
2 точках. Поэтому соответствующее уравнение /(х) = 0 имеет
2 действительных корня.
4. Обозначим стороны прямоугольника за а и b и учитываем,
что периметр прямоугольника в 2 раза меньше площади, по-
лучим уравнение 4а + 4b = ab, из которого выразим
Учитывая, что стороны прямоугольника — натуральные чи-
сла, получим следующие 3 решения соответствующего урав-
нения: (5; 20), (6; 12), (8; 8).
Поэтому прямоугольники будут иметь размеры: 5 х 20,
6 х 12 и 8 х 8.
5. Начнем рассуждения с высказывания восьмого человека:
«Здесь не больше 7 честных людей». Если восьмой — честный,
119
то все хорошо. Если — он лжет, то в комнате 8 честных людей,
что противоречит тому, что восьмой — лжец. Значит, восьмой
не может лгать, значит — он честный. Первый сказал, что в
комнате нет честных людей. Но восьмой — честный, поэто-
му — первый солгал. Значит, первый — лжец. Рассматривая
высказывание седьмого человека, получим, что он не может
быть лжецом. Иначе в комнате должно быть 7 или 8 честных
людей. Но первый— лжец. Поэтому седьмой будет честным.
Рассуждая далее аналогично, получим, что второй, третий и
четвертый будут лжецами, а шестой и пятый — честными.
Тогда в комнате будет 4 честных человека.
10 класс
Вариант 1
1. Определите а так, чтобы сумма корней уравнения
х2 + (2 — а) - х — а — 3 = 0
была наименьшей.
2. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике все сто-
роны выражаются целыми числами, то среди катетов найдет-
ся такой, длина которого делится на 3.
3. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами,
корнем которого является число 2 + v^.
4. На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точ-
ку Л/ и на отрезке МС по ту же сторону от него, что и точ-
ка В, построили правильный треугольник МКС. Докажите,
что прямые АС и ВК параллельны.
5. В каждой вершине правильного 2007-угольника записано
положительное число, причем каждое из этих чисел равно
среднему геометрическому двух чисел, записанных в сосед-
них вершинах. Докажите, что все записанные в вершинах
числа равны между собой.
Решения
1. Используем теорему Виета: хл + х2 = (xj + Х2)2 - 2х^х =
= (а — 2)2 — 2 • (—а — 3) = (а — I)2 + 9. Тогда значение выражения
(а — 1) + 9 будет наименьшим при а = 1.
120
2. Обозначим катеты прямоугольного треугольника и гипоте-
нузу соответственно за х, у, z. По теореме Пифагора х2 + у2 =
z2, где х, у, 2 — натуральные числа. Пусть х и у не делятся
на 3. Тогда х2 и у2 имеют остаток от деления на 3, равный 1.
Значит, их сумма х2 + у имеет остаток от деления на 3, рав-
ный 2, и не может быть полным квадратом (так как квадрат
натурального числа либо делится на 3, либо имеет остаток от
деления на 3, равный 1).
3. Обозначим v2+\/3 = а. Тогда а2 = 5+ч/б, а (а2 —5)2 = (2\/б)2
или а4 — 10а2+25 = 24, которое равносильно а4 — 10а2+1 = 0. А
это и означает, что а является корнем многочлена х4 — 10х2 +1.
4. Так как ЛМВС = Z.MKC = 60°, то через точки М, К, В, С
можно провести окружность (рис. 29). Тогда КВС = КМС =
== 60° (как вписанные). Поэтому
Z.BAC + ААВК = 60° + (60° + 60°) = 180°,
а значит, ВК и АС будут параллельными.
Рис. 29
5. Обозначим данные положительные числа через «1, аг»
аз, ^2007-По условию для всех/ = 2, 3,4,2006 выполня-
ются равенства а, = ai4-i и, кроме того, ai = ^/02001 • 02,
О2007 = \/а200б • о!. Поэтому из данных равенств следует, что
«1 = Q2 = Оз _ = 02007 /44
02007 О] 02 '* 02006* 1 5 * 7
Обозначим это отношение за q. Оно положительно. Пусть
q < 1, тогда из условия (4) получается, что 02007 > ах > аг > ...
... > агооб > 02007- А такого быть не может. Аналогично до-
казывается, что при q > 1 также получается противоречие.
Значит, остается q = 1 и тогда условие (4) запишется как
О1 = 02 = ... = «2006 = 02007-
. 121
Вариант 2
1. Найдите какое-нибудь целое положительное число, которое
само делится на 1999 и сумма его цифр делится на 1999.
2. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый
из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за
ними равен 3 и т. д. Чему равен 1999-й член этой последова-
тельности?
3. На острове рыцарей и лжецов живут 1999 человек. Рыцари
всегда говорят правду, лжецы всегда врут. Во время социо-
логического опроса каждый житель острова заявил: «Среди
остальных островитян более половины — лжецы». Сколько
лжецов живет на острове?
4. Из трех разных вершин треугольника проведены биссектри-
са, медиана и высота соответственно. Могут ли медиана и вы-
сота разделить высоту на три равные части?
5. Определенная на всей числовой оси функция /(х)) такова,
что для любого числа х выполнено равенство /(/(/(.../(лс)))).
1999
Какое наименьшее число корней может иметь уравнение
Лх)=1?
Решения
Юдин из возможных вариантов: 19991999...1999 (1999 раз
подряд).
2.1999-й член последовательности равен наименьшему нату-
ральному числу п, для которого l+2+...+n = -— > 1999.
Последнее неравенство будет равносильно неравенству
п2 + п — 3998 > 0.
Решением данного квадратного неравенства (с учетом того,
что п — натуральное) будет
п > --±±^5993 62(73
Значит, последний член последовательности будет 63.
122
3. Все жители острова не могут быть лжецами, ибо тогда эти
лжецы сказали бы правду. Значит, на острове есть рыцарь. Из
его заявления вытекает, что лжецов на острове больше, чем
(1999—1): 2 = 999. Теперь возьмем любого лжеца. Его заявле-
ние ложно, то есть, не считая его, не более половины острови-
тян — лжецы. Это значит, что если убрать одного лжеца, то
оставшихся будет не больше, чем 999, то есть всего лжецов —
не больше 1000. Единственное целое число, которое больше,
чем 999, но не больше, чем 1000 — это 1000. Значит, лжецов
на острове 1000.
4. Допустим, что в треугольнике АВС проведены биссектриса
AL, медиана ВМ и высота СН (рис. 30), причем AL и СН пере-
секаются в точке D, ВМ и СН — в точке Е, и точки DnE делят
высоту СН на три равные части. ПерпендикулярMN, опущен-
ный из точки М на прямую АВ, равен половине высоты СН.
Значит, отрезок ЕН, который меньше, чем MN, равен трети
высоты. Тогда отрезок DH должен составлять две трети высо-
ты. Опустим из точки D перпендикуляр DF на сторону АС. По
свойству биссектрисы угла DF = DH. Но это невозможно, ибо
в таком случае катет DF прямоугольного треугольника CDF
оказывается вдвое длиннее его гипотенузы CD, составляющей
треть высоты СН.
Рис. 30
5. Функцию, удовлетворяющую условию задачи и дающую
ровно два корня для уравнения f(x) = 1, можно задать, на-
пример, равенствами /(1) = /(2) = 1, f(x) = 2 при х 1;2.
Теперь покажем, что у нашего уравнения всегда не меньше
123
двух корней. Один из них — единица, ибо
/(1) = WCJ(1)))) = WVU/(x)))) = 1.
1999 1999
Для нахождения второго возьмем любое число уо 1 и
положим у\ = f(yo),y2 = и т. д. Из условия следует, что не
позже 1999-го шага в последовательности i/i, </2> ••• появится
член, равный 1. Пусть ут — такой член. Тогда число ут-\
является корнем уравнения f(x) = 1, не равным 1. Значит,
уравнение f(x) = 1 имеет не менее 2 корней.
11 класс
Вариант 1
1. Найдите все такие целые числа тип такие, что имеет место
тождество /n(cosx-l)4-n2 = cos(/nx+n4)-1 при всех х € [0; л].
2. Докажите неравенство х2 — Зх3 < на луче -; +оо^.
оО . 4
3. Площадь прямоугольного треугольника равна S. Найдите
площадь треугольника с вершинами в основаниях перпенди-
куляров, проведенных из точки пересечения медиан данного
треугольника на катеты и гипотенузу.
4. При каких значениях х дробь
27х3 4- 6х2 - 37х + 4
27х3—21х2— 70х+8
можно сократить на 1998?
Решения
1. Рассмотрим х = 0, тогда получим и2 = cos и4 — 1. Отсю-
да следует, что п 0, то есть п = 0. А это означает, что
m(cosx — 1) = cosznx — 1.
Рассмотрим х = л. Тогда получим 1 — 2т = cos /пл. Так как
|cosmn| 1, то —1 1 — 2т 1 или 0 т 1. Отсюда, т = О
или т = 1. Оба эти значения т удовлетворяют уравнению
1 — 2т = cos/пл. Таким образом, задаче будут удовлетворять
две пары чисел (пг;*п): (0; 0) и (1; 0).
124
2. Пусть у = х2—Зх3. Тогда у'(х) = 2х-9х2 = х(2-9х). Поэтому
неравенство у'(х) < 0 выполняется при х 6 (—оо; 0) U +оо^.
1 2
Так как ± > §, то у'(х) < 0 на луче
ция у убывает на этом луче. А это означает, что
а значит, функ-
что и требовалось доказать.
Рис. 31
3. Пусть Д АВС — заданный треугольник с прямым углом при
вершине С и пусть АС = b и ВС = а (рис. 31). Пусть CD ± АВ
и CD = Ли пусть ZBAC = а. Тогда расстояния от точки М —
точки пересечения медиан ДАВС до сторон треугольника —
л bah
будут равны -, ip -,
а площадь искомого треугольника Si
равна
S1 = | (к • I + 2 • 4 • sin а + | - • cos а) .
\О ООО о о /
Но а sin а + Л cos а = с, где с — гипотенуза ДАВС. Следова-
тельно,
hc=I4 s-
4. Преобразуем исходную дробь:
27х3 + 6х2 — 37х + 4 = , + 27х2 + ЗЗх - 4 =
27х3 - 21х2 - 70х + 8 (х - 2)(27х2 + ЗЗх - 4)
= (х - 1)(27х2 + ЗЗх - 4)
(х - 2)(27х2 + ЗЗх - 4)’
125
откуда следует, что 27х2 4- ЗЗх — 4 = 1998 или 9х2 + 11х-
— 664 = 0. Корнями последнего уравнения являются = 8,
83
Х2 = — -д- (последнее не подходит, так как не является целым).
Таким образом, при х = 8 данную дробь можно сократить на
1998.
Вариант 2
1. Утром 1 января заведующий лабораторией математики на-
писал на доске числа 1 и 2. Затем он поручил лаборанту каждое
утро стирать написанные на доске числа и писать вместо них
их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Чему
будет равно произведение чисел, записанных на доске, днем
31 декабря? (Средним арифметическим чисел а и Ь называется
а 4- Ь 2 ч
число —, а их средним гармоническим — число .)
A 4- JL
а b
2. Могут ли две биссектрисы внешних углов треугольника пе-
ресечься на описанной около него окружности?
З. В десятичной записи семизначного числа нет нулей. Дока-
жите, что частное от деления этого числа на произведение его
цифр больше 2.
4. В пространстве отметили 9 точек. Оказалось, что их можно
спроектировать на некоторую плоскость так, чтобы их про-
екции слились в 3 точки, а можно (в другом направлении и
на другую плоскость) так, чтобы все их проекции слились в
4 точки. Докажите, что все отмеченные точки лежат в одной
плоскости.
5. Натуральные числа х и у таковы, что Зх2 4- х — 4у2 4- у.
Докажите, что число х — у является квадратом натурального
числа.
Решения
1. Произведение среднего арифметического и среднего гармо-
нического чисел а и b равно ab. Таким образом, произведение
чисел, записанных на доске, остается неизменным, и 31 дека-
бря будет таким же, каким было 1 января.
126
2. Допустим, что биссектрисы внешних углов при вершинах В
и С треугольника АВС пересекутся в точке Dt лежащей на опи-
санной окружности (рис. 32). Тогда сумма вписанных углов
ВАС и BDC равна 180 . С другой стороны,
Z.CBD = 18°° - и zbcb ~ 180°
Ct &
откуда
Z.BDC = 180° - ZCBD - ZBCB = ^СВА+ЛВСА
Получается, что
ZBAC + ZBPC = ZBAC + ^CBA + ZBCA = 180<=
Но из треугольника АВС получаем также, что
ZBAC + ZCBA + ЛВС А =180°.
Значит, ЛСВА 4- ЛВСА = 0°, что невозможно. ___________
3. Пусть данное число в десятичной записи имеет вид abedefg.
Тогда по условию
abedefg = Ю6д + Ю5& , 104с + 103d + 102е
abedefg abedefg abedefg abedefg abedefg abedefg
+_ = + io5 + io4 + io3 +
abedefg abedefg bedefg acdefg abdefg abcefg
+ 102 + 10 + 1 1111111 = 1111111 > 2
abedfg abedeg abedef 96 531441
127
4. Если 9 данных точек при некотором параллельном проекти-
ровании сливаются в три, то они лежат на трех параллельных
прямых а, Ъ и с. Если при другом параллельном проектиро-
вании они сливаются в четыре точки, то они вдобавок лежат
на четырех параллельных прямых d, с, f и g, не параллель-
ных трем первым. По принципу Дирихле, по крайней мере,
на одной из четырех последних прямых (пусть на прямой d)
лежит не менее трех отмеченных точек. Значит, она пересека-
ет все три прямые а, b и с. Рассмотрим плоскость, заданную
прямыми d и а. Прямые b и с ей параллельны (поскольку па-
раллельны лежащей в ней прямой а) и имеют с ней по общей
точке (там, где пересекаются с d). Значит, все три прямые а, b
и с лежат в одной плоскости, а вместе с ними там лежат и все
отмеченные точки.
5.Заметим, что Зх2 + х = 4у2+у 3(х2 — у2)4-х — у — у2 <=> у2 =
= (х — t/)(3x 4- Зу 4-1). Пусть число у делится на какое-либо про-
стое числор. Тогда на него делится либо число х—у, либо число
Зх 4- Зу 4-1, но не оба одновременно, ибо иначе на него делилась
бы и единица в силу равенства Зх 4- Зу 4-1 = 6t/ 4- 3(х — у) 4-1.
Таким образом, разложения чисел х — у и Зх 4- Зу 4- 1 на про-
стые множители не имеют общих сомножителей, а вместе да-
ют разложение на простые множители числа у2, в которые все
простые сомножители входят в четных степенях. Значит, в
разложение числа х — у все простые сомножители тоже входят
в четных степенях, то есть это число — квадрат натурального
числа.
।
Тексты некоторых районных и городских олимпиад Ар-
хангельской, Кировской, Новосибирской, Московской обла-
стей, Чувашской Республики можно найти в книге [22].
Так как совместить проведение математической олимпиа-
ды для учащихся 5-11 классов сложно, то можно определить
следующие примерные сроки проведения районных олимпи-
ад для учащихся разных классов:
9(8)-11 классы — ноябрь-декабрь; 5-7(8) кл. — февраль-
март.
В этом случае школьные олимпиады необходимо провести
соответственно в октябре-ноябре и январе-феврале. А вре-
128
мя между проведением школьной и районной олимпиадой ис-
пользуется для подготовки учащихся к проведению районной
олимпиады. Всей подготовкой к участию в районной олимпи-
аде занимается оргкомитет школьной математической олим-
пиады и учителя математики школы.
Проведение олимпиады
Кроме оргкомитета, в проведении олимпиад принимает
участие и жюри. В жюри городской (районной) олимпиады
наряду с некоторыми членами оргкомитета и школьными учи-
телями включаются и преподаватели вузов данного региона,
студенты (особенно для 5-8 классов). Создается для каждой
параллели классов свое жюри. Число членов жюри зависит
от числа участников олимпиады. Примерный состав его: 3-
7 человек. Обязательное требование — председатель жюри не
должен иметь среди участников своих учеников. Лучше всего
на эту роль подходят преподаватели вузов, техникумов, кол-
леджей, училищ. Все это надо хорошо продумать оргкомитету
олимпиады. Лучший вариант — в жюри включать лишь тех
учителей, кто не имеет своих учеников (ведь даже при шиф-
ровке работ учителя узнают работы своих учеников по почер-
ку). Состав жюри определяется накануне или перед началом
проведения олимпиады. А вот председатели жюри как всей
олимпиады, так и по параллелям классов лучше определять
заранее, ведь заявки от каждой из участвующих в олимпиаде
школ приходят заранее.
Число участников олимпиады от школы определяется в
соответствии с приказом заведующего отделом образования
города (района). В зависимости от числа школ участниками
могут быть как по одному, так и по три участника от школы.
Можно, конечно, сделать олимпиаду и открытой. Все опреде-
ляется конкретными условиями в каждом районе или городе.
Но если участников в параллели менее 10, то это снижает уро-
вень состязательности между участниками. Да и в этом слу-
чае практически все участники могут стать победителями или
призерами.
129
Примерная продолжительность выполнения олимпиад-
ной работы:
• 10-11 кл. — 4 ч.;
• 9 кл. — 3-4 ч.;
• 7-8 кл. — 2,5-3 ч.;
• 5-6 кл. — 1,5-2,5 ч.
Время выполнения олимпиадной работы будет зависеть
от трудности предлагаемых заданий, их числа, традиций в
регионе.
Когда проводить олимпиаду — вопрос не такой простой.
Хотя многие методисты рекомендуют проводить олимпиады
в выходной день, думаю, вряд ли это целесообразно. В неко-
торых школах одни и те же учащиеся являются победителя-
ми школьных олимпиад по нескольким предметам, поэтому
в случае их участия в нескольких районных олимпиадах эти
учащиеся фактически лишаются выходного дня. Поэтому це-
лесообразнее ряд олимпиад проводить в обычные дни (лучше
со вторника по четверг). Хотя каждый район решает это для
себя сам. Возможен вариант проведения олимпиады и в суб-
боту, но это последний день после напряженной недели и если
в пятницу участникам олимпиады не дать отдохнуть, вряд ли
они покажут наилучший свой результат. А в итоге ученики
пропускают два учебных дня при шестидневной рабочей не-
деле.
Начинать олимпиады лучше с 9 (10) часов после торже-
ственного открытия олимпиады и небольшого завтрака для
приехавших участников (в случае районной олимпиады). На
торжественном открытии олимпиады учащихся поздравляют
с участием в олимпиаде, знакомят с регламентом, правилами
поведения. Особо надо подчеркнуть то, что олимпиада — это
соревнование, а поэтому будут как победители, так и побеж-
денные.
Сами соревнования проводятся в больших аудиториях, где
представители школы, в которой проводится олимпиада, все
приготовили для проведения олимпиады: бумагу, запасные
ручки, карандаши.,При хорошем финансировании олимпиа-
130
ды можно сформировать специальные папки на память для
каждого участника.
Участников олимпиады желательно рассадить по одному
за столы, проследив, чтобы рядом не оказалось учеников из
одной школы. На каждый стол можно положить и текст олим-
пиадной работы, если эти тексты заранее приготовлены. Ва-
риант написания текста на доске, считаю, явно в современных
условиях устарел, да и это вызовет лишние вопросы особенно
у учащихся с плохим зрением, которых в школах становится
все больше. В случае большого числа учащихся и нехватки ка-
бинетов возможен вариант проведения олимпиады для 2 клас-
сов в одной аудитории. В этом случае учащиеся одного класса
садятся на первый вариант, а ученики другого класса — на
второй вариант.
При проведении олимпиады в аудитории не нужно при-
сутствовать всем членам жюри, достаточно двух (в крайнем
случае трех) человек: председателя жюри и представителя
оргкомитета. Остальные члены жюри в это время находят-
ся в другой аудитории, где продолжают решать предложен-
ные участникам олимпиады задания, находят другие вариан-
ты решения того или иного задания, обсуждают возможные
варианты числа выставления баллов за решение заданий.
При проведении олимпиады запрещается подход к участ-
нику олимпиады своего учителя. Поэтому лучше подходить к
ученикам (если это нужно очень) председателю жюри олимпи-
ады по данной параллели. Выходить участникам олимпиады
можно разрешить лишь один раз, и то в присутствии члена
жюри.
После окончания олимпиады желательно сразу или после
небольшого перерыва (учащиеся должны немного отдохнуть,
восстановить силы) провести разбор заданий олимпиады. Раз-
бор проводит один из членов жюри в то время, пока работы
участников олимпиады шифруются представителем оргкоми-
тета. Хотя в практике встречается и другой вариант: тексты
олимпиад разбираются в каждой школе на уроке или на заня-
тии кружка (факультатива).
131
Проверка заданий олимпиады
Проверяют и оценивают решения заданий районной олим-
пиады члены жюри. Желательно, чтобы в каждой параллели
их было не менее 3 человек. Одному учителю оценивать ре-
зультаты олимпиады нелегко, да и может сказаться субъек-
тивизм.
После окончания олимпиады члены жюри приступают к
проверке заданий олимпиады. Возможны два варианта про-
верки:
1) каждый член жюри проверяет только 1-2 задания из
текста олимпиады и карандашом оценивает каждое задание,
выставляя рядом с заданием определенное число баллов;
2) каждый член жюри проверяет несколько работ участ-
ников, оценивая все задания.
Оба варианта проверки имеют как плюсы, так и минусы.
Поэтому после проверки всех работ надо снова всем членам
жюри еще раз обсудить число баллов, выставленное за каждое
задание. Особенно это касается работ участников, претендую-
щих на призовые места. При количестве участников 15-25 и
числе членов жюри 3-5 человек вся работа по проверке может
занять не более 2 часов.
Задания городских (районных) олимпиад последние годы
оцениваются по единым нормам, исходя из 7 баллов за каждое
задание.
7 баллов ставится за верное решение, 6 баллов — за вер-
ное решение с недочетами. 4—5 баллов ставится за верное в
целом решение, но неполное или содержащее непринципиаль-
ные ошибки. 1—3 балла рекомендуется ставить за неверное в
целом решение, но есть более или менее существенное продви-
жение в верном направлении. И О баллов необходимо ставить
за неверное решение или его отсутствие. Например, решение
геометрической задачи, в которое требуется доказать, что дан-
ный треугольник является равнобедренным, оценивается в О
баллов, если ученик начинает решение данной задачи со слов
«Пусть треугольник АВС — равнобедренный ...».
132
Особенно жюри должно знать, что задание не может оце-
ниваться дробным числом баллов: 0,8;4,5ит.п.
Начать проверку необходимо с выяснения принципиаль-
ного вопроса: верно ли решена задача (тогда ставится 4-7 бал-
лов) или неверно решена задача (тогда ее решение оценивается
от 0 до 3 баллов).
Решение считается неполным в следующих случаях:
• если оно содержит основные идеи, но не доведено до конца;
• если оно при верной общей схеме рассуждений содержит
пробелы, то есть явно или скрыто опирается на недоказан-
ные утверждения, которые нельзя счесть известными или
очевидными.
Решение будет неполным, если ученик нашел не все спо-
собы, рассмотрел не все возможные варианты решения, но
большинство.
Исправления, помарки в решениях не учитываются,
по учитывается оригинальность решения. Вычислительные
ошибки в невычислительных задачах не считаются за прин-
ципиальные ошибки. При оценке заданий учитывается толь-
ко их правильность, полнота, обоснованность, идейность и
оригинальность. За нерациональность решения, как правило,
оценка за задание не уменьшается. Умение хорошо догадать-
ся на олимпиаде должно цениться выше, чем умение хоро-
шо изложить решение. Ответ, найденный логическим путем,
обычно оценивается выше, чем найденный подбором.
Жюри желательно смотреть и черновики. Причем при
небольшом количестве участников олимпиады работы могут
проверяться и в присутствии авторов. Недостатки, обнару-
женные в черновых записях, не учитываются, но учитывается
все, что может улучшить чистовик.
Иногда составители текстов олимпиад, облегчая работу
членам жюри, разрабатывают специальные методические ре-
комендации, где дают дополнительные указания по оценке то-
го или иного задания. В случае расхождения между общими
и дополнительными указаниями применяют дополнительные
указания. Но в случае противоречия между дополнительными
указаниями и реально сложившейся ситуацией на олимпиаде
133
жюри имеет право вносить изменения как в общие» так и п
дополнительные указания по оценке решений заданий.
Рекомендации по оценке заданий олимпиады
на примерах
1. Произведение цифр трехзначного числа равно 4. Найдите
все такие числа.
Решение. Произведение 3 цифр может быть равно 4 в сле-
дующих 2 случаях: либо одна из цифр равна 4, а две осталь-
ные — единицы; либо две из цифр равны 2, а одна — единице.
В итоге получаются такие числа: 411, 141,114; 122, 212, 221.
Всего получилось 6 чисел.
Тогда 7 баллов ставится за верное решение задачи. Непол-
ным решение будет, если рассмотрены оба варианта, причем
в каждом из вариантов указано не менее половины случаев.
А это означает, что в 5 баллов оценивается решение, когда
предложено 5 вариантов; а в 4 балла, когда предложено 4,
причем из каждого случая рассмотрено по 2 варианта. Если
предложено 4 (причем 3 варианта из одного случая) или ме-
нее вариантов, то решение в целом будет неверным. Оценить
в баллах найденное число вариантов решения можно так: 3
балла — 4 варианта (причем из каждого случая по 2 вариан-
та); 2 балла — найдено 2 или 3 варианта решения; 1 балл — за
1 вариант решения.
Чуть сложнее будет оцениваться такая задача:
1*. Произведение цифр четырехзначного числа равно 4. Най-
дите все такие числа.
Решение. Произведение 4 цифр может быть равно 4 в сле-
дующих 2 случаях: либо одна из цифр равна 4, а все осталь-
ные — единицы; две из цифр равны 2, а две — единице. В
итоге получаются такие числа: 4111, 1411, 1141,1114, 1122,
1212,1221, 2112,2121, 2211. Всего получилось 10 чисел.
134
Тогда 7 баллов можно поставить за верное решение зада-
чи, а 6 баллов за предложенные 9 вариантов (один вариант
ученик, по невнимательности, может упустить). Неполным
решение будет, если рассмотрены оба варианта, причем в ка-
ждом из вариантов указано не менее половины случаев. А это
означает, что в 5 баллов оценивается решение, когда пред-
ложено 8 вариантов; а в 4 балла, когда предложено 6 или 7
вариантов, причем из второго случая рассмотрено не менее 4.
Если предложено 5 или менее вариантов, то решение в целом
будет неверным. Оценить в баллах найденное число вариан-
тов решения можно так: 3 балла — 6 вариантов (причем из
второго 3) или 4-5 вариантов, но из обоих случаев; 2 балла —
найдено от 3 до 5 вариантов решения; 1 балл — за 1 или 2 ва-
рианта решения.
2. Решите уравнение: х4 — 7х3 + 14х2 — 7х + 1 = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на х2 (х — 0 не
является корнем уравнения), тогда получим уравнение
х2-7х+14-^+ Х = 0,
xz
которое преобразуем к уравнению
— 7 (х + 4- ( х2 + -^ ] +14 = 0.
\ хг. j
%
Введем новую переменную у = х + А и получим уравнение
У2 — 7 г/ + 12 = 0, которое имеет корни у\ = 4, у2 = 3. Тогда
о /о 3 ± v 5
Х1.2 = 2 ± УЗ, Хз,4 = —-—.
Если ученик при решении данного уравнения догадался,
что необходимо разделить обе части уравнения на х2, но даль-
ше продвинуться в решении не смог, то можно дать ему 1 балл;
а если догадался о введении новой переменной, ввел ее, а
дальше продвинуться не смог, то можно оценить его решение
уже 4 баллами. В 5 баллов можно оценить решение данного
уравнения, если ученик остановился на решении уравнения
у2 — 7у+12 = 0, а корни его обозначил по невнимательности за
135
*i, Х2. Шесть баллов можно дать за решение, в котором допу-
щена вычислительная ошибка в нахождении корней уравне-
ния. Абсолютно правильное решение оценивается 7 баллами.
3. В каждую клетку квадратной таблицы 25 х 25 вписано про-
извольным образом одно из чисел 1 или —1. Под каждым
столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом
столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех
чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 напи-
санных произведений не может оказаться равной нулю.
Решение. Перемножая все 50 произведений, мы полу-
чим 1, так как в каждое произведение любое из чисел войдет
2 раза. Тогда в число 50 сомножителей будет входить четное
число произведений с «—1» , а поэтому сумма четного числа
произведений с «1» и четного числа произведений с « — 1» не
будет равна 0 (25 — число нечетное, значит, одинакового чис-
ла слагаемых не будет).
В 7 баллов оценивается решение, где есть все обоснования.
За правильный ответ без какого-то обоснования предлагается
ставить 0 баллов. Решение задачи, в котором есть основная
идея — надо перемножить все 50 произведений, — можно оце-
нить 2 баллами. Если же ученик дополнительно использовал
понятия четности и нечетности, но обосновать полностью от-
вет не смог, то такое решение можно оценить 4 баллами.
Замечание: данная задача относится к числу таких, реше-
ние которых трудно оценить другими баллами. Как показали
итоги ее решения, чаще всего ученики получали 0 или 7 бал-
лов (что случалось крайне редко).
4. На окружности выбраны диаметрально противоположные
точки А и В и отличная от них точка С (рис. 33). Касательная
к окружности в точке А и прямая ВС пересекаются в точке D.
Докажите, что прямая, касающаяся окружности в точке С,
делит пополам отрезок АО.
Решение. Пусть МС пересекается с АО в точке Е. Тогда
АЕ = СЕ как отрезки касательных, проведенных к окружно-
сти из одной точки. Выполним дополнительное построение:
136
в
проведем АВ и ОС. Так как ОВ — ОС, то Z.OBC = Z.OCB. Так
как прямые ОС и СЕ перпендикулярны, то
ZJECD = Z.BCM = 90° - ZOCB = 90° - ZOBC.
Рассмотрим треугольник ABD'. Z.BDA = 90 1 — Z.OBC, значит,
Z.BDA = Z.ECD, а значит, треугольник ECD — равнобедрен-
ный, поэтому СВ = DE. Но так как АЕ = СВ, то АЕ = DE.
Решение задачи оценивается 4 баллами, если ученик вер-
но выполнил дополнительное построение, доказал равенство
отрезков АВ и DE, но не объяснил промежуточных обоснова-
ний (их здесь много), в 5 баллов — если доказал требуемое,
но не объяснил 1-2 выводов. Если ученик обосновал равен-
ство отрезков АЕ и СЕ (или углов ОСВ и ОВС), то можно дать
ему 1 балл, если же дополнительно доказал и равенство углов,
которые указаны в решении, то можно уже такое решение
оценить в 3 балла. В 7 баллов оценивается решение со всеми
обоснованиями.
5. Сколькими нулями оканчивается произведение
1 • 2 •• 2001 • 2003?
Решение. Так как в произведении содержится (400 + 80 +
+ 16 + 3) пятерки, то произведение оканчивается 499 нулями.
Верное решение со всеми обоснованиями оценивается в
7 баллов. Если ученик догадался, что число нулей зависит от
137
числа пятерок, но не смог дальше продвинуться, такое реше
ние можно оценить 2 баллами. Решение, в котором подсчита-
но лишь число нулей, получающееся от перемножения чисел
с нулями на конце, оценивается лишь 1 баллом. Других вари-
антов оценивания может и не быть.
6. Можно ли разбить равносторонний треугольник на 2002 рав-
носторонних треугольника (возможно, не всех равных между
собой)? Если можно, то как? Если нет, то объясните, почему?
Решение. Равносторонний треугольник на 2002 равносто-
ронних треугольника разделить можно. Пусть АВС — исход-
ный треугольник (рис. 34). План построения:
1. Отложить AM = АВ.
2. Провести MNy параллельную АС.
3. На АС отложить 1001 отрезок, равный AM.
4. Из точек Ai,A2, ...,Аюоо провести прямые, параллель-
ные прямой АВ.
о. В полосе AMNC получается 2001 треугольник, они все
равносторонние и равны между собой, а 2002-й треугольник —
это /\MBN.
138
Неверный ответ или правильный ответ без рисунка и об-
оснований оценивать 0 баллов. Если ученик дал правильный
ответ и догадался, что 2001 треугольник будет в полосе, то
можно дать за это решение 4 балла. Если все построения объ-
яснены, есть чертеж, но не обосновано, почему получаются
равные треугольники, то решение можно оценить 5 баллами.
В случае правильного решения задачи со всеми обоснования-
ми, ставится 7 баллов.
7. Разделите прямоугольник 3 х 4 на две равные части. Найдите
как можно больше способов. Разрезать можно лишь по стороне
квадрата 1 х 1 и способы считаются разными, если получаемые
фигуры не будут равными при каждом способе.
Решение. Всего существует 5 вариантов (рис. 35).
Рис. 35
За все найденные варианты решений ставится 7 баллов,
за все найденные решения, но неточные построения ставится
6 баллов. Если найдено 4 решения, то оценивается 5 баллами, а
если всего 3, то 4 баллами. За найденное 1 решение — 1 балл, за
2 решения (если это с, или в, или г — более простые случаи) —
139
I
2 балла. И 3 балла можно поставить за 2 случая, но из них есть
случай б или д (они наиболее трудные).
Конечно, предложенные варианты оценки заданий олим-
пиады являются примерными. Число баллов ставит жюри, им
виднее. Главное, чтобы при проверке работ учащихся оцени-
валась деятельность учащихся, идеи (хотя и не доведенные
до конца), а не только правильность и неправильность реше-
ний. Тогда и не будет в протоколах олимпиад только 0 и 7 бал-
лов.
После проверки всех работ лучшие работы еще раз пере-
проверяются несколькими членами жюри для более объек-
тивной их оценки. После выяснения всех спорных вопросов,
проставления итоговых баллов за каждое задание и общего чи-
сла баллов заполняется протокол олимпиады. Фамилии уча-
щихся вписываются только после заполнения всех остальных
столбиков.
Пример. Протокол проведения городской олимпиады по математике
Протокол проведения городской олимпиады по математике
среди учащихся 5 классов школ города Коряжмы
Архангельской области 17.04.01. г.
№ п/п Шифр Фамилия, имя ученика Школа Класс Число бал- лов за каж- дое задание Сумма баллов Место
1 2 3 4 5 6
1
2
3
• • • •
38
Председатель жюри класса:
Члены жюри:
Замечания:
1. Иногда в протокол вставляется и столбик с фамилией,
инициалами учителя, обучающего ученика.
2. Столбик «число баллов за каждое задание» может отсут-
ствовать. Думаю,* это не совсем правильно, так как наличие
140
данного столбика позволит рассчитать трудность каждого из
заданий, увидеть, какие задания не могут решать учащиеся
района, конкретной школы.
Подведение итогов олимпиады
Отличием олимпиад от спортивных соревнований явля-
ется то, что здесь победителей и призеров может быть не по
одному на параллель. Как бы жюри ни оценивало задания,
от субъективного мнения все равно не избавиться. Поэтому
можно порекомендовать следующие примерные границы для
определения победителей и призеров олимпиад:
• 1 место присуждать тем учащимся, которые набрали бо-
лее 75 (60%) баллов от максимально возможного числа
баллов;
• 2 место — если участники набрали 60-75 (50-60)%;
• 3 место присудить тем участникам, которые набрали 50-
60 (40-50)% от максимального числа баллов.
Можно поощрить и учащихся, занявших 4-5 места, осо-
бенно это целесообразно в 5-6 классах.
Сколько всего может быть призеров и победителей олим-
пиады в параллели? Большинство методистов говорят о том,
что примерно треть участников районной олимпиады может
быть поощрена, то есть может занять какое-то место или полу-
чить поощрительный приз. А собственно призеров может быть
до 20% (а иногда и до 40%, особенно в 5-6 классах). Причем,
как уже упоминалось, какие-то места могут занять и по 2-3
ученика. Все зависит от конкретной ситуации.
Допустим, что среди 30 участников олимпиады результа-
ты лучших участников будут: 28 б., 24 б., 23 б., 22 б., 19 б.,
16 б. и т. д. (из 35 максимальных баллов). Тогда в соответствии
с предложенными границами и тем, что разница в 1-2 балла не
является очень существенной (все же оценивают результаты
люди), на 1 место можно вывести ученика, набравшего 28 б.
А на 2 месте будет 3 ученика с 24 б., 23 б., 22 б.; и на третьем
месте будет один ученик с 19 б. Всего получилось 5 призеров.
141
В практике подведения итогов иногда случаются и немного ку-
рьезные случаи, когда максимальное число баллов набирает 5
и более человек (такой случай произошел и с автором, когда он
был в числе одного из 5 победителей районной олимпиады по
математике в 5 классе). Как быть? Конечно, всем присвоить
первое место. Ученики не виноваты в том, что текст олимпиа-
ды был составлен не в соответствии с требованиями.
Намного сложнее поступить жюри в том случае, если из
участников олимпиады никто больше одной-двух задач ре-
шить не смог (такое последние годы часто происходит в Ар-
хангельской области из-за очень трудных текстов олимпиад
для учащихся 9-11 классов). Выходов здесь несколько, но,
думаю, правильный все же один: должны быть хотя бы при-
зеры (сколько, решит жюри). Ученики не виноваты в том, что
им предложили такой нерешаемый текст. А жюри олимпиады
необходимо заранее предусмотреть такой вариант и заменить
некоторые из задач на более доступные для учащихся данного
района или города. Конечно, лучше бы такого не было.
Жюри может установить и поощрительные места, призы.
Например, за самое оригинальное решение какой-то задачи,
самому молодому, самому опытному участнику и т. д.
Жюри может подвести и итоги официального или неофи-
циального первенства между школами.
Желательно, в тот же день провести награждение победи-
телей (особенно это касается районного тура); а участникам,
пока жюри проверяет работы, предложить развлекательную
программу. Хорошо бы организовать и горячее питание или
работу буфета. В качестве развлекательной программы может
быть как КВН, так и концерт, дискотека, экскурсия по горо-
ду и т. п. Все хорошо к месту. Отсрочивать подведение ито-
гов нежелательно: кроме лишней нервотрепки для учащихся,
может быть и много неприятного для самих учителей. На-
чинаются выяснения, а почему у такого ученика столько-то
баллов, а у такого-то столько. Необходимо знать, что никакие
апелляции по олимпиадам не принимаются после подписания
протокола и принятия решения о призерах и победителях.
142
В качестве поощрений победителям и призерам вручаются
грамоты районного (городского) отдела образования и призы.
В качестве призов могут быть предложены и книги. Победи-
тель олимпиады (среди тех классов, в которых проводится сле-
дующий тур) также получает приглашение принять участие
в третьем туре Всероссийской олимпиады (областной, или ре-
спубликанской, или краевой). В случае нескольких победите-
лей участника следующего тура определяет жюри, учитывая
и другие факторы (это может быть число набранных баллов и
место победителя в школьной олимпиаде, какие номера вы-
полнены победителем, опыт участия его в областных соревно-
ваниях и многое другое).
Само награждение лучше провести в одном из лучших
помещений школы, где проводится олимпиада. На эту тор-
жественную часть желательно пригласить спонсоров, выда-
ющихся деятелей науки, работников различных организа-
ций, которые были в школьные годы победителями районных
олимпиад.
Желательно итоги районных олимпиад осветить и в рай-
онной прессе.
В практике подведения итогов олимпиад встречается и та-
кой подход, когда победителей всех предметных олимпиад в
городе приглашают на торжественное специальное мероприя-
тие, где и происходит их чествование. Также некоторые шко-
лы для победителей и призеров олимпиад устанавливают де-
нежные премии, которые вручаются учащимся в конце года
или полугодия.
В дальнейшем победители районных (городских) олим-
пиад становятся участниками третьего этапа всероссийских
олимпиад — областных (республиканских, краевых). По ре-
зультатам же последнего этапа — всероссийской олимпиады
определяется состав сборной России для участия на между-
народных математических олимпиадах, на которых ученики
России стабильно показывают высокие результаты, правда
пропуская в последние годы вперед лишь сборную Китая.
143
Нестандартные олимпиады по математике
В последние годы в школах наряду с традиционными
школьными олимпиадами проводятся и нетрадиционные фор-
мы математических олимпиад, которые наряду с решением
математических задач содержат и элементы игры, спортивно-
го соревнования. К таким нетрадиционным формам олимпиад
относятся:
• конкурс тяжеловесов;
• математическая эстафета;
• математическая лапта;
• математический хоккей;
• математический лабиринт и некоторые другие.
Рассмотрим методику подготовки и проведения данных
нетрадиционных олимпиад.
Конкурс тяжеловесов
Целью данного конкурса-олимпиады является обучение
учащихся оценивать свои возможности; применять получен-
ные знания на практике.
В основе правил проведения данного конкурса лежат пра-
вила спортивных соревнований штангистов. Жюри для про-
ведения конкурса готовит задания различной трудности (по
несколько заданий для каждой группы). Каждая группа оце-
нивается определенным весом: начать можно с 10 кг, затем
20 кг, 30 кг, .... Данные задачи записываются на карточках и
раскладываются на столе жюри. Перед каждой группой степе-
ни сложности ставится табличка с обозначением веса. Участ-
ники олимпиады должны набрать при выполнении заданий
максимальную сумму веса. При этом начинать они могут с
задачи любого веса, могут пропускать веса, все как в соревно-
вании штангистов. Если задача решена правильно, то ученик
берет задачу следующую, но большего веса. Если задача ре-
шена не правильно или ученик не мог ее решить, то ученик
берет задачу того же веса (делает вторую попытку). Сколько
144
попыток давать — решает жюри, но лучше ограничить 2 или
3 попытками. Если же со второй или третьей попытки ученик
«не смог взять вес», то ему засчитывается последняя правиль-
но решенная задача, он «поднял вес, например, 30 кг». Ученик
имеет право пропускать вес, например, после решения задачи
в 20 кг, сразу перейти к задаче в 40 кг и т. д. Победителем счи-
тается ученик, набравший больше всего вес. При равенстве
весов можно посчитать число попыток, выигрывает ученик,
сделавший меньшее число попыток. Для удобства судейства
лучше вести такую таблицу:
№ п/п Фамилия, имя ученика Вес Место
10 кг 20 кг 30 кг 40 кг 50 кг 60 кг
Попытки
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Когда ученик возьмет задачу, судья ставит напротив его
фамилии в соответствующем столбике —, а если задача решена
верно, то ставится +. Имея такую таблицу, хорошо видно, как
идет конкурс, а также легко подвести итоги.
Данную разновидность нетрадиционной олимпиады луч-
ше использовать как личную олимпиаду. Но можно сделать и
командной между классами, школами, суммируя веса 3 луч-
ших участников. Также можно внести изменения в методику
ее проведения, ограничив конкурс числом попыток (5-10) или
временем на решение взятой задачи.
Рассмотрим пример конкурса тяжеловесов для учащихся
6 класса, в который в качестве наиболее трудных задач вклю-
чены и олимпиадные задачи.
Примеры
Задания, оцениваемые весом 10 кг
1. За книгу заплатили 60 руб. и еще £ стоимости книги. Сколь-
о
ко стоит эта книга?
145
Решение. Так как за книгу заплатили 60 руб. и еще стои-
О
мости книги, то 60 руб. будет стоить книги. Тогда вся книга
о
будет стоить 90 руб.
2. Брату и сестре понравилась на почте почтовая марка. Но
для покупки ее брату не хватает 20 руб., а сестре — 14 руб.
Когда они сложили деньги вместе, то оказалось, что для по-
купки марки все равно не хватает 4 рублей. Сколько стоила
эта марка?
Решение. Пусть марка стоит х руб. Так как брату не хвата-
ет для покупки марки 20 руб., то у него денег было (х — 20) руб.
Аналогично — у сестры денег было (х —14) руб. Так как вместе
им не хватает для покупки марки 4 руб., то денег вместе у них
будет (х — 4) руб. Решая уравнение х — 20 + х — (—14) = х — 4,
находим х = 30 (руб.).
3. Который сейчас час, если оставшаяся часть суток равна
9
1- прошедшей?
О
Решение. Обозначив прошедшую часть суток за х, полу-
чим, что оставшаяся часть суток равна 1^х. Из уравнения
9
х + 1^х = 24, находим х = 9. Таким образом сейчас 9 ч.
О
4. Сосчитайте число квадратов на рис. 36.
Решение. Квадратов площадью в 1 квадратик на рисун-
ке — 9, в 4 квадратика — 4, в 9 квадратиков — 1. Итого, всего
Задания, оцениваемые весом 20 кг
1. Запишите все четырехзначные числа, составленные из цифр
0 и 1. Сколько всего можно записать таких чисел?
146
Решение. 1111, 1110, 1101, 1100, 1011,1010, 1001, 1000,
всего 8 чисел.
2. Сколько треугольников на рис. 37?
Решение. Начнем с самых маленьких треугольников: их 8.
Треугольников площадью в 2 раза больше — 14. Треугольни-
ков площадью в 3 раза больше самого маленького треугольни-
ка — 4 (они прямоугольные). Наконец, самых больших тре-
угольников — 2. Итого, всего 28 треугольников.
3. В концертном зале 26 рядов по 24 места в каждом. Все места
пронумерованы по порядку, начиная с первого ряда. В каком
ряду находится место с номером 375?
Решение. Так как 375 = 24-15+15, то 375 место находится
в 16 ряду.
4. Хозяин нанял работника па год и обещал ему дать 12 рублей
и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, захотел уйти. При
расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоил кафтан?
Решение. Так как работник не доработал 5 месяцев и не
дополучил 7 рублей, то его зарплата в месяц была 1 рубль
40 копеек. Тогда за год работник должен был получить 16 руб-
лей 80 копеек. Так как хозяин обещал работнику 12 рублей и
кафтан, то кафтан стоил 4 рубля 80 копеек.
Задания, оцениваемые весом 30 кг
1. На рис. 38 изображены фигуры, причем 1, 2, 3 и 4 являются
квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см,
периметр второй — 24 см. Найдите периметр фигуры 4.
2
Рис. 38
Решение. Так как периметр первой фигуры равен 16 см,
то сторона первого квадрата будет равна 4 см. Соответствен-
но сторона второго квадрата будет равна 6 см. Тогда сто-
рона третьего квадрата будет 10 см, а сторона четвертого
147
10 + 6 = 16 (см). А это означает, что периметр фигуры 4 равен
64 см.
2. Сколько различных по величине углов можно увидеть на
рис. 39?
Решение. Имеется8углов: 15°, 20°, 35°, 55°, 70°, 90°, 110°,
125°.
3. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую
секунду он управился с половиной памяти, за вторую секун-
ду — с одной третью оставшейся части, за третью секунду —
с четвертью того, что осталось, за четвертую — с одной пя-
той остатка. И тут его спас могучий Антивирус. Какая часть
памяти компьютера уцелела?
Решение. После первой секунды осталось i памяти, за вто-
рую секунду было уничтожено £ • ± ± памяти. После двух
2 о о
111
секунд памяти осталось — — — = —. В третью секунду вирус
2 о о
уничтожил — памяти, значит, осталось памяти: i — -Д- = i
12 о 12 4
А за четвертую секунду было уничтожено всей памяти.
_ 111
Поэтому осталось памяти 4 — ^ = 4.
4 20 5
4. Диагональ делит четырехугольник с периметром 26 см на
два треугольника с периметрами 22 см и 18 см. Найдите длину
этой диагонали.
Решение. Сумма периметров треугольников дает в итоге
сумму периметра четырехугольника и удвоенную длину диа-
гонали. Тогда длина диагонали будет равна
((22 + 18) - 26): 2 = 7 (см).
148
Задания, оцениваемые весом 40 кг
1. Ладья стоит на поле al. За один ход разрешается сдвинуть
ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток
вверх. Выиграет тот, кто поставит ладью на поле 7i8. Кто из
игроков обладает выигрышной стратегией?
Решение. Выигрышной стратегией обладает игрок, кото-
рый ходит вторым. При любом ходе первого игрока он своим
ходом возвращает ладью на диагональ al-h8.
2. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и свар-
щик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет
ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов
старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии
слесаря, токаря и сварщика.
Решение. Так как Семенов старше токаря, то Семенов — не
токарь. Так как слесарь — самый младший, то он не Семенов.
Остается, что Семенов — сварщик. Так как Семенов женат
на сестре Борисова, а слесарь сестер не имеет, то Борисов —
не слесарь. Тогда Борисов — токарь. Остается, что Иванов —
слесарь.
3. Как, имея 2 банки емкостью 3 и 5 литров, набрать из водо-
проводного крана 1 литр воды?
Решение. Решение задачи записано в виде таблицы.
3 литра 0 3 0 3 1
5 литра 0 0 3 3 5
4. Машинистка, перепечатывая текст в 12 страниц, допусти-
ла 38 ошибок. Докажите, что найдется страница, на которой
машинистка сделала более 3 ошибок.
Решение. Пусть машинистка сделала на каждой страни-
це не более 3 ошибок. Так как страниц всего 12, то ею было
сделано не более 36 ошибок. По условию же машинистка сде-
лала 38 ошибок. Получили противоречие. Значит, на какой-то
странице машинистка сделала больше 3 ошибок.
Задания, оцениваемые весом 50 кг
1. Найдите самую большую сумму цифр суммы цифр трехзнач-
ного числа.
149
Решение.. 10. Эта сумма цифр суммы цифр, например, чи-
сла 991. (Характерная ошибка — 9, так как наибольшее трех-
значное число 999).
2. Одну из сторон прямоугольника увеличили на 25%. На
сколько процентов надо уменьшить другую сторону, чтобы
площадь прямоугольника не изменилась?
Решение. При увеличении стороны прямоугольника на
25% площадь прямоугольника увеличилась на 25% и стала
125%. Чтобы вновь площадь прямоугольника стала 100%, на-
до уменьшить другую сторону на 20%, так как 25% от 125%
составляет именно 25%.
3. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты,
а 7 наполнены наполовину, на 3 автомобиля так, чтобы на всех
автомобилях было поровну бочек и кваса?
Решение. Возможные варианты приведены в таблицах.
Способ I
Автомобили Бочки, полные кваса Бочки, на- полненные наполовину Пустые бочки
I 2 3 2
II 2 3 2
III 3 1 3
Способ II
Автомобили Бочки, полные кваса Бочки, на- полненные наполовину Пустые бочки
I 3 1 3
II 3 1 3
III 1 5 1
4. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов,
имеющих общую сторону. Его периметр равен 18 см. Найдите
площадь прямоугольника.
Решение. Периметр прямоугольника складывается из
6 сторон квадрата; поэтому его сторона будет равна 18:6 =
150
•= 3 (см). Тогда площадь квадрата будет равна 9 см2, а площадь
прямоугольника 18 см2.
Задания, оцениваемые весом 60 кг
1. Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том же
или противоположном направлении, затем в том же или про-
тивоположном направлении на 5 см и т. д. Может ли он после
25-го прыжка оказаться в исходной точке.
Решение. Кузнечик не может оказаться в исходной точке,
так как сумма чисел ±1; ±3; ±5;±25 является нечетной.
2. Петя и Вася договорились встретиться в 17.00. Люди они
точные. Но у Пети часы спешат на 10 минут, а он думает, что
они отстают на 5 минут. У Васи часы отстают на 15 минут, а
он думает, что они спешат на 5 минут. Кто из ребят придет на
встречу первым, и сколько времени он будет ждать товарища?
Решение. Так как Петя человек точный, и он считает, что
его часы отстают на 5 минут, то он придет на встречу, когда на
них будет 16.55. На самом деле будет 16.45, так как часы спе-
шат на 10 минут. Вася, который думает, что его часы спешат
на 5 минут, придет, когда на них будет 17.05. На самом же де-
ле уже будет 17.20, так как у него часы отстают на 15 минут.
Таким образом, первым придет Петя в 16.45 и будет ждать
Васю 35 минут.
3. Можно ли из фигурок, изображенных на рис. 40, сложить
квадрат? Фигурки можно брать в неограниченном количестве.
Рис. 40
Решение. Из данных фигурок можно сложить прямо-
угольник размером 2 х 5, а из 10 прямоугольников размером
2x5 можно получить квадрат размером 10x10.
4. Медведь, волк и лиса разговаривали на поляне. Медведь ска-
зал: «Лиса не самая хитрая», лиса сказала: «Я хитрее медве-
дя». Волк же сказал: «Лиса хитрее меня». Впоследствии ока-
151
залось, что два зверя сказали правду, а самый хитрый солгал.
Кто самый хитрый из зверей?
Решение. Пусть самый хитрый будет медведь. Тогда он
солгал, сказав, что лиса не самая хитрая. Поэтому лиса долж-
на быть самой хитрой. Но медведь и лиса не могут быть од-
новременно самыми хитрыми. Значит, медведь не самый хит-
рый из зверей. Значит, медведь сказал правду, что лиса не
самая хитрая. Тогда остается, что волк — самый хитрый. Вы-
ходит, что действительно волк солгал, сказав, что лиса хитрее
его. И лиса солгала. Все совпадает.
Математическая эстафета
Является командным соревнованием. Проводить лучше
на улице или спортзале. Участок длиной, допустим, 50 м раз-
бивается на этапы длиной по 10 м. На каждом этапе находится
судья. На каждом этапе у судьи имеется несколько конвертов
с заданиями и жетоны разного цвета или формы. Число кон-
вертов соответствует числу участвующих команд. На старте
первый член команды получает от судьи конверт с заданием,
по сигналу судьи вытаскивает карточку и приступает к реше-
нию задачи. Решение пишется на обратной стороне карточки.
Задания могут быть как одинаковыми для всех участников,
так и разными, но одинаковой трудности. Решение задачи
должно быть небольшим. Ученик, решивший задачу, сразу
же отдает свое решение судье. При правильном решении су-
дья дает игроку соответствующий жетон, и игрок бежит свой
этап, передавая жетон второму номеру своей команды, кото-
рый одновременно с получением жетона от первого номера по-
лучает и конверт (или карточку) от судьи. При неправильном
решении задачи первый номер команды не получает жетона
и просто пробегает свой этап. На втором этапе вторые номера
решают предложенные им задачи, в зависимости от правиль-
ности или неправильности решения задач получают или не по-
лучают жетоны, которые они передают третьим номерам сво-
их команд. Далее все повторяется. Последний участник эста-
феты, пробежав свой этап, передает все завоеванные жетоны
152
главному судье. Победитель определяется с учетом числа вер-
но решенных задач и времени, затраченного на решение и бег.
Приоритет должен быть отдан правильности решенных задач.
Правильное решение задачи может оцениваться 5(7) баллами
в соответствии с рассмотренными до этого критериями оценки
олимпиадных заданий по математике.
Протокол соревнования может быть такого типа.
№ п/п Название команды Время Очки Место
Пример. Набор заданий для проведения эстафеты для учащихся 6 класса
1. Строительный кирпич имеет массу 4 кг. Чему будет равна
масса кирпича, если все его размеры уменьшить в 5 раз?
2. Выписать наибольшее число четырехзначных чисел, сумма
цифр которых равна 3.
3. К задуманному числу прибавили 3, результат разделили
на 4, получили 4. Какое число было задумано?
7
4. В двух классах 70 учеников. В одном классе — учеников за-
болели гриппом, а в другом — учится на «4» и «5». Сколько
учеников в каждом классе?
5. Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое
должны разделить квас поровну. Но у них есть только два
пустых бочонка, в один из них входит 5 ведер кваса, а в дру-
гой — 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить квас,
пользуясь только тремя бочонками.
6. Разрежьте прямоугольник по прямой линии на две части
так, что бы из них можно было сложить треугольник.
7. Имеется 19 каменных глыб весом 1,2 т каждая и 47 глыб ве-
сом по 1,1 т. Начальник станции хочет погрузить их в 2 вагона
так, чтобы общий вес камней в каждом из них был одним и
тем же. Сможет ли он сделать это, не дробя камней?
153
Решения и ответы
1.32 г. 2. Всего 10 чисел: 3000, 2100, 2010, 2001,1200, 1020,
1002,1110,1011,1101. 3.13. 4.34 и 36 учеников.
5. См. таблицу.
5 л 0 3 3 5 0 1 1 4
3 л 3 0 3 1 1 0 3 0
6. Необходимо разрезать треугольник по прямой, проходящей
через вершину прямоугольника и середину стороны прямо-
угольника.
7. Общий вес глыб равен 74,5 т. Чтобы разложить поровну их
в 2 вагона, должно в каждом вагоне быть по 37,25 т. Но вес
глыбы кратен 0,1 т, а числа 37,25 т — нет. Поэтому глыбы
требуемым образом разложить нельзя.
Математическая лапта
Данная разновидность нестандартных математических
олимпиад напоминает русскую народную игру — лапту. Игра-
ют в нее 2 команды. Правила данной игры следующие. В на-
чале игры происходит вбрасывание мяча. Капитан команды,
поймавший мяч, начинает игру. Из урны, в которой лежат
пронумерованные мячи, достается мяч. Вся команда, капи-
тан которой достал мяч, начинает выполнять задание под дан-
ным номером. Параллельно вторая команда тоже начинает
решать это же задание (может решать из второй команды за-
дание лишь игрок под тем же номером, что и мяч). Если бы-
стрее решит первая команда, то ей зачисляется число баллов
за решенную задачу, а дополнительно первая команда забира-
ет «раба» — того члена второй команды, который решал зада-
чу, но не решил ее раньше первой команды. Если же первым
задачу решит игрок второй команды, то очки записываются
второй команде, капитан второй команды берет теперь шар
из своей урны. И, дополнительно, вторая команда берет себе
«раба» из первой команды. Игрок, попавший в рабство, заин-
тересован в решений заданий, которые выполняет та команда,
154
у которой он в рабстве. Ведь если он решит задачу раньше всех
своих «господ», то он возвращается в свою команду вместе с
баллами и одним из своих «господ».
Если команда вынула мяч, а игрок с этим номером у нее
в «рабстве», то «раб» называет номер любого игрока из своей
команды, который может его выручить быстрым решением.
В противном случае — этот игрок сам становится «рабом».
Игра заканчивается в следующих случаях:
• одна из урн оказалась пустой (в этом случае побеждает
команда, у которой больше всего баллов);
• все игроки одной из команд попали в «рабство» (тогда по-
беждает оставшаяся команда).
Для проведения математической лапты нужен судья и по-
мощники, которые должны быстро проверять ответы решен-
ных заданий. Для большей эмоциональности можно приду-
мать «рабам» цепи (специальные колпаки). «Господам» же,
взявшим «рабов», надеть медали или шляпы.
Рассмотрим набор задач для проведения математической
лапты для учащихся 6-8 классов.
Пример. Набор задач для проведения
математической лапты для учащихся 6-8 классов
1. Олег, Коля и Ваня живут в одном доме. Каждый из них за-
нимается музыкой: пением, игрой на скрипке или пианино.
Известно, что:
1) Коля живет на том же этаже, что и певец;
2) Пианист и Олег ходят в разные классы;
3) Олег и певец родились в одном месяце.
Чем занимается каждый из мальчиков?
2. В четырехэтажном доме в одном подъезде, но на разных эта-
жах, живут четыре мальчика: Сережа, Игорь, Андрей и Коля.
Определите, кто на каком этаже живет, если известно, что
Сережа живет выше Игоря, но ниже Андрея. Андрей, когда
ему становится скучно, спускается играть к Коле, а Сережа
поднимается к Коле, чтобы пригласить его на прогулку.
3. На столе поставлены в ряд бутылка, кружка, чашка, стакан
и кувшин, причем в таком порядке, в каком они перечислены.
В них находятся различные напитки: кофе, чай, молоко, квас
155
и минеральная вода, но неизвестно, какой напиток и в какой
посуде. Если стакан поставить между чаем и молоком, то по
соседству с молоком будет квас, а кофе будет точно в середине.
Определите, в какую посуду что налито.
4. В розыгрыше первенства по волейболу команда А отстала от
команды Б на три места, команда Е отстала от Д, но опереди-
ла Б. Команда В же опередила команду Г. Какое место заняла
каждая из этих шести команд?
5. Виктор нашел 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно,
что среди любых 12 грибов имеется хотя бы 1 рыжик, а среди
любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и
груздей собрал Виктор?
6. В комнате находятся три мальчика: Олег, Дмитрий и Ти-
мофей. Известно, что каждый из них либо всегда лжет, либо
всегда говорит правду. На вопрос: «Сколько лжецов среди тро-
их в этой комнате? » — Олег ответил, что один, Дмитрий — что
два, а Тимофей — что три. Сколько лжецов среди этих маль-
чиков? Кто из них является лжецом? (Каждый из мальчиков
знает, кем — лжецом или правдивым — является любой из
них.)
7. Два года назад Вася был в 2 раза моложе своего брата Пети,
а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет
братьям сейчас?
8. Маша и Ваня выписывают двенадцатизначное число, ставя
цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите,
что какие бы цифры ни писал Ваня, он всегда сможет добить-
ся, чтобы получившееся число делилось па 4.
9. Можно ли на доске 7 х 7 с вырезанными угловыми клетками
разложить шнур так, чтобы он не проходил через вершины
клеток и в каждой клетке побывал один раз?
Решения и ответы
1. Ваня — певец, Олег — скрипач, Коля — пианист.
2. Игорь — на первом этаже, Сережа — на втором этаже, Ко-
ля — на третьем этаже, Андрей — на четвертом этаже.
З.Чай в кружке, молоко в чашке, кофе в стакане, квас в кув-
шине, минеральная вода в бутылке.
156
4.1— Д, 2 — Е, 3 — Б, 4 — В, 5 — Г, 6 — А.
5. Груздей — 11, рыжиков — 19.
6. Лжецов — двое, ими являются Олег и Тимофей.
7. Сейчас Васе — 4 года, а Пете — 6 лет.
8. Если Маша одиннадцатым ходом запишет четную цифру,
то Ваня своим последним ходом пишет 4; если же Маша за-
(писывает нечетную цифру, то Ваня пишет цифру 2. В обоих
случаях записанное число будет делиться нацело на 4.
9. Произведем шахматную раскраску доски (рис. 41).
Заметим, что при выполнении требуемых условий шнур
будет соединять 2 клетки разного цвета. Поэтому вдоль шну-
ра цвет клеток должен чередоваться, а значит, число клеток
одного цвета должно отличаться отчисла клеток другого цвета
не более чем на 1. Но на данной доске эти числа будут отли-
чаться на 3, так как вырезанные клетки будут все одного цве-
та. Следовательно, разложить шнур требуемым образом будет
нельзя.
Математический лабиринт
Математический лабиринт является разновидностью лич-
ной олимпиады.
Для проведения данной нестандартной олимпиады требу-
ется заранее приготовить 10-15 кубов и столы в кабинете,
157
расставленные специальным образом. Среди этих столов есть
столы — узлы лабиринта (их 7-10 шт.), стол выдачи талонов,
контрольный стол, стол справок. Между всеми столами есть
проходы для участников игры. Участникам игры выдаются
талоны с написанными на них номерами. Получив талоны,
участники олимпиады начинают поиск куба, на одной из гра-
ней которого написано то число, которое указано на талоне.
Найдя куб с данным числом, участник выполняет задание с
этой грани куба. Число-ответ задачи он находит на грани дру-
гого куба и выполняет задание с него. После выполнения се-
рии заданий (число которых известно ученикам) участники с
последними ответами подходят к контрольному столу и све-
ряют свое число с контрольным числом. Если число на талоне
и ответ ученика совпали, то лабиринт считается пройденным.
Если числа не совпадают, то ученик должен вернуться и по-
пытаться найти ошибку.
Стол справок предназначен для оказания помощи уча-
щимся в случае затруднения. Сидящие за этим столом кон-
сультанты оказывают помощь по решению задач лабирин-
та. Победителем считается ученик, прошедший лабиринт бы-
стрее всех с минимальной помощью стола справок.
Так как главным является подбор задач для кубов, то рас-
смотрим один из способов составления заданий.
1. Подбираются задания (если 10 кубов, то 60 заданий).
2. Задания группируются по 5-7 по мере усложнения.
3. На карточке пишется произвольное число и к нему го-
товится талон с этим же числом.
4. Под числом крепится первое задание.
5. На второй карточке пишется ответ первого задания и
второе задание и т. д.
Такие карточки готовятся для всех 5-7 групп.
6. Карточки перемешиваются и наклеиваются на все грани
кубов.
Необходимо так подобрать задания, чтобы не было одина-
ковых ответов и чтобы несколько участников одновременно
не оказались у одного куба.
158
Математический хоккей
Правила данной командной олимпиады напоминают пра-
вила игры в хоккей, но вместо шайбы используются вопросы.
В качестве вопросов можно использовать любые задачи, глав-
ное, чтоб на их решение не уходило много времени. Для дан-
ного вида соревнований подойдет хоть классная комната, хоть
спортивный или актовый зал. В каждой команде по 6 игроков:
капитан, вратарь, 2 «защитника», 2 «нападающих». В зави-
симости от игровой ситуации любой участник может быть как
нападающим, так и защитником или вратарем. Судит сорев-
нования судья, ему помогает судья-хронометрист, работает и
комментатор. По свистку судьи команды выходят на «поле»,
приветствуя друг друга. Капитаны или комментатор предста-
вляют игроков. Судья делает вбрасывание — задает вопрос.
Командам дается время 1 минута на подготовку ответа. Если
первой и правильно ответила, допустим, команда А, то она по-
лучает право на атаку и задает свой вопрос линии нападения
команды Б, Если ответ команды Б неправильный, то коман-
да А выходит на защиту и задается снова вопрос. Если вновь
команда Б не ответит на вопрос или ответит неправильно, то
команда А уже выходит на вратаря. Здесь можно поступать
аналогично предыдущему, задать вопрос, вратарь не ответил
и счет 1:0 в пользу команды А. Так как отвечать одному вра-
тарю труднее, то можно и изменить немного правила. Судья
проводит вновь вбрасывание, и та команда, которая ответит
раньше, получает преимущество. Если ответила верно коман-
да А, то она забивает шайбу в ворота соперника, а если верно
ответила команда Б, то они начинают атаку сначала с нападе-
ния, затем с защиты и так далее.
Судья-хронометрист следит с помощью часов за време-
нем обдумывания вопросов, причем время ограничено на отве-
ты — 0,5 или 1 минута. Из этих минут и складывается чистое
время игры — 3 периода по 20 минут. Можно ограничиться и
2 периодами.
Судья на поле — учитель математики (или старшеклас-
сник) должен заранее знать все ответы на вопросы участни-
159
ков игры; готовить судейское вбрасывание, ответы на кото-
рые знает лишь он. Он же имеет право отклонять неточные
вопросы команд (в этом случае шайба переходит к другой ко-
манде); имеет право удалять с поля любого участника команд,
если допущена некорректность по отношению к противнику
(удаление производится на 3 вопроса без замены). Также су-
дья в случае спорной ситуации может назначить повторное
судейское вбрасывание (это может быть в случаях, когда отве-
ты обеих команд неверны или верны при полном использова-
нии данного времени на обдумывание). Правила соревнования
можно и упростить, если вопросы задавать только судье. Но
тогда задавать судья будет вопросы или нападающим двух ко-
манд, или нападающим одной команды и защитникам другой,
или нападающим одной и вратарю другой команды.
Пример. Задания для проведения математического
хоккея среди учащихся пятых классов
1. Все натуральные числа, начиная с единицы, записаны в по-
рядке их возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, .... Какая цифра в этой
записи стоит на сотом месте?
2. Сколько треугольников изображено на рис. 42?
3. Учитель достал из ящика стола 33 карточки с числами от 1
до 33. Сколько имеется среди них карточек, в номерах кото-
рых имеется цифра «2»?
4. Машинист ведет поезд длиной 1 км с ценным грузом со ско-
ростью 60 км/ч. Машинист опасается, что впереди, в лесу,
протяженность которого 2 км, может быть засада. Сколько
времени потребуется поезду, чтобы миновать этот опасный
лес?
5. Используя пять семерок и знаки математических действий,
запишите число 20.
6. На рис. 43 изображено 11 квадратов, со стороной в одну
спичку. Как, убрав только 2 спички, получить 9 квадратов?
7. Среднее арифметическое двух чисел равно 54. Одно число
больше другого в 2 раза. Найдите эти числа.
8. Две головы, две руки, шесть ног, а в ходьбе только четыре.
Что это может быть?
160
Рис. 42
Рис. 43
9. Как разрезать торт в 600 г на части, чтобы его можно было
разделить поровну и на троих, и на четверых человек? При
этом необходимо получить как можно меньше кусков.
10. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если справа
к нему приписать такое же трехзначное число?
11. У вас имеется одно- и двухрублевые монеты. Сколькими
разными способами вы можете разменять десятирублевую ас-
сигнацию?
Ответы
1.5 . 2.13. 3.13. 4.3 мин. 5.7 + 74-7-7:7. 6. См. рис. 44.
7.3 6 и 72. 8. Всадник на лошади или ездок на осле. 9.Три
куска по 150 г и три куска по 50 г. 10. В 1001 раз.
11. Шестью способами: 10 = 1’10 = 2-1 + 1- 8 = 2- 2 + 1’6 =
= 2-3 + 1-4 = 2-4 + 1-2 = 2-5.
161
Олимпиады для абитуриентов вузов
Многие вузы ежегодно проводят олимпиады по математи-
ке для будущих абитуриентов. Как правило, проводятся такие
олимпиады во втором полугодии.
Основными целями этих олимпиад являются:
• отбор наиболее одаренных учащихся среди-старшеклас-
сников;
• предоставление возможности каждому учащемуся прове-
рить свои силы перед предстоящими летом школьными
экзаменами, ЕГЭ, вступительными экзаменами в вузы.
Для победителей и призеров вузы устанавливают льготы
при поступлении. Это может быть и внеконкурсное зачисле-
ние, а также и выставление отметки «5» на вступительном
экзамене по математике.
В каждом вузе тексты этих олимпиад имеют свои особен-
ности.
Рассмотрим пример одного из текстов олимпиады для аби-
туриентов Коряжемского филиала Поморского государствен-
ного университета имени М. В. Ломоносова, составленного ав-
тором.
Пример. Текст олимпиады для абитуриентов Коряжемского
филиала Поморского государственного университета
1. Решите уравнение: log3 log27 х + log27logs х = -1.
2. Докажите, что середины сторон выпуклого четырехуголь-
ника являются вершинами параллелограмма.
3. Вычислите: sin 20° • sin 40° • sin 80 \
4. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида. Ра-
диус шара равен 2\/3 см. Диагональ основания пирамиды рав-
на 6 см. Найдите объем пирамиды.
5. Из города А в город В выехали два автомобиля. Первый авто-
мобиль первую половину пути от А до В ехал со скоростью V\, а
вторую половину СО скоростью Р2 (1 1^2)• Второй автомобиль
первую половину времени, затраченного на всю поездку от А
до В, двигался со скоростью щ, а вторую — со скоростью р2.
Какой из автомобилей прибыл в В раньше?
162
6. Решите уравнение: а2 — Ъ2 = 1995, если a, b Е N.
7. При каком значении параметра а уравнение
х2 - 8 • |х| 4-15 = а
имеет ровно 6 корней?
Решения и ответы
1.3. 2. Проведем диагонали АС и BD. Тогда в треугольнике
АВС отрезок MN является средней линией, а значит, MN бу-
дет параллельна АС. В треугольнике ACD отрезок FK также
является средней линией, поэтому FK к АС будут параллель-
ны. Таким образом, прямые MF и NK будут параллельными.
Рассматривая аналогично треугольники ABD и BCD, из парал-
лельности прямых MF и BD, NK и BD доказываем параллель-
ность прямых MF и NK. Тогда по определению параллело-
грамма четырехугольник MNKF будет параллелограммом.
3. Преобразуем произведение в сумму:
sin 20° sin 40° sin 80 = ~(cos(-20 ) — cos 60°) - sin 80 =
= |(cos 20° - 0,5) • sin 80° = | cos 20 sin 80°) - | sin 80’ =
l/_:„ /?no 1 _ • 1 лло\ 1 олО _ \/3 , SIH 80 Sin 80 _ \/3
= —(SinoO +sin 100 — SinoU = ---3------3-------£-•
4 4 8 4 4 8
4. Возможны два случая: центр шара лежит внутри пирамиды
или вне ее.
Ответ: 18\/3 см3 и 6\/3 см3.
5. Обозначим расстояние АВ = 1. Найдем время каждого из
автомобилей: nt2‘
. = _1_ + i = t = 2
1 »2 2П11?2 ’ 2 ”1+^2*
Тогда
f f = _ 2 = (f 1 ~ ^г)2
1 2 2l>iU2 l>l + l>2 2l>iI?2 • (fl + t>2)’
Так как l>i i>2, fl > 0, t>2 > TO h ~~ *2 > 0, а значит, t\ > t2-
Ответ: Раньше прибыл второй автомобиль.
163
6. По условию (а - Ь)(а 4- Ъ) = 1995 - 1 • 3 • 5 • 7 • 19. Тогда а-Ь
и а 4 Ь могут принимать следующие значения.
а — Ъ 1 3 5 7 15 19 21 35
а + Ъ 1995 665 399 285 133 105 95 57
Решая соответствующие 8 систем уравнений, получим
следующие решения исходного уравнения в натуральных
числах: (998; 997), (334; 331), (202; 197), (146; 139), (74; 59),
(62; 43), (58; 37), (46; 11).
7. Построим график функции
у = х2 — 8 • |х| + 15
(рис. 45).
График же функции у = а представляет собой множество
прямых, параллельных оси абсцисс. Он будет пересекать гра-
фик функции у = |х2 - 8 • |х|+ 15 в 6 точках при а = 1, а
значит, исходное уравнение имеет 6 корней при а = 1.
С другими текстами олимпиад для абитуриентов в различ-
ных вузах России можно познакомиться по материалам газе-
ты «Математика» и журнала «Математика в школе».
Олимпиада-конкурс «Кенгуру»
Международный конкурс «Кенгуру» возник в Австралии
в восьмидесятые годы. Идея его проведения принадлежала
164
австралийскому математику и педагогу Питеру Холлорану.
Данный конкурс предназначен для всех учащихся, независи-
мо от их «предметного» интереса и от наличия дополнитель-
ных познаний в математике.
Целью конкурса является развитие у самого широкого
круга учеников интереса к математике, помощь многим из
них в преодолении психологического барьера перед «скучной,
формальной и трудной» наукой.
Главное отличие конкурса «Кенгуру» от других соревно-
ваний — его массовость. В данном конкурсе участвуют все
желающие с 3 по 10 класс. Нет никакого предварительного
отбора.
В России конкурс проводится с 1994 г. И с каждым го-
дом участников становится все больше и больше. В 2004 г.
в нем приняло участие более 3 миллионов школьников из
32 стран, в том числе из России — более 850 тысяч (это са-
мое большое количество участников). Главным организато-
ром конкурса «Кенгуру» в России является Институт продук-
тивного обучения Российской академии образования. Жюри
конкурса возглавляет ректор института академик М. И. Баш-
маков. В проведении конкурса оказывают помощь как сту-
денты различных вузов, так и преподаватели вузов, учителя
школ, методисты отделов образования.
Конкурс в ряде стран (например, в Чехии) финансируется
государством, в нескольких странах — спонсорами, в боль-
шинстве же стран, в том числе и в России — за счет взносов
участников. При этом цена каждый год повышается. Собран-
ные взносы идут на покрытие расходов по проведению сорев-
нований и на награждение победителей.
Правила проведения данного соревнования достаточно
просты и не требуют особых усилий от учителя. Просто надо
заранее выйти на ответственного за проведение «Кенгуру» в
данном регионе, подать заявку, собрать деньги от участников,
обговорить вопросы доставки заданий в школу. Хорошо, если
всеми вопросами организации «Кенгуру» в районе или городе
занимается и методический кабинет отдела образования.
165
Конкурс «Кенгуру» проводится во всех странах-участни-
цах в один и тот же день по вариантам, согласованным на еже-
годной встрече представителей этих стран. В согласованное
время (а это чаще всего — середина марта, последняя неделя
третьей четверти) участники конкурса собираются в опреде-
ленной аудитории школы в назначенное время. Всем им выда-
ются задания, содержащие 30 задач. К каждой задаче дается
пять вариантов ответа. Участники конкурса, выбрав правиль-
ный ответ, на специальном бланке закрашивают определен-
ную клеточку. На всю работу дается 1 час 15 минут чистого
времени. После этого листы с ответами собираются и направ-
ляются в оргкомитет для проверки. Все 30 задач конкурса по-
делены на 3 части: 10 — наиболее легких задач, оцениваемых
в 3 балла каждая, 10 — потруднее, оцениваемых в 4 балла, и,
наконец, 10 — наиболее трудных, за решение которых дается
по 5 баллов. При этом трехбалльные задачи подбираются та-
ким образом, чтобы каждый участник конкурса мог решить
хотя бы несколько из них. Эти задачи не требуют специальной
подготовки. Но и среди них встречаются неожиданные поста-
новки вопросов и даже коварные «ловушки». Задачи, оцени-
ваемые' в 4 балла, рассчитаны на то, чтобы школьные хороши-
сты и отличники могли проявить себя. Задачи же в 5 баллов
предполагают проявить наиболее подготовленным учащимся
смекалку, наблюдательность, способность к самостоятельно-
му рассуждению. Таким образом, участник конкурса может
набрать максимально 120 баллов. Хотя каждый вариант задач
предназначен для двух параллелей: для учащихся 3-4, 5-6,
7-8, 9-10 классов, но итоги подводятся отдельно для каждой
параллели. Среди участников конкурса не бывает учащихся,
набравших 0 баллов. Даже те участники, которые не слишком
увлекались математикой и часто боялись ее, решили верно хо-
тя бы несколько задач.
После проверки работ участников каждая школа, приняв-
шая участие в конкурсе, получает ведомость, включающую
всех участников, с указанием полученных баллов и места ка-
ждого ученика в общегородском (общерайонном) списке. Всем
166
участникам выдаются удостоверения международного образ-
ца и значки с эмблемой конкурса.
По результатам данного конкурса не проводится никако-
го отбора учащихся, не проводится и сравнение результатов
участников из разных стран. Для победителей же конкурса
устраивается торжественный^ вечер, на котором им вручаются
ценные призы. Победители конкурса среди российских участ-
ников отдыхают в лагере в Санкт-Петербурге или под Санкт-
Петербургом. А самые лучшие участники получают путевку и
в международный математический лагерь, где они отдыхают
и общаются со сверстниками из Польши, Венгрии, Франции
и других стран.
В качестве примера рассмотрим несколько заданий меж-
дународного конкурса «Кенгуру» для учащихся 7-8 классов.
Для удобства правильные ответы выделены здесь жирным
шрифтом.
Пример. Задания международного конкурса
«Кенгуру» для учащихся 7-8 классов
Задачи, оцениваемые в 3 балла
1.В комнате находятся 2 собаки, 4 птички и 3 мухи. Сколько
лап у всех животных вместе?
(А) 22; (В) 34; (С) 16; (D) 36; (Е) 24.
2. Какая фигура отсутствует на чертеже (рис. 46)?
(А) круг; (В) квадрат; (С) правильный треугольник; (D) пя-
тиугольник; (Е) прямоугольный треугольник.
3. Какой угол образуют стрелки часов в половине второго?
(А) 180°; (В) 120°; (С) 130°; (D) 150°; (Е) 135°.
167
4. Какое число меньше всех других?
(А) 1995; (В) 9519; (С) I995; (D) 1995; (Е) 1995.
5. В сумке у кенгуру 3 белых, 2 черных и 5 серых носков. Кенгу-
ру хочет, не глядя в сумку, наверняка взять два носка одного
цвета. Какое наименьшее число носков придется вытащить
кенгуру из сумки?
(А) 2; (В) 3; (С) 4; (D) 7; (Е) 10.
6. В треугольнике средний из трех углов вдвое больше самого
маленького, а самый большой втрое больше маленького. Этот
треугольник
(А) равнобедренный; (В) прямоугольный; (С) равносторон-
ний; (D) прямоугольный и равнобедренный; (Е) нельзя опре-
делить.
7. Какое из перечисленных слов нельзя употребить ни в одном
из следующих выражений: «доказана ...», «возникла...», «на-
рисована ...», «принята...»?
(А) дилемма; (В) теорема; (С) аксиома; (D) анафема;
(Е) диаграмма.
8. Поезд проходит мост длиной 250 м за 1 минуту, а мимо те-
леграфного столба он проходит за полминуты. Какова длина
поезда? '
(А) 100 м; (В) 125 м; (С) 150 м; (D) 250 м; (Е) 300 м.
9. Какое наименьшее число детей в семье, если у каждого ре-
бенка есть хотя бы 1 сестра и хотя бы 1 брат?
(А) 1; (В) 3; (С) 5; (D) 2; (Е) 4.
10. Со словом «четный» наиболее тесно связано по смыслу
слово
(А) почетный; (В) четки; (С) чета; (D) чечетка; (Е) учет.
Задачи, оцениваемые в 4 балла
1. После двукратного повышения цены на 25% банка сока ста-
ла стоить 3750 рублей. Какова была ее исходная цена?
(А) 2040 р.; (В) 1875 р.; (С) 2500 р.; (D) 2700 р.; (Е) 2400 р.
2. Во сколько раз увеличится двузначное число, если справа к
нему приписать такое же число?
(А) 10; (В) 11; (С) 99; (D) 100; (Е) 101.
168
3. Полный бидон с молоком весит 7 кг, а наполненный наполо-
вину — 4 кг. Сколько весит бидон?
(А) 1 кг; (В) 0,5 кг; (С) 1,5 кг; (D) 2 кг; (Е) нельзя опреде-
лить.
4. Из перечисленных слов выберите то, которое не является
названием кривой
(А) гипербола; (В) циклоида; (С) эллипс; (D) парабола;
(Е) метафора.
5. Доберман съедает порцию корма за 4 минуты, а эрдельте-
рьер — за 6 минут. Сколько времени обе собаки будут вместе
есть одну порцию корма, если не будут ссориться?
(А) 25 сек; (В) 2 мин 24 сек; (С) 2 мин; (D>5 мин; (Е) 2,5 мин.
6. Параллелепипед с ребрами 4, 6 и 9 составлен из кубиков с
ребром 1. Сколько маленьких кубиков надо удалить, чтобы
убрать весь внешний слой толщиной в один кубик?
(А) 228; (В) 168; (С) 160; (D) 108; (Е) 100.
7. Сколько квадратиков изображено на рис. 47?
(А) 33; (В) 34; (С) 46; (D) 46; (Е) 47.
8. Между числами 5...4...6...3 поставили знаки +, х, —, ис-
пользовав каждый знак по одному разу. Какой результат мог
получиться?
(А) 17; (В) 23; (С) 26; (D) 19; (Е) 21.
9. У каждого марсианина по 3 руки. Десять марсиан выстрои-
лись в шеренгу, и каждый взял соседа за руку. Сколько рук
остались свободными?
(А) 9; (В) 10; (С) И; (D) 12; (Е) 0.
10. Какая первая цифра в наименьшем натуральном числе,
сумма цифр которого равна 2001?
(А) 1; (В) 2; (С) 3; (D)4;(E)5.
169
Задачи, оцениваемые в 5 баллов
1. Какова сумма цифр числа 1095 — 95?
(А) 839; (В) 733; (С) 633; (D) 842; (Е)831.
2. Выберите самое большое из данных чисел:
(А) 1995; (В) 959; (С) I995; (D) 1995; (Е) 1995.
3. В выпуклом многоугольнике провели все диагонали, их ока-
залось 44. Сколько сторон у этого многоугольника?
(А) 10; (В) 12; (С) 13; (D) 7; (Е) И.
4. Миша пишет целые числа от 1 до 1995. Сколько раз он на-
пишет цифру 0?
(А)199; (В)489; (С) 589; (D) 169; (Е) 714.
5. Какое максимальное число точек пересечения могут иметь
8 окружностей?
(А) 16; (В) 64; (С) 38; (D) 44; (Е) 56.
б. Сколько имеется треугольников с периметром 15см, каждая
из сторон которых измеряется целым числом сантиметров?
(А) 1; (В) 5; (С) 7; (D)19;(E)45.
7. Буратино собрал много календариков за прошлые годы, но у
него не было календаря за 1997 г. Календарь какого из прош-
лых годов он может использовать для правильного определе-
ния дней недели?
(А)1986; (В) 1987; (С) 1989; (D) 1990; (Е) 1996.
8. По дороге, ведущей из леса в поселок, спешат Красная Ша-
почка и волк, а навстречу им идут бабушка и охотник. Ско-
рость сближения волка и бабушки 18 км/час, Красной Ша-
почки и бабушки — 8 км/час, а скорость сближения охотника
и Красной Шапочки — 12 км/час. С какой скоростью сближа-
ются волк и охотник?
(А) 26 км/час; (В) 22 км/час; (С) 18 км/час; (D) 14 км/час;
(Е) 16 км/час.
9. В темном чулане стоит 20 банок. Из них 8 с клубничным
вареньем, 7 — с малиновым и 5 — с клюквенным. Какое наи-
большее число банок можно взять (не зажигая света) так, что-
бы там наверняка осталось, по крайней мере, 4 банки одного
варенья и 3 банки другого?
(А) 5; (В) 9; (С) 6;.(D) 7; (Е) 8.
170
10. Цена билета в театр выросла на 40%, а выручка снизилась
на 16%. На сколько процентов уменьшилось число зрителей?
(А) 10%; (В) 16%; (С) 20%; (D) 40%; (Е) 6%.
Подробнее с заданиями международной олимпиады —
конкурса «Кенгуру» хможно познакомиться по материалам
журнала «Математика в школе», газеты «Математика», а так-
же различным методическим материалам, в частности: Все
задачи «Кенгуру». Сб., 2003.
Многоуровневые олимпиады
Традиционные математические олимпиады являются од-
ним из серьезных видов математической деятельности. Так
как большинство предлагаемых задач на олимпиадах явля-
ются нестандартными, то олимпиады могут диагностировать
наиболее способных учащихся по математике. Тем не менее
победа в математической олимпиаде не всегда объективно по-
зволяет утверждать о наличии одаренности у одних учащих-
ся и отсутствии математического таланта у других. Так как в
традиционных олимпиадах для решения предлагаются олим-
пиадные задачи, по решению которых можно судить о способ-
ности учащихся к решению нестандартных задач, то данный
вид олимпиад позволяет диагностировать всего один вид ин-
теллектуальной одаренности. А как же быть с диагностикой
других видов интеллектуальной одаренности? Часто в школах
делается все для подготовки детей к традиционным олимпиа-
дам, но как часто не всем детям это дано, природа обделила их
теми качествами, которые нужны для победы на этой олим-
пиаде. Но у этих детей есть другие качества, которые позво-
ляют им успешно учиться в школе, без проблем сдавать вы-
пускные и вступительные экзамены, успешно учиться в вузе,
аспирантуре. Впоследствии многие из таких детей становятся
известными в стране, мире людьми, учеными. И, как часто,
они не становились победителями даже школьных олимпиад.
Так что же они не являются одаренными? Конечно же, нет.
171
Реальные успехи этих людей подтверждают, что это не так.
Значит, где-то было упущено, чего-то не замечено.
Как же объективнее отобрать наиболее одаренных детей
по математике? Конечно, лучше бы всего провести несколько
различных соревнований. В некоторых регионах России так
и поступают. При этом иногда число проводимых математи-
ческих соревнований превышает всякие разумные пределы.
Учащиеся практически весь год участвуют в тех или иных
соревнованиях, им некогда усваивать школьный материал.
Думаю, что вряд ли это правильно. Да и не каждый регион
сегодня может себе это позволить. А проводить эти соревнова-
ния за счет средств учащихся и родителей тоже является вряд
ли правильным, так как не все родители могут заплатить тре-
буемую сумму. Как же быть?
Путей решения данной проблемы, думаю, все же много.
Но хотелось бы остановиться лишь на одном, более реальном,
как кажется. Может что-то изменить в традиционных олим-
пиадах и методике их проведения таким образом, чтобы по
их результатам можно было диагностировать и другие виды
интеллектуальной одаренности?
В предыдущих разделах были рассмотрены требования
к текстам традиционных школьных и районных (городских)
олимпиад по математике и методика их проведения.
Для диагностики различных видов интеллектуальной ода-
ренности учащихся по математике предлагаем проводить вме-
сто или наряду с традиционными олимпиадами так называе-
мые многоуровневые олимпиады.
Рассмотрим основные требования к методике проведения
таких олимпиад.
Продолжительность многоуровневой олимпиады жела-
тельно оставить такой же, как и традиционной олимпиады,
но между ее этапами сделать небольшие перерывы: 10-15 ми-
нут. Во время перерыва учащиеся отдыхают, а члены жюри
приступают к проверке работ учащихся. В аудитории же оста-
ются 2 организатора.
Многоуровневая олимпиада проводится в 3 этапа, на каж-
дом из этих этапов предлагаются задачи разного уровня.
172
Всего этапов предлагается 3.
На первом этапе проверяется умение решать школьные
задачи на скорость. На данном этапе проверяется быстрота,
гибкость мышления. Предлагаемые типы задач будут опре-
деляться материалом, которым овладели учащиеся к этому
моменту. Это могут быть задачи на вычисления, на решение
уравнений, текстовые задачи и т. д. Но особенностью предла-
гаемых задач является то, что они не все являются однотипны-
ми. 2-3 задачи одного типа, например на нахождение длины
окружности по радиусу, а следующая задача — на нахождение
радиуса окружности по ее длине. Или — три задачи на про-
центы, решаемые с помощью деления, а четвертая — на про-
центы, но решаемая с помощью действия умножения. Задачи
необходимо предлагать нетрудные, уровня государственных
стандартов по математике, число предлагаемых задач долж-
но быть таким, чтобы самый сильный учащийся мог решить
все за 30 минут. Конечно, необходимо заранее проверить воз-
можность решения подобранных задач за предлагаемое вре-
мя. Оценивать лучше данный этап по ответам. Если на 2 этапе
будет предложено 2 задачи, то на первом предложить 7(14) за-
дач, если на 2 этапе предлагается 3 задачи, то на первом этапе
предложить 14 (21). За правильное решение каждой задачи на
первом этапе дается 1 балл.
Последней задачей на данном этапе может быть: «Найти
несколько способов решения задачи». В качестве таких задач
можно предложить:
о
1. Брату с сестрой вместе 24 года. Известно, что от числа лет
о
о
брата равны f числа лет сестры. Сколько лет брату?
о
2. Разделите прямоугольник 3 х 4 на две равные части. Разре-
зать можно лишь по стороне квадрата 1x1.
3. В ряд выписано 12 девяток: 99999999999 9. Поставьте
между ними знаки: +, —, :, х, скобки, так чтобы получилось
число 2000.
За каждый найденный правильный способ решения да-
вать от 1 до 3 баллов в зависимости от числа задач на первом
этапе, оцениваемых в 1 балл, и сложности последней предло-
женной задачи.
173
На втором этапе предлагаются чисто олимпиадные зада-
чи. Причем это должны быть задачи, использующие различ-
ные идеи, методы решения, а также из разных разделов ма-
тематики: арифметики, геометрии, алгебры, тригонометрии.
Можно включить и задачи на логику, комбинаторику. Число
задач может быть 2-3. Оцениваются они исходя из 7 баллов.
Время на их решение может быть 45-75 минут, в зависимости
от возраста учащихся.
На третьем этапе участникам предлагается творческая за-
дача — мини-исследование, разработка чего-то. Целью данно-
го задания является диагностика исследовательских умений
у учащихся. В качестве таких задач — мини-исследований
может быть предложены такие задачи:
1. Придумайте восемь натуральных различных чисел, из кото-
рых ровно два делятся на 2, ровно три делятся на 3, ровно пять
делятся на 5 и ровно семь делятся на 7.
2. Составьте задачу с определенными условиями (которые ука-
зываются составителем).
3. Сколько диагоналей имеет выпуклый восьмиугольник?
4. В шахматном турнире участвовало 7 учеников. Каждый
участник сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего
партий было сыграно?
5. Имеется 3 листа бумаги, из них несколько листов разрезали
на 3 части. Затем несколько новых кусков разрезали на 3 более
мелкие части и так далее. Сколько всего получилось листов,
если сделали 10 разрезов?
Это наиболее сложный этап, он напоминает чем-то иссле-
дование, только проходящее за более короткое время. Время
его зависит от предложенной задачи. Его можно и не огра-
ничивать. Не все участники смогут пройти данный этап. Но
максимальную оценку можно за правильное решение оста-
вить той же — 14 или 21 балл.
В качестве примера рассмотрим текст многоуровневой
олимпиадной работы для учащихся 6 класса, разработанный
автором.
174
Пример. Текст многоуровневой олимпиадной работы для учащихся 6 класса
1 этап (30 мин)
1 часть
Решите предложенные вам задачи и запишите получен-
ные вами ответы в соответствующие клетки таблицы. (Пра-
вильное решение каждой задачи оценивается в 1 балл.)
Номер задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ответ
Решите уравнения:
1.(х+2,6)0,2 = 0,8. 2. (х—2,6) 0,3 =0,9. 3.(х-2,2) : 0,2 = 4.
Найдите значение выражений:
Ч-‘Л- Ч-Ц-
7. Найдите длину окружности, радиус которой равен 2,5 см.
8. Найдите длину окружности, диаметр которой равен 0,5 м.
9. Найдите радиус окружности, длина которой равна 78,5 см.
Решите задачи:
10. В книге 240 страниц. Алеша прочитал 0,6 этой книги.
Сколько страниц прочитал Алеша?
11. Площадь квартиры равна 50 мл Площадь кухни составляет
0,14 площади квартиры. Найдите площадь кухни.
12. В зрительном зале 240 мест. Во время концерта было занято
о
| всех мест. Сколько мест было занято?
О
13. В математическом кружке занимается 12 учеников, что со-
ставляет 0,5 всех учащихся 6 класса. Сколько учеников в 6
классе?
2 часть
Найдите как можно больше способов предложенной вам
задачи:
Задача: Разделите прямоугольник 3 х 4 на две равные ча-
сти. Разрезать можно лишь по стороне квадрата 1x1. (За
каждый верный способ решения вы получаете по 2 балла.)
175
2 этап (45 минут)
Решите предложенные вам задачи. Верное решение каж-
дой из задач оценивается в 7 баллов.
1. Имеются три карточки. На одной из сторон каждой из кар-
точек нарисованы квадрат, треугольник, круг. На другой же
стороне написано «круг или треугольник», «квадрат», «тре-
угольник». Но ни одна из записей не соответствует действи-
тельности. На какой из карточек что изображено?
2. Как, имея два ведра емкостью 5 и 9 л, набрать из реки ровно
3 л воды?
3. Восемь команд участвуют в чемпионате города по футболу.
Докажите, что при любом расписании игр всегда есть две ко-
манды, сыгравшие одинаковое число матчей.
3 этап
Задача. Придумайте восемь натуральных различных чи-
сел, из которых ровно два делятся на 2, ровно три делятся на
3, ровно пять делятся на 5 и ровно семь делятся на 7.
Максимально возможное число баллов за выполнение дан-
ного задания равно 14. Приведем ответы и решения данной
олимпиады.
Ответы и решения
1 этап
1 часть
1.x = 1,4. 2.x = 5,6. 3.x = 3. 4.4. 5.4g. 6.1|.
7.% 15,7 см. 8,« 1,57 м. 9.~ 12,5 см. 10.144 страницы.
11. 7 м2. 12.160 мест. 13.24 ученика.
2 часть
Всего существует 5 вариантов (рис. 35).
176
2 этап
1. На карточке с надписью «круг или треугольник» изображен
квадрат, на карточке с надписью «квадрат»' изображен тре-
угольник, на карточке с надписью «треугольник» изображен
круг.
2. Наберем сначала воды в 9-литровое ведро, затем перельем
5 л воды в 5-литровое ведро. В 9-литровом останется 4 л во-
ды. Выльем воду из 5-литрового и перельем оставшиеся 4 л
из 9-литрового ведра в него. Наберем вновь воды из реки в
9-литровое ведро. Дольем воды из 9-литрового ведра в 5-лит-
ровое ведро. Тогда в 9-литровом останется 8 л воды. Выльем
воду из 5-литрового и нальем вновь 5 л в него из 9-литрового.
Тогда в 9-литровом останется 3 л воды. Данные действия по
переливанию можно изобразить с помощью таблицы.
Действия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 л 0 0 5 0 4 4 5 0 5 0
Зл 0 9 4 4 0 9 8 8 3 3
3. Рассмотрим два случая.
а) Пусть все команды сыграли хотя бы по одной игре. Так
как команд 8, то они могут сыграть от 1 до 7 игр. Применим
принцип Дирихле. Пусть число сыгранных матчей — «клет-
ки» (их 7), а число команд — «зайцы» (их 8). Так как 8 > 7,
то найдутся как минимум 2 «зайца», попавшие в одну «клет-
ку», то есть в любой момент соревнований найдутся всегда
2 команды, сыгравшие одинаковое число матчей.
б) Пусть найдется команда, которая в некоторый момент
соревнований не сыграла ни одной игры. Тогда максимальное
число сыгранных матчей любой из команд будет 6. Рассуж-
дая аналогично, имеем «клетки» — число сыгранных мат-
чей — 0,1, 2,6 (их 7), «зайцы» — команды (их 8). При-
меняя принцип Дирихле, вновь получаем, что найдутся две
команды, которые сыграли при любом расписании одинако-
вое число матчей (может быть и ни одного).
3 этап
Рассмотрим один из возможных вариантов:
7-5-3-2 = 210;
7-5-3 = 105;
7 • 5 • 2 = 70;
7-5 = 35;
7-3 = 21;
7;
5;
7 -11 = 77.
Так как эта олимпиада необычная: многоуровневая, то и
поощрения можно сделать необычными. Кроме победителей и
призеров всей олимпиады, надо отметить и победителей каж-
дого этапа.
Таким образом, проведение многоуровневой олимпиады:
• позволит более объективно выделить наиболее способных
и одаренных учащихся по математике, так как предла-
гаться будут различные виды задач;
• время такой олимпиады незначительно превысит продол-
жительность традиционной олимпиады;
• члены жюри быстрее смогут проверить решения участни-
ков, так как проверка начинается уже после первого эта-
па. А ученики смогут немного отдохнуть между этапами,
расслабиться;
• всегда будут учащиеся, набравшие определенное число
баллов (чаще всего на 1 этапе).
Устные олимпиады
Устная олимпиада проводится в несколько этапов продол-
жительностью 30-40 минут. На каждом из данных этапов уча-
щимся предлагаются для решения несколько задач. Учащий-
ся, решив задачу, поднимает руку. К нему подходит один из
членов жюри. Ученик устно рассказывает решение задачи,
при этом имеет право показывать свои записи в тетради. В
178
случае верного решения задачи учитель в соответствующей
графе таблицы ставит знак «+». Если задача решена непра-
вильно, то ставится « —». Учащийся имеет право на 3 попытки
объяснений одной задачи. Если все три попытки решить за-
дачу не привели к успеху, то данную задачу ученик больше
не объясняет. Решив оговоренное число задач (2 или 3) с пер-
вого этапа, ученик переходит на второй этап, на котором ему
предлагается еще несколько задач. Решив какую-то из задач
2 этапа или оставшиеся задачи с первого этапа, ученик вновь
поднимает руку и объясняет задачу.
Побеждает ученик, решивший за указанное время наи-
большее число задач: В случае одинакового числа верно ре-
шенных задач у нескольких учащихся победителем является
ученик, сделавший менее всего попыток.
Пример заданий для проведения устной олимпиады среди
учащихся 7 класса был рассмотрен в разделе по математиче-
ским кружкам.
С 2003 г. в память о И. Ф. Шарыгине для школьников
г. Москвы и Московской области проводится устная олимпи-
ада по геометрии. Особенностью предлагаемых для решения
учащимся задач является то, что многие из них имеют не-
сколько способов решения.
В качестве примера приведем по одной из задач устной
олимпиады 2004 года для учащихся 9-10 классов.
Пример. Задачи устной олимпиады 2004 года для учащихся 9-10 классов
1. (9 класс). В выпуклом четырехугольнике ABCD дано: Е —
середина CD, F — середина AD, К — точка пересечения АС
и BE, Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза
меньше площади треугольника АВС.
Решение. Рассмотрим один из возможных способов реше-
ния.
Проведем в треугольнике ADC среднюю линию EF
(рис. 48). Тогда
Здвхр
а-----»
так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины
F, совпадают. Кроме того, так как прямые EF и АС параллель-
179
F
Рис. 48
ны, то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на
прямые EF и АС, относятся как BE : ВК, поэтому
^bef = EFj BE = 1 BE (г.
S&ABC АС • ВК 2 ВК'
Перемножая почленно равенства (5) и (6), получим то, что
требовалось доказать:
S&BEF = 1
Sa авс 2 ‘
2. (10 класс). Е и F — середины сторон ВС nAD выпуклого че-
тырехугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диа-
гонали АС и BD в одном и том же отношении.
Решение. Рассмотрим один из возможных способов реше-
ния.
Пусть отрезок EF пересекает АС в точке X, a BD в точке У.
Проведем через вершины А и D прямые, параллельные пря-
мой EF и пересекающие прямую ВС в точках К и М соответ-
ственно. По теореме Фалеса, получим, что ЕК = ЕМ (рис. 49).
Тогда, по теореме о пропорциональных отрезках, учитывая,
что BE = ЕС, получаем
СХ = СЕ = BY
EK EK YD’
что п требовалось доказать.
С 2005 г. в устной олимпиаде принимают участие учени-
ки 8-11 классов. Призеры данной олимпиады награждают-
ся дипломами оргкомитета и математической литературой. В
180
Рис. 49
2005 г. победители данной олимпиады — учащиеся 8-10 клас-
сов приглашались на финальный тур Первой Всероссийской
олимпиады по геометрии, состоявшейся летом в г. Дубне под
Москвой.
Кроме рассмотренных разновидностей математических
олимпиад, также все большую популярность начинает при-
обретать межрегиональная математическая заочная олим-
пиада для учащихся 6-10 классов. Данную олимпиаду прово-
дит Министерство образования и науки РФ совместно с Все-
российской школой математики и физики «Авангард». Основ-
ными целями ее являются ознакомление учащихся с задачами
олимпиадного уровня и предоставление возможности сравни-
вать свои успехи в изучении математики и физики с успеха-
ми своих сверстников. Срок проведения данной олимпиады:
сентябрь-декабрь. Для участия в олимпиаде учащимся необ-
ходимо решить хотя бы одну из предложенных для каждого
класса пяти задач.
Раздел 5 -
Математические соревнования
Математическое соревнование — это форма учебной дея-
тельности учащихся, при которой участники стремятся пре-
взойти друг друга в решении математических задач.
Математические соревнования, также как и спортивные,
сильно увлекают и участников, и болельщиков. Как показы-
вает опыт, после участия в математических соревнованиях у
учащихся резко вырастает интерес к изучению математики.
Особенно это важно в 5-8 классах. Математические соревно-
вания бывают личные и командные.
Выделяются следующие виды математических соревнова-
ний:
• математическая олимпиада;
• математический бой;
• математический конкурс;
• математическая игра;
• математический турнир;
• математическая карусель и др.
Математические олимпиады, как наиболее массовое со-
ревнование, были подробно рассмотрены выше. Перейдем к
методике подготовки и проведения остальных математиче-
ских соревнований.
Математические бои
Математический бой — это командное соревнование по
решению математических задач, которое проводится между
классами школы или командами различных школ. Данный
вид математического соревнования является одной из наибо-
лее сложных форм внеклассной и внешкольной работы с уча-
щимися по математике. Но он имеет давние традиции и осо-
бенно популярен>у учителей, работающих с математически-
182
ми классами и классами с углубленным изучением математи-
ки. Математические бои составляют основу многих известных
турниров, в частности Уральского турнира.
Основные цели:
• обучение учащихся навыкам самостоятельного решения
сложных нестандартных задач;
• формирование навыков групповой работы, умения расска-
зывать свое решение товарищам, совместно устранять не-
дочеты в решении;
• совершенствование навыков монологической речи, при-
обретение умения видеть и исправлять недочеты своего
доклада;
• развитие критичпости мышления.
Рассмотрим основные правила математического боя.
Общие положения. Математический бой состоит из двух
частей. Сначала, команды получают условия задач и опреде-
ленное время на их решение. При решении задач команда мо-
жет использовать любую литературу, но не имеет права об-
щаться по поводу решения задач ни с кем, кроме жюри. По
истечении этого времени начинается собственно бой, когда
команды в соответствии с правилами рассказывают друг дру-
гу решения задач. Если одна команда рассказывает решение,
то другая оппонирует его, то есть ищет в нем ошибки (недо-
статки). Если решения нет, то оппонирующая команда может
привести и свое решение. При этом выступления оппонента
и докладчика оцениваются жюри в баллах (за решение и за
оппонирование). Если команды, обсудив предложенное реше-
ние, все-таки до конца задачу не решили или не обнаружили
допущенные ошибки, то часть баллов (или даже все баллы)
может забрать себе жюри боя. Если по окончании боя резуль-
таты команд отличаются не более чем на 3 балла, то считается,
что бой закончился вничью. В противном случае побеждает
команда, которая по окончании боя набирает больше баллов.
Если же по условиям боя он не может закончиться вничью, то
жюри до боя объявляет это командам и оглашает процедуру
определения победителя.
183
Капитаны команд имеют право попросить жюри о предо-
ставлении перерыва в ходе боя на 5-10 минут (примерно через
каждые полтора часа). Перерыв может предоставляться толь-
ко между обсуждением двух различных задач (между раунда-
ми). При этом команда, которая должна сделать вызов, делает
его в письменной форме (без оглашения) непосредственно пе-
ред началом перерыва и сдает жюри, которое оглашает этот
вызов сразу после окончания перерыва.
Общая схема боя. Бой состоит из нескольких раундов. В
начале каждого раунда (если не происходит отказ от вызова,
это будет рассмотрено ниже в пункте «Окончание боя » ) одна из
команд вызывает другую на одну из задач, решения которых
еще не рассказывались (например: « Мы вызываем команду со-
перников на задачу номер 3 »). После этого вызванная команда
сообщает, принимает ли она вызов, т. е. согласна ли рассказы-
вать решение задачи, на которую была вызвана (ответ можно
обдумывать, но не более 1 минуты). Если да, то она выставляет
докладчика, который должен рассказать решение, а вызвав-
шая команда выставляет оппонента, обязанность которого
искать в решении ошибки. Если нет, то докладчика обязана
выставить команда, которая вызывала, а отказавшаяся от-
вечать команда выставляет оппонента. Команда, желающая
сохранить выходы к доске, может отказаться выставлять оп-
понента. Тогда она в этом раунде не участвует (и изменить
своего решения уже не может).
Конкурс капитанов. Кто будет делать первый вызов, опре-
деляет команда, победившая в конкурсе капитанов. Он прово-
дится в начале боя. Капитанам предлагается задача. Капитан,
первым сообщивший жюри о своем желании отвечать, полу-
чает такое право. Если он рассказывает правильное решение,
то он победил, а если неправильное — победил ёго соперник.
При этом что понимается под «правильным решением»: про-
сто верный ответ, ответ с объяснением или что-либо еще —
жюри при необходимости уточняет перед началом конкурса*
капитанов.
На решение задачи конкурса капитанов жюри отводит
определенное время’. Если за это время ни один из капитанов
184
не высказал желания отвечать, жюри может заменить зада-
чу или выявить победителя жребием. Вместо задачи жюри
может предложить капитанам сыграть в игру. В этом случае
победителем считается тот, кто выигрывает игру. Возможны
и другие схемы проведения конкурса капитанов. Жюри боя
заранее определяет способ проведения конкурса капитанов и
сообщает о нем командам перед началом боя.
При желании на конкурс вместо капитана можно выста-
вить любого другого члена команды.
Ход раунда. Доклад. В начале раунда докладчик расска-
зывает решение. Доклад должен содержать ответы на все по-
ставленные в задаче вопросы и доказательство правильности
и полноты полученных ответов. В частности, докладчик обя-
зан доказать каждое сформулированное им промежуточное
утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное.
Докладчик должен стремиться к ясности изложения, в част-
ности, он обязан повторить по просьбе оппонента или жюри
любую часть своего доклада. Время на доклад ограничивается,
например, 15 минутами, после чего жюри решает, разрешать
ли докладчику рассказывать дальше.
Докладчик может иметь бумагу с чертежами и (с отдельно-
го разрешения жюри) вычислениями, но не имеет права брать
с собой текст решения. В докладе нельзя ссылаться на вычис-
ления, проведенные с помощью калькулятора или иной вы-
числительной техники и не подтвержденные иным способом.
Докладчик имеет право:
• до начала выступления вынести на доску всю необходи-
мую информацию (чертежи, вычисления и т. п.);
• не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала об-
суждения;
• просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, до-
кладчик может предложить свою версию вопроса: «Пра-
вильно ли я понимаю, что Вы спросили о том-то и том-
то?»);
• отказаться отвечать на вопрос, сказав, что: (а) он не имеет
ответа на этот вопрос; (б) он уже ответил на этот вопрос
(объяснив, когда и как); (в) вопрос некорректен или выхо-
185
дит за рамки научной дискуссии по поставленной задаче.
В случае несогласия оппонента с основаниями (б) и (в) ар-
битром выступает жюри.
Докладчик не. обязан:
• излагать способ получения ответа, если он может доказать
правильность и полноту ответа другим путем;
• сравнивать свой метод решения с другими возможными
методами, в том числе с точки зрения краткости, красоты
и пригодности для решения других задач.
Докладчик обязан рассказывать решение в вежливой,
корректной форме, критикуя действия оппонента, не допус-
кать критики его личности, обращаться к оппоненту только
на «Вы».
Оппонирование. Пока доклад не окончен, оппонент мо-
жет задавать вопросы только с согласия докладчика, но име-
ет право просить повторения части решения и разрешать до-
кладчику пе доказывать какие-либо очевидные с точки зрения
оппонента факты. После окончания доклада оппонент имеет
право задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты
оппонент не задал пи одного вопроса, то считается, что у него
нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает
отвечать на вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может:
• потребовать у докладчика повторить любую часть докла-
да;
• попросить уточнения любого из высказываний докладчи-
ка, в том числе: (а) попросить дать определение любого
термина («Что Вы понимаете под ...»); (б) переформули-
ровать утверждение докладчика своими словами и попро-
сить подтверждения («Правильно ли я понимаю, что Вы
утверждаете следующее: ...»);
• попросить докладчика доказать сформулированное тем
неочевидное необщеизвестное утверждение (в спорных
случаях вопрос об известности или очевидности решает
жюри; во всяком случае, известными считаются факты,
изучающиеся в общеобразовательной школе);
186
• после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или
мотивированную неудовлетворенность ответом.
Если оппонент считает, что докладчик тянет время, при-
думывая решение у доски, или что существенная часть докла-
да не является изложением решения обсуждаемой задачи, он
имеет право (но не ранее, чем через 10 минут после начала до-
клада) попросить докладчика предъявить ответ (если таковой
в задаче подразумевается) или план дальнейших рассужде-
ний.
Оппонент обязан:
• формулировать свои вопросы в вежливой, корректной
форме, обращаться к докладчику только на «Вы»;
• критикуя доклад, не допускать критики докладчика;
• повторять и уточнять свои вопросы по просьбе докладчика
или жюри.
По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент име-
ет право дать свою оценку докладу и обсуждению в одной из
следующих форм: (а) признать решение правильным; (б) при-
знать решение (ответ) в основном правильным, но имею-
щим недостатки и/или пробелы с обязательным их указани-
ем; (в) признать решение (ответ) неправильным с указанием
ошибок в обоснованиях ключевых утверждений доклада или
контрпримеров к ним (или ответу), или указанием существен-
ных пробелов в обоснованиях или плане решения. Если оппо-
нент согласился с решением, он и его команда в этом раунде
больше не участвуют.
Если оппонент имеет контрпример, опровергающий реше-
ние докладчика в целом, и этот контрпример сам является
решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда
вопрос задачи звучит как «Можно ли ...?», «Верно ли, что ...?»
и т. п.), то оппонент имеет право заявить: «Я с решением не
согласен, у меня есть контрпример», но сам контрпример пока
докладчику не предъявлять (хотя жюри имеет право потребо-
вать от оппонента предъявления контрпримера в письменном
виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента).
В этом случае, если докладчик не изменит своего решения в
течение минуты или после взятого командой перерыва, оп-
187
понент получает право предъявить докладчику упомянутый
контрпример, причем докладчик и его команда уже не имеют
права менять решение или ответ.
Аналогично, если решение требует перебора случаев, оп-
понент имеет право заявить «Я с решением не согласен, рас-
смотрены не все случаи», не указывая пока докладчику явно,
какой именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия
докладчика, жюри и оппонента такие же, как в ситуации с
контрпримером.
Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога
докладчика и оппонента жюри задает свои вопросы. При не-
обходимости оно может вмешиваться и раньше.
Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут
обращаться к своим капитанам с просьбой о замене или пере-
рыве для консультации. Другое общение между командой и
докладчиком (оппонентом) допускается только во время по-
луминутного перерыва, который любая команда может взять
в любой момент (при этом соперники тоже могут пользоваться
этим временем). Каждая команда может взять в течение одно-
го боя не более 6 полуминутных перерывов (см. также ниже
пункт «Число выходов к доске»). Команда имеет право полно-
стью использовать полуминутный перерыв, взятый командой
соперников, даже если та закончила его досрочно.
Перемена ролей. Некорректный вызов. Порядок вызо-
вов. Если по ходу дискуссии жюри установило, что оппонент
доказал отсутствие у докладчика решения и ранее не произо-
шел отказ от вызова, то возможны два варианта. Если вызов на
этот раунд был принят, то оппонент получает право (но не обя-
зан) рассказать свое решение. Если оппонент взялся расска-
зывать свое решение, то происходит полная перемена ролей:
бывший докладчик становится оппонентом и может зараба-
тывать баллы за оппонирование. Если же вызов на этот раунд
не был принят, то говорят, что вызов был некорректным. В
этом случае перемены ролей не происходит, а команда, вы-
зывавшая некорректно, должна снова вызывать соперника в
следующем раунде. Во всех остальных случаях в следующем
188
раунде вызывает та команда, которая была вызвана в текущем
раунде.
Принятый вызов всегда считается корректным!
Если же оппонент не доказал, что у докладчика нет реше-
ния, но выявил в предложенном решении некоторые конкрет-
ные недостатки, то, если ранее не произошел отказ от вызова
и вызов на этот раунд был принят, оппонент получает право
(но не обязан) устранить все (или некоторые) из этих недостат-
ков («залатать дыры» ). Такое же право оппонент получает,
если он доказал, что у докладчика нет решения, но отказался
рассказывать собственное решение. Если оппонент взялся «за-
латывать дыры», то происходит частичная перемена ролей:
оппонент обязан сформулировать предварительно, что имен-
но он будет делать (например, разбирать такой-то не разобран-
ный докладчиком случай, доказывать такое-то не доказанное
докладчиком утверждение или что-либо еще), а бывший до-
кладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы
за оппонирование сформулированных утверждений. При про-
верке корректности вызова частичная перемена ролей невоз-
можна.
Обратной перемены ролей ни в каком случае не происхо-
дит!
Число выходов к доске. Каждый член команды имеет пра-
во выйти к доске в качестве докладчика или оппонента не бо-
лее двух раз за бой. Команда имеет право не более трех раз за
бой заменять докладчика или оппонента, причем каждый раз
выход засчитывается как тому, кого заменили, так и тому, кто
вышел на замену. Кроме того, при замене время, отведенное
команде на перерывы, уменьшается на 1 минуту (эту минуту
можно использовать непосредственно перед заменой, а можно
и не использовать — в последнем случае команда соперников
тоже не имеет права пользоваться ею).
Отказ от вызова. Окончание боя. В любой момент боя ко-
манда, которая должна вызывать, может отказаться делать
это (обычно это происходит, когда у команды больше нет ре-
шенных задач, если она не хочет делать вызов, который мо-
жет оказаться некорректным). Тогда другая команда по луча-
189
ет право (но не обязана) рассказывать решения оставшихся
задач. При этом команда, отказавшаяся делать вызов, может
выставлять оппонентов и получать баллы только за оппониро-
вание, но рассказывать решения она уже не имеет права, даже
если они у нее и появятся (то есть после отказа от вызова не
происходит ни полной, ни частичной перемены ролей).
Бой заканчивается, когда не остается необсужденных за-
дач либо когда одна из команд отказалась от вызова, а другая
команда отказалась рассказывать решения оставшихся задач.
Начисление баллов. Каждая задача оценивается в опреде-
ленное число баллов, например 12, которые по итогам раун-
да распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри.
Если докладчик, не опираясь существенно на наводящие во-
просы и иные соображения жюри и (или) оппонента, рассказал
правильное и полное решение, все 12 баллов достаются ему.
Если же в решении были выявлены «дыры» (пробелы), то жю-
ри по окончании дискуссии определяет их стоимость. После
этого оппонент, как правило, сразу получает половину стои-
мости обнаруженных им дыр. Если некоторые из этих «дыр»
были в ходе дискуссии полностью или частично закрыты, со-
ответствующая часть остатка их общей стоимости распределя-
ется между докладчиком и оппонентом пропорционально их
вкладу в закрытие «дыр». При этом вкладом оппонента может
признаваться не только закрытие им дыры (в случае полной
или частичной перемены ролей), но и помощь докладчику в
закрытии дыр путем высказанных по окончании доклада на-
водящих соображений. Все оставшиеся баллы жюри забирает
себе.
Если не было полной перемены ролей, то оппонент не мо-
жет получить больше 6 баллов.
Если ошибки или пробелы в докладе указаны самим до-
кладчиком и не устранены его командой, то оппонент получа-
ет за них баллы так, как если бы он сам нашел эти недостатки.
В частности, если, получив отказ от вызова, капитан вызы-
вающей команды сразу признается, что у его команды нет
решения, то команда соперников получает 6 баллов за оппо-
нирование (которое в ’этом случае могло бы состоять из одной
190
фразы: «У Вас нет решения»), а вызов признается некоррект-
ным. Докладчик и оппонент в этом случае не назначаются и
выходы к доске не засчитываются.
Капитан. Во время боя только капитан может от имени
команды обращаться к жюри и соперникам: сообщать о вызо-
ве или отказе, просить перерыв и т. д. Он имеет право в любой
момент прекратить доклад или оппонирование представителя
своей команды. Если капитан у доски, он оставляет за себя за-
местителя, исполняющего в это время обязанности капитана.
Имена капитана и заместителя сообщаются жюри до начала
решения задач.
Во время решения задач главная обязанность капитана —
координировать действия членов команды так, чтобы имею-
щимися силами решить как можно больше задач. Для этого
капитан распределяет между членами команды задачи для ре-
шения (с учетом их пожеланий), следит, чтобы каждая задача
кем-то решалась, организует проверку найденных решений.
Капитан заранее выясняет, кто будет докладчиком или оп-
понентом по той или иной задаче, и определяет всю тактику
команды на предстоящем бое.
Жюри. Жюри является верховным толкователем правил
боя. В случаях, не предусмотренных правилами, оно принима-
ет решение по своему усмотрению. Решения жюри являются
обязательными для команд.
Во время решения командами задач всякое существенное
разъяснение условий задач, данное одной из команд, долж-
но быть в кратчайшее время сообщено жюри всем остальным
командам.
Жюри может снять вопрос оппонента (например, если он
не по существу), прекратить доклад или оппонирование, если
они затягиваются. Если жюри не может быстро разобраться
в решении, оно может с согласия обоих капитанов выделить
своего представителя, который продолжит обсуждение задачи
совместно с докладчиком и оппонентом в другом помещении.
При этом бой продолжается’по другим задачам, а очки по этой
задаче начисляются позже.
191
Жюри ведет протокол боя. Примерная форма протокола
может быть следующая.
Пример. Форма протокола
Открытый турнир математических боев
Протокол математического боя
Команда школы № Команда школы №
1.(К) 1.(к)
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8.(з) • 8.(3)
9.(з) 9. (з)
Примечание: (к) — капитан; (з) — запасной
Текст задания для конкурса капитанов:
Победил капитан команды школы № ...
Ход боя
Команда школы № Вызов на задачу Команда школы № Жюри
Докладчик (оппонент) Очки Очки Докладчик (оппонент) Очки
•
Итог: •
192
Жюри:
№ п/п Фамилия И. О. Телефон Подпись
1
2
| 3
I 4
Жюри следит и за порядком. Оно может оштрафовать ко-
манду за шум, некорректное поведение, общение со своим
представителем, находящимся у доски.
Жюри обязано мотивировать свои решения, не вытекаю-
щие непосредственно из правил боя.
Как видим, правила математического боя являются труд-
ными, и на первых порах проведения такой разновидности
соревнования необходимо больше обращать внимания на пра-
вила. При этом члены жюри берут на себя дополнительную
роль комментаторов правил и разъясняют участникам пра-
вила непосредственно во время проведения боя. Можно иног-
да немного упростить процедуру проведения математического
боя.
В качестве задач для проведения математического боя
предлагаются чаще всего олимпиадные задачи. Число пред-
лагаемых задач будет зависеть от числа членов команды и
времени на проведение боя.
Рассмотрим несколько наборов задач для проведения ма-
тематических боев между учащимися различного возраста.
Пример. Набор задач для проведения математических боев
5 класс
1. На полке стоят тарелки. Сначала взяли третью часть всех
тарелок без двух, а потом ~ оставшихся тарелок. После этого
на полке осталось 9 тарелок. Сколько тарелок было на полке?
2. Сколько треугольников изображено на рис. 50?
3. Решите числовой ребус АААА — ВВВ + СС — Д = 1234.
4. Андрей купил 3 стакана орехов, а Борис — 2 стакана. К
ним присоединился Саша, и они разделили все орехи поров-
193
Рис. 50
ну. При расчете оказалось, что Саша должен уплатить товари-
щам 20 рублей. Сколько денег из этой суммы должен получить
Андреи и сколько Борис?
5. Беговую дорогу круглой формы один спортсмен пробегает
за 12 мин, другой — за 16 мин. Через сколько времени один
спортсмен догонит другого, если они начинают бежать одно-
временно из одной точки в одном направлении?
6. Можно ли прямоугольник 34 X 20 покрыть без наложений
прямоугольниками 2 х 3 и 3 х 3, не выходя за границы боль-
шого прямоугольника?
Решения и ответы
1.26 тарелок. Наиболее рациональное решение получается при
решении задачи с конца.
2.16 треугольников.
3.2222 - 999 + 11 - 0 = 1234.
4. Так как Саша должен уплатить товарищам 20 рублей, а
орехи были разделены поровну, то стоимость всех орехов бу-
дет равна 20 • 3 = 60 (рублей). Тогда 1 стакан будет стоить
60 : 5 = 12 (рублей), значит, Андрей за 3 стакана заплатил
36 рублей, а Борис — 24 рубля. Поэтому Саша должен от-
дать соответственно Андрею 36 — 20 = 16 (рублей), а Борису:
24 — 20 = 4 (рубля).
Ответ: Андрей получит 16 рублей, Борис получит
4 рубля.
5. Когда спортсмен первый пробежит один круг, он будет об-
гонять второго спортсмена на четверть круга. Так повторится
4 раза, и первый догонит второго. Значит, первый догонит
второго через 4 • 12 = 48 минут.
6. Допустим, что прямоугольник 34 х 20 можно будет покрыть
без наложений прямоугольниками 2 х 3 и 3 х 3. Тогда площадь
194
покрывающих прямоугольников размерами 2 х 3 и 3 х 3 будет
делиться на 3. А площадь прямоугольника 34 х 20 па 3 не де-
лится. Значит, допущение сделано неверно и такого покрытия
не существует.
8 класс
1. Две противоположные стороны АВ и CD выпуклого четы-
рехугольника ABCD лежат на перпендикулярных прямых.
Расстояние между серединами сторон ВС и AD равно 8 см.
Найдите расстояние между серединами диагоналей АС и BD.
2. Найдите наибольшее десятизначное число, кратное семи,
все цифры в десятичной записи которого различны.
3. Расстояние между пристанями на реке 10 км. На что тепло-
ходу потребуется больше времени: проплыть от одной приста-
ни до другой и обратно или проплыть 20 км по озеру?
4. Можно ли представить число 2005 в виде дроби, числителем
которой является девятая степень какого-то числа, а знамена-
телем — десятая степень какого-то целого числа?
5. Если в многочлен ах3+б.г2 +сх+с? вместо а, b, с, d подставлять
числа 2002, —2003, —2004, 2005 в каком угодно порядке, то
будут получаться многочлены с одной переменной х. Докажи-
те, что все такие многочлены имеют общий корень.
6. Слова АКТ, УТРО, КОМАР соответственно обозначают квад-
рат, куб, четвертую степень некоторого натурального числа.
Какое слово соответствует числу 8355492931?
Решения и ответы
1. Пусть EvlF — середины сторон ВС и AD, а М и К — середины
диагоналей АС и BD. Соединим последовательно точки К, F,
М, Е (рис. 51). Так как KF — средняя линия DBA, то KF АВ
и KF = Аналогично, так как ЕМ — средняя линия ДСАВ,
с*
то ЕМ АВ и ЕМ = Следовательно, KFME — паралле-
лограмм. Так как КЕ — средняя линия &DBC, то KE DC.
По условию АВ X CD и по доказанному KF | АВ, значит,
KE X KF, то есть KFME — прямоугольник. Так как диагона-
ли прямоугольника равны, то МК = EF = 8 см.
195
Рис. 51
2. Наибольшим десятизначным числом, в записи которого все
цифры различны, является число 9876543210. Но это число
при делении на 7 дает остаток 2. Так как число 9876543201
меньше этого числа на 9, то оно делится на 9.
Ответ: 9876543201.
3. Больше времени потребуется на путь по реке. Если обозна-
чить собственную скорость теплохода за х, а скорость течения
реки за у, то время движения по реке будет равно
_10_ + _10_ > 20 {ч)
х + у х-у х
20
а по озеру: — (ч). Остается доказать, что
•А*
10 10 20
х + у х-у х '
Л 10 , 10 /_20\ 20г/2
х + у х — у \ х/ х(х2 _ у2у
(20059)9
4. Да, можно, например, 2005 =----
(2OO58)10
5. Все многочлены, о которых идет речь в задаче, имеют общий
корень х = 1. Действительно, при х = 1, значения всех много-
членов будут равны a+b+c+d. А значение данного выражения
при любых комбинациях дает 2002 — 2003 — 2004 + 2005 = 0.
б. Число, о котором идет речь в задаче — двузначное, так как
квадрат наименьшего трехзначного числа 100 является четы-
рехзначным. Так как заданные степени числа оканчиваются
на разные буквы, то цскомое число не может оканчиваться
196
цифрами 1, 4, 5, 6, 9, 0. Значит, число оканчивается на 2, 3,
7 или 8. Так как 123 АКТ 784, то искомое число больше
11 и не больше 28. Аналогично, число УТРО удовлетворяет
неравенству 1728 УТРО 183. Осталось проверить числа
12, 13,17 и 18. Убеждаемся, что подходит лишь число 17.
Так как 172 = 289, то А = 2; К = 8; Т = 9. Так как
17 = 4913, то У = 4; Р = 1; О = 3. Так как 174 = 83 521,
то М = 5. А поэтому число 8 355 492 931 означает КОММУТА-
ТОР.
Познакомиться с другими примерами задач для проведе-
ния математических боев можно по книгам [8,17].
Математические конкурсы
Математические конкурсы являются чаще всего письмен-
ными. Учащимся в математическом конкурсе предлагается
для решения ряд задач различной трудности. Список данных
задач вывешивается в классе или школе. Предлагаемые за-
дачи могут состоять из нескольких серий (по 3-5 задач). Ка-
ждая задача оценивается определенным числом баллов, кото-
рые указываются рядом с задачей. Для решения задач опреде-
ляется время: оно может быть от недели до месяца. При реше-
нии учащиеся могут использовать любую литературу. Темой
конкурсов могут быть вопросы истории математики, изготов-
ление моделей, составление задач, конкретные темы школь-
ного курса математики. Победители конкурса определяются
по наибольшему числу набранных баллов.
Если конкурс проводится устный, то необходим подбор
более простых задач, таких, чтобы решение заняло немного
времени.
Систематическое проведение математических конкурсов
позволяет формировать у учащихся умение записывать реше-
ние задачи, формировать навык длительного труда над реше-
нием задачи.
197
Пример, задачи для проведения письменного конкурса
для учащихся 8 класса по теме «Квадратные уравнения»
1. Найдите а, если корни уравнения 24х2 4- ах 4- 25 = 0 дей-
ствительны и число х = 1,5 является одним из корней этого
уравнения. (4 б)
2. Найдите наименьшее целое значение k, при котором уравне-
ние х2+2(Л+2) А’+2+/? = 0 имеет 2 различных действительных
корня. (5 б)
3. Определите а так, чтобы один из корней уравнения
х2 - АДх + а = О
4
был квадратом другого. (6 б)
4. При каких значениях а уравнение 9х2 — 2x4-а = 6-их имеет
равные корни? (6 б)
5. Решить уравнение (х2 — 5х)2 4- 10(х2 — 5х) 4- 24 = 0. (4 б)
Ь. Древнеиндусская задача.
Над озером тихим, с полфута размером,
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Более цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока? (7 6)
Решения и ответы
1. а = ~52-.
2. Уравнение х2 4- 2(k 4- 2) • & 4- 2 4- = 0 преобразуем к виду
х2 = —2k2 — 5/? — 2, которое будет иметь 2 действительных
различных корня при —2k2 — ok — 2 < 0. Наименьшее целое
число, удовлетворяющее данному неравенству, будет k = — 1.
3. Решая систему уравнений:
198
найдем а = — или а = —. При а = J квадратное урав-
4 о о
Л .125
нение не будет иметь действительных корней, а при а = —~
5 25 125
получим X! = -~,Х2 = . Таким образом, при а = —— один
из корней исходного уравнения, будет квадратом другого.
4. Квадратное уравнение будет иметь равные корни, если его
дискриминант равен пулю. Решая соответствующее уравне-
ние а2 — 40а 4- 220 = 0, получим, что исходное уравнение будет
иметь одинаковые корни при а = 20 ± 3\ 20.
5. Обозначая х — 5х за t и решая уравнение t2 + 10t + 24 = 0,
находим ti = —6, t2 — —4. Решая уравнения х2 - 5х + 6 = 0 и
х2 - 5х + 4 = 0, находим Xi = 2, хг = 3, хз = 4; и Х4 = 1.
6. В соответствии с условием задачи переформулируем ее сле-
дующим образом: «Цветок лотоса, который возвышался над
водой на 0,5 фута, порывом ветра был отклонен от первона-
чального положения на 2 фута, при этом вершина цветка ока-
залась на уровне воды. Требуется определить глубину озера в
этом месте». В соответствии с этим условием задачи сделаем
чертеж (рис. 52).
Обозначая глубину озера за х футов, из треугольника ABD,
учитывая, что АО = АС, и применяя теорему Пифагора, полу-
чим уравнение (х + 0,5) = х + 2, которое равносильно урав-
нению х + 0,25 = 4. Решением последнего уравнения будет
х = 3,75. Таким образом, глубина озера будет 3,75 фута.
199
Пример. Набор задач для проведения конкурса среди
учащихся 7-9 классов по теме «Задачи на разрезания»
1. Из двух равных выпуклых четырехугольников, разрезав их
первый по одной диагонали, а второй — по другой, сложите
параллелограмм. (5 6)
2. Как разрезать выпуклый четырехугольник на 4 части, что-
бы из него можно было сложить параллелограмм? (5 б)
3. Как из клетчатой бумаги, площадь каждого квадратика ко-
торой равна 1 см2, с помощью линейки и ножниц вырезать
квадрат площадью 0,8 см2? (6 б)
4. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5x5. Как
разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоуголь-
ников? (4 б)
5. Как разрезать квадрат размером 13 х 13 на 5 прямоугольни-
ков по сторонам клеток так, чтобы все 10 чисел, выражающих
длины сторон прямоугольников, были различными целыми
числами? (5 б)
6. Из прямоугольника 10x7 клеток вырезали прямоугольник
1x6 клеток, как показано на рис. 53. Разрежьте полученную
фигуру на 2 части так, чтобы из них можно было сложить
квадрат. (6 б)
Решения и ответы
1. При разрезании четырехугольников по диагоналям получат-
ся 4 треугольника. Для получения из них параллелограмма
надо сложить треугольники таким образом, чтобы их попарно
200
равные стороны совпали, а четыре вершины, соответствую-
щие 4 вершинам четырехугольника, сошлись в одну точку.
Тогда получится четырехугольник, у которого попарно равны
противоположные стороны, то есть параллелограмм.
2. Для этого надо разрезать четырехугольник по отрезкам, со-
единяющим середины его противоположных сторон, и рас-
положить 4 новых четырехугольника так, как показано на
рис. 54.
3. Способ вырезания данного квадрата показан на рис. 55. На
нем 5 квадратиков равны по площади 4 квадратикам клетча-
той бумаги, поэтому площадь одного квадратика будет равна
0,8 см2.
4. Способ разрезания показан на рис. 56.
5. Способ разрезания указан на рис. 57.
201
4
9
2
1
3 10
Рис. 57
6. Так как площадь полученной фигуры равна 64 кв. ед., то
квадрат будет со стороной 8 клеток. Как разрезать прямо-
угольник и как из разрезанных частей составить квадрат, по-
казано на рис. 58.
Математические игры
Математических игр существует много, их можно прово-
дить как отдельное мероприятие, а также на кружке, на вече-
ре. Рассмотрим наиболее популярные игры.
202
Поле чудес
Правила аналогичны телевизионной игре. Но необходим
отбор игроков. Для этого всем желающим можно предложить
решить какую-то задачу. Первые 9 учеников, верно решив-
ших данную задачу, становятся участниками игры, а осталь-
ные — зрителями. Разбить 9 участников на «тройки» можно
вновь, предложив им решить какую-то задачу или жеребьев-
кой.
Пример. Задания для данной игры
Задания на знание фамилий известных математиков
1.Этот человек родился в Тверской губернии. Его сын на мо-
гильном камне написал, что ♦ ...отец наукам изучался дивным
и неудобновероятным способом...».
В 1 700 г. Петром I он был учинен российскому благородно-
му юношеству учителем математики. Он автор первого русско-
го учебника по математике и навигации для школы. М. В. Ло-
моносов хранил этот учебник до конца своих дней и назвал его
«вратами учености».
В знак признания достоинств этого математика Петр I по-
жаловал ему другую фамилию, чем хотел подчеркнуть, что
развитый ум и знания привлекают к человеку других людей с
такой же силой, с какой магнит притягивает к себе железо.
Назовите фамилию этого математика. (Магницкий)
При этом сразу можно говорить не все об этом человеке.
2. Этот математик древности погиб от меча римского солдата,
гордо воскликнув: «Отойди, не трогай моих чертежей!»
Он являлся основателем гидростатики, создателем мощ-
ных катапульт, гигантских кранов.
Его именем впоследствии были названы спираль, закон,
винт.
Как звали этого математика? (Архимед)
3. У этого крупнейшего математика XIX в. рано проявились
математические дарования. Рассказывают, что он в трехлет-
ием возрасте заметил ошибку в расчетах отца. В семь лет он
203
пошел в школу и решил предложенную учителем задачу за
несколько секунд.
Этого математика называли «королем» математики.
О ком шла речь? (Карл Гаусс)
4. Однажды французам удалось перехватить приказы испан-
ского правительства командованию войск, написанные очень
сложной тайнописью. Вызванный для их прочтения матема-
тик сумел найти ключ к шифру. С тех пор французы знали
планы испанцев, с успехом упреждая их действия. Инквизи-
ция же обвинила математика в том, что он прибегнул к по-
мощи дьявола, и приговорила его к сожжению на костре. Но
«дешифровщик» не был выдан инквизиции.
В своем городе он был лучшим адвокатом, а позднее стал
королевским советником. Но главным делом его жизни была
математика. Он мог несколько ночей не спать, решая очеред-
ную математическую задачу.
Кто из математиков был на волосок от пламени на костре?
(Виет)
5. Этот человек впервые применил двоеточие для обозначения
действия деления. Он же является и автором обозначения чис-
ла п = 3,1415926.... О ком идет речь? (Джонс)
6. Труды этого математика были почти единственным руковод-
ством по одному из разделов математики в школе. Он самоот-
верженно любил науку и никогда не допускал неискренности.
Однажды царь обратился к нему с вопросом, нет ли более крат-
кого пути для познания его трудов. На это он гордо ответил «в
математике нет царской дороги».
В истории Западного мира его книга после Библии, вероят-
но, издавалась наибольшее число раз и более всего изучалась.
Кто этот математик? (Евклид)
7. Этот ученый любил делать пометки на полях читаемой кни-
ги. Однажды на полях одной из них он написал теорему и
приписал: «Нашел удивительное доказательство этой теоре-
мы, но недостаток места не позволяет мне его привести». В
бумагах этого ученого доказательства теоремы не нашли и до
последних лет эту теорему считали «вызовом прогрессивному
человечеству».
204
Данная теорема была доказана лишь в 1994 г. Как фами-
лия этого математика? (Ферма)
8. Кто, несмотря на свою молодость, успел сделать много от-
крытий в математике, но, к сожалению, был убит на дуэли в
20 лет? (Галуа)
9. Греческий ученый, родоначальник греческой философии и
науки. Был знаком с вавилонской астрономией. Платон, зна-
менитый греческий философ, живший в IV в. до н. э., расска-
зывает, что этот ученый, наблюдая звезды, упал в колодец,
а стоящая рядом женщина посмеялась над ним, сказав: «Хо-
чет знать, что делается в небе, а что у него под ногами — не
видит...»
Древнегреческий ученый Прокл приписывает ему следу-
ющие открытия: того, что диаметр делит круг пополам, о ра-
венстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании
равнобедренного треугольника и др.
Он сделал ряд открытий в области астрономии, установил
время равноденствий и солнцестояний. Определил продолжи-
тельность года, предсказал, как говорит предание, одно сол-
нечное затмение. Был причислен к группе «семи мудрецов.
Кто этот ученый? (Фалес)
10. Этот математик на протяжении многих лет занимался тем,
что пытался найти формулу, по которой бы можно было нахо-
дить все простые числа. К сожалению, данной формулы най-
ти не удалось, зато был изобретен способ составления таблицы
простых чисел, который впоследствии был назван его именем.
О каком математике идет речь? (Эратосфен)
11. Благодаря этому ученому в нашу жизнь вошли знаки умно-
жения « х » и «». Как фамилия этого ученого? (Лейбниц)
Замечание. Какие из заданий предложить учащимся для
игры, определяет учитель в зависимости от их возраста и зна-
ний истории математики.
Задания на знание понятий
1. Данное понятие впервые ввел в математику Лейбниц в
1694 г. Данное понятие у Лейбница имело геометрический
смысл. В школы данное понятие было введено лишь в XX ве-
ке. О каком понятии идет речь? (Функция)
205
2. Это понятие переводится на все языки, как «ломаное (раз-
дробленное) число». Что это за понятие? (Дробь)
3. Этим словом можно назвать и окружность и прямую. Оно
является одним из основных геометрических образов. Что это
за слово? (Линия)
4. Из курса геометрии вам известно, что косинусом острого
угла прямоугольного треугольника называется отношение ка-
тета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. А как называ-
ется отношение гипотенузы к катету, прилежащему к этому
же углу? (Секанс)
5. В древности учение об этом математическом понятии было
в большом почете у пифагорийцев. С ним связывали мысли о
порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке
и гармонии во Вселенной.
Оно применялось и применяется не только в математике,
но и в архитектуре, искусстве и является условием правиль-
ного, наглядного и красивого построения или изображения.
Современная запись определения этого понятия с помо-
щью математических знаков была введена немецким матема-
тиком XVII в. Готфридом Вильгельмом Лейбницем.
В девятнадцатом предложении VII книги Евклид доказы-
вает основное свойство этого математического понятия.
Его использовали для решения разных задач в древности
и в средние века, легко и быстро с его помощью решаются
задачи и в настоящее время.
О каком математическом понятии идет речь? (Пропорция)
Говорить ли все сразу об этом понятии — зависит от
того, как учащиеся будут справляться с этим заданием.
Задания на знание единиц измерения некоторых величин
1. Как называли на Руси расстояние между кончиками паль-
цев мизинца и большого при их наибольшем удалении? (Пядь)
2. Все вы хорошо знаете меры объема: 1 мм3,1 см3,1 дм3 = 1 л.
А как называется мера объема, равная 3,75 л? (Гарнец)
3. Данная единица длины появилась в 1001 г. в Англии благо-
даря королю Генриху I. Она равнялась расстоянию от кончи-
ка носа короля до конца среднего пальца его вытянутой руки.
Как она называлась? (Ярд)
206
4. Вам также хорошо известны меры веса: 1 г, 1 кг, 1 ц, 1 т.
А как называлась мера веса на Руси, равная приближенно
12,797 г? (Лот)
5. Как называется число, записанное как 1033? (дециллион)
В качестве призов для награждения победителя можно ис-
пользовать книги по математике, канцелярские принадлеж-
ности, сладости, аудиокассеты и т. п.
Математик-бизнесмен
•
В данной игре соединяются элементы двух наук — мате-
матики и экономики. В ходе игры учащиеся постигают такие
экономические понятия, как «капитал», «стоимость», «банк»
и т.д. Они учатся логически мыслить, распределять «капи-
тал» в соответствии со своими знаниями. Эта игра является
командным соревнованием. При этом в качестве соревную-
щихся команд могут выступать как команды параллельных,
так и смежных классов.
Проводить данную игру можно как по определенной теме
школьного курса математики, так и как обобщение или повто-
рение целого раздела или как развлекательное мероприятие.
Рассмотрим правила данной игры.
1. Команды представляют собой правление банка, а капи-
тан команды является президентом банка. Капитан команды
(президент банка) имеет право принимать окончательное ре-
шение по каждому заданию игры.
2. Каждая команда в начале игры имеет стартовый ка-
питал — определенную сумму денег (например, 50000 или
100000 рублей).
3. Команды по очереди берут задания разной сложности
(сложность оценена в рублях от 5000 до 20 000).
4. В случае верного решения задачи капитал банка уве-
личивается на стоимость задания. Если ответ неправильный,
то:
а) капитал банка уменьшается на 100% стоимости зада-
ния, если другая команда даст правильный ответ;
207
б) капитал банка уменьшается на 50% стоимости задания,
если другая команда не сможет ответить правильно.
5. Команды имеют право продавать соперникам свое зада-
ние и купить у соперников их задание по взаимному согласию.
6. Командам дается время на обдумывание задания от 1 до
5 минут в зависимости от сложности задания.
7. Игра заканчивается, если закончились задания или од-
на из команд стала банкротом.
8. Победителем игры объявляется та команда, у которой в
банке будет больше «денег» к концу игры.
Пример. Задания и их примерная «стоимость»
для проведения игры между 7-8 классами
1. Три различных целых числа сначала сложили, затем их же
перемножили. Оказалось, что сумма и произведение в обоих
случаях совпали. Какие числа были взяты?
Ответ: 1; 2 и 3. [5000 рублей]
2. Сколько целых чисел находится между числами 1,29 и
18,07?
Ответ: 17. [5000 рублей]
3. На какое наибольшее число частей можно разделить плос-
кость тремя различными прямыми?
Ответ: На 7. [6000 рублей]
4. Вычислите: 1-2 + 3- 4 + 5- 6+ ...+ 2005 - 2006 + 2007.
Ответ: 1004. [7000 рублей]
5. Поезд длиной 1 км медленно движется со скоростью 1 и
вползает в туннель длиной 1 км. За сколько времени он пол-
ностью пройдет туннель?
Ответ: 2 часа. [8000 рублей]
6. На черно-белой фотографии черный цвет составляет 40%
площади. Эту фотографию увеличили в 4 раза. Какой процент
составляет белый цвет на увеличенной фотографии?
Ответ: 60%. [8000 рублей]
7. Найдите значение выражения —- + -Q\ если = 2.
Ъ2 + 3ab Ь
Ответ: 1^. [9000 рублей]
208
4----|---------h
b 0 a
Puc. 59
8. Числа а и b изображены на числовой прямой (рис. 59).
Какие из неравенств ab > 0, а + b > 0, < 0, а — b > 0 будут
верными?
Ответ: ~ <0иа - Ь> 0, [9000 рублей]
b
9. На автомойке работают Сергей и Петя. Сергей может вы-
мыть машину один за 10 минут, а Петя — за 20 минут. За
какое время вместе они вымоют 5 машин?
Ответ: ~ 33 (минуты). [9000 рублей]
О
10. Сумма 2006 положительных целых чисел равна 2007. Най-
дите их произведение.
Ответ: 2. [10 000 рублей]
11. На рис. 60 изображен квадрат ABCD, Z.OKD = 60°. Найдите
ZCOM.
Ответ: 15°. [10000 рублей]
12. Напишите девять цифр 1,2,3,..., 9. Не меняя порядка этих
цифр, расставьте между ними знаки «+» или «-» (всего три
знака) так, чтобы в результате получилось число 100.
Ответ: 123 - 45 - 67 + 89 = 100. [11000 рублей]
Рис. 61
13. Чему равна величина угла а на рис. 61?
Ответ: 40°. [12 000 рублей]
209
14. У Ивана на даче растут яблони и вишни. Осенью он снял с
одной вишни в среднем по 30 кг ягод, а с яблони — по 80 кг.
В среднем же он собрал всего по 60 кг плодов с одного дерева.
Каких деревьев в саду у Ивана больше и во сколько раз?
Ответ: Яблонь, в 1,5 раза. [15 000 рублей]
15. Найдите последнюю цифру числа
десятичной дроби.
записанного в виде
Ответ: 8. [20 000 рублей]
С примерами разработок данной игры для учащихся 5-6
и 10-11 классов можно познакомиться по книгам [15,31].
Математическое ралли
Является командной игрой. При этом число команд может
быть и больше двух. Команда (4-5 учеников) является экипа-
жем машины, которая должна совершить пробег по местно-
сти, преодолевая множество препятствий. Учащиеся с собой
берут тетради и ручки. Побеждает команда, набравшая боль-
ше очков на трассе. Маршрут определяет сама команда (то есть
с какого этапа начинать). Этапы оцениваются жетонами, цвет
которых определяет число правильно решенных заданий. На-
пример, черный цвет — 0 баллов, коричневый цвет — 1 балл,
желтый — 2 балла, зеленый — 3 балла, синий — 4 балла, крас-
ный — 5 баллов. Победителем является команда, набравшая
в сумме больше всего баллов.
Счастливый случай
Также относится к командным соревнованиям. Проводит-
ся по правилам, аналогичным телевизионной игре. Но вопро-
сами для команд являются математические задания (больше
по определениям понятий, терминологии).
. Рассмотрим пример заданий для проведения данной игры.
210
Пример. Вопросы для учащихся 7-8 классов
Вопросы для первой команды
1. Хорда, проходящая через центр окружности. (Диаметр)
2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны. (Медиана)
3. Математическое предложение, требующее доказательства.
(Теорема)
4. График квадратичной функции. (Парабола)
5. Множество точек, равноудаленных от концов данного отрез-
ка. (Серединный перпендикуляр)
6. Угол, смежный с углом при данной вершине. (Внешний
угол)
7. Прямоугольник с равными сторонами. (Квадрат)
8. Направленный отрезок. (Вектор)
9. Отношение противолежащего катета к гипотенузе. (Синус)
10. Угол, меньший прямого. (Острый)
11. Угол, равный 180°. (Развернутый)
12. Прибор для измерения углов. (Транспортир)
13. Прибор для измерения расстояний на местности. (Рулетка)
14. Чему равен радиус окружности, если ее диаметр равен 6 см?
(Зсм)
15. Какую часть суток составляют 6 часов? J
16. Прибор для построения прямых углов на местности. (Экер)
17. Чему равен корень уравнения х2 = — 4? (Не существует)
18. Прибор для построения окружности. (Циркуль)
19. Треугольник, у которого все стороны равны. (Равносторон-
ний)
20. Прибор, используемый в геодезии для построения прямых
углов. (Теодолит)
Вопросы для второй команды
1. График обратной пропорциональности. (Гипербола)
2. Параллелограмм с равными сторонами. (Ромб)
3. Отрезок, соединяющий любые 2 точки окружности. (Хорда)
4. Угол, больший прямого. (Тупой)
5. Математическое предложение, принимаемое на веру без до-
казательства. (Аксиома)
211
6. Сумма сторон треугольника. (Периметр)
7. Самая большая хорда в круге. (Диаметр)
8. Отношение прилежащего катета к гипотенузе. (Косинус)
9. Прибор для измерения диаметра трубки. (Штангенциркуль)
10. Специальный прибор для измерения углов на местности.
(Астролябия)
11. Величина прямого угла. (90 )
12. Чему равен диаметр окружности, если радиус ее 8 см?
(16 см)
13. Какую часть суток составляют 8 часов? (i)
14. Чему равен корень уравнения |х = — 1? (Не существует)
15. Треугольник, в котором есть два равных угла. (Равнобед-
ренный)
16. Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. (Ра-
диус)
17. Величина, не имеющая направления. (Скаляр)
18. Простейшее математическое понятие. (Точка)
19. Часть прямой, ограниченная с одной стороны. (Луч)
20. Чертежный инструмент для построения прямой. (Ли-
нейка)
Что? Где? Когда?
Данная игра может быть как личной, так и командной.
Проводится она по правилам, аналогичным телевизионной
игре. Но задания предлагаются по математике.
Рассмотрим возможный набор заданий для проведения
данной игры.
Пример. Набор заданий для проведения данной игры
1. Данное геометрическое понятие происходит от двух латин-
ских слов «дважды» и «секу», которые переводятся букваль-
но как «рассекающиеся на две части». О каком понятии идет
речь? (О биссектрисе)
212
2. На могиле этого великого математика был установлен па-
мятник с изображением шара и описанного около него ци-
линдра. Спустя почти 200 лет по этому чертежу нашли его
могилу. Кто этот математик? (Архимед)
3. Индейцы называли его «сунья», арабские математики
«сифр». А как мы называем его сейчас? (Нуль)
4. В древности не было такого термина. Его ввел в XVII веке
французский математик Франсуа Виет. В переводе с латинско-
го данный термин означает «спица колеса». Что это? (Радиус)
5. Черный ящик. В нем положен предмет, название которо-
го произошло от греческого слова, означающего в переводе
«игральная кость». Данный предмет часто используется в раз-
личных играх маленькими детьми. Что в черном ящике? (Ку-
бик)
6. Слово, которым обозначается эта фигура, переводится с гре-
ческого языка как «натянутая тетива». Что это? (Гипотенуза)
7. Воины римского консула Марцелла были надолго задержа-
ны у стен города Сиракузы мощными машинами-катапульта-
ми, которые изобрел для защиты этого города великий ученый
Архимед. В черном ящике лежит еще одно изобретение Архи-
меда, которое и поныне используется в быту. Что в черном
ящике? (Винт Архимеда, который используется в мясорубке)
8. Вы, наверное, многое слышали о мистических числах. На-
пример, число 13 называют «чертовой дюжиной», число
666 — «число зверя, дьявола». В то время как 3 и 12 — счи-
тались пифагорийцами «счастливыми» числами. А какое чи-
сло у пифагорийцев олицетворяло здоровье, гармонию, разум-
ность? (4)
9. Этот ученый больше знаменит своими открытиями в физи-
ке. Но благодаря его занятиям математикой появилась выс-
шая математика, элементы которой изучаются и в школе в
старших классах. Что это за ученый? (Ньютон)
10. Этот ученый увлекался не только математикой, но и астро-
номией, геодезией, физикой. Умер он в середине XIX века,
завещав начертить на своей надгробной плите правильный
семнадцатиугольник, вписанный в круг. Это была первая ре-
шенная им задача, которой он гордился больше всего. О каком
ученом идет речь? (О Карле Фридрихе Гауссе)
213
11. Многие из необычных чисел носят имена великих матема-
тиков. Например, число л называют числом Архимеда, число
е ~ 2,718281 назвали неперово число. Оно было названо в честь
Джона Непера, шотландского математика, изобретателя лога-
рифмов. А какое число иногда называют числом Шехерезады?
(1001)
12. Внимательно следите за моими рассуждениями.
2 рубля = 200 копеек, следовательно, 2 рубля =
= 2002 копеек. А значит, 4 рубля = 40 000 копеек. Но это
ведь не так. Как в математике называют рассуждения, анало-
гичные только что проведенному мною? (Софизмами)
В качестве тринадцатого сектора можно использовать от-
веты на вопросы, которые должны задавать зрители как до
начала игры, так и во время ее проведения. Вопросы и ответы
можно опускать заранее в специальный ящик.
Третий лишний
В данной игре командам по очереди предлагаются назва-
ния различных объектов. При этом у двух есть какое-то общее
свойство, а у третьего — нет. Команды должны быстро отве-
тить, какой объект не обладает свойством, присущим двум
другим.
Например: гектар, сотка, метр; миля, тонна, килограмм;
конус, шар, ромб; прямая, отрезок, угол; треугольник, ромб,
призма.
Игры типа игры Баше
В начале игры на столе (парте) имеется несколько (п) пред-
метов. Необходимо взять 1,2, ...,т предметов за один ход.
Играют 2 ученика. Они делают ходы по очереди. Проигрывает
тот, кто возьмет последний предмет.
214
Например. На столе имеется 15 конфет. Разрешается брать
по 1, 2 или 3 конфеты. Проигрывает тот, кто возьмет послед-
нюю конфету.
(Для того чтобы не проиграть, начинающий игру должен
взять первым ходом 3 конфеты, а затем брать такое число кон-
фет, которое в сумме с числом конфет, взятых соперником,
будет равно 4.)
Крестики-нолики
Играют 2 ученика, ставя по очереди крестики или нолики
на клетчатой бумаге. Выиграет тот, кто раньше поставит по
вертикали, горизонтали или диагонали 5 своих фигур: кре-
стиков или ноликов.
Игры на угадывание задуманного числа, дня рождения,
возраста человека, зачеркнутой цифры и т. п.
Угадывание дня рождения
Учитель (или ведущий игры) предлагает одному из участ-
ников умножить число даты его рождения на 12, а номер ме-
сяца на 31. Затем полученные произведения необходимо сло-
жить, а учителю сообщить полученный результат. По резуль-
тату учитель «угадывает» день рождения ученика.
Разгадка. Для ответа па вопрос учителю необходимо ре-
шить уравнение 12х + 31i/ = а в натуральных числах. Здесь
х — дата рождения ученика, у — номер месяца, а а — на-
званный результат. При этом разрешается применять и ми-
крокалькулятор. Для решения лучше выразить переменную
х из уравнения:
Учитывая, что 1^1/<12,1<х^31, находим требуемые х
и у. Например, ученик назвал число 405. Тогда
405-31Z/
Х~ 12 ‘
215
Так как 405 и 12 делятся на 3, то и у должно делиться на 3. Так
как на 12 делиться может только четное число, то у должно
быть нечетным. Подставляя значения у = 3 и 9, находим, что
при у = 3, х - 26.
Определение даты рождения и возраста
Учитель предлагает учащемуся умножить номер месяца
рождения на 100, к полученному произведению прибавить
число месяца, на которое приходится день рождения. Затем
полученную сумму умножить на 2 и к результату прибавить 8.
Полученный результат умножить на 5, к произведению при-
бавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К получен-
ному результату прибавить полное число лет, умноженное на
4, и сказать полученное число.
Разгадка. Пусть дата рождения — у, номер месяца — х, а
число лет — р. Тогда при выполнении всех действий получим
следующее выражение
(«1 ООх + у) 2 + 8) • 5 + 4) • 10 +р + 4 = 10 000* +1ООу +р+444,
которое ученик сообщает учителю. Для угадывания дня, ме-
сяца рождения и возраста учитель вычитает из полученного
результата 444. А оставшиеся цифры в числе разбивает на
группы по 2, начиная слева (р > 10 всегда). Тогда цифры пер-
вой группы дают возраст ученика, цифры второй группы —
дату рождения, а третьей — номер месяца дня рождения.
Угадывание зачеркнутой цифры
Учитель, стоящий спиной к доске, предлагает ученику на-
писать на доске любое трехзначное или четырехзначное чис-
ло, состоящее из различных цифр. После этого учитель пред-
лагает ученику переставить цифры записанного числа как
угодно. Получается второе число. Учитель предлагает вычесть
из большего числа меньшее число и в полученной разности за-
черкнуть одну цифру,’Оставшиеся же две цифры сложить и
216
сообщить эту сумму учителю. Учитель объявляет, какая циф-
ра была зачеркнута.
Разгадка. Остатки от деления натурального числа и суммы
его цифр на 9 равны. У двух чисел, записанных одними и теми
же цифрами, остатки от деления на 9 тоже равны, при этом
разность этих чисел делится на 9 без остатка. Поэтому учи-
тель для нахождения вычеркнутой цифры дополняет сумму
оставшихся цифр до числа, кратного 9. Число, которое было
дополнено, и является вычеркнутой цифрой. Если же сумма
оставшихся цифр разности кратна 9, то зачеркнутая цифра
может быть 0 или 9.
1. Рассмотрим число 3478. Пусть второе число будет 8473. То-
гда разность их будет 4995. Пусть вычеркнули цифру 9, тогда
сумма оставшихся цифр равна 18, а это число кратно 9. Зна-
чит, вычеркнули цифру 0 или 9. Пусть ученик вычеркнул ци-
фру 5. Тогда сумма оставшихся чисел равна 22, а 27 — 22 = 5,
поэтому вычеркнутая цифра равна 5.
2. Рассмотрим число 916. Пусть второе будет 169, тогда раз-
ность будет равна 747. Вычеркнем 4. Тогда получим 7 + 7 = 14
и число, дополняющее 14 до 18, будет 4. Вычеркнутая циф-
ра — 4.
Угадывание задуманного числа
Учитель предлагает учащемуся задумать число, затем
удвоить его, к полученному произведению прибавить 5. За-
тем предлагает к полученному числу прибавить 5 раз его же
и к результату прибавить 10. Полученную сумму умножить
на 10. Затем просит назвать полученный результат и по нему
называет задуманное число.
Разгадка. Пусть задумано число х. Проследим, какие из-
менения будут с ним происходить. Удвоили — стало 2х, приба-
вили 5 — стало 2х + 5. Взяли число 5 раз — получили 10х + 25.
Прибавили к результату 10 — получили 10х 4- 35. Умножили
эту сумму на 10 — получили 100х + 350. Итак, отнимая от
полученного результата число 350, учитель угадывает заду-
манное число. Это будет число сотен у оставшегося числа.
217
Математические турниры
Выделяют две классические формы турниров.
1. Для проведения турнира создается оргкомитет (учите-
ля математики, классные руководители, некоторые учащи-
еся). Учителя математики отбирают задачи для турнира. За
некоторое время до проведения турнира создаются несколько
команд по 5 человек. Каждый член команды получает опреде-
ленный номер. В день турнира происходит его торжественное
открытие. Все участники турнира расходятся по кабинетам,
при этом все первые номера собираются в одном кабинете, все
вторые — в другом и т. д. Всем участникам турнира в каждом
кабинете предлагаются турнирные задания (обычно по 2-3 за-
дачи). После определенного времени на решение (1—2 часа)
осуществляется проверка заданий (каждое задание оценива-
ется определенным числом баллов). Победителем является ко-
манда, набравшая больше всех баллов. Трудные задания после
разбираются. Можно изменить немного методику проведения
турнира, проводя его в несколько туров. Тогда после каждого
тура в школе вывешиваются результаты тура и тексты пред-
ложенных заданий.
2. Дается больше времени на подготовку к турниру уча-
щимся. Каждая команда готовит задания своим соперникам.
При этом решения задапий происходят перед зрителями пря-
мо на сцене. А жюри оценивает работу учащихся. Наряду с
математикой можно командам выступить и с художествен-
ными номерами.
В 1992 г. в школе № 5 г. Москвы состоялся математиче-
ский турнир, который получил название турнира Архимеда.
С тех пор данный турнир проводится регулярно, в нем при-
нимают участие несколько тысяч школьников 5-6 классов из
разных школ г. Москвы. Рассмотрим особенности проведения
данного турнира.
Турнир Архимеда является лично-командной олимпиа-
дой. Состав команды школы 8 человек, но может быть и мень-
ше. Состоит он из 2 этапов. На первом этапе (для 5 класса)
продолжительностью 60 минут проводится письменная олим-
218
пиада. Учащимся предлагается 6 задач. Традиционная тема-
тика этих задач — числовые ребусы, задачи на раскрашивание
или разрезание, задачи нЬ движение или работу, на четность
или делимость, логические задачи, задачи на составление ал-
горитмов или организацию какого-то процесса. Все задачи
оцениваются различным числом баллов. Этот этап является
личным. Сумма баллов 5 лучших участников данного этапа
засчитывается команде.
После перерыва в 15 минут начинается 2 этап: командный.
Продолжительность его 60-80 минут для 5 класса и 2-2,5 ча-
са — для 6 класса (так как у них нет первого этапа). Команде
предлагается для решения не менее 6 различной тематики и
сложности. Как правило, это задачи на заполнение таблиц по
определенному правилу, решение числовых ребусов, на под-
счет числа фигур, головоломки, задачи на разрезание, на вос-
становление слов, в которых буквы переставлены местами,
кроссворды разных типов, задачи со спичками и т. п. Решив
какую-то задачу, команда сразу предъявляет ее решение жю-
ри. Если решение неправильное, то команда имеет право ис-
править решение со второй, а иногда и с третьей попытки,
но теряет при этом часть баллов. Пока идет командный этап,
проверяются работы личного этапа. После окончания команд-
ного этапа для участников турнира может быть организована
культурная программа (просмотр кинофильма), после кото-
рой подводятся итоги. Награждаются как победители лично-
го этапа, так и победители командного этапа. Как правило,
победителей и призеров 20-25% от общего числа участников
и команд.
Приведем примеры задач, предлагавшихся в разные годы
на турнирах Архимеда. (В скобках указано число баллов при
первом правильном ответе за решение задачи, а также при
второй (и третьей) попытке.)
Пример. Задачи, предлагавшиеся в разные годы на турнирах Архимеда
1. Расположите в кружках на рис. 62 все цифры от 1 до 9 так,
чтобы для каждого отрезка, имеющего кружки на концах и
219
посередине, сумма чисел, записанных в этих трех кружках,
равнялась 18. (10 => 5 баллов)
Решение. Возможное расположение показано на рис. 63.
Рис. 63
2. Сколько всего треугольников изображено на каждом из
рис. 64? (5 баллов за каждый рисунок)
Рис. 64
Ответ: 18 и 28.
3. Первое число — это некоторое трехзначное число, второе
число — это сумма е*го цифр, третье число — это сумма цифр
220
второго числа. Эти три числа можно записать так:
дод, со, □.
Восстановите запись, если одинаковые фигуры соответствуют
одинаковым цифрам. (5 баллов)
Ответ: 929; 20; 2.
4. Из 18 спичек составьте фигуру, изображенную на рис. 65.
Сколько всего получилось треугольников?
Рис. 65
а) Уберите 4 спички так, чтобы общее количество тре-
угольников стало равным семи. (6 => 3 => 1 балл)
б) Восстановите ранее составленную фигуру и уберите
3 спички так, чтобы общее количество треугольников стало
равным семи. (6 => 3 => 1 балл)
5. Али-Баба нашел пещеру, полную золота и алмазов. Полный
мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов — 40 кг.
Али-Баба может унести за один раз не более 100 кг. Килограмм
золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров.
Сколько денег он может получить за золото или алмазы, уне-
сенные в одном мешке за один раз?
Ответ: 3000 динаров.
6. Восстановите пример, учитывая, что одинаковые цифры
обозначены одинаковыми буквами: АВС х СВА = 692 443.
Ответ: 739 х 937 = 692 443.
7. Заполните пустые клетки квадрата буквами из числа уже
имеющихся в нем так, чтобы ни в одной из горизонталей,
вертикалей или диагоналей квадрата буквы не повторялись.
(6 => 3 балла).
221
п и л О т
л О т п и
т п и л О
и л 0 т
0 т п. и л
Подробнее с заданиями турнира Архимеда можно позна-
комиться по книгам [5, 16].
Наряду с общепринятым значением турнира слово «тур-
нир» употребляется и для других соревнований, в частности,
Уральский турнир, Турнир городов, Турнир юных математи
ков и т. п., на которых остановимся кратко ниже.
Турниры юных математиков организуются как в отдель-
ных регионах России (например, в Чувашии), так и для уча-
щихся всей России. Последние годы традиционно проводится
Уральский турнир юных математиков (в феврале 2005 г.
прошел уж двадцать пятый турнир), в котором могут прини-
мать участие команды школ, кружков, городов, регионов Рос-
сии и других стран. Это лично-командное соревнование, цель
которого — стимулировать интерес школьников к занятиям
математикой, завязать и укрепить контакты между школьни-
ками, математиками и педагогами различных регионов Рос-
сии и других стран. Его основу составляет турнир математи-
ческих боев. В программу входят также «Математическая ка-
русель», личная и командная олимпиады, интеллектуальные
игры и другие культурные мероприятия.
222
Команда — участница турнира состоит из шести учащих-
ся 6-8 классов и сопровождающего (руководителя). Хотя в
турнире участвуют команды школ, кружков, городов, регио-
нов России, но допускается участие и отдельных школьников.
Участие в Уральском турнире юных математиков является
платным.
С материалами Уральских турниров можно познакомить-
ся в Интернете.
Международный математический турнир старшеклас-
сников «Кубок памяти А.Н. Колмогорова» проводится еже-
годно, начиная с 1997 года. Участвуют в Кубке команды школ,
кружков, городов, регионов России и других стран в соста-
ве шести учащихся 9-11 классов. Кубок памяти А. Н. Кол-
могорова считается неофициальным командным первенством
России по математике. Основу Кубка памяти А. Н. Колмо-
горова составляет турнир математических боев. Проводятся
также командная и личная олимпиады, математическая ка-
русель, лекции известных математиков, интеллектуальные
игры, экскурсии, другие культурные и спортивные меропри-
ятия. В жюри входят ведущие специалисты по работе с мате-
матически одаренными школьниками, члены методической
комиссии Российской математической олимпиады. Для ко-
манд, полностью состоящих из учащихся не старше 9 класса,
организуются отдельные «юниорские» лиги. Команды-побе-
дительницы в высшей и высшей юниорской лигах награж-
даются переходящими Большим и Малым кубками соответ-
ственно. Участие в данном турнире также является платным.
С материалами Кубка памяти А. Н. Колмогорова также
можно познакомиться в Интернете.
Математические карусели
Математическая карусель — это командное соревнование
по решению задач. Побеждает в нем команда, набравшая наи-
большее число очков. Задачи решаются на двух рубежах —
исходном и зачетном, но очки начисляются только за зада-
чи, решенные на зачетном рубеже. Математическую карусель
223
придумали И. С. Рубанов, К. Кноп, С. Волченков в 1997 г. В
начале игры все члены команды располагаются на исходном
рубеже, причем им присвоены номера от 1 до 6. По сигналу ве-
дущего команды получают задачу и начинают ее решать. Если
команда считает, что задача решена, ее представитель, имею-
щий номер 1, предъявляет решение судье. Если оно верное,
игрок № 1 переходит на зачетный рубеж и получает задачу
там, а члены команды, оставшиеся на исходном рубеже, тоже
получают новую задачу. В дальнейшем члены команды, на-
ходящиеся на исходном и зачетном рубежах, решают разные
задачи независимо друг от друга.
Чтобы понять следующую часть правил, надо представить
себе, что на каждом рубеже находящиеся на нем члены коман-
ды выстроены в очередь. Перед началом игры на исходном ру-
беже они идут в ней в порядке номеров. Если члены команды,
находящиеся на каком-либо из двух рубежей, считают, что
они решили очередную задачу, решение предъявляет судье
игрок, стоящий в очереди первым. Если решение правильное,
то с исходного рубежа этот игрок переходит на зачетный, а на
зачетном возвращается на свое место в очереди. Если решение
неправильное, то на исходном рубеже игрок возвращается на
свое место в очереди, а с зачетного переходит на исходный.
Игрок, перешедший с одного рубежа на другой, становится в
конец очереди. И на исходном и на зачетном рубежах коман-
да может в любой момент отказаться от решения задачи. При
этом задача считается нерешенной.
После того как часть команды, находящаяся на каком-
либо из двух рубежей, рассказала решение очередной задачи
или отказалась решать ее дальше, она получает новую задачу.
Если на рубеже в этот момент нет ни одного участника, задача
начинает решаться тогда, когда этот участник там появля-
ется.
За первую верно решенную на зачетном рубеже задачу ко-
манда получает 3 балла. Если команда па зачетном рубеже вер-
но решает несколько задач подряд, то за каждую следующую
задачу она получает на 1 балл больше, чем за предыдущую.
Если же очередная задача решена неверно, то цена следующей
224
задачи зависит от ее цены следующим образом. Если цена не-
верно решенной задачи была больше 6 баллов, то следующая
задача стоит 5 баллов. Если цена неверно решенной задачи
была 4, 5 или 6 баллов, то следующая задача стоит на балл
меньше. Если же неверно решенная задача стоила 3 балла, то
следующая задача тоже стоит 3 балла.
Игра для команды оканчивается, если
а) кончилось время, или
б) кончились задачи на зачетном рубеже, или
в) кончились задачи на исходном рубеже, а на зачетном
рубеже нет ни одного игрока.
Время игры, количество исходных и зачетных задач зара-
нее оговаривается.
Игра оканчивается, если она закончилась для всех ко- •
манд.
Может быть и мини-карусель, если не предъявлять задач
на исходном рубеже.
Рассмотрим пример математической карусели, проведен-
ной автором на одном из занятий математического кружка
для учащихся 6—7 классов.
Пример. Математическая карусель для учащихся 6-7 классов
Задачи для исходного рубежа
1 (исход) У мальчика столько же сестер, сколько и бра-
тьев; а у сестры его вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько
всего братьев и сестер?
2 (исход) В саду живут куры и кролики. Число голов всех
животных равно 50, а число ног — 160. Сколько в саду кур и
сколько кроликов?
3 (исход) Стали вороны садиться по одной на березу — не
хватило одной березы; стали садиться по две — одна береза
оказалась лишней. Сколько было ворон и сколько берез?
4 (исход) В феврале 2004 года было 5 воскресений. Какого
числа было четвертое воскресенье?
225
5 (исход) 4 маляра окрашивают 6 комнат за 5 часов. За
какое время 12 маляров окрасят 18 комнат?
6 (исход) Учитель предложил решить Саше 6 задач. За
каждую нерешенную задачу учитель давал ему 2 дополнитель-
ные задачи. В итоге Саше пришлось решать 14 задач. Сколько
задач Саше не удалось решить?
7 (исход) Три поросенка Наф-Наф, Ниф-Ниф и Нуф-Нуф
решили построить дом. Каждый из трех поросят купил по
12 бревен и распилил их на 30 однометровых чурбаков. Дли-
на каждого из купленных бревен была равна либо двум, либо
трем, либо четырем метрам. Сколько всего распилов пришлось
сделать трем поросятам?
8 (исход) Сколько существует двузначных чисел, пред-
ставимых в виде суммы двух натуральных чисел, каждое из
которых кратно 11 или 17.
.9 (исход) За новогодним столом сидят 20 человек, 16 из
них носят имя Саша. В полночь они рассядутся за круглым
столом, и каждый загадает одно желание. Исполнится же же-
лание лишь у тех, кто будет сидеть между двумя Сашами.
Какое наибольшее число желаний может исполниться?
10 (исход) Барон Мюнхгаузен и его слуга Тс лас подошли
к реке. На берегу они обнаружили лодку, способную перевести
лишь одного человека. Тем не менее они переправились через
реку и продолжили путешествие. Могло ли так быть? х
11 (исход) Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на
30 килограммов легче Гены. Сколько весит Чебурашка, если
они все трое вместе весят 140 килограммов?
12 (исход) Какова наименьшая сумма пяти различных
современных российских монет (в копейках)?
13 (исход) Сколько существует трехзначных чисел, циф-
ры в которых расположены по возрастанию слева направо?
226
14 (исход) Сколько существует трехзначпых чисел, циф-
ры в которых расположены по убыванию слева направо?
15 (исход) Частное втрое больше делимого и вдвое больше
делителя. Найдите делимое, делитель и частное.
Ответы
1.4 брата и 3 сестры. 2.20 кур и 30 кроликов. 3.4 вороны, 3 бе-
резы. 4.22 февраля. 5. За 5 часов. 6.4 задачи. 7. 54 распила.
8.31 число. 9.15. 10. Да, они подошли с разных берегов реки.
11.10 килограммов. 12.166 копеек = 1 рубль 66 копеек.
13.84. 14.120. 15.|,j, |.
Задачи для зачетного рубежа
1 (зачет) Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямо-
угольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?
2 (зачет) Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг
другу вышли мальчик и девочка, каждый со своей, но посто-
янной скоростью, и встретились через час. После этого они,
не останавливаясь, пошли дальше и, дойдя до пунктов Б и А,
повернули обратно. Сколько времени пройдет между первой
их встречей и второй?
3 (зачет) Записано число 68 791 + 245194. Вычеркни-
те четыре цифры так, чтобы получилась наименьшая сумма.
При этом из каждого числа надо вычеркнуть хотя бы по одной
цифре.
4 (зачет) Сейчас угол между часовой и минутной стрел-
ками настенных часов прямой. Чему может быть равеп угол
между этими стрелками через полчаса?
5 (зачет) Найдите все натуральные числа, которые в 7 раз
больше своей последней цифры.
6 (зачет) На отрезке АВ, длина которого равна 6 см, отме-
чены две точки: Ми К. Известно, что ВМ = 2В7Г,АМ = О^АЙГ.
Найдите длину отрезка МК.
227
7 (зачет) Две девочки играют в игру — отрывают лепест-
ки у ромашки. За один ход разрешается отрывать либо один
лепесток, либо два лепестка, расположенных рядом друг с
другом. Побеждает та девочка, которая оторвала последний
лепесток. Кто выиграет при правильной игре?
8 (зачет) Расшифруйте ребус:
УМ
ШУМ
вмш
9 (зачет) Даны шесть чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Разрешено к
любым двум числам прибавлять по единице. Можно ли через
несколько ходов сделать все числа равными?
10 (зачет) Рядом сидят мальчик и девочка.
Я — мальчик, говорит черноволосый ребенок.
Я — девочка, говорит рыжий ребенок.
Если известно, что хотя бы кто-то из них врет, то опреде-
лите, кто — мальчик, а кто — девочка.
11 (зачет) В бочке не менее 13 ведер бензина. Можно
ли отлить 8 ведер с помощью девятиведерной и пятиведерной
бочек?
в
12 (зачет) В классе 40 учеников. Найдется ли такой ме-
сяц в году, в котором отмечают день рождения не менее чем
4 ученика этого класса?
13 (зачет) Из 4 деталей одна отличается по весу от осталь-
ных, имеющих одинаковый вес. Можно ли ее узнать с помо-
щью двух взвешиваний на весах с двумя чашечками без гирь?
ч
14 (зачет) Сколько знаков после запятой в десятичной
записи числа ?
1 024 000
15 (зачет) В треугольнике один из углов в 2 раза боль-
ше второго и на 20° отличается от третьего. Какие значения
(в градусах) может принимать наибольший угол такого тре-
угольника?
228
Ответы
1.1050 см2. 2.2 ч. 3.2865. 4.105° или 75°.
5. Одно число: 35. 6.1 см.
7. Побеждает вторая девочка при следующей стратегии. При
любом первом ходе первой девочки вторая делает такой ход,
который разбивает все оставшиеся лепестки на две симмет-
ричные части. При этом в случае нечетного числа лепестков у
ромашки отрывается первой и второй девочкой в сумме нечет-
ное число лепестков; а в случае четного числа — четное число.
Следующие свои ходы вторая девочка делает симметрично хо-
дам первой девочки.
8. Возможные ответы: 74 + 874 = 948; 87 4- 487 = 574.
9. Нет, так как сумма 6 чисел первоначально была нечетной, а
в случае равенства всех чисел она будет четной.
10. Врут оба. Рыжий ребенок — мальчик, черноволосый ребе-
нок — девочка.
11. Да.
12. Да, доказывается методом от противного или с помощью
обобщенного принципа Дирихле.
14. 13 знаков. 15.80° и 84°.
Математические регаты
Математические регаты являются командным соревнова-
нием. Участвуют команды, состоящие из учащихся одной па-
раллели. Состав команды — 4 человека. Соревнование прово-
дится в 4-5 туров. В каждом туре участникам предлагается
для решения 3 задачи для письменного решения. Решив и
оформив задачу на листочке, команда сдает ее для проверки
жюри.
Особенности задач регаты:
• решение их краткое;
• задачи для одного тура должны быть одной сложности, но
на разные темы;
• задачи других этапов, но имеющие тот же порядковый но-
мер, должны быть, как правило, по той же теме;
229
• сложность задач от тура к туру должна возрастать.
Руководит регатой координатор, преподающий математи-
ку в соответствующем классе. Он раздает задания, собирает
решения на листках, проводит разбор заданий и объявляет
итоги проверки. Время каждого этапа заранее оговорено, оно
колеблется от 10 до 25 минут. Число баллов за правильное
решение задач на каждом этапе одно и то же, но с каждым эта-
пом увеличивается (от 6 до 9 баллов). Жюри проверяет работы
после окончания каждого тура. При этом создается 3 комис-
сии, каждая из которых проверяет только первые, вторые или
третьи задачи каждого тура. Состав комиссии: 3-4 человека.
Это могут быть учителя математики, студенты, старшеклас-
сники.
После окончания тура сразу осуществляется разбор за-
дач, а затем объявляются результаты проверки. Если коман-
да не согласна с итогами тура, она имеет право подать заявку
на апелляцию. Комиссия перепроверяет решение, если число
баллов за задачу изменено, то вносятся коррективы в итоги
тура, если — нет, то вопрос решается повторно, но после окон-
чания всей регаты, но до подведения окончательных итогов.
В случае споров и разногласий окончательное рептепие при-
нимает председатель жюри.
Победители и призеры определяются по наибольшему чис-
лу баллов.
Рассмотрим возможный вариант заданий для проведения
математической регаты среди учащихся 6-7 классов (здесь
первая задача представляет собой задание по арифметике, вто-
рая — по геометрии, а третья — текстовая задача).
Пример. Вариант заданий для проведения
математической регаты для учащихся 6-7 классов
Первый тур (10 минут)
1. Слова зашифровали с помощью цифр: ВАЗА — 3191, ДЕД —
565. Как зашифровали слово ЖАБА?
2. Верно ли, что:
а) фигуры с равными площадями имеют равные пери-
метры;
230
б) фигуры с равными периметрами имеют равные площа-
ди? Ответы обоснуйте.
3. В саду растут яблони и вишни. Если взять i всех вишен и
Сл
i всех яблонь, то тех и других будет поровну. Всего в саду
360 деревьев. Сколько яблонь и вишен в саду?
(6 баллов за каждую задачу )
Второй тур (15 минут)
1. Чему равно значение выражения
КАНГАРОО + 10 000 х АРОО - 10000 х КАНГ,
если разные буквы обозначают разные цифры?
2. От каждой вершины деревянного куба отпилили по одинако-
вому кусочку так, что место спила имеет форму треугольника.
Сколько вершин и сколько ребер у получившегося тела?
3. Ночью семья подошла к мосту. Папа может перейти его за
1 минуту, мама — за2 минуты, дочь — за 5 минут, а бабушка —
за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост же выдерживает
только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если перехо-
дят мост двое, то они идут с меньшей из скоростей. Двигаться
без фонарика нельзя.)
( 7 баллов за каждую задачу)
Третий тур (20 минут)
1. Решите ребус: Б + БЕЕЕ = МУУУ.
2. На прямолинейном участке пути расположено четыре оста-
новки А, В, С, D. Известно, что расстояние между остановка-
ми А и D равно 1 км, между В и С — 2 км, между В и D —
3 км, между А и В — 4 км, а между Си D — 5 км. Определите
расстояние между остановками А и С.
3.4 коровы черной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней да-
ли такое же количество молока, что и 3 коровы черной масти
и 5 коров рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более произво-
дительны — черные или рыжие?
(8 баллов за каждую задачу)
231
Четвертый тур (25 минут)
1. Решите ребус:
КОЗА
+КОЗА
СТАДО
2. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы от-
резки не пересекались, и каждая точка была бы вершиной
ровно 4 отрезков.
3. Из пункта А в пункт В ведет единственная дорога длиной
15 км. В 9 часов 30 минут со скоростью 4 км/ч из А в В от-
правился пешеход. На следующий день, выйдя в 11 часов, он
отправился в обратный путь со скоростью 5 км/ч. Оба раза
пешеход перешагивал через единственный ручей, пересекаю-
щий дорогу, в одно и то же время. В каком часу это было?
(9 баллов за каждую задачу)
Ответы и решения
Первый тур
1. ЖАБА — 8121. 2. Нет, например, прямоугольник со сторо-
нами 2 и 8 и квадрат со стороной 4. 3. Яблонь — 240; вишен —
120.
Второй тур
.1. АРООАРОО. 2.24 вершины и 36 ребер.
3. Первыми идут мама и папа — 2 минуты; затем папа с фо-
нариком возвращается и передает его бабушке — 1 минута,
бабушка идет с внучкой — 10 минут; мама возвращается с фо-
нариком — 2 минуты; папа переходит мост вместе с мамой —
2 минуты. Итого 17 минут.
Третий тур
1.1 + 1999 = 2000. 2.6 км. 3. Рыжие.
Четвертый тур
1.8653 + 8653 = 17 306.
2. Вариантов много, один из возможных (рис. 66). 3.12 ч.
232
Рис. 66
Математическое ориентирование
Математическое ориентирование является командным со-
ревнованием. Состав команды 3-4 человека из одного или раз-
ных классов. Сочетает решение несложных математических
олимпиадных задач и элементы спортивного ориентирования.
На пересеченной местности создается несколько контрольных
пунктов (КП) — обычно 6-9. КП нумеруются цифрами или бу-
квами. Для каждого КП измеряется азимут и примерное рас-
стояние (50-250 м). Все зависит от возраста соревнующихся
учащихся и их опыта в участии.
Предъявляемые задачи имеют свои особенности: хотя те-
матика их может быть разная, но обязательно должны быть
вычисления. При этом в ответе должно получиться 2 числа:
азимут (в градусах) и расстояние (в метрах) до следующего КП.
Также текст каждой задачи маркируется номером команды,
для которой предназначена задача.
Соревнование организуется следующим образом. Коман-
ды, взяв с собой компасы, ручки и блокноты, выходят на
маршрут по очереди, с небольшим интервалом, чтобы не ме-
шать друг другу. Порядок выхода команд на маршрут опреде-
ляется жребием. На старте команда получает одну из задач и,
решив ее, определяет, каким образом ей искать первый КП.
Найдя КП, команда выбирает свой пакет, решает находящу-
юся там задачу и двигается к следующему КП. На финише
команда предъявляет список КП в порядке их прохождения.
Побеждает команда, прошедшая все КП за наименьшее время.
233
В качестве примера приведем набор задач для одной из
команд для проведения данного соревнования среди учащих-
ся 7-9 классов. Для других команд составляются аналогич-
ные задачи, при этом фабула задач остается той же, меняются
лишь числа, поэтому числовые ответы будут другими. Неко-
торые задачи могут и повторяться. Во всех задачам буквой г
обозначено расстояние (в метрах) до следующего КП, а а —
обозначает азимут (в градусах).
Пример. Набор задач для проведения данного
соревнования среди учащихся 7-9 классов
1. Решить систему уравнений:
г — а = 180,
‘ г - 2а = 90.
ч
2. Решите уравнение: х2—150х+5000 = 0,г— больший корень,
а — меньший.
3. Заметьте закономерность в записи дробей и найдите г и а.
1 8 27 64 г
4* 9* 16’ 25* а*
4. В равнобедренной трапеции основания равны 120 и 180 м,
боковая сторона — 50 м. Найдите высоту трапеции и площадь
трапеции. При этом значение высоты будет равно а, а площадь
трапеции, выраженная в арах, будет равна г.
5. Стороны параллелограмма равны 10 и 15 м, а один из углов
параллелограмма — 30 ’. Найдите площадь параллелограмма
и длину меньшей из диагоналей параллелограмма. При этом
площадь параллелограмма равна г, а квадрат длины диагона-
ли — а.
6. Точки А и В делят окружность на 2 дуги, градусные меры
которых относятся как 4:11. Найдите г и а, если их числен-
ные значения равны градусным мерах большей и меньшей из
этих дуг.
Ответы
1. г = 150 м, а = 30 . 2. г = 100 м, а = 50 . 3. г = 125 м,
а = 36°. 4.г = 60м,а = 40э. 5.г = 75м,а = 70°. 6.г = 264м,
а = 96°.
Раздел 6
Интеллектуальный марафон
В интеллектуальном марафоне учащиеся соревнуются в
решении задач по различным предметам. Побеждает тот, кто
наберет больше всего баллов. Задания могут быть предложе-
ны как по разным предметам одновременно, так и по одному
предмету. Задания по математике подбираются таким обра-
зом, чтобы учащиеся использовали при их решении, в основ-
ном, только знания, не выходящие за рамки школьной про-
граммы. При этом задания разнообразны по форме: задания
в тестовой форме; вопросы, требующие односложных ответов
или кратких пояснений; задачи, предполагающие подробные
обоснования, рассуждения, выкладки. Предпочтение отдает-
ся задачам, которые имеют не единственный способ решения,
а также вопросам с многовариантными ответами. При этом
чаще включаются несложные логические и алгоритмические
задачи, текстовые задачи, задания с «числовой» тематикой,
наглядно-геометрические задачи. Решение первых заданий
при этом не требует практически никаких математических
знаний, затем трудность заданий увеличивается. Причем сис-
тема подобранных заданий не должна напоминать ни олим-
пиаду, ни контрольную работу. Если марафон проводится по
циклам, то есть каждый предмет по отдельности, то продол-
жительность цикла 45-60 минут (для 5-7 классов) и 60-90 ми-
нут (для 8-11 классов). Задания все оцениваются различным
числом баллов, которые указываются рядом с задачей. Интел-
лектуальный марафон может проводиться как в школе, так и
среди школ. Большую популярность получил интеллектуаль-
ный марафон в Москве. Координатором его является Лабора-
тория по работе с одаренными детьми Московского института
повышения квалификации работников образования.
В качестве примера приведем несколько заданий для уча-
щихся 5 класса, которые можно предложить при проведении
интеллектуального марафона в школе.
, 235
Пример. Задания для учащихся 5 класса
1. Слова в фразе стоят иа своих местах, но буквы внутри
каждого слова переставлены местами. Например: «ПШЬО-
ПЕШИС — ЙЮДЛЕ ШЕСАМЬШИН» — «ПОСПЕШИШЬ —
ЛЮДЕЙ НАСМЕШИШЬ». Поставьте буквы на свои места,
прочтите и запишите получившуюся поговорку: «ИДНО АЗ
ХЕВС, ВЕС ЗА ОГОДНО». (10 баллов)
2. На гранях куба написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, что
сумма чисел любых двух противоположных граней равна 7.
На рис. 67 изображен этот куб и его развертка. Перерисуйте
развертку куба и расставьте на ней числа 3, 4, 5 и 6 в нужпом
порядке. (15 баллов)
3. Восстановите пример. (20 баллов)
*2*3
х
* *
* * * 8 7
* * * * *
2 * 004 *
4. Нарисуйте план посадки четырех деревьев так, чтобы пря-
молинейные тропинки, проложенные от каждого дерева к
трем другим, не пересекались. (25 баллов)
5. Чебурашка живет в высотном здании. На каком этаже нахо-
дится его квартира, если:
• поднявшись на лифте с этажа, на котором находится его
квартира, на 20 этажей, он оказался выше 62, но ниже
71 этажа;
236
• спустившись с этажа, на котором находится его квартира,
на 15 этажей, он оказался выше 30, но ниже 40 этажа;
• поднявшись с этажа, на котором находится его квартира,
на 29 этажей, он оказался выше 67, но ниже 78 этажа;
• спустившись с этажа, на котором находится его квартира,
на 38 этажей, он оказался выше 9, но ниже 12 этажа? (30
баллов)
Решения и ответы
1. Один за всех, все за одного. 2. Смотри рис. 68.
4 5 3 2
Рис. 68 Рис. 69
3. 7243 4. Смотри рис. 69.
Х 29
65187
14486
210047
5. Решая задачу с конца, получим, что номер этажа, на кото-
ром находится квартира Чебурашки, есть натуральное число,
которое:
а) больше, чем 42, но меньше, чем 51;
б) больше, чем 45, но меньше, чем 55;
в) больше, чем 38, но меньше, чем 49;
г) больше, чем 47, но меньше, чем 50. Итак, получается,
что Чебурашка живет на этаже, больше, чем 47, но меньше,
чем 49, то есть на 48 этаже.
Подробнее познакомиться с методикой проведения интел-
лектуального марафона и материалами, по которым проводи-
лись интеллектуальные марафоны, можно по книгам [3, 8,
10,11].
Раздел 7
Математические викторины
Математические викторины являются одной из наиболее
легко организуемых форм внеклассной работы по математи-
ке. Викторина может проводиться на математическом вечере,
занятии математического кружка. Также викторина может
проводиться и как самостоятельное мероприятие.
Принимают участие в викторине все желающие. Для про-
ведения викторины подбираются упражнения, при решении
которых учащиеся должны проявить свою находчивость, сме-
калку, математические способности. Подбираемые упражне-
ния, как правило, решаются устно, они различной трудности.
На викторине не предлагается задач, аналогичным решаемым
на уроке. Число заданий для викторины может быть 10-20.
Продолжительность викторины не более 25-30 минут.
Выделяют такие формы проведения викторины:
1. Проводится, если участников немного (не более 50).
Каждый вопрос зачитывается ведущим, дается несколько ми-
нут на обдумывание ответа. Отвечает тот, кто первым под-
нял руку. В случае неполного ответа предоставляется слово
другому участнику викторины. Полный ответ оценивается 2
очками, неполный — 1 очком. Победителем является участ-
ник, набравший больше всех очков. Данную форму виктори-
ны можно разнообразить, если внести в нее элементы игры.
А в роли ведущих викторины пусть выступят персонажи, из-
вестные учащимся.
2. Проводится, если участников больше 100 человек. В
этом случае каждому участнику даются тексты вопросов и за-
дач викторины, участники пишут на отдельных листках от-
веты и краткие пояснения и сдают листочки в жюри. Пока
жюри проверяет работы участников викторины, с участни-
ками проводится разбор решений. После проверки листочков
объявляются победители.
238
3. Список задач и вопросов, предлагаемых для викторины,
вывешивается в математической газете. Рядом указывается
число баллов за каждое задание. Учащиеся решают задачи,
письменные решения сдаются учителю. Для такой разновид-
ности викторины можно предлагать и более сложные задания.
Если данная викторина проводится в неделю математики с це-
лью привлечь учащихся к чтению книг о математике, но вме-
сте с вопросами можно указать и литературу, в которой можно
найти ответ на вопрос викторины.
Возможны и другие формы проведения викторин.
Независимо от формы проведения викторины победители
викторины награждаются призами, в качестве которых могут
быть как книги по математике, так и книги о тех персонажах,
которые выступали в роли ведущих.
Рассмотрим примеры задач для проведения викторин (ка-
кие из них предлагать, а какие — нет, зависит от особенностей
конкретного класса).
Пример. Задачи для проведения викторин
Викторина для учащихся 5—6 классов
(3\
о )
/
2. За книгу заплатили 60 руб. и еще i стоимости книги. Сколь-
о
ко стоит книга? (90 рублей)
3. i от 1 некоторого числа равна 50. Какое это число? (100)
4. Вычислите: 20+18+16 + ... + 4 + 2 + 0— 1 — 3 — 5 —— 17 — 19.
(Ю)
5. Как изменится дробь, если ее числитель увеличить на зна-
менатель? (Увеличится на 1)
6. На поляне паслись лошади. К ним подошли несколько ре-
бят. Пастух скомандовал: «Садитесь по одному на лошадь!»
И один из ребят остался без лошади. «Садитесь по два на ло-
шадь», — снова скомандовал пастух. И одна лошадь осталась
без мальчика. Сколько было мальчиков и сколько лошадей
паслось на поляне? (Было 4 мальчика и 3 лошади)
7. Саша живет на четвертом этаже, а Коля в два раза выше. На
каком этаже живет Коля? (На седьмом этаже)
239
8. Я задумал четырехзначное число, отнял от него единицу и
получил трехзначное число. Какое число я задумал?
9. Три кошки за три минуты поймали трех мышей. Сколько
нужно кошек, чтобы они за 1 час поймали 60 мышей? (Три)
10. Назовите два натуральных числа, которые дадут одинако-
вый результат, если большее из них разделить на меньшее и
перемножить их? (Любое из натуральных чисел и 1)
11. По углам и сторонам квадрата на расстоянии 2 м друг от
друга вбиты колышки. Сколько всего колышков вбито, если
сторона квадрата равна 10 м? (20)
12. У Вани 3 брата и 2 сестры. Сколько братьев и сестер у его
сестры Нади? (4 брата и 1 сестра)
13. У охотника в куртке 5 карманов. В каждый карман он кла-
дет не меньше одного и не больше пяти патронов. Сколько
патронов у охотника, если в каждом кармане разное число
патронов?(15)
14. Во время прогулки по лесу Иван через каждые 40 метров
находил по одному белому грибу. Какой путь он прошел от
первого гриба до последнего, если всего было найдено 25 гри-
бов? (960 м)
15. У Васи в куртке 3 кармана. Сколькими способами он может
положить в эти карманы 2 монеты? (6 способов)
16. В день рождения сына родители подарили ему книгу. Такой
же подарок сын получал от родителей в каждый день рожде-
ния. В год окончания университета в свой день рождения сын
вновь получил от родителей в подарок книгу и приложил ее
к тем пяти, которые были ему подарены раньше. Какого чи-
сла родился сын и во сколько лет он окончил университет?
(29 февраля, 24 года)
17. Не производя деление, скажите: делится ли 2 613 456 на 36?
(Да)
18. Я живу на шестом этаже, а мой друг — на третьем. Возвра-
щаясь с работы домой, мне приходится пройти 60 ступенек.
Сколько ступенек проходит мой друг, когда возвращается до-
мой? (24)
19. Через 2 года мальчик будет вдвое старше, чем он был два
года назад. Девочка через три года будет втрое старше, чем
три года назад. Кто старше: мальчик или девочка? (Возраст
мальчика и девочки одинаков — им по 6 лет)
240
20. Что такое «абак»? (Счетная доска у древних римлян и гре-
ков, принцип устройства подобен счетам)
21. Вася и Коля решили купить одно мороженое на двоих. Но
Васе не хватило на мороженое 5 рублей, а Коле 1 рубля. Когда
же они сложили свои деньги, их все равно не хватило на покуп-
ку даже 1 мороженого. Сколько стоило мороженое и сколько
денег было у каждого из мальчиков? (Мороженое стоило 5 руб-
лей, у Коли было 4 рубля, а у Васи денег не было.)
22. Пятнадцать рыцарей были приглашены королем на пир.
Прежде чем занять свои места за столом, каждый рыцарь по-
здоровался с каждым из остальных рыцарей за руку. Сколько
всего рукопожатий было сделано? (105)
23. Каждое утро Машина мама утром собирала яйца, которые
снесли ее куры. Однажды, неся яйца домой, она споткнулась,
и все яйца разбились. Маша спросила маму: «Сколько яиц
ты собрала?» «Я не знаю, — ответила женщина, — но точно
знаю, что, когда я делила количество яиц на два, оставалось
одно яйцо. А когда делила это количество на три, ни одного
яйца не оставалось. А когда я делила на пять, оставалось три
яйца».
Всего у женщины было более четырех яиц, но меньше со-
рока.
Сколько яиц разбилось? (Количество разбитых яиц — не-
четное, так как при делении на два одно яйцо остается. Так
как при делении на пять, остается три яйца, то количество
яиц равно 5 т? + 3, где п — некоторое положительное четное
число. Учитывая, что яиц больше 4, но меньше 40, получаем,
что при п = 2; 4; 6 яиц соответственно будет 13, 23, 33. Но так
как число разбитых яиц кратно трем, то ответ — 33).
Викторина для учащихся 10—11 классов
1. Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш? (8)
2. Сравните 1ОО200 и 2ОО100. (Первое число больше)
3. Что представляет собой график уравнения
(x+l)2 = (j/-l)2 = O?
(Точку с координатами х = -1; у = 1)
241
4. Каково геометрическое место точек (х; у) таких, что
lgX+ lg£/ = О?
(Гипербола, уравнение которой у = i).
5. Сравните (cos л)3 и (cosh)1. (Первое число меньше)
6. Что представляет собой график неравенства х2 + у2 4?
(Круг с центром в точке 0(0; 0) и радиусом R = 2)
7. Решите уравнение: 2х = cos 120 . (Нет решений)
8. Назовите фамилию математика, давшего схему деленйя
многочлена на двучлен. (Горнер)
9. Как называется термин, введенный английским математи-
ком Д. Сильвестром? Без него часто не обойтись при решении
квадратных уравнений. (Дискриминант)
10. Кто автор значков: f'(x) и у'? (Ж. Лагранж, французский
ученый)
11. Назовите четыре слова, которыми греческий математик,
«отец геометрии», Евклид заканчивал каждый математиче-
ский вывод. (Что и требовалось доказать)
12. Изобразите пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше
дров» с помощью графика некоторой функции.
Викторина по истории геометрии
(для учащихся 7-11 классов)
1. В Древнем Египте 4000 лет назад землемеров называли « гар-
педонаптами», то есть «канатонатягивателями». С чем связа-
но такое название?
(В Древнем Египте для построения прямых углов приме-
нялась теорема, впоследствии получившая название теоремы
Пифагора. А так как прямоугольный треугольник со сторо-
нами 3, 4 и 5 м строился с помощью натягивания каната на
колышки, воткнутые в землю в вершинах треугольника, то
древних землемеров и называли «канатонатягивателями».)
2. Кто, по преданию, из великих геометров древности сказал
вражескому солдату, пришедшему его убить: «Не тронь моих
кругов»?
(Архимед, погибший при захвате римлянами его родного
города Сиракузы в то время, когда пришел римский солдат. По
242
преданию, Архимед был увлечен решением геометрической
задачи, чертеж которой был выполнен на песке. Солдат, убив-
ший Архимеда, или не знал о приказе своего военачальника
сохранить жизнь Архимеду, или не узнал Архимеда. Впослед-
ствии этот солдат был наказан, а семья Архимеда была окру-
жена почестями.)
3. Какая книга лежит в основе большинства школьных учеб-
ников по геометрии? Кто ее автор?
(«Начала» Евклида, написанные в IV в. до н. э.)
4. На каком здании были начертаны слова: «Да не войдет сюда
не искусившийся в геометрии!»
(По преданию, эти слова были написаны у входа в Акаде-
мию Платона (429-348 гг. до н. э., чрезвычайно ценившего
математику и способствовавшего ее развитию. «Академией»
называлась философская научная школа, основанная Плато-
ном в IV веке до и. э. близ Афин, в садах, посвященных памяти
героя Академа.)
5. Что, по преданию, завещал высечь на своем надгробном кам-
не Архимед?
(Архимед завещал высечь на надгробном камне чертеж к
теореме о свойствах шара и цилиндра. Он установил, что объем
шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания,
равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара, или
двум третьим объема цилиндра с таким же радиусом основа-
ния и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением
называют «телами Архимеда». Римский военачальник Мар-
целл, поклонник таланта Архимеда, исполнил желание уче-
ного, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изобра-
жен шар, вписанный в цилиндр.)
б. Кто автор слов «В геометрии нет особых путей для царей!»?
В связи с чем они были произнесены?
(Автор этих слов — Евклид. Он произнес их, по свидетель-
ству Прокла, Птоломею, спросившему у Евклида однажды,
нет ли в геометрии более краткого пути, чем его «Начала».)
7. Кто является создателем первой неевклидовой геометрии?
Когда и где она была впервые изложена?
(Н. И. Лобачевский (1792-1856). На заседании физико-
математического факультета Казанского университета
243
11(23) февраля 1826 г. Лобачевский сделал доклад об основах
геометрии.)
8. Кто является основоположником аналитической геомет-
рии, являющейся соединением алгебры с геометрией?
(Рене Декарт (1596-1650), французский философ и мате-
матик)
9. Кто является создателем современной аксиоматики геомет-
рии Евклида?
(Д. Гильберт (1862-1943), немецкий математик)
10. Какая известная задача носит название «делосской»?
(«Делосская задача» — это задача об удвоении куба, то
есть о построении куба с объемом в два раза большим объема
данного куба. Свое название она получила благодаря следую-
щей легенде. В Древней Греции на острове Делосе был мор.
Для его предотвращения оракул делосского храма приказал
удвоить жертвенник, имеющий форму куба. Тогда бы боги
смилостивились и мор прекратится. Данная задача оказалась
неразрешимой, так как с помощью циркуля и линейки невоз-
можно построить сторону куба, у которого объем вдвое больше
данного.)
11. Кто ввел термины «абсцисса», «ордината», «координата»?
(Лейбниц ввел понятия «абсцисса» в 1965 г., «ордина-
та» — в 1684 г., «координаты» — в 1692 г.)
12. Кто является автором самого первого учебника геометрии?
Он же является однофамильцем известного греческого ме-
дика.
(Гиппократ)
13. Этот ученый больше известен своими открытиями в алгеб-
ре, тем не менее, на своем надгробном памятнике он завещал
выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг.
О каком ученом идет речь?
(о Карле Фридрихе Гауссе — немецком математике)
14. Назовите фамилию древнегреческого ученого, предложив-
шего формулу для нахождения площади треугольника по
трем его сторонам.
(Герои)
244
15. По учебникам этого российского математика учились воз-
можно, ваши бабушки и дедушки, а уж прабабушки и праде-
дХи точно. В 2002 г. исполнилось 150 лет со дня его рожде-
ния. Как фамилия этого ученого?
(Киселев Андрей Петрович)
16. Кто ввел термины «анализ» и «синтез»?
(Платон — древнегреческий философ)
Раздел 8
Школьная математическая печать
К школьной математической печати относятся, прежде
всего, различные виды математических стенгазет, математи-
ческая фотогазета, а также журналы математического круж-
ка, уголки математики, монтажи фотографий и рисунков по
математике, альбомы, высказывания о математике, сканеры
и т. п.
Математическая стенгазета
Может выпускаться как членами кружка, так и другими
учениками. Если стенгазета выпускается членами кружка, то
основными целями стенгазеты являются пропаганда матема-
тических знаний среди учащихся, не состоящих в кружке;
повышение их интереса к математике, вовлечение учащихся
в работу кружка, освещение опыта работы кружка.
Выпускает стенгазету редколлегия, в состав которой вхо-
дят редактор, секретарь, художник, фотограф, оформитель,
корректор и др. Члены редколлегии занимаются подготовкой
и выпуском стенгазеты, каждый из них имеет свои обязанно-
сти.
Возможен вариант, когда различные номера стенгазеты
выпускают различные группы кружковцев или члены клас-
са. Если членами кружка являются ученики разных классов,
то можно организовать соревнование, доверив выпуск различ-
ных номеров стенгазеты учащимся разных классов.
Выпуск газеты должен быть регулярным, не реже 1 раза в
2 месяца.
К сожалению, писать заметки может не каждый уче-
ник. Поэтому нужна помощь учителя литературы и русского
языка. Хорошо, если на уроках литературы учащиеся будут
учиться писать заметки на разные жанры.
246
В зависимости от назначения стенгазеты можно выделить
такие ее разновидности: газета-обозрение, газета-молния,
юбилейная газета, экспресс-газета.
Рассмотрим суть данных газет.
Газета-обозрение представляет собой серию коротких вы-
ступлений, в которых авторы в образной форме сообщают о но-
востях с урока математики, результатах математических ме-
роприятий, победителях соревнований, раскрывают перспек-
тивы математического кружка и т. п.
Юбилейная газета выпускается к юбилейной дате извест-
ного математика и имеет следующие разделы: портрет мате-
матика, краткая биография, список трудов математика, опи-
сание необычных жизненных ситуаций, крылатые фразы, за-
дачи, составленные этим математиком.
Экспресс газета, как правило, содержит несколько раз-
ных разделов и выпускается чаще всего в неделю математи-
ки. Основными разделами газеты могут быть (причем сами
разделы могут и не указываться, не все разделы могут быть в
каждом номере стенгазеты):
• Математическая жизнь в нашем классе (нашей школе)
(описывается работа кружка, недостатки в его работе, что
было и что планируется в ближайшее время, связь с дру-
гими кружками и т. п.);
• Математическая жизнь в нашей стране (приводятся фами-
лии самых известных российских математиков, что ими
сделано, описывается все новое, происшедшее в матема-
тике);
• Краткое изложение некоторых математических вопро-
сов. Например, «Тайны натурального ряда» (приводятся
решенные и нерешенные задачи теории чисел), «Искус-
ство быстро вычислять» (описываются приемы быстрого
счета), «Математика и жизнь» (рассматриваются прак-
тические приложения математики), «Проблема четырех
красок» (описывается суть данной проблемы, приводятся
примеры задач па раскраску);
247
• Биографии выдающихся математиков (особенно такая
рубрика должна быть к юбилеям, указывается основное,
что сделано, фотографии, интересные сюжеты из жизни);
• Заметки по истории математики (небиографического ха-
рактера), например: «Как люди научились считать», «Как
умножали в старину», «Квадратура круга» и др.;
• Краткие сообщения интересных фактов по математике и
ее истории (помещаются под общим заголовком: «Знаешь
ли ты, что...», «Известно ли тебе... >);
• Наш словарь (объясняется смысл и происхождение мате-
матических терминов, напримерслов «алгебра», «цифра»
и др.);
• Геометрические иллюзии (помещаются рисунки или фо-
тографии, демонстрирующие некоторые геометрические
иллюзии);
• Занимательные задачи, софизмы, парадоксы, арифмети-
ческие ребусы, задачи с различных математических со-
ревнований. Обычно задачи помещаются под заголовком
«Уголок смекалки», «Подумай» и т. п. Газета может объ-
явить и конкурс на решение задач. Ав следующих номерах
необходимо опубликовать ответы к ранее предложенным
задачам, а также фамилии учащихся, представивших ре-
шения;
• Математические стихотворения (о математике и матема-
тиках);
• Математический юмор (описываются забавные случаи,
происходящие на заседании кружка или на уроке мате-
матики);
• Высказывания о математике (например, слова М. В. Ло-
моносова «Математику уже затем учить надо, что она ум
в порядок приводит»);
• Биографический отдел (о новых и старых книгах и статьях
по математике);
• Ответы на вопросы читателей (можно под названием
♦Спрашивай — отвечаем»).
Во многом, будет ли стенгазета интересна и полезна для
учащихся, будет завйсеть и от ее оформления.
248
Лучше стенгазету выпускать под одним заголовком. На-
звание стенгазеты должно привлекать внимание учащихся.
Возможные названия стенгазеты могут быть такие:
• Давайте поспорим;
• Алтригар;
• В мире математики;
• Математика и жизнь;
• Арксинус;
• Архимед;
• Пи;
• Пифагория;
• Математическая смекалка;
• Плюс и минус и т. д.
Обычно заголовок располагается в верхней или боковой
части стенгазеты. Его размеры не должны занимать больше
одной пятой части газеты. Также указывается название орга-
низации, выпускающей газету, дата выпуска. При этом на-
звание газеты выделяется ярким цветом, но так чтобы все
цвета (газеты, стенда и т. п.) сочетались. Также может быть
в стенгазете интересное высказывание о математике^ Оно по-
мещается под заголовком или слева на вертикальной полосе.
Лучше стенгазету помещать в застекленную рамку. Заметки
лучше вставлять, а не наклеивать, при этом номер и рубри-
ки стенгазеты будут также меняться. Размер колонок обычно
12-15 см. Не надо помещать больших статей, лучше по 10-
15 строчек напечатанного текста. В стенгазете должны быть
фотографии, рисунки, чертежи. В качестве фотографий мож-
но использовать фотографии призеров различных математи-
ческих соревнований.
Композиционно материал газеты можно подать в виде те-
леграфной ленты, ромашки, светофора и т. п.
Последнее время в некоторых школах широкое распро-
странение получило аппликационное оформление газеты, ко-
гда и буквы заголовка, и цветовые «кляксы», и заметки пи-
шутся на специально подобранной по гамме цветной бумаге,
подбираются и вырезаются соответствующие рисунки из пе-
риодической печати.
249
В связи с все большим внедрением ЭВТ в учебный процесс
школ появляются и газеты, полностью выполненные с помо-
щью специальных программ. Обычные недостатки таких га-
зет — малый формат и черно-белая гамма.
Какие же цвета лучше применять при оформлении газет?
Как правило, наиболее удачные цветовые сочетания получа-
ются в пределах малых пли, наоборот, наибольших интер-
валов спектрального круга. Также надо знать, что красный,
оранжевый и желтый выигрывают в сочетании с черным, а
голубой, синий и фиолетовый — в сочетании с белым.
Таким образом, можно использовать два варианта цве-
тов: оттенков одного цвета и контрастные оттенки (например,
красный, синий, желтый или оранжевый, фиолетовый, зеле-
ный).
Выпуская стенгазету, необходимо придерживаться следу-
ющих правил:
• не забывать снимать газету вовремя, чтобы она не
примелькалась и не висела до следующего выпуска;
• не превращать газету в регистрацию фактов;
• избегать пышных фраз и стандартных призывов;
• оформление газеты должно быть ярким, неожиданным,
острым;
• помещаемый материал должен быть интересным;
• информация должна будить ум читателя;
• боевитость, задор, перспективы — непременные свойства
каждого номера газеты.
Пример. Содержание стенгазеты для учащихся 6 класса
Заголовок: Математическая смекалка. Орган математиче-
ского кружка 6 класса средней школы № 6 г. Коряжмы. Ниже
слова М. В. Ломоносова: «Математику уже потому учить нуж-
но, что она ум в порядок приводит». Далее идут заметки:
• Архимед (его фото);
• Наш кружок (помещается фотография «На занятии
кружка);
• Как это сделать? (приводятся 2 задачи типа: а) Как раз-
делить 7 яблок между 12 учениками, не разрезая ни одно
250
яблоко на 12 частей; б) Как из девяти восьмерок составить
число 100?);
• Трудная задача-деление (описывается то, как делили в
старину);
• Наш словарь (например, смысл и происхождение слова
«цифра»);
• Сообрази! (задача типа: «В коробке находятся по 10 чер-
ных, синих, красных и белых шаров. Какое наименьшее
число шаров надо достать, чтобы среди них наверняка ока-
залось 6 шаров одного и того же цвета?»);
• Сложите 100 чисел (описывается то, как маленький Гаусс
сложил в уме 100 чисел, приводятся примеры для устного
счета читателям, типа):
а) 1 — 2 + 3 — 4 + ... + 99 — 100;
б) 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 2005 - 2006;
}12 2-3 9-10*
Журнал математического кружка
Журнал математического кружка выпускает скользящая
редколлегия (т. е. состав ее меняется), при этом отдельные но-
мера журнала могут вывешиваться на специальной доске.
Журнал кружка нужен, прежде всего, для тех членов
кружка, которые хуже усвоили материал с занятия или про-
пустили некоторые занятия. Помещается в журнал все наи-
более важное, что рассматривалось на занятии кружка (тек-
сты докладов (сообщений) членов кружка, все рассмотренные
задачи, задачи для решения дома). Также в журнале указы-
ваются фамилии учеников, изложивших решение задачи у
доски. Если домашняя задача не была разобрана в классе,
решение ее помещается в журнале. Также в журнал поме-
щаются отдельные задачи, предложенные учащимися, луч-
шие математические сочинения, отдельные статьи историко-
математического или математического характера, составлен-
ные учащимися, интересные выписки из книг и статей. Жур-
нал красиво оформляется, снабжается рисунками, фотогра-
фиями.
251
Уголок математики
Уголок математики является частью школьной или класс-
ной стенгазеты. Обычно в нем помещаются задачи (преимуще-
ственно занимательные) и небольшие заметки по математике
и ее истории.
Математическая фотогазета
В ней помещаются фотографии выдающихся математи-
ков, фотографии моделей, которых нет в кабинете матема-
тики, старинных книг по математике, фотографии победите-
лей математических соревнований и т. д. Каждая фотография
снабжается кратким объяснительным текстом. Иногда в фо-
тогазету включают рисунки (например, геометрические ил-
люзии, чертежи многогранников и т. п.).
Монтажи фотографий и рисунков
Данные монтажи фотографий и рисунков посвящаются
обычно одной теме (например, «Выдающиеся математики
России», «Классификация многогранников»). В первом слу-
чае на большом листе ватмана помещаются фотографии с
краткими биографиями ученых, во втором — рисунки или
фотографии различных видов многогранников (правильных,
полуправильных и т. д.) и их названия.
Альбомы
Альбомы можно сделать по таким темам, как «Замеча-
тельные теоремы геометрии» (включить теоремы, не входя-
щие в обязательное содержание школьной программы, напри-
мер, Птоломея, Эйлера, Чевы, Стюарта и т. д.), «Применения
математики в жизни» и т. п.
252
Высказывания о математике
Интересные высказывания о математике можно использо-
вать и на уроке, и во внеклассной работе. Хорошо, если такие
высказывания предложат учащиеся, познакомившись с соот-
ветствующими книгами. В школе можно повесить отдельные
плакаты с фотографиями и с высказываниями выдающихся
людей о математической науке. Также высказывания приго-
дятся для выпуска стенгазет.
Пример. Высказывания
М. В. Ломоносов:
• «Химия — правая рука физики, математика — ее глаза»;
• «Все, что без этого было темпо, сомнительно и неверно,
математика сделала ясным, верным и очевидным»;
• «Слеп физик без математики».
К. Вейерштрасс:
• «Математик, который не является в известной мере по-
этом, никогда не будет настоящим математиком» или:
• «Математик, который не является отчасти поэтом, никог-
да не достигнет совершенства в математике».
Галилео Галилей:
• «Великая книга природы написана математическими
символами» или
• «Природа говорит языком математики: буквы этого язы-
ка — круги, треугольники и иные математические
фигуры»;
• Нужно измерять все измеримое и делать измеримым то,
что пока не поддается измерению.
Р. Декарт:
• «Все вокруг меня происходит математическим путем»;
• «Мало иметь хороший ум, главное — хорошо его приме-
нять».
Жак Адамар:
• «Прежде чем решать задачу — прочитай условие».
253
Платон:
• «Разве ты не заметил, что способный к математике изощ-
рен во всех науках в природе?»;
• «Математикой нужно заниматься не ради ее приложения,
а во имя той духовной прибыли, которая связана с ней»;
• «Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само го-
сударство и если бы лиц, занимающих высшие государ-
ственные должности, приучали заниматься математикой
и в нужных случаях к ней обращаться».
Н. И. Лобачевский:
• «Математика — это язык, на котором говорят все точные
науки»;
• «Только с алгеброй начинается строгое математическое
учение».
А. С. Пушкин:
• «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэ-
зии».
В. Чкалов:
• «Полет — это математика».
Д. Гильберт:
• «Математика есть единая симфония бесконечного».
Выставка
Данная разновидность школьной печати одна из наиболее
редко применяемых во внеклассной работе по математике.
Все выставки можно разделить на три группы:
1. Выставки, посвященные отдельным темам школьного
курса математики, причем с наиболее полным охватом темы.
К проведению выставки привлекаются учащиеся тех классов,
в которых изучается данная тема. Примерные темы: «Теоре-
ма Пифагора (несколько доказательств)», «Плоскиефигуры»,
«Его величество ШАР» и т. п.
2. Выставки, охватывающие ряд разделов школьного кур-
са математики и связанные с практической деятельностью лю-
дей, например: «Математика и спорт», «Математика и живо-
пись», «Математика у нас дома», «Иконопись и математика»
254
и т. п. Также на данных выставках помещаются фотоснимки,
приборы, макеты. Каждый из экспонатов выставки имеет эти-
кетку с названием, датой изготовления, фамилией и именем
автора. Этикетка помещается в правом нижнем углу работы и
имеет размеры 100 х 70 мм.
3. Интегрированные выставки, то есть рассматривается
материал, относящийся к нескольким предметам, в частности
математике, физике, химии.
Чаще такую выставку организует оргкомитет, состоящий
из представителей нескольких кружков. Он и рассматрива-
ет все вопросы по подготовке и проведению выставки. Такого
рода выставки чаще оформляются в актовом зале или каби-
нете математики. В качестве тем можно указать такие, как:
«Как измерить экватор планет? », «Человек и математическая
гармония» и т. п. При организации таких выставок можно по-
просить некоторые приборы принести учащимся из дома. А
на выставке происходит демонстрация действия данных при-
боров.
Независимо от вида выставки все они оформляются за-
головком, который выполняется на листе плотной бумаги. А
форма, формат заголовка определяются местом расположения
выставки и световым освещением.
Учебный иллюстративный журнал
Учебный иллюстративный журнал, используемый мень-
ше в школе, представляет собой композицию, состоящую из
изображений, раскрывающих содержание учебной темы, по-
яснительных надписей.
При этом название темы пишется сверху, а в середине —
изобразительный материал с пояснительными надписями под
каждым изображением или в нижней части плаката.
Также к школьной стенной печати можно отнести афиши,
пригласительные билеты, эмблемы, указатели и др.
Раздел 9
Математические вечера
Математические вечера являются художественными, за-
нимательными, познавательными мероприятиями.
Основная цель вечера: повышение интереса к математике.
Другие цели:
• пробудить желание познакомиться с той или иной темой
поближе;
• вовлечение учащихся в самостоятельную работу по мате-
матике.
С точки зрения педагогической пользы, период подготов-
ки вечера по математике имеет для непосредственных испол-
нителей большее значение, чем участие в его проведении. В
школе наиболее приемлемо проводить математические вече-
ра для учащихся параллельных или смежных классов, чаще
всего как итог недели (декады) математики. Как правило, ма-
тематические вечера проводятся один раз в год.
Подготовка вечера
К подготовке вечера необходимо привлечь как можно
больше учащихся. Подготовкой вечера необходимо заняться
заранее, за 1-2 месяца до его проведения. Для подготовки ве-
чера создается оргкомитет, состоящий из учителя математики
и 4-5 учеников. Оргкомитет разрабатывает план подготовки
и проведения вечера. Он же распределяет ответственных из
учащихся за каждый этап вечера. Учащимся при подготовке
вечера необходимо предоставить полную свободу, пусть они
проявят свою инициативу, самостоятельность.
За несколько дней до вечера вывешивается красочное объ-
явление о месте и времени проведения вечера и его программе.
Для придания занимательности данное объявление можно со-
ставить в виде ребуса или дату вечера зашифровать. На вечер
256k
приглашаются учащиеся других классов той же школы или
параллельных классов другой школы. Желательно пригласи-
тельные билеты оформить со вкусом.
К вечеру можно выпустить специальный номер стенгазе-
ты. Можно подготовить и фотомонтаж, выставку книг и ста-
тей по теме вечера.
Актовый зал (или один из кабинетов) украшают портре-
тами математиков, плакатами математического содержания,
высказываниями великих людей о математике. Также в зале
могут помещаться различные виды задач на отдельных плака-
тах с рисунками. Рисунки можно скопировать из различных
книг по математике.
Программа
Программа вечера должна быть разнообразной как по фор-
ме, так и по содержанию. Часто в нее включают рассказы, бе-
седы, сообщения, доклады на математические или историко-
математические темы, инсценировки, стихи, рассказы, свя-
занные с математикой. Также обязательно включают матема-
тические софизмы, фокусы, развлечения, игры, викторину.
При этом не надо стремиться включить все это в один вечер.
Достаточно 4—5 элементов. Например:
• математическая инсценировка;
• математические фокусы;
• викторина;
• заключение вечера.
Программу составляют таким образом, чтобы продолжи-
тельность всего вечера не превышала 2-3 ч.
Проведение вечера
Как правило, вечер начинается с доклада на математиче-
скую тему. Примерные темы докладов были рассмотрены при
257
изложении методики проведения кружковых занятий. Про-
должительность доклада не должна превышать 10 минут, до-
клад большей продолжительности надо разбить на несколько
мелких частей, поручив каждую часть отдельному докладчи-
ку. Вести вечер лучше учителю или студенту-практиканту, но
можно и учащимся. Ведущий объявляет об очередном выступ-
лении и дает краткое введение к нему. Обычно вечер состоит
из 2 отделений, с перерывом на 10-20 минут. Во время пере-
рыва ученики изучают экспонаты, приготовленные к вечеру,
решают предложенные на плакатах задачи, читают стенгазету
и т. д. Можно в отдельных кабинетах организовать проведение
математических игр.
С интересными разработками вечеров разной тематики и
для учащихся различных классов можно познакомиться по
материалам журнала «Математика в школе» и газеты «Мате-
матика», а также в книгах [15, 24].
В последние годы модно стало проводить вечера в фор-
ме «Поля чудес», КВНа и т.п. В качестве примера рассмот-
рим возможный вариант проведения вечера для учащихся 6-
7 классов, который по структуре напоминает КВН.
Для подготовки и проведения такого вечера необходимо
как время, так и создание оргкомитета и жюри. В оргкомитет
входят наряду с учителями и учащиеся соревнующихся клас-
сов. Оргкомитет осуществляет всю подготовительную работу,
а именно, что будет включаться в программу КВН, оформле-
ние зала, сцены, объявление и т. д. В жюри можно включить
старшеклассников и учителей математики. Жюри разрабаты-
вает подготовительные, тренировочные задания для желаю-
щих принять участие в КВН, оценивает ответы и выступления
участников КВН. Возможна следующая структура вечера.
Структура вечера (с примерами)
1. Открытие вечера. Ведущий вечера (учитель, студент
или старшеклассник) приветствует всех участников КВНа,
представляет присутствующим команды и членов жюри, объ-
являет тему вечера и приглашает команды на сцену.
258
2. Приветствия команд. Команды выходят с приветстви-
ями (форма приветствия зависит от темы вечера и названия
команды). Но лучше приветствие подготовить в заниматель-
ной форме, в него включить и пожелания успешного решения
задач, математические курьезы. Данную часть КВН подбира-
ют сами команды. Продолжительность ее 5-6 минут.
3. Разминка. В качестве разминки учащимся можно пред-
ложить решение устных задач (по 3-5 задач каждой команде).
Например:
• Каким числом является сумма натуральных чисел? (На-
туральным)
• Каким числом является сумма целых чисел? (Целым)
• Может ли сумма целых чисел быть натуральным числом?
(Да)
• Может ли сумма двух отрицательных чисел быть нату-
ральным числом? (Нет)
• Может ли сумма двух целых чисел быть равной одному из
слагаемых (Да)
• Может ли произведение двух целых чисел быть равным
нулю? (Да)
• При каких операциях над натуральными числами всегда
получается натуральное число? (При сложении и умноже-
нии)
• При каких операциях над целыми числами всегда полу-
чается целое число? (При сложении, вычитании, умноже-
нии)
4. Конкурсы. В качестве следующего конкурса командам
можно предложить для решения задачу про черта и бездель-
ника:
Задача. Однажды черт предложил бездельнику зарабо-
тать. «Как только ты перейдешь через этот мост, — сказал
он, — твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему
сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне
за это 24 копейки». Бездельник согласился и ...после третьего
перехода остался без гроша. Сколько денег у него было сна-
чала?
259
(Решение: Задача решается с конца. Так как после третье-
го перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода
моста в третий раз у него было 24 копейки, а до перехода тре-
тьего моста — 12 копеек. Тогда после перехода второго моста у
бездельника было 12 + 24 = 36 (копеек), а до перехода второго
моста — 36 : 2 = 18 (копеек). Рассуждая аналогично, полу-
чим, что после перехода первого моста у бездельника стало
18 4- 24 = 42 (копейки), а перед переходом первого моста —
42 : 2 = 21 (копейка). Таким образом, у бездельника сначала
была 21 копейка.)
Данная задача инсценируется учащимися,. Победитель по-
лучает очки.
5. Эстафета. Следующим конкурсом может быть мате-
матическая эстафета. При этом задания похожи, а выполняет
каждое из них по 1 участнику.
В качестве заданий для эстафеты можно предложить та-
кие (для 7 класса):
Первая команда
1. Назовите коэффициент многочлена 40а • 5а3 • 0,05а7. (10)
2. Вычислите:
.(1)
3. Найдите число, обратное числу
/1\3
(|) .(27)
\ О /
4. Вычислите: (\/б — \/3) • (х/б 4- \/3). (3)
5. Сколько квадратов на рис. 10? (14)
6.26 = 2 4- 2 4- 2 4-... 4- 2. Сколько слагаемых получилось? (64)
Вторая команда
1. Назовите коэффициент многочлена 50д2 • 46 • 0,02д5. (4)
2. Вычислите:
(5)
3. Найдите число, обратное числу
/1 \5
(Ю -<32)
\ ы /
4. Вычислите: (\/7 4- у/2) • (а/7 - х/2). (5)
5. Сколько треугольников на рис. 70? (13)
6.34 = 3 4- 3 4- 3 4-... 4- 3» Сколько слагаемых получилось? (81)
260
Рис. 70
6. Конкурс капитанов. Одним из обязательных конкурсов
в КВНе является конкурс капитанов. В качестве заданий для
капитанов можно предложить такие:
• Найдите как можно больше способов решения предложен-
ной задачи;
• Напишите все известные фамилии ученых-математиков;
• Напишите как можно больше математических терминов,
которые начинаются на конкретную букву;
• Сочините стих о каком-нибудь математическом понятии
ит. д.
7. Викторина. В качестве одного из конкурсов для участ-
ников КВНа можно предложить и викторину, которая не
должна превышать 10-15 минут.
8. Кроссворд. Следующим испытанием для команд пред-
лагается отгадывание (составление) кроссворда.
Например: можно предложить командам придумать мате-
матические слова с буквой «д» и вписать их в соответствующие
клетки.
Первая команда
диаметр, диагональ. задача, квадрат.
9. Домашнее задание. Завершается соревнование команд
домашним заданием: это может быть конкурс стенгазет, по-
собий, изготовленных учащимися, докладов, а также сценка
или музыкальный номер, связанный с математикой. Но в ка-
честве домашнего задания может быть предложено и решение
нескольких интересных задач. Задачи заранее придумывают
261 •
члены команд. В числе этих задач могут быть и исторические
задачи» и математические софизмы. При этом принимать об-
суждение в решении могут и зрители.
Конечно, могут быть и другие конкурсы, например: отга
дать ребус, собрать некоторую фигуру и т. п.
В перерывах между конкурсами, чтобы зрители не ску-
чали, учащиеся выступают с рассказами о каком-то ученом-
математике или истории возникновения какого-нибудь поня-
тия, а также могут исполнить стихотворение о математике
(или песню). Также в это время можно провести и конкурс
болельщиков. С этой целью все зрители делятся на две груп-
пы, каждая из которых «болеет» за одну из команд. Ведущий
вечера предлагает болельщикам математические софизмы и
другие интересные задачи (всего 3-4). Очки идут соответству-
ющей команде.
В конце вечера, пока жюри подводит итоги, один из уча-
щихся может совершить небольшой экскурс в историю.
Например: В восточной части Амстердама есть улица, на-
званная именем Архимеда. В Сиракузах есть площадь Архи-
меда. Предприимчивые сиракузцы показывают дом, в кото-
ром «жил» Архимед.
За что же чтут память об этом человеке, жившем более
двух тысяч лет назад? Конечно, он был величайшим мате-
матиком. Но так ли уж много это значит по тем масштабам,
которыми мерит великих людей обыкновенный человек?
Дело, скорее, в патриотизме Архимеда, представляющем
собою хотя и легендарный, но хрестоматийный факт, знако-
мый каждому, кто хоть немножко учился.
Кто не знает, что Архимед с помощью кранов собственной
конструкции вынимал из моря корабли римского захватчи-
ка Марцелла, ставил их на берег, где они разламывались под
силой собственного веса. Те же корабли, которые краны не
доставали, он сжигал с помощью увеличительных стекол.
Эти эпизоды, рисующие Архимеда как героя обороны Си-
ракуз, и сама его трагическая смерть гораздо понятнее боль-
шинству людей, чем его гениальные математические работы.
Думаю, что этот пример не оставит и вас равнодушными.
262
Завершается вечер подведением итогов. Жюри подводит
итоги. Команды и отдельные участники получают призы.
Призы могут быть и за отдельные оригинальные решения за-
дач. В качестве призов командам хможно вручить кубок, вым-
пел или грамоту, а участникам — грамоты, книги по матема-
тике.
Но могут быть и шуточные призы, соответствующие на-
званиям команд.
Рассмотрим еще некоторые примеры элементов вечера и
методические рекомендации по их проведению.
Пример. Дополнительные примеры элементов вечера
и методические рекомендации по их проведению
Приемы счета
1. Умножение любого пятизначного числа на 99 999. (Назван-
ное учеником число уменьшается на 1 и к результату припи-
сываются дополнения каждой цифры этого результата до 9.
Прием вытекает из того, что умножение числа на 99 999 равно-
сильно умножению числа на 100 000 (то есть приписыванием
к нему пяти нулей) и последующему вычитанию из результата
самого числа.)
2. Умножение любого двузначного числа, кратного 9, на
12 345 679. (Делим число на 9, получаем однозначное и вы-
писываем его подряд 9 раз.)
3. Быстрое возведение в квадрат двузначных чисел, оканчива-
ющихся на 5. (Умножаем число десятков на число, большее
на 1, и дописываем к результату 25.)
4. Умножение чисел десятого десятка друг на друга у индейцев
(♦ воздушный счет »).
(Например. Умножаем 97 на 93. Находим дополнения
этих чисел до 100, получаем соответственно 3 и 7. Отнимаем
от первого множителя дополнение второго (97 — 7 = 90) или
от второго сомножителя дополнение первого (93 — 3 = 90). В
обоих случаях получается 90. Это две первые цифры искомого
произведения, а две другие получаем при перемножении до-
полнений (3 7 = 21) — 21. Итак, получаем: 97 • 93 = 9021.)
263
Схематически это будет выглядеть так:
97^x3
Х 93^7
90 21
Задачи для решения командам
Предлагать лучше логические задачи, инсценировать за-
дачи с занимательной фабулой, инсценировать процесс реше-
ния (с ошибками сначала), предлагать задачи и на плакатах.
Но могут быть и другие типы задач, все определяется темой
вечера.
Фокусы
Больше предлагать на угадывание чисел.
1. Задумайте число, удвойте его, к полученному произведению
прибавьте пять. К полученному числу прибавьте 5 раз его же,
затем к результату прибавьте 10. Полученную сумму умножь-
те на 10. Какое число у вас получилось? В чем секрет фокуса?
Секрет фокуса. Пусть задумано число х. Проследим, ка-
кие изменения будут с ним происходить. Удвоили — стало 2х,
прибавили 5 — стало 2х 4- 5. Взяли число 5 раз — получили
10.г 4- 25. Прибавили к результату 10 — получили 10х 4- 35.
Умножили эту сумму на 10 — получили 100х 4- 350. Итак, по-
сле отнимания числа 350, задуманное число будет число сотен
у оставшегося числа.
2. Запишите любое трехзначное число, но такое, чтобы край-
ние цифры отличались на 5. Поменяйте местами в этом числе
крайние цифры. Получили второе число. Вычтите из боль-
шего числа меньшее. Разделите разность чисел на 9. Ответом
будет число 55. Почему?
Секрет фокуса. Первое число: 100а 4-10Ь 4- с, где a, bt с —
соответственно число сотен, десятков и единиц. Тогда второе
число будет 100с4- 10Ь4-а. Найдем разность чисел (пусть первое
у нас больше): 99а — 99с. После деления данной разности на 9
получим число 11(а — с). Так как а — с = 5, то результат будет
равен 55.
264
Математические игры
Приглашать несколько желающих (типа кто возьмет по-
следнюю конфету или на угадывание дня рождения, возраста
и т. п.).
Раздел 10
Недели (декады) математики
Одной из самых распространенных форм внеклассной ра-
боты по математике в последние годы, по-прежнему, является
неделя (декада, месячник) математики.
Цели подобного мероприятия:
• повышение интереса учащихся к математике;
• выявление наиболее способных учащихся по математике.
Для подготовки данного мероприятия необходимо созда-
ние совета учителей математики школы, представителей из
математических кружков. Данный совет обсуждает содер-
жание недели математики, распределяет обязанности между
классами. В план проведения недели могут быть включены
викторины, конкурсы, олимпиады, бои, КВН, вечер, научно-
практические конференции, выпуски стенгазет и т. п.
После составления плана и распределения обязанностей
начинается непосредственная подготовка ко всем включен-
ным в план мероприятиям. При этом проведение викторин,
различных соревнований в младших классах можно поручить
старшеклассникам.
За несколько дней до проведения недели математики,
утвержденный и скорректированный план красочно оформля-
ется и вывешивается в школе на доске объявлений.
Пример. Варианты планов проведения недели математики в школе
Вариант 1
Понедельник.
1. Открытие недели математики: проведение в каждом
классе математического часа. На этих математических часах
можно предложить учащимся сообщения, подготовленные бо-
лее старшими учащимися об учащихся своей школы (района,
города, области), добившихся определенных успехов в жизни
266
благодаря и успехам в математике. Также на этих часах мож-
но провести беседы, сообщения о знаменитых математиках.
2. Вывесить тексты заочной математической олимпиады
на стенде «Реши, если силен». Письменные решения учащие-
ся опускают в специальный ящик, который может находиться
в кабинете завуча, методическом кабинете или другом месте.
Вторник.
1. Математические соревнования:
а) Математические эстафеты (5-6 кл.).
б) Математический КВН (7-8 кл.).
в) Математическая викторина (9 кл.).
г) Математический бой (10-11 кл.).
2. Вывесить стенд: «Задачи вступительных испытаний по
математике».
Среда.
1. Читательская конференция по математическим книгам
(в зависимости от их наличия в библиотеке).
2. Стенд «Новые книги по математике для учащихся сред-
ней школы».
Четверг.
1. Общественные смотры математических знаний:
а) Знаешь ли ты учебник математики? (5-7 кл.).
б) Умеешь ли ты применять математические знания при
изучении географии, химии, физики и т. д. (6-10 кл.)
в) Конкурс по решению задач, предлагавшихся на вступи-
тельных испытаниях в вузы РФ (11 кл.).
2. Смотр-конкурс математических стенгазет.
Пятница.
1. Математические утренники (5-8 кл.).
2. Математический вечер (7-9 кл.).
Суббота.
1. Просмотр занимательных математических диафильмов
(5-6 кл.). (Например: Мурашка учит геометрию, Сказки по
математике для 5(6) класса и т. п.).
2. Математические игры с компьютером (7-11 кл).
267
Вариант 2
Понедельник.
1. Беседы об ученых-математиках (авторах учебников, на-
пример о А. Н. Колмогорове, об Л. С. Атанасяне).
2. Математические олимпиады в 9-11 классах.
3. Викторины, конкурсы в 1-3 классах (проводят учащи-
еся 5-8 классов).
4. Объявление о конкурсе математических газет.
Вторник.
1. Конкурс на лучшую сказку (1-3 кл.).
2. Математические олимпиады (5-8 кл.).
Среда.
1. Викторины, конкурсы, игры (5-11 кл.).
2. Выставка творчества учащихся.
Четверг.
1. Решение математических софизмов.
2. Смотр математических стенгазет.
3. Игра «Поле чудес».
Пятница.
1. Подведение итогов недели математики (торжественная
линейка).
2. Математический вечер (КВН).
Вариант 3
Понедельник.
1. Беседы для учащихся:
• Откуда пришли цифры (5-6 кл.);
• Авторы наших учебников (7-9 кл.);
• Математика в других предметах (10-11 кл.).
2. Объявление о конкурсе «Алло, мы ищем таланты» по
номинациям:
• Лучшая стенгазета;
• Поэзия в математике (стихи о математике);
• Математическая сказка.
3. Викторина (7-9 кл.) — I тур.
Вторник.
1. Игра «Веселый математик» (5 кл.).
268
2. Игра «математик-бизнесмен» (6 кл.).
3. Оформление галереи «Великие математики (10-11 кл.).
4. Викторина (7-9 кл.) — II тур.
Среда.
1. Игра «Ралли Формула-1» (7 кл.).
2. Игра «Счастливый случай» (8 кл.).
3. Викторина (7-9 кл.) — III тур.
Четверг.
1. Игра «Ключи от форта Байард» (9 кл.).
2. Выставка стенгазет.
3. Викторина (7-9 кл.) — IV тур.
Пятница.
1. Научно-практическая конференция (10-11 кл.).
2. Викторина (7-9 кл.) — V тур.
3. Математические фокусы (5-6 кл.).
Суббота.
1. Математический вечер (7-9 кл.).
2. Математический вечер (10-11 кл.).
Методические рекомендации по проведению
некоторых этапов недели математики
1. Выставка творчества учащихся
Для включения данного мероприятия в план недели ма-
тематики надо в начале учебного года сделать учителям мате-
матики в каждом классе соответствующие объявления. Тогда
на выставку учащиеся представляют те модели, учебные по-
собия, которые они изготовили для иллюстрации некоторых
математических понятий, теорем, формул и т. п. Также на
выставке могут быть представлены и математические работы
учащихся такого рода, как решения задач, доклады, интерес-
ные задачи, составленные самими учащимися.
Итоги участия учащихся в выставке оценивает жюри. По-
бедители награждаются призами или грамотами. А самые
лучшие модели можно после выставки оставить для попол-
нения кабинетов математики.
269
2. Общественный смотр знаний
Чаще всего проводится на уроке, но может проводиться
и вне урока. Иначе его называют и проще — смотр знаний.
Применяется смотр знаний с целью систематизации и обобще-
ния изученного материала. Также данная форма позволяет ре-
шить важные воспитательные задачи: развитие навыков кол-
лективной работы, развитие самостоятельности, ответствен-
ности учащихся.
Для проведения смотра знаний учитель отбирает наибо-
лее важные теоремы, определения, упражнения, которые уча-
щимся надо повторить. Этот перечень вывешивается в каби-
нете математики примерно за месяц до проведения смотра. С
целью подготовки учащихся к смотру знаний весь класс целе-
сообразно разбить на несколько групп по 4-5 человек, назна-
чить из старшеклассников консультанта для каждой группы.
Консультант должен систематически контролировать своих
подшефных по отдельным вопросам, а некоторых учащихся —
и по всем вопросам.
Во время смотра происходит соревнование групп между
собой. При этом проверка знаний, умений учащихся может
проводиться разными способами: устно, письменно. По ито-
гам смотра комиссия (состоящая из учителя и старшеклассни-
ков) оценивает знания, умения каждого ученика и всей груп-
пы. Данные отметки учитываются при выставлении отметки
за четверть или триместр.
В качестве примера рассмотрим смотр знаний для учащих-
ся 5 класса, который проводила заслуженный учитель Рос-
сии, учитель школы № 6 г. Коряжмы Архангельской области
О.А. Акишина. Данный смотр проводился по станциям.
Пример. Смотр знаний для учащихся 5 класса
Станция «Проценты»
Предлагаются такие вопросы и задачи:
9
1) Запишите 1- в процентах.
2) Сколько процентов сахара содержит сироп, приготов-
ленный из 500 г сахара ц 1500 г воды?
270
3) Найдите 50% от 5 га.
4) Каков весь путь туриста, если 25% его составляет 12 км?
Станция «Вокзал»
1) Как найти s, v, t?
2) Какова скорость велосипедиста, если путь длиной в
67 км он проехал за 4 ч?
3) Тепловоз ехал 1 ч со скоростью 50 км/ч и 3 ч со скоростью
на 20 км/ч большей. Чему равно расстояние, которое проехал
тепловоз?
4) С одной станции одновременно в противоположных
направлениях вышли два поезда. Скорость одного из них
54 км/ч, а скорость другого на 18 км/ч больше. Через сколько
часов расстояние между ними будет 504 км?
Станция «Уравнение»
Решить уравнения:
1)х: 21 =63
2) 7а + 5а — 15 +За = 450
3) 48 - Зу = 36
Решить задачу по ее краткой записи:
4)1
II — в 2 раза > чем —
III — на 10 книг < чем
► 140 книг
*
?
Станция «Мудрецы»
1) Двое шли, 5 рублей нашли. А трое пойдут, сколько най-
дут?
2) Барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке.
На берегу они обнаружили лодку, способную перевести лишь
одного человека. Тем не менее они переправились через реку
и продолжили путешествие. Могло ли так быть?
3) У мальчика столько же сестер, сколько и братьев; а у
сестры его вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько всего
братьев и сестер?
271
4) Стали вороны садиться по одной на березу — не хватило
одной березы; стали садиться по две — одна береза оказалась
лишней. Сколько было ворон и сколько берез?
В 9 классе смотр знаний по геометрии может состоять из
3 частей.
С помощью письменного математического диктанта про-
веряются умение применять основные теоремы, определения
понятий при решении задач, знание терминологии (напри-
мер, правильно написать слова «биссектриса», «параллело-
грамм»).
Устно проверяются формулировки основных теорем,
определения некоторых понятий, умение доказывать неко-
торые утверждения. Во время данной фронтальной провер-
ки один из учеников готовится отвечать по карточке у доски
и его слушает весь класс, а часть учеников отвечают только
консультантам.
Затем весь класс получает письменное задание по вариан-
там.
Учитель с консультантами подводит в конце итоги смотра.
Разработки различных внеклассных мероприятий для не-
дели математики можно найти в книге [15].
Раздел 11
Внеклассное чтение по математике
Является сегодня менее распространенной формой вне-
классной работы. Основными целями, стоящими перед вне-
классным чтением учащихся, являются:
• привитие учащимся интереса к математическим знаниям;
• привитие вкуса и навыка к чтению математической лите-
ратуры;
• развитие математического кругозора;
• более глубокое усвоение учащимися материала, преду-
смотренного программой.
Руководство учителем чтением математической литерату-
ры учащимися состоит из двух этапов — пропаганды книги и
руководства усвоением ее содержания.
Рассмотрим некоторые способы, способствующие пропа-
ганде математической книги и развитию у учащихся навыков
работы с книгой.
1. В классе вывесить список книг и статей с указанием
номеров журналов и страниц. Заголовки могут быть:
• Что читать по математике?
• Читал ли ты эти книги?
В качестве этих книг можно предложить такие:
• Гетманова А. Д. Занимательная логика;
• Зайкин М. И. Математический тренинг;
• Игнатьев Е. И. В царстве смекалки;
• Козлова Е. Г. Сказки и подсказки;
• Кордемский Б. А. Математическая смекалка;
• Лоповок Л. М. Математика на досуге;
• Мочалов Л. П. Головоломки;
• Перельман Я. И. Живая математика;
• Свечников А. А. Путешествие в историю математики;
• Шибасов Л. П., Шибасова 3. Ф. За страницами учебника
математики;
273
• Шарыгин И. Ф. Уроки дедушки Гаврилы, или Развиваю-
щие каникулы и др.
В качестве журналов можно порекомендовать «Квант».
Вместе со списком книг необходимо вывешивать и анно-
тации о книгах.
Например, аннотация к книге И.Ф. Шарыгина «Уроки
дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы» может быть
такая:
«Данная книга является рассказом о летних каникулах
мальчика, проведенных в деревне у дедушки, в сюжетную
линию которого включены занимательные задачи различной
степени трудности. Ко всем задачам имеются объяснения,
указания или решения. Книга адресована учащимся 4-6 клас-
сов».
При этом аннотации можно начинать и с каких-то задач,
помещенных в книге; с интересного факта, описанного в кни-
ге, и т. д.
2. На уроке и занятиях кружка привлекать внимание уча-
щихся к тем или иным книгам по математике или ее истории.
3. Поощрять учащихся, которые в своих ответах исполь-
зуют сведения из рекомендованных книг.
4. Давать готовить учащимся исторические справки, до-
казательства некоторых теорем по статьям, книгам.
5. На кружковых занятиях делать небольшие сообщения
о новых книгах, указывать литературу по теме занятия.
6. В математической стенгазете постоянно помещать крат-
кие аннотации или рисунки на рекомендованные книги и ста-
тьи. Данные аннотации помещать под заголовками: Прочти
эту книгу. Интересная статья. Новая книга о русском матема-
тике ....
7. Проводить беседы с учащимися по рекомендованным
книгам, оказывать помощь в разборе трудных мест книги.
8. Организовывать математические библиотеки при мате-
матических кружках (это могут быть как книги из библиотек,
так и книги учащихся, учителя; подарки выпускников, быв-
ших учителей школы).
274
9. Проводить конференции совместно с библиотекой, по-
священные новым книгам. На таких конференциях проводить
викторины, конкурсы по книгам.
10. Давать учащимся задания по подбору дополнительно-
го материала по изученной теме, при этом нацеливая учащих-
ся на поиск и знание следующих сведений о математических
понятиях, теоремах:
• кто и когда ввел это понятие, определение, теорему;
• когда возник современный термин и кем был предложен;
• кто ввел обозначение (если оно имеется);
• наиболее важные разделы, темы, где применяется данное
понятие, определение, теорема.
11. Предлагать учащимся длительные задания — на одну-
две четверти: написание рефератов и математических сочине-
ний.
Математические рефераты (сочинения) могут быть двух
типов:
а) по плану, составленному вместе с учителем, ученик из-
лагает основное содержание прочитанной литературы;
б) реферат носит исследовательский характер. Ученик, из-
учив соответствующую литературу, самостоятельно доказы-
вает какие-то математические предложения, подмечает и из-
учает свойства тех или иных фигур.
Примерные темы сочинений (рефератов):
• Теорема Стюарта и ее приложения.
• Теорема Птоломея и ее приложения.
• Искусственные приемы, применяемые при решении нели-
нейных систем уравнений.
• Математические задачи на шахматной доске.
• Инверсия.
• Центральное подобие.
• Запись цифр и чисел у разных народов.
• Загадка простых чисел.
• Геометрические построения с различными геометриче-
скими инструментами.
• Тетраэдры и т. п.
275
12. Проводить с учащимися читательские конференции
по математике. Обычно такие конференции проводятся в кон-
це изучения какой-то темы или в связи с юбилеем ученого-
математика. За месяц до конференции объявляется ее тема,
вывешивается программа и список литературы, с которым
учащимся надо познакомиться. Например, после изучения в
10 классе темы «Основные понятия стереометрии. Логическое
строение геометрии» можно провести конференцию, посвя-
щенную великому русскому математику Н. И. Лобачевскому.
В качестве возможных вопросов для обсуждения на кон-
ференции можно рассмотреть такие:
• Казань. Универсальные способности.
• Экстраординарный профессор и администратор.
• Превосходство Лобачевского над Евклидом. Неевклидова
геометрия.
• Вклад Н. И. Лобачевского в другие разделы математики:
а) определение функции по Лобачевскому;
б) о способе Лобачевского численного решения алгебраи-
ческих уравнений.
Раздел 12
Научно-практические конференции
по математике
Научно-практические конференции по математике явля-
ются своеобразным итогом научно-исследовательской рабо-
ты учащихся школы (города). Чаще проводятся для учащих-
ся 10-11 классов, как правило, весной. Если учащихся дан-
ных классов в школе мало, то можно пригласить учащихся
из соседних школ. На конференции выступают учащиеся с
докладами, над которыми они работали в течение года под
руководством учителя математики. Это и своеобразная пред-
защита тех рефератов, которые готовили некоторые учащи-
еся для итоговой аттестации. В качестве тем докладов могут
быть предложены вопросы по истории математики, приложе-
ниям математики, занимательные, логические задачи, мате-
матические софизмы и т. п. (примерные темы были указаны
выше). Тематика докладов подбирается таким образом, что-
бы в дальнейшем можно было продолжить работу в том же
направлении. Работа конференции может быть проведена по
секциям (если много докладчиков), секции алгебры и начал
анализа, геометрии, истории математики, приложений мате-
матики, дополнительные разделы и темы и др. В оргкомитет
конференции, наряду с директором, учителями математики,
входят ученые и самые активные учащиеся. Лучшие докла-
ды отмечаются грамотами, сувенирами, книгами. При оценке
докладов учитываются их глубина, продуманность, осознан-
ность и доступность изложения материала.
Раздел 13
Математическое моделирование
В школах учителя математики иногда предлагают уча-
щимся изготовить модели к отдельным задачам или теоремам
учебника. Это тоже является внеклассной работой по мате-
матике. Заниматься моделированием, как уже упоминалось,
можно и на занятиях кружка.
На занятии кружка можно изготовить:
• модели к докладам и сообщениям;
• модели к рассматриваемым на занятии кружка задачам.
Само моделирование может быть и отдельной темой за-
нятия кружка. Например, изготовление картонных моделей
многогранников. Также на занятии кружка могут быть изго-
товлены следующие модели:
• для иллюстрации равносоставленных фигур;
• шарнирные многоугольники;
• эккеры, астролябия, вехи, ватерпасы и т. п.;
• картонные модели круглых тел и многогранников (звезд-
чатых, правильных, полуправильных), модели, иллю-
стрирующие различные сечения многогранников плоско-
стью;
• каркасные модели многогранников и круглых тел;
• жидкостные и теневые модели конических сечений, лист
Мебиуса и т. п.
Раздел 14
Летняя математическая школа
Летняя математическая школа является одной из основ-
ных форм внешкольной работы с одаренными учащимися,
проводимой в летнее время. Летние школы организуются как
для учащихся отдельного региона, так и для учащихся раз-
личных регионов.
Основными целями данной формы внешкольной работы с
учащимися являются:
• приобретение навыков решения олимпиадных задач;
• углубление знаний учащихся в некоторых разделах мате-
матики.
Основными формами проведения занятий являются лек-
ции; семинары; практикумы и соревнования.
Рассмотрим организацию работы летней школы на при-
мере Кировской летней межпредметной школы.
Кировская летняя математическая школа основана в
1985 году и проводится с тех пор ежегодно. За 20 лет сво-
его существования данная школа превратилась из област-
ной во всероссийскую и международную школу. Наряду со
школьниками из Кировской области, в ней учатся и школь-
ники из многих регионов России (Белгород, Екатеринбург,
Ижевск, Иркутск, Йошкар-Ола, Казань, Кемерово, Москва,
Мурманск, Нижний Новгород, Омск, Оренбург, Пермь, Сама-
ра, Санкт-Петербург, Саратов, Северодвинск, Сыктывкар, То-
льятти, Тюмень, Ульяновск, Уфа и т. д.). Есть учащиеся и из
Киева, Харькова, Таллинна, Сент-Люса (Франция) и других
городов ближнего и дальнего зарубежья. В Кировской ЛМШ
учатся многие участники заключительных этапов Российской
математической олимпиады. Организует поступление и рабо-
ту данной школы Кировский Центр дополнительного образо-
вания одаренных школьников.
Эта школа является летним лагерем, где школьники соче-
тают отдых с интенсивными занятиями. В Кировской ЛМШ
279
есть три потока: математический, физический и биологиче-
ский. Каждый ученик может учиться только на одном потоке.
На математический поток принимаются учащиеся, окончив-
шие 6,7,8,9 или 10 классов. В задачи Кировской ЛМШ входят
развитие у школьников свойственного изучаемой науке стиля
мышления, повышение их общей и профессиональной куль-
туры, подготовка к научной деятельности, воспитание интел-
лигентности и порядочности. При этом:
• приоритетны активные формы учебы: в частности, на ма-
тематическом и физическом потоках многие нужные те-
оретические результаты ученики «получают сами» через
решение целесообразно подобранных задач;
• в ЛМШ создается культ серьезной учебы (точнее, рабо-
ты): плохо учиться, не уметь решать задачи здесь непре-
стижно; культивируется чувство профессиональной общ-
ности;
• каждый преподаватель является одновременно и воспи-
тателем в своей учебной группе: неизбежное в таких усло-
виях тесное повседневное общение преподавателей с уче-
никами позволяет последним воспринимать стиль мышле-
ния и поведения своих учителей.
Попасть в Кировскую ЛМШ может любой ученик, кто лю-
бит и умеет решать математические задачи, ставить физиче-
ские опыты, изучать живую природу: надо только любить свой
предмет и хотеть им заниматься. А для самых «продвинутых»
учеников здесь есть специальные группы «профи», которые
ведут наиболее опытные преподаватели. Набор в Кировскую
ЛМШ — конкурсный. Для того, чтобы поступить в школу, не-
обходимо выполнить предлагаемую вступительную работу, в
которую включается 10 задач различной сложности, при этом
часть задач для учащихся разных классов одна и та же. Чтобы
поступить в школу, как правило, надо набрать не менее 80%
от максимального числа баллов.
Вне конкурса (то есть без вступительной работы) в шко-
лу зачисляются победители и призеры окружных, Всероссий-
ских, Санкт-Петербургской и Московской городских олим-
пиад, заключительных этапов национальных олимпиад зару-
280
бежных стран в данном учебном году, победители и призеры
личных олимпиад Уральского турнира юных математиков и
Кубка памяти А. Н. Колмогорова; а также учащиеся прошло-
годней летней школы, получившие по итогам обучения пер-
сональное приглашение.
Ежегодно в летней школе учится около 400 учащихся,
большинство из которых — на математическом потоке. Боль-
ше всего учащихся 6 классов. В своей основе в данной шко-
ле — победители и призеры областных, окружных, россий-
ских олимпиад по предмету. По математике таких учащих-
ся — около 70%, остальные поступили по результатам вступи-
тельной работы. Преподают в школе как высококлассные про-
фессионалы работы с одаренными школьниками, представ-
ляющих различные регионы России и Украины, так и быв-
шие ученики ЛМШ — студенты МГУ, СПбГУ и других силь-
нейших вузов. Иногда в качестве преподавателей выступают и
известные ученые, авторы школьных учебников (в частности
А. Г. Гейн).
Обучение начинается в школе с диагностики уровня об-
ученности учащихся, в качестве средства диагностики высту-
пают тесты и олимпиады, по результатам выполнения кото-
рых все учащиеся распределяются по трем группам: профи,
полупрофи, обычные учащиеся. Численность этих групп не
превосходит 20 человек. Сами занятия в этих группах про-
водят по 2-3 преподавателя одновременно. При этом один из
преподавателей группы является ведущим (это профессор, до-
цент или заслуженный учитель России). Обучение учащихся
дифференцировано по степени подготовленности учеников, но
даже в группах для начинающих его уровень достаточно вы-
сок. При этом во главу угла ставится обучение не фактам, а
идеям и методам их применения.
Само обучение состоит из регулярных ежедневных заня-
тий с 9.00 до 13.00 (кроме этого, по 2 часа после обеда для групп
«профи» 9 и 10 кл.), а также проводимых во второй полови-
не дня математических боев, необязательных консультаций,
кружков, лекций и факультативов.
281
Методика работы преподавателей в различных группах от-
личается. При этом в группах профи и полупрофи ставка дела-
ется на индивидуальную работу. Каждому ученику выдается
листок с задачами по теме данного занятия: 5 — для классной
и 2 для домашней работы. Тот из учащихся, кто не успел ре-
шить некоторые из задач на занятии, решает их самостоятель-
но после занятий. Все решенные задачи отмечаются в тетради
у преподавателей, преподаватель может вести учет решенных
задач в баллах, определять победителей по каждой теме и т. п.
Приоритет в решении же отдается идеям, а не оформлению за-
дач. В обычных группах-методика работы похожа на обычную
работу учителя на уроке или занятиях кружка, факультатива:
объяснение преподавателя, совместное решение задач, разбор
решения наиболее трудных задач у доски и т. п.
В различных классах и группах изучается различный ма-
териал, касающийся олимпиадной тематики, например зада-
чи на переправы, переливания, раскраски, задачи по комби-
наторике, на геометрические места точек, инварианты и т. п.
При этом учащиеся 10 классов рассматривают и многие во-
просы из высшей математики. Для подготовки к занятиям
преподавателей имеется большая база олимпиадных задач.
Наряду с учебой здесь и отдыхают. После каждых четы-
рех учебных дней — один выходной. Для желающих работают
различные клубы, факультативы и кружки: музыкальный,
литературный, киноклуб и другие; очень популярен клуб ин-
теллектуальных игр. В лагере выпускается газета, проводятся
конкурсы, викторины и т. п. Достаточно много спортивных
занятий, проводятся первенства по футболу, волейболу, на-
стольному теннису, шахматам и шашкам, легкой атлетике.
Проводятся и туристические походы.
В конце смены все учащиеся участвуют в устной заключи-
тельной олимпиаде, а затем, после интенсивной трехдневной
подготовки, сдают итоговый экзамен, который в ЛМШ по тра-
диции называется «зачет». Несмотря на скромное название,
этот экзамен весьма суров (человек, нормально ответивший на
билет, получает только «3 », а для повышения этой оценки ему
надо решить несколькд задач возрастающей сложности, вер-
282
ное решение каждой из которых повышает оценку в среднем
на полбалла), однако из года в год 60-70% учеников сдают его
на «4» и «5».
Обучение и проживание в данной школе является плат-
ным, но для призеров заключительного этапа Российской
олимпиады (или национальной олимпиады страны прожи-
вания), призеров окружного этапа Российской олимпиады,
Санкт-Петербургской и Московской городских олимпиад,
призеров личных олимпиад Кубка памяти А. Н. Колмогорова
и личных олимпиад Уральских Турниров юных математиков,
а также учащихся, которые получили на итоговом зачете в
прошлом году отличные оценки в обычных группах или оцен-
ку не ниже «4+» в группе «профи», установлены специальные
скидки.
Список использованной и рекомендованной
литературы
1. Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике.
Саратов: Лицей, 2003.
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. М.: Просвеще-
ние, 1971.
3. Внеклассная работа: Интеллектуальные марафоны в школе. 5-
11 классы / авт.-сост. А.Н. Павлов. М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.
4. Внеклассная работа по математике в средней школе. Учебно-ме-
тодическое пособие / под ред. В.В. Сухорукова. Балашов, 1994.
5. Екимова МА., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. М.: МЦ НМО,
2002.
6. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинаци-
онные способности: Книга для учащихся 4-7 классов общеобра-
зовательных учреждений. М.: Владос, 1996.
7. Занимательная математика. 5-11 классы. (Как сделать уроки
математики нескучными) / авт. сост. Т.Д. Гаврилова. Волго-
град: Учитель, 2004.
8. Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои: 5-
11 классы: Книга для учителя. М.: Первое сентября, 2003.
9. Математика: школьная энциклопедия / гл. ред. С.М. Николь-
ский. М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 1997.
10. Московский интеллектуальный марафон. 1997-1999 гг.
5-8 классы. М.: ФИМА, Вербум-М, 2000.
11. Огуре Л.Б. Московский интеллектуальный марафон. Сборник
задач. 9-11 классы. М.: Интеллект-Центр, 2002.
12. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи для внеклассной работы по
математике (5-11 классы): Учеб, пособие, 2-е изд., испр. и доп.
Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2002.
13. Мерлина Н.И. Дополнительное математичекое образование
школьников и современная школа (Состояние. Тенденции. Пер-
спективы). М.: Гелиос АРВ, 2000.
14. Подготовка студентов к организации внеклассной работы по
математике в школе: Межвузовский сборник научных трудов.
Пермь, 1991.
15. Предметные недели в школе. Математика / сост. Л.В. Гончаро-
ва. Волгоград: Учитель, 2002.
16. Руденко В.Н., Бахурин ГА., Захарова ГА. Занятия математиче-
ского кружка в 5 классе. М.: Искатель, 1999.
17. Седьмой турнир юных математиков Чувашии: 5-11 классы (3,
4, 5 января 2003 г.). Чебоксары: Чувашский университет, 2003.
284
18. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для уча-
щихся 6 класса. СПб.: СМИО Пресс, 2001.
19. Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. М.: Посев,
2003.
20. Труднее В.П. Внеклассная работа по математике в начальной
школе. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1975.
21. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы. М.:
Айрис-пресс, 2005.
22. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс.
М.: Айрис-пресс, 2002.
23. ФарковА.В. Математические олимпиады. Учебно-методическое
пособие. М.: Владос, 2004.
24. Час занимательной математики / под ред. Л.Я. Фальке.
М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола,
2003.
25. Чулков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Метод, посо-
бие. 5-6 кл. М.: Изд-во НЦ ЭНАС.
26. Чулков П.В. Тринадцать турниров Архимеда. М.: Чистые пру-
ды, 2005.
27. Шарыгин И.Ф. Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие ка-
никулы. М.: Дрофа, 2003.
28. Шевкин А.В. Школьная олимпиада по математике. Задачи и
решения. М.: Русское слово, 2004.
29. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного
кружка. 5-6 кл. М.: ЭНАС, 2003.
30. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математики.
М.: Просвещение, 1994.
31. Я иду на урок математики: Алгебра 7: Книга для учения. М.:
Первое сентября, 2002.
Содержание
От автора ............................................ 3
Раздел 1. Внеклассная и внешкольная работа по математике 5
Раздел 2. Факультативные занятия по математике....... 12
История появления, значение факультативов, виды
факультативов........................................ 12
Содержание факультативных курсов..................... 18
Организация факультатива, основные формы, методы,
средства обучения на факультативных занятиях ........ 23
Раздел 3. Математические кружки...................... 26
Организация работы кружка............................ 26
Планирование работы кружка........................... 27
Программа кружка..................................... 28
Содержание занятий................................... 29
Основные формы проведения кружковых занятий.......... 30
Методика подготовки кружкового занятия............... 54
Раздел 4. Олимпиады по математике.................... 56
Традиционные школьные математические олимпиады...... 57
Городские и районные олимпиады по математике......... 89
Нестандартные олимпиады по математике ............... 144
Олимпиады для абитуриентов вузов..................... 162
Многоуровневые олимпиады............................. 171
Устные олимпиады..................................... 178
Раздел 5. Математические соревнования................ 182
Математические бои................................... 182
Математические конкурсы.............................. 197
Математические игры.................................. 202
Математические турниры............................... 218
Математические карусели............................. 223
Математические регаты................................ 229
Математическое ориентирование........................ 233
Раздел 6. Интеллектуальный марафон.................. 235
Раздел 7. Математические викторины.................. 238
Раздел 8. Школьная математическая печать............ 246
Математическая стенгазета........................... 246
Журнал математического кружка....................... 251
Уголок математики.................................... 252
Математическая фотогазета............................ 252
Монтажи фотографий и рисунков........................ 252
Альбомы..............»............................... 252
286
Высказывания о математике........................... 253
Выставка............................................ 254
Учебный иллюстративный журнал....................... 255
Раздел 9. Математические вечера..................... 256
Подготовка вечера................................... 256
Программа........................................... 257
Проведение вечера................................... 257
Структура вечера (с примерами)...................... 258
Раздел 10. Недели (декады) математики............... 266
Методические рекомендации по проведению некоторых этапов
недели математики................................... 269
Раздел 11. Внеклассное чтение по математике......... 273
Раздел 12. Научно-практические конференции по математике 277
Раздел 13. Математическое моделирование............. 278
Раздел 14. Летняя математическая школа.............. 279
Список использованной и рекомендованной литературы.. 284
По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Ларес: Москва, пр. Мира, 104
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги
с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья,
в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел: (495) 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Фарков Александр Викторович
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
5—11 классы
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий
Художественный редактор А. М Кузнецов
Оформление обложки A. if. Драговои
Технический редактор Т. В. Исаева
Компьютерная верстка Е. Г. Иванов
Корректор 3. А. Тихонова
Подписано в печать 19.11.07. Формат 60x90/16.
Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Печ. л. 18. Усл.-печ. л. 18.
Тираж 5000 экз. Заказ N? 520.
ООО «Издательство «АЙРИС-пресс»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50. стр. 3.
ОАО «Тверской ордена Трудового Краскою Знамени
по.тиграфкомбннат детской литературы нм. 50-летия СССР».
170040. г. Тверь, пр. 50 лет Октября. 46.
£