Автор: Авдуевский В.С.   Тихонравов М.К.   Нариманов Г.С.   Антонов Б.М.  

Теги: авиация и космонавтика   летательные аппараты   ракетная техника   космическая техника   аэродинамика   теория полёта   космические аппараты   солнечная система   планеты   космическое пространство  

Год: 1972

Похожие

Космический полет. Том II. Динамика. Часть 1 (главы 1-4)

Механика космического полета

Механика космического полета в элементарном изложении

Активные гравитационные маневры космических аппаратов

Текст 
                    основы
ТЕОРИИ
ПОЛЕТА
И
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
Под общей редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. Г. С. НАРИМАНОВА
МАШИНОСТРОЕНИЕ


основы
ТЕОРИИ
ПОЛЕТА
КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
Под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. Г. С. НАРИМАНОВА
и д-ра техн. наук, проф. М. К. ТИХОНРАВОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1972


УДК 629.782 (J88;533.6
Основы теории полета космических аппаратов. Под ред. д-ра физ.-мат. наук
Г. С. Нариманова и д-ра техн. наук М. К. Тихонравова. М., «Машиностроение», 1972г
стр. 608 (Серия «Основы теории полета и проектирования космических аппаратов»).
В книге приведены основные сведения о космическом пространстве и планетах
Солнечной системы, методы предварительного выбора траекторий полета космических
аппаратов (КА), приближенные и точные методы расчета траекторий КА, методы
расчета траекторий сближения двух КА, выполнения маневра и коррекции орбит.
Перечислены основные системы координат. Рассмотрены задачи определения
пространственно-временных характеристик видимости КА с пунктов наблюдения. Освещены
вопросы спуска КА с орбиты на Землю, изложены элементы теории аэродинамического
нагрева.
Книга предназначена для научных работников и инженеров — специалистов в
области космической техники. Табл. 44, иллюстр. 335, библ. назв. '293.
Авторы
В. С. Авдуевский, Б. М. Антонов, Н. А. Анфимов, И. К, Бажинов, В. А. Бакланов,
В. В. Белецкий, А. И. Беляков, В. С. Берсенев, В. С. Васильев, И. П. Вечканоз,
В. П. Ганов, И. Б, Голуб, О. В. Гурко, А. А. Дашков, Я. В. Дубровинский, В. А. Егорову
Б Л. Журин, Н. М. Иванов, В. В. Ивашкин, А. В. Кашиц, Р. М. Копяткевич, Б. В.
Кугаенко, В. И. Кубасов, ]Б. И. [Похин, JB. А. Мащенко, А. И. Назаренко, ,Б. В. Обысов,
И. Ф. Петрович, Л. К. Платонов, Г. А. Полтавец, Ю. В. Полежаев, А. В. Птушенко,
Д. П. Редько, В. Ф. Сидоров, В. Г. Соболевский, Б. И. Столповский, В. Г. Хорошавцев,
Д. М. Цветков, А. В. Цепелев, Г. И. Чабров, А. А. Чинарев, Л. В. Шевченко,
Б. Ф. Яник, В. Д. Ястребов, И. М. Яцунский
Научные редакторы
О. В. Гурко, А. А. Дашков, И. Ф. Петрович, В. Ф. Сидоров, Г. И. Чабров,
И. М. Яцунский
2-6-5
106—71


ПРЕДИСЛОВИЕ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ
ГОД КНИГИ
1972
Запуск первого советского спутника Земли 4 октября 1957 г. открыл в истории
человечества космическую эру, начало которой характеризуется все нарастающими
темпами проникновения человека в космос, необычайно обильным потоком новых
сведений об околоземном и межпланетном космическом пространстве.
Практика освоения космического пространства выдвинула целый комплекс
сложных теоретических задач, в решении которых принимают участие широкие круги
специалистов из различных областей науки и техники.
В связи с бурным развитием космической техники, значительностью достигнутых
с ее помощью результатов и грандиозностью выдвигаемых задач по дальнейшему
освоению космического пространства назрела настоятельная необходимость
систематизировать и обобщить результаты теоретических и экспериментальных исследований
по теории космического полета и проектированию космических аппаратов (КА).
Издание «Основы теории полета космических аппаратов» представляет собой
первую книгу из серии работ по теории полета, проектированию и применению
космических летательных аппаратов.
В книге изложены основы теории полета искусственных спутников Земли, лунных
и межпланетных космических аппаратов. В отличие от изданий по космонавтике,
вышедших ранее в нашей стране, настоящая книга содержит значительно более
обширные материалы по практическим задачам полета космических аппаратов, методам
решения этих задач, подготовке необходимых для расчета исходных данных.
Точные методь^ анализа динамики космического полета дополнены различными
приближенными методиками. Табличные данные и графические материалы
иллюстрируют результаты конкретных расчетов.
Книга включает 19 глав.
В гл. I описывается строение Солнечной системы, приводятся сведения о Земле,
планетах, спутниках планет и другие данные о Вселенной, используемые в теоретических
расчетах.
Гл. II содержит описание основных систем координат, наиболее часто
применяемых на практике; в ней же даны формулы перехода от одной системы к другой.
В гл. III и IV излагаются основы теории полета космического аппарата —
уравнения невозмущенного (кеплеровского) движения и возмущенного движения под
действием основных возмущающих сил, возникающих в результате влияния неравномерного
распределения масс притягивающего тела, других небесных тел, атмосферы и давления
солнечных лучей.
В гл. V, VI и VII приведены методики выбора межпланетных траекторий,
траекторий достижения Луны и возвращения на Землю. Излагаются методы оптимизации
орбит и приводится оценка влияния различного рода ошибок на полет космического
аппарата.
Гл. VIII включает вопросы выбора орбит и времени старта искусственных
спутников Земли с учетом ряда ограничений, обусловленных особенностями решаемых задач.
В гл. IX даны математические методы выбора оптимальных программ по углу
тангажа и расхода топлива при выводе космического аппарата на орбиту с помощью
ракет-носителей.
В гл. X, XI, XII помещены методики определения орбит по результатам измерений,
теория прогнозирования движения и методы оценки точности орбиты летящего
космического аппарата.
5


Гл." XIII посвящена вопросам движения космических аппаратов под действием
двигателей малой тяги.
В гл. XIV и XV приводятся методики расчета коррекции траекторий и
маневрирования межпланетных космических аппаратов и искусственных спутников Земли,
излагаются вопросы оптимизации энергетических затрат с учетом обеспечения заданной
точности полета.
В гл. XVI описаны методы сближения для стыковки космических аппаратов или
отдельных блоков на орбите.
Гл. XVII посвящена анализу траекторий спуска и вопросам управления при
посадке на поверхность Земли. Рассматриваются как баллистический, так и
управляемый виды спуска.
В гл. XVIII освещены основы теории аэродинамического нагрева защитного
материала и рассмотрены физические явления, возникающие при прохождении
космическим аппаратом плотных слоев атмосферы. Эти сведения учитываются при
оптимизации траекторий.
В гл. XIX помещены методы расчета трасс орбит в проекции на земную
поверхность и описаны условия прохождения космического аппарата через зону видимости
измерительного пункта.
Единицы физических величин (наименования и обозначения) приведены в книге
в соответствии с проектом ГОСТа «Единицы физических величин» (см. приложение),
рекомендованным Комитетом стандартов, мер и измерительных приборов при Совете
Министров СССР для практического применения. В основу проекта этого ГОСТа
положена Международная система единиц (СИ).
Условные обозначения и рекомендуемая литература даны отдельно для каждой
главы.


)
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ВСЕЛЕННОЙ
И СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
1.1. АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
1.1.1. Система астрономических постоянных 1964 г.
Система астрономических постоянных 1964 г. принята на XII Генеральной
ассамблее Международного астрономического союза (MAC) взамен системы 1896 г. Она
предназначена для астрономических исследований (вычисления эфемерид, редукции
наблюдений) в течение многих десятилетий. В основу системы 1964 г. положен принцип
строгого согласования постоянных с теоретическими зависимостями и данными наблюдений.
При решении конкретных задач динамики космического полета важна не только
согласованность, но прежде всего высокая точность используемых постоянных и
координат соответствующих небесных тел. Поэтому в разд. 1.1, кроме астрономических
постоянных системы 1964 г. (табл. 1. 1), приведены наиболее достоверные уточнения
некоторых из них, полученные в последние годы.
1.1.2. Уточненные значения постоянных
Л = а. е. = 149 597 900 ± 130 км,
G£ = 398 600,3-109 Мз/С2,
GS = 132712,517-1015 мз/с2, ■
fx—1 = 81,3004 ± 0,0007,
4" = 333 430.
Е
Уточненные отношения массы Солнца к
Меркурий . . . 6 110 00О±4О000 Сатурн
Венера .... 408522,6±0,б v
Земля + Луна . . 328915±4 *ран ' '
Марс 3 098 600±600 Нептун
Юпитер .... 1047,387 ±0,004 Плутон
яассе планеты
. . 3498,6 ±0,5
. . 22 930±б
. . 19 070±21 ,
. . 400 000 ±40 000
Массы Венеры и Марса определены по результатам траекторных измерений
американских космических аппаратов «Маринер-5» и «Маринер-4» соответственно [4], [5],
масса Юпитера — по данным наблюдений малой планеты 65 Cybele [6].
1.1.3. Единицы расстояний
Астрономическая единица (а. е.)—среднее расстояние от Земли до Солнца:
1 а.е. = 149 597 900 км.
Парсек (пс)—расстояние, соответствующее годичному параллаксу в {".Годичным
параллаксом называется угол, под которым виден средний радиус земной орбиты из
точки, находящейся на перпендикуляре к плоскости орбиты, восстановленнод! из центра
Солнца.
1 пс = 206 265 а.е.= 30,8568-1012 км.
Световой год — расстояние, которое свет проходит за один год.
1 световой год = 9,46053- 1012 км=63239,7 а. е. = 0,306595 пс.
7


Таблица 1.1
Система астрономических постоянных 1964 г. Международного астрономического союза
Название и размерность
Значение
Пределы, в которых заключено
значение постоянной
Определяющие постоянные
Число эфемеридных секунд в одном тропическом году (1900)
Гауссова гравитационная постоянная, определяющая
астрономическую единицу (а.е.), в (а.е.)3/2 (сут)-1 (масса Солн-
па)-1/2
5 = 31556 925,9747
Л=0,01720209895
Мера длины (а.е.) в м
Скорость света в м/с
Экваториальный радиус Земли в м
Динамический коэффициент формы Земли
Геоцентрическая гравитационная постоянная в м3/с2
Отношение массы Луны к массе Земли
Сидерическое среднее движение Луны (1900) в рад/с
Общая прецессия в долготе за тропическое столетие (1900)
Наклон эклиптики (1900)
Постоянная нутации (1900)
Основные постоянные
Л = 149 6О0106
с=299792,5- 10»
яе=6 378 160
/2=0,0010827
<7Е=398 603-Ю9
\х=\ : 81,30
л^=2,66169949- Ю-6
р=5025,64"
е = 23°27'08,26"
N = 9,210"
Вспомогательные постоянные и коэффициенты
k
Гауссова постоянная, применяемая, когда за единицу
времени принята 1 с
k'
86400
ж 1,990983675-10-7
149 597-10е—149 601106
299 792- 103—299 793- W
6 378 080—6 378 240
0,0010824—0,0010в29
398 600-109—398 606-10*
1:81,29—1:81,31
5025,40"—5025,90"
23°27'08,16"—23р27'08,36"
9,200"—9,210"


Число секунд дуги в одном радиане
Коэффициент для постоянной аберрации
Коэффициент для среднего расстояния Луны
Коэффициент для параллактического неравенства
F0=206264,806"
^1 = 1,000142
F2=0,999093142
F3=49853,2"
Производные постоянные
Параллакс Солнца
Световой промежуток для единичного расстояния (световод
>равнение)
Постоянная аберрации
Сжатие Земли
Гелиоцентрическая гравитационная постоянная в м3/с2
Отношение массы Солнца к массе Земли
Отношение массы Солнца к массе системы Земля + Луна
Возмущенное среднее расстояние Луны в м
Постоянная синуса параллакса Луны
Постоянная лунного неравенства
==/Varcsin— = 8,79405"
А
Л==х 499,012s
/=1:298,25=0,0033529
A*k/2 = GS= 132718- 1015
GS
GE
= 332 958
-(1 + (x)-i = 328 912
a(C = F2
*2
1/3
= 384 400-103
po — = FQ sin яс= 3422,451"
1 +ц А
L = 6,439S7"
8,79388"—8,79434"
499,001s—499,016s
20,4954—20.4960"
1 : 298,33—1 :29в,20
132 710-1015—1Э2 721
332 935—332 968
328 890—328 922
384 399 103—384 401
3422,397—3422,502"
6,4390—6,4408"


Продолжение
№
по
пор.
23
Название и размерность
Постоянная параллактического неравенства
Значение
F 1-* "<£ п
124,986"
Пределы, в которых
заключено значение постоянной
124,984-124,989"
24
Меркурий
Венера
Земля + Луна
Марс . . .
Юпитер . .
Отношения массы Солнца к массе планеты
6 000 000
40S000
329 390
3 093 500
1047,355
Пояснения к табл. 1.1
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
3501,6
22 869
19314
360 000
1. В таблице год «1900» относится или к фундаментальной эпохе
эфемеридного времени, а именно 1900, январь 0, 12h эфемеридного
времени, или к 1900.0; значения постоянных пп. 20—23 относятся также к
фундаментальной эпохе. Везде под термином «секунда» понимается
«эфемеридная секунда» (принятая за единицу времени в системе СИ).
2 (к п.2). Значение гауссовой гравитационной постоянной k служит
для определения а.е., если определены соответствующие единицы массы
(масса Солнца) и времени (эфемеридные сутки).
3 (к п. 5). Термин «экваториальный радиус Земли» относится к
экваториальному радиусу эллипсоида вращения, аппроксимирующего геоид.
4 (к п. 6). Термин «динамический коэффициент формы Земли»
относится к коэффициенту второй гармоники в разложении внешнего
гравитационного потенциала Земли.
5 (к п. 15). С точностью до коэффициента Fx постоянная аберрации
равна отношению скорости некоторой фиктивной планеты
пренебрежимо малой массы, движущейся по круговой орбите единичного радиуса,
к скорости света. Коэффициент F{ равен отношению средней скорости
Земли к скорости фиктивной планеты.
6 (к п. 16). Необходимые числовые значения: угловая скорость
вращения Земли со ==0,000072921 рад/с, относительная масса атмосферы
Ца = 0,000001.
Выражения для сжатия Земли и ускорения силы тяжести на
экваторе с точностью до второго порядка имеют вид
GE i
. = — 1 — (ха +
9 о 15
56
m2;
27 r2
■ — h™> +
56
"A
где m=a2H)3/ge получается последовательными приближениями.
7 (к п.18—19). Производные значения масс Земли и системы
Земля + Луна отличаются от общепринятых в настоящее время, но они не
будут введены до тех пор, пока не будет пересмотрена вся система
планетных масс в целом.
8 (к п. 20). Возмущенное среднее расстояние Луны равно большой
полуоси вариационной орбиты Хилла.
9 (к п. 24). Система планетных масс принята в текущих эфемеридах,
и значения обратных величин масс даны с учетом массы атмосфер и
спутников. В планетной теории принятое отношение массы Земли к
массе Луны равно 81,45 (тогда как в лунной теории 81,53) и отношение
массы Солнца к массе одной только Земли равно 333 432.
Более подробные пояснения приведены в работе [1].


1.2. ЗВЕЗДЫ
Согласно общепринятой гарвардской классификации, основанной на определении
относительной интенсивности и вида спектральных линий (а не на распределении
яркости в непрерывном спектре), звезды подразделяются на несколько спектральных
классов (обозначаемых буквами), которые схематически можно расположить в порядке
убывания температуры звезд следующим образом:
/s
0 + B + A-*F-> G-> K-> M .
^R-^N
Наиболее горячие звегды относятся к классам О, В. В их спектре преобладают
линии поглощения водорода и гелия. В спектре звезд классов A, F, G интенсивность
линий поглощения водорода постепенно убывает, а металлов — возрастает.
К классам К и М относятся холодные звезды с интенсивными линиями
поглощения металлов и полосами поглощения химических соединений. Звезды классов R и N
характеризуются присутствием в их спектрах полос поглощения соединений углерода,
а звезды класса S — полос поглощения окиси циркония.
Большинство звезд (до 99%) принадлежит к спектральным классам В; A, F, G
К и М.
Интервалы между классами, в свою очередь, подразделяются на 10 частей,
которые обозначаются цифрами от 0 до 9, например:
ВО — типичный спектр класса В;
В5 — спектр, средний между классами ВО и АО.
Дополнительные обозначения:
g— звезда-гигант;
d — звезда-карлик;
е — в спектре присутствуют эмиссионные линии;
с — линии в спектре особенно узки и резки;
р — особый спектр.
Буквы d, g и с ставятся впереди, а буквы е и р — после обычного обозначения
спектра звезды, например: gG5, G2p.
Блеск звезды (т. е. освещенность, создаваемая лучами звезды) характеризуется
звездной величиной (з.в.) tn, определяемой по формуле
т = — 2,5 \g Е + С,
где Е — блеск звезды;
С = —13,89, если Е измерять в люксах.
Звезда первой величины (обозначается 1т) дает освещенность 1,1 НО-6 лк.
Интервалу в#5т точно соответствует отношение блеска, равное 100, а интервалу
в lm — отношение, равное уНйЮ=2,5119.
В зависимости от способа определения блеска применяются следующие системы
звездных величин:
— визуальные (глаз);
— фотографические (фотографическая пластинка);
— фот о визуальные (ортохроматическая пластинка и желтый светофильтр);
— фотоэлектрические (фотоэлемент);
— радиометрические (термоэлемент).
Кроме того, употребляются болометрические звездные величины, получаемые в
результате вычислений и характеризующие полное излучение звезды, доходящее до
границы земной атмосферы, и абсолютные, т. е. звездные величины, которые имели бы
звезды, если их наблюдать с расстояния, равного 10 пс.
Показателем цвета называется разность звездных величин «фотографическая
минус визуальная». Болометрической поправкой называется разность «болометрическая
минус визуальная (илл фотовизуальная)».
Для составления звездных каталогов применяется экваториальная система
координат. Средние квадратические ошибки положения опорных звезд, по данным
фундаментального каталога FK3, содержащего 873 основных и 662 дополнительных звезды,
расположенных по всему небу, достигают в экваториальной зоне ± (0,002s-r-0,005s) по
прямому восхождению и + (О^Уч-О^в") по склонению соответственно для эпох
1900.0 и 1950.0 [8]. Ошибки в собственных движениях за столетие равны ±0,010s и
±0,14"
Для большинства звезд координаты определены с меньшей точностью. Так,
например, средняя квадратическая ошибка Иельских фотографических каталогов,
содержащих 150 000 звезд, равна ±0,15" [8].
Значительная часть звезд (до 50%) образует системы, состоящие из двух и
большего числа компонентов, связанных силами тяготения.
К настоящему времени обнаружено и исследовано около 15 000 переменных звезд»
видимый блеск которых подвержен колебаниям.
В табл. 1.2 приведены звездные величины, экваториальные координаты, спектраль-
11


Таблица 1.2
Характеристики наиболее Ярких звезд
Название
латинское
a Cam's Major is
а Carinae
aLyrae
a Aurigae
a Boot is
? Ononis
a Can is Minor is
a Eridani
3 Centauri
a Aquilae
a Ononis
русское
а Большого Пса
(Сириус)
а Киля (Канопус)
а Лиры (Вега)
а Возничего
(Капелла)
а Волопаса (Арк-
тур)
Р Ориона
(Ригель)
а Малого Пса
(Процион)
а Эридана
(Ахернар)
3 Центавра
(Агена)
а Орла (Альтаир)
а Ориона (Бе-
тельгейзе)
Звездная величина
m

визуальная
/—1,58
1 8,0
—0,86
0,14
0,21
0,24
/ 0,34
| 1 6,66
/ 0,48
\ 10,8
0,60
0,86
0,89
0,1-1,2


электрическая
—1,43
—0,58
0,04
0,89
1,17
0,11
0,78
0,37
0,62
1,02
2,60
1

Спектральный
класс
Г АО
\ F0
cFO
АО
G0
КО
Г сВ8р
I B8
F5
В5
В1
А5
сМО

Параллакс
0,374"
0,017
0,123
0,073
0,090
<0,015
0,283
0,023
<0,015
0,191
!<0,015
Экваториальные координаты
а(1964.0)
6h43m33,734s
6 23 09,125
18 35 43,094
5 14 01,561
14 14 01,076
5 12 48,378
7 37 25,068
1 36 22,558
14 01 15,916
19 49 01,552
5 53 13,304
5(1964.0)
—16°39'55,97"
—52 40 31,00
+38 44 56,82
+45 57 48,70
+ 19 22 08,84
—8 14 30,84
+5 19 06,90
-57 25 08,69
—60 12 00,70
+8 46 19,31
+7 24 06,92
Годовое
изменение
по а
+2,643s
+ 1,333
+2,031
+4,436
+2,737
+2,884
+3,139
+2,233
+4,249
+2,926
+3,249
по 5
—5,00"
—1,99
+3,38
+3,57
—18,72
+4,11
-9,28
+ 18,28
—17,32
+9,57
+ 0,60
Собственное
движение
0,0001s
—375
+24
+ 169
+80
—773
+2
—475
+ 126
—25
+359
+ 19
0,001"
-1210
+25
+283
—423
— 1999
0
-1028
-23
-20
+388
+ 11
Примечание. Фигурными скобками в таблице отмечены двойные звезды.


/ №8
ные классы и параллаксы И наиболее ярких звезд, для которых визуальная звездная
величина не превышает 1,0т.
На рис. 1.1 приведена карта звездного неба.
В табл. 1.3 даны средние, т. е. освобожденные от влияния аберрации и нутации,
места 37 звезд ярче 2,0т в эклиптической и в лунной экваториальной системах
координат. Прямое восхождение а и склонение d отсчитываются относительно восходящего
узла среднего экватора Луны на эклиптике и среднего лунного экватора; они
вычислены с использованием следующих постоянных [10]:
— средний наклон лунного экватора к эклиптике /=1°33'30";
— средний наклон эклиптики к среднему земному экватору е=23р26/38,28";
— средняя долгота восходящего узла лунной орбиты, отсчитанная от среднего
равноденствия даты, п=ЮГ24'4б,72".
В табл. 1.4—1.6 приведены характеристики звезд, расположенных вблизи
характерных плоскостей и точек экваториальной, эклиптической и лунной экваториальной
систем координат.
1.3. СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
В состав Солнечной системы (рис. 1.2) входят планеты 'со спутниками, астероиды,
кометы, метеорные тела, межпланетная пыль и газ. К настоящему времени известно 9
больших планет с 32 спутниками,
около 1700 астероидов и свыше 600
комет.
Реальные границы Солнечной
системы определяются из условия
устойчивого движения ее тел и
простираются примерно до 60 000 а.е. [13].
Большие тела Солнечной
системы подчиняются следующим
основным закономерностям:
1. Все планеты обращаются
вокруг Солнца по почти круговым
орбитам.
2. Все планеты обращаются в
одном направлении — против часовой
стрелки (если смотреть со стороны
северного полюса эклиптики). В том
же направлении вращается Солнце.
3. Плоскости орбит всех плане г
почти совпадают друг с другом и
расположены вблизи плоскости экватора
Солнца.
4. Направление вращения планет
относительно их центров масс
совпадает с направлением их обращения
вокруг Солнца (за исключением
Венеры и Урана).
5. На долю планет приходится
около 98% всего момента количества
движения в Солнечной системе, а на
долю Солнца примерно 2%.
6. Большие полуоси планетных орбит (за исключением орбиты Плутона)
достаточно хорошо удовлетворяют эмпирическому правилу Воде — Тициуса
Л*=0,4+0,3.2\
где Ak — большая полуось планетной орбиты в а.е.;
k равно —оо для Меркурия, 0 для Венеры, 1 для Земли, 2 для Марса, 3 для пояса
астероидов, 4 для Юпитера, 5 для Сатурна, 6 для Урана и 7 для Нептуна.
Между характеристиками орбитального движения планет и их вращения вокруг
центра масс существует корреляция [12, 14].
Рис. 1.2. План Солнечной системы
1.3.1. Солнце
Солнце — центральное тело Солнечной системы, ближайшая к Земле звезда. Оно
принадлежит к классу звезд dG2 («желтый карлик»). Его масса составляет 99,866%
суммарной массы всех известных тел Солнечной системы.
Основные характеристики
Видимый с расстояния в 1 а.е. диск Солнца представляет собой круг с
точностью до ±0,0Г'.
13


Северное п олуш, а рие
Вел. О 1 г
Южно е полушарие
J * пер.


Таблица 1,3
Средние эклиптические и лунные экваториальные координаты ярких звезд
№ по

Астрономическому
ежегоднику
СССР
453
482
702
506
592
83
119
142
143
148
149
157
167
182
186
190
608
! № по
каталогу
1 FK3
699
745
867
777
54
120
168
194
193
201
202
210
224
243
251
257
245

Сокращенное
название
aLyr
a Aql
aPsA
aCyg
a Eri
a Per
a Tau
pOri
a Aur
7 Ori
STau
eOri
aOri
ЗСМа
7 Gem
aCMa
a Car
Визуальная
звездная
величина
0,14ш
0,89
1,29
1,33
0,60
1,90
1,06
0,34
0,21
1,70
1,78
1,75
0,1-1,2
1,99
1,93
—1,58
—0,86
Эклиптические координаты
X(1964.0)
284°48'39"
301 16 04
333 21 11
334 50 01
344 47 59
61 34 44
. 69 17 09
76 19 35
81 21 17
80 26 37
82 04 19
82 57 38
88 15 05
96 41 11
98 36 05
103 35 08
104 27 48
3(1964.0)
+61°44'05"
+29 18 17
—21 07 52
+59 54 32
—59 22 35
30 07 17
—5 28 12
—31 07 39
+22 51 50
—16 49 15
+5 22 56
—24 30 40
—16 01 54
—41 15 30
—6 44 48
—39 35 50
—75 49 43
Лунные экваториальные
координаты
а (1964.0)
0h25m06,9s
1 22 40,0
3 26 13,3
3 39 49,2
4 08 35,6
9 17 57,4
9 52 02,1
10 23 07,1
10 37 20,1
10 37 54,9
10 42 06,5
10 48 55,4
11 09 07,2
11 46 33,5
11 49 29.7
12 13 50,0
12 36 36,7
d (1964.0)
+61°36,11//
28 45 54
—22 21 17
58 38 38
—60 45 44
+29 06 58
—6 17 49
—31 46 39
+22 19 18
—17 22 22
4 51 52
-24 59 44
—16 22 51
—41 22 06
—6 49 14
—39 31 14
-75 39 45


CD
Ю
Ю
О
_<
7
ю
о
Oi
Ю
CD
+
00
CM
t^«
О
00
I
CO
Ю
о
CO
О
+
CM
t>-
CO
_<
+
CO
Ю
CD
CO
Ю
to
s
__,
^
_<
1
CM
CO
CO
Ю
to
+
00
CO
^_
CO
7
Oi
Ю
CD
'—<
CM
CO
+
00
CO
to
Tt*
О
7
00
CM
^*
CM
CD
T
3
CD
'—'
t>-
i
ю
о
_H
CO
—t
1
о
Ю
t^.
Ю
CM
T
о
CM
_H
CO
^
T
to
о
5
CO
1
8
4*
CO
Ю
T
CM
to
00
'—*
CO
7
CO
CM
,__
Ю
о
7
Oi
CM
о
CO
^*
CM
^
Oi
CM
^
^*
CM
00
ю
^*
CM
Ю
CM
Ю
Oi
^*
to
о
^*
CM
Ю
CO
^
^
Ю
—'
t^.
о
CO
^*
Ю
о
s
о
Ю
CD
Ю
^_<
^*
t>.
ю
CD
Ю
О
^*
t^.
^*
00
t>.
ю
о
о
ю
00
CO
t^.
о
^*
Oi
—•
_
CO
CD
CO
Oi
CM
CO
CO
Ю
Ю
Oi
—<
s§
Ю
Ю
Oi
Oi
Ю
CO
CO
^*
о
CM
CM
о
CM
CO
о
_н
r
CM
о
о
^н
ю
r-t
CM
CO
t>.
Ю
Oi
CM
CM
CM
00
4*
Oi
-*
8
CO
t^.
CM
^_
CO
CO
CM
CM
Ю
Ю
CD
CM
— о
CM rf
Oi
о t^
^t< CM
00 Oi
I +
00
CM
о
CM
Ю
+
CM О
s
Ю CO
о
CO
00
CO
00
+
I
CM
Ю
T
3
Ю
о
о
CO
CM
со
ю
CM
00
CM
5
CO
CO
Oi
Oi
CM
CM
ю
CM
00
Ю
CO
00
CO
CM
о
CO
to
CM
CD
о
CM
о
CM
s
CM
CM
Ю
CO
s
CM
to
00
CM
CM
со
CO
о
CD
CM
Oi
00
о
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CO
t^.
CM
Й
о
CO
CM
CO
Ю
3
CM
Ю
CO
CO
CM
о
CD
CM
s
CO
CM
CO
CO
CO
CM
CO
CD
CM
00
Oi
Ю
Oi
CO
00
CD
4*
Oi
CM
0.24
о
00
CD
о
Ю
.19
CM
•1-
00
Ю
CD
00
о
о
0.33—1
1.22
1,88
1.71
1,95
и
в
О
о
о
2 Л s
и и и
СО. в СУ5_
СО
о
о
ел
<
а
о
о
ел
ел
оо ю со t».
CD Oi t>~ ~*
CM CM CM т**
CO
00
4*
2 S
CO Ю
00
Oi
rf
CO
CM
Ю
00
^f
CO
00
CD
^
,—i
00
^h
CM
CO
^h
00
ю
oo со
S3 CO
Ю CM Oi
см ю oo
CO CD CD
00
CD О aS —<
—• О t>- CD
CM CM CM CM
CD l>~ CO
CO CD CO
CD
CM
CO
Ю
"^
CO
CM
CM
CD
00
CO
CD
CM
^*
CD
t^«
CO
CD
00
^*
CD
CO
Ю
CO
CD
CD
CD
00
CD
CD
^*
t^.
CD
О
00
CO


о5 Таблица 1.4
Средние места характерных звезд в экваториальной системе координат
Название
5 Ceti
С2 Aquarii
lOTauri
Ь Or ion is
r\ Aquarii
С Virginis
225 Monocerotis
rj Virginis
v Leon is
ц Aquilae
a Ursae Minoris
X Ursae Minoris
2 Ceti
w Piscium
Jt Virginis
о Virginis
X Aquarii
a Librae
a Virginis
a Leon is
fjGeminorum
r\ Geminorum

Визуальная
звездная
величина
4,04m
4,42
4,40
2,48
4,13
3,44
4,09
4,00
4,47
3,7—4,4
2,12
6,55
4,62
4,03
4,57
4,24
3,84
2,90
1,21
1,34
3,52
3,2—4,2


тральный
класс
В2
F2
G5
ВО
В8
А2
АО
АО
ко
G0p
F8
мз
АО
F5
A3
G5
МО
1 A3
В2
В8
F0
МО


раллакс
0,013"
0,058
__
0,017
0,035
0,015
0,010
0,012
—
—
0,012
0,017
0,036
0,012
1 0,049
0,019
0,039
0,059
0,013
Экваториальные координаты
a(1964.0)
2h37m38,052*
22 26 58,761
3 35 01,979
5 30 09,944
22 33 30,362
13 32 51,371
7 10 01,512
12 18 03,741
11 35 06,264
19 50 38,296
1 58 38,84
18 03 12,41
0 01 53,762
23 57 27,637
11 59 01,652
12 03 22,489
22 50 44,181
[ 14 48 52,939
13 23 17,580
10 06 27,369
7 17 58,420
6 12 42,214
6(1964.0)
+0° 10'27,24"
—0 12 17,74
+0 17 19,04
-0 19 27,40
—0 18 12,77
—0 24 45,11
—0 25 54,26
—0 28 00,72
—0 37 29,48
+0 54 43,14
+89 05 50,43
+89 03 18,55
—17 32 10,74
+6 39 50,50
+6 48 54,15
+8 55 58,51
—7 46 17,89
[—15 53 35,75
—10 58 26,28
+ 12 08 37,88
+22 03 00,74
+22 31 08,11
Годовое
изменение
до a
+3,077s
+3,089
+3,063
+3,066
+3,082
+3,058
+3,064
+3,070
+3,072
+3,055
+45,23
—78,04
+3,072
+3,082
+3,074
+3,056
+3,128
+3,322
+3,163
+3,193
+3,582
+3,622
по Ъ
+ 15,49"
+ 18,46
+ 11,37
+2,62
+ 18,58
-18,38
—6,02
—20,00
—19,88
+9,30
+ 17,40
+0,28
+20,04
+ 19,93
—20,07
—19,99
+ 19,17
—14,91
—18,76
—17,63
—6,68
-1,13
Собственное
движение 1
Уа I
0,0001s J
+7
+136
-156
0
+60
-190
—3
-42
+2
+3
+ 190
-114
+16
+ 101
—2
—149
+5
—73
—26
-169
—19
—48
Г8
0,001"
+3 1
+46
—480
+ 1
-50
+35
+6
-22
+39
—4
—7
—1
—2
—108
—33
+45
+40
1 ~~71
' -33
+3
1 ~14
—13
Примечание
Расположены вблизи
плоскости экватора
Расположены вблизи
северного полюса мира
Расположены вблизи
меридиана точки весны
Расположены вблизи
меридиана точки осени
Расположены вблизи
плоскости эклиптики


Таблица 1.5
Средние места характерных звезд в эклиптической системе
координат
1
о р
а- (-
о °
0*^0*
о Act
ому е
ССС
№ п
чес к
нику
562
123
176
181
205
229
261
270
294
655
444
425
—
—
23
6
>>
о
о
С СО
864
174
236
241
279
326
380
396
445
548
685
664
212
267
35
9
си
о
31
л Aqr
тТаи
T]Gem
fxGem
5 Gem
5 Can
a Leo
q Leo
3Vir
a2Lib
36Dra
a) Dra
£Dor
i Vol J
a Scl 1
i Cet
■
4
« 2
ее «
«3
DQ го к
3,84m
4,33
3,2—4,2
3,19
3,51
4,17
1,34
3,85
3,80
2,90
5,03
4,87
3,81
5,52
4,39
3,75
Эклиптические координаты
X(1964.0)
341°04'2l"
71 39 03
92 56 02
94 47 54
108 01 00
128 13 07
149 19 43
155 53 09
176 39 11
224 34 49
304 45 50
131 44 56
51 35 18
228 46 37
359 59 11
0 24 45
?(1964.0)
—0°23'09"
+0 42 34
—0 53 26
—0 49 25
—0 10 57
+0 04 33
4-0 27 49
4-0 08 54
4-0 41 38
4-0 20 15
+87 24 22
486 53 55
—85 02 54
—83 36 33
—32 30 49
—10 01 18 j
Примечание
Расположены
вблизи плоскости
эклиптики
Расположены
вблизи северного полюса
эклиптики
Расположены
вблизи южного полюса
эклиптики
Расположены
вблизи меридиана точки
весны
Таблица 1.6
Средние места характерных звезд в лунной экваториальной системе
» координат
,трономи-|
ежегод- 1
СР |
№ по Ас
чес кому
нику СС
25
123
205
229
326
664
444
425
—
445
682
№ по каталогу
FK3
36
174
279
326
498
594
685
664
262
212
1477
706
Сокращенное
название
1
е Psc
тТаи
5 Gem
5 Сап
aVir
5Sco
36 Dra
о) Dra
a Pic
р Dor
у. Lyr
aSgr
Визуальная
звездная
величина
4,45m
4,33
3,51
4,17
1,21
2,54
5,03
4,87
3,30
3,81 !
4,34
2,14
Лунные экваториальные
координаты
a(1964.0)
6h22m26,2s
Ю 00 55,3
12 26 25,5
13 47 10,9
18 47 40,5
21 22 29,8
3 09 22,9
12 00 47,1
8 06 36,0
9 40 26,1
23 54 26,8
0 01 30,0
d (1964.0)
—0°27'34"
—0 03 51
—0 00 12
—0 46 43
—0 31 38
—0 59 36
4-86 29 03
4-87 19 24
—84 25 05
—86 06 25
4-59 26 44
—3 27 22
Примечание
Расположены
вблизи лунного экватора
Расположены
вблизи северного полюса
лунного экватора
Расположены
вблизи южного полюса
лунного экватора
Расположены
вблизи восходящего узла
среднего лунного
экватора на эклиптике
17


Радиус /?@=(6,9598±O,O0O7).10R км
Масса AJ0 =(1,989+0,002) -1027 т
Скорость освобождения на поверхности . . , ^0ОСв=617,7 км/с
Облученность (энергетическая освещенность) некоторого элемента поверхности на
расстоянии Д от Солнца
cos /
Е = Ес —.
Д2
где Ес — солнечная постоянная, т. е. полное количество солнечной энергии, проходящей
в единицу времени через площадку в 1 см2, расположенную под прямым углом
к солнечным лучам вне земной атмосферы на расстоянии от Солнца в 1 а.е.;
/ — угол падения солнечных лучей на облучаемую поверхность.
По непосредственным измерениям с борта американских высотных самолетов и
ракетоплана Х-15 [19] £с=136,1 мВт/см2= 1,952 кал/(см2-мин). Точность измерений +0,5%.
Распределение энергии в солнечном спектре в зависимости от длины волны
показано на рис. 1.3—1.5. В видимой области спектра солнечная фотосфера излучает
энергию практически как абсолютно черное тело. С уменьшением длины волны начинают
проявляться вариации интенсивности излучения, вызываемые изменением солнечной
активности (см. рис. 1.5).
Сила давления солнечного света на .площадку, расположенную под прямым углом к
солнечным лучам, при условии полного поглощения рассчитывается по формуле
'-£•
где Д — расстояние от Солнца в а.е.;
^0=4,4-10-6Па(=4,5-10-7 кг/м2).
Положение деталей на солнечном диске задается в гелиографической системе
координат. В этой системе отсчет широт производится от солнечного экватора, который
образован плоскостью, проходящей через центр Солнца нормально к оси его вращения.
Условно гелиографические меридианы жестко связаны с точками, лежащими на гелио-
графических широтах ф=±16°, а за начальный меридиан принят тот, который 1
января 1854 г. в 0h по всемирному времени проходил через точку пересечения солнечного
экватора с эклиптикой.
Наклонение экватора Солнца к плоскости эклиптики *0=7°15'. Долгота
восходящего узла солнечного экватора на эклиптике &0=|74О22/+84Т, где Т — интервал
времени в столетиях от эпохи 1900 г. При наблюдении с Земли в первой половине года
виден южный полюс Солнца, а во второй половине — северный.
Вращение Солнца щрямое, т. е. совладает по направлению с обращением планет
вокруг Солнца (против часовой стрелки, если смотреть со стороны северного
полюса мира). Угловая скорость вращения Солнца со зависит от гелиографической
широты ф и измеряется величиной угла поворота за сутки. Угловая скорость
Солнца для сидерического вращения (относительно неподвижных звезд) и
синодического вращения (относительно Земли) соответственно будет
соСид=14,38°—2,7°йп2ф; со СИн=13,39°—2,7°sinfy
Разность этих величин равна угловой скорости движения Земли по орбите:
со с ид—соСин = 0,9856°/сут..
Период синодического вращения
ЯСин = 26,90+5,2sin^ сут.
Сидерический и синодический периоды вращения для широты ф=16° будут
РсиД = 25,38 сут; РСин = 27,28 сут.
Видимое строение
Слой газа, в котором возникает видимое излучение, называется фотосферой.
Яркость фотосферы к краю солнечного диска падает, что связано с уменьшением
температуры в верхних ее слоях. Незначительной толщиной фотосферы (около 100 км)
объясняется исключительная резкость краев солнечного диска. Фотосфера покрыта
сплошной сетью ярких пятнышек неправильной формы, так называемыми гранулами,
которые непрерывно появляются и через 3—10 мин. исчезают. Их размер не превышает
6000 км. Отдельные яркие образования на фотосфере, имеющие тонкую структуру и
устойчивые на протяжении недель и месяцев, называются факелами.
18


It
Г
2
70'sl
5
2
W's
5
2
ю-7
|l£ i i I I I
¥000 6000
Длина волны, А
70000
о
Рис. 1.3. Интенсивность (Вт/(см2-А))
излучения Солнца в видимой области спектра (1)
и излучение абсолютно черного тела при
6000 К, помещенного на расстояние 1 а. е. (2)
п-е
i
It"7"
to
J
Л
\
кл
V
К А
V
_.
о
/
1
II J
V
^
/
S
1^"
400 В00 1200 1600 2000
Длина Волны, А
Рис. 1.4. Интенсивность (Вт/(см2-А))
излучения Солнца в ультрафиолетовой области
спектра
I
Г*
г
I
/г7
70
ю-»
70
i
1
1/
7"
/
L
s
/
3
2
1
><-и
0 10 20 30 <Ю SO 60 70 80 ШЯ0
Длина Волны, А
Рис. 1.5. Интенсивность (Вт/(см2-А))
излучения Солнца в рентгеновской области спектра:
/—спокойное Солнце в минимуме активности; 2-
спокойнос Солнце в максимуме активности;
3—вспышка балла 2 +
19


Темные области в фотосфере, имеющие вихревую структуру и размеры
порядка поперечника Земли, называются солнечными пятнами. Темное ядро солнечного
пятна называется тенью, а обрамляющая его кайма — полутенью. Пятна обычно
возникают группами и существуют от нескольких дней до месяца. В начальной стадии
своего развития солнечные пятна имеют вид крошечных пор.
Над фотосферой расположен обращающий слой, вызывающий большую часть
линий поглощения, а над ним — хромосфера — слой газа толщиной 10000—14ОШ км,
имеющий вид «травы, охваченной пламенем», с высотой отдельных языков до 10 000 км
и более. Отдельные элементы травянистой структуры хромосферы называются спикула-
ми. Яркие пятна в хромосфере, расположенные над фотосферными факелами,
называются флоккулами. Над хромосферой до расстояний в несколько солнечных радиусов
простирается корона, представляющая собой сильно разреженный и слабо светящийся
газ. Наиболее яркую часть короны принято называть внутренней короной. Она удалена
от солнечного диска не более чем на 0,5—1,0 его радиуса. Остальную часть короны,
лежащую выше, называют внешней короной. В короне наблюдаются системы лучей и ко-
рональные конденсации — области уплотнения коронального вещества. Фотосфера,
хромосфера и корона составляют солнечную атмосферу.
Облака газа в солнечной короне, достигающие высот в сотни тысяч километров
и принимающие обычно причудливые формы, называются протуберанцами и
подразделяются на несколько классов. Наиболее распространены активные протуберанцы, в
которых отдельные узлы и струи движутся вдоль определенных траекторий к так
называемым центрам притяжения, расположенным у основания хромосферы. Энергичный
выброс газа в корону со скоростью до нескольких сот километров в секунду характерен
для эруптивных протуберанцев.
Солнечная атмосфера состоит в основном из водорода (81,76%) и гелия (18,17%).
Объемное содержание других элементов ничтожно: 0,03% кислорода, 0,02% магния,
0,01% азота и т. д. Самые интенсивные линии в видимом спектре Солнца принадлежат
атомам ионизированного кальция, хотя его содержание в солнечной атмосфере
составляет 0,0003%.
Температура слоя, расположенного вблизи видимой поверхности Солнца,
минимальна и равна 4500 К. Выше и ниже этого слоя температура быстро возрастает.
В центре Солнца она должна достигать примерно 13106К, в верхней хромосфере
колеблется от 104 до 3-104 К, а в короне достигает 1№ К. Температура солнечных пятен
примерно на 1000 К ниже температуры окружающей фотосферы, а появляющиеся
гранулы на 500 К горячее разделяющих их промежутков.
Магнитное поле является причиной образования активных областей (пятен,
факелов, протуберанцев и т. п.). Напряженность магнитного поля Солнца на высоких
широтах (начиная с 65—68°) составляет около 10ОА/м (~1 э), а в активных областях
увеличивается в сотни и тысячи раз. Магнитные поля охватывают Солнце под его
поверхностью в виде системы трубок силовых линий. В каждом полушарии Солнца
имеются две системы трубок с противоположным направлением поля. Солнечные пятна
представляют собой места выхода и входа на поверхности этих трубок силовых линий.
Распространением магнитных полей из активных областей в корону объясняется
образование лучей, арок, участие этих деталей во вращении Солнца, наличие сгущений и
различие в температуре соседних участков короны.
Солнечная активность
Солнечная активность условно характеризуется числами Вольфа
R=k(l0g+s),
где g — число групп пятен;
5 — общее число пятен;
k — коэффициент, зависящий от мощности применяемого инструмента.
Средняя продолжительность цикла пятнообразования 11,07 лет. После минимума
солнечной активности пятна появляются на широтах около ±30°, затем все ближе к
экватору и в конце цикла возникновение пятен наблюдается на широтах ±6-ь8°. В эпоху
максимума солнечной активности диаметр Солнца увеличивается на 0,00005 своего
среднего значения (на 0,09" для расстояния в 1 а.е.). а в эпоху минимума уменьшается
на ту же величину. Магнитная полярность пятен меняется с циклом.
Процессы на Солнце поддерживаются ядерными реакциями в его центральной
области, превращающими водород в гелий. Выделяющаяся энергия в результате
поглощения и переизлучения квантов передается к наружным слоям Солнца. Этот процесс
осуществляется в зоне лучистого равновесия, лежащей на расстоянии примерно (0,3 —
0,8) /?0от центра Солнца. Вблизи поверхности энергия переносится благодаря
конвекции, т. е. восходящими потоками горячего и сильно ионизированною газа.
Наблюдаемые гранулы являются конвективными ячейками. В верхней части конвективной зоны
скорость потока достигает 1—2 км/с. Порождаемые конвективными потоками
«звуковые волны» распространяются через хромосферу до основания короны и, затухая,
нагревают их. Сильное ма1Китное поле подавляет конвективные движения, фотосфера
частично охлаждается и возникают пятна. Слабое поле увеличивает скорость конвек-
20


иии, образуются факелы, повышается температура верхней хромосферы. При
столкновении ударных волн, вызванных очень сильными магнитными полями, резко
повышается температура и образуются хромосферные вспышки.
Солнечные (хромосферные) вспышки
Солнечные (хромосферные) вспышки представляют собой внезапное и
кратковременное увеличение яркости участка хромосферы, видимое в монохроматическом
излучении (в линиях На или КСа II). Подъем к максимуму яркости длится в среднем около
5 мин, а средняя продолжительность вспышки 1000 с. Вспышки обычно сопровождаются
радиовсплесками. Спустя 2—3 мин с начала вспышки в окрестности Земли
регистрируется повышение рентгеновского излучения, а через 10—100 мин — увеличение
интенсивности космических лучей.
В окрестностях сложных групп пятен различной полярности вспышки возникают
примерно в 2 раза чаще, чем в окрестностях групп пятен с одинаковой полярностью.
В течение первой половины времени существования групп пятен частота появления
вспышек примерно вдвое больше, чем во второй [18].
Солнечные вспышки оказывают определенное влияние на верхнюю атмосферу
Земли. Возникают внезапные ионосферные возмущения, магнитные бури, полярные
сияния, изменения плотности воздуха и другие явления.
Солнечный ветер
Солнечный ветер в отличие от спорадической компоненты солнечных космических
лучей, возникающей при хромосферных вспышках, представляет собой непрерывное
испускание протонов при гидродинамическом расширении солнечной короны. Средняя
скорость солнечного ветра при невозмущенной короне составляет около 300 км/с.
Орбита Земли
Рис. 1.6. Спиральное
солнечно-межпланетное магнитное поле в плоскости экватора
для спокойного Солнца
Земля
Плазма покидает солнечную корону в радиальном направлении и уносит в меж
планетное пространство солнечное
магнитное поле. Каждая силовая линия остается
скрепленной одним концом с Солнцем и
участвует в его вращении, благодаря чему
солнечное магнитное поле приобретает
спиральную структуру (рис. 1.6). Движущаяся
плазма «выметает» из внутренней области
Солнечной системы галактическое магнитное
поле, а магнитные поля планет сжимает в
магнитосферы, образуя в межпланетной
среде магнитогидродинамические полости.
Реальное спиральное межпланетное поле
искажается значительнь/ми нерепллярностями
(рис. 1.7).
^ Радиальные
t**W* поток
плазмы
Рис. 1. 7. Возмущенное спиральное
межпланетное магнитное поле
21


1.3.2. Общие сведения о планетах
Планеты — крупные тела Солнечной системы, обращающиеся вокруг Солнца. Их
принято разделять:
— по размерам: на большие (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн,
Уран, Нептун и Плутон — в порядке удаления планет от Солнца) и малые, или
астероиды.
— по расположению относительно Земли: на нижние (Меркурий и Венера) pi
верхние (Марс, Юпитер и др.);
— по физическим особенностям: на земную группу (Меркурий, Венера, Марс и
Плутон) и юпитерову группу (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун).
Основные понятия
Элонгация — угловое положение (расстояние) шланеты от центра солнечного
диска (относительно наблюдателя).
Фазовый угол, или угол фазы *ф, — угол между 'направлениями из центра планеты
на центр Солнца и на наблюдателя.
Аспекты в положении планет (конфигурации) (рис. 1.8)
Соединение с Солнцем— положение планеты, при котором ее долгота (в
эклиптической системе координат) равна долготе центра солнечного диска. Соединение может
быть или верхним (знак d ), или нижним (знак Ч ). При S расстояние от
наблюдателя до планеты больше расстояния до Солнца (планета находится за Солнцем), при
Верхнее соединение
Восточная
квадратура
Opffuma
Внешней
планеты
Запойная
\Вадратура
Противостояние
внешних планет:
Рис. 1. 8 Конфигурации внутренних и
/—наибольшая восточная элонгация; 2—нижнее соединение;
3—наибольшая западная элонгация; 4—верхнее соединение
Р — меньше (планета расположена между Солнцем и наблюдателем). При о
возможно покрытие планеты Солнцем, при р — прохождение планеты перед диском
Солнца.
Противостояние, или оппозиция (знак ср), — положение планеты, при котором ее
долгота отличается от долготы Солнца на 180° (планета наблюдается в направлении,
противоположном направлению на Солнце). Великим называется противостояние Марса
относительно Земли, когда он находится около перигелия своей орбиты (т. е. на
минимальном расстоянии от Земли, равном —^56-Ю6 км). Такие противостояния
случаются один раз в 15 или 17 лет и приходятся на август.
Квадратура (знак □ ) — положение планеты, при котором ее долгота отличается
на 90° от долготы Солнца. При западной квадратуре долгота Солнца больше долготы
планеты, при восточной квадратуре — меньше.
Наибольшая элонгация, или наибольшее удаление,— положение нижней планеты,
при котором ее угловое расстояние до Солнца максимально. Наибольшая элонгация
называется западной, если долгота Солнца больше долготы планеты, и восточной —
если меньше.
22


Периоды обращения
Синодический период S — промежуток времени между двумя одинаковыми
конфигурациями планеты относительно наблюдателя.
Сидерический, или звездный период Р,— длительность истинного оборота планеты
(относительно неподвижных звезд).
Синодическое уравнение
— для нижних планет
J L__L.
S ~~ P ~ E '
1 1 1
— для верхних планет "г-—-г~—""77'
где Е— звездный период наблюдателя, или звездный год, т. е. время полного
обращения Земли вокруг Солнца, если наблюдатель находится на Земле.
Видимые фигуры планет
Диск — проекция планеты на небесную сферу.
Лимб — край диска.
Терминатор — граница между освещенной и неосвещенной частями диска.
Рога — освещенные участки вблизи точек пересечения лимба с терминатором.
Линия рогов— отрезок дуги большого круга, соединяющей рога.
Фаза Ф — отношение отрезка диаметра диска на освещенной его части,
перпендикулярного к линии рогов, ко всей длине этого диаметра:
1 ф
Ф = — (1 + cost);) — cos2 —,
где г|э — фазовый угол.
Фаза планеты Ф = 0,5 называется дихотомией (для Луны: первая и последняя
четверти).
Оптика планетных атмосфер
Зона полутени — пояс на поверхности планеты, из каждой точки которого можно
наблюдать только часть солнечного диска (без учета рефракции).
Рефракция — преломление лучей в атмосфере планеты; смещает терминатор в
сторону ночного полушария (при этом образуется так называемый рефракционный
терминатор) .
Сумеречное освещение зоны ночного полушария, примыкающего к
рефракционному терминатору, вызывается эффектом рассеивания солнечных лучей в атмосфере
планеты. Характеризуется величиной сумеречной дуги.
Эквивалентный путь газа в атмосфере — количество газа, дающее при
нормальных условиях такое же поглощение, как и наблюдаемое.
Фотометрические характеристики
Абсолютно черная поверхность — поверхность, полностью поглощающая всякое
излучение.
Альбедо истинное А (альбедо плоское, альбедо Ламберта, коэффициент
диффузионного отражения р)—отношение величины лучистого потока, рассеянного плоским
элементом матовой поверхности во всех направлениях, к лучистому потоку, падающему
на этот элемент.
Альбедо геометрическое АГ — отношение блеска планеты при фазовом угле 0° к
блеску плоского абсолютно белого экрана, расположенного нормально к солнечным
лучам в той же точке пространства и занимающего на небесной сфере тот же телесный
угол, что и диск планеты.
Альбедо иллюстративное Ап — отношение действительного блеска планеты при
фазовом угле 0° к блеску планеты при условии, если бы ее поверхность была абсолютно
белой.
Альбедо сферическое ЛСф — отношение отраженного по всем направлениям потока
солнечного излучения к падающему.
Температуры
Эффективная температура — температура абсолютно черного тела, имеющего те
же размеры и дающего тот же лолный поток излучения, что и рассматриваемое тело
{объект).
Яркостная температура — температура абсолютно черного тела, интенсивность
излучения которого в определенной длине волны равна наблюдаемой в данном
направлении.
23


Равновесная температура — установившаяся температура абсолютно черного тела,
поверхность которого расположена нормально к падающим на нее лучам, когда расход
поступающей энергии происходит только путем излучения.
Основные характеристики
Наименование
Среднее
расстояние от Солнца
Большая полуось
орбиты
Эксцентриситет
(1950.0)
— для времени Т:
eT=,ei+klT+k2'P,
где Т в юлианских
столетиях от
гринвичского полдня
1900.0
Сидерический
период обращения
Средняя
орбитальная скорость:
— линейная
»—> угловая
Наклонение к
эклиптике (1950.0)
— для времени Т:
iT=il+kJ+k2T2
Долгота
восходящего узла
(1950.0):
— годичное
изменение
— для времени
Т:
QT = Qi+kiT+
+k2T2+ksT*
Долгота
перигелия (1950.0)
— годичное
изменение
— для времени
Т:
TiT=Ti\-{-kiT-\-
+k2T*+kJ*

Обозначение
А
а
е
е\
kx
k2
Р
V
п
i
h
k2
Q
AQ
Q{
k2
Л
Ля
3Xi
kl
k2
Единица

измерения
a. e.
млн. км
—
—
—
—
троп, год
сут
км/с
град/сут
град
град,
мин,
с
угл. с
угл. с
град
угл. мин
град,
мин, с
угл. с
угл. с
угл. с
град
угл. мин
град,
мин, с
угл. с
угл. с
угл. с
Меркурий
5
0,387099
57,909
0,205614
0,20561421
+2046-10-8
—3,0-10-8,
0,24085
87,969
47,83
4°05х32,42"
7,004°
7°00'10,37"
+6,699"
—0,066"
47,739°
+0,71'
47°08'45,40"
+4266,75"
, +0,626"
76,677°
+0,93'
75°53'58,91"
+5599,76"
+ 1,061"
Венера
9
0,723332
108,209
0,006821
0,00682069
—4774-10-8
+9,1-10-8
0,61521
224,701
34,99
1°36'07,67"
3,394°
3°23'37,07"
+3,621"
—0,0035"
76,230°
+0,54'
75°46'46,73"
+3239,46"
+1,476"
130,868°
+0,84'
130°09'49,8"
+5068,93"
—3,515"
Земля
s> е
1,000000
149,598
0,016751
0,01675104
-4180-10-8
—12,6-10-8
1,00004
365,256
29,76
59'08,19"
! —
—
1 _
—
—
102,080°
+ 1,03'
101°13'15,0"
+6189,03"
+ 1,63"
+0,012"
24


В табл. 1.7 приведены основные геометрические и физические характеристики
планет, а также элементы их орбит, а в табл. 1.8 — расчетные звездные величины планет
при наблюдении их с орбиты Земли.
Таблица 1.7
планет и элементы их орбит
Марс
е
1,523688
227,941
0,093313
0,09331290
+9206,4-10-8
—7,7-10-8
1,88089
686,980
24,11 1
31'26,52"
1,850°
i°5i'oi,2"
—2,430"
+0,0454"
49,172°
+0,46'
48°47'11,19"
2775,57"
—0,005"
—0,0192"
335,139°
+ 1,10'
334°13'05,53"
6626,73"
+0,4675"
—0,0043"
Юпитер
2/-
6,202803
778,328
0,048435
0,048335
+ 1,64-10-4
—
11,86223
4332,588
13,05 1
4'55,13"
1,306°
1°18'31,4"
—20,5"
99,949°
+0,61'
99°26'36"
+3638"
13,526°
+0,97'
12°43/15"
+5796"
Сатурн
\
5,538843
1426,99
0,055682
0,055892
—3,45-10-4
—
29,45772
10759,21
9,64
2'0,46"
2,491°
2°29'33,1"
—14,0"
113,227°
+0,52'
112°47'25"
+3143"
92,077°
+ 1,18'
91°05'54"
+7050"
Уран
6
19,190978
2870,93
0,047209
0,047044
+2,0.10-4
—
84,01529
30687
6,80
42,23"
0,773°
0°46'20,9"
+2,3"
73,727°
i +0,30'
73°29'25"
+ 1795"
172,291°
+0,96'
169°03'
+5800"
Нептун
W» Ц*
30,070672
4498,51
0,008575
0,008533
+0,4-10-4
—
164,78829 '
60184 J
5,43
21,53"
1,774°
1°46'45,3"
—34,3"
131,231°
+0,66'
130°40'44"
+3956"
47,440°
+0,48'
43°5Г
+2400"
Плутон
R
39,517738
5911,77
0,24707
0,2486
—
—■
247,696
90700
4,8
14,3"
17,144°
17°08'44"
—20"
109,633°
+0,72'
Ю8°57'17"
+4889"
223,175°
+0,84'
222°48'
+ 5000"
25


Наименование
Средняя долгота
планеты (1950.0)
— для времени
Т:
XT = h + kJ+k2T2
Средний
синодический период
Наклон
плоскости экватора
планеты к плоскости
орбиты
Гравитационная
постоянная
Радиус сферы
действия
Радиус сферы
тяготения
Период осевого
вращения
Скорость
освобождения (вторая
космическая)
Расстояние от
Земли
Видимый с
Земли угловой
поперечник
Средний диаметр
— относительно
среднего земного
Сжатие
Масса
—. относительно
земной
Средняя
плотность
— относительно
земной
Ускорение силы
притяжения на
поверхности (для не-
вращающейся
планеты)
— относительно
земного
Ускорение
экваториальное
центробежное
Альбедо
сферическое

Обозначение
X
h
k2
s
i
V
Qc.R
Qc.r
■roc
V OCB
—
—
—
a
m
Q
go
—
Л сф
Единица

измерения
град
град, мин
с
угл. с
угл. с
сут
град,
мин,
с
КмЗ/с2
тыс. км
тыс. км
сут., ч,
МИН I
КМ; С
МЛН. КМ
угл. с
км
—
т
г/см3
см/с2
с м/с2
—
Меркурий
5
31,122°
178°Ю/44,68"
+538106654,80"
-4-1,084"
115,88
7° (?)
(2,16—
2,19).104
90—136
19—29
58d16h
4,2—4,3
82—217
4,7—12,9"
4840
0,380
0,00
3,260-Ю2о
0,0546
5,49
1,00
368—374
0,38
—0,00
0,06
Венера
80,771°
342°46'01,39"
+210669162,88"
+ 1,1148"
583,92
178°
(3,25327—
3,25335). 105
612—621
168—171
243d
10,37
39—260
9,9—64,0"
12100
0,950
0,00
4,877 1021
0,8162
5,258
0,95
888
0,905
—0,00
0,65
Земля
6. е
99,096°
99°4Г 48,04"
+ 129602768,13"
+ 1,089"
—
23°27'08,26"
3,986003-105
913—944
256—265
23b56m04,09s
11,19
—
12742
1,00
0,003352^
5,975-1021
1,000
5,516
1,00
981,4
1,0
—3,39
0,39
26


Продолжение
Марс
d
144,061°
293°44'5l,46"
+68910103,83"
4-1,1184"
779,94
24°48'
(4,288—
4,290). 104
524—631
117—142
24h37m22,62*
5,03
56—400
3,5—25,1"
6780
0,532
0,0052
6,429-1020
0,108
3,94
0,71 |
388
0,395
-1,71
0,15
Юпитер
2f
316,117°
—
—
398,88
3°06,9'
(1,26891—
1,26894)-108
45870—50540
22890—25220
9h50m
60,4
591—965
30,7—50,1"
139200
10,92
0,062
1,902-1024
318,3
1,35
0,24
2620
2,67
—225
0,44
Сатурн
%
158,286°
—
—
378,09
26°44,7'
(3,798—
3,799)-107
51500—57580
22770—25460
1044™
36,4
1199—1653
15,0—20,7"
114800
9,01
0,096
5,694-1023
95,30
0,72
0,13
1150
1,17
—176
0,76
Уран
6
99,118°
243°21'45"
—
369,66
98,0°
(5,795—
5,798)-106
49350—54250
18090—19880
I0h47m
20,8
2586—3153
3,3—4,0"
53400
4,19
0,06
8,688-1022
14,54
1,09
0,20
813
0,83
-62
0,66
Нептун
£, tp
194,395°
85°01'31"
—
367,49
29°
(6,962—
6,977)-106
86100—87590
32090—32650
8—15h
23,7
4309—4682
2,2—2,5"
49700 |
3,90
0,025
1,045-1023
17,5
1,63
0,29
ИЗО
1,15
—28
0,52
Плутон
R
165,575°
352°ЗГ51"
—
366,74
?
(3,0—
3,7). 105
26670—44170
7420—12290
?
14,8—16,4
0)
4309—7527
0,2' (?)
5500 (?)
0,4 (?)
?
4,98-1021 (?)
0,8 (?)
>Ю(?)
>2(?)
>2000(?)
>2(?)
?
0,16 (?)
27


Наименование
Условия
солнечного облучения
(для среднего
расстояния):
— угловой
радиус Солнца
— солнечная
постоянная
— облучение
относительно
земного
— световая
освещенность
— отношение
освещенности в
перигелии и афелии
— звездная ве-1
личина Солнца

Обозначение
Ее
Е
Единица

измерения
угл. с
кВт/м2
тыс. лк
Меркурий
$
2480"
9,07
6,68
901
2,31
—28,8
Венера
9
1327"
2,60
1,91
258
1,03
—27,4 |
Земля
6, е
960"
1,36
1,00
135
1,07
—26,7
Таблица 1.8
Видимые звездные величины планет mv
Планета
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Изменение mv по фазе
mv=—0,21 +5 \g лД+ 3,82.10-2ф—
—3,37- 10-4г|>2+2,00- КНлр8
mv=— 4,14 + 5 Igr • Д+0,09 • 10-2г|? +
+ 2,39- 10-4ф2—0,65.10—6гр3
mv=—1,45+5 \g г.Д + 0,0151ф
mv=—9,1 +5 \g г-Д+0,015ф
mv=—8,8+51gr-A+0,044L—2,60X
Xsin5+1,25 s\n2B
mv=—6,9+5 lgr • Д
mv=—7,1+5 \gr • Д
mv=—l,2+51gr- Д
Звезцная величина
с Земли
(ту) .
v v 'mm
—1,0
—4,1
-2,8
-2,2
-0,4
+5,4
+7,6
+ 14,0
(^L
+ 1,3
—3,0
+1,6
-1,9
+ 1,5
+6,0
+7,7
+ 15,2

Показатель
цвета
+0,9
+0,8
+ 1,2
+0,4
+0,7 •
+0,4
+0,6
+0,7
В таблице обозначено:
г и Д — расстояние от Солнца до планеты и до наблюдателя соответственно в а.е.;
я|) — угол фазы в град;
В — сатурноцентрическая широта наблюдателя (0°<Б<27°) в град;
L—-сатурноцентрическая разность долгот Солнца и наблюдателя относительно
■плоскости кольца Сатурна (0°<L<6°) в град.
28


Продолжение
Марс
<?
630"
0,587
0,431
58,2
1,45
-25,8
Юпитер
Ъ
184"
0,0505
0,0370
4,99
1,21
—23,1
Сатурн
\
101"
0,0150
0,0110
1,48
1,25
—21,8
Уран
6
50"
0,0037
0,0027
0,366
1,21
—20,3
Нептун
#, tp
32"
0,0015
0,0011
0,149
1,04
—19,3
!
Плутон
1
R
24"
0,0008
. 0,00064
0,087
2,77
—18,7
1.3.3. Меркурий
Меркурий — ближайшая к Солнцу и наименьшая среди больших планет. По
плотности близок к Земле. Спутники его не обнаружены. Максимальное угловое
удаление от Солнца относительно Земли не (превышает 28°.
Видимая поверхность ровная, с темными трудно различимыми пятнами. Данные
фотометрических и поляризационных наблюдений показывают, что поверхность
Меркурия изрыта примерно в той же мере, что и поверхность Луны [30]. Временное
помутнение (вуалирование) участков поверхности, наблюдаемое в западном полушарии
планеты чаще, чем в восточном [23], можно объяснить или атмосферными явлениями, или
люминесцентным свечением поверхности, вызванным солнечным ветром. Вблизи рогов
диска наблюдается максимальная поляризация.
Период осевого вращения, по новейшим определениям, основанным на изучении
математических моделей движения планеты и подтвержденным данными
радиолокационных наблюдений (59d+5 и 58°,4+0,4), составляет точно 2/3 периода обращения
планеты вокруг Солнца, т. е. 58,65 земных суток [31, 32—35]. Направление вращения —
прямое. Новое значение периода осевого вращения Меркурия не находится в противо
речии с прежними оптическими наблюдениями, которые, как оказалось, допускают
неоднозначное истолкование [36]. Отсюда следует, что на поверхности Меркурия должны
существовать два диаметрально противоположных «горячих полюса», поочередно
обращающихся к Солнцу в моменты нахождения планеты в перигелии орбиты.
Температура в среднем для диска по радиометрическим измерениям составляет
690 К в подсолнечной точке и 500 К для фазового угла 120р [21]. По
радиоастрономическим измерениям температура неосвещенного Солнцем полушария планеты равна
примерно 150 К [28], т. е. поддерживается достаточно высокой, возможно, благодаря
атмосферной циркуляции [29]. В зависимости от расстояния до Солнца температура
планеты меняется примеоно на 20% [30]. Длинноволновое излучение Меркурия должно
исходить из подповерхностных слоев. Поэтому его яркостная температура тем меньше
зависит от фазы, чем больше длина волны, на которой производятся измерения. При
длине волны 10 см лркостпая температура уже не зависит от освещенности Солнцем и
примерно равна 300 К [28].
Атмосфера содержит С02 в пределах от 0,3 до 7 г/см2 [29], относительная
концентрация СОг может составлять от 10 до 100% [23]. Оценочные значения максимально
возможной концентрации некоторых других газов приведены в работе [29]. Там же
рассчитана модель атмосферы при условии содержания 10% С02 и 90% N2. Плотность
атмосферы на 2—3 порядка ниже, чем у атмосферы Земли.
29


1.3.4. Венера
w
ш
ъ20в
1
g 0
*-лг
: 1
гъ\
.—, . , , . г ,, ...
' и
' 1
о/ ]
г
\—i 1 . ■ 1
инфракрасная к мм 8 мм
класть
Зсм
Юсм 20см Радио -
волны
Рис. 1.9. Спектр радиоизлучения Венеры
Венера по размерам и массе незначительно уступает Земле, лишена спутников,
периодически подходит к Земле на расстояние 39 млн. км, т. е. находится ближе к
Земле, чем любая другая планета. Из окрестности Земли Венера наблюдается как
самое яркое светило после Солнца и Луны. Угловое удаление Венеры от Солнца
относительно Земли не превышает 48°. Орбита Венеры по сравнению с орбитами других
планет наиболее близка к круговой.
Видимая поверхность имеет белую окраску, отражает 60% солнечного света,
исключительно однородна и лишена каких-либо устойчивых образований. Все
наблюдаемые на диске детали обычно туманны и изменчивы. Уверенно наблюдается только
общее потемнение от светлого лимба к терминатору.
В желтых лучах наблюдается слабо выраженная система лучей, радиально рас
ходящихся от подсолнечной точки [23]. Фотографирование в инфракрасных лучах не
выявило никаких деталей, но на снимках в
ультрафиолетовых лучах заметны темные
полосы и пятна, очертания которых
изменяются изо дня в день. Их яркость
примерно на 20% ниже яркости окружающего
фона [66, 70]. Среди этих пятен некотопые
наблюдатели отмечают сравнительно
устойчивое образование, напоминающее букву
Y, положенную на бок: -< . В конце
1964 г. на диске Венеры было замечено
большое темное пятно площадью около
20 млн. км2, имевшее красноватый цвет.
На Астрономической обсерватории
Харьковского государственного университета
была получена серия спектрограмм этого
пятна. Предполагают, что пятно могло
явиться разрывом верхнего облачного слоя
Венеры или облаком каких-то частиц [38].
Видимая поверхность обладает заметным свойством зеркального отражения.
Период осевого вращения Рос, определенный из радиолокационных наблюдений,
относится к твердой поверхности планеты и равен 243 сут. при обратном направлении
вращения. В пределах точности определения этой величины находится значение Рос=
=243,16 сут, при котором Венера должна быть обращена к Земле одной и той же
стороной в каждом нижнем соединении. Можно предположить, что осевое вращение
Венеры синхронизировано в результате воздействия приливных сил со стороны Земли.
Продолжительность средних солнечных суток на Венере составляет 116,8 земных
сут. [53].
По снимкам в ультрафиолетовых лучах установлено, что Рос—4,0—4,7 сут. [59, 60,
74]. Направление вращения обратное. Этот период можно объяснить предположением о
существовании постоянного ветра скоростью 100 м/с [72], господствующего на уровне
облаков Венеры.
Данные визуальных и спектроскопических наблюдений крайне противоречивы
[39, 51, 57, 71]. Однако в 1968 г. были спектрографически измерены лучевые скорости
различных участков диска Венеры. В предположении, что ось вращения планеты
перпендикулярна плоскости ее орбиты, получена средняя экваториальная скорость
движения атмосферного слоя 103±10 м/с, чему соответствует период вращения, равный
4,3±0,4 сут (при обратном направлении вращения) [64].
Температура. По радиометрическим наблюдениям в инфракрасной области спектра
в диапазоне волн 8—13 мкм средние для диска значения эффективной температуры,
относящейся к облачному слою, составляют 225—240 К [68]. При этом температура
дневного и ночного полушарий практически совпадает; наблюдается потемнение к краю диска,
следующее закону У cos z, где z — планетоцентрическое угловое расстояние от центра
диска. Потемнение к краю означает, что температура в атмосфере с уменьшением
высоты возрастает.
Усредненная по диску яркостная температура Венеры в диапазоне длин волн от
2 до 20 см практически не изменяется и равна примерно 600 К, а на участке от 0,1 мм
до 2 см медленно возрастает (рис. 1.9). Отмечается зависимость температуры от фазы
планеты. Температура минимальна вблизи нижнего соединения и максимальна вблизи
верхнего. Было доказано, что радиоизлучение отсутствует уже на расстоянии 1,07
радиуса от центра диска я поэтому не может быть вызвано радиационными поясами
Венеры [45].
Атмосфера была открыта М. В. Ломоносовым во время прохождения Венеры по
диску Солнца в 1761 г. [47]. Он наблюдал «тонкое как волос сияние», окружающее
часть диска планеты перед ее вступлением на солнечный диск, и возникновение
выступа на краю Солнца. Ломоносов правильно объяснил это явление, как результат
преломления солнечных лучей в плотной атмосфере Венеры.
30


Величина ее горизонтальной рефракции, по наземным наблюдениям «явления
Ломоносова», колеблется от 15" до 20", что должно соответствовать весьма разреженной
атмосфере; эта величина иногда аномально возрастает. В то же время сумеречные
явления очень интенсивны, что, наоборот, свидетельствует о наличии плотной атмосферы.
Для согласования этих данных В. В. Шаронов выдвинул гипотезу, согласно которой
атмосфера Венеры разделена на верхнюю и нижнюю части сплошным тонким слоем
«серебристых», или «перистых» облаков. Явление рефракции происходит в высоком и
сравнительно разреженном слое газа, лежащем над этими облаками, а сумеречные
явления создаются в основном за счет плотных слоев, расположенных под облаками.
Разрывы в облачном слое или изменения его высоты вызывают увеличение горизонтальной
рефракции. Поверхность планеты, вероятно, окутана вторым, более низким и плотным
слоем облаков.
Исследования спектра поглощения Венеры показали, что в оптически
просматриваемом слое ее атмосферы содержатся следующие соединения:
С02 1 км* [65]
Н20 19—98 мкм [63, 77]
СО 4 см [73]
Было установлено, что во всей атмосфере содержится:
С02 2—3,2 км [67, 75]
Н20 <22,2.10-3 г/см2 [54]
Кроме того, были обнаружены линии поглощения 02 [67], 01302, 012018016 [101].
С12026, С13026 [48, 50]. Отношения содержания изотопов С13/С12, 018/016 и молекул
С12026/С13026 для атмосфер Венеры и Земли практически одинаковы [48, 50, 67].
Записи спектра Венеры в области 1,7—3,4 мкм, полученные со стратостата,
свидетельствовали о том, что облака Венеры состоят, вероятно, из кристалликов льда [58].
Модели атмосферы предназначены для объяснения сравнительно сильного
радиоизлучения в области длин волн 2—20 см. Если его трактовать как тепловую радиацию
планеты, то температура Венеры должна на 250—350 К превышать значение равновесной
температуры (327 К) [54> При помощи моделей атмосферы стремятся также объяснить
постоянство болометрической, а отчасти радиоастрономической температуры для
дневного и ночного полушарий и потемнение к краю диска в болометрическом диапазоне
длин волн. Известны модели:
1. Парниковая модель [43] считается наиболее вероятной. Сущность парникового
эффекта заключается в том, что видимое излучение Солнца с незначительным
ослаблением проходит через атмосферу, нагревая поверхность планеты, но излучение от
поверхности почти полностью поглощается нижними слоями атмосферы. Азот и кислород
одинаково прозрачны для видимых и для инфракрасных лучей, но водяной пар в
далекой инфракрасной части спектра дает глубокие полосы поглощения. Поэтому для
достижения парникового эффекта требуется или большое количество воды, или высокое
давление у поверхности планеты (от 0,5 до 5,0 МПа).
2. Циркулярная модель предложена Гуди и Робинсоном [96]. Согласно этой
модели солнечное излучение поглощается в верхних слоях атмосферы на дневной стороне
планеты и переносится вместе с газом на ее неосвещенную сторону.
3. Эолосферная модель (фрикционный разогрев) предложена Э. Эпиком.
Предполагается, что в средних слоях атмосферы солнечная энергия частично преобразуется в
кинетическую энергию движения воздушных масс. В нижнем подоблачном (эолосфер-
ном) слое атмосферы толщиной примерно 25 км господствуют сильные ветры, которые
перемещают большие массы минеральной пыли светлой окраски. За счет трения между
частицами пыли кинетическая энергия ветров вновь превращается в тепло. В эолосфер-
ном слое градиент температуры близок к 10р/км, размеры частиц 5—10 мкм при
концентрации около 200 частиц/см3. В этих условиях радиоизлучение поверхности планеты в
области сантиметровых волн должно рассеиваться незначительно, а излучение в
инфракрасной области спектра полностью поглощаться.
Эолосферная модель, так же как и теория вуланического разогрева планеты, во
многом противоречит экспериментальным данным [22, 43, 66].
4. Ионосферная модель предложена в 1961 г. [41, 79]. Излучение на
сантиметровых волнах объяснялось не высокой температурой поверхности планеты, а наличием в
верхних слоях ее атмосферы ионизированного газа с электронной концентрацией,
примерно в 1000 раз превышающей концентрацию в земной ионосфере. Измерения,
выполненные АМС «Венера-4» (см. ниже), ионосферную модель атмосферы не
подтвердили.
Исследования радиоизлучения и радиолокация. В 1964 г. было обнаружено, что
излучение Венеры 'на волне 10,6 см поляризовано на краях видимого диска [46].
* Здесь и ниже содержание газа выражено через толщину однородного слоя при
нормальных условиях (давление 760 мм рт. ст., температура 0°С), а содержание
водяного пара — через толщину слоя «осажденной» влаги или в граммах над единицей
площади поверхности.
31


Отсюда был сделан вывод о том, что излучение имеет тепловую природу и его
источником является среда, имеющая резкую границу раздела, т. е. поверхность планеты.
Истинная температура Венеры в противосолнечной точке, т. е. в местную полночь,
оказалась равной 630±70К, а в околополярных областях 500±100К. Различие
температур на освещенной и на неосвещенной Солнцем полушариях планеты не превышает
10%. На поверхности Венеры по данным радиолокации обнаружены области,
обладающие повышенной отражательной способностью [53].
Разность высот на поверхности планеты, по-видимому, не превышает 5 км. Для
1/3 поверхности Венеры составлена карта ее рельефа. Оказалось, что большая часть
северного полушария планеты гористая, а южное полушарие сравнительно ровное.
Диэлектрическая постоянная поверхностного слоя Венеры е=3-ь4 [46, 62]. Это означает,
что на ней не должно быть больших открытых водоемов (для воды е=80) и поверхность
сложена из сухих пород с плотностью р=1,5—2 г/см3 (песок, гранит, лимонит и т. п.).
Средние квадратичные отклонения углов наклона на местности от касательной к
шаровой поверхности составляют около 6°, т. е. поверхность Венеры более гладкая, чем
Луны.
Исследования Венеры, с помощью космических аппаратов были начаты в 1961 г.,
когда советская межпланетная станция «Венера-1», запущенная 12 февраля, прошла
на расстоянии 100000 км от планеты. Американская космическая станция «Маринер-2»,
снабженная радиотелескопом, в конце 1962 г. пролетела вблизи Венеры и передала на
Землю записи измерений на длине волн 13,5 и 19 мм, выполненные по светлой и темной
частям диска, а также вдоль терминатора. Соответствующие максимальные значения
радиояркостной температуры: 400; 460 и 570 К. Оказалось, что радиояркость к краям
диска снижается, а истинная температура поверхности должна составлять примерно
700 К. 1 марта 1966 г. станция «Венера-3», стартовавшая 16 ноября 1965 г., впервые
достигла планеты, доставив на ее поверхность вымпел с изображением Герба
Советского Союза.
В 1967 г. с помощью магнитометра и четырех ловушек заряженных частиц,
установленных на борту «Венеры-4», впервые было зарегистрировано резкое возрастание
магнитного поля и потоков положительных ионов. По-видимому, это произошло в
результате прохождения станции через фронт ударной волны, которая возникает при
обтекании солнечной плазмой тела планеты. Концентрация положительных ионов на
высоте нескольких со ген километров над поверхностью Венеры не превышала 103 см-3,
что на несколько порядков меньше, чем в ночной ионосфере Земли на тех же
высотах [40, 52].
Было установлено, что максимальный дипольный магнитный момент Венеры не
превышает 0,003 (по данным станции «Маринер-2» не превышает 0,03) дипольного
магнитного момента Земли [42, 76]. Спускаемый аппарат станции «Венера-4» 18 октября
1967 г. вошел в атмосферу Венеры и после аэродинамического торможения и
торможения с помощью парашютной системы впервые произвел непосредственное измерение
параметров атмосферы Венеры и передал эти данные на Землю.
В результате обработки полученных данных был определен следующий состав
атмосферы: 90±10% С02; 0,4—1,5% 02; менее 7%N2; 0,1-Д7% Н20 (1—8 г/м3).
Давление и температура у поверхности Венеры оказались не ниже 1,8МПа и 270° С
соответственно. Эти данные подтвердили парниковую модель атмосферы. В верхней атмосфере
Венеры нейтрального водорода содержится в 100' раз меньше, чем вблизи Земли,
плотность заряженных частиц мала, атомарный кислород отсутствует. В условиях большого
содержания С02, находящегося под большим давлением, наблюдается явление «аверх-
рефращии», коцда кривизна лучей света превышает кривизну самой планеты.
Полученные данные о газовом составе атмосферы Венеры противоречат
результатам спектроскопических наблюдений, которые, хотя и не дают представления о
точном абсолютном содержании газов, все же позволяют с достаточной точностью,
найти относительное их содержание. Отношения 02/С02 и Н20/С02 в атмосфере Венеры
по спектроскопическим наблюдениям намного меньше, чем по данным станции
«Венера-4» [49].
С помощью спускаемого аппарата станции «Венера-4» был также осуществлен
эксперимент по радиопросвечиванию атмосферы Венеры радиоволнами диапазона
Х=0,3 м [44]. На расстояниях 6000—100 км от поверхности Венеры изменений
напряженности поля, обусловленных ее ионосферой, не наблюдалось. При движении спускаемого
аппарата в тропосфере планеты средняя напряженность поля незначительно
уменьшалась. Ослабление радиоволн, прошедших через тропосферу Венеры (относительно
высоты последнего измерения), составляло 8±5% по напряжению.
О точности определения баллистических параметров можно судить хотя бы по
тому, что диаметр трубки траекторий у Венеры при полете станции «Венера-4»,
рассчитанный с учетом ошибок траекторных измерений, прогноза и коррекции, был примерно в
20 раз меньше диаметра планеты [52].
19 октября 1967 г. космический аппарат «Маринер-5» достиг минимального
расстояния до центра Венеры, равного 10150 км. Примерно за 155 мин до сближения и
спустя 20 мин после него аппарат прошел фронт ударной волны [61]. Измерения,
проведенные с помощью УФ-фотометра с борта аппарата [56], показали, что в атмосфере
Венеры содержится атомарный водород примерно в том же количестве, что и в
атмосфере Земли, но протяженность водородной атмосферы меньше. Отсюда следует, что
32


на высоте нескольких ест километров температура атмосферы у Венеры ниже, чем у
Земли. На ночной стороне планеты отмечено слабое УФ-свечение. Эмиссия атомарного
кислорода отсутствует.
В результате наблюдения радиозатмения аппарата «Маринер-5» на частотах 49,8
и 423,3 МГц были получены «ночной» и «дневной» профили электронной
концентрации [78]. Их главные максимумы приходятся на расстояние 6200 км и равны
соответственно 104 см—3 и ~5105 см~3. Подтвердились данные о том, что атмосфера Венеры
обладает свойством сверхпреломления: радиосигналы на критическом уровне огибают
всю планету. Для максимального дипольного магнитного момента Венеры найдено, что*
он не превышает 0,01 земного [55].
Советские межпланетные станции «Венера-5» и «Венера-6», стартовавшие 5 и
10 января 1969 г., достигли Венеры соответственно 16 и 17 мая 1969 г. Фронт изменения*
потоков плазмы был пройден на расстоянии около 30000 км от центра планеты. По,сле
сокращения этого расстояния до 10000 км плотность водородной короны оказалась
равной 100 атомам в кубическом сантиметре. Отделившиеся спускаемые аппараты станций,
имеющие массу по 405 кг каждая, вошли в атмосферу Венеры с ночной ее стороны на
удалении примерно 2700 км от линии терминатора и впервые в мире провели
совместный эксперимент по глубокому зондированию ее атмосферы. Забор проб атмосферного
газа для анализа на каждом спускаемом аппарате проводился дважды (табл. 1.9).
Таблица 1.9
Забор
пробы
1
2
„Венера-5й
Давление, МПа
-0,06
-0,5
Температура, °С
-25
-150
„Венера-6 й
Давление, МПа
-0,1
-1,0
Температура, °С
-60
-225
Был определен следующий состав атмосферы: 93—97% СОг, 2—5°/о N2 (вместе с
инертными газами), менее 0,4% Ог. Содержание паров воды на уровне высот,
соответствующих давлению 0,06 МПа (0,6 атм). составляет 4—11 г/м3. Для каждого
спускаемого аппарата было получено свыше 70 измерений давления в интервале от 0,05 до
2,7 МПа (от 0,5 до 27 атм) и свыше 50 измерений температуры в интервале от 25 до
320° С. Измерения давления, температуры и плотности производились на участке
протяженностью около 40 км с точностью до нескольких процентов. Зависимость
температуры от высоты мало отличается от адиабатической. Высоты, соответствующие
одинаковым значениям давления и температуры, по измерениям двух спускаемых аппаратов
различаются на 12—16 км, что можно объяснить наличием в рельефе планеты
значительных неровностей. Энергетическая освещенность атмосферы оказалась не выше
порогового значения 0,5 Вт/м2. Исключение представляет зарегистрированная спускаемым
аппаратом станции «Венера-5» за 4 мин. до прекращения радиосвязи освещенность,
равная 25 Вт/м2.
На основании данных, полученных с помощью космических аппаратов, можно
считать, что давление на поверхности Венеры достигает примерно 10 МПа (100 атм),
а температура oXXFC.
1.3.5. Земля и околоземное пространство
Гравитационное поле и фигура Земли
Гравитационным полем Земли называется поле сил тяжести, характеризуемое
потенциалом сил тяжести W и ускорением g.
Потенциал сил тяжести
где U—потенциал сил притяжения;
V — потенциал центробежных сил.
Центробежная сила возникает в результате вращения системы координат, жестко
связанной с планетой.
Потенциал центробежной силы
К = — 0)|r2c0s2cp,
2 3669
33


где соз —угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси, равная 7,29211* 10—5 с—1;
г — расстояние от центра масс Земли до точки пространства, в которой
рассчитывается потенциал;
Ф — широта этой точки.
Потенциал сил притяжения для сферической модели Земли, когда плотность
является функцией только расстояния от центра,
и = -^.
Г
где \л =/М = аоо = 3,98602-105 км3/с2;
/ — гравитационная
постоянная;
М — масса Земли.
Ускорение силы притяжения
в этом случае направлено к
центру Земли, и его величина
Следующим приближением к
действительной форме Земли
является эллипсоид вращения,
называемый земным эллипсоидом.
Для характеристики
размеров и формы земного эллипсоида
используются (см. рис. 1.10)
большая полуось а, малая
полуось Ь, сжатие а и эксцентриситет
в, причем
а —b
а = ;
Рис. 1. 10. Основные характеристики земного
эллипсоида
V<&~ №
■= |/2а — а2.
Расстояние от центра земного эллипсоида до его поверхности
У l-*2sin2?r ""у
(2 — а) (2 — 2а + а2) sin2 <pr
-£2Sin2<pr у 1 — а (2 —а) sin2<pr
где фг — геодезическая широта, связанная с геоцентрической широтой ф формулой
Ч 9 = (1 - *2) tg Тг = (1 - a)2 tg <рР.
С ошибкой не более 80 м радиус гэ и высота h над эллипсоидом имеют значения
гэ = а(1—asin2<p); h = r — а(1—asin2cp).
Общий земной эллипсоид наиболее правильно представляет всю поверхность
Земли.
Референц-эллипсоид — эллипсоид, наилучшим образом представляющий тот или
иной район поверхности Земли.
В СССР в качестве референт-эллипсоида принят эллипсоид Ф. Н. Красовского.
Размеры общего земного эллипсоида и взаимная ориентация референц-эллипсои-
дов постоянно уточняются.
Характеристики некоторых референц-эллипсоидов приведены в табл. 1.10.
Таблица 1.10
Государство
СССР
Италия, Египет,
Финляндия
Египет
США, Канада
Норвегия, Югославия,
Польша
Референц-эллип -
соид
Красовского*
Хайфорда
Гельмерта
Кларка 1
Бесселя
Большая полуось
а в м
6378245
6378388
6378200
6378206
6377397
Сжатие
a
1:298,3
1:297,0
1 :298,3
1:295,0
1:299,15
П. С. Закатов. Курс высшей геодезии. М., Геодезиздат, 1953.
34


В качестве следующего приближения к действительной форме Земли после
двухосного эллипсоида иногда рассматривается трехосный эллипсоид. Однако определяется
он неуверенно, поскольку трехосность имеет одинаковый порядок с другими
аномалиями формы Земли.
Разность полуосей экваториального эллипса порядка 200 м, а большая полуось
этого эллипса проходит в районе 38° в. д.-ь25° з. д.
Практического применения трехосный эллипсоид не получил вследствие
значительного усложнения всех формул.
Потенциал уровенного эллипсоида вращения с точностью до величин порядка
квадрата сжатия включительно
и==а91+а^ p2o(sin9)+^Lp4oCsintf)> (1Л)
г г3 г*
где #оо, а20> #40— некоторые константы;
Я2о( sin ?) и ^40 ( s^n f) — многочлены Лежандра, определяемые по формулам
Р20 ( sin <р) = — sin2 T — — ;
35 15 о 3
Р40 ( sin <р) = — sin4 T — — sm2 ср + —.
Для определения констант могут быть использованы выражения
/ 3 15 \
а00 = /М = т^2 ( 1 — « + — m — -J^- та -f ... I;
(2 1 10 \
^20 =— Т^4 ( "у а—а2— — m -f — та + ... 1;
8/75 \ <4а
«40 = ^Т^^Та2-Тта + ...). т = —,
где «3—угловая скорость вращения Земли;
Ye — ускорение силы тяжести на экваторе;
а — большая полуось общего земного эллипсоида.
Численные значения констант по данным [97]:
аоо = 3,986105 км3/с2; а20=—1,75б1010 км5/с2; а40= 1,548-1015 км7/с2.
Выражение (1.1) называют нормальным потенциалом Земли. Так как член с
коэффициентом Я4о на три порядка меньше члена с аго, то при некоторых расчетах
движения космических объектов в качестве нормального потенциала принимают выражение
U= + —P2o(sin<f). (1.2)
г гг
Радиальная gr и меридиональная gm составляющие ускорения силы притяжения
(положительное направление отсчета gr — к центру Земли, gm — на юг в
горизонтальной плоскости) определяются по формулам
^г = —+ 3— P2o(sincp); gm =— — P2i(sincp),
где P2i(sin <p) = 3 sin <р cos <p.
При точном расчете параметров орбит спутников представление Земли в виде
эллипсоида уже недостаточно. В таких случаях в качестве следующего приближения к
действительной поверхности Земли принимают геоид — гипотетическую уровенную
поверхность потенциала силы тяжести, совпадающую с уровнем спокойного океана *.
Потенциал притяжения геоида может быть представлен в виде разложения по
сферическим функциям
оо П
U=*-j- + 7} Т^+1 71 ^nm cosmL + bnm sin ml) Pnm ( sin y), (1.3)
/z—2 m—0
где аПт, bnm —коэффициенты, определяемые из гравиметрических данных, а также
по наблюдениям за движением ИСЗ;
L — долгота;
Pnm (sin ф) —присоединенные функции Лежандра степени п и порядка т.
П. Е. Зльясберг. Введение в теорию полета ИСЗ. М., «Наука», 1965.
2* 35


При m=0 выражение Pno(sin ф) — многочлен Лежандра степени п.
Сферической функцией степени п называется тригонометрический многочлен вида
S (<р, L) = ап0Рп0 ( sin <р) + 2 (апт cos ml 4- bnm sin ml) Pnm (sin <p).
Здесь Pno(sin<p) — зональные сферические функции, или зональные гармоники;
cos mL Рпт (этф); sin ml Pnm (sin ф) —тессеральные сферические функции, или
тессеральные гармоники;
cos nL Рпп (эшф); sin azZ, Рпп (sin ф) — секториальные сферические функции, или
секториальные гармоники.
Схемы изменения знаков на сфере, даваемые этими гармониками YUIH,
приведены на рис. 1.11.
"Зональные гармоники
П.!
Or, Лу. ф^
" ~Д^" ~" ~ ** ~~ ""Тессеральные гармоники _^щ^
У-
(1.5)
Рис. 1. 11. Схемы изменения знаков на сфере, даваемые зональными, тессераль-
ными и секториальными гармониками
Значения сферических функций до 8-го порядка даны в работе Жонголовича [87].
, При расчетах на электронных вычислительных машинах эти функции удобно
определять с использованием рекуррентных зависимостей:
(2п — 1) sin у Рп-и т~(п + т+1)Р„_2,т ^ )
Рпт= , если пк^Пу
п — т (к4)
РЛ1Я = (2л—1)Рл-1, „-icosy, если я=-да. J
Для кратных тригонометрических функций
sin mL — sin L cos (m — 1) L -f- cos L sin (m— 1) L;
cos mL — cos L cos (m — 1) L — sin L sin (m—1) L.
Червые три зависимости, необходимые для начала расчета по формуле (1.4),
имеют вид
Лю=1; P]0-=sin<f: Pn = cosy. (1.6)
В формулах (1.4) и (1.6) для краткости опущен аргумент (вШф).
Аномальной частью гравитационного поля называется разность между величиной,
даваемой выражением (1.3), и величиной, получаемой из формул (1.1) или (1.2).
Коэффициенты аномального поля регулярно уточняются пс мере получения новых
гравиметрических данных и обработки результатов наблюдений за ИСЗ. Однако
современное распределение измерений силы тяжести по поверхности Земли и данных
наблюдений за движением ИСЗ недостаточно, чтобы дать полную характеристику
аномального гравитационного поля Земли, поэтому величины коэффициентов разложения
в среднем лишь несколько больше, чем их погрешности. В связи с этим коэффициенты
д2о и Я4о в выражениях (1.1) и (1.2) нормального потенциала иногда не изменяют после
уточнения поля, а разность относят к аномальной части потенциала.
36


Потенциал аномалий земного притяжения можно представить в виде
*пт cos ml Л- 3/zm sin mZ.)P/?m(sincp),
"-»23(7-Г5;<*
л-2
(1.7)
m = 0
где апт, рлт — коэффициенты разложения;
go— среднее значение ускорения силы тяжести;
R — средний радиус Земли.
Проекции ускорений на радиус-вектор г, нормаль к нему в плоскости меридиана
по широте ф и нормаль к плоскости меридиана по долготе L определяются по
формулам
&gr = ^Г \. (п +1) ( — J \, (а"т cos mL + $пт sin mL) Pflm ( sin T);
/z-2 m = 0
/z=2 m = 0
[msin<p
P/z;m+l (Sincp)— Pnm ( sin <p)
"' r"^x COS у
, cos mL+ $nm sin m£) X
bgf
go
Rcos <p
/z-2 m-0
sin mZ. 4- fW cos m/-) mPnm (sin <f).
Потенциал притяжения Земли в различных работах записывают по-разному, в
зависимости от принягой системы констант. Различная запись потенциала не приводит к
существенным трудностям, поскольку элементарными преобразованиями одно
выражение может быть сведено к другому, а коэффициенты разложения при этом требуют
простого пересчета. Часто в советской литературе встречается запись потенциала
притяжения в виде
U =
1 +
(1.8)
tf3i = —0,00000096;
с32 = 0,00000036;
^з2 = -ч0,00О0О050;
с33 = 0,00000042;
^зз = 0,000О0О34;
с А0=0,00000358;
с41 = —0,00000067;
' ^j("7") 7 i ^Cnm CQS mL + dnm sin mL) Pnm (sin y)
/z-2 m = 0
По данным работы [90]:
fl?4i=— 0,00000040;
c42=0,00000001;
^42=0,00000008;
c43=0,00000005;
^4з=—0,00000001;
r44=0,00000001;
6/44=0,00000002;
ct0=0,00000068.
Отсутствующие коэффициенты принимаются равными нулю
Аномалии ускорения силы притяжения на поверхности Земли достигают 250 мич-
лигал (1 гал=1 см/с2).
По аналогии с гравитационным потенциалом фигура Земли — геоид — может быть
представлена рядом сферических функций. Поверхность геоида характеризуется
высотой Ah над общим земным эллипсоидом
х> п
А/* = 2 2 ^апт cos mL + ?пт sin mL) Pnm ( sin <р).
л-2 m-0
Среднее квадратическое отклонение высот геоида составляет около 30 м, а
отдельные отклонения геоида от общего земного эллипсоида достигают 160 м. Схема
аномалий высот приведена на рис. 1.12 [87].
Го=0,63635530 • 104 км;
с20=—0,00109808;
с21 = 0,00000015;
4м = 0,00000061;
С22 = 0,00000574;
d22=—0,00000158;
с30=0,00000442;
сз1 =0,00000199;
Атмосфера и ее свойства
Вертикальная протяженность атмосферы составляет ~20 000 км. Резкой верхней
границы ее не существует. Атмосфера постепенно переходит в межпланетную среду.
В зависимости от распределения температуры атмосферу принято делить на 5
слоев:
37


тропосфера . . . •. . . от 0 до Пч-16 км
стратосфера от 11-*-16 до 50 км
мезосфера от 50 до 80 км
термосфера от 80 до 600-f-800 км
экзосфера выше 600-^800 км
По составу воздуха атмосфера делится на гомосферу (0—95 км), в которой
относительный состав основных газов (N2, 02 и Аг) и молекулярный вес воздуха
практически не изменяются с высотой (ц=ц0 = 28,966), и гетеросферу, где происходит
уменьшение молекулярного веса (рис. 1.13) и наряду с молекулярным азотом и кислородом
появляются атомарные азот и кислород. По этому же признаку в атмосфере выделяют
озоносферу (201—55 км).
ч^
Г7
[
!
|
г
гк
И 25 IB П 28 р,*/*м
Рис. 1. 13. Зависимость молекулярного веса ц от высоты к.
В табл. 1.11 приведен состав сухого воздуха вблизи поверхности Земли.
Таблица 1.11
Состав сухого воздуха вблизи поверхности Земли
Азот
Кислород
Аргон
Углекислый газ
Неон
Гелий
Криптон
Водород
Ксенон
Озон
Сумма составляющих
сухого воздуха
i
Содержание, % по |
объему
78,084±0,004
20,946±0,002
0,934±0,001
0,030±0,003
(1,821 ±0,004). Ю-з
(5,239±0,005).10-4
(1,14±0,01)-10-4
5-10-5
(8,7±0,1).10-б
1.Ю-6—1-10-5
100
Молекулярный
вес, г/моль
28,016
32,000
39,944
44,010
20,183
4,003
83,800
2,016
131,300
48,000
28,956
Плотность
по отношению
к воздуху
0,967
1,105
1,379
1,529
0,695
0,138
2,868
0,070
4,524
1,624
1,000
Изменение процентного содержания основных составляющих атмосферы в
зависимости от высоты приведено на рис. 1.14.
Область атмосферы выше 60 км, где становится заметной концентрация
ионизированных атомов и молекул, называют ионосферой. Она включает в себя несколько
слоев (слой D на высоте 60 км, слой Е на высоте 110—140' км, слой F — выше 220 км).
Средняя зависимость электронной концентрации от высоты и основные
компоненты ионосферных областей представлены на рис. 1.15.
39


Температура. В тропосфере с увеличением высоты температура падает.
Вертикальный градиент ~ 0,0065 К/м с возможными отклонениями до 0,003 К/м в ту или другую
сторону. В стратосфере падение температуры в среднем замедляется, переходя в изо-
термию вплоть до высоты 20—25 км. Выше температура возрастает, достигая
максимума около 273±20К на высоте 45—55 км (рис. 1.16).
В мезосфере температура падает и в области мезопаузы (80—90 км) достигает
минимума летом около 183—193 К (—90е, —80°С), зимой в умеренных и высоких
широтах — 233—223 К (—40, —50* С). В этом
Z50
200\
1
IV
1-^"
У
V,
\
S
\°г
0,
щ
150
100
$0
0 10 10 30 4/7 50 ВО 70 80 90 100
Состав, %
Рис. 1.14. Изменение процентного
содержания основных составляющих
атмосферы (молекулярного. Ог, атомарного О
кислорода и азота N2) с высотой при
условиях диффузионного равновесия выше
130 км
слое происходит изменение фаз годовых
колебаний температуры на
противоположную: максимум температуры наблюдается
зимой (рис. 1. 17).
В термосфере и экзосфере температура
монотонно возрастает.
Ветер. Преобладающее направление ветра
в тропосфере — западное, хотя в приземном
слое (до 1 —1,5 км) вследствие влияния сил
трения и различия притоков лучистой
энергии Солнца в разных районах земного шара
оно может быть различным.
В верхней тропосфере и нижней
стратосфере часто наблюдаются струйные
течения — сравнительно узкие и большой
протяженности зоны сильных ветров (скорость
более 100 км/ч). Иногда скорость ветра
достигает 700 км/ч. Основные струйные
течения наблюдаются на широтах 25°—30° и
60°—70°. Летом центры струй
располагаются примерно на 10° ближе к полюсам, чем
зимой. Сохраняя западное направление,
.скорость ветра убывает до высоты 22—27 км.
Выше этого уровня она вновь возрастает с
высотой (рис. 1.18).
Прозрачность атмосферы. Прозрачность
всей атмосферы в вертикальном направлении достигает максимальных значении в
зимнее время, минимальных — летом, в послеполуденные часы. Годовой ход
коэффициента ослабления а для всей атмосферы представлен в табл. 1.12.
1000
500
I
100
50
г ..„ m\e~N+0
Ot(^t) 0&4I+0
^H^NOtN
'О* Or 0^0
w' 104 кг5
W
дштронна* концентрация, сп
-3
Рис. 1. 15. Средняя зависимость электронной
концентрации от высоты h и основные компоненты ионосферных
областей. Вертикальные стрелки и надписи к ним
показывают, под воздействием какого излучения возникают
те или иные электроны
40


h,KM
Широта
SO* 80° SO9 JO'
Широта
fO° 30* 50'80° 80"
-*L_*—-,. у s.—
170 190 210 230 250 270 290 310
200 220 240 710 200 300 К
Рис. 1. 16. Распределение температуры воздуха Т по высоте h летом и зимой
на различных широтах
Ь,км
90 60 40 20 О"
Широта
Рис. 1. 17. Амплитуда
годового хода температуры
воздуха (разность между
летней и зимней
температурами)
100 80 SO 40 10 0 20 40 SO 80 100
За о 8 ост.
Рис. 1. 18. Средние значения зональной
составляющей скорости ветра над
Северной Америкой (скорость ветра — по
оси абсцисс — в узлах*; 1 узел = 0,516 м/с)
/-зима 1959-1960 г.; 2-1-31/Ш; 3-1-15/IV;
4—16—30/IV; 5— 1-10/V; 6—11—31 /V 1960
4


Таблица 1.12
Месяц
а
I
0,190
II
0,264
III
0,262
IV
0,267
V
0,270
VI
0,295
VII
0,282
VIII
0,260
IX
0,250
X
0,185
XI
0,134
XII
—
Давление и плотность воздуха. Плотность р и давление р уменьшаются с высотой
по экспоненциальному закону, причем их вертикальный градиент с высотой в основном
уменьшается. Начиная с высоты 180 км наблюдается значительный суточный ход.
С увеличением высоты амплитуда колебания возрастает: на высоте 600—800 км
дневные значения р примерно на порядок выше ночных (рис. 1.19), причем колебания в
минимум солнечной активности больше, чем в максимум. Существует предположение, что
выше 800 км амплитуда колебаний вновь уменьшается. Плотность достигает
максимума около 14 ч местного времени (рис. 1.20).
Наблюдаются значительные флуктуации плотности верхней атмосферы,
связанные с активностью Солнца (табл. 1.13).
Параметры стандартной атмосферы от 0 до 300 км представлены в табл. 1.14.
Таблица 1.13
Ночные и дневные значения плотности в кг/м3 для минимума
и максимума солнечной активности
Высота h
км
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
620
640
660
680
700
720
740
760
780
800
Минимум солнечной активности
4 ч
(ночь)
2,49-10-8
4,2-10-9
1,19
4,19-10-Ю
1,69
7,57- 10-и
3,66
1,88
1,02
5,72-10-12
3,30
1,95
1.17
7,17-10-13
4,43
2,78
1,76
1,13
7,35-10-н
4,87
3,29
2,28
1,62
1,19
8,98-10-15
6,98
5,60
4,60
3,85
3,28
2,84
2,48
2,19
1,94
1,74-10-15
14 ч
(день)
2,49-10-8
4,08-10-9
1,19
4,69-10-ю
2,20
1,15
6,46-10-п
3,83
2,37
1,51
9,89-10-12
6,61
4,49
3,10
2,16
1,53
1,09
7,77-10-13
5,60
4,06
2,96
2,17
1,61
1,19
8.9Ы0-14
6,71
5,09
3,90
3,01
2,35
1,86
1,48
1,20
9,86-10-15
8,19
Максимум солнечной активности
4 ч
(ночь)
2,49-10-8
3,84-10-9
1,41
6,81-10-Ю
3,76
2,25
1,42
1,09
6,28-Ю-п
4,35
3,03
2,20
1,60
1,18
8,80-10-12
6,62
5,03
3,84
2,91
2,30
1,79
1,40
1,10
8,70-10-13
6,90
1 5,49
4,38
3,51
2,82
2,28
1.84
1,49
1,21
9,91-10-Н
1 8,12
14 ч
(день)
2,49-10-8
3,71-10-9
1,37
6,82-10-Ю
3,98
2,55
1,73
1,22
8,89-Ю-п
6,63
5,03
3,87
3,02
2,38
Т.89
1,51
1,22
9,91 Ю-12
8,10
6,65
5,50
4,56
3,80
3,18
2,67
2,25
! 1,90
1,61
1,37
1,17
9,98-10-13
8,35
7,34
6,31
1 5,44
42


ц,г/см'
WO Ш 300 Ш 500 600 700 П9КШ
Рис. 1. 19. Распределение плотности q воздуха днем и ночью
в слое атмосферы на высоте 100—800 км
W/'"'
Рис. 1.20. Суточные колебания
плотности воздуха в слое 260—
600 км (по В. В. Михневич):
/—260 км; 2—300 км; 5—400 км; 4—500 км;
5—600 км
4а


Таблица 1.14
Таблица стандартной атмосферы (от 0 до 300 км) (ГОСТ 4401—64)
о
X
а.*
S о
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000!
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
31000
32000
33000
34000
35000
36000
37000
38000
390001
О.
О.
0)
CD
288,15
284,90
281,65
278,40
275,14
271,89
268,64
265,38
262,13
258,88
255,63
252,38
249,13
245,88
242,63
239,38
236,14
232,89
229,64
226,40
223,15
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
216,66
219,40
222,14
224,87
227,61
230,35
233,08
235,82
238,55
241,28
244,01
246,74
249,47
252,20
254,93|
Давление
Па (мм рт. ст.)
101324,72 (760,00)
95453,22 (715,96)
89875,03 (674.12)
84566,14 (634,30)
79497,24 (596,28)
74692,32 (560,24)
70124,70 (525,98)
65774.41 (493,35)
61656,09 (462,46)
57748.42 (433,15)
54044,74 (405,37)
50534,37 (379,04) 1
47213,32 (354,13)
44068,25 (330,54)
4Ю97',84 (308,26)
38290,08 (287,20)
35647,64 (267,38)
33146,52 (248,62)
30790,72 (230,95)
28578,90 (214,36)
26491,08 (198,70)
22690,07 (170,19)
19390,35 (145,44)
16571,92 (124,30)
14164,13 (106,24)
12106,97 (90,810)
10347,92 (77,616)
8845,91 (66,350)
7561,89(56,719)
6464,65 (48,489)
5526,86 (41,455)
4725,33 (35,443)
4040,32 (30,305)
3454,64 (25,912)
2954,15 (22,158)
2526,18 (18,948)
2162,35 (16,219)
1854,51 (13,910)
1594,40(11,959)
1372,55 (10,295)
1183,59(8,8777)
1022,99 (7,6731)
885,27 (6,6401)
767,75 (5,7586)
666,92 (5,0023)
580,24 (4,3522)
505,61 (3,7924)
441,24 (3,3096)
385,46 (2,8912)
337,54 (2,5318) '
Плотность
кг/м3
1,2250
1,1672
1,1117
1,0582
1,0066
9,5706-10-1
9,0941
8,6345
8,1942
7,7714
7,3654
6,9758 1
6,6022
6,2441
5,9010
5,5725
5,2591
4,9585
4,6712
4,3977
4,1357
3,6485
3,1180
2,6648
2,2776
1,9467
1,6640
1,4224
1,2159
1,0395
8,887-10-2
7,5983
5,4966
5,5550
4,7501
4,0621
3,4336
2,9085
2,4701
2,1007
1,7901
1,5291
1,3078
1,1212
Э,6295.10~з
8,2842
7,1388
5,1619
5,3244
4,6128 1

Относительная
плотность
kh/Qo
1,0000
9,5282-10-1
9,0751
8,6484
8,2171
7,8127
7,4237
7,0485
6,6891
6,3440
6,0125
5,6945
5,3895
5,0972
4,8171
4,5489
4,2931
4,0477
3,8132 |
3,5900
3,3761 1
2,9784
2,5453
2,1753 1
1,8593
1,5891
1,3584
1,1611
9,9257-10-2
8,4857
7,2547
6,2027
5,3033
4,5347
3,8776
3,3160
2,8030
2,3743
2,0164
1,7149
1,4613
1,2482
1,0676
9,1527-Ю-з
7,8608
6,7626
5,8276
5,0301
4,3465
3,7656 '
Вязкость

динамическая
кг-с/м2
1,8247-10-6
1,8086
1,7925
1,7763
1,7600
1,7436
1,7271
1,7104
1,6938
1,6770
1,6601
1,6432
1,6261
1,6089
1,5917
1,5743
1,5568
1,5393
1,5216
1,5038
1,4858
1,4497
1,4497
1,4497 '
1,4497
1,4497
1,4496
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4497
1,4650
1,4803
1,4954
1,5104
1,5254
1,5403
1,5551
1,5698
1,5844
1,5990
1,6135
1,6279
1,6423
1,6565 1

кинематическая
М2/С
1,4607-10-5
1,5196
1,5812
1,6461
1,7146
1,7866
1,8624
1,9426
2,0271
2,1162
2,2103
2,3100
2,4153
2,5268
2,6452
2,7705
2,9030
3,0443^
3,1942
3,3534
3,5232
3,8966
4,5595
5,3351
5,2420
7,3029
8,5437
9,9952
1,1692-10-4
1,3676
1,5997
1,8710
2,1883
2,5593
2,9929
3,4998
4,1842
4,9911
5,9370
7,0510
8,3565
9,8788
1,1661-Ю-з
1,3730
1,6135
1,8929
2,2165
2,5908
3,0248
3,5216
44


Продолжение
к о
t-. * s
>->
s-
ее
О.
С
S
0)
Давление
Па (мм рт. ст.)
Плотность
кг/мЗ

Относительная
плотность
Qh/Qo
Вязкость

динамическая
кг-с/м2

кинематическая
М2/С
40000
410001
42000
43000
44000
45000
460001
47000|
48000t
49000
50000
55000
60000
65000
70000
750001
80000
85000J
90000
950001
257.66
260,38]
263.11
265.83
268.56
271,28
274,00!
274.00
274,00
274,00
274.00
270,56
253,40
236,26
219,151
202,06
185,00
185,00
185.00
185,00
100000
105000
110000]
115000]
120000
125000
130000
135000!
140000
145000
150000
155000
160000
165000
170000]
175000'
180000
185000
1900001
195000
200000
205000
2Ю0001
215000
220000
225000]
2300001
235000
240000
245000
209,22
233,36
257.361
294,97
332.24J
442,64
552.04
660.51
768.00
874,48]
980,05
1068
1155,3
1165.6
1175,0
1184.2
1193,2
1202,0]
1210,6!
1218,9
295,85 (2,2191)
259.80 (1.9487)
228.50 (1,7128)
201,06 (1.5081)
177,18 (1.3290)
156,41 (1,1732)
138.25 (1,0370)
122.26 • (9,1703-10-1)
108,21 (8.П64)
95,63 (7,1728)
84,58 (6,3441)
45,76 (3,4326)
24,12 (1,8092)
12,16 (9,1245-10-2)
5,83 (4,3761)
2,64 (1,9790)
1.11 (8,3564-10-3)
'0,45 (3,3976)
1,844-10-1 (1.3834)
7,52-10-2
(5,6408-10-4)
3,241 (2,4310)
1,5337 (1,1504)
|7,822-10-з
(5,8671-10-5)
4,308 (3,2314)
2,555 (1,9165)
1,674 (1,2555)
1,207 (9,0540-10-6)
9,2468-10-4 (6,9357)
7,3852 (5,5394)
6,0805 (4,5608)
5,1233 (3,8428)
4,3912 (3,2937)
3,8126 (2,8597)
3,3325 (2,4996)
'2,9180 (2.1887)
2,5598 (1,9200)
2,2494 (1,6872)
1,9798 (1,4850)
1,7456 (1,3093)
1,5415 (1,1562)
1226,8
1236,0!
1245,0
1253,7
1262,0
1269.91
1277,4
1284,4
1290,9
1297,0
0003
3,4762
~ 0236
|2.6350
2.2984
0086
1,7577
1,5545
1,3748
1,2159
1,3634 (1,0226)
1,2077 (9,0586-10-7)
1.0716 (8,0379)
9,5238.10-5 (7,1435)
8,4773 (6,3585)
7,5572 (5.6684)
6,7469 (5,0606)
6,0322 (4,5245)
5,4006 (4,0508)
,4,8418 (3,6317)
3,2656
,2,8377
2,4682
2,1510
1,8762
1,6397
1,4349
1,2690
1223
9,9258-10-4
1.0754-10-3
5.8928-10-4
3,3162
7937
[9.2747-10-5
4,5490
2,0979
8,5303-10-е
3,4733
1,4170
8,7788
4,8105
2,7071
1,4642
7,5712-10-5
3,7135
1,7126
6,9635-10-6
2,8354
1.1567
[5.3993-10-7
2,2900
1.0583
15,0674 -10-8
2,6586
1,3025
7,5045-10-9
4,7873
3,2766
2,3605
1.7682
1,3855
1,1081
9,5683-10-101
8,2787
7,1767
6,2332
5,4236
4,7276
4,1282
3,6109
3,1603
2,7709
2.4336
2,1412
1,8870
1,6656
1,4726
1,3039
1,1563
4,4075-10-7
1,8594
8,6391-10-8
4,1367
2,1703
1,0633
6,1261-10-9
3,9080
2,6748
1,9269
1.6707
1,6848
1,6988
1,7929
1,7267
1,7405
1,7542
1,7542
1,7542
1,7542
1,7542
1,7368
1,6485
1,5575
1,4636
1,3667
1,2665
1,2665
1,2665
0956
7529
5099
3748
3674
8.4977
9,7869
1,1067-10-2
1,2513
1,4148
1,5997
2,8903
4,8749
8,5151
1,5475-10-1
2,9463
5,9202
1,4560-10-2
3,5759
1,4434
1,1310
9,0457 10—ю|
7,8108
0,7581
8585
,0883
4274
.8593
,3700
2,9477
2,5798
2,2619
2,4816
1,7479
1,9242
1,3597
1,2021
1,0644
9,4395-10-
Нет дандых
45


Продолжение
1
о
<U СИ
sr н
Геометрр
кая высс
м
250000
255000
260000
265000
270000
275000
280000
285000
290000
295000
300000
Температура
К
1302,8
1309,5
1316,2
1322.6
1328.8
1334,6
1340,0
1344,9
1349,5
1353,9
1358,0
Давление
Па (мм рт. ст.)
4.3468 (3,2604)
3.9078 (2,9311)
3,5184 (2,6390)
3,1723 (2,3794)
2,8639 (2.1481)
2,5900 (1,9427)
2,3439 (1,7581)
2,1246 (1,5936)
1,9285 (1,4465)
1,7521 (1,3142)
1,5940 (1,1956)
Плотность
кг/мЗ
1,0270
9,1190-10-11
8,1111
7,2256
6,4465
5,7605
5,1548
4,6195
4,1463
3,7253
3,3521

Относительная
плотность
Qh/Qo
8,3835
7,4441
6.6213
5,8985
5,2624
4,7024
4,2080
3,7710
3,3848
3,0410
2,7367
Вязкость

динамическая
КГ-С/М2
,

кинематическая
М2/С
Нет данных
1.3.6. Марс
Во время великих противостояний Марс приближается к Земле на 56 млн. км,
угол фазы относительно Земли не превышает 47°. Альбедо Марса на волнах от 3,8 до
70 см составляет 3—13%.
Поверхность при наблюдении с Земли выглядит сравнительно ровной. Отмечается
сходство с поверхностью Луны в отношении фотометрического фазового закона [122].
На поверхности Марса различают области трех цветов:
1) оранжево-желтые, окружающие темные пятна и названные «материками»
(«континентами»);
2) темные области, получившие название «морей», «озер» и т. п.;
3) белые образования у полюсов планеты — «полярные шапки».
Очертания светлых и темных областей в общем устойчивы, что позволяет
составлять карты поверхности Марса в ариографических (марсианских) координатах
(рис. 1.21). При этом начальный меридиан проводится через «залив» Sabaeus Sinus.
Открытые водоемы на Марсе не обнаружены [101]. (Водоем диаметром более 300 м
давал бы заметные блики от Солнца). По-видимому, они не существовали и в прошлом,
о чем говорят снимки, полученные при помощи космических аппаратов. Отсутствие
водоемов и влажной почвы подтверждается низкими значениями (0,06—0,09)
коэффициентов отражения поверхности, измеряемыми в диапазоне волн 12,5—70 см [106].
В работе [125] опубликовано большое количество лучших фотографий Марса,
полученных за 55 лет наблюдений.
Измерения указывают на очень низкую теплопроводность верхнего слоя грунта
планеты толщиной в несколько сантиметров.
Материки имеют постоянную светлую окраску; их альбедо примерно равно 0,30.
Они занимают 5/6 площади поверхности планеты, по своим фотометрическим и
поляризационным свойствам их вещество напоминает лимонит (гидрогетит Fe203 • пН20^
где п<\) [107]. Данные радиолокационных наблюдений и исследований в
инфракрасных лучах согласуются с предположением о том, что в состав вещества светлых
областей в качестве основной компоненты входит очень тонкая и рыхлая кварцевая пыль,
образующая покров, достигающий в некоторых районах глубины в несколько
метров [106].
Темные области состоят из отдельных пятен и темных блоков, периодически
меняют свою окраску со сменой марсианских времен года [100, 111]. Весной и летом
они темнеют, приобретая более ясные очертания и зелено-голубой оттенок, причем
темная окраска распространяется со стороны тающей полярной шапки
преимущественно по определенным направлениям [104], а осенью и зимой блекнут, окрашиваются в
желто-коричневые тона и границы их становятся расплывчатыми. Отдельные темные
участки иногда на протяжении нескольких месяцев или лет изменяют свои
очертания [102]. В 1954 г. к северо-востоку от Большого Сырта (Syrtis Major — наиболее
четкое темное пятно на поверхности Марса) возникла новая темная область площадьк>
около 580000 км2 [24]. До недавнего времени предполагалось, что относительная
устойчивость и сезонная изменчивость темных областей объясняется их растительной
природой. Известны случаи, когда темные области резко уменьшали альбедо после
прохождения над ними облаков, что можно объяснить или увлажнением поверхности, или
реакцией растений на увеличение концентрации водяных паров. На снимках, полученных
46


ПЛАНЕТА МАРС
(КАРТА В ПРОЕКЦИИ МЕРКАТОРА)
«80 КО МО 120 ЮО 80 60
340 320 300 280
240 £20 ТОО ЮО
/
SCANDIA
I- i 1
с * D I A
MARE BOREUM. \
- - т —
ТЕ^РЕ
Mtniv>t I лслолви I *•■•»■
OlY*J>H
LEA4URIA
оятсм. "HZV ' CECROPIA J *UTOPIA| PANCHAIA
войко smie
/"
5 0«°»„
9 DIACRIA
— •v-
\ J *
/
-_- — —, • » ,-. -. i 1 v ' 4 - "wn_
-%
THAR SIS
4^
I-
;*^«
4>A
I/ \ Я ' !' *
%<\
OfUCALiOKlS RC6IO
} 4^T
4_ * ^_
•,4» / | O* |l , ~
E INSULAE * U«*
ELISIUM |l ^**
— i— - **"-
^1/ . v"j"/~l \|
IAPY61A
— ■- v
*** I
£<4
4
40 - -,
UICTAI8 P И
118 Г П i*
^
«> 1
Л /
pSYGIS
REGIO
AS
-|4 ч
~t—'♦~J~r I'
L . f EP1IDANIA |
-—r x i J
^
+
* XIU6 3 > W U t.
" [ I
■ ' - :
1 I MARE AUSTRAlLE
J
, I юг
160 «60 МО 120 Ю0 80 60 40 20 I) , S?0 ^)0
'*'</4,
-f
I TMYLE II
J
M.iCHEl MOUNTAINS
в ОСМОСУ ПОЛОЖЕНА КАРТА П КМКГМ ClAI*f PA
.ИСТОРИЯ МАРСА 8 ФОТОГРАФИЯХ' США-1962Г
Д01А8Л(ИИЯ СДЕЛАНЫ D0 ДАННЫМ Л0АЕЛАА ■ ВО 9ТЛМШМ0* КАРТ! М58Г..
200 240 220 200 180
Рис. 1.21. Карта Марса


с помощью аппаратов серии «Маринер», не обнаружено следов жизни, но это
нельзя рассматривать как доказательство того, что ее нет на Марсе [115].
Новейшие радиолокационные наблюдения дают основание считать, что темные
области имеют большие средние высоты, чем светлые. Высота главных темных областей
10—20 км, средняя крутизна склонов — несколько градусов [123, 124]. Отражательная
способность темных областей на радиоволнах соответствует земным скальным породам
на силикатной основе с плотностью 2,5 г/см3 [106]. Эти данные подтверждают гипотезу о
том, что темные области представляют собой выходы на поверхность коренных горных
пород, а светлые области образованы из продуктов их разрушения, которые сдуваются
ветрами. Значительную часть наблюдаемых на Марсе явлений можно объяснить
переносом пыли ветрами.
Полярные шапки относятся к наиболее заметным деталям на поверхности
планеты, их альбедо примерно равно 0,60. Средние ареографические координаты их
центров [24]:
для северной шапки Х=321°; р=88,5°;
для южной шапки А,=32°; Р=83,9°.
Белый (покров в северном полушарии к концу зимы 'распространяется до широт
50°—60° (иногда до 45°) и его диаметр достигает 4000—6000 км, а летом сокращается
со скоростью 10—12 (иногда до 100) км за сутки до диаметра 700—1500 км. Южная
шапка тает больше и в некоторые годы исчезает полностью [24], что объясняется
эксцентричностью орбиты Марса. Таяние (или сублимация) происходит неравномерно:
местами задерживается, а на некоторых участках белый покров сохраняется все лето
(например, область Olympia вблизи Южного полюса). Вокруг тающей шапки
образуется темная кайма, прилегающие к ней детали приобретают ясные очертания и эта
«волна улучшения видимости» движется к экватору со средней скоростью 35 км за сутки и
к концу лета заходит даже за экватор до 25° широты другого полушария. Изредка обе
полярные шапки видны одновременно. Полярные шапки представляют собой,
по-видимому, тонкий слой снега (инея), состоящего из смеси Н20 и С02 и покрытого
туманом или легкими облаками. Толщина этого слоя в среднем не превышает нескольких
сантиметров [104]. Количество стаявшего в зоне каймы слоя снега по приблизительной
оценке составляет 0,2 г/см2 в сутки [108].
Каналы [117] при наблюдении с Земли представляют собой тонкие темные линии,
протяженностью до нескольких тысяч километров. Все каналы берут начало и
оканчиваются в «морях» и «озерах», а в местах их пересечения заметны темные пятнышки,
получившие название «оазисов». Многие каналы следуют по дугам больших кругов.
Каналы начинают темнеть и становятся видимыми в направлении от полюса к
экватору спустя 10—15 дней с начала таяния шапки. В этот период у определенных
каналов наблюдается раздвоение, когда вместо одного канала появляются два
параллельных. Ширина каналов должна быть не меньше 20—50 км (иначе они были бы
неразличимы), но ширина некоторых превышает 200 км. Как показали тщательные
наблюдения, а также фотографии с космических аппаратов, каналы представляют собой
цепочки темных пятен неправильной формы [111]. Наиболее полные карты Марса
содержат свыше 800 каналов. На снимке № 11 (рис. 1.22), полученном с борта космического
аппарата «Маринер-4», можно различить долинообразную структуру шириной около
50 км, которая, возможно, является каналом. Однако радиолокационные наблюдения
дают основание считать, что каналы представляют собой хребты, склоны которых имеют
наклон до 15°. Эффект раздвоения каналов объясняют наличием вблизи хребтов рифто-
вых долин [124].
15 июля 1965 г. космический аппарат «Маринер-4», запущенный 28 ноября 1964 г.,
прошел на расстоянии 9800 км от поверхности Марса. С борта этого аппарата,
начавшего фотографировать Марс 15 июля, были получены снимки 22 участков, •
покрывающих около 1% всей поверхности планеты [103]. На 14 снимках заметны детали:
обнаружено более 110 кратеров диаметром от 5 до 120 км, большинство из них имеет
диаметр от 10 до 40 км. Позднее в результате специальной обработки снимков с помощью
ЭВМ было обнаружено дополнительно около 200 кратеров. Плотность размещения
кратеров примерно в 30 раз больше, чем на лунных морях, распределение их по
диаметрам сходно с распределением для Луны. Валы кратеров возвышаются над окружающей
местностью примерно на 100 м, отдельные валы покрыты белым веществом. Глубина
кратеров составляет несколько сот метров. Угол наклона их стенок примерно равен 10°.
Некоторые кратеры имеют центральную горку, у многих валы полуразрушены.
На рис. 1.22 изображен снимок № 11, сделанный с высоты 12500- км от
поверхности Марса при зенитном расстоянии Холнца 47°. Север вверху. Усиление контраста
Х4. Размеры сфотографированной области 270 (север—юг) X240 (восток—запад) км.
Ее примерные координаты: 31° ю.ш., 197° в.д. У южного края снимка заметен объект
прямоугольной формы. Это — дефект телепередачи. На снимках не обнаружено горных
хребтов или глубоких впадин.
С борта космического аппарата «Маринер-б», запуск которого состоялся 25
февраля 1969 г., было получено в общей сложности 74 снимка Марса, из них 24 снимка
были сделаны 31 июля 1969 г. с минимального расстояния до Марса (~3500 км) при
пролете над его экваториальной областью.
47


С борта «Маринер-7», запущенного 27 марта 1969 г., был получен 91 снимок из
них 33 снимка были сделаны с минимального расстояния (-3500 км), на
котооом'аппарат находился 5 августа 1969 г. при пролете над южной шапкой Марса
МРТППГ указали полученные снимки, поверхность Марса испещрена кратерами
диаметром от 0,5 до сотен километров и напоминает поверхность Луны. Однако мапси-
анские кратеры не так глубоки, как лунные, и на них заметны следы эрозии Часто на
дне и склонах больших кратеров видны более мелкие. '
Рис. 1.22 Снимок № 11 поверхности Марса, полученный с борта
космического аппарата «Маринер-4»
Таинственное пятно переменной яркости Nix Olympica оказалось кратером
диаметром около 500 км Местность южного полюса по сравнению со всеми
сфотографированными участками Марса является наиболее пересеченной: на снимках видны
глубокие «долины», высокий горный кряж, а также образования, напоминающие земные
ледники и оползни.
Координаты северного полюса Марса, т е координаты следа оси вращения
планеты на небесной сфере, вычисляются на заданный год t по формулам
a=-21h10m00s4- 1,565s (^ — 1905.0);
5- + 54° 30'00" + 12,60" (/— 1905.0).
Температура поверхности на экваторе к моменту восхода Солнца составляет
примерно —60° С, спустя 30 мин после полудня поднимается до +20° С и к моменту захода
Солнца снижается до —50° С. В зависимости бт положения Марса на орбите его
температура в местный полдень на экваторе изменяется на величину до 27° С [104].
Примерный ход температуры для северного полушария в середине зимы и для южного
полушария в середине лета в зависимости от широты показан на рис. 1.23.
Средняя полуденная температура морей на 10—15° С выше'температуры
материков. Лето в южном полушарии короче, но теплее, чем в северном, так как во время
прохождения Марса через перигелий орбиты его южный полюс наклонен в сторону
Солнца. Для октября 1926 г., когда в южном полушарии Марса было лето, получены
следующие значения полуденных температур [112]:
48


Широта в град
Температура в СС
4-55
-25
4-15
4-Ю
—15
4-25
—45
4-20
-80
+ 10
Более подробные данные о температуре Марса содержатся в работах [104, 113].
Атмосфера. Во время противостояния 1963 г. в атмосфере Марса были впервые
обнаружены следы водяных паров (14±7 мкм осажденной воды), было установлено
обилие С02 в количестве около 50 м-атм * в вертикальном столбе и оценочно
определено полное давление у поверхности, которое оказалось примерно- равным 2 кПа
(20 мбар). Прежде считалось, что полное давление равно 6—10 кПа (60—100 мбар)
[105, 114].
По данным, полученным с помощью «Маринер-4», высота однородной атмосферы
8;—10 км [116], давление и плотность у по-
С ер един а
зимы
Середина
Ж о0 -Ж
Широта
-60° -30*
Рис. 1.23. Среднесуточная и
экстремальные температуры поверхности Марса в
зависимости от широты
верхности 0,4—1,0 кПа (4—10 мбар) и
(1,4ч-2)*10~5 г/см3 соответственно.
Атмосфера почти полностью состоит из С02.
Прежние исследования показали, чго ССЬ
содержится в количестве 4,4 м-атм [27;.
Если принять гипотезу о том, что
темные области Марса являются
возвышенностями, а светлые — низинами, то давление
атмосферы над светлыми областями должно
в 2—3 раза превышать значения, полученные
«Маринер-4» ,над темными областями. По
данным измерений с борта космических
аппаратов «Маринер-6» и «Маринер-7»,
давление атмосферы у поверхности Марса
меняется от 0,5 до 0,9 кПа и в среднем
составляет 0,65 кПа (6,5 мбар). Молекулярного
или атомарного азота, так же как и
двуокиси серы, в атмосфере Марса обнаружить
не удалось. Эти факты уменьшают
вероятность существования на Марсе как
органической жизни, так и действующих вулканов.
В то же время при помощи
ультрафиолетового спектрометра в верхних слоях
атмосферы Марса был обнаружен атомарный
водород и атомарный кислород.
С02 является единственным активным компонентом в атмосфере,
обусловливающим процессы испарения и конденсации, поглощения радиации и ее излучения.
Если энергетический баланс земной поверхности сильно зависит от атмосферы, то
для Марса такая зависимость почти полностью отсутствует. Атмосфера Земли
поглощает большую часть инфракрасной радиации, атмосфера Марса поглощает примерно
только 20%, остальная часть радиации достигает поверхности планеты.
В табл. 1.16—1.18 приведены вероятные модели атмосферы Марса [22]
рассчитанные по исходным данным, указанным в табл. 1.15. Другие модели приведены в
работах [121, 126] (для давлений у поверхности 10, 25, 40 мбар и 4, 8, 10 мбар
соответственно).
Облака обычно имеют от 300 до 2000 км в поперечнике, наблюдаются
сравнительно редко (в среднем 2—4 раза в год) и разделяются по цвету на желтые, синие и
белые.
Желтые облака и помутнения можно наблюдать в видимом и инфракрасном
диапазонах спектра по всему диску. Они появляются в нижних слоях атмосферы на
высоте примерно 5 км и ниже [104], чаще всего вблизи экватора спустя 2—3 месяца
(земных) после прохождения Марсом перигелия орбиты и спустя 1 месяц после
прохождения точек равноденствия. Облака состоят, по-видимому, из мелкой пыли, например
из частиц гидрата окиси железа размером в несколько микрон. Особенно сильные
помутнения наблюдались во время великого противостояния в 1956 г., когда коэффициент
прозрачности атмосферы уменьшился в 3 раза [109] и было отмечено даже полное
исчезновение южной полярной шапки на период с 15 августа по 15 сентября Средняя
скорость движения желтых облаков 8—10 м/с [22].
Синие облака, видимые в фиолетовых и ультрафиолетовых лучах, возникают в
высоких слоях атмосферы во время понижения ее температуры и поэтому наблюдаются
вблизи линии терминатора. Эти облака обычно трактуются как местные уплотнения
Единица «атмосферо-метр» (м-атм) используется в астрономии для измерения
т°^г2НД 0ДНЮР°ДНОГ0 слоя газа> в котором при нормальных условиях (р= 101325 Па
i-20PC) содержится столько же молекул, сколько в атмосфере исследуемой планеты'
49


фиолетового слоя (фиолетовой дымки), лежащего на тех же высотах и состоящего,
вероятно, из мелких кристалликов льда НгО. Этот слой не пропускает коротковолнового
излучения, но иногда в нем происходят кратковременные прояснения и тогда
поверхность Марса можно наблюдать в синих лучах. Такое явление наблюдалось, например,
в 1963 г.
Таблица 1.15
Исходные данные для построения моделей атмосферы Марса
Параметр
Давление у поверхности в Па
Химический состав
Эффективная температура поверхности в К
Средний молекулярный вес ниже уровня
диссоциации С02
Средний молекулярный вес выше уровня
диссоциации С02
Градиент температуры над уровнем
диссоциации в К/км

Минимальная
модель
500
100% С02
225
44
22
0
Средняя
модель
1000
50% С02
• 25% N2
25о/о Аг
250
39
27
2

Максимальная
модель
2000
10 о/0 СО,
90% N2 "
270
29,6
26
1
Белые облака наблюдаются в видимых и инфракрасных лучах, имеют,
по-видимому, ту же природу, что и синие облака, но состоят из более купных кристалликов
льда диаметром примерно 1 мкм [104]. Эти облака нередко располагаются над светлыми
районами вблизи их границ с темными районами. Максимумы количества белых
облаков приходятся приблизительно на моменты прохождения планеты через
гелиоцентрические долготы 270° для северного полушария и 30° для южного, что связано с
интенсивностью перехода вещества полярных шапок в атмосферу.
Таблица 1.16
Атмосфера Марса (минимальная модель)
Высота
км

Температура
Давление
Па
Численная

концентрация
см—з
Плотность
г-см—3
Локальная
шкала
высот для
давления
км
Примечание
0
5
10
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
225
200
180
160
145
130
125
120
120
120
120
120
120
500
270
180
100
60
13
3,1
0,7
0,15
0,03
0,005
0,001
0,0002
1,7-1017
1,1-1017
7-1016
4,7-1016
3,0-1016
7-1015
1,6-1015
3,8-ЮН
7,5-1013
1,5-1013
2,5-1012
5-10П
1-10П
1,3-10-5 ,
8-10-6 1
5,2-10-6
3,5-10-6
2,2-10-6
5,2-10-7
1,2-10-7
2,8-10-8
5,5-10-9
1,1-10-9
1,8-10-ю
4-10-н
7-10-12
11
10
9
8
7
7
7
6
6
6
6
6
6
Поверхность
Тропопауза
Диссоциация С02
В циркуляции атмосферы преобладают ламинарные течения, имеющие скорость
30—40 км/ч, изредка нарушаемые небольшими пертурбациями. Весной направление
движения облаков преимущественно западное, а летом — восточное. Смена
направления ветров обычно происходит при ареоцентрической долготе Солнца 20°—45° и
нередко сопровождается появлением в атмосфере глобальной мглы [119]. Весной
образование облаков связано с таянием полярной шапки, летом — с процессами в темных
областях [120]. Часто наблюдаются утренние и вечерние туманы небольшой
плотности.
50


Таблица 1.17
Атмосфера Марса (средняя модель)
Высота
км

Температура
К
Давление]
Па
Численная

концентрация
см~3
Плотность
г-см-3
Локальная
шкала
высот для
давления
км
Примечание
О
5
10
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
250
225
205
185
170
150
140
130
120
120
120
120
130
140
150
160
170
1000
650
400
250
150
60
20
6
1,6
0,35
0,08
0,02
0,006
0,002
0,001
0,0006
0,000351
2,9-1017
2,0-1017
1,5-1017
1,0-1017
6-1016
2,7-1016
1,0-1016
3,5-1015
1,0-1015
2,0-1014
4,7-1013
1,2-1013
4-1012
1,5-1012
6-10П
3-10П
1,5-Юп
1,8-10-5
1,2-10-5
9-10-6
6-10-6
| 3,7-10-6
1,7-10-6
6,0-10-7
1 2,2-10-7
6,0-10-8
1,2-10-8
2,9-10-9 '
8-10-ю
3-10-Ю
1-10-ю
4-10-н
2-10-п
1-10-и
13
12,5
11,5
11
9,5
7,5
7
7
7
7
12,
14,
15
16
18,
Поверхность
Тропопауза
Диссоциация СС>2
Атмосфера Марса (максимальная модель)
Таблица 1.18
Высота
км

Температура
К
Давление
Па
Численная

концентрация
см-3
Плотность
г-см—з
Локальная
шкала
высот для
давления
км
Примечание
0
5
10
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
150
160
170
180
270
245
230
215
200
175
155
140
130
130
130
120
120
140
160
180
200
220
240
260
280
2000
1550
1140
870
620
300
130
50
20
7
2
1
0,3
0,1
0,06
0,03
0,015
0,009
0,005
0,0025
0,0012
5,4-1017
4,5-1017
3,6-1017 ,
2,9-1017
2,2-1017
1,2-1017
6,3-1016
2,7-1016
1,0-1016
3,8-1015
1,4-1015
5-1014
2-10Н
7-1013
3-1013
1,2-1013
5-1012
3-1012
1,5-1012
7-10И
3-10П
2,7-10-5
2,2-10-5
3,6-10-5
1,4-10-5
1,1-10-5
6-10-6
3,2-10-6
1,4-10-6
5-10-7
1,9-10-7
7-10-8
2,5-10-8
1,1-10-8
4-10-9
2-10-9
6-10-ю
3-10-ю
1,5-10-Ю
8-10-п
4-10-П
2-10-И
20
18
17
16
15
13
12
10
10
10
10
9
9
11
13,5
14
16
18
20
21
22
Поверхность
Тропопауза
Диссоциация С02
51


С помощью аппарата «Маринер-4» в верхней атмосфере Марса обнаружен пик
электронной плотности, равный Ю5 см-3, который отнесен к высоте 125 км [118].
Радиационные пояса у Марса не обнаружены, момент магнитного диполя планеты
не больше 10-3 земного [110].
Микрометеоритное вещество в окрестностях планеты не характеризуется
повышенной плотностью.
1.3.7. Юпитер
Юпитер — самая крупная планета, имеет 12 спутников (больше, чем у любой
другой планеты), отличается также наименьшим среди планет периодом осевого
вращения (9h50m) и большим сжатием (0,062).
Видимая поверхность покрыта чередующимися светлыми и темными поясами,
параллельными экватору. Темные пояса принято называть полосами, а светлые — зонами.
В экваториальном поясе лежит экваториальная зона — наиболее яркая деталь диска.
К северу и к югу от экваториальной зоны расположены северная и южная
тропические (экваториальные) полосы, далее к полюсам лежат северная и южная тропические
Польше Красное пятно
№. Ю. Умеренная зона
(SSTZ)
№. Умеренная зона
Ю Тропическая зона
ЭкВаториальная joho{
С. Тропическая зона
С. Умеренная зона
С. С. Умеренная зона
(NNTZ)
И} Полярная область
Ю.Ю. Умеренная
полоса (SSTB)
Ю. Умеренная полоса
}ю УкЙаториальная полоса
дкЬатораальная полоса
С. дкЬатораальная полоса
С. Умеренная полоса
С.С. Умеренная полоса (NНТВ)
С. Полярная область
Рис. 1.24. Обозначение полос и зон на Юпитере
зоны, за ними — менее широкие северная и южная умеренные полосы, северные и
южные умеренные зоны (рис. 1.24). Кроме того, полосы часто распадаются на две
компоненты; наблюдаются промежуточные полосы, светлые и очень темные пятна, выступы
и углубления на границах полос, мостики, соединяющие по две полосы, и т. п. Обычно
такие образования сравнительно неустойчивы и существуют от нескольких дней до
нескольких месяцев. Все темные детали отличаются, как правило, красноватым оттенком.
Полярные области имеют сероватую окраску и лишены деталей. Два объекта на
поверхности Юпитера, лежащие в южной тропической зоне, наиболее стабильны. Это
Красное Пятно и Южное Тропическое Возмущение.
Красное Пятно было открыто в 1878 г., когда оно приобрело интенсивную кирпич-
но-красную окраску, но в виде бледного образования, по-видимому, наблюдалось еще
в 1660 г. [134]. Пятно имеет форму овала с линейными размерами 50000X11000 км, его
центр лежит на широте ~—23°, а долгота от года к году меняется. Это
свидетельствует о том, что Пятно плавает в атмосфере и не связано с твердой поверхностью
планеты (существование такой поверхности предполагается). Высота пятна практически не
отличается от высоты окружающей облачной поверхности [132]. По-видимому, это
газовое образование, содержащее аэрозоли (131].
Южное Тропическое Возмущение наблюдается с 1901 г. Оно представляет собой
темную вуаль протяженностью около 70000 км по долготе, расположенную между
южной тропической и южной умеренной полосами. Оно движется быстрее Красного Пятна
и соединяется с ним в среднем каждые 2 года. Во время сближения Красное Пятно
несколько увеличивает скорость движения, сохраняя свой вид, а Возмущение огибает его
с севера и с юга.
Период осевого вращения зависит от широты. На экваторе он равен 9h50,5m,
на средних широтах 9h55m29,70s+0,5s. Этим значениям периода соответствуют две
принятые системы отсчета долгот: I (на экваторе) и II. Система II построена
относительно средней скорости вращения Красного Пятна.
Температура верхнего слоя облаков по измерениям на длинах волн ~10 мкм
составляет 175—200 К, что несколько выше температуры, соответствующей равновесию с
излучением Солнца (~125 К) [140].
Яркостная температура по измерениям на длине волны Х—3 см примерно равна
150 К, но с увеличением длин волн быстро растет (рис. 1.25) и при А,=68 см
составляет 50000 К, что свидетельствует о нетепловой природе радиоизлучения планеты Г129. 1381.
52


Атмосфера характеризуется чрезвычайно плотным облачным покровом, В
надоблачном слое атмосферы обнаружены аммиак NH3, метан ОН4 и молекулярный
водород Н2. Их эквивалентные пути соответствуют 7,150 и ббОО м-атм [130, 143, 144].
Вероятное количество гелия в атмосфере Юпитера сравнимо с количеством
водорода. В темных полосах Юпитера содержится значительно меньше метана, чем в
других его областях, что, по-видимому, объясняется различием в высоте облачного
покрова. Оценки верхних пределов содержания других соединений приведены в работе [139].
Облака состоят, вероятно, из кристаллов аммиака. Полное давление над облачным
слоем составляет 0,1—0,2 МП а (1—2 атм).
В 1961 г. в атмосфере Юпитера наблюдались необычно активные процессы. В
южной тропической зоне появились яркие пятна и темные полосы. В экваториальной зоне
образовался широкий, очень темный пояс. В сентябре 1962 г. он имел ясный
красновато-коричневый цвет, а Красное Пятно усилило яркость и имело красно-розовую
окраску. Пятно деформировалось, а светлые облака частично его экранировали. С 10 по
31 октября 1962 г. его долгота увеличилась на 5,1° [141]. Аналогичная вспышка
активности наблюдалась на Юпитере с 1874 по 1880 гг.
Т, К
8/п/мгГцЮ*и
2Y V
01 1 wJ aL
3 10 30 100с* J 10 20 Ш0 см
а) 6)
Рис. 1.25. Спектр радиоизлучения Юпитера в сантиметровом
диапазоне в Ю-26 • Вт/(,м2 • Гц):
а—поток радиоизлучения; б—яркостная температура
Радиоизлучение Юпитера в диапазоне 8 мм — 68 см «спокойное», его интенсивность
во времени меняется медленно. Так, например, за период с 1963 по 1967 г.
интенсивность радиоизлучения Юпитера на волне Х=11 см не изменилась более чем на 15% при
средней полной плотности потока излучения (7,3±0,1) Ю-26 Вт/м2Гц (для расстояния
4,04 ае) [137].
В декаметровом диапазоне (длины волн >10 м) радиоизлучение Юпитера имеет
спорадический характер: обнаруживаются мощные всплески излучения с периодом
9h55m29,4s, вероятно, связанные с процессами, происходящими на твердой поверхности
планеты. Всплески декаметрового радиоизлучения Юпитера подобны по форме,
возникают через 20—30 мс и не обнаруживают влияния неоднородностей межпланетной
плазмы, связанных с воздействием солнечного ветра [142]. Размер источника декаметрового
излучения на Юпитере не превышает 1000 км [135] На частотах выше 35 МГц (Х=9 м)
спорадического излучения не наблюдается.
Другие всплески обнаруживают зависимость от положения спутников Юпитера
Ио и Европы на орбите.
Радиоизлучение Юпитера поляризовано, направление поляризации непрерывно
изменяется [136].
В результате исследования излучения Юпитера в дециметровом диапазоне
радиоспектра (на волнах от 3 до 168 см) выяснилось, что радиоволны излучаются электронами
высокой энергии, локализованными в радиационных поясах планеты. Получены
следующие данные о поясе радиации Юпитера и его магнитном поле [133].
Пояс радиации содержит до 1028 электронов с энергией 1610-13 Дж (10 МэВ) и
плотностью 10-3/см3. Общая энергия электронов 1016—1017 Дж (1023—1024 эрг.).
Полярные размеры пояса радиации примерно равны диаметру планеты, а экваториальные
превышают диаметр приблизительно в 3 раза.
Магнитное поле асимметрично относительно плоскости экватора, наклон магнитной
оси к оси вращения ~10°, напряженность поля на полюсах у диска ~5103 А/м
(^60 Гс), а на расстоянии трех радиусов планеты ~80 А/м (~1 Тс).
Радиолокационные исследования Юпитера впервые были осуществлены в
Советском Союзе. Было установлено, что радиоволны практически полностью затухают в его
атмосфере.
53


1.3.8. Сатурн
Сатурн по размерам и массе уступает только Юпитеру, отличается от других
планет наибольшим сжатием (1/10), наименьшей средней плотностью, а также наличием
колец.
Видимая поверхность напоминает поверхность Юпитера, но бедна деталями.
Обычно различают светлую экваториальную зону и тропические полосы. Полярные области
имеют темную окраску, пятна *— темную и светлую, но наблюдаются редко [149].
Некоторые пятна обладают собственным движением по долготе. Интенсивность излучения
деталей 'Поверхности со временем изменяется. Так, например, в период с 1947 по
1964 г. экваториальная зона была наиболее светлой в 1952 и 1964 гг., наиболее
тусклой— в 1958—1960 гг. [147]. Отмечается также смещение полос по широтам [148].
Период осевого вращения зависит от широты. На экваторе он составляет 10h12m—
10h16m, а на широтах ±57° он равен llh00m—llh15m [24].
Координаты северного полюса, спроектированного по оси вращения планеты на
небесную сферу, а^Зб0^; 6=83°2,7' [24].
Температура верхнего слоя облаков по данным радиометрических измерений
составляет 90—ПО К [24, 140]. Суточный ход температуры по диску крайне незначителен.
Атмосфера в основном состоит, по-видимому, из водорода, а облачный слой — из
кристаллов метана СН4 [130, 140]. В надоблачном слое атмосферы обнаружены метан
СН4 и аммиак NH3. Их эквивалентные пути соответствуют 350 и 2 м.атм [24].
Радиационные пояса у Сатурна должны присутствовать. Это можно предположить
по высокой степени линейной поляризации его радиоизлучения на волне 10 см.
Кольца концентричны телу планеты и лежат в плоскости его экватора. Они
распадаются на три основных зоны (на три кольца, вложенные одно в другое) [24, 145].
— зона А (внешнее кольцо);
— зона В (среднее кольцо) самая яркая;
— зона С (внутреннее, или креповое кольцо) полупрозрачная; разрежаясь,
простирается до видимой поверхности планеты.
Кольца А и В разделены темным промежутком (пустой зоной), так называемой
«щелью Кассини». Имеется ряд менее заметных промежутков, например «деление Эн-
ке» и др. Расстояния от центра планеты до промежутков соответствуют таким
периодам обращения, которые соизмеримы с периодом обращения близких к кольцу
спутников Сатурна.
Размеры колец следующие:
внешний диаметр кольца А . . . 278 600 км
диаметр середины «щели Кассини» 239 400 »
внутренний диаметр кольца В . . 178 500 »
внутренний диаметр кольца С . . 144 000 »
Толщина колец не превышает 100 км, но, по-видимому, она значительно меньше.
Наиболее правдоподобно, что кольца состоят из глыб льда НгО поперечником в
среднем около 1 м [130].
1.3.9. Уран, Нептун, Плутон
Уран имеет вид звезды 6-й величины. Сведения о деталях на поверхности
противоречивы. Одни наблюдатели различают отдельные пятна, другие — темные полосы.
Ось вращения лежит почти в плоскости орбиты планеты, направление вращения—
обратное. Координаты северного полюса (спроектированного по оси вращения планеты
на небесную сферу) :
a = 4h21m; 6=24,8°.
Период осевого вращения составляет 10h45m—10h49m [151, 158].
Яркостная температура видимой поверхности на волне А = 20 мкм равна примерно
65 К, на волне А, = 3,75 см составляет 159±16К, а на волне А,= 1,9 см равна 220±
±35 К [157]. Эффективная температура на волне А,= Ц см равна 130±40К, что
превышает расчетное значение равновесной температуры. Из этих данных следует, что
температура верхнего слоя атмосферы, по-видимому, увеличивается с глубиной.
Эквивалентный путь метана в атмостфере Урана составляет оценочно 150 км.атм.
Нептун имеет вид звезды 8-й величины. Детали на диске не наблюдаются.
Координаты северного полюса (спроектированного по оси вращения планеты на
небесную сферу относительно эпохи 1900.0) [24]: a = 295,2°; 6 = 41,3°.
Период осевого вращения определен в пределах от 8h до 15h [24, 154].
Температура видимой поверхности радиометрически не измерена, теоретически она
не должна превышать 70 К. Измеренное значение яркостной температуры на волне
1,9 см составляет 180±40К, что превышает расчетное значение равновесной
температуры [157].
Эквивалентный путь СН4 в атмосфере составляет оценочно 250 кматм.
Плутон — девятая по порядку и самая удаленная от Солнца планета.
Наблюдается, как звезда, блеск которой меняется от 13,6т до 15,9т. Ее диск едва различим,
но поверхность, по-видимому, твердая и покрыта пятнами, о чем свидетельствуют коле-
54


бания блеска с синодическим периодом 6,19h16m54s+26s [155]. Кривой изменения блеска
Плутона одинаково хорошо удовлетворяют два периода: 6,390 и 1,182 суток [150].
Для объяснения несоответствия между значительной (порядка земной) массой и
небольшими размерами Плутона (диаметр равен г-^5500 км), которое приводило к
неприемлемо высокой плотности планеты, предполагалось, что его поверхность обладает
квазизеркальным свойством отражения солнечных лучей. Однако в последнее время его
объясняют неточным определением массы Плутона из теории возмущений, что,
возможно, связано с влиянием более далекой и еще не открытой планеты [152].
1.3.10. Спутники планет
Спутники планет — тела Солнечной системы, обращающиеся вокруг
большинства планет. У Меркурия, Венеры и Плутона спутники не обнаружены. Луна, как
ближайшее к Земле и наиболее изученное небесное тело, будет рассмотрена подробно.
Спутники Марса чрезвычайно малы и поэтому практически не исследованы. Системы
спутников больших планет (в особенности Сатурна) обнаруживают сходство с
Солнечной системой в механических параметрах. Они разделяются на подсистемы близких
(внутренних) и далеких (внешних) спутников, причем эксцентриситеты орбит внешних
спутников, как правило, значительно больше, чем внутренних. Элементы орбит и
основные физические характеристики спутников приведены в табл. 1.19 и 1.20.
Таблица 1.19
Элементы орбит спутников планет
Планета
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Спутник
Луна
I Фобос .
II Деймос
V Амальтея
I Ио
II Европа
III Ганимед
IV Каллисто
VI
VII
X
XII
XI
VIII
IX
X Янус*
I Мимас
II Энцелад
III Тефия
IV Диона
V Рея
VI Титан
VII Гиперион
VIII Япет
IX Феба
V Миранда
I Ариэль
II Умбриэль
III Титания
IV Оберон
I Тритон
II Нереида
Среднее расстояние
от планеты
в экв.
радиусах
планеты
60,27
2,77
6,96
2,56
5,94
9,44
15,04
26,47
160,4
165,1
165,4
296
316,7
330,7
338
3,10
3,97
4,92
6,30
8,79
20,38
24,70
59,41
216,2
5,11
7,52
10,48
17,21
23,01
12,9
200
в тыс. км
384,402
9,38
23,50
181
421,8
671,4
1071
1884
11500
11750
11750
21000
22500
23500
23700
185,6
238,1
294,8
377,5
527,2
1222,0
1481,0
3562,0
12961
130,4
191,9
267,3
439,2
587,0
353,7
5570

Сидерический
период
обращения '
сут.
27,32166d
0,31в91
1,26244
0,49818
1,76914
3,55118
7,15455
16,68902
250,621
259,7
260,5
625
696
738,9
755,0
0,94242
1,37022
1,88780
1 2,736692
4,51750
15,94545
21,27666
1 79,33082
550,45
1,414
| 2,52038
4,14418
8,70588
13,46326
5,87683
! 359,4

Эксцентриситет
0,05490
0,019
0,0031
0,0028
0,0000
0,0003
0,0015
0,0075
0,1550
0,2073
0,1405
0,1346
0,2068
0,378
0,275
0,0190
0,0046
0,0000
0,0020
0,0009
0,0289
0,119
0,0284
| 0,1659
0,007
0,008
0,0023
0,0010
0,0000
0,76
Наклон
плоскости
орбиты
спутника к
плоскости
орбиты
планеты
5°09'
25 11
24 16
3 07
3 07
3 06
3 02
2 43
28 45
27 58
28 24
147 18
163 37
148 04
156
26 44
26 44
26 44
26 44
26 42
26 07
26 00
16 18
174 42
97 59
97 59
97 59
97 59
139 49
6 31
Открыт недавно (см. в тексте).
55


<g Таблица 1.20
Основные характерлстики спутников планет
Планета
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Спутник
Луна
I Фобос
II Деймос
V Амальтея
I Ио
II Европа
III Ганимед
IV Каллисто
VI
VII
X
XII
XI
VIII
IX
I Мимас
II Энцелад
III Тефия
IV Диона
V Рея
! VI Титан
VII Гиперион
VIII Япет
IX Феба
V Миранда
I Ариэль
II Умбриэль
III Титания
IV Оберон
I Тритон
II Нереида
Масса
в ед. массы
Луны
1
3-10-8
0,5-10-8
6-10-5
0,95
0,64
2,09
1,18
2-10-5
9-10-7
3-10-8
2-10-8
5-10-8
2-10-8
4-10-8
5,14-10-4
1,14-Ю-з
8,65-Ю-з
0,015
3,1-Ю-з
1,89
6-10-4
0,025
4-10-4
0,002
0,03
0,009
0,06
0,04
1,88
4,7-10-4
в г
(7,343±0,002)-1025
2-1018
4-1017
4,2-1021
(6,98*0,72)-1025
(4,68*0,09)-1025
(15,36*0,09)-1025
(8,70*0,34)-1025
1,6-1021
6,6-1019
1,9-1018
1,3-1018
3,8-1018
1,3-1018
2,8-1018
(3,77±0,01)-1022
(8,4*2,7)-1022
(6,35*0,08)-1023
(1,10±0,03)-1024
1 2,3-1023
(1,385±0,01)-102б
4,5-1022
(1,82*0,42)-1024
3-1022
1,3-1023
2,4-1024
7-1023
4,3-1024
3,3-1024
' 1,38-1026
] 3,4-1022
Диаметр
км
3476 * 1
11
6
160
3470 ±50
3100 ±60
5000 ±75
4700 ±75
120
40
12
11
15
11
14
500 ±50
570 ±30
800 ±50
850 ±20
1400 ±75
4850 ±50
350
1330
300
500
1330
880
1600
1460
3770
300
Средняя
плотность
г/см3
3,34±0,01
3
3
2
3,19*0,36
3,03±0,19
2,35±0,10
1,59*0,10
2
2
2
2
2
2
2
0,6±0,2
0,87±0,30
1,66*0,28
3,43*0,26
">
2,32*0,07
2
1,48
2
2
2
2
2
2
4,9
2,4
Ускорение
силы
тяжести на
поверхности
(0=1)
0,165
—
0,158
0,134
0,167
0,106
—.
—
—
0,004
0,007
0,021
0,041
—
0,160
0,028
—
—
.
—
0,264
0,01
Скорость

освобождения (на
поверхности)
км/с
2,39
—
—
2,34
2,03
2,92
2,24
—
—.
—
—
—
—
0,14
0,20
0,44
0,59
—
2,79
—.
0,61
—
—
—
—
3,2
0,2
Температура
в
подсолнечной точке
°С
+ 118
—
— 133
—136
—117
—107
—
,—
—
-188
-188
—188
—188
—188
—155
—
—
—205
—
—
—
—
Альбедо
0,072
—
0,57
0,60
0,34
0,15
—
—
0,8(?)
0,8(?)
0,8
0,8(?)
0,8
0,27
,
Перем.
0,2(?)
—
—
—
-_


Спутники Юпитера
На рис. 1.26 воспроизведена схема расположения орбит спутников Юпитера в том
виде, как ее построил С. В. Никольсон, которому принадлежит открытие четырех самых
слабых спутников этой планеты.
Спутники I—IV («галилеевские») движутся в плоскости экватора Юпитера,
обращены к нему одной стороной, и их плотность уменьшается с увеличением расстояния
до планеты. Между сидерическими периодами обращения спутников I—III Т\, Т2 и Гз
и их средними долготами на орбите L\t L2 и L3 существуют зависимости [169]
13 2
— — — + — = 0; Ц — 3Z-2 + 2£з = 180е
зоны, а между параллелями
На поверхности Ио различают темные полярные
4-60° и —60° — светлые пятна,
сливающиеся в сплошной пояс. Особенно
темные пятна лежат в диапазоне широт от
•30° до 60°.
Европа, в противоположность Ио,
имеет светлые полярные области, а
между параллелями +15° и —15° лежит
цепь темных тятей.
Ганимед (напоминает планету Марс,
наблюдаемую при небольшом увеличении.
Светлые полярные шапки резко
ограничены, а между параллелями +40° и —40°
лежит сложная сеть серых полос и
темных пятен. Есть сообщения о светлых
образованиях, появляющихся вблизи
утреннего терминатора и не участвующих
во вращении спутника. Поэтому можно
предположить, что у Ганимеда есть
какая-то атмосфера.
Детали на диске Каллисто
различаются с трудом. Заметны отдельные пятна
и темный экваториальный пояс.
Фотометрические наблюдения
показали, что Ио и Европа сразу же после
выхода .из тени Юпитера отличаются
повышенным блеском. Возможно, они
имеют атмосферу, состоящую из N2 «ли СН4
и оседающую в виде инея на поверхность
спутника во время затмения [173, 174].
Записи спектров Европы и Ганимеда
показали детали, характерные для спектра
отражения снегового покрова, который
мог сохраниться со времен образования
этих спутников при условии, если они
имеют атмосферу [167].
Расчетная температура Ио и Европы составляет 145 и 148 К, а по данным
астрономических измерений она равна 135 и 140 К соответственно. Такое расхождение
температур согласуется с предположением о присутствии на этих спутниках атмосферу.
Это предположение подтвердилось после открытия новых линий в спектрах галилеев-
ских спутников [165].
Расчетные температуры на поверхности Ганимеда и Каллисто составляют 156 и
168 К соответственно, что совпадает с результатами измерений [183].
В моменты восхода и захода Ио наблюдаются всплески декаметрового
радиоизлучения Юпитера [177].
0,2 0,7 0 10 20 30
Астрономические единицы миллионы километров
Масштаб
Рис. 1.26 Орбиты спутников Юпитера.
Дугами малых кругов отмечены места
пересечения орбит с плоскостью эклиптики
Спутники Сатурна
Из-за отдаленности они изучены очень слабо. Только на Титане удается
рассмотреть потемнение к краю и характерную деталь, имеющую вид расплывчатой полосы,
наклоненной к предполагаемому экватору. В атмосфере Титана обнаружен метан,
эквивалентный путь которого равен 200 м-атм [24].
Япет периодически в зависимости от элонгации изменяет свой блеск на 1,8т.
Отсюда следует, что он обращен к планете всегда одной стороной и его полушария имеют
различную окраску [24, 180].
В работе [184] сообщено об открытии десятого спутника Сатурна, который
движется с периодом 17h58,5m почти в плоскости его колец по почти круговой орбите.
Спутник назван Янусом. Его диаметр составляет примерно 350 км [176].
57


Луна
Форма
Фигура Луны незначительно отличается от сферы. Ее вытянутость в направлении
на Землю, по-видимому, не превышает 0,4 км. В работе [175] произведена оценка
гармоник гравитационного потенциала Луны до восьмого порядка.
Расстояния и движение
Среднее расстояние Луны от Земли 384402±1,5 км, или 0,002570 а.е., или 60,2673
экваториальных радиусов Земли.
Среднее наклонение орбиты к эклиптике 5°8,33'.
Лунный экватор наклонен к плоскости лунной орбиты на 6°4Г, а к эклиптике —
на 6°4Г—5°9/=1°32/. Плоскости эклиптики, лунной орбиты и лунного экватора
пересекаются по одной линии.
Сидерический (звездный) месяц (период обращения по отношению к звездам)
27,32166140+0,00000016-Т эфемер, суток, где Т — эпоха от 1900.0 (выражена в
столетиях).
Среднее суточное (сидерическое) движение 47434,889871"—0,000284"-T эфемер,
суток.
Синодический месяц (период полной смены фаз) 29,5305882 + 0,00000016.7 эфемер,
суток.
Тропический месяц (промежуток времени между двумя последовательными
прохождениями точки весеннего равноденствия) 27,32158214 +0,00000013-Г эфемер, суток.
Средние лунные сутки (промежуток времени между двумя последовательными
прохождениями Луны через меридиан) 24h50,47m.
Основные неравенства в движении Луны
L Регрессия линии узлов. Линия узлов вращается («регрессирует») в плоскости
эклиптики в направлении, обратном движению Луны по орбите.
Драконический месяц (промежуток времени между двумя последовательными
прохождениями Луны через восходящий узел орбиты) 27,212220 суток.
Период нутации (период движения узлов лунной орбиты) 18,6123 тропических
лет.
2. Прямое движение линии апсид. Эллипс лунной орбиты вращается в своей
плоскости в направлении движения Луны, совершая полный оборот за 8,8503 года.
Аномалистический месяц (промежуток времени между двумя последовательными
прохождениями Луны через перигей) 27,5545505—0,0000004 Т эфемер, суток.
3. Периодические колебания наклона плоскости орбиты к эклиптике. Совершаются
с периодом в 18,6123 года. Пределы изменения: от 4°59' до 5°18/.
4. Периодические колебания эксцентриситета. Совершаются с периодом 8,8503 года.
Пределы изменения: от 0,0435 до 0,0715. Среднее значение: 0,05490.
Относительно наблюдателя, находящегося на Земле, Луна обращена к ней всегда
одной стороной и совершает периодические колебания около своего центра. Это так
называемые либрации Луны; они объясняются неравномерностью движения Луны по
орбите (при равномерном вращении вокруг оси) и наклоном лунного экватора к
эклиптике. Вследствие либрации центр видимого диска Луны перемещается в пределах
±7°51/ по лунному экватору (либрация по долготе) и в пределах ±6°50' вдоль
меридиана (либрация по широте). Параллактическая либрация, вызываемая перемещением
наблюдателя за счет вращения Земли, достигает 57'. Благодаря либрации площадь
видимой с Земли поверхности Луны по отношению ко всей ее поверхности г-^59%.
Фотометрические характеристики
Геометрическое альбедо .... АГ=0,105
Сферическое альбедо Ас =0,073
Освещенность от полной Луны на
границе земной атмосферы .... 0,342±0,011 лк
Данные радиолокации
Коэффициент отражения . . . . 6%
Диэлектрическая постоянная . . . е^2,7
Атмосфера
Считается, что плотность лунной «атмосферы» составляет —2-10~13 плотности
земной атмосферы на уровне моря, что соответствует давлению ~2,7 • Ю-8 Па (2'Х
Х10-10 мм рт. ст.).
58


Температура
Температура поверхностного слоя на экваторе колеблется от +110-f-+ 130° С в
подсолнечной точке до —140-i 150° С во время лунной ночи. Прогрев почвы
распространяется до глубины 1 —1,5 м, ниже температура постоянна и равна примерно Г0=230 К
на экваторе, а с увеличением широты г|) «глубинная» температура уменьшается
согласно закону
ТЩ) = Т0у cos +
(к полярным районам Луны формула неприменима).
[Лунная
Рис. 1.27. Распределение инфракрасной яркостной температуры по
лунной поверхности. Освещено 0,92 диска
На рис. 1.27 изображены изотермы инфракрасного излучения видимой стороны
Луны [159], а на рис. 1.28 — характерная кривая изменения температуры во время
солнечного затмения.
Wt
"1300
I
е
too
/ 2 3 4 ,4
дрем от нопснто ho H о 6 полутень, ч
Рис. 1.28. Изменение температуры лунной
во время затмения
поверхности
59


Магнитное поле Луны близко к однородному. Его напряженность равна 0,02—
0,03 А/м (20^3Оу).
Радиационные пояса у Луны не обнаружены.
Поверхность
Как было установлено с помощью аппаратов «Рейнджер» [178, 164], изображения
лунной поверхности, полученные в различных масштабах, "схожи между собой.
Все формы лунного рельефа в дециметровом и метровом масштабе округлы и
пологи. Преобладают кратеры, ложбины, а возвышенности встречаются сравнительно
редко. Широко распространены оползни и проседания поверхностных слоев.
Поверхность Луны в миллиметровом и сантиметровом масштабе, по данным
станции «Луна-9», впервые совершившей 3 февраля 1966 г. мягкую посадку на лунную
поверхность, очень неровная и покрыта гранулированным материалом с различным
размером зерен [172, 185].
Плотность поверхностного слоя в районах морей на глубине в несколько
сантиметров составляет 0,6-^0,7 г/см3 (чему соответствует пористость 70—80%). С увеличением-
глубины до 10—20 см плотность возрастает до 1 г/см3 , а на глубине 1—10 м
достигает 2—3 г/см3. Для опоры диаметром 25 см несущая способность поверхностного слоя
-^4-104 Па (4105 дин/см2). Сила сминания находится в пределах 1 10—1-Ю4 Па
(102—105 дин/см2). Угол внутреннего трения ~55°, а коэффициент внутреннего грения
~1,5 [179]. Таким образом, механические свойства лунного грунта до глубины 20—30 см
близки к свойствам влажной мелко гранулированной земной почвы средней плотности.
Общий уровень гамма-излучения лунных пород, как было установлено [160, 161]
в апреле 1966 г. с помощью АМС «Луна-10», близок к аналогичным показателям
земных пород основного состава (типа базальтов).
Анализ образцов, доставленных в июле 1969 г. на Землю экипажем КК
«Аполлоне 1», показал, что лунные камни представляют собой изверженные кристаллические-
породы и брекчии сложного происхождения. В лунном веществе больше, чем в земных
породах, элементов с высокой температурой плавления (титана, хрома, иттрия,
циркония) и значительно меньше элементов с низкой температурой плавления (натрия,
калия, свинца, висмута). Отсутствуют благородные металлы, вода и органические
соединения. Обнаружено большое количество (~0,01% по весу в пыли) мелких
(диаметром от 0,02 до нескольких миллиметров) разноцветных (от светло-желтых до
темно-коричневых) стеклянных шариков. Обнаружены также инертные газы и водород,,
которые могли образоваться в результате воздействия солнечного ветра. С
увеличением глубины залегания образцов количество газа резко уменьшается.
В табл. 1.21 приведен элементарный состав лунного грунта, доставленного
экипажем КК «Аполлон-11» с Моря Спокойствия.
Таблица 1.21
Образец
Кристаллические
камни
Пыль и брекчии
Химический состав в % по весу
Si
20
20
Fe
14
12
Са
7
8
А1
6
6
Mg
5
5
Ti
6
5
Na
0,4
0,4
Cr
0,4
0,3
Mn 1 К
1
0,3
0,2
0,2
0,1
Определение координат объектов на поверхности Луны
В системе положений 9 опорных точек, которые были установлены немецким
астрономом Юлиусом Францем, определялись координаты всех объектов видимого диска
Луны. В табл. 1.22 приведены селеноцентрические координаты этих точек, а также
улучшенные их значения, полученные проф. Шрутка-Рехтенштаммом. Он по наблюдениям
Юл. Франца в предположении, что центр фигуры лунного диска совпадает с проекцией
центра масс, составил каталог горизонтальных и вертикальных координат 150 точек
лунной поверхности, который и в настоящее время не потерял своего значения [168].
После того как в I960 г. кратер Мёстинг А был выбран в качестве исходного-
пункта триангуляции 1 класса, которую предстоит проложить на Луне, для его
координат было найдено [181]
Х=—5°9/50//±4,5//; р=—3°10'47" + 4,4"; A/i= + 0,40"+G,19",
где Д/i — высота относительно уровня Луны по Ньюкомбу.
60


Таблица 1.22
Название объекта
Мёстинг А
Прокл
Макробий А
Шарп А
Аристарх
Гассенди Z
Бюрг А
Николаи А
Фабриций К
Франц
А
—5° 10,32'
+46 57,27
+40 21,94
—42 33,24
—47 32,43
—42 52,19
—63 48,23
4-23 38,92
442 14,63
Р
-3°11,40'
416 4,78
4-19 32,69
4-47 31,78
4-23 42,23
—16 27,43
—24 33,47
—42 26,97
—46 4,17
Шрутка-Ре
X
-5°9,78'
4-46 51,0
+40 23,4
—43 8,4
—47 42,0
-42 57,6
—63 45,6
423 37,8
4-42 19,8
хтенштамм
Р
—3°10,78'
+ 16 3,0
+ 19 33,6
+47 55,2
+23 47,4
—16 27,6
—24 30,6
—42 27,0
—46 8,4
На основании тщательной ревизии прежних каталогов составлен и опубликован
каталог прямоугольных селенографических координат для 4510 объектов Луны [171]v
а в 1966 г. в Киеве на астрономической обсерватории АН УССР составлен каталог 500
опорных точек видимого полушария Луны. Эти точки использовались при построении
советских карт видимой и обратной сторон Луны.
Для перехода от прямоугольных координат внешней перспективной проекции (на
фотографии) к селенографическим координатам точек лунной поверхности могут
использоваться формулы, полученные в работе [166]. Точность вычисления
селенографических координат по этим формулам:
ДА,= ±4'; ДР=±(1-ь20.
Для определения местоположения космонавтов на поверхности Луны в
работе [170] даны эфемериды Солнца, Юпитера и ярких звезд, а также приведены
необходимые формулы и таблицы. Кроме того, изложены основы лунной практической
астрономии и описаны методы определения селенографической долготы, широты и поправки
часов (см. также [162]). В работе [163] выведены формулы для перехода от средних
геоэкваториальных координат звезд равноденствия каталога к видимым
экваториальным селенографическим координатам на заданный момент. Точность этого перехода
±(l/-f-3/) в связи с неточностью знания параметра вынужденной физической
либрации и угла наклона экватора Луны к эклиптике. Подробный анализ навигационных
условий на Луне содержится в работе [182].
1.3.11. Астероиды
Астероиды (малые планеты, планетоиды) — малые тела Солнечной системы,
обращающиеся вокруг Солнца. Они имеют поперечники от нескольких сот километроз-
до 1 км и меньше. Лишены атмосферы. К настоящему времени закаталогизировано
около 1700 астероидов. Их химический состав, по-видимому, такой же, как у
метеоритов. Фазовый коэффициент для астероидов составляет 0,03 зв. величины на градус,
т. е. такой же, как для Луны и Меркурия [11].
В работе [188] выдвинуто обоснованное предположение, что вещество,
покрывающее поверхность Луны, распространено и на астероидах.
В табл. 1.23 приведены элементы орбит всех известных астероидов, звездная
величина которых М (вычисленная при условии, что астероид находится на расстоянии
1 а.е. от Земли и от Солнца) меньше 7,5т.
В табл. 1.24 приведены элементы орбит наиболее близких к Земле астероидов,
для которых выполняется условие а (1—е)<1,5 а.е.
В табл. 1.25 для четырех наиболее крупных астероидов приведены значения
альбедо, а также диаметры, измеренные Э. Барнардом (Ликская обсерватория), значения
которых наиболее достоверны. Однако такие угловые измерения могут содержать
ошибку до 10%. Примерно с такой точностью получены значения диаметров наиболее
крупных астероидов другими авторами [189]. Диски других астероидов даже в сильные
телескопы неразличимы. Чем меньше размеры астероидов, тем больше их количество.
Общее число астероидов, которые могут быть открыты с помощью самых больших
телескопов, оценочно составляет 50 000. Однако их суммарная масса по крайней мере
в 3000 раз меньше массы Земли. Почти все известные астероиды (до 99,8% от их
числа) образуют кольца, лежащие между орбитами Марса и Юпитера в диапазоне
расстояний (2,3-ь7,8)108 км от Солнца.
61


CNj
V
15
a
о
H
о
о;
ч
О
a
a>
н
о
1 K
3
«» л
льш
yoc
D
•
о ч ro
еднее
-очное
жение
1 г л >-> DQ
1 *
9-
X
<D
Ч
03
1 :П
0)
сч Я" я
Ь Я е-
Ч О ^
О X О
N8 u
DQ
X s
СО Ч
S о
^^ 3
3*&
< в
[НЯЯ
1ЛИЯ
=L
си S -£
cx о
U 5
феме-
эемени
°' CQ
х:
эха 0
дного
в 5
(§ °<
с
е
5
%
R
U
О
О
ю
Оэ
CD
К
CQ
н
a
X
о
X
со
СО
сх
S
03
К
н
в
К
ч
Ьй
СТ)
5
5
г
с
^
i>
1 х
1 х
азва
X
СХк
^ол
1 ^ С1-^'
1 О <D
х
п
ю
1>»
со
t>*
CS|
ю
о>
CD
О
f-
t^'
о
СО
ю
СО
^h
о
t^
О
СО
О
о
Ю
О
СХ)
о
СО
ю
оо
г-н
f-
о
О
00
00
о
t^
СМ
СО
о
t^
ю
о>
о
^*
ел
си
CD
и
т—t
00
t^
t^
CM
^
00
00
00
со
t^
^*
СО
ю
СО
00
о
t^
S
ю
t^
о>
см
t^
С7>
ю
t^
С7>
о
СО
ю
00
_
г^
сМ
СО
о
г>.
ю
О)
,
ю
ел
СО
15
a
<М
СО
00
СО
СО
СМ
СО
ч*
о
ч*
00
о
00
О)
^*
СО
О)
05
СМ
00
СО
^*
о
г^
СО
СО
СО
ч*
СМ
СО
СО
СО
8
СО
СО
о
Г-*
ю
05
СО
СО
о
с
3
•—>
СО
г^
со
СО
СМ
ю
ч*
СО
h-
0>
&
о
ю
CN
СО
г^
СО
О
со
СО
о
ч*
СО
а>
ч*
г^
СО
СО
а>
1^
СО
о
f-
ю
О
СМ
^*
03
ел
си
>
чф
О)
ю
(М
^*
сМ
СО
СО
о
СО
О)
СО
О)
СО
—.
СО
ю
t>«
^*
_
CM
00
00
СО
а>
'—'
00
СО
£М
СО
а>
оо
^*
о
СМ
СМ
'—'
^_
ю
05
СО
СО
си
CD
X
СО
а>
ю
00
СО
СМ
гМ
00
СМ
СО
а>
^*
00
см
СО
г-Н
о
ю
ю
СО
ю
о
о
СО
СМ
а>
00
СО
^*
~
СО
^
СМ
ю
т*<
СО
о
(М
00
о
СО
СО
а>
t^
СО
ел
t^
со
о
см
СМ
о
^
СО
00
о
а>
СМ
о
а>
^
С75
оо
ю
оо
S
о
1-Н
а>
С75
см
^*
00
СМ
СО
00
ю
см
СО
СО
о
СМ
СМ
,__
ю
05
^*
t^
о
Си
00
СО
со
00
СО
СМ
(М
СО
СМ
СО
G5
СО
о
о
t^
1-Н
оо
ю
ю
о
G5
t^
00
со
00
о
t^
^*
СО
о
ю
СО
ю
СО
СО
о
t^
ю
05
СМ
t>-
ел
^
^
05
00
о
ю
СО
00
о
СО
со
t^
t^
ю
СО
00
СО
СО
г^
СО
ю
оо
CN
Tf
СО
СМ
о
СО
^
СО
СО
t^
ю
см
00
СМ
г^
о
00
^
05
^*
СО
си
X
о
00
г^
00
ю
см
а>
СО
СО
(М
ю
00
^*
СО
^h
О)
05
(М
05
со
ю
СО
00
С75
ю
СО
ю
С75
1^
ю
СО
,__
05
СМ
о
СО
СМ
о>
^
05
СО
t^
си
с
а)
W-
^*
ю
(М
^*
СО
СМ
S
о
СО
(М
00
СО
СО
t^
о
г^
t^
1-Н
СО
^*
СО
СО
05
СМ
СО
05
t^
ю
05
СО
о
о
ю
^*
о
СМ
fM
1-Н
ю
а>
СМ
СО
СЗ
S
о
с
3
щ
ю
00
(М
(М
05
СМ
СО
г^
о
о
t^
СО
t^
t^
t^
00
оо
о
СО
^*
(М
^*
о
ю
^*
СО
СО
ю
(М
СМ
СО
СО
ю
оо
г-Н
"
о
СМ
(М
,
ю
а>
оо
СО
си
а
а
СО
00
00
о
^*
СМ
СП
оо
о
сг>
^
о>
^
СМ
оо
00
С5
со
о
оо
05
(М
СО
о
<м
СО
(М
СО
ю
ю
СМ
00
ю
СМ
1^
(М
СМ
СО
<м
г-'
СО
ю
а>
^*
t^
СЗ
*с5
ел
СЗ
о
(Гч1
СМ
а>
о
05
СМ
со
оо
о
ю
t^
СО
а>
ю
^
fM
t^
СО
t^
о
ю
СО
СО
СО
со
оо
СО
ю
СО
t^
СО
ю
СО
ю
о
t^
^*
05
^*
^
си
а.
о
15
^
см
гМ
^*
^*
ю
ю
СМ
о
сг>
со
00
СМ
см
^*
ю
00
о
СО
а>
о
^*
СО
ю
СО
о
оо
СО
см
СО
^
05
00
S
о
СМ
(М
,__
ю
05
СМ
t^
<D
5
а.
S
<
а>
СМ
сМ
о
t>«
t^
CM
со
С75
со
t>~
со
^*
СО
1^
г^
СО
о
1^
ю
сМ
1^
ю
ю
^
00
СО
о
СМ
ро
о
С75
^
,—'
rt
СО
о
1^
ю
05
СО
t^
л
си
СЗ
J
а>
СО
СО
ю
S
СО
t^
^*
ю
СО
ю
СО
СО
Ю
ю
^f
г^
о>
^t*
С5
СМ
сМ
СО
о
^+*
СО
сМ
00
^*
^_
1-Н
"
о
СМ
СМ
,__
ю
05
^*
t>-
СЗ
а.
о
3
ы
СМ
ю
5
СМ
05
сМ
ю
о
05
о
t>»
СО
ю
ю
о
t>-
см
00
ю
00
СМ
СО
ч*
ю
ю
-^
СО
S
СО
СМ
^*
СО
ю
о
1^
Tf
о
см
^
СЗ
^
о
„о
S
CD
Q
а>
^*
со
1-Н
^*
оо
*—•
СО
ю
о
сМ
СО
ю
оо
о
о
ю
^h
t^
ю
00
t>-
00
о
со
о
00
t^
СМ
СО
00
СО
^н
СМ
t>»
ю
о
t^
rh
05
о
t>-
СЗ
>
СЗ
а
г-Н
ю
ч
t^
S
а.
о
ч
о
CU
а.
3
Я
н
S
ю
а.
о
«2


Номер
астероида
433
719
887
944
1009
Ю36
1134
1139
1198
1221
1474
1566
1580
1620
1627
S * Эк(
Название
Eros
Albert
Alinda
Hidalgo
Sirene
Ganymend
Kepler
Atami
Atlantis
Amor
Beira
Icarus
Betulia
Geographos
Ivar
:центриситет орбить
Эпоха
год
1931
1911
1942
1948
1954
1950
195>
1941
* 1938
1948
1941
1958
1963
1961
1957
i e выраж
Астероиды, для которых а (1—
i 0h зфемеридного
времени
м-ц
01
10
01
02
01
06
01
06
12
06
01
09
05
12
~ 07
ается чер
число
18
02
31
29
18
28
23
19
08
28
06
24
31
07
01
S3 угол <р
Средняя
аномалия
М
0,586°
7,929
358,049
335,824
32,187
332,289
118,502
96,784
56,938
31,348
37,798
149,826
100,995
199,165
353,558
по формуле
Аргумент
перигелия
О)
эклиптика
177,930°
151,940
348,119
57,506
184,565
131,075
330,448
205,517
81,982
25,498
82,352
30,949
158,877
276,263
166,963
?=sin cp,
£)<1,5 а. е.
Долгота

восходящего узла
Q
Наклонение
и равноденствие 1950.0
304,071°
186,094
111,029
21,273
229,619
216,262
6,676
213,215
260,726
171,241
324,878
87,700
61,856
336,927
132,851
10,831°
10,825
9,024
42,529
15,839
26,298
15,027
13,102
2,722
11,926
26,799
22,965
52,026
13,326
8,430
ф*
12,879°
32,722
32,670
40,975
27,309
32.854
27,777
14,782
19,544
25,836
29,345
55,745
29,497
19,591
23,370
Таблица 1.24
Среднее
суточное
движение
2015,293"
853,665
886,351
254,384
837,875
818,600
807,467
1305,814
1052,847
1331,329
785,353
3171,528
1091,116
2556,729
1394,004
Большая
полуось
а
а. е.
1,4581
2,5852
2,5212
5,7944
2,6175
2,6584
2,6828
1,9472
2,2478
1,9223
2,7329
1,0777
2,1949
1,2442
1,8642


Наиболее крупные астероиды
Таблица 1.25
Астероид
Церера (Ceres)
Паллада (Pallas)
Сферическое
альбедо
0,06
0,07
Диаметр
в км
768
483
Астероид
Юнона (Juno)
Веста (Vesta)
Сферическое Диаметр
альбедо в км
0,12
0,26
193
385
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. I
Астрономические постоянные
1. А б а л а к и ,н В. К., Ф у р с е н к о М. А. Новая система астрономических
постоянных MAC. — «Бюллетень Ин-та теоретической астрономии», т. 11, № 8, 1968,
481—499.
2. Ал лен К. У. Астрофизические величины, пер. с англ. под ред. Д. Я.
Мартынова, М., ИЛ, 1960.
3. К у л и к о в К. А. Система астрономических постоянных.— «Астрономический
журнал», т. 42, № 3, 1965, 666—668.
4. A n d е г s о n J. D. и др . Celestial machanics experiment «Science», 158, No. 3809,
1967, 1689—1690.
5. N u 11 G. W. A solution for the Sun-Mars mass radio using Mariner IV Doppler
tracking data. «Astron. J.», vol. 72, No. 10, 1967, 1292—1298.
6. O'H a d 1 e у D. A. Determination of the mass of Jupiter from the motion of 65
Cebele. «Astron. J.», vol. 73, No. 2, Part 2, 1968, 29.
Звезды
7. Астрономический ежегодник СССР, изд- во АН СССР, 1964.
8. Под обед В. В. Фундаментальная астрометрия, М., Физматгиз, 1962.
9. Справочник по космонавтике. Под общей ред. Н. Я. Кондратьева и В. А.
Одинцова. М., Воениздат, 1966.
10. Я к о в к и н А. А., Д е м е н к о И. М., М и з ь Л. Н. Формулы и эфемериды
для полевых наблюдений на Луне. Киев, «Наукова думка», 1964.
Солнечная система
И. Брандт Д., Ходж П. Астрофизика солнечной системы, пер. с англ. под
ред. Г. А. Лейкина. М., «Мир», 1967.
12. Г о л о б о р о д ьк о Т. А. Эмпирическая зависимость между вращательными
и орбитальными моментами количеств движения у больших планет. —
«Астрономический журнал», т. 39, № 4, 1962, 761—763.
13. Чеботарев Г. А. О движении комет во внешней области солнечной
системы.— «Астрономический журнал», т* 43, № 2, 1966, 435—440.
14. Шмидт О. Ю. Возникновение планет и их спутников. Изд-во АН СССР,
1950.
Солнце
15. Вити некий Ю. И. Морфология солнечной активности. М., «Наука», 1966.
16. Космическая ф и з и к а.—Сб. статей под ред. Д. П. Ле Гэлли и А. Ро-
зена, пер. с англ. под ред. И. А. Жулина. М., «Мир», 1966.
17. Мензел Д. Г. Наше Солнце, пер. с англ. М., Физматгиз, 1963.
18. Bell В., Glaze r H. Some Sunspot and Flare Statistics, Smithsonian
Contributions to Astrophysics, vol. 3, 1959.
19. Laue E. G., D r u m m о n d A. J. Solar constant: first direct measurements
«Science», vol. 161, No. 3844, 1968, 888—891.
20. Witte B. A. Contribution to the Study of the Relation between Solar Flares
and Sunspot Groups. HAO Solar Research Memorandum, 1951.
64


Общие сведения о планетах
21. Мартынов Д. Я. Курс общей астрофизики. М, «Наука», 1965.
22. Мороз В. И. Физика планет. М., «Наука», 1967.
23. Саган К- и КеллогУ. Планеты земной группы.— «Успехи физических
наук», т. 83, № 2, 1964, 259—287.
24. Шаронов В. В. Природа планет. М., Физматгиз, 1968.
25. Dollfus A. L'eau sur Venus et Mars. «Astronomie», t. 78, 1964, 41—56.
26. Kuiper G. P. The Atmospheres of the Earth and the Planets, 2 nd ed., Univ.
of Chicago Press, Chicago, 1952.
27. Kuiper G. P. Summary of infra-red observations on stars and planets, Trans.
Internat. Astron. Union., vol. 7, 1950.
Меркурий
28. Кузьмин А. Д. Результаты радионаблюдений Меркурия, Венеры и Марса.—
«Успехи физических наук», т. 90, № 2, 1966, 303—314.
29. М о р о з В. И. Инфракрасный спектр Меркурия (Я= 1,0—3,9ц)
—«Астрономический журнал», т. 41, № 6, 1964, 1108—1117.
30. Планеты и спутники, пер. с англ. под ред. В. И. Мороза. М., ИЛ, 1963.
31. Colombo G., S h a p i г о I. I. The rotation of the planet Mercury, Spec. Rept.
Smithsonian Instn. Astrophys. Observ., No. 188 R, 1965, 25.
32. Jef f erys W. H. Rotation of the planet Mercury, «Science», vol. 152, No. 3719,
1966, 201—202.
33. L i u Han-Shou, O'Keefe John A. Theory of rotation for the planet
Mercury. «Science», vol. 150, No. 3704, 1965, 1717.
34. Mercury rotation rate confirmed as 58,6 days. «Sci. News Letter», vol. 89, No. 3,
1966, 37.
35. Mumford G. S. News notes. «Sky and Telescope», vol. 31, No. 4, 1966,
213—214.
36. Rasool S. I., Gross S. E, M с G о v e r n W. E. NASA Report, Jan. 1966.
Венера
37. Астрономический календарь. Ежегодник. Переменная часть. Вып. 71 на 1968 г.
М., «Наука», 1967.
38. Б а р а б а ш о в Н. П. Спектрофотометрия большого темного пятна на
Венере.— «Астрономический циркуляр», № 363, янв. 23, 1966, 1—2.
39. Белопольский А. А. Предварительные результаты исследования
вращения планеты Венеры около оси.— «Изв. имп. Акад. наук», V сер. (физ.-матем. кл.) т. 18,
1903, с. XVIII—XIX.
40. Г р и н г а у з К. И. и др. Плазменные измерения, проведенные вблизи Венеры
на космическом аппарате «Венера-4».— «Космические исследования», т. 6, № 3, 1968.
411—419.
41. Данилов А. Д. Радиоастрономические исследования и современные
представления об атмосфере Венеры.— «Космические исследования», т. 2, 1964, № 1,
121—136.
42. Долгинов Ш. III., Ерошенко Е. Г., Жузгов Л. Н. Исследование
магнитного поля с межпланетной станции «Венера-4».— «Космические исследования»,
т. 6, № 4, 1968, 561—575.
43. К е л л о г У., Саган К. Атмосферы Марса и Венеры, пер. с англ. М.,
ИЛ, 1962.
44. К о л о с о в М. А., Яковлев О. И., Ефимов А. И. Исследование
распространения дециметровых радиоволн в атмосфере Венеры с помощью автоматической
межпланетной станции «Венера-4», ДАН СССР, т. 182, № 1, 1968, 93—94.
45. К о р о л ьк о в .Д. В. и др. Радиоастрономические наблюдения Венеры с
высокой разрешающей способностью. ДАН СССР, т. 149, № 1, 1963, 65—67.
46. Кузьмин А. Д., Кларк Б: Дж. Измерения поляризации и
распределения яркостнои температуры Венеры на волне 10,6 см.— «Астрономический журнал», т. 42,
№ 3, 1965, 595—617.
47. Л о м о н о с о в М. В. Явление Венеры на Солнце, наблюденное в
Санкт-Петербургской императорской Академии наук майя 26 дня 1761 года, Санкт-Петербург,
1761 года. Поли. собр. соч., Изд-во АН СССР, т. 4, 1955, 361—376.
48. М о р о з В. И. Инфракрасный спектр Венеры (1—2,5ц-).— «Астрономический
журнал», т. 40, № 1, 1963, 144—153.
3 3669 65


49. М о р о з В. И., К у р т В. Г. Атмосфера Венеры (сопоставление результатов
астрономических наблюдений и прямого эксперимента).— «Космические исследования»,
т. 6, № 4, 1968, 576—585.
50. М о р о з В. И. Новые наблюдения инфракрасного спектра Венеры (Я= 1,2—
3,8ц).— «Астрономический циркуляр», 1963, № 262, 6—7; «Астрономический журнал»,
т. 41, №4, 1964, 711—719.
51. МурП. Планета Венера, пер. с англ. под ред. М. С. Боброва. М., ИЛ, 1961.
52. Раушенбах Б. В. Система управления межпланетной автоматической
станции «Венера».— «Космические исследования», т. 6, № 4, 1968, 551—560.
53. Р ж и г а О. Н. Результаты радиолокации планет.— «Космические
исследования», т. 7, № 1, 1969, 84—91.
54. Шаронов В. В. Планета Венера. М, «Наука», 1965.
55. А 11 е n J. А. V а п и др. Venus: an upper limit an intrinsic magnetic dipole
moment based on obsence of a radiation belt. «Science», vol. 158, No. 3809, 1967, 1673—
1675.
56. В a r t h С. А. и др. Ultraviolet emissions observed near Venus from Mariner V.
«Science», vol. 158, No. 3809, 1967, 1675—1678.
57. В e 1 о р о 1 s k у A. Uber die Rotation von Venus. Obs. Centr. Poulkovo (отдельн.
издание), 1911.
58. В о 11 e m a M. и др. Composition of the clouds of Venus, «Astrophys J.»,
vol. 140, No. 4, 1964, 1640—1641.
59. В о у e r Ch., С a m i с h e 1 H. Observations photographiques de la planete Venus,
«Ann. astrophys», t. 24, No. 6, 1961, 531—535. *
60. В о у e r Ch. Recherches sur la rotation de Venus, «Astronomie», t. 79, 1965,
223—228.
61. В r i d ge H. S. и др. Mariner V: plasma and magnetic fields observed near
Venus, «Science», vol. 158, No. 3809, 1967, 1669—1673.
62. Carpenter R. L. Study of Venus by CW-radar. «Astron. J.», vol. 69, No. 1,
1964, 2—11; vol. 70, No. 2, 1965, 134.
63. Ewing A. Water vapor on Venus. «Sci. News Letter», vol. 85, No. 17, 1964,
261.
64. Guinot В., Fessel M. Mesure spectrographique de mouvents dans l'at-
mosphere de Venus, «J. observateurs», t. 51, No. 1, 1968, 13—20.
65. Her zb erg G., Herzberg L. J. «Opt. Soc. Amer.», vol. 43, 1953, 1037—
1044.
66. К u i p e r G. P. Determination of the pole of rotation of Venus. «Astrophys. J.»,
vol. 120, 1954, 603—605.
67. Kuiper G. P. Infrared spectra of stars and planets. I. Photomeetry of the
infrared spectrum of Venus, 1—2,5 microns, Communications of Lunar and Planet, Lab.,
vol. 1, No. 14—16, 1962, 83—117.
68. P e 11 i t E. S., Nicholson S. B. Temperatures of the bright and dark sides
of Venus. «Publ. Astron. Soc. Pacif.», vol. 67, 1955, 293—303.
69. Pluss G. H., Stull V. R. «J. Geophys. Res.», vol. 68, No. 5, 1963, 1355.
70. Richardson R. S. Observations of Venus made at Maunt Wilson in the
winter of 1954—1955, «Pubis. Astron. Soc. Pacif.», vol. 67, No. 398, 1955, 304—314.
71. Richardson R. S. Spectroscopic observations of Venus rotation made at
Maunt Wilson in 1956. «Publ. Astron. Soc. Pacif.», vol. 70, No. 414, 1958, 251—260;
«J. Brit. Interplanet. Soc», vol. 16, No. 9, 1958, 517—526.
72. Shapiro I. Rotation of Venus. Discussion on the paper: «Rotation of Venus:
continuing contradictions» by B. A. Smith. «Science», vol. 159, No. 3819, 1968, 1124.
73. Sinton W. M., Infrared observations of Venus. «Mem. Soc. Roy. Sci. Liege»,
vol. 7, No. 1, 1963, 300—313, 364—368.
74. Smith B. A. Rotation of Venus: continuing contradictions. «Science», vol. 158,
No. 3797, 1967, 114—116.
75. S p i n r a d H. Spectroscopic temperature and pressure measurements in the
Venus atmosphere. «Publ. Astron. Soc. Pacif.», vol. 74, No. 438, 1962, 187—201.
76. S p r e i t e r John R. On the maximum magnetic moment of Venus. «J.
Geophys. Res.», vol. 70, No. 17, 1965, 4399—4400.
77. Strong J., Ross M. D., M о о г е С. В. «J. Geophys. Res.», vol. 65, 1960,
2526.
78. Venus: ionosphere and atmosphere as measured by dual — frequency radio
occultation of Mariner V. «Science», vol. 158, No. 3809, 1967, 1678—1683.
79. W a 1 k e r R. G., S a g a n С The ionospheric model of the Venus microwave
emission: an obituary, preprint, 1965.
80. Water vapor on Venus. «Sky and Telescope», vol. 27, No. 6, 1964, 331, 348.
Земля и околоземное пространство
81. Адам Н. В. и др. Синтез геомагнитного поля по коэффициентам
сферического анализа.— «Геомагнетизм и аэрономия», «Наука», т. 4, № 1, 1964.
66


82. Адам Н. В. и др. Сферический гармонический анализ мировых магнитных
карт эпохи 1960 г.— «Геомагнетизм и аэрономия», т. 4, № 6, 1964.
83. Б е н ь к о в а Н. П. Магнитное поле Земли на больших высотах.— Труды
третьего совещания по вопросам космогонии 14—15 мая 1953 г. Происхождение
космических лучей. Изд-во АН СССР, 1954.
84. Вопросы атмосферной оптики и актинометрии.— «Труды Главной
геофизической обсерватории», Л., 1965, № 168.
85. Г р у ш ин ск и й Н. П. Теория фигуры Земли. М., Физматгиз, 1963.
86. Долгинов Ш. Ш., Пушков Н. В., Исследование магнитного поля в
космическом пространстве.— «Космические исследования», т. 1, 1963, № 1.
87. Жо нголович И. Д. Внешнее гравитационное поле Земли и
фундаментальные постоянные, связанные с ним.— «Труды ин-та теоретической астрономии». № 3,
Изд-во АН СССР, 1952.
88. Кондратьев К- Я., Филиппович О. П. Тепловой режим верхних
слоев атмосферы. М., Гидрометеоиздат, 1960.
89. Космонавтика. Маленькая энциклопедия. М, «Советская энциклопедия»,
1968.
90. К о ч и н а Н. Г. Влияние гравитационных аномалий Земли на движение
искусственных спутников.— «Труды института теоретической астрономии». № 9, Изд-во
АН СССР, 1962.
91. Матвеев Л. Т. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.,
Гидрометеоиздат, 1965.
92. Николе М. Аэрономия, пер. с англ. М., «Мир», 1964.
93. П э ш у о й К. Сферический анализ геомагнитного поля эпохи 1955,0.—
«Геомагнетизм и аэрономия», т.-2, вып. 1, 1962.
94. Ф е с е н к о в В. Г. К вопросу об исследовании атмосферного озона путем
фотометрии лунных затмений.— «Астрономический журн.», т. 36, 1959, № 4.
95. Ш е в н и н А. Д. Об измерении Х-, У-, Z-составляющих геомагнитного поля на
спутниках и ракетах.— «Космические исследования», т. 3, № 2, 1965.
96. Ш е в н и н А. Д. О возмущающем моменте спутника, движущегося в
магнитном поле Земли.— «Космические исследования», т. 3, № 5, 1965.
97. Э л ь я с б е р г П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965.
98. Handbook of Astronautical Engn., New-York — Toronto — London, by H. H. Ko-
elle, editor — in Chief, 1965.
99. Y a t e s G. K. «J. Geophys. Res.», vol. 69, No. 15, 1964.
M a p с
100. Б а р а б а шев Н. П. Об изменении цвета «морей» Марса.—
«Астрономический журнал», т. 24, № 3, 1947.
101. Барабашев Н. П. О возможности увидеть отражение Солнца (блик) в
«морях» Марса, «Циркуляр астр. обе. Харьк. ун-та», т. 10, 1952.
102. Б а р а б а ш ев Н. П. О некоторых изменениях на Марсе по наблюдениям
в 1920, 1924, 1926, 1930, 1931, 1935, 1939, 1941 и 1950 гг.—«Циркуляр астр. обе. Харьк.
ун-та», т. 7, 1951.
103. Бронштэн В. А. Предварительные результаты изучения снимков Марса,
полученные «Маринером-4».— «Астрономический журнал», т. 43, № 6, 1966, 1261—1266.
104. Вакулер Ж. Физика планеты Марс, пер. с франц. М., ИЛ, 1956.
105. Мороз В. И. Рецензия на марсианский выпуск «Сообщений Лаборатории
Луны и планет».— «Астрономический журнал», т. 43, № 6, 1966.
106. Р ж и г а О. Н. Оценка физических свойств поверхности Марса по
результатам радиоастрономических и инфракрасных наблюдений.— «Астрономический журнал»,
т. 44, № 1, 1967.
107. Страхов Н. М. К вопросу о возможностях образования гидроокисей
железа на поверхности Марса.— «Астрономический журнал», т. 43, № 6, 1966.
108. Суслов А. К. Новая оценка количества воды на Марсе.— «Астрономический
журнал», т. 43, № 6, 1966.
109. Сытинская Н. Н. Результаты наблюдений Марса во время великого
противостояния 1956 г. в СССР. Изд-во АН СССР, 1969.
110. А 11 en J. A. V a n et al., Absence of martion radiation belts and implications
the reof., «Science», 149, No. 3689, 1965, 1228—1233.
111. Antoni a di E. M. La Planete Mars, Paris, Hermann and Cie, 1930.
112. Coblentz W., LamplandC, MenzelD. Temperatures of Mars, 1926;
«Publ. Astron. Soc. Pacific», vol. 39, 1927, 26—34; «Pop. Astr.», vol. 35, 1927, 145; «Scient.
pap. Bureau of Standards», vol. 22, No. 553, 1927, 237.
113. Gifford F. The surface temperature climate of Mars, «Astrophys. Journ.»,
vol. 123, 1956, 154—161.
114. Kaplan L. D., Munch-G., Spinrad H. An analysis of the spectrum of
Mars. «Astrophys. J.», vol. 139, No. 1, 1964, 1—15.
115. К i 1 s t о n S. D., DrummondR. R, S a g a n C. A search for life on Earth
at kilometer resolution, «Icarus», vol. 5, No. 1, 1966, 79—98.
3*
67


116. Kliore А. и др. Occultation experiment: results of the first direct
measurement of Mars's atmosphere and ionosphere, «Science», vol. 149, No. 3689, 1965, 1243—1248.
117. Lowell P. Mars and its canals, New York, 1906.
118. McElroy M. B. The upper atmosphere of Mars. «Astrophys. J.» vol. 150,
No. 3, Part. 1, 1967, 1125—1138.
119. Miyamoto S. Martian atmosphere and crust., «Icarus», vol. 5, No. 4, 1966,
360-374.
120. Miyamoto S. Meteorological observations of Mars during the 1965
opposition. «Contribs Inst. Astrophys. and Kwasan Observ. Univ. Kyota», No. 141, 1965, 45.
121. NASA engineering models of the Mars atmosphere for entry vehicle design. Eds
Levin George M., Evans Dallas E., Stevens Victor. NASA Techn. Note ND — 2525,
Washington, D. C, 1964, 47.
122. Opik E. J. The martian surface, «Science», vol. 153, No. 3733, 1966, 255—265.
123. Sagan C, Pollack J. B. Elevation differences on Mars. «Spec. Reph
Smithsonian Astrophys. Observ.», No. 224, 1966.
124. Sagan C, Pollack J. B. On the nature of the canals of Mars, «Nature»
(Engl.), vol. 212, No. 5058, 1966, 117—121.
125. Slipher E. С A Photographic History of Mars, 1905—1961, Lowell Obs.,
Flagstaff, Ariz., 1962.
126. West G. S., Ir. R о b e r t s W. T. The atmosphere of Mars: a derivation of
parameters for engineering and design aplications. «Inst. Environm. Sci. Annual Techn.
Meet. Proa, Washington, D. C, 1967», 121—125.
Юпитер
127. Всехсвятский С. К- О природе изменений на поверхности Юпитера.—
«Астрономический журнал», т. 42, № 3, 1965.
128. Гурко О. В. Интересное явление на Юпитере.— «Бюллетень ВАГО»,
№29 (36), 1961.
129. Кротиков В. Д., Троицкий В. С. и Цейтлин Н. М.
Температура радиоизлучения Луны и Юпитера на волне 70,16 см. — «Астрономический журнал»,
т. 41, № 5, 1964, 951—954.
130. Мороз В. И. Спектры Юпитера и Сатурна в области 1—2,5ц.—
«Астрономический журнал», т. 43, № 3, 1966, 579—592.
131. Тейфель В. Г. К вопросу о фотометрических свойствах Красного Пятна
на Юпитере.— «Астрономический журнал», т. 41, № 3, 1964.
132. Тейфель В. Г. О высоте верхней границы Красного Пятна на Юпитере.
«Астрономический циркуляр», № 232, 1962.
133. Berge G. L. An interferometric study of Jupiter's decimeter radio emission,
«Astrophys. J.», vol. 146, No. 3, 1966, 767—798.
134. Chapman C. R. The discovery of Jupiter's Red Spot. «Sky and Telescope»,
vol. 35, No. 5, 1968, 276—278.
135. DulkG., RayhrerB., Lawrence R. The size of Jupiter's decametric
radio source, «Astrophys. J.», vol. 150, No. 2, Part. 2, 1967, 117—120.
136. .Fr a nk 1 i n K. L. Radio waves from Jupiter, «Scient. Amer.», vol. 211, No. Ц
1964, 35—42.
137. Komesaroff M. M., McCulloch P. M. The radio rotation period of
Jupiter, «Astrophys. Letters», vol. 1, No. 2, 1967, 39—41.
138. New Scientist, 29, No. 487, 1966, 702.
139. О wen T. «Publ. Astron. Soc. Pacific», vol. 75, 1964, 324.
140. Owen Т., Walsh Т. Radiation balance of Jupiter and Saturn. «Nature»
(Engl.), vol. 208, No. 5009, 1965, 476—477.
141. Peek В. М. Sudden changes in the motion of Jupiter's Great Red Spot during
1962, «Monthly Notices Roy. Astron. Soc», vol. 130, No. 5—6, 1965, 423—427.
142. S 1 e e О. В., G e n t H. Dekametric radio emission from Jupiter. «Nature»
(Engl.), vol. 216, No. 5112, 1967, 235—238.
143. Slipher V. The spectra of the mojor planets, «Lowell. Obs. Bull.», No. 42,
1909.
144. W i 1 d t R. Photochemistry of planetary atmospheres. «Astrophys. Journ.»,
vol. 86, 1937, 324—325.
Сатурн
145. Бобров М. С. К вопросу о толщине колец Сатурна.— «Астрономический
журнал», т. 33, № 2, 1956.
146. А 1 ex a n d er A. F. O'D. The planet Saturn. A history of observation, theory
and discovery, London, Faber and Faber, 1962, 474.
147. Lenham A. P. An analysis of Saturn intensity observations III. «J. Brit.
Astron. Assoc», vol. 76, No. 4, 1966, 258—260.
148. Lenham A. P. The latitudes of Saturn's belts. «J. Brit. Astron. Assoc»,
vol. 76, No. 3, 1966, 186—187.
68


149. Moore P. Recent observations of Saturn, «J. Brit. Astron. Assoc», vol. 75,
No. 4, 1965, 215—216.
Уран, Нептун, Плутон
150. Киладзе Р. И. К вопросу о периоде вращения Плутона.— «Бюллетень Аба-
стуманск. астрофиз. обсерв.», № 34, 1966.
151. Паренаго П. П. О вращении Урана вокруг оси.— «Астрономический
журнал», т. 11, № 5, 1934, 487—496.
152. Р у б а ш е в с к и й А. А. Метод определения диаметра Плутона из
наблюдений покрытия звезд. Замечания к работе Холидея.— «Астрономический журнал», т. 43,
№ 1, 1966.
153. Alexander A. F. O'D. The planet Uranus. A history of observation, theory
and discovery. London, Faber and Faber, 1965, 316.
154. Gtinter 0. Der Rotationslichtwechsel des Neptun, «Astron. Nachr.», Bd. 282,
1—14, 1955, 247—251.
155. H a r d i e R. A re-examination of the light variation of Pluto, «Astron. J.»,
vol. 70, No. 2, 1965, 140.
156. Herrmann J. Portrat eines fernen Planeten: Pluto, «Sterne und Welfraum»,
Bd. 5, No. 6, 1966, 132—137.
157. К e 11 e r m a n K. I., P a u 1 i n у - T о t h I. I. K. The detection of the thecmal
radio emission from Uranus and Neptune at 1,9 cm., «Astron. J.», vol. 71, No. 6, 1966, 390.
158. Lowell P. Spectroscopic discovery of the rotation period of Uranus. «Lowell
Obs. Bull.», vol. 2, No. 53 (3), 1912, 17—78.
Спутники планет
159. Бакулин П. И. и др. Курс общей астрономии. М., «Наука», 1966.
160. Виноградов А. П. и др. Измерение гамма-излучения лунной поверхности
на космической станции «Луна-10».— «Геохимия», 1966, № 8.
161. Виноградов А. П. и др. Исследование интенсивности и спектрального
состава гамма-излучения Луны на автоматической станции «Луна-10». ДАН СССР,
т. 170, №3. 1966.
162. Гуревич В. Б. Астрономическое определение местоположения на Луне.—
«Астрономический журнал», т. 44, № 1, 1967.
163. Гуревич В. Б. О вычислении и точности селеноцентрических
экваториальных координат звезд.— «Астрономический журнал», т. 42, 1965, № 2, 437—451.
164. Гурштейн А. А. О программах «Рейнджер» и «Сервейор».— «Земля и
вселенная», 1966, № 6, 30—37.
165. Калиняк А. А. Данные о спектрах галилеевских спутников Юпитера.—
«Астрономический журнал», т. 42, № 5, 1965.
166. Лисина Л. Р., Шевченко В. В. Определение селенографических
координат точек лунной поверхности и расстояний между ними при фотометрическом
способе исследования углов наклона.— В сб.: «Фигура и движение Луны», отв. ред.
А. А. Яковкин. Киев, «Наукова думка», 1965, 80—91.
167. Мороз В. И. Опыт инфракрасной спектрофотометрии спутников: Луна и
галилеевские спутники Юпитера.— «Астрономический журнал», т. 42, № 6, 1965.
168. Новое о Луне. Доклады и сообщения на Международном симпозиуме по
исследованию Луны, 6—10 дек. 1960. Пулково, под ред. А. А. Михайлова и др. АН СССР,
1963.
169. Эрике К. Космический полет, т. 1. М., Физматгиз, 1963.
170. Яковкин А. А. и др. Формулы и эфемериды для полевых наблюдений на
Луне. Киев, «Наукова думка», 1964.
171. Arthur D. W. G. Consolidated catalog of selenographic positions, «Communs
Lunar and Planetary Lab.», vol. 1, No. 11, 1962, 47—49.
172. Berg S. Le bilan de masse de la Lune est negatif ont estime d'eminets savants
a la reunion du COSPAR, «Air et cosmos», t. 4, No. 156, 1966, 21—23.
173. Binder А. В., CruikshankD. P. Evidence for an atmosphere on Io.
«Icarus», 3, No. 4, 1964, 299—305.
174. Binder А. В., CruikshankD. P. Photometrik search for atmospheres on
Europa and Ganymede, «Icarus», vol. 5, No. 1. 1966, 7—9.
175. Bray T. A., G о u d a s С L., К о p a 1 Z. Estimates of the zonal gravity
harmonics of the Moon, «Icarus», vol. 7, No. 1, 1967, 76—84.
176. Dollfus A. Un nouveau satellite de Saturne, «C. r. Acad, sci.», t. 264,
No. 10, 1967, B. 822—B. 824.
177. Duncan R. A. Modulation of Jupiter decametric emission by the satellite Io,
«Planet and Space Sci.», vol. 13, No. 10, 1965, 997—1001.
178. H a 11 i d а у I. Recent studies of the Moon. «J. Roy Astron. Soc. Canada»,
vol. 59, No. 4, 1965, 174—176.
179. Jaffe L. D. Surface structure and mechanical properties of the lunar maria.
«J. Geophys, Res.», vol. 72, No. 6, 1967, 1727—1731.
69


180. J a p e t, «Bulletin docum. observ. Stat, astropys., Forcalquier», vol. 12, No. 7,
1962, 4.
181. Koziel K. Krater Mosting A as the first-order point of triangulation on the
Moon, «Life Sci. and Space Res.», vol. 2, Amsterdam, 1964, 140—144.
182. McCartney E. J. Navigational Environment of the Moon, «Navigation»,
vol. 10, No. 2, 1963, 154—160.
183. «Science News», vol. 94, No. 25, 1968, 622.
184. «Sky and Teleskope», vol. 33, No. 3, 1967, 159—160.
185. Surveying the Moon: first results, «Flight Internat.», vol. 91, No. 2994, 1966,
145—148.
Астероиды
186. Левин Б. Ю. О размерах астероидов, «Астрономический циркуляр»,
№ 141, 1953.
187. Рийвес В. Г. Коэффициент фазы как показатель степени изрытости
поверхности астероидов.— «Публ. астрон. обсерв. Тарту», т. 32, № 2, 1952.
188. С ыт и н с к а я Н. Н. Опыт колориметрического сравнения астероидов и
земных горных пород.— «Астрономический журнал», т. 42, № 1, 1965.
189. W i d о г п Т. Zur photometrischen Bestimmung der Durchmesser der kleinen
Planeten. «Ann. Univ.—Sternwarte Wien», Bd. 27, Nr. 2—4, 1967,


ГЛАВА II
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ВРЕМЯ
2.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
При изучении движения космических аппаратов (КА) и небесных тел применяются
прямоугольные, криволинейные и оскулирующие системы координат. Криволинейными
координатами являются цилиндрические, сферические, эллипсоидальные, параболоидаль-
ные координаты.
В зависимости от места положения начала координат системы делятся на:
— гелиоцентрические — с началом координат в центре масс Солнца;
— геоцентрические — с началом координат в центре масс Земли;
— топоцентрические — начало координат в пункте наблюдения на поверхности
Земли;
— барицентрические — с началом координат в центре масс КА;
— планетоцентрические — с началом координат в центре масс планет: Венеры,
Марса, Юпитера и др.;
— селеноцентрические — с началом координат в центре масс Луны.
В зависимости от выбора основной плоскости системы делятся на
экваториальные, эклиптические и др. В зависимости от выбора направления осей систем по
отношению к пространственным ориентирам системы делятся на вращающиеся и невращаю-
щиеся (инерциальные).
Для геоцентрических (эклиптических, экваториальных) и гелиоцентрических
систем координат необходимо указать момент времени (эпоху), к которому отнесена
принятая система координат.
Эпоха — момент времени, для которого дается значение каких-либо величин,
изменяющихся со временем и определяющих ориентировку координатной системы (или
определяющих положение небесного светила).
В настоящей главе приводятся наиболее употребительные системы координат.
2.1.1. Гелиоцентрические прямоугольные системы координат
а. Эклиптическая система координат XYZ (рис. 2.1). Начало — в центре
масс Солнца. Ось X направлена в точку весеннего равноденствия Т\ ось 2^— по
нормали к плоскости эклиптики, в сторону Северного полюса Солнца, а ось Y дополняет
систему до правой.
б. Экваториальная система координат xyz (рис. 2.2). Начало^— в центре
масс Солнца. Ось х направлена в точку весеннего равноденствия °f , ось z — по
нормали к плоскости земного экватора, в сторону Северного полюса, а ось у дополняет
систему до правой.
2.1.2. Геоцентрические прямоугольные системы координат
а. Эклиптическая система координат £г|£ (рис. 2.3). Начало — в центре
масс Земли О. Ось £ направлена в точку весеннего равноденствия Т , ось £ — по
нормали к плоскости эклиптики W и направлена в сторону Северного полюса Земли, а
ось г\ дополняет систему до правой.
б. Экваториальная (абсолютная, звездная) система координат XYZ
(рис. 2.4). Начало — в центре масс Земли О. Ось X направлена в точку весеннего
равноденствия Т , ось Z совпадает с осью вращения Земли и направлена на
Северный полюс Земли Я, а ось Y дополняет систему до правой.
в. Гринвичская система координат xyz (рис 2 5) Начало — в центре масс
Земли О. Сама система связана € вращающейся Землей Ось х направлена в точку (пере-
71


сечения гринвичского меридиана с экватором, ось z совпадает с осью вращения Земли и
направлена на Северный полюс Земли, а ось у дополняет систему до правой.
г. Л у н н о г ео центрическая система координат X Y Z (рис. 2.6).
Начало — в центре масс Земли О. Ось УЛ направлена в нисходящий относительно
земного экватора узел лунной орбиты Ял, ось Zn нормальна плоскости орбиты Луны и
Рис. 2.1. Гелиоцентрическая эклип- Рис. 2.2. Гелиоцентрическая эква-
тическая прямоугольная система ториальная прямоугольная система
координат координат
расположена в Северном полушарии Земли, а ось Xя дополняет систему до правой
д. Лунноэкваториальная система координат X3YdZd (рис. 2.7). Начало —
в центре масс Земли О. Ось Уэ совпадает с направлением оси Y , ось Z3 —
направлена по оси вращения Земли в сторону Северного полюса Земли Я, а ось Хэ дополняет
систему до правой.
Рис. 2.3. Геоцентрическая эк тип- Рис, 2. 4. Геоцентрическая эква-
тическая прямоугольная система ториальная (абсолютная, звезд-
координат ная) прямоугольная система
координат
е. Орбитальная система координат £г]£ (рис. 2.8). Начало — в центре масс
Земли О. Ось g направлена в перицентр орбиты П (или в точку восходящего узла
орбиты Q), ось £ — по нормали к плоскости орбиты КА в сторону вектора кинетического
момента движения КА, а ось г] дополняет систему до правой.
2.1.3. Геоцентрические криволинейные системы координат
а. Цилиндрическая система координат ruz (рис. 2.9). Начало — в центре
масс Земли О. Ось z совпадает с осью £ орбитальной системы координат; г — радиус-
вектор КА, расстояние от центра масс Земли до центра масс рассматриваемого КА;
и—угол-в плоскости орбиты, отсчитываемый от надравления на восходящий узел орбиты
Q (или угол # от направления на 'перицентр Я) до направления на КА.
б. Эклиптическая сферическая система координат рЯр (рис. 2.10). Начало—
в центре масс Земли О, К — астрономическая долгота, угловое расстояние по эклип-
72


Рис. 2.5. Геоцентрическая грии- Рис. 2.6. Лунногеоцентрическая
вичская прямоугольная система прямоугольная система коор-
координат динат
Рис. 2. 7. Лунноэкваториальная Рис. 2. 8. Геоцентрическая орби-
прямоугольная система коор- тальная прямоугольная система
динат координат
Рис. 2.9. Геоцентрическая Рис. 2.10. Геоцентрическая
цилиндрическая система ко- эклиптическая сферическая
ординат система координат
73


тике от точки весеннего равноденствия Т до меридиана светила (КА); отсчитывается
в сторону, противоположную суточному вращению небесной сферы; Р —
астрономическая широта, угловое расстояние по небесному меридиану от эклиптики до светила
(КА); р — радиус-вектор светила, расстояние от центра масс Земли до светила (КА).
Начальный меридиан
Р /-
Полюс Мира
Рис. 2. 11. Первая
экваториальная сферическая система
координат
Рис. 2. 12. Вторая
экваториальная сферическая
система координат
в. Первая экваториальная сферическая система координат р^б
{рис. 2.11). Начало в центре масс Земли О, t — часовой угол светила (КА),
определяемый дугой небесного экватора между начальным меридианом и кругом склонения
светила (КА); б — склонение, угловое расстояние от небесного экватора до проекции
небесного тела (КА) на небесную сферу; р — радиус-вектор светила (КА).
г. Вторая экваториальная сферическая система координат раб
(рис. 2.12). Начало — в центре масс Земли О, а — прямое восхождение светила (КА),
угловое расстояние по небесному экватору от точки весеннего равноденствия Т до
меридиана светила (КА); б — склонение, угловое расстояние по меридиану от небесного
экватора до светила; р — радиус-вектор светила (КА).
2.1.4. Геоцентрические сферические системы координат, определяющие
положение точки на земной поверхности
а. Геоцентрическая система координат рофцА, (рис. 2.13). q0 —
радиус-вектор пункта наблюдения, расстояние от центра масс Земли до пункта наблюдения;
фц—геоцентрическая широта, угол между радиусом-вектором и плоскостью земного
экватора; К — геоцентрическая долгота, угол между гринвичским меридианом и меридиа-
{риндичскиа
" меридиан
Пункт
наблюдения
Гринвичский kz
меридиан
Пункт
наблюдения
Рис. 2. 13. Геоцентрическая
сферическая система
координат
Рис. 2. 14. Геодезическая
сферическая система координат
ном пункта наблюдения; положительное направление отсчитывается от гринвичского
меридиана на Восток.
б. Геодезическая система координат QoBL (рис. 2.14). р0 — радиус-вектор
пункта наблюдения; В — геодезическая широта, угол между нормалью к поверхности
референц-эллипсоида и плоскостью земного экватора; L — долгота, угол между
гринвичским меридианом и меридианом пункта наблюдения,
74


в. Географическая (астрономическая) система координат оофД
(рис. 2.15). ро — радиус-вектор пункта наблюдения; срг — географическая широта, угол
между направлением силы тяжести (линии отвеса) в пункте наблюдения и плоскостью
экватора; К — долгота, угол между гринвичским меридианом и меридианом пункта
наблюдения.
Рис. 2. 15. Географическая сфе- Рис. 2. 16. Топоцентрическая
рическая система координат стартовая прямоугольная
система координат
2.1.5. Топоцентрические прямоугольные системы координат
а. Стартовая система координат xyz (рис. 2.16). Начало — на поверхности
Земли в точке старта С, определяемой географической широтой фг и долготой X.
Ось Ш лежит в горизонтальной плоскости и задается азимутом запуска г|),
отсчитываемого по часовой стрелке^от направления на Северный полюс Земли до плоскости
траектории запуска КА, ось у направлена вверх прямо противоположно направлению
силы тяжести (линии отвеса), а ось z дополняет систему до правой.
Рис. 2. 17. Топоцентрическая Рис. 2. 18. Топоцентрическая стар-
земная прямоугольная система товая начальная система коор-
координат динат
б. Земная система координат Хцу3г3 (рис. 2.17). Начало —в точке старта С.
Ось х3 задается азимутом запуска яр, ось у3 направлена вверх по прямой, проходящей
через центр масс Земли и точку старта, а ось z3 дополняет систему до правой.
в. Стартовая начальная система координат *н#н2н (рис. 2.18). Начало
системы совпадает с началом стартовой системы координат. Координатные оси в
момент старта совпадают с осями стартовой системы координат и в дальнейшем не
меняют своего положения относительно вращающейся Земли.
г. Стартовая «замороженная» система координат x'y'z' (рис. 2.19).
Начало системы совпадает с началом стартовой системы координат. Координатные оси
в момент старта совпадают с осями стартовой системы координат и в дальнейшем не


меняют своего положения относительно геоцентрической экваториальной прямоугольной
системы координат XYZ.
д. Пунктовая система координат £пг|п£п (рис. 2.20). Начало — в точке
расположения пункта наблюдения (НП), определяемой геодезической широтой В и дол-
Рис. 2.19. Топоцентрическая Рис. 2.20. Топоцентрическая
стартовая замороженная пря- пунктовая прямоугольная
моугольная система координат система координат
готой L. Ось In направлена на Северный полюс Земли Р по касательной к меридиану
пункта наблюдения; ось Tin — по внешней нормали к земному эллипсоиду, а ось £п
дополняет систему до правой.
Рис. 2.21. Топоцентрическая Рис. 2.22. Топоцентрическая
экваториальная прямоугольная сферическая система координат
система координат
е. Экваториальная система координат ^'ц'Ъ' (рис. 2.21). Начало — в точке
расположения пункта наблюдения НП. Ось %' направлена в точку весеннего
равноденствия Т ; ось £' направлена параллельно оси вращения Земли в сторону Северного
полюса Р\ ось ц' дополняет систему до правой. Основная плоскость £'г|' системы
параллельна плоскости экватора Земли.
2.1.6. Топоцентрическая сферическая система координат
Сферическая система координат ра'б' (рис. 2.22). Начало — в точке
расположения пункта наблюдения НП, основная плоскость системы координат параллельна
земному экватору; q — радиус-вектор наблюдаемого КА, расстояние от пункта
наблюдения до центра масс КА; а' — прямое восхождение КА, угол между направлением на
точку весеннего равноденствия Т и проекцией радиуса-вектора КА на основную
плоскость; 6' — склонение КА, угол между радиусом-вектором КА и основной плоскостью
(отсчет углов а' и 6' показан на рис. 2.22).
2.1.7. Барицентрические прямоугольные системы координат
а. Орбитальная система координат xbn (рис. 2.23). Начало_— в центре
масс КА. Ось Ь нормальна плоскости орбиты КА и коллинеарна вектору С кинетическо-
76


го момента движения КА (вектор интеграла площадей); ось п направлена по радиусу-
вектору КА в сторону его возрастания, ось т^дополняет систему до правой.
б. Скоростная система координат 1т]£ (рис. 2.24). Начало — в центре
масс КА. Ось £ совпадает с вектором скорости V КА; ось г\ нормальна плоскости^
орбиты КА и коллинеарна вектору С кинетического момента движения КА, а ось £
дополняет систему до правой.
Рис. 2. 23. Барицентрическая Рис. 2. 24. Барицентрическая
орбитальная прямоугольная скоростная прямоугольная
система координат система координат
в. Горизонтальная система координат т'Ь'п' (рис. 2.25). Ось т' лежит в
плоскости орбиты и местного горизонта и направлена в сторону движения КА, ось пг
направлена в Зенит, а ось br дополняет систему^о правой.
г. Связанная система координат x\y\Z\ (рис. 2.26). Начало — в центре тя-)
жести ракеты-носителя КА. Ось Х\ коллинеарна продольной оси ракеты-носителя КА,
направлена в сторону вектора тяги и в момент / = 0 коллинеарна оси у стартовой си- '
стемы; ось у\ в момент /=0 направлена противоположно оси х стартовой системы, а
ось Z\ дополняет систему до правой.
Рис. 2. 25. Барицентрическая Рис. 2. 26 Барицентричо-
горизонтальиая прямоуголь- екая связанная прямо-
ная система координат угольная система
координат
д. Скоростная связанная система координат £сг|с£с (рис. 2.27). Начало
системы совпадает с началом связанной с КА системы координат. Ось £с направлена по
вектору V скорости КА, ось г\с — в сторону вектора ускорения силы тяжести g, а ось
£с дополняет систему до правой.
2.1.8. Планетоцентрические прямоугольные системы координат
а. Невращающаяся система координат ^r\t, (рис. 2.28). Начало — в центре
масс планеты, основная плоскость совпадает с плоскостью невозмущенной орбиты
планеты. Ось g направлена в центр масс Земли; ось £ нормальна плоскости орбиты планеты
и коллинеарна вектору С кинетического момента движения планеты, а ось г\ дополняет
систему до правой.
77


Рис. 2.27. Барицентрическая
скоростная связанная
прямоугольная система координат
Рис. 2.28. Планетоцентрическая невращающаяся прямоугольная
система координат
Рис. 2. 29. Планетоцентрическая
вращающаяся прямоугольная
система координат
Рис. 2.30. Селеноцентрическая
абсолютная прямоугольная
система координат


б. Вращающаяся система координат xyz (рис. 2.29). Начало — в центре
масс планеты, основная плоскость ху совпадает с плоскостью планетного экватора.
Ось х направлена в нулевой меридиан, от которого ведется счет долгот поверхности
планеты, ось z— по оси вращения планеты, а ось у дополняет систему до правой.
2.1.9. Селеноцентрические прямоугольные системы координат
а. Селеноцентрическая абсолютная система координат X'Y'Z'
(рис. 2.30). Начало—в центре масс Луны О'. Оси системы параллельны осям
геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат XZY.
б. Селеноцентрическая экваториальная вращающася система координат
x'y'z' (рис. 2.31). Начало — в центре масс Луны О' Ось х' лежит в плоскости
среднего экватора Луны и направлена в нулевой меридиан, определяемый углом ф; ось zr
направлена по вектору кинетического момента вращения Луны Р\ а ось у' дополняет
систему до правой.
Плоскость нШт Луны
Рис 2 31. Селеноцентрическая
экваториальная вращающаяся
прямоугольная система
координат
Рис. 2. 32. Оскулирующая
стема координат
2.1.10. Оскулирующая система координат
На основе законов механики полета КА можно ввести специальную так
называемую оскулирующую систему координат.
Оскулирующая система координат полностью характеризует орбиту КА, т. е. в
любой момент времени система позволяет найти значения координат и составляющих
вектора скорости центра масс КА. Элементами системы являются (рис. 2.32):
— наклонение орбиты i\
— долгота восходящего узла орбиты Q;
— аргумент перицентра со;
— большая полуось а\
— эксцентриситет е;
— время прохождения КА через перицентр т.
Величины / и Q характеризуют положение плоскости орбиты в пространстве, а
величины awe — размер и форму орбиты КА. Величина со представляет угловое
расстояние от восходящего узла Q до перицентра орбиты, т. е. характеризует положение
эллипса в пространстве.
2.2. ФОРМУЛЫ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ К ДРУГОЙ
1. От гелиоцентрической эклиптической прямоугольной системы координат XYZ к
гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системе xyz:
Vх
ъ
Z
= [чЛ
Гх ~
У
z
\
\ *,
X
У
_ z _
\ = [UJ]
X
У
- z Л
luj) =
10 0
0 cos e — sin s
0 sin e cos e
где e — наклонение эклиптики.
79


Здесь и в дальнейшем при обратном переходе от системы к системе используется
обратная матрица, равная транспонированной (исходная матрица ортогонального
преобразования).
2. От геоцентрических сферических систем координат к геоцентрической
экваториальной прямоугольной системе XYZ:
а) от первой геоцентрической экваториальной сферической системы Qtd к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
X = q cos S cos S\ Y = q cos S sin S; Z = о sin Ь;
Y Z
S X * УХ* + Г2
q = VX* + Y2 + Z2;
sign sin 5=sign Y; sign sin 6 = sign Z,
где S = a+t\ a — прямое восхождение светила (КА);
б) от второй геоцентрической экваториальной сферической системы раб к системе
XYZ:
X = q cos Ь cos a; Y = q cos S sin a; Z — q sin S;
Y Z
tga =
X
tg» = "
K^2+ >"2
Q = /^2+ K2+Z2.
3. От геоцентрической эклиптической сферической системы координат qA|3 к
геоцентрической эклиптической прямоугольной системе £г|£:
£ = q cos р cos X; г| — q cos 3 sin X;
: q sin p;
tgX = —; tgf
Q= Кб2 + Т|2+Г2.
^2+ Л2
4. От второй геоцентрической экваториальной сферической системы координат
Qa6 к геоцентрической эклиптической сферической системе р?ф:
cos S cos a = cos p cos X;
cos 5 sin a — cos t cos p sin X — sin £ sin p;
sin 5 — sin s cos p sin X 4- cos e sin P;
cos p cos X = cos Ь cos a;
cos p sin X — cos г cos Ь sin a -f- sin £ sin 5;
sin p == — sin £ cos Ь sin a -f- cos £ sin b,
где e — наклонение эклиптики.
5. От геоцентрической эклиптической ^сферической системы координат рА|3 к
геоцентрической эклиптической прямоуго.льной системе £г|£:
£ = q cos p cos X — с* cos p* cos X*;
r\ = q cos p sin X — q* cos p* sin X*;
С = о sin р— q* sin р*;
где р*, р*, X* —сферические эклиптические координаты Солнца.
6. От геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат XYZ к
геоцентрической эклиптической системе £г|£:
[ *
iл
Lc _
= [^/У]
"Х '
Y
2
»
Г*1
v,
К J
= [*;/]
Г*1
^к
lvz]
4j\
1 0 0
0 cos £ sin £
О — sin £ cos £ J
7. От геоцентрической эклиптической прямоугольной^ системы координат £г|£ к
гелиоцентрической эклиптической прямоугольной системе XYZ:
* = е-е©;
г-=п-л©;
Z=-C-
ц©>
где |0, tiq, ^0—геоцентрические эклиптические координаты Солнца.
80


8. От геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат XYZ к
гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системе xyz:
х = X — Хл
v©'
у = У ~У
©>
z ^z-
L0*
где ^0, У0> Z0 — геоцентрические экваториальные координаты Солнца, значения
которых приводятся в Астрономическом ежегоднике.
9. От гринвичской прямоугольной системы координат xyz к геоцентрической
экваториальной прямоугольной системе XYZ:
ГХ "
У
[z
= ltij]
X
У
z
;
^Х~
VY
Уг
= [Т/У]
:v*~
У у
У*.
+ со
~— У 1
X
0 |
IV
гх ~
У
[_z
;
-Vxl
Vy
У*\
ЬтП
~vx
Уу
Vz
+ из
У 1
— х
0 J
[71/1=
COS "
где
sin 7
О
7 -= S0 + о^
— sin 7
cos 7
О
Д'-'о)-
В том случае, когда необходимо учесть нутацию и прецессию вращения Земли,
используют формулы вида
= [V]
= bV\
[vl =
VX'
Vy
Vz-
-vx
Vu
= [tr1]
Vx
Vy
vz_
— «3[a»]
X
У
\_z
Vx
Vy
LVzJ
+ w3[a*]
где
cos 7 — sin 7
sin 7 cos 7
■gcos(G + 7) £Sin(G+ 7)
Г — sin 7
[a*] = I — cos 7
L о
7 = S0 + (t — tQ) (1 + ц' ); fi' = 0,0027378119
абсолютная угловая скорость вращения Земли;
X ~
У
Z _
g cos(G+ 7)
■g sin(G+ 7)
1
cos 7
-sin 7
0
g sin(G+ 7)
gcos(G+ 7)
0
So — звездное время в среднюю гринвичскую полночь для заданной даты;
t и t0— среднее солнечное время, t=Q, если текущее время гринвичское; t—3h, если
t — московское;
g и G — редукционные величины, с помощью которых учитываются нутация и пре
цессия вращения земной оси; через g обозначается угол между земной
осью данной эпохи и земной осью для заданной даты, а G — угол между
плоскостью XOZ и плоскостью, содержащей угол g.
10. От геоцентрической орбитальной прямоугольной системы координат £г]£ к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
а) при направлении оси £ в перицентр П орбиты:
х -
У
Z ^
-= [О/ил]
"6 "
Л
_с _
;
:vx-
Vy
Уг,
- [a>mn]
уп
^
1л J
81


cos Q cos to — sin Q sin со cos /
sin Q cos со -j- cos Q sin со cos /
[Om«] =
- sin со cos Q — sin S cos со cos / sin Q sin /
cos со cos Q cos / — sin Q sin со — cos Q
sin / "1
sin i I ;
i J
£ ~ r cos u; r\ = r sin и; С = z\
sin to sin i cos со sin i cos i
б) при направлении оси £ в точку восходящего узла орбиты Q матрица атп
имеет вид:
cos Q cos a — sin Q sin a cos / — sin Q sin a — sin Q cos a cos / sin Q sin Г
sin 2 cos и + cos Q sin и cos / — sin Q sin a + cos Q cos a cos / — cos Q sin /
sin и sin i cos и sin / cos /
И. От геоцентрической цилиндрической системы координат ruz к орбитальной
прямоугольной системе £г]£:
а) при направлении оси £ в точку восходящего узла орбиты Q:
tg" = y; г = /62+112; 2 = ^
б) при направлении оси ?• в перицентр П орбиты:
£ = г cos ft; % — и — со;
. . r=/g2+T|2;
х\ = г sin ft; л
r . tgft=-^-; 2г = С.
С= z\ Ч
12. От оскулирующей системы координат к геоцентрической экваториальной
прямоугольной системе XYZ:
X = г ( cos 2 cos a — sin 2 sin и cos г);
К = г ( sin S cos и + cos 2 sin a cos /);
Z = г sin a sin i\
Vx = ^r (cos ^ cos a — sin Q sin a cos /) — Vu ( cos S sin a + sin 2 cos a cos /);
Yv = Vr( sin 2 cos « + cos S sin a cos i) — Vu ( sin 2 sin a — cos 2 cos и cos /);•
V^ = VV sin « sin / + Ktt cos a sin i,
/?
= a(l — e cos £);
где
a =
1 + e cos i
, + ft; /? = a(l-
в*);
= 1 / —б sin ft;
« = у ^Г = l/ у (1 + « COS ft);
£ /T=7 ft
tg
со — аргумент перигея;
a — большая полуось орбиты;
р — фокальный параметр;
Ф— истинная аномалия;
Е — эксцентрическая аномалия.
13. От геоцентрической цилиндрической системы координат ruz к геоцентрической
экваториальной прямоугольной системе XYZ:
гх -
Y
LZ .
= г
Г«п"
021
-a31 J
+ г
~ai3~
«23
_«33_
;
\vx~\
Vy
\yz\
где
с = у с\+сг2+ с
Ci = YVz-ZVY\
г = j/"*2 + Г2 + Z2; а = Arctg
z — Z- cos /,
C2 = Z^-ZKZ;
Ci
= lamn]
zc
YCi — XC2 '
Vu
Vz
nx = -
Пу =
nz =
C2
С
82


awb «тз (/и=1, 2, 3)—элементы матрицы [amn], определяемые по формулам п. 10, б
настоящего параграфа.
14. От геоцентрической экваториальной оскулирующей системы координат Q, i, a)
к геоцентрической эклиптической оскулирующей системе Q, i, со:
sin i sin Q = sin i sin £;
sin i cos Q = cos i sin £ -f- sin i cos Q. cos г5
cos i = cos г cos £ — sin / cos Q sin s;
sin г sin (со — со) = sin Й sin e;
sin i cos (со — со) = sin i cos £ -f- cos / cos Q sin e;
sin i sin Q, = sin г sin £;
sin / cos Q = — cos i sin £ -f- sin i cos Q cos e;
cos г = cos i cos £ 4- sin i cos £ sin ej
sin / sin (со — со) = sin Q sin e;
sin z cos (со — со) = sin i cos £ — cos i cos Q, sin £,
где 8 — наклонение эклиптики.
15. От барицентрической орбитальной прямоугольной системы координат хЬп к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ-.
гх -
V
I? _
=
Г*о"1
У°
_^о J
+ [Cij]
Гт
b
\_п _
',
\VX]
Vy
[.Vzl
=
Г*-1
VY.
\vzA
при обратном переходе
= [C7il]
х-х0
Y-Y0
Z-Z0.
vb
\Уп.
= [Oi1]
+ [Си]
v x~vx0
VY~VYo
Vz~vz0
РЧ
\vb
\yn\
+ w0
n~\
0
_—tJ
[c
V .
•N,
где
N =
,Y'
yJ»yx'
X'
V
Z'
x- x0
v-r0
Z-Z0 j
[CU] =
1
CR0
1
C/?o
1
-CR0
(C2Z0 — C3Y0) —- —
(C3Z0 —CiZ0)
(Ci^o —^2^0) "7Г
С R0
С /?0
^0 = {^0> ^0» ^0
Vq={V^ ^y ^z } — составляющие положения и скорости КА,
с которым связана система координат
xbn\
абсолютная угловая скорость (и ее
составляющие на оси координат XYZ)
вращения системы xbn относительно
системы XYZ, определяемая по формулам
со0 = (а
wr,wz)
с,
wo=^;
Rl
Ri
С={Сь С2, С3} — векторная константа (и ее составляющие на оси системы XYZ)
интеграла площадей, определяемая по формулам п. 13 настоящего раздела.
83


В том случае, когда параметры движения КА, с которыми связана система тбя,
известны в оскулирующей системе координат, матрица Сц примет вид
[Си] =
— sin a cos Q — cos и sin Q cos / cos и cos S— sin и sin Q, cos / sin / sin Q'
— sin a sin Q -j- cos и cos S cos / cos и sin Q+ sin и cos Q cos / — sin i cos Q
cos « sin i sin « sin / cos /
16. От барицентрической горизонтальной прямоугольной системы координат
х'Ъ'п' к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ-
ГХ '
V
Yz _
=
Г*о1
Го
Uo J
+ [Ы
~т' -1-
Ь1
-П'
;
\Vx]
Ху
[yz\
=
\УхЛ
\уу«
KJ
+ [Щ]
\ул
V»
\уА
+ ^0
- п'1
0
..— т' J
И}1]
Г-Г0
z-z0.
l/»'J
hfl
VX-^o
Кт;
■v*
к, —к
Zo J
+ И}1] *;
IV-ij] =
fMl = ^32^23 — ^22^33
f*21 = ^12^33 — P-32R3
Psl =" M-22P-13 — P-12P-23
M-12 :
fJ-22:
f*32:
^r0^33~-^z/23
^z
Vx
/13
/23
Л
—
A
—
^x
^K
,Мзз
/13
fxl3 = cos В cos (L + y)
fx23--=cos 5 sin(£ + t)
fx33 = sin В
где Л/"— матрица, элементы которой определяются по формулам п. 15;
А = V(vy№ - vZ№f + (^ZofM3 - vXoH3f + (уХо1ъ - vYomf;
B, L — геодезические координаты КА. _^,_
17. От барицентрической скоростной прямоугольной системы координат £т)£ к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
V х "
V
\_z
=
^х°~
г°
1 Z0
+ [аи]
т
*г
?
>
^*~
Vy
I kz
= '
'Yx.~
VYo
\vzfl
+ [«/Л
6
L с
+ wo
Г С 1
! °
—? J
= К/]
Г-К0
z-z0
V
- fa/1]
хх~ух.
Уо
v\
[ац] =
Z ^о
^ С, ^к0Сз-^„С2"
+ [«?/]";
^0
^.
к
^z
с
с
С3
v0-c
Vz£x-VxCz
v0-c
Vxfr-Vy0d
V С VrC
где N — матрица, определяемая по формулам п. 15.
84


18. От геоцентрической гринвичской прямоугольной системы координат xyz к то-
поцентрической пунктовой системе £пЛп£п:
р«~
Чп
[_Сп
= [Ац]
[А,;] =
x xN
y~yN
^z-tjv J
1;
Г4 1
,v4
К J
= [Л/У]
— sin'jS^v cos Ln — sinBjy sin Ljy
cos Bw cos Z.yv cos Bn sin L^
— sin Ljv
COS Лдг
[Vxl
Vy
Vz\
cos Bn
sin Z.7V
0
где Xn, yN, Zn—координаты пункта наблюдения, определяемые по формулам
R \
xN = | —— + //дг) cos BN cos LN;
*N
CN
••)
+ Hк I cos B[s[ sin Ln\
\AN
I —*-- + HN\ sin Вдг;
Л/v = 1Л — сГ(2 — a) sin2j5^v = l^cos2 £jv + U —a)2 sin2J5^;
/?э=6 378 131 м — радиус Земли на экваторе;
a — коэффициент сжатия Земли;
BN, LN — геодезические сферические координаты пункта наблюдения;
N— номер пункта наблюдения;
Hn — высота пункта наблюдения над поверхностью референц-эллипсояда
Земли, определяемая по формуле
2
HN = RN-RByi-^^fj;
здесь RN — радиус Земли для широты пункта наблюдения;
cos В =
sin В = ■
Rn - Ух\ + У% + г%.
1ВИЧСКОЙ СИ
(1 - a)V,
19. От геоцентрической гринвичской системы координат xyz к геодезической
сферической системе HBL:
K[0-a)V,P+*2
Z
K[(l-a)2nf+^"
cos L = — »
sin L = ■
r\
или по формулам
где
П = ]/*2+*/2,
В = <Рц + е;
Z, = arctg—,
х
<рц = arc sin
Re*'
Re-
a/l-'
lA — l?2cos2<fu'
v = e2sin,uC0S,U; ~2=2~_~2;
1 — e2 cos2 <рц


Высота над поверхностью референц-эллипсоида Земли определяется по формуле
~ а — Ь '
где а = —~— — коэффициент сжатия Земли;
a, b — большая и малая полуоси референц-эллипсоида Земли.
20. От топоцентрической пунктовой прямоугольной системы координат £пт]п£п к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
гх ~
Y
Z
=
^Xn
\ Y"
L_ J
+ IhJ]
"in '
In
£„
;
-vx~
Vy
Vz
= [hi]
ГЧ
4
J4.J
+ (0
3 1
r~— rn
X
0
где
lhA =
2 4ikAkJ
ft-1
Xn, YNj Zn—координаты Af-го пункта наблюдения, оп^еделямые по формулам пп. 9
и 18.
21. От геоцентрической сферической системы координат рофцА/, определяющей
положение точки на земной поверхности, к гринвичской прямоугольной системе xyz:
У
X = Q0 COS <рц COS X' ,
z = Qn cos соц sin X';
г _ q0 sin <рц;
sin <рц =
COS срц =
Qo '
Qo
sin X =
x
cos X -—
Qo sin срц
Qo = V*2 + У2 + z2-
22. От геодезической сферической системы координат pBL к геоцентрической
сферической системе @фцЯ:
iZU = [1 - (2а -а2)] tgB = (1 -^2)tg я;
где
^2 = 2а — а2
а2-Л2
~ а — b
а = —~—
23. От топоцентрической сферической системы координат р'а'б' к
топоцентрической экваториальной прямоугольной системе Ifrftf:
£' = q' cos S' cos a'; tga' =
Л
т|' = o' cos Ь sin a ;
С = q' sin V;
tg*' ■=
Ve"
24. От топоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат Vrfb*
к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
X = $' + Zyv; Zyv = QO c°s 9ц cos y;
Г = т|' + YN\ YN = Q0 cos срц sin 7;
Y = С + Zjv; Zyv = Qo sin срц,
где
Т:=50 + и>з(*-*0);
Y— гринвичское звездное время наблюдения;
So — звездное время в среднюю гринвичскую полночь для заданной даты;


Гх
Y
z
= [v/;]
X
7
z
+ Qo
«mI
«24
<*34
',
VX 1
Vy
\jz\
X
У
+ *3
~~Y 1
X
0
t и /о — среднее солнечное время; /о=0, если t — гринвичское время, и t0=3h, если
t — московское;
■фц — геоцентрическая широта N-ro пункта наблюдения.
25. От топоцентрической стартовой прямоугольной системы координат xyz к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
= lvU]
[v/y] =
— sin фг cos ф cos 7'— sin^sin^' sin «pr cos 7' sin cprsin ф cos 7' — cos ф sin 7'
— sin cpr cos ф sin 7' + ein ф cos 7' cos ^>r sin 7' sin <ргзтф sin 7'+cos ф cos 7'
cos <pr cos ф sin cpr — cos ^r sin ф
a14 = cos <fu cos 7'; 7' = 7Ma)3B;
a24 = cos <рц sin 7';
a34 = sin <рц; a>3R = ■
где
1-rV '
Ym — местное звездное время в точке старта в момент выхода КА на орбиту,
определяемое из выражения
7li = S0_A + (*K —#—1) (1 +ц'); *к = *д + тк;
созв — угол, на который поворачивается Земля за 1 с звездного времени;
соз — угловая скорость вращения Земли;
So— звездное время в среднюю гринвичскую полночь для даты старта;
^д — декретное время для точки старта, соответствующее моменту старта;
тк — продолжительность полета с момента старта до момента выхода КА на орбиту;
N — номер часового пояса точки старта;
Ро — расстояние от центра Земли до точки старта;
фг— географическая широта точки старта;
<рц— геоцентрическая широта точки старта;
\j/— поправка на разницу звездного и среднего солнечного времени.
26. От топоцентрической земной прямоугольной системы координат x3y3z3 к
геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
X
Y
Z
= [М
■*з
Уз + Q()
*з
;
'Vx'
Vy
-VZ.
= ш
ГЧ
УУ*
_^sJ
+ шз
~ — У~\
X
о J
IM =
"—sin<pu cos ф cos 7' — sin ф sin 7' cos<pucos7' sin ?ц sin ф cos 7'—cos ф sin 7'
— sin<pucos ф sin 7' +sin ф cos 7' cos <рц sin 7' sin <рц sin ф sin 7'+cos ф cos 7'
cos <рц cos ф sin tpц — cos <рц sin ф
где Y/=Ym -co3B;
ф — азимут запуска КА.
27. От топоцентрической земной прямоугольной системы координат x3y3z3 к бари
центрической связанной прямоугольной системе x\y\Z\\
[Х1~
У\
L^_
= \ьц\
х3~
Уз
J*
;
^i
УУ>
К J
= ш
ГЧ
уу3
к J
• sin ф
[Ьи] =
cos <p cos ф sin 9 cos ф
- sin <p cos 0 + cos'<p sin ф sin 0 cos <p cos 0 -f- sin <p sin ф sin 0 cos ф sin 0
sin у sin 0 + cos <p sin ф cos 0 — cos ? sin 0 + sin <p sin ф cos 0 cos ф cos 0
где ф, ф, 0 — углы Эйлера, характеризующие соответственно отклонения КА по
тангажу, рысканью и крену.
87


28. От топоцентрической стартовой начальной прямоугольной системы координат
ХнУн2н к барицентрической связанной прямоугольной системе Х\У\2\:
Тх\
У\
\z\
= [*//]
хн
Ун
JH __:
1
Г"1
Уу,
Угх
= [bij]
ГУх 1
Уу
ун
Уг
где [bij] — матрица, элементы которой приведены в п. 27.
29. От топоцентрической стартовой прямоугольной системы координат xyz к
стартовой начальной системе xHyHzH:
*н
Ун
*н
: = [7/у]
Г*
7
J J
;
i
Wy
ч
[Т/У]
У
+ K//J
где элементы матриц уц и у*; (*» У^Ь 2, 3) рассчитываются по следующим формулам:
7ц — cos2 <рг cos2 ф (1 — cos х) + cos х;
712 = cos <рг [ sin <рг cos ф (1 — cos х) + sin ф sin х];
7i3 = sin <рг sin х — cos2 <рг sin ф cos ф (1 — cos х);
72i = cos <рг [ sin ог cos ф (1 — cos x) — sin ф sin x];
722 = sin2 <рг (1 — cos x) + cos x;
723 = cos <рг [— sin <рг sin ф (1 — cos x)— cos ф sin x];
7з1 = — cos29r sin ф cos ф (1 — cos x) — sin <рг sin x;
-^32 = cos <рг [— sin срг sin ф (1 — cos x) 4- cos ф sin x];
7зз = cos2 <рг sin2 ф (1 — cos х) + cos х;
7ii = to sin x(cos2<fr cos2^ — 1);
cos <рг ( sin <pr cos ф sin x + sin ф cos x);
to (cos2 <pr sin ф cos ф sin x — sin <pr cos x);
712
7i3
721 = со cos ^r ( sin cpr cos ф sin x — sin ф cos x);
722 =
723="
-to cos2 (fr sin x;
- со cos (fr ( sin <pr sin ф sin x -f cos ф cos x);
73i = —со (cos2 <pr sin ф cos ф sin x + sin cpr cos x);
732 =
, cos <pr ( sin cpr sin ф sin x — cos ф cos x);
733 = со sin x(cos2cprsin2^ — 1);
x = a>3/K; tK =--- t — t0;
соз — угловая скорость вращения Земли;
/, /о — текущее и начальное время.
30. От топоцентрической стартовой начальной прямоугольной системы координнт
ХяУн^н к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ:
— а24
«14
0
где
ГХ~
Y
\_z
= [bij]
Хц
Ун
Jh_
+ Qo
aJ:
а24
а34_
;
-Ух'
У г
Vz_
= [*и]
ГУх 1
•*н
Уу
Уг
+ Со«3
[М =
2 v/k7;k
й=1
S/y-0; (/, у== 1, 2, 3);
Vife ■
а14 = C°S <Рц COS 7 ,'
a2i — cos срц sin 7';
аз4 = sin <рц;
элементы матрицы v,j, определяемые по формулам, приведенным в п 25


31. От топоцентрической стартовой прямоугольной системы координат xyz к топо-
центрической земной прямоугольной системе x3y3z3:
х3
Уз
*3
1 = [Я
X
'у \
z
;
\v-
V
v<
= b'u]
у
[Я =
sin2^ + cos2^ cos fi
— cos ф sin 71
(1 — cos 71) sin ф cos ф
sin 71 cos ф втфсоэфО— cos^i)"
cos fi sin ф sin 71
— sin ф sin 71 cos2 ф + sin2 ф cos 71 J
где 71 = tpr — срц — угол, определяющий разницу между географической <рг и
геоцентрической <рц широтами в точке старта;
ф — азимут запуска КА.
32. От топоцентрической земной прямоугольной системы координат x3y3z3 к
топоцентрической стартовой «замороженной» системе xfyfz'\
Гх'
У'
z'
где
' = [а/У]
Г*з
</з + Со
_гз
[<*/;
— ео-
] =
Г 3
т!2
г
Т22
_Т32 _
1 Т;к1
1
;
к;
;
*V
\vv
'J*' _
l«/y]
= [«Ы
=
- з
[ft-i
\Vx'~
\yy>
L 'sJ
7/ЛкУ
+ [i/Л
>
•^3 I
Уз+МО
LZs J
7/K—элементы матрицы 7f.., определяемые по формулам п. 31;
7к ; — элементы матрицы 7/;» определяемые по формулам п. 29.
33. От барицентрической связанной прямоугольной системы координат XiyiZi к
барицентрической скоростной, связанной с КА, прямоугольной системе |сЛс£с:
Гбс
Лс
|_Сс
= [*и]
х\ "
*У\
*i J
'
14"
ч
L4J
= [* /;]
Ух
— *\ -J
l*ij) =
cos <p cos ф — sin <p cos ф sin ф
sin 9 cos 6 + cos 9 sin ф cos 0 cos 9 cos 0 — sin 9 sin ф sin 6 — cos ф sin 0
|_ sin <p sin 0 — cos <p sin ф cos 0 cos <p sin 0 4- sin cp sin ф cos 0 cos ф cos 0
где ф, г|), 0 — углы Эйлера, характеризующие соответственно отклонения КА на угол
атаки, угол скольжения и угол вращения.
34. От геоцентрической экваториальной сферической системы координат одной
эпохи к той же системе координат другой эпохи:
а = а0 + М + N sin am tg Ьп
Ь = Ь0 + # cos am>
а0 = а — М — N sin am tg &m
50 = 5 — N cos am,
1
<*/я= у(а + а0),
-(& + &о),
где а0, бо — координаты второй геоцентрической экваториальной сферической системы
координат, отнесенные к эпохе Го;
а, б — координаты той же системы произвольной эпохи Г;
М, N — даются для различных эпох в Астрономическом ежегоднике.
Примечание. Уравнения преобразования п. 34 решаются методом по*
следовательных приближений; в первом приближении
89


35. От оскулирующей системы координат заданной эпохи Т0 к той же системе
произвольной эпохи Т:
О, =. Q0 -f a— b sin (&o + с' )ctS *oJ
/= /0 + ^cos(Q0 + c');
со = w0 + b sin (Ц) + c') cosec /0.
Формулы обратного перехода:
Q0 = Q — a + £ sin (S + c) ctg /;
iQ = i — b cos (Q + c);
w0 = со— b sin (Q + c)cosec /,
где величины a, b, с, с'=а+с для различных эпох берутся из Астрономического
ежегодника.
36. От селеноцентрической экваториальной прямоугольной системы координат
оУо*0 эпохи Го к той же системе координат произвольной эпохи Т:
х' = х'0 cos сол (Т — Т0) + y'Q sin о>л (Т — Г0);
у' = х'0 sin сол (Т — Т0) + г/q cos сол (Т — Г0);
*' = *о>
где шл — средняя угловая скорость вращения Луны вокруг своей оси, рассчитываемая
по формуле
2я
"л^ 27^,3216609'
37. От геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат XYZ к
селеноцентрической экваториальной прямоугольной системе x'y'z'\
[А«]
Х-Хп
Y-Yn
Z-Zn
;
Т«'~|
уу
У г' \
[Д//1
= [А/У]
VY — Vy
Vz
V:
4-со
^ Л
~-у' 1
*'
0 J
cos ^ cos Q' — sin <p sin Q' cos /
■ sin ^ cos S' — cos <p sin Q' cos /
sin Q' sin /
cos <p sin S' + sin <p cos S' cos / sin 9 sin /'
- cos <p sin S' + cos <p cos Q' cos i cos cp sin /
— cos^' sin i cos /
где ф= С-
-Q + A—угол между восходящим узлом среднего лунного экватора на
среднем экваторе Земли и осью х', отсчитываемой в
положительном направлении от восходящего узла;
Q' — угловое расстояние от точки весеннего равноденствия до
восходящего узла среднего лунного экватора на среднем экваторе
Земли, считаемое по последнему;
Q — средняя долгота восходящего узла лунной орбиты;
С — средняя долгота Луны;
А — угловое расстояние от восходящего узла среднего лунного
экватора на среднем экваторе Земли до восходящего узла среднего
лунного экватора на эклиптике;
i— наклонение среднего лунного экватора к среднему земному
экватору;
, V% — координаты Луны в геоцентрической экваториальной системе
XYZ.
38. От лунногеоцентрической прямоугольной системы координат X У Z к гео-
^л> Уду "'
центрической лунноэкваториальной прямоугольной системе XdYdZd:
Гхэ~
Y9
\_ZS_
= [0/Л;
~ХЛ ~
уЛ
_zn _
г
Г^э]
УУ,
VzJ
= [hi]
V
V
lh
J\ ^
cos (
0
0 — sin0
+ "0
0
1 0
sin 0 0 cos I
где б —угол между плоскостями экватора Земли и орбиты Луны.
90


39. От лунногеоцентрической прямоугольной системы координат X У Zn к
селеноцентрической невращающейся прямоугольной системе 5л£-
V Л-К„„
'6 "
л
с
. —
= Ш
~Х*-Хп~
уЛ_уЛ
Z* - Zn
—
;
~vr
v,
vi
— —
= ш
V
■V
Ш
соб«рл sin срл О
■ьт<ря соэ<рл О
О 0 1
где фл—угол между радиусом-вектором центра Луны и осью X , определяемый по
формулам:
cos9jl = ^, sin9jl=^-, r*==Y(XnT + (YnT;
X'q> Yq, Zq, V'n, Vyn, Vzn — параметры Луны в лунногеоцентрической
системе координат.
2.3. ВРЕМЯ
Для измерения времени пользуются естественными или искусственно создаваемыми
периодическими процессами с достаточно постоянным периодом повторения. Вращение
небесного свода и периодическое движение по нему Солнца, являющиеся отражением
вращения Земли вокруг своей оси и
обращения ее вокруг Солнца, позволяют установить
соответственно две основные единицы
измерения времени — сутки и год.
Искусственно создаваемыми для
измерения времени процессами могут быть:
колебания маятника, резонансные колебания
кварцевой пластинки (кварцевые часы),
колебательные процессы в атомах и
молекулах (атомные часы, молекулярные часы с
использованием молекулярных генераторов t
колебаний) и др. *
Сутками называют промежуток
времени между двумя последовательными
одноименными (или верхними, или нижними)
кульминациями на данном меридиане
некоторой точки небесной сферы.
В соответствии с этим системы
измерения времени имеют двоякое название: по
тому меридиану, на котором измеряется
время, и по той точке небесной сферы,
которую используют для измерения. В
качестве такой точки небесной сферы берут точ- рис# 2. 33.
ку весеннего равноденствия, центр
истинного Солнца, или так называемое среднее
Солнце.
Точка весеннего равноденствия X — это точка, в которой центр Солнца
пересекает небесный экватор, переходя из южного полушария небесной сферы в северное
(рис. 2.33).
Линии и точки на небесной сфере: Пс — северный полюс мира; Пю — южный полюс
мира; ПСПЮ—ось мира; Z — зенит; N' — надир; N — точка Севера; W — точка Запада;
6 — точка Юга; Е— точка Востока; NWSEN — линия горизонта; NS — полуденная
линия; NIJCZS — меридиан; RWQER — небесный экватор; М — светило; L'DKMCU —
суточная параллель светила; D — точка восхода светила; К — точка верхней кульминации
его; С — точка захода светила; Z/— точка нижней кульминации; ZMF — круг высоты
светила (иначе — вертикаль светила); ZM — зенитное расстояние светила Z; FM —
высота светила h\ SF — азимут светила Л; ПСМН — круг склонения светила; НМ —
склонение б; ПСМ — полярное расстояние Р, QH — часовой угол светила t; X —точка
весеннего равноденствия;^"^ — прямое восхождение а; X Q — величина звездного времени S;
ncN—q) (высота полюса равна широте места ф).
Линии и точки на небесной
сфере
91


Единицы измерения времени
Звездные сутки — промежуток времени между двумя последовательными
одноименными кульминациями точки весеннего равноденствия на одном и том же
меридиане. Звездные сутки начинаются в момент верхней кульминации точки весеннего
равноденствия.
Звездное время — время, отсчитываемое от момента вер>ней кульминации точки
весеннего равноденствия до любого другого ее положения и выраженное в долях
звездных суток.
Звездное время 5 на данном меридиане в любой момент численно равно часовому
углу точки весеннего равноденствия i^ , выраженному в часовой мере, т. е. s=^ .
Звездное время есть сумма часового угла t любого светила и прямого восхождения а
этого же светила, т. е.
s=t+a.
В момент верхней кульминации светила его часовой угол равен 0° (360°); в момент
нижней кульминации он равен 180^ т. е. для верхней кульминации звездное время
численно равно прямому восхождению светила, а для нижней кульминации 5=180°4-
"ЬСЬсветил а-
Истинные солнечные сутки — промежуток времени между двумя
последовательными одноименными кульминациями центра видимого диска Солнца (так называемого
истинного Солнца) на одном и том же меридиане. За начало истинных солнечных
суток принимается момент верхней кульминации центра видимого Солнца, называемый
истинным полуднем.
Истинные солнечные сутки в среднем (длительность их не постоянна) на 4т
длиннее звездных, они короче летом и длиннее зимой, причем расхождение доходит до
518 в сутки.
Истинное солнечное время — время, отсчитываемое от момента нижней
кульминации истинного Солнца до любого другого ее положения и выраженное в долях
истинных солнечных суток. Истинное солнечное время /л© на данном меридиане в любой
момент численно равно часовому углу истинного Солнца tf©, выраженному в часовой
мере, плюс 12h, т. е.
т@ = 4 + 12».
Среднее экваториальное Солнце — воображаемая точка небесной сферы,
движущаяся равномерно по небесному экватору так, что в каждый момент Т ее прямое
восхождение а равно средней долготе истинного Солнца L.
Средняя долгота истинного Солнца для любого момента Т вычисляется по
формуле
L=a=Lo+n(T—To),
где L0— средняя долгота для момента Г0, а п — среднее увеличение дочготы
Солнца. Согласно С. Ньюкому
a='l8h38m45s,836+8640184s,54'2r+0s,0932,
где Т — число юлианских столетий (см. ниже) от момента 1900 г., январь, 0,12h
среднего солнечного времени в Гринвиче (средний гринвичский полдень), или
a=18h.38m45s,836+8640184s,542r+O,093T2,
где d — число средних суток, протекших с 1900 г., январь 0,12h (средний гринвичский
полдень).
Средние солнечные сутки — промежуток времени между двумя
последовательными одноименными кульминациями среднего экваториального Солнца на одном и том
же меридиане.
Среднее солнечное время — время, протекшее от момента нижней кульминации
среднего экваториального Солнца до любого другого его положения и выраженное в
долях средних солнечных суток.
Среднее солнечное время m на данном меридиане в любой момент численно равно
часовому углу среднего экваториального Солнца ./Ср, выраженному в часовой мере,
плюс 12h, т. е.
m = ^p+12h.
Уравнение времени Е — разность часовых углов среднего экваториального Солнпа
/СрИ истинного Солнца /0:
Е = tcp ^0.
Среднее солнечное время m на данном меридиане выражается через истинное
солнечное время т^ на этом же меридиане по формуле
т=--т®+ Е.
92


В Астрономических ежегодниках даются значения уравнения времени в полдень
на меридиане Гринвича для каждого дня. С достаточной точностью можно определить
его из рис 2. 34. Характерная кривая уравнения времени (рис. 2. 35) слагается из двух
почти синусоидальных кривых: первая (зависящая от неравномерности движения
Земли по орбите) имеет годичный период, а вторая (отражающая влияние наклона
эклиптики) имеет полугодовой период. Уравнение времени обращается в нуль четыре
раза в году: 15 апреля, 14 июня, 1 сентября и 24 декабря; достигает максимальных
отрицательных значений: 12 февраля —
14га248, 27 июля — 8т208; максимальных
положительных значений: 15 мая + Зт493
и 3 ноября + 16т218.
Относительная продолжительность
средних солнечных и звездных суток:
366,2422
1 средние солн. сутки =
звезд, суток = ja = 1,0027379093;
365,2422
1 звездные сутки = ^^
1
средн. солн. суток — (х' = — .
Если промежуток времени в
средних солнечных единицах есть пг, а в
звездных единицах s, то
гщ =■= s; 5(х; = т.
Связь среднего солнечного времени
со звездным временем определяется
формулами
s = s0-
2V
.3m56s,5554-f-/?2(j.;
s— \sq
24*1
• 3'fl56s,5554
+f 0 S .
Уравнение бремени Е
■10
-15 пин
Рис. 2.34. Номограмма для определения
склонения Солнца и уравнения времени
где т — среднее солнечное время в
некоторый момент
соответствующей календарной даты на
каком-нибудь меридиане с
восточной долготой от Гринвича Я;
^ — звездное время в тот же момент;
so —звездное время в среднюю гринвичскую полночь соответствующей
календарной даты, которое можно вычислить по формуле для L.
Для приближенных расчетов, с точностью до 5 мин, т и s определяются по
формулам
s — 50 + т\ т — s — s0.
Системы счета времени
Местное звездное время, местное истинное и местное среднее солнечное время
меридиана — это соответственно звездное время s, истинное солнечное Шф и среднее
солнечное время m этого меридиана.
Точки, лежащие на одном географическом меридиане, в один и тот же момент
имеют одинаковое местное время.
Мировое, или всемирное время Г0 —это местное среднее солнечное время
гринвичского меридиана.
Местное среднее солнечное время какого-либо пункта на Земле определяется по
формуле
m==T0 + \h,
где яь —географическая долгота пункта, выраженная в часовой мере и считаемая
положительной к востоку от Гринвича.
Поясное время Гц —это местное среднее солнечное время основного
географического меридиана того часового пояса, в котором расположен данный пункт.
Часовые пояса —2Ь участка вдоль меридианов, ширина которых примерно равна
15° и на которые условно разделена вся поверхность Земли.
93


Основные меридианы часовых поясов — географические меридианы, проходящие
приблизительно по середине часовых поясов и отстоящие точно на 15° по долготе друг
от друга.
Разность поясных времен двух пунктов равна разности номеров их часовых
поясов, т. е.
Поясное время какого-либо пункта с востоточной долготой Xh определяется по
формуле
Tn = m + Nh — Xh.
i л ж ш y ш ш шт х ж ш
he числа кажШа месяца
Рис. 2. 35. Уравнение времени и его составляющие
Декретное время — время, установленное декретом Совнаркома СССР от 16 июня
1930 г. Согласно этому декрету стрелки всех часов были передвинуты вперед
относительно поясного времени на 1 час. Следовательно, декретное время будет
7Д = Тл + lh - m + Nh - Xh + lh.
В Западной Европе, в США стрелки часов переводятся на 1 час вперед
относительно поясного времени только на время летних месяцев. Это время носит
название летнего времени.
Московское время — время, равное всемирному + 3h, т. е.
ты = т0 + г\
Эфемеридное время ТЭф — время, текущее совершенно равномерно. Оно
применяется для теоретического изучения движений небесных тел и предвычисления их
положений (вычисления эфемерид). Вследствие неравномерности вращения Земли
наблюдаемые координаты не совпадают с вычисленными, т. е. величина ДГ=ГЭф—Т0
изменяется с течением времени. Точное значение величины АГ может быть получено только
на основании наблюдений Луны путем сравнения эфемеридных положений Луны,
отнесенных к ее эфемеридному времени, с ее наблюдаемыми положениями, которые
фиксируются по всемирному времени. В тех случаях, когда средняя солнечная секунда
неудовлетворительна как единица времени ввиду ее изменяемости, за единицу времени
принимают 1 эф. сек.=1/31556925,9747 части тропического года на момент
фундаментальной эпохи таблиц движения Солнца Ньюкома. Эфемеридное время считается от
того момента вблизи начала календарного года 1900, когда геометрическая средняя
долгота Солнца, отнесенная к среднему равноденствию даты, была L=279°41,48,04", т. е.
момента, когда по эфемеридному времени было точно 1900, янв., 0,12h
(фундаментальная эпоха таблиц движения Солнца).
С 1960 г. в таблицах Астрономических ежегодников термин «всемирное время»
заменен на «эфемеридное время», за исключением таких разделов ежегодников, как
покрытия и затмения.
Календарь
Календарь — система исчисления больших промежутков времени. В основе
современного календаря лежит тропический год — промежуток времени между двумя
последовательными прохождениями среднего Солнца через точку весеннего
равноденствия. Тропический год содержит 365,2422 средних солнечных суток, или 366,2422
звездных суток. Трудность создания календаря возникла еще в древности в связи с тем, что
тропический год и солнечные сутки несоизмеримы, так как календарный год,
естественно, должен содержать целое число суток.
94


Юлианский календарь введен Юлием Цезарем в 46 г. до н. э. Продолжительность
календарного года принимается равной 365 средних солнечных суток, за исключением-
годов, называемых високосными, номера которых делятся на 4 без остатка
(високосный год равен 366 суткам).
Счет времени юлианскими годами за 128 лет даст расхождение со счетом
тропическими годами приблизительно в одни сутки. Юлианское столетие — промежуток
времени в 365,25 средних солнечных суток.
Григорианский календарь. К концу XVI в. отступление календаря от
астрономических явлений достигло 10 дней. В 1582 г. по реформе папы Григория XIII был
принят григорианский календарь. После 4 октября 1582 г. стали считать сразу 15-е
октября. Этим устранялось расхождение в 10 суток со счетом тропическими годами.
Високосным годом стали считать каждый четвертый, за исключением годов с целым
числом столетий (1600, 1800 и т. д.), при этом год с целым числом столетий" стали
считать високосным только тогда, когда число сотен делится на 4 без остатка. В СССР
новый стиль введен Декретом Совета Народных Комиссаров РСФСР в 1918 г., при
этом вместо 1 февраля старого стиля считалось 14 февраля нового стиля.
Юлианские дни — дни, которые непрерывно считаются через годы, столетия и
тысячелетия, от 1 января 4713 г. до н. э. При этом начало каждого юлианского дня
считается в средний гринвичский полдень. Юлианские дни удобно использовать при
расчетах числа средних солнечных суток, протекших между двумя датами, далеко
отстоящими друг от друга.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. II
I. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М., «Наука», 1966.
'2. Б е л е ц к и й В. В. Движение искусственного спутника относительно центра
масс. М, «Наука», 1965.
3. Дубошия Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., Физмат-
газ, 1963.
4. Д у б я г о А. Д. Определение орбит. М., Гостехтеоретиздат, 1949.
5. Красавцев Б. И. Мореходная астрономия. М., «Морской транспорт», 1960.
6. Ку л и к о в ски й П. Г. Справочник любителя астрономии. М., Физматгиз,
1961.
7. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики.
М., «Наука», 1965.
8. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли.
М., «Наука», 1965.
9. Астрономический календарь. Постоянная часть, изд. 5-е, М., Физматгиз, 1962.
10. Искусственные спутники Земли, вып. 16. М., «Наука», 1964.
II. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции
по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Изд-во АН СССР, 1963.
12. Управление полетом космических аппаратов. М., ИЛ, 1963.


ГЛАВА III
НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а_— большая полуось орбиты.
с— вектор кинетического момента, С\, с2, с3 — его компоненты по осям X, Y, Z.
Е— эксцентрическая аномалия.
е_— эксцентриситет.
/— вектор Лапласа; ft, f2, fz — его компоненты по осям X, Y, Z.
И— вспомогательная переменная, соответствующая Е в гиперболическом
движении.
h— постоянная энергии.
/— наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора.
Mq— средняя аномалия эпохи.
т—масса планеты в единицах массы возмущающего тела.
п— среднее движение.
р— параметр орбиты.
g— расстояние от центра притяжения до перицентра.
Я— радиус сферы действия планеты.
г— радиус-вектор КА (от притягивающего центра до КА).
Т— период обращения КА.
t— время.
V— скорость КА.
Уп Vп— радиальная и нормальная составляющие скорости.
Ху Y, Z—прямоугольные координаты КА в инерциальной системе координат с началом
в центре притяжения.
z, о, и—цилиндрические координаты КА (г — по оси системы).
q— проекция радиуса-вектора на плоскость, ортогональную оси
z\ и—угол, образуемый проекцией q с фиксированным направлением в указанной
плоскости.
а, 5— прямое восхождение и склонение.
Ь— истинная аномалия.
X—долгота КА.
р.— произведение гравитационной постоянной на массу притягивающего тела.
я=Й-Но—долгота перигея.
т— время прохождения КА через перигей.
<р—широта КА; угол эксцентриситета и угол между направлениями из центра
планеты на КА и на Солнце.
2— долгота восходящего узла орбиты.
w—угловое расстояние перицентра орбиты от его восходящего узла.
Невозмущенным движением КА называется его движение под действием сил одного
притягивающего центра.
96


3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
А. Уравнение движения КА в векторной форме
/-2
= 0,
где г — радиус-вектор (от притягивающего центра до КА);
\i — гравитационная постоянная.
Б. Уравнения движения в скалярной форме
г6
/-3
(3.1)
Здесь г= УХ* + У2 + &;
X, Y, Z — координаты КА в декартовой невращающейся системе координат с началом
в центре притяжения.
В. Уравнения движения КА в полярной системе координат
Уравнения движения в цилиндрических полярных координатах:
Q — Qtf 2 = .
— (Q2^)-0;
at
(3.2)
)
где z — ось цилиндрической системы координат;
q — проекция радиуса-вектора на плоскость, ортогональную оси г;
и — угол, образуемый проекцией q с фиксированным направлением в указанной
плоскости.
Г. Уравнения движения в сферических координатах
К-
г — /-<р2 — Д2 cos2 <р = —
Г2 '
d
dt
d
dt
(/*2<p) + гЧ. sin cp cos'<p = 0;
(/-2X2 COS2 ?) = 0,
(3.3)
где ф — широта;
X — долгота;
г — расстояние до центра притяжения.
3.2. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения пп. А, Б, В, Г имеют следующие первые интегралы.
1. Интеграл энергии (скалярный интеграл). Полная энергия движущегося тела
относительно притягивающего центра постоянна:
2м.
Vе* ——Е- = h = const,
г
где V — скорость тела,
h — постоянная энергии, зависящая от вида движения.
(3.4)
3669
97


2. Интеграл площадей. Площадь, ометаемая радиусом-вектором в единицу времени,
величина постоянная:
г х V = с = const.
Плоскость, в которой совершается движение, определяется уравнением
Хс\ + Ус2+ Zc3=Q,
где X, Y, Z — компоненты радиуса-вектора г,
си с2, с3 — компоненты вектора с.
Для двух положений тела можно записать следующие соотношения:
с\ = KiZi — Z\Y\ = ^2^2—* 22^2»
С2 = Z\X\ — X\Z\ = Z2-X2 — ^2-^25
с3 = X\Y\ — Y\X\ = ^2^2 — У 2^2'
Интеграл площадей можно записать в виде
c = r2ft, (3.5)
где Ь = — угловая скорость движения тела.
dt
3. Интеграл Лапласа. Между векторами г, V и с имеет место следующее
соотношение (интеграл Лапласа):
— — + (К X с) = 7 = const,
где /— вектор Лапласа.
В скалярной форме интеграл Лапласа запишется в виде
ZK2— — — rrX = /i;
г
u.Y
YV2—^— — rrY = f2]
г
M.Z
ZI/2--£- —rrZ=/3,
г
где /л, /2, U — компоненты вектора /.
Существует всего семь скалярных первых интегралов: интеграл энергии, три
скалярных интеграла площадей и три скалярных интеграла Лапласа.
Между этими интегралами имеется связь, и два из них оказываются зависимыми.
Связь между ними определяется следующим соотношением:
1. /Х£=0 или ficl+f2c2+hc3=z0, т. е. вектор Лапласа f и вектор с взаимно
ортогональны и определяют неизменную плоскость Лапласа.
2. f2=\i2-\-c2h, соотношение, связывающее энергию движения, константу площадей.
гравитационную постоянную с модулем вектора Лапласа.
3.3. ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА
Уравнения невозмущенного движения КА интегрируются до конца. Эта задача
называется ограниченной задачей двух тел (ограниченной, так как влиянием движения
КА на планету можно пренебречь).
В плоскости движения КА имеет место в результате интегрирования следующее
соотношение, определяющее орбиту:
с2
1 + — cos \
где О — угол между векторами г и f (истинная аномалия).
Это соотношение соответствует движению тела по коническому сечению, уравнение
которого в полярной системе координат
—г • (3- 6)
1 + е cos ft v '
98


Здесь
с2
р = — —параметр орбиты;
V-
е = — — эксцентриситет орбиты, который определяет вид конического сечения:
У-
е = О — окружность;
О < е < 1 *-— эллипс;
£= 1—парабола или орбита, проходящая через притягивающий
центр (р =* 0); е> 1 — гипербола.
Большая полуось конического сечения определяется из соотношения
в=тЬ' (3-7)
а>0прие<1; а<0прие>1.
Интеграл энергии (3. 4) можно записать так:
1/2 —.?£ = —£-. (3.8)
г а
Скорость КА выражается через истинную аномалию О следующим образом:
1/2 = -^*2 + JL + 2l/ — ecosft. (3.9)
Для двух положений тела имеет место соотношение
1/2 — 2]/ — в cos „di =1^2 — 21/ — ecos$2.
3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ ДВИЖЕНИЯ
И ЭЛЕМЕНТАМИ ОРБИТЫ. УРАВНЕНИЕ КЕПЛЕРА
В результате интегрирования уравнений движения, приведенных "в разд. 3. 1,
получается выражение для определения времени движения t от момента т —
прохождения через перицентр орбиты (уравнение Кеплера):
t
1 С
б
«ли t — т —
jd, = ,_T = _Lj\
х 0
/'2 * rf»
■С—
J (1 +
Для эллиптической орбиты
V* J (l+ecos&)2
f r 0
a3/2
* — т = —— [E — e sin £], (3. 10)
где £ — эксцентрическая аномалия, определяемая через
*т=i/hrte»- (ЗЛ,)
Для гиперболической орблты'
% *3/2
t — т%= — [*shtf —Я], (3. 12)
где Я — вспомогательная переменная для случая движения по гиперболической орбите,
определяемая через
th
или в виде
" l/l^-t » (3.13)
2 у е+1 s 2
[tat*(ir+ir)-tg//]- (ЗЛ4)
4* 99


Соотношения между истинной и эксцентрической аномалиями в эллиптическом
движении:
г cos & = a (cos Е — е)\
г — а(\ — е cos Е)\
sin Е-
cos ф- sin
cos E =
1 + sin <р cos %
cos & + sin cp
1 + sin cp cos &
где sin qp=e — эксцентриситет орбиты;
cos<p = Y\ — e2-
cos tt — •
cos cp. sin £
1 — sin <p cos E '
cos £ — sin cp
1 — sin cp cos E '
(3.15)
(3. 16)
3.5. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТ
Величины, полностью определяющие положение и скорость точки, движущейся по
кеплеровой орбите на заданный момент времени, называются элементами орбиты.
Ниже даны формульные зависимости для основных элементов орбиты.
Большая полуось орбиты:
V-r
где
2р — гУ* '
Эксцентриситет орбиты:
г = УХ* + Г2 + Z2;
V = У Х2 + Г2 + 22.
где
<г2 (*Г — Г^)2 + (KZ — Zr )2 + (*Z — Z*)2
;? = — =
Наклонение плоскости орбиты:
i = arccos-
XY—YX
Vv-p
Долгота восходящего узла орбиты:
YZ—ZY
О < / < я.
Q = arc sin
где
sin i V\hP \ ° < Q < 2я'
|&|cosQ = *Z—ZZ
Угловое расстояние от узла до перицентра орбиты:
О) = И &,
Г cos Q — Л" sin Q
О < и < 2я;
и = arc sin
г cos г
I k | cos a = X cos Q + Y sin Q
/? ZA" + YY + ZZ
> = arcsm
| & [ cos $ = p — r
Время прохождения через перицентр т:
— для эллиптического движения
а3'2
x = t — — [Е — е sin E];
О < » < 2я.
(3.17)
(3.18)
(3. 19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
100


— для гиперболического движения
а312
x = t — — [е sh И — И].
/к-
Кроме основных элементов орбиты, рассматриваются вспомогательные элементы:
— долгота перицентра орбиты я—£2 +со,
где со — угловое расстояние перицентра орбиты от ее узла;
— угол эксцентриситета q>; sin qp=e;
Vv-
— среднее движение п = — ; (3. 24)
а3/2
а312
Т = — 2я (для эллиптических орбит); (3.25)
— параметр орбиты р=а(\—е2);
— средняя аномалия эпохи
M0 = k (t0 — t); (3. 2б>
— средняя долгота
Элементы, определяющие эллиптическое движение:
Основные элементы
Дополнительные элементы
2,
/, со,
я,
я,
р>
е,
т
X
м0
е
Элементы, определяющие гиперболическое движение:
Основные элементы
Q, /, о), а, еу т
Дополнительные элементы | я, р
q
Здесь q=a(e—1)—расстояние от центра
притяжения до перицентра.
3.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ НЕВОЗМУЩЕННОГО
КЕПЛЕРОВОГО ДВИЖЕНИЯ
Предельными случаями невозмущенного движения является круговое,
параболическое и прямолинейное. __
Круговое движение. Величина вектора Лапласа f=0; направление неопределенно;
е=0.
Круговое движение является предельным для эллиптического движения. Круговая
орбита определяется четырьмя элементами: Q, i, а, М0 (М0 — угол, образуемый
начальным радиусом-вектором с направлением на восходящий узел орбиты).
Для круговой орбиты
г = /? = а = /-0; u = $ = E = M = n(t — t0) + М0;
V2 = vl=-^-t
— круговая скорость из интеграла энергии
V = Л/ — . (3.27)
Параболическое движение. Энергия /i=0 или е=1.
Параболическое движение является предельным справа для эллиптического
движения и слева для гиперболического.
101


Элементами параболической орбиты являются пять величин: Q, i, со, q, т, которые
полностью определяют движение.
Уравнение орбиты
1 + cos <
q sec2 — ,
где q — расстояние от фокуса параболы до перицентра;
Ь — истинная аномалия.
Время движения
b 1 3$
п =
/V
j/2?3'2
Параболическая скорост!> из интеграла энергии
-VS--
(3.28)
Прямолинейное движение. Постоянная площадей с=0. В этом случае \ФЪ; h —
может принимать любое значение; /7=0; е=1.
Время движения в прямолинейном движении:
— с параболической скоростью
±(*-
-^^(r^-rf);
3/2 v '
с гиперболической скоростью
[2 / г 2У%.
±(t-t0) =
h
h Vh
arctg
)/-]■■
с эллиптической скоростью
2/7
±(t-t0)-
2]/% 2fx — hr -\-4V — 2y.h
h У — h
In
]/2m. + hr
3.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ '
В любой заданный момент времени положение тела на орбите и его движение
определяются в принятой системе координат радиусом-вектором г(х, у, z) и вектором
скорости г(х, у, г). Величины гиг можно определить через элементы орбиты.
По уравнению Кеплера определяется О, а затем величины
Р
У г-
V-
1 + е cos Ь
е sin Ь — радиальная составляющая скорости;
-/t
V
и далее
(1 + е cos %) — нормальная составляющая скорости
X = г (cos и cos Q — sin и sin Q cos /);
Y = r (cos и sin Q + sin и cos & cos /);
Z = r sin и sin /;
X =. Kr (cos и cos Q — sin и sin Q cos /) —
— Vn (sin и cos Q + cos и sin Q cos /);
К = Vr (cos и sin Q + sin и cos Q cos /) —
— Vn ( sin и sin Q — cos и cos Q cos /);
Z = Vr sin и sin / -\- Vn cos и sin /.
(3.29)
102


Положение тела на орбите в полярной системе координат характеризуется
расстоянием до тела г и двумя углами:
а и б — прямое восхождение и склонение в экваториальной системе координат
или
X и ф — долгота и широта в эклиптической системе координат;
у \
a(A)-arctg—
х \ 0 <<х(Х)<2л;
| k I cos a (А) =--- X )
Z п я
&(?) = arcsin—; — — < й(<р)<— .
3.8. СФЕРА ДЕЙСТВИЯ ПЛАНЕТЫ
Около каждой планеты (или ее спутника) имеется область, называемая сферой
действия, внутри которой ее силы притяжения являются преобладающими по сравнению
с силами притяжения (возмущающими силами) других, более тяжелых притягивающих
тел, поэтому при расчетах орбит КА во многих случаях можно применять теорию
невозмущенного движения.
Сфера действия ограничена поверхностью, в каждой точке которой отношение
ускорения от возмущающего тела к ускорению от данной планеты становится равным
отношению ускорения от планеты к ускорению от возмущающего тела, когда последнее
принимается за центральное.
Понятие сферы действия Лапласом при изучении движения комет.
Уравнение поверхности, ограничивающей сферу действия радиуса R,
I п$ V5
#=Г[ =====7- ' (3'3°)
\ Y\ +3cos2<p /
где г — расстояние между планетой и возмущающим телом;
Ф — угол между направлениями из центра планеты на КА и на'возмущающее тело;
m — масса планеты в единицах массы притягивающего тела.
Поверхность сферы действия мало отличается от геометрической сферы, при этом
малая ось направлена из центра планеты к возмущающему телу. За средний радиус
сферы действия принимают величину
R = rm2/5. (3.31)
3.9. ГОДОГРАФ СКОРОСТИ В КЕПЛЕРОВОМ ДВИЖЕНИИ
Для решения ряда задач, связанных с маневром КА, используется понятие
годографа вектора скорости — геометрическое место концов векторов скорости, проведенных
из полюса годографа О.
Годографом скорости в кеплеровом движении является окружность радиуса
/-t- с центром на оси у, отстоящим от оси х на расстояние вЛ/ ^~
Р V Р '
На рис. 3. 1, 3.2, 3.3 изображены годографы скорости для эллиптического,
параболического и гиперболического движения.
1. При движении точки по эллиптической орбите ее вектор скорости в течение
одного оборота изменяет положение от 0 до 2 я. Причем если заданы два вектора V\ и V2y
то переход между ними можно совершить, двигаясь по часовой и против часовой стрелки.
2. При движении точки по гиперболической орбите из перигея до г=оо ее скорость
поворачивается на угол 7=^arcs^n—• В гиперболическом движении от скорости
е
V\ к скорости V2 можно перейти единственным образом, так как годограф являете»
незамкнутым (оставшаяся часть окружности годографа есть годограф для
отталкивающего центра).
3. Движение точки по параболической орбите является предельным для
гиперболических и эллиптических годографов при е->1. При этом скорость может занимать
любое положение от 0 до 2 я (как в эллиптическом движении), но от V\ к V2 можно
перейти единственным образом (как в гиперболическом случае).
Пользуясь свойствами годографа в кеплеровом движении при задании Vi, V2 в
двух точках и времени движения КА между ними, можно определить вид движения
и большую полуось орбиты.
103


У,
/v»'
Vv
"VV^ff
-?=/0
jevf •
lV^
/x
V
r/
У,
Й
>
X
Эллипс.
Рис. 3. 1. Годограф векторов
скорости для эллиптического
движения
Парабола
Рис. 3. 2. Годограф
векторов скорости
для
параболического движения
.Гипербола
Рис. 3.3. Годограф
векторов скорости для
гиперболического движения
Рис. 3. 4. Возможные годографы
скоростей при заданных значениях
вектора скорости Vi и Уг
104


Если заданы V\ и W У\ФУъ, то движение может быть эллиптическим,
параболическим и_гиперболическим в зависимости от времени движения между точкой / со
скоростью Ух и точкой 2 со скоростью У2 (рис. 3.4).
На рис. 3.4 обозначено: Опараб— центр окружности, проходящей через начало и
концы векторов скоростей У\ и W, Опред — предельный центр окружности, касающейся
меньшей из двух скоростей, например V2-
Предельное движение, для которого имеются такие векторы скорости, является
гиперболическим со скоростью на бесконечно большом удалении Voo = V2 с центром годен
графа в точке Опред.
При параболическом движении начало векторов должно лежать на окружности
годографа с центром в Опараб. На прямой АВ, между Опараб и Опред, лежат центры
окружностей годографа скорости при гиперболическом движении. Слева от Опараб
лежат центры годографов скорости в эллиптическом движении.
Отсюда для эллиптического движения заданным Vi, У2 можно поставить в
соответствие любое значение большой полуоси а в интервале [0, оо], для гиперболического
Г fx
движения любое значение а в интервале ——— , с
V2
L о°
Если известно также время и направление движения между точками, то а
определяется однозначно.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. III
1. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., Фиа-
матгиз, 1963.
2. Stumpff К., «Hummelsmechanik», band l, Berlin, 1959.


ГЛАВА IV
ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
_ _ а_— большая полуось общего земного эллипсоида.
Я}> к, h0— постоянные коэффициенты в упрощенной модели атмосферы.
b — баллистический коэффициент.
сх— коэффициент аэродинамического сопротивления.
Е— эксцентрическая аномалия.
е— эксцентриситет.
е— основание натуральных логарифмов.
F— вектор силы тяготения.
Fx, Ру, Рг— компоненты возмущающих сил по соответствующим осям.
/— гравитационная постоянная.
h— высота над уровнем земного эллипсоида.
ha, hn — высота КА в апоцентре и в перицентре орбиты.
/— наклонение плоскости орбиты к экватору.
М — средняя аномалия.
т0— масса центрального тела.
/пиа — масса КА.
п— число витков КА вокруг планеты.
Р—период обращения спутника по почти круговой орбите.
Рх, Ру, Яг—проекции ускорения от реактивных сил, которые могут бытъ
приложены к КА.
pk— обобщенные импульсы.
qk — обобщенные координаты.
R—радиус земного эллипсоида в данной точке; потенциал
возмущающих сил от планет и Солнца.
Rx—сила лобового сопротивления, которое испытывает КА при
движении в атмосфере планеты.
г— расстояние от центрального тела до КА.
г—радиус-вектор произвольной точки.
fn, /*а — расстояние в перигее и в апогее орбиты от центра Земли.
S, T, W— проекции ускорения от возмущающей силы на орбитальные
оси.
5 м—площадь миделевого сечения, определяемая как проекция
КА на плоскость, перпендикулярную скорости полета.
Т— кинетическая энергия; период обращения КА вокруг
центрального тела.
t— время.
U(X, Y,Z) — гравитационный потенциал Земли; потенциал или силовая
функция центрального поля сил тяготения.
{]'— часть гравитационного потенциала Земли, учитывающая
отличие «эллипсоидального» поля тяготения от центрального.
и — приращение возмущенного аргумента широты относительно
его невозмущенного значения.
106


Vj— скорость полета относительно атмосферы Земли.
v — скорость движения спутника по круговой орбите.
vr, vu—проекции скорости на оси цилиндрической системы
координат.
X, Y, Z—координаты К А в абсолютной системе координат.
х, у, z_— координаты КА в гринвичской системе.
а— сжатие общего земного эллипсоида.
а, б— прямое восхождение и склонение небесного тела (в
частности, КА).
Ye— ускорение силы тяжести на экваторе.
7т— среднее ускорение силы тяжести для земного эллипсоида.
Д<7г — проекция возмущающего ускорения от аномалий сил тяжести
на направление, обратное направлению радиуса-вектора
точки.
Aq г— проекция возмущающего ускорения от аномалий в
направлении на восток.
Лд^— проекция возмущающего ускорения от аномалий на
направление меридиана к северу.
Ar, Avr, rAu, Avu, Аг, Avz — малые возмущения круговой орбиты в цилиндрической
системе координат, по радиусу-вектору, вдоль орбиты и по
нормали к ее плоскости, соответственно.
AU — потенциал аномалий силы тяготения планеты.
б—угол между плоскостью, содержащей КА, центр притяжения
и возмущающее тело, и плоскостью орбиты; азимут орбиты;
склонение небесного тела.
О—истинная аномалия.
Xi=esin со, X2=£cos со —элементы орбиты Лапласа.
\х—коэффициент притяжения Земли
liQ—cioo — коэффициент притяжения центрального тела.
q—плотность атмосферы в данной точке.
Qn— плотность атмосферы в перигее орбкты.
Ф—геоцентрическая широта; центральный угол в плоскости
невозмущенной круговой орбиты, угол с вершиной в центре
притяжения между КА и возмущающим телом,
ф—угол поворота плоскости почти круговой орбиты под
действием возмущающего ускорения W.
<*>— аргумент перигея,
со — угловая скорость вращения Земли.
Возмущенным движением космического аппарата называется его движение под
влиянием, помимо центральной силы, также сил, малых по сравнению с силой
притяжения основного (центрального) тела,
4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Дифференциальные уравнения возмущенного движения КА в абсолютной
прямоугольной системе координат имеют вид
X
Y
Z
-Х0
/•з
-Уо
/■з
-*о
+
+
Fx
^к.а
Ру
^к.а
Fz
(4.1)
где Х0, Yq и Z0 — координаты центра тяжести основного притягивающего тела.
Первый член в правой части каждого уравнения является проекцией на
координатную ось ускорения от центральной силы притяжения основного тела, второй член — от
возмущающих сил.
Конкретные выражения для входящих в уравнения компонентов возмущающич
сил будут зависеть от того, какие силы учитываются.
Основные возмущающие силы для искусственных спутников планет и других
космических аппаратов вызываются следующими причинами:
107


— нецентральностью поля тяготения, обусловленной сплюснутостью планеты и
неравномерным распределением масс внутри нее (аномалии силы тяжести);
— сопротивлением атмосферы (если она у планеты имеется);
— влиянием соседних планет и Солнца;
— давлением солнечного света (для КА малой плотности).
Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли (см. гл. I, разд, 1.3.5)
U-
/Щ
= U' + Ш',
где потенциал V учитывает отличие «эллипсоидального» поля тяготения от
центрального;
AL/'— потенциал аномалий силы тяготения Земли.
Часто используемое разложение потенциала U' в ряд по полиномам Лежандра
имеет вид (при включении всех зональных гармоник)
U' =
оо
/1 = 2
пО
.л+1
^M)(sin<p),
достаточно одного,
где апо — постоянные коэффициенты;
PnQ (sin <p) — полиномы Лежандра;
<Р—геоцентрическая широта.
Для учета в уравнениях движения в практических расчетах
максимум двух-трех членов разложения.
Производные от V по координатам Xt Y, Z дают ускорения, действующие по этим
юсям. За начало координат принимается центр масс Земли.
Вследствие вращения Земли вокруг своей оси в данной точке пространства
возмущающая гравитационная сила будет переменной во времени, поэтому удобно
использовать систему прямоугольных осей, жестко связанных с Землей (гринвичская система
координат). При этом к потенциалу U' добавляется потенциал центробежных сил V.
Если ограничиться первым членом в выражении для V и учесть потенциал
центробежных сил, то в гринвичской системе координат система уравнений движения КА
принимает вид
х = — а00 — — За20 — Яго + <*з-* — а20
гз
+ 2и3у +
/-5
+ рх\
Г^Г\
У о У О
У = — %) — — ЗЯ20 — P20 + <»3у ■
"а20"
гу
Я21 +
Р21-
— 2^х +
+ Ру',
Z Z Г\ rz
z = — floo "7 — За20 —г Яго + fl2o "Т р2\ +
+ Рг-
(4.2)
Здесь Г\ = ]/"jr2 + у2;
P<i\ (sin <p) — присоединенная сферическая функция;
Лг» Fy> Fz — проекции возмущающих сил (притяжения небесных тел, сопротивления
воздуха, давления солнечного света и др.);
Рх, Ру> Pz — проекции реактивных сил, отнесенных к единице массы КА, которые
могут быть к нему приложены;
(о3-*-, со3^ — центробежные ускорения;
■2в>3#, —2со х— кориолисовы ускорения по осям х и у.
Конкретные выражения для членов, учитывающих влияние других планет и
Солнца, а также сопротивление воздуха, рассматриваются ниже в соответствующих разделах.
Конкретные выражения проекций рх, ру, pz зависят от характера приложенных
реактивных сил.
Давление солнечного света и отраженного света от поверхности планеты, которые
имеет смысл учитывать для КА малой плотности (надувных) или имеющих развитые
поверхности, вводится как некоторый добавок к постоянной тяготения Солнца (или
планеты).
108


Уравнения движения на практике редко включают в себя все возмущающие силы
одновременно. Для близких к Земле спутников, как правило, учитывается
нецентральность поля сил и сопротивление воздуха. Для КА, совершающих межпланетный полет,—
влияние притяжения планет и их спутников.
В табл. 4. 2 и 4. 3 (см. разд. 4. 4) показано влияние притяжений Луны и Солнца на
движение спутников Земли в зависимости от высоты полета. Можно видеть, что эти
влияния при точных расчетах имеет смысл учитывать уже начиная с высот 1—2 тыс. км,
если рассматриваются длительные промежутки времени (более месяца).
Для межпланетных? траекторий КА в уравнения движения могут включаться силы
притяжения от ближайших космических тел. Эти силы особенно существенны при
приближении к сфере действия планеты.
В уравнениях движения (4.2) члены FxjmK^ F /mKtSif Fz\mK2i принимают вид
mK
/-1 /-1
п п
/ST 15Р
n n
/-1 /-1
■*/3»'
</1з;
(/= 1, 2, 4, 6... n)
где
хю> Ую, zm — проекции возмущающего ускорения от /-го небесного тела;
*/з> #/з> 2iz— проекции ускорения Земли от г'-го тела в соответствии с
обозначениями, принятыми в гл. X и XII.
Уравнения (4. 2) интегрируются численно. При этом неизбежно накопление ошибок
уже на сравнительно коротком интервале времени. Чтобы уменьшить ошибки
интегрирования и получить приближенные формулы, применяют систему уравнений в оскулиру-
ющих элементах, т. е. в орбитальных элементах (см. гл. III), принимаемых за
переменные:
dQ,
dt
di
dt
sin и
/
fi./? Sin I
W:
Vw
W cos u:
■rT;
dt V V-
—L = 1 / — —Scosa+7,[l+ — | sin и
dt у p [ \ p/
•+- — (hT — hW ctg / sin и)];
P
+
+ — (Xa^ + XilFctgi
P
i sin u) ;
du У\хр
dt
г*
V-P
cos и +
/-2
(P)
1 — -— ctg / sin и • W — 1 / —
(Г)2 У р
(4.3)
1 + Xi sin и + X2 cos и
Здесь в левых частях уравнений стоят производные от шести выбранных элементов:
Q, i, р, Хи %2 и и—и—(и), где (и)—значение аргумента широты для невозмущенной
орбиты; в правых частях — проекции S, T, W возмущающей силы, отнесенной к массе
109


КА, на орбитальные оси г, Ь, п (см. гл. II). Для орбит, не близких к круговым, Хи Х2
часто заменяют на е, со:
ctg/ sin
4
Система уравнений может быть проинтегрирована численно для любых начальных
значений оскулирующих элементов, в том числе для гиперболических и круговых орбит.
Значения элементов орбиты для любого момента временя рассчитываются по формулам:
Q = Q0 -i- 5Q;
* = i0 + Ы;
Р = Ро + Ьр;
Xi = Аю •+■ &Хь
^•2 = ^-20 + ^2\
и = и0 4- Ьи,
где Q0, iq, Pq, Xio, ^20» uo — значения оскулирующих элементов в начальный момент
времени, bQ, Ы, Ър, 5Х], &Хг, Ьи— изменения этих элементов, вычисленные путем
интегрирования системы (4.3).
Система уравнений (4. 3) может быть решена также методом последовательных
приближений, для чего она представляется в интегральной форме:
С г sin и
Q = Ц, + \ -=- -т— Wdt;
J V v-P —
to
sin i
:Po +
^1 = ^10 +
4-—(XiF — X2l^ctg/
P
X2 = A20 4-
1
i = /0 4- \ Л— W cos ш//;
J ^W
0
t
\"l/ — — 5 cos a + Г П + — j sin и
to
sin м) dt\
||/-^[SsinU + r(l+-
4- — (l2T 4- XiW ctg 1 sin u) dt\
P J
4-
cos и 4-
и = и04-
1
Vv-p
1 — ctg/ sin tt-W-
■-1/
(Г)2 [/
dU
(4.4)
j
Полагая на некотором интервале времени t—10 величины р, i, X\, X2 постоянными и
равными их невозмущенным значениям, получим после вычисления квадратур значения
оскулирующих элементов на каждом шаге расчета квадратур. Это позволяет второе
приближение (п=2) вычислять с использованием полученных в первом приближении
(п=1) величин р\, i\, Qi, Х,ц, %2\, Щ- Процесс итераций прекращается, когда разности
Арп=рп—рп-\, Mn=in—in-и— достигают значений, меньше заданных.
В большинстве случаев для расчета орбит достаточно ограничиться первым
приближением. Для получения первого приближения в виде конечных формул целесообразно
перейти к независимой переменной и или О. При этом уравнения движения в
оскулирующих элементах принимают вид:
ПО


dQ
du
r37 sin и
\±p sin /
W;
di г3т
= —L W cos u;
du [ip
dp 2T
— rST;
du д
—L= -^-f — Scostf+ Г (1 + — )sina + —(Xi^ —X2irctgi sin a) 1 ;
rfa (i L \ P I P J
=:— S smu + T (l +— jcostf+ — (X27, + XIWrctg/sinw) 1 ;
dl2 _a"2t
du
du
du
гЦ V(p) ,
(4.5)
1 — Wctg/ sin и
[LP
При непосредственном вычислении эксцентриситета е и аргумента перигея со вместо
уравнений для К\ и Х2 применяются следующие:
— = — Г5 sin ft+ 74 1 + -^ ) sin ^ + Г-^-/-1 ;
du у. [ \ Р I Р 1
= —Ч —5 + 741 +— — W — ctg/sina .
rfwfxL * \ Р J e P J
В случае использования О вместо и имеем
1
Г2 Г2
1 + 5 cos Ь — Т
\ie \x.e
1 +
Р I
sin ft
Полагая в правых частях элементы постоянными и равными их невозмущенным
значениям, считая у—\ в первых пяти уравнениях, а также зная выражения для
проекций возмущающих сил S, T, W, можно путем интегрирования каждого уравнения в
отдельности получить в первом приближении формулы для расчета изменений оскулирую-
щих элементов. Так, для учета влияния нецентральности поля сил земного тяготения,
обусловленного эллипсоидальностью Земли, имеем
— (3 sin2 /sin2 и-
/-4
Т = — — sin2 / sin 2u:
г*
W = — — sin 2/ sin и,
Г4
1);
где е = jxa21 a
Выражения для S, T, W получены после дифференцирования потенциала
возмущающих сил, в котором удержан лишь один член
V =
^20
Г3
/>2o(sin<P) = -
гз
(8,п2*-т)'
где ф — геоцентрическая широта и sin <p=sin i sin и.
После подстановки значений S, T, W в правые части уравнений (4. 5) и
интегрирования в пределах от uQ до и при постоянных невозмущенных значениях i, p, \\, А,2,
равных i=(i)=iQ—6*о, ...
Ill


получаем
bQ==
е cos i
/Г 1 _ / 3 1 \
" \u — ""T" sin 2a + XJ ~ ~ cos n •+- — cos 3a 1 +
•+- ^2 I ~Z~ sin a — — sin 3a I ;
e sin 2/ Г
^г- __ —.—_— cos 2^ -j- Xi
sin a + sin 3u ) -f
о
)■
4^2 _
+ X2 I cos a + — cos 3a I I;
ik \ I 1 \
5/7 = cos 2a + XW — sin a + — sin 3a +
K-/> L \ 3 /
•+- X2 I cos и + — cos 3u J ;
-{[-^■'^?(4-i')^(T-
5X, =
sin a +
+ [^+x'(-i + irfe)+X22(-ii+ii"")]sin3a+
•+- X! If — — + 2k j cos 2a — — k cos 4a + X2 N 2 — — £ J a + [ (4. 6)
•+- — & sin 2a + — k sin 4a + — k (X2 — Xj) sin 5a +
2 -8 J 16 - n
K13 \ 5 rt * 1 I)
— 2 + —— & I cos a + —- k cos 3a — — k cos 5a П,
,х»в1^{[1-т*+х?(т--т-*)+х1»(т+т*)]см"+
+ [^+xK~T+IH+xi(iW^#os3a+
+ XH — ( 2 — — k) a + (1 — 2k) sin 2a + — k sin 4a +
+ X2 (-^-+ — £Jcos2a + —£cos4a + — k (xf — X*) cos 5a +
+ XjX2 — ( 1 — "Г"*) sina+ ("T~"57^) sin 3a+ — & sin 5a 1,
где & = sin2/.
Элементы орбиты имеют вековые (кроме i и />) и периодические изменения с
периодами для 6Q, Ы, Ьр, равными я (без членов, зависящих от эксцентриситета) и для-
6X,i, 6Х,2, равными 2я и "Г~зт (без членов, зависящих от эксцентриситета).
о
Поправка к времени полета вычисляется по формуле (для эллиптического движения)
5
Ы-.
(1-е2)
— Mi+—^2 + —^cc^wjE-i-
V/^r" ~ ' L V"1 " 2 -1" ' 16
•+- (А2 •+- А3 cos 2a>) sin £ + (Л4 + A5 cos 2a>) sin 2£] +
■)■
+ (l-e2)-:
{-(-
5 \ 1
—— k\U-\- —— Stn 2a
4 / 4
13 k 2
£—1——+
12 e2 ^
k , 1—Л ^и
+ —— sin 2a> (1 — e cos £) + ——— sin (a + w)
6e2 3e
(4.7)
где
3
1
Л2 = — ^e + —e + — ез— — £еч;
19 1 o 3 2 Ik
д = __ ^з _ — еъ — —- ke + — e — — 4- —
24 2 8 3 3e 3e
112


/53 5 1 \
A4 = [-—- — —rk— -—e2 4- —ket) e2;
V 24 16 12 2 /
^tIt-t*-!^?^!14-^
Время / в возмущенном движении будет
t=T+6t,
где t — время для невозмущенного движения.
В случае небольших эксцентриситетов поправка ко времени находится по формуле
5*
= —, г— 1(1 — 4cos2/)и + (— — — k) sin2tt 4-е — k sin (и + <о) +
M.j/jA/7 i \ 2 12 / L 8
+ Г-—Aj —— ) sin (За —w) 4- (2 — — k 4- — cos 2co J sin & —
3
— (1 —5 cos2/)a cos ft — —& sin (u — 3o>)
8.
(4.8)
H0
Из формулы (4. 7) при u0=0 и м=2я получим выражение для драконического
периода (с учетом периода невозмущенного движения)
2л о/9 2яе [/ 3 \ / 3 \
— — e^k cos 2<о + (1 — e2)1/2 ( — k — 2 J (1 — e cos £0)2 I>
где Eq соответствует u0\ a — полуось невозмущенной орбиты.
За невозмущенную орбиту принята орбита, для которой эллиптические элементы
имеют следующие значения, обеспечивающие максимальную точность расчета по
формулам (4. 6) — (4. 8):
(Q)=Qo — 5Q0; (X,)=A10—»X10; (р) = Ро—*Ро,
(/) = /о — &г'о; (^2) = ^20 ~ ^20»
т. е. начальные оскулирующие параметры уменьшаются на поправки, являющиеся
результатом подстановки в формулы (4. 6) значения и0.
В общем случае возмущенного движения для расчета времени полета используется
интеграл
JrUu
.
Vwll — -^— ctgi sin U'Wj
Приведенные формулы позволяют рассчитывать влияние сплюснутости земного
эллипсоида при указанном выборе элементов невозмущенной орбиты с ошибкой на витке
не более 500 м, т. е. 0,5 с (по положению вдоль орбиты), и 50—100 м в боковом
направлении, что соответствует ошибкам в Q, i примерно 2—3" и 150—200 м по высоте.
Формулы перехода от оскулирующих элементов к прямоугольной системе координат
приведены в гл. II.
Формулы первого приближения (4.6) показывают, что элементы Q, Xi, X2
испытывают вековые возмущения. За один оборот спутника вокруг Земли они составляют:
2я£
bQB = — —~ cos / (прецессия узлов),
W2
£
Ы1в = яХ2 (4 — 5 sin2 /)
.2
£
Ы2в = — яА} (4 — 5 sin2 /) —-.
V-P2
Для круговой орбиты последние два равенства обращаются в нуль. Для
эллиптических и гиперболических орбит соответствующее вековое смещение перигея (линии
апсид) равно:
Я£
5сов= (4 — 5 sin2/).
V-P2
113


Я, км
р 5000
F— 45/7/7
Ь 4/7/7/7
ь,град
5/7/7
h- Ш
ИапраВление смещения плоскости
орбиты
Пример расчета
Дано: Н=3200 км
Ответ: S Q3=5km (2,7мин)
<Э- 15—\
го-
зо-Щ-
Ш-во
Рис. 4. 1. Смещение узла орбиты (прецессия) за один виток
*<
§
1=-30
=1-4/7
ВО-
4/7^(
JZ7-
до-3
/7
114


ь, град
Н,км
cr- 5000
mo J2
4000 »g
Ш
<— Ш
5ae
я° —i
(/2 Д Maw
Направление смещения
плоскости орбиты
Пример расчета
Дано: Н=2850км 4°~
г = 74° 5°-
О/лВет: S'&с=85км{4Цгл мин) ^
7е
-400
-500
tz-WO0
50-4
40-
30-
20-
10 =
Рис. 4. 2. Смещение узла орбиты (прецессия) за сутки
115


р}км
— moo
F- ///7/7/7
Ё- 10500
8500
8000
7500
%
&
•е-
7000
Направление смещения перигея
орбиты
irons'^* n
Схема пользования
Р 8<*>ш
\J,oho для
ь>63°
Пример расчета
Я) Дано: р= $мокм
i = 57°20'f
От В em: Sa)B=4'
В) Дано:р=9400км
1 = 87°
От Bern: S<di*>2'
i,epad
83—Т—64
6500
Рис. 4. 3. Смещение перигея орбиты за один виток
116


г- НШ
Е- moo
9500
для i>63*
Направление смещения
перигея орбиты
8500
F- Ш7
F- 7Ш
7Ш*
с- Ш0
/7/7//а/^/7 расчета
A) Дано:р=9250'Км
i =5S°30'
Ответ: 8 w =42,5'
B) Дано: р =9 2 50 км
i=S7°20f
Ответ: 8u)c=2l'
Рис. 4. 4. Смещение перигея орбиты за сутки
117


Эксцентриситет и наклонение в первом приближении вековых возмущений не имеют.
На рис. 4. 1—4. 4 приведены номограммы для расчета изменений оскулирующих.
элементов ИСЗ Q и (о за виток и за сутки.
Для получения в произвольной системе координат уравнений движения в поле сил,,
имеющих потенциал, используются уравнения Лагранжа и Гамильтона.
Вводятся так называемые обобщенные координаты qu (k=l, 2, 3). При этом правые
части формул преобразования
X=X(qk,t); Y = Y(qk9t); Z = Z(qk, t)
являются однозначными и непрерывными функциями указанных переменных.
Уравнения Лагранжа (2-го рода) в общем случае голономной системы имеют вид
d / дТ \ дТ
dt \dqj~ dqk ~Qkl
где
Т = — /гак#а (Z2 4- У2 4- Z2) — кинетическая энергия КА;
/.. дХ .. дУ .. dZ \
Qk = тк а [X —— 4- У — 4- Z— ) — обобщенные силы, выраженные через tY
. ., \ дЯп дйь дЯь J
Если действующие силы обладают потенциалом JJ, то уравнение Лагранжа
записывается в более простом виде
dt \ dqk j dqk
где L — функция Лагранжа, или кинетический потенциал, L—T—V;
V — потенциальная энергия, связанная с потенциалом (силовой функцией) U
соотношением V=—U.
dL
Величины --г— называют обобщенными импульсами. Учитывая, что dV/dqk=0>
°Qk
уравнения Лагранжа можно представить в другом виде:
d ffdT \ дТ dV л
— Г—:— — 4- = 0.
dt \ dqk J dqk dqk
Значение уравнений Лагранжа состоит в том, что они позволяют легко перейти от
абсолютных прямоугольных координат к каким угодно другим переменным. Для такого
перехода достаточно выразить через новые переменные живую силу системы Т и
потенциальную энергию V.
Пример. Пусть требуется составить уравнения движения спутника Земли в
сферических экваториальных координатах габ. Выразим через заданные переменные
кинетическую энергию спутника с массой тк.а'.
X = г cos 5 • cos a;
Y = г cos Ъ- sin а;
Z = г sin Ъ\
X = г cos 5 cos а — г sin 5- cos а- Ь — г cos &• sin аа;
у = г cos 5 sin а— г sin Ь- sin а-5 4- г cos 5. cos аа;
Z = г sin 5 4- г- cos 5 • Ъ\
Т = —— (/-2 4- г252 4- /-2-COS2 5-а2).
Вводим обобщенные координаты и скорости:
Я\ = П Я2 = \ <7з = a, qx = r; q2 = Ъ, q3 = а.
Для первой координаты
дТ . п . дТ d ( дТ \
-— = /пк.аг52 4- mK.ar cos2 5 -а2; -:— = mK.ar; — -.— = mK.ar.
dqA dqx dt \dq{ J
Первое уравнение
... . dV
r — ^ — rcosZb.aZ-t- = 0.
mK^dr
118


Для второй координаты
—— =— тк ar2 cos 5 sin 5-а2;
oq2
дТ
<ty2
Второе уравнение
^ \OQ2 !
2гЪг + /-25 + г2 cos 5- sin 5-а2 = 0.
Для третьей координаты
дТ „ дТ
= 0; -т*- =mK a/-2cos25-a,
<ty3 0?з
^ [да* J
i . I = 2/ик arr cos25-a-
— 2/nK.ar2 cos 5 sin 5-a-5 + /raK>a/-2cos25-a.
Третье уравнение
2rrcos25-a —2/-2cos 5 sin 5-a-5 + r2cos2 5-a = 0.
Канонические уравнения Гамильтона имеют вид
дН . дН
°аь opk
где pk — обобщенные импульсы, а Я — функция Гамильтона; она представляет собой
полную механическую энергию системы. Так как V зависит только от координат,
dL
dqk
Таким образом, в уравнениях Лагранжа используются координаты qh и скорости
q^ а в уравнениях Гамильтона — координаты qk и импульсы pk. При этом уравнения
Лагранжа с использованием обобщенных импульсов записываются в следующем виде:
dL
oqn
Указанные зависимости позволяют преобразовать S обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка Лагранжа к системе 2S обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка Гамильтона.
Пример. Используя результаты предыдущего примера, составим систему уравнений
Гамильтона, описывающих движение спутника в сферических координатах-
«
УР
Рг =
дТ . .
7Т~=г-тк.аП г2 =
oq\
дТ
Ра = Т— •+- тк
ддг
~,2
"'
>ar2cos2 5-
Получаем функцию Гамильтона
авнения
2/ик#а \
движения спутника
дН
>
Рг .
А
/-2
Рь
а;
- +
дГ
dq2
r2-cos2 5-a2
Pi )
/-2cos2 5 !
*г*Ъ;
~ ™2
mK
r
/-252 ==
Pl
a/-2 COS2 5
^к.а
dpr
дН
дРъ
дН
*/>.
= 5 —
= « =
^к.а
Л
^к.а''2'
Pa
^к.а'"2 COS2 5 '
119


дН
дг
дН
~ дъ
дН
да
р1 р\
^к.а^3 Шк.аГг COS2 Ъ
Р\ sin 5
~~ Pb~ ~/7ZK.a/-2cOs3 5 '
= pa=0.
V-
- г2 тк,а
4.2. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ
ПО КРУГОВЫМ И ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
4.2.1. Малые начальные возмущения круговой орбиты
Будем исходить из следующих уравнений движения спутника в цилиндрической
системе координат (см. гл. II, рис. 2.9):
VrV„
/•з
где-
: r; vu = ru.
Полагая S=T=W=0 и обозначая через Ar, Aur, Am, Avu, z и vz разности между
значениями соответствующих величин для возмущенной и невозмущенной орбит,
зависимости, выражающие влияние малых начальных возмущений Аг0, Аиг , Ам0, Auu , z0 \t
vz , можно записать в следующей безразмерной форме [12]:
Аг ъ АГ° л. ъ ^г° л. ь AVa°
rQ rQ v v
AVr ь АГ° л. ь AVr° л. ь AVa°
T- = #21 + #22 _ + #23 - ,
i/ r0 v v
Av» ь АГ° л_ ь AVr° j. * A*"°
—— = #31 + #32 _ 4" #33 _ ;
I/ r0 V V
дГо Дг/Го AvUq
AU = &41 4. &42 —r^" + #43 —~ 4" #44^;
r0 V V
= #55 + Я56 -3— ;
П) r0 v
~Z" = #65 + #66 —Г" .
где v — скорость движения спутника по круговой орбите;
#/;0\ У = 1» 2,...6) — безразмерные коэффициенты, определяемые из выражений:
#п = 2 — cos <p; ^12 = sin <р; ^13 = 2(1 — cos <p);
#2i = sin 9; #22 = cos <р; ^2з = 2 sin 9;
h\ =f — (1 — cos 9); #32 = — sin 9; #33 = — (1 — 2 cos ?);
#41 = — (3<p — 2 sin 9); £42 = — 2 (1 — cos 9); #43 = — (З9 — 4 sin 9);
£55 = cos % k56 = sin ?; Я44 = 1;
#65 = ~ sin <p; ябб = cos ?;
9 = — t — невозмущенное значение угла и.
Л)
102


В качестве примера рассмотрим случай, когда начальный радиус-вектор спутника
г0 получает приращение Аг0>0. Тогда для перицентра (Ф=0) и апоцентра (ф=я)
коэффициенты kix соответственно будут равны:
*п = 1; *2i=*3i = ^41 = 0 (^ = 0);
*и=3, Л21 = 0, ^31 = — 2, Л41 = — Зя(<р = я).
Следовательно, в перицентре изменится только высота полета спутника на величину
начального возмущения Аг0, а в апоцентре высота полета увеличится на ЗАг0,
радиальная скорость vr останется прежней, продольная скорость изменится на величину
- А/*о
Avu — — 2v —-,
'о
и, кроме того, спутник сместится вдоль орбиты на угол
Ли = — Зя .
'о
Нетрудно вычислить возмущения для промежуточных значений угла ф. Как видно
из выражений для kn, все рассматриваемые возмущения носят периодический характер,
за исключением возмущения Ли, которое имеет вековую составляющую.
4.2.2. Постоянные и периодические возмущения круговых и почти круговых орбит
Предполагается, что начальные возмущения отсутствуют, т. е.
А^о = Д"Го = Ь"о = &vUo = z0 = v2q = 0.
В случае почти круговой орбиты вводится средний ее радиус гср, удовлетворяющий
выражению
2ягср
Я = -,
_ v
где v — линейная скорость полета спутника по круговой орбите радиуса гср.
Случай 1. Возмущающие ускорения постоянны, т.е. 5=50, Т=Т0, W=Wq.
Влияние этих ускорений выражается следующими зависимостями:
Аг(ср) = Р\ [50(1 — cos ?) 4- 2Г0(ср — sin ?)];
Avr (?) = Рг [S0 sin у + 2Г0 (1 - cos ?)];
Да(?) = — у- Ы0(<р — sin у) + T0 \ — <p2_4(l - cos ?)1} ;
д«,и (<p) = _ px [50(1 - cos ^) + 7q (? — 2 sin ?)];
А<г(9) = Р^0(1 — cos?);
д^г(у) = Р11Г0 sin cp,
где
P r3/2
2я ]/"{i '
Анализ этих зависимостей, в частности, показывает, что под воздействием
постоянного возмущающего ускорения Г0 спутник сначала несколько смещается по
направлению его действия, а затем движется по спирали, которая разворачивается, если
возмущающее ускорение Т0 направлено в сторону полета спутника, или сворачивается, если
действие Т0 противоположно.
Случай 2. Возмущающие ускорения изменяются с частотой обращения спутника
Si = Si(tO; 7,1 = 7'1(Ч)); Wl = Wl(<9).
В данном случае пользуются следующими зависимостями:
-—-[ sin ?.cos ?Si — <р cos (<p— ?Si)] +
+ 7ni[2cos(pr (1 — cos «p)—sin<p-sin<pr —9 sin (^ — yT )]};
[5]
AM?) = Pi|— [?• sin (<p — <pSi)— sincp-sincp5i] +
+ 74 [sin?. coscpri — <p. cos (cp — ?ri)]};
Аи(ср)=: {Sj [2 cos <p5 (1 —cos <p) — sincp. sin <p5 — <p- sin(<p — <p^ )] -+-
121


+ Т\ [Зср • cos yT — 3 sin (ср — ут ) — 3 sin срг + 2ср • cos (ср — срг ) —
— 2 sin ср* c°s yT ]};
(Si
А*и(?) = — Л |-у [ s^ ?-cos?5i — у cos (ср — cp9i)] +
+ 7^ [cos<fri (1 — cos ср) — ср- sin (ср — <pri)]},
А*(<Р)=-у P\-Wl [sin ср. coscp^ — <p cos (cp — cp^)],
1
Avz(cp) = —Prl^1[cp. sin(cp —cp^^— sincp-sincp^J,
где ф^ , фг и q>w — начальные фазы соответствующих возмущений.
Из этих зависимостей, в частности, следует, что периодическое возмущающее
ускорение W\ (направленное по нормали к плоскости орбиты) вызывает вековое вращение
плоскости орбиты со скоростью
dt 2rcp
вокруг оси, направление которой определяется углом
4.3. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
При прохождении вблизи планеты, обладающей атмосферой, КА испытывает
сопротивление, определяемое формулой
Rx ="- СХ су $Ш
где сх — коэффициент аэродинамического сопротивления (безразмерный);
q — плотность атмосферы в рассматриваемой точке орбиты;
v — скорость полета относительно атмосферы;
SM — площадь миделевого сечения, определенная как проекция КА на плоскость,
перпендикулярную направлению скорости полета.
Для расчета движения КА в атмосфере необходимо знать величину силы
сопротивления Rx в зависимости от времени полета. Для нахождения этой зависимости
используются известные функции плотности q от высоты полета (оем;вное влияние), а также
от географической широты, освещенности атмосферы Солнлем и других факторов.
Ввиду сложного характера зависимостей и необходимости одновременно учитывать
другие возмущающие силы, для расчета орбит обычно используются методы численного
интегрирования полных уравнений движения. При этом величина 5М для КА,
ориентация которого в пространстве известна, вычисляется, как указано выше; для
неориентированного КА расчет ведется по приближенной формуле
°М л °1 О IH»
4
где 5Полн —полная поверхность КА.
Ускорение силы сопротивления воздуха
Rx
проекции которого на оси системы координат входят в уравнения движения, может быть
записано также в виде
QV2
с S
Здесь b = — баллистический коэффициент, который может быть определен
опытным путем.
Недостатки численного интегрирования (падение точности при больших временах
полета, большие затраты машинного времени) могут быть устранены при замене полной
122


■модели плотности атмосферы упрощенной моделью. При этом остается только
зависимость Q(h). Влияние разогрева атмосферы Солнцем вследствие солнечной активности
не учитывается.
Такой подход оправдывает себя для спутников с низким перигеем (hn=200^-300 км),
когда неучитываемые эффекты малы (5-М0ю/»). Космические аппараты, летающие по
'более высоким орбитам, испытывают относительно большие воздействия, связанные с
вариациями плотности атмосферы. По абсолютной величине, однако, эти силы малы и
плохо изучены. Поэтому целесообразно использовать упрощенную модель атмосферы
во всем диапазоне высот, а все изменения в силе сопротивления учитывать путем
изменения баллистического коэффициента.
Опытное значение баллистического коэффициента определяется из расхождений
опытного времени полета по отношению к расчетному по формуле
, , пТ — ton
^расч
пТ — t
расч
где п — число витков, соответствующее рассмотренному времени полета;
Т — период обращения на первом витке;
/оп — опытное время полета;
/расч—расчетное время полета при значении баллистического коэффициента ЬрАСЧ.
Для упрощенной модели плотности атмосферы в качестве аппроксимирующей
функции для In q выберем квадратную параболу с вершиной в области низких высот
In q
= oq — х у h ■
-hQ,
где uq, x, fiQ — постоянные коэффициенты для данной модели атмосферы;
h — высота над уровнем Мирового океана.
Примеры аппроксимации для различных моделей атмосферы приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Модель
М-1
а"о=—17,748
h0= 125700
х~=0,01449
«
Высота
км
130
150
200
250
300
350
400
До
%
-3,5
4,5
3,5
4
5
— 1,5
0,5
Модель
ВСА-60
5"0= —15,658
\h0= 103030
%=0,018844
<
Высота
км
140
155
180
200
Др.
%
—5,6
з !
1
—1
Модель
ABDC-59
5^=—16,720
£"о= 104000
%=-0,01594
•в»
Высота
км
140
150
200
250
300
400
500
700
до
%
—14
0
4,5
4
—3
2,5
6,5
5
В табл. 4. 1 величина Aq — ошибка аппроксимирующей функции в процентах по
отношению к табличному значению плотности. __
Как видно из таблицы, соответствующим выбором трех параметров а0, Ло, *
(в СИ) модели атмосферы, заданные таблицей, можно заменить аппроксимирующей
функцией с погрешностью 3—4°/о. Метод расчета сводится к интегрированию системы
двух дифференциальных уравнений (по числу витков):
-£ -=:-~2nbpa {опе~а' (1 - erf /0 + Л, [В{ (/х —/0) + Д2(/2 —/0) +...]};
dn
1
-£- = - 2nbp |Qne-a' (yZ^J /о + Л} [D, (/, - /0) + D2 (/2 _ /0) + ... ]),
гДе Qn — плотность воздуха в перигее;
р—параметр орбиты;
_ __ а — большая полуось орбиты;
/? = а (1 — a sin2 / sin2 о) — радиус Земли в точке под перигеем орбиты КА;
а — большая полуось общего земного эллипсоида;
a — его сжатие;
(4.9)
123


A\ = A exp
(-?):
1 22 1-3-5 1-3-5.7 a
— an = 1 — — — 24 _ 26 — .
2 24 210 214
с = x V a — /? — Л0;
Л = exp (#0)— значение плотности воздуха на опорной высоте А~0;
a — R — hn
A)(ai)> Л(а1)> ^2(ai) — бесселевы функции мнимого аргумента
cti = — cai;
2 / 3 1-5-7 л ЬЗ.5.7.11
1=—2 - ■
/ 3 о 1-5-7 , 1.3.5-7.11 fi \
\ ^ 25 2Ю ^ 216 ^ У '
*оЧ[(^->-(т+-Ь-ф
S2=t[2(1~"?~---)*2~(t"+---)*o-(t"+--1*4~ ••]''
£>1==т[(1 + Т*2+ •••)*о + (1+те2+ ••) *2 + (~1~е +
+-f-+-)»i+(f+^*,+ -)*»+(f+-)*4+-]:
+ (f + f+--)*0 + (f + T + -)'4+(-j-+...)*+...]:
D3 = "i~[(1 + Te2 + '••) *4 + (n--^-e2+ •••)*2 + ('е + -|-е3ч-...')«з +
+ (f + f +-)*s + (f +»-)*b+(f+ ^*8+-)*1 +
*4 / 11 61 \ 28 / 1ч
£0 = 1 + C2 1 + 22 -f г4 + 5^3 1 + C) l
U 210 \ ^ 24 ^27 у ^ 221 ^ ^ 10 ) '
0 25 / 15 o 85 \ zt ( 75 \
^ C2 1 4. 224- ZA\ 4. C3 1 4. Z2 .
1 2П V 24 ^27 У ^ 217 V ^ 26 /'
22/5 79 \ 26 / 9 \
2З / 35 o 87 \ zi ( 75 \
£3 = С ( 1 4- 22 4- 24 I 4- <?3 1 4- 22 ;
6 26 \ ^ 26 ^28 у 216 V 26 )'
124


*4 / 7 \ 2*4 / 5 \ 2-8
4 2Ю \ ^ 9 J ^ 2W \ ^ 2* J 220 '
*5 2-5/55 85 \
5 212 v -r j-r 211 V 26 27 /
*-£ (! + **> (21
+ 7c + — c2
*7 / 4 \ г7 / 75 \
^7 = 3,2— (1+Т*2)+.3_^1+_^;
Ai (B0 + fi! + 52 + • • •) = QTCe-ai (1 -
<?2)
Для вычисления других элементов орбиты, зависящих только от р и е, которые в
процессе полета убывают, используются формулы:
р t Ар 2e
1-еЛ р
Да:
1 —*2
Де
AT:
Зл
W2Aa;
А/7
1+*
■)=
"—Т1-(
1-е V р 1-е )
где г и — высота перигея;
га — высота апогея относительно центра Земли.
Приведенные формулы позволяют проводить расчеты изменения параметров орбиты
Ар, Ае при начальном эксцентриситете до значений £=0Д5-г-0,2. Для больших значений
эксцентриситета орбит в выражениях коэффициентов bi должны быть учтены
дополнительные члены разложения или использована система уравнений
рае cvl *п—л*\*
dp
dn
de
dn
2Vl
VnbA _c yiz
WTpe
'(l—e*)*
(й-)гЬт)-
(4.10)
где
сг
'- 4/T=^ •
Интегрирование последней системы с некоторым снижением точности можно
проводить до ^==0,03-5-0,02. Для сохранения точности целесообразно после достижения
£=0,05ч-0,04 переходить на первый метод, система уравнений которого в этом случае
может быть представлена в упрощенном виде (пригодна до е=0,1):
2
dp
dn
de
dn
-2zibA\p<
(Л» + '2) +
•^yCiwi + ^ + 'w)
(4.9')
Здесь отброшены члены с е2.
125


При интегрировании систем уравнений для элементов р, е по п нужно учитывать
зависимость высоты перигея от числа витков, являющуюся следствием движения линии
апсид в плоскости орбиты, т. е. влияния гармоники Р20 (ф) нормального поля земного
сфероида.
Высота полета в перигее и радиус Земли могут быть получены по формулам
К = ru — R;
гп = а(1 —е);
/? = а (1 — a sin2/ • sin2 w);
Jle
а) = ooq -{- До) = o)0 + (5 COS2/ — 1) П,
V-P2
где n — число витков, которое сделал КА при движении вокруг Земли начиная с
момента to.
Бесселевы функции мнимого аргумента удобно вычислять с помощью
асимптотических разложений (для «i>2):
/(СП- *"' fl 4n2-l _(4п2-1)(4п2-9)_ 1
" V2^r L 8о! 2! (8о!)2 '"У
Для вытянутых орбит (при е>0,1) изменения параметра и эксцентриситета почти
не зависят от выбора модели атмосферы и баллистического коэффициента. Каждому
новому значению р соответствует определенная величина е. Эта связь дается формулой
I +e (\-\-e \4f-i
1 + е0]
/1 + е yf-i
мли для полуоси орбиты
4Г
1
— %(я<>+ *)(«<) + *)
У2(в0 + л) —2<Л0 —Я) ~-(*b + *)(*o+ «) — *<>
т. е. уменьшению полуоси орбиты вследствие сопротивления воздуха соответствует и
уменьшение эксцентриситета — орбита приближается к круговой. Для расчета величины
р или а используется метод последовательных приближений. Высоты перигея и апогея
находятся затем по известным формулам.
На рис. 4. 5 приведены времена существования ИСЗ, рассчитанные для
баллистического коэффициента 6=0,0034 м2/кг и для наклонения. t=63°26/, для которого перигей
неподвижен. Пересчет на другое значение баллистического коэффициента производится с
использованием закона обратной пропорциональности между временем существования и
баллистическим коэффициентом.
Таким образом, при уменьшении баллистического коэффициента в два раза время
существования спутника увеличится вдвое, и наоборот.
На рис. 4. 6 даны времена существования ИСЗ для орбит с наклонением /=55° и
начальным значением аргумента перигея со0=83°. Так как в процессе полета положение
перигея меняется, то времена существования ИСЗ на рис. 4. 6 не совпадают с временами
существования на рис. 4. 5 для одинаковых значений баллистического коэффициента и
одинаковых значений элементов орбит со, р, е.
На рис. 4.7—4. 11 показана зависимость времени /Сущ существования ИСЗ от
начального значения аргумента перигея (Оо Для орбит с различными наклонениями i при
баллистическом коэффициенте спутника 6=0,002 м2/кг.
4.4. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВЛИЯНИЕ ПЛАНЕТ, СОЛНЦА И ДАВЛЕНИЯ
СОЛНЕЧНОГО СВЕТА
Полет космического аппарата внутри сферы действия основного притягивающего
тела сопровождается возмущающим воздействием на его траекторию других тел. В
частности, на искусственный спутник Земли оказывают влияние Луна и Солнце. Ввиду
удаленности возмущающих тел их можно рассматривать как точечные массы,
притягивающие КА по закону всемирного тяготения. При этом из ускорения, сообщаемого Солнцем,
в общем случае следует вычесть ускорение, приобретаемое КА за счет давления
солнечных лучей.
126


ЧО
с
1
л*
<
Э
*
5 оl •
H 1
с
. э'
э
с
э
500
S
:>
с
э
1
с:
\
N
э
v_
\
N
с:
300
л
\
\
—*
\
3
i
\_
т
\
\
\
\
" 1
с
20 0\
\
t
Л
и\
\м
\
\
л
:>
1
4
со
и
S
*о
га л*
CQ
О
а
Во
О) t-
о -
га °
СО
к
с
^
^N
^
о
:Г со со
11 £_
4
*>
«
*£
\
n
^\
■$
~1
\
Г
\
\
\
^
^
1
\
Д
\
Л
v
\N
N
Ss
л
л
\
\
\
\
\
\\
Л
v
\
V
л
\
V
\
\
\
\V
\
w
p
\\\
*^5 1
I J
iU
H
Ш1Ш
§
5
T
1
¥
К
«=*
CO
ч^ CO
CO
£.!
ra S
a-
127


j w>* ш ,5.
Пь=гООнм, b=0,002
\0 15 30 45 Й7 75 ffl 0 15 30 45 50 75 S0
—. . -^ . 1 ,
15 30 45 60 75 9(1 0 15 30 45 60 75 90
tcyiu,,cym 9
S,5
8
IS
7
6,5
6
~55*^g hjfWOKM
\y
к
_^*i
/
Si
\
\
к
9 26'
^
—
J"l
Й
L^L
\
/,
У
0 15 30 45 60 75 90
u°0
Рис. 4.7. Времена существования /сущ ИСЗ для начальных' высот
апогея /га=200 км и перигея ha= 1504-190 км


tcyuii,cijm
"45^
ssy
63
°26f
90^
^
,80^
hS-15
^4l
\
Okm
. 4
>
15
*CTr
55'
1 1 1
hjf WO км
ewe' \
*/80°
^90°^
4
>
,^<
N
^
0 15 30 45 60 75 90 0 15 30 45 60 75 90uj°
33
30
25
20
16
0 15 30 45 60 75 90 0 15 30 45 60 75 90u%
<t5°
^5°
h
90^
i
= 190 к
ч 63°
^80°
i
м
16'
О 15 30 45 GO 75 90 0 15 30 45 60 75 90
W
Un
Рис. 4.8. Времена существования tCym ИСЗ для начальных высот
апогея /га = 300 км и перигея /in = 15СИ-200 км
5 3669
129


къ=Шкм, Ъ =0,002
Ь
54
*сущ'с^
40
35
30
25
20
О 15 30 45 ВО 75 90 0 15 30 45 70 75 90_
50\
F^^%
1^45
55°
?
1=170кп
ВЗ°2В'
90
Ж-\
30
15
О 15 30 45 ВО 75 90 £ 15 30 45 ВО 75 90
fe^
45^
55°
U)
i ]
Пп=Шкм
i
ВЗ°1В*
^90°
0/7|^
Рис. 4.9. Времена существования *Сущ ИСЗ для начальных высот
апогея Ла=400 км и перигея Лп=150-5-200 км
130


45
4/7
35
30
25
20
17
70
60
50
40
30
суш,»
Су/77
П^бООкм, b=0,002
\55 У
50
Ч
\Щ
35\
\зо\
15 30 45 ВО 75 90 0 15 30 45 ВО 75 90wr
^C
чДС
ft
rJSOK
fi
, 63°2S'
Lif
r^4
\«r"
ЛГ
НпЧ60км
>\
53°
^
^'
^s
Ь
„470
63
т
KM
°2B'
30 45 60 75 90 0 15 30 45 60 75 90ш\
0 15 30 IS 60 75 90 0 15 50 45 SO 75 • 90
U°n
Рис. 4. 10. Времена существования /Сущ ИСЗ для начальных высот
апогея ha=500 км и перигея hn = 150^-200 км
5*
131


60
55
50
U\
40
35
3D
ыа°
к^
Н^°'
**л
hn4
50КМ
6Г26'
- СМ
Ъъ=600км, b=0,002
\80 J
шК
Uc
45°
1 i ;
fi^WOKM
6Г26' \
^к
90ш1
Рис. 4.11. Времена существования tcym ИСЗ для начальных высот
апогея /ia = 600 km и перигея /in= 150-f-200 км
132


Потенциал возмущающих сил от Солнца и планет, а также их спутников, в том
числе Луны, можно представить в следующем виде:
где Аг — расстояние между i-м возмущающим телом и КА;
i — номер возмущающего тела;
П\ —количество тел;
[ii—коэффициент притяжения /-го тела.
Черта над уц в первом слагаемом указывает, что для Солнца коэффициент
уменьшается:
где Aji0—учитывает отталкивающее влияние солнечных лучей, характерное для
данного КА с малой массой m и площадью миделевого сечения SM, перпендикулярного
направлению солнечных лучей.
В формуле для потенциала возмущающих сил использована система
прямоугольных координат. Начало ее помещено в центре масс основного притягивающего тела, в
сфере действия которого пролетает КА, а оси имеют произвольные направления, но не
вращаются.
Расстояние Аг между i-м возмущающим телом и космическим кораблем с
координатами X, Y, Z определяется по формуле
Д? = (Xt - *)2 + (Г , - Г)2 + (Z, - Z)2.
Соответственно для расстояния между притягивающим центром и возмущающим
телом с координатами Xi, Yi, Zi
Приведем формулы для расчета изменений элементов орбиты. Точность этих
формул в большинстве случаев вполне достаточна для практики.
Заменим равенство (4.11) эквивалентным выражением:
при r<ri,
nt г _ оо
*-ЖЕШ"'-<~''>-«^
/-1 L л=1
При Г>Гг
^•=2^21(^)Лрлсо8^-^ГС08^
(4. 13)
Здесь г2 = X2 4- У2 + Z2 — квадрат расстояния от основного притягивающего
центра до КА;
XXj + YYj-VZZi
cos «p/ = — косинус угла между направлениями из начала координат
rri
на i-e возмущающее тело и КА;
Рп (cos у[) — полиномы Лежандра.
Ограничимся случаем (4. 12), т. е. когда возмущающее тело находится за
пределами орбиты КА или, точнее, на большем расстоянии от центрального тела, чем КА.
Выражение (4. 12) заменяется следующим:
/-1 л-2 ^
о
где /-0 — квадрат расстояния от начала координат до Солнца;
?0 — угол между направлениями на КА и на Солнце.
Первый член формулы учитывает гравитационное влияние космических тел и
Солнца, второй — давление солнечных лучей.
Величину Д(Х0 можно вычислить по формуле
а ^м
Л(Х®=~ Л*
тк.а
133


где р — давление солнечного света на расстоянии р. одну астрономическую
единицу А.
Величина р в каждом конкретном случае должна определяться экспериментальным
путем (порядок этой величины 0,5 мг/м2).
Расчет солнечного давления путем уменьшения ц»0не является полным, так как
не учитывает возможности появления тангенциальных сил, равнодействующая которых
будет зависеть от угла падения лучей и от состояния поверхности. Для сферических или
плоских тел с плоскостью, перпендикулярной направлению на Солнце, при полностью
зеркальном'или диффузном отражении тангенциальная составляющая равна нулю. На
практике для реальных объектов ее величина и направление должны определяться
экспериментально на моделях. В уравнения движения соответствующие составляющие
могут быть введены после проектирования экспериментально найденной тангенциальной
силы на выбранные оси координат X, Y, Z.
Продифференцировав потенциалы возмущающих сил R по координатам
орбитальной системы координат, получим
= I]lf = ll7tll477rlp"(C0S?i)-
пх пх оо
AfX©~~~з—
Pn(cos<?i) +
sm¥©
+ A»*©—з—cos5®;
f-i ;=i
Л^0 3 Sin5©.
Здесь S, T, W — составляющие возмущающей силы (на единицу массы КА) от П\
космических тел по осям орбитальной системы координат;
6г- — угол между плоскостью, содержащей КА, центр притяжения и i-e
возмущающее тело, и плоскостью орбиты КА (см. рис. 4. 12);
Pn(cosy>i)—производная от полинома Лежандра по углу фг-.
Для одного (условно — первого) космического тела составляющие возмущающих
сил могут быть записаны в следующем виде:
,, (г)
h2j 2"(n-iv. /-r1 2u
Е
л—1
^1 У i~ZT, ~~~J^r~ >j( —0: ^Г(. (cosiicosa +
2л(А2-1)! /"Г JhJ (А2-2/)! V*
л-1 i=o
+ sin r\ sin и cos i)n~2l\
n 1 ' 2 *
T *V l r V i «w (2/I-2Q1 (n\,
/=— (Xj у —-г у (—1) (cos rising—
л=1 /-0
— sin ц cos и cos /) (cos ц cos и + sin г] sin и cos l)n~2l~1;
, 'Ft)
TI7 *V1 sin/ r V , -w (2/i —2/)l ln\/
W = — (x, >, —г Л (—0 — (cos л cos и-f-
^^^"/il 'Г ^ (л-2/—Л)! V' /
-f- sin T] sin и cos /)л~2'—1 sin r].
Звездочка над jii означает, что при /г=1 для Солнца величина \i\ заменяется'на
—А|Я0(учет давления света). Для всех остальных тел сумма вычисляется начиная
с п=2.
После подстановки полученных S, T, W в уравнения движения (4. 5) при
независимой переменной Ь и интегрирования каждого уравнения в отдельности в пределах от ih
134


до $2 получим следующие формулы для изменений элементов орбиты (за основную
плоскость системы координат выбрана плоскость орбиты возмущающего тела):
ИРл+1зтг) ^ "V^ ,+1 (п \ J2n-2rfi_ In - 2/ - 1
„л+1<
/-0 /я-О
-2/—1)!\ m
X
m + k
2 a+l-fe+2;
X cosc<pi cosm^>2 V sin ! ko) cos*o>
ft-0
^/72 4- &\
\] V (-i)«+'-»+3i+*x
/-0 »-0
x e_,_]+*_2; f ■ у- | ^ + 1 - k + V j /n + 2_v
bQnf,
Дв„ =
"SS'-^^^C"."
X
X cosc+1^icosm^2
/ = 0 m-0
m
2 a + 2j + 2 • m
2 2 (-1)-^(т)Г+2у+2)х
J-0 v=0
{Dm
x«—4+,-./(s f (-.y-a^iO
X
/ = 0 m=»0
m + 2-7,
2,1 2 a+2; + /
1)a + 3/+, x
jfe-1, /-0 /-0 n-0
x("=±fi")rv+')^-'(^y'—i:
— AQn cos / + b<*>nt'i
{ 2 }n-2i-\
Ap WP"+a VI \1 ( -+1 (2n-2Ql /n\
/-0 m-0
m + 1—*
2 a+ft+2;
C~* 1)2cos°+1~*<p,cosm+*<p2 S 2(_ir3/+,x
ft-о 7?o v-o
(m 4- 1 — & \
ln + 2—v
+ &/>„/;
Дал =
ИД/?
,«+i
Ji(l —fi2)rf + 12,|-1/ll
/2*
il<-*Si;)(
, (2/i —2i)l iti\/n — 2i
L /-0 m-0
[ (4.14)
X
135


Xcos"-2/-m<ficosm<p2
m+ 1
2 a+1 + 2;
2 ^ (-ir1+3'+*
У-0
v=0
(n—1
^m+ 1
•2
+ 1 + 2/
v
X
X e"
—1-2^7л+1_,+
\ 2 / n-21-1
(-D
/+i (2/i-2i)l
•2/
n
X
хГГЧЕ
cosa+1-Vcosm+ft?2
fc_0
OT+ 1 — *
(n
ra + 1—fe
2 a-i-fe+2./
S S (-i)a+3'+v><
I (4.14)
v=0
X
а + * + 2Д _a_*_
)e—fe-2^_v ]Vton/.
J
Здесь AQn, A(on, Apn, Aan — изменения элементов орбиты КА в течение
произвольно выбранного промежутка времени вследствие влияния только одного космического
тела и только при учете в разложении потенциала R одной я-й гармоники. Полное
изменение элемента за счет всех членов разложения до я-го включительно получим как сумму
соответствующих возмущений, начиная с п=2. Полагая п=\ и jii=--—Aj^, найдем по
тем же формулам возмущение элемента орбиты, обусловленное влиянием давления
солнечного света на корпус КА.
Изменение наклонения орбиты Ain определяется по первой формуле для AQn после
замены sin о) на cos со и cos о) на —sin со и умножения всего выражения на sin L
Изменение эксцентриситета Аеп получим, используя связь (см. гл. III)
р=а(\—е2),
на основании которой
Л*л = ~2^Г [0 ~~ в2) Мп ~~ Л/?л1' (4'15)
В формулах (4.14) поправки hQntl buntt bpntl bant учитывают движение
возмущающего тела вокруг центрального (см. ниже).
Если необходимо учесть одновременное влияние нескольких космических тел
(например, Луны и Солнца), то формулы (4. 14) используются последовательно и после
приведения элементов Q, со, i к единой системе координат результаты складываются.
Обозначения в формулах (4.14):
= сп — число сочетании из п по /;
a = п — 2/ — 1
е — эксцентриситет;
jii — коэффициент притяжения возмущающего тела;
Г\ — радиус-вектор возмущающего тела, средний для участка [дь дг];
Ц, Фь Фг — углы, показанные на рис. 4. 12;
cos <pi = cos r\ cos a) 4- sin r\ sin со cos /;
cos <p2 = — cos r\ sin a> 4- sin r\ cos a> cos /.
Величина In + k-v является интегралом вида
d$ 1 Г е sin -
»л+1 =
(1 + e cos ;
+ (2л-1)
(1 + e cos
__=_J г
+1 и(1— e2)[
J-
(A2-1)
(1 + * cos Цп
d%
• +
(1+6 COS ft)'
H
(4.16)
Рекуррентная формула позволяет последовательными вычислениями свести
интеграл /n+A_v к интегралу
-I-
+ е cos ft УI — е%
■arctg
Kl-e2tg —
1 +e
(4.17)
при е<1, и —я<0<я
136


/1 =
Уе*—1
In
Ve2— 1 ^^ + 1 + *
}Л>2-1 tg —-1-е
(4. 18)
при е>1 и -^оо<^<^О0,
где угол О» для гиперболических орбит может быть определен из соотношения
&оо = arc cos I — —I.
Приведенные выражения для интегралов In+k--* справедливы при недробных ин-
f/ m+i
дексах сумм или сочетании! .например,i 2
которые только в этом случае имеют
накй
и а вознущающее
На перицентр
тело
Рис. 4. 12. Орбита КА в системе координат,
основной плоскостью которой является
плоскость орбиты возмущающего тела
смысл. Если указанные величины получаются дробными, то величина т, входящая в
них, уменьшается на единицу, а интегралы принимают вид
d cos Ь
л 4- k—v
(1 +ecos%)nJrk~" e{\+e cos ftyi+*-v-1(/i + fc —V— 1)
(4. 19)
Если элементы орбиты меняются быстро, то, выбрав соответствующий шаг по
истинной аномалии АО, можно проводить вычисления последовательно, по участкам. При
этом при переходе к новому участку легко учесть смещение возмущающего тела,
вычислив его положение для следующего момента времени.
Для случая сильно меняющихся элементов орбиты целесообразно ввести
множитель у из формул (4.5), принятый выше за единицу. При этом расчет изменений
элементов орбиты можно проводить по формуле
Д<7 = Т2А^2— Т!А^1 — Д<7'(72 — 7i).
(4.20)
где Д#—изменение элемента;
*(2, А^2 — соответственно множитель y и изменение элемента, вычисленного по
формулам (4.14), для конца интервала;
7i,A<73 — то же для начала интервала;
Д<7' —среднее значение изменения элемента на рассматриваемом интервале движения
КА.
Поправки bQnt, 6o)n<, bpm, bant, появляющиеся вследствие движения
возмущающего тела на интервале Oi, #2, можно найти по следующим формулам:
137


e +
!2/ = — — x Ц — -e2£'+ (E—M) ibe cos E — (1 + e*) cos 2£ 4-
e \ 1 1/2
4- — cos 3£ — (6* + e3) sin E + — (1 — ^2) sin 2£ 4- —- (—
о J 2 3 \ 3
\ e2 1 sin со Г
4-£3] sin3£ —— sin4£ cos2«&i + ^ cos fr (14-4г2)(£2_
— 2Л?£) — (£ — ЛТ)((1 le 4-4*3) sin £ — (1 4- 2*?2) sin 2£ 4- — sin 3£) -f
1 1/2
4- 2 ( — 5e 4- e*) cos £ + — (1 — 3*2 — 2*4) cos 2£ + — — e +
2 3 \ 3
+ 2^3jcos3£ —-^-cos4£ + Kl — <?2 cos a> cos <Ы £2 — 2A4£ —
— (£ — A?) (£ sin £ + sin 2£ — -^- sin 3£ j 4- 2* cos £ — — (1 -f e2)X
X cos 2E — — e cos 3£ +
Ba>2/ = 3x6
X
62 ^ll£i
— cos4£ ;
1 j_2Z,iZ.3|/T=~e2
((1 + ^2) sin £ — -j- sin 2£J -f M _ -^-j cos £ + ~- ("T + eS)
3 3 — _
- — eE2 + — Me£ + (£ — M) X
X
X cos 2£ — — cos
12
3£J + (цц + z:2£3) [т f3*" T *3)£ +
— // 3 II \ 1 1 /
4- (£- Л*) (/ — & j cos E + — (e 4- e*) cos 2£ — — /1 -
e2 \ \ / 3 1 \ 5
- у ) cos 3£ 1 + I - — + 3^2 + — e*1 sin £ + — (— e+e*) sin 2£+
1 / *з\
16 I 2 /
(4.21)
*2 *4
-f —-1 — — —- — -— sin 3£ +
3 V 6 3 4 '
i sin 4£
•2{LiL3
1
LzU) V 1 — e2 | —£2 — — M£ — — (£ — Af)( sin £ 4- e sin 2£
8
\ 1 e / 1 *2 \
sin3£ — —-(1 — 3*2) cos £ —— cos 2£ —— — cos 3£ 4-
/ 4 v 4 \ 36 18 /
4- — cos 4£
32
i::-
*/*/ = — 6x/7 l(LtL3— L2LA)
bQ2t cos'•;
5
1
e2E + -~(E — M)(5*cos£ — (1 4-^2)x
X cos
e \ I e* \ 1
2£ 4- — cos 3£ ) — I Se + — J sin £ + — (1 — e*) sin 2£ +
1 / e e* \ e2 1 1
+ T(T + T)sin3£-l?sin4£J + yr^72(^4 + ^)x
X J - — ^£2 4- — Me^E 4- (£ - M) ( (— e 4- — e3 ) sin £ -
~" T" (l + T^sin 2£ + T (* ~ "V) sin 3£)+ (3* ~~e3) cos £ ~
1/3 3 \ 1
— — I 1- —e2- — ei )cos2£~— (e 4-e3) cos 3£ 4-
+ — h?2 — — cos 4£ ;
16 \ 2 ; J/f/
138


ba2t = 6ya \(ЦЦ+ L2LZ) у \ — e*
(E
■ M)[ — e sin E + — si
3 1 e
■ — e cos E -f —(1 — e2) cos 2E + — cos 3£
n2£l
1 - \e*E + (£ -
— M)(2ecosE — — cos2£j — — e sin £-f- — (—~ — eAs\n2E+ I (4#21)
4- — sin SE \ЦЦ — — sin E — — sin 2£ — — sin 3£ +
6 J L 2 4 6
+ — (£ —M) cos 2e\ 1 — ^2) Z.2Z.4| a.
Изменения наклонения i орбиты КА и эксцентриситета е, возникающие вследствие
перемещения возмущающего тела по своей орбите, находятся по правилам, аналогичным
изложенным выше для основной части возмущений [см. (4.14)].
Однако дополнительно для наклонения величина cos 2d>i заменяется величиной
cos 2Фг (см. ниже).
В формулах (4.21) учтена только вторая гармоника (п = 2), однако при выборе
достаточно малого шага по истинной аномалии (или соответственно эксцентрической
аномалии) в расчетах для любой орбиты можно получить заданную точность.
Входящие в формулы (4,21) величины х, М, cos2<I>i, cos 2Ф2, cos^i, cos<b2» Z.lf
L2% L%, L4 имеют следующие значения:
fM
TS
где Т — средний период обращения КА;
- (~ 2л о,9 \
Тх — период обращения возмущающего тела I Т\ =- —у=- г\ ;
Р\—параметр орбиты возмущающего тела;
М = Е — е sin E—средняя аномалия на средний момент времени t для данного
расчетного интервала;
cos 2Ф1 = cos 2x\ cos 2o) + sin 2x\ sin 2<*> cos /;
cos 2Ф2 — — cos 2r] sin 2o> -j- sin 2x\ cos 2<o cos /;
cos Ф1 = L\ cos x\ + £3 sin x\\
cos ф2 = ^2cos л + £4 s'n л;
L\ = cos cpj;
L2 = cos <p2;
Z.3 =. cos cp3 = — cos <o sin ц + sin со cos r\ cos /;
Z4 — cos ^4 = sin со sin rj -f cos to cos ц cos /.
Из анализа зависимостей (4. 6) для возмущений орбиты КА следует, что величина
возмущения любого элемента (для п-ои гармоники) на интервале полета Оь 02 прямо
пропорциональна отношению коэффициента притяжения [Х\ возмущающего тела к
коэффициенту притяжения |Л центрального тела и (я-Н)-й степени отношения фокального
параметра р возмущаемой орбиты к величине среднего радиуса-вектора возмущающего
тела на рассматриваемом интервале. Кроме того, изменение положения узла орбиты Q.
для всех наклонений пропорционально синусу угла между направлениями на узел и нз
возмущающее тело, а изменение наклонения к плоскости орбиты тела еще
дополнительно — синусу наклонения. '
Возмущение положения перицентра со в общем случае также обратно
пропорционально величине эксцентриситета е, а для большой полуоси а и фокального пара
метра р прямая пропорциональность величины возмущения величине
л+1
справед-
„ Дя„ А/?,
лива для отношении и .Остальная часть формул содержит более сложные связи
ар "
величин возмущений с положением перицентра орбиты КА, эксцентриситетом и
значениями истинной аномалии О на концах выбранного интервала.
Во все выражения для возмущений входят косинусы углов (pi и ср2,
характеризующих положения двух характерных точек орбиты КА — перицентра и точки, удаленной
я
от него на угол — , относительно направления на возмущающее тело.
139


Зависимости (4.21) для расчета изменений в элементах орбиты, появляющихся
вследствие движения возмущающего тела, даны для эллиптических орбит.
Применив известную подстановку, можно те же формулы использовать для
гиперболических орбит:
E=—jH\ sin nE = —jshnH;)
J (4.22)
cos nE = chnH, j
где Е — эксцентрическая аномалия в формулах (4.21);
Н — функция в гиперболическом движении, аналогичная эксцентрической аномалии
в эллиптическом (см. гл. III);
j = y—1; п — любое число.
Кроме того, в гиперболическом движении период обращения является мнимым,
а большая полуось отрицательной (а=—а). Малая полуось р также мнимая.
Учитывая сделанные замечания, для перевода зависимостей (4.21) к
гиперболическим функциям (при е>1) необходимо, кроме замены тригонометрических функций
sin nE и cos nE гиперболическими, заменить также в коэффициенте к отношение перио-
дов на I f— , где ах — большая полуось орбиты возмущающего тела, и величину
\ CL\ У CL\ I
1
Y\~e^ заменить на —]/е^—1.
__ ]
Постоянная М для гиперболических орбит приобретает значение
M = eshH — H.
Пределы интегрирования Н\ и Я2, заменяющие Е\ и Е2, определятся через
соответствующие значения истинной аномалии д, так как
у е? — 1 sin ft cos «
е cos ft + 1 е cos & + 1
При переходе КА из сферы действия центрального тела в сферу действия
возмущающего приведенные формулы остаются справедливыми, если г<п, однако орбита
сильно меняется, что требует уменьшения шага вычислений. После перехода в сферу
действия второго тела оио уже становится центральным. Для продолжения расчета
движения КА необходимо перейти от системы координат, связанной с первым телом,
к системе координат второго тела (см. гл. II). Может оказаться, что относительно
второго тела КА движется с гиперболической скоростью, тогда эксцентриситет е>\ и для
вычисления интегралов In+k--* используется формула (4.18).
Во всех случаях расчет времени полета можно выполнять по формуле
J Vw(\ +£0^)2.' V
где
7 =
Г Л-2 Г2 / г \ 1-1
1 + — S cos ft — — 1 + — )Т sin ft .
L fie К \ Р I J
Драконический период спутника, учитывающий давление солнечного света,
з
У \
3 (
2л у| ЗД^0а2 !
/ (х 2у.г\ [{ е /
4- 2 б ] cos <pi +
sin £o / 1 е \
+ ~р==(2 —е2 —£cos£0)cos<p2-- I — cos<pi + 1 __ g2 C0S Т5Л
■ е cos £0)2
(4.24)
где
cos <р5 = sin Л sin <*> cos h
а = (а), е = (е), а> = (со), / = (/), Q = (Q)— невозмущенные значения элементов орбиты,
£о соответствует и=0, (а)=ао—Ла<ь , причем Аа0,... —результат подстановки з
формулы (4. 14) значения нижнего предела дь соответствующего и=0 (Oi =—со0).
Для большинства спутников Земли с удалением до 100000 км влияние небесных
тел — Луны и Солнца — сравнительно невелико, поэтому можно производить
осреднение за один и даже несколько оборотов спутника.
140


При интегрировании уравнений движения по О в пределах от 0 до 2я формулы
(4.14) упрощаются. Все слагаемые, содержащие интеграл типа (4.19), становятся
равными нулю, а интеграл типа (4.16) превращается в
2я / 1
У\ — еЪ
О-*2)
Особый интерес представляет осреднение изменений элементов эллиптической
орбиты, вычисленное с учетом движения возмущающего тела за целый его оборот вокруг
центрального тела. В этом случае формулы получаются наиболее, простыми и в то же
время практически важными, так как позволяют легко получить возмущения от
действия Луны и Солнца для большого класса околоземных спутников.
На основании формул (4.14) и (4.21) приведем значения возмущений для
первого приближения.
За один оборот спутника вокруг центрального тела:
У-1 Г а \3 2 { Г 5
AQ2 (Т) = — Зя— ( — ) (1 — в2) | sin2r] cos i + *2 — sin 2т] sin 2<o +
4- (5 sirAo — 1) sin2ricos /
*
l
u.1 / а \з ~T( 1
Ai2(7,)= —Зя —— (1-е2) \— sin2ri sin / + e* sin ri sin * X
^ \ rx J 12
X
[Asin
t) sin 2<o cos i + (5cos2« — 1) cos x\
+ Bi2< (Г);
ДШ2 (Г) = ЗЯ —( — j (1 — £2) 2 j 4 (COS2T1 COs2o>
} (4.25)
4- — sin 2ц sin 2<*> cos / 4-
+ sin2 r] sin2 со cos2 i) — (sin2 ц cos2 <*> cos2 / — — sin 2rj sin 2o> cos / 4-
4- cos2 r\ sin2 со)
-]■
■AQ2(^)cos/ + 5co2, (Г);
а\ #4
AP2 (т)= — 15 я з" е2 V! — е2 (cos2 Л sin 2со — sin2 ц sin 2<*> cos2 / —
— sin 2т] cos 2co cos /) 4- bp2t (T); Aa2 (T) = ba2t (T),
где
Ы2,
о / 1c? о \
*ht (T) = — ях
3
16
■ e — — e2 ] sin / cos 2Ф2;
&«2/(П = 6я*(- — + * + — e*--j-e3 \(LXL4 +L2L3);
bp2t (T) = бя/7х (l 4- -j- е- -|-e2 WjLa- ^4);
Д£2(Г
Ba2/ (Г) = бяах [(1 4- 4e — 2*2) £^3 — (1 — e2) £2/.4];
e
3 4
За одия оборот возмущающего тела:
з_
15 Тх {1{ / а \з 9Ч 2
&*2*(П = 6Я*(1_*2) [(х"т)^4"(т+"4")^3}
15 у 1 {ij / а \з 2 cos / Г
)==-ТяТ7Ы(1~е?) тг|"■'"'• +
(i-e2)
(4.26)
141


15 T} (X! / fl \3. «у £2
д/2 (Г]) = — — я I — (1 — е\) j— sin / cos / sin 2м,
(1 - еЦ
15 Т\ и.\ ( а \37 очУ 1 Г
А^СГО^— п-±—[ —) (\-е\) у— 1(^2 — sin2 /) sin2o> +
(1-е2)
+ _ (1-^2)
\ (4-26)
15 ^l М / Я \3 , 0\ 2 2
Д^2(^1) = — л—L —— (1—«?) e(l — e2) sin2/sin2<of
4 Г (& \ рх } 1/
До2(7,1) = 0.
Пример. Рассмотрим орбиту ИСЗ с параметрами:
' Луны * Солн
а = 7350 км; е = 0,1; — = 410; = 5000.
* 'СП * СП
Результаты расчетов влияния Луны и Солнца на движение спутника сведены в
табл. 4.2.
Таблица 4.2
Название элемента
Долгота узла Q,
Угловое расстояние
перигея от узла о>
Наклоьюние
орбиты i
Эксцентриситет
орбиты е
Перигейное
расстояние орбиты спутника
1
Изменение за один оборот
спутника
влияние
Луны
<0,17"
<0,29"
<0,17"
<2-10-7
< 1,5 м
Суммарное
<2,
влияние
Солнца
<0,08"
<0,14"
<0,08"
<0,93-10-7
<0,б м
воздействие
1 м
• Изменение за один оборот
возмущающего тела
влияние
Луны
<34"
<2'
<0,43"
<0,41 • 10—4
<0,3 км
Суммарное
за 1 год
влияние
Солнца
<3,2'
<П,3'
<2,4"
<2,31-10-4
<1,7 км
воздействие
<5,1 км
Из табл. 4. 2 видно, что, несмотря на незначительное влияние Луны и Солнца
при малых промежутках времени (один оборот спутника), при больших временах
полета (начиная с месяца),— в точных расчетах орбит уже необходимо учитывать их
воздействие на орбиту КА.
В табл. 4.3 приведены вызываемые притяжением Луны максимальные возмущения
в периоде Т обращения спутника Земли и в его положении для круговых орбит
различной высоты (по данным работы [12]).
В табл. 4. 3 обозначено:
Ы — максимальное смещение спутника вдоль орбиты за один оборот вокруг
Земли;
bz— максимальное боковое смещение за то же время;
5ф =— — соответствующий угол поворота плоскости орбиты.
Максимальные значения изменения высоты перигея |б/гп|тах орбиты ИСЗ за один
виток, вызванные притяжением Луны, для орбит с различными высотами в перигее ha
и апогее ha приведены в табл. 4.4. Для получения возмущений, вызванных
притяжением Солнца, необходимо величины, приведенные в табл. 4.3 и 4.4, уменьшить
примерно в 2,2 раза.
В табл. 4.5 приведены возмущения элементов орбит фиктивных спутников Луны
типа «Эхо-1», для которых отношение поверхности к массе составляет S/m~100 см2/г.
Эти результаты были получены методом численного интегрирования с учетом
несферичности фигуры Луны, возмущений со стороны Земли и Солнца, а также светового дав-
142


ления [8, 1]. При этом за фигуру Луны принят равномерно вращающийся однородный
трехосный эллипсоид, для которого
—=1- = 0,00046; —^ = 0,00062; ^Ц^ = 0,00016,
Таблица 4.3
Высота
круговой орбиты h,
км
0
2000
10000
20000
50000
100000
Максимальные возмущения
ЪТ, с
9,1-10-4
3,2-10-з
6,3-10-2
0,55
16
290
5/, м
7,3
21
310
2,1-10^
49-103
570-103
Ъг, м
1,7
5
72
490
10-103
130-103
Ъ'\;, у г л. с
0,05
0,12
0,9
3,8
38,0
250,0
Таблица 4А
Высота апогея
Ла, км
2000
10000
20000
50000
100000
Изменение высоты перигея для различных hn в
200
2,5 м
34 м
181 м
2,4 км
21,5 км
2000
0
37 м
206 м
2,8 км
24,6 км
10000
_
0
243 м
4,1 км
36,2 км
20000
___
—
—
5,1 км
47,7 км
км
50000
—
—
0
65,5 км
где А, В, С — моменты инерции Луны относительно главных осей эллипсоида. Полуоси
расчетных орбит отнесены к «среднему радиусу Луны» р= 1736,6371 км. Величина Q—
= 171,340° определена из условия перпендикулярности линии узлов орбиты спутника к
направлению на Солнце, а начальные значения а и е рассчитаны по следующим
исходным данным:
— для орбит с малым эксцентриситетом /гп=500 км; /га = 1500 км;
— для орбит с большим эксцентриситетом Лп = 500 км; /га = 10000 км,
где hn и ha — высота перицентра и апоцентра спутника над поверхностью Луны в
начальный момент времени (на 24,0 октября 1960 г.).
Из приведенных данных видно, что движение спутников устойчиво в
рассматриваемом интервале времени.
Третья советская космическая ракета была выведена на орбиту с большой
полуосью а=2646О0 км и эксцентриситетом £=0,822. В табл. 4.6 приведены полученные
численным интегрированием [2] максимальные изменения элементов орбиты третьей
космической ракеты за период с 19 октября 1959 г. по 21 января 1960 г. отдельно для
лунных и солнечных возмущений, а в табл. 4.7 — элементы ее орбиты до и после
сближения с Луной 24 января 1960 г. с учетом только лунных возмущений.
Из этих данных видно, что возмущающее влияние Луны и Солнца было примерно
одного порядка, а при тесном сближении с Луной элементы орбиты ракеты
существенно изменились.
Для иллюстрации возможного изменения формы орбиты в результате тесных
сближений с планетами на рис. 4.13 изображены три орбиты кометы Лекселя [5]:
— орбита I — до первого сближения с Юпитером в 1767 г.;
— орбита II — после первого сближения в 1767 г.;
— орбита III — после второго сближения в 1779 г., когда кратчайшее расстояние
до Юпитера составило 0,00489 а.е.
Орбиты I, II и III рассчитаны по данным наблюдений в 1770 г.
143


Таблица 4.5
Изменение орбит ИСЛ за 40 оборотов
Тип орбиты
Полярная орбита с
малым
эксцентриситетом
Полярная орбита с
большим
эксцентриситетом
Экваториальная
орбита с малым
эксцентриситетом
Экваториальная
орбита с большим
эксцентриситетом
Начальное
значение
элементов
а= 1,5758
6=0,18271
Г=0,1487
О)=0
2=171,340°
я= 171,340°
/=90°
а=4,0231
6=0,67987
7=0,6068
(О=0
2=171,340°
я=171,340°
/=90°
а= 1,5758
6=0,18271
7=0,1487
я=171,340°
/=0
а=4,0231
6=0,67987
7=0,6068
я= 171,340°
/=0
Возмущения
от фигуры
Луны
—0,0002
—10-10-5
0
—0,705°
+0, 003°
—0,702°
+0,026°
—0,0028
—2Ы0-5
—0,0006
—0,491°
0
—0,491°
—0,014°
+0,0001
-3-10-5
+0,0001
+2,052°
0
—0,0007
—6-10-5
—0,0002
+ 1,004°
0
Возмущения
от Земли
и Солнца
—0,0004
+ 14-10-5
0
+ 1,593°
+0,011°
+ 1,604°
+0,014°
+0,0044
+70-10-5
0,0010
+8,905°
—0,283°
+8,622°
-1,822°
0
+57-10-5
0
+ 1,559°
+0,060°
+0,0041
—2346-10-5
+0,001
+6,240°
1,539°
Суммарные
возмущения
—0,0006
+4-10-5
0
+0,888°
+0,014°
+0,902°
+0,040°
+0,0016
+49-10-5
+0,0004
+8,414°
—0,283°
+8,131°
—1,836°
+0,0001
+54-10-5
+0,0001
+3,611°
+0,060°
+0,0034
—2352-10-5
+0,0008
+7,244°
+ 1,539°
Возмущения
от
светового давления
0
—2.10-5
0
+0,022°
0
+0,022°
+0,002°
0
+5-10-5
0
+0,011°
—0,002°
+0,009°
+0,009°
0
+20-10-5
0
+0,031°
—0,001°
0
+ 16-10-5
0
+0,012°
0
Примечания. 1. В данной таблице я=Й+о>.
2. Период Т—в долях суток.
Таблица 4.6
Изменения элементов орбиты 3-й космической ракеты
Возмущающее тело
Луна
Солнце
AQ
1,34°
1,03°
А я
3,25°
3,78°
А/
2,59°
9,06°
Аб
0,043
0,076
А а, км
8715
1515
Таблица 4J
Элементы орбиты 3-й космической ракеты
Дата
21,3 января 1960 г.
27,3 января i960 г.
Q
250,9°
255,9°
я
71,4°
176,9°
О)
180,5°
280,9°
/
78,8°
59,4°
а, км
266000
770000
6
0,866
0,606
Из рис. 4. 13 видно, что размеры орбиты кометы Лекселя после первого
сближения с Юпитером сократились, а после второго сближения — существенно
увеличились. Использование тесных сближений с планетами открывает возможность
144


для маневра космических аппаратов при межпланетных полетах без затраты топлива
(не считая затрат на коррекцию).
Рис. 4. 13. Эволюции орбиты кометы Лекселя
4.5. ВЛИЯНИЕ АНОМАЛИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Несмотря на весьма малую величину этих сил, они (как и другие гравитационные
силы), кроме периодических, вызывают заметные вековые возмущения элементов орбит.
Слабая изученность аномалий не позволяет надежно выделять эти наиболее
существенные возмущения.
В некоторых особо точных расчетах могут представлять интерес и периодические
члены, дающие смещения в координатах близкого к Земле спутника несколько десятков
и даже сотен метров. Поле аномалий силы тяжести представляется в виде разложения
потенциала &XJ по сферическим функциям. В настоящее время из измерений силы
тяжести на поверхности Земли и по данным изменений орбит спутников известно
некоторое количество первых коэффициентов с большой погрешностью (от 15 до 50%). Эти
данные, однако, непрерывно уточняются. Приведем один из методов расчета возмущений
за счет влияния аномалий.
Потенциал и ускорения
оо п
W = -\m \j \, ( —] («л/я c°s mk + Эл/Я sin ml)Pnm ( sin y);
rt«*2 /rc — 0
5= -д*г;
T = Ag* cos 5 + Agxr sin 5;
W= — Aglr cos 5 + Ag* sin 5;
(anm cos ml + $nm sin mk)Pnm ( sin <p);
n «2
m-0
oo n
A#r = t-ZjIt) 2j (cw cos ml + ?nm sin ml) P'nm( sin ?);
n =2 m=0
oo n
A^ = о.Гс 7 i ("7") ^J ( ~~ anm sin wX + P™ cos mX) mP«™ ( sin t) •
/rc = 0
145


Элементы орбиты
t
С г sin и , х m Л
AQ = Q — Q0 = I -т= (— Agkr cos Ь + Ag* sin 5) dt\
J У \*-P sin / v r r '
Ap = p — p0^2 Г l/ - г (A^ cos 5 + A^ sin й) Л;
to
t
Д/ =± / — /0 = I —?==== cos и ( — A#* cos 5 + Ag-£ sin В) atf ;
= 0 — eQ = \ l/ — | — sin &A#r + cos % + — ( cos ft + *) (A^ cos 5+
+ A^ sinB)Jatf;
= a) _ o)0 = I "J / ^- — cos &Ag> + ( 1 + —J sin $(Ag9r cos 5 +
•+- A^ sin b) — — ctg i sin и Г — Agxr cos 5 + Ag? sin В J dt\
I JL££- 1-—1/ -^-- —ctg/. sin и:
J Г2 I (rf У р lip
X( — Agxr cos В + Ag* sin b) \ dt.
Au = u — u0= \ 0 | 1 — j-^-1/ -7- — — ctg i • sin и X
Связь времени с углом и
2 1+ — ctg / sin и (Agxr • cos 5 — Ag^- sin Ъ'
* = **+ » ~ V^f du'
cos и cos /
cos Ь == sin/ ; sin В == .
cos <p cos <p
В приведенных формулах:
г — расстояние от центра Земли до спутника;
R—средний радиус Земли;
Ag>. Ag^ и Ag-*— проекции возмущающей силы в точке пространства с координатами:
широтой <р, долготой X и радиусом-вектором г на радиус-вектор
(с минусом), на направление меридиана—к северу и по X—к востоку;
7™ — среднее ускорение силы тяжести для поверхности земного
эллипсоида;
В— азимут орбиты в рассматриваемой точке;
Pnm( sin <p) — сферическая функция;
Рпт ( sin <р) — её производная по у.
Возмущения эллиптических элементов рассчитываются после подстановки
выражений для А£г, Ag^,AgxrB уравнения оскулирующих элементов с помощью квадратур
при фиксированных значениях элементов орбиты в правых частях уравнений.
Точность такого метода расчета зависит от величины ошибок в коэффициентах
разложения и количества учитываемых членов.
146


ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. IV
1. Брумберг В. А., Кирпичников С. Н., Чеботарев Г. А. О
движении искусственных спутников Луны.— «Астрономический журнал», т. 38, вып. 1, Изд-ва
АН СССР, 1961.
2. ГонтковскаяВ. Т. и Чеботарев Г. А Лунные и солнечные
возмущения в движении третьей советской космической ракеты.— «Астрономический журнал»,
т. 38, вып. 5. Изд-во АН СССР, 1961.
3. Д у б о ш и н Г. Н. Введение в небесную механику. М., ОНТИ, 1938.
4. ДубошинГ. Н. и ОхоцимскийД. Е. Некоторые проблемы
астродинамики и небесной механики.— «Космические исследования», т. 1, вып. 2. Изд-ва
АН СССР, 1963.
5. Казимирчак-Полонская Е. И. Основные задачи исследования
сближений комет с большими планетами.— Труды ин-та теорет. астрономии, вып. 7. Изд-ва
АН СССР, 1961.
6. Л ид о в М. Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под
действием гравитационных возмущений внешних тел.— «Искусственные спутники Земли», вып. 8.
Изд-во АН СССР, 1961.
7. Нумеров Б. В. Новый метод определения орбит и вычисления эфемерид
с учетом возмущений. — Труды Гл. Российской астрофиз. обсерватории, I, II,
Петроград, 1923.
8. По ляхов а Е. Н. Световое давление и движение искусственных спутников
Луны.— Бюлл. института теорет. астрономии, т. 9, № 6 (109). Изд-во АН СССР, 1964.
9. Субботин М. Ф. Курс небесной механики, т. 3, М., Гостехиздат, 1949.
10. Тихон равов М. К. и др. Основы теории полета и элементы
проектирования искусственных спутников Земли. М., «Машиностроение», 1967.
11. Чеботарев Г. А. Гравитационные сферы больших планет, Луны и
Солнца.— «Астрономический журнал», т. X, вып. 5. Изд-во АН СССР, 1963.
12. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965.
13. Эрике К. Космический полет, пер. с англ., т. 1. М., Физматгиз, 1963.


ГЛАВА V
ВЫБОР МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
При выборе межпланетных траекторий космических аппаратов руководствуются,
как правило, следующими требованиями:
1. выведение космических аппаратов на межпланетные траектории должно
осуществляться с минимально возможными затратами энергии на разгон, маневры и
коррекции траекторий.
2. Время перелета от одной планеты до другой должно обеспечивать выполнение
задачи в кратчайшие сроки с максимальной надежностью.
3. Траектории полета должны обеспечивать определенные условия для
наблюдения за полетом космических аппаратов, проведение ориентации аппарата в
пространстве при коррекции, в сеансах связи, во время проведения научных экспериментов.
4. При полете КА вблизи планеты должны выполняться условия, обеспечивающие
посадку на планету, фотографирование ее поверхности или проведение научных
экспериментов.
Для выбора межпланетных орбит необходимо проведение расчетов большого числа
траекторий.
Массовые расчеты по выбору межпланетных траекторий проводятся по
приближенным методикам с использованием кеплеровых орбит. Поскольку активные участки
траекторий по времени малы по сравнению с участками свободного полета, влияние
их учитывается импульсным приближением.
Траекторию полета к планете можно разбить на гелиоцентрический участок, на
котором движение КА определяется гравитационным полем Солнца, и
планетацентрические участки, на которых движение определяется гравитационными полями планет [1].
Межпланетные траектории удобно разделить на следующие три класса:
1. Траектории полета к планетам без возвращеня аппаратов к Земле.
2. Траектории облета планеты и возвращения к Земле без задержки у планеты.
3. Траектории для полетов к планетам и обратно с задержкой у планеты (на ее
поверхности или на орбите спутника).
5.1. МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ И ВЫБОР ТРАЕКТОРИЙ
НА ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКОМ УЧАСТКЕ ПОЛЕТА
5.1.1. Схема приближенных расчетов и принятые допущения
Гелиоцентрический участок траекторий определяет энергетические затраты на
выведение на межпланетные траектории, продолжительность полета и даты старта.
При определении гелиоцентрической траектории КА предполагается, что сферы
действия планет стянуты в точки, а их гравитационные поля отсутствуют.
В качестве двух независимых параметров принимаются момент старта tCr и
время полета tn.
При известном положении планет на момент tCT и момент прилета к планете
^пР = /ст + ^п определение орбиты сводится к известной задаче теоретической астрономии:
по двум положениям КА в моменты tCr и ^пр определить его орбиту — задача Эйлера —
Ламберта.
Положение космического аппарата или планеты в пространстве в любой момент
времени можно определить, если известны шесть элементов:
— долгота восходящего узла орбиты Q\
— наклонение орбиты к плоскости эклиптики i;
— долгота перицентра я;
148


— большая полуось орбиты а;
— эксцентриситет орбиты е\
— время прохождения через перицентр х%.
Элементы Q и i определяют положение плоскости орбиты в пространстве
относительно выбранной системы координат. Элемент я определяет положение в
плоскости орбиты фокальной оси. Элементы awe характеризуют энергетику орбиты и ее
форму. Элемент ттс позволяет определить положение КД или планеты на орбите в
любой момент времени.
Для расчетов можно принять гелиоцентрическую эклиптическую систему
координат, ось х которой направлена в точку весеннего равноденствия. Средние элементы
орбит планет рассчитываются на определенную эпоху.
5.1.2. Определение координат и компонент скоростей планет
и космического аппарата для заданного момента времени по элементам орбиты
Пусть известны элементы орбиты Q, i, я, а, е, %% . Тогда для любого заданного
момента времени t, решая уравнение Кеплера
Т
t—x4r = — (Е — е sin £),
{Т — период обращения)
можно найти эксцентрическую аномалию Е.
Далее находят d, г, Vr, Vn в результате решения уравнений
р Д(1— g2)
~~ 1 + е cos Ь 1 + е cos Ь
Vr = ~\/ —e sin-
•-V-
(1 + е cos 1
Р
.Л.
Р
где Ф— истинная аномалия планеты;
г — расстояние от планеты до Солнца;
р — параметр орбиты;
Vr — радиальная составляющая скорости;
Vп — трансверсальная составляющая скорости.
Затем, имея в виду, что м=(0 + О и со = я—Q, получим координаты и компоненты
скоростей планеты:
х = г ( cos и cos Й — sin и sin Й cos /);
у = r( cos и sin Q + sin и cos Q cos /);
z = r sin и sin /;
Vx = Vr ( cos и cos Q, — sin и sin Q cos /) — Vn ( sin и cos Q + cos и sin Q cos /);
Vу = Vr ( cos и cos Q, + sin a cos Q cos /) — V„ ( sin и sin Q — cos a cos & cos *);
Vz = Vr sin и sin / + Кл cos и sin /.
После подстановки в правые части элементов соответствующих орбит можно
найти координаты х, у, z n компоненты вектора скорости VxVyVz для заданного момента
времени.
5.1.3. Определение диапазонов дат старта и времени полета
Даты старта и Бремена полета к планетам, близкие к оптимальным в отношении
энергетических затрат на выведение, можно приближенно определить из простых
соотношений для оптимального эллипса перелета с одной орбиты на другую при
минимальных затратах энергии — эллипса Хоманна.
Поскольку плоскости орбит планет имеют малый наклон к эклиптике и
незначительные эксцентриситеты, то можно принять, что планеты движутся по круговым
орбитам в плоскости эклиптики. При этом угловая дальность перелета 2/ и большая полуось
эллипса перелета а определяются по формулам *
ГА + rR
2f = n и а = — -,
149


где ГаиГв — радиусы круговых орбит, на которых находятся точка старта Л и точка
прилета В.
, Время полета tn по такой траектории от точки старта до точки прилета составит
полупериод
лаъ'2
'"- У* '
где \х — гравитационная постоянная Солнца.
Приближенно периодичность циклов межпланетных перелетов можно определить
следующим образом. Пусть начальные
положения планет характеризуются
гелиоцентрическими долготами планеты отправления 1\ и
планеты назначения /2 Для опорного момента ^о
(рис. 5. 1). Начальное положение КА в момент
старта
IА =■- h + «>1*ст»
а в момент прилета
где о>1 и w2 — средние угловые движения
планет;
tCT — время старта, отсчитываемое от
'о-
Тогда
Рис. 5. 1.
|<*>1 — со2 |
где п — число витков.
В этом случае периодичность
оптимальных дат старта соответствует синодическому
обращению планеты назначения.
Таким способом дату старта можно определить лишь приближенно. В
дальнейшем учитывается движение планет по эллиптическим орбитам, наклоненным к
плоскости эклиптики. Для проведения расчетов необходимо задать вблизи полученных
значений определенный диапазон времени полета и дат старта, в котором и проводятся
исследования траекторий. Обычно эти диапазоны составляют один-два месяца.
5.1.4. Определение геометрических характеристик орбиты
космического аппарата
Пусть моменту времени_^ст соответствует радиус-вектору (*ij/i,2i), а моменту
времени tup — радиус-вектор r^^yi^i) (рис. 5.2). Поскольку Г\ и г2 лежат в плоскости
орбиты КА, то можно легко определить ее элементы i и Q. __ _
Плоскость орбиты КА определяется векторным произведением Г\Хг2.
Составляющие его по осям координат:
Су= Z\X2 — X\Z2\
Сг = Х1У2—У1*2*
а модуль векторного произведения
c = V4 + cy + 4
Угол наклона / плоскости орбиты определится как угол между вектором пХг2 и
осью z из уравнения
cos / = —, 0 < / < я.
с
Долгота восходящего узла орбиты Q находится из уравнений
Сх „ Су
sin Q =
с sin i
cos 2 —
с sin i
0<Q<2tt.
150


Угловая дальность полета 2/ находится из уравнений:
с
sin 2/ =
cos 2/ =
r\r2
Х\*2 + У\У2+ ZXZ2
Г\Г2
, 0<2/<2я,
где п = ]/~х2г + у\ + 2?J; r2 = |/ х\ + у\ + г\
По долготе восходящего узла орбиты Й и радиусу-вектору любой /-й точки на
орбите rj(Xj, yj, Zj) определяется аргумент широты этой точки:
sin и л
у . cos Й — хj sin Q
rz cos i
Xj cos Q + #* sin Q
В{хг.у2,гг)
Г i COS J
, 0<«.<2я.
5.1.5. Определение большой
полуоси орбиты космического аппарата
Большую полуось орбиты можно найти
из уравнения Эйлера—Ламберта [3]
—-— [е — 5 — ( sin е — sin 5) + 2яя].
Ум-
Здесь п — число полных оборотов, совершаемых КА по орбите с момента старта до
встречи с планетой назначения;
Г\ •+- Г2 + а
Рис. 5. 2.
е = arc cos
Ь = arc cos
2а
r\ + г2 — о
2а
где а = ]/ г\ •+- г| — 2rir2 cos 2/.
В качестве первого 'Приближенного значения а принимается
П + Г2 + q
Дт1п = ^ •
Особые трудности возникают при определении углов е и б из-за неоднозначное г*
решений уравнения Ламберта. На рис. 5.3 представлены все возможные случаи
перелета. На нем обозначено:
Л — точка старта КА;
В — точка прилета КА;
F — фокус эллиптической орбиты, в котором находится центр притяжения;
F' — свободный фокус.
В приведенных на рис. 5. 3 случаях 2 и 5 движение КА происходит по
эллиптическим орбитам с минимально возможным a=amin.
Случаи /, 2, 3 соответствуют встрече с планетой назначения на первом полувитке
межпланетной орбиты, а случаи 4,5,6 — встрече на втором полувитке. Для орбит
перелета при встрече с планетой на первом полувитке 0<6<я, —я<6<0. Случаям / и 4
(свободный фокус орбиты лежит за пределами сегмента, ограниченного хордой а и
дугой ЛВ) соответствует 0<е<я, случаям 3 и 6 (свободный фокус орбиты лежит
внутри этого сегмента) я<е<2я.
При встрече с планетой назначения на первом полувитке и времени полета /<Y*
(где t* соответствует полету с а = amin) в случае 2/<я необходимо принимать
0<е<я и 0<5<я/2, а в случаях 2/>я принимать 0<£<я и 3/2я<&<2я.
При временах полета t>t* в случае 2/<я необходимо принимать я<е<2я
и 0 < а <; я/2, а в случае 2/ > я принимать я < е < 2я и 3/2я < Ь < 2я.
При встрече с планетой назначения на втором и последующих витках число
решений увеличивается. Так, при встрече на втором витке одним и тем же значениям tu гь
r2, a(2/) будут соответствовать четыре эллиптические орбиты, отличающиеся
величинами больших полуосей, причем две из них будут соответствовать встрече на третьем
полувитке и две — на четвертом полувитке.
151


После подсчета t* можно определить диапазоны значений 8 и б из следующей
таблицы:
Значение 2/
2/<я
2/>я
t>t*
е
Я<£<2л
Я<е<2я
5
0 < 5 < */2
3/2я<5<2я
t<t*
£
0<е<Я
0<е<Я
5
0<5<*/2
з/2я<5<2я
Проводя последовательные приближения, можно определить а с любой наперед
заданной точностью.
5.1.6. Определение параметра, эксцентриситета и истинной аномалии орбиты КА
Для определения параметра р можно воспользоваться формулой, связывающей д
с характерными углами f и g, а также с п, г2; она получается при выводе уравнений
Ламберта [3] и имеет вид
гхг2 sin2/
р _ ^
a sin2g-
е— Ь
где g = —г— (углы е и б должны соответствовать значению полученной большой
полуоси а).
Эксцентриситет орбиты находится по соотношению
-^-
Значения истинных аномалий §\ и 02, соответствующих старту и прилету КА,
определяются из соотношений
р — гх
cos %i = '■
COS $2 =
Р—Г2
г2е
152


cos 2/ cos $i ~ cos &o л
Так как sin %x =-- ——h » 92 = h + 2/. то
sin 2/
a) == ttj — $i = ^2 — &2»
Долгота перицентра я = £2+со.
Время прохождения через перицентр тл определяется из уравнения Кеплера при
t = tCT и fl = fli.
Таким образом, по двум положениям КА в момент старта и в момент прилета
найдены все шесть элементов орбиты КА на гелиоцентрическом участке
полета: Q, i, л, а, е, ттс .
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ
УЧАСТКОВ ТРАЕКТОРИИ
5.2.1. Определение составляющих вектора относительной скорости КА у планет
По формулам, приведенным в разд. 5.1.2, для заданных моментов времени
старта tcz и_времени прилета tnp определяются значения векторов орбитальных
скоростей планет Va, Vb и космического аппарата Van.
Векторы скоростей аппарата относительно планет в моменты старта и прилета
получаются как разности векторов орбитальных скоростей планеты и КА:
^1отн= ^1ап — V А', ^2отн= ^2ап — V В-
Полученные скорости принимаются за планетоцентрические скорости аппарата,
определенные на «бесконечности»:
^1отн = V\<x>\ V^oth = ^2°°-
Величины скоростей Vioo и V2oo определяют энергию гиперболических траекторий
КА на планетоцентрических участках:
loo „ v 2oo
Ео =
5.2.2. Определение параметров траектории КА
на геоцентрическом участке полета
Для того чтобы обеспечить необходимый вектор скорости 1Л«> при отлете от Земли
и выполнить требования, определяемые условиями старта, а также условиями
наблюдения за КА в полете, необходимо учитывать следующее:
1. Выведение КА на межпланетные траектории в общем случае производится в
два этапа. На первом этапе последняя ступень ракеты-носителя вместе с КА выводится
на орбиту искусственного спутника Земли. Затем последняя ступень обеспечивает
выведение КА с этой орбиты на гиперболическую геоцентрическую траекторию.
2. После выведения КА на гиперболическую траекторию должна быть обеспечена
радиовидимость на начальном участке полета с пунктов связи.
Все расчеты, связанные с определением параметров траектории, удобно
производить в геоцентрической экваториальной системе координат с осью х, направленной в
точку весеннего равноденствия.
Определение параметров траектории производится следующим образом. Вектор
относительной скорости V\oo переводится из эклиптической системы координат в
экваториальную
где Vloo — вектор скорости в экваториальной системе координат;
/ — матрица ортогонального преобразования,
/ =
1 О О
О COS е— sin e
О sin e COS e
Угол е определяет наклон плоскости_эклиптики к экватору,
По компонентам вектора скорости V1<x> определяется его склонение 6^ и прямое
восхождение а^ на «бесконечности» из соотношений
153


. . к
Sill Ooo — . ~-т | ,
1 loot
V'u
COS Ctc» — / z
V vl + v
Из сферической тригонометрии
Sin Uoo —
—
-2
sin
я я
, 0 < a < 2я.
5oo
sin i
Для выполнения условий выведения необходимо принять
uoo = я — arc sin Uoo.
Из уравнения энергии определяем полуось а орбиты и величину скорости ViK на
высоте hK (в конце активного участка)
:" = iA(:7-t} '«=*+*»•
к loo
где /?—' радиус Земли, и далее эксцентриситет е и фокальный параметр р орбиты:
v
Г ГКУ?КС052 6К
1 + ;
где 0К — угол между вектором скорости Ущ и местным горизонтом в начале
пассивного участка полета.
По формуле
р—г р 1
COS tt = :
re re e
определяется истинная аномалия в начале свободного участка траектории полета при
г=гк, 0=#к и при г=оо, 0=0^, где 0<#<я. Затем находятся долгота перигея
орбиты
и аргумент широты точки конца активного участка полета
Нк = СО + Фк.
Долгота восходящего узла орбиты определяется из соотношений
т г Vy\ cos tt°° — ^дг1 sin и°° cos /
sin 2 = К, V2 + y2 :
v xl + v y\
,, V^i cos «oo + K^/i sin Hoo cos J
cos 2 = ^1 ,/2 , „a
Ki + ^yl
0 < 2 < 2я.
Широту конца активного участка полета фк, которая определяет условия
наблюдения за КА, можно определить по формуле
я я
sin yK = sin uK sin i; — — < <рк < —.
5.2.3. Определение параметров планетоцентрической
траектории на участке полета у планеты назначения
Планетоцентрическую траекторию КА следует выбирать таким образом, чтобы
можно было обеспечить, например, фотографирование планеты при пролете около нее
(для пролетного варианта) или осуществить посадку в заданный район на ее
поверхности (для попадающего -варианта).
Движение КА около планеты удобно рассматривать в планетоцентрической
системе координат 0£п£, выбранной следующим образом. Ось £ направлена в сторону век-
154


тора относительной скорости V^ и параллельна ему. Направление осей rj и §
определяется векторными произведениями:
- __ _^сХУ Ц ХУ2
ц~\гсХУ2[ ~ h х к21 '
где гс — радиус-вектор планеты в момент прилета КА.
Ось £ определяет положение в пространстве так называемой «картинной
плоскости». Если не учитывать притяжение планеты, т. е. рассматривать гелиоцентрический
участок полета, то координаты £ и ц КА в картинной плоскости характеризуют
отклонения траектории от попадающей в центр планеты.
Параметры планетоцентрической траектории определяются следующим образом.
Положение плоскости орбиты в пространстве относительно координат 0£rj£
определяется формулами:
—; sin Q =
2
cos L2 = ,
ь
tg 7
где b == У& + 1^2— прицельная дальность.
Аргумент широты радиуса-вектора на бесконечности и<х> равен:
я 3
tloo = — = Я.
2 4
Большая полуось орбиты а и эксцентриситет е находятся из соотношений
а- —£-■ г-1
v\ sin-у'
а
Т'
Истинная аномалия 0^ определяется из соотношения
1 я
COS &оо = , < &оо < Я.
е 2
Долгота перицентра орбиты
СО —" Uoo — яТоо»
Для пролетного варианта с целью увеличения продолжительности
фотографирования необходимо, чтобы КА пролетал над освещенной частью планеты в течение
максимально возможного времени. Это условие может быть выполнено в том случае, если
плоскость орбиты нормальна терминатору планеты, т. е. плоскость орбиты должна
совпадать с плоскостью £0£. В этом случае при заданном минимальном расстоянии
пролета в перицентре гтс можно записать соотношения
1 а
sin i = ; 5 =- b = ; ri --- О,
1+2я_ tgT
а
которые позволяют определить положение аппарата в картинной плоскости,
соответствующее траектории при фотографировании планеты. Условия прохождения аппарата
через заданную точку в картинной плоскости могут быть обеспечены коррекцией
траектории.
Для того чтобы обеспечить наивыгоднейшие условия радиосвязи с КА после
посадки на планету для попадающего варианта, необходимо, чтобы угол X между
направлением на Землю и местной вертикалью в точке посадки был минимальным. В
картинной плоскости траектории, обеспечивающей указанное условие, будет соответствовать
точка с координатами %' и ц'. Положение плоскости такой траектории определяется как
-, = ^3 X Vji
Ц \~r3XV2\'
где г3 — радиус-вектор Земля — планета,
а линия пересечения ее с картинной плоскостью как
- __ Ц'_ X У2
155


Значение прицельной дальности Ь можно определить, решая совместно систему
уравнений
д(1 — е2)
^пл =
1 + е cos (&оо — ») '
3
sin f = cos ftoo при "Г-?1 < ^oo < 2jt;
tgT
где у — угол между вектором скорости и радиусом-вектором Земля — планета;
Япл—радиус планеты назначения.
По значению Ь и положению плоскости орбиты определятся координаты £' и rf.
Неточностью определения фактической траектории после коррекции в картинной
плоскости определяется область возможных траекторий. Поэтому при изучении свойств
траекторий вблизи планеты рассматриваются несколько наиболее характерных
траекторий на границе и в центре этой области.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
5.3.1. Параметры, характеризующие полет
на геоцентрическом участке
При движении КА на геоцентрическом участке траектории наиболее важными
являются данные, которые определяют условия ориентации, наблюдения за его
полетом, радиосвязи с наземными измерительными пунктами (НИП), а также данные,
которые влияют на работу бортовых систем.
Поскольку полет КА на приземном участке (до расстояний 100—150 тыс.
километров) продолжается несколько часов, можно принять, что движение КА происходит
относительно Земли, положение которой на орбите фиксировано на момент старта.
Решая уравнение Кеплера для гиперболической орбиты и определяя координаты
КА, можно вычислить на любой момент времени расстояние КА — Земля. При
небольшом удалении КА от Земли можно принять, что гелиоцентрические радиусы-векторы КА
и Земли параллельны друг другу. Тогда угол Солнце_— КА — Земля можно определить
из скалярного произведения радиусов-векторов r0i и г\
*oi*i + fforffi + *oi*i
cos а~
I'oil lril
где г01 — гелиоцентрический радиус-вектор КА;
Г\ — гелиоцентрический радиус-вектор Земли, определенный на момент старта.
Фазовый угол Земли в этом случае будет
Ф = я — а.
При определении расстояний ри.п от измерительного пункта (ИП) до КА, углов
места 1|зи.п относительно пункта, а также углов Солнце — КА — пункт можно
пользоваться следующими зависимостями:
cos
Ри.п = К(*01 — -*и.п)2 + (001 — #и.п)2 + (*01 — *и.п)2;
/ . __ _Л_\ _ *и.п (*01 — *и.п) + Унм(У0\ — Уи.п) + ^и.п (*0l— гИ.п)
У" 2)- I^H.nlQn.n ;
Xi (ДГр — ДГи.п) + У\ (У0 — Уи.п) + z (*0 — *и.н)
cos аи.п = уг- ,
Ои.пИ I
где #и.п(-*и.п» Уи.п* ^и.п) — текущие координаты пункта.
Координаты измерительных пунктов в геоцентрической экваториальной системе
можно рассчитать следующим образом. На начало даты старта определяется звездное
время ^зв, которое соответствует угловому положению гринвичского меридиана от
направления в точку весеннего равноденствия, и часовое изменение звездного времени
Аг'зв. Зная географические широту фи.п и долготу (Зи.п и время старта тст для любого
момента времени tUt можно записать:
■*и.п = R COS <ри.п COS [t3B + (А^зв + w) (Тст + *п) + Ри.п];
0и.и = # COS сри.п Sin [t3B + (А^зв •+- w) (Тст + *п) + Рил.]',
2r„.n = /?sin <ри.и.
156


5.3.2. Параметры, характеризующие полет
на гелиоцентрическом участке
Для обеспечения наилучших условий радиосвязи с КА, а также для составления
программы сеансов связи в случае полета нескольких космических аппаратов
необходимо знать условия их радиовидимости из пункта связи. Эти условия характеризуются
продолжительностью интервала радиовидимости и положением этого интервала в
течение каждых суток полета. Положение интервала видимости зависит от кульминации
КА относительно пункта связи.
Для упрощения расчетов можно сделать следующие допущения, не приводящие к
существенной потере точности:
— положения Земли и КА на орбитах, определенные в выбранный момент
времени, считаются фиксированными в течение суток;
— плоскость гринвичского меридиана в 0 часов Всемирного времени параллельна
радиусу-вектору Земли.
Тогда верхняя кульминация ^к космического аппарата определяется следующим
образом.
Для заданного момента определяются координаты Земли и КА. Затем,
осуществив переход от эклиптической системы координат к экваториальной и найдя положение
КА относительно Земли, можно воспользоваться следующим соотношением:
'к = а<) — (Xi — ри.п,
где tK — верхняя кульминация КА для пункта связи по Всемирному времени;
(Xi — прямое восхождение Земли;
Oq — прямое восхождение КА относительно Земли;
Ри.п—географическая широта измерительного пункта.
Значения cti и а0 определяются из формул:
C0S «I = -,/- о о"> COS а0 = "
У\ . Уо
sin а! = г ==•—; sin а(
О < (Xi < 2я; 0 < а0 < 2я,
где хх, tji, zx — координаты Земли в экваториальной системе координат;
•*o> Уо* *о— координаты КА относительно Земли в экваториальной системе
координат.
Продолжительность радиовидимости tB КА можно определить из выражения
cos (— — А<\> ) — sin Ь0 sin <ри.п
COS (1)3 = ,
2 cos bo sin <ри.п
где со3 — угловая скорость вращения Земли;
?и.п — географическая широта измерительного пункта;
Ь0 — склонение КА относительно Земли;
Д.р — угол места, соответствующий началу и концу радиовидимости.
Значение б0 определяется из выражения
. , *о
Зная tK и tB, можно найти момент начала tH.B и конца *к.в радиовидимости КА:
/ -/ -_-^- / ~t л- —
'н.в — 'к (у » 'к.в — fK п" •
При определении параметров радиолинии борт КА — Земля необходимо
располагать данными об изменении значений угла Солнце — КА — Земля, а также расстояний
в течение всего времени полета. Кроме того, для определения условий ориентации КА
как во время радиосвязи с Землей, так и при проведении коррекции траектории
необходимо знать углы Солнце — КА — звезда (планета) у^ фазовые углы планет Ф* и
звездные величины звезд и планет /лг- (с космического аппарата). Определяя
координаты КА и планет для различных моментов времени и зная средние места наиболее
ярких звезд, для планет можно вычислить значения \i, Фг из следующих соотношений:
(*i — х0)х0 + (у\ — Уо) Уо + (*1 — ^о)^о
cos 7i = ;
r0ri0
157


(XX — X0) Xj + (gl — Уо) УI + (*i — Гр) */
cos Ф; = ' ;
ro = }/~*o + #0 + *&
Г/о = V(xt - X0)2 + (У I - Уо)2 4" (*; - 2Г0)2;
г/ = У*21 + у21 + 4>
где х/, #/, г/ — координаты /-й планеты в экваториальной системе координат.
При определении углов Солнце — КА — звезда в связи с большими расстояниями
до звезд можно пользоваться формулой
liXQ + miyo + rnzQ
cos 7/ = ,
го
где /ь ти ni — направляющие косинусы вектора — направления на звезду.
Звездные величины планет (Венеры, Земли, Марса и Юпитера) можно рассчитать
по следующим формулам:
тв=_4,14+518лвгво + 0,09^- + 2,39(^)2 -0,05 (^-)';
^=-3.87+518^+13^ + 0.19 [^)% +0.48 ^)' ;
«м=-1.52 + 5,8лмлМ0 + 2.8^-1.б(^)2+1.з(^)3;
тю=-9.1 +518гюгюо+0.015Фю,
где Ф_, Ф_, Фм, Ф^ — фазовые углы Венеры, Земли, Марса, Юпитера (с КА);
в з м ю
rDft) гОЛ, гЛЛЛ, а-„л — расстояние от КА соответственно до Венеры, Земли, Марса,
ВО о" МО KJ0
Юпитера;
расстояние
Юпитера.
г_, г_, гм> г„ — расстояние от Солнца соответственно до Венеры, Земли, Марса,
В 3 М KJ
5.3.3. Параметры, характеризующие полет космического аппарата
на планетоцентрическом участке траектории вблизи планет назначения
По известным элементам планетоцентрической траектории можно определить
параметры, характеризующие условия для фотографирования планеты или условия
посадки на ее поверхность.
При выборе программы сеанса фотографирования основными параметрами,
определяющими схему ориентации КА, начало и продолжительность сеанса
фотографирования, являются расстояния КА — планета, положение аппарата относительно планеты
и ее фазовый угол (с борта КА). Как и в случае полета на гелиоцентрическом участке,
положение планеты на своей орбите можно считать фиксированным на момент,
соответствующий пролету КА на минимальном удалении от планеты.
Движение КА по планетоцентрической траектории удобно рассматривать в
системе координат 0|т]£. При этом необходимо рассматривать центральную и крайние
траектории трубки радиусом Ар, величина которого зависит от точности определения
действительной траектории.
Решая уравнение Кеплера для заданных моментов времени и находя О и г, а
также учитывая, что и = 0+со, можно определить координаты КА из следующих
соотношений:
£0 ■= г cos и cos 2;
rjo = г cos и sin Q;
Со — г sin и.
Значение угла Солнце — планета — КА (угол фазы планеты) находится из
выражения
еге0 + vio + сгСо
cos р =
^2
где gc, Лс, £с — координаты Солнца в планетоцентрической системе координат.
158


Приняв за начальный момент время прохождения космическим аппаратом сферы
действия планеты, можно построить траектории движения и отметить на них
положения КА на различные моменты времени. Кроме того, для тех же моментов времени
можно построить значения углов Солнце — планета — КА.
Для определения условий посадки КА на поверхность планеты и составления
программы подлетного сеанса необходимо, как и в случае пролетного варианта, знать
расстояние КА — планета и положение КА относительно планеты для различных
моментов времени. Кроме того, для расчета атмосферного участка полета необходима
иметь значение скорости входа Увх и угла входа 9Вх в плотные слои атмосферы,
которые можно найти из соотношений
v«=jA(dbr--r>
COS0R
№
(R+H)V '
-Г" < евх < О,
где Н — высота входа в плотные слои атмосферы.
Угол X, необходимый для расчета радиолинии Земля — КА, после посадки на
планету определяется следующим образом. Для любой траектории, попадающей в
планету, значение угла X можно определить из скалярного произведения двух векторов:
радиуса-вектора планета — Земля и радиуса-вектора КА в момент посадки при
условии, что атмосферный участок полета не учитывается:
cosX =
S3e° + ЛзЛо + С3Ср
где £_, г] , С — координаты Земли в планетоцентрической системе координат.
О \i О
Чтобы упростить расчеты, можно рассматривать только те траектории, которые
лежат в плоскости £0£, так как для всех других траекторий при одинаковых
отклонениях от попадающей в центр планеты углы X будут иметь меньшие значения. Считая
положительными углы, отсчитываемые от направления планета — Земля против
часовой стрелки, если смотреть с конца г], для углов X, лежащих по обе стороны от этого
направления, можно записать
* = т± (»«,-»).
где 7 — угол между вектором скорости и направлением Земля — планета;
&оо — истинная аномалия на бесконечности;
& — истинная аномалия в точке встречи с поверхностью планеты.
5.4. ПОРЯДОК РАСЧЕТОВ И АНАЛИЗ ХАРАКТЕРНЫХ ПАРАМЕТРОВ
МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Ниже приводится анализ выбора характерных параметров траекторий для
межпланетных полетов. Для примера рассматриваются траектории полета к Венере
Старт 28.Ш.6Ьг.
27.ЕШ.
2SM6U
W.U.6U2.
П1Мг.
направления в точну
Весеннего равноденствия
Рис. 5. 4. Схема полета к Венере
(рис. 5.4) с оптимальной датой старта 28 марта 1964 г. и к Марсу с оптимальной
датой 21 ноября 1964 г. (рис. 5. 5)
159


При рассмотрении других циклов полета к этим планетам большинство основных
характеристик меняется в незначительных пределах. Однако следует заметить, что
некоторые из них, например склонение вектора скорости "Р, у Земли, могут изменяться
довольно сильно, что существенно
сказывается^ на выборе опорных траекторий.
Орбита к я
Подлет
П Ш 65г.
25Ж.858.
26.1.65г.
направление в точку
* Весеннего равноденствия
Рис. 5. 5. Схема полета к Марсу
При полетах к другим планетам
исследование свойств траекторий и
выбор параметров можно вести
аналогичным путем.
5.4.1. Выбор опорных траекторий полета
КА
В результате расчетов
межпланетных траекторий для выбранного по
приближенной методике диапазона дат
старта и времен полета можно получить
потребные скорости отлета у Земли V\,
которые определяются в виде
зависимости V\ = f(tu) при ^CT = const. При этом
следует отметить, что построенная
совокупность кривых распадается на два
семейства. Первое семейство
характеризуется траекториями полета, для
которых встреча с планетой происходит на
первом полувитке, т. е. 2/^<л, второе
семейство — траекториями второго
полувитка 2f>n. Время полета по траекториям первого полувитка меньше, чем время
полета по траекториям второго полувитка, следовательно, предпочтительнее использовать
траектории со встречей на первом полувитке (рис. 5.6 и 5.7).
Для анализа межпланетных траекторий удобнее пользоваться зависимостями,
построенными в виде изолиний скоростей V! = const для различных дат старта и дат
прилета (рис. 5.8—5.10). На кривые V\ = const можно нанести изолинии широт конца
активного участка полета фк = const и скоростей подлета к планете V2=const, а также
изолинии углов между вектором скорости V2 и направлениями Солнце — планета и
Земля — планета. Полученные суммарные зависимости позволяют провести анализ
траекторий с учетом ограничений, накладываемых условиями отлета от Земли и подлета
к планете.
На рис. 5.8—5.11 приведены изолинии указанных выше параметров,
характеризующих траектории полета к Венере и Марсу при встрече с планетами на первом
полувитке. Из приведенных зависимостей видно, что имеется траектория, обеспечивающая
минимум скорости V\ и, следовательно, энергии. Эта траектория соответствует
оптимальной дате старта. При отходе от оптимальной даты старта величина потребной
скорости увеличивается. Для каждой даты старта существует множество траекторий,
обеспечивающих сближение с планетой и характеризующихся различными значениями
скоростей отлета и времен полета.
Из совокупности траекторий, обеспечивающих полет КА к- планете назначения,
для каждой даты старта должна быть выбрана такая траектория, которая наилучшим
образом удовлетворяет поставленным перед ней требованиям, изложенным выше.
Диапазон возможных дат старта определяется из соотношения
где £,, = —-—потребная энергия выведения КА на межпланетную траекторию;
Ер — располагаемая энергия выведения ракеты-носителя при выбранном весе КА.
Соотношение £п^£р определяет на рис. 5.8—5.11 области, в которых можно
варьировать характерные параметры. Ограничения на величины фк, VK и др.,
связанные с особенностями работы КА, могут, в свою очередь, привести к сужению области
возможных траекторий. Так, например, ограничения по широте начала пассивного
участка траекторий фк при полете к Венере, например фк^40°, приводят к тому, что
траектории с малым временем полета выпадают из рассмотрения. Аналогичные
ограничения могут быть и по другим параметрам.
Следует отметить, что в пределах рассматриваемых областей параметры,
характеризующие полет КА, меняются плавно от одной даты старта к другой. Поэтому
достаточно проанализировать только наиболее характерные опорные траектории,
выбранные в диапазоне возможных дат старта с учетом всех требований и ограничений и
обеспечивающие выполнение поставленных перед космическим аппаратом задач. В качестве
опорных дат старта для последующего исследования особенностей прогнозирования
и коррекции межпланетных траекторий выбираются, как правило, оптимальная дата,
160


Дата прилета
1Л\
11.63\

нагл
ti
вг
Сближение с Венерой
на 2-м полубитке
V-3,?S
4=3,5
4*5,0
V,s5.0
V,=4,5
Сближение
с Венерой на 1-м
попцдитке
4=3,0
Vr3,5
ШМ II т 1Ш 1Ш ИХ 11 1К1Дата
старта
Рис. 5. 6. Зависимости скорости отлета от Земли 1Л (км/с) от дат старта
и дат прилета к Венере
Дата при пета
1.Ш
Сближение с Марсом
на 2-м полу Витке
Сближение с Марсом
на 1-м полуЬитке
V*3,88S
1Ш 11 т Ш 11 S3 ?Л 1Ш IN Лота
старта
Pfc. 5.7. Зависимость скорости отлета от
Земли Vi (км/с) от дат старта и дат
прилета к Марсу
6 3669
161


Дата старта
Рис. 6.8. Зависимость скорости отлета от Земли V\ (км/с), скорости подлета
V2 (км/с) и широты фк начала пассивного полета от дат старта и дат прилета
к Венере
8Ш+
*- 1 1 1 i —i 1 , ,
1ШВ4 1В.Ш ZW 16.Ш 31.Ш 5Л ЮЛ 15Л Дата старта
Рис. 5.9. Зависимость скорости отлета от Земли V\ (км/с) и углов между вектором
скорости V2 и направлениями Солнце—Венера (0) и Земля—Венера (у) от дат
старта и дат прилета к Венере
162


Дата прилета
13.Ш
%p^SoK
MY
6Ш4 ЯЛ 1Б.Ш 1Ш 16Л 1.Ш Б.Ш Дата
старта
Рис. 5. 10. Зависимости скорости отлета от Земли V\ (км/с), скорости
подлета V2 (км/с) и широты фк начала пассивного полета от дат
старта и дат прилета к Марсу
6*
163


Дата прилета
13.ш\
8.Ш
29.Ш \
гт
вш* пл тл ил гш -ш ш дата
старта
Рис. 5.11. Зависимости скорости отлета от Земли V\ (км/с) и углов
между вектором скорости V? и направлениями Солнце—Марс ф) и
Земля—Марс (у) от дат старта и дат прилета к Марсу
164


даты, соответствующие началу и концу выбранного диапазона и в случае
необходимости в середине интервалов между крайними и оптимальной датами.
5.4.2. Исследование траекторий движения на геоцентрическом участке
Полет на геоцентрическом участке траектории имеет ряд особенностей,
связанных с большей скоростью К А относительно Земли.
Проекция траектории КА на вращающуюся Землю (трасса) представляет собой
петлю. Движение относительно поверхности Земли по ее восходящей ветви происхо-
, <Ь,град
Рис. 5. 12. Зависимость угла места ф от времени полета tn на приземном
участке полета к Венере для опорных дат старта
дит на восток, а движение по нисходящей ветви — на запад. Это объясняется тем, что
вначале КА имеет угловую скорость, большую скорости вращения Земли, затем его
угловое перемещение замедляется, он удаляется почти по радиусу-вектору и его трас-
Ф, град
5. 13. Зависимость угла места ф от времени полета tn на
приземном участке полета к Марсу для опорных дат старта
са в основном определяется скоростью вращения Земли и склонением вектора скорости
КА. При отрицательных склонениях трасса проходит по южному полушарию Земли, при
положительных — по северному. Это обстоятельство определяет условия и
продолжительность видимости КА из измерительных пунктов.
В начале пассивного участка полета проводится «приземный» сеанс связи с КА.
В течение этого сеанса осуществляются траекторные измерения, а- также
контролируется работа бортовых систем. Обычно в приземном сеансе принимает участие ряд изме-
165


рительных пунктов, расположенных вдоль трассы и вступающих в связь с КА по мере
того, как он входит в зону их видимости. Программа работы наземных
измерительных пунктов определяется в результате расчетов углов места для различных
пунктов по времени полета КА. Связь с ним может обеспечиваться по команде с
Земли, а также путем включения сеанса от бортового программно-временного устройства
ПО3 а
км град
<х (старт bfflte.)
ос (старт 1В.ШВЩ
сх (старт П.ШБЬг)
110 tnyf1UH
Рис. 5. 14. Зависимость угла а Солнце—КА—Земля и расстояния г КА—
Земля от времени полета на приземном участке полета к Венере для
опорных дат старта
(автономные сеансы). В последнем случае на борту КА закладывается программа
включения автономных сеансов, при составлении которой необходимо учитывать следующее:
— сеансы связи должны проводиться в то время, когда КА находится в зоне
видимости наземного пункта связи;
— в случае полета одновременно нескольких КА сеансы связи должны быть
разнесены по времени в интервале видимости с учетом продолжительности сеансов и
величин промежуткор между ними.
г 10° а
км град
10
20 30 40 50 60 70 80 SO 10P 110 tn,miH
Рис. 5. 15. Зависимость угла а Солнце—КА—Земля и расстояния г КА—
Земля от времени полета tn на приземном участке полета к Марсу для
опорных дат старта
На рис. 5.12 и 5.13 изображены расчетные кривые изменения угла места г|) по
времени полета, отсчитываемому от момента начала пассивного участка траектории, для
166


района Крымской астрофизической обсерватории. Очевидно, что наивыгоднейшие
условия для радиосвязи будут в том случае, когда КА находится вблизи верхней
кульминации относительно измерительного пункта.
Для обеспечения нормальной работы солнечных батарей необходимо, чтобы их
плоскость имела постоянную ориентацию на Солнце, осуществляемую с помощью
солнечного датчика и управляющих сопел. Однако на приземном участке полета яркость
Земли настолько велика, что возможна ложная ориентация солнечного датчика на
Землю. В этом случае момент возможного начала постоянной ориентации на Солнце
выбирается после расчетов звездной величины Земли. На рис. 5. 14 и 5. 15 приведены
кривые изменения расстояний г Земля—КА и угла Солнце—КА—Земля по времени
г.олета tn, которые используются при расчетах звездной величины Земли.
5.4.3. Исследование траекторий движения
на гелиоцентрическом участке полета
После определения параметров гелиоцентрических траекторий для выбранных
опорных дат старта проводятся расчеты наиболее важных характеристик движения КА.
На рис. 5. 4 и 5. 5 приведены проекции орбит планет и КА на плоскость эклиптики;
там же нанесены положения КА, Земли и планет назначения для различных моментов
времени. Указанные рисунки дают наглядное представление о траекториях
движения КА.
Для указанных выше опорных траекторий, как и в случае полета на
гелиоцентрическом участке, проводятся расчеты наиболее важных параметров движения.
Например, рассматриваются параметры, которые характеризуют условия радиосвязи, в
частности условия радиовидимости КА.
Время московское
3D
го
Момент
сближения
с оланетой
и торт
21 ШВ4г
28 Ш54 г.
4 Ш64 г.
10
50
100
150
200 tV9cym
Рис. 5. 16. Изменение начала видимости, кульминации и конца видимости
по времени полета tu для опорных дат старта к Венере
В течение полета продолжительность видимости и положение интервала
видимости меняются. Для того чтобы команды на начало автономных сеансов выдавались
с учетом радиовидимости, суточный цикл программно-временного устройства (бортовое
время) должен быть выбран так, чтобы начало автономных сеансов не выходило за
пределы интервала видимости в течение всего времени полета.
На рис. 5.16 и 5.17 изображены кривые изменения верхней кульминации, а также
начала и конца радиовидимости КА для района Крымской астрофизической
обсерватории. При полете к Марсу суточный цикл бортового времени можно принять равным
23h57m, а при полете к Венере 23h56m. В этом случае автономное проведение сеансов
связи возможно в течение всего времени полета КА.
167


Для получения наибольшей эффективности радиолинии КА —Земля необходимо,
чтобы бортовые антенны на КА были расположены наивыгоднейшим образом. При
этом энергетические характеристики и диаграммы направленности бортовых антенн
зависят от возможных расстояний от КА до Земли и от значения углов Солнце — КА —
ТЛ
Время московское
Видимости
Момент сближения
с планетой
Старт
17J] 64 г.
НЛбЬг
12M64L.
100
200
300 tmcum
Рис. 5. 17. Изменение начала видимости, кульминации и конца
видимости по времени полета tn для опорных дат старта к Марсу
Земля (для КА, постоянно ориентированного на Солнце). Значения этих углов и
расстояний приведены на рис. 5.18 и 5.19 для траекторий полета к Венере и Марсу. При
полете к Марсу угол Солнца — КА — Земля изменяется в пределах от 10° до П0\
а для полета к Венере —от 5° до 160°, а расстояния при полете к Марсу— до
град плн км
Ю0
50
100 tn,cym
Рис. 5. 18. Изменение угла а Солнце—КА—Земля и расстояния г
Земля—КА по времени полета tn для опорных дат старта к Венере
168


300 млн. км и при полете к Венере — до 100 млн. км. В соответствии с этим
выбираются диаграммы направленности и положение на КА антенных систем.
Значения угла Солнце — КА — Земля необходимы также при определении
условий ориентации узконаправленных антенн КА на Землю в сеансах связи по
высокоинформативной радиолинии. Если используется оптический солнечно-земной датчик
ориентации, то оптическая ось земной трубки этого датчика должна быть параллельна
оси узконаправленной антенны. Задание угла Солнце —КА —Земля может
осуществляться по командной линии с Земли или специальным прибором, установленным на
борту. Характеристики этого прибора выбираются таким образом, чтобы с учетом поля
зрения датчика он был бы пригоден для работы при пусках в течение нескольких дат
старта.
Рис. 5. 19. Изменение угла а Солнце—КА—Земля и расстояния г
Земля—КА по времени полета tu для опорных дат старта к Марсу
Так как* кривые значений угла Солнце — КА — Земля по времени полета
меняются плавно, а характер изменения кривых для соседних дат одинаков, то, производя сдвиг
кривых и осреднение значений углов, можно рассчитать зависимости, определяющие
программу бортового прибора. Настройка прибора перед пуском в диапазоне дат
старта, для которых может быть использована одна программа, сводится к сдвигу начала
отсчета времени в приборе.
При работе солнечно-земного датчика в течение полета яркость Земли,
характеризуемая ее звездной величиной, может меняться в пределах — 12т-^—2т. Для выбора
диапазонов чувствительности датчика и определения момента переключения диапазонов
используются зависимости изменения звездной величины т Земли (КА) по времен^
полета, которые приведены на рис. 5.20 и 5.21. Выбранные диапазоны чувствительности
и моменты переключения должны быть пригодны для пусков КА в любую дату стар га
выбранного диапазона.
Действительная траектория полета КА может отличаться от расчетной в связи с
ошибками, возникающими при выведении Поэтому в течение полета предусмотрена
возможность проведения коррекций, т. е. ликвидации отклонений фактической
траектории от расчетной. Коррекция осуществляется подачей импульса скорости с помощью
корректирующей двигательной установки. В общем случае корректирующий импульс
может иметь любое направление в пространстве.
Ориентация КА при коррекции осуществляется с помощью солнечно-звездного
датчика. При такой ориентации необходимо знать углы Солнце — КА — звезда. Однако
в звездную трубку датчика в некоторых случаях вместо основной звезды, используемой
при ориентации, возможно попадание других звезд и планет, по яркости близких к
основной звезде. В этом случае возможна ложная ориентация, в результате чего может
быть выдан ошибочный корректирующий импульс. Для выявления таких случаев
проводятся расчеты углов Солнце — КА — звезда (планета) в зависимости от времени
полета для наиболее ярких звезд и крупных планет. Моменты, когда вместо основной
звезды в поле зрения звездной трубки может попасть посторонняя звезда или
планета, будут запретными для проведения коррекции.
169


m
■15 \
Q ЬО WO 150 200 tnjcym
Рис. 5. 20. Изменение звездной величины т Земли (с КА) по времени полета /п
для опорных дат старта к Венере
Ш
д\ 1 - >- 1 —
100 200 500 t„,ci]m
Рис. 5.21. Изменение звездной величины т Земли (с КА) по
времени полета tn для опорных дат старта к Марсу
170


Уа,М/1
Vh,km/C
n,s-
lift-
12M6*r ПШ.6Ы гЪ.ШВЬг kJS Ш 12Ш64г
Дата
старта
Рис. 5.22. Зависимость скорости VH входа Рис. 5.23. Зависимость скорости Vи
КА в атмосферу Венеры на высоте входа в атмосферу Марса на высоте
#=100 км от дат старта #=200 км от дат старта
Рис. 5.24. Зависимости угла входа 0ВХ и угла X между местной вертикалью
и направлением на Землю ст прицельной дальности Ь при полете к Венере
ЕМ
6,25+
Wl
ПХШ 21.ШН
гтт 5.ш.ви. ншп
Дата старта


5.4.4. Исследование траекторий на планетоцентрическом
участке полета у планеты назначения
На участок полета у планеты назначения в зависимости от задач, поставленных
перед КА, необходимо рассматривать или траектории, попадающие в планету, или
траектории, проходящие на заданном расстоянии от ее поверхности.
Для попадающих вариантов космических аппаратов конструктивные параметры
отсека, спускаемого на планету, должны обеспечивать нормальное функционирование
аппаратуры, расположенной внутри его при полете в плотных слоях атмосферы и после
Рис. 5.25. Зависимости угла 6ВХ входа и угла К между местной вертикалью и
направлением на Землю от прицельной дальности Ь при полете к Марсу
посадки. При определении параметров, характеризующих движение и тепловой режим
отсека в плотных слоях атмосферы, в качестве исходных данных используются
значения скорости и угла входа в атмосферу. На рис. 5.22 и 5.23 приведены зависимости
скорости Vh входа от дат старта для заданных высот начала плотных слоев
атмосферы.
На рис. 6.24 и 5.25 приведены кривые углов 6ВХ входа в атмосферу в зависимости
от прицельной дальности планетоцентрической траектории. На этих рисунках нанесены
также кривые углов % между местной вертикалью в точке посадки и направлением на
Землю. При заданных априорных точностях знания действительной траектории с
помощью приведенных на рисунках зависимостей можно предварительно определить
возможные диапазоны значений параметров входа и выбрать точку прицеливания таким
образом, чтобы наряду с условиями входа удовлетворялись требования, предъявляемые
к траектории в отношении проведения радиосвязи со спускаемым аппаратом после
посадки, которые характеризуются значениями углов X.
Планетоцентрические траектории, с которых возможно фотографирование
поверхности планет, должны рассматриваться с учетом неточности определения фактических
параметров траектории. При этом учитываются ошибки по времени прилета к планете.
На рис. 5.26 и 5.27 изображены схемы полета КА около планет назначения.
Начинать фотографирование Венеры следует в момент, когда КА пролетает вблизи
планеты, а само фотографирование должно производиться на отлете. Это объясняется
тем, что КА подлетает к планете со стороны, наименее освещенной Солнцем, и
ориентация на планету становится возможной только вблизи планеты.
К Марсу космический аппарат подлетает со стороны планеты, освещенной
Солнцем, поэтому ориентация на планету возможна на подлете к планете. Фотографирование
поверхности Марса возможно до тех пор, пока КА не пересечет терминатор планеты.
172


Направление
на Солнце
%укм 30000 20000 10000
\--10000
Рис. 5.26. Схема полета вблизи Венеры:
/, 3~крайние траектории; 2—номинальная траектория
г-20000
^,<М 30000 20000 10000
/
_ ^Направление
2 _ полета
—у
Направление
на Солнце
х\9км
Рис. 5. 27. Схема полета вблизи Марса:
/, 3—крайние траектории; 2—номинальная траектория


ГЛАВА VI
ДИНАМИКА ПОЛЕТА К ЛУНЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
his — прямоугольная система координат, начало которой совпадает с началом
пассивного участка траектории.
^lii^iSi —невращающаяся геоцентрическая система координат.
я^бгЛгЬ —невращающаяся селеноцентрическая система координат.
£т]£ — вращающаяся система координат с началом в середине отрезка Луна —
Земля.
хуг—вращающаяся барицентрическая система координат во введении и
невращающаяся геоцентрическая — в дальнейшем; ху — плоскость орбиты
Луны.
XYZ — система, повернутая относительно системы xyz на 90° вокруг оси z так,
что Х=у, Y*=—x.
ХъУъ1ъ — геоэкваториальная система координат.
й —среднее расстояние между центрами Земли и Луны.
й\ —азимут вектора начальной геоцентрической скорости (абсолютной
скорости) в точке выхода на пассивный участок траектории.
d — расстояние от центра Луны до касательной к селеноцентрической
траектории в точке входа в сферу действия Луны.
f — постоянная тяготения.
#1 —высота начала пассивного участка траектории полета; начальная высота.
^о —момент прохождения Луной точки с минимальным склонением.
i — наклонение плоскости лунной орбиты к плоскости эклиптики.
U —наклонение плоскости траектории полета к плоскости экватора.
i\ — наклонение плоскости траектории полета к плоскости орбиты Луны.
Щ — центр Земли.
tn2 —центр Луны.
R — радиус верхнего слоя атмосферы.
г —геоцентрическое расстояние, т. е. расстояние от КА до центра Земли.
Го — радиус Земли.
Г] — начальный геоцентрический радиус, т. е. геоцентрический радиус
начальной точки пассивного участка траектории полета.
г2 —входной геоцентрический радиус, т. е. радиус точки входа в сферу
действия Луны или радиус точки встречи КА с центром Луны.
г2 —входной селеноцентрический радиус.
г3—выходной геоцентрический радиус, т. е. геоцентрический радиус точки
выхода КА из сферы действия Луны.
г3 — выходной селеноцентрический радиус.
sh -9i> Si—поверхности нулевой скорости при энергии, равной первой критической.
Si, Sv Sj —их сечения плоскостью ху.
Го —оптимальное время полета на пассивном участке траектории.
Т\,2 —время полета от начальной точки до точки встречи КА со сферой
действия или с непритягивающей Луной.
Т2, з — время полета от входа в сферу действия до выхода из нее.
t\ — момент начала пассивного участка.
t2 — момент входа КА в сферу действия Луны,
^з — момент выхода КА из сферы действия Луны.
U —модуль вектора входной и выходной селеноцентрических скоростей КА
на границе сферы действия Луны.
174


Ua — модуль вектора скорости КА в момент соударения с Луной.
Ux —характеристическая скорость.
ип — аргумент широты точки конца пассивного участка.
ио — аргумент широты точки старта.
и\ — аргумент широты точки начала пассивного участка траектории полета.
V — скорость КА в барицентрической системе координат xyz.
VR — геоцентрическая скорость Луны.
Vu — местная геоцентрическая параболическая скорость КА.
Vr — радиальная компонента абсолютной геоцентрической скорости КА.
VT —трансверсальная компонента абсолютной геоцентрической скорости КА.
АУф — скоростная прибавка (прибавка к скорости КА относительной земной
поверхности), обусловленная вращением Земли.
Vo —начальная скорость в системе координат m£r|£.
V\ — начальная геоцентрическая скорость КА.
V-2 — входная геоцентрическая скорость КА.
Уз — выходная геоцентрическая скорость КА.
Vn — селеноцентрическая параболическая скорость на границе сферы действия
Луны.
У2 — входная селеноцентрическая скорость КА.
V3 — выходная селеноцентрическая скорость КА.
AVi —избыток начальной геоцентрической скорости над местной
параболической скоростью.
Фа — истинная аномалия точки соударения.
а — угол между направлениями входной и выходной селеноцентрических
скоростей (т. е. угол поворота селеноцентрической скорости в сфере
действия Луны).
cti —угол между направлением начальной скорости КА и начальным
геоцентрическим радиусом.
а2 —угол между направлением входной геоцентрической скорости и входным
, геоцентрическим радиусом.
а2 — угол между направлением входной селеноцентрической скорости и
селеноцентрическим радиусом точки входа в сферу действия Луны.
Yo —угловой радиус окружности на поверхности Земли, из точек которой
КА виден на горизонте.
6 — склонение КА.
Е — плоскость экватора.
е — угол возвышения вектора пункт — КА над горизонтом пункта
наблюдения.
р-о — наклонение эклиптики к небесному экватору.
<в —угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты Луны.
0! — угол наклона вектора начальной скорости КА к местному горизонту.
X — угол между начальным геоцентрическим радиусом и начальным
направлением Луна — Земля в плоской задаче достижения Луны.
^г — географическая долгота КА.
^0 — географическая долгота точки старта.
Хн — географическая долгота пункта наблюдения.
АХмс —межстартовый интервал.
ДХ,С — стартовый интервал.
|д,1 —гравитационный параметр Земли.
|д,2 — гравитационный параметр Луны.
Я — плоскость эклиптики.
/7' —плоскость лунной орбиты.
q — селеноцентрическое расстояние, т. е. расстояние от КА до центра Луны.
рл —радиус Луны.
Qrain — минимальное расстояние траектории полета от центра Луны.
q* — радиус сферы действия Луны.
"ф — полная угловая дальность траектории, т. е. угол между геоцентрическими
радиусами начальной и конечной точек траектории.
ф'— селеноцентрический угол поворота селеноцентрического радиуса-вектора
в сфере действия Луны.
фа — угловая дальность активного участка траектории.
ф{ — угловая дальность пассивного участка траектории.
ф2 —угол между геоцентрическими радиусами Луны и точки входа.
<фг — географическая широта КА.
чЬн — географическая широта пункта наблюдения.
-ф0 — географическая широта точки старта.
^j), — географическая широта начала пассивного участка траектории.
175


(03 —угловая скорость суточного вращения Земли.
со —угловая скорость обращения Луны.
сог — геоцентрическая угловая скорость КА.
coi —долгота перигея геоцентрического участка траектории полета.
Y"—точка весеннего равноденствия.
Q — долгота восходящего узла лунной орбиты.
Qi — долгота восходящего узла геоцентрического участка траектории.
Qy — долгота упрежденной точки на лунной орбите.
ВВЕДЕНИЕ
В плоской задаче достижения Луны траектории с горизонтальным направлением
начальной скорости энергетически выгоднее других траекторий, лежащих в плоскости
лунной орбиты. Влияние разброса начальных данных для этих траекторий таково, что
при начальной скорости, несколько большей параболической, ошибки в величине
скорости порядка 30 м/с или в ее направлении порядка (У5,5 еще не приводят к промаху
мимо Луны, но уже близки к критическим [1]. Полет в плоскости лунной орбиты
(энергетически наиболее выгодный) возможен лишь из точек старта с широтами, не
превышающими наклонения лунной орбиты к плоскости экватора, которое не может
превосходить 28°36v. Траектории достижения Луны с территории СССР начинаются
с больших широт и потому не лежат в плоскости лунной орбиты. Для них наиболее
важно знать, каковы оптимальные начальные данные, каково влияние ошибок
начальных данных. Эти вопросы рассмотрены в настоящей главе.
Основным способом приближенного изучения траекторий полета к Луне является
рассмотрение движения без учета влияния Луны вне ее сферы действия и без учета
влияния Земли внутри сферы действия Луны. Определение сферы действия дано в
гл. III.
На границе сферы действия Луны по параметрам движения относительно Земли
с помощью простых формул могут быть определены параметры движения относительно
Луны (и наоборот).
Применимость приближенного метода весьма широка, как показано в работе [32].
где разрабатывается система диаграмм, которые позволяют довольно просто
рассчитывать различные маневры, такие как полет к Луне с возвращением, переход с
гиперболической орбиты на орбиту спутника и пр. Этот метод может успешно
конкурировать с методом использования картинной плоскости [8, 25].
При определении энергетических затрат и влияния ошибок начальных данных
достаточно учесть лишь главные, основные силы, определяющие движение.
Можно считать, что траектория полета начинается вне атмосферы на высоте
порядка сотен километров и целиком находится внутри сферы действия Земли по
отношению к Солнцу. Радиус этой сферы составляет около 1 млн. км, что примерно в
2,5 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны.
Отношение величины АР возмущения от Солнца к притяжению F Земли
максимально на границе сферы действия и не превосходит 0,138. С убыванием расстояния г
от Земли AF'/F убывает как г3. На расстоянии орбиты Луны имеем AF'/F<0fi\, а при
меньших расстояниях от Земли отношение возмущения от действия Солнца к
притяжению Земли еще меньше. Можно предполагать, что КА не уходит далеко за пределы
орбиты Луны, и влияние Солнца и планет в рассматриваемой задаче не учитывать.
Возмущающее действие массы т2 Луны для основной части рассматриваемого
пространства по сравнению с притяжением массы тл Земли ничтожно, однако в сфере
действия Луны оно играет основную роль, и его нельзя не учитывать, тем более, что
интересны как раз траектории, проходящие через сферу действия Луны.
Поскольку сжатие Земли и Луны изменяет силу тяготения меньше чем на 1%, им
можно пренебречь.
Можно пренебречь также силами, возникающими от эллиптичности лунной орбиты,
в уравнениях движения, написанных в барицентрической системе координат xyzy
вращающейся вместе с прямой щт2 (эти силы составляют долю порядка эксцентриситета
от центробежной и кориолисовой сил, т. е. лишь несколько процентов). Поэтому имеем
здесь ограниченную* круговую задачу трех тел. Ее уравнения во вращающейся
барицентрической системе координат xyz [10, 34] таковы:
. dJ .. л . dJ dJ
х = 2у+~- ; у=-2х + — ; z =, —. (6.1)
дх ду dz
Здесь точками обозначено дифференцирование по времени,
J = ±(X2+y2) + £^ + HL2t 6>2)
2 г q v
* Ограниченность понимается в том смысле, что влиянием притяжения одного
из тел (КА) на движение остальных (Земли, Луны) можно пренебречь.
176


где / — постоянная тяготения; г и q — расстояния КА от тл и т2 соответственно; ось х
постоянно проходит от т2 к /ль а ось у проходит через центр тяжести системы щгп2
в плоскости орбиты Луны. За единицы приняты: для длин — расстояние а между
центрами Земли и Луны и для времени — Г/2я, где Т — сидерический месяц. По третьему
закону Кеплера в этих единицах
/ (тг + т2) = яз (772я)-2 = 1*
Уравнения движения КА в геоцентрической невращающейся системе координат
w.i^i'HiSb начало которой находится в центре Земли, плоскость £iT)i совпадает с
плоскостью орбиты Луны, имеют вид:
e'i =
\ =
Ci =
dr
dt ~~
"~~гЗ~
гз
1*2
1*2
1*2-1 .
Q3 :
6i£i + wi + С1С1
г
Si;-
-40-
У
М5Л
аз '
дз •
(6.3)
^' = -71(£л-«О(5л-50 + (71л-,>0(^л-^) + («л-С1)(^л-!:0]- j
Здесь ji, = /m1; \i2=fm2f a буквой Л отмечены координаты и проекции скорости Луны.
Приведенные уравнения позволяют определить (например, с помощью численного
интегрирования) траекторию полета с любыми начальными данными.
Для анализа решений при различных начальных скоростях используется
энергетический подход (аналогичный примененному Хиллом [22]) с использованием
вращающейся системы координат xyz. В ней. уравнения (6.1) имеют известный интеграл
Якоби [10]
— V2 = J+ht (6.4)
где V — скорость КА в системе координат xyz; h=const Движение при фиксированном
значении h ограничено поверхностями S нулевой скорости (поверхностями Хилла):
/ = —А. (6.5)
Пусть пассивный участок траектории начинается на геоцентрических расстояниях,
много меньших расстояния до Луны. Тогда при малых значениях начальной скорости
Vq полет может происходить только внутри поверхности S'y близкой к малой
геоцентрической сфере. Несмотря на возможность движения при том же значении А еще внутри
поверхности 5", близкой к малой селеноцентрической сфере, и вне поверхности 5,
близкой к большой геоцентрической сфере, КА не может перейти в эти области из 5', и
сближение с Луной невозможно.
С увеличением начальной скорости Vo величина А растет, поверхности S' и S"
расширяются, сближаясь. При некотором значении Vo= Vq величина А достигает такого
значения Аг = /гь что поверхности 5' и S" соединяются в точке Ьл. Пусть s\, slf s\ —
положения поверхностей S, S't S" при A=Aj. Для малых A—Ai>0 становится
возможным в малой окрестности точки Ltl проникновение траектории, начавшейся вблизи
тела ти в область вокруг тела т2, т. е. становится возможным сближение КА с Луной.
На рис. 6.1 представлена половина сечения плоскостью ху поверхностей sh"s\f s[
кривые S\, Sv Sv Другая половина симметрична.
При дальнейшем росте начальной скорости до значения V0=V^ достигается
критическое значение А2>АЬ такое, что становится возможным уход КА от Земли в
бесконечность через окрестность точки L2, где соединяются поверхности S и S". Половину
их сечения плоскостью *#-—кривую 52 —см. на рис. 6. 1. Таким образом, минимальная
скорость, необходимая для достижения Луны, равна v£!\ а минимальная скорость,
необходимая для удаления КА в бесконечность, равна ]/\.
Кроме критических значений h{ и А2, существуют еще критические значения А3>Аа
и А4>А3. Значение А3 соответствует возможности ухода КА в бесконечность через
окрестность точки Lz. Значение А4 отрицательно и отвечает исчезновению кривых нулевой
скорости на плоскости ху в симметричных относительно оси х точках L4 и L5 (точка
177


L5 на рис. 6. 1 не показана). Возникает возможность ухода КА в бесконечность по
любому направлению в плоскости ху. Исчезновение поверхностей, ограничивающих
пространственное движение, происходит при /г=0.
Точки Li (так называемые точки либрации) расположены в плоскости орбиты
Луны и находятся как особые точки поверхностей (6.5); значения hi находятся из
интеграла Якоби (6.4) при V=0 по координатам точек Li, а соответствующие
начальные скорости Vq находятся из того же интеграла при h=hi по координатам
заданной начальной точки.
Величина каждой критической начальной скорости Vl0 не зависит от ее
направления, хотя она изменяется от точки к точке. Однако на сфере, соответствующей
высоте 200 км над Землей, скорости Vq практически не зависят от положения
начальной точки.
1г Шг Lt
Рис. 6. 1. Сечение критических поверхностей
нулевой скорости для системы Земля—Луна
плоскостью лунной орбиты ху. При
скоростях, несколько больших минимальной,
проникновение КА к Луне возможно лишь
через горловину у точки L\
Рис. 6. 2. Связь геоцентрических
координат |ь х\\ с вращающимися
координатами £, т]. Начальное направление
оси \\ — от т2 к гп\
Расстояния Гг и Qi точек либрации соответственно от Земли и Луны,
критические энергии hi и критические скорости Vq приведены в табл. 6.1. Высота
начальной точки траектории принята равной 200 км. Рассчитанные для нее траектории
действительны и для больших начальных высот.
Таблица 6J
Критические точки, энергии и скорости
Точка либрации г/
L<i
и
0,8491539
1,1677237
0,9929263
0
Qi
0,1508461
0,1677237
1,9929263
1
h{
—1,594067
—1,585991
-1,506062
—1,494001
ед. 2ла/Т
10,60335
10,60411
10,61165
10,61278
Vq, КМ/С
10,84890
10,84968
10,85738
10,85854
Расстояния точек Lx и L2 от Луны равны соответственно 58 000 и 65 000 км, т. е.
обе точки находятся внутри сферы действия Луны довольно близко от ее границы.
Ниже приведены траектории полета с критическими начальными скоростями в не-
вращающейся системе координат /nigirji£i и во вращающейся &п£» ось 5 которой
постоянно проходит от гп2 к /ль ось у\ проходит через середину отрезка,
соединяющего гп\ и /л2. При этом (рис. 6. 2)
Z = Ci + 2x; т{ = 2у; С = 2г, (6.6)
где
С\ =
т\ — Ш2
= 0,9757478.
(6.7)
На рис. 6.3 во вращающейся системе координат £т)£ представлены первые 5
оборотов траектории полета с первой критической начальной скоростью Уо=Уо >направ-
178


ленной перпендикулярно начальному геоцентрическому радиусу г, в сторону вращения
Луны в плоскости ее орбиты. Траектория начинается на высоте 200 км (Время полета
здесь и далее отмечено вдоль кривых в сутках.)
В невращающейся геоцентрической системе координат /и^тьС, (ось h
направлена по оси I в момент /=0, см. рис. 6.2) виткам типа «восьмерка» (см. рис 6 3)
соответствуют кривые, обходящие Землю в том же направлении, что и Луна, и ложащиеся
почти на один и тот же эллипс с фокусом в центре Земли (см. рис. 6.4). Рост апогеи-
ного расстояния от витка к витку мал. Таким образом, для
достижения Луны с первой критической скоростью
^'необходимо накопление возмущений в течение сотен оборотов.
На рис. 6.5 представлены также траектории II—IV,
отличающиеся от рассмотренного на рис. 6.3 витка /
направлением начальной скорости в плоскости лунной орбиты.
Апогейное расстояние тем больше, чем больше величина
Ц тыс. кп
£%1,тыскм
Рис. 6. 3. Траектория полета КА с минимальной критической
начальной скоростью, вычисленная во вращающихся
координатах. Критическая кривая st не достигается в течение
месяца
Рис. 6.4. Траектория,
приведенная на рис.
6. 3, в геоцентрических
координатах.
Витки II—-IV
проходят между
показанными витками / и V.
Заметно увеличение
орбиты под действием
лунных возмущений
начальной скорости в невращающейся системе координат
Willi]i£i- Однако критическая поверхность S' на первом
обороте траектории вокруг Земли не достигается.
Из того факта, что в системе координат т^ц^ траектория полета с первой
критической скоростью близка к геоцентрическим эллипсам (см. рис. 6.4), следует, что
для таких траекторий влияние Луны мало существенно. Для достижения Луны на
первом обороте траектории полета существенна начальная скорость ~VX в
невращающейся системе координат т^ц^. Минимальная геоцентрическая начальная скорость
в случае непритягивающей Луны определяется условием достижения заданного апогей-
ного радиуса [23]
'* = <* (6.8)
на соответствующем эллипсе (см. рис. 6.6, кривая /) и находится с помощью
геоцентрического интеграла энергии
^<->b7-i}
(6.9)
где Vn(n) = 2\L\/ri (Vn — местная параболическая скорость), аэ — большая полуось
эллипса. Для высоты 200 км и вертикального направления начальной скорости величина
минимальной начальной скорости Vi = 10,90525 км/с. Эта величина примерно на 60—
50 м/с превышает геоцентрические скорости, отвечающие соответственно первой —
четвертой критическим скоростям (см. табл. 6.1).
С изменением направления начальной скорости от вертикального до
горизонтального, т. е. при изменении значения угла ал начальной скорости с радиусом от 0 до 90",
величина начальной скорости монотонно растет.
179


Условие (6.8), не учитывающее влияния Луны, дает минимальную скорость, не
обходимую для достижения Луны, достаточно точно.
Соответствующая траектория, найденная с учетом влияния Луны (см. рис. 6.6,
кривая //), проходит через Луну и при изменении V\ на ничтожную величину
~0,02 м/с проходит через центр Луны. Из рис. 6. 6 видно, что начальные данные для
попадания в Луну можно рассчитывать,
полностью пренебрегая влиянием Луны.
Следует отметить, что для попадания
в Луну недостаточно достигнуть удаления,
на котором притяжения Земли и Луны
равны (соответствующее значение AVi =
= Vi—Vn=—0,107 км/с). Это видно из
и рис. 6. 7.
Рис. 6.5. Влияние изменения направления
начальной скорости на траекторию (во
вращающихся координатах $, ц).
6.1. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ПОЛЕТА К ЛУНЕ
6.1.1. Общая характеристика траекторий сближения с Луной
Траекториями сближения называются траектории, начинающиеся у Земли и на
первом обороте вокруг нее входящие в сферу действия Луны. При анализе
траекторий сближения можно пренебрегать влиянием Луны вне ее сферы действия и
влиянием Земли внутри сферы действия Луны и считать, что движение по траектории
сближения вне сферы действия Луны происходит по геоцентрическому коническому
сечению, а внутри сферы действия — по селеноцентрическому коническому сечению.
В результате получается следующая приближенная методика расчета траекторий
сближения по участкам.
-»■ -»>
По начальному положению радиуса-вектора гг КА и скорости Vx с помощью
геоцентрических интегралов энергии и площадей рассчитывается участок движения к
сфере действия Луны.
В точке входа в сферу действия геоцентрические радиус г2 и скорость V2
(геоцентрические входные данные) пересчитываются в селеноцентрическую систему координат
и получаются селеноцентрические координаты и скорость
где Vj\ (t2) — скорость Луны в момент t2 входа КА в сферу ее действия.
При эллиптической начальной скорости, большей минимальной, вход КА в сферу
действия возможен как на восходящей ветви геоцентрической траектории, так и на
нисходящей ее ветви, а при параболической и гиперболических скоростях возможен
только на восходящей ветви. Движение внутри сферы действия всегда происходит по
гиперболе, независимо от начальных данных [2, 13, 14].
Участок движения в сфере действия Луны определяется селеноцентрическими
интегралами энергии и площадей, аналогичными геоцентрическим. В точке выхода из
-*■'
сферы действия по селеноцентрическим координатам и скорости Уз(?3) определяются
геоцентрические выходные координаты и скорость
?з=?;+?лсз).
где t3 — момент выхода из сферы действия. Участок движения от сферы действия Луны
опять рассчитывается с помощью геоцентрических интегралов энергии и площадей с
новыми значениями постоянных.
Скалярная разность
AVr1 = Vi-K„f
где Vn = Y^\lr\— геоцентрическая параболическая скорость КА на расстоянии Т\ от
центра Земли, называется избытком, начальной геоцентрической скорости над местной
параболической и является основным параметром, определяющим характеристики
траекторий сближения.
Начальная высота Н\ над земной поверхностью и геоцентрический радиус г2 точки
входа в сферу действия Луны, наоборот, являются мало существенными параметрами.
Характеристики множества траекторий сближения, полученные для значения #i=200km
и для среднего значения входного геоцентрического радиуса г2—а, представлены на
рис. 6.8 как функции AVi [1].
180


ц, ты с. км
i
£, тыс. км
Hf200км
а,- 30{
rVf—0,Q3lB км/с
Рис. 6. 6. Отличие попадающей траектории // от соответствующего
эллипса / при минимальной начальной скорости во вращающейся
0£т]£ и невращающейся т^ц^ системах координат
Т], тыс. км
Л к
rjj тыс. км
^ t ^ тыс. км
Н-200 км
«г & ( $&
&УГ-О,107кф\
\ *,7?У^ 5,17
^--^ *^*. 0,55
Рис. 6. 7. Возмущение Луной эллипса /, достигающего точки
равенства притяжения Земли и Луны, дает траекторию //, не
достигающую Луны на первом витке вокруг Земли
181


Величина V2 входной геоцентрической скорости не зависит от угла cci между
направлением начальной скорости и начальным радиусом. Угол а2 между вектором V2
входной геоцентрической скорости и входным геоцентрическим радиусом 72 зависит от
угла <zi. На рис. 6.8 функция <z2(AVi) приведена для значения а^ЭО3. При меньших
значениях ах соответствующая кривая начинается там же и проходит всюду под
приведенной на рис. 6.8 кривой a2(AVi). При а,—0 она должна приближаться к
сторонам угла, образованного вертикальной прямой AVi = AKi min и осью абсцисс. Здесь
AKimin —минимальное значение избытка AV,. При меньших значениях AVi апогейный
(наибольший) радиус траектории оказывается меньше радиуса лунной орбиты так что
на траектории не существует точки с радиусом г2 = а.
Кривые V2(AVi)9 аа(Л^) и V2(AVl), (^(AV,) отвечают соответственно
значениям r2-a+Q* и r2=a—Q* (где Q* — радиус сферы действия Луны). Для начальных
0,4АУгЦ-Уюкм/с
Рис. 6.8. Изменение траекторных характеристик
действия Луны в зависимости от изменения
V2 И
скорости над местной параболической: V2, V2 " v^, ^z »Ри..— ^~
входной геоцентрической скорости V2 и ее угла а2 со входным геоцентриче
радиусом; U+ и U~ — значения входной селеноцентрической скорости
углов (Xi = 90° и наклонений i\=0° и м = 180°
в точке входа в сферу
избытка AVi начальной
2, к2 п а2, а2 — крайние значения
угла а2 со входным геоцентрическим
г селенпнентпичегкой скопогти для
скоростей, не близких к минимальным, изменения вектора входной геоцентрической
скорости внутри интервала \r2—a|<Q* малы. Поэтому для таких начальных скоростей
полета и фиксированных величин п, Vu «i и наклонения i\ плоскости траектории поле
та к плоскости орбиты Луны приближенно можно считать, что величина и
направление входной геоцентрической скорости не зависят от величины геоцентрического
радиуса-вектора точки входа и имеют средние значения
V2 (r2) = V\ (а); а2 (г2) = а2 (а). (6. 10)
При этом положение точки входа полностью определяется величинами долготы
восходящего узла Q\ и долготы перигея coi геоцентрического участка траектории.
Скорость Луны Vj\ (t2) образует с входным геоцентрическим радиусом г2 угол,
близкий к прямому. В приближенном рассмотрении этот угол можно считать прямым,
а сам радиус г2 можно заменять его средним значением — вектором, идущим от
центра Земли до центра Луны. Тогда величина и направление входной селеноцентрической
скорости V2 будут примерно одними и теми же для всех рассматриваемых траекторий
сближения, независимо от значений Qi и coi. Для начальных скоростей, не близких к
минимальным, начальные участки селеноцентрических траекторий близки к
параллельным прямым, а вид этих траекторий в любой селеноцентрической плоскости,
содержащей направление V2, близок к изображенному на рис. 6.9. При этом точки входа
занимают около половины сферы действия Луны.
182


Угол а между входной V2 и выходной Vs селеноцентрическими скоростями с
общим фиксированным модулем U является монотонно убывающей функцией
прицельного расстояния d (расстояния от центра Луны до касательной к селеноцентрической
траектории в точке входа в сферу действия Луны). Функция a(d) для различных
значений U представлена на рис. 6.10. Величину d называют иногда прицельной
дальностью.
Для малых d расстояние Qmin траекторий от центра Луны является малой порядка
d2, причем при любых селеноцентрических скоростях на границе сферы действия. Для
попадания в Луну это весьма важно.
Характеристики траекторий сближения, касающихся поверхности Луны,
приведены на рис. 6.11. Для этих траекторий угол а,
расстояние d и селеноцентрический угол Ф', на
который поворачивается селеноцентрический
радиус-вектор КА за время движения внутри сферы
действия Луны, являются убывающими
функциями скорости U. Значения прицельной дально-
<х, град
150
Сфера
действия Луны
120
SO
60\
30\
1
1
\\
\
\ ^
1 \,
47
к
>и^
и*о,в
к м/с
£&*1
20000 40000 SO000 d,Kh
Рис. 6.9. Селеноцентрические
траектории в сфере действия Луны в одной из
плоскостей, параллельных вектору
входной селеноцентрической скорости и
проходящих через центр Луны. Точки входа
занимают примерно половину сферы
действия
Рис. 6. 10. Угол между касательными
к гиперболе во входной и выходной
точках сферы действия Луны как
функция расстояния d от центра
Луны до касательной к
селеноцентрической траектории в точке входа
сти, отвечающие касанию поверхности Луны, малы по сравнению с q* (менее 5400 км).
Величина угла а поворота направления движения Луной превышает 90° лишь для
скоростей U\ близких к минимальным, и с ростом U стремится к нулю.
С помощью геоцентрического интеграла площадей
r2V2sin a2=riV\ sin cti (6.11)
находится выражение величины £/=|V2l через начальные данные п, V\,i\,ai (рис.6. 12).
№ =-- У2Д + V\ — 2— V Vi cos ix sin <хь
П
(6.12)
где V2 не зависит от <хь
Значения U+ и U~, отвечающие углу <Zi = ±90° и соответственно наклонениям
**1=0° и /i = 180го, ограничивают снизу и сверху диапазон возможных значений U(iu a\).
Функции U+(AV\) и U-(AVi) приведены на рис. 6.8, из которого видно, что разность
U~—0+ невелика и быстро убывает с ростом AW
Для траекторий сближения имеет место малость трансверсальной компоненты
входной геоцентрической скорости
\V2J < —Kj^0,2 км/с
при AV"i<0,5 км/с. Пучок входных селеноцентрических скоростей (рис. 6.12) для любых
траекторий сближения заключен в довольно узком конусе (синус угла. ОА20\
образующей конуса с осью конуса не превышает 0,2). *
Время полета до орбиты Луны Tir2=t2—1\ представлено кривыми на рис. 6. 13,
вычисленными для начальной высоты 200 км. Продолжительность полета быстро
убывает с увеличением начальной скорости от ее минимального значения.
Приведенные на рис. 6.13 продолжительности T\i2 полета имеют место при
сближении на восходящей ветви траектории. При AV"i<0 сближение возможно и на
нисходящей ветви. Тогда соответствующие продолжительности полета до орбиты Луны с до-
183


Рис. 6.11. Характеристики
траекторий, проходящих у поверхности
Луны:
Ф'—селеноцентрический угол,
проходимый радиусом-вектором КА внутри
сферы действия; а—угол между
направлениями входной и выходной
селеноцентрических скоростей; U —
величина каждой из этих скоростей;
с?—расстояние от центра Луны до
касательной к селеноцентрической траектории
в точке входа
3 И, КМ/С
тьг>с
4W5
\\ 3W*
1 \rf
ПО3
T1i2,cym
5
4
7
*t «Г
OLrO°
1
9/7-
-0J
0,1
0,2 0,3
AVrVrVn,KMlC
Рис. 6. 12. Связь геоцентрической
V2 и селеноцентрической VY
входных скоростей в пространственной
задаче.
При изменении углов а2, 1\ получается
конус входных селеноцентрических
скоростей
Рис. 6. 13. Время 7у2 полета до орбиты
Луны в зависимости от AV\. Для
вертикального направления (ai=0) начальной
скорости оно наименьшее, для
горизонтального
ai=f)-
наибольшее.
184


статочной точностью получаются вычитанием рассмотренных выше значений Г,., из
периода
эллипса.
хг;5'
W
Т0 = 2ла112/У^ъ
где аэ = y [ - у- (2 + ^-)] - большая полуось
Времена полета" внутри сферы действия T2,3=h-t2 как функции d для
фиксированных значений селеноцентрической
скорости на границе сферы действия
представлены на рис. 6. 14.
Приближенно можно считать Т2,г постоянным
и зависящим только от U для
траекторий тесного сближения с Луной.
Возможность сближения с Луной
либо на восходящей, либо на
нисходящей ветви траектории порождает два
класса решений.
Наибольший интерес представляет
класс траекторий сближения на
восходящей ветви. Этому классу
соответствует меньшее влияние разброса
начальных данных (особенно по скорости) и
меньшее время полета. В дальнейшем
рассматривается только этот класс.
Учет влияния Луны мало
существен при определении начальных данных
траекторий попадания на восходящей
ветви и далее при выделении множества
hum.
20]
\и)Т2
ЖЕ
Г/Г ~
Г 1
vspad
U=0,8km/c
11=1,023
U=1,7
и=3,75кп/
с
Х^
"N
^
О 20000 40000 60000 d,KM
Рис. 6. 14. Времена полета в сфере
действия Луны.
Заметно быстрое убывание времени полета с
ростом величины U селеноцентрической скорости
ветви и далее при имдслспип мпитаюа
номинальных траекторий попадания (т. е. траекторий, проходящих через центр Луны)
притяжением Луны пренебрегается.
6.1.2. Некоторые особенности пространственной задачи о попадании в Луну
Относительное расположение Луны и точки старта непрерывно меняется с
течением времени.
Плоскость #' лунной орбиты образует с плоскостью Я эклиптики (рис. 6.15)
постоянный угол i«5°9', а линия пересечения
этих плоскостей (линия узлов) вращается
в плоскости эклиптики по ходу часовой стрелки
(если смотреть с северного полюса), совершая
полный оборот за 18,6 года. Определить
угол 0 между плоскостями экватора Е и
орбиты Луны П' можно по формуле
cos 0 = cos eq cos ' — sin e0 s*n * cos 2» (6- 13)
где Q — долгота восходящего узла лунной
орбиты, отсчитываемая от направления на
точку весеннего равноденствия у; ео~23°27'—
наклонение эклиптики к экватору Е.
Величина угла 0(Q) колеблется с
периодом 18,6 года между минимумом 0(180°) =
= е0—*=18°18' и максимумом 0(Op)=eo4-t=
=28°36'. Так как угол 0 изменяется медленно,
можно пренебрегать его переменностью за
время полета по рассматриваемым
траекториям. Для расчетов здесь принято 6=»18°20'.
Таким образом, Луна движется в
плоскости, наклоненной к экватору на постоянный
угол 0, совершая полный оборот за 27,32
суток, а в это время начальная точка пассивного
участка ракеты при полете без доразгона
движется параллельно экватору на широте t|)0.
Угол между геоцентрическим радиусом начальной точки и плоскостью орбиты Луны
при этом изменяется в пределах от а0=^0—0 До Ро=,Фо+0.
В дальнейшем считается а0>0. Для расчетов здесь используется широта «
долгота космодрома Байконур *:
г|>о = 47°, Яо=65°.
Рис. 6. 15. Положение плоскости П'
лунной орбиты относительно
плоскостей экватора Е и эклиптики П
Сообщение ТАСС—«Правда», № 128 (11068), 1961, 1 июня.
185


Рис. 6. 16. Положение совокупности эллиптических
траекторий различных азимутов относительно лунной орбиты.
Начальная геоцентрическая скорость V\ — одна и та же пс
величине и горизонтальна
При запуске КА к Луне с использованием промежуточной орбиты ИСЗ, т. е. с
доразгоном, ракета-носитель ИСЗ стартует в тот момент, когда плоскость траектории
выведения, вращаясь вместе с Землей, проходит через заранее выбранную (так
называемую упрежденную) точку встречи на орбите Луны. В результате плоскость орбиты
ИСЗ будет содержать упрежденную точку, и доразгон с орбиты ИСЗ производится в
этой плоскости до такой скорости, чтобы КА и Луна одновременно приходили в
упрежденную точку. Это условие всегда можно удовлетворить в течение полного оборота
ИСЗ, а число полных оборотов можно выбрать так, чтобы энергетические затраты были
близки к минимальным. С такими энергетическими затратами можно обеспечить
встречу с Луной в любой точке ее орбиты, если наклонение орбиты ИСЗ не меньше в.
Соответствующая траектория близка к эллипсу Хоманна. Величина вектора начальной
скорости близка к минимальной, а его направление близко к горизонтальному.
(Обычно начальную скорость
несколько увеличивают сверх
минимальной, чтобы
уменьшить влияние разброса
начальных данных.)
При запуске КА к
Луне без доразгона из
начальной точки с широтой я|?о>«о
энергетические затраты,
вообще говоря, превосходят
минимальные, а вектор
начальной скорости должен
возвышаться над
горизонтом.
Пусть пассивный
участок полета КА начинается
под углом 0i к горизонту
с начальной скоростью V\ на
высоте Hi (9i=90°—он).
Длина активного участка
здесь считается равной
нулю.
Траектории с
эллиптическими начальными
скоростями, направленными под углом 9i=0, т. е. параллельно плоскости горизонта в точке
старта (рис. 6. 16), в случае, когда V\ близка Уп, будут сильно вытянуты вдоль
геоцентрического радиуса точки встречи. Для этих траекторий угол ф между большой осью
и радиусом г2, равным расстоянию до Луны, составляет не более 15°.
Минимальный угол между направлением начального геоцентрического радиуса и
плоскостью орбиты Луны не может быть меньше а0 (см. рис. 6.16); примерно по этому
радиусу направлена большая ось конического сечения. При эллиптических начальных
скоростях горизонтального направления КА пересекает плоскость орбиты Луны раньше,
чем удаляется на расстояние Земля — Луна, и попадание в Луну оказывается
невозможным.
Причина этого обстоятельства заключается в том, что при малых значениях-
AVi и малых углах 0i наклона вектора начальной скорости к местному горизонту
траектория КА слишком сильно искривляется в результате притяжения Земли.
Уменьшить искривление траектории, т. е. уменьшить угол <J>i между начальным
радиусом г\ и радиусом |r2|=a, можно либо увеличением начальной скорости, либо
увеличением угла 0i наклона вектора начальной скорости к местному горизонту. Оба
эти пути связаны с дополнительными энергетическими потерями.
Пусть орбита Луны начинает достигаться при угле Ф^Ф*. С увеличением
значений V\ и 0i, т. е. с убыванием угла Ф1 от значения Ф* на орбите Луны появляется
(см. рис. 6. 16) все возрастающий интервал с серединой в точке'Л2*. на котором Луна
может быть достигнута. Назовем этот интервал достижимым. Когда угловая величина
этого интервала достигает значения геоцентрического угла, проходимого Луной за
одни сутки (около 13°,2), то в каждом сидерическом месяце появляются по крайней мере
одни сутки, в которые возможен запуск КА по траектории попадания в Луну.
С дальнейшим увеличением значений Vu 9i, т. е. с убыванием угла Ф1 до
значения утла Ф* = я—Ро, достижимый интервал возрастает до полного круга и старт к
Луне становится возможным в любые сутки месяца.
Угол Ф1 между начальным и конечным геоцентрическими радиусами пассивного
участка по аналогии со случаем наземной стрельбы называется пассивной угловой
сальностью полета.
Пассивная угловая дальность Ф1 полета зависит не только от скорости V\ и угла
0ь но и от высоты #i конца активного участка. Однако это влияние невелико. Ниже
в расчетах используются значения высоты #1=300 и 1000 км в предположении что
--0,1км/с < А V, <0,5 км/с [1].
186


Для восходящих ветвей при любых начальных скоростях угол Oj по известным
величинам AV\, 9i, rx и г2 находится однозначно. Положим
Aft
-*£('^-'+«-(£
Из теории конических сечений имеем
рг = 2ripi cos2 Gf, ai =
2Aft
ax
cos % = — ( — — 1 ) ; cos $2 = — (— — 1 ) ;
ex \ n J ег \r2 J
Фт = $9 — \
(6.14)
(6. 15)
Здесь Vi= Vn+AV\ — начальная скорость; pi, a\, e\ — соответственно параметр,
большая полуось и эксцентриситет конического сечения; b\ и Ьт. — истинные аномалии
начала и конца траектории.
Зависимость Ф\(АУ\) представлена на рис. 6.17 в виде сплошных кривых для
#1 = 300 км и пунктирных—для #1 = 1000 км при фиксированных углах 0i = 0°, 5е,..., 40'.
Зависимость величины pi= (Vi/iVn)2 от угла 0j при постоянных значениях угловой
дальности Oi можно получить, пользуясь аналитической формулой
COS'
Aft-
(lL"h6l)~VC°S261
V COS2 6j ■
1 = 1+ Aft,
cos (Ф] 4- 61) cos 61
(6. 16)
где v = /*i/r2~0,018 (малая величина) —отношение начального радиуса к конечному.
Задаваясь фиксированными значениями угла Фь найдем функции
и построим кривые Ф1 (Pi, 0i) =const, которые представлены для начальной высоты
#1 = 1000 км на рис. 6.18; значения угла Oi отмечены у кривых цифрами. Для
высоты #i = 300 км кривые получаются из представленных соответствующим сдвигом их по
оси ординат.
Формулы, позволяющие для разных углов 0i определить величины минимальных
начальных скоростей, необходимых для получения заданных апогейных радиусов г2=
= |/vM (равных расстоянию от Земли до Луны, рис. 6.19), имеют вид
а -
1 r\ — rjSin2ai
Aftmin = ftmin
Aftmin= —V
2 Г2 — r\ sin2ai
2a
1 — v sin2ai
Ф:
sin
max
1 — v2 sin2ai' Г2 '
(1 —v) sin (Xi
V 1—v(2 —v) sin2ai
(6. 17)
(6.18)
(6. 19)
Здесь 2a=\FQF\ —большая ось эллипса;
Фтах — максимальный угол <Di, достижимый при заданном угле 0ь
Величина AV\ тщ (0i) есть малая того же порядка, что и величина -~r~ v, и ее
относительное изменение есть также величина малая, одного порядка с величиной
v cos20i.
Имеет место неравенство:
• фтах . л л я о л
sin —— < sin ai при 0 < ai < -—, т. е. —- > Ьг > 0.
Для неминимальной скорости заданный радиус г2 конического сечения будет
достигаться при угле <Di«Dmax (угол Фтах соответствует минимальной скорости). Поэтому
всегда справедливо неравенство
sin — < sin a1#
(6.20)
187


Ф„град
W WO
\\
|\\ V
IV "\.
L \
\\l20
L v4
кем?
\%?P
V4.
Vv
^"V^
>^.
^^
"*4*^s^»
"N"^^*'^,
^"•—N^,^^
V
**^^""^2**-
"^^^
:=Г^=^
^=^-
rt::^:::^-:
8,-r
-oj
^0 0,1 0,2 0,5 0,Ш„кп/е
Рис. 6. 17. Зависимость пассивной угловой
дальности Ф\ полета к Луне от избытка
AV'i начальной скорости над местной
параболической при различных значениях угла
возвышения 0i
105
№
103
1,02
W
1.00
0.99\
п
\
Nfc«744
1
\
W
1
W
\
\
\
W
\
Ц05
\\
V
10
30 $„град
Рис. 6. 18. Зависимость квадрата i>2 = |3j
отношения начальной скорости к местной
параболической от начального угла 0i
возвышения при различных фиксированных
угловых дальностях Oi пассивного участка
траектории полета к Луне
Рис. 6. 19. Траектория минимальной
энергии, необходимой для
достижения заданного радиуса г2 при
заданных Г\ и ai
188


^^1^Шк
Знак равенства для минимальных скоростей имеет место при ai=0 и (Х1=я/2, а
для больших скоростей — только при ai=0 (01 = я/2). Неравенство (6.20) можно
применять для оценки максимально достижимых углов Фь
Коническое сечение с фиксированными значениями ru r2, AVi и 0Ь т. е. с
фиксированной угловой дальностью Фь встречает Луну не в точке Л2, где Луна находилась
в момент старта (рис. 6.20), а в упрежденной точке Л2, в которую Луна переместится
за время полета КА по траектории Л Иг. Время полета T\t2 указанными выше данными
П, r2, AV\, 0i определяется однозначно. При фиксированных значениях этих данных
упрежденная точка движется с постоянной скоростью впереди Луны на угловом
расстоянии (dT\t2 от нее, где
со — угловая скорость
обращения Луны.
Геометрическое место
точек, из которых возможно
попадание в Луну с
данными п, r2, AVi, Эь
составляет окружность
радиуса r\ sin Фь являющуюся
линией пересечения
геоцентрической сферы радиуса г\
с прямым круговым
конусом, ось которого постоянно
соединяет центр Земли гп\
с упрежденной точкой Л2,
а образующие составляют
с этой осью угол Фь
Плоскости всех
траекторий с заданными
значениями величин п, r2, AVb 0i
проходят через начальную точку А\, упрежденную точку Л2 и центр Земли гп\ и
пересекаются с плоскостью орбиты Луны по прямой щА2. Примем плоскость орбиты Луны за
основную при определении кеплеровых элементов траекторий полета к Луне. Тогда
прямая гп\А2 будет являться линией узлов для всех попадающих траекторий, а
положение ее можно определять долготой £2i узла, противоположного упрежденной точке.
При этом долготу узла будем отсчитывать от того направления х линии пересечения
плоскости лунной орбиты с экватором, где Луна переходит из южного полушария в
северное. Согласно определению угла Qi наклонение i\ плоскости траектории к основной
плоскости будем считать изменяющимся в диапазоне от —180° до -+-180°.
Пусть и — аргумент широты начальной точки. Из рис. 6.20 «=180°—Фь
Окружность начальных точек траекторий с угловой дальностью Ф1 будем кратко называть
и-кругом.
Начальные точки попадающих траекторий, определяемых параметрами гь &V\, 0Ь
г|)0, должны быть общими точками для «-круга и г|)0-параллели. Таких точек может быть
две (пересечение кругов), одна (касание кругов) и ни одной (круги не имеют общих
точек).
С течением времени благодаря месячному движению Луны центр «-круга
равномерно движется на сфере по большому кругу основной плоскости, а параллель точки
старта не меняет своего положения в абсолютном пространстве (см. рис. 6.20). При
«<а0, где a0=i|)o—в, т. е. при достаточно больших углах Ф,ь г|)о-параллель и «-круг
не имеют общих точек, а когда аргумент широты и заключен в интервале ао<«<Ро,
где Ро=,фо + в, то на г|?<ппараллели появляется целый интервал, внутри которого При
различных углах Qi, достаточно близких к 90°, всюду могут находиться точки
пересечения г|)0-параллели с «-кругом. Назовем этот интервал стартовым интервалом. При
и—*а0 этот интервал стягивается к точке А , а при и—►Ро он увеличивается до
полной \|)о-параллели, так что концы его сходятся к точке Л*, противоположной точке Л
(см. рис. 6.20),
Рис. 6. 20. Геоцентрические траектории движения точки
старта, КА и Луны
6.1.3. Характеристики траекторий попадания в Луну с заданной широты
Попадание в Луну с заданной широты г|?о при «>а практически возможно лишь
тогда, когда достижимый интервал на орбите Луны настолько велик, что упрежденная
точка проходит его по крайней мере за одни звездные сутки. В этом случае в
сидерическом месяце всегда найдутся такие сутки, в течение которых точка старта в суточном
движении пройдет через одну или две общие точки г|?о-^параллели и «-круга, и будет
возможно попадание с заданными начальными данными п, V\, Эь Если же
упрежденная точка проходит достижимый интервал на орбите Луны за двое суток, то в каждые
из этих суток найдется момент, в который точка старта проходит через общую точку
■фо-параллели и «-круга и возможно попадание и т. д.
189


Наконец, при Ф!—^—Ро достижимый и стартовый интервалы составляют 360°
каждый и попадание возможно каждые сутки. Из схемы на рис. 6.21 видно как при
значениях а0<«<р0 на неподвижном в пространстве хуг стартовом интервале
принадлежащем гро-параллели, при изменении угла Q{ возникают и движутся точки Л' и А"
общие с «-кругом. Крайние точки стартового интервала А'к и Л"к являются точками
пересечения гро-параллели с малым кругом, параллельным основной плоскости и постоянно
касающимся «-круга.
Рис. 6.21. Схема крайних и промежуточных положений «-круга
равных угловых дальностей полета относительно гро-параллели
Для расчета движения точек Л' и А" при увеличении угла Qi имеем следующие
формулы (рис. 6.22):
cos &!
sin Xo =
cos Х2 =
sin m
sin Qi — sin в cos m
(6.21)
cos о s=
(6.22)
(6.23)
cos в sin m '
cos m = sin © sin Qj;
cos a — cos m sin фо
sin m cos фо '
X'=A2 — а, Х" = А2-М,
где Я2 —угловое расстояние между меридианами оси у и линии узла Qb Величина
ДХмс^Х"—Х'=2а есть угловое расстояние между меридианами точек Аг и А\.
Зависимости Я' и АЛ от Q{ для случая, когда <£i = 150°, т. е. «=30°, представлены
на рис. 6.23 кривыми M\Nh По величине A^MC(^i) можно получить представление о
межстартовом времени, т. е. о времени, в течение которого точка старта Лс проходит
в суточном движении интервал Аг А\.
Для получения межстартового времени в часах достаточно разделить АЯмс4на 15°
(пренебрегая изменением Qi со временем). Учет зависимости Q\(t) изменит
межстартовое время на величину отношения суток к месяцу, т. е. на 4% Для значений Qu не
близких кЙ* и Q* (вблизи этих значений изменения могут быть больше, см. рис. 6.21).
Диапазон (&*, £*) есть величина поражаемого интервала, а диапазон (Х^, Х^)
между ординатами точек М2 и N2, т. е. между экстремальными значениями функций У (&х)
и V'(Qi), — величина стартового интервала. Интервал между ординатами точек Mi
и TVj составляет основную часть стартового интервала. Внутри этого интервала точки
Аг и Аг с изменением Qi движутся в одном направлении, а вне его — в разных
направлениях.
Для расчета поражаемого интервала при различных угловых дальностях полета Ф1
из условия касания найдем (см. рис. 6.22)
a = 0; и = гс—-Ф^, пг = 90° — ф0 -f и;
sin (ф0 — и)
sin £1кас =
sin 8
AQi=2 ("i"—QiKac)'
(6.24)
где Д&! — величина поражаемого интервала.
190


Для расчета величины стартового интервала АХС как функции <Di имеем формулы
(см. рис. 6.22) (в случае, когда точка Аг совпадает с точкой Лк):
cos в sin ф0 — sin и
cos Хк = ■
sin в cos ф0
Хс = 2Х'
(6.25)
(6. 26)
Приведем формулу для расчета максимальной величины (А^Мс)тах межстарто-
вого интервала. Она достигается при Qi=90°. Тогда Я=0, т=Ш—О и
cos и — sin в sin фр 07
cosamax = ; ; (.o.z/j
(AXMC)it
cos © cos ф0
(6. 28)
Рис. 6.22. Сферические углы для расчета рис. 6.23. Изменение границ А/ и
параметров траектории полета к Луне \« стартового интервала и
угловой величины ДЯмс межстартового
интервала с изменением долготы
узла Qj траектории при
фиксированной угловой дальности полета
Этот угол, так же как и угол АХС, можно измерять не только в градусах, но и в
часах. Аналогично достижимый интервал можно измерить не только в градусах, но и в
часах (или в сутках). В таких мерах и приведены дополнительные шкалы на рис. 6.24,
где представлены функции AQi, АЯС, (АХмс)тах для значений (Di угловой дальности
пассивного участка из диапазона я—р0<Ф1<я—а0 (где Ф\ = п—«), соответствующего
изменению углов AQi и АХС от нуля до 360°. Значения функций для диапазона
a0<Oi<p0 получаются из функций, представленных на рис. 6.24 зеркальным
отображением их относительно прямой <bi=90P. Для диапазона p0<®i<Jt—(30 имеем AQj =
=A^c = 360°. С уменьшением угла (Di оба интервала (межстартовый и достижимый)
суживаются, при <Di = a0 они вырождаются в точки и при <Di<a0 отсутствуют.
Определим, наконец, азимуты и наклонения для точек А1 и Аг. Пусть угол a.v
(см. рис. 6.22) ^отсчитывается от направления на север против хода часовой стрелки,
тогда азимут aN = — aN и
cos m — sin фо cos a
cos \aN\ = —
sin \a,r\ =
TV I
cos фо sin и
sin m sin a
sin и
(6.29)
(6. 30)
Максимальное значение азимута |адг| достигается при fii=90°, причем имеем
— sin в + cos и sin фо
лг'тах sin и cos фо
cos Щп
(6.31)
191


Функции aN(Qi) и aN(Q{) при <Di = 150° графически представлены на
рис. 6.25. Изменение максимального азимута в зависимости от угла Ф\=л—и
представлено на ряс. 6.26. Для средних широт азимут (ам)тах(Ф*) близок к 9СР (Ф*=я—р0)-
град(ч)
ЗВВЩ
271!(Щ
180(12)
30(B)
О
ДА,
mm
ДАС
Дй,
1
\
VJ
Л2„
суш
\П,3
10
10
5
Ф* ПО
130
ПО , п-и,n-u,3ija3
Рис. 6.24. Изменение величин стартового интервала А^с,
максимального межстартового интервала (АЯмс)тах и
поражаемого интервала AQi с изменением угловой дальности
полета (или ее дополнения до 360°)
Для определения наклонения h плоскости траектории полета к плоскости орбиты
Луны имеем формулы (см. рис. 6.22):
cos в
sin т —
cos т :=
sin s = ■
sin m
sin aN cos ф0
sin m
sin в— cos m sin Q.\
sin m cos &i
sin ф0 — cos и cos m
cos s = •
sin и sin m
Для точек Аг и Аг имеем соответственно
lN = Т + 5;
lN
Т — S.
(6. 32)
(6.33)
(6.34)
aN,aS)epad
'Я щах,
wad
НО п-й,Т1-й,град
Рис. 6.25. Зависимость азимута Рис. 6.26. Зависимость максимального ази-
запуска от долготы узла Qi при мута запуска от угловой дальности полета
фиксированной угловой дальности
полета
Экстремум величины наклонения достигается при тех значениях Q\, при которых
точки Аг и Ai проходят через точку Л* (см. рис. 6.22). Тогда имеем
Sin(^)min:
sin (фо — в)
sin и
(6.35)
192


На рис. 6.27 показано изменение наклонений iN и i'N в зависимости от долготы
узла Qi. На рис. 6.25 и 6.27 точки М\, Nh M2, N2 имеют тот же смысл, что и на
рис. 6.23.
120
\игоад
а»)
min'tts'inin
/
7П
;*J
130 140 u-u,ii-v,zpad
Рис. 6.28. Зависимость экстремальных
значений наклонения i\ плоскости траектории
полета к плоскости лунной орбиты от
угловой дальности полета (или от ее
дополнения до 360°)
Кривая зависимости минимальных наклонений (ijv)mm от угловой дальности
пассивного участка Ф] = я—и представлена на рис. 6.28.
6.1.4. Учет протяженности активного участка
В задаче о попадании в Луну без доразгона назовем активной угловой дальностью
Фа геоцентрический угол между радиусами начальной и конечной точек активного
участка.
На абсолютную геоцентрическую скорость в конце активного участка несколько
влияет скорость, которую КА имел в точке старта, вращаясь в суточном движении вместе
с земной поверхностью. Учитывая малость этой скорости по сравнению с полной
характеристической скоростью, сообщаемой двигателями КА, можно считать, что
вращающаяся вместе с Землей по гро-параллели точка старта является центром Фъ-круга на
Земле, т. е. центром окружности заданного углового радиуса Фа, над любой точкой
которой на заданной высоте Н\ и под заданным углом 0i к местному горизонту в любой
момент времени может быть получена заданная величина скорости V\.
Пассивная угловая дальность, т. е. геоцентрический угол между начальной и
конечной точками пассивного участка траектории, по-прежнему определяется однозначно
величинами Hi, Vu 0j и попадающие траектории с параметрами Ни V\, Э1
по-прежнему располагаются на круге радиуса и\ = п—Ф1 с центром в точке fli.
Для осуществления попадания необходимо, чтобы конец Л\ активного участка
(рис. 6.29) находился на и\-круге и чтобы радиус Фа округа принадлежал плоскости,
проходящей через линию узлов и точку Л\у т. е. продолжал бы радиус «i-круга.
Последнее условие означает, что Hi-круг и Фа-круг должны .внутренним образом касаться
друг друга в точке Ль и что полная угловая дальность Ф, отсчитываемая от точки
старта, выражается суммой Ф = Ф1 + Фа, т. е. и\ = и~\-Ф&, где «=180°—Ф, «i = 180°—Фь
Возможны лишь два различных случая внутреннего касания: случай I, когда
Щ—Фа>а0, и случай II, когда Фа—щ>а0 (рис. 6.29 и 6.30).
Наличие активного участка в случае I усложняет достижение Луны, приводя к
замене прежнего крайнего значения Ф1 меньшим значением Ф1—Фа.
Ограничения по времени старта определяются, как и ранее, величиной аргумента и
широты начальной точки А\ (см. рис. 6.29) и поэтому характеризуются прежними
зависимостями величин АЯС, AQi, (АЯМс)тах от параметра и или от полной угловой
дальности Ф=я—и (см. рис. 6.24), хотя соответствующие зависимости этих же величин
от параметров гь Vu Q\ будут уже иными. Аналогично сохраняются зависимости
максимальных значений азимута и наклонения от величины я—и (см. рис. 6.26 и 6.28).
Для реализации случая II необходимо, чтобы было Фа—Щ^а0, т. е. активная
угловая дальность должна превосходить значение а0=,фо—© (см. рис. 6.30). Для
увеличения возможностей попадания в Луну в случае II желательно уменьшать начальную
скорость до минимальной, а угол Gi ее наклона к горизонту желательно уменьшать до
нуля (при этом угол Ф1 растет до 180*, а угол и\ убывает до нуля). Совокупность
направлений полета в случае II в целом противоположна совокупности направлений в
случае I.
60 75 90 W5 Q19gpad
Рис. 6.27. Зависимость
наклонения i\ плоскости траектории
полета к плоскости лунной орбиты
от долготы узла Qi
7 3669
193


Ограничения по времени старта в случае II определяются кругом радиуса и —
= Фа—щ (кратко н-кругом), аналогично тому, как _в случае I они определялись
«-кругом. Согласно рис. 6.30 полная угловая дальность Ф = я+и=Ф1 + Фа, т. е. выражается
прежней формулой через Фа и Фь При этом по-прежнему зависимость пассивной
угловой дальности Ф] = я—щ от 0i и Pi характеризуется рис. 6.18.
Рис. 6.29. Схема внутреннего касания Фа-круга и «i-круга при и\—Фа>а0 для
различных последовательных положений Qi упрежденной точки
Рис. 6.30. Схема внутреннего касания Фа-круга и Mi-круга
при Фа—«i>a0 для различных последовательных положений
Qi упрежденной точки
В случае II (см, рис. 6.30) точки касания £,, и £* определяют границы А* и А*
стартового интервала, а крайние точки £к и £к являются границами достижимого
интервала.
Если точка Л\ не совпадает с точкой Л* или Л#, то существует два момента
времени, в которые возможно касание: первый отвечает юго-восточному направлению
запуска (точка Ai), а второй — юго-западному (точка Аг ). Назовем интервал АХМС
между этими моментами межстартовым, по аналогии со случаем I, и максимум его,
достигающийся при Qi = 0', обозначим (АЯмс)тах.
При «=const характеристики случая II находятся аналогично характеристикам
случая I при и—const [3]. Обозначим символами ^ и £2 упрежденные положения линии
узлов, при которых возможно попадание в Луну из точки старта А\ (рис. 6.31),
определяемой полярным углом X, отсчитываемым от меридиана точки Л*.*
Для и = Ж функции A/(Qi), Я"(&1), обратные функции &[ (к) и Qj (X), а также
АЯмс представлены на рис. 6.23. Эти зависимости в случаях I и II совпадают. Вообще
характеристики ^случая II изображаются теми же кривыми, что и в случае I, только
с аргументом и вместо и [3]. На рис. 6.25—6. 28 они отмечены индексом S (вместо
индекса N). _
Зависимости рассмотренных характеристик от аргумента широты и (или и)
являются более универсальными, чем зависимости от полной угловой дальности Ф, в том
смысле, что пригодны при любых значениях активной угловой дальности Фа, причем
как в случае I, так и в случае II. Далее рассматривается лишь случай I.
194


6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ
ТРАЕКТОРИЙ ПОПАДАНИЯ В ЛУНУ
6.2.1. Определение энергетических затрат, необходимых для реализации
заданных начальных данных
Под заданными начальными данными понимаются определенные комбинации
угла 0i возвышения начальной скорости и квадрат Pi отношения ее величины к
величине местной параболической скорости при заданном азимуте траектории. Энергетические
затраты измеряются величиной Ux характеристической скорости КА, т. е. скорости,
которую приобрел бы КА с теми же затратами топлива при отсутствии внешних сил.
Из энергетических соображений следует, что величина Ux минимальных затрат
возрастает с ростом Pi при 6j = const и с ростом 0i(O^0i^:rc/2) при Pi = const.
Соединяя на плоскости 0iPi точки с одинаковыми минимальными энергетическими затратами
Ux (рис. 6.32), получим кривые оптимальных комбинаций 0i, Pi. Точки каждой кривой
при любом значении абсциссы 0i отвечают минимальным затратам £/х, необходимым
для достижения ординаты рь
Строя функции Pi (Qi)\(j . const Для сеРии различных значений UXy получим
семейство оптимальных кривых (/х = (/х(9|, Pi), представляющих собой функцию двух
переменных и изображенных на рис. 6.32 для 1—e<Pi<Cl+3e (величина е«0,02 является
малой порядка 1—Pi mm; Pi min соответствует случаю достижения лунной орбиты с
минимальной скоростью).
Радиус ri=r0 + #i (где г0 — радиус Земли) и угловая дальность Фа активного
участка, отвечающие оптимальным комбинациям 0i и Рь не являются произвольными, а
образуют однопараметрические семейства функций от вь На рис. 6.33 даны границы одно-
параметрического пучка оптимальных кривых ri(^i)L _ ; там же нанеесны границы
другого однопараметричеокого пучка—пучка оптимальных кривых Фа (6i)|p,-const. ^T0~
рой пучок получается (аналогично первому) по тем траекториям, которые оказались
наивыгоднейшими в смысле величины характеристической скорости Ux. Из характера
изменения Г\ и Фа с ростом 0i следует, что чем по более крутой траектории
происходит разгон, тем на меньших дальностях и больших высотах должен кончиться активный
участок.
Пучок кривых г\{Ь{)\ _ имеет максимальную ширину при 0i = ji/2 и «улз-
I р j —const
вую — при 01 = 0; пучок кривых Фа (^i)|s = t» наоборот, сужается до нуля при
0i = я/2 и максимально расширяется при 0i=0. Кривые обоих пучков в точке
наибольшей ширины пучка имеют горизонтальные касательные.
Сказанное выше одинаково применимо к траекториям выведения на орбиту ИСЗ
{с которой впоследствии может начинаться доразгон для полета к Луне) и на орбиту
полета к Луне без доразгона. В последнем случае зависимость Фа и Г\ от Pi менее
существенна, чем от 0i (в рассматриваемом малом диапазоне 1—e<Pi<l + 3e).
В приближенных расчетах можно пренебрегать зависимостью Фа и Г\ от Pi, a
иногда и зависимостью их от 0i — при достаточном сужении диапазона по 0ь
6.2.2. Характеристики траекторий достижения Луны
с поверхности Земли при фиксированном наклонении плоскости траектории
к плоскости экватора
Рассмотрим полную угловую дальность и другие характеристики попадающей в
Луну траектории, начинающейся в фиксированной точке В0 (рис. 6.34). Положение
плоскости траектории характеризуется ее наклонением i\ к плоскости лунной орбиты.
При фиксированном наклонении U плоскости траектории к экватору траектория,
начинающаяся в точке Во, будет иметь фиксированный азимут а 0.
Долготу узла будем определять углом Qy, отсчитываемым * от середины
достижимого интервала (т. е. от оси у на рис. 6.22) в сторону оси х. Соответственно вместо
прежних осей х и у будут использоваться геоцентрическая ось X, направленная в точку,
противоположную середине достижимого интервала, и ось У', направленная в
нисходящий относительно экватора узел лунной орбиты (см. рис. 6.20 и 6.34), так что
Х = у; У = — х\ Z= z ;
sin £2у =-. — cos Qlf cos &y = sin Qj.
i\ = Л = т — s;
cos m sin фо + cos s cos a0 sin m cos ф0
COS Uq = ' .
1 — sin 5 sin a0 sin m cos ф0
(6. 36)
(6. 37)
(формулы для m, s были даны выше)
* Индекс «у» означает, что параметр соответствует упрежденной точке траектории
полета.
7*
195


Рис. 6.31. Сферические углы для расчета
траектории полета к Луне в случае
Рис. 6. 32. Зависимость
между параметрами Pi и 0i при
различных постоянных
значениях характеристической
скорости Ux
Рис. 6.33. Примерный вид
зависимостей геоцентрического радиуса
г\ и угловой дальности" Фа
активного участка от квадрата (pi = i>2)
отношения начальной скорости
к местной параболической и от
угла 0i возвышения вектора
начальной скорости над местным
горизонтом
Рис. 6.34. Трасса КА (радиальная
проекция траектории полета на земную
поверхность) на невращающейся сфере при
северовосточном направлении запуска
196


Величины Ыо(&у) и ii(^y) для двух азимутов (ао = 35° и ао^бО0) представлены на
рис. 6.35. Имеем
«0(Qy)|e0_60o>MQy)|eo«35<> •
поскольку с ростом азимута полные угловые дальности все сильнее отличаются от
максимальных.
150 200
Я у, град
Рис. 6. 35. Зависимость аргументов широты и0, « и
наклонений is, i\ от долготы Qy упрежденной точки
При фиксированном азимуте а0 траектории для каждого положения Qy
упрежденной точки величина угла Я между меридианами оси X и точки старта не может быть
произвольной. Зависимость ^(Qy) находится из рис. 6.34 (или 6.22) по формулам
(6.21) — (6.23) (рис. 6.36). Функция Я(&у) всюду монотонно возрастает, причем почти
равномерно. Наличие зависимости i(QY) означает, что при фиксированном азимуте для
соударения с Луной в заданный момент вре- t
мени, т. е. при заданном положении Qy Луны А,град/б,град
на ее орбите, необходимо вполне определенное
положение начальной точки в абсолютном
пространстве в момент старта. Благодаря
суточному вращению Земли такие положения
возникают один раз в каждые сутки, когда
плоскость направления полета проходит через
заданную упрежденную точку Qy.
Соответствующий момент старта определяется
однозначно на каждые звездные сутки, в связи
с чем возможные времена полета должны
отличаться точно на звездные сутки. Это
относится и к старту с орбиты ИСЗ.
--
75
50
10
_0_
30
25
20/
1L
"of35°
1
<5>
Яу
~ /
,гр\
-50-50-40-30,
Рис. 6. 36. Зависимость угла X между
меридианами оси X и точки старта
и угла а между меридианами узла и
точки старта от долготы Qy упреж*
денной точки
L.
-10 0 10 20 30 4Я 50 50
Г25\
Г50
10
6.2.3. Определение оптимальных начальных данных при фиксированном наклонении
плоскости траектории к плоскости экватора и отсутствии доразгона
Определим начальные данные, отвечающие минимуму затрат характеристической
скорости Ux при запуске КА с фиксированной широты г|?о и при фиксированном
наклонении /э плоскости траектории к экватору, т. е. при фиксированном начальном
азимуте а0 (см. рис. 6.34):
cos Ц
smaQ= ^. (6.38)
cos ф0
197


Оптимальные начальные данные определяются в предположении, что запуск КА
люжет быть произведен в любые сутки заданного интервала дат. Пусть Д£2 — угловая
величина достижимого интервала, соответствующего заданному интервалу дат. По вели-
адне йу = ~т~ находим uo=uo{QY) из графиков, приведенных на рис. 6.35. Значение щ
находится по краю, а ие по середине Qy=0 поражаемого интервала, так как найденный
для него запас топлива благодаря убыванию и0 с уменьшением |Qy| будет достаточен
и для попадания в Луну, когда она находится внутри поражаемого интервала, в то
время -как запас топлива, определенный ino внутренней точке поражаемого интервала,
для достижения Луны на его краю не будет достаточен.
Задавшись теперь средним значением Ф^ активной угловой дальности, определяем
среднее значение пассивной угловой дальности ф[°* = 180° — (*/() + Фа )• Теперь для
любой точки (0Ь ^) на кривой Фг == ф[0) (см. рис. 6. 18) по семейству кривых £/x(0i»?i)
(см. рис. 6. 32) находим соответствующее значение £/х.
Точка (б1? {Jj), в которой достигается минимум Ux т\пш дает оптимальную
комбинацию начальных данных. Эту точку легко найти графически, как точку касания кри
вой Oi(6lf Pi) = ф{0) с кривой семей:тва £/х(0ь ЭО = const (см. рис. 6. 32). Найденные
по Фа0^ значения 6j, pj уточняем. Для этого по точке (6j, ^) на рис. 6.33 находим
уточне1ные значения Z/^Bj, Pj) и Фа (Ж, £j). Определяя точку касания при новом
значении Фа и учитывая изменение Hi сдвигом кривых на рис. 6. 18 по оси ординат,
получим после нескольких итераций оптимальные значения 0j, $г и (£/x)mjn с
необходимой точностью.
Определим теперь значение Ux для начальных данных, позволяощих достигнуть
Луну в заданном достижимом интервале 2&у за заданное время полета Т при том же
фиксированном азимуте траектории. Задавшись временем полета Т, находим величину
HVi (из рис. 6. 13), затем, зачавшись средними значениями г\0^ и Фа0^, находим
параболическую скорость Vu ('j°M, величину ft|°) = / ■ J t аргумент широты
Uq(Qj) (из графиков на рис. 6.35) и пассивную угловую дальность Ф{ ^ == 180° —
— (и0 -j- Фа0)). Абсцисса точки пересечения кривой Фг (6j, j^) == ф|°) с прямой Зх =- [^0)
(см. рис. 6. 18) и дает искомую величину б£°\
Зная б{0), по рис. 6. 33 находим уточненные зьачения г\ (б}0), р{0) ) и Фа ( д[ \
$i) и повторяем расчет ^„(г^, ^ > Фь ^ь производя сдвиг кривых на рис. 6.18,
в соответствии с изменением Н\. Итерации продолжаем до получения необходимой
точности. По окончательным значениям 0i, pi находим £/x(0i, Pi).
Определение энергетических затрат, необходимых для осуществления таких
траекторий попадания в Луну, «а которых вектор скорости в начале пассивного участка
образует фиксированный угол 0i с местным горизонтом, производится примерно так же.
Задавшись углом 0i и произвольным значением Qy, находим аргумент широты u0(Qy)
(см. рис. 6.35). Далее определяем соответствующее значение скорости V\, для чего
сначала находим итерациями величину
Задавшись каким-либо нулевым приближением (^ = $[Q\ определяем величины активной
угловой дальности Фа (0Ь {*|0)} и геоцентрического радиуса г\(Ьи ^0)).
Затем находим аргумент щ широты конца активного участка и угловую
дальность Ф] пассивного участка траектории:
т--= и0 + фа; Ф1 = 180° —Hi. (6.39)
Наконец, уточняем значение Pi по формулам
1—2vcos2 0x+ соб(Ф1 + 201) „ Л„
Д?1 = — ?L-J-E——\ h = 1 + Дрь (6. 40)
2VCOS2 0!— СОБФ! —СО5(Ф1+201)' П ™ К '
Здесь v = — — малая величина, причем слабо изменяющаяся. По новым значениям
Pi и Gi вновь находим значения г\ и Фа как функции величин щ, Ф\, APi и т. д.
Итерации повторяем до получения необходимой точности. Благодаря слабой зависимости
Фа и особенно г\ от Pi итерации быстро сходятся: расчеты показывают, что для
получения трех верных десятичных знаков достаточно двух итераций. Вследствие слабой
198


зависимости от Pi величин Фа и г\ последние слабо зависят от Qy и результаты их
расчета удобно представлять в виде кривых Фа(0О, n(0i) C параметром |&у|. Кривые эти
монотонны по 0i и должны быть одинаковыми для значений Qy, отличающихся только
знаком.
Определив значения Фа, r\, APi, находим величины местной параболической Va
и начальной геоцентрической V\ скоростей:
где \i\ — гравитационный параметр Земли.
Избыток &V\ = V\—Vn начальной скорости над параболической получим по
формуле
A3i
ЬУХ = Vu /- п , (6. 42)
не содержащей потери точности.
Значения параметров £/У, п, Фа, AVi и других как функций от Qy достаточно
найти лишь в диапазоне Ор<&у<180°. Функция u0(Qy) является четной, ,и кривые,
построенные для значений —18(F<Qy<0o, симметричны относительно оси ординат
соответствующим кривым, построенным для значений 0о<£2у<18(Г. При увеличении |Qyf
от 0° до 90р величина и0 возрастает, достигая максимума, причем изменяется нечетным
образом относительно точки с координатами (£2У = 90°, Uo = u0{90°)). Если при этом
функция u0(QY) близка к линейной, а влияние изменения высоты Hi и дальности Фа
активного участка мало существенно, то можно приближенно считать, что функция
Ux(Qy) L , s =const определяющая минимальные энергетические затраты, тоже является
нечетной в интервалах от 0° до 180р и от —180° до 0° относительно точек с абсциссой
|Qy|=9(F.
При смещении из оптимальной точки вдоль кривой Ф^сопб! по плоскости (Эь Pi)
(см. рис. 6.18 и 6.32) можно существенно (например, на 1 —1,5 суток) изменить время
полета без больших энергетических потерь, так как в оптимальной точке кривые Ф1 =
= const и (yx=const касаются друг друга.
Широта начальной точки весьма существенно влияет на энергетические затраты,
необходимые для достижения Луны. При увеличении широты эти затраты растут, а при
уменьшении широты до if>o = © они уменьшаются, приближаясь к затратам, имеющим
место при полете с доразгоном. С убыванием широты энергетические затраты и другие
параметры меняются слабее с отклонением даты старта от оптимальной.
6.2.4. Выбор энергетически оптимального наклонения
Определить зависимость энергетических затрат Ux mm (flo) и найти оптимальный
азимут, т. е. азимут До, соответствующий наибольшей характеристической скорости,
нетрудно, если учесть характер зависимости /начальной скорости от азимута и
использовать результаты расчета для азимута а0 (с помощью соответствующего пересчета).
Для различных азимутов будут различны кориолисова и центробежная силы, а
также прибавки к относительной скорости, обусловленные вращением Земли. При этом
центробежная сила столь мала по сравнению с тягой, что ее можно вообще не
учитывать на активном участке. Кориолисова сила тоже невелика по сравнению с тягой,
причем она изменяет лишь направление вектора скорости, не меняя заметно его величины.
Вследствие этого она несущественно сказывается на энергетических возможностях и ею
можно пренебречь.
При переходе от одного азимута к другому будет изменяться только разность
векторов абсолютной V\ и относительной V0 скоростей, обусловленная вращением
Земли.
Зависимость разностей AV<p=Vi—V0 и ДЭ = Э0—9i (где 80 — угол возвышения
—»■
вектора относительной скорости V0 над горизонтом точки начала пассивного участка) от
азимута а0 трассы абсолютного движения в точке старта и от других параметров
определяется формулами (6.43) — (6.47):
Vl = V*-2VlWl +V\. (6.43)
Здесь ДКф = Vlb cos 0j sin a\t где а\ — азимут вектора абсолютной скорссти в
.точке выхода на пассивный участок траектории.
Величина окружной скорости
^ф = созГ,С08фЬ (6.44)
где (о3 — угловая скорость вращения Земли; i|?i — широта точки начала пассивного
участка;
sin #o
sin ax = cos ф0 Г- (6.45)
cos Ф1
199


Учитывая, что AV,b ^ V?, получим
ДК^ = а) г\ cos фо sin a0 cos 6lt
где -фо — широта точки сгарта.
Разность А0 = 0О—0i составляет всего лишь доли градуса:
/О
А8 =
tgOj.
(6.46)
(6.47)
При фиксированной широте точки старта обусловленная вращением Земли
скоростная прибавка AV^ не зависит от длины Фа активного участка, а зависит лишь от
азимута направления движения из начальной точки и его угла возвышения в конечной
точке активного участка.
А В ,граИ
0.7
&\/у,км/с
0,3
0,2
0,1
О 20 40 60 аа,а.,град.
Рис. 6. 37. Обусловленная
вращением Земли скоростная
прибавка AV,£ как функция
азимута
0,5
0,3
0,1
/
/
а0=35°
/
10
20 30 Врград.
Рис. 6. 38. Разность в углах
возвышения над горизонтом
для векторов относительной
и абсолютной скоростей КА
в начале пассивного участка
При расчете по формулам (6.46) и (6.47) можно пренебречь слабой зависимостью
величины радиуса п от Рь Пр-имерный вид зависимости AV^ от азимута а0
представлен на рис. 6.37.
При различных углах 0i получаются близкие функции AV^foo), поскольку с
увеличением 0i величина Г\ растет (см. выше), более или менее компенсируя убывание
COS 0].
Зависимость А0 от 0i почти синусоидальна (причем отклонения от
синусоидальности возникают за счет увеличения п с ростом 0i). Примерный вид ее представлен
на рис. 6.38.
*
.Имея расчеты активного участка для одного какого-либо азимута а0, можно пе
а0, прибавив
а0, as,град.
ВО
ВО
40
20
W,
///
1
ш_
Л
\J
V \
N
У
$
1=0°
1^26° 30
?у*40°
Л
\
*
!
30
40
50 ' 60
и(г'п-%уй,град
рейти к любому другому азимуту
к скорости V\ разность
АУф (а0)— AV^ (а0*).
Таким путем доказано [3], что внутри
диапазона 0р^а0^90° существует азимут, при котором
функция Ux (а0) проходит через минимум Ux mm, и
что положение упрежденной точки, энергетически
оптимальное без учета скоростной прибавки от
вращения Земли, остается энергетически оптимальным
и с учетом вращения Земли. Функция а0(и0),
полученная с помощью формулы (6.37), представлена на
рис. 6.39 для значений Qy = 0°, 26°30' и 40°. Значение
£2у=26°30/ соответствует двухсуточному
достижимому интервалу, а значение Qy = 40° — трехсуточному.
Рис. 6. 39. Зависимость
азимутов а0 и а8 от аргумента
широты точки старта для
траекторий, встречающих Луну на
различных угловых расстояниях
Qy от энергетически
оптимальной точки
200


6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОМИНАЛЬНЫХ ПОПАДАЮЩИХ ТРАЕКТОРИЙ
И ВЛИЯНИЯ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ С УЧЕТОМ
ПРИТЯЖЕНИЯ ЛУНЫ
6.3.1. Расчет номинальной траектории попадания в Луну
При определении влияния разброса начальных данных, даже приближенном,
недостаточно учитывать только влияние Земли, а необходимо также учитывать и влияние
Луны, .по крайней мере в сфере ее действия.
Множество номинальных траекторий, попадающих в центр Луны, в
пространственной задаче является четырехпараметрическим, и всегда можно задать произвольно
какие-либо четыре величины, определяющие начальные данные,-а остальные две
величины найти из условия попадания в центр Луны.
Задачу определения номинальной траектории можно решить с помощью
итерационного процесса по двум переменным. Примем за произвольные параметры следующие
величины: высоту Н\ начала В\ пассивного участка траектории, избыток AVi
начальной геоцентрической скорости над местной параболической, угол а\ между вектором
начальной скорости .и начальным радиусом и угол i\ наклонения плоскости траектории
к основной плоскости (плоскости орбиты Луны). Эти четыре величины определяют
плоскость ,и> форму траектории и позволяют полностью определить траекторию
сближения с Луной, если дана точка входа в сферу действия Луны, по конечным
формулам.
Итерации ведутся следующим образом (рис. 6.40). Пусть £2, Л2, Ь — известные
координаты точки входа В2 в селеноцентрической системе" координат, ось £ которой
постоянно направлена в центр гп\ Земли, ось т| направлена против скорости Луны в
основной плоскости, а ось £ дополняет систему осей до правой. Тогда геоцентрические радиус
г2, скорость V2 и угол а2 между векторами входной геоцентрической скорости и входного
геоцентрического радиуса находятся по следующим формулам:
1
Г2 = |/"(я ~ Ы2 + Ц\ +
О^го+Яь v = — ;
1/1 = 1/11 + ДК1; Vn=l/ -^
/f
2 + '
fe = A?i + v; V2 = VuVfo\
sin ao — v — cos 0b
^2
-90°
-ab
(6.48)
Здесь а — постоянное расстояние между центрами Земли и Луны; г0 — радиус Земли;
Уп — параболическая скорость для высоты Н\\ \i\ — гравитационный параметр Земли;
APi = 3i — 1, где
Компоненты х2, у2у z2 скорости V2 в невращающейся геоцентрической системе
координат xyz, оси которой параллельны соответственно осям £, ц, £ в момент t2 входа КА
в сферу действия Луны, определяются следующим образом:
sin и2 = ;
r2 sin ii
х2 ~ г2 cos и2\ У}2 ~ г2 sin u2 C°S ii,
*2 = £2 — «; У2 = т\ *2 = с2;
Х2Х2+У<1У2 - У2Х2~Х2У2
cos &i = го го ; sin S.2-. = го Го-
*2 + У 2 Х2 + У 2
Щ = и2 + а2,
х2 = ^2 (c°s Щ cos ^1 — sin ы'2 sin Ql cos i{fi
У2~^2( cos w2 sm ^1 + Sin W2 COS Q1 COS i{)\
z2 = V2 sin w2 sin ii.
(6.49)
20]


Здесь и2 — аргумент широты точки В2\ хъ г/2, ^г— координаты точки В2 в
рассматриваемой геоцентрической системе координат; Qi— долгота узла траектории движения
в сфере действия Луны, отсчитываемая в основной плоскости.
Компоненты входной селеноцентрической скорости V2, ее модуль U и угол а2
между ее направлением и входным селеноцентрическим радиусом Q2 в точке входа в сферу
действия Луны определяются следующими формулами (рис. 6.41):
£2 = х2
sin a9 =
Л2 =
1
*2', U
-у/Гё22+ л| + С|;
У2 — ^л;
[(л2^2 - с2ть)2 + (с2е2 - ш2 + (е2л2
Л252)2]1
(6.50)
Рис. 6.40. Геометрические параметры, характеризующие пространственную
траекторию сближения с Луной вне сферы ее действия
где q^—радиус сферы действия Луны; V . —скорость Луны.
Если окажется, что | sin а2 | < £, где £ — заданная точность, то номинальные
значения ^2, Л2> &г найдутся по формулам:
£2 ----- ~~ 77" W
Л2
и
Л2>
с2=-—с2,
(6.51)
после чего расчет повторяется сначала.
В качестве нулевого приближения для величин £г, Лг> &г можно взять их значения
Ьн>, Л20, ?2о в той точке сферы действия, в которой направление селеноцентрического
радиуса обратно направлению селеноцентрической скорости на расстоянии орбиты Луны
без учета притяжения последней. Эти значения могут быть вычислены по формулам
(6.51) при значениях |г, Лг, £2, определяемых формулами:
£2 = — К2 cos a2; ]
x\2 — V]\ — V2 sin а2 cos /^ | (6.52)
С2 = —К2 sin а2 sin/lt J
где 1/2 и аг находятся по формулам (6.48) при
^2 = Л2 = ^2 = 0.
Сходимость описанного процесса является достаточно быстрой: для получения
траектории, проходящей от центра Луны на расстоянии порядка 1 км, требуется не более
6 итераций.
202


Когда итерации по формулам (6.48) — (6.51) сошлись с требуемой точностью, то
рассчитываются все характеристики номинальной траектории. С помощью обычных
формул задачи двух тел (см. гл. III) по координатам х2, уr2, z2 и скоростям х2, у2у г2
определяются недостающие геоцентрические кеплеровы элементы pi, e\, (Oi траектории
движения к сфере действия Луны, а также по координатам £2, т^ £г и скоростям £2, r)2, \2
находятся селеноцентрические кеплеровы элементы р2, е2, i2, Q2, co2 траектории
движения в сфере действия.
По элементам ри е\ и радиусам ги г2 определяются истинные аномалии Оь Ф2 и
время полета Т\, 2 вне сферы действия. Аналогично по элементам р2, е2 и
селеноцентрическим радиусам Q* и q л (соответственно радиусы сферы действия и поверхности
Луны) находится время полета Т2>п от границы сферы действия до встречи с Луной
и полное время полета Т=Т\)2+Т2>п-
Изложенная методика дает
характеристики траекторий, не зависящие от
того, с доразгоном или без доразгона
производится выведение. При запуске
с доразгоном параметры промежуточной
орбиты ИСЗ и момент схода с этой
орбиты находятся так, как сказано
в разд. 6.1.2. Этим полностью
определяются начальные данные (при
заданных r\t AVi, 0i).
При запуске без доразгона
начальные данные находятся так. В невращаю-
щейся системе координат XYZ, ось Y
которой направлена в нисходящий
относительно экватора узел лунной орбиты,
ось Z — ортогонально плоскости орбиты
Луны в сторону северного полюса Р
Земли, а ось X — в плоскости орбиты
Луны (дополняя оси У и Z до правой
системы координат, см. рис. 6.40),
характеристики траекторий определяются
по ранее найденным ее параметрам,
если заданы широта \|)0 точки старта и угловая дальность Фа активного участка
траектории. Долгота узла Qy определяется следующими формулами:
Рис. 6.41. Геометрические параметры,
характеризующие пространственную
траекторию сближения с Луной внутри
сферы действия Луны
«1 = &1 4- <•>!;
cos zq = sin uq sin z'i;
sin Щ — cos 6 cos zq
и0 = иг — Фа;
COS Uq
COS Vq =
Sin 6 Sin Zq
Qy — Vq — k , ИЛИ
cos h
Qy =r.- —Vq— h
(6.53)
(в зависимости от того, правее или левее меридиана оси X хотим получить точку Во).
При фиксированных значениях i\ и и2 существует два положения точки Во с одной и
той же величиной угла Vo (см. рис. 6.40). В формулах (6.53) и0 есть аргумент широты
точки старта В0\ £о — угловое расстояние точки Во от оси z\ h — угол между дугами
больших кругов, проведенных от оси z к точкам Во и Qy (см. рис. 6.40); в — угол
между плоскостями экватора и лунной орбиты.
Зная элементы ru i\t щ и Йу, можно по формулам задачи двух тел (гл. III) найти
начальные координаты и скорости в системе XYZ:
Х\ — r\ (cos U\ cos Qy — sin щ sin Qy cos iA)\ )
Yi = ri(cos u\ sin Qy -+- sin ux cos Qy cos /j)'
Z\ = r\ sin u\ sin i\\
wi = «i4- (90° —6i);
X\ = V\ (cos W\ cos Qy — sin wx sin Qy cos i{).
Y{ = Vi (cos W\ sin Qy + sin wx sin Qy cos i{)\
Z\ = V\ sin w\ sin i\.
(6.54)
(6.55)
Азимуты do и й\ в точке старта Во и в точке В\ начала пассивного участка,
широта \pi точки В\ и углы Х0 и ДА, (соответственно угол между меридианами оси X и точки
старта Во и угол между меридианами точек В0 и В\) находятся по следующим
формулам:
203


cos m = sin 6 cos 2V
cos a0 ■.
cos щ sin ф0 — cos m
sin «o cos Фо
sin ^i = sin ф0 cos Фа 4- cos фо sin фа cos 0(b
sin 4>i cos Фа — sin фр
COS ^! =
sin X =
cos ^i sin Фа
sin AX = sin Фа
sin uq
cos ф
sin Sv
cos «o — cos/тг sin Фо
sin m cos фо
; x0=x + °,
(6.56)
где m — угловое расстояние узла Qy от полюса Р\ А, — угол между меридианами
узла и оси X, а а — угол между меридианами узла и точки старта Во.
Зная разность долгот узла в системах координат XYZ и xyz
bQ=Qy—'Qu (6.57)
найдем значение угла у\ между направлением геоцентрического радиуса Луны в
момент t\ отсечки двигателя и отрицательным направлением оси X, а также начальные
координаты и скорости Луны по формулам:
^ 1 — coT]t2 — Д^; \
Хд = — a cos уi; Уд = a sin 71; ^л = °» | (6.58)
Хп = — Кл sin Tl; Гл = — ^л cos 7Г, ^л = 0> )
где со — угловая скорость обращения Луны.
Наконец найдем координаты £П, Цп, £п точки падения на поверхности Луны,
скорость Un соударения и угол 8 п между ее направлением и поверхностью Луны в точке
встречи:
cos &
___L (Ж
п — 1
*2 V Qn
1 ; «п = К -f- w2; Q2 = £2 -
г 2,п»
£н = Qn (cos Иц cos &2 — s^n йп sin QLl cos /2);
t|i: = Qn(cos un sin Q2 4- sin #n cos Q2 cos /2);
£n = Qn sin un sin i2;
£/* =
V Qn Q* /
+ *1;
n Q* ^2 . '
cos в., = — — sin a0
Qn Uu г
(6.59)
Здесь Фи и wn — истинная аномалия и аргумент широты точки встречи; &2 и &2—
долготы узла в системе координат £г|£ соответственно в момент входа в сферу
действия Луны и в момент встречи; |Лг — гравитационный параметр Луны; U2 — модуль
входной селеноцентрической скорости; а2 — ее угол с селеноцентрическим радиусом Q2
на границе сферы действия.
Для траектории, достаточно точно попадающей в центр Луны, величина ^п
близка к —180°, координаты точки падения пропорциональны компонентам скорости
соударения и угол 0п близок к —90°.
Значения координат на границе сферы действия и на поверхности Луны
получаются по изложенной приближенной методике с точностью несколько десятков
километров.
6.3.2. Расчет варьированных траекторий
Когда номинальная траектория найдена, то для определения соответствующего
влияния разброса начальных данных определяют отклонения точек падения на
поверхности Луны, отвечающие траекториям с различными известными отклонениями
начальных данных от номинальных.
Отклонения начальных данных от номинальных целесообразно давать не в
системе координат XYZ, а в системе his, связанной с началом пассивного участка траектории
и имеющей плоскость траектории lh своей основной плоскостью: ось h направлена по
радиусу /*ь а ось / — по трансверсали в направлении полета. Отклонения начальных
данных делятся на три типа:
I. Отклонение начального радиуса-вектора КА от номинального.
II. Отклонение вектора начальной скорости КА от номинального.
III. Отклонение времени начала движения от номинального.
I. Варьируются начальные координаты.
1) оН\Ф0 (дается отклонение по высоте). Тогда п, Vn и AVi заменяются
соответственно величинами варьированными (они отмечены индексом «в»):
204


г1в = гг + ЪН1; V,
У Па
A1/JB-A1/J +
^п+^п.в Г1П
(6.60)
При этом аргумент Hi широты, узел Qy и наклонение 1Х траектории не меняются;
по формулам (6.54) находятся варьированные значения Х\ъ, Ущ, Zib.
2) ЫФО (дается смещение в направлении полета). Тогда находятся:
L\ — c2Z\—с$У\\ L2=c5Xl—C\Z\\
Lz = C\Y\—c2X\,
где cw c2; c3 — компоненты секториальной скорости c = nXVi;
варьированные координаты
*ib = *i + -f-ы; у 1в = уi + у- W; zlB ^z^-^-ы, (6.6i)
начальный радиус г\ в, параболическая скорость Vn.B и избыток AVi B начальной
скорости над местной параболической:
,-jA?+«« "..-/-^i |
AV1B = AV1 +;
2^i
5/
5/
(6.62)
IB == ay 1 i v
^п+^п.в ririB Г1 + Г1в
При этом изменяется на малые первого порядка еще и угол 6i:
^i^ib + У\Угв + ZiZ
'IB
sin в1в =
Г1в^1
что необходимо учитывать.
3) 6sФ0 (дается боковое отклонение). Тогда
01
с2
сз
Л-1в = Л"! + — 5s; Г1в = Kj + — 5s; ZlB = Zx + — 5s;
rlB-l/"r?+»s2; Vn^W~^.
(6.63)
При этом следует учитывать изменение величины AVi на малые второго порядка:
2jix 5s2
AV7
■ AVi = :
(6.63')
^n+ Vn.B (П + Г1В)Г1Г1в
Хотя угол 0i изменяется здесь тоже на малые второго порядка, влияние этих
изменений не так существенно, как влияние AVi в.
II. Варьируется вектор начальной скорости. Его вариациями будем считать
вариации модуля 6Vi и направления 60i скорости в плоскости траектории и вариации
боковой компоненты 6s = s скорости (поскольку для номинальной траектории 5=0).
1) ЪУгфО. Тогда
A7lB = AKi + »Vi; VlB = Vn + AVlB,
и по формулам (6.55) находятся компоненты Хщ, Ущ, Z\* начальной скорости.
2) Ыгф0. Тогда
61в == 0j + ЬЬг; wlB = да2— 50i.
Компоненты скорости находятся по тем же формулам (6.55).
3) КфО. Тогда
Х]в = Хх + — 5s; YlB - Yx + — 5s; ZlB = Zj + — i
с с с
V1B = 1^1 +(5s)2,
a AVib находится как меньший корень квадратного уравнения
(2Vn + AVlB) AVlB = (2Vn + AVX) AVX + (5s)2.
(6.64)
(6.65)
205


III. Варьируется только момент t\ начала движения на пассивном участке, т. е.
Ы^О. Тогда координаты и компоненты скорости находятся по формулам:
Хэ == Х\ cos в — Z\ sin в;
Z3 = Х\ sin в + Zx cos в;
ХЭтВ = Хэ cos Ы — Уэ sin Ы
Хэ = xlCos6— Z\ sin 6;
Гэ = У г;
Z3 = A'i sin 8 + Zi cos в;
ЬХ = w Wx;
^э.в — Z3*,
XiB = Хэ.в cos в + Z3.B sin в;
Zib = — Хэ.в sin G 4- Z3B cos 6;
(6.66)
(6.67)
(6.68)
X3 B == Хэ cos SA — Кэ sin 5X;
^э.в = Хэ sin 8X + >% c°s SX;
Zib = X3mB cos 6 + Z3.b sin 6;
j> = fs..; 1 (6-69>
Zib == — ^э.в sin e + z3.B cos a
Кроме того, угловое изменение положения Луны за время б/i определяется по
формуле
Т1в = 71 —wWi-
Когда для всех отклоненных траекторий найдены начальные координаты и
скорости, по ним находятся кеплеровы элементы /?iB, ещ, im, &у.в, coiB (см. гл. III)
участка движения к сфере действия Луны и аргумент широты щь для точки В\. Итерации
на получение Q2—► £>* выгодно вести не по времени Т\, 2, а по радиусу г2.
Задавшись какой-либо величиной г%\ равной, например, значению г% для нол
in)
йл>
нальнои траектории, находим по величинам /?1в, е\в, г£ ' истинную аномалию Щ * иа
уравнения конических сечений и определяем время полета Т\п\. Затем находим
координаты Луны в момент t^ = *iB + т[п£:
Xtf = - a cos <р<л>; К^я> = —flsin т(л); ZJ^-.O, (6.70).
где <р^ — — 71в + ^м 2 — Угол между направлением геоцентрического радиуса Луны
в момент ^2 и отрицательным направлением оси1 X. Теперь находим расстояние £>2
в момент t^ по формуле
Q(*> = |/ ^(«) _ Х<£)\2 + \Ytf) _ K(f)j2 + Щп) _ zj«)]2f (6.71),
в которой Х^п\ У^* ^2Л) находятся с помощью формул (6.54) по величинам г(2п^
йув
, /1ви 4л) = 4л) + ^в.
Если оказывается, что \q^ —qJ>£, где £ — требуемая точность, то применяем-
метод хорд: даем величине г£л) малое приращение Аг2 (в расчетах Принято Аг2 =
= 5000 км) и производим расчет для г^л+1) = г^л) 4- Дг2. Получив для значения
г^л+1) величину р2л+1)» находим следующее приближение:
г(п + 2) .
г<«> +
1с*
И
(л)
] ия+1)-
Ая)]
,{п + 2)
= е2[4л+2)].
(6.72).
Повторяем итерации до тех пор, пока они с нужной точностью не сойдутся к
предельным значениям. Обозначим эти предельные величины через Г2в', ^ьгв»' h* — h* +
+ ^Ь 2в» Q2b = Q*; ^2в> ^2в» Z2*\ ^Л.в» ^Л.в, Zл.в; **2в» й2в, <Рв-
Когда итерации сошлись, то из интеграла энергии находим входную геоцентриче
скую скорость У2в = У2(г2в), а из интеграла площадей — угол а2в между вектором этой
скорости и входным геоцентрическим радиусом; при этом используются начальные
данные Пв, Oib, Vib и элементы отклоненного конического сечения.
Далее находим для вектора скорости величину аналога аргумента широты
а>2в = «2в + а2в и по формулам (6.55) определяем компоненты Х2в, ^гв, ^2в скорости
в точке входа в сферу действия Луны, а затем определяем координаты и скорости в
системе координат g, т], £ при t = t2*\
206


Ы = №в — *Л в) COS <рв + (К2в — ^Л.в) ^П <fB;
Ч2в = - №в — *л.в) sin <рв + (>^2в — Уп.в) cos <рв;
С2в — ^2в'»
ё2в - {Х2в- XjiJ cos ?в + (>"2в- >"л.в) sin ?
Л2в=—(^2
С2в = ^2в#
По этим величинам в момент временное находим в системе координат £, Л,
■ А'л.в) sin 9в + (^2в — ^л.в) cos <рв,
(6.73)
(6.74)
значения кеплеровых элементов р2в, е2в, fen, Й2в, оз2в селеноцентрического конического
сечения, а по ним — время полета Т2) п.в от границы сферы действия до поверхности
ЛуНЫ. _ тт
Чтобы вычислить координаты gn.„f Лп.в, £п,в точки .падения на поверхности Луны,
находим по формулам (6.59) долготу узла в системе координат £rj£ в момент
соударения, аргумент широты, величину скорости соударения и угол между ее направлением
и поверхностью Луны в точке соударения.
6.3.3. Влияние разброса начальных данных
на расположение точек входа в сферу действия Луны
В системе координат £, г\, Б точки входа на сфере действия и на поверхности
Луны наиболее наглядным образом проектируются на плоскость г], £ (рис. 6.42).
Для номинальной попадающей траектории с избытком начальной скорости над
местной параболической AVi =+0,170 км/с, радиусом начала пассивного участка гх =
1], ГЛЫС. КМ
Рис. 6. 42. Смещение точки входа траектории в сферу
действия Луны при отклонении одного из шести начальных
данных и начального момента времени от номинальных
значений для AVi = +0,170 км/с. Точки пунктирной кривой
соответствуют траекториям, касающимся поверхности Луны;
точки штрих-пунктирной кривой соответствуют
траекториям, достигающим лунной поверхности в точках,
отделяющих невидимую с Земли часть лунной поверхности от
видимой
207


= 7 000 км и наклонением плоскости траектории к плоскости орбиты Луны i*i = 70э
координаты номинальной точки В2 входа в сферу действия Луны, вычисленные по формулам
(6.51), будут равны: £=62663 км, г]=—20 218 км, £=4 539 км (см. рис. 6.42).
Лучи, выходящие из точки входа номинальной траектории в сферу действия Луны,
представляют собой геометрические места точек входа отклоненных траекторий,
получающихся при отклонении одного из начальных параметров от номинального.
Величины отклонений указаны вдоль лучей цифрами: 6#i, 61, 6s— в км; 6V\,
6s — в м/с; 601 — в угловых минутах, 6^i — в секундах. Стрелки указывают
направления смещений точки входа, вызываемых положительными отклонениями. Направление
смещений, обусловленных ошибками 61, близко к направлению смещений от ошибок ббь
Угол наклона обоих направлений смещений к оси ц близок к 70°, т. е. к углу ц,
так как ошибки 61 и 69i не вызывают изменения плоскости траектории движения к
сфере действия Луны и практически не сказываются на времени полета (зависящего
в основном от начальной скорости).
Положительное значение ошибки 61 вызывает смещение в ту же сторону, что и
ошибка 69i>0. Это смещение точки входа при б/>0 объясняется тем, что ошибка
6/>0 приводит к линейно связанному с ней изменению наклона вектора начальной
скорости к местному горизонту.
— W
S6i= —>0,
г\
которое оказывает на смещение точки входа преобладающее влияние.
Смещения точки входа, вызываемые боковыми ошибками 6s и 6s в положении и
в скорости (см. рис. 6.42), примерно перпендикулярны плоскости траектории,
поскольку эти ошибки практически не меняют времени полета.
Однако при положительных ошибках знаки смещений противоположны, так как
при 6s>0 конец траектории поворачивается налево относительно начального радиуса-
вектора, если смотреть с его конца, а при 6s>0 он поворачивается направо, причем
относительно геоцентрической прямой, параллельной вектору начальной скорости,
поскольку угол скорости с радиусом меньше угловой дальности полета.
Ошибка 61^1 не вызывает поворота плоскости траектории, но существенно меняет
время полета до сферы действия Луны. При 6V\>0 траектория проходит выше
номинальной и достигает сферы действия Луны в точке левее номинальной, поскольку
вследствие уменьшения времени полета номинальная точка не успевает достигнуть
плоскости траектории.
Ошибки в начальном радиусе 6n=6#i тоже не вызывают поворота плоскости
траектории. Направление соответствующих смещений точки входа из-за этих ошибок
близко к направлению смещений, вызываемых ошибками 6V\, потому что ошибки 6#i влияют
главным образом через изменение избытка AV\ начальной скорости над местной парабо
лической. Изменение избытка AVi при фиксированном значении V\ обратно (по знаку)
изменению местной параболической скорости в зависимости от радиуса. Изменение
начальной высоты при сохранении избытка начальной скорости над параболической
сказывается весьма слабо.
Наконец, ошибка 6^ не влияет на изменение формы траектории, а вызывает
поворот ее как жесткого целого вокруг земной оси с запада на восток. Поскольку
угловая скорость со3 суточного вращения Земли почти в 30 раз превосходит угловую
скорость со обращения Луны по орбите, то при анализе влияния ошибки б^^=0 можно
сферу действия Луны считать неподвижной. Тогда на сфере радиуса орбиты Луны при
6fj >0 конец траектории будет смещаться влево и вниз для долготы узла Qy>0; влево
и вверх — для Qy<0 (при |Qy|<90P) (рис. 6.42 соответствует случаю Qy>0).
С возрастанием Qy при фиксированном азимуте прицеливания а0 пары лучей 6/,
69i и 6s, 6s, оставаясь ортогональными, поворачиваются против часовой стрелки. Пари
лучей 6V\, 6#i тоже повернется против часовой стрелки, оставаясь примерно на
прежних расстояниях по оси ц от нового положения пары лучей 6/, 69ь Наконец, луч
6^i повернется в том же направлении. При уменьшении Qy все вращения происходят
в обратном направлении, т. е. по часовой стрелке.
При уменьшении азимута а0, как следует из рис. 6. 34, значения i\ при всех
значениях Qy увеличиваются, причем примерно на одну и ту же величину. Соответственно
поворачиваются против хода часовой стрелки все лучи, кроме луча 6^i, направление
которого зависит главным образом от Qy (при фиксированном значении избытка AVi
начальной скорости над местной параболической) и потому существенно не
изменится.
Изменение номинального значения AVi очень существенно отражается и на длине
лучей, соответствующих фиксированным отклонениям начальных данных от
номинальных значений. Длина лучей 6V\ и 6Н\ быстро возрастает с приближением величины
AVi к минимальному значению. Например, для траектории с параметрами AVi =
= —0,084 км/с, ri = 7000 км при ii = 70° (рис. 6.43) длина лучей увеличивается
примерно в четыре раза что сравнению с ее значением при AV\ = +0,170 км/с (ср. рис. 6.42
и 6.43).
208


При начальных скоростях, не близких к минимальным, линейность зависимости
смещения d точки входа от отклонений начальных данных проявляется не только в
прямолинейности лучей, но и в пропорциональности смещений отклонениям. Например,
Рис. 6. 43. Смещение
точки входа траектории
в сферу действия Луны
при отклонении одного
из шести начальных
данных и начального
момента времени от
номинальных значений для AV^
= —0,084 км/с
-49
1], тыс. км
на рис. 6.42 нарушения прямолинейности и пропорциональности гораздо меньше тех,
которые можно было бы заметить при таком масштабе чертежа.
6.3.4. Влияние разброса начальных данных
на расположение точек падения
Картина точек падения на поверхности Луны (рис. 6.44), соответствующая
описанной выше (см. рис. 6.42) картине точек входа на сфере действия, является типичной.
Проходящие через номинальную точку падения лучи, отвечающие отклонениям х
только одного из начальных данных от номинального, проходят довольно точно по
меридианам лунной сферы, если за ее полюс принять номинальную точку падения Вк.
Смещение у точки падения от номинальной вдоль луча не всюду пропорционально
отклонению соответствующего начального параметра, а только в круге с радиусом
порядка 500 км. За этим кругом смещение растет, причем чем дальше от круга, тем
быстрее, так что у крайних точек, в которых траектории только касаются поверхности
Луны, производная dy/dx делается неограниченной. Однако симметрия точек падения,
отвечающих значениям х и —х, сохраняется вплоть до крайних точек луча. Это значит,
что отклонения входной селеноцентрической скорости от номинальной тоже
симметричны.
Эти отклонения направлены от центра Луны. При скоростях, не близких к
минимальным, отклонения величины V2 входной геоцентрической скорости и угла а2 между
ее направлением и геоцентрическим радиусом от номинальных значений с изменением
геоцентрического радиуса точки входа в широком диапазоне а—q <r<a+Q
сравнительно невелики. Для соответствующей рис. 6.42 траектории эти отклонения составляют:
|6Т2|<0,09 км/с и |ба2|<0°>9 (см. рис. 6.8). Размеры пятна на сфере действия Луны,
соответствующего крайним траекториям (траекториям касания), невелики по
сравнению с указанным выше диапазоном 2Q*. Их приближенно можно определить согласно
рис. 6.9, считая вектор V2 входной селеноцентрической скорости не зависящим от
положения точки входа на пятне. В этом приближении пятно является кругом радиуса
d(U), где U=\V2\. Для соответствующей рис 6.42 траектории (7=2,6 км/с (см.
рис. 6.8) и d(U) =2 340 км (см. рис. 6.11).
209


Изменения величин V2 и а2 внутри пятна составляют доли порядка процента от
полученных выше величин 6V2 и ба2, и при рассмотрении траекторий попадания в Луну
этими измерениями можно пренебречь. Изменения направления вектора V2 связаны
главным образом с отклонением напра/вления геоцентрического радиуса г2 точки входа
на пятне от номинального. Это отклонение вызывает отклонение направления вектора
V2 от центра Луны на наибольшую величину при расположении траектории в
плоскости орбиты Луны. Для этого случая (рис. 6.45) приближенный расчет отклонения АЭ2
направления вектора V2 от номинального производится по формулам:
sin ф2 ~ — cos а2
(V2, а2, U находятся из графиков на рис. 6.8);
Sin <P2
— cos ф2; Л = с& + q2— 2uq sin ф2;
Г2
Аср2 = sin ф2;
'2
cos 02 ~
^Л — У2 sin («2 + ?2)
и
А09-
^ rv<
Г^2_
У
л
£/ |_ U U
Смысл обозначений виден на рис. 6.45.
sin (а2-Ь ср2) Дср2.
Рис. 6. 44. Смещения точки падения по лунной поверхности
при отклонении одного из шести начальных данных и
начального момента времени от номинальных значений
(6.75)
(6.76)
Результаты расчета краев диапазона отклонений (А0 J" и АЭ2 ) как функций
избытка AV\ начальной скорости над местной параболической для нулевого угла 0i
возвышения вектора начальной скорости над местным горизонтом и соответственно для
наклонений *i = 0 и i\ = 7i представлены на рис. 6.46. Там же показана зависимость
уменьшения Ad± = Q*AQ ^ диаметра пятна от изменения избытка AW Уменьшение
диаметра пятна на сфере действия Луны может достигать сотен километров. Величина
()уфф = ^—Ad является эффективным радиусом Луны при запусках КА к Луне с Земли
или с орбит низких ИСЗ.
210


Селеноцентрическое угловое расстояние по «лучу» от номинальной точки падения
до точки касания отклоненной траектории с поверхностью Луны с учетом отклонения
А02 поиближенно выражается формулой
Фк = 90° + ■
•Д02»
(6.77)
где а — угол между выходной и входной селеноцентрическими скоростями для
траектории касания (см. рис. 6.11). Для варианта, соответствующего рис. 6.42, получаем из
рис. 6.11 и 6.46 и формулы (6.77) значение Фк, несколько большее ЮО°.
Смещения точки встречи по «лучам» на поверхности не могут охватывать Луну
полностью ни при какой начальной скорости: даже при минимальных начальных
скоростях угол а<120? (см. рис. 6.11) и Фк<150\ При любой фиксированной начальной
скорости существует на Луне недосягаемая область, близкая к кругу с центром в
точке, противоположной номинальной. Для варианта, соответствующего рис. 6.42, радиус
этого круга оказывается порядка 900 км.
Сфера ЗейстВия
Луны
.л
р^Э
Рис. 6.45. Пересчет геоцентрических1
параметров движения (в плоскости лунной
орбиты) в селеноцентрические параметры на
границе сферы действия Луны
W 0,1
AVvkm/c
Рис. 6. 46. Пределы изменений
направления А02 селеноцентрической
скорости входа на сфере действия
Луны и размеров Ad пятна на
сфере действия вследствие
отклонения точки входа от номинальной
С помощью картины на сфере действия Луны (см. рис. 6.42) можно определить
начальные данные для попадания в видимую с Земли часть Луны, оптимальные в том
смысле, что величины предельных отклонений начальных данных в противоположные
стороны равны. Для этого интерполяциями определим на лучах (на сфере действия)
точки, соответствующие значению £п=0, если вдоль соответствующих лучей на
поверхности координата £п переходит через нуль. Соединив эти точки кривой
(штрих-пунктирная линия на рис. 6.42), отсечем от всего пятна область, соответствующую точкам
падения на обратную сторону Луны. Середина оставшейся области отвечает
номинальной траектории для попадания в видимую часть Луны. Эта средняя точка всегда
смещена вправо вниз от точки £2.
Предельно допустимые ошибки при попадании в видимую часть Луны имеют
примерно тот же порядок, что и предельно допустимые ошибки при попадании во всю
Луну. Величины последних по любому из начальных параметров при нулевых
значениях ошибок по остальным параметрам представлены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Предельные величины единичных ошибок
Ошибка
ЪНХ
Ы
Is
IV,
Предельная
величина
11,6
50,6
56,4
9,14
Единица
измерения
км
"
"
м'с
Ошибка
щ
OS
It
Предельная
величина
11,4
98,4
93,9
Единица
измерения
угл. мин
м/с
с.
211


Типичен характер зависимости отклонения точки падения от номинальной в
результате ошибки в начальных данных. Угловое смещение у точки падения из но'миналь-
ной точки падения по лучу на поверхности Луны зависит от соответствующей
линейной комбинации х ошибок в начальных данных.
На границе сферы действия Луны ректор V2 входной селеноцентрической
скорости для траектории, отклоненной от номинальной на расстояние d, образует с входным
селеноцентрическим радиусом такой угол а2, что
sin a2(x) = .
(6.78)
*~Х
В случае непритягивающей Луны обозначим у=у\
расстояние d между траекториями остается неизмененным
вплоть до поверхности Луны, и для малых расстояний d,
т. е. при малых значениях х, имеем:
О* ', N
В £лучае притягивающей Луны величина у будет
меньше у; для малых значений х
0 =
1+-
it-l>'
|/(^ + Г-ф'
+
а2(х).
Здесь
Г = (uiv'n)\
Рис. 6. 47. Зависимость
углового отклонения у(х) точки
падения от номинальной
(х — отклонение одного из
начальных данных от
номинального значения); у(х)— __ l-tH » п 000
то же при отсутствии при- где с/ = |К2|. а Кп = 0,383 км/с— селеноцентрическая па-
тяжения Луны раболическая скорость на расстоянии Q*. Вблизи
номинальной траектории, т. е. при малых х, притяжение Луны
уменьшает величину отклонения более чем в 2 раза. Вдали же от номинальной
траектории, т. е. при больших х, это уменьшение исчезает (рис. 6.47). Кривая у(х) в точке
х=0 имеет перегиб, причем */(0)=0, и в окрестности точки х=0 величины у(х) малы.
Вторые производные у"(х) в этой окрестности весьма близки к нулю, так как функция
d(x) в этой окрестности практически линейна.
Если величину х измерять в долях допустимого (предельного) отклонения *д, то
для произвольных направлений U и k лучей отношение смещений У\ (хг/хи)'- У2 (*2/-*2 д
при всех х\/х\я=х2/х2я одинаково и весьма близко к единице. При известных комбинациях
ошибок начальных данных для определения того, имеет ли место попадание или нет, не
требуется знать старшие производные от смещения d(x), а достаточно знать лишь
первую производную d'(0). Зная линейную комбинацию ошибок х и величину d'(0)t
находим d(x). При ^(л;)<Оэфф имеет место попадание, а при ^(л;)>оЭфф — промах.
Можно использовать следующую приближенную методику прогнозирования точки
падения на поверхности Луны, если отклонения dxi начальных данных от номинальных
известны достаточно точно. Зная на сфере действия Луны смещения diy вызываемые
вдоль 2-го луча единичными отклонениями параметров Xi, и пользуясь линейностью
смещения di(xi), находим_суммарное смещение точки входа на сфере действия в виде
векторной суммы
d — ^j diXi. А так как точки входа на сфере действия практиче-
/-1
ски однозначно соответствуют точкам на поверхности Луны, то на соответствующем
криволинейном луче на поверхности находим точку падения. При этом точность
вычисления точки падения определяется точностью измерения отклонений начальных данных
от номинальных.
Замечание. В задаче достижения Луны удобными зависимыми переменными
являются функции
У ■
VQmin cos i и z = У!щъ sin ir
где Qmin — минимальное расстояние траектории от центра Луны, a i — наклон
плоскости селеноцентрической траектории к какому-либо фиксированному лучу на
поверхности Луны. В частности, при отыскании величин предельно допустимых ошибок в
начальных данных целесообразно производить интерполяции по начальным параметрам
на значение рлне с функцией y=Qmm(x), а с функцией y=V Qmin на значение V§j\*
где Од — ралиус Луны.
212


6.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТОЧКЕ ВСТРЕЧИ И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ
ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Задача о точке встречи КА с Луной при старте с ИСЗ является тем частным
случаем аналогичной задачи при запуске с поверхности Земли, когда снимаются
ограничения, связанные с фиксированностью географических координат точки старта. Поэтому
ниже формулы и графики приводятся для случая запуска с поверхности Земли.
6.4.1. Решение задачи определения точки встречи с Луной при заданном наклонении
плоскости траектории к плоскости экватора
При решении задачи об определении точки встречи в простейшей постановке
считаем избыток AV\ начальной скорости над местной параболической заданным. Поскольку
время полета Т весьма слабо зависит от угла 0i начальной скорости с трансверсалью,
то приближенно можно считать, что упрежденная точка движется *на постоянном
угловом расстоянии (оТ впереди Луны. В момент t\, когда плоскость траектории,
поворачиваясь в суточном движении вместе с Землей, проходит через точку на лунной орбите
с долготой
Qy = Qn(t) + taT (6.79)
(где Qj}—долгота Луны), оказывается возможным достижение Луны.
Соответствующее значение угла 0i однозначно определяется как функция &у по величине
избытка Д1Л начальной скорости и величине Ф\ пассивной угловой дальности с помощью
итераций, аналогичных применявшимся в п. 6.2.
Зная долготу точки старта и положение Qj] (t) Луны (берется из
Астрономического ежегодника), можно для любого значения AV^AVimin с помощью зависимостей
Я(£2у) (см. рис. 6.36), Qy(Q^) (6.79) и Qn (t), задаваясь различными значениями t
и интерполируя (как в конце разд. 6.4.1), вычислить заранее на каждые сутки
момент t\ выхода на траекторию, угол 0i начальной скорости с трансверсалью, высоту Ни
параметр Pi(AV'i, H\) и угловую активную дальность полета Фа(0ь Pi). Затем можно
уточнить решение задачи о точке встречи с учетом зависимости времени полета от угла
01 И ВЫСОТЫ Н\.
Так как за сутки Луна смещается по орбите в среднем на 13°,2 примерно в том
же направлении, в котором вращается Земля, то интервалы между двумя
последовательными моментами t\ будут превосходить сутки в среднем на 6,9 ч (точка старта
вместе с Землей поворачивается на 15°/ч).
Решим теперь другую задачу: не задавая величины AVi произвольно, определим
ее таким образом, чтобы для любых заданных суток при выходе на траекторию в
соответствующий условию встречи момент времени t\ энергетические затраты были
наименьшими. Поскольку момент U заранее неизвестен, задачу следует решать в следую-
шем порядке. Задавшись произвольным значением Qy, находим аргумент широты u0(QY)
<см. рис. 6.35). Затем, используя метод итераций (см. разд. 6.2.3), находим из
условия минимальности характеристической скорости Ux избыток AVi начальной скорости
над местной параболической, угол 0i начальной скорости с трансверсалью, начальную
высоту Hi и активную угловую дальность Фа. Далее определяем время Т(AV\, 0Ь Hi) =
— T(Qy) и величину
Qn (£у) = Qy — о)Г (Qy). (6.80)
Во всех случаях для определения времени полета T(QY) по величинам п, 9ь
APi, найденным итерациями для заданного значения £2У, вычисляем по формулам (6. 15)
параметр р\ конического сечения, его большую полуось а\, эксцентриситет в\ и, наконец,
истинные аномалии Ь\ и $2 точек, соответствующих началу и концу пассивного участка
траектории полета:
(6.81)
ui^arccos — f-£±-—A I $2=:arccos — ( — — 1 )
Время полета для случая AVi<0 находится по формулам:
£i-2arctg(1/b^tg~1- ); (6.82)
-2arCtg(]/l
E2 = 2arctg^l/ ^-^tg^-\; (6.83)
T(Qy)=,y
— [E2 — Ei — ei( sin E2 — sin £i)],
rl
(6.84)
где Ei и E2 — эксцентрические аномалии начальной и конечной точек пассивного
участка траектории, а для случая AVi>0 — по формулам:
213


/1 = arch[^(l-
/2=агсь[^(1-^)]; (6.85)
T(Qy)-
И
V [/i — /2 Ч- ^1 (sh /2 — sh/i)].
(6.86)
Зная зависимости X(QY), Qji (&y) и &л(0> определяем, как и в предыдущем
случае, моменты времени t\ и соответствующие начальные данные на любые заданные
сутки. В задаче встречи при условии 8 i=const величины избытка начальной скорости над
параболической для различных значений Qy, т. е. для различных суток месяца, будут
существенно разными: время полета Т и величина упреждения будут заметно меняться
с изменением положения Qy упрежденной точки.
В рассматриваемой задаче существует вполне определенное максимально
возможное значение 0i max угла 0ь Оно соответствует максимальному значению Ф\ max
пассивной угловой дальности и минимальному значению AV\ min избытка начальной
скорости над местной параболической, т. е. минимальному значению APi min величины
APi = (A^i/Vr„)(2 + AKi'VrII).
110
100
90
ВО
70
60
50
kO
5(7
20
9,
еГ
j>:
т
max
--J
го зо w
Яу, град
Рис. 6.48. Примерная
зависимость времени полета Т на
пассивном участке траектории
от положения Qy упрежденной
точки при фиксированных углах
0! вектора начальной скорости
с трансверсалью (9i'<0i"<
<ei"'<...<9imax)
Рис. 6.49. Связь упрежденного
Qy и текущего Qл положений
Луны при фиксированных
углах 0i вектора начальной
скорости с трансверсалью (0i'<
<l0l"<0l'"<...<01max)
Максимальное значение 9, max может быть определено ™слеД°вательны1™ п£и£>
лижениями. Задавшись какими-либо значениями 0i<0i max и APi>Api mm, по рис. о. эо
находим ri(9b Api) и Фа(0ь Api).
Затем находим
V = — И Ф1=180° — [(и0)т1п + ФаЬ (6'87>
где берем в качестве г2 расстояние между центрами Земли и Луны, а
(«o)min = uo\q -о-
Наконец находим новые 3)начения 0i и APi по формулам:
Ф1
cos20i =
Ф±9 \
(1 — v2) + v(2 — v) sin2 —
д^ ,__ _ v (1 _ v C0S2 60/(1 — V2 COS20O>
(6.88)
214


получающимся с помощью выражений (6.18) и (6.19), и повторяем итерации до
установления величин 0i и Api с нужной точностью. Задаваясь различными значениями
О !^const< 0i max и Qy и проводя итерации для определения величин |3Ь ги Фа, Т,
находим последние как функции Qy.
Примерные кривые зависимостей T(QY) при постоянных значениях 0i приведены
на рис. 6.48, семейство кривых £2д (Qy) показано на рис. 6,49. Кроме того, как и в
предыдущих задачах, для каждого значения 0i имеем зависимости X(QY) (см. рис. 6.36)
и йл(').
Для определения моментов времени t\ выхода КА на траекторию пассивного
участка с целью достижения Луны в окрестности наивыгоднейшей точки на ее орбите в
заданном месяце заданного года следует воспользоваться Астрономическим
ежегодником на этот год. Учитывая, что наивыгоднейшая точка &л =0 соответствует
наименьшему склонению Луны (относительно плоскости экватора), из ежегодника находим
момент h0 звездного времени, когда Луна
проходит эту точку. Пусть а0 — прямое
восхождение Луны в момент h0.
Находим
а^=--а0— 180°; Хгр = Л —а^, (6.89)
где ах —угол поворота меридиана
этой оси от точки Y» а ^гр — угол
поворота гринвичского меридиана от
меридиана оси X. (Нуль вверху означает, что
величина берется в момент h0.)
Угол поворота меридиана точки
старта от меридиана оси X в момент
времени h
Хл = Х?р+ h* (6.90)
где Х0— географическая долгота точки
старта В0.
Формула (6.90) и вторая формула
(6.89) справедливы для любых
значений h, а первая из формул (6.89) —
только для значения h = h0, т. е. для
♦случая, когда Луна находится в
наивыгоднейшей точке &л =0. Обозначим
соответствующее этому положению Луны значение Я(/г0) через Я0. Теперь, задавшись
значением угла 0i наклона вектора начальной геоцентрической скорости к местному
горизонту, находим из рис. 6.49 для момента времени h по значению Qn = (o(h—h0)
соответствующее значение Qy(Qn), а по нему с помощью, рис. 6.36 — необходимое значение
,^(Qy)=>uy (здесь со — угловая скорость обращения Луны).
С другой стороны, располагаемое значение угла поворота меридиана точки старта
от меридиана оси X в момент времени h
Хл = ХО + со3(Л-Ло), (6.91)
тде ©з —угловая скорость суточного вращения Земли.
Найдя для двух значений h значения разности A=hx—А,у и интерполируя по h на
значение Л=0, в пределе получим (на каждые сутки) момент времени t\ выхода на
пассивный участок траектории и соответствующие значения
Qy, X(£y), £л(£у), T(Qy).
Примерный характер изменения времени полета T(Qy) от изменения положения
Qy точки встречи КА с Луной при постоянных углах 0i виден на рис. 6.50. На
кривых T = T(Qy) | g =const размещение точек с одинаковым значением N±k, k=\, 2,...,
даты соответствует попаданию в Луну в фиксированные даты пуска. Эти точки
образуют слабо наклонные линии. Приближенно их можно считать прямыми.
6.4.2. Выбор невозмущенной траектории попадания в Луну
с учетом прямой видимости встречи из заданного пункта
В настоящем разделе рассматривается выбор номинальной траектории с учетом
условия оптимальной видимости (из -заданного пункта Я) КА перед его встречей с
.Луной.
Под условием оптимальной видимости понимается требование, согласно которому
угол возвышения направления пункт — КА над горизонтом пункта Я в определенный
отрезок времени т, предшествующий встрече с Луной, является наибольшим (например,
для удобства радионаблюдения встречи). В момент соударения с Луной этот угол будет
50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30
Я у, град
Рис. 6. 50. Приближенная зависимость
времени полета Т на пассивном участке
траектории от упрежденных' положений Qy Луны
для энергетически оптимальной даты
старта N и близких к ней дат в одном месяце
215


наибольшим в том случае, если для этого момента времени долгота КА (или Луны)
равна долготе пункта Я, т. е. (см. рис. 6.34)
180о + [(^о-Хя)-а(д0, Qy)\=t»3(ta + T0)-2jtn, (6.92)
где Я*0—Ян = const — разность географических долгот точки старта В0 и пункта Я;
а — разность долгот точки старта и узла Qy в момент старта, определяемая
формулами (6.21) — (6.23) (см. рис. 6.36); о>з—угловая скорость суточного вращения
Земли; tz — время полета на активном участке траектории; Го — оптимальное время
полета на пассивном участке, а п>0 — целое число звездных суток, содержащихся во»
времени Г0.
Чтобы угол возвышения КА был наибольшим не в момент соударения, а на
время т/2 раньше, следует увеличить время полета Го, определяемое из выражения (6.92),
на величину т/2 и для определения времени Г0 использовать формулу
7"o=^[t(2n+l) + (XBo-X//]-c(ao, Qy)]+(-j--tay (6.93)
Если азимут а0 постоянен (что в дальнейшем и будем предполагать), то
величина а при изменении £2У в диапазоне |£2У|<30° изменяется весьма слабо (см.
рис. 6.36), так что для расчетов с точностью порядка 1° (около 4 мин) можно считать
величину а постоянной (и равной 20° для азимута а0=35° и выбранной в разд. 6.1.2 точке
старта). Тогда найдем левую'часть выражения (6.92), приняв за пункт наблюдения
Москву (А,н=37°,6), и получим время полета в часах
Го = 23,93./!+ 12,45+ (— — tX (6.94>
Число п может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4, так как время полета до лунной
орбиты может достигать 4,5 сут. Определим его в предположении, что т/2 = ^а.
Энергетически оптимальные начальные скорости близки по величине к местной параболической
скорости. Таким скоростям соответствует время полета около двух суток, и
энергетически наиболее выгодными будут значения я=1 и п = 2. Значение п = 2 соответствует
значительно меньшим величинам избытка AV\ начальной скорости над местной
параболической, чем значение п=\, и согласно разд. 6.3.3 требует реализации начальных данных
с более высокими точностями. Примем п=\ и получим Г0 = 36,38 ч.
Пренебрегая слабой (согласно рис. 6.13) зависимостью времени полета от угла 0i
возвышения вектора начальной скорости, по сплошной кривой (а = 384400 км) на
рис. 6.51 находим, что оптимальному времени полета Г0~36,4 ч соответствует
величина избытка AV\ —0,158 км/с.
Угол возвышения е направления пункт — КА над горизонтом пункта
наблюдения выражается через S — угол, на который перемещается наблюдаемый объект от его
кульминационной точки за время А/ [это перемещение обусловлено суточным
вращением Земли (рис. 6.52)]:
sin £ = cos 5 cos 5 cos ty + sin 5 sin ф (6.95)
где г|;я — широта пункта наблюдения (см. сферический треугольник zEP' на рис. 6.52).
Предполагаем, что имеет место наименьшее склонение КА б(б>—в), где в —
по-прежнему угол между плоскостями земного экватора и орбиты Луны.
Перемещением КА относительно звезд здесь можно пренебречь, поскольку оно мало (угловая
скорость КА на расстоянии Луны почти в 5 раз меньше угловой скорости обращения Луны
вокруг Земли).
В области е>0 для значений широты я|)н>|6| (б<0) функция e(S) монотонно
возрастает от нуля, достигая максимума етах, и затем монотонно убывает до нуля
симметричным образом.
Измерив угол S в часах и построив семейство кривых e(S) |§^const, по кривой
6=6min и критическому значению e = emin = 0 найдем диапазон номинальных значений
времени полета (Т{, Т\ ), симметричный относительно абсциссы точки кульминации.
Допустимый диапазон значений Г будет уже за счет существования области возможных
отклонений скорости от номинальной, обусловленных ошибками выведения. Например,
для разбросов 6Vi~±8 м/с и с учетом того, что максимальная производная дТ/дУ^ж
~—300 с2/м (при наименьших рассматриваемых в данном примере значениях 6V\),
находим, что диапазон номинальных значений времени полета уменьшится с каждого
края на величину 6^«0,7 ч. Находим границы интервала гарантированной видимости
соударения:
T\ + bt <Т < Ц — \Ы.
При Т > Т" — Т^Л-Ы соударение будет невидимо, так как произойдет слишком
поздно, а при ТкТ' =Т\ — Ы соударение будет невидимо, так как произойдет слишком
рано. Вне диапазона (Г", 7") имеем область гарантированной невидимости соударения,
а при Т' <СТ <^Т\ + Ы и Т\—Ы < Г <Г" — область возможной невидимости.
Нанеся полученный диапазон времени на рис. 6.48 и рассматривая соответствую-
216


щие ему кривые ^(^y)|e1=Const, можно определить максимальное 61тах и минимальное
tilrain значения угла 0ь при которых в окрестности точки Qy = О еще возможно
соударение с Луной, контролируемое из пункта наблюдения.
При максимальном значении 8,i = 0i max в каждом месяце количество дней, в
которые возможен запуск КА к Луне, является максимальным. Энергетические ограничения
могут уменьшить это количество дней.
При наличии узких энергетических границ, т. е. при условии. |Qy| <|Qy|max,
имеется определенный диапазон значений 9ь для которых кривые 7,(^y)|e1„Const всюду
проходят в области видимости соударения из пункта наблюдения. Оптимальное значение
Рис. 6.51. Зависимость времени полета Т Рис. 6.52. Небесная сфера над гори-
на пассивном участке траектории от избыт- зонтом пункта наблюдения
ка AV\ начальной скорости над местной
параболической при различных
расстояниях а от центра Земли до точки встречи КА
с Луной
9i следует искать с учетом расположения на кривых Т (2у) |gie.const точек,
соответствующих попаданию в конкретном месяце (ib to время как предыдущее рассмотрение
имело место для любого месяца)* Имея расчеты кривых ГШУ) (см. рис. 6.50) для
конкретного месяца, интерполяцией можно найти параметры 6Х и 6j кривых, проходящих
через точку пересечения прямой Т~Т0 соответственно с линией N энергетически
оптимальной даты или с линией N—1 предыдущей даты. Характеристики траекторий с
fy = 6j для Других дат находятся интерполяцией всех параметров по линиям этих
дат на значение 6j = 01#
6.4.3. Расчет характеристик движения относительно Земли и Луны
Зная в системе координат, в которой ось Z нормальна плоскости орбиты Луны,
а ось У направлена по линии пересечения плоскости лунной орбиты с плоскостью
экватора в нисходящий узел, численные значения координат Хг Y, Z и скоростей X, Y, Z
КА (рис. 6.53) в произвольный момент времени, географические координаты пунктов
наблюдения (Я*, tft) (i=l, 2, ..., п), а также угол Я (см. рис. 6.34) между
меридианами оси X и точки старта Во в номинальный момент t\ начала пассивного участка,
можно рассчитать географические координаты Яг и г|?г точки, в которой геоцентрический
радиус-вектор объекта пересекает земную сферу (геометрическое место этих точек
является трассой объекта на Земле) [3].
Область на Земле, с границ которой КА будет виден на горизонте, будет кругом
с центром (Яг, 1рг) и угловым радиусом
7о = arccos —, г = ]/~Х2 + Г2 + Z2, | (6.96)
где Го — радиус поверхности Земли, а г — геоцентрический радиус КА.
Определим точку на Луне, над которой находится КА, и угловой радиус части
лунной сферы, видимой с КА.
217


(x,U).
(xx z)
Рис. 6.63. Определение
характеристик видимости
КА вдоль
траектории из пункта
наблюдения Hi
в,град
20
W
о
-ю
-20
-3D
-40
-50
-60
1
К у
\уу
0 5
11
" N
7 /
5 2
v
\
V
0 2
5 3
уЕ
0 t.4
Рис. 6. 54. Возможный характер изменения во времени углов е
возвышения направления «пункт—КА» над горизонтом Москвы
е.*
км
400000-
300000 -
200000 -
100000 -
п
га
гракрц
-looeol
- 60\
-50 Щ
- 20\
0
V,km/c
г
ГУ
4 X
7 \_
Z X.
^
"\
■
, ^
^L
ъ\
'Г
<v\
О 5 W '5 W 15 30 35
t,l
Рис. 6. 56. Изменение во времени
геоцентрического расстояния г, селеноцентрического
расстояния Q, геоцентрической скорости V,
геоцентрического углового радиуса у0 окружности
на поверхности Земли, с которой КА виден на
горизонте, и геоцентрического углового
расстояния р между направлениями из центра
Земли на КА и центр Луны
218


Пусть Хд, Уд— координаты центра Луны (напомним, -jto согласно выбору
системы XYZ имеем Zд~0, Хд—О). Угол ф отклонения радиуса-вектора центра Луны ог
оси X и величина этого радиуса-вектора определяются формулами:
^л Хд
л гл
Преобразование системы координат XYZ в систему grj£, изображенную на рис. 6.41,
дается формулами:
5 = (*л - х) c°s <Р 4- (Уд - К) sin ср; |
т| = — {Хд — X) sin <р + (Гл— Г) cos ср. (6.98)
C=Z. )
Полярные координаты А/, г|/ произвольной точки трассы КА на поверхности Луны
находятся по формулам:
С Г) £
sin <|/ = — ; sin У —- ■—; cos X' = , (6.99)
Q Q COS <]/ Q COS <J/
где q = V(X — Хд)2 + (^ — ^л)2 + (2—^л)2 — расстояние от КА до центра {Хд, ^Л,
0) Луны, движущейся со скоростью (Хд, Уд, 0). Величина угла г|/ отсчитывается
от плоскости £г| в сторону значений £>0, а величина угла W — в плоскости £т| от оси | в
сторону значений г)>0. Угловой радиус части лунной сферы, видимой с КА, очевидно,
выразится первой из формул (6. 96) с заменой отношения г0/г отношением рл/Q-
Угол Р между геоцентрическими радиусами КА и Луны находится по формуле
cosfi =
гл =
ХХЛ+¥УЛ
ггл
= Vxl+rl
де л (6.100)
Полученные выше формулы не связаны с какими-либо допущениями относительно
действующих на КА сил и годны как при приближенном, так и при точном учете этих
сил для любой даты запуска.
Пример расчета
Результаты расчета по формулам разд. 6. 4. 2 и 6. 4. 3 для траектории,
характеризуемой избытком начальной скорости над местной параболической AVri = 170 м/с,
приведены на рис. 6. 54 и 6. 55. С помощью изложенной методики получается время полета
Г0 = 35,4 ч, а по точному расчету (с учетом влияния Луны и пр.) Го=35,35 ч.
Соответственно отличаю времени полета от номинального (Го^ЗбД ч) кривая z(t)
на рис. 6. 54 угла возвышения КА над горизонтом Москвы оканчивается на значении
6\2таХ-
На рис. 6.56 приведены примерные зависимости от t текущих характеристик
движения: геоцентрического расстояния г КА, селеноцентрического расстояния Q,
геоцентрической скорости V, геоцентрического углового расстояния р между направлениями из
центра Земли на КА и центр Луны, а также углового радиуса Yo окружности на
поверхности Земли, из точек которой КА виден на горизонте. Скорость V(t) медленно
убывает, в окрестности точки входа в сферу действия Луны она стабильна, и только
незадолго перед моментом соударения ее значение возрастает (примерно до 3 км/с) под
влиянием притяжения Луны.
Функция Р(0 уменьшается быстро потому, что в начале полета угловая скорость
КА велика, а функция Yo(0 быстро растет потому, чю К А быстро удаляется от Земли.
Примерно через 5 ч полета функция Р(0 становится почти линейной. При больших
значениях г угловая скорость КА становится в несколько раз меньше угловой скорости
Луны и Луна почти равномерно «догоняет» КА.
Поскольку плоскость геоцентрической траектории наклонена к плоскости орбиты
Луны на угол /i~70°, то на неподвижной небесной сфере КА будет медленно
приближаться к точке встречи справа и сверху (если смотреть с северного полушария Земли),
а Луна более чем в 5 раз быстрее — справа.
Если азимут КА будем характеризовать азимутом направления некоторого
полярного радиуса, а угол места е — смещением точки вдоль этого радиуса и указанное
смещение будем откладывать от некоторой окружности к ее центру при е<0 и от
центра при е>0, то получим кривые на рис. 6. 56 (вдоль кривых отложено время полета
в часах).
219


Заметим, что если КА проходит через зенит пункта наблюдения (что может иметь
место только для пунктов, расположенных на трассе), то величина азимута изменяется
скачком на 180°.
22,15 _.
,оп-Ж2П0* 09ЧОЧ0^40'51Р6[ГЖ-80ЧРт-71Г-ВОЧ[РФт<Г-Ю9 О9 W ?0Ж
*и I I I I 1—гт—I—|—I—| 1-я—J,- i^ I 1—I—I—I л I \ I 1—I ■—, Qi
90'
±м
Рис. 6. 56. Типичный характер изменения азимута и угла места объекта
вдоль пассивного участка траектории полета к Луне
N
[дг
Г"Д'л#"
I I
>*Д7
еж
уск
АГГ
6.5. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
6.5.1. Анализ влияния Луны как материального тела
Приближенность изложенных в п. 6.4 методик обусловлена прежде всего
пренебрежением возмущениями от Луны.
Изменение энергетических затрат и кеплеровых элементов вследствие учета
влияния Луны на траекторию встречи будет несущественно.
Однако влияние Луны, весьма слабо изменяя форму траектории, заметно
уменьшает время" полета, и соударение КА
'&Titc с Луной происходит в некоторой
более ранней точке ее орбиты, т. е. при
меньших значениях угла Qy.
Уменьшение AT времени полета
обусловлено двумя причинами: во-первых,
ускоряющим действием Луны,
которое сказывается в основном в сфере
ее действия, и, во-вторых, тем, что
соударение происходит не с центром
Луны, а с ее поверхностью, т. е. в
более ранний момент времени.
Соответствующее (см. рис. 6.57)
уменьшение времени полета
АГ = АГУск + АГв„ (6.101)
при значениях 0,l<AVri<0,2 км/с со-
ставляет около 30 мин. С учетом
этой поправки построена
штрих-пунктирная кривая T(AV\) (см. рис. 6.51).
Соответствующей величине AT
поправкой AQy можно пренебречь при
точности методики порядка 1 град.
Оптимальное значение избытка AV\ начальной скорости над местной параболической
уменьшится: на рис. 6.51 находим по штрих-пунктирной кривой AV\ = 0,152 км/с.
Зависимости, по которым находились моменты выхода на пассивный участок
траектории, и соответствующие начальные данные практически не изменятся [3]. Кривые
на рис. 6.50 от учета влияния Луны качественно не изменятся. Номинальные
начальные данные изменятся только за счет опускания кривых T(Qy) относительно
неподвижной прямой Т = Ть (см. рис. 6.50) на сравнительно малую величину AT.
При этом изменятся и границы диапазона значений AVi, соответствующего
условию видимости КА из заданного пункта, хотя соответствующий диапазон Tmin<T<
<7\пах не изменится. По величине Т0, как и в п. 6.4, находятся значения 0lt Qy, вре-
5000
4ооо
3000.
2000
woo
Р ОД 0,0В 0,10 0,14 0,18
AV„kh/c
Рис. 6. 57. Зависимость уменьшения Д7\
времени полета на пассивном участке от
влияния различных факторов и суммарное
уменьшение АГЕ (AV\—избыток начальной
геоцентрической скорости над местной
параболической)
220


bt,C
мя U начала пассивного участка и соответствующие величины /ь Фа, /*ь Н\ для
различных дат старта, при которых возможна гарантированная видимость соударения из
заданного пункта.
6.5.2. Влияние эллиптичности орбиты Луны
Отличия расстояния от Земли до Луны и смещения Луны из точки с наименьшим
склонением от их средних значений, соответствующих круговому движению,
вычисляются по формулам:
Аг2 = 384 400—г2; АЙ = ЙЛ — со(/*—М, (6. Ю2)
где h — рассматриваемый момент всемирного времени;
ho — момент прохождения Луной точки с минимальным склонением.
Уменьшение АТ2 времени полета за счет эллиптичности лунной орбиты при
величине геоцентрической скорости полета вблши орбиты Луны 2 км/с дает поправку
порядка нескольких часов, довольно стабильную по избытку AVi -начальной скорости над
местной параболической, но для каждого дня будет своя поправка АГЭ (ом. среднюю
и нижнюю сплошные кривые на рис. 6.51, отвечающие соответственно расстояниям
г2=370000 и 360000 км).
Уменьшение избытка AV\ номинальной начальной скорости V\ над местной
параболической Vn, обусловленное только уменьшением расстояния г2 на величину порядка
20000 км, составляет примерно б м/с.
Эллиптичность орбиты Луны приводит еще к смещению энергетически
оптимальной точки встречи на этой орбите из положения Qy=0, соответствующего минимальному
склонению Луны, в сторону меньших радиусов г2, т. е. (для 1959—1960 гг.) в сторону
углов ^л<0. Однако можно доказать, что указанное смещение несущественно [3].
6.5.3. Влияние сжатия Земли
Сжатие Земли увеличивает силу земного притяжения у экватора и уменьшает ее
у полюсов, причем влияние сжатия убывает с увеличением геоцентрического расстояния
пропорционально его четвертой степени [11].
Ниже в качестве примера рассмотрим траектории, плоскости которых
наклонены к экватору на угол около 65°. При полете по таким траекториям сначала
достигаются северные широты порядка 65°, а
затем— южные до —18°, и влияние сжатия
в начале траектории частично компенсируется
влиянием сжатия на остальной части
траектории.
Вдоль рассматриваемых траекторий
значение каждой из компонент R, T, W
возмущающего ускорения (проекций на радиус,
трансверсаль и бинормаль соответственно)
переходит через нуль. Поскольку влияние сжатия
весьма быстро убывает с увеличением
расстояния от центоя З^мли, то наибольшая
компенсация должна иметь место для перемещений
по радиусу и трансверсали, которым
соответствуют компоненты R и Т, переходящие через
нуль при относительно малых значениях г, и
меньшая компенсация имеет место для
компоненты W по нормали к плоскости
невозмущенной траектории, так как компонента W
переходит через нуль последней лишь при
широте г|?=0.
Для параболической траектории с
наклонением к экватору *'э=65° и начальной высотой
#i=«1000 км изменение формы траектории,
обусловленное сжатием Земли, будет порядка
1000 км (без учета компенсации).
Соответствующее смещение точки попадания
составляет доли градуса, а с учетом компенсации
оно может стать на порядок меньше.
Изменение АГСж времени полета до Луны с учетом сжатия в основном
происходит за счет изменения -скорости движения на больших расстояниях от Земли, где КА
находится большую часть времени полета, двигаясь с асимптотически убывающей
скоростью. При этом КА, достигнув расстояния г2 в возмущенном движении, проходит
примерно тот же путь s(r2), что и в невозмущенном движении. Это позволяет [3] для
использовавшейся выше параболической траектории получить АГСж =—1630 с.
При гиперболической начальной скорости величина АГСж меньше, чем при
параболической скорости. Для траектории с AVi =0,130 км/с и начальной высотой, равной
1000 км,, поправка АГСж составляет приблизительно 750 с (см. рис. 6.57). Характер
накопления поправки вдоль параболической траектории показан на рис. 6.58, где
абсциссой является аргумент широты КА.
IbUU
1000
500
п
по
Щ
№ 180
а.град
Рис. 6.58. Обусловленное сжатием
Земли уменьшение А^ времени полета
как функция аргумента широты и
вдоль параболической траектории
221


6.5.4. Влияние Солнца
Солнце тоже возмущает движение КА относительно Земли.
Радиальная компонента возмущающего ускорения максимальна при движении по
прямой Земля — Солнце, а тра<нсверсаль'ная — при движении по прямым,
образующим угол 45° или 136° с прямой Земля — Солнце.
Влияние Солнца на боковое смещение КА будет наибольшим в случае, когда
максимальное возмущающее ускорение действует во все время полета ортогонально
траектории. В частности, боковое смещение, соответствующее чисто радиальному движению
под углом 45° к .направлению Земля — Солнце, может служить оценкой; для случая,
когда невозмущенное движение происходит с параболической скоростью [3], оно
составляет несколько сот километров. Это значит, что боковым смещением, вызываемым
возмущающим влиянием Солнца, в рассматриваемой задаче можно пренебречь.
Радиальное смещение будет того же порядка. Соответствующим изменением ДГ'
времени полета, обусловленным этим смещением, можно пренебречь.
Таким образом, при точности приближенной методики порядка градуса
необходимо учитывать только влияние эллиптичности орбиты Луны и сжатия Земли. В силу-
слабости влияния этих факторов на форму траектории и на энергетические затраты
учет этих факторов сводится к учету изменения (уменьшения) времени полета на
пассивном участке траектории. Суммарное уменьшение времени полета A7S (А1Л) от
учета влияния притяжения Луны, конечности ее размеров и сжатия Земли представлено
на рис. 6.57; изменение времени полета с учетом этого уменьшения представлено на
рис. 6.51 пунктирными кривыми (для соответствующих сплошных линий).
Примеры
Расчет номинальных начальных данных с учетом всех второстепенных факторов
проводится аналогично тому, как описано в разд. 6.4, только теперь вводятся
поправки на эллиптичность лунной орбиты к расстояниям и угловым положениям Луны.
Учитывается также суммарное изменение времени полета за счет эллиптичности лунной
орбиты и других второстепенных факторов. Последнее делается точно так же, как в
разд. 6.5.1.
На рис. 6.59 приведены примеры расчета номинального времени полета T(QY) с
учетом второстепенных факторов для тех же дат (N—2)-т-(УУ+3), что и на рис. 6.50.
Условия видимости сближения можно сделать оптимальными, если на каждый
день задавать угол возвышения 0i, обеспечивающий оптимальное время полета Го.
С помощью приближенной методики путем непосредственной проверки всегда
можно выяснить, обеспечивается ли на каждую дату заданного интервала дат
удовлетворительная видимость сближения какой-либо заданной совокупностью кривых Т—
= 7Ч^у)1 6t-const (см. рис. 6.59).
Определение номинальных начальных данных на ряд суток по условию Pi^const
несколько проще, чем по условию Gi^const, и состоит в определении методом
итераций значения угла QY, соответствующего заданному значению Pi и какому-либо
значению 01. Задавшись 'нулевым приближением Qy, находим по функции r2(Qy),
полученной с помощью первой формулы (6.102) и Астрономического ежегодника,
расстояние ^(^у) до Луны в момент соударения и отношение v = /*i(6i, $\)/г2
(^начального радиуса к конечному. Затем из формулы (6. 40) и рис. 6. 33 находим пассивную
угловую дальность Ф\ и аргумент широты точки старта
Wo=l;80°—Фа(0i, Pi)—Фь
где Фа(0i, Pi) — угловая дальность активного участка траектории.
Наконец уточняем значение £2У по формуле
cos uq cos фо — sin щ cos фо cos uq
Формулу (6.40) для определения угла Ф1 удобно лри вычислениях заменить
формулами:
а = 2Рх cos 61; 7 == V~l +а2 —2<zcos6i;
1 —а cos 0i а sin 0i
sin x = ; cos x ~- ,
7 T
1 —av cos 0i
sin у = ; Фг = у + х.
7
Определение времени полета и остальных номинальных характеристик
производится, как и в случае 0i = const.
С учетом второстепенных факторов приближенная методика обеспечивает точность
углового сближения траектории с Луной порядка 1°. При этом ее точность по величи-
222


не начальной скорости составляет около 1 м/с и по углу возвышения вектора
начальной скорости над местным горизонтом — около 0Р,1.
N+2 ,
г=гвн
\N+5/
/
/
i
JV+7 ,
8,'"
в;
"tf
_ _i
>
**~
'А
—-*
1 н
-*£«-/
Tff
JO
ГА 1 "V
1
Jb
и
Г**К
32-
30
И-
SO 4/7 30
Qy, град
20 10
-10 -20 -30
Рис. 6.59. Примерный вид зависимости
времени, полета Т на пассивном участке траектории
от упрежденного положения £2у Луны для
энергетически оптимальной группы дат старта
в одном месяце с учетом влияния
второстепенных факторов (ср. с рис. 6.50)
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. VI
1. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Луне.—«Успехи
физических наук», т. 63>, вып. 1а, 1957. в
2. Е г о р о в В. А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой проблеме трех
точек.— Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 3, 1959.
3. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны. М., «Наука»,
1965.
4.
5.
6.
Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии. М., Физматгиз, 1961.
Левантовский В. И. Ракетой к Луне. М., Физматгиз, 1960.
Л и с о,в с к а я М. С. О траекториях полета ракеты вокруг Луны,— «Бюлл. ин-та
теоретич. астрономии», т. 6, № 8 (81), 1957.
7. По спер ге л ис М. М. Доклад на Совещании по вопросам математической
теории движения искусственных небесных тел.—«Астрономический журнал», т. 37,
вып. 2, 1960.
8. Седов Л. И. Орбиты космических ракет в сторону Луны.—Сб.
«Искусственные спутники Земли», вып. 5, I960'.
9. Скид мор Л. Д., Пенцо Р. А. Моделирование управления на среднем
участке траектории полета к Луне с помощью метода Монте-Карло.—«Ракетная техника
и космонавтика», 1963, № 4.
10. Субботин М. Ф. Курс небесной механики, т. 2, ОНТИ, 1937.
11. Т а р а т ы н о в а Г. П. О движении искусственного спутника Земли в
нецентральном поле тяготения при наличии сопротивления атмосферы.—«Успехи физических
наук», т. 63, вып. 1а, 1957.
12. Тросе, Определение орбиты для полета к Луне.—«Ракетная техника»,
1962, № 4.
13. Турский В. С. К вопросу о траекториях столкновения и захвата в задаче
трех точек.— Сообщения ГАИШ, № 114, 1961.
14. ФесенковВ. Г. К вопросу о захвате при близком
прохождении.—«Астрономический журнал», т. 23, вып. 1, 1946.
15. Чеботарев Г. А., Симметричная траектория для полета вокруг Луны.—
«Бюлл. ин-та теоретич. астрономии», т. 6, № 7 (80), 1957.
16. Almar I. Balazs В.,Approximate method of ploting the orbit of space
rocket passing near the Moon, Magyar, tud. akad. Mat. Kutato int. kozl. vol. 4, No. 2,
1959.
17. Bekessy A., Toth K-, Remark of the paper «Approximate method of plotting
the orbit of space rocket passing near the Moon» by Almar I., Balazs B. Magyar,
academ. Mat. Kutato int. kozl. vol. 4, No. 2, 1959.
18. Bucheim R. W., Artifical satellites of the Moon. Proc. VII
(Rome, 1956). Associatione Italiana Razzi (Rome, 1956).
19. С о 1 d. Earth-Moon rocket trajectories, I. ARS Preprint, June 1958.
20 Ehricke K. A. Cislunar operations, ARS Preprint, June 1957.
IAF
tud.
Congress
223


21. Goldbaum G. С, Gunkel R. J. Comparison of two-and three-dimentional
analisis of Earth-Moon flight, Proc. Amer. Astronaut. Sec, Western Regional Meeteng,
Palo Alto, August 1958.
22. Hill G. W. Lunar theory. The Americ. Journ. of Math., vol. 1, part 23, 1877.
23. H о h m a n n V. Die Erreichbarkeit des Himmelskorpers, Munchen — Berlin,
1925
' 24. H о р f E. Mathematische Annalen, No. 103, 1930.
25. К i z n e r W. A. A method of discribing miss-distances for lunar and
interplanetary trajectories. Planetary and Space Sci. vol. 7, pp. 125—131, 1961.
26. M i с ke 1 w a i t A. BM Button R. C. Analitical and numerical studies of
three-dimenshional trajectories to the Moon. Space Technol. Laboratories, Inc., dated
10 November 1958, presented at the IAS National Summer Meeting, June 16—19, 1959.
27. Kooj J.M.J., Berghuis J. On the numerical computation of free trajectories
of lunar space vehicle, Astronautica Acta, vol. 6, No. 2—3, 1960.
28. Lawden D. F. Journal of the British Interplan. Society, vol. 13, No. 6, 1954,
vol. 14, No. 4, 1955.
29. Lieske H. A., Circumlunar trajectory studies. RAND Paper, June 1958.
30. Mickelwait А. В., Lunar trajectories, ARS Journal, vol. 29, No. 12, 1959.
31. Miele A. Theorem of image trajectories in the Earth-Moon space. Astronautica
Acta, vol. 6, No. 5, 1960.
32. N i m a n A. Astronautical velocity and timing carts for use in space travel.
Journ. of the British Interpl. Soc. vol. 19, No. 1, 1963.
33. R i d d e 11. Initial azimuth and times for ballistic lunar impact trajectories.
ARS Journal, vol. 30, No. 5, 1960.
34. Stromgren E. Publicationern fra Kobenhavns obs., No. 100, 1936.
35. Walters L. G., Lunar trajectory mechanics. Navigation, vol. 6, 1958


ГЛАВА VII
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ОТ ЗЕМЛИ К ЛУНЕ
И ВОЗВРАЩЕНИЯ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А\ — азимут траектории в сфере действия Луны.
а>\> а>2— большая и малая полуоси эллипса влияния.
В\, В2, В3—точки траектории: начальная, на сфере действия и конечная.
С — вектор геоцентрического кинетического момента.
С\, Сг — компоненты С на плоскости, ортогональной г2.
h — высота КА над поверхностью Земли.
I, /3— наклонение орбиты Луны и орбиты КА к плоскости экватора Земли.
*Л — наклонение орбиты КА к плоскости орбиты Луны.
П— плоскость орбиты ИСЛ.
R — радиус пятна разбросов.
/?з— средний радиус Земли.
г— расстояние КА до центра Земли.
г0 — расстояние от конца активного участка траектории до центра Земли.
г, т, Ь — орты по радиусу, трансверсали и бинормали на орбите Луны.
г2—селеноцентрический радиус точки выхода из сферы действия Луны.
'Л = 384 400км— большая полуось лунной орбиты.
гт — заданное предельное расстояние траектории возвращения от центра
Земли.
Т — время пассивного полета от Земли до Луны.
Т\,2— время полета в сфере действия Луны.
tu — момент создания ИСЛ.
t* — момент пересечения сферы действия.
t\ — момент начала движения по траектории возвращения.
t2 — момент выхода из сферы действия Луны.
U — вектор выходной селеноцентрической скорости.
V*, V*— минимальная и критическая величины селеноцентрической выходной
скорости.
и, v, w — невращающееся пространство выходных скоростей; индексы
соответствующих компонент скорости.
V— геоцентрическая скорость КА.
VKOp — максимальный корректирующий импульс.
VT — селеноцентрическая скорость КА у поверхности Луны.
Vi, вь 4i—модуль, угол возвышения и азимут начальной скорости пассивного
участка.
Vл— вектор скорости Луны.
V2 — селеноцентрическая скорость выхода из сферы действия Луны.
Vn — геоцентрическая местная параболическая скорость.
Ут — геоцентрическая скорость на расстоянии гт .
8 3669
225


Vx — максимальная трансверсальная компонента выходной геоцентриче
ской скорости.
X, Y,Z—~ невращающаяся геоцентрическая система координат.
х, у, z— невращающаяся селеноцентрическая система координат,
ал — аргумент широты Луны.
Y— угол между направлениями с Луны на КА и на Солнце.
AVo— избыток начальной скорости над параболической.
ба — максимальная ошибка ориентации импульса в плоскости коррекции.
6(3 — максимальная ошибка ориентации импульса перпендикулярно к
плоскости коррекции.
бУкор— максимальная ошибка модуля импульса коррекции.
ЬЬа> bb^,bbv — отклонения в картинной плоскости, вызванные ошибками ба, 6(3,.
б Укор, соответственно.
б Vi, 60Ь 6ЛЬ 6pi — вариации начальных параметров.
6i — угол наклона вектора скорости к местному горизонту.
К — долгота точки посадки.
\i~ — гравитационный параметр Земли.
g, г\ — система координат в картинной плоскости у Луны,
g, т], £—селеноцентрическая система координат, вращающаяся вокруг оси £
(ось g направлена к центру Земли).
Рь фь ^i — сферические координаты начальной точки.
-*■
Q*— селеноцентрический выходной радиус.
р— расстояние от КА до центра Луны.
т— индекс трансверсальной компоненты.
Фл» Ад— широта и долгота точки старта в системе £, г\, £, фиксированной на
момент t\ начала пассивного участка.
Фь ai — селеноцентрическая угловая величина и азимут смещения начальной
точки из номинальной.
Ф — угловая дальность полета в сфере действия, широта точки посадки.
Фр, Фн—располагаемая и необходимая угловые дальности полета в сфере
действия.
—*■
%— угол возвышения U над плоскостью (и, v).
Ч1"— угол вектора 0 с осью и (долгота).
Q, fi3 — долгота восходящего узла орбиты КА и Луны соответственно.
со — угловая скорость обращения Луны вокруг Земли.
7.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ОТ ЗЕМЛИ К ЛУНЕ
7.1.1. Схема полета к Луне
В настоящем разделе рассматриваются вопросы, связанные с выбором траекторий
для мягкой посадки на поверхность Луны в предположении, что старт происходит с
промежуточной орбиты ИСЗ (см. гл. VI). Такая схема выведения позволяет
осуществлять полеты к Луне при любых ее положениях на орбите без энергетических потерь,
связанных с фиксированностью координат точки старта. Рассматривается схема
посадки, для которой траектория у Луны должна быть близка к осевой траектории пучка,
проходящей через центр Луны. Назовем эту осевую траекторию номинальной. В этом
случае тяга двигателя при торможении должна быть направлена приблизительно по
нормали к поверхности Луны. Поскольку выведение аппарата на траекторию Земля—
Луна производится неточно и траектория может отклониться от центральной на
величину, превышающую допустимые отклонения, проводится коррекция движения
аппарата.
Кроме того, при выборе траекторий полета на Луну принимается, что посадка на
поверхность происходит лунным утром, т. е. тогда, когда угол возвышения Солнца над
лунным горизонтом, возрастая, проходит через ноль.
7.1.2. Основные характеристики номинальных траекторий
Основные параметры траекторий Земля — Луна [2, 3] можно определять,
пренебрегая влиянием Луны вне ее сферы действия по отношению к Земле и влиянием
Земли — внутри этой сферы. Гравитационные поля Земли и Луны считаются
центральными. Тогда вся траектория разбивается на две кеплеровых дуги —
геоцентрическую и селеноцентрическую. По первой движение происходит от Земли до границы
сферы действия Луны, а по второй — от этой границы к Луне.
226


Внутри сферы действия Луны номинальная селеноцентрическая траектория, а
также траектория после точного проведения коррекции считаются прямыми, проходящими
через центр Луны (т. е. центральными траекториями). Отклоненные траектории
являются гиперболами с фокусом в центре Луны.
Анализ траекторий может быть проведен также с помощью численного
интегрирования уравнений движения (с учетом возмущений) или более простым методом:
попаданием в непритягивающую Луну. Все эти методы приводят к весьма близким
результатам.
Ниже геоцентрическая орбита Луны считается плоской, круговой с постоянными
наклонением /=19э и долготой восходящего узла Q относительно плоскости земного
экватора (рис. 7.1).
Рассмотрим изменение энергетических характеристик траекторий полета к Луне в
зависимости от условий старта с
промежуточной орбиты. Энергетические
затраты (расход массы) на
коррекцию и торможение определяются
в основном величиной начальной
скорости (полной энергии движения)
и мало зависят от высоты /г0 и угла 0О
наклона вектора скорости (к
местному горизонту) в конце активного
участка перехода с промежуточной
орбиты ИСЗ на траекторию полета
к Луне. Поэтому величины г0 —
= R3+ho и 0о фиксируются. В
расчетах принимается /-0=6700 км,
00 = 8°.
Свободными параметрами,
определяющими траектории полета, будут
величина начальной скорости V0 и
аргумент широты Луны ал.
При полете к Луне в
зависимости от места старта с промежуточной
орбиты возможны два варианта
полета: «северный», когда старт
происходит в районе восходящего узла &з
промежуточной орбиты ИСЗ в север
ном направлении, и «южный», когда
старт происходит со сдвигом
примерно в полвитка, т. е. в районе
нисходящего узла промежуточной
орбиты ИСЗ, в южном направлении. В первом случае начальный участок траектории
проектируется на северное полушарие, поэтому аппарат хорошо наблюдается из пунктов,
расположенных в северном полушарии, и, в частности, с территории Советского Союза.
Это удобно для организации траекторных измерений в начале полета с целью
определения фактической траектории. Поэтому ниже рассматривается только «северный»
вариант полета.
Будем считать наклонение i3 промежуточной орбиты к экватору фиксированным
(^з=65°). Тогда положение ал Луны в момент встречи, зависящее от времени запуска
КА, однозначно определяет наклонение /л плоскости невозмущенной траектории КА к
плоскости орбиты Луны. Зависимость *л=*л(ал) приведена на рис. 7.2. Из рисунка
видно, что экстремальные значения ij\ соответствуют совпадению узлов ИСЗ и орбиты
Луны. Максимальное значение этого угла
*Лтах = 1'з+1" = 84°
достигается при совпадении разноименных узлов. Минимальное значение
*Лт1п = 1'з—1 = 46°
достигается при совпадении одноименных узлов. В обоих случаях встреча должна
происходить в узле.
Изменение селеноцентрической скорости КА у поверхности Луны VT (при
отсутствии торможения) в зависимости от AVo = Vo—Vn и ij\ приведено на рис. 7.3, где
Рис. 7. 1. Проекции земного, экватора, орбит
КА и Луны на единичную сферу
'-/*•
*V
398600 кмЗ/с2.
Наименьшее значение AV0 соответствует (приближенно) полету к Луне по
минимальному эллипсу, достигающему орбиты Луны. Скорость VT определяет затраты
топлива при торможении. Зависимость VT(AVo)—монотонно возрастающая и близка к
dVT
линейной; при А1/0 = — (90-5-80) м/с среднее значение производной ^4,0; с увели-
OVq
чением наклона i л от 46° до 84° скорость встречи возрастает примерно на 45 м/с.
8*
227


Иногда более удобно при анализе траекторий полета пользоваться не величиной
ДУо, а временем Т пассивного полета до Луны. Зависимость между величинами Т и
AV0 монотонна (рис.7.4).
Принятая схема посадки (вертикально к поверхности Луны) определяет
геометрию подлета к Луне (рис. 7.5). При этом посадка происходит в определенный район
Луны, характеризующийся в зависимости от AV0 следующими селеноцентрическими
широтой ф и долготой К. При Д1/0 = — 84 м/с (Г«3,5 сут) широта ср«(9—10°), долгота
град I 1
90
65 ГП
80 \
75
70
65 [
60 1
55
5о\ [
451 1 l_uj
0 25 50 75 tOO J25 /50 осП)град
Рис. 7.2. Зависимость наклонения ij\ от аргумента широты
Луны ал
X=(62°-f-65°) з.д., а при AV0 = — 40 м/с (Г«2,5 сут) широта ф=6,5°ч-7,5°, долгота А,=
= (40ч-43°) з.д.
С уменьшением энергетики полета (с увеличением времени полета) точка посадки
смещается к левому краю видимого диска Луны. При этом отклонения от лунного
экватора невелики и мало зависят от энергетики полета. Указанный район посадки распо
ложен в Океане Бурь.
Требование посадки КА на утренний терминатор при заданном месяце для
старта фиксирует угол ал, определяющий положение Луны на ее орбите (вследствие
фиксированное™ направления на Солнце). При этом угол у между направлением на КА
с Луны в момент подлета к ней и направлением на Солнце близок к 90° (см. рис. 7.5).
В зависимости от допустимого отклонения угла у от 90° для каждого месяца
существуют одна или более дат старта, обеспечивающих сближение с Луной,
при таких условиях.
2,51_1_J I 1 1 1 J 1 « " ■ ' 21 I I I I 1 I I I I 1 I 1
-0,10 -0,09 '0,0% "0,07 -0,06 -0,09-0,0* -qjq -цод -0,08 -0,07 -Ц06 -D,D5-0,0b-
&V0>km/C &V0,km/c
Рис. 7.3. Зависимость скорости КА VT Рис. 7.4. Зависимость времени Т по-
у Луны от величины AV0 лета к Луне от величины AV0
Важной характеристикой траекторий является расположение по времени
интервалов видимости аппарата из пункта радионаблюдеиия, за который здесь принята
Крымская астрофизическая обсерватория. В табл. 7.1 приведены некоторые интервалы радио-
228


видимости КА для траекторий с А1/0 = —84 м/с и Л1/0 = —40 м/с и ал =15°; 45° и 75°.
Интервалы видимости даны для угла места над горизонтом более 10°.
Рис. 7. 5. Схема подлета КА к Луне
Таблица 7.1
Интервал
II
III
IV
«л
15
45
75
15
45
75
15
I 45
75
То» СУТ
1,425
1,415
1,405
2,43
2,42
2,41
3,43
3,42
3,41
1 AT
AT, час
2
5,73
6,33
6,67
5,48
6,3
6,4
5,1
5,26
5,32
Т^вид, СУТ
1,19—1,66
1,15—1,68
1,13—1,68
2,20—2,66
2,16—2,68
2,14—2,68
3,22—3,65
3,20—3,64
3,19—3,64
г, тыс. км
=^—84 м/с
226—272
222—274
220—274
314-347
311—349
| 310—349
>376
>375
>375
--—40 м'с
244—303
240—304
238—304
>352
>358
>355
В табл. 7.1 обозначено:
Г0 — время кульминации КА над горизонтом;
AT — продолжительность интервала видимости;
Твил — диапазон времени полета в интервале видимости;
г—диапазон расстояний в интервале видимости.
7.1.3. Влияние ошибок выведения и параметров
коррекции на параметры траекторий
Определим отклонения траекторий от номинальной траектории в картинной
плоскости у Луны. За картинную плоскость принимается плоскость, ортогональная вектору
скорости «на бесконечности» для селеноцентрической траектории. При расчете
отклонений притяжение Луны не учитывается и расчет отклонений производится по
линейным формулам (т. е. по производным).
При определении эллипса рассеивания (пятна разбросов) в картинной плоскости»
вызванного ошибками выведения на траекторию полета к Луне, положим, что это
пятно есть круг некоторого радиуса R. Радиус пятна R определяется эквивалентной
ошибкой &V0 по начальной скорости, которая обычно составляет несколько метров в
секунду. Примем, что 6Vo=b м/с. Пятно разброса очень слабо зависит от наклонения ij\ и
быстро увеличивается с уменьшением начальной скорости (с увеличением времени
полета к Луне). В таблице на рис. 7.7 приведены радиусы пятен R для различных
начальных скоростей AV0=Vo— Vn. При переходе от траекторий со временем полета 2,5 сут
к траекториям со временем полета 3,5 сут максимальные отклонения в картинной
плоскости (£, х\) увеличиваются почти в 3 раза.
С учетом этих отклонений определим теперь корректирующие импульсы.
Для принятых ошибок выведения разброс времени полета до Луны составляет
около 3—4 ч для 3,5-суточной траектории и 1,5—2 ч для 2,5-суточной траектории. Так
229


как разброс времени полета до Луны существенно меньше интервала видимости при
сближении КА с Луной, то коррекцию времени полета до Луны можно не проводить.
Поэтому далее рассматривается схема коррекции, при которой время полета не входит
в число корректируемых параметров.
7.1.4. Коррекция траекторий полета к Луне
При исследовании параметров коррекции предполагается, что исправление
отклоненных траекторий полета к Луне осуществляется одним корректирующим импульсом,
сообщаемым аппарату в определенной плоскости — плоскости коррекции — путем
включения двигателя в некоторой точке траектории — точке коррекции. Параметры
коррекции определяются так, чтобы после коррекции траектория проходила через центр
Луны. Корректируются две координаты, характеризующие отклонения в картинной
плоскости. Расчет составляющих корректирующего импульса проводится по линейным
формулам. Траектории, полученные из номинальной сообщением корректирующего им
гк=2,5-Ю5км~,
2'705\s
1 У\
/,5/05\/
^
-500 [
V\
К
Лпь=425/иуГ""
"S*^
/
C*t
1
г
-300
1
'JJ,™
300
о)
IJ
15'1С
^У0=-0,25м/<\
' 500
\^ЗГ05
)5
t"
!,км
i
Рис. 7.6. Эллипсы влияния в картинной плоскости у Луны;
AVo = — 90 м/с
пульса величиной 1 м/с во всех направлениях в плоскости коррекции, образуют при
пересечении с картинной плоскостью так называемый эллипс влияния. Пусть а\ и а2 -
его большая и малая полуоси, соответственно. На рис. 7.6 приведены эллипсы влияниг
для траектории с AV0=—90 м/с, причем плоскость коррекции перпендикулярна направ
лению на Луну.
Здесь же приведены векторы отклонений, вызываемые ошибкой скорости 6V0==
= ±0,25 м/с. На рис. 7.7 приведены зависимости величин большой а\ и малой а<ь
полуосей эллипсов влияния от расстояния гк точки коррекции до Земли. Из рис. 7.6 видно,
что для рассматриваемого диапазона по гк с приближением точки коррекции к точке
встречи с Луной размеры эллипсов влияния монотонно уменьшаются. При этом форма
их приближается [7] к круговой радиуса
Л- яТ — t [тыс. с],
V оо
где q — расстояние до Луны, Voo — селеноцентрическая скорость на «бесконечности»
/ — время коррекции.
За величину максимального корректирующего импульса Укор принимается
отношение радиуса R пятна разброса траектории к малой полуоси эллипса влияния а^.
v -±
v коп —
кор
#2
Корректирующий импульс слабо возрастает с увеличением наклонения /л.- Наименьшее
значение корректирующего импульса достигается на расстояниях 100—-200 тыс. км.
С увеличением времени полета точка оптимальной коррекции сдвигается в сторону
больших расстояний от Земли. Как правило, коррекцию проводят на интервале видимости
КА из пункта связи, причем тогда, когда фактическая траектория определена уже в
результате обработки измерений, проведенных на предыдущих интервалах видимости, и
ошибки коррекции достаточно малы.
Расчеты положения плоскости оптимальной коррекции для фиксированных точек
коррекции показывают, что плоскость оптимальной коррекции близка к плоскости,
ортогональной направлению на Луну. Так, например, угол 8 между перпендикуляром к
плоскости оптимальной коррекции (нуль-направлением) и направлением на Луну для
230


HVc,m/C
Ш0=5м/с)\
rK = 200 тыс. км при AVo=—84 м/с составляет e«20c. С приближением к Луне, т е. с
увеличением расстояния гк, этот угол уменьшается. При коррекции в плоскости
ортогональной направлению на Луну, корректирующий импульс VK0V не более чем на 6%
превосходит импульс оптимальной коррекции и потери топлива на неоптимальность
плоскости коррекции невелики. Для посадки лунным утром направление на Солнце в
момент коррекции близко к плоскости, ортогональной к направлению на Луну Ввиду
этого можно принять следующую схему выставки двигателя для коррекции:
— ориентация на Солнце одного визира системы ориентации (СО);
— поворот КА вокруг направления на Солнце и ориентация на Луну другого
визира СО, направленного перпендику-
лярно линии тяги;
— поворот КА вокруг направления а"а*
на Луну.
При этом в плоскости,
перпендикулярной направлению на Луну, может
быть реализовано любое направление
оси корректирующего двигателя, а
плоскость Солнца — КА — Луна является
опорной плоскостью при выполнении
необходимого поворота корректирующего
двигателя в плоскости коррекции.
Данная сх'ема коррекции сочетает
простоту технической реализации и
малость потерь вследствие
неоптимальности.
Проведем оценку отклонений
траекторий в картинной плоскости у Луны
вследствие ошибок исполнения
коррекции. Эти ошибки можно разделить на
два вида: ошибки по величине импульса
коррекции и ошибки в его направлении.
Последние соответствуют ориентации
в плоскости коррекции и по нормали
к плоскости коррекции.
Эти ошибки считаем нормальными
случайными величинами с нулевыми
значениями математических ожиданий и
максимальными (За) отклонениями
б Укор, 6а, бр соответственно. Обычно
главной является ошибка по модулю
импульса. Так, при коррекции на
расстоянии гк = 250 тыс. км при АУ0=
==—85 м/с и R=\\ тыс. км ошибки
01/кор=0,5 м/с, 6а, 60=10 угл. мин
вызывают следующие составляющие и
суммарные отклонения в картинной
плоскости:
bV0=-0,09 км/С
-0,08 км/с
LV0=-0,06\mJc
3,5 гк-10~йм
Рис. 7. 7. Зависимости величин большой а\
и малой а2 полуосей эллипсов влияния от
расстояния гк до Земли
ЬЬ,.
iaibV.
кор'
j ПО км;
ах
bba^aiVK0Vba=: R — fta^40 км;
^p«fliVKop^tgE«WetgE«13 км;
«118 км.
Щ = YHv + Ul +
Ошибка ЬЬа слабо зависит от выбора точки коррекции (а\/а2~ 1), ошибка ЪЬ$
мала (е«0). Лишь ошибка ЬЬv, а вместе с ней и суммарная ошибка исполнения
коррекции быстро увеличивается (за счет а\) при приближении точки коррекции к Земле.
Ьсли эту ошибку ограничить предельной величиной 66тах, то будет ограничено снизу
расстояние гк при коррекции:
ЪЬтъ*
Пусть
*i ir) < aimax =
ЬУ
гк ^ Гк min*
кор
ьь„
'max = 100 км; 5VKOp^r0,5 м'с; тогда
a\(rk) < 200 км-с/м.
Кроме ошибок исполнения коррекции, на отклонение траектории у Луны влияют
ошибки прогноза положения и скорости КА, которые также уменьшаются с
приближением точки коррекции к Луне. Если принять ошибки прогноза примерно равными
23Г


ошибкам коррекции, то в картинной плоскости после коррекции суммарное отклонение
траектории от расчетной не превзойдет 150—200 км.
При расчете корректирующего импульса будем исходить из условий [7]
а2 = Я2тах; йх ^ alniax = ТТТ •
Ь^кор
VE Vko?,hm/c
bV0,KM/c
Рис. 7. 8. Зависимость корректирующего импульса
Укор и суммарной характеристической скорости
Уъ от величины АУ0
Это обеспечивает минимизацию величины импульса коррекции при ограничении
ошибки исполнения коррекции.
На рис. 7.8 приведена зависимость импульса коррекции Укор от начальной
скорости ПрИ /л =65°, 6V0 = 5 М/С, й\ max = 200' KM.c/lM.
Для других значений этих параметров характер зависимости Vkop(AVo) тот же.
Импульс коррекции монотонно возрастает при увеличении (времени полета Т.
7.1.5. Определение оптимальных траекторий для посадки на Луну
Суммарные энергетические затраты на коррекцию и торможение примерно
пропорциональны сумме скорости коррекции и конечной скорости у поверхности Луны
^а = Укор + VTi
если для коррекции и торможения применяется одна и та же двигательная установка.
Поэтому для определения оптимальных траекторий полета к Луне (оптимальных
значений AVo или Т) минимизируется величина V2 по АУ0. На рис. 7.S приведены
зависимости Vs(AVq) при 6V0 = 2,5 м/с, 6V0 = 5 м/с, 6V0 = 7,5 м/с и 1Л=65°, aim ах = 200 км.с./м.
Зависимость^ (AVo) имеет минимум (при достаточно больших разбросах 6V0)
в районе «слабых траекторий» с AV0~—(80ч-90) м/с и временем полета Г=(3,3-т-
4,3) сут. При увеличении радиуса пятна R этот минимум сдвигается в сторону больших
начальных скоростей и меньших времен полета. При этих же значениях AV0
достигается максимальный полезный вес КА после прилунения. Оптимум носит довольно
плавный характер. Поэтому при окончательном выборе траектории можно учитывать и
другие требования к схеме полета. Например, траектории с Г=3,5 сут при «северном»
варианте полета обеспечивают также удобство наблюдения за прилунением КА с
территории Советского Союза, как видно из данных радиовидимости, приведенных в
разд. 7.1.2.
7.1.6. Выбор метода ориентации двигателя перед торможением
Рассмотрим особенности ориентации двигателя при торможении у поверхности
Луны, связанные с осуществлением мягкой посадки. Схема ориентации должна обеспе
чивать, с одной стороны, энергетически оптимальный режим торможения, т. е. ось дви
гателя должна быть близка к направлению вектора скорости при торможении (здесь
232


рассматривается импульсная постановка). С другой стороны, должны обеспечиваться
малые скорости посадки — как вертикальная, так и боковая. Ошибки ориентации
аппарата перед торможением в основном влияют на величину боковой скорости
(скорости, горизонтальной относительно поверхности Луны). Оценим боковые скорости для не
которых схем ориентации. Первая схема предполагает ориентацию оси двигателя дл?
всех траекторий трубки по вектору скорости центральной траектории трубки, опреде
ляемой по данным прогноза после коррекции.
Вследствие отклонения действительного вектора скорости VT от прогнозируемого
на угол ф в конце торможения возникает боковая скорость V б, равная
V^VTsin<p^0,76cp,"
где ф берется в угловых минутах, а Ут«2600 м/с. Изменение V6 в зависимости от
начального отклонения Ь (прицельной дальности) при этой схеме ориентации
приведено на рис. 7.9. Видно, что при отклонениях 100—200 км на картинной плоскости
боковые скорости у поверхности Луны достигают 25—50 м/с.
Рис. 7.9. Зависимость боковой скорости V6 от прицельной дальности Ъ
Вторая схема ориентации предполагает ориентацию оси двигателя по местной
вертикали к поверхности Луны. В этом случае возможные боковые скорости также велики
и составляют 60—120 м/с.
Для уменьшения боковых скоростей у поверхности Луны может быть применен
метод ориентации [9], основанный на следующем свойстве пучка гиперболических
траекторий [1].
Направление скорости в начале торможения (в точке Л) для достаточно
широкого пучка траекторий весьма точно совпадает с направлением на центр Луны на
некотором заранее фиксированном расстоянии от Луны, равном QB «8200 км (в точке В
определения местной вертикали, рис. 7.10). Величина боковой скорости 17б, возникающей
вследствие начального отклонения Ъ и ошибки А/? определения расстояния QBj
приведена на рис. 7.9 (см. также разд. 15.1.3). Видно, что данный метод характеризуется
относительно малыми боковыми скоростями для относительно большого диапазон»
отклонений Ь и ошибок AR. Так, при 6^600 км и AR ^ГЗОО км боковые скорости
Уб^б м/с, а при Ь^.200 км имеем всего Vq <2 м/с.
Для реализации этого метода целесообразно применять следующую схему
ориентации:
— автономное определение направления вертикали к поверхности Луны на
фиксированном расстоянии QB'y
— запоминание этого направления на время Гв полета от этого момента до
включения тормозного двигателя (Гв«1 ч);
— выставка тяги двигателя к началу торможения по этому направлению.
Кроме методических ошибок способа ориентации, возможны исполнительные
ошибки, которые складываются из угловой ошибки Ai определения вертикали, ошибки А2
запоминания вертикали и ошибки А3 выставки оси двигателя по запомненному
направлению. Каждая из этих ошибок приводит к ошибке в боковой скорости Уб=0,76Дг
(/=1, 2, 3; Аг берется в угловых минутах). Если, например, за величину каждой
ошибки принять 5 угл. мин (что технически легко реализуется), то суммарная боковая
скорость за счет инструментальных ошибок не превысит 7 м/с.
Вертикальная составляющая скорости в конце торможения определяется
точностью системы управления двигательной установки и точностью прогнозирования
скорости КА.
23*


Проведенный анализ траекторий для посадки на Луну показывает, что с учетом
коррекции энергетически оптимальными траекториями являются траектории со
временем полета до Луны примерно 3,5 сут. Они обеспечивают удобство наблюдения за
КА во время прилунения. Для рассмотренных траекторий применима достаточно
простая схема коррекции — в плоскости, ортогональной направлению на Луну.
Рис. 7. 10. Схема ориентации по вектору скорости
Перед торможением вблизи Луны тягу двигателя целесообразно ориентировать
по определяемому автономно направлению на центр Луны на большем, заранее
фиксированном расстоянии от Луны. Эта схема ориентации позволяет осуществить посадку
с малыми боковыми скоростями для широкой трубки траекторий, возникающей
вследствие ошибок выведения, прогноза и коррекции.
7.2. ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
7.2.1. Общая характеристика траекторий возвращения
Траекториями возвращения называются траектории, которые начинаются в сфере
действия Луны (на лунной поверхности или с орбиты ИСЛ), на первом обороте
вокруг Луны выходят из этой сферы и затем сближаются с Землей, совершив вокруг
нее не более одного оборота.
Приближенный анализ траекторий возвращения можно провести в рамках задачи
двух тел: в сфере действия Луны пренебрегаем возмущениями от Земли, а вне сферы
действия Луны — возмущениями от Луны (ср. [11, 13, 14]). Тогда траекторию
возвращения можно представить двумя дугами конических сечений: селеноцентрической — с
фокусом в центре Луны и геоцентрической — с фокусом в центре Земли.
Геоцентрическая начальная скорость на сфере действия Луны (назовем ее выходной) равна сумме
выходной селеноцентрической скорости и геоцентрической скорости движения Луны.
Орбиту Луны приближенно можно считать круговой, и поэтому скорость Луны
-*•
Vji будет иметь постоянную величину Vj\ (около 1 км/с).
Пучок траекторий возвращения от Луны к Земле ограничен совокупностью
траекторий, проходящих на заданном предельном расстоянии г^ от центра Земли. Для
случая возвращения на поверхность Земли величина /"т равна радиусу верхней границы
земной атмосферы. Для случая возвращения на орбиту спутника Земли она равна апо-
гейному расстоянию этой орбиты. Очевидно, /"т < гд , где Ol ==384400' км — большая
полуось лунной орбиты. Например, в первом случае ^T/Ol «1/60. Для граничных
траекторий возвращения радиус /"т является перигейным расстоянием, поэтому из
интеграла площадей
где VT—скорость в перигее; г2, У2х— соответственно геоцентрические радиус и транс-
версальная 'скорость в момент t2 выхода аппарата из сферы действия Луны.
Из интеграла энергии
Здесь
KT = K„VH-fc-v.
r<i \VIX I
где Vn — параболическая скорость;
о 2^Т
Vj = —— ; р. — гравитационный параметр Земли.
234


Подставив Vy в интеграл площадей, можно доказать [4], что
(где У*^у-У^^0,2 км/с),
(7.1)
(7.1')
независимо от начальных данных. Для траектории возвращения, проходящей через
центр Земли, имеем V2x =0. Назовем ее номинальной.
Минимальная величина селеноцентрической выходной скорости
£/* = Кл-1<^0,8 км/с,
причем может быть U=U# лишь для граничных траекторий рассматриваемого пучка.
Величина U* более чем вдвое превосходит селеноцентрическую параболическую
скорость на границе сферы действия Луны, составляющую менее 0,4 км/с, и дуга траек-
sU-ccpepa
v2-сфера
Рис. 7.11. Совокупности скоростей выхода Рис. 7.12. Совокупности скоростных
из сферы действия Луны-^селеноцентри- многообразий jj и у2 при начальных
ческих U и геоцентрических V2 при началь- скоростях, не намного превышающих
ных скоростях, не близких к минимальным минимальную
тории возвращения в сфере действия Луны неизбежно является гиперболой.
Соответствующая U# начальная скорость V\m является минимальной, при которой еще
возможно приближение к Земле на расстояние гт.
Рассмотрим траектории возвращения с одинаковой энергией селеноцентрического
движения.
Для траекторий возвращения направления выходных селеноцентрических
скорости U и радиуса Q* весьма близки — угол между ними не превосходит нескольких
градусов [4]. Выходные селеноцентрические скорости одной величины U и различных
направлений в момент t2 выхода КА из сферы действия в невращающейся системе
координат и, v, w (ось и в момент t2 направлена от Луны к Земле, ось v направлена
против скорости Луны Vji, а ось w дополняет оси и, v до правой тройки осей)
совокупностью своих концов образуют сферу радиуса U (см. пунктирную окружность на
рис. 7.11). Соответствующую совокупность выходных геоцентрических скоростей V2 по-
лучим прибавлением ко всем скоростям U одного и того же вектора Vji (t2).
Совокупность концов векторов V2 также представляет собой сферу радиуса U (сплошная
окружность на рис. 7.11).
Области направлений V2, удовлетворяющих условию (7.11), вырезаются из этой
сферы прямым круговым цилиндром радиуса VT, ось которого совпадает с осью и.
При U>U* = Vn + VTt как видно из рис. 7.11, эти области не соединяются и имеют
слегка овальную форму. При U—+U*(U > U*) они вытягиваются и сближаются. При
U=U* они касаются в точке (0, V*, 0). Если
Um<U<U\ (7.2)
235


то область (7.1) на сфере является уже одноовязной (рис. 7.12). Она весьма вытянута
при значениях V, приближающихся к правой границе интервала (7.2), и стягивается в
точку с приближением U к левой его границе. При £/<£/* траектории возвращения
отсутствуют (С/* есть минимальная скорость возвращения).
В случае U>U* предельные траектории возвращения охватывают
геоцентрическую сферу^г^г^оо всех сторон. При уменьшении U от значения U* на
геоцентрической сфере г—г^ появляется запретная зона (со стороны, почти противоположной
направлению скорости Луны), симметричная относительно плоскости лунной орбиты. Она
уже не охватывается траекториями возвращения. С убыванием U до U+ эта зона
распространяется на всю Землю, точнее, геоцентрическую сферу г=гт»
•№)
Сфера действия
Рис. 7.13. Два основных типа траекторий возвращения —
восходящие и нисходящие (по отношению к Земле) после выхода из
сферы действия Луны
Точки области (7. 1) на У2-сфере, для которых составляющая V2u<0,
соответствуют удалению КА от Земли (рис. 7.11, 7.13), т. е. при V2u<0 скорость V2r>0;
аналогично V2r<0 при V2u>0 [4].
Движения со скоростью V2u<0 называются восходящими, а с V2u>0 —
нисходящими (по отношению к Земле). На рис. 7.11, 7.13 они отмечены соответственно
индексами «в» и «н».
Если скорость V2 не превосходит геоцентрической параболической скорости Vn(r2),
то при V2r>0 KA через некоторое время после выхода из сферы действия Луны
поворачивает к Земле. В противном случае он удаляется в бесконечность и траектория не
является траекторией возвращения. При V2r<0 KA возвращается к Земле независимо
от величины V2. Имеем
1,56 км/с = Кп(гл-оФ)>Кп(г2)>Угп(гл + С*)=1,32 км/с (7л3)
Для q* = 66 000 км.
Так как для односвязной области (см. рис. 7.12) скорость £/<£/*= 1,2 км/с
< Уп (Ol + Q*), то все точки этой области действительно соответствуют траекториям
возвращения. Однако восходящим траекториям возвращения соответствуют большие
времена полета и больший разброс географических координат точки приземления, чем
Я'ИСХОДЯЩИМ.
7.2.2. Номинальные траектории возвращения
различных видов
Траектории возвращения с лунной поверхности делятся на два вида: траектории
€ вертикальным стартом и траектории с наклонным стартам (прицельным по углу
места и азимуту). Условие, определяющее номинальные траектории в пространстве
скоростей, для них является общим.
На сфере выходных геоцентрических скоростей V2 (см. рис. 7.11) при заданной
величине вектора скорости в конце активного участка V\ (для которой выходная
скорость U>U*) существуют лишь два вектора с V2x=0. Обозначим их У2ъ и У2н соот-
236


ветственно для восходящего и нисходящего движения по траекториям попадания в
центр Земли. Соответствующие векторы выходной селеноцентрической скорости
обозначим символами 0в и 0И. Углы Ч1" проекций этих векторов (см. рис. 7.13) на плоскость
6л орбиты Луны с направлением 6(^2) от Луны к Земле обозначим соответственно Ч'в
и Тн. При попадании в центр Земли векторы V2 и U лежат в плоскости лунной
орбиты; при попадании в точку земной поверхности, расположенную над плоскостью £л>
—*■ -*•
векторы V2 и U тоже возвышаются над этой плоскостью (ось ц обратна скорости
Луны, см. рис. 7.13).
Угол возвышения вектора U над плоскостью лунной орбиты при вертикальном
старте является селеноцентрической широтой Фл точки старта. Селеноцентрическая
долгота Лл точки старта (отсчитываемая от меридиана направления Луна — Земля)
превосходит 4я (см. рис. 7. 13) на угол (оГ1)2, где со — угловая скорость движения Луны,
а 7*1,2 — время полета от поверхности Луны до ее сферы действия (активным участком
пренебрегаем).
В качестве номинальной траектории в дальнейшем примем нисходящую
траекторию. Она интересна тем, что для нее точка старта видима с Земли, а времена полета
и влияние ошибок в начальных данных меньше, чем для восходящей траектории.
Точка старта для нисходящей траектории должна быть тем ближе к центру видимого
диска Луны, чем больше начальная скорость V\. При бесконечно больших начальных
скоростях она совпадает с точкой Фл=0, Лл=0, а с уменьшением скорости до величины
Vim такой, что соответствующая селеноцентрическая скорость на сфере действия U=
= Vj\y точка старта находится на краю видимого диска Луны (для попадания в центр
Земли Л л =90°). При выходных скоростях U порядка 1 км/с получаются углы Л л =
= 5б°-7-65°. Это следует из свойства обратимости движения [12] по симметричным
относительно плоскости £6 траекториям (ось £ направлена в северное полушарме
ортогонально плоскости лунной орбиты), если учесть, что для точки прилунения КА при
селеноцентрической скорости входа в сферу действия Луны 1 км/с долготы будут равны
—55°-=—65°. Заметим, что точки вертикального старта для восходящих движений
примерно симметричны номинальным (нисходящее движение) относительно плоскости т]£.
Возвращение к Земле из заданной точки лунной поверхности. Ограничимся
только нисходящими движениями. Заметим, что если заданная точка не совпадает с точкой
вертикального старта, то минимальная начальная скорость превышает V\m. Так,
например, при старте со скоростью V\m угловая дальность полета из района прилунения
станции «Луна-9» (Фл^Ю°, Лл ~—60°) в сфере действия фр не превосходит* 135°,
в то время как для попадания в центр Земли необходима угловая дальность
фн = 90о+60о=150°>фр.
Для начальной скорости, отвечающей величине £/=1,4 км/с, при горизонтальном
старте получим* фр = 120°, а из рис. 7. 11 находим фн = 50°-{-60о=110о. Видим, что теперь
<Рн<фр. Следовательно, существует такая начальная скорость, при которой для
горизонтального старта фр = фн. Соответствующая выходная скорость £/<1,4 им/с, но U>
>Уд. Оказывается, эта скорость для Лл =60°, Фл< 10° составляет около 1,2 км/с и
соответствует начальной скорости Vi = 2,65 км/с. Для нее фн = фР~125°.
При меньших начальных скоростях решения нет, а при больших решение
существует лишь для некоторого наклонного старта с O<0i<90°. Чем больше начальный
угол возвышения, тем большая начальная скорость необходима при фиксированной
точке старта. Таким образом, горизонтальный старт является энергетически наиболее
выгодным.
С приближением точки старта к точке с координатами Фл —0°, Лл =90° при
вертикальном старте минимальная необходимая начальная скорость монотонно
уменьшается до величины V\m.
Возвращение к Земле с орбиты ИСЛ. Пусть проходящая через центр Луны
номинальная селеноцентрическая траектория Земля — Луна со временем полета
около 3,5 сут является осью пучка селеноцентрических траекторий, которые можно
использовать для создания ИСЛ. Эта ось в точке встречи КА с Луной составляет с
направлением Луна — Земля угол около 60°. Энергетически наивыгоднейшим является
переход на орбиту спутника с линии апсид селеноцентрической гиперболы, лежащей в
плоскости орбиты ИСЛ. Ниже рассмотрим лишь переходы, близкие к
наивыгоднейшим.
Для фотографического ИСЛ может быть целесообразно наклонение орбиты
спутника к плоскости орбиты Луны ~90°. В момент tu вывода ИСЛ на
селеноцентрическую орбиту плоскость П этой орбиты будет составлять с направлением 6(М Луна—
Земля угол около 60р (рис. 7.14). Соответствующая долгота восходящего узла орбиты
спутника для гиперболы, проходящей севернее Луны, составит около 300°, а для
гиперболы, проходящей южнее Луны, указанная долгота составит около 120°. Так как угол
между асимптотами гиперболы, с которой осуществляется переход на орбиту спутника,
* Используемые здесь числовые данные можно получить с помощью графика
(рис. 1.4), приведенного в работе [3].
237


составляет около 90°, то для близкого к Луне фотографического ИСЛ точка перехода
на орбиту ИСЛ не будет видна с Земли.
Для выхода из сферы действия Луны со скоростью £/=1,2 км/с по траектории
возвращения необходимо (см. рис. 7.14), чтобы асимптота этой траектории в момент
\U\=1t2nM/c
SLflQ
Рис. 7. 14. Расположение селеноцентрической плоскости П
траектории возвращения относительно направлений %(t)
Луна—Земля в моменты tu создания ИСЛ, t\ схода с его
орбиты и t% выхода из сферы действия Луны
выхода составляла, как и ось пучка возможных траекторий, угол около 60° с
направлением Луна — Земля. Для выхода с энергетическими затратами, близкими к
минимальным, асимптота должна составлять малый угол с плоскостью орбиты ИСЛ. Это
происходит лишь два раза в месяц.
Асимптота Если учесть поворот направления
Луна—Земля за время полета от
орбиты ИСЛ до границы сферы
действия (около полусуток) и если
пренебречь прецессией орбиты ИСЛ
под действием возмущающих сил, то
направления Луна—Земля в момент
tu перехода на орбиту ИСЛ и
в момент t\ схода с этой же орбиты
будут различаться примерно на 60°.
Соответствующее минимальное время
ожидания на орбите составляет
около 4 сут.
При энергетических затратах,
близких к минимальным,
возвращаться к Земле с орбиты ИСЛ
можно лишь через интервалы времени,
кратные полумесяцу. При этом
для траектории возвращения —
гиперболы, проходящей
севернее или южнее Луны,
получим соответственно долготу восходящего узла Й0 = 70° (см. рис. 7.14) или Q0 = 250°.
Здесь угол Q0 отсчитывается от направления —£(^i).
Соответственно получим долготу линии апоид траектории возвращения о 0 = 45°
или о)0 = 225°, если учесть, что ведущая к Земле ветвь гиперболы почти параллельна
плоскости лунной орбиты и составляет с другой ветвью угол около 90°. Здесь со0
отсчитывается от плоскости орбиты Луны (рис. 7.15). Эксцентриситет орбиты
фотографического ИСЛ для простоты примем равным нулю. Тогда момент прохождения ИСЛ
через апсиду гиперболы возвращения является и начальным моментом движения.
дсимпмомв
Рис. 7. 15. Расположение
селеноцентрических траекторий возвращения относительно
плоскости лунной орбиты
238


7.2.3. Оценка необходимой точности начальных данных
Перейдем к оценке точности начальных данных, .необходимой для возвращения на
Землю в целом. Очевидно, для возвращения на Землю по неноминальной траектории
трансверсальная компонента выходной геоцентрической скорости должна
удовлетворять условию (7.1), которое выделяет допустимые области на Уг-сфере, и
следовательно, на U-сфере (см. рис. 7.11). Размеры последних областей позволяют судить о
необходимых точностях начальных данных, так как фактический вектор U, отклоняясь от
номинального по направлению, не должен выйти из допустимой области.
Случай вертикального старта заметно отличается по влиянию разброса
начальных данных от случая горизонтального старта. Рассмотрев эти крайние случаи, можно
получить представление о промежуточных случаях. Имеем для угловой дальности ф
полета формулу (ср. [8]):
tg -J- = cos ex I' (y~+ sin 6^, (7.4)
если приближенно считать U скоростью на бесконечности.
Вследствие ошибки в направлении вектора скорости для вертикального старта при
полете от поверхности до сферы действия появится угол ф=^=0.
При помощи формулы (7.4) для вертикального старта можно получить
д01 1 .-!/!_ _L ly,i(Gi)J dQi Wi
\ Pi
При скорости U^\ км/с получим -~т~ ~—1,3 (учтя, что Vn(Qi) есть селеноцентри-
ческая параболическая скорость на поверхности Луны q = qi).
Область (7.1) на £/-сфере имеет близкие к относительно наибольшим размеры при
значениях U, мало отличающихся от Уд . При этом рассматриваемая область оказывается
односвязной. Угловые размеры ее по длине составляют несколько десятков градусов,
по ширине — около 20°.
I д*Р I
Так как —~ ^'1,3, то предельными будут ошибки по углу 0i порядка ±10°
I 0"i I
в направлении ширины области (7.1), т. е. по нормали к плоскости орбиты Луны. Для
номинального значения V=Vj\ ошибки по скорости U (при отсутствии ошибки по 00
не должны превышать ±0,2 км/с, чтобы область (7.1) еще содержала
рассматриваемую траекторию. При 6U<—0,2 км/с область (7.1)—пустая, при 6U>—0,2 км/с об-
ласть (7.1) — двусвязна и фактический вектор U будет находиться между частями
области (7.1) вне ее. Соответствующие предельные ошибки б Vi начальной скорости V\
согласно интегралу энергии удовлетворяют условию
VlbVl=,L/bU,
т. е. составляют около 0,06 км/с. Очевидно, наиболее вредны здесь смешанные
ошибки, так что реальные ошибки не должны превышать величин порядка 2°—ЗР по 0i и
15—20 м/с — по Vu если не предусматривается коррекция траектории.
В случае наклонного старта получим
_ду sin2 —2fx d<p — 2COS8X у 2fi
** ~~ Рюоза^Г ^i^^ + ^sinel)2C0S 2 Qlu;
2Уг(Уг + U sin 60COS2-4-
ду 2
d57= (U + V*! sin 602 ' (7,5)
Для горизонтального старта (8 i=0) с поверхности Луны для. С/=1,2 км/с
bQi « - 1,5 -^-; bVi 7» -3 -^г ; ав1*« - 1,7Mb (7.6)
Видим, что модуль производной по 01 больше, чем для вертикального варианта.
При горизонтальном старте из района вертикальной посадки станции «Луна-9»
имеем £/=1,2 км/с (см. раздел 7.2.2), Vi=2,65 км/с. Предельные ошибки определяются
той частью области (7. 1), для которой V2r<0. Ее размеры: 50° по длине и 20° по ширине
(см. рис. 7.14). Предельные (одиночные) ошибки по углу 9i составляют около ±10°,
по скорости V\—около ±50 м/с [с учетом формул (7.6)]. Ошибки по азимуту должны
быть того же порядка, что и по углу 9ь
239


При старте с орбиты спутника предельно допустимые ошибки будут несколько
больше, так как можно увеличить угловые размеры допустимой области на (/-сфере за
счет лерехюда к меньшей номинальной скорости (У —1,1 км/с. Это выгоднее и
энергетически.
7.2.4. Методика расчета номинальных и отклоненных траекторий
возвращения с лунной поверхности
При определении влияния разброса начальных данных на различные траектории
возвращения нет нужды учитывать все действующие силы, а достаточно учесть только
притяжение Луны внутри ее сферы действия и только притяжение Земли — вне этой
сферы. Внутри сферы действия Луны движение рассчитывается в селеноцентрической
системе координат, а вне этой сферы — в геоцентрической системе координат.
Обозначим их xyz и XYZ соответственно.
Траектория определяется какими-либо шестью селеноцентрическими исходными
данными 6ь £2, . • •, 5б и моментом t\ начала движения. На границе сферы действия
Луны определяются координаты, скорости и элементы геоцентрического движения, а
также два вектора С\ и С2, на которые разлагается геоцентрический кинетический
момент: С=С\ + С2. При этом по определению компонента С\ ортогональна
геоцентрическому радиусу г2 точки выхода из сферы действия и некоторому постоянному
направлению, например оси Z, а компонента С2 ортогональна радиусу г2 и компоненте С\. Тогда
плоскость, проходящая через направления С\ и С2, постоянно содержит вектор С
геоцентрического кинетического момента.
Для определения номинальных траекторий возвращения решается двухпараметри-
ческая краевая задача, например методом Ньютона с использованием
конечно-разностных производных. Варьируются 5i и g2 — Два из шести исходных параметров, опреде-
ляющих начальные данные, причем так, чтобы компоненты С\ и С2 вектора С на
плоскости, ортогональной вектору г2, принимали заданные значения. Например, для попадания
в центр Земли следует положить Ci = C2=0. Начальное приближение задается с
помощью приближенной методики 7.2.2. Тогда краевая задача, как показывают расчеты,
сходится за несколько итераций: величина \С\ уменьшается на четыре порядка — от
значения порядка 105 км2/с до 10 км2/1с.
При старте с поверхности Луны за исходные параметры, определяющие
начальные данные, примем сферические селеноцентрические геоэкваториальные координаты
Qi, h, фл — радиус, долготу и широту точки старта, ,а также V\, 0i, А\ — модуль,
угол возвышения над местным горизонтом и азимут вектора скорости в той же
селеноцентрической невращающейся системе координат. Длина активного участка не
учитывается.
Для определения влияния разброса начальных данных на траектории
возвращения находятся отклоненные траектории, т. е. траектории, отличающиеся от
номинальной отклонением одного из исходных данных в ту или иную сторону на все более
возрастающую величину. Оказанное относится к исходным данным t\t V\, 0i, A\, Q\.
Изменение же положения точки старта на лунной поверхности будем задавать
селеноцентрическим углом Ф\ смещения начальной точки из номинальной и азимутом
а\ этого смещения.
7.2.5. Выбор параметров и примеры расчета траекторий
возвращения с лунной поверхности
Основным параметром, определяющим энергетические затраты, время полета и
жесткость траекторий, которая характеризует влияние ошибок начальных данных,
является начальная скорость полета V\. Ниже для расчета примеров взяты значения V\y
равные 2,6 км/с, 2,65 км/с и 2,7 км/с.
Радиус лунной поверхности принимается равным 1738,0 км.
Параметры 9i, А\у определяющие направление вектора скорости, являются теми
исходными данными, значения которых подбираются при решении краевой задачи
(например, задачи попадания в центр Земли).
Параметры фь A-i задавались или в окрестности точки вертикальной посадки
(варианты 1^3 табл. 7.2), или в окрестности точки вертикального старта (варианты 4—6
табл. 7.2).
Находились сферические селеноцентрические координаты — широта Фл и долгота
Ал начальной точки во вращающейся системе координат §, т], £ (рис 7.16).
В невращающейся системе координат £*Л*£*, оси которой имеют направления
осей 5г]£ в момент t=t* достижения границы сферы действия Луны, находились
сферические долгота и широта г|? и % вектора U селеноцентрической скорости на границе
сферы действия, угловая дальность <pi, 2 и азимут А\=А\,2 селеноцентрической
траектории полета внутри сферы действия, отсчитываемый от плоскости ОВ\(—£*) против
часовой стрелки (см. рис. 7.16).
240


\vz
4*
00
о
t ,
OO
о
о
4*
сп
СП
4*
-
88
о
l__l
КЗ
со
Сл
1
CO»—
СЛО
H-
Сл
КЗ
■1
CO -"J
H-
cn
CD
4* О
OO
I
1 J
Сл •—
OO
OO
о
1
кз о
->J GO
4^
|
КЗ КЗ
COCO
О СП
OO
| }
<0 Сл
»*J О
о о
1
•Ц^
4^ КЗ
^-~Сл
1
ООСЛ
ОО СЛ
Сл СП
1
1
СО»—
4* Oi
ООСО
Со
СО
( ,
00
Со
СП
4^
^
^
N2
-
СЛ
8
i__k
КЗ
ОО
СО
1
СО О
СлСл
н-
Сл
О
1
COCO
»— СЛ
н-
СЛ
1~
4* ОО
Сл Сл
»— 4*
88
О
1 ?
СО Q
СО О
КЗ
1
кзкз
4^ 4^
^ДКЗ
о о
1
Сл оо
Сл 4*
н-
^
о
1
»— СП
CD CD
uo.
1 °°
1 СП
to
КЗ
о
t ,
OO
Co
СП
4*
^
СП
00
-
^1
CO
>_*
КЗ
CO
1
»— Co
СлКЗ
Сл Сл
1
co^l
СП КЗ
H-
o
Сл
КЗ CO
88
1 J
КЗ »—
СЛ О
°s
±410
1 1
CO КЗ
CO О
1
I
•— OO
»— -^
Сл О
1
КЗ КЗ
О СП
OCO
|
ОЭСО
Сл 4^
Сл
1
CO
со i
" 1
КЗ
1
1
КЗ КЗ
Слсо
СОСЛ
1
1
i—t
"^
О
t , 1
OO
Co
СП
4*
^
^
КЗ
Г
Ъг
CO
со
t—i
КЗ
O0 |
CO 1
1
i»o
Oooo
1
СПсО
00 КЗ
H-
o
СЛ
КЗ КЗ
COK3
Сл Сл
•— 4^
Сл О v
4* 4*
58
1
СП 4*
-^ О
КЗ 4^
1
I
КЗ»—
о»—
КЗ КЗ
Сл О
1
КЗ КЗ
^1 ^1
о —
1
Со ст>
Сл Со
Ъо со
1
КЗ 00
СО О
— 4^
1
1
00 Со
КЗСл
Сл СП
DO
ft)
риант
*0 J?' I
ft) 1
3=1
§5
г- *S
л*
о\5
•ч
►О cv
ft) CD
*1 оя
V 5*.
ft5 ZT
за
^ °*
О f*.
s5
•5. <^>
^ ^
S -1
гГ
S
За
■5. ^
я±
ft)
3=3
Qj
*Ч
й
О»
*Ч
о —
«
£ Q^
<Zl>
"^
5 О-
' - Со
S
^
^
Характер
s
л
н
S
н
"8
ф
ж
н
о
•о
S
3Sc
00
о
00
раще
X
S
к Земле с
орби
т иску
л
<■>
твенно
о
спутника
^
X
сг
1 ^5
*абли
•R
^
1 ^
Со
СП
1
о
Со
Сл
ОО
*—
КЗ
Oi
о
&
о
о
0
•—
О
о>
00
о
Сл
О
О
О
Сл
00
•"*
4^
К?
Со
с-
Ог
|
1
1
1
1
1
1
1
|
1
Сл
1
СП
Сл
4^
КЗ
КЗ
СП
о
ОО
4^
4*
СП
^J
о
со
о
4^
О
о
КЗ
со
о
СП
о
СО
кэ
4*.
со
со
р.
КЗ
1
*<1 00
ОСл
1 >
ооо
1 (
"^ О
Сл О
1
1
-^1 4*
t—» Ь—'
I )
Со Со
88
Сл О
)
СПСл
Со О
4*
1
СП
Сл
4^
КЗ
КЗ
СП
о
Сл
Сл
СП
00
4*
^»
о
>—
СП
СО
Сл
о
СО
О
СП
о
S
•"*
4^
4^
^1
о.
КЗ
о
3*
Со
1
СП ^1
Сл Сл
1 )
»— Сл
КЗ О
о
1
КЗ КЗ
СлСл
1
1
КЗ»—
Ь2 4^
КЗ СП
1 )
Сл О
кг о
4^ О
1
I
ОСО
оо со
СО Сл
Со
^
1
СП
^1
СП
КЗ
СП
о
Сл
4*
, .
КЗ
Со
о
►—'
4^
СО
Сл
0
СП
о
СП
о
9£
СО
Сл
4*.
^1
Со
р.
3*
о
1 »-
00 КЗ
Сл Сл
1
Сл^
о о
1
КЗ КЗ
о о
1
1
»— оо
СО 4^
СО Сл
ь- О
сл оо
1
1
— о
КЗ СО
Сл 4^
КЗ
^1
1
^
CD
КЗ
СП
Сл
СО
оо
►—■'
__4
1—'
КЗ
о
4*
Со
СО
Со
о
КЗ
4*
-<1
^
СО
КЗ
Со
<л
Со
р.
S
3*
О
|
н- со
СлСл
1
ОО
О О
1
ОО
споо
1
1
КЗ СЛ
СП»—
СП СП
О ОО
ооо
1
1
СО КЗ
и-Сл
СО 4^
" 1
^
1
СП
CTi
Сл
КЗ
^
о
КЗ
КЗ
00
, .
о
СП
о
9£
о
СО
КЗ
0
КЗ
КЗ
КЗ
оо
СП
4*
Со
1—1
КЗ
СП
КЗ
р.
КЗ
о
з-
-0
1
►i-кз
Сл^1
ОСл
1
1
CO^l
КЗ КЗ
1
00 00
4^Сл
1
1
— Со
КЗ 4^
~-0~4*
1
►— со
КЗ 4^
1
1
СлСл
4^ ^
о о
в» £?
1
х £
*-i 1
"О О 1
§ь |
■^ 1
»ь I
я —. 1
£ "s I
о 1
ft» I— 1
3=1 1
1
о
>
То
Pi
ft) -е- 1
3=1
-^
л
о J4»
-i
ft» CD
За ~
В) ^Ь.
3=1 —
* 1
5.съ
и?^
1 °
О;
] "^-^
pi .
"5"^
В)
За
оъ
>{
■А
Pi
-^ ^
( »-з bi-
ft)
С1/
-ч
■А


В этой же системе находились селеноцентрические сферические координаты точек
В2 и Вз пересечения траектории со сферой действия Луны и сферой ^=гт У Земли
соответственно. В табл. 7.2 приведены некоторые характеристики указанных выше 6
вариантов расчета номинальных траекторий возвращения с поверхности Луны к центру
Земли. В той же таблице для вариантов 1—5 приведены такие отклонения параметров
Vi, 0i, A\ от номинальных значений в положительную и отрицательную сторону,
которые вызывают отклонение траектории возвращения от центра Земли примерно на
величину земного радиуса.
Рис. 7. 16. Схема расчета траектории возвращения к Земле из сферы действия
Луны
Как и следовало ожидать, с уменьшением начальной скорости V\ угол 0i вектора
скорости с местным горизонтом монотонно уменьшается от 12°,3 при V\=2J км/с до
5°,1 при Vj=2,6 км/с. При Vi=2,55 км/с краевая задача уже не сходится [вследствие
нарушения условия (7. 1) реше'ние задачи отсутствует]. Таким образом, минимальная
скорость, необходимая для возвращения к Земле из окрестности точки вертикальной
посадки «Луна-9», близка к 2,6 км/с.
Полное время полета Т^ почти не зависит от координат точки старта и угла 0i.
Время полета Т* в сфере действия монотонно увеличивается с уменьшением
начальной скорости (см. табл. 7.2). Соответственно убывает величина U селеноцентрической
скорости выхода из сферы действия.
Углы х получились малые (менее 0,°1) вследствие того, что У^^Ул* Углы г|?, в
основном определяющие направление скорости выхода V, получились меньше, чем по
приближенной теории раздела 7.2.2, причем отличие тем больше, чем больше сам угол Ч1"
(см. рис. 7.1). Объясняется это тем, что сфера действия имеет размер не малый, а
сравнимый с расстоянием Земля — Луна. Точки В2 выхода имеют тем большую величину
т]2, чем меньше скорость U (величина £2 и угол % малы). Соответственно тем больше
должен быть повернут к оси £ вектор V, чтобы результат его сложения со скоростью
Луны — выходная геоцентрическая скорость — был направлен к центру Земли (а не
параллельно оси g, как предполагалось в приближенной теории).
Отличие вариантов 4 и 5, имеющих одну и ту же точку старта и величину
начальной скорости, объясняется тем, что после выхода из сферы действия КА в
варианте 5 сразу приближается к Земле по нисходящей траектории, а в варианте 4
сначала удаляется от Земли по восходящей ветви траектории и лишь затем приближается
к Земле по нисходящей ветви той же траектории. Таким образом, имеем здесь
решения обоих различных типов, предсказанных приближенной теорией.
С уменьшением начальной скорости влияние разброса по скорости возрастает (см.
варианты 1—3 табл. 7.2), а влияние разброса по направлению вектора скорости
убывает, хотя и в меньшей степени. Положительные ошибки в скорости сказываются меньше,
чем отрицательные, так как номинальная величина скорости близка к минимально
допустимой.
Для варианта 4 оказываются допустимыми весьма большие положительные
ошибки 601 (порядка 50р). Дело в том, что этот вариант соответствует решению второго
242


типа (КА сначала удаляется и от Луны и от Земли), а для величины U<\,2 км/с, как
видно из рис. 7.12, 7.13, решения второго типа, исходящие из выбранной точки В\, с
ростом 0i непрерывно переходят в решения первого типа.
Для варианта 5 большой диапазон по азимуту имеет место потому, что угол
возвышения близок к 90°. С учетом этого обстоятельства диапазон допустимых
отклонений в боковом направлении, исчисляемый по дуге большого круга, будет составлять
около 1-6° (от —9°, до +7°).
Кроме влияния разброса величины и направления начальной скорости на
траектории возвращения, рассматривается еще влияние изменения положения начальной
точки. Варьируется величина начального селенодентрического радиуса-вектора Qi, а также
при постоянном модуле Qi даются отклонения направлению Qi на различные углы 6<Di
\С2,тыс.км2/с
10^20 30 40 SO 60 70 SO
-Ю ^2^*^^ \Ситыс.км2/с
-4* "—« л
-20 ~6
Рис. 7. 17. Влияние отклонений величины V\, угла возвышения 0i и
азимута А\ вектора начальной селеноцентрической скорости на компоненты
Си С2 геоцентрического кинетического момента траектории возвращения
(вар. 1, табл. 7. 2)
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, определяемых азимутами ai=Op; 90':
180°; 270°.
Результаты расчета отклоненных траекторий в различных видах представлены на
рис. 7.17—7.23. На рис. 7.17, 7.18, 7.19 представлены соответственно для вариантов 1,
3, 5 на плоскости компонентов С\, С2 геоцентрического кинетического момента точки,
получающиеся при отклонении одного из начальных данных от номинального
значения, отвечающего Ci = C2=0. Такие точки располагаются по двум лучам, отвечающим
соответственно положительному и отрицательному отклонениям. Таким образом,
влияние изменений трех параметров — величины Vi, угла возвышения 0i и азимута А\
вектора скорости — изображается шестью лучами. Аналогично шестью лучами на рис 7.20
представлено влияние изменения параметров Qi, Фь аь Здесь и далее отклонения 60i,
6Л1, 6Ф1, 6ai даны в градусах, 6Vi — в км/с, 6qi — в км. Точки пунктирного круга
у Ci 4- С2 = С^70 000 на этих рисунках примерно соответствуют траекториям, касаю.
щимся поверхности Земли. Постоянство величины С для таких траекторий объясняется
тем, что для рассматриваемых траекторий скорость у поверхности Земли близка к
параболической 1/п (^7) = 11 км/с и соответственно величина С близка к г «,Vn =
= 70 000 км2/с.
243


\Cz,mbtc.KM2/c
Рис. 7. 18. Влияние отклонений величины V\, угла возвышения 6i и
азимута А\ вектора начальной селеноцентрической скорости на компоненты
Си С2 геоцентрического кинетического момента траектории возвращения
(вар. 3, табл. 7. 2)
f С2 , ть'С имг/с
0,06 \
\
7^ g 60 170 Си тыс. км'/с
Рис. 7. 19. Влияние отклонений величины Vu угла возвышения 0i и азимута А\
вектора начальной селеноцентрической скорости на компоненты Си С2
геоцентрического кинетического момента траектории возвращения (вар. 5, табл. 7. 2)
244


Перигейные расстояния г% траекторий монотонно увеличиваются до величины г7
при движении соответствующих им на плоскости С\С2 точек по лучам от начала к
концу луча. Производные перигейных расстояний по исходным данным в точках концов
лучей (т. е. при ^ = гт) могут характеризовать влияние разброса начальных данных
для траекторий пологого возвращения в земную атмосферу. Такие производные (по
параметрам Vu Эь А\) приведены в трех последних колонках табл. 7.2. Они даны с
большим числом знаков, так как коридор входа в атмосферу узок [6, 10].
С2, тыс. км 2/С
*? 6Qi /1220
-200 \
Ситыслм2/с *"'
Рис. 7. 20. Влияние отклонений высоты брь а также величины Ф\ и азимута ai
смещения начальной точки из номинальной по лунной поверхности
Искривление отрицательных 0i-лучей на рис. 7.18 объясняется тем, что при старте
из окрестности точки вертикальной посадки рост отрицательных углов 0i отвечает
постепенному поворачиванию траекторий в область решений второго типа (ом. р,ис. 7.13).
Характер лучей для варианта 2 примерно такой, как для варианта 1, а для
варианта 4 — как для варианта 3 [5]. На рис. 7. 21—7. 23 представлены лучи на земной сфере (в
проекции на плоскость Л*£*), соответствующие лучам на рис. 7.17—7.19. Видим, что
почти прямолинейным лучам на плоскости С1С2 отвечают «лучи» на земной сфере,
близкие к дугам большого круга. Отклонения от дуг большого круга вызваны
искривлением соответствующего луча на плоскости С\С2. Видно, что рассматриваемые лучи
охватывают Землю со всех сторон в соответствии с тем, что У>Уд [4].
7.2.6. Методика и результаты расчета траекторий
возвращения с орбиты искусственного спутника Луны
Селеноцентрическая орбита искусственного спутника Луны задается ее
элементами to, Q0, «о, ро, е0, То в системе координат rmb, где г — селеноцентрический радиус
центра Луны, ось m направлена из центра Луны в плоскости лунной орбиты
примерно по скорости Луны, а ось Ъ составляет с направлениями г, m правую тройку
(рис. 7.24). Приближенно можно считать, что траектория возвращения получается в
результате мгновенного сообщения спутнику дополнительного скоростного импульса
величиной AV (в расчетах принимается AV= 1 км/с). Предполагается (только для
упрощения расчетов), что при сообщении импульса угол 0i возвышения вектора скорости
над местным горизонтом не изменяется, а азимут А\ результирующего вектора скоро-
245


Рис. 7.21. Смещения конца траектории возвращения из номинальной точки
на поверхности Земли, соответствующие отклонениям, приведенным
на рис. 7. 17
£*тыс.км
Рис. 7. 22. Смещения конца траектории возвращения из номинальной точки
на поверхности Земли, соответствующие отклонениям, приведенным.
на рис. 7. 18
246


( * тыс. км
Рис. 7.23. Смещения конца траектории возвращения из номинальной
точки на поверхности Земли, соответствующие отклонениям,
приведенным на рис. 7. 19.
Рис. 7.24. Определение параметров орбит ИСЛ
относительно плоскости лунной орбиты
247


сти может отличаться от азимута исходного вектора скорости. Обозначим через А/Ь
разность результирующего и исходного азимутов.
Попадание в центр Земли или в заданную точку земной поверхности получается
в результате соответствующего изменения величины А\ и момента t\ сообщения
импульса.
В качестве начальных данных траекторий возвращения берутся векторы
0('i) и С(*1) = о('1-0) + т^ jAK.
lo('i-0)|
Энергетические затраты на поворот плоскости орбиты исходного спутника здесь
не рассматриваются, так как они зависят от выбора исходной орбиты и при
оптимальном выборе обращаются в ноль.
Результаты расчетов номинальных и отклоненных траекторий сведены в табл. 7.3,
аналогичную табл. 7.2.
В табл. 7.Э брались элементы е0=0 и т0 = ^. В силу того, что е0=0, после разгонэ
аргумент широты и\ = <й\. После разгона вместо ро, ео имеем элементы pi, в\.
Величина б^[с] есть наибольшее отклонение времеьи U перехода с орбиты ИСЛ
на траекторию возвращения, еще пересекающую поверхность Земли. Величина 6Si{km]
есть аналогичное наибольшее отклонение начальной точки от орбиты в боковом
направлении. Остальные предельные отклонения имеют тот же смысл, что и в табл. 7.2.
Варианты, представленные в табл. 7.3, выбирались из соображений, изложенных
в разд. 7.2.2 и 7.2.Э. При этом исходные спутники в вариантах 1 и 2, а также в 3 и 4
движутся примерно в противоположных направлениях.
Ошибки в начальной скорости в варианте 2 значительно слабее сказываются, чем
в варианте 1. Объясняется это следующим образом. При положительной ошибке б Vi
селеноцентрическая траектория распрямляется, а скорость движения по ней
увеличивается. В частности, увеличивается величина скорости U выхода из сферы действия,
поворачиваясь против направления обхода Луны. В варианте 2 изменение трансверсаль-
ной компоненты геоцентрической выходной скорости вследствие поворота
направления вектора U частично компенсируется обратным ее изменением вследствие
увеличения . модуля вектора U. В варианте 1 вместо компенсации происходит сложение
влияния изменений направления и величины вектора Uy так что изменение трансвер-
сальной компоненты геоцентрической скорости с ростом &V\ гораздо раньше приводит
к промаху мимо Земли.
Той же причиной объясняется и отличие во влиянии разброса начального
селеноцентрического радиуса. Оно сказывается главным образом через изменение избытка
начальной скорости над местной параболической скоростью, т. е. так же, как 61Л.
Влияние боковых отклонений оказывается менее существенным, чем радиальных.
В последних шести колонках табл. 7.Э приведены производные перигейных
расстояний по исходным данным V\, 0i, A\y t\y Qi, Su аналогичные производным в
последних трех колонках табл. 7.2.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Пространственная задача возвращения имеет ту же характерную особенность,
что и другие задачи полета в поле тяготения Земли и Луны: траектории возвращения,
обладающие экстремальными свойствами, принадлежат плоскости лунной орбиты. В
частности, траектория возвращения с минимальной селеноцентрической скоростью обходит
Землю в направлении движения Луны, лежит в плоскости лунной орбиты и касается
геоцентрической сферы г=/"т в точке, противоположной направлению на Луну в
момент выхода КА из ее сферы действия.
2. Изложенная в разд. 7. 2. 1—7. 2. 3 приближенная методика является асимптотиче-
ской, т. е. она тем точнее, чем меньше отношение масс притягивающих тел. Отношение
массы Луны к массе Земли (1/80) оказывается уже достаточно малым для того, чтобы
с помощью анализа совокупности скоростей получать качественное и приближенное
количественное представление о различных свойствах траекторий возвращения (точные
машинные расчеты подтверждают это).
3. Условие равенства располагаемой угловой дальности полета фр и
геометрически необходимой фн. при заданной начальной скорости имеет тот же энергетический
смысл, что и аналогичное условие в задаче попадания в Луну из заданной точки
земной поверхности (гл. VI, разд. 6.1). При начальных скоростях, недостаточных для
выполнения этого равенства, решение задачи не существует, т. е. нельзя достигнуть Землю
с Луны.
4. При одинаковом модуле приращения вектора выходной селеноцентрической
скорости изменение полного времени полета больше для случаев изменения направления
этой скорости (в плоскости лунной орбиты), чем для случаев изменения модуля этой
скорости. Объясняется это тем, что направление этой скорости (см. рис. 7.11—7.14)
ближе к геоцентрической трансверсали, чем к радиусу для рассматриваемых величин
248


этой скорости. Соответственно направление вектора приращения этой скорости при
изменении угла возвышения ближе к радиусу, чем к трансверсали, а именно,
радиальная компонента в основном влияет на время полета до Земли.
5. Разброс времени Г* полета в сфере действия Луны для рассматриваемых
траекторий возвращения относительно невелик и составляет (в худших случаях) примерно
1 ч. За это 'время Земля в овоем движении вокруг Луны смещается примерно на
3,5 тыс. км, т. е. направление Луна — Земля поворачивается примерно на 0^5. Эта
величина невелика по сравнению с размером областей (7.1) на рис. 7.11, 7.12, 7.14,
составляющим десятки градусов. Именно это обстоятельство позволяет в приближенном
анализе влияния разброса начальных данных не учитывать изменение времени Т% , а
рассматривать лишь изменения направлений скоростей выхода аппарата из сферы
действия Луны.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. VII
1. Дашков А. А., Ивашкин В. В. Об одном замечательном свойстве пучка
гиперболических траекторий. — «Космические исследования», т. III, вып. 5, 1965.
2. Е г о р о в В. А. О некоторых задачах динамики полета к Луне.— «Успехи
физических наук», т. 63, вып. 1а, 1957.
3. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны, М., «Наука»,
1965.
4. Е г о р о в В. А. О траекториях возвращения от Луны к Земле.— «Космические
исследования», т. V, вып. 4, 19617.
5. Егоров В. А. О влиянии разброса начальных данных траектории
возвращения от Луны к Земле.— «Космические исследования», т. VII, вып. 1, 1969.
6. 3 о л о т у х и iH а Н. И., О х о ц и м с к ,и й Д. Е. Исследования движения
космических аппаратов в атмосфере.— «Космические исследования», т. III, вып. 4, 1966.
7. И в а ш к и н В. В. Оптимальные траектории импульсных переходов между
компланарными орбитами при ограничениях на расстояние от центра тяготения. Канд.
диссертация, гл. V, 1967.
8. Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов. М., изд-во МГУ, 1968.
9. Сообщение ТАСС, «Правда», 1966, 6 февр.
10. Чепмеи Дж. Приближенный метод исследования входа тел в атмосферы
планет. М., ИЛ, 1962.
11. Aim а г I., В а 1 a z s В. Approximate Method of platting the orbit of Space
rocket, passing near the Moon. Magyar tud. acad. Mat. Kutato int. Kozl., vol. 4, Nr. 2,
1959.
12. M i e 1 e A. Theorem of imagine trajectories in the Earth-Moon Space. Astronau-
tica Acta, vol. 6, No. 5, 1960.
13. Ко о у M. J., Berghuis J. On the numeral computation of free trajectories
of lunar space vehicls. Astronautica Acta, vol. 6, No. 2—3, 1960.
14. N i m a n A. Astronautical velocity and timing carts for use in space travel,
Journal of the British Interpl. Soc, vol. 19, No. 1, 1963.


ГЛАВА VIII
ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОРБИТ И ВРЕМЕНИ ЗАПУСКА
ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — большая полуось орбиты.
Вз — географическая широта точки земной поверхности.
е— эксцентриситет орбиты.
h— высота полета,
/г а — высота апогея.
hn — высота перигея.
Umax— максимальная высота орбиты.
hmm — минимальная высота орбиты.
i— наклонение орбиты.
kc — число суток, через которое обеспечивается совпадение полос обзора одного и
того же спутника.
Lt— долгота начала первого витка.
Ln — долгота начала п-го витка.
т— масса спутника.
N— общее число спутников в системе.
п— число оборотов спутника.
пс — целое число оборотов спутника в звездных сутках.
Рзв — продолжительность звездных суток.
р— фокальный параметр орбиты*
R — средний радиус Земли.
г— радиус-вектор спутника,
/*ср — средний радиус-вектор спутника.
Т— период обращения спутника.
Тт — продолжительность тропического года.
/н — необходимое минимальное время нахождения спутника в зоне действия
пункта приема информации,
^о— время запуска спутника для выведения спутника на орбиту с долготой
восходящего узла Q.
tcyw,— время существования спутника.
^2 — время прохождения спутника через восходящий узел.
V— скорость отрыва от притягивающего центра.
v— модуль вектора скорости опутника.
W — круговая скорость опутника.
z— число спутников в одной плоскости орбиты.
(*0 — угол прямого восхождения Солнца.
Р— угол ориентации плоскости орбиты относительно Солнца (планеты).
Y— угол между плоскостью горизонта и направлением на спутник (угол места).
Ymm — минимальный угол меота.
80 — склонение Солнца.
250


0 — угол между направлением скорости движения тела и нормалью к радиусу-
вектору.
О — истинная аномалия.
К— число плоскостей орбит в системе.
Тп — время прохождения спутника через перигей.
тСущ— относительное время существования спутника.
Ф — угловое расстояние между спутниками по фазе.
Ф — угловое расстояние между восходящими узлами орбит.
Q — долгота восходящего узла орбиты,
(оз — угловая скорость вращения Земли.
(Оп — аргумент перигея.
При выборе параметров орбит необходимо учитывать требования, определяемые
назначением ИСЗ, и многочисленные ограничения, к которым относятся, например,
ограничения, налагаемые характеристиками применяемых ракет-носителей, наземной
аппаратуры и бортового оборудования. В каждом конкретном случае определяются
главные ограничения, которые необходимо учитывать, чтобы обеспечить выполнение задач,
поставленных перед отделыным спутником или системами ИСЗ.
Так как задачи, решаемые ИСЗ, достаточно многообразны, то составление общего
алгоритма выбора орбит, учитывающего специфику налагаемых ограничений в каждом
отдельном случае, является пока весьма затруднительным.
Приведем формульные зависимости, позволяющие выбирать параметры орбит
ИСЗ для случаев, когда с их помощью производится решение отдельных типовых задач.
В зависимости от назначения спутника выбор параметров его орбиты может
производиться с учетом следующих факторов:
— времени существования ИСЗ;
— обеспечения связи или получения информации как с заданных районов Земли,
так и в глобальном масштабе;
— обеспечения постоянной ориентации плоскостей орбит относительно Солнца;
— обеспечения оперативности получения информации на пунктах приема
информации;
— допустимой величины перспективных искажений и падения разрешения
изображений, возникающих из-за сферичности Земли при съемке больших площадей;
— технических характеристик наземной и бортовой аппаратуры;
— воздействия радиационных поясов Земли на работу бортовых систем;
— энергетических возможностей носителей;
— освещенности заданных районов Земли при полете спутника;
— минимизации числа спутников и др.
8.1. ВЫБОР ФОРМЫ ОРБИТ
Число параметров, определяющих орбиту, зависит от ее фор,мы, при выборе
которой следует учитывать:
— тип и состав бортовой и наземной аппаратуры, ее технические характеристики
и возможности;
— время активного существования спутников;
— задачи, решаемые спутниками, и т. д.
Форма орбиты определяется уравнением в полярной системе координат
' = 7Т7^Г- (81)
Из уравнения (8.1) следует, что при 0<е<\ рассматриваемая орбита является
эллипсом (при е=0 этот эллипс превращается в окружность с радиусом /*=const). При
е=1 орбита становится параболой, а при е>\—гиперболой.
Форма орбиты зависит от скорости полета. Уравнение, определяющее форму
орбиты, в зависимости от скорости полета имеет вид [16]
e = yi — k(2 — Л) cos 20, (8.2)
где 0 — угол между направлением скорости движения ИСЗ и нормалью к радиусу-
вектору г (рис. 8.1);
пА %&__ 2у2
\i — коэффициент, равный произведению гравитационной постоянной на массу
Земли.
251


/z
Величина ^==l/ есть скорость кругового движения на расстоянии г от
притягивающего центра, а
V=V2W = l/ — (8.3)
-/*
есть так называемая скорость отрыва на расстоянии г от притягивающего центра
(при r=R величины W и У соответственно первая и вторая космические скорости).
Если v<V, то k<2 и е<\. В этом случае орбита является эллиптической. Если
v = V, то 6 = 2; е=1 и орбита становится параболической. Если v>V, то &>2; е>1 и
движение происходит по гиперболе. В двух последних
[у случаях рассматриваемое тело уходит в бесконечность,
ОД т. е. отрывается от притягивающего центра.
Выражение (8.2) можно представить в виде
е = У sin20 + (k— 1)2 cos20. (8.4)
Отсюда непосредственно следует, что круговая
орбита (£ = 0) может быть получена лишь при условиях
и=^и0=0, (8.5)
Однако поскольку на практике условие (8.5)
точно не выполняется вследствие ошибок систем
выведения спутников на расчетные орбиты и
соответствующих корректирующих устройств, а также из-за
действия на спутники различных возмущающих факторов,
то фактически получаемые орбиты для многих1 типов
Рис. 8. 1. К определению формы спутников Земли являются почти круговыми орбитами,
орбиты которые характеризуются следующими
параметрами [16]:
— эксцентриситетом 0<е^0,02;
— наклонением i\
— средним радиусом гср (или средней высотой /zCp);
— долготой восходящего узла Q (или временем запуска спутников t);
— временем tQ прохождения спутника через узел;
— аргументом перигея соп.
Использование эллиптических орбит приводит к конструктивным усложнениям
бортовой аппаратуры, непостоянству ширины полосы обзора 'местности, различиям в
качестве получаемой информации на протяжении всего витка орбиты. Кроме того, при
достаточно большом времени активного существования ИСЗ стабильность
расположения эллиптических орбит относительно друг друга (особенно при малых высотах
перигея) значительно ниже, чем для круговых или близких к ним орбит. Однако
эллиптические орбиты с большими эксцентриситетами позволяют при соответствующем
расположении апогея существенно увеличить продолжительность времени связи наземных точек
через спутник, а также имеют ряд других преимуществ и поэтому находят применение
в системе связи.
Эллиптические орбиты характеризуются следующими параметрами:
— большой полуосью а;
— наклонением г,
— высотой апогея /га;
— высотой перигея hu или минимальной высотой ^min;
— долготой восходящего узла Q (или временем запуска спутников t)\
— временем прохождения через перицентр тп;
— аргументом перицентра соп;
— эксцентриситетом е.
8.2. ВЫБОР НАКЛОНЕНИЯ ОРБИТ
Наклонение плоскости орбиты выбирается в зависимости от географического
расположения районов, с которыми необходимо обеспечить связь или осуществлять
получение соответствующей информации, а также от ширины зоны обзора земной
поверхности бортовой аппаратурой, устанавливаемой на спутниках.
Для обеспечения связи или получения информации со всех районов Земли, в том
числе и с ее полюсов, наклонение орбит должно находиться в пределах
71 I Л I
Y~~R(l~~k,)<i <T + ~R(l~k'h (8'6>
где R = 637\ км — средний радиус Земли;
252


2/ — ширина зоны обзора бортовой аппаратуры, половина которой через угол
поля зрения аппаратуры 2а и расстояние г от центра Земли до спутника определяется
из выражения
/ — —- arcsin — sin a — а
90° L \ R I J
(8:7)
В свою очередь угол поля зрения 2а со спутника ограничивается
радиусом-вектором г и углом места y, с которого может начинаться связь:
<z = 90°--arccos ( — cos А (8.8)
(8.12)
При y = 0 получаем максимальное значение угла поля зрения 2атах:
атах = 90° —arccos —. (8.9)
г
Для обеспечения связи или получения информации с заданной широты Вз
требуемое наклонение орбит определяется из соотношения
n-B3 + — (l-k')> i>B3- — (l-*')f (8.10)
где kf — коэффициент, учитывающий требуемый процент перекрытия полосой обзора
со спутника заданных широт Вз (£'=0,1н-1,0), причем если &' = 0, заданные широты
находятся на краю зоны обзора со спутника; если &'=1, трасе а полета спутников
проходит через Вз-
Зависимость наклонения i от коэффициента kr для ряда значений / приведена на
рис. 8.2.
Для обеспечения постоянной ориентации плоскости орбиты относительно Солнца
(чтобы спутник над районами с данной широтой появлялся в одно и то же местное
время) наклонение орбит выбирается из условия равенства угловой скорости
вращения узла орбиты Q и угловой скорости «перемещения» среднего экваториального*
Солнца £2q , т. е.
2кТ
i == arccos , (8.11)
Тгс
где Тг — продолжительность тропического года (Гг = 365,2422 солнечных суток);
(2я)7/3£ 888,796
(1 _ е2)2т ^7>5/3 (1 — е^Т \ff
здесь Т — период обращения ИСЗ;
е=2,634 • 1010 км5/с2 | константы, характеризующие
|ы = 308600' км3/с2 J гравитационное поле Земли.
Значения наклонений орбит, плоскости которых имеют постоянную ориентацию
относительно Солнца, в зависимости от их высоты (при е = 0) приведены на рис. 8.3.
8.3. ВЫБОР ВЫСОТ ОРБИТ (ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ ИСЗ)
Пр|И выборе высоты орбит необходимо учитывать следующее:
— требование получения информации с одних и тех же или со всех районов
земной поверхности за заданное число суток (при ограниченной ширине зоны обзора
бортовой аппаратуры);
— требование оперативного сбора соответствующей запомненной на борту
спутников информации на пунктах приема информации (ППИ). Одним из условий,
повышающих оперативность получения информации на ППИ, является выбор такой высоты,
при которой обеспечивалось бы прохождение спутника на любом витке орбиты через
зону действия ППИ. В этом случае также уменьшается необходимый объем памяти
бортовых запоминающих устройств;
— допустимую величину перспективных искажений и падения разрешения
изображений при съемке больших площадей, вызываемых сферичностью Земли;
— технические характеристики наземной и бортовой аппаратуры (дальность ее
действия, возможность получения требуемого разрешения изображений, минимальный
угол места, с которого возможна работа пунктов со спутниками, и др.);
— время существования спутников на орбите;
— воздействие радиационных поясов Земли на работу бортовых систем
спутников при длительном сроке активного существования системы;
— носитель и его энергетические возможности и т. д.
253


if град
i, град
L=7600 км
L=2000 км
--28 00 км
*L^3200 км
L=3600 км
0,8 k'
Рис. 8. 2. Зависимость наклонения i от
коэффициента W
105
юц
103
102
101
100
99
98
•
800 1000 1200 1400 1600 1800 П,им
Рис. 8.3. Зависимость наклонения /
орбит постоянной ориентации
относительно Солнца от высоты (при е=0)
254


Рассмотрим влияние каждого из перечисленных факторов на выбор высоты орбит
спутников.
Получение информации со всех районов Земли
Высота орбит, при которой обеспечивается последовательное перекрытие полос
обзора между проекциями орбит за заданное число суток, выбирается из условия
2я — (пс — 1) г] = —, (8.13)
kc
где пс —целое число витков в звездных сутках;
kc — число суток, через которое требуется обеспечить совпадение полос обзора
одного и того же ИСЗ;
г] — смещение проекции орбиты за один оборот ИСЗ вокруг Земли.
Выражение (8.13) можно представить в виде трансцендентного уравнения
(2ft)7/3ecos / 2nkc
V + цб/3(1 _в2)2Г4/3 = J + (Пс_ 1)Лс ■ <8Л4>
где (оз =7,2921158- Ю-5 1/с — угловая скорость вращения Земли.
Задаваясь величинами kc и лс, для известных значений наклонения i и
эксцентриситета е можно вычислить период обращения Т ИСЗ или высоту h для круговой
орбиты.
Уравнение (8.14) решается методом -итераций по следующей схеме:
(2я)7/3£ cos i 1 2nkc
Т + ^\ (1 - *2) г4/3 * «3 П + ("с - 1) кс
до выполнения условия (Г/—Tj_\)^.6Tf
где 6Т — допустимая ошибка в периоде обращения ИСЗ;
/ — число сближений.
В качестве исходного значения Tj=o принимается
Гл ?^с ,
/^-о-Шз[1+<Лс_1)Лс -*о-
В дальнейшем
а0 (2я)7/3£ cos/
^i=*o--^8. где *о=^{1_е2)2.
При £с = 1 достигается совпадение полос обзора одного и того же ИСЗ в каждые
сутки.
Орбита, период движения по которой в целое число раз пс меньше периода
вращения Земли (планеты), называется квазисинхронной, или изомаршрутной.
Целое число пс называется порядком орбиты. Для Земли самый высокий
порядок Агс = 16.
На рис. 8.4 и 8.5 даны высоты квазиоинхронных орбит (kc = \) и орбит,
обеспечивающих последовательное прохождение областей, расположенных между проекциями
орбит, полученных в первые сутки (для наклонений орбит i=&f и 90 ).
Орбиты ори kc = \ в течение всего времени наблюдения дают полосы обзора,
совпадающие с полосами, полученными в первый день. Для просмотра областей,
расположенных между проекциями орбит, необходимо изменить квазисинхронную высоту на
величину, обеспечивающую ежедневный сдвиг полосы на расстояние, равное ее
ширине /. Очевидно, это изменение высоты может производиться в сторону увеличения или
уменьшения квазеоинхронного значения (см. рис. 8.4 и 8.5). Количество дней,
требуемое для заполнения всей области межвиткового расстояния, находится по формуле
*с = -у-. (8.15)
Выбор периода обращения, при котором
обеспечивается заданное прохождение
трасс полета
Некоторые ИСЗ предназначены для получения информации с заданного района
поверхности Земли при некотором дополнительном перекрытии маршрутов наблюдения.
При этом характер и очередность накрытия земной поверхности маршрутами
определяются периодом обращения ИСЗ.
Однако ошибки фактически получаемого после выведения периода обращения
достаточно велики и поэтому задача выбора оптимального его значения сводится к
определению периода, наиболее удаленного от некоторых наименее благоприятных значе-
255


tl, к
1200b
1100\
wool
90o\
8O0Y
100 Г
60oY
5001
м
\t
\
\
|
ij
-^
//
//
S*
К
^T 1
i
!
—Г'
L
1
В 1
if 1 1
\Н^ПС^1Ь при i=
7j<azc^74 при L=90°
I
1- "J ~~^~ J
1^
_.l
j
s1b+nc<:15 при L=80°
14< nc^15 при 1=90°
01 5 10 15 20 kClcym
Рис. 8. 4. Зависимость высоты орбиты h
числа суток kc при /=const
; h, км
20501
1950V
185о\
175oY
165о\
1550b
1 М5о\
135oY
1250\
A
/
//
if
•
s
^
^_
L-
■-i-
1
—
— ".
11<nc^ 12 при l=80°
Jl<nc<12 при l=90°
\12^пс^ипри L=80°
}2<nc^1Jnpu L=90° ]
1
1
015 10 15 20 кс,сут
Рис. 8. 5. Зависимость высоты орбиты h
числа суток kc при i—const
80°
01
от
256


ний. С увеличением точности реализации значения периода будет возрастать
эффективность выбора оптимального значения.
Оптимальным периодом обращения (для данного наклонения орбиты) является
такой период обращения Т, при котором достигается максимум функционала
+дг
^Ю^ЦОУ J fj(T)WTdT, (8.16)
j -ДГ
где F(T) — математическое ожидание наблюденных единиц площади;
Qj — вес у-й «единичной» площади;
fi(T) — функция наблюдения /-ой «единичной» площади;
Ч'г — плотность распределения ошибок получения заданного периода обращения.
Уравнение (8.16) можно решать численным методом путем статистических проб
(метод Монте-Карло).
Ниже дается ряд аналитических зависимостей, позволяющих подойти с другой
стороны к выбору оптимальных параметров орбит.
Бели пренебречь эксцентриситетом орбиты, который для спутников наблюдения,
как правило, не превышает 0,06, то долгота начала п-го витка (долгота узла)
находится из выражения
/ cos /\
Ln = Ll-(n-\){i»3T-dl--^ry (8.17)
Значение периода обращения, при котором спутник проходит через заданную
долготу, определяется по формуле
1 /^-^Ч-ЗбО^е cos Л
т=^{ ^—i +rfl^rJ- (8л8>
Формула для числа витков п, которые должен совершить спутник при данном
периоде обращения, чтобы пройти в (районе заданной долготы, имеет вид
Z.1 —Z„ + 360°iVc п л
-1 — + 1. (8.19)
cos i
J-dx
3 l a*
В результате расчета по этой формуле величина п может оказаться числом не
целым. В этом случае значение п округляется до ближайшего целого числа л*, а
получающаяся разность между долготой начала заданного витка Ln и долготой Ln, имеющей
место при данном периоде, определяется из выражения
* / cos / \
Ln-Ln = <»-«•) ^T-d.-^-y
В формулах (8.17) — (8.19), нроме общепринятых, использованы следующие
обозначения:
Nc —■ сутки полета (Nc = 1, 2, Э, ...);
п — номер витка (я= 1, 2, 3, ...);
w3 = 0,25068447 град/мин;
d\ = —2,3784766 • 107 град • км2.
Для низких орбит спутников следует учитывать уменьшение периода обращения
из-за влияния атмосферы, используя приближенную зависимость
„, „, 2л — 1 „,
г = г0 ——— ът,
где Т — выбранное значение периода обращения;
Го — начальное значение периода;
6Г—уменьшение .периода обращения за один виток.
Из выражений (8.16) — (8.19) можно получить параметры орбиты,
обеспечивающие заданное прохождение трасс полета.
В табл. 8.1 и 8.2 представлены результаты расчетов периодов обращения и
разности долгот начал соседних витков, при которых происходит наложение маршрутов
соседних суток (будем называть такой период «изомаршрутным»), через сутки, через
двое суток и т. д. По этим таблицам можно выбрать период обращения, при котором
обеспечивается последовательное прохождение трасс с необходимым сдвигом по
долготе.
9 3669 257


Таблица 8.1
Число

витков за
сутки
16
15 1
14
Изомаршрутные периоды обращения в минутах для различных углов
наклона / в град
50
88,41
94,40
101,24
60
88,72
94,70
101,53
65
88,87
94,86
101,69
70
89,04
95,02
101,86
75
89,21
95,20
102,04
80
89,38
95,38
102,11
90
89,75
95,75
102,58
95
89,94
95,92
102,76
Таблица 8.2
Число

витков за
сутки
16
15
14
Разности долгот начал соседних витков в градусах для изомаршрутных
периодов обращения при различных / в град
50
22,16
23,66
25,38
60
22,24
23,73
25,45
65
22,28
23,78
25,49
70
22,32
23,82
25,54
75
22,36
23,86
25,58
80
22,41
23,91
25,63
90
22,50
24,00
25,71
95
22,55
24,05
25,76
Минимальная высота орбит, при которой обеспечивается
прохождение спутника на любом витке орбиты через зоны
действия пунктов приема информации (ППИ)
В общем случае
Umin=/(*\ tH, Bi, В2, L\n, L2n, train)у (8.20)
где tH— необходимое минимальное время нахождения спутника в зоне
действия ППИ;
&U B2,L\n и ^2п—широта и долгота крайних пунктов приема информации;
Tmin— минимальный угол места, с которого может осуществляться
уверенная работа ППИ со спутниками.
Условие, при котором находится точное значение /imin, имеет вид
Л/р = £необх> (8.21)
где
А/о
*р — \ Lin— L2u 1;
4
£необх = 360°-2Д/;, /==1,2,3 И
;-1
Значения Alj определяются по следующим соотношениям:
/ cos/'—1
Д/j = arccos I -
4.
+ 1
где
cos2 В\
V = arccos ( cos d cos b ); b = (m + b) — m;
)■
( vi\ ,ч . / sin£i\
d = arctg I tg ф cos — I ; (m -f b) = arcsin I —;—- I;
ф = 90° — (т + Tmin); rn = arcsin
/ = arcsin ( ^cos 7minJ;
sin Bi
sin / cos d
ctgitgd
v = arccos I ■
360° t„
u' =
cos u' — 1
sin 2ф
+ 1
(8.22)
(8.23)
(8.24)
258


1% 111111И
9*
259


/ — угол между линией визирования ИСЗ и радиусом, проведенным к ИСЗ
из центра Земли.
Величина А/2 определяется по соотношениям (8.23) и (8.24), только вместо
широты В\ первого пункта подставляется широта В2 второго крайнего пункта. При
расположении крайних пунктов на одной и той же широте A/i=A/2. Далее
/ cos а\ — sin Вл sin Во\
о о Ь (8-25)
\ cos В\ cos B2 J
Д/я
arccos
^необх; 8Рад
\900
16 УтътгРа3
Рис. 8. 7. Зависимость Ьнеобх от Ymin
где
Г / sin ВЛ . / sin B2\ |
ai e 180о _ arcsin ^__ + arcsm ( ——jj ;
180°
А/4=^ tcu
здесь
. = (0)5_^arcsin(ii^) + arcsin(iiii^)l}r.
\ 360° \ sin г У V sin* /JJ
(8.26)
(8.27)
(8.28)
Значение hmln определяется по формулам (8.21) —(8.28) в следующем порядке
Задаются исходные значения hj «300 км и находится LHeo6x. Если условие (8.21)
не выполняется, очередное значение hj+i выбирается по формуле
hj+i = hj±Ahh,
где A/*i = 50 км, Д/г2=10 км, АЛ8=1 км, А/г4=0,1 км и т. д.
При (LHeo6x—А/р)>0 значение Ahk берется со знаком «+», при (LHeo6x—Д/Р) <U
значение Ahk берется со знаком «—». Переход от Ahk на Ahh+l осуществляется при
смене знака разности (LHeo6x—А/р). Итерационный процесс заканчивается при
выполнении условия (8.21) или при достижении А/г4=0,1 км и т. д. и одновременном
выполнении УСЛОВИЯ (Хнеобх—Д/р) >0.
Зависимости LHeo6x от Ymin для наклонений 80° и 90° и высот 600—2500 км
представлены на рис. 8.6—8.9, зависимость 1НеобХ от hmm для ряда широт расположения
пунктов (В1 = В2) —на рис. 8. 10 и 8. И, зависимость /,необх от / для ряда высот при
постоянных Ymm=6° и ^ = ^2=20° и В1 = В2=40° представлены на рис. 8. 12^
зависимость LHeo6x от /*min для tH = 5™, 6m, 7m и 8™ и ;=80° при 5i = B2=20°; 30» и 4(F -
на рис. 8. 13.
Высота орбит, при которой перспективные искажения
не превосходят допустимого предела
Перспективные искажения различают в двух направлениях — поперечном и
продольном. В связи с тем, что продольные искажения значительно превалируют над
поперечными, то последние обычно не принимаются во внимание.
260


i-ныбх^рад
(BfBz-0)
160
■ то
120
-=20°)
10 и
130-
110-
90-
ши
80
60
40
^-
^
Slj
^-*
г-5
^
.-с
^
'J^T
:Г-
^1
^"
^
м ■■■■
j*^-
^"-
—
—
^г
^С-
■jj0m
L=90°
~£z
zz.
2~2
'
-^
^~
_"T"li
z£~z
^-"
r-
^
wT1*™
-j2
^r-
zz
^.
-2
^
"-"*!
г--
.
^воо«»
"""■"2L-- Г—- nnni- '
2000-
[ToofeS
_ .л ,yhl
7 =s6UU ^' j
ir
^
^3^
—i
■
i
fl
^TC-
1^
7500^1
Dj—D2~V 1
*7-
„ ■ 1
-20
1
i
0 2 4 6 8 10 12 14 w ут1п,град
РИС. 8.8. ЗаВИСИМОСТЬ LHeo6x ОТ Ymln
^необх- гРад
4 6 в Ю 12 74 16 ут1П)град
РИС. 8.9. ЗаВИСИМОСТЬ LHeo6x ОТ Ymln
261


{*необх> 2Ра$
1йП
Vffl
120
100
80
60
00
10
"^1
ч
*ч
\
\
л
\
ч
ч
\n
\
\
^
N
N
V
Ч >
\
\
\
<
"-
X
ч
4"v
^
\
\
\
\
Ч
>
^
^
ч
^
Утьп
N
*£7=В2=70°
ii i .
в
Ч
о
IU
,=£_ =
1 г
-< -
\
Jl
N.
X
=0°
60е
■■v:
"^
70 °,
--
-^.
L
= 80°
L=9C
^С
^=
1 1
в?-
с^
-й2—и
\— '
Г
20°
^£°-°
х40°
"Тч
\
50°
Го?
60°
50*
500 700 900 \ 1100 1300 1500 1700 1900 2100 hmin,KM
\
РИС. 8. 10. ЗаВИСИМОСТЬ />неэбх ОТ /imln
mtn ? '
Lneo6x^Pad
500 700 900 1100 7300 1500 1700 1900 2100 hmLYl,KM
РИС. 8. 11. ЗаВИСИМОСТЬ />необх ОТ /imin
262


^необх?
град
20 о
180
1В0
140
120
100
30 40 50 ВО 70 80 L,8pad
Рис. 8. 12. Зависимость LHeo6x от i
?-нео6х,\
град
165
760
155
150
1*5
то
;35
730
125
г
'>-
1
ол\| _^
ш
1
L=80°
УтъгГ*0
Вг*в7=го°
ч <
У
wTl
\\л\\\
\N
\
лв,=вг=зо °
1
.. .'{... .
1
1
1
■| H
j№i^^ ! !
£,=;B2=*0^
i\ NT^A
1 Vs4
\
tH=J"\^
\N
S^sS
^
у
s
^4
8
7
6
5
600 800 WOO 7200 7400 1600 1800 hmirl,KM
Рис. 8. 13. Зависимость LHeo6x от hmin


Зависимость высоты орбиты от допустимого коэффициента перспективных'
искажений выражается формулой
h= *[«»а-со»(/ + а)]
Лдоп cos (1 + а) — cos а '
.где а — половина угла поля зрения бортовой аппаратуры;.
/— половина ширины зоны обзора бортовой аппаратуры [определяется через а
по формуле (8. 7)];
Лдоп — коэффициент, показывающий искажение масштаба за счет перспективы
в различных участках изображения относительно подспутниковой точки
(■Ддоп= 1> А «3, . . .) .
Зависимость высоты h от Лдоп для различных 2/ представлена на рис. 8. 14.
Рис. 8. 14. Зависимость высоты орбиты h Рис. 8. 15. Зависимость высоты
от Лдоп перигея hn от относительного
времени существования
спутника Тсущ
Учет характеристик аппаратуры
На выбор высоты орбит накладываются ограничения со стороны технических
характеристик наземной и бортовой аппаратуры;
— по минимальному углу места Ymm;
— по минимальному времени tH нахождения спутника в зоне действия наземных
пунктов, необходимому для воспроизведения запомненной информации;
— по ширине зоны обзора бортовой аппаратуры 21;
— по дальности действия аппаратуры D.
Дальность действия аппаратуры ограничивает верхний предел высоты /imax,
который определяется по формуле
>W = (Я2 + D2 + 2RD sin ^т{п)1^-R. (8.30)
Выбор высоты орбит с учетом времени
существования ИСЗ
На время существования пассивных; ИСЗ влияют следующие основные факторы:
— сопротивление атмосферы;
— гравитационные поля Луны и Солнца;
— световое давление (для ИСЗ с малой плотностью).
Минимальную высоту полета ИСЗ, определяемую влиянием сопротивления
атмосферы, удобно находить по графикам на рис. 8. 15 и 8. 16, где по оси абсцисс отложено
относительное время существования тСуЩ, по оси ординат — высота перигея hn, а кри-
264


вые соответствуют различным значениям эксцентриситета орбиты е. Графики построены
для атмосферы CIRA 1961, которая соответствует периоду максимальной плотности
атмосферы.
Время существования ИСЗ /Сущ связано с относительным временем
существования тСущ зависимостью
1сущ
сущ -
(8.31)
Здесь
С =
2т '
где Сзс = 2-т-2,5 — коэффициент аэродинамического сопротивления ИСЗ;
200
150
100
50
f^**"^
е =
е=0
\о
1 '
/Ш
JrH
"ТЙ
=0,Щ | |
01}
ог\
ои\
0б\
0,00001 0,0001 0,001 0,01
ъСущ,(м2/«г)-суп
Рис. 8. 16. Зависимость высоты перигея hn от
относительного времени существования спутника тсущ
F — площадь миделевого сечения ИСЗ, т. е. площадь проекции ИСЗ на плоскость,
нормальную к вектору скорости относительно воздуха.
Графики рассчитаны в предположении, что время существования равно нулю,
если ИСЗ может сделать еще один полный оборот вокруг Земли.
Пример. Определить время существования ИСЗ с высотой перигея /in = 220 км,
эксцентриситетом орбиты е=0,01 и С=0,001 м2/кг.
По графику рис. 8. 15 находим, что для Лп = 220 км и е=0,01 относительное время,
существования тсущ=0,08 (м2/кг) • сут.
По формуле (8.31) находим время существования ИСЗ на орбите
*сущ —
1сущ
0,08
0,001
:80
:ут.
Для определения времени существования ИСЗ на круговых орбитам,
определяемого атмосферой CIRA 1961, удобно пользоваться линейными формулами,
приведенными в табл. 8. 3.
Точность расчета времени существования по данным табл. 8. 3 не хуже 15%
получаемого результата, что меньше олибки априорного знания плотности атмосферы.
Пример. Найти время существования ИСЗ массой m=6Q00 кг, площадью
миделевого сечения F=3 м2, летящего на круговой орбите с высотой полета 200 км.
По формуле строки 1 из табл. 8. 3 получим
т 6000
*сущ = ( — 0>^2 + 0,0005/0 — == ( — 0,092 + 0,0005 Х200) —- = 16 сут.
Следует отметить, что ошибки расчета времени существования в связи с вариа-
диями плотности атмосферы могут составлять десятки процентов, а на больших
высотах (более 500 км) и в годы максимума солнечной активности могут в несколько раз
превышать время существования.
265


Таблица 8.3
№ по пор.
1
2
3
4
Диапазон высот
полета, км
200 -г- 250
250-300
300-350
350-400
Формула для расчета времени существования
ИСЗ в сутках
т
гСущ-(-0,092+0,0005/0 —
/сущ=(—0,34+0,0015 К) ~^-
F
т
*сущ=(—М+0,005 К) —
'сущ=(-3,1+0,01 К) -J-
Г
Влияние Луны и Солнца на время существования выражается в том, что для
орбит с высоким апогеем возмущения могут привести к существенному снижению
перигея и прекращению существования ИСЗ.
Для точного расчета численных значений возмущений элементов орбиты
необходимо численно интегрировать уравнения вида
da j
— = 4h+ bqh+ bqh+ bqh;
n
^сущ = J Tdn,
где
**/!.
,5)-
t, ^);
*g
и
элементы орбиты (например, а, е,
число оборотов спутника;
возмущения элементов орбиты за один виток, вызываемые
влиянием сопротивления воздуха, сжатием Земли, лунными
и солнечными возмущениями.
Вековые возмущения в движении ИСЗ, вызываемые влиянием Луны и Солнца,
определяются элементами орбиты спутника а, е, i, соп и не зависят от положения
восходящего узла орбиты Q и времени прохождения ИСЗ через узел tQ. Кроме того,
величины возмущений пропорциональны а3. Характер возмущений определяется
параметрами е, i, о)п.
В первом приближении в возмущениях высоты перигея наблюдается следующая
закономерность. Высота перигея hn уменьшается в случае, если истинная аномалия О
проекции вектора возмущающего ускорения находится во второй или четвертой
четверти. Высота перигея увеличивается, если истинная аномалия Ф находится в первой
или третьей четверти. Сказанное пояснено на рис. 8. 17.
Эту закономерность можно сформулировать также следующим образом (рис.8. 18).
Высота перигея снижается, если угловое расстояние перигея соп, отсчитываемое от
восходящего узла, лежащего в плоскости возмущающего тела, находится в первой или
третьей четверти. Высота перигея увеличивается, если соп — во второй и четвертой
четверти.
Для оценки вековых лунных возмущений высоты перигея можно воспользоваться
табл. 8.4, где приведены средние скорости изменения высоты полета в километрах
за один виток ИСЗ для различных высот перигея и апогея орбиты.
Таблица 8.4
Высота
апогея
км
2 000
10 000
20 000
50 000
100 000
Средняя скорость изменения высоты полета в км за виток
для различных высот перигея hn в км
200
0,001
0,017
0,090
1,2
10,8
2000
0,014
0,103
1,4
12,3
10 000
0,122
2,0
18,1
20 000
2,6
23,8
50 000
32,8
266


Оценка величин векового возмущения за продолжительный период в случае
нахождения О и соп в одной четверти получается путем умножения данных,
приведенных в табл. 8.4, на число витков полета.
Величины средних скоростей изменения высоты, вызываемых Солнцем, в 2,2 раза
меньше данных, приведенных в таблице.
Луна
(Солнце)
Направление _
движения ИСЗ \ Плоскость
' Ори иглы
'ИСЗ
Перигей,
орбиты
- uotji. —"«{/о - Перигеи
Чег?*Ща£* орбиты ИСЗ
плоскость
орбиты
Возмущающего
тела
Рис. 8. 17. К определению влияния Луны Рис. 8. 18. К определению влияния
(Солнца) на изменение высот перигея Луны (Солнца) на изменение высот
и апогея перигея и апогея
Величины максимальных долгопериодических амплитуд солнечных возмущений
с периодом 182,66 солнечных суток для различных высот перигея hn и апогея Аа
приведены в табл. 8. 5.
Таблица 8.5
Высота
апогея
Ла в км
2 000
10 000
20 000
50 000
100 000
Максимальная амплитуда солнечного возмущения в км для
высот перигея /?п в км
200
0,4
3,2
10,0
51
187
2000 | 10 000
_
3,1
10,5
56
208
_
—
9,0
69
277
20 000
—
—
70
325
>азличных
50 000
„_
—
—-
—
329
Долгопериодические лунные возмущения в 6 раз меньше величин, указанных
в табл. 8.5, и имеют период 13,66 солнечных суток.
Пользуясь приведенными выше данными о влиянии Луны и Солнца, можно
оценить потребную величину перигея, обеспечивающую заданное время
существования ИСЗ.
Световое давление составляет примерно 1 мг/м2 площади ИСЗ.
В табл. 8. 6 приведены максимальные возмущения высоты полета в метрах,
вызываемые влиянием светового давления на . ИСЗ, движущийся по круговой орбите
высотой 1000 км.
Таблица 8.6
Отношение характерной площади ИСЗ к его
массе, м2/кг
0,0003
Максимальное возмущение высоты за один
виток, м
0,02
267


Учет радиационной обстановки
Высоту орбит ИСЗ следует выбирать также с учетом радиационной обстановки
в околоземном пространстве, исходя из обеспечения безопасности полета экипажей
обитаемые кораблей и удовлетворения требований в отношении нормальной работы
бортовых систем при воздействии радиационных поясов Земли за планируемый срок
активного существования.
Для этого, задаваясь элементами орбиты ИСЗ, следует определить характер
прохождения ИСЗ относительно радиационных поясов Земли и путем последовательных
приближений выбирать такие ее элементы, которые удовлетворяют заданному уровню
радиации.
8.4. ВЫБОР ВРЕМЕНИ ЗАПУСКА ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
В зависимости от назначения спутники Земли выполняют разнообразные задачи.
Одни из этих задач могут быть решены с помощью одного или нескольких, а другие
с помощью даже нескольких десятков спутников, ориентированных определенным
образом как относительно друг друга, так и относительно Солнца, планет или звезд.
Требуемая ориентация плоскостей орбит в пространстве обеспечивается запуском спутников
в определенное время. В связи с этим могут возникнуть случаи, когда необходимо
осуществить:
— запуск одного спутника в плоскость орбиты, как ориентированную, так и
произвольно расположенную в простран-
L Северный
^ пптл/
Плоскость
ipffumb/ исз
Солнца, планет
Рис. 8. 19.
К определению
плоскости орбиты
Плоскость
эклиптики
ориентации
стве относительно
или звезд;
— запуск нескольких ИСЗ для
создания системы из X плоскоагей
орбит, в каждой из которых
находится по одному спутнику;
— запуск нескольких ИСЗ для
создания системы, состоящей из а
плоскостей орбит, в каждой из
которой находится по z спутников.
Во втором и третьем случаях
системы ИСЗ могут быть как
ориентированы, так и не ориентированы
относительно Солнца, планет или
звезд.
Иногда время запуска
обусловливается конструктивными
особенностями бортовых систем. Этот случай
здесь не рассматривается.
Любая схема взаимного
расположения нескольких спутников
определяется угловым расстоянием ср
между восходящими узлами орбит и
фазовым положением Ф каждого спутника в плоскости орбиты.
Под временем создания спутниковой системы Р понимается время, отсчитываемое
от момента запуска первого до момента запуска последнего спутника.
Плоскостью отсчета называется плоскость орбиты, относительно которой
располагаются остальные плоскости системы спутников. При ориентации системы спутников
относительно Солнца (планет) за плоскость отсчета принимается та, в которой
расположен вектор, направленный из центра Земли на Солнце (планету), а ее наклонение
к плоскости экватора соответствует наклонению плоскостей создаваемой системы
спутников.
При произвольной ориентации системы спутников за плоскость отсчета
принимается плоскость первого спутника.
Ориентация плоскости орбиты относительно Солнца (планеты) определяется
углом |3, заключенным между вектором W, перпендикулярным к плоскости орбиты,
и вектором С, направленным из центра Земли на Солнце (планету) (рис. 8. 19).
Положение вектора W определяется наклонением i и восходящим узлом орбиты Q,
положение вектора С — углом прямого восхождения а^ и углом склонения бф Солнца
(планеты). Скалярное произведение единичны» векторов W (iQ) и С (а@, Ъ*) позволяет
найти угол между этими векторами:
cos p = sin / cos tUv sin (Q — а^) -f-
sin
tU cos /
(0° <p < 180°). (8.32)
Ориентация плоскостей орбит считается положительной при Р>90° и отрицатель
ной при Р<90°. При (3=90° получается плоскость отсчета.
268


Положение плоскости орбиты относительно любой другой плоскости определяется
углом ф. Ориентация плоскостей относительно плоскости отсчета считается
отрицательной, если отсчет углов ф;-_1 (где / — номер плоскости) ведется от восходящего узла
плоскости отсчета по часовой стрелке, и положительной, если отсчет ведется против
часовой стрелки (смотря на плоскость экватора с Северного полюса).
С течением времени вследствие прецессии орбит и перемещения Земли вместе
с орбитами относительно Солнца (планеты) угол р изменяется. За счет годового
движения Земли вместе с орбитой спутника относительно Солнца (планеты) за время t
изменяется угол прямого восхождения, который приближенно вычисляется по формуле
n 2nt
а© = а© + Т~' <8*33)
■* г
где Тг — продолжительность тропического года (7=365,2422 солнечных суток);
(Х0— начальное значение (Х0 .
За это же время долгота восходящего узла орбиты изменяется на величину
t
Q = Qq — С cos i —, (8.34)
где &о — начальное значение 2.
(2я)7/3£ 888,796
р.5/з (1 _ e2)2TA& (1 — е^т^Т '
Совместно решая уравнения (8.32), (8.33), (8.34), можно найти изменение
угла Р с течением времени.
При одинаковых» значениях наклонения, периода обращения и эксцентриситета
двух орбит угол ф с течением времени сохраняет постоянное значение. При наличии
ошибок выведения спутников в этих параметрах (6i, 6Г и бе) за счет неодинаковой
величины прецессии орбит угол ф изменяет свое первоначальное значение.
Изменение угла ф определяется по формуле
[cos / sin / / 1 \ I t
—^г- ът + -j— ы + (l - yz~i)Ье IТ + В?0' ( }
где бф0 — изменение угла ф за счет неточного выдерживания расчетного времени
запуска спутников;
Фо — начальное значение ф.
Время запуска одиночного спутника
Время запуска спутника в плоскость орбиты с наклонением i и узлом Q
определяется по формуле
to = — jj-2 + М0 - та, (8.36)
шз
где S0 — среднее звездное время в гринвичскую полночь; берется из Астрономического
ежегодника на дату пуска;
. ( tgBp \
М = arcsin ;
Во и 1ц — широта и долгота точки выведения;
М0 = Nn + tA — постоянная времени, учитывающая номер пояса Nu, принятого при
отсчете времени, и декретное время tA (для московского времени М0 =
= 3Л);
та — продолжительность активного участка траектории выведения.
Время запуска спутника в плоскость орбиты, угол ориентации которой составляет
Р^агс cos[sin(t+60)], вычисляется по формуле
(Хф + Д£ + Да — Ц — S0
h = — - +Mq — та; (8.37)
cos[
здесь Да = arcsin f
— sin &0 cos / \
in / cos &0 J '
u©
а©и ^0~ Угол прямого восхождения и угол склонения Солнца (планеты); берутся
из Астрономического ежегодника на дату пуска.
Время запуска t0 спутника в плоскость отсчета вычисляется по формуле (8. 37);
при этом принимается (3=90°, т. е.
Да = arcsin (tg Ъ^ ctg /).
269


Время запуска спутника в плоскость, восходящий узел которой от восходящего
узла плоскости отсчета расположен на угловом расстоянии ф, вычисляется по
формулам:
— при положительной ориентации плоскости орбиты
2я + Аср
1 +
2я
Щ •
АЛ.
2л )'
(8.38)
— при отрицательной ориентации плоскости орбиты
<-*w-C-£)+J^(-2H-*+4—-£)(-!9-
где величина т0 находится по следующему правилу:
Щ
то= 1 при
О при Ат < —— (ср подставляется в градусах);
15
15
<At <24h ;
(8.39)
Дт-
т0 = 2 при 24h' <At<48h';
т0 = 3 при 48h' < At < 72h' и т. д.;
■ продолжительность звездных суток;
- время подготовки ракеты-носителя, спутника и пусковой установки к
очередному пуску в ч;
д<р = С cos / —— ;
Т — период обращения ИСЗ.
где
Создание системы из X плоскостей,
в каждой из которых по одному спутнику,
расположенных симметрично относительно плоскости
отсчета, в которой находится вектор Земля — Солнце
Время запуска первого спутника определяется по формуле
*! = *! + Д*1 + Д*2,
tl-to-
0,5 2 *j-i
(8.40)
(8.41)
^ ср, j — сумма угловых расстояний между восходящими узлами орбит;
J-2
Д*1 =
Р 12
С — cos / —
Т п
(8.42)
— поправка, учитывающая прецессию орбиты первого спутника за время создания
системы Р\
24Р
д/2 = -
(8.43)
— поправка, учитывающая перемещение Земли вместе с орбитой первого спутника
относительно Солнца (планеты) за время Р.
Примечание. Если в правой части формулы (8.41) получается отрицательное
число, равное и, то
t\ = 23Л5б/7г048 — | х |.
Время запуска /JH последующих спутников при произвольном расположении их по
фазам находится с помощью выражения
tjH = ti + (j—\)m{)P3B 1 —
2я + Аср )
2я + Аср
(8. 44)
270


где j — номер плоскости орбиты или номер запускаемого спутника;
2 w-i = ?i + ?2 + ... + <р/ + ... + ?x-i;
;-2
<pi — угловое расстояние между восходящими узлами /—1 и /-й плоскостями.
Время создания системы
Я = (Х-1)«0РзВ(1-1^)+Язв;-^г- (8-45)
я + Д<р / 2я + Д<р
Время запуска /jP последующих спутников при обеспечении равенства фаз для
всех спутников системы вычисляется по формуле
i-2
О р = 'l +
|2я —(о) Г + С cos i) /ic |
Лс7\
(8.46)
где пс-
и выражение, заключенное в квадратных скобках, округляются до
ближайшего целого числа.
Время создания системы
Я =
i-2
| 2я — (о Г + С cos i)nc\
псТ,
(8.47)
где дс и величина в квадратных скобках округляются до ближайшего целого числа.
Создание спутниковой системы из X плоскостей орбит,
в каждой из которых по одному спутнику
Ориентация плоскостей X орбит в пространстве произвольная, т. е. время запуска
первого спутника может быть любым.
Время запуска всех/ спутников относительно плоскости отсчета определяется:
— при положительной ориентации плоскостей орбит по формуле (8. 44);
— при отрицательной ориентации плоскостей орбит по формуле
*Л) ='l-г С/— О^оЛязИ
Время создания системы
Д<р
2я
+ Я3
2 w-i
J 2я
(-£-')■
X
Я = (Х-$1ИоРзв(1--^)
/-2
2л
■й-')-
(8. 48)
(8.49)
При создании таких систем в каждые сутки для каждого / имеется два значения
времени запуска: tjH и tj0.
Создание системы, состоящей из X плоскостей,
в каждой из которой по z спутников
Спутники на орбитах с эксцентриситетом е^.0,01. Время запуска спутника
в /-ю плоскость, в зависимости от той или иной ориентации плоскостей в пространстве,
определяется по формулам (8. 44) и (8.48) соответственно.
Запуск спутников в одну и ту же плоскость орбиты с одним и тем же азимутом
пуска при наклонении орбит i=7^90c с одной пусковой установки может производиться
не более чем один раз в каждые сутки. В случае проведения маневра на активном
участке траектории выведения возможно и большее число раз.
Время запуска последующих спутников в /-ю плоскость определяется по формуле
Здесь
А
Д^ т= (s — 1) /7Z1 :
1 +'
(8.50)
(8.51)
2я
271


tjq — время запуска первого ИСЗ в /-ю плоскость (индекс q означает н, р или о);
s — номер запускаемого спутника в /-ю плоскость (5=2, 3,..., Z).
За время kt2 при тх = \ предыдущий спутник в данной плоскости отойдет от точки
выведения на угол ДФ=2я (k2—с0), где k2~-~, а с0 — целая часть числа k2.
Обычно спутники в одной плоскости орбиты должны располагаться или на равных
угловых расстояниях, или на заданных Ф±д<^, где Д^|)— допустимое отклонение угла Ф
от расчетного значения (обусловливается ошибками выведения).
Чтобы обеспечить расположение двух спутников в одной плоскости на угловом
расстоянии Ф±А^, число прохождений т\ точки выведения через данную плоскость
между запусками этих спутников следует определить из неравенства
Ф — А^ < тгАФ — 2nb < Ф + Д<|/, (8.52)
где Ь — целое число (6=0, 1, 2,...), которое подставляется в (8.52) до момента
удовлетворения неравенства.
Часто число гп\ получается большим, что приводит к значительному и
неоправданному увеличению времени создания спутниковой системы. Для уменьшения числа т\
необходимо несколько изменить период обращения спутников.
Полученные времена запуска последующи» спутников как в новую плоскость, так
и в одну и ту же проверяются на удовлетворение неравенства
tj+i—^^Дт,
где Дт — время подготовки ракеты-носителя, спутника и пусковой установки к
очередному пуску.
При неудовлетворении неравенства задача образования спутниковых систем может
решаться или путем определения потребного количества пусковых установок, или будет
состоять в уточнении времени образования системы, которое зависит от чисел т0 и ть
правила определения которых выражены соотношениями (8. 39) и (8.52) соответственно.
Спутники на орбитах с эксцентриситетом е>0,01. При создании системы ИСЗ на
эллиптических' орбитах число mi выбирается также методом последовательных
приближений. Для этого (предварительно задается т^О, 1, 2,...) определяется угловое
расстояние спутника Фт , относительно которого производится запуск нового ИСЗ,
в следующем порядке:
— находится средняя аномалия
М = 2я (k2 — с0),
где
т
Со — целая часть числа k2\
— вычисляется истинная аномалия
5
Ь = М + Че sin М + — *?2 sin 2M + ...; (А)
— определяется аргумент широты спутника
и = соп + Ь + %h
где
5
= Mi + 2e sin Mi + — £2 sin 2M +
4
Т
h = tQ + Та,
Дер
Д*з = —-r^ (*oo — 'О»
t0 — вычисляется по формуле (8.36) для долготы восходящего узла орбиты Q,
взятой из прогноза движения спутника на любой момент времени too планируемой даты
' запуска D0\
— находится угловое расстояние между спутниками
/sin В0\
Фт = и — arcsin ).
mi \ sin i )
Примечание. Согласно работе [18] ряд (Л) сходится для всех' действительных
значений М при условии е<0,6627.
272


Найденное значение Omi сравнивается с заданным Ф, причем число т^ считается
выбранным, если выполняется следующее условие:
Ф + Дф> \Фтх\ >Ф— Аф.
При т! >0 время запуска t jz>24 ч. В этом случае необходимо производить также
уточнение даты старта:
#ст = А) + АД
tjz
24 *
где AD — целая часть числа
Дробная часть числа —является искомым временем запуска спутника в дату DCT.
Время запуска спутника, обеспечивающее его пролет
над районами земной поверхности
с заданной освещенностью
Если спутник предназначен для наблюдения поверхности Земли в видимой части
спектра, то время запуска должно выбираться с учетом освещенности заданных районов
поверхности Земли Солнцем. Освещенность поверхности Земли будем характеризовать
углом места Солнца у© в точке наблюдения. Значение угла места больше некоторого
минимального значения Y©mm обеспечивается выбором времени запуска.
На рис. 8.20 показаны точка старта С, трасса полета kjQM, точка М,
находящаяся на заданной широте наблюдения В3, и проекция Солнца на сферу.
Минимальное t'cmln и максимальное tc max значения местного времени в точке
старта С, при которых обеспечивается освещенность поверхности Земли на заданной
широте В3, определяются выражениями:
<mln = 12h-AV-
•ДД
© max»
'cmax = 12h-AV + A£@max;
здесь AL.
© max :
= arccos
[7©1
, — sin В3 sin Ь{
'©
cos В3 cos V
V
AV
3 ^иа 00
склонение Солнца;
cos Аи — sin Bc sin B3
cos Br cos Bs
где
и
Аи — и3 —
arcs in
ис
• arcsin ■
sinB3
sin i
sin Bc
Рис. 8.20. К определению
времени запуска из условия
освещенности земной поверхности
sin i
sign AV = sign Am;
Bc — широта точки старта;
a3Hac- аргументы широты заданных районов и точки старта.
Для определения четвертей углов и3 и ис используются зависимости:
для восходящего витка 270°^и3^90°
для нисходящего витка 90°^и3^270°
при 270°^ Л ^90° 0°^ис^90°
при 270°>Л^90° №°>ис^9(Г.
Здесь Л — азимут запуска.
В практике удобнее пользоваться не местным временем, а гринвичским или
московским.
Максимальное и минимальное значения среднего солнечного времени на
гринвичском меридиане:
I2h — Lc — AV — ALn
*c mill
Lc max
где Lc — долгота точки старта.
12n
"0 max?
273


Выражения для московского времени старта:
tc min — 15 Lc
Lc max — *<-' *-c
-ak — az:
© max*
Приведенные формулы не содержат уравнения времени, которое при
необходимости может быть легко учтено. Однако это допущение дает ошибку в угле места
Солнца менее 4°, что в большинстве случаев вполне приемлемо, поскольку
возможность обзора местности или облачного покрова Земли в значительной степени зависит
также от характера поверхности, угла ИСЗ — цель — Солнце и т. д. При проведении
точных расчетов необходимо также во время запуска вводить поправку, равную
разности времен полета на активном участке выведения и по дуге орбиты от точки старта
до точки выхода.
Время освещенности поверхности Земли на восходящих или нисходящих» витках
при полете спутника может быть найдено из выражения
2А£,
tn() — '
'© max
АД
0 сут
где
А/,©сут~ А/'©сут
+ AQ,
,0 сут — изменение прямого восхождения Солнца за одни сутки;
AQ — прецессия узла орбиты за одни сутки.
Значение величин А^0 сут Для «среднего Солнца» и круговых орбит с высотами
полета /i=200 и 1250 км приведены в табл. 8.8.
Таблица 8.8
i,
AZ,©CyT
град'сут
град
/г=200 км
/г=1250 км
50
6,8
4,4
60
5,5
3,7
65
4,8
3,3
70
4,1
2,8
75
3,3
2,4
80
2,6
1,9
Продолжительность освещенности (в днях) поверхности Земли, ограниченной
минимальными углами места Солнца Y©min, при склонении Солнца 6q на широте В для
орбит с различным наклонением i приведена в табл. 8.9, 8. 10 и 8. 11.
В числителе продолжительность освещенности дана для высоты орбиты 200 км,
а в знаменателе — для 1250 км. Следует иметь в виду, что указанная в таблице
освещенность имеет место как на восходящем, так и на нисходящем витках, причем эти
периоды могут накладываться.
Время запуска и максимальная продолжительность
затмения ИСЗ
На выбор времени запуска ИСЗ часто накладываются ограничения по
продолжительности пребывания его в тени Земли, или, что то же самое, по продолжительности
затмения спутника. Так, например, для обеспечения заданного теплового баланса и
энергетики солнечных источников питания спутника необходимо, чтобы
продолжительность затмения не превышала допустимой величины.
Для прямых орбит (наклонение меньше 90°) восходящий узел прецессирует на
запад, тогда как движение Солнца относительно плоскости орбиты будет происходить
во встречном направлении. Таким образом, для прямых орбит будет покрываться тенью
как восходящая, так и нисходящая часть витка орбиты.
Для обратных орбит (наклонение больше 90°) движение узла и Солнца происходит
в одном направлении, что приводит к частичной или полной компенсации их
относительного движения. Это значит, что для обратных орбит в течение года может произойти
затенение одной части витка или не быть его вовсе.
Чтобы исключить влияние затмения спутника на время запуска целесообразно
проектировать бортовую аппаратуру спутника с продолжительным временем
существования исходя из максимальной продолжительности затмения.
Максимальное время затмения спутника наблюдается тогда, когда Солнце
находится в плоскости орбиты. Время запуска при этом можно вычислить по формуле
(8.37), положив угол 0 = 90°
274


Таблица 8.9

Наклонение /,
град
50
60
65
70
75
80
Широта В,
град
0
20
40
45
0
20
40
55
0
20
40
60
0
20
40
65
0
20
40
60
70
0
20
40
60
75
Продолжительность освещенности
для различных углов
—23,5 1 —Ю
25/38
22/34
18/28
16/25
31/46
27/41
22/33
14/21
35/51
31/45
25/37
8/12
41/60
37/55
30/43
0
51/70
45/62
37/51
9/16
0
65/89
58/79
47/64
15/20
0
25/39
24/37
22/34
21/33
31/46
29/44
27/40
24/36
35/51
34/49
31/45
35/27
41/61
40/58
36/53
26/38
52/71
49/68
45/62
28/51
25/35
65/89
62/85
57/79
47/64
0
0
25/39
25/38
25/38
24/38
31/46
31/46
30/45
30/44
35/51
35/51
35/41
33/48
41/61
41/60
41/60
38/56
52/71
51/70
50/70
48/67
46/63
65/89
65/89
64/88
61/84
42/74
в днях при
Ър в град
10
25/39
26/40
26/40
26/40
31/46
32/48
32/48
31/51
35/51
37/53
37/53
34/50
41/61
43/63
43/63
39/57
52/71
53/73
53/73
50/69
47/64
75/89
68/93
64/88
63/87
55/75
Т0 min—5
23,5
25/38
27/42
31/42
31/49
31/46
34/50
48/56
42/63
35/51
39/55
43/63
52/75
41/60
45/67
51/74
66/96
51/70
57/78
63/87
75/Ю4
95/130
65/89
72/98
80/110
95/130
оо
Таблица 8.10

Наклонение i
град
50
60
65
70
Широта В,
град
0 •
20
40
45
0
20
40
55
0
20
40
60
0
20
40
65
Продолжительность освещенности
—23,5
20/31
17/26
9/14
5/7
25/37
20/30
11/17
0
28/41
23/34
13/19
0
33/49
27/40
15/23
0
для различных углов
—10
21/32
19/29
16/24
14/22 -
25/38
23/35
19/29
11/17
29/42
27/39
22/32
0
34/50
31/46
26/38
0
0
21/32
20/31
19/29
18/28
25/38
25/37
23/34
19/29
29/42
29/42
26/38
20/29
34/50
33/49
31/45
17/26
в днях при 7^min=20°
?0 в град
10
21/32
21/33
21/33
21/33
25/38
26/39
26/39
25/37
29/42
30/44
30/44
28/41
34/50
35/52
35/52
31/46
23,5
20/31
22/35
24/38
25/38
25/37
28/41
30/45
32/48
28/41
32/46
35/50
37/54
33/49
37/54
40/59
42/62
275


Продолжение

Наклонение /
град
75
80
Широта В,
град
0
20
40
60
70
0
20
40
60
75
Продолжительность освещенности в днях при 70 min=20°
для различных углов Ъф в град
—23,5 | —10
41/57
34/47
19/26
0
0
52/72
43/59
24/33
0
0
42/58
39/54
32/44
0
0
54/73
49/68
41/56
0
0
0
42/58
42/57
39/53
30/41
0
54/74
53/72
49/67
37/51
0
10
42/58
44/60
44/60
41/56
35/48
54/73
56/76
49/67
52/71
36/50
23,5
41/57
46/63
50/69
54/75
51/70
52/72
58/80
64/87
69/94
61/83
Таблица 8.11

Наклонение /
град
50
60
65
70
75
80
Широта В,
град
0
20
40
45
0
20
40
55
0
20
40
60
0
20
40
65
0
20
40
60
70
0
20
40
60
75
Продолжительность освещенности
для различных углов
—23,5
13/21
7/11
0
0
17/25
9/14
0
0
19/28
10/15
0
0
22/23
12/18
0
0
28/38
15/21
0
0
0
35/48
19/27
0
0
0
—Ю
14/22
12/18
0
0
18/27
15/22
0
0
20/30
18/25
0
0
24/35
20/29
0
0
30/41
25/34
0
0
0
38/52
31/43
0
0
0
0
15/18
14/21
10/15
7/11
18/27
17/25
12/18
0
21/30
19/28
14/20
0
24/36
23/33
16/23
0
30/42
28/39
20/27
0
0
38/53
36/49
25/35
0
0
в днях при
&Q в град
10
14/22
15/23
13/21
12/19
18/27 '
18/28
16/24
10/15
20/30
21/31
19/27
0
24/35
25/36
22/32
0
30/41
31/42
27/38
0
0
38/52
39/54
35/48
0
0
T©min=40°
23,5
13/21
16/25
17/26
17/26
17/25
20/29
21/31
19/29
19/28
23/33
24/34
15/30
22/33
26/38
28/40
21/31
28/38
33/45
34/47
30/41
19/26
35/48
41/57
43/58
38/52
0
Из рассмотрения схемы движения спутника по круговой орбите (рис. 8.21) можно
вывести выражение для определения максимального- времени затмения tT (без учета
рефракции) :
Т R
tT^—arc sin—, (8.53)
я г
r3/2
где Т= 2я — — период обращения спутника;


Орбита исз
т
21
18
15
12
9
6
3
О
Ш 60\
0,1 50
0,1 Щ
1>0 30
Рис. 8.21. К определению
максимального времени затмения спутника на
круговой орбите
11 1 1 1 1 1 /1
ш
ш\
1\1~1ТЛПлТ1
i l/1/f м
М/1 /1 |у|
/ ЬгЧ J* °
(/[ ГрчНп
Pf 1111 Tf|
10
20 30h'W3,W
Рис. 8.22. Зависимость
максимального tT и относительного /?
времени затмения и периода Т
обращения спутника от высоты полета h.
Рис. 8.23. К определению максимального
времени затмения спутника на эллиптиче
ской орбите
277


p. = 3,986-105 кмЗ/С2;
/? = 6371 км — средний радиус Земли;
г — расстояние до спутника от центра Земли
(r — R+h — для круговых орбит).
Относительное время затмения
tz. = — = — arc sin —.
т Т п г
(8.54)
Результаты расчетов величин tT и t° по формулам (8.53) и (8.54) представлены
на рис. 8. 22.
tT,MUH
± Ъ^град
Рис. 8.24. Зависимость максимального времени затмения спутника
tT от истинной аномалии Солнца ft©
Схема определения максимальной продолжительности затмения спутника,
движущегося по эллиптической орбите, представлена на рис. 8.23. В этом случае спутник
проходит границу тени Земли при выполнении условия
cos»B=-Ma(1~*2)Sin|»Q-n-aB|-l], (8.55)
Где $в _ истинная аномалия спутника при входе ФВх в тень и на выходе Фвых из тени;
#0—истинная аномалия Солнца.
Формула (8.65) используется при расчете истинной аномалии ИСЗ как в точке
входа в тень, так и в точке выхода из тени. и
Максимальное время затмения спутника, движущегося по эллиптической орбите,
tj= tBbIX tBX у
где
-'вх (вых)
- е sin Е
вх (вых)
вх (вых)
Е
tg-
(вых) ^ ^ /1-е
2 " У 1+е
— е ^вх (вых)
х =
У*
„3.2
Е — эксцентрическая аномалия.
Относительное время затмения
1 т — j •
278


Максимальные времена затмений tT спутников, движущихся по различным
эллиптическим орбитам, приведены на рис. 8. 24 и 8. 25.
tZ ,мин
О 30 60 90 1Z0 ±Ъ0)град
Рис. 8.25. Зависимость относительного максимального времени
затмения спутника t° от истинной аномалии Солнца #0
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. VIII
1. Варг о, Паскуали, Герстен. Орбиты спутников наблюдения.—
«Ракетная техника», 1962, № 1.
2. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. М., Физматгиз, 1963.
3. Ж у р и н Б. Л. Максимальное время затмения спутников Земли.—
«Космические исследования», т. V, вып. 2. М., «Наука», 1967.
4. Казаков С. А. Курс сферической астрономии, ОНИТИ, 1935.
5. К а Р ы м о в. А. А. Определение времени освещенности искусственного спутника
Земли Солнцем. — «Космические исследования», т. V, .вып. 2. М., «Наука», 1967.
6. Кондратьев К. Я. Метеорологические спутники М., Гидрометеоиздат, 1963.
7. Научное использование искусственных спутников. М., ИЛ, 1960.
8. Об искусственном спутнике Земли. М., Госиздат, 1959.
9. О х о Ц1И1МСК и и Д. Е., Белецкий В. В. Использование ориентированного
на Землю спутника для исследований, связанных с Солнцем.— в сб.: «Искусственные
спутники Земли», вып. 16. Изд-во АН СССР, 196Э.
»10. Погорело© Д. А. Теория кеплеровых движений летательных аппаратов.
М., Физматгиз, 1961.
11. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по
общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Изд-во АН СССР, 1963.
12. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М., «Наука», 1965.
13. Справочник по космонавтике. М., Воениздат, 1966.
14. Т и х о н р а в о в М. К- и др. Основы теории полета и элементы
проектирования ИСЗ. М., «Машиностроение», 1967.
15. Штерн Т. Введение в небесную механику. Пер. с анг. М., «Мир», 1964.
16. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965.
17. Я цу некий И. М. Определение условий освещенности и времени
пребывания искусственного спутника в тени и на Солнце.— В сб.: «Искусственные спутника
Земли», вып. 4. Изд-во АН СССР, 1960.
18. Е s k о b а 1 P. R. Orbital entrance and exit from the shadow of the Earth, ARSJ,
1962, XII, vol. 32, No. 12, p. 1939—41.
19. Murrel M. D. Time per orbit that earth satellites in equatorial orbits are in
earth's shadow, J. Brit. Interplanetary Soc, 1963, III—IV, vol. 19, No. 2, p. 41—44.
20. Pierce D., A rapid method for determining the percentage of circular orbit
in the shadow of the earth, J. Astraunaut Set., 1962, vol. 9, No. 3, p. 89—92.


ГЛАВА IX
ВЫВЕДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОРБИТУ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А0 — азимут прицеливания.
а — большая полуось эллипсоида.
В0 — геодезическая широта точки старта.
Ь—малая полуось эллипсоида.
сх, су, Сг —аэродинамические коэффициенты.
е — эксцентриситет.
/ — гравитационная постоянная.
g —ускорение силы тяжести.
h — высота полета.
т — текущее значение массы ракеты-носителя.
т — секундный расход массы.
Р —тяга двигателя,
^уд — удельная тяга.
Rz — боковая сила,
г — текущее расстояние от центра Земли до центра масс ракеты-
носителя.
Rx — сила лобового сопротивления.
Ry — подъемная сила.
5 — площадь миделя ракеты.
u(t) —функция управления.
V — вектор скорости.
с — скорость истечения газов из сопла двигателя.
Wx\> Wyu Wz\ — проекции кажущегося ускорения на оси связанной системы
координат,
а —угол атаки.
Р —угол скольжения.
6 —угол наклона вектора скорости V к оси Ох стартовой системы
координат.
6* —угол наклона V к местному горизонту.
Ф — угол тангажа,
соз—скорость вращения Земли.
Вопросы выведения КА на орбиту включают в себя целый комплекс задач
проектирования ракеты-носителя: выбор числа ступеней, распределения масс между
ступенями, определение перегрузок (тяги двигателей), а также программы изменения угла
тангажа и др. Из большого круга задач проектирования здесь рассматриваются две»
которые можно отнести к динамике полета: выбор программы изменения угла тангажа
(или угла атаки) и тяги двигателей.
9.1. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА РАКЕТУ-НОСИТЕЛЬ
При движении на участке выведения на ракету-носитель действуют следующие
основные силы и моменты:
280


— сила тяжести;
— тяга двигателя;
— аэродинамические силы и их моменты.
9.1.1. Сила тяжести
Точное выражение для силы тяжести земного эллипсоида в любой точке
пространства приведено в гл. I.
В некоторых случаях допускается проводить расчеты в предположении о
сферичности. Земли радиусом R и пренебрегать ее вращением. Тогда потенциал земного
притяжения записывается в виде
V = -£- , где р. = fM = 3,986-105 кмЗ/с2. '
г
При таком допущении ускорение силы земного притяжения направлено по радиусу
к центру Земли и определяется по формуле
которая используется при выборе закона движения ракеты-носителя.
9.1.2. Тяга двигателя
-*■
Реактивную тягу Яд можно определить как произведение секундного расхода
массы m вытекающих из сопла продуктов сгорания на скорость с истечения продуктов
сгорания:
Рд = — тс.
Полную тягу двигателя можно записать в виде
р = — m7+ Sa (pa — р) х\.
-* -о
Если вектор с направлен в сторону, противоположную вектору х\% то
P = mC + Sa(Pa— p)=Po + Sa(Po—р) ,
где ра — давление газов на срезе сопла;
р — атмосферное давление на высоте;
/?о — атмосферное давление у земли;
Р0 — тяга двигателя у земли;
Sa — площадь выходного сечения у сопла.
Величину Sa (ро—р) называют высотной добавкой, так как она характеризует
увеличение тяги с ростом высоты.
В качестве характеристики двигателя используется удельная тяга Руд, которая
определяется как отношение тяги Р к весовому секундному расходу топлива G = mgn.
Значения удельной тяги (удельного импульса) могут определяться по
следующим зависимостям:
— в пустоте Руя ^ = -т" I
О
saPo
— у поверхности Земли Яудо = Р ^
• и на любой высоте PVK = Р
mogo
Sap
УА mgQ
Здесь Роо — тяга двигателя в пустоте, равная
Poo = Po + SapQ.
Значения тяги Р0 и секундного расхода т0 определяются при стендовых
испытаниях двигателя.
9.1.3. Аэродинамические силы и моменты
Аэродинамические силы возникают в результате воздействия воздушной среды
на поверхность ракеты-носителя.
Полную аэродинамическую силу R обычно представляют в виде трех
составляющих по осям скоростной (xyz\ или связанной (x\y\z{) системы координат (рис. 9. 1):
— подъемной силы Ry\
— силы лобового сопротивления Rx\
— боковой силы Rz.
281


Все эти силы определяются следующими зависимостями:
Ryi = cyl^yS = caylqSa-
Rx\ = cxi —z~ S = cxlqS\
Ry = cyqS\
Rx =cxqS;
Rz = czqS,
■скоростной напор;
qV2
где q
z
S — площадь миделя ракеты;
p — угол скольжения; при положительном значении 3 силы /?г и
/?2l отрицательны;
а — угол атаки;
с*> су, Cz> Cxi» суъ cz\ — аэродинамические коэффициенты.
Рис. 9. 1. Аэродинамические силы, действую- Рис. 9.2. К определению аэродинамиче-
щие на ракету-носитель ских моментов
Значения коэффициентов подъемной силы су, лобового сопротивления сх и
боковой силы cz обычно получают на основании результатов продувок моделей летательных
аппаратов в аэродинамической трубе или путем теоретического расчета [11].
Аэродинамические коэффициенты зависят от чисел Маха М и Рейнольдса Re.
В общем случае линия действия полной аэродинамической силы R не проходит
через центр масс ракеты и пересекает ее продольную ось в точке 0\ (центр давления)
(рис. 9.2). В результате этого возникает момент от аэродинамической силы /?, который
обычно представляют в виде двух моментов вокруг осей Oz\ и Оу\.
Из рис. 9.2 следует, что аэродинамические моменты можно определить
по формулам
Mzl = — caylqSa (*д — xr) = mazlqSla;
Myi=- c\xqS$ (*д - хт) = mltfSip
где
*л = -«,1
V"
Лд
*Д
—
/
—
Хт
хт
"zl
My^-M^^-m^qSlfr
Mzi = — Mazla = — mazlqSla.
В этих формулах М*г и Му1 — производные по аир коэффициентов аэродинамических
моментов.
282


В зависимости от положения центра давления относительно центра масс ракеты
аэродинамические моменты могут быть стабилизирующими или опрокидывающими.
Если центр давления 0\ лежит за центром масс О (хл>хт и т^<0), то момент Мг\
стремится уменьшить угол атаки а, т. е. является стабилизирующим. При
расположении центра давления впереди центра масс момент Mz\ будет опрокидывающим.
Таким образом, статическая устойчивость ракеты определяется знаками
аэродинамических коэффициентов гп\х и т?у1. При отрицательных значениях коэффициентов
а 3
mzl и т^ ракета статически устойчива, при положительных — статически неустойчива.
При вращении ракеты-носителя вокруг центра масс возникают аэродинамические
моменты, препятствующие вращению; их называют демпфирующими моментами.
Величины составляющих демпфирующего момента определяются по формулам
Шух = — m^QVSl^yi;
AMzX = — m^QVSPuzi,
где m™ly m^, m^ — производные коэффициентов аэродинамического момента по
угловой скорости вращения ракеты-носителя, определяемые
экспериментальным или расчетным путем;
о) — угловая скорость вращения ракеты-носителя.
9.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ
Уравнения движения ракеты-носителя являются основой для решения большого
числа различных задач, связанных с расчетом номинальных траекторий, исследованием
влияния возмущающих факторов на точность выведения КА на заданные орбиты,
баллистическим проектированием ракет-носителей и их систем управления, исследованием
устойчивости движения и т. п.
Для решения каждой из этих задач на основе общих уравнений движения, анализа
системы сил, действующих на ракету, составляются уравнения движения в виде,
позволяющем с достаточной точностью наиболее удобно выявить исследуемые особенности
движения.
Определение элементов движения ракеты-носителя на участке выведения
производится, как правило, численным интегрированием на ЭВМ системы
дифференциальных уравнений движения центра масс ракеты-носителя. При выводе уравнений, для
расчета траектории выведения основным допущением является пренебрежение
инерционными членами в уравнениях, описывающих движение ракеты-носителя относительно
центра масс.
В качестве модели Земли при расчете траектории ракеты-носителя используется
общий земной эллипсоид; гравитационное поле соответствует этой модели [см. гл. I].
Атмосфера принимается неподвижной относительно Земли с параметрами, равными
стандартным.
Расчет параметров движения ракеты-носителя на участке выведения может
производиться в любой системе координат. Наиболее часто движение определяют
относительно стартовой системы координат Oxyz, которая позволяет достаточно просто
учитывать параметры атмосферы, наглядно увязывает траекторию с точкой старта,
плоскостью прицеливания и измерительными пунктами, обслуживающими пуск ракеты.
Кроме стартовой системы, используется связанная система координат Ox\y\Z\.
В этой системе наиболее удобно записываются основные силы, действующие на ракету
(сила тяги, управляющие и аэродинамические силы).
Для правильного учета угловой ориентации программного положения оси ракеты,
задаваемой гироскопическими приборами системы управления, вводится
гироскопическая система координат OxTyTzv. Оси этой системы координат совпадают с
соответствующими осями стартовой системы в момент старта ракеты (/ = 0). В дальнейшем
гироскопическая система координат сохраняет неизменным положение своих осей
в абсолютном пространстве.
Угловое положение осей связанной системы координат относительно
гироскопической задается с помощью углов тангажа ф, рысканья if> и вращения %. Угол вращения
на всем участке выведения мал и практически не влияет на точность расчета
траектории центра масс, поэтому обычно в подобных расчетах принимают %=0.
При этом допущении матрица направляющи» косинусов осей связанной системы
координат в гироскопической системе имеет вид
I cos <p cos ф sin <p cos ф — sin ф
.Л|| =
— sin <p cos <p 0
cos <p sin ф sin <p sin ф cos ф
283


Матрица направляющих косинусов осей гироскопической системы координат
в стартовой системе имеет вид
II В11 =
г? + (1 — п2х) cos х
•nzs\n х + (1 — cos ъ)пхпу %sin x + (1 — cos *)nxnz
nz sin x + (1 — cos x) nxny
I— ny sin x + (1 — cos x) nxnz nx sin x + (1
ny + (\ — яр cos x —fljrSinx + U-
■ cos x) nynz
■(!■
• cos x) %/г,г!
• л^) cos x
где х = (о t — угол поворота Земли вокруг своей оси, отсчитываемый с момента старта
ракеты-носителя;
пх = cos Bq cos Aq\
ny — sin B0;
nz~ — cos Bq sin A0
— направляющие косинусы вектора угловой скорости (w ) вращешя Земли
в осях стартовой системы координат Oxyz;
Bq — геодезическая широта точки старта;
Aq — азимут прицеливания.
Матрица направляющих косинусов осей связанной системы в стартовой системе
координат может быть получена перемножением матриц
||С|| = ||Л||||В||.
Управление движением центра масс в процессе полета ракеты-носителя
осуществляется по специально выбранным законам на основании показаний инерциальпых
приборов (акселерометров), установленных на борту и ориентированных определенным
образом относительно связанной или гироскопической системы координат. Все
акселерометры независимо от принципов измерения (астатические гироскопы, маятниковые
приборы и др.) реагируют не на полное ускорение ракеты, а на так называемое
кажущееся ускорение. Под кажущимся ускорением понимают ту долю полного ускорения
ракеты-носителя, которую она приобретает под действием всех внешних сил (включая
тягу двигателя), за исключением массовых, т. е. силы тяжести и силы Кориолиса.
Вводится также понятие проекции кажущейся скорости, представляющей собой
первый интеграл от проекции кажущегося ускорения на рассматриваемое направление.
Система дифференциальных уравнений ракеты-носителя на участке выведения
в стартовой системе координат имеет вид
I W, || =
wxl
wyl
■J-I/-I
m
^i =
= 1|С|Н1^11|-2о»3||<о3||.||К||-||г||;
\x
\y
\'z
=
\Vx\
Vy\
Vz\
= 11VI
\\Wr\\ = lwyr\\ = \\AHW1
m — m (/).
Для определения правых частей, кроме введенных выше выражений, необходимо-
использовать следующие уравнения:
IF 11 =
Fzi
284


и
nz
-Пу
— nz
0
ПХ
. Пу
— п*
0
\\gx
\\g\\=lgy
\\gz
3Десь /\*i = Р + A"i + Rx ynP;
^Vi = ^i + #0 уПр;
г г1 = Z\-\- Rz упр.
Величины, входящие в систему дифференциальных уравнений, имеют следующий
смысл:
WxxWijiWzx№xvWyvWгт— проекции кажущегося ускорения на оси связанной (0\X\ij\Zi)
и гироскопической (OxryrZT) систем координат;
V, Vx, Vy, Vz — модуль вектора скорости и его проекции на оси стартовой
(Oxyz) системы координат;
соз—угловая скорость вращения Земли;
g> gx, gy, gz — модуль вектора ускорения силы тяжести и его проекции
на оси стартовой (Oxyz) системы координат;
т —текущее значение массы ракеты-носителя;
m(t) —заданный закон изменения расхода массы;
Р — суммарная тяга основных двигателей ракеты-носителя,
рассчитываемая (см. разд. 9. 1) по формуле
/^Яуд.пустЯо^оси^)— AP.JT(7l),
где Яуд.пуст—удельная тяга основных/ двигателей при полете ракеты за
пределами атмосферы;
АР — максимальный статический прирост тяги двигателей
(разность значений тяги за пределами атмосферы и у
поверхности Земли);
p(h)
л(А) = —отношение атмосферного давления на высоте к давлению
Ро
на уровне моря;
тосн(0—расход массы ракеты через сопло основных двигателей;
Xi, Уи Z\ — проекции суммарного вектора аэродинамической силы R на
оси связанной (OiXiy\Z\) системы координат.
Для расчета этих величин удобно использовать выражения:
Х\ = — сх1 (М, К) Dn (h) M2;
Г1 = с^(М, А)£>я(А)М2а;
Zi^c^M, h)Dn(h)№§.
Здесь cxi, cyV с\\— аэродинамические коэффициенты, зависящие от высоты и
числа Маха; как правило, для ракет-носителей принимается
V:
bz\>
М — число Маха
(м = -
D — постоянная величина
VkRTT (A) / '
(о-:
где k—показатель адиабаты (для воздуха);
RT—удельная газовая постоянная воздуха;
Т (h) — закон распределения температуры воздуха по высоте;
k, RTj Г (Л), /?о, я (А)— выбираются в соответствии с принятой моделью атмосферы
Земли;
а» ? — угол атаки и скольжения;
5М—площадь миделя ракеты-носителя;
#лгупр» Ry упр. Rz упр — проекции суммарного вектора управляющих сил /?упр(?0 на
оси связанной (0\X\y\Zi) системы координат.
В выражения для суммарного вектора управляющих сил входят параметры qu
определяющие величину управляющего усилия (например, углы поворота рулевых дви-
285


гателей). Указанные параметры q\ связаны с движением ракеты-носителя уравнениями
управления
Р(Яи *j)='0.
Вид этого уравнения управления и используемые для управления параметры
движения Xj определяются структурой системы управления и конструкцией командных
приборов, поэтому они являются предметом специального рассмотрения для каждого
образца ракеты-носителя.
Решение задачи по определению параметров движения ракеты-носителя на участке
выведения с помощью ЭВМ имеет ряд специфических особенностей, одной из которых
является обилие разнородной исходной информации. Общей для всех ракет-носителей
является исходная информация о модели Земли (параметры общего земного
эллипсоида и его поля силы тяжести), характеристики стандартной атмосферы. Для каждого
образца ракеты-носителя исходные данные включают в себя число ступеней и их
начальные массы, располагаемый запас топлива по ступеням, закон измерения расхода
топлива для основных и управляющих двигателей, удельные тяги и статический
прирост тяги для всех двигателей,
аэродинамические коэффициенты cxi(N[, h) и
су1 (М, h) и площадь миделя. Для
решения уравнения моментов необходимо
знать изменение положения центра масс
ракеты по мере выгорания топлива,
изменение положения точки приложения
главного вектора аэродинамических сил,
точки приложения управляющих сил.
Кроме того, необходимо задать
структуру и коэффициенты уравнений
управления.
Другой особенностью составления
программы для расчета на ЭВМ
параметров участка выведения является
необходимость широкого варьирования
вариантов расчета как по условиям
решаемой задачи, так и по объему и виду
выдаваемой информации.
Изложенный подход к составлению
уравнений для расчета участка выведе-
^ния космического аппарата на орбиту
^^^Vr^ показывает, что для каждого образца
ракеты-носителя необходимо проведение
самостоятельного исследования по
составлению динамической схемы расчета,
наиболее полно отвечающей решаемой
задаче.
Для широкого класса задач при приближенном расчете участков выведения, когда
параметры ракеты-носителя известны лишь приближенно, а структура системы
управления еще не определена, можно воспользоваться упрощенными уравнениями движения.
Если не учитывать влияние вращения Земли, то пространственную задачу можно
свести к плоской (рис. 9.3). Идеализация работы системы управления дает
возможность исключить уравнения управления.
Уравнения движения в скоростной системе координат упрощают расчет
аэродинамических сил. Они имеют вид
5Г;«гТ<*"**«?Т¥
Рис
9.3. Схема сил, действующих на ра
кету-носитель
V = — (Р + #.
т
х упр "
■cx-q'SM) — gs'ml
X
1 Г Упр — 6 /
" V [ т {
Р + Ry упр +
g- cos '
•?-Sm
— g- COS 6 -f
x . л
— g sin 6 ;
X = V. cos I
r = v. sine.
(9.1)
Для сферической модели Земли
g =
go'Rs
Г2
г = >ОГ2 + (/?з + Г)2.
286


В приведенных уравнениях использованы дополнительные обозначения:
6 — угол наклона вектора скорости к оси Ох стартовой системы координат;
г — текущее расстояние от центра Земли;
#3—средний радиус Земли;
h — расстояние от переднего среза ракеты-носителя до оси вращения рулевого
органа;
/д — расстояние от переднего среза ракеты-носителя до точки приложения
суммарной аэродинамической силы;
/т — расстояние от переднего среза ракеты-носителя до центра масс ракеты.
Интегрирование приведенной системы уравнений возможно при условии, что
известен закон программного изменения угла тангажа фпр(0 по времени и изменения
массы.
Вопрос о выборе оптимальных законов управления рассмотрен в разд. 9. 3.
9.3. ВЫВЕДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
НА ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
На этапе баллистического проектирования одним из вопросов, который
необходимо исследовать, является выбор оптимальной траектории движения ракеты-носителя.
Анализ этого вопроса приводит к задаче определения такого закона движения ракеты-
носителя, при котором выбранный критерий оптимальности достигает своего
максимального или минимального значения. Таким критерием в различные частных случаях при
решении задачи выведения космического аппарата может быть величина полезного
груза, высота орбиты и др.
Решение задач оптимизации движения ракеты-носителя основывается на методах
вариационного исчисления.
Однако целый ряд вариационных задач, важных для современной ракетной
техники, не может быть решен методами классического вариационного исчисления. Для
решения таких задач целесообразно использовать принцип максимума Л. С. Понтря-
гина [26] или метод динамического программирования Беллмана [2].
При анализе вариационных задач динамики полета в качестве модели ракеты-
носителя обычно принимют материальную точку, движущуюся под действием сил тяги,,
тяжести и аэродинамического сопротивления.
Одной из важных задач является выбор оптимального закона движения ракеты-
носителя из условия выведения на орбиту космического аппарата максимального веса.
Практически эта задача заключается в выборе оптимальных законов изменения угла
тангажа ф(7) и тяги двигательной установки P(t).
Анализ этой задачи с точки зрения ограничений, накладываемых на функции
управления, показывает, что ее надо решать отдельно для атмосферного и
внеатмосферного участков траектории. Такой подход позволяет упростить методику проведения
расчетов.
В общем виде задача об отыскании оптимального закона управления полетом
ракеты-носителя заключается в нахождении такой траектории, на которой некоторый
заданный функционал принимает экстремальное значение.
Математическую постановку этой задачи можно сформулировать следующим
образом. Движение ракеты-носителя в общем случае описывается с помощью систему
обыкновенных? дифференциальных уравнений вида
~7r=fi(xi* *2..-.. xn;uu..., um)=f((x, и), (9.2)
at
где х\у..., хп — фазовые координаты носителя;
#!,..., ат — параметры (функции) управления, определяющие закон движения в
каждый момент времени.
Если на некотором отрезке времени [/0, tk] задан закон управления Ui(t),..., um(t)y
то при любых начальных условиях х0 однозначно определяется закон движения ракеты-
носителя x=x(t), т. е. решение системы (9.2) на этом отрезке времени.
В технических задачах параметры (функции) управления не могут принимать
произвольных значений, а подчинены некоторым ограничениям. Управления,
удовлетворяющие этим ограничениям, называют допустимыми.
Необходимо среди всем допустимых управлений u = u(t), переводящих ракету-
носитель из точки с фазовыми координатами х0 в точку хиУ найти такое, для которого
функционал
'*
/= Г /°(Х, U)dt
принимает экстремальное значение.
Управление u(t), дающее решение поставленной задачи, называют оптимальным
управлением, а соответствующую ему траекторию x(t)—оптимальной.
287


Для решения такой задачи целесообразно использовать методы математической
теории оптимальных процессов, например, принцип максимума Л. С. Понтрягина [25].
В этой теории для получения основного необходимого условия оптимальности наряду
с переменными х\,..., хп рассматриваются новые переменные Х0, Хь ..., Х„, которые
подчинены следующей системе дифференциальных уравнений:
_i=_, M,l,2,8 ,, (9.3)
где
и сопряженной системе
Н (ЛГ, U, X) = ^ ^1?1 (*' ")>
/-0
dt
(9.3')
Принцип максимума заключается в следующем. Пусть u(t) при to^t^ti — такое
допустимое управление, что соответствующая ему траектория x(t), исходящая в
момент t0 из точки х0, проходит в момент U через некоторую точку х\.
Управление u(t) считается кусочно-непрерывным, т. е. каждая из функций u(t)
может иметь конечное число разрывов первого рода на конечном интервале времени.
Кусочно-непрерывные управления соответствуют предположению о «безынерционности»
рулей.
Рассматривается допустимое управление, принимающее значения в области
управления £/, т. е.
и (О 6 U.
Для оптимальности управления u(t) и траектории»х{t) необходимо существование
такой ненулевой непрерывной вектор-функции Х(0 = (^о, ^ь ^2,..., ^п),
соответствующей функциям u(t) и x(t), что:
1. При любом t, tQ < t < t\, функции H(\(t), x (t), u(t)) переменного u£U
достигает в точке u = u(t) максимума
H (X (О, и (О, х (О) = М (X (О, * (О ) • (9.4)
2. В конечный момент времени U выполнены соотношения
X0(*i)<0; M(X(t), x(t)) = 0. (9.5)
Если величины %(t), x(t) и u(t) удовлетворяют некоторой системе (9.3) и (9.3')
и условию (9.4), то функции Хо(/) и М переменного t являются постоянными, так что
проверку соотношения (9. 5) можно проводить не обязательно в момент t\, а в любой
момент /, to^t^tu
Принцип максимума устанавливает лишь необходимые условия оптимальности.
В большинстве практических случаев это условие позволяет однозначно выбрать
оптимальное управление.
9.3.1. Атмосферный участок
При практическом решении вопроса о выборе оптимального закона движения
ракеты-носителя необходимо учитывать ряд специфических требований, касающихся
условий старта, температурных режимов, условий разделения ступеней, управляемости,
возможности упрощения системы управления, улучшения эксплуатационных
характеристик и др.
На этапе баллистического проектирования обычно рассматриваются законы
движения, обеспечивающие выведение на заданную орбиту космического аппарата
максимально возможного веса при учете только энергетических соображений и некоторых
основных уже известных ограничений.
Общие требования к программе угла тангажа атмосферного участка,
учитываемые на этапе проектирования:
1. Вертикальный старт и определенная продолжительность вертикального полета.
2. Максимальный угол атаки агаах на участке управляемого разворота не должен
превышать допустимого.
3. В районе трансзвуковых скоростей угол атаки должен быть равным нулю.
При выборе программы угла тангажа, оптимальной с точки зрения
наивыгоднейшего использования энергетических возможностей носителя, обычно не учитывают
возможные ограничения, накладываемые на нее системой управления. Такой подход к
решению дает возможность оценить максимальные возможности носителя и потери,
обусловленные использованием системы управления определенного типа. В последующем,
после выбора системы управления, эти ограничения необходимо учесть.
Очень важным фактором является то, что для выполнения программы угла
тангажа ф(/) могут потребоваться большие углы атаки, которые вызовут большие изги-
288


a = — amaxsin2 (— ^\ ^ — я L (9.6)
бающие моменты на корпусе и высокие нагрузки в конструкции. Целесообразно решать
задачу, исходя из условия, что на большей части атмосферного участка движение
осуществляется по траектории «гравитационного разворота», или нулевого угла атаки,
которая характеризуется тем, что на ней сила тяги всегда фиксируется вдоль вектора
скорости.
Перечисленные требования могут быть удовлетворены программами, выбранными
из условия равенства нулю угла атаки на большей части траектории атмосферного
участка. Программа такого типа может быть выбрана следующим образом [1].
1. Вертикальный участок (0 < t < t\)
л
*=т
(^i — время конца вертикального участка).
2. Дозвуковой участок (t\~-t2) определяется моментом времени, когда число М
близко к единице (М^0,8). Скорость в< этот момент определяется по формуле
У = — gPynO 1п Р- — ^Рудо (1 — р.),
где \х — отношение текущей массы к начальной (при t = t{ значение ji^0,95);
^удо — удельная тяга;
v0 — отношение начального веса к начальной тяге.
После определения \х время t2 вычисляется по формуле
г = у0ЯУд0(1— р.).
Изменение угла атаки на этом участке может быть задано в виде зависимости
t — t\
(t-ti) + k(t2-ti)
9 = 6 + а,
где k — отношение времени нарастания угла атаки от нуля до максимума ко времени
спадания от максимума до нуля (&^0,15-ьО,Зб).
Зависимость а=а(г) дает плавный ход кривой a(t) с нулевыми производными
в точках t\ и t2 и позволяет выбрать любые значения атах, а также получить эти
значения в любой момент времени между t\ и t2 путем изменения коэффициента k.
В принципе можно составить и ряд других зависимостей, удовлетворяющих
предъявляемым требованиям.
3. Баллистический участок (t2-^-th)
а=0; ф = 9
th — время, соответствующее достижению высоты конца атмосферного участка.
. Изменяя величину атах (в допустимых пределах), можно получить различные
траектории атмосферного участка и среди них выбрать те, которые будут
удовлетворять перечисленным выше требованиям.
Таким образом, изложенный метод позволяет выбирать программу угла тангажа
с учетом перечисленных требований в виде однопараметрической, т. е.
характеризуемой только величиной максимального угла атаки на участке управляемого разворота.
9.3.2. Внеатмосферный участок
При выборе закона движения на внеатмосферном участке траектории
воздействие аэродинамических сил можно не учитывать. Такое допущение значительно
расширяет возможность оптимизации траектории движения, так как отпадают многие
ограничения, накладываемые на управление.
При составлении уравнений движения приняты следующие допущения:
1. Траектория движения плоская.
2. Земля :— шар, вращение отсутствует.
3. Ускорение силы тяжести на высоте h определяется выражением
v2
* = *o(lHbr)2
4. Величина силы тяги считается линейной функцией расхода массы.
5. Продольная ось ракеты-носителя всегда совпадает с ее программным
направлением.
Для определения условий оптимального управления целесообразно записать
уравнения движения в проекциях на радиус-вектор г центра масс ракеты-носителя и
направление т, перпендикулярное ему (рис. 9.4).
Уравнение движения в векторной форме имеет вид
d*? -
m—- =/г>
d&
где F — суммарный вектор внешних сил.
10 3669
289


В результате преобразования можно получить
d2?
где
—- := го [г — гш2] -f то [2гш -f гсо],
я^2
г° и т° —орты направления координатных осей.
Вводя обозначения
равенство (9. 7) можно записать в виде
сРг -«/ - ^ ^ - / - yrV.
dfi
(9.7)
=Ф-4)+Ч^)-
(9.8)
В проекциях на направления гит уравнение
(9. 8) запишется в виде
Vm = — cos <
Wx
h'
VI
Vr = — sin ф' +
m Y R + h
h = Vr;
Vm
— go
/?2
(R + Л)2
5 =
R +h'
(9.9)
Рис. 9. 4. Положение осей по- • «
лярной системы координат ~~~ р>
где ф'— угол тангажа, отсчитываемый от местного
горизонта;
б — полярный угол между текущим и начальным радиусами-векторами;
с=const — скорость истечения газов из сопла;
Р — секундный расход массы, причем
Pmin < Р < Ртах-
Система уравнений движения (9. 9) позволяет упростить математические выкладки
и вполне достаточна для проведения исследований по выбору закона движения.
Из системы (9. 9) видно, что семь переменных VTt Vr, К б, т, (3, ф' связаны пятью
уравнениями, следовательно, две переменные можно выбрать произвольно. Такими
переменными являются функции управления ф' и (3.
Таким образом, задача заключается в выборе законов управления по ф' и Р
такими, чтобы соответствующая им траектория давала минимум функционалу
I = J p<ttf
to
/ = — тк
(9.10)
где тк — конечная масса ракеты-носителя при выведении на орбиту.
Функции управления и траектория должны удовлетворять условиям системы (9.9),
которая может быть записана в виде
dx
—=/(*,«),
где х — фазовый вектор;
и — вектор управления;
/ — пятимерный вектор фазовых координат и управления.
На концах участка выведения должны выполняться граничные условия:
при t—U
gi<y%* v°r> h°> 5°» m°> *о)^°> « = 1. 2. 3... k <6.
при t = tk
gj(V*, Vnr, h*,bk, m\ **) = <>. y=l, 2, 3.../<6,
где to — момент начала внеатмосферного участка траектории;
th — момент выхода на заданную орбиту.
(9.11)
290


С точки зрения вариационного исчисления, эта задача на условный экстремум
с дифференциальными связями, которыми являются уравнения движения (9.9).
Для нахождения оптимального решения по принципу максимума составляется
функция Н:
Н = Xi — cos ср' — Хх — + ^2 — sin <Р + ^2 7ГТТ — х2^о /г, . ,.чп +
/г
' (/? + Л)2
+ х3кГ + х4
R + h
■х#,
где X = (Xi, X2, Х3, Х4, Х5) — ненулевой непрерывный вектор, удовлетворяющий системе
уравнений, сопряженной системе (9.9).
Сопряженная система (9. 3) в развернутом виде будет иметь вид
Ая = — X
х4 = 0;
R+h "2 R + h 'ч R+ Л '
^ ,
Л + Л~"3'
х УУг п
Xl(/? + A)2 + ^
Г Ч „, *2 1
.(Я + А)2 '50(Л + Л)з
., ^
с?
Х5 = —г (Xi cos у' + Х2 sin у').
т2
\ (9.12)
Если на протяженность участка выведения не наложено никаких ограничений, то
четвертое уравнение системы (9. 9) можно исключить из рассмотрения, так как 6 не
входит в остальные уравнения системы.
После простейших преобразований функцию Н можно представить в виде
tf = //i (х, u,l) + S (х, X),
где Иг = р/С {х, ф', X);
К = — (Xi cos ф' + Х2 sin ф') — Х5;
т
vxvr
s = — Xj——- + х2
R+h 'IR + h
go
m 1 „ ^
Из условия абсолютного максимума функции Я можно получить
х2
tg?' =V".
(9.13)
Анализ равенства (9. 13) можно найти в работе [29].
Из условия абсолютного максимума функции Н по Р при условии К¥=0 можно
показать, что Р принимает граничные значения, а именно:
при К > 0 р = рта*;
при К < 0 S* = fW
(9. И)
Как видно, от знака функции К зависит характер участка оптимальной
траектории, поэтому ее называют функцией переключения.
Момент перехода двигательной установки с режима максимальной тяги на режим
минимальной или наоборот определяется из условия
К = —r (Xi cos ф' + Х2 sin ф' ) — Х5 = 0.
т
(9.15)
Условие (9. 14) позволяет определить оптимальный режим тяги в неособом случае,
когда К¥=0.
Значение р внутри промежутка [Pmin« Ртах] возможно только при /С=0 на
нулевом интервале времени.
Легко показать, что функция К может быть константой (в частном случае нулем)
только при р = const.
10*'
291


Таким образом, можно прийти к следующему выводу. Экстремаль содержит только
участки минимальной и максимальной тяги ((3 = (Зтт и Р = ртах) и не содержит
участков с промежуточной тягой, причем на минимали выполняется условие
при к>о MEW; I 9 б
при /<<0 Э = ЭтШ = О, J { ' '
в точке переключения
с
К = — (^i cos <р' + ^2 sin ?') — Xs = 0.
m
Если К=0 на ненулевом интервале времени, то функционал / (9. 10) не зависит
от Р и решение не является единственным.
Рассмотренная задача об оптимальном движении ракеты-носителя на
внеатмосферном участке может быть решена также методами классического вариационного
исчисления [3, 15]. Для этого необходимо неравенство
0 < Р < EW (9. 17)
заменить равенством
P(Pmax-S*)-*2 = 0, (9.18)
где z — вещественная переменная.
Благодаря уравнению (9. 18) вариационная задача со связью в форме неравенства
(9. 17) сводится к математической модели, используемой при решении задач, в которых
все связи представлены в форме равенств [19].
Граничные условия на левом конце траектории определяются параметрами в конце
атмосферного участка.
При использовании принципа максимума удовлетворение граничных условий на
правом конце происходит путем поиска начальных значений вектора %, получаемого
решением сопряженной системы (9. 12).
Из принципа максимума [25] известно, что, для того чтобы функции u(t) и x(t)
давали решение оптимальной задачи с подвижными концами, необходимо
существование ненулевой непрерывной функции X(t), удовлетворяющей условиям, указанным
в теореме, и, кроме того, условию трансверсальности в обоих концах траектории.
Условие трансверсальности записывается в виде:
— ПрИ t = tQ
- при t ~ tk
S[M'°,+^]s"»=0;
2Н+й;
bxfb = 0.
I dxikl
/-1
Здесь dxio и dxik принадлежат множеству (9. 11).
Использование условий трансверсальности позволяет получить соотношения, необ-
хюдимые для определения начальных значений компонент вектора-функции X(t) и тем
самым облегчить решение краевой задачи. Начальное значение одной из компонент Хну
можно выбрать произвольно, так как вектор определен с точностью до произвольной
постоянной.
На правом конце граничные условия определяются параметрами орбит, на
которые необходимо выводить космические аппараты.
При выведении на круговую орбиту граничные условия имеют вид [41]
h = ^зад*.
|i=3,986-105 км3/с2.
При задании эллиптической орбиты с высотой апогея /ia и высотой перигея hn для
выбора граничных условий можно воспользоваться зависимостями
-.-/
^-(1 + ecosfyj);
Р
Г'
Vr = ~\/ — *sin
Vi
т0>
292


p
Гк =
где
1 -f- e cos &o
ha— h\\
2R + К + К
ha + /ги
Рис. 9.5. Функция переключения
a = R +
z
/> = в(1 — е2);
до— истинная аномалия точки орбиты.
Анализ сопряженной системы уравнений (9. 12) показывает, что в общем случае
программа угла тангажа на внеатмосферном участке траектории является нелинейной
функцией времени.
В тех случаях, когда протяженность участка выведения сравнительно невелика
и поле тяготения может быть
принято как' плоскопараллельное ATf
(#->оо), из системы уравнений
(9. 12) можно получить
tgy = a — bt,
где а и Ь — постоянные
коэффициенты.
Это частное решение можно
найти в работах [23, 21] и др.
При практических расчетах
в случае целесообразности выбора
программы ф(/) в виде линейных
функций времени ее можно
определить по формуле
<Р (О = <Ро (**) + АсРо 4- ? (* — th),
где Афо — скачок по углу тангажа в конце атмосферного участка;
Ф — постоянная угловая скорость изменения угла тангажа.
Параметры Аф0 и ф определяются из условия удовлетворения заданным
граничным условиям в конце участка выведения.
Анализ закона изменения функции переключения K(t) показывает, что она имеет
не белее двух нулей. Из этого следует, что оптимальная траектория состоит не более
чем из трех частичных дуг. Зависимость K(t) при выведении КА на круговую орбиту
приведена на рис. 9. 5.
Таким образом, оптимальная траектория (вне атмосферы) содержит не более трех
>частков, которые следуют в порядке: максимальная тяга, нулевая, максимальная.
Из полученных условий оптимального управления (9. 13), (9. 16) видно, что
в принципе могут быть использованы два способа оптимального выведения КА на
заданную Орбиту;
— выведение при оптимальном законе изменения угла тангажа (9. 13) и законе
изменения тяги P(t)=PmSLx',
— выведение при оптимальных законах изменения угла тангажа (9. 13) и тяги
двигательной установки (9. 16).
При первом способе выведения двигательная установка работает непрерывно на
участке выведения до получения последней ступенью необходимой скорости. Такой
метод является наиболее простым, но для получения отдаленных орбит он становится
экономически невыгодным. Иногда называют этот способ выходом на орбиту без дожига.
При втором способе выведения двигатель работает с перерывом. После окончания
первой части активного участка ракета движется по эллиптической орбите
(переходному эллипсу), в одной из точек которой снова включается двигатель (производится
«дожиг» топлива), и последняя ступень ракеты выходит уже на требуемую орбиту.
Этот способ называют выходом на орбиту с дожигом топлива.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. IX
1. Ann а зо в Р. Ф., Лавров С. С, Мишин В. А. Баллистика управляемых
ракет дальнего действия. М., «Наука», 1966.
2. Беллман Р. Динамическое программирование. М, ИЛ, 1960.
3. Б л и с с А. Лекции по вариационному исчислению. М., ИЛ, 1950.
4. Брэквелл. Оптимизация траектории. — «Вопросы ракетной техники»,
1961, № 1.
5. Г а мель Г. Об одной задаче вариационного исчисления, связанной с
движением ракеты. — Сб. «Исследование оптимальных режимов движения ракет». М., Оборон-
гиз, 1959
293


6. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. М, Физматгиз, 1963.
7. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны. М., «Наука», 1965.
8. Исаев В. К. Принцип максимума Л. С. Понтрягина и оптимальное
программирование тяги ракет. — «Автоматика и телемеханика», 1961, № 8.
9. Корлисс У. Ракетные двигатели для космических полетов. М., ИЛ, 1962.
10. Космическая техника. Под ред. Г. Сейферт. М., «Наука», 1964.
11. Краснов Н. Ф. Аэродинамика тел вращения. — Сб. «Механика». М., Оборон-
гиз, 1958.
12. Кротов В. Ф. Разрывные решения вариационных задач. «Изв. вузов» СССР.
«Математика», 1960, № 5.
13. Космодемьянский А. А. Экстремальные задачи для точки переменной
-массы. ДАН СССР, вып. 63, 1946, № 1.
14. Лавренев М. А., Л ю с т е р н и к Л. А. Основы вариационного исчисления,
т. 1, ч. 2, ОНТИ, 1935.
15. Лебедев В. А. Вариационная задача о взлете космического аппарата с
круговой орбиты. — «Вычислительная математика и математическая физика», т. 3,
вып. 6, 1963.
16. Лоуден Дж. Межпланетные траектории ракет. — Сб. «Космические
траектории». М., ИЛ, 1963.
17. Мельников А. П. Аэродинамика больших скоростей. М., Воениздат, 1961.
18. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. М., Гостех-
издат, 1952.
19. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Под
ред. Дж. Лейтмана. М., «Наука», 1965.
20. О р л о в Б. В. и др. Основы проектирования ракетно-прямоточных двигателей.
М., «Машиностроение», 1967.
21. О х о ц и м с к и й Д. Е. К теории движения ракет, ПММ, 10, вып. 2, 1946.
22. О х о ц и м с к и й Д. Е., Э н е е в Т. М. Некоторые вариационные задачи,
связанные с запуском искусственного спутника Земли. — «Успели физических наук», т. 63,
вып. 1а, 1957.
23. П а у ш к и н Я. М. Химия реактивных топлив. Изд-во АН СССР, 1962.
24. Пономарев В. М. Теория управления движением космических аппаратов.
М., «Наука», 1965.
25. П о н т р я г и н Л. С, Болтянский В. Г. и др. Математическая теория
оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.
26. П о н т р я г и н Л. С, Мищенко Е. Ф. Об одной статистической задаче
оптимального управления. «Изв. АН СССР», сер. «Математика», № 25, 1961.
27. Р о з о н о э р Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории
оптимальных' систем, ч. I, II, III. — «Автоматика и телемеханика», вып. 20, 1952, № 10, 11, 12.
28. Р у л е в В. А. О необходимых и достаточных условиях экстремума в
вариационных задачах динамики полета летательных аппаратов. «Изв. вузов СССР,
Авиационная техника», 1961, № 1.
29. Т а р а с о в Е. В. Оптимальные режимы полета летательных аппаратов. М.,
Оборонгиз, 1958.
30. Сисакян А. В. Проблемы космической биологии. М., «Наука», 1965.
31. Стечкин Б. С, Казанджан П. К. и др. Теория реактивных двигателей.
М., Оборонгиз, 1968.
32. Троицкий В. А. Задача Майера — Больца вариационного исчисления и
теория оптимальных систем, ПММ, 25, вып. 4, 1961.
33. Т р о и ц к и й В. А. О вариационны» задачах оптимизации процессов
управления, ПММ, 26, вып. 1, 1962.
34. Троицкий В. А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления
в системах с ограниченными координатами, ПММ, 26, вып. 3, 1962.
35. Фрид Б., Ричардсон Д. Оптимальные траектории ракет. — Сб.
«Исследование оптимальных режимов движения ракет». М., Оборонгиз, 1959.
36. Цанд-ер Ф. А. Проблема полета при помощи ракетных аппаратов. М.,
Оборонгиз, 1947.
37. Циолковский К. Э. Труды по ракетной технике. М.,
«Машиностроение», 1967.
38. Ч и к а л а Р., М и е л е А. Обобщенная теория оптимального программирования
тяги при горизонтальном полете самолета с ракетным двигателем. — Сб. «Исследование
оптимальных режимов движения ракет». М., Оборонгиз, 1959.
39. Ш е в е л ю к М. И. Теоретические основы проектирования жидкостных
ракетных двигателей. М., Оборонгиз, 1960.
40. Штернфельд А. Я. Введение в космонавтику, ОНТИ, 1937.
41. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М.. «Наука», 1965.
42. Исследования по динамике полета. Под ред. И. В. Остославского, вып. 1. М.,
«Машиностроение», 1965.
43. Исследования по динамике полета. Под ред. И. В. Остославского, вып. 2, М.,
«Машиностроение», 1969.


ГЛАВА X
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — матрица системы нормальных уравнений; азимут
направления на КА.
А — скорость слежения по азимуту.
а — большая полуось оскулирующего эллипса на момент t0.
В — матрица-столбец правых частей системы нормальных
уравнений.
bo, Ьч—коэффициенты в разложении гравитационного потенциала,
D — наклонная дальность до КА.
D — радиальная скорость.
h — высота полета ИСЗ; число групп коррелированных1 и
некоррелированных измерений.
hi — шаг численного интегрирования системы дифференциальных
уравнений движения ИСЗ.
to — наклонение оскулирующего эллипса в момент времени to.
In — наклонение орбиты в начале N-ro витка.
К — корреляционная матрица ошибок измерений.
/C(v*—корреляционная матрица ошибок измерений v-й группы.
LN — геоцентрическая долгота.
L(6r) — функция правдоподобия выборки из отклонений
измеряемых параметров.
/ — порядок системы нормальных уравнений.
rrii — масса t-й планеты.
N—число измерений; номер витка.
nv—число измерений в v-й группе.
Р — весовая матрица.
р — фокальный параметр оскулирующего эллипса на момент t0.
Qm — определяемые параметры.
qi —текущие элементы орбиты.
R — средний радиус Земли.
R9 — экваториальный радиус Земли.
', п, £, Vr, Vn, V^—составляющие векторов положения и скорости в системе
координат Orrit>.
г, u. Vr, Vu — составляющие векторов положения и скорости в
цилиндрической системе координат OruZ,.
гР иги —расчетное и измеренное значения измеряемого параметра.
Т — драконический период обращения ИСЗ.
/о — момент времени, к которому относятся определенные
координаты и компоненты скорости.
umm —диагональные элементы матрицы, обратной матрице А.
Wo — фиксированное начальное значение аргумента широты.
X, Y, Z, Vx, Vy, Vz —составляющие векторов положения и скорости ИСЗ в
абсолютной системе координат OXYZ.
295


XN, Yn, Zn, Vxn, Vyn, Vzn — координаты измерительного пункта и их производные
в абсолютной системе координат OXYZ.
Хг, Yi, Zi — координаты планеты.
х, у, z> vx, vy, vt — координаты и составляющие вектора Скорости спутников
на невозмущенной орбите в гринвичской системе координат.
xN, yN, zN—координаты измерительных средств в гринвичской системе
координат.
oil — угол в наклонной плоскости, отсчитываемый от базы (ее
образуют две радиотехнические станции) до направления
на КА.
ат —прямое восхождение КА. (топоцентрическое).
di — прямое восхождение звезды.
$и—углы, измеренные с КА, между направлениями на звезду
и планету или на две планеты и т. д.
у — угол места КА.
7—скорость слежения по углу места.
Лг •— погрешности измерения.
Агдоп—допустимое значение вариации бг.
А1/—расчетное значение корректирующего импульса.
6 — склонение звезды.
6т —склонение КА (топоцентрическое).
6Q — матрица-столбец поправок к определяемым параметрам.
bQm — поправки к определяемым параметрам.
дг — отклонение измеряемого параметра.
дх, 6i/, 6z, 6vx, dvy, 6vz — вариации координат и составляющих вектора скорости ИСЗ
в гринвичской системе координат.
8т — критерий сходимости.
х — коэффициент, учитывающий действие светового давления.
X — разность долгот измерительного пункта и восходящего узла
в момент времени /0.
Щ «оо, (Х2о — коэффициенты в разложении потенциала Земли.
q — плотность атмосферы.
(j0 __ средняя квадратическая ошибка единицы веса.
Gri —средние квадратические ошибки группы независимых
измерений.
£i Л» С vt, V i ^с~ координаты и составляющие вектора скорости ИСЗ в топо-
центрической системе координат ?пЛп£п, связанной
с пунктом.
ф0 —фиксированная начальная геоцентрическая широта.
0)3—угловая скорость вращения Земли.
QN —долгота восходящего узла орбиты в начале N-го витка.
10.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одной из основных задач, возникающих при пусках КА, является определение
орбит их движения.
Знание элементов орбиты необходимо для решения вопросов, связанных с
прогнозированием, коррекцией движения КА и привязкой во времени и пространстве научных
наблюдений.
При определении орбиты КА предполагается, что теоретический закон движения
объекта задан системой дифференциальных уравнений или некоторыми аналитическими
зависимостями. В качестве определяемых параметров Qm обычно рассматриваются
координаты и компоненты скорости объекта, отнесенные к фиксированному моменту
времени t0. Состав определяемых параметров может быть пополнен за счет
геофизических и астрофизических постоянных. Эти постоянные уточняются в процессе
определения орбиты, если точность их- знания недостаточна для решения поставленной задачи
и может быть повышена в результате обработки траекторных измерений. Под траектор-
ными измерениями понимается совокупность измеренных значений различных
относительных координат и компонент скорости объекта.
Измеренные значения являются результатом физических наблюдений и
представляют собой сумму неизвестных истинных величин и ошибок измерений. Измерения
производятся в дискретном множестве точек и могут быть получены с избытком.
Таким образом, задача определения орбиты в указанной постановке сводится
к вычислению параметров, характеризующих движение космического объекта, по
избыточному числу измерений заданного состава и точности, проведенных в различные ди-
296


скретные моменты времени. В подобных случаях, когда измерения искажены
ошибками, а полученная информация избыточна, при определении орбит КА применяются
статистические методы.
Практика решения разнообразных статистических задач показывает, что одним
из наиболее эффективных из них является метод максимума правдоподобия.
Применение этого метода к задаче определения орбит КА в настоящее время предполагает, что:
— погрешности измерения Лг носят случайный характер и подчиняются
многомерному нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием;
— между отклонениями измеряемых параметров 6п и поправками 6Qm к
значениям определяемых параметров Qm (/п=1, 2, 3,..., /; /^6) существует линейная
зависимость вида
bri =
I
. ж l— iQm (условное уравнение),
где бгг — разность между измеренным гги и расчетным ггр значениями:
(10.1)
дп
dQm
bri = гi и — rt p = brt ист + Дг,-;
•частные производные от измеряемого параметра г,- по т-и уточняемой
величине на момент времени г'-го измерения;
»Q = »0/.i
bQi
«Q2
*Qt
Qs2-
■ 0!Г"
Qi-Q\
6
is-l)
(s — номер приближения),
drt __ VI drj dqj
dQm jLk dqj dQm '
(10.2)
где qj — текущие элементы орбиты, 1=6.
Установлено, что такой подход позволяет решить задачу определения орбиты
с достаточной для практики точностью.
В наиболее общем случае с учетом приведенных выше допущений функция
правдоподобия выборки отклонений измеряемых параметров может быть представлена
в виде
N 1
L(br) = (2n) 2 [det(/C)] 2 ехр
Здесь
к
(Ьг-ЬгИСТУК-ЧЬг
'—&/-ист) •
Ьг = brNl =
Ьг,
Ьг2
Ьг
N
К - Kbrfirj =
/Си K\2---KlN
К21 К
2N
к
N1
/<N2'"f<'NN
(/, у = 1. 2,..., N);
К—корреляционная матрица ошибок измерений;
N — число измерений.
Матричная запись условия максимальности функции правдоподобия L может быть
представлена в виде
v = VTK~lV = min,
где
V = VN1 = Ьг— Ьгист = Ьг — #5QHCT;
R = RNl =
dQi
дг2
*?i
drN
dQz '
дг<х
dQ2 ■
" dQt
дгч
" dQi
drN
dQ
dQt
297


Условия для минимума v могут быть представлены в виде
dv
dv
dQ
dQi
dv
dQn
RTK~lV = 0.
Умножая матрицу V слева на RTK~l, получим
RTK-W = RTK~lbr — RTK-1RbQ.
Следовательно, при выполнении условия максимальности функции правдоподобия L
RTK-1RbQ = RTK-^br.
Отсюда
bQ = (R^-^R)-1^ K-ibr = A-W.
Таким образом, при перечисленных выше допущениях задача определения орбиты
с использованием способа максимума правдоподобия может быть решена путем
введения поправок 6Q к элементам Qm\ взятым в качестве нулевого приближения
по формуле
k
Qm = Q^ + ^bQ^ (m=l. 2 /),
5-1
где k — количество приближений, необходимое для выполнения условий
1*<?*1 <£/я (т = 1, 2,.... /);
еш — заданные критерии сходимости.
В большинстве встречающихся на практике случаев весь объем обрабатываемой
информации можно разбить на некоррелированные между собой группы.
Весовая матрица
для обладающих таким свойством измерений будет иметь квазидиагональный вид.
В этом случае формирование матриц Л и В целесообразно производить по отдельным
слагаемым, соответствующим определенной группе измерений.
При этом
где
r.W =
SS
пч п
С)У =
Х-1 tx-1
""-ЕЕ*
v-1 v~l
dr,x dr
(10.3)
w
Xlx dQt dQj
хц dQi ^vx
V, ; = i. 2, з 0;
(X=ji = 1.2.3,.... л,);
X-l p.-l
/i — число групп измерений;
Лv—число измерений в v группе.
Как непосредственно следует из формул (10.3), составление элементов матриц Л
и В для группы независимых измерений производится в полном соответствии с
правилами формирования расширенной матрицы системы нормальных уравнений по способу
наименьших квадратов.
В случае когда определяемые параметры принимаются одновременно и за изме-
298


рения с заданной корреляционной матрицей /C(v), формулы для расчета значений
элементов с\*) и by"* существенно упрощаются и принимают вид
"Q,-Qi0)
Q2-QP
[*(')] = *(») = [PU]
Qi-Q\0)
В зависимости от наличия исходной информации и комплекса задач, решаемых
в каждом конкретном случае, исходными данными для определения орбиты КА могут
быть:
^о, Qm — приближенные начальные условия движения КА;
*;v, Un, zn — координаты измерительных средств (обычно в гринвичской системе
координат (Oxyz)\
t.i и гги — время и величины измеряемых параметров; (ti — время i-ro измерения,
гги — любой измеренный параметр * = 1, 2,..., N);
К — корреляционная матрица коррелированной группы измерений;
Gri — средние квадратические ошибки группы независимых измерений;
ei-r-en — коэффициенты сходимости, определяющие необходимую точность
решения задачи.
За начальные условия движения КА принимаются полученные в результате
расчета полетного задания на пуск значения составляющих вектора скорости и координат
на момент отделения КА от ракеты-носителя. При регулярном слежении за КА в*
качестве Qm могут приниматься значения составляющих вектора скорости и координат,
полученные в результате прогнозирования движения КА для некоторого момента
времени /о- (например, времени прохождения КА через восходящий узел орбиты, времени
выхода КА на орбиту полета к планете и т. д.). При определении орбиты после
коррекций за приближенные начальные условия движения принимаются составляющие вектора
скорости и координаты КА в точке коррекции с учетом расчетного корректирующего
импульса ДК.
В состав системы измерений t\, гг- могут входить как измерения, полученные
измерительными средствами наземных пунктов, так и автономные измерения, полученные
при помощи специальной аппаратуры, установленной на борту КА.
Задача решается в следующем порядке.
1. Для определения расчетной орбиты производится интегрирование системы
дифференциальных уравнений движения КА (12.4), (12.6), (12.7).
2. На каждый момент времени, при котором измерялся некоторый параметр riu>
вычисляется его расчетное значение ггр.
3. В процессе численного интегрирования уравнений движения КА
последовательно для каждого момента времени ti вычисляются текущие значения координат
и составляющих вектора скорости объекта по интерполяционным формулам. Затем в
соответствии с признаком измерения г вычисляются отклонения:
Ъг1 = г/и — Ор-
Для исключения из обработки аномальных измерений производится проверка
отклонения каждого измерения на выполнение условия
|Ьг/| <Дг,Д0П, (10.4)
где Лгг-доп — допустимые отклонения (см. ниже).
4. Для измерений, отклонения которых удовлетворяют условиям (10.4):
— вычисляются производные от текущих элементов орбиты по начальным усло-
dqj
виям движения —— :
dQm
дп
— рассчитываются значения частных производных ——- от измеряемых^ парамет-
dQm
ров по начальным условиям движения и производится формирование системы
A6Q = B. (10.5)
При формировании системы (10.5) используются следующие ее основные свойства,
а. Матрица Л симметрична относительно главной диагонали, поэтому можно
ограничиться составлением треугольной матрицы
II All fli2...fl?/|l
#22- • .#2/
a<ii
299


Это позволяет сократить емкость оперативной памяти для запоминания коэффициентов
атп на —/(/—1) ячеек, где / — порядок системы (число неизвестных).
Одновременно за счет уменьшения числа сложений и умножений сокращается и машинное
время решения задачи, что становится особенно заметным при большом числе измерений.
б, Вычисление коэффициентов атп и свободных членов Ьт системы уравнений
можно производить, переходя последовательно от одного измерения к другому. Благо-
дг[
даря этому отпадает необходимость хранения в памяти ЭВМ производных-—— и
uQm
отклонений бг^ соответствующих всем моментам времени ti. Достаточно отвести лишь
(/+1) ячейку для записи производных и одного отклонения, соответствующих
очередному измерению.
Расчет необходимых для формирования системы уравнений частных производных
от текущих элементов орбиты по начальным условиям движения КА является
наиболее трудоемкой частью решения краевой задачи. В связи с этим при выборе метода
расчета этих производных необходимо использовать возможности упрощения
алгоритма, обусловленные меньшими требованиями к точности расчета производных по
сравнению с требованиями к точности вычисления расчетных значений измеряемых
параметров. Последнее объясняется тем, что для принятого метода решения краевой
задачи точность определения орбиты зависит при прочих равных условиях только от
точности вычисления свободных членов условных уравнений. Точность же расчета
производных может оказать влияние только на быстроту сходимости процесса
последовательных приближений при решении краевой задачи.
В алгоритмах задачи могут найти применение три способа расчета производных
dQm'
Метод конечных разностей, основанный на разложении текущих элементов
орбиты qj (у = 1, 2,..., 6), как функций начальных условий Qm (m=l, 2,..., l)9t в ряд
Тейлора с точностью до линейных относительно приращений начальных условий Qm
членов:
QjiQi + bQu Q2+&Q2+... + Q/+ &<?/) =
= ?;(Ql Q2 Ql) + ^~^Q~~bQm'
При решении краевой задачи расчет производных? этим методом ведется
следующим образом. Для определения элементов невозмущенной орбиты и шести возмущенных
орбит совместно интегрируются семь систем дифференциальных уравнений (всего
42 уравнения) при начальных условиях:
для невозмущенной орбиты Qi, Q2, . . . , Qi
для 1-й возмущенной орбиты Qi + &Qi, Q2> • • • > Ql
для 2-й возмущенной орбиты Qi, Q2 + &Q2, • • • >Q/
для 6-й возмущенной орбиты Qi, Q2» • • • ,Qi + &Q/
Кроме координат и составляющих вектора скорости КА на невозмущенной
траектории, интерполяцией определяются значения координат и составляющих вектора
скорости для возмущенных траекторий в момент времени ti.
После этого вычисляются частные приращения соответствующих элементоз
орбиты, например
bqj(bQl) = qj(Ql + bQh Q2,..., Qi)-qj(Qu O2,. -, Ql) (У = 1. 2 6)
и частные производные
Как показывают расчеты, величины производных практически постоянны при
изменении приращений начальных условий 6Qm в широких пределах?. Значения этих
приращений составляют
— в координатах bQm — 100-^1000 м (пг — 1,2,3);
— в скоростях bQm = 0,1 — 1,0 м/с (ш = 4,5,6).
Метод конечных разностей требует значительных затрат машинного времени,
поэтому его целесообразно применять лишь в тех случаях, когда нельзя использовать
другие, более экономичные методы.
Более экономичным и удобным для реализации на ЭВМ методом расчета
производных является метод вариаций, основанный на совместном численном
интегрировании уравнений движения КА и шести систем уравнений в вариациях.
300


В результате совместного численного интегрирования (с шагом ht) уравнений
движения КА при начальных условиях' to, Qm и шести систем уравнений в вариациях
при начальных условиях, заданных элементами соответствующей строки единичной
матрицы
10 0 0 0 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 10 0
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
для каждого момента времени tn = t0 + nht (n ■-
дд j
биты gj(tn) и производные —г— (у, т— 1, 2,
1, 2...) определяются элементы ор-
.., 6). Значения этих величин для
моментов времени ti определяются по интерполяционным формулам.
При решении краевой задачи с использованием для расчета производных
dQm
метода конечных разностей численное интегрирование всех семи систем
дифференциальных уравнений вынужденно производится с учетом тех сил, влияние которых
необходимо учитывать при интегрировании первой системы дифференциальны» уравнений,
т. е. при вычислении расчетных элементов орбиты и расчетных значений, измеряемых
параметров.
В методе вариаций при составлении уравнений в вариациях на основании
специального анализа можно пренебречь влиянием некоторых сил, которые учитываются
при интегрировании дифференциальных уравнений движения космического аппарата.
Благодаря этому и из-за незначительного числа арифметических операций,
необходимых для вычисления правьш частей уравнений в вариациях, время полного решения
краевой задачи при расчете рассматриваемых производных —г— (в зависимости от
объема измерительной информации) сокращается по сравнению с методом конечных
разностей в 1,5—2,5 раза.
Кроме упомянутых методов, для расчета частных производных dqj/dQm могут
использоваться методы, основанные на применении конечных формул эллиптической
теории.
5. Решается система (10.5) и определяются поправки к приближенным начальным
условиям движения КА. Приближенные начальные условия движения КА
исправляются на величины 6Qm, и решение повторяется.
Систему линейных алгебраических уравнений (10.5) можно решать различными
численными методами: методом Гаусса, методом квадратны» корней и т. п. Поскольку
при решении задачи необходимо производить и оценку точности определения
начальных условий по случайным ошибкам, для решения системы (10.5) целесообразно
использовать численные методы обращения матрицы Л. При известной обратной
матрице А-{ = \\атп\\~{ поправки к начальным условиям 6Qm вычисляются по формулам
bQi
bQ2
■A-i
\bQi || || Ьг
где b\, b2,..., bi — свободные члены уравнений (10.3).
Уточненные значения начальных условий в момент времени t0 определяются
.по формулам
<&
s) .
1(*-1)
+ bQ
(s)
Средние квадратические ошибки определения начальных условий вычисляются
•по формулам
-диагональные элементы матрицы [иц]=А~и,
о*о — средняя квадратическая ошибка единицы веса, определяемая из выражения
где и„
N I
N-l\Y*{PibnY~lUbmbQm
/-1 m-1
Она может быть использована для исключения из обработки аномальных измерений по
301


условиям (10.4) на втором и последующих приближениях. Для этого допустимые
отклонения можно определять в каждом приближении по формуле
ДО дол --=Н.аосЬ
где [х= 1,5-^-3,0, а значение о*о определяется на предыдущем приближении;
Gi — заданная перед решением краевой задачи средняя квадратическая ошибка
t-ro измерения.
Допустимые отклонения Агг-Доп для первого приближения целесообразно назначать
по видам измерений (D, Л, у и т. д.) на основании анализа отклонений измерений от их
расчетных1 значений, соответствующих приближенным начальным условиям ^о, Qm-
Для последующих приближений нижняя граница допустимых отклонений
назначается в соответствии с известным правилом трех сигм
ДО min = За/ + */,
где бг- — определяемое опытным путем слагаемое, величина которого зависит от неуч-
тенных систематических ошибок, сопровождающих процесс измерений; ошибок,
обусловленных неполным учетом сил, действующих на КА в полете, и других факторов.
Число необходимых приближений при решении краевой задачи зависит от
точности задания начального приближения /о, Qw, состава и качества траекторныд
измерений Гги. От состава и качества измерений зависит также область сходимости краевой
задачи, характеризуемая обычно максимально допустимыми значениями суммарных,
поправок к начальным условиям. Так, например, при выборке, в состав которой входят
измерения наклонных дальностей D*, азимутов Лг- и углов места yi с одного или
нескольких пунктов на двух-трех витках орбиты ИСЗ, задача надежно сходится при
суммарных поправках* в несколько сот километров к координатам и в несколько сот
метров в секунду к составляющим вектора скорости.
Критерием сходимости процесса последовательных приближений считается
удовлетворение неравенств
HQ«I<««. «-1.2 6.
При необходимости для определения орбит КА может привлекаться информация,
о траектории, полученная априори. Такая информация представляет собой совокупность
ожидаемых значений функций параметров траектории в определенные моменты
времени с вероятностными характеристиками возможных ошибок этих значений. Эта
информация может рассматриваться как выборка коррелированных измерений с
известной корреляционной матрицей их ошибок.
При наличии такой информации в полном соответствии с методом максимума
правдоподобия дополнительно составляются: •
— матрица Ль представляющая собой матрицу, обратную заданной
корреляционной матрице К:
— столбец В\
где
(/f-i)r = /f-i;
6Q — столбец из поправок к начальным условиям движения.
В первом приближении указанные поправки приравниваются к нулю. В каждом
последующем приближении эти поправки принимаются равными сумме поправок к
начальным условиям во всех предшествующи» приближениях.
Далее производится суммирование матриц А и А\ и столбцов В и Вь в результате
чего образуется суммарная система уравнений [А и В — матрицы системы
уравнений (10.5)].
Дальнейший ход решения задачи ничем не отличается от изложенного выше.
10.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ ИСЗ
Методы определения орбит ИСЗ можно разделить на две основные группы.
К первой группе относятся методы, основанные на численном интегрировании
системы дифференциальных уравнений, описывающих движение спутника. Эти методы
применяются, как правило, при определении орбит ИСЗ по траекторным измерениям,
полученным на трех-пяти последовательных витках. Иногда такие методы применяются
для совместной обработки траекторных измерений, полученных за одни-двое суток
полета спутника *. Задача определения орбиты сводится в этом случае к определению
в результате обработки траекторных измерений начальных условий движения спутника
*о, Qm (m=l, 2,..., 6).
* Рассматриваются ИСЗ с периодами обращения около 90—120 мин. Для
определения орбит высоких спутников (типа «Молния-1» и др.) используются методы,
изложенные в разд. 10. 3.
302


Ко второй группе отнесем методы, в которых для описания движения спутника
на больших интервалах времени используются аполитические зависимости. При
использовании методов второй группы в результате обработки траекторных измерений
определяются некоторые свободные параметры этих аналитических зависимостей. В обоих
случаях порядок решения задачи не отличается от изложенного в разд. 10. 1.
10.2.1. Методы первой группы
Рассмотрим необходимые рабочие соотношения для определения начальных
условий Qm (m=l, 2,..., 6) в некоторый фиксированный момент времени /0 в системе
координат Oxyz (см. гл. II, разд. 2. 1.2, п. «в», рис. 2.5).
Будем полагать, что измерительные средства наземных» пунктов производят
измерения наклонных дальностей Д азимутов Л, углов места Y, радиальных скоростей D и
скоростей изменения азимута А и угла места у> а при помощи высотомера,
установленного на спутнике, измеряется высота его полета h над уровнем океана. Такое
ограничение является не принципиальным, так как при другом составе измерений
используются лишь другие формулы, для вычисления расчетных значений измеряемых»
параметров и их производных по текущим элементам орбиты.
Расчетное значение измеряемого параметра ггр вычисляется по одной из
следующих формул:
D=Y(x- xN)2 + (у - yN)2 + (2 - zNf\
А — arc tg— ,
7 = arc sin —
(0° < A < 360°);
(0° < 7 < 90°);
D
D = -zr[vx(x — xN) + vy(y—yN) + vz(z-
**)];
1
£2 + C2
1
где
7 D V& + C2
h=-.r\l
(€c —tt); .
(T|D - ф)\
/гэ(1-д)
)/С*2 + #2)(1-а)2 + *2
]•
1г
11
1 с
= i|A-ill
x-xN\
y-yN
\ *-ZN
»
6
S
|C
= lA/yl
Описание системы координат |пЛп?п и элементы матрицы ||A»j|| приведены в гл. II
{разд. 2. 1.5, п. «д», рис. 2.20, разд. 2.2, п. 18).
Частные производные от измеряемых параметров по начальным условиям
движения вычисляются по следующим формулам:
dDV 1 Г дх ч ду ч дг 1
dQn
дА
дС
dQm
dQm
db
dQm
£2-
1
•С
К
)■■
dQm dQn
дт) до
D V& + С2
("
dy
dQn
dvx
dQn
дг
V
dQ„
dv„
+ (»—у*)-£Г+(
dQn
*N)
dvz
dQn
дА
dQm
dQm
OQm
1
e2 + c2
i
-b vz
i
L£
dQ„
dl
D
dD
dQm
]<
#/S2 + <:2 \ dQ
dQ„
dQm dQm
— i
dQm
-2aU
■\vx
■dl
dQm
dx
dQn,
+
dQm
)}■■
D
dr\
~d~Q~m
+ D
dr\
dD
dQn
dQn
303


— г "* (S2 + ?2)
dD ( di дС
dQ
dQ„
dQmhi'
dh
dQm
где
[(l-2*9«-J)(*
dx
dy
dQm
dQm
+ z
дг
dQm
\ «г, г дг Л
• +2#эа——— ,
/ r dQm J
dt
dQm
dr\
dQm
dQn
= l!A/y
II
dx
\~dQm~
dy
dQm
дг
dQml
•
dk 1
\dQm
dr\
dQ
dQm \\
|А/;1
dvx
dQm
dvy
dQ„,
dvz
dQ„
Входящие в приведенные формулы частные производные от текущих элементов
орбиты по начальным условиям рассчитываются методом конечных разностей, методом
вариаций или методом, основанным на использовании конечных формул эллиптической
теории.
Для расчета частных производных dqj/dQm методом вариаций численно
интегрируются шесть систем дифференциальных! уравнений вида:
bvxm = (4 - А) Ьхт + (3АЕт + Fm)x + 2<*3bvym\
bvym = (4 - А) Ьут + (SAEm + Fm)y — 2i*3hvxm,
bvzm = (2BC - А) bzm + (SAEm + Fm - WBCEm) z;
bx„
bVr
(10.6)
bzm = bvzm> (m= 1, 2,.... 6),
где бил, 6uy,..., bz — вариации текущих элементов орбиты, обусловленные заданными
вариациями начальных условий движения 6Qm;
•(хЪхт + уЪут+ zbzm);
Ет =
г2
Fm = 2Bc[(2D-l)Em-D-^y,
Г = Ух* + Г/2 + г2;
Л = Д[аоо + С(0—1)];
-^ °-(т)*=
a:, t/, z — координаты спутника на невозмущенной орбите.
Интегрируя уравнения (10.6), можно пренебречь влиянием силы сопротивления-
воздуха. Кроме того, можно не учитывать и влияние сжатия Земли, т. е. положить
а20=0. Тогда уравнения (10.6) принимают более простой вид:
bvxm = (а>| — Ва00) Ьхт + ЗВа00Етх + 2t*3bvym;
bvym = (со| — Ва00) Ьут + ЗВао0Ету — 2<*3hvxm;
bvzm = — Ba00bzn
Ьхт = bvxm;
ЪУт = bvym\
bzm = Si/2m
•3Ba00£mz;
(10.7)
<^y
Поскольку в алгоритмах расчета производных "' влиянием силы сопротивле-
dQm
• ния воздуха и сжатием Земли можно пренебречь, то для их вычисления можно вос-
304


пользоваться конечными формулами эллиптической теории. Так, например, при
решении задачи определения орбиты в системе координат Oxyz для расчета производных
dq;
—— может быть использована известная матрица М изохронных* производных в пра-
uQm
вой системе прямоугольных координат.ОгпС, (ось Or направлена по радиусу-вектору
точки невозмущенной орбиты, ось On лежит в плоскости невозмущенной орбиты и
направлена по движению спутника, ось 0£ направлена по нормали к плоскости орбиты).
Представим матрицу М следующим образом:
М =
дг, п, С, Vn Vn, V,
дг0, л0, С0, Vr0, VnQ, V
со
дг
дг0
дп
дг0
дг
дщ
дп
дщ
дг
dV{
дп
со
. dV
со
dV^. dV^.
dVr
дг0 дщ
dV,
со
\\пгц т\2 0 mi3 m\\ О I
П%<1\ //222 ^ ^23 ^24 ^
О О Ьц О 0 Ьи\ \\Mi M2
\Щ1 mS2 0 ^33 ^34 О II Af3 ^4
/W4I ^42 ^ ^43 ^44 ^
О 0 ^21 0 0 % |
Элементы матрицы тц (it /=1, 2, 3, 4) и 62J- (/, /=1, 2) вычисляются по формулам
ГПП:
т2г = а
Г 2г-3^гт 1 [ЛГ РЛТ Л^ \ VrVr01
jb,+1/i:p_ui+_^0,,_„M)i.
гН 17 Р- L г0 г /"о/? J
^31
m4i
/w32
го
)
+i(1+f)sln^
= — 1/ —(cos 9— 1); mi2=sin<p; m22 = I 1 -f — )
го Г P \ P I
= 7-l/ -yO-cos ?); m42 = —(^-Vr0 + J/ -^-sin?);
COS <p-
611 = 1 + — (cos<p— 1); b2i = ——
m23
r-^o + l/^Sincpj;
= л р- (rKr0 - г0Кг) + l/ — sin cp _ — Кг1/Гот ,
-t(]/>«-'+-)-^
^33 === ^
2Л) + ЗУУрТ
л2
} (10.8)
305


Л*43 = — sin %
/Ян
Ш24
mZ4 = a
Vfl-^H'^H+Hr-^i/b--)
+ тМ(1+7)'М'+-7Ы!''
-T +
012
,-Li/x
AT0 Sin cp;
-r('+-?)H
m44 = (1 + —)cos<p —— :
\ P I P
^22=1+ — (COS <p— 1).
/>
В формулах (10.8) величины г, м, Уг и Vu определяются по формулам,
приведенным в гл. II, разд. 2.2, п. 12; а — большая полуось; р— фокальный параметр оску-
лирующего эллипса на момент времени to; x=t—U\ t — текущее время; ji=/?a0o; Ф —
угловая дальность, вычисляемая по формулам
(10.8)
sin <р = sin и cos и0 — cos и sin и0;
cos <p = cos и cos tf0 — sin и sin и0.
Введем обозначения:
дХ. У, Z, Vx, Vy. Vz
дХ0, Ко. Z0, VXQ, VVQt VZQ
дх, у, z% vx, vy, vz |
\OXq, yQt Z0, Vx0, Vy0, Vz0 II
Тогда для определения элементов матрицы 5 получим следующие матричные
уравнения:
L4 = NMJ*l\ S = QU (v=l,2, 3, 4), (10.9)
где
* = ['.(*
*i=I'ePI («==1. 2. *
^2-IKapl (a=l, 2. 3;
L* = \\l*t\\ (« = 4« 5, 6.
^HKpH (a = 4' 5' 6;
P=l. 2, 3)
P = 4, 5, 6);
P= 1, 2, 3):
P = 4, 5, 6):
л
,(0) __
li —
«21 ~
«21 =
«31 =
Уо
го
Zo
N^WnuW (i. y=l, 2. 3);
1 ^
; «12=-:—T(nv sin a — n n cosh); л13 = « ;
sin i r л z
Г —1
— ; «22 = ~~—Г" (« v sin ы + л л cos и); л2з = л„; }
г sin i л r z r
лз2 = cos a sin i;
«зз = «
z>
712
1
= M°>|I (/fy = l,2f3);
sin f
(4°) sin u0 - n^nW cos ii0); лЦ> = л^;
л<°2> = - -)— (л<°> sin a0 + л$?>л<?> cos iiq); n£> = л<?>;
JO)__£o.
^32
cos hq sin l>
»(0).
„<<»•
306


Пх, nY, nz — направляющие косинусы нормали к плоскости орбиты относительно
осей инерциальной системы координат OXYZ (гл. II, разд. 2.2, п. 13); и — аргумент
широты; i — наклонение орбиты;
<? =
11 cos 3
— sin p
0
— a) sin 3
— to COS £
II о
cos 3o.
sin 30
0
— ^3 sin 30
co3 cos 30
0
sin 3
cos 3
0
0) COS 3
— u) sin 3
0
— sin 3o
cos30
0
— <o3 cos 3o
— a>3 Sin 30
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos 3
0
0
0
cos
sin
0
sin 3
0
fo "
3o •
0
0
0
sin 3
cos 3
0
0
0
0
- sin 3q
cos30
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
/ =
P и Po — углы между осями ОХ и Ох в моменты времени t и t0 соответственно
[см. гл. II, разд. 2.2, формула п. 9 для у].
Если использовать систему координат OXYZ, оси которой в момент времени /0
совпадают с осями гринвичской системы координат Oxyz, то (3=0; Р=соз(*—*о) и
матрица / принимает более простой вид
/==
Для повышения быстродействия решения задачи участки орбиты, на которых
получены траекторные измерения, разбиваются на ряд коротких интервалов при
помощи узловых точек v. В узловых точках матрица производных
1
0
0
0
шя
0
0
1
0
""я
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
5 =
dx4%y4%z4tvX4tvyH,vx
dxQ,yo,ZQ,vxQ,vyQ,vz0
вычисляется по конечным формулам задачи двул тел (10.8) и (10.9). Производные
в любой k-й точке интервала (/v, ^v+i) вычисляются по формуле
где R — матрица искомых производных
„ дХк>Ук>*к> vxk,vyk,vzk
т =
дх0
dxk
Уъ>
>Ук
*о.
.**.
VxQ. VyQ . Vzq
Vxk.VVk
Vzk
Элементы матрицы Т вычисляются по формулам
dxk
д*.
дУк
**,
dvzk
дх,
dxk
*У* '
дУк
*У* '
dvzk
*У* '
dxk
'dvz,
дУк
'д'Уг.
dvzk
' '*>„
Ах А2
А3 Л4
(10.10)
307


где
Аг = Е, А2 = тЕ, Л3 = т||*/у|| (/, у=1,2,3);
А4=\
1 2со3т О
■2о)зт 1
hi = k\2>
hi = ^13»
4;
о
J* 3xv*/v
0
О 1
*12= r3 r2
^22 = "X I 3 *~2~ ~" 1
*13 = Тз ~2~
"з! *23 = r3 2
*32 = 623'.
"33
£ — единичная матрица третьего порядка; т = *л.— tfv.
Формулы (10. 10) основаны на разложении составляющих вектора qk=(xk, уk, zky
Vxk, vyk, vzh) в ряд Тейлора с последующим удержанием в них слагаемых,
содержащих т в первой степени. Для спутников с высотами полета Л^ЗООО км точность
расчета производных по формулам (10.10) достаточна при т^180 с.
При расчете производных по конечным формулам задачи двух тел в сочетании
с методом узловых точек время решения краевой задачи по измерениям с трех<-пяти
последовательных витков уменьшается на 35—40% по сравнению с методом вариаций.
Быстродействие краевой' задачи повышается еще более заметно (2—2,6 раза), если
производится совместная обработка измерений на суточном мерном интервале.
Алгоритм задачи в цилиндрической системе координат rut, (см. гл. II, разд. 2. 1,
п. 3, «а», рис. 2. 9) отличается от алгоритма задачи в гринвичской системе координат
Oxyz формулами для вычисления расчетных значений измеряемых параметров и их
производных по начальным условиям.
Для широкого класса орбит с малыми эксцентриситетами алгоритм краевой
задачи в цилиндрической системе координат характеризуется большим быстродействием
по сравнению с алгоритмом краевой задачи в прямоугольной системе координат Oxyz.
Это объясняется как большим быстродействием численного интегрирования системы
дифференциальных уравнений спутника в цилиндрических координатах', так и меньшим
объемом вычислений в алгоритме расчета частных производных от измеряемых
параметров по начальным условиям при использовании конечных формул задачи двух тел.
Расчетные значения для измерений D, А, у и D определяются по следующим
формулам: *
Z) = /e2 + r12 + c^;
^N
А = arc tg — ; 0° < А < 360°;
е
7 = arctg —; 0° < 7 < 90°;
D==—(& +V) + V;v),
(10.11)
где
1 *
11
rN\
i
''
IU
==
\G 0 1
1 0 G\
1 4
Y]0
Co
4
r/o
*io 1
rN = yp + ?N,
G =
cos 9
sin <p
0
— sin 9 0
cos <p 0
0 1
* В формулах (10. 11) для отличия координаты £ в цилиндрической системе OruZ
от координаты £ в топоцентрической системе |пЛп£п последняя помечена индексом N.
308


sin <p = sin В sin p-
cos <p = cos В cos p -
sin
*N
COS
cos В sin P;
sin В sin P;
^ ^V
*лп
линат Oxyz;
sin В =
-координаты измерительного пункта в гринвичской системе коор-
*N
cos В = ■
У [(1 - а)2 /?^]з + 2^ ' ™ ~ V[( 1 - а)2 ^]2 + 4г '
So = ^а8 — rdQ] i0 = — Кга6 + Кца2 + ^са8 — с2С;
Со = — газ — Саю;
тю = Vrau — Vaax — Кса7 + ciC;
Со = — ^г<*з + ^««5 — ^саю "" ^з ^rct4"
■ Саи);
<*1 = (Х2 — Хд*) cos Р — С4 cos а;
<*2 = (Х2 — Xi*) sin Р + с5 cos а;
а3 = XI — Х2*;
«4 = Хз + Х4*;
«5 = Х4 + хз*;
а6 = оц sin р — с$ sin и;
а7 = с5 sin X —г6;
я = sin iQ;
а8 == с7 -Ь С4 sin X;
аэ = С4 sin и;
а10 = a cos X;
ап = а4 cos p + а9;
ai2 = a2a3 — а5-ав;
«1з = абаю + азав;
ан = a sin X
Х = Х0 + со3(* —*0);
6 — cos i0;
о) —угловая скорость вращения Земли;
Х0 —разность долгот измерительного пункта и восходящего узла орбиты в момент
времени ^0;
i0 — наклонение оскулирующего эллипса в момент времени tQ;
d = о) cos p;
a) sin p;
<*з#л cos f
•^j = cos a sin X;
•^2 = sin и cos X;
•£3 == cos и cos X;
X4 = sin и sin X.
02
cs
C4 = a sin p;
c5 = <z cos p;
c6 = 6 sin P;
C7 ~ b cos p.
Производные от измеряемых, параметров по текущим элементам орбиты
вычисляются по следующим формулам:
dD
dD
N
аГ = Ъ"(г-^аи); ъ=~5
rai\
dD
dVr,VUiV^
д£
dt
"Та1з;
rN
л дЛ л
= 0; — = 0;
dr
дЛ
dVr,Vu,V.
d^^^\D^--^-RN)6r
дА_
ди
= 0;
dD
д^~ D
\2
«7;
(t^al2;
dvv,Ku,vc
= 0;
'Л'
дч — 1 Г
— = — rZ)ai + (mn
дм D/д, L
дч — 1 Г
^-= —-U)a7 + (ran-
dD
dD!
(10.1


dD 1 / . dD\
dD
dD 1 /
dD
dVu
JL ?£.
r du
.6™
dD
dVr
dVr
dD
dD
dr '
Элементы матрицы изохронных производных
дгйио^УпУаоукх>
в v-й узловой точке определяются по следующим формулам:
5i =
= Я
ЗК„
ч +
v(=
2 — + 1 ——
COScpv
V^ У,
rO
■3KrvKr0 2
tv+ —(rvKr0-
■r0V„) +
]/fS[n^\;
dVu0
duQ
= #
/t
зк„
3ln
Tv +
tv — — + i I cos <pv + 2 — — — —
P I r0 p \rv
V
1;
/:
'o
■ — + — (v„
'«)
1 + — I sin <pv
яК„
aV„
dVt
uO
1
3V*> / rv\ /"о /\ / P \]
tv + 1 +— cos<pv—2 — + — — — 1
Г* \ P I ^v P \ Г0 ) J
тХ' + т)
vw
*v + [ 1 +
r0Vr
sin <pv +
d7.
dr0
д1п.
dVro
dV
(■+т)г»г"-(1+т)
rK,
ГО
1.
3(X
с
/V.. К,
iK +
sin<pv +—-
VVo Vr
dV,
uO
Г 3K,0 I p \ P 2r0/p \
VrVro
dV„
aV
dr0
310
r, .3^
/t
К
V*
ГО ^v


— Tv- 1+— cos?v+2—-— —-1 -
— Sin <pv;
uO
аУгУи, (З^о / rf\/ r0\ 1 Г7
dL
acn
i--(i
cos
*0;fc<t
*,
rvr0
w,
со
— Sin cpv;
]/<*/>
dV,
Cv
*o И^
VrQ+y — sincpv
(10.13)
&iW,
со
/"o
(1— COScpv);
*r,'V„.Vu,
ди0, С0,^с0
= 0;
d«.
dCo,Vc0
0;
й„ vc„
dr0, tt0> ^"r0» ^иО
0,
где
sin <pv = sin и v cos aQ — cos uv sin u0;
cos <pv = cos uv cos «o — sm "v s^n tto>*
p. = /tao0; tv = tv — /0.
Элементы матрицы изохронных производных
Ti =
drvavCyryavV^
от элементов орбиты в любой k-и точке короткого интервала ( tv, *v+i) по элементам
орбиты в v-й узловой точке вычисляются по следующим формулам:
д1± ^1
drk
duv, Cv, Vu*>v^
0;
dtk
= t;
Cv
,2 „2\
dVrk
dVgk УГУ>
rl да ~ dVttv ~~ rv
dtk
dub
'lvv
= 2 t;
г..
drv,uv,Vrv,Va
dVrk
= 0;
= 0:
y av_
3^r,Cv dVrk
~7TV' dv„
= i;
<4. vK
dvak
= 0;-
t;
dV^
1:
V,
t;
dV,
aft
дгы
A T; «.
dV7
rlv
' dV,
Cv
c*
<4>^v^«
= 0,
(10. U)
311


где 'b==jAv+^; т = **-*„;
rV' ^v ^rv ^v — координаты и составляющие вектора скорости спутника в
узловой точке.
Матрица R\ производных от текущих элементов qj орбиты в k-й точке по
начальным условиям Qm определяется из выражения
/?i-7-iSi.
/?i-
dr0uQ(;0Vr0Vu0V^
После этого по формулам (10.2) с использованием значений производных
вычисленных по формулам (10. 12), определяются производные
<*?„
от измеряемых
параметров по начальным условиям.
Изложенные выше методы решения задачи сводятся к определению начальных
условий движения спутника Qm (m=\, 2,..., 6) в некоторый фиксированный момент
времени t0. Возможен иной выбор элементов орбиты, определяемых в результате
обработки траекторных измерений. В ряде случаев определенные преимущества, по
сравнению с методом решения задачи при фиксированном начальном времени t0=const,
имеет метод определения начальных условий для фиксированной начальной
геоцентрической широты "фо или координаты z0. В цилиндрической системе координат можно
определять начальные условия для фиксированного значения аргумента широты и0.
Пусть задача решается в гринвичской системе координат Oxyz при условии
sin ф0 = — =. const. (10.15)
го
Дифференцируя (10. 15), получим
bz0 = — 2" (хоЬхо + Уо*Уо), (Ю- 16)
хо + Уо
т. е. поправка 6zo является линейной функцией поправок 6л;0 и 6i/o, поэтому ее нельзя
определять в результате решения системы уравнений, аналогичной (10.5). Иначе
говоря, если решение задачи производится при условии (10. 15), то в результате
решения системы уравнений (10.5) необходимо определять поправки &Qm(5-*o, ^#0> Ц)»-
b^jco» bvyQ и bvz0). Поправка к координате z0 определяется в каждом приближении
по формуле (10. 16).
Для такого метода решения краевой задачи условные уравнения принимают
следующий вид:
*mJ dQm j^Ji \dQm dz0 dQj
где
m -4,5,6
dz0
w-1,2
*0
dQn
хо+У20
(m = 1, 2);
(10.17)
Гг — производная от измеряемого параметра по времени.
Соответственно изменяются коэффициенты и правые части системы нормальных
уравнений.
Условные уравнения (10. 17) существенно упрощаются, если начальные условия
хо, Уоу t0t vx0, vy0 и vz0 определить для фиксированного значения координаты z0 или
при tf0 = const = 0.
В этих случаях условные уравнения принимают вид
йг,=
S
drfiQa
dQn
■ г i bt0,
/я-1,2,3,4,5,6
а коэффициенты третьего столбца и третьей строки матрицы ||amn|l (mt n=\, 2,..., 6)
и свободного члена третьего уравнения системы (10.5) вычисляются по формулам
N
где pi
312
ашЪ — а3п — —
N
VI '2 2
г-1
— вес /-го измерения.
§1^ (m' n-
N
1,
6);
(10.18)


Из (10. 18) следует, что при определении начальных условий для фиксированной
координаты z0 или при условии -фо=0 число интегрируемых уравнений в вариациях
(10.7) сокращается до 30, так как величина производной г* вычисляется, при
известных в момент времени t\ элементах расчетной орбиты, по конечным формулам. Это
приводит к повышению скорости решения задачи по сравнению с методом ее решения
при t0=const. Аналогично упрощается и расчет производных по конечным формулам
задачи двух тел.
В результате обработки траекторных измерений можно определять не только
начальные условия t0, Qm (m=lf 2,..., 6), но и некоторые геофизические параметры,
оказывающие заметное влияние на движение спутника. В частности, для низких орбит
спутников (/гСр^250 км) в результате решения задачи можно уточнять среднее
значение баллистического коэффициента S за время полета спутника на мерном интервале.
В этом случае в условные уравнения добавляются дополнительно слагаемые,
а именно:
Ы^.
dri
Ел*-
dri
(*=1, 2,
*).
/7Z-1
дп
где ——— частные производные от измеряемых параметров по баллистическому коэф-
фициенту.
Величины производных "~tz~~ определяются из выражений
Со
dS
dqj dS'
dqj
^де-—-—частные производные от текущих элементов орбиты по баллистическому
Со
коэффициент)^. Для вычисления этих производных можно использовать также метод
вариаций. Тогда система (10.6) или (10.7) дополняется седьмой системой уравнений
„ f bS bQ bv bvx
-Fjc-Sqvvjc — +—+ + —
V 5 q v vx
bvy_\
Vy )
bv.
где FXl Fy
bvy = Fy — Sgvvy — + — -I- —
\ 5 Q V
bv2 = Fz-SQvvz —+ -^ + —+ —£); (10.19)
\ 5 Q V Vz } J
b'x = bvx\
by =-. bvy;
bz=bvz,
и Fz — правые части соответствующих уравнений системы (10.7);
65— вариация баллистического коэффициента;
bv =
Ьо
vxbvx + vybvy + vzbvz
= r[ku(h~-hi)-k2i(h-fii)]Er,
h — высота полета;
kn, k2i и hi — постоянные величины, значения которых приведены в табл. 12.1
(см. гл. XII, разд. 12. 1).
Начальными условиями для интегрирования системы (10. 19) являются нулевые
вариации ov^q = bvy^ = ... = bz0 — 0 и принятое значение вариации баллистического
коэффициента 65. В расчетах можно принимать 65 = 0,15; тогда производные от
текущих элементов орбиты qj вычисляются по формулам
dqj bq}
М =iF 0-=Ь2,...,6),
где dqj — вариации элементов орбиты, вычисленные в результате интегрирования
системы (10. 19).
313


Уточнение баллистического коэффициента 5 в результате обработки траекторных
измерений позволяет повысить точность прогнозирования движения низких спутников.
В зависимости от средней высоты полета спутника и величины баллистического
коэффициента 5 (от степени влияния сопротивления атмосферы на движение спутника)
уточнение коэффициента 5 можно производить либо по измерениям с трех-пяти
последовательных мерных витков, либо по измерениям суточного мерного интервала.
10.2.2. Методы второй группы
Рассмотрим алгоритм задачи в системе Ox'y'z', повернутой относительно системы
Oxyz на угол LN вокруг оси Oz. Угол LN — географическая долгота восходящего узла
N-то витка орбиты, определяемая по формуле
LN = Aretg
XN
где xN, yN — координаты восходящего узла N-ro витка орбиты в системе Oxyz.
Связь между системами Oxyz и Ox'y'z' для TV-го витка орбиты осуществляется
по следующим формулам:
xN = xN cos LN + yN sin LN; x„ = x'N cos L„;
yN =2N = 0; yN = X'N sin LN;
V'xN ^ VXN C0S LN + VyN Sifl LNl VXN = VXN C0S LN ~ V'yN Sin LN\
V'tjN = ~VXN Sifl LN + *>yN C0S LN* vyN = VxN sin LN + v'yN C0S Ln\
v'mN = vmN\ VzN = V'zN-
Основой методов определения орбит спутников по данным измерений на
больших интервалах времени является аппроксимация некоторых элементов орбиты в
начале витка степенными полиномами.
Примем за систему параметров, определяемых на основании обработки
траекторных измерений, следующие элементы в начале N-ro витка: время tN, географическую
долготу LNj модуль радиуса-вектора rN и составляющие вектора скорости vxN, vyN и,
При аппроксимации этих элементов орбиты степенными полиномами за
независимое переменное примем функцию номера витка
N — Nmin Л ,
х^"^ Гт—' о<х<1,
Wmax — Nmin
где Afmin и Л/'щах-*-минимальный и максимальный номера витков интервала
аппроксимации.
Тогда аппроксимирующие полиномы можно записать в виде
*-0
*2 k.
k=0
u'zn = 2 а^г »
*-0
(10.20>
где ku k2,..., &e — целые числа; au, а2ь,..., авь — коэффициенты полиномов.
Задачу определения элементов орбиты спутника по данным измерений на больших
интервалах времени сформулируем следующим образом: по данной системе измерений
t%, Пи определить такие значения коэффициентов полиномов (10.20), которые
наилучшим образом, в смысле способа, наименьших квадратов, удовлетворяют заданной
системе измерений.
Исходными данными для решения задачи полиномным методом являются
результаты измерений /,-, пи и приближенные значения коэффициентов полиномов (10.20)
«/,*(/= li 2,..., 6; £=0, 1,..., ki). Последние определяются перед решением
аппроксимацией расчетных значений элементов орбиты в начале витков tN, LN,..., vzN
полиномами (10.20) заданной степени или принимаются равными коэффициентам, получен-
314


иым в результате решения краевой задачи полиномным методом по измерениям на
предыдущем мерном интервале.
Исходя из алгоритма задачи данные измерений должны быть определенным
образом упорядочены по времени, например, при записи их на магнитные
запоминающие устройства ЭВМ:
— для каждого мерного витка измерения всех пунктов должны располагаться
в порядке возрастания времени;
— расположение измерений с различных мерных витков в порядке возрастания
времени является не обязательным, но обычно такой принцип выдерживается, так как
это обеспечивает определенные удобства при несложном алгоритме дополнительной
обработки информации перед решением краевой задачи.'
Для каждого измерения номер мерного витка N определяется из выражения
М = Е('1~'"т1п ) + Nmia, (10.21)
V JVmin /
где символ Е обозначает целую часть от выражения в скобках; /jv min — время
прохождения спутника через восходящий узел орбиты для витка с номером Nmm\ TN min =
— ^Vmin+i—^Vmin—период обращения для витка с номером Nmm.
Очевидно, что для всех измерений с временами ti, удовлетворяющими неравенству
JN^ti^itN+i, номер мерного витка не изменяется. Поэтому определение номеров
мерных витков по формуле (10.21) производится лишь для времени первого измерения
каждого из этих витков.
После определения N по формулам (10.20) вычисляются элементы орбиты в
начале N-ro витка./jv, Ln, rN, vxN, v N, vzN и производится преобразование координат
и составляющих вектора скорости в систему координат Oxyz.
Расчетные значения текущих элементов орбиты qj(t) (/=1, 2,..., 6) и
измеряемых параметров г» определяются на каждом мерном витке численным интегрированием
системы дифференциальных уравнений (см. гл. XII) при начальных условиях tN, vxn>
VyN, VZN, XN, ум И Zjv=0.
Для всех измерений,, отклонения которых удовлетворяют условиям (10.4),
составляются условные уравнения вида
&П = V! т^-te/ft (/ = 1. 2,..., 6; * = 0,1,..., */; i - 1, 2,..., Ki),
lb
(10.22)
тде baih — искомые поправки к коэффициентам полиномов (10.20);
dri
— —частные производные от измеряемых параметров по этим коэффициентам,
К\ — число измерений.
Величины производных — определяются из выражения
~'jUdb'dalk '
drt
где "fiTT— частные производные от измеряемых параметров по текущим элементам
орбиты.
Частные производные от текущих элементов орбиты по коэффициентам полиномов
(10.20) вычисляются по следующим формулам:
dqj
■=-*,х'
k
dQj _( d4j d<Ij dqj dqj \ ft
dan * \ У" dxN + *" дУы ~ VyN u»xN + V*N *>yN) * ; •
dqj
даъъ
dqj I dqj dqf \
^r==tecos^+^wsinWx;
dqj I dq, dqj \
dqj dqj
.*
da6k avzN
dvmhr L
315


Производные от текущих элементов орбиты по начальным условиям ^q (у,
т = 1, 2,..., 6) определяются либо методом вариаций, либо по конечным
формулам задачи двух тел.
По условным уравнениям (10.22) составляется система нормальных уравнений
j±amnban = $'m (m, п=1, 2,..., %; x^J^ + б), (10.23)
л-1 \ / = 1
где
I
I
\дат
[дат
дп
дап
ЪПР1
(10.24)
В формулах (10.23) и (10.24)
,#
**.*
2 = в2Ь
Л, ' 1 =
a6k6
=^а<
'20.
(10.25)
Система условных уравнений (10.22), а следовательно, и система нормальных
уравнений (10. 18) являются недостаточными для точного решения задачи полиномным
методом. Это объясняется тем, что некоторые из коэффициентов аппроксимирующих
полиномов (10.20) связаны между собой определенными кинематическими
зависимостями, без учета которых результаты решения задачи могут быть искажены за счет
влияния как неучтенных систематических ошибок измерений, так и методических
ошибок, обусловленных неполным учетом сил, действующих на спутник.
Рассмотрим прежде всего такой параметр орбиты, как драконический период
обращения спутника TN. С одной стороны, Tjy — tN,1—tNy причем времена в
начале N-ro и (N+l)-ro витков определяются по первому из полиномов (10.20). С
другой стороны, период обращения можно вычислить численным интегрированием системы
дифференциальных уравнений (12.4) по элементам орбиты в начале N-ro витка:
vxN>
wzN*
*N = rN\ *ЛГ = °; 2'м=°> Т' е' TN=f(v'jc
xN>
'NJ
Очевидно, что решение задачи должно производиться при условии
Т — Т
1 N ~ J N-
(10.26)
Поэтому система условных уравнений (10.22) должна быть дополнена условными
уравнениями вида
dTN
ЬТ
ЛГ
да
Ьа
Ik
Ikl
(10.27)
ЛГ>
где
dTN
-*z— — производные от периода обращения по коэффициентам аппроксимирующих
uulk
полиномов.
Производные от периода обращения по элементам орбиты в начале N-ro витка
вычисляются по формулам
дТ
dtN
dTN
dLA
дТ_м
drN a
dTN
"N
TN ock
rN
= 0;
&Tn 3vNTN ock
wxN
dv
!+■
XN
VN
v-
N
VN L
1 +
2"зглг(
w
uyN)
3vNTNocKVyN+<*3rN
dv
yN
VN
N
dTN
dvzN
¥ N
3vNTN ock
2-V
wzN
V N
316


где
_ 2^ 3/2. - rN rNVN
1 n оск — i/р^г w
^ = <& + V'yN + <& + V" - 2VWVU-
Производные от периода обращения по коэффициентам полиномов (10.20)
вычисляются после этого по формулам
- = —— х (/ = 1, 2,..., 6; * = (), 1, 2,..., £.).
Количество условных уравнений (10.27) /Сг зависит от числа витков в интервале
(Nmin, Afmax). В предельном случае /Сгтах=#тах—iVmin+1, однако при этом
существенно увеличивается время решения задачи на ЭВМ. Анализ показывает, что
результаты решения задачи практически совпадают с полученными при /Сгтах, если условные
уравнения (10.27) составлять лишь для /Сг=(0,15—0,20)/Сгтах витков, равномерно
распределенных в интервале (Nmm, Afmax).
Веса условные уравнений (10.27) рт выбираются на основании опыта4 обработки
траекторных измерений. Как показывают сравнительные расчеты при изменении рт
в широких пределах, результаты решения задачи изменяются незначительно.
Кроме условия (10.26), для принятой системы определяемых параметров можно
ввести также условия LN+i — LNJ^ и rNj^ ~ /дг_ц« Однако, как показывают расчеты,
особой необходимости в этом нет, так как точность определения орбиты полиномным
методом достаточно высока даже в том случае, если ограничиться только введением
условия (10.26).
Система нормальных уравнений, соответствующая условным уравнениям (10.27),
запишется в следующем виде:
л-1
где
а'тя^£ИЕ14. С = У^ьт1Р1
/-1 /-1
При решении задачи на ЭВМ расчеты в каждом приближении целесообразно
производить в два этапа: составляются нормальные уравнения (10.23); затем в
результате численного интегрирования дифференциальных уравнений (12.4) на k2 витках—
нормальные уравнения (10.28) и окончательно формируется система нормальных
уравнений
^атпЬап = ^т (т, л = 1, 2,..., %=2*/+6)' (10*29>
гДе атп = атя + атп] рт = $т + $'т.
В результате решения системы нормальных уравнений (10.29) в каждом
приближении определяются поправки к коэффициентам полиномов (10.20) и уточненные
значения этих коэффициентов по формулам
а»=-«« + 2Ч*\
где v — номер приближения.
Критериями сходимости процесса последовательных приближений являются
неравенства
14*1 <ei*? 0<е-
Средняя квадратическая ошибка единицы веса сг вычисляется в каждом
приближении по формуле
/к
/-1 т = \
k\ + k2 — %
где Ьат — поправка к коэффициентам полиномов (10.20);
$т — правые части нормальных уравнений (10.29).
317


Степень каждого из полиномов (10.20) зависит от характера изменения
соответствующего элемента орбиты на интервале аппроксимации (Afmin, Nm&x).
При выборе степеней полиномов необходимо также учитывать точность
измерений, в результате обработки которых определяется орбита спутника. При больших
ошибках измерений и невысокой ьследствие этого точности определения элементов
орбиты нецелесообразно добиваться максимально возможного исключения
методических ошибок за счет повышения степеней аппроксимирующих полиномов.
Анализ влияния основных возмущающих факторов на характер изменения
элементов орбиты как функций номера витка N показывает следующее:
— ошибки аппроксимации элементов орбиты tN, £Аэ rNi ... ? vzN полиномами
(10.20) при заданной длине интервала (Nmmt #тах) определяются главным образом
аномалиями поля сил тяжести, а для низких орбит (/icp^250 км)—аномалиями и
торможением спутника в земной атмосфере;
— ошибки аппроксимации, обусловленные сжатием Земли и долгопериодическими
колебаниями плотности атмосферы, сравнительно невелики даже при большой длине
интервала аппроксимации;
— из всех элементов орбиты наибольшие методические ошибки наблюдаются
при аппроксимации времени tN\ уменьшение длины меоного интервала в два-три раза
приводит, как правило, к уменьшению методический ошибки аппроксимации времени tN
более чем на порядок.
В каждом конкретном случае степени аппроксимирующих полиномов необходимо
выбирать исходя из требуемой точности решения задачи, характеристик орбиты, длины
интервала аппроксимации (Afmin, Afmax) и точности измерений. На основании анализа
методических ошибок аппроксимации основных элементов можно дать следующие
общие рекомендации по решению задачи полиномным методом:
а) степени аппроксимирующих полиномов (10.20), как правило, следует назначать
равными &i = 3, &2=2, &з=&4=&5=&в=1; при большой длине мерного интервала
(Nmax—Л/тш>40) и сравнительно точных измерениях может оказаться целесообразным
повышение степеней всех полиномов на единицу (особенно для низких орбит);
б) во всех» случаях длину мерного интервала необходимо по возможности
ограничивать; для низких орбит при достаточном числе измерений длину мерного интервала
целесообразно ограничивать сутками полета спутника; совместная обработка
измерительной информации более чем за семь-десять суток полета спутника допустима лишь
для системы измерений невысокой точности.
При решении задачи полиномным методом в качестве определяемых параметров
можно принять отличные от рассмотренных выше элементы орбиты. Так, для
цилиндрической системы координат можно определять следующие элементы орбиты в начале
jV-го витка: tN, In, &n, rN, Vtn и Vun, где ixr и Qn — соответственно наклонение и
долгота восходящего узла орбиты.
В этом случае для определения расчетных значений измеряемых параметров г,-
целесообразно интегрировать систему дифференциальных уравнений движения спутника
в цилиндрических координатах, а для расчета частных производных от текущих?
элементов орбиты по начальным условиям использовать соответствующие конечные
формулы задачи двух тел в сочетании с методом узловых точек. Следует заметить, что
независимо от выбора системы определяемых элементов орбиты решение задачи
полиномным методом необходимо производить при введении дополнительных условий,
аналогичных (10.26).
10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕЖПЛАНЕТНЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Соотношения, необходимые для определения орбиты межпланетного КА, приведем
в предположении, что:
— интегрирование системы дифференциальны* уравнений (12.7), (12.108)
движения КА и составление системы нормальных уравнений производятся в системе
координат OXYZ (гл. II, разд. 2. 1.2, «б», рис. 2.4);
— в качестве измеряемых параметров выбраны D, Д Л, у, <ц, 0*,-, ат, 6Т, А, у.
Расчетные значения всех указанных выше параметров и их частных производных
на момент измерения определяются по следующим формулам:
dD 1 Г дХ дУ ч , dZ 1
где X, Yt Z—координаты КА;
Xjv, Yjy, Zjsj — координаты измерительного пункта;
d^~[(Vx-Xn)(x-Xn) + {vv-yn)(y-yn) + {vz-zn)(z-zn)];
318


dP 1 \dVx dVy dVz
dQm D IdQm 0Qm dQm
dX
dQ„
dY
(Vx + u3Yn + <*3gZN sin G) + —— {Vy — <*>3*;v 4- v3gZN cos G) +
dZ • dD
(Vz — w gYN cos G — (o gXN sin G)—D
dQ
Поскольку величины D, D,
dP
dP
dQm ' dQm
dQm
не зависят от того, в какой системе
координат они вычисляются и- в какой системе составляется матрица системы
нормальных уравнений, целесообразно определять эти параметры в системе координат £пЛп£п
(гл. II, разд. 2. 1.5, «да, рис. 2.20). В этом случае решение будет проходить по
следующей схеме:
— интегрирование уравнений движения в системе OXYZ-,
— перевод элементов орбиты и производных от них по начальным условиям
dqj/dQm в систему £пЛп£п;
— вычисление величин D, D, dD/dQm, dD/dQm\
— формирование матриц A=R^PR и B = RTP6r.
При этом расчетные формулы значительно упрощаются, а прецессия и нутация
оси вращения Земли будут учтены через величины g и G (см. гл. II, разд. 2.2, п. 9) при
переводе из системы OXYZ в систему £пПп£п.
3D dD
Формулы для расчета D, D и их производных —:—, —— в системе £пПп£п
0Qm dQm
имеют вид
г dD 1 Г dg dC dr\ 1
dQm D [dQm dQm dQm J
£ = ^[« + 4T| + «l;
£> = —[ё2 + ^2 +t2 + ee +m + ce-£2];
dD
dQm
D
d£
D
.^Qm dQm dQm dQm dQm dQm dQn
Продолжим перечень формул для расчета измеряемых параметров и производных
по начальным условиям движения:
Л = arctg — ;
6
— - — 16
dQm~ r?,e
ас
*?*
С
где Г1 = К£2 + С2;
л = -а(ес —сё);
id
— „.2
«-**&-«+*"£
<*?*
7 = arctg-
r\
dQ}
: 1_
>Qm Dn { dQm * dQm)1 T Drx V ' '
<*T
где
f\D dD j/ _Z^ Л dn a?|
/*'«?* +nN V dQm + dQm
Z) dQm" P dQm
dQn
oti = arc cos
«v + ttN
4V
Pd
319


^/Vt ^N—координаты приемной антенны в системе координат ^пг\пСп с началом в
месте расположения передающей антенны;
^ai }_ г я л / яр д£ л
Cyv^T
dQm V^N-ttNf+yiW
dot! 1
dD
rfcosa!—-- £ — + СЛ
dQm \ dQ„
dQm 1/(^-8^)2 + ^2
dD . даг
d cos oti ——- — sin otiD
1 <*?™ <?Q™
^dQm+:»dQt
X
[(«*-«*)• (e*
ai
'{bN-tW + w2
x
ae
X-XN
J2L
■]■
и'ли
ar-arccos V(x-xN)2 + (Y-yNy>'
aT = arctg x_xNn (0 < аг < 360°);
ar dx
*, «*-J[«>i5r(,'-"')«r
8_ = arccos
dQm (X-XN)2+(y-YNf '
~(X-XNf + (Y-YNy
V;
arctg
Z — Zw
ъ "|;-<z-z^*
ar
<*?„
rD2
dr 1
=t[-
*7V)"
(Y—Y
dY Л
dQm г Г~ ""' dQ„
В случае автономных измерений с борта КА в качестве измеряемых параметров
могут быть приняты:
1. Углы между направлениями на звезду и планету.
hi = arccos [и (Xi-X) + {х2(Г, - Y) +
*1/
/№ - *)2 + (Г,—Г2) + (Z; - Z)2
—г— (— acos$u — b),
sin pi/ \ г/ J
}■■
где
dQm n sir
n - /№-^)2 + (r£-r)2 + (Z/-Z)2;
a = (^-^)-^ + (K,--r)^ + (Zf--Z)^-;
dQm dQm dQm
, / dx dY
b = I И 1^— + ^2 "
.-(,
^i, ^ь %i—координаты планеты;
X, Y, Z — координаты КА;
dQn
^з
dZ
dQm
■)■•
[xj = cos 5 cos a; jx2 = cos 5 sin a; jx3 = sin 5;
a — прямое восхождение звезды;
5 — склонение звезды.
320


2. Углы между направлениями на две планеты.
hit = arccos
Ч
[(Xi-X)(Xj-X) + (Yl-YHYJ-Y) + (Zl-Z)(Zj-Z)];
dbiL
dQm
C0S hli Г_1
sinp2.y [Di
dDj
dQm
+
dD
1
h- &-£)
+ (*;-
ldXj_ *X\,lY. yJdJl К.\.(у. n/^J- *L\
(Zr
Z)(^
dZ
dQm
где Xi, Yi, Z{\ Xj, Yj, Zj — координаты планет.
Для определения частных производных dri/dQm необходимо знать
соответствующие частные производные dqj/dQm от элементов орбиты по начальным условиям
движения. Для определения этих производных прибегают к методу конечных* разностей
или к методу вариаций. При этом частные производные dqj/dQm получаются в той
системе координат, в которой производится интегрирование системы дифференциальных
уравнений движения. Затем они переводятся в систему координат, выбранную для
вычислений расчетных значений измеряемых параметров и их производных dri/dQm.
В случае уточнения астрономических и геофизических констант и каких-либо
других элементов необходимо рассчитывать производные от элементов qj по уточняемым
параметрам. Для этого дополнительно интегрируется система дифференциальных
уравнений движения КА при варьированном значении уточняемого параметра.
Вычисление производных dqj/dQm методом вариаций осуществляется следующим
образом.
Система дифференциальных уравнений движения КА представляется в виде
Vx = ^зо + Х\о + 2 xio + xis + 2 х&
Vy = Узо + Ую + S У ю + >-1з + 2 Yiz\
i i
Vz = ^зо + Zio + 2 z® + ^13 + 2j Ztel
i
где t = 2, 4, 6, 7, 8;
^30» ^10» ^Ю» ^13 > X'lZ
^зо> , Yiz
Z3Qy
i
z = v
Z>
(10.30)
, Zjs — составляющие ускорений системы сил, определяющих
движение КА.
Телам Солнечной системы соответствуют следующие индексы:
1—Солнце; 6 — Марс;
2 — Венера;
3 — Земля;
4— Луна;
7 — Юпитер;
8 — Сатурн.
КА обозначается индексом 0.
В правые части уравнений движения КА входят составляющие ускорений,
характеризующие притяжение КА Землей, Луной, планетами и Солнцем, а также притяжение
Земли к Солнцу и планетам. Составляющие последнего вида зависят лишь от
взаимного положения Земли, Солнца, планет и не зависят от координат и скоростей КА
(от Qm). Следовательно:
&^13 = &^23 ~ &^43 — &^63 = ^^73 — &^83 = 0"i
bYi3 = &К23 = &К43 = ^Y63 = bY73 = SK83 = 0;
5Zi3 = 5^2з == ^^4з = §Zq3 = bZ73 = SZ83 = 0.
Тогда система (10.30) в вариациях по Qm будет иметь вид
Wxm = &^30 + 2 bXiQ>
г-1,2,4,6,7,8
bVym = ЪУ$о + 2j 5^'0»
г —1,2,4, 6,7,8
bVZm= bZ$)+ 2 bZiQ-
г-1,2,4,6,7,8
11 3669
321


ЬХт==ЬУХт; ЬУт =
Здесь
ЪХы = АгЬХт + А2тХ + АШХ;
ЬУ
Vm,
bZm = bVZm; m=\, 2, 3, 4, 5, 6.
1
л **
гзо
1_ з ь2 /5Z2_A
2 ^>Ню \гзо /
Aim = —Г
Г30
3 Ъ2 ( 5zo
^Огао V
— 1
30
*&*„
уьу„
ZbZn
гъо
Asm — —
щ
г6
г30
РН
*&xm + r&r,„ + z?>z
5Z&Z„
>*зо
Ыао = ЛгЬУм 4- Л2тГ + Л3тГ;
bZ3Q = B\bZm 4- ^2mz + BZmZ\
b2 / 5Z2
r30
r30
i-4-
2 ^0r30
A _?2
2 £0
&2_ /5Z2
r30 \r30
^i;
A*m =
r30 [Д r30 /
r40 L
5Z-SZ„
r30
ЬХ40 =.- -^ I 3 —- ' /^2— ЬХт ;
r40 L ^40 J
йГ4о = ~з~ 3—: F2
r40 L
&Z,
40
/*4Q
^4^0 Г 0 (Z4 — Zq)
Mo Г
~ do L
mi
F* — bX„
ьг10 = -^-ш
ПО
bZ/o
r/0 L
3 — -'^з_&Гя
&z„
где
^1 =
Z/o
XbXm+YbYm + ZbZn
\ (10.31)
^2 =
^3 =
Гзо
(^4~^)b^+(K4~r)5rm + (Z4-Z)5Zyy
/*40
№~^)5^4-(r/~r)5rm + (Z/~Z)5Zyy
bVxt IVy, Wz, ЪХ, дУ, 5Z — вариации текущих элементов орбиты, обусловленные
заданными вариациями начальных условий движения
bQm.
X, У, Z, VХу Vy> Vz — текущие элементы орбиты КА (индекс „0" для
сокращения записи здесь и в дальнейшем опускается);
№> — постоянная Гаусса;
mi — масса /-й планеты; &4 = ——отношение массы Лу-
/тг3
ны к массе Земли.
При t=l величина mi = l и значение 6Х10, 6Кю, 6Zi0 умножаются на 1—к (и —
отношение силы светового давления на КА к силе притяжения Солнцем).
322


/ =
В качестве начальных условий для интегрирования каждой из шести систем
необходимо взять элементы соответствующей строки единичной матрицы
110 0 0 0 01
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 10 0
0 0 0 0 1 о|
10 0 0 0 0 1
В случае уточнения астрономической постоянной Л0 в процессе решения задачи,
т. е. в случае, когда тп = 1 и А0 входит в число определяемых параметров, для расчета
необходимо иметь и значения производных ——, которые можно также вычислять ме-
oAq
тодом вариаций.
В этом случае система уравнений движения КА в вариациях, седьмая по счету,
dqj
для вычисления путем интегрирования значений производных —— будет иметь вид
oAq
IVх = ЪХы + 2 ЬХЮ ~ 2 ьх1з>
/-1,2,4,6,7,8 /-1,2,4,6,7,8
ЪУу=-.ЪУд0+ 2 М®- 2 Mi*
/-1,2,4,6,7,8 /=1,2,4,6,7,8
svz = 5z30+ 2 bZ®- 2 bZ*>
/ = 1,2,4,6,7,8 /-1,2,4,6,7,8
bX = bVx\ bY=bVy. bZ=bVz,
где ЪХЪ$, 5Кзо, SZ3q, ЪХщ, ЪУщ, IZ^q вычисляются по формулам (10.31), но с
учетом того, что вариации берутся по Aq]
**«>== 1T*24> \-^-(Xi-X) + (bXi-bX)-3 Xi~~X н];
r/0 L^O Oo J
no L^o rio J
mi о Г 3 Z/ — Z 1
bZto^-fkUl \ — (Zi-Z) + (bZi-bZ)-3 —- H ;
nti q Г 3 Xi 1
^/3 lAQ Пз J
Пз L4> '/з J
szi3 = ^24 f т" z'+ *z' -3 — ^il;
Оз LA) г/з J
H
ГЮ
[(Xi-X)(bXi-bX) + (Yi-Y)(bYi-bY) + (Zi-Z)(bZi-bZ)];
Их
Пз
(XibXi+YfiYt + ZibZi).
При t=l величина m^l и значения 6Xi0, 6Кю, 6Zi0 умножаются на 1—и. В
качестве начальных условий можно брать в этом случае
6Vx = bVY = bVz = bX=6Y=8Z=0.
Производные от координат планет по А0 определяются методом конечных
разностей. Для этого координаты планет из размерности [а. е] переводят в километры при
номинальном А0 и варьированном Л0' значениях астрономической постоянной по
формулам
Xt [км] — Xi [а. €] А0; х\ [км] = Х{ [а. е] А'0 и т. д.
11*
323


Здесь и далее штрихом обозначены величины параметров, числовые значения
которых изменились в результате вариации.
Тогда
ЬХГ
>К£ =
bZr-
X;- Xj
Y'i-Yi
а'о—А
Z't - Zi
Л'о—А0
= Xt{a.
= Yi(a.
7.la
— лда.
e);
e);
e).
Аналогичным образом можно получить систему уравнений в вариациях для
вычисления значений производных от текущих элементов орбиты по любой другой
уточняемой астрофизической величине.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. X
1. Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космического
летательного аппарата по данным траекторных измерений. — «Космические
исследования», т. I, вып. 1. Изд-во АН СССР, 1963.
2. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки
результатов измерений. М., Физматгиз, 1962.
3. Хорошавцев В. Г., Ястребов В. Д. Алгоритмы определения параметров
движения ИСЗ с использованием цилиндрических координат. — «Космические
исследования», т. V, вып. 6. Изд-во АН СССР, 1967.
4. Хорошавцев В. Г. Расчет частных производных от характеристик
движения по начальным условиям. — «Космические исследования», т. III, вып. 3. 1965.
5. Ш а п и р о И. И. Расчет траекторий баллистических снарядов по данным
радиолокационных наблюдений. М., ИЛ, 1961.
6. Энеев Т. М., Платонов А. К., Казакова Р. К- Определение орбит ИСЗ
по данным наблюдений за ИСЗ. — «Искусственные спутники Земли», вып. 4, Изд-ио
АН СССР, 1960.
7. Ястребов В. Д., Эльясберг П. Е. Определение плотности верхней
атмосферы по результатам наблюдений за полетом третьего советского искусственного
спутника Земли. — «Искусственные спутники Земли», т. IV, Изд-во АН СССР, 1960.
8. Я с т р е б о в В. Д. Определение орбиты искусственного спутника Земли по
данным измерений на больших интервалах времени. — «Космические исследования», т. 4,
вып. 2. Изд-во АН СССР, 1966.


ГЛАВА XI
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
D —дальность.
D — радиальная скорость КА относительно измерительного пункта.
dv — количество рассматриваемых источников ошибок для v-й группы
измерений.
h — число групп независимы* измерений.
nv — количество измерений в v-й группе.
N — общее число измерений.
Qm — начальные условия движения КА.
г — измеряемый параметр.
ЬВ, 6L, ЬН — погрешности геодезической привязки измерительного средства
к центру инерции общего земного эллипсоида по широте, долготе
и высоте соответственно.
6q —ошибка в параметре q.
6Ф^ — погрешности в параметрах Ф^.
6т — суммарная ошибка привязки измерений к единому времени.
Ад — предельная ошибка в параметре Q.
ц —параметры (число которых %х), необходимые для представления
конкретного источника ошибок Я.
% — номер источника ошибок измерений параметра г.
q — оцениваемый параметр.
Ф^ (|= 1, 2>..., f) — параметры, характеризующие возмущающие силы.
соз—скорость вращения Земли.
11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
С оценкой точности определения орбит тесно связано решение ряда практических
задач из области баллистического проектирования и обеспечения полетов КА. К числу
этих задач относятся:
— определение основных требований к наземной и бортовой измерительной
аппаратуре, используемой при запусках КА;
— выбор состава орбитальных измерений и размещения средств слежения за КА;
— выбор программы орбитальных измерений;
— определение возможных моментов коррекции орбит КА;
— обоснование и выбор схем полета КА;
— определение перспектив развития измерительной техники;
— выбор направлений дальнейших научных изысканий и т. д.
Для решения указанных задач, как правило, требуется знание возможных ошибок
определения элементов орбиты (для заданного положения КА) или некоторых других
параметров, которые являются известными функциями этих элементов.
Параметры, точность определения которых исследуется в данной конкретной
задаче, будем называть оцениваемыми параметрами и обозначать q. При выборе
оцениваемых! параметров прежде всего исходят из физической сущности решаемой задачи.
В качестве оцениваемых параметров могут рассматриваться:
325


— координаты и составляющие вектора скорости КА,
— прогнозируемые параметры, характеризующие прохождение КА через
заданную в пространстве плоскость (плоскость экватора Земли; плоскость, нормальную
к вектору скорости КА в заданной точке орбиты и т. д.);
— измеряемые параметры и другие.
Ошибки в параметрах q обозначим 6q. Наиболее полной вероятностной
характеристикой ошибок 6q является закон их распределения. Однако на практике, как
правило, оказывается достаточным определить лишь числовые характеристики этого закона
(математические ожидания и корреляционные моменты) или предельные значения
•ошибок Дд.
Рассматриваемая ниже методика априорной оценки точности определения орбит
позволяет находить или числовые характеристики, или предельные значения ошибок Ад
в предположении, что орбита КА определяется по результатам траекторных измерений
с использованием метода максимума правдоподобия или способа наименьших
квадратов. При этом предполагается справедливость определенный гипотез относительно
вероятностных характеристик погрешностей траекторных измерений и параметров,
характеризующих силы, действующие на КА в полете.
Рассматриваемые погрешности обусловливаются влиянием различных источников
ошибок. По характеру влияния на точность определения орбиты КА эти источники
можно разбить на следующие три группы:
— погрешности в результатах измерений, полученные для одного или ряда
моментов времени;
— ошибки знания сил, действующих на КА в полете;
— система допущений, принятых при составлении конкретных алгоритмов
определения и прогнозирования орбит по результатам измерений.
Алгоритмы определения орбит КА обычно разрабатываются таким образом, чтобы
влияние ошибок за счет принятых допущений было существенно меньше влияния
первых двух групп источников ошибок. В связи с этим влияния третьей группы в
настоящей главе не рассматриваются.
Погрешности измерений вызываются:
— аппаратурными ошибками (ошибками юстировок и калибровок,
динамическими ошибками, ошибками дискретности отсчетов, флуктуационными ошибками,
ошибками в номинальных значениях частот; ошибками за счет нестабильности
характеристик аппаратуры; ошибками, вызванными искажением диаграмм направленности
антенны; ошибками из-за временных неисправностей или сбоев в аппаратуре или
вследствие невнимательности обслуживающего персонала и т. д.);
— ошибками геодезической привязки измерительных средств к центру общего
земного эллипсоида (ошибками триангуляционной привязки на геодезическом
эллипсоиде и ошибками координат центра геодезического эллипсоида относительно центра
инерции Земли);
— ошибками временной привязки результатов измерений (ошибками за счет
нестабильности задающих генераторов; ошибками сведения автономных шкал времени
по сигналам единого времени, передаваемым специальными станциями службы времени;
ошибками времени распространения сигналов точного времени до места расположения
измерительных средств и другими);
— ошибками, обусловленными распространением радиоволн в неоднородных
средах (атмосфере, ионосфере, межпланетном газе);
— ошибками, обусловленными погрешностью определения скорости света
в вакууме.
Ошибки знания сил, действующих на КА в полете, вызываются неточным
знанием:
— параметров гравитационного поля Земли;
— астрофизических постоянных;
— параметров верхней атмосферы;
— положений и скоростей Луны и планет;
— сил светового давления и т. д.
Ошибки знания сил влияют на точность определения оцениваемых' параметров
двояко:
— через ошибки расчетных значений измеряемых параметров, полученные
вследствие наличия погрешностей в законе движения КА при определении его орбиты;
— через ошибки прогнозирования значений параметров Q по полученным в
результате определения орбиты КА начальным условиям его движения Qm.
Задача оценки точности определения орбит КА состоит в том, чтобы по заданным
вероятностным характеристикам погрешностей измерений и параметров,
характеризующих силы, действующие на КА в полете, определить вероятностные характеристики
оцениваемых параметров.
11.2. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ КА
В общем случае измерения, которые используются для определения орбит,
являются функциями времени.
326


Под измеряемыми параметрами г понимают совокупность различных
относительных координат и компонент скорости КА (дальность D и радиальная скорость D КА
относительно измерительного пункта, его угловые координаты и т. д.).
Рассматриваемые методы оценки предполагают, что измерения делятся на группы
по числу независимых измеряемых параметров, сеансов измерений, измерительных
пунктов и т. д. Все группы нумеруются по порядку (v=l, 2,.»., /i), независимо от
номера измеряемого параметра и измерительного средства, которому принадлежат
соответствующие измерения. Измерения нумеруются по порядку, начиная с первого
измерения первой группы. Количество измерений в каждой v-й группе обозначим через nv.
Л
Общее число измерений N = ^ пч.
Погрешности измерений каждого параметра г, обусловленные источником
Я(Я=1, 2,..., dv), могут быть представлены в виде суммы двух некоррелированных,
составляющих случайных функций
brx(t) = br\V) + br'xtt). (11.1)
Если погрешности 6гх не удается представить в виде (11.1), то оценка влияния
jq\ на ошибки определения орбиты производится аналогично оценке влияния
погрешностей б/'х.
Для дискретных значений 6гх
Оп\ = (ьг',)х + (ы])х.
Функция ?гх представляет собой практически некоррелированную случайную
функцию с математическим ожиданием, тождественно равным нулю,
М [Ьг[] н О
и корреляционной функцией
К ,[t, t'] = 0 при W\
К ,[t, t']=^D [br[] при t = t\
где D [Ъг[]—дисперсия случайной функции b/x-
t и ? — два различных момента времени проведения измерений.
Функция Ъгх представляет собой коррелированную случайную функцию, для
которой в общем случае
Ж [Ъг",]фО- К .(*, П + 0.
Числовые характеристики ошибок 6q в оцениваемых параметрах q
(корреляционная матрица /CgQ и матрица математических ожиданий MbQ) определяются путем
решения следующих матричных уравнений:
«<;>= *<;> + *<?; м[ъох]=см[ы;]; \
8г,
8г,
Х-1 х
M[bQx]=BM\bQx];
Кы =
#0)
А5г
Ьг
K{h)
С1:
M[bQ] = ^M[bQ}];
Х-1
^8Q = CK
с = (Ат/г1/г)"'1/гт/с
—ь
м [ь/х]
Af<« [b/x]
М^ [Ы[]
AfO [Ы[]
(11.2)
327


Если К = Кьг, то
%=(*тч1/?)_1-
Здесь приняты следующие обозначения:
К^г —корреляционная матрица погрешностей v-й группы измерений параметра г,
вызванных влиянием Х-го источника ошибок (порядок матрицы fl/zv);
Л5 * — корреляционная матрица погрешностей v-й группы измерений параметра г, обус-
г ловленных суммарным влиянием источников ошибок (порядок матрицы пчпЛ\
Къ —квазидиагональная корреляционная матрица погрешностей измерений,
составленная из матриц К^ порядка nvnv(v = 1, 2, 3,.,. h)\
KbQ — корреляционная матрица ошибок начальных условий движения КА;
R — матрица, составленная из дискретных значений частных производных —-
dQm
от измеряемых параметров г по начальным условиям Qm(m=l, 2,.. ., /) на
момент /-го измерения;
дг\ дг\ |
#=
дг
дгл
N -JL
dQx '"'^Qt
К — корреляционная матрица ошибок измерений, заданная при определении
орбиты КА;
dQk
матрица, элементы строк которой составлены из частных производных ——
dQm
от прогнозируемых параметров Qk {k=\, 2,..., Ъ) по начальным условиям
движения Qm (m=\, 2,..., /);
В
dQi
\dQi
dQ2
dQi_
'dQm
dQi
dQi
B =
\dQb dqb dQb
\\dQi ' dQm'"" dQi\
M^ ГйгЛ —матрица математических ожиданий (порядка nvl) ошибок Ъг" параметра
г из v-й группы измерений, вызванных влиянием Х-го источника ошибок;
М [bQA — матрица математических ожиданий (порядка /1) ошибок начальных
условий движения К A 5Q, обусловленных влиянием Х-го источника
ошибок 5г^;
Л4Г5рЛ — матрица математических ожиданий (порядка Ь\) ошибок 5q, вызванных
влиянием Х-го источника ошибок 5гх;
M[5q] — матрица математических ожиданий (порядка Ь\) ошибок 5qx.
Числовые характеристики погрешностей измерений К\]) и М^ Г^П М0ГУТ быть
определены по формулам:
к$гнчкпн1-
где
(11.3)
д^хх
на все nv дискретные моменты времени измерений v-й группы параметра г
по параметрам г), характеризующим Х-й источник ошибок (число их равно
хх);
"и матрица (порядка лДх), составленная из частных производных
328


я =
дг„
dr„
дгл
<4i '
drv2
<4i '
drvnv
d4i
«W"
' '**хХх
arv«v
*Ьхх
/( —корреляционная матрица (порядка Х\Иу) ошибок параметров у\, характери-
* зующих Х-й источник погрешностей измерений;
М [5т)х] — матрица математических ожиданий (порядка Х\1) ошибок параметров yj,
характеризующих Х-й источник погрешностей измерений.
Каждый источник погрешностей измерений X может быть представлен различным
числом параметров г). Так, например, погрешности геодезической привязки
измерительного средства к центру инерции общего _з ем но го эллипсоида могут быть представлены
в виде ошибок по широте 6В, долготе 6L и высоте 6# в координатах мировой
геодезической системы координат, а ошибки привязки измерений к единому времени иногда
можно представить одинаковой для всех измерений суммарной ошибкой 6т, полученной
за счет всех составляющих ее погрешностей и т. д.
Число %х параметров т|, необходимое для представления конкретного источника
ошибок %, в основном зависит от его физической природы и степени влияния на
формирование ошибок в оцениваемых параметрах.
В тех случаях, когда вероятностные характеристики Кт и М [й*)х] не заданы
или заданы недостаточно полно, при проведении оценочных расчетов следует
использовать вместо этих характеристик их возможные приближения, полученные на основе
анализа конструктивных особенностей измерительных систем, методов измерений и
результатов предшествующих» экспериментов.
Влияние погрешностей в знании сил на точность определения орбиты существенно
зависит от того, включены ли параметры Ф^ (£ = 1, 2,..., /), характеризующие эти
силы, в число неизвестных Qm при определении орбиты или нет.
Если имеется возможность уточнить параметры Ф^ в процессе определения орбиты
КА, они включаются в число неизвестных Qm и оценка влияния ошибок их
определения на точность расчета параметров q производится по формулам (11.2), (11.3).
В тех случаях, когда параметры Ф^ не уточняются при определении орбиты,
числовые характеристики ошибок в оцениваемых параметрах 6q, обусловленных
погрешностями 6Ф^, определяются путем решения следующих матричных* уравнений:
Л![8е] = 0'ЛфФе];
F =
dQi
дФг9"
dQb
дФг'"
dQi I
'' дФ/\
dQb
'' дФ/
• Нф ~
аФ,'"
1 d*i " '
дгх
" дФ/
drN
" дФ/
где Кф ~- корреляционная матрица (порядка //) погрешностей 5Ф£;
М IЬФЛ — матрица математических ожиданий (порядка /1) погрешностей 5Ф^;
F — матрица (порядка bf)f составленная из частных производных ~лф~~',
Нф — матрица (порядка Nf), составленная из частных производных -^~ для всех
N дискретных моментов измерений.
В тех случаях, когда вероятностные характеристики Кф и Л1Г5Ф^]не заданы или
заданы не полно, следует вместо этих характеристик использовать их возможные
приближения.
В процессе проведения оценочных расчетов по изложенной методике, кроме
формул, приведенных в разделе, посвященном определению орбит КА, могут быть
329


полезны следующие соотношения для расчета частных производных от текущих'
координат КА в системе |пЛп^п (гл. II, разд. 2. 1.5, «д»), начало которой способом
параллельного переноса совмещено с центром масс Земли по географическим координатам
BLH измерительного пункта:
дс
дВ
= 6;
дВ
-4.-0;
дН
дц
~дЯ
= —1;
д$
-г=- = —с sin в;
dL
-rf - с cos в;
dL
дС -
—=-=g sin£ —(y)+#)cos£;
oL
—=■ = 0; /? — средний радиус Земли
дп
При этом матрица направляющих косинусов для перехода от гринвичской системы
координат к новой системе имеет вид
g
•ц + R
С
X
— sin В cos L
cos В cos L
— sin Z
У
— sin В sin L
cos В sin L
cos £
г
cos £
sin Z?
0
При определении частных производных от измеряемых параметров по времени,
кроме формул, приведенных в гл. X, могут быть полезны соотношения вида
а~т{
C-2-VUC- «)
_L_
т)Оа
£>2
g_'(I + 2M)C-
г! = КёмТч
-се + ее ;
Я ~" D \
D = ±[B-ff\,
где
B^V\+V\+V% + Vx (X-XN) + V> (Г-^лг) + VZ(Z- ZN) + <*%XXN -f-
YY
N •
•2^3VXYN.
■ 2<»3VyXN — <&\gXZN cos G — u>\gZXN~ cos G +
4- (&\gZYN sin G + &\gYZN sin G + 2(0^1/^2^ sin G + 2ю tfVyZjv cos G —
— 2<ugVzYN cos G — 2m^gVzXN sin G;
1
oi = -
(величины |[ и G см. в гл. II, разд. 2.2, п. 9).
[созоц/Л- (6^ + C^C)].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XI
1. Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космического
летательного аппарата по данным траекторных измерений. — «Космические
исследования», т. I, вып. 1. Изд-во АН СССР, 1963.
330


2. Б р ы к о в А. В. О возможности повышения точности определения орбит
космических аппаратов за счет уменьшения влияния коррелированных ошибок. —
«Космические исследования», т. II, вып. 4. Изд-во АН СССР, 1964.
3. Б р ы к о в А. В. Оценка влияния корреляции между измерениями на точность
результатов обработки. — в Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 16. Изд-во
АН СССР, 1963.
4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., Физматгиз, 1963.
5. Гантмах'ер Ф. Р. Теория матриц. М., Гостехиздат, 1953.
6. Л и д о в М. Л. К априорным оценкам точности определения параметров по
методу наименьших квадратов. — «Космические исследования», т. II, вып. 5, 1964.
7. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки
результатов измерений. М., Физматгиз, 1962.
8. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического регулирования. М., Физматгиз, 1962.
9. Скидмор (Skidmore L. I.)» Пенцо P. A (Penzo P. А.). Моделирование
управления на среднем участке траектории полета к Луне с помощью метода Монте-
Карло.— «Ракетная техника и космонавтика» (A.I.AA Journal) русск. перев. 1963, № 4.


ГЛАВА XII
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — азимут ИСЗ.
А0 — астрономическая единица.
а — большая полуось оскулирующего эллипса.
В — географическая широта ИСЗ.
bi и Ь2 — коэффициенты разложения потенциала ускорения силы притяжения
Земли в ряд по сферическим функциям.
сх — безразмерный коэффициент сопротивления воздуха.
D — наклонная дальность от пункта до ИСЗ.
!) — радиальная скорость.
Е — эксцентрическая аномалия.
EQ —энергия рассеяния (работа силы сопротивления воздуха).
е — эксцентриситет.
Fm — площадь миделева сечения спутника.
Fno.n — полная поверхность спутника.
gr и gm — радиальная и меридиональная составляющие ускорения силы тяжести.
i — наклонение орбиты.
&2 — постоянная Гаусса (гравитационная постоянная).
kik = m^lmi—отношение массы Луны к массе Земли.
L — географическая долгота ИСЗ.
М —средняя аномалия.
т — масса спутника.
п — среднее движение.
R — средний радиус Земли.
/?э — экваториальный радиус Земли.
Rx — модуль силы сопротивления воздуха.
г — радиус-вектор.
5 — баллистический коэффициент.
Sy—звездное время Гринвича.
Т — кинетическая энергия.
Тоси —оскулирующий период обращения.
TQ—драконический период обращения.
/д — декретное время.
?зф —эфемеридное время.
v — модуль вектора скорости спутника относительно воздуха.
и — аргумент широты.
W — потенциальная энергия.
а — сжатие общего земного эллипсоида.
у — угол места.
Ф — истинная аномалия.
332


и — коэффициент, учитывающий световое давление.
jx = £2m3 —произведение гравитационной постоянной на массу Земли.
q — плотность воздуха.
т — поправка на переход от московского к гринвичскому времени.
t|j — геоцентрическая широта спутника.
Q — долгота восходящего узла.
<оз—угловая скорость вращения Земли.
© — аргумент перигея.
12.1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ
МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Движение ИСЗ может быть описано в той или иной системе координат. От выбора
системы координат зависят степень сложности алгоритма вычисления правых частей
дифференциальных уравнений, удобство формул для расчета различных параметров
орбит в этой системе координат и в конечном счете быстродействие метода точного
расчета элементов орбиты ИСЗ.
Для ИСЗ, движение которых можно рассматривать без учета влияния Луны и
Солнца, наиболее широко применяется относительная гринвичская система
прямоугольных координат Oxyz (см. гл. II, разд. 2. 1.2, «в», рис. 2.5).
В системе координат Oxyz система дифференциальных уравнений движения ИСЗ
имеет вид
х z х Rx
vx= —gr — + gm + 2o> vy — •
Г Г Гл «J
m
У . г у Rx
Vy= —gr + gm — 2(л V _
Г r r\ 3 m
V
Vz =
z n Rx
gr — gm —
r
У = vy;
r m
z = vz
3
Vz
V
vy_
V
(12.1)
де x, i/, z — координаты;
*>х, vy> vz — составляющие вектора скорости спутника;
Г = Ух* + у* + 2*; n = Vx* + У2\
Величины gr и gm вычисляются по формулам
у*
gr
«оо
г
# f Q «20
-f- о
г г
(т)"
Р20-
°3Г1
gmz
где
аоо = b0/R; а20 = -
2 г [ г )
b2/Rs, sin ф = — ;
sin 2ф +
cos ф =
*%гг\
(12.2)
/>20 = Y(3sin2 + ""1)-
Модуль ускорения силы лобового сопротивления воздуха вычисляется по формуле
Rjc/m^SQV2,
где S = cxFm/2m — баллистический коэффициент:
v—модуль вектора скорости спутника относительно воздуха.
Обычно принимают, что в верхних слоях атмосферы £х^2,0ч-2,5. Величина Fm
для ориентированных спутников легко вычисляется и зависит от формы спутника. Для
1
неориентированных спутников Fn
"■«пол.
Плотность воздуха на различных высотах h с достаточной для практики
точностью вычисляется по приближенной формуле
Q(h)=Aiexp[ku(h-hi)<2-k2i{h — hi)], (12.3)
где Л г, ka и k2i—коэффициенты, постоянные в пределах изменения высоты от hi до
/ii+i (i-тый слой). Значения этих коэффициентов приведены в табл. 12. 1.
333


Таблица 12.1
Номер слоя
1
2
3
4
5
6
7
8
ht<h<hi+1 км
0</г<20
20</г<60
60</г<100
100</г<150
150 </г < 300
300 </г < 600
600<Л<900
900<Л<оо
At кг-м—з
1,225
0,891-10-2
2,578-10-4
4,061-10-7
2,130,10—9
4,764-10-11
8,726-10-12
6,367-10-13
ku- 10Ю м-2
—26,39
4,407
—25,60
14,69
0,8004
0,07111
0,01831
0
£2/-105 м-*
7,825
16,375
5,905
17,870
3,734
1,547
0,928
0,954
Высота полета спутника над поверхностью общего земного эллипсоида
определяется по приближенной формуле
При расчете силы сопротивления воздуха принимается, что атмосфера вращается
вместе с Землей. Влияние ветра на движение спутника не учитывается. При таких
допущениях v = v. Как показывают расчеты, такое допущение является вполне
правомерным.
Приведем систему (12. 1) к виду, более удобному для решения задач на
электронных вычислительных машинах. Для этого подставим в первые три уравнения системы.
(12.1) составляющие ускорения силы тяжести gr и gm, которые, как следует из (12. 2) ^
являются функциями координат спутника и постоянных величин Ry 03, «оо и а2о.
Произведя необходимые преобразования и вводя дополнительные обозначения
получим
А
= B[aoo + C(D-
-1
*>х = (»| -
vy = (<*! -
vz = (2ВС
x = vx;
«20 I-
-*)
-л)
-А)
у = v
-1)]; :в =
f )'= »-
х + 2<u3vy -
у — 2v3vx -
z — Sqvvz;
у; z=vz
_i_ _tf_
Г2 Г '
-(f)'
- Sqvvx; ]
- SQWy; j
. 1
(12.4)
Начальными условиями для интегрирования системы дифференциальных
уравнений (12.4) являются координаты х0у уо% z0 и составляющие вектора скорости спутника
^хо, vy0, vzo в некоторый заданный момент времени t0.
В результате численного интегрирования системы (12.4) с постоянным шагом ht
для каждого момента времени tk = h^-kht (&=1, 2,...) вычисляются текущие значения
составляющих вектора скорости и координат спутника qhj 0=1, 2,..., 6). В
зависимости от назначения задачи по простым аналитическим зависимостям можно определить,
значения любых искомых параметров. Так, например, при решении задачи расчета
трассы полета спутника вычисляются географическая широта В, долгота L и высота
полета спутника h по формулам
* \
В = arc sin
/[(1-0)2^2+^2
£ = arctg —, (—180° < L < 180°);
x
zi
(12.5>
Г2
Vx2
Из (12.4) и (12.5) очевидны основные преимущества системы прямоугольных
координат: несложный алгоритм вычисления правых? частей дифференциальных урав-
334


нений и простота формул для расчета различных параметров орбиты. Однако для
обеспечения требуемой точности расчета элементов орбит спутников при численном
интегрировании дифференциальных уравнений в прямоугольных координатах необходимо
назначать сравнительно небольшой шаг интегрирования, что ограничивает возможность
«существенного повышения быстродействия расчетных методов.
Увеличение шага численного интегрирования, по сравнению с его значением при
интегрировании с эквивалентной точностью в прямоугольных координатах, может быть
достигнуто за счет выбора для описания движения спутника оскулирующих элементов
орбиты. Однако алгоритм вычисления правых частей системы дифференциальных
уравнений в оскулирующих' элементах существенно сложнее (см. гл. IV). что снижает
выигрыш во времени за счет увеличения шага интегрирования. В результате
интегрирование в оскулирующих элементах оказывается практически равноценным по
быстродействию с интегрированием в прямоугольных координатах. Для широкого класса орбит
спутников с малыми эксцентриситетами (ег^0,1) рассматриваемая в гл. II, разд. 2.1.3,
«а», рис. 2. 9) система цилиндрических координат OruZ, в смысле возможности
увеличения шага численного интегрирования обладает тем же преимуществом, по сравнению
с прямоугольными координатами, что и оскулирующие элементы орбиты. В то же время
сложность правых частей дифференциальных уравнений в цилиндрических
координатах по сравнению с прямоугольными координатами возрастает незначительно.
Вследствие этого быстродействие расчета параметров орбит интегрированием в
цилиндрических координата» заметно повышается по сравнению с интегрированием в
прямоугольны» координатах и в оскулирующих элементах.
В системе цилиндрических координат движение спутника в каждый момент
времени / полностью характеризуется радиусом-вектором г\ {г, и, С} и вектором скорости
v {Vr, vu, YJ,
£— расстояние от
скорости соответственно по направлению вектора г, перпендикулярно
«основной плоскости и перпендикулярно основной плоскости.
Система дифференциальных уравнений движения спутника в цилиндрических коор
динатах может быть записана в следующем виде:
где г и и — полярные координаты спутника в основной плоскости;
спутника до этой плоскости; Vr, Vu и V^ — составляющие вектора
этому вектору в
Vr = — V\ — Ar + Df2C - SQvvr;
r
V„= — —VrVu + Dan cos и — Sqvvu;
r
Kc = — Ж — Df2r— Sqvv^;
r=Vr; a
■Vu, C = VC,
(12.6)
где
Л = В[аоо + С(3/?-1)]; Д =
/1== Sin ^ :
ar sin и + К
г\
Л =
#С sin и — br
гг = ]/г2 +С2; а = sin /0; Ь == cos *0,
vr = Vr — о>3яС cos a; va = Vu + <*>зп/2;
v^ = V^ + <»3ar cos u\ v = yv2r + v\ + v\.
Высота h, необходимая для вычисления плотности воздуяа q (h) по формуле (12.3),
определяется из выражения
h = r1-R3(l-af21).
Начальными условиями для интегрирования системы (12.6) являются координаты
.и составляющие вектора скорости в момент времени t0:
r = r0: u = u0; С = 0; Vr^Vr0; Va^V{
и0>
кс = о.
335


При задании начальных условий в гринвичской системе прямоугольных
координат Oxyz преобразование их в систему цилиндрических координат производится
в следующем порядке:
— определяются координаты и составляющие вектора скорости на момент t = t0
в системе прямоугольных координат OXYZ по формулам гл. II, разд. 2.2, п. 9;
— рассчитываются величины
г0 = уГх1+ Y%+Z\ = уЧ + г/о+4
с\ = YqVzq — Z0Vy0; с2 = ZqVjcq — XQVzQ;
с3 = X0VY0 - YVx0; с = yc\ + c\ + c\;
Vc\ + c\
sin;0 = ; b = cos /q = —;
, . ZQC YqC\ — X0C2
rf= sina0= , ; £> = cosa0=—-==;
r0 У cf + ^ r0 У c\ + c|
/ = sin Qq == , ; ^ = cos Q0 =
c\ + c\*
щ = arc sin r ; 0 < и0 < 2jt;
— определяются направляющие косинусы
an = eg — to//; ai2 = ef + &te, оцз = ad,
«21 = —dg — bef\ a22 = — df + beg, a23 = яе
и составляющие вектора скорости
^Г0 = ^*Oall + VVo<*12 + VzQal3,
УиО = ^0«21 + Уу0а22 + ^Z0«23-
Преобразование цилиндрических координат г и £ и составляющих вектора
скорости l/r, Vu, V^ полученных* в результате интегрирования системы дифференциальных
уравнений (12.6) в систему координат OXYZ и Oxyz, производится по формулам,
приведенным в гл. II, разд. 2.2, п. 13.
Для высоких орбит (/i>3000 км) основной особенностью методов расчета
является необходимость учета влияния Луны и Солнца на движение спутника. Как
известно, координаты Луны и Солнца приводятся в Астрономическом ежегоднике ИТА
АН СССР и в дополнениях к нему. Они даются в инерциальной геоцентрической
системе координат OXYZ, фиксированной, например, на начало тропического 1960 г.
В связи с этим методы расчета элементов таких орбит наиболее удобны для
реализации на ЭВМ при описании движения спутника в системе координат OXYZ. В этой
системе координат дифференциальные уравнения движения спутника имеют вид
VX = ^ю + X4q -Ь Х30 — Х\3 — Л43;
Vy = Yiq 4- К40 + К3о — Y\s — ^4з*>
V z = ^ю + ^40 + ^зо — ^13 — Z43;
Х = Vx, Y =VY, Z= Vz.
(12.7>
Здесь и ниже обозначены: индексом «О» — центр масс КА, «1» — Солнца, «3» —
Земли, «4» — Луны, «5» — системы Земля — Луна. Таким образом, слагаемые с
индексами 10, 40 и 30 представляют собой ускорения под действием сил притяжения Солнца,
Луны и Земли (с учетом сопротивления атмосферы) соответственно, а слагаемые
с индексами 13 и 43 учитывают влияние Солнца и Луны на движение Земли.
Слагаемые правых частей уравнений (12.7) вычисляются по следующим
формулам (индекс «0» при координатах и составляющих вектора скорости КА для
сокращения записи в дальнейшем опускается):
336


A-i0 = »Hg(l—x>
Xi — X
П0 = ^Л§(1-%)-
Zio = ^(l-x)-
^40 = ^4^0
K40 = &4#0
A^4— *
3
r40
Ya-Y
rio
4
r40
ZAZ
Z40 = ^4^0 3
r40
A- / 3 5Z2 ■
*зо= — ~T \ bo ~ "7Г ^2 "
гзо
гзо
r / 3
^зо= —-3" I bo — ~T
(
5Z2.
r2
' ^30
r30
Vx
Sqv* —
Vy
(12.8)
r3 1
r30
3 ^1
^3= ^2^o~3~ >
Г13
r13
3 ^1
Z13 = №A0 -3- ;
Г13
3 5Z2
~Z~ &2 2~
2 r30
3r
30
^z
x4
^43 = ^4^0 ~~3" '»
r43
Y4
Г43 == kAb0 —3- ;
Z43 = &460 —г-,
r43
где
По = V(Xi - *)2 + ( Г! - Г )2 + (Zj - Z)2;
/"40 = /(^4-^)2 + (r4-r)2 + (Z4-Z)2;
■2.
Z'
r^j/^+^+z?; '4з = ]А1+>1+ zj;
гзо = /*2 + Г2 + Z2; к = -j/V^ + v2r + v\
V = j/"(^ + <»3Г)2 + (KK - w3^)2 + V\.
Высота полета h, необходимая для расчета плотности воздуха, вычисляется
по формуле
л = гзо-/гэ[1
Z2\
'зо/
Начальными условиями для интегрирования системы (12.7) являются координаты
Х0у К0, Z0 и составляющие вектора скорости Vx0, VYo, Vzo в начальный момент
времени t0.
При задании начальных условий в гринвичской системе координат Oxyz
преобразование их в систему координат OXYZ производится по формулам гл. II, разд. 2. 2, п. 9).
Для определения координат Солнца, входящих в правые части системы (12.7).
используются таблицы геоцентрических координат центра масс системы Земля+ Луна
и геоцентрических координат Луны, приведенные в дополнениях к Астрономическому
ежегоднику. Геоцентрические координаты Солнца вычисляются через координаты Луны
и центра масс системы Земля + Луна по формулам:
Пз:
Г43-
1 +kt
■/■51; п3{*1, У и Zi),
где г4з — геоцентрический радиус-вектор Луны;
Гъ\ — геоцентрический радиус-вектор центра масс системы Земля + Луна.
Аргументом таблиц Астрономического ежегодника является эфемеридное время.
Переход от московского декретного времени /д к эфемеридному ^Эф производится
по формуле
^зф :
*д — т + AT
эф»
337


где ДГЭф — поправка на переход от гринвичского и эфемеридному времени;
т — поправка на переход от московского к гринвичскому времени.
Значения координат Луны, системы Земля+Луна и редукционных величин g и G
(см. гл. II, разд. 2.2, п. 9) на любой не кратный табличному шагу момент времени
могут быть получены интерполяцией таблиц ИТА АН СССР.
Для решения систем дифференциальных уравнений (12.4), (12.6) и (12.7) можно
применять различные методы численного интегрирования.
Наиболее экономичными по затратам времени расчета на ЭВМ являются
разностные методы. Ниже рассматривается один из таких удобных для реализации на ЭВМ
методов — метод Лдамса.
Запишем систему дифференциальных уравнений движения спутника в общем виде
•yj = fj(t* У1> У2,---> Уе) (7=1, 2,..., 6),
где yi(t), #2(0>- •-, «/б(0~искомые функции;
У г (*о) = #Д,о > У2 Со) = #2,о, • • •, У 6 (О = #б,о ~ начальные условия.
Обозначим для краткости
Пусть ht = const, т. е. интегрирование ведется с постоянным шагом. Тогда по
известным значениям искомы» функций yj,k в &-й точке (для &-го шага численного
интегрирования) и их производных fj в (г+1)-й точке (в k-й и в г предыдущих точках)
приближенные значения этих функций в (&+1)-й точке вычисляются по первой, или
экстраполяционной, формуле Адамса
^ш^/. + ^2МР//„ 02.9)
/7=0
где Др// ъ —левая разность р-ro порядка функции fjk, вычисленная в точке
('ft. #Lft>' #2,*,.... #6,ft), причем
Коэффициенты pp экстраполяционной формулы определяются соотношениями
1
Ро = 1; РР = ~т'
Отсюда
(н + 1)(а +2)...(« + /> — l)du
1
2 '
5
12 '
3
8 ;
251
720'
95
288 *'
19087
Рб ~~ 60 480 '
5217
?7~ 17 280'
1070 017
^= 3 628 800 '
2 082 753
fe = 7 257 600 ;
26 842 253
Pl0~95 800 320*
Вторая, или интерполяционная, формула Адамса позволяет уточнить значения
искомых функций, полученные по экстраполяционной формуле. Интерполяционная
формула Адамса записывается в виде
*;,*+!= ^.*+^ 2 к v^/y^+i, (i2.10)
р-0
где /y,ft+1= //(**+ь 01,*+ь </2,*+ь---, 06,ft+i), УЛа + i (У=1, 2>---> 6) —зна-
чения искомых функций, полученные по экстраполяционной формуле (12.9).
Коэффициенты р определяются соотношениями:
1
Й = °; fp— \ («-!)«(« +!)...(« + />-2)Л.
о
338


Отсюда
Р2=
Рз=-
Р4=-
_1_#
2 '
1
" 12 '
J_#
' 24 *
*720;
ft)--
863
60 480'
1375
120 960 '
33 953
3 628 800 '
57 281
fe=-^; ко-
7 257 600 *
3 250 433
479 001600
Формулы Адамса (12.9) и (12.10) применяют обычно тогда, когда в ходе
вычислений, приходится менять число г входящих в них разностей. В случае, когда г
фиксировано, для уменьшения объема вычислений пользуются модифицированными, или
ординатными формулами Адамса. С помощью соотношения
формулы (12.9) и (12.10) приводятся к виду
*/.*+!= yj.* + ht 2 apfj\k-P;
/7-0
г
/7-0
(12.11)
(12.12)
В отличие от формул (12.9) и (12.10) в формулах (12.11) и (12.12) для
различных г коэффициенты аР и ар* имеют разные значения. В частности, для г=7
Оо = 0,358995535-101;
ttl = —0,952520668-101 ;
а2 = 0,180545387-102;
03 = —0,220277530-102;
04 = 0,0173796544-102;
05 = — 0,861212797-101;
06 = 0,244516369-101;
07 = —0,304224537-100;
Оо = 0,304224537-100;
о* = 0,115615906-101;
о* = —0,100691964-101;
03=+0,101796461-101;
04 = —0,732035384-100;
05 = 0,343080357-100;
о* = —0,938409392-10-1;
о* = 0,113673942-10-1.
Как следует из формул (12. И) и (12. 12), при численном интегрировании системы
дифференциальных уравнений методом Адамса для каждой функции yj(t), кроме
начального значения, необходимо иметь еще г «разгонных» точек yj,u */г\2, •. •, Уз,г- Для
вычисления значений искомых функций в первых г точках обычно применяют метод
Рунге — Кутта 4-го порядка. Значения искомых функций при использовании этого
метода вычисляются по формулам
yj,k+i = yj.k +~^h< <*U + 2k*<J + 2*з,У + *4J) U = 1. 2,.. •, 6),
где
bij=fj(tk', Уг,к, \}%ъ,-ч Ум)',
hj=fj[tk + — ht\ yhk + — Ьгл, y%k + —kh2,--4 Уь>к + -7^Кв)\
hj = // Uk + -J h*'> У1^ + "Y *2'b y2>k + ~Y *2'2' • • •' y6>k + ~Y k%4 :
*W = // (h + ht\ Уил + *з,ь y%k + £3,2,..., i/6,fe + £3,6).
339


Здесь второй индекс у величин ki, &2, &з, &4 показывает, к какой функции yj(t)
относятся эти коэффициенты.
Точность численного интегрирования систем дифференциальных уравнений (12.4)
и (12.7) методом Адамса зависит от величины шага интегрирования hty числа г
удерживаемых в формулах (12. 11) и (12. 12) разностей, а также от разрядности и
особенностей выполнения арифметических операций в ЭВМ, используемых для расчета
элементов орбит. Для анализа ошибок численного интегрирования можно рекомендовать
следующие способы.
1. Анализ главной части ошибок численного интегрирования можно производить
путем сравнения результатов расчета элементов орбит для кеплеровского движения
(а2о=0, 5=0, влияние Солнца и Луны не учитывается) численным интегрированием и
по формулам эллиптической теории. При этом, как показывают расчеты, необходимо
анализировать лишь ошибки определения положения спутника вдоль витка, так как
по сравнению с ними ошибки по высоте и в направлении, перпендикулярном плоскости
орбиты, пренебрежимо малы.
При использовании этого способа численным интегрированием вычисляется время
tN в начале Л/'-го витка. За начало витка, как правило, принимают точку пересечения
орбиты с плоскостью экватора при движении спутника с юга на север. Это же время
определяется по формуле
«0> = ^i + (^-1)7,ock. (12.13)
N
где t\ — время в начале первого витка; Г0Ск — оскулирующий период обращения,
вычисляемый по известной формуле (3.25) (см. гл. III).
Так как ошибка вычисления tffi по формуле (12. 13) практически равна нулю,
величина разности
01N ~ lNl lN
представляет собой истинную ошибку численного интегрирования для случая
кеплеровского движения.
Оценки ошибок численного интегрирования, полученные для кеплеровского
движения, в основном являются справедливыми и для возмущенного движения спутника.
2. Оценку дополнительных ошибок численного интегрирования, обусловленных
влиянием возмущающих факторов, можно производить двумя способами:
а) путем сравнения результатов интегрирования систем (12.4), (12.6) и (12.7)
при значениях шага интегрирования ht и ~z~ht. Практическое совпадение этих
результатов является необходимым условием того, что интегрирование с шагом ht обладает
удовлетворительной точностью;
б) путем контроля в процессе численного интегрирования постоянства функции
Е = Т + W+ EQ = const.
Если систему (12.4), (12.6) или (12.7) дополнить дифференциальным уравнением
£q = — Sqv*,
то величина EQ вычисляется в результате численного интегрирования вновь
образованной системы из семи дифференциальных уравнений. Поскольку величины Т и W могут
быть вычислены по известным формулам, вид которых зависит от системы координат,
то для каждого момента времени tk = to+kht(k=\, 2,...) может быть произведена
проверка условия
I £к — £о I < е,
где Е0 и Ей — значения функции Е соответственно в моменты времени t0 и tk.
Непосредственные расчеты показывают, что если ошибки численного
интегрирования систем дифференциальных уравнений (12.4) и (12.7) с постоянным шагом ht
практически равны нулю для кеплеровского движения, то для возмущенного движения
спутника выполняются необходимые условия равенства нулю ошибок интегрирования
для способов их оценки «а» и «6».
Точность и быстродействие методов расчета орбит спутников численным
интегрированием в значительной степени зависит от характеристик орбит и в первую очередь
от эксцентриситета е. При е^0,2 целесообразно, как правило, применять метод
интегрирования Адамса с постоянным шагом. Для времени полета спутника в 15—20 суток
достаточно высокая точность численного интегрирования с постоянным шагом на ЭВМ
с разрядностью мантисс представляемых чисел в 36 и более двоичных разрядов
достигается при г = 7~9 и /if = 90-^-120 с. Для получения г «разгонных» точек системы (12.4)
и (12.7) можно интегрировать методом Рунге — Кутта с шагом &* = 15ч-30 с.
Для орбит с эксцентриситетами е>0,2, как правило, целесообразно применять
метод численного интегрирования Адамса с автоматическим выбором шага.
Применение такого метода позволяет при эквивалентной точности обеспечить значительное
повышение быстродействия методов расчета элементов орбит по сравнению с
интегрированием с постоянным шагом.
340


Суть метода состоит в следующем. На каждом шаге численного интегрирования
вычисляются разности
byj,k+i== ylk+i — yj,k+n
где t/j £+1 и y*j.k+i—значения искомых функций, вычисленные соответственно по
формулам (12. 11) и (12. 12). Если выполняются условия
h,J<\byj,k+i\<\J, <12Л4>
то шаг интегрирования ht не меняется.
При невыполнении хотя бы одного из условий (12. 14) производится или
увеличение, или уменьшение шага интегрирования в два раза.
В первом случае
lB^,ft+il<£iJ Для всех /
интегрирование с шагом ht производится до накопления необходимого числа точек,
в которых через интервалы времени 2ht известны значения функций fj. Дальнейшее
интегрирование продолжается с удвоенным шагом.
Во втором случае, при
I bt/j k, | > е • хотя бы для одного значения у,
по известным значениям функций fj в (г-Н)-й точках путем интерполяции по
формуле Лагранжа определяются значения этих функций для моментов времени
1 3 г+ 1 и
tk — — ht, tk—-^-hty...,tk— — ht.
После этого интегрирование продолжается с шагом, равным— ht. Значения
величин 8i,3 и £2,i выбирают экспериментально на основании анализа результатов
сравнительных' оценочных расчетов для каждого класса орбит исходя из требуемой точности
прогнозирования.
При решении различных задач в процессе численного интегрирования системы
дифференциальных уравнений движения спутника необходимо вычислять его
координаты и составляющие вектора скорости в моменты времени tv, не кратные шагу
интегрирования ht. Для этой цели обычно используются точные интерполяционные
формулы, основанные на применении интерполяционной формулы Лагранжа для
производных fj от искомых функций.
Введем переменную
Тогда для г=7 интерполяционная формула Лагранжа запишется в виде
/(£) = i Д-7«7-2Цб + 175£5_735$4 + 1624^3_ 1764^2 + 720$)-
5040
— -^- /*_6 (87 — 22£б + 190£5 — 820£4 + 184983 — 203882 + 840$) +
-f- — /*-g (б7 — 23^6 + 207£5 _ 92584 + 2144^3 — 241282 + Ю088) —
— — fk_i{V — 24^6 + 226^5 — 105684 + 2545;3_295282 + 1260$) -+-
+ 4т /*-з(£7 — 25£б + 247^5- 1219^4 + 3112^-3796^ + 16808)-
144
— — /ft_2 (87 — 26^6 + 270^5 _ 1420^4 + 3929£3 — 527482 + 25208)+
+ ^ fk-i (е7 - 27£б + 295^5 _ 1665^4 + 5104^3 — 802882 + 50408)—
— -J- fk (87 — 2886 + 32285 — 195084 + 67698^ — 13 13282 +
5040
+ 13 0688 — 5040). (12.15)
341


Интегрируя уравнение (12. 15), получим
k
yj{t,)=!TjVk) + bta2± fjji (У-1,2,...,6),
i-ft— 7
где
Ф*-7 = 1П * (3£8 ~ 72^7 + 700^6 - 3528^5 + 9744£4 + 14 112g3 + 8640^2);
120 960
1
120 960
1
120 960
Фл-6 = — юо^п (21*8 — 528e? + 5320*6 — 27 552*5 + 77 658£4+114 128^3 + 70 560g2);
+*-5 = 1onLn (63^8 — 1656^7 + 17 388^6 — 93 240£5 + 270 144£4 — 405 216£3 +
254 016^2);
+*-4 = ^T^T <l05£8 — 2880^7 + 31 640£6 — 177 408^5 + 534 450£4 —
120960
— 826 560^3+ 529 200£2);
фЛ_3 = (105£8 _ 3000^7 + 34 580£6 _ 204 792£& + 653 520£4.
¥k-2 =
120 960
1
120 960
— 1062 880^3 + 705 600^2);
• (63£8 _ 187287 + 22 680£6 _ 143 136^5 + 495 054^ -
— 886 032£3 + 635 040^2);
Ф*-1 = tJngn <21*8 - 648e? + 8260^6 ~ 55 944*5 + 214 368*4"
120 960
■449 56883 + 423 360^2);
<\>k = — —— (3e8 — 96e7+1288^—9408^5+4061484—105 056e3+156816 e2—120 960$).
120 960
При решении таких задач, как определение времени существования
искусственного спутника Земли, определение эволюции орбиты спутника за время его
существования и т. п., возникает необходимость расчета элементов орбиты спутника для
больших интервалов времени полета (порядка сотен и тысяч оборотов спутника вокруг
Земли).
Во всех таких случаях при использовании описанные выше методов численного
интегрирования требуется весьма большое время для расчета элементов орбиты на
электронных вычислительных машинах. Это объясняется тем, что из-за колебательного
характера изменения, например, оскулирующих элементов орбиты на протяжении
одного периода, нельзя назначать достаточно большой шаг интегрирования. В то же
время, если рассматривать некоторые элементы орбиты в начале витка как функции
номера витка, то их изменения носят монотонный характер. Это позволяет построить
экономный метод численного решения уравнений в конечных разностях* для расчета
орбит ИСЗ на большие интервалы времени его полета [22].
Запишем систему уравнений в конечных разностях в виде
где уj — искомые функции;
fj — приращение искомых функций;
xN+1 — xN= h.
Задачу численного решения уравнений (12. 16) сформулируем следующим
образом: найти значение искомых функций #j, удовлетворяющих уравнениям (12. 16) при
x = Xn + H (где H = nh, a n — положительное целое число), если значения искомых
функций У] при x=Xn известны.
Рассмотрим прежде всего метод решения уравнений (12. 16), аналогичный
обычному методу численного интегрирования Адамса 4-го порядка.
Пусть в точке k (в начале витка с номером k) известны значения искомых
функций yj,k (/=1, 2,..., 6) и, кроме того, известны приращения этих функций за один
оборот в k-, (k—n)-, (k—2n)- и (k—Зп) -точках, а именно:
*j,k~ У j,k+i~~ У;,&
f],k-n = yj,k—n+i ~ yj,k—n*
342


*Lb-ЪП ~ У1,к~2п+1 У},к—2П1
где п — шаг численного решения уравнений (12.16).
Тогда приближенные значения искомых функций в (k + ri)-\\ точке вычисляются
по экстраполяционной формуле
з
У],к+п = yj,k + п 2 Rb-pn fk-pn,
/7-0
где
55я2 — Зблг + 5 (п— 1) (59л— 13)
(12.17)
Rk—2n =
24л2 ;
(п— 1)(37л— 11)
Rk—z
24л2
(я-1)(Зя-1)
8«2
24л2
После этого по значениям функций yj,k+n вычисляются их приращения Ь\ь+П и
по интерполяционной формуле уточняются значения искомых функций в (к+п)-и
точке
з
/7-0
где
*;=
/?■
(к-1)(9л-1)
24«2
5(л2—1)
(п + 1)(19п — г)
^-л;
24л2
fe—2л ~
Я/г_Зл = '
«2—1
24л2 ' -*-*п 24л2
Здесь и далее рассматривается частный случай, когда вычисляются приращения
искомых функций за один оборот. Для этого наиболее часто применяемого на
практике случая xN = N — номер витка, h=\ и Н = п.
Для получения четырех «разгонных» точек применяется метод, аналогичный
методу Рунге — Кутта 4-го порядка. Формулы этого метода имеют вид
л(л + 1) п(п — 2) п(п — 2) и л(л + 1) ,
yj^n=yj,k + ^377 hi + W^T)k%j + н^^) hJ + ч^)кАФ
(12.19)
h
n—\tT n — 1 f n— 1
v* =
*lJV
2/2
2л
^влг
2л
л —3
*2,
Г л —1 , 1 2(л —2) (л — 1)(л — 2) ,
*,/ yL я 1,yv л л(л + 1) л(л+1)
(л-1)(л-2)
О
1 2(п — 2)
ye,N + ~ kh6 + Г77-7ТГ ^2,6 •
«3,6
]•
л " л(л + 1) ,и л(л+ 1)
За искомые функции при использовании системы (12.4) можно принять: время tN,
географическую долготу LN, модуль радиуса-вектора rN и составляющие вектора
скорости vxNy VyNi vzN- ^ри заданных в системе координат Oxyz значениях xN, yN,
Zn = 0, vXN, vyN и Vzn элементы орбиты, принятые за искомые функции, вычисляются
по следующим формулам:
yjv_
^ = arctg-
rN = XN C0S LjV + yN Sifl LNi
V'xN = vxN C0S ^V + VUN Sin ^V."
^ЛГ = — VXN Sifl ^ + VyN C0S ^
<4v = VmN-
(12.20)
343


Формулы обратного перехода:
yN=rN sin LN;
VxN = v'xN C0S LN "~ V'yN Sin LN\
VyN = VjcjV Sifl LN + *V C0S ^
(12.21)
Расчет орбиты для принятой системы искомых функций ведется в следующем*
порядке:
а) по известным в начале k-то витка функциям tk, Lk,..., vz k вычисляются
начальные условия для интегрирования системы (12.4) по формулам (12.21), а именно:
б) в результате интегрирования системы (12.4) определяются tk+u Xk+u • ■ -
..., vz,k+i, а по формулам (12.20) определяются tk+u Lh+u • • • *vz k+i\
в) определяются приращения искомых функций
fu = yj.b+i-yj.k (7=1, 2,..., 6);
г) по формулам (12. 17) и (12. 18) вычисляются значения искомых функций в
начале (&+л)-го витка.
При использовании цилиндрических координат за искомые функции целесообразно
выбирать величины #
*N> <ЛГ QJV> rN> VrN> VuN- <12-22)
При использовании как системы (12.4), так н системы (12.6) за искомые
функции можно выбирать также
*Л» aN> eN> lN* Q;v <V (12.23)
Преобразование величин (12.22) и (12.23) в соответствующие системы
координат и обратно производится по известным формулам. В остальном алгоритм задачи не
меняется, т. е. решение осуществляется по приведенной выше схеме для искомых
функций tNy 1Л',.-.., vzN .
Величина шага п численного решения уравнений в конечных разностях (12. 16)
зависит от характеристик орбиты спутника и требований к точности расчета. Для
типичных орбит спутников в начале полета величина шага выбирается достаточно
большой: я = 50-ь10О.
В процессе полета спутника высота непрерывно уменьшается, что приводит
к большей эволюции элементов орбиты и, следовательно, к необходимости уменьшать
величину шага п.
Контроль точности расчета можно производить по величине разности
ьУ].ъ+п=У),ъ+п — У],ь+п'
Переход на меньший шаг производится либо при помощи формул (12. 19), либо
методом, аналогичным методу численного интегрирования с автоматическим выбором
шага.
12.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ ИСЗ
12.2.1. Способы построения аналитических методов
прогнозирования
В общем случае система дифференциальных уравнений движения ИСЗ в
конечном виде не интегрируется. Поэтому при разработке аналитических методов
прогнозирования применяют различные способы получения приближенных решений. Для этих
целей обычно используют методы приближенного интегрирования уравнений Лагранжа
или стремятся найти такой вид потенциальной функции, аппроксимирующей
гравитационное поле Земли, которая допускает решение дифференциальных уравнений в
квадратурах. Получить решение в квадратурах удалось пока в немногих частных случаях:
для потенциалов, в основном довольно полно учитывающих полярное сжатие Земли
и частично аномалии поля сил притяжения [1, 14].
344


Эти потенциалы могут интерпретироваться как потенциал двух» неподвижных
центров, имеющих координаты (ci, c2) и массы (mi, m2), являющиеся комплексно
сопряженными числами
2 \ rj г2
-)
V = — I —_ + — ), (12.24)
_ №т (\ + о/ , Ь
где m — т\ + т2 — масса Земли;
ri и Г2 — радиусы-векторы, величины которых определяются по формулам:
r\ = x* + y2 + [z — c(a + 0]2; )
J (12.25)
/| = д:2 + г/2 + [г - с (а - i)]2. J
Здесь Oxi/2 — прямоугольная система координат, у которой ось Ог проходит через
точки с массами mi, m2.
Разложение функции (12.24) в ряд по полиномам Лежандра имеет вид
■?["|^(т)}
(12.26)
где
71 -0;
Т2== —£?2(1 +а2);
73= — С3(1 +а2)2а-
Параметры с и о выбираются так, чтобы первые три члена в разложении (12.26)
совпадали с соответствующими членами разложения потенциала общего земного
эллипсоида.
При решении многих практических задач точность аналитических методов,
построенных для потенциала (12.24), оказывается недостаточной. В таких случаях
указанные решения можно рассматривать как модели новых (некеплеровых)
промежуточных орбит и на их основе строить теории возмущений, которые учитывали бы высшие
гармоники потенциала Земли и другие возмущающие силы (сопротивление атмосферы,
травитационные влияния Луны, Солнца и др.).
Наибольшее распространение при аналитическом расчете орбит нашли методы,
-основанные на приближенном интегрировании уравнений Лагранжа. Известно несколько
способов получения таких методов, например:
— разложение решения в ряды, расположенные по степеням приращений
независимой переменной;
— разложение решения в ряды по степеням малого параметра;
— повитковое суммирование приращений элементов в узлах орбиты;
— решение уравнений возмущенного движения с использованием метода
усреднения.
Каждый из приведенных приемов имеет свои достоинства и недостатки и может
быть наилучшим образом использован при решении конкретных задач. Так,
аналитические выражения, найденные разложением решений по степеням независимой
переменной, используются лишь для малых сроков прогноза [17], например, когда требуется
рассчитать движение на ограниченном участке орбиты в пределелах одного витка. Эти
выражения могут быть представлены в виде ряда [17]
г (и — tin) п (и — #о)2 t»\(u — #о)л
э(и) = э0 + ЭоУ i +э0К 2! +... + 4»>* ^Г~ + ---. (12.27)
где э(и) —какой-либо элемент орбиты;
и — независимая переменная, в качестве которой может быть выбрано время,
средняя аномалия и т. д.;
э0— начальное значение элемента э(и) при и = и0;
3q—' производная v-ro порядка от э(и) по и в точке и = и0.
Выражение для э^\и) определяется обычным дифференцированием уравнения
Лагранжа. Выбор степени п зависит от продолжительности и требуемой точности
прогноза и может быть определен, например, путем сравнения результатов расчета по
данному методу с результатами численного интегрирования.
345


Приближенные решения уравнений Лагранжа с помощью разложения в ряды по
степеням малого параметра могут быть использованы для прогнозирования движения
ИСЗ на значительно большие сроки. Эти решения строятся в виде ряда [7]
k к k
э (и) = 50 + 2 4fi W + 22 4*1 f и (и) + • • •, (12.28>
/-1 i-l У-1
где ег- — малый параметр, соответствующий определенному возмущающему
фактору;
k — число учитываемых» возмущающих факторов;
ft (и)у fij(u) —некоторые функции начальных элементов орбиты и независимой
переменной (например, аргумента широты и).
Величину 63i(u)=Eifi(u) называют возмущениями первого порядка, величину
6э2(и) =EiEjfij(u)—возмущениями второго порядка и т. д. Каждое из возмущений
6ai(u) и дэ2(и) принято разделять на три составляющие:
Ъэ(и)^7э(и) + te(a) + 85(a), (12.29>
где 6э(и)—короткопериодическая составляющая (с периодом, не превышающим
периода обращения ИСЗ), обладающая сеойством 5э(2я)=0;
Ъэ(и)—долгопериодическая составляющая (с периодом, значительно превышаю-
щим период обращения ИСЗ);
Ьэ(и)—вековое возмущение, пропорциональное независимой переменной и.
Для каждой конкретной комбинации учитываемых при прогнозировании
возмущающих факторов в выражении (12.28) следует удерживать члены одного порядка
малости. Погрешность решения (12.28) имеет порядок малости (ги)п + \ где п —
порядок малости членов, удерживаемых в решении, а е — один из параметров е*. Такое
решение применяется для прогнозирования на сроки, при которых ги<^\ (обычно это
несколько десятков витков орбиты ИСЗ).
Для прогнозирования движения на большие интервалы времени широко
применяется метод повиткового суммирования возмущений [18]. Аналитические выражения
для возмущений за виток 6э(2я) получаются с помощью разложения решения в ряпы
по степеням малого параметра. Элементы орбиты в узле Af-ro витка определяются
по схеме
N
3Ar = *o + 2<*y-a7-i>' (12.30>
где 3j — вектор значений элементов в узле у-го витка;
э1 — э]—\ = ^э(э1—1» 2я)— возмущение ?лементов на (у—1)-м витке,
рассчитываемое по элементам 3j
Наряду с повитковым суммированием для этих же целей применяется решение
усредненных уравнений движения, которые строятся на основе уравнений Лагранжа
с помощью метода усреднения. Правая часть усредненной системы может быть
выражена (в случае, когда «быстрая» переменная u-скаляр) через возмущения оскулирую-
щих элементов за виток следующим образом:
к k
^-=*Э1(2я)+ 5э2 (2я) - Y^ ^ d»y *> b3iJ (2я) + О (еа), (12.31>
/-1 У-1
где э — вектор (столбец) средних элементов, которые можно выбрать так, чтобы они
совпадали в узлах орбиты с оскулирующими элементами;
к к k
5Э1(2я) = 2 *эц(2п) и 5^2 (2л) = 2 2 &э0/;-(2л;) •—возмущения оскулирующих.
/-1 /-1/-1
элементов первого и второго порядка за виток;
и
N = -——новая независимая переменная (число витков).
Оскулирующие элементы э связаны со средними элементами э зависимостью
k
э(и) = Ъ+ \\\ъэи(э, и)-Ъэи№)£А + 0(**). (12.32)
/-1
Система дифференциальных уравнений (12.31) в общем_случае не интегрируется
в конечном виде. Для нахождения аналитических выражений э=э(Ы) прибегают к раа-
346


личным способам получения приближенных решений. Для решения системы (12.31)
могут быть использованы также методы численного интегрирования. Отличие
известных методов (алгоритмов) связано главным образом с выбором разных систем
элементов (координат). Это, как правило, позволяет установить тождественность
соответствующих возмущений, полученных разными авторами. Ниже приведены аналитические
методы прогнозирования, построенные на основе использования наиболее
распространенных систем элементов, позволяющие учесть:
— возмущения, порождаемые второй зональной гармоникой разложения
потенциала (порядка С2о)—Ьэ{(и) (приведенные соотношения могут использоваться для
прогнозирования на малых интервалах — несколько витков, доли витка);
— основные вековые и долгопериодические возмущения первого порядка,
порождаемые основными членами разложения потенциала, а также возмущения второго
порядка от второй зональной гармоники (порядка cfo)— бэ2(2я);
— вековые возмущения первого порядка, порождаемые сопротивлением
атмосферы;
— вековые и долгопериодические возмущения, порождаемые гравитационным
влиянием Луны и Солнца. Для названных выше вековых и долгопериодических
возмущений даны соотношения для их расчета за виток — 6э(2я). Ими можно пользоваться
для составления усредненных уравнений (12.31) и повиткового суммирования.
Приводятся также некоторые решения усредненной системы уравнений; этими решениями
можно пользоваться для долгосрочного прогнозирования 9 = a(N) и при расчетах по
формуле (12.32);
— некоторые решения, полученные на основе точного интегрирования уравнений
движения в гравитационном поле (12.24). Ими можно пользоваться, когда требуется
большая точность прогнозирования на малых интервалах (несколько витков, доли
витка).
12.2.2. Гравитационные возмущения, обусловленные
второй зональной гармоникой (порядка его)
Для прогнозирования движения ИСЗ, орбиты которых отличаются от круговых,
можно применить систему кеплеровых оскулирующих элементов э=(а, еу i, Q, со, М0).
Возмущения этих элементов имеют вид [4]
5я(н)= — с20 — [ — J (1 — 3 sin2/ sin2a) + Ca + 0 (ac\0) ; (12.33)
be (и) = - у С2о (у)2 {[1 + Те2){1~~Т Sin2 ') C°S * +
1 / 11 \ / 7 17 \
+ — sin2 i(l+ — *2 cos (2со + &) + sin2 / [ — + — е2 cos (2ф + 3&) +
4 \ 4 / \ 12 48 /
1/3 \ 5 3
+ — ell-— — sin2 / cos 2& + — е sin2 / cos 2u + — е sin2 / cos (2o> + 4$) +
2 \ 2 / 4 8
+ — е2 sin2 / cos (2co — ft) + — е2 (1 — — sin2 i j cos 3& +
+ —- е2 sin2 / cos (2co + 5»)| + Ce + О (40); (12.34)
?j (a) = — — c20 ( —) sin 2/ cos 2u + e cos (2<o+ ») + — e cos (2<* + Щ +
+ C, + 0(4,); (12.35)
3 //? \2 ( 1 * Г 1
bQ (u) = — C20 ( — ) cos /1 a — — sin и + e I sin Ь — — sin (2w + %) —
- -^ ^n (2« + 3») j j + CQ+0 (4); (12.36)
+ (— ) + ll sin& + — sin2/ I — ( —) (1-е2)— f—J + 1 sin (2(o + ^) +
347


-|- sin2 *[(-7)2o - ^2) +(-7) + y] sin (2(0 + щ) + См + 0 (4>); <12-37)
йа, (^) = — j/TZT^5Af0 (и) — c20 [ — ] I [3 — — sin2 Л (u + e sin ft) +
+ ( — — + — sin2/) — sin 2a + —e sin (2w + &) + — e sin ^2a> + 3ft) 1 +
\24/|_2 2 0 Jj
+ сю+о(4),
(12.38)
где
e cos ft
if)-4
^2
Первое приближение значения аргумента широты
tt = tt(0) = со + ft;
ft = ft<°) = 2arctg
/г
Эксцентрическая аномалия £ находится из уравнения Кеплера
Е — е sin £ = Af0 +7г(/ — /0),
в котором
^Ч'-^Ч^А^)']
(12.39)
(12.40)
(12.41)
(12.42)
— «среднее» среднее движение,
1 4-gQcos(^Q —со0)
1-«0
(12.43)
К£2/тг / а
по = —^7"; —
я0 \ г /о
#0» ео> ^о» ^0» "о — начальные значения элементов (в момент времени ^о);
№т— произведение гравитационной постоянной на массу Земли.
Постоянные интегрирования Сэ определяются так, чтобы возмущения были равны
нулю в точке и=и0, т. е.
Ьэ (н0) - / (и0) + Сэ = 0. (12.44)
Возмущенное значение аргумента широты и находится на основе уравнения
Кеплера
В— [е0 + Ъе(и(0))] sin E = M0+n(t — t0) + ЪМ0{и{0)) (12.45)
по зависимостям, аналогичным (12.39) и (12.40).
Прогнозирование ИСЗ, близких к круговым, целесообразно ввести по
зависимостям (12.35), (12.36), (12.39), (12.40), (12.41), (12.42), (12.43), а также
а = а<°> + Ги(и<°>); (12.46)
- а0{1-4) -мг <«<«»). (12.47)
1 + е0 cos ft(0)
где
Ьа (а) = — — с20 (—) {(2 ~ у sin2 i\u + ( — 2 + -j- sin2 i\ sin a +
+ ( — — + — sin 2 i j sin 2u + б —2 sin2 / sin ft + j — — + — sin2 i) sin (2co+ft)+
+ — (—1 + sin2 1) sin (2ш + 3ft) + ( — — + -j- sin2 /j sin (<* + 2ft)1 +0 (e^)}+Cu;
(12.48)
3 //? \2 г i . Г i i
&r(tf)= — — его!-1) л|-— —- cosh — —-ecosft — — ecos(2u>+ft) —
2 \aJ(l + ecosbl 2 2
— — ecos(a> +2ft) + sin2«Y—cos 2e— —cose) + 0(e2)| + Cr. (12.49)
348


Некоторые дополнительные соотношения. Драконический период
(1 -е2)3/2
tq = tocx0 ji + -|"С20(~) 1 (2~T sin2.
(1 + e cos co)2
(l + t?cosu0)3 „ о « '
+ -*—^ ^- (1 — 3 sin2/ sin2^0)
l — e2
(12.50>
где
*оскО == 2я
где
.3/2
/Aj2m
; $o = u0— оз.
Аномалистический период
ГШ = ГОСКО[1 + ТС20(^) ( ,_„ °)[ (12.51).
Высота перигея
Лп = [я(1 - *)- *э] + *э ["у *20 (-f-") (l ~ Y Sin2 i\ (1 - COS со) +
+ ("^а + 4"С20Т") sin2 '* (1—cos 2co)+0 (с20б) |. (12.52)
В выражении (12.52) элементы а, е, i, со соответствуют точке и0=0.
Вековые возмущения элементов за виток:
Ьа (2я) = Ье (2л:) = Ы (2л) = 0;
ЪО. (2л) = 2л; — с20 / — I cos /;
3 (R \ 2
осо (2Я) = — 2Я С20 ( —^" ) (4 — 5 Sin2 /);
„„ с с 3 /Яэ V (1 + ecosu0)3
ЬМ (2я) = — 2л; — его I ) "^ ■
1 ' 2 20[ р J (l-*2)
Вековые возмущения элементов / = е cos со, h = e sin со:
3 //? \ 2
Ы(2п) = 2п — с2о( —) (4 —5sin2/)A;
5/г(2я)=— 2я—£2о —) (4 —5sin2/)/.
12.2.3. Вековые и долгопериодические гравитационные
возмущения порядка с20 (за виток)
Возмущения от зональных гармоник [10]:
Ьа (2я) = 0;
5а (2Я) == 2л; (а22 с\^ + <*зс30 + ^40 + а5^50 + ^б^бо),
9 / -~\ (1 +6COSco)2
а22 = — я£4 — (4 — 5р. J е sin со;
(12.53>
(12.54)
(12.55)
(12.56)
(Д2.57)
(12.58)
(12.59)
(12.60)
а3 — а4 = а5 =
:0.
Ъе(2п) = 0.
Ье (2Я) = 2Я (s22 *20 + 53*30 + $4^40 + SsCfo+SqCm),
(12.61>
(12.62>
гце
*22 = — S4 ((-4 + 5JL) [(12 — tfjl) + ^2 (3 + 8?)] sin со + [(—48 + 46> + 15JI2) +
+ e2 (14(T— I5^12)]esin 2co + (— 4 + 5jl)3e2sin3^},
s3 = — £3 sin / (4 —- 5ja)(1 — e2) cos o;
о
349'


84 ^ "з2 6* ^ ~ ^ e( 1 "" e2) Sin 2W'
где
где
15
sb = — £5 sin / [— (16 — 56{i. + 42?) (4 4- 3e2)(l — *2) cos a> —
xOO
— 7 (8JT— 9?) (1 — <?2) e2 cos 3co];
105 ~ ~ ~оч
56 - — g6fi(l - ^2) {(_80 + 240ji - 165(x2)(2 + e2)e sin 2co +
+ (—30{T + 33jl2)e3sin 4co).
8/(2я) = 0; (12.63)
li (2я) =- 2я (т22 ^20 + тзсзо + t4^4o + T5^50 + *6С60), (12.64)
3 ~ -^
T22 = — £4 sin 2/ [(—4 + 5ka)8e sin to + (14— 15 fT)e2 sin 2w];
3 / „~\
t3 = —- £3 cos / (—4 + 5р.)е cos a>;
8
15 , ~ч
t4 = — e4 sin 2/ (— 6 + 7[л) ^2 sin 2co;
15 —
t5 = —-£5cos /[2 (4+ 3^2)(8 — [28JI+ 21?) e cos со + 7(8jT—9^2) e3 sin 3w];
256
105 ~
t6 = —— £6 sin 2/ [(80 — 240^ + 165?) (2 + <?2) *?2 Sin 2co +
2048
+ (30? — 33]12) *?4 sin 4w].
bQ (2Я) = 2Я (q22^20 + ^3^30 + 04^40+^50 +~Q6^6o),
022 = Y^4 C0S ' [^ — 20^~ e2(l + T**)l ;
Уз ~ 05 = 0;
C4 =—^cos/(-4 + 7Jl)^ + — e2V
- 105 —.
Q6 = ^^C0S <12(8 - 36^ + 33?) (8-40^2 + i5«4)].
!>Q (2я) = 2Я (q22 ^20 + 03^30 + Q4^40 + Q5^50 "Г Об^бо),
Jq22 = ~T" £4 cos / [16 (2 — 5fi) e cos со — (7 — I5jl) e2 cos 2a>];
16
3 ~
q3 = — £3 ctg / (— 4 + 15ц) e sin со;
15 , ~ч
q4 = — $4 cos / (3 — 7p) e2 cos 2to;
Q5 = ^ e5 ctg / Г(64 - 675Й + 840?) (l + — e^e sin a> +
+ (56jl — 105?) e* sin 3co];
Q6 = -— £6 cos / J 20 (—16 + 96> + 99?) M + — e2 J e2 cos 2co +
+ (— 60? + 99?) e* cos 4co].
bio (2Я) = 2Я (^22^20 + ?3C30 + 04^40 + #5^50 + ^б^бо),
(12.65)
(12.66)
(12.67)
350


где
922 == ^ 54 [(7«Р - 8907) + е2(56 - 36? + 45?2)J;
lzo
7з = ?5 = 0;
q4 = -^ $4 [(64 - 24% + 196?2) + е2 (72 - 252? + 18$?)];
128
_ 105 ~
<?б = 7^ 56 [(-512 + 409611 - 8256^ + 4752fx3) +
40Уо
+ е2 (_ 1920. + 13 760? — 26 160?2 — 14 520JX3) + е* (—640 + 43201х — 7920?2 + 4290?3)].
5о> (2Я) = 2Я (^22^20 + ?3*30 + 04*40 + ?5^0 + ЯбСбэ), (12. 68)
где
?22
3 Г/ —' ~«\ COS со , ~ ~ол
= — £4 (—96 + 184а — 80а2) + (—96 + 92а + 30а2) cos 2<о +
64 L е
-!■ (—200 + 922? — 800?2) e cos со + (— 24 + 30?) е cos 3<o +
+ (28 — 158? + 135?2) e2 cos 2co];
3 1 Г/ ~ ~*>\ sin со , , ~ „^,ч "1
: — £3 (—4а + 5а2) + (4 — 35а + 35аа) е sin со ;
8 sin / l e J
q4 = 4т &4 1(12? — 14?2) — *2(12 — 70?] + 63?2)] cos 2a>;
64
д5 = ^ S5 _L_ [ (64? - 224]i2 + 1687) — + (-64 + 1392?-
255 sin / L е
— 3808? + 2562?3) е sin со + (5б?2 — 63а3) е sin За> + (—48 + 840а —
— 2142? + 1386?3) еЗ sin со + (— 56?, 4- 273?2 — 231?3) е* sin Зсо];
105 ~
Яб = £6 77^ К— 640? -J- 1920?2 — 1320?3) cos 2со + (640 — 8000а +
4096
+ 18 360?2— 11 220р) *?2 cos 2со + (— 120? + 132?*) *2 cos 4co +
+ (320, — 3360112-{-72бб?3 — 4290?3) е* cos 2со + (120? — 528?2 + 429^3) е* cos 4co].
ЬМ0 (2я) = 2я (i224) + Ъсэо + Wao + ?5Сбо), (12.69)
где
^2 = — $4 ^Г=Г?2 [(—112 + 356? — 3677) 2 + ^2 (152 — 256? — 2$?)];
128
ъ = ?5 = °;
*4 = ll^4 1/Т:Г^ 3 (8 - 40? + 35?2)^2.
ЬМ0 (2я) = 2зг (ср22 cfo + <Рз*30 + ¥4*40 + ?5С5о), (12.70)
где
?22 == ^" ^4 /Ь=12 fie (4 - 5?) ('-у ~^) -^ + ^9б "" 220^ + l2^ C0S 2e> +
+ (264 — 386? + 120?2) е cos а> + 6 (4 — 5?) е cos Зсо +
+ (—96 + 310? — 255?) <?2 cos 2co];
3 у / ~\ I sin °> \
<р3 = —■ $3 у 1 — е2 (4 — 5а) sin / — 4б sin со ) ;
8 \ е /
15 ^
<Р4 = Т7 ^4 VI— ^2 (—611 + 7а2) (2 — 5*2) cos 2co;
о4
15
Т5
15 ^ А Г , ^ _ох sin со
= — е5 sin / /1—^2 —(64 — 224а + 168а2) —
256 L ^
— 17(8—2811+ 2lll2)esina) + (56^— 63]I2) e sin 3<o].
351


В формулах (12. 60) —(12. 70) обозначено
R3 ~
£ = — ; jjl — sin2/.
Р
При одновременном вычислении возмущений порядка с20и с2о в формулах (12.54),
(12.55), (12.56) необходимо использовать в качестве начальных значения оскулирую-
щих элементов в точке и0 = 0.
Перечисленные выше формулы целесообразно применять при прогнозировании
эллиптических орбит.
Для орбит, близких к круговым, наряду с приведенными формулами для
возмущений в элементах a, i, Q могут использоваться возмущения в элемента» /=£cosco и
h — e sin со, усредненные уравнения для которых выражаются через приведенные
возмущения элементов е и со:
dljdN = cos ude/dN— е sin ad^jdN = cos ыЬе(2п) — e sin соЬа>(2я); (12.71)
dh/dN = sin oidejdN -f- e cos (nd<a/dN = sincoSe(2tt) -j- e cos (о&а>(2я). (12.72)
Возмущения за один виток элементов / и h:
Ы (2л) = dljdN -
bh (2л) = dh/dN-
9я2с20
(5?- 4)2/;
9я2,20
(5^Г_4)2Д.
Возмущения за один виток в элементах а = аЩэ и Г 2 через возмущения
элементов / и h (отброшены члены порядка с\$е):
3^20 (1+Q2
5а ==
5Г
а(\ _ Л2—/2)4
2— 3_
2
[(1 +2/ + /2_Д4)5/ + 2А (1 +1)Ш]\
[h (1 + /) bh — (2 — / — 3/2 — 2Д2)&/].
4а2(1_Д2_/2) (1 +/)3
Возмущения от секториальной гармоники с22, d22'.
Ьа(2п)^ Ье(2п) = 0-,
\
| (12.73)
В/ (2я) = 3 -g^" I —— ) sin / [с22 (cos 2/ — cos 2/0) — ^2 (sin 2/ — sin 2/0)];
SQ (2я) = 3 2^~ ( — ) cos * l>22 ( sin 2/ — sin 2/0) -f- tf22 (cos 2/ — cos2/0)];
5(0 (2я> = ~4^~ ("~^)2 (~2 + 5^) [^22 (sin 2/ — sin 2/0) +
+ ^22 (cos 2/ — cos 2/0)];
9 /z fR3\2~ I
Ш0 (2я) = — g— I — ^ [^22 ( sin 2/ — sin 2/0) + ^22 (cos 2/ — cos 2/0)], |
где / — sr — Q;
[x = sin2 /.
12.2.4. Вековые и долгопериодические возмущения,
порождаемые сопротивлением атмосферы
Ниже приведены возмущения при сфероидальной невращающейся атмосфере,
которые учитывают также влияние отклонения траектории от эллипса, порождаемое
действием второй зональной гармоники:
Ьа(2л) = - 4я (sq„p) — exp (-*) !/0 (z) + 2elx(z) + — еЦ10(г) + /2(*)] +
Р У 4
+ ...--^-COScot/oCiT)-/!^]-— COS20) [/0(*)-/2(*)]|;
5/(2я) = _4я(5ап/?) exp (-*) N/x О) + -у в [/<>(*) + I2(z)] +
352


1 1 A
Ч- — e2 [3/i (г) + /3(г)] + ... J cos o> —— cos <*[—/0(*) + 2 cosWx (г) —
- cos 2<o/2 (г)] - — cos За, [/! (г) - /3 (*)] j ;
6A (2я) = — 4я (senJo) exp(- г) ЦЛ (г) + — в [/0 (2) + /2(г)] +
+ -у e2 [3/i (г) + /3 (г)] + ... J sin o> - — sin 2o> ft (z) -/2 (г)] -
-— 8!пЗи>[/,(г)-/з(г)]^;
«~ „ 3 ~ ba(2n)
^2(2я) = -^Г2 д •
Здесь qu — плотность атмосферы в перигее;
ае
И — высота однородной атмосферы,
fo(z)> h(z)> h(z)> — -—функции Бесселя мнимого аргумента соответственно
порядка 0, 1, 2,...,
(zJ2)n (z!2)n+2 (z/2)n+*
л(Г)""Г(/г+1) + 1!Г(/г + 2) + 2!Г(/г + 3) + "*
Для вычисления In(z) при г>1 могут быть использованы асимптотические
формулы:
r f exp z / 1 \ r exp 2-/3 \
/o(*> = 7l5i(1+I7 + -"J: /l(2)=i7fe(1-i7 + -) =
, , exp 2- /15 \ exp* /35 \
Слагаемые, содержащие величины А и В, характеризуют влияние сжатия Земли
и отклонения гравитационного поля от центрального на возмущения элементов
от атмосферы:
3/2 \
Л = — ^20^ I 1 — "у Sin2 П ;
^""~2\ + Т"^20)^ Sin2/'
где а — сжатие атмосферы (Земли).
Относительная величина этих слагаемых тем больше, чем меньше эксцентриситет,
и достигает 32% для круговых орбит. Погрешность приведенных выражений имеет
порядок 10_26э(2я).
В тех случаях, когда величина ЬТ2 (2я) определяется при обработке измерений,
возмущения элементов awe можно определить по формулам:
2_ bTQ (2я)
3 ^2
2 ЬТ2(2п) г eI0(z)-]-I1(z)
Ьа (2л) = тр а;
3 J 2
и{щ*ь^*™\ "о («) + Л(«) + 0fJL)l
; 3 Тя [l0(z)(l+e*) + 2eli(z)^ \ a )\
(ЪТя (2я) \
Величина I ~ I = e может рассматриваться в качестве безразмерного малого
параметра, характеризующего возмущения от атмосферы. Для большинства ИСЗ эта
величина не превышает 10_5-т-10~6, т. е. имеет такой же порядок, что и с2о* ^ связи
с этим короткопериодические возмущения, порождаемые атмосферой, обычно
не учитывают.
12 3669 353


12.2.5. Связь между аргументом широты и временем
при долгосрочном прогнозировании
Связь между аргументом широты и временем при прогнозировании внутри витка
изложена выше. В данном разделе изложена методика определения времени
пересечения экватора в функции числа витков.
При повитковом суммировании возмущений применяется зависимость
N—1
Входящий в это выражение драконический период Г2 определяется на каждом
витке по зависимости
TQl =- TOCKOi[\ + C2Qd(3i)]t
где
\з/2
•™-M*t)
2—|- .in»*,)(!-«?)»
(1 -f- ei cos (о/)3
(1 + ^ cos a>,)2 1 — e\
*ncKfti — ^^
a
3/2
/
При интегрировании системы усредненных уравнений вида (12.31) связь между
числом витков и временем может быть сформулирована следующим образом:
N
tN = 'о + \ TQNdN - -у (Г2ЛГ - Г2()) + О (7V27V) = t0 + TQQN -
о
N
-^(7,2,V-7,20)+5(^V-7,20)^ + °(7,2£W).
О
Для вычисления драконического периода TQN нужно воспользоваться
приведенной выше формулой и результатами интегрирования усредненной системы уравнений.
При определении интеграла удобно применить разложение
^20 J 3 ^-До 3 ( aN~ao\2 1 f *n~ ao\3
'*n У20-1+С2оа(,о) I 2 Ло +8\ aQ ) l6[ a0 J +
3 ЛЛ, ~ ao )
+ ^20 [a (3N) ~ a (30)] + — c20a (з^ )j.
Так как правая часть выражения для TQi является медленно меняющейся функ-
N
цией числа витков, то вычисление интеграла
\ (Tqiv — Тя0 )dN может быть выполнено
0
с применением большого шага по N (несколько десятков витков). Этим достигается
определенная экономия машинного времени по сравнению с повитковым
суммированием.
Удобство применения приведенного выражения для tN связано также с тем, что
величина Tfi0 обычно включается в число уточняемых при обработке измерений
параметров. В этом случае погрешности формулы меньше сказываются на величине tN~
12.2.6. Алгоритмы, построенные с использованием
метода усреднений
1. Почти круговые орбиты [16]
Расчет элементов орбиты в восходящем узле любого TV-го витка производится
по начальным условиям
l0 = e0 cos co0; h0 = e0 sin a>0; /0f Q0; a0; TQq; tQQ,
заданным для начала JV0-ro витка, и по выбранным значениям коэффициентов
зональных гармоник Спо. Элементы /, Л, Q, i рассчитываются с точностью до с\§ и
354


с по (З^п^.6). В соотношениях для Г2, tQ и а отброшены члены порядка с20е- Вид
решения зависит от соотношения величин В и С:
Зя ~ Зя ~ ~ о 15я — —
Y=r- (5р. - 4) с20 + —^ (380{х - 445fx2) ^ + __ (j б _ б2[Х + 49[х2) С40 +
105я ~ ~ ~
■ ( — 64 + 512р. — Ю32[х2 + 594{хЗ) С(Ю;
В =
25б/?б
С =
Зя
tC9\ Л
15я ~
1б 4 (-48 + 4б[х + 15[х2)^0+^-(б[х-7[х2)С40 +
105я
+ ^^ ( - 8<V + 240fx2 _ I65fx3) c60.
При условии 52 > С2
, _ (в + оа+лcos[г^^(ДГ_„o)]_(Д-£)*оГД х
5 + С
/52 — С2
X sin[^52 — C4N — N0)]-
5 + С'
(B~C)h0 — D rr т (5 + С)/0 + Л
X sin [J/J32 _C2(7V-7V0)] + ■
X
в — С
(12.74)
(12.75)
(12.76)
(12.77)
(12.78)
^2 — Т 20 +
ЗС20^оск (5[х — 4)
2я2
[tf-W"—j-O2-/?)--f (л»-а?)]; (12.
79)
'« = 'g0 +7-2 (7V-7V0)-
ЗсгрГрск (5р. — 4)
2а2
5 + С
7 [ (5 + С)/0 + Л 12
-И
5 + С
г
+
7 Г(Д-С)Ло-Р|2 7 / Л \2 1 Г(Д-С)йо-Р12
8 L /В2 —С2 J 4 \5 + С/ 8 L Я — С J
1 [(В + С)10 + Л2 1 / D \2 r 7 „ 1 2)
Зс20^оск (5р. — 4) г г х 2М Л ]
32 — С2) J
+= (Л— h0)\ +
2а2 Г [В+ С 8(5 + С)2
'о)[-
■(Л/-Мо)[
7D
(52 —С2) + 8(5 — Cf
7
8(5 + С) 8(5
Л = Я0 -
^20
«0
[3(/ —/0) + б(/2-/2)+3(А2 —Л2)],
АНМ
Li
+ (h-ho)-^T?+(h2-~hl)
+
(12.80)
(12.81)
С (5 —C)(5 + C)J ' х" ""'В + С ' v" "^2(5 + 0'
(12.82)
£ = £0 +
[/<2 + -^-^S
22 "0 "
,2 , S+C
В — С
'г)+-Ы'»+1т1й»)]
(ЛГ-ЛГ0) +
Ч-(А — Ао)
Я0
зя22о
^22^
В —С 2{B—Cf 2(B2_C2)
^22^
3^22^
+
1В+С 2(52 —С2) 2(5 + С)2 J
22
+
[^22 L
— 7Г +
2(5— С) 2(5
+ су
12*
(12.83)
355


При условии
е = УП + Л2;
м> = Arc tg—-.
Б2<С2
h = <С -**> + D ch [/С^ГР (ЛГ - No)] +
7 Г(С — В) Л0 + D
3c2qT ck (5> — 4)
■it
2a2
-f—
4 VC +
{-H
^i[
£'
(C + J5)/0 + Л12
(12.84)
(12.85)
(12.86)
(12.87)
(12.88)
С + Б
1 Г (С— B)h$-\-D
г-
/C2 —B2 J ' 4 \С + ВУ ' 8 L С —В
1 Г(С + В)/0 + Л_]2 .J_/_g_V _L, ? 2 XA2,
8 [ ^^=62 J + 4 U-SJ +'0_ 4 /o_ 4 Л° +
, 3c20roCK(5JT-4) f г 1 2M _
7D 3D
■{(Л-Ло)[
C + B
Л
(7V-7V0)
8(C2_52) J
8(C2— Б2)
(A/—Vo)[
+ ■
8(C —5)2
8(C + S) 8 (С
Ь>]}-
^ = ^0 + 7,20(ЛГ-ЛГ0) +
D(7V~7V0)2;
Величины Г2, а, со, e, i, Й вычисляются по формулам (12.79), (12.81—12.
При условии
В=:С
l = l0 + D(N-N0);
h=:ho-h(A + 2Cl0)(N-N0);
ЗС20^оск (5[Д — 4)
4^2
Q = Ц, + (iV-7V0)(A:2 + Я2/г0 + Vo + Яв2Л§ + LQ2ll);
i = /0 + (7V — 7V0) (Я/Ло 4- £//о + ЯЛ//0Ао)-
Для расчета Г2 и а используются соотношения (12.79) и (12.81).
При условии
Д = —С
l = lQ + (D + 2Ch0)(N-N0);
h = hQ + A(N—N0).
Величины t 2, ^g, a, i, Q рассчитываются по формулам (12.93), (12.79),
(12.94), (12.95).
В приведенных соотношениях обозначено:
Зя ~ ~ о ^
Л = -г=г(5{х~4)(3-2[х)с20;
(12.89)
85).
(12.90)
(12.91)
(12.92)
(12.93)
(12.94)
(12.95)
(12.96)
(12.97)
(12.98)
(12.81),
D.
356
4/?4
Зя sin i
Зя
Ъ2
~ 15я sin i n .-
(4 - 5jx) с3о + ,сГс ( - 8 + 28ji - 21fx2) C50;
^20 +
3-2(V 2
4/?2
16/?5
35 (7а —4)
Ь -^z L
56/?2
} (12.99)
c4o :


35(8 —36[x + 33{x2)
^60
cos /;
Но
Зя
64/?4
5(8-84^+105^2)
(15[х — 4) с30 -Ь 1 сг0
4/?2
4/?з
6я (2 — 5[х) cos / 2
Г" ^20'
Зя sin 2/ ~ , о
Н^—^ (5^-4)4;
ctg/;
^2 =
£/ = ■
4/?4
Зя cos г
4/?з
9я ~
5(8 — 28(1 + 21[х2)
(5[х — 4) еда + — ^50
4/?2
^fl=--(5fx-4)^0;
^22 ="
15я cos i
я cos г Г
16^4 [
cl0(2-7(x)-C4o(18-35fx) +
105с,
60
1б/?2
(16 —80[х-Ь77{х2)
-22 "
_ :os г Г 1 о ~ ~
ie'= 1бм Т 2о(_ 18 + 25!*)_С1°(6_7[л) +
35с60
(12.99)
+1if"(16-4%+33?)]
Hfii = '
+ •
Зя sin 2г
16/74
35сб0
| (14 — 15ц) с£0 — (30 — 35р.) с40 +
1б/?2
(80 —240[хЧ- 165[х2)
]=
_ а — - ~
а = -— ; р~ а (1-е2); [x=sin2/;
7\ ск —
2яа3/2
У №т
)
Постоянные (12.74), (12.75), (12.99) рассчитываются по начальным условиям
движения.
Условие В2>С2 выполняется для всех наклонений, кроме интервалов
протяженностью менее Г в окрестности критических наклонений.
При |£| = |С| и £2<С2 расчет по соответствующим формулам следует вести только
до выхода наклонения из интервала вековых изменений элементов орбиты [границы
интервала определяются соотношениями (12.90) и (12.96)]. После этого нужно
переходить к формулам для случая В2>С2.
2. Эллиптические орбиты
Соотношения (12.59) — (12.68) можно рассматривать как систему усредненных
уравнений второго приближения и записать их в виде
С1Э; - - ж
= Ьэц + te/2 + tea (Э[ = ^, со, е, i, а), (12. 100)
dN
где
^«ч';1
2 A*?sin >;
(12.101)
^ A? cos №
I 7-1
Aj * fij —коэффициенты при sin/со и cos/со в выражении для долгопериодического
возмущения эг-го элемента, обусловленного влиянием /г-го фактора (с20, Сзо> с4о,
^50, Ceo).
357


Легко заметить, что в пределах точности исходных соотношений решение системы
(12. 100) будет следующим:
3i = эю + (Ъэп + *3i2)(N — N0) + J T3i2dN = 3W Ч- (5за + S3;2)(W — 7V0) +
Wo
Ч- = -=- \ ?3i2d<* = зю + (Ьза + 8зй) (# - #0) +
о) о
1 уГ 7tf> .
^—7Т~~ 7 Л ~~—— (cosya) —cosyco0
5a>i + 5а>2 JmmA |_ У
+ {
(12.102)
бСО} -J- 6С02 ^в4 [_ J
7<*>
■( sin у'(о— sin y'(o0)
Для расчета драконического периода Г2 и времени начала витка tQ по заданным
Та и /20 можно воспользоваться тем, что
^9 = 7-90 + 3 ^~dN> (12.103)
Л^о
ЛГ
1
*9 == '90 + TQdN — "If (Г2 — Г90)«
V0
(12.104)
^Г2
На основании формулы (12.50) и выражения для интеграла энергии найдем
dN
и после интегрирования получим
^9 ~ ^90 +
4д2(1— е2)2
^-^20 + 7,90(Л'-^0) + '
гЧ
1
1
(l+£COS(o)2 (l+eCOS(O0)2
3C2q7*ock (V — 4)
Ф
(12. 105)
-(7V-7Vo) +
4д2(1 — еъу (1 +ecosa>0)2
З^о^оск (5[х — 4) г е sin со е sin co0
L I 1 + е cos со 1 4- е cos to0
4а2(1 — е2)2 (So)! + 5оо2)
со0
(1-^2)
/l-^tg — /r=^2tg^
arc tg — arc tg ■
1 Л-е
1+e
yC^-TV
(12.106)
При расчетах по приведенным в данном разделе формулам значения элементов
а, е, i в правые частях этих формул следует принимать равными их начальным
значениям. Для получения значений элементов орбиты в пределах витка в соотношениях
(12.77) —(12.85), (12.87)—(12.89), (12.91) —(12.95), (12.97), (12.98), (12.102),
(12. 106), (12. 106) следует положить
N = ■
2я
и воспользоваться зависимостью (12,32) и приведенными ранее формулами
(12.33) —(12.49).
358


12.2.7. Возмущения, обусловленные гравитационным
влиянием Луны и Солнца
Расчет возмущений элементов орбиты за один виток можно провести
по формулам [18]
Ь{к)Э1(2л) - &jf>3/ + ^$31+ Ь(2^Э1 (з/ = а, е, i, Q, со), (12. 107)
где /г — индекс, соответствующий k-му возмущающему телу (k=\, 2). Первый нижний
индекс указывает на учитываемое приближение в разложении возмущающего
ускорения в ряд по степеням отношения расстояния от центрального тела до ИСЗ к
расстоянию от центрального тела до возмущающего тела. Второй индекс связан с тем или
иным предположением относительно степени учета движения возмущающего тела.
Слагаемые (12. 107) рассчитываются по формулам
Ъца = 0; Ъце =
15л
^1Л.\\л,2,
Pk
V- \Pt,
8U2 - 15л &• (— )3 1/2 \ , [(1
V- \Рь) £ ' sin i \\
%;
— £ £Ц cos <
о
— £?4 sin со ;
е ) Эз Sin со + г^4 COS со
* п 3 (х, / а \з
oi2^ == — — — а! оск
2 V- \Pk)
Ъ12е=^ — 3 — 1—) еГоск
■"'-ТтШМ'
fo — Эб]— SnQcos/;
7 \ rf* 3 dt) У '\dt
4 V rf/ 3 d* / \ 8 3 / \ dt
2-
32 2 \ Г ^?4 rf?s . 1
+- —— £ — —— cos со — sin со ;
9 3 / [ dt . ^ J
' dt IJ'
8 ^ \ Pk J sin / \ 9 3 ll dt
COS oj -f
sin со ;
dt J
012е0 =
&2i« = 0;
525
»2i/ =
3J^_(_fL\3 r°c
Pfe
(те3+те2-
dh
dt
cos i&i22;
"H
7з+ — T2-
3 \ 02l
•T£JTJ:
525
8
P* / a Y e 17 4 \ 1
я — — —J— 1 — — £ i\ cos w + T~£ (Т5 cos w — 277 sin со) —
^ \PkJ ttLV 7 / 7
-1--H
• a3 cos to
525 [xft / a \4 e Г / 4 \ 1
b2^ = — — я — I— J — I 1 — — 6 j f4 sin со + — £ (75 sin со -b
£2 sin i
+ 277 cos со) — (l — — £ J — a3 sin со ;
75 *k I a \4 £^ Г 5 /
^-—*-(-) — [tI1-
13 / 9 \ I
—ИГ!1""!?')01]"'210
T4 —
i-Y«)t.-
COS J.
Здесь
a = Z>itfiAj;
359


?77gUIS
?775UIS ?77 SOD
?77 UIS ^77SSOO
?77gSOD
= Ёл
^77 £UIS
?77 UIS ^77 SOD
^77SSOD
=zn
4n uis
#77 SOD
=ln
zspzzpzip izpzzpzip 4- z^pizpzip 4- Z2pzzpiip i£p\zpzip + WpZZpiip + zzpizpiip izpizpiip
ZZpZlp
ZZpZZp
Z2pZlp
ZZpZlp
zz„
Sir
ZZplZpZlp^ _j_ ZZpUp
z
ZSpZZplZp^ _j_ ^^yplSjt?
Uplift
ZZplZpUp^ + IZpZlp
z
UplZp
zzpi2pizp£ -f- тг^ге^
0
HpIEpIIpg + UpZSp
zipizpupg + Нрйр
KplSpg
лр^те
I£pI3p
IEpTIp
l^IIp
\zp
"P
ba
33^36^ iS^Sjt? 4_ ZZpWp lZp\2p\
ZZpZlp IZpZlp -\-ZZpilp IZpUp
zz
V
z\7
zzpizPZ
z\pi\pZ
lzl
zf
Hi
=r.Zt
'Q
= D
I 0 0
0 w sod wins
0 ^ UIS со SOD
j sod i uis 5 sod — ; ujs 5 uis
1 uis ; sod 5 sod ; sod 5 uis
0 3 "is
*; uis
4i sod чъ sod
4l SOD ^ UIS
•V9D = lO
ft SOD
0
*5 uis
^5 SOD
= Л
•l^rfa
*v = !
15ep
ZSp
1 sip
тер|
lzp\
l\p\
= v
lG
= 9
= о
'lvznza = $


dt
dt
dt
■ D2b^k
dub
•{u*lY.
dub
(U2bl) =
b =
—^ = — 3efe6A^ sin (uk ~ сол);
— 2д£ cos uk sin uk — Зек&% sin (uk — uk) cos2uk
A| cos 2uk — 3£fcA| sin (uk — ak) cos uk sin ##
2A| cos йл sin #fe — 3efeA| sin (г/д, — (uk)s\n2uk
2я
T -3/2
* OCK kEk
; A* = 1 + ek cos vfe; e = 1 — e*\
2n
3/2.
£fe «= 1 — ek; Тоск= -шг~а
jbt — гравитационная постоянная Земли;
\ik—гравитационная постоянная /г-го тела;
ри, ек, сой, Qfe, ik, uk, Vfc, Тоск и — элементы орбиты /г-го возмущающего тела
в момент t0.
Для расчета изменения драконического периода можно проварьировать формулу
(12.50) и в качестве вариаций элементов орбиты за виток принять значения
поправок (12.107).
12.2.8. Методы прогнозирования, основанные
на использовании модели двух неподвижных центров
I. Алгоритм на основе точных интегралов движения ИСЗ
в нормальном гравитационном поле [14, 15]
Начальные условия задаются в сферической инерциальной системе координат
(rk — расстояние до центра масс Земли,
tyk—геоцентрическая широта, q3k — долгота, vik = rk,
V2k = rktyk* v3k = rkq3k c°s ф* — соответствующие скорости).
1. Расчет текущих декартовых координат х, у, г и времени t:
х — г cos <73; У = r sin <7з» z = Л{( — 1 )k YЯ\ sin &*">
t = Л2 + kA3 + £'Л4 + Л5АМ + Лб£ (ЬС);
г - d ]/(1 + ?i)0 + ^2); ?з = А7 + *Л8 + V А9 + Л10Д5 + АПП (ЬС);
2(1 +(-!)*? cos аУу?
01 ^ *i 77
(1 +( —1) Ecos 5(P)2
.2,
; ^2=- — -',2sin25-
k' = &-{-Д&; Д& —— с округлением до ближайшего целого значения;
by = £+n(k — k'); {T=Ai2 Ч- Л^Ч-Л^ОС, ^) + 2 \
Д8 =
л=1
)(5<р) при /г' —четном
n(\+q2n)
nnF
6 (я + 5<р) — 6 (я) при k' — нечетном, 0 = 5, М,
) узлов, "ерез котор!
ое расстояние от тек
ла орбиты ( | 5!: | < —) ;
где k — "исло узлов, "ерез которые спутник прошел;
5С — угловое расстояние от текущего положения ИСЗ до ближайшего уз-
361


M, S, L, П, F— эллиптические интегралы, рассчитываемые с помощью рядов [15].
Количество учитываемых членов указанных рядов может выбираться
из конкретной потребной точности вычислений (ввиду малости 5<р и
&£ это количество составляет обычно 2 — 3);
Ль А2,..., А17; х\\ р; Е; tj2; q\ K(k^)\ k^\ kr — постоянные (их расчет см. в п. 3 и в
[14], [15]). '
При заданных k' и Ъу в формулах для k' и В<р нужно заменить везде k , Sep,
k^ Чь* Fb<\' q(k0> Ti соответственно на k, SC, k7, СЛ, Fkv q(kj, 7^ и наоборот.
В частном случае орбит ИСЗ при Е = 0 величины qz, t, q\ вычисляются
по формулам:
qz = А18 + kAl9 + А20/7(ЬС, kT) + АПП(Ь:);
t - A21 + kA22 + A23F(bC, ЛГ() + A6L (5C),
где A18, A19,..., A23 — постоянные (их расчет см. ниже, в п. 3).
2. Расчет текущих составляющих v\, г/2, уз вектора скорости в сферической инер-
циальной системе координат.
"1=2(Ф1 —Ф2)/0; t/3-A24/D;
D(-1)*IA CosK V^X~k\s'm<1K) 2r^i sin 5C
0 1 l + tf2 Vq\(\+qi)
k'
где Фг = А2б(— 1)я sin
(1 +3(— 1)*' cos5<p)"j/"l — ^sin2b'f
(1 +E ( — !)*' cos5<p)3
Ф2 = A27 sin 2b: j/"l — £* sin2 5£;
<? = tf(?i-?2)/l + ?i + ?2; D = ]/"(l + <7i)(l +?2);
-^2 4» ^-25^ ^26» ^27 — постоянные (их расчет см. нлже, в разд. 12.33).
3. Расчет постоянных:
Ai = dx\2\ М = */г — А5М (<рл) — Аб£( :к)\
^г = лб^к\ А4=А5МЛ;
Л-Т^Чзк — A10S(<fk) — ЛИИ(:А); Ая = AnIIft;
A9=A10Sft; A!
/2(1+*?)'
a °2 у . JtA15
Ли = ——y',; a12 = ■
/2 ' 2/C(*E)
Ais = я [Д16;2АГ(*е) — 1]; A14 = jtA17 2/C(*e);
A17 = rvTE; A18=?8ft + A11[^(:ft, *,)/(l+JC*)-n(Cft)];
A19=AU [nft —^/(l+j^)]; Ajo= — An/(l +•*?);
•^21 = ^ — •Л23/7(Съ_^) — A6-Z.(Cft); A22 --= Мз^иг; +A6-Lk',
A2, = ,2K2M/rv A26 = l/^f =*<*'-*»> ;
/ 2
A?7 = l/ "¥" "57; Fft* = ^(/я> *«> 7;-
Fbr = F(ln, kn)4; ^ft = ^(/я)7;
^ = M> П, Z., S (/=1, 2,...; /—фиксируется).
362


Остальные постоянные величины рассчитываются по формулам, указанным в [14,
15] в тех* же обозначениях.
4. Порядок вычислений.
— По заданным начальным условиям движения в сферической инерциальной
системе координат rk, <\>k, Язи (координаты), v\k, v<in, v3k (составляющие скорости) и tk
(начальное время) определяются постоянные £k, t\k, Dh D2, Z)3, m, n, s, £i, £2» ^ь "*&*
<*ь «2, Pb h, *h хъ E, p, k\, Tv Ai, A2f **, 7,1]f ?lft, f2*. <Ръ Cft, /4<P*, ^), 5 (<pA), M (<рл),
^(C*f ^), £«*). П(СЛ), tf(*6), K(k£, F(ln, k^,S(ln), Ж (in), F(ln, kj, L (In), П(/я)
по зависимостям, изложенным в [14, 15].
— Рассчитываются постоянные Aj, A2,..., А27, Fk^, Fk , Lkf Uk, Sk, Mk по
формулам п. 3. Вычислять постоянные Fk^, Fk Lk, Rk, Sk и Uk можно также с помощью
следующих числовых рядов:
FH=n^ani' F*n'-=n^anv L*=n2(a/,,iir+i):
л-0 л=0 л-0
ал5 = ал(*5); anr=an(kyy,
/1- 3-... 2л — 1 \2
Иь -=я
1
|/Г^Г| §К-?')
ЬЗ-....2л — 1
2-4-....2л
*п^1-—^=^+^(тп1!), t,2<l;
/1--2
S* = * 2 Тл*?" (S<°> + 2E5J1) + E2S<2>);
л-0
00
5лЛ) ---= 2 ^D"*+*>"; то = i;
m«=0
Ax>=l; ^/i+i,m^°; л, m = 0, 1, 2,...;
Да*, о = 7*; £-1,2,...;
_ 1 3 2л — 1
^*'Я=7*£(ГТ^£(^ ^1,2,...;^0, 1,2,
а0=1; ai= — Ai; am= — A!am_!—Д2а„,_2 (m > 2);
л=0
при Е < 1:
m-0
^(т + 1)(-\)тКтОт+к.п;
п|)и Е > 0:
Ш°> = !_— ж<1) = _ Efsfco)
(1-е2)>о^ё2 ° °
Mo2) = ^[i+(^-i)^0)]; м^^-яй;
1 ч_м"' — 2EM(1)
jjO) = — [(1 + l^M*1). + 2EI<2>1; M<2> =,- ^ n- —H. ,
л= 1, 2,...
363


— Задается номер текущего узла k, в полувитковой окрестности которого требуется
рассчитать текущие элементы движения ИСЗ, и величина б£, равная приближенно
угловому расстоянию от текущего положения ИСЗ до заданного (ближайшего) узла орбиты
(l«l<-J-. С = *я+к).
— По зависимостям пп. 1 и 2 вычисляются искомые элементы движения ИСЗ
х, у, z, vu v2} Уз и / для заданной совокупности независимых переменных.
II. Приближенный алгоритм прогнозирования
в нормальном гравитационном поле [23]
Используется система элементов (постоянных интегрирования), несколько
отличающаяся от кеплеровой:
а, е, s — sin i9 coj, Q0» M0.
Расчет прямоугольных геоцентрических координат (ось Oz направлена в полюс
мира, плоскость ху совпадает с экваториальной) в момент времени t ведется
следующим образом.
1. Определяются постоянные:
Q
Г ° Я (Г — <?2)
ё = е {1 + £2 (1 — *2) (1 _ 2S2) + £4 ( 1 _ £>2) [(3 — 1652 + 1454) — 2<?2 (1 — S2)2]};
v = — (12 — 1552) + "77 [(288 — 1296*2 + 1035s4) __ е2 (144 + 288*2 „ 5l0s4)];
4 64
_ 3 3
{X = — £2 COS / — — £4 COS i (6 — 17S2 — 24e252);
-^2(-5s2)]};
43/2
I = — (1 — е*)*1' (24 — 96s2 _ 75s4); n =
16 v ' ' 1-Х
2. По данному t находится М и из решения уравнения Кеплера — координата 9
(аналог истинной аномалии)
z У 1 — й
M = n(t — t0) + M0\ Е-е sin E = M; tg — = ~|/ ULiL tg—-
1-е 2
3. Далее
а) == о)0 + v6;
s2
|_£2 (1 -f ecOS 8)2 Sin 2 (6 + О))— £2£
(2 — 3s2) -b -f-(8— 11*2) cos I
sin 6;
u =-(1 + v)ft + co0;
Q = Q0 -j- jTft -J- rfj sin ft -f- ^2 sin 2ft -4- d3 sin 3ft -f- tf4 sin 4ft -J- d2 sin 2a,
где
rfi = — 2£2e cos / |l + -^- [(8 —56s2) — e2 (12 + 1352)]|;
COS / (l - -j- [(22 - 252) + £>2 (2 + S2)]J ;
£2^2 f £2
£4#3
d3=——-cos/(4 — 3s2);
о
£4^4
64
£4
~32
cos / (2 — 52);
d2= — -^r(1~ ^)2 52 cos/.
364


Я £2 Г £2 I
<Р = а + — — — (1 — e2)s2 1— —-(8 — 952 + e2s2) sin 2a.
g — а (1 — е2) (я0 _|_ ai Cos & + #2 cos 2$ + а3 cos 3& + #4 cos 4&)—*,
где
а0 = 1 + — £>2 (1 — 2*2) + — £?2 [(24 — 12852 + 11254) __ е2 (8 + S2 _ 18^4)];
ui==e{x~"^e2s2 ~ ~Sr [(48"%s2+8054) ~ 7e2s4]\;
£2 £4е2
Д2 = — — £?2 (1 — 252) — —— [(3 — 1652 + 1454) — £>2 (1 _ 254)];
*з = -^г е352 + -^" е3 (6 ~ 12*2 + 1054 - e2s4)'>
Щ= —-^7 6452(1 — 252).
16
4. Наконец, определяются прямоугольные координаты:
х = Y& + с2 (c°s <Р cos s — cos * sin ? sin s)i
г/ r= |/ £2 _|_ C2 (cos <p sin У -J- cos / sin <p cos S);
z = £s sin cp.
q
Приведенный алгоритм прогнозирования имеет погрешность порядка c2q (по
отношению к точному движению в гравитационном поле двух неподвижных центров).
12.3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В настоящее время используются следующие методы прогнозирования орбит
межпланетных* космических аппаратов (КА):
— численное интегрирование уравнений движения КА в прямоугольной системе
координат;
— численное интегрирование уравнений движения КА в оскулирующих
элементах;
— расчет параметров орбит методом малых вариаций уравнений кеплеровского
движения.
Во всех перечисленных методах приняты следующие допущения. Движение КА
происходит под действием сил притяжения Солнца, Венеры, Земли, Луны, Марса,
Юпитера и Сатурна. Учитывается влияние светового давления на движение КА. Силы
притяжения КА Землей и Марсом определяются с учетом сжатия этих планет (на
участках орбиты в непосредственной близости от Земли и Марса). Притяжение
остальных тел Солнечной системы, сопротивление межпланетного вещества и прочие факторы
не учитываются.
При необходимости указанная система сил может быть дополнена силой тяги
реактивного двигателя, если она действует на КА постоянно или на отдельных
участках траектории его движения.
Используемые в тексте условные обозначения совпадают с общепринятыми
астрономическими обозначениями. Параллельно с этими обозначениями в качестве индексов
употребляются цифры 1, 2, 3, 4, б, 6, 7, 8 в соответствии с табл. 12.2.
Величины, определяющие положение КА в пространстве, обозначаются индексом 0.
Для описания движения КА используются правые прямоугольные системы
координат
Xi, Yu Zf. gf, гц, Ci; r/f u, zt (i = 1, 2, 3, 6);
QX\Y\Z\\ OEi^iCi; Q rV1\\zi— гелиоцентрические;
6 X3Y3Z3; й £з5з£з; 6 гз^з— геоцентрические;
9 Бг1^'» 9 r<iT\2z2 —афродитоцентрические;
<S Se^efe с? r&\6z6 — ареоцентрические.
Начало каждой из систем находится в центре масс соответствующего тела.
Плоскость X^Y3 совпадает с плоскостью земного экватора, ось Х3 направлена в точку весны
эпохи 1960.0, ось Z3 — к Северному полюсу мира Лэбо- Соответствующие оси системы
QXiYiZi параллельны осям системы 5X3^3^3.
Плоскость giiii совпадает с плоскостью оскулирующей орбиты КА, ось |*
направлена по радиусу-вектору КА, ось £, перпендикулярна плоскости оскулирующей орбиты,
ее положительное направление совпадает с вектором кинетического момента КА.
365


Таблица 12.2
Небесное тело
Солнце
Венера
Земля
Луна
Центр масс системы 1
Земля+Луна J
Марс
Юпитер
Сатурн
Обозначение, принятое
в астрономии
0
9
6
С
в
2f
\
Индекс
1
2
3
4
5
6
7
8
При расчете орбит методом малых вариаций уравнений кеплеровского движения
координатная плоскость (плоскость, в которой отсчитывается угол г\г) совпадает
с плоскостью невозмущенной кеплеровской орбиты КА относительно центрального тела>
в сфере действия которого движется КА. Ее положение изменяется при переходе от
одного центрального тела к другому. Через г\ обозначена проекция радиуса-вектора КА
на координатную плоскость. Угол r\i отсчитывается от радиуса-вектор а начальной точки
данного участка орбиты в направлении движения КА. Ось z\ перпендикулярна
координатной плоскости, ее положительное направление совпадает с направлением вектора
кинетического момента КА.
При расчетах орбит КА используются следующие константы:
60 и Ьч — коэффициенты при первом и втором членах разложения
потенциала нормального поля сил притяжения Земли по полиномам
Лежандра;
Л о — астрономическая единица;
М-г,г = 1,2,3,4,6,7,8 — произведение гравитационной постоянной на массу
соответствующей планеты;
k4 — отношение массы Луны к массе Земли;
k2 — постоянная Гаусса.
Орбита КА рассчитывается последовательно для геоцентрического,
гелиоцентрического и планетоцентрического участков. При этом на геоцентрическом участке
учитываются возмущающие ускорения за счет влияния Земли (с учетом ее сжатия),
притяжения Луны и Солнца; на гелиоцентрическом — возмущающие ускорения от системы
Земля + Луна, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна; на планетоцентрическом —
возмущающие ускорения за счет влияния Солнца и сжатия планеты (для Марса).
Световое давление, изменяющееся обратно пропорционально квадрату расстояния
КА от Солнца, учитывается на всех участках орбиты изменением массы Солнца на
соответствующую величину.
12.3.1. Расчет орбит КА, основанный на численном
интегрировании уравнений движения
в прямоугольной системе координат
Система дифференциальных! уравнений, описывающая движение КА в
абсолютной геоцентрической системе координат & ХзУз^з» может быть записана в виде
^ж
^30 +
гзо
3 ^2^30
2 ,5
А30
'30
1 I , 3^Z30
1 I + —7—S
'30
, 5^зо^зо .
+ sinG
г30
i-2
^30 = —
2 Ч
, 4, б, 7, 8 х
^31 ~
О-*)'
х*
Хзо
л01
^31
г3
Г31
-^30
*г,
*>0 v , 3 ^2^30
7" 30+ 2 г5
г:-о гзо
^3*
, Z30 Л 362Z3Q
°7*—* +—*
г30 / г30
ъх<
1 —
ыЪ
г30
cos G
(12. 108)
sin G ■
366


+ : cos и
(Гgo sinG-—
• ^30 cos С/)] + fM (1—*)
+
2 «t
Л R 7. Я \
Z31 — Z
30
= 2, 4, 6, 7, 8
A0/
*30 = ^
■Л30'
r3
^30 = ^)
-30:
V,
V(X3i - Хзо)2 + (Г3; - K30)5 + (Z3i ■
A3
Jf3t-, K3/, Z3/ —текущие координаты Солнца, планет, Луны и КА;
g и G — редукционные величины, с помощью которых учитывается нутация и
прецессия земной оси;
mi —массы планет, выраженные в единицах массы Солнца;
х —коэффициент, равный
х — ;
где 5Эф = qS0CB — эффективная площадь освещаемой поверхности КА,
ЯуЛ — удельное световое давление на КА у Земли для абсолютно
поглощающего тела;
г0—среднее расстояние от Солнца до КА на выбранном участке полета;
g — ускорение силы тяжести на поверхности Земли;
Р — вес КА;
q — коэффициент отражения;
S0cb — освещаемая поверхность КА.
Составным элементом точного расчета межпланетных орбит является
определение координат и составляющих скорости планет Солнечной системы, влияющих*на
движение КА, в функции времени.
В настоящее время эти величины определяются с помощью интерполяции их
значений, помещенных в таблицах ИТА АН СССР. Таблицы содержат координаты и
компоненты скорости планет Солнечной системы в прямоугольной гелиоцентрической
геоэкваториальной системе координат, фиксированной на начало тропического 1960,0 года.
Координаты выражены в астрономических единицах (а. е.), а скорости в а. е./сред. солн.
сутки.
Для перехода от а. е. к километрам необходимо пользоваться наиболее вероятным
значением а. е. в километрах, которое известно по современным определениям этой
величины. Кроме того, имеются таблицы положений и скоростей Луны и Солнца в пря
моугольной геоцентрической экваториальной системе координат.
Для удобства расчетов табличные значения могут быть аппроксимированы
полиномами вида
где
4i = ао + а\х + Я2*2 + .. - + аптп,
т —
ц\ — аппроксимируемый параметр;
/ — текущее время;
^о — начало интервала аппроксимации;
Т — интервал аппроксимации.
Коэффициенты полиномов определяются с использованием способа наименьших
«квадратов. Для аппроксимации таблиц с достаточной для проведения расчетов точ-
367


ностью могут быть рекомендованы интервалы аппроксимации и степени полиномов, при>
веденные в табл. 12. 3.
Таблица 12.3
Небесное тело
Луна
Земля+Луна
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Интервал
аппроксимации (сутки)
9
32
32
32
532
532
Степень полинома
7
5
6
5
5
5
12.3.2. Расчет орбит КА, основанный на численном
интегрировании уравнений движения
в оскулирующих элементах
Сравнительно медленное изменение оскулирующих элементов кеплеровской
орбиты КА в процессе его полета позволяет проводить интегрирование уравнений
движения с большим шагом, что сокращает время решения задачи на ЭВМ по сравнению
с интегрированием в прямоугольных координатах при той же точности расчета.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение КА, имеет вид
dt
di
r
-W;
dt
dp
dt
da
dt
du>
2rV~p
cos uW;
2a2
e sin я
Wp
5 + -!-~П;
dt
du
dt
где
'VVp
cos &S +
rV*
V'p
eVy.
Г2
гз
sin и cigi
V-P
a — a) -f •
(1+i)sin
%T
Vw
ctgi sin uW;
(12.109)
1 -f- e cos %
e^=r\ —
_P_
a
В этих формулах приняты следующие обозначения:
р — фокальный параметр;
г — расстояние от КА до центрального тела притяжения;
S, Т, W — проекции возмущающего ускорения соответственно на направления
радиуса-вектора, перпендикуляра к радиусу-вектору в плоскости орбиты
и перпендикуляра к плоскости орбиты.
Расчет геоцентрического участка орбиты КА
Интегрируется система дифференциальных уравнений (12. 109). Проекции
возмущающих ускорений за счет сжатия Земли вычисляются по формулам:
Si = — 62г~4 (3 sin2 и sin2 i -
ЬоГ—4 sin 2u sin2/;
2 2
О;
Wi
bnr~4 sin и sin 2г.
2 1
(12.110)
368


После выхода КА из геоцентрической сферы радиусом Ri величины Si, Ти W]
можно считать равными нулю.
Величина радиуса Ri выбирается его варьированием в зависимости от требуемой
точности расчета.
Проекции возмущающих ускорений за счет притяжения Луны и Солнца
определяются по формулам:
'(£з/ — гзо)а £з/
^2= У, V-i
/-1, 4
z-1, 4
i-l, 4
A?0
( A?0 A», )
A?0
A3/
^з/;
£з/»
(12.111)
где gsi, Лзг, £з! — координаты /-го возмущающего тела, определяемые с помощью
таблиц ИТА АН СССР;
A/o = VrA?£ + rf0-2e3fr3o;
A3i = VeI/ + ^ + cl/;
{Ij:
864002'
1-х.
При определении координат Солнца в системе & X3Y3Z3 используется векторное
соотношение
г31 = г34
kA
1 +-
■П-м
(12.112)
в котором компоненты радиусов-векторов ns и г34 определяются по таблицам ИТА
АН СССР. Система (12. 109) интегрируется до выполнения условия
гао>/?11, (12.113)
где Rn — радиус сферы действия Земли, выбираемый аналогично радиусу Ri.
После этого определяются прямоугольные геоцентрические координаты и
компоненты скорости КА для перехода на гелиоцентрический участок орбиты по формулам,
приведенным в гл. II.
Расчет гелиоцентрического участка орбиты КА
После выполнения условия (12. 113) координаты и компоненты скорости КА пере-
считываются в гелиоцентрическую систему© X\Y\Z\. При переходе к системе ®X\Y\Z\
радиус-вектор ri0 и вектор скорости г10 вычисляются по формулам:
k4
По = Пб "
1 +k4
*4
1 +kA
г34 + г30»
г34 + г30*
Расчет элементов невозмущенной гелиоцентрической орбиты КА выполняется по
формулам эллиптической теории.
Величины S2, Т2, W2 до выполнения условия
Гэо>Кш (12.114)
вычисляются по формулам (12. 111). При этом о берется равной единице, £ = 2, 3, 4, 6,
7, 8. Радиус Rui определяется аналогично радиусу Ri. Координаты возмущающих
планет определяются по таблицам ИТА АН СССР.
Интегрирование системы (12. 109) продолжается до выполнения условия
Г60 < #iv —ПРИ п°лете на Марс;
Но < R\V ~ПРИ полете на Венеру,
(12. 115)
где /?{у*; R\\) — радиусы сфер действия Марса и Венеры относительно Солнца.
369


Расчет планетоцентрического участка орбиты КА
При выполнении условия (12. 116) координаты и компоненты скорости КА пере-
считываются в афродитоцентрическую (ареоцентрическую) систему координат.
Интегрируется система дифференциальных уравнений (12. 109), описывающая движение КА
под действием притяжения Венеры (Марса), Солнца и силы светового давления.
Проекции возмущающего ускорения за счет сжатия Марса вычисляются по следующим
формулам: '
Si = — (3sin2asin2/ — 1);
£
Т\ = — sin 2asin2/;
£
W\ = — — sin и sin 2i,
г4
где е — постоянная, учитывающая сжатие Марса.
В зависимости от цели расчета интегрирование системы может быть прекращено
при прохождении КА минимального расстояния от центра Венеры (Марса) или при
падении на его поверхность.
12.3.3. Расчет орбит КА, основанный на методе малых
вариаций уравнений кеплеровского движения
При расчете орбиты КА методом малых- вариаций уравнений движения Кеплера
траектория полета разбивается на геоцентрический, гелиоцентрический и планетоцент-
рический участки. На каждом из этих участков движение КА рассчитывается с помощью
линейных поправок к элементам невозмущенного кеплеровского движения. Расчет
участков в районах- границ сфер действия Земли и планеты-цели производится методом
численного интегрирования уравнений движения КА, так как на этих участках поправки,
учитывающие действующие на КА возмущения, становятся существенно нелинейными.
Расчет геоцентрического участка орбиты
Элементы невозмущенной геоцентрической орбиты рассчитываются по заданным
начальным условиям движения КА.
__ Координаты и компоненты скорости КА в цилиндрической системе координат
6 ГзЦзХз на момент окончания геоцентрического участка полета (r3o = Qi) определяются
но формулам
тг)зо —• Arc cos — %Q = Arc sin • ft *
71зо:
£Ql eQi
с
c z -i f К Q\
~~7Г » гзо = I/ ~T '
Qi. V P ki
где Qi — радиус геоцентрической сферы, в пределах которой орбита КА рассчитывается
с помощью поправок к невозмущенному гиперболическому движению,
Q1
jA??(e2-DH- 2^1-й
с — величина вектора кинетического момента КА.
Время полета КА по невозмущенной орбите определяется по формуле
t - tK +
Л/ JL
V b* Г ~ р 1 . , р -1- ~ * 11101
*?2_ 1
где ^к и гзок — соответственно время и радиус точки конца активного (начала
пассивного) участка движения.
Поправки к невозмущенным значениям координат, составляющих скорости и
полетного времени, учитывающие возмущающее действие Солнца, Луны и сжатия Земли,
определяются по следующим формулам:
^зо = ^=г
370


&г30 = ■
¥i
Ql
'30k
^ \ r30 \ r30r30
-30 :
/;
W2
■)'
' 30K
Ci
r30
—— ^гзо — (/? — ei) \
Гзо -J
r3CK Г30к
1 bgr
bg-/30dr30
bz*
[Qi(e2—\)+p] bg- -*-
K*o№02
0
^3J
'30k
^30 + ci \ bg-nx>drm'>
'30k
bt =
_p_
bo
P гзо5гзо
J 7»
^30,
'зОк
где гз0 =]/Гг10(е<^—\)+ 2/?г30 — p*
'bg-, &£-» *g- — проекции возмущающего ускорения на соответствующие направления,
определяемые по формулам
*g- = bg'~ + bg~'> bg- =- te- + *£-; 5^7 = 5^7 + 5^7 *
Проекции возмущающего ускорения, определяемые сжатием Земли, вычисляются
по следующим формулам:
е (. sin2/ г~ . , - ч . 10 1
; о) + (/? — r3o) sin со]2 — 11 -
г30
е*г
ГЛ
-[гз0 cos<
30
е г30
{[(/> — >"зо)2 — Гзо! sin 2(0 + 2гз0 (/> — г30) cos 2а>)
е sin 2i
[г30 cos со + (/? — гз0) sin со].
Проекции возмущающих ускорений, определяемых влиянием Солнца и Луны,
вычисляются по следующим формулам:
2'
/-1,4
ъ
/-1,4
■ж
Гз/COSft— Г30 ГЪ1 C0S Р
*0/
л3/
)'
л3/
А*;
/-1,4
д3/
г si sin |
^3/»
где Д0/ = Yrlo + гз/ + *31 ~ 2гз/^зо cos (3; д3/ = |/"г^. + г\(%
1
£г
{[(/>— ^зо) c°s <* — г30 sin со] (Л'зо cos Q + Г30 sin Q) +
30
+ [(/> — ^зо) sin w -f r30 cos со] [г30 sin i -J- (Г30 cos Q— X3Q sin Q) cos /]}.
37 {


Цилиндрические координаты Солнца и Луны относительно Земли определяются
с помощью таблиц ИТА АН СССР.
Цилиндрические координаты и компоненты скорости КА на геоцентрической
сфере радиусом Qi определяются суммированием их невозмущенных значений и
соответствующих поправок.
Расчет переходного участка ведется методом численного интегрирования
уравнений движения КА до выполнения условия
'"зо = Q2-
Величина q2 выбирается из условия определения положения КА в районе планеты-
цели с заданной точностью.
Расчет гелиоцентрического участка орбиты
Невозмущенные координаты, составляющие вектора скорости и полетное время
при заданном значении угла T]10 определяются по формулам
- = Р .
По 1 -f e cos ($o+ -410)'
Г10==1/ "7864002Х) gsin(»o + ^o); 4io = ^|
У 81
МО
3/2
t = tk + г q =- [E — Ek — e(s\nE — sin Ek)],
3>(1-*)
864002
где tk — время пересечения КА геоцентрической сферы радиусом q2;
я — гю
cos E = ■
ае
. „ sin (ftp +-»lio) ^ / 1-е /л
sin Е = — =— I / (1 + cos £).
1 + cos (&о + Чю) у 1+е
Поправки к элементам невозмущенного движения находятся по формулам
- __ 5-864002^3 \ , , ч С ,. - dv
Л2Л§(1-х)
движе!
n (Л + ^io) f j Х3^- cos (&o — ^ю) y-^-—^
6
— cos (О о + ^io) *' X3^- sin (»0 + ^o) ;
J yi—V2 J
5-864002 (r , _, ч , f X3^7cos (00 + ^10)^v
** = *U3(1_X) ^jH^o + W + ^j ^7=
+ Sin (fl0 + ^iJo) \ "
+
K1-V2
5-864002 Г - VfX2b£7sinWv
Г - г
X'2 cost]10 \
L 0
pX25^7c°sr]io^v
— sin r\10 \ + (б sin &0 sin 7)j0 — 2) X
J /l-v2
0
r» X3bg-dv r> X35£- cost]10^v % X3&£"- sin tjio^v
1 ~ -, ^ ^ . -, ч
X
I + 2 cos V I zz= + 2 sin tj' I z
J V1-V2 J /1-V2 J /1
0 0 0
pX35£-sin2^10a?v v'
— ecos(^;0—»0) —, 2— + ^sin(^;0-^0)
/1—V2
0
372


- с I /л -, ч or
Sr = — \2е sin (г^0 + tj10) —;
Лю
5-8640Q2/73
X2&£-cosT|iorfv
р Х25#; sin -mo^v
sin 7^ j—z
V2
0
/1—V2
p X3bg-dv
f e cos гь0 sin &o I —zzzzzr~
J Vl — V2
v .
, x3&£- cos 7]10^v p x3b£- sin 7]10rfv
~ 2 sin <n10 I 7 " + 2 cos ^0 \ ~ +
]/"!— v2
X35g--sin2T]10tfv
+ e sin (г]|0— &o) I 7==:=== + ^ cos
у I — v2
v .
4 J"
0
v'
(Uo-Mj
yl-^v2
X3bg- sin 7]10 cos y\iQdv
V 1 — v2
+
57]:
5^= —
5/?2
v
i
Xbrdv
864002/?
8640Q2/72 [- 2 rfv
0 0
где F.
V
X3&£-
dv
1
/l—V2
1 + e cos (»0 + 7]10)
X ■=
1 + e cos (&0 + t]j0)
sin 7]10 = v[4(l — v2)(l —4v2) + 1]; cos 7]10 = у 1 — sin2Yj10.
Верхним пределом интегралов является такое значение v = v', при котором
выполняется условие Лог = £>з (i = 2,6). Величина q 3 выбирается аналогично величине q2.
Возмущающие ускорения от планет вычисляются по следующим формулам:
<;- 2 »[ш
(cos 7]1Q cos r\u + sin t]1Q sin тщ — рц)
/ = 2,5,6. 7,8
rii(cos tuqCOs tjw + sin7]1Q sin ч\и
/=2,5,6,7,8
M/
[Х/П/( sin tin cos 7]10 — sin 7)10 cos тц;)
<•
s
p-i^l
/—2f 5, 6, 7. {
4
где l Л0/ = ]/Vx2 + r\i + Аг-Ъргуя. cos (^10- r^); Ди =-- j/r2,. + *?..
Цилиндрические координаты планет находятся с помощью таблиц ИТА АН СССР.
Расчет планетоцентрического участка производится аналогично тому, как было
показано для геоцентрического участка орбиты.
12.3.4. Прогнозирование движения лунного КА
Прогнозирование движения лунного КА производится интегрированием
уравнений движения в поле сил притяжения Земли, Солнца и Луны. Учитывается также сила
светового давления солнечных лучей. При определении силы притяжения КА Землей
учитывается сжатие этой планеты. Притяжение остальных тел Солнечной системы,
373


сопротивление межпланетного вещества, аномалии силы тяжести и прочие факторы
не учитываются.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение КА в абсолютной
геоцентрической системе координат £X3Y3Z3, имеет вид
X
зо :
и ^30
3 #2^30
-зо
г30
г30
г30
1 + &А\
О-*)-
^31 — Х-
30
X:
31
+ ^4^0
Х$4 — ^30
^34
30 :
30
г30
А04
3
+ т
4
^2^30
г30
\ гзо
•&А\
(I-*)'
31"
30
'31
31
+
Л01
-+-
■ k4b0
^30 = — ^0
34"
30
3^
^04
г34
-30
+ "
^2^30
k4b0
' 30
f^34 — ^30
r30
-34
-30
- 3 + кЩ
(1-х)-
-3i-
-30
-31
+
Л04
'34
^зо = ^у
гж == v2
где
Л30 — |/ ^30 + ^30 + 230i
До,- = К(*з/ - А'зи)2 + (Г8/ - ^зо)2 + (Zal - Z30)2 (/=1,4);
r3/ = K^l, + Kf, -4- Z|, (i=l,4).
Начальные условия движения (Х0, Уо, Zo, Ухо, Vyq, Vzo) задаются в системе
координат б X3Y3Z3. С этими начальными условиями система дифференциальных
уравнений интегрируется до необходимого момента времени (пересечения картинной
плоскости, достижения перицентра орбиты и т. д.), на который рассчитываются параметры,
наиболее наглядно характеризующие положение КА и его движение в специфических
точках.
Следует отметить, что расчет орбит КА методом численного интегрирования
уравнений движения в прямоугольных/ координатах наиболее прост, но требует больших
затрат машинного времени по сравнению с численным интегрированием уравнений
движения в оскулирующих элементах и методом малых вариаций уравнений кеплеров-
ского движения. Последний метод имеет тот недостаток, что на переходных участках
(в районе действия Земли и планеты-цели) необходимо применять метод численного
интегрирования.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XII
1. Аксенов Е. П., Гребенников Е. А., Демин В. Г. Применение
обобщенной задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников
Земли. — Сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». Изд-во АН СССР,
1963.
2. Аксенов Е. П. Влияние тессеральных и секториальных гармоник земного
потенциала на движение искусственных спутников. Труды ГАИШ, т. 35, 1966.
3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
4. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М., «Мир», 1964.
5. Волосов В. М., Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений. — «Успехи математических наук», т. XVII, вып. 6, 1962.
6. Волосов В. М. и др. Асимптотические методы нелинейной механики,
связанные с осреднением. — Труды II всесоюзного съезда по теоретической и прикладной
механике, вып. 2, М., «Наука», 1965.
7. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.,
«Наука», 1968.
8. Евтушенко Ю. Г. и др. Движение искусственных спутников в
гравитационном поле Земли. Изд-во ВЦ АН СССР, 1967.
9. Ж а н д а р о в А. М. Возмущения орбит от тессеральных гармоник разложения
гравитационного потенциала. — «Космические исследования», т. V, вып. 1, 1967.
374


ID. Ж о н г о л о в и ч И. Д. Возмущения искусственного спутника в
гравитационном поле Земли. — «Бюлл. ИТА», т. VII, 10(93), 1960.
11. Жонголович И. Д. Пеллинен Л. П. Средние элементы искусственных
спутников Земли. — «Бюлл. ИТА», т. VIII, 6(99), 1962.
12. Каула В. М. Космическая геодезия. М., «Недра», 1965.
13. Кинг-Хил и Д. Теория орбит искусственных спутников в атмосфере. М.,
«Мир», 1966.
14. Кис лик М. Д. Движение искусственного спутника в нормальном
гравитационном поле Земли. — В сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 4, 1960.
15. Кис лик М. Д. Анализ интегралов уравнений движения искусственного
спутника в нормальном гравитационном поле Земли. — В сб. «Искусственные спутники
Земли», вып. 13, 1962.
16. Кугаенко Б. В., ЭльясбергП. Е. Эволюция почти круговых орбит ИСЗ
под влиянием зональных гармоник. — «Космические исследования», т. VI, № 2, 1968.
17. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях, изд. 5, ГИТТЛ, 1950.
18. Лидов М. Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под
действием гравитационных возмущений внешних тел. — Сб. «Искусственные спутники
Земли», вып. 8, 1961.
19. Назаренко А. И. О составлении усредненных уравнений движения
искусственных спутников Земли. — Конференция по общим вопросам небесной механики
и астродинамики, ГАИШ, 1967.
20. О р л о в А. А. Вычисление членов второго порядка относительно сжатия Земли
в координатах искусственного спутника Земли. — «Бюл. ИТА», т. VII, 7(90), 1960.
21. Проскурин В. Ф., Батраков Ю. В. Возмущения в движении
искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли. — «Бюл. ИТА», т. VII, 7(90), 1960.
22. Тар а ты нов а Г. П. Методы численного решения уравнений в конечных
разностях. — Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 4. Изд-во АН СССР, 1960.
23. Т и м о ш к о в а Е. И. Об определении постоянных интегрирования в
обобщенной задаче двух неподвижных центров. — «Вестник ЛГУ», т. 13, вып. 3, 1966.
24. Устинов Б. А. Движение спутников по орбитам с малым эксцентриситетом
в нецентральном гравитационном поле Земли. — «Космические исследования», т. V,
вып. 2, 1967.
25. Ф о м и н о в А. М. Движение спутников Земли в атмосфере с несферическим
распределением плотности, зависящим от высоты. — «Бюл. ИТА», том X, № 9(122), 1966.
26. X о р о ш а в ц е в В. Г. Расчет частных производных от характеристик
движения по начальным условиям. — «Космические исследования», т. 3, вып. 3, 1965.
27. Ш т е р н Т. Е. Введение в небесную механику. М., «Мир», 1964.
28. Эльясберг П. М. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965.
29. В г о и е г D. Solution of the problem of artificial satellite theory without drag,
Astr. J., vol. 64, 1969.
30. С 1 a u s A. J., Lubawe A. G. A high-accuracy perturbation method with
di'rekt application to communication satellite orbit prediction Astr. Acta, vol. 9, 1963.
31. G а г f i n ce 1 B. On the motion of the satellite of oblite Planet. Astr. J., vol. 63,
1958.
32. Garfinkel B. The orbit of a satellite of an oblite planet, Astr. J., vol. 64,
1959.
33. Hale N. S.. Goulowicz H. F. Orbits abont on oblite pyriform attracting
body Space Res., vol. 11, 1961.
34. Kovalevsky J. ..Influence les terms du second ordre sur la theory du rnou-
vement d'un satellite artifical. Proc. 1st. Int. Spac Sci. symposium Nice, 1960.
35. К a s a i Y. The motion of aclass earth satellite, Astr. J., vol. 64, 1959
36. V i n t i J. P. New method of solution for unretarded satellite orbits J. Res. Nat.
Bur. Stand, vol. 62, 1959.


ГЛАВА XIII
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
С ДВИГАТЕЛЯМИ МАЛОЙ ТЯГИ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — большая полуось орбиты.
е — эксцентриситет орбиты.
f — реактивное ускорение.
fp — размерное значение модуля реактивного ускорения.
fv> f$* /c — проекции вектора реактивного ускорения соответственно на
оси т|, Б, £.
gj£ — ускорение ньютоновского притяжения на расстоянии R от центра
притяжения.
h — безразмерная полная энергия.
ц — один из углов, определяющих положение вектора тяги до
изменения направления.
ik — тот же угол после поворота вектора тяги.
т — переменная масса КА.
N — часть мощности бортовой двигательной установки, переходящая
в кинетическую энергию реактивной струи.
п — число витков спирали разгона.
р—фокальный параметр кеплеровской траектории.
г—радиус-вектор траектории.
г* — кеплеров эллипс, параметры которого определяются краевыми
условиями задачи.
г — начальное расстояние от центра притяжения.
г*(1) —транспортирующая траектория.
Гт — время, необходимое для разгона в сфере действия Земли по
спирали с низкой круговой орбиты спутника до параболической
скорости.
Т — время полета к планете.
T'smin —минимальное для рассматриваемой величины f суммарное время
полета к Марсу.
/ = 0—момент прохождения транспортирующего эллипса через Землю.
th — момент прохождения транспортирующего эллипса через проекцию
Марса на плоскость эклиптики,
^lmin — начало интервала возможных дат старта к Марсу.
t\ — время начала полета.
t2 — время конца полета.
U=U(x, у, z) —потенциал произвольного консервативного силового поля.
у0> ук —начальная и конечная скорости на транспортирующей траектории
относительно соответственно Земли (планеты старта) и планеты
назначения.
376


Vr — скорость движения частиц струи относительно корпуса КА.
Vjc* Vyf ^°z —компоненты скорости относительно Марса при t = tk в
транспортирующем движении.
V^x, V^, V\—компоненты скорости относительно Земли в момент / = 0 в
транспортирующем движении.
х, у, z — инерциальная система координат; оси х, у расположены в
плоскости эклиптики.
za—расстояние от Марса до плоскости эклиптики в момент t = tk.
а0 —один из углов, определяющих положение вектора тяги до
изменения направления.
аь — тот же угол после поворота вектора тяги.
АТа — возможное увеличение времени пребывания у Марса.
At\ — длина интервала возможных' дат старта к Марсу.
60 — угол между Vo и Vh.
О — истинная аномалия.
a—долгота перигея.
т — момент выключения двигателя.
Ф — угловая дальность полета.
Q —положение восходящего узла орбиты.
со — угловая скорость движения по транспортирующей траектории.
В настоящей главе рассматривается задача о полете КА с ионным или
плазменным двигателем в предположении, что затрата мощности на реакцию струи постоянна.
Максимальные ускорения, которые смогут сообщать КА рассматриваемые двигатели,
составляют 10~6—10~3g [1]. Вследствие малости получающихся реактивных ускорений
по сравнению с ускорением силы тяжести траектория космического полета состоит из
участков двух разных типов: участков спиралевидного движения вблизи планет и
участков полета между сферами действия планет.
13.1. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ С ДВИГАТЕЛЯМИ
ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ
13.1.1. Исходные соображения. Модельные задачи.
Транспортирующая система координат
Пусть N — часть мощности бортовой двигательной установки, переходящая в
кинетическую энергию реактивной струи, Vr — скорость движения частиц в струе, / —
реактивное ускорение, га — переменная масса КА. Тогда по определению реактивной силы
и мощности
Vr dm
N=_dm_Vl 3.2)
dt 2 '
Считаем N постоянным в течение всего времени работы двигателя. При помощи
(13. 1), (13.2) найдем [2]
— -1--S-* (1а3)
m 2N
т
J = \pdt\ (13.4)
6
f = 2NlmVr, (13.5)
откуда следует, что в любой фиксированный момент работы двигателя реактивное
ускорение тем больше, чем меньше скорость истечения в этот момент.
Из формулы (13.3) следует, что для любого КА с двигателем постоянной
мощности струи наивыгоднейшим является такой режим работы, при котором за время
полета достигается минимум интеграла J (13.4) (причем при небольшом
относительном весе топлива его затраты примерно пропорциональны /).
377


Это позволяет выполнять траекторные исследования и расчет реактивного
ускорения без использования параметров конкретных КА, а относительные конечные веса
и потребные затраты топлива могут быть затем рассчитаны по значениям интеграла /,
как только будут известны параметры двигательной установки.
Задачи определения режимов полета, отвечающих минимуму функционала (13.4),
Г
существенно отличаются от задач на минимум функционала \ \f\dtf обычно ре~
о
шаемых для ракет на химических» топливах. Это видно уже на простейших модельных
задачах.
1. Рассмотрим прямолинейное движение с малым постоянным реактивным
ускорением / на заданном пути 2s в заданное время 2Г при отсутствии внешних сил и при
условии, что скорость в начале и в конце пути должна быть равна нулю. Считаем, что
на первой половине пути скорость разномерно возрастает, а на второй — равномерно
убывает.
Имеем
f=:2s/T2^2V0]T. (13.6)
При этом достигается, а затем гасится скорость Vi = 2s/T = 2Vo, т. е. затрачивается
скоростной импульс 4У0- Здесь Vo = s/T. По суммарному скоростному импульсу затраты
при движении с малой тягой ровно вдвое превышают затраты импульсивного разгона
и торможения КА.
Для всего пути имеем
J г = 2ЯГ = SVl/T. (13.7)
2. Предположим теперь, что малое постоянное ускорение действует не все время,
а лишь в начале и в конце заданного пути и требуется на такое время выключить
двигатель, чтобы получить минимум / при заданном полном времени полета.
В силу симметрии движения достаточно его рассмотреть, как и в задаче /, лишь
на половине s всего пути в течение времени Т, равного половине полного времени
полета. Пусть т—момент выключения двигателя. Тогда получаем / и заданный путь:
/2 = 2/2т; (13.8)
25 = /т2 + 2/т (Г — т> (13. 9)
Решая задачу на минимум (13.8) при условии (13.9), находим
2 9 V0 27 vl
х = —Т; / = — -9-; /2== — —. (13.10)
3 4Г4Г
Видим, что /2</i на 5/4 V02/T, т. е. примерно на 15,5%.
3. Предположим теперь, что график ускорения имеет две ступеньки высотой /i и /2
и протяженностью т и Т—т и требуется параметры т, /ь /2 подобрать из условия
минимума (13.4) при заданном пути 5.
В этой задаче вместо (13.8), (13.9) имеем
/3 = 2 [f\x +Д(Т- х)]; 25 - /1Т2 + 2/хТ(Т - х) + /2(Т - т)2,
что приводит аналогично предыдущему к формулам
1 12 К0 4 V0 32 Vl
т = тг; /i = Tf: /2 = Т7-; Уз=ТТ- (13Л1>
Видим, что /з<«^2, причем выигрыш |/3—J\\ составляет уже 20% от J\.
4. Максимальный выигрыш можно получить, если решить вариационную изопери-
метрическую задачу на минимум функционала (13.4) при заданном пути
т
s = 2 £(T — t)f(t)dt (13.12)
6
Из условия обращения в нуль вариации
т
ЬН= [[2f + l(T — t)]bfdt
6
(где X — постоянный множитель Лагранжа) и условия (13.12) находим
Реактивное ускорение убывает линейно до нуля при t = T от начальной величины,
в полтора раза большей постоянного ускорения задачи 1, а выигрыш в величине / по
сравнению с задачей 1 составляет 26%.
378


5. Аналогично можно решить вариационную задачу и с отличными от нуля
краевыми скоростями. Решением опять является линейный закон изменения реактивного
ускорения, и выигрыш по сравнению со случаем постоянного реактивного ускорения
будет того же порядка.
Изложенные задачи являются некоторой аналогией задач полета между сферами
действия планет в заданные сроки t\ начала и t2 конца полета, так как этими сроками
фиксируются начальная и конечная точки пути, гелиоцентрические скорости в этих
точках, а также время полета.
Для приближенных расчетов движения в заданные сроки между сферами действия
планет с учетом притяжения Солнца более удобным оказывается рассмотрение
движения не в неподвижной, а в движущейся поступательно системе координат. Пусть начало
этой системы движется по гелиоцентрическому коническому сечению (согласно законам
Кеплера) в те же сроки th t2, между теми же краевыми точками. На КА в этой системе
будет действовать не само тяготение Солнца, а лишь «возмущение» от Солнца, т. е.
разность притяжений Солнцем КА и начала координат, точнее — разность силы
солнечного тяготения и силы инерции, обусловленной неинерциальностью системы отсчета.
Назовем введенную систему координат транспортирующей системой, а
траекторию начала координат — транспортирующей траекторией. Траектория КА в
рассматриваемой системе будет начинаться и кончаться в начале координат. Поскольку при
полете с Земли начальная гелиоцентрическая скорость КА совпадает со скоростью
Земли, то начальная скорость КА в транспортирующей системе будет обратна по
направлению и равна по величине геоцентрической начальной скорости начала координат
транспортирующей системы. Аналогично конечная скорость КА в транспортирующей
системе будет равна по величине и обратна по направлению конечной планетоцентриче-
ской скорости начала координат транспортирующей системы.
Когда траектория в транспортирующей системе мало отклоняется от начала
координат, то возмущениями можно пренебречь по сравнению с реактивной силой и
получаем движение в пространстве без сил, так что рассмотренные выше модельные задачи
приобретают еще больший смысл. Здесь и всюду в дальнейшем под «возмущениями»
понимаются указанные выше солнечные возмущения в транспортирующей системе
координат.
13.1.2. Постановка общей вариационной задачи
Как видно из (13.3), задача о минимальном расходе массы в данном полете
сводится к минимизации интеграла (13.4). К минимизации этого же интеграла сводится
задача на минимум суммы масс горючего и двигательной установки [5, 9].
Математически задачу можно поставить следующим образом. Пусть на КА с
массой m действует поле сил с потенциалом U и реактивное ускорение. Пусть U = U/m.
Тогда уравнения движения КА будут иметь вид
V—gradU=f; 7=^V,
где
7=(х, у, г)\ v = (u,v,w); f=(fx,fy,fz). (13.14)
Требуется определить закон изменения вектора / такой, чтобы функционал /
(13.4) для заданного Т имел экстремум при наличии связей (13.14). 'С помощью
метода множителей Лагранжа можно получить для fx, fy и fz уравнения [lj
I &хх Uxy Uxz I
/ — Af = 0; A
Uух Uyy Uyz
(13. 15)
Совместное решение уравнений (13. 14) и (13. 15) дает оптимальную траекторию
—* —*■
r(t) и оптимальную программу f(t). В общем случае решение системы (13. 14) — (13. 15)
будет зависеть от 12 произвольных постоянных, распоряжаясь которыми, можно
удовлетворить тем или иным начальным и конечным условиям.
Отметим одно свойство уравнений вариационной задачи. Введем функцию
H = up + vq + wn~Uxfx-Uyfy-U2fz-Y fx~\ fl~\ fl> <13-16)
где обозначено
p = fx\ q=fy\ n=fz.
Тогда уравнения (13. 14) — (13. 15) запишутся в следующем каноническом виде.
Р = — Нх\ q=- — Hy\ п = — Нг\ и = — Hfx; v = — HflJ\ w = — Hfz, J
379


где Н с индексами означают частные производные от Н по аргументу, указанному
индексом. Отсюда сразу следует первый интеграл вариационной задачи Н = Н0.
Пусть потенциал U обладает свойствами:
yUxz — xUUz = 0; zUxy — xUzy = 0; yUxz — zUxy = 0; j
Ux + yUxy - xUyy = 0;UX+ zUxz - xUzz = 0; Uy + ZUzy - >yUzz = 0; 1 (13.18)
Uу + xUxy — yUxx = 0; Uz + xUxz — *tf х, = 0; Uz + #tf zi, - stf^ ее 0. J
Эти тождества имеют, например, место для любого центрального поля сил, в
частности ньютоновского. Тогда уравнения (13. 14) — (13. 15), или, что то же, уравнения
(13. 17) имеют еще интеграл
ГХ /-гх/=*. (13.19)
Таким образом, в пространственном случае имеются четыре интеграла уравнений
движения, а в плоском случае — два интеграла. Эти интегралы позволяют понизить
порядок системы: вместо уравнений (13. 15) получим, например, в плоском случае
для компонент fx, fy систему
(хх + уу)/х — fx (xUx + */2) + fy (ху — xUy) — — fix = Hqx + kxy\
(xx + yy)fy — fx (xy — yUx) — fy(x* + yUy) — — Py = H0y — kxx.
(13.20)
Здесь /2 = fx + fy. Уравнения, аналогичные (13.20), имеют место и в'простран-
ственном случае.
13.1.3. Метод приближенного решения уравнений
оптимального движения
Уравнения (13. 14) — (13. 15) оптимального движения в произвольном
консервативном силовом поле с потенциалом U=U(x, у, z) можно записать в следующем
векторном виде:
7— grad<7 = 7 (13.21)
7 — Л/ = 0. (13.22)
«-*
Здесь г — радиус-вектор траектории, а матрица А определяется формулой (13. 15).
В случае ньютоновского поля сил U = [i/r и элементы матрицы в (13. 15) имеют
вид, указанный в п. 13.1.6 [формулы (13.41)], правые части которых следует только
домножить на ц.
Двенадцать постоянных интегрирования системы (13.21) следует определить так,
чтобы удовлетворялись 12 краевых условий:
г = г0; г = гО при t~t\\ г = rkt г = rk при t = /2- (13. 23)
В задаче о полете между сферами действия планет можно пренебречь
притяжением планет и в качестве краевых условий брать координаты и компоненты скорости
планеты старта и планеты назначения. Для решения системы (13.21) — (13.22)
используется метод линеаризации уравнений около подходящим образом выбранной
транспортирующей траектории Предположим, что траектория движения есть
г-^го + о, (13.24)
где г0 определяет известную траекторию, а величина \q\ мала по сравнению с |г0|.
Транспортирующая траектория r0(t) удовлетворяет уравнению
г0 — grad^0 = 0. (13.25)
Подставляя (13.24) в (13.21), (13.22) и пренебрегая малыми второго порядка
(к таковым отнесем и члены вида /q), получим систему линейных уравнений
Q-A0^ = f', (13.26)
7-Л07=О. (13.27)
380


Здесь Uo, Л0 — значения функции U и матрицы Л вдоль транспортирующей траек-
тории r0(t). В первом приближении можно положить Л0 = 0, и тогда для Q и /
получаются элементарные формулы, при помощи которых расчеты проводятся особенно
просто (см. п. 13.1.4). Для более точного определения q и / следует интегрировать
линейную систему (13.26)—(13.27). Эта система содержит периодические
коэффициенты, но тем не менее должна интегрироваться по крайней мере в квадратурах, если
интегрируется в квадратурах? уравнение (13.25) транспортирующей траектории. Это
будет иметь место, например, для ньютоновского центрального поля сил U = [i/r. В
дальнейшем рассматривается именно это значение U. При этом в рассматриваемом
приближении оптимальное управление вектором реактивного ускорения дается формулой
/ = ^<г,-Л>). (13.28)
где г0 — транспортирующий кеплеров эллипс;
г* — кеплеров эллипс, параметры которого определяются краевыми условиями
задачи;
gR — ускорение ньютоновского притяжения на расстоянии R от центра притяжения.
Предлагаемый приближенный метод позволяет, во-первых, в ряде случаев
избежать численного интегрирования и, во-вторых, позволяет решать краевую задачу
без итераций.
Выписанный в разд. 13. 1.6 алгоритм полностью решает краевую задачу для
системы уравнений (13.26) — (13.27).
13.1.4. Решение общей вариационной задачи без учета возмущений
При небольших отклонениях движения от транспортирующего приближенно в
системе (13.26) — (13.27) можно пренебречь возмущениями от основного поля сил по
сравнению с тягой, тем более, что главная часть действия основного потенциала
учитывается самим введением транспортирующей системы координат. Тогда Л0=0, и
уравнения движения в системе координат х, у, z поступательно перемещающейся по 'законам
невозмущенного движения вдоль транспортирующей траектории, запишутся наиболее
просто:
±=fx\ y = fv\'i=U /х = 0; Д, = 0; /г = 0. (13.29)
В этом приближении оптимальный закон управления тягой линеен по времени
/ = ~At +5, (13.30)
а траектория g(t) в рассматриваемой системе координат запишется в виде
q (О = С0 + Cxt + Я*2/2 + АР/6. (13. 31)
Если требуется обеспечить отлет из сферы действия Земли с нулевой
относительной скоростью и прилет на сферу действия другой планеты с нулевой
относительной скоростью, то краевые условия задачи будут
q(0) = oo; q(0)= -?o = qo; .
(13.32)
q(T) = qk; "q (Г) = — Kk = о*
где Т — заданное время полета; Vo, VK — начальная и конечная скорости на
транспортирующей траектории относительно соответственно Земли (планеты старта) и планеты
назначения. Тогда константы задачи определяются через краевые условия следующим
образом:
Со = Qo', С\ = Qo;
6 Д Л 12 - -*
Л = ~Т2 (Qo + Рк) — ~тГ (Qk ~~ Qo);
2 ^ Д 6 -
В = —— (2q0 + qk) + — (Ск — Qo)-
Величина интеграла J=\f2dt дается формулой
/ = | Л [2 — + (АВ) Г2 + | В |2 Т.
о
Рассмотрим пример расчета полета к Марсу. На рис. 13. 1 и 13. 2 приведены
траектория Q(t) и закон управления f(t) для случая, когда Марс движется в плоскости
381
(13.33)


эклиптики, старт происходит 27.IX.1960 г. и время полета Г = 212 сут. Краевые условия,
записанные в безразмерном виде, в этом случае таковы:
х0=-- -0,0145; #0 =-0,12826;
Уо--
хк = —0,076884; ук ■■
Хг\
-0,109856;
(13.34)
*о = Уо = *к =■- У к = 0-
Для получения размерных значений скоростей следует умножить значения (13.34)
на скорость движения Земли в момент старта. Величина интеграла (13.4), определяю-
fy,nn/c2
tmW5,3cym
2 0t4fX9mP
Т~ 212 сут
Рис 13. 1. Пример
траектории полета к Марсу в
транспортирующей системе
координат при постоянном по
величине и однократно
меняющем направление
реактивном ускорении
Рис. 13.2. Пример полег
та к Марсу. Годограф
вектора ускорения малой
тяги при оптимальном
управлении без учета
возмущений
щего расход масс, /=0,0520, или в размерном
виде 9,26 м2/с3.
Прямолинейный годограф
рассматриваемого ускорения, как видно из рис. 13.2,
проходит близко от начала координат. Поэтому
в средней части пути направление тяги быстро
меняется на почти противоположное, а модуль
ускорения силы тяги меняется существенно: от значения /0= 1,20 мм/с2 убывает (на
105-е сутки полета) до значения, близкого к нулю (/min=0,15 мм/с2), а затем
возрастает до /к = 1,22 мм/с2.
Время полета Т и время
поворота тяги т * отмечены на
траектории в сутках. • Пунктир —
траектория с теми же краевыми
условиями, но при оптимальном
управлении тягой (все без
учета возмущений)
13.1.5. Межпланетный полет с реактивным ускорением,
постоянным по величине и однократно меняющим направление
Метод транспортирующих траекторий применим к расчету полетов с произволь
ным управлением реактивным ускорением. Простейшим управлением является такое
управление, когда реактивное ускорение постоянно по величине и однократно скачком
меняет направление в пространстве. В настоящем разделе приближенно
рассматриваются полеты с таким управлением, хотя задача о полете КА под действием
ньютоновского поля сил и постоянного вектора реактивного ускорения может быть решена строго
в эллиптических функциях Якоби [2].
Рассмотрим движение в транспортирующей системе координат. В ней в первом
приближении, так же как и в случае оптимального управления (п. 13. 1.4), можно
пренебречь солнечными возмущениями.
Чтобы можно было удовлетворить шести начальным и шести конечным условиям
(трем компонентам скорости и трем координатам точки), движение должно содержать
кроме шести постоянных интегрирования, еще шесть свободных параметров. В
рассматриваемой задаче шестью свободными параметрами являются следующие величины:
J — величина ускорения тяги; а0, /0 —Два угла, определяющие положение вектора тяги
382


до изменения направления; ак, ы — те же углы после поворота вектора тяги; т—мо
мент поворота.
Эти шесть параметров должны быть выбраны так, чтобы обеспечивалось
выполнение заданных краевых условий. При этом а есть угол между осью х и проекцией
вектора / на плоскость эклиптики ху, a i — угол между вектором / и осью z.
Уравнения движения в транспортирующей системе без учета возмущений имеют вид
xs = f°s: t<x, xs=f«\ t>x, s = l, 2, 3 (13.35)
(здесь обозначено x = xu y=x2, z=x3). Компоненты fs и /^определяются формулами:
/i = / cos a0 sin i0; f\ = / sin a0 sin /0; f% = f cos i0,
/J = / cos aK sin /K; f\ = f sin aK sin /K; /* = / cos /K.
Интегрируя уравнения (13. 35) и требуя, чтобы при t = 0 было xs = xs, xs = xs,
а при t = T было xs = xKs, xs = x*, получим систему алгебраических уравнений для
определения параметров а0, /о» ак, *к, f, т-
Решение этой системы можно записать следующим образом. Обозначим
S-1
3
3 2 (WXs)(Lxs)
Q2= YJ(A-r,)2; a = -^; cos 8 = -^ .
5=1
Тогда решение системы упомянутых алгебраических уравнений будет зависеть
от трех параметров: v, q, cos 0 и представится в виде
т 2 (р2 + 2ц2 — &w cos 6) ± V2 (у2 + 2и?< — Suv cos 6)2 + 2 (2ц2 — at; cos"6)2
Г ~~ 2(t/2_2at;cos 8)
(знак перед радикалом выбирается из условия 0^т/Г^1);
/-(
X \2 / Т
1 — — I -h 4^2 — 4*«/ cos 8 1 — —
(т)
(13.36)
-АК (Г-т) + 2Алг3
cos /0 = — , 0° < i0 < 180°;
/ТУ
— AK^ (Г —т) + 2Алг2 — AV x (T — т) + 2Ьхг
Sin <Xq = ; ; ; COS (Zq =
/тГ sin /q /тГ sin /0
Al/ (2Г —т)—2Алг3
cos iK = - , 0° < iK < 180°;
K fTiT — T)
AVX (2T — T) — 2Алг2 AVX (2Г —T) —2АЛГ!
sin aK = ;—; ; cos aK :
fT(T — T)sin iK ' /T (T — т) sin iK
Эти формулы определяют величину реактивного ускорения, его направление до и
после поворота и время поворота по заданным краевым условиям и полному времени
полета Т. В эти формулы входят координаты х8 и компоненты х8 скоростей в
транспортирующей (движущейся) системе координат.
При исследовании полета с Земли на Марс транспортирующий эллипс выбирался
так, чтобы в момент t — 0 он проходил через Землю, а в момент tK — "врез проекцию
Марса на плоскость эклиптики. Пусть V\, V*, Vj = 0— компоненты скорости
относительно Земли в момент t = 0, а Vx, V* V*z — относительно Марса при t = tK в
транспортирующем движении. И пусть в момент t = tK расстояние от Марса до
плоскости эклиптики есть га. Тогда х\ = х\ = х\ — 0; х\ = х\ = 0; х% = za\ x\ — — V\\ x%=
зва


Такой выбор граничных условий обеспечивает отлет с Земли с нулевой
относительно Земли скоростью и прилет на Марс с нулевой относительно Марса скоростью.
(Земля и Марс считаются нетяготеющими точками.) Для полета с Марса на Землю
с теми же условиями граничные данные имеют вид
х\ = 4 = 0;
4 =-К;
*1К = -П;
4 = *,;
о а*
*l = -v\;
*2 = -П;
К К 1
-Л. 1 -■— .Л. о — Л'
4= -К;
4 = 0.
5 = 0;
Остановимся кратко на общем характере зависимости параметров f (величина
ускорения тяги) и т (время поворота) от краевых условий.
С этой целью рассмотрим задачу с нулевыми начальными и конечными значениями
координат (xs=x* = 0, s=\, 2, 3). Пусть V0 — начальная скорость, VK — конечная
скорость, 60 — угол между VQ и IV, обозначим k=V0/VK; k0=VK/Vo=\/k. Тогда
или
т
т
2(1 + fccoj
2 (k\ + k0 cos
>60)-
во)-
- V(l + £2 + 2£cos
2(1 —£2)
6o)2 + (l-
- J/ (*<j + 1 + 2k° cos 0o)2 + (*o
/?2)2
>
-i)2
T о /fc2
2(Л§—1)
(13.37)
(13.37a)
В зависимости от знака неравенства Vo^VK удобнее пользоваться первой или
второй из этих* формул, а именно той из них, в которой отношение скоростей меньше
единицы. Время поворота т зависит от двух параметров: k и 6 о. Эта зависимость
изображена на рис. 13. 3. Видим, что при заданном отношении начальной и конечной
скоростей время поворота тем ближе к началу (Vo<VK) или к концу (Vq>Vk) полета, чем
больше угол 60 между V0 и IV При фиксированном 60 время поворота изменяется
в зависимости от отношения VVVV
Аналогично для ускорения силы тяги / имеем формулу
]/(1~т)2+к2(1+т)2+2кС05%{1
., , - ..--■-, i + 2k cos 6n 11 — —
VK V V T J \ T V Г2,
/=—f rr\ ' (ia38)
т
(f)
./ -.. . - . . i- . . +2^n cos 80 (1— — |
f=-±— тг\ • <13-38a)
Из рис. 13.4, на котором приведена зависимость TffVK от k и 60, Tf/VQ от k0 и 60,
видно, что
/ = аШ,Х(р'У»), 2<а<4, (13.39)
где а зависит от отношения Vo/VK и угла 0О, но является ограниченной величиной.
Формула (13.39) позволяет сразу оценить значение f, необходимое для
осуществления заданного полета (заданы Т и Vo, VK). Величины V0, VK, Э0, а также в общем
случае еще и za являются при известных орбитах планет старта и финиша функциями
только момента отлета t\ и момента прилета t2.
Ниже рассмотрен пример расчета траектории в транспортирующей системе
координат. Расчет проведен для того же случая полета на Марс (со стартом 27.IX.1960 г.),
для которого рассчитывалась плоская задача с оптимальным (без учета возмущений)
управлением (п. 13.1.4). Траектория в транспортирующей системе изображена на
рис. 13. 1. Для сравнения на рис. 13. 1 нанесена траектория такого же полета, но
рассчитанная для оптимального случая, т. е. при линейных компонентах реактивного
ускорения. Необходимое постоянное реактивное ускорение f=0,83 мм/с2, поворот вектора
тяги происходит на 105-е сутки полета (при полном времени полета 212 суток);
максимальное отклонение траектории от транспортирующего эллипса ~ 10 млн. км.
Безразмерная величина J = f2T (где / и Т — безразмерные) равна 0,0696; по сравнению с
величиной /=0,0520, рассчитанной (без учета возмущений) для этого же примера при
оптимальном управлении, оптимальное управление дает выигрыш ~25%.
384


Рис. 13.3. Зависимость времени т поворота
вектора тяги от отношения начальной V0 и
конечной VK скоростей в транспортирующей
системе координат и от угла 60 между
векторами этих скоростей
1,60 0,2 О,1* 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6 0,<> 0,2 О
— *=рг; hQ Vq
Рис. 13.4. Зависимость величины /
реактивного ускорения от отношения начальной Vo
и конечной VK скоростей, угла 60 межд>
векторами этил скоростей и от времени
полета Т
Рис. 13.6. Системы координат
13 3669
385


В рассматриваемых примерах точные безразмерные значения / (полученные для
истинного поля тяготения) составляют соответственно 0,092 и 0,065. Таким образом,
оба полученных выше приближенных значения интеграла / отличаются от точных в одну
сторону на 23—24%. Точность определения выигрыша от оптимизации управления
примерно такова же. Для прикидочных расчетов такая точность бывает достаточна. Второе
приближение (с учетом линейной части солнечных возмущений), как показано
в разд. 13.1.7, дает гораздо более точный результат.
13.1.6. Интегрирование линеаризированной системы
уравнений оптимального движения
В задаче об оптимальном управлении реактивным ускорением рассмотрим ее
решение во втором приближении, т. е. получим решение системы (13.26)—(13.27).
Будем рассматривать безразмерные переменные г, и, /, связанные с размерными
/?, Vy T соотношениями
R = rr\
-/т* V=Y
rgv;
s = T*
(13.40)
Здесь г — начальное расстояние от центра притяжения и g — ускорение тяготения
на этом расстоянии. В линеаризованных уравнениях! (13.26) предполагается, что система
координат xyz движется поступательно вдоль кеплеровой транспортирующей
траектории. Индекс «0» означает, что коэффициенты взяты вдоль транспортирующей
траектории.
Решение однородных уравнений, соответствующих системе (13.26), дает просто
вариацию кеплерова движения. Решение неоднородных уравнений (13.26) возможно при
любом законе изменения fx, fy, fz. В частности, можно рассматривать оптимальное
управление вектором реактивного ускорения f(fx, fy, fz) по формуле (13.27).
Коэффициенты уравнений (13.26) и (13.27) вычисляются по формулам
Г3 '
Г3
г3
3*2
Г5
Uuu = - —
гЗ:
Г5
г3
Г5
(13.41)
Uxy =
Г*
ихг =
3xz
Г5
и„г =
Г5
)
Выберем теперь такую абсолютную систему координат XYZ с началом в центре
притяжения, чтобы плоскость транспортирующей траектории совпадала с плоскостью
XY, а ось X была направлена в перигелий транспортирующей траектории (рис. 13.5).
При таком выборе системы координат будем иметь вдоль транспортирующей
траектории:
—~ (3 COS2
г3
*-1);
и0 -
У У
3sin2ft — 1
У-J уу
1
и0 =
и ху
3 cos ft sin ft
U»
: = ^-0,
(13.42)
где Ф — истинная аномалия. В уравнениях (13.26) и (13.27) коэффициенты имеют
значения (13.42).
Для интегрирования системы уравнений (13.26) удобно перейти к вращающейся
системе координат, начало которой совпадает с началом системы xyz (т. е. с точкой
транспортирующей траектории), ось £ совпадает с осью г, ось ц направлена по радиусу-
вектору транспортирующей траектории, а ось g направлена по трансверсали
транспортирующей траектории в сторону движения. Имеем
х = t\ cos ft — £ sin ft; у = tj sin ft + £ cos ft; z — С (13.43)
Подставив (13. 43) в уравнение (13.26), после некоторых преобразований получим
уравнения движения в виде
... .2
7) — 2£со — о)2т) — со£ —
£ + 2тг)ю — <о2£ _|- OJ7) +
1
А;
(13.44)
386


Здесь о — угловая скорость движения по транспортирующей траектории; /_, /^,
Д—проекции вектора реактивного ускорения на оси т|, gf £.
Если / определяется уравнениями (13.27), то фундаментальная система решений
уравнений (13.44) без правых частей будет давать фундаментальную систему решений
и для (13.27); таким образом, fyj, Д, /сбудут определены; тогда движение находится
интегрированием неоднородной линейной системы (13.44) с известными правыми
частями. В результате интегрирования системы (13.44) получим сводку формул,
описывающих движение.
Пусть рассматривается движение в окрестности кеплеровской траектории с
фокальным параметром р (безразмерным), эксцентриситетом е, истинной аномалией О
во вращающейся системе координат т]|£, начало которой движется по выбранной
кеплеровской транспортирующей траектории. Обозначим штрихюм производную по Ф:
например, dr\/db=r\'. Переход к производной по времени (безразмерному) проводится
при помощи формул _
db\dt = Y~i>lr% r0=pQ\ q= 1/(1+« cos fl).
Рассматриваемое движение будет определяться следующей сводкой формул [1]:
Т = Cli)l + С2у\2 + Сз^Зз + 42^2 + ^З"» V = Cl7)! + 0^2 + СЪ% +
+ ър2 + •%?&
уц = — [т]3 + cos Ц;
е
у\2 = sin &;
7]3 = — Q2 COS # -f q2
X Q sin $ — ЗеЁ};
' 1 Г '
7)1 = V i-713- sin
т]2 = cos $;
e
sin2 0 -f- sin ft
1 — «2
(1 —«2)2
{(l+2e2)x
Чз = Р'
[e cos M e cos & ~
^2 =
f sin % I 2^c \
€ = С151 + С2£2 + Сз£з + С4£4 + С^ £'
;i =
(1—«2)2
Q
q sin & {5 — 2«2 + (4e — «3) cos ft} —
q ( «£ sin ^ + Ci
3£
■2^- + /,
()— «2J2q'
b = — — [1-(1 +«COS^)2];
e
q sin ft
"(1—«2)2
[2 + «2 + e (i _j_ 2^2) cos ft] —
3«
1 ~
(1—«2)2 Q
Za = q;
Ф
-fl'.-i
(^2 + ^3)U»; 2 =
/l — «2 '
COS £ = Q (« + COS ft), Sin E = У \ — «2 q sin ft;
С - C5C5 + C6C6 + C5*5 + C6^6; С - C5c; + C6C^ + C^5 + C'6z6;
<5 = с sin %; C5 = Q2 (e + cos ft);
C6 = q cos ft; Cg = — (i2 sin ft;
*5 = />3 J /c COS «p^O; 2Г6 = — /?3 j /cq3 sin $</&;
^О
1
ci = 2 — + — (jo — So* sin &og0);
Qo Co
(13.45)
13*
387


Qo
cs = — -7 (V/2° — ^2); ko = ^0 — CitiJ; *o = V0 — cnl0;
Qo
Г — ^° £° Cl C° ^2 iO ^3 .
Qo 60 Qo Qo
C5 = C0 sin %0 + — cos ft0;
Qo
I (13.45)
Cq = Co (£ + cos $) — — -sin 80.
Qo
Сводные формулы (13.45) выписаны для произвольного управления вектором /
реактивного ускорения.
Пусть теперь / удовлетворяет уравнениям оптимального управления. Тогда, как
следует из разд. 13. 1.2, компоненты вектора / по осям £, т], £ будут даваться форму-
(13.46)
4 3 6
/-1 /«1 j-J
Здесь a*, «j — константы, подлежащие определению через краевые условия.
Подставляя (13.46) в формулы (13.45), получим, в частности,
4
/-1
4
причем
VI f/shift/ 2/5/ \
^2 = 2j *lF2i; F2i = ~~рЪ J ~q— \"73 + q3i,7 Л;
/—1
4
Ф = У] */Ф/; Ф/ = j {^ ~ ~ (^2/.+ Vb-)) ^;
(13.47)
/-1
6
*5 = 2 aJz5J\ *5/ = Рг f C;Q3 COS » tfft;
6
^6=2 aJ26h *6j = — /?3 J C;Q3 Sin fo/ft.
Теперь ai и aj определяются из системы алгебраических уравнений:
з 4
%— 2 ^'"Ч'к = 2 ai(y\2K^2iK + ^Зк^З/к);
} (13.48)
/-1
3
/-1
4
"Пк— 2 ся\к = 2 а* (^Л/к + ^зк^з/к);
/-1 /=1
4 4
£к— 2 с&1к = Як 2 а*Ф*к;
/-1
/-1
8к — Qk f Ci + е sin &к£к — 2 — j = qk \^ а//5/к ;
/=1
(13.49)
388


б 6
6 , 6
С" S CJt'jK= ^ Л7'(С5к2'5;к+ Сбк*бУк)-
;-5 ;=5
(13.49)
Здесь индекс «к» означает конечные значения переменных.
Формулы (13.45) — (13.49) полностью решают линеаризированную задачу об
оптимальном движении КА. Входящие в эти формулы квадратуры могут быть взяты по
крайней мере частично. Выражения квадратур в явном виде очень громоздки.
Практически при серийном расчете задач эти квадратуры находятся численно.
К выписанным формулам следует добавить формулу для вычисления интеграла
/р = ( fpdt. Здесь fp — размерное значение модуля реактивного ускорения, / —
размерное время; /р выражается через безразмерное значение / формулой
ур = 4(-^)3/2у; / = ^яеад>. (13-50)
Эту квадратуру тоже удобнее находить численно.
Пусть X0YoZo — абсолютная система координат, причем ось Z0 перпендикулярна
плоскости эклиптики, ось Х0 направлена на точку весеннего равноденствия. Положение
ранее введенной системы £, ц, £ относительно системы X0Y0Zo дается углами Q, со, £, Ф
(рис. 13.5), которые дают соответственно положение восходящего узла орбиты,
положение перицентрия орбиты, наклон орбиты к плоскости эклиптики и истинную аномалию.
Пусть система xyz имеет оси, параллельные осям X0Y0Z0, но начало координат совпадает
с началом координат системы £, т], £.
Матрица перехода между этими системами и ее производная будут
/#11 #12 #1з\ ■' — #21 ~ #22 — #23\
A = la2i #22 #23 J; Л' = ( #11 #12 . #1з
\#31 #32 #33 / \ 0 0 0
Матрица обратного перехода и ее производная будут
(#11 #21 #3l\ / — #21 #11 0
#12 #22 Д32 ); (Л"1)' =( ~а22 #12 0
#13 #23 #33^ V— #23 #13 0/
ац = — sin и cos Q — cos и sin Q cos /; #12 = — sin и sin Q. + cos и cos Q cos /;
#2i = cos и cos Q — sin и sin Q cos /; #22 = cos и sin Q + sin и cos Q cos /;
#3i = sin / sin Q; #32 = — sin / cos Q;
#13 = cos tf sin /; #23 = sin и sin /; a33 = cos /.
(u = со + ft).
где
Таким образом,
и, наоборот,
(13.51)
(13.52)
Здесь штрих означает производную по истинной аномалии О.
Расчет динамических и энергетических» характеристик траекторий ведется в
следующем порядке.
1. По заданным моменту старта t\ и моменту финиша t2 рассчитывается
транспортирующая траектория, лежащая в плоскости эклиптики и имеющая в моменты t\, t2
координаты, совпадающие с координатами проекций планет на плоскость эклиптики.
Расчет транспортирующих траекторий ведется по формулам кеплерова движения.
2. Вычисляются краевые условия (х0, у0, z0; х0, y0, z0; хКу yK, zK; xK, yK, zK) в
относительной системе координат и пересчитываются на систему координат (|, ц, Z) по
формулам (13.61).
389


3. По формулам (13.45) —(13.49) решается краевая задача и рассчитываются
характеристики траектории в транспортирующей вращающейся системе координат.
4. По формулам (13.52) параметры траектории могут быть пересчитаны в
транспортирующую поступательно-движущуюся систему.
При желании могут быть рассчитаны траектории и в абсолютной системе
координат.
13.1.7. Примеры расчета некоторых траекторий.
Сравнение с точным решением
Полученные по предыдущим формулам характеристики траекторий могут быть
использованы в качестве первого приближения для расчета обычным итерационным
методом точной краевой задачи (13. 21) —(13. 24).
В настоящем разделе даны примеры расчета некоторых траектории полета
к Mapcv Венере Юпитеру, проведено сравнение точного и приближенного расчетов.
На рис 13 6—13.9 приведены некоторые характеристики полета к Марсу.
Рис. 13.6 и 13.7 содержат результаты точного и приближенного расчетов модуля
реактивного ускорения и его направления для полета со 2
стартом 28.IX.1960 г. и финишем 28.IV.1961 г. Видно хоро- /у,""/с
шее совпадение точного и приближенного расчетов.
(Более подробный анализ точностей будет дан ниже). На
рис. 13.8 изображены для того же полета: точная
траектория, транспортирующий эллипс, траектория, рассчитанная
по линейным уравнениям предыдущего раздела; на рис.
13. 9 —траектория, рассчитанная по линейным уравнениям
и изображенная в транспортирующей системе координат.
Отклонения от начала координат, т. е. отклонения прибли- ^50
женной траектории от транспортирующего эллипса, неве-
f,nn/c*
ZOO 250
t, сут
Рис. 13.6. Зависимость величины
реактивного ускорения / от времени t:
1— точный расчет; 2—приближенный расчет
0
-7
V7/7
Хя?
\iw 7
\ш /*.™/с
W ~-\
\170
\т
t=2!2 ct,
Рис. 13.7. Изменение
величины и направления
реактивного ускорения:
У—точный расчет;
2—приближенный расчет
лики (менее 7 млн. км). Еще меньше (на порядок) отклонения точной траектории
от приближенной.
Как показано в разд. 13. 1.4, оптимальная зависимость компонент fXy fy, fz от
времени линейная, если не учитывать возмущений. С учетом возмущений это тем точнее,
чем больше максимальное значение модуля реактивного ускорения. А модуль
ускорения велик, если мало время полета. П'ри больших временах полета реактивное
ускорение мало и, как показывают точные и приближенные расчеты с учетом возмущений,
годограф ускорений сильно отличается от линейного. Некоторые примеры годографов
fy(fx) приведены на рис. 13.7, 13.10, 13.11. На рис. 13.10 изображен годограф fy(fx)
(точный расчет) для полета на Марс, длящегося 420 сут. (Старт 17.VIII.1964 г., финиш
11.x.1965 г.). Видим, что годограф резко нелинеен. На рис. 13.11 зависимость fy(fx)
приведена для полета на Марс, длящегося 130 сут. (Старт 14.1.1965 г., финиш 24.V.1965 г.).
Зависимость fy(fx) в этом случае близка к линейной. Роль компонента fz всегда неве-
лика. Для сравнения на рис. 13. 12 изображены точные зависимости fx(t); fv(t); fz(t)
для полета со стартом 15.XI.1964 г. и финишем 11.Х.1965 г.
Истинные оптимальные траектории при полете на большие угловые дальности
требуют тем меньшего расхода топлива, чем больше угловая дальность и время полета.
Аналитически это означает, что зависимость интеграла (13.4) от полного времени
полета Т является монотонной и с увеличением Т интеграл / уменьшается.
390


На рис. 13. 13 приведена зависимость J(T), причем T = t2—t\, где t\— время старта
(время финиша t2 фиксировано). На этом рисунке приведены результаты точных
расчетов и приближенных (с учетом и без учета солнечных возмущений в транспортирую-
У,млн.км
100 Х.МЛН.КМ
Рис. 13. 8. Траектории полета к Марсу:
У—транспортирующий эллипс; 2—приближенная траектория; 3—точная
траектория
щей системе координат); рассматриваются полеты к Венере с финишем 18.VII.1964 г.
Видна область, в которой приближенный расчет дает хорошее совпадение с точным.
В табл. 13. 1 приведены характеристики полета с Земли на Марс, а также (в
последней строке таблицы) с Марса на Землю. В табл. 13.2 содержатся аналогичные
характеристики для полетов с Земли на Венеру. В первой колонке таблиц указаны даты
старта и финиша. В последующих колонках расположены следующие величины;
132,37
128,37
112,37
102,31
fy,M/cZ
0,51
t=Q
М,37
0,1 У 0,2
Рис. 13.9. Траектория в
транспортирующей системе координат.
Вдоль траектории указаны значения
истинной аномалии на
транспортирующем эллипсе
Рис. 13. 10. Изменение
величины и направления
реактивного ускорения
у= j f2dt в м2/с3, Т — полное время полета в сутках, Ф — угловая дальность полета.
0
fK — конечная величина модуля реактивного ускорения в мм/с2, f0 — начальная величина
модуля реактивного ускорения в мм/с2.
В клетках таблиц, содержащих* /, f0, fK, выписаны по три значения каждой из этих
величин. Первое числа получено по методу, описанному в разд. 13. 1.4, т. е. без учета
солнечных возмущений в транспортирующей системе координат. Иначе говоря, первое
число — характеристика полета в первом приближении. Второе число получено
описанным в разд. 13. 1.6 методом и дает характеристику во втором приближении. Наконец,,
третье число получено обычным итерационным расчетом краевой задачи (13.23) для
точных уравнений (13.21) и (13.22).
391


/,мм/с
Ух'™/с7
Рис. 13.11. Изменение величины и
направления реактивного ускорения.
Вдоль годографа указано время полета в сутках
160 60
Т,СЦ77
Рис. 13. 13. Зависимость
/ от длительности
полета Т. Вдоль оси Т
указаны также угловые
дальности Ф полета:
/—точный расчет; 2—расчет
во втором приближении;
3—расчет в первом
приближении
tfcym
Рис. 13. 12. Компоненты реактивного
ускорения
t Jt
юзу*
i
50
'30
10
1С0
150
ZOO
250 Фград
Рис. 13. 14. Зависимость ошибки при
ближенного расчета величины / от
угловой дальности Ф полета (для
полетов к Марсу и Венере)
392


В седьмой колонке указано отличие значения У во втором приближении (Ул») от
точного значения Ут в процентах по отношению к Ут.
В первой таблице, кроме того, для сравнения даются величины /с, Ус— первые
приближения характеристик неоптимальных полетов, а именно полетов с постоянным
по величине и однократно меняющим направление реактивным ускорением. Здесь
обозначено: fс — величина реактивного ускорения в мм/с2, Ус — значение \ f^dt = fcT
в м2/с3.
Эти характеристики вычислены без учета солнечных возмущений в
транспортирующей системе координат по методу, изложенному в разд. 13. 1.5, и могут
сравниваться только с первым приближением оптимальных характеристик. Но учитывая, что
влияние солнечных возмущений в процентном отношении почти одинаково для полетов
с разным управлением (при одинаковых датах старта и финиша), по числам,
приведенным в табл. 13. 1, можно оценить поправку на влияние солнечных возмущений
и для указанного случая неоптимального полета.
Таблица 13.1
Характеристики полетов к Марсу
Дата старта
и финиша
14.1.1965
24.V.1965
28.IX.1960
28.IV.1961
15.XI.1964
11.Х.1965
8.VIL1964*
3.VH.1965
У
М2/С3
60,88
71,29
71,20
9,33
11,53
11,54
3,60
3,23
3,20
3,67
3,32
3,26
Т
сут
130
212
330
360
ф
град
89,06
147,38
222,65
227,33
/к
ММ/С2
4,08
4,54
4,485
1,22
1,44
1,43
0,62
0,405
0,42
0,61
0,935
0,925
/о
ММ/С2
3,80
4,64
4,71
1,21
1,51
1,52
0,61
0,89
0,88
0,58
0,31
0,315
Ул Ут
1 h I
• 100%
0,13
0,09
0,94
1,84
/с
ММ/С2
2,67
0,82
0,41
0,40
М2/СЗ
80,13
12,30
4,80
4,90
Анализ табл. 13.1 и 13.2 показывает, что приближенный метод расчета обладает
достаточно высокой точностью для наиболее интересных случаев, когда полное время
полета не очень велико. При полетах на угловую дальность 225°—236° расчет
обеспечивает точность в определении У (а также /) в 1—5%. С увеличением угловой дальности
неточность расчета быстро возрастает и, наоборот, при угловых дальностях, меньших,
чем 225°—235°, точность метода весьма велика и в некоторых случаях' (при Ф<180°)
вычисленные характеристики отличаются от точных на десятые и сотые доли процента.
На рис. 13.14 приведена зависимость величины | (Ул—Ут)/Ут| • 100% от угловой
дальности Ф. Этот график характеризует точность приближенного метода расчета.
Расчет по этому методу требует примерно в 10 раз меньше машинного времени,
чем обычный итерационный расчет краевой задачи для точных уравнений.
Расчет полетов к Юпитеру по приближенному методу дает меньшую точность,
чем расчет полетов к Марсу и Венере (при сравнимых угловых дальностях полета).
При времени полета 549 дней и при угловой дальности полета 200° отличие
приближенного значения У от точного составляет около 12% (с завышением), т. е. точность
на порядок хуже, чем в расчетах полетов к Марсу и Венере. При меньших угловых
дальностях (150°—170°) точность будет порядка 1—5%, т. е. вполне приемлемой. Для
полетов к Юпитеру отклонения приближенной траектории от транспортирующего
эллипса достигают 50—60 млн. км, что не только абсолютно, но и относительно (по
отношению к пройденному расстоянию) больше, чем при полетах к Марсу и Венере
(приблизительно на порядок). -Поэтому точность расчета полетов к Юпитеру и
оказывается меньше.
Представление о характеристиках полета к Юпитеру дает табл. 13. 3, где приняты
обозначения такие же, как и в табл. 13. 1 и 13.2, только вместо /0 и /к введено /max —
наибольшее из значении /о, /к; приведены результаты расчетов только по приближенной
методике второго приближения (разд. 13.1.6).
Метод транспортирующих траекторий позволяет быстро и достаточно точно
рассчитывать характеристики космических полетов при наличии реактивного ускорения.
Точность определения основных характеристик полетов составляет 1—2% для полетов
к Марсу и Венере с угловыми дальностями порядка 200°—220°. При уменьшении угло-
* Полет с Марса на Землю.
393


вых дальностей точность растет, при увеличении — резко падает. Точность падает
также с ростом расстояния до орбиты планеты назначения, поэтому полеты к Юпитеру
рассчитываются менее точно, чем полеты к Марсу и Венере (при сравнимых угловых
дальностях).
Таблица 13.2
Характеристики полетов к Венере
Дата старта
и финиша
22.Ш.1964
21.VII.1964
11.ХИ.1963
18.VII.1964
21.XI.1963
18.V1I.1964
1.XU963
18.VII.1964
J
М2/СЗ
19,03
26,44
26,43
12,65
11,975
11,385
15,45
10,39
9,32
22,11
9,65
7,67
Т
Сут
121
220
240
260
Ф
град
136,35
234,79
255,05
275,16
/к
ММ/С2
2,51
4,02
4,08
1,29
2,25
2,24
1,37
2,01
1,95
1,62
1,85
1,70
/о
ММ/С2
2,09
1,85
1,845
1,50
1,26
1,15
1,58
1,19
1,04
1,77
1,17
0,93
|'л-'т
1 Jt
100%
0,04
5,18
11,48
25,81
Таблица 13.3
Характеристики полетов к Юпитеру
Дата старта
и фиьиша
1.VH.1965
1.1.1967
31.VIL1965
1.1.1967
30.VIII.1965
1.1.1967
J
36,71
39,80
49,01
Т
сут
549
519
489
Ф
град
198
170
144
/max
ММ/С2
1,60
1,92
2,60
Заметим, что при оптимальном управлении реакти&ным ускорением возможны
полеты со сколь угодно малым реактивным ускорением, запасом топлива, значением
интеграла /. Однако такой полет требует весьма большого полного времени полета,
причем тем большего, чем меньше значение интеграла /. При оптимальном управлении
реактивным ускорением для полетов к Марсу и Венере с возвращением на Землю
приблизительно в полуторагодичные сроки требуются максимальные реактивные ускорения
1,5—3 мм/с2 и расход интеграла в несколько десятков м2/с3.
Для полетов к Юпитеру с возвращением примерно в трехгодичный срок с
максимальным реактивным ускорением 2—3 мм/с2 требуется значение / порядка 100 м2/с3.
Для полетов в те же сроки между сферами действия планет с постоянным
однократно перекладываемым вектором реактивного ускорения требуются энергетические
затраты на 20—25% больше (по значению интеграла У), чем при оптимальном
управлении тягой.
13.2. РАЗГОН КА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ
13.2.1. Разгон с касательным постоянным ускорением
Если КА уже выведен на орбиту вокруг Земли, то с помощью двигателей малой
тяги он может быть разогнан до параболической (или гиперболической) скорости
по спиральной траектории вокруг Земли (рис. 13.15). Обозначим г—расстояние от
центра тяготения, V — скорость КА, t — время полета и введем безразмерные величины
Q- —; v-=- .-— V; т = 1/ -^-t; / = —, (13.53)
г0 У gur0 \ r0 g0
где индексом «0» помечены начальные значения величин, а /т0 — уекорстпе тяготения
на расстоянии г0 от центра притяжения.
394


Пусть разгон осуществляется с начальной круговой орбиты с помощью
постоянного касательного ускорения /=const. Тогда параметры траектории в конце участка
разгона (в момент достижения параболической скорости) описываются следующими
приближенными (точность 5—10%) формулами [3]:
Зк = 1/ —; ^к = v
/4/; тк = -
/(l+y~4/)
(13.54)
Число витков п спирали разгона с большой точностью определяется формулой [3]
/1=0,04.—. (13.55)
При разгоне с орбит, близких к круговым, среднее за оборот по орбите значение
оскулирующего эксцентриситета ecv и обез-
размеренная оскулирующая большая
полуось орбиты а связаны соотношением [7]
ft7Q(k=-0№>
2
£ср-
С
а
ГС=7&
1710
\1B50
\п=П -20
утю _30
Ч
1758 1770*
[h-0)
■4/2*4; С=*о*2р0-4/?Ло-
(13.56)
Из (13.56) видно, что <?сР с ростом а
сначала уменьшается, достигает минимума
и только после этого начинает возрастать.
Достижению параболической скорости
отвечает значение ее-Р=1.
Щк ^'тк
>1774
(h=0)
Рис. 13.15. Пример траекторий разгона
с исходной круговой орбиты (в
безразмерных переменных).
Сплошная линия — траектория при
постоянном касательном ускорении /=0,0005 мм/с-.
Пунктирная линия — траектория при таком же
по величине трансверсальном ускорении. Вдоль
траектории указано безразмерное время
полета и номера витков п. Витки 2—74 не
изображены. В скобках даны безразмерные
значения h полной энергии
Рис. 13. 16. Зависимость между
логарифмами безразмерных
параметров траекторий разгона с
исходной круговой орбиты
В табл. 13.4 приведены численные
значения некоторых параметров разгона,
полученных численным интегрированием
уравнений движения [7].
На рис. 13. 16 приведены зависимости
lgQK, lg"rK, \gvK от \gf [3]. Эти графики
удобны для расчета параметров разгона.
Таблица 13.4
Параметры разгона с круговой орбиты
Безразмерные
/
5-10—3
ю-3
5-10~4
ю-4
*к
157
856
1758
9192
; параметр
vK
0,401
0,268
0,225
0,151
)Ы
бк
12,438
27,846
39,506
87,715
Разгон с орбиты с высотой 300 км
над поверхностью Земли
мм/с2
44,7
8,95
4,5
0,9
Сут
1,5
8,5
17,5
92
vK
км/с
3,10
2,07
1,74
1,17
км
82 970
185 760
263 150
585 150
395


Уравнения движения под действием касательного реактивного ускорения имеют
первый интеграл — интеграл энергии, записываемый в безразмерной форме в виде
1/2
2
-t-/(s-
*о) = h,
(13.57)
где s — безразмерный путь, пройденный аппаратом вдоль траектории.
Уравнения движения под действием касательного постоянного ускорения f
обладают определенной автомодельностью. Пусть движение при /=1 определяется
функциями
vi (*i); Qi(ti), (13.58)
где ti — текущее безразмерное время для случая /=1. Тогда одновременно с решением
(13.58) существует серия решений для произвольных f:
Q(t) = -
Ci(*i); v(T) = yr/vi(Ti);
VI
Vj
Ti.
(13.59)
Движение можно рассматривать в оскулирующих переменных [8]: р — фокальный
параметр орбиты, е — эксцентриситет орбиты, О — истинная аномалия, а — долгота
перигея, t — время. «Автомодельные» переменные вводятся соотношениями
Р
пЗ/2
t\
-./"X
I/ 2/р
gorl-
(13.60)
Решение уравнений движения в оскулирующих элементах дает, вообще говоря,
колеблющиеся функции с периодом колебаний, примерно равным периоду обращения.
Пример гладкого решения (но не для постоянного /) —логарифмическая
спираль— рассмотрен в работе [10]. Для /=const существует класс гладких решений,
в определенном смысле универсальных [8].
■^ ->
q — grad U'— /;
-> ->•
f-Af = 0;
А = \
\ихх
\инх
\uzx
ихн
Uuu
Uzy
UXz\
U„z\
uzz 1
; u =
l
—
У
13.2.2. Оптимальный разгон
Разгон, минимизирующий значение /, получается, если вектор реактивного
ускорения по определенному закону колеблется между касательной и трансверсалью
траектории, оставаясь по модулю почти постоянным. Векторные дифференциальные
уравнения, определяющие оптимальное движение, таковы:
(13.61)
В момент достижения параболической скорости вектор ускорения должен быть
d i v\
направлен по касательной и, кроме того, *— I — 1 =1. На участке спиралевидного
движения с большой точностью можно положить, что оптимальный закон управления
реактивным ускорением при разгоне с круговой орбиты таков: вектор /опт постоянен по
модулю и делит пополам угол между трансверсалью и касательной к траектории [3].
На рис. 13. 15 изображены траектории разгона с постоянным касательным и с
постоянным трансверсальным ускорением при разгоне с круговой орбиты. На участках
спиралевидного движения эти траектории весьма близки Друг к Другу, и на этих участках
можно считать, что оптимальный разгон близок к разгону с постоянным касательным
ускорением.
В случае, когда трансверсальная компонента /т реактивного ускорения постоянна,
а радиальная /0 = Q, уравнение в проекции на трансверсаль интегрируется и при
Qo=\ получаются формулы [11]:
1
Q =
(1-ДО2
Q =
2/,
(1-ДО3
/о = Q =
6/?
0-/т')4
(13.62)
Эти формулы дают достаточно хорошее приближение оптимального движения на
участкам полета по спиралевидной траектории, т. е. при скоростях, не близких к
параболическим.
396


13.3. АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПОЛЕТОВ
С ДВИГАТЕЛЯМИ ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ
13.3.1. Оценка влияния «пространственное™» движения и введение
эклиптической транспортирующей системы координат
Реальные траектории полета между сферами действия Земли и, например, Марса,
будут, как правило, пространственными. Это обусловлено тем, что в начале и в конце
движения гелиоцентрическая скорость КА должна совпадать соответственно со
скоростью Земли и Марса, а орбита Марса наклонена к эклиптике на угол ia « 1°50'. При
этом Марс отклоняется от плоскости эклиптики на максимальное расстояние zaXn3iX
порядка 8 млн. км и может иметь по нормали в
эклиптике максимальную скорость г* max порядка ~'"
0,8 км/с, а транспортирующие траектории могут
существенно отклоняться от плоскости эклиптики.
Плоскость транспортирующего движения становится
ортогональной к плоскости эклиптики, когда
эклиптические долготы начальной и конечной точек
отличаются на 180°; при этом краевые скорости в
транспортирующей системе будут велики — порядка
скорости Земли. Это приводит к большим отклонениям
траектории от начала транспортирующей системы
координат по нормали z к плоскости ху
транспортирующего движения, и даже приближенно нельзя
пренебрегать возмущающей силой.
Чтобы избежать больших отклонений по
нормали z, следует транспортирующее движение
рассчитывать не по истинному Марсу, а по фиктивному,
движущемуся в плоскости эклиптики, т. е. с нулевым
наклонением орбиты и неизменными остальными
элементами орбиты. Соответствующую
транспортирующую систему координат называют эклиптической
[4]. Траектория КА в ней, как и в прежней системе,
будет начинаться в начале координат. Однако
кончаться она будет не в начале, а на оси z в той ее
точке га , в которой находится истинный Марс в
конечный момент движения. (Смещением проекции
истинного Марса на плоскость эклиптики от
фиктивного Марса здесь можно пренебречь ввиду малости
наклонения.)
В эклиптической транспортирующей системе координат проекции на плоскость ху,
т. е. плоскость эклиптики, начальной и конечной скоростей будут такие же, ка*к и
в плоской задаче. Такими же будут и отклонения траектории от начала координат
в проекции на плоскость эклиптики.
По нормали к эклиптике отклонения, как можно показать [4], будут порядка
z a max Максимум нормальной к эклиптике и постоянной по величине компоненты fz
реактивного ускорения, необходимой для сообщения КА компонент гатах,-2,атах для
времени полета 7=100 сут, достигает 0,43 мм/с2 [4] (рис. 13. 17). При типичных
величинах полного реактивного ускорения порядка 2 мм/с2 и времени полета порядка 200 сут
потребуется угол между вектором тяги и плоскостью эклиптики менее 0,1 град, а
соответствующие энергетические потери будут менее 1%. С ростом времени полета Т
полное реактивное ускорение убывает примерно как 1/Г2, т. е. энергетическое влияние
«пространственности» невелико и при других временах полета. Эклиптическая
транспортирующая система координат столь же удобна в пространственной задаче, как и
обычная транспортирующая система в плоской задаче.
гаг
Рис. 13. 17. Зависимость
нормальной к плоскости эклиптики
компоненты fz реактивного
ускорения от функции га/?аТ
аргумента широты и Марса и
от времени полета Т
13.3.2. Выбор задач для массовых расчетов и способа
представления результатов при анализе энергетики
траекторий полета к планетам
Если основной целью расчетов является определение необходимых; энергетических
затрат в задаче о полете к планете назначения (Марсу, Венере, Юпитеру) с
возвращением к Земле (или без возвращения), то внешняя задача, т. е. задача о полете
между сферами действия Земли и планеты, рассматривается отдельно от внутренней
[изложенной в разд. 13.2]. Для массового расчета наиболее целесообразно выбрать
задачу с оптимальным законом изменения величины и направления тяги (как с учетом
возмущений, так и без их учета), а также задачу о полете с постоянным по величине
реактивным ускорением, однократно скачком меняющим направление (без учета воз-
397


мущений). Под «возмущениями» здесь понимаются солнечные возмущения в
транспортирующей системе координат. Без учета возмущений получаем решение первого
приближения. Решение задачи с учетом возмущений в линейной постановке (13. 1) является
вторым приближением к точному решению.
В качестве основных определяющих параметров удобно взять времена начала t\
и конца t2 полета между сферами действия планет. Полеты «туда» удобно рассчитывать
[4] независимо от полетов «обратно».
Рис. 13. 18. Характеристики полетов к Марсу и обратно в 1964—1967 гг.
Изолинии разных ускорений /, мм/с2 (сплошные линии) и равных значений величины /=/2Г м2/с3
(пунктир) характеризующей расход топлива. При полете к Марсу U — время старта, ^ — финиша.
При полете обратно //—время старта, Ц—финиша. Ускорение силы тяги во время полета в один
конец постоянно по величине и однократно меняет направление. Штрих-пунктир — линия 10%-ной
точности характеристик
Для представления результатов удобно использовать плоскость tu t2 (рис. 13.18).
Ось t\ направлена по оси абсцисс, ось t2 — по оси ординат. В этой плоскости удобно
рассматривать различные семейства изолиний, в частности линии одинаковых
реактивных ускорений или одинакового расхода топлива. Каждому полету «туда» на этой
плоскости отвечает точка (ti, t2) над биссектрисой первого квадранта, поскольку t2>t\.
Величина необходимого для данного полета реактивного ускорения
определяется"изолинией, проходящей через эту точку. Биссектриса соответствует полетам с бесконечно
большой скоростью. Если для обратных полетов условиться время t\ начала полета
откладывать по оси ординат, а время t2 конца полета — по оси абсцисс той же
плоскости, то обратным полетам будут отвечать точки под биссектрисой этой плоскости, так
398


9Л W 26.Ш Ш\ МП 22Ш ЗОН \8.1 18 Б? 27Ш 4.Z7 \12Л 217 31.Ш 9Щ 1ВМ
1964г. 1965г 1966? 1967г. t, t'? 1968г.
Рис. 13.19. Характеристики полетов к Марсу и обратно в 1964—1967 гг. для случая
оптимального управления ускорением.
Изолинии равных максимальных ускорений f^^ мм/с2 (сплошные линии) и равных значений вели-
Т
чины /= \ pdt, м2/с3 (пунктир), характеризующей расход топлива. При полете к Марсу U — время
парта, t2 — финиша; при полете обратно W — время старта, f/— финиша. Штрих-пунктир — линия
10%-ной точности характеристик
399


как здесь t2>t\. Расстояния по вертикали и по горизонтали от данной точки до
биссектрисы равны и представляют собой время полета.
Чтобы пара точек (t\t /2), ( t\, ^2) могла представлять полет туда и обратно,
необходимо, чтобы было tx > ^2» при этом расстояние по вертикали между точками,
т. е. разность tx — t%, есть время пребывания вблизи планеты назначения. Разность
Т = t2 — ^1, равная расстоянию по горизонтали между точками (t\, ^2), ( ^, ^2),
приставляет собой полное время пребывания экспедиции вне сферы действия Земли.
Рис. 13.20. Изолинии характеристик полетов к Марсу.
Пунктир — изолинии интеграла / = J Pdt и значения У, м2/с3, сплошные кривые —
изолинии максимального ускорения /тах и значения /тах» мм/с2; tu t2—время старта
и финиша при полете к Марсу; t\', t2'—время старта и финиша при полете обратно.
Штрих-пунктир — линия 1%-ной точности характеристик. Сторона квадрата сетки —
100 дней
Т
Результаты расчета интеграла J= \ f2dt во всех задачах удобно представлять на
о
плоскости tu t2 в виде линий / = const (пунктир на рис. 13.18—13.22). На рис. 13.18,
кроме линий / = const, для задачи о движении с постоянным по величине и однократно
меняющим направление реактивным ускорением построены линии / = const, а для задач
с оптимальным выбором функции f(t) на рис. 13.19—13.22 построены линии /тах =
-=const, где /max — максимальная величина реактивного ускорения вдоль траектории,
определяемой рассматриваемыми моментами tu t2 начала и конца движения. На рис.
13.20—13.22 даны аналогичные характеристики, но вычисленные во втором
приближении.
13.3.3. Результаты анализа (в первом приближении)
оптимальных областей и траекторных характеристик
при полете к Марсу с постоянным реактивным ускорением
Обычно интересны сравнительно небольшие времена полета (порядка года) между
сферами действия Земли и Марса. Поэтому три (расчете кривых на рис. 13.18
предполагалось, что за время полета »в о(дин конец космический аппарат совершает не более
одного оборота вокруг Солнца.
Из рис. 13.18 видно, что имеются области значений (t\, t2), отвечающие полету
туда и обратно со сравнительно небольшими реактивньши ускорениями и временами по-
400


шшж
1962г.
1Лщ1'п'шшУшш1Ш111д'М1п 'шшушшшкхлшЬлшш'^ш
1963 г.
Шг.
1965 г. tut'z
Рис. 13.21. Изолинии характеристик полетов к Венере:
Обозначения те же, что и на рис. 13. 20
965г 1966г. 1967г.
,, Ш Ш ШП1Ш\ЛШШШХШ Л И
tf, tj I' ' ''I1 ' ' I I I || I I II I I II I I II I I III I I
1968г.
и ш x ш\ i шиш
1967г.
1967
%1S66
Рис. 13.22. Изолинии характеристик полетов к Юпитеру.
Обозначения те же, что и на рис. 13. 20
401


лета. Они расположены вдоль биссектрисы квадранта и образуют пары, следующие
друг за другом с периодом, равным синодическому периоду обращения Марса. Из-за
эксцентричности орбиты Марса взаимные расстояния Марса, Земли и Солнца при
одинаковых конфигурациях оказываются различными. Вследствие этого в 1966—1968 гг.
положение планет энергетически 'несколько более благоприятно, чем в 1964—1966 гг.
Примерно такие же положения планет будут возникать приблизительно через 15—17 лет,
т. е. через период, с которым повторяются великие противостояния Марса.
Рассматривая одну из шар, .например пару, отвечающую стартам в 1964—1966 гг.
и возвращениям в 1965—>1967 гг. (см. рис. 13.18), видим, что при значениях
реактивного ускорения I, близких К МИНИМаЛЬ1НЫ|М /min, кривые f=const являются замкнутыми
линиями как выше, так и ниже биссектрисы. Эти линии стягиваются в точке при
/—►/min. При помощи рис. 13.18 можно получить такие характеристики траекторий
полета с заданным реактивным ускорением f, как начало и конец интервала дат старта
с этим ускорением, возможное время пребывания у Марса, минимальное полное время
полета между сферами действия и т. д. Для определения наиболее ранней даты t\ mm
старта с данным ускорением f* достаточно на линии f=f* м области выше биссектрисы
найти точку с минимальным значением ti = ti тт. Для определения наиболее поздней
для данной пары областей даты t\ max старта надо на той же линии найти абсциссу
ti=tl min точки с ординатой ^imrx, являющейся максимальной для другой линии /=f*,
принадлежащей области шары ниже биссектрисы. При больших значениях U получаются
даты U прибытия к Марсу более поздние, чем наибольшая возможная дата ^imax 0T"
правления обратно к Земле. Если потребовать, чтобы между полетами к Марсу и
обратно имелось время Та. достаточное, например, для спирального снижения с тем
же ускорением f* к орбите близкого спутника Марса и спирального разгона с этой
орбиты до преодоления тяготения Марса (см. разд. 13.1), то интервал возможных дат
старта сократится соответственно величине времени пребывания у Марса. В
дальнейшем под интервалом Ati дат старта понимается именной такой сокращенный интервал.
Для точки с минимальной ординатой t2min на кривой f = const выше биссектрисы
будет максимальной разность t\—12 и соответственно максимально возможное
увеличение АТа времени пребывания КА у Марса сверх того минимального времени Та,
которое требуется затратить на спиральное снижение и обратный подъем в сфере действия
Марса. Соответствующее величине Та суммарное время полета ТЪт1пкратко назовем
минимальным. Избыточное время АГа может быть использовано для совершения
экспедиции с орбиты спутника Марса на поверхность Марса и обратного возвращения
исследователей на орбиту спутника или для длительного наблюдения и
фотографирования поверхности Марса с орбиты близкого его спутника. Сравнивая суммарные
минимальные времена полета ТЪт = Т\ -J- Та + Г2, где T\ — t2—1\, Т2 = /2—*i» Для
различных дат старта t\, найдем минимальное и максимальное возможное значение
времени полета. Сравнивая суммарные значения интеграла /s=/i + ^tt -Ь/2,
где J\ отвечает полету туда, /2 — обратно, a Ja—спиральному снижению и подъему
в сфере действия Марса, найдем минимальное для рассматриваемого значения f
значение («/S)min-
Из рис. 13.18 видно, что минимальные значения реактивного ускорения /, для
которого возможен полет туда и обратно в пределах рассматриваемой пары
благоприятных областей 1964—1966 гг., составляет около 1,7—1,8 мм/с2. Для следующей пары
благоприятных областей (1966—1968 гг.) имеем соответствующее минимальное
значение f^l,6 мм/с2, т. е. энергетически более легкие условия полета. Из рис. 13.18 видно
также, что при той же области стартов (1964—'1965 гг.) можно перейти в другую
область возвращений (1966—1967 гг.), отвечающую заметно большим временам полета,
но зато меньшим реактивным ускорениям. Эса область возвращений является, как
видно из рис. 13.18, продолжением области, соответствующей следующему за
рассмотренным благоприятному взаимному расположению Земли и Марса. Именно поэтому при
полете к Марсу с минимальным реактивным ускорением /min=0,4 мм/с2 нельзя сразу же
отправляться обратно, а приходится ожидать сверх времени Га еще около &То, = 100
дней на орбите спутника Марса. -
Аналогично полет туда и обратно с ускорением /min— О1,4 мм/с2 можно получить,
сохранив прежней область возвращений, но перейдя в область стартов, отвечающую
предыдущему благоприятному взаимному расположению Земли и Марса. Вследствие
аналогичности условий полета энергетические затраты при этом будут примерно такие же,
как и в предыдущем случае.
Способами, описанными выше, определены в случае движений с различным
постоянным по величине и однократно меняющим направление реактивным ускорением
следующие характеристики совокупности траекторий полета к Марсу в 1964—1965 гг. с
возвращением в 1965—1966 гг.
1. Величина постоянного реактивного ускорения f.
2. Начало t\ mm интервала возможных дат старта.
3. Длина интервала A^i возможных дат старта.
402


4. Возможное увеличение М\ времени пребывания у Марса (сверх времени,
необходимого «а спиральное снижение к круговой орбите высотой 300 км и обратный
спиральный подъем).
5. Минимальное для рассматриваемой величины / суммарное время полета Тъ min.
6. Соответствующие тому же f пределы суммарных значений интеграла
о
Эти характеристики представлены в табл. 13 5. Кроме того, в последней колонке
таблицы дано время Т^ необходимое для разгона в сфере действия Земли по
спирали с круговой орбиты спутника (высотой 300 км) до параболической скорости (или
на обратное спиральное снижение). Сделано это потому, что в принципе возможен вход
КА в сферу действия Земли с торможением в атмосфере ,и посадкой без помощи
двигателя, да и вывод КА из сферы действия Земли может производиться не
обязательно с малой тягой. Если для разгона или снижения в сфере действия Земли
используется двигатель малой тяги, то к величине ^^min Д°лжно быть прибавлено время Т или
Т^ = 2Т при получении минимального полного времени полета.
Таблица 13.5
Характеристики траекторий полета к Марсу при /—const
/ !
ММ/С 2
0,4
0,5
0,7
1.0
1,7-г-1,8
2,0
3,0
5,0
Дата старта
и
14.XI.1964 г
5.Х. 1964 г.
26.VIII.1964 г.
17.VII.1964 г.
13.V.1964 г.
3.V.1964 г.
1 19.11.1964 г.
. 30.XI.1963 г.
A'l
Сут
0
70
300
400
-20
150
380
600
*Т*
сут 1
-100
60-320
0V420
0-560
10
90
340
660
т \
Е m п
сут
970
900
820
800
550
I 465-=-570
330-390
250-400
h
М2/СЗ
12,6
22,7
48
104
120
184
305
880
т,
сут
250
200
140
100
60
50
35
20
Верхняя половина таблицы относится к случаю, когда для возвращения
используется область благоприятных взаимных положений Земли и Марса, следующая по
времени за областью возвращений, использованной для составления нижней половины
таблицы. Поэтому суммарные минимальные времена полета в верхней половине
заметно больше, чем в нижней.
Из обеих половин табл. 13.5 получается «непрерывный спектр» по реактивным
ускорениям, временам полета и другим характеристикам.
Минимальное суммарное время полета, как видно из таблицы, существенно
уменьшается с ростом величины реактивного ускорения, хотя это уменьшение и замедляется
с ростом f. Для наиболее интересных значений 2<f<5 мм/с2 построен график
функции 7>т1п(Я (Рис- 13.23).
На том же графике дано полное время T(f) полета в случае, когда разгон с
круговой орбиты спутника Земли на высоте 300' км и возвращение на эту орбиту
производится за время Т^ --= 27^ с тем же ускорением, что и полет между сферами
действия Земли и Марса.
Еще более существенно изменяется длина интервала возможных дат старта — от
величины порядка суток до 400 сут в первой половине таблицы и до 6001 сут — во
второй полов.ине таблицы. Величина ЬГ0 изменяется в несколько больших пределах почти
сходным образом. Но при этом в первых строках таблицы увеличение на Д7"а= 100-:-
60 сут времени пребывания, у Марса сверх величины Та является не только
возможным, но и необходимым, т. е. вынужденным временем ожидания благоприятного
взаимного расположения Земли и Maipca.
Представление об интервалах возможных дат t2 возвращения и об изменении
суммарных .времен полета Т^ /внутри одного интервала для значений 2</<5 мм/с2
дает рис. 13.24. Видим, что при /=2 мм/с2 функция Тъ (t2) — const, и с ростом /
диапазон ее значений растет, причем содержит два минимума и максимум.
Что касается значений величин /, использованных в табл. 13.5, то они отличаются
от точных значений на 10—15°/о. На рис. 13.18 и 13.19 штрих-пунктирными линиями
отмечена область такой точности (эта область лежит между биссектрисой t\ = t2 и
упомянутыми штрих-пунктирными линиями).
403


к.
Рассмотрим пример полета с (продолжительностью около полутора лет к Марсу
и обратно, сосчитанный без учета возмущений для случая (Постоянного, однократно
меняющего направление ускорения тяги. Однократность изменения направления
подразумевается, конечно, на каждом направлении: один раз -при полете к Марсу, один
раз мри полете обратно.
Транспортирующие траектории 'при полете туда и обратно .изображены на
рис 13.25 Весь полет 'продолжается 500 дней; из них 225 дней — полет к Марсу, 40 —
спиральное снижение до высоты 300 км над
поверхностью Марса и обратный подъем в сфере
действия Марса и 235 дней — полет обратно
к Земле. Все движение происходит под
действием постоянного ускорения малой тяги
f~l,96 мм/с2 (точнее, 1,93 мм/с2 при полете туда
и 1,97 мм/с2 —обратно).
Поворот направления тяги происходит на
122-е сутки после старта от сферы действия
Земли и на 94-е сутки после старта от сферы
действия Марса. Такой выбор сроков полета и
ускорения малой тяги обусловливает близость
этого полета к полету с минимальным расходом
топлива, так как величина f достаточно близка
к минимальному значению /mm = 1,7-^1,8 мм/с2,
при котором возможен полет туда и обратно,
а сроки полета выбраны из условия
минимальности полного времени полета.
Траектории полета в транспортирующей
системе изображены на рис. 13. 26. Ось х
направлена паралелльно направлению на точку весеннего
равноденствия; изображены проекции траекторий
на плоскость эклиптики. На рис. 13.27 отдельно
изображена компонента z как функция времени t.
Оценим возмущения добавлением ib уравнения движения ускорения силы с
компонентами FXf Fy, ликвидирующей возмущения. (По оси z отклонения на порядок
меньше, и соответственно влияние возмущений несущественно). Импульс этой силы за
время полета, отнесенный к импульсу оилы реактивной тяги за это же время (/.«, /?/,
табл. 13.-6), дает оценку относительного влияния возмущений. *
Таблица 13.6
Оценка влияния возмущений
600
500
400
300
ZOO
Z J 4 5
f,MM/C*
Рис. 13.23. Характеристики
полетов к Марсу с
возвращением на Землю.
Зависимость суммарного
минимального времени Г^щ
полета к Марсу от величины
ускорения f с учетом времени
разгона и торможения у Земли
(верхняя кривая) и без учета
его (нижняя кривая)
Относительный
импульс
Jx
Полет
Земля — Марс
0,082
0,008
Полет
Марс — Земля
0,021
—0,307
Полет
Земля — Марс —
Земля
0,050
—0,155
Для суммарного полета туда и обратно имеем завышение примерно на 15%.
Полученная оценка дает лишь -порядок поправки на возмущения и, возможно, является
верхней оценкой. Энергетика полета определяется не ускорением тяги, а квадратом
этого ускорения. Поэтому снижение на 15% ускорения тяги означает снижение
энергетических затрат примерно на 30°/о.
13.3.4. Оптимальные траекторные характеристики
(в первом приближении)
Из точных уравнений оптимального движения следует, что при достаточном
увеличении времени полета между сферами действия планет 1можно использовать сколь
угодно малые реактивные ускорения. При этом будут получаться траектории, делающие
много витков 'вокруг Солнца. Соответственно на плоскости (U, (2) изолинии fmax =
= const и У = const уже не будут замкнутыми. Поэтому при приближенном расчете
оптимальной задачи имеет смысл рассматривать только ту примыкающую к биссектрисе
часть [плоскости (tu t2), на которой изолинии не имеют еще тенденции «замкнуться».
При полете с оптимальным (линейньим по t) изменением компонент реактивного
ускорения характеристики на этой части плоскости (tu i2) имеют точность 12—15%.
На рис. 13.19 приводятся оптимальные характеристики полетов к Марсу, вычисленные
в первом приближении. Вместо прежней величины / рассматривается максимальное
404


Тъ,сут
18.V.64- 26.ШМ ЧЛМ 1Ш65 22Ж.65 30Л.65 8.1.66 t2
Рис. 13.24. Характеристики полетов к Марсу:
Зависимость суммарного времени полета Т% к Марсу и обратно от
даты t2 конца полета и величины реактивного ускорения /
у, мл и. им
tr23M65 _tz~n.lH.65
кратно
*г*шм
Направление
тощ весеннего
равноденствия у
Линия узлов
орбиты Марса
Рис. 13.25. Транспортирующие
траектории для полета' к Марсу и обратно,
близкого к энергетически оптимальному
полету
Рис. 13.26. Траектории полета
к Марсу и обратно (проекция
на плоскость ху эклиптики)
в транспортирующей системе
координат, соответствующей
транспортирующей траектории,
приведенной на рис. 13.25.
Время полета к Марсу 226 суток;
пребывание в сфере действия
Марса 40 сут.; полет обратно 235 сут.
Вдоль траекторий указано время
полета в сутках
Z, ПЛИ. КМ
8
Рис. 13.27. Зависимость
компоненты z от времени t
1 J
1
/
/
/
/
\
\
\
\
к 1
100 200
300 400 500
t, сут
405


для дайной траектории значение fmax реактивного ускорения (сплошные линии на
рис. 13.19).
Сравнение некоторых полетов с постоянным реактивным ускорением и полетов с
линейным;и по времени компонентами ускорения проводится в табл. 13.7. В этой
таблице приведены даты t\ старта, даты t2 сближения со сферой действия Марса, даты tx
отправления от этой сферы и даты t2 возвращения к сфере действия Земли,
определяемые условием минимальности суммарного времени полета с заданным постоянным
реактивным ускорением /. Для этих дат находятся величины «интеграла /,
определяющие расходы 'массы при движении между сферами действия планет. Значения У того
же интеграла даны и в случае, когда этот полет совершается в те же сроки tu t2y
*ii *2» но с линейными компонентами реактивного ускорения. Значения
соответствующих ускорений приведены в последней колонке (максимальное ускорение, требующееся
в процессе осуществления указанного полета туда и обратно при линейных
компонентах ускорения).
Таблица 13 J
Характеристики траекторий полета к Марсу
(Величина и направление реактивного ускорения оптимальны
в первом приближении)
мм/с2
2
3
4
5
h
6.VIII.1964 г.
24.1.1965 г.
14.1.1965 г.
14.VI.1965 г.
т
1 S min
сут
465
330
275
250
h
14.111.1965 г.
2.VI.1965 г.
3.V.1965 г.
23.IV. 1965 г.
h
14.IV.1965 г.
23.VI.1965 г.
19.V.1965 г.
6.V. 1965 г.
h
29.V 1.1965 г.
19.ХИ.1965г.
30.Х.1965 г.
30.1Х.1965г.
М2/С3
160
270
380
520
Г
М2'с3
122
210
305
405
/max
мм/с2
3,4
5,5
6,5
8,0
Вадим, что в случае постоянного ускорения необходимые величины ускорений на
50—70% меньше, чем максимальные ускорения при линейном управлении, но в
величине / проигрывается лишь 20—25% по сравнению с линейным управлением. Таким
образом, линейное управление ускорением позволяет при том же расходе топлива
отправить в полет заметно больший полезный груз, чем при постоянном ускорении.
13.3.5. Решение задачи о полете с постоянным реактивным ускорением
к Марсу без возвращения (в первом приближении)
Полет к Марсу без возвращения на Землю может быть использован, например,
для создания искусственного спутника Марса. Характеристики полетов содержатся в
верхней полуплоскости (t£>t\) плоскости Л, t2 (см. рис. 13.18).
Для задачи с постоянным реактивным ускорением (ом. рис. 13.18) примерно
каждые два года существует единственная оптимальная дата старта t\ и единственная
соответствующая дата t2 прибытия. Для этой пары дат t\, t2 энергетические затраты за
I '" \
время t2—tx полета определяемые интегралом J = J f2dt J, минимальны.
Существуют также единственные пары дат, при которых минимальны значения постоянного
реактивного ускорения f. Указанный примерно двухгодичный интервал является
периодом повторения одинаковых взаимных положений Земли и Марса.
Рассмотрим окрестность пары (t\, t2), отвечающей минимуму / (или /). При
значениях постоянных / (или /), больших, чем минимальные значения, старт (и
прибытие) становится возможным уже в любой день внутри некоторого диапазона М\ дат
старта (и диапазона &t2 дат прибытия).
Чем больше значения постоянных / (или f), тем шире диапазоны A^i, At2. При
переходе от одной изолинии к другой изолинии с большей величиной параметра / (или/)
интервалы A^i, At2 медленно растут в сторону малых значений U, t2 и быстро — в
сторону больших значений. Рост интервалов А^, &t2 в сторону малых значений t\, t2
всегда ограничен при ограниченных значениях /, f. В сторону же больших значений th t2
интервалы становятся неограниченными начиная с некоторых критических значений
/*, f*. Из рис. 13.18 имеем /*~ 17 м2/с3, /*=0,6 мм/с2. Старт становится возможен в
любой день начиная с некоторой даты t\—нижней границы дат старта для
рассматриваемого значения параметра / или f.
Неограниченностью интервалов Atfj, \t2 при значениях J, превышающих
критические, и объясняются прочерки в табл. 13,8. В этой таблице даны траекторные
характеристики ,при полетах к Марсу без возвращения с постоянным реактивным
ускорением (без учета влияний возмущений от Солнца).
406


Таблица 13.8
Характеристики траекторий полета к Марсу без возвращения
при / = const
/, мм/с2
1
0,4
0,5
0,66
0,7
1,0
1,5
2,0
3,0
5,0
h
2
14.XI.1964 г.
5.Х
5.IX
26.VIII
17.VII
28.V
3.V
18.11
30.XI. 1963 г.
Д^ь сут
3
0
75
170
h
4
30.XI. 1965 г.
11.VIII
17.VII
5.VII
11.VII
22.III
13.1
8.Х
18.V
A t2, сут
5
0
135
300
1 Т
1 2 min
сут
6
320
270
240
225
200
175
150
125
100
J=PT
1 М2/СЗ
7
4,4
5,8
8,8
10,0
17,3
34
52
97
215
Во 2-й колонке таблицы даны начальные даты t\ интервалов A/i возможных дат
старта; в 3-й приведены сами эти интервалы. В 4-й и 5-й колонках приведены
начальные даты и величины интервалов At2 возможных дат прибытия к Марсу. В 6-й даны
минимальные времена полета при заданных значениях /. В 7-й колонке приведены
соответствующие минимальные значения интеграла J ~ \ f2dty определяющего рас-
ti
ход топлива.
Видим, что минимальное постоянное ускорение, при котором возможен полет к
Марсу, равно М),4 мм/с2. Время полета при этом составляет около 10 месяцев, а
необходимое значение /=4,4 м2/с3.
Для сравнения из рис. 13.19 можно определить, что пои оптимальном управлении
ускорением (линейные по времени компонеты) полет такой же длительности требует
большей величины максимального значения реактивного ускорения (/max =0,6 мм/с2),
но меньших энергетических затрат (/=3 м2/с3).
13.3.6. Оптимальные траекторные характеристики полетов
к Марсу, Венере, Юпитеру (во втором приближении)
Полеты с возмущением, для которых за время полета в один конец КА
совершает не более одного оборота вокруг Солнца, изучены в транспортирующей системе
координат во втором приближении, т. е. с линейным учетом разницы солнечного
притяжения в начале координат и в месте нахождения аппарата [4].
На рис. 13.201—13.22 изображены характеристики таких траекторий полетов к
Марсу (см. рис. 13.20), к Венере (см. рис. 13.21), к Юпитеру (см. рис. 13.22) со
стартами в 1964—1965 гг. в виде изолиний максимальных необходимых реактивных
ускорений fmax и значений интеграла /= \f2dt. Изолинии /max = const изображены сплошной
линией; цифры около сплошных линий — значения /max в мм/с2. Изолинии / = const
изображены пунктиром; цифры около пунктирных линий — значения У в м2/с3.
В разд. 13.1 показано, что применяемый метод приближенного расчета — метод
транспортирующих траекторий — обладает высокой точностью при угловых дальностях
полета, не превышающих 200°—220°; при больших угловых дальностях ошибка расчета
резко возрастает с ростом угловых дальностей. Поэтому на рис. 13.20—13.22 нанесены
штрих-пунктирные линии, выделяющие область расчетов с высокой точностью (ошибка
<1%). Область характеристик, определенных с высокой точностью, лежит по обе
стороны биссектрисы квадранта вплоть до упомянутых штрих-пунктирных линий. Для
полетов к Марсу энергетические характеристики рассматриваемых
траекторий ограничены снизу значениями /max~0,5U-0,7 мм/с2 и /«2-^-4 м2/с3 (полет
в один конец), а для полета к Венере соответственно /max— 0,8—1,0 мм/с2,
/«5 м2/с3 и для полета к Юпитеру соответственно fmax— 1,5 мм/с2, /~20—30 м2/с3. При
очень малых временах полета (когда точки плоскости t\, t2 лежат близко к биссектрисе
квадранта) получаются, естественно, весьма большие значения энергетических
характеристик. На рис. 13.20—13.22 имеются изолинии /max вплоть до /т а х~ 104-20 мм/с2 и
изолинии / вплоть до /~2О0ч^50О м2/с3.
407


На .плоскости изолиний характеристик полетов к Венере (см. рис. 13.21), кроме
основной области изолиний, соответствующей циклу 1964—1965 гг., имеются небольшие
куски изолиний предыдущего цикла (внизу плоскости).
Изолинии характеристик имеют «горбы», вытянутые то направлению к
биссектрисе квадранта. Благодаря этим «горбам» можно найти на заданной изолинии точку,
обеспечивающую минимальное время полета в один конец («туда» или «обратно»), а
также точки, обеспечивающие минимальное суммарное время полета (т. е. в оба
конца). При этом нетрудно учесть и время, необходимое на (разгон или торможение в
сфере действия планеты. Это время можно рассчитать по данным, приведенным в разд.
13.1, а также в предыдущем разделе.
Анализ плоскостей t\, t2 (см. рис. 13.20—13.22) позволяет определить
характеристики совокупности траекторий полетов к Марсу, Венере, Юпитеру. Некоторые из этих
характеристик приведены в табл. 13.9—13.11.
Таблица 13.9
Характеристика оптимальных (во втором приближении)
траекторий полета к Марсу
/, мм/с2
1
2
5
10
*i
20.XI. 1964 г.
20.XII. 1964 г.
3.1.1965 г.
6.11.1965 г.
сут
564
470
330
236
•'т+о
М2/С3
13,5
37
170
500
М2'с3
18,7
47,4
196
550
Л гож
Сут
56
50
38
34
Таблица 13.10
Характеристики оптимальных (во втором приближении)
траекторий полета к Венере
/, ММ/С 2
3
5
10
h
4.V. 1964 г.
1.IX. 1964 г.
9.1.1965 г.
^Е. СУТ-
490
340
200
JT+0, М2/СЗ
45
125
350
У5, м2/сЗ
84
185
454
Д'ож, СУТ-
25
25
25
В табл. 13.9 приведены характеристики полетов к Марсу с минимальным
суммарным временем полета. В 1-й колонке приведены значения максимального реактивного
ускорения fmax в рассматриваемом полете; во 2-й — даты старта t\\ в 3-й —
суммарное время полета Т^ к Марсу и обратно с учетам времени, необходимого на
торможение вблизи Марса (на круговую орбиту с высотой Л=300 км) и обратный разгон;
в 4-й — значения интеграла J = JT+0 , необходимые для полета между сферами
действия планет («туда» и «обратно»); в 5-й — суммарное значение интеграла /= /sc
учетам затрат на торможение и -разгон. Кроме времени, затраченного на торможение и
разгон около Марса, полезно предусмотреть некоторое время на пребывание
экспедиции на Марсе. Если по прошествии этого времени «ожидания» А^ож начать полет
обратно на Землю и потребовать, чтобы энергетические характеристики этого полета (/ и
fmax) остались бы такими же, как и при А^ож=0, то время полета обратно увеличится
на некоторое А^обр. Из 6-й колонки иидно, какого времени ожидания .можно добиться
без изменения энергетических характеристик полета при увеличении времени обратного
полета на А^Обр=40 сут.
В табл. 13. 10 приведены аналогичные характеристики для полетов к Венере и
обратно с минимальным суммарным временем полета. В табл. 13.11 приведены
характеристики некоторых полетов к Юпитеру и обратно. Построение этой таблицй
несколько отлично от построения табл. 13.9 и 13.10. Юпитер обладает мощным нолем
тяготения, поэтому расход массы на торможение :и разгон весьма велик. В приведенной
таблице рассматриваются характеристики торможения до орбиты Амальтеи — спутника
Юпитера. В 1-й колонке табл. il3.ll приведены максимальные значения реактивного
ускорения, во 2-й — даты старта, в 3-й — суммарное время полета Г2 , в 4-й —
значения / = /т + о, необходимые для полета между сферами действия Земли и Юпитера
(«туда» и «обратно»); в 5-й колонке приведено время 2Г0 торможения и разгона около
Юпитера (переходов на орбиту и с орбиты Амальтеи), в 6-й — необходимые для этого
торможения и разгона значения интеграла / = 2/0.
408


Из таблиц видно, что максимальное ускорение 2-f-3 мы/с2 обеспечивает полеты к
Марсу или Венере с возвращением на Землю продолжительностью примерно 1,5 года, а
также полет к Юпитеру с возвращением на Землю продолжительностью 3 года. Полет
к Марсу продолжительностью 1,5 года возможен даже при /тах=1 мм/с2. Расходы J
при этом получаются сравнительно небольшими для полетов к Марсу и Венере (/ =
=20ч-БО м2/с3). Из таблиц видно также, что уменьшение полного времени полета
приблизительно в два раза связано (для рассмотренных полетов) с возрастанием
необходимых значений максимального реактивного ускорения и интеграла / примерно на
порядок.
Полеты к планетам без возвращения обратно могут быть использованы для
запуска автоматических станций на орбиту спутника планеты и для других задач.
В табл. 13.12 приведены характеристики полетов к сфере действия Марса без
возвращения с минимальным временем полета.
В 1-й колонке даны величины максимального реактивного ускорения, во 2-й —
даты U старта, в 3-й — времена Т полета, в 4-й — значения /.
Таблица 13.11
Характеристики оптимальных (во втором приближении)
траекторий полета к Юпитеру
/, ММ'С2
2
3
5
h
2.VII.1965 г.
21.VIII. 1965 г.
10.Х. 1965 г.
Т^ сут
1090
1000
890
Л + о> м2/с3
85
135
320
2Г0, сут
270
180
116
2У0, м2/сз
93
140
242
Таблица 13.12
Характеристики оптимальных (во втором приближении)
траекторий полета к сфере действия Марса без возвращения к Земле
/, ММ/С2
1
2
3
5
h
21.XI.1964 г.
6.VI.1965 г.
16.VI.1965 г.
18.VI. 1965 г.
Т, сут
260
204
160
128
У, м2/сЗ
6
17
40
88
Из общих графиков типа рис. 13.20—13.22 можно получить характеристики
разнообразных полетов. Можно, например, не ограничиваться полетами с минимальным
суммарным временем, а искать полеты с приемлемыми датами старта или финиша и с
суммарным временем полета, близким к .минимальному: при наличии расчетов в более
широкой области (захватывающей по крайней мере два цикла) можно 'искать полеты
с весьма длительным пребыванием на планете назначения и с возвращением на
планету старта в следующем цикле.
Рассмотрение движения по сферам действия принципиально упрощает
рассмотрение. Без этого упрощения уравнения оптимального движения оказываются существенно
сложнее [6].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XIII
1. Белецкий В. В., Егоров В. А. Межпланетные полеты с двигателями
постоянной мощности — «Космические исследования», т. 2, 1964.
2. Белецкий В. В. О траекториях космических полетов с постоянным вектором
реактивного ускорения — «Космические исследования», т. 2, 1964.
3. Белецкий В. В., Егоров В. А. Разгон космического аппарата в сфере
действия планеты.— «Космические исследования», т. 2, 1964.
4. Б е л е ц к и й В. В., Егоров В. А., Ершов В. Г. Анализ траекторий
межпланетных полетов с двигателями постоянной мощности. — «Космические
исследования», т. 3, 1965.
409


5. ГродзовсК'Ий Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика
космического полета с малой тягой.— «Инженерный журнал», т. 3, 1966'.
6. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. О движении тела
переменной массы с постоянной затратой мощности в гравитационном поле. ДАН СССР,
т. 1Э7, 1961.
7. Евтушенко Ю. Г. Влияние касательного ускорения на движение
спутника.— «Прикладная математика и механика», т. 30, 1966.
8. Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под
действием постоянного касательного ускорения.— «Космические исследования», т. 2, 1964.
9. I r vi n g J. H., Blum E. К. Comparative performance of ballistic and low
thrust vehicles for flight to Mars. Vistas in Astronaut, vol. 2, 191, 1959.
10. London H. S. Some exact solution of the equation of motion of solar sail
with constant sail setting. J. Amer. Rock. Soc. vol. 30, 198, 1960.
11. Tsien H. S. Take-off from satellite orbit. J. Amer. Rock. Soc, vol. 23, 233,
1953.


ГЛАВА XIV
КОРРЕКЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
-А [ ди dg, db \
Ai\ ~жТ* "^77" » ~7ГГ —градиент корректируемого параметра §*.
а — большая полуось орбиты.
a(t) — вектор корректирующего ускорения.
Ь_— прицельная дальность.
с — векторный интеграл площадей.
£>£—дисперсия параметра £.
Е— единичная матрица:
f векторный интеграл Лапласа.
h — интеграл энергии.
/ — сумма модулей корректирующих импульсов скорости.
Ко— корреляционная матрица шестого порядка, характеризующая
разброс параметров движения К А.
К— матрица случайного вектора корректируемых параметров.
N—матрица частных производных от корректируемых параметров по
компонентам корректирующей скорости.
п — трансверсаль траектории движения КА.
р — параметр орбиты.
г—радиус-вектор К А.
Т—время полета КА от момента коррекции до прохождения через
картинную плоскость (разд. 14. 10).
*£—коэффициент, характеризующий изменение времени полета при
коррекции координаты \.
U — матрица изохронных производных в абсолютной системе координат
OXYZ.
_V —» скорость полета КА.
V^ — скорость на бесконечном удалении от притягивающего центра.
ДУк — корректирующий импульс.
^ A Vi— корректирующий импульс t-й «солнечной» коррекции.
X, У, Z—оси абсолютной системы координат.
z— нормаль к плоскости орбиты КА.
а — угол наклона большой полуоси эллипса рассеивания к оси \
картинной плоскости (разд. 14.3), угол между вектором влияния
единичного импульса при «солнечной» коррекции \(\) и производной от
этого вектора по времени ^~ (разд. 14.9); сектор промахов однора-
d'
зовой коррекции (разд. 14.9).
Р.— сектор промахов двухразовой коррекции.
Д£ — приращение величины \.
Ъг — ошибка величины \.
411


£ — ось координатной системы, перпендикулярная картинной плоскости.
г] — ось координатной системы в картинной плоскости.
(ы—гравитационная постоянная поля тяготения (произведение
постоянной k2 тяготения на массу М притягивающего тела).
v —■ вектор 'нуль-направления.
|—вектор корректируемых параметров (разд. 14.1); ось координатной
системы в картинной плоскости (разд. 14.2); вектор влияния единич-
_ ного импульса при «солнечной» коррекции (разд. 14.9).
Q — радус-вектор КА относительно планеты-цели.
Oi — средняя квадрэтическая ошибка i-й величины.
о — угол между А\ и Л2.
т — время шолета от момента to до момента t.
Ф — угловая дальность полета. _
г|э— угол между вектором корректирующего импульса и вектором Ли
Wo — угловая скорость движения КА по орбите в точке t0.
14.1. КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ КОРРЕКЦИИ
Коррекция траектории, т. е. ее целенаправленное изменение, необходима тогда,
когда требуется изменить некоторые характеристики движения КА и получить с
требуемой точностью определенные элементы его орбиты.
Коррекция производится путем прило-жения силы к КА, в результате чего
траектория его движения изменяется нужным образом. По величине
корректирующего ускорения коррекция может быть
импульсной или непрерывной.
С точки зрения энергетических затрат важно, чтобы
характеристическая скорость AVK, сообщаемая КА при
коррекции, была минимальной. Это соответствует минимуму
расхода топлива, затрачиваемого на коррекцию движения КА.
Известно, что АУК минимальна при бесконечно большом
ускорении, сообщаемом КА корректирующим двигателем.
Следовательно, теоретически самым выгодным является случай
импульсного изменения скорости полета при коррекции.
Однако ускорение, сообщаемое КА корректирующим
двигателем, всегда конечно. Предположение о мгновенности измене-
ректирующего им- ния СКОрОСТИ При коррекции справедливо лишь тогда, когда
пульса А1/к в плоско^- ошибки в параметрах движения, обусловленные этим пред-
сти, ортогональной положением, соизмеримы с ошибками за счет метода расчета
направлению на Солн- траектории КА. Во многих случаях при расчете коррекций
Ие справедливо использование гипотезы о мгновенности
изменения скорости. Ниже приводятся основные зависимости,
справедливые для импульсной коррекции.
В общем случае с помощью одного импульса скорости, приложенного к КА <в
некоторой точке траектории, варьируя три составляющие этого импульса, можно
скорректировать три параметра траектории, например, три координаты или три составляющие
скорости движения КА в некоторой точке на траектории или три любых функции,
зависящие от координат и скорости. Такая коррекция называется трехкомпонентной. Для
реализации трехкомпонентной коррекции на КА устанавливается специальная система,
позволяющая ориентировать ось двигателя в любом заданном направлении. Более
простые системы ориентации могут накладывать ограничения на число свободных
компонент корректирующего импульса. Если пр>и коррекции могут варьироваться одна или
две компоненты корректирующего импульса, то такие коррекции называются
соответственно одно- 'Или двухкомпонентной. Например, если задана плоскость, в которой
должен лежать корректирующий импульс, то в этом случае могут варьироваться лишь две
величины: величина импульса и положение импульса в плоскости. Такой плоскостью
может быть плоскость, ортогональная направлению на Солнце (рис. 14.1).
Двухко'мпонентная коррекция будет также иметь место для случая, когда
величина корректирующего импульса фиксирована, но свободным является его направление в
пространстве.
Однокомпонентная коррекция соответствует случаю, когда направление
корректирующего импульса фиксировано (с точностью до знака) и может меняться только его
величина. Такое направление может быть коллинеарно направлению на Солнце, звезду
или какую-нибудь планету [1].
Многоразовые коррекции (многоразовое включение двигателя) можно
подразделить на неоднородные (связанные) и однородные (несвязанные). Каждая из
многоразовых коррекций может быть проведена по одному из способов одноразовой коррекции.
Солнце
412


Однородные (несвязанные) коррекции могут использоваться для
последовательного уменьшения ошибок движения. В этом случае при каждом включении двигателя
прицеливание /производится в одну и ту же точку, т. е. характеристики коррекций
определяются из однородных условий.
Связанные (неоднородные) коррекции могут использоваться для сокращения
энергетических затрат, а также в случае, когда число корректируемых параметров
превышает число свободных компонент скорости 'при одноразовой коррекции. При подобной
коррекции происходит поочередное смещение траектории либо вдоль наиболее
эффективных направлений, либо вдоль фиксированных направлений так, чтобы суммарное
смещение получилось равным заданному. При каждом включении двигателя
прицеливание /производится в новую точку, т. е. характеристики коррекции определяются из
различных условий. Необходимый результат в этом случае получается только после
проведения всех коррекций.
Например, для коррекции трех параметров может оказаться выгодным провести
три раза неоднородную однокомпонентную коррекцию, а в случае, когда нужно
скорректировать шесть параметров траектории с помощью трехкомпонентной коррекции,
число включений должно быть не меньле двух.
По числу параметров траекторий, подлежащих исправлению, коррекция может
быть однопараметршеской, двухпараметрической и т. д.
14.2. ВЫБОР КОРРЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Параметры траектории, подлежащие коррекции, образуют пространство
корректируемых параметров. Каждой реализации фактической траектории полета
соответствует точка в пространстве корректирующих параметров. В этом .пространстве
существует также область, в которой удовлетворяются условия, наложенные на траекторию
полета КА. Цель коррекции заключается в смещении указанной точки в заданную
область. _
Смещение в пространстве корректируемых параметров £ (gi, g2, • • ., gn) в общем
виде связано с вектором корректирующего ускорения a(t) соотношением
о
где N(t, a(t)) — в общем случае нелинейный векторный оператор.
Величина характеристической скорости коррекции равна
_ г_
ДКК = \a(t)dt.
О
Корректируемые параметры g удобно выбирать так, чтобы оператор N{t, a(t)] был
линейным относительно a(t):
N[t, a(t)] = N(t)~a(ty,
g= \N(t)a(t)dt.
0
Для случая мгновенного изменения скорости N(t) есть матрица частных
производных корректируемых параметров по компонентам корректирующей .скорости,
определяющая эффективность коррекции,
dSi dii dgi
N(t) =
dvx
dl2
dvx
dtn
dVy
#2
dVy
din
dVz
dt-2
dVz
din
dV\
dV„
x "' y
В случае импульсной д-разовой коррекции
/- 1
dV\
413


При полете к Луне и планетам Солнечной системы одним из источников
нелинейности связи корректируемых параметров с корректирующим импульсом является
притяжение планеты-цели или Луны. Для исключения 'нелинейного влияния притяжения
планеты в качестве корректируемых параметров следует выбирать (эмулирующие
характеристики V^ и b (рис. 14.2) планетоцентрического движения на бесконечно
большом удалении от планеты, -рассчитанные для момента наиболее тесного сближения с
планетой по приведенным ниже формулам:
След картинной
у плоскости
Планета-ичль
Рис. 14.2. Характеристики
планетоцентрического движения, используемые в качестве
корректируемых параметров
f = vx с — [х
sin 7
/fl2 + £2
V.
= j/V
V„ = Vn
_2fx_
Q
sin 7 — + cos 7
Ya2 + №
exj
b = b
cos 7
cX f
Sinf z ~
|e X /|.
Здесь №—постоянная тяготения;
M — масса планеты;
q, V — характеристики планетоцентрического движения.
Компоненты вектора скорости на бесконечности V^ и вектора прицельной
дальности b однозначно определяют геометрические условия сближения КА с планетой и
энергию планетоцентрического движения. Например,_в качестве корректируемых
параметров можно принять компоненты смещения А6=(6—Ьзад) в плоскости,
ортогональной Vqq (картинной (плоскости), _и -время полета до планеты.
При вычислении вектора 6зад для отображения точек физического пространства
вблизи планеты-цели на картинную плоскость с координатами 6 и г\ могут быть
использованы следующие соотношения [2]:
q sin X I 1 4- I /
1 +
4fx
1
QVoo 1 + COS X
т]зад = 6зад£0Т°;
£0:
l^ocXQX^I •
единичные векторы, определяющие направления осей в картин-
Здесь 1° ,и Ц
ной плоскости;
X и Q — полярные координаты отображаемой точки в плоскости заданной
траектории (рис. 14.2).
При коррекции движения КА следует учитывать, что выбор косвенных параметров,
не связанных однозначно с требуемыми, вообще говоря, приводит к увеличению
энергетических затрат на коррекцию.
14.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ РАССЕИВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
КОРРЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Принимая параметры расчетной траектории за метаматическое ожидание
параметров действительной траектории, отклонения ее от расчетной можно охарактеризовать
с помощью шестимерного нормального случайного вектора. Этому вектору в некоторой
системе координат соответствует корреляционная матрица шестого порядка [2]
414


Л21
к0
^12
^22
^13
*23
^24
^25
^16
^26
^61
К0
^62
^63
^64
А-0
^66
*0 =
По определению корреляционной матрицы члены, стоящие на главной диагонали,
представляют дисперсии, т. е. квадраты средних квадратичных ошибок а,-:
^?/ = (^)2 = ^.
Остальные члены представляют собой вторые смешанные моменты
*?,-*?,=
где Гц — коэффициенты связи величин i и /.
При расчетах коррекции можно пользоваться матрицей, где вместо средних
квадратичных ошибок используются предельные ошибки. Если известна корреляционная
матрица в момент ©ремени t0 иа траектарии, то такая же матрица в момент времени /
в линейном приближении может быть определена по формуле
где U — матрица изохронных лрошводных;
U* —транспонированная матрица,
U =
дХ
дХ
дХ
дХ
дХ
дХ
дХ0
дХ0
дУ0
д20
d(V~)0
d(.V?
-)о
HV7h
dY
' д(У2)о
д<У?)
дХ0
d(Vj)
d(V~)0
Координаты X, Y', Z и компоненты скорости V~, V~f V~ относятся к моменту
времени t, а координаты Xq, Yq, Zq и компоненты скорости (V~)o, (V~)j, (V~)q
относятся к моменту времени £0.
Корреляционная матрица в пространстве корректируемых параметров может быть
получена по формуле
где В представляет собой матрицу преобразования от параметров X, Y, Z, V~, V~,
Vy к пространству корректируемых параметров £i, £2» £з>---> %п-
Для случая коррекции положения КА в картинной плоскости эллипс рассеивания
случайного вектора Ab(A!j, At]) в момент времени t определяется матрицей
Db «Ь
Большая -и малая полуоси эллипса рассеивания получаются как корень
квадратный из D\ и D2, равных
Di = т [D*+D^ + V<Dt -D^ + ^n};
415


+
9-
c
4 rL
+
CO zL
9-
С
+
+
X
+
X
4 e ^
+
^ 9- + |
x
X
+
со
9-
О
X
ч ^
^1 d. "I" cs J
I
о
X
9-
О
+
x
^1 a. +
4-
И"
9-
C
+
X
+
+
4 a.
- 4
+
416


X
9-
C
+
^
X
q?
+
CO
о
+
X ,
X
+
X
h
i
9-
+
c
+
О
T
9-
.s
'53
+
4 " v.
+
CO I ^
+
X
=L *■
+
+
о
T
9-
C
H*.
+
14 3669
417


Угол наклона большой полуоси эллипса рассеивания к оси |
2^,
0<a<90°; K^ > 0;
90° < a < 180°; К£7]<0.
Наоборот, если известны параметры эллипса рассеивания, то можно получить
элементы матрицы £>£, D» , D^ (формулы легко получить из -предыдущих, поэтому здесь
они не приводятся).
14.4. ИЗОХРОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
При оценке влияния отклонений координат и компонент вектора скорости в
некоторый момент времени t0 «а отклонения координат и компонент вектора скорости в *
момент времени t приходится пользоваться матрицей изохронных производных. Ту же
матрицу можно использовать и при расчете коррекции с целью сближения КА с
планетами, Луной или другими КА.
Эти производные могут быть найдены в случае кеплерового движения
непосредственно путем варьирования выражений, полученных из интегралов уравнений
движения. Однако при этом получаются сравнительно громоздкие формулы.
В табл. 14. 1 приводится матрица изохронных производных, полученная методом
интегрирования уравнений в вариациях [7] и пригодная для круговых, эллиптических и
гиперболических орбит. Матрица изохронных производных дана в орбитальной системе
координат rnz (радиус-вектор центр тяготения — КА, трансверсаль и бинормаль
траектории). Индекс «нуль» в формулах относится к начальной точке.
Существует простой способ обращения указанной матрицы путем специальной
перестановки ее элементов [7].
При решении некоторых задач, связанных с коррекциями, требуется знание
производных по времени от элементов матрицы изохронных производных. Члены этой
матрицы могут быть определены из равенства
dU
dt0
-UQ,
где U — матрица изохронных производных координат и компонент вектора скорости
в абсолютной системе в момент времени t по координатам и компонентам вектора
скорости в той же абсолютной системе в момент времени t0
Матрица Q для потенциального поля имеет вид
где
0 = 1
а2/7
дХ*
d*F
дХдУ
d^F
10 Е\
\р о|
&F
дХдУ
d*F
дУ*
d*F
1'
d*F
dXdZ
d*F
dYdJ.
dW
dXdZ d?dZ
dZ2
F — потенциал поля тяготения (для центрального поля он равен —).
В случае коррекции положения КА в картинной плоскости и времени полета до
планеты при расчетах приходится использовать матрицу изохронных производных
компонент радиуса-вектор а и вектора скорости в момент времени / в системе координат
£т)£, связанной с картинной плоскостью, по компонентам радиуса-вектора и вектора
скорости в орбитальной системе координат в момент времени t0:
418


м =
ае
дг0
дг0
ас
аг0
ае
аг0
а^
дг0
ас
дг0
ае
ап0
а/г0
ас
а/г0
ае
дп0
dfi
дп0
ас
а/г0
ае
a*0
а*0
ас
dz0
аё
а-го
а^
а *0
а-г0
JL
ar0
аг0
ас
аг0
ае
дг0
d'yi
дг0
ас
аг0
А.
a/i0
аА0
JC_
дп0
д\
дп0
дч
дп0
ас
а/г0
ае
di0
dz0
ас
aio
al
aio
*i
d*o
ас
ai-0
Третья ось £ системы координат ортогональна картинной плоскости, и отклонение
по этой оси характеризует изменение времени полета до планеты.
dM
Матрица типа может быть определена по формуле [3]
dt0
dM
dt0
— MR.
(14.1)
Матрица R для потенциального поля может быть представлена в виде
\q B\
Я-
где матрицы q и % выражаются так:
НО —1 01
q = со0 1 О О
О 0 0
X q
(3 cos2 «p — 1); (3 sin <f>• cos <р); 0
(3 sin ср. coscp); (3sin2 <p — 1) О
О 0—1
Здесь со0 и го — соответственно угловая скорость движения по орбите и
расстояние от притягивающего тела в точке tQ.
Следовательно,
Л.
дг0
di_
dt \ дг0 )
d ( д})_ _Jl- + 0> J!l-
dt \ дг0 ) дг0 ° дп0
и т. д.
(14.2)
(14. 3)
Следует также заметить, что
dM
dt
= RM;
dU
dt
QU.
14.5. ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ
Пусть Agi, А£г, А£з— корректируемые отклонения. Тогда компоненты импульса
скорости коррекции в орбитальной системе могут быть определены из системы уравнений
a£i . dk\ .
A£l = —-г- Ar + —г- А/г
or дп
а^2 • а^о •
А£2 = "T^-Ar + -М- А/г -
дг дп
дг
ае3
дп
А/г
дг
dz
А.
dz
Az;
Az;
Az.
14*
419


Зная корректируемые отклонения, можно однозначно определить составляющие
корректирующего импульса
где В
Если определять составляющие корректирующего импульса в некоторой системе
координат у, связанной с орбитальной системой преобразованием L
1 Дг 1
А/г
\kz
= s-i
|A£l 1
Д£2
Usal
дг
д£2
дг
dh
дг
дп
д£2
дп
д£3
дп
asir
d?2
its.
|7i
72
1 Тз 1
= L
1 r 1
/z
Ы
то составляющие корректирующего импульса определяются в зависимости от
корректируемого отклонения
А?2
= L-B~i
Agi
де2
А£3
Априорно корректируемые отклонения могут быть представлены в виде
случайного вектора с корреляционной матрицей К. Тогда корреляционная матрица
корректирующего импульса получается [4]
'K^ = (LB-i)K(LB-i)\
Если известна шестимерная матрица Ко случайного вектора отклонения
траектории, то
к = ек0е\
где Е — матрица, выделяющая корректируемые параметры.
Для коррекции трех параметров £ь |2, ?з шестимерного вектора
Si
е2
£з
е2
«к :
имеем
где
10 0 0 0 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
7<т = Н (EKqE*) Я*,
и ll0; LB~~X
Я== 0; 0
/Ст — шестимерная матрица вида
Кч
0; 0
0; /С7
420


14.6. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ
Пусть Д|ь А£2— корректируемые отклонения, а вектор корректирующего импульса
находится в некоторой плоскости. Введем в этой плоскости некоторую прямоугольную
систему координат уь Y2; тогда можно написать
1*6,1
д71
Д 7*2
где
dt2
Д£2
^7*2
^72
(14.4)
Из (14.4) получим
К.
7i. Ъ
= C-i/C(C-i) .
Корреляционная матрица вектора корректирующего импульса будет двухмерной,
а следовательно, она будет определять эллипс рассеивания корректирующего импульса.
Можно определить плоскость оптимальной коррекции [5]. Найдем градиенты
величин £i и £2 в точке коррекции
дг
«i
^2 = grade2 =— * +
dz
k\
jJrTz~K
дг дп
где i, /, k — орты единичных векторов, направленных соответственно по осям
орбитальной системы г, п, z.
Плоскостью оптимальной коррекции называется плоскость, проходящая через
векторы Л1 = grad gi и ;42 = grad£2. Минимальный по величине импульс AVK коррекции
отклонений A|i и А£2 принадлежит плоскости оптимальной коррекции и равен
АТТ А2ХАгХА2 ,_ АгХ Л2ХАХ
ЬУ* = = = (A£i) + —— _ „ (A62V
О4-5)
(АгХА2У>
Формула (14.5) позволяет определить импульс AVK по заданным величинам
Agi и А£2.
Направление в пространстве, ортогональное плоскости оптимальной коррекции
и определяемое единичным вектором
vO :
Ai X A2
Ai X А2 |
называется нуль-направлением. Импульс AV, коллинеарный вектору v°, в линейном
приближении не изменяет корректируемых параметров gi и |2. В частности, если
корректируемыми параметрами являются координаты в картинной плоскости, то импульс
не изменяет координат в картинной плоскости, но изменяет время сближения
с планетой Т.
Если известна двухмерная матрица К случайного вектора корректируемых
параметров, дополненная нулями до трехмерной, то эллипс рассеивания корректирующего
импульса в плоскости оптимальной коррекции в системе координат rnz может быть
определен из корреляционной матрицы
^<оиг = С^ТК(С~\)\ (14.6)
где
Г —
'-'опт
*1
дг
д&
дг
дп
dg2
дп
#1
dz
ае2
dz
V V/2' VZ
■ составляющие вектора vO в орбитальной системе координат.
421


Следует заметить, что во всякой другой плоскости эллипс рассеивания
корректирующего импульса должен быть таким, чтобы проекция его на плоскость оптимальной
коррекции равнялась эллипсу, определяемому из формулы (14.6) (рис. 14.3).
Эффективность коррекции в данной точке траектории может быть
охарактеризована влиянием совокупности всевозможных единичных импульсов коррекции на
корректируемые параметры. Если направление корректирующей скорости может быть
любым, такой совокупностью является единичная сфера
Al?°*AV° = 1.
В пространстве корректируемых параметров £ь h, |з такой сфере соответствует
эллипсоид влияния импульсов коррекции
6*(Д-1)*£-1Ё= 1.
Соответственно этому определяется и эллипс влияния в плоскости g*£j с помощью
Нуль - направление
Рис. 14.3. Эллипс
корректирующего импульса
в плоскости оптимальной
коррекции и _в
плоскости у
Рис. .14.4. Характеристики
эффективности коррекции:
а—окружность единичных импульсов в
плоскости оптимальной коррекции; б—эллипс
влияния корректирующих импульсов в
плоскости оптимальной коррекции.
/—эллипс рассеивания
корректирующих импульсов в
плоскости оптимальной
коррекции; 2—эллипс
рассеивания корректирующих
импульсов в плоскости
коррекции Y-
двухмерной матрицы, получаемой из матрицы (ВВ*)
вычеркиванием строки и столбца с номером кф[, /.
Эллипс влияния является отображением
единичной окружности, расположенной в плоскости
коррекции, на плоскость корректируемых параметров
(рис. 14.4).
Вытянутый эллипс влияния указывает на неравномерность различных направлений
с точки зрения коррекции. Отклонение, лежащее близко к направлению большой
полуоси эллипса влияния, легче поддается коррекции, чем отклонения, направленные в
сторону малой полуоси.
Уравнение эллипса влияния может быть представлено в виде
5i =
е2 =
А2
cos ф;
cos(tp — а),
где Ли Л2 — градиенты корректируемых параметров;
г|? — полярный угол в плоскости оптимальной коррекции между импульсом
AVK и направление^ градиента Ах.
Отсюда следует, что при |Л1| = |Л2| и при а=90°, т. е. при равноправности всех
направлений, эллипс влияния превращается в окружность радиуса |i4i|. Такая
ситуация, например, реализуется в конце полета при сближении с планетой.
Величины большой и малой полуоси эллипса влияния определяются выражением
пах _ -■ / J_ (-12
п1п - у 2 И1
2 + А ± Y А\ + А + 2л2^2-cos 2o
)■
14.7. ОДНОКОМПОНЕНТНАЯ КОРРЕКЦИЯ
Рассматривается однокомпонентная коррекция, когда направление вектора
корректирующего импульса задано с точностью до знака и можно менять только его
величину.
Пусть корректируемым параметром является |. Тогда в линейном приближении
величина корректирующего импульса может быть определена из уравнений
422


Производная
dV
в общем случае является функцией времени, которая может
иметь максимумы и минимумы.
Минимальные затраты корректирующего импульса будут там, где график
производной будет иметь максимум (рис. 14.5).
14.8. СВЯЗАННЫЕ КОРРЕКЦИИ)
(Случай многоразовой оптимальной коррекции)
При подобной коррекции происходит поочередное смещение траектории в
пространстве корректируемых параметров вдоль наиболее эффективных направлений так,
чтобы суммарное смещение получить равным заданному. При каждом включении
двигателя прицеливание производится в новую точку, т. е. характеристики коррекции
определяются из различных условий в отличие от обычного случая многоразовой
коррекции, в котором каждая последующая коррекция исправляет ошибки предыдущей,
а условия коррекции остаются неизменными.
v2-v(tz) t
dV
АИктп1п
Рис. 14. 5. Пример зависимости
- *
производной -— от времени t
gV
проведения коррекции
Рис. 14.6. Квадрат единичных
импульсов для случая
двухразовой коррекции
Рассмотрим сначала случай коррекции двух координат g и ц в картинной
плоскости с помощью двухразовой импульсной коррекции в предположении, что моменты
и направления приложения импульсов AV(ti) и AV£t2) заданы. Будем рассматривать
сумму величин корректирующих импульсов |/| = |Д1Л| + |ЛУг|. _
В данном случае аналогом единичной сферы в пространстве / будет фигура
(рис. 14.6), отвечающая условию
|AFil + |AV2| = l.
Ввиду линейности преобразования вектора / в вектор g(g, г\) фигурой влияния
в плоскости является параллелограмм, натянутый на радиусы g(tfi) и S(^) (рис. 14.7).
Каждая точка этого параллелограмма может быть скорректирована единичным
суммарным импульсом
' 6Уг
Др2
и каждой паре импульсов AVi и ДУ2 соответствует свое значение вектора g(AVi, ДУг)
(рис. 14.7). __
Варьируя U и t2, мы получим годограф вектора g(tf) в картинной плоскости g, г\
(рис. 14.8), по которому будут двигаться вершины параллелограмма. Максимальную
'фигуру влияния мы получим обкаткой годографа спрямляющей прямой [3].
Прямолинейные участки этой фигуры указывают на те отклонения, для которых энергетически
выгодна двухразовая коррекцияг криволинейные участки соответствуют тем
направлениям, где выгодна одноразовая коррекция (сектор а на рис. 14.8).
Таким образом, в случае коррекции двух параметров указанным выше способом
оптимальное число идеальных коррекций не превосходит двух.
Рассмотрим коррекцию двух параметров g, т] способом трехкомпонентной
коррекции^ т. е. когда нет ограничений на направление корректирующего импульса.
423


Построим в плоскости g, у\ эллипсы влияния для различных времен проведения
коррекций.
Для построения максимальной фигуры влияния двухразовой коррекции следует
данную совокупность эллипсов влияния одноразовой коррекции в моменты tx t2 tz
обкатывать спрямляющей прямой (рис. 14.9) [5].
ы> t,
-Ш2)_ J_(uv„av.
Рис. 14.7. Фигура влияния
двухразовой коррекции
Рис. 14. 8. Зависимость размеров
параллелограмма влияния от моментов
времени проведения коррекции tu t2
Полученная фигура определяет различную тактику коррекции в зависимости от
направления вектора отклонения g. Спрямленные участки получившейся выпуклой
фигуры соответствуют двухразовому включению двигателя, а участки, принадлежащие
исходной совокупности эллипсов влияния, — однократному включению двигателя.
Отсюда следует, что двухразовая коррекция может потребоваться в случае, если
исходная совокупность эллипсов влияния не всюду выпукла, — только тогда будут
существовать спрямленные участки. Не всюду выпуклая совокупность эллипсов
влияния возможна лишь в случае немонотонной зависимости характеристик эллипсов
влияния от времени. В противном случае всегда существует эллипс влияния, охватывающий
все остальные эллипсы влияния. Из приведенных рассуждений следует, что для каж.-
Рис. 14.9. Максимальнее
фигура влияния двухразовой
коррекции
Рис. 14. 10. Октаэдр единичных
импульсов для случая трехразовой
коррекции
дой траектории имеется конечное число фиксированных моментов и направлений
импульсов для оптимальной двухразовой идеальной коррекции двух параметров. Эти
моменты и направления определяются точками касания спрямляющей прямой исходной
невыпуклой совокупности эллипсов влияния [5].
Полученные результаты легко обобщаются для случая трехразовой коррекции.
При этом роль единичной сферы
| AVx
ДК2
I Арз II
/ = | Д1^ | + I ДК2 I + I A Kg | = 1
в пространстве играет октаэдр, изображенный на рис. 14. 10.
424


Соответственно максимальная фигура влияния в пространстве корректируемых
параметров получается обкаткой спрямляющей плоскостью фигур влияния одноразовой
коррекции. Плоские участки получившейся фигуры отвечают трехимпульсной
коррекции, линейчатые — двухимпульсной, остальные точки — одноимпульсной.
Аналогичные рассуждения можно провести для четырехимпульсной
коррекции и т. д.
Пользуясь полученными результатами, можно показать, что оптимальное
количество импульсов связанной коррекции не превышает размерности пространства
корректируемых параметров [6].
Указанные свойства не зависят от вида исходной совокупности фигур влияния.
В частности, эта совокупность может соответствовать корректирующим импульсам,
направление которых так или иначе фиксировано в пространстве. В этом случае,
а также в случае, когда число корректируемых параметров превышает число
независимых корректирующих воздействий в каждой точке траектории, применение связной
коррекции может оказаться необходимым вне зависимости от соображений
минимизации суммарной скорости.
14.9. КОРРЕКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ
ИМПУЛЬСОВ СКОРОСТИ («СОЛНЕЧНАЯ» КОРРЕКЦИЯ)
В данном способе коррекции межпланетных траекторий (полет к планетам
Солнечной системы) система ориентации должна позволять направить ось двигателя
только к Солнцу или от Солнца, т. е. импульс корректирующей скорости должен быть
коллинеарен направлению на Солнце. Все результаты, изложенные в данном разделе,
могут быть отнесены и к коррекциям планетоцентрических траекторий вдоль
направления КА — центр тяготения.
Одноразовая коррекция по данному способу позволяет скорректировать только
один параметр у планеды назначения, т. е. она является однокомпонентной.
Многоразовая связанная коррекция может скорректировать несколько параметров.
14.9.1. Общие свойства многоразовой коррекции вдоль
направления на Солнце
I. В теории коррекции доказывается следующая теорема. При п солнечных
коррекциях (я>4), проведенных в некоторые моменты Бремени t\, t2,..., tn, количество
независимых корректируемых координат не превосходит двух; количество независимых
корректируемых скоростей не превосходит двух, а общее число корректируемых
параметров не превосходит четырех [3].
II. Для достижения минимальных энергетических затрат оптимальное число
солнечных коррекций не может быть больше четырех, поскольку это число не бывает
больше числа корректируемых параметров (при абсолютно точном знании
действительной траектории полета и нулевых ошибках исполнения коррекции).
Если корректируемыми параметрами являются две координаты в картинной
плоскости, то минимальное число корректирующих импульсов в общем случае не
превосходит двух.
III. Если корректируемыми параметрами являются две координаты в картинной
плоскости £, Л> то время полета до картинной плоскости, характеризуемое третьей
координатой, не корректируется.
Доказательство этого положения основано на том, что при солнечной коррекции
импульс скорости лежит всегда в плоскости траектории и не меняет линию
пересечения этой плоскости с плоскостью орбиты планеты, а только на этой линии и может
произойти встреча КА с планетой, которая будет там в определенное время.
Изменение времени полета после таких коррекций можно представить в виде
Мп = ^Д£ + ^Ат],
где А£, Аг] — корректируемые отклонения в картинной плоскости;
/с, t^— коэффициенты, зависящие только от элементов матрицы преобразования
орбитальной системы в систему координат, связанную с картинной
плоскостью; следовательно, это величины постоянные для каждой траектории.
Таким образом, время встречи с планетой после п солнечных коррекций всегда
одно и то же и не зависит от времени проведения этих коррекций, но и не совпадает
со временем сближения с планетой до коррекции.
14.9.2. Двухразовая солнечная коррекция для исправления
координат в картинной плоскости
Если известны первоначальное отклонения (А!-, Аг]) в картинной плоскости, то
в линейной постановке величины первого и второго ^корректирующих импульсов
определяются из системы уравнений
425


%e i и / — единичные векторы, направленные
т
dt 7
■if * Ы 4j
р^ J
Г4 ^
1 т
Ф\
> Е
где ЬУ\ и ДУ2— величины импульсов скорости коррекции, сообщенных
соответственно в первой и во второй коррекциях;
д£ а? дт) ду\
——, —— , —г-, —г- — частные производные от корректируемых параметров по
дг\ дг2 дг\ дг2
корректирующему воздействию.
Эта система имеет решение, когда ее определитель не равен нулю, что почти
всегда имеет место для траекторий полета к планетам Солнечной системы. В самом
деле, если определитель
_ _а?_ jhj_ __ _ае_ jfr\_ __
дг\ дг2 дг2 дг\
то это означает коллинеарность векторов %>(t\) и £(?г):
ас д-п
M-^-W + .^-Mj,
оответственно по осям 5 и Л
картинной плоскости.
На рис. 14.8 показан вид
годографа вектора g(£), соответствующего
полету к планетам. Каждая точка на
годографе соответствует отклонению
в картинной плоскости,
возникающему в результате приложения
единичного импульса скорости,
направленного по радиусу-вектору и*ли против
него, в разные моменты времени.
Выбирая на траектории любые
две точки_ коррекции, для которых
векторы | не параллельны, можно
в принципе скорректировать любое
отклонение в картинной плоскости.
Как было показано в разд. 14. 8, для
фиксированных моментов времени t\
и t2 в зависимости от соотношения AVi и АУ2 единицей корректирующей скорости можно
выбрать отклонение в пределах параллелограмма, построенного на векторах %{t\) и
%(t2). В зависимости от моментов первой и второй коррекций вершины параллелограмма
будут двигаться по кривой £(0, определяемой годографом вектора производных в
картинной плоскости.
Годограф вектора § имеет всегда вид, подобный изображенному на рис. 14. 8. Из
этого рисунка видно, что для тех отклонений, которые лежат в секторах а,
энергетически выгодно провести одно включение двигателя. Для остальных направлений
(секторы Р) энергетически выгодным оказывается двухразовое включение. При этом момент
одноразовой коррекции определяется однозначно из условия, чтобы направление
вектора ^(t) совпадало с направлением отклонения.
Моменты первого и второго включения двигателя можно выбрать исходя из
минимума суммарной величины корргктирующего импульса скорости
акя = |а71| + |а72|-
Как уже говорилось в разд. 14.8, оптимальные моменты включения двигателя
могут быть получены обкаткой годографа спрямляющей прямой. В зависимости от
вида годографа возможны следующие случаи.
Случай I. Годограф соответствует виду, представленному на рис. 14. 11, а.
В этом случае оптимальный по времени момент первой коррекции соответствует началу
полета, а момент второй коррекции определяется из условия
а)
f)
Рис. 14. 11
коррекции
Вид годографа вектора l(t) при
с помощью гелиоцентрических
Импульсов скорости
\дг2 ) дг2 дг\
dt
d i ae \ as
dt \ dr2 ) dr2
+
as
dri
(14.7)
Случай II. Годограф соответствует виду, представленному на рис. 14.11,6.
В этом случае для оптимальных моментов времени проведения коррекций, кроме (14.7),
должно выполняться и такое условие:
dt [ дг2 )
d
dt
In
d_
dt
m
d_
dt
\dr2)
(14.8)
426


Производные по времени от ~—г и —т-могут быть найдены по методу,
приведенному в разд. 14.4 [см. формулы (14.2) и (14.3)].
14.9.3. Выбор времени проведения второй коррекции
Для двух связанных коррекций, после того как проведена первая коррекция,
однозначно определяются момент времени и величина импульса скорости второй
коррекции (при известных первоначальных отклонениях траектории). Если к моменту
первой коррекции траектория была известна с некоторой погрешностью, а к моменту
второй коррекции возможно уточнение траектории, то оно может быть учтено путем
изменения момента времени и импульса скорости второй коррекции.
Предположим, что между действительным и необходимым моментами времени
проведения второй коррекции есть некоторое отличие А/, которое приводит к
появлению смещения траектории в картинной плоскости. Вектор этого смещения в линейной
постановке можно определить так:
d\
Д= = ДКК — М9
at
d\
где — — производная по времени от вектора £ (t)\
dt
AVK — величина корректирующего импульса скорости;
Д^— отличие между действительным и необходимым моментами времени
включения двигателя.
Можно получить производную вектора смещения по времени проведения
коррекции, т. е. производную без изменения величины корректирующего импульса; назовем
ее «полной» производной:
= ДКК- ,
dt dt
где —- может быть найдено по элементам матрицы изохронных производных
dt
(см. разд. 14. 4).
<*(АЁ)
Проекция вектора — на направление %{t2) при известном А^ может быть
dt
скомпенсирована изменением импульса скорости второй коррекции. Нескомпенсирован-
ной остается только проекция на направление, ортогональное l(t2) (см. рис. 14. 11, а).
д(Д£)
Эту некомпенсированную часть назовем «частной» производной ———. Она всегда
меньше полной производной, но требует для каждого, момента времени изменения
величины корректирующего импульса скорости.
Величина частной производной равна
а (до
dt
d\_
dt
Материалы, изложенные в данном параграфе для двухразовой солнечной
коррекции, могут быть распространены и на другие виды связанных коррекций, в том числе
и на случаи, когда первая и вторая коррекции проводятся разными способами.
Особенностью последнего случая является то, что здесь приходится иметь дело одновременно
с двумя годографами векторов производных, что существенных трудностей не
представляет.
14.10. СВОЙСТВА КОРРЕКЦИИ НА КОНЕЧНОМ УЧАСТКЕ
ТРАЕКТОРИИ
Перед сближением с планетой-целью на конечном участке траектории ввиду
близости планеты и КА, летящего к ней, их относительное движение может быть
представлено в первом приближении как равномерное прямолинейное движение, а совокупность
возможных траекторий — как пучок параллельных прямых.
Выделяя продольное сечение пучка, в котором лежит корректирующее
отклонение скорости AVV, введем величину соответствующего отклонения А/ вдоль линии
пересечения рассматриваемого сечения с картинной плоскостью (рис. 14. 12).
427


Плоскость оптимальной коррекции для исправления положения КА в картинной
плоскости в данном случае есть плоскость, перпендикулярная оси пучка. Эллипс
влияния есть окружность радиуса Т, где под Т понимается время, оставшееся до попадания
в картинную плоскость:
dl
dVK ~T'
Таким образом, вне зависимости от величин скоростей и взаимного
расположения планеты и КА эффективность коррекции в конце траектории определяется
временем, оставшимся до сближения с планетой,
т. е. эффективность коррекции одинакова при
полете к Луне и планетам Солнечной системы,
если коррекции проводятся за одинаковое
ьремя до попадания в планету.
Влияние импульса AVv, направленного
по нуль-направлению (т. е. вдоль оси пучка),
ча время полета определяется из формулы
дТ Т
0VV ^ ~ V '
v у отн
Заметим, что при совместной коррекции
координат и времени целесообразно
использовать более точную формулу, учитывающую
изменение после коррекции времени полета до
сближения с планетой,
След картинной
плоскости т
—Ч
Рис. 14. 12. Схема движения КА на
конечном участке траектории
Ы
дУк
= Т — ДТ = Т 1
AV\.
Vn
К \ г ОТН
Импульс, необходимый для коррекции времени на величину AT, определяется как
ДТ
АК =
Vn
Импульс, необходимый для ликвидации отклонения А/ и времени AT,
определяется из формул:
Д^ = - — Котн;
AV =
М
■(■-—Г
д^,
У*К
■AV*
Расчет по проведенным выше формулам дает хорошие результаты при
определении параметров коррекции, проводимой вблизи планеты (примерно за 15 суток до
сближения с Венерой и за 2 месяца до сближения с Марсом) [5].
14,11. ОШИБКИ ИСПОЛНЕНИЯ КОРРЕКЦИИ
Ошибки коррекции параметров £i определяются ошибками величины и
направления импульса. Ошибки величины импульса можно разделить на абсолютные, т. е.
не зависящие от величины импульса, и относительные. Абсолютная ошибка величины
импульса бУабс вызывает; максимальную погрешность корректируемых параметров,
равную
- ДК
■At—— bVa
/ = 1, 2.../1.
Относительная ошибка величины импульса
bV0TH = k\AV\
вызывает максимальную погрешность в корректируемых параметрах, равную
Таким образом, влияние относительной ошибки величины импульса коррекции на
параметры £v не зависит от момента коррекции, если величина корректируемого
отклонения А£ сохраняется неизменной.
428


Абсолютная угловая ошибка направления импульса соответствует относительной
ошибке боковой компоненты импульса. В пространстве импульсов абсолютной угловой
ошибке 6г|э соответствует круг, плоскость которого ортогональна направлению импульса
и радиус которого
bV6 = \bV\tgty^\&V\bty.
Следовательно, максимальная ошибка параметра ?•,• равна:
\6.VxAiXW\
Относительная угловая ошибка направления импульса
ЪЪоти=д\АУ\
вызывает аналогичную погрешность в корректируемых параметрах
sr AFxljXAK -
АУ X A'XAV
Абсолютная погрешность боковой компоненты импульса бУб.абс вызывает
максимальную погрешность корректируемых параметров
о?/ = . — ZZTT Л/0Кб.абс.
|avx^xav|
Для данного импульса коррекции AV область возможных его ошибок при
нормальном распределении компонент в пространстве импульсов представляет собой
эллипсоид вращения с осью, коллинеарной импульсу AV, и полуосями, соответственно
равными (при предположении о независимости всех ошибок):
aLV = K(SVa6c)2 + (*AV)2;
аб = V(W6.a6cj2 + (АК5ф)2 + (^АК2)2.
Матрица вторых моментов, соответствующая указанному эллипсоиду, в
абсолютной системе координат OXYZ имеет вид
Кг
\w = GK(f%
где
/С==
II *LV
0
1 о
0
а6
0
0
0
at
ko =■
АК
IaFI
/о =
AVX £°
m0 =
АКХ /о
ДК X 7о
I AV X £° |
g°— единичный вектор, неколлинеарный А У
Соответственно ошибки в пространстве корректируемых параметров 6 описываются
эллипсоидом с матрицей вторых моментов
Следует подчеркнуть, что все приведенные зависимости получены для известного
импульса коррекции AV. Для области возможных импульсов, определяемых, например,
с помощью корреляционной матрицы /Сду, закон распределения ошибок коррекции уже
не является нормальным и характеристики ошибок исполнения коррекции должны
определяться численным способом.
Подробная библиография работ о коррекции траекторий космических аппаратов
приводится в сборнике «Механика в СССР за 50 лет» [8].
429


ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XIV
1. Дашков А. А. Некоторые требования к системам коррекции межпланетных
траекторий. — «Космические исследования», т. IV, вып. 5, 1966.
2. Казакова P. К., Киселев В. Г., Платонов А. К. Исследование свойств
энергетически оптимальных орбит полета к Юпитеру. — «Космические исследования»»
т. VI, вып. 1, 1968.
3. К У б а с о в В. Н. Коррекция межпланетных траекторий с помощью импульсов
радиальной гелиоцентрической скорости. — «Космические исследования», т. IV,
вып. 5, 1966.
4. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки
результатов измерений. М., Физматгиз, 1962.
5. Платонов А. К. Исследование свойств корректирующих маневров
межпланетных полетов. — «Космические исследования», т. IV, вып. 5, 1966.
6. Платонов А. К., Д а ш к о в А. А., Кубасов В. Н. Оптимизация
управления полетом космических аппаратов. — Сб. «Автоматическое управление космическими
летательными аппаратами». М., «Наука», 1968.
7. Ч а р н ы й В. И. Об изохронных производных. — Сб. «Искусственные спутники
Земли», вып. 16, 1963.
8. Механика в СССР за 50 лет. М., «Наука», 1968.


ГЛАВА XV
МАНЕВРИРОВАНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — большая полуось орбиты.
Л; — апоцентр орбиты 7j.
А — апогей орбиты КА.
Ь —прицельная дальность (разд. 15.1); малая полуось орбиты (разд. 15.2).
сх — коэффициент лобового сопротивления.
cv — коэффициент подъемной силы.
D — продольная дальность спуска КА.
£>б — боковая дальность спуска КА.
Е — константа энергии.
Е — эксцентрическая аномалия.
с— эксцентриситет.
F — тяга двигательной установки КА.
F т — площадь миделя.
/ — реактивное ускорение.
g — ускорение земного притяжения.
G — вес.
И — высота полета.
На — высота круговой орбиты.
Л&тм — верхняя граница условной атмосферы.
И — высота однородной атмосферы.
I — удельный импульс двигателя.
/ — угол наклонения орбитальной плоскости к экватору.
К —заданное кольцо, концентричное относительно центра притяжения (разд. 15. 1);
аэродинамическое качество КА \К — —, разд. 15.2 I .
\ сх ' I
kv — коэффициент работы двигательной установки КА.
kj — весовой коэффициент при /-м граничном условии.
k\ — весовой коэффициент при составляющей основной (минимизируемой) части
функционала.
1
.ko~ -j=-— коэффициент.
L — константа площадей.
т — масса.
N — число импульсов скорости.
п—число корректируемых параметров (разд. 15.1); полная перегрузка
(разд. 15.2);
О — центр притяжения.
U — перигей орбиты КА.
П}— перицентр орбиты Tj.
р — фокальный параметр (разд. 15.1); удельная нагрузка на крыло КА
(разд. 15.2).
431


P—плоскость скоростей (разд. 15.1), минимизируемый функционал (разд. 15.2).
Q — интегральный тепловой поток.
q — скоростной напор.
qi —элемент орбиты.
qk —удельный конвективный тенлопоток.
R—радиус Земли (средний).
—»■
г — радиус-вектор.
га — радиус в апоцентре.
гп — радиус в перицентре.
5 — проекция суммарного ускорения на радиус-вектор.
5 — коэффициент конструктивного совершенства.
SHec — площадь крыла КА.
Т — проекция суммарного ускорения на трансверсаль, время конца маневра
(момент выполнения граничных условий).
Tj — орбита КА.
/ — текущее время (независимая переменная).
и — полярный угол радиуса-вектора.
Ue —эффективная скорость истечения газов из сопла двигателя КА.
V — скорость полета КА.
Vr — радиальная составляющая вектора скорости.
Vt — трансверсальная составляющая скорости.
Voo —скорость на бесконечном удалении от притягивающего центра.
W — проекция суммарного ускооения на нормаль к плоскости орбиты.
w — характеристическая скорость.
X — заданное граничное условие.
х — значение фазовой координаты.
Y — подъемная сила КА.
у — управляющая функция.
а—угол между вектором скорости и радиусом-вектором (15.1); угол атаки КА
(16.2).
Р — угол скольжения КА.
Y—внутренняя граница кольца К (разд. 15.1); угол крена КА (разд. 15.2).
Г — внешняя граница кольца.
А — угол собственного вращения орбитальной плоскости.
Ае — приращение эксцентриситета.
\р — приращение фокального параметра.
AV—импульс скорости.
AQ —смещение долготы восходящего узла.
Асо — смещение перигея.
бо—угловое положение линии апсид во вспомогательной системе координат^
6У — приращение управляющей функции.
6 —отклонение параметра от расчетного значения.
8 — угол наклона траектории КА.
Ф — угол тангажа КА.
х — штрафная функция, учитывающая ограничения по фазовым координатам.
X — географическая долгота.
(ы — гравитационная постоянная Земли.
v — истинная аномалия.
| — относительный вес.
q — плотность воздуха.
Qn — плотность воздуха в перигее.
т — тяговооруженность КА (т — —" I .
Ф — угловое положение перигея относительно линии узлов,
ф —угол между вектором тяги и трансверсалью (разд. 15. 1);
географическая широта (разд. 15.2).
% — угол поворота орбитальной плоскости (плоский угол между начальной и
конечной орбитами).
432


if» — угол рысканья КА.
Q — долгота восходящего узла.
со — угловая скорость движения КА.
со3—угловая скорость суточного вращения Земли.
со — аргумент перигея.
15.1. ОПТИМАЛЬНОЕ МАНЕВРИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ БОЛЬШОЙ ТЯГИ
(ИМПУЛЬСНЫЕ МАНЕВРЫ)
15.1.1. Оптимальные переходы между компланарными
орбитами при ограничениях на расстояние от центра тяготения
Рассматривается плоская задача оптимального импульсного перехода между
компланарными орбитами в центральном ньютоновском поле сил. При переходе
расстояние г движущейся точки от притягивающего центра должно удовлетворять
ограничениям
rmin ' max (*„< t <tK),
(15.1)
Ган- -f*(l+e„)/2£H<0.
т. е. в процессе всего перехода точка должна находиться в заданном кольце /С, центр
которого совпадает с центром тяготения:
К = {^min ^ r ^ Лпах} •
Внутреннюю границу кольца {r = rmin} обозначим
через у, а внешнюю {r=rmax} — через Г (рис. 15.1).
Ограничения на расстояние от центра тяготения
возникают в ряде задач, например при рассмотрении
переходов между орбитами вблизи планеты в пределах
ее сферы действия. При этом внутренней границей
кольца будет граница атмосферного слоя или
поверхность планеты, а внешней — граница сферы действия.
В начальный момент перехода t = tH точка должна
находиться на начальной орбите Гн, для которой
заданы два элемента, например константа площадей L„ и
энергии Ея или пери- и апоцентрическое расстояния гпн,
ган. Если энергия положительна (£н>0), то
Рис. 15. 1. Переход между
орбитами Гн и Гк,
осуществляемый в заданном кольце
Здесь еи — эксцентриситет начальной орбиты Тп.
В конечный момент перехода t = tK точка находится на конечной орбите Гк,
параметры которой равны LK, Ек или гпк, г&к (если £к>0, то гак<0). Если начальная или
конечная орбита пересекает границы кольца, то учитывается только ее некоторая
связная часть, принадлежащая кольцу. Начальную и конечную орбиты будем называть
исходными или заданными.
Направление движения по обеим орбитам — одинаковое. Ограничений на взаимное
положение линий апсид исходных орбит и на время перехода не накладывается.
Среди переходов с конечным (нефиксированным) числом импулг^ов AVi (i=
= 1, 2,..., N) определяется оптимальная траектория импульсного перехода, на
которой величина характеристической скорости wK в конце перехода (сумма величин всех
импульсов) достигает точной нижней грани абсолютного минимума на множестве всех
переходов:
IV
»'к = 2 Д^/- inf W*-
Рассмотрение импульсов оправдано тем, что при большой тяге размеры
активных участков при движении вне атмосферы часто малы и для знания характера
оптимальных траекторий достаточно бывает ограничиться импульсной постановкой. Кроме
того, некоторые результаты, например, по переходу между эллиптическими орбитами
в кольце, применимы целиком для ограниченной тяги двигательной установки.
Практическая важность минимизации характеристической скорости о>к, равной
»к= l\f(t)\dt
(при движении с ограниченным реактивным ускорением / (*))» или wk ~ 2 Wi
/-1
433


(при сообщении импульсов скорости), определяется тем, что при некоторых
условиях минимизация характеристической скорости соответствует минимизации расхода
топлива на КА. Это имеет место,- если масса т аппарата изменяется (уменьшается)
только при создании реактивной тяги (сообщении импульсов) и при этом скорость
истечения Ue постоянна. Тогда характеристическая скорость равна
w=—ие In (m/mH),
где тн — начальная масса.
Заметим также, что, хотя в исходной постановке задачи время перехода не
ограничивается, введение ограничений на расстояние от центра притяжения приводит
к оптимальным решениям с конечным временем перехода. Этого, вообще говоря, может
не быть в задаче оптимизации без ограничения на расстояние и время перехода, когда
на оптимальном решении может требоваться приложение импульсов сколь угодно
далеко от притягивающего центра и сколь угодно близко к нему, а время перехода
может неограниченно возрастать.
Рис. 15.2. Переход из начальной Рис. 15.3. Двух- и трехимпульс-
точки Мн в конечную точку Мк ный переходы между
эллиптическими орбитами
Рассмотрим некоторые свойства оптимального импульсного перехода из точки
в точку. Пусть в начале перехода заданы начальные кинематические параметры гн, V™,
VtH (расстояние от центра тяготения, радиальная и трансверсальная компоненты
скорости), в конце перехода — конечные гк, Vn<, Vt* (т. е. угловое расстояние между
точками не задается), а остальные условия перехода аналогичны указанным выше. Будем
говорить, что эти параметры определяют соответственно начальную Мн и конечную
Мк точки траектории перехода, если кеплеровские орбиты (начальная ТИ и
конечная Гк), определяемые этими параметрами, пересекают границы кольца (рис. 15.2).
Если же соответствующая орбита не пересекает границ кольца, то точку назовем
квазиначальной Мн или квазиконечной Мк. Вместо нее с равным успехом можно было бы
взять любую другую точку соответствующей кеплеровской орбиты Тп или Тк ввиду ее
замкнутости и незаданности времени перехода. Начальную и конечную точки
траектории перехода назовем граничными. Остальные точки траектории перехода, в частности
квазиначальная и квазиконечная (если они есть), по определению будут внутренними.
Тогда справедлива следующая теорема [18, 6].
Теорема. Внутренние точки оптимальной траектории, в которых сообщаются
импульсы, будут апсидальными, т. е. в них радиальная компонента скорости равна нулю
до и после сообщения импульса. Такие импульсы также называют апсидальными.
Рассмотрим два примера применения теоремы.
Пример 1. Начальные и конечные условия соответствуют орбитам Г„ и Гк, не
пересекающим границ кольца, т. е. имеет место переход между эллиптическими орбитами,
не пересекающими границ заданного кольца К. Граничных точек нет, все импульсы
будут апсидальными, оптимальный переход будет двух- или трехимпульсным (рис. 15.3).
Пусть для определенности ган^гак. Тогда при двухимпульсном переходе параметры
промежуточной орбиты Т2' равны:
гп2~г»н; ^"а2 = гак-
Первый импульс сообщается в перицентре начальной орбиты, второй — в конечном
(более удаленном) апоцентре [28]. Если при этом г
пн—'"лк ИЛИ Ган—Гак, ТО Переход
вырождается в одноимпульсный, импульс сообщается в общем перицентре или
апоцентре соответственно.
При трехимпульсном переходе параметры промежуточных орбит Т2 и Г3 равны:
Гп2~Гпи', Га2 = Газ==^тах; Гпз~ГПк.
434


ДК
Второй импульс сообщается на внешней границе кольца Г(г = гтах), первый и
третий — прилагаются в перицентрах начальной и конечной орбит соответственно
[29, 7]. Если Гпн = гПк, то случай N = 3 не может быть оптимальным. Если raK = rmax,
то переход вырождается в двухимпульсный.
Заметим, что соответствующую минимальную характеристическую скорость можно
сколь угодно точно реализовать и при переходе с конечной тягой. Для этого каждый
импульс AVi надо разбить на несколько достаточно малых составляющих импульсов
ij IAV^=2 AVij J, имеющих то же направление, что и прежний импульс AV*
\ i-i /
и сообщать их Друг за другом через оборот спутника по орбите. Далее эти частичные
импульсы аппроксимируются достаточно точно активными участками с конечной тягой.
Если затем устремить к нулю величину каждого частичного импульса AVij (и время
соответствующего активного участка), а число оборотов (и время перехода) к
бесконечности, то в пределе получим характеристическую скорость оптимального перехода.
При переходе между круговыми орбитами радиусов гн и гк(гн<гк) возможны три
случая. Если отношение радиусов гк/гн меньше /?«ll,94,jro оптимальным будет
двухимпульсный хомановский переход [21] N=2 [величина у \/р = х есть корень уравнения
л:3 -|- л:2 — (2 "К§ + \)х + 1=0]. Если гк/гн больше /?«15,56, то при любом гт&х>гк
оптимальным будет трехимпульсный переход Штернфельда [20] N=3 (/?~1=4 cos 40°—3).
В промежуточном случае р<гк/гн</? существует предельное значение Гтах, такое, что
при rmax<rmax переход будет двухимпульсным, а при гтах>7гаах — трехимпульсным.
Указанные области оптимальности обоих переходов и зависимость rH/rmax от гн/г„
приведены на рис. 15.4, где обозначено г=\/р, ?=\/р (ом. также [27])
Рис. 15. 4. Области оптимальности двух*- и
трехимпульсного переходов между
круговыми орбитами
"н AV
Тк(й./
Рис. 15.5. Одно- и трех-
импульсная траектории
оптимального «ухода» с
эллиптической орбиты
Пример 2. Начальная орбита не пересекает границ кольца. Для конечной орбиты
(гиперболы) задана лишь энергия Бк = V^/2. Имеем задачу оптимального «ухода»
с эллиптической орбиты [6]; она встает на начальной стадии межпланетного полета,
когда из решения «внешней» задачи определяется для гиперболы отлета вектор Voo.
Для оптимальной траектории перехода граничных точек сообщения импульсов нет, все
импульсы будут апсидальными, сообщается один или три импульса (рис. 15.6):
а) при Vreo<V7* = 1 / —— оптимальной будет траектория одноимпульсного
J/ rmax
перехода с тангенциальным импульсом в перицентре эллипса;
б) при Коо>У* оптимальной будет траектория трехимпульсного перехода, причем
для нее
3> frnin =' г\\к — *"пЗ"
Л(н = гп2»
: =- >"а2 :
435


Первый импульс сообщается в перицентре начального эллипса Ян, второй — на
внешней границе кольца Г, третий — на внутренней границе кольца у; здесь же будет
перицентр Як конечной гиперболы; условно этот переход обозначим Ян->Г->у
(аналогичные обозначения будем применять и дальше);
в) при Уоо = У* имеет место независимость этого трехимпульсного оптимального
перехода Ян-НГ->Як от конечного перицентрического расстояния в диапазоне
В силу обратимости задачи перехода эти результаты справедливы и для
оптимального схода с гиперболической орбиты с известной величиной Коо на заданную
эллиптическую орбиту.
Перейдем к анализу общей задачи перехода между орбитами.
Классификация исходных орбит и оптимальных траекторий переходов
Все орбиты по характеру пересечения ими границ кольца можно разбить на
несколько типов (рис. 15. 6) [7].
Тип I. Орбита этого типа — эллиптическая, не пересекает границ кольца, все ее
точки — внутренние:
Лп!п "^ гп < ra "^ гтах-
Тип II. Орбита эллиптическая, пересекает внутреннюю границу кольца у, начальная
Мн и конечная Мк точки орбиты лежат на внутренней границе, апоцентр А
принадлежит кольцу:
fn^^mim '"min ^ гг. ^ '"max*
Тип III. Орбита пересекает внешнюю границу кольца Г. Начальная и конечная
точки орбиты принадлежат внешней границе Г, перицент Я лежит в кольце:
fmin ^ гп < '"max* ^а^^тах*
Здесь и ниже •
sa ~ га J 5тах = гтах-
Тип IV. Орбита пересекает обе границы кольца, в кольце нет апсидальных точек
орбиты:
fn<C'"mim Sa<Smax.
В зависимости от выделенной связной части орбиты можно различить два
варианта:
IVa — соответствует движению от y к Г, при этом
Ма£г, МК£Т;
IV 6— соответствует движению от Г к у, Л1н6 Г, Мк£у.
Тип V. Орбита не имеет общих точек с данным кольцом:
Г и > fmax ИЛИ Га < rmin;
эти орбиты не представляют интереса для рассматриваемой задачи.
Если исходные орбиты — начальная и конечная — типа 5 и Т соответственно,
то переход между ними обозначим ST (например, если осуществляется переход с орбиты
типа I на орбиту типа IVa, то обозначим
его I IVa).
Не уменьшая общности, за начальную
точку траектории перехода можно взять точку
Мн6Гн, за конечную точку — точку Мк £ Тк.
Эти граничные точки, очевидно, можно
выделить, если соответствующие орбиты будут
орбитами типов II, III, IVa, IV6. Например,
если начальная орбита типа I, то на
траектории перехода нет граничной начальной точки.
Все остальные точки траектории перехода
будут внутренними.
Все импульсы оптимального перехода
разбиваются на две группы:
а) граничные, т. е. сообщаемые в
граничных точках траектории перехода; такие
импульсы могут быть, если соответствующие
исходные орбиты будут орбитами типов II, III,
Рис. 15.6. Различные типы орбит IVa, IV6:
в зависимости от характера Пересе- б) внутренние, сообщаемые во внутренних
чения ими границ заданного кольца точках траектории перехода. В соответствии
436


с приведенной выше теоремой эти импульсы и точки их приложения — апсидальные.
В зависимости от числа граничных импульсов оптимальные переходы
разделяются на 3 класса:
1-й класс. Обе исходные орбиты — типа I, не пересекают границу кольца, имеем
переход I I (пример 1). В этом случае все импульсы — апсидальные, граничных
импульсов нет (см. рис. 15. 3).
2-й класс. Одна из исходных орбит — типа I, не пересекает границ кольца, другая
пересекает его границы. Это переходы III, III I, IVa I, IV6 I (переходы типов I II
и т. д. здесь не указаны, так как сводятся к выписанным изменениям направления
движения). Переходы этого класса имеют не более одного граничного импульса. Задание
этого импульса полностью определит оптимальную траекторию перехода.
3-й класс. Обе исходные орбиты пересекают границы кольца. Это переходы:
II II, II III, II IVa, II IV6;
III III, III IVa, IIIIV6;
IVa IVa, IVa IV6, IV6 IVa
(остальные переходы эквивалентны этим).
Для таких переходов может быть два граничных импульса: как в начальной, так
и в конечной точках. Они и определяют оптимальную траекторию.
Плоскость скоростей
Ниже для геометрического представления результатов оптимизации будет
использоваться плоскость скоростей Р. Координатами точки в ней являются трансверсаль-
ная Vt и радиальная Vr компоненты скорости V(Vt, Vr) KA, соответствующие
заданному радиусу-вектору г или заданному расстоянию г от центра тяготения. Точку в этой
плоскости будем обозначать так же, как и соответствующий вектор скорости V. Укажем
некоторые свойства плоскости скоростей Р.
Рис. 16.7. Плоскость скоростей Рт Рис. 15.8. Плоскость скоростей Ра (началь-
(начальное перицентрическое расстоя- ное апоцентрическое расстояние больше,
ние меньше, чем на /?те) чем на Ra)
1. Задание точки в плоскости Р полностью определяет орбиту, поэтому
плоскость Р можно считать фазовой плоскостью. При пассивном движении, когда элементы
орбиты не меняются, орбита изображается в Р неизменной фазовой точкой. Если
осуществляется маневр, орбита меняется, то, пока орбита достигает заданного для Р
расстояния (гп^г; 5а^г-1), точка в Р будет описывать фазовую траекторию и по ней
можно следить за изменением орбиты.
При сообщении импульса AV на том же расстоянии г, для которого построена
плоскость Р, фазовой траекторией в Р будет отрезок прямой AV, исходящий из
начальной точки. Если же импульс сообщается на другом расстоянии от центра, то
фазовой траекторией будет отрезок некоторой кривой второго порядка. Плоскость,
построенную при r=rmin, будем обозначать через Ра, а плоскость, построенную при г=гтах,—
через Р% .
2. Геометрическим местом точек в Р, соответствующих орбитам с заданным пери-
центрическим расстоянием гп(0^гп^г), является гипербола R* (рис. 15.7):
y2t y2r /"V Г~^Г Л~^ /"2 (г— г„)
437


Ее эксцентриситет равен г/гп\ фокусы р1% и F2ic лежат на оси Vt на расстоянии
— ате от начала координат. Правая ветвь (Vt>0) соответствует прямому движению
по орбите, левая — обратному.
В качестве параметра на гиперболе Rn вводится угол Фя, определяющий
(при гп>0) следующим образом компоненты скорости КА:
^ = <.я8есФ«; V, = t.tg Ф., (15.3)
для прямого движения
jt ^ я
О ^ 1С ^ Г)
Точкам в Р, лежащим между ветвяхми гиперболы R% I Vj< I "~J + 1 1 °7с)'
z меньшим перице
соответствуют орбиты с меньшим перицентрическим расстоянием, чем на R^. В осталь-
^2
ной части плоскости
перицентрическое расстояние больше
заданного на R%t
Если гп=0, то обе ветви сливаются с осью Vr. Если rn = r, то гипербола
вырождается в два луча на оси Vt, уходящих из точек! ± 1 / —, О Iв бесконечность. При
уменьшении гп от г до нуля семейство непересекающихся кривых RK сплошь
заполняет плоскость Р, причем точки внутри круга радиуса Y^lr соответствуют
эллиптическому движению, а вне его — гиперболическому.
3. Геометрическим местом точек, соответствующих орбитам с фиксированным
апоцентрическим расстоянием га, при —г—1<С$а<Сг~1 является эллипс R*
(рис. 15.8):
/2 т/2
Эксцентриситет эллипса равен г/|га|. Его фокусы Flct, /^ лежат на оси Vt на
расстоянии ааг/|га| от начала координат.
Компоненты скорости КА, движущегося по орбите с заданным апоцентрическим
расстоянием га>0, на расстоянии г от центра тяготения определяются с помощью
вспомогательного угла Фа:
Vt = оа cos Фа; Vr = та sin Фа? (15.5)
п я
причем для прямого движения ——- < Фа < —-.
Точкам, лежащим внутри эллипса Ra, при га>0 соответствуют орбиты с меньшим
апоцентрическим расстоянием, чем точкам на Ra. Вне эллипса величина sa меньше
заданной на Ra.
Если га = г, то эллипс вырождается в отрезок прямой между точками
Для параболического движения (£ — 0) эллипс ^становится кругом
радиуса Y^r.
4. Пусть имеются две плоскости скоростей Ра и Рп, построенные на двух
различных расстояниях от центра, г = гтщ и r = rmSiX соответственно. Будем рассматривать
орбиты, достигающие обоих расстояний; для них Гп^гтт и sa^r~gX . Тогда можно
использовать обе плоскости. Это удобно при исследовании двухимпульсных переходов,
когда плоскости строятся в двух точках сообщения импульсов.
В плоскости Ра построим эллипс /?а, для которого г&=гтах, а в плоскости Рп
—»■ —*■
построим гиперболу R%, для которой rn=rmin. Пусть ]/(1) и К(2) — фазовые точки в
плоскостях Ра и Р% соответственно, относящиеся к одной орбите Т (L, Е):
И1» = (L/rmia, V2E - (L/rminy* + (Vmin));
v<2) = (i/rinax, 1/2£_4i- + -2!LV
\ У rmax rmax/
438


Рассмотрим некоторые свойства обеих плоскостей.
Большая ось эллипса Ra равна расстоянию между фокусами гиперболы R% и,
наоборот, действительная ось гиперболы Rn равна расстоянию между фокусами
эллипса Ra:
2«. = 27^ °« = V*,; 2ая = F, aF2a.
'min
Расстояние от фазовой точки до некоторого фокуса одно и то же в обеих
плоскостях:
Рис. 15.9. Плоскость скоростей Р% Рис. 15.10. Плоскость скоро-
начальное перицентрическое рас- стей ра (начальное апоцентри-
стояние больше заданного на R%) ческое расстояние меньше
заданного на Ra)
В каждой из плоскостей проведем через начальную точку (V^1* £ Ра; V^QP^uo
четыре фазовых траектории (см. рис. 15.7 и 15.8). Две из них соответствуют
сообщению импульсов при г = /*min, причем так, что линии их действия проходят в плоскости
Ра через фокусы Fla и Р^а (это прямые П\П\ и П^П^ в Pai гиперболы П±Пг и
/72/72 в Р%). Две другие соответствуют сообщению ИМПуЛЬСОВ При Г = /'max» T3K ЧТО
линии их действия в Рп проходят через фокусы Fu и F2% (прямые /73 Пъ и
/74Л4 в РЖ1 кривые второго порядка /73/73 и /74/74 в Ра). Эти фазовые траектории
делят все допустимое (а*п < гт1п, sa < г~*х} множество конечных скоростей 1/j.1* в
Ра (У^2) в РГ) на восемь подмножеств Mt 6 Ра (Mi 8 Рп), * = 1, 2,..., 8 (рис. 15.7,
15.8):
Mi (Afi) = {^>: ?laK < Tia„, Тьк >TiJ;
М2 (Й2) = {v(J): Ъ*к < ?кн, Ъ*к < Ъ,иУ>
Щ (Из) = (^к;)- ?2ак < ?2ан, *2ick ^ Ъян)!
Л*4 (М4) = {^Л: ?1аК < ?1аН, ?2ак > *2«н}'
Здесь <р1ан и <р1ак — углы наклона векторов FlaV^ и ^iaV^ к оси Vt в
плоскости Ра; аналогично определяются остальные углы <р. Индекс «у» равен у = 1 для
Р у = 2 для Р
Остальные области Мъ{Мъ)-^-М^{М8) получим, сменив знаки неравенств,
определяющих области M\(M\)-^Mik(M^)i на обратные.
439


В частном случае, при /*ан = гтах, VHl) £ Ra, области Mi(Mi), / = 2,3,...,6,
сливаются с дугой Ra, остаются области Mit М7, Ms (Л4Х, М71 М8). Если же г1Ш =
= ^mini T0 остаются области М.5, M6t М7 \М$ + Ml)*
При /*пн> A*min» 5ан < f^ax можно пользоваться лишь плоскостью Р% (рис. 15.9),
а при ган</*тах, гпн </*min —плоскостью Ра (рис. 15.10).
Оптимизация переходов на орбиту, не пересекающую
границ кольца (переходов 2-го класса)
Переходы данного класса разобьем на две группы [8, 9]. Рассмотрим сначала
переходы типа III I, IV6 I. Начальная орбита Тн пересекает в начальной точке
внешнюю границу кольца, Мн £Г, для нее s&u<smSiX. Конечная орбита не пересекает границ
кольца, Тк £/(. Эти случаи могут встретиться, например, при рассмотрении участка
траектории в сфере действия планеты назначения при прилете к ней с другой планеты.
Пусть имеет место переход III I, перицентр начальной орбиты лежит в кольце,
''min^/'пн^/'тах; параметром, определяющим характер траектории перехода, будет
величина гп2— перицентрическое расстояние орбиты Т2, получающейся после сообще-
ния импульса AVi в начальной точке Ми. В качестве второго параметра минимизации
функции wK удобно взять угол Ф%, через который выражаются компоненты скорости
в точке Мн при r=rmax для орбиты Т2 в соответствии с формулами (15.3), (15.2).
Не ограничивая общности, положим \i=l; rmax = l и будем иногда применять
обозначение гп вместо гП2.
Оптимальный переход имеет вид МН-^П2-^Т-^ПК. Фиксируем сначала
величину гП2. Тогда, минимизируя суммарную характеристическую скорость
<М>*п2, Ф«)=АК1(Гп2, Ф*) + ^2(>-п2. Фи) + АК3(А-п2)+АК4 (15.в)
по Фтс> получим, что оптимальный импульс AV^i в плоскости скоростей Р% направлен
вдоль прямой, проходящей через начальную точку VH(VtH, VrH) и фокус
^j7t(£3air/rn>0)> до пересечения с гиперболой Rn = \V: г„ = гп2|. Угол Ф% и угол <р
наклона импульса к трансверсали равны:
h Y\ - rl r k __ k
sin Ф, = ; cos Ф„ = $ -^ ;
h~-rnh '' * h-rnk2
h k2 \ (15.7)
sin <p = — g — ; cos <p = — 5 — ; кг = VrH;
h = vtH- tf V2/Vrn(i+rb); h= (k\ + 4У'2- ]
В частности, Ф^ = Фгн^ AV\ = Q, если гп = гпн. Формулы получены л ля более
общего случая, чем переход III I,
Z = s\gn(Vn2 — Кп3);
P==sign(rn2 —ги„),
для переходов III I, IV6 I будет |=1, случай £ =— 1 используется при нахождении
переходов 3-го класса.
В формуле (15.6) величины импульсов
AVi = {{Vr„-\tg *xf + {yt в-«» sec Фг)2}1/2; (15.8)
ДУ2 = Кп2-Кп3; &Уг=\Ую-Уя4\; АК4 = Vn4 - Vm, (15.9)
причем
т/ ^2гтах ^8есФя
»/п2 = '
гп2 >*п2
^2» 7*3 (гнЗ ~ гп2» >*аЗ = гтах)» ^4 (ги4 = rnio га4 ~ Лпах)
— переходные орбиты (рис. 15.11, 15.12).
Исследование зависимости шк(гП2) при (£^=0^ опт показывает, что оптимальным
значением гп2 может быть одна из двух величин:
(>Ъ2)опт = rm\n или (гп2)опт= min(rUH, rnK); (15.10)
в формулах (15.7) будет при этом | =—р=1, импульс Д1Л проходит в Ятс через
фокус Flw .
440


В первом случае оптимальный переход будет четырехимпульсным
Мн-7-Г-.Як. (15.11)
Во втором случае он будет двухимпульсным МН->ЯК, если гпн^/"пк, или трех-
импульсным Ян->Г->-Як (при этом все импульсы апсидальные), еСЛИ /"пн^^пк.
На рис. 15.11 показаны оптимальные переходы при гпн>/*пк, на рис. 15.12 — при
гПн<^пк. Второй параметр Фтс орбиты Т2 определяется по формуле (15.7) для
соответствующего значения (гП2)опт.
Алгоритм решения задачи будет следующим: для каждого из двух значений гп2,
Рис. 15.11. Оптимальные двух- Рис. 15.12. Оптимальные трех-
и четырехимпульсные переходы и четырехимпульсные переходы
типа III I при гпн>/*пк типа III I при гин<гПк
указанных в (15.10), находятся величина Фп по (15.7), компоненты скорости после
сообщения импульса AVi по формулам (16.3), импульс AVi, элементы орбиты Г2,
затем по формулам (15.9)—импульсы А1/2, АУз, ^^4, величина wK по (15.6). Находим
минимальное значение (шк)0Пт, одновременно (гПг)опт и оптимальный переход.
В частности, если min(rnH, /*пк) =/*min, то получим (гп2)опт=Гт1п. Поэтому
переход IV61 будет четырехимпульсным (15. 11), для него:
(>*н2)опт = ^mlm S = Р = 1 ,
импульс AKi проходит в Р^ через фокус F2n. На рис. 15.13 изображен этот переход
Т{нб) ^ Тк\ он осуществляется по орбитам Т^\ Т{36) и т\6К
Переходы типа II I и IVa I исследуются аналогично; в этих случаях начальная
орбита Тн пересекает в начальной точке внутреннюю границу кольца, Мн£у> ^пн^тт,
а конечная орбита не пересекает границ
кольца, Гк£/(. Эти случаи на практике
могут встретиться, например, при
рассмотрении заатмосферного участка тра*
ектории при выведении КА с планеты на
орбиту спутника (переход II I) или при
экономном аварийном возвращении на
орбиту спутника в случае неудачного
отлета от планеты (переходы IVa I и
ш).
Рис. 15. 13. Оптимальные переходы типа
IVa I и IV6 I
Пусть сначала имеет место переход II I. В качестве параметров, характеризующих
орбиту 72, здесь удобно взять апоцентрическое расстояние г&2 (или sa2 = r~2 )и Угол ®а,
через который выражаются компоненты скорости в начальной точке Мн после
сообщения импульса AVi при r = rmm (15.5), (15.4).
Положим rmm = l; \i=\. Иногда для краткости будем обозначать s&2 через sa.
При фиксированной величине га2 оптимальный начальный импульс AVi проходит в пло-
441


скости Ра вдоль прямой, соединяющей начальную точку (V*H, VrH) и фокус ^fa, до-
эллипса Ra = {V : Га=Га2}-
—»■
Оптимальное значение угла Фа и угла ср наклона импульса AVi к трансверсали
для заданной величины 5аг определяется формулами:
. А *а , #2 + £Р$а&з
sin Ф = ; cos Ф„ ~ ;
a *3 + ^а*2 *з + бР$а*Й
sin <р — р^! k3; cos ф = Р^2/^з»
Р = sign(saH — 5a); g = sign(Ka2 —Va3).
(15.12)
Рис. 15. 14. Оптимальные двух-
и трехимпульсные переходы
ТИПа II I При Ган>/*ак
Рис. 15. 15. Оптимальные
переходы ТИПа II I При ГанОак
В частности, если5а = 5ан, то Фа = Фан; AV^ — 0.
Для переходов II I, IVa I будет £ = — 1; случай £ = 1 используется при
исследовании переходов 3-го класса.
Исследуя далее зависимость wK от sa2, получим, что оптимальный переход будет
в общем случае трехимпульсным и . запишется в виде Мн->Аг-**Пк, а оптимальными
значениями г&2 могут быть лишь крайние значения:
(>*а2)опт = >*тах или (га2)опт = тах (ган> >*ак)>
причем £ = —р = — 1, импульс AVi проходит в Ра через фокус Р1ал
В первом случае переход трехимпульсннй; он имеет вид
Мя-+Т-+Лк, (15.13)
во втором случае — одноимпульсныи в апоцентре Лн, если ган=/*ак, и двухимпульсныи,
МН->ЛК, если гак>/*ан, или Лн-^Як, если ган>/*ак. На рис. 15. 14 показаны оптимальные
переходы при ган>гак, на рис. 15. 15—при ган</*ак (случай rmax=°o см. также в [24]).
В частности, если тах(ган, /*ак) = гтах, то (/*а2)опт= rmax- Отсюда следует, что
переход IVa I будет трехимпульсным (15.13); для него ra2 = rmax\ £ = [} = —1,
импульс AVi проходит в плоскости Ра через фокус Z^. ^а Рис- 15.13 изображен этот
переход Т^->» Тк; он осуществляется по орбитам Г2а) и 7^а\
442


Оптимизация переходов между орбитами, пересекающими границы кольца
(переходов 3-го класса)
В данном разделе рассматриваются переходы 3-го класса, когда обе исходные
орбиты пересекают границы кольца К [12]. Рассмотрим три случая.
Случай 1. Оптимальные траектории переходов, граничные точки которых
находятся на внешней границе кольца. Сюда относятся переходы III III, III IVa, IV6 IVa,
при этом исходные орбиты пересекают внешнюю границу Г.
Для перехода IIIIII считаем гпн>^пк, его оптимальная траектория будет одной
из следующих трех. Это, во-первых, траектория перехода с двумя граничными
импульсами: в начальной точке Мн сообщается первый импульс AV^ в направлении
выравнивания начальных скоростей исходных орбит, далее точка движется по переходной
орбите Т2 в конечную точку Мк, где сообщается второй импульс АУг в направлении
выравнивания конечных скоростей орбит (рис. 15. 16, 15. 17):
А^ = х(/к-?н); А^2= (1-Х) рк-^н)
vWVW-VrK); Кн = (^н,-^г„).
(15.14)
Рис. 15. 16. Двухимпульсный переход
между орбитами типа III; оба
импульса — граничные
Рис. 15. 17. Схема
определения
импульсов для
перехода с двумя
граничными
импульсами
Для данного перехода VK и 1/н — начальная скорость на конечной орбите и
конечная скорость на начальной орбите соответственно; %— степень дробления импульсов.
При %= 1 или %—0 переход становится одноимпульсным в начальной Мн или конечной
Мк точках, тогда гп2—гпк или гП2=гпн. Вообще
0< Х< 1; гпк< гп2(х) <гпн.
Суммарная характеристическая скорость такого перехода не зависит от %:
*'к = Рк - Уи\ = рн- Ук\, (15.15)
поэтому условно его будем называть одноимпульсным.
Во-вторых, оптимальный переход может быть двухимпульсным, в котором второй
импульс АУ2 — апсидальный, сообщается в перицентре конечной орбиты (рис. 15.18):
Мн-+Пк. (15.16)
Первый (граничный) импульс АУЬ сообщаемый в начальной точке Мн,
определяется, как и в переходе III I. Возможны лишь оба случая: |= + 1 (импульс A V\ в плоскости
Рп проходит через фокус Fu) и £=— 1 (импульс AV^ проходит через фокус F2%).
Сравним оба перехода. В плоскости скоростей Рп через точку VH и оба
фокуса гиперболы Rn = \V: rn == rnK\ проведем прямые (см. рис. 15.9). Тогда множество
допустимых конечных скоростей VKf расположенное в первом квадранте на R%, раз-
443


бивается на три дуги (или две, если прямая, прохолящая через F2rz не пересекается с
Rn при Vr > 0). На дуге CD = |vk:<p2tcK <¥2ich/» если она есть> и на ДУге ЛВ =
= \УкгЧик<СЧ1пк1 экономичнее двухимпульсный переход (15.16). Для него на дуге
CD:
S = - 1; Р = - 1; «-к = F2*v* ~ ЪгУп*
на дуге АВ:
£=1; Р== _1; WK = /?lieKH-^llcKK.
На промежуточной дуге 5С экономичнее одноимпульсный переход (15. 14), (15. 15).
В точках В и С апсидальный импульс равен нулю, оба перехода тождественны
Кроме того, возможен трехимпульсный переход (рис. 15. 19).
Мн - 7 - Мк', гп2 = гп3 = rmIn; AV2 = |КП
(15.17)
Рис. 16. 18. Двухимпульсный
переход типа III III с одним апси-
дальным импульсом
Рис. 15. 19. Трехимпульсный перех'од
между орбитами типа III
1; wK = F2kVk - F2nVHf если VK e M7;
Для него переходные орбиты Г2, Г3, граничные импульсы &V{ и ДУз определяются,
как и в переходе III I, причем при определении импульса &V{ будет |3=|32=—1; |=|2 =
= ±1. При определении импульса ДУ3 будет р=Рз=—1, Е = Ез:==—^2. а в формулах (15.7)
вместо величин Vm, VtH надо брать VrK, VtK и направление импульса сменить на
обратное. Из двух вариантов £2 =—£з— ±1 выбирается тот, для которого AV2=£2Vn2-f-
+ £зУпз^0.
Оптимальный переход /// IVа может быть одноимпульсным (15. 14), (15. 15) и
трехимпульсным (15. 17). Для последнего р2=—Рз=—1. Сравним их. Пусть области М5.
М6 и М7 (если она есть) образуют множество допустимых конечных скоростей VK в
плоскости Р%, причем R%={V : rn = rmin} (см. рис. 15. 9). Тогда, если VK£ M5 или VK£ М7„
то оптимальным будет трехимпульсный переход; для него получим
е2= — 6з= 1; ^к = Л^н - FlKVK9 если Кк 6 М5.
На рис. 15.20 изображен этот переход Гн—»т£а';он осуществляется по орбитам
7^а' и Т^\ В области М6 оптимальным будет одноимпульсный переход (15.14), причем
в данном случае
0 < X < X*; >*п(Х*)= rmin < гп(х) < гпн.
Оптимальный переход IV6 IVa может быть одноимпульсным в начальной точке Ми
(рис. 15.21):
AV = VK-Vn, (15.18)
причем для этого необходимо (но недостаточно) выполнение условия
/•и («О < rmin; О < w < wK,
444


т. е. импульс А К не должен пересекать в плоскости Рж кривую Rn ~ \V: гп = rm}n).
Кроме ьтого, > [областях С = {v*Vt2(Л*) < vt3 (^г*)) > если она есть' и А =
= {^: ^/2(^V^ ^ ^^з(Лтс)} оптимальным может быть прежний трехимпульсный
переход (15.17); для него fe = Рз = Ь &2= — £з = *» если 1Лс 6 Л, и £2 = — 5з = —1» если
РкбС (рис. 15.22).
В области Л оптимальным может быть двухимпульсный переход, осуществляемый
по той же схеме (15. 17), но без промежуточного импульса. Кроме того, для него
граничные импульсы (оставим за ними прежнюю нумерацию) не проходят через фокусы
Fin. Они сообщаются так, чтобы угол падения бн луча, следующего из начальной точки
VH вдоль импульса ДУЬ на гиперболу Rn был равен углу отражения 6К луча,
следующего вдоль вектора АУ3(А1/3*—AV3r), в точку VK.
Рис. 15.20. Оптимальные переходы Рис. 15.21. Одноимпульсный
перетипа III IVa и III IV6 при N>\ ход на внешней границе Г
Случай 2. Оптимальные траектории переходов, граничные точки которых находятся
на внутренней границе кольца. Здесь будут описаны переходы II II, II IV6, IVд IV6; их
исходные орбиты пересекают внутреннюю границу у.
Для перехода II II считаем ган^гак. Он может быть одноимпульсным (15. 14),
(15. 15), причем
0<Х<1; /*ан<Га2(Х) <Гак.
При 0<х<1 получаем двухимпульсную реализацию. Кроме того, оптимальный
переход может быть двухимпульсным: из начальной точки Мн, где сообщается первый
импульс АУЬ КА движется по переходной орбите Т2 в (более удаленный) апоцентр Ак
конечной орбиты 7Y, в котором сообщается второй, апсидальный, импульс AV2
(рис. 15.23):
МН-*АК; ДК2 = 1^ак —^a2l- (15.19)
Первый, граничный, импульс AVi определяется, как и в переходе II I, р=1 (15.12),
только теперь возможно £=£2=—1 (импульс &V{ в плоскости Ра проходит через фокус
Fu) и |=|2=1 (импульс AVi проходит через F2a).
Сравним оба перехода. В плоскости Ра проведем прямые через начальную точку
Vn и оба фокуса эллипса Ra={V: га = гак} (см. рис. 15. 10). Они разобьют часть
эллипса, лежащую в первом квадранте, на три дуги АВ, ВС, CD [если Vt (С) <0, то будет две
дуги], на одной из них будет находиться точка VK (V*K, —Vrk), характеризующая
конечную орбиту Тк. На дуге CD= { VK : ф2ак> фган} , если она есть, и дуге
АВ= { VK : ф!<7К < «piccH} оптимальным будет двухимпульсный переход (15.19), причем
если VK 6 АВ, то
*> В скобках указаны фокусы, через которые проходят линии действия
соответствующих импульсов.
445


если же VK £ CD, то
52 = -1; wK = FlaVK-FuVH,
£2 = 1; ^к = F2aVK — F2aVn.
(15.20)
(15.21)
На дуге ВС оптимальным будет одноимпульсный переход (15. 14).
Переход II IV6 также может быть одноимпульсным (15.14), (15.15), причем теперь
0<Х<Х*; га(х*) = г„
> га2 > га
или трехимпульсным
Мн-+Т-+Мк, га2 = газ=гтах; ДК2 = |1/аз-Ка2|. (15.22)
В последнем случае граничные импульсы определяются, как и в переходе II I. Для
импульса AV, будет g=g2=±i, p=p2=l- Для импульса AV3 будет E = g3=—S2; Р = Рз=
-1, а вместо величин VfH, Vm надо брать VtKf VrK и направление импульса сменить
«а обратное.
Рис. 15.22. Построения в плоскости
скоростей Р% Для перехода IV6 IVa
Рис. 15.23.
Двухимпульсный
переход типа II II с
одним апсидальным
импульсом
Сравним оба перехода. Пусть в плоскости Рa области Мь M7, М8 образуют
допустимое множество скоростей VK, определяющих конечные орбиты, причем /?а={У: га=
=Гтах) (см. рис. 15. 10). Тогда в областях М7 (если она есть) и Mi оптимальным будет
трехимпульсный переход (15.22), причем в них выполняются условия (15.21) и (15.20)
соответственно. На рис. 15.24 изображен этот переход ТН->Т^'* он осуществляется
это орбитам Г2 * и Т^ . В области М8 оптимальным будет одноимпульсный переход
(15. 14).
Переход IVa IV6 может быть одно,- двух- и трехимпульсным. Для оптимальности
одноимпульсного перехода (15. 18), осуществляемого в начальной точке Мн (рис. 15.25),
-*■
необходимо (но не достаточно), чтобы импульс AV в плоскости Ра не пересекал эллипса
#a={V : /-а=Гшах}. Другой, трехимпульсный, переход (15.22), для которого р2=Рз=
=—1, может быть оптимальным в подмножествах (рис. 15.26)
^{^^2(^X^3(^)1 и C--={V:Vt2(Fla)>Vn(F2a)}.
Если Ук б Л, то §2=—6з=—1, если же УквС, то g2=—'£з=1- В промежуточной
области В оптимальным может быть двухимпульсный переход, осуществляемый по той
же схеме (15.22), но на нем нет промежуточного импульса, AV2=0. Граничные
импульсы AVi и Л Уз сообщаются так, чтобы угол падения 6Н луча, следующего вдоль импульса
А1Л на эллипс Ra= l^^a—^maxl» был равен углу отражения 6К луча, следующего
вдоль вектора ДУ3 (Л Узь
446
-AVrt) в точку VK (см. рис. 15.26).


Случай 3. Оптимальные траектории переходов, граничные точки которых находятся
на обеих границах. Здесь будут рассмотрены переходы IVa IVa, II IVa, IVa III, II III.
При этом начальная точка МИ траектории перехода лежит на внутренней границе
кольца, Мнб Y, а конечная — на внешней, MKG Г.
Оптимальный переход IVa IVa может быть одно- или двухимпульсным.
Зафиксируем в плоскостях Ра и Р% начальную скорость V^ ^ £Pa, V^ G/^ (см. рис. 15.7
и 15.8). Пусть
Л. = {У « Га = /*тах} 6 Pa\ Яп=\У'-ГП = rmin) 6 Р%.
Тогда, если конечная точка V^ G Ра(У^* £ Рп) принадлежит областям М4(М4) и
MgCMg), то оптимальным будет одноимпульсный переход в начальной точке Мн:
bV = vM—VM;r(w) = rmin; 0<w<wK. (15.23)
В областях М2(М2) и Ме(М6) переход будет одноимпульсным з конечной точке Мк:
AV = ?<2>-4%2>; r(w) = rmax; 0<w<wK. (15.24)
В остальных областях осуществляется двухимпульсный переход
Мн-> Мк; r(w) = rmin(0 < w < ЛУг); r(w) = гтах(ДК1 < w < wK). (15.25)
Первый импульс сообщается в начальной точке Мн, так что он проходит в
плоскости Ра через фокус Fu (если V^^M\ (J M5) или F2a (если v£)(+M3\J М7).
Второй импульс сообщается в конечной точке Мк, линия его действия в Р% проходит
через фокус Fu (если К<2) G Мг (JM5) или F2k (если V^ G M3 (J М7). Величины
импульсов при переходе равны:
cos срк — с с — Q cos ун
(15.26)
COS <рк — Q COS <pH COS <рк — Q COS <pH
wK = AVi -f- AV"2 = |ФК — Фн|; с = V, к — оУ/н/я>к; Q = ~^.
f*max
Здесь ФК = ^Х1) = ^Л2) и 0H = F,.eK<1)=F/^<I2)-
расстояние от конечной и начальной точек в плоскостях скоростей до соответствующего
фокуса. Углы фн и фк определяют наклон начального и конечного импульсов к трансвер-
сали. Они получаются по формуле
■* Vt-#\r
cos<p(K, г)-
Yv2r + (Vt - ®\r?
-VI
2(л
minrmax (rmin H~ rmax)
при V = VH , r = rmin и VsVJ', r=rmax соответственно. Величины g, p, of,
индекс фокуса <m> зависят от области:
ер = —1, ф = 1, / = 1, если l?^>GAfi
ер = 1, ф=—1, / = 2, еслиК^еМ
еР = —1, ^ = —1, г = 1, если К^>е Л*.
ер = 1, ф=1, * = 2, если V^eM-
На рис. 15.27 изображен этот переход Т^ -> Т^3*, осуществляемый по орбите
7^®). Здесь же указан соответствующий переход типа IV6 IV6 по орбите Т^ \
Переход II IVa будет одно- или двухимпульсным. Пусть в плоскости Рау где Ra ~
= {У:га=/*тах}, для данной начальной скорости VH=Vn построены области Ми М7, Ms
(см. рис. 15. 10), образующие допустимое множество начальных скоростей конечной
орбиты К,* '• Тогда в области М8 оптимальным будет одноимпульсный переход в на-
447
VJi2)eMi; (15.27)
У^вМз, (15.28)
У™еМ7. (15.29)


Рис. 15. 24. Оптимальные переходы
типа II IVa и II IV6 при N>\
Рис. 15.25. Одноимпульсный
переход на внутренней
границе у
к ~
Рис. 15.26. Построения в
плоскости скоростей Ра для перехода
IVa IV6
jc. 15.27. Двухимпульсные переходы
типа IVa IVa и IV6 IV6
Рис. 15.28. Оптимальные двух- и че-
тырехимпульсный переходы типа
II III
448


чальной точке Ми (15.23). Если же VK £ М\ \J M7, то оптимальным будет
двухимпульсный переход (15.25), (15.26), причем <&H = FiaVH. В области М{ выполняется условие
(15.27), а в области М7 — условие (15.29). Этот двухимпульсный переход Мн -> М^
изображен на рис. 15. 24.
Вместо перехода III IV6 рассмотрим здесь обратный ему (и эквивалентный)
переход IVa III.
Переход IVa III. Пусть в плоскости Р^ области MXl M2i Мг образуют
допустимое множество конечных скоростей при фиксированной начальной орбите, причем
#а ~ [V: гп = rminf (рис. 15.7). Тогда, если VK = V^ £ М'2, то оптимальным будет
одноимпульсный переход в конечной точке Мк £ Г (15.24). В областях Мх и Мг
оптимален двухимпульсный переход (15.25), (15.26). Для него Фк = Fu VK (на рис. 15.20
изображен переход Ми-+М^) типа III IV6, обратный данному). В области М\
выполняются условия (15.27), а в области м'г условия (15.28).
Оптимальный переход IIIII может быть осуществлен по двум различным
траекториям с одинаковой характеристической скоростью. Это, с одной стороны, траектория
двухимпульсного перехода Мн -> Мк (15.25), (15.26); для него ФН=Л а VH,
фк = fuvk, причем Ra = [Vi га = rmax) e Pa, #тс = {v * rn = rmjn} 6 Ятс (см. также
работы [26, 22]). Кроме того, оптимальна траектория четырехимпульсного перехода
(рис. 15.28):
Мн -> Г -> 7 -> Мк\ Га2 = Газ = /'шах; >*пЗ = ^*п4 = >*min-
В этом случае начальный и конечный импульсы определяются, как в переходах
III и I III, соответственно. Ориентация этих импульсов точно такая же, как и в случае
двухимпульсного перехода.
Некоторые свойства оптимальных траекторий
Таким образом, полностью описаны оптимальные решения рассматриваемой задачи.
Подчеркнем некоторые их свойства.
На оптимальных траекториях для данного класса переходов между орбитами
сообщается конечное (до четырех) число импульсов. При этом оптимальные переходы
совершаются за конечное время (если гтах<оо).
Описанные переходы будут оптимальными и в том случае, если при движении
допускается приложение, кроме импульсов, произвольной конечной тяги.
Более того, большинство из переходов (все, кроме случаев IVa IV6 и IV6 IVa)
останется оптимальным и в задаче, смежной с данной, при более слабом, чем (15. I),
ограничении. Оно состоит в том, что при переходе активные точки M(w) (т. е. точки
приложения импульсов и тяги) должны находиться в заданном кольце, а пассивный
выход за пределы кольца допустим:
M(w)&K, 0 < w к wK. (15.30)
Это позволяет лучше понять одно интересное свойство некоторых оптимальных
решений. Существуют пары оптимальных переходов, эквивалентных между собой по
суммарной характеристической скорости wK. А именно, оптимальные переходы в
следующих парах: a) IVa I и IV6 I (рис. 15.13); б) II IVa и II IV6 (см. рис. 15.24),-
в) III IVa и III IV6 (рис. 15.20); г) IVa IVa и IV6 IV6 (рис. 15.27); д) двух- и четырех -
импульсный переходы типа II III (рис. 15. 28) —эквивалентны по wK, если в них
исходные орбиты одинаковы, например имеют равные элементы гп, /*а.
Оказывается, в смежной задаче, при ограничении (15.30), оптимальное решение
часто неоднозначно. Указанные выше оптимальные переходы в парах «а»^-«д» входят в
соответствующие множества оптимальных решений смежной задачи, поэтому и имеют
одинаковую характеристическую скорость. Например, на рис. 15.7 и 15. 8 в плоскостях
Р% и Ра для данных исходных орбит типа IV заштрихован кривой четырехугольник,
который в смежной задаче (15.30) сплошь заполняется оптимальными разовыми
траекториями, эквивалентными по минимизируемому функционалу wK. Одна его граница
У^АУр{у^АУ^Ло6\>ъзует в основной задаче (15. 1) фазовую траекторию
оптимального перехода IVa IVa, а другая граница V^ BV^ (V^2) 2l^2)) — фазовую траекторию
перехода IV6 IV6.
15.1.2. Оптимальное корректирование траектории космического полета
при наличии последующего маневра
Оптимизация коррекции с учетом маневра (точная постановка)
В данном разделе рассматривается вопрос об оптимальной коррекции траектории
полета космического аппарата при необходимости последующего проведения маневра
[10]. Под маневром здесь понимается такое управляемое изменение траектории, при ко-
15 3669
449


тором происходит расход (уменьшение) массы аппарата и которое в соответствии с
целью полета имеет место как при номинальном, точном полете, так и при реальном
отклоненном движении. Примерами такого маневра будут: переход с траектории полета
к планете на орбиту ее спутника, переход с околопланетной орбиты спутника на
вытянутую траекторию полета к другой планете, торможение при посадке на Луну.
Предполагается, что вся траектория полета может быть разбита на две части. Сначала проводятся
коррекции траектории, затем осуществляется маневр. Рассматривается случай
одноразовой импульсной коррекции и одного маневра.
Пусть имеется реальная траектория движения, на которой с некоторого момента
t—tM должен быть проведен маневр. Задано, что к моменту проведения маневра
элементы орбиты <7j(/=1,...,6) должны удовлетворять некоторым условиям
<Pi(?i)=0, i=l,..., п. (15.31)
На номинальной расчетной орбите эти условия выполнены подбором
соответствующих параметров орбиты, однако для фактической траектории (<7j=<7j<j)) они оказались
нарушенными:
п
*/(*7ф) = */ф;2*?ф>о.
Это нарушение должно быть исправлено с помощью коррекции скорости — заранее,
до маневра, в некоторый момент коррекции t=tK<tM. Для фактической известной
траектории полета указанные условия (15. 31) можно представить в виде условий,
наложенных на вектор скорости V=(x, у, г) объекта после коррекции:
fi(v, tK) = fi(x, у, z, tK) = 0, /= 1р 2 п\ (15.32)
V = VH + tbh (15.33)
Здесь VH=(xH, ун> *н)— вектор скорости объекта при t = tK до сообщения
корректирующего импульса скорости wi\bxi, Af/i, A^i), w\*fiO.
Ниже будем считать, что число условий fi не превышает двух (/г^2), момент
коррекции tK фиксирован.
Геометрически, в трехмерном пространстве Р скоростей при t—tK условия (15. 32)
задают некоторое допустимое множество F, которому должен принадлежать конец
вектора скорости V после коррекции (ниже конец вектора скорости В будем называть
просто точкой Вив этом смысле применять обозначение В £/*"), V&F. Считаем, что при
/г=1 это множество будет гладкой поверхностью F={V : fi(V, /к)=0}, а при п = 2 —
гладкой кривей
/= = {V:fi(£ 'к)=0; Ы^ М=0}.
В этом пространстве Р вектор корректирующего импульса W\ начинается в точке
VH £F и кончается в точке V£ F. Введем касательное множество F. Это плоскость при
п=\ или прямая при п = 21 касательные kFb точке V. Условно в обоих случаях будем
называть F поверхностью, F — плоскостью.
Пусть на импульс коррекции не наложено других условий, кроме (15.32), причем
п^.2. Тогда число условий коррекции (корректируемых параметров) меньше числа
управляющих параметров (трех компонент импульса коррекции) и необходимо
провести оптимизацию. Один возможный метод управления при коррекции состоит в
минимизации величины импульса коррекции (или затрат топлива на коррекцию — в
точной, неимпульсной постановке):
wi = \v-Vs\ = V(x- xj + (y- y„f + (z- zj ^ тт. (15.34)
Геометрически применение этого критерия сводится к отысканию на поверхности F
точки, ближайшей к начальной, или, в данном случае гладкой поверхности, к
опусканию перпендикуляра из начальной точки VH на поверхность F (рис. 15.29). Обозначим
импульс коррекции при таком методе оптимизации через W\0, индексом «О» будем ниже
обозначать все величины, относящиеся к такой коррекции (15.34).
Недостатком указанного критерия оптимизации является то, что при этом методе
не учитывается влияние коррекции на параметры последующего маневра, в частности
на расход топлива при маневре.
Будем характеризовать расход топлива при маневре характеристической скоростью
маневра w2, а суммарные энергетические затраты на коррекцию и маневр — суммарной
характеристической скоростью
w = wi + u'2. (15.35)
450


Заданием вектора скорости после коррекции V полностью определяется дальнейшая
траектория полета и, в частности, характеристическая скорость последующего
(оптимального) маневра. Поэтому считаем, что на поверхности F задана соответствующая
функция
w2 = w2(v, tK) = w2(x1 y> z, /K), w2>0, V&F- (15.36)
Следовательно, суммарные энергетические затраты w полностью определяются
параметрами коррекции и величину w надо взять за минимизируемый функционал для
оптимизации управения коррекцией:
w{v, tJ^w^V. tK) + v2(v, О-
-™in . (15.37)
V £ F
Из этого условия может быть
различными способами определена скорость
Уопт после оптимальной коррекции.
Приведем необходимое условие
оптимальности коррекции. Пусть w2(V),
V&F,— дифференцируемая функция;
тогда
w2 (v + AV) — w2(y) =
= grtdFw2 (v)AV -f- о (av),
причем ее градиент gradFw2 лежит в
касательной плоскости F. Функцию w2(V)
можно распространить (различными
способами) с поверхности F на ее некоторую
окрестность е(/г). Тогда получим
функцию w2(V),VQ. e(/7), при этом на
поверхности F проекция П¥ ее градиента
(обозначим его через grad w2) на
касательную плоскость F равна:
Рис. 16.29. Минимальный и оптимальный
импульсы коррекции при п=\
ПF grad w2 — grad^o^.
(15.37) получ
удовлетворять у
Щ/Щ + g™dFw2 (v) - ]g \t grad ft (?), V 6 F,
Из условия (15.37) получим, что при оптимальном решении корректирующий
импульс должен удовлетворять условию
(15.38)
«ли
<здесь w\ = Wi/wi,
v{(y) + grad w2 (i?) = 2 X,- grad ft (у), V^F
-множители Лагранжа), т. е. теперь уже векторы w\ -f-
-f- gradpw2 и w\ + grad ^2 ортогональны поверхности F (рис. 15.29). Из решения
системы (15.38), (15.32), (15.33) получим оптимальное управление при коррекции,
минимизирующее функционал (15.35). Пусть индекс «F» означает проекцию вектора на
касательную плоскость. Условие оптимальности (15. 38) можно выразить в другой
форме:
^(?) + grad/ri»2(?) = 0.
Используя приведенные условия оптимальности, можно сформулировать следующее
геометрическое свойство оптимальной коррекции. Оптимальный корректирующий импульс
W\ опт лежит в плоскости, проходящей через (некоторую, при п = 2) нормаль к F и
вектор grad w2 (или gradFw2). При этом импульс коррекции w{ 0Пт и вектор grad w2
(или grad^o^) повернуты от этой нормали в разные стороны, их проекции на касатель-
15*
451


ную плоскость F антиколлинеарны. Угол Дер, составляемый корректирующим
импульсом с нормалью к F (с нормальной к F плоскостью, при п=2), определяется условием
sin Д<ропт = grad/.as'2
Отсюда, в частности, следует, что в оптимальной точке 1/0Пт величина вектора
gradFw2 не превышает единицы.
Частный случай. Пусть F и (?= {V: «МЮ =C>0} - поверхности вращения
вокруг одной оси. Тогда оптимальный импульс коррекции сообщается в плоскости, прохо
дящей через начальную точку V„ и указанную ось. Дальнейшую оптимизацию, можно
проводить в этой плоскости.
Приближенное определение оптимальной коррекции
Рассмотрим в линейном приближении задачу оптимизации управления при
коррекции с учетом маневра. Пусть известно решение задачи (15.34) ^минимуме корректи-
рующего импульса, при этом V==V0 и т. д. Считаем, что векторы grad /,. Rradrw2 в
рассматриваемой окрестности точки V0 постоянны:
gTa~d ft (v) = gr~a~d /i0; grad^ tr2 [v) - grad^o, V 6 ^
Пои этом поверхность F заменяется касательной плоскостью F0 и в формулах для
fif w2 учитываются лишь линейные члены. В этом приближении оптимальный корректи-
Рис. 15.30. Приближенное построение
оптимального импульса коррекции при
п=\
jrad,wa
Рис. 15.31. Приближенное
построение оптимального
импульса коррекции при
п = 2
рующий импульс сообщается в плоскости, проходящей через минимальный импульс «Но
и BeKTO_p_iTad^2o, отклоняясь от импульса wl0 на вектор юя, направленный
противоположно grad^20[pHC. 15. 30 (я=1), рис 15. 31 (я=2)]:
S'lonx = ^lo + ^зоиТ; ^зопт= — даю grad^ ге'20 tg A<P*
(15.39)
Здесь Дф-угол поворота оптимального импульса от минимального; он определя-
ется условием
sinA^=--grad/7te'2o. 0<А^<-у. (15'40)
Величина характеристической скорости коррекции, маневра и суммарная
величина w для этого оптимального решения будут равны:
Ю1опт == wio sec A<p;
«Ъопт = ^20 — wio sin Аср tg Дер;
^опт = ^20 + WiO C0S A? = ^0 — «'10 (1 — COS Д<р).
(15.41)
452


Отсюда получим изменения величин wu w2 и функционала w при переходе от
критерия (15.34) к критерию (15.37):
&Щ =• Що— Щопт = О — sec A<p)wi0; ^ (15.42)
Да? 2 — w20 — 7?'2опт = sin Acp tg Acp яу10; I
Aw ~ ze>0 — и'опт = (1 — cos Д<р) te'i0,
Рис. 15.32 Зависимость относи- Рис. 15.33. Схема коррекции и
тельных изменений импульсов и торможения при переходе на ор-
угла поворота корректирующего биту спутника планеты
импульса Дер от величины
gradF^o
т. е. они линейны по величине корректирующего импульса. При этом их относительные
изменения
Aw\ = Awi/wiq\ Aze>2 = A^V^'io» ^w ~ Д^/^ю
полностью определяются градиентом gradF^2o характеристической скорости маневра w2
в касательной плоскости F0 (рис. 15.32).
Задача коррекции для обеспечения маневра перехода на орбиту
искусственного спутника планеты
В работах [8, 11] определяется оптимальная коррекция, необходимая для
обеспечения торможения при вертикальной посадке на планету. Здесь приводится решение
еще одной конкретной задачи. Пусть вблизи планеты в центральном ньютоновском
гравитационном поле движется аппарат по известной гиперболической орбите Г„, перицент-
рическое расстояние которой равно гпн. В результате проведения маневра торможения
должен быть осуществлен переход на орбиту спутника Тк с заданными величинами пери-
и апоцентрического расстояний гПк, гак (рис. 15.33). Если гПнфгпк, то заранее в
некоторой точке орбиты Гн, на расстоянии г от центра планеты, проводится коррекция
так, чтобы для новой траектории Т перицентрическое расстояние гп равнялось
заданному конечному гпк, т. е. гй=гПк.
Это условие аналогично условиям (15. 31), (15. 32), п=\. Маневр торможения
(считаем его импульсным) проводится в перицентре скорректированной орбиты Т. При этом
импульс сообщается противоположно вектору скорости; скорость уменьшается от
начальной Vu до конечной величины Упк.
453


Рассмотрим пространство Р скоростей в точке коррекции. Поверхность F(V:}\ =
= гп—/*Пк=0) будет однополостным гиперболоидом вращения, полученным вращением
'гиперболы (15.2) вокруг оси Vr.
Минимальный корректирующий импульс w{0 есть перпендикуляр, опущенный из
начальной точки 1/н на F, лежит в начальной плоскости (Vty Vr), направлен по градиенту
grad rn в конечной точке V0.
Рассмотрим теперь оптимальную коррекцию при учете последующего маневра.
Оптимальный импульс коррекции W\ опт будет сообщаться в начальной плоскости
движения под некоторым углом Лф к минимальному импульсу Шю. Приведем точное и
приближенное решение данной задачи.
Вместо всего пространства скоростей Р будем рассматривать его плоскость
P%(Vt, Vr), поскольку в ней осуществляются и оптимальная и минимальная коррекции.
Пусть Rn— гипербола в Ял, сечение гиперболоида F плоскостью Р%. Она соответствует
орбитам с заданным перицентрическим расстоянием Гп=гПк-
В точном решении задачи (см. разд. 15. 1, переходы III I, IV6 I) оптимальный
(с учетом маневра) корректирующий импульс проходит из начальной точки VH к
одному из фокусов гиперболы Rn до пересечения с ближайшей, правой, ее ветвью
(V'*>0). При этом в случае гпн</'пк, Р=1, берется правый фокус F2(G%rlrnK, 0), а в
случае гпн>/*пк, Р=—1, берется левый фокус fi(—ожг/гик, 0), рис. 15.34. Величины
корректирующего, тормозного и суммарного импульсов определяются из
соответствующих формул раздела 15. 1. 1, причем угол фопт наклона оптимального импульса
коррекции к трансверсали равен
Vt„-(WnK)
COS <р0пт = — — , Sin сропт > 0.
* н* i
Видим, что при переходе от минимальной к оптимальной коррекции импульс W\
поворачивается, приближаясь к положительному радиальному направлению, при этом
увеличивается радиальная компонента импульса, она будет положительной; весь
импульс коррекции также увеличивается, а величина скорости после коррекции (и
тормозной импульс w2) уменьшается.
Рассмотрим теперь приближенное (15.39), (15.40) решение данной задачи, считая,
что минимальная коррекция (15. 34) получена. Угол Лф поворота оптимального
импульса от минимального определяется следующим образом:
sin Д<р = gradpW2Q =
dV,
тогда
г0
r/rnK gradrn0;
(15.43)
Tout = ТО + &<? Sign (гпк — Г1Ш).
Величины корректирующего, тормозного, суммарного импульсов, уменьшение
суммарных затрат определяются по формулам (15.41), (15.42) с учетом (15.43).
Хотя в данной задаче известно точное оптимальное решение, приведенное
приближенное решение весьма полезно, так как оно помогает лучше понять, причем не только
качественно, но и количественно связь обоих методов коррекции.
Рассмотрим случай больших расстояний коррекции, г->оо. Предельное
направление минимального импульса ортогонально радиальному, sin ф0 *0.
Таблица 15.1
Небесное
тело
Луна <£
Марс с$
Земля J
Венера 9
Лно
км
1900
4400
6600
6500
км/с
1
4
4
4
Дер00,
град.
24
42
20
22
Aw°°
0,09
0,26
0,06
0,07
Да"
—0,09
—0,35
—0,06
—0,08
Awf
0,18
0,61
0,12
0,15
Для оптимальной коррекции при г->оо угол наклона оптимального
корректирующего импульса приближается к следующему предельному:
. = Дср°° при гпн < г,
sin Дср°° = sin '
при
1>ГП
У Лис
tg v
454


Рис. 15.34. Определение в плоскости скоростей
оптимального корректирующего импульса
Рис. 15.35. Зависимость минимального импульса коррекции и относительных
изменений импульсов от безразмерного расстояния коррекции


Интересно отметить, что предельная ориентация (относительно радиуса-вектора)
оптимального импульса коррекции в рассматриваемой задаче та же, что и в задаче
коррекции для торможения при вертикальной посадке на планету. ^ ^
Предельные относительные изменения импульсов Aw°°, Aw^°t Аиу|° и величину
•gradF w™0 можно получить, зная Voo=tgA(p°°, из рис. 15.32 (на нем нет лишь индексов
«оо»). В табл. 15. 1 приведены соответствующие предельные характеристики
оптимальной коррекции при полетах к Луне и близким планетам для характерных величин пери-
центрического расстояния спутника и скорости «на бесконечности» Уж. Используя эти
ср°|Дср
фд\ Т 1 1 ■ 1 :
Рис. 15.36. Зависимость углов фо и Аф от безразмерного расстояния
коррекции
предельные данные, можно приближенно оценить параметры оптимальной коррекции на
большом удалении от планеты (гпк/г^0,05), в частности, получим
«'20 — ^2опт ~ А^~Ш10;
Аср^Аср00.
Пример. Вблизи Луны осуществляется маневр торможения для перехода с
начальной гиперболической орбиты на эллиптическую орбиту спутника, перицентрический
радиус которой равен гпк = 1900 км. Начальная скорость на бесконечности задана
Уоо = 1 км/с.
На рис. 15. 35 и 15. 36 представлены зависимости минимального импульса Шю,
относительных изменений импульсов Aa>lf Aw2, Aw и углов ф0, Аф от безразмерного
обратного расстояния коррекции rn = rUK/r для различных значений начального перицентричес-
кого расстояния гпн.
Из приведенных данных следует, что при полете от Земли к Луне для данной
задачи коррекции переход от минимизации корректирующего импульса к минимизации
суммарных энергетических затрат на коррекцию и торможение приводит к уменьшению
суммарных затрат, которое составляет около 10% от импульса коррекции.
15.1.3. Автономный метод определения направления вектора
скорости путем ориентации на центр планеты
и использование его для маневра торможения
Вопрос об определении вектора скорости в некоторой точке траектории может
возникнуть в различных задачах. Например, при маневрах вблизи планет часто
оптимальный импульс необходимо сообщить вдоль или противоположно вектору скорости. Так
как обычно траектория бывает известна неточно, то возникает потребность в таком
методе определения вектора скорости, который был бы слабо чувствителен к ошибкам
456


прогноза. В рассматриваемом ниже методе вопрос об определении вектора скорости
связывается с задачей торможения, т. е. ориентацией импульса (вектора тяги) перед
торможением вблизи планеты.
Для совершения маневра в пространстве у планет необходимо тягу двигателя
направлять заданным образом, часто (в первом приближении) по направлению вектора
скорости КА. Некоторые известные методы ориентации в космическом пространстве у
планет, применяемые для данной задачи, например ориентация по прогнозируемому
вектору скорости, обладают значительными недостатками. Так, при недостаточно хорошем
знании траектории (из-за неточности коррекции и измерительных средств) возникают
ошибки в ориентации, приводящие, как правило, к возникновению больших боковых
скоростей. Кроме того, в этом случае обычно используется сложная система выставки
корабля в инерционной системе координат, а также проведение больших вычислительных
работ по расчету установок на ориентацию.
Используя свойства движения тел в гравитационном поле вблизи планеты, напри
мер сохранение плоскости движения, а также возможность одноосной ориентации на
центральное тело, можно иногда автономно определить направление вектора скорости
в точке маневра, осуществить автономную ориентацию двигателя по вектору скорости.
В каждом из этих случаев можно также вычислить ошибки в точности проведения
маневра в зависимости от точности определения первоначальной орбиты и точности
выдерживания направления по радиусу-вектору.
Наиболее интересными из рассмотренных методов автономной ориентации
являются случаи, когда точность проведения маневра не зависит или слабо зависит от
точности знания орбиты перед маневром. Ошибки в определении орбиты как бы исправляются
самим методом ориентации. Тогда этот метод удобно использовать при проведении
маневров. Следует заметить, что в этом случае не предполагается проведение каких-либо
специальных навигационных замеров и расчетов на борту КА.
Таким будет рассматриваемый ниже автономный метод ориентации тормозного
двигателя по вектору скорости при вертикальной посадке на безатмосферное небесное
тело, например Луну.
Рассмотрим случай импульсного торможения у планеты в центральном
ньютоновском поле сил. Пусть возможные траектории сближения с планетой образуют осесиммет-
ричный пучок гиперболических траекторий. Осевая траектория проходит через центр
планеты, КА движется по ней при отсутствии ошибок прогноза и коррекции. Каждую
орбиту пучка можно характеризовать вектором скорости Уж на бесконечно большом
—»■
удалении от планеты и прицельной дальностью 6, характеризующей отклонение орбиты
от траектории, проходящей через центр планеты. Прицельная дальность b связана с пе-
рицентрическим расстоянием гп следующей зависимостью:
ОО
Физически величина Ъ соответствует ошибкам прогноза и коррекции, которые
приводят к отклонению реальной траектории от расчетной, в данном случае центральной.
Применение рассматриваемого метода автономной навигации для проведения
маневра торможения основано на следующем свойстве [3] траекторий: для широкого1 пучка
гиперболических траекторий существует расстояние гв, на котором направление на
притягивающий центр достаточно точно совпадает с направлением вектора скорости в
точке торможения (направлением оси тормозного двигателя).
Пусть А (рис. 15.37)—точка торможения (маневра). Расстояние гв от центра
планеты до точки В, в которой направление на центр планеты параллельно вектору
скорости Vл в точке Л, равно:
гR -- г ,k х (1 + cos a),
r,ie г л — расстояние от центра до точки А\
Ь ^
£ — величина, зависящая только от энергии траектории и от г и не за-
^ висящая от Ь\
а — угол межту вектором V и направлением на центр планеты в 1очке А\
sin a =
л л
С точностью до членов второго порядка по а расстояние гв постоянно для всех
траекторий пучка и равно:
fB = 2kxrA.
457


Если для всех траекторий за расстояние гв брать эту величину, то совершаемая
ошибка в определении расстояния гв оценивается величиной
Агг
■ rAkA(\ — cos a);
ГАкА
а2.
При этом для ошибки в определении направления вектора скорости VA (и
направления оси тормозного двигателя)
имеет место следующая оценка:
АгЕ
Да = аг
в
"в
в
где ав — угол между вектором
скорости и направлением на центр
планеты в точке В;
Рис. 15.37. Схема ориентации по вектору
скорости при маневре
VL
sin a
в~увгв
b.
Величина Да имеет третий порядок малости относительно Ъ.
Допустимая ошибка Л6тах в определении орбиты по прицельной дальности для
случая центральной трубки определяется по формуле
А6,
1 3>
max = >/"2р-^гдДатах,
где Латах — допустимая ошибка в ориентации тормозного двигателя, в радианах.
В табл. 15. 2 приведены значения rBl Аг и Дбтах для характерных при
сближении с планетами скоростей Уж.
Таблица 15.2
Небесное
тело
Земля
Венера
Марс
Луна
км
6370
6100
3400
1740
^,оо КМ/С
4
4
4
(0,5
И
[1,5
гв , км
28 700
27 500
22 300
7 260
8 200
9 720
А атах»
у гл. мин
5
5
5
5
5
5
Д/-Д, км
440
420
510
100
130
185
А^тах, КМ
4600
4400
1600
1960
1100
890
Для Луны приведены данные для нескольких значений Voo, чтобы иллюстрировать
влияние этой величины.
Возникающая вследствие угловой ошибки Да боковая скорость Vq в конце
торможения оценивается по формуле
Уб~1/тДа,
где Ут — скорость торможения, 1/т~Уа-
Пример. Для случая посадки на Луну при допустимой точности ориентации
Датах = 5' (Уб^5 м/с) допустимое отклонение траектории от расчетной составляет
1100 км (при Voo = l км/с, гА = 1800 км), при этом гв*~8200 км, а Дгв^130 км.
Из рассмотренного свойства пучка гиперболических траекторий следует, что для
осуществления маневра торможения при вертикальной посадке на планету может быть
использован следующий метод автономной ориентации и навигации. Существо способа
сводится к тому, что для большой трубки траекторий можно выбрать такое расстояние
*
гв (фиксированное для всех траекторий трубки), на котором направление на центр
планеты параллельно (с высокой точностью) вектору скорости аппарата и оси двигателя,
•осуществляющем торможение. Это направление сохраняется каким-либо способом
(например, с помощью гироскопа или оптической привязки к небесным светилам) до
момента включения двигателя. Момент включения двигателя определяется каким-либо другим
способом (например, с помощью высотомера). Момент прохождения расстояния гв
определяется по расчетному времени или высотомеру.
458


Этот способ ориентации и навигации требует существенно меньшей точности
знания траекторий, чем ориентация по прогнозируемому вектору скорости. При этом
ориентация на центр планеты не требует проведения сложных вычислений в процессе пи-
лета, так как расстояние гв практически не зависит от ошибки выведения и может быть
выбрано еще до осуществления полета [2].
Далее можно отметить, что данный метод ориентации импульса по вертикали к
планете может быть применен не только при вертикальной посадке, но и в некотором
диапазоне нецентральных траекторий [4]. Возможны и другие применения этого метода.
Так, например, для проведения маневра схода с круговой обриты у планет можно
ориентировать двигатели на центр планеты, а затем через {U периода провести маневр
торможения.
Для осуществления перехода с гиперболической орбиты на орбиту спутника
планеты, а также для изменения периода или апоцентрического расстояния сильно
вытянутой орбиты возможна ориентация на центр планеты в параметре орбиты и
проведение в перицентре маневра торможения [4].
15.2. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ МАНЕВР
Аэродинамическим маневром (AM) принято называть управляемое движение
космического аппарата (КА), предназначенное для изменения параметров орбиты при
помощи аэродинамических сил. Применение AM расширяет маневренные возможности
КА, обладающего несущими свойствами, и дает энергетическое превосходство AM над
газодинамическим маневром (ГМ).
Рис. 15.38. Аэродинамический поворот орбитальной
плоскости (орбитальный AM)
Использование аэродинамического маневра может преследовать различные цели:
— изменение наклонения орбитальной плоскости и долготы восходящего узла
(рис. 15.38);
— искривление траектории снижения в атмосфере для изменения продольной и
боковой дальности спуска с целью посадки в заданном районе земной поверхности
(рис. 15. 39);
— расширение коридора входа в атмосферу;
— изменение периода обращения для фазирования с другим КАГ например
при выведении транспортного КА в точку встречи с космической станцией (КС)
(рис. 15.40);
— малые изменения всех орбитальных элементов для перехода на новую заданную
орбиту или для коррекции первоначальной орбиты.
459


В соответствии с этим следует различать пять типов AM:
1. Аэродинамический поворот орбитальной плоскости (орбитальный маневр).
2. Предпосадочный AM (маневр на возвращении).
3. Расширение коридора входа (входной маневр).
4. Фазирующий AM.
5. Аэродинамический маневр с помощью малых аэродинамических сил
(корректирующий AM).
Buff
сверху
■L-/
Рис. 15.39. Аэродинамический маневр при возвращении
(предпосадочный AM)
1—сход с начальной орбиты; 2—вход в атмосферу; 3—точка
посадки
Возможность осуществления AM достигается приданием КА определенной формы,
обеспечивающей нужную величину максимального аэродинамического качества (/Cmах)
при гиперзвуковых скоростях полета. Это ведет к некоторому утяжелению конструкции
М,Ы,
Рис. 15.40. Аэродинамический маневр
при встрече с другим КА или КС
(фазирующий AM)
/—траектория фазирования КА в атмосфере;
2—опорная орбита КА; 3—орбита КС
КА. Кроме того, осуществление AM требует применения специальной системы
теплозащиты наружной поверхности КА и теплоизоляции его внутренних объемов. Поэтому
превосходство AM над ГМ обеспечивается только при условии, что утяжеление
конструкции КА с AM будет меньше, чем выигрыш в весе топлива по сравнению с КА,
способным выполнить такое же изменение параметров орбиты при помощи ГМ.
15.2.1. Поворот орбитальной плоскости
Этот тип AM будет выполняться в случае необходимости изменить положение
орбитальной плоскости относительно инерциального пространства (система координат
Oxyz, см. рис. 15. 3&). Такая необходимость может встретиться при повторном проходе
над заданной точкой поверхности вращающейся планеты или при переходе с одной
заданной трассы на другую; при этом изменяются наклонение i и долгота восходящего
узла орбиты Q (рис. 15.41). Остальные элементы орбиты могут не изменяться: для
круговой орбиты конечная высота равна начальной, для эллиптической — равны начальные
460


и конечные высоты перигея и апогея и неизменно угловое положение перигея Ф
относительно плоскости отсчета (см. рис. 15. 41).
Аэродинамический разворот орбитальной плоскости может выполняться следующим
образом: КА при помощи импульса бортовой двигательной установки (ДУ) сходит с
первоначальной орбиты, погружается в плотные слои атмосферы и совершает разворот
за счет боковой компоненты подъемной силы. При подходе к заданной плоскости
орбиты крен уменьшается и КА, используя подъемную силу и тягу ДУ, поднимается на
нужную высоту. После этого КА выходит на новую орбиту, разгоняясь до нужной
скорости при помощи бортовой ДУ (см. рис. 15. 38).
На рис. 15. 38 приняты следующие обозначения.
Oxyz — геоцентрическая инерциальная система координат (см. абсолютную систему
координат, гл. II);
1—2 — сход с начальной орбиты при работающей ДУ;
2—3 — пассивный полет по траектории снижения;
3 — вход в плотные слои атмосферы;
3—4 — пространственное движение с разворотом орбитальной плоскости за счет
аэродинамических сил;
4 — угол наклонения близок к заданному: 1=1зад—£*;
4—5 — выход из атмосферы с доворотом до i = i3ад при помощи аэродинамических сил;
5—6 — подъем с работающей ДУ;
Рис. 15.41. Параметры орбиты КА
€—7 — пассивный подъем до заданной высоты;
7—8 — разгон до орбитальной скорости, выход на новую орбиту.
Исследование поворота орбитальной плоскости удобнее всего проводить в той
системе координат, в которой наклонение и долгота восходящего узла непосредственно
входят в дифференциальные уравнения движения центра масс КА (см. оскулирующую
систему координат, гл. II). При этом положение плоскости развертки относительно
основной системы координат Oxyz определяется углами Эйлера i, Q, Д (см. рис. 15. 38 и
15.41):
i — наклонение к экватору (угол нутации);
Q — долгота восходящего узла (угол прецессии);
Л — угол собственного вращения.
В случае, когда за независимую переменную принято время t, уравнения
возмущенного движения центра масс КА записываются в следующей форме [14]:
№г (du \2 и.
— — г\ — = — -4- + S; (15.44)
d ( ndu\
dt \ dt)
W sin (u + A)
(I)
dQ_
dt
di
dt
dA
dt
du
dt
W
du
dt
cos (u + A);
W
.du
dt
sin (u + A)ctg/.
(15.45)
(15.46)
(15.47)
(15.48)
461


Первые два уравнения системы (I) представляют собой обобщение уравнений
невозмущенного эллиптического движения, а три последних определяют движение
плоскости развертки как твердого тела, закрепленного в центре Земли.
В системе (I) приняты следующие обозначения:
р.— гравитационная постоянная Земли;
а (1—*2)
г — радиус-вектор, равный г = ;
F y F F 1 + е cos (и — 50)
и = v + Ь0— полярный угол радиуса-вектора, где v — истинная аномалия;
А = Ф—50—угол собственного вращения плоскости развертки, где Ф — угловое
положение перигея от линии узлов;
&0—угол между линией апсид и осью | вспомогательной системы координат
0£е£, участвующей во вращении плоскости развертки (см. рис. 15.41) *.
На рис. 15.41 обозначено:
АП—линия апсид;
ОК—линия узлов;
То» ^0 — широта и долгота начальной точки орбиты;
хОу—плоскость экватора;
£Ое —плоскость, совпадающая с орбитальной плоскостью;
5, Т, W—проекции суммарного ускорения от действия сил, за исключением
ньютоновского притяжения, на радиус-вектор, трансверсаль и нормаль к
орбитальной плоскости,
5 = gonr;
т = ssT;
w = &nw;
nr, n , nw — компоненты полной перегрузки п,
n = (n2 + n2+n2w)ll2;
go— ускорение земного тяготения на уровне моря.
Составляющие полной перегрузки определяются из следующих выражений:
nT = (mg0Y~l) [kprQ sin $ + <7Vo (су cos 7 cos 8 — cx sin 8)]; (15.49)
nT = (mg0Y~~^ [kpT0 cos % cos ф — <7Vo (су cos T sin 8 + cx cos 8)]; (15.50)
nw = {mg0)(~l) [ — kprQ cos $ sin ф + qyQcy sin 7]- (15.51)
Здесь q = — скоростной напор;
kp — коэффициент работы ДУ:
(&р = 1— ДУ работает; kp = О — ДУ выключена; 0 < kp < 1 — ДУ дросселирована);
F
т0 = — начальная тяговооруженность, где F—тяга ДУ;
m.go
*->нес 1
Vo: „
где ро — начальная удельная нагрузка на несущую поверхность 5Иес КА;
Y — угол крена (угол между плоскостью симметрии КА и плоскостью, содержащей
радиус-вектор и трансверсаль);
О — угол тангажа,
г|) — угол рысканья,
(углы между горизонтальной и связанной системами координат, см. гл. II).
Пределы изменения величин углов ориентации КА:
—180° < 7 < +180°;
— 90° < &< + 90°;
0° < ф < 360°
Полагая, что КА обладает флюгерной устойчивостью, а отсчет угла рысканья
ведется от проекции вектора скорости на местный горизонт, т. е. полагая угол
скольжения Р=0, путевой угол г|)с=0, получим следующую форму выражений, связывающих
* При 60 = 0 соответствует орбитальной системе координат (см. гл. II).
462


угол наклона траектории G, угол тангажа О, угол рысканья г|), угол крена у и угол
атаки а:
sin ft = sin б cos а + cos 6 sin а cos 7; (15.52)
sin ф = — -(sin a sin 7); (15.53)
cos &
cos ф = (cos 6 cos а— sin 6 sin a cos 7) (15.54)
cos ft
(a — угол между связанной и скоростной системами координат, см. гл. II).
Эти соотношения удобны в случае, когда управляющими функциями на маневре
являются угол атаки а, угол крена у и коэффициент kv работы ДУ.
Угол наклона траектории б определяется из соотношения
Ут
sine^T/-. (15.55)
Здесь
V* = {V2r + [(V cos 8x)2 + ((o3r cos ^)2 + 2(V cos 8i)(co3r cos <p) cos if}1'2; (15.56)
sin61 = -^-f (15.57)
dr -
Vr = — — радиальная составляющая вектора скорости КА V;
dt
о) —угловая скорость вращения Земли;
sin cp = sin / sin (и + А); (15.58)
m ~— — относительная текущая масса КА, где пг0 — начальная масса КА перед
Щ маневром,
dm kp т
= — г. (15.59)
где / = — — удельный импульс ДУ.
go
В случае постоянства скорости истечения из сопла ДУ £/e=const и неизменности
тяги /7 = /70=const
— Р т0
гп= 1 — j- M, (15.59')
go 1
где At — продолжительность работы ДУ.
На участке разгона после подъема на заданную высоту (уч. 7—8 на рис. 15.38)
ориентация КА с неподвижной относительно корпуса ДУ определяется из выражений
sin ft =
*0
cos ft = —
to
—^ (JL~*—J - *Н (15-60)
]
-— + qvocxl (15.61)
go dt
Здесь 6£т — относительный вес топлива, израсходованного к текущему моменту.
Как известно, при полете в атмосфере с гиперзвуковыми скоростями КА
подвергается интенсивному кинетическому нагреву. Поэтому закон управления для AM
следует определять при совместном решении динамической и тепловой задачи. Это
приводит к вариационной постановке поиска оптимального управления при заданных
краевых условиях и ограничениях на фазовые координаты и управляющие функции.
Достаточно эффективным для поиска оптимального управления при AM является
численный метод решения, предложенный Л. И. Шатровским [19]. Сущность этого
метода в данном случае сводится к последовательному улучшению управляющих функций
kp(t), a(t) и y(t) при помощи итерационного процесса, причем поправки к
управляющим функциям вычисляются так, что новое значение функционала меньше предыдущего:
Piy+6y]<Piy].
463


Краевые условия и ограничения по фазовым координатам учитываются
добавлением к оптимизируемому функционалу штрафных слагаемых:
(15.62)
(15.63)
где
Л> = Я + 2*У [Xj(tK)-Xj]2 + *2(*к),
'м
Р = mTg0 + kt \ qkdt
о
_ — основной (минимизируемый) функционал;
гат — относительный расход топлива при выполнении AM.
Здесь qh — удельный тепловой поток к поверхности КА,
/м — продолжительность маневра.
Значения коэффициентов kj подбираются из условия равновеликого влияния
каждого члена на минимизируемый функционал. В первом приближении можно принимать
эти коэффициенты обратно пропорциональными значениям невязок.
После введения соотношении — = VT и — = о> и преобразований система (I)
dt dt
записывается в виде (II), удобном для численного интегрирования:
( dr
= Vr\ (15.64)
(15.65)
(15.66)
(15.67)
(15.68)
(15.69)
(15.70)
(И)
dt
du
dt
dVr
dt
ddi
dt
di
dt
dQ
dt
11
— со;
= «*-% + *
= -L(r_2Kra>);
w
= — cos (u -f- A);
Too
W sin (м + A)
гы sin i
db W
. — = — — sin (a + A) ctg i.
^ dt /-co
Помимо вариационной постановки задачи оптимального управления при AM,
возможна упрощенная постановка, позволяющая пои большей наглядности поиска и
меньших затратах машинного времени получить закон управления, весьма близкий к
оптимальному по суммарным весовым затратам на выполнение AM. Одним из таких
упрощенных методов решения является метод непосредственного варьирования управляющих
функций, основанный на максимизации работы боковой силы mW при выдерживании
ограничений по суммарной перегрузке и температуре торможения. При этом
аэродинамический поворот орбитальной плоскости разбивается на участки в соответствии с
рис. 15.38.
Значения коэффициента kv на каждом участке задаются исходя из физической
сущности задачи: на участках /—2 и 7—8 коэффициент /гр=1, на участке 5—6 kv—\
при #кон^>#атм (см- Рис- 15.38) и бр^О при #Кон~#атм; на всех остальных участках
/гр=0. На участке 4—5 значения у подбираются из условия обеспечения равенства
высоты апогея эллипса подъема заданной высоте конечной орбиты НКОн. Сход с орбиты
осуществляется за счет работы бортовой ДУ при оптимальной по углу входа в
атмосферу ориентации вектора тяги F.
При использовании метода непосредственного варьирования управляющих функций
задаются их начальные значения в точке входа в атмосферу и величины поправок,
постоянные на заданном числе шагов («периоде») интегрирования уравнений движения
КА. В конце каждого периода проверяется выдерживание ограничений. При выходе за
пределы ограничений по перегрузке п или по температуре Tw обшивки КА происходит
возврат на начало периода и изменяются поправки к управляющим функциям. Этот
процесс повторяется до определения значений управляющих функций, обеспечивающих
1
на данном периоде^ п.уМ ~- шах (где / — число шагов, At — шаг интегрирования) при
выдерживании заданных ограничении.
464


Подбор шага изменения поправок к управляющим функциям позволяет менять
быстродействие и точность расчета: увеличение приращений поправок увеличивает
быстродействие за счет точности счета и наоборот. При высоте конечной орбиты,
отличающейся от условной высоты атмосферы #аТм (см. рис. 15.38) не более чем на 50—100 км,
подъем КА обеспечивается за счет отражения от плотных слоев атмосферы путем
соответствующего программирования y(t) и а(/) на участке 4—5 (см. рис. 15.38). При
#Кон^>#атм после выхода на границу модельной атмосферы, т. е. з точке Q(h) = 0,
включается ДУ. Величина потребного приращения скорости определяется выражением
Д^п = {Vl +Vl- 2l/BVn cos eB)x/2;
(IT
1 +
-я,
'2Я3 + ЯК0Н4
Яв
1/2
(15.71)
(15.72)
— потребная скорость в перигее переходного эллипса Хомана.
В выражениях (15.71) и (15.72):
Нв = Натм— высота выхода;
V\ — местная круговая скорость;
■ средний радиус Земли;
бв — угол траектории выхода.
При этом
а =
ф-=0.
(15.73)
После подъема по хомановскому полуэллипсу, в его апогее, КА разгоняется до
нужной орбитальной скорости; ориентация аппарата на разгоне определяется выражениями
(15.60) и (15.61). F
На рис. 15.42 показан примерный вид управляющих функций а(/) и y(t), a также
перегрузки n(t) при развороте орбитальной плоскости на 20° для КА, обладающего
величиной Km ax=2,9-ьЗ. Закон управления получен методом непосредственного
варьирования управляющих функций. На рис. 15. 43 показаны соответствующие этому случаю
зависимости H(t) и V(t).
Рис. 15.42. Изменение управляющих
функций при орбитальном AM
(приближенный метод)
100
80
60
40
20
^
^v
4V
*>
/
\r4-
^У
, <н\
V |
г
200 400
v,km/c
t,C
Рис. 15.43. Изменение высоты Н и
скоросп» V полета при орбитальном
AM (приближенный метод)
Расчет орбитального AM в большинстве случаев целесообразно вести
приближенным методом, так как результаты, полученные по' точному и приближенному методам,
практически совпадают.
Некоторое дополнительное уменьшение затрат топлива при выполнении
орбитального маневра может дать сочетание газодинамического маневра (ГМ) с AM: при сходе
с орбиты для выполнения аэродинамического разворота в атмосфере первоначальный
импульс дается под углом к начальной орбитальной плоскости; при выходе из
атмосферы импульс для выхода на новую орбиту дается под углом к плоскости траектории
подъема.
Наиболее выгодной является такая схема комбинированного поворота орбитальной
плоскости, когда сход с орбиты выполняется плоским, а газодинамический доворот
осуществляется после выхода из атмосферы, на участке разгона (см. рис. 15.38).
Для определения знаков угла рысканья на разгоне г|)р и угла крена у при
выполнении аэродинамического разворота в атмосфере можно использовать выражения:
(sign 7 = - 1) П (sign фР == 1) «- W Г) (*2 > h) U ^ П (h < h); \
(sign 7 - 1) П (sign фр = - 1) «- N П (h < h) U 5 П 0*2 > *i). i
Здесь приняты следующие обозначения:
(15.74)
465


П— знак конъюнкции;
(J — знак дизъюнкции;
-> — знак импликации;
TV—полет с пересечением экватора из южного полушария («на норд»);
5 — полет с пересечением экватора из северного полушария («на зюйд»);
г*2—наклонение конечной орбиты;
i\—наклонение начальной орбиты.
При этом sign •(= —1 соответствует левому развороту („левое крыло вниз");
sign 7 = 1 соответствует правому развороту.
Положение точки пересечения («узла») начальной и конечной трасс (проекций
орбит на поверхность неподвижной Земли) определяется следующими выражениями:
sin <ру :
sin i\ sin (Q2 — ^i)
(15.75)
(15.76)
(15.77)
sin /2 ( sin x
Xy = S2 + arcsin (ctg i2 tgcpy),
sign 9y = 14- N n [(«2> h) П №2> Si) U (h < h) П № < ^l)] U 5 n
П [(h > h) П (Q2< Si) U (h < h) П (Q2 > Si)];
sign Ty = -14- TV n [(*2>«i) П №< &i) U (*2<'i) П №> ^)]
U 5 П [(«2 > h) П № > ^l) U («2 < *l) П (Q2 < Si)]-
Здесь фу — широта узла; ку — долгота узла орбит;
&2 — долгота восходящего узла конечной орбиты;
Q\ — долгота восходящего узла начальной орбиты.
Сход с начальной орбиты при выполнении AM должен осуществляться на
определенном расстоянии от узла. Величина этого расстояния зависит от потребного угла
разворота, т. е. плоского угла % между начальной и конечной орбитами, и от характеристик
самого КА (/(max, p, закона управления при AM). Для определения управления
бортовой ДУ, т. е. для определения потребных значений коэффициента kv на различных
участках аэродинамического орбитального маневра, можно пользоваться следующими
выражениями:
(ftp = i) - [Vi > v > (К, -avt)] П(#>яатм)и <-и = я*°"> П <V<Vi) П
(Я = Якон) U (Яатм < Я < Якон) П (^- = о) ;
(ftp = 0)
[V<(Vl-AVT)) П (Н<НатЫ) П (^
*о U
и(Я>яатм)
><*»)•
(15.78)
где AVT — оптимальная величина изменения скорости при сходе с орбиты.
На начальной стадии исследования орбитального AM сравнение AM и ГМ многими
авторами, например в [23] и [24], проводилось по величине потребной
характеристической скорости при развороте на одинаковый угол %. Однако такое сравнение может
использоваться только в качестве первого приближения.
Вторым приближением можно считать сравнение по относительному расходу массы
на управление, (т. е. с учетом потребных масс: ДУ, системы управления и топлива).
В более общем случае необходимо учитывать конструктивные особенности и веса
разнотипных КА — рассчитанного на AM и способного только на ГМ. Сравнение при
этом следует проводить по величинам начальных весов на орбите, потребным для
поворота орбитальной плоскости на одинаковые углы %. Такая задача уже относится
к области проектирования КА.
Однако необходимо иметь в виду, что окончательный ответ можно получить
только в результате сравнительной оценки КА с AM и КА с ГМ по стоимости и
эффективности решения ими конкретных задач.
15.2.2. Боковой аэродинамический маневр при возвращении
При выполнении предпосадочного маневра КА сходит с начальной орбиты за счет
импульса тормозной ДУ и, войдя в плотные слои атмосферы, совершает
пространственный полет с использованием положительного или отрицательного (при у=180°)
аэродинамического качества. Для искривления траектории КА в горизонтальной плоскости
можно использовать боковую силу при полете со скольжением. Однако при этом
увеличивается сх и торможение происходит более интенсивно, чем при полете без
скольжения. , ,
466


Наиболее выгоден полет с креном, когда боковое отклонение определяется
величиной проекции подъемной силы на горизонтальную плоскость. В этом случае существенно
снижается интегральный тепловой поток вследствие более крутого снижения из-за
уменьшения вертикальной компоненты подъемной силы.
Достижимые в результате бокового предпосадочного AM точки земной поверхности
находятся в области, ограниченной кривыми /, 2, 3 и 4 на рис. 15.44. Кривая /
определяется величиной наибольшего значения су (ограничение по акрИт). Кривая 2
определяется допустимой величиной подведенного к аппарату тепла Qmax", кривая 3—
ограничение по равновесной температуре поверхности КА; кривая 4 определяется величиной
максимально допустимого угла крена упред.
Таким образом, величина фб)тах определяется точкой пересечения
ограничительных кривых: по Qmax и по (Г^)тах (или по упред). Площадь, заключенную внутри
ограничительных кривых, принято называть «полем маневренных возможностей» КА или
просто «полем маневра» (ПМ). Размеры ПМ зависят от величины Ктьх на
гиперзвуковых скоростях и от начальной (предпосадочной) нагрузки рПос на несущую поверхность
КА. Увеличение /(max расширяет ПМ, рост рпос
сужает. Определяющими для размеров ПМ
являются располагаемый вес теплозащиты КА и
энергоемкость холодильных устройств,
обеспечивающих заданные температурные режимы внутри
«Ъз*
ДСП
У-Упргд
рабочих объемов КА.
Тыка скоЗл
' Ч -А
Рис 15.44. Область, в границах
которой возможна посадка КА при
выполнении им маневра на
возвращении
Рис. 15.45.
Траектории посадки при
управлении по
крену:
Ь— точки посадки;
2, 3—точки
перемены знака у
При оптимальных законах управления по углу атаки и крену величина фб)тах
для КА, имеющего на гиперзвуковых скоростях при континуумном обтекании /Стах='
=2,7-^3, может иметь порядок до 4000—5000 км. Попадание в любую точку ПМ может
быть осуществлено за счет управления только по крену у (рис. 15.45).
15.2.3. Корректирующий аэродинамический маневр
Аэродинамический маневр с помощью малых аэродинамических сил можно
производить для низколетящих ИСЗ (с высотой полета до 300 км) или для ИСЗ,
перигей которого лежит на высоте ниже 300 км, путем целенаправленного изменения
аэродинамических сил, действующих на ИСЗ на орбите.
В случае 2-ступенчатого аэродинамического управления (т. е. когда на орбите
дважды изменяются аэродинамические силы) зависимости для приближенной оценки
изменения параметров орбит с начальным эксцентриситетом е^0,01 имеют следующий
вид:
л 1 Г ~\ v + g
Дв = _(Са_С1)_
1
(Е2 — £i) + - ( sin Е2 — sin Ег) +
v -f e
+ — ( sin 2£2 — sin 2 Ег)
С2 /- N.
■ — jt(v + e\
Р
Ap=z {с2 — с1)[{Е2 — Ег) + v(sin E2— sin E1) — c22n]\
Асо =■=
(ci—с?) а
р»е
(cos Е2 — cos £j) -f —— (cos 2£2 — cos 2£x)
467


AS = dl . .2 \(E2 — Ег) sin a) __ [cos (E9 + a)) — cos (£x + «)] —
sin i 1 2
r / — —\ / - —\iV-\-e\ 2ftdo — v— e
— lcos(2£2 + <o) — cos(2£1 + co)J —— J + — sin со —г—;
4 J sin / ^
A*" = № — ^2)|cosco(g2 — £x) ^^-r-[sin(£2 + w) — sin(£i + w)] +
+ I sin(2£2 + o>) — sin (2£i + «)] —— f + cos со ——.
2 ) p 2
Здесь
с = — 1p^Qnexp ( —v),
m
v = aeK'y
d = bgn exp( — v)2/(af
/С — аэродинамическое качество объекта.
Индексы «1» и «2» соответствуют первой и второй областям ступенчатого
изменения аэродинамических характеристик объекта.
Для более точного расчета изменения параметров орбит с помощью
аэродинамического управления необходимо использовать численные методы решения уравнений
движения на ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XV
1. БеллманР. Динамическое программирование. М., ИЛ, 1960.
2. Береснев Н. П., Легостаев В. П. Система управления автоматической
станцией «Луна-9» — «Космические исследования», т. VI, вып. 4, 1968.
3. Д а ш к о в А. А., И в а ш к и н В. В. Об одном замечательном свойстве пучка
гиперболических траекторий. — «Космические исследования», т. III, вып. 5, 1965.
4. Дашков А. А., Ивашкин В. В. Автономный метод определения
направления вектора скорости путем ориентации на центр планеты. — «Космические
исследования», т. VI, вып. 1, 1968.
5. И в а ш к и н В. В. Одноимпульсный переход с гиперболической на эллиптическую
орбиту при радиальном импульсе. — «Космические исследования», т. IV, вып. 3, 1966.
6. Ивашкин В. В. Оптимальные траектории импульсного перехода между
орбитами при наличии ограничений по радиусу. — «Космические исследования», т. IV, вып. 4,
1966.
7. Ивашкин В. В. Классификация и анализ оптимальных импульсных переходов
при ограничениях на расстояние от притягивающего центра. — «Космические
исследования», т. IV, вып. 6, 1966.
8. Ивашкин В. В. Оптимальные траектории импульсных переходов между
компланарными орбитами при ограничениях на расстояние от центра тяготения. Канд.
диссертация, М., 1966.
9. И в а щ к и н В. В. Оптимальные импульсные переходы внутри кольца на орбиты,
не пересекающие его границы. — «Космические исследования», т. VI, вып. 4, 1968.
10. Ивашкин В. В. Некоторые свойства оптимальной коррекции траектории
космического полета для обеспечения последующего маневра. — «Космические
исследования», т. VII, вып. 5, 1970.
11. И в а ш к и н В. В. Совместный анализ задач коррекции и торможения для
одного класса траекторий посадки на планету. — «Космические исследования», т. VI, вып. 5,
1968.
12. Ивашкин В. В. Оптимальные импульсные переходы в кольце между
орбитами, пересекающими его границы. — «Космические исследования», т. VII, вып. 5, 1969.
13. Кузм а к Г. Е. Исследование оптимальных многоимпульсных перелетов между
близкими квазикруговыми некомпланарными орбитами. — «Космические исследования»,
ч. I, т. 5, вып. 4, 1967; ч. II, т. 5, вып. 6, 1967.
14. Лахтин Л. М. Свободное движение в поле земного сфероида. М., Физмат-
гиз, 1963.
15. Лоуден Д. Ф. Межпланетные траектории ракет*.—В сб.: «Космические
траектории». М., ИЛ, 1963.
468


16. П о н о м а р е в В. М. Теория управления движением космических аппаратов.
М,. «Наука», 1965.
17. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.,
Физматгиз, 1961.
18 Ч а р н ы й В. И. Об оптимальных траекториях со многими импульсами.—В сб.
«Искусственные спутники Земли», вып. 16. Изд-во АН СССР, 1963.
19. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задач
оптимального управления. — «Журнал вычислительной математики и математической физики»,
1962, № 3.
20. Штернфельд А. А. Искусственные спутники. М., Гостехтеоретиздат, 1958.
21. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, Munich, 1925.
22. Horner J. M. Optimum two-impulse transfer between orbitrary complanar
terminals, ARS Journal, vol. 32, No. 1, 1962.
23. London H. Change of satellite orbit plane by aerodynemic maneuvering, JAS
paper 29. No. 3, 1962.
24. Marchal C. Optimisation de la phase extra-atmospherique de la montee en
orbite, 1-е part. Etude dans le cas ou I'orbite finale est elliptique et d'orientation indiffe-
rente, Rech aerospate, 1967, No. 116.
25. Marec J. P. Transferts infinitesimaux impulsionels economiques entre orbites
quasi-circulaires non coplanaires. Coumunication presentee an XVI 1-е Congress
international d'Astronautique, Madrid, 9—15octobre, 1966.
26. Munick H., Mc Gill R., Taylor G. E., Minimisation of characteristic
velocity for two-impulse orbital transfer, ARS Journal, vol. 30, No. 7, 1960.
27. Rider L., Characteristic velocity requirements for impulsive thrust transfers
between non coplanar circular orbits, ARS Journal, vol. 31, No. 3, 1961.
28. Ting L. Optimum orbital transfer by impulses, ARS Journal, vol. 30, No. 11,
1960.
29. Ting L., Optimum orbital transfer by several impulses, Astronaut, acta, vol. 6,
No. 5, 1960.
30. W a 11 n e г Е. Р., С a m i e 1 J. J. Plane change split in circular orbits, J.
Spacecraft and Rockets, No. 4, 1966.


ГЛАВА XVI
СБЛИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОРБИТЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — азимут запуска.
i — наклонение орбиты.
N_ — число звездных суток.
R — радиус-вектор из центра притяжения.
Т — период обращения.
Vkp — круговая скорость.
v_ — относительная скорость.
V — скорость спутника.
X, Y, Z — координаты вектора в инерциальной системе координат (ось X проходит
через Гринвич, ось Z направлена в полюс планеты).
а —угол линии визирования с осью х орбитальной системы координат.
Д/ — отклонение между кораблями по дуге орбиты.
Д/ст — отклонение момента старта.
Дх, Д#, &z —компоненты ДУ.
ДУ— величина корректирующего импульса, или приращения скорости.
X — географическая долгота.
Ф — географическая широта.
q — вектор относительного положения в орбитальной системе координат.
фв — широта в момент выведения на орбиту.
X — угол между плоскостями орбит,
а) — угловая скорость обращения на орбите спутника.
са з — угловая скорость вращения Земли.
Q — долгота восходящего узла.
Q — угловая скорость ухода линии узлов.
Сборка на орбите спутника планеты может производиться для следующих целей.
1. Накопление на орбите полезного груза, необходимого для старта космического
корабля.
2. Снабжение космического корабля или обитаемой космической станции
компонентами для поддержания жизнедеятельности и необходимым оборудованием.
3. Смена экипажа космической станции или доставка экипажа или полезного груза
в космический корабль, выведенный на орбиту ранее или являющийся кораблем-маткой,
с которого был проведен спуск на планету.
4. Спасение экипажа космического корабля в случае возникновения неустранимой
в полете неисправности, угрожающей жизни экипажа или создавшей невозможность
надежного возвращения его на Землю.
5. Проверка, профилактическое обслуживание, наладка аппаратуры, ремонт и
другие операции с автоматическими спутниками различного назначения, требующие
непосредственной работы человека в космосе.
Процесс сборки можно условно разделить на несколько этапов.
1. Выведение на монтажную орбиту. Оно может включать как собственно
выведение, так и проведение маневров или коррекций, обеспечивающих наиболее
благоприятные условия для сближения.
2. Сближение — управляемый процесс уменьшения рассогласований кинематических
параметров космических аппаратов. Оно может производиться как по командам с Земли,
так и автономно с использованием только бортовых средств.
3. Причаливание — заключительные маневры, производимые в непосредственной
близости между космическими аппаратами. Характеризуется более жесткими, чем при
сближении, требованиями к взаимной ориентации объектов.
470


4. Стыковка — механическое соединение сближающихся космических аппаратов.
В некоторых случаях может отсутствовать или заменяться выходом космонавтов в
открытый космос. Тогда космический корабль, производящий сближение, вблизи цели
переводится в режим «зависание» — выдерживание заданного диапазона расстояний между
объектами.
16.1. МОНТАЖНЫЕ ОРБИТЫ
Орбиты, на которые выведены космические аппараты, специально предназначенные
для сближения, должны обеспечивать:
1. Достаточное время существования для проведения сближения и необходимых
операций в совместном полете.
2. Минимум суммарных энергетических затрат на проведение этапов сборки.
3. Удовлетворительные условия для наблюдения, измерения параметров орбиты и
связи с пунктами командно-измерительного комплекса.
4. Допустимые районы приземления первых ступеней ракеты-носителя, если
выведение на монтажную орбиту производится с Земли.
5. Удовлетворение других, специфичных для данного космического аппарата
требований, например: минимум энергетических затрат на выполнение цели полета,
обеспечение возможности выхода из аварийных ситуаций, удовлетворение условий спуска на
штатные полигоны посадки, прохождения трассы полета над интересующими
районами и т. д.
Монтажной орбитой называют орбиту корабля, выполняющего пассивную роль,
т. е. не производящего маневров с целью сближения. Однако такое определение
неточно, так как в процессе сближения корабли могут меняться ролями. Кроме того,
выведенный на орбиту космический корабль может совершать маневры с целью занять наиболее
благоприятное положение для встречи с другими кораблями, которые предполагается
вывести. Поэтому для определенности монтажной орбитой будем называть орбиту,
интегральные параметры которой необходимо обеспечить на момент механического
соединения кораблей.
Ниже будет рассмотрено построение монтажной орбиты при старте с планеты;
однако это не исключает возможность выхода на монтажную орбиту с другой орбиты.
Тогда под стартовой площадкой следует понимать условную материальную точку,
орбита которой совпадает с орбитой космического корабля до включения двигателей.
Сборка на орбите может производиться как при одновременном старте нескольких
носителей с близко расположенных стартовых площадок, так и при последовательных
стартах с одной или различных стартовых площадок.
В первом случае время между стартами минимально. Для заданных параметров
монтажной орбиты оно определяется последовательностью сборки, расположением
стартовых площадок и характеристиками траекторий выведения используемых
ракет-носителей. При старте с планеты оно не превышает части периода монтажной орбиты.
Во втором случае интервал между стартами, как правило, составляет несколько
периодов монтажной орбиты.
Исходя из требования минимума затрат топлива на сближение необходимо
согласовать параметры орбит обоих космических аппаратов с учетом ограничений,
налагаемых другими требованиями, и с учетом используемых схемы и метода сближения, а
также характеристик носителя и космических кораблей.
Рассмотрим возможности совмещения плоскостей двух орбит. Необходимость
такого согласования видна из графиков, показанных на рис. 16. 1.
По оси абсцисс отложено время t в единицах периода Ти собственного вращения
планеты, прошедшее с момента выведения на орбиту первого КА (или момента его
прохождения через область выведения второго) до момента выведения на орбиту второго
с той же стартовой площадки. По оси ординат отложено 1ч—оптимальное наклонение
орбиты второго КК. Наклонение i\ орбиты первого КК и величина импульса скорости
А V — , потребного для совмещения плоскостей орбит, являются параметрами гра-
фиков. Эти зависимости приведены для Луны при выведении на экваторе без учета
прецессии орбиты.
При определении оптимального наклонения принималось, что импульс, совмещающий
плоскости орбит, минимален, если центральный угол между точкой окончания
выведения второго КК на орбиту и точкой исполнения корректирующего импульса AV,
исполняемого в момент прохождения через плоскость первой орбиты, равен 90°, что
справедливо для равных орбит. Аналогичные зависимости могут быть получены по формулам
сферической тригонометрии для любых условий.
Из графиков видно, что при старте с экватора минимальные затраты топлива на
совмещение плоскостей орбит будут для экваториальных орбит и для орбит с любым
наклонением при старте через время, кратное примерно половине периода планеты (с
учетом прецессии плоскости орбиты).
Из простых геометрических построений можно увидеть, что существуют
дополнительно особые случаи, когда возможно совмещение плоскостей орбит производить без
энергетических затрат, изменяя азимут стрельбы второго КК. Так, при наклонении 90°
471


и старте с полюса планеты это возможно на любом витке. При широте выведения q>
второго КК, меньшей наклонения i\ орбиты первого КК, для этого необходимо, чтобы
стартовая позиция была расположена вблизи точки пересечения трасс восходящего и
нисходящего витков орбиты первого КК (рис. 16.2).
В последнем случае, пренебрегая длительностью и протяженностью участка
выведения, можно оценить время между моментами стартов обоих кораблей с одной
стартовой площадки (моментами прохождения над стартовой площадкой на восходящей и
нисходящей части витка) по формуле
At-
(Од-
arctg
VsirPi-
''Ч
cos i sin <p
Рис. 16. 1. Зависимость оптимального наклонения г'г выводимого на орбиту ко-
- AV
рабля и величины импульса AV=-—, совмещающего плоскости орбит, от вре-
кр
мени пребывания на Луне t при различных наклонениях i'i монтажной орбиты
Потребный период монтажной орбиты
Т =
At
1 1 Sin ср
п + -— — — arc sin
2 п sin i
При этом требуется изменение азимута старта на величину
. sin i , , -х cos(o) + &)At + sin2 6
АЛ = arc sin — sin (to + Q) At = arccos
cos b
cos2b
где
b = -
arc sin
sin cp
sin /:
n — число витков.
На рис. 16.3 приведено указанное выше время для Луны в зависимости'от широты
стартовой площадки <р и наклонения орбиты и На рис. 16. 4 приведено потребное
изменение азимута ДЛ, на рис. 16.5 — производная минимального импульса, совмещающего
плоскости орбит, по виткам, пропущенным после расчетного времени старта.
Нелинейность затрат на совмещение плоскостей орбит при уменьшении разницы
между значениями широты и наклонения видна из рис. 16. 6, где показаны зоны
допускаемого времени t пребывания на Луне в случае взлета на орбиту, с которой была
произведена посадка, при фиксированных значениях импульса А/, совмещающего плоскости
орбит.
В случае, когда по условиям старта не допускается изменение азимута запуска,
можно выбрать кратную монтажную орбиту — орбиту с периодом, кратным периоду
вращения плоскости орбиты относительно планеты. Условия кратности:
ТплМ = ТсьП,
472


ИЛИ хг . о
N __ Чтл + &
Л о)сп
Здесь 7ПЛ — период вращения плоскости орбиты относительно планеты;
Гсп — период монтажной орбиты;
2л
<»>сп = т •
* СП
В случае старта с Земли условие кратности имеет вид
п
N
Т7Млср + #з)3/2+ —
V*
cos i
{х hcp + #3
Трасса nepdozo KK
Рис. 16.2. Сяема изменения азимута АЛ
Задавая целочисленные значения N— кратности прохождения (число звездных
суток), п — числа витков в периоде кратности, определяем период орбиты корабля, с
кратностью N проходящего над стартом, а следовательно, и среднюю высоту. На рис. 16. 7
приведены высоты кратных орбит для Земли, без учета атмосферы. При учете влияния
атмосферы на параметры кратной орбиты необходимо, чтобы средний период орбиты
на интервале периода кратности равнялся определенному выше.
Соблюдение условий кратности обеспечивает равенство нулю отклонений между
кораблями по дуге орфиты, нормали к плоскости орбиты и боковой относительной
скорости в момент выведения второго корабля. Рассмотрим отклонения от этих условий.
Если задать положение плоскости орбиты в инерциальной системе координат
X, Y, Z вектором, антипараллельным вектору кинетического момента
- V XR
\VXR\
проекции которого сх, cYj cz через наклонение i и долготу восходящего узла Q
выразятся
с = sin /;
cz = ^сх + cv cos (Q + "f")•
то направление, образованное пересечением плоскостей орбит (направление на узел),
будет иметь направляющие косинусы
bY=lT{ezicx*-cxiczz)'-.
bZ~ $ {СХ1СУ2~ CYlCX2)i
» = V(cricZ2 ~ eaeYif + (czicX2 ~ сХ1сгг? + (cxicY2 ~ сУ1ехг?-
473


Второй индекс означает номер орбиты. Географические координаты узла орбит:
<р — arc sin b •
X = Arc sin—.-■
y Vb2x + b*
sign cos Xy = sign b
Время полета между экватором и узлом
1
<»>ср
arc sin
sin i
где соср —среднее значение со.
At,
сдт
10
\ \ N
II 1—». 1 о
о\ о 1
11 1
ч > 1
\ о \
N. '^ v.
>Л
ь
30
60
90
(f, град
Рис 16 3 Время At до второго прохождения над
стартовой позицией в зависимости от широты ср и
наклонения i
Угол между плоскостями орбит
1 = arccos
\cic2\
Величина импульса, потребного для совмещения плоскостей орбит при
стабилизации в инерциальном пространстве,
AK==2Ksin—.
Если рассогласование плоскостей орбит равных наклонений произошло за счет
отклонения Ate момента старта от расчетного (обеспечивающего компланарность
плоскостей), то угол х можно определить из выражения
sin х "-= sin / У(\ — cos Д&)2 cos2 * + sin2 Д&;
AQ = (e>„ + Q)MC.
Широта узла
tpy = arctg
(C0Sf tg/)'
Боковое отклонение второго корабля от орбиты первого в момент выведения,
определяемое по дуге большего круга, нормального к плоскости орбиты второго, можно
найти из выражения
z = к arc sin ( sinA/y sinx).
474


Если точка окончания выведения находится до аппекса орбиты, то
Д/v
sm 9y sin ■
п — arc sin — arc sin
sin i
My = arc sin •
Sin cpy
sin i
sin ?B
sin i
если точка окончания выведения находится после аппекса.
Здесь фв — широта выведения.
ДА г
град 1
720 \
50
0
. 1 , г
i i '
\ 1
1 1
1
' Nsf
N£^
£>о
!
\^v 1
^sN^o J
\
W
п:
\ \ 1
|г
п
30
60
90
1$,град
Рис. 16.4. Изменение азимута ЛЛ, потребное для
совмещения плоскостей посадочной и взлетной орбит с
наклонением i
Боковая скорость при малых AQ может быть оценена по формуле
z
Z^i— CtgA/y.
В случае <pB=i и малых AQ достаточно точны формулы
Х~ AQ sin /;
I/ \ sin i j
:VX.
Из них видно, что для схемы встречи с последовательными стартами и встречей
сразу после выведения возможно эффективно корректировать отклонения по дуге
орбиты Л/ изменением времени старта второго корабля. Изменив время старта, обеспечивав-
Д/
шее ранее минимум угла между плоскостями орбит, на величину Atc = ~y получим
ДЙ=(юп + й)М>.
Это приведет к отклонениям по боку в момент выведения, существенно меньшим
отклонения Л/.
Приведенные выше оценочные формулы можно использовать как для оценки
характеристик монтажных орбит, так и для определения параметров нулевого
приближения при решении краевой задачи по уточнению параметров монтажной орбиты.
При решении такой краевой задачи удобно рассматривать прохождение одного
космического аппарата (в случае последовательного старта аппарата, движущегося по
монтажной орбите предшествующего приближения) через картинную плоскость
(плоскость, проходящую через другой корабль перпендикулярно вектору скорости
относительно планеты), построенную в расчетный момент выведения на орбиту другого
космического корабля. Варьируя параметры прицеливания, параметры программы
выведения и разность времен старта кораблей, удовлетворяют ограничениям, требованиям
475


к монтажной орбите и принятым условиям в момент прохождения. Последние удобно
записывать в орбитальной относительной системе координат (см. разд. 16.2), связанной
с центром одного из объектов.
AV 1
п
30 \
20
10
py^
\i=20°
\ V
д \
\i=W £=60°\
Г 1
■ - ■ —]
X
\ \V
\i*7o\i=8o\ \.
\i=85°YX\
\i=90°X\ \
О
10
10 30 кО 50 60 70 80 у,град
Рис. 16.5. Производная импульса, совмещающего
плоскости орбит, по виткам, пропущенным после
прохождения трассы через стартовую площадку
Так, например, условие встречи без промежуточных маневров через заданное время
т после выведения второго космического_а*шарата можно записать в виде
v*=Ax7,
где7, ~v — относительные координаты и скорости космических аппаратов в орбитальной
системе координат (см. разд. 16.2);
Лх —матрица коэффициентов (см. разд. 16. 3).
град
/и
5
0
^4ч
LNvbV
life
<Я
Щ
й
VS
$3
И
И
&
1 !
1
\>
^<
у
ч
jOs
<\
.__
г
i
S
^
4s
^
К4-
>
I ! j |
i=10°
-— AV=50m/c
!
1
-i\v—iuum/c i i
г~ Г-Г---Г—-j j -■
' i. _ I ! j
ч\р£
-}у
N^>
N}
.
^\
s5j
\
^
>^i
\
V
ub
5?
s
L
n4
- 1
.__
^
■ —
4
--
Г t ' '
г 1 ' \
L.I x J ,
i
i
Г 1 : T ^ ■ /
1 ; ' ■ i L
' ■
...
—
1 '"
—
—
i
_ -j
—
^
2
!
A
\S
^
4
ч
N
Я
s
N
.3
<*&
%
к^чР*
t£K
4
1
1
100
200
300
400
500
Ш t,4
Рис. 16. 6. Зоны допускаемого времени / пребывания на Луне при фиксированных
значениях импульса, совмещающего плоскости орбит
16.2. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассматриваются основные зависимости, определяющие относительное движение
близколегящих космических аппаратов. Последние принимаются за материальные точки.
476


200 220 240 160 260 300 320 340 Н^км
Рис. 16. 7. Номограмма высот кратных орбит
Ик
Орбита „активного"корабля
i\
j ^Rj^^ ^
1 Iiii/// |о4 ' \v
I \/ W
i Hull / /^
WWy J J/
Рис. 16.8. Орбитальная
ч •-
ШГ-Д/7 V
IIIlly Опорная орбита
система координат
477


в одной из которых помещено начало относительной системы координат. Орбиту
последней будем называть опорной.
Принятый вид, ориентация осей координат и допускаемая точность уравнений
определяют сложность дифференциальных уравнений движения одного из объектов
относительно другого. Наиболее простой вид дифференциальные уравнения относительного
движения имеют в декартовой системе координат.
В практике расчетов сближения чаще всего применяются орбитальная и инерци-
альная относительные системы координат. В этих системах первые две оси лежат в
плоскости орбиты, третья ось — нормально плоскости орбиты и дополняет систему до
правой.
В орбитальной системе координат (ОСК) (рис. 16. 8) ось у направлена по радиусу-
вектору R, проходящему из центра притяжения через начало относительной системы
координат.
Ось х ей перпендикулярна и бывает направлена в сторону вектора переносной
скорости (полетная система координат) или против него (кинетическая система координат).
Направляющие орты орбитальной системы координат записываются через вектор R и
вектор угловой скорости со начала координат относительно центра притяжения:
Jo< R
ау
|со X R\
R
т
о*
Верхний знак перед со соответствует полетной системе, а нижний знак —
кинетической.
Инерциальная относительная система координат (|, г), £) совпадает по
направлению осей с орбитальной в принятый начальный момент времени. Ориентация осей
относительно инерциального пространства неизменна и характеризуется углом Ф между
одной из осей, лежащих в плоскости опорной орбиты, и текущим радиусом-вектором Ro
начала координат.
Если пренебречь несферичностью поля тяготения планеты, взаимным притяжением
объектов и другими возмущающими факторами высоких порядков малости, то
дифференциальные уравнения относительного движения запишутся:
— в кинетической орбитальной системе координат
~ dy Г и. "I du>
dt L#3 J dt У Xl
+ 2c
dx
' dt
+
IRz
du>
* dt
y<R jx_
" /?3 + p2 '
i?
•4- — — P
где Ro — расстояние до начала координат из центра притяжения;
R — расстояние от центра притяжения до движущейся точки;
— в инерциальной относительной системе координат в случае,
проходит через перигей опорной орбиты при /=0
когда вектор Ro
= Л
5»
= Р
*)»
где |, т), £ — координаты движущейся точки, совпадающие в момент прохождения
началом координат перигея с координатами орбитальной системы координат (х, у, г),
соответственно;
Pt, Л,
Рс — компоненты возмущающего (управляющего) ускорения.
478


В этих уравнениях величина
рЯо
/?з
-rg"есть разность ускорения силы тяжести в
точках расположения объектов; члены —, —-, —— характеризуют главным образом
/о* /<3 /<3
разницу в направлении ускорения силы тяжести.
Для отклонений между объектами, значительно меньших расстояния до общего
центра притяжения, уравнения линеаризуются. Для орбит с малым эксцентриситетом
(е<0,01) величина
V
*1
?со ^ const.
Тогда приведенные выше уравнения принимают еще более простой вид и допускают
решение в замкнутом виде в элементарных функциях. Так, линеаризованные
дифференциальные уравнения относительного движения в полетной орбитальной системе
координат
№х л dy
<№ dt x'
d^y dx
d*z
—+^=рг
имеют для случая постоянной тяги реактивных двигателей следующие интегралы,
записанные в виде, разрешенном относительно начальных отклонений.
Рис. 16.9. Траектории относительного движения
При неизменной ориентации возмущающего ускорения с осями орбитальной
системы координат
= М
+ А>И.
При неизменной ориентации возмущающего ускорения с осями инерциальной
относительной системы координат
М
Здесь
+ рл\р1
-соответственно текущий и начальный вектор-столбец
кинематических отклонений координат г{х, у, г) и скорости v(x, у, z);
\Р\ — вектор-столбец начальных компонент возмущающего ускорения;
М — матрица размерности 6X6,
М-.
1 6(sinco*— со*)
О (4 — 3 cos со*)
О
О
О
О
COS со*
/4 \ 2
— sin со* —3* — — (1 —cos со*)
\ со / со
(1 — COS со*)
sin со*
о
О
sin a.*
0
0
0
—6w (1— COS со*)
Зсо sin to*
0
0
0
— со sin <o*
4 cos Ы — 3
2 sin со*
0
-2 sin со*
cos to*
0
CO
0
0
COS со *
479


Po> Pyi — матрицы размерности 6x3,
1 Г 3 12
— 4(1 — cos о>*) — — оз2/2 — (sinorf—со/) О
(i)2 [ 2 J 0)2
А> =
-—— ( sin tot— (xt)
o)2
— [4 sin tot — 3cnt]
O)
2
(1 — COS tot)
0)
0
(1 — cos tot) 0
°" —-(1 —cos o>0
0)2
(COS tot— 1)
со
sin tot
0
— sin tot
to
л,=
[3o>/ sin tot — 5(1 — cos tot)] —- (tot— 2 sin tot + tot cos tot)
J— ( Sin tot — tot COS o)/)
2o)2
■ (3tot cos o)/ — 2 sin W)
■ o)/ sin tot
' I COS tot —
1 + tot Sin tot
4
0
0
( 1 — COS tot + tot sin tot)
to
-— (3co/ cos tot — sin tot)
2u)
0
0
0
(1 — COStot)
0
0
sin tot
t — текущее время полета.
Уравнения относительной траектории пассивного полета в орбитальной системе
координат можно представить также в следующем виде:
2 / 2
Х = е Sin (totу max + <*>0 — ЗС* + ( Ло — Уо
to \ to
е 2 „
У = COS (toty max+^O + С\
z^Z,
max
sin (»*z-0+ *>*),
где
-V*+W-
J'«-0 = arCSi" 7
*0
arccos ■
z0
max w^max
Остальные обозначения ясны из нижеследующих формул.
Из этих уравнений видно, что относительное движение в плоскости опорной орбиты
является движением по эллипсу с отношением полуосей 2, центр которого перемещается
со скоростью ЗС из начального положения
*о — ~ Уо). —С.
to J to
На рис. 16. 9 приведены траектории такого движения при различных направлениях
начального вектора скорости и нулевых начальных отклонениях по координатам.
В траектории пассивного относительного движения можно выделить инварианты
относительно времени полета:
— эквивалент эксцентриситета относительной траектории
е == У> + (2х + Stoyf = Уу1+ (2лг'о + StoyJ
— скорость векового движения
Зс = 3 (х + 2со0) = 3 (*о'+ 2он/0).
480


Уравнение продольного относительного смещения
2у — ых = 2#о — ь>х0 + Зсо>^ .
Центральный угол до характерных точек на относительной траектории можно
определить по следующим формулам:
— до экстремальной высоты
<^max= Arcs in ( -
sign cos idy щах = sign (2x + 3o> y0);
до точки возврата в продольном движении
^возвр = ± arccos —
' + <*ty max'.
до момента равных высот
Ly=o :
± arccos
К)
+ <*t у 1
до пересечения плоскости опорной орбиты
<^z-o = (sign-2r + sign*) — — arctgco-r- ;
— до экстремального удаления от плоскости опорной орбиты
utz
= arctg -
Для эллиптической опорной орбиты в качестве параметрических уравнений
относительного движения в линеаризированной постановке удобно использовать выражения
частных производных отклонений кинематических параметров в искомый момент по
отклонениям в заданный момент. Используя для этой цели полученные в работах [14, 15]
матрицы изохронных производных
г
= М„
AV-0|
следует иметь в виду, что фигурирующая в них разность абсолютных скоростей КА
(ДУ) не является относительной скоростью в орбитальной системе координат.
Последняя находится из выражения
v0 = ДК0 + й X г.
При решении некоторых задач сближения, автономной навигации и при обработке
результатов измерений с малой избыточностью бывают полезны некоторые соотношения,
вытекающие из свойств матрицы изохронных производных. В частности, координаты
отклонений между объектами в орбитальной системе координат, взятые в фиксированные
моменты времени (с индексами i, j, k в порядке возрастания времени), удовлетворяют
соотношению
nri + mrj + krk = |0|.
Элементы матриц /i, m, k могут быть найдены из выражений
п= —\\cik — dikbTkaib\\>
m = \\vJk~
k = \\d,J
Jkujk
-dJkbJkaJk\\>
—l
-<*1к*Тк\\-
Эквивалентные системы уравнений дают также
■dijbijaij\\
—1
m = lldf///+Ve'*
*=-IM
или
\bT,*iy
Ь7ъ1а
ik uik\\
m= -\\bl
U
k = \\b
-11
Индексы в обозначениях подматриц матрицы изохронных производных (согласно
равенству
Ми ,) =
аи bi}
eijdij
16 3669
указывают, что они определены на интервале между
481


этими моментами. Скоростные и смешанные соотношения подобного типа не
приводятся, поскольку они в практике менее употребительны из-за большего влияния
аппаратурных и методических погрешностей на точность решения.
Следует также иметь в виду, что при больших расстояниях между объектами по
дуге орбиты методические погрешности определения относительного положения
космических аппаратов по линеаризированным уравнениям относительного движения
существенно уменьшаются, если координаты х, у, z уравнений при переходах считать
криволинейными координатами, т. е.
х — отклонение по дуге орбиты (Л/);
у — превышение объекта над координатной поверхностью, образованной поворотом
опорной орбиты относительно линии узлов орбит (А/?);
z — боковое отклонение по дуге координатной поверхности, нормальной плоскости
опорной орбиты (Ля).
Значения производных х, у, z следует определять по значениям относительных
координат в двух точках траектории по формулам на стр. 485.
16.3. АВТОНОМНОЕ СБЛИЖЕНИЕ
Под автономным сближением понимается сближение космических аппаратов,
находящихся на близких орбитах, осуществляемое с помощью только бортовых
измерительных и исполнительных средств. На участке автономного сближения требуется уменьшить
до допустимых значений начальные рассогласования кинематических параметров,
вызванные погрешностью исполнения предшествующих участков. Начальные отклонения
могут достигать десятков и сотен километров по координатам и десятков метров в
секунду по относительной скорости.
Основная часть алгоритма, преобразующего измеряемые параметры или их
комбинации в команды управления, выполнение которых приводит к сближению, называется
обычно методом сближения. Иногда понятие метода сближения распространяют и на
способ аппаратурной реализации алгоритма. Методы сближения в явном или неявном
виде включают элементы навигации, обработки результатов измерений, прогноза, маневра
и управления. В основе большинства из них лежит допущение о характере движения
цели. Для построения алгоритма используются кинематические или динамические
соотношения или их аппроксимирующие зависимости, позволяющие решить задачу сближения
с той или иной степенью оптимальности.
Методы можно разделить на две группы:
1. Методы, аналогичные методам самонаведения управляемых ракет малых высот.
2. Методы, предназначенные специально для сближения космических аппаратов.
К первой группе можно отнести методы погони, пропорциональной навигации, трех
точек и другие. Их математическое описание при использовании в космосе не меняется.
Существенно изменяется аппаратурное решение в соответствии со спецификой
управления, и для достижения малой относительной скорости в конце сближения требуется
регулирование скорости сближения в процессе сближения.
Методы второй группы в отличие от методов первой основываются на законах
относительного движения космических аппаратов в поле тяготения, поэтому их иногда
называют «методами орбитальной механики». Методы, в которых полет с работающим
двигателем составляет незначительную часть общего времени сближения, называются
«методами свободных траекторий». В большинстве случаев сами уравнения метода выводятся
с учетом принятых критериев оптимальности. Ими, как правило бывают
экономичность, быстродействие, простота измерительной и преобразующей аппаратуры,
возможность использования аппаратуры, установленной на объекте, для других целей и тому
подобные требования.
Как пример методов первой группы кратко рассмотрим метод параллельного
наведения. Кинематическое условие метода — угловая скорость линии визирования должна
равняться нулю — в космическом полете легко контролируется с помощью локатора и
датчиков угловой скорости или путем измерения скорости перемещения цели на фоне
звезд. Измеренные значения угловой скорости линии визирования являются
рассогласованиями. Они ликвидируются составляющими тяги двигательной установки,
нормальными линии визирования (КА — цель). При значениях угловой скорости линии
визирования, близких к расчетным погрешностям ее измерения, считается, что КА находится «на
методе».
Управление по каналу дальности заключается, как правило, в выдерживании
заданного закона изменения радиальной скорости по дальности. Последний определяется из
условия оптимальности сближения. Он может быть многопараметрическим,
учитывающим начальное относительное положение космических аппаратов. В этом случае метод
сближается с методами орбитальной механики. Для метода параллельного сближения
в целях простоты обычно используется минимальное число параметров.
На рис. 16.10 в фазовых координатах «радиальная скорость q — дальность Q»
приведена схема простейших законов управления для «мягкого» сближения и типичные
траектории.
482


Траектория / соответствует случаю, когда двигательная установка допускает
глубокое дросселирование тяги.
Траектория 2 — двигательная установка не дросселируется, но допускает
многократное включение.
Траектория 3 — двигательная установка не дросселируется, число включений
минимально.
Сплошной линией показан полет с работающим двигателем, пунктирной —
пассивный полет.
Поясним основные характеристики закона регулирования.
Линия безусловного
тормошения
V
\ Линия
безусловного
Рис. 16. 10. Простейший закон управления по каналу дальности
Радиус безопасности ограничивает пространство вблизи цели, в котором опасно
движение с полярным управлением. Он должен превышать минимально допустимую
зону причаливания.
«Парабола торможения» является предельной фазовой траекторией торможения с
максимально возможной радиальной составляющей тяги. Она обеспечивает
минимальную скорость КА вблизи цели вне радиуса безопасности независимо от направления
подхода к цели. Ее название условно, так как при простейшей реализации метода ее
аппроксимируют, а при точной реализации учитываются высокие члены разложения
потенциала тяготения вблизи цели.
Оптимальный закон изменения радиальной скорости по дальности наиболее точно
может быть выдержан при сближении с непрерывно работающим двигателем,
допускающим глубокое дросселирование тяги (траектория 1). В целях простоты закона
управления начальное рассогласование по скорости можно ликвидировать при максимальной
тяге. В случае ограниченной глубины дросселирования тяги для реализации закона
сближения, близкого к оптимальному, требуется многократное включение двигателей.
При этом вблизи заданного закона обычно выделяется зона, параметры которой
определяются допускаемым числом включений двигателя и погрешностями измерений.
Граничная кривая зоны, лежащая сверху оптимального закона, отсекает вверху
зону безусловного торможения. Граничная кривая .зоны, лежащая ниже оптимального
закона, отделяет снизу зону безусловного разгона. Между граничными кривыми
вводятся две кривые выключения. При пересечении измеряемой фазовой траекторией этих
линий посылается команда, требующая равенства нулю радиальной составляющей
тяги двигателей.
Аналогичным образом определяется тангенциальная составляющая тяги
(рис. 16. 11).
Можно проводить сближение без дросселирования тяги при одном включении
двигателя. Однако при этом существенно усложняется работа системы ориентации объекта.
16*
483


Фазовая траектория приближается к траектории максимального быстродействия, когда
активные участки разгона и торможения соприкасаются без пассивного участка между
ними.
Приведем краткое описание простейшего алгоритма работы системы ориентации
при полярном управлении.
После поиска цели измерительными средствами КА (или локатор) разворачивается
так, чтобы цель оказалась на оси зоны точных измерений. Во время измерений
производится непрерывное отслеживание этого положения. Проводятся точные измерения
угловой скорости линии визирования, разворачивают КА вокруг линии визирования так,
чтобы свести к нулю проекцию ее угловой скорости на одну из принятых осей КА,
перпендикулярную линии визирования. Таким образом, одна из выбранных плоскостей КА
совмещается с плоскостью, проходящей через ли-
• . Пооо? вилючЕная нию визиР°вания и относительную скорость, —
Т \ инис J ш с ^^ плоскостью наведения. В дальнейшем в процессе
сближения система ориентации должна
непрерывно сохранять это состояние. Развороты КА,
необходимые для создания управляющих
движете а .„.„..„,„.« нием центра масс составляющих тяги, произво-
Порог выключения дятся в п£оскости навеДения.
^"^"***-^^ " В качестве примера методов второй группы
^ коротко рассмотрим один из вариантов метода
Q свободных траекторий — метод последовательных
коррекций траектории относительного движе-
Рис. 16.11. Закон управления уг- ния> производимых через заданные интервалы
ловой скоростью линии визиро- времени. Для него корректирующий импульс
вания определяется на борту по результатам
автономных измерений параметров относительного
движения.
Уравнения рассматриваемого метода — зависимость, позволяющая определить по
измеренным значениям относительных координат и скоростей величину
корректирующего импульса, потребного для встречи КА в заданное время с целью. Они зависят от
состава измерений и принятой для определения импульса системы координат. В
орбитальной системе координат уравнения управления имеют линейный вид. Для полного
состава измерений—измерения относительного положения (вектора q) и скорости
(вектора V) уравнения метода записываются в виде
AV% = Ахо — V.
Здесь Ах — матрица коэффициентов, зависящих от времени коррекции до
расчетного момента встречи (г) и априорных параметров орбиты цели.
Для орбит с малым эксцентриситетом (е<0,01) коэффициенты матрицы Ах
выражаются следующими функциями:
1
cos tot) — 3o)T sin сот];
cos сот);
#22 = — (Зо)Т cos cot — 4 sin сот); #2з = asi = аъ2 — 0» азз — — <* *g wT>
А
Д == 8 (1 — COS tot) — Зо>Т sin cot.
Зависимость коэффициентов от времени приведена на рис. 16. 12.
Для эллиптических орбит матрица
Следует напомнить, что для приведенного выше выражения матрицы Az через
изохронные производные следует при определении компонент корректирующего импульса
относительную скорость объекта определять в инерциальной относительной системе
координат, совпадающей в момент определения с орбитальной.
Из уравнений метода видно, что если для орбит с малым эксцентриситетом
предполетная информация об орбите цели ограничивается величиной средней угловой скорости,
то при сближении на эллиптических орбитах коэффициенты в уравнении метода зависят
от параметров, определяющих орбиту в ее плоскости. В этом недостаток методов второй
группы.
Однако в большинстве случаев встречи необходимая информация имеется. В
случае ее отсутствия, усложнив алгоритм и увеличив число измерений, можно определить
ац =
012 =
013 =
0;
А
2
А
021
<о Sin (ОТ
со [7(1-
2
~ А
-
(1
484


необходимые дополнительные параметры автономно по измерениям параметров
относительно движения.
При ограниченном составе измерений уравнения метода изменяются. Так, при
измерении только относительных координат
ДУ = #л-1кя-1 + BnQn,
где Вп, Вп_\ — матрицы коэффициентов, зависящих от интервала времени между
измерениями тп, времени сближения т и априорных параметров орбиты цели.
Для орбит с малым эксцентриситетом выражения для коэффициентов будут
р11, л—1 ]
А2
sin wt„;
*i2, n-i= — T~ 2 О — cos wT«)'
l-0,004
Рис. 16. 12. Зависимость коэффициентов метода свободных траекторий
от времени до встречи
#1з, л-1 = °;
#21, л-1 = — #12, л—Ь
О)
#22, л-1 = — (4 Sin о)Тл — 3a>T„);
^2
#23, л—1 = #31, л—1 = #32, л—1 =■ °;
#33, л-1 = <*>( sin а)Тя — cos a)T„ ctg о)Тл);
#11, л = — #п, л-1 + ди;
#12, л = — [7(1 — cos а>тл) — 3^тл sin ютл] 4- др;
^2
#1з, л =-- о;
#21, л = #12, л-1 + #2Ь
#22, л = — (4 Sin соТл — ЗсоТя COS о>Тл) + Дог"»
^2
#23, л = #31, л = #32, л = О!
#33, л = « tg о)Гл + (233;
А2 = 8 (1 — cos о>тл) — 3wt sin wt.
Для эллиптической орбиты коэффициенты матриц Bn_i и Вп выражаются
следующими зависимостями:
Ял-1 = стп - dxnb-*aTn; Bn =-- - Ь~\ - dxnb~^.
485


Здесь матрицы bx, ах определяются для времени т, оставшегося до конца
встречи, матрицы атп, bxn, cxn, dxn определяются для интервала времени между
измерениями хп, т. е.
Qn
Уп
= М
Qn-l
Vn-l
=
ахп Кп
c>zn dtn
Qn-l
Vn-l
Следует отметить, что дальнейшее сокращение числа измеряемых параметров с
одновременным пропорциональным увеличением числа замеров приводит к нелинейности
уравнений метода. Стремление сохранить линейный вид уравнений приводит к
необходимости непропорционально увеличивать потребное число замеров. В этом случае более
рационально компоненты импульса определять по методу наименьших квадратов.
Рис. 16. 13. Траектории, сближающиеся с началом координат за половину периода
обращения
На рис. 16. 13 для круговой орбиты приведены относительные траектории, двигаясь
по которым КА сближается с целью за 0,5 периода цели. Движение показано в
плоскости орбиты. Пунктиром соединены точки с равными временами до встречи с целью.
Скорости, соответствующие сближающимся траекториям, показаны на рис. 16. 14.
Видно, что линии одинакового времени полета до цели в выбранных координатах:
QlQ — радиальная скорость, отнесенная к дальности, и ср — угловая скорость линии
визирования относительно орбитальной системы координат, являются окружностями. Для
времени т=0,1 Т нанесено начальное угловое расположение КА. Оно имеет вид
равномерной по дуге окружности шкалы. Для остальных времен дано только начало этой
шкалы. Следует обратить внимание на то, что при малых временах сближения фазовая
траектория метода приближается к фазовой траектории метода параллельного наведения.
3 этих координатах уравнение последнего имеет вид ср = о).
Для перехода с любой траектории на сближающуюся достаточно одного корректй-.
рующего импульса. Однако вследствие погрешностей измерения и исполнения этот
переход осуществляется неточно, поэтому необходимы промежуточные коррекции. Они
определяются по тем же выражениям, но для времени, оставшегося до встречи с целью
В достаточной близости от цели последним корректирующим импульсом должны быть
погашены относительные скорости. Вследствие линейной зависимости потребной для
сближения скорости от дальности последний корректирующий импульс может
определяться по этим же формулам, но с коэффициентами, рассчитанными для большего
времени сближения. Эффект уменьшения относительной скорости в процессе сближения за
счет запаздывания уменьшения времени сближения в расчетных формулах коррекции по
сравнению с реальным изменением времени используется в разновидности метода
свободных траекторий, называемой асимптотическим сближением.
486


Рис. 16. 14. Скорости, потребные для сближения через заданное время т


Оптимальное время сближения, число корректирующих импульсов и
распределение их по времени сближения существенно зависят от величины, спектра и корреляции
аппаратурных погрешностей и начальных кинематических отклонений. Последнее видно
из рис. 16. 15, где в орбитальной системе координат для интервала времени в пределах
периода Т (сплошными линиями) и для интервала времени от периода до двух периодов
(пунктирными) показаны изолинии характеристической скорости, потребной для
сближения, при оптимальном времени сближения топт и начальных отклонениях по скорости,
соответствующих условиям: с0=0, у0=0. Другие начальные условия по скорости, также
как и аппаратурные погрешности, алгоритм и способ реализации, деформируют эти
линии.
Для КА, имеющих достаточные вычислительные возможности бортовых средств,
оптимальные параметры сближения могут определяться на борту по упрощенным
алгоритмам. В более простых системах управления они определяются на Земле заранее до
пуска на основе анализа вероятных погрешностей системы сближения и расчетного эл-
Рпс. 16. 15. Изолинии затрат характеристической скорости, потребной для
мягкого сближения, при Со=0, #о—О
липсоида отклонений при выведении в район цели. Тогда определение и исполнение
любого корректирующего импульса (цикл коррекции) начинается по временным меткам
программно-временного устройства, дискретно переключающего группу коэффициентов
в уравнениях управления в соответствии со временем, оставшимся до конца сближения.
При этом цикл коррекции неизменен для любого импульса. Это — измерение
параметров относительного движения, определение импульса и исполнение.
Работа системы ориентации при сближении по методу свободных траекторий
зависит от возможностей используемой измерительной аппаратуры. При наличии на объекте
системы астрокоррекции режимы работы системы ориентации могут соответствовать
аналогичным режимам при астрокоррекции, т. е. поиск цели соответствует поиску звезды,
режим измерения — режиму слежения за звездой (ориентации на звезду) или режиму
ориентации при связи с Землей; режимы коррекции совпадают.
Интересно выделить случай сближения через время, кратное периоду цели.
Учитывая возрастание с увеличением дальности погрешностей измерения тангенциальных
составляющих скорости и координат, в \этом случае рационально принять следующий
алгоритм,
На больших дальностях не корректировать вертикальную и нормальную
составляющую скорости. Моментом начала сближения принять момент минимальной разности
высот сближающихся космических аппаратов.
Первый сближающий корректирующий импульс определять для этого момента по
выражениям
Ах = -^— / — 2о>Д/г — /;
А# = 0; Д* = 0,
где / — расстояние между аппаратами по дуге орбиты при A/tmin»
АЛ—минимальная разность высот;
/ — скорость измерения /.
488


Нормальную плоскости орбиты составляющую скорости ликвидировать в
интервале длиной четверть периода у расчетного момента встречи — в момент равенства нулю
отклонения цели от плоскости орбиты (в узле -орбит) Лг=—г.
Такое видоизменение метода свободных траекторий иногда называют
предварительным дальним автономным сближением, иногда — фазированием. При нем
снижаются требования к системе ориентации: можно ликвидировать отклонения по дуге орбиты
(центральному углу между объектами) с минимальными затратами топлива.
После проведения такого сближения остаются нескорректированными разность
высот и относительная скорость. Поэтому вблизи цели следует переходить на другой
вариант сближения. При большой величине прогнозируемой на момент коррекции
минимальной разности высот целесообразно перед первым сближающим корректирующим
импульсом исполнить импульс, обеспечивающий минимальную разность высот, меньшую
погрешности ее измерения.
16.4. ОЦЕНКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ
Использование для сближении того или иного метода определяется комплексом
конструктивно-баллистических требований. Среди них важное значение имеют
потребные для сближения запасы топлива, зависящие от следующих основных факторов:
— начальных отклонений кинематических параметров;
— принятого метода сближения;
— погрешностей аппаратуры и реализации;
— конструктивного исполнения метода.
Вероятные начальные отклонения кинематических параметров до пуска
определяются расчетным путем как следствие погрешностей исполнения предшествующих этапов.
Они задаются либо в виде предельных возможных отклонений каждого из параметров,
либо в виде корреляционной матрицы предельных отклонений, которая определяет
априорный эллипсоид относительного рассеивания. Задание предельно возможных
отклонений каждого кинематического параметра соответствует диагональной корреляционной
матрице предельных отклонений. Учитывая то, что ниже будут приведены некоторые
способы реализации векторов начальных отклонений из многомерного эллипсоида,
следует напомнить, что полуоси эллипсоида соответствуют собственным векторам
корреляционной матрицы.
Определение потребных для сближения запасов топлива производится
различными способами в зависимости от необходимой точности и допустимой трудоемкости
расчетов. Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся способов.
1. Наиболее простой, но обладающий наибольшей погрешностью способ
предполагает идеальную работу всех систем. Он позволяет, не привязываясь к конкретному
приборному решению, оценить возможные энергетические затраты. Способ, как правило,
дает минимальную оценку.
При его использовании для методов первой группы бывает целесообразно разбить
траекторию сближения на участки:
— переходной (выход на метод);
— маршевый (движение по кинематической траектории метода);
— тормозной (гашение относительной скорости при «мягком» сближении).
Для простоты обычно принимают, что переходной и тормозной участки
осуществляются импульсно.
Так, для метода свободных траекторий при допущениях первого способа затраты
топлива на маршевом участке равны нулю — по определению метода. Поэтому оценка
потребной характеристической скорости легко производится по следующим формулам.
Первый корректирующий импульс
AKi=lHx-£|
to
Тормозной корректирующий импульс
б
АК9
Мя
Корреляционная матрица двух импульсов I вектора
|Ю| |0|
.1 А- 101
1
Qo
1 \щ
/
в 1 вектора
\
AVi
AV2
Злесь
/Со — вектор-столбец начальных отклонений и корреляционная матрица
начальных отклонений соответственно;
Е, |0| — единичная матрица и нулевая матрица размерности 3x3
каждая;
489


d. ЬТа,
|0|
с — транспонированная матрица с*
2. Частичный учет основных погрешностей аппаратуры с довольно грубыми
допущениями об их характере иногда только усложняет первый способ, а иногда требует
совершенно иного подхода к решению задачи. В большинстве случаев оценка ведется
по максимальному влиянию рассматриваемых погрешностей. Для многих методов,
особенно для методов первой Труппы, методов с параметрическим управлением, требуется
проводить довольно трудоемкий анализ влияния погрешностей.
Для методов, допускающих линеаризацию влияния погрешностей аппаратуры на
запасы топлива, можно получить оценку с высокой степенью точности.
Так, например, для метода свободных траекторий с программным включением
коррекций можно воспользоваться рекуррентным выражением
/(J = (Е + А) К°я (Е + А)* + ЗтК0Ш.прЗ* + /Сош.к.
где
||Ю|
|0|]
II Ас -Е\
1 В 10|
||0| |0||
Е =
/С"— корреляционная матрица после корректирующего импульса;
К°п — корреляционная матрица отклонений кинематических параметров до
корректирующего импульса;
^ош.пр — корреляционная матрица ошибок прогноза (измерения) кинематических
параметров;
/Сош.к—корреляционная матрица погрешностей исполнения коррекции.
Корреляционную матрицу корректирующего импульса можно определить по
формуле
Kvn —'- Л^КпАх>
Корреляционную матрицу отклонений в расчетный момент последующей
коррекции — по формуле
К + 1
М.
хп, л + 1
КК
:л, л + 1*
где Мтп я + 1 —матрица изохронных производных от момента коррекции с номером п
к моменту коррекции с номером л+1. .
Матрицы прогноза и исполнения коррекций характеризуют точность используемых
систем. Они могут быть получены путем суммирования корреляционных матриц каждой
независимой погрешности. Последние в практике расчетов не всегда бывают известны.
Часто независимые погрешности системы задаются в виде значений средних квадрати-
ческих отклонений соответствующих параметров.
При использовании такой информации для построения корреляционных матриц
следует иметь в виду, что если эти параметры являются функциями используемых в
расчете координат, то элементы построенной корреляционной матрицы должны
удовлетворять следующему соотношению:
vi /dM2 vi /dM2 vi dfn dfn
где D(fn) — известная дисперсия отклонений функции /я;
п — номер функции;
kxi х[\ & . .; kxixi—элементы искомой корреляционной матрицы с номерами строки
/ и столбца j.
Если известно направление, в котором независимая погрешность отличается от
погрешности в двух других перпендикулярных направлениях, корреляционная матрица,
выраженная через направляющие косинусы этого направления и известные значения
независимых дисперсий, в трехмерном пространстве будет иметь вид
I аиа2 + (1 - аи) Т2 *п*12 («2 — 72)
к =
4пЯ1з(а2-72)
аиа12 (а2 - 72) а\2Ф + (1 - а\2) Т2 аХ2ахъ (а2 _ Т2)
*ii«i3 («2 - Ч2) *12*1з («2 — 72) а,3а2 + (1 - а\ъ) ^
490


где an, ai2, «i3 — направляющие косинусы направления,, в котором дисперсия а2,
отличается от дисперсий у2 в остальных двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Таким направлением часто бывает направление линии визирования, направление
математического ожидания корректирующего импульса и т. п.
Определив по приведенным выше формулам рекурентным обращением все
корректирующие импульсы (их корреляционные матрицы), можно оценить затраты
характеристической скорости.
Характеристическая скорость является модулем трехмерного случайного вектора
коррекции. Для ее определения, не прибегая к точным таблицам, можно с достаточной
для инженерной практики точностью воспользоваться формулами
Rp = ai°i 4- #25,
где Rp — модуль трехмерного случайного вектора, характеризующийся
вероятностью Я;
5 = I/ о\ 4- ъ\ 4- <?з — след корреляционной матрицы импульса;
аь а2> аз—независимые среднеквадратические отклонения корреляционной
матрицы (в порятке убывания по величине);
а\> а2—коэффициенты, значешя которых приве ены в табл. 16.1.
Таблица 16 Л
р
ах
а2
0,95
0,719
1,17
0,96
0,818
1,161
0,97
0,946
1,146
0,98
1,13
1,12
0,985
1,25
1,1
0,99
1,42
1,07
0,995
1,68
1,04
0,9973
1,904
1,009
0,999
2,23
0,969
Наибольшая погрешность формулы ±3% для значений
а2^а3^0, 7а!.
Более точная формула с погрешностью Л<1,5% (при a2~0,5ai~a3)
Rp =-_ (3 + 0,04о2 + 0,4a:* + 0,335a:*) olf
г/ie a2
<*2
<*1
Математическое ожидание величины модуля трехмерного импульса
аппроксимируется с погрешностью —2,8%-~ + 2,4%
MR= — 0,213oi 4- 1.055j/"af + °f Л- о
(положительная погрешность соответствует заниженным значениям Mr).
Максимальная оценка суммарной величины характеристической скорости Vxs та^
при предположении полной корреляции между импульсами может быть произведена
по формуле
V
х 2 шах
? R*
Минимальная оценка (предположение независимости коррекций)
V
п ,^Mj,i^yryi(Ri~Mmy.
х S mi
3. Моделирование процесса сближения является наиболее точным способом
определения потребной для сближения характеристической скорости. Оно проводится с
различной степенью приближения к реальному аппаратурному решению в соответствии
с уровнем разработки системы сближения. Требует значительной затраты труда как при
математическом построении модели, реализации ее на моделирующей установке или
быстродействующей вычислительной машине дискретного действия, так и при решеним
задачи с готовой моделью.
Анализ результатов моделирования позволяет в ряде случаев получить
эмпирические зависимости, по которым с высокой точностью можно определять потребные
запасы топлива при изменившихся начальных условиях. Для построения таких
эмпирических зависимостей иногда бывает целесообразно использовать результаты
указанных' ранее упрощенных способов оценки.
При моделировании сближения из эллипсоида начальных кинематических
отклонении тем или иным способом выбирается вектор начальных кинематических
отклонений и согласно функционалам управления имитируется процесс управления объектом.
491


В модели, построенной для цифровой вычислительной машины, рассматривается
как реальное движение объекта, так и «кажущееся», соответствующее информации,
получаемой от измерительных средств с наложением погрешностей аппаратуры,
инерционности используемых средств и т. п.
Для задания погрешностей для ЭЦВМ выделяют следующие составляющие:
случайную и систематическую, флюктуационную и плавающую, независимую от дальности
(или других параметров) и зависимую и т. д.
Способ, каким выбирается из эллипсоида начальных параметров относительного
движения вектор кинематических параметров, зависит от целей моделирования. Для
точных предполетных расчетов применяется обычно метод статистических» испытаний.
Для него каждая случайная реализация вектора начальных отклонений может быть
получена по формуле
■2*А/.
1-1
где Ri — собственный вектор корреляционной матрицы начальных отклонений,
умноженный на значение среднего квадратического отклонения в его направлении;
п — размерность матрицы и векторов Ri(Ri, R2,..., Rn);
Xt — случайное число с нормальным законом распределения (дисперсия равна
единице).
Для анализа начального эллипсоида в целях наглядности, а также для сокращения
потребного числа расчетов при моделировании часто используется выделение с
поверхности эллипсоида. При этом удобно вектор начальных отклонений получать по формуле
г0 =(Я\ cos ai cos a2 cos a3 cos a4 cos as +
+ #2 sin ai cos a2 cos a3 cos a4 cos as +
+ #3 sin a2 cos a3 cos a4 cos as -f-
+ R4 sin a3 cos a4 cos as +
+ #5 sin a4 cos a5 +
+ R6 sina5)x,
где Ru ..., R6 — векторы исходной корреляционной матрицы;
ai,..., a5 — углы обобщенной сферической системы координат.
Для функций, не убывающих с увеличением модуля многомерного аргумента,
можно использовать более наглядный способ. При нем исходную корреляционную
матрицу представляют в виде суммы двух матриц
Ко =
где Kv* — корреляционная матрица для отклонений составляющей скорости, не
связанной с отклонением по координатам;
/Соев — корреляционная матрица отклонений координат и связанных с ним
отклонений скорости.
Найдя трехмерные собственные векторы матриц krr и kvr и умножив их на
значения соответствующих среднеквадратических отклонений, получим векторы гь г2, г3 и
04, v5, ^6 соответственно. Тогда базисные шестимерные векторы получим по формулам
1|г4^11 = 1|0£ || \\^4щщ II.
где /{==кг,гкгг.
В некоторых случаях такое разделение на «связанные» отклонения по скорости и
«не связанные» происходит при обычном нахождении векторов матрицы /<"0.
Для построения вектора реализации используют формулу
г о = {г\ cos ai cos a2 + /*2 sin a\ cos a2 + r3 sin a2) xr +
+ (r4 cos a3 cos a4 + Г5 sin a3 cos a4 + r6 sin a4) %p,
где г\ ... r6 — базисные векторы;
\krr
k
\ Krv
krv
R-vv
А'осв = ^0 —
10 0 I
1 ° v 1
492


аь с*2, а3, а4 — углы трехмерного пространства, имеющие привычный смысл, а именно:
а1 (аз) — угол между первым базовым вектором г\ и расчетным г0 в плоскости
векторов Г\ и Г2 (гг и г^)\
«2 (а4) — угол выхода из этой плоскости;
хг, х^, у. — множители, определяющие величину вероятности Рпопадания в область,
ограниченную поверхностью эллипсоида.
Для определения значения % необходимо, чтобы
PrPv=P,
где Рг, Pv — вероятности попадания в эллипсоид координат и скоростей соответственно.
В табл. 16. 2 приводятся значения к, xr, xv для следующих вариантов:
1) реализация с поверхности шестимерного и четырехмерного гиперэллипсоида;
2) разделение на два эллипсоида вдвое меньшей размерности при Pr = Pv, что
дает Хг = и»;
3) разделение на два эллипсоида при хг = х.
Таблица 16.2
н
Вариа
1
9
3
Множитель
х2
А = <
А
<
Значения множителей %, хг, xv для различных Р
0,3
3,87
2,2
2,50
1,6
3,87
2,2
1,85
1,15
0,5
5,35
3,36
3,6
2,4
5,35
3,36
2,7
1,85
0,7
7,23
4,88
5,1
4,1
7,23
4,88
4,0
2,9
' 0,8
8,56
5,99
6,2
4,5
8,56
5,99
5,0
3,7
0,9
10,64
7,78
7,8
5,9
10,6
7,78
6,6
5,0
0,95
12,6
9,5
9,35
7,35
12,6
9,5
7,5
6,4
0,98
15,0
11,7
11,3
9,15
15,0
11,7
10,0
8,2
0,99
16,8
13,3
12,8
10,6
16,8
13,3
11,5
9,55
0,999
22,5
18,5
17,75
15,17
22,5
18,5
16,4
13,8

Размерность
6
4
з+з
2+2
3+3
2+2
3+3
2+2
Для этих вариантов характер области двумерного пространства с равной
вероятностью попадания показан на рис. 16. 16. Рассматриваемое разделение многомерного
гиперэллипсоида на два позволяет наглядно представить связи между координатными
и скоростными отклонениями (рис. 16. 17), чем облегчается анализ исходных данных
при выборе способа расчета искомых характеристик сближения.
В заключение следует отметить, что выделение векторов с поверхности
эллипсоида позволяет в ряде случаев формально свести некоторые задачи анализа функции
многомерного случайного аргумента к задачам анализа функции неслучайного
аргумента. Например, для поиска экстремальных значений (при заданной вероятности)
удобно принять в качестве аргументов углы обобщенной сферической системы
координат и использовать аналитические или численные методы нахождения экстремума.
При этом на единицу сокращается размерность задачи по сравнению с размерностью
пространства случайного аргумента.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XVI
1. Андерсон Г. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физмат-
гиз, 1963.
2. Б этт и н Р. Наведение в космосе. Перев. с англ. М., «Машиностроение», 1966.
3. Д у н и н-Б аоковскийИ. В. Теория вероятности и математическая статистика
в технике. М., ГИТТЛ, 1955.
4. Ермилов Ю. А. О расчете импульсов для сближения спутников в
центральном Ньютоновском поле тяготения. — «Космические исследования», т. 4, вып. 6, 1968.
493


^r~* ^v
Рис. 16. 16. Области двумерного
пространства с равной вероятностью попадания.
Эллипсоид
независимого
разброса
скорости
Эллипсоид
координат
Обязанное с координатами
отклонение скорости
Рис. 16. 17. Представление четырехмерного
в двумерном пространстве
гиперэллипсоиде!
494


5. Космическая техника. Под ред. Г. Сейферта, перев. с англ. М., «Наука», 1964.
6. Лебедев А. А., Соколов В. Б. Встреча на орбите. М.,
«Машиностроение», 1969.
7. Л е г о с т а е в В. П., Р а у ш е н б а х> Б. В. Автоматическая сборка в космосе. —
«Космические исследования», т. 7, вып. 6. 1969.
8. Л и Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. Перев.
<: англ. М., «Наука», 1966.
9. Пономарев В. М. Теория управления движением космических аппаратов
М., «Наука», 1965.
10. У ил кс С. С. Математическая статистика. Перев. с англ. М., «Наука», 1967.
11. Управление космическими летательными аппаратами. Под ред. К. Леондеса,
пер. с англ. М., «Машиностроение», 1967.
12. Хок Д. С. Космические маневры. Оптимизация. — Сб. «Космические
траектории», пер. с англ. М., ИЛ, 1963.
13. Хорошавцев В. Г. Расчет частных производных от характеристик
движения по начальным условиям. — «Космические исследования», т. 3, вып. 3, 1965.
14. Ч арный В. И. Об изохронных производных. — Сб. «Искусственные спутники
Земли», вып. 16. Изд-во АН СССР, 1963.
15. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965.
16. Энеев Т. М. О применении градиентного метода в задачах теории
оптимального управления. — «Космические исследования», т. 4, вып. 5, 1966.


ГЛАВА XVII
СПУСК КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ПОВЕРХНОСТЬ
ЗЕМЛИ И ПЛАНЕТ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — интегрируемое ускорение от акселерометра.
сх — коэффициент аэродинамической силы торможения.
су — коэффициент аэродинамической подъемной силы.
е — эксцентриситет.
^2 — равнодействующая от си/1 притяжения Солнца, Луны и других
небесных тел.
G — вес КА.
£о, g — ускорение силы тяжести на уровне поверхности и на высоте
соответственно.
И — высота полета КА над поверхностью планеты.
#min — минимальная высота пролета КА над поверхностью планеты.
(Ят{п)доп —минимально допустимая высота полета.
Но Дн — высота однородной атмосферы.
#п — высота условного перицентра, соответствующая верхней границе
коридора.
^п — высота условного перицентра, соответствующая нижней границе
коридора.
/ —тензор инерции.
Jx#, J *, Jг*—составляющие тензора инерции относительно главных осей инерции.
Су
К —аэродинамическое качество КА; К -- —.
сх
Ко — значение аэродинамического качества при полете на
балансировочном угле атаки.
КРасп —максимальное располагаемое значение аэродинамического качества.
/Сэфф —«эффективное» качество КА, управляемых углом крена;
К-эфф^Кб cosy.
L —конечная продольная дальность полета.
Ln — продольная дальность полета, отсчитываемая по поверхности планеты
от условного перицентра до точки посадки.
М — равнодействующая моментов активных сил относительно центра масс
аппарата.
т — масса спускаемого аппарата.
(Ятах)доп —максимальная допустимая перегрузка.
пх — перегрузка вдоль скоростной оси СА.
пу — перегрузка от действия подъемной силы.
ns —суммарная перегрузка,
«max —максимальная суммарная перегрузка.
(Рх тах)доп —максимально допустимая приведенная нагрузка.
496


Px — приведенная нагрузка на лобовую поверхность спускаемого аппарата;
G
Рх= cxS '
Q — суммарный тепловой поток.
q — удельный тепловой поток.
_ QV2
q —скоростной напор; q = ~~^~-.
г —расстояние от центра планеты до КА.
га —расстояние от центра планеты до апоцентра орбиты.
/*п —расстояние от центра планеты до перицентра орбиты.
S — площадь миделя.
Т — равнодействующая активных сил, действующих на КА.
Tw —температура на поверхности СА.
t — текущее время полета.
V — скорость центра масс КА.
VKp — первая космическая скорость.
Vn max —скорость полета КА в момент достижения максимальной перегрузки.
Vnap —параболическая скорость.
Vbx —скорость входа КА в плотные слои атмосферы.
Увых —скорость вылета КА из атмосферы после первого погружения.
W — ускорение СА.
X —аэродинамическое лобовое сопротивление; X = cxSq.
Y—аэродинамическая подъемная сила; Y = cySq.
xyz—скоростная^барицентрическая система координат, соответствующая
системе |£л» приведенной в гл. II.
а — угол атаки,
do — балансировочный угол атаки.
Р —логарифмический градиент плотности.
Y — угол крена СА
Д#п — величина коридора входа по высотам условного перицентра.
А/.,,- —отклонение конечной продольной дальности от требуемого значения.
ALo — отклонение конечной боковой дальности от требуемого значения.
АЭвх —величина коридора входа по углам входа.
9 — угол наклона вектора скорости к местному горизонту,
бдх —угол входа, соответствующий верхней границе коридора входа,
бд"* — угол входа, соответствующий нижней границе коридора входа.
\х —произведение массы планеты на постоянную тяготения.
q — плотность атмосферы.
cxS
ах = ~Т>— — баллистический параметр.
и
со — угловая скорость вращения координатных осей, связанных с телом
относительно инерциальныд осей,
coi, «г, о)з — проекции вектора угловой скорости на оси связанной системы коор
динат.
со* — угловая скорость вращения планеты.
17.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В процессе спуска космического аппарата (КА) или его спускаемого аппарата
(СА) должна быть погашена вся потенциальная и кинетическая энергия, уровень
которой чрезвычайно высок. Например, при спуске с орбиты ИСЗ одна техническая
единица массы обладает энергией в десятки миллионов килограммометров. Принципиально
гашение энергии можно осуществлять двумя путями:
— активным торможением;
— пассивным торможением с использованием аэродинамических сил.
Первый способ применяется для посадки КА на небесные тела, лишенные
атмосферы. Для посадки на планеты, имеющие атмосферу, в настоящее время более эффек-
497


тивным считается второй способ — торможение с использованием аэродинамических
сил. В этом случае при торможенчи энергия движения практически полностью
переходит в тепловую, рассеивается в окружающем пространстве и поглощается
хладагентами и конструкцией СА за счет ее теплоемкости.
В данной главе рассматривается второй способ посадки.
По скорости входа КА в плотные слои атмосферы различают спуск с первой
космической скоростью (спуск с орбиты ИСЗ) [18, 22], спуск со скоростью, близкой ко
второй космической (при возвращении КА от Луны) [3, 12, 23], и спуск с
гиперболическими скоростями (при возвращении КА от планет Солнечной системы) [2, 16, 24].
По характеру использования аэродинамической подъемной силы известны два
типа спуска — планирующий спуск (с использованием подъемной силы) и
баллистический спуск (/С=0).
Рис. 17. 1. Коридор входа СА в атмосферу:
/—условная граница атмосферы; 2—траектория движения КА в атмосфере;
3—траектория движения КА без учета атмосферы; 4— местный горизонт
На последнем этапе спуска должна быть осуществлена безопасная посадка
космонавтов:
— самолетная посадка СА Еместе с космонавтами;
— парашютная посадка космонавтов, покинувших корабль у Земли;
— посадка с использованием парашютной, реактивной или парашютно-реактив-
ной системы приземления аппарата и т. д.
В общем случае следует различать две составные части проблемы спуска КА:
— подход к границе плотных слоев атмосферы;
— движение в плотных слоях атмосферы, включая посадку.
В результате решения первой задачи должны быть прежде всего получены
необходимые начальные условия входа в атмосферу, которые обеспечиваются точностью
прогноза и коррекции траектории возвращения КА.
К начальным условиям входа относятся: скорость входа (1/вх), угол наклона
вектора скорости к местному горизонту на границе условной атмосферы (6Вх) и
координаты точки входа. В качестве границы плотных слоев атмосферы принимается то
значение высоты над поверхностью планеты, где аэродинамические силы становятся
соизмеримыми с силой притяжения. Для простоты исследований обычно принимается, что
во всех случаях так называемая условная граница атмосферы постоянна и
определяется некоторой высотой над поверхностью Яатм. Так, для Земли #атм~Ю0 км
(Qh = юо~5,4 • 10~10 кг/м3). Внесенные этим допущением погрешности решения в
реальном полете оказываются весьма незначительными.
Одной из основных характеристик спуска является ширина коридора входа. Она
дает возможность проводить общие сравнительные оценки аппаратов разного класса,
позволяет судить о принципиальной возможности совершения конкретным аппаратом
тех или иных оптимальных маневров при спуске, позволяет сформулировать
требования к точности прогнозирования и коррекции траекторий.
Для спуска с орбиты ИСЗ коридор входа обычно характеризуется разностью
предельных углов входа
А^вх == ^вх max ^вх miir
Этот диапазон определяется допустимыми перегрузками, тепловым режимом для
обеспечения безопасного спуска К^ и точностью посадки.
498


Под шириной коридора, входа для межпланетных КА понимается диапазон высот
условного перицентра Нп (или углов входи 9ВХ на высоте Яатм), в котором возможен
безопасный спуск КА (рис. 17. 1). Высота условного перицентра представляет собой то
минимальное расстояние от планеты, которое имела бы траектория возвращения если бы
атмосфера не влияла на движение аппарата. Между высотой условного перицентра Я„
и углом входа на границе условной атмосферы евх для каждой скорости входа
существует однозначное соответствие. На рис. 17.2 приведена взаимозависимость Hn(QBX)
для диапазона начальных скоростей Vbx=11h-30 км/с при входе в атмосферу Земли
Коридор входа ограничен «верхней» и «нижней» границами. «Верхняя» граница
70
60
50
АО
30
20
I
11=398620 км3/сг
^Увх*//лм/с
V \ \
№
*jk
И
\vH
ш
П 15 16 17 78 20 25 Щ
/У
L
У
3 4 5 6 7 8 3/0
-9вх.граЭ
Рис. 17.2. Зависимость угла вхчэда Эвх СА в атмосферу от высоты условного
перицентра Нп
Япв характеризуется максимальной высотой условного перицентра траектории
возвращения, при входе по которой обеспечивается выполнение поставленных условий по
«захвату» корабля атмосферой. При входе КА со скоростями, большими первой косми
«прТпГвЖН° огРаничить высоту подъема КА после вылета его из атмосферы (или
™яи1 П°Т вь!лета>. Дальность полета и т. д. Чаще всего считается, что корабль
InflfZV а™осФеР°и, если после первого прохождения плотных слоев атмосферы он
удаляется от Земли не более чем на 300-400 км (первая схема спуска)
При входе в атмосферу Земли по гиперболическим траекториям (VPv>ll 2 км/cl
™ТМ МеСТ°' напР,шеР> "Ри полетах и возвращении КА от Марса .ми Венеры, в не-
cTeno KnnT,f гЛ№ЛеС00браЗМ° использовать схему спуска, когда при движении в атмо-
tiu£L°P « СИТ СК?Р°СТЬ до величины, большей первой космической скорости но
тич™ паРаб°лическои скорости (V„p<VBbIX< VnaP), выходит на вытянутую элл„п°
тическую орбиту и уже с нее осуществляет посадку (вторая схема). В этом случае вы-
~ZCu"Tam™ к°Раблем после вылета и определяющая границу захвата; может
исчисляться десятками тысяч километров.
«Нижняя» граница //<"> коридора входа КА, как правило, определяется допусти-
поса.киРеГРУЗОЧНЫМ режимом или минимальной высотой орбиты при второй схеме
Величиной ДЯ„ = Я<"> - Н<н> определяется максимальная ширина коридора
l^ntl "ек°т°Рых случаях при определении границ коридора входа могут выдвигаться
и другие ограничения (например, ограничения на максимальную температуру глубину
б^ГмГьЯшеТЙерМаУвнаДдТпН0СТЬ *""** " '' ^ В ™ J^* ^'ко'рЙЖ
499


17.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА
Вид дифференциальных уравнений движения СА зависит от выбранной системы
координат и от состава принимаемых во внимание сил, действующих на аппарат. Ниже
рассмотрены два наиболее важных случая записи уравнений движения центра масс
СА в проекциях [5, 11, 18, 22].
1) на оси планетоцентрической прямоугольной экваториальной системы
координат OXaYaZa с началом в центре масс планеты, принимаемой за инерциальную
систему, с направлениями осей:
— OZA из центра планеты к северному полюсу Мира;
—■ ОХ а из центра планеты в точку весеннего равноденствия;
— OYа из центра планеты и дополняет систему до правой;
2) на оси скоростной барицентрической системы координат Axyz с началом
в центре масс СА.
Считается, что на корабль, движущийся в атмосфере планеты, действуют:
— сила тяжести G;
— аэродинамическая сила Ra\
— тяга двигателя Т (или равнодействующая активных сил);
— суммарная сила притяжения Солнца, Луны и планет Fs.
В результате
F = G + Да + Л. + Т.
(17.1)
При расчетах траекторий спуска, даже самых точных, F^ обычно не учитывается
вследствие малости. Например, при спуске в атмосфере Земли ускорение в результате
действия притяжения Луны и Солнца составляет соответственно ~1,2- Ю-7 и
~0,5- 10~7 от ускорения £з.
17.2.1. Уравнения движения в инерциальной системе
Проектируя составляющие вектора равнодействующей силы F на оси
инерциальной системы OXaYaZa, получаем выражения для ускорений в проекциях:
2 - ^&XL-
Gy*
г* г
Рпл У А
"Тз" "Г
^;
m r2 r 'rezA
RXA KcXgQ
■ qV* [а\ cos 7 + #i sin 7]
xgQ
Rya Kcxgv
QV2[a2 cos 7 + b2 sin 7]-
*xgO
qWyai
m 2
■ qV2 [az cos 7 + 63 sin 7] — — qVVz
(17.2)
(17.3)
ъх.
sk,
sz,
T —
1 v
n
s
n
i-1
n
/-1
TxA
v-l
V-i
XiA — XA
Y' [A — Y A
(r - r,)3
*h
ZtA
1 V . у J У
(17.4)
(17.5)
В соотношениях (17.2) первые члены учитывают основную составляющую
ускорения, вызванного притяжением планеты; вторые члены — нецентральность сил
притяжения планеты.
500


Для случая движения в атмосфере Земли основной член, учитывающий
нецентральность земного притяжения, записывается следующим образом [22]:
gW = ei й (е = 0,2635-1026 М5/С2).
гб
В соотношениях (17.3) слагаемые представляют собой ускорения соответственно
за счет подъемных сил и сил лобового сопротивления. Коэффициенты аи ..., Ьъ
являются направляющими косинусами взаимно перпендикулярных осей, относительно
которых отсчитывается угол крена (при управлении креном).
Соотношения (17.4) показывают составляющие ускорения, вызываемые
притяжением других планет (помимо планеты, в атмосфере которой происходит спуск).
Соотношения (17.6) являются составляющими ускорений за счет действия
активных сил.
Дифференциальные уравнения движения в проекция* на оси инерциальной
системы координат имеют следующий вид (в случае движения в поле земного
притяжения):
ХА =
{х *А М\
Г2 Г
+ 6Г
Гб
г2 ХА axg0
yi Г xlA-xA
X,
гг,
i-г
, KQxgO тго г , , .
+ —-— оУ2 [ах cos 7 + ^1 s*n 7]
°jcg0
Yh
У;,
(r-r,)3
+ b2 sin 7)+ Ty ;
A
■■ ]x ZA 5ZA — r2 ZA
ZA = — — + ei •
г2 г гь r
+
2 ^ +
K°xgQ
qV* (a2 cos 7 +
iV-i
/-1
%iA — %A
(r-r,)3
*u
°xgQ
2
, K°xg0
qvvZa
(17.6)
qK2 (аъ cos 7 +
+ Ьг sin 7) + 7*z ;
VxA = XA= \XAdt\
0
о
VzA = ZA = f^d*.
0
Уравнения движения центра масс (17.6) могут быть использованы для точных
вычислений параметров движения.
17.2.2. Уравнения движения СА в скоростной системе координат
Если считать, что все силы, действующие на СА, приложены к его центру масс,
то уравнение движения относительно вращающейся планеты будет (масса СА
считается постоянной)
W = Fm=~Ra+T + G + F^* + FK + AFJt + А^сф + F:
(17.7)
501


Здесь Z7^* — центробежная сила, возникающая в результате вращения планеты
^Uco. = "i(«*Xr)xir;
FK— сила Кориолиса; FK =2m (^Xw¥);
LFg — составляющая за счет нецентральности сил притяжения;
Д^сф — составляющая за счет нешарообразности планеты.
Ускорение СА в скоростной системе координат представляется в виде
\dt ^ dt J^ dt
где i, j, k—единичные векторы по скоростным осям;
Рис. 17.3.
уравнений
К выводу
движения:
О—центр планеты;
/—начальное положение аппарата;
;?—положение аппарата
через некоторый промежуток
времени Д^; Х\, Тг — линии
местного горизонта в точках
1 и 2 соответственно
Д8 и At* —изменение углов наклона^ вектора скорости к плоскости местного
горизонта соответственно в продольной и перпендикулярной плоскостях
движения, которые отсчитываются от некоторой начальной точки
траектории (рис. 17.3).
Справедливо соотношение Д6* = Д6—Дг|),
AS cos 0 V cos 0
где Аф = =- dt.
В результате уравнение (17.7) в проекциях на оси скоростной системы координат
записывается следующим образом:
dV V Т Г _, р _j F • \
m — = — X — Tx — Gx + F * + FKX;
dt
db
mV— =Y-Ty-~Gy + FB-{-F
dt ° ц<-
+ p.
к y\ I
(17.8)
mV
ds
dt
z + gz + f * + fk
Вместо угла е* можно пользоваться углом е (углом пересечения траектории
с параллелью), причем [11]
^1___ ( — . Jocose tgy^ cos д) cos П,
dt \dt r J
где фц — широта места;
е — угол, который составляет вектор скорости с параллелью в плоскости,
касательной к поверхности планеты (угол изменяется от 0° до 360° и измеряется
от восточного направления параллели против часовой стрелки).
Проекции силы тяги:
Тх=--Т cos (а — тш)\ Ту — Т sin (а — %),
502


где а — угол атаки;
ТЬ—Угол установки двигателя.
Проекции силы притяжения:
GX = G sin 6; Gy = G cos 6; Gz = 0.
Проекции центробежной силы, возникающей в результате вращения планеты, и
силы Кориолиса запишутся следующим образом:
F * --- — РцЫ* ( sin срц sin £ cos 6 — cos 9ц sin 6);
ЦСО
X
F * = Fniu* ( sin <рц sin £ sin 6 + cos 9U cos 6);
F * ~. .РцО)* sin 9ц cos 9U;
/^ у ~ 2mVu* cos £ cos <рц;
Fk г =_ 2mVb>* ( cos 6 sin <рц — sin 0 sin £ cos <рц);
j^kI =-•- 2mV(x>* l/ 1 — sin2 9U sin2 0 — cos2 0 sin2 e cos2 срц — — sin 20 sin 2срц sin e.
Дополнительно к системе уравнений (17.8) можно записать еще три
кинематических соотношения, позволяющие определить положение центра масс КА:
dH
dt
dVu
dt
dt
^V sin 6;
— — cos b sin e;
r
r
COS £ COS
COS ^ц
Итак, окончательно получим общие уравнения движения СА в скоростной
сферической системе координат:
dV
dt
cxS
qV'
sin 0
tng0 ■
Г'2
+ T cos (a — riy) +
+ ты* r cos 9U ( cos 9ц sin 0 — sin 9Ц sin £ cos 0);
mV
ad
dt
cyS
QV2
rin cos 0
mg0-
H- T sin (a — %) +
тУ* cos 6 9
+ -f- лил* r cos 9Ц ( sin <рц sin e sin 0 4- cos 9Ц cos 0) +
+ 2mVu* cos £ cos 9Ц;
dt qV2
cos ftmV — -- czS + ты -r cos 9Ц cos e sin 9U +
dH
dt
V2
+ 2mVtb* ( cos 0 sin 9Ц — sm 0 sin e cos <рц) — m — cos e tg 9ucos2 8;
— V sin 0;
V
== — — cos 0 sin e;
dt r
d\n
dt
YL
r
COS £ COS 0
cos 9U
(17.9)
Ускорение, обусловленное вращением планеты, как правило, невелико по
сравнению с основной составляющей g=i-i/r2, и во многих случаях центробежной силой
без большой погрешности можно пренебречь (например, для Земли ускорение за счет
центробежной силы составляет всего ~0,04% от #з)- Силы Кориолиса начинают
оказывать заметное влияние на движение КА в атмосфере Земли при скоростях полета
более 2000—3000 м/с. При таких скоростях сила Кориолиса может составлять несколько
503


процентов от силы тяжести, а при К~8000 м/с — порядка 10% от G^ [11]. Необходимо
отметить, что величина силы Кориолиса довольно сложным образом зависит от места
и направления полета. Поэтому при проведении проектно-баллистических' расчетоз
силой Кориолиса в первом приближении пренебрегают. При более точных расчетах,
особенно связанных с навигацией КА, эти силы надо учитывать.
17.2.3. Уравнения движения относительно центра масс
В проекциях на оси связанной системы координат Ax\y\Z\ движение спускаемого
аппарата относительно центра масс описывается следующими уравнениями:
0>]
w<2
•
=
1
J #
1
1
)'
J * \ о>2^з
У\
о3 =
J *
\M3 — (J * — J * \ ojjo^I
I { *1 Xl) J
<d3o>i
(17.10)
где о)ь 0)2,
jo3 — проекции вектора угловой скорости о> на оси связанной системы
координат Ах\у\г-\\
Mi, М2, М$ — проекции вектора момента равнодействующих активных сил на оси
связанной системы координат Ax\y\Z\\
J *, J *, J *— главные моменты инерции КА относительно главных осей инерции.
х\ У\ zi
За основные направления осей связанной системы координат Axyy^Zi принимаются:
Ах\ — в основной плоскости (плоскости вектор скорости — радиус-вектор),
по оси симметрии СА;
Ау] — в вертикальной плоскости симметрии СА вверх;
Az\ — дополняет систему до правой.
Полученные уравнения движения относительно центра масс используются на
практике для оценки устойчивости движения и выбора основных проектных параметров
системы управления спускаемого космического аппарата.
17.2.4. Оновные кинематические соотношения
Полные уравнения движения спускаемого КА включают уравнения движения
центра масс (17. 6) или (17.9) в зависимости от рассматриваемой системы координат,
уравнения движения относительно центра масс (17. 10) и кинематические уравнения,
связывающие линейные и угловые скорости с линейными и угловыми координатами.
Так, если рассматривать движение СА в скоростной системе Axyz и связанной
системе Ах\у&\, то уравнения (17.9) и (17.10) необходимо дополнить следующими
основными кинематическими соотношениями:
\ &у = срц ( sin e cos <рц— cos e sin чу sin 0) + е cos б sin уу -\- 6 cos <р„,
ф^ = Хц — срц ( cos e sin 6 cos yv + sin e sin <p )
COS&K
1
1
COS&l/
+ £ COS 6 COS <
Kcos V
! <p„ = Хц sin Ьу + <рц cos e cos 0 -f- e sin 0 — <|y sin %y\
a = (D2 sin 7* + a>3 cos 7* — tyy ( sin p* sin by — cos p* cos by sin ^v) -
by cos 4V
cos 0* — <
7* = a)! — фу ( cos P* cos a sin V + sin a cos V cos <9y + sin P* cos a cos §V sm4v) +
+ &K ( cos У у sm P* cos a — sm Vy sln a) — Vy cos P* cos a — P* sin a*>
p* = [a)2 cos 7* — a>3 sin 7* -
— sin 3* sin a cos %y sin
1
- tyy ( cos a cos by cos cp — cos p* sin a sin %y —
PK) — %v ( cos cp^ sin p* sin a + sin yy cos a) +
+ 4V cos P* sin a]
cos a
504


I & = o>2 sin <p + <*>з cos cp;
I ~ o)2 cos <p — (1)3 sin 9
{ <!> = z ;
• cos Ь
I cp =r о)! — ф sin ft.
17.3. АТМОСФЕРЫ ОСНОВНЫХ ПЛАНЕТ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ
Для проведения баллистических расчетов движения СА в атмосфере планет
необходимо прежде всего знать распределение плотности по высоте q(#), которое в
общем случае зависит от Бремени года и широты. При расчетах с целью получения
качественных результатов достаточно знать некоторое стандартное распределение q(#),
рассчитываемое для среднего состояния атмосферы. На рис. 17.4 приведена
приближенная модель атмосферы Венеры с указанием нижней и верхней границ изменения
Q(H) [1, 9, 15, 17, 19, 20, 23]. Модели атмосфер Земли и Марса приведены в гл. I.
Модем атмосферы Венеры
минимальная
■■ средни я
—— максимальная
Рис. 17.4. Изменение плотности по высоте для
атмосферы Венеры
Имеющиеся в настоящее время данные не позволяют построить точные модели
атмосфер планет, в том числе и распределение плотности по высоте. Для проведения
приближенных расчетов допустимо пользоваться экспоненциальным представлением
изменения плотности по высоте
где Qo — среднее значение плотности атмосферы у поверхности; Р — значение градиента
плотности; Н — высота над поверхностью.
В табл. 17. 1 приведены основные характеристики атмосфер планет земной группы.
Таблица 17.1
Основные характеристики атмосфер планет
Параметр
Средняя
равновесная температура
стратосферы
Средний
молекулярный вес газового
состава атмосферы
Логарифмический
градиент плотности
стратосферы
• Плотность
атмосферы у поверхности
Единица
измерения
К
отн. ед.
км—1
г/см3
Земля
218
29
0,15—0,18
1,23-Ю-з
Марс
178
44—42
0,09—0,125
(1,3—2,7)-10-5
Венера
200
44 (?)
0,15—0,23 (?)
6,4-10-2 (?)
505


17.4. ВНЕАТМОСФЕРНЫЙ УЧАСТОК СПУСКА
На внеатмосферном участке полета необходимо обеспечить полет КА но такой
траектории, чтобы были выполнены требуемые условия входа в плотные слои
атмосферы (начальные условия на границе плотных слоев атмосферы).
При возвращении к Земле аппаратов с параболическими и гиперболическими
скоростями, а также при полете КА к планетам Солнечной системы необходимые условия
входа могут быть обеспечены только путем сообщения кораблю определенного
корректирующего импульса. При возвращении КА с низких орбит спутников Земли и планет
принципиально можно организовать перевод корабля на траекторию спуска двумя
путями: аэродинамическим и с
помощью реактивного импульса.
Идея аэродинамическо-
г о метода состоит в следующем.
Известно, что эллиптические орбиты
с течением времени превращаются
в круговые. Посредством увеличения
силы торможения в апоцентре и
уменьшения ее в перицентре
сохраняется требуемая эллиптичность
орбиты до последних витков. При
допустимой остаточной эллиптичности
захват спутника атмосферой
происходит в области наиболее низких
орбитальных высот. Управление полетом
и переход на траекторию спуска
можно осуществлять с помощью
изменения силы сопротивления X и
подъемной силы Y. Искусственное
изменение X производится за счет
изменения баллистического параметра
G
, в частности путем пово-
цешпр планеты
рота КА около центра масс.
Эффективность управления зависит от
возможного диапазона изменения бал-
- Gx max
диетического параметра v = .
Рис. 17.5. Спуск аппарата с орбиты
спутника планеты:
/—местный горизонт; 2—условная граница
атмосферы; 3—точка посадки; 4—переходной эллипс
Для современных кораблей-спутников
коэффициент v невелик, для
планирующих КА он может достичь
величины 20 и более.
При этом виде спуска большое
значение имеет прогноз времени
существования спутника на последних
витках (£Сущ), которое зависит от периода обращения, коэффициента
торможения и предшествующей программы торможения. Зная величину ох и
программу торможения, можно определить /Сущ по периоду с достаточной точностью.
В настоящее время основным способом перевода КА на траекторию спуска
является способ сообщения тормозного импульса. Производится это следующим образом.
Сначала осуществляется ориентация корабля на орбите, т. е. оси корабля занимают
определенное заданное положение в космическом пространстве. Затем в заранее
рассчитанное время включается тормозная двигательная установка (ТДУ) и двигатель
работает определенное время, необходимое для изменения вектора скорости таким
образом, чтобы перевести СА на траекторию полета к Земле (рис. 17.5).
Для проектировочных расчетов можно пренебречь длительностью участка
торможения, т. е. предположить, что тормозной импульс прикладывается мгновенно.
Если в фиксированный момент времени известны требуемые условия вхюда на
условной границе атмосферы:
Vbx — скорость;
Эвх—угол наклона вектора скорости к плоскости местного горизонта;
£вх — радиус-вектор из центра планеты;
С0вх — аргумент широты,
то этим самым определяются параметры переходного эллипса.
При известных параметрах орбиты (радиусе перигея гп, радиусе апогея гя и
аргументе широты перигея <оп) точка пересечение этой орбиты с переходным эллипсом
определяет (см. рис. 17.5) момент включения тормозного двигателя т„кл, величину и
и направление X вектора тормозной скорости, время спуска tcu, дальность спуска Lcn
от момента включения ТДУ до входа в атмосферу и угол разворота ДФралв по
тангажу, обеспечивающий ориентированный вход СА в атмосферу.
506


Формулы для расчета указанных величин, полученные из уравнений
невозмущенного кеплеровского движения, имеют следующий вид [б]:
9r r
^' Я ' 11 ■ л ■ II - a i - и , ,
Cl = /"вх^вх COS PB
'"а
У
+ Л.
2
1 +
» С\
/•а + Ги Г a + Г„
2
С\ о 2ix _ / /liCi u
Pl=—; Ai-V^--^, «1==1/ 1+-^-. «1-—7-
{х rBX J/ fx hi
C0S С = ' ВХ > Sin С =- - YX ~ COs2i4bx i % == wbx - *»вх;
^I'bx
sin ZBblx = [/?2е2 + р^2 _ 2рр\еех cos («и — Ч)]_1Х
X {(/?^i sin u>„ — Pxe sin <ои ) (/?i — /?)— (/?£icos % —/^е cos а>„ ) X
X ]/V(ei - 1) + />?(*2~ О + 2/v>i [l —eex cos («,.-^fr
Pi — p— (peis\n<»>n — pies'inou) sinwBKJ1
cos о>вкл = — - ;
pe\ cos wH — p\e cos w„
#вкл = ^вкл — wim ^вкл = <«>вкл — (0п»
f~Z. ~ H-^cos^bki ^ * sin 8В|Сл
V = V ^ v^~v-
sin л = —, cos л ——,
и и
. л У 1-е2
sin £ = sin & ;
1 + е cos &
*сп ~ ^вх ^вкл» А® ~- тгвх
1/1 — ^2 у 1 _ е2
Е — е sin E V
т _ ^ п __ .
е + cos ft
со» ZJ — ,
1 + е cos &
А^разв = (X — Я) + А^ + 0ВХ + аб,
где /? — фокальный параметр;
е — эксцентриситет;
а — большая полуось эллипса;
с — постоянная интеграла площадей;
h—постоянная интеграла энергии;
О—истинная аномалия;
~ ~ sin с
о) — аргумент широты (sina)~ ——-; здесь ф — географическая широта, i — на-
sin i
клонение орбиты);
Е — эксцентрическая аномалия;
п — средняя угловая скорость движения КА по орбите;
т—время, отсчитываемое от момента прохождения перицентра.
Индексы «1» и «'» относятся к параметрам переходного эллипса.
Можно решить также и обратную задачу — определить условия входа в
атмосферу Vex, Эвх, /*вх, (Овх, твх при известном моменте включения тормозного двигателя
Твкл, величине и и направлении X вектора тормозной скорости. Предполагаются
известными также параметры орбиты в момент включения ТДУ: скорость Квкл, угол наклона
вектора скорости к плоскости местного горизонта 6Вкл, радиус из центра планеты гВкп,
аргумент широты соВкл.
Скорость КА после окончания работы ТДУ (Увкл) и угол наклона к местному
горизонту (Авкл) определяются из следующих? соотношений:
Ккл = }Л1кл + "2 - 2^вкл" COS (А - 6ВКЛ) ;
U Sin (А — Ввкл) "
6вкл = 6вкл + arc tg —— —- * 0ВКЛ + — sin (X - 6ВКЛ).
^вкл — и COS (А — Нвкл) УВКЛ
507


Vi
Параметры входа VBx, 6Вх, совх определяются при фиксированном rR
sin ftBX .
Y't
6BX = arcti
e\rB
Pi
= «>„ + К
, + Д*.
Здесь аг = - тг—; /СВКл =
^ А вкл
«1 = |Л1-Квкл)2+Квкл(2-
^вкл гвкл
/>1
cos&DV = -
«1
С08°вкл=-
• АГВКЛ) sin2 6вкл; /?i = ai(l— e\)\
АГвкл COS2 б'
1
О)
дг
V7"
"1 =~Ж
tg
/ 1 _
I
*1
1 + в!
вкл
te ——;;
- ^i SI
п£вкл)]:
tg
17.5. АТМОСФЕРНЫЙ УЧАСТОК СПУСКА
После прохождения внеатмосферного участка КА входит в плотные слои атмг.
сферы.
Системы дифференциальных уравнений (17.6), (17.9) представляют собой полные
системы уравнений, описывающие спуск аппаратов в атмосфере. Для проведения
качественных исследований с целью выявления основных закономерностей целесообразно
пользоваться системой уравнений, записанных при некоторых допущениях:
— спуск аппарата происходит под действием только силы веса G и
аэродинамической силы R&;
— Земля (или планета, на которую происходит спуск) —шар радиусом гПл;
— поле тяготения центральное;
— движение аппарата вокруг центра масс не рассматривается;
— рассматривается плоское движение.
При сделанных- упрощающих предположениях система уравнений записывается
в следующем виде:
dV qK2
= — °xgo • -z~ — £ sin 6;
dt
db
dt
dH
dt
QV fV g \
dL
= V sin0; — =
dt
:V— cosO;
r
g =
Пу:
r*'
CySQV*
2G
cxSqV2
2G
= *x4\
= K*xq\ пъ = Уп1 + п2у.
(17.11)
)
Из системы (17.11) видно, что оказывать влияние на траекторию снижения СА
в атмосфере принципиально возможно изменением только двух параметров: качества
спускаемого аппарата К и баллистического параметра о**. В этом случае к основной
системе уравнений необходимо добавить уравнения управления и осуществить
совместное решение полученной системы. Под уравнением управления понимается
аналитическая запись некоторого закона изменения баллистического параметра или качества
аппарата на траектории спуска.
В зависимости от величины качества различают несколько режимов спуска и
соответственно несколько типов СА. Спуск без участия подъемных сил, когда качество
аппарата /С=0, называется баллистическим, а аппараты, на которых реализуется такой
спуск, — аппаратами баллистического спуска.
508


<ох=0,0002м2/Н
<5х=0,00005м21Н
=0,001м2/Н ~/Г
Спуск при участии подъемных сил, когда КфО, называется планирующим. Среди
режимов планирующего спуска выделяют еще режим скользящего спуска: 0</C<0,5-i-0,7.
Понятие скользящего спуска возникло в связи с появлением особого класса
космических аппаратов, отличающихся большими значениями коэффициентов подъемной
силы и лобового сопротивления и сравнительно малым качеством. Аппараты этого
класса, радикально отличающиеся от привычных самолетных форм, принято называть
аппаратами скользящего спуска.
Аппараты, позволяющие получать качество более 0,7—1, называются аппаратами
планирующего спуска.
Баллистический спуск является простейшим видом спуска, наиболее просто
реализуемым. Он применялся для спуска аппаратов шаровых форм («Восток») и
сегментально-конических («Союз», «Джеминай»). При этом на участке снижения в
атмосфере не требуется применения специальных
сложных систем управления СА. Баллистический
спуск наиболее надежен по сравнению со всеми
другими видами спуска.
Если принять, что максимально допустимой
для космонавта перегрузкой является Ятах~10ч-
11, то при баллистическом спуске с орбиты ИСЗ
диапазон возможных углов лежит в пределах от
6ВХ = 0 до 0вх = — 2,5°-^—3° (рис. 17.6-f-17.8); при
возвращении с параболической скоростью
диапазон допустимых углов входа существенно
сокращается и лежит в пределах от 0Вх«—4,5° до
9Вх~—5° для СА с о*^0,0002 м2/Н (рис. 17.9,
17.10). При гиперболических скоростях входа
баллистический спуск СА с человеком на борту
практически невозможен.
Наряду с тяжелым перегрузочным режимом
баллистический спуск характеризуется достаточно
тяжелым тепловым режимом. Так, при спуске СА
с орбиты ИСЗ максимальные температуры на
поверхности СА достигают 2500—3000° С, а
суммарные тепловые потоки 50—150 тыс. ккал/м2. С
увеличением скорости Vbx тепловые потоки и
максимальные температуры значительно
увеличиваются, причем в тепловом балансе резко возрастает роль лучистых тепловых потоков:
Увх^П км/с; 7^тах^3300-н3500'°С; Qs = 230-^250 тыс. ккал/м2;
Квх=13 км/с; Г^тах^4000^-42С0°С; Qs = 330--350 тыс. ккал/м2.
Аппараты скользящего спуска, так же как и аппараты баллистического спуска,
не имеют специальных аэродинамических устройств для создания подъемной силы.
Аэродинамические силы создаются самим корпусом аппарата за счет его
несимметричного обтекания вследствие соответствующего расположения центра тяжести аппарата
относительно центра давления. На аппаратах скользящего спуска должна быть
предусмотрена специальная система стабилизации.
На рис. 17.11 и 17.12 показано изменение основных параметров траектории
спуска для СА, снижающихся с орбиты ИСЗ с постоянным значением качества К=0,2 и
0,5 соответственно. Особенностью траекторий спуска КА с постоянным значением
качества является их колебательный характер около траектории равновесного
планирования, на которой аэродинамическая подъемная сила уравновешивает центробежную
силу и силу тяжести. Частота и амплитуда колебаний зависят от параметров входа и
качества аппарата. Как видно из рис. 17.11 и 17.12, частота колебаний увеличивается
с ростом качества. В силу этого рассмотрение неуправляемого полета аппаратов
планирующего спуска нецелесообразно.
Тепловой режим спуска аппаратов скользящего типа достаточно близок к режиму
спуска аппаратов баллистического типа. Он характеризуется несколько меньшими
значениями максимальных температур и одновременным увеличением суммарного
теплового потока. Так, при спуске СА со значением К=0,2 с орбиты ИСЗ максимальные
значения температур уменьшаются на 300—400° С, a Qs увеличивается на 15—
25 тыс. ккал/м2 по сравнению с баллистическим спуском.
Рис. 17.6. Зависимость
максимальной перегрузки птах от угла вхо-
при спуске с орбиты ИСЗ
да 6в
17.5.1. Номинальные траектории спуска с орбиты ИСЗ
Наиболее распространенным является класс простейших номинальных траекторий
с постоянным значением качества. В зависимости от реальных начальных условий
входа в атмосферу может быть установлено такое значение качества, которое
обеспечивает попадание КА в заданный район (естественно, в пределах зоны маневра). При
спуске с орбиты ИСЗ значение качэстза ~0,15 вполне достаточно для существенного
509


Рис. 17.7. Зависимость перегрузки пх от времени /
при спуске с низкой орбиты ИСЗ
ffx*O,000f5Ml/*i
Увх = 7,8км/с
Рис. 17.8. Зависимость максимальной
Qg перегрузки Aimax и дальности спуска L,
Л отсчитываемой от точки входа в
атмосферу до точки посадки, от угла вхо-
-—-г— а да бвх
3 ввх,град
200 t,C
Рис. 17.9. Зависимость скорости V, высоты Н и угла 6 наклона вектора
скорости к местному горизонту от времени спуска t
510


20
Ю
/ /\\~6°30'
-6°
Увх=//лм/с
0
Рис.
50
WO
150
200
17. 10. Зависимость перегрузки пх от времени / при
с орбиты ИСЗ
пх
км
id
50
25
- 5
Lw
.1
0
м/с
K=0,
6BX~
H
/ nx
1
0,0002 м2/Н
-2°
K^N,
W0 200 J00 t,c
Рис. 17.11. Зависимость скорости V,
высоты Я и перегрузки я* от времени t при
спуске СА с орбиты ИСЗ с постоянным
значением качества К=0,2
t.c
спуске
511


облегчения перегрузочного режима (максимальные значения перегрузок не
превышают 4—5).
Небольших запасов качества в пределах 0,1—0,2 (относительно номинального
значения) в целом достаточно для парирования действующих на СА возмущений.
Погребное номинальное значение качества определяется как условиями входа аппарата
в плотные слон атмосферы, так и требуемым районом посадки.
Н, У7км/с
км пх
О 200 400 600 800 WOO t,i
Рис. 17. 12. Зависимость скорости V, высоты Н и перегрузки пх от
времени t при спуске СА с орбиты ИСЗ с постоянным значением
качества /С=0,5
Во многих случаях целесообразной является номинальная траектория с
постоянным значением качества на основном участке полета с переходом на закрутку (режим
полета, близкий к баллистическому спуску К=0) с высот полета 25—30 км при
скорости полета СА, соответствующей М~5. Основным преимуществом указанной траектории
является отсутствие необходимости учитывать изменение аэродинамических
характеристик на последнем участке полета.
17.5.2. Номинальные траектории при спуске со второй космической скоростью
В зависимости от атмосферной дальности полета СА, отсчитываемой от точки
входа до точки посадки, различают два типа траекторий:
— «короткие» траектории, общая дальность которых не превосходит 3000—
4000 км;
— «протяженные» траектории с общей дальностью полета, большей 4000—4500 км.
На аппаратах, располагающих малым значением аэродинамического качества,
большие дальности полета практически можно получить только при таком снижении,
когда СА после кратковременного погружения в атмосферу, погасив скорость до
круговой (первая схема спуска), выходит из плотных слоев, движется в верхних слоях
атмосферы, затем опять погружается в атмосферу и совершает посадку. В связи с этим
на траектории различают три участка спуска:
— участок первого погружения (первый участок);
— участок полета в сильно разреженных слоях атмосферы (второй участок);
— участок второго погружения в атмосферу и посадки в заданном районе
(третий участок).
Основной отличительной особенностью первого участка является то, что дальность
(и рассеивание) формируются почти полностью именно здесь, хотя этот участок
составляет по времени всего 15—20% общего времени спуска.
Действительно, дальность полета на втором и третьем участках зависят, в
основном, от двух параметров в конце первого участка:
— скорости вылета из плотных слоев атмосферы Увых;
— угла наклона вектора скорости к местному горизонту Овых.
Изменяя управление на первом участке, можно получить множество пар значений
Увых и Овых, соответствующих одной и той же дальности полета L. Даже малые
погрешности в Овых и Увых приводят к большому промаху по дальности полета. Так,
ошибки в скорости вылета Увых на 1 м/с или в угле Овых на одну минуту приводят
к величине промаха в несколько десятков километров. Следует отметить, что частные
производные dL/дОвых и dL/dVBbIX растут с уменьшением 0Вых и соответственно с
увеличением Увых.
На третьем участке спуска можно скомпенсировать ошибки в дальности полета,
накопленные на первых двух этапах полета. Основной особенностью спуска на этом
участке является то, что текущая область маневра сравнительно невелика и существенно
512


зависит от величины располагаемого качества. Так, например, при Красп = 0,4 величина
возможного маневра на третьем участке AL не превосходит 600—700 км. Итак,
основное управление на «протяженной» траектории должно происходить на участке
первого погружения, причем ошибки по дальности, накопленные на первом и втором
участках полета, не должны превосходить величины
где |AL|max — допустимый разброс точек посадки;
l^^vnpl — возможный маневр на третьем участке с учетом погрешности
управления.
В общем случае номинальная программа управления должна выбираться таким
образом, чтобы величина коридора входа ЛЯП имела максимальное значение. Для этого
необходимо, чтобы величина Н^ имела максимальное значение, а #*"'—соответственно
минимальное. В уравнения движения качество входит линейно, поэтому экстремальные
значения перегрузок (при ax=const) достигаются в том случае, когда качество
принимает свои граничные значения.
В некоторых случаях для выполнения условий по «захвату» необходимо
уменьшить полетное значение качества после прохождения максимума перегрузок. При входе
в коридор с Н^'<^Нп<^Нп * можно подобрать такое постоянное значение угла крена
(эффективное качество), которое обеспечивает выполнение поставленных условий. Класс
номинальных траекторий с постоянным углом крена при спуске со второй космической
скоростью, как и при спуске с орбиты ИСЗ, очень распространен.
17.6. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СПУСКЕ АППАРАТОВ
С ОРБИТЫ ИСЗ И ПРИ ВОЗВРАЩЕНИИ ОТ ЛУНЫ
Система управления — это комплекс устройств, обеспечивающих управление
спускаемым аппаратом и предназначенных для ведения СА по определенной номинальной
траектории или для выведения его в заданную точку фазового пространства с учетом
всех возможных возмущений.
К основным возмущениям, действующим на СА, относятся:
1. Возмущения по начальным условиям входа: ошибки по высоте условного
перицентра (или соответственно углу входа); ошибки в скорости входа, в координатах
точки входа.
2. Возмущения, вызванные неточным знанием аэродинамических характеристик
СА, его веса и размеров.
3. Возмущения, возникающие в результате неточного знания характеристик
атмосферы и, в первую очередь, неточного знания зависимости плотности воздуха от высоты
и дальности полета, а также турбулентности атмосферы и т. д.
4. Приборные ошибки, связанные с использованными в системе управления
чувствительными элементами, средствами обработки информации, исполнительными
органами и т. д.
Общая задача управления С А в атмосфере состоит в том, чтобы перевести
аппарат из точки, лежащей на границе условной атмосферы и определяемой известными
фазовыми координатами, в заданную точку на поверхности Земли (или в какую-то
точку, не лежащую на поверхности Земли), выдержав заданные ограничения и
промежуточные условия (например, ограничения по перегрузкам, температуре и т. д.). При
этом в первую очередь необходимо определить программу управления, при которой
обеспечивается полет по траектории, удовлетворяющей поставленным требованиям
(номинальная траектория). При действии возмущений текущая траектория полета будет
отличаться от расчетной и для обеспечения требуемых условий спуска необходимо
введение уточненного закона управления траекторией.
Итак, для получения приемлемого решения целесообразно разбить общую задачу
управления на две практически самостоятельные части:
— выбор номинальной траектории и соответствующей ей программы управления;
— построение системы управления (продольным и боковым движением),
парирующей воздействие возмущений для осуществления движения по номинальной
траектории.
Отдельной задачей управления является стабилизация движения СА вокруг
центра масс.
Вследствие значительного различия времен длинно- и короткопериодических
колебаний СА влиянием последних на первые в первом приближении можно пренебречь и
при анализе траекторий рассматривать СА как материальную, точку.
В настоящее время основным способом управления при снижении СА является
управление путем изменения аэродинамического качества. При этом большое
распространение получило управление с помощью изменения угла крена аппарата, который
сбалансирован на постоянном угле атаки схб- Поворот СА вокруг оси, направление
17 3669
513


которой совпадает с направлением вектора скорости V, на угол крена у приводит
только к изменению вертикальной составляющей качества
^эфф = ^б cos 7,
или (что то же самое), при постоянной величине коэффициента лобового сопротивления,
к изменению вертикальной составляющей подъемной силы
^эфф = уб c°s Т.
где ^Сэфф, Уэфф — вертикальная (эффективная) составляющая качества и подъемной
силы соответственно;
Кб, Уб — значение качества и подъемной силы на балансировочном угле атаки
соответственно.
Изменение по определенной программе угла крена СА позволяет управлять
продольным движением. Для сокращения этот способ управления условно называют
«управлением углом крена», или «управлением эффективным качеством». Значение
качества при а = аб называют располагаемым значением качества Кц&Сп = Кб.
Как правило, СА осесимметричны относительно продольной оси, поэтому они
статически нейтральны по крену и нет необходимости преодолевать статические моменты
при таком управлении (при отсутствии возмущений). Это приводит к существенному
энергетическому выигрышу при использовании управления углом крена.
Применение угла крена y в качестве единственного управляющего параметра
вызывает необходимость распорядиться последним так, чтобы обеспечить одновременно
как продольное, так и боковое управление. Общее решение этой задачи состоит в
раздельном использовании модуля и знака угла y в одном из двух вариантов:
— изменение модуля y подчиняется требованиям продольного управления,
изменение знака y — требованиям бокового управления;
— обратное распределение модуля и знака.
Управление с помощью изменений знака угла крена y по смыслу является
дискретным, благодаря чему в конце траектории имеет место неуправляемый участок, на
котором образуется конечный промах по соответствующей координате. Первый вариант
более удобный, универсальный и точный, так как в этом случае более совершенное
управление (модулем угла y) применяется для решения наиболее сложной части задачи:
формирования и стабилизации траектории в продольной плоскости, а более грубое
управление (знаком угла y)—Для ликвидации относительно небольших боковых отклонений.
Все возможные 'типы СУС можно классифицировать по некоторым общим
признакам.
1. По средствам связи с Землей и по использованию информации (или команд)
с Земли:
— автономные;
— командного наведения с Земли;
— полуавтономные или комбинированные.
2. По роли космонавта в управлении полетом:
— автоматические;
— ручные;
— полуавтоматические.
3. По принципу построения:
— системы управления с использованием прогнозирования траектории спуска;
— системы управления, строящиеся на отслеживании номинальной траектории.
4. По характеру обработки поступающей информации:
— с простейшей обработкой;
— с использованием специализированных вычислителей.
5. По способу стабилизации опорной траектории (запоминаемой на борту
аппарата или прогнозируемой):
— с непрерывным управлением относительно расчетной траектории;
— с дискретным корректированием траектории в некоторых характерных точках.
6. В зависимости от типа установки чувствительных элементов на борту аппарата:
— с чувствительными элементами, выставленными определенным образом в инер-
циальном пространстве (что достигается, например, при использовании гиростабилизи-
рованной платформы);
— с чувствительными элементами, жестко связанными с корпусом аппарата.
Каждой системе управления присущи свои достоинства и недостатки в отношении
обеспечиваемой точности, надежности, весовых затрат, потребных бортовых и
наземных средств, простоты реализации и т. д., что в целом и определяет компромиссность
выбора типа СУС в каждом конкретном случае.
17.6.1. Простые системы управления непрерывного действия
В настоящем разделе рассматривается задача построения алгоритмов
управления конечной дальностью полета СА —'задача обеспечения посадки СА в заданном
районе Земли с минимальным разбросом точек приземления.
Можно рассматривать следующие принципы синтеза СУС непрерывного действия:
— с использованием заранее рассчитанных программных зависимостей;
514


— с прогнозированием точки посадки;
— смешанного типа, когда по результатам прогноза выбирается программная
зависимость.
Наиболее простыми являются СУС первого типа. Под простыми СУС понимаются
системы, которые строятся с использованием простой, легко доступной для измерений
информации и предусматривают обработку этой информации (для выдачи
управляющего сигнала) на простейших вычислителях (или простых аналоговых устройствах).
В настоящее время считается, что такой простой информацией является информация от
измерения перегрузок, интегралов от перегрузок и времени полета. При этом СУС
получается наиболее простой, если перегрузки измеряются в осях, жестко связанных
с корпусом СА.
При работе СУС непрерывного действия должна определяться некоторая функция
фазовых координат (функционал управления), выдерживание текущих значений
которой близкими к расчетным позволяют обеспечить необходимую точность приземления.
В качестве такой функции можно рассматривать отклонение точки приземления от
заданной точки ALk = £k—^к ном, которое должно быть равно нулю. Считая, что
действующие на СА возмущентгя невелики, отклонение точки посадки в продольной
плоскости движения (при условии, что с момента времени ti возмущения не будут
действовать) можно записать в виде
дLv dLK dLK dLK
,LK (,„ = ^ *Xl + ^ AK, + ^ tVXt +^Vyr (17.12)
Здесь , . . . , — частные производные конечной дальности полета по
dXi dVyi координатам и скоростям, взятым в момент времени^-;
ЬХ, А К, ±V x, AVy — соответственно отклонения составляющих координат
и скорости СА в момент t[ от заданных значений.
Приводя в каждый момент времени выражение для ALK(ti) к нулю путем
введения соответствующего управляющего воздействия
dLK
можно обеспечить условие посадки в заданном районе. Здесь —— —частная производ-
ду
ная конечной дальности по углу крена для момента tif коэффициент 5=^0 вводится для
улучшения динамики процесса управления.
Для решения выбранного функционала необходимо знать частные производные
dLK dLK
—г, .... т—, номинальные (программные) значения траекторных параметров ХНОм,
Yhom, Yhom и текущие значения этих же параметров, которые должны быть определены
на борту СА.
Системы управления, использующие простую информацию с датчиков, жестко
связанных с корпусом СА, имеют существенные методические ошибки. Эти погрешности
приводят к появлению некомпенсируемого промаха порядка 1000—1500 км при
Vbx~11 км/с и Ln>9000 км, что показывает нецелесообразность их применения для
указанных режимов спуска. Возможность использования подобных СУС зависит от
соотношения фактических ошибок по AL и требуемых точностей приземления.
17.6.2. Система управления, использующая измерения с датчиков,
не связанных жестко с корпусом СА
Рассмотрим принципы инерциального управления дальностью полета СА, когда
чувствительные элементы — акселерометры установлены определенным образом на ги-
ростабилизированной платформе [6]. В этом случае члены АХ,..., AVy в
функционале (17. 12) представляют собой рассогласования составляющих координат и
скоростей инерциальной системы на текущей и номинальной (программной) траекториях.
Перепишем выражение (17. 12), взяв только два основных, определенным
образом выбранных направления в инерциальной системе:
aLk=д^~(ti) aVx+W~(td д^- (1?-1з)
Функция (17. 13) выражает промах в конечной дальности полета, вызванный
погрешностями в момент времени ti, причем
dV
dS,
17*
515


где AVX— проекция вектора (AVx, А^к. ^z) на направление л, определяемое
вектором grad^Z.;
AS^— проекция вектора (Д^, AY, AZ) на направление (х, определяемое вектором
grad^/„.
Задача управления состоит в приведении функционала (17. 13) к нулю путем
введения соответствующих корректирующих добавок. В случае идеального управления
равенство ALK = 0 должно выполняться вдоль всей траектории. Оно может быть
выполнено, если на траектории
/ '/ х
AVX = \AVxdt = 0; AS = f [АКЛЛ = 0.
О О О
Итак, можно построить систему управления дальностью полета, использующую
два интегрирующих акселерометра, установленных по направлению баллистических
инвариантов (направления X и \х). Методические ошибки подобных СУС, вызванные,
в частности, использованием вместо рассогласований пути и скорости рассогласований
интегралов от перегрузок, подобны ошибкам при использовании датчиков, жестко
связанных с корпусом СА. Целесообразность их применения объясняется, в первую
очередь, незначительными погрешностями за счет неточной балансировки СА в полете.
Вместе с тем применение подобных СУС требует обеспечения достаточно точной
выставки чувствительных элементов и малых уходов гироплатформы в процессе снижения.
Действительно, ошибка в 1 мин в точности выставки гиростабилизированной платформы
приводит для рассмотренного в предыдущем разделе примера (КВх~11 км/с,
Ln >9000 км) к отклонению точки посадки приблизительно на 20 км.
Отметим, что функционал (17. 13) принципиально может быть реализован при
использовании только одного интегрирующего акселерометра с переменным
направлением оси чувствительности [6]. Перепишем (17. 13):
/ / х
л/ dL« ,. ч Г п> ^ , dL*
ALK ~
к dV,
t
о
t
-(*,-) ^AVxdt+d^-(t^ ^AV^dxdt =
о !J" о о
C\dLK . dLK . "I
ЛdvT{ti)AV> + {t~T)Js~{ti)AV»Г =
Здесь A,0, \i°— соответственно единичные векторы в направлении grad^ L w
grads L.
Если вдоль траектории выдерживать равенство нулю проекции AV на направление
dLK - dLK -
то в конце полета обеспечивается ALK = 0. В силу этого интегрирующий акселерометр
должен быть в каждый момент времени направлен по v. Направление v в общем
случае можно определить двумя углами Xi и Х2:
Xi — угол между местным горизонтом, проведенным в условном перицентре
траектории, и проекцией v на плоскость_орбиты;
^2 — угол между плоскостью орбиты и v.
— dLK
При этом A,i>0, если v выше местного горизонта- А2>0, если —— >0. В целом
dVz
подобные СУС позволяют осуществить посадку СА с разбросом точек приземления в
несколько сотен километров (Увх = П км/с, Ln>8000 км).
Рассмотрим некоторые из более простых вариантов СУС. Из приведенных данных
следует, что в общем случае для реализации функционалов типа (17. 12) — (17. 14)
необходимо, кроме интегрирования перегрузок, дифференцировать их или вводить гиро-
стабилизированную платформу с двумя интегрирующими акселерометрами или одним
акселерометром с переменным направлением и т. д., т. е. эти системы можно определить
как «не очень простые». Во многих случаях целесообразно применять действительно
простые системы, использующие минимальную информацию и самую простую ее
обработку. К таким системам относятся СУС, использующие информацию с одного
интегрирующего акселерометра. Ось этого акселерометра или жестко связана с корпусом С Л
(ясв), или выставлена определенным образом в инерциальном пространстве (пии). На
борту СА запоминается программная зависимость изменения перегрузок пСв или я„н
516


в функции используемого в СУС аргумента. Чаще всего в качестве аргумента
используют кажущуюся скорость 1/$ пли ^5ИН-
По величине рассо1ласований перегрузок АяСв —(Ясв)тек—(Ясв)прогр или Дгсин=
= (пин)тек—(Яин)прогр на текущей и программной траекториях формируют
управляющий сигнал Ау = ^Ап. Коэффициент | может быть или постоянным, или переменным
по траектории. Это определяется в основном требованиями, предъявляемыми к точности
посадки СА.
В некоторых случаях вместо рассогласований перегрузок используют
рассогласования времени спуска на текущей и программной траекториях. Подобные простые
СУС имеют существенные методические ошибки, что определяет возможную область
их применения: спуск с орбиты ИСЗ или спуск только по «коротким» траекториям при
возвращении СА от Луны. При спуске с орбиты ИСЗ простые СУС позволяют
обеспечить посадку с разбросом по дальности полета в пределах нескольких десятков
километров.
17.6.3. Дискретная система управления, использующая
семейство попадающих траекторий
Применение дискретного управления при наведении аппарата на одну заданную
опорную траекторию, как правило, неэффективно и нецелесообразно. Работу
дискретной системы можно существенно улучшить, если траекторию полета непрерывно
изменять с учетом возмущающих факторов при использовании метода попадающих
траекторий.
Рассмотрим один из возможных путей построения закона управления путем
дискретного корректирования траектории в ее характерных точках. Будем называть
попадающими такие траектории, полет КА по которым приводит к попаданию в
заданную точку, т. е. когда обеспечивается достижение заданной дальности при
обязательном выполнении ограничения по перегрузке пт&х< (ягаах) доп.
Метод попадающих траекторий при управлении дальностью полета
возвращающегося космического корабля целесообразно применять по следующим причинам. При
решении задачи попадания в заданную точку нет необходимости компенсировать
влияние возмущений в каждой точке траектории, выбираемой на основании обработки
измерений на начальном участке спуска в атмосфере. Имеется целое семейство траекторий,
движение по которым позволяет выполнить поставленные условия. Поэтому
рационально рассматривать задачу парирования не текущих отклонений параметров
движения от номинальных, а конечного отклонения регулируемого параметра. В данном
случае — это обеспечение минимума рассеивания точки посадки при выполнении
ограничений по перегрузкам и аэродинамическому нагреву. Требование вести полет по одной
траектории приводит к чрезмерной перегрузке на СУС и нерациональному расходу
рабочего тела.
Рассмотрим один из возможных путей управления при дискретном
корректировании траектории с использованием метода попадающих траекторий. При синтезе
системы управления предполагается, что существует га точек на траектории, в которых
можно изменять величину управляющей силы (путем введения корректирующего
изменения) таким образом, чтобы возмущения были парированы.
Места проведения коррекций могут быть фиксированы или выбираться на' борту
аппарата в зависимости от действующих возмущений или от величины отклонения
текущей траектории от номинальной.
Принцип действия рассматриваемой автономной системы управления заключается
в следующем. В момент достижения аппаратом фиксированного значения аргумента
системы р0 по полученной на борту информации определяется некоторое постоянное
значение угла крена у0, с которым осуществляется дальнейший полет. В момент
достижения аргументом значения р=р\ по результатам сравнения величины функционала,
вычисленного по данным бортовых из-мерений, с некоторым известным значением
проводится коррекция первоначального значения угла крена Yi=Yo + AYl В последующие
моменты достижения аргументом значений р = р2, Рз, ..., рт аналогичным способом
проводятся коррекции значений уь Y2» • • •, Ут. Коррекции проводятся так, чтобы на
каждом этапе осуществлялся переход на ближайшую попадающую траекторию. Таким
образом,.выбором угла Yo (в момент р=ро) определяется расчетная траектория первого
приближения. При действии различных возмущений параметры действительной
траектории будут отличаться от параметров расчетной траектории, поэтому в последующие
моменты полета на основании продолжающихся бортовых измерений проводятся
корректировки текущих значений качества 1, 2,..., га-го приближений в некоторых
характерных точках траектории (при заданных фиксированных значениях аргумента).
17.6.4. Линейный синтез системы дискретного управления
с использованием метода попадающих траекторий
В данном разделе приводится построение закона управления в линейной форме
в предположении о малости действующих возмущений, когда справедлива запись
отклонений от программной траектории в виде линеаризованных уравнений.
517


При проведении решения используются предположения о том, что:
— осуществляется стабилизация попадающей траектории, определяемой режимом
полета с постоянным углом крена y;
— система возмущений характеризуется расчетными случайными параметрами
Аи Л2,... , Л/, включающими все действующие возмущения;
— число коррекций равно га, и проводятся они последовательно в моменты
достижения аргументом расчетных значений р\, р2,..., рт\ на участках между
коррекциями КА движется с постоянным углом крена, величина которого определяется
соответствующей коррекцией, т. е. уь Y2, • • •, Ут\
— в процессе спуска измеряются некоторые параметры Xi, х2,..., xq.
В основе синтеза системы управления лежит условие минимизации расстояния
между конечной точкой возмущенной траектории и конечной точкой номинальной
траектории:
Мк = L — L-+ min,
где L, L — значения конечной дальности полета в точке приземления на возмущенной
и номинальной траекториях соответственно.
Другими словами, необходимо выполнить условие постоянства на номинальной
и возмущенной траекториях некоторой функции
L= L(Alt A2 Аг\ 71. 12 1т)-
Значение функции L зависит от величины действующих возмущений и текущих
полетных значений углов крена yi, (=1, 2,..., га (или величин корректирующих
добавок Дуь Ау2, -.., AYi, где AYi=Y*—Y*)- Система строится таким образом, чтобы
влияние этих факторов на величину функции L возможно более полно компенсировалось
друг другом.
При проведении синтеза системы управления используются соотношения
jj-\ =0 (ft = 1,2 I) (17.15)
dA* Vu-z*
При Птах^ («max) доп.
Величины производных, входящих в эти условия, определяются как зависимостью
функции L от параметров Аи Л2,..., Ai, так и зависимостью величин уь Y2> • • •, Ут
(или корректирующих добавок Ayi, Ay2, ..., Ay™) от этих же параметров; последняя
зависимость, собственно, и задается системой управления. При удовлетворении
условий (17.15) путем соответствующего выбора значений Yb Y2» • ■ •» Y™ можно в
линейном приближении полностью скомпенсировать влияние возмущений на дальность
в конечной точке траектории.
Введем понятие корректирующей функции S. Считается, что корректирующая
функция известна и представляет собой некоторую функцию от измеряемых
параметров Xl, X2, . • . , Kq\
S = S(y~\, %2. • • • » xq> Р)* (17.16)
Для попадающей расчетной траектории корректирующая функция равна 5. При
номинальных значениях всех характеристик, определяющих траекторию полета, на
протяжении всего времени движения в атмосфере выполняется тождество
AS = S(%!, %2 х<7» Р)—'S(xb х2 У.д, /?) = 0.
При действии возмущений между значениями S на возмущенной и номинальной
траекториях появляется величина рассогласования
AS = S(x1, %2, . . . , Ъд, р)—S(%\, %2, . . . , iq, р)~Ф®-
Эта величина рассогласования является основой для формирования
корректирующих добавок, т. е. для коррекций траектории. Значение корректирующей функции
в момент i-й коррекции (/=1, 2,..., т), проводимой в момент достижения
аргументом р расчетного значения pi, обозначается через Si\
S(xlf x2 r.q)\ _ =St. (17.17)
Величина корректирующей добавки определяется в функции от величины
рассогласования фактических и расчетных значений корректирующей функции в моменты
соответствующих коррекций
ДТ/| _ =Z/A5/, (17.18)
\p-Pi
где А7/ = т* — Т« 0' = 1, 2, . . . , га),
Zi — коэффициенты для определения корректирующей добавки.
518


Согласно условиям задачи искомые коэффициенты управления Z* и
корректирующая функция 5 должны быть определены таким образом, чтобы выполнялись
условия (17. 15). Вид корректирующей функции S определяется соотношением
(17. 16). С другой стороны, ее величина в каждом конкретном случае зависит от
действующих возмущений и полетных значений угла крена:
S/ = S/(,4if Л2 Аг\ 7ь 72 7/и-ь РУ (17.19)
Текущее потребное значение угла крена уг также зависит от действующих
возмущений и величин предшествующих корректирующих добавок (или полетных значений
угла крена):
7i = 7iMi. А2, . . . , At; 7ь 72. ... . Т/и—l). (17.20)
От тех же параметров Ak (k=\, 2,..., /) и yi (i=\, 2,..., га) зависит и функция L.
Итак, для решения уравнений (17. 18) и (17. 15) располагаем явным
соотношением (17. 16), позволяющим в процессе спуска вычислять на борту КА
корректирующую функцию S, и неявными зависимостями (17. 19) и (17.20).
Окончательными соотношениями являются:
1
' +
Ч-
ы
dim
dL
= 0;
dS„
"т—\
1
+
d7m-l
dL
= 0;
dSn
Zm-2 ^7m-2 dtrn-2 d7/w-2
= 0;
J_
dL_
>i
dS2
>i"
dS„.
dSm—i dSn
+ ■
dA,
hi
d + ^Л 0
= 0;
(17.21)
)
d7i
(k= 1,2. . . , /). (17.22)
Уравнения (17.21) позволяют вычислять коэффициенты для определения
корректирующих добавок, если известна корректирующая функция S, вид которой
определяется системой уравнений (17.22). Сначала следует решить задачу определения
корректирующей функции. В общем случае вид корректирующей функции может быгь
различным, что в первую очередь зависит от имеющихся исходных данных для
построения системы: возможностей по выбору исходной измерительной информации,
возможностей ее обработки и т. д.
Проведенный синтез системы в линейной постановке при одной опорной траектории
может служить основой при окончательном решении рассматриваемой задачи. При этом
необходимо иметь в виду, что действительные отклонения от опорной траектории велики
и выходят за пределы линейности, поэтому необходимо располагать дополнительным
запасом качества для парирования возмущений и обеспечения движения по опорной
траектории. Этот запас может быть достигнут введением в закон управления (17. 18)
множителя, большего единицы и определяемого эмпирическим путем. Однако на
аппаратах с ограниченным значением качества (К<0,3) в некоторых случаях может не
хватить управляющих сил для обеспечения наведения на опорную траекторию.
При практическом решении задачи необходима настройка системы на начальные
условия, т. е. необходим переход на одну из опорных траекторий, выбираемую в
результате обработки результатов бортовых измерений на начальном участке спуска. Это
означает, что в каждом реальном случае спуска за опорную принимается лишь одна
траектория из всего семейства опорных.
За опорные траектории допустимо принимать семейство попадающих траекторий
(Yo=const), определяемых в зависимости от угла крена уо, причем у0 может иметь
любое из значений от Ymin до Ymax, где Ymm, Ymax — соответственно минимальное и
максимальное значения угла крена, обеспечивающие полет по попадающим траекториям
(при движении по нижней или верхней границе коридора входа).
Выставка соответствующего угла Yo* производится в момент р = ро. При этом все
необходимые производные, корректирующие функции и коэффициенты для получения
корректирующих добавок должны определяться в функции угла крена: при проведении
каждой коррекции указанные выше величины должны соответствовать ближайшим
попадающим траекториям, а последние (по условиям задачи) должны быть найдены
на борту КА путем обработки результатов бортовых измерений. Эффективность
управляющего воздействия зависит не только от величины управляющей силы, но и от
начала и продолжительности ее действия. Если для парирования конечного промаха по
дальности полета, вызванного действием возмущений, необходима величина добавки
к управляющей функции Ayo с момента входа в атмосферу (при р = ро), то с любого
519


другого момента /?>/?0 требуется величина |Луг|>|Ауо| Для парирования того же
самого возмущения.
Поэтому если при проведении /-и коррекции окажется, что для перевода КА на
попадающую траекторию необходима корректирующая добавка Дуг, то для
определения этой попадающей траектории (нахождение соответствующего угла крена у») зна_
чение A\i следует привести в соответствие с Ayo в момент р=Ро. При этом т-разовую
систему коррекций при опорной траектории можно рассматривать как т независимых
одноразовых коррекций, проводимых в моменты достижения аргументом
последовательных значений pi, р2,..., /?™ для опорных попадающих траекторий, определяемых
на борту КА.
Для /-й коррекции справедливы следующие выражения:
АТ/ = Zt (\W) AS/ при р = pi
(/ = 1,2 т);
1 .?L{„(fy
^•(^/))"^^/(т°))
p-Pi
С момента p=Pi КА движется с углом крена
V/ = Yl-i + *?/•
При этом осуществляется наведение на попадающую траекторию (/+1)-го
приближения, определяемую полетом с углом крена
Yiz + 1> = YiO+AY(/0) (/=1. 2 /л);
ay!0>=z}o>(7JO)as,;
^0)W°) ~ dYo°0 h
dAk ^° }~dAk ^° >
(/? = 1, 2 /; / = 1,2 я).
Оценка приведенного решения с точки зрения потребных бортовых средств для
реализации выбранного алгоритма управления показывает, что в период
непосредственно перед коррекцией должны выполняться только достаточно простые операции. При
этом основной объем вычислений по подготовке исходных данных для проведения
окончательных расчетов может осуществляться в период между коррекциями. Поэтому
реализация выбранного алгоритма управления возможна при использовании
достаточно простых специализированных бортовых вычислителей.
17.6.5. Реализация алгоритма дискретного управления
При построении алгоритма управления дальностью полета для системы
простейшего типа в качестве исходной информации используются легко доступные измерения
времени полета t и перегрузки пх по скоростной оси СА. Предполагается, что на борту
имеется интегратор для измерения величины кажущейся скорости
Уз = #0 f njcdt.
t
Итак, имеются три измеряемые величины, которые содержат косвенную
информацию о траектории полета:
L + t\ H-+nx- V-+Vs.
Необходимо отметить, что даже в случае рассмотрения только продольного
движения эта информация является неполной. Полную информацию о продольном
движении можно получить, измерив еще производные от перегрузки, что, однако, сопряжено
с трудностями при практической реализации.
Порядок работы простой системы управления дальностью полета может быть
следующим.
По команде с Земли включаются часы, используемые в системе управления
спуском. После отделения от приборного отсека СА ориентируется и стабилизируется
таким образом, чтобы к мо_менту входа в атмосферу угол атаки был близок к расчетному
балансировочному углу (Хб, а угол крена Yo — к номинальному значению Yo. Полет с Yo
проходит до тех пор, пока не будет достигнуто малое заданное значение перегрузки пс.
520


При достижении перегрузки пс включается интегратор для расчета кажущейся скорости
Vs и устанавливается новое значение угла крена:
7i = То + д7(ь А7о = aoAt'> M^ti — tu
где t\ — время достижения перегрузки пс, отсчитываемое, например, от последнего
сеанса радиосвязи при входе со 2-й космической скоростью, или от расчетного момента
включения ТДУ при спуске с орбиты ИСЗ; t\ — номинальное значение.
Последующие коррекции проводятся при достижении значений кажущейся
скорости Vs.(i=\, 2,..., т). В результате устанавливаются новые углы крена
Т/ч 1 = 7/ "Ь ^Т/.
где
/—1
Д?* = an\t + ai2Anx + 2 ai (*+3)Л7*-
После проведения последней коррекции полет проходит со значением угла крена
\т до ввода в действие парашютной системы. СУС с использованием указанного
простого алгоритма обеспечивает точность посадки порядка нескольких сотен километров
при возвращении корабля от Луны по «протяженным» траекториям и порядка
нескольких десятков километров при спуске с орбиты ИСЗ.
17.6.6. Алгоритмы управления, реализуемые с помощью бортовой
вычислительной машины
Использование бортовых ЦВМ раскрывает широкие возможности в построении
СУС, обеспечивающих высокую точность посадки. Принципиально структура
управления в случае, использования бортовых ЦВМ очень гибка и позволяет в процессе полета
получить значительный объем информации о движении, на основании которой можно
формировать алгоритмы управления.
В настоящее время имеется достаточно большое количество работ по построению
СУС при полном прогнозировании [12, 3].
Рассмотрим один из возможных алгоритмов управления с бортовой ЦВМ для КА
с малым значением располагаемого аэродинамического качества, управление дальностью
полета для которого осуществляется изменением угла крена при постоянном угле атаки.
Использование этого алгоритма в системе управления спуском позволяет обеспечить
высокую точность посадки, не предъявляя существенных требований к ЦВМ.
Перед началом спуска задаются координаты требуемой точки посадки. При спуске
с орбиты ИСЗ в номинальном случае требуемая продольная дальность, отсчитываемая
в плоскости большого круга по поверхности Земли, обеспечивается расчетным
временем включения ТДУ на орбите и полетом в атмосфере с выбранным значением
эффективного аэродинамического качества Кэфф- Требуемое отклонение точки посадки в
боковом направлении ог продольной плоскости движения обеспечивается переворотом
аппарата «с боку на бок» (сменой знака угла крена) в определенной точке на траектории.
Начальные значения компонент вектора состояния определяются или на Земле,
или автономными средствами и засылаются в бортовую ЦВМ. В момент включения
ТДУ начинается решение на борту следующих основных задач:
— определение вектора состояния КА в фазовом пространстве и всей
необходимой информации о характеристиках корабля и окружающей среды (первая задача
навигации);
—■ определение с необходимой дискретностью требуемых значений управляющего
параметра для выполнения конечных условий посадки (вторая задача навигации) [4].
Для определения на борту компонент вектора состояния КА можно использовать
уравнение
г3 m
Оси инерциальной прямоугольной системы координат, совпадающие с осями
чувствительности акселерометров, имеют следующие направления:
Oh\ — из центра Земли в точку расчетного включения ТДУ;
0/г3—в плоскости орбиты по направлению движения;
Oh2 — дополняет систему до правой.
Основные усилия при решении второй задачи навигации направлены на
ослабление требований к характеристикам бортовых ЦВМ. Часы, используемые для получения
дополнительной информации о траектории, включаются автономно, независимо от
действительного момента включения ТДУ. После окончания работы ТДУ на втором участке
снижения (в разреженных слоях атмосферы) акселерометры выключаются и
предполагаемое ускорение от действия аэродинамических сил вычисляется с использованием
значений номинальной плотности атмосферы. Тем самым систематические и случайные
ошибки акселерометров на этом участке полета не будут включены в вычисления. На
521


этом же участке с учетом ошибок подачи тормозного импульса вычисляется новое
расчетное значение угла крена у0, обеспечивающее достижение заданной продольной
дальности полета.
При входе в плотные слои атмосферы (Я—100 км) снова включаются
акселерометры и их показания используются для решения первой навигационной задачи. В
момент достижения малого фиксированного значения перегрузки пс по показаниям
бортовых часов происходит сравнение действительного времени с расчетным. Величина
рассогласования является исходной информацией для проведения первой коррекции, цель
которой состоит в компенсации ошибок начальных значений компонент вектора
состояния, а также возмущений, накопленных при полете в разреженных слоях атмосферы.
После проведения первой коррекции с учетом сравнительно малой эффективности
управления в верхних разреженных слоях атмосферы некоторое время ЛГ (до высоты
примерно 65 км) полет СА проходит в режиме стабилизации текущего угла крена.
По истечении времени ЛТ начинается периодическое решение второй задачи
навигации и производятся последовательные коррекции угла крена. Требуемые значения
угла крена определяются на основании прогноза дальнейшего движения КА путем
численного интегрирования уравнений движения. Фактической процедуре
прогнозирования присущи следующие особенности.
1. Все вычисления проводятся в промежутках времени между коррекциями tiuti + i
по информации о компонентах вектора состояния, полученной на начало этого
промежутка.
2. При помощи простых формул на борту периодически определяются
аэродинамическое качество СА и произведение баллистического параметра на отношение
действительного значения плотности к номинальному. Эти значения принимаются
постоянными при решении текущей задачи прогноза:
к -JUL. „ с 2п*
Пх QhomY2
niVj + П2У2 + ПгУг Т/-2 2
пх= — ; пу = у п\ — пх\
п* = |/"л? + п\ + 4 V = yv\ + v\ + V\.
Здесь tij, Vj 0*=1, 2, 3) —соответственно проекции векторов суммарной перегрузки
и скорости на оси инерциальной системы координат.
3. Для ослабления требований к быстродействию ЦВМ количество разрешаемых
просчетов траектории вперед ограничивается на начальном этапе снижения,
увеличиваясь по мере снижения СА и уменьшения прогнозируемого интервала времени
полета.
4. Для парирования бокового отклонения точки посадки от расчетной применяется
следующий метод. Расчет траектории вперед в ускоренном масштабе времени
осуществляется со значением угла крена, знак которого противоположен действительному
значению (используется свойство практической независимости продольной дальности полета
до точки посадки от знака угла крена, причем ALK<2 км). При этом определяется
величина бокового отклонения точки посадки в случае смены знака угла крена в момент
следующей коррекции. После того как значение прогнозируемого бокового отклонения
точки посадки попадет в некоторую допустимую окрестность относительно расчетной
точки («зону нечувствительности»), осуществляется действительный переворот СА
«с боку на бок». Допустимо ограничиться двумя такими переворотами на траектории.
5. Интервал между коррекциями может быть как постоянным, так и переменным;
он выбирается из условий требуемой точности посадки и необходимого
быстродействия ЦВМ.
При использовании данного алгоритма управления обеспечивается высокая
точность посадки по продольной и боковой дальности при действии всех возмущений,
приборных ошибок, с учетом динамики движения СА по каналу крена как при спуске
о орбиты ИСЗ, так и при возвращении от Луны.
17.6.7. Ручное управление
При создании системы ручного управления, предназначенной для решения всех
задач спуска, необходимо учитывать ряд ограничений:
— при входе по нижней границе аварийного коридора входа максимальные
значения перегрузок не должны превышать значений пх = 10-4-12;
— при управляемом спуске в штатном случае предельным максимальным
значением перегрузки следует считать пх = 8-4-10;
— при выполнении всех задач управления спуском точность управления на
аппаратах с недостаточной статической устойчивостью и плохим демпфированием невысока.
Необходимо отметить, что ручные системы управления принципиально могут быть
получены с использованием любого из указанных в предыдущем разделе методов
построения СУС. Рассмотрим одну из возможных систем ручного управления с
использованием прогнозирования дальности полета при спуске со второй космической скоростью.
522


Предполагается, что управление осуществляется с помощью изменения угла атаки, при
этом аэродинамическое качество К может изменяться от 0 до 0,5. Управление углом
крена также возможно. На борту имеется вычислительная машина, с помощью которой
прогнозируется положение точки посадки путем решения приближенных уравнений
движения [8, 23, 28].
Расчет производится при следующих значениях параметров:
Си
1) =0,5; i~Q — максимальная дальность полета;
сх
Су
2) = 0; к ~ 0 — минимальная дальность полета;
СХ
3) —— = 0,5; 7^45° — максимальная боковая дальность;
сх
Су
4) значения и 7 являются постоянными и соответствуют текущим значениям.
сх
Космонавт использует индикатор — прибор с экраном, на котором прогнозируемая
течка имеет координаты
^max ^min ^б max
где Lq—дальность в боковом направлении.
Вместе с тем бортовая вычислительная машина определяет значения су/сХ} при
которых достигается максимально допустимая перегрузка и максимальная высота
вылета из атмосферы. Эти значения также выводятся на экран. С помощью указанной
информации космонавт имеет возможность осуществлять посадку в заданную точку,
не нарушая ограничений по максимальной величине перегрузки и максимальной высоте
вылета СА из атмосферы.
17.7. ДВИЖЕНИЕ МЕЖПЛАНЕТНЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ СКОРОСТЯМИ
Трудности входа с гиперболическими скоростями в баллистическом отношении
связаны, в первую очередь, с необходимостью обеспечить захват СА атмосферой,
с уменьшением коридора безопасного движения, а также с проблемой переносимости
космонавтом перегрузки после длительного пребывания в космосе.
Простое попадание СА в коридор входа еще не гарантирует захват его
атмосферой. В этом случае для принятия правильного решения системой управления
необходима информация о положении аппарата в коридоре входа. Поскольку любой системе
управления свойственны некоторые погрешности, то необходимо, чтобы ошибки
бортовых данных о положении СА внутри коридора не превышали определенной величины.
При движении аппарата вблизи верхней границы величина допустимых ошибок
«стремится» к нулю. По этой причине некоторая часть коридора со стороны указанной
границы оказывается непригодной для безопасного спуска.
Ширина полезной части коридора зависит от условий входа, характеристик
аппарата и способа управления. Она может меняться от величины, составляющей 90%
полного коридора, до нуля (в крайних случаях). Увеличение скорости входа приводит как
к уменьшению полной ширины коридора так и к сужению его полезной части. В
частности, уже при скорости входа 13—14 км/с становится невозможным баллистический
спуск даже в качестве дублирующего варианта системы управления.
Интенсивное уменьшение ширины коридора с ростом скорости входа приводит
к необходимости использовать аппараты с достаточно большим аэродинамическим
качеством, а также к применению более сложных способов управления. Наиболее
простой способ управления — путем изменения угла крена — при скоростях входа более
16—17 км/с становится невозможным без существенного повышения точности входа СА
в атмосферу [16, 23].
Оценки теплового режима СА, движущихся с гиперболическими скоростями,
показывают, что после обеспечения условий захвата аппарата атмосферой решающее
значение приобретают вопросы тепловой защиты его, поскольку требуемый вес
теплозащиты значительно увеличивается.
17.7.1. Способы посадки СА на Землю
В настоящее время реальными считаются следующие два способа посадки СА.
первый — прямая посадка непосредственно с подлетной межпланетной траектории;
второй — посадка с орбиты искусственного спутника, на которую аппарат переводится
путем приложения импульса скорости после аэродинамического торможения и вылета
из атмосферы. Так как траектории возвращения, рассчитываемые по условиям
энергетической оптимизации схемы экспедиции, в настоящее время не отличаются по способу
посадки, то любой из двух указанных способов считается равновозмЪжным. В силу
523


этого представляет интерес общая оценка траекторий возвращения, допускающих
осуществление прямой посадки СА в заданный район Земли.
Приводимые данные справедливы, когда:
—■ рассматривается кеплерово невозмущенное движение КА из бесконечности на
нисходящей ветви гиперболической орбиты;
— начальное положение КА относительно Земли определяется заданием вектора
скорости на бесконечности, т. е. модулем скорости У<*>, углом склонения 6<» и углом
прямого восхождения а™ (углы 6«, и а«> измеряются в геоцентрической
экваториальной системе координат);
— за счет коррекции времени т* прохождения перицентра подлетной траектории
можно обеспечить попадание аппарата в любую требуемую точку по долготе; поэтому
под посадкой понимается попадание в требуемый район заданной широты, которая
может быть принята равной <рз ^бО0;
— рассматриваются только прямые и полярные траектории движения КА в сфере
действия Земли, для которых наклонение орбиты /^я/2;
— за меру попадания в требуемый район выбрана величина продольной дальности
Ln, отсчитываемой по поверхности Земли от условного перицентра подлетной плането-
центрической траектории до заданного района посадки на широте фз-
В качестве минимального значения продольной дальности, при которой
обеспечивается прямая посадка, принята величина Lmin = 3000 км, а в качестве максимального —
£тах=15 000 км. Таким образом, прямая посадка возможна только на таких
траекториях, на которых выполняется неравенство Lmin^Ln^Lmax. В противном случае
считается, что можно реализовать только способ посадки с выходом на орбиту ИСЗ.
Каждому положению КА на бесконечности (при подлете к Земле) соответствуют
при одном и том же наклонении / две траектории движения в сфере действия (с. д.),
различающиеся по величине долготы восходящего узла Q (Qj, £22). При этом значение
долготы восходящего угла Q\ близко исходному значению угла прямого восхождения
doc. Диапазон допустимых наклонений / возвратных траекторий КА определяется
условиями ^Фо и *^|дс.д|, причем |6с.д|<я/2.
При наклонении г>фя на каждой из возвратных траекторий (или с долготой Qi,
или с долготой Q2) физически возможны две дальности Ln — меньшая дальность L\ и
большая дальность L2, реализация любой из которых зависит от фактического
времени т* прохождения перицентра подлетной траектории. Поэтому в дальнейшем
различаются четыре возможных типа траекторий движения КА в сфере действия, как
комбинации Qi, £22 и L\, L2, на каждой из которых принципиально возможна прямая посадка
СА по условию Lmin^Ln^Lmax. При наклонении * = ф3 имеются две траектории —
при долготе Q\ и при долготе Q2, реализующие только по одной дальности Ln.
Скорость входа, при которой на траектории спуска достигается значение
продольной дальности Lmin^3000 км, на рис. 17. 13 обозначена как V\\ при скорости входа V2
достигается максимальное значение продольной дальности Lmax = 15 000 км. На
рис. 17. 13 приведены зависимости скоростей V\ и V2 от угла склонения на
бесконечности боо. Рядом с обозначением скорости" (Vi или V2) приводятся соответствующий тип
траектории и величины наклонений i в градусах. Направление односторонней
штриховки на кривых Vi = f(6oo) и V2 = ty(doo) указывает область отсутствия или траекторий
некоторого типа, или соответствующих наклонений рассматриваемого типа траектории.
Как следует из рис. 17. 13, в области положительных углов склонения 6™
возможности осуществления прямой посадки СА весьма ограничены. Лишь в узком диапазоне
совместных значений Vnx и до* возможно существование траекторий возвращения,
обеспечивающих прямую посадку. В основном реализуется один тип возвратных
траекторий: или-(^2, ^i) при скорости V2, или (Q\, L2) при скорости V\. Только в небольших
заштрихованных областях Л и В возможны два типа траекторий, однако диапазон
допустимых наклонений i является ограниченным, особенно в области В. В области А
траектория типа (Q2, ^i) при скорости V2 реализуема для любых допустимых
наклонений /, т. е. ф ^/^Ся/2. Это означает, что имеется некоторый диапазон скоростей VBx,
в котором для обеспечения любой требуемой продольной дальности согласно условию
£min^£n^£max всегда можно отыскать соответствующее допустимое значение
наклонения i.
В области отрицательных углов склонения 6Ж имеется, как минимум, одна
траектория движения, реализующая прямую посадку СА. Именно в заштрихованной
области С существует траектория движения единственного типа. С другой стороны, в
заштрихованной области D возможны все четыре типа траекторий движения КА в сфере
действия, каждая из которых может обеспечить прямую посадку. При этом три
возвратные траектории реализуемы при любом допустимом значении наклонения L
Области, отличные от С и D, характеризуются различным числом рассматриваемых
типов возвратных траекторий, реализующих прямую посадку СА, каждая из которых
обладает соответствующим диапазоном допустимых наклонений.
В соответствии с зависимостями Vi = f(doo) и V2=ty(6™), приведенными на
рис. 17. 13, можно или оценить траекторию возвращения с точки зрения обеспечения
прямой посадки КА в заданный район, или подобрать приемлемую траекторию
движения КА в сфере Действия с требуемым диапазоном наклонений L
524


Траекториями, образующими границу области существования траекторий прямой
посадки при положительных углах 6«>, являются (см. рис. 17. 13) полярная (i = n/2)
траектория (й2, L\) при скорости V2, реализующая дальность Lmax, и полярная
траектория (Qu L2) при скорости Vi, реализующая дальность Lmin. Как следует из
-90 -70 -50 -30 -10 0 10 30 50 70 ^,град
Рис. 17. 13. К выбору способа посадки КА, траектория которого
задается параметрами Vo* и 6»(Lmin = 3000 km; Lmax=16 000 км)
рис. 17. 14, увеличение максимальной Lmax и уменьшение минимальной Lmin
дальностей прямого спуска приводят к некоторому расширению области существования
траекторий возвращения, обеспечивающих прямую посадку СА. Однако принципиальных
изменений в смысле абсолютного расширения области существования траекторий прямой
посадки в диапазоне углов склонения 6оо>0 не происходит, не считая, естественно,
случая, когда ограничение по Lmax устанавливается в пределах одного витка.
Таким образом, при разумных значениях граничных продольных дальностей Lmin
и Lmax существуют некоторые неблагоприятные сочетания параметров КА на
бесконечности Voo и 6с», эквивалентных параметрам (Vbx, 6<«) и определяющих траекторию
Voo , КМ/С VBX , К М/С
I I I : I ! I I I I
-90 -70 -50 -30 -10 0 10 30 50 70 ft*,,г/га*
Рис. 17. 14. Влияние граничных максимальной Lmax и минимальной Lmin
дальностей прямого спуска на область допустимых траекторий
возвращения КА при наклонении i = 90°
возвращения КА к Земле, при которых осуществление прямой посадки в заданный
район становится невозможным. Необходимым условием существования траекторий
возвращения, реализующих прямую посадку СА в заданный район, является требование
неположительности исходного угла склонения на бесконечности боо^О.
525


17.7.2. Коридор входа
Различают несколько характерных типов коридора входа.
Подлетный коридор входа определяется точностью работы систем навигации и
коррекции корабля на подлетном участке траектории и характеризует ошибки входа СА
в плотные слои атмосферы. Знание подлетного коридора позволяет сформулировать
требования к основным проектно-баллистическим характеристикам СА. На основе
имеющихся данных можно считать, что до скоростей входа VBX~20 км/с подлетный
коридор по высотам условного перицентра будет составлять величину порядка
±6-*-±12 км [4, 12, 27].
Для каждого конкретного аппарата, имеющего определенные аэродинамические
характеристики, можно определить
максимальный диапазон высот условного
перицентра, при котором выполняются
все условия осуществления безопасного
торможения СА.
Коридор входа, определенный при
идеальной работе систем управления и
отсутствии внешних возмущений,
действующих на СА в полете, будем
называть предельным. Рабочий
(эквивалентный) коридор входа составляет часть
предельного коридора. При движении
в рабочем коридоре выполняются
поставленные условия и ограничения
с учетом всех возмущений и качества
работы реальной системы управления.
Для обеспечения надежной посадки СА
предельный коридор входа должен
превышать подлетный по крайней мере на
величину, эквивалентную атмосферным
возмущениям и ошибкам, возникающим
при работе реальной системы
управления.
Для прикидочных и сравнительных
оценок целесообразно рассмотреть
«теоретический» коридор входа. Верхняя
1раница этого коридора определяется
при полете с наименьшим
отрицательным значением качества (—/(max), a
нижняя граница — при полете с
максимальным положительным значением
качества ( + #тах). Однако ПрИ ТЭКОМ
определении границ коридора входа
невозможно одновременно выполнить два обязательных условия: обеспечить захват СА
атмосферой и не превысить допустимый уровень перегрузок. Это объясняется
отсутствием необходимого запаса управления. Для СА с малым значением располагаемого
качества /СраСп и при скоростях входа, близких к параболической, «теоретический»
коридор совпадает с предельным. На рис. 17. 15—17. 17 для скоростей входа 13; 15 и
17 км/с приведены указанные коридоры входа в зависимости от располагаемого
качества для СА с нагрузкой на лобовую поверхность 5000 Н/м2 и управляемых
эффективным качеством.
Как видно из рис. 17. 15—17. 17, величина рабочего коридора, во-первых,
существенно зависит от допустимой перегрузки и, во-вторых, резко уменьшается с
увеличением скорости входа.
Знание потребного рабочего коридора входа позволяет конкретизировать
требования к основным проектно-баллистическим параметрам спускаемых аппаратов.
расп
Рис. 17. 15. Зависимость величины коридора
входа от располагаемого качества /Срасп:
/—реализуемая верхняя граница; 2—граница при
идеальной работе СУС (предельная верхняя
граница); 3—теоретическая граница
17.7.3. Перегрузочный режим
Режим снижения КА с человеком на борту в большой степени зависит от
значения максимально допустимой перегрузки. Уровень переносимости перегрузок является
одним из важнейших динамических параметров при полетах на космических кораблях.
Реакция человека на воздействие перегрузок определяется различными факторами,
среди которых существенными являются время действия, темп нарастания и
направление действия перегрузки, а также состояние организма космонавта, зависящее от
многих условий внешней и внутренней среды.
На рис. 17. 18 приведены характерные зависимости переносимых человеческим
организмом перегрузок [7, 13], показаны номинальный и предельный уровни
переносимости перегрузок.
Следует отметить, что все известные данные получены при исследовании человека
в земных условиях. После длительного пребывания человека в космосе современные
526


-*ьх,град
Рис. 17. 16. Зависимость величины коридора Рис. 17. 17. Зависимость величины кори-
входа от располагаемого качества /Срасп*.
/—реализуемая верхняя граница; 2— граница при
идеальной работе СУС (предельная верхняя
граница); 3—теоретическая граница
Д V, К м/с
дора входа от располагаемого
качества /Срасп:
/—реализуемая верхняя граница; 2— граница
при идеальной работе СУС (предельная
верхняя граница); 3—теоретическая граница
200 t,C
Рис. 17. 18. Зависимости гашения скорости
AV при полете КА с постоянной
перегрузкой Яшах и уровней допустимых перегрузок
от времени /:
/—гашение скорости AV при полете с постоянной
перегрузкой, соответствующей номинальному
уровню переносимости ее; 2—гашение скорости AV
при полете с постоянной перегрузкой,
соответствующей предельному уровню переносимости ее:
3—номинальный уровень переносимости
перегрузок; 4—предельный уровень переносимости
перегрузок
527


представления о переносимости перегрузок могут измениться, что повлияет на результаты
исследования проблемы спуска КА. Поэтому задача об определении переносимости
перегрузок человеческим организмом с учетом фактора длительного пребывания в
космосе является в настоящее время важной и актуальной.
17.7.4. Способ управления
Наиболее простым и надежным способом управления СА при движении в
атмосфере является управление путем изменения угла крена при постоянном значении упа
атаки (управление «эффективным» качеством).
АНи>км
32
Ш
16
8
кх=
i i
15 км,
А
/V
/с
у^
\птах'доп 1°
6х=0,0002м2/Н
J. 77 J
_Uj
i <
-/Vbx = 30km/c I
0,8
1fi
24 К
расп
Рис. 17. 19. Зависимость ширины коридора входа ЛЯП от
располагаемого качества /Срасп
С увеличением скорости входа для получения необходимого рабочего коридора
требуется увеличивать располагаемое качество. Но как видно из рис. 17. 19, увеличение
располагаемого качества до величины более единицы практически не дает приращения
коридора входа. Поэтому при скоростях входа более 17 км/с управление с
использованием «эффективного» качества при подлетных коридорах входа порядка ±6ч-±8км
практически невозможно.
17.7.5. Методы управления
Обеспечение точной и безопасной посадки С А в большой степени определяется
возможностями управления аппаратом в пределах коридора входа. При решении
указанной задачи целесообразно применять метод расчленения траектории снижения на
некоторые характерные участки.
Первым участком является участок от точки входа СА в атмосферу яо точки
достижения максимально допустимой перегрузки. На втором участке выдерживаются
заданные физические ограничения, в частности, ограничение по суммарной перегрузке
и высоте полета. На последнем участке обеспечивается выход на заданные условия
по высоте, скорости, дальности полета и т. д. Такой путь позволяет тщательно и
относительно просто исследовать всю траекторию снижения СА.
Первый участок непродолжителен по времени и мало эффективен в смысле
гашения скорости. Скорость движения СА на этом участке падает на 0,6—3 км/с, причем
меньшие цифры относятся к большим скоростям входа.
Одной из основных задач, которые должны быть решены системой управления
спуском на этом участке, является уточнение траектории снижения и получение
достаточной информации для обеспечения условий как по захвату СА атмосферой, так и по
перегрузочному режиму. Малая продолжительность полета СА на первом участке и
исключительная инерционность СА влияют на выбор программы управления —
практически целесообразным на этом участке является полет с постоянным углом крена.
С момента достижения аппаратом максимальной перегрузки начинается второй
участок, который является основным в отношении гашения скорости. Среди возможных
номинальных траекторий на втором участке наиболее рациональными можно считать
изоперегрузочные траектории. Режим полета СА с постоянной перегрузкой
обеспечивает минимальное время гашения избытка скорости.
Торможение СА на втором участке рационально организовать так, чтобы к
моменту его окончания величина и направление вектора скорости, а также высота полета
приблизительно соответствовали тем величинам, которые получаются в момент первого
максимума перегрузок при входе СА в атмосферу с параболической скоростью.
В таком случае третий участок по характеру решаемых задач и по условиям
снижения будет подобен участку траектории после прохождения максимума перегрузки
при входе СА со 2-й космической скоростью. В качестве номинальных программ управ-
528


ления на третьем участке могут быть использованы программы полета СА с постоянным
углом^крена. {J 20_{? 22 построеНы границы коридора входа при использовании этих
тт^^^^^^^ показывают зависимость потребного эффективного
качестве на первом участке\/Ф% от угла входа при реализации ^^^^^ '
зок. При входе СА с углом Эвх, соответствующим точке а* (*=1, 2, 3) на первом
эфф/
-0JB
**>
Г "е
^ 1
Cj 1
т
ь 1
fc/ 1
я !
(птах)
10
тахУтпьп
Рис. 17.20. Зависимости качества КЭфф1 от угла входа Эвх и от величины
(«max)min при полете на первом участке траектории снижения
участке, необходим полет с КЭфф1 = 0,9; 0,5; 0,3 соответственно с последующим
переходом на полностью отрицательное качество —/(раСп; при входе СА с Эвх,
соответствующим любой точке линии аф, необходим полет с определенным значением /Сэфф с
последующим переходом в точке достижения максимума перегрузки на полет с —/Срасп
и т. д. Пунктирные кривые по смыслу аналогичны кривой аф, но при этом реализуется
соответствующая максимальная перегрузка.
Кривые в правой стороне рисунков показывают минимальные реализуемые
значения максимальных перегрузок.
На рис. 17.23 для СА, входящего в атмосферу Земли со скоростью 15 км/с,
приведены взаимозависимости скорости V Лтяу и высоты достижения максимальной
перегрузки НПп
Область фазовых координат (Vп
Нпт^
построена при значениях
располагаемого качества /Срасп^0,9 и при максимальной перегрузке /гтах^Ю.
17.7.6. Определение минимально необходимого располагаемого качества
Определим минимально необходимое значение располагаемого качества
(/(pacn)min для космических аппаратов, входящих в атмосферу Земли с
гиперболическими скоростями.
Зависимость величины ДЭВх при различных скоростях входа VBX от
располагаемого качества /Срасп приведена на рис. 17.24. Перегрузка аппарата при движении по
нижней границе коридора входа принята равной 6 и соответствует (/гтах)доп,
рассчитанной на основании номинального уровня переносимости перегрузок.
Пересчет величины коридора ДЭ на Д#п производится с учетом того, что:
при Увх = 13 км/с величина ДЭ=Г соответствует Д#п~0,29 км;
при Увх=15 км/с величина ДЭ=Г соответствует Д#п~0,256 км;
при Увх = 17 км/с величина А0=Г соответствует Д#п~ 0,217 км.
Задаваясь величиной эквивалентного коридора входа Д#,^\ можно определить
(^pacn)min. Зависимость величины (/(расп)тт от скорости входа VBX при различных
Д#^ приведена на рис. 17.25. Величина эквивалентного коридора, при движении в ко-
529


к
эфф/
0.9 \
0,6
0,3
Уьх—75 км/с
-03
-0,6
Реализуемая
верхняя
граница
\//////////л
У////////Л
ЭффТ
ш
идеальная
хняя граница
ill'
J U_L
-6ЕХ,град
10
max/mui
(^max)
Рис. 17. 21. Зависимость качества /СЭфф1 от угла входа 0Вх и от
величины (/tmax)min при полете на первом участке траектории
снижения
/Лта-Г"в
/Лта-Г*10
К,
эфф;
- Реализуемая
верхняя граница
Идеальная
| верхняя граница
6 -вЬХ7град
--W
0,5
0
-0,5
о» |
ц
CTJJ
N У^Пкм/с
'Ч
/
?-1А
J0 (п max)
тах'тт
Рис. 17.22. Зависимость качества Кэфф\ от угла входа 0вх и от величины
(ttmax)min при полете на первом участке траектории снижения
530


Vbx=15km/c
■0,5
65 Hn км
"max'
Рис. 17.23. Область допустимых фазовых
координат:
/—геометрическое место параметров V и Н реальных
траекторий с Л5фф = const на первом участке в точке
максимальной перегрузки; 2—линии одинаковой
максимальной перегрузки при Красп=0,9; 3—огибающая
семейства линий одинаковой максимальной перегрузки для
различных #раСп ; 4—граничная линия — линия
минимальной перегрзуки; 5—предельная верхняя граница
коридора входа
АЪъх,град
1\
(А7тах)доп— °
(/7тах)доп
(берется, по номинальному уровню
переносимости перегрузок)
0,3
0,6
К
0,5
расп
Рис. 17.24. Зависимость ширины коридора входа
Абвх от располагаемого качества /Срасп
531


тором обеспечиваются все поставленные условия, равна АЯ„ = 16-^25,5 км. Первая
цифра указанного диапазона соответствует величине подлетного коридора, равного
12 км, а вторая — величине 24 км.
В табл. 17.2 указаны значения (Красп)тт-
Таблица 17.2
VBX, км/с
13
14
15
16
17 |
ЛЯ*, км
20
15
20
15
20
15
20
15
20
15
Располагаемое качество (ATpacn)min
(Ятах)доп
0,18
0,12
0,33
0,22
0,57
0,35
0,92
0,52
0,78 J
«max = 6
0.4
0,28
0,65
0.4
1,0
0,56
0,8
—
«max = Ю
0,18
0,12
0,25
0,17
0,33
0,21
0,52
0,33
0,85
0,45
Значения (/СРасп)тт, приведенные в таблице, получены без учета точности
определения аэродинамических характеристик и возможного большого уноса
теплозащитного покрытия в процессе снижения
* к \ . СЛ, поэтому при расчете указанные
(^-расп/тьп значения (Арасп)тт следует увел и -
/д# =20км I чивать приблизительно на 20%.
' п ! Прочерки в таблице указывают
на невозможность использовать
аппараты, управляемые путем изменения
угла крена, при указанных условиях.
Если допустить возможность
кратковременного действия перегрузок
большей величины с последующим их
снижением для осуществления полета по
изоперегрузочной траектории, то, как
видно из таблицы, требуемое
значение (A'pacn)min будет значительно
меньше.
Таким образом, до скоростей
входа 17 км/с с баллистической точки
зрения вполне возможно
использовать аппараты, управляемые с
помощью изменения угла крена.
Использование подобных СА возможно и
при больших скоростях входа, но при
этом необходимо уменьшать в первую
очередь подлетный коридор
(повышать точность навигационных
систем).
Рис. 17.25. Зависимость величины
необходимого качества (/CPacn)min от скорости
входа Vux
17.7.7. Вопросы управления КА при гиперболических скоростях
Для гиперболических скоростей входа при использовании номинальных
траекторий с /C = const, даже при движении по нижней границе коридора, скорость на выходе
из плотных слоев атмосферы после первого погружения может значительно превышать
вторую космическую, т. е. в данном случае при /C=const и принятых ограничениях по
максимальной перегрузке невозможно выполнить требуемые конечные условия.
Определим скорости входа, при которых существует принципиальная возможность
использовать номинальные траектории с /(=const.
Рассматриваются траектории спуска, ограниченные величиной максимальной
перегрузки, равной 10. Скорости выхода КА из атмосферы после первого прохождения
532


Таблица 17.3
'Срасп
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1,0
Предельная скорость
при прямой посадке на Землю
и ^вых = 7,8 км/с
12
11,8
11,2
10,8
10,5
—
входа
при
^вх. пред. КМ/С
выходе на орбиту ИСЗ
И ^вых ~ 11 КМ/С
14,5
14,2
13,9
13,6
13,3
11,9
плотных слоев зависят от величины располагаемого качества, причем Квых
увеличивается с увеличением значения качества. Для различных значений /<"раСп предельные
СКОрОСТИ ВХОДа Квх.пред, ДО КОТО- ^п?КМ
рых еще можно использовать gQ
программы с К=const, имеют
значения, приведенные в табл. 17.3.
Данные табл. 17.3 получены на
основании рис. 17. 26. Пунктирные
кривые на этом рисунке
обозначают номинальные траектории
с постоянным качеством (К= ™
= const) при полете по нижней
границе коридора входа.
Различаются эти кривые по скорости
выхода из плотных слоев
атмосферы.
Как следует из табл. 17.3,
при посадке КА на Землю с
Арасп = 0,3 построение системы
управления спуском (СУС) путем
использования номинальных
траекторий с постоянным качеством
возможно только при скоростях
входа до 12 км/с. В этом случае 20
нужно полностью использовать
предельный коридор входа.
Как следует из рис. 17.26,
ПрИ СКОрОСТЯХ, боЛЬШИХ Увх.пред,
и движении по траектории с К=
= const наблюдается резкое
сужение коридора, которое происходит
за счет сдвига нижней границы
ВСЛеДСТВИе ТОГО, ЧТО ПрИ Квх.Пред
нельзя использовать весь
имеющийся ДИапаЗОН /Срасп (ОТ /(щах
ДО /Cmin).
Таким образом, при
создании СУС для СА, входящих
в атмосферу Земли с гиперболическими скоростями, использовать номинальные
траектории с постоянным значением качества (/(= const) невозможно, если, конечно,
выдерживается допустимый перегрузочный режим. Однако это не исключает применения
подобных траекторий на некоторых участках спуска.
19 23
VRX > км/с
Рис. 17. 26. Зависимость величины коридора входа
от скорости вяода VBx
17.7.8. Метод построения СУС для аппарата гиперболического входа
Главная особенность рассматриваемого метода построения СУС [2] заключается
в разделении основных задач управления на каждом характерном участке снижения
СА с обязательным выполнением только определенных требований на каждом из них.
Для реализации данной СУС необходимо наличие на борту СА
быстродействующей цифровой вычислительной машины (бортовой ЦВМ), позволяющей определять
вектор состояния в фазовом пространстве и прогнозировать движение СА. Исходной
информацией для решения системы уравнений движения на борту СА являются данные
о перегрузках, поступающие с трех взаимно перпендикулярных акселерометров, установ-
533


ленных на гиростабилизированной платформе. Оси чувствительности этих
акселерометров совпадают с осями некоторой инерциальной системы координат Oh\h2hz.
Уравнения движения в векторной форме имеют вид
гз
г + а,
где а — ускорение от действия аэродинамических сил:
а =
£ах homQct£0
•V + -
к
yv\ + v\
- [V (r2 X V) cos 7 + V X (r2 X V) sin 7] I
Qx ном—номинальное значение баллистического параметра;
qCt — плотность стандартной атмосферы;
У\, У г — проекции вектора скорости V на оси координат Oh\ и 0/г3;
г2 — радиус-вектор г в проекции на ось Oh2.
Начальные данные для уравнений движения получают или автономно на борту
СА, или засылают с Земли. С помощью наземных средств можно определить место-
Рис. 17.27. Типичная зависимость высоты И полета КА и перегрузки
пЕ от времени t движения по траектории спуска
положение СА по высоте условного перицентра с точностью ±(l-f-3) км и скорость
входа с точностью до ±(1-т-2) м/с. При последующем снижении СА в атмосфере в
течение некоторого времени Aty можно путем обработки на бортовой ЦВМ поступающей
с акселерометров информации уточнить начальные данные ДЯП и VBx. При этом в
течение времени А^у СА летит с постоянным значением качества, которое выбирается
с учетом ожидаемых начальных условий.
Поэтому на начальном участке спуска СУС прежде всего должна решать задачу
обеспечения «захвата» (с учетом перегрузочного режима) и только .после гашения
скорости до 9—10 км/с можно переходить к выполнению конечной цели — обеспечению
посадки СА в заданный район, выведению аппарата на орбиту ИСЗ и т. д.
С учетом переносимости человеческим организмом перегрузок можно определить
некоторую максимально допустимую величину (/гтах)доп. На основе баллистического
анализа движения СА определенной формы с учетом условия обеспечения «захвата»
может быть определена минимально допустимая величина максимальной перегрузки
(Лтах)тт, в общем случае зависящая от скорости входа. Условиям задачи
удовлетворяет любая траектория СА, при движении по которой с постоянным значением
качества достигается максимальная перегрузка
v'^max)min "^ ^max ^ (^max)-(oir
Такая траектория при входе СА с гиперболической скоростью может быть только
рикошетирующей. При этом на выходе аппарата из плотных слоев атмосферы скорость
Увых существенно превышает круговую. Для снятия избытка скорости необходимо
после прохождения максимума перегрузок распрямить траекторию для удержания СА
в атм.осфере.
В результате выявляются три характерные участка траектории снижения
(рис. 17.27): первый участок — от точки входа в плотные слои атмосферы до точки
достижения максимума перегрузок; второй участок — от точки максимума перегрузок
до границы надежного «захвата» СА атмосферой (эта граница легко определяется
при баллистическом анализе; она соответствует скоростям полета ~ 9—10 км/с); третий
участок — от границы надежного «захвата» до области, в которой выполняются
конечные условия.
534


На каждом из этих участков СУС решает наиболее ответственные задачи. Так, на
первом участке снижения СУС должна выполнить единственную задачу — вывести СА
в область максимальных перегрузок
(^max)mln < ^max ^ (^тах)доп»
На втором участке СУС решает задачу удержания СА в атмосфере и только на третьем
участке обеспечивает выполнение требуемых конечных условий.
При использовании указанного метода создаются наиболее благоприятные условия
для работы бортовой ЦВМ на наиболее трудных и наименее изученных участках
полета. Действительно, на преодоление первого участка требуется несколько десятков
секунд (меньше 100 с), поэтому текущая задача должна решаться в течение этого
небольшого интервала времени (для сравнения: время полного спуска составляет
примерно 1000 с).
На втором участке расчет вперед производится только за время, равное 10—20 с.
Третий участок снижения при «протяженных» траекториях и траекториях вывода
на орбиту ИСЗ по характеру решаемых задач и исходным предпосылкам подобен
достаточно хорошо изученному участку траектории после прохождения максимума
перегрузок при возвращении со второй космической скоростью.
Несколько другой подход к решению задачи применяется при полете по «коротким»
траекториям («затягивание» второго участка, определенные условия выбора /С).
Изложенный метод может быть использован для построения СУС аппаратов,
входящих в атмосферу Земли с любыми гиперболическими скоростями.
17.7.9. Особенности работы системы управления спуском
При построении алгоритма управления требуется решать три системы уравнений [3].
Первая система описывает реальное движение СА. С ее помощью получают ускорения
от аэродинамических сил. При этом используется угол крена y(t), который формируется
в результате работы СУС с учетом динамики движения СА около центра масс.
Полученные при решении первой системы значения перегрузок используются во второй
системе, которая предназначена для определения текущего фазового вектора СА. При этом
также учитываются ошибки в начальных данных и погрешности, возникающие при
бортовых вычислениях и исполнении.
Значение угла крена, удовлетворяющее текущим условиям (например, вывод СА
в область допустимых максимальных перегрузок), определяется при решении третьей
системы. При этом используется «прогноз» текущего значения качества и величины ро*х.
Осуществляется это следующим образом. В некоторый момент ti_\ находятся текущее
(по данным акселерометров) и расчетное (из решения третьей системы) значения
суммарной перегрузки. Считается, 4jo их отношение | = /гтек//1расч отличается от единицы
только в результате возникновения ошибки при определении плотности атмосферы
и ошибки в значении ох ном.
При решении третьей системы используется значение
axQ ==■• ах homQct£«
Прогнозируемое качество определяется по величине отношения перегрузок
Кп = Пу/пх, которое рассчитывается в момент каждой коррекции. Полученное значение
качества /Сп используется при решении третьей системы.
В качестве примера рассматривается работа системы управления спуском
аппарата, управляемого по углу крена, входящего в атмосферу Земли со скоростью
15 км/с и обладающего величиной располагаемого качества, равной 0,5 (о* — 0,0002 м2/Н).
Первый участок
На рис. 17.28 для указанного примера приведена зависимость требуемых
значений номинального качества на первом участке спуска от высоты условного перицентра
при различных режимах снижения СА. Кривая аЬ соответствует режимам спуска при
минимально возможных максимальных перегрузках (nmax)min, достигаемых СА в конце
первого участка снижения. Величина перегрузок (ttmax)min указывается на рис. 17.28.
Как следует из рис. 17.28, перегрузка (/tmax)min слабо зависит от высоты условного
перицентра, поэтому с некоторым запасом можно принять («max)mm = 5,1. Следует
отметить, что при достижении значения перегрузки (/tmax)min в конце первого участка
требуется мгновенный переход на минимальное значение качества (при -у=180°) для
обеспечения дальнейшего полета (в частности, по изоперегрузочной траектории).
Движение аппарата левее кривой ab невозможно при использовании
рассматриваемого номинального управления, так как СА не будет захвачен атмосферой.
Кривая af ограничивает область максимально возможных перегрузок, которые
могут быть достигнуты СА, т. е. при полете ниже кривой af и номинальном управлении
максимальные перегрузки достигают значений, недопустимых для человеческого
организма.
Кривые dc, eg и fh отражают зависимость Ki = f(Hu), на которой обеспечивается
достижение в конце первого участка соответствующих значений перегрузок (Птах)доп.
535


Наконец, прямая bh соответствует режиму полета СА на первом участке с
максимальным значением располагаемого качества.
Итак, зона abed является номинальной рабочей зоной. Верхняя граница коридора
входа соответствует высоте условного перицентра Н^в)=70,6 км, а нижняя
(«номинальная») — высоте Я1(1н) =47 км. Величина коридора входа составляет АЯПНом=23,6 км.
Из рис. 17.28 следует: чем ниже по высоте условного перицентра (в пределах
допустимой зоны) входит СА в атмосферу, тем шире зона по Яп, в которой возможно
движение с постоянным значением качества Ki, без какой-либо коррекции на первом
участке. Действительно, в диапазоне высот Яп = 58-^-47 км для обеспечения условий
в конце первого участка С А должен двигаться с К\ = 0,5, которому соответствует
велики лоп=52'5 КМ и Д°ПУСТИМ разброс АЯП = ±5,5 км. При изменении К\ на величину
±0,08 соответствующий диапазон значений Яп изменяется на ±3 км. Предполагается,
что непосредственно перед входом в плотные слои атмосферы высота перицентра
подлетной траектории известна с точностью до ±3 км (линия axdx на рис. 17.28). Тогда
70 65 60 55 50 45 40Нп,км 3 ^ (nmax)min
Рис. 17.28. Зависимость качества К\ от высоты Яп условного перицентра
при полете на первом участке траектории снижения (до максимальной
перегрузки: (/tmax)min — минимально возможная перегрузка; (Ятах)доп —
максимально допустимая перегрузка
снижение СА в зоне a\bcd\ отвечает наиболее благоприятным условиям для
построения СУС, так как в этом случае на первом участке не требуется специального закона
управления. Указанная зона по высотам условного перицентра соответствует коридору
входа ДЯП = 18 км (от 46 до 64 км).
Как следует из рис. 17.28, запас по высоте условного перицентра составляет
6,6 км. Вход на меньших высотах (Яп<47 км) приводит к незначительному увеличению
максимальных перегрузок. Так, при Яп = 42 км величина /ггаах~Ю.
В результате можно определить величину прицельной высоты перицентра
траектории возвращения. Для СА с /СРасп=0,5 получим Я"риц = 56 км при значениях /Ci =0,3
И /tmax = 6,6 (Квх=1б КМ/с).
Линия pq на рис. 17.28 отражает зависимость необходимого номинального
значения качества К\ на первом участке от конкретной величины условного перицентра Яп.
В этом случае обеспечивается равный запас по управлению как на меньших, так и па
больших высотах условного перицентра.
При Яп>60,5 км (точка q) начальное значение К\ равно —0,5. При последующем
снижении К\ должно корректироваться в соответствии с текущими и прогнозируемыми
условиями спуска.
Итак, на первом участке движения СУС должна обеспечить выведение СА в зону
действия максимальных перегрузок /гтах = 6,6 (для рассматриваемого примера), что
соответствует среднему уровню перегрузок из всех максимально и минимально
возможных. При этом допустим разброс указанного значения /гтах на величину порядка
A/i=±l,6, Т. е. (/tmax)min</tmax< (/г^ах )доп-
Перед входом в плотные слои атмосферы СА разворачивается на угол крена у,
соответствующий требуемому значению качества, в зависимости от величины Яп. С этим
значением угла крена С А снижается до момента времени ty. Можно считать, что /N =
= 30 с. С момента t = ty при необходимости проводятся коррекции качества (угла крена)
с частотой Д/к, необходимой для выведения СА в область заданных максимальных
перегрузок /гтах^6,6.
Поиск абсолютно точного максимума перегрузки Агтах не обязателен: на первом
участке спуска перегрузка согласно условию должна монотонно возрастать до своего
максимума. При выполнении условия /гг</гг_1 решение третьей системы (см.
предыдущий раздел) прекращается, а значение /гг_1 принимается за максимальное. Чтобы избе-
536


жать больших ошибок при определении птах, Целесообразно использовать переменный
шаг интегрирования третьей системы; до момента /г<3 шаг интегрирования А^ш = 3 с,
а при /г^З величина А^ш=1 с.
Для решения краевой задачи можно применять любые, даже самые простые
способы. Действительно, при быстродействии бортовой машины порядка 10 000 простых
операций в секунду один просчет третьей системы от tY до /гтах (при суммарном
времени не более 100 с) занимает менее 0,6 с, т. е. за время A^xi = 6 с число итераций
практически неограничено.
Второй участок
После достижения максимума перегрузок, определяемого указанным выше
способом, дается сигнал на увеличение текущего угла крена (на уменьшение эффективного
качества) для сохранения достигнутой перегрузки птах и для осуществления перехода
на полет по изоперегрузочной траектории. Решение краевой задачи проводится за
некоторый интервал времени, т. е. в момент ti_\ ищется значение угла крена утреб
(требуемое для момента ti), которое обеспечит выход в область пзая в момент ^ч-i—'^г + А^янх
(х<10, А/Кц = 2 с).
Колебания величины перегрузки в пределах от (птах)тт до (/гтах)доп на данном
участке не мешают выполнению основной задачи — гашению избытка скорости. Поэтому
при решении краевой задачи выполняется единственное условие обеспечения выхода СА
в область с А/гзад~±1.
При текущей скорости 1/^10,5 км/с на втором участке начинается (помимо
основной задачи) решение задачи прогноза при величине /Сэффш, что необходимо для
определения момента достижения заданных конечных условий.
Третий участок
Порядок проведения коррекций, прогнозирование плотности и качества на
указанном участке при полете по «протяженным» траекториям и по траекториям, на которых
возможен выход на орбиту ИСЗ, подобен управлению на участке рикошета при входе
СА с параболической скоростью. В этом случае /Сэффш~0, что обеспечивает равный
запас по качеству. Для «коротких» траекторий условия выбора /Сэффш такие же, как
и для участка второго погружения при входе СА с параболической скоростью.
Приведенный метод построения системы управления спуском достаточно
универсален и гибок и является работоспособным в большом диапазоне изменения VBx и /Срасп
Данный метод позволяет при использовании аэродинамического способа торможения
с большой точностью обеспечить достижение заданной точки посадки, а также
осуществить перевод СА на орбиту ИСЗ практически в границах всего предельного коридора
входа.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XVII
1. Авдуевский В. С, МаровМ. Я., Рождественский М. К. Результаты
измерений параметров атмосферы Венеры межпланетной станцией «Венера-4». —
«Космические исследования», т. VII, вып. 2, 1969.
2. Б о ч а р о в Л. А., Иванов Н. М., Голуб И. Б. Алгоритм управления
спуском аппаратов, входящих в атмосферу Земли с гиперболическими скоростями. —
«Космические исследования», т. IX, вып. 5, 1971.
3. Бухаокина А. П., Голубев Ю. Ф., Охоцимский Д. Е. Управление
пространственным движением при входе космического аппарата в атмосферу. —
«Космические исследования», т. VI, вып. I, 1968
4. Воробьев Л. М. Навигация космических кораблей. М., Воениздат, 1964.
5. Дубошин Г. Н, Небесная механика. М., Физматгиз, 1963.
6. Ишлинский А. Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами.
М., «Наука», 1968.
7. Космическая биология и медицина. Под ред. проф. В. И. Яздовского. М.,
«Наука», 1966.
8. Лох У. Динамика и термодинамика спуска в атмосферах планет. М..
«Мир», 1966.
9. Мороз В. И. Физика планет. М., «Наука», 1967.
10. Новое о Марсе и Венере планет. М., «Мир», 1968.
11. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Траектории
летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1969.
12. Охоцимский Д. Е., Бухаркина А. П., Голубев Ю. Ф. Управление
движением при входе в атмосферу. — «Космические исследования», т. VII, вып. 2, 1969.
13. Проблемы космической биологии, т. VI, Под ред. акад. Н. М. Сисакяна. М.,
«Наука», 1967.
14. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления. М., Физматгиз, 1960.
15. Сихарулидзе Ю. Г., Бутузова М. А. Модель вариаций плотности
атмосферы Земли на высотах 30—80 км. — «Космические исследования», т. VIII,
вып. 4, 1970.
537


16. Смольяков Э. Р. Оптимизация коридора входа в атмосферу. —
«Космические исследования», т. VI, вып. 1, 1968.
17. Справочник по геофизике. М., «Наука», 1967.
18. Тихо нравов М. К. и др. Основы теории полета и элементы
проектирования искусственных спутников Земли. М, «Машиностроение», 1967.
19. Тейфель В. Г. Атмосфера планеты Юпитер. М., «Наука», 1969.
20. Ш а р о н о в В. В. Планета Венера. М., «Наука», 1965
21. Щи го л ев Б. М., Математическая обработка наблюдений, М., Физматгиз, 1962.
22. Э л ь я с б е р г П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли.
М., «Наука», 1965.
23. Я р о ш ев с к и й В. А. и др. Маневрирование космических аппаратов. М.,
«Машиностроение», 1970.
24. Я р о ш е в с к и й В. А. и др. Управление космическим аппаратом при входе
в атмосферу. — «Космические исследования», т. VII, вып. 2, 1969.
25. Handbook of the physical properties of the planet Mars, New-York, 1968.
26. Mankovit D. J., The analysis and configuration of a control system for a
Mars propulsive landers, Pasadena, Calif., 1967.
27. R e p i с Е. М., В о о b a r M. G., С h a p e 1 F. G., Aerobraking as a potential
planetary capture mode, J. «Spacecraft and Rocket», No. 8, 1968.
28. W i n g г о w e R., С о a t e R. Piloted simulation studies of re-entry quidance
and control at parabolic velocities, JAS Paper, No. 61—195, 1961.


ГЛАВА XVIII
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА
НА ПОВЕРХНОСТИ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — коэффициент температуропроводности.
с — коэффициент теплоемкости.
сР — коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении.
Сг — массовая концентрация £-го компонента.
Je — эффективная энтальпия газа.
Jw —энтальпия газа на поверхности тела.
L — характерный линейный размер.
М — молекулярная масса.
Mv — молекулярная масса вдуваемых продуктов разрушения.
р —давление.
Qw, <7p — конвективный и радиационный тепловой поток к поверхности
тела.
R — радиус кривизны.
Т — температура.
Tw —температура поверхности материала.
U\ — скорость потока на внешней границе пограничного слоя.
и, v, w — компоненты вектора скорости.
w —линейная скорость разрушения материала.
X—эффективная длина пластины.
х, у, z — пространственные координаты.'
(а/ср) —коэффициент теплообмена.
(а/ср)о—коэффициент теплообмена на непроницаемой поверхности.
Y — коэффициент вдува.
е — степень черноты.
х — показатель адиабаты.
X — коэффициент теплопроводности.
\i — коэффициент вязкости.
Q — ПЛОТНОСТЬ.
При спуске в атмосфере Земли аппарат испытывает интенсивное торможение,
поэтому воздух вблизи поверхности спускаемою аппарата нагревается до высоких
температур за счет преобразования кинетической энергии движения в тепло в областях
сжатия газа и в вязких пограничных слоях. Температуры газа при этом могут значительно
превышать температуры разрушения материалов, из которых изготовлен аппарат, и для
безопасной посадки необходимо провести точный расчет теплообмена на поверхности
СА, выбрать и рассчитать тепловую защиту, обеспечивающую прочность и требуемый
тепловой режим конструкции.
Спускаемые аппараты и их отдельные элементы имеют сложную форму, поэтому
течение газа вблизи их поверхности является в общем случае пространственным с
областями ускоренного и замедленного движения, областями отрыва и областями
взаимодействия невязких и вязких потоков. На различных участках траектории в вязком
пограничном слое возникает ламинарный, турбулентный или переходный режимы
течения, существенно влияющие на теплоотдачу к аппарату. При больших скоростях входа
(8—12 км/с) происходят химические превращения, диссоциация и излучение в газе как
в основном потоке идеальной жидкости, так и в пограничном слое. При работе различ-
539


ных теплозащитных покрытий возникают также физико-химическое взаимодействие
материала поверхности с потоком в пограничном слое и поток массы от поверхности
за счет сублимации.
При практических расчетах теплообмена удобно отдельно рассматривать
конвективные и лучистые тепловые потоки, хотя в общем случае возможно их взаимное
влияние. При расчете конвективного теплообмена при ламинарном режиме течения учет
влияния большинства факторов можно произвести путем численных решений
дифференциальных уравнений пограничного слоя. Расчеты теплообмена в случае турбулентного
движения основываются на обобщении экспериментальных исследований и
использовании интегральных или дифференциальных уравнений и эмпирических зависимостей.
Ниже приводятся основные результаты и упрощенные инженерные формулы
расчета теплообмена.
18.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОГО
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЛАМИНАРНОМ И ТУРБУЛЕНТНОМ
РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЯ
Конвективные тепловые потоки у поверхности гиперзвукового спускаемого
аппарата удобно представлять при помощи видоизмененной формулы Ньютона. При этом
величина конвективных тепловых потоков qw определяется произведением обобщенного
коэффициента теплообмена а/ср на разность эффективной энтальпии газа JP и
действительной энтальпии газа у стенки Jw:
qw= (Ie — Jw). (18.1)
СР
J,Kfi>K/KZ
3 5 7 9 11 13 Т-10\3К
Рис. 18. 1. Зависимость энтальпии воздуха J от температуры Т и
давления р
На рис. 18. 1 показана зависимость энтальпии воздуха / кДж/кг, учитывающей
энергию химических преобразований в высокотемпературном газе, от давления р [Па]
и температуры Т [°К]. Величина эффективной энтальпии газа Je для лобовой части
спускаемого аппарата совпадает с величиной энтальпии торможения /оь учитывающей
кинетическую энергию потока:
и\
% = Л + — •
В общем случае эффективная энтальпия связана с параметрами основного потока
соотношением
1 + wr
^ = ^oi Г2—: (18.2)
1 -f- о)
— -^
2JX '
540


Здесь U\ — скорость на внешней границе пограничного слоя; г — коэффициент
восстановления энтальпии, равный для ламинарного пограничного слоя Рг'/г, а для
турбулентного пограничного слоя PrVa (для воздуха число Прандтля Рг можно принять
равным 0,7).
Значения величин с индексом «0» будут соответствовать условиям торможения,
с индексом «1» — условиям вне пограничного слоя, с индексом «w» — условиям
у стенки. •
Пограничный слой, образующийся вблизи поверхности аппарата, где проявляются
силы вязкости и теплопроводность, является обычно достаточно» тонким и слабо влияет
на распределение давления и других параметров течения по телу. Поэтому параметры
на внешней границе пограничного слоя могут определяться из расчетов обтекания тела
невязкой (идеальной) жидкостью [6, 11, 12, 16]. Это условие, однако, не всегда
справедливо при полете на больших высотах и в некоторых сложных случаях течения,
рассматриваемых ниже.
Использование разности энтальпии Зе—Jw в формуле (18. 1) позволяет учесть
перенос химической энергии, которая выделяется за счет рекомбинации
диссоциированных молекул при их диффузии поперек пограничного слоя к поверхности омываемого
гиперзвукового аппарата.
При относительно малых скоростях движения местные коэффициенты
теплообмена а/Ср можно определить из довольно общих критериальных зависимостей,
подтвержденных многочисленными расчетами и экспериментами. Если числа Стантона St,
Рейнольдса Rew и Прандтля Рг образовать по местным значениям параметров и по
некоторой эффективной длине
с, а'Ср р QwUlX Wpv
St = — ; Rew = ; Рг = — , (18.3)
то критериальные зависимости, характеризующие теплопередачу на изотермической
непроницаемой поверхности, имеют вид:
— для ламинарного пограничного слоя
St = ^Re-°'5Pf-°'e; (18.4)
— для турбулентного пограничного слоя
St = 0,0296 Re-°'2Pr-°'57. (18.5)
В формулах (18.3) U\ — скорость вдоль линии тока s идеальной жидкости;
X — линейный размер, называемый эффективной длиной и являющийся функцией
расстояния и распределения параметров течения вдоль линии тока от точки начала
развития пограничного слоя.
Множитель пропорциональности А в (18^4) зависит от безразмерных параметров,
характеризующих температуру поверхности Jw = Jw/Joiy геометрию поверхности,
местную скорость AU и ее градиент р, а также величину вторичных токов при
пространственных движениях. Выражения для Л и X получаются на основании аппроксимации
результатов расчетов и экспериментов в общем случае едиными зависимостями типа (18.4),
(18.5), такими же как при течении на плоской пластине. Для простейшего движения на
плоской пластине
Л =0,332; X=s.
Из соотношений (18.1) — (18.5) для обобщенного коэффициента теплообмена при
малых скоростях и малых перепадах температур получим:
.— при ламинарном пограничном слое
_а_=л/_0-е2^.у-5Рг_о,6. (186)
С р \ X )
— при турбулентном пограничном слое
— = 0,0296Q^VW'RPr-°'57^-0,2 • (18.7)
ср
В случае гиперзвуковых скоростей теплопередача существенно зависит от ряда
новых явлений, происходящих в пограничном слое. При гиперзвуковых скоростях
сильно изменяется температура и соответственно величины \х, q и их произведение
поперек пограничного слоя и важную роль играют физико-химические превращения. Кроме
того, на профили скоростей и температур в пограничном слое и тепловые потоки к
поверхности оказывают влияние как вдув газа при разрушении поверхности, так и неизо-
энтропичность внешнего течения. Численные решения и эксперименты показывают, что
влияние этих явлений на теплопередачу можно учесть введением поправочных
множителей для обобщенного коэффициента теплообмена (18.6), (18.7).
541


Основные уравнения для расчета конвективного теплообмена в области
безотрывного движения газа на изотермической поверхности спускаемого аппарата можно
представить в следующей форме:
— для ламинарного режима
— = Л (Qw^wU^X-0'5 £1*2*3*4*5; (18. 8)
ср
— для турбулентного режима
— = 0.0296t&V 0*U°*X-*'2 4,42*3*4*5 • (18.9)
ср
В этих соотношениях поправочные множители ki (l^.i^.5) зависят от режима
течения, причем
k\ — поправка на число Прандтля;
k2 — поправка на переменность \х, q поперек пограничного слоя;
&з— поправка на наличие химических реакций;
k\ — поправка на вдув газа через поверхность;
k5 — поправка на неизоэнтропичность во внешнем потоке.
Определение величины А и эффективной длины основано на точном и
приближенном решении уравнений пограничного слоя или обработке экспериментов. Такое
определение величины А и X, основные расчетные случаи и методы решений будут даны
в дальнейшем.
18.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
Расчет сжимаемых ламинарных пограничных слоев можно провести численными
и приближенными методами. При численном методе решаются дифференциальные
уравнения пограничного слоя в частных производных параболического типа. Для решения
этих уравнений можно использовать, например, конечноразностные методы [9, 10]. Такие
методы применимы как к двумерным (плоским и осесимметричным), так и к
трехмерным пограничным слоям [10], для которых в общем случае приходится решать систему
уравнений от трех независимых переменных. Точное решение трехмерных уравнений
пограничного слоя оказывается возможным для ограниченного класса задач и, кроме
того, на современных вычислительных машинах занимает сравнительно много
машинного времени, поэтому при практических расчетах часто используются приближенные
методы или сложные пространственные течения заменяются комбинацией более
простых движений.
Важным классом пространственных течений является течение вблизи линии
растекания, когда уравнения пограничного слоя зависят только от двух переменных. Такие
течения возникают, например, в плоскости симметрии на наветренной стороне осесим-
метричных аппаратов, движущихся под углом атаки. В этой области тепловые потоки
достигают наибольших значений.
Для ряда течений (в окрестности точек торможения, вдоль линий растекания
конусов, цилиндров и др.) уравнения пограничного слоя преобразуются к обыкновенным
дифференциальным уравнениям (автомодельные движения), что существенно
упрощает решение.
Именно эти типы течений были использованы для исследования влияния
физических свойств газа [21, 27, 29] и определения значения поправочных множителей &*,
а также значений X и А.
18.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОПРАВОЧНЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ
Влияние числа Прандтля на обобщенный коэффициент теплообмена для
ламинарного и турбулентного режимов течения при 0,7^Рг^1 с достаточной точностью
представляется в виде
,1 = (Р'-0,6 (Для лам. реж.) ^^
[ Рг ' (лля турб. реж.)
Влияние переменности \iq поперек ламинарного пограничного слоя учитывается
по методу «условной энтальпии» одним из двух способов
JML_ /Ji!£i_V 7=—— -f- (для лам. реж.), (18.11)
V-wQw I \ V-w^w / 15 Jqi
542


где |я*()* вычисляется при «условной (максимальной внутри слоя) энтальпии»
Г =
б) £2 =
ПрИ (О =
("
г)
1 +СО-
h )
ПрИ (О > 1 — '
< 1-
J w
h ;
J is)
где jx*q* вычисляется при
(для лам. реж.),
«условной энтальпии»
J* = 0t5(Jw + Ji) + 09UPr
0,5
(18.12)
(18.13)
(18.14)
На рис. 18.2 представлены значения комплекса Р = 0,58-10"~10- для воздуха
V-Q
в зависимости от энтальпии / при различных значениях р [20, 28]. При этом давление
вычислено в Паскалях, а произведение jlxq имеет размерность кг^/м^.
При помощи поправочного множителя k2 (18. 13) достигается хорошая точность
расчетов в слабоградиентных потоках; в общем случае коэффициент k2
предпочтительнее вычислять по формуле (18. 11).
Для турбулентного пограничного слоя коэффициент /г2, учитывающий
сжимаемость, имеет вид:
а)
где ц* и
*2 = (к-7^)0,2(о*/Сда)0,8 (для турб. реж.),
q* вычисляются при условной энтальпии
1 2 1
(18.15)
3 о о
б) k2 = (Jw/Je)m(l+r<*){
0,11
/тг = 0,4-}-0,2ехр(— саг)
(для турб. реж.).
(18.16)
Формулы (18. 15) и (18. 16) определяют поправку на сжимаемость газа примерно
с одинаковой точностью, однако множитель k2 проще вычислять по формуле (18. 16),
так как при этом не требуется знание термодинамических и переносных свойств газа.
Влияние диссоциации, ионизации и других химических реакций на теплопередачу
при ламинарном течении наиболее просто оценивается при помощи коэффициента &з Для
равновесного и замороженного пограничных слоев. Для равновесного пограничного
слоя при отсутствии диссоциации газа на стенке множитель равен
£3-l + (Le0'52- 1)
'01
(для лам. реж.)
(18.17)
Зависимость числа Льюиса—Семенова Le и приведенного теплового эффекта
диссоциации и ионизации Q = J—0,23/о —0,77/n Для воздуха от / представлены
соответственно на рис. 18.3 и 18.4.
В формуле (18. 17) величины Le и Q рассчитываются при условной
(максимальной внутри слоя) энтальпии /* по (18. 12). Соотношение (18. 17) можно использовать
при расчете теплопередачи к аппаратам, летящим на любых высотах.
Для расчета теплопередачи к телам малого размера (1 см и менее) при
небольших давлениях (ниже 0,1 ат) следует пользоваться выражением, полученным для
замороженного потока (т. е. при отсутствии реакций в газовой фазе),
k3= 1 +(Le0'63— 1) ^—. (для лам. реж.) (18.18)
Jqi — J w
Здесь Le и Q определяются по тем же графикам (см. рис. 18.3 и 18.4), но при
температуре на внешней границе пограничного слоя. Как показывают поправки (18. 17)
и (18.18), при Le=l тепловые потоки у стенки не зависят от скоростей химических
реакций в смеси [15].
В случае турбулентного пограничного слоя поправочный множитель &3
определяется по той же формуле (18. 17). Однако, как следует из приближенных оценок,
показатель степени р при числе Le изменяется при турбулентном течении в диапазоне
2/3^р^1. Обычно принимают р = 2/3 и величины Le и Q вновь определяют по
рис. 18.3, 18.4.
Если необходимо учесть протекание химических реакций между компонентами
внешней среды и материала аппарата, то приближенные расчеты можно проводить
в предположении, что такие реакции происходят не внутри пограничного слоя, а на по-
543


15
1,0
0,5
I
i
I
p--=10
10
10
! I
! i ...J
Та
* \ J
5^>и
i
i I
ыон
Ч-104 ^кДт/кг
Le
V>
0,5
Рис. 18.2. Зависимость комплекса Р —
= 0,58 Ю-10— (Па • м4 • с/кг2) для воздуха
JJLQ
от энтальпии / и давления р
| \~ I I
|_ Ny i
10h
МО4
J-iW4 J, к ДмIкг
Рис. 18.3. Зависимость числа Льюиса—Семенова Le для
воздуха от энтальпии /
Ц^кДж/кг
Ч-104
3-Ю4
Ы0Н V
10ч
Рис. 18.4. Зависимость
приведенного теплового
эффекта диссоциации и
ионизации Q для воз-
W4
Ы0Ч 3-104 Ч*10ч J-70¥ 6-Ю*4кДж/кг дУха от энтальпии /
544


верхности тела, и тепловые эффекты этих реакций учитывать в балансе энергии. Именно
такой подход используется обычно в расчетах при выборе тепловой защиты.
Влияние на теплоотдачу вдува одиночного газа определяется при помощи
функции вдува г|?
*4- + (7С) U =
(а/с,)
WcPht
(18. 19)
В этом выражении G = G/(a/cp)Q — расход газа через поверхность (7, отнесенный
к обобщенному коэффициенту теплообмена на непроницаемой поверхности (а/сР)0,
а у — коэффициент вдува, представляющий собой коэффициент пропорциональности
в линейном законе вдува
а/ср
- 1 — 7<л
(ФР)о
который справедлив при малых вдувах ((7<^1).
4»
(18.20)
ци
0,5
О
0,5
1,0
15
yG
Рис. 18.5. Универсальная функция вдува г|з; G —
расход газа через поверхность, отнесенный к
обобщенному коэффициенту теплообмена на непроницаемой
поверхности (а/ср)0\ у— коэффициент вдува.
Функция tyiyG) для ламинарного пограничного слоя изображена на рис. 18.5. Она
носит универсальный характер и не зависит от свойств внешнего и вдуваемого газов,
геометрии тела, температурного (энтальпийного) фактора. Эта функция может быть
аппроксимирована с помощью следующих соотношений:
♦ -I1"75 _ _ ' 6СЛИ -°>3<^<0,4
11,012 — 1,16(76)4-0,325 (7<7)2, если 0,4<7<2<1,2.
Точность^ аппроксимации при yG^.\ составляет 5%.
При yG<0,5 с погрешностью не более 10% можно пользоваться линейной
зависимостью (18. 20).
Коэффициент вдува одиночного газа можно рассчитать по формулам [17, 18]:
/ Ме\0,24
7 = а [ —— (для ламин. реж.); (18.22)
\ Mv )
( Ме\ъ
7 = 0,19 —^ (для турб. реж.); (18.23)
V Mv )
( 0,35 при 0,2<(A/^/M^)<l
""1 0,70 при \<(Me;Mv)<8,
где Ме — молекулярный вес внешнего газа, a Mv — молекулярный вес вдуваемого газа.
Множитель а зависит от геометрии тела, причем не очень сильно (например, в случае
обтекания острого конуса под углом атаки этот множитель на всей поверхности имеет
то же значение, что и на линии растекания). Значения множителя а для некоторых
геометрических тел таковы:
Пластина, конус 0,8
Осесимметричная критическая точка 0,6
Плоская критическая точка 0,65
Острый конус под углом атаки 0,6
18 3669 545


Если на поверхности тела одновременно происходит вдув или отсос нескольких
газообразных компонент (как это имеет место при гетерогенных химических реакциях
между материалом тела и внешним потоком), то суммарный эффект такого сложного
массообмена описывается той же универсальной функцией ty(yG), причем коэффициент
вдува определяется по формуле
T = 2t/G//2G/, (18.24)
где Yi—коэффициент вдува отдельной компоненты (18.22);
Gi — парциальный расход i-й компоненты (при вдуве Сг>0, при отсосе Сг<0).
При спуске гиперзвукового аппарата перед ним возникает криволинейная ударная
волна, которая существенным образом изменяет распределение параметров течения на
внешней границе пограничного слоя. Действительно, струйки тока, входящие в
пограничный слой по мере его развития, проходят через участки ударной волны различной
интенсивности и имеют различные значения энтропии и давления торможения. В этом
случае течение газа на внешней границе является неизоэнтропическим, и при расчете
теплопередачи необходимо учитывать поправочный коэффициент k$.
©пределение коэффициента &5 проводится методом последовательных
приближений. Первоначально рассчитывается пограничный слой в предположении изоэнтропич-
ности внешнего потока и находятся коэффициенты теплообмена, толщина вытеснения
и расход газа через пограничный слой. Затем по первоначально вычисленному расходу
определяется уточненное распределение параметров на внешней границе, по которым
и вычисляется коэффициент теплообмена, или коэффициент /г5 [2, 3].
18.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН X И Л
Местные коэффициенты теплообмена у поверхности спускаемого аппарата (18.8)
и (18.9) зависят от толщины пограничного слоя и деформации профилей скоростей и
температур, причем эффективная длина X учитывает нарастание толщины
пограничного слоя, а множитель пропорциональности А — местную деформацию распределений
параметров внутри слоя. В случае турбулентного пограничного слоя, как показывают
эксперименты, при отрицательных и небольших положительных градиентах давления
профили скоростей и температур деформируются слабо и величина А остается
постоянной
А = 0,0296 (для турб. реж.). (18.25)
В случае ламинарного пограничного слоя для эффективной длины имеем [11]
X = ~~~~ / А'\2 2 \ U\Qw(h*2?k\ds (для ламин. реж.). (18.26)
о
Здесь интегрирование проводится от критической точки вдоль линии тока
идеальной жидкости на поверхности: U\ и р\ — скорость и давление на внешней границе
пограничного слоя (вдоль линии тока); h<i —коэффициент Ламе, характеризующий
положение линии тока.
Как показывает сравнение с точными вычислениями при принятом выборе
эффективной длины (18.26), величина А при ламинарном течении изменяется в узких
пределах и для сильно охлаждаемой поверхности приближенно равна значению на
пластине Л =0,332.
В случае турбулентного пограничного слоя на основании обобщенных
экспериментальных исследований для эффективной длины можно получить следующее
соотношение [2]:
s
UlQw(h')h25kU25 UiQw(h'2y>25kl>25ds (для турб. реж.), (18.27)
6
причем величина k2 определяется по формулам (18. 15) или (18. 16).
При помощи введения эфективной длины пластины устанавливается
универсальная зависимость для теплообмена в турбулентных потоках при отрицательных и
небольших положительных градиентах давления. На рис. 18.6 представлены результаты
экспериментов по теплообмену в виде зависимости
(St.Rett.)/(*r*2) от Rew.
Прямая на этом рисунке соответствует соотношению [13]
St
—— = 0,0296Re~0'2 (для турб. реж.); (18.28)
ЯГ #2
с, Qw п QwU\X
St — —rr ,, гт у а^
QwU1 («* с — J w) [^w
546


Такая аппроксимация результатов экспериментов справедлива в диапазоне чи-
™1 пТ^аНЛ\П°ГраНИЧН0Г0 слоя от ° До 10 и при изменении энтальпийного фак-
U j J а. U, I ^^ J у} ^^ 1.0.
nnnuJ1^ внешнем °бтекании гладких тел для упрощения вычислений эффективной
длины можно пренебречь изменением величины k2 по поверхности аппаратов Такое
приближение принято в дальнейшем при рассмотрении частных случаев (разд' 18 5) Ппи
этом формулы для эффективной длины на изотермических поверхностях (18 26)' (18 27)
у 1 f
U v h* \ UiP\h<2ds (Для ламин. реж.);
о
s
U\p\ (^г)1,25 I UlPl ^h^U25ds ^для турб* реж-)-
X ■
St-Reb
к7-к2
10
10
10
ц
7
2
_ I I ! I
—
—
i X м
i mi
0
О У
^ш"
JT
г
I ill
I I I
*r *«•*
I I I
I
/P
►Ъ (
.L
• Q
i
I I I U
M**
0 - плоеная _
пластина.
ь-нону: —
• -течениеб
канале при—.
dp n
—
—
—
! I I I I
10"
т»
10L
10'
Re-
w
Рис. 18.6. Зависимость параметра теплообмена St Re^/f^ . k2) от числа Re
при турбулентном пограничном слое при наличии и отсутствии градиента
давления
ляеЛк'оло'ю^Тп™^ Ф°РМУЛ«°ШИбКа В опРеДелен«и тепловых потоков состав-
ляет около Ш/0. При расчете теплообмена на телах сложной геометоической Лппмы
элемент дуги вдоль поверхности представляется тогда в виде поверхности,
dP=hfyx2-]-h%d&9
(18.29)
где hx и h2 — координаты Ламе для принятой системы
нальн^^^тГмГ^^яТоторь^Г6^"7" "<» К КР—"нейньш ортого-
dft = ds2+(h'2)*dP2. (18.30)
тока ^^%^J%£j£»&™™* ' П°ВеР~, направление линий
* = *; *=/(<), (18.31)
18*
547


то величина h2\ входящая в соотношение (18.30), определится по формуле
t
,П (ft^) = J ^Г2 l~ST" + Тг J dU (1Ь 32)
о
Здесь подынтегральная функция вычисляется вдоль линии тока, a U\ и W\ —
проекции вектора скорости внешнего течения на оси х и z Для элемента дуги вдоль линии
тока имеем
U\
ds =—-hydt. (18.33)
«1
18.5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
Двумерный поток
Пусть х, z — взаимно ортогональная система координат на поверхности, причем
ось х направлена ,по обводу контура в направлении течения. Тогда для плоского течения
h1=^h2=l (18.34)
и для осесимметричного течения
Ax^l, h2 = R(x), (18.35)
где R — радиус вращения в данном сечении тела.
Линии тока в этих случаях совпадают с линиями z = const и имеют место равенства
h2 = h2\ Ui= u\\ ds=dx. (18.36)
Величина h2' может быть определена также из (18.32). Теперь выражение (18.26)
для эффективной длины при ламинарном режиме представляется в виде
Х =
ulPlR
л
^1а
э2й
iPiR dx (для ламин. реж.),
(18.37)
причем k = 0 для плоского и k=\ для осесимметричного течений. В частности, для
пластины (Hi = const) и острого конуса (a^const, R = ax) из выражения (18.37) получаем
Х^х или Х=г. — и А =-0,332 (для ламин. реж.).
о
(18.38)
Таким образом, при ламинарном режиме тепловые потоки на остром
конусе в УЗ раз больше, чем на пластине (на равных расстояниях от переднего края).
Для плоской и осесимметричной критических точек (щ=ах) соответственно
X X
X = — и X = — (для ламин. реж.).
(18.39)
Величина А для критических точек, определенная на основании численных решений
при Рг=1 [27], приведена в табл. 18.1 для различных значений температурного
фактора Tw.
Таблица 18 J
* W
1
0,5
0,2
0,0
Значение множителя А из уравнения (18.8)
плоская критич. точка
0,403
0,384
0,368
0,358
осесимметричная критич. точка
0,381
0,366
0,356
0,350
Из табл. 18. 1 видно, что значения А для плоской и осесимметричной критических
точек различаются не более чем на 6%, а в случае сильного охлаждения поверхности
близки к значению на пластине.
Величина обобщенного коэффициента теплообмена (18.8) в области критических
точек зависит также от градиента скорости основного потока в точке торможения
а= (dui/dx)x = o. Значение этого градиента обычно определяется из расчетов идеальной
548


жидкости или из соотношений Ньютона,
рости можно представить в виде
В последнем случае величину градиента ско-
du\
l/-H-£)" -- %-W
Qoi
(18.40)
аох dx
где /?н — давление набегающего потока;
а01 _ скорость звука заторможенного внешнего течения;
#°_ радиус кривизны поверхности в критической точке;
р01 _ давление в точке торможения потока;
qoi — плотность в той же точке;
к — показатель адиабаты для воздуха.
Формула (18.40) применима для аппаратов с гладкой выпуклой лобовой
поверхностью при числе М>3, если радиус кривизны R° и мидель аппарата Dm
удовлетворяют условию
-^ > 1,42.
R°
0,50
0,15
-а
vAf=J
6 10
' /
0,5
10
15
x/R
Рис. 18.7. Распределение функции теплообмена <Ei из (18.42) при
ламинарном течении по поверхности сферы радиуса R для чисел Маха 3; 6 и 20;
(я/Я) _ дуга вдоль поверхности от критической точки
Для аппаратов с плоской торцовой поверхностью радиуса R градиент скорости
в критической точке равен
du\
dx
= 0,31-^-
001
R
(18.41)
Приведем результаты расчетов теплообмена на боковой поверхности для
некоторых случаев полученные численным методом. Для практического использования
результаты расчетов удобно представить в виде зависимости функции теплообмена Фь
связанной с параметрами набегающего потока (они обозначены индексом «н»),
(St„:
Ф1-51н(Ке«,„)°'5Рг0'6М~1
Ч*> рР —
Деда н —
(18.42)
Qw huh(JqI — fw)
от безразмерной координаты x/L. Функция CDi показана на рис. 18.7—18. 10 для
обтеканий сферы, торца, цилиндра, затупленного конуса (L = R) и оживального тела
(L=Dm). При расчете теплообмена использовались распределения давления по
поверхностям, данные в работе [16].
Функция G>i распределения тепловых потоков для цилиндра (кривая /) и торца
(кривая 2) при М=3 показана на рис. 18. 8. На торцовой поверхности тепловые потоки
в критической точке имеют минимальное значение и возрастают при приближении
к острому краю. Для гладких тел (сферы и цилиндра) тепловые потоки монотонно
уменьшаются от соответствующих значений в передней критической точке.
Результаты расчета теплообмена на затупленных конусах с полууглами раствора
р=Ю° и 20°, при осесимметричном обтекании, угле а=0° и числе М=20 показаны на
рис. 18.10. В качестве примера расчета теплообмена на сложном теле на рис. 18.9
представлена функция Ф\ для оживального тела, состоящего из острого конуса с
полуутлом раствора р = 25° (а = 0°), оживала с относительным удлинением % = 2 и цилиндра
при М=3. На рис. 18.9 величина x=x/Dm расстояние, отнесенное к миделю, вдоль оси
вращения тела от сечения, соединяющего конус и оживало
549


ом
о,г
2 L^
ом
0,8
x/R
Рис. 18.8. Распределение функции
теплообмена Ф\ из (18.42) при
ламинарном обтекании цилиндра
(кривая 1) и плоского торца (кривая 2)
радиуса R\ x/R — безразмерная
координата вдоль поверхности от
критической точки
Ф.
W
%5
\>-
\
1 v х+\
*w I
'
<х=15°
\
(х=0°
\
О
/
x/D,
т
Рис. 18.9. Распределение функции теплообмена Ф[
из (18.42) при ламинарном обтекании тела «конус—
оживало—цилиндр» при углах атаки а = 0° и 15° (на
линии растекания) и числе М = 3; x/Dm — расстояние
вдоль поверхности тела, отнесенное к миделю Dw
Рис. 18. 10. Распределение функции
теплообмена Ф\ из (18.42) при
ламинарном обтекании сферически
затупленных конусов с радиусом
притупления R, полууглом раствора р=10°
и 20° и углом атаки а = 0° и 10° при
числе М = 20; x/R — расстояние от
критической точки вдоль линии
растекания
0,14
0,16
0,08
п
1
1
OL=W°
S
20°
s>^
\(Х=0°
OL=0°
й=20°
Ц =
■\
x/R
550


При расчете двумерного турбулентного пограничного слоя эффективная длина
X
х = п\ 25k \ P\UiR^25kdx (для турб. реж.), (18.43)
P\U\R ' J
о
где k = 0 для плоского тела и k=\ для осесимметричного. Для пластины и конуса
4
в сверхзвуковом потоке Х = х и Х= -- х.
Отсюда находим, что тепловой поток на конусе в (9/4)°'2=U7 раза больше, чем
на пластине.
На рис. 18.11 показаны результаты расчета теплообмена на поверхности торца
и сферически затупленного конуса (р = 0), обтекаемых сверхзвуковым потоком. На этих
рисунках показано изменение величины
Ф2- StH(ReWH)°'2Pr°'577^M-1'6 (18.44)
по образующей тела. Величины StH и Re^i определены соотношением (18.42).
0,8
}
/
'
Y"2
у
0,8
15
x/R
Рис. 18. 11. Распределение функции
теплообмена Ф2 из (18.44) при
турбулентном течении на поверхности
плоского торца (кривая 2) и
сферически затупленного конуса при |3 = 0
(кривая /); x/R— безразмерная
координата вдоль поверхности от
критической точки
нг
0,7
0,5
0,3
(
4=г'
j^
££
Л
о
U)
Рис. 18. 12. Зависимость параметра
теплообмена Я2 для линии
торможения цилиндра от параметров со и Jw
Трехмерное течение на бесконечном цилиндре,
обтекаемом под углом атаки
Направим ось х ортогонально образующим цилиндра, а ось z — вдоль его обра
зующих, так что
h2 = hi=\; U\ = U\(x)\ W\ = a = consi.
Из формулы (18.32)
их
h2 =
Ux
Ux = У а\ + w\
и элемент дуги вдоль линии тока
Ux
ds = dx.
*\
Для эффективной длины получаем выражение
Х-
Ux
и\ рхих ,
о
pxUxdx (для ламин. реж.).
В частном случае течения на критической линии
ii\ = bxm\ W\ = a.
(18.45)
551


Из (18.45) получаем
X =— (для ламин. реж.). (18.46)
и\ т + 1
Зависимость величины Л = Н2, определяющей коэффициент теплообмена по
формуле (18.8), от параметров о и /№ при Рг=1 приведена на рис. 18. 12, при этом
эффективная длина X находится по соотношению (18.46). Эти значения Н2 получены из
численных решений уравнений пограничного слоя, выполненных в [29]. Приближенная
аппроксимация (с точностью 6%) расчетов для различных т приводит к соотношению
А = Я2=:0,332[1 +0,16(1 +7«,)Р1/2(1 +«5/6)]1/2 (для ламин. реж.), (18.47)
2т
т + Г
Определяющий параметр со для линии торможения цилиндра легко определить
по числу М и углу стреловидности у:
(x--l)M2siri2j
2 + (% + l)M2cos27
Значение градиента скорости $ = du\/dx на критической линии определяется из
газодинамического расчета поперечного обтекания цилиндра потока с числом Маха
Mn = Mcosy по формуле Ньютона
——----=-7Г I/ О —/Ъ'Лс.л). =—» (10.48)
dx R \ х /?кл ап
где а — коэффициент восстановления давления; я = р/р0. Индекс «п» означает, что
величины определяются по значению Мп, а индексом «к. л» обозначены величины на
критической линии. Величина Л может приближенно определяться по формуле (18.47)
и в общем случае течения на цилиндре, причем
dw\ z
т= — .
OZ W\
В случае турбулентного пограничного слоя эффективная длина равна
^0,25
х=. -
Р\
-4"— u^pilf^^dx (для турб. реж.). (18.49)
"I'25 J
о
Тепловые потоки рассчитываются по формуле (18.9). В частном случае линии
торможения
Wi
ЛГ = 0,8 х (ui = bx\ w\^U^b\xi^()
U\
и градиент скорости находится из (18.48).
Тепловые потоки в области критической линии цилиндра можно определить при
я
помощи рис. 18. 13 (кривая для (3 = 0), если считать « = ~ —Y- Тепловые потоки в стенк>
связаны с показанной здесь функцией Ф2 соотношением (18.44).
Распределение функции теплообмена Ф2 по боковой поверхности косообтекаемых
цилиндров дано на рис. 18. 14 при М=10, /и; = 0,1 для различных значений углов стре
ловидности у- Как видно, при увеличении угла стреловидности коэффициент
теплоотдачи при турбулентном режиме возрастает и достигает наибольшего значения при
•у=^45и; при этом максимум Ф2 перемещается по боковой поверхности к критической
линии.
Изложенные здесь результаты применимы к ведущим цилиндрическим кромкам
стреловидного крыла с углом стреловидности у, расположенным под углом атаки а.
В этом случае при расчетах следует использовать эфефктивный угол стреловидности у*.
который для линии растекания определяется соотношением
sin Y* = sirvY/cos a.
Трехмерное течение на поверхности конуса
Пусть х — ось вдоль образующих конуса, полуугол которого равен |3; ось z — дуга
в окружном направлении. Тогда для элемента дуги (18.29) имеем
h\= 1; h2 = xsm |3.
552


Для конического потока распределение параметров внешнего потока зависит
только от угловой координаты z:
ui = ui(z); wx = wx(z),
и для системы координат, связанной с линиями тока, из (18.32) можно получить
t
— --- QJdl- as = ttydt,
exp \ sin $dt\
J w\
о
причем уравнение линий тока задано в виде
* = *; jr=/(0—- = ——
[ dt w\h\ J
Ф2,Ф„ i г 1 , *г
«*
Q=30c
/fa
M
f
4
N
1
.. .
25°
50°
a+c
Рис. 18. 13. Зависимость
функции теплообмена Ф4 при тур
булентном течении на линии
растекания острых конусов
с полууглом раствора р от
полного угла встречи поверхности
с потоком а+Р;
а — угол атаки. Кривая для
р = 0 соответствует зависимости
функции Ф2 из (18.44) для
линии торможения с углом
стреловидности у, если принять
а=(я/2)— у
0,8
оу
<Y=z/5°
/j°\
\я>°
-^2[1
0,8
1,6
x/R
Рис. 18. 14. Распределение
функции теплообмена Фг из
(18.44) при турбулентном
течении по поверхности цилиндров
для различных углов
стреловидности у\ XIR —
безразмерная координата от критической
линии вдоль поверхности
цилиндра радиуса R
Эффективная длина при ламинарном режиме течения в этом случае
X
= —- \ lh2dt; I = wipi exp 2 \ —— sin $dt (для ламин. реж.).
W\l J I J W\
о V о '
Здесь величина h2 вычисляется вдоль линии тока.
Вдоль линии растекания (wi=const; W\=bz эффективная длина)
(18.50)
X ■
(для ламин, реж.)
3 + 2К
и течение зависит от четырех определяющих параметров
К =
U\ sin 3
2JX
Jw И Pf.
(18.51)
553


При вычислении коэффициентов теплообмена по формулам (18.8) и (18.51) для
величины А на основании аппроксимации численных решений имеем
:0,575
/i
Л-К
+ 2/<
+ [K2tf2К Jw) — 0,575]
/:
К
з + 2д:
(18.52)
причем значения функции Я2 или определяются по рис. 18. 12, или вычисляются из
соотношения (18.47) при Р=1. Для линии растекания острого конуса было
проанализировано влияние числа Прандтля. Оказалось, что в этом случае
кг = Рг£; е = —0,65 +
0,1/С
/с + 1:
; — 0,6.
Для боковой поверхности острого конуса вычисление тепловых потоков можно
приближенно проводить по формулам (18.8), (18.50) и (18.52) при условии, что
значения К и со вычисляются по местным
параметрам на границе слоя.
Для боковой поверхности острого
конуса получены также численные
решения для ламинарного пограничного
слоя. Распределение функции
теплообмена
Ф,
оа
0,1
\ /
' ! ^
1
10°
ч//
^?
Фз=81нКе^рго.бМ-1(81пр)1
Ке^ н =
,0.5.
V"iv
st„ =
Qwhuh(JqI — Jw)
Рис. 18. 15. Распределение функции
теплообмена Фз при ламинарном течении по
поверхности круглого конуса при различных
углах атаки a; z — меридиональный угол
отклонения от плоскости симметрии
показано на рис. 18. 15 для острых
круглых конусов при р = 20°, М=7,
/w = 0,5 и различных углах атаки.
Параметры идеального газа около
конусов можно определить по таблицам [6]
или на наветренной стороне поверхности
по приближенной теории Ньютона:
Pi — Рн
0,5qhuh
— 2 (cos a sin (J + sin a cos p cos z)2\
w\ = b sin z.
Величина давления торможения рассчитывается по способу местного конуса для
плоскости симметрии потока. В случае линии растекания получим
Р\ ..9. . «,„ . пч и1
К =
= *M„sin2(a + p
Рн а«
«i-sinp ~~ 2 + 2 V
= cos (a + [
1+4-
х—1
с\
sin23*
С\
д*рх
sin a cos p
dz* Jz=o sin (a + ?)
(x-^l)M2cos2(a + p)
1 2 + (x — l)M2sin2(o + P)
В случае турбулентного пограничного слоя из (18.27) имеем
lh2dt)
,0,25^0,75^ ехр
'-— f
Щ1 J
о
t
,25 f-^-sin
J Щ
$dt\ (для турб. реж.).
(18.53)
Здесь величина /г2 вычисляется вдоль линии тока, тепловые потоки определяются
по формуле (18. 9).
554


В случае линии растекания
4х
Х= 9 + 5/( (ДЛЯ Турб* реЖ,)>
и для обобщенного коэффициента теплообмена на непроницаемой поверхности из (18.9)
получаем
1^-) = 0,oWl + YK) ^^Q0/^'8-^-0,2^"057 (Для турб. реж.). (18.54)
Эта формула при подстановке местных параметров течения вне пограничного слоя
может быть использована для приближенного расчета на боковой поверхности.
В качестве примера на рис. 18. 13 даны распределения функции теплообмена
Ф4 = 5(^н2Рг0'577^6М-1.б(51п?)0-2
на линии растекания конуса при р = 20° и 30°, М=10 и 7^ = 0,1 для различных углов
атаки.
Течение на линии растекания затупленного тела
Течение в окрестности линии растекания можно рассмотреть в декартовой системе
координат, считая, что ось х направлена вдоль поверхности тела от критической точки
и /ii=/i2=l. Компоненты скоростей имеют вид
Ui=uY(x); wl=y¥(x)z.
Уравнение линий тока, для которых ось х является огибающей, представляем
в параметрической форме x = t, z = f(t). Для элемента дуги вдоль линии тока и
коэффициента h2 по (18.31) имеем
/ t ч
ds =—Ldx; ^="^exPM —4f(t)dt). (18.55)
Отсюда для эффективной длины при ламинарном режиме течения имеем
х
1
X
11л1 1 " " \
Течение в окрестности пространственной критической точки U\ = ax, W\ = bz зависит
от трех определяющих параметров:
b -
К\ = ; Ухе; И РГ.
а
Из (18.66) можно получить
h<1 = xKx\ X = —— (для ламин. реж.). (18.57)
2(1 + К\)
Случаи /Ci=0 и Ki=l соответствуют плоской и осесимметричной критическим
точкам, и формула (18.57) переходит в соотношения (18.39).
Зависимость величины Л от /Ci можно принять линейной
A=A1(\—K\)+KiA2 (для ламин. реж.), (18.58)
где А\ и А2 — значения для плоской и осесимметричной критических точек,
приведенные в табл. 18.1. Использование формулы (18.58) при расчете тепловых потоков по
уравнениям (18.8) и (18.57) приводит к завышению результатов не более чем на 2%.
Градиент скорости в критической точке a = du\ldx при ньютонианском течении
можно определить по формуле (18.40), где следует использовать радиус Rx кривизны
поверхности для критической точки в плоскости 2 = 0. Величину К\ при этом можно
приближенно принять равной отношению радиусов кривизны Rx и #z:
Rx
Результаты расчета теплообмена вдоль линии растекания приведены на рис. 18. 9
и 18.10. На рис. 18.10 дано распределение функции теплообмена (18.42) для
обтекания сферически затупленных конусов с полууглами раствора р=10° и 20°, при числе
М = 20 и углах атаки а =10° (кривые 3 и 4).
На рис. 18.9 показано распределение Ф\ из (18.42) для сложного тела (конус—
оживало—цилиндр), обтекаемого сверхзвуковым потоком при М=3. Полуугол конуса р
равен 25°, относительное удлинение оживала Х = 2, температура поверхности принята
равной 0,5 Г01.
555
= — \uildx, / = /?1 ехр ( 2 Г ^-dx). (18.56)
U\l J \ J ux dz /


В случае развитого турбулентного пограничного слоя в плоскости симметрии
эффективная длина находится по формулам (18.27) и (18.55). Для течения в окрестности
критических точек получим
и' __ „Кг
X = [2 + 1,25/Ci]-!* (для турб. реж.).
(18.59)
Теперь величина обобщенного коэффициента теплообмена (18.9) для окрестности
критических точек равняется
— =0,0296(2 +1,25/Ci)°'2qS;VS;2«0,8^0,6*/ (пля турб. реж.). (18.60)
ср
Как видно, в критической точке турбулентный тепловой поток равен нулю и
теплообмен определяется молекулярным переносом при ламинарном течении.
18.6. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ
При переменной температуре стенки Tw в общем случае не удается ввести
обобщенный коэффициент теплообмена (или коэффициент теплоотдачи) и представить
тепловые потоки в стенку в виде (18.1). Это в значительной мере усложняет, расчет
теплообмена к спускаемому аппарату для областей с переменной температурой поверхности.
Для ламинарного течения в случае гладкого изменения температуры поверхности,
когда энтальпия газа на стенке Jw представляется в виде полинома
-Ё—}—=-- \ап[Т) ' где /« = /1<а + <ог)' <18-61)
тепловые потоки в стенку при небольших градиентах давления можно определить
по соотношению [22]
4w
1
Ч \w
/^2an(f)V>), (18.62)
i де
2Pr
l\ — значение l\w при средней температуре стенки. Величины
Уп(0) для воздуха (при Рг = 0,72) даны в табл. 18.2.
п
К(°)
0
0,592
1
0,978
2
1,20
3
1,37
4
1,49
Таблица J8.2
5
1,60
10
2,01
Для других значений чисел Рг величины Yn'(Q) из табл. 18.2 следует умножить
на 1,11 Рг 1/3.
В случае скачкообразного изменения энтальпии газа от Je до Jw в точке на
некотором удалении от передней кромки плоской пластины (# = £) распределение тепловых
потоков по длине определяется формулами:
£ \3/4-|—1/3
а а а л Г / g \з/4у
Qw = (*, Z)Ve-Jw)\ (*, £) = (х, 0) 1- —
ср ср Ср I \ х J J
— С*, 0) = 0,332Рг 3 11ъ
СР
Xl\
(18.63)
Для учета градиента давления на участке до скачка энтальпии Jw следует
вычислить эффективное значение | по формуле (18.26). При помощи соотношений (18.63)
можно рассчитать теплообмен при переменной температуре поверхности с учетом
скачкообразного изменения [23].
Обозначив 0(лг)=/е—Jw, выражение для тепловых потоков при переменной Jw
можно привести к виду
X
qw(x) = —(x, 0)8(0)+ f— (x, i)-^-dl + \\—ix, S/)[e(tf)-0(67)].
Ср J Ср uq шшА Ср
(18.64)
Здесь сумма учитывает разрывы 0, причем 0(£t+)—Q(h~) представляет скачок
ДО в точке лг = £г>0. Подынтегральное выражение в соотношении (18.64) удается
упростить и представить величину qw при непрерывном изменении 0 в виде
556


qw{x)=—(x, 0){е(0) + Л1[в(х) —6(0)]+Bi
L о J;
(18.65)
Таким образом, тепловой поток в стенку зависит от энтальпии газа на передней
X
кромке 0(0), местной энтальпии 0(х) и средней по длине энтальпии: 6=(l/x) J Qdx.
0
Значения Л\ и В\ даны в табл. 18.3 для безградиентного потока и ускоренных
течений и\ = ахт.
Таблица 18.3
т
0
0,5
1,0
Ламинарное течение
' Л,
1,0
0,840
0,792
Bi
1,40
1,144
1,076
Турбулентное течение
Аг
0,991
0,991
0,991
.Вг
0,234
0,234
0,234
В случае турбулентного режима течения тепловые потоки при наличии скачка
энтальпии газа на стенке определяются по формулам
\9/ю
—1/9
ср ср I \ х J
— (х, 0) =0,0296^8й2^'8Рг-2/3^-°'2>
(18.66)
а при переменной 0(л:) —по уравнениям (18.64) или (18.65) и табл. 18.3.
Для потоков с градиентами давления и плавными изменениями энтальпии вдоль
поверхностей возможно обобщение формулы для эффективной длины:
Х-.
X -
0
QwV-w ( /*2^2'Pf )2(?е — Jw)2
\ Q«p£25 ( h'2k2!Pry>25(Je - Jw)2ds
о
С»Й25(Л2*27Рг),'25(/*-М2
(для ламин. реж.) (18.67)
(для турб. реж.), (18.68)
так что тепловые потоки находятся из равенств (18.8) и (18.9).
В случае ламинарного течения около пластины и конуса при ц^Т, &2~const,
Рг = const получим
Г * -1-V2
— = 0,332Pr-2l3(Qwiiwu1)1^
— = 0,332Рг-2/3
\ Шх
о J
(q^^i)1/20a: \№x2dx
Lo J
h\
-1/2
(18.69)
(18.70)
' = /*
' J w
J e — J W
Расчет по формулам (18.67) и (18.70) имеет достаточную для практики точность,
если энтальпия на поверхности уменьшается по х.
18.7. ИЗЛУЧЕНИЕ
В уравнение баланса энергии на поверхности аппарата входит радиационный
тепловой поток <7р = <7р2—<7рь величина которого равна разности радиационного потока,
поглощаемого поверхностью тела (qV2), и радиационного потока, излучаемого этой
поверхностью в пространство (qv\). Величина qV2 определяется внешним радиационным
потоком от горячего газа qve и средней степенью черноты поверхности е2: ^р2 = е2^ре.
Величина qv\ определяется температурой поверхности и средней степенью черноты этой
поверхности еь
q9i = ~4'T*w, (18.71)
557


где g = 0,57'10-10 kbt/m2j_c град4 — постоянная Стефана—Больцмана.
Коэффициенты 8i и е2 в общем_случае различны; оба они зависят от температуры
поверхности материала, кроме того, е2 зависит от спектрального распределения
излучения горячего газа. Однако из-за недостатка данных по спектральным распределениям
степени черноты_тешюзащитных покрытий и интенсивности излучения горячих газов
МОЖНО ПрИНЯТЬ 81 = 82 = 8.
В формулы для расчета тепловой защиты обычно входит безразмерная величина
радиационного теплового потока
7Р = Яр/Яко или ~?р = ^р/(а/ср)о hi- (18.72)
Радиационный нагрев аппаратов, входящих в атмосферу Земли, становится
существенным при скоростях входа 10 км/с и выше. При этом излучение воздуха,
нагретого за отошедшей ударной волной до температуры, близкой к температуре
адиабатического торможения, наиболее существенно в области затупленной лобовой
поверхности аппарата. Важную роль может играть излучение из отрывных и застойных
областей, а также от струй ракетных двигателей.
Образующийся на поверхности аппарата тонкий пограничный слой может как
поглощать внешнее излучение от идеального газа, так и сам излучать значительное
количество энергии (особенно если пары теплозащитного покрытия имеют большие
коэффициенты поглощения). Однако при расчете радиационного теплового потока к
лобовой поверхности аппарата в первом приближении можно считать, что излучающий слой
состоит лишь из внешнего газа, являясь плоским и изотермическим. Толщина этого слоя
равна величине отхода ударной волны от поверхности тела, температура при скорости
входа в атмосферу до 13 км/с может быть принята равной температуре торможения.
На больших скоростях входа становится существенным высвечивание за ударной
волной, что приводит к уменьшению средней температуры горячего газа. При практическом
расчете данные по излучению изотермического плоского слоя удобно представить при
помощи эффективной степени черноты газа 8*, такой, что <7ре = е*оТ4 [7, 14]. Величина е*
зависит от вида газа, его температуры 7, давления р и толщины слоя /. Для воздуха
соответствующие данные приведены в табл. 18.4.
Таблица 18 А
Эффективная степень черноты воздуха е*=А • 10_г [14] в зависимости
от Т и / и давления р
Ту К
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000 1
/ см
1
10
1000
1
10
100
1
10
100
1
10 1
100
1
10
100
1
10
100
А
г
103 Па
6,0
5,1
5,0
4,2
2,9
2,2
6,5
3,3
1,7
5,3
2,6 |
1,0
1,0
4,3
2,2
9,5
3,9
1,8
8
7
6
7
6
5
6
5
4
5
4
3
4
4
3
5
4
3
А
г
104 Па
2,2
2,1
2,1
6,1
5,4
4,5
3,4
1,9
1,1
3,2
1,5
6,1
1,3
5,5
2,0
1,5
8,7
3,2
6
5
4
6
5
4
5
4
3
4
3
3 1
3
3
2
3
3
2
А
10с
7,8
6,0
5,5
1,4
1,4
1,2
3,1
2,5
и
2,2
9,0
4,9
8,5
2,9
1,2
2,5
6,9
2,2
г
Па
5
4
3
4
3
2
4
3
2
3
3
2
3
2
1
2
2
1
А
г
106 Па
1,2
9,0
7,5
4,8
3,2
1,9
7,5
6,9
3,5
1,6
9,5
4,9
4,2
1,7
6,9
1,0
3,2 1
8,2
3
3
2
3
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
А
г
5-106 Па
7,0
5,0
3,1
3,2
1,7
6,1
7,9
4,0
9,1
1,3
6,2
9,8
1,5
6,1
9,9
2,6
7,5
9,9
3
2
1
2
2
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. XVIII
1. Авдуевский В. С. Приближенный метод расчета трехмерного ламинарного
пограничного слоя. — «Изв. АН СССР», ОТН, сер. «Механика и машиностроение»,
1962, № 2.
558


2. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного погра-'
ничного слоя в сжимаемом газе. — «Изв. АН СССР», ОТН, сер. «Механика и
машиностроение», 1962, № 4.
3. Авдуевский В. С. Влияние кривизны ударной волны на теплообмен при
обтекании тела сверхзвуковым потоком. — В сб. «Исследование теплообмена в потоках
жидкости и газа». М., «Машиностроение», 1966.
4. Анфимов Н. А. Тепло- и массообмен в окрестности критической точки при
вдуве н отсосе различных газов через поверхность тела. — «Изв. АН СССР», сер.
«Механика жидкости и газа», 1966, № 1.
5. Анфимов Н. А. Ламинарный пограничный слой на химически активной
поверхности.— «Изв. АН СССР», ОТН, сер. «Механика и машиностроение», 1962, № 3.
6. Б а б е н к о К. И. и др. Пространственное обтекание гладких тел идеальным
газом. М., «Наука», 1964.
7. Б и б е р м а н Л. М. и др. Рациональный нагрев при гиперзвуковом обтекании. —
«Космические исследования», т. 2, вып. 3, 1964.
8. Бичер, Розенсвейг. Механизм абляции пластмасс с неорганическим
армированием.— «Ракетная техника», 1961, № 4.
9. Браиловская И. Ю., Чудов Л. А. Решение уравнений пограничного слоя
разностным методом — В сб. «Вычислительные методы и программирование». М.,
МГУ, 1962.
10. Введенская Н. Д. О трехмерном ламинарном пограничном слое на
затупленном теле. — «Изв. АН СССР», сер. «Механика жидкости и газа», 1966, № 5.
11. Гилинский С. М., Теленин Г. Ф., Тин я ко в Г. П. Метод расчета
сверхзвукового обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной. — «Изв. АН
СССР», сер. «Механика и машиностроение», № 4, 1964.
12. Дьяконов Ю. Н. Пространственное обтекание затупленных тел с учетом
равновесных физико-химических реакций. ДАН СССР, т. 157, № 4, 1964.
13. Козлов Л. В. Экспериментальное определение закона теплообмена для
турбулентного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — В сб.: «Исследование
теплообмена в потоках жидкости и газа». М., «Машиностроение», 1965.
14. Коньков А. А., Нейланд В. Я., Николаев В. М., Пласти-
н и н Ю. А. Проблема лучистого теплообмена в гиперзвуковой аэродинамике (обзор).—
«Теплофизика высоких температур», 1969, том 7, № 1, стр. 140—164.
15. Лиз Л. Ламинарная теплопередача на затупленном теле при гиперзвуковых
скоростях. — В сб.: «Научные проблемы искусственных спутников Земли». М., ИЛ, 1960.
16. Лунев В. В., М а г о м е д о в М. К., Павлов В. Г. Гиперзвуковое обтекание
притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. Изд-во
ВЦ АН СССР, 1968.
17. Мугалев В. П. Экспериментальное исследование турбулентного слоя на
пористой поверхности при вдувании различных газов и переменном числе М потока.
Сб. «Всесоюзный съезд по теоретич. и прикладной механике», М., «Наука», 1964.
18. Мугалев В. П. Влияние вдувания различных газов на теплообмен вблизи
передней критической точки затупленного тела. — «Изв. АН СССР», сер «Механика»,
1965, № I, стр. 175—180.
19. Полежаев Ю. В. Теоретический анализ нестационарного прогрева и
разрушения стеклопластика в окрестности критической точки. — «Изв. АН СССР», ОТН, сер.
«Механика и машиностроение», № 3, 1964, стр. 3—8.
20. Предводителев А. С. и др. Таблицы термодинамических функций
воздуха. Изд-во АН СССР, 1957.
21. Ф э й Д. И., Ридделл Ф. Теоретический анализ теплообмена в лобовой точке,
омЕЛваемой диссоциированным воздухом. — В сб. «Проблемы движения головной части
ракет дальнего действия», М., ИЛ, 1959, стр. 217—256.
22. Ч е п м е н Д., Р у б е з и н М. Профили скоростей и температур в сжимаемом
ламинарном пограничном слое с произвольным распределением температуры
поверхности.— Сб. переводов «Механика», вып. 4, М., ИЛ, 1951, стр. 60.
23. Эккер т Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М., Госэнерго-
издат, 1961, стр. 227.
24. Энциклопедия современной техники. — «Конструкционные материалы», т. I—3.
М., «Советская энциклопедия», 1963—1965.
25. A d a m s Mac С. Recent advances in ablation. ARS Journal, vol 29,
No. 9, 1959, pp. 625—632.
26. В eth e H. A., A d a m s Mac C. A theory for the ablation of glassy
materials. Journal of Aero/Space Sciences, vol. 26, No. 6. p. 321—328.
27. С о h e n С. В., Reshotko E. Similar solutions for the laminar compressible
boundary layer with heat transfer and pressure gradient. NACA Rep., No. 1293, 1957.
28. H a n s e n C. F. Approximations for the thermodynamic and transport properties
of high temperature air, NASA TR—R50, 1950.
29. Reshotko E., Beckwith J. Compressible laminar boundary layer over a
yawed infinite cylinder with heat transfer and arbitrary * Prandtl number NACA Rep.,
No. 1379, 1958.


ГЛАВА XIX
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ПОЛЕТОМ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С НАЗЕМНЫХ ПУНКТОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — большая полуось орбиты.
В — географическая широта.
D — радиус зоны видимости в линейной мере.
d — наклонная дальность.
Е — эксцентрическая аномалия.
е — эксцентриситет.
N — порядок орбиты (целое число витков полета за сутки).
h — высота полета.
L—географическая долгота.
р — параметр орбиты.
R —средний радиус Земли.
г —расстояние от центра Земли до текущей точки на орбите.
Т — период обращения спутника по орбите,
а — действительная полуось гиперболы,
а'—угол обзора аппаратуры КА.
Р — радиус зоны видимости в угловой мере.
Y — угол места наблюдения КА с наземного пункта.
6 — склонение КА.
б; \i—константы гравитационнэго поля Земли.
-ф — геоцентрическая широта.
ft—истинная аномалия.
со — аргумент перигея орбиты.
©и — угловая скорость вращения планеты.
Q — долгота восходящего узла, отсчитываемая от точки весеннего равноденствия.
19.1. ТРАССЫ ПОЛЕТА
Трасса полета (проекция орбиты на поверхность вращающейся Земли) можег
быть построена следующим образом.
Рассчитывается широта В и долгота L (рис. 19.1) ряда точек орбиты по
формулам:
В = arcs in (sin и sin i);
t 1 (19.1)
L = & + arctg(tga cos i) — S-\- A^— , l
где и — аргумент широты;
/—наклонение орбиты;
Я,—начальное значение долготы восходящего узла;
5 = 50 Н- <о (t — tSo} — звездное время на гринвичском меридиане;
Sq — звездное время в некоторую гринвичскую полночь (берется
из Астрономического ежегодника);
t$ — время наступления этой полуночи;
t — текущее время полета;
со =7,2921 Ы0-5с-1 =0,25068 град-мин-i = 15,0411 град-^ас-*
— угловая скорость вращения Земли;
Д2—прецессия узла орбиты за один оборот;
Т — период обращения ИСЗ.


Полученные в результате расчета точки наносят на карту и соединяют плавной
линией, которая и является трассой полета.
Высота полета определяется из выражения
h = r—R, (19.2)
Меридиан текущей,
точки трассы
Рис. 19. 1. Элементы орбиты:
а—в пространстве; б—на плоскости
где г — расстояние от центра Земли до текущей точки на орбите;
R — средний радиус Земли.
Входящие в (19. 1) и (19.2) величины и, t, AQ и г находятся по разным формулам
в зависимости от формы орбиты.
Круговая орбита (е = 0)
и = 2л-
t — t0
2я е cos i
дй = — cos i = — А
(19.3)
(19.4)
(19.5)
где /2 —время прохождения ИСЗ через плоскость экватора в восходящем узле орбиты;
е =2,634-1010 км5/с2;
\l = 3,98602-105 КМз/с2;
А = 4,15196-105 КМ2.
Для расчета трассы необходимо задаться шагом по времени 1—5 мин.
Эллиптическая орбита (0<е<1)
и = to -|- &;
t — t
- <oq + А*°
Да>=-^- — (5cos2i— l);
Р2 К-
t =х
Е — е sin Е
VI
,3 2 '
561


e =
ra — rn
ra + rn
2jx
^a— ^n _ £a_ I _ i —
2a ~ a ~ a
AQ = — cos / = — A
a
cos i
:a(l—e2) = r(l +ecosft) = r„(l + e)= ra(l — e);
1 + б COS i
= a(l — б cos £).
Д2,Аь),град
0,50
150 t,град
Рис. 19.2. Изменение положений перигея Аса и узла орбиты AQ
(прецессия) за один виток в зависимости от наклонения i для
различных орбит
В этих формулах:
со0 — начальное значение аргумента перигея;
t^ — момент времени, на которое взято со0;
т— время прохождения КА через перицентр орбиты;
га> ^а— длина радиуса-вектора и высота апогея;
г\ъ h\\— длина радиуса-вектора и высота перигея;
Доз, Д2—прецессия перигея и узла орбиты за один виток (рис. 19.2);
а— большая полуось орбиты.
Для расчета трассы эллиптической орбиты задаются шагом по истинной
аномалии (5°—20°) и по приведенным формулам находят координаты точек проекции. При
необходимости рассчитывать координаты с шагом по времени решают уравнение
Кеплера
Е — е sin Е = l(t — т).
При £^0,05 можно без потери точности расчета ло формулам (19. 1) пользоваться
выражениями, справедливыми для круговой орбиты (19.3) и (19.4), а при е<0,0015 —
также формулой (19.5). Максимальные ошибки расчета эллиптических орбит с
высотой перигея hn и высотой апогея /га по формулам кругового движения приведены
в табл. 19. 1—19.4.
562


Таблица 19.1
Ошибки расчета по высоте
Высота
апогея
Ла, км
400
600
Ошибки расчета по высоте
(в км) для различных высот
перигея hu, км
200
100
200
400
0
100
600
0
800
—
1000
—
Высота
апогея
ha, км
800
1000
Ошибки расчета по высоте
(в км) для различных высот
перигея hu, км
200
300
400
400
200
300
600
100
200
800
0
100
1000
0
Ошибки расчета вдоль орбиты
Таблица 19.2
Высота
апогея
/za, км
400
600
Ошибки расчета вдоль орбиты
(в км) для различных высот
перигея /*,„ км
200
200
400
400
0
200
600
0
800
1000
Высота
апогея
/?а, км
800
1000
Ошибки расчета вдоль орбиты
(в км) для различных высот
перигея /zr„ км
200
600
800
400
400
600
600
200
400
800
0
200
1000
0
Таблииа 19.3
Высота
апогея
/г а, км
400
600
(
)шибк.
\ расчета по времени
Ошибки расчета по времени
(в с
200
26
52
) для различных высот
перигея /i,„ км
400
0
26
600
0
800
—
1000
—
Высота
апогея
ha, км
800
1000
Ошибки расчета
(в
200
79
106
по времени
с) для различных высот
перигея hn, км
400
53
80
600
27
54
800
0
27
1000
0
Гиперболическая орбита (е>1)
и =■.: со + &;
е shH—H
< = т+ J- «
V7
а
.3/2
И , / е — 1 ft
а у а
е
AQ = 0
г
= a(echH— 1);
1 -f- e cos i
/7 = o(e2—l) = r(l +ecos&)=rn(l 4-6),
где а — действительная полуось гиперболы.
563


Таблица 19.4
Высота
перигея
Л„, км
100
200
300
Высота
апогея
Ла, км
200
300
400
500
1000
300
400
500
1000
400
500
1000
Ошибки расчета в боковом направлении
Боковое отклонение подспутниковой точки
Наклонение i = 50°
для широт
30°
3,5
6.9
10,4
13.9
32,0
3,'5
7.0
10,5
28,5
3,5
7,1
25.1
45°
1,8
3.5
5,3
7,1
16,3
1,8
3,5
5,3
14,5
1,8
3,6
12.8
Наклонение i —
для широт
30°
4.9
9,9
14,8
19,8
45,4
5,0
10.0
14.9
40.6
5,0
10,0
35,6
45°
3,9
7,9
11,8
15,8
36,2
3.9
7,9
11,8
32,3
3,9
8,0
28.4
в км
75°
60°
2,7
5,2
7,7
Ю,3
23,6
2,7
5,2
7,8
21,0
2,7
5,2
17,6
Параболическая орбита (е=
и = со + &;
3
1)
t = x +
»2 = 0:
г =
21/",:
р
ls-f +
tg3
i>
1 + е cos &
2cos2
-^-(l+tg2
Хч
P = 2>*п.
Ошибка расчета трассы по приведенным выше формулам составляет несколько
угловых минут на одном витке.
На рис. 19. 3 приведен график зависимости
периода обращения Т от высоты полета h по
круговой орбите (или средней высоты полета)
и скорости полета V для круговой орбиты.
При построении трасс полета ИСЗ
целесообразно рассчитывать трассу только одного
витка. При этом если известно начало какого-
либо витка, например первого, то при расчете
принимают Q = 0 и 50=0.
Последующие и предыдущие витки могут
быть получены путем сдвига трассы на долготу
начала /г-го витка
4J
35
30
25
V
км/с
у ,
О
\7
\ 1
5~-
1
1
!
i
V
/
/—
10
5\1
Lu = Li
■(»■
/ cos t \
20\4-—t
3
0 10000
30000
50000 h, км
где L\—долгота начала первого витка;
п — номер витка;
с7 = 0,25068 град/мин= 15,0411 град/ч;
d=—2,378- 107 град-км2.
Рис. 19.3. Изменение периода
обращения Т и скорости V полета в
зависимости от высоты h круговой
орбиты
564


0
ft
N -о
о
ОС.
--.о
1
to
1
CO
Oj
_J
1
o>
1
en
_J
1
4-
Oj
3-
-1
to
_,
1
cm
Oj
CJ5
,_
О
Oj
*0
о>
1
,-^-г
К
о-
"О
о
о
2
565


Взаимное положение трасс, рассчитанных по формуле . (19.6), представлено на
рис. 19.4 в виде зависимости долгот начал ьитков Ln от наклонения i и периода
обращения Т. Цифры на линиях графика соответствуют номерам витков полета.
Влияние тормозящего действия атмосферы на период обращения может быть
учтено по формуле
т = т0-^ьт,
где Т — текущее значение периода обращения;
Т0 — начальное его значение;
6Т — падение периода обращения за один виток.
в,*
60
JU
0
-J0
-60
-ал
рад
8К 7Л
г\
\ 6fi
г\
, sb
/1\
V *Т
г\
V J]S
/А
1—WU мин
С =65°
хУх/\
V \/л гу
, Ж /jL у
А Д/ 7V В\
/9\ Д Д Л
\7J/
\ГУ
чу
\ П/
зу
\wA
А/
9А
;\
-180° -90° 0 90° L,zpad
Рис. 19. 5. Трассы полета ИСЗ на низких орбитах
Трассы полета для некоторых характерных орбит приведены на рис. 19.5, 19.6,
19.7, 19.8.
Для расчета элементов орбит удобно пользоваться линейными формулами,
аппроксимирующими значение элементов на некотором интервале. Эти выражения имеют вид
Х = АХУ+ВХУГ, (19.7)
где X — искомое значение параметра орбиты;
У—известное значение параметра орбиты;
Аху, Вху — постоянные коэффициенты (берутся из табл. 19.5).
А град
i=*65°
Г = 40Л
т=гчн,
Г=72Л ,
Г= 8h .
е=0
h— 61 тыс. км
h=*36 тыс. км
Н—19 тыс.км
h — 16 тыс. км
-180
L, град
Рис. 19. 6. Трассы полета ИСЗ на высоких круговых* орбитах.
Цифры означают номера витков
566


В табл. 19. 5 приведены значения коэффициентов для интервалов
100 < п < 1000 км, 7,35 < V < 7,85 км/с,
86,4 < Т < 105 мин, 21,6 < \L < 26,3 град,
6471 < а < 7371 км,
где AL — разность долгот соседних витков.
В табл. 19. 5 указаны также предельные ошибки расчета по линейным формулам.
Примеры пользования линейной формулой (19.7).
В, град
(1=25400 км, е=0,78} 1 = 65° w^270c
40
-4/7
-80
1 «7
\2800o*
шо//
3000 1
ft .705У7Л
38000
ft20000
1 \б000
*—>1 ■—'
h = 700км
500у
"1
16
зооо}
Хзоо
33000
28000 J&jg5
00о//\38000
/f20000
ХбООО
00
700
500у
3000f\
г 800
-180
-90 0 90
Рис. 19. 7. Трасса полета ИСЗ типа «Молния»
1,град
1. Пусть известны высота перигея /in = 700 км и высота апогея /га=900 км. Тогда
период обращения может быть найден по формуле (см. табл. 19.5, столбец 2,
формула № 1)
К + К
T = ATh + BThh, где А = •
Взяв значения коэффициентов из столбцов 6 и 7 и значение ошибки из столбца 4,
по:\\ чим
/700+900 \
7=84,2 + 0,0207
)
= 100,76 + 0,1 мин
(без учета возмущений)
В.град
16100 L
21000
Ух=16000км, e=lj, 1=65° | | moo
h=423600KM
+
30
-30
-60
27500*^^16100
Рис. 19.8. Трасса полета ИСЗ на гиперболической орбите
567


Таблица 19 .5
Си
О
Линейные
формулы
Формулы
кеплеровского
движения

Предельные
ошибки
линейных
формул

относительно
кеплеров-
ских
Преде ль-
ные
ошибки
кеплеров-
ских
формул,
если не
учтено
сжатие
Земли
Вх
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
568
IT-.
\Т:
\Т:
\Т:
Г
\h =
\а =
\а =
ATh + BThh
Ат а + ВТаа
ATl + Btl^L
Atv ~Ь ВтуУ
Ант + BhTT
AhL + BhLM
AhV + BhvV
AaT + BaTT
AaL +BaLM
T
T =
T =
T =
h =
h =
a ■■
\a =
= 2я
:2Л
(/? + h)
3/2
n
„3/2
p =
\m
\m
\m =
AL-.
\V =
\v =
v =
\v =
AaV + BaVV
= Ait + Z^jT
= ^£A + BLhh
= ALa + B£fia
= Л£К + ^£K^|
Аут ~Ь ВутТ
Ayh + #КАЛ
Л^д 4- ^ка^
^vi + BVLM
AZ,
2я[л
"Из"
И
^-2 - я
4я2
"»у-*|
2я2
К2
У 4л2
2я2 /
V2
= 27
[а =
AZ,
AZ, = 2rcQ:
,(*+*)'
з;2
AZ,=
AZ,:
2kQ
2щ&
ys
/2щ у/з
V
/
£+/*
к =
/2Jtp.Q\i/3
0,1 мин
0,1 мин
0,05 мин
0,32 мин
5 км
0,35 мин|
0,35 „
0,35 „
0,35 „
11
И .
Г
1,4'
1,2'
4,6'
9 м/с
7 я
7 .
21
21
21
21
21
21
0,6
0,6
0,6
0,6
км
'
'
я
■
"
град
я
я 1
я
13 м/с
13
13
13
я
"
"
54,2 мин
-47,7 „
-0,25 .
381,15 „
Ю66 км
-4074,5 .
14365 „
0,0207
мин/км
0,0207
мин/км
4 мин/град
—37,6
мин- км/с
48,3 км/мин
193 км/град
—1819 с
2305 „
2308 „
20763 „
0,06 град
21,1 „
11,96 .
95,66 .
10,137 км/с
7,898 „
11,402 „
10,135 „
48,3 км/мин
192,5
км/град
—1822 с
0,25
град/мин
0,0052
г рад/км
0,00519
град/км
—9,44
град-с/км
—0,0266
км/(с-мин)
—0,00055 1/с
—0,00055 1/с
—0,106
км/(с-град)


2. Найдем приращение скорости полета V при переходе спутника с круговой
орбиты, имеющей период обращения 7^=96 мин, на орбиту с Г2=101 мин. Скорости
на орбитах
v^Ayr + Byjii; f2-=AVT + BvrT2.
Следовательно,
AV = V2-V1 = BVT(T2 — Ti)= —0,0274(101—96)= —0,137 км/с ±0.0003 км/с.
В табл. 19. 6 приведены данные для расчета периода обращения с точностью не
хуже 0,1 мин (без учета возмущений) на средних высотах полета до 5000 км.
Таблица 19.6
по пор.
1
2
3
4
5
Диапазон высот
км
100- 1000
1000-2000
2000-3000
3000-4000
4000-5000
Значения коэффициентов
а\~а2
км
6471-7371
7371-8371
8371-9371
9371-10371
10371-11371
Атн
мин
84,20
82,81
80.09
76,24
71.35
мин
—47.65
—57.80
—69,18
—81.23
—93,90
мин/км
0,02069
0,02207
0,02343
0.02472
0,02594
На рис. 19.9 дана номограмма для определения параметров движения ИСЗ по
круговым орбитам.
На рис. 19. 10 представлена номограмма для расчета межвитковых
интервалов, а на рис. 19.11—номограмма для расчета суточных сдвигов трасс.
19.2. ЗОНЫ ВИДИМОСТИ
Зоной видимости называется область пространства, в которой измерительный
пункт видит космический аппарат (или космический аппарат видит пункт). Типичные
зоны видимости измерительного пункта и космического аппарата представлены на
рис. 19. 12 и 19. 13.
Между величинами, приведенными на этих рисунках, существуют следующие
зависимости:
h = R \ -
cos 7
р = arccos
cos (7 + Р)
R
}■■
*[
R + h
sin (a' + р)
cos 7
)■
Ф
Р = arcsin I — + 1 ) sin а' — а';
р= 180°-
(19.8)
(19.9)
(19.10)
(19.11)
(19.12)
. (R+h . ,\
где угол о = arcsin sin а I;
D**htga' (ошибка менее 2% при А< 1000 км и а'<25°).
Если имеет место ограничение в работе аппаратуры по наклонной дальности d,
то между параметрами, характеризующими зону видимости, существуют зависимости:
d
Prf max — arcsin
(-
' COS 7rf mln
где
bd max = (R2 + (& + 2Rd Sin id max)llZ - R,
$d max — максимальный радиус зоны видимости;
Id min — минимальный угол места работы аппаратуры;
hd max — максимальная высота полета.
Результаты расчета параметров зон видимости по приведенным формулам
представлены на рис. 19. 14—19. 17. Зону видимости удобно представлять проекцией ее
границы на поверхность Земли. Тогда пересечение трассы полета с границей зоны
видимости даст точки начала и конца видимости.
569


Зона видимости круговой орбиты представляет собой геометрическое место точек
на поверхности планеты, равноудалелных от пункта наблюдения. На картах
поликонической проекции зоны видимости представляют собой окружности (рис 19 18)
Н,км км/с
с-350 с
Л, п9 г
1/с off/cym с мин
Ё"7»77 \^0,00115
Е-7,72 к
F-J00 t-7f7J
\-0,001155 F
У—0,00116
ГГ15>* 5450 A
Vri5,g
-ff/
Формулы
A—£
Н,км
n-
Л
p
T=
2nr
зооА
E-7.7*
5400-
F-250
F-200
F-
t
F~
p
F
r
p
t^*
t
F
ЕГ
A
p
b-
p
E.
EL
|_
7,75
7,75
7,77
7,78
7t7Q
7,80
7,81
—0,001165
— 0,00117
_
— 0,001175
-
—0,00718
-
^
^—0,001185
i
z
— 0,00119
—0t001195
■16
\r16>1 5350 ^T
[-16,2
-16,4
5250-
-90
Схема
пользования
0т6етЛ
Дано
-89
25QA
Дано 3
4- Пример расчета
jT Дано: Ii=290 км
Jf 5300-^ ответ: V=7,7358км/с
К=0Ш1613 1/с
\—16,3 *- ' '
гооА
-вв п=15,928 о5/сут
Т=*5М0с =90,18мин 3
(90 мин 10 с)
с 750 c u *- -J Wfl-3
Рис. 19.9. (на 5 листах). Номограмма для определения параметров движения ИСЗ
по круговым орбитам (лист 1)
При использовании других проекций и для орбит, отличных от круговых,
построение зоны видимости может быть произведено путем расчета широты В3 и долготы L3
точек ее границы.
Для расчета границы зоны видимости должны быть известны координаты пункта
(широта Вп и долгота Ln) и элементы орбиты (эксцентриситет е, наклонение i,
фокальный параметр р, аргумент перигея со).
Широты точек границы зоны видимости выбираются с некоторым шагом из
диапазона ! i
В„-Ру<Ва<В„ + Ру.
570


■К
Л,
П -г
h,KM к м/с 1/с о5/сут с * мин
гг5д0 г
—
—•
~—
Mill
= J
Е~5£70
Е
—
~
Z~'
—-450
Е~
—~
-
—
Z
— 400
-
г~
z
г~
I
— 7,50
г- 7,^0
z-7,61
^-776Z
—
Е-
— 7,63
Z~7,64
Ъ-7,65
1-7,66
-
Ml|l
Ъ-Z67
Е~
§-7,60
|_
F
Е-^^
р
г
р
-
_
— 0,0011
-
—0,001705
— 0,00111
—0,001115
—0,00111
"~
— 0,001125
-
_
_
—0fl0113
-
-
—0,001135
}
— 0,00114
—0.001145
Z
— 15,1
Z 5700 —
— ~
__
— 15,1 Z
—
~ -
— 5650 —
- _Е
— 15,3 1
- 5600-
—15,4
— —
— 15,5 ~
Z 5550 -
-
^—75,6 Z
~ -
Z 5500 -
~
— 157 ~
_
-95
-94
-
_
-
-93
-
-92
b-J50 c-/,/« l ' "- ' •*-
Рис. 19.9. Номограмма для определения параметров
ИСЗ по круговым орбитам (лист 2)
Н?км
550 —
500 —
__"
450 Z
-Е
-
~
_Е
Е
400-Z
—-J
Zj
-d
Ч
н
z|
~ц
zl
350-^ I
движения
571


•,
А,
п>
i,*m км/с 1/с об/сут
гг750 г
Ё F
u Y
F Е
F t
t F
Е- г
U L
hr~ f
Р-7^
F
гттут
р
lZ
Е-
р
р
Г~~"
Ь~650
Р-
Р-
1
р
гг~
Р
trBOO
£
К~
u
Ff
F~
r-7,40 r
L
Г"7;^ [
—7,57
§-7,5Z
Ъ-7,53
5-
£-7,54
u
F-7,55
г~ .
F
Ъг~7?56
р
г
U
Р-7;57
Е~
Е-7,50
F- i
t-
—55/7
E-7.W
-0,00105 г
— 0 001055 \
) 1
-0f00W6
—0,001065
~~
— 0,00107
-
—0,001075
V-0,00108
г"
|_
р
[—0,001085
р
р
р
у-0,00109
у
L
[—0,001095
L
Г1Ц1Ч
1-14,5
— V4,6
_
—
—
~
~-т?
—
р
ГГ7^'8
р
L
[_
р
Р-74,0
р
Г"
Р-
р
у-15
г
L
Т
с
—L
-1
—Г
L
5950-А
ч
-[
—1
5900-А
5850-
—,
5800-
-
-
5750-
мин
-99
_
— 98
U
г
1-97
Ь
р
-Г"
j—
р"
р
р
1—96
р
_р
1—
Н,км
750-1
Ч
~э
н
—н
ч
—ч«
J
~ч
700 А
А
|
—^j
н
-н
-j
ч
Zj
650-А
ч
-3
н
_ч
ч
600- Ч
——1
ч
ч
ч
ч
н
J
550 -^
Рис. 19.9. Номограмма для определения параметров движения
ИСЗ по круговым орбитам (лист 3)


v, Л,
п'км км/с 1/с
~Z8DOf-6.6
\—2500
F-2000
-6,7
-68
-6,9
од/сут с час н,к*
2800-^1
Ь-0,00075. h
-10
8500-1
\г10>5 —Г
[—0,0008
L- #000 Ч
Ь-п
t~77;5 75^"
-2h20m
2500 -Ч
Y^-0,00085
F-1500
v-'7>1
F-7,2
-Z3
\—0,0000
-woo
P-0,00095 t"7J
-2h10m
2000 -4
-7Z
t~7Z^
/J00
\~0 001
-7M
t E ^ p-0,00105 t- 6000-f-
6500—L
. 13,5
h-№
■1h50m
1000-
•1h40m
700-
Рис. 19.9. Номограмма для определения параметров движения
ИСЗ по круговым орбитам (лист 4)
573


v, л,
h? км км/с 7/с
г-5000г
F-4500
н
-то
tr3500
-6j
М* U
п, Т
о5/сут с час
12000 —\—3h20m
-0,00055 \-
-7,5 11500-1
-0,0006
\—63
Егзооо
{—0,00065
-6А
\-е,5
t—Z800^ «—
Н7км
5000-п
~3h10m
'8,5
\—9
-0,0007
11000 —
10500—
10000-^
-ххлХа i i i i i i i i I i i i i I i i i i I i i
4500-
4000-A
2h5Dm
9500-
-9,5
LL- 9000-
3500-
-2h40m
-2h30m J000~~\
2800-
Рис. 19.9. Номограмма для определения параметров движения ИСЗ
по круговым орбитам (лист 5)
574


АЪ^град
Н,км
°&1гТт"
/С *т It
от яГТ г*
ZJ;J|II
п гЛ гг
mJJ
on с\ [Гг
^^Н44
<? 9 1
^ 1
J м |р
Jl
г
1 j j 1
TpbjJJT
1мт4ч1
1мгт44
ТрьЦЛТ
fjnNJJ
ТПгт44
11мт44
IP' Ix+X
TltnsT
MTrfll
1П*"Ч4-1
j|44JjT
jpUJTl
Jun-Tr
JT+|JTt
pK4JXr
-ITirfG
JTmt+4
TJHttXl
-Lm>U
ЛТпт4Д
IMnsJ^
! Mil II
TjpHJJ
^JrTm
LNT+4I
ггШТТ
LJmi^W"
МПт4ч
ГНгт-Ц
иПтЧч-
JjntJT
пЧ-ШТ
ПптЧч
1Гмт44
ТмтЧ-П
tjlrrXT
|т>1ГП"
1мт44П
т+ЧДЛт
IMrPtf
1
Trri
i i
i j
^
500
к50
400
J50
30G
*Ы250
200
150
Ц0
Ц5
50
55
60
65
70
75 80 85 ъ,град
Рис. 19. 10. (на 4 листах). Номограмма для расчета межвитковых интервалов
(лист 1)
575


9ZS
(Z iDHif) 90ii-Bed3iHH хиеояхиежэи ехэьэвб ви-tf bwwb<Ijowoh 01 '61 *3Hd
pvd2tri 58 08 £L OL G9 09 GG OG Gtr OP
nnJ г 1 I I I I m
006h\ l | | I I I I I
OOOPrA [|| I I | | | НмН
nnuU | | j j I I | | I | j | | | j | I | j j j | j j I j I I j H
nn? J I I I I 11 11 I I I I I I I I 114 IIII lliHtiffl
я/м/Шф I II 11111 I j |j j Ml 11111| 111 111171
шур+44 Ml j 1 1 1 И jljj Mm
г7/#/Щ-| 1 И 1 1 I 1 itt m
/7/7//ULLL |"4Н"+ф=Ы
™°' N M M 1 II 1 1 1 1 1 1 1 11
[ 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1111iГГ [ ]I 1 111 111 [ ] [ | ill
№FffH f 1 1 1 1 1 1 1 1 И 1 1 1 1 1 1 ГМТЛ
ooozW 1 11 I 1 144444-Щ-1 M M 1 1 1 II II II 1 1II 1 1 M II II 11 1 1 ! 1 1 11
Li и и 1 1 | 1 j [ | j | | | | | [ |( [ \\ | 1 1 1 1 1 1 I 1 | 1 |"t1i"| M i t1
/7/7/7 U I I I | I I I | M | | I | | | | | I | | | Ш
ПП7.?\ Ml I I I I I I M I I M 1 I I I I I
Г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
flfl£Zh|+44-[ | 1 1 1 1
ППЬ7.\ [| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1] 1 1 1 M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Ф1
ГГ"\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ПИП
ИХ Ц
gvdz'iv


LL4
69ce 6i
(g iDHir) eoiTBedoiHH хнеомхиажэде вхзьэвс! Hirf bimpmbcIjojmoh oi '61 '0Hd
дъйг'п 08 £1 OL £9 09 GS OS £b Ob
£/7.3zUU Ш1 1
f)/7/7LU^ Ш ММ
мьг\-\— Ц4-1 1 1 1 1111 МИГ
Q06Z Vh-\ Ш
лппри— — L [ j
/У/7/р[-[-[-|.| 1 1 1 [■[. 1 1 | 1 1 1 1JJ 1 1 1 J
OOZ£\
^ргптптт
/у/7^ррЫ j I 1 1 1 1
ms£ \\\\+[\\^-
T| j ! 1 1 1 1 |T i
009Г JM| 1 1 1 1 I 1 1 M
nn/ rH J 1
ппяА j ПТ
I i 4 1 1 ■ i 1 ■' i 1 1 1 H ■ i 1 i 11 ii i i i ■ ■ I
ммТмМ
INmmTT^^
Тггш
■ f ! 1 1 t t 1 j I 1 fi 1 j
'mi
1 ! 1 [ ТТТТгГг 1 1 I I 1 I I H
Г 1 1 I 1 1 1 1 'j 1 ' I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 i .Lit
1 1 j 1 1 ~ j 1 1 1 III]
Hill
1 1 1 1 1 j III 1 1 1 1 1 1 j 1 1 I I 1 1 1 1]
II 1 ! i
1 Г j j j j j I —J—|—1—j—1—j—1—1—1—|—^—1—1—J
11 [ 1 1 i 1 | 1 Ii мм
se
9£
M**E
8£
6£
Ob
lb
Zb
их ц
pnd2c 7 V


SL9
(^ XDHii1) eoiTBadaiHH хнеониажэм BishOBd Birtf EwwEdJOwopj oi *6l '^hj
pz)d2'i gs OS 91 OL 99 09 99 09 9b Ob
C06£ *
0/70 <7
00/£
OOZfj
00£f?
COf/fj
009b
009*7
QOL+i
OD8+7
D06f7
0009
j ;
4^-
; 1 1
I1 ' ' 1 ' 1
! i ! ■ ! ! !
ihili
■
*
—Rill i-b-f-
— ; " ! 1 I i ; j ! | ■
1 ! : , 1 ' : ! : !
_U : ii \-U
' ! I''
,' ' i 4
| i 1
Tit
.. i . i i
-i i-i i-l 1 1 1 i i J
--! -4-Uh
i ' 1 : 1
»■* , ■ I'i-rti
! ' i Г Г
i
■ i |
1 !
чт ^~н .тту
.i-i ■ , , i
г! ' ' i ■ j i : 1
|
L_j_
ГТ
j
T
i
г
т~+-
1 I
!
4—1-n
! ■ ' ■ ■ ' '
^O- 1 i ■ ,Г
h~rri i i ■ : ! ^~
! : ' i 1 i 1 i
rrr^i '^i ,|н
rl 1 ■ ■ ' 1 ■ ■ '■ ■ ;
'T
■■' 1"
_rT
4 ■' : i
"tH"
'II
i i i i i 1
l-h-H~r-h
, i ! 1
'' i: 111
i^
i
=f=
1 ■ ! ' ! 1-
1 ' 1 1 1 i.y^-
_)—|—_J—I-
it
j [
1 1
1 1 ' 1 1
, ' 1 i 1 i
: ! 1 i !
4 ' 1 1 ! !
i ! , ' 1
R^T
-M , | 1
4=4
i | i
i
!
I j
i
1
- 1 1 L
!
i 1
! 1 i ! " 1 1
, j i;' j 1
irm-
i 1
i
—+-
—i-
:
, i
■ I
i 1 i ■
i
J_
I \~Л~'Г~
.ill.
; 1 ' i
_L
-
—
-i-i
M
| | j 1
T 1 | i
1 1 ! 1
■11.. ■ ij j——
i5*8^™
1 I ■ ! '
1 !
ii..
' i < ' i !
■iji i, :il
i
I
N
I
1 I_
i
H^ ' 1
1
1
1
1 1
i
L_i- i
i 1 1 ,
1
I 1
4J-
T[
ГГ
i !
i
1 |
~H~
4 '
i i
"IT
II
II
1
I 1
j j
1
44-
T i |
i
т
-
{
i
T"
■~F
_
—
"
!
~f-
1
_d
""
—
"
i
i
1
i , , ,
|l
-Мм'
i
1
1
-t-ь
—]-r-
.1
4—4-
|—J-
44^
[ll
Н'ггТ
1 14-
1 I [FT
f 1 |
M ' 1
1
и
i i i j
i !
1 '
1 | I
1 H
i \ i
Щ
! j 4
Ш
\——'—j—j
i-i-l-H
j-j-m
-44-1-1
ЛЩ
!
f-LUJ
.1—j.
ин'ц
pvda'iv


AL, град
5
N46
h,KM
1 ' 'x^s4LIll 1 ' 1 I^SLI 1 1 1 I^SLI 1 1 1 TS-J 1 1 1 ITSI 1 1 1 T4J 1 1 1 T4»J III
1 ' 1 J i'^L M (pJ. iSsl TSsJ TSsl i*sl TSsl 1
rJ 1 1 1 1 1 |\J llSsl rSl TSsJ rpJ 1 isL iSv 1
PjSsJ I 1 Irsl PisL rsj IrsL TSsJ TSsJ 1 TSsJ
ilrsL 1 llSsJ Тгч. TSsJ TSsl tSv ' ГгЧи П
liSL IrsLJ TSsl [pJ TSsJ TSsl ItsJ
Kj f 1 psv! IrSJ ItsJ TSsl iTsl jpJ (KL
I'sl 1 ItsJ TSsJ I^L IiSsJ ' TSsJ TSsJ TSs
1 Tpi llSM Irsl 1 1 1 1 TSsl IrsL 1 IrSL ГгЧ_ И
Тгч- ill! Тг4»_ rsj irsL TSsJ isL TSsJ 1 \»
ы TSs.M Тг4_ M TSsL TSs. ' Ггч. TSsl irsl. Г
i'SsI iSvJ TSsl Trsi iSsJ ]\ rsL IX,
I ' ^i*sL 1 1 PtSM wl PtSsJ JThJ 1 mSw IrsL TSsl M
II' ITsL M 1 T>C liS«_ 1 M^i_ III! Trsi TSsJ IrsL
N 1 iSJ 1 TSsL MM jsl' 1 IT^Isl i ITsL Irs. TSsJ
1 S^sL 1 rSJ TSs_ il P^sJ 1 |xv Trsi 1 l>>_ rjsJ
; MisL 1 Ipisj I 1 IP^sl ■ i ' 1 r>J 1 ]>s_ isL (SsJ jtn
Ml TSSM i i ' MNkJ I 1 iSsi ! ' IrsL i Гт^рм TSsJ 1 iH. Mi
Ы J j I^Si 1 1 ifs^ ' М>о 1 TSsL (XSL IrsL TSsJ '
Ss i ^^si I M 'Ss! iM ^>sJ i TsL i 1^4 rNk. 1 1 1 iSvl
i ^TsL ' i | Irsl 'rsj Ml ItsJ TrsL Tn inJ iNl
ill ITS- 1 itSsJ 1 ' Т>ч_ 1 i ' lP4_ 1 TSsJ IyVsJ rsi II!
bs_ h iSsl IrsL M TSsJ III Тгч IrsJ ISSJ 1 1 1 TsL 1 1
M"*>J 1 I^Tsl 1 irsL i ! TSsJ J llSsJ M'SJ TlSsJ TrSJ i
' iPkJ 1 ' litsl 1 1 l*N_ lTsL Irsl TrsL f>4. PiS
1 j iSisJ ' II si i lSsl ^ГЧ. 1 TSsJ J ITSJ T I^nJ
Msl 1 M IrsJ jjsl j |SsJ I ItsJ iSsL Irs] IiW 1
1 IrN^! i4^ Mil Trsi |S[_ ' ' iSs. M ^rs_ Г>*. ^Ps_
1 1 i Plsi M i^L P^S. I iSsJ TSsJ P\[ TrsJ 1 1^1
1 III itrsJ Mil IrsL M ItsJ IP's. ' ^TsL its_ IPsL
ISsi M liSsi 1 Mlrsl llXwi |S] i I 1 TSsJ IrsL iSsJ
1 iirsi M jrsM 1 itSsi 'rsi 1 ! iSsJ 1 in». ' MrSv iSl i
1' (Тгч! i^sL rTSv_ |s[ | Irsl TSsJ Irsl In
III ITNsJ TSsJ TSsJ ! 1 1 iSsJ M !>»_ 1 t*s[ M psl 1
hsi 1 itSsi 1 Irsl IrsJ 1 MlSsi Irsl TSsJ 1 iNsJ I !
1 rTSsl M Ггчч! irSJ Ргч_ itS^M iSv ibsL i Ггч.i
! PiTsl rTSs_ ibsL ^SsJ |NJ TSsJ ^Ns' i i iN
Ll irrsi irsL TS*sl 1 Пх i iSsJ iSvl ! ' fS4! Ml
rsj PtSsi M TrsL TSsJ i IrsL' i irsL i TSsi iSv i
11 In. itSsJ TSv_ irsL T TSs_ rSs. M iS_ 1 irsl i
I iSsJ M TrsL irSsJ Ts^j P^Nl. TSsl TSs. iS
f M iTtsJ MM TtsI PtSs I PrsL TSsJ IrsL I iSJ 1
I i ir^K- TSvl TSsl 1 TSsJ irsl TSs. 1 isL
1 TS^Nl iiSs_ irsLi irsL iiS«J iSl ' TSsJ
lii TS^sL TrsL TS*sl iNsl TSsl 1 rSv! iNl
j I iSsL TS^ IMi TSsJ iSk. iSu ' TSsJ 1
M 1 II M M 1 II ! 1 iitsJ TSsl 1 iSs. iSsi TSsJ 1 PpsM
1 ' 1 I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 irsL 1 ! 1 1 1 isi i I TSs I rsl l *i I^n_ i>l i
11 TrsL 1 iTsl iTsL TSsl TSv ISsJ
M 1 11 1 1 II 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 TS*sl 1 iSsi TSsl iTsL ISsJ III
1 J TSsJ irsL iTsL TSsJ irsL i
I MM PrsL TSsl TSsJ irsL TSsJ i
1 1 1 1 II 1 M M 1 11 1 1 1 1 II 1 1 1 II PsJ lbs 1ГЧ TSs.1 ITS
1 i iSs_ TSsl \*'\ TSs. iSsl
M 1 1 II 1 1 II 1 M II 11 11 11 11 II 1 M i*sj irsL I' irsl irsL
fjjl it Ifillllll liiifJIfif 1 111 TSs.' TSsJ jsL TSsJ
Ml iTsL PrsL TSs. MPs
11 I I I 1 1 II 1 II II II II 1 1 M II 1 1 1 1 1 1 M TSs. TsL irsl T -
11 I I 1 1 1 1 II II II 1 1 II II II 1 II M II 1 II M irsL TSsl TsL i
1 M 1 II M 1 1 II I I 1 II 1 II 1 1 M II 1 1! II II is_ irsL TSsJ
11 I I 1 1 1 1 II II II 1 1 1 II l| II 1 1 1 TSsl TSv Mrs
ill iTsL ISsl
M 1 M II M M l| || 1 II II II II 1 M II 1 1 II II 1 1 II 1 TSsl irsL
и rtSsJ it у"
H f lill 1111111111111 IT П 1 H 1 111 MsJ Г4
11! 1 1 1 M II 1 II II II 1 II II II 1 1 1 II 1 1 II 1 1 II II 1 II II 1 1 Tsl
111 M II II II II 1 1 1 1 II II 1 M 1 1 • II 1 1 II ire!
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 iSv
Lill.1 L.U..I.I 1111 II 1 II 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
ЬО, Ь5 50 55 .60 65 70 75 80 85 L} град
Рис. 19. 11. (на 10 листах). Номограмма для расчета суточных сдвигов трасс (лист 1)
19*
579


N=18
Ы,град 4J 50 55 60 65 70 15 80 85 ъ,град
H4J 111M N M J И111M M! IN111111111ГТТ f'TTTi MINI
1 iN_' 1 | j 1 Г 1 i ' ' 1 M M
1 ' ' i 1 Гу1 1 i ' ' 1 1 i I 1 1 ' II 1 M M II 1 M II 1 1 И 1 II II M M M
jc ' 1 nSJ '|| 1 ! 1 i ! : и
TfsJJ XJJ ' i M N I 1 ' 1
| ! 1 | f^isJ 1 1 I 1 1 I"44»] I j j J J 1 1 | { [ I 1 } 1 t J 1 j | 1 i ' ' ' j
.i [ill Г"У1_ 1 F^vl 1 II M ll M 1 M M ' 1 ' I i ' ■ 1 ' '
Y7l 4ЧУ_ ill l^yJ 1 I |*У,| ' 1 M ■ M ' i 1 1 1
1 ryj Mill iSsJ i^y 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ■ ,r ' 1 1 ' ' 1 1 1
III 1 Ifl Pi ТУ ' |fsi I i ' ' 1 ' 1 ' ' 1 1 i 1
Mi rSU MrJ TrsL I I I I I 1 1 I I 1 1 I I ! 1 1 M M
ITvl 1 MrJ 1 Tvl lPsL ''I'M
tr 11 ГНу MrJ PtHsJ MtsJ MI 1
1 1 rHJ Пу| "TyJ Ггу] I 1 1 1 i i i i 1 1 1 ' ' '
LI J ' fry PiSsi IN Try Ггу MM ' | i и | | 1 Ч
iryj 1 irxL м*у>_ Тгч_ Trsi III 1 1 ' ' M ' ■' ' 1 1
! rSJ M rsj 1 ^sJ MrJ Ггу i M Ml i i t ! ' 1 1
jr 1 I Mlr*J till 1 ГУ.! 1 1 iSI PiS. ^^Sf МММ
si 1 ' Игу PtisJ II Try My. I i гУ ili
MTsL IrsJ Mis. МТУ 1 iSsJ Г\1 1 I J M | M .
1 '^^sj M PNsJ ! N MtsI МУ 1 I iSsJ M ' i M
1 I IrsL 1 ! 1 1 1 T4L 1 (ГУ ГГУ 1 |У1 I Г\| M ' M
iu M rjyi fi isJ Try [Ss[ j py I iNj 1 ! M
МУч! ' TyJ |Si Mrsi 1 ГУ] МУ 1 |N_| M
f 1 IrsL 1 1 II 1 ity. 1 1 1 1 1 TyJ 1 1 1 1 1 i\ MM 1 rsl MM by MM 1У Mil
ТНч! 1 ГмШ 1 rsl In ' |N1J j psJ |KJ
Y7liyL 1 itrsJ ТгУ Г NsJ PNsJ ' мУ i ГгУ I
1 l |"у1 J ^*Nsl Тту_ 1 Ггу 1 мгу ii ^ts_ Syl 1
III' ibyJ 1 1 1 1 Ггу 1 II 1 1 Ту) MM гу! MM ^y MM i\l 1 1 I 1 ту 1 1
•f* H ! PHI rHJ Гт>1 nSJ I iSl! ГН1 T>
^ rSLl 1 IfSsi Try 1 PSkJ ' ГЧ isJ rsj И
*° 1011 l lyJ I II I iSL M | | j Trsi I I I I iSi II I I Гу III! lis! II I I Ту. i M I
a II I mH-IJ ' НШ Ini Tm4J MM ' ТШ ' I "№ 4
PS4M I iisJ M Мгу_ PNsJ ity M Гу! f\j M ' i
V I I l^rr^i |yJ_ IrsL 1ГУ IrsJ I I IrsL MM гУ I I
■ ft Пул ! ГУ1 T>J MtsJ MSI MWJ SvJ 1
tb к мг>1 i Hi rHJ TH 1 >1 1 >[ ' Г ту
5 rrHL 1 Hi THi ?HJ iHL iNJ rHJ 1 n
1 T^sw MI ^*sL M ily iSs. 1 гу MM 1У J Py I
ci> t I 1У , м i yj iy_ ^^ч_ И ч i^sL MM (У_ i ' ' ■ iN 1 '
-^ 1 n LI I I I I ГУ^ M ' ' \ TrsJ I I I I ! гУ Mil Syl II II ГУ. I I I I ^L i M i ' У. i I
^^nHl4 I ^yi ! iHL i ГHи l HJ iN iN I i IN
^ iN >lЧ m>L ■ HL mTH i>1 m\ 'l И
7 I IHy '^t-U ' Гм"Н ' TrH I IrU 4 ' It ' I' ; ЧП
о Ггу! М' ' ■ iSs_i iSsJ mSi I I m ^Nl I «SI i i I^Su I I ' ^N
I iNsJ II ^"y/ I iSJ 1 ту Ту I l^>v' ; i ^^vi 1 1 '
1 МТУ Mi ^NsJ ' I Mrsi I iSki ГгУ ' ' |SJ i ' I I |У< 1
LM i M ryJ 1 I PrsL 1 1 1 1 1 Ту Ггу 1У1 гу' 1 ^4y 1
ImsJ_ Mm lNy_ M iTy ГгУ iSsJ [\| j mSL 1 I 1 iN
Я 1 My MM 1 iHsI iSL 1 mSI rkl I 'yj ^SssJ Ml
1 i^NsL MmnL mSL TtsJ ini 1 mSI I i\ 1
гЧ_' 1 IrsL Mrsi Mrsi ГгУ rrsl MSMl I TSsJ
I l"N Р*1У_ Mrsi MStsJ Trsi iSI [\[ iN
1 1 1*Н_1 nsj PNsJ PNL ГК1 MtsJ MSM 1M1
7 M III Tisl 1 Ггч M ГгУ Trsi iSI PrsI Irsl !
Ц 1 1 irsL TSsJ Trsi i>J iN. Гу гу
1 TrsLMill r^'sJ rpjj iSsJ iSL mSI Гту TSsj
11 M^yL' I irsl mSL PNL MStsJ Ггу_ TN, i i
I M 1 1 i4"4^ 1 1 1 1 IrsL 1 1 1 1 1 TrsJ ITS 1 PSJ |У1 iSi
^ sL Mill Try Try irsl PItJ rSsl ryJ ^SsJ
Гмгу Тту TrsL Ггу mSL 11 PSL iSL 1 ! Г\
1 |к[ Тту TrsL Mil TrsL Ml r>J TSsJ Гу М '
1 1 Trsi. 1 1 1 1 1 1S4J 1 1 1 1 l4*»^ 1 1 1 1 1 ГУ. 1 I * IrsJ 1 1 1 1 TsJ ' I 1 jsJ j 1
li 11 1 Trsi III l гу Prsi 1111 Ггм It i 1 iy_l rsl | 1 rsi
с LjSsJ 1 _L 1 1 1 гу 1 1 1 J_l. _CtsJ _MI. 1 1 rvt I 1 1 In MM pvI 1 1 1 ТУ1 1 I I rv
Н}км
420
mo
390
J80
370
360
350
3^0
330
250 260 270 280 Z90 300 JW J 20
Рис. 19. 11. Номограмма для расчета суточных сдвигов трасс (лист ?)
580


Л17 град
> 17
N=15
12
40
I I I I I I I I ! г м I I I г I ~ I I I ! I II M I I I i I I I II I I I I rnrJ
45
Рис. 19. 11,
50 55
Номограмма
60
для
65
расчета
75
80
85 ly град
70
суточных сдвигов трасс (лист 3)
581


Величины Р; рассчитываются по формуле (19.9),
const для круговых орбит,
где hj =
■ е cos ft /
R для некруювых орбит,
sin B3
fry = arcs in —;—— — о.
Долготы точек границы зоны видимости к западу (L3.3) и востоку (L3.B) от пункта
•наблюдения рассчитываются по формулам:
А\ при А\ > — я, ( А2 при Аъ < я,
2я—А\ при ^1<я, З'в \ Л2 — 2я при ^2>я,
arccos Су при С/ > О,
^i = £„ — Ау; Л2= £И + Ау;
я — arccos Су приСу<0,
Су = -
cos?;— sin#3 sin Я,
A L, град
22
20
18
/6\
АГ=/4
/4
со
5 Л
I 2
4- о
«о
с»
со
съ
111111111111111111111 ШИПИ m тми тми ПТмтп
h,KM
1100
1080
1060
1040
1020
1000
980
960
940
920
900
880
860
840
820
800
180
760
740
720
700
40 45 50 ' 55 60 65 70 75
Рис. 19.11. Номограмма для расчета суточных сдвигов
80 85 ь7грай
трасс (лист 4)
582


ЛL ,град
22
20
М=13
18
16
14
12
№
3-4
+ О
Г
«о
W
\ \ \ \ \—г i I \—I I I—ММ—I—I—г~Ч—I———I—I——I—I—I——I—I——I I \——г-Н—г—РЫс—(—1—I—f-^^Цч
40 U5 50 55 60 65 10 15 80 85 1,2 рад
Рис. 19.11. Номограмма для расчета суточных сдвигов трасс (лист 5)
58а


АЪ.град
19
N=12
Рис. 19.
11.
SO 55 60 65 70 75
Номограмма для расчета суточных сдвигов тр
80 85 L, грай
асе (лист 6)
584


Для контроля правильности построения зоны видимости необходимо учитывать
следующие ее свойства.
1. Зоны видимости на поверхности планеты симметрично расположены
относительно меридиана пункта наблюдения, между параллелями +i и —L
2. Границы входа КА в зону видимости и выхода из нее совпадают между собой
для круговых и эллиптических орбит с о)=(2/Ч-1) я/2, где k = 0, 1, 2, .. .
(1
С]
о
С
1
с
С
Q
i
5
At7град
Нлгтт"
^^L [4-4-
* 1"»М
ч о Г.
с Г
Ьп и-
» H+fft
* '{ Г
^ 1 L
. л 1 [ | | Y
г> | "
1 1 ] 1 1 1 1
**Н -р
: 5| 1 1 1 ГЬ
j Г1 1 1 1 Н
i II 1 | I f-
о г г
* JJ,! 1 1 1 II
i 'U\ ГТ
1 Г
j 77Г 4=
г ВШх
j II
- 1Ч\ I 1 f
> 1 1 1 1 1 1
ffil.l 111,
—1——L If
-- 1 1 1 1 1 1 у
J 1 1 1 1 1 т~
J LT
xfc
X
■ 1 -
N
-C
■ 1 —
- 1
T"
/
"1 H
rn
-йи
Ztn
—r—i—4
111
111
tB
ffl
±0
2^00
2050
-П2300
2250
2200
2150
2100
2050
2000
1900
kO U5
50 55 60 65 JO 75 80 85 l, град t>
Рис. 19. 11. Номограмма для расчета суточных сдвигов трасс (лист 7)
3. Если текущая широта орбиты КА В,->я—(Bn + Pj), то соответствующая ей
параллель целиком лежит внутри зоны видимости. В этом случае КА проходит через
зону видимости пункта наблюдения при всех возможных положениях трассы.
4. При облете планеты по гиперболической орбите пункты, с которых перигей
не виден, имеют только границу входа зоны видимости при движении КА по восходящей
ветви или только границу выхода — при движении КА по нисходящей ветви.
Пункты, с которых перигей виден, имеют обе границы (входа и выхода).
На рис. 19.19 и 19.20 приведены зоны видимости при полете спутников типа
«Восток» и «Молния».
На рис. 19.21 представлены зоны видимости при облете Земли по гиперболической
орбите.
585


Д L, град
20
N=10
ЬО 45
Рис.
50 55 *• 60 65 70 75 80 85 ъ.град
19. 11. Номограмма для расчета суточных сдвигов трасс (лист 8)
586


Л1; град
20
N=9
h,KM
3700
3600
3500
3400
3300
3200
3100
40 45 50 55
Рис. 19. 11. Номограм
**3000
60 65 10 75 60 85 1%град
ма для расчета суточных сдвигов трасс (лист 9)
587


ДЬ?град
N=8
МО U5 50 55 60
Рис. 19. 11. Номограмма для ра
65 70 75
счета суточных сдвигов
80 85 ь7грас/
трасс (лист 10).
588


Рис. 19. 12. Зона видимости
измерительного пункта
к,км
Рис. 19. 13. Зона видимости ИСЗ.
1500
1000
400
о /о
ч /
\\
1
' о / о
if/
1Я
/.
'4/
~"i
/ о
i
i
о /
у
i
о /!
0 50° та. 1500. то 25д0 ?т 3.500 ЩУУ>™
0~ 5 10 15 го Й 30 J5 ^уград
Рис. 19. 14. Зависимость размеров зоны видимости от
высоты полета ИСЗ и угла места на измерительном
пункте у
h,KM
30000\
j
гооот
Рис. 19. 15. Зависимость размеров зоны
видимости от высоты полета ИСЗ и угла
места на измерительном пункте
5 д-Ю^км


h,KM
1500
WOO
500
с
г*
in
1
I
I
IP
r
J
1
'A
/y
£z
,i/
/
/
/
f
y(
s
4A
&y
^T
tjf
\°
У-
^=70°
500
WOO
1500
В, им
Рис. 19. 16. Зависимость размеров зоны видимости от
высоты полета ИСЗ и угла обзора а'
п,нм
30000
20000
W000
5000
IfOQQ
3000
2000
won
У z/ j
/\ !
У j j у
у
\
/i : .
4/
/4A
У v*4
/j
\/
0
/l
X 1
0 ^
,
LS*
u
HI||Ni||l||
10 IN-
J ILL
УГМ Tff
I
Ujl
1 Mhi
1 I '
^Уш Hi
/ 1,5 2 5 B'W'3,Kh
70 15 20 30 UO 50 6070 90
|2>> zpafl
Рис. 19. 17. Зависимость размеров зоны
видимости от высоты полета ИСЗ и угла
обзора а'
590


Граница зоны видимости ИСЗ
с высотой полета Ь=500км
при угле места у=70° I
л* Граница зоны
"* при И=300км
' у=10°
Масштаб' 1-25 000000(3 1см 250км) ._ 0 _ 0
250 0 250 500 750 1000 1250км 1-65 , у —10
UI 1 I II „■ I Г - I I ,'--,Д
Рис. 19. 18. Зоны видимости и трассы на карте поликонической
проекции
В, град
\65
60 L?2pad
Рис. 19.19. Зоны видимости Москвы (—), Белграда ( ), Каира
( ), Порт-Судана (...) и Найроби (-'---) при полете ИСЗ
типа «Восток» (h = 300 км; * = 65°; £=0)
591


-во
по 1,град ,
Рис. 19. 20. Зона видимости Москвы при полете КА типа «Молния»
(7=12h; i = 65°; e = 0,75; (0 = 325°)
В, град
\657
-65
Рис. 19.21. Зона видимости Москвы (—) и пункта на экваторе ( )
при полете КА около Земли по гиперболической орбите (а= 16 000 км-
£?=1,5; (0 = 0°; / = 65°)
L-ggg!^X/\
\у
285°
to=JZ5° ^-^
t',« .
11
р
з
\
180
-90
90 L3t град
Рис. 19.22. Диаграммы прохождения спутников типа «Молния*
через зону видимости Москвы
592


19.3. ВРЕМЕННЫЕ ДИАГРАММЫ ПРОХОЖДЕНИЯ
При запусках КА возникает необходимость определить время прохождения КА
?(ЬЭ) через границы зоны видимости пунктов. График зависимости f(L3) называется
диаграммой прохождения; здесь f — время начала (конца) видимости, отсчитываемое
от момента прохождения КА над экватором, L3 — долгота точки пересечения
восходящей части орбиты с плоскостью экватора.
Диаграмма прохождения может быть получена геометрическим построением и
расчетом. Геометрическое построение осуществляется следующим образом. Трасса
с временными метками наносится на кальку и перемещается по карте вдоль полосы,
ограниченной параллелями +i и —i. Метки времени в точках пересечения границ зоны
видимости с трассой соответствуют ?, а долготы точек пересечения экватора с
восходящей частью трассы орбиты — величине La.
Диаграмма прохождения рассчитывается по формулам
Т sin B3
—— arcsin
2я sin /
£/-
■ е ( sin £; — sin еэ)
Hj — Нэ — е (sh Hj — sh Нэ)
1 1 1
2v
для круговых орбит,
для эллиптических орбит,
для гиперболических орбит,
для параболических орбит.
Здесь
где
sin ft/ТЛ — <?2
bj — arcsin—;—; = arccos
COS ft /
Eg = arcsin -
Hi
arcsh
Нэ ~ arcsh
1 + e cos ft
Sin <o]/^l —£2
1 + e cos w
e sin ft;
1 + e cos ft;
e sin аз
1 -f e cos о
• = arccos
1 + e cos ft;
e + cos o)
1
- e cos w
arcsh
= arcsh
e + cos ft;
1 + e cos ft;
e + cos &
1 -f e cos о
bj + o>;
a
^-з.в —
A/l =
Ъ'
я-
Л;2 = <V
v = ;
Л/1 + A;2
Д/i + д;2,
при Bj+i — Bj > О,
При Б;+1— S;<0,
tgB;
5' = arctg-
tg<*
На рис. 19.22 представлены диаграммы прохождения спутников типа «Молния»
на полусуточных эллиптических орбитах (со=285° и 325°) через зону видимости
Москвы при y=10°.
На рис. 19.23 приведены диаграммы прохождения спутника «Молния-1» (со=285°)
через зону видимости этого же пункта, но при у =10°, 20°,..., 80°.
На рис. 19.24 даны диаграммы прохождения спутника «Молния-1» через зону
видимости пунктов, в качестве примера условно размещенных в северном полушарии
на широтах Вп=10°, 30°, 50° и 70° на меридиане Москвы при у=1^0- Диаграммы
прохождения пунктов, расположенных на других меридианах, могут быть получены
смещением соответствующей диаграммы на разность их долгот.
Для получения на диаграмме времени входа в зону видимости или выхода из нее
необходимо через соответствующую долготу пересечения восходящей части орбиты
с плоскостью экватора провести прямую, параллельную оси ординат. Точки пересечения
593


указанной прямой с соответствующей линией Y=cons^ ДаДУт искомые моменты
времени.
Для определения параметров зон видимости межпланетных КА удобно
пользоваться диаграммой, представленной на рис. 19.26.
-780 -90 0 90 L3, град
Рис. 19.23. Диаграммы прохождения спутника типа «Молния»
через зону видимости Москвы при различных углах места у
По оси абсцисс отложены широты пунктов Вп, а по оси ординат максимальное
значение угла места Ymax и продолжительность t пребывания в зоне видимости.
Диаграмма соответствует минимально допустимому углу места Ymin = 5°. Параметром
кривых служит текущее склонение д КА, движущегося по гиперболе удаления.
Рис. 19.24. Диаграммы прохождения спутника типа «Молния»
через зоны видимости пунктов, условно расположенных в
северном полушарии на меридиане Москвы
594


595


ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
ВАЖНЕЙШИЕ ЕДИНИЦЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ (СИ)
(по проекту ГОСТа .Единицы физических величин")
Наименование величины
Размерность
Единица
Наименование
Основные единицы
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Термодинамическая
температура Кельвина
Сила света
L
М
Т
I
е
j
метр 1
килограмм
секунда
ампер
кельвин
кандела
Дополнительные единицы
Плоский угол
Телесный угол
Производим
Площадь
Объем
Скорость
Ускорение
Частота
Частота вращения
Угловая скорость
Угловое ускорение
Производи
Плотность
Удельный объем
Динамический момент
инерции
Количество движения
Момент количества
движения
Сила
Момент силы
Импульс силы
Давление
Работа (энергия)
Мощность
Массовый рас хот
Объемный расход
—
—
радиан
стерадиан
е единицы пространства и времени
L2
L3
LT-i
LT-2
Т-1
Т-1
Т-1
Т—2
квадратный метр 1
кубический метр
метр в секунду
метр на секунду в квадрате
герц
секунта в минус первой
степени
радиан в секунду
радиан на секунду в
квадрате |
ые единицы механических величин
L-3M
L3M-1
L2M
LMT-i
L2MT-1
LMT-2
L2MT-2
LMT-i
L-1MT-2
L2MT-2
L2MT-3
МТ-1
L3T-1
килограмм на кубический
метр
кубический метр на
килограмм
килограмм-метр в квадрате
килограмм-метр в секунду
килограмм-метр в квадрате
в секунду
ньютон
ньютон-метр
ньютон-секунда
паскаль
джоуль
ватт
килограмм в секунду
кубический метр в секунду
596


Продолжение
Наименование величины
Размерность
Единица
Наименование

Обозначение
Производные единицы тепловых величин
Количество теплоты
(энтальпия, внутренняя энергия)
Удельное количество теплоты
Теплоемкость системы
Энтропия системы
Удельная теплоемкость
Удельная энтропия
Удельная газовая постоянная
Тепловой поток
Коэффициент теплообмена
(теплоотдачи)
Температурный градиент
Теплопрово чность
L2JWT-2
L2T-2
L2MT-20-1
L2MT-20-1
L2T-20-1
L2T-2B-1
L2T-20-1
L2MT-3
мт-зе-i
L-16
LMT-3B-1
джоуль
джоуль на килограмм
джоуль на кельвин
джоуль на кельвин
джоуль на килограмм-кель-
вин
джоуль на килограмм-кель-
вин
джоуль на килограмм-кель-
вин
ватт
ватт на
кельвин
квадратный метр-
кельвин на метр
ватт на метр-кельвин
Дж
Дж/кг
Дж/К
Дж/К
Дж/(кг-К)
Дж/(кг-К)
Дж/(кг-К)
Вт
Вт/(м2.К)
К/м
Вт/(м-К)
Производные единицы световых величин и величин энергетической фотометрии
Световой поток
Световая энергия
Освещенность
Светимость
Яркость
Количество освещения
Энергия излучения
Энергетическая
освещенность (светимость)
Энергетическая сила света
Энергетическая яркость
Спектральная плотность эьер
гии излучения (по длине волны)
Спектральная плотность энер'
гии излучения (по частоте)
J
TJ
L-2J
L-2J
L-2J
L-2TJ
L2JWT-2
МТ-з
L2MT-3
МТ-з
LMT-2
L2MT-1
люмен
люмен-секунла
люкс
люмен на квадратный метр
кандела на квадратный метр
люкс-секунда
джоуль
ватт на квадратный метр
ватт на стерадиан
ватт на
стерадиан-квадратный метр
джоуль на метр
джоуль на герц
лм
лм-с
лк
ЛМ/М2
КД/М2
лк-с
Дж
ВТ/М2
Вт/ср
Вт/(ср-м2)
Дж/м
Дж/Гц
Производные единицы величин в области ионизирующих излучений
джоуль
Энергия ионизирующего из-1
лучения
Доза излучения
(поглощенная доза излучения)
Мощность дозы излучения
\" Интенсивность излучения
Плотность потока ионизирую-]
щих частиц
L2MT-2
L2T-2
L2T-3
МТ-з
L-2T-1
джоуль на килограмм
ватт на килограмм
ватт на квадратный метр
секунда в минус первой сте
пени-метр в минус второй
степени
Дж
Дж/кг
Вт/кг
ВТ/М2
С-1-М-2
597


Таблица 2
ЕДИНИЦЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ К ПРИМЕНЕНИЮ НАРАВНЕ С ЕДИНИЦАМИ СИ
Наименование величины
Масса
Время
Термодинамическая
температура Цельсия
Плоский угол
Телесный угол
Объем
Скорость .
Частота вращения
Работа (энергия)
Объемный расход
Единица
Наименование
.
тонна
центнер
минута
час
сутки
неделя
месяц
год
век
градус Цельсия
полный угол
прямой угол
градус
минута
секунда
полный телесный угол
литр
километр в час
оборот в секунду
оборот в минуту
киловатт-час
литр в секунду
Обо-
значение
т
Ц
мин
ч
сут
нед
мес
год
век
СС
о
—
л
км/ч
об/с
об/мин
кВт- ч
л/с
Значение в единицах
СИ
103 кг
100 кг
60 с
3600 с
86400 с
7 сут
от 28 до 31 сут
12 мес
100 лет
—
2л рад—6,283185 рад
я/2 рад--1,570796 рад
я/180 рад-1,745329-10-2
рад
я/10800 рад
я/648000 рад
4я ср^ 12,56637 ср
10-з мз
0,277778 м/с
1 -с—1
0,01666667-с-1
3,6-ЮГ) Дж
10-3 мз/с
Таблица 3
ЕДИНИЦЫ, ВРЕМЕННО ДОПУСКАЕМЫЕ К ПРИМЕНЕНИЮ (до 1975 г.)
Наименование
величины
Длина
Сила (сила тяжести)
Момент силы
Давление
Работа (энергия)
Мощность
Количество теплоты
Удельное
количество теплоты
Теплоемкость
системы
Единица
Наименование
ангстрем
килограмм-сила
грамм-сила
килограмм-сила-метр
килограмм-сила на
квадратный сантиметр
миллиметр ртутного
столба
бар
килограмм-сила-метр
ватт-час
килограмм-сила-метр
в секунду
лошадиная сила
калория
калория на грамм
калория на градус
Цельсия

Обозначение
о
А
кгс
ГС
кгс-м
к гс /см2
мм рт. ст.
бар
кгс • м
Вт-ч
кгс • м/с
л.с.
кал
кал/г
кал/сС
Значение в единицах
СИ
10-ю м
9,80665 Н (точно)
9,80665-Ю-з Н (точно)
9,80665 Н-м (точно)
98066,5 Па (точно)
133,322 Па
105 Па
9,80665 Дж (точно)
3600 Дж
9,80665 Вт (точно)
735,499 Вт
4,1868 Дж (точно)
4,1868-103 Дж/кг
(точно)
4,1868 Дж/К (точно)
598


Продолжение
Наименование
величины
Единица
Наименование
Обозначение
Значение в единицах
СИ
Удельная
теплоемкость
Тепловой поток
Поверхностная плот-|
ность теплового по
тока
Теплопроводность
Доза излучения
Мощность дозы
излучения
калория на
грамм-градус Цельсия
калория в секунду
калория в секунду на
квадратный сантиметр
калория в секунду на
сантиметр-градус Цель
сия
рад
рад в секунду
кал/(г-°С)
кал/с
кал/(с-см2)
кал/(с-см°С)
рад
рад/с
4,1868-103 Дж (кг-К)
(точно)
4,1868 Вт (точно)
4,1868-104 Вт/м2 (точ.
но)
4,1868-102
(точно)
0,01 Дж/кг
0,01 Вт/кг
Вт/(м-К)
Таблица 4
МНОЖИТЕЛИ И ПРИСТАВКИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ
И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ И ИХ НАИМЕНОВАНИЙ
Множитель
1000 000 000 000-1012
1000 000 000-109
1000 000 = 106
1000 = 103
100-Л02
10— 101
0,1-10-1
Приставка |

Наименование
тера
гига
мега
кило
(гекто)
(дека)
J (деци)

Обозначение
Т
Г
м
к
г
да
д
Множитель
0,01=10-2
0,001-Ю-з
0,000 001-10-6
0,000 000 001-10-9
0,000 000 000001= L0—12
10-15
10-18
Приставка

Наименование
(санти)
милли
микро
нано
пико
фемто
атто

Обозначение
с.
м
мк
н
п
ф
а
Таблица 5
ВАЖНЕЙШИЕ ЕДИНИЦЫ СИСТЕМЫ СГС И ДРУГИЕ ЕДИНИЦЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ
Наименование величины
Единица
Наименование
Обозначение
Значение в единицах
СИ
Длина
Масса
Площадь
Объем
Скорость
Ускорение
Плотность
астрономическая
единица длины
световой год
парсек
грамм
квадратный сантиметр
кубический сантиметр
сантиметр в секунду
сантиметр на секунду
в квадрате
грамм на кубический
[сантиметр
а. е. д.
св. год
ПК
г
CM2
смз
см/с
см/с2
г/смз
1,49600-ЮИ м
9,4605-1015 м
3,086-1016 м
10-з кг
10-4 М2
10-6 мз
10-2 м/е
10-2 М/С2
103 KTfU6
599


Продолжение
Наименование величины
Сила
Момент силы
Давление
Работа (энергия)
Мощность
Напряженность
магнитного поля
Количество теплоты
Электромагнитная
энергия
Удельная газовая
постоянная
Поток излучения
Энергетическая сила
света
Энергетическая яркость
Единица
Наименование
дина
дина-сантиметр
дина на квадратный
сантиметр
эрг
эрг в секунду
эрстед
эрг
электронвольт
эрг на грамм-кельвин
эрг в секунду
эрг в секунду на
стерадиан
эрг в секунду на
стерадиан-квадратный
сантиметр
Обозначение
дин
дин-см
дин/см2
эрг
эрг/с
э
эрг
эВ
эрг/(г.К)
эрг/с
эрг/(с-ср)
эрг/(с-ср-см2)
Значение в единицах
СИ
10-5 Н
10-7 н-м
0,1 Ш
10-7 ДЖ
10-7 Вт
79,5775 А/м
10-7 ДЖ
1,60210-10-19 Дж
10-4 Дж/(кг-К)
10-7 Вт
10-7 Вт/ср
10-з^Вт/(ср-м2)


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономный метод ориентации 457
Адамса метод 338
Аргумент перигея 252
Аспекты в положении планет 22
Астероиды 61
Астрономическая единица 7
Астрономические постоянные 7
вспомогательные 8
определяющие 8
основные 8
производные 9
Атмосфера Венеры 30
— Земли 37
— Луны 58
— Маоса 49
— Меркурия 29
— Сатурна 54
— солнечная 20
— Юпитера 53
Атмосферный участок выведения 288
спуска 508
Аэродинамическая сила боковая 281
лобового сопротивления 281
подъемная 281
полная 281
Аэродинамические коэффициенты 282
Аэродинамические моменты 282
демпфирующие 283
опрокидывающие 283
стабилизирующие 283
Аэродинамический маневр 459
боковой 466
Баллистический коэффициент 122
Блеск звезды 11
Болометрическая поправка 11
Большая полуось орбиты 151, 252
Вековые возмущения орбиты 112, 349,
352
Венера 30
Видимая поверхность Венеры 30
Марса 46
Меркурия 29
Сатурна 54
Юпитера 52
Видимые звездные величины планет 28
— фигуры планет 23
Влияние на движение КА аномалий
силы тяжести 108, 145
— малых начальных возмущений 120
— одновременно несколько
космических тел 136
— планет и Солнца 109, 133
— постоянных и периодических
возмущений 121
— сопротивления воздуха 122
Возмущающие силы 107
Возмущения 347
— от зональных гармоник 347
— от Луны и Солнца 126, 359
— от планет 126
— от сопротивления атмосферы 352
Внеатмосферный участок выведения 289
спуска 506
Вращение Солнца 18
Время 91
— декретное 94
— запуска одиночного спутника 269
при создании системы 268
— затемнения спутника 274
максимальное 274
относительное 278
— звездное 92
— истинное солнечное 92
— межстартовое 190
— мировое 93
— московское 94
— полета до орбиты Луны 183
— поясное 93
— прохождения КА через границы
зоны видимости 593
— среднее солнечное 92
— эфемеридное 94
Выбор метода ориентации двигателя
перед торможением 232
— невозмущенной траектории
попадания в Луну 215
— опорных траекторий полета КА
160
— параметров орбит 250
— параметров траекторий
возвращения с Луны 240
— программы фотографирования 158
Цысота апогея 252
— орбиты 260, 264, 334
— перигея 252
— полета ИСЗ 334
Выход на орбиту без дожита топлива
293
с дожигом топлива 293
Геоид 35
Годограф скорости в кеплеровом
движении 103
Гравитационная постоянная 26
Гравитационное поле Земли 33
Гравитационные возмущения 347
601


д
Давление воздуха 42
Даты старта и времени полета 149, 160
Движение КА круговое 101
— параболическое 101
— прямолинейное 102
Дифференциальные уравнения движения
К А 107
ракеты-носителя 284
Длина интервала возможных дат старта
403
Долгота восходящего узла 100, 150, 252
Драконический период 140
Е
Единицы расстояний 7
3
Запуск КА к Луне без доразгоиа 186
с доразгоном 186
Задача о точке встречи КА с Луной 213
Звездная величина 11
Звезды И
Зоны видимости круговых орбит 570
межпланетных КА 594
И
Интеграл Лапласа 98
— площадей 98
— энергии 97
Интервалы радиовидимости КА 229
Истинная аномалия орбиты КА 152
К
Календарь 94
— юлианский 95
— григорианский 95
Квадратура 22
Канонические уравнения Гамильтона 119
Картинная плоскость 229
Кеплера уравнение 99, 562
Кинетическая энергия КА 118
Классификация исходных орбит и
оптимальных траекторий переходов 435
Конечные формулы эллиптической
теории 305
Корректирующие импульсы 486
Коррекция многоразовая 413
—однокомпонентная 412
— оптимальная с учетом маневра
449
— траекторий полета к Луне 230
—трехкомпонентная 412
Косинусы направляющие 283, 307, 330
Красовского эллипсоид 34
Круговое движение 101
Л
Лагранжа уравнения 118, 345
Луна 58
М
Магнитное поле Луны 60
— Юпитера 53
Малые начальные возмущения круговой
орбиты 120
Марс 46
Межстартовый интервал 194
Меркурий 29
Метод вариаций 300, 304, 321
— конечных разностей 300
— максимума правдоподобия 297
— определения орбит 295
— попадающих траекторий 517
— Рунге—Кутта 339
— сближения 482
Минимально необходимое
располагаемое качество 529
Моделирование процесса сближения 491
Н
Наклонение плоскости орбиты 100, 252
— лунной орбиты к эклиптике 58
Начальные условия входа 498
движения КА 299, 312
Нептун 54
О
Обращение планет вокруг Солнца 23
Общая задача управления спускаемым
аппаратом в атмосфере 513
Общие сведения о планетах 22
Ограничения'по времени старта 194
Определение геометрических
характеристик орбиты КА 150
— координат объектов на
поверхности Луны 61
— минимально необходимого
располагаемого качества 529
— орбит ИСЗ 302
межпланетных полетов 318
— оптимальных траекторий для
посадки на Луну 232
— параметров траектории КА на
планетоцентрическом участке
полета 153
— условий посадки КА па
поверхность планеты 159
Оптимальный разгон 396
Оптимальные траекторные
характеристики при полете к Венере 408
— к Марсу 408
— к Юпитеру 409
Оптимизация переходов на орбиту 440
между орбитами 443
Орбита квазисинхронная 255
— монтажная 471
— опорная 478
— почти круговая 252
— эллиптическая 252
Орбитальный аэродинамический маневр
467
Ориентация КА при коррекции 169
Основные неравенства в движении
Луны 58
Особенности работы системы
управления спуском 535
Отношения массы Солнца к массе
планеты 7
Ошибки знания сил, действующих на
КА в полете 326
— исполнения коррекции 428
— предельные 415
— расчета эллиптических орбит 503
Оценка точности начальных данных
определения орбит КА 326
П
Параболическое движение 101
Параметры орбиты 296
— измеряемые 296, 318, 326
— оцениваемые 325
— прогнозируемые 326
— свободные 227
602


Парсек 7
Период обращения 255
—драконический 140
— звездный 23
— изомаршрутный 258
— оптимальный 257
— сидерический 22
— синодический 22
Период осевого вращения Венеры 30
Меркурия 20
Нептуна 20
Сатурна 54
Солнца 18
Урана 54
Юпитера 52
Планеты 22
Плоскость оптимальной коррекции 421,
428
Плутон 54
Поверхность Луны 60
Погрешности траекторных измерений
аппаратурные 326
— временной привязки 326, 329
— геодезической привязки 326, 329
Пограничный слой 541
Показатель цвета 11
Потенциал возмущающих сил 133
— сил тяжести 33
— центробежной силы 33
Потенциальная энергия 118
Прандтля число 541
Принцип максимума 288
Прицельная дальность 156, 183
Прогнозирование движения ИСЗ 333
лунных КА 373
межпланетных КА 365
— работы наземных измерительных
пунктов 166
Продолжительность радиовидимости КА
157
— сеанса фотографирования 158
Противостояние 22
Протуберанцы 20
Радиолокация Венеры 31
Разгон КА с касательным постоянным
ускорением 394
Распределение энергии в солнечном
спектре 18
Расчет участка орбиты геоцентрического
368, 370
гелиоцентрического 369
372
планетоцентрического
370
— характеристик движения
относительно Земли и Луны 217
Ручное управление 522
Сатурн 54
Световой год 7
Свойства оптимальных траектории 449
Сила давления солнечного света 18
— тяжести 281
Система астрономических постоянных
7, 8
Система координат барицентрическая
прямоугольная 76
орбитальная 76
связанная 77
скоростная 77
горизонтальная 77
гелиоцентрическая
экваториальная прямоугольная 71
эклиптическая
прямоугольная 71
геоцентрическая гринвичская
прямоугольная 71, 333
орбитальная
прямоугольная 72
экваториальная
сферическая 74
эклиптическая
прямоугольная 71
эклиптическая
сферическая 72
цилиндрическая 72, 308,
335
оскулирующая 79
планетоцентрическая
прямоугольная 77
вращающаяся 79
невращающаяся 77
селеноцентрическая
прямоугольная 79
абсолютная 79
экваториальная
вращающаяся 79
топоцентрическая 75
земная прямоугольная
75
пунктовая
прямоугольная 76
стартовая
прямоугольная 75
сферическая 76
экваториальная 76
транспонирующая 377
Системы счета времени 93
Солнечная активность 20
— постоянная 18
— система 13
Солнечные вспышки 21
Солнечный ветер 21
Солнце 13
Способы посадки спускаемого аппарата
на Землю 523
Спуск КА на поверхность Земли и
планет 496
— баллистический 498, 508
— планирующий 498, 509
— скользящий 509
Спутники планет 55
— Сатурна 57
— Юпитера 57
Среднее экваториальное Солнце 92
Средние места характерных звезд в
системе координат
— лунной 14
— экваториальной 17
— эклиптической 17
Стартовый интервал 190
Сутки звездные 92
— истинные солнечные 92
— средние солнечные 92
Сфера действия 103
Схема полета к Луне 226
Т
Температура Венеры 30
— земной атмосферы 40
— Луны 59
603


— Марса 48
— Меркурия 29
— планет 23
— Юпитера 52
Тепловой поток конвективный 540
радиационный 557
Теплообмена коэффициенты 541
— основные уравнения 542
— расчеты 548
—функции 545
Торможение активное 497
— пассивное с использованием
аэродинамических сил 497
Точка весеннего равноденствия 91
Точки входа в сферу действия Луны 207
— критические 178
— либрации 178,
— падения на поверхность Луны 209
Точность численного интегрирования 340
Траектории возвращения от Луны к
Земле номинальные 236, 240
отклоненные 240
предельные 236
с вертикальным стартом
239
с наклонным стартом 239
— номинальные для посадки в
заданный район 509
— опорные 519
— оптимальные для посадки на
Луну 232
— планетоцентрические 154, 158, 172
— полета к Луне варьированные 204
номинальные
попадающие 201, 206
энергетически
оптимальные 196
— сближения с Луной 180, 183
— транспонирующие 379
Трассы полета 560
Тяга двигателя в пустоте 281
— полная 281
— реактивная 281
— у поверхности Земли 281
У
Угловая дальность полета 150
активная 193
пассивная 186, 193
Удельная тяга 281
Управление движением центра масс 284
— оптимальное 381
Уравнение времени 92
Уравнения движения КА 97, 107
— в векторной форме 97
— в полярной системе координат 97
— в скалярной форме 97
— в сферических координатах 97
— ракеты-носителя 283
Уран 54
Ускорение силы притяжения 34
сопротивления воздуха 122
Условие радиовидимости КА 57, 167.
Уточнение отношения массы Солнца
к массе планеты 7
Участок траектории гелиоцентрический
148, 167
геоцентрический 153, 156, 165
Ф
Формулы перехода от одной системы
координат к другой 79
Фотометрические характеристики Луны
59
планет 23
X
Характеристики полетов к Венере 394
Марсу 393
Юпитеру 394
— траекторий попадания в Луну 189
Характеристическая скорость КА 196
Ч
Часовые пояса 93
Ш
Ширина коридора входа 498
Э
Эксцентриситет орбиты 100, 152, 252
Элементы орбит 100, 145
Эллипс влияния 230, 422
Эллипсоид вращения 34
— Красовского 34
Элонгация 22
Эпоха 71
Ю
Юпитер 52


ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие 5
Глава I. Основные сведения о Вселенной и Солнечной системе 7
1.1. Астрономические постоянные 7
1. 1. 1. Система астрономических постоянных 1964 г 7
1. 1.2. Уточнение значения постоянных 7
1. 1.3. Единицы расстояний 7
1.2. Звезды 11
1.3. Солнечная система . 13
1.3. 1. Солнце 13
1.3.2. Общие сведения о планетах 22
1.3.3. Меркурий 29
1.3.4. Венера . 30
1.3.5. Земля и околоземное пространство 33
1.3.6. Марс 46
1.3.7. Юпитер 52
1.3.8. Сатурн . 54
1.3.9. Уран, Нептун, Плутон 54
1.3. 10. Спутники планет 55
1.3. 11. Астероиды 61
Литературах гл. I . . 64
Глава II. Системы координат и время 71
2. 1. Системы координат 71
2. 1. 1. Гелиоцентрические прямоугольные системы координат 71
2.1.2. Геоцентрические прямоугольные системы координат 71
2.1.3. Геоцентрические криволинейные системы координат 72
2.1.4. Геоцентрические сферические системы координат, определяющие
положение точки на земной поверхности 74
2.1.5. Топоцентрические прямоугольные системы координат 75
2.1.6. Топоцентрическая сферическая система координат 76
2. 1.7. Барицентрические прямоугольные системы координат 76
2.1.8. Планетоцентрические прямоугольные системы координат 77
2.1.9. Селеноцентрические прямоугольные системы координат 79
2. 1. 10. ©скулирующая система координат 79
2. 2. Формулы перехода от одной системы координат к другой 79
2.3. Время 91
Л и тер ату р а к гл. II . . . 95
Глава III. Невозмущенное движение космического аппарата 96
3. 1. Уравнения движения 97
3. 2. Первые интегралы уравнений движения 97
3. 3. Траектории полета 98
3.4. Связь между временем движения и элементами орбиты. Уравнение
Кеплера 99
3. б. Элементы орбит 100
3.6. Предельные случаи невозмущенного кеплерового движения 101
3.7. Определение параметров движения через элементы орбиты .... 102
3.8. Сфера действия планеты 103
3. 9. Годограф скорости в кеплеровом движении 103
Литература к гл. III 105
Глава IV. Возмущенное движение космического аппарата 106
4. 1. Уравнения движения W
605


Стр.
4. 2. Оценка влияния малых возмущений при движении по круговым и почти
круговым орбитам . . . . . . . . 120
4.3. Влияние сопротивления воздуха на движение космических аппаратов . . 122
4.4. Возмущающее влияние планет, Солнца и давления солнечного света 126
4. 5. Влияние аномалий силы тяжести 145
Л и т е р а т у р а к гл. IV 147
Глава V. Выбор межпланетных траекторий космических аппаратов 148
5. 1. Методика расчетов и выбор траекторий на гелиоцентрическом участке
полета 148
5.2. Определение параметров планетоцентрических участков траектории . . 153
5.3. Определение геоцентрических параметров, характеризующих движение
космического аппарата 156
5.4. Порядок расчетов и анализ характерных параметров межпланетных
траекторий 159
Глава VI. Динамика полета к Луне 174
6. 1. Анализ условий полета к Луне 180
6.2. Определение энергетически оптимальных траекторий попадания в Луну 195
6. 3. Определение номинальных попадающих траекторий и влияния разброса
начальных данных с учетом притяжения Луны 201
6. 4. Решение задачи о точке встречи и расчет параметров движения объекта
относительно поверхности Земли 213
6.5. Учет влияния второстепенных факторов 220
Л и т е р а т у р а к гл. VI 223
Глава VII. Траектории полета от Земли к Луне и возвращения от Луны к Земле 225
7. 1. Оптимальные траектории полета от Земли к Луне 226
7. 2. Траектории возвращения от Луны к Земле 234
Л и т е р а т у р а к гл. VII 249
Глава VIII. Выбор параметров орбит и времени запуска искусственных
спутников Земли 250
8. 1. Выбор формы орбит 251
8. 2. Выбор наклонения орбит 252
8.3. Выбор высоты орбит (периода обращения ИСЗ) 253
8.4. Выбор времени запуска искусственных спутников Земли 268
Литература к гл. VIII 279
Глава IX. Выведение космических аппаратов на орбиту 280
9. 1. Силы и моменты, действующие на ракету-носитель 280
9.2. Уравнения движения ракеты-носителя . 283
9.3. Выведение космических аппаратов на орбиты спутников 287
Л и т е р а т у р а к гл. IX 293
Глава X. Определение орбит космических аппаратов 295
10. 1. Постановка задачи 296
10.2. Определение орбит ИСЗ . 302
10.3. Определение орбит межпланетных космических аппаратов 318
Литература к гл. X . . 324
Глава XI. Оценка точности определения орбит космических аппаратов 325
11. 1. Постановка задачи . 325
11.2. Оценка точности определения орбит КА 326
Литература к гл. XI 330
Глава XII. Прогнозирование движения космических аппаратов 332
12. 1. Прогнозирование движения ИСЗ методом численного интегрирования 333
12.2. Аналитические методы прогнозирования движения ИСЗ 344
12.3. Прогнозирование движения межпланетных космических аппаратов . . 365
Литература к гл. XII . 374
Глава XIII. Движение космических аппаратов с двигателями малой тяги .... 376
13. 1. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности .... 377
13.2. Разгон КА в поле тяготения Земли 394
13.3. Анализ траекторий межпланетных полетов с двигателями постоянной
мощности 397
Литература к гл. XIII . . 409
Глава XIV. Коррекция траекторий космических аппаратов 411
14. 1. Классификация различных способов коррекции 412
14.2. Выбор корректируемых параметров 413
606


Стр.
14. 3. Определение области рассеивания в пространстве корректируемых
параметров 414
14.4. Изохронные производные 418
14.5. Трехпараметрическая коррекция 419
14.6. Двухпараметрическая коррекция 421
14.7. Однокомпонентная коррекция . . 422
14.8. Связанные коррекции (случай многоразовой оптимальной коррекции) 423
14.9. Коррекция с помощью гелиоцентрических импульсов скорости
(«солнечная» коррекция) 425
14. 10. Свойства коррекции на конечном участке траектории 427
14. 11. Ошибки исполнения коррекции 428
Литература к гл. XIV 430
Глава XV. Маневрирование космического аппарата 431
15. 1. Оптимальное маневрирование с использованием двигательной установки
большой тяги (импульсные маневры) 433
15. J-1. Оптимальные переходы между компланарными орбитами при
ограничениях на расстояние от центра тяготения 433
15.1.2. Оптимальное корректирование траектории космического полета
при наличии последующего маневра 449
15.1.3. Автономный метод определения направления вектора скорости
путем ориентации на центр планеты и использование его для маневра
торможения 456
15.2. Аэродинамический маневр 459
15.2.1. Поворот орбитальной плоскости . 460
15.2.2. Боковой аэродинамический маневр при возвращении 466
15.2.3. Орбитальный аэродинамический маневр 467
Литература к гл. XV . . . 468
Глава XVI. Сближение космических аппаратов на орбите 470
16. 1. Монтажные орбиты 471
16.2. Относительное движение . . 476
16. 3. Автономное сближение 482
16.4. Оценка энергетических затрат 489
Литература к гл. XVI , 493
Глава XVII. Спуск космических аппаратов на поверхность Земли и планет . . . 496
17. 1. Основные понятия и определения . 497
17.2. Уравнения движения спускаемого аппарата 500
17.3. Атмосферы основных планет земной группы 505
17.4. Внеатмосферный участок спуска . 506
17.5. Атмосферный участок спуска 508
17.6. Управление при спуске аппаратов с орбиты ИСЗ и при возвращении
от Луны 513
17.7. Движение межпланетных космических аппаратов в атмосфере Земли
с гиперболическими скоростями 523
Литература к гл. XVII . . . 537
Глава XVIII. Расчет теплообмена на поверхности спускаемого аппарата .... 539
18. 1. Основные уравнения для расчета конвективного теплообмена при
ламинарном и турбулентном режимах течения . . 540
18.2. Методы расчета пограничных слоев 642
18.3. Определение поправочных множителей 542
18.4. Определение величин X и Л 546
18. 5. Частные случаи и примеры расчетов 548
18.6. Влияние переменной температуры поверхности 556
18.7. Излучение . . . 557
Литература к гл. XVIII 558
Глава XIX. Определение условий наблюдения за полетом космических аппаратов
с наземных пунктов 560
19. 1. Трассы полета 560
19.2. Зоны видимости 569
19.3. Временные диаграммы прохождения 593
Приложение . 596
Предметный указатель 601


Продолжение
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
150
151
156
191
236
255
298
304
305
311
312
351
357
364
418
445
446
446
473
473
489
489
490
501
501
511
543
593
22 сверху
8 сверху
10 снизу
Формула
(6.26)
13 снизу
18 сверху
2 сверху
2 сверху
11 сверху
6 снизу
3 снизу
15 снизу
4 сверху
21 сверху
6 сверху
11 сверху
2 снизу
1 снизу
9 снизу
7 снизу
9 снизу
7 снизу
10 снизу
15 сверху
Формула
(17.7)
Рис. 17.10
Формула
(18.12)
18 снизу
h + h + (ог'н + л (2/1 — 1)
| сох — ш2 |
Xj cos ^ -Ь Uj sin О
где #„.н
(2я)7/3 е cos /
Т +
(Х5/3оз3(1— *2)
1-2/?эа-)
2г — ЗУгх _\__
(т, /г = 1,..., 6)
+ (320 — 3360^2 4- 7260{Гз- 4290jx3)!
Зя sin 2/
4/?4
-*2(-5s2)]}
матрицы /X, D-T, Dr
(AV3/-AV3r)
i * : ra ^maxJ
(AVV, -Al/r/)
c^ =-. sin /;
AIV~ ||ЛХ-£||Г°
ко
°_ L _M I10 i°HiI_po
AK2| " x Ax I 0 \ (I I г/0
+
d/n d/„
'>/
"•" dxj dxl '
+
CT.rg0
+ ^к + ДЛ + Д/?сф+7^.
Зависимость перегрузки /гх от
времени / при спуске с орбиты
ИСЗ
т0+- f)2
v7
rCT —
/2 —/i +*>2*п + Я(2л — 1)
1 «1 —w2 1
Xycos Q Ч- #/ sin Q
где #и.п
AXC =
И ^2<^п(Гл + р*)
(2n)7/36 cos /
T +
^Зс3 (1
dv
.£2)2
1-
dQt
2r — 3Vrx _1_
(m, n = 1, 2, 4, 5, 6)
(320 — 336QJT + 7260^2 _ 4290^3)
Зя sin 21
"/ = =
4/73
_^2(1_5S2)]}
матрицы D^, Kiv D^
(AV3/, ~А^зг)
(AV3*, — AV3r)
с = — cos i
AV = || Лт
AK2 = || с + rfA
+ 2
д/я
**/
*'•" dxj
P0
~*>0
а/я
dxi
mW = F
#a + Г + G + /^. +
-h^K+ A^ + A^+F2.
Зависимость перегрузки пх от
времени / для траекторий спуска
при возвращении от Луны
1 / /«. \2
4со
■(■+-t;
,3/2
х = -
/J


Авторские исправления
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
28
29
53
97
97
97
98
98
98
99
99
101
102
102
102
Табл. 1.8
22 снизу
Подпись i
рис. 1. 25
16 снизу
12 снизу
11 снизу
20 сверху
21 сверху
22 сверху
Формула
(3.9)
16 сверху
Формула
(3.26)
8 сверху
16 сверху
18 сверху
102
20 сверху
107 ,11 снизу
112
113
124
125
125
138
149
14 сверху
13 снизу
4 сверху
12 снизу
11 снизу
9 снизу
15 снизу
+ 51grA-f
58°,4 + 0,4
10"
-26
+ r2X sin <f cos <f
dt
(r2X2 cos2 <p) = 0
-"K=/2;
— rrZ = /3,
— V2
— V2
■Yf
-Y
e cos fr
e cos **i:
e cos &2
M0 = k (fо — т);
1
3&
+ TtgT =
VT
3^2 _
Г21/7 2Т/2(х
Xarctg]/^Jro
L Л am
Xin
2[x — hr + ъУ — 2y.h
28
0,5c
Л = ехр (oq)
^p VnbA
dn ~
r0
de
dn
VnbA
2VT
\ 36 is ;
Vy = Vr (cos и cos ^ +
cos2£
4-5Ig(r.A) +
58d,4±0,4
-25
fltf
10
• r2X2 sin <pcos <f
(r2Xcos2<f>) = 0
-rrX=fx'
-rrY=f2;
— rrZ = f3t
-f- 2-*— e cos ft
P
V\— 2— ecosfti =
/>
= V2, = 2 — e cos &2
1 о *
L K —2a + r + Vr
"|//-(-2a + r)T
X
Va
±(t
-<b) = |/ — harctg
YT&a
Y^-r
r)
0,05c
Л = ехр (а0)
rfe
Vj
УъЪА
dn
VT
— — cos 2£ +
4
\ 36 18/
Vy = Vr (cos и sin Q -f
Зак. 3669/2739


ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЕТА КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Редактор Г. Ф. Лосева
Техн. редактор В. И. Орешкина
Т-01878 Сдано в набор 9/IX 1971
Формат 70Xl08'/i6 Печ. л. 38,87
Бум. л. 19,43 Бумага № 1
Цена б р. 40 к.
Издательство «Машиностроение»,
Московская типографи
Комитета по печати пр
Хохловский пе
Художник Е. Г. Байтман
Корректор Е. П. Карнаух
г. Подписано в печать 14/1II 1972 г.
(Усл. печ. л. 54,42) Уч.-изд. л. 59,95
Тираж 3500 экз. Зак. 2739
Тем. план 1971 г. № 106
Москва, Б-66, 1-й Басманный пер., 3.
я № 8 Главполиграфпрома
и Совете Министров СССР,
)., 7. Тип. зак. 3669