Автор: Бертран Рассел
Теги: анализ основы математики математическая логика математика
ISBN: 5-86465-359-4
Год: 2006
Текст
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
PRINCIPIA MATHEMATICA
BY
ALFRED NORTH WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S.
FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE, PROFESSOR OF PHILOSOPHY
IN HARVARD UNIVERSITY, AND SOMETIME PROFESSOR OF APPLIED
MATHEMATICS IN THE IMPERIAL COLLEGE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
AND
BERTRAND RUSSELL, M.A., F.R.S.
LATE LECTURER AND LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE
VOLUME III
SECOND EDITION
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1927
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том III
Перевод со второго английского издания
Ю.Н. Радаева, А.В. Ершова, Р.А. Ревинского, И.С. Фролова
Под редакцией доктора физико-математических наук,
профессора Г.П. Ярового;
доктора физико-математических наук,
профессора Ю.Н. Радаева
ИЗДАТЕЛЬСТВО “САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
2006
Печатается по решению
Редакционно-издательского совета
Самарского государственного университета
САМАРСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
УДК 517.11
ББК 22.12
К 13
Уайтхед А., Рассел Б.
К 13 Основания математики: в 3 т. Т. III / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.;
под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский универ-
ситет”, 2006. 460 с.
ISBN 5-86465-359-4 (общ.)
ISBN 5-86465-362-4 (т. Ill)
Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела “ Principia Mathematical занимает
уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое английское издание
вышло в свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти 2000 страниц.
“Principia Mathematical по праву считается одним из самых ярких сочинений по осно-
ваниям математики и в широком смысле — выдающимся вкладом в интеллектуальную
сферу прошедшего столетия. Не будет преувеличением сказать, что по прошествии
почти целого столетия с момента первого издания этой монографии интерес к ней
не ослабевает, и “Principia Mathematical до сих пор продолжает оказывать весьма су-
щественное влияние на развитие математики и логики. Третий том этой монографии
выходит в свет в рамках перспективного проекта, реализуемого Самарским государ-
ственным университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию
указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому выда-
ющемуся образцу творческой мысли. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г.,
второго —в 2005 г. Предполагается, что современный перевод на русский язык “Prin-
cipia Mathematical восполнит также существующий пробел в литературе по матема-
тической логике и основаниям математики. Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела, являясь
фундаментальным руководством, несомненно принадлежит к числу лучших книг всей
мировой литературы по основаниям математики, из которой можно извлечь основные
каноны преподавания математической логики, теории формальных систем и теории
множеств.
УДК 517.11
ББК 22.12
ISBN 5-86465-359-4 (общ.)
ISBN 5-86465-362-4 (т.Ш)
© Cambridge University Press, 1927
© Радаев Ю.Н., Ершов А.В.,
РевинскийР.А., Фролов И.С.,
перевод на русский язык, 2006
© Самарский государственный
университет, 2006
© Изд-во “Самарский университет”,
оформление, 2006
Содержание
Предисловие редакторов русского перевода 9
Библиографический список 13
Дополнительный список литературы 14
Содержание “Principia Mathematica” 18
Предисловие к третьему тому 25
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ 27
* 250. Элементарные свойства вполне упорядоченных серий........ 31
* 251. Ординальные числа....................................... 43
* 252. Сегменты вполне упорядоченных серий..................... 50
* 253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий ... 54
* 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий........ 64
* 255. Больше и меньше среди ординальных чисел................. 75
* 256. Серии ординалов......................................... 88
* 257. Трансфинитные родовые отношения......................... 95
* 258. Теорема Цермело.........................................109
* 259. Индуктивно определенные корреляции......................114
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
И ОРДИНАЛЫ 119
* 260. О финитных интервалах в серии...........................120
* 261. Конечные и бесконечные серии............................128
* 262. Финитные ординалы.......................................139
* 263. Прогрессии..............................................149
* 264. Производные вполне упорядоченных серий..................160
* 265. Серии алефов............................................171
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
6
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 181
* 270. Компактные серии....................................182
* 271. Срединные классы в сериях...........................187
* 272. Подобие расположения ...............................192
* 273. Рациональные серии..................................199
* 274. О серии финитных подклассов серии...................206
* 275. Непрерывные серии ..................................216
* 276. О серии бесконечных подклассов серии................219
ЧАСТЬ VI. КОЛИЧЕСТВА 227
Введение к части VI ........................................229
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ 231
* 300. Положительные и отрицательные целые числа и числовые
отношения...................................................233
* 301. Степени отношений, определенные численно............241
* 302. О взаимно простых числах............................247
* 303. Пропорции...........................................255
* 304. Серии пропорций.....................................270
* 305. Умножение простых пропорций.........................275
* 306. Сложение простых пропорций..........................280
* 307. Обобщенные пропорции................................286
* 308. Сложение обобщенных пропорций ......................288
* 309. Умножение обобщенных пропорций......................296
* 310. Серии действительных чисел..........................301
* 311. Сложение согласованных вещественных чисел...........304
* 312. Алгебраическое сложение вещественных чисел..........310
* 313. Умножение вещественных чисел........................315
* 314. Действительные числа как отношения..................317
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА 321
* 330. Элементарные свойства вектор-семейств...............331
* 331. Связные семейства...................................339
* 332. Представитель отношения в семействе.................345
* 333. Открытые семейства..................................353
* 334. Сериальные семейства................................359
* 335. Инициальные семейства...............................365
* 336. Серии векторов......................................368
* 337. Кратные и доли векторов.............................376
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ 379
* 350. Пропорции элементов семейства.......................384
* 351. Делимые семейства...................................389
* 352. Рациональные кратные данного вектора ...............393
* 353. Рациональные семейства..............................400
* 354. Рациональные решетки................................404
* 356. Измерение вещественными числами ....................409
* 359. Теоремы существования для вектор-семейств...........418
Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ
7
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА 423
* 370. Элементарные свойства циклических семейств........428
* 371. Серии векторов....................................431
* 372. Целые части серий векторов........................434
* 373. Делители тождества................................438
* 374. Главные доли......................................446
* 375. Главные пропорции.................................448
Указатель определений 453
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Настоящая книга представляет собой перевод на русский язык завер-
шающего третьего тома известной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела
“ Principia Mathematical. Перевод первого и второго томов был выполнен
соответственно в 2004 и 2005 гг., а их издание было осуществлено изда-
тельством “Самарский университет” в 2005 и 2006 гг.1
Вряд ли нужно еще раз говорить о поистине необъятном материале, свя-
занном с проблемами оснований математики. Когда мы приступали к реа-
лизации проекта по полному переводу на русский язык “ Principia Mathe-
matical, нам казалось, что в наше время задача книги такого типа состоит
в том, чтобы показать историю развития научных идей, располагающих-
ся в основе всего математического знания, напомнить читателю некоторые
из забытых проблем, а все еще актуальные — рассмотреть под несколько
необычным углом зрения, опираясь на интеллектуальный ресурс того сто-
летия, которое минуло с момента написания книги.
Вряд ли необходимо говорить также о том, нужно ли было при перево-
де сохранять архаичную терминологию и обозначения или переизложить
все на современном математическо-логическом языке. В этом вопросе мы
отступили от компромиссного решения: оригинальная терминология и си-
стема обозначений “ Principia Mathematical воспроизводятся в точном со-
ответствии с первоисточником на протяжении всех 194-х параграфов, со-
2
ставляющих это трехтомное сочинение . * 2
хСм.: Основания математики: в 3 т. Т. I / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.;
под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский университет”, 2005.
722 с.; Они же. Основания математики: в 3 т. Т. II / пер. с англ.; под ред.
Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский университет”, 2006. 738 с.
2Ясно, что терминология и символика “ Principia Mathematical представляют также
существенный интерес для историков науки.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела, являясь фундаментальным руковод-
ством, несомненно принадлежит к числу лучших книг всей мировой на-
учной литературы по основаниям математики, из которой можно извлечь
основные каноны преподавания математической логики, теории формаль-
ных систем и теории множеств. Это трехтомное сочинение оказало большое
влияние на развитие всей математической культуры. Мы уверены в том,
что яркая книга А. Уайтхеда и Б. Рассела после издания на русском языке
приобретет еще большее число поклонников, которые при ее чтении будут
испытывать восхищение от синтеза идей философии, логики и математики,
пронизывающего весь этот труд.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности, ча-
ще всего без всяких особых указаний на это. Для удобства мы поместили
сразу за этим предисловием библиографический список по математической
логике и основаниям математики, затем — подробное содержание всех трех
томов “Principia Mathematical, а также (в конце этого тома) указатель
определений, помещенный А. Уайтхедом и Б. Расселом в первый том.
Коллектив переводчиков и редакторов отчетливо осознавал, что в про-
цессе многолетней работы над переводом и научным редактированием важ-
но сохранить первоначальные подходы и принципы, определяющие содер-
жание нового прочтения на русском языке “ Principia Mathematical. Работа
распределилась между переводчиками следующим образом:
Ю.Н. Радаевым переведены: все вводные разделы первого тома; гл. 2
части I (*9-*14); гл. 3 части III (*118-*126); гл. 1, 2 части IV (*150-*166);
гл. 2, 3 части V (*210-*234); гл. 5, 6 части V (*260-*276);
И.С. Фроловым переведены: гл. 1 части I (*1-*5); гл. 3-5 части I
(*20-*43); гл. 1-5 части II (*50-*97); приложения 1-3 к первому тому;
гл. 2-4 части VI *330-*375;
А.В. Ершовым переведены: гл. 1, 2 части III (*100-*117); гл. 3, 4 ча-
сти IV (*170-*186); гл. 1 части V (*200-*208); гл. 4 части V (*250-*259);
Р.А. Ревинским переведены: гл. 1 части VI (*300-*314).
Подготовка перевода к изданию осуществлялась средствами издатель-
ской системы ЬМёХ2е, для чего И.С. Фроловым были специально разра-
ботаны соответствующие коды, существенно облегчившие технологический
цикл подготовки рукописи перевода к напечатанию.
На редакторах перевода лежала нелегкая задача обеспечения единого
стиля изложения и выработки адекватной терминологии, вписывающейся
в современные представления об основаниях математики, сохраняя при
этом стиль, присущий оригиналу. Ясно, что необходимо было также обес-
печить преемственность в условиях, когда различные разделы книги пере-
водились специалистами из разных областей математики. Насколько мы
справились с этой задачей, судить читателям книги.
Мы надеемся, что выход в свет третьего тома книги А. Уайтхеда и
Б. Рассела на русском языке будет так же, как и издание перевода двух
Principia Mathematica III
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
11
предшествующих томов, с удовлетворением воспринят всеми, кто интересу-
ется ролью математики в современном научном поиске и основаниями са-
мого математического знания, глубочайший анализ которых был дан в си-
стеме “Principia Mathematical. Редакторы перевода и коллектив перевод-
чиков с признательностью примут пожелания, предложения и критические
замечания читателей, относящиеся ко всем трем томам русского перевода.
Мы надеемся также, что выход в свет третьего тома книги А. Уайтхеда и
Б. Рассела окажет заметное влияние на различные стороны развития ма-
тематической логики, теории множеств и исследования по основаниям ма-
тематики, в частности, воздействуя на характер преподавания указанных
наук в классических российских университетах.
Г. Яровой, Ю. Радаев
Самара, апрель 2006 г.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
Библиографический список
[1] Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 396 с.
[2] Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Изд-во
иностр, лит., 1947. 304 с.
[3] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.
492 с.
[4] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисле-
ния и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с.
[5] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказа-
тельств. М.: Наука, 1982. 656 с.
[6] Гладкий А.В. Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т,
1998. 479 с.
[7] Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.: Изд-во иностр, лит., 1961.
164 с.
[8] Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. М.: Наука, 1970.
472 с.
[9] Карри X. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. 568 с.
[10] Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр, лит., 1957.
526 с.
[11] Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. 480 с.
[12] Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику.
М.: Изд-во МГУ, 1982. 120 с.
[13] Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополни-
тельные главы. М.: Изд-во МГУ, 1984. 120 с.3
[14] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
416 с.
3Эта работа, вместе с предыдущей, недавно была издана в форме книги, входя-
щей в серию “Классический университетский учебник”, основанную в 2002 г. и по-
священную 250-летию Московского государственного университета: Колмогоров А.Н.,
Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
14
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[15] Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968. 128 с.
[16] Математическая теория логического вывода: Сб. переводов. М.: Наука,
1967. 352 с.
[17] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
320 с.
[18] Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Физматлит, 1959.
400 с.
[19] Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просве-
щение, 1968. 232 с.
[20] Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и тео-
рия множеств. М.: Прогресс, 1965. 368 с.
[21] Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука, 1981. 208 с.
[22] Такеути Г. Теория доказательств. М.: Мир, 1978. 416 с.
[23] Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.:
Гос. изд-во иностр, лит-ры, 1948. 326 с.
[24] Успенский В.А. Лекции о вычислимых функциях. М.: Физматгиз, 1960.
492 с.
[25] Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. 112 с.
[26] Успенский В.А. Машина Поста. М.: Наука, 1988. 96 с.
[27] Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир,
1966. 556 с.
[28] Черч А. Введение в математическую логику. Т. I. М.: Изд-во иностр,
лит., 1960. 488 с.
[29] Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.
[30] Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры ло-
гики и классы Поста. М.: Наука, 1966. 120 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Философская энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. Ф.В. Константинов). М:
Советская энциклопедия. Т. I, 1960; Т. II, 1962; Т. III, 1964; Т. IV,
1967; Т. V, 1970. См. статьи: Аксиома (т. I, с. 31, 32); Алгебра логи-
ки (т. I, с. 33-38); Алгоритм (т. I, с. 38-42); Бесконечная индукция
(т. I, с. 153, 154); Буль (т. I, с. 199, 200); Вывод (т. I, с. 307-310);
Высказывание (т. I, с. 312, 313); Гедель (т. I, с. 338); Гливенко (т. I,
с. 374, 375); Дедукция (т. I, с. 440, 441); Джевонс (т. I, с. 469, 470);
Principia Mathematica III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
15
Жегалкин (т. II, с. 126, 127); Изоморфизм (т. II, с. 246-249); Интер-
претация (т. II, с. 296, 297); Интуиционизм (т. II, с. 300-302); Исчис-
ление (т. II, с. 387-390); Категорическое суждение (т. II, с. 476); Кате-
горичность системы аксиом (т. II, с. 476); Квантификация предиката
(т. II, с. 485, 486); Квантор (т. II, с. 486, 487); Конструктивное направ-
ление (в математической логике) (т. III, с. 50, 51); Лейбниц (т. III,
с. 161-165); Логика высказываний (т. III, с. 205-209); Логическая ис-
тинность (т. III, с. 230, 231); Логическая семантика (т. III, с. 231, 232);
Логический синтаксис (т. III, с. 241); Логическое исчисление (т. III,
с. 246); Математическая индукция (т. III, с. 338-340); Математическая
логика (т. III, с. 340-342); Метод аксиоматический (т. III, с. 416-418);
Многозначная логика (т. III, с. 472-474); Модальная логика (т. III,
с. 475-478); Натуральное исчисление (т. III, с. 560, 561); Независи-
мость (т. IV, с. 16); Неполная индукция (т. IV, с. 55, 56); Непроти-
воречивость (т. IV, с. 59-61); Неразрешимая формула (т. IV, с. 61,
62); Отрицание (т. IV, с. 186-188); Пеано (т. IV, с. 229); Пирс (т. IV,
с. 255-257); Полнота (т. IV, с. 302); Полнота функциональная (т. IV,
с. 303, 304); Полнота дедуктивная (т. IV, с. 351); Понятие (т. IV,
с. 311-318); Порецкий (т. IV, с. 321); Посылка (т. IV, с. 327); Правила
вывода (т. IV, с. 330); Правило замены равного равным (т. IV, с. 330,
331); Предваренная форма (т. IV, с. 350); Предикат (т. IV, с. 303,
304); Предикатов исчисление (т. IV, с. 351-356); Принцип замещения
(т. IV, с. 366); Принцип исключенного третьего (т. IV, с. 367, 368);
Равенство (т. IV, с. 445, 446); Разрешения проблемы (т. IV, с. 459,
460); Рассел (т. IV, с. 467, 468); Рекурсивные функции и предикаты
(т. IV, с. 487-489); Секвенций исчисление (т. IV, с. 573); Семантика
(т. IV, с. 576); Семиотика (т. IV, с. 577, 578); Синтаксис (т. V, с. 15);
Суждение (т. V, с. 159-162); Схема аксиом (т. V, с. 170); Тавтология
(т. V, с. 177, 178); Теорема (т. V, с. 203, 204); Теорема о дедукции
(т. V, с. 204); Типов теория (т. V, с. 233, 234); Тождества закон (т. V,
с. 237); Тождества проблема (т. V, с. 237); Тождественная истинность
(т. V, с. 237, 238); Тождество (т. V, с. 238-241); Умозаключение (т. V,
с. 276); Формальная логика (т. V, с. 392, 393); Формальная система
(т. V, с. 393); Фреге (т. V, с. 409, 410).
2. Математическая энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. акад. И.М. Виногра-
дов). М: Советская энциклопедия. Т. I, 1977; Т. II, 1979; Т. III, 1982;
Т. IV, 1984; Т. V, 1985. См. статьи: Аксиом схема (т. I, 102, 103); Ак-
сиоматический метод (т. I, 109-113); Алгебра логики (т. I, 123-129);
Алгоритм (т. I, 202-206); Алгоритмическая проблема (т. I, 214-218);
Антиномия (т. I, 292-296); Арифметика формальная (т. I, 319-321);
Бесконечная индукция (т. I, 434, 435); Булевы функции (т. I, 553,
554); Вывод (т. I, 779, 780); Вывода правило (т. I, 779); Выводимое
правило (т. I, 781); Вычислимая функция (т. I, 818-821); Геделя тео-
рема о неполноте (т. I, 909, 910); Геделя теорема о полноте (т. I, 910,
911); Дедукции теорема (т. II, 65, 66); Индивидная константа (т. II,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
16
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
555); Индивидная переменная (т. II, 555, 556); Индуктивное определе-
ние (т. II, 556, 557); Индукции аксиома (т. II, 558); Карнапа правило
(т. II, 728, 729); Квантор (т. II, 837); Логико-математические исчис-
ления (т. III, 411-415); Логическая аксиома (т. III, 415); Логическая
операция (т. III, 416); Логическая формула (т. III, 416); Логические
исчисления (т. III, 416-420); Логический закон (т. III, 420); Логиче-
ское следствие (т. III, 420); Математическая логика (т. III, 568-574);
Многозначная логика (т. III, 713-720); Модус поненс (т. III, 790, 791);
Наименьшего числа оператор (т. III, 875, 876); Нормальный алгорифм
(т. III, 1072, 1073); Общезначимость (т. III, 1147); Общерекурсивная
функция (т. III, 1147); Пеано аксиомы (т. IV, 227, 228); Перечислимое
множество (т. IV, 265); Пирса стрелка (т. IV, 287, 288); Предварен-
ная формула (т. IV, 555, 556); Предикат (т. IV, 576, 577); Предикат-
ная переменная (т. IV, 577); Предикатный символ (т. IV, 577); Пре-
дикатов исчисление (т. IV, 577-580); Примитивная рекурсия (т. IV,
636); Примитивно рекурсивная функция (т. IV, 636, 637); Пропозици-
ональная связка (т. IV, 698); Пропозициональная форма (т. IV, 698);
Пропозициональная формула (т. IV, 698); Пропозициональное исчис-
ление (т. IV, 699, 700); Противоречие (т. IV, 720, 721); Разрешения
проблема (т. IV, 850); Разрешимое множество (т. IV, 852); Разреши-
мый предикат (т. IV, 852); Рекурсивная функция (т. IV, 960, 961);
Рекурсивный предикат (т. IV, 962); Рекурсия (т. IV, 962-965); Семан-
тика (т. IV, НЮ); Синтаксис (т. IV, 1181, 1182); Суждение (т. V,
269); Терм (т. V, 338); Типов теория (т. V, 351-353); Тьюринга маши-
на (т. V, 456-458); Формальная система (т. V, 639, 640); Формальный
язык (т. V, 636-638); Черча тезис (т. V, 855); Шеффера штрих (т. V,
894);
3. Кондаков И.И. Логический словарь—справочник. М.: Наука, 1976.
720 с. См. статьи: Аксиомы арифметики (23, 24); Аксиомы исчисле-
ния высказываний (24); Аксиомы Пеано для натуральных чисел (24);
Алгоритм (30-32); Вывод (101, 102); Исчисление (220); Исчисление
высказываний (221-227); Исчисление предикатов (228-231); Кванти-
фикация предиката (242, 243); Кванторные правила (243); Кванторы
(243, 244); Лейбниц (278, 279); Математическая индукция (333); Ма-
тематическая логика (333, 341); Машины Тьюринга (345, 346); Modus
ponendo tollens (361); Modus ponens (361, 362); Modus tollendo ponens
(362); Modus tollens (362); Натурального вывода система (374, 375);
Натуральное число (375, 376); Непротиворечивость (385); Общезна-
чимая формула исчисления предикатов (399); Общезначимость (399);
Омега-непротиворечивая теория (405); Основные законы логики вы-
сказываний и предикатов (416); Парадокс (431-433); Пеано (436, 437);
Полная индукция (453, 454); Полнота системы аксиом (454); Пра-
вило подстановки (470); Предикат (473); Пропозициональная форма
(482); Пропозициональные связки (483, 484); “Principia Mathematica”
(500, 501); Равенство (504); Рассел (512); Свободная переменная (524);
Principia Mathematica III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
17
Связанная переменная (524); Силлогизм (528-533); Символика мате-
матической логики (534-540); Система аксиом Пеано (545); Система
аксиом Фреге (545, 546); Стрелка Пирса (571); Таблица истинности
(584, 585); Тавтология (585-587); Теорема (588, 589); Теорема дедук-
ции (589); Терм (594); Формальная система (651); Формула (652, 653);
Фреге (654); Штрих Шеффера (672, 673).
4. Рейтинг А. Интуиционизм. Введение. М.: Мир, 1965. 200 с.
5. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.
492 с.
6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
416 с.
7. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. 152 с.
8. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. радио, 1980.
128 с.
9. Мартин-Леф П. Очерки по конструктивной математике. М.: Мир,
1975. 136 с.
10. Математическая теория логического вывода: Сб. переводов. М.: Нау-
ка, 1967. 352 с.
11. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения
классической. М.: Наука, 1977. 328 с.
12. Редже Т. Этюды о вселенной. М.: Мир, 1985. 191 с. См. статью: Курт
Гедель (С. 176-180).
13. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и
теория множеств. М.: Прогресс, 1965. 368 с.
14. Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука, 1981. 208 с.
15. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. 520 с.
16. Хофштадтер Д. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда.
Самара: Издательский Дом “Бахрах-М”, 2001. 752 с.4
17. Хофштадтер Д., Деннетт Д. ГЛАЗ РАЗУМА. Самара: Издательский
Дом “Бахрах-М”, 2003. 432 с.
4Это одна из культовых книг XX-го столетия. Мировой интеллектуальный бестсел-
лер и Библия кибернетической эпохи, переведенная на 17 языков мира.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
18
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA
Содержание “Principia Mathematica”
Том I
Алфавитный список предложений, обозначаемых специальными именами
Введение
Предварительные сведения о понятиях и обозначениях
Теория логических типов
Неполные символы
Часть I. Математическая логика
Глава I. Теория вывода
* 1. Базовые понятия и предложения
* 2. Непосредственные следствия из базовых предложений
* 3. Логическое произведение двух высказываний
* 4. Эквивалентность и формальные правила
* 5. Смешанные предложения
Глава II. Теория кажущихся переменных
* 9. Распространение теории вывода от низших к высшим типам
предложений
* 10. Теория предложений, содержащих одну кажущуюся переменную
* 11. Теория двух кажущихся переменных
* 12. Иерархия типов и аксиома сводимости
* 13. Тождество
* 14. Описания
Глава III. Классы и отношения
* 20. Общая теория классов
* 21. Общая теория отношений
* 22. Исчисление классов
* 23. Исчисление отношений
* 24. Универсальный класс, нуль-класс и существование классов
* 25. Универсальное отношение, нулевое отношение и существование
отношений
Глава IV. Логика отношений
* 30. Дескриптивные функции
* 31. Обращение отношений
* 32. Референты и релятивы данного терма относительно данного отношения
* 33. Области, обратные области и поля отношений
* 34. Относительное произведение двух отношений
* 35. Отношения с ограничениями областей и обратных областей
* 36. Отношения с ограничениями полей
* 37. Множественные дескриптивные функции
* 38. Отношения и классы, производные от двойной дескриптивной функции
Глава V. Произведения и суммы классов
* 40. Произведения и суммы классов классов
* 41. Произведение и сумма класса отношений
* 42. Различные предложения
* 43. Отношения относительного произведения к его сомножителям
Часть II. Пролегомены к арифметике кардиналов
Глава I. Единичные классы и пары
Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA
19
* 50. Тождество и различие как отношения
* 51. Единичные классы
* 52. Кардинальное число 1
* 53. Различные предложения о единичных классах
* 54. Кардинальные пары
* 55. Ординальные пары
* 56. Ординальное число 2Г
Глава II. Подклассы, подотношения и относительные типы
* 60. Подклассы данного класса
* 61. Подотношения данного отношения
* 62. Отношение принадлежности классу
* 63. Относительные типы классов
* 64. Относительные типы отношений
* 65. О типовом определении многозначных символов
Глава III. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные
отношения
* 70. Отношения, классы референтов и релятивов которых принадлежат
заданным классам
* 71. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения
* 72. Различные предложения, касающиеся одно-многозначных,
много-однозначных и одно-однозначных отношений
* 73. Подобие классов
* 74. Одно-многозначные и много-однозначные отношения с ограниченными
полями
Глава IV. Выборки
* 80. Элементарные свойства выборок
* 81. Выборки из много-однозначных отношений
* 82. Выборки из относительных произведений
* 83. Выборки из классов классов
* 84. Классы взаимно исключающих классов
* 85. Различные предложения
* 88. Условия существования выборок
Глава V. Индуктивные отношения
* 90. Об отношении предшествования
* 91. О степенях отношения
* 92. Степени одно-многозначных и много-однозначных отношений
* 93. Индуктивный анализ поля отношения
* 94. О степенях относительных произведений
* 95. Об эквифакторных отношениях
* 96. О потомстве терма
* 97. Разбиение поля отношения на семейства
Указатель определений
Том II
Предварительные формальные соглашения
Часть III. Арифметика кардиналов
Глава I. Определение и логические свойства кардинальных чисел
* 100. Определение и элементарные свойства кардинальных чисел
* 101. О 0, 1 и 2
* 102. О кардинальных числах заданных типов
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
* 103. Однородные кардиналы
* 104. Восходящие кардиналы
* 105. Нисходящие кардиналы
* 106. Кардиналы относительных типов
Глава II. Сложение, умножение и возведение в степень
* 110. Арифметическая сумма двух классов и двух кардиналов
* 111. Двойное подобие
* 112. Арифметическая сумма класса классов
* 113. Об арифметическом произведении двух классов или двух кардиналов
* 114. Арифметическое произведение класса классов
* 115. Мультипликативные классы и арифметические классы
* 116. Экспоненциация
* 117. Больше и меньше
Общее замечание о кардинальных корреляторах
Глава III. Конечное и бесконечное
* 118. Арифметическая подстановка и униформные формальные числа
* 119. Вычитание
* 120. Индуктивные кардиналы
* 121. Интервалы
* 122. Прогрессии
* 123. Ко
* 124. Рефлексивные классы и кардиналы
* 125. Аксиома бесконечности
* 126. О типово не-определенных индуктивных кардиналах
Часть IV. Арифметика отношений
Глава I. Подобие ординалов и реляционные числа
* 150. Внутреннее преобразование отношения
* 151. Подобие ординалов
* 152. Определение и элементарные свойства реляционных чисел
* 153. Реляционные числа 0г, 2Г и
* 154. Реляционные числа предписанных типов
* 155. Однородные реляционные числа
Глава II. Сложение отношений и произведение двух отношений
* 160. Сумма двух отношений
* 161. Добавление терма к отношению
* 162. Сумма отношений одного поля
* 163. Отношения взаимно исключающих отношений
* 164. Двойное сходство
* 165. Отношения отношений пар
* 166. Произведение двух отношений
Глава III. Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень
отношений
* 170. Об отношении первых разностей среди подклассов данного класса
* 171. Принцип первых разностей (продолжение)
* 172. Произведение отношений одного поля
* 173. Произведение отношений одного поля (продолжение)
* 174. Закон ассоциативности реляционного умножения
* 176. Экспоненциация
* 177. Предложения, связывающие Pdf с произведениями и степенями
Глава IV. Арифметика реляционных чисел
Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA
21
* 180. Сумма двух реляционных чисел
* 181. О прибавлении единицы к реляционному числу
* 182. Об отделенных отношениях
* 183. Сумма реляционных чисел одного поля
* 184. Произведение двух реляционных чисел
* 185. Произведение реляционных чисел одного поля
* 186. Степени реляционных чисел
Часть V. Серии
Глава I. Общая теория серий
* 200. Отношения, содержащиеся в различии
* 201. Транзитивные отношения
* 202. Связные отношения
* 204. Элементарные свойства серий
* 205. Точки максимума и минимума
* 206. Секвентные точки
* 207. Границы
* 208. Корреляция серий
Глава II. О сечениях, сегментах, промежутках и производных
* 210. О серии классов, образованных отношением включения
* 211. О сечениях и сегментах
* 212. Серии сегментов
* 213. Отношения сечений
* 214. Дедекиндовы отношения
* 215. Промежутки
* 216. Производные
* 217. О сегментах сумм и обращений
Глава III. О сходимости и пределах функций
* 230. О сходимости
* 231. Предельные сечения и предельная осцилляция функции
* 232. Об осцилляции функции, когда аргумент стремится к данному
пределу
* 233. О пределах функций
* 234. Непрерывность функций
Том III
Часть V. Серии
Глава IV. Вполне упорядоченные серии
* 250. Элементарные свойства вполне упорядоченных серий
* 251. Ординальные числа
* 252. Сегменты вполне упорядоченных серий
* 253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий
* 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий
* 255. Больше и меньше среди ординальных чисел
* 256. Серии ординалов
* 257. Трансфинитные родовые отношения
* 258. Теорема Цермело
* 259. Индуктивно определенные корреляции
Глава V. Конечные и бесконечные серии и ординалы
* 260. О финитных интервалах в серии
* 261. Конечные и бесконечные серии
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
22
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA
* 262. Финитные ординалы
* 263. Прогрессии
* 264. Производные вполне упорядоченных серий
* 265. Серии алефов
Глава VI. Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии
* 270. Компактные серии
* 271. Срединные классы в сериях
* 272. Подобие расположения
* 273. Рациональные серии
* 274. О серии финитных подклассов серии
* 275. Непрерывные серии
* 276. О серии бесконечных подклассов серии
Часть VI. Количества
Глава I. Обобщения чисел
* 300. Положительные и отрицательные целые числа и числовые отношения
* 301. Степени отношений, определенные численно
* 302. О взаимно простых числах
* 303. Пропорции
* 304. Серии пропорций
* 305. Умножение простых пропорций
* 306. Сложение простых пропорций
* 307. Обобщенные пропорции
* 308. Сложение обобщенных пропорций
* 309. Умножение обобщенных пропорций
* 310. Серии действительных чисел
* 311. Сложение согласованных вещественных чисел
* 312. Алгебраическое сложение вещественных чисел
* 313. Умножение вещественных чисел
* 314. Действительные числа как отношения
Глава II. Вектор-семейства
* 330. Элементарные свойства вектор-семейств
* 331. Связные семейства
* 332. Представитель отношения в семействе
* 333. Открытые семейства
* 334. Сериальные семейства
* 335. Инициальные семейства
* 336. Серии векторов
* 337. Кратные и доли векторов
Глава III. Измерения
* 350. Пропорции элементов семейства
* 351. Делимые семейства
* 352. Рациональные кратные данного вектора
* 353. Рациональные семейства
* 354. Рациональные решетки
* 356. Измерение вещественными числами
* 359. Теоремы существования для вектор-семейств
Глава IV. Циклические семейства
* 370. Элементарные свойства циклических семейств
* 371. Серии векторов
* 372. Целые части серий векторов
Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA
23
* 373. Делители тождества
* 374. Главные доли
* 375. Главные пропорции
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ТРЕТЬЕМУ ТОМУ
В настоящем томе продолжается изложение теории серий, начатое во
втором томе, а затем следует теория измерений. Мы нашли необходи-
мым зарезервировать отдельный заключительный том для изложения гео-
метрии 5.
В теории вполне упорядоченных серий и теории компактных серий мы
следовали Кантору, исключая теорему Цермело (*257-8), а также те слу-
чаи, когда работа Кантора неявно допускала аксиому умножения. Поэтому
имеющееся там нововведение — в основном негативного плана, т.е. в плане
исключения упомянутых случаев. В частности, аксиома умножения требу-
ется во всех известных доказательствах фундаментального предложения
о том, что предел прогрессии ординалов второго класса (т.е. примени-
мых к сериям, чьи поля имеют Ко термов) есть ординал второго класса
(ср. *265). Вследствие этого обстоятельства весьма внушительная часть об-
щепризнанной теории трансфинитных ординалов должна рассматриваться
как сомнительная.
С другой стороны, часть VI, посвященная теории пропорций и изме-
рений, является новой, хотя она и представляет собой развитие метода,
появившегося в V книге Евклида и продолженного Бурали-Форти6. Сре-
ди других положений нашего исследования количеств, к которым мы хо-
тели бы привлечь внимание, мы можем упомянуть следующие. (1) Мы
рассматриваем количества в обобщенном смысле как “векторы” и поэтому
мы рассматриваем пропорции как имеющие место между отношениями.
5 Заключительный четвертый том “ Principia Mathematical так и не был напи-
сан. — Прим. ред.
6 Ср.: G. Peano. Formal airе, I. (1895), рр. 28-57.
26
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ТОМУ
(2) Гипотеза о том, что векторы, затрагиваемые в каком-либо контексте,
образуют группу, всегда выделявшаяся в подобного рода исследованиях,
перемещается нами в весьма подчиненное положение, будучи иногда во-
обще неверифицируемой, а иногда — следствием других, более продуктив-
ных гипотез. (3) Мы развили теорию пропорций и вещественных чисел,
которая первична по отношению к нашей теории измерений и еще не яв-
ляется чисто арифметической, т.е. не исследует пропорции просто как па-
ры целых чисел, а как отношения между действительными количествами,
такими как два расстояния или два промежутка времени. (4) В нашей
теории “вектор-семейств”, которые представляют собой семейства такого
вида, к которым применима некоторая форма измерения, мы смогли раз-
вить весьма большую часть их свойств перед тем, как мы вводим числа;
поэтому теория измерения проистекает из комбинации двух других теорий:
чистой арифметики пропорций и вещественных чисел без ссылок на век-
торы и чистой теории векторов без ссылок на пропорции и вещественные
числа. (5) Имея в виду геометрические приложения, мы посвятили спе-
циальную главу циклическим семействам, таким как углы на плоскости
с вершиной в заданной точке.
Теория измерения, развиваемая в части VI, потребуется в следующем
томе для введения в геометрию координат.
Мы должны поблагодарить наших друзей за их доброжелательность и
указания на ошибки и опечатки в этом и предыдущих томах, отмеченные
в соответствующем списке7.
A.N.W.
B.R.
15 февраля 1913 г.
7 См.: Errata. — Прим, перев.
Principia Mathematica III
ГЛАВА 4.
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ
СЕРИИ
Краткое содержание главы 4
“Вполне упорядоченная” серия есть серия такая, что каждый экзистен-
циональный класс, содержащийся в ней, имеет первый терм, или, что при-
водит к тому же самому, есть серия такая, что каждый класс, который име-
ет последователей, имеет секвент. Мы будем называть отношение, вообще
говоря, вполне упорядоченным, если каждый экзистенциональный класс,
содержащийся в его поле, имеет один или более минимумов. Тогда вполне
упорядоченная серия представляет собой серию, которая является вполне
упорядоченным отношением.
Вполне упорядоченная серия обладает многими важными свойствами,
не присущими всем сериям. Вполне упорядоченная серия является Деде-
киндовой, исключая лишь то обстоятельство, что она может не иметь по-
следнего терма; т.е. каждое сечение, имеющее последний терм, является
Дедекиндовым. Вполне упорядоченная серия, не являющаяся нулевой, име-
ет первый терм, а каждый терм серии (исключая последний, если тако-
вой найдется) имеет непосредственного последователя. Очень важным свой-
ством вполне упорядоченных серий является то, что они подчиняются рас-
ширенной форме математической индукции, которую мы будем называть
“трансфинитной индукцией”, а именно следующему положению: Если о
есть класс такой, что секвент (если таковой найдется) некоторого класса,
содержащегося в о и в серии, является элементом о, то вся серия содержит-
ся в о (В дальнейшем будет видно, что А содержится в о, и, следователь-
но, на основании *206-14 ‘Рявляется элементом о). Это отличается от
обычной математической индукции тем обстоятельством, что вместо того,
чтобы иметь дело с последователями единственного терма, она имеет дело
28
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
с последователями классов. Вполне аналогичное свойство, которое имеет
место для всех вполне упорядоченных отношений, независимо от того, яв-
ляются они сериальными или нет, заключается в следующем: Если о есть
класс такой, что всякий раз, когда с о, где х есть какой-либо элемент
С‘Р, а х сам по себе принадлежит о, то С‘Рсо. Если Р является вполне
упорядоченным, то это свойство имеет место для всех о-элементов; и об-
ратно, если это свойство имеет место для всех о-элементов, то Р является
вполне упорядоченным. Следовательно, это свойство эквивалентно вполне
упорядоченности.
Если Р является вполне упорядоченной серией, то min/> выбирает по од-
ному терму из каждого элемента С1ех‘С‘Р. Следовательно, С‘Р, который
представляет собой minp“Clex‘C‘P, является элементом мультипликатив-
ного класса С1ех‘С‘Р; следовательно, мультипликативный класс С1ех‘С‘Р
существует, и поэтому мультипликативный класс некоторого класса, содер-
жащегося в С1ех‘С‘Р, существует (на основании *88-22). Следовательно, ес-
ли j‘к может быть вполне упорядочено, и А~ек, то мультипликативный
класс к существует; и если каждый класс может быть вполне упорядочен,
то имеет место аксиома умножения. Обращение последнего предложения
также имеет место, как было доказано Цермело (ср. *258).
Другая важная группа свойств вполне упорядоченных серий вытекает
из предложения *208-41 и последующих. Две ординально подобных вполне
упорядоченных серии могут быть скоррелированы лишь одним способом; и
ни одно собственное сечение вполне упорядоченной серии не является орди-
нально подобным всей серии. (“Собственное” сечение представляет собой
именно сечение, а не все целое.)
Из единственности коррелятора двух подобных вполне упорядоченных
серий следует, что можно избежать всех применений аксиомы умножения
в *164, если поля рассматриваемых отношений состоят из вполне упорядо-
ченных серий. Т.е., принимая *164-45, которое является фундаментальным
предложением в данном вопросе, мы имеем без допущения аксиомы умно-
жения
P,Qe Rel2 excl. э : g! Р smor Q П RT smor . = . P smor smor Q,
всякий раз, когда ёРи C‘Q состоят из вполне упорядоченных серий. Сле-
довательно, при такой гипотезе аксиома умножения исчезает из гипотез
всех следствий *164-45.
Ординальные числа (*251) определяются как реляционные числа вполне
упорядоченных серий. (Это определение согласуется со своим применени-
ем: в противном случае не существовало бы особых возражений против
определения “ординальных чисел” как реляционных чисел серий вообще.
Реляционные числа серий будут называться сериальными числами.) Сум-
мы ординального числа ординальных чисел представляют собой ординаль-
ные числа, однако произведения ординального числа ординальных чисел
не являются, вообще говоря, ординальными числами. Произведение орди-
нального числа сериальных чисел представляет собой сериальное число, а
произведение ординального числа (не нуля) ординальных чисел, отличных
от нуля, не есть нуль, т.е. произведение ординальных чисел, в котором чис-
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4
29
ло сомножителей есть ординальное число, не равно нулю, если ни один из
сомножителей не равен нулю. (Для отношений, вообще говоря, соответству-
ющее предложение требует аксиомы умножения.) Если v есть ординальное
число, а ц —какое-либо сериальное число, то p,exprv (т.е. jjlv, как это могло
быть естественным образом названо) является сериальным числом; однако
если ц> 1, то p,exprv не является ординальным числом, если v бесконечно.
Теория сечений и сегментов (*252, *253) значительно упрощается для
вполне упорядоченных серий, благодаря тому факту, что каждое собствен-
ное сечение имеет секвент. Собственные сечения тождественны собствен-
ным сегментам, и оба они тождественны Серия сечений есть
Серия сегментов представляет собой 5 Р или
в зависимости от того, существует или нет последний терм С‘Р. Се-
рия секциональных отношений есть Р [ ’ Р [ Q‘P-+> Р; ее область есть
Р , а ее поле есть Р i‘P. Если хеС‘Р, то Р[~Р‘х нико-
гда не будет подобно Р.
Теория больше и меньше для вполне упорядоченных серий и ординаль-
ных чисел развивается в *254 и *255. Кантор доказал с помощью сегмен-
тов, что из любых двух различных ординальных чисел одно должно быть
больше. Это доказывается путем демонстрации того, что из любых двух
вполне упорядоченных серий, которые не являются подобными, одна долж-
на быть подобна сегменту другой. Мы определяем ординальное число а
как меньшее чем другое число (3, если могут быть найдены такие серии Р
и 2, что Р есть элемент a, Q есть элемент р, и Р подобно некоторому от-
ношению, содержащемуся в 2, но не самому Q. Может быть доказано, что
все ординалы, меньшие, чем Nr‘2? принадлежат каждый по отдельности
собственным сегментам Q. Следовательно, сказать, что ординальное число
Р меньше, чем ординальное число 2? эквивалентно тому, чтобы сказать,
что существует собственный сегмент 2, которому Р подобно.
Когда две серии обладают одним и тем же ординалом, то они также
обладают одним и тем же кардиналом, в силу *151-18, однако обратное не
имеет места. Когда кардинальное число одной серии больше, чем карди-
нальное число другой серии, то таково же и ординальное число. Когда два
класса могут быть вполне упорядочены, то любое такое упорядочивание
сделает первый класс подобным части второго класса, или второй класс
подобным части первого класса, в силу свойств сегментов вполне упорядо-
ченных серий. Следовательно, из двух различных кардиналов, каждый из
которых применим к классам, которые могут быть вполне упорядочены,
один должен быть больше — свойство, которое не может быть доказано для
кардиналов в общем.
В *256 мы имеем дело с сериями ординалов в порядке возрастания вели-
чины. Мы показываем, что эти серии являются вполне упорядоченными, и
что серия всех ординалов данного типа имеет ординальное число, которое
больше, чем любой ординал данного типа. В этом заключается разрешение
парадокса Бурали-Форти, касающегося наибольшего ординала: не найдется
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
30
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
наибольшего ординала ни в каком одном типе, и ординалы более высоких
типов превосходят все ординалы данного типа.
В параграфах *257, *258 и *259 мы имеем дело с “трансфинитной ин-
дукцией” и ее применениями, из которых наиболее важным является тео-
рема Цермело, а именно
* 258-34. h ц ~ е 1 . э : S е€д‘С1ех‘ц . = .
(gP). PeQ . С'Р = у,. S = min/> [ Clех‘ц
где Q есть класс вполне упорядоченных серий. Это предложение приводит
к следующему:
* 258-36. h : p,eC“QU 1 . = . 3! ед‘С1ех‘ц
Т.е. класс может быть вполне упорядочен или является единичным
классом тогда и только тогда, когда может быть сделана выборка из его
экзистенционального подкласса. Следовательно, мы приходим к
* 258-37. h : Mult ах. = . C“Z U 1 = Cis
Т.е. аксиома умножения эквивалентна предположению о том, что каж-
дый класс может быть вполне упорядочен или состоит из одного един-
ственного элемента.
Для доказательства теоремы Цермело используется расширение до
трансфинитной индукции понятий из *90 и *91, которые разъясняются
в *257.
Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 31
*250. Элементарные свойства вполне упорядоченных
серий
Краткое содержание *250.
Отношение называется “вполне упорядоченным”, когда каждый экзи-
стенциональный подкласс его поля имеет один или более минимумов.
Вполне упорядоченная серия определяется как вполне упорядоченное отно-
шение, которое является серией. Мы будем обозначать класс вполне упо-
рядоченных отношений посредством “Bord”, что является аббревиатурой
для “bene ordinata” или “bien ordonnee”. Класс вполне упорядоченных се-
рий будет обозначаться посредством Q. Поэтому нашими определениями
являются
Bord = Р (С1 ех‘ёРс G‘min/>) Df,
Q = Ser A Bord Df.
На вполне упорядоченные отношения, отличные от серий, мы будем редко
ссылаться после настоящего параграфа.
С помощью применения определения “Bord” к единичному классу яв-
ствует, что вполне упорядоченное отношение должно содержаться в раз-
личии (*250-104). Вполне упорядоченное отношение есть отношение, чьи
экзистенциональные верхние сечения все имеют минимумы (*250-102). Сле-
довательно, на основании *211-17
*250-103. h : Р € Bord . = . Рро е Bord
Следовательно, на основании *250-104,
*250-105. h : Р е Bord . э . Рро G J
Посредством рассмотрения пар может быть показано (*250-11), что
вполне упорядоченное отношение, в котором ни один класс не имеет более
одного минимума, является связным; следовательно, на основании *204-16
и *250-105, оно является серией. Поэтому мы имеем
*250-125. h : Р е Q . = . Е !! minP“Cl ех‘С‘Р
Т.е. вполне упорядоченная серия представляет собой отношение такое,
что каждый экзистенциональный подкласс его поля имеет единственный
минимум. Это могло бы быть принято в качестве определения Q.
На основании определения Q мы имеем
*250-121. h PeQ . = : Ре Ser: а с С‘Р. g! а . эа . Е ! min/»‘а :
= : Ре Ser : g! а А С‘Р. эа . Е ! min/ot
Применяя это к С‘Р, мы имеем
*250-13. h : Р е Q - i‘A . э . Е ! В‘Р
Мы также имеем
*250-141. HPeQ.o.P faeQ
*250-17. h Р, Q е Q - i‘A . э : Р smor Q . = . Р [ G‘P smor Q [ CTQ
Это предложение с самого начала оправдывает вычитание 1 и полезно
в теории сегментов вполне упорядоченных серий.
Далее мы имеем (*250-2—243) важную группу предложений о Pi, когда
PeQ. Наиболее полезным из них является
*250-21. h : Р е Q . z>. D‘P = D‘Pj
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
32
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Т.е. во вполне упорядоченной серии каждый терм, исключая последний
(если таковой существует), имеет непосредственного последователя. (Вооб-
ще говоря, не найдется случая, что каждый терм, исключая первый, имеет
непосредственного предшественника.) Другим важным предложением явля-
ется
* 250-242. Ь:РеП.э.Р = Р1 U Р{ | Р
Следующая группа предложений (*250-3—362) касается “трансфинитной
индукции”. Мы имеем
* 250-33. h . Q = connex А Р {а с ёРАо. эа. seq/ot со: эо . С‘Р}
Т.е. вполне упорядоченная серия представляет собой связное отношение
Р такое, что все поле Р содержится в каждом классе о, который таков,
что секвент (если существует) каждого подкласса ёРА о является элемен-
том о.
* 250-35. h . Bord = Р{хеС'Р .^‘хс о. . хе о: эо . ёРс о}
Т.е. вполне упорядоченное отношение представляет собой отношение Р,
чье поле содержится в каждом классе о, который содержит каждый эле-
мент С‘Р, чьи предшественники все содержатся в о. Мы можем сказать,
что свойство является “трансфинитно наследуемым” в Р, если оно принад-
лежит секвентам всех классов, составленных из элементов С‘Р, которые
обладают указанным свойством. В силу *250-33, если Р является вполне
упорядоченным, то каждый трансфинитно наследуемое свойство принадле-
жит каждому элементу С‘Р, и обратно.
Следующая группа предложений (*250-4—44) касается А и пар. Мы до-
казываем, что AeQ (*250-4) и что х^у . э. xJ,yeQ (*250-41).
Предложения *250-5—54 касаются выборок. Мы имеем
* 250-5. h : PeQ . э . minP [ Cl ех‘ёРеед‘Cl ех‘С‘Р. i‘C‘P = Prod‘Cl ех‘С‘Р
откуда
* 250-51. h : ае C“Q . э . 3! ед‘С1 ех‘а
Заметим, что C“Q есть класс тех классов, которые могут быть вполне
упорядочены. Из *250-51 мы выводим
* 250-54. h : C“Q U 1 = Cis . . Mult ax
Обратное утверждение, которое представляет собой теорему Цермело,
доказывается в *258.
Предложения *250-6—67 касаются следствий *208. Мы показываем, что
две вполне упорядоченных серии не могут иметь более одного коррелятора
(*250-6); что если Р является вполне упорядоченной серией, а Р содержится
в собственном сечении Р, то Р [ Р не является подобным Р (*250-65); и
что если Р является вполне упорядоченным отношением, а а —каким-либо
классом таким, что существуют термы в С‘Р, которые следуют позже, чем
любой элемент аАС‘Р, то Р не является подобным Р[а (*250-67).
*250-01. Bord = Р (Cl ех‘ёРс Q‘minp) Df
*250-02. Q = Ser A Bord Df Df
*250-1. h : P e Bord . = . Cl ex‘C‘P c CTminp
*250-101. h PeBord . = : 3! а A C‘P . эа . 3! min/a
[(*250-01)]
[*250-1 . *205-15]
Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 33
*250102. h : Р е Bord . = . sect Р - i‘A с Q‘minp
Доказательство.
h . *250-1 . э h : Р е Bord . э . sect‘£ - i‘A с Q‘minp (1)
h . *205-19 . э h . miii (Ppo)‘a = min (Рро)‘Р*“а
[*205-68] = minp‘P*“ot (2)
h . *90-331 . *211-13 . э h : я! а A C‘P. э. P* “a esect‘P - i‘A (3)
h . (3). э h sect‘P- i‘A c G‘minp . э : 3! а О C‘P. эа . я! minp‘(P*“a).
[(2)] эа.а^ййпр(рро)‘а-
[*205-26] эа . a ’• min/a:
[*250-101] э: PeBord (4)
F . (1). (4) . э h . Prop
* 250-103. F : PeBord . = . Ppo eBord [*250-102 . *211-17]
* 250-104. F.BordcRTJ
Доказательство.
F . *250-1 . э F : PeBord . xeC‘P. э . xemin/i‘x.
[*205-194] э . ~ (xPx): э F. Prop
* 250-105. F : P e Bord . э . P^ G J [*250-103-104]
* 250-11. F :: Pe connex. э PeBord . = :3!a A C‘P. эа . E ! min/a :
= : a с C‘P . а! a . эа . E ! min/>‘a
[*250-1-101 . *205-32]
* 250-111. F P e Bord . э: Pe connex . = . minp e 1 —> Cis
Доказательство.
F . *250-1 . *71-1 . э
F :: PeBord . minP e 1 —» Cis . z>x,y eC‘P. э : (i‘xU i‘y) - P“(i‘xU i‘y) e 1 :
[*54-4] э : i‘x U i‘y - P“(i‘x U i‘y) = Cx. V .
i‘x U i‘y - P“(i‘x U i‘y) = Су (1)
F . (1) . э F PeBord . min/> e 1 —> Cis . x,y eC‘P . x . э :
yeP‘ ‘(l‘x U i‘y). V . x e P“(i‘x U L‘y):
[*250-104] z>: xPy . V . yPx (2)
F . (2). *202-103 . z>F : Pe Bord . minP e 1 —> Cis . □. Pe connex (3)
F . (3). *205-31 . э F. Prop
* 250-112. h:P econnex A Bord . = . E !! minp“Cl ex‘C‘P
Доказательство.
h. *250-1-111 .э
h : P e connex A Bord . = . min/> e 1 —> Cis . Cl ex‘C‘P c Q‘min/>.
[*71-16] = . E !! minp“G‘minp . Cl ex‘C‘P c Q‘min/>.
[*205-15-16] = . E !! minP“Cl ex‘C‘P: э h . Prop
*250-113. h . connex A Bord = Q
Доказательство.
h . *204-1 . (*250-02). э h . Q c connex A Bord (1)
h . *250-105 . э h : P e connex A Bord . э . P e connex . Ppo G J .
[*204-16] z>.PeSer (2)
F . (2). (*250-02). э h : Peconnex A Bord . э . PeQ (3)
h . (1). (3). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
34
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*250-12. h : Р е Q. = . Р е Ser A Bord [(*250-02)]
*250-121. h PeQ. = : Ре Ser : а с С‘Р. g! а . эа . Е ! min/a :
= : Ре Ser : g! а А С‘Р. эа . Е ! min/a [*250-12-11]
*250-122. h PeQ. = : Ре Ser : g! C‘P A pi4p“(a A C‘P). эа . E ! seq/a
Доказательство.
I- . *206-13 . *250-121 . э
h :: PeQ . э : PeSer : g! C‘P AjP“(a A C‘P). эа . E ! seqp‘a (1)
h . *204-62 . э
h : PeSer. g! a A C‘P. э . g! C‘P A p‘^"p‘^“(aAC‘P).
[*40-62] э . g! C‘P A p‘?*“{C‘P A A C‘P)} (2)
L . (2). *10-1 . э
h PeSer : g! C‘P A p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э :
g! a A C‘P. эа . E ! seqp‘{C‘P A p‘7^“(a A C‘P)}.
[*206-131-54] Da.E!minP‘a:
[*250-121] э: PeQ (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*250-123. h PeQ - i‘A . = : PeSer : g! jP“(a A C‘P). эа . E ! seqp‘a
Доказательство.
I- . *250-122 . э
h PeSer : g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э.PeQ (1)
h . *40-6 . *24-52 . э
h g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э . E ! seq/A .
[*206-18] э.д!Р (2)
h . *250-122 . *40-62 . э
h PeQ . э : PeSer : g! a A C‘P . g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a (3)
h . *206-14 . э h : a A C'P-A . э . seqp‘a =1!‘P
[*205-12] = EmP‘C‘P (4)
I- . *33-24 . *250-121 . э h : P e Q - i‘A . э . E ! min/CP (5)
h . (4). (5). э h : P e Q - i‘A . a A C‘P = A . э . E ! seq/a (6)
h.(3).(6).D
h PeQ - i‘A . э : PeSer : g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a (7)
h.(l).(2).(7).Dh.Prop
*250-124. h : P e Q . = . P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c Q‘seqp
Доказательство.
h . *250-122 . *211-703 . э h : P e Q. э . P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c CTseqp (1)
h . *211-7 . э h P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c Q‘seq/>. э :
P esect‘P - i‘A . эр . E ! seqp^C'P - P).
[*211-723] эр.Е!тт/Р:
[*250-102-12] o:PeQ (2)
F.(l).(2).oh.Prop
*250-125. h : PeQ . = . E !! min/>“Clex‘C‘P [*250-112-113]
Приведенное выше предложение могло бы быть доказано независимо
от *250-112-113 следующим образом:
Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 35
(а) Если Е !! minp“Clех‘С‘Р, то хеС'Р. э . Е I min^Tx, откуда
хеС'Р. э. ~ (хРх),
откуда Рg J.
(Ь) Если Е !! minp“Cl ех‘С‘Р, то
х,уеёР. х /у . э . Е I min/>‘(i‘xU i‘y),
откуда следует, что
хРу . ~ (уРх). V . уРх. ~ (хРу).
Следовательно,
Р е соппех . Р2 G J.
(с) Если Е I! тт/‘С1 ех‘С‘Р, то
хРу. yPz. э . Е I min/>‘(i‘x U i‘y U i‘z),
откуда
хРу. yPz . э. ~ (zPx),
и на основании Р2 g J (что только что было доказано)
хРу. yPz .x^z.
Следовательно, поскольку Ресоппех на основании (Ь), мы должны иметь
zPy • yPz. э . xPz, т.е. Р е trans.
Следовательно,
Е !! minp“Cl ех‘С‘Р. э . Ре Ser .
Следовательно, приведенное выше предложение становится очевидным.
*250-126. h : PeQ . Е I max/ot. ~ Е ! seq/ot. э . В1 Ре cl. ‘Р= max/а
Доказательство.
h . *250-123 . Transp . э h: Нр . э . ~ 31 jP“(a А С‘Р).
[*205-65] э . ~ 31 jP‘max/a.
[*33-4] э . maxp‘a ~ е D‘P.
[*93-103] э . шах/а е"3‘Р.
[*202-52] э . maxp‘a = В‘Р: э h . Prop
*250-13. h : Р е Q - i‘A . э . Е ! В‘Р
Доказательство.
h. *33-24. э h : Нр . э . 31 С‘Р.
[*250-121] D.E!min/C‘P.
[*205-12] э . Е I В'Р: э h . Prop
*250-131. h :. PeQ . э : 3 IP . = . Е I В‘Р
Доказательство.
I-. *93-102 . *33-24 . э h : Е I В‘Р. э . 3 IP (1)
h.(l). *250-13. эЬ. Prop
*250-14. h : Р е Bord . э . ИГР с Bord
Доказательство.
I-. *250-1 . (*205-26). э
h : Ре Bord . Q G Р . э . Cl ех‘ёРс G‘minp . minp [ Cl ех‘С‘2 G min^ . (1)
[*60-42 . *35-64] э . Cl ex‘C‘2 c Cl ex‘C‘P. Q‘minp A Cl ex‘C‘2 c Q‘min^ (2)
h . (1). (2). *22-44-621 . э h : P e Bord . Q g P. э . Cl ex‘C‘6 c CTmin^ .
[*250-1] э . Q e Bord : э h . Prop
*250-141. F:PeQ.D.P[aeQ [*250-14 . *204-4]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
36
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*250-142. h : Р е Bord . э . ИГР A connex с Q
Доказательство.
h . *250-14 . э h : Нр . э . Ш‘Р A connex с Bord A connex
[*250-113] cQ: oh. Prop
*250-15. h : PeQ . E ! B'P. э . PeDed
Доказательство.
h . *250-101 . эН. Нр . э : 3! a A C‘P. эа . 3! min/a (1)
h . *206-14 . oh:. Нр . э : a A C‘P = A . эа . 3! ргёЙ/а (2)
h . (1). (2). э h : Нр . э . (a). з! (min/a U pfe£/a).
[*214-1] d. PeDed.
[*214-14] □ . PcDed : э h . Prop
*250151. F:PeQ.xeCTP.D.P [A‘x€Ded
Доказательство.
F. *250-141. oF:Hp.D.P [А'хеЯ (1)
F. *205-41 . э F:Нр.э ."3‘Cnv‘(P [A‘x) = ma^/A'x
[*205-197] =i‘x.
[*53-3] э . E ! B‘Cnv‘(P [ A‘x) (2)
F.(1). (2). *250-15 . z> F. Prop
*250-152. F . Q c semi Ded [*214-7 . *250-124]
*250-16. F : eQ.. g! a П C'P. э .^‘minp'a = p‘^“(aCl C'P)
[*205-65 . *250-121]
*250-17. h P, QeQ - i‘A . э : Psmor Q . = . P [ Q‘Psmor Q [ CT (2
[*204-47 . *250-13]
Это предложение полезно в связи с серией сегментных отношений во
вполне упорядоченной серии, так как серия собственных сегментных от-
ношений во вполне упорядоченной серии представляет собой (как будет
доказано позднее)
р [’I*; р [ стр,
и является ординально подобной Р [Q‘P. Следовательно, на основании при-
веденного выше предложения две вполне упорядоченные серии, которые
не являются нулевыми, являются ординально подобными тогда и только
тогда, когда серии их сегментных отношений являются ординально подоб-
ными.
*250-2. h : Р е Bord . z>. D‘P = D‘(P - P2)
Доказательство.
h . *33-4 . э h: xeD‘P. =. 3! ^‘x (1)
h . *250-1 . *205-16 . oh:. PeBord . э : 3! ^‘x. = . 3! min/^~‘x.
[*205-251] =.xeD‘(P-P2) (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*250-21. h : P e Q . э . D‘P = D‘Pi [*201-63 . *250-2]
В силу этого предложения каждый терм вполне упорядоченной серии
(исключая последний, если таковой найдется) имеет непосредственного по-
следователя.
Principia Mathematica III
♦250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 37
*250-22. h : Р е Ser A Ded . D‘P = D‘Pi . э . Р е Q - i‘A
Доказательство.
h . *214-101 . э h : Нр . ~ Е ! шах/а. э . Е ! seq/a (1)
h . *206-45 . oh: Нр . max/a е D‘P. э . Е ! seqp‘ma£/a .
[*206-46] o.E!seq/a (2)
h . (1). (2). э h Нр . э : ~ (шах/a = В‘Р). эа . Е ! seq/a :
[*93-118] э : ~ (В‘Реа). эа . Е ! seq/a :
[*202-511 . *214-5] э: а! р‘^“(а | РС'Р). эа . Е ! seq/a:
[*250-123] э: PeQ-i‘A:.dF. Prop
*250-23. F : P e Q. E ! B‘P. = . P e Ser П Ded. D‘P = D‘Pi
Доказательство.
h . *250-22 . *214-5 . э h : PeSer П Ded. D‘P = D‘Pi . э . PeQ. E ! B‘P (1)
h . *250-15-21 . э h : P e Q. E ! B‘P. э . P e Ser A Ded . D‘P = D‘Pi (2)
h . (1). (2) . э F . Prop
*250-24. h : P eQ . E ! B'P. = . P e Ser A Ded . D‘P = D‘Pi
Доказательство.
h . *201-1 . *13-12 .oh:. Нр . x P2 z • э : yPx .z>.yP2z:y = x.z>.yP2zi
[Transp] э : ~ (у P2 z) • э . ~ (yPx) .y/x:
[*201-63. *202-103] ^-.yPxz.^.xPy (1)
h . (1). *201-63 . э h : Hp . x P2 z. zP\y. э . xPy . э . x, у e D‘P (2)
h . *250-21 . э h : Нр . x, у e D‘P. xPy. э . (gz). yP\Z •
[*201-63] э. (gz). yPz. zP\y.
[*34-1] z>.x(P2\Px)y (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*250-241. F:PeQ.D.Pi |P2 = (Q‘Pi)1 P
[Доказательство аналогично *250-24]
*250-242. Ь:РеП.э.Р = Р1йР1|Р
Доказательство.
h . *201-63 . э h :: Нр . э хРу. = : хРуу. V . х Р2 у:
[*250-21] = : хР\у. V . (gz). xP\z .хР2 у:
[*250-241] = : хР}у. V . (gz). xP\z • zPy:: э h . Prop
*250-243. h : P e Q . э . P [ CTPi = (СГР01 (Pi U P | Pi)
[Доказательство аналогично *250-242]
Следующие предложения имеют дело с расширенной формой матема-
тической индукции, которая является характерной для вполне упорядочен-
ных серий.
*250-3. h Р е Bord : а с ёРА о. эа . seqp‘a со: э . ёРс о
Доказательство.
h . *250-101 . э h : РеBord . g! С'Р- о. э . g! min/>‘(C‘P- о).
[*250-14] э . (дх). хеёР- о ."^‘хс о.
[*206-4 . *250-104] э . (дх). хеёР- о ."?‘хс о. xseqp ("?‘х).
[*13-295] э . (дх, а). а ="?‘х . а с ёРА о. хе seqp‘a - о.
[*10-24] э . (да). а с ёРА о. д! seq/a - о (1)
h . (1). Transp . э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
38
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*250-301. h : Peconnex . ~ g! min/i. а = ёР- Р“х . а с а. э . secret с а
Доказательство.
h . *205-122 . *202-501 . э h : Нр . э . оср‘”?“х .
[*40-76] э.тср‘?“о (1)
h . *206-134 . э h : Нр . xseqp а . э .^‘х с - р‘^“а
[*40-16] c-p‘jP“o
[(!)] с-т.
[*37-462] э . х~ еР“т .
[*206-18 . Нр] z>. х е о: э h . Prop
*250-31. h :: Peconnex :. а с ёРАо.эа. seq/>‘ot со:эа. ёРсо:.э.РеО
Доказательство.
I-. *250-301 . э
h Peconnex . g! ёРАх . ~g! min/x . 0 = С‘Р- Р“т. э :
аса. эа . seq/ot с о: g! С‘Р- о (1)
h.(l). *10-28. э
h Peconnex: (gx). g! С‘РПт . ~g! miii/x : э :
(go): а с о. эа . seq/а с о: g! ёР- о (2)
h. (2). Transp . э
h :: Р е connex аса. эа . seqp‘ot со: эа . ёРсо:, э :
g! ёРА х . эт. g! min/x :
[*250-101] э: PeBord (3)
h. (3). *250-113. oh. Prop
*250-32. h Peconnex . э :: PeBord . = :.
а с C‘P Ao. эа • seqp‘ot с о: эа . C‘P с о [*250-3-31]
*250-33. h . Q = connex AP{асC‘P Ao. эа. seq/>‘aco: эо . C‘P}
[*250-32-113]
*250-34. h :. PeBord : хе C‘P .^‘хсо.эл.хео:э. C‘P с 0
Доказательство.
h . *250-11 . э h : PeBord . g! C‘P - о. э . g! min/>‘(C‘P-o).
[*205-14] э.(дх).хеС‘Р-о.'?‘хсо (1)
h . (1). Transp . э h . Prop
*250-341. h :: xeC‘P."?‘xco .эх.хео:эо. C‘Pс о :. э . PeBord
Доказательство.
h . *205-122 . *37-462 . э
h : g! C‘P A x . ~ g! min/x . о = C‘P- P“x . xeC‘P .^‘xc о. э .
x~eP“x.g!C‘P-o.
[Нр] э. xeo. g! C‘P- о (1)
h . (1). *10-28 . э h :. (gx). g! C‘P A x . ~ g! min/x . э :
(go): x e C‘P.‘x с о. эх . x e о: g! C‘P - 0 (2)
h . (2). Transp . э h :. Нр . э : g! C‘P Ax. эг. g! min/x :
[*250-101] э : PeBord :. э h . Prop
Principia Mathematica III
♦250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 39
*250-35. к . Bord = Р [хеСР .?‘хс о. эх . хео : эо . СР а о]
[*250-34-341]
*250-36. k:.PeQ:Xco.g!Xd СР. эх . seq/X со:э.Р“осо
Доказательство.
к . *250-121 .эк:Ре£1.д!Р“о-о.э.Е! min/(P“a - о) (1)
k . *205-14 . *37-46 . э
k : х = min/>‘(P“o- о). э . g! о п"?‘х .^‘хП (Р"о - о) = А .
[*24-311] э. д! о П~?‘х .~?‘х- ос - Р“о (2)
к. (2). *202-501 . э
k : Ре Ser. х = min/>‘(P“o - о). э . g! о п"?‘х ."?‘х - ос И С'Р).
[*40-16] э . g! о П^?‘х .>х- о с п"?‘х).
[*40-61] э."?‘х-осР“(оА?‘х) (3)
к . (3). э к : Нр (3). э ,^‘хс(о П~?‘х) U Р“(о п"?‘х).
[*206-171] э . х = seqp‘(on^‘x).
[(2)] □,д!ой^‘х.оп'?‘хсо.~ {seq/(o П^‘х)со).
[*10-24 э . (gX). X с о. g! X П СР. ~ (seq/X с о) (4)
к. (4). Transp . э к : Нр . э . ~ Е ! minp‘(P“o - о).
[(1). Transp] э . Р“о - о = А: э к . Prop
*250-361. к:.РеО.Р1“аса:Хса.д!(ХпС‘Р).эх.Птах/>‘Хсо:э.Р“аса
Доказательство.
к . *206-46-43 .эк: Нр . X с о. Е ! тахр‘Х. э . seqp‘X =~&\‘тахр‘Х.
[Нр] э.seq/>‘Xc0 (1)
к . *207-4 .эк: Нр . X с о . g! (X П СР). ~ Е ! тах/Х . э . seq/X = limax/X.
[Нр] => . seq/Xco (2)
к . (1). (2). э к :. Нр . э : X с о. g! (X П СР). эх . seq/X с о :
[*250-36] э:Р“осо:. эк . Prop
*250-362. к :. Ре О. Pj “ос о: Хс о. g! ХП СР. эх . limiiip‘X с о: э. Р“осо
[*250-361 £.*121-26]
*250-4. F.AeQ
Доказательство.
к . *60-33 . э к . Cl ех‘С‘А с G‘min (А) к . (1). *250-1 . э к . A е Bord к . (2). *204-24 .эк. Prop (1) (2)
*250-41. к:х^у.э.х|уеО
Доказательство.
к . *60-39 . э к . Cl ех‘С‘(* 1 у) = l‘l‘x U i‘Су U l‘(l‘x U i‘y) (1)
к . *205-18 . эк: Нр . Р = х X у. э . minp‘i‘x = х. minp‘i‘y = у (2)
к . *205-181 . эк: Нр (2). э . minp‘(L‘* U t‘y) = х к . (1). (2). (3) . э к : Нр (2). э . Cl ех‘С‘(х 1 у) с (Tminp . (3)
[*250-1] э . хХу еBord к . (4). *204-25 .эк. Prop (4)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
40
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*250-42. F : РеQ- i‘A. z>. Е ! 2Р . 2Р = Р,‘‘Р.~?‘2Р = СВ'Р. Р \j^2P = А
Доказательство.
F . *121-13 . z> h : х = 2р . н . х= Р] ‘В‘Р
F. *250-13. э F : Нр. z>. Е ! В‘Р.
[*250-21 . *204-7] э.Е lPi‘B‘P
F. (1). (2). э F: Нр. э. Е ! 2Р. 2Р = ‘В‘Р
[*204-71] z>.?‘2P = i‘B‘P
[*200-35] z>.P[>2/> = A
F . (3). (4). (5). э F. Prop
*250-43. F.0r = Qn6“0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Доказательство.
h . *56-104 . d h : Pe0r. = : (gx,y) .х?у.Р = х[у:
[*250-4 .*33-241] = .PeQ.C‘P = A.
[*71-37 . *54-1] н . PeQn (?“0: э F . Prop
*250-44. F.2r = Qn^“2
Доказательство.
I-. *56-11 . э h : Pe2r. = : (gx,y) .x^y.P = x\,y:
[*250-41] =.PeQ: (gx,y) .x/y.P = x[y.
[*56-11-38] B.PeQDd“2.PnP = A:
[*204-14] в . PeQCl C“2F . Prop
*250-5. F : P e П. э . minP [ Cl ex‘C‘P e ед‘Cl ex‘C‘P. i‘C‘P = Prod'Cl ex‘C‘P
[*205-33 . *250-1 . *115-17]
Это предложение имеет существенную важность, поскольку оно дает
теорему существования для выборок из любого класса экзистенциональ-
ных классов, чья сумма может быть вполне упорядочена (ср. с *250-53
ниже). Заметим, что “aeC“Q” означает “а является классом, который мо-
жет быть вполне упорядочен”.
*250-51. h : aeC“Q . э . g! ед‘С1ех‘а [*250-5]
*250-52. h : а е C“Q . р с а . э . э! ед‘С1 ех‘0 [*88-22-2 . *250-51]
*250-53. h : 5‘KeC“Q. А ~ ек. э . 3! ед‘к
Доказательство.
h . *60-23-57 . э h : Нр . э . к с С1 ех‘.у‘к.
[*88-22 . *250-51] э . д! ед‘к: э h . Prop
*250-54. h : C“Q U 1 = Cis . э . Mult ax
Доказательство.
h . *250-53 . *83-4 .oh:. Нр . z> : A ~ ек. эк . g! ед‘к:
[*88-37] z> : Mult ах э k . Prop
Приведенное выше предложение утверждает, что если каждый класс,
который не является единичным, представляет собой поле некоторой
вполне упорядоченной серии, то аксиома умножения имеет место. Пред-
ложение, обратное этому, было доказано Цермело (ср. с *258-47).
*250-6. h : Р, QeQ.. Psmor Q . э . Рsmor Qе 1 [*208-41 . *250-12-1]
Это предложение очень полезно, поскольку оно позволяет нам, когда
даны две подобных серии подобных вполне упорядоченных серий, выбрать
корреляторы всех пар без привлечения аксиомы умножения. Т.е. задав
Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 41
Р, 2 е Rel2 excl .SeP smor Q.Sg smor, если NeC'Q,, то коррелятором S'N
и N будет t‘(SW) smor TV, если S'N, NeCl. Это позволяет нам обойтись без
аксиомы умножения в гипотезе *164-44 и его следствий всякий раз, когда
рассматриваемые отношения имеют поля, элементами которых являются
вполне упорядоченные серии.
*250-61. h : PeQ . э . Psmor Р = i‘(7 [С‘Р) [*208-42]
*250-62. h: Р е Bord. 5 e cror‘P. э . ~ (gx). (5 ‘x) Px [*208-43]
*250-63. k : P e Q П Cnv“Q. э . ИГР П Nr‘P = i‘P [*208-45]
Это предложение будет полезно в демонстрации того, что конечная се-
рия не является подобной никакой собственной части самой себя и пред-
ставляет собой вполне упорядоченную серию, чье обращение также явля-
ется вполне упорядоченным.
*250-64. F: PeBord. 5 ecror‘P. э . С‘РП p‘^‘D‘5 =Д [*208-46]
В силу этого предложения часть вполне упорядоченной серии может
быть подобна всей серии, лишь если указанная часть простирается до кон-
ца серии. Поэтому, например, никакое собственное сечение вполне упоря-
доченной серии не может быть подобным всей серии.
*250-65. h : Р е Q. а е sect‘P - СС'Р. 0 с а . э . ~ {Р smor Р [ 0}
Доказательство.
F. *40-16. э F : Нр. э. р‘*Р“С'(Р I а) с р‘<Р‘С'(Р [ Р) (1)
F . *211-133 . э F : Нр. а ~ е 1 . =>. а = С‘(Р [ а).
[*211-703] э.а!р‘^“С‘(Р [а).
[(1)] =.a!p‘W‘(P[P) (2)
I-. (2). *40-6-62 . z> I-: Нр. а ~ е 1 . а !Р. э . a! С‘Р П р‘Х“С‘(Р [ 0).
[*208-47] э. ~ {Р smor (Р [ Р)} (3)
F. *211-1 . *24-13 . э F: Р = А. э . sect'P-i‘C‘P = А (4)
F . (4). Transp . z> F : Нр. z>. a IP (5)
F . *200-35 . *250-104 . => F : Hp. a !P • a e 1. =>. ~ (P smor (P [ 0)} (6)
F . (3). (5). (6). э F . Prop
*250-651. F:PeQ.z>.Nr‘PnP [“(sect‘P-i‘C‘P) = A [*250-65]
*250-652. F : Pe Bord. Q cP. a! C‘PП . э . ~ (Psmor Q) [*208-47]
*250-653. F: P e Bord . 3! C‘PCi р‘^“(а П C‘P). z>. ~ (Psmor P [ a)
Доказательство.
F.*37-41 .z>F.C‘(P[a)caHC‘P.
[*40-16] :>Кр'1>'\аПС‘Р)ср11>“С‘(Р [a) (1)
F . (1). э F : Hp. =>. а! C'P П p‘^“C‘(P [ a).
[*250-652] => • ~ { smor (P [ a)): z> h . Prop
*250-66. h : P e Q . a e sect‘P . P smor (P [ a). . a = C‘P
[*250-65 . Transp]
*250-67. F : Pe£l. xeC'P. =>. ~ {Psmor (P [7*‘x)}
Доказательство.
h . *211-302 . э I-: Hp . d .~?‘xEsect‘P (1)
F. *200-52. эННр.з.А^СТ’ (2)
F . (1). (2). *250-65 . э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
42
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*250-7. h PeQ. = : хеС'Р .dx.P [^*‘xeQ : Ре Ser
Доказательство.
h. *250-141 .эЬ:.РеП.э:хеС‘Р.эх.Р [TVxeQ (1)
h. *250-121 . э
h xeC‘P . z>x . P [U‘xeO : = : xeC‘P . g! а A C‘(P ["?*‘x). Dxa .
E ! min(P [^*‘x)‘a:
[*202-55] э : хеСГР A a . =>хл . E ! min (P [7*‘x)‘a :
[*205-27] Dx,a . E ! min/a :
[*10-23] э : 3! СГР A a . z>a . E ! min/a (2)
h . *205-18 . *202-52 . z> h : P e Ser . a =frp. э . E ! minP‘a (3)
h . (2) . (3). э h x e C‘P . dx . P ‘x e Q : P e Ser : z> :
g! a A C‘P. эа . E ! min/a :
[*250-121] d:PeQ (4)
h . (1) . (4) . z> h . Prop
Это предложение используется в доказательстве того, что серия орди-
налов в порядке возрастания величины является вполне упорядоченной
(*256-3). Сначала мы доказываем, что если PeQ, то ординалы вплоть до
и включая Nr‘P являются вполне упорядоченными; следовательно, на ос-
новании приведенного выше предложения вся серия ординалов является
вполне упорядоченной.
Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
43
* 251. Ординальные числа
Краткое содержание *251.
Термин “ординальные числа” обычно ограничивается реляционными
числами вполне упорядоченных серий, и мы будем придерживаться этой
точки зрения в дальнейшем. Реляционные числа серии, вообще говоря,
обычно называются “порядковыми типами”8. Поэтому а есть порядковый
тип, если а е Nr “Ser, и а есть ординальное число, если aeNr“Q. В на-
стоящем параграфе мы рассмотрим несколько простых свойств ординаль-
ных чисел, а также сумм, произведений и степеней вполне упорядоченных
серий.
Мы полагаем
NO = Nr“Q Df,
где “NO” означает “ordinal number”9.
Мы доказываем в этом параграфе, что любое отношение, подоб-
ное вполне упорядоченному отношению, является вполне упорядоченным
(*251-11), и, следовательно, любое отношение, подобное вполне упорядочен-
ной серии, является вполне упорядоченной серией (*251-111). Мы доказы-
ваем
* 251-132-142. h : aeNO . = . а + i еNO . = . 1 + aeNO
*251-15-16. k.Or,2reNO
* 251-24. h : а, Р е NO . э . а + Р е NO
Мы доказываем, что если Р есть вполне упорядоченная серия взаимно
исключающих вполне упорядоченных серий, то Е‘Р есть вполне упорядо-
ченная серия (*251-21); что если Р есть вполне упорядоченная серия серий,
то ГГР есть серия (*251-3); что если'Р есть серия, a Q — вполне упорядочен-
ная серия, то PQ и Рехр Q есть серии (*251-42); что если Р и Q есть вполне
упорядоченные серии, то таково же и PxQ (*251-55), и, следовательно,
произведение двух ординальных чисел есть ординальное число (*251-56).
В силу единственности коррелятора двух вполне упорядоченных серий
мы имеем
* 251-61. h Р, Q е Rel2 excl. C'P с Q . э :
Э! (Р smof Q) П RT smor . = . Р smor smor Q
откуда без привлечения аксиомы умножения
* 251-621. к : С'Р аСЪ.^ЦР smor Q) П R1‘ smor . э.
Е Nr‘P = Е Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr 'Q
*251-65. h : а е NO - i‘A . Р е NR. Р е р . ёРс а . э .
Е Nr‘P = р х а. П Nr‘P = а expr р
Наконец, мы имеем предложения (*251-7-71), показывающие, что суще-
ствование экзистенционального Q в пределах произвольного типа эквива-
лентно существованию 2Г в пределах указанного типа, и, следовательно,
имеет место для каждого типа однородных отношений, за исключением
8 Мы также будем говорить о них как о “сериальных числах”.
9 Ordinal number — ординальное число (англ.). В современной математической литера-
туре употребляется также термин порядковое число. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
44
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
(возможно, насколько наши примитивные предложения могут продемон-
стрировать) типа отношений индивидов к индивидам.
*25101. NO = Nr“Q Df
*2511. F : aeNO . = . (gP). PeQ.. a = Nr‘P
*25111. F: P e Bord . P smor Q. э. Q e Bord
[(*251-01)]
Доказательство.
F . *205-8 . *250-1 . *37-431 . э
F PeBord. 5 ePsmor Q. э : a cC‘P. g! a. Da . g! ming‘5“a:
[*37-63-431] э : 0 eS “‘Cl ex‘C‘P. g! 0. эр . g! irnn^p:
[*71-491] э : 0 e Clex‘5“C‘P. эр . g! min^'P:
[*151-11-131 .*37-25] э : 0eClex‘C‘6. Dp . g! inm^'P:
[*250-1] э : 0eBord:. э F . Prop
*251-111. F : PeQ. Psmor Q. э . 0eQ
*251-12. F : PeBord. э . Nr‘PcBord
*251-121. F:PeQ.o.Nr‘PcQ
*251-122. F : a e NO . э. a c Q
*251-13. F: PeBord. z~eC‘P
[*251-11 . *204-21]
[*251-11]
[*251-111]
[*251-121-1]
P 4* z e Bord
Доказательство.
F . *205-83 . *250-1 . э F: Hp. g! C‘P A a. э . g! min (P 4+ z)‘a (1)
F . *205-831 . э F : Hp. C‘(P4+ z) A a = i‘z. э . g! min (P 4+ z)‘a (2)
F . *161-14 . э F :. Hp. g! C‘(P 4» z) A a. э:
g! C‘P A a. V . C‘P A a = A . g! i‘z A a:
[*161-14] D.g!C‘PAa.v.C‘(P-az)Aa = i‘z (3)
F.(1).(2).(3).d ?
F Hp .0:3! C‘(P-H z) Ааэа.д! min (Р-н z)‘a (4)
F . (4). *250-101 . z> F : P e Bord . z ~ e C'P. d . P 4* z e Bord (5)
h . *250-14-104 . *200-41 . э F : P 4» z e Bord . э . P e Bord . z ~ e C'P (6)
F . (5). (6). d F . Prop
*251-131. F:PeQ.z~eC‘P. = .P4»zeQ [*204-51 .*251-13]
*251-132. F : oieNO . = . a + 1 eNO
Доказательство.
F. *251-111 . *181-12 . э F : PeQ . = . | Ax ; i; PeQ .
[*181-11 . (*181-01). *251-131] = . Р4» xeQ .
[*181-3 .*251-1] = . Nr‘P+i eNO (1)
F. (1). *251-1 . d F . Prop
*251-14. F : P e Bord . z ~ e C'P. = .z + Pe Bord
Доказательство.
F . *205-832 . *161-12 . z>
F :. Hp . d : z ~ e a . . min (z 4- P)'a = min/a :
[*250-101] э : g! (aП C'P).z~ca. . g! min(z4P)‘a (1)
F . *205-833 . *161-12 . э
FiHp.zEa.alP.D.g! inm (z 4- P)'a (2)
F.(1).(2).d
Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
45
I-:. Нр.з!Р.э:д!аО C‘(z я- Р). эа . 3! min‘a:
[*250-101] 2>:гЯ-РеВоМ (3)
F . *161-201 . *250-4 . э F: Р = A . z>.гя-PeBord (4)
F . (3). (4). F : Pe Bord . z ~eC'P. э. z я-PeBord (5)
F . *250-14-104 . *200-41 . z> F : z я- P e Bord. z>. P e Bord. z ~ e C‘P (6)
F . (5). (6). z> F . Prop
*251-141. F : P e Q. z ~ e C‘P. в . z я- P e Q [*204-51 . *251-14]
*251-142. F : a e NO. = . 1 + a e NO [Док-во аналогично *251-132]
*251-15. F.OreNO [*250-4 . *153-11]
*251-16. F.2reNO [*250-41 . *153-211]
*251-17. F : x/у. x z-у ф z . z>. x J, y-н ze Q [*251-131 . *250-41]
*251-171. F . 2r + i e NO [*251-16-132]
*251-2. F : P e Rel2 excl Cl Bord. C‘P c Bord . э . Z‘P e Bord
Доказательство.
F . *162-23 . => F : 3! a П C‘Z‘P. э. 31 a П F“C'P.
[*37-264] D.a!C?nF“a (1)
F . *37-36 . *33-5 . => F: Qe F“a. z>. 3! a П C‘Q (2)
F.(l). (2). *250-101 . z>
F Hp. r>: 3! anCTP. z>. (30). 0minpF“a .3! min^/a.
[*205-85] z>. 3! mm(S‘P)‘a (3)
F . (3). *250-101 . э F . Prop
*250-21. F :Pe Rel2 excl nQ.C‘PcQ.o.S‘PeQ [*204-52 . *251-2]
*251-211. F : Nr‘P e NO . Nr“C‘P cNO.3.1 Nr‘P e NO
Доказательство.
F. *182-16-162. z> F : Нр. э. Nr‘J > PeNO . J ’ PeRel2 excl (1)
F . *182-05-11 . *151-65 . => F : Hp. z>. Nr“C‘iiPcNO (2)
F . (1). (2). *251-122 . эF :Hp. z>. i’PeRel2exclПО.СфРсО.
[*251-21] z>.S‘pPeQ.
[*251-1 .(*183-01)] z>. SNr'PeNO : z> F . Prop
*251-22. F : P, 0 eBord. C‘P ПС‘0 = A. z>.P^F0e Bord
Доказательство.
F . *162-3 . *163-42 . э F : Нр . ~ (Р = Л. 0 = Л). э .
P J. Q e Bord . C‘(P IQ) a Bord. P i Q e Rel2 excl
S‘(Pi0 = P*0.
[*251-2] o.P^FQeBord (1)
F. *160-21 . *250-4 . z> F : P = A . 0 = Л. э. P4 0eBord (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*251-23. F:P, 0eQ.C‘PnC‘0 = A.z>.P^0eQ [*205-5 . *251-22]
*251-24. F : a, PeNO . э. a + PeNO
Доказательство.
F. *251-111 .*180-12-11 .=>
F:P, 0eQ.o.| (An C‘0); i; PeQ. (An C‘P)i; i’0eQ.
C'l (Л П C‘Q); i; P П С‘(Л П C‘P) X ’ i ’ 0 = A.
[*251-23 . (*181-01)] э . P + 0 e Q.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
46
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
[*180-3 .*251-1] =>. Nr‘P + Nr‘0eNO (1)
F. (1). *251-1 . z> F. Prop
*251-25. F:P40eQ. = .P, 0eQ.C‘PnC‘0 = A
Доказательство.
F.*204-5. =>F:P40eQ.=>.P,0eSer.C‘PnC‘0 = A (1)
F . (1). *205-84 . z>F:.P40efl.z>:g! C‘Pn a. эа . g! minp‘a:
[*250-11] э: PeBord (2)
F . (1). *205-841 . z> F :. P4 0eQ. э :
g! a - C‘P D C‘(P 4 0). эа . g! inm^ ‘(a - C‘P):
[*160-14 . (1)] z>: g! a 0 C‘Q. 2>a . g! min^Xa - C‘P).
[*205-15.(1)] эа.g! mint'd:
[*250-101] z>:0eBord (3)
F . (1). (2). (3). э F : P4 Qe£l. z>. P, QeSl. С‘РП ClQ = A (4)
F. (4). *251-23. z>F. Prop
*251-26. F : a, ₽eNO - i‘A. = . a 4 |3eNO - i‘A [*251-25]
*251-3. F:PeQ.C‘PcSer.3.n‘PeSer [*204-57. *250-1]
*251-31. F:E !!“ёР.э.Р [C‘PeFA‘C‘P
Доказательство.
F . *71-571 . z> F : Hp . э. fi f C‘Pe 1 -> Cis. (T(B [C‘P) = C‘P (1)
F. *93-103. z>F. Bg F (2)
F . (1). (2). *80-14 . z> F . Prop
*251-32. F : E !! C“C‘P. g!P. э . В [ C'P = ВТГР
Доказательство.
F . *172-162 . z> F : Hp. z> .^‘ITP = рд‘С‘Р
[*82-21] = i‘(B f C'P): z> F . Prop
*251-33. F : C'P a Q - i‘A. g! P. =>. g 1 П‘Р. В f C'P = 5‘П‘Р
[*250-13 . *251-32]
*251-34. F : P e Rel2 excl. C‘P c Q - i‘A. z>. g! ед‘C“C‘P
Доказательство.
F . *251-33 . *173-16 . э F : Hp . g! P. э . g !Prod‘P.
[*173-161] z>. g! Prod‘C“C‘P
[*115-1] 2>. g! ед‘ѓёР(1)
F . *83-15 . z> F : P = A. э. g! ед‘ѓёР(2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*251-35. F :: P e Q. z>:. a Pc) 3 . = : a, P e СГС‘Р: (gz) .zea-p.an>z = pn>z
Доказательство.
h . *170-2 . э
h a, peСГС‘Р: (gz). zea. a A^‘z = p A^‘z: d . a PC] 0 (1)
h . *170-23-1 . *250-121 . э
h :: Hp . э aPci p . э : a, 0 ed‘C‘P: (gz). zea-0. aA?‘z = P A^?‘z (2)
h . (1) . (2) . z> h . Prop
*251-351. Р::РбО.э:.аР1ср. = :
a, p e C1‘C‘P: (gz). z e p - a. а П "p'z = p П "P‘z [*251-35 . *170-101]
Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
47
*251-36. F: Ре О.. z>. Рс| eSer
Доказательство.
F . *170-17 . z> F . Рс| с J (1)
F . *251-35 . э F :: Нр . э:. а Рс, Р. Р Рс| у. э :
(gz, H’).zea-p.H'ep-y.a Cl"?‘z. Р n"?‘w = у Fi~P‘w (2)
F . *201-14 . э
I-Hp .геа-р.и'еР-у.аП^‘г = рС1?‘г.рС1^‘и' = уП?‘и’.э:
zPw. z>. ze a - у. a Ci"?‘z = у Ci~?‘z (3)
F . *201-14 . э F Hp (3). э: wPz. э . wea - у. a Ci~?‘w = yCl"?‘w (4)
F . (2). (3). (4). *202-104 . *251-35 . z> F :. Hp. э : a Pcl p. P Pcl у. z>. а Рс1 у (5)
F . *250-121 . =>
F : Hp. a, p e C1‘C‘P. a p . z>. (gz). z = minp‘{(a - P) U (P - a)).
[*205-14] z>. (gz). z e {(a - P) U (P - a)). a n~?‘z - P Ct~?‘z.
[*251-35] z>.a(PclUPc,)P (6)
F . (1). (5). (6). z> F . Prop
*251-361. F : P e Q. э . Plc e Ser
*251-37. F:PeQ.=>.Pci = Pdf
*251-371. F : P e Q. z>. Plc = Pdf
[*251-36. *170-101]
[*251-35 . *171-2]
[*251-37 . *170-101 . *171-101]
*251-4. F: PeRel3 arithm CiBord. C‘Pc Bord. C‘E‘Pc Bord. э .S‘L‘PeBord
Доказательство.
F . *251-2 . F: Hp. z>. E‘P e Rel2 excl П Bord. C‘L‘P c Bord.
[*251-2] z>. S‘L‘Pe Bord: z> F . Prop
* 251-41. F: P e Rel3 arithm П О. C‘PcO. СТР с Q. □ . ETPef)
[*204-54 . *251-4]
* 251-42. F:PeSer. 0eQ. =>. Pe, (Pexp £>) eSer [*204-59 . *250-1]
* 251-43. F: a e NR. a c Ser. P e NO . z>. (a expr P) e NR. (a expr P) c Ser
[*186-13 . *251-42]
* 251-44. F : aeNO - i‘0r. PeNO - i‘0r. z>. aexpr P ± 0r
Доказательство.
F . *165-27 . э
F : Hp. Pea. QeP. э . P J,; geQ- i‘A. C‘P|; <2cQ-i‘A .
[*251-33. *176-1] z>.g!(Pexp0) ’’ (1)
F. (1). *186-13 . sF.Prop
*251-5. h : з! P. Q e Bord . z>. P J,» Q e Bord [*165-25. *251-11]
*251-51. [*165-25 . *204-21 . *251-5]
*251 52. h : P e Bord . э . C'P X ; Q c Bord [*165-26. *251-12]
*251-53. F:PE(l.D.C‘PpeEQ [*165-26 . *204-22 . *251-52]
*251 54. h : P, Q e Bord . d . P x Q e Bord
Доказательство.
F . *165-25 . *251-5-52 . =>
F : Hp. g! Q . э . Q J,’ P e Rel2 excl О Bord. C'Q J, > P c Bord .
[*251-2 . *166-1] э . P x (2 e Bord ’ (1)
F . *166-13 . *250-4 .DF:2 = A.3.Px2e Bord (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
48
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
* 251-55. [*251-4 . *204-55]
* 251-56. h : а, 0 е NO . э . а х 0 е NO [*184-13 . *251-55-1]
* 251-6. h : Р, QeRcI2 excl. ёРcQ. 5 еРsmor Q A RT smor .
H = M(aA).AEC‘C.k = (SW) smor А}
i f p, e Ед ‘p,. e P smor smor Q
Доказательство.
h . *250-6 . *251-111 . z> h : Hp . э . p, c 1 .
[*83-43] D . I [р,ЕЕд‘р,. (1)
[*164-43] э. iT^EPsmor smor 2 (2)
h . (1) . (2). z> h . Prop
* 251-61. h :. P, Q e Rel2 excl. C‘P c Q . э :
3! (P smor Q) A R1‘ smor . =. P smor smor Q
Доказательство.
h . *251-6 . э h: Hp . a! (P smor Q) A R1‘ smor . d . Psmor smor Q (1)
h . (1) . *164-17 .oh. Prop
*251-62. h : Hp *251-61 . a' Psmor Q A R1‘ smor . э .
E‘P smor E‘2.1ГР smor WQ .
E Nr‘P = E Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr‘2
Доказательство.
h. *164-151 .*251-61 . э h : Hp . э . ГР smor Z'Q (1)
h . *172-44 . *251-61 . э h : Hp . э . H‘Psmor WQ (2)
h. (1). *183-13 . э h:Hp.э.E Nr‘P = E Nr‘2 (3)
F. (2). *185-1 . э h : Hp . э . П Nr‘P = П Nr‘2 (4)
F. (1). (2). (3). (4). oF.Prop
В приведенном выше предложении гипотеза “ Р, Q е Rel2 excl” не явля-
ется необходимой для ENr‘P = ENr‘2 и nNr‘P = nNr‘2, как явствует из
*183-14 и *185-12. Поэтому мы имеем
*251-621. F : ёРс Q . g! (Р smor Q) A RT smor . z>.
Е Nr‘P = Е Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr‘£
Доказательство.
F . *151-65 . *182-05-162 . z> F . р ёРе (р Р) smor Р A R1‘ smor (1)
F. (1). *151-162 . э F : Нр . z>. а!’{(I Р) smor ( J 5 Q) A R1‘ smor (2)
F. (1). *251-111 . *182-16 . z> h : Hp. z>. C‘p P c Q. p P, J: G e Rel2 excl (3)
F. (2). (3). *251-62. *185-12. = F. Prop
*251-63. F : aeNO - i‘A . 0eNR . PeRel2 excl. Pe0. C‘Pc a . э .
E‘P e0 x a. E Nr‘P = 0 x a
Доказательство.
h . *164-47 . *165-27-21 . э
F : Hp . Q e a . a / 0r. э . Q p P e 0 . C4 Q p P c a . P, Q p P e Rel2 excl.
[*164-47] э . а! (Q p P) smor P A R1‘ smor . P, Q J ’ Pe Rel2 excl.
[*251-61] d . (Q I; P) smor smor P.
[*164-151 .*166-1] d.(Px0 smorE‘P.
[*184-13] э.Е‘Ре0хо (1)
h . (1) . z> h : Hp . a 0r. d . E‘P e 0 X a (2)
Principia Mathematica III
♦251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
49
F. *162-42 . Transp. э F: Нр. а - 0г. э. Е'Р = А.
[*184-16] э.Е'Рерха (3)
1-.(2).(3).эЬ:Нр.э.ГРе₽ха (4)
[*183-13] э.Е№‘Р = рха (5)
F . (4). (5). э I-. Prop
*251-64. I-: Hp *251-63 . э . П‘Ре(аехрг p). П Nr‘P = aexpr p
[Доказательство аналогично *251-63]
*251-65. F : aeNO - i‘A . p eNR. РеP. C‘Pc a. э.
E Nr'P = P X a. П Nr'P = a expr p
Доказательство.
F . *182-16 . *183-231 . э
F : Hp. Qea. э . £»PeRel2 excl. J5 PeNr'P. C'J ’ Pc Nr'Q • (1)
[*251-63] o.SNr‘pP = Nr‘P5<Nr‘2.
[*183-14] э . ENr‘P= Nr'P x Nr'<2
[*152-45] = pxa (2)
I-. (2). *10-23 . э F : Hp. э .SNr‘P = P X a (3)
I-. (1). *251-64 . => F: Hp. Q e a. =>. П Nr'p P = (Nr'0 expr (Nr'P).
[*185-1-12] => . П Nr'P = (Nr‘0 expr (Nr'P)
[*152-45] =aexprP (4)
F. (4). *10-23 . э F : Hp. э . П Nr‘P = a expr p (5)
F. (3). (5). э F. Prop
В силу приведенного выше предложения обычные отношения сложения
к умножению и умножения к экспоненциации, когда все слагаемые или
все сомножители равны, могут быть установлены без привлечения акси-
омы умножения при условии, что слагаемые или сомножители являются
ординальными числами.
*251-7. F : з! Q - i‘A П Гоо'а. s . а! 2Г О foo'a. s . з! 2 П r‘a. 5 . з! 2а
Доказательство.
F . *64-55 . z>F : 3! Q-i‘A ОГоо'а. s . (эР). PeQ-i'A. С'РсГо'а (1)
F . *200-12 . z> F : PeQ - i‘A. э. (зх,у). x,yeC‘P .x^y.
[*153-201 . *55-3] 3.3!2rnRl‘P (2)
F . (1). (2). =>F : 3! Q-i'A П Гоо'а. =>. (3P). C'Pc Го'а. 3! 2, CiRl'P.
[*33-265] э.(зе).(2е2г.С‘2сГо‘а.
[*64-55] э.з!2гп Гро'а (3)
F . *251-16-122 . э F : 3! 2, П Гоо'а • =>. э! Q - i‘A П Гоо'а (4)
F. (3). (4). э F : 3! Q-i‘A n Too a. s . 3! 2r П Гоо'а (5)
F . *64-55 . э F : 3! 2r П Too a. s . (зх,у). x/y. x,y ero'a.
[*63-62] = . (зх, у). x / у. i‘x U i‘y е Г'а.
[*54-26] =.3! 2 О Г'а (6)
F. (5). (6). (*65-01). э F. Prop
*251-71. F . 3! Q- i‘AПfoo'Cls. 3! Q- i‘A Пroo'Rel [*251-7 . *101-42-43]
A.H. Уайтхед, В. Рассел
50
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*252. Сегменты вполне упорядоченных серий
Краткое содержание *252.
Свойства сечений и сегментов значительно упрощаются в случае вполне
упорядоченных серий, благодаря тому факту, что каждое собственное се-
чение имеет секвент, откуда следует, что класс собственных сечений есть
и он также является классом собственных сегментов. Следова-
тельно, серия собственных сечений или собственных сегментов есть серия
"?»Р (*252-37). Серия всех сечений есть » Р 4» ёР(*252-38); следователь-
но (*252-381),
Nr\‘P* = Nr‘P + 1 .
Наиболее полезными предложениями этого параграфа (помимо приве-
денного выше) являются:
*252-12. F:PeQ.o.
sect‘P - ГёР= D‘Pe - i‘C‘P ="?“С‘Р. sect‘P =~?“С‘РU i‘C‘P
*25217. I-: PeQ.- i‘A. =>. sect'P- i‘A =?“CTP U CC‘P
*252171. I-: PeQ. э. sect'P- i‘A - i‘C‘P='?“a‘P
*252-372. I-P e Q. э: <;‘P e Q: E ! B‘P. э. Nr\‘P = Nr‘P:
~ E ! B'P. =>. Nr\‘P = Nr‘P + i
* 252-4. F : P e Q . X c sect‘P. g! X. э . p‘X e X
* 252-1. F : PeQ. aesect‘P - i‘C‘P . z>. E ! seq/>‘a [*250-124]
* 252-11. F:PeQ.э. sect‘P- CClP = sect‘P П G‘seq/>
Доказательство.
F . *206-18-2 . => F . C‘P ~ e CTseqp (1)
F . (1). *252-1 . э F . Prop
* 252-12. F:PgQ.d.
sect‘P - i‘C‘P = D‘P£ - VC'P =~?“C‘P. sect‘P =~?“C‘P U CC‘P
Доказательство.
b. *211-24 . *252-11 . => I-: Hp. aesect'P- CC'P. =>. aeD‘P£ (1)
h. *211-15. z> h : Hp. a eD‘P£ - CC‘P. z> . aesect'P - CC^P (2)
F.(l).(2). F : Hp. z>. sect‘P - i‘C‘P = D‘Pe - i‘C‘P (3)
b. *211-302 .*252-11 . Dt-:Hp.D.sect‘P-i‘C‘P="?“C‘P (4)
F. (3). (4). *211-16 . э F . Prop
Имея дело с сечениями и сегментами вполне упорядоченных серий,
необходимо отличать серии с последним термом от серий, которые по-
следнего терма не имеют. Если серия не имеет последнего терма, то
С'Р = ГёР, так что C‘PeD‘Pe. Однако если серия имеет последний терм,
то C‘P~eD‘Pe; в этом случае D‘Pe=~?“C‘P. Поэтому D‘Pe представляет
собой либо ~?“С‘Р, либо sect‘P, в соответствии с тем, существует ли по-
следний терм или нет. В любом из двух случаев
sect‘P =~?“ёРU l‘C‘P,
как уже было доказано в *252-12.
Principia Mathematica III
*252. СЕГМЕНТЫ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 51
*25213. I-: Р е Q. Е ! В'Р. =>. sect'P - i‘C‘P = D‘Pe ="?“С‘Р.
sect‘P = D‘Pe и CC'P =~ft''C'P и CC'P
Доказательство.
F. *250-21 . *211-36 . э F: Hp. =>. sect‘P - D‘Pe = CC'P.
[*24-492 . *211-15] => .secCP -CC'P = D‘Pe (1)
[*252-12] =~?"C'P (2)
F. (1). (2). *211-26. =>F. Prop
*252-14. I-: P e Q. ~ E ! B'P. =>. sect'P = D‘Pe = 7*"C'P U CC'P
[*250-21 .*211-361 .*252-12]
*252-15. F:PeQ.э. D'Pt ="?“D‘PU i‘D‘P
Доказательство.
F. *252-13 . э I-: Hp . E ! B'P. э. D‘Pe =7* “D‘P U C^'B'P
[*202-524] =‘?“D‘PUi‘D‘P (1)
I-. *252-14 . э F: Hp . ~ E ! B'P. => . D‘Pe =7*“D‘P U i‘D‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*252-16. F : PeQ - 2r. э. D‘Pe = sect‘(P [ D‘P)
Доказательство.
F. *204-271 . эF : Hp. э . D‘P~e 1 .
[*202-55] э.С‘(Р [D‘P) = D‘P.
[*250-141 . *252-12] э . sect‘(P ID‘P) = P [D‘/“D‘PU i‘D‘P
[*37-42-421] = 7*“D‘PUi‘D‘P
[*252-15] = D‘Pe: э F. Prop
*252-17. F : P e Q - i‘A. э . secCP - i‘A =‘?“Q‘P U CC'P
Доказательство.
F. *252-12 . => F : Hp. э. secCP - i‘A = (?"C'P - i‘A) U CC'P
[*33-41] = "?“Q‘P U i‘C‘P: э F . Prop
*252-171. F : PeQ.э . sect‘P - i‘A - i‘C‘P = '?“Q‘P
Доказательство.
F . *252-12 . z> F : Hp. э . (secCP - CC'P) - i‘A =~?"C'P - i‘A
[*33-41] = >‘Q‘P: => F . Prop
*252-3. F:PeQ.o.D4‘a='?“C‘P [*212-171 . *252-12]
*252-31. F:PeQ.a!P.D.C‘?‘P*=?“C‘PUi‘C‘P [*212-172 . *252-12]
*252-311. F:PeQ.a!P.o.a\‘P*='?“a‘PUi‘C‘P [*212-171 . *252-15]
*252-32. F:PeQ.=>.D4‘P='?“D‘P [*212-132 . *252-15]
*252-33. F:PeQ-i‘A.o.C4‘P='?“D‘PUi‘D‘P [*212-133 . *252-15]
*252-34. F : PeQ. E ! B'P. =>. С'д'Р =~?"С'Р
Доказательство.
F. *202-524 . э F : Hp. э ."?‘B‘P = D‘P.
[*252-33] =>.C\‘P='?“C‘P:=>F .Prop
*252-35. F : PeQ - i‘A. ~ E ! B'P. =>. С'<;'Р = ~?"С'Р U CC'P
[*212-133 . *252-14]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
52
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*252-36.
Доказательство.
F. *212-252-34 . => F: Нр. э? Р = (g'P) [ (С'д'Р)
[*36-33] = : э h . Prop
*252-37. F:P€Q.=>.(<P) [(-i'C'P)=?iP
Доказательство.
I-. *36-3 . => F. (g'P) t (- i'C'P) = (g'P) t (C VP - i'C'P)
[*212-133-134] = (s‘P) [ (D‘Pe - i'C'P) (1)
F . (1). *252-12 . э F: Hp. э . VP) [ (- CC‘P) = ($‘P) [ (?“C‘P)
[*212-25] =7*! P: э F . Prop
*252-371. I-: PeQ. ~ E ! B'P. =>. ?'P = ‘? i Р-н C'P
Доказательство.
F . *212-25 . *252-32 . э F : Hp. z>."? > P = (?‘P) [ (D\‘P) (1)
F. *212-133. э F: Hp. g! P. э . C‘P = B'CnvVP (2)
F. *252-32. э h : Hp. d.D VP =7*“C‘P.
[*200-12 . *204-34] =>. D‘«;‘P -el (3)
F.(1). (2). (3). *204-461 . э I-: Hp. g! P. .7*5 P -h C‘P = <P (4)
I-. *212-134 . *161-2 . =>1-:Нр.Р = Л.э.<;‘Р = Л.7*;Р-нёР= Л (5)
F. (4) . (5) . э F . Prop
*252-372. I-:. P e Q. =>: ?'P e Q: E ! B'P. =>. Nr VP = Nr‘P:
~E!B‘P.z>.NrVP = Nr‘P+ 1
Доказательство.
F . *252-63 . *204-35 . z> F: Hp. E ! B‘P. z>. <;'P smor P.
[*251-111 .*152-321] z>. cj'PeQ. Nr‘<j‘P = Nr'P (1)
F. *252-371 . *204-35 . *200-52 .
F:Hp.~E!B'P.=>.NrVP = Nr‘P+i. (2)
[*251-132] o.<j‘PeQ (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*252-38. F:PeQ.z> VP*=7*;P-hC'P
Доказательство.
F. *252-12. *212-24 . э
F :: Hp . э:. a (g‘P*) P. = : a, [3 e~?“C'P U i'C'P . a c p. a P:
[*37-6 . *200-52]
= : (Я-*,у) • x,y eC‘P. a P =~?'y . V .
(gx). xeC'P. a ="?‘x. P = C'P:
[*204-33-34] = : (gx,y). xPy. a="?‘x. p =~P'y. v .
(gx). xeC'P. a =~P'x. P = C'P:
[*150-5-22] = : a (? 5 P) p. V . a e C‘? 5 P. P = C'P:
[*161-11] =: a (?> Р-н C'P) p:: э F. Prop
*252-381. F:PeQ.D.<j‘P*eQ. Nr‘<;‘P* = Nr'P + 1
[*252-38 .*200-52 .*251-131]
Principia Mathematica III
♦252. СЕГМЕНТЫ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
53
*252-4. h : Р е Q. к с sect‘P . а! к . э . 6 к
Доказательство.
h . *211-44-1 . э h : Нр . Р = Л . э . к = i‘A .
[*53-01] э.р‘кек (1)
К *212-172 . эННр.э!Р.э.ксС‘<^* -S’-X.
[*252-381]. *250-121 э. Е ! min ($‘Р*)‘Х.
[*210-222 .*211-67-66] э.р‘ХеХ (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
*252-41. I-: PeQ. . к c sect‘P. а • • э . 5‘ХеХ
[Доказательство аналогично *252-4]
*252-42. hPeQ. (Cnv\‘P*)i “о с о :
к с о. а! X П . эх . s‘(X П е о: э .
(Cnv‘^‘P*)“oc о
[*250-361 . *252-381 . *212-322]
*252-43. F PeQ. (Cnv‘^‘P*)i “о с о:
к с о. а! к П СЧ‘Р* • =>х . р‘(Х П СЧ‘Р*) 6 о: э . «Р*)“о с о
Доказательство.
h . *212-181 . э h . (Cnv\‘Р*) smor (s‘P*) (1)
h . (1). *252-381 . э h : Hp . э . Cnv^P* e Q (2)
h . (2). *212-34 . *250-362 .oh. Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
54
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*253. Отношения между сечениями вполне
упорядоченных серий
Краткое содержание *253.
В настоящем параграфе мы рассмотрим свойства отношения Рд (опреде-
ленного в *213), когда PeQ. Отношение Рд обладает огромной важностью
в этом случае, благодаря тому факту (который будет доказан в дальней-
шем), что Nr“D‘P? представляет собой класс всех ординалов, меньших,
чем Nr‘P, и что если Р и Q есть две вполне упорядоченные серии, то ли-
бо Р подобна некоторому элементу C'Q^, либо Q подобна элементу С‘Р^
откуда следует, что из любых двух неравных ординалов один должен быть
больше.
Настоящий параграф состоит из элементарных свойств Р?, когда PeQ.
Интересные свойства, связанные с отношениями больше и меньше, будут
рассмотрены в следующем параграфе.
Наиболее полезными предложениями настоящего параграфа являются
следующие:
*25313. l-:PeQ.=>.D‘Ps = /> [“'?“а‘Р = Р
*25318. I-: Р е Q. =>. C‘PS с Р (“7*“СГР U СР. С‘Р^ с Q
Вместо С'Р<; а Р U i'P мы будем иметь равенство, если не будет
Р = А (*253-15).
*253-2. I-: Р е Q - 2r. э. Nr‘P? = Nr‘(P [ Q‘P) + 1
Случай, когда Pe2r, должен быть исключен, поскольку тогда
Р [СГР = А.
*253-21. HPgQ.d. i + Nr‘P9 = Nr‘P + 1
Это предложение учитывает, что Nr4/^ = Nr‘P, когда Р конечно, однако,
когда Р бесконечно, оно подразумевает Nr‘P? = Nr‘P + i (ср. с *261-38).
*253-22. HPgQ.zj.P^ [D‘/\ smorP [СТР
*253 24. H.PgQ.d.P^cQ
*253-4. h : PeQ. - i‘A . э . C‘P? = Q {(gP). P= Q + R . V . (gx). P = Q + x)
*253-421. h : P e Q . Q e D‘P<;. э . ~ (Q smor P)
*253-44. F : a, P c NO - i‘A . P 0r. э . a + P ,4 a
Это предложение подчеркивает отличие между ординалами и карди-
налами. Ординал всегда увеличивается посредством добавления чего-либо
в конец, в то время как этого не происходит (часто, если не всегда) с кар-
диналом, если он является рефлексивным и большим, чем то, что добавля-
ется. Приведенное выше предложение перестает быть истинным, если мы
добавляем Р в начало, а не в конец: Р + a = а будет истинным, если а яв-
ляется бесконечным и со х р не больше, чем а. (По поводу определения со
ср. с *263.)
*253-45. Ь : а е NO - i‘A - i‘A - i‘0r. z>. а + i / а
К этому предложению применяются подобные же замечания, что и
к *253-44.
*253-46. h : Р е Q . Q, R е С'Р^ . Q smor R. э . Q = R
Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ
серий 55
Т.е. нет двух различных сечений вполне упорядоченной серии, которые
являются подобными.
Из *253-46 следует, что серия ординалов собственных сечений вполне
упорядоченной серии Р подобна серии собственных сечений, и, следователь-
но, на основании *253-22, подобна серии Р с пропущенным первым термом
(*253-463).
Далее мы имеем группу предложений (*253-5—574) об условиях, при ко-
торых Nr‘Pg = Nr‘P, и условиях, при которых Nr‘P? = Nr‘P 4- j. В действи-
тельности первое имеет место, когда Р конечно, а последнее — когда Р бес-
конечно. Однако различие между конечным и бесконечным не будет вво-
диться до следующей главы. В настоящем параграфе мы доказываем, что
(предполагая PeQ) Nr‘P? - Nt‘P^ если G‘Pi = СТР. Е ! В‘Р, и что если это не
так, то Nr^ = Nr‘P + i (*253-56). Это доказывается путем использования
Pi в качестве коррелятора. (Pi как коррелятор передвигает каждый терм
на одну позицию вниз, исключая первый терм, который просто исчезает.)
Если PgQ, то мы имеем Pi;P = P[D‘P (*253-5); следовательно, мы дока-
зываем Р [ G‘Pi smor Р [ D‘P (*253-502), и, следовательно, если G‘Pi=G‘P,
то мы получаем Р [ G‘P smor Р [ D‘P (*253-503). Следовательно, на основа-
нии *253-2 (с особым рассмотрением случая, когда Ре2г) мы имеем два
предложения
*253-51. h : Р е Q. G‘Pi = СТР. Е ! В‘Р. э . Nr^ = Nr‘P
*253-511. h : PeQ. GlP{ = СГР. ~ E ! B‘P. z>.
Nr‘P? = Nr‘P + i. Nr‘P t G‘P = Nr‘P
Однако если найдется такой терм, скажем х, принадлежащий
G‘P-G‘Pi, то, применяя Pi в качестве коррелятора для предшественни-
ков х, мы обнаружим, что в этом случае Р smor P[G‘P. Следовательно,
на основании *253-3, Nr‘P? = Nr‘P4- 1.
Гипотеза G‘Pi=G‘P.E!B‘P означает, что существует последний терм
и каждый другой терм имеет непосредственного последователя. Это экви-
валентно, как будет доказано позднее, и что является очевидным, предпо-
ложению о том, что Р является конечным, но не нулевым.
Из приведенных выше предложений непосредственно вытекает, что
*253-573. h:.PeQ.D:G‘Pi =G‘P.E!B‘P. = . i4-Nr‘P#Nr‘P
В дальнейшем будет видно, что конечные ординалы, отличные от 0г,
есть те ординалы, которые увеличиваются путем добавления 1 в начало.
Мы также имеем
*253-574. h:.PeQ-i‘A.z>:G‘Pi=a‘P.E!5‘P. = . 14-Nr‘P = Nr‘P = Nr‘P4-i
Из этого предложения следует, что конечными ординалами являются
те ординалы, для которых сложение с 1 коммутативно.
*253-1. h PgQ . э : QP^ R . = .
(ga,P).a,pe>‘CTPUi‘C‘P.3!P-a.(2=P [a.7? = P[p
Доказательство.
I-. *213 1 . *252 17 . :>l-Hp .g! Р.э : .
(ga, 0). a, 0e7“G‘PU i‘C‘P. g! 0 - a. 2 = P \a.R = P £0 (1)
A.H. Уайтхед, В. Рассел
56
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
F . *33-241 . э I-Р = А . э :~?“(1‘Р U i‘C‘P = i‘A:
[*24-53] э : ~ (да, |3). а, Pe^“Q‘PU СС‘Р. д! р - а:
[*213-3] э: QP<;R. = .
(да, р). а, Р e~?“G‘P U СёР. д! р - а. Q = Р [a.R = Р [р (2)
h . (1) . (2) . D h . Prop
*253 11. h :: PeQ . э Q R . = :
(3*,y) • xeQ‘P. xPy. Q = P .R = P . V .
(Эх).хеа‘Р. Q = P l~?‘x.R = P
Доказательство.
F.*33-152. oF:a = C‘P.pe^“G‘PUi‘C‘P.D.~g!p-a (1)
F. *200-52 . (1). э F : Hp. ae>‘CTP. p = C‘P. э . g! P - a (2)
I-. (1). (2). *253-1 . э I-:: Hp . =>Q P^R . = :
(да, P). a, P e?“Q‘P .g!p-a.<2 = P[a.P = P[:p.V.
(ga,P).a€^“Q‘P.p = C‘P. Q = P [a.R = P [p:
[*37-6 . *36-33]
=: (gx, y). x,yeQ‘P. g!^‘y-~?'x. Q = P [^‘x. R = P ["?‘y. v .
(gx).xeQ‘P. Q-P t~P‘x.R = P:
[*211-61 .*210-1]
= : (gx,y) • .x,yeQ‘P.'?‘xc?‘y . Q = P [~?'x.R = P . V .
(gx).xed‘P.Q = P t~P*x.R = P:
[*204-33-34] =: (дх,у). x, у e СГР. xPy. Q = P ^‘x. R = P ["?>. V .
(gx).xea‘P.e=P[7^‘x.P = P (2)
F. (3). *33-14. =>F. Prop
*253-12. F:PeQ.P~e2r.3.P? = (P[;'?;p[a‘P) 4»P
Доказательство.
F. *204-272 . эF : Hp. э . Q‘P~ e 1.
[*202-55 . *213-151] э. P t“>‘a‘P = C‘P [ 5? 5 P [ Q‘P (1)
F.(l). *253-11 .dF::HP.d:. QP<;R. = :
Q(P [;? ’ P [СГР)R .V • QeC'(P ?P [Q‘P). R= P:
[*161-11] = : Q ((P [ 5 P t Q‘P) 4» P) P:: z> F . Prop
*252-121. F:PeQ.D.P~eC‘P [!?’P [Q‘P
Доказательство.
F . *200-52 . э F : Hp. э. C'P ~ e?“(TP.
[*36-25] э . P ~ e C‘P [> P [ Q‘P: z> F . Prop
*253-13. F:PeQ.D.D‘P9 = P [“'?“a*P=P [“?“C‘P
Доказательство.
F . *213-141 . *252 -171 . => F: Hp. =>. D‘P9 = P [“^“G'P (1)
F . *37-22 . *250-13 . =>
F : Hp .g! P. э. P f“'?“C‘P= P [“7*“Q‘Pu i‘P [^‘5‘P
[*33-41 . Transp] =P [“^“Q'Pui'A (2)
F. *250-42 . э F : Hp. g! P. э . AeP [“7*“(ГР (3)
F . (2). (3). => F : Hp. g! P. э. P [‘^“C'P = P [“>‘CPP (4)
Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ
серий 57
Ь . *33-241 . э h : Р = А. э . Р [“^“ёР= А . Р [“?“Q‘P = А (5)
F. (4). (5) .эННр.э.Р [“>‘ёР= Р [“7*“(ГР (6)
F . (1) . (6) . э F . Prop
*253-14. HPeQ.r». Q‘P? = (P t“?“Q‘PUi‘P)-i‘A = (P [“>‘C‘PU i‘P) - i‘A
Доказательство.
b. *213-162 .эННр.э. Q‘P? = P [“sect1 P - i‘A
[*252-12. *36-33] = (P[“7*“C‘PUi‘P)-i‘A (1)
[*253-13] =(P[“'?“a‘PUi‘P)-i‘A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*253-15. F:PeQ-i‘A.D.C‘P? = P [“?“Q‘PUi‘P=P [‘^“C'PUCP
[*253-13-14]
*253-16. l-:PeQ-i‘A.D.B‘P? = A.B‘P? = P [*213-155-158 . *250-13]
*253-17. h:PeQ.э.РД D‘P? = P [ 5 P [ СГР
Доказательство.
I-. *253-11 . =>
I-:: Hp . э (2P9P. = : 2(P [ ! P [ Q‘P)P. V . geP [‘^“Q'P. P = P
[*253-121] э 2 (P? [ D‘P?) R. = . Q (P [ Й* 5 P [ СГР) R:: => h. Prop
*253-18. h:PeQ.D.C‘P?cP [“^“Q‘PUi‘P.C‘P? cQ
Доказательство.
I- . *253-11 . =>
I-:: Hp. z>Q e C‘P? . э : (3x) . xe G'PQ = P \J*'x .V . Q = P:
[*37-6] =>:2eP[“‘?“a‘PUi‘P (1)
h . (1). *250-141 . z>h : Hp . э . C‘P9 cQ (2)
h . (1). (2). э F . Prop
*253-181. I-: P e Q. =>. C‘P? c Q‘P? U CP [*253-18-13]
*253-2. Ь: P e Q - 2r. э. Nr‘P? = Nr‘(P [ G‘P) + i
Доказательство.
I- . *253-12-121 . э Ь : Hp . э. Nr‘Ps = Nr‘P [ P [ Q‘P + 1
[*213-151 . *252-171] =Nr‘?5P[a‘P+i
[*204-34] = Nr‘(P [ Q‘P) + 1: э F . Prop
*253-21. h:PeQ.D.i+Nr‘Ps = Nr‘P+i
Доказательство.
F. *253-2 . z> F : Hp . P~e2r. d . i +Nr‘/\ = i + Nr‘(P [ СГР) + 1
[*204-46-272] = Nr‘P+i (1)
F . *213-32 . э F :: P e 2r. э . i + Nr‘/\ = i + 2r
[*161-211] =2r+i
[Hp] =Nr‘P+l (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Было бы ошибочным выводить из приведенного выше предложения
то, что Nr‘/\ = Nr‘P, поскольку сложение ординалов, вообще говоря, не
является коммутативным. Когда PgQ, то Nr‘P<; = Nr‘P имеет место, ко-
гда С'Р конечен, но не наоборот. Когда С'Р не является конечным, то
i + Nr‘P? = Nr‘P?, так что Nr= Nr‘P + i; однако Nr‘P^Nr‘P+i.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
58
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*253 22. h:PeQ.=>.P? [D7\ smorР [СТР
[*253-17 . *213-151 . *252-171 . *204-34]
*253-23. hР е Q. э : Nr‘P = Nr‘£>. = . Nr‘P? = Nr‘Q? :
P smor Q. - . P? smor Q^
Доказательство.
I-. *181-33 . => I-: Nr‘P = Nr‘2. =. Nr‘P + 1 = Nr‘<? + i (1)
I-. (1). *253-21 . э
I-Hp . =>: Nr‘P = Nr‘£>. =. i + Nr‘P? = i + Nr‘g? .
[*181-33] = . Nr‘P? = Nr‘<2? э h . Prop
*253-24. l-:PeQ.o.P?eQ
Доказательство.
h. *253-2 .*250-141 .*251-132 .=>H Hp . P ~ e2r. =>. Nr‘P? eNO (1)
h. *213-32 . *251-16 . э h : P e 2r. э. Nr‘P? e NO (2)
h.(l).(2). э h: Hp. э . Nr‘Ps eNO .
[*251-122] d . P? eQ: э I-. Prop
*253-25. I-:. P, QeQ, - i‘A. э: P9 [ D‘P? smor Q$ [ D‘<29 . = . Psmor Q
[*253-22 . *250-17]
*253-3. 1-:РеО.э.??‘Р=Р f“?“Q‘P = P [“‘?“C‘P = D‘P9
[*213-243 . *253-13]
*253-31. Ь:.РеО.э:еР?Р. = .РеР [“~?“C‘PueP. QeR
Доказательство.
h . *213-245 . *253-13 . э
|-:.Нр.э:еР?Р. = .РеС‘Р? .QeR [“^“С‘Р.
[*33-24 . *213-3] = .PeC‘P? . g! P. QeR [“ihc'R.
[*253-15] = .ReP [‘^“CTUi'P.giP. QeR [“7?“C‘P (1)
I- . *37-29 . *33-24 . э I-: QeR . э. g! R: (2)
[*13-12] =>H QeR [“^“C‘P .P = P. z>. g! P (3)
K(2)^. эЬ:РеР[“?“С‘Р.э.д!Р (4)
h.(3).(4). => I- :ReP [‘^‘CTU i‘P. QeR [“7?“C‘P. =>. g! P (5)
h . (1) . (5) . z> h . Prop
*253-32. Ь:РеО.РеО.РеС‘Р?.э.‘??.э.'??‘Р = Р f“^“C‘P = D‘P?
[*213-246 . *253-13]
*253-33. I-:. PeQ.. э : Q(P^ [ D‘P?)P. = . ReP t“~?“ClP. QeR [“^“C‘P
[*213-247. *253-13]
Если а есть какое-либо ординальное число, и Pea, то ординальные чис-
ла отношений между сечениями Р есть такие ординалы, которые могут
быть сделаны равными а посредством сложения, т.е. все ординалы Р та-
кие, что, для каждого подходящего у, a = р + у. (Здесь у должен быть ор-
диналом или 1.) Далее, в силу *250-67, никакой элемент не является
подобным Р; следовательно, если а есть ординал, и a = Р + у, где у # 0г,
то а р. (Заметим, что а у не следует из Р 0r. a = р + у.) Эти и другие
предложения такого рода, которые являются важными в теории ордина-
лов, сейчас и будут доказаны.
Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ
серий 59
*253-4. h : Р е Q - i‘A. э . C‘PS = Q {(3Я). Р = Q + R. V . (ах). Р = Q 4* х)
[*213-41 . *250-13]
*253-401. HPeQ.D.
Р UCP=Q {(3Я). Р = 64Я. V . (ах). Р = Q + х)
Доказательство.
Ь. *253-4-15 . э I-: Нр. 3! Р. э .
я[“?“С‘яи1‘Р = е((аЯ).р = е^я.у.(а-^)-^ = е^4 (1)
h.*37-29. =>I-:P = A.d.P[“7*“C‘PUi‘P = i‘A (2)
I-. *160-14 . *33-241 .эН:.Р = А.э:Р = 2^Я. = .2 = А.Я = А:
[*10-281] э:(аЯ).Р=£ИЯ.5.(2 = А (3)
h . *161-13 . *33-241 .э1-:.Р = А.э:Р=е-нх. = .е = А:
[*10-24-23] D:(ax).P=2-bx.s.2 = А (4)
|-.(3).(4).э1-::Р = А.э:.(аЯ).Р=е^Я.У.(ах).Р=е-нх:в.С = А.
[(2)] =.2eP[“'?“C‘PUi‘P (5)
F . (1). (5). э h . Prop
*253-402. h:PeQ-t‘A.D.
о‘р?=ё{(эя).я/А.р=е*я.у.(ах).р=е-их}
Доказательство.
h . *253-16-4 . э
I-:: Нр . э Q е D‘P? . = : Q * Р: (3Я). Р = Q 4-Я . V . (ах) . Р = Q 4* х (1)
I-. *161-14 . *200-41 . э F : Нр. Р = б 4+ х. э . х е С‘Р. х ~ е С‘2.
[*13-14] э.б^Р (2)
h . *160-21 . э h : б Р. Р = б^Я . э . а1-Я (3)
I-. *160-14 . *200-4 . э
h : Нр . Р = б 4Я. а! я . э . а! С‘Р П С‘Я. ~ а! С‘б п С‘Я.
[*13-14] э.Р^б (4)
Ь-(3).(4).э
Н:Нр.э:.б/Р:(аЯ).Р=б*Я: = -(аЯ).Я#А.Р=б*Я (5)
h . (1). (2). (5). э Ь :: Нр. э б е D‘PS . s :
(3Я). Я/А . Р= б^Я. V . (ах) .P-Q-^x"^>\-. Prop
*253-41. 1-:.РеО.беС‘Р?.э:
(аа). а eNO . Nr‘P = Nr‘6 + а. V . Nr‘P = Nr‘6 + i
Доказательство.
l-.*213-3 .эН.Нр. d:P# A:
[*253-4] э:(аЯ).Р=б*Я. V.(ax).P=6-*x:
[*211-283 . *200-41]
э : (3Я). P = Q4-R. C‘Q ПC'R = А. V . (Зх) .P = 6-bx.x~eC‘Q:
[*180-32 . *181-32] э : (3Я). Nr‘P = Nr‘6 + Nr‘P. V . Nr‘P = Nr‘6 + 1:
[*251-26] э : (aa). a e NO . Nr‘P = Nr‘6 + a. V . Nr‘P = Nr‘6 + 1 э h . Prop
*253-42. F : PeQ. э . Nr‘PO D‘P? = A [*250-651 . *213-141]
*253-421. F:PeQ.6eD‘P?.3.~(6smorP) [*253-42]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
60
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*253-43. F Ре£1. х,у е Q'P. э : Р ["?‘xsmor Р \~Р'у . =. х = у
Доказательство.
I-. *253-11 . э F : Нр . хРу . э . (Р f?‘x) Ps (Р [>у) .
[*213-245] э.Р [>xeD‘(P
[*253-421] э . ~ {(P smor (P (1)
Аналогично F : Hp .уРх. э . ~ {(P smor (P (2)
F.(l).(2). F Hp . э : (P smor (P . э . ~ (xPy). ~ (yPx).
[*202-103] э. x = y (3)
I-. (3). *151-13 . э F. Prop
*253-431. l-:P^eeQ.a!e.o. Nr'P / Nr‘(P * Q)
Доказательство.
F. *253-402 .эЬ-.Нр.э. PeD‘(P^Q\ (1)
F . (1). *253-421 . э F. Prop
*253-432. 1-:Р-нхе£1.а!Р.э. Nr'P # Nr‘(P -и x) [*253-402-421]
*253-44. F : a, p e NO - i‘A .p^0r.o.a + p^a
Доказательство.
F. *251-1 . *155-34 . э
F : Hp. э . (а P, Q) • P, Q e Q • a = Nor ‘P. p = Nor ‘ Q. а! Q •
[*180-3]
3.(a^.2)-^eeQ.a = Nor‘P.p = Nor‘e.a!e.a + p = Nr‘(P+C) (1)
I- . *180-12 . *253-431 . (*180-01). э
F:P,2eQ.a!2-=>. Nr‘(P + Q) # Nr'P.
[*155-16] D.Nr‘(P+2)^Nor‘P (2)
h.(l).(2).o
F : Hp. D . (ap, 2) - p, 2 e o. a = Nor‘P. P = Nor‘2. a + P Nor‘P.
[*13-195] □ . a + p/ a : э F . Prop
* 253-45. F : a e NO - i‘A - i‘A - i‘0r. э . a + 1 ± a
[Док-во аналогично *253-55, используя *253-432 вместо *253-431]
* 253-46. F:PeQ. Q.ReC'P^. gsmorP-o. Q = R
Доказательство.
F . *253-421-16 . э F : Hp . Q = P . э . R = Q (1)
F. *253-16 . э F : Hp . Q^P.R^P.zi. 6,PeD‘P?.
[*253-13] D . (ах,Д . x.yeQ'P. Q = P [>x. P = P .
[*253-43. Hp] э . 2 = R (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 253-461. F : PeQ. э . Nr [ C‘P?e 1-> 1
Доказательство.
F . *253-46 . э F: Hp . Q,R e C‘P?. Nr‘2 = Nr'P. э . Q = R: э F . Prop
*253-462. F : PeQ. э . Nr (P [)^ f d'Pe 1 -> 1. Nr ’ P p"? ’ P [Q‘Psmor P [ (TP
[*253-43]
* 253-463. F:PeQ.3.
Nr; (Ps [ D‘P?) smor P? [ D‘PS. Nr 5 (Ps [ D'P) smor P [ Q'P
[*253-462-17-22]
Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ
СЕРИЙ 61
*253-47. HPeQ-ГА.э.
Nr“C‘P? = d {(ар). а + р = Nr‘P. V . а + j = Nr‘P} [*253-4]
*253-471. F : PeQ . э . Nr“(D‘P? U ГР) = а {(gp) . а + p = Nr‘P. V . а + 1 = Nr‘P)
[*253-401-13]
Следующие предложения касаются доказательства того, что Nr‘Pg пред-
ставляет собой либо Nr‘P, либо Nr‘P+i. Это доказывается путем исполь-
зования Pi в качестве коррелятора. Используемые методы предваряют об-
суждение конечных и бесконечных серий; на самом деле, когда Р конечно,
то Nr‘P? = Nr‘P, а когда Р бесконечно, то Nr‘P? = Nr‘P+ 1. Однако на дан-
ном этапе важно знать, что Nr‘P? больше либо равно Nr‘P, поэтому здесь
и приведены эти предложения.
*253-5. h : PeQ . э . Р] ; Р = Р [D‘P
Доказательство.
I-. *201-63 . *25-411 . э h :: Нр . э Р = Рх U Р2
[*150-11) э х(Р1 > Р) . xPxw . н : (дУ, z) : хРху :yPxz . V .у Р2 z: wPxz :
[*204-7] =: (gz). xPxw. wP\z V . (gy, z). xPxy .yP2z- wP\Z.:
[*250-21-24] = : xP\W. weD'P. V . (gy). xP\y. у, we D‘P. yPw:
[*33-14 .*34-1] =:x(P, UP] |P)w.weD‘P:
[*33-14 . *250-242] = : x, weD'P. xPw:: э I-. Prop
*253-501. F:P€Q.o.P1;p = P[a‘P1
Доказательство.
I-. *250-242 . э I-: Hp. э . P, ‘’P = PX ' P\ UPj |P, |P
[*71-191 . *204-7] = i [ G‘Pi U (G‘Pj) 1 P.
[*150-1 . *50-65] э . P, ; P = (G'P,) 1 Pi U (Q'P01 P | Pi
[*250-243] = P [ СТР] : э h . Prop
*253-502. I-: P e П. э . P [ G‘Pi smor P [ D‘P
Доказательство.
I-. *253-5 . *150-36 . э I-: Hp. э . P [ D‘P = Pi ’ (P [ Q'P,)
h . *151-21 . *204-7 . z> H Hp. э . Pi 5 (P £ CPPi) smor P [ Q‘P,
h . (1). (2). э I-. Prop
(1)
(2)
*253-503. F : PeQ. Q‘P] = G‘P. э . P [ G'Psmor P [ D‘P [*253-502]
Это предложение показывает, что если Р представляет собой вполне
упорядоченную серию, в которой каждый терм, за исключением первого,
имеет непосредственного предшественника, то серия, полученная путем ис-
ключения последнего терма (если таковой существует), подобна серии, по-
лученной путем исключения первого терма. Обратное также имеет место,
как будет показано позднее. Гипотеза PeQ.CTPi = СТР эквивалентна гипо-
тезе, что Р является конечным или представляет собой прогрессию. (Здесь
прогрессия совсем не то, что было определено как “Prog” в *121, а то, что
Кантор называет со; т.е. если R е Prog, то Рро является прогрессией в нашем
настоящем понимании.)
*253-51. h : Р е Q . CTPi = СТР. Е ! В‘Р. э . Nr‘Pg = Nr‘P
Доказательство.
F . *253-2 . э h : Нр . Р ~ е 2Г. э . Nr‘P? = Nr‘(P [ СТР) + i
[*253-503] =Nr‘(P [D‘P)+ i
[*204-461-272] =Nr‘P (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
62
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
F . *213-32 . э F : Ре2г. э . Nr‘P? = Nr'P (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*253-511. I-: P e Q. d'P, = d'P. ~ E ! B‘P. э .
Nr‘P? = Nr'P + 1. Nr'P ] d'P = Nr'P
Доказательство.
F. *93-103 . *202-52 . э F. Prop . э . P [ D'P = P.
[*253-503] э . Nr'P [d'P = Nr'P. (1)
[*253-2] э. Nr‘Ps = Nr'P + i (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*253-52. F : P e Q. x = minP‘(d‘P - d'Pi). э .
d'PnXxcd'Pi .Pi“'?‘x=Xx.Pi“7*‘x=X‘x-i‘B‘P
Доказательство.
F. *205-14. э F : Hp . э . Q‘PO?‘xc Q'P] (1)
F . *250 -242 . э F : Hp. э .^'x =?, ‘x U Pi “>x
[*33-41. Hp] = Pi“~?‘x. (2)
[*72-501. *204-7] э. Р{“~?‘х=~?‘хП d'Pi (3)
F. (1). DhHp.D.a‘Pn?‘x = a‘Pn?‘xnG‘P|
[*121-305] = d‘P1Ci>x (4)
F . (3). (4). z> F: Hp. э. Pj “"?‘x=~?‘xn d'P
[*33-15. *202-52] =X‘x-i‘B‘P (5)
h.(1). (2) . (5). э h . Prop
*253-521. FrPed.xed'P-d'P, . э .Xx, d'P ~ e 1
Доказательство.
F.*201-66. oF-.Ped.X'xel .D.xed'P] (1)
F . (1). Transp . э F : Hp. э .X'x ~ e 1 (2)
F. *201-662. э F : Hp. э . d‘P~ e 1 (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*253-522. F : PeQ. x = minP‘(d‘P - СГР,). 5 = Pj [‘Xx UI [ X'x. э .
S’’ (P [ d'P) = P
Доказательство.
F . *34-25-26 . *50-5-51 . э
F: Hp. э . S (P [d'P) = (Pj [7‘x)5 P [ d'PU(z f X'x)! PU
(Pi Г>х)|Р|/[Х‘хи/гХ‘х|РГ?‘х1 Pi
[*50-6-61 . *150-36. *35-452] =(P, [^'x)PU P [ H'xU P, f^'xIPfX'xU
H'x] P [^‘xIPi
[*74-141 . *253-52 . *200-381]= (P, [7*‘x) ’> P U P [ H'xU^'x] Pj | P [ K'x
[*250-242 . Hp] [*150-36] [*253-5-52] [*35-413 . *200-381] [*202-101] = (P, [>x);PUP [M‘xU>x1 P\K'x = (P} iP) [Pi“>xUP [H‘xU>x1 P [X'x =P ]"?‘x U P [ X ‘x u"?‘x 1 P [ X ‘x =P [ ("?‘xU X'x) -P: э h . Prop
Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ
СЕРИЙ 63
*253-53. h : Р е Q . х = иппР\(ГР - CTPi). э .
Pi ГX‘xe{Psmof (P[Q‘P)}
Доказательство.
F . *204-7 . *200-381 . z>F : Нр. э . Р\ [?‘хй7 f Х‘хе 1-> 1 (1)
I- . *253-52 . *50-5-52 . э
ннр.э.ач?! [>хй/ rK‘x) = ("?‘x-i‘B‘P)uX‘x
[*202-101] = С'Р-СВ'Р
[*93-1оз] = а1р
[*202-55 . *253-521 ] = С\Р [ СТР) (2)
F . *253-522 . э F : Нр. э . (Pi ["?‘хй/ [Н‘х)5(Р [<ГР) = Р (3)
F. (1). (2). (3). *151-11 . э F. Prop
*253-54. F : PeQ. g! (TP-(TPi. э . PsmorP [ G‘P
Доказательство.
I-. *250-121 . э F : Нр. э . Е ! minP‘(a‘P - Q‘Pi) (1)
F. (1). *253-53 . э F. Prop
*253-55. F : PeQ. g! Q‘P-Q‘P] . э . Nr‘Ps = Nr‘P + j
Доказательство.
F . *253-521 . *204-272 . э F : Hp. э . P ~ e 2r (1)
F . (1). *253-54-2 . э F . Prop
*253-56. FPeQ. э : Q‘Pi = (ГР. E ! B‘P. э . Nr‘P? = Nr‘P:
~ (CTPi = G‘P. E ! B‘P). э . Nr‘Ps = Nr‘P + i
[*253-51-511-55]
*253-57. F:PeQ.Q‘Pi = Q‘P. E ! B‘P. э .
i +Nr‘P = Nr‘P+ i. i + .Nr‘P#Nr‘P
Доказательство.
F . *253-51 . э F : Hp. э . Nr‘P? = Nr‘P.
[*253-21] э . i + Nr‘P = Nr‘P + i (1)
[*253-45] э. i+Nr‘P^Nr‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*253-571. F : P e Q. ~ (П'Р, = (ГР. E ! B‘P). z>. i + Nr‘P = Nr‘P
Доказательство.
F . *253-56 . э F : Hp. э . Nr‘P? = Nr‘P + 1 .
[*253-21] D.i+Nr‘P+i=Nr‘P+i.
[*181-33] э . i + Nr‘P = Nr‘P: э F . Prop
*253-272. F : P e Q - i‘A. ~ (CTPi = (ГР. E ! B‘P). э. 1 + Nr‘P # Nr‘P + 1
[*253-571-45]
*253-573. F:.Pen.z>:(TPi = СТР. E ! B‘P. = . i+Nr‘P#Nr‘P
[*253-57-571]
*253-574. F:. PeQ - i‘A. э: СТР, = G‘P. E! B‘P. =. i + Nr‘P = Nr‘P = Nr‘P + i
[*253-57-572]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
64
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
* 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных
серий
Краткое содержание *254.
В настоящем параграфе мы должны доказать, что из любых двух
вполне упорядоченных серий одна должна быть подобна отношению между
сечениями другой. Из этого следует, что из двух неравных ординалов один
должен быть больше. Предложениями настоящего параграфа мы обязаны
Кантору 10.
Наша процедура заключается в следующем. Мы определяем отношение
“RPsmQ”, означающее “R представляет собой собственное сечение Р и яв-
ляется подобным 2”, т.е.
R Psm Q • = . Я е D‘Pg .R smor Q.
В силу *253-46, если Р, geQ, то Psmel—> Cis (*254-22) и
Psm Г D‘2? е 1 —> 1 (*254-222). Поэтому если 5 есть какое-либо собственное
сечение Q, которое подобно некоторому собственному сечению Р^ то
собственное сечение Р, которому оно подобно, есть Psn/S- Легко доказать,
что Psm ’ 2? t D‘2<; представляет собой сечение Р; и что если D^cG^sm,
т.е. если каждое собственное сечение Р подобно некоторому собственному
сечению 2, т0 мы будем иметь (*254-261)
Р? [D P(j = Psm’ Qq [ D 2? •
Отсюда следует (*254-27), что если кроме того D‘2<; <= G‘Psm, то мы будем
иметь
Р? [D‘P? smor 2? ID‘2<j,
т.е. на основании *253-25
Р smor 2 (*254-31).
Потому (А) если каждое собственное сечение Р подобно некоторому соб-
ственному сечению Q и обратно, то Р подобно Q.
Рассмотрим далее случай, в котором каждое собственное сечение Р
подобно собственному сечению Q (т.е. с G‘2sm), но не наоборот,
так что з! D‘2? - G‘Psm’ Легко доказать, что при этой гипотезе, если
5 eD‘2<?- CTPsm, то D‘P?cQ‘5sm (*254-32). Однако если 5 есть минимум
(в порядке 2<?) класса D‘2<; _ G‘Psm, то D‘5?cQ‘Psm. Следовательно, на ос-
новании (А)
5 smorP (*254-321).
Поэтому (В) если каждое собственное сечение Р подобно собственному се-
чению 2, но не наоборот, то Р подобно собственному сечению Q (*254-33).
Из (В) с помощью транспозиции мы находим, что если каждое соб-
ственное сечение Р подобно некоторому собственному сечению 2, но само
Р не подобно никакому собственному сечению 2, то каждое собственное
сечение Q подобно некоторому собственному сечению Р, откуда на основа-
нии (А) Р подобна 2 (*254-34). Следовательно, если найдутся собственные
сечения Р, которые не подобны никакому собственному сечению 2? то наи-
меньшее из таких сечений (скажем Р') должно быть подобно Q, поскольку
10 Math. Annalen, Vol. 49.
Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 65
оно само не является подобным никакому собственному сечению 2, однако
все его собственные сечения подобны собственным сечениям Q. Следова-
тельно, (С) если найдутся собственные сечения Р, не подобные никакому
собственному сечению Q, тогда найдется такое собственное сечение Р, ко-
торое подобно 2, т.е.
h : Р, Q е Q. а! D‘P? - G‘2sm . э . Q е G‘Psm (*254 35).
Поэтому либо (1) g! D ‘ Р? - G ‘2sm, в этом случае QеG‘Psm, либо
(2) g! D‘2? - G‘Psm, в этом случае PeG‘2sm5 либо (3) D‘P?cG‘2sm и
D'Qs с G‘Psm, в этом случае на основании (A) Р smor 2- Поэтому (D) если
Р и Q есть две каких-либо вполне упорядоченных серии, то либо они по-
добны, либо одна из них подобна собственному сечению другой (*254-37).
Далее мы переходим к определению одной вполне упорядоченной серии
Р, как меньшей чем другая вполне упорядоченная серия 2, если Р подобна
некоторой части 2, но не б, т.е. мы полагаем
less = PQ {Р, 2 е Q. я! Q n Nr‘P • ~ (р smor б)) Df •
(Заметим, что мы имеем R1‘2 в этом определении, а не D‘2?)
Из (D) следует при условии, что Р и 2 есть вполне упорядоченные се-
рии, что если Р и 2 не подобны, то одна должна быть меньше, чем другая
(*254-4). Также из *250-65 следует, что если Р подобна собственному се-
чению 2? то б нв может быть меньше, чем Р (*254-181). Следовательно,
Р меньше, чем 2, тогда и только тогда, когда Р подобна некоторому соб-
ственному сечению 2, т.е.
Рless 2 • = • Л 2 е Q. Р е G‘2sm (*254-41).
Следовательно, если каждая из двух вполне упорядоченных серий подобна
части другой, то эти две серии подобны (*254-45); а в любом другом случае
одна из них подобна некоторому собственному сечению другой.
Из приведенных выше результатов мы без труда получаем следующие
предложения, которые полезны в ординальной теории конечного и беско-
нечного.
* 254-51. h : Р less Q . = . Р, Q е Q . R1‘P A Nr‘ Q = А
Т.е. одна вполне упорядоченная серия меньше, чем другая, тогда и толь-
ко тогда, когда никакая ее часть не является подобной другой.
* 254-52. F:PeQ.а с С‘Р. Я! ёРАр‘^“а . э . Р [ а lessP
Т.е. любая часть вполне упорядоченной серии, которая заканчивается
вблизи конца, меньше, чем вся серия.
* 254-55. l-:.eiessP.s:P,eeQ:(gP).Psmor6.PGP.g! С‘Р П р'*ГёК
Т.е. одна вполне упорядоченная серия меньше, чем другая, тогда и толь-
ко тогда, когда она подобна некоторой части другой, которая заканчива-
ется вблизи конца.
*254-01. less = Pg {Р, QeQ. g! R1‘6 П Nr‘P. ~ (Psmor 0} Df
*254-02. Psm = (D‘Ps)1 smor Df
*254-1. I-: Pless Q. = . P, QeQ.. g! Rl‘<2 П Nr‘P. ~ (Psmor Q) [(*254-01)]
*254-101. I-: P, QeQ. Pg 6. ~ (Psmor 0. э . PlessQ [*254-1]
*254-11. h : PPsm (2. = .ReD‘P? .Psmor 6 [(*254-02)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
66
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*254-111. F.'?sm‘2 = D‘/>?nNr‘2 [*254-11]
*254-12. I-: eeCTPsm . = . g! D‘P? nNr‘6 [*245-111]
*254-121. I-. D‘P? c CTPsin [*254-12 . *152-3]
*254-13. F P smor P'. Q smor Q’. э : Pless Q . = . P' less Q'
[*151-15 .*152-321 .*254-1]
*254-14. I-: 5 e D‘2? . T ePsmoiQ .i.T’St D‘P? П Nr‘5
Доказательство.
F. *213-141 . э F : Hp . э . (gP). pesect‘2 - i‘A - i‘C‘2.5 = 2 [ P F . *150-37 . э F : Hp . S = Q [ P. э . T i 5 = (T 5 Q) [ T“P (1)
[*151-11] =Р[ÓР(2)
F . *212-7 . э F : Hp . pesect‘2 • • 7’“Pesect‘P (3)
F . *37-43 . э F: Hp . P e sect‘2 _ i‘A. э . g! T“p (4)
F. *150-22 . DF:Hp.7’“P = C‘P.o.7’“P = T“C‘2:
[*72-481] э F : Hp. T“P = C‘P. P e sect‘2 • => • P = C‘Q:
[Transp] э F: Hp. P e sect‘2 _ i‘C‘2 • ° • ^“P / (5)
F . (3). (4). (5). э
F: Hp. P e sect‘2 - i‘A - CC'Q . э . T“Pesect‘P - i‘A - t‘C‘P (6)
F. (1). (2). (6). э F : Hp . э . (ga). aesect‘P- i‘A - i‘C‘P. T »5 = P [ a .
[*213-141] 3.7”-5eD‘Ps (7)
F. *151-21 . э F : Hp. э. (T ; S) smor 5 (8)
F . (7). (8). э F . Prop
*254141. F : Psmor Q . э . D‘2? c CTPsm • D‘Pg c CT(2sm
Доказательство.
F . *254-12-14 . э F Hp . э : 5 e . э . 5 e CTPsm (1)
F . (1). *151-14 . э F . Prop
*254-142. F : R e C‘P? . э . P? G Psm
Доказательство.
F . *213-241 . э F : Hp . э . D‘P? c D‘P? (1)
F.(l). *254-11 . э F . Prop
*254-143. F : Q e CTPsm . э . C‘2. c G‘Psm
Доказательство.
F . *254-12 . э F : Hp . э . (gP). R e D‘P?. R smor Q .
[*254-141] э . (3P). R e D‘P? . D‘0. a (TPsm .
[*254-142] э . c CTPsm .
[*213-16 . Hp] э . Q [“(sect‘2 - i‘A) c CTPsm •
[*213-1] э . c CPPsm : э F . Prop
*254-144. F : P = A . э . Psm = A [*213-3 . *254-11]
*254-15. I-:. Qpo G J. g !^‘P. P^ G J. э : Q e G‘Psm . = . C‘2? c CTPsm
Доказательство.
F. *254-143. DF:e«a?sm.D.C‘esca?!m (1)
F . *213-142 . *211-26 . э F :. Hp. g! б. э : 2 e C‘2? :
[*22-441] D:C‘2?ca‘Psm.3.2€a‘Psm (2)
F. *211-18. э F : Hp. э . g!sect‘Pn 1 .
[*200-35] э . AeP ]“(sect‘P-i‘A).
[*213-16] D.AeD‘P?.
Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 67
[*254-121] o.AeG‘Psm (3)
F . (2). (3). э h Нр. э : с G‘Psm . э . Q е G‘Psm (4)
F . (1). (4). э I-. Prop
*254-16. I-2smor Q'. э :4n‘2=4n‘2': 2eG‘Psm • = • Q eG‘Psm
Доказательство.
F . *254-111 . *152-321 . э F Hp . э :^sm‘Q =Un‘2' = (1)
[*i3-i2]
[*33-41] D:2eG‘Psm. = .2'eG‘Psin (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*254-161. F : P smor P'. э . G‘Psm = CTPsm
Доказательство.
F. *254-114 . э F : T ePsmor P'. S eD‘P's П Nr‘2. э . Г > 5 eD‘P? П Nr‘2:
[*254-12] э F : T e P smor P'. Q e G‘P'srn .=>.Q e G‘Psm :
[*151-12] z> F : P smor P'. э. G‘P'sm c G‘Psm (1)
F. (1). *151-14 . э F : P smor P'. э . CTPsni c G‘P'sm (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*254-162. F Psmor P'. Q smor Q'. э : QeC‘Psm . = . Q’ eG‘P'sm
[*254-16-161]
*254-163. F: P e G‘2sm. э . G Psm c G 2sm
Доказательство.
F. *254-12 .dF: Hp.z>.(gS). PernorS .5eD‘2?.
[*254-161-142] э . (3S). G‘Psm = G‘5sm . G‘5sm c G‘2sm .
[*13-195] э . G‘Psm c G‘2sm : э F . Prop
*254-164. F: DeP? c G‘2sm. э . D‘P? = Psm“(D‘2? ПG‘Psm) = Psm“D‘2?
Доказательство.
F . *254-11 . э F: Hp.PeD‘P? . э . (35). 5 eD‘2? .Psmor5 .
[*254-11] z>.(aS).SeD‘2?.PPsmS .
[*37-1] э .PePsm D‘2? (1)
F. *254-11 . э F . Psm“D‘2? c D‘P? (2)
F . (1). (2). э F : Hp. э . D‘PS = Psm“D‘2?
[*37-26] = Psm“(D‘2s П G‘Psm): э F . Prop
*254-17. F:PeQ. QeD‘P?. Rd Q.=>.~ (Psmor P)
Доказательство.
F . *204-21 .oF:PcQ.PgP.P smor P. э .Re Ser.
[*204-41] э.Р = Р[ёР(1)
F . *250-63 . Transp. э
F : PeQ. P smor P. P = P [ C‘P. э . ~ (ga). a esect‘P - СС‘Р. C‘R a a.
[*211-133-44] э . ~ (a2) • Q e P [“(sect‘P - i‘C‘P). P G Q.
[*213-141] o.~(32)-2eD‘P?.PG2 (2)
F . (1). (2). э F : P e Q. P smor P. P G P. э. ~ (3 Q). Q e D‘P? . P G Q (3)
F . (3). Transp. э F. Prop
*254-18. F : 2eD‘Ps . э. ~ (Pless 2) [*254-17-1]
*254-181. F : 2eG‘Psm . э . ~ (Pless 2)
Доказательство.
F. *254-18-12 . э F : Hp. э . (3P) .Psmor Q. ~ (PtessR).
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
68
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
[*254-13] э . ~ (Pless Q): э I-. Prop
*254-182. F : Р е О.. Q е D‘P? . э . Q less Р [*254-101 . *253-421-18]
*254-2. F : PeQ. 2е G‘Psm . э . 2lessР
Доказательство.
I-. *254-11 . э F: Нр. э . (gP). PeD‘P? . Я smor Q.
[*254-182] э. (а Я). Я less Р. Я smor 2-
[*254-13] э . Q less Р: э F . Prop
*254-21. I- :PeQ. <2ea‘Psm .Яс б.ЯеП.э .PlessP
Доказательство.
I-. *254-12 . э F : Hp. э . (aS, T). S eD‘P? . T eS smor Q.
[*151-21 . *150-31] э . (aS, T). S e D‘P? . T e S smor Q. T ?Я smor Я. T ’Я G S .
[*254-17] э . (a T). T ; Я smor Я. T ? Я G P. ~ (T 5 Я smor P).
[*151-17] э . (aT) • T; Я smor Я. T ’ Я G P. ~ (R smor P).
[*254-1] э . PlessP: э F . Prop
*254-22. F : PeQ. э . Psm e 1 —> Cis
Доказательство.
F . *254-11 . dF :.PPsm Q.S Psm Q.z>:R,S eD‘Ps.PsmorS :
[*253-46] D:PeQ.D.P=S (1)
F. (1). Comm. э F. Prop
*254-221. F : PeQ. э . a‘Psm cQ
Доказательство.
F . *254-12 . *253-13 . э
F : Hp. Q e a‘Psm • э . (аЯ, a). Я = P [ a. Я smor Q .
[*250-141 . *251-111] э . QeQ: э F. Prop
*254-222. F:P,eeQ.z>.Psm [D'^el -> 1
Доказательство.
F . *254-11 . э F :. Я (Psm [ D‘2S) S . Я (Psm [ D‘2?) S'. э :
S,S' eD‘2? . Яsmor S . Яsmor S':
[*253-46] z>:2eQ.D.S =S' (1)
F . (1). Comm. z> F : Hp. э . Psm f D‘2? e Cis -> 1 (2)
F . (2). *254-22 . э F . Prop
*254-223. F . Cnv‘(Psm [ D‘6?) = gsm Г D‘P?
Доказательство.
F . *254-11 . d F : Я (Psm [ D‘g?)S . = . PeD‘P? . S eD‘2? . Я smor S .
[*151-14] s.S eD‘6?.PeD‘P? .S smorR.
[*254-11] =.S(2sm f D‘Р?)Я: э F . Prop
*254-224. F:2eQ.E!Psra‘S .SeD‘e?.D.S = 2sm‘Psm‘S
Доказательство.
F . *254-223 . э F :. Hp. э : S esm (Psm‘S). = . (Psm‘S) Psm S (1)
F . (1). *30-32 . *254-22 . э F . Prop
*254-23. F:PeQ.2ea‘Psm.D.Psm‘2 = i‘(D‘P?nNr‘0 [*254-22-111]
*254-24. F : P, Qe Q. Я e D‘P? П d‘6sm . S e RPR П D‘P; . э. S e Q‘2srn
Доказательство.
F . *213-24 . э F : Hp. э . S e D‘R? .
[*254-143 . Hp] э .S ed'gsm : э F. Prop
Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 69
*254-241. F:.PeQ.2,PeC‘P? . э:PeQ‘esm . = .PeD‘2?
Доказательство.
F.*254-121 .oF:7?eD‘2?.o.7?ea‘esm (1)
F . *254-142 . э F : Нр. QeC'R^ . э . &т g Psm (2)
F. *253-42. oF:PeQ.=>.P~ea‘Psm (3)
F.(2).(3). oh:Hp.2eC‘7?s.o.7?~ea‘esm (4)
F. (4). Transp. (3). э F : Hp. R e Q‘6sm • э. Q ~ e C'R^ .Q±R.
[*213-245] ^.-(QP^.Q/R.
[*213-153 . Hp] ^.RP^Q.
[*213-245] 3./?eD‘2s (5)
F . (1). (5). э F. Prop
*254-242. F : geQ. TePsmor 6. S eD‘2? . э. T > S = Psm'S
Доказательство.
F . *254-14 . z>F : Hp. э. T >S eD‘P? nNr‘S .
[*254-11] z>.(T’S)PsmS .
[*254-22 . *251-111] э. T ? 5 = Psm‘S : => F . Prop
*254-243. F : (2eQ. 5 eD‘g? . T ePsmor S . S' Qq S . z>. T >S = Psm‘S'
Доказательство.
F . *213-245 . *253-18 .z>F:Hp.=>.SeQ.S'e D‘S? .
[*254-242] э. T; S'= Psm‘S': F . Prop
*254-244. F : P, geQ. S eD‘6S П Q‘Psm . Te(Psm‘S) smorS .S'Q^S .z>.
T’S=Psm‘S .T’S' = Psm‘S' .(T’S')P.(T’S)
Доказательство.
F. *254-243 . эF : Hp.P = Psm‘S . э. T >S'=Psm‘S' (1)
F.*253-11. э F : Hp (1). э .PeD‘P? . (3)
[*254-142] o.PsmGPsm (3)
F . (1). (3). *254-22 . э F : Hp (1). э . T’S‘= Psm‘S' (4)
F. *151-11. =>F:Hp(l) .=>.R = T’S. (5)
[(2)] o.T^eD'P, (6)
F. (1). (5). *254-11 . э F : Hp (1). э . T ’ S'eD‘(P > S) (7)
F . (6). (7). *213-244 . z> F : Hp (1). z>. (T! S') P^ (T 5 5) (8)
F.(5). oF:Hp.o.T;S=Psm‘S (9)
F . (9). (4). (8). э F . Prop
*254-245. F: P, QeQ.. S eD‘2? Г) Q‘Psm . S' Q^S . э. (Psm‘S') P? (Psm‘S)
Доказательство.
F. *254-22-11 . э F : Hp. э. (Psm‘S) smorS (1)
F . (1). *254-244 . э F . Prop
*254-25. F:. P, QeQ.. S, S' e D‘Q? П Q‘Psm . э : S' S . = . (Psm‘S') P.; (Psm‘S)
Доказательство.
F . *254-245 . э F :. Hp. э: S' S . э. (Psm‘S') P? (Psm‘5) (1)
I /. \ Psm S' > Pstn $ > P. Q
( s', S7, Q^P'^
Ь Hp . Э : (Psm 5 ) P(^ (Psm 5) . D . (2sm Psm S ) G? (Gsm Psm S) .
[*254-224] (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
70
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*254-26. к : Р, QeQ. э. Q. [ (D‘C? Г>Q‘Psm) = £sm 5(Ps [ D‘P?)
Доказательство.
к . *254-25 . э к :: Hp. э S' {Qq [ (D‘6S П Q‘Psm)} 5 . s:
S, S' e D ‘ П Q‘Psm . (Psm ‘S') Ps (Psm ‘5):
[*254-22] s : S, S' e D‘Q? : (gfl, R') .RPsmS.R' Psm S'. R' Ps R:
[*254-223] s : (Д/?, R').S QsmR. S’ Qsm R' .R,R'e D‘P? .R'P^R:
[*150-11] a : S' {fem ; (Ps t D‘P?)) 5 :: э к . Prop
*254-261. к : P, Q e Q. D‘2? c Q‘Psm . э. & [ D‘g? = (2sm 5 (P? [ D‘PS) [*254-26]
*254-27. к : P, 2 e Q. D‘Pg c ai2sm • D‘G? c Q‘Psm . э .
Gsm [C‘(P? [D‘P?)e(2? [D‘2?) smor (Ps [D‘P?)
Доказательство.
к . *254-222 . э к : Hp. э. Qsm [C‘(P? [D‘P?)el -* 1 (1)
k. *37-41. эк : Hp. э. C‘(PS [D‘P?)cQ‘2sm (2)
к . (1). (2). *254-261 . *151-22 .эк. Prop
В силу приведенного выше предложения мы имеем, когда его гипотеза
реализуется,
(2? smor (Pq [D‘P?),
откуда на основании *253-25
Q smor P,
Это предложение представляет собой обращение *254-141.
В приведенном выше предложении мы берем Qsm f С‘(Р<Д D‘Pq) в ка-
честве коррелятора, а не Qsm Г D‘P?, для того, чтобы не делать исключе-
ний для случая, в котором Ре2г. Так как если Ре2г, то D‘P?el, однако
Р? [D‘Pq = A. Поэтому Qsm f D‘Pq в этом случае не является коррелятором.
Следующие предложения, вплоть до конца настоящего параграфа, яв-
ляются важными и дают основания теории неравенства между вполне упо-
рядоченными сериями и между ординалами.
*254-31. F : Р, Q в Q . D‘P? с Q‘Qsm . D‘Q? с CTPsm . э . Р smor Q
Доказательство.
k. *254-27. эк Нр . э : (Р? [ D‘P?) smor (Q? [ D‘Q?) :
[*253-25] o:a!P.g!Q.o.P smor Q (1)
к. *254-144 .эк : Hp . P = A . э . D‘Q? = A .
[*213-302] o.Q=A.
[*153-101] э . P smor Q (2)
Аналогично к : Hp . Q = A . э . P smor Q (3)
к.(1).(2).(3). э F. Prop
*254-311. F : Р, Q е Q . э : D‘P? с Q‘Qsm . D‘Q? с Q‘Psm . = . Р smor Q
[*254-31-141]
*254-32. F : P, Q e Q. D‘Q? a G‘Qsm . S e D‘Q? - Q‘Psm . э . D‘P? a Q‘Ssm
Доказательство.
F . *254-24 . э h : Hp . P, S' e D‘Q? . S' G R. R e Q‘Psm . э . S' e Q‘Psm (1)
I-. (1). Transp . э F : Hp . R eD‘Q? П G‘Psm . э . ~ (S G P).
[*213-21] D.Pg?S.
Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 71
[*254-22-11 . *213-245] э. (Psm‘Я) 8тогЯ.ЯеО‘5?.
[*254-12] D.(Psm‘tf)ECT5sm (2)
h . (2). *37-61 . э F : Нр . э . Psm“(D‘(2? A Q‘Psm) a CTSsm .
[*254-164] э . D‘P? с CTSsm : э F. Prop
*254-321. Ь : Р, Q е Q. D‘Pq с a‘2sm . 5 = min (2?)‘(D‘2? - Q‘Psm). э . S smor P
Доказательство.
F . *205-14 .э F: Hp .э .^‘5 c Q‘Psm .
[*213-246] o.D^aCTPsm (1)
F . *254-32 .oh: Hp . э . D‘Pq c G‘Ssm (2)
F.(l). (2). *254-31 . э F . Prop
*254-33. h : P, 2 e Q . D‘P? c Q‘esm . a! D‘2? - Q‘Psm . э . P e Q‘2sm
Доказательство.
F . *253-24 . э F : Hp . э . E ! min (2Д‘(D‘2? - CTPsm) •
[*254-321] э . (a5). 5 e D‘2q . S smor P.
[*254-11] э . PEQ‘2sm : э h . Prop
*254-34. h:P, QeQ.P-e G‘2sm • ТУР^ c Q‘2sm • => • Psmor Q
Доказательство.
F . *254-33 . Transp . э F : Hp . э . D‘2q c G‘Psm . D‘P? c G‘2sm •
[*254-31] э . P smor Q : э F . Prop
*254-35. F : P, 2 e Q . a ’ D‘6? - CTPsm . э . P e G‘2sm
Доказательство.
F . *254-24 . Transp. э F : Hp. э . E ! min (2?)‘(D‘2? “ G‘PSm) •
[*205-14] э. (3S). S e D‘24 - CTPsm .^‘S c Q‘Psm .
[*213-246] э. (aS). S e D‘GS - Q‘Psm . D‘S? c Q‘Psm .
[*254-34] э. (aS).S eD‘2? .S smorP.
[*254-11] э. PeQ‘6sm : э h . Prop
*254-36. h : P, geQ. 3! D‘2? - Q‘PSm . э. C‘Pq c Q‘2sm [*254-35-143]
*254-37. F P, Q e Q. э: P smor Q. V . P e Q‘6sm . V . Q e Q‘Psm
Доказательство.
F. *254-31 . z>F :Hp. D‘P? cQ‘esm . cQ‘Psm .э .Psmor Q (1)
F . *254-35 . э F : Hp. a! D‘2q - a‘Psm . э . Ped‘esm (2)
F . *254-35 . э F : Hp. a! D‘P? - CPCsm • • GeCTPsm (3)
F.(l).(2).(3).=>F.Prop
Это предложение является наиболее важным предложением об отноше-
ниях двух вполне упорядоченных серий к сегментам друг друга. Оно по-
казывает, что из двух вполне упорядоченных серий, которые не являются
подобными, одна должна быть подобна сегменту другой.
*254-4. F Р, Q е Q. э: Рless Q. V . Р smor Q. V . Q less Р
Доказательство.
F. *254-2. э F : Нр. Ре Q‘esm . э. Pless Q (1)
F. *254-2. э F : Нр. Qe Q‘Psm . э. glessP (2)
F . *254-37 . э F : Нр. Р ~ е a‘2sm • Q ~ е a‘Psm . э . Psmor Q (3)
F . (1). (2). (3). э F. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
72
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*254-401. h:.P,QeQ. э : less ‘Р = less ‘Q . = . Р smor Q
Доказательство.
b . *254-1 . э b : Нр . less*‘Р = less*42 . z>. ~ (Pless Q). ~ (2lessР).
[*254-4] э. Psmor 2 (1)
b . *254-13 . э b : Нр . Psmor Q . э . less*‘Р = less*42 (2)
b . (1). (2). э b . Prop
*254-41. h : Pless Q . = . P, QeQ . Pe Q42sm • = . 2^Q. Pe Q42sm
Доказательство.
b. *254-2 . oh:2eQ.PeQ42sm.^.Pless2 (1)
b. *254-181 . Dh:2eQ4Psm.o.~(Pless2) (2)
b . *253-421 . э b: QeCl . PeD‘2? • PsmorP . э . ~ (Psmor 2) •
[*254-11] э b : 2eQ . PeQ‘Psm . э . ~ (Psmor Q) (3)
b. (2). (3). *254-4 . э b : 2eQ. PeQ4Psm . э . Pless Q (4)
b . (1). (4). э b : p less Q . = . Q e Q . P e Q4 2sm •
[*254-1] = . P, 2 e Q . P e Q42sm : э b. Prop
*254-42. b . less g J. less2 g less
Доказательство.
b . *254-1 . э b : P less Q. э . ~ (P smor Q).
[*151-13] =>.P#2 (1)
b . *254-163 . э b : PeG42sm • Q4Psm . э . 5 eQ42sm
[*254-41 ] э b : R less Q. S less R . э . S less Q (2)
b . (1). (2). э b . Prop
Отношение “ less ” не в состоянии сгенерировать серию, поскольку не
является связным, при этом две подобные вполне упорядоченные серии
ни больше, ни меньше друг друга. С другой стороны, отношение Nr ; less
является сериальным, так как две подобные вполне упорядоченные серии
вносят один и тот же терм в поле Nr» less, и поэтому связность не нару-
шается. Отношение Nr ; less будет рассмотрено в следующем параграфе.
*254-43. b: 2eQ-L4A.o.A less2 [*254-1 . *250-4 . *152-11]
*254-431. b . G4 less = Q - l4A . C4 less c Q
Доказательство.
b . *254-43 . э b : Q e Q - l4A . э . A less Q (1)
b . *254-1 . *25-13 . эЬ:2 = Л.э.2~еСГ less (2)
b. *254-1. ob.C4less cQ (3)
b . (3). (2). Transp . э b . Q4 less cQ - l4A (4)
b . (1). (4). Transp . э b . Q4 less = Q - l‘A (5)
b . (3). (5). э b . Prop
Для того чтобы получить С4 less =Q, нам необходимо, как явствует
из (1) в приведенном выше доказательстве, g!Q-i4A. В силу *251-7 это
требует g! 2. На основании *101-42-43 это имеет место, если поле “less”
определенно как принадлежащее класс-типу или реляционному типу. Если,
однако, поле “ less ” определено как составленное из индивидов, то прими-
тивные предложения, принимаемые в настоящей работе, не позволяют нам
доказать g! 2, и, следовательно, доказать g! less.
Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 73
Следует заметить, что “ less”, как “sm” и “ smor”, является значимым,
когда не является однородным; однако “C‘less” является значимым лишь
для однородных типовых детерминаций “ less ”, поскольку лишь однород-
ные отношения имеют поля.
*254-432. F : а! 2а . = . а! less A foo<ct Т *оо‘а • = • а • ~ А
Доказательство.
к. *251-7 . э к : а! 2а . =. а! Q - i‘A А гОо‘а. (1)
[*254-43] . (32). QeO - l‘A АГоо‘а• A lessg.
[*55-37] э. (3 2) • A less 2. A J, 2 G Гоо‘а Т ?оо‘а .
[*55-3] э. з! less АГоо‘а| <оо‘« (2)
к. *35-103 . эк : 3! less AZoo‘«T ?оо‘а- э • (Э^> Q) • /’less2 • Л2е?оо‘а-
[*254-431] э. 3! Q - i‘A А Гоо‘а.
1(1)] => • 3! 2а (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*254-433. F . а! less П too ‘Cis f Too‘Cis . a! less h Zoo‘Rel f Too‘Rel
[*254-432 . *101-42-43]
*254-434. F : a! less . =. C‘ less = Q . = . less = A
Доказательство.
F . *250-4 . *33-24 . э F : C‘ less = Q . э . 3! less (1)
F . *93-102 . *33-24 . э F : Bl less = A . э . a! less (2)
F . *254-43 . э F : Q e Q - l‘ A . э. A less Q (3)
F.(3). э F : a! Q - i‘A . э . A e D ‘ less .
[*254-431] o.A = B‘less (4)
F . (4). *254-431 . э F : a• ~ l‘A . э . C‘less =Q (5)
F . (1). (2). (4). (5). э F . Prop
*254-44. F :PtC1 less . э. C‘ less = less* U Nr‘P U less*‘P
Доказательство.
F. *254-13. э F : Hp . э . Nr‘P c C‘less (1)
F . (1). *33-152 . э F : Hp . э . less‘P U Nr‘P U less‘P c C‘ less (2)
F . *254-1 . э F . C‘ less c Q.
[*254-4] э F :. Pe C‘ less . э : QeC‘ less . э . Q e less*‘P U Nr‘P U less ‘P (3)
F . (2). (3). z> F . Prop
*254-45. F : P, 2 eQ . a! R1‘P A Nr‘Q . a! R1‘G A Nr‘P. э. Psmor Q
Доказательство.
F . *254-42 . э F: Pless Q . э . ~ (QlessP) (1)
F . *254-1 . э F : P, QeQ . a • R1‘C A Nr‘P. ~ (Psmor Q). э . Pless Q .
[(1)] . ~ (QlessP).
[*254-1 .Transp] э. ~ a! R1‘Rn Nr‘Q (2)
F . (2). Transp . э F . Prop
Это предложение является аналогом теоремы Шредера—Бернштейна
для ординалов.
*254-46. F : Р less Q . = . Р, Q е Q . а! R1‘G A Nr‘P. ~ а! R1‘P A Nr‘Q
Доказательство.
F. *152-11 . *61-34. э
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
74
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
F : Р, Q е Q. g! R1‘2 A Nr‘P. ~ g! R1‘P A Nr‘2. э .
Р, Q е Q. g! R1‘ Q A Nr ‘Р. ~ (Р smor Q).
[*2544] э. Pless Q (1)
F . *2544-45 . Transp. э
F: Pless 2. э . Р, QeQ. g! R1‘2 ANr‘P. ~ g! R1‘P A Nr‘2 (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*254-47. I-: P e Q. э . P? = less [ C‘P?
Доказательство.
F. *213-245 .oF:.Hp. э:РР? 2-= -^eD‘2q. 2eC‘P?.
[*254-121] o.PeCI‘2sm.
[*254-41] э. Pless 2 (1)
F. *254481 . Transp. э F: Hp. Q, R e C‘P? . R less Q. э . Q ~ e CTPsm •
[*254-121] o.e~eD‘R? (2)
F. (2). *213-25 . *254-42 . э F : Hp. Q, R e C‘Pg . R less Q. z>. R e D‘2? .
[*213-245] z>.PPs2 (3)
F. (1). (3). э F . Prop
*254-5. F:.P, geQ.o:
R1‘P A Nr‘2 = A. a . g! R1‘2 ANr‘P. ~ (Psmor Q). a .PlessQ
Доказательство.
F.*254-46. э F : Hp. R1‘P ANr‘2 = A. э. ~ (glessP) (1)
F. *61-34 .*15241 . э F : Psmor 2. э . Pe R1‘P A Nr‘2 (2)
F . (2). Ttansp. э F : R1‘P ANr‘2 = A. э . ~ (Psmor 2) (3)
F.(l). (3) .*254-4 . э F : Hp. R1‘P A Nr‘2 = A. э. Pless 2 (4)
F.*254-46. z>F:Pless2-=>.Rl‘PANr‘2 = A (5)
F . (4). (5). эF :.Hp .э :R1‘PANr‘2 = A. a .PlessQ
[*2544] a . g! R1‘2 ANr‘P. ~ (Psmor 2) :• 3 F . Prop
*254-51. F:Pless2- = -P. 2e^-Rl‘PnNr‘2 = A [*254-54]
*254-52. F:PeQ.acC‘P.g! C‘P A p‘J? “a. z>. P [ a lessP
Доказательство.
F. *250-141 . эF : Hp. э . P [aeQ (1)
F. *250-653 . э F : Hp. э . ~ (P [ a smor P) (2)
F. (1). (2). *254-101 .oF. Prop
*254-53. \--.P,QeQ.Qc.P .g! C'P C\p‘<P“X‘Q. э. Q\essP
Доказательство.
b . *250-652 . э Ь : Hp . э . ~ (Q smor P) (1)
b. (1) .*254-101 . ob.Prop
*254-54. F : P, QeQ. Psmor Q. Pg P. g! C‘PC\p'^'C'R. . QiessP
[*254-5343]
*254-55. F:.21essP.a:P,2€Q:(gP).Psmor2-PGP.g! C‘P 0 p‘"P“C‘R
Доказательство.
b . *254-41 . эb QlessP . э : P, QeQ: (g/?) .Psmor Q . PeD‘P? :
[*21348] э : P, 2e^: (Я^) •^smor 2 • Rg P. g! C‘PAp‘^“C‘P (1)
F . (1). *254-54 . э F . Prop
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
75
*255. Больше и меньше среди ординальных чисел
Краткое содержание *255.
Если Р и Q вполне упорядоченные серии, то мы говорим, что Nr‘P
меньше, чем Nr‘2, если Р меньше, чем Q. Поэтому если р, и v ординаль-
ные числа, то мы говорим, что р меньше, чем v, если существуют вполне
упорядоченные серии Р, Q такие, что p = Nr‘P и v = Nr‘2, а Р меньше,
чем Q. Для того чтобы исключить случай, когда в пределах рассматрива-
емого типа мы имеем Nr‘P = A или Nr‘2 = А, мы предполагаем p = Nor‘P
и v = Nor‘2. Поэтому мы полагаем
ц <• v. = . (gP, Q). р = Nor‘P. v = Nor‘2 . Pless 2,
т.е. мы полагаем
< = Nor’less Df.
Для того чтобы вести речь о Nr‘P (где тип “Nr” остается неопределенным)
как о большем или меньшем, чем Nr‘2, мы полагаем
р <• Nr‘P. = . р <• Nor‘P Df,
Nr‘P < ц. = . Nor‘P < ц Df.
Трактовка типов продолжается mutatis mutandis, как в *117, к которому,
вместе с Предварительными формальными соглашениями тома II, читатель
отсылается для разъяснений.
В силу *254-46 и *117-1 существует тесная аналогия между кардиналь-
ным и ординальным неравенством. Т.е. большинство свойств кардиналь-
ного неравенства имеет точные аналоги для ординального неравенства, и
эти аналоги имеют аналогичные доказательства. (В настоящем параграфе,
когда предложение аналогично предложению с той же самой десятичной
частью в *117 и имеет аналогичное доказательство, мы будем опускать
доказательство.) Однако ординальное неравенство имеет достаточно мно-
го свойств, которые не имеют аналогов для кардинального неравенства.
Главным из них, от которого зависит большинство остальных, является
*255-112. h :. щ veN0O . э : р, <• v . V . р = smor “v . V . v <- р
где “NqO” означает “однородные ординалы”, т.е. NOaNqR. Мы имеем так-
же, что часто является важным,
*255-17. Ь : Nr‘P > Nr‘2 • = • Q less P. = .P, QeQ.Qe CTPsm .
= .P,2eQ.3’D‘P?nNr‘2
так что
*255-171. h :. PeQ . э : ц < Nr‘P. = . peNr“D‘P? - Г A
и в более общем виде
*255-172. H.PeQ.o:
р < Nr‘P. = . (да). а с С‘Р. д! С‘РП . р, = Nr‘P [ а . д! р,
Как и в кардиналах, р больше, чем v, если (и только если) р представ-
ляет собой сумму v и некоторого ординала, отличного от нуля, включая i,
исключая случай, когда v = 0r (*255-33). Однако для истинности указанно-
го предложения необходимо, чтобы добавок шел после v, но не перед ним;
т.е. v + Ш > v, если (П^0г (*255-32-321), однако (D + v часто равно v.
Если а, Р и у есть ординалы, и а > 0, то мы будем иметь
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
76
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
у + а > у + р (*255-561),
а х 0 > 0, если а 0г. р 0г *255-571,
аху>0ху? если Y^Or (*255-58),
ух0>у, если y имеет вид 5 + i (*255-573),
уха>ух0, если у имеет вид 6+1 (*255-582).
Из приведенных выше предложений следует, что если а, р и у являются
ординалами, то
у + а = у + Р- э*а-Р
(*255-565, где Р может подставляться вместо smor “Р всякий раз, когда поз-
воляет значимость; ср. с замечанием к *120-51), что дает единственность
вычитания из конца (вычитание из начала не обладает единственностью);
аху = Рхув;:>*а = Р, если у/0г (*255-59),
что дает единственность деления на конечный множитель;
Yxa = Y)<P*;:>*a = P, если Y = Y+i (*255-591),
что дает единственность деления на начальный множитель вида 5 + i.
Мы не имеем, вообще говоря,
a, Р, у е NqO . а < 0 . э . а ехрг у < р ехрг у,
поскольку аехргу и PexPrY не являются, вообще говоря, ординальными
числами, так как серии, имеющие эти числа, не являются, вообще го-
воря, упорядоченными. Поэтому теория ординального неравенства имеет
лишь ограниченное применение к экспоненциации. Мы не можем полно-
ценно иметь дело с этим предметом, пока мы не рассмотрели конечные и
бесконечные серии.
Если а является ординалом, то С “а является соответствующим карди-
налом, т.е. кардинальным числом термов в серии, ординальным числом
которой является а. Поэтому кардинальные числа классов, которые могут
быть вполне упорядочены, представляют собой C“‘NO, т.е.
*255-7. h . Nc“C“Q = C‘“NO
Очевидно, что
*255-71. Ь : Pless Q . э . Nc‘C‘P Nc‘C‘2
откуда на основании *254-4
*255-73. Н.Р, QeQ.o:
Nc‘C‘P < Nc‘C‘G. V . Nc‘C‘P = Nc‘C‘G • V . Nc‘C‘P > Nc‘C‘2
откуда также
*255-74. Ь a, 0 eC‘“NO -i‘A.o:a^0.V.a>0
Поэтому если два класса могут быть вполне упорядочены, то либо они
имеют один и тот же кардинал, либо кардинал одного из них меньше, чем
кардинал другого.
Мы имеем
*255-75. Ь : Р, Q е Q. Nc‘C‘P с Nc‘C‘ Q .z>.P less Q
или, что приводит к тому же самому,
*255-76. Ь : a, 0eNO . С“а с С“0 . э . а <• 0
Обращение этого предложения имеет место лишь для конечных орди-
налов. Если а бесконечный ординал, то a + 1 всегда существует и является
большим, чем а, однако C“a = C“(a+i). (Существование a+i выводится
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
77
из существования а посредством выбора элемента а и перемещения его
первого терма в конец. Результатом является серия, чье число есть а+ 1,
в силу *253-503-54.)
* 255-01. < = Nor;less Df
* 255-02. > = Cnv‘< Df
* 255-03. N0O = NO П N0R Df
Таким образом “NoO” означает “однородные ординалы”. В силу
*155-34-22, это означает то же самое, что и “ординалы, отличные от А”.
Однако не совсем правильным является полагать NqO = NO-i‘A, так как
если “NO” справа выводится из восходящего Nr, то он не будет содержать
все ординалы в пределах типа, к которому он нас переносит, а только
те ординалы, которые не являются слишком большими, чтобы быть вы-
веденными из более низких типов, с которых начинается “Nr”. Поэтому
в указанном случае NoO будет более широким классом, чем NO - l‘A. Если,
однако, “Nr”, из которого выводится “NO” справа, является однородным
или нисходящим, то мы будем иметь
N0O = NO - i‘A .
* 255-04. < U smor € С N0O Df
Это определение приводит к обычному пониманию “меньше чем, ли-
бо равно”. Мы хотим, чтобы отношение “меньше чем, либо равно” имело
место лишь между числами рассматриваемого вида (кардиналами или ор-
диналами), а также мы хотим, чтобы “равенство” имело место между дву-
мя числами, которые представляют собой не более чем различные типовые
детерминации данного числа, при условии что ни одна из этих типовых
детерминаций не является А. Т.е. если ц является ординалом, который
не является А, то smor “ц считается равным ц в пределах каждого типа,
в пределах которого он не является А. Поэтому если v= smor “щ т.е. если
v = smor/m то мы будет считать v равным ц, если оба являются ордина-
лами и ни один не является А, т.е. в силу *155-34-22, если щ veN0O. Это
приводит нас к приведенному выше определению.
* 255-05. ^ = Cnv‘^ Df
* 255-06. ц < Nr‘P. = . ц < Nor‘P Df
По поводу этого определения ср. замечания к *117-02.
* 255-07. Nr‘P < ц . = . Nor‘P < ц Df
Следующие предложения (вплоть до *255-108) просто переутверждают
приведенные выше определения.
* 255-1. F : ц < v . = . (gP, Q). ц = Nor‘P. v = Nor‘Q . Pless Q
* 255-101. F : ц < Nr‘Q . = . Ц < Nor‘2
* 255-102. F : Nr‘P < v . = . Nor‘P < v
* 255-103. H|i>v. = .v<n
* 255-104. Ь ц v . = : ц < v . V . ц, v e NqO . ц = smor “v
* 255-105. F v . = : v ц : = : v ц. V . ц, veN0O . |i = smor “v
[*255-104 . (*255-05). *155-44]
* 255-106. F : Nr‘P <• Nr‘Q . = . Nor‘P <• Nor‘2 [*255-101-102]
*255-107. F : Nr‘P Nr‘2 . = . Nor‘P Nor‘2
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
78
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*255108. FNr'P Nr‘2 • = : Nor‘P < Nor‘2. V . Nr'P = Nr‘2. Pe Q
[*255-107-104 . *155-16 . *152-53]
*255-11. F : p < v. =. (gP, Q). P, Q e Q. p = Nor‘P. v = Nor‘2.
a !Rl‘QnNr‘P.-g !Rl‘PnNr‘Q [*255-1 . *254-46]
*255-111. F: p> v. = . (gP, 0. P, 2eQ. н = Nor‘P. v = Nor‘2.
g !Rl‘PnNr‘Q.-g !Rl‘QnNr‘P [*255-11-103]
Это предложение в точности аналогично *117-1, исключая добавление
Р, Q е Q. Следовательно, исключая случай, когда это добавление является
релевантным, аналоги предложений *117 доказываются аналогичным об-
разом. В дальнейшем такие аналоги будут даваться без доказательств и
будут иметь ту же самую десятичную часть, что и соответствующие пред-
ложения в *117. Там, где приводятся доказательства, не существует ана-
логов в *117 либо метод доказательства не является аналогичным.
*255-112. F р, veNoO . э: р< v. V . р = smor “v. V . v < р
Доказательство.
F. *255-1 .*254-4 .эН.Нр.э:
p<v.V.v<p.V. (gP, Q). Р, Qe£l. р = Nor'P . v = Nor‘2 .Psmor Q:
[*155-4 .*152-321]
z>:p<v.V.v<-p.V. (gP, 2) • P = Nor‘P. Nr'P = Nr‘2 • Nr‘2 = smor “v:
[*155-16]
z>:p<v.V.v<p.V. (gP, 2) • P-= Nor‘P. Nr‘P = Nr‘2 • Nr‘2 = smor “v:
[*13-17] o:p<v.V.v<p.v.p = smor “v:. э F . Prop
*255-113. F :. P, 2 e Q. э : Nr'P <• Nr‘2 • V . Nr'P = Nr‘2 • V . Nr‘2 < Nr'P
Доказательство.
F . *255-112-106 . э F :. Hp. э :
Nr'P < Nr‘2 • V . Nor'P = smor “Nor‘2 • V • Nr‘2 < Nr'P:
[*155-4-16] э : Nr'P < Nr‘2 . V . Nr'P = Nr‘2 • V . Nr‘2 < Nr'P:. э F. Prop
*255-114. F :. p, veNoO .o:p^v.v.v<p:p^v.v.v>p
[♦255-112-104-105-103]
*255-115. F :. P, Qe Q. z>: Nr'P s? Nr‘2. V . Nr‘2 < Nr'P:
Nr'P gs Nr‘2 • v . Nr‘2 > Nr'P [*255-113-108]
*255-12. F:.p>v.s:p,veN0O:
Pep. Qev. =>pq . g! Rl‘PnNr‘2 • ~ g! R1‘26iNr‘P
*255-121. F:.p>v. = :p,veNqO :
P e p. z>P . (g 2) • 2 e v • Я! R1‘P C Nr‘2. ~ g! R1‘2 n Nr'P
*255-13. F: Nr'P> Nr‘2. н . P, 2eQ. g! Rl'PClNr‘2 • ~ Я! R1‘2CNr'P
*255-131. F : Nr'P > Nr‘2 • = • Nr'P Nr‘2 • Nr'P / Nr‘2
[*255-13 . *254-45]
*255-14. F : p > v. a . (gP, Q). P, QeQ. p = Nor‘P. v = Nor‘2 • Nr‘2 > Nr‘2
*255-141. F:p>v.a.p^v.p0 smor “v [*255-131-14]
*255-15. F : p > v. s . p, veNqO . g! 5‘Rl“pCl smor “v. ~ g! s‘Rl“vCl smor “p
*255-16. F :. p, veN0O . э:
p > v. s . smor “p > v. = . p > smor “v. = . smor “p > smor “v
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
79
*25517. I-: Nr'P> Nr‘2. г . QlessP. = .P, Qett.QeG‘Psm .
= .P, 2еП. 3! D‘P? ПNr‘2
Доказательство.
I-. *255-13 . *254-46 . э F: Nr'P > Nr‘2. = • 2 less P. (1)
[*254-41] = . P,Qeil. Qe(l‘Psm . (2)
[*254-12] =.P,2eQ.3!D‘P? nNr‘2 (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*255-171. F :. PeQ. z>: p. <• Nr'P. = . pe Nr“D‘P? - i‘A
Доказательство.
F . *255-14 . z> F :. Hp. z>: p <• Nr'P. = . (з2). p = N0r‘2. Nr‘2 <• Nr'P.
[*255-17] a. (32) . p = Nor‘2 • 2eQ. 3! D‘PS П Nr‘2 •
[*152-1] H.(32,P).p = N0r‘2-2eQ.2smorA.PeD‘P?.
[*152-35 . *155-16] s . (3P). p = Nr'P . P e Q. P e D‘P? . 3! p.
[*253-18 . *37-6] = . peNr“D‘Ps - i‘A :. э F . Prop
*255-172. Fz.PeQ.o:
p< Nr'P. в . (3a). ас C'P. 3! C'Pn р‘^“а. р = Nr'P [а. 3! р
Доказательство.
F . *211-703 . *213-141 . э
F:2eD‘P?.o.(3a).acC‘P.3! С'РПp'^'a. 2 = Р ta (1)
F . (1). *255-171 .э F: Нр .р < Nr'P. э .
(3a). a с C'P. 3! С‘РПр‘^“а. р = Nr'P [а. 3! р (2)
F . *250-653 . *254-47 . э
F : Нр. а с ёР.3! С'РПр‘?“а. э. Р [ a lessP.
[*255-17] э. Nr'P [а<Nr'P (3)
F . (2). (3). z> F . Prop
*255-173. F:.PeQ.z>:
Nr‘2<Nr'P. = . (3a). a cC'P.3! C'Pnp‘^“a. 2smor (P [a)
Доказательство.
F. *255-172-102 . *155-22 . э
FHp. z>: Nr‘2 < Nr‘P. н. (3 a). a c C'P. 3! C‘PПp‘X‘‘a. Nor‘2 = Nr'P [ a.
[*152-35 . *155-22] =. (3a). ac C'P. 3! C‘Pnp‘5°“a. 2smor (P [a): oF. Prop
*255-174. F : Nr‘2 < Nr‘P. = . P e Q. Nr‘2 eNr“D‘PS
Доказательство.
F . *255-171-102-13 . э
FNr‘2 <Nr‘P. = : PeD. Nor‘2eNr“D‘P?-t‘A :
[*37-6 . *155-22] в : P e Q: (3P). R e D‘PS . Nor‘2 = Nr'P:
[*155-16] = : Pe Q: (3P). P e D‘P? . Nr‘2 = Nr'P:
[*37-6] = : PeQ. Nr‘2 eNr“D‘Ps :. э F . Prop
*255-175. F : Nr‘2 Nr'P. = . P e Q. Nr‘2 e Nr“(D‘Ps U i‘P)
[*255-174-108]
*255-176. F :. 3! P. z>: Nr‘2 «s Nr'P. = . PeQ . Nr‘2 eNr‘C‘Ps
[*213-158 . *255-175]
*255-21. F : Nr'P < Nr‘2 • = • P, 2 e • Rl'P П Nr‘2 = A
[*254-51 . *255-17]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
80
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Это предложение не имеет аналога для кардиналов, так как зависит
от *254-4. В кардиналах, из Cl‘aANc‘P = A не следует s!Cl‘PANc‘a, так
что Nc‘a может быть ни меньшим, ни равным, ни большим, чем Nc‘p.
*255-211. F :. Р, 2 е Q. э: 3! R1‘P A Nr‘2.3! R1‘2 A Nr‘P. = . Nr‘P = Nr‘2
[*254-45]
Это предложение представляет собой ординальный аналог теоремы
Шредера—Бернштейна. Если Р и Q серии, которые могут не быть вполне
упорядоченными, то это предложение является недействительным. Поэто-
му, например, серия рациональных чисел сходна с серией собственных пра-
вильных дробей, которая является частью серии рациональных чисел > 0
и 0, и эта последняя серия является частью серии рациональных чисел,
однако она не подобна серии рациональных чисел, поскольку имеет послед-
ний терм, которого серия рациональных чисел не имеет.
*255-22. h : Р, 2 е Q . я! R1‘P A Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2
*255-221. h Nr‘P Nr‘2 • = ' P, Q e ft : (3P) -R^P.R smor Q
*255-222. h:2cP.P,2eQ.D. Nr‘P Nr‘2
*255-23. h : Nr‘P Nr‘2 • Nr‘£ Nr‘P . = . P, Q e Q . Nr‘P = Nr‘2
*255-24. h : p v . = . (3P, Q). p, = Nor‘P . v = Nor‘Q . Nr‘P Nr‘2
*255-241. h : p, v. = . (3P, Q). p, = Nor‘P . v = Nor‘2 . P, 2 ft • 3! Ш‘Р A Nr‘Q
*255-242. h p, veNO . э : p,v . = . (3P, Q). Pep. Qev . 3! R1‘P A Nr‘2
*255-243. h:.p^v. = :
(3P, 2): Л 2^ft • H = Nor‘P. v = Nor‘2 : (3P)• P G P .Psmor Q
*255-244. h p, v eN0O . d :
p^v. = . smor “p v . = . p smor“v. = . smor“p,^ smor “v
*255-25. h : p, v . v p,. = . p,, veNoO . smor“p,= smor “v
*255-27. h : Nr‘P < Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2 • Nr‘P / Nr‘2
*255-18. h : Nr‘P > Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘Q . ~ (Nr‘0 g> Nr‘P).
= . P, 2 e ft. ~ (Nr‘2 Nr‘P) [*255-13-22-21]
*255-281. Hp>v. = .pg>v.~(vg>p). = .p,ve N0O . ~ (v p) [*255-114]
*255-19. h : Nr‘P < Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2 • ~ (Nr‘2 Nr‘P).
= . P, 2 c ft. ~ (Nr‘2 Nr‘P) [*255-115]
*255-291. Hp<v. = .p^v.~(v^p). = .p,ve N0O . ~ (v p) [*255-114]
В следующем предложении мы используем аббревиатуру, которая оправ-
дывается своим удобством, а именно мы полагаем
(3(D). (DeNO U l‘i . Nr‘P = Nr‘2 + GJ
вместо
(3aj).ajeNO.Nr‘P = Nr‘2 + GJ-v.Nr‘P = Nr‘2+ i •
В силу *51-239 два этих выражения были бы эквивалентны, если бы i имел
бы какой-либо независимый смысл; однако в связи с тем, что i является
значимым лишь в качестве слагаемого, *51-239 не может быть применено.
Мы принимаем, однако, следующие определения:
*255-298. (30J).aJeKUL‘i ./(ц + Ш). = : (3(D).Шек./(р + Ш). V ./(ц+ i) Df
*255-299. CDекUl‘1 . . /(p + CD). = : CDек. ./(p + CD):/(p,+ i) Df
Эти определения позволяют нам утверждать много предложений, в ко-
торые входит i, как если i был бы ординальным числом.
Principia Mathematica III
»255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
81
*255-3. F Nr'P Nr‘<2. = : P, <2 е Q: (gGJ). GJ е NO U i'i . Nr'P = Nr'g + GJ
Доказательство.
F . *255-175 . *253-471 . э
b:.Nr‘P^Nr‘e. = :PeQ:(aaj).Nr‘e + GJ = Nr‘P. V.Nr‘6+ i =Nr‘P:
[*251-132-26] = : PeQ: (gro). Nr‘(2, GJ eNO . Nr'6 + GJ = Nr'P. V .
Nr‘6 e NO. Nr‘2+i= Nr'P:
[*251-1-111] = : P, Q eQ: (gtO). GJ e NO . Nr‘2 + ® = Nr'P. V .
Nr‘2+ 1 =Nr‘P:
[(*255-298)] = : P, Q eQ: (gaj). GJeNO U t'i . Nr'P = Nr‘2 + gj :. э F . Prop
*255-31. F:. p^ v. = : p, veNoO : (gGJ). GJ eNO Ui‘i.p = v + GJ
[*255-3-14]
*255-32. F v, GJ e N0O .3:v + GJ->v.s.G>^0r
Доказательство.
F. *253-44. z>F:Hp.(U/Or.z>.v+i/v (1)
F.*255-31. z>F:Hp.z>. v + GJ^v (2)
F . (1). (2). *255-141 . эF : Hp. gj/0r. э . v +to>v (3)
F . *255-141 . э F : Hp .v + GJ>'V.o.v + GJ / smor “v.
|*180-6] o.GJ^Or (4)
F . (3). (4). z> F . Prop
*255-321. F :. v eN0O .o:v^0r. = .v+i>v
Доказательство.
F.*253-45. z>F:Hp.v#0r.^.v+i/v (1)
F.*255-31. z>F:Hp.z>.v+i^v (2)
F . (1). (2). *255-141 . э F : Hp. v 0r. э. v + i > v (3)
F . *255-141 . э F : Hp .v+i>v.o.v+i / smor “v.
[*161-2] D.v/0r (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*255-33. F:.p>v. = :
p, v e NoO : (gro). GJ e NO - i‘0r .p = v + GJ.V.v^Or.p = v+ i
Доказательство.
F . *255-31 . э
F :. p> v. =: p, veN0O: (goj). GJ eNO .p = v + GJ.p>v.v.p = v+ i.p>v:
[*255-32-321]
= : p, v e N0O: (gGJ). gj e NO - i‘0r .p = v + tn.V.v^Or.p = v+ i:.z>F. Prop
* 255-4. F:p^v.v^GJ.D.p^GJ
* 255-41. F:p^v.v^ro.z>.p^OJ
* 255-42. F : ~ (p > p) . ~ (p < p)
* 255-43. F: p v. ~ (p GJ). э . ~ (v GJ)
* 255-431. F:p^v.roeN00.~(p^GJ).o.a>>v [*255-43-114]
* 255-44. F : v GJ. ~ (p gj) . э . ~ (p v)
* 255-441. F: GJ. peN0O . ~ (p^ GJ). э . v> p [*255-44-114]
* 255-45. F:p^v.v>GJ.o.p>GJ
*255-46. F:p>v.v^GJ.o.p>GJ
*255-47. F:p>v.v->G>.z».p>G>
*255-471. F:p<v.v<G>.D.p<G>
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
82
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*255-482. F : р v. = . р, v е NqO . ~ (v > р)
*255-483. F : р v. в . р, v е N0O . ~ (v < р)
*255-5. F:peN0O.s.p^0r
Доказательство.
F . *255-31 . эF р^ 0r. s : ре NqO: (g(D). (DeNO U i‘j. p = 0r + <D:
[*180-61] = : peNgO:. z> F . Prop
*255-51. F : peN0O - i‘0r. н . p> 0r [*255-141-5 . *153-15]
*255-52. F:PeQ-i‘A. = .Nr‘P^2r
Доказательство.
F . *250-13 . э F : PeQ-i‘A. э. E ! B‘P.
[*93-101] э.(зу).(В‘Р)Ру.В‘Р/у.
[*56-11 . *55-3] э.(ау).(В‘Р)4уе2гПШ‘Р.
[*13-195] o.g!2rnRl‘P.
[*255-22] 3.Nr‘P^2r (1)
F . *255-22 . э F : Nr‘P gs 2r. э . P e Q. 3! 2r П R1‘P.
[*61-361] o.PeQ-t? A (2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*255-53. F:peN0O-i‘0r. = .p^2r [*255-52]
*255-54. F 2r p. - : p - 0r. V . p = 1r
Доказательство.
F . *255-53 . Transp. *255-281 .z>F:2r>p. = .p = 0 (1)
F . (1). *255-105 . э F . Prop
*255-55. F : p > 2r. s . p e NqO - i‘0r - i‘2r
Доказательство.
F . *255-54 . Transp. *255-281 . э
F : p > 2r. = . p e NqO . p 0r. p / 2r: z> F . Prop
*255-56. F : R e Q. Nr‘P > Nr‘2 • =>. Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2
Доказательство.
F . *255-3 . э F Hp. э: P, Q, R efi: (g(D). (D e NO U t‘i . Nr‘P = Nr‘2 + ® =
[*180-56]
э: P, Q,ReQ: (g(D). (DeNO U i‘i . Nr‘P + Nr‘P = (Nr‘P + Nr‘2) + 03:
[*255-31 . *251-26] z>: Nr‘A + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2 :• => F. Prop
*255-561. F : yeN0O . a> P. э . у + a> y+p [*255-56]
*255-562. F : ReQ. Nr‘PNr‘2 • • Nr‘P + Nr‘PNr‘P + Nr‘2
Доказательство.
F . *180-3 . э F : Nr‘P = Nr‘2 • • Nr‘P + Nr‘P = Nr‘P + Nr‘2 (1)
F . (1). *255-108-56 . э
F Hp. э: Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2 • V . Nr‘P + Nr‘P = Nr‘P + Nr‘2:
[*255-108] э: Nr‘P + Nr‘P Nr‘P + Nr‘2 =• => F . Prop
*255-563. F:YeN0O.a^p.z>.Y + a^Y + P [*255-562]
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
83
*255-564. F : Р, Q,R е Q . Nr‘Я + Nr‘P = Nr‘Я + Nr‘2 . э . Nr‘P = Nr‘2
Доказательство.
F . *255-42 . э F : Hp . э . ~ (Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2).
[*255-56 . Transp] э . ~ (Nr‘P > Nr‘2) (1)
Аналогично F : Hp . d . ~ (Nr‘2 > Nr‘P) (2)
F. (1). (2). *255-113. dF. Prop
Это предложение устанавливает единственность вычитания из конца.
Благодаря тому факту, что ординальное сложение не является коммута-
тивным, мы должны отличать “вычитание из конца” от “вычитания из
начала”. Они могут быть названы терминальным и инициальным вычи-
танием соответственно. Поэтому, на основании приведенного выше предло-
жения, терминальное вычитание среди ординалов обладает единственно-
стью. Это не имеет места, вообще говоря, для инициального вычитания
среди ординалов.
* 255-565. F : а, р . у eNoO . у + а = у + Р . э . а = smor “Р [*255-564]
Приведенное выше предложение все еще остается истинным, если мы
полагаем а = Р вместо а = smor “Р в заключении, однако в этом случае оно
является значимым, лишь когда а и Р принадлежат одному типу, в то
время как в приведенной выше форме оно свободно от этого ограничения.
*255-57. F : Р, Q е Q - i‘A . э . Q less (Р х 2) • Nr‘2 < Nr‘P х Nr‘2
Доказательство.
F . *250-13 . э F : Нр . э . Е ! ‘Р. (1)
[*165-251] э. 2 smor Q ЦВ‘Р) (2)
F. (1). *166-1 . oF:Hp.=>.2i(B‘P)cPx2 (3)
F . (1). *93-101 . э F : Нр . э . (з’х). (В‘Р) Рх (4)
F . *166-113 . э F: (В‘Р) Рх. R е C‘Q\ (В'Р). у eC‘Q . э . R(P х Q) (у | х) (5)
F . (5). (4). *33-24 . *166-12 . *113-106 . э
F:.Hp.o:(ax,y):PeC‘2HB‘P).^.P(Px2)(yix):y4x€C‘(Px2) (6)
F . (2). (3). (6). z> F : Нр. э .
Ql(B‘P) smor Q. Ql(B'P)<zPx Q.g! C‘(P X Q) Cip'frxQ^C'Q l(B‘P).
[*254-54] z>. Q less (P x Q) ’ ’ (7)
F. (7). *255-17. dH Prop
* 255-571. F : a, 0 e N0O - t‘0r. э . 0 < a x 0 [*255-57]
* 255-572. I-: P, Q e Q - i‘A. E ! B‘P. э . P less (P x Q). Nr‘P < NrlP x Nr‘Q
Доказательство.
I-. *250-13 . э I-: Hp. э. E ! B‘Q. (1)
[*166-111] z>.(B‘2)pPcPx Q (2)
I-. *151-64 . (1). э F : Hp. э. (B‘015 P smor P (3)
F . *202-511 . э F :. Hp. z>: B‘Pep‘^“D‘P:
[*166-111] o:xeD‘P.yea‘e.3.{(B‘0U)(Px2){yJ.(B‘-P)) (4)
F . *202-511 . э F :. Hp. z>: B‘Qe p‘~&‘(I‘Q:
[*166-111] z>:x = B‘P.yea‘e.o.{(B‘0],x}(Px0{yJ,(B‘P)) (5)
F . (4). (5). э F :. Hp. э: x e C‘P. у e G‘<2. э. |(B‘01 x) (P x Q) {y | (B‘P)}:
[*150-22] z>: M eC‘(B‘(2) I; P - У e CT<2 • => • M (P x Q) {y | (B‘P)):
[Hp. *33-24. *166-111]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
84
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
э : (a TV) : NeC'(P х Q) -.MeC'(B'Q) Г Р ,^м . М (Р х Q)N (6)
F. (2). (3). (6). *254-54 . э F : Hp . э . Pless (P x Q) (7)
F. (7). *255-17. dF. Prop
*255-573. F a, PeNoO - i‘0r: (ay). у eNO - i‘0r Ui‘i.a = y+ i:i>.a<axp
Доказательство.
F . *204-483 . э F : Hp . э . (aP, Q) • a = Nor‘P . p = Nor‘6 . a! B'P (1)
F.(l). *255-572. dF. Prop
*255-58. Hye N0O - i‘0r .a>p.z>.axy>pxy
Доказательство.
F . *255-31 . э
F :. Hp . э : (a®) • GJ eNO - i‘0r .a = P + OJ.V.p = 0r.a = p+ i (1)
F . *184-35 . d F : a = p + CD. э . a x у = (P x y) + (co x y) (2)
F. *184-16. z> F : Hp. CD 0r. z>. CD x у 0r (3)
F . (2). (3). *255-32 . э F : Hp. CD e NO - i‘0r .a = p + CD.D.axy.>pxy (4)
F . *184-41 . dF: Hp .a = p+ i.i>.axy = (Pxy) + y.
[*255-32] D.axy>pxy (5)
F . (1). (4). (5). э F . Prop
*255-581. F:PeQ.E!B‘P. glessP.D.
P x QlessP x R . Nr‘P x Nr‘Q < Nr‘P x Nr‘P
Доказательство.
F. *254-55. oHHp.D.CaS). S smor 0. S G P. g! C'R C\p'*R“C‘S (1)
F . *166-11 . э F G P . э . P X S G P X P (2)
F . *166-23 . э F : S smor Q . о . P x S smor PxR (3)
F . *202-524 . *40-53 . z> F:. Hp . zeC‘P . weC'S .yeC'R Пp'<R''C'S . э :
zP (B'P). V .z = B'P : wRy :
[*166-113] э : (w П) (P x R) {y X (B'P)] (4)
F . (4). *166-111 . э F Hp ,yeC‘P. э :
А/еС‘(Рх5).эм.Л/(РхР){уНВ‘Л} (5)
F.(5). *10-28 . э F Hp. g! C'R П . э :
(gN): N eC'(P x P): MeC^P x 5). . M (P x R) N (6)
F. (2). (3). (6). э F Hp . 5 smor Q. S G R. g! C‘R Г) р‘5Óё5 . э:
(PxS) smor (PxQ).PxS GPxP.g! C\P x R) f}p'FxR“C‘(P x S):
[*254-54] o.PxglessPxP (7)
F . (1). (7). z> F : Hp. z>. P x QlessP x P (8)
F . (8). *255-17 . э F . Prop
*255-582. F aeN0O : (g6). 6eNO - i‘0r U i‘i. a = 6 + j :р<у:э.
axp<axy [*255-581 . *204-483]
*255-59. F : a, p,у eNqO .y/ 0r. axy = pxy. э . a = smor “P
Доказательство.
F . *255-58 . Transp . z> F : Hp . z>. ~ (a > p). ~ (a< p).
[*255-112] э . a = smor “p : э F . Prop
Это предложение устанавливает единственность терминального деле-
ния, т.е. деления на конечный множитель. Инициальное деление (т.е. де-
ление на начальный множитель) обладает единственностью, только если
делитель имеет вид 6 + 1.
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
85
*255-591. F : а, р,yeN0O: (дб). 5eNO - i‘0r U i‘i. а = 6 + i:
ахр = аху:э.р = smor “у [*255-582-112]
*255-6. I-: Nr‘P > Nr‘2. э . i + Nr‘P > i + Nr‘2
Доказательство.
I-. *255-33 . э FHp. э : (g(D). (DeNO - i‘0r. Nr‘P = Nr‘2 + CD. V.
Nr‘P / 0r. Nr‘P = Nr‘2 + i:
[*181-55] э: (geo). CD e NO - i‘0r. i + Nr‘P = (1 + Nr‘2) + co. v .
Nr‘P/Or. i + Nr‘P = (1 + Nr‘2) + 1 :
[*255-33] э: i + Nr‘P > i + Nr‘2 :• F • Prop
*255-601. F : Nr‘P > Nr‘2 • = • i + Nr‘P > i + Nr‘2
Доказательство.
F. *255-6 *255-103. э
I-: Nr‘P < Nr‘2 • э . i + Nr‘P < i + Nr‘2 (i)
I- . (1). *255-108 . э F: Nr‘P «5 Nr‘2 • э . i + Nr‘P 1 + Nr‘2 (2)
F . (2). Transp. *251-142 . э
F: 1 +Nr‘P, i + Nr‘2 e NO. ~(i +Nr‘Ps<i + Nr‘2). =>•
Nr‘P,Nr‘2eNO.~(Nr‘P^Nr‘2) (3)
F . (3). *255-281 . э F : i + Nr‘P > i + Nr‘2 • => • Nr‘P > Nr‘2 (4)
F . (4). *255-6 . э F . Prop
*255-61. F : 2, R e О. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P . CTPi = (ГР . E ! BlR. э .
Nr‘P+ 1 >Nr‘2+ i
Доказательство.
F . *253-57 . э F : Hp. э. Nr‘P + 1 = Nr‘2 + i + Nr‘P.
[*255-32] э. Nr‘P+i > Nr‘2 + i: F . Prop
*255-62. F : Q, R e Q. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P. Nr‘P / 0r.
~ (Q‘Pi = Q‘P . E ! B‘P). z>.
Nr‘P > Nr‘2 + 1 • Nr‘P + 1 > Nr‘2 + i
Доказательство.
F . *253-571 . э F : Hp. э. Nr‘P = Nr‘2 + 1 + Nr‘P.
[*255-32] z>.Nr‘P>Nr‘2+i • (1)
[*255-321] . Nr‘P+i > Nr‘2 + i (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*255-63. F: Nr‘P > Nr‘2 • = • Nr‘P + i > Nr‘2 + 1
Доказательство.
F . *255-33 . э F :. Hp. z>: (gP). Nr‘P ± 0r. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P. V .
Nr‘2 0r. Nr‘P = Nr‘2 + i :
[*255-62-321] э: Nr‘P + i > Nr‘2 + i э F . Prop
*255-64. F : Nr‘P > Nr‘2 • = Nr‘P + i > Nr‘2 + 1
Доказательство.
F. *255-63-103 . oF:Nr‘P<Nr‘2.=>.Nr‘P+i <Nr‘2+1 (1)
F. *181-31. oF:Nr‘P = Nr‘2-o.Nr‘P+i=Nr‘2+i (2)
F . (1). (2). *255-113 . F : P, Q e Q. ~ (Nr‘O > Nr‘2) • э •
Nr‘P+ i s<Nr‘2+ i •
[*255-483] z>. ~ (Nr‘P + i > Nr‘2+1) (3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
86
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
F . *251 132 . э I-: ~ (Р, Q eQ). э . ~ (Nr'P + i, Nr‘2 + i e NR).
[*255-12] э . ~ (Nr'P + i > Nr‘2 + i) (4)
F.(3).(4). z> F : ~ (Nr‘P> Nr‘2) . э . ~ (Nr'P + i > Nr‘2 + i) (5)
F.(5). *255-63 . z> F . Prop
*255-65. F p e NqO - i‘0r .D:v>p.s.v^p + i
Доказательство.
F. *255-3 . z> F:. v > p. z>: (g(D). (De NO - i‘0r .v = p + <D.V.v = p+i (1)
F . *255-53-31 . э
F Hp. (De NO - i‘0r. v- p + (D. э : (gp). peNO Ui‘i.v = p + 2 + p:
[*181-56] э: (gp). peNO Ui‘i.v = p+i + i+ p:
[(*255-298)] z>:v = p+ i + i.V.v = p+ i + i + i.V.
(gp). p e NO - i‘0r. v = p + 1 + 1 + p:
[*255-33] D:v>p+i (2)
F.(l).(2). oF:v>p.o.v^p+i (3)
F . *255-45-321 . э F : Hp. v i .o.v>p (4)
F . (3). (4). z> F . Prop
Следующие предложения касаются отношений ординалов к соответству-
ющим кардиналам, т.е. к кардиналам полей вполне упорядоченных серий,
имеющих данные ординалы. Если Р является вполне упорядоченной сери-
ей, чей ординал есть а, то С“а = Nc'C'P, так что С“а представляет собой
кардинал, чьи элементы могут быть вполне упорядочены. Такие кардина-
лы обладают следующим свойством: из любых двух неравных кардиналов
один должен быть больше.
Если кардинальное число одной серии больше, чем кардинальное число
другой, то таково же и ординальное число; однако обратное не имеет места,
исключая конечные числа.
*255-7. F.Nc“C“Q = C‘“NO [*152-1 . (*251-01)]
*255-701. F . Nc“C“Q - i‘A = C“‘(NO - t'A) = C“‘NO - t'A [*255-7 . *37-45]
*255-71. F : Pless Q. z>. Nc‘C‘P 5$ Nc‘C‘2
Доказательство.
F. *254-1 . z>F : Hp. z>. g! R1‘2HNr'P.
[*154-1] э . g! СГС'бnNr'C'P.
[*117-22] э. Nc'C'P < Nc‘C‘2: z> F . Prop
*255-711. F . Nr'P «5 Nr‘2. z>. Nc'C'P < Nc‘C‘2
[Доказательство аналогично *255-71, используя *255-22]
*255-72. F:a«50.z>.C“a^C“0
Доказательство.
F . *255-24 . z> F : Hp. z>. (gP, Q). a = Nor‘P. 0 = Nor‘2. Nr'P Nr‘2 •
[*255-711] э. (gP, Q). a = Nor‘P. 0 = Nor‘2 • Nc'C'P Nc‘C‘2 •
[*152-7] . C“a C“0: z> F . Prop
*255-73. F:. P, 2eQ.o:
Nc'C'P < Nc‘C‘2 • V . Nc'C'P = Nc'C‘2 • V . Nc'C'P > Nc‘C‘2
Доказательство.
F . *255-711 . э F : Hp. Nr'P Nr‘2 • => • Nc'C'P < Nc‘C‘2 (1)
F. *255-71. oF:Hp.Nr‘2<Nr'P. z>.Nc‘C‘2<Nc'C'P (2)
F. (1). (2). *255-115. oF. Prop
Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
87
*255-74. F а, Р е C“‘NO - i‘A . э : а р. V . а > Р
Доказательство.
F . *255-701 . э F : Нр. э. а, р еC“‘(NO - t‘A).
[*155-34] э. (gP, 0. Р, 0eQ. а = C“Nor‘P. р = C“Nor‘2.
[*152-7] э. (аЛ 0. Р, <2eQ. а = Noc‘C‘P. Р = Nqc‘C‘6 (1)
I- . *255-73 . *117-106-107-108 . э
F Р, Q eQ. э: Noc‘C‘P < Noc‘C‘2. V . Noc‘C‘P > Noc‘C‘<2 (2)
F . (1). (2). э|-. Prop
*255-75. F: P, Qe Q. Nc‘C‘P c Nc‘C‘2. z>. P less Q
Доказательство.
F . *117-291 . э F : Hp. э. ~ (Nc‘C‘2 < Nc‘C‘P).
[*255-711 . Transp] э. ~ (Nr‘2 Nr‘P).
[*255-29] э. Nr'P< Nr'Q.
[*255-17] э. Pless Q: э F . Prop
*255-76. F : a, PeNO. C“a с C“P. э . a < P [*255-75 . *152-7]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
*256. Серии ординалов
Краткое содержание *256.
В настоящем параграфе мы должны рассмотреть серии ординалов в по-
рядке возрастания величины. Предложения, касающиеся этого вопроса, тре-
буют особого внимания, поскольку именно в связи с ним возникает пара-
докс Бурали-Форти 11. Этого парадокса, как будет показано в настоящем
параграфе, можно избежать, используя теорию типов. Однако, прежде чем
обсуждать указанный парадокс, мы разъясним различные предложения,
которые не вызывают трудностей.
Для удобства обозначения мы будем использовать в настоящем пара-
графе символ М для отношения (Эта буква выбрана как начальная
в слове “minor”.) Поэтому “аМР” означает, что а и Р являются ординала-
ми, из который а меньше, чем р. л!‘р будет классом ординалов, меньших,
чем р, М\ ‘Р будет Р+ i, a МСР, когда существует, будет таким, что либо
‘Р + i = Р, либо Р = 2r. М\ ‘Р = 0г. Поэтому представляет собой класс
ординалов, имеющих непосредственных предшественников, а "Й‘Mi—класс
ординалов, не имеющих непосредственных предшественников.
Мы имеем (*256-12)
h а МР . = : а, р eNqO : (gy). ye NO - i‘0r U l‘1 . p = а + у,
т.е. один ординал меньше, чем другой, когда нечто, отличное от нуля, мо-
жет добавлено к первому из них для того, чтобы сделать его равным вто-
рому;
*25611. F :РеП.э.л1‘№‘Р = Nr“D‘Ps
Т.е. числа, меньшие, чем числа Р, представляют собой числа собствен-
ных сегментов Р. Кроме того, если PeQ, то
М [ jtf‘Nr‘P = Nor; (Ps [ D‘PS). Nor r D‘P? e 1 -* 1 (*256-2-201),
так что (*256-202) серия ординалов, меньших чем ординал Р, подобна се-
рии собственных сегментов Р, т.е. подобна Р [П‘Р (в силу *253-22). Следо-
вательно (*256-22), каждое сечение М является вполне упорядоченным, и
поэтому М является вполне упорядоченным (*256-3), т.е. ординалы в по-
рядке возрастания величины формируют вполне упорядоченную серию.
Преследуя цели настоящего параграфа оказывается удобным вклю-
чить 15 (ср. с *153) в серию ординалов; поэтому мы получаем
# = Мй0ЛЬй(1‘ШСГМ Dft[*256].
Воздействие этого определения заключается в простом включении
в серию М между 0г и 2Г. Тогда мы имеем (*256-42)
NrW= i + Nr‘M.
Если PeQ, то Р [ СТР (как мы только что видели) подобно собственному
сегменту М, так что если мы опускаем упоминание о типах, то получаем
h:PeQ.o.Nr‘P [G‘P<Nr‘M.
11 “Una questione sui numeri transfiniti”, Rendiconti del circolo matematico di Palermo,
Vol. xi. (1897).
Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ
89
Следовательно, Nr‘P, которое представляет собой i+Nr‘P[Q‘P, меньше,
чем 1 4-Nr*A/ (на основании *255-63), т.е. меньше, чем А. Следовательно,
h : PeCl. э . Nr‘P < NrW.
Тем не менее AeQ, так что могло бы показаться, будто бы Nr‘A долж-
но быть меньше самого себя, что невозможно на основании *255-42. Сле-
довательно, мы приходим к парадоксу Бурали-Форти, который касается
ординального числа всех ординалов.
Формулировка парадокса, данная самим Бурали-Форти, которая не-
сколько отличается от приведенной выше, может быть подытожена сле-
дующим образом. Предполагая
а, р 6 NoO .э:а<р.У.а = р.а>р, (А)
мы будем иметь
а е NoO . э. а < а + i.
Однако
а е NoO . э . а Nr‘A.
Следовательно,
Nr‘А < Nr ‘А 4- i . Nr‘A 4-1 Nr W,
что невозможно. Заключение, сделанное Бурали-Форти, состоит в том, что
приведенное выше предложение (А) является ложным. Мы не можем, од-
нако, утверждать этого, в виду доказательства Кантора, воспроизведенно-
го выше (*255-112, зависящее от *254-4). Поэтому разрешение парадокса
должно быть найдено иначе.
В соответствии с формулировкой Бурали-Форти указанного парадок-
са следует заметить, что “а<-а4-1” имеет место, только если g!a4-i,
т.е. если (gP). Ре а. С'Рф V. Это всегда будет иметь место, если а суще-
ствует и является бесконечным, поскольку в этом случае, если Ре а, то
Р [ СТР 4» В'Реа 4-1. Однако если а конечен, то этот метод неприемлем, так
как
Р [ П‘Р4* В‘Реа.
Поэтому если общее число сущностей в универсуме (какого-либо одного
типа) является конечным, то “a<a4-i” не выполняется, когда C“a = i‘V,
что является критически важным для доказательства Бурали-Форти. Сле-
довательно, в том виде, в котором оно проводится, его доказательство яв-
ляется применимым, только если мы принимаем аксиому бесконечности;
оно могло бы поэтому рассматриваться как reductio ad absurdum 12, исхо-
дя из аксиомы бесконечности, т.е. как демонстрация того, что общее число
сущностей какого-либо одного типа является конечным.
Для того чтобы разъяснить, что указанный парадокс не зависит от ак-
сиомы бесконечности, мы сформулировали его выше в виде, не зависящем
от этой аксиомы. Указанный парадокс, наиболее просто сформулирован-
ный, заключается в следующем: Ординальное число серии ординалов, на-
чиная от 0г (включая ls), до любого ординала а есть a 4- i; следовательно
a 4- i существует и поэтому > а. Однако ординал а подобен сегменту серии
12 Reductio ad absurdum — приведение к противоречию (лат.) — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
90
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
ординалов, состоящей из предшественников а, и поэтому меньше, чем ор-
динальное число всех ординалов. Следовательно, ординальное число всех
ординалов больше, чем каждый ординал, и поэтому больше самого себя,
что является нелепым; более того, хотя оно и является наибольшим из
всех ординалов, оно может быть увеличено путем сложения с 1, что сно-
ва является нелепым.
Для того чтобы разрешить приведенный выше парадокс, необходимо
лишь явно указать типы. В предложении
PeQ. э . PlessА\ (В)
от которого зависит парадокс, отношение “ less ” не является однородным.
2V принадлежит тому же самому типу, что и М, что определяется как
Nr; less, где C‘less = Q. Поэтому Nr‘PeCW. Поэтому вхождение У в (В)
на самом деле должно быть A^UfNor'P, т.е. У[/‘РР, т.е. N(P,P\ в соот-
ветствии с определением *65-12. Поэтому мы имеем
* 256 53. h : PeQ . э . PlessN [ f Nor‘P
однако это не позволяет вывести
[fNor‘Pless[PNor‘P,
что требовалось бы для выявления парадокса. Правильным заключением
при подстановке вместо N [PNqt'P эквивалентной формы N(P,P) является
(Р, Р) less {N (Р, Р), N (Р, Р)}
или, в более общем виде,
* 256-56. h. (ДЦ k) less {N [ (Р Гоо‘к)}
Поэтому в пределах более высоких типов располагаются ординалы,
большие, чем любые другие ординалы в пределах более низких типов. Это
обстоятельство дало основание для возникновения рассматриваемого пара-
докса, как и соответствующий факт в кардинальной арифметике явился
основанием для парадокса наибольшего кардинала.
* 256 01. М = <
* 256-02. ^ = MUOД hU(i‘l5)TCTM
* 256-1. h . М е Ser . ClM с N0O
Доказательство.
Dft [*256]
Dft [*256]
Ь. *255-42 . z> h . Mg J (1)
1-. *255-471. э h . M e trans (2)
1-. *255-12 . oh.C‘McN00 (3)
h. (3). *255-112 . *155-43 . э h . M e connex (4)
I-. (1). (2). (3). (4). э I-. Prop
Приведенное выше предложение предполагает, что М является однород-
ным, поскольку в противном случае “С‘М” не является значимым. Однако
М является значимым даже тогда, когда не является однородным. Поэто-
му условия значимости в приведенном выше предложении накладывают
ограничение на Л/, которое не всегда накладывается на М.
Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ
91
*256101. h : а! М . э . С‘М = N0O . 0r = В‘М: N0O - i‘0r = СГМ
Доказательство.
F . *200-12 . *256-1 . э F . C'M ~ e 1 (1)
F . (1). *51-4 . z> F : а! M. э. а! C'M - i‘0r. [*256-1] o.a!N00-i‘0r (2)
F.*255-51. oF:MeN00-i‘Or.s.OrA/n (3)
F.(3). э F : N0O - i‘0r c Q'Af. 0r ~ed‘Af (4)
F.(2).(3). z>F:a!M.z>.OreD‘A/ (5)
F . (2). *256-1 . э F . (ГМ a N0O - i‘0r F . (4). (5). (6). э F. Prop (6)
Гипотеза д!Л/ не будет выполняться в пределах самого низкого типа,
для которого М является значимым, если универсум содержит лишь один
индивид. При любых других условиях а! М должно иметь место.
*256102. h : а! N0O - i‘0r. э . а! М
Доказательство.
h . *256-101 . z> I-: Нр . э . а! (1)
h . (1). *33-245 . э F . Prop
*25611. F:PeQ.3.AF‘Nr‘P = Nr“D‘P<; [*225-174]
*256-12. I-:. aM₽. = : a, 0eNoO :
(ay). у c NO - Г0г .p = a + y.V.a/Or.p = a + y [*255-33]
*256-2. F: P e £1. э. M [ (Й* ‘Nr'P) = Nor 5 P? . M [ (Sl'Nr'P) = Nor: (P? [ D‘P0
Доказательство.
F . *256-101. э F : Hp. РеОг. э. M [ A)*‘Nr‘P = A . M [ (Al'Nr'P) = A (1)
F. *213-3. DF:Hp.PeOr.3.Nor’Ps = A.Nor?(Ps [D‘PS) = A (2)
F . *256-11 . *213-158 . э F : Hp. P~ e0r. э. ‘Nr'P = Nr“C‘P? (3)
F . (3). *255-17 . э F:. Hp . P ~e0r. z>: a {M [ (j^*‘Nr‘P)) 0. =.
(a Q, R). a = Nor‘e. 0 = Nor‘P. Q, R e C'P^ . Q less Я.
[*254-47] = . (3Q, R). a = Nor'e. 0 = Nor‘P .QP^R.
[*254-47] =.a(Nor;P?)0 (4)
Аналогично F:.Hp.P~eOr.o:a(Af [(A?'Nr‘P)}0.в.a{Nor;(P? [D‘P?)}0 (5)
F . (1). (2). (4). (5). э F. Prop
*256-201. F:Pen.o.N0r [D‘P?e(Af [(^‘Nr'P)) smor (P? [D‘P?).
Nor [ C‘P? e {M [ (aL‘Ni‘P)} smor P? [*253-461 . *256-2]
*256-202. F : P e Q. э. Nr‘{M [ (l^'Nr'P)} = Nr‘(Ps [ D‘P?) = Nr‘(P [ d'P)
[*256-201 . *253-22]
*256-203. F : PeQ. э . Nr‘(Af [ (A^'Nr'P)} = Nr‘P? [*256-201]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
92
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*256-204. F : а е N0O - i‘2r. э. i + Nr‘(A/ [ л!‘а) = а
Доказательство.
F. *255-101. *256-202 . э
F Р е Q. а = Nor‘P. э: Nr‘(Af [ Й‘а) = Nr‘(P [ (ГР):
[*204-46-272] э: Р ~ е 2Г. э . j + Nr‘(А/ [ Й‘а) = Nr‘P:. э F. Prop
*256-21. F : peNO.Pep.э. л!‘р = Nr“D‘P?
*256-211. F : р e NO - i‘0r. P e p. э. Ж ‘p = Nr“C‘P?
*256-22. F:peNO.o.A/[Ж‘реО
[*256-11]
[*213-158. *256-21]
Доказательство.
F . *256-203 . э F : Hp. P e p. э. Nr‘(Л/ [ Й*‘p) = Nr‘P? .
[*253-24] э.М[Ж‘реО
F.(l).oF:p/A.o.A/[ Al* ‘p e Q
h . (2). *250-4 . э h . Prop
*256-221. F : p e NO. э. M [ л!‘р e Q [*256-202]
*256-3. F . M e Q [*256-22-1 . *250-7]
*256-31. F : a! M. э. 2r = 2M = Л?ГОГ
Доказательство.
F . *255-51-53 . э F:Hp.э. Й‘0г = i‘2r U Й‘2Г.
[*205-196 . *256-1 ] z>. 2r = minw ‘X?‘0r
[*206-42 . *201-63] =Mi‘0r
[*250-42 . *256-101] = 2M : э F . Prop
(1)
(2)
Для каждого конечного v мы будем иметь vr=vMl где vr будет опреде-
ляться как ординал, соответствующий v, т.е. как
Qnd“v.
(Это единственный ординал, когда v конечен; в противном случае это сум-
ма класса ординалов.) Этот предмет будет рассматриваться в следующей
главе.
*256-32. F а М, р. = : а, р е N0O :a/0r.p = a+ i.V.a = 0r.a = 2r
Доказательство.
F . *256-65 . э F : a е NqO - i‘0r. э . X/‘a = i‘(a + i) U Kf‘(a + j).
[*205-196] э . a + i = ттм‘А7‘а.
[*206-42. *201-63] э.а+1=МГа (1)
F.(1). *256-31 . э F. Prop
*256-4. F.lj-eNO
Доказательство.
F. *153-36. DFrPeh .D.C'Pel.
[*200-12. *250-12 э.Я-еО (1)
F. (1). *251-122 . э F : aeNO . э. aП I, = A (2)
F . (2). *153-34 . э F . Prop
*256-41. F . N = Af U 0r | U (i‘b) T Q‘Af [(*256-02)]
*256-411. F :. a N p. = : a = 0r. P e i‘ 1, U Q‘A4. V .
a = 1 j. p e O.‘M. V . a, p e СГМ. a M p [*256-41]
Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ
93
*256-412. \-:M=A.z>.N = 0rlls.Ne2r [*256-41]
*256-413. F:A/ = 0r|2r.=>.A = 0r J. h йОД2ги lr|2r.Aei +2r
[*256-41 .*161-211]
*256-414. F:Q‘A/~el .z>.N = Or J. 1S4A/ [СТА/
Доказательство.
F . *204-46 . *256-101 . э
F : Hp. g! Л/. э . N = 0r + M [Q'M 00Д 1, U(i‘L)T C\M [Q‘A/)
[*161-101] = 0r| 1, U (i‘0r U i‘l,)T С‘(А/ [Q‘Af)UA/ [Q‘M
[*160-1] =Or|lj4Af [СГЛ/
F . (1). *256-412 . э F . Prop
*256-42. F:g!A/.o.Ar‘A= 1+Nr‘A/
Доказательство.
F . *256-414 . э F : Hp. Q‘Af ~ e 1. э. Nr‘N = 2r + Nr‘(Af [ G.lM)
[*181-57] = 1 + i + Nr‘(Af t СГМ)
[*204-46] =i+Nr‘M (1)
F . (1). *256-41.3 . z> F. Prop
*256-43. F:AeQ-i‘A [*256-412-42]
*256-44. F:.PeQ.o:P [ Q‘PlessAf. e . PlessA. g! Л/
Доказательство.
F . *255-17-601 . э
F :. Hp. z>: P [ CTPless M. = . i + Nr‘P [ (TP < i + Nr‘A/ (1)
F. *256-412-42 . z> F : P = Л. э. PlessA (2)
F.*255-51. dF:.P = A.o:P [Q'PlessAf . = .д!Л/ (3)
F . (2). (3). z> F :. P = Л. э: P [ G'PlessAf. = . PlessA. g’M (4)
F . *200-35 . *255-51 . эF :. G‘Pe 1. э: P [ (TPlessAf. = . g! M (5)
F. *256-42. z> F :. Hp . CTPe 1 . z>. PlessN (6)
F. (5). (6). э F :. Hp . Q‘P e 1. э: P [ Q‘Pless M. =. g! M. PlessN (7)
F . *204-46 . э F :. Hp. g! P. Q‘P~e 1 .э: i +Nr‘P [(TP = Nr‘P:
[(1)] э: P [ 0‘PlessAf. а . Nr‘P< i + Nr‘Af.
[*256-101-42] s. Nr‘P<NrW. g! Л/ (8)
F . (4). (7). (8). z> F . Prop
Мы используем приведенное выше предложение, чтобы показать, что
каждое вполне упорядоченное отношение Р того типа, с которого мы на-
чинаем, меньше, чем N, где N имеет место между ординалами того типа,
к которому принадлежит Nor'P. Это предложение заключает в себе то, чем
становится парадокс Бурали-Форти, когда принимаются в расчет типы.
*256-5. F:g!M. PeQ. э. Nor > (Р? [D‘P?)eD‘(Af tr‘Nor‘P)s
Доказательство.
F . *256-2 . *253-13 . э F : Нр . э. Nor > (Р? [ D‘P?) е D‘Af? (1)
F . (1). *150-22 . э F : Нр. э. Nor“D‘P? с Го‘ С‘Л/? .
[*213-141] э. N0r‘Per0‘.
[*63-53] =>.ro‘C‘Afs = fN0r‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*256-51. F : Р е Q. э. Nor; (Р? [ D‘P?) smor Р [ Q‘P [*253-463]
*256-52. F : g! Af. PeQ. э. Р [ Q'PlessAf [ r‘Nor‘P [*256-5-51 . *254-182]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
94
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*256-53. h:PeQ.D.PlessA4PNor‘P
Доказательство.
h. *256-44-52 .Dh:Hp.a!M.D.PlessN [PNor‘P (1)
h . *256-102 . э h : Hp . M = A . э . P = A .
[*246-43] d. PlessN (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*256-54. h : P e Q . э . Nr (Р)‘(ЛЧ r‘Nor‘P) = A
Доказательство.
h . *256-53 . oh Hp . э : Q e f P. ~ {Q smor N [ f Nor‘P}:
[*152-11] э: РРПNr‘(A ^‘Nor‘P) = A:
[(*65-04)] э : Nr (PY(N [ PNor‘P) - A э h . Prop
*256 55. HPeQ.o.
Nr (P)‘(N t PNor‘P) = Nr (P)‘(N [ r‘r‘P) = Nr (P)‘{N (P, P)) = л
Доказательство. F . *155-12 . э F . PeNor‘P. [*63-105] oF.Per0‘N0r‘P. [*63-53] э F . fz‘P = PNor‘P (1)
1-. (1). э F. Nr (P)‘(N t r‘Nor‘P) = Nr (P)‘(N [ t't'P) (2)
[(*65-12)] =Nr(P)‘{N(P,P)) (3)
F. (2). (3). *256-54 . э F. Prop *256-56. F . (N [ X) less {N [ (Г‘Гоо‘Х)} Доказательство. F . *256-43-53 . э F. (N [ X) less {N [ (t‘Nor‘N [ X)} (1)
F.*155-12. oF.N [XeNor‘N [X. [*63-105] uF.N [Xero‘NorW [X. [*63-53] 3F.17W[X = r‘NorW[X (2)
F.*64-16. э F . N tXez‘(z0‘ X T r0‘ X). [(*64-01)] z>F.N [Xe/oo'X (3)
F.(2).(3). э F . z‘loo‘X = r‘Nor‘N [ X (4)
h . (1) . (4) . z> h . Prop Если пренебречь типами, то приведенное выше предложение выглядит
как
N less A,
что невозможно, и вызывает парадокс Бурали-Форти. Однако в форме,
доказанной выше, указанный парадокс исчез, а вместо этого мы имеем
предложение о том, что в пределах более высоких типов возможно суще-
ствование более длинных серий, чем в пределах более низких типов.
Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
95
*257. Трансфинитные родовые отношения
Краткое содержание *257.
В этом параграфе мы рассматриваем расширение понятий R* и Rpo. Это
расширение требует двух отношений, R и Q. Наиболее простым образом
оно сначала разъясняется с помощью определения “трансфинитного потом-
ства” терма х в силу R и Q; этот класс представляет собой расширение
^*‘х. Этот класс образуется следующим образом. Предположим, что ха-
рактер отношения Q более-менее сериален, и что R есть много-однозначное
отношение, содержащееся в Q. Тогда трансфинитное потомство х в силу R
и Q образуется следующим образом: Начиная от х, мы продвигаемся вниз
по потомству х в силу R (т.е. ^*‘х) так далеко, как сможем; если весь
класс fr*‘x имеет границу в силу Q, то мы начинаем заново с этой грани-
цы, которая включается в трансфинитное потомство х в силу R и Q\ если
эта граница есть у, то мы опускаемся по 5Г*‘у, и включаем границу этого
класса в силу Q и т.д. до тех пор, пока мы все еще имеем либо термы,
принадлежащие D‘7?, либо классы, принадлежащие GUtg. Все термы, по-
лучаемые таким образом, составляют трансфинитное потомство х в силу
R и Q, которое мы будем обозначать 13 посредством (R *Q)‘x.
Для того чтобы получить символьное определение данного класса, на-
зовем класс о “трансфинитно наследственным”, когда не только /Но с о,
как в ординальном наследственном классе, но также, когда мы берем неко-
торый экзистенциональный подкласс ц класса odC‘Q, если ц имеет гра-
ницу в силу Q, эта граница будет элементом о. Поэтому о будет таким,
что /^-последователь любого элемента о принадлежит о, и Q-граница лю-
бого экзистенционального подкласса oCiC'Q принадлежит о (пока они су-
ществуют). Т.е. Л“асо и цсо. g! pnC‘Q. При использова-
нии понятия производной класса в силу Q, введенного в *216, условие
цсо.д! pdC‘Q. эи. сводится к б^/осо в силу *216-1. Следова-
тельно, о является трансфинитно наследственным в силу R и Q, если
К“о U с о .
Теперь мы можем определить трансфинитное потомство х в силу R и
Q как все элементы C‘Q, которые принадлежат каждому трансфинитно
наследственному классу, которому принадлежит х, т.е. мы полагаем
(R *Q)‘x = C'QQy {хео. R“o U ^‘о с о. эо . у ео} Df.
Тогда аналогом /?* является ху {у е (R *Q)‘x}. Это отношение, однако, явля-
ется менее важным, чем аналог /?ро, ограниченный к потомству х. Этим
аналогом при предположении, что Q транзитивно, будет Q \(R*Q\x. Для
него мы вводим два обозначения Qrx и Q (R, х), последнее из которых бо-
лее удобно, когда либо /?, либо х заменяются более сложным выражением.
Поэтому мы полагаем
Qrx = Q№x) = QI(R*QYx Df.
13 Это смысловое значение R *Q не связано со смыслом, временно приписанным этому
символу в *95.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
96
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Если Q является вполне упорядоченной серией, и Q = Q\, то Qrx
есть просто серия 2, начинающаяся с х, и (R *2)‘х = ^‘х = <Q‘x U i‘x, если
хеС‘2- Поэтому в этом случае, если х = В‘2, то Qrx = Q. Однако важность
Qrx заключается в таких случаях, когда Q не является полностью сери-
альным, но становится таковым, когда ограничивается к (7?*2)‘х. В этих
случаях Q в приложениях практически всегда будет логическим включе-
нием, объединенным с различием, или обращением этого; т.е. оно будет
либо
ар (а с р. а / |3),
либо
MN (MdN.M.^N),
либо обращением одного из них. В случае dp (а с р. а Р) мы имеем
Itg = 5 Г (- G‘maxg). tig = р [ (М G‘ming),
как будет доказано в *258.
В настоящем параграфе мы рассмотрим доказательство того, что при
определенных условиях Qrxe£1. Доказательство следует строкам второго
доказательства14 теоремы Цермело о том, что если существует выборка
из всех экзистенциональных подклассов данного класса, то данный класс
может быть вполне упорядочен.
Перед тем как перейти к рассмотрению данного вопроса, необходимо
доказать несколько простейших свойств (/? *2)‘х. Они даются в предложе-
ниях, предшествующих *257-2.
Мы имеем
*257-11. h : хе о. R“o U 6q‘o с о . э . (Я *2)‘хс о
Таким образом, для того чтобы доказать, что (/? *2)‘х содержится
в классе о, мы должны доказать (1), что х принадлежит о (2), Я-после-
дователи элементов о являются элементами о, т.е. о является наследствен-
ным в силу 7?, (3) что производная о в силу Q содержится в о, т.е. если
ц является каким-либо экзистенциональным подклассом оПС‘2, который
имеет 2-границу, то эта граница является элементом о.
*257-111. К.(/?*2)‘хсС‘2
*257-12. h : хеС‘2. = • хе(/? *2)‘х
*257-123. НЯа 2-^-Я‘‘(Я*2)‘*<=(Я*2)‘х
Т.е. если Rd Q, то (R*QYx является наследственным в силу R. Гипотеза
RdQ требуется для большинства свойств (7?*2)‘х.
*257125. F : R G Q .xeC'Q .d.Z‘xc(R *Q)‘x
Поэтому если хеС‘2, то /^-потомство х содержится в (R*QYx.
*257-13. h : ц с (Я *QYx.g!ц.э .ltg‘p с (R *Q)'x
*257-14. z Rd Q . . (R *Q\x с&х
Таким образом, (R*QYx полностью содержится в 2-потомстве х.
14 “Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung”, Math. Annalen, LXV. p. 107
(1907). Первое его доказательство, которое было несколько более сложным, было опубли-
ковано в Math. Annalen, LIX. р. 514 (1904)
Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
97
Следующие предложения (*257-2—36) касаются доказательства Qrxe£1
с подходящей гипотезой. Этой гипотезой является
QeRTJ n trans . R eRPQ И Cis —» 1 . Itg f Cl ex‘(R *Q)'xe 1 —» Cis .
Мы предполагаем для начала только часть этой гипотезы, а именно
Q е RT J П trans . R е R1‘ Q n Cis —» 1.
Таким образом, для доказательства 2^xeSer мы должны доказать только
Qrx е connex, т.е.
у 6 (А *б)‘х. э . (R *2)‘х с Q‘y,
или, что приводит к тому же самому,
(/?*б)‘хср‘е“(^*0‘х.
Предположим
oi = (R *2)‘хП p‘Q“(R *б)‘х.
Тогда любой элемент oi может быть назван “связным термом”, поскольку
он связан посредством Q или Q с каждым другим термом (/?*2)‘х. (Связ-
ное отношение представляет собой отношение, чье поле полностью состоит
из связных термов.) Мы хотим доказать, что Oi является трансфинитно на-
следственным классом и, следовательно, равным (R *0‘х. Мы делаем это
не напрямую, а посредством объединения Oi с другим классом 02, опреде-
ленным следующим образом. Рассмотрим элементы z класса (R *0‘х такие,
что их последователи в Qrx состоят из R'z и его последователей в Qrx, т.е.
положим
т = (R *0)‘хП z = (Qrx)*'R'z\
В дальнейшем будет замечено, что даже когда Q транзитивно, Q* и (£>яЛ)*
все еще остаются полезными. В этом случае (Qrx)* = Qrx О/ Г C'Qrx, так что
‘z состоит из R‘z и его последователей в Qrx. Затем мы рассмат-
риваем класс 02, состоящий из тех термов у, чьи предшественники все яв-
ляются элементами т, т.е. мы полагаем
02 = (R *QYxПу {zQy .ze(R *Q)‘x. =>z. <2Kx‘R‘zl .
Наконец мы полагаем о = О1П02, т.е.
О = (R *2)‘хCl p'Q“{R *QYxr\y{zQy .ze(R *2)‘х. эг. = (qRx)*‘R'x} .
Причина этого процесса заключается в том, что легче доказать, что о яв-
ляется трансфинитно наследственным классом, чем доказать это напрямую
для 01; а результат следует непосредственно для 0Ь когда он уже доказан
для о. Мы должны далее доказать
Я“осо. 6q‘0C0.
Первый шаг заключается в доказательстве
у е а. э . %)Rx‘y = и CR‘y.
Это доказывается посредством трансфинитной индукции, путем демонстра-
ции того, что
*Q*‘R‘y
представляет собой трансфинитно наследственный класс, откуда следует,
на основании гипотезы,
(R *QYx = (Qrx}* ‘у U ^Rxy.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
98
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Доказательство того, что 1^‘у U 1§*7Гу является трансфинитно наслед-
ственным классом, проводится следующим образом.
Если то R‘z€<Q*‘Ry. Если z = y, то R‘z = R‘y.
Если zel^/y, то, так как на основании гипотезы = {Qrx)* мы
имеем
т.е. R'ze&y.
Следовательно, z е (R *Q)'x О ($* 'у U *Q* 'R‘y) • э • $‘zе"2* ‘у U £)*‘R'y-
Далее мы должны доказать
|! с (/? *б)‘х П (2*У U <2* ‘Я‘у) . а! р . э .Itе‘р с"3*у U £>* ‘Ry.
Если я!рА2*7Гу, то It^pс Q*‘Ry.
Если рс^*‘у.уер, то уета^/р иТС0‘р = А.
Если р с^‘у, то мы имеем у ер‘£7“р, откуда wltg р. э . ~ (yQw), откуда,
поскольку у на основании гипотезы является связным термом, w Q* у.
Следовательно, в любом случае Tte‘p cl^/y U £)*‘Я‘у. Следовательно,
"(5*‘у U ‘/?‘у является наследственным и поэтому содержит (/?*б)‘х; и, та-
ким образом,
%>кх‘у = (<2кх)*'К‘у~-
Это предложение показывает, что R у является элементом 02- На основа-
нии гипотезы это имеет место для всех предшественников у, и мы должны
теперь показать (1), что это также имеет место для у (2), что у является
единственным предшественником R‘y, который не предшествует у. Это пер-
вый шаг в направлении доказательства того, что о является трансфинитно
наследственным.
Из того, что сейчас было доказано, непосредственно следует, что ес-
ли yen, то R‘y (если он существует) является связным термом. Так как
на основании гипотезы,
(R*Q)'xc~@*‘yut)‘y,
откуда, на основании только что доказанного,
(R *Q)‘х a~&Ry U £)*‘Я‘у,
откуда следует, что R‘y является связным термом. Следовательно, R‘yeo.
Следовательно, R“о с о.
Остается доказать
6(/0 с о.
Так же как было доказано путем доказательства t?‘y ="(5*‘/?‘у,
так и fy/aco доказывается путем доказательства
p‘^’“pc^“'ltQ‘p,
при условии
рсо.а!р.~а!ша^‘р;
а это доказывается путем демонстрации того, что 2“pUQ/‘lt£)‘p является
трансфинитно наследственным классом.
Principia Mathematica III
257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
99
Для того чтобы показать, что 2“|i U является трансфинитно
наследственным классом, если
ц с о. 3! ц . ~ 3! та£з‘ц,
мы замечаем, что на основании гипотезы
ze . э • = (Qrx)*R‘z • э . g!
Следовательно, 7?‘ze (2ял)*“|а; и, следовательно, поскольку на основании ги-
потезы
R6zcQrx“P-
Следовательно,
Я‘‘{(2*Я)‘хА 0‘ц} с(2 *Я)‘хА 2“ц.
Также очевидно, что
fl‘‘0‘4tG‘pc &‘4tG‘p.
Следовательно, полагая
р = (2 *R)‘x А (2“ц и Q* “lt0‘p),
мы имеем
Я“рср.
Теперь мы должны доказать
SG‘pcp,
т.е.
а с р . 3! а. ~ 3! ma^ ‘a.D.lt^acp.
Если ас2“р,, то очевидно (поскольку ц полностью состоит из связных
термов), что seq^‘a с ult(2‘|x.
С другой стороны, если 3! a A 0“Ть^‘ц, то а А 2“ц, если он существует,
не влияет на значение границы а, которая является границей a A Qk“ltg‘p,,
которая, очевидно, содержится в Следовательно, S^/pcp. Сле-
довательно, ц является трансфинитно наследственным, и мы имеем
цсо.3! ц. - 3! та^з‘ц. э . (/?*g)‘xc g“pU 0“TtG‘p.
В этом месте необходимо предположить
Itq f Cl ех‘(Д *0‘с е 1 —> Cis .
При подобном предположении мы имеем, на основании только что дока-
занного,
ц с о . э! ц . з! lt2 V. э . (Я *2)‘х с 2‘ ‘ц U £)* ‘Itq‘ц .
э . (7? *0‘х c“3‘ltG‘p U £)*‘lt2‘p •
Следовательно, lt^‘p является связным термом. Следовательно,
Se‘ocp‘2“(tf*2)‘x.
Дополнительно мы требуем лишь
Нс a. а! р.. 3 !lte‘p. э : zQ lte‘р. z e (R *G)‘x. эг. %)Rx‘z = (Qrx)* ‘R‘z.
Теперь, на основании только что доказанного, zQ lt^‘p. = . z е 2“ц; и на ос-
новании определения о, поскольку ц с о, мы имеем
Z € Q“n . э. *Qrx'z = fej* ‘Л‘2.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
100
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Следовательно, мы приходим к 5^‘осо. Поскольку мы уже доказали
Й“осо, то о является наследственным, и (R *б)‘хсо, т.е.
У е(R *Q)‘x :э,:уеp‘Q“(R *Q)'x ‘.zQRxy.z>z. QRxz = (qRx)*‘R'z,
т.е.
QRx e connex: z e D‘QRx. эг. %)Rx‘z = (qRx)*'R'z.
Следовательно, бяхб8ег. Следовательно, также непосредственный последо-
ватель каждого терма z в D‘2/?x есть R'z, так что
Чтобы показать, что 2^xeQ, мы замечаем, что каждый класс, содер-
жащийся в D'QRx, имеет секвент, а именно
seq(2/?x)‘A = х,
а с XYQRx . Я! та^‘а . э . seq (2ял)‘а = /Гшах^а,
а с WQRx . я! а . ~ я! ma^‘a . э. seq (QRxYa = ltG‘a,
откуда
а с WQRx . эа . Е ! seq (QRx)‘a,
которое показывает, что 2/?xeQ.
Первая производная QRx есть 6q‘(Q*P)‘x, а ее последний терм, если
таковой найдется, есть
Г{(2 *Р)‘х - D‘P}, т.е. lt(/{((2 *Р)‘х A D‘P}.
Гипотеза, требуемая для 2/?xeQ, совпадает с таковой для (2/?xeSer, а
именно
QeRTJ A trans. R eRl‘2 A Cis -> 1 . lt@ [ Cl ex\R *QVxe 1 —> Cis .
Для того чтобы QRx могла отличаться от нуля, мы требуем дополни-
тельно xeD'R.
Следующая группа предложений (*257-5—56) предназначена для доказа-
тельства того, что при объединении приведенной выше гипотезы с xeD‘P
QRx является единственным значением Р, удовлетворяющим следующим
условиям:
(1) Р транзитивно.
(2) ёРсодержится в (R*QYx.
(3) Если z есть некоторый элемент D‘P, то R‘z является его непосред-
ственным последователем.
(4) Если а есть некоторый экзистенциональный класс, содержащийся
в ёРи не имеющий максимума, то lt^‘a является его Р-границей.
Это предложение является существенным для того, что может быть на-
звано “трансфинитными индуктивными определениями”, т.е. определения-
ми серии посредством определения последователя каждого терма и после-
дователя каждого класса, не имеющего максимума.
Следующий пример может это пояснить. Предположим, R явля-
ется много-однозначным отношением классов к индивидам; предполо-
жим, мы начинаем с некоторого класса а и продвигаемся к a U i‘P‘a,
a U i‘P‘a U i‘P‘(a U i‘P‘a) и т.д. В конце этой серии мы помещаем ее сумму,
т.е. ее границу в силу отношения (с A J); пусть эта сумма будет р. Затем
мы продолжаем с Р U i‘P‘P и т.д. настолько, насколько возможно. Серия за-
канчивается суммой, которая не является элементом D‘P, если такая сумма
Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
101
существует. Очевидно, что эта серия единственным образом детерминирует-
ся посредством приведенной выше схемы образования; упомянутые выше
предложения дают символьное выражение процесса, описанного словами
“и т.д. настолько, насколько возможно”.
*257 01. (R *Q\x = C'QCiy {хео . Я“оU б(/ос о. эа .у ео} Df
*257 02. QRx = (2 (Я, х) = (И (Я *0‘х Df
*2571. F :.у e(R *Q)‘x . = :y eC'Q : хе о. R“<3 U dG‘o с о. эа . у e о
[(*257-01)]
*257-101. Н:уб(Я*0‘х. = :.убС‘(2:.
хео.Я“асо:рсо.д!рА C‘Q . эи . Tt ‘р, с о: эа .у ео
[*257-1 .*216-1]
*257-102. F :: у е (R *0‘х . = у е C‘Q
хе о. ^“оса: р с о. д! р A C‘Q. ~ д! ma£g‘p. эи . seq@‘p са:эо.уеа
[*257-1 .*216-1]
*257-11. F : хео. Я“о U 5(/о с о. э . (Я *0‘х с о [*257-1]
Практически во всех доказательствах предложений, касающихся
(Я*0‘х, используется это предложение.
*257-111. F . (R *0‘х с С‘2 [*257-1]
*257-12. F : хе С‘£. = . хе (Я *0‘х [*257-1]
*257-121. F : R G Q . у е (R *Q)‘x . э . <R‘y с (Я *0‘х
Доказательство.
F . *257-1 . э F :. Нр . yRz .э:хе о. Я“о U 5^‘о с о. эа . у е о : yRz . ze C'Q :
[*37-1] э : zeC'Q : xeo.Я“оz>о. 5g‘оco. эа . zeo:
[*257-1] э : z e (Я *0‘x:. э F. Prop
*257-122. НЯсн е.рс(Я*0‘х.э.Я“рс(Я*0‘х [*257-121]
*257-123. Ь:Яс е.э.Я“(Я*0‘хс(Я*е)‘х [*257-122]
*257-124. h : Я G Q . э . Я* “(Я *0‘х с (Я *0‘х [*257-123]
*257125. 1-:Лс е.хеС‘е.=>.^*‘хс(Л*0‘х [*257 12 124]
*257126. F : R g Q. х е D'R. ~ (xRx). э . (R *Q)‘x ~ е 0 U 1 [*257-125]
*257-13. F : р с (Я *0‘х. g! р . э .Tt^‘p с (Я *0‘х
Доказательство.
F . *257-101 . *10-1 . *22-1 . э F :: р с (Я *0‘х. э :.
xeo./?“oco:vco.g!vAC‘(2.Dv .Itg‘v с о: э . р, с о (1)
F . (1). Fact. э F :: Нр . э :.
хе о. Я“о с о: v с о. g! v A C'Q. z>v . lt^‘v с о: э . р с о . g! р (2)
F . *10 1 .*257-111 . э
F:.vco.g!vA C‘Q . dv . It q ‘v с о : э : Hp . p с о. у lt@ p. э . у e о (3)
F . (2). (3). э F :: Hp. у Itg p. э :.
xeo.i?“oco:vco.g!vA C'Q . ov . lt^‘v с о: э . у e о (4)
F . (4). *10-11-21 . *257-101 . э F : Hp . у lt@ p . э . у e (Я *0‘p: э F . Prop
*257-131. F . 6q\R *0‘x с (Я *0‘x [*257-13 . *216-1]
*257-132. F : к c Cl ех‘(Я *0‘x. э . lt0“K с (Я *0‘x [*257-13]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
102
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*25714. h : R G Q . э . (R *Q)‘x с Q*x
Доказательство.
h . *90-163 . э h : Нр . э . Л“^‘хс ^‘х (1)
h . *206-15 . э h : |1 с <2*‘х. zlte |i. g! ц. э . zep‘(2“p . g! ц . p, c ^‘x.
[*40-61 . *90-163] э . ze 2“p. $“p c £*‘x.
[*22-46] d.Z6^‘x. (2)
h . (1). (2). *257-11 . э h : Hp . xeC'Q . э . (7? *0‘xc t?*‘x (3)
h . *37-261-29 . *60-33 . (*216-01). э
h : Hp . э . R“(- C‘Q) = A . bQ\- C‘0 = A (4)
h. (4). *257-11 . э h : Hp . x ~ 6 C'Q . э . (R *0‘x c - C‘Q .
[*257-111] d.(7?*0‘x = A (5)
h . (3). (5) . э h . Prop
*257-141. h : R G Q. э . ^“C‘2 U 5G‘C‘2 c C‘<2 [*216-111 . *37-201-16]
*257-142. h : R G Q. xe C‘Q . э . (R *Q)‘x = y {xeo . 7?“o U 6^‘oc о. эа . у eo}
Доказательство.
h . *257-141 . dF: Hp . э . у {хе о. R“o U 6G‘o с о . эа . у 6 о} с C‘Q (1)
h . (1). *257-1 .oh. Prop
*257-15. h :у e (R *0‘x .ze(R *Q)ly .z>.ze(R *0‘x
Доказательство.
h. *257-1 .эН.Я“ои6(/(1са.э:хбо.э.уеа:уб(1.э.2бо:
[Syll] D:X€O.D.Z6O (1)
h.(1). *257-1 .oh. Prop
*257-16. h : x e C‘Q - D‘7? . э . (R *0‘x = i‘x
Доказательство.
h. *257-12. э h : Hp . э . xe (7? *0‘x (1)
h . *37-261-29 . э h : Hp . э . 7?“i‘x = A (2)
h . *205-18 . z> h : Hp . ~ 3! maig‘i‘x. z>. xQx.
[*206-42] э. seq^Yx = A (3)
h . (3). *216-101 .oh: Hp . э . 6g‘l‘x = A (4)
h . (2) . (4) . э h : Hp . э . R“Cx U 6e‘i‘xci‘x.
[*257-11] d.(7?*0‘xci‘x (5)
h . (1) . (5) . э h . Prop
Теперь мы начинаем доказательство (завершаемое в *257-34) того, что
при определенных условиях 0xeQ. Сначала мы доказываем, что класс
о, введенный в *257-2, является трансфинитно наследственным, и это
требует предварительного доказательства того, что если у со, то класс
(2/?J* ‘у и (Qrx)* ‘R ‘у является трансфинитно наследственным. Это доказы-
вается посредством *257-2-21. Гипотеза *257-2 не полностью используется
в *257-2, однако вводится в связи с тем, что требуется в группе предло-
жений, в которой указанное предложение является первым.
*257-2. h Q е Ш‘ J A trans. R е Rl‘e A Cis -> 1.
Principia Mathematica III
•257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
103
О = (R *Q)‘xn p‘Q‘‘(R*Q)‘xПу {z Qrxу. зг. <QRxz = IQr^'R'z} э:
у е о. z е С&З*‘у и (<2кх)*‘Я'у • zeD‘R. з. R‘z e(QRx)*‘у U (qRx)*'R‘y
Доказательство.
I-. *90-163 . *37-62 . *257-123 . з
F:.RG0.E!R‘x.3:ze (Qrx)* ‘R‘y.=>.Rlze (Qrx)* ‘R‘y (1)
I-. *30-37 . з I-: E ! R‘z . z = у. з. R‘z = R‘y (2)
F . *201-18 . *91-52 . *32-182 . з
I-: Hp. у e о. z e^Rxy • э. Sj?x‘z = (g/?x)* ‘R‘z. у e <Qrxz •
[*13-13] э.уе(бях)*‘Л‘г.
[*32-182] 3.R‘ze(a^*‘y (3)
I-. (1). (2). (3). *71-161 . => F . Prop
*257-21. F: Hp *257-2 . у e о. p c (Qrx)*‘y U (Qrx)* ‘R'y. g! p. з.
Itg'pc &‘y U %)*'R'y
Доказательство.
F . *201-14-15 . *206-134 . з
F:Hp.g!pn (2*‘R‘y.3.'ite‘pcti*‘R‘y (1)
I-. *205-38 . з F : Hp. pc (5*‘y .yep. з .yema^‘p,.
[*207-11] 3.1te‘p = A (2)
F. *40-55 . *206-143 . з
I-: pc"$‘y. wltg p. з.у ep‘<2“p. w~e <2“p‘(2“p.
[*37-1] o.~(y2w) (3)
F . *257-13. з F :. Hp (3). Hp . з : yQw . V . w у:
[(3)] з : w & у) (4)
I-. (1). (2). (4). з F . Prop
*257-211. F : Hp *257-2 .у eo. з . (R *Q)‘x c(QRx}*‘y U {Qrx)*‘R'y
Доказательство.
h . *257-14 . э h : Hp . э . (1)
К (1). *257-2-21-11 . oh. Prop
*257-22. I-: Hp *257-2 . у e о. з . IqRx)*‘R‘y = (Qrx)* ‘R‘y. (Qrx}* ‘y =~&RxR'y
Доказательство.
F . *257-211 . з h : Hp. з. feZ)*'R‘y = (R *0‘x - ‘у
[Hp] ____ ^^RX‘y (1)
Аналогично F: Hp. з. (Qrx}*'y =~^RXR‘y (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
Необходимо понимать, что ^2яД*‘Я‘у = Л, если ~Е!^‘у.
*257-23. h : Нр *257-2 . э.Г‘осо
Доказательство.
h . *257-22 . э h Нр . у 6 о П D‘tf . э : zQ R'y . эг. ^Rx'z = IQrx)* ‘R'z (1)
h . *257-22-211 . э h : Hp . у e о A D‘R . э . (R ^QYx^^Ry U ^)* ‘R‘y (2)
h . (1). (2). э h : Hp . у € о A D‘7?. э . R'y co: dL Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
104
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
Приведенное выше предложение является первым этапом в доказатель-
стве того, что о является трансфинитно наследственным. Второй этап ана-
логично первому требует предварительного доказательства того, что если
р является экзистенциональным подклассом о, не имеющим максимума, то
является трансфинитно наследственным классом. Доказательство основы-
вается на *257-24-241-242.
*257-243. h : Нр *257-2 .рсо.д!р,.~а! fna^/p. э . Я“(2я/‘р с
Доказательство.
h . *91-52 . *201-18 . о h : Нр. zeQRx“\jl . *QRxz = (<2ях)* .
[*37-46 . *13-12] э . а! IqRx)* ‘R‘z А р.
[*37-46] э. R'zetM* “р (1)
h . *205-123 . э h : Нр . э . р с 2Лх“р (2)
h . (1). (2). э h : Нр . z € QRx ‘р . э . R‘z е : => h. Prop
*257-241. h : Нр *257-24 . о. Я“{2я?‘ри “ItG‘и)с <= (2/?х)*“^с‘Н
Доказательство.
h . *90-164 . э h :Rg Q . о . R“(QRx)* “Tte‘p c (2/?x)* “Tt^p (1)
h. (1). *257-24 .oh. Prop
*257-242. h : Hp *257-24 . p = 2ях“ри (б/?х)*“"Йе‘Р- •
acp.gla.~g! ma^‘a. э . ltg‘acp
Доказательство.
h . *206-15 . dF: Hp . 3! p Ap‘^“a . wltg a . э . а! p- (1)
h . *201-521 . э h : Hp . p с о. э . p -"3‘w c (5*‘vv (2)
h . (1). (2). э h : Hp (1). э . g! p, A tVw (3)
h . *205-123 . dF: Hp . э . p,c 2“p (4)
h.(3).(4). эЬ:Нр(1).э.>гб2Лл“р (5)
h . *206-24 . DF:Hp.pc2“a.ac2“p.D .Tt^a =ltg‘p (6)
h . *206-15 . э h : Hp . g! a A (QRx)* “TtQ‘p. о .ItG‘a c (QRx)* “Tt^p, (7)
h. (5). (6). (7). э h . Prop
*257-243. h : Hp *257-24 . о . (R *Q)‘x = QRx“\iU p‘^x“p [*40-53 . *205-123]
*257-25. h : Hp *257-2 . э . (R *Q\x = (2/?x“p U (6/?x)*“Ttg‘p
Доказательство.
h. *257-242. oh :Hp.D.5G‘{(2/?x“pU(2/?x)*“'ltG‘p}c2/?x“pU(2/?x)*“ltGtp (1)
h . (1). *257-241 .oh. Prop
*257-251. h : Hp *257-24 . о . (Q^)*"^‘p, = ‘pi
Доказательство.
h . *257-25-243 . о h : Hp . о . 2Лл“р U (2/?x)*“ItG‘p = 2/?x“p U p‘^x“p.
[*200-53 . *24-481] э . ((2/?x)*‘‘Tt(/H = р‘£?Лх“р: э h . Prop
Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
105
*257-252. h : Нр *257-24 . д! р‘^Лл.“ц. э. <2Лх“ц = p‘^RX“ltG‘p. glltG‘p
Доказательство.
I-. *257-251. *37-29 . э h : Нр . э . g !ltG‘p (1)
[*200-53 .*40-62] D.p‘^Sx“lt(?‘pc(7?*2)‘x-(g/;x)*“Tte“Tte‘p
[*257-251] с(Я*0‘х-р‘5кх“ц
[Нр. *10-57 . *257-243] с Qrx“h (2)
F. *201-51. *40-67 . z>h : Нр. э. Qrx“p с (3)
I-. (1). (2). (3). э F . Prop
Для того чтобы завершить доказательство того, что о является наслед-
ственным классом, мы должны ввести дополнительную гипотезу
kg f С1ех‘(Я *2)‘хе 1 —» Cis .
С помощью этой гипотезы последний этап доказательства обеспечивается
следующим предложением.
*257-26. F : Нр *257-2 . ltG f Cl ех‘(Я *0‘хе 1 -> Cis. э . 6G‘o с о
Доказательство.
F . *257-251-252 .z>F:.Hp.|ico.g!|i . g! TtG‘p,. э :
(R *Q)‘x = ~&Rx‘ltG‘р. U (Qrx)*‘\Iq‘\i .^RX‘ltG‘p - QRx“\l :
[Нр]э: ltG‘p.ep‘Q“(R *Q)‘x:y C/fxltG‘p.. z>y . %)Rx'y = ^Qrx)*‘R‘j:
[Hp]z>: ltG‘peo:. э F . Prop
*257-261. I-: Hp *257-26 . э . (R *Q)‘x=(J [*257-11-23-26]
*257-27. I-: Q e R1‘J n trans. 7? e R1‘Q П Cis —> 1 .
ltG [ Cl ex‘(7? *6)‘xe 1 —> Cis. d .
QRx e Ser. QRx = (RIQ*) t (R *Q)‘x
Доказательство.
I-. *257-261 . э
I-: Hp. э. (R *Q)‘x c p‘Q“(R *Q)‘x П у (z QRx у. z>.. "QRxz = (QRx)* ‘R‘z} (1)
F. (1). э F :: Hp . z>:. QRx e connexz e D‘Qrx .z>z:zQRxw .=w .zR\ (QRx)*w ••
[*5-23. *4-71 .*257-121]
э:. Qrxeconnex:. z QRxw. =z,w . zeT)‘QRx. zR\ Qk w.weC‘QRx:.
[*36-13 . *257-121]d QRx e connex. QRx = (R | Q*) [ (R *Q\x:: э F . Prop
Таким образом, мы доказали, что QRx является серией. Не требуется ни-
какой дополнительной гипотезы, чтобы доказать, что она является вполне
упорядоченной, как мы сейчас покажем.
*257-28. F : Нр *257-27 . ц с (R *Q\x. э! ц. та^/ц = А. g! . э .
Р‘&ях“Н=(!2лх)*“^с‘Р- Ойх“р = р‘'Зйх“Ь1с‘М' [*257-251-27]
*257-281. I-: Нр *257-28 . Е ! ltG‘p. э .
P‘Srx“M-=: (Q«x)*“ltG‘p. Окх“М-=’3Лх‘11е‘р. [*257-28]
*257-29. I-: Hp *257-27 . xe XTR. э . C‘QRx = (R *Q)‘x. B'QRx = x
Доказательство.
h . *257-27-126 . *202-55 . э h : Hp . э . = (R *0‘x (1)
h . *257-14 . oh: Hp . э . (R *Q\x - i‘x c t2Rx‘x (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*257-291. F : Hp *257-27 . x ~ e D‘fl . э . QRx = A [*257-16 . *200-35]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
106
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*257-3. h : Нр *257-27 . э . WQRx = D‘P П (R *Q\x
Доказательство.
h . *257-27 . э h Нр . у e(R *Q\x. э: g! <Q‘y. = . g! *Q*‘iVy .
[*257-141] = . E ! R'yэ h . Prop
*257-31. h : Hp *257-27 . p c (R *QYx. g! p. ~ g! ma^p,. g! . э .
seq (2/гД‘ц = Ite ‘p, [*257-28]
*257-32. h : Hp *257-27 . p c (R *QYx. g! ma^‘p. g! р‘<5ях“р. э .
seq (G/?x)‘p = fl‘max (2/?J‘p
Доказательство.
h . *257-3 . oh: Hp . □ . pc П‘Р .
[*257-27 . Transp] э . ()*‘max(2/?x)‘p =^Tmax (2/?x)‘p: э h . Prop
*257-33. h : Hp *257-27 . p, c (R *O‘x. g! p . g! p‘^x“p. z>. E ! seq (2/?x)‘p
[*257-31-32]
Приведенное выше предложение вместе с *257-27 показывает, что серия
QRx является вполне упорядоченной в силу *250-123.
*257-34. h : Нр *257-27 . э . QRx е Q
Доказательство.
F. *257-291. z>HHp.x~eD‘P.z>. QRxeQ (1)
h . *257-29 . *206-14 .oh: Hp . xeD‘P . э . seq^/A = x (2)
h . (2). *257-33 . э
FHp. xe TTR .z>:\ic(R *Q\x. g! р‘<2Лх“ц. . E ! seq (2йх)‘р.:
[*257-29 . *206-131] э: g! p‘<2j?x“(H П ClQRx). . E ! seq (2/?х)‘ц:
[*250-123 . *257-27] э : QRx e Q (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*257-35. F : Hp *257-27. d. R t(R *Q)‘x=(QRx)1 .R [ (Я *0)‘xe 1-> 1
Доказательство.
F . *257-32 . э F Hp. э : у e D‘QRx . э . seq (QRx)li‘y = R'y (1)
F . (1). *206-43 . *204-7 . z> F . Prop
*257-36. F:Hp *257-27. xeD‘tf.z>.
C‘QRx - (R *C)‘x. Q‘QRx - (R *Q)‘x - i‘x.
B'QRx = x .~§‘QRx = (R *Q)lx - D‘7? [*257-29-3]
Следующие предложения показывают, что отношение Р, которое удо-
влетворяет гипотезе *257-5, тождественно с QRx, т.е. показывают, что эта
гипотеза достаточна для детерминации Р.
*257-5. h : Нр *257-27 . Р е trans . ёРс (R *Q)‘x. Р - Р2 = R ДР *Q\x.
ltP f Cl ex‘(P *0‘i = ltQ f Cl ex‘(P *0‘x. э . P g J. C'P = (P *0‘i
Приведенная выше гипотеза не вся является необходимой для настояще-
го предложения, однако необходима для группы предложений, в которой
это предложение является первым.
Доказательство.
h . *37-41 . э h Нр . э : D‘(P - Р2) = Р“(Р *0‘х П (Р *0‘х
[*257-36] =(P*0‘xnD‘P (1)
Principia Mathematica III
«257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
107
F . *32-14 . z> F : Нр . э .Itр‘{(Л *Q\x П D7f] =lte 1{(R *ОУхГ}ТУР}
[*257-36] =(R*Q)‘x-WR (2)
I-. (1). (2). э I-: Hp . э. (R *0‘xc C‘P.
[Hp] э.(Я*2)‘х = ёР(3)
F.(3). z>F:Hp.z>:xeD‘P.D.xP-P2(7?‘x).
[*34-5. Transp] э. ~ (xPx) (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*257-51. F:Hp *257-5 .d.C‘P=X‘x
Доказательство.
h. *257-123 .*90-16 .эННр.э.гХ‘хсХ‘х (1)
h . *90-13 . э h : Hp . z>. lt^“Cl ex‘M‘x = ltp“Cl ex‘X‘x .
[*90-163 . *40-61] э . lt0“Clex‘X‘xc (2)
h . (1). (2) . э1-:Нр.э.(Р*0‘хсХл (3)
h . (3). *257-5 . э h . Prop
Для того чтобы доказать P=Qrx, мы сначала доказываем PeQ. Дока-
зательство проводится, как и для Qrx, даже несколько проще. Оно схема-
тично набросано ниже, так как весьма сходно с доказательством для Qrx.
*257-52. h : Нр *257-5 .
о = ёРА р‘ГёРAy (zPy. dz . *P‘z = <Р*‘К‘г). э . Р“оа о
Доказательство.
F . *34-5 . Transp . *201-18 . э h Pi = R [ (P *Q)‘x .ye p‘P“C‘P. z> :
zP (R'y). э . ~ (yPz) :zP*y. э .zP (R'y):
[Hp] z>:zP(R‘y). = .zP*y (1)
Как и в *257-2-21, используя Itp [ Cl ех‘(Р *0‘х = lt@ [ Cl ех‘(Р *0%
мы доказываем
h : Нр .у е о A D‘P . р = ?Vy U Х‘Р‘у . э . Р“р с р . 5е‘р с р .
э . (Р *0‘i=7*‘yU Х‘Р‘у (2)
F. (1). (2). э h : Нр . у е о A D‘P . э . jP‘y = %‘Р‘у (3)
h . (1). (3) . э h : Нр . у е о A D‘P . э . Р‘у е о : э h . Prop
*257-521. h : Нр *257-52 .|лсо.з!|л.~а! таЗ/ц . э .
(Р *0‘х = P“p,U P*“Ttp‘|i
[Доказательство аналогично *257-5, проходит те же этапы]
*257 53. F Нр *257-5 . э: Р е Ser: z е ТУР. =>z. *P'z = К 'R‘z
[Доказательство аналогично *257-27]
*257-54. h :. Нр *257-5 . э . PeQ [Доказательство аналогично *257-34]
*257-55. h : Нр *257-5 . о = у (7^‘у = (5Лл‘у). э . Р“ос о
Доказательство.
F . *257-53 . z> F : Нр. у е С‘Р. э. = С1Р - % ‘R‘y
[*257-53] =С1Р-%‘у
[*257-53] =X‘yUi> (1)
F.(l). z>F:Hp.yea.D.'?‘«‘y='2ffx‘yUt‘y
[*257-22] =-$R/R‘y:z>\- . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
108
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*257-551. I-: Нр *257-55 . э . 5е‘о с о
Доказательство.
Ь. *257-53 . э
F: Нр. рс о. g! р. z = ltg‘p. э .~P‘z - ((/? *б)‘хП р) U Р“р
[Нр] = {(R *б)‘х П р} U бях“р
[*257-27] =^‘z:dF . Prop
*257-56. h : Нр *257-5 . э . Р = QRx
Доказательство.
Ь. *257-51-54 . э F: Нр. э ."?‘х = Л .
[*257-36] э.7*‘х=<5Л/х (1)
I-. (1). *257-55-551 э F Нр . э: у е С'Р. z>y .~?‘у =~^Rx‘уh . Prop
Это доказывает, что условия гипотезы *257-5 достаточны для детерми-
нации Р.
Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
109
*258. Теорема Цермело
Краткое содержание *258.
В этом параграфе мы сначала покажем применимость предложений
*257 к случаю, когда Q того параграфа заменяется логическим включе-
нием, объединенным с различием, т.е. одним из следующих четырех отно-
шений:
а р (а с р . а # 0), а 0 (0 с а . а 0),
MN(NgM
Если мы полагаем
Q = а 0 (а с р . а / Р),
и если к есть некоторый класс классов, то 5‘к есть максимум к в силу Q,
если ?кек, и секвент к в силу Q, если ?к~ек (*258-1-11); аналогично р‘к
есть минимум к, если р‘кек, и прецедент к, если р‘к~ек (*258-101-111).
Следовательно, каждый класс классов имеет единственный максимум или
единственный секвент в силу б, и каждый класс классов имеет единствен-
ный минимум или единственный прецедент (*258-12); более того, мы имеем
Itg = s [ (- Q‘maxg). tig = р [ (- Q‘ming) (*258-13-131).
Следовательно, Itg, tig e 1 —> Cis (*258-14), a Q и Q поэтому удовлетво-
ряют наиболее взыскательной части гипотезы *257-27. Кроме того, Q и Q
являются Дедекиндовыми отношениями (*258-14). (Они не являются сери-
ями, так как не являются связными.)
В точности такой же аргумент применяется к MN (М G N). М N. Сле-
довательно, если Q есть одно из приведенных выше четырех отноше-
ний, и если R есть много-однозначное отношение, содержащееся в Q, то
из *257-34 следует, что Q с полем, ограниченным к трансфинитному потом-
ству какого-либо терма, есть вполне упорядоченная серия. Если мы бе-
рем 2 = а0(ас0.а^0) и берем некоторый начальный терм а, то наша се-
рия переходит к непрерывно большим классам, переходя к границе посред-
ством взятия логической суммы, т.е. если к есть некоторый экзистенцио-
нальный подкласс потомства а, то 5‘к = Итах^‘к = Итах(б/?а)‘к (*258-21-22),
где С/?а имеет смысл, определенный в *257. Этот процесс заканчивается
на П (7? *2)‘х}, если D‘R О (R *Q\x не имеет максимума; в против-
ном случае он заканчивается на /^-последователе этого максимума, кото-
рый представляет собой maxg‘{C‘/? О (Я *2)‘х). Если, с другой стороны, мы
берем в качестве Q обращение указанного выше, то мы переходим к непре-
рывно меньшим классам, а граница любой группы классов к, не имеющих
последнего терма, есть р‘к. В этом случае, если, начиная с а, каждый эк-
зистенциональный подкласс а принадлежит D‘/?, то процесс сокращения не
может остановиться возле А. Это и есть тот самый процесс, применяемый
в теореме Цермело. Мы имеем класс ц, предполагая, что он не является
единичным, и селективное отношение S для экзистенционального подклас-
са ц, т.е. отношение 5, для которого S еед‘С1ех‘ц. Тогда отношение R есть
отношение а к a -1‘5 ‘а, т.е. отношение экзистенционального подкласса ц
к классу, полученному путем отбрасывания его S-представителя. Поэтому
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
по
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
есть вполне упорядоченная серия, которая начинается с ц и заканчива-
ется А. Опуская заключительный А, 5 выбирает представителя из каждого
элемента поля 2ди, и серия этих представителей, т.е. S ’ Qr^ подобна Qr^
с опущенным заключительным А. Более того, каждый элемент ц встреча-
ется среди этих представителей, так как если х есть некоторый элемент ц,
то пусть к будет классом тех элементов С‘2ди, элементом которых явля-
ется х. (Такие классы существуют, так как и хер). Тогда хер‘к,
и, на основании сказанного ранее, р‘к является элементом C'Qr^. Следова-
тельно, на основании определения к р‘кек, и поэтому р‘к = тах^‘к. Однако
никакой класс, меньший, чем р‘к, не может принадлежать к, и поэтому
р‘к-1‘5‘р‘к не является элементом к, и тогда х не является элементом
р'к -1‘5 ‘р‘к. Следовательно, х = 5‘р‘к, и поэтому х встречается среди пред-
ставителей элементов C'Qr^, что и предполагалось доказать. (Приведенное
выше представляет собой сокращенное изложение символьного доказатель-
ства, данного ниже в *258-301). Следовательно, поле S 5 Qr^ есть ц, и поэто-
му существует вполне упорядоченная серия, имеющая ц в качестве своего
поля, при условии, что Ед‘С1ех‘р не является нулевым (*258-32). Это и
есть теорема Цермело.
Обращение теоремы Цермело уже было доказано (*250-51). Следова-
тельно, предположение о том, что может быть сделана выборка из всех
экзистенциональных подклассов ц, эквивалентно предположению, что ц мо-
жет быть вполне упорядочен или является единичным классом, т.е.
*258-36. h : цеС“П U 1 . = . g! ед‘С1 ех‘ц
Кроме того, на основании *88-33, аксиома умножения эквивалентна
предположению, что все классы за исключением единичного могут быть
вполне упорядочены, т.е.
*258-37. h : Mult ах . = . C“Q U 1 = Cis
Кроме того, в силу *255-73, аксиома умножения подразумевает, что из
двух неравных экзистенциональных кардиналов один должен быть больше,
т.е.
*258-39. h :: Mult ах . э щ v е NoC .o:p,^v.V.p,>v
*258-1. h:.2 = dtp(acp.a^P).D: s‘K6K . э . $‘к = гпах^к
Доказательство.
h . *205-101 . э h :: Нр . э у шах^ к. = :убк:абк.эа.~(уса.у^а):
[Transp] = : уе к: а ек. а у . эа . ~ (у с а) (1)
h . (1). *10-1 .oh:: Нр . s‘kек.э:.
у maxg к. = : у е к: а е к. а у. эа . ~ (у с а): $‘к # у . э . ~ (у с $‘к):
[*40-13] = : у ек: а ек. а /у. эа . ~ (у с а): $‘к = у :
[Transp . *40-13] = : у е к . $‘к = у :
[Нр] = : s'К = у :: э h . Prop
*258-101. h : Нр *258-1 . р'ке к. э . р‘к = min^K
[Доказательство аналогично *258-1]
*258-11. h : Нр *258-1 . $‘к ~ е к. э . seqg‘K = s‘k
Доказательство.
h . *40-53 . э h : Нр . э . р‘2“к = у (а е к. эа . а су. а у)
Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
111
[Нр. *40-151 . *10-29] =у(5‘ксу) (1)
F . *40-1 . *22-42-46 . э I-. 5‘к = р'у (5‘к с у) (2)
h. (2). *258-101 . э h : Нр . э . 5‘к = min^y (5‘к с у)
[(1)] = seq^‘K: э h. Prop
*258-111. h:Hp *258-1 . р‘к~ gk . э . ргес0‘к = р‘к
[Доказательство аналогично *258-11]
*258-12. h Нр *258-1 . э : Е ! тах^‘к. V . Е ! seqg‘K:
Е ! min^K. V . Е ! ргес0‘к [*258-1-101-11-111]
*258-13. h : Нр *258-1 . э . Itg = s f (- Q‘max^)
Доказательство.
h . *258-1 . Transp . э h : Hp . - g! та^‘к. э . 5‘к ~ e к .
[*258-11] э . П^‘к = 5‘к : э h . Prop
* 258-131. h : Hp *258-1 . э . tl6 = p f (- CTmin^)
[Доказательство аналогично *258-13]
* 258-14. h : Hp *258-1 . э . Q, Q g Ded . lt0, tl6 g 1 Cis [*258-12-13-131]
* 258-2. h : Hp *258-1 ./?GRl‘2n Cls-> 1. э . QRa eQ
Доказательство.
h . *258-14 . э h : Hp . э . Hp *257-27 (1)
h. (1) .*257-34 .oh. Prop
*258-201. h: 2 = ap(Pca.a#P)./?GRr2nCls-^ 1 .э.
[Доказательство аналогично *258-2]
*258-202. h: Q = MN (M G N . M N). ReRYQC\C\s1 .э. Qrxe£1
*258-203. h: Q = MN(NgM .M ±N) .ReRVQnC\s^> 1 .э. QRXe£l
*258-21. H : Hp *258-2 . к c (R *2)‘a . э . 5‘к = limax^K
Доказательство.
h . *258-13 .oh: Hp . ~ g! та^‘к. э . 5‘к = ltg‘K (1)
h . *258-2 . э h Hp . g! та^‘к. э : (gy) :y gk : qgk . эа . a су:
[*40-151] э : s‘kgk :
[*258-1] э : 5‘к = тах^к (2)
h . (1) . (2). э h . Prop
*258-211. h : Hp *258-201 . к c (R *2)‘a . э . р‘к = Птах^‘к
*258-22. H : Нр *258-2 . a g D‘7?. к c (R *Qya . g! к. э . 5‘к = Итах (С/?а)‘к
Доказательство.
h . *258-21 . э h : Нр . 5‘к ~ g к. э . 5‘к = It^K.
[*257-13] э . 5‘kg (R *2)‘a .
[*210-233] э . 5‘к = Птах (Сяа)‘к: э h. Prop
*258-221. F : Нр *258-201 . a gD7? . к с (/? *0‘а . э . р‘к = limax (Сяа)‘к
*258-23. И : Нр *258-2 . a g D'R . э . QRa g Ded . s‘(R *Q)‘a = B‘2/?a
[*258-2-22 .*250-23 .*205-121]
*258-231. h : Hp *258-201 . acD‘fl . э . QRa eDed . p‘(R *Q)‘a = BkQRa
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
112
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*258-24. h : Нр *258-2 . э . (R *£>)‘а = (3 (аса. R“v с а. s“Cl ех‘о с а. эа . Ре а)
Доказательство.
F. *258-1-13 .*257-1 .э
h : Нр . э . (R *2)‘а с [3 (а go . R“o с о. $“С1 ех‘о с о. эа . 0 со) (1)
h . *257-123 . э h : Нр . э . R“(R *£)‘а с (R *0‘а (2)
h . *258-22 . э F : Нр. ц с (Я *б)‘а. 3! р,. э . g (Я *0‘а (3)
F. *257-12. эННр.э.ае(Я*е)‘а (4)
F. (2). (3). (4). э
I-Нр: аео. /?“осо. s“Clex‘oc о. эо . 0ео: э . 0е(7? *Q)‘x (5)
F . (1). (5). э F. Prop
*258-241. I-: Hp *258-201. э .
(Я *Q)‘a = 0(аео.Я“осо. р“С1ех‘ос о. э0.0eo)
*258-242. I-: Hp *258-202 . э .
(Я *О)'Х= Y (Xe a.R“oc о. i“Clex‘oc о. z>0. Уео)
*258-243. F : Hp *258-203 . э .
(R *Q)‘X = Y(Xea,R“aco . р“С1ех‘ос о. эо . Уео)
*258-3. F:2 = 6tP(Pca.a^P).5 еед‘С1ех‘р.
R = a p (a e Cl ех‘ц. В = a - i‘S ‘a). э . QR]l e Q. S > QRv, smor 2S|i [ ( -i‘A)
Доказательство.
F . *80-14 . э F: Hp. э .Яс 2 .ЯеСк—»1. Б‘Я = Clex'p. С‘Я = СГц (1)
F. (1). *258-201 . э F : Hp. э . QRfl eQ F.*257-35 . =>F:Hp.z>..K[C‘a^el->l. (2)
[(l).Hp] э.5 [С‘2Лие^1 (3)
F. *257-14. э F : Hp. э . С‘бйи с СГц (4)
F . *80-14 . э F: Hp. э . Q‘5 = Cl ex‘p (5)
F . (3). (4). (5). э F : Hp. э . 5 s 2яц smor QRil [ (- i‘A) F . (2). (6). э F. Prop (6)
*258-301. h : Hp *258-3 . x g ц . к = C'Qr^ П Vx. э . x = S 4р‘к
Доказательство.
h . *258-36 . э h : Hp . э . (x g С‘2/?и . [Hp] Э . а! к h . (1). *258-241 .oh: Hp . э . р'ке (R *2)‘ц. (1)
[*257-36] э.p'keC'Qr^ (2)
1-. *40-1 . э h : Hp . э . x g р'к h . (2). (3). э h : Hp . э . р'к g к . (3)
[*258-101] э . р'к = тах^‘к F . (4). э h : Hp . э . (р'к - CS 'р'к) ~ g к. (4)
[*257-121 . Hp] э . x ~ g (р'к - CS ‘р‘к) h . (3). (5). э h : Hp . э . xin CS 'p': э h . Prop (5)
*258-31. F : Hp *258-3 . p ~ e 1. э . C‘S ’ QR}1 = ц
Доказательство.
I-. *80-14 . э F: Hp . z>. Q‘5 = Cl ex‘p.
[*150-36 . *257-14] э. S ’ еЯ|1 = S 5 еЯ1Л (- i‘A). С‘2Я|Х t (- i‘A) c Q‘5 .
[*150-22] z>.C‘S ’QRil = S“C‘QR]l [(-i‘A).
[*202-54 . *257-125] э . C‘S > QRfl = S “(C‘QRfl - i‘A) (1)
Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
113
F . *83-21 . э F : Нр. z>. 5 “у‘бйИ с р (2)
к . *258-241-301 . э F : Нр. х е р. э. х е S “{(R *£)‘р - i‘A}.
[*257-36] oxe5“(C‘eS(l-i‘A) (3)
F.(2).(3).oF:Hp.o.S“(C‘GK(l-i‘A) = p (4)
F. (1). (4). э к . Prop
*258-32. F:p~el. g! ед‘С1 ех‘р • =>. peC“Q [*258-3-31]
Это и есть теорема Цермело.
*258-321. F : Нр *258-3 . р QRv, а. =>. 5 ‘р ~ е а
Доказательство.
F . *250-242 . э F :. Нр. э: а = (G^), ‘Р. V. (G/^i ‘р QR]i а:
[*257-35 . Нр] э: а с р -1‘5 ‘рэ F . Prop
*258-33. F: Нр *258-3 . р ~ е 1. P = S > QRv.. э . 5 = min/> [ Cl ех‘р
Доказательство.
F. *80-14. э F: Нр. а с р. д! а. э . 5 ‘аеа (1)
F. *258-321 . эI-: Нр (1). хеа. э . ~ (gP). Р а. х = 5‘р.
[*150-4. Нр] э.~(хР5‘а) (2)
F. (1). (2). *205-1. э F : Нр (1). э . S ‘а min/> а.
[*258-3] э. S ‘а = min/>‘a: э F. Prop
*258-34. F:.p~el.z>:
S еед‘С1ех‘р. s . (gP) .PeQ. ClP = \i. S = minp [ Clex‘p
[*250-5 . *258-33]
*258-35. F : peC“Q. s . p~e 1. g! ед‘С1ех‘р [*200-12 . *250-51 . *258-32]
*258-36. F : peC“QU 1. e . g! ед‘С1 ex‘p [*258-35 . *60-37 . *83-901]
*258-37. I-: Mult ax. = . C“Q U 1 = Cis [*258-36 . *88-33]
*258-38. F :. Mult ax. э: Nc‘a c Nc‘p . V . Nc‘a = Nc‘P. V . Nc‘a э Nc‘P
[*255-73 . *258-37 . *117-54-55]
*258-39. F :: Mult ax. э:. p, veNoC . э : p v. V . p > v [*258-38]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
114
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*259. Индуктивно определенные корреляции
Краткое содержание *259.
В теории вполне упорядоченных отношений мы часто имели возмож-
ность определять отношение (которое, вообще говоря, по свой природе яв-
ляется корреляцией) посредством следующего процесса: Возьмем отноше-
ние 5, пусть W‘S есть отношение (обычно пара), которое является функ-
цией S. Положим
Aw'S =S U W'S.
Тогда, начиная с А, мы формируем серии
А, Аи?А, Аи?Аи?А, и т.д.,
каждая из которых содержит всех своих предшественников. Мы переходим
к границе посредством взятия суммы всех этих отношений, т.е. ‘А;
затем мы переходим к Aw‘s‘(Aw)*‘A, и т.д. настолько, насколько возможно.
Сумма всех полученных таким образом отношений есть функция W, и это
часто оказывается важным.
В качестве примера мы можем рассмотреть корреляцию двух вполне
упорядоченных отношений Р и 2, с которой мы имеем дело в *259-2—25
ниже. В этом случае мы полагаем
W = XT {X = seq/D‘T i seqG‘CTT}.
Следовательно,
W‘A = Aw‘A = B‘P IB‘Q= 1F|\Q,
Ащ‘Ащ‘К = lp J, \q U 2Р J, 2q,
И т.д.
Продвигаясь таким образом, мы можем продолжать, пока хотя бы одна
из двух серий Р, Q не будет исчерпана. Таким образом, мы получим новое
доказательство того, что из любых двух вполне упорядоченных серий одна
должна быть подобна сечению другой.
Для удобства положим временно
А = §Т (5 G T.S /Т) Dft.
В таком случае мы имеем А е R1‘ J О trans . Aw е RTA О Cis 1, что является
частью гипотезы *257-27 и последующих предложений. Оставшаяся часть
этой гипотезы следует по аналогии из *258-14. Мы полагаем
Wa = s\Aw*AYA Df.
Тогда И<4 коррелирует всю Р с частью или со всей 2, или наоборот. Это
доказывается в *259-25 ниже.
Для других значений W мы получаем другие результаты, часто полез-
ные; например, мы будем иметь возможность использовать методы этого
параграфа в *273, который имеет дело с сериями, подобными сериям ра-
циональных чисел.
В настоящим параграфе сначала даются некоторые элементарные свой-
ства (Aw*А)‘А и Wx для общего отношения W, рассматривая которые мы
предполагаем лишь, что W‘S никогда не содержится в S, т.е. W О (G) = А
Principia Mathematica III
*259. ИНДУКТИВНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
115
(исключая *259-121-13, где мы также предполагаем Wei —>Cls). Далее мы
переходим к особому рассмотрению случая, в котором
W = XT {X = seq/DT J, seqG‘QT},
как разъяснено выше.
* 259-01. A = ST(S gT.S / Т) Dft[*259]
* 259-02. AW = ST (T = S UW‘S) Dft[*259]
* 259-03. WA = si(Aw*A\A Df
В следующих предложениях, которые следуют из предложений *258,
существенно иметь Aw G а. Для этого мы требуем, чтобы QlS, когда суще-
ствует, не содержалось в S. В дальнейшем будет замечено, что в соответ-
ствии с приведенным выше определением
A*=St(S gT).
Следовательно, вместо использования “с” в качестве отношения, которое
неудобно для обозначения, мы будем использовать А*. Поэтому условие,
которое мы хотим наложить на W, заключается в том, чтобы никогда не
иметь (W'S) A* S. Это обеспечивается с помощью
W А А* = А,
что соответственно появляется в качестве гипотезы в следующих предло-
жениях.
* 259-1. h : A gR1‘J A trans . кд g 1 —> Cis :
W h А* - А . э . Aw е ИГА A Cis —> 1 . А (Ащ, A) gQ
Доказательство.
Как и в *258-14 h . кд g 1Cis (1)
h. *201-18 . эН.Нр.э:ЛЛУ5 .o.-(MgS) (2)
h . (2). (*259-02). э h Hp . э : SAWT . =>. 5 GT . S ±T .
[(*259-01)] Э.5АТ (3)
h . (1). (3). *258-202 .oh. Prop
В следующем предложении обозначение A (Aw, А) представляет собой
обозначение, определенное в *257-02, принятое в связи с тем, что Aw
неудобно использовать в качестве суффикса.
*259-11. НЕ! W‘A . W А А* = А . э .
Мд = B‘Cnv‘A (Aw, A). s“Cl‘(Aw * A)‘A c (Aw * A)‘A
Доказательство.
I- . *258-242 . *259-1 . эР : Hp Дс (Aw *А)‘Л . э . (Aw * A)‘A (1)
H (1). э h : Hp . э . g (Aw * A)‘A (2)
h. *41-13 . э h : Hp. T g(Aw * A)‘A - 1‘1Уд .э.ТАИ^д (3)
h . (1) . (2) . (3) . э h . Prop
* 259-111. h IV A A* = A . 5, T g (Aw * A)‘A . э : S G T . V . T G S
[*259-l . *257-36]
* 259-12. I-: S g D‘Aw . = . E ! S [(*259-02)]
* 259-121. h : We 1 Cis. э . D‘Aw = CTW [*259-12]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
116
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*259-122. F : IV А А* = А. xWAy. X = (Aw * A)‘Anf {- (хТу)}. d. х (W‘s‘X) у
Доказательство.
F. *259-11 . эЬ:Нр.э.ГХе(Аи,*А)‘А. (1)
[Нр] э.я'ХеХ (2)
I-. (1). (2). *257-3 . э F : Нр. э. s‘X е D‘AW .
[*259-12] d.E!W‘s‘X (3)
I-. (3). э F: Нр. э . (s‘X) A (Ajy‘s‘X).
[*257-121] D.Atv‘s‘Xe(Alv*A)‘A-X.
[Hp] D.x(Aw‘j‘X)y (4)
F . (2). (4). э F : Hp. э . ~ (x (s‘X) y]. x(At/s‘X)y.
[(*259-02)] d . x(lV‘s‘X)y: э F. Prop
*259-13. F : W A A* = A . W e 1 -»Cis. э . WA = j‘W“(Aw * A)‘A
Доказательство.
F . *259-122 . э F : Hp. d. WA G s‘iy“(Aw * A)‘A (1)
F . *257-123 . э F : Hp. э . j‘lPl(Aw * A)‘A G WA (2)
F . (1). (2). d F . Prop
*259-14. F IV A A* = A: 5 e (A^ * A)‘A A 1 —» Cis A G‘W. d$ .
W‘5 e 1 -> Cis. Q‘5 A Q‘W‘5 = A : э . WA e 1 -> Cis
Доказательство.
F. *71-24 . (*259-02). э FHp. э:
S e(Aw)‘А A 1 —> Cis. d . AW‘S e(Aw * A)‘A A 1 -»Cis (1)
F. *259-111 . dF:. Hp. S, Te(Aw *A)‘A. d :S g T. V. TcS (2)
F. (2). dF :Hp .Xc(A|v * A)‘A. x(i‘X)z .y(5‘X)z. э. (gT) . Tek.xTz .yTz (3)
F. (3). э F: Hp. Xc (A|y * A)‘A Al—» Cis. x(s‘X)z .y (s‘X)z • э. x = y (4)
F. (4). d F: Hp. Xс(A^ * A)‘A A 1 —»Cis. d . s‘Xe 1 —> Cis (5)
F. (1). (5). *258-242 . э F: Hp. d . (Aw * A)‘A c 1 -» Cis.
[*259-11] d. WA e 1 -> Cis :dF. Prop
* 259-141. F:. WhA* = A:S e(Aw * A)‘An Cis-> 1 АСГ1У.э$ .
IV‘5 e Cis —> 1. D‘5 A D‘W‘5 = A : d . WA e Cis -»1
[Доказательство аналогично *259-14]
* 259-15. F W A A* = A: S e(Alv * A)‘A A 1 -> 1 aQ‘IV.ds .
IV‘5 e 1 -* 1. D‘5 A D‘W‘S = A. Q‘S A CTW‘5 = A : d . WA e 1 -> 1
[*259-14-141]
Следующее предложение является леммой для *273-23.
* 259-16. F:. WAA* = А : Г e(Aw * А)‘А А . Р [DT^T’Qdt .
Р[(А^‘Т) = (Аи,‘7’);е:э:
Р [ D‘WA = WA ’ Q: T e (Aw * A)‘A. or . P [ D‘T = T ’ Q
Доказательство.
F . *259-11 . d F Hp. Xc (A^ * A)‘A . d :
x (P [ D‘ j‘X)y. s . (g T). T e X. x (P ] D‘T)у (1)
F . (1). d F Hp . X c (Aw * A)‘A: Tin X. Dr . P [ D‘T = T ’ Q: э :
x(PtD‘s‘X)y.s.(aT).reX.x(nM2)y.
[*259-111] =(a5,T).5,TeX.x(5 ie|f)y.
Principia Mathematica III
‘259. ИНДУКТИВНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
117
[*i50-i] = x((j‘X);2}y (2)
к. (2) .*258-242 .эк:Нр. Те(Aw*Ay\.z>.P [D‘7 = T'Q (3)
к . (3). *259-11 . эк. Prop
Два следующих предложения являются леммами для *273-22-212.
*259-17. к:. Ж Л А* = А: S е (А^ * А)‘А О СПУ. э5 .
Q‘5 OCTW‘5 = А:э.О f(Alv*A)‘Ael -> 1
Доказательство.
к . *250-242 . *257-35 . *259-1 . э
к :. Нр . 5, Те(А|у * А)‘А. 5 ?T.z>:Aw‘S gT .V .Aw‘TtS :
[(*259-02)] э: CTW‘S а (ГТ. V . Q‘IV‘7 с Q‘5 :
[Нр] э : Q‘5 / ОТ:. э к . Prop
*259-171. к:. W Л А* = А: S е (Aw * А)‘А Л Q‘IV. э5 .
D'S nD‘lV‘5 =A:o.D f (Aw * А)‘Ае 1-И
[Доказательство аналогично *259-17]
*259-13. к : W Л А* = А. IV е 1 -> Cis. э . WA = ?W“(Aw * А)‘A
Доказательство.
к . *72-182 . э к :. Нр . э : Т е Q‘IV. э . W'T е 1 -> 1 (1)
к.*206-2. э к :. Нр . э : Т eQ‘lV. э . D‘7 Л D‘VV‘7 = А. 0‘7 Л Q‘IV‘7 = А (2)
к . (1). (2). (3). *259-15 .эк. Prop
*259-21. к : Нр *259-2 . g2 С J . э . WA ? Qg Р. D‘IVA с С‘Р. Q‘WA с C'Q
Доказательство.
к. *206-133 . эк : Нр. 7eQ'IV. э . (W‘7) > g = А (1)
к . *206-21 . э к: Нр (1). э. seqe‘Q‘7 ~ е Q“Q‘T .
[*37-461] э.(1Р‘7)|217 = А (2)
к. *206-18. э к : Нр (1). э. D‘Aiv <= С'Р (3)
к . (3). *41-43 . *258-242 . э к : Нр. э . D‘!VA с ёР(4)
Аналогично к : Нр . э . G‘IVA с С‘б (5)
к . (4). *41-43 . *206-132 . с к : Нр (1). Т е (Aw * А)‘А. э . seqe‘D‘7 е р1<Р“1УТ .
[*40-16] э . seq^‘D‘7еp‘<P“T“T^‘seqQ‘(TT .
[*40-67] э . (7“’^‘seqe‘G‘7) ? i‘seq/D‘7 G Р (6)
к. (1). (2). (6). эк: Нр (1). 7e(Ajv * А)‘А. 7 ’ £)g Р. э . (Ajy‘7) > Qg Р (7)
к . *259-111 . э к:: к с (Ац, * А)‘А. х {(i‘X) > Q\ у. э:.
(д7). 7еХ. х(7 > 2)у:.
[*11-62 . *10-23] э:. 7еХ. э?-. 7 > 2g Р: э . хРу (8)
к. (8). Comm. э к :. X с (Ajy * АУА: Т е).. . Т Q <1 Р: . (У!) ’ QG.P
к . (7). (9). *258-242 . э к :. Нр. э : 7 е (Aw * А)‘А. э . 7 5 Q G Р:
[*259-11] э:№а52сР
к . (10). (4). (5). э к . Prop
*259-211. к : Нр *259-2 . Р2 G J. э . IVA 5 Р G Q
[Доказательство аналогично *259-21]
*259-22. к : Нр *259-2 . Peconnex. э. D“(Aw * А)‘А с sect'P
Доказательство.
к . *211-22 . э к : Нр. 7 е Q‘IV. D‘7 еsecVP. э . D‘Ajv‘7 е secVP (1)
к. *211-63 .эк: D“Xc secVP. э . D‘i‘Xesect‘P (2)
к. (1). (2). *258-242 .эк. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
118
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*259-221. I-: Нр *259-2 . бесоппех. э . D“(Ajy * А)‘А с sect‘2
*259-222. F : Нр *259-2 . Р е Ser. Е ! B'P. Q2 G J. Т е (Aw * А)‘А. э.
Т •> Q е С‘Р^ [*259-21-22 . *213-161]
*259-223. I-: Нр *259-2 . Q е Ser. Е ! B‘Q. Р2 G J. Т е (Aw * А)‘А. э. t i Q е С‘2?
*259-23. F : Нр *259-2 . Р, Q е Ser П Q‘B. Т е (Aw * А)‘Л. э .
(3М, N) .МеС‘Р<; .NeC'Qs . ТеМ smor N {*259-2-21-222-223}
*259-24. F : Нр *259-2 . Р, Q е Q. э: D‘WA = С'Р. V . СТWA = C'Q
Доказательство.
F. *206-18. э F : Нр . Р = А. э . IVA = A (1)
F . *206-18 . z> И : Нр. Q = Л. э . WA = Л (2)
F . (1). (2). о I-Нр : Р = А. V . Q = Л: э: D‘WA = С‘Р. V . d‘WA = C'Q (3)
F . *259-11. *257-36 . z> F : Нр. 3! Т5. а! 2 •=>• ^VA ~ e D'A^ .
[*259-12] э. ~ (Е ! seq/D‘WA . Е ! seqe‘CTIVA) (4)
Ь. (4). *252-1 . *259-22-221 . э
b:.Hp.a!P.a!P.a!e-3:D‘lVA=C‘P.V .Q‘Wa=C‘2 (5)
F. (3). (5). э F . Prop
*259-25. F : Hp *259-24 . z>: (aP) • Pesect‘(?. WA ePsmor (Q [₽). V.
(act). a e sect'P. WA e (P [ a) smor Q [*259-23-24]
Приведенное выше дает новое доказательство *254-37, которое утвер-
ждает, что если Р и Q вполне упорядоченные серии, то одна должна быть
подобна сечению другой. В силу *259-25 (которое было доказано без ис-
пользования предложений параграфа *254), WA представляет собой корре-
лятор, который соотносит всю первую серию с частью или всей второй
серией.
В дальнейшем будет замечено, что отношения (А|у*А)‘Л являются клас-
сом корреляторов сечений Р с сечениями Q при условии Р, Q е Q - i‘A; т.е.
F:Hp*259-2 .Р, QeQ-i‘A.o.
(Aiv * А)‘А = t {(аМ, N). Me С‘Р<;. Ne C‘Q<;. Т е Мsmor N}.
Principia Mathematica III
ГЛАВА 5.
КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ
СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
Краткое содержание главы 5
В настоящей главе мы сначала будем касаться различия конечного и
бесконечного в применении к сериям и ординалам. Затем мы установим
отличительные свойства конечных ординалов и рассмотрим наименьший
из бесконечных ординалов, а именно со — ординальное число прогрессии.
Наконец, мы кратко рассмотрим некоторые специальные ординалы и серию
кардиналов, применимую к вполне упорядоченным бесконечным сериям, а
именно серию “алефов”, как они называются вслед за Кантором.
При рассмотрении конечного и бесконечного в применении к сериям
мы имеем постоянную потребность в отношении (Pi)po, где Р представляет
собой генерирующее отношение серии. Мы имеем
х (Pi) роУ. = . Р(х н у) е Cis induct - t‘A,
т.е. “х(Р1)роу” имеет место тогда и только тогда, когда найдется конечное
число посредников между х и у. Когда Р является финитным, мы имеем
Р = (Р1)ро,
но мы можем это иметь и когда Р не является финитным. Бесконечные
серии, для которых это положение имеет место, представляют собой про-
грессии, их обращения (которые мы будем называть регрессиями) и серии,
состоящие из регрессии, за которой следует прогрессия, примерами кото-
рых будут отрицательные и положительные конечные целые числа в по-
рядке величины.
120
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 260. О финитных интервалах в серии
Краткое содержание *260.
В настоящем параграфе мы касаемся отношения, которое имеет место
между х и у, когда интервал Р(хну) является индуктивным классом, от-
личным от А, или когда интервал Р(хну) представляет собой индуктив-
ный класс, по меньшей мере, из двух термов. Это отношение имеет место,
если х и у находятся в каком-либо отношении из класса fin‘P (определен-
ного в *121). Мы будем называть это отношение Pfn- Таким образом, мы
полагаем
Pfn = j‘fin‘P Df.
В таком случае xPfny имеет место, когда xPvy, где v — индуктивный кар-
динал, отличный от 0 (*260-1). Это отношение переносит нас от х к любо-
му более позднему терму, которого можно достичь, не переходя к преде-
лу. Однако, если в интервале Р (х7 ч у) найдется какой-либо терм, который
не обладает непосредственным предшественником, т.е. какой-либо элемент
C'P -CTPi, то тогда мы не будем иметь хР^у. Таким образом, Pfn огра-
ничивает нас термами, которые находятся на конечном расстоянии от на-
шей начальной точки. В дальнейшем мы обнаружим, что если Р eQ, то
необходимым условием для финитности Р является P = Pfn. Это условие не
будет достаточным, так как оно не исключает прогрессий, однако лишь
прогрессии являются теми бесконечными сериями, которые оно допускает,
а прогрессии исключаются допущением Е ! В‘Р.
Несмотря на то, что Pfn, вообще говоря, не представляет собой сери-
альное отношение, когда Р или Рро являются сериальными, оно становится
сериальным, когда ограничено потомством или прародителями, или семей-
ством любого терма в силу самого указанного отношения (*260-32-4). Когда
серия Р вполне упорядочена, то вся серия может быть разделена на со-
ставляющие серии, каждая из которых является семейством любого одно-
го из ее элементов в силу отношения (исключая тот случай, когда Р
обладает последним термом, который не имеет непосредственного предше-
ственника, и в этом случае этот последний терм должен быть пропущен).
(Ср. *264.) Каждая из указанных серий (за исключением, возможно, по-
следней) есть прогрессия, а последняя — либо финитна, либо является про-
грессией. Следовательно, каждая бесконечная вполне упорядоченная серия
состоит из серии прогрессий, за которой следует финитная петля (которая
может быть нулевой); следовательно, кардинал поля бесконечной вполне
упорядоченной серии кратен No- Эти результаты будут доказаны позже;
сейчас мы в большей степени озабочены доказательством того, что семей-
ство любого терма в силу Pfn является серией, генерирующее отношение
которой представляет собой Pfn со своим полем, ограниченным к указан-
ному семейству15.
15 Заметим, что при переводе мы используем обороты вида ограниченное на ... и огра-
ниченное к ... как эквиваленты друг друга. — Прим. ред.
Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ
121
В настоящем параграфе мы главным образом касаемся отношений Pfn
к Р\. Мы имеем
* 260-27. H:PpoeSer.D.Pfn = (Pi)po
Это предложение будет использоваться весьма часто на протяжении
всей этой главы.
Без какой бы то ни было гипотезы мы имеем
* 260-12. h.PfnGPpo
Мы также имеем
* 260-15. h.Pfn = (Ppo)fn
Следовательно, какие бы свойства Pfn ни вытекали из гипотезы о том,
что Р является серией, они будут вытекать из более слабой гипотезы, что
Рро представляет собой серию.
Если Рро является серией, то Pfn содержится в различии и является
транзитивным (*260-202), но, вообще говоря, не является связным.
При сравнении Pfn и (Pi)po мы постоянно нуждаемся в предложении
* 260-22. h : Рро еSer . z>. (Р0 j = Р} . Р} е 1 -> 1 . (Pi)po G J
От *260-3 и до конца параграфа мы имеем дело с результатом ограни-
чения поля к предкам, потомству или семейству некоторого элемента
его поля. Мы имеем
* 260-33. h : Рро eSer . xeD‘Pi . Pi -R . э .
Pfn [ (l X U К X) = (Же X) j Рро — {(Же X) j P) p0 — {P f (Ж>° P°
*260-34. I-: Hp *260-33. э . (Pfn [ (i‘x U 5?fn‘x)J i = (fr* ‘x) 1 R = R [ ^‘x
*260-01. Pfn = j‘fin‘P Df
*260-1. h : xPfny . = . (gv). veNC induct - t‘0 . xPv у
[*121-121. (*260-01)]
*260-11. h : xPfny . = . P (x H y) e Cis induct - 0 - 1
Доказательство.
h. *260-1. *121-11. z>
h : x Pfh у. = . (gv). v e NC induct - i‘0. P (x н у) e v +c 1.
[*120-472] = . (дц). pieNC induct - t‘0 - t‘l . P (хну)eц .
[*120-2] = . P (x н у) e Cis induct - 0 - 1 : d h . Prop
*260-12. h.PfnGPpo
Доказательство.
h . *121-321. *117-511. z> h : v eNC induct - t‘0 . z>. Pv GPpo (1)
h . (1) . *260-1. d h . Prop
*260-13. h : x Pfh у. э . P(x н у), P(x н y) e Cis induct - t‘A
Доказательство.
h . *260-12 . *121-21-22 . z> h : Hp . z>. P(x н у), P(x H y) e - t‘A (1)
h . *91-54 . (*121-011-012-013). э
h . P(x H y) c P (x H y). P(x 4 y) c P (x H y) .
[*120-481. *260-11] d h : Hp . d . Р(хну), Р(хну) e Cis induct (2)
h . (1) . (2) . d h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
122
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*260-131. h Рро G J . э : xPfny . = . Р(х н у) е Cis induct - t‘A .
= . Р(х ч у) е Cis induct - i‘A
Доказательство.
h . *121-22 . э h : P(x H y) e Cis induct - i‘A. z> . x Ppo у. (1)
[*121-242 . *91-54] z>. P (x н у) = P(x ну) U t‘y
[*120-251] z>. P (x H y) e Cis induct (2)
h.(1). *121-242 . z> h : Hp . Hp (1). э . x,y еР(хнy). x/y .
[*52-41] =>.P(xHy)~eOUl (3)
h. (2). (3). *260-11. э h : Hp . Hp (1). э . xPfnу (4)
Аналогично h : Hp . P(x чу) 6 Cis induct. э . x Pfn у (5)
h . (4). (5). *260-13 .oh. Prop
* 260-14. h : Pe (Cis —* 1) U (1 —> Cis). Ppo G J . э . Pfn = Ppo
Доказательство.
h . *121-52 . э F : Hp . d . s‘finid‘P - P* .
[(*260-01)] D.Pfn = P*-P0
[*121-302] =P*-Z[C‘P
[*91-541] = Рро : d h . Prop
* 260-15. h . Pfn = (Ppo)fn [*260-1. *121-254]
* 260-16. h.(P)ftl = Pfn [*260-1. *121-26]
* 260-17. h : Pp0 e Ser . x Pp0 у. э . P (x н у) = C‘{Ppo [ P (x H y)}.
x = B‘{Ppo IP (x н j)}. j = B‘Cnv‘{Pp0 [ P (x н y)}
Доказательство.
h . *121-242 . dF: Hp . d . x,y eP (xH y). x у . (1)
[*52-41] э.Р(хну)~е! .
[*202-55] э.С‘{Рро £Р(хну)} = Р(хну) (2)
h . *91-542 . э F Hp . э : zeP(xH}’) . z / x. □ . x{Ppo [ P (xH j)} z :
[(1). *205-35] D:x = min{Ppo [P(xhj))‘P(xhj):
[(2). *205-12] э : x = B‘{Pp0 [ P (x H y)} (3)
Аналогично h : Hp . d . у = B‘Cnv‘{Ppo [ P(xH y)} (4)
h . (2). (3). (4). z> h . Prop
Следующие предложения касаются доказательства того, что если
Рро eSer, то Pfn = (Pi)po и Pv = (Pi)v. Заметим, что “х(Р])роу” означает, что
мы можем перейти от х к у с помощью конечного числа шагов от одного
терма к следующему, так что серия не содержит предельных точек меж-
ду х и у. Отношение “x(Pi)vy” означает, что могут быть найдены v-Д
промежуточных термов
Z1, Z2, Z3 > • • • Zy-C 1»
причем каждый из них находится в отношении Pi к своему соседу, таких,
что xP]Zi и zv_c]Piy. Таким образом, мы должны доказать, что при условии,
что Рро —серия, это происходит тогда и только тогда, когда число термов
в интервале Р(хну) есть v+Д.
* 260-2. h : Рро е connex. хР*у. yP*z. э . Р (х н z) = Р (х н у) U Р (у н z)
Доказательство.
h . *201-14-15 . z> h: Нр .э.Р(хну)сР(хнг).Р(унг)сР(хнг) (1)
F . *202-13-103 . э F Нр . xP*w. э : wP*y . V . yP*w (2)
F. (2). *121-103. э
Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ
123
I-Нр . w е Р (х н z)• э : хР*w. wP*y. V . yP*w . wP*z:
[*121-103] o:weP(xHy)UP(yHz) (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*260-201. F : Ppo e connex . э . Pfn e trans
Доказательство.
F . *260-12 . d F : xPfny. yPfnz . э . xP*y. yP*z (1)
F . (1). *260-2 . э
h : Hp . xPfny. yPfnz. э . P (x н z) = P (x н y) U P (у н z). (2)
[*260-11. *120-71] z>. P (x н z) e Cis induct (3)
F. *60-32-371. dF: a eOu 1 .pea. э.р eOU 1 :
[Transp] эЬ:р-б0и1.рса.э.а-е0и1 (4)
F. (2). *260-11. э
F : Hp . xPfny. yPfnz. э . P (x н y) ~ e 0 U 1 . P (x н у) с P (x н z) •
[(4)] z>. P(xh z) ~ eOu 1 (5)
F. (3). (5). *260-11. z> F : Hp . xPfny. yPfnz . э . xPfnz: э F . Prop
*260-202. F: Ppo e Ser . z> . Pfn e R1‘ J О trans
Доказательство.
F . *260-12 . э F : Ppo G J. э . Pfn G J (1)
F . (1). *260-201. э F . Prop
Вообще говоря, мы не будем иметь Рро e Ser . э . Pfn e Ser, потому что Pfn,
вообще говоря, не связно. Pfn лишь соотносит два терма, которые находят-
ся на каком-либо конечном расстоянии один от другого, и, следовательно,
разделяет Рро на некоторое число взаимно исключающих частей. Мы будем
иметь лишь Pfn е Ser, когда каждый интервал в серии является финитным.
*260-21. F: Рро е Ser . хР*у. yP\z . э . Р (х н z) - Р (х н у) U Cz
Доказательство.
F . *121-304 . э F . Нр . э . Р (у н z) = i‘y U Cz (1)
F . *121-242 . э F : Hp . э .yeP(xHy) (2)
F . *260-2 . □ F : Hp . э . P (x н z) = P (x н у) U P (у н z)
[(1). (2)] = P (x H y) U i‘z : z> F . Prop
*260-22. F : Ppo e Ser . э . (PD! = Л . Л e 1 1. (Pj)p0 G J
Доказательство.
(-.*121-254. эНА^Рро)! (1)
1-. (1). *204-7. э 1-: Hp. z>. Pjel —> 1 (2)
(-.*121-305. z> h : Hp . =>. P| gP.
[*91-59] —’ • (Pl) po G Ppo •
[*204-1] D.(Pi)poGj (3)
l-.(l).(2).(3) . *121-31. эН Prop
*260-23. F : Ppo e Ser . v e NC induct. э . (Pi) v e 1 —» 1
[*121-342. *260-22]
*260-24. F : P^ eSer . veNC induct. х(Р1\у. x(Pi)v+jz . э .yP\Z
Доказательство.
F . *121-35 . *260-22 . z> F : Hp . э . x {(P0 v | PJ z.
[*34-1] э . (gw). x(Pi)yW. wPiz.
[*260-23 . Hp] d . yP\z : oF.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
124
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 260-25. F : Р?о е Ser .R-P\ . xR*y. э . Р (х н у) = R (х н у)
Доказательство.
F . *260-24 . э F: Нр . v е NC induct. xRvy. xRv+c}Z. P (x н у) = R (x н у). э .
yRz. P (x н у) = Я (x н у).
[*260-21] э . P (x н z) = R (x н y) U i‘z
[*260-2. *121-371-304] =/?(xHz) (1)
F . (1). d F Hp . v eNC induct: xRvy . . P (xHy) = R (хну): d :
xRv+ciz. эг. P (x н z) = R (x н z) (2)
F . *121-301-22-242 . z> F : Hp . xRQy. z>. P (x H y) = t‘x = /?(хну) (3)
F . (2). (3). Induct. d
F Hp . d : v e NC induct. xR^y. э . P (x H y) - R (x H y):
[*121-12] d : S efinid‘P . xSy . э . Р(хну) = R (хну) :
[*121-52 . *260-22] э : xR*y . d . P (x Hy) = R (хну)d F . Prop
В приведенном выше предложении “Induct” отсылает нас к *120-13.
“ф^” в *120-13 заменяется на
xR^y. z>y . Р (х н у) = R (х н у).
Таким образом, (2) в приведенном выше доказательстве есть (когда v за-
меняется на
£ е NC induct. . э . ф (§ +с 1),
а (3) есть фО.
Следовательно, на основании *120-13, мы имеем
а е NC induct. э . фа,
т.е. veNC induct. э : xRvy . z>y . R (х Н у),
что является заключением, выведенным в данном выше доказательстве.
Всякий раз, когда “Induct” дается в качестве ссылки, он указывает
на такой процесс, как приведенный выше, основывающийся на использо-
вании *120-13 или *120-11.
* 260-251. F: Рро eSer. D.(Pi)poGPfn
Доказательство.
F . *260-25 . э F : Нр . R = Рх . хЯроу . э . Р (х н у) = R (х н у). (1)
[*121-45 . *260-22] э . Р (х н у) е Cis induct (2)
F . *121-242 . (1). *260-22 . э F : Нр (1). э . х,у еР(хну). х^у.
[*52-41] э. Р(хну) ~e0U 1 (3)
F . (2). (3). э F : Нр . x(Pi)poy. э . Р (х н у) е Cis induct - 0 - 1 .
[*260-11] э . xPfny: э F. Prop
* 260-26. F Ppo e Ser . R = P\ . хЯ*у. d : xPvy . = . xRvy
Доказательство.
F . *260-25 . э F Hp . э : P (x н у) = R (x H y):
[*121-11] d : xPvy . = . xRvy :.dF. Prop
* 260-261. F : Pp0 e Ser . veNC induct - i‘0. xPvy. xPv+ciz. э .yP\z
Доказательство.
1-. *121-11. э F : Hp. э . . Nc‘P (xny) = v+cl . Nc?(xhz) = v +c2 . (1)
[*120-32] э. (2)
F. (1). *120-428 . э F : Hp. э . Nc‘P (x н z) > Nc‘P(xHy).
[*117-222. Transp] Z>.~{P(xHz)c Р(хну)).
[*121-103. *201-14-15] Э . ~ (zP*y). (3)
Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ
125
[*202-103] э.уРрог.
[*202-171] э.Р(хнг) = Р(хну)иР(у-1г).
[*120-41. (1). (3)]э. Р(у -I z)e 1 .
[*121-242.(2)] э.Р(унг)е2.
[*121-11] э .yPxz: э I-. Prop
* 260-27. F : Ppo e Ser. э . Pfn = (Pj) p0
Доказательство.
I-. *260-261. э F: Hp . v eNC induct -1‘0. xPvy. xPv+ciz • x(Pi)pOz • э .
yP{z. x(Pi)poy.
[*91-511] D.xCPOpoZ (1)
F . (1). э F :. Hp. v e NC induct -1‘0: xPvy. . x(P1)po^: э :
xPv+ciz. эг .x(Pi)poZ (2)
F . *91-502 . z> F : xPxy. э. x(Pj)p0 у (3)
F . (2). (3). *120-47. э F :. Hp . э : v eNC induct - i‘O. z>v . Pv с(Р()ро:
[*260-1] D:PfnG(P1)po (4)
F . (4). *260-251. э F . Prop
*260-28. F : P^ eSer. veNC induct - i‘O. э. Pv = (Pj)v = (Pfn)v
Доказательство.
F. *260-26. DF:.Hp.o:x(PI)poy.xPvy. = .x(P1)p0yx(Pi)vy (1)
F . *260-1. э F : Hp. xPvy. э . xPfny.
1*260-27] э-ДР^у (2)
F. *121-321. DFsHp.xtPjV.D.xfPi)^ (3)
F. (1). (2). (3). э F :. Hp. z>: xPvy. s . x(Px\y (4)
F. *121-254. oF.(P1)v = {(P1)p0}v.
[*260-27] э F : Hp. э . (P!) v = (Pft,) v (5)
F . (4). (5). э F . Prop
Вообще говоря, указанное выше предложение не имеет места, когда
v = 0, так как, если Р представляет собой компактную серию, то Р, = А,
так что (Р])о=А, но (Pi)o = /fC‘P.
* 260-29. F : Рро е Ser. xPfny. э . Р (х н у) = Рх (х н у) = Pfn (х н у)
Доказательство.
F . *260-27-25 . э F : Нр. э . Р (х н у) = Р, (хну)
[*121-253. *260-27] = Pfc(xHy): z> F . Prop
Следующие предложения касаются главным образом результата ограни-
чения поля Pfn к потомству одного единственного терма.
* 260-3. F : Рр0 е Ser. э. О‘РЬ = D‘Pf . Q‘Pfn = Q‘Pf. C‘Pf„ = C‘P,
[*260-27. *91-504]
* 260-31. F : PpoeSer. xeD'Pf . э . C‘{Pfn I (i‘xU ^fn‘x)) = (Pf)*‘x = i‘xU ^‘x
Доказательство.
F . *260-27. э F : Hp. □. i‘xU ^fn‘x = i‘xU (Pf)po‘x
[*96-14] =(P?h‘x (1)
F . *260-3. z> F: Hp. э . g! ^~fn‘x
[*36-13] э . (gy). x {Pfn t (i‘x U ‘x)J у (2)
F . *36-13 . z> F :y e 5ffn‘x. э. x{Pfn [ (i‘xll ^fn‘x))y.
[*10-24] z>. (gz) • z(Pfn [(i‘xukfn‘x))y (3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
126
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
F . (2). (3). э F : Нр . э . i‘xU ^fn‘xc С‘{Лп t (i‘xU Hn‘x)}.
[*37-41] z>. l‘xU ^fn‘x = C‘{Pfn [ (i‘xU ^fn‘x)} (4)
h . (1) . (4). z> h . Prop
* 260-32. H . Ppo e Ser . э .
Pfn t (i‘x U frfn'x) = Ppo t (I‘x U ^fn‘x). Pfn [ (i‘x U £fn‘x) e Ser
Доказательство.
F . *260-12. 3 F . Pfn t (I‘xu K‘x) GPpo t (i‘xU frfn‘x) (1)
I- . *260-3. *200-35 . з
I-: Hp . x~eD‘Pi. з . Pfn [(i‘xU ^fn‘x) = A = Ppo [(CxU^'x) (2)
F. *201-521. *260-27.3
F:Hp.xeD‘P| .D.Pfn [(i‘xU^’fn‘x) = (P1)po [:{Pi)*‘x.
[*202-14 . *160-22] з. Pfn [ (t‘xU ^fn‘x) e connex.
[*260-202] з . Pfn [ (i‘x U frfn *x) e Ser. (3)
[(1). *260-31. *204-41] з. Pfn [(i‘xU^fn‘x) = Ppo [(i‘xU^fn‘x) (4)
F. (1). (3). (4). з I-. Prop
*260-33. h : Ppo e Ser . xeD‘Pi . P] =R . d .
Pfn [ (l XU x) = (^R* x) ] 7?po = {(Ж: x) ] /?} po = {/? [ (Ho x)} po
Доказательство.
h . *260-27-31. э h : Hp . э . Pfn [ (i‘xU Hh‘x) = Яро t H‘x
[*96-16. *91-602] =(5Г*‘х)1Яро (1)
[*96-13] ={(^‘x)]P}po (2)
[*96-2. *260-22] = {Я [ (%o ‘x)) po (3)
F. (1) . (2). (3). 3F.Prop
*260-34. h : Hp *260-33. з . (Pfn [ (i‘xU frfn‘x)) i = (K‘x)] R = R f frpo‘x
Доказательство.
F . *260-33 . *121-254. з
F : Hp. з. {Pfn [ (i‘x U £fn‘x)} i - {(^‘x)1 P)i = (P f ^p0‘x}i (1)
F . (1). *121-31. *260-22 . з F. Prop
Следующие предложения касаются результата ограничения поля Pfh
к одному единственному семейству.
*260-4. h : Рро e Ser . э . Pfn [ Pfn‘xeSer .
C‘(Pfn [ Pfn ‘x) = Pfn ‘x = (Pj) * ‘x. Pfn ‘x ~ e 1
Доказательство.
F . *260-27. *97-17. з F : Hp . з . Pfn‘x= (Pi)po [ (P,)*‘x.
[*202-15. *260-22] з . Pfn [ Pfn‘xeconnex.
[*260-202 . *204-42] з . Pfn [ pfn‘x e Ser (1)
F . *97-18. з F . C‘(Pfti I Pfn‘*) = Pfn‘x (2)
F . (2). *260-202 . *200-12 . з F : Hp . з. Pf„‘x~ e 1 (3)
F . *260-27. *97-17. з F : Hp. з . Pfn‘x = (Pj)*‘x (4)
F.(l).(2).(3).(4).3F.Prop
Principia Mathematica III
=260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ
127
*260-41. F : Рро е Ser . R = Р\ . э . Pfn [Pfh‘x = Ppo [ Я*‘х = (Я*‘х) 1 Яро=Яро ГЯ*‘х
Доказательство.
F . *260-27. *97-17 . z> F : Нр . э . Pfn [ Pfn‘х = Яр0 [ Я* ‘х (1)
F . *97-13 . э F: Нр. yeR^x. yRpoZ. э. гсЯро“'Й*4хи Яро“Жс‘х.
[*92-311. *260-22] э . геЖ‘хи Ж=‘х.
[*97-13. *36-13] э.у(Яро 0*‘x)z (2)
F . *35-21-441. z> h . Яро [ Я* ‘х G (Я* ‘х) ] Я^ (3)
F . (2). (3). э F : Нр . э . Яро [ Я*‘х = (Я*‘х) ] Яро (4)
Аналогично F : Нр . э . Яро [ Я*‘х = Яро [ Я*‘х (5)
F . (1). (4). (5). э F . Prop
*260-42. F : Нр *260-41. э . Pfh [ pfn‘х = (Я*‘х 1 Я) ро = (Я [ Я*‘х) ро
Доказательство.
F. *92-32 . *260-22 . э F: Нр. э . R“R* ‘х с R* ‘х.
[*96-111] э. (R*‘x) 1 Rpo = ((R*‘x) ] R]po (1)
Аналогично F : Hp. d . Rpo f R* ‘x = {R f R* ‘x} po (2)
I- . (1). (2). *260-41 . э F. Prop
*260-43. F: Ppo e Ser. => . (Pfn [ Pfn‘x} i = Pi [ Pfn‘x = (Pfn‘x) 1 Pi = Pi [ (Pfn ‘x)
Доказательство.
F . *260-42 . *121-254. э
F : Hp. R = P] . э . {Pfn [ Pfn'x] i = {(R*‘x) 1 R} i
[*121-31. *260-22] =(R*‘x)1R
[*97-17. *260-27] = (Pfh‘x) 1 P, (1)
Аналогично F : Hp. э. {Pfn [ Pfn‘x) i = Pi f Pfh'x (2)
F . (1). (2). *35-11. э F: Hp. э . {Pfn I Pfn‘x) i = f Pfn‘x (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
Заметим, что две серии Pfn [Pfn‘^ и Pfn [Pfn‘y либо тождественны, либо
не имеют общих термов в своих полях. Это проистекает непосредственно из
*97-16, поскольку поля двух рассматриваемых серий представляют собой
(Pi)*'x и (Pi)*‘y.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
128
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 261. Конечные и бесконечные серии
Краткое содержание *261.
В этом параграфе мы определяем конечные и бесконечные серии, и мы
показываем, что в части, касающейся вполне упорядоченных серий, най-
дется только один вид финитности, т.е. нет различия, которое существу-
ет в кардиналах, между “индуктивным” и “нерефлексивным”. Мы также
даем различные эквивалентные формы отличия конечных серий от беско-
нечных и некоторые из простых свойств каждой. Предложения этого па-
раграфа многочисленны и важны.
Мы определяем бесконечную серию как серию, чье поле представляет
собой рефлексивный класс, а конечную серию как серию, которая не яв-
ляется бесконечной. Таким образом, мы полагаем
Ser infin = Ser О С' ‘Cis refl Df,
Q infin - Q П C“Cls refl Df,
Ser fin = Ser - Ser infin Df,
Q fin = Q - Q infin Df.
Для начала мы также полагаем,
Q induct = Q П C “Cis induct Df,
однако на протяжении этого параграфа мы доказываем
*261-42. h . Q fin = Q induct
так что символ “Q induct” не требуется после настоящего параграфа.
После некоторых предварительных предложений мы переходим (*261-2
и далее) к различным критериям конечности и бесконечности. Мы имеем
*261-25. h PeSer . z>: С‘Ре Cis induct - ГА . = . P = Pfn . E ! B‘P. E ! B‘P
Условие P = Pfn гарантирует, что каждый интервал является финитным,
однако это все еще оставляет возможность для нашей серии быть прогрес-
сией или ее обращением, или обращением прогрессии, за которой следует
прогрессия (типа отрицательных и положительных конечных целых чисел
в порядке величины). Третья из этих возможностей исключается посред-
ством либо Е ! В‘Р, либо Е ! В‘Р; вторая — исключается посредством Е ! В‘Р,
а первая — Е ! В‘Р. Мы имеем
* 261-212. h РеП. э : CTPi = СГР. = . Р = (Р0рО . = . Р = Pfn
“G‘Pi =Q‘P” означает, что каждый терм, за исключением первого, име-
ет непосредственного предшественника. Мы имеем
* 261-26. h : Р е Ser . а с С‘Р. з! а . а е Cis induct. э . Е ! minp‘a. Е ! шахр‘а
и
* 261-27. h Р е Ser : а с С‘Р. 3! а . эа . Е ! minp‘a . Е ! шахр‘а: э .
Р = Pfn . ёРе Cis induct
откуда мы получаем
* 261-28. F :: Ре Ser . z>
a с С‘Р. з! a. эа . Е ! miiip‘a. Е ! maxp‘a: = . С'Ре Cis induct
Т.е. серия, чье поле является индуктивным, представляет собой серию,
в которой каждый экзистенциональный подкласс поля обладает и миниму-
мом, и максимумом.
Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
129
Из приведенного выше вместе с индуктивным доказательством того,
что каждый индуктивный класс, который не является единичным клас-
сом, представляет собой поле некоторой серии, мы получаем
*261-29. F . Cis induct -
1 U ѓР{Ре Ser: а с С‘Р. д! а . эа . Е ! niin/а. Е ! max/a}
= 1 UC“(QACnv“Q)
Приведенные выше предложения интересны тем, что дают альтернатив-
ный метод исследования индуктивных классов. Вместо принятых в *120
определений мы могли бы принять приведенное выше предложение в ка-
честве определения индуктивных классов, полагая
NC induct = Nc“Cls induct Df.
Мы должны были бы, таким образом, полностью избежать использования
математической индукции в определениях; следовательно, если подобное
уклонение было бы желательным в каком-либо случае, то оно обеспечи-
валось бы оперированием с сериями перед введением различия конечного
и бесконечного, а затем — определением индуктивных классов в качестве
полей серий, которые вполне упорядочены как в прямом направлении, так
и в обратном. Индуктивные свойства таких классов могли бы быть затем
выведены из *261-27, вместе с *260-27, в силу которых мы имеем
PeQ A Cnv“Q . э . Р. = (РОро,
откуда, на основании *91-62,
F:: PeQ A Cnv“Q . э хРу . = : Р\ “ц с ц. Р\ ‘хе ц . . у е ц .
В силу этого предложения, если у является полем вполне упорядоченной
серии Р, чье обращение является вполне упорядоченным, то тогда какое-
либо свойство, которое унаследовано в силу Pi, принадлежит всем после-
дователям х (где хе у), если оно принадлежит непосредственному последо-
вателю х. Как следствие, вытекает математическая индукция.
Из приведенного выше мы сразу же получаем
* 261-31. F Р е Ser . э : ёРе Cis induct. = . Р, Р е Q
Т.е. серии, чьи поля являются индуктивными, представляют собой то
же самое, что и индуктивные вполне упорядоченные серии, и представляют
собой в точности то же самое, что и вполне упорядоченные серии, чьи
обращения являются вполне упорядоченными. Следовательно, мы также
получаем
* 261-33. F : Р, Q eQ . Q gP. э . QeQ induct
Т.е. нисходящая вполне упорядоченная серия термов, выбранных из
вполне упорядоченной серии, должна быть финитной. Это предложение,
которым мы обязаны Кантору, использовалось им во многих доказатель-
ствах.
Мы имеем
* 261-35. F Р е Q . э : ёРе Cis induct - ь‘Л . = . CTPi = СТР. E ! B‘P
В *253-51 и последующих предложениях мы уже имели гипотезу
G‘Pi = G‘P. Е ! В‘Р, которая сейчас превращается в эквивалентную гипоте-
зу о том, что наша серия является финитной и не нулевой. Таким образом,
мы имеем
* 261-36. F Р е Q . э : ёРе Cis induct - i‘A . = . Nr‘P ± i+ Nr‘P
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
130
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*261-4 и следующие предложения касаются доказательства того, что
вполне упорядоченная серия, которая не является индуктивной, всегда со-
держит прогрессии, а также вывода следствий из этого предложения. Мы
имеем
*261-4. F : РеQ - Q induct. э . {{Р\\'В‘Р} ] Р\ е. Prog
Приведенное выше предложение очень важно по многим причинам. Од-
ним из его наиболее важных следствий является то, что если Р представ-
ляет собой вполне упорядоченную серию, которая не является индуктив-
ной, то ее поле содержит один из No и по этой причине представляет со-
бой рефлексивный класс (*261-43). Следовательно, класс, который может
быть вполне упорядочен, является или индуктивным, или рефлексивным
(*261-43), а вполне упорядоченная серия или индуктивна, или бесконечна
в соответствии с данными выше определениями (*261-41). Следовательно,
там, где речь идет о вполне упорядоченных сериях, два пути определения
конечного и бесконечного (а именно таковые в *120 и *124) дают экви-
валентные результаты. Это не может (насколько известно) быть доказано
для классов вообще без предположения аксиомы умножения.
Из вышеупомянутых предложений следует, что бесконечная вполне упо-
рядоченная серия есть серия, в которой Pi, ограниченное к потомству В‘Р
в силу Pi, представляет собой прогрессию в смысле *122 (*261-44), и что
любой класс, содержащийся во вполне упорядоченной серии, является или
индуктивным, или рефлексивным (*261-46).
Данный параграф заканчивается некоторыми предложениями арифме-
тики ординалов. Мы доказываем, что PQ является вполне упорядоченной,
если Р вполне упорядочена и Q представляет собой финитную вполне упо-
рядоченную серию (*261-62); что если R — финитная вполне упорядоченная
серия, и Р меньше, чем Q (в смысле *254), то тогда PR меньше, чем 2я;
и что финитная вполне упорядоченная серия меньше, чем бесконечная
вполне упорядоченная серия (*261-65).
*261-01. Ser infin = Ser А С “Cis refl Df
*261-02. Q infin = Q A C“Cls refl Df
*261-02. Ser fin = Ser - Ser infin Df
*261-04. Qfin = Q-Qinfin Df
*261-05. Q induct = Q A C“Cls induct Df
*261-1. F : PeSer infin . = .PeSer . C‘Pe Cis refl [(*261-01)]
*261-11. F : P e Q infin. =. P e Q. C‘P e Cis refl [(*261-02)]
*261-12. F : P e Ser infin . = . P e Ser - Ser infin . = . P e Ser . C‘P ~ e Cis refl
[(*261-03)]
*261-13. F : PeQ fin. = . PeQ-Q infin . = . PeQ . C‘P~e Cis refl
[(*261-04)]
*261-14. F : P e Q induct. = . P e Q. C‘P e Cis induct [(*261-05)]
*261-15. F : PeSer infin . Psmor Q. э . Qe Ser infin
Доказательство.
F . *261-1. э F : Hp . □. Pe Ser . C‘P e Cis refl. P smor Q.
[*204-21. *151-18] э . Q e Ser. C'P e Cis refl . C‘P sm C‘Q .
Principia Mathematica III
=261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
131
[*124-18]э . (JeSer . C‘QeC\s refl .
[*261’1] э . Q е Ser infin: э F. Prop
*261-151. F : P e Ser infin . э . Nr‘P c Ser infin [*261-15]
*261-152. F : P e Ser infin . = . Nor‘P c Ser infin. = . g! Nor‘P A Ser infin
[a261-15. *155-13]
*261-153. F : P e Ser infin. = . (g Q). P smor Q. Q e Ser infin
[*261-15. *155-13]
*26116. F : PeCI infin . Psmor Q . э . Q eQ infin
[Док-во, как *261-15, исп. *261-11. *251-111. *151-18 . *124-18]
*261-161. F : P e Cl infin. э . Nr‘P c Q infin [*261-16]
*261-162. F : P e Cl infin . = . Nor‘P c Q infin . = . g! Nor‘P A Ser infin
[*261-161. *155-12]
*261-163. F : P e Q infin . = . (g Q). P smor Q. Q e Cl infin [*261-16 . *15-13]
*261-17. F : P e Ser fin . P smor Q . э . Q e Ser fin [*261-15 . Transp]
*261-171. F : P e Ser fin. э . Nr‘P c Ser fin [*261-17]
*261-172. F : P e Ser fin. = . Nor‘P c Ser fin . = . g! Nor‘P A Ser fin
[*261-171 .*155-12]
*261-173. F : P e Ser fin . = . (g Q). P smor Q. Q e Ser fin [*261-17 . *151-13]
*261-18. F : P e Q fin . P smor Q . э . Q e Q fin [*261-16 . Transp]
*261-181. F : PeQfin . э . Nr‘PcQfin [*261-18]
*261-182. F : P e Q fin . = . Nor‘P c Q fin . = . g! Nor‘P A Q fin
[*261-181. *155-12]
*261-183. F : P e Q fin . = . (g Q). P smor Q . Q e Cl fin [*261-18 . *151-13]
*26119. F : P e Cl induct. P smor Q . d . Q e Cl induct
[Док-во, как в *261-16, используя *120-214 вместо *124-18]
*261-191. F : PeCI induct. э . Nr‘Pc Q induct [*261-19]
*261-192. F : Р е Cl induct. = . Nor‘P c Q induct. = . g! Nor‘P A Q induct
[*261-191. *155-12]
*261 193. F : PeCI induct. = . (g(2). Psmor Q . Q eCI induct
[*261-19. *151-13]
*261-2. F : Ppo e connex. (B‘P) Pfh (B‘P). э . C‘P e Cis induct
Доказательство.
F . *202-181. э F : Hp . э . C'P = P (B‘P н B‘P).
[*260-11. Hp] э . C‘Pe Cis induct: э F . Prop
*261-21. F : P e connex . P = Pfn . E ! B‘P . E ! B‘P. э . C‘P e Cis induct
Доказательство.
F . *202-103 . *93-101. э F : Hp . э . (B‘P) P (B‘P).
[Hp] D.(B‘P)Pfn(B‘P).
[*261-2] э . C‘P e Cis induct: э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
132
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*261-211. к : PeSer. э. (Крх) с G‘P- G'Pj
Доказательство.
к. *91-511. *121-305. э
к :. Нр . э : у е 1?‘х П (^i)po‘x. yPyz . э . z е *P'z П (fri^c/x:
[Transp] э: z е^‘х- (^[^‘x.yPiz. э .у е- ^‘х- (К\ю‘х (1)
к . *91-502 . э к :. z е *Р'х - (hi)po‘x. э : z е *Р'х - <Р\'х:
[*201-63] э:Нр.э. xP2z (2)
к . *201-63 .эк: Нр . xP2z . yP\Z . э. ~ (уРх) .у^х.
[*202-103] э. хРу
к. (2). (3). э к : Нр . ze ^‘х-(?Д]/х .yPiz . э .у е ^‘х.
[(1)] э.уе?"‘х-(?5^‘х.
[*201-63] э.уе'?‘гп(^‘х-(^‘х}.
[*205-14] э . г ~ е mni/{^‘x - (£*i)po‘x} (4)
к . (4). Transp . э
к : Нр . г е тт/Д^'х - (К)^‘х). э. ~ (gy). yPtz: э к . Prop
*261-212. H.PeQ^G'Pj =G‘P.s.P = (P1)po. = .P = Pf„
Доказательство.
к. *121-305. эк ^р.эДРОроСР (1)
к . (1). э к : Нр . Р + (Pi)po . э . (Зх,у). хРу. ~ {x(Pi)роу).
[*32-18] э.(3х).3!^‘х-(Х)^‘х.
[*250-121] э . (Зх). Е ! min/^'x- (?Н?х}.
[*261-211] э.3!СГР-а‘Р, (2)
к.(2) .1¥ап8р.эк:Нр.а‘Р=а‘Р1 .э.Р = (Р1)ро (3)
к. *91-504. эк:Р = (Р])ро.э.а‘Р = а‘Р| (4)
к.(3).(4). эк:Р = (Р1)ро.э:а‘Р1=а‘Р. = .Р = (Р1)ро.
[*260-27] = . Р = Pfn :. э к . Prop
*261-22. к : Р е Ser. C'P е Cis induct. э . Р = Р^ . D'P = D‘P, . G‘P = G‘Pi
Доказательство.
к . *260-12. *201-18. э к: Нр. э . Pfn cP (1)
к . *121-242. эк: Нр. хРу. э . х, у е Р (х н у). х / у.
[*52-41] э. Р(хну) ~ еО U1 (2)
к . *120-481. э к: Нр. э. Р(хну) е Cis induct (3)
к . (2). (3). *260-11. э к : Нр. хРу. э . х Pfn у (4)
к . (1). (4). э к : Нр. э . Р = Pf„ . (5)
[*260-3] э. D‘P = D‘Pi . G‘P = C'P, (6)
к . (5). (6). э к . Prop
*261-23. к : PeSer. G‘Pi. ~Е ! В‘Р. 3! Р. э . C'PeClsrefl
Доказательство.
к.*91-52.эк.Л“(^‘х = (^‘х (1)
к . *91-54 . *260-2 . э
к : Нр . хе С'Р. э . (К)?х = t'x U (j’l^'x. х ~ е (Ь])р0‘х (2)
к. *9311. эк : Нр. э. D‘P, =С‘Р. (3)
[*90-18] эДХрхсО'Р! (4)
Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
133
I-. *260-22 . э I-: Нр. э . Pl € 1 -» 1 (5)
h . (1). (2). (4). (5). *73-21. *91-74. э
hНр . э : хеС'Р. э . (Ь1>‘хsm(bj^'x. (?i)^‘xg(X)*‘^ •
а’.(?^‘х-(?^‘х.
[*124-16] э. (hi)»‘хе Cis refl (6)
I-. (6). (3). (4). э Ь: Нр. э. а! Cis refl П С1‘С‘Р.
[*124-141] э . С'Р е Cis refl: z> h . Prop
*261-24. h : P e Ser. C'P e Cis induct - t‘A . э . E ! B'P. E ! B'P
Доказательство.
I-. *261-22 . э I-: Hp. э . D‘P = D‘P] .
[*261-23. Transp] z>. E ! B'P (1)
K(l)£. D Ь: Hp. э . E ! B'P (2)
b. (1). (2). э h. Prop
* 261-25. F PeSer . э : C‘Pe Cis induct - i‘A . = . P = Pfh • E ! B'P. E ! B'P
[*261-22-24-21]
Когда P = Pfn .E ! B'P . ~ E ! B'P , P — прогрессия;
когда P = P^ .E ! B'P. ~ E ! B'P, P — регрессия
(т.е. обращение прогрессии); и когда
Р = Pfh . ~ Е ! В‘Р. ~ Е ! В‘Р,
Р представляет собой сумму регрессии и прогрессии. Эти предложения бу-
дут доказаны в следующем параграфе.
* 261-26. F : PeSer . а с СР. д! а. а е Cis induct. э . Е ! min/a. Е ! max/a
Доказательство.
F . *205-17 . э F : Нр . a е 1 . э . Е ! min/>‘a. Е ! max/a (1)
F . *202-55 . э F : Нр . а ~ е 1. э . а = С‘(Р [ а).
[*261-24] э . Е ! В'(Р [ а). Е ! B‘Cnv‘(P t а).
[*205-42] э . Е ! min/>‘a. Е ! max/>‘a (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 261-27. F Р е Ser : а с СР. 3! а . эа . Е ! min/a . Е ! тах/а : э .
Р = Pfn . СР е Cis induct
Доказательство.
F . *250-121. э F : Нр . э . PeQ .
[*250-21] ^.D‘P = D‘P] .
[*260-3] z>.D‘P = D‘Pfn (1)
F . (1). э F : Hp.xPfny .yeD‘P. э .eD‘Pfn . xPfny .
[*260-201] э .y ePfn“^fn‘x.
[*260-12. *201-18] o.yeP“^fn‘x.
[*205-111] э .y / max/>‘?jfn‘x (2)
h . (1). (2). Transp.□!: Hp . xeD‘P. э . maxp‘^fh‘x = B'P (3)
b. *250-121-13. э I-: Hp. a 'P • => • E ! B'P.
[(3)] o.(B‘P)Pfn(B‘P).
[*260-11] э . P (B'P H B'P) e Cis induct.
[*202-181] о . C'P e Cis induct (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
134
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
F . *120-212 . D F : Р = А . э . СР 6 Cis induct (5)
I-. (4). (5). oh: Hp . d . CP e Cis induct. (6)
[*261-22] z>.P = Pfn (7)
F . (6). (7). э F . Prop
*261-28. F::PcSer.z>:.
a a CP. 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a: = . CPe Cis induct
[*261-26-27]
*261-281. F : ye Cis induct zj . у cC“Ser
Доказательство.
Ь. *204-24. э F. AcC“Ser (1)
b. *52-22. э F . A U Cxe 1 (2)
b. *52-22. z> F : x = у . d . i‘x U i‘y c 1 (3)
b. *204-25. э F : x^y . z> . i‘xU i‘y cC“Ser (4)
H(3).(4). [*52-1] э F . i‘x U i‘y c 1 U C“Ser . 3F:ycl.3.yUi‘y€lU C“Ser (5)
1-. *51-2. э F : у c C‘ ‘Ser . у с у . э . у U i‘y c C‘ ‘Ser (6)
b . *204-51. *161-14 , , z> F : у cC“Ser .g!y.y~cy.z>.yU i‘y cC“Ser (7)
M6).(7). z> F : у c C“Ser . 3! у . z> . у U i‘y c C“Ser (8)
b.(2).(5).(8). э F : у c 1 U C“Ser . с. у U i‘y e‘U C“Ser (9)
F. (1). (9). *120-26 . э F : ye Cis induct.э.yc1U C“Ser : э F. Prop
*261-29. F . Cis induct =
1 U C“P (P e Ser : a cC‘P. 3! a . эа . E ! min/a . max/a)
= 1 U C“(Q A Cnv“Q)
Доказательство.
F . *261-281. □ F :.y € Cis induct - . э : (3P): P c Ser . у = C‘P:
[*261-28]
э : (gP): Pc Ser : a a CP. g! a . эа . E ! min/a . E ! max/a : у = C‘P:
[*37-6] э: у c C“P {P e Ser : a c CP. 3! a . эа . E ! min/a . E ! maxp‘a} (1)
F . *261-28 . z> F PcSer :
a a CP . 3! a . эа . E ! min/>‘a. E ! max/>‘a : у = CP: zj . у c Cis induct
[*37-6] z> F : у cC“P(PcSer : a a C‘P . 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a). z> .
у c Cis induct (2)
F . *120-213 ,dF . 1 c Cis induct (3)
h . (1). (2). (3). э
F . Cis induct = C“P {Pc Ser : a a C‘P. 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a)
[*250-121] = C“(Q A Cnv“Q). z> F. Prop
Четыре следующих предложения являются непосредственными след-
ствиями уже доказанных предложений.
* 261-3. F:: PcSer .z>:.
ёРс Cis induct. = : Р с Q : a с С‘Р. g! a . эа . Е ! шах/>‘а
[*261-28. *250-121]
* 261-31. F Р с Ser . э : СР с Cis induct. = . Р, Р с Q [*261-3 . *250-121]
* 261-32. F . Ser A C“Cls induct = Q induct = Q A Cnv“Q [*261-14]
Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
135
Принимая в расчет это предложение, мы не вводим обозначения
“Ser induct” для “Ser А С“Cis induct”, потому что серия, чье поле индук-
тивно, является вполне упорядоченной серией, и поэтому обозначение
“Q induct” дает все, что необходимо.
*261-33. F: Р, QeCl. QaP , QcQ induct
Доказательство.
I- . *204-2 . э F: Hp . э . Q e Ser . Q clP .
[*250-14] э . Q e Ser A Bord .
[*250-12]
[*261-32] э . Q eQ induct: d F . Prop
Это предложение (которым мы обязаны Кантору) имеет большое значе-
ние в теории вполне упорядоченных серий. Оно показывает, что сколь ни
была бы велика вполне упорядоченная серия, любая нисходящая вполне
упорядоченная серия, содержащаяся в ней, должна быть финитной. {Нис-
ходящая серия в заданной серии является серией, содержащейся в обра-
щении заданной серии.)
* 261-34. h : Р е Q . G‘Pi = G‘P. Е ! В'Р . э . ёРе Cis induct
Доказательство.
F . *250-23 . *214-12 . э F :. Нр . а с С'Р . э : Е ! шах/а . V . Е ! seqp‘a (1)
F . *206-181. э F : Нр . а с С'Р. g! а. Е ! seq/a . э . seqp‘a е Q'P^ .
[*204-7] э . Е ! Р\ ‘seqp‘a .
[*206-451] э.Е’.шах/а (2)
F . (1). (2). э F :. Нр . э : а с С'Р. g! а . эа . Е ! шах/а :
[*261-3] э : С'Р е Cis induct:. э F. Prop
* 261-35. F P e Q . э : C'P e Cis induct - i‘A . = . G‘Pi = d'P. E ! B'P
[*261-22-24-34]
Заметим, что “G‘Pi = G‘P. E! B'P” встречается в виде гипотезы
в *253-51 и некоторых последующих предложениях. Таким образом, эта
гипотеза является эквивалентной гипотезе о том, что поле Р представляет
собой индуктивный экзистенциональный класс. Отсюда следует, что ес-
ли Р является индуктивной вполне упорядоченной серией, то Nr‘Pg = Nr‘P,
в то время как если Р представляет собой вполне упорядоченную серию,
которая не является индуктивной, то Nr‘Pq = Nr‘P+1; а также, что
*261-36. F РеQ . э : С'Ре Cis induct - i‘A . = . Nr‘P ± i+Nr?
[*253-573. *261-35]
* 261-37. F P e Q . э : C'Pe Cis induct. =. U Nr‘P = Nr‘P+i
[*253-574 . *261-35 . *161-2-201]
* 261-38. F P e Q . э : C'P e Cis induct - i‘A . э . Nr‘Pq = Nr‘P :
C'P ~ e Cis induct - i‘A . э . Nr‘Pq = Nr‘P+1
[*253-56. *261-35]
* 261-4. F : PeQ - Q induct. э . {(p\\'B'P} ] P\ 6 Prog
Доказательство.
F. *204-7. z>F:Hp.P = Pi.z>.Pel-И (1)
F . *120-212 . z> F Hp . z>: g!P:
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
136
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
[*250-13] э:Е!В‘Р:
[*250-21] з:Я = Р, .э.В‘РеО“Я (2)
Ь.*260-22.эЬ:Нр.P = Pi .3.Pp0Gj (3)
I-. *93-103. *202-52 . э
h:PeQ.P = P] . g! ^*‘B‘P-D‘P. э. В‘РеЖ=‘В‘Р.
[*93-101. *91-54] э . (В‘Р) Rpo (В‘Рс).
[*260-27] э . (В‘Р) Р(п (В‘Р).
[*261-2] э. С‘Ре Cis induct (4)
h . (4). Transp . э Ь : Нр. R = Р\ ‘В'Р с D‘P.
[*250-21] D.fr*‘B‘PcD‘P (5)
Ь.(1).(2).(3).(5).эН:Нр.Р = Р1.э.
Rе 1 -» 1. BlPеD‘P. ~ {(В‘Р)Рро (В‘Р)}. К 1В'РcD'R.
[*122-52] з . (Ж. ‘В‘Р) 1 Р е Prog: з Ь. Prop
*261-401. Н: Р е Q - Q induct. з. а! Ко Л СГС'Р. ёР€ Cis refl
Доказательство.
h. *261-4. *123-1. з I-: Нр. з . D‘{(KVВ‘Р\ ] Р, € Ко (1)
F. *121-305. з I-: Нр. з. D‘{(^B‘P) ] Р, с ёР(2)
Ь . (1). (2). э F: Нр. э . а! Ко Л СГС‘Р.
[*124-15] з.С‘Ре Cis refl (4)
Ь. (3). (4). з h . Prop
*261-41. Ь . Q - Q induct = Q infin (*261-401. *261-11. *124-271]
*261-42. F . Q fin = Q induct [*261-41. Transp. *124-271]
С этого момента и далее мы будем использовать “Qfin” как более пред-
почтительное, чем “Q induct”.
*261-43. F . C“Q с Cis induct U Cis refl [*261-401-14]
*261-431. F : PeQ - i‘A . з .
{(^ГВ‘РЦР1=Р1 \<Rfn'B'P=Pf [(iWPulifn'B'P)
= (i‘P‘Pufrfn‘B‘P)1 Pi
Доказательство.
F. *250-13-21. з F : Hp . з . B'PeD'P] . (1)
[*260-31] □.i‘B‘PuK‘B‘/’=(^5‘P (2)
I-. (1). *260-27. з F : Hp.з. 5Tfn‘B‘P = (XpB'P •
[*260-34] з . Pt [ ‘B‘P = {(?O/B‘P} 1 Pj (3)
[(2)] =(i‘B‘PU^fn‘B‘P)]P1 (4)
I-. (3). (4). *35-11. э h : Hp . э . {(?TVB‘P) 1 Pi = Pi [ (i‘B‘P U frf/B'P) (5)
h . (3). (4). (5). э F . Prop
*261-44. h:.PeQ.o:Pi [ frfn‘5‘Pe Prog. = . PeQ infin
Доказательство.
I-. *123-1. э Ь : Рэ Q. Pi f ^tn‘B‘PeProg. э . 3! Ko Л C1‘C‘P.
[*124-15] o.C'Pe Cis refl.
[*261-1] d. PeQ infin (1)
F. *261-4-431-41.31-: PdQ infin. d. Pt [ ^„‘B'PeProg (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ
137
*261-45. F.Qinfin = QnP(Pi [^П‘В‘РeProg) [*261-44]
*261-46. F: Р е Q. з . Cl'C'P с Cis induct U Cis refl
Доказательство.
F . *250-141. *202-55 . з
F : Нр . а с С'Р. а ~ е 1 . з . Р [ а е Q. а = С'(Р [ а).
[*261-43] з. а е Cis induct U Cis refl (1)
F. *120-213. з F: ae 1 . з . ae Cis induct (2)
F . (1). (2). з F . Prop
*261-47. I-PeQ. acC'P. з : a e Cis induct. в . a ~eCls refl
[*261-46. *124-271]
*261-6. F :. PeQ. C'P c Q. Nc'C'P = v .z>P . П'Рe Q:
v e Nc induct -i‘0 -1‘ 1: з:
QeCl. C'QcQ . Nc'C'Q- v +Д . 3g . H‘2cQ
Доказательство.
F. *204-272.3 I- :Nc‘D‘2 = 1 . geSer. з . Qe2r.
[*56-112] =>.C'Qe2 (1)
F. (1). Transp . з F: Qe£l. C'Q c Q. Nc‘C‘2 = v +Д .
veNCinduct - i‘0 - i'I. з . D'Q~e 1 (2)
I-. *261-24. з F : Hp (2). з. E ! B'Q.
[(2). *204-461] z>.Q=QlD‘Q+B'$.
[*172-32] з . П‘2 smor П'(2 [ D'2) xB'Q (3)
I-. *110-63 . з I-: Hp (2) . з . Nc‘D‘2+cl =v +J .
[*120-311] 3.Nc‘D‘2 = v (4)
F.(4). з F :. Hp(2): PeQ. C'PcQ. Nc‘C‘P = v . 3f . H'PeQ: з .
n‘(2[D‘2)eQ.
[(3). *251-55] з.П'беО. (5)
F. (5). Exp . з
FHp .3:2eQ.C‘2aQ. Nc‘C‘2 = v +C1 . э. П‘2еПз F. Prop
*261-61. F : PeQfin. C'PcQ. з . H'PeQ
Доказательство.
F . *261-6. з I-:: ф-v. =v : PeQ. C'P cQ. Nc'C'P = v. 3/>. H'PeQз
veNC induct - i'O- i'I . з : фу. з . ф (v +cl) (1)
F. *200-12. з F.~ (a P). PeQ. C'PcQ. Nc'C'P = 1.
[*0-53] з F : Hp (1). з . ф1 (2)
I- . *172-13 . *250-4. з F: Hp (1). з . ф0 (3)
h. *172-23. *251-55.3 F:. У 0Z. P,ZeQ. з : П‘(У |Z),H‘(Z J, P)eQ:
[*55-54 . *204-13] з : PeSer. C'P = iTU i'Z. з. H'PeQ (4)
F . (4). *54-101. з F : Hp(l). з. ф2 (5)
F. (2). (3). (5). з F :. Hp (1). з: ф0: ve i'O U i‘l. фу. з . ф (v +cl) (6)
F. (1). (6). з F :. Hp(l). з: veNCinduct. фу. 3V . ф(у +cl): ф0:
[*120-13] з: aeNC induct. за . фа (7)
F . (7). *13-191. з F : PeQ. C‘PcQ. Nc'C'PeNCinduct. зР. H'PeQ :
[*261-14-42] з F : PeQ fin. C'P c Q. зР . H'PeQ: з F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
138
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*261-62. l-:PeQ.!2€Qfin.3.PeeQ
Доказательство.
F. *251-51. э1-:Нр.а!Р.э.РДееО
Ь. *165-26. э Ь : Нр. э . C'PpQ с Q
Н. (1). *165-25 . *261-18 . э Ь : Нр. g !Р. э ’ РД2 е Q fin
Ь . (1). (2). (3). *261-61. э I-: Нр . а !Р. э . ri‘PJ.’2 е Я.
[*176-181-182] э.РйеЯ
Ь. *76-151. *250-4. эНР = Л.э.РееЯ
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
I-. (4). (5). э h. Prop
*261-63. I-: Е ! B'R. Р G Q. x e C‘Q П р‘%)“С'Р. э.
(i‘x) T C‘Re C'Q* П p‘(j*“C‘P*
Доказательство.
b. *116-12 . э I-: Hp. э . (i‘x) T C‘R e (C'Q f С‘Я)д‘С‘Я.
[*176-14] =>.(/‘x)T C'ReC'Q" (1)
I-. *116-12 . *93-11. э I-:. Hp. S e (C‘P f C'R)^C‘R. T = (i‘x) ? C‘P. э :
(5 ‘B‘P) Q (T'B'R): ~ (gy). yR (B*R) :
[*10-53] э : (5 ‘B‘P) Q (T‘B'R): yR (B‘R) .yfB‘R.z>y.S‘y=T‘y.
[al76-19. (1)] э : 5 (2я) T (2)
h. (2). *176-16. э Ь :. Hp . э: 5 e C‘PR . э . 5 (£>*) {(i‘x) T C‘P) (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*261-64. b: R e Q fin - i‘A . Pless Q. э . PKless
Доказательство.
b. *254-55 . э I-: Hp. э . (gP'). P' smor P. P' gQ. g! C‘Q П p^^C'P'.
[a261-63. *250-13] э . (gP'). P' smor P. P' g Q. g! C'Q^ П р‘^“С‘(Р'/ •
[al76-35-22] э . (gM). M smor PR . M G . g! C'Q* П р'^"С'М.
[*254-55 . *261-62] э . PR less «2я : э h . Prop
*261-65. F : PeQinfin . QeQfin . э . QlessP
Доказательство.
h . *261-11-14-42 . э F : Hp . э . C‘P e Cis refl . C‘2 e Cis induct.
[*124-26] э . Nc‘C‘P> Nc‘C‘2.
[*255-75] э . QlessP:dF. Prop
Principia Mathematica III
♦262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
139
*262. Финитные ординалы
Краткое содержание *262.
Финитные ординалы определяются как ординалы финитных вполне упо-
рядоченных серий; бесконечные ординалы определяются как ординалы бес-
конечных вполне упорядоченных серий. В силу *261-42, финитные ордина-
лы являются таковыми, чьи элементы имеют поля, которые являются ин-
дуктивными, а также такими ординалами, чьи элементы обладают полями,
которые не являются рефлексивными. Финитные ординалы обладают теми
же формальными свойствами, которыми обладают кардиналы, но которы-
ми все реляционные числа и ординалы не обладают, т.е. их суммы и про-
изведения коммутативны, а закон дистрибутивности имеет место в форме
ц х (v + (D) = (ц х v) + (ц х (D),
так же, как и в форме
(V 4- (D) X Ц = (V X Ц) 4- (Ш X Ц),
которая была доказана в общем в *184-35.
Отличительные свойства финитных ординалов быстрее всего устанавли-
ваются посредством их соответствия с индуктивными кардиналами. В об-
щем две вполне упорядоченные серии, чьи поля обладают теми же самыми
кардиналами, необязательно ординально подобны, однако когда кардиналы
указанных полей являются индуктивными, то две серии должны быть ор-
динально подобными. Следовательно, ординал финитной вполне упорядо-
ченной серии детерминируется кардиналом поля указанной серии. В общем
мы полагаем
цг = Оп£“р, Df.
Результат состоит в том, что если ц предствляет собой индуктивный карди-
нал, то является ординалом всех тех серий, чьи поля имеют ц элементов.
Таким образом, имеется одно-однозначное соответствие индуктивных кар-
диналов и финитных ординалов; и в силу этого соответствия, формальные
свойства финитных ординалов могут быть выведены из таких же свойств
индуктивных кардиналов.
В дальнейшем будет отмечено, что в соответствии с уже данными опре-
делениями
h.Or = QnC“A на основании *250-43,
h.2r = QnC“2 на основании *250-44.
Следовательно, обозначения 0г, 2Г являются частными случаями общего
обозначения цг. Однако, в силу *200-12, согласно определению цг, мы имеем
F. 1Г = А,
так что 1г не находит своего места в серии финитных ординалов.
В этом параграфе мы даем определения
NO fin = Nor“Qfm Df,
NO infin = Nor‘ infin Df,
|Аг = ОпС“ц Df.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
140
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
В дальнейшем будет отмечено, что ради удобства мы определили NO fin и
NO infin так, чтобы исключить А. Приведенное определение в основном
полезно тогда, когда ц является индуктивным кардиналом.
Параграф начинается с разных элементарных предложений, частич-
но включающих приведенные определения, частично касающихся цг. Мы
имеем
*26212. h : Рецг. = . PeQ. С‘Рец
* 26218. F : p,eNC . g! . э . Ц = С“Цг
Это предложение не требует того, чтобы было реляционным числом.
Если ц является рефлексивным кардиналом, то не представляет собой
реляционного числа, кроме случая, когда оно есть нуль, потому что серия
различных реляционных чисел может быть составлена с заданным карди-
нальным числом термов. Когда ц является кардиналом, то “д!рт” означа-
ет, что классы, обладающие ц термами, могут быть вполне упорядочены.
* 26219. hц, pieNC . g! . э : ц = v. = . = vr
Таким образом, отношение ц к является одно-однозначным, пока
ц представляет собой кардинальное число класса, который может быть
вполне упорядочен.
Далее мы доказываем, что если ц — индуктивный кардинал, отличный
от А или 1, то является финитным ординалом, и что каждый финитный
ординал имеет форму с подходящим ц. Мы имеем
* 262-21. h : pieNCinduct - i‘A - i‘l . э . g!
* 262-24. h : pieNC induct - t‘A - i‘l. э . eNO fin
Мы доказываем это посредством доказательства по индукции того, что
две серии подобны, если их поля являются индуктивными и подобными.
* 262-26. h : aeNO fin . = . (дц). p.eNoC induct - i‘l. а =
Следовательно, мы легко получаем свойства финитных ординалов из
свойств соответствующих кардиналов. Допуская, что ц, v представляют со-
бой индуктивные кардиналы, отличные от 1, мы имеем
* 262-33. + уг = (ц +cv) г
* 262-35. + i = (ц+с1)г, если ц^О,
* 262-43. х vr - (ц +cv) г
* 262-53. expr vr = (p,v)r, если v 0.
* 262-7. ц > v . = . цг-> vr
Следовательно, если а, р, у являются финитными ординалами,
* 262-6. а + Р = Р + а
* 262-61. ахр = рха
* 262-62. а х (Р + у) = (а + Р) + (а х у)
*262-63. (а х Р) ехрг у = (а ехрг у) х (Р ехрг у)
Таким образом, арифметика финитных ординалов подчиняется тем же
самым формальным законам, как и арифметика индуктивных кардиналов.
*262-01. NO fin = Nor“Q fin
*262-02. NO infin = Nor“Q infin
*262-03. цг = QAC“n
Df
Df
Df
Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
141
* 2621. F : aeNOfin . = . (gP). PeQfin. a = Nor‘P [(*262-01)]
* 262-11. F : aeNOinfin. = . (gP). PeQinfin. a = Nor‘P [(*262-02)]
* 262-111. I-a e NO fin. н : a e N0O :a^i+a.V.a = Or:
=: a e NO :a^i+a.V.a = 0,
Доказательство.
I- . *262-1. э
F aeNOfin. н : aeNoO : (gP). PeQfin. a = Nr'P:
[*261-36] = : a e N0O : (gP): Nr'P ± i + Nr'P. V . P - A : a = Nr'P:
[(*255-03)] s : a e N0O : a / i + a. V . a = 0r: (1)
[*180-4. *155-5] = : a e NO : a / j + a. V . a = 0r (2)
F . (1). (2). o F . Prop
* 262-112. F: a e NO infin. =. a e NqO - i‘0r. 1 + a = a
[*262-111. Transp. *261-13]
* 262-12. F : Pepr . = . PeQ. C'Pep [(*262-03)]
* 262-13. F :Nr‘PeNOfin . = . PeQfin. s . PeQ. C'Pe Cis induct
Доказательство.
F . *262-1 . o F: Nr'P e NO fin. s . (gQ). Q e Q fin. Nr'P = Nor‘2 .
[*152-35 . *155-13] s . (gQ). 6 e Q fin. P smor Q.
[*261-183] =.PeQfin. (1)
[*261-42-14] a. PeQ. C'Pe Cis induct (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 262-14. F : Nr'P e NO infin. = . P e Q infin . = . P e Q. C'P e Cis refl
[Доказательство, как в *262-13]
* 262-15. F aeNoO . э : aeNO fin. s. C“aeNC induct
Доказательство.
F. *262-13. *120-21 .o
F: Nor‘P e NO fin. s . P e Q. Nqc'C'P e NC induct (1)
F.(l). *251-1. o
F :. Nor'P e NO . э : Nor'P e NO fin . = . Noc'C'P e NC induct.
[*152-7] =. C“Nor‘PeNC induct (2)
F . (2). *155-2 . э F . Prop
* 262-16. F :. aeNqO . о: aeNO infin. = . C“a~ eNC induct. = . C“aeNC refl
[Доказательство, как в *262-15]
* 262-17. F : PeQ. о . Pe(Nc'C'P)r
Доказательство.
F . *100-3 . э F . C'PeNc'C'P (1)
F . (1). *262-12. z> F . Prop
* 262-18. F : peNC. g! pr. o. p = C“pr
Доказательство.
F. *262-12. oF.C“prcp (1)
F. *262-12. э F : aep. Pepr. э . a, C'Pe p (2)
F . (2). *100-5 . □ F : Hp. aep. Pepr. э . asmC'P.
[*731] o.(gS).Sel -> 1 . a = D'S . C‘P = G'S .
[*151-1. *150-23] о . (gS). S’Psmor P. C'S’P = a.
[*251-111. *262-12] э . (gS). 5>PeQ. C'S>P = a.
[*262-12 . Hp] о . (gS). S’Pe pr. C‘S’P = a.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
142
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
[*37-6]э. а е С“рг (3)
к . (3). *10-23. э к : Нр. э. рсС“рг (4)
к . (1). (4). эк. Prop
*262-19. к :. р, v е NC. g! рг. э : р = v. = рг = vr
Доказательство.
к . *262-12 . э к : р = v. э . рг = vr (1)
к . *262-18 .эк: Нр. pr = vr. э . р = C“vr
[*262-18] =v (2)
к. (1). (2). э к . Prop
*262-2. к . Cis induct - 1 - C“(Q0 Cnv“Q)
Доказательство.
к . *261-29 . э к . Cis induct - 1 = C“(Q П Cnv“Q) - 1
[*200-12] = C“(Q О Cnv“Q). э к . Prop
*262-21. к : peNC induct - i‘A - i'I . э . g! pr
Доказательство.
к . *120-2 . *100-43 .эк: Hp. э . (да). аер. aeClsinduct. а ~ е 1.
[*262-2] э . (да, Р). а ер,. PeQ. ёР= а.
[*262-12] э . д! рг: э к . Prop
*262-211. к : aeClsinduct - i‘A. э.д! (Nc‘a)r ПГоо'а
Доказательство.
к . *262-21. *103-12. э к : Нр. э. д! (Noc‘a) r. а е Noc‘a.
[*262-12] э . (дР). Р е (Nc‘a)г. C'P е Noc‘a. a еNoc‘a.
[*63-13] э. (дР). Р е (Nc‘a)r. ёРе Ра.
[*64-24] э. (дР). Р е (Nc‘a)г. Р е Р(а ? а).
[*64-11] э. д! (Nc‘a)r П too'a: э к. Prop
*262-212. Hp^O.p# 1 .Ре(р+с1)г.э.Р [СГРер,.
Доказательство.
к.*262-12. эк:Нр.э.С‘Рер+с1 .PeQ. (1)
[*110-4] 3.peNC-i‘A (2)
к . *93-103 . *250-13 . э к: Нр. э. (ГР = i‘5‘P U (ГР .В‘Р~е П‘Р.
[*110-63] d.Nc‘C‘P = Nc‘CI‘P+c1 .
[(1). (2)] э. р+с1 = Nc‘Q‘P+cl.
[*120-311.(1)] z>.p = Nc‘(TP.PeQ.
[*202-55 . *250-141] э. р = Nc‘C‘(P [ (ГР). Р [ (ГР е Q.
[*262-12 . *100-3 . (2)] э. Р [ (ГР е рг: э к . Prop
*262-213. к:. р/0.р/1:Р, 0epr. . Р smor Q: э:
Р, Q е (р +с 1) г. эле . Р smor Q
Доказательство.
к. *262-212-12. *120-124.э
к : Нр. Р, £е(р +с1)г. э . Р ] (ГР, Q [ (Г(2е pr. Р, QeQ - i‘A.
[*11-1 .Нр] D.P[Q‘Psmor(2 ta‘C.P,(2e^-i‘A.
[*250-17] э. Р smor Q: э к . Prop
Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
143
*262 22. h: pi е NC induct. Р, Q е цг. о . Р smor Q
Доказательство.
1-. *153 101. *262-12 . э F : P, Q e Or. э. P smor Q (1)
F. *200-12. o h . lr = A .
[*10-53] о h : P, Qe 1г. о . Psmor Q (2)
F. *153-202. oh : P, Qe2Г. о . Psmor Q (3)
F. (2). (3). *2-02 . oh:, p = 0 . V . p = 1 :
p, F . (4). *262-213 . z . P smor Q: о : P, Q e (pt +cl) r. op(g . P smor Q । (4)
F:.P, Qenr.z>P,Q. Psmor 2 : о : P, (?e(pi+cl)r. oPq .Psmor Q (5)
F. (5). (1). Induct .oh. Prop
*262-23. I-Р, Q е Q fin . о : С'Р sm CQ. = . Р smor Q
Доказательство.
h. *262-17-13. о
h : Hp . C'P sm C'Q. о . P, 2e(Nc‘C‘P)r. Nc4C‘PeNC induct.
[*262-22] o. Psmor 2 (1)
h.(1) . *151-18 .oh. Prop
Приведенное выше представляет собой фундаментальное предложение
в теории финитных ординалов, поскольку оно позволяет нам свести отно-
шения между финитными ординалами к отношениям между соответству-
ющими кардиналами.
*262-24. h : ц е NC induct - РА - i‘ 1 . о . е NO fin
Доказательство.
h. *262-21. oh:Hp.o.g!pr (1)
h . *262-22 . oh: Hp . P e рг. о . pr c Nr‘P (2)
h . *262-12 . *151-18 . о h : P о pr. о . Nr‘P c pr (3)
h . (2). (3). о h : Hp . P e pr. о . pr = Nr‘P (4)
h . (1). (4). о h : Hp . о . pr e NR - PA h . *262-12 . oh: Hp . P e pr. о . C'P e Cis induct. (5)
[*262-13. (4). (5)] o.p,reNOfin h . (1) . (6). о h . Prop (6)
*262-241. h:. p eNC induct. PeQ. э : = Nr‘P. = . p = Nc4C4P
Доказательство.
h . *100-3 . oh: Hp . p = Nc4C4P. о . C'P e p .
[*262-12] э.Рецг.
[*152-45. *262-24] о. pr = Nr‘P (1)
h . *152-3 . *262-18 . о h : Hp . pr = Nr‘P. о . p = C“Nr‘P
[*152-7] o.p = Nc‘C4P (2)
h . (1). (2). о h . Prop
*262-25. h: (gp). peNC induct - i‘l - i‘A . a = pr. = . aeNO fin
Доказательство.
h. *262-1-13.0
h : aeNO fin . о . (gP). PeQfin. a = Nr‘P. Nc‘C4PeNC induct.
[*262-241] о . (л P). P e Q fin . a = Nr‘P. (Nc‘C‘P) r = Nr4P.
Nc‘C4PeNC induct.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
144
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
[*13-172]о . (3Р). а = (Nc‘C4P) r. Nc'C'P е NC induct.
[*200-12 . *262-1. *155-13] о . (зр). peNC induct - i‘l - i‘A . а = pr (1)
h. *264-24 .oh: (3ц). peNC induct - i‘l - i‘A. а = pr. о . а c NO fin (2)
h . (1) . (2). о h . Prop
*262-26. h : oeNO fin. =. (зр). peNqCinduct -1‘. а = pr
[*262-25. *103-13-34]
*262-27. h: а, P e NO fin . о . a + p e NO fin
Доказательство.
h . *180-21. oh: Hp .Pea . Qe p . о . P+Qea. + p (1)
h. *251-24. о h : Hp . о . a + PeNO (2)
h . *180-111. о h : Hp (1). о . Nc‘C4(P+G) = Nc4(C‘P+C40
[*110-3] = Nc4C4P+c Nc‘C‘2 (3)
h . *262-13. о h : Hp (1). о . Nc‘C‘P, Nc‘C‘2 e NC induct.
[*120-45] о . Nc‘C‘P+c Nc‘C‘2 e NC induct (4)
h.(1). (2). *155-26. *251-122. о
h : Hp (1). о . P+Q e Q. a 4- p = N0r4(P+G) (5)
h . (3). (4). oh: Hp (1). о . C‘(P+2) e Cis induct (6)
h . (5). (6). *262-1. *261-42 . о h : Hp (1). о . a 4- P e NO fin (7)
h . *262-1. *155-13 о h : Hp.о.3!a•3!P (8)
h . (7). (8). о h . Prop
*262-271. h : a, peNO fin . о . a x peNO fin
[Док-во, как в *262-27, исп. *184-12 . *166-12 . *251-55 . *120-5]
*262-272. h : a, р е NO fin . о . a expr p e NO fin
[Док-во, как в *262-27, исп. *186-1. *176-14 . *261-62 . *120-52]
*262-31. h : р, v е NC . о . рг + vr с (р 4-cv) г
Доказательство.
h. *180-2. о
h : Z е pr + vr. = : (3Р, Q). рг = Nor‘P . vr = Nor‘2 . Z smor (P+Q): (1)
[*180-111. *151-18] о : (зР, Q). pr = Nor‘P. vr = Nor‘2. C‘Z sm (C‘P4-C‘2) :
[*155-12] о : (зР, 2). Pevr. Qevr. C‘Z sm (C‘P4-C‘2) :
[*262-12] о : (3P, 2) • C‘P e p. C‘2 e v . C‘Z sm (C‘P4-C‘2) :
[*110-21] о : Hp . о . C‘Ze p 4-cv (2)
h. (1). *262-12. *155-12. о
h : Z e pr + vr. о . (3P, Q). P, Q e Q. Z smor (P+Q).
[*251-25. *180-11-12. (*180-01)] o.ZeQ (3)
h . (2). (3). *262-13 .oh:. Hp . о : Z e pr + vr. о . Z e (p 4-cv) r:. о h . Prop
*262-32. h : p, veNC induct. PEpr. Qevr • о . P+Qe\ir + vr
Доказательство.
h . *200-12 . *262-12 .oh: Hp . о . p, ve - i‘l - i‘A .
[*262-24] o.pr,vrENO.
[*180-21] о . P+Q e pr 4- vr: о h . Prop
*262-33. h : p, v e NC induct -1‘ 1 . о . pr + vr = (p 4-cv) r
Доказательство.
h . *262-12 . oh :. p = A . V . v = A: о : pr = A. V . vr = A :
[*180-4] o:pr + vr = A (1)
Principia Mathematica III
♦262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
145
F . *110’4 . эН. p, = A.V.v = A:D.p, +cv - A .
[*262-12] э.(ц+су)г = Л (2)
F . *262-32 . э F : Hp . P e . Q e vr. э . P+Q E\ir + vr. (3)
[*180-42 . *152-45] э . |ir + vr = Nr‘(P+0 (4)
F. (3). *262-31. э F : Hp (3). э . P+Q e (p +cv) r.
[*120-45 . *262-24] э . P+Q e (p, +cv) r. (p, +cv) r e NR.
[*152-45] э. (p+cv)r = Nr‘(P+0 (5)
F. (4). (5). *10-23 . *262-21. э F : Hp. 3! p. 3! v . э . pr + vr = (p, +cv) r (6)
F . (1). (2). (6). э F . Prop
Приведенное выше предложение все еще имеет место (как мы докажем
сейчас), когда один из р и v равен 1, по не оба. Когда оба из них равны 1,
то pr + vr = А, в то время как (р +cv) г = 2Г.
*262-34. F : р е NC - i‘0. э . pr + i с (р +cv) г
Доказательство.
F . *181-2 .oF:.Zepr+i. = : (зДх). pr = N0r4P. Z smor (P-Fx) (1)
F . *181-6 . *152-7. э F : э !P. э . Nc‘C‘(P -Fx) = Nc‘C4P +c 1 (2)
К(1).(2).э
F Hp. э: Zepr + i. э. (gP). - Nor‘P. Nc‘C‘Z = Nc‘C‘P+cl.
[*262-241-12] э. (gP). pir = Nor‘P. Nc‘C‘Z = pi +C1.
[*100-3] z>.C‘Zep+cl (3)
F. (1). *262-12 . *155-12 . э F : Ze pir + i. э . (gP). PeQ. pir = Nor‘P.
[*251-1-132] o.pir+ieNO.
[*251-122] d.ZeQ (4)
F. (3). (4). *262-12 Hp. э: Zepir + i. э . Ze(pi+Cl)r:. э F . Prop
*262-341. F : peNC induct. Pepir. э. P-t+xeptr + i
Доказательство.
F . *200-12 . *262-12 . z> F: Hp. z> . pi e -i‘ 1 - i‘A.
[*262-24] d.mNO.
[*181-21] э . P-kxe pir 4- i: э F . Prop
*262-35. F : pieNC induct -1‘0 - i‘l . э . p.r + i = (pi +cl)r
Доказательство.
F . *262-12 . z>F:pi = A.z>.pir = A.
[*181-4] D.pir+ 1=A (1)
F. *110-4. z> F : pi = A . э. pi +C1 — A.
[*262-12] 3.(pi+cl)r = A (2)
F . *262-341. z> F : Hp. Pepir. z>. Р-Fxepi,-+ 1 . (3)
[*181-42 . *152-45] э . pir + i = Nr‘(P-kx) (4)
F•(3). *262-34. э F : Hp. Pepir. э . P4+xe(pi+cl)r.
[*120-45 . *262-24] э. P -Fx e (p +c 1) r. (pi +c 1) r e NR.
[*152-45] =>.(pi+cl)r. = Nr‘(P-t»x) (5)
F.(4). (5). oF:Hp.g! pir. o.pir+ i =(pi+cl)r:
[*262-21] DF:Hp.g!pi.z>.pir+i =(pi+cl)r (6)
F . (1). (2). (6). э F . Prop
*262-36. F : p. e NC induct - i‘0 - i‘ 1 . z>. i + pir — (1 +c pi) r
[Док-во, как в *262-35, посредством аналогов *262-34-341]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
146
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*262-41. h : ц, v еNC . э . цх vr с(ц +cv)
[Доказательство, как в *262-32, используя *184-1-5. *113-21]
*262-42. h : ц, veNC induct. Рецг. Qevr. о . PxQe^ xv.
[Доказательство, как в *262-32, используя *184-12]
*262-43. h : ц, veNC induct - i‘l . о . цг х vr = (ц +cv)r
[Док-во, как в *262-33, исп. *184-11. *113-204 . *184-15 . *120-5]
*262-51. h : ц е NC . v е NC induct. о . цг expr vr с (nv) г
Доказательство.
h . *186-5 . о I-: цг, vr е NqR . v 0. R е цг expr vr. о . C‘R е (С“Цг)с"Vr (1)
h . *186-11. о I-: R е цг expr vr. о . а! цг. 3! vr
h. (1). (2). *262-18 .oh: Hp . v 0. R e цг expr vr. о. C'R e |iv
h . *262-12 . о h . цг c Q .
[(2). *251-1. *186-11] о h : Re цг expr vr. о . цг eNO
h . *262-24 . oh: Hp . v 1 . vЛ . о . vr eNOfin
h . (2). (4). (5). *261-62 .oh: Hp . v 1 . R e цг expr vr. о . R e Q
h . (2). *200-12 . о h : R e цг expr vr. о . v 1
h . (3). (6). (7). о h :. Hp . о : R e цг expr vr. о . R e Q . C'R e .
[*262-12] o.Pe(p,v)r
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
*262-52. h : ц, veNC induct. Pe цг. Q evr. о . (Рехр2) е(цг expr vr)
Доказательство.
h . *200-12 . *262-12 .oh: Hp . о . ц, ve - i‘l - i‘A .
*262-53. h : ц, v e NC induct - i‘ 1 . v / 0. о . expr vr = (p,v) r
Доказательство.
h . *262-12 . *186-11. oh:.p = A.V.v = A:o.pir expr vr = A
h . *116-204 . *262-12 .oh:.p, = A.V.v = A:o. Qiv) r = A
h . *262-52 .oh: Hp . P e цг. Q e vr. о . (Рехр Q) e (цг expr vr).
[*186-13 . *152-45] о . Nr‘(Pexp2) = цг expr a
h . (3). *262-51. о h : Hp (3). о . (Рехр Q) e (p,v) r
h . (5). *120-52 . о h : Hp (3). о . piv e NC induct
h.(5). oh:Hp(3).og!(p,v)r.
[*200-12 . *262-12] o.pi'V 1
h . (6). (7). *262-24 . о h : Hp . о . (nv)r eNO
o . Nr‘(Pexp0 = expr v.
Э h : Hp (3). э. (Рехрб)e(pv)r
z> h: Hp (3). z>. p.v e NC induct
эННр (3).эд!(ц.у)г.
(3)
(4)
(5)
(6)
I- . (5). (8). *152-45 . э k : Hp(3). э . NrXPexpg) = (pv)r.
1(4)] э.цг expr vr = (pv)r (9)
i-. (9). *262-21. эк:Нр.д!ц.д!у.э.|хг expr vr = (pv)r (10)
k.(l).(2).(10).ol-.Prop
Сейчас мы находимся в положении, позволяющем установить свойство
коммутативности сложения и умножения финитных ординалов. Это осу-
ществляется посредством *262-33 и *262-43.
Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
147
*262-6. h : ct, р е NO fin.o.a+p=p+a
Доказательство.
h . *262-26. о h : Hp . о . (gpt, v). pi, veNC induct - Pl . a = |ir. p = vr.
[*13-12] о . (дц, v). ц, veNCinduct - i‘l. a + p = p,r + vr. ct = . p = vr.
[*262-33] о . (gpi,v). ц, veNCinduct - i‘l. a + p = (p, +cv)r. a = . p = vr.
[*110-51] о . (gp, v). p, veNC induct - Pl . a + p = (v +cp)r. a = pr. p = vr.
[*262-33] о . (gp, v) • H, veNC induct - Pl . a + p - vr + pr. a = pr. p = vr.
[*13-22] z>.a + p = p + a:z>h. Prop
*262-63. h : a, p, у e NO fin. э . (a x P) expr у = (a exPr Y) x (P expr y)
Доказательство.
I-. *262-26 . о
h : Hp . э . (gp, v, (D). p, v, (DeNC induct - Pl . a = pr. p - vr. у = (Dr (1)
h . *262-43 . о
h : p, v, (D e NC induct - P1 . о . (цг x vr) expr (Dr = (p xcv) r expr (Dr (2)
h . *113-602 . oh : p = 0. v = 0 . о. p xcv / 1 (3)
h. *117-631. oh : ц, veNC-P0-Pl .o. pi xcv# 1 (4)
h . (3). (4). oh:Hp(2).o.pxcv^ 1 (5)
h . *120-5 . о h : Hp (2). о . p xcveNC induct (6)
h . (5). (6). *262-53 .oh: Hp (2). GJ 0r. о . (p xcv) r expr (Dr = {(pxcv)ro} r
[*116-55] =(Hroxcvro)r (7)
h . *117-652 . о h : Hp (7). p 0r. о . pro p xc(D .
[*117-631] о. pro / 1 (8)
h . *116-311. о h : Hp (7). p = 0r. о . pro / 1 (9)
h.(8).(9). о h : Hp (7). о . p® / 1 (10)
Аналогично h : Hp (7). о . v® 1 (11)
h . (10). (11). *120-52 . *262-43 . о h : Hp (7). о . (proxcvro) r = (pi®) r x (v®) r
[*262-53] =(pr expr(Dr)x(vr expr(Dr) (12)
h . (2). (7). (12). э
h : Hp (7). о . (pr x vr) expr (Dr = (pr expr ajr) x (vr expr (Dr) (13)
h . (1). (13). *262-19 . о
h : Hp . у 0r. о . (a x p) expr у = (a expr у) x (P expr y) (14)
h. *186-2. *184-16. о
h : Hp . у = 0r. о . (a x P) expr у = 0r. (a expr у) x (P expr y) = 0r (15)
h . (14) . (15) .oh. Prop
* 262-64. h : a e NO fin . о . a + i = 1 + a
Доказательство.
h . *262-35-36-26. *110-51 .oh:Hp.a/0r.o.a+i = i+ a (1)
h . *161-2-201. о h : a = 0r. о . a 4- 1 = 0r. i + a = 0r (2)
h . (1) . (2) . о h . Prop
* 262-65. h : a, p e NO fin . P 0r. о . a x (p + i) = (a x p) + a
Доказательство.
h . *262-61 .oh: Hp . о . a x (p + i) = (p + i) x a
[*184-41] = (P x a) + a
[*262-61] = (a x p) 4-a : о h . Prop
* 262-66. h : a, PeNO fin. P0r. о . ax (1 + P) = a + (ax P)
[Доказательство, как в *262-65]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
148
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 262-7. I-ц, v е NC induct - i‘ 1 . о : р, > v . = . p,r •> vr
Доказательство.
h . *262-21. *117-12 .oh: Hp . pi > v . о . a! pr. a! vr.
[*262-18] о. pi = С‘4цг. v = С4Ч. (1)
[*255-76 . *262-24] о . цг <• vr (2)
h . *120-441 .oh: Hp . ~ (p > v). о . p < v (3)
F. (1). э h : Hp. ц < v. э. p-r <• vr (4)
h . *262-21 .oh: Hp . p, - sm“v. о . (gP). p = Nqc4C‘P . p = sm“v.
[*103-4] о . (3P). pi = Noc‘C‘P. v = Nc‘C‘P.
[*262-241] о . (gP). pir = N0r4P. vr = Nr‘P.
[*155-4] о . pr = smor “v (5)
h. (4). (5). *117-104 . о h : Hp. pi < v . о . pir <• vr (6)
h . (3). (6). *255-483 . о h : Hp. ~ (pi > v). о . ~ (pir •> vr) (7)
h . (2). (7). о h . Prop
* 262-71. h : a e NO fin- i‘0r. о . (aP). 0 e NO fin - i‘0r U i‘ 1 . a = p + 1
Доказательство.
h . *262-11. *261-24 . о h : Hp . о . 3! a П CT(B I Cnv) (1)
h . (1). *204-483 . (*181-04) .oh. Prop
* 262-8. h : a, peNO . y^NO fin . a <• p . о . a expr у <• P expr у [*261-64]
*262-81. h : a, PcNqO . y^NO fin. a expr y = P expr Y • ° • a = smof “P
Доказательство.
h . *262-8 . Transp . *255-42 . о h : Hp . о . ~ (a <• P). ~ (a > P).
[*255-112] о . a = smor “P : о h . Prop
* 262-82. h : a e NO fin. P e NO infin . о . a <• p [*261-65]
* 262-83. h : a e NqO - i‘0r. p, у e NO fin . p <• у . о . a expr P <• expr у
Доказательство.
h . *255-33 . о h :. Hp. о : (а®). Ш e NO - i‘0r .Y = P + a5.V.p^0r.Y = P+ l (1)
h . *254-51. о h : Q gP . о . ~ (PlessQ) (2)
h . (2). *255-1. о h : y = P + (П. о . ~ (y <• (D) (3)
h . (3). *262-82 . Transp .oh:Hp.Y = P + GJ.o.(De NO fin (4)
h . *186-14 . о h : Hp (4). (D 0r. p 0r. о . a expr у = (a expr P) x (a expr И) (5)
h . *262-71-272 . оh : Hp(5). о . (g6). 6eNR-i40r U i4i. a expr p = 6+ i.
[(5). (4). *255-573] о. a expr y > a expr p (6)
h . *255-51 .oh: Hp (4). CD 0r. P = 0r. о . a expr у •> a expr P (7)
h . *186-22 .oh: Hp .p^0r.Y = P+ i«=>«a expr у = (a expr p) x p .
[*262-71. *255-573] о . a expr y> a expr p (8)
h . (1). (6). (7). (8). о h : Hp . о . a expr у •> a expr p : о h . Prop
* 262-84. h : P e Q - i‘A. Q, R e Q fin. (Hess/?. о . P^ lessP* [*262-83]
Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ
149
*263. Прогрессии
Краткое содержание *263.
Если R представляет собой прогрессию в смысле, определенном в *122,
т.е. одно-однозначное отношение, чье поле является потомством своего пер-
вого терма, то тогда /?ро представляет собой сериальное отношение, а серия,
порожденная Рро, имеет тип, который Кантор называет о), т.е. наименьшая
из бесконечных серий. Легко доказать, что все прогрессии ординально по-
добны, и что если существуют все индуктивные кардиналы, то серия ин-
дуктивных кардиналов в порядке величины имеет тип о). Таким образом,
о) представляет собой ординальное число, которое не является нулем, если
имеет место аксиома бесконечности.
Большинство свойств о) без труда выводятся из соответствующих
свойств “Prog”, которые были доказаны в *122. Определение есть
a) = P{(3P).PeProg.P = Ppo} Df.
Аксиома бесконечности влечет, что отношение “меньшего к большему”
со своим полем, ограниченным к индуктивным кардиналам, является эле-
ментом о, или, что приводит к тому же самому, однако проще доказывает-
ся, что {(NC induct) 1 (+с1)}ро является элементом о) (*263-12). Таким обра-
зом, аксиома бесконечности для типа х влечет существование о) в пределах
типа Р3‘х (*263-132); вообще говоря, существование о) в пределах любого
типа отношений эквивалентно существованию Ко в пределах типа их полей
(*263-131), потому что Ko = D“u) = C“a) (*263-101).
Опираясь на то обстоятельство, что в прогрессии R (в смысле *122)
все термы — значения v^, где каждый индуктивный кардинал входит в ви-
де значения v (что было доказано в *122), мы легко выводим, что если и
есть прогрессии, то они являются сериями, ординально подобными серии
индуктивных кардиналов (*263-131). Следовательно, и “Prog”, и о) пред-
ставляют собой реляционные числа (*263-162-19). Кроме того, на основании
*122-21-23, о состоит из вполне упорядоченных серий (*263-11). Следова-
тельно, о является ординальным числом (*263-2).
Затем мы доказываем, что прогрессии представляют собой бесконечные
серии (*263-23), и что серия, содержащаяся в прогрессии, финитна, если
она обладает максимумом (*263-27), и является прогрессией, если она не
имеет максимума (*263-26). Отсюда следует, что, допуская существование
прогрессий или аксиому бесконечности, о) есть наименьший ординал, кото-
рый больше, чем все финитные ординалы (*263-31-32). С этим связано то
обстоятельство, что предшественники любого терма в прогрессии являются
индуктивным классом (*263-412).
*263-44-48 дает разные формулы для со, каждая из которых могла бы
быть принята в качестве определения. Мы имеем
*263-44. h . о) = Q - i‘A П Р (CTPj = СТР. ~ Е ! В‘Р)
Т.е. прогрессии являются экзистенциональными вполне упорядоченны-
ми сериями, в которых каждый терм, за исключением первого, обладает
непосредственным предшественником, и нет последнего терма.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
150
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*263-46. h.u) = Qn?(E!B‘P1 . ~ Е ! В'Р)
Т.е. прогрессии представляют собой вполне упорядоченные серии, в ко-
торых есть только один терм, обладающий непосредственным последова-
телем, и нет последнего терма.
*263-47. h.u) = QnP{ac C'P. эа : ae Cis induct. = . 3! C'P О р‘Х“а}
Т.е. прогрессия является вполне упорядоченной серией, в которой лю-
бой подкласс а останавливает вблизи некоторой точки серии, если а —ин-
дуктивный класс, а не наоборот. Это предложение будет полезно в следу-
ющей главе.
* 263-49. h . Q fin U a) = Q П Р (СГ^ = (ГР) = Q П Р (Р = Pfn)
Т.е. финитные вполне упорядоченные серии и прогрессии вместе пред-
ставляют собой те вполне упорядоченные серии, в которых каждый терм,
исключая первый, обладает непосредственным предшественником, и явля-
ются также таковыми, в которых каждый интервал является индуктивным
классом.
Из *263-45 следует, что если Р представляет собой бесконечную вполне
упорядоченную серию, то Р, ограниченная к термам, расположенным на
конечном расстоянии от В‘Р, является прогрессией, т.е.
* 263-5. h: PeQinfin. э. Р f
Следовательно, отсюда сразу же следует, что бесконечный ординал яв-
ляется, по меньшей мере, настолько же большим, как о), и поэтому беско-
нечные ординалы, отличные от со, больше, чем о), т.е.
* 263-54. h : a е NO infin - i‘a). э . a •> a)
Оставшиеся предложения этого параграфа посвящены доказательству
о) х 2r = а) (*263-63) и a) х а = о), если а финитен и не является нулевым
(*263-66). Это случай совсем не тот, когда 2гхо) = о) или а х о) = со.
Кантор изменил свои определения умножения в отношении порядка со-
множителей. Первоначально он принял точно такое же правило, какое при-
няли и мы, однако в последующих работах он изменил правило, так что
то, что мы называем 2Г х о), он называет о) х 2Г, и наоборот. Таким обра-
зом, с определениями, принятыми в его последующих работах, 2Г хо) = 0),
однако a) х 2Г о). Мы возвратились к его более ранней практике по раз-
ным причинам, однако в основном, чтобы иметь №‘П‘(Р X Q) = Nr‘P х Nr‘6
(ср. *172). Какое бы правило мы ни приняли, всегда найдутся некоторые
неудобства, так что вопрос в отношении их не представляет большой важ-
ности.
*263-01. a) = P{(aP).PeProg.P-Ppo} Df
*263-02. N = fiv {^eNC induct. v = (ц +cl) П r0‘P-l Dft [*263]
Приведенное выше временное определение N точно такое же, как в *123.
*263-1. F : Р е о). = . (дЯ). R е Prog. Р = R^ [(*263-01)]
*263-101. h . No = D“u) = C“u) [*123-1. *122-141. *91-504]
Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ
151
* 26311. F.tocQ
Доказательство.
F . *122-23 141. *263 1. э F : Р е о). а с С‘Р. g! а . э. g! min/a (1)
F.(l). *250-125. dF. Prop
* 263-12. h : Infin ax. э . Np0 6 со [*123-25 . *263-1]
* 263-13. F : g! No (x). = . g! co П ?1 ‘x
Доказательство.
F . *263-101. (*65-02). э
F : g! No (x). = . (gP). P e co . C‘P e ffx.
[*64-57. *63-5] = . (gP). P e co. P e r11 ‘x: э F . Prop
* 263-131. F: g! (No) a . = . g! о) П Zoo‘a [Доказательство, как в *263-13]
* 263-132. F : Infin ax (x). = . g! co П ^З‘х.
Доказательство.
F . *125-23 . *263-13 . э F : Infin ax (x). н . g! (о О r11 ‘r2‘x.
[(*64-011-014)] = . g! co П r33‘x: э F. Prop
Это предложение утверждает, что если число отдельных индивидов того
же самого типа, как х, не является индуктивным числом, то тогда найдется
прогрессия, чьи термы имеют тип Г2‘х. Эта прогрессия будет прогрессией
индуктивных кардиналов, которые применимы к классам, чьи термы того
же самого типа, что и х.
* 263-14. F:PeProg.P = Ppo.z>.P = Pfn=Pfn .P = Pi
Доказательство.
h. *121-254. эННр.э. Pi =Pi .
[*121-31. *122-1-16] э.Р, =R. (1)
[Hp] Э.(Р1)ро = Р.
[*260-27. *263-11] э . Pfn = P • (2)
[*260-15. Hp] Pfn = P (3)
b. (1). (2). (3). эЬ. Prop
*263-141. F : Р е со . э . Рх е Prog. Р = (Pi) fn = (Pi) ро
Доказательство.
F . *263-1. э F : Нр . э . (дР). R е Prog . Р = Рро .
[*263-14] э . (дР) .PeProg. Pj =Р. P = Pfn . Р = Рро .
[*13-195] э . Pi e Prog . Р = (Pi)fn = (Pi)po : э F . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что каждый интервал
Р(хну) в прогрессии является индуктивным классом.
*263-142. F : R, S е Prog . Рро = 5ро . э . Р = S
Доказательство.
F.*263-14.z>F:Hp.o.P = (Spo)i
[*263-14] =S : э F . Prop
*263-143. F:P, Qeco.Pj = Q} .z>.P = Q
Доказательство.
F.*263-l.oF:Hp.o.(gP,5).P,5eProg.P = Pp0.e = 5p0.Pi =Gi •
[*263-14] э . (gP, 5). P, 5 e Prog . P = R^ . Q = Spo . R = Px . S = Qx . Px = Qx .
[*13-17] o.(gP,S).P,SeProg.P = Ppo.G = Spo..P = S .
[*1317] d.P=Q:dF. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
152
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*263-15. h : Р е Prog .S = xv {v еNC induct. x = (v +cl)я)
Доказательство.
1-. *123-3. з F: Hp. з. S e 1 -> 1 . D'S = D'P. CPS = NC induct (1)
1-. *123-21. з F.NC induct = C'N (2)
F*110-56-643. k : Hp . (ц +cl) N (v +cl). з. v +C1 = ц +c2 F. (3). sF:.Hp. з : x(S 'N)y. = . (др). peNC induct. x = (p. +Д)/? .y = (p +c2)r . [*121-332-131] = . (gp). p e NC induct. (B'R) R^x. (B'R) (Pp | R) у. (3)
[*122-341. *121-342] = . xRy 1-. (1). (2). (4). з F. Prop *263-151. 1-: R e Prog. з . R smor N [*263-15] *263-152. F :ReProg. gsmorR. з .£)eProg [*123-32] *263-16. F:ReProg. з.Prog = Nr‘R = Nr‘N [*263-151-152] *263-161. F : a 1 Prog. о. Prog = NrW [*263-16] *263-162. F . Prog e NR [*263-161. *154-242] *263-17. F:Pew.3.a) = Nr‘P = NrWpo Доказательство. F . *263-1. з F:Hp.з. (aP) • R e Prog. P = Pp0 . [*263-151] з. (aP) .Psmor N. P = Rp<>. (3)
[*151-56] з . P smor Npo . (1)
[*152-321] 3.Nr‘P = Nr‘Npo F . *151-59. з F: P e co. Q smor P. з . Qi smor Pi . (2)
[*263-141-152] з. (he Prog F. *150-83. з F : Peco. S smor P. з. (Gi)Po = S5 (Pi)po [*263-141] =s;p (3)
[*151-11] =e (4)
F. (3). (4). *263-1. з F: Pew. <2 smor P. з. Qeu) (5)
F.(l). зF :P, Qeco.з .Psmor Q (6)
F. (5). (6). з F : Pe co. з. co = Nr'P F . (7). (2). з F . Prop *263-18. F : 3! . з. co = Nr'Npo [*263-17] *263-19. F.coeNR [*263-18. *154-242] *263-2. F. coeNO [*263-19-11. *256-54] *263-22. F : Pe co. з. СГРc D'P. ~ E ! B'P. E ! B'P [*122-141. *263-1 .*122-11] *263-23. F. co cQ infin Доказательство. (7)
F . *261-35 . Transp . *263-11-22.3F : Peco . 3 . C'P ~ e Cis induct - i‘A (1)
F . *263-22.3 F : P e co. 3. a! C'P F . (1). (2). 3 F: P e co. 3 . C'P ~ e Cis induct. [*261-14-41. *263-11] 3 . PeQinfin : 3F . Prop *263-24. F:a!co.3.coeNOinfin [*262-14. *263-17-23] *263-26. F : P e co. a 1« П C'P. ~ E ! maxp'a. 3 . P [ a e co Доказательство. F . *263-1. *205-123.3 (2)
Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ
153
h : Нр . э . (дЯ). Re Prog . Р = Яро .д!аП С‘Я. а П C'R сЯро“а.
[*122-442-45] э . (дЯ). Я е Prog . Р = Яро . Р [ а - (Я [ а )2 е Prog .
Р [ а = {Р [а - (Р [а)2}ро •
[*263-1] э. Р [ ас со: з F. Prop
* 263-27. F: Р е со . Е ! тах/>‘а. з. Р [ а е Я fin
Доказательство.
F . *122-43 . *263-1. з F: Нр. з. afl C'Pе Cis induct.
[*37-41. *120-481] з. С‘(Р [ а) е Cis induct (1)
F. *263-11. *250-141. з F : Нр. з. Р [ а е Q (2)
F. (1). (2). *261-14-42. з F . Prop
* 263-28. F : Peco . з . Ser П Rl'Pc co U Яйп [*204-421. *263-26-27]
* 263-29. F : Peco. geQfin. з . QlessP [*261-65. *263-23]
* 263-3. F: P e co . з . less'P = Я fin
Доказательство.
F . *254-1. *263-17. з
F: Peco . QlessP. з . g! Nr'Qn R1‘P. 6~eco. Qe£l.
[*263-17] з . (дЛ). R e Nr‘£> n R1‘P. R ~ e co.
[*263-28] з. (gR). ReNr‘en Я fin.
[*261-183] o.geflfin (1)
F.(l). *263-29.3F. Prop
* 263-31. F :. g! co. з : a<- co . = . aeNO fin
Доказательство.
F . *255-17. *263-17. з F :. Peco. з: Nr‘(?<- co. = . <2lessP.
[*263-3] s.geQfin.
[*262-13] = . Nr'QeNO fin:
[*152-4] з: aeNR. a <• co . = . aeNR. aeNO fin:
[*255-12. *262-1. *152-4] з: a < co. н . a e NO fin:. з F. Prop
* 263-32. F:. Infin ах. з : a < co. = . aeNO fin [*263-31-12]
* 263-33. F: a <• co . з. a e NO fin
Доказательство.
F . *255-1. *155-13. з F : Hp. з. g! co
F.(1).*263-31.3F.Prop
*263-34. F . 1 + co = co
Доказательство.
F . *262-112. *263-24. э h : Hp . з! a). z>. i + cd = cd (1)
F. *181-4. F . (1). (2). з F . Prop oh:a) = A.o.i+U) = A (2)
*263-35. F : aeNO fin. з . a i + co = co
Доказательство.
F. *180-61. *263-18. oh:g!cD.o.Ori+CD = CD (1)
F. *180-4. oh:cD = A.o.Ori+CD = A (2)
F.(l).(2). z> h . 0r i + CD = CD (3)
F. *181-57. *263-34. oh.2r + CD=i-i-CD
[*263-34] = CD (4)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
154
ГЛАВА 5, КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
F . *262-36 . э F: jieNC induct - i‘O- i‘l . э . (p, +cl)r + a) = p,r + i + a)
[*263-34. *181-58] =pr + u) (5)
F . (5). э F : peNC induct - i‘O - i‘l . pr + а) = о). э . (p +cl)r + a) = co (6)
F . (4). (6). Induct. э h : p e NC induct - i‘O - i‘ 1 . э . pr + co = (0 (7)
F . (3). (7). э h : p e NC induct - i‘ 1 . э . pr + co = a):
[*262-26] э F : a e NO fin.o.a + o) = a):z>F. Prop
* 263-4. F : P e a). э . D‘/\ c Q fin . Nr“D‘P?
Доказательство.
F . *254-182 .or: Hp . э . D‘P? c less‘P.
[*263-3] D.D?qcQfin: (1)
F . *263-31. z> F Hp . э : a <• Nr‘P. = . a e NO fin :
[*256-11] э : aeNr“D‘P? . = . aeNO fin (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 263-401. F : P e co . a e sect‘P - i‘A - i‘C‘P. э . E ! max/a
Доказательство.
F . *250-65 . э F : Hp . э . P £ a ~ e Nr ‘P.
[*263-17] o.P[a~ea).
[*263-26 . Transp] э. E ! max/a : э F. Prop
*263-402. F : Pea). э . sect‘P- i‘A - i‘C‘P =?*“C‘P
Доказательство.
F . *205-131-22. *263-401. э
F : Hp . a esect‘P - i‘A - i‘C‘P. z>. a U P“a =^*‘maxp‘a U i‘maxp‘a .
[*211-1. *91-54] z>. a =~?*‘maxp‘a .
[*205-111] z>. ae P*“C‘P (1)
b. *211-3-13. э F .~Р*“ёРc sect‘P (2)
F. *90-12. oF.A“C‘Pc-l‘A (3)
F. *205-197. d F : Hp . xe C'P. э. E ! maxp A ‘x.
[*263-22] э.А'х^С'Р (4)
F.(2).(3).(4) . э F: Hp. э . A“C‘Pcsect‘P- i‘A - i‘C‘P (5)
F . (1). (5). э F . Prop
*263-41. F:Peco.o.Ps [D‘PS = P[’A;P
Доказательство.
F . *21311141151. э
I-Hp. э: Q(P<; [ D‘P?)P. = . (ga, P). a, p esect'P- i‘A - i‘C‘P. a с P . a / p.
(2 = P [ a: Я = P [ p.
[*263-402]
в. (gx,y).x,yeClP. A‘xcA'y. A‘x/A‘y-Q = P [ A'x. Я = P [A'y •
[*200-391]
= (gx.y) .x,yeC‘P. A'xcA'y .x/y. Q-P [А‘х.Я = Р [ A‘у •
[*204-32. *90-12]
= • (Я-*,?) • Xp* У •x + У • A ‘x C A ‘y. Q = P [ A‘x. R = P [ A‘y.
[*201-14-15] = .(gx,y).xP*y.x/y.e = P [А‘х.Я = Р [A‘y.
Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ
155
[*201-18] =. (дх,у). xPy. Q = Р [Л ‘х. R = Р [Л 'у.
[*150-1] =. Q(Р pA’P)R 3F. Prop
*263-411. I-: Реш. з. C“D‘P? =A“d‘PU ГЛ
Доказательство.
I-. *213-141. *263-402. з
F:Нр.з. C“D‘P? = ѓР[“А “С'Р
[*93-103] = ѓР[“A“d‘PurC‘P [А'В'Р
[*201-521. *202-55] = A“d‘PU CC'P 0*'В'Р
[*201-521. *200-35]='?* “d'P U ГЛ: 3F . Prop
*263-412. F: Peco. з ."?‘х,"?* ‘хе Cis induct •
Доказательство.
h . *205-197. э h : Нр .хеС'Р. э . Е ! тахр‘"?*‘х.
[*263-27. *202-55. *120-213] з. Л ‘х е Cis induct. (1)
[*120-481] з ."?*‘хе Cis induct (2)
F . (1). (2). з F . Prop
*263-42. F : Pe co. з. sgm'P = A J. (C'P)
Доказательство.
F . *212-21. *211-12. з
F:. Hp. 3: a (sgm‘P) p . = . a = P“a. p = P“p. a c p . a p (1)
F. (1) .*211-1. *205-123.3
F: Hp. a (sgm'P) p . з . a, p e sect'P. ~ E! maxp'a. ~ E ! maxp'P.
[*263-401] з.а, реГЛиГС'Р (2)
F. (1). (2). з F : Hp. a (sgm'P) p. з . a = Л. p = C'P (3)
F. *37-29 . з F : a = A. з . a = P“a (4)
F. *263-22 . з F : Hp. P = C'P. з. p = P“p (5)
F. (1). (4). (5). з F: Hp. a = Л. P = C'P .з.а (sgm'P) p (6)
F . (3). (6). з F. Prop
*263-43. F : P e co . з . G'Pi = d'P
Доказательство.
F. *263-141. з F : Hp. з . Q'P = d‘(Pi)po
[*91-504] = Q'P, : з F . Prop
*263-431. F : P eQ - i'A. d'Pi = Q'P. ~ E ! B'P. з . P e co
Доказательство.
F . *261-35 . Transp. з F : Hp . з. P e 12 infin .
[*261-44] 3.P] [K'B'PeProg.
[*261-212] з. Pi [ "P'B'P e Prog.
[*202-524] з. Pie Prog. (1)
F. *261-212. з F: Hp. з. P = (P,)po (2)
F. (1). (2). *263-1.3F. Prop
*263-44. F.co = 12-i‘AnP(a‘Pi =d‘P.~E!B‘P) [*263-43-22-431]
*263-45. F . co = 12n P(p= Pfn. ~ E ! B'P) [*261-212 . *263-44]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
156
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*263-46. F. со = Q П Р(Е ! B‘Pj . ~ Е ! В‘Р)
Доказательство.
I-. *121-305. *93-101. з
I-: Р е Q. ~ Е ! В'Р. G‘Pi # СГР. з. 3! G‘P - CTPi . СГР = D‘P - СВ'Р.
[*250-21] з.3!D‘P] -G'P, -i‘B‘P.
[*93-101] э.э!Т}‘Р1-i‘B‘P
I-. *121-305. *250-21. 3 F : P e Q - ГА . з . B‘P e^‘P,
F.(l).(2). 3F:PeQ.~E!B‘P.G‘Pl ^G‘P.3.^‘P| ~el .
[*53-3] э.~Е!В‘П1
F . (3)Transp. з F : PeQ. E ! B‘Pj . ~ E ! B‘P. 3 . G‘P| = G‘P.
[*263-44] з.Ресо
I-. *250-21. *263-44. з F: Peco. з .^‘Р} =~§'P.
[*250-13] з. E! B'P\
F.(5). *263-44 з F : P e co. з. E 1 B‘Pj . ~ E ! B'P
F. (4). (6). з F. Prop
*263-47. F . co = Qn P{ac C‘P. за : a e Cis induct. = . 3! C‘PC1 p‘^“a)
Доказательство.
F . *254-52.3 F : Peco . a c C'P. 3! C‘Pn p'*P"a. 3 . (P [ a) lessP.
[*263-3] 3. P [ a e Q fin.
[*261-42-14] з . C‘(P I a) e Cis induct.
[♦202-55. *120-213] 3 . a e Cis induct
F . *261-26.3 F: Peco. a c C'P. a e Cis induct. 3! a. з. E ! max/a.
[*263-22] 3.3! X‘max/a.
[*205-65. *40-69] 3.3! C‘P(~}p'<P"a
F.(l). (2). *40-2.3
F Peco. acC‘P . 3: aeClsinduct. = .^-C'PPi p'*P"a
F. *40-2. *120-212.3
F :: PeQ:. ac C‘P. 3a : aeClsinduct. = . 3! C'PC\ p'*P"a.:. з. [j!P
F . (4). *200-51.3 F : Hp (4). з . C'P ~ e Cis induct
F. *250-16.3
F : Hp (4) .3! G‘P- G‘P] . 3 .^‘minp‘(G‘P- G‘Pi)e Cis induct.
3. E ! maxp‘"?‘minp‘(G‘P- G‘Pi).
3. minp‘(G‘P - G‘P]) e G‘Pi
3 F : Hp(4). 3. G‘Pi =G‘P
E!B‘P
3 F: Hp (4) • 3. P e co
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
[*261-26]
[*205-252]
I-. (6). Transp.
F. (5). (7). *261-34. эЬ: Нр(4). з.
F . (4). (7). (8).
F. (3). (9). э F. Prop
*263-48. F. го = Qn Р(ас С‘Р. за : а Cis refl. =. 3! С‘РП р‘Х“а)
[*263-47. *261-47]
*263-49. F.QfinUco = QnP(G‘Pi = G‘P) = QCiP(P = Pfn)
Доказательство.
I-. *261-22. *263-44. з F : PeQfin U со. з . СТР] = (ГР
I-. *261-34. *263-44.з F:PeQ. СТР, = G‘P. з. PeQfin U со
Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ
157
F. (1). (2). зF . QfinUсо = QnP(G‘P] = Q'P)
[*261-212] = QnP(P = Pfn). 3F . Prop
*263-491. F:PeQfinUco.3.P=(Pi)po.P0 = (Pi)0
Доказательство.
F . *263-49. *261-212 . з F : Hp. з . P = (POpo (1)
[*91-602 . *121-103] з.Р(хну) = Р] (хну).
[*121-11] з.Ро = (Р1)о (2)
F. (1). (2). з F . Prop
*263-5. F: P e 12 infin. з. P [ (CB'P U 5?fn‘B‘P) e co
Доказательство.
F.*261-45. з F: Hp. з. Pi [ ?Tfn‘B‘P6Prog (1)
F . *260-33-27. э F: Hp. э. (Pi [ frfn‘B‘P)po = Pfn [ (c'B'P U ^'B'P)
[*260-32] = PI (c'B'P U К‘B'P) (2)
F. (1). (2). *263-1. з F. Prop
* 263-51. h : PeQinfin . э .
i‘B?U ^fn‘B‘PeD‘(Pe hl) • iWuSfcWcQ’sgm?
Доказательство.
F . *263-5-22 . з F: Hp. з. ~ E ! maxP‘(i‘B‘P U frfn‘B‘P) (1)
F . *260-11 о F: Hp. у e СГР- I^B'P .xeRfn'B‘P. з.
P (B'P H y) ~ e Cis induct. P (B'P н x) б Cis induct.
[*120-49] з. Nc'P (B'P H y) > Nc'P (B'P H x).
[*117-222. Transp] з. ~ (yPx) (2)
F . (2). Transp. з F: Hp. з. P“^fn‘B‘Pc^‘PU ^fn‘B‘P (3)
F . (3). *93-101. з F: Hp . з. P“(i‘B‘P c 5?fo‘B‘P) c c'B'PU ^fn‘B‘P (4)
F . (1). (4). *211-41. з F: Hp. з. c'B'PU frfn‘B'PcD‘(Pe П I) (5)
[*212-152] з. i‘B‘PU ^fn‘B‘PeQ‘sgm‘P (6)
h . (5) . (6). э h . Prop
* 263-52. h : PeQ infin - о). э . (gx). хе СГР. ^fn‘B‘P U i‘B‘P=?‘x
Доказательство.
h . *263-49 . Transp .oh: Hp . э . 3! СГР - CTPi .
[*260-27] 3.a!(rP-5?fn‘B‘P.
[*250-121] 3. E ! minp‘(CI‘P - frfn'B'P).
[*263-51. *206-25. *211-726] з. (gx). хеСГР. ^‘В'Ри i‘B‘P =‘?‘x:
э h . Prop
* 263-53. h : PeQinfin - о). э . Nr‘P->о
Доказательство.
F . *253-13. *263-52 . з F: Hp. з . P [ (frfn‘B‘P U i‘B‘P) e Q‘P?
[*263-5] з.д Icon D'P.;
[*255-17. *263-18] 3. Nr‘P-> co : з F . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что о представляет собой
наименьший из бесконечных ординалов. Иначе тот же самый факт выра-
жается посредством следующего предложения.
* 263-54. h : a eNO infin - i‘(0 . э . а-> со [*263-53]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
158
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 263-55. h:Peu).o./\eu) + i . $‘Р е о) + i
Доказательство.
F . *253-511. *263-44 . э F : Hp . э. P? e co + i (1)
F . *252-372 . *263-44 . э F : Hp . э . <P e cd + i (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Следующие предложения являются леммами для доказательства
о)х2г = о) (*263-63).
* 263-6. F :: РeSer . х±у . М = Рх (хХу) . э :. RMXS . = :
(дм). ueC'P .R = xlu.S =у [и .V . (gu, v). uP\v .R-y [u.S = xX v
Доказательство.
F . *166-111. э F :. Hp . uPv .R = x[u:S = xX v.V.S =y X v: э .
RM (у l й). (у I и) MS .
[*201-63. *204-55] :d.~(RMxS) (1)
Аналогично F Hp . uPv .R = ylu.S = y X v.э.~ (RMXS) (2)
F. *166-111 .э
F : Hp . uPw. wPv. R = y I и . S = x X v. э . RM (x X w). (x X w) MS .
[*201-63. *204-55] o.~(PM,5) (3)
F . (1). (2). (3). Transp . *166-111. z>
F Hp . RM]S . э : (gu) .R = x[u.S =y X w . ueC'P. V .
(gw,v). uP\v .R-y Хм .5 = x X v (4)
F . *166-111. dF: Hp .R = x[u.S =y [u. RM (xX v). э . SM (xX v) (5)
F . *166-111. э F:. Hp . R = x X и . S -y I и . RM (у X w). z>: w = v. V . uPv:
[*166-111] o:yXv = 5 . V.5M(yXv) (6)
F. *166-111. э
F : Hp . R-y X и . S = x X v. uP\v. RM (у X w). э . SM (у X w) (7)
F . *166-111. z> F :. Hp . R = y I и . S = x[v. uPxv . RM (xXw).d:
xXw = 5 . V.SM(xXw) (8)
F . (5). (6). (7). (8). э F Hp . и e C'P. R = x [u . S = y [u.V .
uP\ v. R-y I и . S = x X v: z>. RM^S (9)
F . (4). (9). э F . Prop
* 263-61. F:PeSer.x#y.M = Px(xXy).z>.a‘M! =y X“C‘PUxX“CTPi
[*263-6]
* 263-62. F:Peo).x^y.o.Px(xXy)eu)
Доказательство.
F . *263-61-43. z> F : Hp . z>. СГ{Рх (x X y)} i = у ГСР U x X“<TP
[*166-111] =СГ{Рх(хХу)} (1)
F. *251-55. oF:Hp.o.Px(xXy)cQ (2)
F. *166-14. э F : Hp . z>. Px (xXy) e-i‘A (3)
h . *166-16. *263-22 . о h: Hp. э ,7l‘Cnv‘{Px (x J,y)) = A (4)
I-. (1). (2). (3). (4). *263-44. d F : Hp. э . Px (x J, у) e co: э F. Prop
*263-63. F . co x 2r = co
Доказательство.
F . *263-62-17. э F : Peco. Qe2r. о. Nr‘(Pxg) = co (1)
F. *184-13. *263-17.3F: Peco. бе2г.з. Nr‘(Px0 = cox2r (2)
F.(l).(2). 3F:g!co.a!2r.3.cox2r = co (3)
Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ
159
I-. *184-11 .3F:w = A.3.iox2r = A 1-. *123-14 . *263-101 .3F:g!a>.3.g!2. [*262-21] з.д!2г F. (3). (4). (5). з F . Prop (4) (5)
Следующие предложения являются леммами для доказательства *263-66. *263-64. 1-: Р, Q е Ser . х е С‘Р. zQ\w. М = PxQ. э . (z X х) М\ (w | х) Доказательство.
1- . *166-111. э h : Нр . э . (z J, х) М (w Хх) 1- . *166-111. э h Нр . (z J, х) М (и Ху) . э : хРу. V . х = у. zQu : [*204-71] э : хРу .V.x = y.u = w.V.x = y. wQy: (1)
[*166-111] э : (w Хх) A/(u Ху) • V . (wX х) = (u Ху) (2)
h . (2). *204-55 . э h : Hp (2). э . ~ {(и Ху) M (w X x)} h . (1). (3). *201-63 . oh. Prop (3)
*263-641. FzP.geSer. z = B'Q .w = B‘Q. xP}y. M = PxQ ,^> .QA x) Mx (wj,y) Доказательство.
F. *166-111. з F: Hp. з . (z 1 x)M (w J,y) F. *166-111. з FHp. (z J. x) (и J. v). з: xPv: (1)
[*204-71] 3:v = y.V.yPv F. (2). *166-111.3 F :. Hp. (z J. x) M (и 1 v). з: и J. v = w J,у. V . (w J. у) M (u J, v): (2)
[*204-55] з:~(Ш v)Af OO)} F . (1). (3). *201-63. з F . Prop *263-642. \--.P,QeSer .M = PxQ.z>.(C‘PxQ‘QQa<J‘M} [*263-64] (3)
*263-643. F : P, Q e Ser. E ! BlQ. E ! B‘Q. M = PxQ. з. (B'Q) J.“a‘P, [*263-64] *263-65. F : Peш. £)e£2fin — i‘A. з . PxQea> Доказательство. c G‘A/i
F . *251-55 . з F: Hp. з. PxQeQ. (1)
F . *166-14. з F: Hp. з . PxQ e - i‘A F . *263-642-643. *261-24 . з F : Hp. з . (C‘Px (TQQ U (B‘Q) J“a‘Pi c G'(PixQQ i . [*263-49] 3.(C7’xa‘e)U(B‘eH“a‘Pca‘(Px(2)1. [*166-12-16] з. C\PxQ)-~S‘(PxQ) c a‘(Px0! . (2)
[*93-101. *201-63] з. Q‘(PxQ) = Q‘(Px01 (3)
F . *166-16. *263-22 . з F : Hp. з ,^‘Cnv‘(PxQ) = A (4)
h. (1). (2). (3). (4). *263-44 .oh. Prop
*263-66. h : aeNOfin - i‘0r. э . cd x a = cd [*263-65]
Доказательство проводится, как и в *263-63.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
160
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
* 264. Производные вполне упорядоченных серий
Краткое содержание *264.
Основная цель данного параграфа — показать то, что каждая бесконеч-
ная вполне упорядоченная серия является суммой серии прогрессий, за ко-
торой следует финитная петля 16, которая может быть нулевой. С этой це-
лью мы продолжаем изложение следующим образом: если х —какой-либо
элемент С‘Р, то он должен принадлежать семейству в силу Р\ некото-
рого элемента C‘P-G‘Pi, за исключением х = ‘Ри ‘Р~е(Х‘Р\. Допус-
кая, что мы имеем либо ~Е!В‘Р, либо B‘PeG‘Pi, и далее предполагая,
что Р является бесконечной вполне упорядоченной серией, отличной от
прогрессии, получаем, что каждый элемент ёРпринадлежит семейству
в силу Р\ некоторого элемента C‘V‘P, поскольку, на основании *216-611,
C‘V‘P = D‘Pi - G‘Pi при предполагаемых условиях (*264-15). Р, ограничен-
ное к любому одному семейству в силу Pi, представляет собой прогрессию,
если указанное семейство не включает В‘Р; а если оно включает В‘Р, то
она является финитной. Поэтому вытекают наши предложения.
Важным следствием приведенного выше предложения является то, что
каждый кардинал, который не индуктивен и применим к классам, которые
могут быть вполне упрядочены, кратен Ко (*264-48).
Для выполнения указанных задач в этом параграфе нам нужно обозна-
чение для серии серий, каждая из которых состоит из семейства некото-
рого элемента С‘Ч‘Р. Вследствие этого мы полагаем
Ррг = Р[’^Р Dft [*264].
Здесь “рг” подразумевает “progression” 17. Когда PeQ infin-со, то Ррг пред-
ставляет собой серию прогрессий (возможно, заканчивающуюся финитной
петлей), чья сумма есть Р (или P[D‘P в одном из случаев). Перед ис-
пользованием этого определения необходимы некоторые предварительные
рассмотрения. V‘P является серией предельных точек Р, включая В‘Р. Для
того чтобы V‘P могла существовать, должна быть, по меньшей мере, од-
на предельная точка, кроме В‘Р. Теперь предельные точки серии пред-
ставляют собой C‘P-G‘Pi, т.е. предельные точки, отличные от В‘Р, есть
G‘P-G‘Pi (*216-21). Следовательно, когда существует БРи существует
G‘P-G‘Pi, то V‘P существует. Следовательно, на основании *263-49,
*264-13. h Ре Q . э : э !V‘P. = . Ре Q infin - со
Т.е. вполне упорядоченная серия, чья производная существует, представ-
ляет собой серию, которая является бесконечной и не является прогресси-
ей. Подобным образом мы имеем
* 264-14. h : Р е Q infin - со . э . C‘V‘P = ёР- G^
и
* 264-12. h : PeQ. э . G‘V‘P = G‘P- G‘Pi
16 В оригинале — finite tag. — Прим, nepee.
17 progression — прогрессия (англ.). — Прим, nepee.
Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
161
Далее мы переходим (*264-2—261) к изучению потомства терма х в си-
лу отношения Pi, т.е. серии Р [(Pi)/*- Мы показываем, что если эта се-
рия обладает последним термом, то она является финитной (*264-21) и
заканчивается В'Р (*264-2), в то время как если она не имеет последнего
терма, то если xeC‘Pi, т.е. если х имеет или непосредственного последова-
теля, или непосредственного предшественника, то серия является прогрес-
сией (*264-22). Следовательно, мы имеем
*264-23. h Р е Q . х е C‘V‘P A C‘Pi . э :
Е ! max/>‘(P]Vx• = • х = B‘Cnv‘V‘P. Е ! В‘Р
Более того, если xeC‘Pi, то прародители х в силу Pi должны закан-
чиваться элементом производной от Р, т.е.
*264-233. h : PeQinfin - cd . xeC‘Pi . э . minp‘(Prj£‘xeC‘V‘P
Мы, таким образом, приходим к результату, что если Р обладает по-
следним термом, то также и V‘P (*264-24), и если х —какой-либо элемент
производной, кроме последнего, то серия Р [ {Р\\‘х представляет собой про-
грессию (*264-25), в то время как если х является последним термом про-
изводной, и серия Р обладает последним термом, тогда Р [ {Р\\кх финит-
на (*264-252). Более того, предположение о том, что Р заканчивается эле-
ментом производной, эквивалентно предположению о том, что Р заканчи-
вается термом, который не обладает непосредственным предшественником
(*264-26).
Затем мы переходим (*264-3—403) к рассмотрению отношения Ррг, опре-
деленного выше. Если мы возьмем какой-либо терм у вполне упорядочен-
ной серии, то найдется некоторый терм х, принадлежащий C‘P-G‘Pi, та-
кой, что семейство у в силу Pi представляет собой потомство х. Это выте-
кает из *264-233, указанного выше. Таким образом, мы можем разделить
поле Р на взаимно исключающие промежутки, каждый из которых явля-
ется потомством некоторого элемента C‘P-G‘Pi в силу Р\. Серия серий,
полученная таким образом, представляет собой Ррг. Имеется один исключи-
тельный случай, когда серия заканчиваются термом, не обладающим непо-
средственным предшественником, так как в таком случае потомство этого
терма в силу Pi является нулевым, и поэтому Ррг пропускает этот терм.
Иначе, мы будем иметь Е‘Ррг - Р\ т.е. мы имеем
*264-39. I-: Р е Q infin - cd . ~ (‘Ре C‘V‘P). э . S‘Ppr = Р
*264-391. h : Р eQ . В‘РеC‘V‘P. э . L‘Ppr = Р [D‘P
Более того, мы имеем
*264-36. h : Р е Q . э . Ррг smor V‘P. Ppr с Rel2 excl
Из того, что было доказано ранее, мы знаем, что, предполагая PeQ,
мы имеем D‘Pprc(D (*264-401); если Р не обладает последним термом, то
С‘Ррг с со; если Р является бесконечной и обладает последним термом, то
В‘Ррг является финитной, и если последний терм Р принадлежит C‘V‘P,
то В‘Ррг = Л. Следовательно, используя *251-63, которое гарантирует нам
то, что в силу *264-36, приведенного выше, если C‘Ppr с со, L‘Ppr являются
кратными со, то мы находим (*264-44), что каждая вполне упорядоченная
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
162
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
серия имеет ординальное число вида (а х со) + р, где аир могут быть лю-
быми ординалами, включая 0г или i (полагая при этом i х а = а, чтобы
избежать исключительных случаев). Приведенный выше анализ приводит
к тому, что опускаются исключительные случаи, которые требуют специ-
ального исследования и делают доказательство длинным; однако в конце
получается приведенный выше простой результат.
Поскольку кратное Ко не возрастает из-за добавления индуктивного кар-
динала, то следует (*264-44), что кардинальное число поля бесконечной
вполне упорядоченной серии всегда является кратным Ко (*264-47). Следо-
вательно, если все классы могут быть вполне упорядочены, то все кардина-
лы, которые не являются индуктивными, представляют собой кратные Ко-
В силу теоремы Цермело, получается точно такой же результат, если ак-
сиома умножения истинна.
*264-01. Ррг = Р [ ’^P7S’V‘P Dft[*264]
*264-11. h :. PeQ . э : Ц! sgm‘P. = . PeQinfin
Доказательство.
h. *263-51. (1)
h . *212-152 . *211-41. z> h : PeQ. g! sgm‘P. э . 3! sect/P- i‘A - G‘maxp .
[*261-28. Transp] э. PeQ infin (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
*264-12. h : P e Q . э . CTV‘P = СГР - СГР]
Доказательство.
h . *216-61. э h : Hp . Ц!Р . z>. G‘V‘P = G‘P- G‘Pj (1)
h . *216-612 . *33-241. э h : P = A . э . G‘V‘P = A . G‘P - CTPi = A (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
*264-13. h :. PeQ . э : a!V‘P. = . PeQinfin - cd
Доказательство.
h. *264-12. э h Hp . э : g!V‘P. н.д’.СГР-СГР! .
[*263-49] = . P e Q infin - cd : h . Prop
*264-14. h : P e Q infin - cd . z>. C‘V‘P = C‘P - CTPi [*264-13 . *216-611]
*26415. I-P € Q infin - co : ~ E ! B‘P. V . B‘P e Q‘Pi: э . WP =~3‘Pi
Доказательство.
I-. *264 14. *93 103. => I-: Hp. ~ E ! B‘P. о. C‘V‘P = Q‘P - (TP, . C‘P = D‘P.
[*93-101. *250-21] э . C‘V‘P=^‘Pi (1)
b. *93-101. oh:P‘PeQ‘Pi .3.C‘P-Q‘Pi cD‘P (2)
I-. (2). *264-14. э H Hp. B‘P e (TP, .=>. C‘V‘P = D‘P - Q‘P,
[*93-101. *250-21] =^‘Pi (3)
h . (1) . (3) . э h . Prop
*264-2. h : PeQ. E ! max/^PiV*• • тах/>‘£р^‘х = B'P
Доказательство.
h . *206-42-46 . э h : Hp . э . seq/(P]V*= ‘maxp‘(PiVx •
[*90-16] э . seq/^PiV* c {P\\'x.
Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
163
[*206-2] э . seqp^Pj V* = А .
[*250-126]э . maxp‘(Pi)ic‘x = В‘Р: э F. Prop
*264-21. F : РеQ . Е ! тах/>‘£Р1)*?х. э .
Р [ {P\)Sxе Q fin. Р (х н В‘Р) е Cis induct
Доказательство.
F . *200-35 . э F : Нр . = i‘x. э . Р £ = А (1)
F . *260-27 . э F : Нр . (Р\\'х^ Гх. э . xPfn max/^PiVx.
[*260-11] э . Р {хн maxp‘(PiVx} е Cis induct (2)
[*205-2] э.С‘Р[^‘хе Cis induct (3)
F . (1). (2). (3). *264-2 . э F . Prop
*264-22. F:PeQ.~ E! max/>‘(Pi>‘x• xeC‘Pi . э . P [ (Pi>‘xea)
Доказательство.
b. *260-32-34-27. э b : Hp. =>. (P [ fox ‘x}, = ‘x} 1 Pi. (1)
[*122-52] э. {P t (тфхИ e Prog (2)
b . (1). *260-33. эЬ:Нр.э[{Р]^‘х}1]ро = Р](р^‘х (3)
b. (2). (3). *263-1 . э b. Prop
* 264-221. b : P e Q.. x (V‘P)y. э . P (x - y) ~ e Cis induct
Доказательство.
F . *207-34 . *216-6 . э F : Hp . э . xP2y. = ltP‘7*>.
[*207-25] э . xP2y. у = ltP‘(^‘x A>y).
[*207-13] э . xP2y. ~ E ! maxp‘(jP‘x n"?‘y).
[*261-26] э . ^‘x A~?‘y ~ e Cis induct: э F . Prop
* 264-222. F : P e Q . ^‘x e Cis induct. э . x ~ e D‘V‘P [*264-221. Transp]
*264-223. F : P e Q . P (x - y) ~ e Cis induct .0.3! G‘V‘P A P(x ч у)
Доказательство.
F . *261-3 . э F : Hp. э . (да). аcP(x-y). 3! а. ~E ! max/а .
[*250-122] э . (да) .асР(х-у).д!а.Е! ltF‘a.
[*206-213] э . (да) .асР(х-у).д!а. кР‘аеР(хчу).
[*206-181] э. 3! D‘ltP‘A СГР А Р(х чу).
[*216-602] э . з! CTV‘P П Р(х ч у): э F . Prop
* 264-224. F : Р е Q . х = B‘Cnv‘V‘P. Е ! ‘Р. э . ^‘х е Cis induct
Доказательство.
F . *264-223 . Transp . э F : Нр . э . Р (х - В‘Р) е Cis induct: э F . Prop
*264-225. F PeQ . xeC‘Pi . э : E ! max/>‘(PiVx. = . (Pi VxeCls induct
[*264-21-22]
* 264-23. F P e Q . x e C‘V‘P A C‘Pi . z>:
E ! maxp‘(PiVx. = . x = B‘Cnv‘V‘P. E ! B‘P
Доказательство.
F . *264-2 . э F : Hp. E ! max/^PiVx. э . E ! B‘P (1)
F . *264-21 222 . э F : Hp (1). э . x ~ e D‘V‘P.
[*93-103] o.x = B‘Cnv‘V‘P (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
164
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
Ь. *264-224. э I-: Нр. х = B'Cnv'V'P. Е ! В'Р. э. *Р'х е Cis induct.
[*120-481-251] =>.£р])?хе Cis induct.
[*90-12 . Hp. *261-26]=>. E ! maxF‘{P0?x (3)
b . (1). (2). (3). => h . Prop
*264-231. F:PeQ.xeC‘V‘P-C‘P] . э . x= B‘Cnv‘V‘P = B'P
Доказательство.
h . *250-21. э F: Hp .=>.x~eD'P.
[*93-103] z>.x=B‘P. (1)
[*216-6] =>.x~eD‘V‘P.
[*93-103] =>.x=B‘Cnv‘V‘P (2)
F. (1). (2). эЬ.Prop
*264-232. F :. PeQ. xeC'V'P. э:
(PiУхе Cis induct. = . x = B'Cnv'V'P. E ! B'P
Это предложение отличается от *264-23 тем, что не предполагается
хе С'Р]. Если В'Р не обладает непосредственным предшественником, то
C'PeC'V'P-С'Р], так что В'Р удовлетворяет гипотезе *264-232, но не удо-
влетворяет гипотезе *264-23.
Доказательство.
F. *90-13. э F : Нр . (Р] У ‘х = А. э . х ~ е С'Р].
[*264-231] э . х = B'Cnv'V'P. Е ! В'Р (1)
I-. *120-212 . э F : Нр (1). э. fp^'xe Cis induct (2)
I-. *264-225 . э
h Hp . 3! (P\\'x. э : (Pi^^eCls induct. = . E ! maxp‘(Pi V* •
[*264-23] = .x = B‘Cnv‘V‘P.E!B‘P (3)
h . (1). (2). (3). o h . Prop
*264-233. h : PeQinfin - cn . хе C'P\ . э . minp‘(P^‘xe C‘V‘P
Доказательство.
h. *250-121. о F : Hp . о . E ! min/(P7)*‘x (1)
h . *90-172 . dF: Hp . у (Pi)* x. zP\y . э . ze(Pi)t‘x n~?‘y.
[*205-14] э ,y 54minp‘(Pj)£‘x (2)
h. (2). Transp . э h : Hp . у - minp‘(7^‘x. э . у ~ e G‘Pj .
[*264-14] z>.yeC‘V‘P (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*264-24. h : P e Q infin . E ! B'P . э . E ! B‘Cnv‘V‘P
Доказательство.
h . *264-12 . o F : Hp . B‘P ~ e C‘Pi . o . B'P e C‘V‘P.
[*216-6] o.B‘P = B‘Cnv‘V‘P (1)
h . *264-233 . *263-22 . э h : Hp . B‘P e C‘PX . э . min/(P7£‘B‘P e C‘V‘P (2)
I- . *205-55 .oh: Hp (2). x - minp‘(Pi^‘^‘P • => • B'P - тз^Р'{Р\\'х.
[*264-23.(2)] D.x = B‘Cnv‘V‘P (3)
h . (1) . (3) . э h . Prop
Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
165
*264-25. F:PeQ.xeD‘V‘P.o.P[^P[J‘xeco
Доказательство.
F. *264-232 . *250-21. э F: Нр. э . (РгУх ~ е Cis induct. xeD'P] .
[*264-225] э . ~ Е 1 maxp'^Pi^'x. xeD'P] .
[*264-22] э . Р [ (Р\\'хесо: э F. Prop
* 264-251. F: PeQ.. ~ Е ! B'P .xeC'V'P. э . Р [ ^Р^'хе со
Доказательство.
F. *250-21. =>F:Hp.=>. xeD'P].
[*264-23. Нр] =>. ~ Е ! maxp‘(Pi)t‘x. хе D'P] .
[*264-22] э. Р [ (р^'хесо: э F . Prop
* 264-252. F: Ре Q. Е ! В'Р. х = B'Cnv'V'P. э. Р [ [Ру ‘х е Q fin
Доказательство.
F . *264-23. э F: Нр . х е С'Р\. э. Е ! тахр‘(Р1)«‘х.
[*264-21] э.Р [^TVxeQfin (1)
F.*90-14. z>F:x~eC‘P| .э.Р [th)?x=A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*264-26. F :. РеQ. э: В'Ре C'V'P. = . Е ! В'Р. В'Р ~ е СГР]
Доказательство.
F. *14-21. =>F:B‘PeC‘V‘P.=>.E!B‘P (1)
F . *264-12 . э F : Нр. В'Ре y'V'P. э. В'Р ~ е СГР] (2)
F . *264-12 . э F : Нр. В'Р ~ е СГР]. э . В'Р е C'V'P (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*264-261. F:. PeQ. э : ~ (В'РеC'V'P) . = .С'Р = С'РХ
Доказательство.
F . *264-26. => F :: Нр. э:. ~ (В'Р е C'V'P). =: ~ Е ! В'Р. V . В'Р е СГР]:
[*202-52] s:~§‘Pc(I‘Pj :
[*250-21] s:C‘PcC‘Pi:
[*121-322] = : C'P = C'P] :: z> F . Prop
* 264-3. F:ePprP. = .(ax,y).x(V‘P)y.e = P[(p^‘x.P = P[(p^‘y
[(*264-01)]
*264-31. F:.PeSer .z>-.QPprR . =.
(ax,y).x,yeC‘P-a‘P] . xPy. Q- P [{РхУх. R- P ({Pi\'y
1*207-35 . *264-3. *216-6]
*264-32. F.C‘Ppr = P[“fo>“C‘V‘P [*150-22. (*264-01)]
*264-321. F : P e Ser. x e C'V‘P. э. ‘x ~ e 1
Доказательство.
F. *216-611. э F : Hp. э . xeC'P-Q‘P] (1)
F.*90-14. =>F:x~eC‘P] .=>.^PrVx = A (2)
F. *121-305. => F : Hp. xeD'P] . э. g! (P])»‘x- i‘x.
[*90-12] =>.fo)?x~el (3)
h . (1) . (2) . (3) . э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
166
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*264-33. I-: PcSer. z>. C“C‘Ppr = ^YV‘C‘V‘P
[*264-321. *202-55. *264-32]
*264-34. F:PcQ.x,ycC‘P.P [(p^‘x=P [(р^>.э.х = у
Доказательство.
1-. *264-321. *202-55. => 1-: Hp. э . (P^‘x = (P^> (1)
1-. (1). *90-12 . э h : Hp . x e C‘Pi . э . x (Pi)* у . у (Pi)* x.
[*260-22. *91-541] э. x = y (2)
1-. *250-21. э h : Hp . x ~ e C‘Pi . э . x = B‘P (3)
1-. (1). *90-12-14 . z> h : Hp . x ~ e C‘Pi . z>. у ~ e C‘Pi .
[*250-21] э .y = B‘P (4)
F.(3).(4). э к : Hp . x ~ e C‘Pi . э . x - у (5)
Ь.(2).(5).э1-.Г >rop
*264-341. h : PeSer . x,yeC‘V‘P. x (Pi)* у. э . x = у
Доказательство.
h . *216-611. э h : Hp . э . у ~ e G‘Pi .
[*91-504] o.^{x(Pi)poy}.
[*91-54] э . x = у: d h . Prop
*264-35. h : Pe Ser . x,у e . g! {Р\\‘х П {Р\\‘у. э . x = у
Доказательство.
I- . *96-302 .oh: Hp . э : x(Pi)* у . V .у (Pi)* x:
[*264-341] э : x = y э h . Prop
*264-36. h : P e Q . э . Ppr smor V‘P. Ppr e Rel2 excl [*264-34-35]
Следующие предложения подводят к *264-39-391.
*264-37. h : Р е Q infin - cd . э . s‘C‘Ppr = Pfn
Доказательство.
h . *264-32 . э h Hp . э : x(5‘C‘Ppr)y. = . (ga). a eC‘V‘P . x,y e(PiV‘« • xPy .
[*260-32-27] = . (ga). a eC‘V‘P. x,y e (p^‘a . xPfny.
[*264-233-35] = . (ga). a = minp‘(Pi)£‘x = minp a (Pi^‘y. xPfny.
[*13-195] = . min/CP^x = min/(Pi)£‘y. xPfny (1)
h . *260-27 . э I-: Hp . xPfny. э . (P^ ‘x c (Р^‘у.
[*205-5] э . minp ‘(Pi ‘x = minp ‘(Pi ‘У (2)
h . (1). (2). э h Hp . э : x(s‘C‘Ppr)y. = . xPfny э h . Prop
*264-371. b : PcSer. a (V‘P) b.z>. a?‘b
Доказательство.
h. *216-6. э h : Hp . э . ае~?'Ь (1)
h . *204-71. э h : Hp . xPb . xPxy. ~ (yPZ?). э . у = b .
[*33-14] D./?eG‘Pi (2)
h . (2). Transp . *216-611. oh:. Hp . э : xPb . xP\y. z>. yPb (3)
h . (1). (3). *90-112 .oh:. Hp. э : a (Pi)* x. э . xPb э h . Prop
Principia Mathematica III
264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
167
*264-372. F : Р е Ser. =>. F; Ppr cP - Pf„
Доказательство.
F . *264-3-321. *202-55 . э
F Нр. э: х (F> Рр) у . = .($a,b) .a (V‘P) b. х е (Pi\'a. у е (Р\УЬ. (1)
[*264-371] =>. хРу (2)
F . *264-35 . э F: Нр .а(^‘Р)Ь.хе(Р\\1а.уе(Р\\‘Ь. э .у ~e(Pi)c‘a.
[*90-17] э.у~е(рГ£‘х.
[*260-27] D.~(xPfny) h . (1). (2) . (3) . э h : Нр . э . F’ Ppr d Р - Pfn : э h . Prop (3)
*264-373. h : Р е Q . ~ (В‘Ре C‘V‘P). э . Р - Pfn gF; Ppr
Доказательство.
h . *264-261-233 . *263-49 . э
h : Нр . х(Р- Pfn) у . э . minp‘(Pi^‘x» minp‘(PJ^‘y eC‘V‘P (1)
h . *96-301. э F Hp . minp‘(Pi)^‘x = minp‘(P^‘y . э : x(Pi)* у. V .у (Pi)* x:
[*260-27] э : x = у. V . xP^y. V . yPfnx (2)
h. (2). Transp . э h : Hp (1). э . minp‘(Pi^‘x Ф minp‘(Pi)i‘y (3)
h. (1). *264-371. э h : Hp . minP‘(Pi‘yPminp‘(Pi‘x. э .yPx (4)
h . (4). Transp . d 1- : Hp (1). d . ~ {minP‘(Pi ‘yPminp ‘(Pi ‘x} (5)
h . (3). (5). э h : Hp(l). э . minp‘(Pi‘xPminp‘(Pi‘y (6)
F . (1). (6). э F : Нр(1). э . (да,b). a (V‘P)b. хе(Р\\‘а .ye(Pi)*‘b.
[*264-3-321. *202-55] э. х (F’ Ррг) у: э F. Prop
*264-38. h:PeQ.~(B‘PeC‘V‘P).=>.F;ppr = P-Pfn [*264-372-373]
*264-381. F : Р е Q. ‘Ре C‘V‘P. э . F> Ppr = Р [ D‘P - Pfn
Доказательство.
F. *264-33. э F : Нр. z>. 5‘C“C‘Ppr с C‘Pi .
[*264-26. *42-2] z>. ‘Р~ eC‘F; Ррг.
[*264-372] 3.F;pprGP[D‘P-Pfn (1)
F. *250-21. э F : Hp. x(P [ D‘P- Pfn)у • => • x,yeC‘Pf . [*264-233. *263-49] э. minP‘(P0*‘x, minP‘(P^‘y e C‘V‘P (2)
Отсюда, как в доказательстве *264-373, F : Нр. х(Р t D‘P-Pfn)y. =>. x(F! Ppr)y (3)
F . (1). (3). z> F. Prop *264-39. F: P e Q infin - ю. ~ (B‘P e C‘V‘P). =>. E‘Ppr = P [*264-37-38 . *260-12 . *162-1] *264-391. F: Pe П. B‘P eC‘V'P. =>. E‘Ppr = P [ D‘P Доказательство. F . *264-13. => F : Hp. э . P e Q infin - io (1)
F . *260-27. э F : Hp. э. Pfn = Pfn [ C‘Pi [*264-26] =Pfn [D‘P (2)
F . (1). (2). *264-37. *260-12 . э F : Hp. =>. PC‘Ppr = Pfn gP [ D‘P (3)
F . (3). *264-381. э F . Prop
*264-4. F:PeQ.~E!B‘P .э.С‘Рргссо [*264-251-32]
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
168
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*264-401. F : PeQ. =>. D‘Ppr сю
Доказательство.
I-. *151-5 . *264-34. э F : Нр. э . D‘Ppr = Р [“^X“D‘V‘P (1)
F.(1). *264-25 . э F. Prop
*264-402. F: Р е Q infin. E ! B'P. э . B‘Ppr e Q fin
Доказательство.
I-. *264-24. э F: Hp. э . E 1 B‘Cnv‘V‘P.
[*151-5. *264-34] э. B‘Ppr = P [ fo)?B‘Cnv‘V‘P.
[*264-252] э . B‘PpreQ fin: э F . Prop
*264-403. F : P e Q. B'P e C'V'P. э. B‘Ppr = A
Доказательство.
F . *264-26-231. э F: Hp. э. B'P ~ e C'Pj . B'P = B‘Cnv‘V‘P.
[*90-14] o.^‘B‘Cnv‘V‘P = A.
[*151-5. *264-34] э. B'Ppi = A: э F. Prop
Следующие предложения касаются различных возникающих случаев.
Их конечный результат выражается в *264-44.
*264-41. F : Р е Q infin - со. ~ Е ! В'Р. э. Nr‘P = Nr‘V‘P х со
Доказательство.
F. *264-36-4. э F : Нр. z>. Ppr е Rel2 excl П Nr‘V‘P. C‘Ppr с со.
[*251-63] э . S‘PpreNr‘V‘Px со.
[*264-39] э . PeNr‘V‘Pх со: э F . Prop
*264-42. F: Ре Q. В'Р ~ е C'V'P. V‘P е 2Г. э . Nr‘P = со + Nr‘B‘Ppr
Доказательство.
F . *264-36. э F : Нр. =>. Ррг = (В‘Ррг) | (В‘Ррг).
[*162-3. *264-39-13] z>. Р = В‘Ррг 4 В'Рр,.
[*264-36-401] э. Nr‘P = со + В‘Ррг: э F . Prop
*264-421. F:PeQ.B‘PeC‘V‘P. V‘Pe2r. э. Nr‘P = со + i
Доказательство.
F . *264-36 . э F : Нр. э . Ppr = (B‘Ppr) j (B‘Ppr).
[*162-3 . *264-391-13] э . P [ D‘P = B‘Ppr 1 B'Ppr
[*264-403 . *160-21] = B'PpI.
[*264-401] 2>.P[D‘Peco.
[*204-461] z>.Peco+l:z>F. Prop
*264-422. F: P e Q infin - co. B'P ~ e C'V'P .V‘P~e2r.z>.
Nr‘P = {Nr‘(V‘P) t (D'V'P) X co) + Nr‘B‘Ppr
Доказательство.
F . *264-36. *204-272 . э F : Hp. э . D‘Ppr ~ e 1.
[*204-461. *264-24-36] z>. Ppr = Ppr [ D‘Ppr +• B‘Pp[.
[*162-43. *264-39] э.Р = Е‘(РРг [ D‘Ppr)4B‘Ppr (1)
F . *264-36-401. *251-63. э
F: Hp. э. Nr‘E‘(Ppr [ D‘Ppr) = Nr‘(V‘P) [ (D'V'P) x co (2)
F. (1). (2). *264-36. э F . Prop
Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ
169
*264-423. I-: Р е Q. В'Р е C‘V‘P .V'P~e2r.z>.
Nr'P = {Nr'(V'P) [ (D'V'P) x co} + i
Доказательство.
Как в *264-422,
F : Hp. э . Ppr = Ppr [ D‘Ppr -H P'Ppr.
[*162-43 . *264-391] э . P [ D'P = S‘(Ppr [ D‘Ppr) * B‘Ppi
[*264-403] =L‘(Ppr [D'Ppr) (1)
F . *264-36-401. *251-63 . э
F:Hp.э. Nr‘S‘(Ppr [ D‘Ppr) - Nr'(V'P) [ (D'V'P) X co (2)
F . *204-461. э F : Hp. э . Nr'P = Nr‘(P ] D'P) + 1 (3)
F. (1). (2). (3). dF .Prop
*264-429. 1 x a = a Df
Это определение предназначено только для того, чтобы позволить нам
включить 1 наряду с ординалами в общие формулы.
*264-44. F : PeQ. э . (ga,Р). aeNO U i‘i. Ре NO fin U i'I. Nr'P = (ax co) + p
Доказательство.
F . *160-22. *166-13. z> F : P e Q fin. э . Nr'P = (0r x co) + Nr'P (1)
F.*160-21, э F : P = co. э . Nr‘P = (i X co) + 0r (2)
F . *264-41. *160-21. э
F : PeQinfin - co. ~ E! B‘P. э . (ga). aeNO . Nr'P = (a x co) + 0r (3)
F . *264-42-402 , э
F : PeQ. B'P ~ eC'V'P. V‘Pe2r.D.(gP). PeNO fin, Nr‘P = (i X co)+ p (4)
F.*264-421. э F : PeQ. 5‘PeC‘V‘P. V‘Pe2r. э . Nr‘P= (i x co) + i (5)
F. *264-422-402. z> F : PeQ infin - co . B'P ~ e C'V'P. V'P ~ e 2r. z>.
(ga, P). a e NO . P e NO fin. Nr'P = (a x co) + p (6)
F . *264-423 . z> F : PeQ. B'PeC^'P .V‘P~e2r.z>.
(ga). aeNO. Nr‘P= (ax co) + i (7)
F . (1). (2). (3). (4). (5). (6). (7). э F . Prop
Следующие предложения позволяют применять приведенные выше ре-
зультаты к кардинальному числу поля вполне упорядоченной серии.
*264-45. F : Ре Q. V'Pе 2Г. э . Nc'C'P = Ко
Доказательство.
F , *264-42-402 , *180-71. *152-7, э
F : Нр. В‘Р~ eC'N'P. э. (gp). peNC induct. Nc‘C‘P = C“co+Cv.
[*263-101. *123-41] э. Nc'C'P = Ko (1)
F . *264-421. *181-62 . э F : Hp . BlPe CVP. э . Nc'C'P = C“co +C1
[*263-101. *123-4] =K0 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*264-451. F : Pe Q infin - co. ~ E ! B'P. э , Nc'C'P = Nc‘C‘V‘PxcK0
Доказательство.
F, *264-41, *184-5 , э F : Hp. z>. Nc'C'P = Nc‘C‘V‘PxcC“co
[*263-101] = Nc‘C‘V‘PxcN0 : oF.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
170
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*264-452. F : Ре Q infin - со. V‘P ~ е 2r. В'Р ~ € C'V'P. з .
Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0
Доказательство.
F. *264-422 . *184-5 . *180-71. з
F:Нр.з. (gp). peNC induct. Nc‘C‘P = (Nc‘D‘V‘PxtNo) +cp (1)
F . *123-43 . *117-62 . з F: Hp. p eNC induct. з . p < Nc‘D‘V‘PxcNo .
[*117-561] з . (Nc‘D‘V‘P+t.K0) +cp «С (Nc‘D‘V‘PxcN0) +c (Nc‘D‘V‘PxcN0)
[*123-421. *113-43] < Nc‘D‘V‘PxcN0 (2)
F . (1). (2). *117-6-25 . з F: Hp . з . Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 : з F . Prop
*264-453. F : P e Q infin - co. E ! B'P. V‘P ~ e 2r. з. Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0
Доказательство.
Как в *264-452,
F . *264-423. з F : Hp . B'Pe C‘V‘P. з. Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 (1)
F . (1). *264-452 . з F. Prop
*264-46. F : P e Q infin - co. з . Nc‘C‘P = Nc‘C‘V‘PxcN0
Доказательство.
F . *123-421. *264-45. з F : Hp . V‘Pe 2r. з . Nc‘C‘P = Nc‘C‘V‘PxcX0 (1)
F . *264-453 . з
F : Hp . E ! B‘f>. V‘P ~ e 2r. Nc‘C‘V‘P = p +C1. з. Nc‘C‘P = p xcN0
[*123-421. *113-43] (p xcN0) +c (p xcN0) (2)
F. *117-571-6.3
F:Hp.з.p xcK0 C (p +c 1) xcK0 . (p +c1) xcK0 < (p xcN0) +c (p xcN0) (3)
F. (2). (3). з F: Hp. з. Nc‘C‘P = (p +cl) xcK0
[Hp] = Nc‘C‘V‘PxcX0 (4)
F . (1). (4). *264-451. з F. Prop
*264-47. F: PeQ infin. 3.(ap).peNC-i‘O.Nc‘C‘P=pxcNo [*264-46]
*264-48. F : aeC“Q - Cis induct. з. Nc‘aeD‘(xcNo) [*264-47]
Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ
171
* 265. Серии алефов
Краткое содержание *265.
В настоящем параграфе мы ограничимся наиболее простыми свойства-
ми рассматриваемых ординалов и кардиналов. Самые важные предложе-
ния, подлежащие доказательству, есть экзистенциональные теоремы. Все
они зависят от аксиомы бесконечности; кроме того, по мере того как рас-
сматриваемые числа становятся больше, экзистенциональные теоремы тре-
буют более высоких типов.
В силу определения в *262, (Ко)г представляет собой класс вполне упо-
рядоченных серий, чьи поля обладают Ко термами. Это не ординальное
число, а логическая сумма определенного класса ординальных чисел, а
именно Nr“(Ko)r-
а>1 является наименьшим ординалом, чье поле обладает более чем Ко
термами. Тем не менее, мы не принимаем это в качестве определения (Dj:
мы определяем иц как класс отношений Р таких, что отношения, меньшие,
чем Р (в смысле *254), являются такими вполне упорядоченными сериями,
которые финитны или обладают Ко термами в своих полях, т.е.
(Di = Р {Iess‘P = (Ко) г U Q fin} Df.
На основании *254-401, непосредственно следует, что если Pecoi, то
Р является вполне упорядоченной серией и <jl>i представляет собой ее
ординальное число (*265-11). Следовательно, (Щ есть ординальное число
(*265-12), хотя мы и нуждаемся в аксиоме бесконечности, чтобы показать,
что «1 существует.
Допуская аксиому бесконечности, экзистенциональная теорема для оц
выводится из серии ординалов, которые являются финитными или принад-
лежат серии из Ко термов. Для удобства обозначений мы временно опре-
деляем эту серию как N; таким образом,
N = (<•) С {NO fin U Nr“(^о) г) Dft [*265].
Оказывается удобным временно записывать М для таким образом,
М = <• Dft *265.
Легко доказать, что если Ко существует, то N представляет собой ац
(*265-25). Следовательно, мы получаем экзистенциональную теорему для
0)1 в каждой из двух форм:
* 265-27. Ь : з! Ко П f а . э . з! 0)1 А г117оо‘а
* 265-28. h : Infin ах (л). э . g! оц А ?1 ‘Р3 ‘л
Легко доказать, что оц больше, чем ординальное число любой серии
из Ко термов (*265-3), и что если o)i существует, то
лК)1 = NO fin U Nr“(Ко) г (*265-35),
т.е. ординалы, меньшие, чем оц, есть такие ординалы, которые применя-
ются к сериям из Ко термов или из конечного числа термов.
Мы определяем Ki как C“o)i, т.е. как класс тех классов, которые могут
быть упорядочены в серию, чье ординальное число есть (Ор Из *152-71 сле-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
172
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
дует, что таким образом определенное Nj является кардинальным числом
(*265-33), и что если No существует, то
Ni>N0 (*265-34).
В точности аналогичным образом мы можем положить
о)2 = Р {iess‘P = (Ni)r U (No)г U Qfin} Df,
К2 = С “(1)2 Df.
Теоремы, подобные приведенным выше, могут быть доказаны для о>2
и N2 подобными же методами. Мы можем перейти к cov и Nv, где v —
любое ординальное число. Однако наши методы доказательства экзистен-
циональных теорем не работают, если v не является финитным, поскольку
на каждой стадии экзистенциональная теорема доказывается в пределах бо-
лее высокого типа, а мы отдаем себе отчет во всяком отсутствии смысла
приписывать тип, чей порядок не финитен.
Легко доказать, что сумма двух ординалов, которые меньше, чем ац, яв-
ляется меньшей, чем (Ор Многое из принимаемой теории (Ко)г и а)> зависит
от предложения о том, что предел любой прогрессии ординалов, меньших,
чем о>1, является меньшим, чем оц, так что в серии N каждая прогрес-
сия обладает пределом в пределах серии. Это предложение — или в любом
случае предлагаемое его доказательство — зависит от аксиомы умножения.
Доказательство, в общих чертах, следующее:
Легко доказать, что ординал, который обладает Ко предшественниками,
должен быть элементом Nr“(Ko)r, т.е. должен быть, на языке Кантора, ор-
диналом второго класса. Рассмотрим любую прогрессию Р, содержащуюся
в N, т.е. рассмотрим серию cq, 012, ...av,... возрастающих ординалов вто-
рого класса. Интервал между двумя любыми последовательными термами
этой серии является или финитным, или обладает Ко термами. Следова-
тельно, N^C'P, т.е. класс ординалов, предшествующих пределу нашей се-
рии, представляет собой сумму Ко классов, каждый из которых финитен
или обладает Ко термами. Затем выдвигается положение о том, что, по-
скольку KoXcNo = Ko, весь класс N“C‘P должен состоять из Ко термов. Это
заключение, за исключением особых случаев, требует аксиому умножения,
так как оно зависит от *113-32, т.е.
h Mult ах . z>: ц, veNC . кеv П ClехсГц . э . 5‘ке ц xcv.
Отсюда следует, что за исключением тех, кто не отвергает аксиому
умножения, не может рассматриваться как доказанное утверждение о том,
что (Di не является пределом прогрессии меньших ординалов. Вместе
с этим многое из общепризнанной теории ординалов второго класса ста-
новится сомнительным. Например, Кантор переходит к определению сово-
купности ординалов второго класса как пределов серий таких ординалов.
Вероятнее всего, что касается всех ординалов, которые он определил та-
ким образом, доказательство того, что они принадлежат второму классу,
может быть обнаружено посредством упорядочивания финитных целых чи-
сел в серию определенного типа. Однако просто того факта, что они пред-
ставляют собой пределы прогрессий чисел второго класса, самого по себе
не достаточно, чтобы доказать, что они —второго класса.
Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ
173
В качестве другого примера мы можем упомянуть весьма интересную
работу Хаусдорфа18, которая во многом основывается на предложении
о том, что терм, который является пределом a>i, выбранной из заданной
серии, не может быть пределом со, выбранной из той же самой серии.
Это предложение представляет собой следствие предложения о том, что o)i
не является пределом прогрессии меньших ординалов и должно из-за это-
го рассматриваться как сомнительное. Хаусдорф строит посредством этого
много примечательных серий, например, компактные серии, в которых нет
прогрессии или нет регрессии, обладающей пределом. Существование таких
серий выглядит, однако, как нерешенный вопрос, если не предполагается
аксиома умножения.
Не выглядит невозможным то, что доказательство, не зависящее от ак-
сиомы умножения, может быть обнаружено для предложения о том, что
а>1 не является пределом прогрессии; однако пока такое доказательство не
будет найдено, указанное предложение не может рассматриваться без ого-
ворок.
*26501. on =P{less‘P = (N0)rUQfin} Df
*26502. Ni=C“o)i Df
*265-03. o)2 = P {less‘P = (ND r U (No) r U Q fin} Df
* 265-04. N2 = C“o)2 Df
И т.д.
* 265-05. M = < Dft[*265]
Это определение возобновляется из *256.
* 265-06. N = M HNOfinUNr“(N0)r} Dft[*265]
Экзистенциональная теорема для o)i выводится из N, поскольку если
Ко существует, то 2Veo)i.
* 265-1. F Ре o)i . = : QlessP . =q . QeQ . C'Q e Cis induct U No
[(*265-01)]
* 265-11. F : Peo)i . z>. 0)i = Nr‘P .PeQ
Доказательство.
F . *265-1. z> F : Hp . э . A lessP.
[*254-1] D.PeQ (1)
F . *254-401. (1). (*265-01). э F : Hp . Q e 0)i . z>. Q smor P (2)
F . *254-401. (1). (*265-01). э F : Hp . Q smor P . z>. = (No) r U Q fin .
[(*265-01)] э.2ео)1 (3)
F . (1). (2). (3). z> F . Prop
* 265-12. F . oi e NO [*265-11. *256-54]
* 265-13. F : a e NO infin . э . M [ e a
Доказательство.
I- . *256-202 . z> F : P e Q infin. z>. Nr‘Af [ (A?‘Nr‘P) = Nr‘(P [ d‘P)
[*262-112] = Nr‘P (1)
F. (1). *262-11. э F. Prop
18 Untersuchungen uber Ordnungstypen. Berichte der mathematisch-physischen Klasse der
Koniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Feb. 1906 and Feb. 1907.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
174
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*265-2. I-. aw = NO fin - i‘0r U Nr “(No) r = ХГ‘Ог [*255-51]
*265-21. h : я! No . a e NO fin U Nr“(K0) r. э.
M [ л!‘а lessN. a M (Nr W). a c less W
Доказательство.
F. *253-13 . *265-2. z> F : Hp . a e NO fin U Nr“(N0) r э . M [ Й‘а e D‘N? .
[*254-182] э. M [ Й‘а lessN (1)
I-. (1). *265-13 . э F : Hp. aeNr“(No)r. э . aAf(NrW) (2)
F . (2). *263-31-101. э F : Hp. a e NO fin. z>. a Мы . ыМ (Nr‘N).
[*256-1] z>.aM(Nr‘N) (3)
F . (2). (3). э F : Hp. aeNOfin U Nr“(No)r • э • aA/(Nr‘N). (4)
[*255-17] D.aclessW (5)
F . (1). (4). (5). z> F . Prop
* 265-22. F:g! No • э . QfinU (No)r clessW [*265-21]
* 265-23. F: PeD‘N? . z>. (ga). aeNOfinU Nr“(N0)r. P = M [ л!‘а. Nr‘P = a
[*265-2. *253-13. *265-13. *262-7. *120-429]
* 265-24. F : PeD'N^ . z> . PeQfinU(N0)r [*265-23]
* 265-25. F :g! No . э . Neo)]
Доказательство.
F . *254-41-12 . э F: PlessN. . (g Q). Q e D . P smor Q.
[*265-24. *261-18 . *151-18] z>. PeQfinU (N0)r (1)
F. (1) .*265-22. z>F:Hp.z>. less‘N = Q fin U(N0)r.
[*265-1] э . NetO] : э F . Prop
* 265-26. F:aeKo. э .Nor;(less [^“Cl‘a)e(Oi .Nor’(less [d“Cl‘a) = N
Доказательство.
F . *254-431. *150-37. z>
F.Nor’(less [C“Cl‘a) = (NorHess) [ Nor“(Q A C“Cl‘a) (1)
F . *123-16. э F : aeN0 . z>. Nor“(Q A C“Cl‘a) c NO fin UNor“(No)r (2)
F . *123-14. *262-18-21. э F : aeNo . peNC induct - i‘l. э . g! pr A d“Cl‘a:
[*262-25] э F: aeNo . veNOfin. z>. g! v AC“Cl‘a.
[*152-45] z>.veNor“C“Cl‘a (3)
F . *152-7. z> F : Pe(N0)r. a eN0 . э. aeC“Nor‘P.
[*60-34] =>.Nr‘PeNor“C“Cl‘a (4)
F . (3). (4). э F : a e No . э . NO fin U Nr“(N0) r c Nor“«?‘Cl‘a A Q) (5)
F . (2). (5). э F : a e No . z>. NO fin U Nr“(N0) r = Nor“(C“Cl‘a A Q) (6)
F . (1). (6). (*255-01. *265-05-06). э F : a e No . э . Nor; (less [ 6“Cl‘a) = N.
[*265-25] э. Nor’(less [ <?“Cl‘a)ecoi : э F. Prop
* 265-27. F : g! Nq A r‘a. э . g! CO] AZn‘roo‘a
Доказательство.
h . *64-55 . z> h : P e f a . C'P c p . z>. P e too'a (1)
h . (1). z> h : Pefa . э . б“С1‘Р c fa/a .
[*155-12 . *63-5] э . Nor“6“Crp c ffa/a .
[*64-57] z>. Nor’(less [ £‘СГр)€Ги ‘/oo‘« (2)
h . (2). *265-26 . э h . Prop
Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ
175
*265-28. F : Infin ах (х). э . g! соi А ?1 ‘Г33 ‘х
Доказательство.
F . *123-37. z> F : Нр . z>. g! No A t't3 ‘х.
[*265-27] o.gloh ГПп7оо‘Г3‘х.
[*64-312] э . з! (Di A Z11733‘х: э F . Prop
Предложения, касающиеся и о)2, и в общем Nv и cov, где v пред-
ставляет собой индуктивный кардинал, доказываются в точности так же,
как доказываются приведенные выше предложения. Насколько нам извест-
но, не найдется, однако, никакого доказательства существования алефов и
омег19 с бесконечными суффиксами вследствие того факта, что тип воз-
растает с каждой последующей экзистенциопальной теоремой, и что бес-
конечные типы кажутся бессмысленными.
*265-3. F : а е Nr“(N0) г • =>. а <-o)i [*265-22-25]
*26531. F:a!N0.z>.Ni ^Ко
Доказательство.
F. *265-25. z>F:Hp.D.CWeKi (1)
F. *265-2. э F . NO fin - i‘0r с C'N (2)
F . *262-19-21. *123-27 . z> F : Нр . э . NO fin - i‘0r e Ko (3)
F . (2). (3). z> F : Hp . z>. Nc‘CW No (4)
F . (1). (4). z> F . Prop
*265-32. F : g! Ko . . No / Ki . No A Nj = A
Доказательство.
F . *265-3 . э F : P e Q . C'P e No . э . P ~ e o)i .
[(*265-02)] э.ёР~еК0! (1)
F . (1). *262-18 . (*265-02). z> F . No П K01 = A . э F . Prop
*265-33. F . Ki e NC [*152-71. *265-12]
*265-34. F : g! Ko . э . Ki >N0 [*265-31-32-33 . *255-74]
*265-35. F: g! co, .z>.aK)i = NO fin U Nr “(No) r
Доказательство.
F. *265-3. *263-31. z> F : Hp . э . NO fin U Nr“(K0)r cAI'ioi (1)
F. *265-11. z> F : Рею, . Nr‘2eAl‘a)i . z>. 2 lessP.
[*265-1] э. Nr'OeNO find Nr“(N0)r (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*265-351. F:Peo)j . = .g!o)i . Nr“D‘P? = NO fin U Nr“(K0)r
Доказательство.
F. *256-11. *265-35. z>
F : g! o)i . Nr“D‘P? = NO fin A Nr“(No)r. = . g! cdj . A?‘Nr‘P = aI‘o>i .
[*256-1. *204-34] = . Pe0)1 : z> F . Prop
*265-352. F : Peo)j . d . Nr“D‘P? = л!‘о)1 [*265-35-351]
19 Алеф — кардинальное число, омега — порядковое число. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
176
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*265-36. I-: a, PeNr“(N0)r. =>. а + peNr“(N0)r
Доказательство.
F . *180-71. э F : Нр . э . С“(а + р) = С“а +сС“Р
[*262-12] =Ко+сКо
[*123-421] = N0.
[*262-12] z>. а + Р 6 Nr “(No) г: z> F . Prop
*265-361. F . а, р е NO fin U Nr“(N0) г. э . а + р е NO fin U Nr“(N0) r
[Док-во, как в *265-36, используя *120-45 и *123-41]
*265-4. F : Ре 0)1 .ас C'P. Р*“а е Cis induct U No . z>. 3! р‘^“а
Доказательство.
F . *265-1. z> F : Нр . z>. (Р [ Р*“а) lessP.
[*254-51] э.Р*“а^С‘Р.
[*202-504] э . з! р‘^“а : z> F. Prop
*265-401. F : Ре а>1 .ас С‘Р. Р“а е Cis induct U No . z>. 3! р‘^“а
Доказательство.
F . *205-131. z> F : Hp . z>. P*“a = P“a U пйр‘а .
[*205-3 . *120-251. *123-4] э . P*“ae Cis induct U No .
[*265-4] z>. 3! p‘?“a : э F. Prop
*265-41. b : Peo)i . э .~?“C‘PcNo U Cis induct .T*“C‘PcNo U Cis induct
Доказательство.
F . *254-182 . э F :. Hp . z>: леС‘Р. э . (P lessP.
[*265-1] z> ,?‘xe No U Cis induct (1)
F . (1). *120-251. *123-4 . z> F :. Hp . э : x e C'P. z>. ‘x e No U Cis induct (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*265-42. F : P e 0)i . э . G‘P c D‘P
Доказательство.
F . *265-4-41. э F : Hp . xeG'P .03! p'<P''i'x.
[*53-01-31] z>. xeD'P : d F. Prop
*265-43. F : Peo)i . xeC'P . z>. P [ K‘^eo). E ! ltp‘^fh‘x
Доказательство.
F . *264-2 . *265-42 . z> F : Hp . z>. ~ E ! maxp‘?Tfh‘x. (1)
[*264-22] z>.P[^fn‘x€<D (2)
F. (2). *265-41. *123-421. э F:Hp.э. •
[*265-401]
[(1). *250-123] z>.E!ltp‘5?f„‘x (3)
F. (2). (3). z> F. Prop
*265-431. F : P e coj . Q G.P. x e C‘Q. ^‘x c frfn ‘x. э . g! p‘^“C‘Q
Доказательство.
F . *265-43 . z> F : Hp . z>. C'Q c7Htp‘JTfn‘;r: z> F . Prop
Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ
177
*265-44. F : Pewj . хеС'Р. э . Р [ X^'xecoi
Доказательство.
F. *253-13 . э F: Нр. э. D‘(P [ X ‘х)? = Я ((gy). хР*у. Я - Р [ Р(х н у)) (1)
F . *254101. э I-: Нр . хР*у. э Nr‘P [ Р(х Н y)<j Nr‘P [~?‘у.
[*265-352] z>.Nr‘P [Р(хку)еЙ‘<й1 (2)
F . *265-352 . э F : Нр. э . Nr'P f?‘xejil'a)i (3)
F. (3). *265-361-35 . z>
F : Hp. аелЬо)! . z>. Nr‘P [?‘x + aeAl'wi .
[*265-351] z>. (gy). Nr'P [?‘x + а = Nr'P f?‘y.
[*253-47-11] z>. (gy) • xP*y. Nr'P [7*‘x + а = Nr'P f?‘y.
[*204-45] z>. (gy). xP*y. Nr'P [”?‘x + a = Nr'P ["?‘x + Nr'P [ P(xl-y).
[*255-564] э . (gy). xP*y. а = Nr‘P [ P(x H y).
[(1)] z>.aeNr“D‘(P[X‘x)? (4)
F . (2). (4). э F: Hp. э . Nr“D‘(P [ X‘x)? = M'wi .
[*265-35-351] э . P [ % ‘x e co,: z> F . Prop
*265-441. F : P e Ser. Q, R e а» О Rl'P. R G Q. z>. P'‘C‘R = P“C‘Q. Q‘‘C‘R = C‘Q
Доказательство.
F . *263-27. Transp . z> F : Hp. э. ~ E ! тах^'С'Я.
[*205-123] [*37-2] э.С‘Яс2“С‘Я. э.ГёЯсР“2“С‘Я (1)
[*37-15-2] cP“C‘2 (2)
F . *263-47. Transp . [(1). *202-51] . э F : Hp. э . p‘^“C'R = A . Э.С‘(2 = (2“С‘Я. (3)
[*201-5. Hp] [(2)] э.ГёесГёЯ. э.Р“С‘Я = Гёе (4)
F . (3). (4). z> F . Prop
*265-45. F Pea)] . Qg.P : xeC‘Q. . a1- ^F'x- ^fn‘x: Qeu).
S =xy{x€C‘Q.y = mmQ‘(%)‘x-<RfD‘x)}.R = S [ э .
Яро a). Яро G Q. P C Rpe — P C Q
Доказательство.
F. *32-181 .=>F:Hp.z>.S g£>. (1)
[*91-59. *201-18] э.ЯроС(2 (2)
F . *263-11. z> F Hp. z>: xe.C‘Q. эЛ . E ! 5‘x:
[*71-571] э : 5 e Cis —> 1 . C‘2 c D‘5 :
[(1)] z>:5 eCis—> 1 . Q'S cD'S :
[*122-51. *96-21] D.-PeProg:
[*263-1] э:Яроесо (3)
F . (2). (3). *265-441. э F : Hp. z>. Р“С‘Я = P“C‘Q (4)
F . (2). (3). (4). э F . Prop
*265-451. F Hp *265-45. э : xe C‘R. z>. P (x н ЯГх) e Ko
Доказательство.
F . *265-45. *263-14 . z> F Hp. z>: хеС'Я. z>. Я]‘х = S‘x.
[Hp] э .Я1‘хе?‘х- ^fn'x.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
178
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
[*260-131]ю . Р (х н R\‘х) ~ е Cis induct (1)
F . *265-41. э F:. Hp . z>: x e C‘R . э . P (x I- R\ ‘x) e No U Cis induct (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*265-452. F : Hp *265-45 . g! P (x н Rx ‘x) А P (x н j?i‘y) . z>. x = у
Доказательство.
F . *201-18 . э F Нр . z>: хР (R\ ‘у). уР (R\ ‘х):
[*14-21] э : х,уЕёР. xP(R\‘y) .yP(R\‘x):
[*204-41. *265-45] z>: xR^ (Ri‘у) . у Rpo (R{ ‘x):
[*204-71] id : x = у . V . xFpoy : у = x. V . yRpQx:
[*4-41] э : x = у . V . xFpoy . yFpox:
[*204-13 . *265-45] z>: х = у z> F . Prop
*265-453. F : Нр *265-45 . к = a {(gx). х е C'R . а = Р (х н Rx ‘х)}. z>.
к e No П Cl excl‘N0 . 5‘к = F‘‘С‘Я А А ‘‘C‘R [*265-451-452]
*265-454. И Нр *265-453 : KeNo A Cl excl‘No . . 5‘к е No : э .
F‘ ‘C‘R А А “ёРе No [*265-453]
*265-46. F Реа>1 . Qeco A R1‘F: xeC'Q . z>x. g! <2‘х- $Tfn‘x:
к eNo A Cl excl‘No . эк . 5‘ке No : э . F“C‘Qe No
[*265-41-454. *123-421]
*265-461. F: Нр *265-46. э . g! p‘*P“C‘Q [*265-46-401]
*265-47. F:. Fecoi . Qe со A RTF: keNq A ClexcFNo . эк • s‘kcNo : z>.
g!p‘?“C‘(2 [*265-461-431]
*265-48. F:. kcNq A Clexcl‘No . z>K . 5‘к e No : z>:
P E CD! . Q E co A R1‘F. z>. E ! ltP‘C‘2 [*265-47. *250-123]
*265-481. F : Mult ax . z>. Hp *265-48 [*113-32 . *123-52]
*265-49. F Mult ax.oiPecoi.QecoA R1‘F. z>. E ! lt/C‘2 [*265-48-481]
Это предложение показывает, что, принимая аксиому умножения, лю-
бая прогрессия ординалов второго класса (т.е. состоящая из серий, обла-
дающих No термами) имеет предел второго класса, потому что Necoi.
*265-5. F : Fecoi . Qe со . C‘Q с C‘F. ~ Е ! maxp‘C‘2 •
R = ху [xeC'Q.y- min^‘(A‘x А <2‘x)}. S -R [ ^R^B'Q . z>.
S pQ E . S pQ G. P • P C S pQ — P C Q
Доказательство.
F. *205-11. z> F : Hp . z>./? gP ./? gQ . (1)
[*201-18] ^.Spo^P.SpoGQ (2)
F.*205-197. э F : Hp . xeC‘2 . ^с‘хс"?*‘х. э . x = maxp‘5k‘x (3)
F . *263-412 . *261-26 . z> F : Hp. x e Q‘G. z>. E ! maxp'^'x (4)
F . (3). (4). *205-193 . z> F : Hp. x e C‘Q. & ‘x с A ‘x. э . E ! maxP‘C‘Q (5)
F . (5). Transp . э F Hp. z>: xeC‘Q. э . g! ^.‘x-.
[*91-542 . *202-103] z>. g! ^‘хП *P'x.
[*250-121] э.Е!Я‘х (6)
F . (1). (6). *12-51. э F : Hp. э. S e Prog.
[*263-1] o.Spoeio (7)
F . (2). (7). *265-441. z> F: Hp. э. = P“C'Q (8)
F . (2). (7). (8). = F. Prop
Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ
179
*265-51. h : Нр *265-48 . Р е (Oi . а е Ко А СГС'Р. ~ Е ! max/а. э . Е ! It/a
Доказательство.
h . *265-5 . э h : Нр. э . (gS). S е со A RTP. P“C‘S = a (1)
h . (1). *265-48 .oh. Prop
Следующие предложения вытекают без труда.
*265-52. h Нр *265-48 . Р е (Oi . э :
а П С‘Р е Ко U Cis induct. =. g! С‘Р П р^“(а п С‘Р) [*265-51-41]
*265-53. h :: Нр *265-48 . э Р е (Oi . = :
РеО.: a A C‘PeNo U Cis induct. эа. 3! С'Р А р‘^“(а А С'Р)
*265-54. h : Р е (Oi . э . G‘V‘P с ltP“C“((o A RTP) [*265-5]
Т.е. каждая предельная точка в (Oi является пределом прогрессии, ко-
торая есть то, что (следуя Хаусдорфу) может быть для удобства названо
как (о-предел.
*265-55. h : Ре(Oi . э . G'V'P = lt/‘C“((o А RTP) [*265-54 . *216-602]
Это предложение, подобно *265-48, не утверждает того, что каждая про-
грессия в Р обладает пределом, и по этой причине оно не требует гипотезы
*265-48.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6.
КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ,
РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
Краткое содержание главы 6.
Компактная серия представляет собой серию, в которой между двумя
любыми термами найдется терм, т.е. для которой РсР2, где Р является
генерирующим отношением. Мы можем назвать любое отношение Р ком-
пактным, когда PgP2; тогда транзитивное компактное отношение будет
отношением, для которого Р = Р2. Следовательно, сериальное отношение Р
является компактным всякий раз, когда Р-Р2. Компактные серии вообще
имеют определенные свойства, некоторые из которых уже были доказаны;
однако большинство наиболее интересных предложений по этому поводу
появляется при добавлении некоторого другого условия, кроме компакт-
ности. Таким образом, серии, обладающие Дедекиндовой непрерывностью,
которые имеют много важных свойств, являются компактными и Дедекин-
довыми. Рациональные серии (т.е. такие, как ординально подобные серии
всех рациональных чисел, положительных и отрицательных, или, что эк-
вивалентно, серии рациональных правильных дробей) определяются как
компактные без начала или конца и состоящие из Ко термов. К тому же
такие серии имеют много важных свойств. Непрерывная серия (в Канторо-
вом смысле) представляет собой Дедекиндову серию, содержащую рацио-
нальную серию таким образом, что найдутся термы указанных рациональ-
ных серий между любыми двумя термами заданной серии. Эта разновид-
ность компактных серий также обладает многими важными свойствами.
Она состоит из всех серий, ординально подобных серии вещественных чи-
сел, включая 0 и оо.
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
182
* 270. Компактные серии
Краткое содержание *270.
Предложения настоящего параграфа являются по большей части или
очевидными, или повторениями ранее доказанных предложений. Последние
повторяются здесь для удобства ссылок.
Мы полагаем comp = Р(PgР2) Df,
так что класс компактных серий есть Ser П comp. Мы имеем
*27011. h Ре comp . = : xPy. эх>,. д! ^'хоГР'у
* 70-34. h : Р е trans П comp . э . <;'Р = sgm‘P
Предложение $‘Р* sgm‘P*, которое было доказано в *212, представляет
собой частный случай приведенного выше.
* 270-41. h : Р е Ser П comp . z> . Nr‘P с Ser П comp
Т.е. серия, которая подобна компактной серии, является компактной се-
рией.
* 270-56. h : Р е Ser. Q е Q. ~ Е ! В'Р. ~ Е ! B'Q . э . PQ е Ser П comp
Это предложение дает нам средства конструирования компактных се-
рий различных типов, таких как соехргсо, со ехрг (Щ, и т.д.
* 270-01. comp = Р (Pg Р2) Df
Здесь “сотр” представляет собой аббревиатуру для “compact.” “Ком-
пактные” серии являются точно такими же, как серии, которые Кантор
называет “uberall dicht”.
* 270-1. h : Ре comp . = . РсР2 [(*270-01)]
* 270-11. h Р e comp . = : xPy . . g! *P'x cTP'y [*270-1]
* 270-12. h : Pecomp . = . Pecomp [*270-11]
* 270-13. h : P e trans A comp . = . P = P2 [*270-1. *201-1]
* 270-14. h : P e Ser A comp . =. Pe RT J A connex . P = P2 . = . P e Ser . P = P2
[*270-13]
* 270-15. h : P e Ser A comp . = . P e Ser . Pi = A [*201-65 . *270-14]
* 270-2. h : Pecomp . z>. ~g! [*205-25 . *270-1]
* 270-201. h : Pecomp . z>. ~ 3! minp‘G‘P. ~g! ma£/>‘D‘P
Доказательство.
h . *37-25 . z> h . mm/СГР = P“D‘P - (P2)“D‘P (1)
h . (1). *270-1. z> h : Hp . э . miiip‘G‘P = A (2)
Аналогично h : Hp . э . ma^p‘D‘P - A (3)
h . (2) . (3) . э h . Prop
* 270-202. h : Pecomp . э . ~g! min/>“a . ~g! тЙ/>‘Р“а
[Док-во, как в *270-201]
* 270-203. h : Р е comp . э . ~ g! seq/Px [*206-42 . *270-1]
*270-204. h : Р е Ser A comp . Е ! seqp‘a . э . ~ Е ! тах/>‘а
[*206-451. *270-15]
Principia Mathematica III
*270. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ
183
*270-205. h : Р е Ser П comp . э . lt/> = seq^ [*207-1. *270-204]
*270-21. F : РеR1‘J Ci comp . ле С‘Р. э. xltp (~?‘х) [*207-31. *270-1]
*270-211. F: P e R1‘ J Cl comp . э. D‘lt/> = C‘P [*270-21]
Таким образом, если отношение является компактным и содержится
в различии, то каждый элемент его поля является предельной точкой.
*270-212. h: Р е connex. D‘ltp = C'P. э . P e comp
Доказательство.
h . *207-34. э h : Hp . э . C'P c - G‘(P - ^2) •
[*33-251] z>.G\P-P2) = A.
[*270-1] э . P 6 comp : э h . Prop
*270-22. h : P e connex. D‘lt/> = C'P. э .Pe comp
[*270-211-212. *207-18]
*270-23. h : P e comp - i‘A . э . P ~ e Bord
Доказательство.
I-. *270-201. э h : Hp. э . (ga). a c C'P. g! a. ~ g! min/a.
[*250-101] э . P ~ e Bord : э F . Prop
*270-24. h : P e Ser П comp - i‘A . э . C'P ~ e Cis induct
Доказательство.
h. *270-23. эННр.э.Р-eQ.
[*261-31] э . C'P ~ e Cis induct: э h . Prop
*270-3. I-: PeSer ncomp. э . sect‘P- D‘Pe = P*"C'P
[*211-351. *270-15]
*270-31. h : P e trans A comp . . . D'Pe = D'(Pe A I) [*211-51. *270-14]
*270-32. F: Petrans A comp. z> ."?‘xeD‘(Pc A/) [*211-452. *270-1]
*270-321. F :^“C‘P c D‘(Pe A/). z>. Pc comp [*211’541. *270-1]
*270-322. F: Pe trans. э :^“C‘PcD‘(Pe Cl Г). = . Pc comp
[*211-32-321]
*270-33. h :. P e Ser . z> : P e comp . = . Q‘maxp A Q‘seqp = A
[*211-551. *270-14]
*270-34. h : П 6 trans A comp. э . q'P = sgm‘P [*270-31. (*212-01-02)]
*270-35. h :. P e trans A connex A comp . z>: P e Ded . = . G‘maxp = - G‘seqp
[*214-4. *270-13]
*270-351. h :. P e Ser . z>: P e comp A Ded . = . Q‘max/> = - G‘seqp
[*214-41. *270-13]
Серия, которая является компактной и Дедекиндовой, представляет со-
бой серию, которая обладает Дедекиндовой непрерывностью. Таким обра-
зом, приведенное выше предложение устанавливает, что серия, которая об-
ладает Дедекиндовой непрерывностью, является серией такой, что каждый
класс обладает или максимумом, или секвентом, но ни тем и другим од-
новременно.
*270-352. h : Р е Ser A comp A Ded. а е sect‘P. э . limax/а = limm/(C‘P - а)
[*214-42]
*270-36. h : Р е R1‘J A comp . э . ЬР'С'Р = (ГР .V'P = P
[*216-2. *270-211. (*216-05)]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
184 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*270-4. h : Р е comp . э . Nr‘P с comp
Доказательство.
F. *201-2. е Psmor Q.z>.(S'Q)2=S‘^Q1 .P = S'Q
F. (1). *270-1. з F: Pecomp. S e P smor Q. з. S’Qci’Q2 .
[*150-31] 3.S ’S’QqS ’S’Q2.
[*151-252] з. Q(zQ2 : з F . Prop
*270-401. F : Pecomp . s . Nor'Pccomp
*270-41. F : P e Ser A comp. з. Nr'P c Ser A comp
*270-411. F : A e Ser A comp. =. Nor'P c Ser A comp
*270-42. F : P ecomp . з. P [ A'x, P [A'xecomp
[*270-4. *155-12]
[*270-4. *204-22]
[*270-41. *155-12]
Доказательство.
F . *270-11 .□ F : Hp.y,ze *P*‘x.yPz. o. (gnj.yPw. wPz.
[*90-16] 3.(gw). we*P*‘x .yPw .wPz
F . (1). *270-11. з F : Hp. з. P [ A'xecomp
Аналогично F : Hp. з . P [ A ‘x e comp
F. (2). (3). з F. Prop
*270-5. F : P, Q e Ser A comp. C'P A C‘0 = A. ~ (E ! R'P. E ! R‘0. з.
(1)
(2)
(3)
P 4- Q e Ser A comp
Доказательство.
F. *160-51. з F : Hp. з. (P4 Q)2= P2UQ2U D'P T C‘2 0 C'P T G‘Q
[*93-103.Hp] = P2 Ug’-iJC‘PTC‘2 (1)
F.(l).*270-1. з F : Hp. з. P4 2 g(P4 <J)2 (2)
F. (2). *204-5 . з F . Prop
*270-51. F : P e Ser A comp . C'P c Ser A comp. P e Rel2 excl. з.
E'P e Ser A comp
Доказательство.
F. *204-52. з F : Hp. з . E'PeSer (1)
F. *162-1.3
F . (S'P)2 = (i'C'P)2 U (p;p)2 U (i'C'P) | (F’P) U (F’P) | (i'C'P) (2)
F . *270-1. о F : Hp. x (i'C'P)у. з. (g®. Q e C‘P. xQ2y.
[*41-13] 3.x(i‘C‘P)2y (3)
F . *270-1. з F : Hp. x(F’P)y. з. x (F’P2)y.
1*163-12. *201-2] з. x (F’P)2y (4)
F . (2). (3). (4). *162-1. з F : Hp. з. E'P g(E‘P)2 (5)
F . (1). (5). з F. Prop
Гипотеза в *270-51 првышает то, что требуется для заключения, которое
требует вместо Ре comp лишь того, что не найдется двух последователь-
ных отношений в С'Р, из которых первое обладает последним термом, а
второе — первым термом. Это доказывается в следующем предложении.
*270-52. F: Р е Ser A Rel2 excl. C'P с Ser A comp.
B“P\“(ClP A Cnv“D‘B) = A . з . Е'Р е Ser A comp
Доказательство.
F . *270-1. *163-12. з F : Нр. з. s‘C‘P G(s‘C‘P)2 (1)
F . *201-63. з F : Hp. з. F<P = F’Pj U F’P2 (2)
F.*93-103. з F :. Hp . 0PiR. з: D‘2 = C‘(2. V . Q'R = C'R (3)
Principia Mathematica III
*270. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ
185
F . (3). э F Нр . х (F’P\) у. z>:
(3<2>^) • xeD‘2 .yeC'R. V . xeC'Q .у eQ'P: QP\R:
[*3313-131-17]
э: (aG.^,z): xQz.zeC'Q .yeC'R. V . xeC'Q. zeC'R. zRy: QP\R:
[*150-52. *201-63] z>: x {(s'C'P) | (F4>)} y.V.x {(F'P) | (ГС‘Р)} у:
[*162-1] z>-.x(Y‘P)2y (4)
I-. *163-12 . *201-2. z> I-: Hp . z>. F’P2 = (F'P)2 (5)
F. (2). (5). *162-1. э h : Hp. э . F4> <z(b'P)2 (6)
F. (1). (6). *162-1. э F : Hp. э. L'P G (E'P)2 (7)
F. (4). (7). *204-52. э F. Prop
*270-521. F P e Ser Ci Rel2 excl. C'P c Ser Cl comp:
C'PCl Cnv“Q‘R = Л. V . C'PCi Q‘B = A : э . Z'Pe Ser Ci comp [*270-52]
*270-53. F: P e Ser. Q e Ser Cl comp. ~ (E ! B'Q. E ! B'Q). э. PxQ €. Ser О comp
Доказательство.
F. *166-1. oF.Pxe = E‘(2pP (1)
F . *165-21. э F . Ql’P e Rel2 excl (2)
F . *165-25. *204-21. э F : Hp . g IP. =>. Qi’P e Ser (3)
F. *165-26. *270-4. э F : Hp. z>. C'P^P c Ser Cl comp (4)
F . *151-5 . *165-26 . z> F : Hp. ~ E ! B'Q. э . C'QtfPC\G.'B=X (5)
F . *151-5 . *165-26. z> F : Hp. ~ E ! B'Q. z>. C'Q^P Cl Cnv“(TB = Л (6)
F . (1). (2). (3). (4). (5). (6). *270-521. z>
F : Hp. g!P. э. PxgeSer Cl comp (7)
F . *166-13. э F : P = A. э. PxQe Ser Cl comp (8)
F . (7). (8). э F . Prop
*270-54. F: P e Ser Cl comp. ~ E ! B'P. x ~ e C'P. z>.Р-н xe Ser Cl comp
Доказательство.
F . *204-51. э F : Hp . э . Р-н xeSer (1)
F.*161-1. э F : Hp. э . (Р-нx)2 = P2 U D'Pf t'x
[*93-103] = P2 U C'P f i‘x (2)
F. (2). *270-1. э F : Hp. э . Р-н xg(P-h x)2 (3)
F. (1). (3). z> F. Prop
*270-541. F : P e Ser Cl comp. ~ E ! B'P. x ~ e C'P. э.г + Ре Ser Ci comp
[Док-во, как в *270-54]
*270-55. F : P e Q. C'P c Ser. ~ E ! B'P. C'P Cl Cnv“Q‘B = Л . э .
H'PeSer Ci comp
Доказательство.
F. *251-3.z>F:Hp.=>.H'PeSer (1)
F . *250-21. *93-103. э
F: Hp. Q e C'P. M e F&'C'P. => . (gx). (M'Pi ‘Q) (Pi ‘Q) x (2)
F . *200-43. э
F : Hp (2). (M'Pi ‘Q)(Pi'Q)x.L = M\ (- i‘P) ‘Q) 0 x J, (P} 'Q).z>.M (H'P) L (3)
F . *200-43. э
F : Hp(3).Ae Гд'С'Р. (Л/‘0 (2 (A‘0.M \~?'Q = N \~P'Q.zi .L(WP)N (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
186
I-. (2). (3). (4). э
I-: Нр. M,NeF^C‘P .QeC‘P. (Л/‘0 Q (N‘Q). М \~?‘Q = N \~?‘Q. э.
(аЛ).Л/(П‘Р)£.£(П‘Р)М (5)
I-. (5). *200-43. z> I-: Нр. z>. П‘Р с (П‘Р)2 (6)
h . (1) . (6) . э h . Prop
*270-56. h : P e Ser . Q e Q. ~ E ! B‘P. ~ E ! B‘Q. э . PQ e Ser A comp
Доказательство.
h . *176-151. э h : P = A . э . PQ 6 Ser A comp (1)
h. *176-181-182. oh.P^smor (2)
h . *165-25 . *251-121. э h : Hp . a !P. э . РЩ2 e Q (3)
h . *165-26 . *204-21. э h : Hp . э . C'Pl’Q a Ser (4)
h . *165-25 . *151-5 . э h : Hp . a !P. э ’ ~ E ! B'Cnv'P^Q (5)
h . *165-26 . *151-5 . z> h : Hp . э . С‘РЩ2 A Cnv“CTB = A (6)
h . (3). (4). (5). (6). *270-55 . э h : Hp .’a !P. z>. П‘РГQ e Ser A comp .
[(2). *270-41] э. PQ e Ser A comp (7)
h . (1). (7). э h . Prop
Посредством приведенного выше предложения компактные серии мо-
гут быть произведены, взяв серии таких типов, как coexprco, u)expr(Oi,
u)i ехрг со, и т.д. Любая степень a expr Р состоит из компактных серий, ес-
ли р является ординалом, не имеющим непосредственного предшественни-
ка, и а есть какое-либо сериальное число, не обладающее непосредствен-
ным предшественником (т.е. не образованным добавлением 1 к сериально-
му числу).
Principia Mathematica III
♦271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ
187
* 271. Срединные классы в сериях
Краткое содержание *271.
Мы будем называть класс а “срединным” классом в Р, если асС? и
найдется элемент из а между любыми двумя термами, из которых один
находится в отношении Р к другому. В таком случае мы имеем
zPy .z>x,y. (gz). z e a. xPz - zPy,
т.е. PGPfa|P.
Таким образом, P не может содержать никакой срединный класс, кроме
случая, когда Р является компактным. Обратно, если Р компактно, то С‘Р
представляет собой срединный класс. Следовательно, отношения, содержа-
щие срединные классы, представляют собой те же отношения, что и ком-
пактные. Срединные классы являются важными тем, что имеют дело с ра-
циональными и непрерывными сериями: рациональные числа представля-
ют собой срединный класс в серии вещественных чисел, а серии, которые
Кантор называет непрерывными, характеризуются тем, что помимо того,
что они Дедекиндовы, они содержат срединный класс, образующий серию
того же самого типа, как рациональные числа. Если Р является компакт-
ной серией, то класс "?“П‘Р есть срединный класс в серии <^Р (*271-31).
Этот факт используется в доказательстве того, что серия сегментов раци-
ональной серии представляет собой непрерывную серию.
Наше определение есть
med = аР (a с С‘Р. Р аР Г а | Р) Df.
Таким образом, med‘P будут срединными классами Р, и “PeQ‘nied”
означает, что найдутся срединные классы Р. Мы имеем G‘med = comp
(*271-18); также
* 271-15. h : a med Р. z> . Р, Р [ а е comp
* 271-16. h : (а n С‘Р) med Р. = . (а П D‘P) med Р. = . (а П Q‘P) med Р.
= . (а П D‘P П Q‘P) med Р
Если Р есть серия, и асС‘Р, то а —срединный класс тогда и только
тогда, когда его производная есть О‘Р, т.е.
* 271-2. I-Pe Ser . а с С‘Р. э : a med Р. = . Q‘P = 6/>‘а
Важным предложением является
* 271-39. h : Р, Q е Ser П Ded . a med Р. Р med Q . (Р [ a) smor (Q [ Р). z> .
Р smor Q
Т.е. если Р и Q являются Дедекиндовыми сериями, и а, р есть средин-
ные классы Р и Q соответственно, тогда, если Р [ а и Q [ Р подобны, то
Р и Q также подобны. Это предложение доказывается, показывая, что Р
подобна серии сегментов Р [а с коррелятором lt/>, чья обратная область
ограничена (*271-37). Другое весьма важное предложение есть
* 271-4. h : 5 е Р smor Q . Р med Q . э . (S “Р) med Р
Т.е. коррелятор Р с Q соотносит срединные классы со срединными клас-
сами.
Два предложения, приведенные выше, используются в *275-3-31, ко-
торые доказывают то, что две серии, которые являются непрерывными
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
188 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
(в Канторовом смысле), подобны, и что серия, подобная непрерывной се-
рии, непрерывна.
* 27101. med = aP(ac:C‘P.PGP fa|P) Df
* 271-1. h а med Р . = :ааС'Р. PgP [ а | Р : = :
а с С‘Р: хРу. ол? . д! аП [(*271-01)]
* 271-11. h : amedP. = . amedP [*271-1]
* 271-13. h : a med P. (3 с C'P. о . (a U 0) med P [*271-1]
* 271-14. h : a med P.O. C‘P £ a med (P [ a)
Доказательство.
h. *271-1. о
h:. a med P. о : x, у e a. xPy. ox>y . (gz). z 6 a. xPz. zPy •
[*35-102] z>Xty . z e a. x (P t a) z - z (P t a) у:
[*35-102 . *271-1] о : C‘P [ a med (P [ a)о h . Prop
*271-15. h : a med P. о . P, P [ a e comp
Доказательство.
h. *271-1. oHHp.o.PcP2.
[*270-1] э . P e comp (1)
h . (1). *271-14 . о h : Hp . о . P [accomp (2)
h . (1). (2). о h . Prop
*271-16. h: (a A C'P) medP. = . (a A D‘P)medP. = . (a A Q‘P)medP.
= . (a П D‘P П Q‘P) med P
Доказательство.
h. *271-1. *33-15. о
h :. (a П C'P) med P. = : xPy . oXJ,. g! a A D‘P П *P'x oTP'y:
[*271-1] =: (a П D‘P) med P (1)
h . *271-1. *33-151. о I-: (a П C'P) med P. = . (a П СГР) med P (2)
h . *271-1. *33-15-151. о
I-:. (a П C'P) med P. = : xPy . ox>y . g! a П D‘P П Q‘P П *P'x C\~P'y :
[*271-1] E:(aAD?AO‘P)medP (3)
h.(l).(2).(3).ol-.Prop
*271-17. h : Pecomp . о . C'P, D‘P, Q‘Peme(l‘P
Доказательство.
h . *35-452 . *270-1. о h : Pecomp . о . P gP [ СГР | P.
[*271-1] о.а‘Ретё2‘Р. (1)
[*271-13] о.С‘РбтёЭ‘Р. (2)
[*271-16] o.D‘PEme2‘P (3)
h.(l).(2).(3).oh.Prop
*271-18. h . CTmed = comp [*271-15-17]
*271-2. I-:. P e Ser. a c C'P. о : a med P. = . СГР = 6F‘a [*216-13 . *271-1]
Principia Mathematica III
*271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ
189
*271-3. F: PeRlVCl trans. amedP. э .”?“amed (<;‘P)
Доказательство.
I-. *271-15 . *270-34. э F : Hp . э. <j‘P = sgm‘P.
[*212-11] э. <j‘P = P? (p, y e D‘(Pa П /). а! y - P)
F.(1). *211-12. э F: Hp. p (g‘P) у. э. а! Y - P • ^“Y = Y • ^“P = P •
(1)
[*37-1]
[*271-1]
[*201-12]
[*32-18]
[(1). *270-322]
F . (2). *271-1. э F . Prop
o.(ax,y).xeY-p.xPY.yeY.
z> . (ax,y,z) • xey- p. xPz.zPy .zea.yey.
э • (3^>Y,z). xey- p. xPz. zPy. zea. yey. ~ (yPz).
э . (az). zea. a!^‘z-P • a’Y ~^‘z •
D . (az). z e a. p (ч‘Р) (>z). (?‘z) (<;‘P) у
(2)
*271-31. F : PeRlV Cl trans Ci comp. э .^“G‘Pmed(<;‘P) [*271-3-17]
Следующие предложения подводят к предложению
*271-37. F : A e Ser П Ded . a med Р. э . Itp [ С\\Р [ а) е Р smor {<;‘(Р [ а)}
откуда, если а — срединный класс Р, то Р подобна серии сегментов Р [а.
Это предложение используется в доказательстве того, что каждая непре-
рывная серия подобна серии сегментов рациональной серии.
*271-32. F : Р eSer. R = Р [ а. р е D‘Pe. Е ! It/P . э . Р = ГР= a O^'lt/P
Доказательство.
F . *205-9. э F : Hp. a Cl C'P ~ e 1. э. та£д‘Р = тгЙ/> (a Cl P) [*37-413. *211-11] =ma£p‘P [*207-13] =A F . (1). *200-35. э F : Hp. э . mal/P = A. (1)
[*211-42-12] э.р = Я“Р F . *207-231. э F : Hp. z>. P“P =>lt/>‘P. (2)
[*37-413] z>.P“P = an'?‘lt/>‘P F . (2). (3). э F . Prop (3)
*271-321. F : Р е Ser . Р = Р [ а. э . ltP U D‘PA е 1 -> 1
Доказательство.
I-. *271-32 . э F: Нр . Р, у еЭ‘Рд . It/P = lt/у . э . Р = у : э F . Prop
*271-322. F : Ре Ser. R = P [a.o.ltp '^RdP
Доказательство.
F . *212-23 . oF Hp . э : x (ltP '^R)y . = .
(Я P. Y) • P, Y e О‘/?д • P c Y • P + У • x = ltP ‘P . у = lt/> ‘у.
[*207-231] э . (aP, Y) • P, YeD‘Ra . p с у. P / у .?‘x = P“P .~P‘y = P“y.
[*37-2. *271-321] э .~Р'хс?'у .x±y.
[*204-33] э . xPyz> F . Prop
*271-33. F : Petrans. amedP. э .~?‘x = P“(a~P‘x)
Доказательство.
F . *201-501. э F : Hp. z>. P“>x c>x.
[*37-2] э.Р“(аП>х)с'?‘х (1)
F . *271-1. э F Hp . э :yPx. э . (gz) • yPz. zea. zPx.
[*37-1] э .yeP“(aCi?‘x) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
190 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
* 271-331. Ь : Нр *271-33. R = Р [ а. э. а = 7?“(а
Доказательство.
F . *271-33 . о F: Нр. о. а п"?‘х = а П Р“(а п"?‘х)
[*37-413] =R“(a : о F. Prop
* 271-332. F : PeSer . a med P .xeC'P. о . x = lt/>‘(a n"?‘x)
Доказательство.
F . *271-331. о F : Hp. о . a n^‘x c P“(a n>x).
[*205-123] o.maV(an"?‘x) = A (1)
F . (1). *271-33 . о
I-: Hp. о . xeC'P .~^x = P“(a n"?‘x). ~ E ! max/(a n"?‘x).
[*207-521] о . x = ltp‘(a CiT^x): о F. Prop
* 271-34. F : P e Ser. a med P. о . P = Itp ><;‘(P [ a)
Доказательство.
F . *271-331. *211-11. о F : Hp . P = P [ a. о . a n>xe D‘PA (1)
F . *204-33 . о F : Hp . xPy. о. a n^‘x c a (2)
F . *271-332 . о F: Hp. xPy . о. x = ltp‘(a н"?‘х). у = lt/>‘(a . (3)
[*204-1] э . a П~?‘хт4 a n"?‘y (4)
F . (1). (2). (4). *212-23 . о
F :. Hp . R = P £ a . о : xPy . о . (a n"?‘x) «Р) (a n"?‘y) (5)
F . (3). (5). о F :. Hp . о : xPy. о . x {/rP;‘(P £ a)} у (6)
F. (6). *271-322. о F. Prop
*271-35. F : a med P.O. D‘(P t а)д c - Q‘maxp
Доказательство.
F. *037-413. *211-11. о
F :. ₽ e D‘(P £ а)д . о : (gp). p = a П P“(p П a): (1)
[*37-1] о : (g p). x e p . ox . (gy). у e p П a . xPy (2)
F. (2). *271-1. о
F :. Hp . P e D‘(P [ а)д . о : (gp): x e P . ox . (gy, z). xPz .zea.zPy.yepAa.
[(1)] ox . (gz). xPz. zeP .
[*37-1] ox.xeP“p (3)
F . (3). *205-123 . о F : Hp . P e D‘(P [ а)д . о . mal/p = A : о F . Prop
* 271-36. F : P e Ded . a med P. о . D‘(P [ а)д c CTltP [*271-35 . *214-101]
* 271-37. F : P e Ser П Ded . a med P. о . Itp Г С?(Р [ a) e P smor {<(P [ a)}
[*271-321-34-36. *151-22]
* 271-38. F : P e Ser П Ded . a med P. о . P smor {<;\P [ a)} [*271-37]
* 271-39. F : P, Q e Ser П Ded. a med P. a med P. p med Q.
((P [ a) smor 2 [ P). о . P smor Q
Доказательство.
F . *212-72 . о F : Hp. о . {<;\Р [ a)} smor {?‘(P [ P)} (1)
F . *271-38 . о F : Hp. о . P smor {^(P [ a)}. Q smor {<; (Q £ P)} (2)
F . (1). (2). о F . Prop
Principia Mathematica III
*271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ
191
Это предложение используется при доказательстве того, что все непре-
рывные серии подобны, посредством того факта, что такие серии содер-
жат рациональные серии как срединные, и что все рациональные серии
подобны.
* 271-4. h : S е Р smor Q р med Q. э . (S “P) med P
Доказательство.
b . *35-354 . *74-14 .эР:Нр.э.2[Р|5=е|5[5“р.
[*150-1]
[*151-11]
b. *72-6.
[*150-1]
F . (2). *271-1.
[*151-11.(1)]
[*271-1]
o.s?(er₽)=(s5e)rs“₽.
э. (№<е гр» i(5’G)=(p f5“₽)ip
эк:Нр.э.(еГр)|5|5=0Г₽.
э.{5;(2 Г₽)1(5’0 = 5 |2 Г₽|0|5}
эк:Нр.э.5|е|5с(5;(ег₽)}|(5;0.
э.Рс(Р[5“Р)|Р.
э . (S “Р) med Р: э Ь . Prop
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
192
* 272. Подобие расположения
Краткое содержание *272.
Если Р, Q —два сериальных отношения, и Т является коррелятором,
который соотносит некоторые термы С'Р с некоторыми термами С‘2, то
мы говорим, что два терма х и у, из которых х принадлежит С‘Р, а у
принадлежит С‘0, имеют подобные расположения в силу Г, если у появ-
ляется позже, чем корреляты всех элементов D‘T, за которыми следует
х, и у предшествует коррелятам всех элементов D‘T, которым предшеству-
ет х. Это понятие является полезным для индуктивных определений кор-
реляций. Если мы начинаем с коррелирования каких-либо двух термов xi,
yi и берем другой терм Х2, следующий (скажем) за xi, то терм у2, об-
ладающий подобием расположения в силу Xi X У1, должен следовать за yj.
Положим, что мы выбираем хз между xi и х^. Тогда терм уз, обладающий
подобием расположения в силу xi 1у2 0x2 1у2, должен находиться между yi
и у2‘, и так далее. Корреляция Т, построенная указанным способом, будет
такой, что T’gcP. Т’Peg. Если С'Р и СQ целиком могут быть получе-
ны посредством достаточно далекого продолжения указанного построения,
то Т, в конце концов, станет коррелятором Р и Q. Это является принци-
пом Канторова доказательства того, что любые два терма рациональной
серии подобны.
Как правило, когда понятие подобия расположения полезно, отношение
Т будет одно-однозначным, однако это не предполагается в определении.
Мы пишем “xTpQy” для “х и у, обладающих подобными расположениями
в Р и Q соответственно в силу Т”, или, как мы выражаем это более ко-
ротко, “P-положение х является Т-подобным g-положению у.” Определение
есть
Tpq = ху {хе С'Р .yeC'Q. D'Tп'/'хсГ^у. D'T П frxc Т"%)'у .
ОТГИ'хс?» Df.
Это определение устанавливает, что предшественники х, которые обладают
Г-коррелятами, являются коррелируемыми с предшественниками у, после-
дователи х, которые обладают Т-коррелятами, коррелируются с последова-
телями у, и если сам х обладает Т-коррелятом, то у будет Т-коррелятом х.
Когда Т представляет собой много-однозначное отношение, определение
становится несколько более простым. В таком случае мы имеем
*27213. h :: Т € Cis -> 1 . э xTPQy . = :
хе С'Р .yeC'Q: хе D'T С\~?'х. эг. T'zQy : zeD'T П *Р'х .T>z.yQ T'z :
xeD'T . э .у- Т'х
Мы имеем
* 27216. h.(DT)j TpqClT
Т.е. терм, который обладает коррелятом, не может обладать подобием
расположения ни с каким термом, исключая лишь терм, с которым он
скоррелирован. Элемент C'PnD'T будет обладать подобием расположения
со своим коррелятом (полагая Т eCis—> 1), если Р [D‘T czT’g. Т"С'Р cC'Q
(*27248).
Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ
193
При обычных обстоятельствах терм, который не является элементом
D‘T, не может обладать подобием расположения ни с каким элементом
П‘Т (*272-2). Когда Т много-однозначно и его область содержится в С‘Р,
а Р и Q — серии, и х не обладает Т-коррелятом, мы имеем (*272-21)
х TPQy. = : хеС‘Р. у eClQ :zeWT П^‘х. =z. T'zQy,
т.е. в этом случае х и у обладают подобием расположения, если пред-
шественники х, которые обладают коррелятами, являются термами, чьи
корреляты предшествуют у. В этом случае, если хеС‘Р, то мы имеем
(*272-212)
= C'Q П у (D‘T П>х = Т'^'у) = С‘С Пу (D‘T П *Р‘х = Т“£‘у).
Далее мы исследуем условие для C'P = D'Tpq, т.е. условие, требующееся
для того, чтобы каждый элемент С'Р мог обладать подобием расположения
с некоторым элементом C'Q. Достаточным условием является
Р, 2 е Ser . Q е comp . TeCls -+ 1 . D‘T e Cis induct. P [ D‘T gT;2 . g!2.
r‘C‘PcD‘enCTe,
как доказывается в *272-34.
Далее мы рассматриваем обратимость Tpq, т.е. условие того, что обра-
щение Tpq должно быть (T)qp. Достаточным условием является
Р, Q е Ser. Т е 1 -> 1. D‘T с СР. ПТ с CQ (*272-42).
Наконец, мы имеем два предложения о добавлении другой пары xj,y
к Т. С вышеупомянутой гипотезой *272-42, если xTpQy и T’gcP, полагая
W=TUxly, мы будем иметь (*272-51), так что гипотеза,
которую мы имели для Т, все еще имеет место для W.
Предложения этого параграфа по своей природе являются леммами для
Канторового доказательства того, что любые две рациональные сериии по-
добны, что дается в *273.
*272 01. TPQ = ху {х е С‘Р. у е C'Q. D‘T п"?‘х с Г“<5‘у.(
D‘7’n?‘‘xcT“5’‘y.D‘Tni‘xc'?‘y Df
*2721. h : xTpQy. = .xeC'P .yeC'Q.D'T .
D‘T П *P‘x c T“&y. D‘T П i‘x c 7*‘y [(*272-01)]
*27211. h:xeC‘P.z>.
Tpq‘x = C‘Q П p‘^“‘T'“(D‘T П?‘х) П p'Q"'T"(D'T П £"‘x)
n p‘T”“(D‘r n i‘x)
Доказательство.
I-. *272-1. z> H Hp. z>.
7pe‘x = C‘(?ny {z^DT n"?‘x. эг. zTpq Qy •.zeV'TP'p'x. z>, TPQ Qy:}
z e D‘T П i‘x. . zTy\
[*40-51-53] = C'Q П П^‘х) П П *P'x)
П p‘^“(D‘T П i‘x): э I-. Prop
*272-111. НхеСТ.э.
^Tpq'x = C'Q Пр'{<2'"*Г"(ХУТ П^‘х) U e‘“7“(D7П ^'x) U F“(D‘TП i‘x)}
[*272-11. *40-18]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
194 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
* 27212. к :: xTpQy. = хеС'Р .yeC'Q :.zeD‘T. эг: zPx. э. z TpQy".
zPx.z>.zTpQQy:z = x.z>.zTy [*272-1]
* 272-13. к:: TeCls-> 1 . эxTPQy. =: xeC'P .y eC'Q:
zeD'T ClP‘x.z>z. t'zQy :zCD'T П *P'x .z>z.yQ t'z: xeDT. э .у = t'x
[*272-12. *71-701]
* 272-131. к : TeCls —> 1. xeC‘P. э.
TPQ'x = C'Q П p‘{&t‘'~?'x (J^'t'^'x U ^“(DT П i‘x)}
[*272-111. *71-613]
* 272-14. k:xeCT-DT. э.
TPQ'x = C'Q П p‘0‘“^“(DT D?‘x) Cl Л <P'x)
[*272-111. *40-18]
* 272-141. HxeCT-DT.o.
TPQ'x = C‘6 П у (DT 0>x c T'^'y. DT П X‘x c T“^‘y)
[*272-1]
* 272-15. HTeCls-H.xeCT-DT.o.
iTpQlx = C'QC\ р'&'Г'^'хП p'^'t'^'x
[*272-131. *40-18]
* 272-16. k.(DT)1 TpQc.T
Доказательство.
F . *272 12 . dF: xeDT . x^TpQy. э . xTy: э F. Prop
* 272161. F:TeCls—* 1 . P [ D‘T gT'Q . э . (D‘T) ] 7>e = C‘P1 T\C'Q
Доказательство.
F . *150-41. э F : Hp. z e D‘T . zPx. xTy. э . T'zQy (1)
F . *150-41. э F : Hp. z e D‘T . xPz. xTy. э . yQ t'z (2)
F . (1). (2). *272-13 . э F : Hp. xTy . x e C'P . у e C'Q. э . x TPQ у (3)
F . (3). *272-16 . э F . Prop
* 272-17. F : T e Cis -> 1 . P [ DT G Г Q. D'T c C'P. Q‘T c C'Q. э .
T = (D‘T)1 TPq [*272-161]
Гипотеза *272-17 удовлетворяется во всех важных случаях применения
Tpq-
* 272-171. h:Hp*272-17.xeD‘T.z>.T'Pe‘x=i‘T‘x [*272-17]
* 272-18. I-: T € Cis -> 1. P [ D‘T G T>Q. T“C'P c C'Q .xeC'Pn D‘T. э.
fpQ'x = T'x
Доказательство.
h . *150-41. э I-Hp . э: z e DT D>x. =>z. (t'z) Q (t'x) (1)
h . *150-41. э Ь Hp . э: z6DT Л *P'x. oz. (t'x) Q(t'z) (2)
k. *37-61. okzHp.o.f^eC'e (3)
k. (1). (2). (3). *272-13. э k : Hp. э. x TPQ (t'x) (4)
k.*272-13.эк:Нр.хТ/>еу.э.у = Т‘х (5)
F . (4). (5). э F . Prop
Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ
195
*272-2. F: TeCls-» 1. DT с С‘Р. Peconnex. <2 G J. х ~ е DT. э .
Гpq‘x C\G.‘T = A
Доказательство.
F .*272-13. z>F : Hp. xTPQy. zeD'T n?‘x .z> .t'zty (1)
F . *272-13. F : Hp. x TPQу. zeDT П t>'x. э . T'z ty (2)
F . (1). (2). э F : Hp. xTPQy. zeD'T. э . t'zty: э F. Prop
*272-201. I-: T e Cis -»1. D‘T с C'P. P € connex. g! D'TPQ - DT. =.
QTcC‘2
Доказательство.
F . *202-104. э I-:. Hp . zeDT. xTPQy. x~eDT. z>: zPx. V . Pz:
[*272-13] ^-.T'zQy.y -yQ(T'z)-.
[*33-132] э : T'zeC'Q:. э F. Prop
*272-21. HzTeCls—> 1 . DT с C'P. P, geSer. x~eDT:.
x TPQy. в : xeC'P .yeC'Q: zeDT n"?‘x. =z. T'zQy
Доказательство.
F. *272-21. э F ;. Hp ,zeD‘T.xTPQy.z>:x/z.ytt‘z:
[*204-3. *272-201] э: xPz. = • ~ (zPx): yQ (T'z) . = .- {(T'z) Qy} (1)
F . (1). *272-13 . э F Hp. э:: x TPQ у. = :.
x e C'P. у e C'Q:. z e DT. z>z: zPx. э. T'zQy: ~ (zPx). z>. ~ (T'z) Qy (2)
F . (2). э F :: Hp. z>:. xTPQy. в : xeC'P. yeC'Q : ze DT . zPx. =z. T'zQy::
э F. Prop
*272-211. F :: *272-21. э :. x TPQ у. в :
xeC'P. у eC'Qt zeDT О *P'x. =z .yQ (t'z} [Док-во, как в *272-21]
*272-212. F : Hp *272-21. x e C'P. z> .
Ypq'x = C'Q Пу (DT П t>'x = T'^'y) = C'Q C\y (D'T П <P'x = T"*Q‘y)
[*272-21-211]
*272-22. F : TeCis —> 1. P, Qetrans. xTPqу .z, weD'T . xeP (z-w) .z>.
yeQ(T'z-T'w)
Доказательство.
F . *272-13. □ F : Hp. э . t'zQy .yQT'w: z> F . Prop
*272-221. F : T e Cis -> 1. P, Q e trans. g! DT/>e Л P (z - w). э . (t'z) Q (t'w)
[*272-22] z.weDT
*272-23. F :. TeCls—> 1. P, <2 e trans:
z (P [ DT) w. z>z,w . g! DTpe П P(z - w): э . P [ DT gT’Q
Доказательство.
F. *272-13 . э F :. Hp. э : z (P [ DT) w. э. (t 'z) Q (t'w).
[*150-41] z>. z (T'Q) w:. z> F . Prop
*272-24. F: DT OC‘P = A. o.TP(2 = C‘PfC‘e (*272-1]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
196 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*272-3. F: TeCls-» 1.5 GT .^.TpqGSpq
Доказательство.
F . *272-13 . э F:. Нр . xTpQy. э : ze D‘T . zPx. э . t'zQy :
[*72-9] d:zeD‘S .zPx.^.S'zQy (1)
Similarly I-Hp . xTPQy. э : zeD‘5 . xPz • э . yQS ‘z (2)
I-. *272-13 . э F:. Hp . xTpQy . э : zeD‘T . z = x .т> .t'z = y:
[*72-9] o:zeD‘5 .z = x.o.5‘z = y (3)
F. (1). (2). (3). *272-13 . э F: Hp . x TPQy . э . xSpgy: э F . Prop
Следующие предложения подводят к *272-34.
*272-31. F: Р, Q е Ser. Т е Cis -> 1. х ~ е D‘T . z = max/>‘(D‘T п7*‘х).
w - mmp‘(D‘T Г) *P'x). P [ D'T GT‘;2 • э . ‘Тpq‘x = Q(T'z - T'w)
Доказательство.
F . *205-21. э F : Hp. и e D‘T 'x - i‘z. э . uPz •
[*150-41. Hp] D.rugrz (1)
F . (1). dF : Hp .yeQ(t'z- t'w). ueD'T э . t'uQy (2)
Similarly F : Hp . у e Q (t'z - t'w). и eD'T П 1?'x .z>.yQ t'u (3)
F . (2). (3). *272-13 . э F : Hp .y e Q(T'z - t'w) .z>.xTPQy (4)
F . *272-22 . э F:Hp.э. *TPQ'x c Q (t'z - t'w) (5)
F . (4). (5). э F . Prop
*272-32. F : Л 0е Ser . T € Cis —> 1 ,D‘TcA.
P [ D'T gT'Q . z = maxp‘D‘T .*TPQ'x= ^Q't'z
Доказательство.
F . *272-13 . э F :: Hp . э :. xTPQy . = : ueD'T . dm . t'uQy (1)
F . *205-21. э F : Hp. и e D'T - i‘z. э . uPz •
[*150-41. Hp] ^.t'uQt'z (2)
F . (2). э F :. Hp . у e<Q't'z • => : ueD'T . . t'uQy :
[(1)1 ^xTPQy (3)
F.(l). dF : Hp. xTPQy .d .t'zQy (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*272-321. F : P, Q e Ser . T e Cis 1 . D'T c "p'x.
P [ D'TCd^Q . w = minp‘D‘T . э . *TpQ'x = ~&t'w
[Доказательство, как в *272-32]
*272-33. F : Л 0 e Ser . Q e comp. T e Cis —* 1 . D‘T e Cis induct.
P C D'T gT’Q . э . (P"D'T П P"D'T) - D'T c D'TPQ
Доказательство.
F. *261-26. э h : Hp . a! . э. E ! max/(D‘T (1)
I-. *261-26. эI-:Hp.a 1 D‘TП^'х.э.Е !minP‘(DTП"р‘х) (2)
b. *205-11-111.0
F : Hp. x ~ e D‘T. z - [*150-41] [*270-11] [*272-31] = max/>‘(D‘T Ci^‘x). w = min/>‘(D‘T П *P‘x). о. zPw. z>.t‘zQT‘w. =>•3! Q(T‘z-T‘w). =>-a!5>e‘x (3)
Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ
197
К(1).(2).(3).э
F : Нр. х~ eDT . g! DT П^‘х. g! DT О *P‘x. э. xeDTpg : э F. Prop
*272-331. I-: *272-33 . g !Q. T“C‘P c D'Q. z>. C'P П p‘F“D‘T c DTPe
Доказательство.
I-. *261-26 . э h : Hp . g! DT П C'P. э . E ! max/DT (1)
h . *272-32 . э h : Hp . xe p'*P''D'T . z = max/DT . э . *TPq'x = *Q't'z .
[*33-4] o.g!^e‘x (2)
F . (1). (2). э F: Hp. xep'*P''Y)‘T . g! DT Cl C'P. э . xeWTPQ (3)
I-. *35-85 . *272-24 . z> F : Hp. DT Cl C'P = A. э . C'P c D‘7>e (4)
h . (3). (4) . э h . Prop
* 272-332. F: Hp *272-33. g !Q. T"C'P c C'Q. э. C'P П p'~?"D'T c DTPe
[Доказательство, как в *272-331]
* 272-34. F : Hp *272-33 . g !Q. T"C'P c D'Q П d'Q .z>.C'P = Y)'TPQ
[*272-33-331-332-18. *202-505]
Следующие предложения являются леммами для *272-42.
* 272-4. F:P,<2eSer.Te^ 1 .Y)‘T сС'Р .d'T cC'Q.
x ~ e DT . x TPQ у. э . у (T) QPx
Доказательство.
F. *272-21. э F Hp . э : xeCT. у eC'Q: zed'T erf'x .sz .T'zQy:
[*72-243] э: x e CP .yeC'Q: (T'w) Px.=w.we d'T . wQy :
[*272-21] э : у (t) QPxэ h. Prop
*272-41. I-: P, Q e Ser . T e 1 ->. DT c C'P. CTc C'Q .
x e DT . x TPQ у . э. у (t) QPx
Доказательство.
h . *272-13 . э h :: Hp . э x e C'P . у = t'x :
zeDT . э,. T'zQy '.ztD'T П *P'x. dz . yQ(t'z)
[*204-3] э xeC'P .y = t'x: zeWT oTfi'x .t>z . t'zQy:
zeDT- Cx-~?'x. э2. t'z + y • ~ {(T‘z) Qy]
[Transp] э xeC'P.y = t'x zeD'T - i‘x . эг : zPx . = . (T'z) Qy
[*204-1] э xeC'P .y = t'x:. zeD'T . : zPx. = . (t'z) Qy
[*72-243] z>x e C'P. у = t'x(T'w) Px.t>z.we d'T . wQy
[*71-362] э у e C'Q . x = T'y (T'w) Px . =z. w e d'T . wQy
[*14-21. *33-43] э у eC'Q. x= T'y wed'T . t>w : (T'w) Px . = . wQy
[*204-3] э :.yeC'Q. x= T'ywe d'T C\~&y. . T'wPx :
we d'T П &y .Эц, .xP (T'w)
[*272-13] э у (t) QPx:: э h . Prop
*272-42. h:P,2eSer.Tel 1 . DT <zC'P. d'T aC'Q. э . (t) QP = tPQ
Доказательство.
I- . *272-4-41. эР:Нр.э.ТреЕ(Т)еР (1)
b.(1)l2y^.3F:Hp.o.Cnv‘(T)e/>GTPe (2)
h . (1). (2). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
198 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*27243. I-:P, CeSerncomp-i'A.Tel -> 1 .DTcD'Pnd?.
ат с D‘(2 П Q‘e. Р [ DT = T'Q. D‘T е Cis induct. z>.
DTPe = CT.aTpC = C‘e
Доказательство.
F . *272-34 . z> F : Hp . z>. DT/>e = C‘P (1)
F . *150-36 . э F . T'Q = T'Q t QT. T >P = t 'P [ DT (2)
F.(2). F:Hp.z>.P [DT = r;<2 [QT.
[*151-25] D.etaT = 7,T]DT
[(2)] =T’P (3)
F. *120-214. э F : Hp. э . ОТ e Cis induct (4)
F. (3). (4). *272-34. z> F : Hp. э . C'Q = D‘(f) QP
[*272-42] = Q'Tpq (5)
F . (1). (5). э F . Prop
*272-5. F : P, geSer. TeCis —> 1 .WTaC'P.xTpQy.PQaP.J.
{TCxlyY'QG-P
Доказательство.
F . *150-75. э
F : Hp. z>. (Г 0 x O) 'Q = T'Q U T'^'y J i'x U i‘x f Г‘&у (1)
F . *272-212 . э F : Hp. x ~ e DT . z>. T'^'y c?‘x. T“<Q'y c *P'x (2)
F.(l).(2). эР:Нр.х~еОТ.э.(ТихХу);есР (3)
F.*272-16. oF:xeDT.o.TUxiy = T (4)
F . (3). (4). z> F . Prop
*272-51. F : P, geSer. Те 1 -> 1 . DTcCT. OTcCQ.
xTPQy.P [D‘T = T'Q. IV = T Cxly .^.PIWW^’W'Q
Доказательство.
F. *272-5. z>F:Hp.z>. W;ecP (1)
F. *272-42. z> F:Hp.3. у (t)QPx (2)
F . *150-36. *151-26 . z> F : Hp. э. t 'P = Q [ ОТ (3)
F . (2). (3). *272-5. oF:Hp.o. I¥Tg<2 (4)
F . (1). (4). *150-36 . z> F: Hp. э. W'Q gP [ D‘IV. VV' (P ] D‘W) GQ.
[*151-26] o.P]D‘W=W;<2:z>F.Prop
Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
199
*273. Рациональные серии
Краткое содержание *273.
“Рациональная серия” представляет собой серию, ординально подобную
серии всех положительных и отрицательных чисел в порядке величины,
или, что является эквивалентным, серию, ординально подобную серии всех
рациональных правильных дробей (0 исключается). Тем не менее указан-
ная характеристика рациональных серий не является наиболее удобной для
определения. Следуя Кантору, мы определяем рациональную серию как
серию, которая является компактной, не обладает началом или концом и
имеет Ко термов в своем поле. Таким образом, поле рациональной серии
может быть упорядочено в прогрессию, и что является источником тех
специальных свойств, которые отличают рациональные серии от других
компактных серий.
Рациональные правильные дроби могут быть упорядочены в прогрессию
многими способами, например следующим образом: Если две дроби (в сво-
их наинизших термах) обладают одним и тем же знаменателем, то возьмем
дробь с меньшим числителем первой; если они имеют разные знаменате-
ли, то возьмем первой дробь с меньшим знаменателем. Таким образом, мы
получаем серию
1 1 2 1 3 1 2 3 4 1
2’3’3’4’4’5’5’5’5’6’ ””
Эта серия является прогрессией и содержит все рациональные правильные
дроби.
Обратно, натуральные числа могут буть упорядочены в рациональную
серию. Возьмем, например, следующий способ упорядочения: Выразим чис-
ла в диадической системе исчисления, так что каждое число приобретает
форму
12^(Иек),
где к представляет собой финитный класс целых чисел. Отношение рас-
сматриваемого числа к к является одно-однозначным. Упорядочим различ-
ные к-элементы посредством принципа первых разностей, т.е. образуем се-
рию Мс\ [ (Cis induct - i‘A), где М — отношение “меньше чем” между финит-
ными целыми числами. Получившаяся серия является рациональной сери-
ей; таким образом, целые числа упорядочены в рациональную серию в силу
их корреляции с классами к. Это упорядочение ставит все нечетные числа
перед всеми четными числами, все числа вида 4v + 2 перед всеми числами
вида 4v, и так далее. Если два числа выражены в двоичной системе ис-
числения, то их относительное положение в серии детерминируется первой
цифрой (начиная справа), которая не будет одной и той же для двух чи-
сел: число, для которого рассматриваемая цифра является 1, предшествует
числу, для которого она есть 0.
Два основных предложения, касающиеся рациональных серий, есть (1),
что любые две рациональные серии являются ординально подобными; (2),
что если R представляет собой прогрессию, то ее финитные экзистенци-
ональные подклассы, упорядоченные с помощью принципа первых разно-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
200
стей, образуют рациональную серию. Второе из этих предложений дока-
зывается с помощью (а) того, что финитные экзистенциональные подклас-
сы, упорядоченные с помощью первых разностей, образуют компактную
серию; (Ь), что финитные экзистенциональные подклассы, упорядоченные
последними разностями, образуют прогрессию. С помощью этих средств
для любой заданной прогрессии мы можем установить отношение, которое
упорядочивает ее термы в рациональную серию. Так как Т представляет
собой коррелятор нашей прогрессии R с прогрессией
R]C [ (Cis induct - i‘A),
то T’ Pci [ (Cis induct - i‘A)
является рациональной серией, чье поле есть C‘R. Следовательно, рацио-
нальные серии существуют в пределах любого типа, в котором существуют
прогрессии.
Упорядочение финитных подклассов прогрессии, приводящее к экзи-
стенциопальной теореме для рациональных серий, будет рассматриваться
в следующем параграфе. В настоящем параграфе мы будем касаться дока-
зательства того, что любые две рациональные серии являются ординально
подобными.
Доказательством подобия любых двух рациональных серий мы обяза-
ны Кантору. Оно является длинным и достаточно сложным; кратко оно
разворачивается следующим образом.
Пусть Р, Q будут двумя рациональными сериями, а Р, 5 — двумя про-
грессиями, чьи поля есть ёРи ClQ соответственно. Построим серию кор-
реляций частей Р с частями Q по следующему плану: Начнем с А, и если
Т представляет собой какую-либо корреляцию, то пусть следующей будет
TUseq/DT 1 min5‘^/^‘seq/DT.
Тогда сумма всех корреляций, порождаемых от А на основании этого за-
кона перехода, будет корреляцией Р с Q. В дальнейшем будет видно, что
если мы положим
W = XT (X = seq/D‘T | mins ‘^e'seq/DTJ,
то отношение, которое, как мы предполагаем, будет коррелятором Р с Q,
является WA в смысле, определенном в *259. Таким образом, мы должны
доказать
WA е 1 1. СПУд = C‘Q.P=WA 'Q.
Мд е 1 1 вытекает непосредственно из *259-15.
Р [ D‘Wx = ;<2 вытекает непосредственно из *259-16 и *272-51.
Таким образом, остается доказать D‘Wa = C‘P.G‘Wa = C‘6.
D‘Wa = C‘P легко доказывается. По индукции, если Т является од-
ним из серии частичных корреляторов, то D‘T е Cis induct, и вслед-
ствие этого E!seq/?‘DT, на основании *263-47, а на основании *272-34,
C‘P = D‘T/>q; следовательно, g! V^^/seq^DT, и поэтому, на основании
*250-121, Е ! пнц$‘^rpQ‘seq/?‘D‘T. Следовательно, Т обладает последовате-
лем, который коррелирует seq/?‘D‘T с шщ$‘V^^/seq^D‘Г. Следовательно,
Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
201
рассматриваемый последователь в R каждого элемента С‘Я, который об-
ладает коррелятом, имеет коррелят; следовательно, по индукции, каждый
элемент CR (т.е. С‘Р) обладает коррелятом. Следовательно, D'W& = СР.
Доказательство того, что G'Wa = CQ является более сложным. Как и
прежде, пусть Т будет одним из серии частичных корреляторов. Мы долж-
ны доказать, что найдется коррелятор, который имеет seq/?‘Q‘T в своей
обратной области; когда это доказано, результат получается по индукции.
Чтобы доказать это, положим
х = min/Y />Q‘seqs ‘Q‘T.
х существует, в силу *272-43. Также, поскольку D‘Wx = СР, из *259-13 сле-
дует, что найдется частичный коррелятор U такой, что
х = seq/?‘D‘t/.
Затем мы должны доказать, что
seq5 ‘Q‘T = пнщ 'IJpq'x.
Положим y = seqs‘G‘T. Тогда 1>'у cQT. Следовательно, на основании
*272-2,1>'у ntjPQ'x = А. Таким образом, если xUpQy, то у = пищ 'XJpq'x. Что-
бы доказать xUpQy, заметим, что
Т g и . Upq a. TPQ . Р С D'U = WQ.
Мы имеем ueD'U . э . ~ (и Tpq у), на основании *272-2. Следовательно, по-
средством определения Tpq мы имеем, если ueD'U, то
(gz). z е D‘T . zPu . ~ (T'zQy). V . (gz). z e D‘T . uPz. ~ (yQ t'z).
В первом случае мы имеем (gz). z е D'T . zPu . - (zPx), потому что xTpQy.
Следовательно, поскольку x^z, так как x~eD‘T, то
(gz). z е D'T . zPu . xPz.
Подобным образом, во втором случае
(gz). z е D‘T . uPz. zPx.
Второй случай несовместим с хРи, а первый —с иРх. Следовательно,
хРи . э . (gz). z е D'T . xPz. zPu : иРх. э . (gz). z e D'T . uPz . zPx.
Однако, поскольку xTpQy, xPz-^ -yQ(f'z) . э .yQ(U'z), так как TGt/, и
поскольку
Р [ D'U = CQ, zPu.z>. (U'z) Q (U'u).
Следовательно, хРи . э -yQ(U'u) и аналогично иРх. э . (t/‘и) Qy. Следова-
тельно, xUpQy. Следовательно, у = пищ '<Upq'x, и поэтому у принадлежит
обратной области следующего после U коррелятора. Следовательно, каж-
дый терм CQ принадлежит обратной области некоторого коррелятора, и
поэтому принадлежит П‘Мд. Следовательно, Мд коррелирует Р с Q, а Р и
Q являются ординально подобными.
*273-01. т| = Ser A comp А б“Ко A P(D'P - Q‘P) Df
Следуя Кантору, мы используем ц для обозначения класса рациональ-
ных серий.
*273-02. Rspq'T = Т U seq/?‘D‘T J, пищ '*ГpQ'sec^'D'T Dft[*273]
*273-03. (RS)pq = (RSPq^'A Dft[*273]
*27304. TRSPq = s‘(RS)pq Dft[*273]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
202
В дальнейшем будет показано, что Trspq будет коррелятором Р с Q,
когда Р и Q представляют собой рациональные серии, a R и 5 являются
прогрессиями, чьи поля есть СР и C'Q соответственно.
* 273-1. h:PeT]. = .PeSern comp . ёРе Ко . D‘P = СГР [(*273-01)]
* 273-11. h Рет] . = : РeSer П comp .D‘P = СГР: (gP). Pew . C'P = C'R
[*273-1. *263-101]
* 273-2. k : W = Xt {X = seq^'DT | mins ‘^e'seq/DTJ. э.
Rspq - Aw • (RS)pq c (Aw *A)‘A. Trspq g 1¥л . Trspq e (Aw *A)‘A
[*257-125. *258-242. (*273-02-03-04 . *259-02-03)]
Здесь восстанавливаются временные определения *259.
Второе из приведенных выше включений могло быть заменено на ра-
венство, однако это не является необходимым для целей доказательства.
* 273-21. к : Нр *273-2 . э. D‘W4 с C‘R. СТс C‘S
Доказательство.
к . *259-13. э к : Нр.э. D‘WA = s‘D“l¥“(Aw *А)‘Л (1)
к. *206-18. эк:Нр.еО‘№.э.О‘ХсС7? (2)
k.(l).(2). э к : Hp. э. D‘Wa c C‘R (3)
Аналогично к : Hp. c C‘S (4)
к. (3). (4). э к. Prop
* 273-211. к : Нр *273-2. Ге G‘W. э . DT Ci D‘WT = Л [*206-2]
* 273-212. к : Нр *273-2. э. е Cis -> 1. D f (Aw *А)‘А е 1 -И
[*273-211. *259-141-171]
* 273-22. к : Нр *273-2 . ёР- C'R. Р е connex. Q G J. э.
WA е 1 ->• 1. Q [ (А»- *А)‘Ае 1 -> 1
Доказательство.
к . *273-211-212-21. *206-2. (*259-03). э
к :. Нр • э : Te(Aw *A)‘An G‘W. э. Т eCis—»1. DT сС‘Р. seq^'DT ~eDT.
[*272-2] 3.min$‘5>e‘seqR‘DT~eGT (1)
к. (1). э к Нр. э: Т е (Aw *А)‘А П G‘W. эг . GT Г) G‘WT = Л:
[*259-14-17] э: е 1—»Cis • G f (Aw *А) е 1—> 1 (2)
к. (2). *273-212 .эк. Prop
* 273-23. к: Нр *273-2 . Р, Q е Ser. C'P = C'R. C‘Q = C'S . Т е (Aw *А)‘А. э .
Р tD‘T = T’Q
Доказательство.
к . *272-51. *273-21. э к : Нр. Т е СТW. э. Р ] D‘A wT = (AW'T) (1)
к . (1). *259-16 .эк. Prop
* 273-24. к : Т е (RS)PQ . э . DT, GT е Cis induct
Доказательство.
к . *120-251. э
к :. Нр. э: Т е D‘Aw . DT е Cis induct. э . D‘AwT е Cis induct:
[*90-112] э : A (Aw)* T. э. DT e Cis induct:
1*273-2 . (*273-03)] э : Te(RS )PQ . э . DTe Cis induct (1)
АналогичнЬ:. Hp. э : T e (RS)pq . э . GT e Cis induct (2)
к . (1). (2). э к. Prop
Principia Mathematica III
.273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
203
* 273-25. \--.P,Qei}.C‘P = C‘R.C‘Q = C‘S .Т e(RS)PQ . .
D‘TPq = C'P .<1'TPq = C'Q
Доказательство.
I- . *273-1. э
I-: Hp. э. P, Qe Ser П comp. C'P = D'P = G‘P. C'Q = D'Q = CL'Q (1)
I-. *273-1. *263-44. э I-: Hp. э . a !P. a !Q (2)
I-. (1). (2). *273-22-23-24. *272-43 . => h . Prop
*273-26. P, Qex]. R,S еш. C'P = C'R. C‘Q = C‘S . э:
T e(RS)PQ . z>. E ! seq«‘D‘T. E ! mips ‘*ГFQ'seqjCD'T
Доказательство.
I- . *273-21. *263-47. *273-24. z> Ь : Hp. Te(RS)PQ . =>. a! C'R A p'fr'D'T .
[*250-122] z>.E!seqp‘D‘T (1)
b. (1). *273-25 . э I-: Hp. э . a! ^ec'seq/DT.
[*250-121. *272-1] z>. E! mips ‘FpG‘seqp‘D‘T (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*273-27. F : Hp *273-2 . Hp *273-26 . э. (RS)PQ c Q‘IV. (RS)PQ c D‘AW
[*273-26]
*273-271. F : Hp *273-26 . Te (RS)PQ . э. seq/DT e D'TRSPQ
Доказательство.
I-. *273-2 . э F : Hp. Hp*273-26. э. Те(RS)PQ A D‘AW . э. AW'Te(RS)PQ (1)
F . *273-2. э
I-: Hp. Hp *273-2 . Te (RS)PQ . E ! AW'T. э. seqjfDTe D‘AW‘T (2)
I-. (1). (2). *273-27. э
I-: Hp. Hp *273-2. z>. AW'Tc(RS)Pq . seqp'DTeD'Aw'T.
[*273-2 . (*273-04)] э . seqp‘D‘T e D'TRsPq : э F. Prop
*273-272. I-: Hp *273-26 . э . D''(RS)PQ =~1"C'R
Доказательство.
F . *206-401. э F : Hp . T e (RS)pq . D‘T =7?‘x. xeC‘R . э . x = seq^‘D‘T .
[*204-71. *250-21] z>. D'RSPQ'T = 1'R ,‘x (1)
*250-13. ol-:Hp.z>.D‘A=l?‘B7? (2)
F. (1). (2) .*90-131 .ob:.Hp.3:T(PspG)*A.o.D‘Te^“C‘7?:
[(*273-03)] z>-.'D"(RS)pqc.'^.‘'C‘R (3)
I-. (1). (*273-03). э
b:.Hp.=>:xeC‘7?."^‘xeD“(P5)pe.3.^‘Pi‘xeD“(P5)pe (4)
b.(2). oh:Hp.z>.'i‘B‘/?eD“(P5')pe (5)
h . (4). (5). *90-112 . э I-:. Hp. => -.xe(Rx\‘B'R. => .~^'xe'D“(RS)PQ (6)
I-. *263-43 . *250-21. э h : Hp. э. C'R = C'RX . B'R = B'R\ (7)
I-. (6). (7). *263-141. *122-1-141. э
I-:. Hp. э : xeC'R. э .^‘xeV>"(RS)PQ (8)
F . (3). (8). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
204 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*273-28. F : Нр *273-26 . э . TRSPQ е 1 -И . D'Trspq = С'Р.Р = Trspq'Q
Доказательство.
H. *273-2-22 . D h : Hp. z>. TRSPQ e 1 -»1 (1)
1-. *273-272 . э F:Hp.э. VTrspq = s'R “C‘R
[*263-22] h. *273-2-23 = CR . dF : Hp . э . P [ WTRSPq = Trspq'Q . (2)
[(2)] F.(l).(2). Э . P = Trspq'Q (3). э F . Prop (3)
Для того чтобы доказать TRsPq с Psmor Q, остается доказать G'Trspq = C'Q. ЛИШЬ
*273-3. HHp *273-2 . T, U e (Aw *A)‘A. э : D'T c D'U . = .TdU
Доказательство.
1-. *33-263. эк:Тс1/ .=>.D‘TcD‘l/ (1)
k. *259-111. эк:.Нр.э:ТсС/ .V . [7 gT (2)
1-. *33-263. э h : t/GT . D‘T c D‘t/. =>. D‘T = D‘T (3)
F. (3). *273-212 . z> k : Hp. U GT . D'T c D'U. э . T = U (4)
h.(2).(4). э b : Hp. D'T c D'U. =>. T G U (5)
F . (1). (5). э F . Prop *273-31. k: Hp *273-26. T e (RS)PQ . у e C'S - СГТ.l>'y a D'T. э . (gx, U).x = min/}1"? PQ'y. U e (RS)PQ . х = зедя‘В‘С7
Доказательство.
h . *273-25. *250-121. э F: Нр. э. (gx). х = min/Tp^y (1)
I-. *273-272 . э k : Нр. х = . э. (gU). U е(RS)PQ . D‘l/ =~ft‘x.
[*206-401] э . (g(7). . х = seqRlD‘[/ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*273-32. F : Hp *273-31. x- ттл‘"?PQ‘y -U e(RS)Pq . x = seq^‘D‘t/ . э .
*UPQy. T Q.U
Доказательство.
H . *205-14 . эН :. Нр . uRx. э : ~ (иТPq у):
[*272-13] э: (gz): z е D'T: zPu. ~ (J'zQy). V .uPz.~(yQt‘z) (1)
1-. *272-2-42 . эЬ : Нр. э. x~eD‘T. (2)
[*273-272] ^.D'Tci'x (3)
К *273-272. э 1-: Нр. э .^‘х = D‘[/ (4)
Ь . (3). (4). *273-3. э Н: Нр. э. Т G U (5)
1-. (1). *272-13 . э
F Нр . uRx. э : (gz): z е D‘T : zPu . ~ (zPx). V . uPz -~(xPz) (6)
F . *204-1. э F Hp . э : uPx. zPu . э . zPx: xPu . uPz . э . xPz (7)
F . (6). (7). (4). э F Hp . и eD‘t/ . э : иРх. э . (gz). zeDT . uPz • ~ (xPz):
хРи . э . (gz). z e D‘T . zPu . ~ (zPx):
[(2)] э : иРх. э . (gz). z e D‘T . uPz . zPx:
хРи . э . (gz). z e D‘T . zPu . xPz (8)
F. *272-13. *273-23. э
F : Hp . и e D‘U . z e D‘T . uPz. zPx. э . (С7‘и) Q (U'z). (T‘z) Qy .
[(5)] o.(t/‘u)ey (9)
Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
205
Similarly F : Нр. ueD‘t/ . zeD‘T . zPu . xPz. э . uQ(U'u) (10)
F . (8). (9). (10). э
F Hp . и eD'U . э : uPx. э . (U'u) Qy: xPu . э -yQ(U'u) (11)
F . (11). *272-13 . э F : Hp . э . xUPQ у (12)
F. (5). (12) . э F. Prop
*273-33. F : Hp *273-32 . э . у - тщ$ 'XIpq'x . x(RSpQ‘U)y
Доказательство.
I- . *273-32. => I-: Hp. э .~^y a G‘U.
[*272-2-42] 3.^>nt7/>e‘x = A (1)
I-. (1). *273-32 . *205-14 . э h : Hp. э . у = mips ‘t/pg'x (2)
F. (2). (*273-02). oF:Hp.o.x(/?5pe‘t/)y:oF.Prop
*273-34. F:Hp *273-31 .э.уеОТад
Доказательство.
F . *273-31-33 . э F : Hp . э . (aU). U e (RS)PQ . у e G'Rsqp'U .
[*90-16 . (*273-03)] э . (a W). W e (RS )PQ . у e CT W.
[(*273-04)] э . у e G.'TRSpq : э F . Prop
*273-35. F : Hp *273-26 . э . <X'TRSpq = C'Q
Доказательство.
F . *273-34 . э F : Hp .yeC'S . 3^‘y cG'TRspq • • yeG.'TRSpq (1)
F . (1). *250-34 . э F . Prop
* 273-36. F : Hp *273-26 . э . TRSPQ e P smor Q [*273-28-35]
* 273-4. F : P, Qet] . э . Psmor Q
Доказательство.
F . *273-11. z> F : Hp. э . (gP, 5). R, S e u). C'P = C'R. C'Q = C'S .
[*273-36] э . (gP, S). TRspq e P smor Q : э F . Prop
* 273-41. F : Per]. Psmor Q . э . Qerj
Доказательство.
F . *270-41. э F : Hp . э . Q П comp (1)
F . *151-18 . *123-321. э F : Hp. э . C'Q e Ko (2)
F. *151-5. э F : Hp. э . D‘g = G‘6 (3)
F . (1). (2). (3). *273-1. э F . Prop
*273-42. F : Per). э . rj = Nr‘P [*273-4-41]
*273-43. F.rjeNR [*273-42 . *256-54]
Следующие предложения легко доказываются:
F : Q e Ser П C“N0 . P e T]. z>. QxP e rj,
откуда F : a eNRn CPSer . C"a = Ko . э . a x rj = rj;
и
F : Рет]. geSer П C“N0 • xeC'P. э .xl^QeNr'Q П Rl‘(6xP). gxPer],
откуда, вследствие того обстоятельства, что все rj-элементы подобны,
F : Р е т|. QeSer П (?“Ко • э • Я • Nr‘g П RPP.
Таким образом, г| содержит серии всех порядковых типов, составленные
из Ко термов.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
206
*274. О серии финитных подклассов серии
Краткое содержание *274.
В настоящем параграфе мы будем касаться построения рациональной
серии, состоящей из финитных экзистенциональных подклассов прогрес-
сии. Когда финитные подклассы прогрессии (исключая А) упорядочива-
ются с помощью принципа первых разностей, результатом является ра-
циональная серия. Когда они упорядочиваются с помощью принципа по-
следних разностей, результатом является прогрессия. Эти два предложе-
ния вместе с последующими экзистенциональными теоремами доказывают-
ся в настоящем параграфе.
Мы определяем “Рл” как Рс\ с его полем, ограниченным к экзистенцио-
нальным классам. (По поводу определения Pci, см. *170-01.) В этом парагра-
фе мы будем главным образом касаться Рп, где Рео), однако оно обладает
интересными свойствами и во многих других случаях.
Наше определение есть
Рт) = Pci [ (Cis induct - i‘A) Df.
В этом параграфе мы будем касаться не только Рп, но также
РС] [ (Cis induct - i‘A), что есть Cnv‘(P)rr Таким образом, если мы полага-
ем Р = б, то гипотеза о том, что PeQ, как она используется при изуче-
нии РС] [ (Cis induct - i‘A), эквивалентна гипотезе о том, что geQ, как она
используется при изучении Cnv‘6n, т.е. Таким образом, изучение Pci
и Pic с полями, ограниченными к индуктивным экзистенциональным клас-
сам, может заменяться изучением Рп в двух случаях, когда (1) PeQ, когда
(2) PeQ. Второй случай проще и рассматривается первым. Тем не менее,
сначала мы имеем группу предложений, которые допускают лишь то, что
Р является серией.
Поскольку индуктивный экзистенциональный класс в серии должен об-
ладать максимумом и минимумом, мы имеем
*274 12. F :: Р е Ser . z>:. а Рл ₽ . = :
а, р е Cl induct‘C‘P - i‘A : (gz). z е а - Р . а = р
Мы имеем
*274-17. F : С'Р ~ е 1 . э . C‘Pn = Cl induct‘C‘P - i‘A
Всякий раз, когда Р представляет собой серию, Рл является серией
(*274-18). Если Р обладает последним термом, то класс, состоящий лишь
из этого последнего терма, является последним термом Рл; если Р не обла-
дает последним термом, то Рл не имеет последнего терма (*274-191). Если
ёРпредставляет собой индуктивный экзистенциональный класс, то пер-
вым термом Рп является ёР(*274-194); если нет, то Р не обладает первым
термом (*274-195). Следовательно, если Р не обладает последним термом,
то Рл не обладает первым или последним термом, и мы имеем D‘Pn = П‘РЛ
(*274-196). Поэтому из характеристик, применяемых при определении ц,
мы имеем PneSer всякий раз, когда PeSer, и DtPT1 = Q‘PT1 всякий раз, ко-
гда ~ Е ! В'Р.
Далее мы доказываем
Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
207
*274-22. HPeQ.o.P^eQ
которое, в силу того, что было сказано выше, эквивалентно
Р е Q. э . Рс1 £ (Cis induct - i‘A) е Q,
т.е.: Принцип последних разностей, примененный к индуктивным экзистен-
циональным подклассам любой вполне упорядоченной серии, дает вполне
упорядоченную серию.
Чтобы доказать *274-22, поскольку мы уже знаем, что Рп является се-
рией, мы должны доказать лишь то, что каждый экзистенциональный под-
класс из С'Р обладает максимумом в силу Рл. Это доказывается следую-
щим образом.
Пусть к будет любым экзистенциональным подклассом
Clinduct‘C‘P-i‘A. Рассмотрим минимумы всех элементов к: все эти
минимумы существуют, потому что к составлен из индуктивных классов.
Затем, в силу природы принципа первых разностей, элементы к, кото-
рые обладают идущим позже минимумом, появляются позже, чем те,
которые обладают идущим ранее минимумом. Следовательно, если мы
рассматриваем min/>“K, то классы, чей минимум есть максимум minp“K
(который существует, потому что PeQ), появляются позже, чем любые
другие элементы к. Положим
xi = maxp‘minp“K. Ki = к A min/xi.
Таким образом, Ki состоит из тех элементов к, которые обладают наиболь-
шим минимумом, и элементы Ki появляются позже, чем любые другие эле-
менты к. Подобным образом появляющиеся позже всего элементы Ki будут
такими, что будут обладать наибольшим вторым термом, т.е. если мы от-
бросим (общий) первый терм из каждого элемента К], и если является
результирующим классом классов, то мы должны применить к kj в точ-
ности тот же самый процесс, который мы уже применили к к. Таким об-
разом, мы приходим к тому, чтобы положить
%1 = тахр‘тш/>“к. Kj = к A min/xi . kj = (- i‘xi)“ki,
%2= maxp‘minp“ki . Кг = Х2 А ттр‘х2 • ^2 = (_ i‘x2)“K2,
и т.д. Серия xi, Х2,... есть восходящая серия в Р и поэтому является фи-
нитной на основании *261-33. Поэтому она обладает последним термом,
скажем Ху. Тогда класс i‘xi U i‘x2 U ... U i‘xv является элементом к и видно,
что он является его максимумом. Следовательно, каждый экзистенциональ-
ный подкласс к из С‘РЛ обладает максимумом, и поэтому PneQ.
Для того чтобы представить символически приведенный выше процесс,
мы полагаем
Рт‘к = maxp‘minp“K Dft,
7р‘к = (- i‘Pw‘k)“(k А тшр‘Рш‘к) - i‘A Dft,
МР‘к = Рт‘‘{ТрУк Dft.
Тогда Рт‘к является тем, что мы называем xi, а Тр'к есть то, что мы
называем Aq, (Тр\"к представляет собой класс к, a М, А.2, • • «^v-i и А/р‘к
есть класс Х1,Х2,хз,.. .xv. Таким образом, то, что мы должны доказать, есть
Мр'к = max (Рл)‘к,
что доказывается в *274-215.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
208
Далее мы доказываем
*274-25. НРесо.э.Р^ео)
С этой целью мы используем *263-44, а именно
о) = Q - i‘A П Р (CTPi = СГР. ~ Е ! В‘Р).
Таким образом, остается доказать только
~ Е! В‘РП следует из *274-195, a D‘(/\)i = D‘Pn доказывается без затрудне-
ний; как следствие, вытекает наше предложение.
Из *274-25-17, заменяя Р на Р, мы получаем
*274-26. F : Р е о). э . Р]С [ (Cis induct - i‘A) е о).
C‘Plc t (Cis induct - i‘A) = Cl induct‘C‘P - i‘A
откуда непосредственно вытекает, что
*274-27. F : а е Ко . э . Cl induct‘а е Ко . Cl induct‘а - i‘A е Ко
Т.е. класс из Ко термов содержит Ко индуктивных подклассов.
Сейчас мы должны доказать
*274-33. F : Р е со . z> . Рл е ц
В силу *274-17-27, мы имеем С‘РП еК0; и на основании *274-18, P^eSer.
Таким образом, остается доказать только то, что Рл e comp. D‘Pn = G‘Pn.
Второе из них вытекает непосредственно из *274-196. Что касается
Рлесотр, если аРлр, то a U р е Cis induct, и потому д! рс<Р‘‘(а U р); однако,
если хер ‘Х“(а U Р), то мы имеем а Рл (Р U i‘x). (Р и i‘x) Рл Р; следовательно,
РлеРп2. Этим завершается доказательство того, что Р^етр
Рассматриваемое предложение имеет место не только тогда, когда Рео),
но и если Р является какой-либо серией, которая не обладает последним
термом и чье поле имеет Ко термов (*274-32).
В заключение мы имеем дело с существованием ц (*274-4—-46). Если
Ре о), то Р подобна Pci [ (Cis induct - i‘A), на основании *274-6; и если Т
есть их коррелятор, то Т;РЛ представляет собой элемент т|, поле которо-
го есть ёР(*274-4). Следовательно, существование ц в пределах любого
типа эквивалентно существованию о) в пределах того же типа (*274-41).
Следовательно, нам осталось просто применить предыдущие предложения
о существовании о).
*274-01. Рл = РС1 t (Cis induct - i‘A) Df
*274-02. Рт‘к = тах/>‘тшр“к Dft [*274]
*274-03. 7>‘к = (- 1‘Рт‘к)“(кП тт/Рт‘к) - i‘A
Dft [*274]
*274-04. МР‘к = Рт“^ТА‘к Dft[*274]
*274-1. F : а Рл p . = . a, p e Cis induct‘C‘P - i‘A . 3! a - p P“(p - a)
[*170-1. (*274-01)]
*274-11. F : PeSer . a e Cl induct‘C‘P - t‘A . э . E ! min/a . E ! max/a
[*261-26]
Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
209
*274111. F: Р е Ser. ~ Е ! В'Р. а е Cl induct'C'P. э . 3! р'*Р"а
Доказательство.
I-. *274-11. э F : Нр . g! а. э . max/а eD‘P.
[*205-65] э.з!р‘^“а (1)
F. (1). *40-2. э F. Prop
*274-12. FuPeSero:. аРл Р . = :
а, PeCIinduct'C'P- t'A: (32). zea- р. аCi"?‘z = р o7‘z
Доказательство.
I- . *170-2 . э
I-a, PeCI induct 'С ‘Р- t'A : (3г). zea - Р. a O^‘z = Р Cl^'z: э. а Рп р (1)
F . *274-11. э F : Нр. a Pn Р. э. Е ! minP‘(a - р - Р“(р - а)).
[*170-23. *205-192] э. (3г). zea - р. a n>z = Р (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*274-13. F. Р1с [ (Cis induct - t'A) = Cnv'(P)n [*170-101. (*274-01)]
*274-14. I-:: PeSer. z>:. a {Pic [ (Cis induct - t'A)) P. = :
a, p e Cl induct'C'P - t'A: (32). ze P - a. а Л *P'z = P Cl *P'z
[*274-12-13]
*274-15. Ь: a, P e Cl induct‘C‘P -t‘A.pca.p#a.3.aPnp
[*170-16. *274-1]
*274-151. F : aeCl induct'C'P-l.xe а. э. a Pn (t'x) [*274-15]
*274-16. h : 3 !Pn . s . C‘P~ eOU 1
Доказательство.
F. *274-1. эF : з!Рл . э . 3! C'P (1)
F. *274-151. z>F:C‘P~eOUl .э.з!Рл (2)
I-. *60-38. э F : C'P e 1. з. ~ (ga, P). a, P e Cl'C'P - t'A. 3! a - P .
[*274-1] з.Рп=А (3)
F . (1). (2). (3). 3 F . Prop
*274-17. F : C'P ~ e 1. 3 . C'P^ = Cl induct'C'P - t'A
Доказательство.
F. *274-151 .3F. Cl induct 'C'P- t'A - 1 cD'Pn (1)
F . *274-151. 3 F : x e C'P. C'P f t'x. з. t'x e G'P^ (2)
F.(2). 3F : Hp. з. СГС'РЛ IcQ'P, (3)
F . (1). (3). з F : Hp. з . Cl induct'C'P — t'A c C'Pn (4)
F . (4). *274-1. з F . Prop
*274-171. F : P2 G J. xPy. з. (t'x) Pn (t'y) [*274-1]
*274-18. F : PeSer. з. Pn eSer
Доказательство.
F. *201-14.3
F :. Hp .zea-p.wep-y.a cT?'z = pCi”?‘z.pci~?'w = yCi"?‘w.3:
zPw. з. ze a — у. a Ci"?‘z = y Ci~^‘z (1)
F . *201-14. э F :. Hp (1). э: wPz. э . wea-y. aCi"?‘w = y Ci^'w (2)
F . (1). (2). *202-103. *274-12 . z> F : Hp. a Pn P . P Pn у. э. a Pn у (3)
F. *274-11.э
F : Hp. a, P e Cl induct'C'P - t'A . a / P. э . (зг) • z = minP‘{(a - P) U (P - a))
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
210 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
[*205-14] э. (gz). ze(a - 0) и (0 - а). a C\~P‘z = 0 n"?‘z.
[*274-12] (4)
F . (3). (4). *170-17. э F . Prop
*274-19. F: P econnex. P2gJ.o.^‘P4 = i“^‘P
Доказательство.
F. *274-151. э F. Cl induct‘C‘P- 1 c D‘Pn (1)
F. *274-17. oFzHp.o.r'D'PcD'P,, (2)
F . (1). (2). *274-17. э F: Hp . э .~§‘P^ c i“^‘P (3)
F . *202-524. э
F : Hp. xeS'P. 0eCl induct‘C‘P- i‘A. x~e0.э. xeP“(0 - i‘x) (4)
Ь • (4) • =>
F : Hp. xe^'f*. э. ~ (g0). 0eClinduct‘C‘P- i‘A . g! i‘x- 0 - P“(0- i‘x).
[*274-1] э. i‘x ~ e D‘P4 (5)
F . (5). *274-17. э F : Hp. э. i“^‘P cll‘Pn (6)
F . (3). (6). э F . Prop
*274-191. F :. Peconnex. P2 G J. э: E ! B'P. э . B‘F\ = С B'P:
~E!B‘P .э.^‘Рп = А [*274-19]
*274-192. F:.Peconnex. Р2с/.э:Е!В‘Р. = .Е!В‘РТ) [*274-191]
*274-193. F.^‘Pn = i‘C‘Pn(Cisinduct-i‘A- 1)
Доказательство.
F. *274-15-1. э F : C‘Pe Cis induct - i‘A - 1. э . С‘Ре^‘Рл (1)
F . *274-16-17. э F : C'P ~ e (Cis induct - i‘A - 1). э . C'P ~ e C'P^ (2)
F . *274-15 . э F : ae Cl induct‘C‘P- i‘A. xeC'P- a. э . (a U i‘x) Pn a (3)
F.(3). э F . Cl induct‘C‘P - l‘A - i‘C‘P c G‘Pn (4)
F . (4). Transp. *274-1. э F .^‘Pn c (Clinduct‘C‘P - i‘A) П CC'P (5)
F . (5). *274-16. э F.^‘Pnc (Cis induct - i‘A - l)m‘C‘P (6)
F . (1). (2). (6). э F. Prop
*274-194. F : C'P e Cis induct - i‘A - 1. э . B'P^ = C'P [*274-193]
*274-195. F : C'P ~e Cis induct. э.^‘Рп = A [*274-193]
*274-196. F : P e Ser. ~ E ! B'P. э. D‘Pn = G‘P4
Доказательство.
F. *274-192. э F : Hp. э .^‘Pn = A (1)
F . *274-195-16. *261-24. э F : Hp. э .~S‘P4 = A (2)
F . (1). (2). э F. Prop
Следующие предложения дают доказательство того, что PeQ.o.P^eQ
(*274-22).
*274-2. F : PeQ. к с С‘РЛ . д! к. э. Е ! Рт‘к. Рт ‘к emin/'K
[*274-1-11. *250-121. (*274-02)]
*274-201. F : 0 е ТР'к. =. (да). а е к. min/a = Рт‘к. 0 = а - СРт‘к. д! 0
[(*274-03)]
*274-202. F : Е ! Рт'к. э. Е ! ТР'к [(*274-03). *14-21]
Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
211
*274-203. F Нр *274-2 . э : 7р‘к = А . = . кА minp‘Pm‘K = l‘l‘Pw‘k
Доказательство.
I-. *274-2-202 . э
F :: Нр . э ТР‘к = Л . =: ~ (да, (5). аек. min/a = Рт‘к. 0 = а - i‘Pw‘k. д! (5:
[*13-191] =:аек А min/P^K. эа . а - l‘Pw‘k = Л :
[*274-2] = :а ек A minp‘Pm‘K. =а . а = t‘Pm‘K:: э F . Prop
*274-204. F: к с С‘Рл . к (7>)* X. э. С‘Рл
Доказательство.
I-. *120-481. *274-201. э I-: к с Cis induct. Е ! ТУк. э . ТУк с Cis induct (1)
I-. *274-201. э F : к с С1‘С‘Р. Е ! ТУк. э . ТУк с С1‘ёР- i‘A (2)
Ь . (1) - (2). *274-16 . э F : С‘Рл . Е ! ТУк. э . ТУк с С‘Рл (3)
I-. (3). Induct. э F . Prop
*274-205. F : Ре Ser . Е ! Pyfyk .^.(Pm X) Р (РУТук)
Доказательство.
F . *274-201. *205-21. э I-: Нр. РеТуК. э . р с (1)
F . *205-11. (*274-02). э F : Нр. э . PmtP4е з1ТР‘\ (2)
F . (1) . (2) . э F . Prop
*274-206. I-: Hp *274-205 . к (7»* X. э. (Рт‘к) Р (Pytyk)
Доказательство.
I-. *14-21. (*274-02). э F : Е ! РУТРк. э . Е ! Рук (1)
I-. (1). Induct. э I-: Нр . э . Е ! РУк (2)
F. (2). *274-205 . Induct. э F . Prop
*274-207. F : PeQ. к(ТР)* X. РУХ = maxp ‘МР ‘к. э . ~Е ! Pyfyk. fyk = A
Доказательство.
I-. *274-205 . Transp . э I-: Нр . э . ~ Е ! Pytyk.
[*274-204-2 . Transp] э .tyk = Л: э F. Prop
*274-208. F PeQ . кс С‘Рл . д! к. э :
Ае(тРУк: (дХ). к(7»* X. X A minP‘Pm‘X = iTPm‘X. fyk = Л
Доказательство.
F . *250-121. э F: Нр . э . Е ! тах>‘Мр‘к (1)
F . (1). *274-207-203-204 . э F . Prop
*274-21. F: 0 е ТУк. э . 0 U i‘Pm‘Kе к [*274-201]
*274-211. F : к(7/>)* X. 0 еХ. э . 0 U P„i“77> (к н Х)ек
Доказательство.
I-. *274-21. э I-Нр : 0 е к . эр . 0 U Рт“ТР (к н X) е к: э :
yetyk.z>y .уи РУ'ТР(к н7>‘к)ек (1)
I-. *274-21. (1). Induct. э F . Prop
*274-212. I-: PeQ. ксС‘Рл . д! к. э . МУкек
Доказательство.
F . *274-208-211. э
I-: Нр . э . (дк). к(7»* k. tyk = Л . СРУкек. СРУк U РУ'ТР (к н X) ек.
[*121-103] э . (дХ). РУ‘ТР (к н X) е к. Рт“ТР (к н X) = РУ‘^‘к: э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
212 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*274-213. I-: PeSer . к с С‘РЛ ,аек.к(7»* X П МРк с а . э .
а - ("? ‘Рт ‘X А А//к) е К
Доказательство.
I-. *274-201 .э1-:Нр.к = к.э.а - ("?‘Р^‘Х А М/к) = а .
[*13-12] э.а-(?‘Рт‘ХАЛ/Р‘к)ек (1)
I-. *274-206 . э
F Нр : Рек.?‘Рт‘Х А Л/р‘кс Р . эр . Р - (?‘Р„Д П Л/Р‘к)ек: э :
Рек.Т^Д/Г/Х А Af/кс Р . э АМр‘ксР . Д/Хер.
(Р - (P‘Pm‘\ А А//к)) е X. Рт‘Х е {р - (Р‘Рт^ А М/к)}.
[*274-201] э . {р - (Т^ДЛ А А//к) - 1‘РЛ) е ТР^.
[*274-206] э . {р - (??ЛД А Л//к)) е ТР‘\ (2)
I- . (1). (2). Induct. э F . Prop
*274-214. F:PeQ. к с С‘РЛ .аек - l‘A//k . э . а Рл (Л//к)
Доказательство.
F . *274-212 . э h Нр . э : Л//ке Cis induct: (1)
[*170-16] э : Л/р‘кс а . э . а Рл (Л/Р‘к) (2)
h . *274-11. (1). э h : Нр. g! МР‘к - а . э . Е ! min/(M/>‘K - а).
[*205-14 . (*274-04)] э . (дХ). к(ТР)* X. РтЧ ~е а П МР'кс а.
[*274-213] э . (дХ). к (Тр)* X. Рт‘Х ~ е а. а - (>Рт'Х П МР'к) е X.
^‘Рт‘ХпЛ/р‘кса.
[*274-201] э . (gX,z). к(7»* X. z = minp‘{a- С?‘Рт'Хп Л/р‘к)}.
zP (Рт‘Х).^'Рт'ХпМр‘кса.
[*31-18] э . (gz). zea - МР‘к. .
[*170-11] э.аРп(Л/р‘к) (3)
F. (2). (3). э F. Prop
*274-215. F : PeQ. ксС‘РЛ . g! к. э. Л/р‘= max(Рп)‘к [*274-212-214]
*274-22. F:PeQ.o.P4eQ
Доказательство.
I-. *274-215. э F : Нр. э . Е !! max (Р„)“С1 ех‘С‘Рл .
[*250-125] э . Pn е Q: э I-. Prop
Следующие предложения составляют доказательство того, что
РеО.э.Ряе<п (*274-25).
*274-221. I-: е Ser. X'maxp'a е Cis induct. a е Cl induct'C'P - i‘A — i‘"3‘P.
P = (a - t'maxp'a) U X'maxp'a. э . a Рч p
Доказательство.
F . *205-55 . э I-: Hp. B'Pea. э . g! a - i‘maxp‘a (1)
F . *202-511. эF : Hp. B‘P~ea. э . B'PeX'maxp'a (2)
F.*93-101. oFiHp.-ElB'P.D.gl^'maxp'a (3)
F.(l).(2).(3).oF:Hp.D.g!p (4)
F . *120-481-71. =>F:Hp.D. 0eClsinduct (5)
F . *205-21. *200-361. э F : Hp. э . p n"?‘maxp‘a - a n"?‘maxp‘a (6)
Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
213
F . (4). (5). (6). э F : Нр. э . а, Р е Cl induct‘C‘P - i‘A . max/а е а - (5.
а П^‘тахр‘а = (5 П^‘тахр‘а.
[*274-12] э . а Рл р : э F . Prop
*274-222. F : Нр *274-221. а Рл у . max/а с у. э . Р Рл у
Доказательство.
I-. *274-12 . э F:Нр.э. (gz).zca- у . z # max/a. a n^‘z = yA?‘z.
[*201-14. *205-21. Hp] э. (дг). ге 0 - у. 0 П?‘г = у п"?‘г.
[*274-12] э . Р Рл у: э F . Prop
*274-223. F : Нр *274-221. а Рл у . maxP‘a ~су.у^р.э.рРлу
Доказательство.
F . *274-12 . z> F:. Нр . э : (gz).zea-у - t‘max/>‘a . a n"?‘z = у O^‘z . V .
a n~?‘maxp‘a = у Ci"?‘maxp‘a (1)
I-. *201-14 . *205-21. э
I-Hp: (gz).zca-у - i‘max/a. a O~?‘z = у A^‘z: э . P Рл у (2)
I-. *205-21. dF : Hp . a n^‘maxp‘a = у n^‘max/a . э .
a - i‘maxp‘a = у n"?‘maxp‘a (3)
F . *202-101. dF : Hp . э . у c"?‘max/aU X‘max/a (4)
F . (3). (4). эF Hp . an^‘maxp‘a = у n"?‘max/>‘a .□ :ycp:
[*170-16 . (*274-01)] э : у # P . э . p Рл у (5)
F. (1). (2). (5). э F . Prop
* 274-224. F : Hp *274-221 .аРлу.р/у.э.рРлу [*274-222-223]
* 274-23. F : Hp *274-221. э . a (Рл) j p [*274-221-224 . *204-72]
* 274-25. F : Pecu . э . Рл e co
Доказательство.
F . *274-22-16 . э F : Hp . э . Рл б Q - i‘A (1)
F . *274-191-17. э
F : Hp . бВ‘Рл . э . a e Cl induct‘C‘P - t‘A - i‘ll‘P (2)
F . *263-412 . *274-11. э
F : Hp . a с Cl induct‘C‘P - i‘A . э . ^‘max/a e Cis induct (3)
F . (2). (3). *274-23 . э F : Hp . a б D‘Pn . э . a б D‘(Pn) i (4)
F.(l). (4). *274-195. *121-323. э
F : Hp . э . Рл с Q - i‘A. D‘Pn = D‘(Pn) j . ~ E ! В‘РЛ .
[*263-44] □ . Рп co): э F . Prop
* 274-26. F : P с о . э . Pic [ (Cis induct - t‘A) e a)
C‘Plc [ (Cis induct4- l‘A) = Cl induct‘C‘P - i‘A
Доказательство.
F . *274-13 . э F : Q = P. э . P\c [ (Cis induct - i‘A) = (5Л (1)
F . *274-25 .oF:P6(D.e = P.D. (2)
F . *274-17 .oF:Pca).e = P.o. С‘(2Л = Cl induct‘C‘P - l‘A (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
214 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*274-27. F : аеКо . э . Cl induct‘а е No . Cl induct‘а - с‘АеКо
Доказательство.
I- . *263-101. э I-: Нр . э . (gP). Р е со . а = СР.
[*274-26] э . (дМ). М е со . Cl induct‘а - i‘A = С‘М.
[*263-101] э . Clinduct‘a-с‘АеКо . (1)
[*123-4] э . Cl induct‘а е No (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Следующие предложения составляют доказательство того, что
Ре (а . э . Рл ет] (*274-33).
*274-3. F : Ре Ser . Рл (5. хЕр'<Р“(а U р). э . а Рл (р U i‘x) . (Р U с‘х) Рл Р
Доказательство.
F . *200-53 . э F : Нр .zea. э . р n^‘z = (РU i‘x) n^‘z (1)
F . *200-5 . z> F : Нр . z е ct - р . z>. z с a - (Р U i‘x) (2)
F . (1). (2). *274-12 . э F : Hp . э . a Рл (p и i‘x) (3)
F . *200-5 . *170-16 . э F : Hp . э . (P U i‘x) Рл p (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*274-31. F: P e Ser . ~ E ! B'P. z>. Рл e Ser П comp
Доказательство.
F . *274-1. *120-71. dF : aPn p . э . a U pe Cis induct - i‘A (1)
F . ()1. *274-11. э F : Hp . a Рл p . э . E ! max/(a U P).
[*93-103] э . g! ^max/>‘(a U P).
[*205-67] 2>. а! p‘X“(a U ₽).
[*274-3] э. a/>,2 ₽ (2)
F . (2). *274-18 . э F . Prop
*274-32. F : P e Ser П б“К0 . ~ E ! B‘P. э . Рц e r]
Доказательство.
F . *274-31. э F : Hp . э . Рл eSerO comp (1)
F . *274-196 . э F : Hp . э . D‘Pn = О‘РЛ (2)
F . *274-27-17. э F : Hp . э . С‘РЛ e No (3)
F . (1). (2). (3). *273-1. э F . Prop
*274-33. F:Peco.z>.Pner| [*274-32. *263-101-11-22]
Это предложение является основным предложением настоящего пара-
графа.
*274-34. F : а е Ко . э . т] П £?\С1 induct‘a - i‘A)
Доказательство.
F . *263-101. э F : Нр . э . (gP). Р е со . СР = a .
[*274-33-17] э . (дМ). Мех\ . C‘M = Cl induct‘a - i‘A : э F . Prop
Следующие предложения касаются экзистенциональных теорем для т|.
Все они следуют из *274-33.
*274-4. F : Ре со . Т = i‘P smor {Pic [ (Cis induct - i‘A)). э . Т;РЛ ет] П £*‘С‘Р
Доказательство.
F . *274-26-17. э F : Нр . э . ОТ = С‘РЛ (1)
F . (1). *151-11-131. э F : Нр . э . ЛРл smor Рл . СТ’РЛ = СР.
[*274-33 . *273-41] э . ЛРл е т]. СТ?РЛ = СР: э F . Prop
Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
215
*274-41. h : а! со ГП‘Р . = . з! т] ГП‘Р
Доказательство.
I-. *274-4 . э F : Q е о) A f Р. э . (3/?). R е т]. C'R = C'Q .
[*64-24] э . а! т] A t'Р
I-. *273-11. э F : R е т] А ГР. э . (aQ). Q е со . C'Q = C'R.
[*64-24] э . а! (О Г) t'Р
F . (1). (2). э F . Prop
*274-42. НаеКо-э-а^П^'а [*274-4-26. *263-17. *250-6. *263-101]
*274-43. Н. Ко = С“Л [*273-1. *274-42]
*274-44. F : а! Ко Пг‘а. =. а! Л п,оо‘а [*263-131. *274-41]
*274-45. (-:а!К0(л). = .а!лПГн‘х [*263-13. *274-41]
*274-46. F: Infill ах (х). = . а! л П?3‘х [*263-132 . *274-41]
(1)
(2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
216
* 275. Непрерывные серии
Краткое содержание *275.
Определением непрерывности, данным в этом параграфе, мы обязаны
Кантору. Отличное и неэквивалентное определение было дано Дедекиндом:
серия, которая является непрерывной в Канторовом смысле, является так-
же непрерывной в Дедекиндовом смысле, однако обратное неверно. Канто-
рово определение имеет то преимущество (среди других), что две серии, ко-
торые являются непрерывными в его смысле, ординально подобны, что не
является необходимым в случае с сериями, которые непрерывны в смысле
Дедекинда. Дедекиндово определение “непрерывных серий” есть, на нашем
языке, “серии, которые компактны и Дедекиндовы”. Определение Кантора
(после определенного количества упрощений) есть “серии, которые являют-
ся Дедекиндовыми и содержат Ко в качестве срединного класса”. В случае
вещественных чисел рациональные числа представляют собой срединный
класс такого вида.
Эквивалентным определением к приведенному выше есть то, что непре-
рывная серия представляет собой серию, чья обратная область является
производной от содержащейся в ней рациональной серии (*275-13).
Следуя Кантору, мы будем использовать 0 для обозначения класса
непрерывных серий.
В том, что следует далее, мы сначала доказываем то, что серия сег-
ментов рациональной серии есть непрерывная серия, т.е.
* 275-21. НРец.э.^РеО
Содержащийся Ко представляет собой Рассматриваемое предло-
жение следует сразу же из *271-31. О его важности см. замечания к *275-21
ниже.
Из этого предложения следует, что если ц существует в пределах ка-
кого-либо типа, то 0 существует в пределах следующего типа (*275-22),
откуда существование 0 в пределах достаточно высоких типов следует из
аксиомы бесконечности (*275-25).
Для доказательства того, что любые две непрерывные серии подобны,,
мы используем *271-39. На основании определения, если Р и Q являются
непрерывными, то они содержат соответственно два срединных класса а и
р таких, что Р [ а и 2 [ Р являются рациональными сериями. Следователь-
но, на основании *273-4, Р С a smor Q [ (5, и поэтому Р smor Q, на основании
*271-39. Также очевидно, что Р е 0 . Р smor Q . э . Q е 0. Следовательно,
*275-32. F : Ре0 . э . 0 = Nr‘P
и
* 275-33. F.OeNR
*275-01. 0 = SernDednmed“Ko Df
*275-1. F : Р е 0 . = . Р е Ser П Ded . я! Ко П £КёЗ‘Р [(*275-01)]
*275-11. F P e 0 . = : Pe Ser П Ded : (ga). a e Ko . S/a = СГР. a c C‘P
[*275-1. *271-2]
Principia Mathematica III
275. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
217
*27512. I-:: Рев . =:. PeSer ПDed (да): аеК0 :
хРу. . д! а П (х-у): а с С'Р [*275-1. *271-1]
*275-13. F :. Р е 0 . г : Р е Ser П Ded: (дР).Я GP.Я eq . бр'С'Я = Q'P
Доказательство.
I- . *273-1. *271-2. э
F : PeSer D Ded .RclP . Я eq. 6р‘С‘Я = Q‘P. э . C'R eKo • С'ЯетёЗ'Р.
[*275-1] э.РеО (1)
I-. *271-16 . э F : a med P. 0 = а 0 D'P D (ГР. э. 0 med P. (2)
*271-15 э.Р[0есотр (3)
I-. *123-17. э F: Hp (2). P e Ser. а e Ko П Cl'C'P. z>. 0 e Ko П Cl'C'P (4)
F. *271-1. эF : 0med P. э. P“0 = D'P.P“0 = d'P (5)
F . (5). *37-41. (2). э F : Hp (2). э . D‘(P [ 0) = 0. d‘(P [ 0) = 0 (6)
F . (3). (4). (6). *273-1. э F : Hp (4). э. P [ 0 e q (7)
F . (2). *271-2 . э F : Hp (4). э . 6P‘C‘(P [ 0) = d'P (8)
F . (7). (8). *275-1 .z>F;Pe0.z>.(g0).P[0eq. 6P‘C'(P [ 0) = d'P (9)
F . (1). (9). э F . Prop
*275-14. F.0 = Cnv“0
Доказательство.
F. *214-14 . *271-11. э F : PeSer D Ded . a eKo Cl meJ'P. = .
PeSer DDed. aeKo DтёЗ'Р (1)
F . (1). *275-1.oF.Prop
*275-2. F : Peq . э . g'PeSer П Ded. “C'Pe Ko .7*“С‘РетёЗ‘$‘Р
Доказательство.
F. *214-33. э 1-: Нр . э . ^Р е Ser A Ded (1)
F. *204-35. э I-: Нр . э C'P.
[*273-1. *123-321] z>. 7* “C'P еК0 (2)
F . *271-31. *273-1 . z> F : Нр. z> .^“C'Pemed'tj'P (3)
F.(1). (2). (3).э 1-. Prop
*275-21. I-: Рец . э . ^‘PeO [*275-2-1]
Это предложение имеет большое значение, особенно в теории веществен-
ных чисел. Мы определим вещественные числа как сегменты серий рацио-
нальных чисел для того, чтобы быть уверенными в их существовании. Та-
ким образом, если Р представляет собой серию рациональных чисел, то <;‘Р,
которая может быть взята как серия вещественных чисел, является непре-
рывной. Если Р — серия рациональных правильных дробей, исключая О,
то ^Р есть серия вещественных правильных дробей вместе с 0 и 1: эта
серия является непрерывной в силу указанного выше предложения.
Приведенное выше предложение является также полезным тем, что поз-
воляет нам вывести существование 0 из существования ц и, следовательно,
из существования Ко и, следовательно, из аксиомы бесконечности. Тем не
менее требуется повышение типа для экзистенциональных теорем, которые
даны в следующих предложениях.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
218 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*275-22. h : 3! т] П Гоо‘а . э . 3! 0 П Г11 ‘а
Доказательство.
h . *64-55 . э F : 3! г] П fa/a . э . (3Р). Р е т|. С'Р с /о‘а.
[*63-371] э . (3Р). Рет]. C'Pet'a .
[*275-21] э.(з0. бет].С‘бсРа.
[*64-57] э . з! 0 CU11 ‘х: э F . Prop
* 275-23. I-: 3! Ко ПРа . э . 3! 0 П?1 ‘а [*274-44 . *275-22]
* 275-24. I-: з! Ко (х). э . з! 0 П t22'x [*275-23 . *64-31-312 . (*65-02)]
* 275-25. F : Infin ax (х). э . 3! 0 П t^'x
Доказательство.
h . *123-37 . э I-: Нр . э . 3! Ко (?‘х).
[*275-24] э.зЮпг^х.
[*64-312] э . з! 0 П t^'x: э h . Prop
* 275-3. I-: Р, Q е 0 . э . Р smor Q
Доказательство.
I-. *275-13 . э F Нр . э : Р, Q е Ser О Ded :
(3Р, 5). R. 5 ег]. R cz'P. 5 с Q . C'R е ine3‘P. CS е тёЭ‘<2 •
[*204-41] э : Р, QeSer П Ded : (3 а, Р). a med Р. Р med Q . Р [ а, Q [ (3 с Т|:
[*273-4] э : Р, Q с Ser П Ded : (3 а, Р). а med Р . Р med Q. (Р [ а) smor ((ИР):
[*271-39] э : Р smor Q э F . Prop
*275-31. I- :Pe0. Psmor Q. э. QeQ
Доказательство.
h . *271-4 . э F : Psmor Q . 3! Ко О med‘P. э . 3! Ко A med‘2 (1)
h . *204-21. *214-6 . э h : Р е Ser О Ded . Р smor Q. э . Q е Ser О Ded (2)
h. (1). (2) .*275-1. dF. Prop
*275-32. h : P g 0 . э . 0 = Nr‘P [*275-3-31]
*275-33. F . 0 e NR [*275-32 . *256-54]
Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
219
*276. О серии бесконечных подклассов серии
Краткое содержание *276.
Предмет настоящего параграфа связан с 9 точно так же, как предмет
*274 связан с т]. В этом параграфе мы будем рассматривать упорядочива-
ние всех бесконечных подклассов серии (вместе с А) на основании прин-
ципа первых разностей, т.е. отношение
Рс1 t (- Cis induct U i‘A),
где P — заданная серия. Это отношение мы будем называть Pq. Оно со-
стоит из Pci с полем, ограниченным к термам, не принадлежащим С‘РП
(*276-12). Оно будет (при определенном предположении) содержать часть,
подобную Рл, а именно Pci со своим полем, ограниченным к дополнени-
ям финитных подклассов С‘Р. Следовательно, если Ре со, то Pg будет со-
держать элемент ц, чье поле составляется из дополнений элементов С‘РП
(*276-2). Поле указанного элемента ц будет срединным классом Pg. Мы най-
дем также, что he Ser, если PeQ (*276-14), и что Pg е Ded, если PeQ infin
(*276-4). Следовательно,
*276-41. h : Ресо . э . Р0 е9
Также, поскольку Ре со . э . СГС‘Ре2к° и поскольку С‘РпеКо, то мы бу-
дем иметь C‘Pge2s° (*276-42). Этот результат является важным, так как
он дает предложение
*276-43. Ь.С“0 = 2К°
Доказательство того, что Pg является Дедекиндовой, если Р бесконеч-
ная вполне упорядоченная серия, в некоторой степени сложнее. Мы продол-
жаем, доказывая, что каждый подкласс С‘Pg обладает нижней границей
или минимумом. В этом доказательстве мы замечаем, во-первых, что
ёР= В‘Р0 . А = В‘Рд (*276-121).
Следовательно, ёРявляется нижней границей нулевого класса, а А есть
минимум l‘A; также, если к —какой-либо экзистенциональный подкласс
С‘Pg, отличный от l‘A, то мы имеем
limin (Pg)‘к = limin (Pg)‘(к - l‘A) .
Следовательно, если мы можем доказать
к с С‘Р0 .э!к.А~ек.эк.Е! limin (Рд)‘к, (А)
то мы будем иметь Cl ех‘С‘Рд с CTlimin (Рд),
откуда, на основании *214-12-14, мы будем иметь Pg е Ded. Таким об-
разом, мы должны доказать (А), т.е. к с D‘Pg . g! к. эк . Е ! limin (Рд)‘к,
что является *276-39. Для доказательства этого предложения рассмотрим
minp‘(5‘K -р‘к). Он существует, за исключением случая, когда ке 1; это пер-
вый терм, который принадлежит некоторым элементам к и не принадле-
жит остальным. Эти элементы к, которым он принадлежит, предшествуют
(в порядке Pg) тем, которым он не принадлежит. Назовем те элементы к,
которым он принадлежит, Гр‘к, так что
Тр = кХ. {к - кП еЧптрЧ^к- р‘к)}.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
220
Положим также Рш‘к = minp‘(s‘K-р‘к) Dft,
так что мы можем положить
Тр‘к = кА Рт‘к Dft.
Тогда, если мы положим А = кХ(Х с к. к / к), то 7}> и А удовлетворяют ги-
потезе *258, и мы имеем
А(7>, K)eQ.
Серия А(Тр, к) переходит к все меньшим и меньшим подклассам к, из
которых какой-нибудь один, скажем к, состоит из термов, которые появля-
ются ранее (в порядке, установленным Ре), чем любые другие подклассы к,
не принадлежащие X. На основании *258-231, серия А (Гр, к) обладает кон-
цом, а именно
р\ТР *АУК.
Если он не нулевой, то он должен состоять из единственного терма, ко-
торый будет минимумом к (*27б-33). Однако если он нулевой, то мы про-
должаем следующим образом. Положим
рн‘к = 5‘у {(gX). Xе (Тр *А)‘к. у = р‘Х п"?‘Рш‘Х} Dft.
Тогда Рц‘к будет нижней границей к.
Во-первых, мы легко доказываем, что так как р‘(Тр *А)‘к = А, если
Хе(7р *А)‘к- l‘A,
то РШ‘Х и 7р‘Х оба существуют (*276-341). Следовательно, каждый эле-
мент к обладает предшественниками в к, и к не имеет минимума. Во-вто-
рых, мы показываем, что
X {А (Тр, к)} и . а! и. э . (РШ‘Х) Р (Рт^) (*276-34-342),
и что аеХ. э . р‘ХП^‘РШ‘Х = а П^‘РШ‘Х (*276-353).
Следовательно, мы находим, что
X {А (Тр, к)) ц. ае р. э . р‘Х п7*‘Рш‘Х = n7*‘Pm‘X = а П^‘РШ‘Х.
э . р‘К гГ?‘Рт‘Ъ.с .
(р‘ц п'?‘Рт‘ц.
откуда следует, что
Хе(Тр *А)‘к- l‘A . э . р‘Хп^‘Рш‘Х = Ри‘кП^‘Рш‘Х,
откуда, на основании того, что утверждалось выше,
X е (Тр *А)‘к. А е X. э . а П?‘Pm‘X = Pti ‘к П‘Рш‘X (*276-354).
С другой стороны, если аек, то произведением всех элементов (Тр *А)‘к,
которым принадлежит а, является элемент (Тр*А)‘к, которому принадле-
жит а, однако, если мы обозначаем это произведение X, то Рш4Х~еа (по-
тому что, если Рш‘Хеа, то аеТр‘Х, что противоречит определению X). Сле-
довательно, мы имеем
а е к. э . (Pti ‘к) Pq а (*276-36).
Остается доказать только
(Рц‘к) Pq р. э . (а а). а е к. а Р0 ₽ (*276-37).
На основании указанной гипотезы и определения Р0‘к, мы имеем
(az,X). Хе(Тр *А)‘к. z€p‘Xn7*‘Pm‘X- р. Рц‘кпА = Р n"?‘z.
Поскольку это затрагивает Е!РШ‘Х, то затрагивается Х/А, следовательно,
на основании того, что было изложено выше, затрагивается
(az,X,а). Хе(Тр *А)‘к. аеХ. zea П^‘РШ‘Х- р. Ptl‘K n"?‘z = Р n7*‘z.
Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
221
Следовательно, мы получаем
Р с Л1‘к П^‘РШ‘Х,
и Рн‘к П^‘РШ‘Х = a n"?‘Pw‘X,
откуда pn^‘zcA.
Следовательно, на основании *170-11, мы имеем аР0р.
Это завершает доказательство того, что Pti‘K = tl (Р0)‘к (*276-38). Следо-
вательно, объединяя два случая, мы находим, что к обладает минимумом,
если д! р\Тр *А)‘к, и нижней границей, если ~ а! р'(Тр *А)‘к. Следователь-
но, Е! limin(P0)‘K в каждом из двух случаев (*276-39).
Этим заканчивается доказательство того, что Ре е Ded, если Р е Q infin.
*276-01. PQ = Рс1 [ (- Cis induct U i‘A) Df
*276-02. A = dp (P c a . p / a) Dft [*276]
*276-03. Pm'\ = min/>‘(s‘X“ P^) Dft [*276]
*276-04. ТР = Хр{ц = ХПегРАП‘Х} Dft [*276]
*276-05. Рн‘к = s‘y {(gX). Xe(7> *A)‘k - l‘A . у = p‘X n"?‘Pm‘X} Dft [*276]
*276-1. h : a P0 p. = . a, p e (C1‘C‘P - Cis induct) U i‘A . g! a - p - P“(P - a)
[*170-1. (*276-01)]
*276-11. h : PeQ . э a Pg p . = : a, Ре(СГС‘Р- Cis induct) U i‘A :
(Яг). zea- p. a n>z = pn7*‘z [*251-35. (*276-01)]
*276-12. h : C‘P ~ e 1. z>. Pe = Pci [ (-C‘Pn) [*274-17. *276-1. *170-1]
*276-121. h : C'P ~ e Cis induct. z>.
B'Pe = A. B'Pq = C'P. C'Pe = (CVC'P - Cis induct) U i‘A
[*170-31-32-38. (*276-01)]
*276-122. l-:C‘P~€OUl.z>.C‘PnuC‘P0 = Cl‘C‘P [*276-121. *274-17]
*276-123. I-: C'P ~ e Cis induct. =. я! P0 [*276-1-121]
*276-13. b : C'P ~ e 0 U 1. э. Nc‘C'P^+c Nc‘C‘P0 = 2Nc‘c />
[*276-122. *116-72]
*276-14. F : PeQ. э . Pq eSer [*251-36. (*276-01)]
*276-2. h : Peco . э . (C‘P -)“(C1 induct 'C'P - i‘A) eKg О med‘Pg
Доказательство.
h . *24-492 . dF. (C'P -)“(C1 induct 'C'P - l‘A) sm (Cl induct 'C'P - l‘A) (1)
h . (1). *274-27. э h : Hp . э . (C'P -)“(C1 induct‘C'P - l‘A) e Ko (2)
h . *200-361. *263-47 . э
h : Hp .aPgP.zea-p.a (V?'z = P . у = (a Ci"?*‘z) U ^‘minp^a П *P'z).
э . minp‘(a П *P'z) e a - у . a n"?‘minp‘(a П ?‘z) = у n"?‘minp‘(a П *P'z).
zey - p . у C\~?'z = a n"?‘z = P (V?'z. у ~ e Cis induct.
[*276-11] Э . a Pg у . у Pg p (3)
h . *263-47 . z> h : Hp (3). э . C'P -ye Cis induct (4)
h.(3). (4). *27б-11.э
h : Hp . a Pg P . э . (gy). C'P -ye Cis induct. a Pg у . у Pg P (5)
h . *120-71. Transp . э
h : Hp . a e Cl induct‘C‘P - l‘A . э . (C'P Cis induct (6)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
222 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
к . (6). *276-121. э к:Нр.э. (С'Р -)“(С1 induct‘C‘P - i‘A) с C'Pq (7)
к.(2). (5). *271-1. (7). э к. Prop
Следующие предложения составляют доказательство
PeQinfin. э. Pq eDed (*276-4).
*276-3. к :.E! Pm‘X.э •.аеТр'Х .= . aeX. Pm‘Xea: Pm‘X = minp‘(5‘X- p‘X)
[(*276-03-04)]
*276-301. к : P e Q А с Cl'C'P - i‘A A ~ e 0 U 1. э. E ! Pm‘X. E ! T/X
Доказательство.
к. *40-12-13. э к :. p'\ = s'\. э: a, Pel. эад . a = 0 (1)
к . (1). Transp. *40-23 .эк: Hp. э . g! s‘k - р'к.
[*250-121] э. E! minp‘(s‘K - р'к): эк. Prop
*276-302. к:Е!Рт‘Х.э.Рт‘ХерТр‘Х-р‘А [*276-3]
*276-303. к . 7> GA . (7»po gA
Доказательство.
к . *276-3. эНрТ/А.э.рсХ (1)
к. *276-302. эк:р?>Х.э.р#Х (2)
к. (1). (2). *201-18. эк. Prop
*276-304. к: р (А (Тр, к)[ X. э . р с X. р'Х с р'р. р / X. р'У. / р‘р
[*276-302-303]
*276-305. к. А (Тр, к) е Q [*258-201. *276-303]
*276-31. к:Ре Q.g! X Ас С1‘С‘Р- i‘A А ~ еD‘7> . э.
Хе 1. i‘X = p‘X = t‘X [*276-301. Transp]
*276-32. к :. PeQ А~еОU 1 AcD‘P0 . э :
Рт‘Хер‘Тр‘Х-р‘Х:аеХ. эа . аП"?‘Рт‘Х = p‘XCi~?‘Pm‘X
Доказательство.
к. *276-301. э к: Нр. э. Е ! 7>‘Х. Е ! Рт‘Х. (1)
[*276-302] э.Рт‘Хер‘ТР‘Х-р‘Х (2)
к . (1). *276-3. э к : Нр. э .'?‘Рт‘Х П 5‘Х =^‘Рт‘Х П р‘Х (3)
к . (2). (3). э к . Prop
*276-321. к: Нр *276-32 . а е ?>‘Х. р е X - 7>‘Х. э. а Р0 Р
Доказательство.
к . *276-3-32. э к : Нр. э. Pm‘Xea - Р. а П^‘Рт‘Х = р n^TVX.
[*276-11] э. аР0 Р: эк . Prop
*276-322. к : Нр *276-32 . ре (Гр *А)‘Х .аер.реХ-р.э.аР0р
Доказательство.
к . *40-23. э к :. р с (ТР *АУк .д!р:рер.аер.реХ-р. эи>а,в. а Р0 Р: э :
а е р'р. р е X р'р. эа,р . а Р0 р (1)
к. (1). *276-321. *258-241 .эк. Prop
*276-33. к : Нр *276-32. g! р'(ТР *А)‘Х. э . l‘p‘(TP *А) = min (Р0)‘Х
Доказательство.
к . *276-31. *258-231. э к: Нр. э. р'(ТР *АУк е 1 (1)
к. (1). *276-332. эк:Нр.аеХ-р‘(Тр*А)‘Х.э.{Г(Гр*А)‘Х}Р0а (2)
к . (1). (2). э к . Prop
*276-331. к : Нр *276-32 . g! р'(ТР *А)‘Х. э . Е ! min (Р0)‘Х [*276-33]
Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 223
*276-34. к: Нр *276-32 . р ТР к. р е D‘TP . э. (Рт‘к) Р (Ртср)
Доказательство.
к. *276-3. эк:Нр.э. Рт'\ = шт/>‘($‘к-р‘к) (1)
к . *276-3-304. э к : Нр. э . Рт‘р е (s‘X - р‘к) (2)
к . *276-302 . э к:Нр.э. Рт‘кр‘р. Рт‘р ~ €р‘р.
[*13-12] э.Рт‘к#Рт‘р
к . (1). (2). (3). э к. Prop
*276-341. к :. Нр *276-32 . р‘(ТР *А)‘к = А. э:
Рт“(ТР *А)‘кс Р“Рт“{ТР *AYK. Рт“(ТР *А)‘к~ е Cis induct:
pe (ТР *А)‘- i‘A . Эц . Е ! Тр'р. Е ! Рт‘р
Доказательство.
к . *258-231. *276-301. э
к:. Нр. э: ре(7> *А)‘к - i‘p‘(TP *А)‘к. э . Е ! 7>‘р. Е ! Рт‘р:
[*276-34. Нр] э : ре(Т/> *А)‘к. Е ! Рт‘р. э. (Рт‘р) Р(Рт‘7/>‘р) (1)
к . (1). *261-26. Transp .эк. Prop
*276-342. к: Нр *276-341. к {А (ТР, к)} р. Е ! Рт‘р. э. (Рт‘к) Р(Рт‘р)
Доказательство.
к. *276-3. э
к :: Нр : р с (ТР *А)‘к. g! р . g! р‘р: э :. Pm‘p‘p е s‘p‘p - р'р'Р:.
[*40-1-11] э :. (да). а е р'р. Рт‘р‘Р е а: (да). а е р‘р . Рт‘р'р ~ е а:.
[*40-1. *11-26] э :. кер . эх: (да). Рт‘р'реа: (да). аек. Рт‘р‘р ~еа:.
[*40-1-11] э :. кер. эх . Рт‘р‘р (5‘к-р‘к) (1)
к . (1). *276-302 . э к :. Нр (1) . э :
Тр'к е р . к е р . эх . Рт‘к е р‘2>‘к. Рт‘р‘р ~ ер‘7>‘к:
[*13-12] э:Тр‘кер.кер.эх.Рт‘к/Рт‘р‘р (2)
к. (1). (2). *276-3. э к : Нр (1). Тр‘к е р. ке р . э . (Рт‘к) Р (Рт‘р‘р) (3)
к . (3). *276-34. *258-241 .эк. Prop
*276-35. к:. Р е 12. к с D‘Pe . д! к. р'(ТР *А)‘к = А. э:
ке(Тр *А)‘к- i‘A. э . Pm‘ke p‘77>‘k Ci~?‘Pm‘7'/>‘k
Доказательство.
к . *276-341. э к : Нр. к е (ТР *А)‘к - i‘A . э . Е ! 7>‘к.
[*276-302-34] э. Pm‘k е p‘fP‘X ПрРт'ТРЪ э к . Prop
*276-351. к : Нр *276-35 . э. Рт“(7> *А)‘к с Р„‘к
Доказательство.
к. *276-3. эк.~Е!Рт‘А (1)
к . *276-35 . (*276-05). э к : Нр. ке(7> *А)‘к- i‘A . э. Pm‘kePtl‘K (2)
к . (1). (2). э к . Prop
*276-352. к : Нр *276-35 . э . Pti‘K ~ е Cis induct [*276-351-341]
*276-353. к : Нр *276-35 . к е (ТР *А)‘к. к (А (ТР, к)) ц. а е ц. э.
р‘к n”^‘Pm‘k = р‘р Г}~^‘Рт'\ = а (~]~Р'Рт'к
Доказательство.
к.*276-304. эННр.э.аек (1)
к. *276-35-31. Transp. э к : Нр. э . Е ! Pm‘k. к ~ е 0 U 1 (2)
к. (1). (2). *276-32. эк:Нр.э.р‘кГ)‘?‘Рт‘к = аГ)'?‘Рт‘к (3)
к . (3). э к:. Нр. э: Рер. эр . аГ)"?‘Рт‘к = р П^‘Рт‘к (4)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
224 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
h . (4). э h : Нр . э. а А^‘РШ‘Х = n"?‘Pm‘X (5)
F . (3). (5). э F . Prop
*276-354. h : Нр *276-35 Ле(ТР *А)‘к. а е X. э .
Р0‘к Ci^‘Pm‘X = р‘Х = а А?‘РШ‘Х
Доказательство.
h . *276-353 . э h : Нр . g! р . X {А (ТР, к)} р . э .
п7*‘Рш‘Х = р‘Х П>РШ‘Х.
[*22-47] э . (р‘ц п"?‘Рш4ц) с р‘Х п"?4Рш‘Х (1)
h . *276-353 . э h: Нр . р {А (Тр, к)} X. э . = р‘Х п"?‘Рш4ц
[*276-342] cp‘Xn>Pm‘X (2)
h . (1). (2). *276-305 . э
h : Нр . це(Тр *А)‘к - l‘A . э . (р‘ц п"?‘Рш‘ц) П?‘РШ‘Х ср‘Х п"?‘Рш‘Х (3)
h . (3). *276-32 . (*276-05). э h. Prop
*276-355. h : Нр *276-35 . аек. э . (дХ). Хе(Тр *А)‘к. аеХ. Рт‘Х~ еа
Доказательство.
h . *40-1. э hНр . э : (дХ). Хе (Тр *А)‘к. а ~ еХ:
[*276-305] э : (gX): X е (Тр *А)‘к. а ~ е X: ц {А (Тр, к)} X. эх . а е ц (1)
h . *40-1. э h ц {А (Тр, к)} X. эх . а е ц: X = р‘А(Тр,к^‘Х: э . а е X (2)
h . (1). (2). Transp . э
h : Нр . э . (gX, ц). ц, Xе (Тр *А)‘к . X = Тр‘ц. а е ц. а ~ еX.
[*276-3] э . (др). це(Тр *А)‘к. аец . Рт‘ц~ еа: э h . Prop
*276-36. h : Нр *276-35 . ае к. э . (Pti‘K) Pq а
Доказательство.
h. *276-351-355-354. э
h : Нр . э . (дХ). Хе(Тр *А)‘к. Рш‘ХеР0‘к - а . Р0‘к Ci7*‘Pw‘X = а п"?‘Рш‘Х.
[*276-352] э . (Л1‘к) Pq а : э h . Prop
*276-361. h : Нр *276-35. э. к с ^‘Ри‘к [*276-36]
*276-37. h : Нр *276-35. (Рй‘к)Р0 р. э . (да). а е к. а Р0 Р
Доказательство.
h . *276-11. э h : Нр. э . (gz). z е Р0‘к - |3. Рц‘к o’?1: = р П*?‘г.
[(*276-05)] э . (gz, к). к е (ТР *А)‘к. z ер1Х Г)7*‘Рт‘к - р .
Ptl‘K n?‘z = Р n?‘z.
[*276-354] э . (gz,X, а). Хе(Тр *А)‘к .аеХ.геа-р.
"?‘z c^‘Pm‘X. а П>РШ‘Х = р П?‘Рт‘Х.
[Fact. *276-304] э . (gz, а).аек.геа-р.р П?‘г с а.
[*170-11] э . (да). аек . аРдР : э h . Prop
*276-38. h:PeQ.KcD‘Pe-31 к- Р\Тр *А)‘к = А . э . Ри‘к = tl (Ре)‘к
[*276-361-37]
*276-381. h : Р е Q. к с D‘Pe • Я! к • Р\ТР *А)‘к = А . э . Е ! tl (Р0)‘к [*276-38]
*276-39. h : Р е Q. к с D‘P0 . д! к. э . Е ! limin (Р0)‘к [*276-331-381]
В следующем предложении единственная причина того, почему Р долж-
на быть бесконечной, состоит в том, чтобы Р0 могло существовать; так как
“Ded” было так определено, чтобы исключить А.
Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ
225
* 276-4. h : PeQinfin . э . Pq еDed
Доказательство.
h . *276-121. *207-3. *205-18 . э h : Нр . э . limin/A = С‘Р. limin/i/A = А (1)
h . *206-7 . э h : Нр . к с С‘Р$ . А е к . к / l‘A . э .
ргё£(Р0)‘к = ргё£(Ре)‘(к-1‘А) (2)
И . *205-192. э И: Нр (2). э. min (Р0)‘к = min (Ре)‘(к - i‘A) (3)
h . (2). (3). эк: Нр (2). э . limin (Ре)‘к = limin (Ре)‘(к - i‘A).
[*276-39] э. Е! limin (Ре)‘к (4)
h . (1). (4). *276-39 . э hНр. э : к с С‘Ре . эк . Е 1 limin (Р0)‘к:
[*214-12-14] э : Ре е Ded э F . Prop
* 276-41. НРесо.э.РееО [*276-2-4-14. *275-1]
* 276-42. И : Рею. э. C'Pe е2к°
Доказательство.
h . *276-13 . *274-27 . э h : Нр. э . Nc‘C‘P0 +СКО = 2N° (1)
h . *276-2 . э h : Нр . э . (ар). Nc‘C‘P0 = ц +СК0 .
[*123-421] э. Nc‘C‘P0 +CNO = Nc‘C‘P0 (2)
h . (1) . (2). э h . Prop
*276 43. h.C“9 = 2N°
Доказательство.
h . *276-42-41. э h : a! co . э . a! C“0 П 2So.
[*100-42 . *275-33 . *152-71] э . C“9 = 2S° (1)
h . *275-11. *263-101. dF:cd = A.d.0 = A (2)
h . *263-101. *116-204 . э h : со = A . э . 2K° = A (3)
F . (2). (3). э h : со = A . э . C“9 = 2n° (4)
h . (1) . (4). э h . Prop
Доказанные в этом параграфе предложения могут быть до некоторой
степени обобщены. Также мы можем доказать
h . 9 = (со ехрг со) 4-1.
С этой целью сначала мы доказываем, что если Р, Q являются вполне
упорядоченными сериями, то Р@ является Дедекиндовой (за исключением
того, что если ~Е!В‘Р, то Р@ не обладает последним термом); т.е. мы
доказываем
Р, QeQ. э : k с С‘Ре . а! X. . Е ! limin (Ре)‘к.
С этой целью, допуская к с ёЮ . а • К положим
6m‘k = min^‘y(5‘k‘y ~e9U 1),
= к П М [M'Qm'X = min/FiCQz/X},
А - к|1(|л < к.ц / к),
(Р2)‘Х=s'N ((ар). и 6 (Тр *А)‘К. n = (PV) •
Затем мы можем показать поэтапно, аналогично тому, что было в доказа-
тельстве Р0 е Ded, что мы имеем
а ! р\Тр *А)‘Х. э . Vp'tTp *АУк = min (Ре)‘Х,
! р\Тр *А)‘Х. э . (Р0‘Х = ргес (Ре)‘к,
откуда в каждом из случаев Е ! limin (Pe)‘k.
Следовательно, мы имеем
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
226
h:P,GeQ.E!B‘P.D.PeEDed,
HP, (2eQ.~E!B‘P.Z~eC'PQ . э . Ре-к ZeDed.
Поэтому мы имеем h . (со expr со) + i с Ded .
Сейчас мы должны доказать
0 € (со expr со) + 1 . э . 3! Ко A me3‘(Z
С этой целью будет достаточно доказать, что
Р е Q. э . з! Ко П med‘(Pp).
Рассматриваемый Ко будет классом тех элементов С\Рр), в которых от
определенной точки и далее коррелят каждого элемента С'Р есть В'Р. Мы
имеем
М (Рр) N . = . Л/, N е (С‘Р Т С‘Р)Д 'СР :
(Rx).xeClP.M \~P‘x = N \~Р‘х .(M'x) P(N‘x).
Рассмотрим сейчас отношение
L = M [А‘лйу1Р]‘хи(1‘В‘Р)Т Wi‘x,
где (M'Pi'x) Ру.
Тогда М (Рр) L. L (Рр) N. Также L имеет коррелятом В'Р для каждого
терма после Р\'х. Следовательно, оно детерминируется коррелятами тер-
мов вплоть до Р\ 'х и включая Р\ 'х. Таким образом, полагая z = Pi ‘х, мы
должны рассмотреть класс отношений
H = X{(az).zea‘P.X6 1 —»Cis. СГХ =^‘A‘z. D‘X с С'Р).
Если Хец, то XU(7‘B‘P)f ^‘maxp'Q'X является элементом С‘Рр. Поэтому
мы должны показать лишь то, что цеКо.
Для того чтобы показать, что ре Ко, мы замечаем, что если Хер, то
D‘X и СГХ оба являются индуктивными классами; следовательно, каждый
из них обладает максимумом. Пусть X и X' будут двумя элементами ц, и
положим
х = maxp‘D‘X. х7 = maxp‘D‘X'. у = maxp‘G‘X. у' = maxp‘G‘X'.
Если х = |Л/> и у = vp, то положим х+ру = (ц +cv) р. Расположим X перед X', ес-
ли (х+ру) Р (хЧру'), или если х+ру = х?+ру' .уРу'. Однако, если х+ру = х'+ру'
и у = у', т.е. если х = х'.у = у', то возьмем непосредственных предшествен-
ников х, у, х!, у' в D‘X, G‘X, D‘X', G‘X' соответственно и применим к ним
те же самые испытания, и т.д., пока мы не придем к отличию. Следуя этим
путем, мы получим упорядочение с помощью последних разностей (в слег-
ка расширенном понимании), и легко показать, что это упорядочение есть
элемент со. Следовательно, цеКо. Следовательно, класс
v = Y {(3*) • X е ц. у = X U (СВ'Р) Т ?‘maxp‘G‘X}
есть Ко, а мы уже показали, что это срединный класс С'Рр. Следовательно,
h : Р е со . э . з! Ко П тёЗ‘(Рр).
Тот же самый класс будет срединным классом Рр -hZ, если Z~eC'Pp. Сле-
довательно,
HPeco.Z~eC‘Pp.o.3!K0G ' (Рр -н Z).
Следовательно, на основании того, что было доказано ранее,
Н Ре со . Z ~ еС‘Рр . э . (Рр-h Z) е 9,
т.е. h . (со expr со) + i = 0.
Principia Mathematica III
ЧАСТЬ VI.
КОЛИЧЕСТВА
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ VI
Цель данной части состоит в том, чтобы объяснить те виды примене-
ния чисел, которые могут быть названы измерением. С этой целью мы
должны, прежде всего, рассмотреть обобщения числа. Те числа, с которы-
ми мы до этого имели дело, были исключительно целыми (кардинальными
или ординальными); соответственно в главе 1 мы рассматриваем положи-
тельные и отрицательные целые числа, пропорции и действительные числа.
(Комплексные числа рассматриваются позднее в геометрии, так как они
не образуют однородную серию.)
В главе 2 мы имеем дело с тем, что может быть названо “видами”
количества: таким образом, например, массы, расстояния в простран-
стве, скорости — каждые из них образуют один вид количества. Мы рас-
сматриваем каждый “вид” количества, как то, что мы можем назвать
“вектор-семейство”, т.е. класс одно-однозначных отношений, все из кото-
рых обладают одной и той же обратной областью и обладают областью,
содержащейся в их обратной области. В случае расстояний в простран-
стве применимость такой точки зрения является очевидной; в случае масс
эта точка зрения становится применимой посредством рассмотрения, на-
пример, одного грамма как + одного грамма, т.е. как отношения массы т
к массе т', когда т превосходит т' на один грамм. То, что обычно на-
зывают просто одним граммом, будет являться массой, которая находится
в отношении плюс один грамм к нулевой массе. Причины рассматривать
количества как векторы будут объяснены в главе 2. Различные виды век-
тор-семейств будут рассмотрены в дальнейшем с объектом для получения
семейств, чьи элементы измеримы либо посредством пропорций, либо по-
средством действительных чисел.
Глава 3 посвящена измерению, т.е. исследованию пропорций, или отно-
шениям, выраженным посредством действительных чисел, между элемента-
ми вектор-семейства. Семейство векторов измеримо, если оно содержит эле-
мент Т (единицу) такой, что любой другой элемент 5 находится к Г в отно-
230
КОЛИЧЕСТВА
шении, которое является либо пропорцией, либо действительным числом.
В дальнейшем будет показано, что определенные типы вектор-семейств из-
меримы в этом смысле, и измерение определено так, что обладает теми
математическими свойствами, которые мы от него ожидаем.
Глава 4 касается циклических семейств векторов, таких как углы или
эллиптические линии. Теория измерения в применении к подобному роду
семейств обладает специальными чертами из-за того обстоятельства, что
любое число полных поворотов может быть добавлено к вектору, не из-
меняя его самого. Таким образом, нет единственной пропорции двух век-
торов, но существует много пропорций, среди которых мы выбираем одну
как главную пропорцию.
Principia Mathematica III
ГЛАВА 1.
ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Краткое содержание главы 1
В настоящей главе мы сначала определяем серию положительных и от-
рицательных целых чисел. Если ц является кардиналом, то соответствую-
щие положительные и отрицательные целые числа являются отношения-
ми +сц и -сц или скорее (+сц) [ (NC induct - l‘A) и (-сц) [ (NC induct - i‘A).
(В дальнейшем будет отмечено, что положительное целое число не следует
путать с соответствующим целыми числам без знака, так как первое из них
является отношением, а второе — классом классов.) Далее мы переходим
к численно-определяемым степеням отношений, т.е. к Rv, где v —индуктив-
ный кардинал. Мы уже определили R2 и Я3, но для определения понятия
пропорции важно определить Rv в общем случае. Если 7? е 1 —» 1 . J?po G J,
то мы будем иметь RV=RV, а если 7?eSer, то мы будем иметь (7?i)v = 7?v.
Однако эти равенства не имеют места в общем случае, и, в частности, ес-
ли Rd и v^O, то RV = R, но RV = A. После параграфа, посвященного вза-
имно простым числам, мы переходим к определению не имеющих знака
пропорций, откуда переходим к умножению и сложению пропорций без зна-
ка, затем —к отрицательным пропорциям, откуда переходим к обобщенно-
му сложению и умножению, которые включают отрицательные пропорции.
(В случае пропорций, пропорции без знака тождественны положительным
пропорциям. Это оказывается возможным, поскольку пропорции без знака,
в отличие от не имеющих знака целых чисел, уже являются отношениями.)
Затем мы переходим к определению положительных и отрицательных ве-
щественных чисел, а также к их сложению и умножению. На каждом этапе
мы доказываем законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутив-
ности и все то, что может показаться необходимым для тех специальных
типов сложения и умножения, которые являются предметом рассмотрения.
232
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Большие трудности в этой главе порождаются экзистенциональными
теоремами и вопросом типов. Затруднения исчезают, если принимается ак-
сиома бесконечности, но, по-видимому, совсем неприемлемо создавать тео-
рию (скажем) 2/3 в зависимости от предположения, что число объектов
во Вселенной не является конечным.
Когда требуется аксиома бесконечности, это всегда явно формулирует-
ся в гипотезе, так что наши предложения так, как они формулируются,
остаются истинными, даже если аксиома бесконечности является ложной.
Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 233
*300. Положительные и отрицательные целые числа
и числовые отношения
Краткое содержание *300.
В этом параграфе мы вводим три определения. Сначала мы определя-
ем “ (/” как отношение, которое имеет место между p,+cv и ц всякий раз,
когда ц и v являются экзистенциональными индуктивными кардиналами
одного и того же типа hv/0, a p,+cv существует в пределах этого типа.
Таким образом, U представляет собой отношение “больше чем”, ограни-
ченное к экзистенциональным индуктивным кардиналам одного и того же
типа. Определение есть:
*300 01. U = (+с1)ро t (NC induct - i‘A) Df
Далее, если ц является индуктивным кардиналом, который существу-
ет в пределах рассматриваемого типа, то и есть соответствующие
положительные и отрицательные целые числа, где обладает смыслом,
определенным в *121. В дальнейшем будет отмечено, что ОС/цц, так что
существует, когда ц существует в пределах рассматриваемого типа. Мы до-
казываем (*300-15), что U является серией и (*300-14) что его поле состо-
ит из всех экзистенциональных индуктивных кардиналов рассматриваемого
типа, его область состоит из всех его полей, исключая 0, а его обратная об-
ласть—из всех его полей, кроме наибольшего (если таковое имеется). Если
имеет место аксиома бесконечности, то C4J состоит из всех индуктивных
кардиналов.
В дальнейшем будет замечено, что U упорядочивает индуктивные кар-
диналы в нисходящем порядке относительно их величин. Причина для вы-
бора именно такого порядка, вместо обратного ему, заключается в том,
что U меньше востребовано в своем применении как серия, чем как отно-
шение, приводящее к функиональным отношениям U^. Как было объяснено
в конце главы 4 части I, есть существенное отличие между функциональны-
ми и сериальными отношениями, а это приводит там, где одно отношение
(или его дериваты) предполагается задействовать в обоих применениях,
к определенному столкновению с соображениями удобства в разрезе того
смыслового аспекта, в котором предполагается брать это отношение. Рас-
сматриваемое как упорядочивающее целые числа в серию, U естественно
определялось бы как упорядочивающее их в восходящем по величине по-
рядке, как это было сделано с “А” в *123. Однако, рассматриваемые как
функциональные отношения, более удобно и более естественно принимать
(скажем) +С1 как исходное отношение, а -с1 —как его обращение. Таким
образом, мы хотим ц U\ v, когда p, = v+cl, т.е. мы желаем U\ 1 v = v +с 1, а
это требует такого определения U, которое было дано выше.
Мы доказываем в этом параграфе (*300-23), что U является вполне упо-
рядоченным и (*300-21-22) либо конечным, либо прогрессией. Мы также
доказываем, что если ц является каким-либо типово не-определенным ин-
дуктивным кардиналом, то ц и ц+с1 будут принадлежать C‘f7, если U
берется в пределах достаточно высокого типа.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
234
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Другие два определения в этом параграфе определяют два класса от-
ношений, которые являются жизненно важными в теории пропорции. Мы
определяем числовые отношения, называемые “Rel num”, как одно-одно-
значные отношения, степени которых содержатся в различии, т.е. мы по-
лагаем
*300 02. Rel num = (1 -> 1) П R (Pot‘Я с R1‘ J) Df
Поэтому мы имеем (*300-3)
h : R е Rel num. = . R e 1 —> 1 . Rpo G J.
Следует помнить, что гипотеза R е (Cis —> 1) U (1 —» Cis). Яро G J играла ве-
личайшую роль в *121 и во всех более поздних построениях, которые за-
висели от *121. Когда оба R и R удовлетворяют этой гипотезе, мы имеем
R е Rel num и наоборот. Мы доказываем (*300-44), что если о является от-
личным от нуля индуктивным кардиналом и Р является серией, то тогда Ро
является числовым отношением так же, как и Ра. Если Р есть вполне упо-
рядоченная серия, не имеющая конца, то finid‘P (т.е. класс отношений Ра)
представляет собой то, что (в главе 2) мы будем называть вектор-семей-
ством: Ра — вектор, который переносит терм на о шагов вдоль серии.
Для того чтобы мы были в состоянии иметь дело с нулем, мы вынужде-
ны рассматривать применение пропорций не только к таким отношениям,
как числовые в данном выше смысле, но также и к отношениям, содер-
жащимся в тождестве, потому что отношение, заключенное в тождестве,
может трактоваться как нулевой вектор, так что (например), если Р пред-
ставляет собой серию, то I [С'Р будет находиться в нулевой пропорции
к Ро, если о является индуктивным кардиналом, отличным от нуля.
Поэтому мы вводим класс “Rel num id”, состоящий из числовых отно-
шений, вместе с такими, которые содержатся в тождестве; они могут быть
названы числовыми отношениями или отношениями тождества. Они мо-
гут быть определены как одно-однозначные отношения, степени которых,
отличные от Ro, содержатся в различии, так как если Rd, то не суще-
ствует других степеней, кроме Rq. Таким образом, мы полагаем
*300-03. Rel num id = (1 -> 1) П R (Potid7? - i‘/?0 c R1‘ J) Df
и затем мы доказываем
*300-33. h . Rel num id = R17 U Rel num
Для использования пропорции важно знать, при каких обстоятельствах
существует числовое отношение R такое, что Ro является ненулевым отно-
шением. Мы доказываем (*300-45), что если о является индуктивным кар-
диналом, а Р является серией о+с1 термов, то (В'Р) Ро (В'Р). Мы также
доказываем (*300-44), что если Р является серией и R = Pi, то PO = RO и
R представляет собой числовое отношение. Следовательно, на основании
*262-211, если о/0иа есть класс о+Д термов, то найдется числовое от-
ношение R, поле которого того же самого типа, как и а, и для которого
Ro существует. Вспоминая *300-14 (цитированное выше), это предложение
есть:
*300-46. F : ос d'U -1‘0. э .
(gP, R). Р е (о +с 1) г. R = Pi . R е Rel num . t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R)
Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
235
Обратно, мы имеем (*300-47)
F : R е Rel num. g! Ro . э . о е NC ind . 3! (о +с 1) П t'C'R . о П t'C'R е G‘U,
где “NCinduct” обладает смыслом, который был ранее определен в *126,
т.е. “оeNCinduct” означает, что о есть типово не-определенный кардинал.
Параграф заканчивается предложениями, доказывающими (*300-52),
что является числовым отношением, что (*300-57)
Й! (^) v А (t7n) и . э . £ xcv е С‘U . £ хл = т| хс р,,
и аналогичными теоремами.
*300-01. U = (+с 1) ро t (NC induct - i‘A) Df
*300-02. Rel num = (1 —»1) A/? (Pot7? c R1‘J) Df Df
*300-03. Relnumid = (1 —» 1) n^(Potid‘7? - l‘7?0 c R1‘J) Df Df
*300-1. F : pL7v. =. p, (+cl)po v. p,, v e NC induct - i‘A [(*300-01)]
*300-11. F:.p,L7v. = :
p,, v e NC induct - i‘A: (gX). X e NC induct - i‘0. p, = v +Д:
= : NC induct - l‘A : (gX). X 0 . p, = v +CX:
= : p,, v e NC induct - 1A : (gX). X e NC - i‘0 . p. = v +CX
[*300-1. *120-42-428-462-452 . *110-4]
*300-12. F : p,t7v . = . p,, v e NC induct - i‘A . v < p,.
= . p,, v e NC induct. v < p,.
=. p, e NC induct. v < p,
[*300-11. *117-3 . *120-42 . *117-26 . *110-6 . *117-15 . *120-48]
*300-13. F.L/gJ [*300-12. *117-42]
*300-14. F . C'U = NC induct - l‘A . D‘t7 = NC induct - i‘A - l‘0 .
CT£7 = NC induct Av(g!v +cl) = v(v +C1 eNCinduct - i‘L) .
B‘t7 = 0
[*300-12 . *117-511. *120-122 . *101-241. *120-429-422]
*300-15. F . U e Ser [*300-13 . *120-441]
*300-16. F: a e Cis induct. э . Noc‘a e C'U A t2ia . Noc‘a e C\U [ f2‘a)
Доказательство.
F . *120-21. э F: Hp . d . Noc‘a e NC induct (1)
F . *103-13 . э F . Noc‘a A (2)
F . *103-11. э F. Noc‘aer2‘a (3)
F. (1). (2). (3). *300-14. dF. Prop
*300-17. F : p,eNCind . э . (ga). p, AfaeC‘t/ . p.eC‘(L7 [r2‘a)
Доказательство.
F . *126-1. □ F : Hp. э . (ga). aeCis induct. p, = Nc‘a. g! p,.
[*103-34] э . (ga). a e Cis induct. p, A f a = Noc‘a (1)
F . (1). *300-16 . э F : Hp. э . (ga). p A fa e C‘U . (2)
[*65-13] э . (ga). p,eC‘L7 . p, c f a.
[*63-5] э . (ga). peC‘U . per2‘a (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*300-18. F : peNCind. d.
(go). 2Ц eC\U [ r2‘a). (p +cl) A f aeC'U . p,e (T(U
[*126-13-15. *300-17-14]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
236
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*300181. F : peNC ind . р П tlaeC‘U . d .
2й П t2<aeC'U . (p +cl) П P'aeC'U . p О t2iaE(TU
[*126-23. *300-14]
* 300-2. F : Infin ax . э . U - Apo
Здесь N обладает смыслом, определенным в *263-02.
Доказательство.
F . *300-1. *125-1. э F:. Нр . э : pUv . = . р, veNC ind . р (+с1)Ро v.
[*120-1. *91-574] = . v (+с 1 )* 0 . р (+с1)ро v.
[*96-13] =.ц{(+с1)ГёЖ‘0}роУ.
[(*263-02 . *120-01)] = . v р: э F . Prop
* 300-21. F : Infin ax. э . U e w [*300-2 . *263-12]
* 300-22. F : ~ Infin ax. э . U e Q induct
Доказательство.
F . *125-16-24 . Transp . э F : Hp . э . C'U e Cis induct (1)
F.(1). *300-15 . *261-32 . э F . Prop
* 300-23. F . U e Q [*300-21-22]
* 300-231. F : pi£7iv . = . p, veNC ind - i‘A . p = v +C1 .
= . peNC ind - l‘A . p = v +C1 .
= . peNC ind - l‘A - l‘0 . v = p -C1 .
= . v e NC ind - i‘A . v = p -c 1
Доказательство.
F. *300-15-12. *201-63. z>
F :. pt/iv . = : p, veNC induct - i‘A . v < p : ~ (gk) . v < X. X < p :
[*120-429] = : p, v e NC induct - i‘A . v < p : v +C1 > p . p > v +C1 :
[*117-25] = : p, veNC induct - i‘A . p = v +C1 (1)
F. (1). *120-422-424-423 . э F. Prop
* 300-232. F : p e NC induct. d .
= (+cH) t (NC induct - t‘A). = (-cp) t (NC induct - i‘A)
По поводу определения £7И см. *121-02.
Доказательство.
F . *121-302 . *300-15 . э F : pt/0o . . оeC'U . р = о.
[*300-14 . *110-6] = . р, oeNC induct - l‘A . р = о+с0 (1)
F . *260-22-28 . *121-332 . э
F : С7Ц = (+сР) t (NC induct - l‘A) . э . С/ц+с1 = (+с1 р) [ (NC induct - i‘A) | U\
[*300-231] = (+ср) t (NC induct - i‘A) | (+cl) [ (NC induct - l‘A)
[*120-45-452] = {+c (p +cl)} [ (NC induct - l‘A) (2)
F . (1). (2). Induct. d F . Prop
* 300-24. F : peNC induct. d . D‘L7p =7Vp = NC induct П v (v p)
[*300-232. *117-31. *120-45]
* 300-25. F : peNC induct. d = £/‘p = NC induct П v (v < p) = U (0H p)
[*300-232-24-12]
* 300-26. F : p e C'U . = . р£7и0 . = . Я!ЦД (C‘L/) [*300-232-14 . *110-6]
Здесь p в “£7И” — более высокого типа, чем р в “реС‘£7”, потому что
интервал U (0 н р) состоит из членов, каждый из которых такого же типа,
как и р.
Principia Mathematica III
»300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 237
* 300-3. F : R е Rel num . = .Rel-»l.RpoGJ.^.Rel-»l. Pot'R с R1‘J
[(*300-02)]
* 300-31. F : R e Rel num id. s . R e 1 —> 1 . Potid'R - i‘Ro c R1V
[(*300-03)]
* 300311. \--.RgJ .s.R0 = R. = .R = I\C‘R
Доказательство.
F.*201-13-18. dF:.Rg/. z> : xeC'R. э . 5Г*‘хпХ‘х = i‘x (1)
F. (1). *121-11. э F: R с/. э . I f C'R gR0 .
[*121-3] z>.R0 = /K‘R.
[*79-92] =>.R0 = R = I\C'R (2)
F. *121-3. z>F:R0=R.d.Rg/ (3)
F . (2). (3). э F . Prop
* 300-312. F : R с /. э . Potid'R = CR = CR0 [*300-311. *50-72 . Induct]
* 300-313. F : R e Rel num id. z> . R* - Ro G J [*300-31. *91-55]
* 300-32. F: R e Rel num id. z> . Ro = 1 f C'R
Доказательство.
F . *91-35. э F . I f C‘R e Potid'R - R1 ex‘J
F . (1). *300-31. z> F . Prop
* 300-321. F : R e Rel num id. R + Ro . э . R c J. g !R [*300-31]
* 300-322. F: R G J. э . Rpo П Ro = A
Доказательство.
F. *121-3. э F : xRpoy • x # .у. э . ~ (xRoy) (1)
F . *50-24. э F :. Hp. d : ~ (xRx): (2)
[*91-57] э :xRpoX. э . x(Rpo |R)x.
[*121-103.(2)] э . R(xHx)/ i‘x.
1*121-11] d.~(xRox) (3)
F . (1). (3). э F . Prop
* 300-323. F : R e Rel num id. R / Rq . э . Rpo G.J
Доказательство.
F . *300-321-322. э F : Hp . э. Rpo П Ro = A.
[*300-32] z>. Rpo ПI f C'R = A : э F . Prop
* 300-324. F :. R e Rel num id. : R с/. V . Re Rel num
Доказательство.
F . *300-311-323. э F :. Hp . э : R с/. V . Rpo G J (1)
F . *300-32 . э F : R e Rel num id. Rpo G J. э . Potid'R — i‘Rq = Pot'R (2)
F . (2). *300-31. э F : R e Rel num id. Rpo G J. =>. Pot‘R c R1‘J (3)
F . (1). (3). *300-3 . э F . Prop
* 300-325. F : R с /. d . R e Rel num id
Доказательство.
F . *300-312 . э F : Hp. z>. Potid'R - i‘R0 = A (1)
F . (1). *300-31. э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
238
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*300-326. F : R е Rel num. э. R е Rel num id
Доказательство.
F . *121-3 . *30-3 . d F: Hp . э . Rq ~ e Pot‘P F . *121-302 . *300-3 . э F : Hp. d . Po = I [ C'R F. (1). (2). *91-35 . d h : Hp . э . Potid‘P - l‘P0 = Pot‘P F . (3). *300-3-31 . э F. Prop (1) (2) (3)
*300 33. F . Rel num id = R17 U Rel num [*300-324-325-326]
*30034. F . A e Rel num [*300-3 . *72-1]
*3004. F . Rel num = Cnv“Rel num [*300-3 . *91-521]
*30041. *300 42. F . Rel num id = Cnv“Rel num id [*300-31. *91-521] F : R e Rel num. э . Pot‘P c Rel num
Доказательство.
F . *91-6. *96-102 . э
F : R e Rel num. P e Pot‘7?. d . P e 1 —> 1 . Pot'R c RT J
[*300-3] э . P e Rel num: э F . Prop
*300-43. F : R e Rel num id. d . Potid‘7? c Rel num id
Доказательство.
F . *300-325-312 . d F : R G/ . э . Potid‘7? c Rel num id (1)
F. *300-325. э F . Z [ C‘PeRel numid (2)
F. (2). *300-42-326 . d F : R e Rel num . d . Potid‘7? c Rel num id (3)
F . (1). (3). *300-33 . э F . Prop
*300-44. F :. P e Ser . о e NC induct. d :
Po, Po e Rel num id : о # 0 . d . Po = (Pi )o . Po, Po e Rel num
Доказательство.
b. *121-302 . *300-32 5 . э F : Hp . a = 0. э . Po, Pa e Rel num id (1)
h. *260-28. DF:Hp.o#0.D.Pa = (Pi)a (2)
1-. *300-3. *260-22 d F :. Hp . э : Pi e Rel num :
[*121-5. *300-42] э : о Ф 0. d . (Pi)a e Rel num.
[(2). *300-4] э . Po, Pa e Rel num (3)
h . (1). (2). (3). э F , , Prop
*300-45. F:о e NC induct. P e (о +cl)r. э . (B‘P) Po (B'P)
По поводу определения (o+cl)r см. *262-03.
Доказательство.
F. *262-12. d F : Hp . э . PeQ . C‘Peо +C1 .
[*202-181. *261-24] э . (B'P) Po (B'P): э F. Prop
*300-46. F : oeG'U - i‘0 . э .
(gP, R). P e (o +c 1) r • R = Pi • R e Rel num . t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R)
Доказательство.
F . *300-14 . э F : Hp . d . (ga). ae Cis induct. t'a = Iq'o . a e о +C1 .
[*262-211] э . (gP). Pe (о +cl)r. t'C'P = t0'o.
[*300-45] э . (ЭР). P e (a +c 1) r. t'C'P = t0'o. (B'P) Po (B'P).
[*300-44 . *261-22] э . (gP,P). P e (a +cl) r. R = P{ . R e Rel num .
t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R): э F. Prop
Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 239
*300-47. R е Rel num . 3 IRO . э .
aeNCinduct. 3! (0 +с1) A t'C'R . о A t'C'R eG'U
Доказательство.
h . *121-11.oh: Нр . э . (зх,у). R (хну) е о +С1 .
[*121-46] о . 0+с1 eNCinduct .3! (0 +с1) A t'C'R .
[*120-422 . *300-14] о . 0eNC induct. 3! (0 +с1) А ГС‘Я .
0 A t'C'R е (TU : о h . Prop
*300-48. h : Я cZ . v 0 . о . Яу = А
Доказательство.
h . *300-312-311. *91-55. о h : Я cZ. о . Я* = Z [ С‘Я (1)
h. (1). *121-103 . э h : Я gZ. э . Я (x Hy) = C'R A Cx A i‘y (2)
h . (2). *121-11. о h :. Я gZ . о : xRvy . = . C'R A i‘x A i‘y ev +C1 .
[*117-222] o.v+cl ^Nc4‘x.
[*117-54. *120-124] o.v+cl = 1.
[*110-641. *120-311] э . v = 0 (3)
h. (3). Transp . d F . Prop
*300-481. h: Я e Rel num id . v 0 . о . (Яо)у = A . (Яу)о сЯо
Доказательство.
h . *300-32-48 . о h : Hp. о . (Яо)о = A (1)
h . *300-43-32 . о h : Hp . о. (Яу)0 = Z [ C'RV .
[*121-322. *300-32] э. (Яу)0 сЯ0 (2)
h . (1) . (2). o h . Prop
*300-49. h: Я e Rel num . A ~ e PotT?. о . C'R ~ e Cis induct
Доказательство.
h . *121-5 .oh.Hp . □ : veNCinduct. о . 3\RV .
[*121-11] э . 3! (v +cl) A Cl'C'R:. о h. Prop
*300-491. h : (3Я). Я e Rel num . A ~ e PotT?. о . Infin ax [*300-49]
*300-5. h . U} e Rel num [*300-15-44]
*300-51. h . t/0 e Rel num id [*300-15-44]
*300-511. h.Z/o = (Z/1)o [*300-21-22 . *263-491]
*300-52. h: ц e NC induct - i‘0 . о . e Rel num [*300-15-44]
*300-53. h . (xcl) f C'U e Rel num id [*300-325 . *113-621]
*300-54. h : Infin ax. p.eD‘£7 - i‘l . о . (хсц) [ D‘ZZ eRel num
Доказательство.
h. *120-51. о h : Hp . о . (хсц) [ D‘f7 e 1 —> 1 (1)
h . *126-51. *113-621. э h :. Hp . э : p {(xcp) [ D'U] 0 . о . p >0 :
[*117-47-42] э:{(хсИ) [D‘Z/}poGj (2)
h.(l). (2). *300-3. oh. Prop
*300-55. h : 3 !Яр А Яо . э . 3! (p +cl) A t'C'R . p = 0 [*121-11. *120-31]
*300-551. h : 3 !Яр A Ro . = . 3 !Яр . p = 0 [*300-55]
*300-552. h : Я e Rel num . d . (Я^)v сЯ^
Доказательство.
h . *121-36 . oh: Hp . veNC induct - i‘0 . э . (Я^)у =R^Xcv (1)
h . *300-481. о h : Hp . £ = 0 . v ф 0 . о . (Я^) v = A ' (2)
h . *300-32-311. *113-602 . o h : Hp . § = 0 . v = 0 . о . (Я^) v = RlXcV (3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
240
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
h . *300-481. *113-602 .эННр.£/0.у = 0.э. (^) v c^XcV (4)
h . *300-47 . э h : Hp . ~ (£, v e NC induct). э . (^) v = A (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). ol-. Prop
*300-56. h : R e Rel num . g! (R%) v H (7?n) и. d .
| xcv = r| xc ц . xcv) A f C'R e CT U
Доказательство.
h . *300-552 .oh: Hp . э . g!/?£XcV (1)
h.(l). *300-55. oh. Prop
*300-57. h : g! (t/^)v A . э . § xcveC'U. | xcv = r| xc(i
Доказательство.
h . *300-5-511-56-552 . э h : Hp . э . § xcv = т] xc ц . g ! tf|XfV (1)
h.(l). *300-26. oh. Prop
На основании *300-56 мы имеем, с приведенной выше гипотезой,
xcv) A t'C'U e(TU. Но здесь U в (TU принадлежит более высокому типу,
чем U в (£xcv) A t'C'U или в гипотезе. В пределах типа U в гипотезе, мы
имеем ^xcveC‘t/, но необязательно ^xcveQ‘t/.
*300-571. h:.^,veD‘t/.D:g!(t/0v A(t/n)H. = .§xcveC‘t/.^xcv = T]XcH
Доказательство.
h . *300-26 . э h : § xcv e C‘U . £ xcv = т] xcц . z>. (£ xcv) {U^ A и) 0 (1)
h.*121-36. эЬ:Нр.Нр(1).И/0.у/0.э.^ХсУ = (^)у.^ХсИ = (^)ц (2)
h . *300-32 . э h : Hp . Hp (1). v = 0 . э . v = I f СЩ .
[*300-26] D.0{(t/^)v}0 (3)
Аналогично h : Hp . Hp (1). ц = 0 . э . 0 {(t/n) Д 0 (4)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э h : Hp . Hp (1). э . g! (^)v П (1/п)и (6)
F. (6) .*300-57. зН Prop
*300-572. F:.£eD‘I/ . э : g! (t/^)v . =.^xcveC‘t/ [*300-571^-]
Principia Mathematica III
301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО
241
*301. Степени отношений, определенные численно
Краткое содержание *301.
В этом параграфе мы должы представить степени отношения Я, т.е.
различные элементы Potid‘7?, имеющие форму R°, где о является индуктив-
ным кардиналом. Мы уже имели R2 = R | R и R3 = R2 | R. То, что нам нужно,
представляет собой определение, которое мы дадим впоследствии
до+Д = R°\R
R° является функцией от R и о; поэтому мы должны представить R°
в форме 5‘о, где 5 будет функцией от R. Т.е. мы должны определить
отношение 5 как отношение R° к о, и 5 должно быть таким, что если оно
имеет место между R° и о, то оно имеет место между Ro+ci и о+с1. Таким
образом, мы можем выбрать 5 как сумму пар таких, что если одна пара
есть Я°Хо, то следующая есть (R° |Я) X (о+с1), т.е. таких, что если одна
пара есть 2Хо, то следующая есть (Q |Я) 1 (о +с1). В результате
(С|/?)На+с1) = {(1^)11(-с1)}‘(СХа).
Следовательно, поскольку мы хотим иметь Я0 = I [ C‘R, то наш класс пар
есть
Л/[А/{(|Я) || (-с1)}* {(/[ С‘Я) X 0}].
Называя этот класс num (Я), мы поэтому можем положить
R° = {s‘num (Я)}‘о Df.
Если мы полагаем (|Я) || (-с1) = RP, то приведенные выше определения
есть
num (R) = (Rp)*> {(/ [ С‘Я) X 0} Dft,
R° = {s‘num (Я)}‘о Df.
Однако приведенное выше определение Rp требует некоторой модифика-
ции перед тем, как оно может рассматриваться как вполне корректное.
С данным выше определением мы имеем
RP\Qlo) = (Q\R)l(o+cl)- (1)
Поскольку num (R) определяется посредством (Яр)*, и поскольку определе-
ние 7?* включает гипотезу Я“цсц, отсюда следует, что если num (Я) зна-
чимо, то отношение -с1, которое появляется в определении Rp, должно
быть однородным, так что в (1) о и о+с1 должны быть одного и того
же типа. Следовательно, о, даже будучи типово неопределенным, не мо-
жет быть типово не-определенным; поэтому, если аксиома бесконечности
не является истинной, то мы рано или поздно достигнем о = А, продвига-
ясь по возрастанию индуктивных кардиналов. В таком случае мы будем
иметь
R°~cl X (0-с1) 6 num (R). (Я°“с1 | Я) X A е num (Я),
(Я°“с1 | Я | Я) X A е num (Я), и т.д.
Тогда, если (например) Я является циклическим 20 отношением, таким как
20 Мы употребляем термины циклическое отношение и замкнутое отношение как эк-
вивалентные. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
242
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
отношение угла в многоугольнике к следующему за рассматриваемым углу,
то мы не будем иметь
до-J = Ro-C\ । R Ro-Cl । R = Ro-Cl | R | R
Следовательно, 5‘num (R) не будет одно-многозначным, a R° не будет суще-
ствовать. Следовательно, желательно ограничить о кардиналами, которые
существуют в пределах некоторого предписанного типа, т.е. заменить -С1
на (-с1) [ (NC induct - i‘A), т.е. на й\.
Таким образом, мы полагаем
RP = (\ R)\\Ui Dft.
Но даже это определение не является совсем полным, потому что тип
U не предписан. Это приводит к некоторому различию в том, как предпи-
сывается тип [/, так как если мы принимаем в качестве типа C'U более
низкий тип, чем Noc‘r‘7?, то мы можем обнаружить, что наши числа ста-
новятся А, прежде чем мы перестали получать новые степени R.
Например, предположим, что имеется всего четыре индивида, и что они
есть а, х, у, z. Запишем х X (а, у,...) для xXaUxXyU.... Затем рассмотрим
отношение /? = х! (я,у)йя!у Uy 1(х, z). В таком случае
R2 = х l(x,y,z) U а X (х, z) Uy X (а,у),
R3 = х X (а, у, х, z) 0 а X (а, у) 0 у 1 (х, у, z),
R* = х 1 (у, х, z, a) U а X (у, х, z) 0 у j (а, у, х, z),
R5 = х X (а, х, у, z) 0 а X (а, х, у, z) 0 у X (а, х, у, z).
После этого R5 = R5 | R = R5 | R2 = etc. Однако, вплоть до R5, каждая
степень R отлична от всех своих предшественников. Если мы возь-
мем fC'U = r‘Noc‘r‘C‘7?, то C'U состоит только из чисел 0, 1, 2, 3, 4,
что поэтому не является адекватным, чтобы иметь дело с R5. Следо-
вательно, тип, в пределах которого мы выбираем U, должен быть до-
статочно высоким и должен возрастать с возрастанием типа R. Сле-
довательно, мы берем C'U в пределах типа fNoc‘f/?, т.е. в пределах
типа Р‘Я. Это обеспечивается написанием U [t3iR вместо U в опре-
делении Rp. Следовательно, окончательные определения для R° есть:
*301-01. iev = (|7?) II (t/1 t Р‘7?) Dft [*301]
*301-02. num (R) = (Rp)*' [(I f C'R) X (0 A fi'R)} Dft [*301]
*301-03. R° = (5‘num (Я)}‘о Df
Два временных определения *301-01-02 распространяются только на на-
стоящий параграф.
С данными выше определениями мы имеем
* 301-16. h:peC‘t/nP‘/?. = .E!^
* 301-2. h.fl° = Z \C'R.R} =R
* 301-21. h:vea‘Z/nP‘/?.D./?v+cl =RV\R
* 301-23. h : p +cv e C‘U A t3 'R . э . Rv+‘v = R» \RV = Rv \R*
* 301-26. h : P e Potid‘fl. = . (л о). P = R°
Т.е. степени R представляют собой различные отношения R°. Это пред-
ложение могло бы не быть универсально истинным, если бы мы взяли U
в пределах более низкого типа.
*301-3. \--.RczI .aeC'Unt^R.^.R0 =R = R0 = I \C'R
Principia Mathematica III
•301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО
243
Мы требуем степеней отношений при оперировании с пропорциями, а
не finid'R, в основном ради приведенных выше предложений. Так как мы
имеем Яс/. о/О. э .Ra = А, то Ro не дает того, что требуется, если R<zl.
С другой стороны (*301'41), если ЛеRelnum, то мы имеем Ra=R„, если
oeC'U Пр'Я. Таким образом, в применении к числовым отношениям Ro
всегда может заменять R°.
Мы имеем, каким бы ни было R,
*301-504. I-: ц, v е C'U CiP'C'R. v + 0. э . (R“)v = R^
Значение этого параграфа проявится далее в связи с пропорциями.
*301-01. Яу = (|Я)||(&1 Dft [*301]
*301-02. num (Я) = (Яр)*' {(/ f С'Я) | (0 П г2‘Я)} Dft [*301]
*301-03. Я0 = {s'num (Я))'о Df
*301-1. I-: о е С‘(С [ Р'Я). э . RP‘(Q J, о) = (Q | Я) | {(о +с1) П ?'Я}
[*55-61. (*301-01)]
*301-101. I-: oeQ‘(t/ [?‘Я). э . oeQ't/П/3‘Я. s . оеQ‘t7 . ос^‘Я
[*63-5]
*301-102. h: оe Q‘(t/ [ ?'Я). э. (gX). Хе Cis induct . g! - X. Я е r0‘X. о = Noc‘X
[*301-14. *103-11]
*301-103. I-: oeO‘(t/ [ г3‘Я). э . (gX). Хе Cis induct. g! - X .ЯеХ. a = Nqc'X
[*301-102. *73-71-72]
*301-104. I-: ae Q‘(t/ [ г3'Я). э . (о +cl) П ?‘Я eNC induct - t'A
[*301-101. *300-14]
*301-105. I-: oeQ‘(t/ [ Р‘Я). э. (gX). Xe Cis induct .ЯеХ. o+cl = Nqc'X
[*301-105]
*301-106. I-: oe Q‘(U [ t3‘R). э . (gX). Xe Cis induct. ЯеГо'Х. a +C1 = Nqc'X
[*301-104]
*301-107. h:oea‘(t/ [Р'Я). z>. oeNCind .Яеi'(o+cl)
[*301-106. *126-1]
*301-11. h : oeG‘(t7 (Р‘Я). э. E !Яр‘(бi°) [*301-1]
*301-12. h : Me num (Я). э. (gP, a). Pe Potid'R. oe C‘U Cit3‘R . M = P fa
[*95-22]
*301-13. F : P J, 0 e num (Я). z>. P = 7 [С'Я
Доказательство.
I-. *90-31. (*301-02). э
I-: P J. ц e num (Я) -1‘{(7 [ С'Я) 10}. z>.
(P | И) {(Яр)* | Яр} {(/ Г C‘R) 10).
[*30-33 . *301-1] э. (P | р.) (Яр)* (Я 11).
[*95-22] э.ц1/*1.
[*300-24] э.р.^0 (1)
h . (1). Transp . э I-. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
244
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*30114. F:PXp,2Xpenum(P).D.P=(2
Доказательство.
F . *120-124 . *90-31. э
F:{5 |(Н+С1)}(ЛД* {(/ ГС‘/?)}.э.
{5 X (р +с1)} {Яр | (ЯД*) {(/ [ С‘Я) X 0} (1)
I-. (1). (*301-02). *301-12. *300-14 . э
F :S X (р +с1)епит(Я). э .S 1 (р +с1)еЯр“пит(Я). д! р+с1.
[*301-1]
э . (gP, v). Р X v е num (Я). 5 X (Ц +Д) = (РI Я) X (v +с1). g! р +С1 .
[*55-202. *120-311]
э.(дР).РХрепшп(Я).5Х(р+с1) = (Р|Я)Х(р+с1) (2)
I-. (2). э I-Р X р, Q X Р € num (Я). . Р = Q: э :
5 X (Р +J), Т X (р +с1) е num (Я). э5,г .S =Т (3)
F. (3). *301-12-13. Induct. э F. Prop
*301-141. F. G'i'num (Я) = C'U nt3 ‘Я
Доказательство.
F . *301-1. э
F : ое Q‘L/n г3‘Я. oeG's'num (Я). э. (о+с1)е Q‘i‘num (Я) (1)
F. (1). *300-14. Induct. э F. Prop
*301-15. F. Рпшп(Я)е1->Cls
Доказательство.
F . *301-14. z> F : M, N e num (Я). g! d‘M П (TN .z>.M = N (1)
F . (1). *72-32. э F . Prop
*301-16. F : peC‘[7П?‘Я. в . E !Яи [*301-141-15. (*301-03)]
*301-2. F .Я0 = /[С‘Я.Я1 =Я [*301-13-16-1. (*301-03)]
*301-201. F : v e C‘ U П t3 'R. э . (Я'1 X v) e num (Я)
Доказательство.
F . *301-16. (*301-03). э F : Hp . z> . Rv {Pnum (Я)} v.
[*41-11] э . (gM). JWenum (Я). Я'’Л/v.
[*301-12] э . (gM, P, о). M e num (Я). M = P X о. RTMn .
[*55-13] э . (Pv X v) e num (Я): э F . Prop
*301-21. F : ve Q‘t/ ПГ3‘Я. э . Pv+cl =PV|P
Доказательство.
F . *301-1-201. э F : Hp. э . Pv+fl X (v +cl), (Pv |Я) X (v +cl) enum (Я).
[*301-14] э. Pv+'> = Pv | Я: э F . Prop
*301-22. F : E ! Rv . э. Rv ePotid^ [*301-201-12 16]
*301-23. F : p+cVeC'L/nPT?. э .Rv+‘v = R* |Я* = RV | Я^ [*301-21. Induct]
*301-24. F о e NC induct: p о. v < p. . Яи / Rv : э .
P {(ан) • H о • p = e° +d
Доказательство.
F . *120-442 . э F : Hp .p<o.v^o.Pl‘ = Pv.z>.p = v (1)
F . (1). *73-14. *301-15. =>
F : Hp. э . Nc‘P {(др). p о. P = Яи) = Nc‘|l (p o) (2)
F . (2). *120-57. э F . Prop
Principia Mathematica III
•301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО
245
*301-241. I-: Нр *301-24. э. о О t2 ‘R е G'(U [t3‘R).R°+‘' = R°\R
[*301-24-104-21]
*301-242. F:oeC‘C/Cir3‘P.p<0.v<p.Ptx = Pv.D.Po|P = Po-^+‘v^
Доказательство.
I-. *120-412-416. o F: Hp. о . о = (o-cp) +cp •
[*301-23] э.Р°=Р°-^|Р^.
[Hp.*301-21] D.P°|P = Po-cp|Pv+^
[а301-23] = . Ргор
*301-25. F:(go).P = Po.D.(gr).P|P = Pt [*301-16-241-242]
*301-26. F : PePotid'P. = . (go). Р = R°
Доказательство.
I-. *301-25-2 . Induct. о F : P e PotidtR . z>. (go). P = R° (1)
F.(l). *301-22. oF. Prop
* 301-3. : Rd. a eC'U (~U3'R. z>. R° = R = Ro = I \ C'R
[*300-312. *301-16-26]
* 301-31. F:Pg7.u/0.d.Po=A [*300-48]
Приведенные выше предложения являются в точности такими же, как
и *300-48, однако повторяются здесь, чтобы показать отношения Ro и R°.
*301-32. F :.Рg7. g!P. э: g!P0 . = . о = 0 [*300-311. *301-31]
* 301-4. F : Re Rel num. a eC'U Cl t3‘R. о . Ra = Ra
Доказательство.
F. *301-2. *121-302. dF:HP.d.Ro = R° 1
F . *301-21. *121-332 . z>
F :. Hp . о e Q‘I7 Ci Z3‘P. o : Po = P° . z>. Po+cl = Po+cl (2)
F . (1). (2). Induct. э F . Prop
*301-41. F : R, S e Rel num. g !РИ Cl Pv . d . p = v. g! (p +cl) Ci t'C'R
[*301-4-16. *300-55]
*301-5. F : p xc v eC'U Cn3‘P. p / 0. v / 0. о . (P»*)v = P^v
Доказательство.
F.*117-62-32 э F : Hp. о. p, veC'U Cl t3'R (1)
F . (1). *301-16-2 . э F : Hp. э . (P**)1 = P^1 (2)
F. *301-23. o F : v+C1 eC‘t/Cl r3‘P. o . (P^)v+fl = (Ри)у |РИ (3)
F . (3). *301-23. о
F : (p xcv) +cp e C'U Cl t3'R. (R*)v = R^v . o . (P^)v+J = p^)*^ (4)
F. (4). *113-671. o
F :. (R*)v = R^x‘v . o : p xc (v +cl) e C'U Ci t3‘R. о . (Р^1 = р^б-М) (5)
F. *117-571-32 . o F : p xc (v +cl) eC'U Cl t3'R . о. p xcveC'U Cl t3'R (6)
F . (5). (6). z> F :. p xcveC'U Ci t3'R. э. (R*y = R^v : o :
p xc (v +cl)eC‘t/ Ci t3'R. э . (P^1 =pnxc(v+ci) (7j
F . (1). (2). (7). Induct. o F . Prop
*301-501. F:p = 0.veC‘L7Or3‘P.D.(P»*)v=P^v [*301-2-3]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
246
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*301-502. I-: (х, veCU Cit2'C'R. э. [ixcveC'U Cit3‘R. (pxcv) Г) P'ReC'U
Доказательство.
F . *300-14. *120-5. э F: Hp. g! (p xcv) Г) t2'R. э. (pxcv) Г) t2'ReC'U (1)
I-. *300-14. эF: Hp. z>. (ga,|3). aep. |3ev. a, 0ef‘C‘7?.
[*113-251] э. (ga, |3). a xc |3ep xcv . a, |ЗеГС‘Я.
[*113-17. *64-61] =>.(ga,p).axcpe(p.xcv)nr27? (2)
F.(1). (2). *65-13. э F . Prop
*301-503. F : veNC induct, v П t'C'ReC' U [ (?‘С‘Я). э . v nt2 ‘ReC‘(U [P'R)
Доказательство.
F. *300-14. э F: Hp. z> . (ga). aevn t'C'R.
[*106-2] э. (gx,a). |x“aev 0 t2lR (1)
F . (1). *300-14. э F . Prop
*301-504. F : p, v e C‘U П t2 ‘C'R. v / 0. э . (7?>*)v = R^v [*301-5-501-502-503]
*301-505. F:.|eD‘L7. э :g! {(+Л) tC'U}v .s .^xcveC'U
Доказательство.
F . *120-452. э F: g! {(+Л) [ C‘L/)V . = . g! ((+Л) [ C‘U}V . В e C‘U.
[*300-232] =.g!(t/i=)v.£eC‘t7 (1)
F . (1). *300-52 . *301-4 . z>
F :.Hp. э:g! {(+c^) [C‘t7)v . s. g!(t/^)v . ^eC‘17 .
[*300-572] = .§xcveC‘l/:. oF . Prop
*301-51. F:.£,T]6D‘L/.z>:g! {(+<£) [ C‘[/)v h ((+c •>])[ C W • = •
§ xcv e C‘ U. £ xcv = T] xc p
Доказательство.
F . *301-505. *300-232 . *301-4 . э
F :. Hp. э: g! {(+c£) [ C'L/f П {(+c n) [ C'U}» . =. g !(L/5)V П (С7Л)И.
[*300-571] = . £ xcv e C'U. xcv - T] xc p:. э F . Prop
*301-52. F : v e D‘U П t3 ‘R. э. (xc p)v = xc (pv)
Доказательство.
F. *301-2 . *113-204. *116-204-321. э F . (xcp)> = xc (p1) (1)
F. *301-21. э F : v e Q'U П t3'R. э. (xcp)v+^ = (xc p)v | (xc p) (2)
F . (2). э F : veQ't/ П t3‘R. (xcp)v = xc (pv). э . (xcp)v+^ = xc (pv) |(xcp)
[*116-52-321] =xc(pv+‘1) (3)
h . (1) . (3) . Induct .oh. Prop
Principia Mathematica III
'302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
247
* 302. О взаимно простых числах
Краткое содержание *302.
Настоящий параграф является лишь предварительным для определения
и обсуждения пропорций. Мы желаем, разумеется, дать такое определение
пропорции, которое будет гарантировать, что p/v = (ц хст)/( v хст). Следо-
вательно, при определении ц/v в пределах любого заданного типа мы не
можем требовать того, что сами ц и v должны существовать в пределах
указанного типа, за исключением лишь той ситуации, когда если p/о яв-
ляется той же самой пропорцией в своих наинизших термах21, то р и о
должны существовать в пределах указанного типа. Следовательно, если
мы не допускаем аксиому бесконечности, то необходимо иметь дело с вза-
имно простыми числами перед определением пропорций.
Теория взаимно простых чисел касается типово не-определенных ин-
дуктивных кардиналов (NCind). В дальнейшем будет замечено, что мы
имеем три различных вида индуктивных кардиналов, а именно NCind,
NCinduct и С1 U. NCind состоит из типово не-определенных кардиналов,
NC induct состоит из всех кардиналов некоторого одного типа, и C‘U со-
стоит из всех экзистенционалъных кардиналов некоторого одного типа.
Если имеет место аксиома бесконечности, то мы имеем С‘ U = NC induct
и NС ind = sm“NC induct. Однако ни одно из них не является истинным,
если аксиома бесконечности не имеет места. В дальнейшем будет обнару-
жено, что там, где мы требуем типовую определенность кардиналов, то
мы требуем именно C‘U или С‘[/, или G‘t/, а не NС induct; другими сло-
вами, мы почти всегда хотим исключить Л и лишь иногда — наибольший
экзистенциональный кардинал рассматриваемого типа, или исключить 0.
Таким образом, “NCinduct” будет редко встречаться в том, что следует
далее. Случаи, в которых встречаются C'U или D‘t/, или (TU. могут быть
двух видов: (1) там, где мы доказываем типово определенные экзистенци-
ональные теоремы, (2) там, где мы касаемся серий, как, например, в *300,
где мы рассматривали серии экзистенциональных кардиналов, или в *304
ниже, где мы будем рассматривать серии пропорций. Всякий раз, когда
речь идет о серии, мы должны иметь типовую определенность, потому
что определение “PeSer” включает в себя С‘Р, и поэтому только однород-
ное отношение может быть сериальным. Это представляет собой частный
случай той ситуации, что, когда мы требуем числа в качестве кажущих-
ся переменных (как, например, в теории вещественных чисел), типовая
определенность становится существенной. Многие предложения, содержа-
щие гипотезу “peNCind” (где ц является реальной переменной), не допус-
кают превращения ц в кажущуюся переменную, потому что это требует
того, чтобы ц была фиксирована в пределах одного типа, а наше исходное
21 В оригинале —in its lowest terms. Речь идет о сокращении пропорции и ее представ-
лении в несократимой форме, когда, разумеется, и числитель, и знаменатель — наимень-
шие из возможных. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
248
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
предложение, возможно, требует того, чтобы тип, в пределах которого ц
фиксировано, был функцией ц. Например, *300-17 гласит
h : p.6NCind . э . (да). р,еС‘(£/ |72‘а).
Если мы фиксируем тип ц, мы тем самым также фиксируем тип а,
а предложение становится ложным, если аксиома бесконечности не явля-
ется истинной. На самом деле указанное предложение требует того, что
чем больше становится ц, тем более высоким должен становиться тип а.
“NCind” не является строго корректным понятием, а примитивное пред-
ложение *9-13 неприменимо без ограничения лишь теми предложениями,
в которых оно встречается. Мы уже ввели указанное предложение, пото-
му что оно в огромной степени упрощает выражение многих предложений,
а также потому что оказывается легко избежать ошибок, к которым оно
могло бы привести, если не принимать во внимание того, что оно пред-
ставляет собой лишь уступку ради удобства.
В дальнейшем будет обнаружено, что когда мы не касаемся экзистен-
циональных теорем или чисел, выступающих в качестве кажущихся пере-
менных, “NCind” почти всегда представляет собой необходимое понятие.
Это применимо ко всем случаям, в которых мы касаемся только сложения,
умножения, вычитания и деления; это применимо к пропорциям, исклю-
чая, когда пропорции рассматриваются как образующие серию или когда
мы исследуем их существование. Что касается применения “NCind” в ка-
честве кажущейся переменной, есть различие между “всеми значениями” и
“некоторым значением”. Если мы имеем “реNCind”, то “(эр)” чаще всего
будет легитимным, в то время как “(р)” —нет. Причина этого заключается
в том, что если мы фиксируем один типово не-определенный кардинал, то
окажется возможным приписать один определенный тип, в пределах кото-
рого он существует; например, есть по меньшей мере два класса четырех
классов классов, шестнадцать классов классов классов, и так далее. Одна-
ко если мы формулируем утверждение обо “всех” типово не-определенных
индуктивных кардиналах, то оно не будет истинным, если не найдется типа
такого, что наше утверждение имеет место относительно всех индуктивных
кардиналов в пределах указанного типа.
В силу *300-17, если мы имеем “peNCind”, то мы можем заменить его
посредством “peC‘t/”, если мы можем взять U в пределах такого высокого
типа, как мы пожелаем, либо если, принимая в расчет оставшуюся часть
нашего предложения, р не может быть больше, чем некоторый предписан-
ный индуктивный кардинал, пока гипотеза нашего предложения является
истинной.
Приведенные выше замечания позволят читателю проверить примене-
ния типово не-определенных индуктивных кардиналов в качестве кажущих-
ся переменных, и переход от предложений, касающихся NCind, к предло-
жениям, касающимся C4J.
Мы определяем р как простое по отношению к о, когда оба они являют-
ся типово не-определенными кардиналами, а 1 является их единственным
общим множителем, т.е. мы полагаем
* 302-01. Ргш - ро {р, о в NC ind : р = § хст . о = ц хст . Df
Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
249
В этом определении J;, т], т могут быть выбраны как типово не-опре-
деленные кардиналы, потому что, когда р = хст . о = т] хст, то мы должны
иметь ^^р.т]^о.т^р.т^о, так что т], т не могут возрастать неогра-
ниченно (при заданных р и о), пока гипотеза остается истинной.
Мы определяем “(р, о) Ргтт (щ v)” как имеющее смысл, что р является
простым по отношению к о, что т не нуль и р = р хст. у = охст, т.е. p/о есть
ц/у в своих наинизших термах, и т есть наивысший общий множитель р,
и v. Рассматриваемое определение есть:
* 30202. (р, о) Ргтт (ц, у). = . р Ргт о .те NC ind - t‘0. р, = р хст . у = охст Df
Затем мы также полагаем
* 302-03. (р, о) Ргт (ц, у). = . (дт). (р, о) Ргтт (р., у) Df
Здесь снова нет никаких возражений против того, чтобы т была ка-
жущейся переменной, потому что т не должна превосходить ц и у.
“(р, о) Ргт (р,, у)” гарантирует, что p/о есть ц/у в своих наинизших термах.
В этом параграфе мы также определяем наинизшее общее кратное и
наивысший общий множитель22.
Наше определение “Ргт” оформляется так, что каждый индуктивный
кардинал является простым по отношению к 1 (*302-12), и что 1 являет-
ся единственным числом, простым по отношению к самому себе (*302-13),
а также является единственным числом, простым по отношению к нулю
(*302-14).
После нескольких предварительных предложений мы приходим к ре-
зультату о том, что если р и у оба не нули, и и т| также оба не нули,
то существование пары р, о, которая является простой по отношению и
к ц, у, и к т|, эквивалентно р хст| = у хс^, т.е.
* 302-34. F р, у, т] е NC ind . ~ (р = у = 0). ~ (£ = т] = 0). э :
Ц Х<Л] = v хЛ • = • (ЗР- о) • (р, О) Ргт (|х, v). (р, о) Ргт (|, 1])
Мы также имеем
* 302-36. I-: р, у eNC ind . ~ (р = у = 0). = . (gp,o). (р, о) Ргт (р,у)
* 302-38. h : (р, о) Ргт (р, у) . (^, ф Ргт (р, у) . э . р = ^ . о = г]
Т.е. есть только один путь сокращения дроби к ее наинизшим термам.
Мы также доказываем (*302-15), что если р, у представляют собой типо-
во не-определенные кардиналы, которые оба существуют в пределах типа X
(т.е. цх,УхбС‘£7), то тогда
(р, о) Ргт (р, у) . = . (р, о) Ргт (рх, ух).
Это позволяет нам тогда, когда мы пожелаем, подставлять типово опреде-
ленные кардиналы вместо типово не-определенных р и у.
* 302-01. Ргт = рб {р, oeNC ind : р = | хст . о = т] хст . э^лт.т=1} Df
* 302-02. (р, о) Ргтт (р, у). = . р Ргт о . т е NC ind - i/0. р = р хст . у = охст Df
Здесь р, у предполагаются типово не-определенными точно так же, как
и р хст и охст. Таким образом, если в пределах какого-то одного типа р хст
и охст оба являются нулевыми, то это не оправдывает нас при написании
22 В оригинале — the lowest common multiple и the highest common factor. Здесь при пе-
реводе мы следуем терминологии оригинала. Соответствующие русскоязычные термины:
наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
250
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
(р, о) Ргтт (А, Л), потому что не найдется других типов, в пределах которых
р хст и охст не являются нулями. По этому поводу ср. *126.
*302-03. (р, о) Prm (р, v). = . (дт). (р, о) PrmT (р, v) Df
*302 04. hcf (р, v) = (i т) ((др, о). (р, о) PrmT (р, v)) Df
*302-05. 1cm (р, v) = (ф {(др, о, т). (р, о) PrmT (р, v). § = р хс о хст) Df
*302-1. 1-р Prm о. = : р, о е NC ind: р = § хст. о = т] хст. . т = 1 [(*302-01)]
*302 11. 1-: рPrm©. = . oPrmp [*302-1]
*302 12. h : р Prm 1. = . р е NC ind [*302-1. *117-631-61]
*302-13. 1-: р Prm р. := . р = 1
Доказательство.
I-. *302-12 . э F : р = 1 . э . р Prm р (1)
I- . *302-1. э F :. р Ргт р . э : р = 1хср . z> . р = 1 :
[*113-621] э:р=1 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*302-14. F : ОРгтц. = . ц = 1
Доказательство.
F.*302-12. z>F:p= 1 . э.ОРгтц (1)
F . *302-1. z> F ОРгт ц. э : 0 = 0хсц. ц = 1хсц. э . ц = 1 :
[*113-601-621] э:ц=1 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*302-15. F ц, veNCind . vx eC‘U . э : (p, o) Prm (p, v). = . (p, о) Prm (цх, vx)
Доказательство.
F. *126-101. *300-14. z>
F :. Hp . э : p Prm о. т e NC ind - i‘0. p = p xcx . v = oxct . = .
p Prm p . т e NC ind - i‘0. цх = p xct . vx = охст (1)
F . (1). (*302-02-03). z> F. Prop
*302-2. F : |i, v e C‘£7 . ~ (ц = v = 0). к = f {(gp, о). p, = p xct . v = oxct} . z>.
E ! max (£7)‘к. max(£7)‘kcD‘£7
Доказательство.
F . *113-621. dF : Hp . □. 1 6K (1)
F . *117-62 . *113-602 . Transp . э
F :. Hp . т e к. z>: т p . V . г v (2)
F . (1). (2). *300-21-22 . *261-26 . *300-26 . z> F . Prop
В приведенном выше предложении мы пишем “max(£7)‘к”, а не
“min(£7)‘к”, потому что поскольку U упорядочивает натуральные числа
в порядке убывания, то “min(£7)‘к” представляет собой наибольшее чис-
ло, которое является элементом к, и поэтому оказывается более понятным
вести речь об этом числе как о “max (£7)‘к”.
*302-21. F : Нр *302-2 . т = max (£7)‘к. ц = р хст. v = охст . э . (р, о) PrmT (щ v)
Доказательство.
F . *13-12 . э F : Нр. р = р'хст'. о = о'хст'.э.
|1 = р'хст'хст . v = о'хст'хст .
Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
251
[*113-602 . Transp . Нр] z> . т'хст # 0. т'хст < т .
[*120-511. *117-62] э.т'=1 (1)
F.(1). *302-1. d h : Нр . z>. р Prm о (2)
F. (2). *302-2 . (*302-02). z> F. Prop
*302-22. F ц, v e NC ind . ~ (p = v = 0). э : (gp, o, x). (p, o) PrmT (p, v):
(Яр,о). (p, o) Prm (p, v)
♦302-23. F : ц, v e D'U . z> : (gp, о): p, оe D'U . |ixco = vxcp :
T] e D'U . ц xct| = v xc£. p . т] о
Доказательство.
F. *300-23. *113-27. z>
F : Hp . k = D'U П p {(go). p xco = vxc.p). о . E ! min (1/)‘к (1)
F . (1). *300-12 . o
F :. Hp . z>: (gp,o): p, oeD'U . p xco = v xcp :
T] e D'U . p хст] = у xc£ . z>^ . p (2)
F. *120-51.o
F : Hp. p, oeD‘£7 . p xco = у xcp . p xci] = vx^. о . p xcr| - oxc^ (3)
F . *117-571. о F : Hp (3). rj eD'U. p . о . £ xco p xco (4)
F . *126-51. о F : Hp (4). o> т]. о . p xco> p xct] (5)
F . (4). (5). о F :. Hp (4). о : о > rj. о . xco > p xcr|:
[Transp] о : £ xc о = p хст]. о . r| о (6)
F. (2). (3). (6). о F . Prop
♦302-24. F :. p, у, p, о e NC ind - i‘O . p xc о = v xc p :
p xcT] = v xc^. r| e D'U . О£>л .1;^р.т]>о:о.р Prm о
Доказательство.
F . *302-1. о
F : p, oeD'U . ~ (pPrmo). о . (Д£,трт). т # 1. p = ?xcx . o = т| xcx
[*113-203-602 . *120-511. *117-62]
э • (Я?» т) • т 6 ~ L‘1 • £ < Р • Л <а • Р = £ хст • ° = Л хст (!)
F . *120-51. о F : ц, v, р, oeD'U . рхсо = у хср . р = хсх . о = т] хсх . о .
Р М = у xci (2)
F . (1). (2). о F : ц, у, р, oeD'U. р хсо = у хср . ~ (р Prmо). о .
П) • И хсП = v т] с D‘U . < р . т] <о (3)
F . (3). Transp . *300-17. о F . Prop
*302-25. F : р, £ е D‘U . о . (да, р). а е СU. р < §. р = (а х&) +ср
Доказательство.
F . *117-62 . *120-428 . о F : Нр . о . р < (р +с1) Х& (1)
F . (1). *300-23 . о F : Нр . о . Е ! min (t/)‘d {а е CU . р < (а +Д) хс§}.
[*120-414-416] о . (да). а е CU . р < (а +с1) хс^. р а хс§.
[*117-31. *20-452] о . (а, р). а, р е CU . р < (а +Д) хс§. р = (а хс§) +ср .
[*113-671] о . (Эа, р). а, р е C'U . р < (а хс® . р = (а х<£) +ср .
[*120-442 . *117-561. Transp]
о . (да, р). а е C'U. Р < . р = (а хс^) +ср : о F . Prop
*302-26. F : Нр *302-24 . о . (р, о) Prm (ц, у)
Доказательство.
F . *302-25 . э
F : Нр . э . (да, р, у, 6). ц = (а хср) +ср . у = (у хсо) +с& . Р < р . 8<о (1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
252
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
F. *113-43. э
F : ц = (а хс р) +ср . v = (у хсо) +с& . Р < р . 6<о. р хс о = v хс р . э .
(а хс рхс о) +с (р хс о) = (у хс рхс о) +с (6хс р). р < р . 6<о. (2)
[*117-31. *120-452. *113-671]
э . а хсрхсо< (у +Д) хсрхсо< (а +Д) хсрхсо.
[*126-51] z>. а < у +С1. у < а +Д .
[*120-429-442 . *117-25] э . а = у (3)
I-. (2). (3). *120-41. э Н : Нр (2). э . р хго = 6хс.р . р < р . 6<о.
[Нр] э. р = 0.6 = 0 (4)
F . (3). (4). э F : Нр (2). э . р = а хс р . v = а хс о (5)
F. (1). (5). *302-24. oF. Prop
*302-27. F : р, v, р, о, т] e NC ind - l‘0 . р хс о = v хс р . р хст] = v хсЪ,. z> .
£ хс о = Т] хс р
Доказательство.
I-. *113-27 . э F: Нр . э. § xcvxco = т] хсрхсо
[Нр] =T]X(.vxcp.
[*126-41] э. хса = т] хср : э I-. Prop
* 302-28. F : Нр *302-24 . т] б NC ind - l‘0 . р хст] = v хс^ . э .
(р, о) Ргт (£, п) [*302-26-27 . *300-17]
* 302-29. F : Нр *302-28 . Ргт Т].э.^ = р.г| = о
Доказательство.
F. *302-28-1. э
F :. Нр . э : (да) . ^ = а хср . т] = а хсо: ^ = а хср . т] = а хсо. =>а . а = 1 :
[*14-122] z>: § = 1хср . г| = 1хсоэ F . Prop
* 302-3. F : р, v, т] e NC ind -1‘0. р хст] = v хс^ . z> .
(ЯР, о). (р, о) Ргт (р, v). (р, о) Ргт (£, Т])
Доказательство.
F . *302-23-24 . э
F :. Нр . э : (зр,о): р Ргт о. р, оeNC ind - i‘0. р хсо = v хср :
а, р б D‘U . р хср = v хса. эа,р . а р . р о:
[*302-26-28] э : (зр, о). (р, о) Ргт (р, v). (р, о) Ргт (§, г|):. о F . Prop
♦ 302-31. F : (р, о) Ргт (р, v). р Ргт v.z>.p = p.v = o
Доказательство.
F. *302-1. (*302-02-03). э
F :. Нр . э : (зт). р = р хст . v = охст : р = р хст . v = охст . эт. т = 1 :
[*14-122] э . ц = р хс1 . v = о хс1 :. э F . Prop
* 302-32. F : | Ргт т|. ц Prm v . xcv = т] хс ц. э . = ц. т] = v
Доказательство.
F . *302-3-31. э
F : Нр . э . (зр, о). р Prm o.^ = p.[i = p.T] = o.v = o:oF. Prop
* 302-33. F :. ц, v, т] e NC ind - l‘0 . z>:
ц XCT| = v xc£. = . (ap, 0). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, t])
Доказательство.
F . Id . (*302-02-03). d F : (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (^, т]). э .
(Ят»т') • т, т' eD‘t/. |i = р хст . v = охст . | = р хст'. т] = охст'.
Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
253
[*113-27] о . (ат,т'). р xcv = р хсохстхст' = v (1)
h . (1). *302-3 .oh. Prop
*302-34. I-pi, v, т| e NC ind . ~ (p = v = 0). ~ (§ = T] = 0). о :
p xcT] = v xc£. = . (gp, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, t])
Доказательство.
h. *113-602. oh :Hp.p, = 0.v/0. о.£ = 0.т]#0 (1)
h . *113-602-621. о
h:p = 0.v^0.^ = 0.r]^0.o.p = 0xcv . v = 1 xcv. £ = 0xct]. rj = 1 xct].
[*302-14] о . (0, 1) Prm (pi, v). (0,1) Prm t]) (2)
h . (1). (2). о h : Hp. p, = 0 . v / 0. о .
(3 p, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm t]) (3)
Аналогично h:Hp.v = 0.p^0.o.
(a p, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, T]) (4)
h. (3). (4). *302-33 .oh. Prop
*302-35. h :. p,, v e NC ind . ~ (p = v = 0). p Prm о. о :
pxco = vxcp . = . (p, о) Prm (p, v) [*302-34-14-31]
♦302-36. h : p, v e NC ind . ~ (p = v = 0). = . (p, o). (p, o) Prm (p, v)
Доказательство.
h . *302-14 .oh:, (p, o) Prm (p, v). о :
p, о e NC ind . ~ (p = о = 0): (ат). т e NC ind - i‘0 . p = p xcx . v = oxct :
[*120-5 . *113-602] о : p, v 6 NC ind . ~ (p = v = 0) (1)
h.(l). *302-22. oh. Prop
*302-37. h : (p, o) Prm (p, v). = .
p, v e NC ind . ~ (p = 0 . v = 0). p Prm о. p xc о = v xc p [*302-35-36]
*302-38. h : (p, o) Prm (p, v). (^, T]) Prm (p, v). о . p = J;. о = r|
Доказательство.
h . *302-37 . о h : Hp . о . p Prm о. | Prm r|.pxco = vxcp.p xcr| = v xc^.
~(p = 0.v = 0) (1)
h . (1). *302-14 . *113-602 . о h : Hp . p = 0. о . p = 0. J; = 0. о = 1. i| = 1 (2)
h . (1). *302-14 . *113-602 . о h : Hp . v = 0. о . p = 1. J; = 1. a = 0. r| = 0 (3)
h . *302-27 .oh: Hp .p^O.v^O.o.p xcT] = oxc^ .
[(1). *302-32] о . p = £. о = T] (4)
h . (2) . (3). (4) . о h . Prop
♦302-39. h : (p, o) Prm (p, v). о . p p . v о
Доказательство.
h . *302-23-36 . о h :. p, v e D'U . о :
(ЯР» °) : (p, o) Prm (pi, v): t] e D‘t7 . p xct] = v xc£ . о^,л . £ p . т] о:
[*113-27] о : (ар, о). (р, о) Prm (pi, v). р р . v о:
[*302-38] о : (р, о) Prm (р, v). о . р р . v о (1)
h . *302-37-14 . о h : ц = 0 . (р, о) Prm (ц, v). о . v / 0. р = 0. а = 1 (2)
Аналогично h : v = 0 . (р, о) Prm (pi, v). о . р, 0 . р = 1 . о = 0 (3)
h . (2). (3). о h :. (р, о) Prm (pi, v): ц = 0 . V . v = 0 : о . ц р . v о (4)
h . (1). (4). *302-36 . *300-17 .oh. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
254
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*302-4. F : ц, у е NC ind . ~ (ц = у = 0). э . Е ! hcf (ц, у)
Доказательство.
F . *302-22 . э F : Нр . э . (зр, о, т). (р, о) PrmT (ц, у) (1)
I- . *302-38. (*302-02-03). э
I-: (р, о) Ргтт (|i, v). (£, Т|) Ргто (ц, v). э . р = £ . о = Т]. ц = р хст . ц = £ xc(D .
[*126-41] э.т = (П (2)
F . (1). (2). (*302-04). э F . Prop
* 302-41. F : |i, v e NC ind . ~ (p = v = 0). z> . E ! 1cm (p, v)
[*302-4]
* 302-42. F : |i, v e NC ind . ~ (|i = v = 0). э . hcf (p, v) xc 1cm (p, v) = p xcv
Доказательство.
F . *302-4-41. (*302-04-05). э F : Hp. z>.
(ЗР, о,т). |i = р хст . v = охст . hcf (ц, у) = т. 1cm (ц, у) = р хсохст .
[*113-27 . *116-34] э . (зр, о,т). ц хсу = р хсохст2 .
hcf (|i, у) хс 1cm (ц, v) = р хс охст2 : э F . Prop
* 302-43. F : (р, о) Prm (р, у) . z>. р хс hcf (ц, у) = р . охс hcf (ц, у) = у
[*302-4. (*302-02-04)]
* 302-44. F : (р, о) Prm (ц, у). э . р хсу = 1cm (ц, у) = охс ц
[*302-41. (*302-02-05)]
♦ 302-45. F : (р, о) Prm (ц, у) . т| е NC ind . ~ (^ = т] = 0). ц хст] = у хс^ . э .
1cm (5, т]) = р хс§ = охст|
Доказательство.
F . *302-37 . э F : Нр . э . (р, о) Prm (§, т]) (1)
F . (1). *302-44 . э F . Prop
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
255
*303. Пропорции
Краткое содержание *303.
В этом параграфе мы даем определение и элементарные свойства про-
порции ц/v. Большинство из важных применений пропорций относится
к числовым отношениям или отношениям тождества, т.е. к отношениям, ко-
торые могут, в определенном смысле, называться векторами. Пренебрегая
в данный момент отношениями тождества, рассмотрим числовые отноше-
ния, а для того чтобы закрепить наши понятия, рассмотрим расстояния
на прямой. Расстояние на прямой представляет собой одно-однозначное от-
ношение, чья обратная область (и его область также) является целой пря-
мой. Если мы называем два таких расстояния, как R и S, то мы можем
сказать, что они находятся в пропорции p/v, если, начиная от некоторой
точки х, v повторений R приводит нас к той же самой точке у, которую
мы достигли бы с помощью ц повторений 5, т.е. если xRvy. х5иу. Таким
образом, R п S будут находиться в пропорции p/v, если Однако
для того чтобы быть уверенными в том, что p/v = p/o, если (р, о) Prm (ц, v),
необходимо, вообще говоря, подставить а!Я°А5р вместо (В ука-
занном выше случае расстояний на прямой эти два выражения эквивалент-
ны.) Таким образом, будем говорить, что R находится в пропорции p/v к 5,
если (др, о). (р, о) Prm (ц, v). 3 IR° h 5P.
Если мы применяем данное выше определение к отношениям тожде-
ства, то мы обнаруживаем, что если R<zl .S al, то R находится в пропор-
ции p/v к 5, при условии т.е. при условии д!С‘/?АС‘5. Такого
рода использование требуется для того, чтобы иметь дело с нулевыми ко-
личествами и нулевыми пропорциями.
Таким образом, мы приходим к следующему определению пропорций:
*303-01. н/v = RS {(ар. о). (р, о) Prm (ц, v). g !7?°n5P) Df
Данное определение, как оно есть, требует оправдания в двух аспектах:
(1) обычно мы думаем о пропорциях, как о применяющихся к величинам,
отличным от отношений, (2) обычно нам не следует включать в качестве
примеров пропорции некоторые случаи, включенные в данное выше опре-
деление. Сейчас указанные два аспекта должны быть рассмотрены.
(1) При применении нашей теории к (скажем) пропорции двух масс,
мы замечаем, что понятие количества (скажем, массы) в любом примене-
нии зависит от сравнения различных количеств. “Векторное количество”
/?, которое соотносит количество т\ с количеством т2, представляет со-
бой отношение, возникающее из существования некоторого определенного
физического процесса добавления, посредством которого тело массы т\ бу-
дет трансформироваться в другое тело массы m2. Таким образом, о таких
шагов, обозначаемых посредством представляет собой добавление мас-
сы о{т2-т\). Аналогично, если 5 представляет собой отношение между
М2 и Л/], которое возникает при добавлении, превращающем тело массы
М\ в другое тело массы Л/2, то тогда 5Р символизирует добавление массы
р(Л/2-Л/1). Тогда д!Я°П5р подразумевает, что найдется пара масс т и
т' таких, что mRam’ и mSpm'. Другими словами, если мы возьмем тело А
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
256
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
массы т и трансформируем его так, чтобы превратить его в другую массу
ш+о(ш2 - ?И1), то мы получим тело точно такой же массы т', как если бы
мы перешли к преобразованию А в тело массы т+ р (М2 - Mi). Следователь-
но, о(/И2 - Ш1) = р (М2 - MJ; т.е. (m2 - т})/(М2 - Mi) = p/о. Однако в рамках
нашей символической системы добавление m2 - т\ представляется вектор-
ным количеством Я, а добавление М2 - Mi — векторным количеством 5; так
что в нашей символике R находится к 5 в пропорции р к о.
Таким образом, сказать, что нечто обладает ц единицами количества,
означает, что, принимая U для того, чтобы представить единичное век-
торное количество, соотносит нулевое количество—независимо от того,
чтобы это значило по отношению к указанному роду количества, — с ко-
личеством, которым обладает рассматриваемое нечто.
Для этого метода, символизирующего понятия количества, может быть
заявлено, что (а) он всегда представляет собой возможный метод действия,
какая бы точка зрения на представление первичных принципов ни была
бы принята, и (р) он прямо представляет следующий принцип “Нет ни
одного количества никакого вида без сравнения различных количеств того
же вида”.
К тому же, аналогично нашему толкованию кардинальных и ординаль-
ных чисел, мы можем определить некоторое определенное количество неко-
торого вида, скажем какое-либо определенное количество массы, как про-
сто класс всех “тел равной массы” с некоторым заданным телом. Нулевая
масса будет классом всех тел нулевой массы; и если не найдется ни од-
ного тела с такими свойствами, которыми должно обладать тело нулевой
массы, то этот класс сводится к Л в пределах подходящего типа.
Таким образом, применение нашей символической системы к конкрет-
ным случаям требует существования определенного испытания “равенства
количества” различных сущностей и детерминированного процесса “добав-
ления количества”. Формальные свойства, которыми должен обладать про-
цесс добавления, обсуждаются в параграфах, касающихся векторных се-
мейств.
(2) Уже показав к настоящему времени, что случаи, явно исключен-
ные нашим определением пропорции, могут быть включены, мы должны
показать, что не причиняется никакого вреда из-за включения случаев,
которые при естественном положении дел были бы исключены. Для того
чтобы рассматриваемая пропорция могла согласовываться с тем, что мы
от нее ожидаем, необходимо,. чтобы указанные два отношения R и S, чью
пропорцию мы рассматриваем, имели ту же самую обратную область. Ина-
че мы получаем такие случаи, как следующие: Пусть Р, Q есть две серии,
и предположим23, что B'P-B'Q^ 5p = 6g, 11F = 9g, 13p = 25g, но указанные
P и Q не имеют никаких других общих термов. Тогда мы будем иметь,
если R = Р\ .S = Qi,
(B‘P)R45p.(B‘P)S55p,
откуда следует, что R находится к 5 в пропорции 5/4, т.е. мы име-
23 По поводу обозначения ср. *121. — Прим, перев.
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
257
ем R (5/4) S. Однако мы будем также иметь R (8/10) 5 и R (24/12) S, т.е.
R (4/5) 5 и R (2/1)5. Таким образом, наше определение не делает различные
пропорции несовместными. Но в практических применениях, когда R и S
заключены в одно векторное семейство, различные пропорции действитель-
но становятся несовместными, как будет доказано в дальнейшем, в начале
главы 3. И пока мы не касаемся применений, которые составляют измере-
ние, важным для нашего определения пропорции является то, что должно
давать обычные арифметические свойства, в особенности фундаментальное
свойство
ц/у = р/о. = . ц хс о = v хс р,
которое доказывается, с нашим определением, в *303-39. Таким образом,
любое дальнейшее ограничение определения составило бы ненужное услож-
нение.
В силу нашего определения ц/у, ц/у = Л, если ц и у оба не являют-
ся индуктивными кардиналами или если ц = у = 0 (*303-11-14). Мы имеем
(*303-13) F . ц/v = Cnv‘(v / ц), т.е. обращение пропорции является взаимным.
Если ц = 0 и 7?(ц/у)5, то R должно обладать общей частью с тождеством
(которое мы можем выразить посредством формулировки того, что R пред-
ставляет собой нулевой вектор), а 5 может быть любым числовым отно-
шением или отношением тождества, чья область имеет элемент, который
находится в отношении R к самому себе (*303-15). Таким образом, если
у, о являются индуктивными кардиналами, отличными от 0, то 0/у = 0/о.
Общее значение пропорций, числитель которой представляет собой 0, яв-
ляется нулевой пропорцией, которую мы называем 0q (где указывает
на “quantity”24). Рассматриваемое определение 0q есть
*303-02. 0^ = s‘0/‘‘NC induct Df
Подобным образом, если ц и р представляют собой индуктивные кар-
диналы, отличные от нуля, то мы имеем ц/0 = р/0. Общее значение таких
пропорций мы называем ooq, полагая
*303-03. ooq = $70“NC induct Df
Свойства пропорций требуют различных экзистенциональных теорем, а
при установлении экзистенциональных теорем, без предположения аксиомы
бесконечности, вопрос о типах требует существенных предосторожностей.
Мы имеем
*303-211. I-: (р, о) Prm (ц, у) . о. ц/у = р/о
так что существование ц/у не зависит от ц и у, однако зависит от р и о, где
p/о есть ц/у в своих наинизших термах. Мы можем, вследствие этого, при
рассмотрении экзистенциональных теорем ограничить самих себя, в первую
очередь, простыми пропорциями.
Чтобы доказать существование (p/о) [t'R, когда рРгто, мы берем два
отношения R и S, оба содержащиеся в тождестве. Они находятся в пропор-
ции p/о при условии, что их поля имеют общий элемент и Е ! R° . Е ! 5Р. На
основании *301-16 это требует р, oeC‘(U [t3iR). Таким образом, мы имеем
*303-25. F р Prm 0.0:3! (р/о) [ t‘R . = . р, о с C\U [t3 ‘R). = . р (Л), о (1?) е С‘U
24 quantity (англ.) — количество. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
258
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Однако эта экзистенциональная теорема, которая получается, полагая
R и S содержащимися в тождестве, не так часто используется на практи-
ке: то, что требуется, представляет собой существование пропорции между
числовыми отношениями. С этой целью, допуская р о и о О, пусть X
есть класс такого типа, что Nc‘fX^p+cl. (Такой класс может быть всегда
найден в пределах некоторого типа на основании *300-18.) Тогда мы имеем
рхб(Г£7 и можем построить серию Q такую, что C'Q принадлежит тому
же самому типу, что и X и Nc‘C‘2 = p+cl. (Это доказывается в *262-211.)
Затем мы можем выбрать из Q серию Р, обладающую тем же самым на-
чалом и концом и состоящую из о+с1 термов. В таком случае мы имеем
(В‘2) (21 )р (В‘2) • (В‘2) (Р1У (В‘&.
Следовательно, Pi и 21 находятся в пропорции р/о. Подобный же довод
применяется, если о р и р 0. Таким образом, мы приходим к предло-
жению:
*303-322. F : р Prmo. рх, ox eD'U (TU . э . g! (р/о) [ (Relnum А Гоо‘Х)
Т.е., если р является простым по отношению к о и ни одно из них не
является 0, и р +с 1, о +с 1 оба существуют в пределах типа X, то тогда най-
дутся числовые отношения, находящиеся в пропорции р/о и обладающие
полями в пределах того же самого типа, что и X.
В том случае, когда или р, или о представляют собой 0, требуется от-
дельное исследование. Если R находится к 5 в пропорции О/о, то R должно
частично содержаться в тождестве (*303-15); следовательно, мы должны
найти гипотезу для з! (О/о) Г Rel num, поскольку а • (0/°) t Rd num возмож-
но. Так как О/о = 0/1, мы ограничиваемся требованием существования 2
в пределах подходящего типа, т.е. мы имеем
*303-63. F : а !2х. э . а !09 f (Rel num А Гоо‘Х)
В дальнейшем мы напомним, что а !2х является доказуемым, исключая
случай низшего типа.
В указанных выше предложениях р, и v, р и о были типово не-опреде-
ленными. Пропорции типово определенных индуктивных кардиналов рас-
сматриваются посредством *302-15, которое сразу же дает
*303-27. F : ц, veNC ind . цх, vx eC'U . z> . ц/v = px/vx
Пропорция может без изменения своего значения обладать числителем
и знаменателем, принадлежащими любому предписанному типу, в преде-
лах которого они оба существуют. Это дает нам возможность взять р и о
как типово определенные кардиналы в *303-322, получая, таким образом,
предложение
*303-332. F р Prm 0.0:3! (р/о) [ (Rel num А Гц ‘р). = . р, ос D'U A (TU
Приведенные выше экзистенциональные теоремы оказываются полезны-
ми при доказательстве
а/р = у/б . = . а хсб = р хсу.
Мы продолжаем следующим образом: Во-первых, мы показываем (*303-34),
что если р, о представляют собой индуктивные кардиналы, отличные от 0,
и р +с 1, о +с 1 существуют в пределах типа X, то мы можем обнаружить
числовые отношения R и 5 такие, что з!Р°А5р, однако ц >о. z> . ~ 3 !ЯП.
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
259
Это проделывается посредством рассмотрения двух серий Р и 0, обладаю-
щих тем же самым началом и концом и имеющих С‘Рео+с1 . С‘0ер+с1.
В таком случае, если R-P\ и S=0i, то мы имеем
(B‘R) R° (В‘Р). (B‘P)S? (В‘Р): т] >о. э . = Л,
откуда следует результат. Из этого предложения непосредственно следует,
что если р Prm о. |Prm т]. т] >о и если рх, щ еD‘[7 A Q‘[7, то мы можем най-
ти R и S такие, что Я(р/о)5 . ~ {R (^/ц) 5}. Подобный довод применяется,
если т] < о или > р, или £ < р. Следовательно, мы находим посредством
транспозиции
*303-341. Нрх,ох€В‘^пП‘[7.рРгто.^Ргтт].(р/о) [/(хА = (?Л1)
р=В.0=п
С этого места и далее рассматриваемый довод не вызывает затрудне-
ний, так как если мы имеем
а/0 = у/6 . (р, о) Prm (а, 0). (^, т]) Prm (у, 6),
то мы имеем на основании *303-341-211, р = ^.о = т]. Следовательно, с по-
мощью *302-32 мы имеем а хс5 = 0 хсу. То, что представляет собой прак-
тически обращение данного выше предложения, т.е.
*303-23. h : ц, V, ц е NC ind .
~ (И = v = 0). ~ (£ = т] = 0). ц ХСТ] = v хс£ . э . p/v = § / Т],
следует сразу же из *303-211 и *302-3. Следовательно, после рассмотрения
особых случаев мы находим
*303-38. F а, 0, у, 6 е NC ind:
ак, 0х е G‘U . V . ух, е (TU: - (а = 0 = 0). ~ (у = 6 = 0): э :
(а/0) [ = (у/6) [ faA • = • а хс6 = 0 хсу
В дальнейшем будет отмечено, что а/0 является типово не-определен-
ным, подобно Nc‘^. Однако для того чтобы гарантировать, что а/0 = у/5,
как бы ни детерминировался тип, необходимо только обеспечить, что-
бы это равенство имело место в пределах типа, в котором существует
(а/0) [Relnum. Когда мы просто записываем “а/0 = у/5”, мы будем подра-
зумевать, что это равенство имеет место, как бы ни детерминировался тип;
другими словами, оно имеет место в пределах типа, в пределах которого
существует (а/0) [Relnum. (Такой тип всегда найдется, в силу *303-322 и
*300-18, если а, 0eNC ind - i/O.) Таким образом, мы имеем
*303-391. h:.a,0eNCind.ax,0xcCTf7.~(a = 0 = O).z>:
(a/0) [ faA = (Y/6) [ twl. = . a/0 = у/8 . = . a хс6 = 0 хсу
и, в силу *303-38, мы имеем
*303-39. F а, 0, у, 6 е NC ind . ~ (а = 0 = 0). ~ (у = 5 = 0). э :
а/0 = у/0 . = . а хс6 = 0 хсу
Разумеется, это предложение является существенным для оправдания
нашего определения пропорции.
Оставшиеся предложения *303 состоят (1) из применений теории про-
порции к степеням данного числового отношения, (2) из свойств Qq и оо^,
(3) из нескольких свойств класса пропорций. Это последняя группа предло-
жений зависит от двух новых определений, которые должны быть кратко
объяснены.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
260
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Мы уже разъясняли, что p/v является типово не-определенным. Та-
ким образом, если мы назовем p/v “пропорцией”, то пропорции, такие как
“NCind”, строго говоря, не являются классом, потому что каждый класс
должен ограничиваться в пределах одного типа. Тем не менее, удобно, точ-
но так же как и в случае с NC ind, рассматривать пропорции, как если бы
они образовывали класс; и с такими же предосторожностями мы можем из-
бежать тех ошибок, в которые мы могли бы впасть, если бы рассматривали
их как класс в подлинном смысле этого термина. Поэтому мы полагаем
*303-04. Rat = X {(ЯН,v). ц, veNC ind. v / 0. Х = ц/v} Df
(Условие v / 0 вводится только потому, что оказывается удобно исклю-
чать оо^, как это принято.) В дальнейшем будет отмечено, что p/v все еще
типово не-определенно, если ц и v являются типово определенными. Это
проистекает из *303-27. Однако мы часто хотим иметь типово определен-
ные пропорции. Нам необходимо, чтобы они были определены в пределах
типов, в которых найдутся числовые отношения, находящиеся в рассмат-
риваемых пропорциях. Следовательно, мы полагаем
* 303-05. Rat def=X{(ap,v). ц, veD‘t7 А С‘17 . X = (ц/v) [Гц‘ц} Df
Здесь “def” означает “definite”, а ц, v —типово определенные индуктив-
ные кардиналы. Желаемые свойства “Ratdef’ проистекают из *303-322.
Следует заметить, что помимо того, что он состоит из типово определен-
ных пропорций, “Ratdef’ отличается от “Rat” исключением 0^. Это дела-
ется просто из соображений удобства.
Свойства “Rat” и “Ratdef’ непосредственно следуют из предыдущих
предложений. Мы имеем
* 303-721. F : Хе Rat - i‘O9 . э . (ян).X [Гц ‘ре Rat def
* 303-73. F : X е Rat def. э . я !X [ Rel num
На основании *303-322; и на основании *303-391,
* 303-76. F.X, KeRat.X [ nfpeRat def. э: X [ги‘р= Y [гн‘р. = .Х=У
Если имеет место аксиома бесконечности, то каждый элемент “Rat”,
исключая 0^, становится элементом “Ratdef’, как только ему придается
типовая определенность. Следовательно,
*303-78. F : Infin ах. э . Rat def = Rat - i‘O9
Рассматриваемые применения “Rat” и “Rat def’ отличаются точно так
же, как отличаются применения “NCind” и “NCinduct”. Указанное раз-
личие оказывается важным, лишь пока не принимается аксиома беско-
нечности.
*303-01. ц/v = Х5 {(ЯР, о) • (Р, о) Prm (ц, v). я !Я°А5Р} Df
В приведенном выше определении р, о, ц, v —типово неопределенные,
однако р, о (на основании *301-16) должны существовать в пределах ти-
па fX, в то время как нет необходимости, чтобы ц, v были таковыми; ц,
v не могут, тем не менее, быть нулевыми ни в каких типах на основании
*300-17.
*303-02. 0^ = s‘0/“NC induct Df
*303-03. ooq = s‘/0“NC induct Df
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
261
*303-04. Rat -X {(gp, v). р, veNC ind . v 0 . X = p/v} Df
*303-05. Rat def = X {(gp, v). p, v e WU A CT U . X = (p/v) [ rH 4p} Df
*303-1. F : R (p/v) 5 . = . (gp, o). (p, o) Prm (p, v). g IR° A Sp [(*303-01)]
*303-11. F : ~ (p, v e NC ind). э . p/v = Л [*303-1. *302-36]
*303-13. F. p/v = Cnv‘(v/p) [*303-1. *302-11]
*303-14. F . 0/0 = Л [*303-1. *302-36]
*303-15. F:7?(0/v)5 . = . veNC ind -CO. g IR A Z f C'S
= . v e NC ind - CO. 3 !C‘5 A x (xRx)
Доказательство.
F. *302-14-38. *303-1. э
F:7?(0/v)5 . = . veNC ind - CO . g!/?1 05°.
[*301-2] = . veNC ind - CO. g!7? A Z [ C‘5 : э F . Prop
*303-151. F :. R, S e Rel num id . э : R (0/v) S . = .
v e NC ind - CO. R e R17.5 e Rel num id. g! C'R Cl C'S
[*303-15. *300-324-3]
*303-16. F:fl(p/O)S . = . peNC ind - CO. g!S AZ \ C'R.
= . p e NC ind - CO.3! C'R A x (xSx) [*303-15-13]
*303-161. F :. R, S e Rel num id . z> : R (p/0) S . = .
p e NC ind - CO. R e Rel num id . 5 e R17. g! C'R A C'S
[*303-151-13]
*303-17. F:.p, veNC ind-CO./?, S e Rel num id . R (p/v) S . d:
R,S e R17. V . /?, S e Rel num
Доказательство.
F. *303-1. *113-602. z>
F :: Hp :. R, S eRel num id : (gp, o). p, oeNC ind - CO. g IR° A Sp :.
[*300-33. *301-3]
э :. S eRelnum id:. Z?eR17: (gp). peNC ind - CO . gIR A5P : V :
ReRelnum : (gp, o). p, oeNC ind - CO . g!7?° A5P :.
[*300-3] э :. 5 e Rel num id :. R e R17 . g 7 A 5po . V . R e Rel num . g! J A 5po :.
[*300-3-33] э :. R, S e R17. V . R, S e Rel num:: э F . Prop
*303-18. F :. p, v e D'U [ t3'R . R, S e R17 . э :
Z?(p/v)S . = ./? (0/v) 5 . = ./? (p/0) 5 . = . g! C'R A C'S
[*303-1-151-16. *301-3]
*303-181. F : g! (p/v). = . (gp, o). (p, o) Prm (p, v)
Доказательство.
F . *303-1. эF : g! (p/v). э . (gp, o). (p, o)Prm(p, v) (1)
F . *301-3 . *300-325-17. э F : (p, o) Prm (p, v). z>. (gx). (x i x) (p/v) (x i x) (2)
F . (1). (2). F . Prop
В данном выше предложении, если p/v является типово не-определен-
ным, так что “g!(p/v)” утверждает только существование в пределах до-
статочно высокого типа, то р, о могут быть также типово не-определенны-
ми. Однако, если p/v берется в пределах одного определенного типа, то р
и о должны быть взяты в пределах соответствующего типа и не должны
быть нулевыми в пределах указанного типа. Это доказывается позже.
*303-182. F :. 0/0 = p/v. = : ~ (р, v в NC ind). V . р = v = 0
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
262
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Здесь предполагается, что равенство 0/0 = p/v имеет место в пределах
достаточно высокого типа.
Доказательство.
F . *303-14 . э F:. 0/0 = p/v . э : p/v = Л :
[*303-181. *302-36] э : ~ (р, v е NC ind -l‘0). V . р = v = 0 (1)
F . (1). *303-11-14 . э F . Prop
*303-19. F : R (p/v) S . = . R (p/v) S [*303-1. *121-26]
* 303-2. F (p, o) Prm (p, v). э : R (p, v) S . = . g IR° A 5P
Доказательство.
F . *303-1. э F : Hp . g IR° A 5P . э . R (p/v) 5
F . *302-38 . *303-1. э F : Hp . R (p/v) S . э . g IR° A S p . э . R (p/v) 5 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 303-21. F p Prm о. э : R (p/o) S . = . g IR° A 5P [*302-31. *303-1]
* 303-211. F : (p, o) Prm (p, v). z>. p/v = p/o [*303-2-21]
* 303-22. F : p Prm о. p, v e NC ind . ~ (p = v = 0). p xe о = v xc p . э . p/v = p/o
[*302-37. *303-211]
* 303-23. F : p, v, ц e NC ind . ~ (p = v = 0). ~ (% = ц = 0). p xct] = v xc^. э .
p/v = £/T] [*302-3. *303-211]
* 303-24. F : p, veNC ind. ~ (p = v = 0). э . (gp,о). p Prm о. p/v = p/o
[*303-211. *302-22]
Следующие предложения придают типовую определенность экзистенци-
ональным теоремам для пропорций.
*303-25. F:.pPrmo.o:g!(p/o)[r‘7?. = .p,oeC‘(t/[r3t/?). = .p(/?),o(7?)eC‘t7
Т.е., если рРгто, то найдутся отношения того же самого типа, что и
7?, находящиеся в пропорции p/о, тогда и только тогда, когда число отно-
шений того же самого типа, что и R, является, по крайней мере, настолько
большим, как и р, и настолько же большим, как и о.
Доказательство.
F . *303-21. э F :. Нр . э : g! (p/o) [t'R . э . (gS, Т). Е ! S ° . Е ! Тр . 5, Т е t‘R .
[*301-16] э.р,оеС‘Щр‘Я (1)
F . *301-16-3 . z> F :. Нр. z>:
р, aeC'U [ t3'R .xet^'C'R . э . (xjx)p = Сфг)° = х\,х (2)
F . (2). *303-21. о
F :. Нр . э : р, оеС‘£/ [t3'R .xeto'C'R . э . (Дх) (p/o) (xjx) (3)
F . (1). (3). *63-18 . э F . Prop
*303-251. F: р, veC'U [ fi'R. ~ (p = v = 0). э . g! (p/v) [t'R
Доказательство.
F . *302-36-39 . dF : Hp. э . (gp,o). (p, o)Prm(p, v). p > p . v о.
[*117-32] z>. (gp,o). (p, o) Prm(p, v). p, оeC'U [ t3'R.
[*303-211-25] э . g! (p/v) [ t'R: э F . Prop
*303-252. F : p, veNC ind A C‘£/ [ r2‘C7? . ~ (p = v = 0). э . g! (p/v) [t'R
Доказательство.
F . *64-51-55 . э F : p = Nc‘a . a e t'C'R. xet^'C'R. э . J,x“ae p A t2'R (1)
F . (1). *300-14. э F : Hp . э . p, veC‘U [ P'R (2)
F . (2). *303-251. э F . Prop
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
263
В приведенном выше доказательстве ц, v принимаются типово не-опре-
деленными. Если они являются типово определенными, то и sm“v
должны подставляться вместо ц и v в правую часть (1) и (2). Гипотеза
“ц, v е NC ind О C'U |72‘ёД является удобным сокращением для
“р, v еNC ind . р A t'CR, v A t'CReCU [P'CR ”
На основании *65-13,
ц А f CR е CU [ t2 'CR. = . р с t' CR. р е СU [ t2'CR . = . ре СU [ г2'CR.
Однако “реС‘£/ [t^CR” требует того, чтобы р было типово определенным,
в то время как “ре NC ind” требует того, чтобы р было типово не-опреде-
ленным. Следовательно, гипотезу *303-252 можно оправдать только лишь
как сокращение, имеющее смысл “р,veNCind”, и если для р, v дано под-
ходящее типовое определение, то они становятся элементами C'U \ t2'C'R.
*303-253. F : р,veNCind ACU ~(p = v = 0). о . g! (p/v) [faA
[*303-252]
* 303-254. F : p, veNC ind. px, vxeCU . ~ (p = v = 0). э . g! (p/v) [ tQo'X
[*303-253. (*65-01)]
* 303-26. F : p, v eNC ind . ~ (p = v = 0). o . (gk). 3! (p/v) [ too'X
[*303-254. *300-17]
* 303-27. F : p, veNC ind. px, vxeCU . o . p/v = px/vx [*302-15 . *303-1]
*303-3. F : p Prm о. g !PPX'° . o . Pp(p/o)P°
Доказательство.
F . *301-16 . *14-21. o F : Hp. o . p xcoeC‘t7 A P‘P (1)
F . (1). *301-5 . o F : Hp . p / 0. о / 0. o . (PP)° = P^° = (P°)P .
[*303-21] э. PP(p/o)P° (2)
F . *301-2 . э F : Hp. p = 0. о . P? = I [ CP = P?*'0 . g II [ CP (3)
F . *302-14. z> F : Hp. p = 0. о . о = 1.
[*301-2] o.P° = P (4)
F . (3). (4). z> F : Hp . p = 0. z>. g !(PP)° A (P°)P .
[*303-21] o. PP(p/o)P° (5)
Аналогично F : Hp . о = 0. o . PP(p/o)P° (6)
F . (2). (5). (6). о F . Prop
*303-31. F : p Prm о. p 0. о / 0. (p xco) A t'Xe Q'U. o .
(gP) • P e num A fa/X. Pp(p/o)P°
Доказательство.
F . *300-46 . *301-4. o F : Hp . o . (gP). P e Rel num. (B'P) ° (B'P) (1)
F . (1). *303-3 . o F . Prop
*303-311. F : px,ox ed'U - Г0. p о. э . (gP, Q). Pe(p+Cl)r. Qe(o+Cl)r.
P,Qeta)‘X.QGP. B4>=B‘Q. B‘P^
Доказательство.
h . *262-21 . э h : Hp. э. g! (p+cl)r П (1)
h . *117-22. z> h: Hp. Pe(p+Cl)r. э . (ga). a c C‘P. aea+cl (2)
h . *261-26 . *205-732 . z>
I-: Hp. P€(p+Cl)r. a aC'P. a€o+cl.
P = (a - I'minp'a - i‘maxp‘a) U i'B'PU i'B'P. z>. peo+cl .
[*250-141. *202-55] э . P [ 0 e(o+cl)r (3)
h. (1). (2). (3). *205-55. э t-. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
264
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*303-32. F : р Prm о. р > о. о / 0. px е Q'U . о .
3! (P/Q) t (Rel num А Гоо‘Х) A RS (Яро cSpo)
Доказательство.
F . *303-311. о F : Hp. о . (3P, Q). P e (p+cl)r. Q e (о+Д)г. P, Q e .
Q gP . B‘P = B'Q. B'P = B'Q (1)
F. *300-44-45. *301-4. о
F : Hp . Pe(p+Cl)r. 5 = P{ . о . S eRelnum . (B'P)SP(B'P) (2)
F : Hp. Q e (o+cl)r. R = Qi . о . R e Rel num . (B'Q)R°(B'Q) (3)
F . (1). (2). (3). *261-35-212 . о
F:Hp.о. (3Я, 5) • R, S e Rel num A . R^ . 3 !Я°А5Р (4)
F . (4). *303-21. о F. Prop
*303-321. F : p Prm 0. p / 0.0/ 0 . px,Ox eC‘t7 . о . 3! (p/o) [ (Rel num A faA)
[*303-32-13]
*303-322. F : p Prm о. px, ox e D'U A Q'U . о . 3! (p/o) [ (Rel num A tw'ty
[*303-321]
*303-323. F : p, v e NC ind - i‘0. о . (3 k). 3! (p/v) [ (Rel num A faA) [*303-322]
*303-324. F : p, v NC ind . px, vx eD'U . ~ (pPrm v).0.3! (p/v) [ (Rel num A too'K)
Доказательство.
F . *302-22 . о F : Hp . о .
(ЗР, о, t) . p Prm о.р/0.о/0.т/0.т=1.р = р xcr. v = oxct . 3! px . 3! vx .
[*303-2-21]
о . (3P, o). p Prm 0. p / 0. о / 0. p/v = p/o. 3! (p+J)x . 3! (°+J)x •
[*303-321] о. 3! (p/v) [ Rel num : о F . Prop
Для существования (p/v) [ Rel num в пределах любого заданного типа ни
в коей мере не является необходимым иметь р, veD‘Lf в пределах соответ-
ствующего типа. Если р Prm о. р, oeD'U A Q'U, то (р хст)/(охст) будет су-
ществовать, каким бы большим ни было т, потому что (р хст)/(охст) = р/о.
*303-33. F : з! (p/v) [ (Rel num A too'X). = .
(ЯР» q) • (р, °) Prm (р, v). px, ox e D'U А С‘£7
Доказательство.
F. *303-322-211. о
F : (p, o) Prm (p, v). px, Ox eD‘[/ A Q'U .0.3! (p/v) [: (Rel num А Гоо‘Х) (1)
F.*303-181-15-16-211.o
F :. 3! (p/v) C (Rel num А Гоо‘Х). о : (Зр, о). (р, о) Prm (р, v). р / 0 . о / 0.
3! (р/о) [ (Rel num А Гоо‘Х):
[*303-21] о : (зр, о). (р, о) Prm (р, v). р / 0 . о / 0:
(3Я,5). R, S eRel num А Гоо‘Х. 3 !Я°А5р :
[*301-41] о : (зр, о). (р, о) Prm (р, v). р / 0 . о / 0 .
3! (р +с1) A t0'\. 3! (о +Д) A to'X (2)
F . (1). (2). о F . Prop
*303-331. F :. р Prm 0.0:3! (р/о) £ (Rel num А /оо‘М • = • рх,<*х eD'U A Q'U
[*303-33. *302-31]
*303-332. F :. р Prm 0.0:3! (р/о) [ (Rel num А Гц4р). = . р, oeD'U A Q'U
[*303-331]
В этом предложении р, о —типово определенные кардиналы, в то время
как в *303-331 они являются типово не-определенными.
Principia Mathematica III
»303. ПРОПОРЦИИ
265
*303-34. к : р, оeNC ind. рх, Ox eD‘t/ A d‘U. г] >0. z>.
faR, S). R, S e Rel num Cl Zqo‘A.. 3 !Л°П5p . ~ (3 !7?n AS1 ?}
Обратим внимание на то, что ~ {3 !ЛПА5^} не подразумевает Е! Rn или
Е!5Р.
Доказательство.
к . *303-311. э к: Нр. э. (зР, Q,R,S). Ре(р+С1)г. ее(о+с1)г.
Р,ее^оо‘Х.‘Р= В‘е.‘Р= В‘ё.Л = Р1 .5 = 61 (1)
Как и в док. *303-32
k . (1). э к : Нр . э. (3Р, Q,R,5). Ре(р+с1)г. 6е(о+с1)г. 5 = Pt . R = Qi .
R, S e Rel num. (B‘P)(P°n5p)(B‘P).
[*121-48 . *202-181. *301-4. *300-44]
э . (3P, S). R, S e Rel num A Zoo. з!7?°А5р . ~ (3 !Pn): э к. Prop
*303-341. k:px, OxeD‘I7nCI‘t7.pPrmo.^Prmr).(p/0) ^oo‘X=(^/t]) [/oo‘X.z>.
P = £.O = T]
Доказательство.
к . *303-34-21. э к : px, 0x e D‘tZ A Q‘t7 . p Prm a. % Prm л. л >0. z>.
(Р/оНАхА/^/пН'оЛ (1)
к . (1).Transp. *302-1 .эк:Hp. z>.т] o (2)
к. (2). *303-13. эк:Нр.э.^<р (3)
к. (2). (3). *117-32. э к : Hp. z>. %x, °x eG‘t/ (4)
k.*303-322. D.^/O.ri/0 (5)
k. (2). (4). (5). э к: Hp. э. £x,Hx eD‘t/ A d‘17.
p« io
F. (2). (3). (6). э F . Prop
*303-35. F: 1хеСТ£7.§РГтт].(0/1) £Гоо‘Ь = (£Л]) tfaA-э .£ = 0.т] = 1
Доказательство.
F . *300-14 . э F : Нр . э . (gx,y). х . х,у •
[*300-15] э . (з х, у). х ± у. (х|х) (0/1) (xj.y). х|х, х|у е Zoo ‘X.
[Нр] э . (з х, у). х + у. (х|х) (£/л) (х|у).
[*303-16-17. Transp] э . ? = 0. (1)
[*302-14] э. л = 1 (2)
к . (1). (2). э к . Prop
*303-36. к:. рх, ox е СГ1/ . §х, Ль 6 G‘17: Р Ргт а • ? Ргт Л : э:
(p/а) [ ЛхА = (£/л) t too^ • = • р = § • о = л
Доказательство.
F. *300-14. *302-14. э
F :. рх, ox . р Ргт о. - (рх,ох eD‘t/) .o:p = 0.o=l.V.p=l.o = 0:
[*303-35-13] э: Ргт л • (p/o) [ took = (§/л) [ ЛхА. э . р = £. о = л (1)
к. (1) .*303-341. эк. Prop
*303-37. к :. а, р е NC ind A d\U [ z2‘k). ~ (а = 0 = 0). V .
y,6eNC mdAQ‘(l/ [z2^). ~ (у = 6 = 0): э :
(а/0) 1 ЛхЛ = (у/б) [ Zqo'X . э . а хс6 = 0 хсу
Доказательство.
F . *302-36 . *303-211. э F : a, peNC ind . ах,рхeG‘17. ~(а = 0 = 0). э .
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
266
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
(а р, о), (р, о) Prm (а, р).р/а = а/р (1)
h. (1). *303-254181. э Н Нр (1) . (а/р) [ /«Л = (у/8) [ • => •
(Я^П) • (В, Л) Prm (у, 8) (2)
к . (1). (2). *302-21-22 . *303-211. э
F : Нр (2). э . (др, о, т]). (р, о) Prm (а, 0). (^, т]) Prm (у, 6). р, oeQ‘[7 .
р/а = а/0 = у/8 = £/т].
[*303-36] э . (др, о). (р, о) Prm (а, 0). (р, о) Prm (у, 6).
[*302-34] э . а хс8 = 0 хсу (3)
Аналогично
Ну, 8eNC ind. ух, 8х с Q‘t/. ~ (у = 6 = 0). (а/0) [ = (у/Ь) [г0(А-=>-
а хсд = 0 хсу (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*303-371. F: а, 0, у, 8 eNC ind . ах, 0х,Ух^х tC‘U • ~ (аPrm 0 . у Prm 6).
(а/0) t Гоо‘к = (у/8) С Гоо‘Х. э . а хс8 = 0 хсу [*303-37]
*303-38. F а, 0, у, 6 е NC ind : ах, 0х е (TU . V . ух, 8х е (TU :
~ (а = 0 = 0). ~ (у = 6 = 0): э :
(а/0) [ faA = (Y/6) f Гоо^ • = • а хс6 = 0 хсу [*303-37-23]
*303-381. F а, 0, у, 6 е NC ind . ах, 0х, Ух, &х е C'U . ~ (а Prm 0 . у Prm 8). э:
(а/0) [ Го(А = (Y/6) t faA • = • а хс8 = 0 хсу [*303-371-23]
*303-39. F а, 0, у, 8 еNC ind. ~ (а = 0 = 0). ~ (у = 8 = 0). э :
а/0 = у/8 . = . а хс8 = 0 хсу [*303-38 . *300-18]
*303-391. F а, 0 е NC ind . ах, 0х е G'U . ~ (а = 0 = 0). э :
(а/0) С faA = (у/6) [ Г(хА • = . а/0 = у/5 . = . а хс6 = 0 хсу
[*303-38-254-11-14]
Таким образом, когда а/0 используется как типово не-определенный
символ, мы получаем в точности такие же результаты, как если бы мы
предположили, что он определяется как символ типа Гоо‘Х, где и а+с1, и
0+с1 существуют в пределах типа к, т.е. Nc7o‘X > а. Nc‘/o‘X > 0.
*303-392. Н. а, 0 е G'U . ~ (а = 0 = 0). э : (а/0) [ Гц ‘а = (у/8) [ Гц ‘а . = .
а/0 = у/8 . = . а хс8 = 0 хсу [*303-391-27]
Это предложение отличается от *303-391 тем, что а, 0 уже стали ти-
пово не-определеиными. В дальнейшем будет отмечено, что даже когда а
и 0 являются типово определенными, а/0, подобно ахс0, остается типово
не-определенным.
*303-4. Fр Prm о. R е Rel num . э : 7?р(р/а)/?о . = . g !7?pXf о
[*303-3-21. *301-4]
*303-41. Н: щ v с NC ind . ~ (ц = 0 . v = 0). э
R е Rel num . | = 1cm (ц, v). э : 7?и(|л/v)/?v . = . g
Доказательство.
F . *303-2 . *300-44 . э
F Нр .p^O.v/O.^e Rel num . (р, о) Prmr (ц, v). э :
-^i(M-/v)/?v • = • Я о КуХср •
[*302-37] н.а!ЯИХсо (1)
Н (1). *302-44 . э h Нр (1). = 1cm (р, v). э : 7?p(p/v)7?v . = . (2)
F . (2). *302-22 . э
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
267
F Нр .p/O.v/O.PeRelnum . | = 1cm(p,v). э :Pg(p/v)Pv . =. g(3)
F . *302-44 . э
F Hp . p = 0. R e Rel num. = 1cm (p, v). э : | = 0 :
[*303-15] э: R^/v)Rv. =. g (4)
Аналогично
F Hp . p = 0 . R e Rel num . | = 1cm (p, v). э : ^(p/v)Pv . = . g (5)
F. (3). (4). (5). э F . Prop
* 303-42. F Hp *303-41. £ = 1cm (p, v). э : ^(p/v)t7v . = . 1cm (p, v) e C‘U
[*303-41. *300-26]
* 303-43. F Infin ax. э : p, v e NC ind . ~ (p = v = 0). . L^(p/v)I/v
[*303-42. *300-14]
* 303-44. F Hp *303-42 . P e Ser . э : I7^p/v)I7v . = . g\P^ [*303-41. *300-44]
* 303-45. F : P e Qinfin . p, v e NC ind . ~ (p = 0 . v = 0). э . PH(p/v)Pv
[*300-44. *303-44]
* 303-46. F (p, o) Prm (p, v). T] eNC ind . R eRel num . э :
^(p/v)Pn . = .^xco = T]Xcp.glR^Xco
Доказательство.
F. *303-211. э
F Hp . э : ^(p/v)^ . = . ^(р/о)Рл .
[*303-21] = • g lR^cO А /?т]хср •
[*300-55] = . | xco = r| xcp . g!^xco :• => F . Prop
*303-461. F p, v, T] e NC ind . ~ (p = v = 0). ~ = t] = 0). R e Rel num . э :
^(р/у)7?л . = . £ XCV = T] Xc p . g
Доказательство.
F . *302-45 . э
F : Hp . (p, o) Prm (£, t]) . z>. § xc о = 1cm (£, т]) (1)
F . *302-35 . э
F : Hp. (p, o) Prm (p, v). | xc о = т] xc p . э . (p, o) Prm (|, t]) . (2)
[*302-34] э. £ xcv = T| xc p (3)
F . *302-35-37. э
F : Hp . (p, o) Prm (p, v). | xcv = т] xc p . э . | xc о = т] xc p (4)
F . (1). (2). (3). (4). *303-42 . э F . Prop
*303-47. F Hp *303-461. A ~ e Pot ‘R . э : ^(p/v)^ . = . £ xcv = r| xc p
[*303-461]
*303-471. F p, v, t]eNC ind . ~ (p = v = 0). ~ = r] = 0). PeQ infin . э :
P^(p/v)Pn . = .^XcV = T]Xcp
[*303-47. *300-44]
*303-48. F p, v, T] e NC ind . ~ (p = v = 0). ~ (§ = т] = 0). э :
• = • £ xcv = Л xcp. 1cm (^, т])еС‘[/
[*303-461. *300-26]
*303-49. F :: Infin ax . э p, v, T] e NC ind . ~ (p = v = 0). z>:
t/^p/v)^ . = . £ xcv = T] xc p
Доказательство.
F . *303-15 . э F p, v, T]e NC ind . p = 0 . v / 0. э :
t/^p/v)^ . = . Щ e R17. e Rel num id .
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
268
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
[*120-42] =.£ = 0.
[*113-602] = . |xvv = T] хср (1)
Аналогично
F р, v, т) е NC ind. р / 0. v = 0. э: xev = т] хс р (2)
F. (1). (2). *303-48. з F. Prop
*303-5. F: р, о е NC ind -1‘0. g! (р +со) х. з.
(ЗД Q). Р е (р+с1)г. Q е (о+с l)r. Р, Qet^X.
В'Р = B'Q. В'Р = B'Q. C'P П C'Q = CB'P U CB'P
Доказательство.
F. *110-202. *120-417.3
I-: Hp . 3 . (ga, P). a, p eto't.. aep +C1 . p eo-cl. an P = A (1)
F. *262-2.3
F:Hp.a,pefo'X.aep +C1. peo-cl .апр = А.о/2.з.
(gP, 5). P, S €Q П Гоо‘Х. C'P = a. C'S = p. а П p = A.
[*251-131-141] 3. (gP, S, Q). P, S, Q e Q П Zoo'X. C'P = a. C'S = p.
Q = B'P я- S -H B'P. C'P П C'Q = CB'P U CB'Q (2)
F. *262-2.3 F: Hp .а, реГо‘^-«€р+с1-Р = 1‘^-^~€а-о = 2.з.
^PQ).P,Qetoo'-k.PeQ.C‘P = a.Q = (B‘P)lx-hB‘f> (3)
F . (1). (2). (3). 3 F . Prop
*303-51. F pPrmo.p/0.a/0.g! (p+ca)x • з:
(дЯ,S) :R,S e Rel num П /00 A. R (p/о) S : £/т] / p/a. з^п . ~R (%/г)) S
Доказательство.
F. *300-44-45 . *301-4. з
F : Hp. Pe(p+Cl)r. Qe(a+Cl)r. S = P, .R = QX .
B'P = B'Q. B'P = B'Q. C'P П C'Q = CB'P U CB'Pc .3.3!Я°П5Р (1)
F . *301-41.3 F : Hp (1). ~ (£ = P • П = a). 3. Я1^ = A (2)
F . (1). (2). *303-21.3
FHp (1). 3: R (p/a) S : £ Prm t]. ~ (§ = p . r| = a). ~R (£/n) S :
[*303-36] 3: R (p/a) 5 : ? Prm r]. £/t) / p/a. 3^ . ~ R (§/t]) S :
[*302-22. *303-211]
з:Я(р/а)5:^ЛеС‘[/.~(^ = п = 0)Л/п/р/о.з5>11.~Я(§/Л)5:
[*303-182] з: R (p/a) S : £/t] / p/a. з?Л1. ~ R £/n) 5 (3)
F . (3). *300-44. *303-5 . з F. Prop
*303-52. F p, v e NC ind -1‘0. g! (p+c'v)/ • э:
(^R,S):R,S etoo'X.R(p/v)S :|/t]/p/vo?,n . ~R(lj/т])S
Доказательство.
F . *303-24. *302-39. з
F : Hp. з . (g p, a). p Prm a. p/v - p/a .p,£0.a/0.g!p +ca (1)
F . (1). *303-51.3 F. Prop
*303-6. F : v e NC ind - i‘0 . э . 0/v = 0^ [*303-15]
*303-61. F : v € NC ind - i‘0 . э . v/0 = ooq [*303-16]
*303-62. F. 0, = Cnv‘oo9 =R§ (д!ЯП/ [C'S) [*303-6-61-13-15]
*303-621. F . 0q [ Rel num id = Cnv‘(Rel num id 1 oog)
= RS (Ral.S eRelnumid . g! C‘PC C‘5) [*303-6-61-13-151]
Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ
269
*303-63. I-: з! 2х . э . a !0g f (Rel num A fa/X)
Доказательство.
F . *303-15-6 . э F : x # у. э . I0q (Ду): э F . Prop
*303-631. h : a! 2x . э . a! (Rel num A fa/X) 1 °°q [*303-63-62]
*303-65. h : a! 2x . э . О,? [ Гоо‘Х ± °°q t foo‘X
Доказательство.
F . *303-62 . э F : x t у . э . I0q (xj,y). ~ {Iooq (х|у)}: э F . Prop
*303-66. h a! 2x . э : (p/v) [ Гоо‘Х = Qq . = . p = 0 . v eNC ind - i‘0
Доказательство.
F . *303-6 . э F : p = 0 . v e NC ind - i‘0 . э . p/v = 0q (1)
F . *303-6-15 . э
F : p/v = Qq . э . p/v = RS (ReRl‘1. S e Rel num id . a’ C'R A C'S) (2)
F . *303-3 . э F : Hp. э . (э%,у). x # у. x\y e Rel num А Гоо‘Х.
[*10-24] э . a! (Rel num id - R17) A t^'X (3)
F. (2). (3). *303-11’17.0
F :: Hp . э (p/v) [ fa/X - 0q . э : p, veNC ind : p - 0 . V . v = 0 (4)
F. (2). (3). *303-16. э
F :. Hp. о : (p/v) £ too'k = 0g . о . ~ (p / 0. v = 0) (5)
F . (4). (5). о F Hp. о : (p/v) ^oo‘X = 09 . о . p = 0. v eNC ind - l‘0 (6)
F . (1). (6). о F . Prop
*303-67. F a! 2x . о : (p/v) [7oo‘X = . = . v = 0. pe NC ind - l‘0 [*303-66-62]
*303-7. F : X e Rat. = . (ap, v). p, v e NC ind . v / 0. X = p / v [(*303-04)]
*303-71. F : X e Rat def. = . (ap, v). p, v e D'U A d'U . X = (p/v) [ tu ‘p
[(*303-05)]
*303-72. F:XeRat.o.(ap).g!X [ги‘р [*303-26]
*303-721. F : XeRat - l‘0^ . о . (ap) • X [ ^‘peRat def
[*300-18. *303-7-71]
*303-73. F : X e Rat def. э . a !X £ Rel num [*303-322-324]
*303-731. F p Prm о. о : (p/o) £ Гц‘р eRat def. = . p, oeD‘t/ A G'U
[*303-71. *302-39]
* 303-74. F p Prm о. X = (p/o) t ‘p . о : g!X Relnum . = . p, aeD'U A G'U
[*303-332]
* 303-75. F : XeRat. g!X [ (?n‘p A Rel num). о . X [ rn‘peRat def
[*303-74’71]
* 303-76. F:.X,PeRat.X pn‘peRatdef.o:X Un‘p = r [ги‘р. = .Х=У
[*303-391]
* 303-77. F :. Infin ax. э : p, v e NC ind - l‘0 . э . p/v e Rat def
[*300-14. *303-71]
* 303-78. F : Infin ax. э . Rat def = Rat - l‘0^ [*303-7-77]
Два приведенных выше предложения предполагают, что p/v в первом из
них и “Rat” во втором уже была придана типовая определенность, однако
они имеют место, как бы ни был определен тип.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
270
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 304. Серии пропорций
Краткое содержание *304.
В этом параграфе мы рассматриваем отношение больше и меньше меж-
ду пропорциями и серию, образованную этим отношением. Нам требуются
два разных обозначения, одно —для отношения больше и меньше между
типово не-определенными пропорциями, другое —для отношения больше и
меньше между пропорциями в пределах одного и того же типа. Первое из
них более полезно там, где мы имеем дело просто с неравенствами меж-
ду определенными пропорциями, а второе необходимо, когда мы желаем
рассматривать серию пропорций в порядке их величин, поскольку серия
должна составляться из термов, все из которых принадлежат одному и
тому же типу. Мы полагаем
* 304 01. X <r Y. = . (ац, v, р,о). ц, v, р, oeNC ind . o# 0. |ixco< v хср .
X = ц/v . Y = p/o Df
Это определение оформляется так, чтобы включить 07, но исключить
ooq. Для отношения “меньше чем” между рациональными числами задан-
ного типа (исключая 0q) мы используем букву Я, чтобы подразумевать ц
(определенный в *273), так как если имеет место аксиома бесконечности,
то серия рациональных чисел заданного типа принадлежит ц. Указанное
определение есть
* 304 02. Я = ХУ {X, У e Rat def. X <г У} Df
Когда мы желаем включить 0q в рассматриваемую серию, мы исполь-
зуем обозначение Я'; таким образом
* 304-03. Я' = ХУ {X, У е Rat def U l‘O9 . X <r У} Df
(В дальнейшем будет отмечено, что l‘0^ приобретает типовую опреде-
ленность вследствие того обстоятельства, что оно должно быть в пределах
того же самого типа, что и “Ratdef”, для того чтобы придать значимость
“Rat defui‘0/’.)
Если аксиома бесконечности не имеет места, то Я и Н' будут конеч-
ными сериями: если v+cl наибольшее целое в пределах заданного типа
(v >1), то первый терм Я есть 1/v, а последним — является v/1 (*304-281).
В пределах более высокого типа мы получим объемлющую для Я серию,
однако ни на каком этапе мы не получим бесконечную серию. Если, с дру-
гой стороны, аксиома бесконечности имеет место, то Я представляет собой
компактную серию (*304-3) без начала или конца (*304-31) и обладающую
Ко термами в своем поле (*304-32), т.е. Я принадлежит ц (*304-33). В этом
случае С‘Я = В‘Я = Rat - l‘O9 (*304-34), т.е. любое рациональное число, от-
личное от 0^, как только ему придается типовая определенность, принад-
лежит С'Н.
При всех обстоятельствах Я представляет собой серию (*304-23), и Я
существует в пределах типа fa/X, если 3 существует в пределах типа
(*304-27). В том же самом случае С‘Н = Rat def (*304-28). Подобные пред-
ложения имеют место для Я'.
Principia Mathematica III
*304. СЕРИИ ПРОПОРЦИЙ
271
С'Н' состоит из типово определенных пропорций, и если X представля-
ет собой какую-либо пропорцию, то найдутся типы, в пределах которых
X принадлежит С'Н' (*304-52). Если имеет место аксиома бесконечности,
то каждая пропорция является элементом С'Н' в пределах каждого типа
(*304-49).
* 304-01. X<r Y. = . (зцл,р,о). pi, V, р, oeNC ind. о / 0. pixto< v хср .
X = pi/v . Y = р/о Df
* 304-02. H = XY{X, yeRat def. X <г У} Df
* 304-03. H'=XY{X, У e Rat def U i‘0, . X <r У} Df
* 304-1. F : X <r Y. =. (gpi, v, p,o). pi, v, p, oeNC ind . pi xco<v xcp .
X = pi/v. У = р / о [(*304-01)]
* 304-11. F : pi/v <r p/o. н . p / о <r v / pi [*304-1]
* 304-12. F : X <r У. = . X <r У [*304-11. *303-13]
* 304-13. F : X <r У. э . X, У e Rat. У / 09
Доказательство.
F . *117-5. э F : pixco< v xcp . э .vxcp /0.
[*113-602] o.v/O.p/O (1)
F. (1). *304-1. *303-7. э F . Prop
* 304-14. F : ХЯУ. = . X, yeRat def. X<r У [(*304-02)]
* 304-15. F : XHY. =. (дцл, p, о). pi, v, p, о e D'U D d'U .
X = (pi/v) [tn‘pi. У - (p/°) t ‘И - цхсо< v xcp [*304-14-1. *303-71]
*304-151. F : XHY. = . (gM, N, ц). M <r N. M [ t, i ‘pi, N [ t] i ‘pi e Rat def.
X=M [tn‘pi. Y = N [fn‘pi [*304-15]
* 304-152. F piPrm v. p Prm о. э : {(pi/v) [ tn‘pi} H {(p/o) [ Гц‘pi}. = .
pt/v <r p/o. pi, v, p, о e D'U П d'U [*304-151. *303-731]
* 304-16. F:(pi/v)H(p/o). = .(o/p)H(v/pi) [*304-15]
* 304-161. F : XHY . = .XHY [*304-12-151]
* 304-2. F.HgJ
Доказательство.
F . *303-37. э
F : pi, v, p, oeD'U Cl d'U. (pi/v) [ Гц‘pi = (p/o) [ Гц ‘pi. z>. pi xco = v xcp .
[*304-15] z>. ~ {(pi/v) H (p/o)} (1)
F. (1).Transp. dF . Prop
*304-201. F.~(X<rP) [Доказательство, как в *304-2]
*304-21. F . H e trans
Доказательство.
F . *304-15 . э F : XHY . YHZ. z>.
(gp, v, p, o, r|). p, v, p, о, T] e D'U A . p xc o< v xcp .
p хст|<охс^. X = (p/v) ‘p. Y = (p/o) [rn‘p.Z = (£/T]) [Гц‘р (1)
F. *117-571. *120-51.э
F:p,v,p,0,^T]6D‘[/nQ‘[/.pxca<vxcp.p хст]<охс§. э .
p xc axcr|< v xc pxcr|< v xc axc£.
[*126-51] d . p xct]< v xc^ (2)
F . (1). (2). d F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
272
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*304-211. I-: X <г Y. Y <rZ. z> .X<r Z [Доказательство, как в *304-21]
*304-22. F . Н е connex
Доказательство.
F . *126-33. э Fр, v, р, ое D‘I7 П Q‘I/. э :
рхсо< v хср. V . рхса = vхср . V . рхсо> vхср (1)
I- . (1). *304-15 . э F. Prop
*304-221. h:.X,yeRat.D:X<ry.V.X=y.V.r<rX [Док-во, как в *304-22]
*304-23. F.HeSer [*304-2-21-22]
*304-24. F : р, veD‘l/0 Q‘t/ . v/ 1. э . (p/v)H(p/(v-cl)}
Доказательство.
I- . *120-414-415-416 . z> F : Hp. э . v -C1 eD‘[/ Cl (Г Я (1)
F. (1). *304-15. z> F. Prop
*304-241. F:peD‘t/.p+clea‘I/.o.(p/l)H((p+c 1)/1}
Доказательство.
F. *300-14. z>F:Hp.z>.p, leCTI/ (1)
I- . *300-14. *120-124 . э F : Hp. э . p + J e D‘t7 (2)
F . (1). (2). *304-15z> F . Prop
*304-25. F : p, veD‘t/ Ci G‘[/. ~ (p+C1 = B‘[/. v = 1). э. p/v e D‘H. v/pe Q‘H
[*304-24-241-16]
*304-251. F:p+cl=B‘t/.D.p/l~eD‘H
Доказательство.
F . *300-14. э
F : Hp. p, oeD‘1/ Ci Q‘l/. э . p < p. 1 < a.
[*117-571] z>.pxcl^pxca (1)
F.(1). *304-15 .dF.Prop
*304-26. F p Prm v. z>: p/v e D‘H. =. v/p e Q‘H.
= .p,veD‘t/na‘t/.~(p+cl =B‘t7.v= 1)
[*302-39. *304-25-251-15-16]
*304-261. F . D‘H = X {(ap, v). p. v e D‘l/ П Q‘l/. ~ (p +C1 = B'U . v = 1).
X = (p/v) t r, i ‘p} [*304-25-251-15]
*304-262. F.a‘H = X{(ap,v).p,veD‘t/na‘t/.~(p+cl = B'U .v = 1).
X = (v/p) [ Гц ‘p) [*304-261-16]
*304-27. F:g!H. = .a!3
Доказательство.
F . *300-14 . э
F:.a!3.z>:p = 1 . v = 2. э . p, veD‘t/ Л Q‘t/. ~ (p +C1 = B'U. v = 1).
[*304-25] э.а!Н (1)
F . *304-261. э
Fa!H. э: (ap, v). p, veD't/ Cl Q‘t/ :p+cleQ‘t/.v.v^l:
[*300-14] э : (ap). p> 1.3! И+с2. V • (gv). v>1.3! v+cl:
[*117-32] э:а!3
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica III
«304. СЕРИИ ПРОПОРЦИЙ
273
*304-28. h : а! 3 . z>. С‘Н = X {(ЭЦ, v). р, veD‘l/ Г) Q'U. X = (p/v) [ Гц ‘р[
= Rat def
Доказательство.
F . *300-14 . э F :. Нр. э : р+С1 = 5‘t/. э. р>1 (1)
F . (1). э F : Нр. э. ~ (3P, v). р 4-с1 = B'U . v = 1 . v +С1 = B'U . р = 1 (2)
F. (2). *304-261-262 . *303-71. э F. Prop
*304-281. F a! 3 . э : p/v = B'H. s. p = 1 . v +c 1 = B'U . =. v/p = B'H
[*304-28-261-262]
*304-282. F . 04 ~ e C'H [*304-27-28. *303-66]
*304-29. F: (p/v) H(p/o). p+cp, v +coeQ‘l7 . э .
(p/v) H {(p +cp)/( v +co)[. {(p +cp)/( v +co)} H (p/o)
Доказательство.
F . *304-1. э F : Hp . э . p xco< v xcp .
[*126-5] z>. p xc (v +co) < v xc (p +cp).
(p+cp)xca<(v4-ca)xcp. (1)
F. (1). *304-1. э F. Prop
*304-3. F: Infin ах. э . H e Ser П comp [*304-29-23]
*304-31. F: Infin ax. э . ~ E ! 5‘H. ~ E ! [*304-281. *300-14]
*304-32. F : Infinax. э. C‘HeK0
Доказательство.
F. *304-15 . *303-211. *302-22 . э
F . Nc‘C‘H < Nc‘X {(ap, o) • P Prm a. p, oeD‘t/ Ci Q‘I7 .X = p/o}
[*303-36] < Nc‘A/{(ap,o) • p Prma. p, oeD'U Ci Q‘I7. M - pj,o}
[*33-161] < Nc‘C‘t/xc Nc‘C‘t/ (1)
F . (1). *123-52 . *300-21. э F: Hp. э . Nc‘C‘H < Ko (2)
F . *304-28. э
F: Hp. э. Nc‘C‘H > Nc‘X {(3v). v e D'U П d'U. X = v/1}
[*303-36] ^Nc‘(D‘l/nCI‘I/)
[*300-21] No (3)
F. (2). (3). *117-23. =>F. Prop
*304-33. F : Infin ax. э. Hex] [*304-3-31-32 . *273-1]
*304-34. F : Infin ax. z>.C'H = D‘H = Rat -i‘O9 [*303-78. *304-28]
*304-4. F : XH’Y. =. X, Ye Rat def U i‘0g . X <r Y.
= • (аи,v,p,о). p,v, p, оed‘17. v0. о /0. vxco<v xcp.
X = (p/v) [ t, । ‘p. Y = (p/o) [ ц ] ‘p [*303-71. (*304-03)]
*304-401. F :. Infin ax. э: X <r Y. = . XH’Y [*304-4. *303-78]
*304-41. F.D‘H'=X{(ap,v).p.ve(Tt/.v#0.~(P+cl =B'U.у = 1).
X = (p/v)Un‘pl
[Доказательство, как в *304-261]
*304-42. F . G.'H’ = X {(ap, v). p, v e d‘U .p/0.v/O.X = (p/v) [ rH ‘pl
*304-43. F:a!Ha'. = .3!2 [*304-42]
*304-44. F : a! 2. э . C'H’ = X {(ap, v). p, v e Q'U. v # 0. X = (p/v) [ t,, ‘p[
[*304-41-42]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
274
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*304-45. F : g! 2. э. В‘Н' = 09
*304-46. h:a!3.D.H'=094-H
*304-47. F : Infin ах. э . Н' е 1 + т]
*304-48. F.H'eSer
[*304-41-42. *303-6]
[*304-45-4-27-1]
[*304-46-33]
Доказательство.
F . *304-4. э I-: я 12. ~ а! 3. э. Я' = 0,1 (1 /1)
F.(1). *304-43-46-23 . э F. Prop
*304-49. F : Infin ах. o.C‘H'=D‘H' = Rat [*304-34-46]
*304-5. I-: X e C‘H. э . a !X [ Rel num [*303-73. *304-14]
*304-51. F : ХеС‘Я'. э . a !X [ Relnum
(1)
Доказательство.
F . *303-63. *304-43. э F : Hp. э . a !09 f Rel num
F . (1). *303-73 . *304-4 . э F. Prop
(1)
*304-52. F:XeRat.3.(ap)-X|:0i‘neC‘H' [*304-44. *300-18]
*304-53. F : X € Rat - i‘0g. э . (a P) . X [ /j j ‘p e
[*304-28. *300-18]
Principia Mathematica III
*305. УМНОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
275
* 305. Умножение простых пропорций
Краткое содержание *305.
Пропорции, рассмотренные до настоящего времени, называются
“простыми” пропорциями в отличие от “обобщенных” пропорций (вводи-
мых в *307), которые включают отрицательные пропорции. Прежде всего,
мы имеем дело с умножением и сложением для простых пропорций,
а затем —для обобщенных пропорций. В этом параграфе мы касаемся
только умножения простых пропорций.
При определении умножения пропорций мы, естественно, оформляем
наше определение так, чтобы гарантировать, что произведение ц/v и р/о
будет (ц хср)/( v хсо). Это достигается последствам следующего определе-
ния (где “s” стоит вместо “simple”25):
* 305 01. XxsY = RS [(gp,, v, р, о). ц, v, р, о е NC ind . v # 0. о # 0 .
X = ц/v. Y = р/о. 7? {(ц хс р)/( v хс о)} 5 ] Df
что дает нам
* 305142. h : ц, v е NC ind. v 0. о # 0. э . ц/v х5 р/о = (ц хс р)/( v хс о)
и
* 305-144. F : а! (ц/v х5 р/о). э. ц/v х5 р/о = (ц хс р)/( v хс о)
Причина появления гипотезы в этих предложениях состоит в том, что
если ц представляет собой кардинал, который не является индуктивным,
в то время как р = 0 и v, о — индуктивные кардиналы, отличные от 0, то
li/v = K и ц/v х5 р / о = А, однако (ц хср)/( v хсо) = 0^.
Для применений умножения пропорций существенно то, что мы долж-
ны иметь, если R, S, Т принадлежат подходящему вектор-семейству,
R (ц/v) S . S (р/о) Т . э . R (ц/v х5 р/о) Т,
т.е., например, мы хотим, чтобы две трети от пяти седьмых от Т было
2/3 х5 5/7 от Т. В главе 3 будет показано, что наше определение удовле-
творяет этому требованию.
Мы доказываем в этом параграфе
* 305-3. F : X, Y е Rat. = . X xs Т е Rat
* 305-22. F X xs Y = 0q . н ; X, Y e Rat: X = 0^ . V . Y = 0g
т.е. произведение исчезает, когда один из множителей исчезает;
* 305-301. F : X, Y е Rat - l‘0^ . = . X х5 Y е Rat - l‘0^
* 305-25. F : ц, v, р, о e D‘t7 A . э . (ц/v х5 р/о) [ Гоо‘н £ С'Н
Таким образом, произведение двух пропорций, которые существуют
в пределах заданного типа, существует в пределах следующего типа, т.е.
*305-26. F:X, KeRat.X [7ц‘ц,У [ fn^eRat def. э . (X х, У) [Гоо‘цеС‘Н
Соответствующие формальные законы не вызывают затруднения. Мы
доказываем закон коммутативности (*305-11) и закон ассоциативности
(*305-41); мы доказываем, что Xxsl/l=X (*305-51) и что Хх5Х=1/1
(*305-52). Деление проистекает из
* 306-61. F А е Rat - l‘O7 .A'eRat.D:Ax5X = A'. = .X = A'xM
и аксиома Архимеда дается посредством
25 simple (англ.) — простой. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
276
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*305-7. F : X, Y е Rat - t‘0^ . э . (да). а е NC ind . Y <r (а/1 х5 X)
* 305-01. XxsY = RS [(дц, v,р,а). ц, v, р, oeNC ind . v ± 0. о^ 0 .
X = ц/v . Y = р/о. 7? {(ц хс р)/( v хс о)} S] Df
* 305-1. F : R (X xs Y)S . = . (дц, v, p, о). ц, v, p, oeNC ind . v 0. о 0.
X = ц/v. Y = p/o. 7? {(ц xc p)/( v xc o)} S [(*305-01)]
* 305-11. h.Xx5y=yx,X [*305-1]
* 305-12. F : X, Y ~ e i‘0q U t‘oo^ . Cnv‘(X x, У) = X x, У [*305-1. *303-13]
*305-13. F : ц, v, p, о e NC ind - i‘0 . ц/v = ц'/v'. p/o = p'/o'. э .
(ц xc p)/( v xc o) = (ц'хс p')/(v'xc o')
Доказательство.
F . *303-39 . э F : Hp . э . ц xcv' = v xc ц'. p xc o' = p'xc о.
[*120-51] z>. |ixcpxcv'xco' = |i'xcp'xcvxco.
[*303-39] э . (ц xcp)/( v xco) = (|i'xcp')/(v'xco'): э F. Prop
* 305-131. F : v, p, oeNC ind - l‘0.0/v = ц'/v'. p/o = p'/o'. э .
(0xc p)/( v xc o) = (ц'хс p')/(v'xc o')
Доказательство.
F . *303-66 . d F : Hp . d . |i' = 0. v' e NC ind - l‘0 (1)
F . (1). *303-6 . э F : Hp . э . (0xcp)/( v xco) = 0q = (|i'xcp')/(v'xco'): э F . Prop
* 305-132. F: ц, v, p, oeNC ind . v/0.о/0 . ц/v = ц'/v'. p/o = p'/o'. э .
(ц xc p)/( v xc o) = (ц'хс p')/(v'xc o')
[*305-13-131]
* 305-14. F^/O.p/O.v/O.o/O.o. ц/v x5 p/o = (ц xc p)/( v xc o)
Доказательство.
F . *305-1-132 . э
F :: Hp . э R (ц/v x5 p/o) S . = :
(дц', v', p',o'). ц', v', p',o' eNC ind . ц/v = ц'/v'. p/o = p'/o'. v' / 0 . o' / 0 :
7?{(nxcp)/(vxco)}S (1)
F . *303-181. *302-36 . *120-512 . э
F : Hp . R {(цxcp)/( v xco)} S . э . ц, v, p, oeNC ind (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Условие ц # 0. p # 0 требуется в приведенном выше предложении,
так как если, например ц = 0. рeNC infin, то мы будем иметь (ес-
ли v, oeNC ind - l‘0) ц/v = 0д . р/о = А, откуда ц/vXcp/o = А, однако
(ц хс р)/( v хс о) = 0^. Если мы допускаем ц, р е NC ind, то нет необходи-
мости допускать ц 0. р # 0. Это формулируется в *305-142.
*305-141. F:.v = 0.V.o = 0:d. ц/v х, р/о = А
Доказательство.
F . *303-67-11. э F : v = 0. ц', v' э NC ind . ц/v = ц'/v'. э . v' = 0 (1)
F . (1). *305-1. э F . Prop
*305-142. F : ц, veNCind . v/ 0. o/O. d . |i/vx5 p/o = (цxcp)/( v xco)
[Доказательство, как в *305-14]
Principia Mathematica III
305. УМНОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
277
* 305-143. h : з! (ц/v ху р/о). э . ц, v, р, а е NC ind . v 0 . а 0
Доказательство.
F . *305-1. э F : 3! (ц/v xs р/о). э . (зц'л'). ц'л' eNC ind . v' 0 . ц/v = ц'/v'.
[*303-182-67] э . цл е NC ind. v / 0 (1)
Аналогично!-: з! (ц/v р/о). э . р, о е NC ind . о 0 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 305-144. F: 3! (ц/v х, p/o). э. ц/v х, р/о = (ц хс р)/( v хс о) [*305-143-142]
* 305-15. F~ (цл, р, oeNC ind) .v.v = 0.V.o = 0:d. ц/v х5 р/о = А
[*305-143. Transp]
* 305-16. F цл, р, о е NC ind ^ = 0.V.p = 0:v/0.o#0:o.
ц/v х5 р/о = 0^ [*305-142 . *303-6]
* 305-17. F . X xs ooq = A [*305-141. *303-67]
*305-2. F : э IX xs Y. э . X, Y e Rat
Доказательство.
F. *305-1. э
F : Hp . э . (эцл, p,o). ц, v, p, oeNC ind .v^0.o#0.X = ц/v . Y = p/o .
[*303-7] э . X, Y e Rat: э F . Prop
*305-21. F :Хх5 Ус Rat - l‘O7 . э . X, Y e Rat - l‘0^
Доказательство.
F . *303-72 . *305-2 . э F : Hp . z> . X, Y e Rat (1)
F . *305-16 . Transp . э F : Hp. э . X / 0* . Y10^ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*305-22. F :. X x, Y = 0^ . = : X, Y e Rat: X = 09 . V . Y = 07
Доказательство.
F. *305-1-2-142. *303-66. э
F :. X х5 Y = 0q . = : (зцл,p,o). X = ц/v. Y = p/o. ц, v, p, oeNC ind .
ц xc p = 0. v xc о / 0:
[*303-66] = : (зцл, p,a) • X = ц/v . У = p/o. цл, p, oeNC ind .
v ± 0 . о / 0: ц/v = 0g . V . p/o - 09 :
[*303-7] = : X, Y e Rat: X = 07 . V . Y = 09 :. э F . Prop
*305-222. F : X x, Y e Rat. э . X, Y e Rat [*305-21-22]
Следующие предложения представляют собой леммы, построенные для
того, чтобы показать, что если X, Y представляют собой пропорции, кото-
рые существуют в пределах заданного типа, то X х5 Y существует в пре-
делах следующего типа.
*305-23. F : цеМС ind . э . (2хсц) +С1 <2^+с1 [*117-652 . *120-429]
*305-231. F . (ц +С1 )2 = ц2+с (2хсц) +С1 [*116-34 . *113-43-66]
*305-232. F : ц е NC ind . э . ц2<2^
Доказательство.
F . *116-311-321. э F . 02<20+cl (1)
F . *305-231. э F : Нр. ц2<2^ . э . (ц +С1 )2<2^1+с (2хсц) +С1 (2)
F . (2). *305-23 . э F : цеМС ind . ц2<2^ . э . (ц +С1 )2<2^1+с2^1 .
[*113-66. *116-52] э. (ц+с1 )2<2^2 (3)
F . (1). (3). Induct. э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
278
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*305-24. F : р, v, р, oeD‘t/ П G‘U. э . (рхср) П t‘p, (v хсо) П t‘peD‘17 Г) С‘(/
Доказательство.
F. *116-72. э F: Нр. э. (2^' ПГ‘р)еС‘1/.
[*305-232] z>.p20t‘pe(Tt/ (1)
F. *116-35. э F : Нр. э . р2 Cl Z‘peD‘1/ (2)
Аналогично F : Нр. э . V2 О t‘p, р2 О t‘p, о2 П t‘peD‘t/О Q‘t/ (3)
F. *117-571. э
F :. Нр. э : рхср р2 . V . рхср р2 : vхсоv2 . V . v хсоо2 (4)
F . (1). (2). (3). (4). э F . Prop
*305-25. F: р, v, р, oeD‘t/ Г) Q‘J7. э . (p/v xs p/а) [ too‘peC‘H
Доказательство.
F . *305-14 . э F: Hp. э . p/v xs p/o = (pxcp)/( v xco) (1)
I- . (1). *304-28. *305-24 .oh. Prop
*305-26. h : X, F e Rat. X t Zi i ‘p, У 11! i ‘p e Rat def. э . (X Xj F) t too‘p e C‘H
[*305-25. *304-28]
* 305-27. h :X, FeRat - i‘O9 . э . (gp). (Xx5 F) [too'peC'H
[*305-26. *303-721]
* 305-28. F : X, FeRat. э . (зр). (X xs F) [[ too‘peC‘H' [*305-27-22]
* 305-3. F : X, FeRat. s . Xx5 FeRat
Доказательство.
I-. *305-142 . *303-7. э F : X, FeRat. э . X xs FeRat (1)
F. (1). *305-222 . z> F. Prop
* 305-301. F : X, F e Rat - i‘O9 . = . X Xj F e Rat - i‘O9
[*305-142 . *303-7. *305-21]
* 305-31. F : (зр). X [ Гц ‘p, F [ ni ‘pe C'H. = . (av). (X xy F) [tn‘ve C‘H
[*305-301. *304-53]
* 305-32. F : (зр). X [ fj, ‘p, F [ tj, ‘pe C'H'. =. (3v). (X xs F) [ t,, ‘v e C‘H'
(*305-3. *304-52]
* 305-4. F :k,v,aeNCind.р/0.р/0.т/0.э.
(k/p x, v/p) xs (o/t) = (k xcvxco)/( p хсрхст) = k/p xs (v/p x5 o/t) [*305-142]
*305-41. F.(XxJF)xJZ = Xxs(FxJZ) [*305-4-2]
*305-5. F:p/0.3.(k/p)x,(l/l) = k/p [*305-14-142-15]
*305-51. F :XeRat. э .XXj(1/1) = X [*305-5]
*305-52. F : XeRat - i‘O9 . э . X xs X= 1/1
Доказательство.
F. *305-14. *303-13. э
F : Hp. э . (зр,v). p, veNCind - i‘0.Xx5X = (pxcv)/( vxcp).
[*303-23] d.XxsX= 1/1 :oF.Prop
Principia Mathematica III
*305. УМНОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
279
* 305-6. F А е Rat - i‘O, . X е Rat. э: А х5 X = А'. =. X = А' х5 А
Доказательство.
F . *304-1-4. *305-32-222 . э
F : Нр. э. (gp, v, р, о, г]). р, v, о е NC ind - i‘O. р, т] е NC ind .
А = p/v. X = р/о. А' = ^/т] (1)
I-. *305-142 . э F :. р, v, о б NC ind - i‘O. р, т] б NC ind. о:
p/v xf р/о = ^/Т) . = . (р хс р)/( v хс о) = ^/Т).
[*303-38] == . р хс рхст] = v хс охс^.
[*303-38] = . р/о = (v хс£)/( р хст])
[*305-142. *303-13] = £/n х5 Cnv‘(p/v) (2)
F. (1). (2). z> F. Prop
*305-61. F :. А б Rat -1‘0? .А' б Rat. о : А х5 Х = А'. а . Х = А' х5 А
[*305-6-222-32]
*305-7. I-: X, Y е Rat -1‘0, . о . (да). а б NC ind . Y <г (а/1 xs X)
Доказательство.
F. *117-571. *120-511. *117-62 . о
F : р, v, р, о б NC ind -1‘0. ^ > v. о.
р хс pxcijxc о> v хс р .
[*304-1] о. (р/о) <r (р хс pxc^)/v.
[*305-14 ](p/o)<r{p/vx5(px^)/l} (1)
I-. (1). *304-1. *120-5. z> F. Prop
*305 71. F:. ZeRat- i‘O9. о :X<r Y. s.XxsZ<r Y xsZ
Доказательство.
F. *305-142. dF :Hp.X<r Y. z>.
(gp, v, p, o,i;,r|). p, v, p, o, rpNC ind .v/0.o/0.^/0.T]/0.
X = p/v. Y = p/o. Z = ^/t] . pxco< v xcp .
X xs Z = (p хЛ)/( v хст]). Y Xj Z = (p xc!=)/(oxcr|).
[*304-1. *126-51] z>.XxsZ<r YxsZ (1)
Ь . (1). э Ь: Hp. X xs Z <r Y xs Z. э . X xs Z xs Z <r Y xs Z xs Z.
[*305-51-52] э.Х<гУ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
280
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 306. Сложение простых пропорций
Краткое содержание *306.
Сложение простых пропорций рассматривается аналогично тому, как
рассматривается их умножение. Мы желаем обеспечить то, чтобы сум-
ма k/v и ц/v была (Х+сц)/у, а также чтобы сумма ц/v и р/о была
{^xco)+c(vxcp)}/(vxco). Это обеспечивается посредством определения
*306-01. XxsY = RS [(а ц, v, р). ц, v, р е NC ind . v # 0 .
Х = ц/v. У = p/v.Я{^+cp)/v}S] Df
откуда мы получаем
* 306-13. F : v ± 0 . э . ц/v+jp/v = (ц +ср) / v
* 306-14. F:v^0.o^0.d. ц/v+^p/o = {(ц хс о) +с (v хс р)}/( v хс о)
Наше определение оформлено так, что оо^+5оо^ = А. В целом это оказы-
вается удобным, хотя мы могли бы, конечно, сформулировать наше опре-
деление так, чтобы иметь оо^+^оо^ = оо?.
В приложениях, если Я, S, Т являются элементами подходящего век-
тор-семейства, мы хотим иметь
Я (ц/v) Т . S (р/о) Т . э . (R | S) (ц/v+.p/o) Г,
т.е., например, если вектор R есть 2/3 от Т, а вектор S есть 5/7 от Т, то
желательно иметь вектор, который составляется сначала из прохождения
пути R, а затем из прохождения пути S так, чтобы быть (2/3+55/7) от Т.
Мы покажем в главе 3, что наше определение сложения удовлетворяет это-
му требованию.
Как и в случае произведений, сумма двух пропорций представляет
собой пропорцию (*306-22), и сумма двух пропорций, которые существу-
ют в пределах заданного типа, существует в пределах следующего типа
(*306-64). Пропорция не изменяется при добавлении 0? (*306-24), и сум-
ма двух пропорций представляет собой 07, только если оба слагаемых
есть 0^ (*306-2). Формальные законы не представляют никаких трудностей:
мы доказываем закон коммутативности (*306-11), закон ассоциативности
(*306-31) и закон дистрибутивности (*306-41).
Важным предложением является
* 306-52. F :. X <г Y . = . X е Rat: (gZ). Z е Rat - i‘O9 . X+5Z = Y
Когда допускается аксиома бесконечности, то предложение становится
XH'Y . = : X е С‘Н': (gZ). Z е С‘Н. X+5Z = У.
Мы также доказываем предложение, от которого зависит вычитание, а
именно
* 306-54. F :. X, Т е Rat. э : X+SY = X+5Z. = . У = Z
*306-01. X х5 У = RS [(ац, v, р). ц, v, р е NC ind . v ± 0 .
X = ц/v . У = p/v. R {(ц +cp)/v} S ] Df
*306-1. F : R (X+SY) S . = . (л ц, v, p). ц, v, p e NC ind . v / 0 .
X = ц/v . У = p/o . R {(ц +cp)/v} 5 [(*306-01)]
*306-11. F . Х+5У = Y+SX [*306-1. *110-51]
*306-12. F : a! (Х+5У). э . X, У e Rat [*306-1. *303-7]
Principia Mathematica III
*306. СЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
281
*306-121. F : ц/v = ц'/v'. p/v = p'/v'. э. (ц +cp)/v = (ц'+ср')Л'
Доказательство.
F . *303-39 . э F : Нр . ц, v, р, ц', v', р' е NC ind . v 0. v' 0 . э .
ц xcv' = ц'х^ . р xcv' = p'xcv .
[*113-43] э . (ц +ср) xcv' = (ц'хср') xcv .
[*303-39] z>. (g +cp)/v = (|x'+cp')/v' (1)
I- . *303-181. *302-36 . z>
F : Hp. ~ (p, v, p, p', v', p' e NC ind). z>. (p +cp)/v = A. (p.'+cp')/v' = A (2)
F. (1). (2). *303-67. z> F . Prop
* 306-13. F : v / 0. э. p/v+sp/v = (p +cp)/v
Доказательство.
F. *306-1. э F : Hp. э. (p +cp)/v cp/v+jp/v (1)
F. *306-121. z>
F : ц/v = ц'/v'. p/v = p'/v'. X {(ц'+ср')Л'} Y. э . X {(ц +cp)/v} Y (2)
F. (2). *306-1. э F . ц/v+jp/v с(ц +cp)/v (3)
F . (1). (3). э F . Prop
* 306-14. F:v^0.o^0.d. ц/v+^p/o = {(ц xc o) +c (v xc p)}/( v xc o)
Доказательство.
F . *303-39 . э
F : Hp . ц, v, p, о e NC ind . э . ц/v = (ц xc o)/( v xc o). p/o = (v xc p)/( v xc o).
[*306-13] э. p/vhp/o = №xca)+c(vxcp))/(vxco) (1)
F. *306-12. *303-11. э
F : ~ (ц, v, p, oeNC ind). э . цЛ+5р/о = A . {(ц xco) +c (v xcp)}/( v xco) = A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 306-141. F:.v = 0.V.o = 0:d. p/v+^p/o = A [*306-12 . Transp . *303-7]
* 306-15. F : ц/v-bp/o = 0^. = .p = p = 0.v, oe NC ind - i‘0
Доказательство.
F . *306-14 . *303-66 . □ F : ц = p = 0. v, о eNCind - i‘0 . э . p/v+5p/o = Qq (1)
F . *306-12 . э F : ц/v+jp/o = Qq . э . ц, v, p, о e NC ind (2)
F . *306-141. э F : ц/v+jp/o = 0^ . э . v ± 0. о # 0 (3)
F . (3). *306-14 . э F : Hp (3). э . {(ц xc o) +c (v xc p)}/( v xc o) = 0q .
[*303-66] э . (ц xc o) +c (v xc p) = 0 . v xc о ± 0.
[*110-62. *113-602] z>.p = p = 0.v#0.o^0 (4)
F . (1). (2). (4). э F . Prop
* 306-16. F . Х+5У = RS [(яц, v,p,о). ц, v, p, oeNC ind . v / 0 . о / 0 .
X = ц/v . Y = p/o. R {(ц xc o+cv xc p)/(v xc o)} S ]
[*306-14-12]
* 306-17. F : ц = 0 . v, p, оeNC ind . v 0 . о 0 . э . ц/v+^p/o = p / о
Доказательство.
F . *303-6 . э F : Hp. э . ц/v = O/o
[*303-13] э . ц/v+sp/o = (0+cp)/o: э F . Prop
* 306-2. F : Х+.У = 0q . = . X = 0q . Y = 0q [*306-15-12]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
282
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*306-22. F : X+SY e Rat. в . X, Y e Rat
Доказательство.
F. *306-16 . *303-7. z> F: X+SY е Rat. =.
(gp,v>Р>°) • Ц, v, р, оеNCind.X = p/v. Y = р/о. v хсо/0.
[*113-602] =. (gp, v,р,о). р, v,р,oeNCind.X = p/v. Y = p/o. v0• о/ 0.
[*303-7] = . X, Y e Rat: z> F . Prop
* 306-23. F: X+sY e Rat - i‘O9 . н . X, Y e Rat. ~ (X = Y = 0Д
[*306-22 . *303-7. *306-2]
* 306-24. FzXeRat .э.Х+Д = X [*306-17-11]
* 306-25. F : X+sY e Rat. в . g! (Х+Д). = . X, Y e Rat
[*306-12-22 . *303-26 . *306-14]
Здесь сумма X+SY должна быть взята в пределах достаточно высокого
типа, в других случаях X+SY может быть нулевой, когда X, KeRat.
* 306-3. F . (X/p+yv/p) +5о/т = X/p+j (v/p+jO/t)
Доказательство.
F . *306-14 .oF:p^0.p^0.x^0.z>. (X/p+sv/p) +so/x
= {(X xc p) +c (p xcv))/( Ц xc p) +sa/x
[*306-14] = {(X xcpxcx) +c (p xcvxcx) +c (p xcpxca))/( p xcpxcx)
[*113-43] = [{X xc (p xcx)) +c {p xc ((v xcx) +c (p xco)))]/{ p xc (P xcx)}
[*306-14] = X/p+s {(v xcx) +c (p xc o)}/( p xcx)
[*306-14] = X/p+s (v/p+,a/x) (1)
F . (1). *306-12 . dF . Prop
* 306-31. F . (X+,P) +SZ = X+5 (Y+SZ)
Доказательство.
F. *306-3. э F : X = X/p. У = v/p . Z = a/x. э .
(X+SY)+SZ = X+S(Y+SZ) (1)
F . *306-25. z> F : ~ (gX, p, v, p, a,x) • X = X/p. Y - v/p. Z = a/x. э.
(,X+SY)+SZ = A.X+S(Y+SZ) = A (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*306-4. F . X/p x5 (v/p+jo/x) = (X/p xs v/p) +5 (X/p xs a/x)
Доказательство.
F. *306-14. z> F : X, p, v, p, a, x eNCind.p^0.v/0.o^0.z>.
X/p xs (v/p+jO/x) = X/p xs ((v xcx) +c (p xc a))/( p xcx)
[*305-14] = [Xxc {(v xcx) +c (p xco)}]/( pxcpxcx)
[*303-23] = [X xc pxc ((v xcx) +c (p xc a)}]/( p xc pxc pxcx)
[*113-43] = {(X xcpxcvxcx) +c (Xxcpxcpxca)}/(pxcpxcpxcx)
[*306-14] = (X xcv)/( p xcp) +5 (X xca)/( p xcx)
[*305-14] = (X/p x5 v/p) +s (X/p Xs a/x) (1)
F . *305-2. *306-22 . э F : g !X/p xf (v/p+sO/x). z>. X/p, v/p, o/x e Rat.
[*303-7] э.Нр(1) (2)
F . *306-12 . *305-143. э
F : g! {(X/p xs v/p) +s (X/p x5 o/x)). z>. X/p, v/p, a/x e Rat.
[*303-7] =>.Hp(l) (3)
F.(2).(3).o
F : ~ Hp (1). э. X/p х5 (vp+sa/x) = A = (X/p x5 v/p) +s (X/p xs o/x) (4)
F . (1). (4). э F . Prop
Principia Mathematica III
»30б. СЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
283
*306-41. F.Xx,(y+,Z) = (Xx, Y)+s(XxsZ) [*306-4-25 . *305-2]
*306-51. I-. Х+, (v/1 х5 X) = (v +c 1)/1 xs X
Доказательство.
I-. *306-12. э F:. g! {X+, (v/1 xs X)). =>: X, v/1 x5 Xe Rat:
[*305-3. *303-7] э: veNCind: (gp, о). p, оeNCind . о/0.X = p/o (1)
F.*305-2. = F:.g!{(v+cl)/lx,X). = :(v+cl)/l,XeRat:
[*303-7. *126-31] z>: veNCind: (эр,о). p,оeNCind . о 0. X = p/o (2)
F . *305-142. dF:v, p, оeNCind . о 0. z>. v/1 x5 p/o = (v xcp)/o.
[*306-13] э. р/о-ь (v/1 х5 p/o) = {p +c (v xcp))/o
[*113-671] = {(v+cl)xcp)/o
[*305-14] =(v+cl)/lx,p/o (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*306-52. F X <r Y. = : X e Rat: (gZ). Z eRat - i‘O9 . X+SZ = Y
Доказательство.
F. *306-13. *119-34. э
F : p, v, p, оeNCind .v^0.o/0.X = p/v. Y = p/o. pxco< vxcp .
I = (v xcp) -c (p xco). Z = В /(v xco). z> . X+SZ = (v xcp)/( v xco)
[*303-23] = p/o
[Hp] = Y (1)
F . (1). *304-1-13 . z>
F :. X <r У. z>: XeRat: (gZ). ZeRat - i‘0g . X+SZ= У (2)
F . *306-14. э
F : p, v, p, о e NC ind .v^0.p^0.o^0.X = p/v. Z = p/o. У = X+SZ. z>.
У = {(p xc o) +c (v xc p)}/( v xc o). [{(p xc o) +c (v xc p)} xcv] > p xc (v xc o).
[*304-1] э. X <r У (3)
F . (3). *304-1. z> F : X e Rat. Z e Rat - i‘0g. X+SZ = У. z>. X <r Y (4)
F . (2). (4). z> F . Prop
Приведенное выше предложение требует того, чтобы X и У были взяты
в пределах достаточно высокого типа, а именно, по меньшей мере, в пре-
делах типа, в котором, если X = p/v и У = р/о, где р Prm v и р Prm о, то
(vxcp)+cl и (рхсо)+с1 не являются нулевыми. В противном случае может
не найтись такого Z, что X+SZ = У.
*306-53. Fр, v е NC ind. v + 0. о ± 0. т] ± 0. =>:
P/v+sP/o = p/v+Л/П. =. р/о = £/Г)
Доказательство.
h . *306-12 . э F : Нр . ц/у+5р/о = p/v+^/т]. ~ (р, оeNC ind). э .
p/v+^/т] = Л. р/о = Л. (1)
[*306-25] э. ~ {p/v, В/П е Rat).
[Нр. *303-7] э. ~(В,rjeNCind).
[*303-11.(1)] э.|/т] = р/о (2)
F . *306-25. z> F : Нр. p/v+jp/o = p/v+jB/Л • р, о е NC ind. э .
В, т] eNC ind (3)
F . (3). *306-14. *303-39 . э
F : Hp (3). э . {(p xc o) +c (v xc p)) xcvxcr] = {(p xcT]) +c (v xcB)) xcvxc о .
[*113-43]
=>. (p Xc OXCVXCT]) +c (v2xc рхст|) = (p Xc OXCVXCT]) +c (v2xcBxc o) .
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
284
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
[*126-4] э . v2xc (р хсг]) = v2xc хс о).
[*303-39] Э.р/О = |/Т] (4)
F. (2). (4). э F:. Нр. =>: p/v+sp/o = p/v+^/т]. =>. р/о = ^/т) (5)
F. *306-1. э F : р/о = ^/г]. э . p/v+sp/o = p/v+^/r] (6)
F . (5). (6). э F . Prop
*306-54. I-X, Ye Rat. =>: X+SY = X+SZ . = .Y = Z
Доказательство.
I-. *306-25. z> FHp. =>: X+SY e Rat:
[*306-25] D:X+JP = X+JZ.D.ZeRat (1)
F . (1). *306-53. *303-7 . z> F. Prop
*306-55. F : X <r Y. э . ~ (gZ). X+SZ = Y
Доказательство.
F. *117-291. *304-1. э F : Hp . э. ~ (X <r Y).
[*306-52] z>. ~ (gZ). Z e Rat -1‘0? . X+SZ = Y (1)
F . *306-24. *304-1. z>F:Hp.z>.~CK+A = У) (2)
F.*306-25. z> F : Hp . X+^Z = У. o.ZeRat (3)
F . (1). (2). (3). э F. Prop
Следующие предложения связаны с существованием X+SY в пределах
определенных типов. В дальнейшем будет показано, что если X, У суще-
ствуют в пределах заданного типа, то X+SY существует в пределах следу-
ющего типа, т.е. если Х[Гц‘р и У[/ц‘р существуют, то тогда существует
(Х+Д) [ Гоо‘и, гДе являются рациональными числами.
*306-6. F : р, р е D‘t/ П (TU . э. (р +ср) П t‘p е D‘t/ П СТ 17
Доказательство.
F . *305-23 .z>F:Hp.p^p.o.p +Cp<2p+cl (1)
Similarly F : Нр. р р. э . р+Ср<2и+с1 (2)
F. (1). (2). *116-72. z>F. Prop
* 306-61. F : p, v, p eD‘l/ П CT 17 . э. (p/v+^p/v) n Zoo'peRat def
Доказательство.
F . *306-13-6 . z> F : Hp . z>. p/v+^p/v = (p +cp)/v. (p +cp) П t‘p, v П t‘peD‘1/ П Q‘U .
[*303-71] z> . (p/v+^p/v) П too'p e Rat def: z> F . Prop
* 306-62. F : p, v, p e D‘l/ П d‘U . э. (p/v+5p/p) П /qo‘Pe Rat def
Доказательство.
F . *303-39 . z> F : Hp. z>. p/v+^p/p = p/v+5 v / v (1)
F . (1). *306-61. z> F . Prop
* 306-621. F : о e NC ind. э. o2-co +C1 <2°
Доказательство.
F. *116-301-311. dF.02-c0+J < 2° (1)
F . *116-321-331. z> F . l2-cl+C1 < 21 (2)
F . *117-55. *126-5 . => F . 22-c2 +C1 < 22 (3)
F. *305-231. z> F : Hp. o>l. o2-co +C1 < 2° . z>.
(a+cl )2-c(a+cl)+cl ^2°+c(2xca).
[*117-652. *116-53] э . (a +C1 )2-c (a +cl) +Д 20+^ (4)
F . (1). (2). (3). (4). Induct. э F. Prop
Principia Mathematica III
»зое. СЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОПОРЦИЙ
285
*306-622. I-: ц е NC ind - i‘0. =>. (|i -с1)2 = |л2-с (2хс ц) +С1
Доказательство.
Ь. *305-231—— . эЬ:Нр.э.(н-с1)2+с{2хс(ц-с1))+с1 =ц2 (1)
Ь. *113-43 . *120-416. => h : Нр. э. (2хс (ц -с1)} +с2 = 2хсц (2)
I- • (1) • (2). =>I-: Нр. =>. (|л-с1)2+с (2хсц) = ц2 +С1 (3)
F . (3). *119-32. z> h . Prop
*306-623. F : р, v, р e NC ind . v < р. р р. э . (р хс р) +с (v хс р) <2и+с1
Доказательство.
F . *120-429 . э F : Нр . э . (р хс р) +с (у хс р) р2+с (р -с I)2 .
[*120-429 . *306-622] э . (р хс р) +с (v хс р) < (2хср2) -с (2хс р) +с2
[*306-621. *126-51] <2^ : э F. Prop
*306-624. F : р, v, р, о с NC ind .v<p.p^p.o^p.D.
(р хс о) +с (v хс р) <2и+с1 [*306-623]
*306-63. F : р, v, р, oeD‘C7 A Q‘C7 . э . (p/v+5p/o) [ roo‘peRat def
Доказательство.
F . *306-62 . э F : Нр. v = р. э . (p/v+5p/o) t roo‘peRat def F . *306-624. *305-24 . *303-71. э (1)
F : Hp .v<p.p^p.o^p.D. (p/v+jp/o) [ Гоо‘Рб Rat def Аналогично (2)
F:Hp.v<p.p^p.o^p.D. (p/v+jp/o) [7oo‘H Rat def (3)
h.(2).(3).o F:Hp.v<p.o^p.o. (p/v+jp/o) |7oo‘H Rat def (4)
Аналогично F:Hp.p<v.o^p.o. (p/v+jp/o) [7oo‘p Rat def (5)
F . (1). (4). (5). dF : Hp. оp. э. (p/v+5p/o) [roo‘peRat def (6)
Аналогично F : Hp . p о . э . (p/v+5p/o) £ Гоо‘Р e Rat def (7)
F . (6). (7). э F . Prop
Следующие предложения являются непосредственными следствиями
*306-63.
*306-64. F : (p/v) [Гц‘р, (р/о) [ Гц‘pe Rat def. э . (p/v+5p/o) [ Гоо‘ре Rat def
*306-65. F : X, Y e Rat def. э . (Х+5У) £ Гоо ‘C‘‘С‘Х е Rat def
*306-66. F : X, Y с С'Н. э . (Х+,У) [ Гоо‘С“С‘Х е С'Н
*306-67. F : X, YеС'Н' . э . (Х+5У) С t^'C"C'X eC'Hf
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
286
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 307. Обобщенные пропорции
Краткое содержание *307.
В этом параграфе мы вводим отрицательные пропорции. Если X явля-
ется пропорцией, тогда то, что обычно называлось бы - X, есть X | Cnv.
Это можно усмотреть следующим образом. Положим, что мы имеем RXS.
Тогда мы имеем R (X | Cnv) S. Тогда, если R и S являются векторами, кото-
рые переносят нас в одном и том же направлении, то R и S представляют
собой векторы, которые переносят нас в противоположных направлениях,
т.е. их пропорция отрицательна. Следовательно, называя класс отрицатель-
ных пропорций “Ratn”, мы можем положить
* 307 01. Rat„ = | Cnv“Rat Df
Сумму Rat и Ratn мы будем называть “Ratg”, где указывает
на “generalized”26. Таким образом, мы можем положить
* 307 011. Ratg = Rat U Ratn Df
Если ц/v <r p/o, то мы имеем {(ц/v) | Cnv} (| Cnv > <r) {(p/o) | Cnv}. Следо-
вательно, мы полагаем
* 307 02. <п = | Cnv 5 <г Df
* 307 021. >п = | Cnv‘<„ Df
Если X и У представляют собой обобщенные пропорции, то мы рассмат-
риваем X как меньшее, чем У, если либо X, У обе положительные и Х<ГУ,
либо X, У обе отрицательные и Х>ЛУ, либо X является отрицательной, а
У является положительной или нулевой. Следовательно, мы полагаем
*307 03. <g = (>„) U (<r) U (Ratn - i‘O9) ? Rat Df
По аналогии с <г и <g мы полагаем
* 307 04. Нп = | Cnv >Н Df
* 30705. Hg-Hn^H' Df
В этом параграфе мы доказываем, что если X —пропорция, то
X | Cnv = Cnv | X и Cnv‘(X | Cnv) - X | Cnv (*307-21-22). Мы также доказываем
*307-25. Ь.С‘НПС‘Нп=А
Мы доказываем, что 0^ и оо? представляют собой свои собственные
противоположности, однако сами не являются противоположностями чему-
либо другому (*307-26-27-31). Мы доказываем Nr‘Hn = Nr‘H (*307-41) и
Infin ах . э . Hg е ц (*307-46). Ни одно из предложений этого параграфа не
представляет никаких сложностей.
*307-01. Rat„ = | Cnv“Rat Df
*307-011. Ratg = Rat U Rat„ Df
*307 02. <n = 1 Cnv; <r Df
*307-021. >n = | Cnv‘<„ Df
*307-03. <g = (>n) C (<r) и (Rat„ - i‘O9) f Rat Df
*307 031. >g = Cnv‘<g Df
*307-04. Hn = | Cnv <H Df
*307-05. Hg = Hn + H' Df
26 generalized (англ.) означает обобщенный. — Прим, перев.
Principia Mathematica III
307. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОПОРЦИЙ
287
*3071. F:P(X|Cnv)5 .s.RXS [*71-7]
*30711. F: 7? (| Cnv >X) S . = .RXS [*307-1]
*30712. F .X| Cnv| Cnv = X [*307-l]
*30713. F : X| Cnv = Y | Cnv. = . X= Y [*307-12]
*30714. F: У = X| Cnv. s .X= У | Cnv [*307-12]
*30715. F:a!X [к. = .а!к1 (X|Cnv) f(Cnv“K) [*307-1]
*30716. F :. k= Cnv“K. э: a!X [к. s. 3! (X| Cnv) [к [*307-15]
*307-2. F . (p/v) | Cnv = Cnv | (p/v) [*307-1. *303-19]
*307-21. F : X e Rat U i‘<x>9. z>. X | Cnv = Cnv | X [*307-2 . *303-7-67]
*307-22. F : X e Rat U i‘oog. z>. Cnv‘(X | Cnv) = X | Cnv [*307-21]
*307 23. F . Cnv“C‘H„ = C'H„ [*304-28 . *303-13. *307-22]
*307-24. F : p, v, p, oe Q.‘U. pPrm v. p Prmo. p о. o^ 0. э.
3! (р/о)-(p/v)|Cnv
Доказательство.
I- . *303-32. э I-Нр. э : (аД Q) • Л Q еRel num. Р^ G.Qpo . Р (р/о) Q:
[*303-21] э: (а Д Q) • Р, Q e Rel num. Рро G Spo • 3 !Р° A Gp :
[*300-3] z>: (a PG) • P, Q e Rel num. a!P° A 2P . Pv П & = Л:
[*303-21] э: (aP Q). P (P/o) Q. ~ {P (p/v) & э F . Prop
*307-25. 1.С‘ЯПС‘НЛ=Л
Доказательство.
I-. *307-24. *303-13. z>
I-: p, v, p, oeQ‘1/. pPrm v. p Prmo. z> . p/v (p/o) | Cnv (1)
F . *302-22. *303-211. *304-27-28 . э F : X, Y e C‘H. z>.
(3P, v,p,o). p, v, p, oe CPU. pPrm v. p Prmo. X = p/v. У = p / о (2)
F . (1). (2). z> F : X, Y e C‘H. э. X / Y | Cnv: z> F . Prop
*307-26. F . 0, | Cnv = 0? = Cnv 10,
Доказательство.
F . *307-2 . => F . 0g | Cnv = Cnv 109 (1)
F. *303-6-15. *307-1. z>F:P(0JCnv)S . = .a!Pn/[C‘5 .
[*33-22] =.a!PA/[C‘S.
1*303-15] = .R0qS (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*307-27. F . ooq | Cnv = ooq = Cnv | <x>q [*307-26. *303-62]
*307-3. F : X e C'H. э. a! (X | Cnv) [ Rel num [*304-5 . *307-16. *300-4]
*307-31. F:XeRat-i‘09.z>.X|Cnv/09.X|Cnv#oog
[*307-3 . *304-53. *303-62]
*307-4. F: ХЯЛ У. = . (X| Cnv) Я(У | Cnv) *307-41. F.Nr‘H„ = Nr‘H *307-42. F: Infin ax. э . Nr‘tf„ = Nr‘Hn =T] *307-43. F :ХеС'Нп . z>. a>X [Relnum *307-44. F . 09, oo9 ~ e C‘H„ *307-45. F. Nr‘Hg = Nr‘H+i+Nr‘H *307-46. F: Infin ax. э. Hg e T] Это предложение требует того, чтобы Т] + ется. [*150-41. (*307-04)] [*307-13. (*307-04)] [*307-41. *304-33] [*307-3] [*307-31] [*307-25-41. (*307-05)] [*307-45. *304-33] 1+ г] = т), что легко доказыва-
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
288
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 308. Сложение обобщенных пропорций
Краткое содержание *308.
В этом параграфе мы должны распространить сложение так, чтобы
включить вдобавок и отрицательные пропорции, и с этой целью мы долж-
ны определить вычитание простых пропорций. Последнее определяется сле-
дующим образом:
* 308 01. X-sY = RS {(zZ):X,Y,ZER&t:Z+sY = X.RZS .V.}
Z+sX=Y.RZS] Df
Другими словами, если Y <ГХ, то X-SY является пропорцией, которая
должна быть добавлена к У, чтобы дать X, в то время как если X <r Y,
то X-SY является отрицательной к пропорции, которая должна быть до-
бавлена к X, чтобы дать У. Таким образом, мы имеем
* 30813. F :. У <rX. V . У e Rat. У = Х : э . Х-5У = (iZ) (Z+^У = Х)
* 308-14. F :. X <г У. V . X е Rat. У = X: э . Х-5У = {0Z) (Z+.X = У)} | Cnv
Разумеется, мы имеем X-s0q = X (*308-22), 0^-5X = X|Cnv (*308-23) и
X-SX = 0q (*308-12). Экзистенциональные теоремы для X-SY вполне анало-
гичны таковым для Х+5У и X х5 У. Мы также имеем
* 308-2. F : X, У е Rat. = . X-SYе Ratg
Мы определяем сумму двух обобщенных пропорций посредством сумм
и разностей простых пропорций следующим образом:
* 308-02. X +g У = (Х+5У) U (Х-5У | Cnv) U
(У-5Х | Cnv) U (X | Cnv +5УI Cnv) | Cnv Df
Из четырех отношений, которые встречаются в приведенном выше опре-
делении, все, кроме одного, должны быть нулевыми, если ни X, ни У не
есть 0q. Таким образом, если X и У положительны, то X-SY | Cnv, У-5Х| Cnv
и X | Cnv +5У | Cnv являются нулевыми; если X является положительной и У
является отрицательной, то Х+5У, y-5X|Cnv и X|Cnv+5y|Cnv представ-
ляют собой нули; если X и У обе отрицательны, то Х+5У, X-^yiCnv и
Y-SX | Cnv являются нулевыми.
Если X представляет собой 0^, а У является положительной, то
Х+5У = Y-SX | Cnv . X-SY | Cnv = (X | Cnv +5У | Cnv) | Cnv = A .
Если X и У обе представляют собой 0?, то все четыре отношения есть 0^.
Следовательно, мы находим
* 308-32. F : X, У е Rat. э . X +g У = Х+5У
* 308-321. F : X е Rat. У е Rat„ . э . X +g У = X-SY | Cnv
* 308-322. F : У е Rat. X е Rat„ . э . X +g У = У-5Х Cnv
* 308-323. F : X, У е Rat„ . э . X +g У = (X | Cnv +5УI Cnv) | Cnv
Экзистенциональные теоремы для X +g У вполне аналогичны таковым
для Х+5У, а формальные законы не вызывают трудностей. Мы имеем
*308-52. F :. X, У е Ratg . э : X +g У = X +g Z. = .У = Z
* 308-54. F : X, У е Ratg . э . (gZ). Z е Ratg . X +g Z = У
* 308-56. F :. X<gY. = : X e Ratg : (gZ). Ze Rat - l‘0* . X +g Z = У
* 308-72. F : (X +g Z) <g (X +g Z'). = . X e Ratg . Z<gZ'
Principia Mathematica III
*308. СЛОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
289
*308 01. X-,Y = RS {(gZ): X, Y, Z e Rat: Z+,Y = X. RZS . V .
Z+SX = Y.RZ§} Df
*308-02. X +g Y = (Х+Д) U (X-SY | Cnv) U
(Y-SX | Cnv) 0 (X | Cnv +,У | Cnv) | Cnv *308-1. 1-: Y <r X. э . X-SY = RS {(gZ). Z e Rat. Z+SY = X.RZS} Доказательство. Df
h . *306-55 . э h : Hp . э . ~ (gZ). Z+SX = Y h . (1). (*308-01) .oh. Prop *308-11. F :X<r Y. э .X-SY = R§ {(gZ). Z e Rat. Z+A = Y.RZS} Доказательство. (1)
F. *306-55. э F : Hp. э . ~ (gZ). Z+SY = X F. (1). (*308-01). z> F. Prop *308-12. F:X6Rat.X=y.o.X-ir = 0? [*306-54-24 *308-13. FX <r Y. V . YeRat. Y = X: э. X-SY = (iZ) (Z+SY = X) Доказательство. (1)
F . *306-52-24. э F : Hp. э. (gZ). Z+SY = X. Z e Rat (1)
F. *306-54. 2>F:Hp.Z+jr = X.Z'+ir = X.o.Z = Z' F . (1). (2). *308-1-12. z> F. Prop *308-14. F X <r Y. V . X e Rat. Y = X: э . X-SY = (fiZ) (Z+5X = У)} | Cnv [Доказательство, как в *308-13] *308-15. F : ~ (X, Y e Rat). z>. X-SY = A [(*308-01)] *308-16. F : X, У e Rat. Y+SZ = X. э. X-,P = Z Доказательство. (2)
F. *306-55 . *304-221. z>F Hp . э: У <rX. V . PeRat. У = X F. (1). *308-13. z> F. Prop *308-17. F:X,yeRat.X+JZ=y.o.X-iy = Z|Cnv [*306-55. *308-14] *308-18. F: У <r X. э . X-jPeRat - i‘O9 Доказательство. (1)
F. *306-52. э F : Hp. э. (gZ). ZeRat - i‘O9 . Y+SZ = X F. (1) .*308-13. dF. Prop *308-19. F:X<r У. э .X-Д eRat„ -1‘0, Доказательство. (1)
F . *306-52. э F : Hp . (gZ). Z e Rat - i‘O9 . X+SZ = Y F . (1). *308-14. d F . Prop *308-2. F : X, У e Rat. в . X-jPeRatg [*308-12-18-19-15] *308-21. F: X-SY = (У-Д) | Cnv = Cnv | (P-SX) Доказательство. F . *308-13-14 . э (1)
FX <r Y. V . XeRat - i‘O9 .X = У: z>. X-SY= (Y-SX) | Cnv F. *308-13-14. *307-12. z> (1)
FУ <rX. V . PeRat - i‘O9 .Y = X: э. X-SY= (Y-SX) | Cnv (2)
F . (1). (2). *304-221. э F: X, Y e Rat. э . X-SY = (Y-SX) | Cnv (3)
[*307-21. *308-2] = Cnv | (P-,X) F. (3). (4). *308-15. d F . Prop (4)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
290
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 308-22. F: Хе Rat . э.Х-Д = Х [*306-24 . *308-13]
* 308-23. F: Хе Rat. э . 09-5X = X | Cnv [*308-21-22]
* 308-24. F: (v/p) <г (Х/р). э. X/p-yv/p = {(X хс р) -с (р xcv))/( р хс р)
Доказательство.
h . *304 1. э h: Нр . э . X хср> ц xcv (1)
h. *303-23. *306-13. (1).э
F : Нр. z>. ((X хс р) - (р xcv))/( р хс р) +sv/p =
[ {(X хс р) - (р xev)} +с (р xcv)]/( р хс р)
[*303-23. *119-34] = Х/р (2)
F. (1). (2). *308-16. э F. Prop
* 308-241. F: (X/p) <r (v/p). э. X/p-5v/p = [((р xcv) -с (X хс р)}/( р хср)] | Cnv
[*308-24-21]
* 308-25. F: X, р, v, peD‘I7 П (TU. v/p <r X/p. э. (X/p-,v/p) [ tgo'iieC‘H
Доказательство.
F. *305-24. э
F : Hp. э . {(X / xrp) -c (p xcv)} П Ср, (p xcp) П r‘peD‘17 П G‘t/ (1)
I-. (1). *308-24. *304-28 . => F. Prop
* 308-21. F : X, p, v, p e D‘t/ n Q‘I7. X/p <r v/p . z>. (X/p-yv/p) t foo'P C‘H„
[*305-24. *308-241]
* 308-252. F : X, p, v, peD‘t/ П Q‘t/. z>. (X/p-^v/p) [ roo‘peC‘Hg
[*308-25-251-12]
* 308-26. F: X, Y e Rat. X [ t,i ‘p, Y [ h, ‘p e C‘H'. э. (Х-5У) [ fa/p e C‘Hg
[*308-252. *304-28]
*308-261. 1-:Х,УеС‘Я'.э.(Х-Д) [too‘C“C‘XeC‘«g [*308-26]
* 308-3. F: a! (X-Д | Cnv). э . X e Rat. Y e Rat,
[*308-15. *307-12]
* 308-301. I-: a! (X | Cnv +Д | Cnv). э. X, Y e Rat, [*306-12. *307-23-12]
*308-31. F : a! (X+g У). э .X, УeRatg [*306-12. *308-3-301. (*308-02)]
*308-32. F:X, KeRat .o.X+g Y = X+SY
Доказательство.
F . *308-3-301. *307-25 . (*308-02). э
F:X,yeRat-i09.D.X+g Y = X+SY (1)
F. *306-24 . *308-22-3-301. э
F :XeRat- i‘O9 . У = 09 . э.X+g У = Х = Х+5У (2)
F . (2). (3). э
F X e Rat. У = 09 . V . У e Rat. X = 09 : э . X +g У = Х+5У (3)
F . (1). (4). э F . Prop
* 308-321. F : X e Rat. У e Rat, . z>. X +g У = X-s Y | Cnv
[*306-12. *308-3-301. *307-25. (*308-02)]
* 308-322. F : У e Rat. X e Rat, . э . X +g У = Y-SX | Cnv
[*306-12. *308-3-301. *307-25 . (*308-02)]
* 308-323. F : X, У e Rat, . э. X +g У = (X | Cnv +,У | Cnv) | Cnv
[*306-12. *308-3-301. *307-25 . (*308-02)]
* 308-33. F :X+g XeRat, . н .X, yeRatg
[*306-22. *308-2-32-31]
* 308-4. F . X +g У = Y +g X [*306-11. (*308-02)]
Principia Mathematica III
*308. СЛОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
291
* 308-41. F. X +g Y = (X | Cnv +g У | Cnv) | Cnv
Доказательство.
F. *307-12. *34-26. (*308-02). э
F . (X | Cnv +g Y | Cnv) | Cnv = (X | Cnv +.У | Cnv) | Cnv U (X | Cnv -SY) | Cnv
U (У | Cnv -5У) | Cnv U (Х-^У)
[*308-21] = (X | Cnv U У | Cnv) | Cnv U (У-.Х | Cnv)
u(X-iy|Cnv)u(X+Jy)
[(*308-02)] =X+g Y. э F. Prop
* 308-411. F. (X +g У) | Cnv = X | Cnv +g У | Cnv [*308-41. *307-12]
* 308-412. F:X|Cnv+s y|Cnv = Z|Cnv. = .X+gY = Z
[*308-411. *307-13]
* 308-42. F : X, У e Rat. э. (X-sУ) +g У = X
Доказательство.
F . *308-12-32 . *306-24 .z>F:Hp.X=y.z>. (X-Д) +gY = X (1)
F. *308-18-32. э F: Hp. У <r X. э. (Х-5У) +g Y = (Х-.У) +.У
[*308-13] =X (2)
F. *308-19-322. э F: Hp. X <r У. э. (Х-.У) +gY= Y-s (X-SY) | Cnv
[*308-21] =У-ДУ-,Х) (3)
F. *308-13 . z> F: Hp (3). z>. X+, (У-,Х) = У •
[*308-16-18] э. X = У-5 (У-,Х) (4)
F.(3).(4). эF :Нр .X<г У. э . (Х-,У)+g У = Х (5)
F. (1). (2). (5). *304-221. э F. Prop
*308-43. F: X, У e Rat. z>. (X+g Y)-SY = X
Доказательство.
F. *308-32. э F : Нр. z>. X +g У = Х+, У.
[*308-16. *306-22] э . (X +g У) —SY = X: э F . Prop
♦308-44. F:. X, Zе Rat. э: X-SZ = Y-SZ. s. X = У
Доказательство.
F . *308-13-14-15 . э F : X = У. z>. X-SZ = Y-SZ (1)
F . *308-2. э F:Нр. X-SZ= Y-SZ. э . yeRat.
[♦308-42] o.(y-JZ)+JZ=y.
[Hp] =.(X-,Z)+,Z=y.
[*308-42] э.Х=У (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*308-45. F:. X, Z eRat. z>: Z-5X = Z-SY . = .X=Y
[*308-44-21. *307-13]
*308-46. F : X, У e Rat. У 09 . z>. (Х-,У) <gX
Доказательство.
F . *308-19 . э F : X <r Y. z>. (Х-^У) e Rat„ - i‘O9 . X e Rat.
[(*307-03)] э.(Х-5У)<Д (1)
F. *308-12. oF:Hp.X= У. э.Х-1У = 09.
[*304-46. (*307-03)] z>. (Х-,У) <gX (2)
F . *308-13-18. э F : Hp. У <r X. э . (Х-,У) +5У = X. X-,Y e Rat - l‘0, .
[*306-52] э.(Х-5У)<гХ.
[(*307-03)] z>. (X-SY) <gX (3)
F . (1). (2). (3). э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
292
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*308-47. F: X е Rat. Y, Z е Rat - i‘O9 . э. Х-,У # X+SZ
Доказательство.
F. *306-52 . *308-46 . э F : Нр. э . (Х-,У) <r (X+SZ).
[*304-201] э . X-, Y ± X+SZ: э F. Prop
*308-51. F :.XeRatg . z>:X+s У = Х. н . Y = 0q
Доказательство.
F.*308-33. Dh:.Hp.o:X+gr = X.z>.reRatx (1)
F. *308-32. oF:XeRat. y = 0?.X+g У = Х+Д
[*306-24] (2)
F . *308-322. эF :XeRat„ . У = 09 . z>.X+g У = У-5Х| Cnv
[*308-23. *307-12] =X (3)
F.(2).(3). dF :. Hp. э: У = 09 . z>. X+g Y = X (4)
F. *308-32. z> F: X, У eRat .X+g У = X. z>. Х+5У = X.
[*306-24-54] э.У = 09 (5)
F. *308-321. эF:XeRat. УeRat„ . Х+г У = X. э.Х-5У | Cnv = X.
[*308-22-45] э.У|Спу = 09.
[*307-2] э.У = 0, (6)
F . *308-322. э F :XeRat„ . У eRat. X+g У = X. э. У-jX | Cnv = X
[*308-23 . *307-12] = 0, -SX | Cnv.
[♦308-44] э.У = 09 (7)
F . *308-323. *307-14 . э
F :X, yeRatn .X+g У = X. э.X| Cnv+,У | Cnv = X|Cnv.
[(5). *307-26] э.У = 09 (8)
F.(l).(5).(6).(7).(8).oF:.Hp.o:X+gy = X.o.y = 0, (9)
F . (4). (9). э F . Prop
*308-52. F:. X, У e Ratg .^>:X+gY = X+g7. = .Y = Z
Доказательство.
F. *308-321-47. dF : X, У eRat. У/0,. X+g У = X+gZ.z>.Z~eRat„ (1)
F.*308-51. DF:XeRatg.y = 09.X+gy = X+gZ.o.Z = 0, (2)
F . (1). (2). *308-33. э F : X, У eRat. X+g У = X+g Z. э. ZeRat (3)
F . (3). *308-32. э F : X, У e Rat. X +g У = X +g Z. э. Х+Д = X+SZ.
[*306-54] o.y = Z (4)
F . (4). *308-323. *307-13. F : X, У e Rat„ .X+gY = X+gZ .=> .Y = Z (5)
F . *308-321-32-47. э
F: X e Rat. У e Rat„ .X+gY = X+gZ.z>.Z~e Rat - i‘O9 (6)
, z.y
F . — . Transp. э
F: X e Rat. У e Rat„ -1‘09 . X +g У = X +g Z. э . Z / 09 (7)
F. (6). (7). *308-33. э
F : X e Rat. У e Ratn - i‘O9 .X+gY = X+gZ.z>.Ze Rat„ (8)
F. (8). *308-321. э F : Hp (8). э . X-SY | Cnv = X-SZ | Cnv.
[*308-45. *307-13] э. У = Z (9)
F. (9). *308-411. *307-13. э
F:XeRatn.yeRat.X+gy = X+gZ.o.y = Z (10)
F. (4). (5). (9). (10). э F: Hp. X +g У = X +g Z. э . У = Z (11)
F. (11). (*308-02). dF. Prop
Principia Mathematica III
*308. СЛОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ 293
*308-53. F : X, Y е Ratg . э . X +g (+g X | Cnv) = Y
Доказательство.
F . *308-321. *307-12. э I-: X, Y е Rat. э. X +g (Y +g X | Cnv) = X +g (Y-SX)
[*308-4-42.] =Y (1)
I-. *308-32 . э
F: X e Rat„ . Y e Rat. э . X +g (У +g X | Cnv) = X +g (Y+SX | Cnv)
[*308-4-321. *306-22] = (У+,Х | Cnv) -SX | Cnv
[*308-43-32] = Y (2)
I-. *308-323. *307-12 . э
I- :XeRat. KeRat„ . z> .X+g (У +g X| Cnv) = X+g (У | Cnv +,X) | Cnv
[*308-321. *306-22] = X-s (У | Cnv +.X)
[*308-17. *307-12] = У (3)
F . (1). э F : X, YeRat„ . э .X| Cnv +g (У | Cnv +g X| Cnv | Cnv) = У | Cnv.
[*308-411] э. X | Cnv +g (У +g X | Cnv) | Cnv = У | Cnv.
[*308-412] z>. X+g (У+gX | Cnv) = У (4)
b . (1). (2). (3). (4). => F. Prop
* 308-54. F:X, yeRatg . э. (gZ) .ZeRatg .X+gZ = У [*308-53-33]
* 308-55. F X, y.ZeRatg . э:X+gZ= У. =.X= У+gZ| Cnv
Доказательство.
F . *308-53-52-4. d F: Hp. X+g Z= У. z>. У+gZ| Cnv = X (1)
F.*308-53-4. э F: Hp. У+g Z | Cnv = X. z>. X+., Z = У (2
F . (1). (2). э F . Prop
* 308-56. F :. X <r Y. = :XeRatg : (gZ).ZeRat - i‘O9 .X+gZ=Y
Доказательство.
F . *306-52 . *308-32 . э
F :. X<r У. = : XeRat: (gZ). Ze Rat - l‘0? . X +g Z = У: (1)
[*306-52-25] э: У e Rat: (gZ). Z e Rat -i‘O9 .X+gZ = Y (2)
УI Cnv, X Cnv
X, У '°
F :. Х<„У. э : X eRat„ : (gZ). ZeRat - i‘O4 . У | Cnv +gZ = X\ Cnv:
[*308-55-412] э: X e Rat„ : (gZ). Z e Rat -1‘09 .X+gZ=Y (3)
F . *308-32-53. *306-23. э F : X e Rat„ . У e Rat. э .
У +g X | Cnv e Rat -1‘09 .X+g(Y+gX\ Cnv) = У (4)
F . (1). (2). (3). (4). (*307-03). э
F :. X<gY. э : XeRatg : (gZ) .ZeRat - i‘0,. X +g Z= У (5)
F . *35-103. (*307-03). э F : X e Rat„ - i‘O9 . У e Rat. э . X<gY (6)
F . *308-55-412 . z>
F : X, У e Rat„ . Z e Rat - i‘O9 . X +g Z = У. z>. X | Cnv = У | Cnv +SZ.
[*306-52] э.Х>„У (7)
F.(6).(7).z>F:.XeRatn:(gZ).ZeRat-i‘09.X+gZ=y:o.X<gy (8)
F . (1). (8). z> F :. X e Ratg : (gZ). Ze Rat -1‘0, . X +g Z = У: э. X<gY (9)
F . (5). (9). э F . Prop
*308-561. F:. X<gy. = : У e Ratg : (gZ). Ze Rat - l‘O9 . X +g Z = У
[*308-56-33]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
294
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*308-57. F: X<gY. = . X е Ratg . Y +g X | Cnv е Rat -i‘09 .
= .Ye Ratg . Y +g X | Cnv e Rat - i‘O9
Доказательство.
F. *308-55-56-4. э
F X<gy. = :XeRatg : (aZ) .ZeRat - i‘09 .Z= У+gX| Cnv
F. *308-55-561-4. э
F X<gY. = : У e Ratg : (aZ). Ze Rat - i‘O9 . Z = У +g X | Cnv
F. (1). (2). d F . Prop
* 308-6. F : X, У, Z e Rat. э. (X +g У) +g Z = X +g (У +g Z)
[*308-32. *306-22-31]
* 308-601. F : X, У, Z e Rat„ . z>. (X +. У) +. Z = X +. (У + Z)
Доказательство.
F . *308-323. *307-12 . э
(1)
(2)
F:Hp.z>.(X+g У)+g Z = (X | Cnv+,У | Cnv) | Cnv+g (Z | Cnv) | Cnv
[*308-411]
[*308-6. *306-22]
[*308-411]
[*308-323]
= ](X | Cnv +Д | Cnv) +g Z | Cnv} | Cnv
= {X | Cnv +g (У | Cnv +g Z | Cnv)} | Cnv
=X +g (У | Cnv +g Z | Cnv) | Cnv
=X+g (У+g Z): z> F . Prop
* 308-602. F : X, p, v, p, o, x e NC ind. p, p, x ~ e i‘09. э.
(k/p+sv/p) -sa/x = (X/p-jO/x) +g v/p
Доказательство.
F. *308-24. э F: Hp. o/x <r X/p. э.
(X/p+sv/p) —5o/x = ((1 xc pxcx) +c (p xcvxcx) -c (p xc pxc o)}/( p xcpxcx).
(Х/р-,о/х) +sv/p = {(X xc pxcx) -c (p xc pxco) +c (p xcvxcx)}/( p xc pxcx). (1)
F . *308-241. z> F: Hp . X/p+,v/p <r o/x. z>. (X/p+,v/p) -so/x
- [{(p Xc px<- o) - (X xc pxcx) - (p xcvxcx)}/( p xc pxcx)] I Cnv.
(X/p-jo/x) +g v/p = [](p xcx) -s (X xc o)}/( p xcx)] I Cnv +g v/p
[*308-322-21]
= [{(И xc pxc о) - (X xc pxcx) - (p xcvxcx))/( p xc pxcx)] | Cnv (2)
F . *308-24-241. э F: Hp. X/p <r a/x. a/x <r X/p+jV/p . э.
(X/p+^v/p) -,о/х = {(X xc pxcx) +c (p xcvxcx) -c (p xc pxc o)}/( p xc pxcx).
(X/p-so/x) +g v/p = [{(p xc a) -c (X xcx)}/( p xcx)] | Cnv +g v/p
[*308-322-21] = ((X xcpxcx) +c (p xcvxcx) -c (p xcpxco)}/( p xcpxcx) (3)
F . *308-16-12. э
F : Hp. X/p = o/x. э . (X/p+jV/p) -sa/x = v/p = (X/p-so/x) +g v/p (4)
F. *308-12-53-17. э
F: Hp. X/p+cv/p = o/x. э . (X/p+5v/p) -sa/x = 0, = (X/p-jo/x) +g v/p (5)
F.(l).(2).(3).(4).(5). = F.Prop
* 308-61. F:X, y,ZeRat.o.(X+gy)-5Z = (X-JZ)+gy [*308-602-32]
♦ 308-62. F : X, У eRat. ZeRat„ . э. (X +g У) +g Z = X+g (У +gZ)
Доказательство.
F . *308-33-321. э F : Hp. э . (X +g У) +g Z = (X +g У) -,Z | Cnv
[*308-4] = (У +g X) -SZ | Cnv
[*308-61] = (У-jZ | Cnv)+g X
[*308-4] = X+g (У-jZ | Cnv)
[*308-321] =X +g (У +gZ): z> F. Prop
Principia Mathematica III
308. СЛОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
295
* 308-621. F: X, Y е Rat„ . Z е Rat э. (X +g У) +g Z = X +g (Y +g Z)
Доказательство.
F. *308-62. э
F : Hp. z>. (X| Cnv+g У | Cnv)+gZ| Cnv = X| Cnv+g (У | Cnv+gZ| Cnv).
[*308-411 ] э . (X +g У) | Cnv +g Z | Cnv =X | Cnv +g (У +g Z) | Cnv
[*308-411] = {X +g (У +g Z)J | Cnv.
[*308-412] э. (X +g У) +g Z = X +g (У +g Z): э F. Prop
*308-63. F .(X+gY)+gZ = X+g(Y+gZ)
Доказательство.
F . *308-6-601-62-621. э
F : X, y,ZeRatg . э. (X+g У)+g Z = X+g (У+gZ) (1)
F . *308-31-33. z>
F : ~ (X, y,ZeRatg). э . (X+g У)+gZ = A .X+g (У+gZ) = A (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*308-71. F : X e Rat». Z<»Z'. z>. (X +» Z) <g (X +. Z')
Доказательство.
F. *308-57. z> F : Hp . э. Z' +g Z | Cnv e Rat -1‘0?.
[*308-56] э. (X +g Z) <g ((X +g Z) +g (Z' +g Z | Cnv)}.
[♦308-63-53] э. (X +g Z) <g (X +g Z'): э F . Prop
*308-72. F : (X +. Z) <e (X+gZ'). = .Xe Rat». Z<»Z'
Доказательство.
F . *308-33. э F: (X +g Z) <g (X +g Z'). э. X, Z, Z' e Ratg (1)
F . *308-57. z>
F : (X +g Z) <g (X +g Z'). э . {(X +g Z') +g (X +g Z) | Cnv} e Rat - i‘O9 .
[*308-411-63-53] z>. (Z'+g Z | Cnv) e Rat - i‘O9 (2)
F . (1). (2). *308-57. э F: (X +g Z) <g (X +g Z'). э . Z<gZ' (3)
F . (1). (3). *308-71. э F . Prop
*308-8. F: X, У e Ratg . X [ /ji ‘ц, У [ йt ‘p. e C'Hg . э. (X +g У) [ Zqo'H e C'Hg
[*308-32-321-322-323. *306-64. *308-26]
*308-81. F:X,yeC‘/7g.o.(X+gy) [Zoo‘C“C‘XeC‘Hg [*308-8]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
296
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*309. Умножение обобщенных пропорций
Краткое содержание *309.
Предмет этого параграфа более прост, чем предмет *308, потому что
он не требует ничего аналогичного рассмотрению вычитания. Произведение
двух пропорций определяется следующим образом:
*309 01. X xg Y = (X Xj У) U (X | Cnv xs Y | Cnv)
U (X Xj Y | Cnv) | Cnv и (X | Cnv xs Y) | Cnv Df
Как и в *308, три из четырех произведений, участвующих в этом опре-
делении, будут нулевыми в любом заданном случае (за исключением X = 09
или У = 09). Следовательно,
*30914. F : X, У е Rat. z>. X xg У = Х Xj У
*309141. F : X е Rat. У е Ratn . z>. X xs У = (X X, У | Cnv) | Cnv
*309142. F: У е Rat. X е Ratn . z>. X xg У = (X | Cnv Xj У) | Cnv
*309143. F: X, У е Rat„ . э . X xg У = X | Cnv xs У | Cnv
Предложения этого параграфа являются просто обобщениями таковых
из *305. Доказательства формальных законов просты, однако доказатель-
ство закона дистрибутивности (*309-37) является длинным из-за многочис-
ленности различных случаев.
*309-01. X Xg У = (X Xj У) U (X | Cnv х5 У | Cnv)
U (X х5 У | Cnv) | Cnv U (X | Cnv Xj У) | Cnv Df
*309-1. I-. X Xg У = (X Xj У) U (X | Cnv Xj У | Cnv)
U (X Xj У | Cnv) | Cnv U (X | Cnv Xj У) | Cnv [(*309-01)]
*309-101. F : X e Rat - i‘0g. z>. X | Cnv х5 У = A [*305-2 . *307-25]
*309-102. F: X e Rat„ - i‘O9 . z>. X х5 У = A [*305-2. *307-25]
*309-11. F : a !X xg У. z>. X, У eRatg [*305-2. *309-1]
*309-12. V .XxgY=YXgX [*305-11. *309-1]
*309-121. F. X Xg У = X | Cnv xg Y | Cnv
= (X Xg У | Cnv) | Cnv = (X | Cnv Xg У) | Cnv [*309-1. *307-12]
*309-122. I-. X Xg У | Cnv = X | Cnv Xg У = (X Xg У) | Cnv
[*309-121. *307-12]
*309-13. Ь : X, У eRat -1‘09 . э .XXg У = Хх5 У [*3091-101 12]
*309-131. F X = 0, . У e Rat - i‘O9 . V . У = 09 . Xe Rat -1‘0, : z>.
X Xg У = X Xj У = 09
Доказательство.
F . *309-101. э
I-: X = 09 . У e Rat - i‘O9 . э . X Xg У = (X х5 У) U (X | Cnv xs У) | Cnv.
[*307-26. *305-22] .XxgY = XxsY = 04 (1)
I-. (1). *309-12. эF : У = 09 .XeRat -1‘04 . z>.XXg У = xXj У = 0, (2)
F. (1). (2). => F. Prop
*309-133. F :X = 0, . У = 0ч . э. XXg У = Хх, У = 09
[*309-1. *307-26 . *305-22]
*309-14. F :X, yeRat. э.XXg У = XXj У [*309-13-131-133]
Principia Mathematica III
309. УМНОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
297
*309141. F: X е Rat. Y е Rat„ . z>. X xg Y = (X xs Y | Cnv) | Cnv
[*309 121 14]
*309142. F : Y e Rat. X e Rat„ . =>. X xg Y = (X | Cnv xs Y) | Cnv
[*309141 12]
*309143. F: X, Y e Rat„ . э . X xg Y = X | Cnv X, Y | Cnv [*309 14121]
*30915. F:X, YeRatg . s .Xxg yeRatg
Доказательство.
I- . *305-3 . *309-14-143. э
FX, YeRat. V .X, YeRat„ : э .Xxg YeRat (1)
F . *305-3. *309-141-142. z>
F:. Xe Rat. Ye Rat„ . V . Xe Rat„ . Ye Rat: z>. X xg Ye Rat„ (2)
F.(l).(2). э F : X, KeRatg . э. X xg XeRatg (3)
F . *303-72 . (*307-01-011). z> F : X xg Y e Rat„ . z>. g !X xg Y (4)
F. (4) .*309-11. oFrXXgKeRatg.o.X.reRatg (5)
F . (3). (5). э F . Prop
*309-16. F.(XXgP)XgZ = XXg(PXgZ) [*305-41. *309-1]
*309-17. F : X, У ~ e i‘0g U i‘oo9 . z>. X xg Y = Cnv‘(X xg Y)
Доказательство.
F . *309-1. z> F . X Xg У = (X xs У) U (X Cnv X, Y | Cnv)
U (X х^ У | Cnv) | Cnv 0 (X | Cnv xs У) | Cnv (1)
F . *305-12 . э F : Hp. э. X х5 У = Cnv‘(X xs У) (2)
F . *307-22. э F : X e Rat. э . X | Cnv = Cnv‘(X | Cnv) (3)
F . (3). z> F : X e Rat. X = Z | Cnv. z>. X | Cnv = (21 Cnv) | Cnv
[*307-12] = 2
[*307-14] = Cnv‘(XCnv) (4)
F . (2). (5). z> F : Hp. X, У e Ratg . z>.
X | Cnv xs Y | Cnv = Cnv‘(X | Cnv xs Y | Cnv).
X Xj У | Cnv = Cnv‘(X х5 У | Cnv).
X | Cnv x5 У = Cnv‘(X | Cnv xs Y) (6)
F . (1). (2). (6). *309-1. э F : Hp. X, У e Ratg . э. X xg Y = Cnv‘(X xg У) (7)
[*303-13-7] эF :X, yeRatg -1‘0? . ^ .X, УeRatg -1‘09 (8)
F. (8). *309-11. э
F : ~(X, УeRatg Ui‘oo9). э .XXg У = A. Cnv‘(Xxg У) = A (9)
F . (7). (9). э F . Prop
*309-21. F :.X, УeRatg :X = 09 . V . У = 09 : = .XXg У = 09
Доказательство.
F . *309-14-141. *305-22. *307-26. z> F : X e Ratg . У = 0, . э . X xg Y = 0, (1)
F.*309-15. э F: XXg У = 09 . э .X, yeRatg (2)
F . (2). *309-14-141-142-143 . *307-26 . э
F :.XXg У = 09 . э :Xx5 У = 09 . V .X| Cnv Xj У | Cnv = 0, .
V .XXj У | Cnv = 0? . V .X| CnvXj У = 09 :
[*305-22. *307-26] э : X = 0, . V . У = 09 (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*309-22. F: X, У e Ratg -1‘0^ . s . X Xg У e Ratg - t‘04 [*309-21. Transp]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
298
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*309-23. F.XeRatg-i‘09.o.XXgX = 1/1
Доказательство.
F. *309-13. э I-: X е Rat - i‘O9 . э . X xg X = X xs X
[*305-52] = 1/1 (1)
F. *309-121. *307-22.dF: PeRat- i‘O9 .X= У | Cnv. э .XxgX= У Xg У
1(1)1 -1/1 (2)
F. (1). (2). э F . Prop
* 309-24. F :XeRatg . э .Xxg 1/1 =X
Доказательство.
F.*309-14. э F: XeRat. э. X Xg 1/1 =Xx, 1/1
[*305-51] = X (1)
F . (1). *309-142. □ F: XeRatn . z>. Xxg 1 /1 = (X | Cnv) | Cnv
[*307-12] = X (2)
F . (1). (2). z> F. Prop
* 309-25. F :.X, A e Ratg . A ± 0, . z> :Xxg A = A'. =. X = A' xg A
Доказательство.
F . *309-23-24-16. э F : Hp. э . X = X Xg A Xg A' (1)
F.(l). э F : Hp. XXg A = A'. z>. X = A' xg A (2)
F . (l) y’ - . *309-15 . э F : Hp. э. X = A' = A' Xg A Xg A (3)
F . (3). э F: Hp . X = А' хя A . э. X x« A = A' (4)
F . (2). (4). э F . Prop
* 309-251. F :. X, A' e Ratg . A # 0e . z>: X xg A = A'. = . X = A' xg A
[*309-25-15]
* 309-26. F:X, yeRatg.X#09.D.(3[Z).ZeRatg.XXgZ=y
Доказательство.
F. *309-25. oF:Hp.X=yXgX.o.ZXgX= У (1)
F . (1). *309-15-12. э F . Prop
*309-31. F : X, У e Rat. Ze Ratg . э . (X +g У) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z)
Доказательство.
F . *308-32. *309-14. э
F : Hp. ZeRat. э . (X+g Y)xgZ = (X+sY)xsZ.
XxgZ = XxsZ.YxgZ = YxsZ.
[*306-41] z>. (X+g У) XgZ= (XXg Z)+g (У XgZ) (1)
F . *309-122 . э
F:Hp. W eRat. Z= W| Cnv. o.(X+g y)XgZ=((X+g У)х? W)|Cnv
[(1)] =((XXgW)+g(yXgW)}|Cnv
[*308-411. *309-122] = (X xg Z) +g (У xg Z) (2)
F. (1). (2). э F . Prop
* 309-311. F : X, У e Rat„ . Z e Ratg . э. (X +g У) xg Z = (Z xg Z) +g (У xg Z)
Доказательство.
F . *308-41. *309-122. э
F : Hp. э. (X +g У) Xg Z = {(X | Cnv +g У | Cnv) xg Z} | Cnv
[*309-31] = {(X | Cnv Xg Z) +g (У | Cnv xg Z)} | Cnv
[*309-122. *308-41] = (X xg Z) +g (У xg Z): э F . Prop
Principia Mathematica III
*309. УМНОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
299
* 309-32. h : (v/p) <г (к/ц). а/т е Rat. э .
(к/ц-.v/p) xg а/т = {((к хс р) -с (ц xcv)) хсо}/( ц хс рхст)
Доказательство.
h . *308-24 . э h : Нр . э . к/р.-5у/р = ((к хс p)-5(|ixcv))/ Ц хс р (1)
h . (1). *309-14 . *305-142 . э h . Prop
* 309-33. h : к/ц, v/p, a/те Rat. э .
(к/ц-.v/p) Xg (о/т) = (к/|Л Xg а/т) -J (v/p Xg а/т)
Доказательство.
h . *309-14. э h : Hp . э . k/ц xg o/x = k/p. xs o/x . v/p xg o/x - v/p x^ а/т .
[*305-142] э . k/p Xg o/x = (k xca)/( p xct) . v/p xg o/x = (v xca)/( p хст) (1)
Ь.(1).э
F: Hp. (v/p) <r (X / p). э. (X/p xg o/т) -s (v/p xg с/х) =
{(X xco) xc (p xcr) -c (p xct) xc (v xco)}/( p xcpxcr2)
[*303-38] = {(X xc oxc p) - (p xcvxc o))/( p xc pxcx)
[*309-32] = (X/p-.v/p) xg o/x (2)
F . (2). э F : Hp . (X/p) <r (v / p). э .
(v/p Xg o/x) -s (X/p Xg o/т) = (v/p-5X/p) Xg o/x .
[*308-21. *309-122] э . (X/p xg o/т) (v/p xg o/x) = (X/p-jV/p) xg o/x (3)
F . *308-12. *309-21. э
F : Hp. X/p = v/p . э. (X/p-5v/p) xg o/x = 0? .
(X/p Xg o/x) (v/p Xg o/x) = 0q (4)
F.(2). (3). (4). э F . Prop
* 309-34. F : X, Y, Ze Rat. э. (X-Д) xg Z = (X xg Z) (У xg Z)
[*309-33]
* 309-35. F: X, Z e Rat. Y e Rat„ . э . (X +g Y) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z)
Доказательство.
F . *308-321. э F: Hp. z>. X +g Y = X-SY | Cnv.
(X xg Z) +g (У Xg Z) = (X Xg Z) (У | Cnv Xg Z) (1)
F . (1). *309-34. э F. Prop
* 309-36. F : X, Z e Rat„ . У e Rat. э. (X +g У) xg Z = (X xg Z)+g(Y xg Z)
Доказательство.
F . *308-41. *309-121. э
F:Hp.o.X+g y = (X|Cnv+g y|Cnv)|Cnv.XxgZ = X|CnvXgZ|Cnv.
yXgZ=y|CnvXgZ|Cnv.
[*309-122] э. (X +g У) Xg Z = (X | Cnv +g У | Cnv) xg Z | Cnv.
(X Xg Z) +g (У Xg Z) = (X | Cnv Xg Z | Cnv) +g (У | Cnv xg Z | Cnv) (1)
F . (1). *309-35 . э F . Prop
*309-361. F: X e Ratg . У e Ratn . Z e Rat. z>.
(X +g Y)xgZ = (X Xg Z) +g (У Xg Z) [*309-311-36]
*309-362. F : X, Z e Ratg . У e Rat„ . э. (X +g Y) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z)
Доказательство.
F . *309-122 . *308-41. э
F.(X+g y)XgZ={(X+g У) Xg Z | Cnv) | Cnv.
(X Xg Z) +g (У Xg Z) = {(X Xg Z | Cnv) +g (У Xg Z | Cnv)) | Cnv (1)
F . *309-361. э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
300
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
F: Нр. Z е Rat„ . э. (X +g У) xg Z | Cnv
= (XxgZ|Cnv)+g(yxgZ|Cnv) (2)
F. (1). (2). э F : Hp . ZeRat„ . э. (X+g У) xg Z = (Xxg Z)+g (У xgZ) (3)
F . (3). *309-361. э F . Prop
*309-363. F: X, Y, Z e Ratg . э. (X +g Y) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z)
Доказательство.
F . *309-35-12 . *308-4. э
F: У, ZeRat. XeRat„ . z>. (X+g У) Xg Z = (XXgZ)+g (У XgZ) (1)
F . *309-36 . э
F : yeRat .X,ZeRat„ . э . (X+g y)XgZ = (XXgZ)+g (У XgZ) (2)
F.(1).(2).d
F : X e Ratn . У e Rat. Z e Ratg . z>. (X +g У) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z) (3)
F . (3). *309-31. z>
F : X e Ratg . У e Rat. Z e Ratg . z>. (X +g У) xg Z = (X xg Z.)+g(Y xg Z) (4)
F . (4). *309-362 . z> F. Prop
*309-37. F . (X +g У) xg Z = (X xg Z) +g (У xg Z)
[*309-363-11-15. *308-31-33]
*309-41. F A e Rat -1‘09 . z>: (A xg X) <gY. = . X<g (У xg A)
Доказательство.
F. *308-56 . э F (A Xg X) <gY. = :
A Xg X e Ratg : (gZ). Z e Rat - i‘O9 . (A xg X) +g Z = У (1)
F. (1). *309-15 . э F:: Hp . э(A Xg X) <gY. s:
X e Ratg : (gZ). Z e Rat -1‘09 .(AxgX)+gZ-Yi
[+309-25-37-23-24] z>: X e Ratg : (gZ). Z e Rat -1‘09 . X +g (Z xg A) = У xg A :
[*305-31. *309-13] э : X e Ratg : (gZ'). Z' e Rat -i‘0, .X+gZ’ = YxgA:
[*308-56] z>tX<g(YxgA) (2)
Аналогично F Hp. z>: X<g (У xg A). э. (A xg X) <gY (3)
F. (2). (3). z> F . Prop
* 309-42. F A e Rat, -1‘09 . z>: (A xg X) <gY. s . (У xg A) <gX
Доказательство.
F . *307-4. *309-122 . z>
F Hp. z>: (A xg X) <gY. = . (У | Cnv) <g (A | Cnv xg X).
[*309-41. *307-22] = . (У | Cnv xg A | Cnv) <gX.
[*309-121] н . (У Xg A) <gXэ F . Prop
* 309-5. F:X, УeRatg .X [Гц‘p, У [Гц‘цеС‘//8 . э . (Xxg У) [roo‘peC‘Hg
[+309-14-141-142-143. *305-26]
*309-51. l-:X,Y€C‘Hg.=>.(XxgY)ttoo‘C“C‘X€C‘Hg [*309-5]
Principia Mathematica III
*310. СЕРИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
301
* 310. Серии действительных чисел
Краткое содержание *310.
Вещественные числа, в противоположность пропорциям, требуются
прежде всего для того, чтобы получить Дедекиндову серию с тем, что-
бы гарантировать наличие границ у множеств рациональных чисел, не
имеющих рациональной границы. Если рациональные и иррациональные
числа образуют одну серию, то необходимо дать некоторое определение
“рациональных чисел”, отличных от “пропорций”, поскольку серия про-
порций (предполагая аксиому бесконечности) не является Дедекиндовой
и не является никакой частью арифметически определимой Дедекиндовой
серии. Однако, в силу предложений *212, серия сегментов серий пропор-
ций, т.е. серия $‘Я, является Дедекиндовой, и эта серия содержит серию,
а именно ТЬя, которая является ординально подобной Н. Таким образом,
те свойства, которые мы хотим от вещественных чисел, будут получаться,
если мы отождествим их27 с сегментами Н и дадим имя “рациональные
вещественные числа” сегментам вида 7?‘Х, т.е. сегментам, которые имеют
в качестве границ пропорции. Таким образом, 7?‘Х является рациональным
вещественным числом, соответствующим пропорции X, и вещественное чис-
ло, вообще говоря, имеет форму Я“Х, где к представляет собой класс про-
порций. Я“к будет иррациональным, когда \ не обладает границей или
максимумом в Н.
Поскольку вещественные числа затрагивают классы пропорций, то эти
пропорции должны быть некоторого одного типа и не могут быть типо-
во не-определенными. Таким образом, можно было бы ожидать, что едва
ли какое-либо из свойств вещественных чисел может быть доказано без
принятия аксиомы бесконечности. Однако в настоящем параграфе мы бу-
дем, главным образом, касаться тех нескольких простых свойств, которые
являются независимыми от аксиомы бесконечности.
Серия $‘Я, посредством которой определяются вещественные числа, об-
ладает и началом, и концом, а именно А и D'H (что = С'Н, если имеет
место аксиома бесконечности). D'H будет бесконечностью среди веществен-
ных чисел. Неудобно включать ее в серию вещественных чисел так, как
это определено, точно так же, как было бы неудобно включать ooq в серию
Н или Я'. С другой стороны, было бы неестественным принять А в каче-
стве нуля для вещественных чисел, а лучше в качестве такового взять i‘O9.
Таким образом, мы приходим к двум следующим определениям, в которых
О является серией положительных вещественных чисел, отличных от нуля
и бесконечности, в то время как О' является серией из нуля и положитель-
ных вещественных чисел, отличных от бесконечности:
*310 01. 0 = (^‘Я) [(-1‘А-1‘О‘Я) Df
*310 011. 0' = i‘O^0 Df
27 По поводу этого определения вещественных чисел ср. Principles of Mathematics, гла-
ва XXXIII. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
302
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Эти обозначения оформляются по аналогии с Я и Я', буква 0 выби-
рается для того, чтобы иметь в виду 0, т.е. реляционное число континуу-
ма. Хотя мы не имеем Nr‘0 = O, мы имеем Мг\‘Я=0 и поэтому (*310-15)
i+Nr‘0+i = 0 и Nr‘0'+i = O (предполагая аксиому бесконечности). Таким
образом, реляционное число 0 представляет собой просто реляционное чис-
ло 0 с обрезанными концами.
К тому же мы полагаем по аналогии с Ял, Hg
*310 02. 0Л = ($‘ЯЛ) £ (- ГА - 1‘О‘Ял) Df
*310 021. 0'л = Г0^ ч- 0Л Df
*310 03. 0g = 0„W' Df
Таким образом, 0Л является серией из отрицательных вещественных чи-
сел, 0Л' представляет собой серию из нуля и отрицательных вещественных
чисел, 0g есть серия из отрицательных и положительных вещественных
чисел, включая нуль (бесконечность всегда исключается). Класс положи-
тельных вещественных чисел представляет собой С‘0, отрицательных веще-
ственных чисел —С‘0Л, всех вещественных чисел (исключая бесконечность)
С‘0 U ГГО^ U С‘0Л. Если v является положительным вещественным числом,
то | Cnv“v представляет собой соответствующее отрицательное веществен-
ное число (*310-16). Свойства 0, 0Л, 0g, в части пределов, непрерывности
и т.д., проистекают из свойств 0, как доказывается в *275, и из свойств
серий сегментов, как доказывается в *212.
Вместо того чтобы принимать серию сегментов как определяющую ве-
щественные числа, возможно взять серию их реляционных сумм, т.е. 5t;0.
Это зависит от того обстоятельства, что s;0smor0 (*310-33). Главное пре-
имущество 5 ;0 состоит в том, что она обладает тем же самым типом, что
и серия пропорций. Мы покажем в *314, как построить арифметику ве-
щественных чисел, определенных как реляционные суммы сегментов; до
тех пор мы будем рассматривать вещественные числа как сегменты серии
пропорций.
*310-01. 0 = ($‘Я) [ (-ГА - ь‘О‘Я) Df
*310-011. 0' = ГО9н-0 Df
*310-02. 0Л = ($‘ЯЛ) £ (- ГА - ГО‘ЯЛ) Df
*310-021. 0'л = i‘0^ ч- 0Л Df
*310-03. 0g = 0„W' Df
*310-1. h . 0,0', 0Л, 0'л, 0g е Ser [*304-23 . *307-41-25 . *204-5 . *212-31]
*310-11. h : ц 0 v. = . ц, vcD‘#e - ГА - i‘D7Z. ц с v. ц 54 v.
= . ц, v е D‘7/e. а! н • Я! - v. а! v - ц.
= . ц, v е О\‘Я А С\‘Я. ц с v . ц 54 v
[*212-23-132 . *211-61. (*310-01)]
*310-111. h : ц0л v . = . ц, v сО‘(Ял)е - ГА - ГО‘ЯЛ . ц с v . ц 54 v .
= . щ v е О‘(Ял)б. а ’ ц . а! D'Hn - v . а! v - ц .
= . ц, v е О\‘ЯЛ А (Г<ЯЛ . ц с v . ц ± v [(*310-02)]
*310-112. h ц 0g v ц 0Л . V . ц 0 v . V .
ц е С‘0Л . v е ГГО9 U С‘0 . V . ц - Г0^ . v е С‘0 [(*310-03)]
Principia Mathematica III
.310. СЕРИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 303
*310113. F р 0' v. в : р = i‘0, . v е С‘О. V . р О v [(*310 011)]
*310-114. Fр &п v. = : р = i‘0g . v е С‘0„ . V . р 0„ v [(*310-021)]
*310-12. F. С‘О = П Q‘?‘W = D‘//e - i‘A - i‘D‘tf.
C‘0„ = П a\‘Hn = D‘(Hn)e - i‘A - [*212-132]
*310-121. F. C'Q c Cl ex‘D‘tf„ [*310-12]
*310-122. Ha!3. = .a!0.B.a!0'.B.a!0n. = .a!0'„.s.a!0g
[*212-14 . *161-13. *304-27]
*310-123. F: a 13. э. C‘O' = i‘i‘O, U C‘0. C‘O'„ = i‘i‘O, U C‘0„ .
C‘0g = C‘0„ U i‘i‘O9 U C‘0 [*310-122 . *161-14]
*310-13. F. C‘0 П C‘0„ = A. 5‘C‘0 П s‘C‘0n = A
Доказательство.
F. *310-11-111. э F : p e C‘0. v e C‘O„ . э . p c D'H. v c D‘H„ . a! p. a! v.
[*307-25] D.p0v.pOv = A:z>F. Prop
*310-131. F . i‘O, ~ e C‘0 U C‘0„ [*304-282]
*310-14. F . Qn smor 0 [*212-72 . *307-41]
*310-15. F : Infin ax. э . 0' -h C'H, ©'„ 4» C'Hn, C'Hn H- Qg 4> C'H e 0
[*304-33 . *310-14 . *275-21]
*310-151. F: Infin ax. z>. O', 0'„ e Ser П comp П semi Ded
[*310-15 . *275-1. *271-18. *214-74]
*310-16. h : veC‘0 . = . | Спу“уеС‘0л [*310-12. (*307-04)]
*310-17. h . | Cnv“| Cnv“v = v [*307-12]
*310 18. h : ц = | Cnv“v . = . v = | Cnv“p, [*310-7]
*310 19. h : p, = v . = . | Cnv“p. = | Cnv“v [*310-17]
*31031. 1-: ц e C‘0 П С‘0Л . э . a! (s» (Rel num [*304-5. *310-121]
*31032. h Ц, v e C‘0g . э : 5‘ц = . p, = v
Доказательство.
F . *310-31. *303-62 . э
F : p e C‘0 П C‘On . v = 109 . э . a! (i‘p) t Pel num. ~ a 1 (i‘v) [ Rel num.
D.s‘p/s‘v (1)
F . *310-12-31. *307-25 . э F : p e C‘0. v e C‘0„ . z>. s‘p / i‘v (2)
F. *310-11 .oF:.p0v.o:a!v-p:
[*310-121] э : (g p, o): p/o e v : £/tj d ц . . £/т] / p/o:
[*303-52] э : (a p, о, Я, 5): p/o e v . R (p/o) 5 : £/т] e ц . - {R (£/13) 5}:
[*41-11] э : a! s'v - (3)
h . (3). *310-1. э F : ц, v c C‘0. ц ± v . э . ± s'v (4)
Аналогично h : ц, v e С‘0Л . p, / v. э. 5‘p s‘v (5)
I-. (1). (2). (4). (5). э I-Hp . э : p / v. э . 5‘p / slv (6)
h . (6). Transp . э h . Prop
*310-33. h . 5 ; 0 smor 0 . s ’ 0Л smor 0n . s ’ 0g smor 0g [*310-32]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
304
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 311. Сложение согласованных вещественных чисел
Краткое содержание *311.
Мы определяем множество вещественных чисел как согласованное, ко-
гда все они являются положительными или нулем, или все отрицательны-
ми или нулем, т.е. когда все они принадлежат С‘0' или все они принадле-
жат С‘0'л. Задаваясь двумя согласованными вещественными числами ц и
v, мы определяем сумму ц и v как класс сумм, в смысле *308, элемента
ц и элемента v, т.е. как
W{faM,N).Mqi.Nev. W = M +g N},
или как 5‘p+g‘v, в силу *40-7. Не представляет труда доказать, что, пред-
полагая аксиому бесконечности, таким образом определенная сумма обла-
дает свойствами, которые мы требуем от суммы. Поэтому мы обозначаем
таким образом определенную сумму посредством “p+pv”. Для того чтобы
гарантировать, что p+pv будет являться А, если ц, v не являются согла-
сованными вещественными числами, мы полагаем
*311-02. p+pv = X{concord(ц, v) . Df
Таким образом, если ц, v являются согласованными вещественными чис-
лами, то ц+рУ = 5‘ц+ё“у (*311-11); если нет, то p+pv = A (*311-1). Опреде-
ление сложения, которое применяется к вещественным числам противопо-
ложного знака, будет дано в *312.
Законы коммутативности и ассоциативности для +р (*311-12-121) сразу
же следуют из соответствующих законов для +g. Допуская аксиому беско-
нечности, мы доказываем без особого труда, что сумма двух положитель-
ных вещественных чисел является положительным вещественным числом
(*311-27), а сумма двух отрицательных вещественных чисел является отри-
цательным вещественным числом (*311-42). В этих доказательствах тогда,
когда используются предложения предыдущих параграфов, включающие
“Rat”, “Rat” заменяется на С‘Н' и “Rat-i‘0^” заменяется на С‘Н. Это ле-
гитимно в силу *304-49-34. В *311-511 мы доказываем (допуская аксиому
бесконечности), что если представляет собой положительное веществен-
ное число и Y является какой-либо положительной пропорцией, сколь угод-
но малой, то найдутся такие элементы X из 5, что Y+gX не является эле-
ментом 5, т.е. по заданному произвольному положительному вещественно-
му числу найдутся рациональные числа, отличающиеся от него менее чем
на любое предписанное положительное рациональное число. Это предложе-
ние является полезным и используется в доказательстве того, что если 5,
ц представляют собой положительные вещественные числа, то каждое из
них оказывается меньше, чем (*311-52). Обращение этого предложе-
ния, т.е. предложение о том, что если p,0v, то найдется такое положитель-
ное вещественное число к, что v=p,+pk, доказывается в *311-621-64 после
выполнения значительного объема работы. Таким образом, мы имеем
*311-65. h :: Infin ах. э ц0 v . = : ц, veC‘0 : (gk). keC‘0 . v = ц +р к
Разумеется, мы имеем соответствующее предложение для 0Л (*311-66).
Из *311-65 мы без труда выводим, что если ц меньше чем v (ц, v являются
Principia Mathematica III
*311. СЛОЖЕНИЕ СОГЛАСОВАННЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
305
положительными вещественными числами), то тогда к+рр меньше чем k+pv
(к является положительным вещественным числом), т.е.
* 311-73. h : Infin ах. кеС‘0 . р О v. э . (к +р р) 0 (к +р v)
откуда (с соответствующим предложением для 0Л) мы выводим
* 311-75. h Infin ах. concord (к, р). э : к +р ц = к +р v . = . р = v
что обеспечивает единственность вычитания.
* 311-01. concord (р, v, ...)• = : р, v,... е С‘0'. V . р, v,... е С‘0'л Df
* 311-02. р +р v = X {concord (р, v) .Хе s‘p+g ‘v} Df
* 311-1. h : ~ concord (p, v). э . p +p v = A [(*311-02)]
* 311-11. h : concord (p, v). э .
p +p v = s‘p+g“v = W . Me [i. Ne v . W = M +g N]
[(*311-02)]
* 311-12. h . p +p v = v +p p [*311-1-11. *308-4]
* 311-121. h . (k p) v = к (p +p v) [*311-11. *308-63]
* 311-13. h : concord (p, v). = . concord (| Cnv“p, | Cnv“v)
[*310-16. (*311-01)]
* 311-14. h : concord (p, | Cnv“v). = . concord (| Cnv“p, v) [*311-13 . *310-17]
* 311-15. h : concord (p, | Cnv“v). z>. ~ concord (p, v) [*310-13-16]
* 311-2. I-: Infin ax. В с C‘H. X e C‘H. z>. X +/‘Я“В = Я“Х +g“B П fr‘X
Доказательство.
I-. *308-72 . *304-34-401. z> F :. Hp. z>: У eX +/‘Я“В. = .
(aZ,Z').Z'e^.ZeC‘H. Y = X +g Z. (Z+g Z)H(X+g Z').
[*37-6] в . (gZ, Y'). Z e C‘H. Y = X+g Z. Y’eX+g‘^. YHY'.
[*306-52] h . Y eH“X +g“B. XHY:. э F. Prop
*311-21. Н1пйпах.£сС77.а!£--КбС‘Н.э.7?*‘ХсЯ‘‘Х+/‘^
Доказательство.
F . *306-52 . *304-401. z> I-Hp. э : Y e §. z>. XH (X +g Y):
[*40-51-61] D:XeH“X+g“B (1)
F.(1). *304-23. э F. Prop
*311-22. I-: Infin ax. В c C‘H. a! § • X e C‘H. э. Я“Х +g“B = A‘X U X +g“H“l
Доказательство.
F . *304-23 . э I-. H“X +g“В = (Я“Х +g“ВГ)‘X) U (Я“Х +g“В П fr‘X) (1)
F.(l). *311-2-21. эН.Prop
*311-23. F: Infin ax. В e С‘0. X e С‘Я. э . Я“Х +g“B ="A ‘X U X +g “Я“В
[*311-22. *310-12]
*311-24. F Infin ax. В e C‘0. Ye C‘H.=>:
(aZ). ZHY. YeZ +g“B: Ye s'B+g'&T
Доказательство.
F . *304-31 .oF:Hp.D.(aW).WeB. WHY.
[*306-52] э. (aZ, W). W e В • ZHY .Y = Z +gW: э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
306
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*311-25. h : Infin ах. г| е С‘0 .э.^с^+рг|.г|с^+рТ]
Доказательство.
h . *310-12 . d h : Hp . У e т|. э с T].
[*311-24] о. Уе^+“т] (1)
h . (1). *311-11 .э1-:Нр.э.г|с^+/,т] (2)
h . (2). *311-12 .эЬ:Нр.э.^с^+рГ| (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*311-26. h : Infin ах. т] еС‘0 . э . Я“(^ +р т]) = £ +р т]
Доказательство.
h . *311-23 . э F Нр . э: Y е г]. э. Я“(£+/) =7?*TU (Я“§)+/:
[*311-11. *310-12] э:Я“(^+рт1)=‘Э’“’т1и(^+рТ1)
[*311-25. *310-12] =£+рТ]:.dF.Prop
*311-27. I-: Infin ах. Sj, т] eC‘0 . э . § +p t] eC‘0
Доказательство.
F . *311-25. *310-12. э F : Нр. z>. а! £ +р П •
[*311-26. *310-12] o.^+?rieC‘0Ui‘D‘H (1)
F. *310-12. *211-703.э
F : Нр. э. (gAf, N). М, N е D'H. М ep'fr'l . Nep'fr'i].
[*308-32-72. *306-23] э . (аМ N) М +g N е p‘fr“(£ +р т|) П О‘Я (2)
F. (2). *200-5 . э F : Нр. э . £ +р л + D'H (3)
h . (1) . (3). э h . Prop
Аксиома бесконечности является существенной для истинности приве-
денного выше предложения, так как если она не выполняется, то мы имеем
Е ! В‘Н ~ +р т], в то время как реС‘0 . э . В‘Яер.
*311-31. h . | Cnv“(p +р v) = (| Cnv“p) +p (| Cnv“v)
Доказательство.
h. *311-13-1.0
h : ~ concord (p, v). э . | Cnv“(H +p v) = A . (| Cnv“p) +p (| Cnv“v) = A (1)
h . *311-13-11 .oh: concord (p, v). э . | Cnv“(p- +p v) = | Cnv“s‘p+g‘v
[*308-411] = s‘(| Cnv»+g‘‘(| Cnv“v) ’ ’ (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*311-32. h . | Cnv“(H +p I Cnv“v) = (| Cnv“p) +p v [*311-31. *310-17]
*311-33. h . p, +p v = | Cnv“{(l Cnv» +p (| Cnv“v)) [*311-31. *310-18]
*311-41. h : Infin ax . p, v e С‘0Л . э . pcp+p v. v с ц +p v
Доказательство.
h . *311-25 . *310-16 .oh: Hp . э . | Cnv“p c (| Cnv“p) +p (| Cnv“v).
[*311-33. *310-17] D.pcp+Pv (1)
Аналогично I-: Hp. d . v c p +p v (2)
I-. (1) . (2) . э h . Prop
*311-42. h : Infin ax. p, v e С‘0Л . d . p, +p v e С‘0Л
Доказательство.
h . *311-27. *310-16 . э h : Hp . э . (| Cnv» +p (| Cnv“v) e C‘0 .
[*311-33 . *310-16] э . p +p v e С‘0Л : э h . Prop
Principia Mathematica III
*311. СЛОЖЕНИЕ СОГЛАСОВАННЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
307
*311-43. F : peC‘Og . э. р +р i‘O9 = р
Доказательство.
I-. *311-11. э I-: Нр. э. р +р i‘0? =W {(дМ). М е р. W = М +g 09)
[*308-51] = р: э F . Prop
*311-44. F : Infin ах. concord (р, v). э. р+р v е C‘0g [*311-27-42-43]
*311-45. I-Infin ах. concord (р, v): р / i‘09 . V . v = i‘0e: э . p c p +p v
[*311-25-41-43]
*311-51. F:Infinax.^eD‘Hre-i‘A.yeC‘H.y+g“^c§.3.§ = C‘tf = D‘/7
Доказательство.
F. *38-13 .oF:Hp.Xe^.o.y+gXe§.
[*306-52] э.Уе§ (1)
F . *306-51. э
F :Hp. veNCind.XeSj. У+g(v/l x,X)e|. э. У+g ((v+cl )/l xsX)e£ (2)
I-. (1). (2). Induct. э F: Hp. v e NC ind. X e |. z>. У +g (v/1 x5 X) e § (3)
I-. *305-7. *306-52 . э
I-: Hp. X e£. Z c C‘H. z>. (gv). v eNC ind. ZH {Y +g (v/1 x, X)) (4)
F . (3). (4). z> F : Hp. Z e C'H. z>. Z e i;: э F . Prop
*311-511. F : Infinax. ijeC‘0. УеС‘Я. э. (gX).XeJ;. У+gX~ei;
[*311-51. Transp]
*311-52. F: Infin ax. T] e C‘0. z>. 10 (£ +p V|)
Доказательство.
F. *311-511. э F :. Hp. э: У eC‘7f. э . (gX). Xeij. X+g У ~e£:
[*311-11] э:(дХ,У).Х+,Уе(5+рт1)-?:
[*310-11. *311-27] э: £ О (| +p т))э F. Prop
*311-53. F: Infin axt] e С‘0Л . э. i; 0n (ij+p ф [*311-52-33]
*311-56. F:.Infinax.^eC‘Og.D:§ = §+pTi.B.n = i*0g [*311-l-43-52-53]
*311-57. F :: Infin ax.o:.§ = §+pT].B:5 = A.V . SjeC‘Og . r] = i‘09
[*311-56-1]
*311-58. F : Infin ax. pe C‘0. э.р = Я“р [*304-3 . *270-31]
* 311-6. F : Infin ax. p О v. X, У e v - p. ХЯУ. Л/ e p. э. А/ +g (У-jX) e v
Доказательство.
F . *310-11. э F : Hp. э. А/ЯХ.
[*308-42-72] э. {M +g (Y-SX)] HY (1)
F . (1). *311-58. э F. Prop
* 311-61. F: Infinax. p0 v. X = L{(gX, У). X, У ev- p. XHY. L= Y-SX]. э .
s‘p+g“Xcv [*311-6]
* 311-62. F: Infin ax.p0v.Xev-p.D.(gy)ev-p. XHY
Доказательство.
F . *311-58. э F : Hp. э .XeH“v- H“p: э F . Prop
*311-621. F:Hp*311-61.э.XeC‘0
Доказательство.
F. *311-62. oF:Hp.o.g!X (1)
F. *311-46. z>F:Hp.z>.kctf“v (2)
F . *311-62 . э F : Hp. X, У e v - p. XHY. э . (gZ). Z e v - p. YHZ.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
308
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
[*308-42-72] э.(а2).2еу-р.(У-5Х)Н(2-Л) (3)
F . (3). *37-1. эF: Нр . э . ХсН“Х (4)
F . *308-56-42-72. э
F : Нр. X, Y e v - р. XHY. LH (У-,Х). э . ХН(Х +g L). (X +g L) HY.
[*310-11. *308-43] э.АеХ (5)
h. (5). *37-1. эННр.э.Я'Ш (6)
F. (1). (2). (4). (6). э F: Hp. э. XeD‘He - i‘A - i‘D‘H.
[*310-12] э. XeC‘0: э F . Prop
*311-63. I-: Infin ax. v eC‘O. X ev. N eC‘H. э. (gL). LHN .X+g Lev
Доказательство.
F . *311-58. э I-: Hp. э. (дУ). Vev. XHY (1)
I- . *308-42. э F: Hp. Yev. XHY. Z = Y-SX. ZHN. э. ZHN .X+gZev (2)
I-. *308-42-72. э
I-: Hp . Y e v. XHY. Z = Y-SX. N H* Z. LHN. э . LHN. X +g L e v (3)
F . (3). *311-58. э
I-: Hp. Y e v. XHY. Z = Y-SX .NH*Z.=>. (gL). LHN .X+gLev (4)
F . (1). (2). (4). э F . Prop
*311-631. F: Infinax. p О v. A ер. э .
(gA/,X, У). Mер. X, Yev - p. XHY. N = M+g (Y-SX)
Доказательство.
F. *311-58. *308-72. э
F : Hp. Xe v - p. LHN. X+g Lev .Y = X+g L. M = N-gL. э.
Mz>p.X,Yev-p.XHY.N = M+g(Y-sX) (1)
F. (1) .*311-63. oF. Prop
*311-632. F : Infin ax. p© v. Ne v - p. э.
(^M,W). Mец. M+g W,N +gWev-[i.(M+gW)H(N+g IV)
Доказательство.
F . *306-52 . *311-63-58. э F : Hp. э. (gW). WeC'H. N+g We v - p (1)
F . *311-511. э F: Hp. WeC'H. э . (gA/). M э p. M +g IV ~ e p (2)
F. *311-58 oF :Hp.Af ep. Nev -ц .WeC'H . MHN. WeC'H.
[*308-72] э. (M +g W) H (N +g IV) (3)
F. (3). *311-58. э F : Hp (3). N +g W e v. э. M +g W e v (4)
F.(2).(4).d
F : Hp. W eC‘H. N +g W ev - p .э. (gAf). M эр. M +gIV ev - p (5)
F . (1). (3). (5). э F . Prop
*311-633. F : Infin ax. pOv. N ev. э.
(gA/,X, У). M ер. X, Y ev - p .XHY .N = M+g (У-Д0
Доказательство.
F . *308-61-4-63 . э
\--.fIp.MHN .X^M+gW .Y = N+gW .z>.N=M+g(Y-sX) (1)
F . *311-632 . э F: Hp. N ~ e p. э . (g M, W, X, У).
Mep.X = M+gW .Y = N +gW .XHY .MHN .X.Yev-p (2)
F . (1). (2). э F : Hp. N ~ e p. э .
(^M,X,Y).Men.X,Yev-ii.XHY.N = M+g(Y-sX) (3)
F.(3). *311-631. oF. Prop
Principia Mathematica III
*311. СЛОЖЕНИЕ СОГЛАСОВАННЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
309
*311-64. F : Нр *311-61. э . у = ц +р к
Доказательство.
F . *311-633 .эле s‘p,+g“k (1)
F.(1). *311-621-61 Р . э F : Нр . э . к с С‘0 . у = 5‘n+g ‘к •
[*311-11] э.у = ц+рк:э1-. Prop
*311-65. F :: Infin ах. э Ц0У. = : ц, у 6 С‘0 : (эк). к с С‘0 . у = ц+р к
[*311-52-64]
*311-66. F :: Infin ах. э ц 0П у . = : ц, у 6 С‘0П : (эк). к € С‘0п . v = ц +р к
Доказательство.
F . *310-11-111. э F : ц 0n у. = . (| Спу“ц) 0 (| Cnv“y) (1)
F . (1). *311-65 . э F :: Нр . z>
p,0n v. = : | Спу“цсС‘0 : (эк). кбС‘0 . | Cnv“y = | Cnv“p, +р к:
[*311-32 . *310-16-19] = : р 6 С‘0П : (дк). к с С‘0Л . у = ц +р к:: э F . Prop
*311-73. F : Infin ax. к e С‘0 . |i 0 v . э . (к +р |1) 0 (к +р у)
Доказательство.
F . *311-65 . э F : Нр . э . (эр). р с С‘0 . у = ц +р р .
[*311-121] э . (Эр). р е С‘0 . к +р у = (к +р р) +р р (1)
I- . *311-27. э F : Нр. э . к +р р, к +р n с С‘0 (2)
F.(1). (2). *311-65 . э F . Prop
* 311-731. F : Infin ax. к 6 С‘0Л . ц 0П у . э . (к +р ц) 0п (к +р у) [*311-73]
*311-74. F Infin ах: к, цеС‘0 . V . к, цсС‘0п :э:к+рц = к+рУ. = .ц = у
Доказательство.
F . *311-27-1. э F : к, ц с С‘0. к +р ц = к +р у. э . у с С‘0 (1)
F . *311-73 . Transp . э F : Нр (1). э . ~ (р 0 у) . ~ (у 0 р) (2)
F . (1). (2). *310-1. э F : Нр (1). э . ц = у (3)
Аналогично F : к, ц с С‘0П . к +р ц = к +р у. э . ц = у (4)
F . (3). (4). э F . Prop
* 311-75. F Infin ах. concord (к, ц). э : к +р ц = к +р у . = . ц = у
[*311-74-43]
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
310
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 312. Алгебраическое сложение вещественных чисел
Краткое содержание *312.
В этом параграфе мы распространяем определение сложения так, что-
бы применять его к вещественным числам противоположного знака. Как и
в *308, это требует предварительного определения вычитания. Мы опреде-
ляем вычитание следующим образом: Если найдется X такое, что v +р К = ц,
то тогда ц -р v есть X; если найдется X такое, что ц +р X = v, то тогда ц -р v
есть |Cnv“X, т.е. отрицательное к X; в любом другом случае ц-р¥ = Л.
Формальное определение есть:
* 312 01. ц -р v = X {(л X): X, ц, v е :
v+pX = p.XeX.V.|LA+pX = v.X6| Cnv“X} Df
Следовательно, допуская аксиому бесконечности, мы имеем
v (0 U 0П) ц. э . ц -р v = (i X) (v +р X = ц) (*312-18),
ц (0 U 0л) v . э . ц -р v = (i X) (pi +р | Cnv“X = v) (*312-181),
X e C‘0g . э . X -p X = i‘O9 (*312-191).
Алгебраическая сумма ц и v определяется как H+pv, если ц и v одного
и того же знака, и как p-p|Cnv“v, если ц и' v противоположных знаков;
т.е. мы полагаем
* 312-02. ц +а v = (ц +р v) U (pi -р | Cnv1 ‘v) Df
Это определение оправдано, потому что либо p+^v, либо p-p|Cnv“v
всегда должны быть Л. Таким образом, мы имеем
* 312-32. h : concord (ц, v). э . ц+а v = ц +р v
* 312-33. h : ~ concord (pi, v). э . ц +а v = ц -р | Cnv1 ‘v
Доказываемые предложения аналогичны предложениям предыдущего
параграфа и не вызывают трудностей.
* 312-01. Ц -р v = X {(аX): X, ц, v е C‘0g :
v+pX = |LA.XeX.V.|LA+pX = v.X6| Cnv1 ‘XJ Df
* 312-02. p +a v = (pi +p v) U (pi -p | Cnv1 ‘v) Df
* 312-1. h :. X e ц -p v . = : pi, v e C‘05 : (gX): X e :
v+pp = |LA.XeX.V.|LA+pX = v.X6| Cnv“X [(*311-01)]
* 312-11. h : - concord (ц, v). z>. p -p v = A [*311-1-27-42-43]
* 312-12. h : Infinax. v0|i. э .
ц -p v = X {(gX). X e C‘0 . v +p X = ц. X e X} = (1X) (v +p X = p)
Доказательство.
I-. *311-1-65 . d h : Hp. d . ~ (gX). ц +p X = v (1)
h. (1). *312-1. э I-: Hp. э . p -p v = X {(gX). X e C‘0 . v +p X = ц. X e X} (2)
h. (2) .*311-74. z>h. Prop
*312-13. h : Infin ax. p 0 v . э .
p -p v = X {(aX). X e C‘0. p +p X = v . X e | Cnv“X}
= |Cnv“(iX)(|LA+pX = v) [Доказательство, как в *312-12]
*312-14. h : Infin ax. v 0n ц. э .
H-pv = X{(aX).XeC10n.v||X = p.XeX}
= (i) (v +p X = ц) [Доказательство, как в *312-12]
Principia Mathematica III
*312. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
311
*312-15. F : Infin ах . р 0Л v . э .
v -X {(ак). кеС‘0п . ц+р к = v.Хе| Cnv“k]
= | Cnv‘‘(i к) (р +р к = v) [Доказательство, как в *312-12]
* 312-16. F: р, е C‘0g . . . р -р i‘O9 = р [*312-1. *311-43]
* 312-17. F: р, е C‘0g . э . i‘(\ -р р = | Cnv“p [*312-1. *311-43]
* 312-18. F : Infin ах. v (0 U 0Л) p . э . р -р v = (i k) (v +p к = p) [*312-12-14]
* 312-181. F : Infin ax. |i(0U 0Л) v . э . p-p v = | Cnv“(i к) (p +p k = v)
= G) (H +P I Cnv“k = v) [*312-13-15]
* 312-19. F : Infin ax. concord (к, p). э . (к +p p) -p к = p
[*312-18. *311-65-66-43]
* 312-191. F : Infin ax. к e C‘0g . э . к -p к = i‘O9 [*311-52-53-43]
* 312-2. F . | Cnv“(p -p v) = | Cnv“p -p | Cnv“v
Доказательство.
F. *312-1. *310-16. э
F Xe | Cnv“p -p | Cnv“v . = : p, ve C‘0g :
(gk): keC‘0g : | Cnv“v +p к = | Cnv“p. Хе к. V .
| Cnv“p +p к = | Cnv“v . Xe | Cnv“k:
[*311-32] = : p, ve C‘0g : (gk): keC‘0g :
v +p | Cnv“k = p.Xek.V.p+p| Cnv“k = v . Xe | Cnv“k:
[*312-1. *310-16] = : X e | Cnv“(p -p v)э F . Prop
*312-201. F . p -p | Cnv“v = | Cnv“(| Cnv“p -p v) [*312-2]
*312-21. F . | Cnv“(v-p p) = p-p v
Доказательство.
I-. *312-1. z> F :: Xe | Cnv“(v -p p). = (3У):. p, v eC‘0g
(gk): keC‘0g : p,+p к = v . У ek. X = У | Cnv . V .
v+pk = p. Уе|Спу“к.Х= УI Cnv:.
[*310-16] = :. p, veC‘0g :. (gk): keC‘0g : p +p k = v . Xe | Cnv“k. V .
v+pk = p.Xek:.
[*312-1] = :. X e p -p v :: э F . Prop
*312-211. F . p -p I Cnv“v = v -p I Cnv“p [*312-201-21]
*312-22. I-: Infin ax. v (0 U 0Л) p . э . p -p v e C‘0
Доказательство.
F . *311-65 . *312-12 . э 1-: Hp . v 0 p,. p -p v e C‘0 (1)
h . *311-66 . *312-15 . э 1-: Hp . p, 0„ v . э . | Cnv“(p, -p v) e C‘0„.
[*310-16] D.n-pVeC‘0 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*312-23. F : Infin ax. p, (0 U 0Л) v . э . p, -p v e С‘0Л [*312-21-22. *31016]
*312-3. F . p, +a v = (p, +p v) U (p, -p | Cnv“v) [(*312-02)]
*312-31. F : ~ (p., v e C‘0g). э . p, +a v = A [*312-3-11. *311-1]
*312-32. F : concord (p,, v). z>. p, +a v = p, +p v [*312-11. *311-15]
*312-33. F : ~ concord (p,, v). э . p, +a v = p, -p | Cnv“v [*312-3. *311-1]
*312-34. F : Infin ax. p., ve C‘0g . □ . |i+a veC‘0g
[*312-32-33-22-23. *311-44]
A.H. Уайтхед, В. Рассел
312
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 312-41. I- р +0 v = v +а ц
Доказательство.
F . *312-32. *311-12 . z> F: concord (р, v). р +а v = v +а р (1)
F . *312-33-21. э I-: ~ concord (р, v). э . р +а v = | Cnv“(| Cnv“v -р р)
[*312-201] =v-p|Cnv“p
[*312-33] = v +о р (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 312-42. F: Infin ах. concord (X, р, v). э . (X +р р) -р (к +р v) = р -р v
Доказательство.
F . *311-27-42-43. э FНр. э : concord (X +р р, X +р v, X, р, v):
[*311-75] о : X +р р = р. = . (X +р р) +р v = р +р v.
[*311-12-121] =. (X +р v) +р р = р +р v (1)
Аналогично I-Нр. э : р+р р = X. = . (р+р v) +р р = Х+р v (2)
F.(1). (2). *312-1. э F. Prop
* 312-43. F : Infin ах. concord (X, р, v). v (0 U 0n) р. э.
(X +р р) -р v = X +р (р -pv)
Доказательство.
F . *311-65-66. э F: Нр. z>. (gp). peC‘0g . р = v +р р.
[*31212-1319] э . (gp). р е C‘Og . (X +р р) -р v = X +р р. р -р v = р: э F . Prop
*312-44. F: Infin ах. concord (X, р, v). р (0 U 0„) v. э .
(X +р р) -р v = X -р (v -р р)
Доказательство.
F . *311-65-66 . э h : Нр. э . (зр). р е C‘0g . v = р +р р.
[*312-42-19] э . (эр). р е C‘0g . (X +р р) -р v = X -р р. р = v -р р: э F . Prop
* 312-45. F: Infin ах. concord (X, р). э . (X +р р) -р р = X +р (р -р р)
Доказательство.
F. *312-19. *311-43 . э F : Нр . э . р -р р = t‘0, .
[*311-43] э.Х+р(р-рр) = Х
[*312-19] = (X +р р) -р р: э F . Prop
*312-451. F : Infin ax. concord (X, p, v). э .
(X +p p) -p v = (X +a p) +„ | Cnv“v = X +a (p +a | Cnv“v)
Доказательство.
F . *312-43 . э F : Hp . v (0 U O„) p. э . (X +p p) -p v = X +p (p -p v)
[*312-33] = X +p (p +fl | Cnv“v)
[*312-32-12-14] = X+a (p+fl | Cnv“v) (1)
F . *312-44. э F: Hp. p (0 0 0n) v. э . (X +p p) -p v = X -p (v -p p)
[*312-21] = X -p | Cnv“(p -p v)
[*312-33-12-14] =X+fl(p-pV)
[*312-33] = X +0 (p +a | Cnv“v) (2)
F . *312-45 . э F : Hp. p = v. э . (X +p p) = X +p (p -p v) (3)
F . (1). (2). (3). *312-32 . *311-43. э F . Prop
Principia Mathematica III
*312. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 313
*312-46. F : Infin ах. concord (к, р). о . (к +а р) +а v = к +а (. +а v)
Доказательство.
F . *312-32 . *311-65-66-43 . о F : Нр. concord (к, р, v). о .
(к +а Ц) +а V = (к +р р) +р V . к +а (ц +а V) = к +р (|И +р V) (1)
F. *312-451. о
F: Нр. concord (к, р, | Cnv“v). о . (к +а р) +а v = к +а (р +а v) (2)
F . *312-31. о F : v ~ 6 C‘0g . о . (к +а р) +а v = А . к +а (р +fl v) = A (3)
F . (1). (2). (3). о F . Prop
*312-461. F : Infin ax. concord (p, v). о . (к +fl p) +fl v = к +a (p +a v)
Доказательство.
I- . *312-46 . о F : Hp . о . (v +a p) +a к = v +fl (p +a к) (1)
F . (1). *312-41 . о F . Prop
*312-47. F : Infin ax. concord (к, p). о . (к +a p) +a v = к +a (p +a v)
Доказательство.
I- . *312-461. о F : Hp . о . (p +a k) +a v = p +a (k +a v).
[*312-41] о . (k +fl p) +fl v = p +fl (k +fl v)
[*312-41] =(k+av)+flH
[*312-46] =k+fl(v+«H)
[*312-41] =k+fl v): □ F . Prop
*312-48. F : Infin ax . о . (к +a p) +a v = к +a (p +a v)
Доказательство.
F. *312-31. о
F : ~ {k, p, v e C‘Og}. о . (к +a p) +fl v = A . к +a (p +a v) = A (1)
F . *310-12 . о F :. k, p, v e C‘0g . о : concord (к, p). V . concord (k, p):
[*312-46-47] о : (к +a p) +a v = к +a (p +a v) (2)
F . (1). (2). о F . Prop
* 312-51. F: к e C‘0g . о . к +a i‘O9 = к [*312-32 . *311-43]
* 312-52. F : Infinax. keC‘0g . о . k+a | Cnv“k = i‘O9
Доказательство.
F . *312-33 . о F : Hp . о . к +a | Cnv“k = к -p к
[*312-191 ] = i‘O9 : о F . Prop
* 312-53. F :. Infin ax. k, p, veC‘0g .o:k+ap = v. = .k = v+a| Cnv“p
[*312-48-51-52]
* 312-54. F : Infin ax. k, p e C‘0g . о . (go). о e C'0g . к +a о = p
Доказательство.
F . *312-48-51-52 . о F : Hp . о . к +a (| Cnv“k +a p,) = p, (1)
F . *312-34 . о F : Hp. о . | Cnv“k +a p, e C‘0g (2)
F . (1). (2). о F . Prop
* 312-55. F :. Infin ax. k, p,, v 6 C‘0g .o:k+flp, = k+av. = .p, = v
Доказательство.
F . *312-41-53 . о F :. Hp . о : к +a p, = к +a v . = . p, = (k +a v) +a | Cnv“k.
[*312-41-48] = . p, = v +a (k +fl | Cnv“k).
[*312-51-52] = . p, = v:. о F . Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
314
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*312-56. h Infin ах. concord (к, ц). о : к 0g ц. = . (до). о € С‘0 . к +а о = ц
Доказательство.
h. *311-65. *312-32. о
h :. Нр . к, ц е С‘0 . о : к Gg ц. = . (до). о е С‘0 . к +а о = |1 (1)
h. *311-66. *310-16. о
h :. Нр . к, цеС‘0£ . о : k0g ц. = . (до). о с С‘0 . ц+Д | Cnv“o = к.
[*312-53-32] = . (до). о е С‘0 . к +а о = ц (2)
h . *312-51. э h :. Нр . к = i‘O^ . э : к 0g ц. = . (до). о 6 С‘0 . к+а о = ц (3)
h . *312-53-51 .oh:. Нр . ц = i‘O9 . о : к 0g ц. = . (до). о 6 С‘0 . к +а о = ц (4)
к . (1). (2). (3). (4). э к . Prop
*312-57. к Infin ах. X, ц е C‘&g . ~ concord (X, ц). э :
X 0S ц. = . (до). о е С‘&. X +а о = ц
Доказательство.
к. *312-48-51-52. эк : ХеС‘0л . цеС‘0. э. ц = X+а (| Cnv“X+а ц) (1)
к. *312-32. *311-27. э к : Нр (1). э. (| Cnv“X +а р) € С‘0 (2)
к . (1). (2). эк : ХеС‘0п . цеС‘0. э . (до). оеС‘0.Х+а о = р (3)
к . *312-32 . *311-27. *310-13 . э
к : Хе С‘0. реС‘0„ . э . ~ (до). оеС‘©. Х+а о = р (4)
к.(3).(4).э
F :. Нр . о : кеС‘0л . цсС‘0 . = . (до). оеС‘0 . к+а о = ц:. э F . Prop
*312-58. h :. Infin ах . к, цеС‘05 . э :
к 0g ц. = . (до). ое С‘0 . к +fl о = ц [*312-56-57]
Principia Mathematica III
*313. УМНОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
315
* 313. Умножение вещественных чисел
Краткое содержание *313.
Умножение вещественных чисел проще, чем сложение, потому что не
является необходимым различать множители одного и того же знака и
множители противоположных знаков. Таким образом, мы полагаем
*313 01. ц+а v = X {ц, veC‘0g . Хе 5‘цх8“у} Df
Поэтому если ц, v представляют собой вещественные числа, то их про-
изведение есть класс произведений (в смысле *309) элементов ц и элемен-
тов v; в противном случае их произведение есть А. Предложения этого
параграфа аналогичны предложениям из предыдущих параграфов, а до-
казательства, как правило, аналогичны доказательствам *311, исключая
случай закона дистрибутивности (*313-55).
* 313-01. ц+а v = X {ц, veC‘0g . Хе $‘цхе“у} Df
В этом параграфе доказательства в основном аналогичны доказатель-
ствам для сложения и поэтому часто пропускаются.
* 313-11. F : ~ (ц, v е C‘0g). э . ц +а v = А
* 313-12. F : ц, veC‘0g . о . ц+а v = 5‘цхб“у
* 313-21. F : ц, veC‘0 U i‘i‘O9 . э . ц +fl v = $‘цх“у
* 313-22. F : |la,veC‘0n Ul‘l‘O9 . d . ц +fl v = s‘(| Спу“ц)x“(| Cnv“v)
* 313-23. F : цеС‘0я . veC‘0 . э . ц +a v = | Cnv“s‘(| Cnv“|i)x5“v
* 313-24. F : це C‘0 . v e C‘0 . э . ц +fl v = | Спу“5‘(цх5)“| Cnv“v
* 313-25. h . ц +fl v = | Cnv“(| Спу“ц +fl v) = | Спу“ц +a | Cnv“v
* 313-26. h . ц +a | Cnv“v = | Спу“ц +a v = | Спу“(ц+д v)
* 313-31. F : Infin ax. £ e C‘0 . X e C'H.э.Хх/V H“Xx/‘£
* 313-32. F : Infin ax. £e C‘0 . X e C‘H . э . Xx/‘£ = H“Xx/‘£
* 313-33. F : Infin ax. e C‘0 . X 6 C‘H . э . Xxg“£ e C‘0
* 313-34. F : Infin ax. £ e C‘0n . XeC‘Hn . id . Xxg“^eC'0
* 313-35. F : Infin ax. £ e C‘0 . X e C'Hn . э . Xxg“£ € C‘0n
* 313-351. F : Infin ax. £ e С‘0п . X e C'H. э . Xxg“§ € C‘0„
* 313-36. F : § e C‘0g . э . 0q xg= l‘0^
* 313-37. F : X e C‘0g . э . Xxg “i‘O9 = i‘O9
* 313-38. F : Infin ax. £ e C‘0g . X e C‘Hg . z>. Xxg‘e C‘0g
* 313-41. F : Infin ax. concord (ц, v). ц # i‘O9 . э . ц +a v e C‘0
* 313-42. F : Infin ax. ~ concord (ц, v). p C‘0g . □ . |i+fl ve C‘0n
* 313-43. F :. ц = l‘0^ . V . v = : ц, v e C‘0g : э . ц +a v = i‘O9
* 313-44. F : Infin ax . p, v e C‘0g . э . ц +a v e C‘0g
* 313-45. F . ц +fl v = v +a |i
* 313-46. F : Infin ax. э . (X. +a ц) +a v = k +a (ц +a v)
Следующие предложения касаются доказательства закона дистрибутив-
ности.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
316
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
* 313-51. F : Infin ах. concord (к, р, v). э. (v +а А.) +а (у +а р) =
М [(gX, Y,Z,Z').Xek.Ye\L.Z,Z'ev.M = (Z+gX)+g(Z’ +g У)]
[*312-12. *312-32 . *311-11. *313-41]
* 313-511. I-: Infin ах. А., р е С‘&. Z, Z' е р. ZHZ’. X е А.. z>. ZxgZ'xgX е А.
Доказательство.
F . *304-1-401. *305-14 . э F : Нр. э . (ZxgX) Н (Z'xgX).
[*309-41] э . (ZxgZ'xgX) НХ.
[*311-58] э . ZxgZ’xgX е А.: э I-. Prop
* 313-52. I-: Infin ах. concord (А., р, v). э . (v +а А.) +а (v +а р) = v +а (А. +о р)
Доказательство.
h . *313-51-511. э h : Нр . э.
(v +а А.) +а (V +а р)=М [(аХ, У, Z). X е А.. У е р. Z е v. Л/ = (ZxgX) +g (ZxgY)]
[*309-37] =М [(аХ У, Z). X е А.. У е р. Z е v. М = Zxg (X +g У)]
[*313-12. *312-32. *311-11] = v +а (к +а р): э I-. Prop
* 313-53. F : Infin ах. concord (к, р). ~ concord (A., v). v е C‘&g . э.
(v ха А.) +а (V ха р) = V ха (А. +а р)
Доказательство.
F . *313-25. э I-. (А. +а р) хо v = | Cnv“{(A. +а р) ха | Cnv“v} (1)
F. *313-52 . э F : Нр. z>. (А +а р) ха | Cnv“v = (А. ха | Cnv“v) +а (р ха | Cnv“v)
[*313-26. *311-31] = Cnv“((A.ха v) +а (рха v)} (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*313-54. I-: Infin ах. concord (к, р). ~ concord (к, р). р е C‘&g . э .
v ха (А. +а р) = (v ха A.) +fl (v ха р)
Доказательство.
I- . *312-33-34 . э FНр. А. +а р = р. э : concord (А., р). V . concord (р, р) (1)
h . *313-52 . э F: Нр (1). concord (к, р). э .
(р Ха v) +а (I Cnv“p Ха v) = (р +о I Cnv“v) Ха V
[*312-53 ] =kxav.
[*312-53 . *313-26] э . р ха v = (А. ха v) +а (р ха v) (2)
Аналогично F : Нр (1). concord (р, р). э . р xav = (А. ха v)+а (рха v) (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
* 313-55. F : Infin ах. э . (v ха А.) +а (у ха р) = v ха (А. +а р)
[♦313-52-53-54-11. *312-31]
Principia Mathematica III
*314. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК ОТНОШЕНИЯ
317
* 314. Действительные числа как отношения
Краткое содержание *314.
В этом параграфе мы обсуждаем определение вещественных чисел,
предложенное в *310, а именно s“C‘Q8 вместо C‘0g. Серия вещественных
чисел теперь есть s ;0g вместо 0g. В этом параграфе все зависит от
*314-32. h ц, v 6 C‘0g . э : 5‘ц = s‘v . = . ц = v
Вследствие этого предложения, s [ C‘0g представляет собой корреляцию
двух видов вещественных чисел, и свойства реляционного вида могут быть
непосредственно выведены из предложений предыдущих параграфов. Мы
определяем сложение и умножение реляционных вещественных чисел так,
чтобы обеспечить то, что если ц, v — вещественные числа нашего ранее
рассмотренного вида, то арифметическая сумма 5‘ц и s'v есть 5‘(ц+ау), а
их произведение есть s‘(M-xav)- Это достигается, полагая
* 314-01. X +г У = RS [(ац, v). X = 5‘ц . Y = s‘v . R {5‘(И +а v)} S ] Df
с похожим определением для XxrY. Нуль для вещественных чисел теперь
есть 0^ вместо i‘O9, а отрицательное к вещественному числу X есть X|Cnv.
Фундаментальными предложениями являются
* 314-13. h : ц, v е C‘0g . э . 5‘ц +r s'v = 5‘(М- +а v)
* 314-14. h : ц, v e C‘0g . d . 5‘ц xr slv = 5‘(H xa v)
в силу которых арифметические свойства реляционных вещественных чи-
сел следуют сразу же из таковых для вещественных чисел, выступающих
как сегменты.
Реляционные вещественные числа полезны при применении измерения
посредством вещественных чисел к вектор-семейству, поскольку удобно
иметь вещественные числа того же самого типа, как и пропорции.
Для некоторых целей определение, несколько отличающееся от опре-
деления вещественных чисел как отношений, оказывается более удобным.
Вместо вывода наших отношений из 0g мы можем вывести их из т.е.
мы можем рассматривать отношения вместо отношений 5“C‘0g.
В силу *217-43, (^‘ЯД [ (- i‘A - является ординально подобным 0g;
следовательно, сразу же следуют необходимые свойства s^C'^Hg.
*314-01. X+r Y = RS [(лц,у).Х = Гц. У = 5‘v . Я {.s‘(|i+fl v)} S] Df
*314-02. XxrY = RS [(3H,v). X = . У = s‘v .R (Г(цхл))5] Df
*314-03. = (Я„)е I (С‘Я„ -) [ {D‘(Hn)e - i‘A -
U (С‘Я„) j (l‘O9) U (С‘Ял U) F (D‘He - i‘A - 1‘С‘Я) Df
*314-04. M+ON = RS [(3|i, v). M = ГсГ ‘ц . N = ГсГ ‘v . R {s‘cT ‘Qx +a v)} 5] Df
*314 05. MxoN = RS [(3ц, v). M = j‘cT ‘ц . N = s‘cT ‘v . R {s'tf ‘(p xa v)} 5] Df
*314-1. h : a !X +r Y . э . X, У e s“C‘0g [*312-31. (*314-01)]
*314-11. h Infin ax. э : я !X +r У . = . X, У e s“C‘0g [*314-1. *312-34]
*314-12. h :. Infin ax. э : a lXxrY . = .X,Yes‘‘C‘0g
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
318
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*31414.
*314-2.
*314-21.
* 314-13. F : p, v e C‘0g . э . s‘p. +r s‘v = j‘(p +a v)
Доказательство.
F . *314-1. (*314-01). э F : R {+r s‘v) S . =.
(gp, o). p, ae C‘0g . = s‘p . s‘v = i‘o. R {i‘(p +a a)} 5
F . (1). *310-32 . z> F . Prop
F : p, v e C'®g . d . xr s‘v = s‘(H xa v)
F : Re i“(C0g - i‘i‘09). э. [ Relnum [*310-31]
F :. Infin ax. z>:R,S e i“C‘0g . = .R+rS e i“C‘0g .
в . RxrS e s“C‘®g
Доказательство.
I-. *314-13-14 . *312-34 . *313-44. z>
I-: Hp. R, S e i“C‘0g . z>. R +rS,RxrS e C‘®g
F.(l).*314-11-12.oF. Prop
*314-22. F : R e j“C‘0g . э . R +r 0, = R. Rxr 0q = 09
Доказательство.
F . *314-13-14. э
I-: p. e C‘Qg . о . +r 09 = s‘(p +a i‘O9). s‘p. xr 0q = i‘(p xa C0q).
[*312-51. *313-43] э . j'p. +r 0? = s‘p. xr 0q = 09 : э I-. Prop
* 314-23. F : Infin ax. Re i“C‘0g . z>. R +rR | Cnv = 0q
Доказательство.
F . *314-13. d F : peC‘0g . э. i‘p+r i'I Cnv“p = i‘(p +a | Cnv“p).
[*43-421]
[*312-52]
* 314-24. F .R+rS =S +rR
* 314-25. . RxrS =SxrR
*314-26. F : Infin ax. o. (R+r S) +rT = R+r (S +rT)
Доказательство.
F . *314-13 .dF: Hp. . p, o, x eC‘®g .R = s‘p . S = s‘o ,T = s‘t.^.
(R+rS)+rT = i‘{(p +a a) +a x}
= i‘{p +a (o +ox)}
= R+r(S +rT)
э. +r (j'p.) | Cnv = i‘(|x +а | Cnv“p)
= 09 : э F . Prop
[*312-41. (*314-01)]
[*313-45. (*314-02)]
[*312-48]
[*314-13]
F. *314-11-21.0
I": ~ (ЯР>°,Т) • P, °, teC‘&g . R = s‘p. S = s‘o. T = s‘t . d .
(R+rS)+rT^A.R+r(S +rT) = A
F . (1). (2). э F . Prop
* 314-27. F : Infin ax. э . (RxrS) xrT = Rxr (SxrT)
[*314-14. *313-46. *314-12-21]
* 314-28. F : Infin ax. o . (RxrS) +r (RxrT) = Rxr (S +r T)
Доказательство.
F . *314-13-14 .□ F: Hp. p, а, тeC‘0g .R = s‘p. 5 = s‘o ,T = . э .
(RxrS) +r (RxrT) = i‘(p xoo) +r s‘(p xa x)
= i‘{(p xao) +a (p xa x))
= i‘|pxfl (o +a x)}
= i‘p xr i‘(o +0 x)
(1)
(2)
[*314-21-13]
[*313-55]
[*314-21-14]
Principia Mathematica III
♦314. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК ОТНОШЕНИЯ 319
[*314-13] = 5‘р xr (j‘a +r j‘x)
[Нр] = Rxr(S+rT) (1)
F. *314-21-11-12. э
I-. ~ (др, о, т). р, о, TtC‘0g . Я = j‘p. S = . Т = $‘т. э .
(RxrS) +r (RxrT) = А. Rxr (S +ГТ) = А (2)
F. (1). (2) . oF.Prop
* 314-4. I-: Infin ах. э. д' е {(<;*Hg) [ (- i‘A - CC'Hg)} smor Qg
[*217-43 . *304-31-282-23. *307-41-44-46-25. (*310-01-011-02-03)]
* 314-41. F. ,s‘f (C‘$‘77g)e 1 —> 1 [Док-во аналогично док-ву *310-32]
* 314-42. I-: Infin ax. э. j’д’’ 0g smor Qg [*314-4-41]
* 314-5. F : Infin ax. э: REdcM+oN. = . 3\Mx„N . = .M,Nes‘‘(D'<;‘Hg - i‘A)
[*312-34 . *313-44. *314-42. (*314-04-05)]
* 314-51. F : Infin ax. p,veC‘®s . э .
s'd1 ‘p +o i‘cT ‘v = ,s‘d ‘(p +a v). j'cT ‘p. xo i'd1 ‘v = i'd1 ‘(H xa v)
[*314-42. (*314-04-05)]
Свойства M+„N и MxaN проистекают из этого предложения в точности
так же, как свойства X +r Y и XxrY проистекают из *314-13-14.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2.
ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
Краткое содержание главы 2
Настоящая глава посвящена теории величины, причем постольку, по-
скольку ее можно развивать без привлечения измерения. Мы будем рас-
сматривать измерение, т. е. применение пропорций и вещественных чисел
к величинам, в главе 3; до тех пор мы будем ограничиваться теми свойства-
ми величины, которые предполагаются в измерении. Однако измерение яв-
ляется целью всей главы: вводимые гипотезы и доказываемые предложения
остаются уместными и в случае, когда имеется возможность измерения.
Мы понимаем величину как вектор, т. е. как операцию, или дескриптив-
ную функцию в смысле *30. Например, мы так определим термины, что
1 грамм не будет величиной, а разность между 2 граммами и 1 граммом
будет, т. е. величиной будет отношение “+1 грамм”. С другой стороны, оба
понятия, сантиметр и секунда, будут величинами в соответствии с нашим
определением, так как расстояния в пространстве и времени суть векторы.
Напомним, что мы определили пропорции как отношения между отношени-
ями; поэтому если пропорции применять к величинам, величины должны
рассматриваться как отношения.
От вектора мы требуем (1), чтобы он был одно-однозначным отноше-
нием; (2), чтобы он был способен к бесконечному повторению, т.е. если
вектор переводит точку а в Ь, то всегда найдется точка с такая, что век-
тор переводит b в с. Если R — вектор, то точка, в которую он переводит
а, есть Я‘А; таким образом, вышеприведенное требование выражается так:
“Е ! R'a . . Е ! т. е. “D‘l? с G7?”. Мы покажем, что точки, являю-
щиеся начальными точками векторов, образуют класс П‘/?, т. е. класс воз-
можных аргументов, принимаемых вектором R, если он рассматривается
322
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
как дескриптивная функция, в то время как точки, являющиеся конечны-
ми точками векторов, образуют класс D‘l?, т. е. класс значений 7?, рассмат-
риваемой как дескриптивная функция. Поскольку D‘l?aG‘7?, имеет место
П‘Я = С‘7?; таким образом, поле вектора состоит из всех точек, из которых
может брать начало данный вектор. Предполагая D7?cQ7?, мы исключаем
из рассмотрения величины такого рода, когда имеется определенный макси-
мум, если только они не цикличны, например, углы в точке или расстояния
на эллиптической прямой линии; такие величины, если только, повторим,
они не цикличны, представляют значительно меньший интерес.
В соответствии с тем, что только что было сказано, если R— вектор
с полем а, то
Яе1 1 .СГЯ = а.В‘Яса.
Отношение, которое удовлетворяет данной гипотезе, называется “соответ-
ствием” на а, поскольку части а оно ставит в соответствие все а. Класс
соответствий на а мы обозначаем “сг‘а”; он представляет собой кардиналь-
ный коррелятив для понятия “сгог‘Р”, введенного в *208. Таким образом,
мы полагаем
сг‘а = (1 1) А £Т‘а А Г)‘‘СГа Df.
Далее мы переходим к определению “вектор-семейства а”. Оно опре-
деляется как экзистенциональный 28 подкласс сг‘а такой, что R15 =S | R
для любых двух его элементов R и S. Класс элементов называется нами
“абелевым”, если относительное произведение любых двух элементов этого
класса коммутативно, т. е. полагаем
АЬе1 = к(Я,5 ек.эад .P|S =5 |Я) Df.
Таким образом, вектор-семейство а есть экзистенциональный абелев под-
класс сг‘а, т. е. мы полагаем (записывая “fm‘a” вместо “вектор-семей-
ство а”)
fm а = Abel A Cl ех‘сг‘а Df.
Класс вектор-семейств тогда определяется как содержащий всякий объект,
который является вектор-семейством какого-либо а, т. е. полагаем
7*M=s‘D‘fm Df.
Таким образом, вектор-семейство есть экзистенциональный абелев класс
одно-однозначных отношений, в котором все отношения имеют одну и ту
же обратную область, и все области отношений содержатся в общей обрат-
ной области. Если к —вектор-семейство, то общая обратная область есть
l‘G“k, что совпадает с 5‘С“к, и будет называться “полем” семейства. Та-
ким образом,
F : кв FM. = . ке Abel. к с 1 1. П“ке 1 . s‘D“k с s‘CI“k .
Вектор-семейства можно считать разновидностью величины. Чтобы обес-
печить возможность измерения, мы потребуем выполнения ряда гипотез,
затрагивающих природу семейства. Измерение в данном семействе к полу-
чается ограничением полей пропорций на к, т. е. рассмотрением X [ к, где
28 Прилагательное экзистенциональный представляет собой один из вариантов пе-
ревода с англ, existent. Другой вариант первода — экзистентный. Во многих случаях
по смыслу изложения более подходящим будет являться перевод existent как непу-
стой. — Прим. ред.
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
323
X — пропорция, или Z [ к, где Z — относительное вещественное число вида,
определенного в *314. Чтобы измерение было возможным, к должно обла-
дать свойством: если X — пропорция, то X [ к одно-однозначно. Далее, если
R, 5, Т — элементы к, R находится в пропорции X к S, в то время как 5
находится в пропорции К к Г, то нам хотелось бы, чтобы R находилось
в пропорции Xxs F к Т, т. е. чтобы имело место
Х[к|У [кс(Хх5У)[к.
Далее, если R находится в пропорции X к Г, а 5 находится в пропорции
У к Г, то нам хотелось бы, чтобы R15 (представляющее собой “сумму” R
и 5) находилось в пропорции XxsY к Т, т.е. чтобы имело место
(X [ к‘Т) | (У Г кТ) g(Xxs У) С к‘Т .
Последнее свойство, а также другие, аналогичные ему, будут доказа-
ны, при соответствующих предположениях, в главе 3; пока же мы будем
продолжать обзор теории вектор-семейств, не обращаясь явным образом
к измерениям.
Из рассматриваемых нами первой и наиболее важной гипотезой о се-
мействе является гипотеза, что семейство “связно”, т. е. что найдется, по
меньшей мере, один элемент его поля, от которого можно достичь любо-
го элемента поля при помощи вектора данного семейства или обращения
вектора данного семейства. Обладающий таким свойством элемент поля се-
мейства к мы будем называть “связующей точкой” этого семейства; класс
таких точек будем обозначать “сопх‘к”; т.е.
сопх ‘к = s‘G“k П а (? к‘а U к‘а = s‘(I“k) Df.
Как будет показано, 7 к‘а суть точки, к которым идет некоторый вектор
из а\ в то время как ^к‘а суть точки, из которых идет некоторый вектор
к а. Согласно определению, эти два класса вместе составляют все поле
семейства. Связное семейство мы определяем как такое, которое содержит,
по крайней мере, одну связующую точку, т. е.
FM сопх = FM П к (з ! сопх ‘к) Df.
Имеется много важных свойств связных семейств. Среди них могут быть
упомянуты следующие: Если к —связное семейство, то логическое произ-
ведение любых двух различных элементов семейства к пусто, т. е. если
Р, Q е к. Р / 2, то Р П Q = А, или, что то же самое, если Р, Q е к и если ко-
гда-либо справедливо Р‘х=2‘х, то P-Q\ если Рек, то все степени Р суть
либо элементы семейства к, либо обращения таких элементов; если Р, Q е к,
то Р | Q — либо элемент, либо обращение элемента семейства к. Связное се-
мейство может не образовывать группу, т. е. в общем случае неверно
Р, Q с к. эр,0 . Р | Q е к,
но, тем не менее, в дальнейшем (*354) мы покажем, что группа может быть
выведена из связного семейства к добавлением к нему тех элементов семей-
ства к, области которых совпадают с обратными областями. В результате
такого добавления мы получаем связное семейство, являющееся группой.
Другое важное свойство связного семейства к заключается в том, что
I [ $‘П“к есть всегда его элемент. I f s‘G“k — нулевой вектор. В связном се-
мействе каждый вектор, кроме I [ $‘П“к, содержится в различии. Для мно-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
324
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
гих целей оказывается важным класс векторов, исключающий I f
Таким образом, мы полагаем
Kd = K-R17 Df.
При изучении вектор-семейства к появляется важный производный
класс отношений — класс всех отношений вида R 15, где R,S е к. Операция
R15 состоит из 5 -шага вперед, за которым следует 7?-шаг назад; иначе го-
воря, если R'S'a существует, то он получается движением на расстояние 5
вперед от а к S‘a, а затем —на расстояние R назад отГак R'S'a. Класс
всех таких отношений, как Я|5, где R, 5 ек, обозначим ке; т.е. положим
К = $‘(Спу“к) Р‘к Df.
Класс к будет иметь различные свойства в зависимости от природы к.
Можно различать следующие три случая:
(1) Поле к может обладать первым термом, т.е. в s‘G“k может су-
ществовать элемент, не принадлежащий s‘D“Kd. Этот случай иллюстри-
руется, например, семейством расстояний, измеряемых слева направо, на
части данной прямой, не лежащей слева от даной точки. Тогда данная
точка будет принадлежать $‘П“к, так как найдутся векторы, из нее начи-
нающиеся, но не будет принадлежать 5‘D“Ka, поскольку ни один вектор
в ней не кончается, за исключением нулевого вектора. Связующая точ-
ка а, которая принадлежит $‘П“к, но не принадлежит s‘D“Kd, называет-
ся “инициальной” точкой, а семейство, которое имеет инициальную точку,
называется “инициальным” семейством. Семейство не может иметь более
одной инициальной точки. Таким образом,
init ‘к=Г (сопх‘к- s‘D“Kd) Df,
FM init = FM П G‘init Df.
(2) Может оказаться, что, хотя семейство к не инициальное, ни одно
из обращений элементов не принадлежит к. (Если к — инициальное се-
мейство, так и должно быть.) Данный случай иллюстрируется семейством
расстояний, отсчитываемых вправо на прямой. Еще одна иллюстрация —
семейство векторов вида (+gX) [ С‘Н, где ХеС'Н'. В этом случае так же,
как и в (1), можно путем добавления соответствующих гипотез обеспечить,
чтобы было серией. Данный случай подразделяется на два подслучая,
иллюстрируемые вышеприведенными двумя примерами: может оказаться,
как в нашем первом примере, что область вектора всегда совпадает с его
обратной областью, т. е. D“k = G“k; или же может оказаться, как в нашем
втором примере, что область вектора есть только часть обратной области.
(Область (+gX) [С‘Н состоит из всех пропорций, больших чем X.)
(3) Может оказаться, что содержит пары векторов, которые суть
обращения друг друга. В этом случае очевидно, что 5‘ка не может быть
сериально, так как R,Rek^ . э .R,R = I |Яс($‘Кд)2, так что ($‘ка)2
не содержится в различии (исключая тривиальный случай k = l‘A).
При рассмотрении kl мы вначале не делаем никаких из вышеприведен-
ных предположений, однако необходимо держать их в уме, чтобы пони-
мать цели доказываемых предложений относительно к;. Если L есть эле-
мент Kt, a L = R\S, где R,S ек, то при условии, что а —связующая точка и
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
325
L‘a существует, отсюда следует существование элемента ТекиСпу“к та-
кого, что Ь‘а = Т‘а. Из этого легко вывести, что L-Т и, следовательно,
LeKUCnv“K. То же самое справедливо, если L‘a непусто. Следовательно,
если Е ! L‘a . V . Е ! Z‘a, т. е. если aeC‘L, то L принадлежит KU Cnv“K. Та-
ким образом, если а принадлежит полю каждого элемента kl, мы будем
иметь Kt = KUCnv“K. Будем говорить, что семейство “имеет связанность”
(не путать с “является связным”), если а ! сопх‘к Ор‘С“к^ таким образом,
полагаем
FM connex = FM О к (g ! сопх ‘к П р'С" ‘kJ Df,
и в результате только что сказанного имеем
F : к е FM connex . э . к; = К U Cnv“K.
Мы также имеем
h : к е FM connex . э . s'kq е connex
и
h ке FM сопх . э : ке FM connex . = . $‘ка е connex .
Именно эти предложения и оправдывают название “FMconnex”.
Очевидно, что будет иметь место g ! р‘С“К|., если D“k = G“k, но не
к= i‘A.
Чтобы прояснить природу гипотезы g ! р‘С“к15 не помешает несколько
иллюстраций. Данная гипотеза утверждает, что найдется по меньшей мере
один элемент а поля семейства к такой, что если R, S — любые элементы се-
мейства к, то возможно совершить либо Я-шаг вперед от а с последующим
S-шагом назад, либо 5-шаг вперед с последующим /?-шагом назад. Пред-
положим, например, что наше семейство состоит из всех векторов вида
(+с ц) [NCinduct, где p,eNCinduct. Тогда, если R — операция прибавления
ц, а 5 — операция прибавления v, то R | S — операция прибавления v -с р,
при v > ц, и операция вычитания ц -с v при ц > v. В первом случае R | S е к,
в то время как в последнем случае S |/?ек. В первом случае, если CD —про-
извольный индуктивный кардинал, (R15)‘CD = v -с ц +cCD; в последнем случае
(5 |7?)‘cd = ц-с v+ccd. Таким образом, в обоих случаях CDeC‘(l?|S). В итоге
рассматриваемое семейство имеет связанность, причем Kl = KUCnv“K.
Рассмотрим теперь семейство, состоящее из всех векторов вида
(хс Н) t (NC induct - l‘0), где ц е NC induct - l‘0. Это — инициальное семей-
ство с инициальной точкой 1. Однако оно не обладает связанностью. Если
R = (хс М-) t (NC induct - l‘0) и S = (xc v) [ (NC induct - l‘A), to R15 — операция
умножения на v и деления на ц с полем, состоящим из индуктивных кар-
диналов, отличных от 0. Если v просто с ц, данное отношение содержит
только кратные к ц в своей обратной области и кратные к v в своей
области. Следовательно, поле данного отношения состоит из кратных
к ц вместе с кратными к v. Таким образом, ни один элемент семейства
Kt, кроме IГ $‘П“к, т.е. (хс1) [ (NC induct - l‘0) не имеет своим полем все
$‘П“к, и ни одно число не принадлежит каждому элементу семейства
Kt. Рассмотренное семейство следует держать в уме при изучении Kt, так
как оно является хорошей иллюстрацией к большинству общих теорем,
касающихся ке.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
326
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
Если к — произвольное семейство, кроме l‘A, то любое конечное число
элементов kl имеет непустое относительное произведение, а их обратные
области имеют непустое логическое произведение. Если к —связное семей-
ство, то любые два элемента L, А/ек, логическое произведение которых
непусто, т.е. для которых (gy). L‘y = М'у, идентичны, и если х, у — любые
два элемента s‘CI“k, то существует в точности один элемент kl такой, что
x = Z/y. Если Л/еке и Р —степень Л/, то найдется некоторый элемент Реке
такой, что Р gL. Однако Р в общем случае сам не принадлежит к;. В при-
ложениях пропорций важен элемент kl, содержащий Р. Мы называем его
“представителем” Р. Общее определение представителя таково:
герк‘Р = 5‘(к; О tz‘P) Df.
В связном семействе к; О tTP не может иметь более одного элемента; сле-
довательно, если существует элемент к15 содержащий Р, этот элемент обя-
зательно—герк‘Р, а если такой элемент не существует, то герк‘Р = Л.
Если Р | Q — произвольный элемент kl (где Р, 2ек), мы будем иметь
геРк‘(£|0р = Рр1ер;
а если L, Л/еки то мы будем иметь
rep/(L | М)р = rep/(Lp I Мр) = repK‘{(repK‘Lp) | (герк‘Мр)}.
Данные две формулы — наиболее используемые при определении предста-
вителей.
Чтобы иметь возможность применить вышеописанную теорию к изме-
рению векторов, необходимо проводить различие между открытыми и за-
мкнутыми семействами. Открытое семейство есть такое семейство, в ко-
тором, если М eiQ-Rr/, то Л/росУ, т.е. такое, в котором никакое число
повторений ненулевого элемента ке не вернет нас в исходную точку. Если
это условие не выполнено, как в случае углов или расстояний на эллипти-
ческой прямой линии, проблема измерения значительно усложняется, так
как если 0 — мера угла, то ею же является и 2vn;+0 при любом целом v.
Случай замкнутых семейств будет рассмотрен в главе 4; пока же мы будем
рассматривать открытые семейства и сосредоточимся почти исключитель-
но на открытых семействах в главе 3. Следует заметить, что в замкну-
тых семействах, как мы определим их, элементы Ка возвращаются к себе,
в то время как в открытых семействах не только ни один элемент к#, но
и ни один элемент kl - R17 не возвращается к себе. В большинстве есте-
ственно появляющихся семейств либо ни один элемент ке - R17 не возвра-
щается к себе, либо найдутся элементы к^, которые возвращаются к себе.
Однако в этом нет логической необходимости, как показывает следующий
пример: Рассмотрим семейство, состоящее из положительных и отрицатель-
ных, исключая -1, кратных, с полем из положительных и отрицательных
целых чисел, кроме -1. Тогда 1 — связующая точка семейства и даже ини-
циальная точка. Умножение на -1 является элементом к;, так как может
быть получено путем умножения на любое целое ц, а затем деления на - ц.
Квадрат умножения на -1 содержится в тождестве и является нулевым
вектором нашего семейства. Следовательно, существует элемент к; - R17,
квадрат которого содержится в тождестве, но ни одна степень элементов
kl не содержится в тождестве.
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
327
Чтобы избежать скобок, полагаем
= (кс)а Df,
т.е. kU3 = k1-R17.
Тогда определение открытых семейств будет таким:
FM ар = FM О fc(s‘Pot“Ktf с R1‘J) Df.
Следовательно,
h к е FM ар . = : к е FM : М е • Л/ро G J.
Будет показано, что если к — открытое семейство, то kl содержится в Rel
num id (ср. *300), а с Rel num. Следовательно, если Л/ек^, то NT = Мv
(ср. *121), и оказываются уместными предложения об интервалах из *121.
Также, если Мек^ и яе$‘С“к, то
М [ А?* ‘а е Prog. [ Ж 'а е со .
Данные факты применяются, главным образом, чтобы показать, что из
существования открытых семейств следует аксиома бесконечности и суще-
ствование Ко. Следовательно, будучи применена к открытым семействам,
теория пропорций подлежит весьма значительному упрощению —в резуль-
тате использования аксиомы бесконечности.
Если к открыто и связно, L,McKt и о — произвольный индуктивный
кардинал, отличный от 0, мы будем иметь L = M при условии L° = Ма
или repK‘L° = герк‘А/° или 3 !£аПЛ/°. Если р, т —также индуктивные кар-
диналы, отличные от 0, мы будем иметь repK ‘Lp = герк ‘А/° при условии
^рхсх = или repK‘LpXcT = repK‘AfoXcT, или 3 I LpXcX Q МоХсХ. Фактически
мы имеем
repK‘Lp = герк‘М° . = . 3 ! Lp П М°
= . 3 ! LpXcT П МоХ<х
и герк‘Л/р = герк‘Л/° . = . Мр = М° . = . р = о .
Применяя определение пропорции (*303-01), мы видим из вышеприведен-
ных предложений, что, принимая вышеуказанную гипотезу, будем иметь
М (р / о) N. = . з ! М° П Np . = . герк‘Л/° = repK Wp
в то время как, если R, Т — элементы к, то
R(p/o)S . = .R° = SP .
Дрлее, в силу вышеприведенных предложений имеем
3 ! L° h Мр . з ! Lv h . э . ц xccr = v хс р,
откуда
Х,УеС‘Н'.з !Х[к^ПУ[к^.э.Х=У.
Эти предложения, а также
ХеСТ/.э.Х [Ktel -> 1,
рассматриваются в главе 3. Здесь мы упоминаем их, чтобы показать, по-
чему предложения настоящей главы полезны в связи с измерением.
Далее мы переходим к рассмотрению сериальных семейств — семейств,
в которых 5‘ка есть непустое сериальное отношение. Для этой цели нам
требуются определения “FMconnex” (уже данное ранее) и “транзитивных”
семейств. Мы определяем а как “транзитивную точку” семейства к, если
с 5‘ка‘а,
т. е. если любую точку, которую можно достичь из а за два ненулевых ша-
га, можно также достичь за один ненулевой шаг. Мы определяем семейство
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
328
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
как транзитивное, когда оно имеет по меньшей мере одну транзитивную
точку. Если KefMconx, то гипотеза, что к транзитивно, эквивалентна ги-
потезе, что образует группу, и влечет за собой, что к образует группу.
Мы определяем сериальное семейство как транзитивное семейство, облада-
ющее связанностью, т. е. полагаем
FM sr - FM trs A FM connex Df.
Тогда, если keFMst, to s4Ka — сериальное отношение, так что точки поля
к упорядочены в серию посредством отношений расстояния.
Когда семейство сериально, векторы также могут быть упорядочены
в серию посредством отношения, которое может рассматриваться как отно-
шение больше (меньше). После краткого изучения инициальных семейств
(объясняемых выше) мы переходим к отношению больше и меньше (ес-
ли можно так выразиться) среди векторов. Мы можем говорить, что точ-
ка у “предшествует” точке z, если существует ненулевой вектор, который
идет из у в z, т.е. если z(j‘Kd)y. При условии M,Nek± мы говорим, что
N “меньше”, чем М, если A-шаг из точки х приводит нас в предшеству-
ющую точку по сравнению с Л/-шагом. Обозначая Ук отношение “больше
чем” среди элементов iq, будем иметь определение
VK = MN {М, А е : (gx). (М‘х) (5‘Кд) (А‘х)} Df.
Для того же отношения, ограниченного на элементы семейства к, мы ис-
пользуем обозначение £/к; таким образом
Uk = Vk[k Df.
Если Ke^RWconx, мы имеем
UK = PQ{P,QeK-.^T).T6Kd.P = T\Q}‘
что, в общем случае, представляет наиболее полезную формулу для UK.
Если к — сериальное семейство, то UK и VK — серии; а если при этом к —
инициальное семейство, то UK подобно s'k^.
Последний параграф настоящей главы посвящен аксиоме Архимеда и
существованию подкратных векторов. Аксиома Архимеда гласит, что если
а — произвольный элемент поля к и R — любой вектор, то для достаточно
большого конечного v, RVia будет следовать за любым заранее заданным
элементом поля к. Иными словами, полагая Р = Cnv‘5‘Kd, мы хотим полу-
чить
хе С'Р. . (3V) .veNC ind - l‘0 . xP(7?v‘a),
или, что то же самое,
Р“Х‘а = С‘Р.
Это будет справедливо, если к —сериальное семейство, а Р — полу-Дедекин-
дово (ср. *214). Если, далее, Р компактно (т.е. Р2 = Р), то все конечные
подкратные данного вектора существуют, т. е.
S ек. veNC ind - i‘O. э . (3L). Lek . 5 = Lv .
Будет показано, что в соответствии с нашим определением пропорции, если
S = Lv и S / А, то L находится к 5 в пропорции 1/v, так что L есть v-e
подкратное S.
Вместо применения к вектор-семействам принятого нами метода, мы
могли бы в качестве отправной точки взять двойную дескриптивную функ-
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
329
цию, обозначаемую х + у, и рассматривать различные гипотезы. В общих
обозначениях *38 мы получаем различные отношения вида + у или х+. Эти
отношения могут заменять семейство к, используемое в нашем методе. Для
удобства обозначения мы можем положить
"?‘у = + у Df,
Vx = х + Df.
Тогда если + обладает подходящими свойствами, а у является подходящим
классом, то ~?“у будет вектор-семейством.
Предположим, что х + у существует тогда и только тогда, когда х и у
оба принадлежат классу у, и что, когда х и у оба принадлежат классу у,
х + у также принадлежит этому классу. Тогда, если х + у существует, то
таково же и х + у + у; следовательно, D‘+ycCT+y. Далее, при наших пред-
положениях, если х,уеу, то х + у существует, и, следовательно, хсСГ+у.
Отсюда вытекает усу.э.П‘+у = у. Следовательно, если у существует, то
G“^?“y е 1 . 5‘DtC?“y с 5‘Q‘^“y.
Если теперь предположить, что у + х = z + х. . у = z, тогда
“?“у с 1 —> 1.
Следовательно, теперь мы имеем
?“уеС1 ех‘сг‘у.
Чтобы получить абелево свойство, потребуем
(х + у) + Z = (х + z) + у,
что имеет место, если + подчиняется перестановочному и ассоциативному
законам. Таким образом, в этом случае
“?“у efm‘y.
Чтобы “?“у могло быть связным семейством, мы потребуем
(3 а):. z € у . : (gy) : а = z + у .V . z = а+ у.
Достаточным, хотя и не необходимым условием для этого является суще-
ствование нуля, т. е.
(aa):z6y.Dz.z = a + z.
В этом случае + а есть нулевой вектор, и если а не является суммой двух
термов, отличных от него самого, а есть инициальная точка семейства.
Если выполнено условие, что из принадлежности х, у семейству у то
же самое следует для х + у, то ^?“у есть группа. Семейства, являющиеся
группами, мы обозначаем “EWgrp”.
Подытоживая то, что было сказано, получаем
“у с FM сопх grp,
если + удовлетворяет следующим условиям:
(1) х + у существует тогда и только тогда, когда х,усу;
(2) х,уеу.=>Х'У.х + уеу,
(3) x + y = x + z.z>w.y = z',
(4) х + у = у + х;
(5) (x + y) + z = x + (y + z);
(6) (^a):zey .z>z.z = a + z.
Из (3) и (4) следует, что а в (6) единственно, т. е. не существует более
одного нуля.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
330
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
Для того чтобы наше семейство обладало связанностью, потребуем да-
лее
(7) х,уеу.эл,у :(gz):zey:x + z = y. V .y + z = x;
(8) чтобы наше семейство могло быть инициальным семейством, мы тре-
буем, чтобы х + у было нулем, лишь когда х и у —нули.
С этим последним условием наше семейство становится сериальным.
Выше приведен лишь эскиз одного из простейших путей порождения
семейств посредством двойной дескриптивной функции. Возможны и дру-
гие пути, и при большем усложнении может быть достигнута большая общ-
ность.
В только что рассмотренном способе работы с вектор-семействами име-
ется ряд преимуществ. Во-первых, возможно рассматривать наши величи-
ны как х и у, появляющиеся в “х + у”, вместо того чтобы рассматривать
их как векторы +у или х+. Во-вторых, наше вектор-семейство выводит
единицу из факта порождаемости единственной операцией +. В-третьих,
данный метод находится в большем согласии с современными концепция-
ми количества, чем тот метод, который был нами принят. Выбор между
двумя методами есть дело вкуса; однако, по-видимому, принятый нами ме-
тод способен на несколько большую общность по сравнению с другим, а
также требует меньшего привлечения нового технического аппарата. У нас
не было постоянной возможности иметь дело с двойными дескриптивными
функциями, которые существуют, лишь когда их аргументы принадлежат
предписанным классам, хотя следует заметить, что наши определения раз-
личных типов сложения и умножения могут быть сформулированы так,
чтобы привести к этому результату. Например, мы могли бы положить
ц +с v = (ни) {(да, р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P . го = Nc‘(a + Р)} Df.
В этом случае Е! (ц +с v) повлечет за собой ц, v е Г%с, в то время как при
нашем определении лишь g ! (ц +с v) повлечет за собой ц, v е Noc. Использо-
вание двойных функций, которые существуют лишь в некоторых случаях,
потребовало бы значительного логического аппарата, не требующегося ни-
где более в нашей работе, и это явилось для нас доводом против принятия
метода работы с вектор-семействами, в котором они выводятся, как это
сделано в вышеприведенном эскизе, из единственной функции х + у.
Principia Mathematica III
♦330. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
331
*330. Элементарные свойства вектор-семейств
Краткое содержание *330.
Настоящий параграф открывается определением класса “соответствий”
а. “ Соответствие” а есть одно-однозначное отношение 7?, согласно которому
каждому элементу а соответствует а, т. е. такое отношение, что если хса,
то R'x всегда существует и является элементом а. Так, например, если
ц — индуктивное число, то +с ц при ограничении его поля индуктивными
числами является соответствием класса индуктивных чисел при условии
выполнения аксиомы бесконечности. (В противном случае (+с М-) [ NC induct
не одно-однозначно.) Определение соответствий а дается в
*33001. сг‘а = (1 —> 1) n tl‘a О D“Cl‘a Df
Т. е. соответствие а есть одно-однозначное отношение, обратная область
которого совпадает с а, а область — содержится в а. Определение следует
сравнить с определением “сгог‘Р” в *208.
Далее мы покажем, что если Recr'a и хе а, то R'x существует и есть
а, и, следовательно, таково же R'R'x и т. д. Следовательно, все степени R
существуют (*330-23). Аналогично, если R, S, Т,... — любое конечное число
соответствий а, то R | S | Т |... существует. Это доказывается для двух и
трех множителей в *330-21-22.
Мы определяем “вектор-семейство а” как экзистенциональный абелев
класс соответствий а, где абелев класс отношений определяется как такой
класс, относительное произведение любых двух элементов которого комму-
тативно. Таким образом,
*330-02. Abel = к (Я, S е к. = S |Я) Df
*330-03. fm‘a = Abel A Cl ex‘cr‘a Df
*330-04. /^ = 5‘D‘fm Df
Напомним, что Potid‘P и (для некоторых типов отношений) finid‘P —
абелевы классы отношений (*91-34 и *121-352). Если Ре 1 —» 1, Potid‘P будет
вектор-семейством С'Р, а если к тому же PpQc.J, то finid‘P будет тем же
вектор-семейством.
К числу определений относится также
*330-05. Kt = 5‘(Спу“к) ,15“к Df
Данному определению было уделено достаточное внимание во введении
к настоящей главе.
После нескольких предварительных предложений о С1ех‘сг‘а
(*330-1—32) и о Kt (*330-4—43) мы переходим к таким свойствам се-
мейств, которые не требуют дальнейших гипотез относительно природы
рассматриваемых семейств. Эти свойства в основном суть утверждения
о существовании относительного произведения и логического произведения
обратных областей или утверждения о коммутативности относительного
произведения при некоторых условиях. В первых предложениях рассмат-
риваются элементы к, в последних в основном — элементы kl. Наиболее
полезными среди них являются следующие.
*330-54. h : КбFM . Q,Rck. Е IR'x. э . Е \R'Q'x
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
332
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*330-56. F : к е FM. Q, R е к. Е ! R'a. э . R'Q'a = Q'R'a
*330-61. I-: кейИ-t‘i‘A . L, Л/еК(. э.
g !СГЛПСГМ .g !D‘LnCT&f .g !O‘LnD‘W.g !D‘LnDW
*330-611. F:KeEW-i‘i‘A.L,M eKt.o.g \L\M
*330-624. I-: кe FM - i‘i‘A. L e Ki. э . A ~ e Pot‘L
*330-63. Нке/М. L, Л/ e Kt. E ! L‘M‘x .=>.L‘M‘x = M‘L‘x
*330-642. I-: кe FM - i‘i‘A. L, M e iq . э . (gx). E ! L‘x. E ! L'M'x
*330-71. I-: к e FM. P, Q e К. p e NC ind -1‘0. E ! P ₽‘x. э . E ! (P | Q) ₽‘x
*330-72. I-: к e FM - i‘t‘A. L, M e Kt. p, о e NC induct. э . g ! Q‘LP 0 Q‘Ma
*330 73. l-:K€™.P,2€7C.p€NCind.E!(P|e)P‘x.D.(P|e)p‘x = PP‘ep‘x
*330-01. cr‘a = (1 —> 1) A &‘a A D“Cl‘a Df
*330-02. Abel = K(tf,S бк.э^ .tf|S =5\R) Df
*330-03. fm‘a = Abel A Cl ex‘cr‘a Df
*33004. FM = s‘D‘fm Df
*330 05. Kt = 5‘(Cnv“K) 1 “к Df
*330-1. F : КбС1ех‘сг‘а . = . кс 1 —> 1 . СГ‘к = i‘a . D“kc СГа
[(*330-01)]
*330-11. F (ga). КбС1 ex‘cr‘a . = : k<z 1 -> 1 : (ga). G“k = i‘a . s‘D“kc a
[*330-1]
*330-12. F : к e Cl ex‘cr‘a . э . 5‘СГ‘к = a [*330-1 . *53-02]
*330-13. F : к e Cl ex‘cr‘a . э . D“kc СГ.у‘СГ‘к . s‘D“k c 5‘CI“k
[*330-1-12]
*330-131. F : (ga). кбС1ех‘сг‘а . = .кс1-»1. С“кб 1 . s‘D“kc s-‘CT‘k
[*330-11-12]
*330-14. F : кеС1ех‘сг‘а . э . D“KcNc‘a [*330-1]
*330-15. F . Cl ex‘cr‘A = i4‘A [*330-1]
*330-151. h : g ! a . к e Cl ex‘cr‘a . э . A ~ б к [*330-14]
*330-16. h (ga). к € Cl ex‘cr‘a : к / i‘A : э . A ~ 6K [*330-15-151]
*330-17. h : g ! a . Ke Cl ex‘cr‘a . э . D“k c Cl ex‘s-‘G“K [*330-13-151]
*330-18. F (ga). КбС1ех‘сг‘а : i‘A : э . D“kc Clех‘5‘С“к [*330-15-17]
*330-19. F.i‘(Z [ а) б Cl ex‘cr‘a [*330-1]
*330-2. F : Ke Clex‘cr‘a : 2? б к. a ! D‘M A 5‘G“k . э . a ! R | M
Доказательство.
h . *330-1-12 . э h : Hp . э . g ! D‘M П G7?: э h . Prop
*330-21. h : к б Cl ex‘cr‘a . к i‘ A ./?, 5 бк. э . g ! R | S
Доказательство.
h . *330-18 . э h : Hp . э . а ! D‘S A s‘(T‘k (1)
h.(l). *330-2. z>h. Prop
*330-22. h : к б Cl ex‘cr‘a . к i‘A .R, S, Г б к . э . а 1 R IS \T
Доказательство.
h . *330-21-18 . э h : Hp. э . а ! D‘(S | T) A s‘G“k (1)
h. (1). *330-2. oh. Prop
Principia Mathematica III
*330. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
333
*330-23. h : к € С1 ех‘сг‘а . к ± i‘A . R е к . э . A ~ е Potid‘7?
Доказательство.
h . *330-16 . э h : Нр . э . а ! I [ C'R (1)
h . *330-18 . э h : Нр . PePotid‘7?. g ! Р. э. 3 ! D‘P П 5‘G“k .
[*330-2] э.а!Я|Р (2)
h.(1). (2). Induct. э h . Prop
*330-3. I-: ксС1ех‘сг‘а. I [ аек. э . kcs‘kP‘k
Доказательство.
F . *330-1 . oh Hp = эк . Prop
*330-31. h : к e Cl ex‘cr‘a .Rek .R\R = I \ s‘G“k [*330-1]
*330-32. h Ke Cl ex‘cr‘a. R, S ek . "D : R\S = Z [ s‘G“k . = . R = S
Доказательство.
h. *330-31 .эН.Нр.э:Я = 5 .э.Я|5 = Z И‘(Т‘к (1)
h.*330-1. d h : Hp . d ./? | Я | S =(D‘/?)1 S (2)
h . (2). э h Hp . э : R | S = I f s‘G“k . э . R = (D'R) 1 S .
[*72-92] d./? = S [(ГЯ.
[*330-1] z>.R = S (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*330-4. h : M e kl . = . (3 Я, S). R, S e к. M = R | S [(*330-05)]
*330-41. h . Cnv‘4 = Kt [*330-4]
*330-42. h : K€ Cl ex‘cr‘a . I [ a ек . э . к U Cnv“K c Kt
Доказательство.
h . *330-1 . *50-5-51 . эЬ:Нр.ЯбК.э.Я = (/fa)|tf.ZfaeCnv“K (1)
h . (1). *330-4-41 .oh. Prop
*330-43. h : K€Cl ex‘cr‘a . э . Z [ 5‘a“K€Kt [*330-31-4]
*330-5. h к e Abel. = к. dk,s .tf|S =S [(*330-02)]
*330-51. h : Kefm‘a. = . к e Abel П Clex‘cr‘a [(*330-03)]
*330-52. h : к e FM. = . (3a). к e Abel П Cl ex‘cr‘a .
= . кe Abel .kc1->1.G“k€1. s‘D“kc 5‘G“k
[*330-51-131 . (*330-04)]
*330-53. h : к e FM . Q, R e к. E ! R'Q'x. э . E ! Q'x. E ! R'x
Доказательство.
h . *330-5 . э h : Hp . э . E ! Q'R'x (1)
h . (1). *30-5 . dF. Prop
*330-54. h : к e FM . Q, R e к . E ! R'x. э . E ! R'Q'x
Доказательство.
h . *330-31-52 . э h : Hp . э . R'x = R'&Q'x (1)
h.(l). *330-53. oh. Prop
*330-541. h : к e FM . Q, R e к . э . Q“D'R c D‘Z? [*330-54]
*330-542. \--.keFM .Дек.э. D‘fl€sect‘s‘K [*330-541 . *211-1]
*330-55. F:Ke™-i‘i‘A. еЛек.э.а !D‘enD‘7?.a ! Q“D'R
Доказательство.
h . *330-54 . ohi.Hp. э : xeD'R . э . Q'xeD'R :
[*33-43] d:3 !D‘/?.o.3 !D‘enD‘Z? (1)
h . (1). *330-16 . э h : Hp . D.g!D‘QnD‘/? (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
334
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
F. *33011 16 . э F : Нр. э. D‘7? с (I‘Q. g ! D‘2?.
[*37-43] o.g!(2“DJ? (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*330-551. F: Hp *330-55 . э . g ! Q | R [*330-55 . *37-32]
*330-56. I-: к e FM. Q, R e к. E ! R'a. э . R‘Q‘a = Q‘R‘a
Доказательство.
I- . *330-5-11 . э F : Hp. э. Q‘R‘R‘a = R‘Q'R‘a .
[*72-24] э. Q‘a = R‘Q‘R‘a.
[*330-31-54] э. R'Q'a = Q'R'a: э F . Prop
*330-561. (-:к€ЯИ.е,Я€к.э.Д|е = [*330-56]
*330-562. \--.KeFM .Q,ReK.z>.R’QG.Q [*330-561]
*330-563. F: к e FM .Рек.Хек.э./?’ G [*330-562]
*330-57. F: ке Abel./?, 5 ек. veNCinduct. э ./?v |SV = (7?|S)v .7?|Sv = 5V |2?
Доказательство.
F.*301-2. э F . R° | S° = (R15)0 . R15° = 5° | R (1)
F . *330-5 . *301-21 . э F : Hp . 1? 15V = 5V |Z?. э./? |Sv+cl =5v+<?112? (2)
F . (1). (2). Induct. эF : Hp. э .1?|5V = Sv |/? (3)
F . (3). *301-21 . э F : Hp . э . Rv+cl | S’v+<d = Rv | Sv | R15 (4)
F. (4). *301-21 . э F : Hp. э . 7?v 15V = (/? 15)v . э . l?v+cl |Sv+^‘ =(/?|S)v+<d (5)
F . (1). (5). Induct. э F : Hp. э ./?v | Sv = (R |5)v (6)
F . (3). (6). э F . Prop
*330-6. F : KeFM - i‘i‘A. Leiq . э. g ! L
Доказательство.
F. *330-16-4. oF:Hp. o.(g Q,R).Q,ReK.^ IR.L = R\Q.
[*330-54] o.(g Q, R, x). Q, ReK .E I R‘Q‘x. L = R\Q.
[*34-41] э. g ! L: э F . Prop
*330-61. F : KeFM- i‘i‘A. L,Me Kt. э .
g КГЬлСГЛ/.д !D‘£nO.g ! Q‘LnD‘M.g ! D‘LnD‘M
Доказательство.
F . *330-55-4 . z>
F:Hp.D.(g Q,R,S ,T). Q,R,S ,T ек. L-R\Q. M = t \ S .g !D7?nD‘T.
[*330-54]
o.(g Q,R,S,T).Q,R,S,TeK.L = R\Q.M = t\S . E !/?‘2‘x. E ! t'S'x.
[*34-41] э. (gx). E ! L‘x. E ! M‘x.
[*33-43] э. g !(TL nCTM (1)
F. (1). *330-41 . э F . Prop
*330-611. F : к e FM - i‘i‘A. L, M e Kt. э . g ! L | M [*330-61 . *34-3]
*330-612. F:KefM-i‘i‘A.L,Af^eKl.D.g iainQ'MnaW
Доказательство.
F . *330-22-4 . э
F: Hp. э . (g P, Q, R, S, T, IV). P, Q, R, S, T, IV e к.
L = P|2-M = 7?|S.N = T|VV.g!P|P|T.
[*330-53] э . (g P, Q, R, S, T, IV, x). P, Q, R, S, T, W e к.
L = P\Q.M = R\S .A = T|IV.E!P‘x.E!P‘x.E! T‘x.
[*330-54] э . (gx). E ! L‘x. E ! M‘x. E! A‘x: э F . Prop
Principia Mathematica III
♦330. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
335
*330-613. \-'.KeFM-CCA.L,M,N€Kl.z>.^\L\M\N
Доказательство.
F. *330-22-4 . э
F: Нр. э. (а Р, Q,R,S,T, W,х) .P,Q,R,S,T,Wек.
L = P\Q.M = R\S .N = T\W.F'.P'R't'x.
[*330-54] э . (а Р, Q, R, S, х). Р, Q, R, S е к.
L = P\Q.M = R\S . Е ! P‘R‘(N‘x).
[*330-54] э. (а Р, Q) • Р, Q е к. L = Р | Q. Е ! Р'(М‘N'x).
[*330-54] э. (ах). Е ! L'M'N'x: э F. Prop
*330-62. F : кеЛИ. Lei^. 8 ек. э . 5 | LgL| 8
Доказательство.
F. *330-561 . DF:Hp.P, 2ек.£ = Р|2.э.8|РсР|8.
[*330-5] э . 8 | P | 2cP| Q18 : э F . Prop
*330-621. F KeFM - i‘l‘A . LeKt. C'P c. s‘G“k . a ! P:
Sck.ds .5 |PgP|5 :э.a '-Pil-
Доказательство.
F. *330-11.3F:.Hp.2,PeK.L=eiP-=>:
хРу. э. (a m,z). uRx. zQy. xPy.
[*34-1] э.я!Я|Р|ё.
[*330-5] э.я!Р|/?|£-
[*330-561] э.а!Р|2|Я.
[Hp] э. a ! P | L:. э F . Prop
*330-622. F : Hp *330-621 . э . a ! L | P
Доказательство.
F. *330-11 . *72-59 . э F : Hp . £),Рек. L= £|P. z>.PgQ\P\Q.
[*72-59] э.Р|ёс^]Р.
[*330-621] э.я!ё|Р|Я.
[*330-5] D.a’g|P|P.
[Hp] z>. a ! L | P: э F . Prop
*330-623. biKeFM.S ек. Lex;. MePot‘L. э . 8 \M gM|8
Доказательство.
F. *34-34. oF:Hp.8 |MgM|8 . э . 5 | M\LgM |8 | L.
[*330-62] =>.S IMILgMILIS (1)
F . (1). *330-62 . Induct. э F . Prop
*330-624. F: к e FM — i‘i‘A. L e Kt. э. A ~ e Pot‘L
Доказательство.
F. *330-6. DF:Hp.D.a!P (1)
F . *330-622-623 . э F : Hp. A/ePot'L. a '-M .0.3 '-M\L (2)
F . (1). (2). Induct. э F :. Hp . э : M e Pot'L. .3 ! Afэ F. Prop
*330-625. F:Ke™.L,A/eKl. 2ePot‘(L|M).5 ек.э.8 |2g6|8
Доказательство.
F. *330-62 . oF:Hp.z>.8 |L|A/gL|A/|8 (1)
F . *34-34 . э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
336
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
F:Hp.PePot‘(L|A/).S |PgP|S .z>.S |Я|Р| Af GP|S \L\M
[(1)] G/?|L|Af|S (2)
F. (1). (2). Induct. э F. Prop
*330-626. F: к e FM - i‘i‘A. L, Meiq . э. X~e Pot‘(L | M)
Доказательство.
F.*330-611. oF:Hp.z>.g IL\M (1)
F . *330-621-625 . э F : Hp . 2ePot‘(L| Af). g ! g. э. g ! (21L (2)
F. *330-625 . oF:Hp. 2ePot‘(L|A/).5 ек.э.5 |2|Lg2|5 |L
[*330-62] g2|P|5 (3)
F . (2). (3). *330-621 . oF : Hp. 2ePot‘(i| A/). g ! 2. э . g ! 21L| Л/ (4)
F . (1). (4). Induct. э F . Prop
*330-627. F : ке/’М-i‘i‘A. L, Af eKi. PePot'Af. э .g !P|L.g !L|P
Доказательство.
F. *330-611. oF:Hp.o.g !A/|L.g !L|M (1)
F. *330-623. oF:Hp.5eK.o.S|P|LGP|S|L.
[*330-62] э.5 |P|LgP|L|5 (2)
F . (2). *330-622 . эF : Hp. g ! P|L. э . g ! Л/1P| L (3)
F . (1). (3). Induct. э F : Hp. э . g ! P | L (4)
F . (2). *330-621 . oF:Hp.g !L|P.o.g !L|P| M (5)
F . (1). (5). Induct. э F : Hp . э. g ! L | P (6)
F . (4). (6). э F . Prop
*330-63. F : к eFM. L, M eк. E ! L‘M'x. э.L‘M'x = M'L'x
Доказательство.
F. *330-56. oF:Hp.2,P,5,TeK.L=2|P.A/ = 5|T.D.
&R‘S'T‘x=Q‘S ‘R‘T‘x
[*330-5] = S‘Q‘T‘R‘x
[*330-56. Hp] =5‘T‘2‘P‘x:DF.Prop
*330-64. F :. KeFM. L,. э:
E ! L‘x. E ! L‘M‘x. =. E ! M‘x. E ! MTx [*330-63]
*330-641. F :. к e FM. L, M e . E ! L‘x. E ! M'x. э :
E ! L'M'x. =. E ! M'L'x. s . L‘M‘x = M'L'x [*330-63-64]
*330-642. F: кe FM - i‘i‘A. L, M e Kt . z> . (gx). E ! L‘x. E ! L‘M'x
Доказательство.
F . *330-21 . э
F:Hp.D.(gP,2,fl,S,x)-P,2,tf,S ек. L-P\Q. M = R\S .E!P‘P‘x.
[*330-53-54] э (g P, Q, R, S, x). P, Q, R, S e к. L = P | Q . M = R | S .
E ! P‘Q‘x. E ! P'Q'R'S ‘x: э F . Prop
*330-643. F:Ke™.PeK.LeKl.E!L‘x.3.P‘L‘x = L‘P‘x [*330-56-5]
*330-65. F : ке FM. Q,R,S,T ек. R'Q'x= t'S ‘x. э. T'Q'x = R'S ‘x
Доказательство.
F . *72-24 . э F : Hp . э . Q‘x=R‘T‘S ‘x
[*330-56] =ГЯ‘5‘х.
[*72-24] э . T(rx = R‘S ‘x: э F . Prop
Principia Mathematica III
•330. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
337
*330-66. Ь:.кеЯИ.е,Л,5,7’ек.Е!Л‘2‘А.Е!Т‘5‘х.э:
P‘2‘x=T,‘5‘x.s.T‘e‘x = P‘5‘x
Доказательство.
I-. *330-56 . э F: Нр . TQ'x = R‘S ‘х. э . T'R‘Q‘x= R‘R‘S ‘х
[*72-241] =5‘х.
[*72-241] ^>.R‘Q‘x=t‘S‘x (1)
F. (1). *330-65 . oF . Prop
*330-7. I-: к е FM. Р, Q е К. р е NC ind -1‘0. Е ! Q\P | Q) р~с1‘Р'х . э .
e‘(Pie)₽-cl‘P‘x=(£ie)p‘x
Доказательство.
F. *330-56 . *301-2 . э
F:Нр.Е! Q‘(P | Q) °‘f>‘x. э. Q‘(P | Q) °‘Р‘х = (Р | Q)1 ‘х (1)
I-. *330-56 . *301-21 . э
I-Нр: Е ! Q‘(P | Q) Р~с' ‘Р'х . . Q‘(P | Q) p"cl ‘Р‘х = (Р | Q) р‘х: э :
Е ! Q‘(P | 0 р‘Р‘х. э . Q\P | 0 р‘Р‘х = (Р | 0 р‘0Р‘х
[*330-56 . *301-21] =(P|0p+<d‘x (2)
F . (1). (2). Induct. э F . Prop
*330-71. F:KeEW.P, Qetf. ре NCind-i‘0.E!Pp‘x. э.Е !(P|0p‘x
Доказательство.
F . *330-54 . э F: Нр . Е ! Р*‘х. э.Е!(Р|0‘‘х (1)
F. *301-21 . oFr.HpzEJP^x.Ox.EKP^rxto:
Е!Рр+^‘х.э.Е!(Р|0)ББх.
[*330-52] э.Е!0(Р|0ББх.
[*330-7] ^FE\(J>\Qf*c'‘x (2)
F . (1). (2). Induct. э F . Prop
*330-711. F : KeFM. ge.s‘Pot“K. э . (TQ = s‘Q“k
Доказательство.
F. *330-52 . эF : Hp . Рек. э . G‘P = 5*G“k (1)
F . *37-322 . э
F : Hp. Рек. Q ePot‘P. (TQ = s‘G“k . э. (T(Q | P) = 5‘Q“k (2)
F. (1). (2). Induct. э F . Prop
*330-72. F : кeFM- i‘i‘A.L, Л/eKt. p, oeNC induct. э . g ! d‘Lp П d‘Ma
Доказательство.
F . *330-711-23 . э
F:Hp.P,PeK.D.(a a). E ! P°‘a . Pa‘aea‘P° .
[*330-52] □.(ga).E!Wfl (1)
F . *330-57 . э F : Hp (1). x = P^R^a. э. E ! Pa‘x. E ! R°‘x (2)
F . (2). *330-71 . э
F:Hp(2).0SeK.L = P|2-A/ = P|5.D.g ! Lp‘x. g ! M°‘x.
[*33-43] D.xea‘Lpna‘Mo (3)
F . (1). (3). э F . Prop
В доказанном предложении фигурирует “NCinduct”, а не “NCind”, по-
скольку должно быть а ! Lp . з ! Ма, а это в силу *301-16 может оказаться
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
338
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
неверным, если либо р, либо о будет нулевым в типе L и М. Из существо-
вания семейства не вытекает аксиома бесконечности, так как семейство
может быть циклическим.
*330-73. h : к е FM . Р, Q в К. р в NC ind . Е ! (Р | Q) р‘х . э . (Р | Q)р lx = Р р‘2Р 1х
Доказательство.
I-. *330-56 . э h : Нр . Е ! Р1у . э . Q'P'y = P'Q'y (1)
h . (1). э Ь : Нр. Q‘P*х = Рp~cl‘Q‘x. Е ! Рр‘у. э . Q‘f>P‘y = P‘Q‘Pр-^ ‘у
[Нр] =P‘pp-ci‘Q‘y
[*301-23] =Рр‘е> (2)
I-. (1). (2). Induct. э F : Нр. Е ! Р р>. э . р> = Р р‘2‘у (3)
F.*301-23 . э(-:Нр.(Р|е)Р‘х = РР‘2р‘х.Е!(Р|0Р+с‘‘х.э.
(Р|0р+с1‘х = р‘2‘Рр‘2р‘х
[(З)] =P‘PP‘Q‘QP‘x
[*301-23] =рр+с1‘(2Р+с1‘х (4)
И . (4). Induct. э F . Prop
Principia Mathematica III
*331. СВЯЗНЫЕ СЕМЕЙСТВА
339
*331. Связные семейства
Краткое содержание *331.
“Связующая точка” семейства к есть такая точка поля к, из которой
каждый элемент поля может быть достигнут посредством элемента или об-
ращения элемента семейства к. Таким образом, если а — связующая точка,
должно выполняться
х е s‘G“k . эх . (эЯ). R е к. х (R U R) а
и вдобавок лея1 СТ‘к. Это равносильно утверждению, что каждый элемент
s‘Q“k имеет вид Ка или где /?ек. По определению
*33101. сопх к — s G к Cl a (s к a U л1 ко — s 61 к) Df
Здесь мы включаем множитель s‘Q“k в определение, чтобы исклю-
чить случай, когда k = i‘A. Если не включить s‘Q“k, мы будем иметь
сопх ТА = V, в то время как согласно вышеприведенному определению
сопх ТА = Л.
В случае любого другого семейства множитель ^‘^“к не играет роли,
так как, если s‘G“k не пусто,
к‘а U s7 к1а = s‘G“k . э .ае С‘$‘к,
и если к —семейство, то С‘$‘к = 5‘СГ‘к. В случае же i‘A множитель $‘С“к
гарантирует, что связующих точек нет, откуда вытекает путем обращения,
что семейство, имеющее связующую точку, не есть С А. Это удобно, по-
скольку случай i‘A, являющийся тривиальным, в противном случае часто
должен исключаться явным образом.
Определение связующей точки было бы ближе по аналогии к опреде-
лению связного отношения из *202, если бы мы положили
сопх ‘к = 5‘СГ‘кП а (? U U 1‘д = 5‘СГ‘к) Df.
Однако такое определение не давало бы нам информацию о существова-
нии элемента семейства к, связывающего а с собой, в то время как приня-
тое нами определение дает такую информацию и, следовательно, приводит
к доказательству т.е. существования нулевого вектора.
Мы говорим, что семейство “связно”, если существует, по меньшей ме-
ре, одна связующая точка, т. е.
*331-02. FM сопх = FM П к (з ! сопх ‘к) Df
Если все точки поля — связующие, семейство “обладает связностью”
(ср. *334-27) при условии, что к / i‘A. Пока же мы предполагаем, что, по
меньшей мере, одна точка поля является связующей. Приведем пример:
семейство с элементами вида (хс ц) [ (NC induct - l‘0), где ц е NC induct - l‘0,
имеет только одну связующую точку, а именно 1. Если бы мы взяли по-
ложительные и отрицательные целые числа, и те и другие —и как муль-
типликаторы, и как составляющие поля, мы получили бы две связующие
точки, а именно 1 и -1.
Почти все последующие предложения о вектор-семействах будут отно-
ситься к связным семействам. В настоящем параграфе сначала доказыва-
ется, что в связном семействе к вектор, связывающий с собой связующую
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
340
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
точку, связывает с собой всякий элемент семейства (*331-2), откуда сле-
дует, что I [ s‘Q“k принадлежит к (*331-22), и что всякий другой элемент
семейства к целиком содержится в различии (*331-23), и что kUChv“kckl
(*331-24). Далее доказывается, что произведение двух элементов семейства
к есть также элемент семейства к или Cnv1‘к (*331-33). Затем при рассмот-
рении Kt доказывается два фундаментальных свойства кь в связном семей-
стве, а именно (1), что между любыми двумя элементами 5‘СТ‘к имеется от-
ношение, принадлежащее кь (*331-4), и (2), что два элемента ки логическое
произведение которых существует, тождественны (*331-42). Из этих двух
предложений следует, что существует только один элемент кь, который свя-
зывает любые два элемента 5‘СТ‘к (*331-43). В конце параграфа доказы-
вается, что любая степень элемента семейства к принадлежит к U Cnv1‘к
(*331-54), и что любая степень элемента Kt содержится в некотором эле-
менте 1Q (*331-56).
В виде формул вышеприведенные предложения записываются следую-
щим образом:
* 331-2. F KeFM . а econx ‘к. хе s'CT'k . R ек. э : Rla = а. = . R‘x = х
* 331-22. I-: ке FM сопх . э . I f s'Q^Ke к
* 331-23. F: к е FM сопх . □ . кс R17 U RT J
* 331-24. F : ке 7*Мсопх . э . к U Cnv1‘к с к
* 331-33. F : ке FMconx . э . s'k I “кс kU Cnv1‘к
* 331-4. F : ке7*Мсопх . х,у е 5‘G“k. э . (gL). Le kl . х = L'y
* 331-42. F кеFMсопх . L, А/ е Kt. э : g \ LC\ М . = , L- М
* 331-43. F : ке7*А/сопх . x^es'Q1^. э . М (М ек^. хМу)е 1
* 331-54. F : к е FM сопх . Р е к. э . Pot‘P с к U Cnv“K
* 331-56. F:Ke7*A/conx . Lext. A/ePot‘L. э . (gW) .NeK,.MgN
*331-01. сопх ‘к = s‘G“k П а к‘а U I7к‘д = s'Q1^) Df
*331-02. FM сопх - FM П к(д ! сопх ‘к) Df
*331-1. F : а е сопх ‘к. = . а е s‘G“k .7* к‘д U л^к'д = 5‘G“k [(*331-01)]
*331-11. F а есопх ‘к. = : ае 5‘G“k: хе 5‘G“k. эх . (g R). Рек. x(R UP) а
[*331-1]
*331-12. F : з ! сопх‘к. э . к/ i‘A [*331-1]
*331-13. F кеС1 ех'сг'а. э : а есопх ‘к. = . к / i‘A .7* к‘а U = s'CT'k
Доказательство.
F . *53-24 . э F : Нр . к / i‘A к‘д U I7к‘д = 5‘G“k. э . g !3* к‘д U I7к‘д .
[*330-13] э.ле^СГк (1)
F.(l). *331-1-12. dF. Prop
*331-131. F :: ке Cl ex'cr'a . э a econx ‘к. = : к / i‘A : xe 5‘G“k . dx .
(g P). P e к. x (P U P) a [*331-13]
*331-14. F k = к U Cnv14K. э : a econx ‘к. = . a e 5‘G“k .7 = 51G“k
[*331-1]
Principia Mathematica III
*331. СВЯЗНЫЕ СЕМЕЙСТВА
341
*331-2. F кв FM. а 6сопх ‘к. хе ЛЯ “к . Re к. э : R'a = а . =. R‘x = х
Доказательство.
F. *331-11 . эННр.э.(я$).$ бк.х(5 U5)а
I- . *330-5 . э F: Нр . S е к. х = S "а. Rla = а .-э. Rlx=S ‘R'a
[Нр] =S 'а
[Нр] =х~
F . *330-56 . э F : Нр . S е к. х = S la . R‘a = а . э . R‘x= S ‘R‘a
[Нр] = S ‘а
[Нр] =х
F. (1). (2). (3). э F :. Нр . э : R'a = a.z>. Rlx = х
Аналогично F Нр . э :Rlx = x. э .R'a = а
F . (4). (5). э F . Prop
* 331-21. F кеРМ . де сопх ‘к. ЯбК. э : R‘a = а. = . I [ ЛО“к = Л
Доказательство.
F . *331-2 . э F : Нр . R‘a = а . э . IГ ЛСГ‘к = R
F . *331-1 . э F : Нр . I [ ЛО“к = R . э . R'a = а
F . (1). (2). э F . Prop
* 331-22. F : Кб FM сопх . э . IГ ЛС“кб к
Доказательство.
F . *331-11 . э F: Нр . а бсопх ‘к. э . (g R). Re к. Rla = а
F.(l). *331-21 . э F . Prop
* 331-23. F : Кб ЛИсопх . э . к с RJ‘Z U RTJ
Доказательство.
F . *331-2-21 . о F : Нр . Л 6 к. g ! Л h /. . А с/: F . Prop
*331-24. F : к б ЛИ conx . . к U Cnv“K c kl [*330-42 . *331-22]
* 331-25. F : к б FM сопх - 1. э . g ! к П RT J [*331-22-23]
* 331-26. F : Кб ЛИ сопх - 1. . Лк, Лкс ~ бKt
Доказательство.
F . *331-22-25 . э F : Нр . э . (g a, R, S, х). R, S б к. aRa .aSx.a^x.
[*71-172 .*41-11] э. Лк~б1 —> 1 .
[*331-24] э. s‘kl~6 1-H
F . (1). (2). *330-52 . э F . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
(2)
(1)
(1)
(2)
*331-31. F :. Кб FM. а бсопх ‘к. xe ЛСГ‘к. Рек. Ne Kt. э :
P'a = N‘a . = . P‘x = N‘x
Доказательство.
F. *331-11 . *330-4. э
F:Hp.o.(3 Q,R,S).Q,R,S eK.x(QUQ)a.N = R\S (1)
F . *330-5 . э
F : Hp . Q, R, S б к. x = Qla .N = R\S . Pla = N'a . э . P'x =QlRlS la
[*330-56] =RlQlSla
[*330-5] =fl‘S‘Q‘a
[Hp] =У‘х (2)
I-. *330-56 . э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
342
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
F : Нр . Q, R, S е к. х = Q‘a . N = R\S . Р'а = N‘a . э . Р‘х = Q‘R‘S ‘а
[*330-5] = R'Q‘S‘a
[*330-56 . Hp] = R‘S‘Qla
[Hp] =Nlx (3)
F . (1). (2). (3). э F : Hp. P‘a = N‘a. э . P‘x = N‘x (4)
Аналогично F : Hp . P‘x = N‘x. э. P‘a = N‘a (5)
F . (4). (5). э F . Prop
* 331-32. F к с FM сопх . Р ек. N €Kt . э : а ! Р h 7V. = . Р = N
Доказательство.
F . *331-31 .oh:: Нр . а 6 сопх ‘к. э х,у е .у‘О“к . э :
Р‘х = . Pla = N‘a . = . Ру = N‘y (1)
F. (1). (*331-02). э FHp . э : x,y e s'CT'k . P'x = Nlx. э . P'y = N‘y:
[*33-45 . *72-94] z>: a ! Pntf. = . P = N (2)
F . *331-12 . *330-16 . э F Hp . э : P = N. э . a ! P h N (3)
F . (2). (3). э F . Prop
* 331-321. F ке FM сопх . P, Q 6 к. э : a ! P h Q . = . P = Q [*331-32-24]
* 331-33. F : к e FM сопх . э . 5‘к I “кс к U Cnv“K
Доказательство.
I-. *33111 . эh Hp . э : (a a): P, бек. э/>,е . (а Л). (P‘g‘a)(PUP)a (1)
F . *330-5 . э
F : Hp . P, Q, R e к. P‘Q'a = R'a .S e к. у = 5 ‘a. э . P'Q‘y =S ‘P‘Q‘a
[Hp] =S ‘R‘a
[*330-5. Hp] =P> (2)
F . *330-56 . э
F : Hp . P, Q, R e к. P'Q‘a = R‘a .S e к. у = 5 ‘a . э . P'Q'y = S 'P'Q‘a
[Hp] = 5‘Я‘а
[*330-56. Hp] =7?‘y (3)
F. (2). (3). *331-11. oF:Hp.P,e,P€K.P‘e‘a = P‘a.o.P|e = P (4)
Аналогично F : Hp . P, Q,Rek . P'Q‘a = R‘a . э . P| Q = R (5)
F. (1). (4). (5). э
F:.Hp.P, 2eK.D:(aP):PcK:P|2 = P.V.P|2 = P:.DF. Prop
*331-4. FjKeT^Mconx . xj€s‘Q“k. э . (gL). LeKt. x = Lly
Доказательство.
F. *331-11 .DF:.Hp.D.(aa,P,S).P,S ek. x(R\JR)a .y(S US)a (1)
F . *330-56 . о F : Hp . P, 5 с к. x = R'a .y = Sla . э . x = S lR‘y.
[*330-4] D . (a L). L e Ke. X = Ly (2)
F . *331-24-33 . э
F : Hp .P, 5 eк. x = R'a .y = S‘a. .R\S ek; . x = (R| S)‘y (3)
F . *331-24-33 . э
F : Hp . R,S ek. x = R‘a .у = 5'а.э .R\S ek^.x = (R | §)У (4)
F . *330-4 . э
F : Hp . P, 5 eк. x = R'a .y = S 'a . э . P 15 eKt. x = (R\S)ly (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э F . Prop
*331-41. F : KcEWconx . э . 5% = (s‘Q“k) f (s‘Q“k) [*331-4]
Principia Mathematica III
»331. СВЯЗНЫЕ СЕМЕЙСТВА
343
*33142. \-:.KeFM сопх . L, Л/ 6 к;. э : з \LC\M. = .L = M
Доказательство.
F. *330-6 .*331-12 . э F : Нр . L = Л/. э . 3 \LftM (1)
I- . *331-4 . э
I-: Hp . Ux = M'x. E ! Uy. э . (3 N). N e Kt. Nlx = у. E ! Uy.
[*330-63] э . (3 N). N e Kt. ЛГх - у. Uy =N'Llx
[Hp] -N'M'x
[*330-63] =MlNlx
[*13-12] z>.Uy = My (2)
Аналогично I-: Hp . L‘x = M‘x. E ! M‘y. э . Uy = M'y (3)
F . (2). (3). *71-35 . э I-: Hp . 3 ! L A M. э . L = M (4)
F . (1). (4). э F . Prop
*331-43. F : KeBfconx . x,y e s‘Q“k . э . M(M ckl. xMy) e 1
Доказательство.
F. *331-4. oF:Hp.D.(3 M). (M еъ . xMy) (1)
F . *331-42 . э F : Hp . L, M e k< . xMy . xLy. э .L = M (2)
F . (1). (2). oF . Prop
*331-44. F:.K€/^Mconx . P, Qek P П Q . = . P = Q [*331-42-24]
*331-45. F:.Ke/^Mconx . Ц M, Ne к, . э : 3 ! L | M A N. = . L | M = N f CI‘(L | M)
Доказательство.
F. *330-611 . dF : Hp. L| Л/= A Л/), э.3 !L|Mh A (1)
F . *330-63 . э F : Hp . UM'x = N'x. E ! UM‘y .XEK^.y = X‘x.
э . UM'y = UX‘M‘x. E ! UM‘x. E ! UX‘M‘x. E ! X‘x.
[*330-63] э . UM‘y = X'UM'x. E ! X'x.
[Hp] э . UMy = X'N'x. E ! X'x.
[*330-63] z> . LlMy = N'X'x
[Hp] = Ny (2)
F . (2). *331-4 . dF : Hp . UM ‘x = N‘x. у e Q‘(L | M). э . UM'y = N'y (3)
F . (1). (3). э F . Prop
* 331-46. F:.Hp *331-45 .z>:M\L = N \ G\M \ L). = . L\ M = N f (T(L\M)
Доказательство.
F . *330-642-43 . э F : Hp . L | M = N f (T(L | M). □ . (31). M'Ux = N'x.
[*331-45] z>.M\L = N\(r(M\L) (1)
Аналогично F : Hp . M | L = N f G\M | L). z>. L | M = N f CT(L | M) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 331-47. F : к e FM conx . L, M ek, . N) . N ek, . L\ M gN . M \ LgN
[*331-46-45-4]
* 331-48. F : ке FM .Lek^.^ ! сопх ‘к П C‘L. э . Le к U Cnv“K
Доказательство.
F . *330-41 . □ F :. Hp . a e сопх ‘к A ClL. э : L, L e kl : E ! Ua . V . E ! Ua :
[*331-11] d : L, L e Kt: (3 R): R e к U Cnv“K: Ua = R‘a . V . Ua = Rla :
[*331-24-42] э : (3 R) :PekU Cnv“K: L = P.V.L = P:.dF. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
344
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
* 331-5. h : Кб Ж сопх .PeK.L6Kt.D.L|P, Р | LeKt
Доказательство.
h . *331-33 . э
F : Hp. Q,Rex. L= Q |Я. э . (g S). S ек U Cnv“K. L| P = Q | S (1)
F . *330-4 . э F : Hp (1). S'eк. L| P = $ 15 . э . Г | PeKt (2)
F . *34-2 . э
F : Hp(1).S eCnv“K. L| P= <21S . э. (g T). Гек. L\ P = Cnv‘(T | Q).
[*331-33] э.Г|РекиСпу“к.
[*331-24] D.ZJPe^ (3)
F. (1). (2). (3). *330-41 . э F. Prop
* 331-51. F : кеPMconx . Peк. э . Pot‘Pc к; [*331-5 . Induct]
* 331-52. F : к e PM conx . P, <2 e к. L e kl . э . P | L | 2 e к; [*331-5]
* 331-53. F : к e FM сопх . P, 2 e к. p, oeNC induct. э. P p | Q° e Kt
1*331-5 . Induct. *331-51 . *330-43]
* 331-54. F : кеРМсопх . Рек. э . Pot‘Pc kU Cnv“K
Доказательство.
F . *330-711 . э F : Hp. aeconx ‘к .QePot‘P. э . E ! Q‘a.
[*33111] э.(д Г).ГекиСпу“к.2‘а = Г‘а.
[*331'51'42'24] э . £)екиСпу“к:э F. Prop
* 331-55. F : к e FM сопх . P, Q e Kt. p e NC induct. э.
(Р|2)рсРР|2Р . Pp|2peKt [*330-73 . *331-53]
* 331-56. F : кеРМсопх .LeKt. MePot‘L. э . (gN).NeKt.Mg.N
[*331-55 . *330-4]
Principia Mathematica III
‘332. ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОТНОШЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ
345
* 332. Представитель отношения в семействе
Краткое содержание *332.
В конце предыдущего параграфа было показано (*331-56), что всякая
степень элемента семейства kl содержится в элементе этого семейства. Ко-
гда отношение содержится в элементе семейства Kt, мы называем этот эле-
мент “представителем” отношения в семействе. С точки зрения применения
пропорций “представитель” является важной функцией отношения, особен-
но, когда рассматриваемое отношение есть степень элемента семейства ке
По определению пропорции (*303-01), мы имеем Ь(р1<з)М при условии
3 ! L° А Мр и р Prm о. Кроме того, если L° и Мр каждый обладает пред-
ставителем, то это должен быть один и тот же представитель при усло-
вии a!L°hA/p. Следовательно, имея дело с пропорциями элементов се-
мейства кь, вместо а ! L° А Мр мы имеем возможность подставлять равен-
ство. Настоящий параграф как раз и посвящен рассмотрению элементар-
ных свойств представителей.
Представитель отношения Р в семействе к будет обозначаться “герк‘Р”.
Чтобы обеспечить при всех обстоятельствах справедливость Е!герк‘Р, мы
не определяем герк‘Р как единственный элемент семейства 1Q, содержа-
щий Р, но как логическую сумму классов элементов семейства к;, содер-
жащих Р, т. е.
* 332-01. repK‘P = s‘(Ki П tTP) Df
В связном семействе, если Р не является нулевым, Kt A tf‘P не может
иметь более одного элемента (*332-21), следовательно, представитель Р, ес-
ли он не нуль, должен быть элементом Kt (*332-22). Если Р —элемент се-
мейства ки он является своим собственным представителем (*332-241).
В настоящем параграфе доказывается, что если P,Q,R,... обладают
непустыми представителями, то представитель их относительного произ-
ведения (в случае, когда оно не является нулевым) есть представитель
относительного произведения их представителей (*332-37). Среди других
важных предложений параграфа отметим следующие:
* 332-32. I-: к е FM сопх . L, М е Kt. э . repK‘(L | М) = repK‘(Af | L)
* 332-51. I-: ке^Л/сопх . Р, Qek . э . герк‘(Р| 0 = QI Р
* 332-53. F : к е FM сопх . Р, Q е к. р е NC induct. э . repK‘(P | Q)р = Р р | Qp
* 332-61. F : кеFMсопх . Рек;. э . repK“Potid‘Lс к;
* 332-8. F : ке FM сопх . L, NC ind . э . repK‘(L | М) = repK‘(Z^ | М^)
* 332-81. F : Кб FM сопх . v, oeNC ind - l‘0 . Lckl . э .
герк‘LvXc° = repK‘(repK‘Lv) °
*332-01. repK‘P = 5‘(Kl А &P) Df
*332-1. F . repK‘P = s‘(Kt А &P) = xy {(3 L). LeKt.PaL. xLy]
[(*332-01)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
346
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*33211. !герк‘Р.э.Рсгерк‘Р [*332 1]
*332-12. F : g ! герк‘Р. э . g (к; А ^Р) [*332-1]
*332-13. F . rep/A = s‘kl [*332-1]
*332-14. F : PaQ. э . repK‘2 GrepK‘P [*332-1]
*332-15. I-. repK‘P = Cnv‘repK‘P
Доказательство.
F . *330-41 . □ F. iq AtT‘£ = Cnv“(KL A <tTP) (1)
F.(l). *332-1 .oh. Prop
*332-16. F : к = i‘A . э . repK‘P = A [*332-1]
*332-2. Fк e FM - i‘i‘A. э : g ! (к; П tT‘P). = . 3 ! repK‘P
Доказательство.
I- . *330-6 . □ F: Hp. g ! (kv A tf‘P). э . g ! (kl А <С‘Р) - i‘A.
[*332-1] D.glrep/P (1)
F . (1). *332-12 . э F . Prop
*332-21. F : к e FM conx . g ! P. э . (Kt A tz‘P) e 0 U 1
Доказательство.
F . *331-42 . э F : Hp . L, M e kl . P g L. P g M. э . L = M : z> F . Prop
*332-22. F ке FM conx . g ! P. э : repK‘P6Kt. V . repK‘P = A
Доказательство.
F. *332-21-12 . oF:Hp.g !repK‘P. э . (iq A ‘P) € 1 .
[*332-1] э . rep/PeKt: э F . Prop
* 332-23. F к e FM conx . g ! P. э : repK‘P e kl . = . g ! (kl A tz‘P)
Доказательство.
F . *332-22-2 . э F : Hp . repK‘P ~ e kl . э . (к; A tT‘P) = A (1)
F . *330-6 . э F : Hp . герк‘Рек1. э . g ! repK‘P.
[*332-2] □ .glfcA^P) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 332-231. F ке FM conx - 1 . э : герк4Рек1. = . g ! P. g ! (kl A tz‘P)
Доказательство.
F . *331-26 . э F Hp . э : герк1Рек1. э . repK‘P^ 5‘iq .
[*332-13] d.P/A (1)
F . (1). *332-23 . э F . Prop
* 332-232. F к e FM conx - 1. э : repK‘P e kl . = . g ! P. g ! repK‘P
[*332-231-2]
* 332-24. F к e FM conx . g ! P. э : L e (kl A t?P). = . g ! repK‘P. repK‘P = L
Доказательство.
F. *332-21-1 . oF:.Hp. э : Lek, A ^‘P. э . repK‘P = L (1)
F . *332-2 . э FHp . э : L e к; A ^‘P. э . g ! repK‘P (2)
F . *332-22 . э F Hp . э : g ! repK‘P. э . repK‘Pe iq :
[*13-12] э : g ! repK‘P. repK‘P = L. э . L e kl (3)
F . (3). *332-11 . э F Hp . э : g ! repK‘P. repK‘P = L. d . Le(k, A ^‘P) (4)
F . (1). (2). (4). э F . Prop
Principia Mathematica III
*332. ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОТНОШЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ 347
*332 241. F: к е FM сопх . Р е к; . э . Р = герк‘Р
Доказательство.
I-. *332-24 . э F Нр . a ! Р. э : Р е к; П tTP. = . а ! герк‘Р. герк‘Р = Р:
[Нр] э:герк‘Р = Р (1)
Ь.*330-6. эННр.~а !Р. э.к = 1‘А.
[*332-13] э.герк‘Р = А (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*332-242. F: к е FM сопх . g ! Р. g ! герк‘Р. э . герк‘Р = герк‘герк‘Р
Доказательство.
I-. *332-22 . э F : Нр.э. герк‘Р е kl (1)
F . (1). *332-241 . oF.Prop
*332-243. F : ке Wconx . g ! Р. Pal Г 5‘С“к. э . герк‘Р = I f s‘Q“k
[*332-24 . *330-43]
*332-244. F -..keFM сопх - 1 .э:д !P.Pg/ Г s‘Q“k . = . repK‘P = I f a‘Q“k
Доказательство.
F . *331-26 . *330-43 . э F Hp . э : j‘Kt ± IГ s‘CT‘k :
[*332-13] э:герк‘Р = / Г s‘CI“K.D.a IP (1)
F. *332-11 . DF:.Hp. z> : repK‘P = IГ s‘CT‘k . э . PgI [ s‘CI“k (2)
F. (1). (2). *332-243. dF. Prop
* 332-25. FikeEWcoiix .g !P.g • rep/2. Pg.Q . э . repK‘P = repK‘Q
Доказательство.
F . *332-11 . э F : Hp . э . P GrepK‘6 (1)
F . *332-22 . э F : Hp . d . герк‘2ЕК1 (2)
F . (1). (2). *332-24 . э F . Prop
* 332-26. F : к e FM сопх . a ! P h Q . a ! repK‘P. a ’• repK‘2. э .
repK‘P = repK‘2 = repK‘(P fi 0 [*332-25]
* 332-27. F:ke Wconx .g !P.g !repK‘0a • Q Л repK‘P. э . repK‘P = repK‘2
Доказательство.
F . *332-11 . э F : Hp . э . Q GrepK‘2.
[Hp] D. a ! repK‘P Л repK‘(2 (1)
F . *332-22 . э F : Hp . э . repK‘P, rep ‘6 e k; (2)
F. (1). (2). *331-42. oF. Prop
* 332-31. F : к e FM conx . L, M e kl . э . repK‘(L | M) e k;
[*330-611 . *331-47-12 . *332-23]
* 332-32. F : к e PM conx . L, Л/ e к; . э . repK‘(L | M) = repKl(M | L)
[*330-611 . *331-47-12 . *332-24]
* 332-33. F : кeFM conx . repK‘P, rep/QEiq . g ! P | g. э. repK‘(P | 0
= repK‘{(repK‘P) | (repK‘0) = repK‘{(repK‘P) | Q] = repK‘{P | (repK‘0}
Доказательство.
F . *330-6 . *331-12 . э F : Hp . э . g ! repK‘P. a ! repK‘2.
[*332-11] э . Рсгерк‘Р. 2стерк‘2 . (1)
[Hp] э.а !P|repK‘(2 (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
348
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
к . *330-6 . *332-31.(1). э
к : Нр. э . Р | герК‘2 сгер/Р | герк‘2 • 3 ! repK‘(repK‘P | repK‘2J.
[(2). *332-25]
э . гер/(Р| герк‘0 = герк‘{герк‘Р | герк‘2}. я ! герк‘(Р | герк‘0 (3)
Аналогично к:Нр. э. герк‘((герк‘Р) | Q} = герк‘{(герк‘Р) | (герк‘<2)) (4)
к.(1).э к:Нр. э.Р|есР|герк‘е.
[Нр.(З). *332-25] э.герк‘(Р|2) = герк‘(Р|герк‘е) (5)
к.(3).(4).(5).эк.Prop
*332-34. к : Нр *332-33. э.герк‘(Р| Q) екь [*332-31-33]
*332-35. к : ке FM сопх . L, М, . э.
= repK‘(L | М | N) = repK‘(L | герк‘(М | А)) = repK‘[(repK‘(L | А/)) | АГ|
[*330-613 . *332-31-33]
*332-36. к :Нр *332-35 . э. repK‘(L| М| А)ек; [*332-35-31]
*332-37. к: к е FM сопх . герк‘Р, герк‘б, герк‘Я е Kt. g ! Р | Q | R. э .
repK‘(P | Q | Я) = герк‘(герк‘Р | герк‘21 герк‘Я]
= герк‘{герк‘Р | герк‘Я | герк‘б)
= герк‘{герк‘21 герк‘Я | герк‘Р}
Доказательство.
к . *332-33 . э
к:Нр.э. repK‘(P I QI Я)= repK‘{repK‘P | repK‘(21R)}
[*332-33] =герк‘{герк‘Р|герк‘(гер|С‘2|герк‘Я)) (1)
[*332-35] =герк‘{герк‘Р|герк‘2|герк‘Я} (2)
k. (1). *332-32 . э
к:Нр.э. repK‘(P | Q | Я)= герК‘{герК‘Р | герк‘(герк‘Я | герк‘0)
[*332-35] =герк‘|герк‘Р|герк‘Я|герк‘<2) (3)
k . (1). *332-33-32 . э
к : Нр. э. repK‘(P | Q | R)= гер/НгерДгер/б | герК‘Я)} | герк‘Р]
[*332-35] = герк‘(герк‘21 герк‘Я | герк‘Р] (4)
к.(2).(3).(4).эк.Prop
*332-41. F Кб FM сопх . Ц М, N е iq . э : repK‘(L | М) = repK‘(L| N) . = . М = N
Доказательство.
I-. *34-34 . э F : Нр . repK‘(L | М) =repK‘(L | N). э .
L | repK‘(L | М)= L | repK‘(L | N).
[*332-35] э . repK‘(L | L | М) =wpK\L | L | N).
[*330-31] э . герк‘А/ = герк W.
[*332-241 ] э . М = N: э h . Prop
*332-411. I-кеFMсопх . L, А/,N6Kt. э : repK‘(Af | L) = repK‘(^ \L) . = . M = N
[*332-32-41]
*332-42. h : КбЕИсопх . L, A/6Kt. э . Cnv‘repK‘(L | M) = repK‘(L| M)
[*332-32-15]
*332-43. h к б FM conx . L, M, N б к;. э :
Principia Mathematica III
.332. ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОТНОШЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ
349
N = герк‘(А IМ). = . L = repK‘(W \M). = .L = герк‘(М | N).
= .М = repK‘(W IL) • = • М = repK‘(£ | N)
Доказательство.
F . *332-35 . *330-41. э
I-: Нр. N = repK‘(L | М). э . repK‘(L | М | М) = repK‘(7V | М).
[*330-31] =>.repK‘L = repK‘(7V|M).
[*332-241] =>.L = repK‘(W|M). (1)
[*332-32 . *330-41 ] э. L = repK‘(M | N) (2)
F.(1). *330-41. э F: Нр. L = rep/^ | М). э. N = repK‘(L | М) (3)
I-. (1). (2). (3) . э F. Prop
* 332-44. Н. ке ЛИconx . L, M,NeKt. э : repK‘(L| М) = N. =. L| М CN
[*330-6 . *332-24-31]
* 332-45. F Нр *332-44 . э: repK‘(L | М) = N. = . repK‘(L | М | N) = I [ s‘Q“k
Доказательство.
F . *332-35 . э F :. Нр. э: repK‘(L | М) = N. э. repK‘(L | М | N) = repK‘(N | N)
[*332-24 . *330-31] = /[s‘CI“k (1)
F.*332-35. =>F:.Hp. э: repK‘(L| М |Л) = I [ 5‘Q“k. э .
repK‘[{repK‘(L | М)} | JV] = I [ s‘Q“k .
[*332-31-43] =>.repK‘(L|A/) = repKW
[*332-241] =N (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 332-46. F:.KeW conx . L, M€Kt. э : L\M<zl . = . L = M
Доказательство.
F . *330-43-611 . *332-243 . э
F:Hp.L|A/G/.o.repK‘(i|A/) = Z H‘Q“K.
[*332-43 . *330-43] э . L = repK‘M
[*332-241 .*330-41] (1)
F . *71-191 . э F : Hp. L =А/. э. L| Л/G/ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 332-51. Y'.KeFM conx • P. (2 ск • э • repK (P | Q) — Qr | P
Доказательство.
F . *331-24 . *332-32 . э F: Hp. э. repK‘(P | Й) = repK‘(£> | P)
[*332-241] =e|P:oF.Prop
* 332-52. F: кв ЛИ conx .P,Q,R,S ек.=> .repK'(P\Q\R\S)=Q\S |P|P
Доказательство.
F . *330-613 . *331-12-124 . z> F : Hp. э . g ! (P| б) | (Я15).
(*332-33-51] э.герк‘(Р|<2|Р|5) = герк‘(б|Р|5|Р) (1)
F . *330-561-611.3F:Hp.z>.e|P|5|PG(5|5|P|P.a!2|P|5|P (2)
F.*331-52. oF:Hp. D.^I^IPIPeiQ (3)
F. (1). (2). (3). *332-24 . э F . Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
350
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*332-53. к: к е FM conx . Р, Q е к. р е NC induct. э . герк‘(Р | Q)р = Р р | Qp
Доказательство.
(-.*330-624 . эННр.э.а !(Р|0Р (1)
(-.*330-73. э1-:Нр.э.(Р|е)РсРР|ер (2)
Ь. *331-53. эF : Нр. э.| 2Рек,. (-. (1). (2). (3). *332-24 . э Ь. Prop *332-61. F: к е ЛИ сопх . Ьек,.. э. repK“Potid‘Lc kl Доказательство. (3)
(. *332-243 . *330-43 . э F : Нр. z>. repK‘(7 [ C‘L) е Kt (1)
1-. *332-31. э (-: Нр. э. М е Pot'L. герк‘Л/ е к;. э. repK‘{L | герк‘Л/| е iq (2)
(-.*330-624. z> (-: Нр. Л/е Pot'L. z>. a IL\M (3)
(-. (2). (3). *332-33 . э (: Нр (2). э. repK‘(L | М) е к, (•. (1). (4). Induct. э h . Prop *332-62. F: ке/ТИсопх . Л ~ ePot'P. а I герк‘Р. э. (4)
герк ‘ ‘Pot ‘ Р с герк ‘ ‘Pot ‘герк ‘Р Доказательство.
к . *332-242 . э к:Нр.э. герк‘Р - герк‘герк‘Р (1)
к . *332-22 . э к:Нр.э. герк‘Р 6 KL к . (2). *332-61 . э (2)
к : Нр. 26 Pot‘Р. repK‘2erepK“Pot‘repK‘P. э . гер/бек,. (3)
к. *91-36. э к : Нр . QePot‘P. э . g \P\Q (4)
к . (2). (3). (4). *332-33 . э к : Нр (3). э . repK‘(P | Q) = repK‘{repK‘P | гер/б) .
[Нр. *91-36] э . герк‘(Р| 2)erepK“Pot‘repK‘P к . (1). (5). Induct .эк. Prop *332-63. к : Нр *332-62 . э . repK“Pot‘P с к; Доказательство. (5)
к . *332-22 .эк: Нр . э . repK‘P е KL к . (1). *332-62-61 .эк. Prop (1)
*332-64. к : ке ЛИ conx . repK“Pot‘P с iq . э . repK“Pot‘P с repK“Pot‘repK Доказательство. 'P
к . *331-26 . *332-13 . э к : Нр . К ~ € 1 . э . Л ~ € Pot‘P (1)
к . *330-6 . *331-12 . эк: Нр . э . Л ~erepK“Pot‘P (2)
к . (1). (2). *332-62 .эк:Нр.к~€1.э. repK“Pot‘PcrepK“Pot‘repK‘P (3)
к . *330-43 . *331-22 . э к : Нр . ке 1 . э . kl = i‘(Z Г 5‘О“к) = к (4)
к . (2). (4). *332-12 . э к : Нр (4). э . Р Gl [ 5‘О“к. (5)
[*332-243-13 . (4)] герк‘Р = I [ 5‘СГ‘к к . (5). *301-3 . эк:Нр(4). э.Ро!‘Р = 1‘Р. (6)
[(6). *332-241] э . repK“Pot‘P = i‘repK‘repK‘P к . (3). (7). э к . Prop *332-65. к : Л ~ ePot‘P. а ! герК‘Р. э . Pot‘Pc .y‘Rl“Pot‘repK‘P Доказательство. (7)
к . *332-11 . э к : Нр. э . Р сгерК‘Р (1)
к . (1). э к : Нр . QePot‘P. PePot‘repK‘P . Q<zR . э . Q\ PgR | repK‘P к . (1). (2). Induct .эк. Prop (2)
Principia Mathematica III
*332. ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОТНОШЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ
351
*332-66. Н а ! герк‘Р ./?ePot‘repK‘P. э . (a Q). 2ePot‘P. Q<zR
[Доказательство аналогично *332-65]
*332-67. Ь:к€/ЗИсопх . A~ePot‘P.a !герк‘Р.э.
repK“Pot‘repK‘P = repK“Pot‘P
Доказательство.
h . *332-242 . э F : Нр. э . герк‘герк‘Р = герк‘Р (1)
h . *332-66 . э h Нр . э : Re Pot‘repK‘P. э . а ! R | Р (2)
h . *332-22 . э h : Нр . э . герк‘Ре 1^ (3)
h . (3). *332-61 . э h Нр . э : /?ePot‘repK‘P. э . repK7?eKL (4)
F . (2). (3). (4). *332-33 . э
h Нр . э : R е Pot‘repK‘P. э . герк‘(герк7? | герк‘Р) = герк‘(/? | герк‘Р) (5)
h . *332-33 . э h : Нр . /?ePot‘repK‘P. QePot‘P. герк7? = герк‘(2 • ° •
repK‘(G IР) = герк‘(герк‘Я | герк‘Р)
[(5)] = герк‘(Я | герк‘Р) (6)
F. (6). э F : Нр. PePot‘repK‘P. repK‘PerepK“Pot‘P. э.
герк‘(Л| repK‘P)erepK“Pot‘P (7)
I- . (1). (7). Induct. э F : Нр. э . repK“Pot‘repK‘P с repK“Pot‘P (8)
F . (8). *332-62 . э F. Prop
* 332-71. F : ке FM conx . L, M ец. z>. repK“Pot‘(L IM) = repK“Pot‘repK‘(L| M)
Доказательство.
F.*330-626. эF :Hp. э. A~ePot‘(L| A/) (1)
F . *332-31 . *330-6 . э F : Hp. э. a ! rep/(L | M) (2
F . (1). (2). *332-67 . э F . Prop
*332 72. F : Hp *332-71 . э. repK“Pot‘(L | M) c Kt [*332-31-61-71]
* 332-73. F : кеFM conx . L,Me Kt. э. Pot‘(L| M) c 5lRl“Pot‘repK‘(L| M)
[*332-65-31 . *330-626]
* 332-74. F : к e FM conx . L, M eKt. PePot'Af. э .
repK‘(L | P) = repK‘(P | L) = repK‘(L | repK‘P)
Доказательство.
F . *330-627 . *332-61-33 . э
F : Hp. э . repK‘(L | P) = repK‘{L I repK‘P) (1)
[*332-61-32] =repK‘{repK‘P|L}
[*330-627 . *332-61-33]= repK‘(P | L) (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*332-75. F : Hp *332-74 . z>. a ! repK‘(L | P) [*332-74-61-31 . *330-6]
*332-8. F : к e FM conx . L, M e Kt. £e NC ind. э . repK‘(L | M) = герк‘(/Л1M^)
Доказательство.
F . *332-243 . э
F : Hp. £ = 0. э. repK‘(L| M) = I f s‘G“k = repK‘(^ | M^> (1)
F . *301-21 . *332-33 . *330-626 . э
F : Hp .repK‘(L | M) = repK‘(i51M^). э.
repK‘(L | M) S+d = repK‘{L? | A/^| L | M}
[*332-37] = repK‘(^ | repK‘(A^ | L) | M}
[*332-32-33] = repK‘{Z51 repK‘(L | M^~) | M}
A.H. Уайтхед, В. Рассел
352
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
[*332-37]= rep/^+d I л/^1}
F . (1). (2). Induct. э Ь . Prop
*332-81. F : ке/ЗИсопх . v, oeNC ind - i‘O. LeKt. э .
repK‘LvXc° = repK‘(repK‘Lv) °
Доказательство.
F . *301-23 . э F : Hp . repK‘LvXc° = repK‘(repK‘Lv) ° . э .
repK‘LvXc(o+cl)= repK‘(LvXc° I iv)
[*332-33] = repK‘{(repK‘Lv) ° | repK‘LvJ
[*301-23] = repK‘(repK‘Lv)o+cl (1)
F . (1). Induct. э F. Prop
*332-82. F: к e FM conx .veNC ind - i‘0. Ц M e kl . э .
repK‘(L | M)v = repK‘{repK‘(L | M)]v
Доказательство.
F . *332-33 . э F : Hp . repK‘(L | M)v = {repK‘(L | M)}v . э .
repK‘(L | M) v+c‘ = repK‘[{repK‘(L | M)}v | repK‘(L | M)]
[*301-23] =repK‘{repK‘(L|M)}v+‘1 (1)
h . (1). *113-621. *301-2 . Induct .oh. Prop
Principia Mathematica III
*333. ОТКРЫТЫЕ СЕМЕЙСТВА
353
*333. Открытые семейства
Краткое содержание *333.
“Открытое” семейство определяется как такое семейство, что если L —
произвольный элемент iq, не содержащийся в тождестве, то любая степень
L содержится в различии, т.е. ApoGJ. Нам часто понадобится рассматри-
вать, в данном и в следующем параграфах, класс к; - R17, а в последую-
щих параграфах — класс K-R17. Поэтому положим
*33301. K5 = k-R17 Df
*333-011. Df
Таким образом, состоит из всех элементов iq, не содержащихся
в тождестве, т. е. (если К — связное семейство) всех элементов кь, кроме
I [ s‘G“k. Определение “открытого” семейства таково
*333-02. FM ар = FM П к {s‘Pot“Kia с R1‘J} Df
С точки зрения применения пропорций, предположение о том, что се-
мейство открыто, оказывается очень важным. Прежде всего, оно гаранти-
рует (*333-18), что состоит из “числовых” отношений (ср. *300), так что,
если ЛеКцэ, мы будем иметь Pot‘L = fin‘L (*333-15), а в силу *300-491 из су-
ществования открытых семейств вытекает аксиома бесконечности (*333-19).
Далее, если L и М —два различных элемента iq в открытом связном
семействе, то все степени L | М содержатся в различии, и, следовательно,
представители этих степеней суть элементы к^; т. е.
*333-22. h : кеТ^ТИарсопх . L, М. L / М. . repK“Pot‘(L| М) ск^
Из данного предложения следует, с учетом принятого выше предпо-
ложения, что если о — произвольный индуктивный кардинал, отличный
от 0, то L° | М° не содержится в тождестве, и, таким образом, La / М° и
repK‘L° / герк‘М°. Используя транспозицию, получаем отсюда следующие
два предложения:
*333-41. h к е FM ар conx . L, М е KL . о е NC ind - i‘0 . э :
repK‘L° = герк‘М° . = . L = М
*333-42. h Нр *333-41 . э : LQ = MQ . = . L= М
Отсюда получаем
*333-43. h Нр *333-41 . э : й ! L° П М° . = . L = М
Согласно данному предложению, в открытом семействе никакие два эле-
мента к,, не находятся в пропорции 1/1, пока они не идентичны. Далее,
также из *333-41 следует, что если и Л/оХсХ имеют один и тот же
представитель, то и Lp и М° имеют один и тот же представитель, и об-
ратно, т. е.
*333-44. h к е FM ар conx . L, М е kl . р, о, т е NC ind - i‘0. э :
repK‘Lpx<?x = герк‘Л/оХсХ. = . repK‘Lp = repK‘M°
Затем мы доказываем два предложения, необходимые для применения
пропорций, а именно:
*333-47. F к е FM ар conx . L, М е kl . р, о е NC ind -1‘0. э :
repK‘Lp = герк‘Л/° . = . g ! Lp h М°
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
354
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*333-48. h KeLMapconx . Ц Mekl. р, о, reNC ind - l‘0 . э :
а ! Lp П М° . =. а ! LpXcT Л М^'
Сравнивая последнее предложение с определением пропорции (*303 01),
получаем, что независимо от того, просто р относительно о или нет,
L находится по отношению к М в пропорции о/р тогда и только то-
гда, когда а ! Lp А А/°, т. е. (в силу *333-47) тогда и только тогда, когда
repK‘Lp = герк‘М°.
Из *333-47 также следует, что, если Л/ е к^, то Л/р и М° не будут иметь
один и тот же представитель, пока не будет р = о (*333-51), т.е.
♦333-51. h к е FM ар conx . М е . р, о е NC ind . э :
герк‘Мр = герк‘М° . = . р = а
Отсюда вытекает, что ни один элемент не может находиться к са-
мому себе в пропорции, иной, чем 1/1. Далее, из *333-47-48-51 получаем
*333-53. h : к е LM ар conx . L, М е . а ! La А Мр . а ! Lv А Мр . э .
ц хсо = v хс р
Следовательно, если L и М находятся в двух пропорциях р/о, ц/v, мы
имеем р/о = ц/v; иначе говоря, не существует никаких двух элементов к^,
находящихся более чем в одной пропорции.
То применение пропорций, о котором здесь говорится, не будет исполь-
зовано до следующей главы; цель упоминания о нем в данном кратком
обзоре — показать полезность предложений настоящего параграфа.
*333 01. Ka = K-R17 Df
*333-011. K^ = (Kt)a Df
*333-02. FM ap = FM А к {5‘Pot“K^ c RTJ) Df
* 333-03. FM ap conx = FM ap A FM conx Df
* 333-1. Ь:Л/ек^. = .(аЛ0.ЛСбк.М = Р|2.а!Л/А/.
= .MeKt.a!A/AJ [(*333-01-011)]
* 333-101. I-keFM ap . = : ке FM : Me . PePot‘M. z>M,p . PgJ :
= : keFM : M ek^ . . M^elJ [(*333-02)]
* 333-11. I-: кеШар . Lek^ . э . La J . L2 el J. Lh L = A . L/ L. a ! £
[*333-1-101]
* 333-12. h : ке FM ap conx . a • repK‘P. a!Ph J. э . герк‘Рек^ . (repK‘P)po G J
Доказательство.
I-. *332-11 . э h : Hp . d . a ! repK‘P A J.
[*332-22 .*333-1] э.гер/Рек^ (1)
h. (1) .*333-101 .oh. Prop
*333-13. h : keFM ap conx . a • герк ‘P «а !РА/.э.РроС/
Доказательство.
h. *332-11. э h : Hp. э.Рсгерк‘Р (1)
h . (1). *332-22 . э h : Hp . э . a • (repK‘P) A J. P^ G(repK‘P)po . rep/PeiQ .
[*333-1] э . PpO G(repK‘P)po . гер/Рек^ .
[*333-101] э . Рро gL : э h . Prop
Principia Mathematica III
*333. ОТКРЫТЫЕ СЕМЕЙСТВА
355
*33314. F: к е FM ар conx . L, М е Kt. М. э . (L| М)^ с J
Доказательство.
F.*330-626. эННр. э. A~ePot‘(L|M) (1)
F . *332-31. *330-6 . э F : Нр. э . а ! repK‘(L | М) (2)
F . *332-46 . Transp. э I-: Нр. =>. а ! (L| М) П J (3)
F. (1). (2). (3). *333-13 . э F. Prop
*333-15. F: к е ЛИ ар. Тек^ . э . Pot‘L = fin'L = finid'L - i‘Lq
[*121-501 .*333-11-101]
*333-16. F: к e FM apconx . L,Me . L / Mi . э .
Pot‘(L | M) = fin‘(L | M) = finid‘(£ IM) - i‘(T IM) 0
[*121-501 . *333-14]
*333-17. F: ке ЛИapconx . a ! repK‘P. a ! P Л J. э.
[*121-501 . *333-13]
*333-18. F : к e ЛИ ap. э . c Rel num
*333-19. F : ке ЛИap - i‘i‘A. э . Infin ax
*333-2. F : a ! ЛИ ap conx . . Infin ax
Pot'P = fin‘P = finid'P - i‘P0
[*333-101 . *300-3]
[*333-18 . *330-624 . *300-491]
[*333-19 . *331-12]
*333-21. F : KeFMapconx Тек^.э. repK“Pot‘Lc к^
Доказательство.
F . *332-61 . oF:Hp. э. repK“Pot‘Z,cK|. (1)
F . *333-101 . *330-624 . э F :. Hp . э: A ~ e Pot‘L. Pot‘L a R1‘ J:
F . *332-11 . (1). э: Л/erepK“Pot‘L. э . a '-MC\ J (2)
F . (1). (2). *333-1. => F . Prop
*333-22. F : к e ЛИ ap conx .L, M M . repK“Pot‘(£| M) с. к^
Доказательство.
F. *332-71 . oF:Hp. =>.герк“Ро1‘(Т|1Й) = герк“Ро1‘герк‘(Т|АУ) (1)
F. *332-46-ll-232-31 . э F : Hp. э . repK‘(L | M) e k^ (2)
F . (1). (2). *333-21 . э F . Prop
*333-23. F : к e ЛИ ap conx . A ~ e Pot‘P. a ! repK‘P .3 IРЛ J. d.
repK“Pot‘PcK^
Доказательство.
F . *332-62 . э F : Hp. э. repK“Pot‘PcrepK“Pot‘repK‘P (1)
F . *332-11-22 . *333-1 . oF:Hp. э.герк‘Рек^ (2)
F . (1). (2). *333-21 . z>F . Prop
*333-24. F: к e ЛИ conx . A ~ e Pot'P. a 1 repK‘P .veNC ind. a !
(v +c 1) П t2 ‘ P. э . repK ‘P* = repK ‘(repK ‘P)v
Доказательство.
F . *301-2 . *332-243 . э F : Hp. repK‘P° = IГ 51G“k = repK‘(repK‘P)0 (1)
F . *332-63 . *330-6 . *301-16-22 . э
F: Hp. э. repK‘Pv, repK‘P e iq . a ! Pv+cl (2)
[*301-21. *332-33]d . repK‘Pv+^ = repK‘{(repK‘Pv) | repK‘P} 3
F . (2). (3). z> F : Hp. repK‘Pv = repK‘(repK‘P)v . э .
repK‘Pv+cl = repK‘{repK‘(repK‘P)v | repK‘P}.
repK‘(repK‘P)v, герк‘Рек1 (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
356
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
к.(2). *330-624 . *301-21 . о к : Нр. о. g ! (repK‘P)v | герк‘Р (5)
к. (4). (5). *332-33 . о F : Нр (4). о . repK‘Pv+‘1= repK‘{(repK‘P)v | repK‘P}
[*301-21] = repK‘(repK‘P)v+cl (6)
k. (1). (6). Induct.ok. Prop
Эквивалентной veNCind.g ! (v+cl)nt2‘P гипотезой является
veQ‘t/ tP‘P.
Иногда последнюю удобно подставлять вместо первой.
* 333-25. к : кеРМ conx . L, Мек,.. veNC ind. g ! (v +cl) П t2‘L. о.
repK‘(L | M)v = repK‘{repK‘(L | M)}v
Доказательство.
k. *330-626 . *331-12 . о k: Hp. о . A ~ e Pot‘(L | M) (1)
k . *332-31. *330-6 . oHHp.o.g !repK‘(L|M) (2)
k . (1). (2). *333-24 . ok. Prop
* 333-32. НкеРМсопх .L,MeK,.p,oeQ‘(U . о. g ! I? | M°
Доказательство.
k. *330-61 .*301-2 . ok:Hp. o.g !L° |M° (1)
k.*330-623. о k :. Hp. о: 5 ек. oj . 5 | Lp | A/° cLp | Af° 15 : (2)
[*330-622] о: g ! Lp | MQ . о. g ! Lp+c' | M° (3)
k . (2). *330-621 . о k :. Hp. о: g ! U> | MQ . о. g ! Lp | M°+'x (4)
k . (1). (3). (4). Induct .ok. Prop
* 333-33. k: кеРЛ/сопх . L, Mек;. oeG‘(t7 [ P'L). о.
repK‘(Lo|Mo) = repK‘(L|M)°
Доказательство.
k . *333-32 . *332-243 . о
k : Hp. о . repK‘(L° | M°) = I ] 5‘Q“k = repK‘(L | M) °
k . *332-37 . *301-21. о
k : Hp. о. repK‘(Lo+cl | A/o+cl) = repK‘(repK‘(La | MQ) | repK‘L | repK‘Af)
k . (2). ok: Hp. repK‘(L° | Ma) = repK‘(L | M) °. о.
repK‘(Lo+cl | M°+cl) = repK‘{repK‘(L| M) ° | repK‘L | repK'
k. (3). *333-32 . *332-37 . о
k : Hp (3). о. repK‘(Lo+^ | Л/о+^) = repK‘{repK‘(L | M) ° | L | M}
[*301-21] =repK‘(L|A/)o+cl
k . (1). (4). Induct .ok. Prop
*333-34. k : Hp *333-33 . о. герДД11 Л/°) = repK‘{repK‘(L | Af)} ° = repK‘(L| M) °
Доказательство.
к . *330-626-6 . *332-31. о
k:Hp.o.A~ePot‘(L|A/).g!repK‘(L|M) (1)
к . (1). *333-24 . о к : Нр. о. repK‘(repK‘(Z. | М)} ° = терк‘(Ь | М) ° (2)
к . (2). *333-33 .ok. Prop
Principia Mathematica III
»333. ОТКРЫТЫЕ СЕМЕЙСТВА
357
*333-41. к кеFMарconx . L, Мек;. оeNC ind - i‘O. z>:
repK‘L° = repK‘A/° .s.L=M
Доказательство.
F . *333-34-22-2 .oF:Hp.L/M.=>. repK‘(L° | M°) e м .
[*333-21-32 . *332-33] э . repK‘{repK‘L° |герк‘М°}ек1а .
[*332-44 . Transp] э. ~ (repK‘L° | герк‘Л/° с/ [ 51G“k} .
[*332-15-46 . Transp] э . repK‘L° repK‘A/° (1)
F. (1). Transp. э F. Prop
* 333-42. I-Hp *333-41 . : L° = Ma . = . L= M [*333-41]
* 333-43. I-Hp *333-41 .z>L° ГУ M° . = . L= M
Доказательство.
F. *333-21 . *332-26 . z> F : Hp. g ! L° A M° . э . repK‘L° = repK‘Af° .
[*333-41] z>.L=M (1)
F . (1). *330-624 . э F. Prop
* 333-44. F к e FM ap conx . L, M e iq . p, о, x e NC ind -1‘0. э:
repK‘LpXcX = repK‘A/oX<:X. =. repK‘Lp = герк‘Л/°
Доказательство.
F. *301-5. *333-24. z>
F Hp: repK‘LpXcX = repK‘A/aXcX. s . repK‘(repK‘Lp)x = repK‘(repK‘Af°)x.
[*333-41-21] в . repK‘Lp = герк‘Л/° э F . Prop
* 333-45. F Hp *333-44 . э : LpXcX = MoX‘x. э. rep/Lp = repK‘A/° [*333-44]
* 333-46. F Hp *333-44 . э : g ! LpXcX A MoX'x. э. repK‘Lp = repK‘A/°
Доказательство.
F . *332-26 . *333-21 . э
F : Hp. g ! LpXcX А Л/оХст. э . repK‘LpXcX = герк‘Л/оХсХ (1)
F . (1). *333-44 . э F . Prop
* 333-47. F к e FM ap conx . L, M e к;. p, о e NC ind -1‘0. z>:
repK‘Lp = repK‘A/° . = . g ! Lp A M°
Доказательство.
F. *333-46 . э F : Hp . g ! Lp A M° . э . repK‘Lp = repK‘M° (1)
F. *332-53 . *72-92 . э
F : Hp. P, £?,/?,5 ек. L = P| 2. Л/ = Я|S . э. Lp = (Pp | 2P) [G‘LP.
Л/0 = (P° 15°) [а‘Л/°.геркТр = Рр|2р.герк‘Л/о = Ро|№ (2)
F . (2). *35-14 . z>
F : Hp (2). repK‘Lp = герк‘Л/° . э. Lp П M° = (Pp | Qp) f (CI‘Z,P П СГЛ/0).
[*330-72] э. g ! Lp П M° (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*333-48. F ке ЛИарсопх . L, MeiQ. p, o,xeNC ind -1‘0. э:
g ! Lp П Ma . =. g ! LpX^x П MaX^
Доказательство.
F. *333-46. э F : Hp. g ! Lp h Л/° . э . rep/Lp = герк‘Л/° (1)
F . *330-624 . *332-61. э F : Hp. =>. A ~ e Pot‘Lp . g ! repK‘Lp .
[*333-24] э. repK‘LpXcX = repK‘(repK‘Lp)x (2)
A.H. Уайтхед, В. Рассел
358
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
Аналогично F : Нр . э . герк‘А/аХсТ = герк‘(герк‘М°)т (3)
F . (1). (2). (3). э F : Нр. g ! LP А М° . э . rep/LpX‘T = гер/МоХ‘х.
[*333-47] э. g ! LpXcX A МоХ<х (4)
И . *333-46-47 . э F : Нр. g ! LpXcT А МаХсТ. э . g ! Lp А А/° (5)
F . (4). (5). э F . Prop
*333-49. F: к е FM ap conx . L, M е Kt. р, а е NC ind - i‘O . repK‘Lp = repK‘A/° .
э . Lp f СГЛ/а = M° f Q‘LP . (D‘A/°) 1 Lp = (D‘LP) ] M°
Доказательство.
F . *333-21 . *330-6 . э F : Hp . э . g ! repK‘Lp .
[*332-11] D.LpcrepK‘Lp.
[*72-92] э . Lp = (repK‘Lp) [ (TLp (1)
Аналогично F : Hp . э . M° = (repK‘A/°) [ Q‘A/° .
[Hp] э . M° = (repK‘Lp) f aiM° (2)
F . (1). (2). э F : Hp. э . Lp [ <TM° = (repK‘Lp) f (G‘LP А О‘Г) = M° [ G‘LP (3)
Аналогично F : Hp . э . (D'M°) 1 Lp = (D'LP) 1 M° (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*333-5. F к e FM ap conx . P, Q e к. о e NC ind - i‘0. э :
Po = ea. = .3!Pone°. = .P = Q [*333-42-43 . *331-24]
*333-51. F к € FM ap conx . M e . p, a e NC ind . э :
repK‘Mp = repK‘Afa . = . p = a
Доказательство.
F . *333-47 . э F Hp . герк‘Л/р = repK‘Ma . э : g J Mp A M° :
[*301-23 . *120-412-416] э : p > a. э . я ! Мр~^° AI.
[*333-101] z>. p = о (1)
Аналогично F Hp (1). э : о p . э . p = a (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*333-52. F Hp *333-51 . э : Mp = M° . = . p = a [*333-51]
*333-53. F : к € FM ap conx . L, M e . 3 ! F° A Mp . g • Lv A Mp . э .
Ц XCO = V xc p
Доказательство.
F . *333-48 . *301-16 . э F : Hp. э . g ! LpX^° A MpX^p . g ! ^vXcp A MpX^p .
[*333-47] э . repK‘LpXc° = repK‘MpX<p = repK‘LvXcp .
[*333-51] э . ц xco = v xc p : э F . Prop
Principia Mathematica III
*334. СЕРИАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
359
* 334. Сериальные семейства
Краткое содержание *334.
Целью настоящего параграфа является рассмотрение свойств семей-
ства к, которые гарантируют сериальность s‘Kd или наличие одной либо
нескольких характеристик сериальности. Предположим, например, что к
состоит из расстояний на прямой. Тогда Кд состоит из расстояний, содер-
жащихся в к и ненулевых. Любой набор расстояний на прямой может об-
разовывать к; таким образом, например, к может состоять из всех расстоя-
ний, целочисленно кратных некоторому данному, или из всех расстояний,
рационально кратных некоторому данному, или из всех расстояний, рас-
сматриваемых слева направо, или из всех расстояний на прямой в любом
из двух направлений. Очевидно, что первое требование, которое должно
быть выполнено, чтобы s'к# было сериально, — к не должно содержать рав-
ных расстояний в противоположных направлениях, иначе (s‘Kd)2 не будет
содержаться в различии, т. е. 5‘Кд не будет асимметричным. Семейство к
мы называем асимметричным, если в Кд не существует элемента, обратный
к которому также принадлежит к^. Определение таково
* 334-05. FM asym = FM П к (к П Cnv“K с R17) Df
Мы отмечали, что, согласно *331-23, s'k^clJ в любом связном семействе.
Если к е EW asym, имеет место также (s‘Kd)2GJ.
Чтобы обеспечить транзитивности s‘Kd, поле семейства к долж-
но содержать, по меньшей мере, одну “транзитивную точку”, где под
“транзитивной точкой” понимается такая точка а, что любую точку, кото-
рую можно достичь из а двумя последовательными ненулевыми шагами,
можно достичь и одним ненулевым шагом, т. е. такую, что
(s‘Kd)“7* Кд'а с 7* к#'а .
Определение транзитивных точек таково:
*334-01. trs‘K= 5‘а“кПд {(s‘Kd)“7* Ка‘a} Df
Таким образом, если а — транзитивная точка и R, 5 еКд, то в Кд все-
гда найдется такой элемент Т, что R'S'a = T'a, Мы увидим, что если к —
связное семейство, из существования транзитивной точки вытекает асим-
метричность семейства. Далее, если в связном семействе имеется транзи-
тивная точка, то, согласно *331-32, R,S ек# . э . 2?|5 ек^; следовательно, к#
является группой. Имеет место и обратное, т. е. если Кд — группа, то все
элементы 5‘С“к суть транзитивные точки (*334-11). Следовательно, если
существует какая-либо транзитивная точка, то всякий элемент 5‘С“к яв-
ляется транзитивной точкой.
Транзитивное семейство определяется следующим образом:
* 334-02. FM trs = FM П к (g ! trs‘K) Df
Как только что было сказано, связное транзитивное семейство харак-
теризуется тем, что Кд есть группа, т. е.
*334-13. h :. KeFM conx . э : KcT^Htrs . = . я‘Кд^“Кд с Кд
Связное семейство транзитивно тогда и только тогда, когда s‘Kd есть
транзитивное отношение, т. е.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
360
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*334-14. h к 6 FM conx . э : к е FM trs . = . 5‘к^ е trans
Для того чтобы 5‘ка было связным отношением, недостаточно, чтобы
семейство к принадлежало ЛИ сопх, т.е. 5‘О“к имело бы хотя бы одну
связующую точку. Мы потребуем, чтобы каждая точка 5‘СТ‘к была свя-
зующей. Это условие будет выполнено, если найдется связующая точка,
принадлежащая полю каждого элемента iq, т. е. если
3 ! сопх ‘к А р‘С“к^.
Действительно, пусть а е сопх ‘к А Тогда для существует Ь‘а
либо Va и имеет вид R'a либо 1Са, где 2?ек. Следовательно, соглас-
но *331-32, L тождественно с R или R-, так что KL = KUCnv“K. Поэтому
из *331-4 вытекает 5‘каеconnex. Обратно, если к 6 ЛИ сопх и еconnex,
то из *331-32 следует, что Kt = KUCnv“K; отсюда р‘С“к1 = 5‘О“к и, наконец,
3 ! сопх ‘к A p‘C“Kt. Таким образом, полагая
*334-03. FM connex = FM А к (а ! сопх ‘к А р'С^к^ Df
где под “FMconnex” понимается “семейства, имеющие связанность”, полу-
чаем следующие предложения:
*334-26. h к е FM сопх . э : к е FM connex . = . 5‘к^ 6 connex .
= . Kt = к и Cnv“к. = . C“Kt = СТ‘к
и
*334-27. h . FM connex = T^Mconx A k (А‘СГ‘к = conx ‘к. к 54 i‘A)
Таким образом, семейство, обладающее связанностью, есть семейство,
чье поле состоит целиком из связующих точек и не является нулевым.
Итак, мы обеспечиваем 1) посредством гипотезы кеFMсопх,
2) trans посредством гипотезы к 6 ЛИ сопх А ЛИ trs, 3) 5‘к^е connex по-
средством гипотезы к е ЛИ connex (что влечет за собой к е ЛИ сопх). Следо-
вательно, 5‘KfleSer гарантируется гипотезой к е ЛИ trs A connex. Когда дан-
ное предположение выполнено, мы называем к “сериальным” семейством;
таким образом, мы полагаем
*334-04. FM sr = FM trs А ЛИ connex Df
и тогда
*334-3. h : к е FM sr . э . 5‘к^ е Ser
*334-31. h ке ЛИ. I f 5‘О“ке к. э : к е ЛИ sr . = . s'kq е Ser - i‘A
Важный специальный случай, кратко рассматриваемый в настоящем па-
раграфе, есть случай, когда области элементов к совпадают с их обратны-
ми областями, т. е. когда
D“k = CT‘k.
Данный случай может быть проиллюстрирован, например, семейством,
все элементы которого суть отношения вида (+gX) [C‘Hg, где ХеС'Н'.
Другая иллюстрация — циклические семейства, рассматриваемые в заклю-
чительной главе этой части. Когда D“k = Q“k, если к есть семейство, то
таково же и KUCnv“K (*334-4), а если к есть связное семейство, то таково
же и KUCnv“K (*334-41). В случае приведенного выше семейства, имеюще-
го элементы вида (+gX) где XeC'FT, киСпу“к будет состоять из
Principia Mathematica III
*334. СЕРИАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
361
всех отношений (+gX) lC'Hgy где XeC'Hg, т. е. будет состоять из всех при-
бавлений положительных или отрицательных пропорций к положительным
или отрицательным пропорциям.
Связное семейство, в котором D“k = G“k, есть семейство, обладающее
связанностью, т. е.
*334-42. h : ке/'Мсопх . D“k = G“k. э . к eFM connex
Определения и предложения настоящего параграфа используются во
всех последующих главах части VI.
*334-01. trs‘K= 5‘G“k П а {(5‘к^)‘с 7* Ка‘а} Df
*334-02. FM trs = FM П k (g ! trs‘K) Df
*334-03. FM connex = FM П k (g ! conx ‘к П p‘C“Kt) Df
*334-04. FM sr = FM trs П FM connex Df
*334-05. FM asym = FM П k (к П Cnv“K c R1‘7) Df
*334-09. НкеШсопх.элк^./ [*331-23]
*334-1. h :: Кб FM . z>a e trs‘K . = :
a e 5‘G“k : R, S ек^ . . (g T). T ек^ . R'S 'a - T'a [(*334-01)]
*334-11. h Кб FM conx . э : a e trs‘K. = . a e 5‘G“k . 54k^ ^“k^ c
Доказательство.
h . *331-33-24 . э h : Hp . R, S e ъ . э . R15 e iq (1)
К (1). *331-32 . эЬ:Нр.Тек5.2?‘5‘л = Т‘а.э.2?|5 = T (2)
h . (2). *334-1 . z>F::HP.d:.
a e trs‘K . = : a6?G“K: R, S e Ka . .(ftT).TeKd.R\S=T:
[*13-195] = : aes‘G“K : R, S e Ка . . R 15 e к^ :: э h . Prop
*334-12. h ке FMconx . a, xe 5‘G“k . э :
ae trs‘K. = . xe trs‘K. = . Н‘ка с [*334-11]
*334-13. h ке FMconx . э : ке FM trs . = . ^“к^ с k^
[*334-12 . *331-12 . (*334-02)]
*334-131. h : к e FM conx П FM trs . R e к# . э . Pot‘2? с Ka [*334-13 . Induct]
*334-132. h : ке FM conx П FM trs . э . 5‘Pot“K с к [*334-131]
*334-14. h ке FM conx . э : ке FM trs . = . s‘Kd e trans
Доказательство.
h . *41-51 . *334-13 . э h Hp . э : к e FM trs . . (s‘Ka)2 G s‘Ka
h . *330-52 . э h :: Hp . э s'k# e trans . э :
R, S ек«э. xe 5‘G“k . . (g T). Те к# . R‘S‘x = T'x.
[*331-31-33-24] z>R,s\x . (g T). T e k^ . R 15 = T .
[*13-195] эк,5,х.Я|$ека
h . (2) . *331-12 . oh:: Hp . э ^‘к^ e trans . э : R, S e k^ . • R\S e k# :
[*334-13] z>:KeEWtrs
h . (1). (3). э h . Prop
*334-15. h : к e FM conx П FM trs . э . s‘k \' ‘к = к
Доказательство.
h . *331-321-22 . э h Hp . 2?ек-Ка . э : R = I f 5‘G“k :
[*50-62-63] э:5ек.э.2?|5,5|2?ек
(1)
(2)
(3)
(1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
362
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
F . (1). *334-13 . э F : Нр . э . ?кР‘к с к (2)
F . *331-22 . *50-62-63 . э F: Нр . э . кс Р‘к (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*334-16. F : ке FAf conx n FMtrs . Rek^ . э . 2?^ G J [*334-131-09]
*334-161. F : ке FMconx QFMtis. Re к# . ae 5‘СГ‘к. э .7?*‘a e No
[*334-16 .*123-191]
*334-162. F : 3 ! FM conx A FM trs - 1 . э . Infin ax [*334-161]
*334-17. F : к e FM conx A 1 . э . k^ = A [*331-22]
*334-18. F : ке/'ТИсопх - 1 . э . C's'k# = s‘(T‘k = $‘С“ка . g • • Я ! Ka
Доказательство.
F . *331-22-321 . э F Hp . э : g ! к^ :
[*330-52] э:яб5‘О“к. э . (g R).Rex# . aeG'R.
[*40-4] Э.Д€5‘а“Кд. (1)
[*41-45] э.яеС‘$‘Кд (2)
F. (1). (2). *331-12. z>F. Prop
*334-19. F : к е FM. э . С‘$‘ка с s‘CI“k [*41-45 . *330-52]
*334-2. F ке FM. э :: я е. = :. Le Kt. z>l : Е ! L‘a . V . Е ! L6a
[*330-52]
*334-21. F : ке FMconnex .d.k1 = kU Спу“к
Доказательство.
F . *334-2 . *331-11 . э F :. Нр . а есопх ‘к А . LeKt. э :
(3 R): Яеки Спу“к: L‘a = Ria . V . Va-R‘a :
[*331-42-24] э : (g R): R e к U Cnv“K: L = R . V . L = R (1)
F . (1). *331-24 . э F . Prop
*334-22. F : кеLM connex . э . р‘С“к<, = 5‘G“k [*334-21 . *330-52]
*334-23. F : к eFM connex . э . conx‘к = 5‘G“k [*334-21 . *331-4]
*334-24. F : к e FM connex . э . ^‘к^ e connex
Доказательство.
F. *334-21 .*331-4 .э
F :. Hp . x,y es‘G“K. x . э : (g R): Rek^ : xRy. V . yRx:. э F . Prop
*334-25. F : ке FM connex . э . C“Kt = G“k [*334-21 . *330-52]
*334-251. F : ке FM .vkU Cnv“K. э . p‘C“KL = 5‘G“k
Доказательство.
F . *40-18 . *33-22 . э F : Hp . э . р‘С“к, = р‘С“к (1)
F . (1). *330-52 . э F . Prop
*334-252. F : keFMconx . $‘ка econnex . z>. Kt = KU Cnv“K
Доказательство.
F . *41-11 . z> F : Hp . Le Kt. x = L‘y. э . (g R). Леки Cnv“K. xRy.
[*331-42-24] o.LeKUCnv“K (1)
F . (1). *330-6 . *331-12 . э F . Prop
*334-253. F : ке FM conx . C“kl = G“k . d . кe FM connex
Доказательство.
F . *330-52 . э F : Hp . э . р‘С“к = 5‘G“k .
[*331-1] э . g ! p‘C“KL A conx ‘к: z> F . Prop
Principia Mathematica III
*334. СЕРИАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
363
* 334-26. h к € FM conx . э : к е FM connex . = . 5‘к^ е connex .
= . к, = к U Cnv“K. = . C“Kt = СГ‘к [*334-21-24-25-251-252-253]
* 334-27. h . FM connex = FM conx П к ($‘СГ‘к = conx ‘к. к i‘A)
Доказательство.
h . *331-1 . oh: ке FM. к^ t‘A. s‘CI“k = conx ‘к. э. $‘ка €connex .
[*334-26 . (*331-02)] э. к е FM connex (1)
h . *334-23 . (*334-03). э h: к e FM connex . э . 5‘G“k = сопх‘к. i‘A (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
* 334-3. h : ке FM sr . э . 5‘к^ e Ser
Доказательство.
h . *334-09 . z> h : Hp . э . s‘Ka c J (1)
h . *334-14 . э h : Hp . э . 5‘Ka e trans (2)
h . *334-24 . э h : Hp . э . e connex (2)
h . (1). (2). (3). э h . Prop
*334-31. h ке FM . I f ?О“кек. э : ке FMsi. = . 5‘k^ € Ser - i‘A
h . *41-11 . dF Hp . 5‘Kd eSer - i‘A. э :
x,y e s‘G“k . . (g R). R ек . x (JR (jR)y:
[*331-11] э: 5‘О“к = сопх‘к (1)
h. (1). *334-14-26 . э h : Hp (1) . э . ке FM trs. к e FM connex (2)
h. (2). *334-3 . *331-12 . э F. Prop
* 334-32. h. ЯИэгсЯИар [*334-16-21 .*333-101]
* 334-4. h : ке FM ,D“k=Q“k.d.kU Cnv“K e FM
Доказательство.
h . *33-2-21 . dF: Hp . э . D“(kU Cnv“K) = G“(k U Cnv“K) = CI “к (1)
h . *330-561 . э h Hp . э : R, S e к . э . R15 = 5 | R (2)
h. (1). (2). *330-52. dF. Prop
* 334-41. h : к eFM conx .D“k = Q“k.d.kU Cnv“Ke FM conx
[*334-4 .*331-11]
* 334-42. h : ке Т'ТИсопх . D“k = СГ‘к. э . ке FMconnex
Доказательство.
h . *37-323 . э h :. Нр . э : R, S е к. э . (T(R 15) = СГ5 :
[*330-4] D:C“Kt = a“K (1)
h . (1) . *334-26 .oh. Prop
* 334-43. h : кеШсопх CiT^Htrs . D“k = G“k. d . KefiWsr
[*334-42 . (*334-04)]
* 334-44. h : ке FMconx . D“k = Q“k . Leк; . z>. D‘L = = C'L = 5‘G“k
Доказательство.
h. *37-323 . z>h:Hp.fl,S e к. э . СГ(Я 15) = СГ5 : oh. Prop
*334-45. h : к e FM conx . D“k = G“k . L, M e iq . э . GE‘(Z^ | M) = 5‘О“к
[*334-44]
*334-451. h : Hp *334-44 .S ePot‘L.D.D‘5 = СГ5 =C‘S = 5‘CI“k
[*334-44]
*334-46. h :. Hp *334-44 .М^еке.э:й L\M Q N . = . L\M = N
[*334-45 . *331-45]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
364
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*334-5. F : KeFMсопх. О FM asym. э. (s'k^)2 G J
Доказательство.
F . *332-46 . э F : Нр . э . Л, 5 ек.7?|5 с/. z>.R = S .
[(*334-05)] э.й = /[5‘а“к (1)
F. (1). Transp . э FНр. =>: R, S е к# . э . ~ (R15 G/).
[*331-33-23] G Prop
Principia Mathematica III
*335. ИНИЦИАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
365
*335. Инициальные семейства
Краткое содержание *335.
Семейство векторов может иметь, а может и не иметь в своем поле
точку, являющуюся начальной, но не конечной вершиной ненулевых век-
торов. Например, семейство векторов вида (+^Х) [С'Н', где ХеС'Н', со-
держит такую точку в своем поле, а именно 09; однако семейство векто-
ров вида (+5Х) [СН, где ХеСН', не содержит такой точки в своем поле,
равно как и семейство векторов вида (+gX) [CHS, где ХеС‘Н'. Если та-
кая точка существует, то она является элементом 5‘С“к, но не является
элементом s‘D“Kd. Если к тому же она связующая, то она должна быть
единственной, т. е.
*335-12. h : ке FM. э . сопх ‘к - 5‘D“Kd еО U 1
В случае, когда сопх‘к - 5‘D“Ka непусто, мы называем единственный
элемент этого множества “инициальной точкой к”, полагая
*335-01. init ‘к = Г (сопх ‘к - 5‘D“Ka) Df
Если существует инициальная точка семейства к, мы называем к “ини-
циальным” семейством; таким образом,
*335-02. FM init = FM П G‘init Df
Инициальное семейство асимметрично (*335-16), транзитивно (*335-18)
и образует группу (*335-17); если же ее инициальная точка является эле-
ментом р'С“к^ это — сериальное семейство (*335-3).
*335-01. init‘к = Г (сопх‘к-5‘D“Kd) Df
*335-02. ЛИ init = ЛИ A CTinit Df
*335-11. h : ке FM. a e conx ‘к - 5‘D“Ka . э . 5‘G“k = s'K#'a . Ca = s'Kd'a
Доказательство.
h . *41-43 . *33-4 . h : Hp . э . s'K^'a = A (1)
h . *331-23-22 . э h : Hp . э . Рк'а = s'K^'a U Ca (2)
h . *331-1-23-22 . э h : Hp . э . 5‘G“k = Fk‘(2 U (3)
h . (1) . (2). (3) . э h . Prop
*335-12. h : KeFM . э . conx‘к- s‘D“Kd eOU 1
Доказательство.
h . *335-11 . э h : Hp . a, b econx ‘к - 5‘D“Ka . э . bes'K^a .
[*32-182] э . a e s'y&b .
[*335-11] э . a = b : э h . Prop
*335-13. h :. кеFM. э : E ! init ‘к. = . а ! conx‘к-5‘D“k5 [*335-12 . (*335-01)]
*335-14. h:Ke^Minit .=.KeFM.^ ! сопх‘к-s‘D“iq [*335-13 . (*335-02)]
*335-15. h : ке FM init . э . 5‘G“k = Fi^init ‘к [*335-11 . (*335-01)]
*335-16. h . FM init c FM asym
Доказательство.
h . *335-14 . э h :. к e FM init . э :
(3 a): a e 5‘G“k : Re к. a eYFR . эд . ZteRT/ (1)
h . *330-52 . э h : KeFM. a e 5‘G“k . Re к A Cnv“K. z>. a e D‘R (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
366
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
h . (1). (2). oh к 6 FM init . о : 7?e к О Cnv“K. эд . 2?eR17:
[(*334’05)] э: к е FM asym:. э h . Prop
* 335-17. h: к е FM init . о . s‘k P‘к = к
Доказательство.
h . *335-15 .oh:. Hp . э : R, S ек. э. (gT) .Тек. R'S ‘init ‘k = T‘init ‘к.
[*331’24’33’32] э . (gT). Г e к. 2? 15 = T .
[*13-195] э.Я|5ек (1)
h . *331-22 .oh: Hp . э . кс 5‘к^“к (2)
h . (1). (2) . oh . Prop
* 335-18. h . FM init c FM trs
Доказательство.
h . *335-17 . oh:. ке TMinit . о : R, S e Ka . о . R15 e к (1)
h . *334-5 . *335-16 . о h :. к e FM init . о : R, S e Ka . о . R15 G J (2)
h . (1). (2). *330-551 . oh:.KeLMinit . о : R, S e Ka . о. R15 e Ka (3)
h.(3). *334-13. oh. Prop
* 335-19. h :. ке TMinit . о : кe FMconnex . = . init ‘Kep‘C“Kt
[*334-23 . (*334-03 . *335-02-01)]
* 335-21. h:KeTMinit . о . s‘Ka etrans . (s‘Ka)2 G J [*335-18-16 . *334-14-5]
* 335-22. h :. ке FM init . о : s‘Ka e connex . = . = G“k . = . init ‘кер‘С“к^
[*334-26 . *335-19]
* 335-23. h :. ке ЛИ init n FM connex .Аек^.э: init ‘KeD‘L. = . init ‘k~ e G‘L
Доказательство.
h . *335-19 . о h:. Hp . о : init ‘кe D‘L. V . init ‘к e G‘L (1)
h . *334-21 .oh: Hp . о . Le Ka U Cnv“Ka (2)
h . *335-11 . oh:. Hp . о : Le Ka . о . init ‘k~ eD‘L:
Le Cnv“Ka . э . init ‘k~ e G‘L: (3)
h . (2). (3) . oh :. Hp . о : init ‘к ~ e D‘L. V . init ‘к ~ e G‘L (4)
h.(1). (4). *5-17 .oh. Prop
* 335-24. h :. кe FM init П FM connex .R, 5 ек./? ^5 . э :
2?‘init ‘KeD‘5 . = . 5‘init ‘к ~ e G‘2?
Доказательство.
h . *71-162 . oh:. Hp . о : 2?‘init ‘KeD‘5 . = . init ‘KeG‘(5 | R).
[*331-1 . *335-23] = . init ‘к ~ e D‘(5 | R).
[*71-162] = . 5‘init ‘к~ eD'R Prop
* 335-25. h ::. к e FM init . о :: j‘Ka e connex . = :.
/?,5ек.элл :D‘/?cD‘5 . V.D‘5 cD‘/?:.
= :. a, P eD“K. oa>p : a c [3 . V . [3 c a
Доказательство.
h . *202-135 . dH: Hp . $‘ка e connex . о :. $‘к e connex :.
[*211-6 . *330-542] □ :./?,5 ек. □ : D‘/?cD‘5 . V . D‘S cD‘fl (1)
h . *71-162 . э h : Hp . 2?‘init ‘KeD‘5 . z>. init ‘ке СГ(Я 15) (2)
h . *71-162 . oh : Hp . 5‘init ‘KeD‘2?. z>. init ‘KeD‘(fl 15) (3)
h . (2). (3). э h :. Hp . R, 5 e к: WR c D‘5 . V . D‘5 c D‘2?: э .
init‘KeC‘(^|5) (4)
Principia Mathematica III
*335. ИНИЦИАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
367
h . (4). *330-4 . z> h :: Нр Я, 5 € к. : D‘fl с D‘5 . V . D‘5 с D7? э .
init ‘K€p‘C“Ki.
[*335-22] э . е connex (5)
h.(l). (5). *37-63. oh. Prop
*335-26. h : к 6 FM init П FM connex . э . D [ к 6 1 —> 1
Доказательство.
h. *33-43 . эН:Нр.Я,5 6K.tf‘init‘K~eD‘5 . d.D\R#D‘5 (1)
h . *335-24 .oh: Hp . R, S e к. R S . JTinit ‘к e D‘5 . э. 5 ‘init ‘к ~ e D‘2?.
[*33-43] z>.D‘fl/D‘5 (2)
h . (1). (2). э h : Hp . R, S e к. R # 5 . э . D‘fl # D‘5 : э h . Prop
*335-3. h : keFM . init ‘кЕр‘С‘\ . э . i^eSer [*335-21-22]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
368
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*336. Серии векторов
Краткое содержание *336.
В настоящем параграфе мы рассмотрим отношение между элементами к
или к1? которое при подходящих ограничениях на природу семейства мо-
жет быть отождествлено с отношением больше или меньше. Если найдется
элемент к такой, что он ведет нас от точки z к точке у, т. е. у($‘к<э)2, мы
говорим, что точка z предшествует точке у; в этом случае мы считаем $‘ка
отношением последующего к предшествующему. Далее, если М и N — два
элемента и если, для некоторого х, М‘х следует за 2V‘x, мы говорим,
что М “больше”, чем N по отношению к к. Это отношение будем обозна-
чать VK, где символ “V” выражает тот факт, что отношение имеет место
между векторами. Определение таково:
*336-01. VK = MN {М, N е Kt: (gx). (М‘х) ($‘ка) (ЛГх)} Df
Для того же самого отношения, но ограниченного на элементы семей-
ства к, мы используем обозначение UK- таким образом,
*336 011. UK = VK [к Df
Имея дело с VK и (7К, желательно уметь представлять М‘х как функ-
цию от М. Мы можем рассмотреть, скажем, фиксированное начало а и
различные точки R'a, Sla, Т‘а, ..., к которым ведут из а различные векто-
ры, принадлежащие к. С этой целью положим Ка=Аа‘К, где “А” означает
“аргумент”, а “Ад‘Я” может быть прочитано как “значение R для аргумен-
та л”. Определение имеет вид
Аа = xR (xRa) Df,
откуда получаем
*336101. Ь:Е!М.э.Я‘а = Ав‘Я
Тогда точки R'a, S'a, Т‘а, ..., где R, S, Т, ... —различные элементы се-
мейства к, образуют класс Ад “к, совпадающий с классом Ук‘а. Отношение
Аа [ к связывает точку R‘a с вектором R. Вектор R аналогичен координате
R'a, если а — начало; таким образом, Аа [к аналогично отношению точки
к своей координате. Отношение, более точное, чем отношение точки к сво-
ей координате, будет изучено в главе 3, где в добавление к вышеприведен-
ному коррелятору Аа Г к мы также свяжем вектор с его числовой мерой
в терминах выбранной единицы измерения.
Если к —связное семейство и а — произвольная точка его поля, то
Аа Г Ki — одно-однозначное отношение (*336-2). Если к — инициальное се-
мейство и а —его инициальная точка, то Аа [ к — коррелятор 5‘Q“к и к
(*336-21), так что в инициальном семействе класс векторов подобен полю
(*336-22). Если к —связное семейство, а — произвольная точка его поля, и
к состоит из тех элементов L семейства iq, для которых К а существует,
то Aa Г X связывает поле с X, так что X подобно указанному полю (*336-24).
По определению Ад, если Mekl и М'а существует, то имеет место
М'а- АаМ = Ад Г к/А/.
Следовательно, по определению VK
Principia Mathematica III
*336. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
369
h : MVKN. = . (3 a). (Aflf kl‘M) (s%) (Аа f к, W).
= . (a а). М (kl j Аа ’ j‘Ka) TV, по *150-41.
Аналогично
Ь : PUKQ . = .(&а).Р(к\Аа' $%) Q .
Далее, в связном семействе, если а и b — два произвольных элемента
поля и Р, Q е к, то
(Р'а) (s‘Ka) (Qla). = . (PT?) (s‘Ka) (Q'b) (*336-38);
откуда К 1 Аа ’ s‘K# = К 1 Ab ’
и ик = К1 Аа ’ (*336-43).
Так как к] Аа одно-однозначно (*336-2), вышеприведенное рассуждение
устанавливает порядковое соответствие29 UK с (s‘Ka) [Ад“к (*336-461), т.е.
UK порядково подобно30 s‘k$ при условии, что его поле ограничено теми
точками, которых можно достичь из а при помощи векторов, принадлежа-
щих к. Отсюда следует, что если к — инициальное семейство, UK подобно
s'k# (*336-44), если нет, то UK, в общем случае, подобно только некоторому
сегменту 5‘ка (в смысле *213).
Следует заметить, что kJ А/х есть элемент kl, переводящий а в х, а
KjAJx (если существует) есть элемент к, переводящий а в х. Таким об-
разом, к'|Аа’54Ка есть серия векторов, переводящая а во всевозможные
точки, которых можно достичь из а при помощи элементов семейства к,
причем порядок серии —тот же, что и для точек, к которым различные
векторы ведут из а.
Если к —связное семейство, то UK является отношением между двумя
такими элементами семейства к, что один из них есть относительное про-
изведение другого и некоторого третьего (отличного от нулевого вектора),
т. е.
* 336-41. НкеРМсопх . э . UK = PQ {Р, Q е к: (дТ). Т е Ка . Р= Т | Q}
Во многих случаях это —наиболее удобная формула для UK. Если, кро-
ме того, справедливо
D“k = С“к,
то аналогичная формула имеет место для Ук, т. е.
* 336-54. h : ке FM conx . D“k = (4“к. э .
VK = MN {М, N е ъ : (эТ). Т е Ка . М = Т | N}
Если кеЕТИсопх, то Ук содержится в различии (*336-6); если к к то-
му же транзитивно, то и VK транзитивно (*336-61); если к обладает свя-
занностью, таково же и Ук (*336-62). Следовательно, если к — сериальное
семейство, VK и UK сериальны (*336-63-64).
Кроме вышеупомянутых предложений, к числу важнейших предложе-
ний настоящего параграфа относятся следующие:
* 336-411. h ке FM conx . s‘k Р‘кс к . э : PUKQ . R е к. э . (Р | R) UK (Q | R)
* 336-511. h к е FM sr . v е NC ind - i‘O . э : RUKS . = . RyUKSv
* 336-53. h к e FM conx . M, N e kl . э : MVKN . = . N VK M
29 Или ординальную корреляцию. — Прим. ред.
30 Или ординально подобно. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
370
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
Значимость настоящего параграфа заключается в том, что и UK —
общие отношения, из которых выводятся отношения больше и меньше для
величин, и понятие величины поэтому от них подспудно зависит.
*336 01. VK = MN {M, N e Kt: (3x). (M‘x) (s‘Kg) Df
*336011. Uk = VUk Df
*336-02. Aa = xR (xRa) Df
*336 1. F : xAaR . = . xRa [(*336-02)]
*336 101. F : E ! R‘a . э . R‘a = Aa‘R [*336-1]
*336-11. *336 12. F : x (Aa Г к) R . = . R e к . xRa F . Гк‘а = Аа“к = В‘(Аа f к) [*336-1]
Доказательство.
F . *41-11 . э F . Гк‘а = х ((g R). R е к . xRa]
[*336-1] = х {(g R). 7?ек. xAaR}. э F . Prop
*336-13. F . [ к с s‘D“k
Доказательство.
F. *336-12 .*33-15 . f к с D‘s‘k . э F . Prop
*336-14. F : к с 1 —> Cis . э . Ад [ ке 1 —> Cis
Доказательство.
F . *336-11 . э F : x (Aa f к) R . у (Aa f к) R . э . R e к . xRa . yRa (1)
F. (1). *71-17. э F : Hp . Hp (1). z>. x = y (2)
F. (2). *71-17. э F . Prop
* 336-15. F : к c cr‘a . a e a . э . G‘(Afl f к) - к
Доказательство.
F . *336-11 . э F : R e СГ(Аа [ к). = . (з%). Яек. xRa (1)
F . (1). (*330-01). э F . Prop
* 336-16. F : a econx ‘к. = . a e s‘Q“k . Аа“(ки Cnv“K) = .s‘G“k
Доказательство.
F. *331-1 . *336-12 .d
F : a econx ‘к. = . a e .s‘G“k . Afl“KU Aa“Cnv“K = .s‘G“k (1)
F . (1). *37-22 . э F . Prop
* 336-17. F . ке ЯИсопх П FM trs - 1 . P= s'k# . э . Аа“к=
Доказательство.
Ь . *334-14-18 . Э F : Нр. э . = *Р‘а U ф‘СГ‘к‘а
[*331-22-23] = Гк‘а
[*336-12] - Аа“к: э F . Prop
* 336-2. F : кеЯИсопх . а е s‘Q“k . d . Afl [ kl е 1 —> 1
Доказательство.
F . *336-14 . э F : Нр . э . Aa f Ki е 1 -> Cis (1)
F . *336-11 . э F : Hp . x (Aa [ kJ L. x (Aa f kJ M. z> . Ц M e KL . xLa . xMa .
[*331-42] = M (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica III
*336. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
371
*336-21. F: ке FM. а = init ‘к. э . Аа [ к; е(^‘С“к) sm к
Доказательство.
F. *336-2. э F : Нр. э . Аа [ ке 1 —»1 (1)
F . *335-15 . *336-12 . э F:Нр.э. D‘AO [ к = s‘CI“k (2)
F . *336-15 . z> F : Нр . э . Q‘Aa [ к = к (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*336-22. F : кеМ/init . э . (s‘Q“k)smK [*336-21]
*336-23. F : кеFM conx . a e 51Q“k . X = Ki Cl L(a eQ‘L). э. Aa f Xe (5‘СГ‘к) sm X
Доказательство.
F.*336-2. э F :Hp. z>. Aa [Xe 1 —> 1 (1)
F.*336-11 . z> F : Hp . э. D‘(Aa [X) = x{(g L).Lek.xLa}
[Hp] = x{(g L).LeK,..xLa}
[*331-4] =s‘Q“k (2)
F . *336-11 . э F : Hp . э . (Г(Аа [ X) = L {(gx). LeX. xLa}
[Hp] =X (3)
F . (1). (2) . (3). э F . Prop
*336-24. F : Hp *336-23 . z> . (s‘CT‘k) sm X [*336-23]
*336-25. F : ke FM conx . a, b e s‘G“k . X = к; A L (a e GSLy.
p - к; A M (b e Gl'M) . d . X sm p, [*336-24]
*336-26. F : keFM . a e conx ‘к. X = к U Cnv“/? (R e к . a eD7?). z>.
Aa [Хе(^СГк) sm X [*336-23 . *331-48]
*336-3. F:.kc1 -*C1s.d:7?(k1 Aa'PyS . = .R,S ЕК.ЦГаУ P(Slay
Доказательство.
F.*150-11 . z>\--.R (к] Aa'PyS . = . (g х,уУ. R, S ek . xAaR. yAaS . xPy.
[*336-1] = . (g х.уУ. R, S ek . xRa . ySa . xPy (1)
F . (1). *71-36 . э F . Prop
*336-31. F : к e FM conx . a e .s‘G“k . э . c D‘(k1 Aa » 5‘к^)
Доказательство.
F . *336-3 . z>
F Hp . z> : R e D‘(k1 Aa ’ . (3 5, T). R, S ek . T ek# . R‘a = T‘S ‘a (1)
F. *331-22 . dF :Hp./?6Ka • э . R e K5.1 f 5‘(Г‘кб к. R‘a = R\I [ $‘а“к)‘а .
[(1)] Э . R E D\K 1 Aa ’ j‘Kd) : э h . Prop
*336-311. F : кe FM conx - 1 . яб5‘(Р‘к. э . I [ s‘Q“ke G‘(k 1 Ai5 s‘Kd)
Доказательство.
I-. *336-3 . э
h Hp . z>: S e (T(k 1 Aa ; я‘к<э). = . (g Я, T). R, S e к . T e k# . Rla = Т‘8‘а:
[*331-22] э : I [ s‘CT ‘к e СГ(к ] Aa ; s‘Ka). = . (g R, T). R e к . T e k# . R'a = Га .
[*330-52] =.д!ка (1)
h . (1). *334-18 . d h . Prop
*336-312. h:KeJMconx - 1 . э . С‘(к 1 Л ; = к [*336-31-311]
*336-313. h : keFM conx A FM asym . a e .у‘О“к . d . D‘(k 1 Aa ’ s‘Kd) = K5
Доказательство.
h . *336-3 . d
F Hp . z>: / Г s‘G“K6D‘(k j Aa ’ s'k#) . = . (з5,Т) .S ek.T ek# .a = Г8 ‘a (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
372
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
F. (1). *334-5 . dF : Нр . э . IГ s‘G“k - е D‘(k j Ад » 5‘к^) (2)
F . (2). *336-31 . э F. Prop
*336-32. F : к е FM . а е сопх ‘к. X = к Г) R (а е D7?). э .
С‘{(к U Cnv“к) j Аа ’ 5‘Кд) = к U Cnv“к
Доказательство.
F . *336-16 . *334-18 . э F : Нр . э . C's'k# = G‘(kU Cnv“K) ] Д,.
[*150-23] э . С‘{(к U Cnv‘‘K) 1 Ад ; s‘Kd) = D‘(k U Cnv“K) 1 Aa
[*336-15-11] = KU^{(gr). R e Cnv “к. xRa}
[Hp] = к U Cnv“k: z> F . Prop
*336-34. F : к e FM. a = init ‘к. э . (к 1 Д, ’ smor (5‘к^)
Доказательство.
F . *336-21 . э F: Hp . э . к 1 Д, € 1 —> 1 . G‘k 1 Д, - : dF . Prop
*336-35. F : к e FM . a e conx ‘к. □ . {(к U Cnv‘ ‘к) j Д,» s‘Kd) smor (s‘Kd)
[*336-2-16]
*336-351. F : ке FM conx . ae CG“k . э . (k'I Д,» 54к^) smor (s‘Kd) [ Аа“к
Доказательство.
F. *336-2. э F : Hp . э . к 1 Д, e 1 —> 1 (1)
F . *150-37 . э F : Hp . э . к] Ад » s‘k<3 = к1 Д,; (j‘Ka) [ A/‘k (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*336-36. F:. к e FM conx . L, M e kl. a, b e G‘L П G‘M. T e к . d :
Fa = FM‘a . = .Fb = ГМ‘Ь : Fa = tlM'a . = .Fb = T'M'b
Доказательство.
F . *13-12 . э F :. Hp . NeKt. a = N‘b . э : Fa = T‘M‘a
[*330-63]
[*71-56]
F. (1). *331-4 . э F Hp . э : Fa = T‘M‘a .
F . *71-362 . э F Hp . э : Fa = FM‘a .
|<2W
[*71-362]
F . (2). (3). э F . Prop
s.L‘b = TlM‘b (1)
= .L‘b = T‘M‘b (2)
s.Mca = T‘L‘a.
= .M‘b = TUb.
s.L‘b = tlMlb (3)
*336-37. F к e FM conx . L, M € Kt. a, b e Q‘L Cl Q‘M. э :
(L‘a) (s‘Ka) (M‘a). н . (L‘b) (slKa) (M‘b)
Доказательство.
F . *336-36 . э
F Hp . э: (a 7). T e ка . L‘a = T‘M‘a. s . (a T). T e Kg . L‘b = T‘M‘bэ F . Prop
*336-371. F кеFMconx. . L, MeKt.ae d‘LD Q‘M. э :
LVKM. = . (L‘a) (j‘Ka) (M'a) [*336-37 . (*336-01)]
*336-38. F к e FM conx . P, Q e к. a, b e 51Q“k . z>:
(P‘a) (i‘Ka) (Q‘a). = . (P‘b) (s‘Ka) (Q‘b) [*336-37 . *331-24]
Principia Mathematica III
»336. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
373
*336-4. F : ке FMconx.. а е s‘d‘*K . э. UK = PQ (P, £)ek . (P‘a) (s'k^) (Qla)}
Доказательство.
F . *336-38 . э
F Hp. э : be s‘d“K . (P'b) (s‘Ka) (Q‘b). = . be s‘d“K . (P‘a) (s'Ka) (£)‘a):
[*10-11-281 . Hp] э : (g b). b e s‘d“K. (P‘Z>) (ilKa) (Q'b). = . (P‘a) (i‘Ka) (g‘a) (1)
F. (1). (*336-011). oF .Prop
*336-41. F:KePWconx .z>.UK = PQ{P,QeK-.(^T).TeKd.P = T\Q}
Доказательство.
F.*41-11.DF:Hp.aes*a“K.P,бек.7’ека.Р = Т|е.э.(Р‘а)(5‘ка)(С‘а) (1)
F.*41-11. z>F:Hp.ae5ia“K.(P‘a)(5‘Ka)(6‘a). э.(а T).T eKd.P‘a = T‘Q‘a.
[*331-32-33-24] ^.QaT).TeKd-P=T\Q (2)
F. (1). (2). *336-4. э F. Prop
*336-411. F к e FM conx . s‘k l/x ск.э : PUKQ. R e к. z>. (P | R) UK (Q | R)
[*336-41]
*336-412. F : Hp *336-411 . P, Q, R e к. (P | P) UK (Q | R). z>. PUKQ
Доказательство.
F. *336-41 . DF:Hp.D.(ar).P€Ka.P|P = T|e|P.
[*330-5] э.(я7’).7’ек(9.Я|Р|Р = Р|Р|7’|!2
[*330-31] э.(аТ).Тека.Р = Т|е.
[*336-41] э . P(/K2: э F . Prop
*336-413. F Hp *336-411. P, Q, R e к. э : PUKQ. = . (P | R) UK (Q | P)
[*336-411-412]
*336-42. F : кe FMconx . aep‘D“K. d . VK = Lid {L,MeKi. (L'a) (s‘k^) (M'a)}
Доказательство.
F . *330-54 . d F Hp . L, Мекь. э :aeG‘LDG‘M:
[*336-37] э : (L‘b) ($‘к*) (M‘b). =>. (Lla) (i‘Ka) (M'a):
[(*336-01)] z>: LVKM. э . (L'a) (s‘Ka) (M‘a) (1)
F. (1). (*336-01). z> F . Prop
* 336-43. F : KeFM conx . aes‘G“K. z>. UK = к] Aa ’ j‘Ka
Доказательство.
F . *336-4-101 . э F : Hp . э . UK = PQ (P, Q ек. (AO‘P) (i‘Ka) (Aa‘Q)}
[*35-7] = PQ {(Ao [ k‘P) (s‘Ka) (Aa [ к‘0)
[*150-41 . *336-2] = к 1 Aa ’ s‘k# : э F . Prop
* 336-44. F: к e FM init . э. UK smor (s'k^)
Доказательство.
F . *336-41 . э F : Hp. a = init ‘к. э . UK - к ] Aa > s'kq (1)
F . *336-21 . э F : Hp. a = init ‘к.э.к]Д,е1-»1. d‘(K1 Ai) = s‘d“K (2)
F. (1). (2). *334-19. oF. Prop
* 336-45. F : KeFM. aeconx‘к. X = к OP (aeD'P). э .
VK [ (KU Cnv“k) = (kU Cnv“K) 1 Aa 5 s‘Kg
Доказательство.
F. *41-11 . (*336-01 ).э
F:. P (VK [ (к U Cnv“X)) Q. = : P, Q e к U Cnv“k: (gxj) .Текз.Р‘х= T‘Q'x (1)
F . (1). *336-36 . э F :: Hp:.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
374
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
P{VK t(KUCnv“X)(e.5:P,eeKUCnv“k:(a Т). Тек# . Р'а = TQ'a:
[*14-21 . Нр] =: Р, беки Cnv“K: (3 Т). Тека . Р'а = T‘Q‘a:
[*41-11] = : Р, беки Cnv“K. (Р‘а)(i‘Ka)(б‘°):
[*336-3] s : Р {(к U Cnv“K) ] Д > j‘Ka) Q:: э F . Prop
*336-46. F : Нр *336-45 . z>. VK [ (kU Cnv“X) smor (s‘Ka) [*336-45-2-16]
*336-461. F : кеFMconx . aes‘Q“k . z> . UKsmor (i‘Ka) [ (Аа“к)
[*336-351-43]
*336-462. F : ке FM сопх О FM trs. а е s‘Q“k . Р- j‘Ka . э . (JK smor (Р [ *Р*‘а)
[*336-461-17 . *334-17]
*336-47. F : кеТЗИсопх . э. ка с D‘t/K [*336-31-43]
*336-471. F : ке/ТИсопх - 1 . э. к = С‘£/к [*336-312-43]
*336-472. F: к е FM сопх П FM asym . э . Ка с D‘77K [*336-313-43]
*336-51. FKeFMsr. R, S eк. veNC ind - i‘O. э :
(R‘a) (s‘Ka) (S ‘a). = . (Rv‘a) (slKa) (Sv‘a)
Доказательство.
I- . *333-42 . *334-32 . *330-57 . *331-42 . э
I-Hp. z>: T e Ka . R'a = TlS ‘a. э . Rv‘a = TvtSvla.
[*334-131] э. (RVia) (j‘Ka) (Sv‘a) (1)
F. (1). *41-11 . z> F Hp . z>: (R‘a) ($‘ка) (5 ‘a). э . (Rv‘a) (i‘Ka) (Svta) (2)
F . (2)^ . z> F Hp. э : (S ‘a) (s‘Ka) (R‘a). э . (Sv'a) (s‘Ka) (Rv‘a) (3)
F.*331-42. z>F:.Hp.o:R‘a = 5‘a.o.Rv‘a = 5v‘a (4)
F. (3). (4). *334-3 . э
F:. Hp. э: ~ {(R‘a) (j‘Ka) (S ‘а)} .э.~ {(Rv‘a) (i‘Ka) (5v‘n)( (5)
F . (2). (5). э F . Prop
*336-511. F ке FM sr. veNC ind -1‘0. э : Rt/K5 . = .RVUKSV [*336-51-4]
*336-52. Fz.KefiWconx . Q, R, S, T ек. хе(Г(б IR) Г) (Г(5 | T) . э :
(б IR) VK (S 1T). H. (5 ‘R‘x) (5‘Ka) (Q'T‘x)
Доказательство.
F . *336-371 . э
F:.Hp.3:(6|R) Vk(S |Т).г.(зР).Река.б‘Р‘х=Р‘5‘Г‘х^ (1)
F. *330-56 . э F Hp. P e ка . d : Q'R'x = P‘S ‘T'x. =. Q‘R‘x = S ‘P‘T‘x.
[*71-362] =.R‘x=6‘5‘P‘7’lx.
[*330-54-56] s.R‘x = S‘Q‘P‘T‘x.
[*71-362. *330-5] s.^'R'x^P^'P'x (2)
F . (1). (2). э F Hp. э : (б IR) Vk (5 ID • = • (Я P) • P e Ka . 5 ‘R‘x = P‘6‘T‘x.
[*41-11] =. (S *R‘x) (i‘Ka) (Q‘T‘x)э F . Prop
*336-53. Fz.KePWconx . M, NeiQ. z>: MVKN. = . N VK M
Доказательство.
F . *330-5-54 . э
F:.Hp.o:6,^5,TeK.Af =Q\R.N = S | 7. ne 5‘C“k . x= 6‘R‘S‘T‘a. э.
E!M‘x.E!N‘x.E!iW‘x.E!N‘x (1)
Principia Mathematica III
*336. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
375
F.(1). *336-52 . э F Нр (1). э : MVKN. =. (S lKlx) (j‘Ka) (G‘T‘x).
[*330-5] = . ‘x) (j‘Ka) (Т‘£Гх).
[*336-52] =.(T\S)VK(R\Q)-
[Hp] = .NVKM (2)
F . (2). *331-12 . э F . Prop
*336-54. F : ке FM conx. . D“k = СТ‘к. d .
VK = MN {M,Nek^: fa Г). T ek# . M = T \ N}
Доказательство.
F . *334-46 . э F Hp . M, N e kl . d :
(g T,x) .Tek#.M1x = T'N'x. = . (g T). T e . M = T | N (1)
F. (1). (*336-01). dF. Prop
*336-6. F : к e FM conx . d . VK- G J
Доказательство.
F . *331-23 . э F Hp . э : MVKN. э . (gx). M‘x ЛГхэ F . Prop
Заметим, что в силу соглашений, принятых и разъясненных в *14,
“ЛГх/ЛГх” влечет за собой E!M‘x.E!N‘x. Из “(gx). ~ (М‘х = N‘x)” мы
не можем вывести М N.
*336-61. F : кеЯИсопх trs . э . VK etrs
Доказательство.
F. *330-612 . э F : Нр . L,M,NeKt. э .g ! (ГЬПСГМ nOW (1)
F . *336-371 . э F : Hp . LVKM. MVKN .ac^LQ (FM П GW . э .
(L‘a) (s‘Ka) (M‘a). (ATa) (5‘Ka) (N'a).
[*334-14] э . (L‘a) Cs‘Ka) (N‘a).
[(*336-01)] z>.LVKN (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*336-62. F : к e FM connex . э . VK e connex
Доказательство.
F. *330-61 . oF:Hp. L,MtKL.o.g JCTLOCTM (1)
F . *334-24 . э F Hp . L, M e kl . a e G‘L П Q.'M. z>:
L‘a = M‘a . V . (Z/a) (s‘Kd) (M‘d). V . (M'a) (s‘Kd) (L‘a) :
[*331-42 . (*336-01)] э : L = M . V . LVKM . V . MVKL (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 336-63. F : к e FM sr . э . VK e Ser [*336-6-61-62]
* 336-64. F : keFMst . э . UK e Ser [*336-63]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
376
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
* 337. Кратные и доли 31 векторов
Краткое содержание *337.
Настоящий параграф посвящен аксиоме Архимеда и аксиоме делимости.
Пусть к —семейство векторов; тогда к подчиняется аксиоме Архимеда, ес-
ли для любых двух заданных точек х, а из поля к и любого вектора 7?,
являющегося элементом к, найдется некоторая степень 7?v вектора R такая,
что Rv‘a дальше, чем х. Иначе говоря, к удовлетворяет аксиоме Архимеда,
если, начиная с любой заданной точки поля, достаточное конечное количе-
ство повторений любого заданного вектора приведет нас за любую другую
заранее заданную точку. Достаточным условием для этого является сери-
альность к и полу-Дедекиндовость Cnv^Ka (ср. *214), т. е.
* 33713. Н к е FM sr . Р = 54Ка . Р е semi Ded . R е . а е С‘Р. э :
хеС'Р.э.(з v) .veNC ind - l‘0 . xP (Rvia)
Гипотеза Р = 5‘ка, используемая в данном предложении, представляет
собой удобное обозначение. Дело в том, что 5‘к^ является серией с обрат-
ным порядком по сравнению с обычным; поэтому указанное выше отноше-
ние Р вводится с целью избежать серьезных усложнений.
Говорят, что семейство к подчиняется аксиоме делимости, если для лю-
бого заданного вектора 7?, являющегося элементом к, и любого индуктив-
ного кардинала v, отличного от 0, найдется такой элемент L из к, что
Ly =R. В случае, когда аксиома выполняется, любой вектор может быть
разделен на любое заранее заданное конечное число равных частей. В сле-
дующем параграфе (*351) мы определим “делимое семейство”32, для ко-
торого имеет место данная аксиома, и обозначим его “T^Msubm”. Сейчас
же мы постараемся найти условие на j‘Ka, из которого данное свойство
может быть выведено. Таким условием будет сериальность, компактность
и пол у-Дедекиндовость Cnv‘j‘Kd; т. е. мы имеем
* 337-27. h :. KtT'Msr . Cnv‘j‘Kd e comp П semi Ded . d :
5 e к. v e NC ind - Г0 . z>. (3 L). L e к. 5 -Ly
Для доказательства берутся две точки а, х из поля к такие, что а пред-
шествует х, и рассматривается класс
k = Kan^{(7?vta) Рх],
т. е. класс таких векторов, что v повторений этих векторов, начинающихся
с а, не ведет нас дальше х. Легко показать, что, если серия Р компактна,
данный класс не содержит максимума (*337-23) и, следовательно, если Р
также полу-Дедекиндова, данный класс имеет предел, v-я степень которого
есть вектор, ведущий от а к х (*337-26). Отсюда и следует интересующий
нас результат.
31 В оригинале — sub-multiples. Возможен перевод этого термина как “подкратные”,
как это было сделано ранее в этой главе. — Прим, перев.
32 В оригинале — sub-multipliable family. — Прим, перев.
Principia Mathematica III
*337. КРАТНЫЕ И ДОЛИ ВЕКТОРОВ
377
*3371. F : KeFM. Р = . Re к$ . аеС'Р. э Р'Ч&а
Доказательство.
F . *90-16 . *41-141 . э F : Нр . xR* a .y = R'x. э .у е~$*'а . xPy
[*37-1] э . хеР'Ч&а : э F . Prop
*337-11. F : кeFMconnexasym . P = s'k#.Refy. aeC'P. э . seqp‘l?*‘a = A
Доказательство.
F . *206-15 . э F : Hp . э . seq/7?*‘a = р“*Р'ч1*'а - P“p'*P“~&*'a (1)
F . *330-542 . *40-61 . э F : Hp . xeр“*Р“~Й.*'а . э . xeD‘Z? .
[Hp] z>. (gc). x -R'c. cPx (2)
F . *90-172 . э F :. d . R'ce~$*'a (3)
F . (3). Transp . *200-5 . *334-5 . э F : Hp (2). x = R'c . z>. c ~ e/?* 'a (4)
F . *37-1 . э F : сеР'Ч&а . э . (gZ?). bel&a . cPb (5)
F . (5). *208-2 . э F : Hp . c e P' % ‘a . x = /Гс. z> . (gZ?). b el?* 'a. xP (R'b).
[*90-172] э.хеР“1?*‘а (6)
F . (6). Transp. *200-53 . d F : Hp (2). x- R'c. d . с ~ e Р“~Й.*'а (7)
F . (4). (7). *202-502 . *334-24 . э F : Hp (2). x = R'c . э . с e р'1>1ч1* 'a (8)
F . (2). (8). э F : Hp (2). э . x e P' lpl<Pl % 'a (9)
F . (1). (9). э F . Prop
*337-12. F : KeFM st . P= s'k# . Pe semi Ded .ReK$ . aeC'P . d . Р'Ч&а - C'P
Доказательство.
F . *337-1 . э F : Hp . э . ~ 3 ! .
[*205-7] э.~а !та^р‘Р“^*‘а (1)
F. (1). *206-33 . *337-11 . э F : Hp. э. ~ a ! seqp‘P“^*‘a (2)
F . (1). (2). *214-7 . э F. Prop
*337-13. F KeFMsr. P = s'k# . PesemiDed .ReKa . aeC'P. э :
xe C'P. э. (a v). v eNC ind - i‘0. xP (Pv‘a) [*337-12 . *301-26]
*337-14. F : к e FM sr. P — s'Kg . P e semi Ded. э . UK e semi Ded
[*336-462 . *214-74-75]
*337-2. FiKeEWconx . LUKR .R p I [ j‘Q“k . э . LUK (R | L)
Доказательство.
F. *336-41 . z>F:Hp. э . (aP) . L, Рек. T ека . L = T |P.
[*330-31] z>. (aT). Teка .P|L = T ,L^T\R.
[*13-195] D.P|LeKa.L = (P|L)|P.
[*330-5 . *336-41] э . LUK (R | L): z> F . Prop
*337-21. F : ке FM conx Cl FM trs. P ека .veNC ind -1‘0 - i‘l. э . RVUKR
Доказательство.
F . *334-162 . *301-23 . э F : Hp. э . Pv = Pv~<d | P (1)
F.*334-131. э F : Hp. э . P,Pv,Pv-cl ека (2)
F . (1). (2). *336-41 . э F . Prop
*337-22. F : к e FM sr. P = i‘Ka . P e comp . aPx .veNC ind -1‘0. э .
Доказательство.
(ЭР).Рек. (Pv‘a) Px
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
378
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
к . *270-11 . э к : Нр . э . (gy). аРу . уРх .
[*4111] z>.(^R,y).ReK^.y = R‘a.(R‘a)Px (1)
к . (1)^—. эк :Нр .ReKo • (Rv‘a)Px. э . (g5) .5 . (S‘Rvta)Px (2)
а
к . *336-64 . э к Нр (2). S е Ко . (S‘Rv‘a) Px.z>-.R = S .V . RUKS . V .SUKR:
[*336-511-4] z>: R = 5 . V . (Pv+-d ‘a) P (SlPv‘a). v . (5v+^ ‘a) P (S <Rv‘a) (3)
I-. (2). (3). *334-3 . э F: Hp (2). э. (g5). 5 s . (Sv+^ ‘a) Px (4)
F. (1). (4). Induct. z> F. Prop
*337-23. F : Hp *337-22 . X = ПЯ {(Pv‘a) Px}. э . X = UK“X
Доказательство.
F. *336-511 . DF:Hp.PeX.5#KP. э. (Sv‘a) P(Rvta). (Rv‘a)Px.
[*334-3. Hp] =>.SeX (1)
F.*337-22. oF:Hp.PeX. э . (gS). 5 ek^ . (Sv>Rvla)Px.
[*330-57-5 . *334-13] z>. (gS). R | S e к*. {(R15) v‘a] Px.
[*336-41] э . (g5). R15 e . {(P 15) v‘a) Px. RUK (R\S).
[*37-1] э.РеС\“Х (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*337-24. F : Hp *337-23 . L = tl (C/K)‘X. э . ~ {(Lv‘a) Px}
Доказательство.
F . *206-2 . э F: Hp. э . L ~ e X.
[Hp] э. ~ {(Lv‘a) Px}: d F . Prop
*337-241. F : Hp *337-24 . э. ~ (xP(Lv‘a)(
Доказательство.
F.*337-2-23. z>F:Hp.PsX. z>.R\Le'k.
[*332-53-241 .*334-131] z> .R | LeX . (P | E)v = RV | Lv .
[Hp] D.(Pv‘Pv‘a)Px.
[*71-362 .*41-11] D.(Lv‘a)P(Pv‘x) (1)
F . *337-23 .z>F:Hp.7?EK3-X.D.~ {LUKR}.
[*336-511] z>.~{(Pv‘a)P(Lv‘a)|.
[*330-5 . Hp. *334-14] э . ~ {(Pv‘x) P (Lv‘a)} (2)
F.(l).(2). =>F:Hp. o.~(g/?).7?EKa.(Pv‘x)P(Lv‘a).
[*337-22 . Transp] э . ~ {xP (Pv‘a)J: э F . Prop
*337-25. F : Hp *337-24 . э . Lv = к] Aa‘x
Доказательство.
F . *337-24-241 . э F : Hp . э . Lvta = x: => F . Prop
*337-26. F: Hp *337-23 . P e semi Ded . э . {tl (I7K)‘X)v = к ] Д/х
Доказательство.
F. *337-21. э F :. Hp. z>: РеХ . z>R . (P‘a)Px:
[*336-4] э:к] Д,‘хЕр‘С^“Х (1)
F . (1). *337-23-14 . э F : Hp . э . E ! tl (t/K)‘X (2)
F . (2). *337-25 . э F . Prop
*337-27. F :. ke FM sr. Cnv‘‘e comp Cl semi Ded. э:
S eк.veNCind-i‘0.D.(g L).LeK.S =LV [*337-26]
Principia Mathematica III
ГЛАВА 3.
ИЗМЕРЕНИЯ
Краткое содержание главы 3
В настоящей главе “чистая” теория пропорций и вещественных чисел,
развитая в главе 1, применяется к вектор-семействам. Вектор-семейство,
если оно обладает подходящими свойствами, может рассматриваться как
вид величины. Для того чтобы вывести из “чистой” теории пропорций тео-
рию измерений, обладающую желательными для нас свойствами, необхо-
димо ограничиться каким-то одним вектор-семейством; т. е. вместо общего
отношения X, где X — некоторая пропорция, мы будем рассматривать отно-
шение X С к, где к — соответствующее вектор-семейство, или же X £ или
же иногда X £ (к U Cnv“к).
Исследуя пропорции, поля которых таким образом ограничены и кото-
рые можно назвать “прикладными” пропорциями, мы должны доказать
ряд различных предложений.
(1) Никакие два элемента семейства не должны обладать двумя различ-
ными пропорциями. Это доказывается для открытого и связного семейства
в *350-44.
(2) Все пропорции, за исключением 09 и должны быть одно-одно-
значными отношениями, когда ограничены одним семейством. Это доказы-
вается для открытого и связного семейства в *350-5; при тех же предпо-
ложениях 0q одно-многозначно (*350-51).
(3) Относительное произведение двух прикладных пропорций должно
быть равно арифметическому произведению соответствующих чистых про-
порций, поле которого ограничено, т. е. если X, Y — пропорции, то мы долж-
ны иметь
или
X [к|У [к = (Хх^У) [к
XfKjy [KL = (Xx,y)[Kt.
380
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
Таким образом, две трети от половины фунта сыра должно равняться
(2/ЗхД/2) фунта сыра; аналогично в любом другом случае. Для любого
открытого связного семейства мы имеем (*350-6)
Х^У ^(Хх^Ик,
но чтобы вместо включения имело место равенство, необходимо (*351-31),
чтобы к обладало свойством “делимости”, т. е. чтобы для любого элемен-
та R семейства к и любого ненулевого индуктивного кардинала v нашелся
такой элемент семейства к, v-я степень которого есть R. Класс таких се-
мейств обозначается “/*Msubm” и рассматривается в *351.
(4) Если X, Y — пропорции, а Т — элемент семейства к, то должно иметь
место
(X £ к‘Т) | (У [ к‘Т) = (Х+,У) £ к‘Т),
т. е. две трети фунта сыра вместе с половиной фунта сыра должно рав-
няться (2/3+Д/2) фунта сыра; аналогично в любом другом случае. Как
показано в *351-43, это свойство верно для любого открытого делимого
семейства, содержащего все степени своих элементов. В любом открытом
связном семействе, если /?, 5, Т е к, то
RXT .SYT.^.(R 15) (Х+5У) Т (*350-62).
Остальные предположения *351-43 требуются, чтобы доказать, (а) что
X [к‘Т, У [к'Т и (Х+5У) [к‘Т существуют, (б) что (X [к‘Т)|(У [к‘Т), будучи
представлено как R15 в *350-62, является элементом к. В случае примене-
ния к kl мы должны взять представитель (ср. *332) относительного про-
изведения; если LeKi, то имеем (*351-42)
rep/{(X [ kl‘L) | (У [ Kt‘L)} = (Х+5У) I <L
при условии, что к открыто, связно и делимо.
Тот факт, что вышеприведенные предложения могут быть доказаны
для подходящих вектор-семейств, является причиной изучения таких се-
мейств, что мы и делали в главе 2. Доказательство данных предложений
вместе с другими элементарными свойствами прикладных пропорций за-
нимает два первых параграфа настоящей главы.
Далее (*352) мы переходим к изучению всех рациональных кратных
данного вектора в данном семействе, т. е. всех элементов данного семей-
ства к, которые находятся к данному вектору Т в пропорции, являющейся
элементом С'Н', или, что то же самое, всех элементов семейства к, которые
находятся к Т в пропорции, являющейся элементом C‘HS. В силу *307, ес-
ли R и 5 находятся в пропорции X, являющейся элементом С‘Н', то R и S
находятся в соответствующей отрицательной пропорции X | Cnv. Элементы
семейства к, которые находятся к Т в пропорции, являющейся элементом
С‘Н', суть те векторы Я, для которых мы имеем
(ЭХ).Х€С‘Я' .RXT,
т. е., используя обозначения *336, те векторы, для которых имеет место
(яХ).ХеСТ/' .RATX.
Таким образом, они образуют класс кС\Ат“С‘Н'.
Пусть Тек; тогда вектор, находящийся в пропорции X к Т, есть
к”| Ат‘Х. Это —вектор, имеющий меру X, если Т — единица. Таким образом,
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
381
к] Аг f C‘Hf является коррелятором вектора с его мерой. Легко доказать
(*352-12), что к] Ay- \С'Н' одно-однозначно.
Векторы, являющиеся рациональными кратными Г, можно упорядочить
в серию, установив соответствие с их мерами и поставив векторы с мень-
шими мерами перед векторами с большими мерами. Тогда отношением по-
рядка будет Тк, где
Тк = к1 Ат ; Н' Df.
Аналогично этому элементы к;, являющиеся положительными или отри-
цательными рациональными кратными Т, можно упорядочить с помощью
отношения Тц, где
^ = KjAr’Hg Df.
Мы докажем, что смена единиц не влияет на Тк, т. е. если 5 — любой эле-
мент к, рационально кратный Т, то SK = TK (*352-45). Соответствующее
предложение имеет место и для Гц, если 5 находится в положительной про-
порции к Г, но если 5 — отрицательная пропорция, то 5^ = (*352-56-57).
Если к —сериальное семейство, то Тк —обращение UK (*336) с полем,
ограниченным рациональными кратными Т (*352-72). Данное предложе-
ние связывает обобщенное отношение вида больше и меньше, представлен-
ное UK, с отношением больше и меньше, выведенным из отношения больше
и меньше на мерах векторов, так как оно показывает, что в сериальном се-
мействе векторы, имеющие большую меру, появляются позднее в серии UK,
а векторы, имеющие меньшую меру, располагаются раньше.
Далее (*353) мы приступаем к изучению “рациональных” семейств. Это
семейства, в которых каждый элемент есть рациональное кратное некото-
рой единицы Т, т. е. в которых
(дТ). Т ека . кс АТ“С‘Н'.
Очевидно, в любом заданном семействе рациональные кратные любого эле-
мента этого семейства образуют рациональное подсемейство. В рациональ-
ном семействе для измерения достаточно рациональных чисел иррацио-
нальные числа не нужны. Если семейство обладает связанностью, оно бу-
дет сериальным; действительно, если Т — один из векторов этого семейства,
а —элемент его поля, то имеет место (*353-32-33)
UK = к 1 Ат 5 Н ’. 5‘к<э - Аа 5 к 1 Ат 5 Н ’.
Таким образом, и 5‘к^ ординально подобны Н’ [Аг“к. Если к делимо,
то 17к ординально подобно Н' (*353-44).
Далее (*354) мы рассматриваем “рациональные решетки”, играющие
важную роль в связи с введением координат в геометрии. Рациональная ре-
шетка получается из данного семейства, грубо говоря, путем выбора векто-
ров, являющихся рациональными кратными данного вектора, и затем — пу-
тем ограничения полей этих векторов на те точки, которые можно достичь
при помощи данных векторов из некоторой заданной точки. Более точно
это можно сформулировать следующим образом: Назовем “связностью” а
по отношению к к класс Аа“к^ т. е. все точки, которые можно достичь
из а посредством элемента семейства 1Q. Далее определим “а-связную про-
изводную к” как класс отношений, получаемых ограничением поля каж-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
382
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
дого элемента к на связность а по отношению к к. Этот класс отношений
мы обозначим схд‘к, полагая
СХ^/К — [ (Aa“Kt)“K Df.
Чтобы получить рациональную решетку, возьмем вместо к все рацио-
нальные кратные (в к) данного элемента Т из к, т. е. С‘ТК. Тогда сХо‘С‘Тк —
рациональная решетка, а именно рациональная решетка, ассоциированная
с началом а и единичным вектором Т.
При доказательстве предложений о рациональной решетке сХо‘С‘Тк нам
часто будет требоваться гипотеза о том, что к есть группа. Чтобы избежать
применения данной гипотезы к нашему исходному семейству, мы сконстру-
ируем родственное семейство, всегда являющееся группой, как только к
связно. Такое семейство, обозначаемое Kg, получается из к включением об-
ратных к тем элементам из к, если таковые имеются, области которых
совпадают с их обратными областями, т. е. мы полагаем
Kg = kU Cnv“(KO &‘$‘П“к) Df.
В таком случае, если к —связное семейство, то и Kg —связное семейство,
являющееся группой (*354-14-16), причем (к^)1 = к1 (*354-15). Полагая то-
гда k = Kg, будем рассматривать рациональную решетку сХд‘С‘7\ вместо
сХа‘С‘Тк. Если к —открытое и связное семейство, данная рациональная ре-
шетка является открытым, связным, рациональным, транзитивным и асим-
метричным семейством (*354-41).
Далее (*356) мы переходим к применению вещественных чисел к век-
тор-семействам. Для применения вещественных чисел существенно, чтобы
наше семейство было сериальным. Пусть некоторый заданный вектор 5
данного сериального семейства есть предел (в серии 1/к) множества векто-
ров, являющихся рациональными кратными другого вектора R; тогда есте-
ственно взять в качестве меры 5 с единицей R предел мер векторов, предел
которых есть 5. Удобно представлять вещественные числа в относительной
форме, данной в *314, т. е. если § —сегмент Н, то в качестве соответствую-
щего вещественного числа возьмем Таким образом, положительные ве-
щественные числа образуют класс 5“С‘0, в то время как положительные и
отрицательные вещественные числа вместе с нулем образуют класс s“C‘0g.
Если §еС‘0, то вектор, который находится к R в пропорции, являющейся
элементом имеет меру, меньшую, чем Класс всех таких векторов
есть т. е. где X = Предел таких векторов в серии 1/к, если
он существует, естественно принять в качестве вектора с мерой X. Вспоми-
ная, что UK упорядочен от больших к меньшим векторам, мы видим, что
первым вектором, большим каждого элемента будет нижний предел
Jt'R по отношению к UK. Следовательно, если использовать обозначение
XK‘R для вектора, мера которого при единице R равна X, то
XK‘R = prec .
Следовательно, мы можем принять в качестве определения Хк
Хк = ргес(1/к)|^ [к Df.
Таким образом, Хк есть “прикладное” вещественное число.
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
383
Почти все доказываемые свойства относительно прикладных веществен-
ных чисел предполагают, что соответствующие семейства сериальны и де-
лимы, а большинство из них —также что Cnv4‘K^ по л у-Дедекиндово. В та-
ком случае мы можем доказать, что если X, Y es “С‘0, то Хк [к одно-одно-
значно и, при различных предположениях,
(X [ к) | (У [ к) = (ХхгУ) [ к (*356-31),
Хк|Ук = (ХхгУ)к (*356-33),
(ХК‘Я)|(УК‘Я) = (Х+ГУ)К7? (*356-54).
Все это — существенные свойства, требуемые от меры, так же как и в ана-
логичном случае —от пропорций.
Можно рассматривать также “вещественные” кратные данного вектора
и “вещественные” решетки. Однако данные объекты значительно менее ин-
тересны по сравнению с аналогичным рациональным случаем и поэтому
не обсуждаются.
Глава завершается (*359) теоремами существования для вектор-
семейств. Наиболее важные из них выводятся из рациональных и веще-
ственных чисел. Семейство, элементы которого имеют вид (+5Х) [С‘Н', где
ХеС'Н', инициально, сериально и делимо (*359-21). Семейство, элементы
которого имеют вид (+р ц) [ С‘0', где цеС‘0', инициально, сериально,
делимо и обладает свойством Cnv‘s‘Kd = 0', так что Cnv‘еsemi Ded
(*359-31). Наконец, мы доказываем, что свойства семейств не затра-
гиваются применением корреляторов, откуда следует, что для любой
заданной серии Р, реляционное число которой есть 1+ц или же 0', где
0' +1 =0, найдется инициальное сериальное делимое семейство к такое,
что Cnv‘5‘Ka = P. Такое семейство может быть использовано для измерения
расстояний в Р.
Любопытно отметить, что в подходящем семействе к пропорции, поля
которых ограничены на Ка, образуют семейство, поле которого есть к^.
В этом семействе нулевым вектором является (1/1) и это семейство
связно, если к — рациональное семейство. Чтобы получить сериальное се-
мейство, необходимо ограничиться пропорциями, не меньшими, чем 1/1,
т. е.
Это семейство сериально, и, обозначив его X, мы будем иметь (при соот-
ветствующем предположении)
5 = UK [ Ка •
Если мы должны получить семейство, необходимо, однако, чтобы исходное
семейство было делимым, так как в противном случае мы не обязательно
имеемП‘Х = По этой причине мы не можем использовать семейство
пропорций, не теряя очень часто общность в формулировках теорем.
Теория измерения, развиваемая в настоящей главе, применима толь-
ко к открытым семействам. Применение пропорций к циклическим семей-
ствам значительно сложнее и рассматривается отдельно в главе 4.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
384
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
* 350. Пропорции элементов семейства
Краткое содержание *350.
В настоящем параграфе мы не вводим новых определений, а лишь сво-
дим вместе предложения параграфа *303 по чистой теории пропорции и
предложения параграфа *333 о степенях векторов в открытых связных се-
мействах, особенно *333-47-48. Таким образом мы обнаружим, что если не-
открытое связное семейство, а ц, v — индуктивные кардиналы, оба не рав-
ные нулю, то
Л/{(p/v) [kJW. = .^^€^.3 !ЛГ (W. (*350-4)
= . M,N. rep^M^ = repKiNy' (*350-41),
в то время как если /?, Т — элементы к, то
R (р / v) Т . = . Ry = П. (*350-43).
Мы докажем также, посредством *333-53, что если L и М суть элементы
Kt, отличные от I Г 5‘С“к, то они не могут находиться более чем в одной
пропорции, т. е.
* 350-44. НкеЯИарсопх .X, УеСЯ'-я \Х [ки9.э.Х=У
Далее мы доказываем, что любая пропорция, отличная от 0g и оо^, ста-
новится одно-однозначным отношением, когда ее поле ограничивается на kl
(*350-5), в то время как 0g становится одно-многозначным (*350-51), а оо^ —
много-однозначным (*350-511), причем 0g на самом деле является пропор-
цией нулевого вектора I Г 5‘G“k к произвольному элементу к1? а оо^ — об-
ращением 0g.
Далее мы рассмотрим умножение и сложение пропорций, однако в этом
вопросе мы не сможем доказать некоторые из основных теорем без предпо-
ложения о делимости нашего семейства (введенного в *351). В настоящем
параграфе мы докажем, что если к — открытое связное семейство, а р, v —
индуктивные кардиналы, отличные от нуля, то
(р/ 1) £ 1Q|(1 /v) [KtGCp/v) [Kt (*350-53),
(1 / V) Г к, I (И / 1) t Ке = (И / V) t IQ (*350-54),
(и / 1) Г Ке I (v / 1) С Ке = {(И хс V) / 1} [ IQ (*350-55),
И (1 /и) tKe|(l /V) tKe = {l /(HXC.V)} tKe (*350-56).
Следовательно, мы находим, что если X и У —пропорции, отличные от 0g
и оо^, то
X С к, | У [ kl G(Xxgy) С q (*350-6),
а если к тому же, Я, 5, Г —элементы к, то
RXT .SYT . э . (Я 15) (Х+^У) Т (*350-62),
и если L, М, N — элементы ки то
LXN. MYN. э . repK‘(L I М) (Х+^У) N (*350-63).
Затем мы докажем аналогичные результаты для вычитания, и, в кон-
це концов, придем к следующему предложению относительно обобщенного
сложения положительных или отрицательных пропорций:
* 350-66. НкеЯИарсопх . L,M,Ncq . X, У eC‘Hg . LXN . MYN .э .
rep/(L|M) = (X^y)[KlW
Principia Mathematica III
*350. ПРОПОРЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ СЕМЕЙСТВА
385
*350-1. I-: кеТЗИар . э . Kt cRelnumid . cRelnum
Доказательство.
F. *333-101 . э F : Нр . LeK^ . э . Le 1 -» 1 .L^gJ (1)
I-. (1). *300-3 . э I-: Hp . d . c Rel num (2)
I-. *333-1-101 . э F : Hp . LeKt - iq . d.LgZ.
[*300-325] э. L e Rel num id (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*350-2. I-: к e FM ap conx . g ! . э . Infin ax
Доказательство.
I- . *330-624 . *333-15 . □ FHp . L e • э : A ~ e finid‘L:
[*121-11-12] э : veNC induct. dv . (gx,j). L(xHy) e v +C1 :
[*120-3] z>: Infin ax э F . Prop
* 350-21. F : g ! FM ap conx - 1. э . Infin ax [*334-18 . *350-2]
* 350-31. F к e FM ap conx . p,, v e NC ind -1‘0. M, N e к^ . э :
M(p/v)A. = .g !WW
Доказательство.
F . *303-1 . (*302-02-03). *113-602 . z>
F :: Hp . э M (p / v) N. = : (gp,o, x). p Prm о. x eNC ind -1‘0.
p = p xc x . v = oxc x . g ! Ma h Ap . p / 0 . о / 0:
[*333-48] = : (gp,o,x). p Prmo.xeNC ind -1‘0. p /0 . a/0.
|A = p xc x . v = oxc x : g ! Mv h :
[*113-602 . (*302-02-03)] = : (gp,a). (p, a) Prm (n,v):g !Г fW:
[*302-36] = : g ! Mv П № :: z> F . Prop
* 350-32. F Hp *350-31 . э : M (p, I v) N. = . repK‘AT = repKWp
[*350-31 . *333-47]
* 350-33. F ке/чМар conx . p,, veNC ind -1‘0 . M = I f 5‘G“k. AeKt. d :
M(p/v)A . = .M = N. = . g ! ЛГ
Доказательство.
F . *301-3 . *333-2 . э F Hp . э : оeNC ind -1‘0. э. Ma = M (1)
F . (1). *303-1 . z>
F Hp. э : M (p, / v) N. = . (gp,o). (p, o) Prm (p, v). g ! M h № .
[*333-101] = . (gp,o) • (p, o) Prm (pt, v). M - N.
[*302-36] = .M = N. (2)
[(1). *331-42] =.д!Гп^ (3)
F . (2). (3). э F . Prop
* 350-331. F ке FM ap conx . p, veNC ind -1‘0 . Mек;. N = I [ 5‘G“k . э :
M(p/v)A . = .M = N . = .g !ЛГ [*350-33 . *303-13]
* 350-34. F ке FM ap conx .veNC ind - i‘0. M, Ne iq . э :
M (0 / v) N . = . M = I IVCTk
Доказательство.
F. *303-151 . oF:.Hp.o:M(0/v)A. = .MG/.g !C‘MnCW.
[*330-43-61] = . M = IГ s‘CI“k э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
386
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*350-35. hк е FM ар conx . v е NC ind - i‘O. М, N е iq . э:
M(0/v)N . = .^ !ЛГ ПМ>
Доказательство.
F. *301-2 . э hНр . э : з ! W n7V° . = . а !ЛГП7 [5‘Q“k.
[*333-101 . *331-12] = .М = 1 [ 5‘Q“k (1)
k . (1). *350-34 . z> I-. Prop
*350-351. I-к е УМ ар сопх . peNC ind -1‘0. э :
М (0 / v) N . =. N = I f s‘Q“k [*350-35 . *303-13]
*350-4. h ке FM apconx . p, veNC ind . ~ (p = v - 0). э :
M {(p I v) t kJ N. = . M, N e Kt. a ! ЛГ Л [*350-31-33-331-35-351]
*350-41. I-Hp *350-4 . z> : M {(p / v) [ kJ N. =. M, N e iq . герк‘ЛГ = repKW
Доказательство.
I- . *332-243 . *301-3 . э I-: Hp. M = 1 [ 5‘Q“k . z> . герк‘ЛГ = M (1)
Ь. (1). *350-33-331-32 . э F. Prop
*350-42. Ь Нр *350-4 . Q, R, S, Т ек. э:
(O|7?)(p/v)(5|T). = .0v|7?v = .5qT'1 [*350-41 . *332-53]
*350-43. I-Нр*350-4.7?, Тек. z>:7?(р/v) Т . =.7?v = Тр
Г ПГЛ A<j Г f 5‘а“К,
[*350-42———-------1—-----]
к/, о
*350-44. И: ке ЛИ ар сопх .Х,УеС7Г !Х [к^ПУ [к^.э.Х = У
Доказательство.
F . *350-4 . э F : Нр. э. (дДЛ/, р, v, р, о). L, М е к# .
Й!Л°ПМР .д!ГПМи .Х = ц/у.У = р/о.
[*333-53] э . р хса = vxcp.X = p/ v.y = p/ o.
[*303-39] э . X = У: э F . Prop
*350-5. F: к е FM ар сопх . ц, v е NC ind - i‘O. э . (ц / v) [ Kt е 1 —» 1
Доказательство.
F . *350-41 . э F:. Нр . э :
L,МЛeKt.L(|i /v)A(. А/(|А /v)N. □ .герк‘Г = repK= герк‘ЛГ .
[*333-41] э.Л = М (1)
F . (1). э F : Нр . э . (ц / v) [ 1Q е 1 —» Cis (2)
Аналогично F : Нр . э . (ц / v) [ kl е Cis —»1 (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*350-51. F : KeFM ap conx .veNC ind - i‘0. э .
(0/v) [Ktel-^Cls.a‘(0/v) [Kt = Kt.D‘(0/v) [Kt = i7fs‘a“K [*350-34]
*350-511. F : Hp *350-51 .э.
(v/0) tKteCls-> l.D‘(v/0) [Kt = Kt.a‘(v/0) [Kt = i7H‘Cr‘K
[*350-51 . *303-13]
*350-52. F : к e FM ap conx . X e C'H. z>. X [ Kt e 1 -> 1
1*350-5 . *304-34 . *333-2]
*350-521. F : ке FM ap conx . X e CH'. э . X [ kl e 1 -> Cis
[*350-52-51 .*303-1]
Principia Mathematica III
.350. ПРОПОРЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ СЕМЕЙСТВА
387
*350-53. F : Нр *350-5 . э. {(и / 1) [ kJ | {(1 / v) [ к) G(p / v) [ к.
Доказательство.
F. *350-4. эННр .ZJGi/IHkJM.MKI/vHkJALd.
ДАДАГек^а !£ПЛ/>*.а
[*333-48] э. L, М, N е Kt. а ! Lv Л АДХсУ . а ! М1 П М^ .
[*333-47] э. L, М, N е к,. герк‘Д = repK‘A/tlXcV = repK‘A^.
[*350-41] z>. L{(p/ v) [к} N: э F . Prop
*350-54. F : Hp *350-5 . d . {(1 / v)[ kJ | {(p / 1)[ kJ = (p / v)[ iq
Доказательство.
F . *350-41 . *332-241. z>
F:.HP.d:L[{(1/vHkJ|{(p/1HkJ]AL = .
(3 M). L, M, N e Kt. repK‘Д - M = repK'№ .
[*332-22] = . L, M e iq . repKTv = repK‘M*.
[*350-41] =. L(p / v)Nэ F . Prop
*350-55. F : Hp *350-5 . э. {(ц / 1)[ kJ | {(v / 1)[ kJ = {(ц xc v) / 1Ц
= {(v/ 1) (kJ I {(p / 1) [kJ
Доказательство.
F . *350-4 . z>F :. Hp. d : L[((p/1) [ kJ | {(v / 1)[ kJ] AL = .
(3 Af). Д АД Nck; . а '.МГ}№.
= . (a M). L, M, N e Kt. a ! L Л Mи. M = rep/A^ .
= . HNeKt-a !£Л(герк‘АГ7*.
= . L, N e . L - repK‘{(repK‘Nv)1*.
= . L, Nек,. L = repK‘(Nyf .
= .L[{(vxcp)/lHKjN
(1)
[*333-47]
[*333-21]
[*333-47]
[*333-24]
[*350-41 . *301-5]
F . (1). *113-27 . z>F . Prop
*350-56. F : Hp *350-5 . э . ((1 / p)[ kJ | {(1 / vH kJ = (1 / (p xc v))[ Kt
= {(1 / v) [ IQ) | ((1 / pH kJ [*350-55 . *303-13]
*350-6. F : кe FM ap conx . X, Y eC'H. э . (X [ kJ | (У [ kJ G(XxgY) [X
Доказательство.
F . *304-34 . э
F : Hp. э. (ap, v, p, o). p, v, p, оeNC induct -1‘0. X = p / v. Y = p / о (1)
F . *350-54 . э F: к e FM ap conx . p, v, p, о e NC induct -1‘0. э.
{(H / vH kJ I {(p / oH kJH(1 / v)( kJ | {(p / 1H kJ | {(1 / oH kJ I {(p / 1H kJ
[*350-53-54] G{(1 / v) [ к] | {(1 / oH Kt] | {(p/ 1) [ kJ | {(p / 1) [ kJ
[*350-56-55] G (1 / (v xco)} [ Kt | {(p xc p) / 1} [ Kt
[*350-54] c{(p xc p) I (v xco)} t Kt
[*305-14] Glp/vXjp/o) [Kt (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*350-61. F кеЛИарсопх . XeC'H. э : M = (X [kJW . = .N = (# [k,)‘M
[*350-52]
*350-62. F : к e FM ap conx . X, Y e C‘H'. э: R, S, T e к. RXT .SYT.?.
(R\S)(X+gY)T
Доказательство.
h . *350-43 .oh: Hp . X = |A / v . Y = p / о . э .
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
388
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
[♦301-5] э . RvXc° = Т^с° . SyXc° - TvXt₽ .
[*330-57] э . (R15) vXc° = T’(hXco)+c(vXcP) .
[*350-41 . *306-14] э . (R | S) (X+CY) T: э I-. Prop
*350-63. НкеЯИарсопх .X,Y eC'H. z> .L,M,N ек.-LXN. MYN .z>.
{repK‘(L|A/)}(X+,r)N
Доказательство.
I- . *350-41 . э
I-: Hp .X = p/ v.y = p/ o.o. repK‘£v - repK . repK‘A/° = rep/№ .
[*332-81] =>. repK‘LvX‘° = rep/M1^0. repK‘ATxca = rep/AT^P .
[*332-33] э . repK‘(£vXc° | ЛГ^0) = repK W(pX^)+^vX^>.
[*332-8] э. repK‘(£ | M) vXc° = repK W(pXco)b(vXcP).
[*332-82] э . repK‘{repK‘(£ | M)} vX^° = repKW(pX^)+’(vX^>.
[*350-41] э . (repK‘(L | M) | [{(p xco) +, (v xc p)} | (v xco)] N.
[*306-14] =>. {repK‘(L | M)} (X+SY) N: z> I-. Prop
*350-64. I-: Hp *350-63 . XHY. э . {repK‘(Z, | Af)} (У-,Х) N
Доказательство.
I-. *332-15-81 . = h : Hp . repK‘Z,vX^° = Cnv‘(repK‘L) vX^° (1)
Далее аналогично, как в *350-63.
*350-65. I-:Нр *350-62 . э. (R15) (У-Д) Г [*350-64 . *308-21]
*350-66. I-: к е FM ар conx .L,M,N ек^.Х.У eC'Hg.LXN .MYN .=>.
герк‘(£|^И) = (Х+гУ)[к1^
Доказательство.
k . *350-63 . э
H.Hp. W^repK\L\M).z)-.X,YeC‘H .z>.W = (X+gY) [iqW (1)
I-.*350-64. эННр(1).ХеС‘Нп.УеС7/.э. (2)
I-. *350-63 . *307-1 . э b: Hp (1). X, Y e C‘Hn . z>. W = (X+*У) [ Kt W (3)
I-.*350-34 . oh:Hp.X = 0?.3.repK‘(L|M) =M
[*308-51] =(X+gP)[KlW (4)
Аналогично I-: Hp . У = 09 . э. repK‘(£| M) = (X+s^) t Ki'^ (5)
F. (1). (2). (3). (4). (5). эН Prop
Principia Mathematica III
*351. ДЕЛИМЫЕ СЕМЕЙСТВА
389
*351. Делимые семейства
Краткое содержание *351.
“Делимое” семейство характеризуется тем, что в нем любой вектор мо-
жет быть разделен на v равных частей (где v — произвольный индуктивный
кардинал, отличный от 0), т.е. в нем, если Лек, то найдется вектор 5,
который является элементом к, такой, что SV=R. Определение имеет вид
*351-01. fMsubm =
FM СУ к {/?ек. veNC ind - t‘0. . (g 5). S ек. R = 5V} Df
В открытых семействах, а именно такие мы и рассматриваем в настоя-
щем параграфе, вектор S будет единственным при заданных R и v. Однако
в циклических семействах, рассматриваемых в главе 4, имеется v значений
для S. Например, пусть к —семейство углов. Тогда v-я степень вектор-угла
2pjt/v равна 2л при любом целом значении ц, поскольку 2 ц л есть тот же
самый вектор, что и 2л; следовательно, 2цл/у имеет v различных значений,
так как рассматриваемый в качестве вектора любой угол 0 тождественней
0+2л. В настоящем параграфе, однако, указанные усложнения исключены,
поскольку мы ограничиваемся случаем открытых семейств.
В силу *337-27, семейство делимо, если оно сериально и Cnv‘j‘Kd ком-
пактно и полу-Дедекиндово (*351-11).
Когда к —открытое, связное и делимое семейство, при условии и
p,6NCind-t‘O имеем
(Э М). М с iq . герк‘Ми = L (*351-2).
Следовательно, если X —какая-либо пропорция (исключая ooq здесь и всю-
ду далее), то мы имеем
E!X|X‘L (*351-21).
Чтобы получить тот же результат для к, мы должны предположить, что
все степени элементов к сами являются элементами к (*351-22), однако
мы можем получить такой же результат для к U Cnv“к без этого пред-
положения (*351-221), ввиду *331-54, показывающего, что в любом связ-
ном семействе все степени элементов к U Cnv“к сами являются элементами
к U Cnv“K.
В силу вышеприведенных предложений те предложения о произведени-
ях и суммах пропорций, которые формулировались в *350 только как вклю-
чения, теперь формулируются как тождества. А именно, если X, УеС‘Я',
то
(X С кь) | (У t кь) = (ХхсУ) t к; (*351-31),
герк‘{(Х [ к/L) | (У [ K/L)} = (Х+^У) [ к/L (*351-42),
где LeKt; также
герк‘{(Х [ Kt‘L) | (У f кД)} = (Х-5У) [ kCL (*351-45).
Соответствующие предложения для пропорций, ограниченных на семей-
ство к вместо к;, требуют дополнительной гипотезы s‘Pot“KCK, поскольку
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
390
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
данная гипотеза необходима в *351-22; с другой стороны, в аналоге пред-
ложения *351-42 “герк” не появляется, и мы имеем (с вышеуказанной ги-
потезой)
(X [ к4/?) | (У [ к‘Я) = (Х+5У) [ к‘Я (*351-43),
где Re к. Для пропорций, ограниченных на семейство к U Cnv4‘к вместо к,
соответствующий результат может быть доказан без гипотезы 54Pot44KcK
(*351-431). Мы покажем, что гипотеза 54Pot44KCK справедлива, если к —
группа, хотя она может оказаться справедливой и тогда, когда к не явля-
ется группой. Так как транзитивное связное семейство обязательно являет-
ся группой, транзитивное связное семейство всегда удовлетворяет условию
s4Pot44KCK, что уже было доказано (*334-132).
*351-01. И/subm =
ШАк{Яек. veNCind-i40.^tV .(aS).S eK.tf = Sv} Df
*351-1. FKefAf subm . = : ке FM: R e к. veNC ind - i40 . .
(3S).5eK.fl = 5v [(*351-01)]
* 351-101. V-.rIFM subm . z>. Infin ax [*351-1 . *301-16 . *300-14]
*351-11. F : KeEfr/sr. Cnv454Ka ecomp A semi Ded. z>. KeFM subm [*337-27]
*351-2. F кe FM ap submconx . z> : pe NC ind - i40. Le kl . z> .
(Э Af). M e iq . repK‘AfH = L
Доказательство.
F . *351-1 . э F : Hp . p e NC ind - i40. Q, R e к. L = Q | R. z> .
. S ,T ек. Q = .R = T* .
[*332-53] z>. (Э5,Т). S, T e к. L = repK4(5 | 7У : z> F . Prop
* 351-21. F :Hp *351-2 .XeC4H.LeKt.o.E!X [к; 4L
Доказательство.
F . *351-2 . *332-61 . z>
F : Hp . p, v e NC ind - l40 . X = p / v. z> . (g Af). M e Kt. rep/Af4 = repK4Lv .
[*350-41-5] o.E!X[Kt4L (1)
F . *350-34 . z>
F : Hp. p = 0. veNC ind -i40.X = p/v.z>.X [Ki‘L = 7 [ s‘G44k (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 351-22. F : Hp *351-2 . s4Pot44K с к. X e С‘Я'. R e к. z>. E ! X [ к4/?
Доказ ательство.
F . *301-22 . э F : Нр . р, v е NC ind . v / 0. э . 7?и е к.
[*351-1] э.(э5).5 ек.7?ц = 5у.
[*350-4 . *331-12] э . (35). S е к. S (р / v) R (1)
F . (1). *350-521 .oF.Prop
* 351-221. F:Hp*351-2 . ХеС'Н'. X = KU Cnv44K. ReX. z>. E ! X [ X4E
[Доказательство аналогично *351-22 с использованием *331-54]
* 351-3. F : Нр *351-2 . ц, v е NC ind. v / 0. э .
{(Н/ 1) [ kJ | {(11 v) [Kt} = (p/v) [Kt
Доказательство.
F . *350-41 . dF Hp . p/ 0. э :
L {(p, / v) [ kl} N. = . L, N e kl . repK‘Lv = rep/M4 .
Principia Mathematica III
*351. ДЕЛИМЫЕ СЕМЕЙСТВА
391
[*351-2] = . (аМ). L, М, N ек. L = гер/М»1. герк‘Г = repK‘М*.
[*333-24] = . (аМ). L, М, Nе Kt. L = герк‘ЛЛ*. repK‘MpXcV = герк‘М*.
[*333-44] а. (аМ). L,M,NeKi. L = герк‘Л/и . repK‘Mv = repK‘A.
[*350-41] =. (ЯМ). L {(p 11) [ kJ M. M {(11 v) ] kJ N (1)
F . *350-34 . э F Hp. p = 0. э:
L{(p/v)[Kl}A.a.L = /t5‘a“K.NeKl (2)
F . *350-34 . *351-21 . э F Hp. p = 0. э:
A{(p/1) t Kt} I {(1/v) [kJ A. = .L = I\ (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*351-31. I-: Hp *351-2 . X, Y e C'H’. z>. (X [ kJ | (У [ kJ = (Хх5У) [ Kt
[Аналогично *350-6 с использованием *351-3 вместо *350-53]
*351-4. F: к е FM ар subm conx . ц, v, р, о eNC ind. v / 0.a^0.LeKt.z>.
герД{(р I v) [ KjL) | {(p I o) [ kJLJ] = (p / v +, p / o) [ K^L
Доказательство.
F . *350-41 . э F : Hp .р^О.р^О.Л/ = (p / v) [ k^L . э. rep/AP - repK‘l/ .
[*333-44] z>. repK‘Af'Xc° = герк‘Л^° (1)
Аналогично
F : Hp .p/0.p^0.A = (p/o) [ Ki'L. z>. repK‘№Xc° = repK‘Z,vXcP (2)
F . (1). (2). *333-34 . *332-33 . z>
F : Hp (1). Hp (2). э . герДМ1N) vXc° = repK‘(Z>x<-o) 1L<vX<p>J.
[*301-23 . *333-24] z>. {герДМ | N)) vX'° = repK‘L(pX^)+^vXcp>.
[*306-14 . *350-41] э. герДМ| A) = (p / v +, p / a) [ kJL (3)
F . (3). *351-21 . *350-34 . z> F . Prop
*351-41. F : кеУ-А/ap subm conx . 5*Pot“Kc к.
p, v, p, a e NC ind .v/О.о/О.Яек.э.
{(p I v) [ к‘Я} | {(p I о) [ к‘Я) = (p / v +s p / о) [ к‘Я
Доказательство.
F . *351-21-22 . э
F: Hp. э. (p / v) [ к‘Я = (p / v) [ к/Я. (p / о) [ к‘Я = (p / о) [ к/Я (1)
F . (1). *332-241 . *331-24-33 . э
F : Hp. э. {(p / v) [ к‘Я} | {(p I a) [ к‘Я} = герД{(р I v) [ к/Я} | {(p / a) [ к/Я}]
[*351-4 . (1)] = (p / v p / a) [ к‘Я: z> F . Prop
* 351-411. F : Hp *351-4 . k = kU Cnv“K. S eX. z>.
{(p/v)]X‘5)|{(p/o) [X‘SJ = (p/v+,P/a)
[Доказательство аналогично *351-41 с использованием *331-54]
* 351-42. F : к е FM ар subm conx . X, Y e C'H’. L e Kt. э .
герД(Х [ Ъ'Ь) | (У t iq‘L)J = (Х+Д) [ iq‘L [*351-4]
* 351-43. F : ке/-Mapsubmconx . 5*Pot“Kcк. X, YeC'H’.Яек. э .
(X ] к‘Я) | (У t к‘Я) = (Х+5У) [ к‘Я [*351-41]
* 351-431. F : Hp *351-42 . X = к U Cnv“K. S e X. э.
(X t k'S) | (У ] k‘S) = (X+Sy) [ k'S [*351-411]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
392
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*351-44. h : к с FM ар subm сопх .
ц, v, р, о с NC ind. v / 0. о / 0 . (р / о) Я' (р, / v). L е kl. э .
герк‘[((р / v) [ K.'L} | {(р / о) [ кД)] = (р / v -s р / о) [ к/L
Доказательство.
Аналогично *351-4,
F : Нр. А/= (ц / v) [kl‘L. А = (р / о) [к/£. э .
[герДМ | N)J vXc° = геРк‘{ЬиХс° I £vXcP) (1)
F. *301-23 . *308-13 . э F : Нр л = (р хсо) -с (v хс р). э .
repK‘{L>lXcO | ZvXcP) = repK‘(LT | LvX'p | IvX^}
[*72-59. *332-25] = repKZT (2)
F. (1). (2). *350-41 . z>
F : Hp (1). Hp (2). э . герк‘(Л/1N) = {r / (v xco) | [ к/Z (3)
I-. (3). *308-24 . э I-. Prop
*351-441. F : кеТ-Марsubmconx .
p, v, p, о e NC ind. v # 0. о / 0. (p / v) H’ (p / o). L e iq . z>.
repK‘[((p / v) [ k/L) I {(p I о) [ к,.‘ZJ] = (p / v -5 p / ©И k/A
Доказательство.
F. *332-15 . *303-19 . э
F : Hp. э . repK‘[((p / v) [ k^L} | {(p I о) ] к,.‘ZJ] =
Cnv‘repK‘[((p I o) [ k/L) I {(p I v) [ кД)]
[*351-44]=Cnv‘(p / o-s p / v) [ KtZ
[*303-19]= (p-/ o-,p/v) [кД
[*308-21 ]= (p/ v-5 p /о) [кД:dF. Prop
*351-45. F: к e FM ap subm conx . X, Y e C‘H'
repK‘{(X [ к/L) | (У [ кД)} = (Х-,У) [
Доказательство.
F . *351-21 . *350-34 . *308-12 .z>F:Hp.X=P.D.
repK‘{(X [ ц-L) | (У [ кД)} = / [ 5‘Q“k = (Х-.У) [ (1)
F. (1). *351-44-441 .oF.Prop
*351-46. F : кеFMsubmconx . s‘Pot“Kcк.X, YeC‘H’ .йек. э .
(Cnv‘Г [ к‘й) | (X [ к‘й) e Kt
Доказательство.
F. *351-22. z>F:Hp. z>.X [к‘Яек. У [к‘йек.
[*37-62] э.X [к‘йек. Cnv‘y [к‘ЯеСпу“к: эF . Prop
*351-47. F : Нр *351-46 . э. (CnvT [ к‘й) | (X [ к‘й) = (Х-5У) [ к/Я
[*351-45-46]
Principia Mathematica III
*352. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРАТНЫЕ ДАННОГО ВЕКТОРА
393
* 352. Рациональные кратные данного вектора
Краткое содержание *352.
Под “рациональным кратным” данного вектора семейства к мы пони-
маем, работая с семейством к, любой вектор этого семейства, который на-
ходится с данным вектором в отношении, являющемся элементом С‘Н',
работая же с семейством ки — любой элемент кь, который находится с дан-
ным элементом к; в отношении, являющемся элементом C‘Hg. Первое мы
будем называть “рациональным к-кратным”, а второе — “обобщенным ра-
циональным кратным”. В дальнейшем будет показано, что если к содер-
жит пары элементов, взаимно обратных по отношению друг к другу, то
только один из элементов каждой такой пары может находиться среди ра-
циональных к-кратных данного элемента семейства к при условии, что к —
открытое семейство. Следовательно, все рациональные к-кратные данного
вектора имеют один и тот же “смысл”, даже если в исходном семействе
это было не так.
Рациональные кратные данного вектора Т можно упорядочить в серию,
установив соответствие между их мерами и приняв Т в качестве единицы.
Эти меры упорядочены, в случае рациональных к-кратных, отношением
Я', а в случае обобщенных рациональных кратных — отношением Hg. Более
того, если X — мера данного элемента семейства к относительно единицы Т,
то данным элементом является к] Ат‘Х\ если же X —мера данного элемен-
та семейства ки то данным элементом является kJAj-^X. Следовательно,
рациональные к-кратные вектора Т упорядочены отношением к] АТ'Н', а
обобщенные рациональные кратные — отношением Ат' Hg. Эти два от-
ношения и составляют предмет изучения в настоящем параграфе. Мы по-
лагаем
* 35201. Тк = к}Ат'Н' Df
* 352 02. 1 Ат ; Hg Df
На протяжении всего параграфа мы предполагаем, что к открыто и
связно. Имея дело с Тк, мы предполагаем Тек^, а имея дело с мы
предполагаем Т ек^. Затем среди прочих доказываются следующие пред-
ложения:
к1 Ат К‘Я'е1 -> 1 (*352 12),
kJ Ат \C‘Hge\ -> 1 (*352-15),
т. е. отношение рационального кратного к своей мере одно-однозначно.
T^T^eSer (*352-16-17).
Заметим, что здесь требуется только, чтобы к было открыто и связно.
Свойство сериальности вытекает из соответствия с Я' или Hg.
СТК = кН АÓёЯ'. С‘7^ = КПАТ“С‘Н8 (*352-3-31).
Если S — произвольный ненулевой элемент С‘ТК, то С‘5К = СТК
(*352-41), т.е. рациональные к-кратные Т — те же самые, что и раци-
ональные к-кратные любого рационального к-кратного Т; аналогичное
предложение имеет место и для СЧ\ (*352-42).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
394
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
RTKS . = : Я, S 6 к А Ат “С'Н': (д щ v). ц, v е NC ind. ц < v. Rv = S(*352-43).
Это удобная формула для Тк и ведет непосредственно к
Тк = {$‘Я*‘(1/1)} 1(кПАт“С‘Н') (*352-44).
Заметим, что ZP‘(1/1) есть класс рациональных собственных дробей, вклю-
чающий Из *352-44 и *3352-41-3 мы видим, что при условии S /1Г 5‘С1“к
S еС‘Тк . э . 5К = Тк (*352-45),
т. е. порядок величины множества векторов, являющихся рациональными
к-кратными данной единицы, не зависит от выбора единицы.
Чтобы установить аналогичное свойство для 7\, мы сначала докажем
формулу, аналогичную *352-44, а именно
Гк, = Спу5и‘^‘(1/1))
(5‘^‘(1/1)} t(iQnAr“C‘W') (*352-54).
Здесь первый член определяет серию отрицательных кратных Г, в то вре-
мя как второй определяет серию положительных кратных Т (включая
/ (51а“к).
Из последней формулы вытекает, как и в случае Тк, что если S — поло-
жительное кратное Т (не включая I [ s‘Q“k), то Sk> = T^, в то время как
если S — отрицательное кратное Т, то SKl = TKi (*352-56-57).
В заключение мы рассматриваем отношение UK к Тк. Здесь мы должны
предполагать, что к — сериальное семейство. В таком случае мы находим,
что UK, при ограничении его поля на рациональные к-кратные Т, является
обращением Тк, т. е. мы имеем
*352-72. F : кеТЛ/sr. Гек^ . z>. t/K [ С‘ТК = к j Ат ; Н' = Т к
*352-01. Тк = к]АТ’Н' Df
*352-02. TKi = к;1 Ат ; Hg Df
*352-1. \-:.RTKS .s-.R,S ек-.(^Х,У) .XH'Y .RXT .SYT [(*352-01)]
*352-11. h..RT^ . = :R,S ек,-. (^X.Y) .XHgY. RXT . SYT [(*352-02)]
*352-12. I-: к e FM ap conx . T e Кэ . э . к 1 Ат f C‘H’ e 1 —»1
Доказательство.
F.*336-1. z>F:R(k1 AT \ C‘H’)X .s .ReK.XeC'H'.RXT (1)
F.*350-521. z>F:Hp.R,5 ек.ХеС'Н' .RXT .SXT .z>.R = S (2)
F.*350-44. z> F : Hp . Re Кэ. X, У eC‘/7' .RXT .RYT .z>.X=Y (3)
F. *350-34-4 . z>
F:Hp.R = 7 \ s‘<J“K.X,YeC‘H' .RXT .SYT .z> .X = 0q .Y = 0q (4)
F . (3). (4). эF : Hp.ReK.X, YeC'H'. RXT. SYT .=> .X = Y (5)
F . (1). (2). (5). э F . Prop
*352-13. F : ке/-Map conx . Те к^ . э . Kt Cl Ат'‘С'Нск^
Доказательство.
F . *350-4 . z> F : Hp. R e iq П AT“C‘H. э.
(gp, v). ц, veNCind-1‘0. g !Rv hТц .
[*333-101] э. Re Ъд : z>F . Prop
*352-131. F : Hp *352-13 . э . к ПАт-“С‘Н„ = Cnv“(Kt l~iAr“C‘7T) [*307-1]
*352-132. F:Hp *352-13 . z>. Kt П АÓё߄ ск^ [*352-13-131]
Principia Mathematica III
.352. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРАТНЫЕ ДАННОГО ВЕКТОРА
395
*352-14. I-: кеТ-Марсопх . Тек^а. э . к,. ЛАг“С‘/Т ПАт“С‘Н„ = А
Доказательство.
I-. *307-1 . *350-4 . *352-132 . э F : Нр. R, S е к,. R е Ат“С'Нп . S е Ат‘'С‘Н'. э.
(ЗР, v> Р, °) • Н. v, р, oeNC ind .v/0.p#0.o/0./?eK^.
repK‘$v = герк‘Ти . repK‘S° = repK‘Tp .
[*333-44] э. (gp, v, р, о). р, v, р, о е NC ind .v/О.р^О.о^О.Лек^.
rep/#vXcp = repK‘7"pXcP = герк‘5оХ<?и .
[*333-47] э. (a?,T]).^7]€NCind.^0.a !^Л5’1.ЛекиЭ.
[*71-192] э. (a^n)-^neNCind.^/0.a !/Л^|5т> .Лек,а.
[*333-101 . Transp] э .R£S : z> F. Prop
*352-15. I-: KeFM ap conx . Тек^ . z>. iq 1 At [ C'Hg e 1 —> 1
Доказательство.
F.*336-1 . z>F:Hp.fl(Kj AT \C‘Ht)X.RMAT [С'ЯДУ.э.
Лек^Х, YeC‘Hg.RXT .RYT (1)
F . (1). *352-14 . э F :. Hp (1). э:
Re^.X,YeClH’ .RXT .RYT. V .Re^ . X.YeC‘Hn .RXT .RYT-
[*307-1 . *350-44 . *352-13-132] z>: X = Y (2)
F.*336-1 . z>F:Hp.fl(Kj Аг Г C‘Hg) X. S (к, 1 AT\C‘Hg)X.z>.
R,S e^.XeC'Hg.RXT .SXT.
[*350-521 .*307-1] э. R = 5 (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*352-16. F : ке FM ap conx . T ека . z>. TK e Ser [*352-12 . *304-48]
*352-17. F:Ke/Map conx . Тек^ . э . TKi eSer [*352-15 . *307-45 . *304-23]
*352-18. F : ке/Map conx . 5*Pot“Ka с ка . ка Л Cnv“Ka = A. Тека . z>.
к Л Ат"С‘ Hn = А
Доказательство.
F . *350-43 . э
F :. Нр. р, v еNC ind - i‘O. X = (р / v) | Cnv .5 е к.э:SXT. = . Sv = Т* .
[Нр] э . 5V ека Л Cnv“Ka (1)
F . (1). Transp . э F : Hp. z>. ~ (aX,S) .XeC'Hn . S ек. SXT: z> F . Prop
*352-181. F:KefMinit .7’ека.э.кЛАг“С‘Я„=А [*352-18 . *335-21]
*352-2. F : ке/Л/арсопх . Тека . z>. (/ f $‘Q“k) TkT
Доказательство.
F . *350-34 . *331-22 . э F : Hp. э. (/ [ s‘Q“k) 0qT (1)
F. *350-31. z>F:Hp.3.T(l/l)T (2)
F . *304-45-48 . z> F : Hp. э. 04Я'(1/1) (3)
F . (1). (2). (3). *352-1 . э F . Prop
*352-21. F : ке 1-Мapconx . Гек^ . z>. (/ [ $‘а“к) T^T [Аналогично *352-2]
*352-22. F : ке/Марсопх . Тека • э. a ! TK [*352-2]
*352-23. F : ке/Марсопх . TeKja . э. a ! TKl [*352-21]
*352-3. F : кеI'Mapconx . Тека . э . C‘TK = к<~\Ат“С‘Н'
Доказательство.
F . *350-31 . *304-48 . э
F:Hp.XeC‘T/'.X# 1 / 1. э. Х(Н' О Н') (1/1). Т(1/1)Т.
[*306-1] э.Хе(Я'иЙ')“Ат“к (1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
396
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
I-. *350-34 . *331-22 . *304-45-48 . э
F:Hp.X = 1 / 1 .э.ХЙ'09.(/ \ s‘d“K)0qT .1Г ^О“кек.
[*306-1] э.ХеЙ'“Аг“к (2)
I-. (1). (2). F : Нр. э . С‘Я' с (Н' 0 Н')“Ат“к (3)
I-. *150-201.1-: Нр. э.С‘Тк = к] АТ“(Н'(J Н')“Ат“к.
[(3)] э.к]Аг“С‘Н'сС‘Тк (4)
F. (4). *150-202 .z>F. Prop
*352-31. F: KeFM арconx . Гек^ . э . С‘Т^ - к; П Ат“С'Ня
Доказательство.
Как в *352-3, I-: Нр. z>. С'Н' с (Hg U НД“Аг“к (1)
F . *350-31 . (*307-05). э F : Нр. ХеС‘Я„ . э .XHg(l/l). Т(1/1)Т.
[*336-1] э.ХеН/'А/'к (2)
I- . (1). (2). 3F:Hp.o.C‘Hgc(HgUHg)“Ar“K (3)
I-. (3). *150-201-202 . э F. Prop
* 352-32. FНр *352-3 . X, Y е С'Н'. R = X [ к‘Т. S = Y [ кТ. э:
RTKS . = . XH'Y [*352-1 . *350-521]
* 352-33. F:. Нр *352-31 . X, Y е C'Hg . Я = X [ KtT. S = У [ <7 . э:
RTxS . в. XHgY [*352-11-15]
* 352-34. F:.Hp *352-3 . э :ЯГКТ. = . (gX). XH'(1/1).Я = X [к‘Т
[*352-1 .*350-521-31]
* 352-341. F :.Hp*352-3 . э : ГТКЯ. в . (gX) . (1/1)H'X.Я = X [к‘Г
* 352-35. F:. Нр *352-31 . э гЯТ^Т . = . (gX).XHg (1/1).Я = Х [iq‘T
[*352-11-15]
* 352-351. F Нр *352-31. э: TTKR. = . (дХ). (1/1) HgX. Я = X [ к/Г
* 352-36. F : Нр *352-3.5lPot“K ск.э. Pot‘T - СТ с *Г^'Т
Доказательство.
F.*350-43 . э F : Нр. veNC ind-i‘0-i‘l . z>.Tv(v/l)T.
[*304-4 . *352-341 ] э. TTKV : z> F . Prop
* 352-37. F : Hp *352-31 .Теки Cnv“K. э. Pot‘T - CT c
Доказательство.
F . *331-24-54 . dF : Hp . z> . Pot‘T c kl
Далее аналогично *352-36.
* 352-38. F : Hp *352-31 . z>. repK“(Pot‘T - iT) c
Доказательство.
I- . *332-61 . э F : Hp.э. repK“(Pot‘T - CT) c iq
Далее аналогично *352-36.
*352-41. I-: ке FM ap conx . 5, T. S e CTK . э .
C‘5K = C‘TK = к П ATilClH' = к A As “ClH
Доказательство.
I- . *352-3 . *350-43 . э F : Hp . э . (gp, v). p,, v € NC ind - i‘0.5й = Tv . (1)
[*352-3] (2)
F. (1) .*352-3 .*350-43 . э F : Hp .. э .
(ЯН, v, p, о). p,, v, оeNC ind- i‘0. peNCind . 5й = Tv .R° = 5P .
Principia Mathematica III
*352. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРАТНЫЕ ДАННОГО ВЕКТОРА
397
[*301-504] э. (gp, v, р, о). р, v, oeNC ind -1‘0. peNC ind. RoXcp = j’vXcP #
[*352-3 .*350-43] э.ReC‘TK (3)
F.(2).(3)|^.DF:Hp.ReCTK.3.ReC‘5K (4)
I-. (3). (4). *352-3 . => F. Prop
*352-42. F:кеFMapconx .S,Te. S eС‘Т^ . э .C‘5^ = C'T^
Доказательство.
I-. *352-3 . *350-4 . *307-1 . э
I-Hp. z>: (gp, v). p, veNC ind -1‘0: g ! Sv П Г1. V . g ! 5 v П T*: (1)
[*352-31] z>: ТеC‘5K (2)
I-. (1). *352-3 . *350-4 . *307-1 . э
F Hp.ReC‘SK . z>: (gp, v, p, o): p, v, oeNC ind -1‘0. peNC ind :
g ! 5V ClTp . V . g ! .5 v Г) Tp : g ! R° Ci5p . V .g !$° Ci5p :
[*333-48] о : (gp, v, p, o): p, v, о eNC ind -1‘0. p e NC ind:
g I roXcP p) T’vXcP . v . g ! oX<?p П TvXcP ;
[*352-31] э:ЯеС‘Д (3)
b-(2).(3)^|.oF:Hp.ReC‘T1Q.o.ReC‘5Kl (4)
I- . (3). (4). z> I-. Prop
*352-43. F :: KefiWapconx . Тек^ . э:.
RTKS . =: R, S eк П AT“C'H': (gp, v). p, veNC ind. p < v. Rv = 5P
Доказательство.
F. *33-17 .z>\-:RTKS . = .R,S eC‘TK.RTKS (1)
F . (1). *352-3-1 . *350-43 . z> F :: Hp. z>
RTKS . = :R,S екПАт^С'Н': (gp,o,E;,rj): о,E;,rjeNC ind -1‘0. peNC ind .
PM <oxc I. R° = 5P . 54 = :
[*333-5] = :R,S екГ\Ат“С‘Н':(gp,o,E;, rj):o,T]eNCind-1‘0.peNCind .
p xc т] <oxc E;. RoX^ = Tpx^ = 5Pxc’i:
[* 126-14] э : R, 5 e к П AT“C'H': (gp, v). p, v e NC ind. p < v. Rv = 5p (2)
F . *350-43 . *304-4 . э
F :.R, 5 екп Ат“С‘Н': (gp, v). p, veNC ind .p<v.Rv = 5p:o:
R, 5 ек П АТ“С'Н': (gX). XH' (1/1). RXS :
[*336-1] z>: R, 5 e к: (gX.K, Z). XH' (1/1). Y, Z e C‘H'. RXS . RYT . SZT:
[*350-6 . *305-71-51] э: R, 5 e к: (gX,Z). (XxsZ) H'Z. R (XxsZ) T. SZT:
[*352-1] =>:RTK5 (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*352-44. F:KefMapconx •Тека.э.Тк = (5‘Я)‘(1/1)) [(кПAr“C‘//')
Доказательство.
F . *352-43 . *304-4 . э F :: Hp. z>:.
RTKS .s:R,S екПАт“С‘Н': (gX). XH' (1/1). RXS :: э F . Prop
*352-45. F:KeREHapconx .5,Тека.5 еС‘Тк.э.5к = Тк [*352-44-41]
*352-5. F : кеТ-Л/арсопх . С'к,. ]Ат'Н' = к; О Ат“С‘Н'
[Доказательство аналогично *352-3]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
398
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*352-51. I-: к е НИ ар сопх . Тек^ . э . C‘Kt ] Ат ’ Нп = k^QAt^C'H,,
Доказательство.
F. *150-202 . эННр.э.СкД АТ’Н„ск1Г}Ат“С'Нп (1)
F. *352-131 . э1-:Нр.йек1ПАг“С‘Ял.э.(зХ).ХеС‘Я .ReKt.RXT (2)
I-. *304-23 . э F: Нр. X е С‘Н - i‘(l/l). R е к; .RXT. э.
X(H'jH){\!\).ReKl.kXT .Т{\/\)Т.
[*307-1 .*336-1] э.ЯеСЧ! АТ'Нп (3)
F.*352-38 . эЬ:Нр.Х = (1/1).йвк1.ЛХТ.э.й(к11 Аг ; Н„) (геркТ2).
[*307-1] э.ЛеС'кИ Ат’Нп (4)
F.(3).(4). эННр.ХеС'Н.Яек^ЙХТ.э.ЯеСХ! АТ'Нп (5)
F.(2).(5). э I-: Нр. э. П Ат"С‘Нп с C'kJ Ат ’ Нп (6)
F. (1). (6). oF. Prop
*352-52. Ь : к е НИ ар сопх . Т е . э. TKl = kl ] Ат ; НпА Kt ] Ат ’ Н'
= Cnv > 1Q1 Ат ’ НпА Kt 1 Ат 5 Н'
Доказательство.
F. *160-43. (*307-05). э
l-.^^Ktl Ат’Нп U Kt \АТ'Н' U (Kt 1Ar“C‘H„)T (iQ Мт “С‘Я') (1)
I-. (1). *352-5-51 . *307-1 . э F . Prop
* 352-53. F: ке НИ ар сопх . Т ек^ . э. к; 1 Ат ; Н' = {s‘fl*‘(l/l)} [ (iq П АТ“С‘Н')
[Доказательство аналогично *352-44]
* 352-531. F : Нр *352-53 . э. к 1 Ат ; Й = {s‘fr‘(l/l)} [ (к П АТ“С'Н)
[Доказательство аналогично *352-44]
* 352-54. F : Нр *352-53 . э. = Cnv 5 {$‘ЙД1/1)) [ (ке П Ат“С‘Я)4
U‘^‘(l/1)) [(Kt С\АТ“С‘Н') [*352-52-53-531]
* 352-55. I-: к e FM ap conx . S, T e . S e . z> .
Kt П AS“C‘H' = kl П АÓёЯ'. kl П As “C‘H = k^At^C'H
[Доказательство аналогично *352-41]
* 352-56. h : KcFMap conx . 5, T ек^ . S ек^Ат^С'Н .0.5^ = ?^
[*352-54-55]
* 352-57. h : KeFMap conx . 5, T ек^ . S ек^Ат“С‘Нп . э .5^ = 7^
[*352-54-55 .*307-1]
* 352-7. l-:.K6 7Msr.X, YeC'H' .T ек^ . P,QeK. PXT . QYT
pt/Ke-= .XH’Y
Доказательство. F. *352-18 . 3F:Hp.2|PeKa.z>.2|P~eAT"C'Hn.
[*350-65] э.Х-,УеС‘Н' (1)
F. *350-52 . э F : Hp(l). э . X Y (2)
F . (1). (2). *336-41 . э F : Hp. PUKQ. э . X-SYeClH.
[*308-12-19 .Transp] z>.XH'Y (3)
F. *336-64 . oF:.Hp.~(Pt/KG).o:P=G.V .QUKP-.
[*350-44 . (3)] э : X = Y. V . YH'X:
[*304-48] э: ~ (ХЙ'У) (4)
I-. (3). (4). э I-. Prop
Principia Mathematica III
»352. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРАТНЫЕ ДАННОГО ВЕКТОРА
399
*352-71. \--..K€FMsr.TeKd.P,Q€C‘TK.z>:PUKQ. = .P(ATiH')Q
[*352-7-3]
*352-72. НкеЛИзг.ТеКэ-э. [С‘Тк = к] АТ’Н’ = ТК [*352-71]
*352-73. h к е FM sr subm . X, Y е С'Н'. Т е . э:
(X [ к‘Т) UK (У [ к‘Т). = . XH'Y [*352-7 . *351-22]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
400
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
* 353. Рациональные семейства
Краткое содержание *353.
“Рациональное семейство” — это семейство, состоящее целиком из поло-
жительных рациональных кратных одного из своих элементов. Мы обозна-
чаем рациональные семейства “FM rt”; по определению
* 353 01. FM rt = FM А к {(э Т). Т е Ка . к с Ат “С'Н'} Df
Очевидно, что кС\Ат“С'Н', рассматриваемое в предыдущем парагра-
фе, — рациональное семейство, каким бы ни было семейство к. Если к —
связное семейство, вовсе не обязательно, чтобы и кААт“С'Н' было связ-
ным семейством, однако доказательства свойств последнего, как это можно
увидеть в *352, используют тот факт, что оно содержится в связном се-
мействе. Многие из наиболее важных свойств связных семейств остаются
справедливыми и для подклассов связных семейств, в частности, если два
элемента семейства к или к; имеют непустое логическое произведение, то
они тождественны. Что касается рациональных семейств, для них большая
часть предложений может быть доказана только в предположении, что они
содержатся в связных семействах. Полагаем
* 353 02. FMcx = FM А к {(дк). ке/^Мсопх . к с к} Df
* 353 03. FM rt ex = FM rt A FM ex Df
Мы будем называть семейство “субсвязным”, когда оно содержится
в связном семействе. Когда семейство к открыто, рационально и субсвязно,
любой элемент может быть выбран в качестве Т в определении *353-01
(это доказывается в *353-13); если же 5, Т — любые два элемента к^, то
некоторая степень 5 будет тождественна с некоторой степенью Т (*353-12).
Открытое рациональное субсвязное семейство асимметрично (*353-2); ни
одна степень какого-либо элемента и ни одно произведение каких-либо двух
элементов не является обратным к ненулевому элементу (*353-22-23). Сле-
довательно, в силу *331-54-33, если семейство связно, а не только субсвязно,
то оно является группой и транзитивно (*353-25-27).
Если к —семейство, которое, помимо того, что открыто и рационально,
обладает связанностью, то мы будем иметь
s^d = Аа 5 k j Ат ; Н'. = к 1 Ат Н' (*353-32-33),
когда а — некоторый элемент поля, а Тек#. Т.е. и серия точек в поле,
и серия векторов ординально подобны всей серии пропорций или ее ча-
сти; подобие всей серии будет иметь место, если к делимо (*353-44). Но
для делимого семейства достаточно будет несколько меньшее предполо-
жение, поскольку в этом случае мы можем доказать, что если к связно,
то kL = kuCnv“k (*353-41), так что к обладает связанностью и сериально
(*353-42). Таким образом,
* 353-44. h : k е FM ар conx rt subm . э . smor Н'
* 353-45. h . FM ap conx rt subm c FM sr
Principia Mathematica III
*353. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
401
*35301. *35302. *353-03. *353 1. *353 12. FM rt = FM А к {(gT). T ек^ . kc At“C‘H’} Df FM ex - FM A X ((дк). к e FM conx .кек) Df FM rt ex = FM rt A FM ex Df i.keFM rt . = :keFM.T ek# .k<zAt“C‘H' [(*353-01)] F : XcFM rt ex. 5,TeXq • X с . э . (ЭН, v). щ ve NC ind . v / 0. Sv = [*350-43]
*353 13. h : Хе/*7Иарrt ex. T e\q . э . X c A?“C‘Hf
Доказательство.
F. *353-12 . z>F:Hp.S eXa.XcA$“C‘,H'.ReX.z>.
(gp,v, Р, °) • р, v, р, о е NC ind .p/0.v/0.o/0.Rv = 5|l.7’<’ = S|:>.
[*333-5]
э.(gp,v,р,о). р, v, р, о еNCind.p/O.v/O.o^O.R',xc? = SиХсР = 7,цХс° .
[*350-43] z>.ReAT“C‘H' :dF .Prop
*353-14. F:Hp *353-13 .z> .K<zAT“C‘Hg
Доказательство.
F.*353-13 . oF:Hp.R,5eX. z>. (дХ,Г). X, YeC‘H' .RXT . SYT .
[*350-65] ^.(R\S)(Y-sX)T.
[*308-2] э.Л|5€Аг“С‘Яв:эк.Ргор
*353-15. F: ке FM conx .T ек^ . z>. к Cl Ar“C‘H' €FM rt ex
[*353-1 . (*353-02)]
*353-2. F : Xe/TWaprt ex. э . Cl Cnv“Xa = A . XefMasym
Доказательство.
I- . *353-12-13 . э
F: Hp. R, R e . э . (gp, v). p, v e NC ind - i‘O. R? = FF (1)
F. (1). *301-23 . d F:Hp(l). d . (gp,v). p, veNCind-1‘0.Rp+cV g/ (2)
F. *333-101. z> F : Hp(l). э. Pot‘R cRl‘J (3)
F . (3). (2). Transp. (*334-05). z> F . Prop
*353-22. F : Hp *353-2 . э . $‘Pot“Xa Cl Cnv“Xa = A
Доказательство.
F. *353-12-13 . *301-5 . z> F : Hp. о e NC ind -1‘0. R, R° e ),d . z>.
(gp, v). p, veNC ind - i‘0. R°XcV = R* .
[*301-23] =. (gp, v). p, v e NC ind -1‘0. Rt*+c(oxcv) G/ (i)
F. *333-101 . *330-23 . э F : Hp. R e Xg . z>. Pot‘R G J. A ~ e Pot‘R (2)
F . (2). (1). Transp. э F : Hp. R e Хд . э. ~ g ! Pot‘R Cl Cnv“X: э F . Prop
*353-23. F : Hp *353-2 . э . (5lX;l;“X) Cl Cnv“Xa = А [Аналогично *353-22]
*353-24. F : Hp *353-2 . XeFMconx . z>. s‘Pot“Xс X [*353-22 . *331-54]
*353-25. F : Hp *353-24 . э . 5‘XH‘X с X [*353-23 . *331-33]
*353-26. F : Hp *353-24 . э . s‘Xa ,^'Xa c X^
Доказательство.
F. *353-12-13 . oF:Hp.R,5 eXa . z>. (gp, v). p, veNC ind -1‘0 .Rv = .
[*330-57] =. (g p, v). p, v e NC ind - i‘0. (R | S )v = S .
[*333-101] o.g ! Pot‘(R | S)v Cl R1‘J.
[*301-3 . Transp . *331-23] э . R | S e R1‘J (1)
F . (1). *353-25 . э F . Prop
*353-27. F : Hp *353-24 . э . X e FM trs asym [*353-26-2 . *334-13]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
402
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*353-3. к: Нр*353-2 . veNCind - t‘O. $‘Pot“XcX. э :Я(7хХ . э ./?v(7xSv
Доказательство.
к. *336-41 . э к : Нр. э . (аО. ТеХ^ . Я = Т |5 .
[*330-57] 3.(aT).TeXe./?v = Tv|Sv.
[*336-41. Нр] э. 7?vt/xSv : э k. Prop
*353-31. k X е FM ар rt connex . R, S e X. v e NC ind - i‘O. э: RU\S . = . R'iU\Sv
Доказательство.
k. *336-62 . эк:Нр.Я/Х .-(RlhS). d.SUxR.
[*353-3-24] z>.SvUlRv.
[*336-6-61 . *353-27] э. ~ (RVUXSV) (1)
k. *336-6. э k : Hp. Я = X . э . ~ (7?vt/xSv) (2)
к . (1). (2). э к : Hp. ~ (ЯС\Х). э. ~ (RVC\XV) (3)
к . (3). *353-3 .эк. Prop
*353-32. к : X e FM ap rt connex . T e X^ . э . U\ = X ] Ат > H'
Доказательство.
к . *352-12-13 . *350-5 .эк:Нр.Я,ХеХ.Я/Х.э.
(ЗР, v, р, о). р, v, р, о е NC ind .v/0.o/0^v = 7’p.X° = 7’p.p/v/p/a (1)
к . (1). *350-43 . э к :. Нр (1). э : R (X1 Ат ? Н’) S . V . S (X1 Ат ! Я') R (2)
к . *301-5 . э
к : Нр (1). р, v, р, oeNC ind. v/ 0. о / 0 .Яу = Ти . S° = Тр . р хсо< v хс р. э.
rvXco । £ vXca _ j’(vXcp)-c(tiXca) (3)
к . *334-21 . э к : Нр (3) .э. R | S е X U Cnv“X.
[*331-54 . *332-241] э . (R | X) = герК‘(Я 15) рХс°
[*332-53 . (3)] = T<vXcp)-c(hXco)
к . (4). *353-24-2 . эННр(З). э.Я|Х еХ.
[*336-41] z>.SUKR (5)
к . (1). (5). *304-4 . э к : Нр. R (X ] Ат ; Н') S . э. 5 UKR (6)
к. (2). *304-4. эк: Нр(1). ~ (Л (X] Ат >Н') 5}. э.Х (X] Ат > Н') R
[(6)] э.Я(7КХ.
[*336-6-61 . *353-27] э. ~ (X UKR) (7)
к . *336-6 . э к : Нр. Я = X . э . ~ (X 1/кЯ) (8)
к. (6). (7). (8). э к . Prop
*353-33. к : Нр *353-32 . а е 5‘СГ‘Х. э. i‘Xa = Аа ? X ] Ат ’ Н’
Доказательство.
к. *336-43. эк:Нр.э.(7х = Х1 (1)
к. (1). *336-2 . э к: Нр. э . s‘Xa = Аа > [/х (2)
к . (2). *353-32 .эк. Prop
*353-34. к . FM ар rt connex с FM sr [*353-27]
*353-4. к : XefMaprt ex. s‘Pot“Xc X. LeX^ . э.
(3о) • о e NC ind - i‘0. repx‘L° e X U Cnv“X
Доказательство.
к . *353-12-13 . э
к : Hp. э . (ap, v, Я, X). p, veNC ind . Я, X e X. L = Я | X . p / v. Я¥ = Xй (1)
к. *301-23 . э
Principia Mathematica III
*353. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
403
FНр. ц, veNC ind. R,S ek .Rv = S'1. z> : p < v. z>. FT | Sv = . [*332-53] D.repK‘(fl|S)vek Аналогично 1-Hp (2). э: p > v. э . герк‘(Я | S/1 e Cnv“K (2) (3)
F . (1) . (2) . (3) . э F . Prop
*353-41. F : XeFMap conx rt subm . э . \ = X U Cnv“X
Доказательство.
F . *353-4 . э
F : Hp . Lek^ . э . (gl?,o).ReI U Cnv“X. оeNCind -1‘0. repK‘L° = R° .
[*333-41] э.Lek U Cnv“k: э F . Prop
*353-42. F : Hp *353-41 . э . X e FM sr [*353-41 . *334-26 . *353-27]
*353-43. F : "keFM ap cxrt subm . T e kg . Potid‘71 с к. э . C'H' аАт“к
Доказательство.
1-. *351-1. э F : Hp. p, v e NC ind. v / 0. э. (gS). 5 e X. S'v = T* . [*350-43] z>.(g$).S ek.S (p/v)T F.(1). *336-1 . z> F: Hp .XeC'H'. =>. (gS). 5 eX. SATX: z> F. Prop *353-44. F: X e FM ap conx rt subm . z>. i‘ka smor H' (1)
Доказательство. F.*353-42-33 . э F : Hp. aes‘Q“k. э. i‘ka = Aa ’ k] AT'H’ F.*353-43 . z>F:Hp(l).D.C7/'cCI‘(Aa|k1 Ar) F. *336-2 . *352-15 . dF:Hp(1).z>.AJk] AT lC7f'el->l F. (1). (2). (3). z> F. Prop *353-45. F . FM ap conx rt subm c FM sr (*353-42] (1) (2) (3)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
404
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*354. Рациональные решетки
Краткое содержание *354.
Важность понятия “рациональной решетки”, изучаемого в настоящем
параграфе, проявляется при введении координат в геометрии. Построе-
ние рациональной решетки производится в три этапа. Во-первых, взяв
произвольный вектор Т семейства к, построим СТК, т. е. положительные
рациональные кратные Г, как в *352. В результате, как правило, полу-
чается несвязное семейство, даже если исходное семейство к было связ-
ным. Действительно, если в к существуют векторы, отличные от С‘ТК,
то любая точка поля, достижимая из заданной точки а одним из этих
“иррациональных” векторов, не может быть достигнута из а с помощью
элемента С‘ТК, хотя и будет находиться в поле СТК. Таким образом, что-
бы получить из СТК связное семейство, мы должны ограничить поля эле-
ментов точками, которых можно достичь из данной точки а с помощью
одного или нескольких рациональных шагов вперед или назад, т. е. точ-
ками Аа1\С'Тк)^ В дальнейшем будет показано, что, хотя в построении
С1ТК участвуют только положительные векторы, отрицательные векторы,
т. е. обращения положительных векторов, также допустимы в построении
того, что можно назвать “рациональными точками” относительно а и Т.
Построив эти точки, т.е. класс Afl“(C‘TK)t, мы затем переходим к третье-
му и последнему этапу в конструировании рациональной решетки путем
ограничения поля каждого элемента С‘ТК на Aa“(C‘TK)L.
Многие из предложений о рациональных решетках требуют предположе-
ния о том, что рассматриваемое семейство есть группа. Если для исходного
семейства к это не так, то мы заменяем к на к^, где Kg образовано добавле-
нием к к обращений тех элементов к (если такие имеются), области кото-
рых совпадают с общей обратной областью элементов к. По определению
*35401. = к U Cnv“(K И f)‘s‘Q“K) Df
Также полагаем
*354-03. FM grp = FM А к ($‘к?1,“к с к) Df
Затем мы легко доказываем, что если к связно, то Kg —группа (*354-14),
если же к открыто и связно, то Kg открыто, связно и является группой
(*354-17). Если к связно, то (Kg)L = Kt (*354-15), так что свойства, зависящие
только от 1Q, например открытость, всегда имеют место для Kg, если они
имеют место для к.
Далее, мы доказываем, что если к открыто, связно и является группой,
то С'ТК открыто, рационально, субсвязно и является группой (*354-22).
Следовательно, если к открыто и связно, a k = Kg, то СЧ\ открыто, ра-
ционально, субсвязно и является группой (*354-24).
“Рациональные точки” относительно а и Т образуют класс Аа\С'Тк\.
Чтобы их изучить, мы рассматриваем Aa“kL, где семейство К снабжается
условиями, выполненными в случае С‘ТК. Мы доказываем, что если К —
семейство, являющееся группой, и 5 еХ. а е s‘G“X, то
Aa“KaS“Aa“K (*354-31),
Principia Mathematica III
*354. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ
405
откуда
S t(Afl44Xl) = (Afl44Xl)1S=S (*354-312).
Далее мы доказываем, что при том же самом предположении, если Ь —
какой-либо другой элемент то
Аа“К = Аь“\ (*354-33).
Таким образом, рациональные точки относительно а и Т суть рациональ-
ные точки относительно b и Т, где Ь — одна из этих рациональных точек.
“Рациональная решетка” есть семейство [ {Аа\С'Т^}“С'Тк, или, запи-
сывая К вместо СТк, [ {Аа 4 4Xt)44X. И чтобы выяснить, какими свойства-
ми обладает рациональная решетка, мы продолжаем рассматривать семей-
ство X, принимая для него гипотезы, верифицированные в случае СТ*, и
полагая
*354-02. сХа‘Х= [(Afl44Xl)44X Df
Таким образом, сх^ 4 С4Тк — рациональная решетка, определяемая пара-
метрами к, Т и а. Мы доказываем, что если К —группа, то схд'к —семей-
ство с полем Aa44Xt (*354-4). Если к —семейство и де —элемент его поля та-
кой, что любой элемент LeXt, для которого L‘a существует, принадлежит
k U Cnv4‘К, то а — связующая точка сх^'Х, т.е.
*354-32. h : "KeFM . ае s4G44X . Xt А СГАа с X U Cnv44X . э . а есопх ‘сХд'Х
Гипотеза Xt А СГАа с X U Cnv44X была бы верифицированной, если семей-
ство к было бы связным, и а была бы связующей точкой X. Но мы хотели
бы иметь возможность заменить X на СТК, в общем случае не являюще-
еся связным. Приведенная выше гипотеза, в отличие от XefMconx, удо-
влетворяется С4ГК, если к открыто и является группой, и, кроме того, а —
связующая точка к (*354-34). Отсюда вытекает, что если семейство к от-
крыто, связно и является группой, и, кроме того, а — связующая точка к,
то сХд'СТк открыто и связно, а де —связующая точка сХа4С4Гк (*354-401).
С другой стороны, в силу *354-312, если семейство X является группой, а
а — какой-либо элемент его поля, то сх^/Х —группа (*354-313); следователь-
но, когда к —открытое и связное семейство, являющееся группой, сх/СТ*
также является группой (*354-402); легко показать, что оно также явля-
ется рациональным семейством (*354-403). Следовательно, в силу *353-27,
сха ‘С4Тк — семейство, открытое, рациональное, являющееся группой, тран-
зитивное и асимметричное (*354-404). Если наше исходное семейство от-
крыто и связно, но не является группой, то мы лишь должны подставить
Kg вместо К, Т.е. ПОЛОЖИТЬ X = Kg, И ЛИШЬ ВЗЯТЬ СХ/СТх, чтобы получить
рациональную решетку, обладающую всеми вышеперечисленными свойства-
ми. Это утверждается в предложении
*354-41. h: к е FM ар conx . Т е к^ . а е сопх 4к. X = Kg . э .
сх/СТх е FM ар сопх rt trs asym
*354-01. Kg = к U Cnv44(K A f)4s4CT4K) Df
*354-02. cx^ 4X = (Aa 4 4Xt)4‘X Df
*354-03. = Ak(s4kP‘kck) Df
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
406
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*354-1. Н.Я€К?. = :Яек.У.Я€К.С1‘Я = j‘(I“k [(*354-01)]
*354-11. F: KeFMсопх .Я,5 ек. э .Я15 екв [*331-33 . *354-1]
*354-12. F:Hp*354-ll . Э‘Я = а‘СГ‘к. э .Я |S = S |Я.Я|$ eKg
Доказательство.
F. *330-52 . z> I-: Hp . a econx ‘к. z>. E ! R'S'a . (T(R | S) = s‘Q“k .
[*331-11-42] э. R | S e к U Cnv“K. СГ(Я IS) = s‘CI“k .
[*354-1 . *330-561] э.Я|5ек?.5 |Я = Я|5 xoF.Prop
*354-13. F: Hp *354-11 . О‘Я = D‘5 = s‘Q“k . э . R15 e Kg
Доказательство.
F. *331-33 . э F : Hp. э . R |5 ек U Cnv“K (1)
F . *37-323 . э F : Hp. э . 15) = ?Q“k (2)
F. (1). (2). *354-1. =>F. Prop
*354-14. F : KeFMconx . z>. а‘к5;1,“кв cKg [*354-ll-12-13-l]
*354-15. F : KeFMconx . э. (Kg)t = Kt
Доказательство.
F . *354-1 . э F Hp . R, S e Kg . d :
R, S ек. V . Я, S e к. V . Я, S ек. V . Я, 5 ек. (TR = Q‘5 = s‘G“k (1)
F.*330-4. э F: Hp. Я, S e к. э . Я | S e iq (2)
F . *331-33-24 . =F:.Hp.«,SeK.v.A,5eK:D.^|SeKi (3)
F.*354-12. z>F:Hp..R,S ек.СГЯ = СГ.5 =$‘(Г‘к.э.Я|5 ек; (4)
F. (1). (2). (3). (4). э F. Prop
*354-16. F : KeFMconx . z>. Kg eFMconx [*354-1-12]
* 354-17. F : к e FM ap conx . z>. Kg e FM ap conx grp
[*354-16-15-14 .*333-101]
* 354-18. F :. KeFMgrp. = : KeFM :R, S ек. .R | S ек [(*354-03)]
*354-19. F : KeFMgrp. э . s‘Pot“Kc к [*354-18 . Induct]
* 354-2. F : к e FM ap conx . T e Ka . э . C‘TK e FM ap rt ex
[*353-15 .*352-3]
* 354-22. F : к e FM ap conx grp. T e Ka. э. ClTK e FM ap rt ex grp
Доказательство.
F . *350-62 . *354-18 . z> F : Hp. R,S, Те к.Х, У eC'H'. RXT. SYT. z>.
(Я|5)(Х+,У)7’.Я|$ек.
[*306-67. *352-3] ^>.R\SeClTK (1)
F. (1) .*352-3. э F : Hp. Я, 5 e C‘TK . э . Я | S eC‘TK (2)
F . (2). *354-2 . э F . Prop
*354-23. F : ке FMrt conx . T ека . э . СТк = к [*353-13 . *352-3]
*354-24. F : к e FM ap conx . T e Ka . X = Kg . э . C‘7\ e FM ap rt ex grp
[*354-22-17]
*354-31. F : keFMgrp. <zea‘Q“X. S eX. z> . Aa"K c.S“Aa“\
Доказательство.
F . *336-1 . э F:. Hp. z>: xeAa“K . z>. (aP,2). P, QeK. x- P'Q'a .
[*330-56] э. (sP,Q). P, Q e к. S ‘x = P'S 'Q'a.
[*354-18] э . (rPR) . P, Re к. S 'x = P'R'a .
[*336-1] o.5‘xeAa“Xt.
[*37-106] э. xeS “Aa“Xi:. э F. Prop
Principia Mathematica III
♦354. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ
407
*354-311. F: Нр *354-31 . э . 5 “А/% с Afl“XL [*354-31]
*354-312. F : Нр *354-31 . э . S [ (Afl“Xt) = (Afl“Xt) 1 5 = 5 Г(А/%) [*354-31-311]
*354-313. F : Xg FM grp . a g s‘Q“X. |i = схд‘Х. э . s‘pJ5“p, с |i
Доказательство.
F . *354-312 . э
F : Hp . R, S g X . э . {/? [ (Aa“Xt)} | {S [ (Afl“Xt)} = (R15) [ (Afl“Xt) (1)
F. (1). *354-18 . э
F : Hp . R, S g X. э . {1U (Afl“Xt)} | {5 [ (Afl“Xt)) g схд‘Х: э F . Prop
*354-32. F : Xg FM. a e s‘Q“X . XL А СГАа с X U Cnv“X . э . a Gconx ‘сХд‘Х
Доказательство.
F . *336-1 . э F Hp . э : jrGAa“XL. э . (gL). LgXl . x-Lla . LE(TAa •
[Hp] э . (gL). Lg X U Cnv“X. x = L'a .
[*330-43] э . (gM). Mgcx^/Xu Cnv“cxa‘X. x = M‘a :
[*331-11] z> : a Gconx ‘cx^/X э F . Prop
*354-33. F : XcFMgrp . aE s‘CT‘X. b g Aa“XL. . Aa“XL = A/?“Xl
Доказательство.
F. *336-1 . э
F : Hp . c g Аь“\ . э . (aP,e, R,S).P,Q,R,S €K.c = iVS 'P'Q'a .
[*330-56] э . (aP,e, R, S). P, Q, R, S g к . c = ‘Q‘a .
[*354-18] э . (зад . м, N e к. c = M'N'a .
[*336-1] d.cgA?‘Xl (1)
Аналогично F : Hp . сеАо“К • => • сеАь“К (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*354-34. F : к g FM ap conx grp . T e K5 . X = C‘TK . a e conx ‘к. э .
Xt A СГАа eXu Cnv“X
Доказательство.
F . *354-22 . □ F : Hp . э . X g FM ap rt ex.
[*353-14] э . XL А (к U Cnv“K) с X U Cnv“X (1)
F . *331-11-32 . dF: Hp . LgXl A Q‘Afl . э . Lek U Cnv“K.
[(1)] э . LgX U Cnv“X: э F . Prop
*354-35. F : кg FM ap conx .T ek# . p = Kg . X = C'T^ . aEconx ‘к. э .
Xt A CTAfl с X U Cnv“X [*354-34-17]
*354-4. F : Xg FMgrp . aE s‘Q“X. э . cXo‘XgFM . 5‘СГ‘сХд‘Х = Afl“Xl
Доказательство.
F. *330-52. DF:Hp.^.cxa‘Xc 1-> 1 (1)
F. *354-311 . э F Hp . э :1?gX. э . a‘l? = Aa“XL. D‘l?ca‘7? (2)
F . *354-312 . э F : Hp ./?, S gX . э . {/? t (Afl“XL)} | {5 [ (Afl“XL)) = (R15) [ (Afl“Xt)
[*330-5-52] =(S |tf) [(A^XJ
[*354-312] = {5 [ (Afl“Xt)} I {1? [ (Afl“Xt)} (3)
F . (3). *330-5 . э F : Hp . э . сХд‘Хс Abel (4)
F . (1). (2). (4). *330-52 . э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
408
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*354-401. h : к е FM ар conx grp . а € сопх ‘к. Т е . о .
сха‘С‘7,ке/*Марсопх . а€Сопх'сха‘С‘Тк
Доказательство.
h. *354-4-22. эЬгНр.э.сх^СТкбШ (1)
h . *354-34-32-2 .oh: Нр . о . а е сопх ‘схд ‘С‘ТК (2)
h. (1). (2). *333-101. oh. Prop
*354-402. h : Нр *354-401 . о . cVC^efltfgrp [*354-313-22-401]
*354-403. h : Нр *354-401 . э . с^С‘Тк eFMrl
Доказательство.
h. *353-12 .*354-2 .э
Н:Нр.5еСТк.Х = СТк.э.(ар, v).p,veNC ind . v / 0. Sv = T* .
[*354-312 . Induct] э . (ap, v). p, veNC ind . v / 0.
{£ tGV‘\)}V = sv UAa“K) = T* UAa‘K) = {T .
[*350-43. *354-401]
D . (ap, v). p, veNCind . v/0. {5 [(Afl“Xt)}(p/ v) [T [(Afl‘%)} (1)
h.(1) . *353-1 . oh. Prop
*354-404. h: к e FM ap conx grp . a e conx ‘к. T e . о .
сх/СТк e FM ap conx rt grp trs asym [*354-401-402-403 . *353-27]
*354-41. h: к e FM ap conx . T e K5 . a e conx ‘к . X = Kg . э .
cxa'C'T^ e FM ap conx rt trs asym [*354-17-404]
Principia Mathematica III
*356. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
409
*356. Измерение вещественными числами
Краткое содержание *356.
В настоящем параграфе мы рассматриваем применение вещественных
чисел к измерению векторов в семействе. Принцип данного применения
таков: Если заданное множество векторов, которые все являются рацио-
нальными кратными некоторого заданного вектора 7?, имеет предел отно-
сительно ик, и если их меры определяют сегмент Я, то мы принимаем
вещественное число, представляемое данным сегментом, в качестве меры
предела заданного множества векторов. Ради однородности с рациональ-
ными мерами имеет смысл записывать вещественные числа в реляционной
форме *314; т. е. если ^еС‘О, то мы принимаем в качестве соответству-
ющего вещественного числа. С подходящей гипотезой, сформулированный
выше принцип применения вещественных чисел дает в результате всюду,
где рассматриваются рациональные кратные единицы R, необходимость за-
мены пропорции X на рациональное вещественное число s'Ti'X как меру
вектора X (ср. *356-63). Тогда мера предела множества рациональных
векторов будет, согласно нашему принципу, пределом их мер. Таким обра-
зом, данный принцип полностью соответствует способу применения веще-
ственных чисел.
Следует заметить, что для возможности какого-либо применения ирра-
циональных чисел необходимо, чтобы векторы рассматриваемого семейства
имели сериальный или квазисериальный порядок независимо от порядка,
который порождается их мерами. Порядок, порожденный на рациональ-
ных кратных вектора Т пропорциями, которые суть меры этих кратных,
есть Тк (ср. *352). Вектор, не являющийся элементом С‘ТК, не может быть
пределом никакого множества векторов относительно Тк. Но мы видели
(*352-72), что если к —сериальное семейство, то
тк = йк1С*тк.
Следовательно, когда к —сериальное семейство, вектор, не являющийся
элементом С‘ТК, может быть пределом некоторого множества элементов из
С‘ТК относительно UK. Именно существование независимой серии t/K, не по-
рождаемой измерением, и делает возможным применение иррациональных
чисел в качестве мер.
Может быть признана удобной следующая фразеология. Возьмем в се-
мействе к единицу Т, а в его поле начало а; если ХеС'Н', S =Х\к‘Т
и х = S ‘а = (X [ к'ТУа, то мы назовем X “рациональной мерой” S и
“рациональной координатой” х. При тех же самых обстоятельствах име-
ет место
S - к1 АТ‘Х. х = AyS = Аа‘к1 АТ‘Х.
Мы будем называть S вектором X, а л —точкой X; та же фразеология
будет использоваться для векторов и точек, которые получаются из мер,
являющихся вещественными числами. Теперь мы можем сформулировать
принцип, в соответствии с которым вещественные числа используются в ка-
честве мер, следующим образом. Задаваясь сегментом £ в Я, возьмем все
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
410
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
векторы этого сегмента, образовав класс Тогда вещественное чис-
ло должно быть мерой границы (относительно UK) класса кПАг44^. Так
как UK имеет смысл, противоположный Тк, т. е. UK упорядочен от векто-
ров с большей мерой к векторам с меньшей, предел, который мы должны
взять, является нижним пределом относительно UK. Таким образом, век-
тор, мера которого есть должен быть равен
ргес (1/к)‘(кП Ат“&.
Теперь, если положить Х = 54^, то и X есть реляционное веще-
ственное число. Используя *206-131, получим, что вектор, мера которого
равна X, есть ргес (С/К)^‘Т. Следовательно, если “ХК‘Т” представляет век-
тор с мерой X (относительно единицы Т), мы полагаем
*356 01. Хк = ргес (J7K) f к Df
Предполагая теперь, что к —сериальное делимое семейство, в котором
мы выбрали R за единицу и а — за начало, и полагая ради удобства обо-
значения
р = UK. Q = $‘ка,
мы сначала устанавливаем ряд предварительных предложений
(*356-1—191), из которых наиболее важными являются
Н' = {С'Н') \Ar'P= (С'Н') ]AR’Aa’Q (*356-13),
Р(С‘Як=к1 Ar'H' (*356-14),
формулирующие отношения между сериями дробей, сериями их векторов
и сериями их точек.
Далее (*356-2—26) мы переходим к доказательству Хкрке1 —» 1. Для
этого, в дополнение к нашим предыдущим гипотезам, требуется, чтобы Q
было полу-Дедекиндовым. При этом условии мы сначала доказываем, что
если X, У — реляционные вещественные числа, то
СГХК = СГУК = Ка:Хк = Ук. = .Х=У (*356-21).
Затем мы доказываем при помощи ряда арифметических лемм, что ниж-
ний предел делителей данного вектора есть нулевой вектор, т. е.
tl/S {5 eK:(gv)./? = 5v} = / (C'Q (*356-22).
Далее мы легко доказываем, что если R — произвольный ненулевой вектор,
а К —класс векторов, имеющий нижний предел L, то нижний предел отно-
сительного произведения R и элементов К есть относительное произведение
R и L, т. е.
XcK.L = tlp‘k.7?€Ka.D.7?|L = tl P‘R |“k (*356-221).
Вспоминая, что относительное произведение имеет арифметическое пред-
ставление в виде суммы, мы можем выразить последнее предложение сло-
вами: предел суммы данного вектора и множества векторов есть сумма
данного вектора и предела данного множества. Отсюда мы легко выводим,
что если RPS, то Хк7?/Хк‘5, откуда следует, что
Хк f ке 1 -4 1 (*356-26).
В следующем ряде предложений (*356-3—33) мы устанавливаем связь от-
носительного произведения Хк и Ук с арифметическим произведением ХхгУ,
Principia Mathematica III
♦356. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
411
где “хг” имеет значение, определенное в *314. Требуя здесь лишь сериаль-
ность и делимость к, получаем
Хк|Ук = (ХхгУ)к (*356-33).
Это предложение является аналогом *351-31 (за исключением того, что
Kt заменено на к); оно имеет аналогичное значение и используется для
аналогичных замечаний.
В следующем ряде предложений (*356-4—43) мы доказываем, что пре-
дел точек сегмента пропорций есть точка их предела, иными словами,
что предел множества точек, координаты которых образуют сегмент ра-
циональных чисел, есть точка с координатой, представляющей собой пре-
дел данного сегмента. Здесь мы вновь потребуем, чтобы наше семейство
было полу-Дедекиндовым; тогда, если § —сегмент пропорций, а X = то
высказанное предложение примет вид
(Хк 'R)'a = seq q 'Аа “AR = seq q 'Аа “~%‘R (*356-43).
Здесь Хк 'R — вектор X, (Хк 'R)'а — точка X; AR и содержит элемен-
ты, каждый из которых есть класс векторов элементов наконец,
или Аа “J? 'R — класс точек элементов Более того, X есть реляционное
вещественное число. Таким образом, вышеприведенное предложение утвер-
ждает, что точка X есть сегмент (т. е. предел) точек пропорций, содержа-
щихся в X; т. е. тех пропорций, которые можно считать меньшими, чем X.
Далее (*356-5—54) мы переходим к установлению связи между относи-
тельным произведением векторов и сложением их мер. Здесь мы требуем,
чтобы семейство к было полу-Дедекиндовым, а также сериальным и дели-
мым. Затем мы обнаруживаем, что если X, Y — реляционные вещественные
числа, a R — ненулевой вектор, то
(XK‘R) | (YK‘R) = (Х+Л)/Я (*356-54).
Это предложение является аналогом *351-43 и используется для аналогич-
ных замечаний. Его доказательство проводится без каких-либо трудностей
посредством *356-43.
В последней группе предложений (*356-6—63) мы доказываем, что веще-
ственное число, измеряющее рациональный вектор, является вещественным
числом, соответствующим пропорции, которая есть его мера; т. е. если X —
пропорция, то вектор, находящийся в пропорции X к единице, имеет ве-
щественное число s'li'X в качестве своей меры. Следует напомнить, что
рациональные вещественные числа не должны отождествляться с рацио-
нальными дробями, все, отличающееся от целых дробей (т. е. дробей вида
v/1), должно отождествляться с кардиналами. Вещественное число, соот-
ветствующее пропорции X, есть s'T^'X; это и есть то, что мы называем
“рациональным вещественным числом”. При измерении, когда мы изме-
ряем пропорциями, если R — наша единица, то X будет мерой Х[к7?; но
когда мы измеряем вещественными числами, мера X [ k'R должна быть
вещественным числом. Таким вещественным числом, являющимся мерой
X [ к‘Я, будет, по нашему определению, вещественное число Z такое, что
к‘Я = ргес .
Таким образом, мы должны доказать, что если X —пропорция, то послед-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
412
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
нее уравнение удовлетворяется, если положить Z = s‘7?‘X. Для этого тре-
буется, чтобы к было сериально, делимо и полу-Дедекиндово; тогда
X е С'Н. э . (s'15'Х) к = X С к (*356-63).
Таким образом, хотя “чистое” вещественное число sH^'X не тождествен-
но “чистой” пропорции X, тем не менее “прикладное” вещественное чис-
ло (54^‘Х)к будет тождественно “прикладной” пропорции Х£к. Этот факт
объясняет, почему укоренившаяся привычка смешивать рациональные от-
ношения и вещественные числа не приводит к каким-либо особым ослож-
нениям.
*356 01. Хк = ргес(С/к)|^ Г к Df
*356-1. F:./?eK.o:S = XK'R. = .S = ргес (£7К)‘^‘Я [(*356-01)]
*356-11. F:./?eK.z>:S = (s‘^)K‘R . =. S = ргес [*356-1 .*336-12]
*356-12. F KeflWsrsubm .
X, YeC'.RtKd .aes'd"K. Q=s'Kg .P=UK.^>:
XH’Y . = k‘R) P (Y t к‘Я). в . {(X [ к‘Я)‘а) Q {(У [ к‘Я)‘а}
[*352-73 . *336-4]
*356-13. F : ке TTWsr subm .Лека . aes‘Q“K. Q = s'k^ . P = t/K . э .
H' = (C'H') ]AR’>P = (C‘H') ]ARiAaiQ [*356-12]
*356-14. F : Hp *356-13. . P IC‘Rk = k] AR’H' [*352-72]
*356-15. F : Hp *356-13 . X c C'H .X = s‘‘k.z>. maZp^'R = к 1 АЛ“таЗя‘Х
Доказательство.
F. *352-41. □F:Hp.3.Kn^cC‘^.l‘/?=As“l (1)
F . (1). *356-14 . э F : Hp. э . majtP‘~%‘R = тй (P [ С‘ЯК)С?‘Я
[*356-14] = к] : э h . Prop
*356-16. F:Hp*356-13 .XeC‘0.X = . =>. fnaV^‘7? = Л [*356-15]
*356-17. F : Hp *356-16 . э . XK = It /^ [ C'P [*356-16]
*356-18. F : кеFMconnex . z>. XK e 1 -> Cis [*206-161 . *336-62 . (*353-01)]
*356-19. F :. кеЕ-Wsr. 7’= #K . =>: ZeC‘H. =>. Z [к’РсР
Доказательство.
h . *336-511 . э h Hp . R, S e к. ц, v eNC ind - i‘0. Z = ц / v . э :
RPS . = . R^PS* .
[*350-43] э : RPS . M = (p / v) [ к4/?. N= (ц / v) [ k‘S . э . M^PIT .
[*336-511] э . MPNэ h . Prop
*356-191. h : Hp *356-19 . X e s“C‘O .d.X[k|PgP|X[k
Доказательство.
h . *356-19 . э
h Hp . э : XeC‘0 . X = s'h. Z ek. . Z [к \ P cP | Z £ кэ h . Prop
*356-2. h : Hp *356-16 . цеС‘0 . LeX- ц . э . к] A^'Le
Доказательство.
h . *310-11 . z> h : Hp . э . Lep'^H^^i.
[*206-6 . *352-12] э. к] AR‘Lep'K]AR'H"AR"ii.
[*336-14] э . к] AR'Lep‘<P“AR''ii: э F . Prop
Principia Mathematica III
♦356. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
413
*356-21. h KeFMsr subm . Cnv‘s‘Ka esemi Ded. X, Yes“C‘&. z>:
a X = a ‘ Ук = Ka : XK = YK . а . X = Y
Доказательство.
I-. *356-16 . *214-7 . э
I-: Hp. X, цeC‘0. X = s‘X. Y = s‘|x. R eKg . z>. E ! XK‘R. E ! YK‘R (1)
h . (1). *356-2 . эННр(1).Р=Ск-а !Х-р..э.(Ук‘Л)Р(Х1С‘Л) (2)
Аналогично h : Hp (1). P- UK . 3 ! Ц- X. z>. (XK'R) P(YK‘R) (3)
h . (1). (2). (3). э h : Hp (1). XK‘R = YK‘R. э. X = p.
[Hp] э.Х=У (4)
F . (1). (4) . э F . Prop
*356-211. F : a,xeNC ind - i‘O .veNC ind - i‘O - t‘l . э.
(a+c x)v>av+c (v xcav”clxc x)
Доказательство.
I-. *113-43-66 . *116-34 . э F. (a+c x)2 = о2+с (2xcaxc т) +cx2 (1)
F . *126-5 . э F Hp . э : (a+c x)v>av+c (v xcav“clxc x). э .
(a+c x)v+cl>av+cl+c (v xcavxc x) +c (avxc x) (2)
F.(1) . (2). Induct . э F . Prop
*356-212. F : p >a. p, a, £ e NC ind . э . (g v). v e NC ind . pv>avxc£
Доказательство.
F. *356-211 . э
F : Hp . v e NC ind . p = a+c x. э. pv>av“cl xc {a+c (v xc x)} (1)
I- . (1). *126-51 . э F: Hp (1). a+c (v xc x) >axc£ . э . pv>avxc£ (2)
F . (2). *113-43 . *120-416 . *126-5 . э
h : Hp (1). v xc x >axc (£-cl) • э . pv>ovxc£ : э F. Prop
*356-213. F : p >o. p, a, r] e NC ind . rj / 0. э . (g v). v e NC ind. pvxc r] >avxc §
Доказательство.
F . *356-212 . э F : Hp . э . (gv). veNC ind . pv>avxc £ : э F . Prop
*356-214. F : p, a e NC ind - i‘O. p >o . X e C'H. э .
(gv). v e NC ind . (p / o)yHX [*356-213]
*356-215. F : XeC‘0 . p, aeNC ind - i‘O . p >a. э . (gX). XeX .Xx^ p / eX
Доказательство.
F . *305-142 . Induct. э F Xc C‘H. g ! X. veNC ind - i‘O:
XeX . эх . Xxs p / aeX : э : XeX . эх . Xxspv / av eX :
[*356-214] э:Я“Х = С‘Н (1)
F . (1). Transp . э F . Prop
*356-22. F : Hp *356-13 . Q e semi Ded . э . tl /S {5 e к: (gv). R = Sv} = I [ C‘Q
Доказательство.
F. *336-511 . э F Hp. L = tl/>‘5 {(gv) ./? = 5V}. p, veNC ind- i‘O. э :
S eK.5^v =R.z>.LyPSy:
[*301-5] э : Тек. Г = /? . э . LyPT :
[Hp] z>:LyP*L (1)
F.*337-21 ^F:Hp. veNC ind-i‘O-t‘1 .£ек^.э.£РГ (2)
F . (1). (2). э F : Hp . э . L ~ e : э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
414
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*356221. F : Нр *356-19 .<2 = sKd.kcK.L = tl . Rek$ . d . /? | L = tl p‘R |“X
Доказательство.
F . *334-15 . *336-411 . э F Hp . э : LPM . z>. (R\ L) P (R\ M):
[Hp] э : MeX . э . (R | L) P (R | M):
[*37-61] э:Я|“ХсХ‘(Я|£) (1)
F. *336-41 . э I-: Hp. (R | L) PM. a .(^N). N eKg. M = R\L\N.
[*330-31] a.(^N).NeKd.R\M = L\N.
[*336-41 . *334-13] . LP(R\ M).R\ MeKg . (2)
[Hp] z>.(^N).Ne'k.NP(R\M).
[*336-411.(2)] ^>.^N).NeX.(R\N)PM.
[*37-1] э.А/еР“Л|“Х (3)
F. (1). (3). *207-21 .эк.Prop
*356-23. F : Hp *356-22 . RPS . э. (gv). veNCind-1‘0. [{(v +cl) / v) [ к‘Я] PS
Доказательство.
I-. *356-22-221 . э F : Hp . X = t {T = к: (gv). R = Г]. =>. tl/Я |“X = R.
[Hp] э.(дТ).ТеХ.(Я|Г)Р5.
[Hp] э . (gv). v e NC ind -1‘0. {/? | (1 / v) [ к‘Я) PS .
[*350-62 . *334-32] э . (gv). v e NC ind - i‘O. [{(v +c 1) / v}[ к‘Я] PS : z> F. Prop
*356-231. F:Hp *356-23 . э . (gv). veNC ind - i‘O. SP[{(v-J) / v) [к‘Я]
[Доказательство аналогично *356-23]
*356-24. F:Hp *356-23 . Xe Ñё0. э . XK7?/XK‘S
Доказательство.
F.*356-23. э F : Hp. XeС‘0. X = i‘X. z>.
(gp,o). p, oeNC ind -1‘0. p >o. {(p / о) [ к‘Я) PS .
[*356-215] z>. (gp,o, У). p, о e NC ind -1‘0. p >o. Y e X. Yxs p / о ~ e X.
{(р/о)[к‘Я}Р5.
[*336-511] э . (gp,o, У). p,oeNCind -1‘0. p >o. YeX. Ух5 p / oep‘J/“X.
{У [к‘(р/о)[к‘Я}Р{У[к‘5).
[*351-31 . *356-13] э . (gp,o, У). У [ к‘(р / о) [ k‘R e p‘*P“1'R n P‘C?‘S .
[*356-1] э . ХК‘Я / УК‘Я: э F . Prop
*356-25. F : Hp*356-22 . Xes“C‘0. э.Хк‘Яс£)
Доказательство.
F . *356-1'21 . э I-: Hp . э . XK7? e Ka (1)
F . (1). *41-3 . э F . Prop
*356-26. F : Hp *356-25 . э . XK [ к e 1 1
Доказательство.
F . *356-24 . Transp . э F : Hp . R, S e k# . XK‘R = XK'S . э .R = S (1)
F . (1). *356-18'21 . dF. Prop
*356-3. F Ke/*Mapconxsubm . s‘Pot“KCK. p, veC‘0 .R, S ek. d :
R (s‘p, xr s‘v) S . = . R {(s‘h) Г k I U‘v)} S
Доказательство.
F . *314-14 . *313-21 . dF: Hp. о . s‘p xr s‘v = s‘s‘p, x/‘v (1)
F. (1) .=>F:.Hp.D:fl(s>xrs‘v)S . = . (g Л/, N). M e p. Ne v . R (MxsN) S .
[*351-31'22] = . (g M,N).Me\l.Nev.R(M Гк|^5 :.dF. Prop
Principia Mathematica III
*356. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
415
*356-31. h : KeFM ар conxsubm . 5‘Pot“K с к. X, Y е s“C‘® • э .
(ХхгУ) t к = (X С к) | (У [ к) [*356-3]
*356-32. h : к е FM sr subm . X, У е s‘‘С‘0 . R е . э . XK'YK'R = (X | У) K'R
Доказательство.
1-. *356-191 . э 1-Hp. э : 5 екпТ‘/?. э . кГ)Ъ c P'^Y^R:
[*37-63] э : Х“(кпТ‘Л) с Р“3‘УК‘Я (1)
h. *305-6 . э 1-: Hp. XeC‘0. X= sX.Z,Z'eX.ZHZ' .o.
ZtK‘YK‘R = Z' [k‘(Z|Z') [к‘Ук‘Я.
[*356-12] d.Z tK'YK'ReZ' Ik“~P‘Yk‘R.
[*356-17] d.Z [KT/fleZ' [к“Р‘Т‘Л.
[*356-19] d.Z [K‘rK‘/?eP“Z' [к*1?*/?.
[Hp] э.г[кТк‘ЯеР“Х“Т‘Я (2)
Ml).(2). □ ннр. э.р‘гФя=р‘‘1‘кк‘/г.
[*356-1] э . (X | К) K‘R = XK‘YK‘R: э 1-. Prop
*356-33. h : Нр *356-32 . э . Хк | Ук = (ХхгУ) к [*356-31-32]
*356-4. h : к е FM conx . Q = Cnv‘s‘Ka . S ек . асС‘Й . 3 ! а . Е ! seq (/а . э .
S ‘seq q‘а = seq q‘S ‘ ‘а
Доказательство.
h . *330-563 . э F : Нр . э . 5‘seq£/a€p‘i2“5“a (1)
h . *37-1 . oh:: Нр . э 5‘ze 2“р‘<2“3 “a . = :
(ЗУ): х е a . эх . S 'xQy : yQS ‘z :
[*330-542] = : (3 w): х е a . эх . S 'xQS ‘w : S 'wQS lz:
[*208-2] = : (зи>): x e a . dx . xQw: wQz:
[*37-1] = -.ze&‘p‘&‘a (2)
h.(2). Transp. э F Hp. z>: z~e . = . S‘z ~ e Q“p‘lQ“S“a (3)
h.(1). (3). *330-542 . э h . Prop
*356-41. I-KeFM conx. trs. P = UK . Q = s‘k^ • aeC'Q Дск.д ! X. э :
2V = seqp‘k . = . Nek. seqg‘Aa“k = N'a
Доказательство.
h . *336-43-2 . *206-61 . z>
h Hp . z>: N = seq/k . = . Nek . Aa'N = seq (6 [ Аа“к)‘Аа“Х (1)
h . *206-211 . э h : Hp . b = seq0‘Aa“X . э . (3/?). R ek . R'aQb .
[Hp] z>. (35). S ек. bSa .
[*336-11] z>.Z?eAfl“K (2)
h . (1). (2). э h Hp . э : N = seq/,‘k . = . Nek . Aa'N = seqg‘Afl“k (3)
h.(3). *336-11 .2>h. Prop
*356-42. h : Hp *356-41 . E ! seq/k . э . (seqp‘k)‘a = seq2‘Aa“X [*356-41]
*356-43. h : Hp *356-22 . £ e C‘0 . X = . a e C'Q. э .
(XK ‘R) 'a = seq Q 'Aa' 'AR' = seq Q ‘Aa ‘ 'R
[*356-42-11-21 .*336-12]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
416
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*356-5. I-: Нр *356-22 .
X, У е s“C‘O . cieC'Q ./?бК.к = кПА*7?.р, = кП?7?. э .
(Хк7?)‘(Ук7?)‘я - seq^J^seq^/Fp/a
Доказательство.
h . *356-43 . *336-12 . э F : Нр.э. (Хк‘Д)‘(Ук‘Д)‘а = seq q^^R)1 а
[*356-43 . *336-12] = seqQ‘Fl‘seq(2‘FjI‘a : э F. Prop
*356-51. F : Hp *356-5 . э . (X+rY)K‘R = seq/s‘k
Доказательство.
F . *356-11 . *314-13 . э I-: Hp . T] e C‘O . X = . Y = s‘t] . э .
(Х+ГУ) kR = seq/A/‘(£ Ъ П)
[*312-32 . *311-11 . *308-32] = seq/Ap's^“q
[*336-11 ] = seqp W {(gL, M). L e £ . M e tj . N = (L+aM) £ к‘Я}
[*351-43] = seq/JV {(gL, M). L e § . M e t] . N = (L £ к4/?) | (M [ к‘Д)}
[Hp] = seq p W {(g U, W). U e к. W e p. W = U | W}: э F . Prop
*356-52. F : Hp *356-5 . э . {(Х+гУ)к7?}‘я = seq(2<(5tk)“J7p‘a
Доказательство.
F . *356-51 . э F: Hp . э . {(Х+гУ)к7?}‘я = (seq/.fXHpXa
[*356-42] = seq£/Afl“5‘X P‘p,
[*336-11] = seqQ‘x {(дХ,У). X e X . Y e p . x = (X | У)‘а}
[*41-11] = seq^/x {(gX). Xek . xeX“Fp‘a}
[*41-11] = seq£/(s‘k)“Fp‘a : э F. Prop
*356-53. F : Hp *356-5 . э . seq^/F^seq^/FjVa = seq0‘(54k)“Fp‘t7
Доказательство.
F . *356-16 Hp . z> . seq^fF^seq^/FjVa = It ^‘J^seqg'FjVa
[*41-11] = It q'x {(gL). Le\ . x = L'seqg's'ii'a}
[*356-4] = It q'x {(gL). LeX . x = seqG‘L“Fp‘a}
[*356-16 . Hp] = It q'x {(g£). LeX . x = It (/£“Рр/я}
[*207-55] = It q's'o. {(gL). Le\ . a = L“Fp‘a}
[*41-11] = It 0‘(s‘k)“Fp‘a
[*356-16] = seqG‘(s‘k)“rptfl : э F . Prop
*356-54. h : ке FMsr subm . Cnv‘‘к<э esemi Ded . X, Ye s“C‘O . Rek# . э .
(Х/Я) | (YK‘R) = (X+rY^'R [*356-5-53-52]
*356-6. h : keFM sr . Rek# . P = UK . Q = s'k# . XeC'H . э .
KOAs'^'Xc^'XtK'/?
Доказательство.
h . *37-6 . э1-:.Нр.э:Л/еАл“^‘Х. = . (g У). YHX. MYR.
[*352-7] э . MP(X [ K'R)э I-. Prop
Principia Mathematica III
*356. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
417
*356-61. h : Нр *356-6 . к € FM subm . Q е semi Ded . SP (X £ к4/?). э .
(3У). YHX.SPiY [к4/?)
Доказательство.
К *356-231 . эННр. э. (av). veNC ind - i40 . SP [{(v-Д) / v} [k4X [k4P]
[*351-31] z> . (av). v eNC ind -140. SP [{(v -Д) / v xsX} [ к4Я]
[*305-71-51] э . (аУ). YHX .SP(Y[ к4Я): э h . Prop
*356-62. h : Hp *356-6 . к e FM subm . Q e semi Ded . э .
[к'ЛсГ'А/^'Х [*356-61]
*356-63. I-: Hp *356-62 . z>. (s‘7?‘X) K = X [ к
Доказательство.
h . *356-6-62 . э h : Hp. z>. X [ k‘R = It P‘AR“11‘X.
[*356-11] э.Х[к‘Я = (5‘7?‘Х)к7? (1)
h . (1) . *356-21 .oh. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
418
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*359. Теоремы существования для вектор-семейств
Краткое содержание *359.
В настоящем параграфе мы, допуская аксиому бесконечности, доказы-
ваем существование вектор-семейств различных видов, рассматриваемых
в предыдущих параграфах.
Если Р — вполне упорядоченная серия, не содержащая последнего тер-
ма, то обращения интервальных отношений, т. е. класс finid‘P, образуют
открытое семейство ёР(*359-11). Если Р~прогрессия, то это семейство
сериально и инициально (*359-12).
Семейство, состоящее из результатов сложений положительных пропор-
ций с положительными пропорциями (включая ОД т. е. состоящее из всех
термов вида (+5Х)[;С‘Я', где ХеС'Н', инициально, сериально, открыто и
делимо (*359-21) при допущении аксиомы бесконечности. Семейство, со-
стоящее из результатов обобщенных сложений положительных пропорций
с обобщенными пропорциями, сериально, открыто и делимо, но не иници-
ально (*359-25). Семейство, состоящее из результатов обобщенных умноже-
ний положительных пропорций, отличных от 0^, на положительные про-
порции, отличные от 07, открыто и связно, но не сериально и не делимо
(*359-22); если же мы ограничим множители на дроби, не меньшие 1/1, се-
мейство становится сериальным (*359-25). Семейство, состоящее из резуль-
татов сложений положительных вещественных чисел с положительными
вещественными числами (включая 1‘0Д сериально, инициально и делимо
(*359-31); семейство, состоящее из результатов обобщенных сложений поло-
жительных вещественных чисел (включая i‘0^) с обобщенными веществен-
ными числами, сериально и делимо, но не инициально (*359-32). Анало-
гичные предложения имеют место и для умножения при условии, что i‘09
опускается; однако получающиеся семейства не будут сериальными. Если
же поле ограничивается положительными вещественными числами, а мно-
жители ограничиваются числами, не меньшими чем 7?‘(1/1), что представ-
ляет собой вещественное число 1, то семейство становится сериальным.
Последние предложения параграфа (*359-4—44) имеют своей целью до-
казательство того, что для данного семейства к с полем р и коррелятора S
между аир, St “к представляет собой семейство с полем а, обладающее
теми же свойствами: связность, открытость и т. д., что и исходное семей-
ство к. Следовательно, если к —семейство, поле которого суть веществен-
ные числа, и задан произвольный класс а, подобный вещественным числам
(иными словами, поле произвольной непрерывной серии), и если S— кор-
релятор между этим классом и вещественными числами, то St “к пред-
ставляет собой семейство с полем а. Следовательно, из наших предыду-
щих теорем существования мы выводим для произвольного а существова-
ние инициального сериального семейства, дающего нам систему измерения
для а. Аналогично, когда а подобно рациональным числам.
Principia Mathematica III
.359. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
419
*3591. к: PeQ. ~ Е ! В'Р. э. finid‘PeCl ех'ст'С'Р
Доказательство.
I-. *260-23-28 . э к:Нр.э. finid'P с 1 -»1 (1)
I-. *121-302 . э к:Нр.э. D‘P0 = С'Р (2)
I-. (2). *121-302-35 . *260-28 . э
k : Нр. v е NC ind . D‘PV = С'Р. э. D‘Pv+cl = С'Р (3)
к . (2). (3). Induct. э к : Нр. Реfinid'P. э . D‘P = ёР(4)
к. *121-322 . э к :Pefinid‘P. э . Q'R = С'Р (5)
к . (1). (4). (5). *330-1 .эк. Prop
*359-11. к : Р е Q. ~ Е ! В'Р. э . finid‘£еfm ар'С'Р
Доказательство.
к. *260-28 . *121-352 . э к : Нр. э . finid'Pe Abel (1)
к.*71-19. э к : Нр . [х, veNC ind. g ! Ри | П J. э . [х^ v (2)
к.*121-35. э к : Нр(2). р > v. э. Ри | Pv сРц-сУ .
[*91-6. *121-36] э.(Р(1|ЛДроС/ (3)
Аналогично к : Нр (2). v > |х. э . (Ру. | Pv) ро GJ (4)
к. (2). (3). (4). э к : Нр . Le(finid‘P)ia . э . Lpo G J (5)
к. (1). (5). *359-1 .эк. Prop
*359-12. к: Реш . к = finid'P. э. Kefmsr init 'С'Р. s'k# = Р
Доказательство.
к . *263-14-141 . *122-1 . э к : Нр. э. Fi&B'P = С'Р (1)
к. *263-14-141 . эк:Нр. э.5‘Ка = Р. (2)
[*334-31 . *359-11] э . к е FM sr (3)
k . (1). (2). (3). *335-14 .эк. Prop
*359-2. к : Infin ах. к = R {(gX). X е С'Н'. R = (+.Х) t С'Н’}. э.
KeFM. s'Kg = Н’
Доказательство.
к . *306-54-25 . *304-49 . э к : Нр . э. кс 1 -> 1 (1)
к . *306-25 . *304-49 . э к : Нр .Рек. э . Q'R = С'Н’. D‘P с С'Н' (2)
к . *306-11-31 . эк :Нр .Р,5 ек. э .Р15 = 5 |Р (3)
к . *306-52 . эк: Нр. э. s'k# = Н' (4)
к.(1).(2).(3).(4).эк.Prop
*359-21. к: Нр *359-2 . э . кеFMinit sr subm . Рка = Н'
Доказательство.
к . *306-24 . э к : Нр. э. Pi^‘O9 = С'Н' (1)
к . *306-41 . э
к:. Нр. XеС'Н'. |х, veNC ind - i‘O. S = {+, (ХхД / v)} [ C'H'. э :
= {+, (Xxs fx / v)} [ C'H'. э . SH+ci = {+j (Xx, [x +cl/v)} [ C'H' :
[Induct] э:^ = {ъ(Хх5|х/¥)| [C'H'-.
[*305-51] э:5у = (+Д) [ C'H' (2)
k.(2).*351-1 . *359-2 . э к : Hp . э . кеРЗИsubm (3)
к. (1). (3). *359-2 . *334-31 .эк. Prop
*359-22. к : Infin ax. к = P {(gX). Xe C'H'. R = (+gX) [ C‘Hg}. э .
к e FM sr subm . s‘k^ = Hg
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
420
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
Доказательство проводится так же, как в *359-21, но в данном случае
отсутствует начало. Каждый элемент семейства к есть связующая точка,
т.е. элемент сопх‘к. Это следует из *308-54. Если в *359-21 подставить Н
вместо Я', то предложение будет иметь место, за исключением того, что
в к не будет начала.
*359-23. F : Infin ах. к = R {(gX). X е С‘Я. R = (xsX) £ С‘Я}. э . к е FM ар сопх
Доказательство проводится так же, как в *359-21. Мы должны взять
Н вместо Я', потому что (хДД [ С‘Я' не является 1 —> 1. Здесь не будет
Keffl/subm, так как не каждое рациональное число имеет рациональный
v-й корень.
*359-24. F : Infin ах.
к = R {(gX). X е ClHg -1‘0^ . R = (xgX) f (C‘Hg -1‘0^)}. э .
к e FM ap conx
Доказательство аналогично *359-23.
*359-25. F : Infin ax. к = R {(gX). (1/1) Я* X. R = (x5X) t С‘Я}. э .
KeFMsr . s‘Ka = H
Доказательство аналогично *359-21.
*359-31. F : Infin ax. k = R {(gp). peC‘0'. R = (+p p) [ С‘0'}. э .
к e FM sr init subm . = 0'
Доказательство.
F. *311-74. dF:Hp.d.kc1->1 (1)
F. *311-27 . d F : Hp ./? e к. d . Q7? = C‘0' .D‘/?cC‘0' (2)
F . *311-43 . э F : Hp . э . i‘09 t C‘0' = init ‘к (3)
F . *311-12-121 . э F : Hp . э . к € Abel (4)
F. *311-65. э F : Hp . э . 5‘k^ = 0' (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э F : Hp . □. ke FM sr init . = 0' (6)
F . (6). *310-151 . *351-11 . э F : Hp . э . к e FM subm (7)
F . (6). (7). э F . Prop
*359-32. F : Infin ax. к = R {(gp). peC‘0' .R = (+a p) [ C‘0g}. э .
к e FM sr subm . s‘Ka = 0g
Доказательство проводится так же, как в *359-22. Сходным образом мо-
гут быть доказаны и аналоги *359-23-24-25 для вещественных чисел; полу-
чающиеся в результате семейства будут делимы, однако при этом необхо-
димо опускать i‘O9 из их полей.
*359-4. F : КЕС1ех‘сг‘0 . S есх sm (3 . э . 5|“кеС1ех‘сг‘а
Доказательство.
F . *330-1 . *71-252 . э F : Нр . э . 5f“K с 1 -> 1 (1)
F. *150-21-211 .*330-1 . DF:Hp./?ESt‘‘K.D.a7? = S‘^ .В‘Яс(ГЯ.
[*73-03] э.О‘/? = а.В‘/?са (2)
F . (1). (2). *330-1 . oF.Prop
Principia Mathematica III
♦359. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВ
421
*359-401. h : к е Abel. S eCis —> 1 . ДГ‘кс Q‘5 . э . 5|“ке Abel
Доказательство.
к.*72-601. эк:.Нр.э:Р,еек.э.Р|5 |5 = P.Q\S |S = Q. (1)
[*i5o-i] D.cst/wte) =siPieis
[*330-5] =5ieiP|5
[(1). *150-1] =(5tC)l(StP) (2)
k. (2). *330-5 .эк. Prop
*359-41. к : Kefm‘0.5 ea sm 0 . э . 5t“Kefm‘a [*359-4-401 . *330-51]
*359-411. h : keFM . aeconx ‘k . S e 1 —> 1 . s‘Q“k = Q‘5 . d . S‘aeconx ‘5|“k
Доказательство.
h . *151-11 . э h : Hp . P = S ; s-‘k . э . S ePsmor (s‘k) .
[*151-33] э .>5 "a U Ip'S "a - 5 “Рк‘я U S “FK‘a
[*331-1] =S“5‘(I“k
[*330-13. *150-211] =(TS 5 Гк
[Hp] = a? (1)
k . *150-16 . э k : Hp (1). э . P = (2)
k.(l). (2). *331-1 .эк. Prop
*359-412. к : Kefmconx‘0 .Sea sm 0. э . 5t“Kefmconx‘a
[*359-41-411]
*359-413. к : KeFM ар. S e 1 —»1. j‘Q“k = Q‘5 . э . .$|“ке /-Мар
Доказательство.
к.*72-601. эк:Нр.Р,еек.э.(№Р)|(5 'Q) = S '(P\Q) (1)
к . (1). *150-4 . э к : Нр (1). g ! (S 5 Р) | (S i Q) П J. э. g ! Р | Q П J.
[*333-101] э.(Р|2)росУ.
[*220-21] э.5 5(^|0pogJ.
[*150-83] э.{5!^|е)}росУ (2)
к. (1). (2). э к Нр. э :X, Уe5t“K.g !Х| У П J. э. (Х| У),» G J (3)
к. *359-4. э к : Нр. э . .?|“ке 77И (4)
к . (3). (4). *333-101 .эк. Prop
*359-414. к: KeFM. S е 1 —» 1. 51G“k = CPS .a = init ‘к. э. S'a = init ‘5|“к
[Аналогично *359-411 ]
*359-415. к : ке/-М subm .Sei—> 1. G‘5 = 51G“k. э. 5|“ке PiWsubm
Доказательство.
к.*301-21. э к : Нр. Уек. veNC ind . э. У“+с1 = Г | У (1)
к . (1). *72-601 . э к : Нр. 5 ’ У“ = (5 > У)v . э . 5 ; = (5 ’ У) v+<d (2)
к. (2).Induct. эк:Нр(1).э.5 ;yv = (5'iy)v (3)
к. *351-1 . э к: Нр. veNC ind - i‘O. Хек. э . (дУ) .Х= Р1. Уек.
[(3)] э . (дУ). Уек. 5 > Х = (5 ’ У)v (4)
к . (4). *351-1 . *359-41 .эк. Prop
*359-42. к: д ! fm сопх ар subm ‘0 . a sm 0 . э. д ! fm сопх ар subm 'А
[♦359-41-412-413-415]
*359-43. к:Ре1+т].э.д ! FM init sr subm П к ($‘Ка = F)
[*359-42-21-414 . *274-44 . *123-18 . *304-47 . *273-4]
*359-44. k: Nr‘P+i = 0. э . д ! FM init sr subm П к($‘ка = Р)
[*359-42-31-414 . *275-3 . *310-15 . *204-47]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 4.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
Краткое содержание главы 4
Развиваемая нами теория измерения до сих пор применялась только
к открытым семействам. Однако чтобы иметь возможность рассматривать
такие объекты, как углы в точке или эллиптические прямые линии, необхо-
дима теория измерения, которая применима к семействам, не являющим-
ся открытыми. Соответствующая теория кратко излагается в настоящей
главе.
Если семейство не открыто, то два вектора, находящиеся в одной про-
порции, как правило, будут находиться и во многих других, т. е. будет
неверно д!Х[кПК[к.э.Х=К, где X, Y — пропорции. Кроме того, про-
порция, ограниченная на семейство, не будет в общем случае одно-одно-
значной. При таких обстоятельствах необходимо, если мы хотим, чтобы из-
мерения были возможны, определить некоторый способ выделения из мно-
гих пропорций двух векторов одной, “главной”, пропорции, а затем пока-
зать, что, ограничиваясь главными пропорциями, мы остаемся с нужными
свойствами пропорций.
Для иллюстрации такой процедуры обратимся к случаю углов. С гео-
метрической, но не кинематической точки зрения, вектор, кратный 2л, тож-
дественней нулевому вектору, а если 0 — произвольный угол, то 0 = 2ул + 0,
где V —любое целое, положительное или отрицательное. Здесь мы рассмат-
риваем угол как вектор, поле которого состоит из всех лучей, выходящих
в данной плоскости из данной точки. Таким образом, имеется два угла,
составляющих половину от нулевого вектора, а именно л и 2л; четыре уг-
ла, составляющих четверть от нулевого вектора, а именно л/2, л, Зл/2 и
2л; и т. д. Отношение л/2 к л есть любое число вида (2 ц + 1) / (4 v + 2); так
что два терма могут иметь много различных отношений.
424
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
Чтобы избежать указанной трудности, мы сначала упорядочим углы
в серию, заканчивающуюся на 2л и не имеющую первого элемента, в ко-
торой элементы следуют от меньшего к большему углам. Тогда углы, на-
ходящиеся в данном отношении ц/v к данному углу, будут конечны по чис-
ленности, и, следовательно, один из них будет наименьшим. Мы примем
его в качестве “главного” угла, имеющего отношение ц/v к данному углу,
и определим (ц/vX как отношение между двумя углами, заключающееся
в том факте, что первый из них есть “главный” угол, который находится
в отношении ц/v ко второму. Тогда среди всех пропорций между двумя
углами пропорция ц/v может рассматриваться как “главная” пропорция.
Мы покажем, что при подходящих гипотезах отношение (цЛ)к обладает
свойствами, необходимыми для того, чтобы измерение было возможно.
Чтобы сделать очерченный выше метод осуществимым, следует припи-
сать семейству к ряд свойств. (Все эти свойства оказываются верифициру-
емыми в случаях, встречающихся на практике.) Таким образом, мы будем
говорить о семействе как циклическом семействе, только если оно удовле-
творяет следующим условиям:
(1) Оно должно быть связно.
(2) Должно содержать ненулевой элемент, тождественный со своим об-
ращением. Это то свойство, которое делает семейство циклическим. В слу-
чае углов таким элементом является л.
(3) Оно должно быть таким, чтобы 1 UK было транзитивно. Это то
свойство, которое позволяет нам упорядочить поле в серию. Как будет по-
казано, UK не может быть транзитивно, поскольку, если Кк — элемент, сов-
падающий со своим обращением, то
(7 Г 5‘(Г‘к) и к кк . Кк и к (I Г 5‘(Г‘К),
но мы не имеем (7 [ s‘Q“k) [7К (7 [ 5‘0“к), потому что UK содержится в раз-
личии (согласно *336-6). Однако возможна транзитивность UK до тех пор,
пока мы не начнем отсчет с 7 [ 5‘0“к, что мы и принимаем в качестве
части определения циклических семейств.
(4) Чтобы избежать тривиальных исключительных случаев, будем пред-
полагать, что к содержит больше двух элементов, так как иначе оно могло
бы состоять только из 7 [ s‘Q“k и Кк.
Все это приводит нас к следующему определению:
FM cycl = (FM сопх - 2) А к {к^ j U к е trans : (3К). К е к# . К = К} Df.
Мы докажем, что существует лишь одно такое отношение, как АГ, и
поэтому положим
Кк = (1К)(К€Кд.К = К) Df.
Ради краткости также положим
IK = I\s‘a“K Df.
Затем мы докажем, что семейство К обладает связанностью и удовле-
творяет условию
D“k= Q“k,
т. е. область всякого его элемента всегда совпадает с общей обратной об-
ластью. Таким образом, в силу *334-21, к; = киСпу“к.
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4
425
В циклическом семействе KUCnv“K состоит из двух взаимно исклю-
чающих частей, а именно и АТкГ‘Кд- (В случае углов KK\R есть л+ 7?.
Так что к«э состоит из углов от 0 (исключительно) до л (включительно),
а ЯкГ‘Кд —из углов от л (исключительно) до 2л (включительно).) Причем
^чсГ‘Кд состоит из обратных к элементов.
Далее мы исследуем (*371) вопрос об упорядочении kUChv“k в серию.
С этой целью, чтобы избежать порочного круга, мы должны воздвигнуть
барьер в некоторой точке; выберем в качестве этой точки 7К. По определе-
нию циклических семейств, 1 UK транзитивно; следовательно, так как на-
ше семейство обладает связанностью, UK £ Ка сериально. Следовательно, это
отношение упорядочивает все элементы Ка в серию, начиная с Кк и продви-
гаясь по направлению к 7К. Чтобы распространить нашу серию на ^К|“ка,
мы должны считать Кк | R предшествующим Кк | S, если R предшествует
5, где R и S являются элементами Ка- Иначе говоря, мы упорядочиваем
£к|“Ка в порядке Кк |; UK t Ка- Это дает серию, которая начинается в 7К и
идет по направлению к KKj не достигая его. Если же взять сумму двух по-
следних серий (в смысле *160), то мы получим серию с полем KUCnv“K,
которая начинается в 7К, идет через АГк|“ка к Кк, а затем продолжается
через Ка по направлению к 7К, снова не достигая 7К. Это отношение обо-
значим WK; его определение есть
^к = ^кГ’^к^Ка^к^ка Df.
Выбирая произвольное начало, вектор можно указать точкой, к которой он
ведет от начала. На рисунке 7К —начало, Кк — точка, противоположная на-
чалу; верхняя полуокружность, включающая оба конца, есть к; не включа-
ющая правый конец,— Ка; нижняя полуокружность, включающая оба кон-
ца, есть Cnv“K; включающая АГК, но не 7К, — Cnv“Kd; включающая 7К, но
не /Ск,-7Гк|“Кд. Тогда начинается в 7К, проходит сначала через ниж-
нюю полуокружность, затем через верхнюю полуокружность, останавлива-
ясь в точности перед 7К.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
426
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
Если к циклично, УУК —серия. Во многих ситуациях, если 7?ек, мы бу-
дем иметь
PWKQ.z>.(P\R)WK(Q\R).
Исследование различных случаев, в которых это имеет место, занимает
большую часть *371.
В оставшейся части настоящей главы наша работа становится более на-
сыщенной обычной арифметикой, чем было до сих пор. Поэтому там, где
рассматриваются кардиналы, мы будем вместо используемой нами явной
записи применять обычную, т. е. мы будем писать р, + v вместо ц +с v и ц v
вместо цхсу. Однако мы оставим ц-су для вычитания, чтобы избежать
путаницы со знаком отрицания класса.
В *372 мы исследуем, что в действительности представляет собой класс
векторов, не превосходящих v-й части полного оборота (например, в случае
углов, не больших 2л/v). Мы определим это посредством отношения WK.
Из рисунка очевидно, что если R — ненулевой вектор, то Ra+iWKR°, кроме
случая, когда RQ принадлежит нижней полуокружности, a Ro+l — верхней,
в котором будет R°WKRa+l. Первый раз, когда это случится, есть первый
раз, когда Ra+{ станет больше полного оборота. Следовательно, если для
каждого числа о, меньшего, чем v, и не равного нулю, R°+lWKR°, то Ra
не больше одного полного оборота, a R, таким образом, не больше v-й ча-
сти полного оборота. Класс таких отношений обозначим vK; поэтому мы
полагаем
v к = (к Cnv“к) A R (о< v. о 4- 0. эа . Яа+1IV к 7?а) Df.
Основные доказываемые нами предложения, относящиеся к данному
предмету, суть
P6vk.pivk2.z>.pvwk(2v
и (что является непосредственным следствием)
P,e6VK.o:Pv = 2v. = .P = 2,
Последнее предложение является основанием теории главных пропорций.
Другим важным свойством vK является
WK“vKcvK,
так что vK — верхнее сечение УУК.
Далее (*373) мы рассматриваем делители тождества, т. е. векторы R
такие, что PV = 7K, где v —кардинал. Здесь мы предполагаем, как и почти
всюду впоследствии, что к —делимое семейство. Сначала мы рассматрива-
ем векторы, которые можно получить из 7К последовательными деления-
ми пополам. Мы знаем, что А\2 = 7К; если Р2 = Я\, то R±KK, потому что
Ку?фКк. Продолжая этот процесс, мы придем к существованию вектора
Q такого, что
22" = /к:р<2г.р/0.эр.е₽//к.
Следовательно, мы легко приходим к результату, что если v —любой ин-
дуктивный кардинал, то существует ненулевой вектор, v-я степень которо-
го есть 7К. (Это нельзя вывести только из KeT^Msubm, так как 7KV = 7K,
и поэтому из определения T^Msubm мы не можем знать, существует ли
Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4
427
какой-либо вектор, помимо 7К, v-я степень которого есть 7К.) Далее мы до-
казываем, что существуют ненулевые векторы, v-я степень которых есть
7К, но ни одна из предыдущих степеней не есть 7К, т. е.
(дЯ): Я е . Rv = I к : о< v. о #0 . эа . R° / 1 к .
Класс таких векторов обозначим (7K,v). Если Я —такой вектор, то число
различных векторов, являющихся степенями Я, равно v. Поэтому степени Я
при упорядочении имеют максимум; так как направлен от больших
к меньшим векторам, этот максимум будет наименьшим вектором, отлич-
ным от 1К и являющимся степенью Я. Для этого вектора мы показываем,
что он является элементом vK, т. е. такой, что если о< v . о ± 0, то Яо+1 УУКЯ°.
Наконец, мы доказываем, что существует только один элемент vK, v-я сте-
пень которого есть 7К. Такой элемент мы можем назвать “главным” v-m
делителем 7К; в случае углов это будет угол 2л/v. В дальнейшем будет от-
мечено, что для 2лц/v тождество всегда является v-й степенью и ни одна
меньшая степень не совпадает с тождеством, если ц взаимно просто с v.
Таким образом, единственность “главного” v-ro делителя вытекает из то-
го факта, что он является элементом vK, так как, согласно доказанному
в предыдущем параграфе, никакой другой элемент vK не имеет ту же v-ю
степень.
Далее, в коротком параграфе (*374), мы распространяем последний из
вышеприведенных результатов на произвольный вектор, доказывая, что ес-
ли Я —какой-либо элемент KU Cnv“к, то в vK существует единственный эле-
мент, v-я степень которого есть Я. Такой элемент можно назвать “главным”
v-м делителем Я. Мы доказываем также в этом параграфе, что если 5 —
главный v-й делитель 7К, то vK состоит из всех векторов, не появляющихся
ранее S в упорядочении УУК, т.е. из всех векторов, не больших чем S.
Наконец (*375), мы определяем “главные пропорции” и показываем, что
они одно-однозначны и взаимно исключительны. “Главную пропорцию”, со-
ответствующую ц/v, мы обозначаем “(ц/vV’. Она определяется как отноше-
ние между Я и 5, имеющее место, когда главный ц-й делитель Я совпадает
с главным v-м делителем S; т. е. мы полагаем
(ц/v^ = Я5 {(gT). Т е цк A vK . Я = . 5 = Tv} Df.
Очевидно, что (цЛОк G (ц/v) £кь; теперь не составляет никакого труда пока-
зать, что главные пропорции одно-однозначны и взаимно исключительны.
Мы не считаем необходимым далее развивать настоящий предмет, по-
скольку, начиная с этого момента, все рассуждения во многом аналогичны
случаю открытых семейств. В настоящей главе мы привели весьма краткие
доказательства, особенно в части чисто арифметических лемм, доказатель-
ства которых совершенно прямолинейны, но громоздки, если выписывать
их полностью.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
428
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*370. Элементарные свойства циклических семейств
Краткое содержание *370.
В настоящем параграфе после уже цитировавшегося определения цик-
лических семейств мы прежде всего доказываем, что только один ненуле-
вой вектор равен своему обращению (*370-23). Его мы определяем как Кк.
Затем мы доказываем, что если R — ненулевой вектор, отличный от Кк,
то R | К к является обращением некоторого ненулевого вектора, a R | К к —
ненулевой вектор (*370-31-311), откуда следует, что
D‘R = Q‘R = 5‘СГ‘к (*370-32),
и, далее, что
D“k = Q“k . к е FMconnex (*370-33).
Далее, из транзитивности 1 U к (в силу определения) следует, что
Кд] Uк~серия (*370-37). Оставшиеся предложения (*370-4—44) касаются
отношений двух полуокружностей — и ^К|“ка (см. рис., с. 425).
Cnv“K = Кк |“к (*370-4),
к A Chv“k = i7K U i‘£K (*370-42),
^к|“К5 =Cnv“K-i‘X'K (*370-43),
и каПАГк|“ка=А (*370-44).
* 370-01. FMcycl = (FMconx - 2) А к {к^ ] Uк е trans : (3^0 • Кек$ . К = К] Df
* 370-02. Кк = ()К)(КеКд.К = К) Df
* 330-03. 1к = 1\^(1“к Df
* 370-1. F :. к 6 FM cycl . = :
к e FM conx - 2. Ка 1 U к е trans : (3ЛГ). К е к# . К = К [(*370-01)]
* 370-11. F:KeRMconx . э . 1 U KQ.J [*336-6 . (*336-011)]
* 370-12. F : к 6 FM conx . к$ 1 U к с trans . R, S e • RU KS .SUkT.d.R/T
[*370-11]
* 370-13. ke FM . К ek . К = К . . К2 = IK [*330-31 ]
* 370-2. F:. к e FM conx . k$ 1 U ke trans . К e к# . К = К. э :
R6Kd.R|^6K.o.RL/K(R| АГ). (R | К) UKR
Доказательство.
F. *370-13. э F : Hp . э . R | AT2 = R (1)
F . *336-41 . (1). э F : Hp . э . RU K (R | K). (R | K) UK R : э F . Prop
*370-21. F : Hp *370-2 . Rek# . R\К ek . . R\К = IK
Доказательство.
F . *370-12 . Transp . э F : Hp . RUK (R | K). (R | K) UKR . э . R | К - ек^ (1)
F. (1). *370-2. dF. Prop
*370-22. F : Hp *370-2 . Rek^ - CK . R\K ~ ek
Доказательство.
F . *370-21 . *330-32-5 . э F : Hp *370-21 . э . R = К (1)
F . (1). Transp . э F . Prop
Principia Mathematica III
♦370. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ
429
*370-23. к:Нр*370-2 . Reks . R = R . R = К
Доказательство.
к.*331-33. зННр. з.Я|ЯекиСпу“к (1)
к . *330-5-52 . *34-2 . зк:Нр. з. R | К = Спу‘(Я I К) (2)
k. (1). (2). з к: Нр. з. R | К е к.
[*370-22 . Transp] з. R = К: з I-. Prop
* 370-24. к:ке7Мсус1 .з.Е! А"к [*370-1-23 . (*370-02)]
* 370-25. Н.кеЛИсуЫ .z>:Rek^.R-R. = .R = Kk [*370-24 . (*370-02)]
* 370-26. k : кеТМcycl . з. Яке Ka . Як = . Д'к2 =/к [*370-24-25-13]
* 370-3. к:кЕЙИсус1 .RUkKk.z>.R = Ik
Доказательство.
к.*336-41 . зк:.Нр.з:ЯЕЯ:(а5).5’ека.Я = Як|5 (1)
k. (1). *370-21-24.3 k. Prop
*370-31. I-: к €/7И cycl .Rek^ - 1‘ЯК. о .R | ЯкеСпу“ка
[*331-33 . *370-22]
*370-311. ННр *370-31 .з./^|ЯкЕКа
Доказательство.
I-. *370-31 . зк:Нр. з.ЯДЯЕКа.
[*330-5 . *370-26] з.Я|ЯкЕКа:зк. Prop
*370-32. I-: keFM cycl . Re к . о. В‘Я = О‘Я = s‘Q“k
Доказательство.
к. *50-5-52. зк.D7K = Q7K = $‘СГ‘к (1)
к . *370-26 . *330-52 . з к:Нр.з. О‘ЯК = а‘Як = $‘СГ‘к (2)
к. *370-31 . *330-52 . з к: Нр .Яека - 1‘ЯК. з. В‘(Я | Кк) = sTT'k .
[*330-52.*34-36] z>.D7? = s‘CI“k (3)
к . (1). (2). (3). о к . Prop
*370-33. к:ке/7Исус1 . з . D“k = Q“k. к eZ-M connex
[*370-32 . *334-42]
*370-34. к : ке FMcycl . з. UK econnex [*370-33 . *336-62 . (*336-011)]
*370-35. к :Hp *370-31 . KKU KR. ~ (RU кКк) [*370-3 . Transp. *370-34]
*370-36. к : кеFMcycl . з. Ka 1 Ukeconnex . C‘Ka 1 UK = к
Доказательство.
k. *336-41. з k : Hp . з . C‘Ka 1 Ukck (1)
k.*370-34. зк:.Нр.Я,5ека.Я^5.з:
Я(ка1 C7K)S.V.S(xa1 UK)R (2)
k.*336-41. эк:Нр.Яека.5 =/к.э.Я(ка1 C7K)5 (3)
k.*336-41. z> k : Hp . 5 EKa • Я = ZK. э . 5 (Ka1 UK)R (4)
k. (2). (3). (4). эk :.Hp.Я,5 ек.Я/5 . э:
Я(ка1 t\)$.v.S(Ka1 UK)R (5)
k . (1). (5). 3 k . Prop
*370-37. k:KEZ^/cycl .з.ка! I/KeSer [*370-11-1-36]
*370-38. kzKEfiWcycl . Я, 5 ек. з .Я15 =S |Я [*330-561 . *370-32]
*370-4. k : keFMcycl . з. Cnv“K = Кк |“k
Доказательство.
k . *370-31. *330-5 . з k : Hp. з. |“(Ka - t‘/CK) с Спу“к (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
430
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
к.(1). *370-26 .эк: Нр. э. Кк |“кс Спу“к (2)
к. *370-311-26 . эННр.Яек. z>.R\Kkek.
[*370-26] э.(а5).5бк.Л = 5 |А\.
[*330-5. *37-6] э.ЛеКк|“к (3)
к. (2). (3). э k. Prop
*370-41. к к е FM cycl . R, S е к. э: (Кк | R) Vк (Кк | S). = . RU к S
Доказательство.
I- . *336-54 . *370-33 . э
k:.Hp.o:(tfK|R)VK(XK|S).S.(aT).TeKd.£K|R = 7’|KK|S.
[*330-5 . *370-26] =.(аТ).Тека.Л = Т|5 .
[*336-41] =.RUKS :. эк. Prop
*370-42. к : кеFMeyeX .э.кПСпу“к = i‘7KUi‘Кк
Доказательство.
к. *370-22 . э к : Нр. RеКа - i‘RK. э . R | R ~ е к.
[*370-311 . Transp] э. Я~ е Ка - (1)
I-. (1). э к Нр . : R,ReK. э. ReCIK U i‘/CK (2)
k. (2). *370-26 .эк. Prop
* 370-43. к : ке ТЗИсус! . э. Кк |“ка = Cnv“K - i‘KK [*370-4]
* 370-44. НкеЛИсус! .D.KanRK|“Ka = A [*370-42-43]
Principia Mathematica III
*371. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
431
* 371. Серии векторов
Краткое содержание *371.
В настоящем параграфе мы прежде всего определяем отношение WK,
которое для циклических семейств занимает место отношения VK, опреде-
ляемого в *336. Определение имеет вид
*371-01. Wk = Kk\>Uk [KaWK [кз Df
Если к — циклическое семейство, то Жк является серией (*371-12), а его
поле есть kUChv“k (*371-14), что = к,, так как к обладает связанностью.
В дальнейшем будет показано, что VK серией не является, если к —цикли-
ческое семейство; например, мы имеем IKV к К к . К KV к I к. Отношение WK
построено так, чтобы в /к образовалось препятствие, не дающее отношению
стать циклическим.
Если Р, Q оба являются элементами Кз или оба являются элементами
Кк |“Кз, то
PWK Q. = . (3Т). Т е Кз . Р = Q | Т (*371-15-151).
Большинство свойств отношения Жк зависит от того обстоятельства, что
К£ 1 UK транзитивно, что имеет место в силу определения циклических се-
мейств. Если к —связное семейство, то
Кз 1 UK е trans . = : P9Q9Q\R9P\Q\ReK# .ReK. . Р | Q е Кз (*371-2).
Данное предложение используется в большинстве последующих доказа-
тельств параграфа. Из него сразу же вытекает
* 371-21. F : ке FM cycl . Р, Q, 2 |Р, Р|2|Рекз.Рек.э.Р|2екз
Большинство предложений настоящего параграфа выявляет ситуации,
при которых можно вывести (P\R)WK(Q\R) из PWKQ. Имеет место пред-
ложение
* 371-31. F :. кеЯИсус! .Рекз:Рекз.У.Р|Р~екз:э:
pwKe.=>.(PiP)wK(eiP)
Другим полезным предложением является
* 371-27. F :. к е FM cycl . P,QeKa .тэ *.PW KQ . = . QW КР
*371-01. WK = Кк |» UK [ Кз WK t Кз Df
*371-1. h ке /ЗИсус! . э :: PWк Q . = :. Р, Qe Кк |“кз :
faR,S).R,SeKa.RUKS . Р = К K\R . Q = К K\S : V:
Р, 2екз.Р^к2^:РеЛГк|“кз.2екз
[*202-55 . *370-34 . (*371-01)]
*371-11. h : ке/*М. Рек. э . (Р|) [ке 1 —> 1
Доказательство.
F. *330-31 . э h : Нр . Р, 5 ек. Р |Р = Р | 5 . э . Р = 5 : э h . Prop
*371-12. Ь:кеЯИсус1 .э. WKeSer [*370-37-44 . *371-11 .*204-21-5]
*371-13. НкеЕИсус! .э. WK = VK [(Chv“k- i‘Pk) WK [кз [*370-41-43]
*371-14. h к e FM cycl . э . C‘WK = kU Cnv“K = K3 U Кк |“кз
Доказательство.
h . *202-55 . *370-34 . *160-14 . э h : Hp . э . C‘WK =Кк |“кз U K3
[*370-43] = к U Chv“k : э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
432
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
* 37115. Н.кеЛИсуЫ . Р, QeK# . : PW к Q. г . (qT). Т ек# . Р = Q\T
[*370-44. *336-41 .(*371-01)]
* 371-151. F:. к e FM cycl . Р, Q е Кк |“ка . о: PWK Q. =. (gT). Т е Ка. Р = Q | Т
Доказательство.
F. *370-44 . *336-41 . з F :. Нр. э:
PW KQ . = .(^R,S ,Т). R,S ,Т ек^ . R = S \Т. Р = К K\R. Q = KK\S .
[*370-26] s . (а Г) .Тека.Р=2|Т:.эЬ. Prop
* 371-152. FzKeTMcycl . РеКк |“ка. 0ека . з. PWK Q [*371-1]
* 371-16. Ь : к еcycl .Р ека. PW KQ.z> . QeKg [*370-44 . *371-1]
* 371-161. Ь:кеИ/сус1 . Qe Кк |“ка • PWK Q. з. РеКк |“ка [*370-44 . *371-1]
* 371-17. Ь:кеЖсус1 . Q,T ека .(Q\T)W KQ .(Q\T)W КТ [*371-15-152]
* 371-18. FzKeTMcycl . з. ^к‘Кк = Кк |“ка • &к'Кк = Ка - СКк
[*371-15-152 . *370-311-22]
* 371-19. Fz.KeTMcycl . Р^ I к PW к К к . = . К KW к Р [*371-18 . *370-43]
* 371-2. F :: к е FM сопх . з:. Ка ] UK е trans. =:
P,Q,Q\R,P\Q\ReKa.ReK. ^>p,q,r . Р | Q е ка
Доказательство.
F. *336-41. з F:. Нр. з: Т (ка 1 UK) S . 5 (ка 1 UK)R. s .
(^P,Q).P,Q,S,TcKa.ReK.T = P\S .S = Q\R (1)
I-. (1). *13-21. э!:: Hp. з:. Ka ] UK e trans. в :
P,Q,Q\R,P\Q\R€Ka.ReK.^p,eJi.(P\Q\R)UKR (2)
F . *330-31-5 . з
Fz.Hp.P, Q,ReK. M ека. P\Q\R = M\R . P\Q = M (3)
F . (3). *336-41 . oFz.Hp.P, Q,R,P\Q\ReK.z>:
(P\Q\R)UKR. = .P\QeKa (4)
F. (2). (4). э F. Prop
*371-21. F -.KeFM cycl . P, Q, Q |K, P| Q\ReK# . Кек. з . P| QeKa
[*371-2 . *370-1]
*371-22. FzKeTMcycl . P,R, P |Кека . PWK Q. з. Q\ReKa
Доказательство.
F.*371-15-16.3F:Hp. з. (gT). Q, T ека . P= Q\T (1)
F.(l). з F:Hp. з.(дГ).е,К,Г,е|Т,е|Г|Кека.
[*371-21] з. Q | R e Ка: з F . Prop
*371-23. FsKeT-lHcycl .TWKS .z>.TWK(S \T)
Доказательство. F . *330-31 . *370-38 . з F : Hp. з. T = 5 | (5 | T) (1)
F. (1). *371-15-16 . зF : Hp. T,5 | Гека. з. Г1¥к(5 | T) (2)
F. *371-15-16. 3F:Hp.TeKa.3.S|TeKa (3)
F.(2).(3). зF : Hp. Гека. з. (5 |T) (4)
F. *371-152 . з F : Hp . 7 ~ e Ka . 5 | T e Ка . з. TWK (5 | T) (5)
F. *371-151-161. 3F:Hp.5 ~ e ка .з .T ~ e Ka . S | T e Ka (6)
F.(5).(6). з F: Hp. 5 ~ ека . з. TWK (5 | T) (7)
F.(l). *371-151. 3F:Hp.T,5 |T~eKa.SeKa.3.TWK(5 |T) (8)
F.(5).(8). зF : Hp. 7~ eKa . 5 eKa. з. TIVk (5 17) (9)
F.(4).(7).(9).3F . Prop
Principia Mathematica III
.371. СЕРИИ ВЕКТОРОВ
433
*371-24. НкеЕМсус! . P,R, Р|Река. PWK Q. э. (Р|Р) WK (Q\R)
Доказательство.
F.*371-15-16. эННр. z>.(^T).P,Q,R,P\R,TeKd.P=Q\T .
[*371-21 . *330-5] э. (дТ). P\R, Q |Я, Тека . Р |Я = Q |Я | Т .
[*371-15] э.(Р|Р) WK(6|P):=>k.Prop
*371-241. \--.KeFMcyd .P,ReK^.P\R~€Kd.PWKQ.^.(P\R)WK(Q\R)
Доказательство.
к. *371-152 . э к : Нр. б IР е ка . э . (Р | Р) WK (б IР) (1)
к.*371-15 .э
ННр.е|Я~ека.э.(яГ).Тека..Р|Я,е|Я~еКа..Р|Я=е|Я|Т.
[*371-151] d.(P|P)Wk(G|/?) (2)
k. (1). (2). э k. Prop
* 371-25. ^-.KeFMcyd .P>ReKe.PWKQ.z>.(P\R)WK(Q\R) [*371-24-241]
* 371-251. НкеЛМсус! . R,R | бека • PWK Q. э. (R | Р) (Р| Q)
Доказательство.
к . *371-25 . Transp. *371-12 . э
НкеРМсуЫ .P,R€Ka.(Q\R)WK(P\R)-^-QWKP (1)
R\Q,R\P
k.(l)—---— .эк. Prop
* 371-26. к:. к cycl . Р, QeK# .V. Р, б~ ека: э:
PWkQ. = .(Kk\P)Wk(Kk\Q)
Доказательство.
к . *371-25 . *370’26 . эк:Нр.Река.Р1¥ке.э.(К К\Р) Wk(Kk\Q) (1)
к. *371-251 . *370-26 . эк:Нр.еека.(^К|Р)1ТК(АГК|е).э.Р1Уке (2)
k . (1). (2). э к:. Нр . Р, бека. э : PIVK б. г . (ЛГК | Р) (Л5К | б) (3)
к :. Нр . Р, Q ~ е ка. э: PW к Q. в . (К к | Р) W к (К к | Q) (4)
к . (3). (4). э к . Prop
* 371-27. k:.KePWcycl .P,Q^ .z>-.PW KQ . = . QW КР
Доказательство.
к.*371-15. э к :. Нр. э: PWK Q. =. (аТ) • Река . Р= 61 Т.
[*370-33] =.(зТ).Тека.б = Р|Г.
[*371-151-19 . *370-43] = • QW КР:. э к. Prop
* 371-3. к:кеРМсус1 .Река . Р |Я ~ ека. PWк Q. э . (Р |Р) WK (б |Р)
Доказательство.
к. *371-27. эк:Нр. э.бИ\Р.
[*371-251] э.(Л|б)И^к(Л|Р).
[*371-27] э. (Р |Я) WK (б |Я): э k. Prop
* 371-31. к :. KeFM cycl .Река:Река.7.Р|Р~ека:э:
PWK6-=>.(P|P)l¥K(6|P) [*371-25-3]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
434
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
* 372. Целые части серий векторов
Краткое содержание *372.
Предметом настоящего параграфа является та часть WK, которая со-
стоит из векторов, не превосходящих v-ю часть полной окружности цик-
ла. При помощи Жк ее можно определить как состоящую из тех векторов
(рассматривая WK как “больше чем”), для которых /?о+1 больше, чем 7?°,
пока a<v. Очевидно, что пока Rv и все предшествующие степени R не
превосходят /к, R удовлетворяет этому условию; но если Ra е К К|“к^, в то
время как /?о+1 ек^, то RaWKRQ*x. Таким образом, наше определение выделя-
ет те векторы, которые, начинаясь в произвольном начале, не идут, после
v повторений, дальше, чем один оборот цикла. Определение имеет вид
*372-01. v к = (к U Cnv“K) A R (a < v. а / 0. эо . Ro+' WKR°) Df
Тогда мы будем иметь lK = KUCnv“K (*372-11), 2к = к^ (*372-13),
H^v.d.vkc[1k, т.е. vK уменьшается по мере возрастания v (*372-15);
v>l.D.vKcKd (*372-16).
Альтернативная формула для vK, иногда более удобная, чем определе-
ние, имеет вид (предполагая v>l):
vк = ко А Р(ц < V . ц / О. Ри+1 еКз . эи . еКо) (*372-17);
т.е. пока p<v, либо приводит в верхнюю полуокружность, либо Ри+1
приводит в нижнюю полуокружность; иными словами, шаг от к
не пересекает 1К. Для четного числа (отличного от нуля) это приводит
к более простой формуле, а именно
(2v) к = ко А Р (ц v. н ± 0. . Р* е ко) (*372-18).
Далее, мы доказываем ряд предложений, приводящих к
* 372-27. h :. к е FM cycl . v е NC ind - l‘0. P e v k . PWKQ . э :
ц О • H / 0 . э . P^WKQ^
откуда, ввиду того, что WK —серия, получаем
* 372-28. h :. кеFMcycl . veNC ind - i‘O. P, Qevk . э : Pv = Qv . = . P = Q
Именно в основном благодаря этому предложению vK приобретает важ-
ность. В силу данного предложения в vK существует не более одного векто-
ра, являющегося v-м делителем данного вектора. Позже мы показываем,
что если к —делимое циклическое семейство, то найдется по меньшей мере
один такой вектор; следовательно, в vK существует единственный вектор,
являющийся v-м делителем данного вектора. В общем случае это неверно
для классов, больших, чем vK.
Особенно полезный случай последнего предложения получается при
v = 2, что дает, в силу *372-13,
* 372-29. h :. кеFM cycl . P,Qeko . э: Р2 = Q2 . = . Р = Q
Оставшиеся предложения параграфа имеют своей целью доказательство
того, что vK — верхнее сечение WK, т. е.
* 372-33. h : ке FM cycl . veNC ind . э . WK“vK с vK
*372-01. vK = (кUCnv“K) A^(o<v. о/О. эо.Яо+1 WKR°) Df
*372-1. h:.flevK. = :fleKU Cnv“K: a < v . a / 0. эо . Ro+i WKR° [(*372-01)]
Principia Mathematica III
♦372. ЦЕЛЫЕ ЧАСТИ СЕРИЙ ВЕКТОРОВ
435
*372-11. к. lK = KUCnv“K [*372-1 .*117-53]
* 372-12. НкеЛМсус! . Яе£|“ка . э. RWKR2
Доказательство.
к . *371-152 . эк : Нр .Я2ека . э .PWKP2 (1)
к. *370-44. эк:Нр.Я2~ека.э.Я,Я2~ека.Яека.Я = Я|Я2.
[*371-151] z>.RWKR2 (2)
k . (1). (2). э I-. Prop
* 372-121. НкеРМсус! .Яека. э .Р21УКЯ [*371-17]
* 372-122. к:. ке7=Мсус1 . э :Яека . = .P2WJ? [*372-12-121 . *371-12]
* 372-13. к : ке/ТИсус! . э. 2К = Ка [*372-122]
* 372-14. к: ке FM cycl . э. Кк ~ е 3 к
Доказательство.
к . *371-152 . э к : Нр. э. Kk2WkKk3 : э к. Prop
* 372-15. к : р v. э. vK с рк [*372-1]
* 372-16. к : кеTTWcycl . v > 1. э. vK с Ка [*372-15-13]
* 372-17. к : кеPWcycl . v > 1 . э .
vK = KaOP(p<v.p/0. Ри+1 е Ка . эи . Ри е ка)
Доказательство.
к. *372-1-16. *371-16. э
к : Нр. э. v к с ка П Р (р < v. р 0. Ри+1 е ка . эи . Ри е ка) (1)
к. *371-15. э k : Нр. Р, Ри, РР+| е Ка . э . Ри+1 WKPP (2)
к. *371-152. э k : Нр. Р, Р^ е Ка . Ри+| ~ е Ка . э. РИ+11УКРИ (3)
к. *371-151. э к : Нр. Река . Ри, Ри+1 ~ека • =>. Р»*+1 И^Р1* (4)
F . (2). (3). (4). э k :. Нр. Ре ка: Ри е ка . V . Р**+1 ~ е ка : э . P^+1WKP^ (5)
к. (5). *372-1 . э к : Нр. э. ка П Р (р < v. р 0. Ри+1 е ка . эи . Ри е Ка) с v к (6)
k . (1). (6). э к . Prop
*372-18. к : к е FM cycl . v > 0. э . (2v) К = КаОР(р<у.р/0.эи.Риека)
Доказательство.
к . *372-1 . *371-12 . эк : Нр. Pe(2v)K. э. P2vWKPv .
[*372-122] э . Pv е Ка (1)
к . (1). *372-17 . эк : Нр . э. (2v) КскаПР(р^у.р/О.эи.Р(1ека) (2)
к. *371-15-152 . эк :Нр.Р,Р^ека.э.Р^+11УкР^ (3)
к . (3). *371-25 . э k : Нр. Р, P|i+1, Р₽ е Ка . э. Р^1 И^КРЦ+Р (4)
к.(4). эк :.Река:р^.р^О.эи.Риека:э:
р + Ю • Р =С v • =>р,р . рн+P+i WkP^+p :
[*117-561] э : о < 2v. э0 . РО+1ИЛКР°
[*372-1] э :Pe(2v)K (5)
к . (2). (5). э к . Prop
*372-19. к : к е FM cycl . р, v е NC ind -1‘0. Р е (pv) К . э. Ри е v К
[*372-1 . *371-12]
*372-2. к: к е FM cycl . v е NC ind .PevK.p^v.o<p.o/0.o. P^WKP°
[*372-1 . *371-12]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
436
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*372-21. I-: KeFM cycl .veNC ind .PevK.2p.^v.p./0.z>. Р^И^Р*4. Р**ека
Доказательство.
F . *372-2 . э F: Hp. z>. P2*1 WK7* . (1)
[*372-122] э.Р^ека (2)
F. (1). (2). э F . Prop
* 372-22. F: кe FMcycl . PWKQ .Р,Р^ек^. P»WKQ^ . э. рн+i
Доказательство.
F. *371-25 . z>F:Hp. . P^+lWKP | Q* (1)
F. *371-16 . z>F:Hp. э.^ека.
[*371-25] э. P | (2)
F. (1). (2). *371-12. =>F. Prop
* 372-23. F : к e FM cycl . v e NC ind .PevK.2p^v.p/0. PWKQ. э.
P>*+1IVK^+1 [*372-21-22 . Induct]
* 372-24. F:.KeEWcycl . oeNC ind - i‘O. Pe(2o)K. PWKQ. z>:
p^2a.p#0.o.7*WK2>l
Доказательство.
F. *372-21-23 . э F : Hp. < о. т] < о. э . P’’, 2^ ека . . P^WKQ^ .
[*371-25] э. P^WV”11 2? . Pn I Q^WKQ^ .
[*371-12] z>. Р^пи^е^а . э F . Prop
*372-25. F:. кеЛИсуЫ . oeNC ind - i‘O. Pe(2a + 1)K • PWKQ. z>:
H<2o.p/0.D.P^lVK2(1 [*372-24-15]
*372-26. F : к e FM cycl . a e NC ind. P e (2a + 1) K . PWKQ. э . P2o+I WKQ2o+1
Доказательство.
F. *372-25. =>F:.Hp.z>:P°+1lVKeo+l : (1)
[*371-3] z>:P2o+l ~ека.э.Р2о+11УкРо|20+1 (2)
F . *371-31 . (1). э F :. Hp: P° | <2O+1 ~ e Ка . V . Qo+‘ e Ка: э.
P°ieo+1WK22o+l (3)
F . *372-21 . *371-15-151-152 . э F :. Hp. z>: P° | Q°+l WKP°:
[*371-16] э:Ро|2о+1ека.э.2о+1ека (4)
F.(3).(4). z>F:Hp.D.P°|2o+1WK22o+l (5)
F . (2). (5). *371-12 . z>F:Hp.P2o+1 ~ека.э.Р2о+|1Уке2о+1 (6)
F. *372-22. z> F : Hp . Р2оека . э. P2o+1WK(?2o+1 (7)
F. *371-16 . *372-1 . z>F:Hp.P2o+l ека.э.Р2оека (8)
F . (6). (7). (8). э F . Prop
*372-27. F :. к e ЛИ cycl . veNC ind - i‘O. Pe vK. PWKQ. э:
P^v.p/O.o.P^kQ^1 [*372-24-25-26]
*372-28. F:. ке ЛИcycl . veNC ind - i‘O. P, QevK . э: P7 = Q1. s . P= Q
Доказательство.
F. *371-12 . =>F:.Hp.P/6. э: PWK(2 • V . QWKP:
[*372-27] э: P^W^ . V . OVWKPV :
[*371-12] э: Pv + O' (1)
F . (1). Transp. э F . Prop
*372-29. Fz.KefMcycl .Р,2ека.э:Р2 = е2.а.Р=2 [*372-28-13]
Principia Mathematica III
372. ЦЕЛЫЕ ЧАСТИ СЕРИЙ ВЕКТОРОВ
437
*372-3. h : к е FM cycl . а е NC ind - i‘O . Р е (2а) к . PWKQ. э . 2 е (2а) к
Доказательство.
h . *372-18-27 .э1-:.Нр.э:ц^о.ц#0.эи.^€Ка. P^WKQ^ .
[*371-16] эи.2иека:
[*372-18] э : Q е vK э h . Prop
*372-31. I-ке FM cycl . oeNC ind - i‘O. Река . э: PWK P2o+1 e Ka
Доказательство.
F. *371-16. эННр.ЛУкР^-э-Р^ека
F. *301-23. z>F:Hp.z>.P = P2o|P2o+1
F . (1). (2). *371-15 . э F : Hp. PWK P2*.^. P2<3+{ ека : z> F . Prop
*372-32. F:KePlWcycl . oeNCind .Pe(2o + 1)K . PWKQ. z>. 2e(2o+ 1)K
Доказательство.
F . *372-3 15 17 . DF:.Hp.^:n<2o.(2‘eKa.^. Q^1 e Ka
F . *371-16 . *372-27-1. э F : Hp. 22° ~ e Ka • э. P2o+i ~ e Ka.
[*372-31 . Transp] =>. P^WJ*.
1*371-27] z>.^WKP.
[Hp] ^-&°WKQ.
[*372-31 . Transp] э. 22o+1 ~ e Ka
F . (1). (2). Transp. z> F :. Hp. э : p < 2o + 1.2й e Ka • =>ц . 2й-1 e Kj :
[*372-17] z>: 2e(2o+l)K:.=>F.Prop
*372-33. FzKeHWcycl .veNCind.o. W\“vKcvK [*372-3-32]
(1)
(2)
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
438
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*373. Делители тождества
Краткое содержание *373.
Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы доказать, что в цик-
лическом делимом семействе существует единственный вектор, являющий-
ся элементом vK и удовлетворяющий Rv = I к. Такой вектор мы называем
“главным” v-м делителем /к. Это наименьший вектор (отличный от Iк), ко-
торый удовлетворяет равенству Pv = /K. Доказательство его существования
проводится в несколько этапов; сама задача аналогична задаче построения
правильного многоугольника. Предположим, что цикл разделяется на v
равных частей. Тогда вектор, идущий от одной точки деления к любой
другой, есть v-й делитель тождества. Если v простое, каждый такой век-
тор в степени, меньшей v, будет отличен от I к; но если v раскладывается
на множители, скажем, р и о, то из Rv = I к следует (Рр)° = /К; таким обра-
зом, Рр, также являясь одним из делителей тождества, в меньшей, чем v,
степени равен I к. Мы определяем (/к, v) как класс тех v-x делителей /к,
у которых ни одна степень, меньшая v, не есть /к; с большей общностью
мы полагаем
*37303. (5,v) = P(Pv = 5 :0<v.0#O.oo.Pa^5) Dft
Затем мы прежде всего должны доказать существование А (7 к,v) при
условии, что к циклично и делимо. С этой целью положим
*37301. My>K = QP(QtKd.Qv = Р) Dft
Иными словами, MVK есть отношение v-ro делителя Р к Р, когда дели-
тель Р принадлежит к^. Следует заметить, что хотя к делимо, мы отнюдь
не знаем, есть лиу /к делители, принадлежащие к^, кроме случая Рк, что
представляет собой половину I к. Поэтому мы сначала исследуем деление
пополам, т. е. отношение Мг*- Процесс деления пополам, как мы покажем,
может продолжаться бесконечно, будучи применен к произвольному эле-
менту Ка, и всегда дает новые термы (*373-14-13); следовательно, он да-
ет прогрессию, начинающуюся с любого элемента Кя (*373-141), так что
существование циклического делимого семейства влечет за собой аксиому
бесконечности (*373-142); мы также доказываем, что v делений пополам,
начиная с элемента к^, дает элемент (2V+1)K (*373-15). Следовательно, взяв
Кк в качестве элемента к^, подлежащего делению пополам, мы приходим к
H = 2V+1 .э.а !каП(/к,ц) (*37347).
Чтобы распространить этот результат на числа вида, отличного от 2V+I,
мы сначала должны доказать существование ц-х делителей тождества. Что
мы и делаем сначала для чисел вида 2V + 1, затем —для (2о+ 1)2V + 1, и,
наконец, для 2о (*373-21-22-23); следовательно, это имеет место и в общем
случае, т. е. мы имеем
*373-25. h : к е FM cycl subm .peNC ind - i‘O - i‘ 1. э . (g Q). Q e . 2й = IK
Далее мы доказываем, что если Рек^ и Pp=Pv = /K, то ц и v имеют
некоторый общий делитель р такой, что Ре(/К, р), т. е. такой, что Рр есть
наименьшая степень Р, представляющая собой /к (*373-3). Отсюда выте-
кает, что если ц —простое и Ри = /К, то ни одна из предыдущих степеней
Principia Mathematica III
*373. ДЕЛИТЕЛИ ТОЖДЕСТВА
439
R не есть /к, т.е. Яе(7к,р) (*373-32), и что, если 7?е(/к,р) и Яи = /К, то р
есть кратное р (*373-33).
Теперь мы вновь принимаемся за изучение общего отношения MVK. Вви-
ду *373-25, нам известно, что /KeG‘MVK. Кроме того, так как к делимо,
KacG‘MvK. Следовательно, если а — произвольный индуктивный кардинал,
то /кеП‘Л/ук (*373-404). Далее, легко показать, что если v —простое и
то 0е — первая степень Q, представляющая собой I к. Следова-
тельно, когда V —простое, КаП(/к, va) существует (*373-43). Чтобы распро-
странить этот результат на числа, не являющиеся степенями простых, мы
доказываем
*373-45. Н ке ЛИcycl . р Ргшо. Яе(/К, р). S б (/к, о). э . R15 е(/к, ро)
Немного элементарной арифметики, и мы приходим к
*373-46. I-: кеFMcyclsubm . peNCind -1‘0 - i‘l . э . g ! О(/к, p)
Доказав, что существуют v-e делители /к, у которых ни одна степень,
меньшая v, не равна /к, мы еще должны показать, что среди них найдет-
ся такой, который является элементом vK. С этой целью возьмем один из
таких делителей и рассмотрим его степени. Очевидно, что у него толь-
ко v различных степеней (*373-5), так как по достижению 1К вновь будут
повторяться предыдущие значения. Именно благодаря этому факту легче
обращаться с делителями /к, чем с делителями других векторов.
Пусть теперь R — произвольный v-й делитель тождества, и предполо-
жим, что S, Т — степени R, но Т — не степень 5, и TWKS. Тогда 5 IT-
степень R, но не 5, и имеет место NWK (S | Т) (*373-53). Следовательно,
Т не является максимумом, в серии WK, класса Pot‘R - Pot ‘5. По транс-
позиции получаем, что если Т — максимум Pot‘R - Pot‘S, то мы имеем
SWKT. Далее, так как Pot'R — конечный класс, Pot'R - Pot‘S, если суще-
ствует, должен иметь максимум; но поскольку 5 находится в отношении
WK к этому максимуму, 5 не является максимумом Pot‘R. Следовательно,
по транспозиции, если 5—максимум Pot‘7?, то Pot‘7?-Pot‘S есть нуль, и,
таким образом, Pot‘/? = Pot‘5 (*373-54). Отсюда легко выводится, что ес-
ли Re к# О (7К, v), то максимум степеней R является элементом KaO(ZK,v)
(*373-55), и, более того, является элементом vK (*373-56). Поскольку нами
уже доказано (*373-46) существование КаА(/к, v), мы получаем
*373-6. h : к е FM cycl subm .veNC ind - l‘0 . э . g ! vK n S (5V = ZK)
Единственность vKd5(5v = ZK) вытекает из *372-28, и, таким образом,
доказано существование главного v-ro делителя /к. Отсюда непосредствен-
но следует, что другие v-e делители 1К являются степенями главного v-ro
делителя и что общее число v-x делителей равно v (*373-63-64).
*373-01. MvK = QP(QtKd.Qv = Dft [*373-5]
*373-02. Prime = NC ind П p (p = oxc т . эа>т: о = 1 . V . о = р) Df
*373-03. (5,v) = P(Pv = 5 :o<v.o#0.Da.P°#5) Dft [*373-5]
*373-1. h : QM2kP . = .QeKd.Q2 = P [(*373-01)]
*373-11. h : к e FM cycl . э . М2к с 1 -> 1 [*372-29]
*373-12. 1-:кеЯИсус1 .d.M2kgWk [*372-121]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
440
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*373-13. F:KE/*Mcycl . э . (М2к)ро GWK . (М2к)ро G J [*373 12 . *371-12]
*373-14. I-: к е FM cycl subm . Ре . veNC ind - i‘O. э . Е ! М2к'Р
Доказательство.
h . *372-29 . *351-1 . э(-:.Нр.э:еека.э.Е!М2к‘Р (1)
F . (1) . Induct . э F . Prop
*373-141. F : ке ZTWcycl subm .Река. э.Л/2к ](Мк)*‘P eProg [*373-11-13-14]
*373-142. I-: a ! FM cycl subm .э. Infin ax [*373-141]
*373-15. F : к e FM cycl subm . Pek^ . veNC ind . э . M2^ 'Pe (2v+,)k
Доказательство.
1-. *373-1-14 . э F : Hp. Q = M2^1 'P.R = M2?‘P .z>.Q’ = R1° (1)
F. (1). *372-18 . d F :. Hp (1). £)e(2V)K. d : 2o < 2V . э . P2°e Ka (2)
F . (2). *373-1 . э F :. Hp (2). э : 2o < 2V . э. R2°, R2o+2, R2, R e Ka .
[*371-2] z>.Z?2o+1 ека (3)
F.(2).(3). э F :. Hp (2). э: p, < 2V . э. Pp e Ka :
[*372-18] D:fle(2v+1)K (4)
1-. *372-13 . э F : Hp. v = 0. э . Л/гк‘Pe2K (5)
F . (4). (5). Induct. э F . Prop
*373-16. F кeFMcyclsubm . veNC ind . Q - М2^'Кк . э :
e2"'=/K:p<2v+1 .р/0.эи.ер^/к
Доказательство.
F.*373-1. эI- :Hp.3.e2V =KK.
[*371-26] D.e2’+'=ZK (1)
I-. *373-15 . *372-2 . (1). э FHp. =>: p < 2V+1 . p 0. э . <2PWK 7K (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*373 17. *373 18. F : к e FM cycl subm . v e NC ind. p = 2V+1 . э. g ! ка Л (Z K, |i) [*373-16-14 . (*373-03)] F : Qe Cnv“Ka . Qv = ZK . =>. QeKa . O' = ZK [*50-5-51]
*373 19. F : (30.6eка U Cnv“Ka • 12v = 7k • = • (g0 • 2eKa . 2V = ZK [*373-18]
*373-2. I-к eFM cycl subm .veNC ind. P- Л/2к 'К к .
5 ека. 52 +1 = P. 52 +1 = б. э. £>2+1 = IK.Q*IK
Доказательство.
F. *301-5 . z> F : Нр. э. <22 +| = Р2 +| = ZK (1)
F. *373-1 . [*370-22] [Hp] [*30-37] F. *301-5-23 . [Hp] [(2). *372-29] Ь.(1).(3).э *373-21. F : к e FM cycl subm z>F:Hp. э. P2*+l = ZCK|P. э. Р2’+1 / Р. o.P2V+1#52V+1. (2) oF:Hp. э.е = (52’+1)2|52 = P2|S2 / 7 к (3) F. Prop . v e NC ind. ц = 2V + 1 . э .
*373-22. F : к e FM cycl subm (а0.еека.2ц = 7к [*373-2-19] . v, оeNC ind. p. = (2o+ 1) 2V + 1. э .
(зС).С€Ка.ер = 7к [Доказательство проводится, как в *373-2-21]
Principia Mathematica III
*373. ДЕЛИТЕЛИ ТОЖДЕСТВА
441
* 373-23. I-: к е /-М cycl subm . oeNCind. p = 2o. з . (30 • бека . би = I к
Доказательство.
F.*370-26 . з F: Нр . з. ReКа . R11 = 7К: з F . Prop
* 373-231. I-xeNC ind . з : (30): oeNC ind: х = 2о. V . х = 2о+ 1 [Induct]
* 373-24. F : peNCind. р#0. з . (gv,о). v,oeNCind . 2р + 1 = (2о + 1)2V+ 1
Доказательство.
F. *117-661 . з
F :. Нр. X = v {(зт). т NC ind -1‘0. р - х 2V}. з : v е X. з . р > v (1)
I- . *116-301 . з F : Нр (1). з. р = р 2° .
[*10-24] з.ОеХ (2)
I-. (1). (2). *261-26 . *263-47 . з F :. Нр (1). з :
(gv): veX: р> v. зц . р~еХ (3)
I-. *116-52-321. з F : р = х 2V . х = 2о. з. р = o2v+1 (4)
F . (3). (4). з I-Нр. з: (3v,x): v, х е NC ind. р = х 2V : р > v. зи .
~ (дх). р = х 2Р: ~ (з о). х = 2о:
[*373-231] з: (gv, о). v, о е NC ind. р = (2о + 1) Т :
[*116-52-321 ] з: (gv,o). v,oeNC ind. 2p + 1 = (2o + 1)2V+1 + 13F. Prop
*373-25. F : кe.FMcyclsubm .peNCind-i‘O-i‘l. з . (g6) • 6eKa • би =
[*373-22-24-23-14]
*373-3. FxKe/Mcycl .p^O .v /0 .ReKa .Rp = RV = I к.з.
(3P, a, P).p/O.p# 1. p = ap. v = |3p .Re(7K,p)
Доказательство.
F.*300-23. о F :. Hp. з: (эр). p / 0. Rp = IK: о < p . о ± 0. зо. R° * IK (1)
F. *301-2. з F : Hp. Rp = 7K. 3 . p 1 (2)
F.*301-25.зF : Hp. peNCind- i‘0. з .
(ga, p,y, b).p = ap + p.v = Yp + b.p<p.b<p (3)
F. *301-23-504.3
F: Hp (3). Rp = IK . p = a p + P. v = у p + 5. № = Rv = 1K . 3.R₽ = R6 = IK (4)
F . (4). 3 F :. Hp(4): a < p. a/ 0.3a . Ra # /K :
p = ap + p.v = Yp + b:3.p = 0.b = 0 (5)
F . (3). (5). 3 F :. Hp: p /0.Rp = 7K: о < p . о/ 0. за . Ra 7K: 3 .
(ga, y) • p = a p . v = у P (6)
F . (1). (2). (6). (*373-03). 3 F. Prop
*373-31. F: к e FM cycl .ReKa.p^O.v/0.Rp=Rv = 7K.3.~(p Prm v)
[*373-3]
*373-32. F : к e FM cycl . R e ка . p e Prime. R? -1K . з . R e (I K, p)
[*373-31 . Transp . (*373-03)]
Здесь мы предполагаем, что простое число является взаимно простым
по отношению ко всякому меньшему числу, кроме 1. Это следует непосред-
ственно из определения.
*373-33. F:KefMcycl .ReKa П (7К,р) .Rp =/к. з. (gx). р = рх [*373-3]
*373-4. \--.QMVKP. = .QeK#.P=Qv [(*373-01)]
*373-401. F : кеFlWcyclsubm . veNCind-1‘0. з./KeQ‘A/vK [*373-25]
*373-402. F: к e FM subm . v e NC ind -1‘0. з . Ka c Q‘A/VK [*373-4]
*373-403. F : v e NC ind -1‘0. з. D‘1WVK c Ka [*373-4]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
442
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
* 373-404. F : к е FM cycl subm . v, aeNC ind - i‘O . э . IK e
[*373-401-402-403 .Induct]
* 373-405. F : v, aeNC ind -1‘0. QM^IK . э . (X = Ik [*373-4 . Induct]
* 373-406. F : v, a e NC ind -1‘0. R e PM™* . э . MVKa‘R = [*373-4 . Induct]
* 373-407. F : v, a, у e NC ind - i‘0 . RMV^IK . э . RvaMvJIK [*373-406]
* 373-41. F : v, a, p eNC ind - i‘0. QM^IK . RM^IK . a < p . э . Q / R
Доказательство.
F . *373-405-407-403 . э F : Hp . э . ev“ = Z K . Rya e Кэ: z> F . Prop
* 373-42. F: к e FM cycl . v e Prime - i‘ 1 .aeNC ind .
eMvKaZK.0<va.o#O.D.e°#/K
Доказательство.
1-. *373-405 . *300-23 . э F Hp . z>: (gp): p 0.2P = /к : о < p . о # 0 . . 6° / 7K F. *373-33-405 . э (1)
FHp: p 0. <2P = 7K : а < p . о 0. z>o . 6° 7K : э . (ar). va = p т. [Hp] =>.(aP).p = v₽ (2)
F. *373-407 . э F : Hp. P < а. э. <2vfl /K (3)
F. (2). (3). z> F : Hp (2). э. p = v“ F . (1). (4). э F . Prop (4)
При выводе (2) в проведенном доказательстве мы предполагаем, что
если v — простое и рт — степень v, то р — степень v. Это легко доказывается.
*373-43. F: к е FM cycl subm . v е Prime - i‘ 1 .aeNC ind - i‘ 1. э .
Я ! Кз П (/ K, va) [*373-404-405-42]
*373-44. F : у Prm p . у Prm о. э . у Prm po
Доказательство.
F . *302-1 . □ F:. у Prm p . ~ (y Prm po). a e NC ind . э .
(gx, a, P). т e NC ind - i‘0 - i‘ 1. у = ат . po = Рт (1)
F . *303-39 . z> h : Hp (1). т e NC ind - i‘0 - i‘ 1 . у = ат . po = Рт . э .
у/р = aa/p (2)
F. (2). *303-341 . z> F: Hp (2). ao Prm p . э . у = ao (3)
F.(3).*302-1 . z>F:Hp(3).o#l .D.-(yPrmo) (4)
F . *113-621 . z> F : p e NC . о = 1 . ~ (y Prm po). э . ~ (y Prm p) (5)
F . (5). Transp . z> F : Hp (1). э . о # 1:
[(4)] э I-: Hp (3). э . ~ (y Prm o) (6)
F . *302-36 . z> F : Hp (2). ~ (a о Prm P). э .
(а£»1]Л)-2;Ргтт1.£/ 1 .ao = ^.p = T]t, (7)
F . *303-39 . z> F : Hp (7). £ Prm r]. £ # 1 . ao = ££. p = т]£. э . ao/p = £/r|.
[(2). *303-341] z>.y = £.p = T].
[Hp] z>. apo = py = ap^T .
[*126-41] э. о = £т (8)
F . (7). (8). э F : Hp (7). z>. (g£). у = ат . о = £т .
[*302-1 . Нр] э. ~ (у Prm о) (9)
F.(6).(9). э F : Нр (2). z>. ~ (у Prm а) (10)
F . (1). (10). э F : у Prm p . ~ (y Prmpo). oeNC ind . z>. ~ (y Prm o) (11)
F . (11). Transp . z> F . Prop
Principia Mathematica III
*373. ДЕЛИТЕЛИ ТОЖДЕСТВА
443
*373-441. I-р Prm а: (а6). рр = 6а: э . (g£). Р = ^о
Доказательство.
h. *126-41 .э
F : Нр . рР = бо. р = . 6 = т)05. £ Prm т]. э . ^Р = г|о. £ Prm т|. Prm о.
[*373-44] э .^p = T|o.^Prmr|o (1)
К(1). эF : Нр(1). 1 . э.£/1.£ = £хс1.т]0 = £хср.
[*302-1] э.~(^Ргтгр) (2)
F. (2). Transp . (1). э F : Нр (1). э . £ = 1 (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*373-45. F : ke FM cycl . p Prm о. R e (/K, p). 5 e (/к, о). э . R15 e (/K, p o)
Доказательство.
F. *370-33. э F : Hp . d . (/? 15)^ =/K (1)
F. (1). *373-31 . d F :. Hp . (Я | S)Y = ZK . у # 0. d : ~ (Y Prm po):
[*373-44] э : ~ (y Prm p). V . ~ (y Prm a) (2)
F . *370-33 . *301-504 . э
F: Hp (2).р = ат.у = Рх.э.7к = (Л|5)аРт = 5аРт = 5рР.
[*373-33] э . (я 6). pp = 6o.
[*373-441] э.(зУ.р = £а (3)
K(3). эННр(З). z>.(R\S?T = IK.Sf* = IK.
[*370-33] э.Я₽т = 7к.
[*373-33] э . (gp). Pt = pax.
[Hp] =>.(дц).у = цр.ц#О (4)
I-. (3). (4). эННр(З). D.(gv).y = vpo.v/0 (5)
Аналогично I-: Hp. ~ (y Prm о). э. (gv). у = vpo. v 0 (6)
I-. (2). (5). (6). э I-: Hp (2). э. (gv). v # 0. у = vpo (7)
l-.(l). (7). *117-62. эН Prop
*373-451. F:. p e NC ind - i‘O: ~ (g v, a). v e Prime . p = va : э .
(Я Щ v). ц Prm v.n<p.v<p.p = pv
Доказательство.
F . *261-26 . *263-47 . э
F : Hp . э . (gy, «) • Y e Prime . p e D‘xcya • p ~ e D‘xcya+1 • P # Ya •
[*373-44 . Induct] э . (gy, a> P) • Y e Prime . p = ya P • P Prm ya . P 1 : э F . Prop
*373-452. F:. v e Prime . a e NC ind . Dv,a • Ф (va): H Prm v.фр.фу. .
ф (pv): э : р е NC ind - i‘O . эр . ф (р) [*373-451]
*373-46. F : к е FM cycl subm . р е NC ind - i‘0 - i‘ 1 . э . g ! П (/ к, р)
[*373-43-45-18-452]
*373-5. F : к е ЛИ cycl .veNC ind . R e П (/K, v). э . Pot‘T?E v
Доказательство.
F . *302-25 . *301-504 . э
F : Hp . a e NC ind. э . (g£, r|). a = £v + r|. r| < v . Ra = .
[*120-57] D.Nc‘Pot‘/?^ v (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
444
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
h . *301-23 . э h : Нр . р < v . а < р . э . | Яр = Rp~c° .
[Нр] э.Я°|/?р#7к.
[*330-32] э./?Р#Яа (2)
h . (2). Transp . э h : Нр . р < v . а < v . Rp = R° . э . р = v (3)
h . (3). *120-57 . э h : Нр. э . Nc‘Pot‘tf v (4)
I- . (1). (4). э h . Prop
*373-51. h : ке FMcycl . Re k# П (/K, |iv). э . Rp e (/k, v) . Pot‘7?H e v
Доказательство.
h . *301-504 . э
h Hp . э : (Rp)v = 7k:o<v.o/0.do. (tfp)v ^/к:.эЬ. Prop
*373-52. h : к e FM cycl . R e П (ZK, v). ц Prm v . э . Rp e (I k, v) . Pot‘l?p = Pot‘R
Доказательство.
h . *373-33 . э h : Hp . R[i e {I K, p). э . (gr). pp = vr .
[*373-441] э.(3у.р = у^ (1)
h . *301-504 . э F : Hp (1). э . (R?Y = ZK .
[Hp] э . p v (2)
F.(l).(2). ahHp.D.ffe^v) (3)
I-. (3). *373-51 . э F:Hp.э. Nc'Pot'/?'* = Nc‘Pot‘7? = v (4)
I-. *91-6 . э F : Hp. э. РоС/?и c Pot'/? (5)
F. (4). (5). *120-426 . Transp. э F : Hp. z>. Pot'/?»* = Pot1/? (6)
F. (3). (6). э F. Prop
*373-521. F : к e FM cycl . R e (k^ U Cnv‘*Ka) .veNC ind. Rv — IK . э . Re Pot*/?
Доказательство.
F. *301-2 .*13-14 . z> F : Hp. z>. v 0 (1)
F.(l).*301-21 . э F : Hp . э. Я = 7?v-cl : э F . Prop
*373-522. F:Hp *373-521 . S, T ePot'/?. э. 5 | Те Pot‘7?
Доказательство.
F . *373-521 . э F : Hp. э . S ePot'S .
[*91-6] d . 5 e Pot'/?.
[*91-343] э.5 | TePot‘7?: э F . Prop
*373-53. F : Hp*373-521 .S, TePot'Z?. T~ePot'S .TWKS . э.
TWK (S | T). 5 | T e Pot‘7? - Pot'S
Доказательство.
F. *371-23. z>F:Hp.3.TI¥K(5 |T) (1)
F.*373-522. z> F : Hp. э . S | T e Pot‘7? (2)
F . *91-36 . Transp . э F : Hp. э . 5 | T ~ e Pot'S (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*373-531. F : Hp *373-53 . э. ~ {T = max (IVK)‘(Pot*/? - Pot'S)) [*373-53]
*373-532. F : Hp *373-521 . S e Pot‘7?. T = max (WK)‘(Pot‘7? - Pot'S). э .
SWKT [*373-531 .Transp. *371-12]
*373-533. F : Hp *373-521 . S e Pot'/?. E ! max (l¥K)‘(Pot‘/? - Pot'S). э.
~ {S = max (W'J'Pot'Z?) [*373-532]
Principia Mathematica III
*373. ДЕЛИТЕЛИ ТОЖДЕСТВА
445
*373-54. I-: Нр *373-521 .5 = max(WK)‘Pot‘P. з. Pot‘7? = Pot‘5
Доказательство.
F . *373-533 . Transp . з I-: Hp . з. ~ E ! max (WK)‘(Pot‘P — Pot'S) (1)
I- . (1). *373-3-5 . *261-26 . Transp. з F : Hp. з. Pot'R - Pot'S = A (2)
F . (2). *91-6 . з F. Prop
*373-55. НкеЕМсус! . veNCind - t'O .Река О(7K, v).
S = max(lVK)‘Pot‘P. з. S e(/K, v)
Доказательство.
F. *373-3-5. зF : Hp. з . (gp). peNCind- i‘O.S e(ZK, p). Pot'S ep (1)
F . *373-54-5 . з F Hp. =>: Pot'S e v:
[*100-34] з: peNC . Pot'S ер . з . p = v (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*373-56. F : Hp *373-55 . з. S e v K
Доказательство.
F.*205-21. з F : Hp. GePot'P - t'S .z>.QWKS (1)
F. (1) .*301-21 . з F:.Hp. aeNC ind. Sa+1 ^S .o:Sa+1WKS .Sa+1 = Sa | S :
[*371-15] о :Sa+1 ека . о .SaeKa (2)
F . (2). *373-55 . зF :. Hp. з : a0. a< v. Sa+I ска . з . SaeKa (3)
F.*371-16. 3F:Hp.3.SeKa (4)
F. *301-2 .*13-14.3F:Hp.3.v> 1 (5)
F . (3). (4). (5). *372-17 . з F . Prop
*373-6. F : кeFMcyclsubm . veNCind- i‘O. з. g ! vKГ)S (Sv = IK)
[*373-46-56-5 . *261-26 . *372-11]
*373-61. F : Hp *373-6.3.vKnS(Sv = 7K) el [*372-28 . *373-6]
*373-62. F : Hp *373-6 . S evK . Sv = 1K .3 .
S e (/ K, v). Pot'S = P (Pv = Iк) П (к U Cnv“K)
Доказательство.
F . *373-55-56-61 . з F: Hp . з. S e (/ K, v) (1)
F. *373-56-54 . з F : Hp . 7?e (7K, v) D Ka • T = max (IVK)‘Pot‘P. з.
S,TevK.Sv = 7’v .PePot'T.
[*372-28] з . S = T .PePot'T.
[*13-12] з. 7? e Pot'S (2)
F . *373-33 . з F : Hp. 7?e(7K, p.) Г) Ka • 7?v = ZK . з . (gr). v = цт (3)
F . *372-19 . з F:. Hp . з : v = цт. з . S’ецк .
[(2)] з. 7? e Pot'S’ (4)
F.(3).(4). з F : Hp (3). з . PePot'S (5)
F . (1). (2). (5). з F . Prop
*373-63. F: к e FM cyclsubm . v e NC ind - i‘O. з.
P (Pv = 7K) П (к U Cnv“K) = Pot'(iS) (S e vK . Sv = 7K) [*373-61-62]
*373-64. F : к e FM cycl subm .veNC ind - i'O . з.
Nc‘]P (Pv = ZK) П (к U Cnv“K)} = v [*373-63-5]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
446
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*374. Главные доли
Краткое содержание *374.
В настоящем параграфе мы доказываем для произвольного вектора то,
что в *373 было доказано для /к, а именно, что для любого ненулево-
го индуктивного кардинала v и любого вектора R найдется в точности
один элемент vK, v-я степень которого есть R. Такой элемент мы называ-
ем “главной” v-й долей R. Доказательство его существования проводится
следующим образом.
Пусть R — ненулевой вектор, a Q — v-я доля R. (Существование Q обес-
печено предположением о делимости к.) Пусть Т — главная v-я доля /к,
существование которой было доказано в конце *373. Мы хотим доказать,
что существует v-я доля /?, являющаяся элементом vK. Согласно *372-33, Q
является элементом vK, если TWK Q. Если же QWKT, то для Т должна су-
ществовать последняя степень Та такая, что QWKT°, и для этого значения
о, таким образом, имеет место To+iWKQ. (Невозможно Ta+1 = Q, посколь-
ку если бы Q было степенью Г, имело бы место £)V = /K, в то время как
по предположению Qv =R-) Теперь если Ta+1 Q . QWK Т°, то вектор f° | Q
должен быть меньше, чем Т, т. е. мы получим ТЖк(Та|0, и, следователь-
но, Т° | Q должен являться элементом vK в силу *372-33. Более того, так
как Tv = /к, то (Т° | 2)v = Qv = R по предположению. Поэтому t° | Q есть v-я
доля R и элемент vK. В силу *372-28, это единственная v-я доля R, являю-
щаяся элементом vK. Таким образом, доказано существование главной v-й
доли произвольного вектора при условии, что рассматриваемое семейство
замкнуто и делимо.
Также в настоящем параграфе доказано, что vK состоит из всех нену-
левых векторов, не превосходящих главную v-ю долю /к, которая, стало
быть, является наибольшим элементом vK; иначе говоря,
*374-21. h : к е FM cycl subm . z>. vK = {wKW^R) (Revk . Rv = IJ
*374-1. h ке FM cycl . R, Qck^ . Q1 = R .T ev K>TV = IK . э :
TWkQ.d. QevK [*372-33]
He все выписанные выше гипотезы необходимы для заключения, но мы
их принимаем, поскольку это дает конструкцию, с которой мы будем ра-
ботать.
*374-11. h : Нр *374-1 . QW к Т . э . (go). Ta+1 WK Q . QW к Т°
Доказательство.
h . *301-504-3 . э h : Нр . oeNC ind . э . Q / Т° (1)
h . *373-62-5 . эННр. D.PotTev.
[*261-26] =>.E!min(IYK)‘(PotTnfvK‘2) (2)
I-. (1). (2). *372-1 .э И. Prop
*374-12. I-: Hp *374-11 . To+1l¥K Q. 0¥K T° . P= t° | Q. э. Pe vK
Доказательство.
I-. *371-23-16 . эН.Нр. э:Река.Т°ека:
[*371-25] z>-.PWKT .^>.P\T°WKTa+l .
Principia Mathematica III
*374. ГЛАВНЫЕ ДОЛИ
447
[Нр] 3.0VKT°+1:
[Transp. Нр] з : TW к Р:
[*372-33] з : PevK :. з F . Prop
*37413. I-: к € FM cycl subm . Река . з. (gP). Ре vK . Pv = R
Доказательство.
F.*374-1. э1-:Нр*374-1 .TWKQ.z> .QevK.Q4 =R (1)
F.*374-12. F : Hp *374-12 .3.PevK.Pv = P (2)
F.(l). (2). *374-11 . зF : Hp*374-1 . з. (gP). PevK . Pv = P (3)
F. *373-6. зF : Hp. з . (gT). TevK. Tv =/K (4)
F. (3). (4). о F . Prop
*374-14. F : кeFMcyclsubm . Реки Cnv“K. з . (gP). PevK . Pv = P
Доказательство.
F . *374-13 . *373-6 . з F : Hp. 5 e Ka . P = . з .
(gP, 2).P, QevK.T = IK.Qv = S .R = S .
[*372-27] з. (igT,Q) .T,QevK.TWKQ = S =R.
[*371-16 . *372-33] з. (zT,Q).T,QevK.£\TevK.(Q\T)v =R (1)
F . (1). *374-13 . *373-6 . з F . Prop
*374-2. h : к e FM cycl subm . R e к U Cnv“K. э . vK n P (Pv =R) e 1
[*374-14 . *372-28]
*374-21. h : к 6 FM cycl subm . э . v K = ‘(il?) (RevK.Rv = IK)
Доказательство.
F. *374-2 . зF : Hp. з . E ! (iP)(PevK .Pv = ZK) (1)
F. *372-33 . 3F:Hp.PevK.Pv = /K.3.(lVK)(.‘PcvK (2)
F. *372-152 . 3F:Hp.PevK.Pv = /K.PevK.3.Pv(WK)*Pv.
[*372-27] 3.P(IVK)*P (3)
F.(l).(2). (3). з F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
448
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*375. Главные пропорции
Краткое содержание *375.
В настоящем параграфе мы определяем отношение (ц/v)*, содержащее-
ся в (p/v) [ kl (кроме тривиального случая, когда ц = 0. v = 0; в этом случае
(ц/v) [kl = A, но (p/v)k = /к | /к), однако обладает преимуществом одно-одно-
значности и исключения (р/о\, если только не ц/v = р/о. Отношение (ц/v)*
определяется как отношение между R и 5, имеющее место, когда главная
ц-я доля R совпадает с главной v-й долей 5; т. е. мы полагаем
*37501. (ц/v^As {(3T).TeHKnvK./? = T^.5 =TV] Df
(Здесь Pk^vk = Pk, если и = vK, если v ц, согласно *372-15.)
Свойства отношения (ц/v)* вытекают из *374-2. За исключением случаев
ц = у = 0 и = т| = 0, мы находим, что
H/v = §/T]. = .(p/v)K = (5/Ti)K (*375-27).
Если то CT(p/v)K = KUCnv“K (*375-141),
и D‘(p/v)* = (WJ?(p/vV7k (*375-22).
Главная v-я доля S есть (l/v)K‘5, а ее ц-я степень есть (ц/vVS- Мы
также имеем
(l/pV(l/vVS=(l/pvVS (*375-15),
Ne vK . э . (1/pkWe (pv\ (*375-16),
(H/v)k = (h/1)kI(1/v)k (*375-2).
Предложения
(H/vk I (р/о\ = (p/vxgp/o)K
и {(ц/vVK} I {(p/o)k lR} = (H/v+gP/o) kR
без ограничений не имеют места. Первое из них требует либо
ц > v . V . о р,
либо, чтобы обратная область была ограничена на
Ш^‘(а/р)к7к,
т. е. на D‘(0/p)k .
Второе требует либо
p/v+gp/o<rl/l,
либо ReG'(\x./v+gp/c)K.
*375-01. (p/v^RS {(’3T).T<=iiKr)vK.R=T'1 .S = T4} Df
*375-1. Fi/fWvW . = .(GT").TevKC>vK.R = T'1 .S =TV [(*375-01)]
*375-11. F: к e FM cycl . p, v e NC ind - i‘0. . (p/v)* e 1 -»1
Доказательство.
I-. *372-28 . э
F : Hp./?€кU Cnv“K. T, Weрк П vK ./? = 741 = IVй . э . T = W (1)
F.(1). *375-1 . э F: Hp. /?(p/v)*5 . 7?(p/v)*5'. э . 5 = S' (2)
Аналогично F : Hp. /?(p/v)*5 . R^p/v^S .z>.R = R' (3)
F . (2). (3). oF . Prop
*375-12. FiKe/TWcycl .~(p = v = 0).3.(p/v)KG(p/v) [*370-33]
*375-13. F . (v/p)* = Cnv‘(p/v)K [*375-1]
*375-14. F : p v. Ke/TUcyclsubm . э. D‘(p/v)k = KU Cnv“K [*374-2 . *372-15]
Principia Mathematica III
.375. ГЛАВНЫЕ ПРОПОРЦИИ
449
*375-141. F : р v. кеЛИ cycl subm . э . G‘(p/v)k = ки Cnv“K [*375-13-14]
*375-15. I-: ке ЛИ cycl subm .Sexi) Cnv“K. p, veNC ind - i‘O. э .
(l/p)K‘(l/v)K,S=(l/pv)K‘S
Доказательство.
К *375-14. oHHp.D.Eia/pVG/vVS.Eia/pvVS (1)
1-. (1). *375-1 . d F :. Hp. э: 1И = (l/pVO/vk'S . s .
(^N).NevK.MepK.Nv = S .Mp = N (2)
F. (1). *375-1 . d F :. Hp. э: Af = (1/pvVS .s . M ^(pv^ . Mpv = S .
[*372-19] ^.MepK.Mp€-vK.(Mpy = S .
[(2)] D.lW = (l/pV(l/vVS (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*375-151. НкеЯИсус! .NevK.D.N = (I/v)lcWv [*375-1]
*375-16. I-: к € ЛИ cycl subm . NevK .peNC ind - i‘O. =>. (l/pVNeCpv)*
Доказательство.
I-. *375-15-151. z> F : Hp. D.(l/p)K‘N = (l/pv)K‘Nv.
[*375-1] 2>.(l/pVNe(pvk:2>l-.Prop
*375-2. F : кeFMcycl . p, veNC ind - i‘O. э . (p/v)K = (р/1)к | (1/v)k
Доказательство.
F.*375-1 . dFj.Hp.dj/WDJU/vWS.^.
(aT).T€pKnvK.l? = 7’^.5=7’v:.=>F. Prop
*375-21. F: к e FM cycl subm . g ! (p/v)* Л (p/o)* . э . p/v = p/o
Доказательство.
F . *375-1 . z> F : Hp. P(p/v)*Q. P{pla\Q. э .
(a5,T).5epKnvK.TepKnoK.P = 5i1 = TP.e = 5v = To (1)
F. (1) .*374-2 .*375-16 . z> F : Hp (1). z>. (gfl.S, 7). 5 epKnvK.
T epKOoK. P = Sp = Tp .Q = SV = T° .S = Я°.Яе(ро)* Л (vo)*.
[*301-504] z>. (g/?, S, T). 5 ерк Л v* .
Тер* Ло* . Яе(ро)* Л (vo)* . P = SP = Tp =Rp0 . Q = SV = T° =Rva.
[*372-28] z> . (дЯ,S, T). S ер* Л vK .
T e p * Л о * . R e (po)* Л (vo)* . P = S p = Tp = Rp° . T = R4 .
[*301-504] э. (дЯ). Яе(ро)* Л (vp)* . Rvp = Я»Ю (2)
F. *372-2 . (2). э F : Hp (1). po vp. z>. po = vp (3)
Аналогично F : Hp (1). vp > po. z>. po = vp (4)
F. (3). (4). э F: Hp. d . po = vp: э F . Prop
*375-22. F : к e FM cyclsubm . p < v. z>. D‘(p/v)k = {tVk)*‘(p/v)k‘7k
Доказательство.
F . *375-1 . z>
F:.Hp.D^eD‘(p/v)K. = .(a5,T).TepKnvK^ = TP.S = r.
[*372-15 . *21-2] £.(аТ).Теук.Я = ТР.
[*374-21] =.(aS,7’).5evK.5v = ZK.S (WK)* T.R = TP.
[*374-27] = . (gS, T). 5 evK . Sv = IK . (WK)* Tp . Я = Tp .
[Hp] =.(aS).SevK.Sv = /K.S»*(lVK)^.
[*375-1-11] = . {(p/vV-M (WK)* Я:. э F . Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
450
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*375-221. F: к € FM cycl subm . ц v. zj . Q‘(p/v)K =
[*375-22 ^.*375-13]
*375-23. F : к е FM cycl subm . ц, v е NC ind. ~ (ц = v = 0). d . g ! (ц/vX
[*375-14-141]
*375-24. F : ке ЛИcyclsubm . (ц/v)* = (р/о)к . d . ц/v = p/o [*375-21-23]
В случаях, когда неверно p,v, р, oeNCind-i‘0, требуется отдельный
путь достижения *375-24, однако никаких трудностей это не представляет.
*375-25. I-: ке ЛИcyclsubm . р Prmo. ц/v = р/о. zj. (p/v)K = (р/о)<
Доказательство.
I-. *303-39 . *302-35 . э F : Нр. zj . (дт). ц = рт. v = от (1)
F. *372-19 . э F : Нр. ц = рт. v = от. Тецк ОvK ./? = Ти . 5 = Т .Р = ТХ. zj .
РеркПок.Я = РР.$ =Р° (2)
F . (1). (2). *375-1 . э F : Нр. zj . (ц/v^ сфМ (3)
F . *375-15 . э
F: Нр(1). ц = рт. v = от . Рерк П ок .R = Р₽ . 5 = Р° . Т = (1/т^‘Р. zj .
Тецк О vK ./? = Ти. 5 = Г (4)
F . (1). (4). *375-1 . э F: Нр. zj . (p/ok c(p/vk (5)
F. (3). (5). э F. Prop
*375-26. F : ке ЛИcyclsubm . ~ (ц = v = 0). ~ (^ = т| = 0). ц/v = ^/т]. э.
(ц/vk = (|/пк
Доказательство.
F . *303-39 . *302-34 . z>
F:Hp.R,v,£,T] eNC ind. zj . (gp, o). (p, o) Prm(ц, v). (p, o) Prm(ij,T|).
[*375-25 . *303-211] z>. (gp, o). (p/ok = (ц/vk. (p/ok = (|/nk •
[*13-171] z>. (ц/vk = (р/о)к (1)
F. *375-1 . *303-11-14-182 . z>
F : Hp. ~ (ц, v, I, T|) e NC ind . zj . (p/v\ = A. (p/ok = A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*375-27. F к e ЛИ cyclsubm . ~ (ц = v = 0). ~ (Ij = r| = 0). d :
ц/v = Vn • s . (ц/vk = (£/T])K [*375-24-26]
*375-3. F : кe ЛИcyclsubm . ц, v,p,оeNCind - i‘0. zj . (ц/vk | (p/ok G(pp/vok
Доказательство.
F . *375-1 . э F : Hp. Р(цМ2 • 2(р/а)кЯ • э .
(g5, T).5 ецк П vK . P = . 2 = 5V . Терк ПoK. 2 = Tp .Я= T° (1)
F . *375-141-15 . zj
F: Hp. 5 e ц к П v K . P = S p . 2 = Sv • 71 e P к Ci о K . (2 = TP . Я = 7° . zj .
(д!И). 1И = (1 /pk‘S .P=MW .Q = M',f, = Tp .R = T° .Me (цр)к.
[*372-28] э . (дЛ/).Л/е(цр)к.Р = Л/РР .T = NP .R = T° (2)
F . (2). *375-1 . э F : Hp(2). цр vo. э . P^p/va^R (3)
F . (1). (3). э h : Hp (1). рр vo. э . P^p/va^R (4)
Аналогично h : Hp (1). vo цр . э . PCpp/vo^T? (5)
h . (4). (5). z> h . Prop
Principia Mathematica III
375. ГЛАВНЫЕ ПРОПОРЦИИ
451
*375-31. h kg FM cycl subm . p, v, p, ogNC ind - i‘O: p. v .V . о p: э .
(pp/vo)K = (p/v)k I (p/a)K
Доказательство.
Если P(pp/vo)K/?, то
(Я M). M g (рр)к П (vo)K . P = M™ . R = M™.
Полагая Q^M^, получаем требуемый результат.
Без предположения р v . V . о > р мы имеем
(pp/voVA = (p/vV(p/o)k%
если R достаточно мало, чтобы гарантировать (1/vo)k‘7?g(vp)k, т.е. если
(о/р)к7к(Жк)*Я,
иначе говоря, если ЛеПЧр/о^.
*375-32. F : кgFMcyclsubm . p/v4-5p/o<rl/l . Re к U Cnv“K. d .
{(p/v)//?} I {(p/oV^l = {(p/v+jp/o)K‘fl}
Доказательство следует непосредственно из определений.
Тот же самый результат может быть выведен и без предположения
p/v+<sp/o<rl/l при условии, что R достаточно мало, чтобы гарантировать
(l/vaVflG(pp + v(j)K,
т.е. ЯеСГ(р/¥+5р/о)к.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*101. *11 04. (дх,у, г).ф(х,у,г)
*2 33. Р + Ч + г *1105. ф(х,у).эх>у,у(х,у)
*3 01. p.q *1106. Ф(х,у).^.у
*302. p^>qz>r *1301. х = у
*401. p = q *13 02. х^у
*402. p = q = r *13 03. х = у = г
*4-34. p.q.r *1401. [(ix) (фх)]. у (ix) (фх)
*901. ~ {(x). фх) *1402. Е!(1х)(фх)
*9011. ~ (x). фх *1403. [(ix) (фх), (ix) (ух)].
*902. ~ {(gx). фх} f ((ix) (фх), (ix) (ух)}
*1404. [(ix) (ух)]. f [(ix) (фх),
*9 021. ~ (gx). фх (ix) (ух))
*9-03. (x). фх. + . p *2001. f [z (yz)}
*904. p. +. (x). фх *2002. x e (ф ! z)
*9 05. (gx). фх. + . p *2003. Cis
*906. р. + .(дх).фх *2004. x,y e a
*907. (x). фх. + . (gy). yy *20-05. x, y9 z € a
*9 08. (ЗУ) • УУ • + • (x). фх *2006. x~ ea
*1001. (gx). фх *2007. (a). fa
*1002. фх ух *20071. (ga).fa
*1003. фх =х ух *20072. [(ia) (фа)]. f (ia) (фа)
*1101. (х, у).ф(х, у) *2008. f (a (ya))
*11 02. (х, у, z) • ф (х, у, z) *20081. a e (ф ! a)
*11 03. (дх,у).ф(х,у) *21 01. /{xy y(x,y)}
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
454
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*2102. а (ф !(x,y)J b *33-02. a
*21 03. Rel *33-03. c
*21 07. (R) • fR *33 04. F
*21 071. (zR)-fR *3401. R\S
*21 072. [(!/?) (фЯ)]./(1Л)(фЛ) *34-02. R2
*2108. f{R§ W(R,S)] *3403. R3
*21081. Р{ф!(Л,^)}2 *35 01. a] R
*21 082. f{R(.wR)} *35 02. ЯГР
*21 083. Refy'.R *35 03. аШР
*2201. a c p *3504. аТР
*22 02. a П p *35-05. Я‘хТР
*2203. aup *35 24. а] Я|5
*2204. - a *35-25. 5|ЯГР
*2205. a - p *3601. Р [а
*22 53. a A P A у *3701. /гр
*22 71. aupuy *37 02. R<
*2301. RgS *37 03. Re
*23 02. *37-04. R“‘k
*2303. *3705. E!!R“P
*2304. -R *38 01. X?
*23-05. R-S *38 02.
*23-53. Rf)S AT *38 03.
*23 71. KUSUT *4001. р‘к
*2401. V *4002. .s'K
*2402. л *41 01.
*2403. з !a *41 02.
*25 01. V *43 01. Я IIS
*25 02. A *5001. /
*25-03. 3 IR *5002. J
*3001. R^y *51 01. 1
*3002. R‘S‘y *52 01. 1
*31 01. Cnv *54-01. 0
*31-02. P *5402. 2
*32-01. *55 01. xly
*32 02. H *55 02. R‘x\,y
*32-03. sg *5601. 2
*32-04. gs *56 02. 2r
*3301. D *5603. 0r
Principia Mathematica III
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
455
*6001. С1 *7302. sm
*60 02. Cl ех *80-01. Рд
*6003. Cis2 *84-01. Cis2 excl
*60-04. Cis3 *84-02. Cl ехсГу
*61 01. R1 *84-03. Cis ex2 excl
*61-02. R1 ex *85-5. Ply
*61 03. Rel2 *88-01. Rel Mult
*61 04. Rel3 *88-02. Cis2 Mult
*62-01. € *88-03. Mult ax
*63 01. t‘x *90-01. /?*
*63-011. t'‘x *9002. R*
*63 02. Го‘a *91-01. Rst
*63 03. Г1‘к *91-02. Pts
*63 04. *91 03. Pot4/?
*63-041. r3‘x *91 04. Pot id4/?
*63-05. Гг‘к *91 05. Rpo
*63051. г3‘к *93-01. В
*6401. Гоо'а *93 02. minp
*64011. rlllx *93 021. maxp
*64012. г12‘х *93 03. gen4P
*64013. Г21‘х *95-01. (P*2) Dft [*95]
*64014. t22‘x *96-01. //x Dft [*96]
*6402. rOi‘a *96-02. J^x Dft [*96]
*64021. По‘а *97-01. R‘x
*64022. Гн‘а *10001. Nc
*6403. Го1‘а *10002. NC
*64031. Г]1‘а *102 01. NC₽ (a)
*64-04. *Го‘а *103 01. Noc'a
*64041. *И‘а *103 02. N0C
*65-01. *104-01. N*c‘a
*65-02. а 0) *104-011. N2c‘a
*65-03. Rx *10402. N'C
*65-04. Я(х) *104-021. n2c
*65 1. R(x,y) *104-03.
*65-11. R(xy) *104-031. H<2>
*65 12. R(x,y) *105-01. Njc‘a
*70-01. a—> p *105-011. N2c‘a
*73-01. a sm p *105-02. NiC
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
456
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*105021. n2c *11705. p. V
*10503. H(i) *117-06. p. V
*105031. H(2) *119-01. y-rv
*10601. Nooc'a *119-02. Nc‘a -c v
*106011. Nllc‘a *119 03. y-c Nc‘P
*106012. NOic‘a *120-01. NC induct
*10602. No^a *120011. N^C induct
*106021. !Noc‘a *120 02. Cis induct
*10603. NooC *120-021. Cls^ induct
*10604. H(oo) *12003. Infin ax
*106041. И(Н) *12004. Infin ax (x)
*11001. a + p *120-43. spec‘P
*11002. H+Cv *121-01. P(x-y)
*11003. Nc‘a +c p *121-011. Р(хну)
*11004. p. +c Nc‘a *121 012. Р(хну)
*110-561. p, +c v +c GJ *121-013. P (x H y)
*111 01. к sm sm X *121 02. Pv
*111 02. Crp(5)‘P *121 03. finid‘P
*111-03. sm sm *121-031. fin‘P
*112 01. E‘k *121 04. vP
*112-02. ZNc‘k *122-01. Prog
*113 02. pxa *123 01. No
*11303. pixov *123-02. N Dft [*123-4]
*113-04. Nc‘p xop *12401. Cis refl
*113-05. p x0 Nc‘a *124-02. NC refl
*113 511. axpxy *124-021. Nc‘peNC refl
*113-541. p, x0 v x0 GJ *124-03. NC mult
*11401. IINc‘k *126 01. NC ind
*115 01. РгосГк *15001. 5’2
*115 02. Cis3 arithm *150 02. 5t2
*116 01. a exp p *150-03.
*116-02. *150 04. RlS^Q
*11603. (Nc‘a)v *15005. RWQ
*116-04. ^Nc-p *151 01. P smor Q
*11701. p> V *151 02. smor
*117-02. p,> Nc‘a *15201. Nr
*11703. Nc‘a > v *152 02. NR
*117-04. p, < V *153 01. h
Principia Mathematica III
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
457
*15401. NRy (X) *183-01. LNr‘P
*15501. Nor‘P *18401. px V
*155 02. N0R *18402. Nr‘Px v
*16001. P+Q *18403. pxNr‘2
*16101. P + X *184-32. pXVXGJ
*16102. x + P *18501. IINr‘P
*161-212. P-bx-by *186-01. p expr v
*161 213. x+y + P *18602. (Nr‘P) expr v
*162-01. Z‘P *18603. pexpr (Nr‘2)
*163 01. Rel2 excl *201-01. trans
*16401. P smor smor Q *202-01. connex
*164-02. smor smor *204-01. Ser
*166-01. QxP *206 01. seqP
*166421. PxQxR *20602. preep
*170-01. Pci *207-01. lt/>
*170-02. P1C *207 02. tip
*171 01. Pdf *207-03. limaxp
*171 02. Pfd *207 04. liminp
*172-01. 1ГР *20801. cror‘P
*17301. Prod‘P *211-01. sect‘P
*17401. Rel3 arithm *21201. s‘P
*176-01. Pexp Q *212-02. sym‘P
*17602. pQ *213 01. Ps
*18001. P+Q *21401. Ded
*18002. p + V *21402. semi Ded
*18003. Nr‘P + v *215 01. str‘P
*180-04. p + Nr‘2 *216 01. dp
*180561. p + V + GJ *216-02. dense‘P
*181 01. P-к x *21603. closed‘P
*181 011. x<+P *216 04. perf‘P
*181-02. p + i *216-05. V‘P
*181 021. i + p *230 01. ^Gcna
*181 03. Nr‘P + i *23002. 2cn
*181-031. i + Nr‘P *231-01. PPscQ
*181 04. i + i *231 02. PRosQ
*181-561. p+i + i *232 01. (PRQ)sc‘a
*181-571. i + i + p *232-02. (РРО)т‘а
*182-01. 9 *233 01. (PR01mx
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
458
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*233 02. R(.PQ) *265-01. (01
*23401. sc (P, Q)‘R *265-02. Ki
*23402. os (P,QYR *265-03. (o2
*23403. ct (PQ)'R *265-04. K2
*23404. contin (PQYR *265-05. M Dft [*265]
*23405. P contin Q *265 06. N Dft [*265]
*25001. Bord *270-01. Comp
*25002. Q *271-01. med
*25101. NO *272-01. Tpq
*25401. less *27301. n
*25402. P sm *273 02. RspqT Dft [*273]
*255 01. <• *273 03. (RS)pq Dft [*273]
*25502. •> *273-04. Trspq Dft [*273]
*255 03. N0O *274-01.
*25504. *274-02. Pm‘K Dft [*274]
*255 05. *27403. Tp'K Dft [*274]
*25506. p. <• Nr‘P *274-04. MpK Dft [*274]
*255 07. Nr‘P<- *275-01. e
*25601. M Dft [*256] *276-01. Pe
*256 02. N Dft [*256] *276-02. A Dft [*276]
*25701. (R*QYx *27603. Pm‘k Dft [*276]
*25702. Qrx *276-04. TP Dft [*276]
*259 01. A Dft [*259] *276-05. Ptl‘K Dft [*276]
*25902. Aw Dft [*259] *300-01. U
*259-03. wA *300-02. Rel num
*260-01. Pfn *30003. Rel num id
*261-01. Ser infin *301-01. RP Dft [*301]
*261-02. Q infin *301 02. num (P) Dft [*301]
*261-03. Ser fin *301 03. R°
*261-04. Qfin *302-01. Prm
*261-05. Q induct *30202. (p, a) Prmr (p, v)
*262-01. NO fin *30203. (p, a) Prm (p, v)
*262 02. NO infin *302 04. hcf (p, v)
*262 03. Hr *302 05. 1cm (p, v)
*263-01. (D *303-01. p/v
*263 02. N Dft [*263] *30302. 0,
*264-01. Ppr Dft [*263] *303-03. °°4
*264429. i x a *303 04. Rat
Principia Mathematica III
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
459
*303-05. Rat def *331-01. conx ‘ к
*30401. X<rY *331-02. FM conx
*30402. Н *332-01. repK‘P
*30403. Н' *33301. Кэ
*305-01. XxsY *333011. Ku3
*306-01. X+SY *333 02. FM ap
*307-01. Ratn *333-03. FM ap conx
*307-011. Ratg *33401. trs‘K
*307 02. <n *33402. FM trs
*307-021. >n *33403. FM connex
*307-03. <g *334-04. FM sr
*307-031. >g *33405. FM asym
*307-04. Hn *335-01. init‘к
*307-05. *335-02. FM init
*308-01. X-SY *336 01. VK
*308-02. X+g У *336 Oil.
*309-01. Xx„ Y
*336-02. Ац
*310-01. 0
*351 01. FM subm
*310011. 0'
*352 01. TK
*310-02. 0„
*352-02. TKi
*310021. 0'n
*353-01. FMrt
*31003. 0g
*353-02. FM ex
*311 01. concord (ц, v,...)
*353-03. FM rt ex
*311 02. H+p v
*354 01. Ke
*312-01.
*354 02. cxa‘k
*312*02. H+aV
*313-01. v *35403. FM grp
*314-01. *35601. xK
*31402. XxJ *370-01. FM cycl
*314-03. CT *370-02. KK
*314-04. M +OA *37003. Ac
*31405. MxaN *371-01.
*330-01. cr‘a *372-01. Vk
*330-02. Abel *373 01. MVK Dft [*373-5]
*330-03. fm‘a *373 02. Prime
*330-04. FM *373-03. (S,v) Dft [*373-5]
*330-05. Ki *375-01. (n/v)K
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
Научное издание
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том III
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Г.П. Ярового;
д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. Радаева
Редактор и корректор Т.И. Кузнецова
Художественный редактор Л.В. Крылова
Компьютерная верстка, макет Д.В. Чичерова
Подписано в печать 25.06.06. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 37,08. Уч.-изд. л. 28,75.
Typeset by ЖЩХ2е. Тираж 100 экз. Заказ №415.
Издательство “Самарский университет”, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1,
тел. +7 846 3345423, факс +7 846 3345406. E-mail: university-press@ssu.samara.ru
Отпечатано в ООО ’Типография “Книга”, 443068, г. Самара, ул. Ново-Садовая, 106,
тел. +7 846 3353526. E-mail: slovo@samaramail.ru
ж
IBS