Автор: Бертран Рассел
Теги: анализ основы математики математическая логика математика
ISBN: 5-86465-359-4
Год: 2006
Текст
но
Вда
ШЩШ
ШВшиИ
ЗЯШйЯШМвИ
itllllMBIIliltBi
' 1
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
PRINCIPIA MATHEMATICA
BY
ALFRED NORTH WHITEHEAD, SC.D, F.R.S.
FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE, PROFESSOR OF PHILOSOPHY
IN HARVARD UNIVERSITY, AND SOMETIME PROFESSOR OF APPLIED
MATHEMATICS IN THE IMPERIAL COLLEGE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
AND
BERTRAND RUSSELL, M.A., F.R.S.
LATE LECTURER AND LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE
VOLUME II
SECOND EDITION
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1927
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том II
Перевод со второго английского издания
Ю.Н. Радаева, А.В. Ершова
Под редакцией доктора физико-математических наук,
профессора Г.П. Ярового;
доктора физико-математических наук,
профессора Ю.Н. Радаева
ИЗДАТЕЛЬСТВО “САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”
2006
1
Печатается по решению
Редакционно-издательского совета
Самарского государственного университета
САМАРСКИЙ
__I ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
УДК 517.11
ББК 22.12
К 13
Уайтхед А., Рассел Б.
К 13 Основания математики: в 3 т. Т. II / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.;
под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во ’’Самарский универ-
ситет”, 2006. 738 с.
ISBN 5-86465-359-4 (общ.)
ISBN 5-86465-361-6 (т.П)
Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела 11 Principia Mathematical1 занимает
уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое английское издание
вышло в свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти 2000 страниц.
11 Principia Mathematica” по праву считается одним из самых ярких сочинений по осно-
ваниям математики и в широком смысле — выдающимся вкладом в интеллектуальную
сферу прошедшего столетия. Не будет преувеличением сказать, что по прошествии
почти целого столетия с момента первого издания этой монографии интерес к ней
не ослабевает, и 11 Principia Mathematica11 до сих пор продолжает оказывать весьма су-
щественное влияние на развитие математики и логики. Второй том этой монографии
выходит в свет в рамках перспективного проекта, реализуемого Самарским государ-
ственным университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию
указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому выда-
ющемуся образцу творческой мысли. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г.
Предполагается, что современный перевод на русский язык 11 Principia Mathematical1
восполнит также существующий пробел в литературе по математической логике и ос-
нованиям математики. Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела представляет собой независимое
и энциклопедическое для своего времени исследование всех важнейших аспектов ос-
нований математики. Высокие научные и методические достоинства книги позволяют
рассматривать ее не только как монографию, но и как ценное учебное пособие, кото-
рое можно рекомендовать для начального изучения математической логики и теории
множеств.
УДК 517.11
ББК 22.12
ISBN 5-86465-359-4 (общ.)
ISBN 5-86465-361-6 (т.П)
© Cambridge University Press, 1927
© Радаев Ю.Н., Ершов А.В.,
перевод на русский язык, 2005
© Самарский государственный
университет, 2006
© Изд-во ’’Самарский университет”,
оформление, 2006
Содержание
Предисловие редакторов русского перевода........................... 9
Предварительные формальные соглашения............................. 25
ЧАСТЬ III. АРИФМЕТИКА КАРДИНАЛОВ 53
Введение к части III.............................................. 55
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 57
* 100. Определение и элементарные свойства кардинальных чисел ... 67
* 101. О 0, 1 и 2................................................ 72
* 102. О кардинальных числах заданных типов...................... 77
* 103. Однородные кардиналы...................................... 88
* 104. Восходящие кардиналы...................................... 94
* 105. Нисходящие кардиналы......................................102
* 106. Кардиналы относительных типов.............................109
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ
И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ 115
* 110. Арифметическая сумма двух классов и двух кардиналов.125
* 111. Двойное подобие...........................................136
* 112. Арифметическая сумма класса классов.......................144
* 113. Об арифметическом произведении двух классов или двух
кардиналов...............................................151
* 114. Арифметическое произведение класса классов................167
* 115. Мультипликативные классы и арифметические классы..........177
* 116. Экспоненциация............................................184
* 117. Больше и меньше...........................................208
Общее замечание о кардинальных корреляторах.................220
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ 223
* 118. Арифметическая подстановка и униформные формальные числа 230
* 119. Вычитание.................................................237
* 120. Индуктивные кардиналы.....................................243
♦ 121. Интервалы.................................................266
* 122. Прогрессии................................................283
* 123. Ко........................................................296
* 124. Рефлексивные классы и кардиналы...........................304
* 125. Аксиома бесконечности.....................................314
* 126. О типово не-определенных индуктивных кардиналах...........317
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
6
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ IV. АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНИЙ 323
Введение к части IV ......................................325
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА 327
* 150. Внутреннее преобразование отношения ...............331
* 151. Подобие ординалов..................................342
* 152. Определение и элементарные свойства реляционных чисел .... 351
* 153. Реляционные числа 0г, 2Г и 15 .....................355
* 154. Реляционные числа предписанных типов...............359
* 155. Однородные реляционные числа ......................364
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ДВУХ ОТНОШЕНИЙ 367
* 160. Сумма двух отношений...............................371
* 161. Добавление терма к отношению.......................376
* 162. Сумма отношений одного поля........................380
* 163. Отношения взаимно исключающих отношений............386
* 164. Двойное сходство...................................392
* 165. Отношения отношений пар............................400
* 166. Произведение двух отношений........................408
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ
И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ 415
* 170. Об отношении первых разностей среди подклассов
данного класса............................................423
* 171. Принцип первых разностей (продолжение).............433
* 172. Произведение отношений одного поля.................437
* 173. Произведение отношений одного поля (продолжение) ..450
* 174. Закон ассоциативности реляционного умножения.......453
* 176. Экспоненциация.....................................462
* 177. Предложения, связывающие Pdf с произведениями и степенями . 473
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ 475
* 180. Сумма двух реляционных чисел ......................479
* 181. О прибавлении единицы к реляционному числу.........483
* 182. Об отделенных отношениях...........................488
* 183. Сумма реляционных чисел одного поля................495
* 184. Произведение двух реляционных чисел................499
* 185. Произведение реляционных чисел одного поля ........502
* 186. Степени реляционных чисел..........................503
Principia Mathematica II
СОДЕРЖАНИЕ
7
ЧАСТЬ V. СЕРИИ 507
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ 513
* 200. Отношения, содержащиеся в различии ................515
* 201. Транзитивные отношения.............................521
* 202. Связные отношения..................................528
* 204. Элементарные свойства серий........................540
* 205. Точки максимума и минимума.........................551
* 206. Секвентные точки...................................566
* 207. Границы............................................580
* 208. Корреляция серий...................................589
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ 595
* 210. О серии классов, образованных отношением включения.599
* 211. О сечениях и сегментах.............................607
* 212. Серии сегментов....................................629
* 213. Отношения сечений .................................643
* 214. Дедекиндовы отношения..............................656
* 215. Промежутки.........................................662
* 216. Производные........................................669
* 217. О сегментах сумм и обращений.......................677
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ 681
* 230. О сходимости.......................................687
* 231. Предельные сечения и предельная осцилляция функции.693
* 232. Об осцилляции функции, когда аргумент стремится к данному
пределу..................................................701
* 233. О пределах функций ................................708
* 234. Непрерывность функций..............................715
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 731
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
РУССКОГО ПЕРЕВОДА
То see a World in a Grain of Sand
And a Heaven in a Wild Flower,
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in a hour.
(W. Blake. Auguries of Innocence)1
Настоящая книга представляет собой перевод на русский язык второго
тома известной трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела ”Principia
Mathematical. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г., а его изда-
ние было осуществлено издательством ’’Самарский университет” в 2005 г.2
Второй том, как и первый, выходит в свет в рамках перспективного проек-
та, реализуемого Самарским государственным университетом, по полному
переводу на русский язык и комментированию указанного сочинения с це-
лью приобщения всего научного сообщества к этому выдающемуся образцу
творческой мысли и восполнения существующего пробела в русскоязычной
литературе по математической логике и основаниям математики. Издание
русского перевода заключительного третьего тома предполагается осуще-
ствить в 2006 г.3
Перевод второго тома выполнен со второго английского издания, вы-
шедшего в 1927 г.4
гТот же принцип эстетики У. Блейка в переводе С.Я. Маршака:
В одном мгновенье видеть вечность,
Огромный мир — в зерне песка,
В единой горсти — бесконечность
И небо в чашечке цветка.
2См.: Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: в 3 т. Т. I. Пер. с англ.; под
ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во ’’Самарский университет”, 2005. 722 с.
3 А. Уайтхед и Б. Рассел планировали написание четвертого тома, посвященного гео-
метрии. Эта работа так и не была завершена.
4Первое издание второго тома "Principia Mathematical’ вышло в свет в 1912 г.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
О значении монументального сочинения А. Уайтхеда и Б. Рассела и
о его роли в развитии идей и методов математической логики уже говори-
лось в нашем предисловии к русскому изданию первого тома5. Здесь мы
лишь заметим, что „Principia Mathematica” задумывалась авторами как реа-
лизация логистического тезиса о том, что все специальные математические
термины определимы в рамках логического словаря, а для доказательства
любых математических теорем не требуется никаких аксиом, кроме логи-
ческих, и никаких правил умозаключений, кроме тех, что приняты в фор-
мальной логике.
Выполняя перевод оригинального материала такого значительного объ-
ема, написанного более ста лет назад, мы столкнулись с проблемой полной
и ясной передачи тех мыслей, которые авторы „Principia Mathematica” стре-
мились донести до читателя. Преследуя эту цель, при работе над вторым
томом мы сделали все от нас зависящее для того, чтобы перевод как можно
точнее соответствовал оригиналу: не подверглась никакому изменению сим-
волика и математическая терминология оригинала; не нарушена нумерация
предложений формально-логической системы А. Уайтхеда и Б. Рассела; пол-
ностью сохранены все вспомогательные разделы второго тома; в значитель-
ной степени оставлен без изменения присущий авторам стиль изложения,
передача которого часто требовала нарушений современных норм орфогра-
фии и синтаксиса русского языка.
Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела представляет собой
независимое и энциклопедическое для своего времени исследование всех
важнейших аспектов оснований математики в рамках созданной ими фор-
мально-логической системы. Высокие научные и методические достоинства
книги А. Уайтхеда и Б. Рассела позволяют рассматривать ее не только как
монографию, но и как ценное учебное пособие, которое можно рекомендо-
вать для начального изучения математической логики и теории множеств.
В этой связи обратим внимание на многочисленные повторения при изло-
жении. Мы не совсем уверены в том, что А. Уайтхеду и Б. Расселу уда-
лось соблюсти здесь надлежащие пропорции. Многие читатели, возможно,
предпочли бы повторения постоянным внутренним ссылкам. Так или ина-
че обязанность следовать духу и букве оригинала проявилась и в форме
отмеченных повторений.
I
Альфред Норт Уайтхед родился 15 февраля 1861 г. в семье англиканско-
го священника и главного преподавателя школы в Рамсгейте близ Кентер-
бери. Он получил блестящее домашнее образование, в совершенстве знал
латынь и греческий, но особые способности проявлял к математике. По-
ступив в 1880 г. в Тринити-колледж Кембриджа, А. Уайтхед через четыре
года вошел в состав элитного общества ’’Апостолы”. Он становится членом
5См. также нашу статью: Яровой Г.П., Радаев Ю.Н. О новом прочтении ’’Основа-
ний математики” А. Уайтхеда и Б. Рассела // Вестник Самарского гос. университета.
Естественнонаучная серия. 2004. №4(34). С. 5-19.
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
11
математического сообщества колледжа. Диссертация Уайтхеда была посвя-
щена математическим аспектам электромагнитной теории Джеймса Клерка
Максвелла, в прошлом — преподавателя того же Тринити-колледжа. Физи-
ческая суть этой теории, не укладывающаяся в механистическую картину
мира Ньютона, воспитанника того же колледжа, подвигла молодого учено-
го к размышлениям над принципиальными сторонами бытия, а скрупулез-
ное изучение математических символизмов, использованных в ’’Трактате
об электричестве и магнетизме” Максвелла, привлекло его к основаниям
математической логики и математики в целом6.
Академическая карьера Уайтхеда была успешной. В 1910 г. он становит-
ся деканом в Лондонском университете, затем — профессором в Имперском
колледже науки и техники в Кенсингтоне, в 1924 г. возглавляет кафедру
философии в Гарварде.
Уайтхед много преподает, выполняет ряд пионерских работ в области
алгебры. В 1898 г. в свет выходит его академический труд —”A Treatise
on Universal Algebra”7 (’’Курс общей алгебры”). Затем Уайтхед, под влия-
нием итальянского математика Джузеппе Пеано, работает над применени-
ем математической логики для обоснования арифметики. Вместе со своим
бывшим студентом Бертраном Расселом ученый приступает к работе над
” Principia Mathematica”, пытаясь найти в логике и ’’сверхчеловеческой силе
формальных исчислений” первооснову математики.
Напряженная духовная жизнь Альфреда Норта Уайтхеда не сводится
только к алгебре и логико-математическим формализмам. Он совершает
резкий поворот в своем отношении к религии. Сначала от англиканства
к англокатолицизму в версии кардинала Ньюмена. Затем, и надолго, до
начала Первой мировой войны, — к агностицизму.
Научное выражение поиски первооснов сущего находят в книге ”Оп
Mathematical Concepts of the Material World”8 (’’Математические концеп-
ции материального мира”, 1906 г.). Для своего времени эта работа бы-
ла поистине революционной. Уайтхед рассматривает ньютонову концепцию
мироздания как состоящую из трех взаимоисключающих классов сущно-
стей-точек пространства, частиц материи и моментов времени. Противо-
положностью ей Уайтхед считал концепцию относительности пространства,
принадлежащую Лейбницу. Именно последней Уайтхед и пытался придать
математическую форму. Механика Ньютона предполагала независимую от
нее геометрию. Но для этого пространство должно было стать независи-
мой самостоятельной сущностью, что представляется довольно странным.
Сегодня такие рассуждения тривиальны, но в 1905 г. монизм космологии
был революционен. ”Из этой гипотезы, — писал Уайтхед, — с крайней про-
стотой могли бы вытекать все законы электромагнетизма и тяготения. Эта
6История науки в который раз подтверждает тезис о влиянии таких выдающихся
работ, как ’’Трактат об электричестве и магнетизме” Максвелла, на области науки,
столь от них отдаленные.
7Whitehead A.N. A Treatise on Universal Algebra. Cambridge: Cambridge University
Press, 1898.
8Whitehead A.N. On Mathematical Concepts of the Material World. London: Dulau,
1906.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
12
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
концепция допускает лишь один класс сущностей, образующих Вселенную.
И свойства ’’пространства”, и физические процессы ”в пространстве” стано-
вятся свойствами этого единого ряда сущностей. Законы физики не предпо-
лагали бы геометрии, но создали бы ее”. Почти что прообраз общей теории
относительности. Но именно прообраз. Сам Уайтхед никогда не претендо-
вал на лавры Эйнштейна. И полагал, что лучи звезд не распространяют-
ся по прямым-геодезическим в искривленном пространстве Эйнштейна, но
движутся по кривым в пространстве Евклида. В наше время эти теории
уже опровергнуты. Но это нисколько не умаляет заслуг Уайтхеда.
Исключительно интересен главный труд Уайтхеда —’’Process and Rea-
lity” (’’Процесс и реальность”, 1929 г.) —опыт построения метафизики, в ос-
нове которой лежит чисто математическое понятие события. Определив
events как пространственно-временные происшествия, occasions, Уайтхедом
была нарисована связная картина Мироздания, в котором процессы, состо-
ящие из событий, определенных одними и определяющими другие события,
сливаются в Природу, состоящую из процессов. Процессов, в общем-то,
таких же, о которых нам докладывает Диспетчер задач, понятных ком-
пьютерно-ориентированному разуму9. Подход Уайтхеда дает возможность
оперировать метафизикой как инструментом. Уникальным инструментом,
позволяющим объединить различные пути познания реальности — матема-
тический, естественнонаучный, философский, богословский, поэтический10.
Для социологических взглядов Уайтхеда всегда было характерно при-
знание идей как главных движущих сил общества и абсолютизация роли
личности в технократическом духе.
Последнюю лекцию Уайтхед прочитал в 1941 г. за шесть лет до смерти.
Тема лекции была —’’Бессмертие”.
Современная математика немыслима без трехтомного десятилетнего
труда Уайтхеда и Рассела ”Principle, Mathematics. Его можно критиковать
и за изощренную символику, и за излишнюю подробность формальных до-
казательств. Но без этой работы вряд ли произошел бы прорыв в обла-
сти символьных вычислений и обработки информации и были бы созданы
компьютеры — признак уже другой цивилизации, в которую вступило че-
ловечество в XX веке. ”Principia Mathematical — первая серьезная попытка
проникнуть в величайшую тайну: каким образом человеческое мышление
может само себя постичь и как далеко продвинуться, опираясь на ’’сверх-
человеческую силу формальных исчислений”11.
9Различные точки зрения на проблему искусственного разума с большим литера-
турным мастерством обсуждаются в |5]. В этой книге читатель, помимо всего прочего,
найдет известную статью А.М. Тьюринга ’’Вычислительные машины и разум”.
10 И за это Уайтхеда, так до конца жизни и не вернувшегося в лоно ни одной из
конфессиональных церквей, постоянно упоминают современные богословы.
11 Современный взгляд на эту проблематику имеется в [4].
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
13
II
Одно из центральных понятий второго тома "Principia Mathematical
есть понятие бесконечного12. Натуральный ряд доставляет нам первичное
бесконечное множество. Натуральные числа употребляются для двух основ-
ных целей: для счета и для упорядочивания. Пересчитывая множество, мы
каждому его элементу ставим в соответствие символ (цифру). Упорядочи-
вая множество, мы занумеровываем его элементы, например, в порядке
возрастания присвоенных номеров. В рамках современного математическо-
го знания применяются обе указанные точки зрения. Их последователь-
ное развитие приводит к понятию соответственно кардинальных и орди-
нальных чисел. Хотя натуральные числа изучались математиками древнего
мира, а аксиоматический подход развивается уже два тысячелетия, фор-
мально-аксиоматический метод в теории натуральных чисел был применен
только в конце XIX столетия Р. Дедекиндом и Дж. Пеано.
Представление о конечном и бесконечном становится существенным уже
в логике предикатов. При интерпретации формализма логики предикатов
приходится оперировать с индивидными областями. Ясно, что выполни-
мость той или иной логической формулы инвариантна относительно вза-
имно-однозначных отображений одной индивидной области на другую, по-
скольку индивиды фигурируют в формулах лишь в качестве переменных
субъектов. Следовательно, единственной существенной характеристикой ин-
дивидной области является число составляющих ее индивидов. В логике
предикатов без труда могут быть сконструированы простые формулы (или
системы формул), выполнимые лишь на бесконечном множестве индиви-
дов, и возникает вопрос о существовании бесконечных индивидных обла-
стей. Достаточно, например, взять систему из следующих трех формул:
(х)~Я(х,х),
(Р (х, y).R(y,z)^R (х, z)), (А)
Сх)(ЯУ)Я (х,у).
Эта система невыполнима ни в одной конечной индивидной области
независимо от выбора предиката R(x,y). Действительно, возьмем какой-
либо индивид а. На основании третьей формулы заключаем, что должен
существовать индивид b такой, что R(a,b). Согласно первой формуле b от-
личен от а. Далее для b должен найтись индивид с такой, что R(b,c). Со-
гласно второй формуле имеем /?(а,с), и в соответствии с первой формулой
с отличен от а и Ь, Для с снова должен найтись индивид для которо-
го R(c,d), и кроме того R(a,d) и R(b,d), поэтому d отличен от а, b и с.
Этот процесс никогда не оборвется, и поэтому приведенная система фор-
мул в конечной индивидной области выполнена быть не может.
12 Точнее, понятие конечного и бесконечного множества. Большинство математиков
предпочитают рассматривать понятия конечности и бесконечности как интуитивно яс-
ные и приемлемые в качестве фундаментальных неопределяемых понятий. Так, те
множества, для которых (по крайней мере в принципе) возможно явное перечисление
элементов при наличии достаточного ресурса времени и места, разумно называть ко-
нечными. Невозможность в принципе явного перечисления всех элементов множества
указывает на его бесконечность.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
14
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
В качестве еще одного примера можно рассмотреть систему формул
(3*)(?) ~ 5 (у, х),
(x)(y)(w)(v) (S (х, u).S (у, и). S (v, х) э S (у, у)), (В)
(х)(ау)5 (х,у),
которая также невыполнима ни в одной конечной индивидной области, ни
при каком выборе предиката S(x,y).
Наконец отметим систему логических формул, также обладающую рас-
сматриваемым свойством:
(х) ~ А (х, х),
W(Hy)U) (А (*> У) • (А (z, х) э A (z, у))).
Эта система формул не может быть выполнена ни в какой конечной ин-
дивидной области подстановкой вместо А какого-либо предиката.
Каждая из систем логических формул (А) и (В) выполнима, если в ка-
честве индивидной области взять бесконечный натуральный ряд, в каче-
стве предиката /?(х,у) — отношение “х меньше у”, а в качестве предиката
S(х,у) — отношение “у непосредственно следует за х”. Приведенные модели
для систем логических формул (А) и (В) относительны в том плане, что
гарантируют их непротиворечивость относительно формальной арифмети-
ки, т.е. лишь при условии, что бесконечный натуральный ряд существует
как готовая совокупность.
Аксиома бесконечности в любой формальной системе, типичным при-
мером которой является ^Principia Mathematics^ обеспечивает существова-
ние бесконечного множества индивидов. Любая синтаксически правильно
построенная формула формального исчисления может считаться аксиомой
бесконечности, если она выполнима по меньшей мере в одной бесконечной
индивидной области, но не выполнима ни в какой конечной индивидной
области. Ясно, что предпочтительнее та аксиома бесконечности, которая,
исключая конечные индивидные области, не накладывала бы значительных
дополнительных ограничений на интерпретацию формального исчисления.
Ряд из возможных аксиом бесконечности перечисляется, например, в [6,
с. 328-331]. При этом оказывается, что не существует самой слабой аксио-
мы бесконечности. Здесь мы обратим внимание на следующую неформаль-
но заданную аксиому бесконечности, восходящую к Веберу: существует от-
ношение, которое задает на множестве индивидов порядок без последнего
элемента.
Согласно Дедекинду13, система каких-либо объектов (мы говорим ин-
дивидная область) называется бесконечной, если она допускает взаимно-
однозначное отображение на какую-либо собственную (т.е. содержащую не
все элементы этой системы) подсистему.
13Дедекинд является одним из самых выдающихся основоположников логического и
философского анализа оснований математики. Две его статьи “Stetigkeit und Irrationale
Zahlen” (1872 г.) и “Was Sind und was Sollen die Zahlen?” (1887 г.) оказали значительное
влияние на исследования в области принципов математики. Имеется русский перевод
второй из указанных статей: Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат //
Изв. физ.-мат. общества Казанского университета. 1906. Т. 15. С. 25-104.
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
15
Аксиома бесконечности Дедекинда: существует множество, взаимно-
однозначно отобразимое в свою собственную часть14.
Существование бесконечной (в смысле Дедекинда) индивидной области,
в свою очередь, если следовать подходу Д. Гильберта15, эквивалентно тре-
бованию выполнимости некоторой системы формул, выразимых средствами
исчисления предикатов с равенством. Действительно, указанному отобра-
жению соответствует бинарный предикат “у является образом х”, который
мы обозначим Р(х,у). Для того чтобы предикат Р(х,у) соответствовал вза-
имно-однозначному отображению индивидной области на собственную под-
область, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял системе следу-
ющих четырех формул16:
(хХЯУ)Р (*,?),
(Rx)(y)~P(x,y),
(Р у). P(x9z) у = z),
(x)(y)(z) (Р (х, z). Р (у, z) э х = у).
Первая из них утверждает, что для всякого элемента индивидной об-
ласти имеется образ, вторая —что, по крайней мере, один элемент не яв-
ляется образом, третья утверждает, что прямое отображение однозначно,
а четвертая — что однозначно обратное отображение.
Под предикатом Р(х,у) можно понимать отношение непосредственного
следования “у непосредственно следует за х”, выразимое с помощью знака
равенства и дополнительного функционального символа S:
Sx = y.
Тогда имеем следующую систему четырех формул:
М(ЭУ) (Sx = y),
(Rx)(y)~(Sy = х),
(x)(y)(z) (Sx = y .Sx = z^y = z),
W(y)(z) (Sx = z. Sy = z э x = y).
Заметим, что не существует непротиворечивой системы аксиом, содер-
жащей только унарные предикаты, и такой, чтобы из нее вытекала беско-
14 В системе "Principia Mathematical' такого рода множества называются рефлексив-
ными.
15Д. Гильберт впервые в отчетливой форме уточнил, что понятие существования
тождественно логической непротиворечивости, приписав тем самым ясное и точное
содержание термину существование. В рамках математики понятию “существование”
долгое время не давалось вообще никаких определений, а его содержание считалось
интуитивно понятным, хотя формулировки математических теорем и их доказатель-
ства изобилуют указанным термином. Трактовка Д. Гильберта существования того или
иного объекта содержательно означает, что этот объект существует как идея, не про-
тиворечащая принятой системе аксиом. Ясно, что при таком подходе нельзя вести
речь ни о его идентификации, ни о его конструировании. Не вдаваясь далее в дис-
куссию по этому вопросу, еще раз сформулируем гильбертовский тезис: существова-
ние=логическая непротиворечивость.
16Этот подход, в частности, применяется в известной монографии Д. Гильберта и
П. Бернайса "Основания математики" (см.: [1, с. 261-350]). Ясно, что в том виде,
в котором он использовался, указанный подход позволяет дать доказательство толь-
ко непротиворечивости существования рефлексивной индивидной области, а не само
ее существование. Следовательно, аксиома бесконечности Infin а-х формальной системы
"Principia Mathematica" сильнее, чем просто констатация непротиворечивости существо-
вания рефлексивного множества.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
16
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
нечность характеризуемой ею индивидной области17. Иными словами, по-
средством аксиоматики, использующей лишь одноместные предикаты-свой-
ства, невозможно отличить конечное множество от бесконечного. Послед-
нее означает, что бесконечное множество нельзя отличить от конечного,
если делать высказывания только о свойствах его элементов, а не об от-
ношениях между ними. Поэтому бесконечный натуральный ряд определим
лишь в терминах как минимум бинарных предикатов.
Обоснование существования бесконечного множества через выполни-
мость приведенной выше системы логических формул подразумевает опе-
рирование со знаком равенства, поэтому при таком подходе первичными
(по отношению к бесконечности) оказываются понятия тождества и разли-
чия.
Первая и третья формулы указанной системы оказываются выводимы-
ми из аксиом равенства. Бинарный предикат равенства (или предикат тож-
дества), как известно, удовлетворяет следующим двум аксиомам:
(х) (х = х),
(х)(у) (х = у э (Р (х) э Р (у))).
Первая из них формализует закон тождества, а вторая — принцип заме-
ны равного равным. Во второй аксиоме Р —переменный предикатный сим-
вол. Тождество (и соответствующий знак =) играет в языке математики
особую роль, а предикат тождества имеет особый статус в логике. Мы
остановимся подробнее на формально-логическом понятии тождества, заме-
тив, что полное доказательство непротиворечивости существования рефлек-
сивной индивидной области, основанное на доказательстве невозможности
дать вывод формулы 0^0 средствами исчисления предикатов, дополнен-
ного аксиомами
х = х,
х = уэ(Р (х)эР(у)),
~(х<х),
X<y.y<ZOX<Z,
х < Sx,
5x^0,
Sx-Sy эх = у,
имеется в [1, с. 261-305].
Ряд свойств тождества был указан еще Аристотелем18. Лейбниц (prin-
cipium identitatis indiscerniblium) дал содержательное определение тожде-
ства, опираясь на его фундаментальное свойство: два индивида тождествен-
ны, если они обладают одинаковыми свойствами19.
17См., например: Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.
С. 168-172.
18 Интересная деталь: свойства тождества были использованы Декартом для обос-
нования знаменитого тезиса “я мыслю, следовательно, я существую”. На основании
свойств тождества предложение “я мыслю” логически эквивалентно предложению
“существует х такой, что х тождественен мне и х мыслит”. Откуда выводится предло-
жение “существует х такой, что х тождественен мне”, т.е. “я существую”. Таким обра-
зом, тезис Декарта “я мыслю, следовательно, я существую” не может быть подвергнут
сомнению, если руководствоваться формально-логическими свойствами тождества.
19 Ясно, что переменный предикатный символ Р не может указывать на абсолютно
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
17
Равенство20, которое в обычном языке выражается речевым оборотом
вида 11 х представляет собой тот же самый объект, что и у”, лишь внешне
напоминает предикат с двумя субъектами. Употребление речевых оборо-
тов “тот же самый”, “тождественный с” не может быть заменено более
простыми и составляет основу нашей способности проводить рассуждения
с целью получения нового знания. Рассматриваемый оборот речи на самом
деле не вполне точно выражает сущность тождества. Буквальное его пони-
мание приводит к заключению о тривиальности тождества: если говорится,
что два объекта тождественны, то перед нами не два объекта, а один; ес-
ли же объект всего один, то утверждение о тождественности его самому
себе есть тривиальный факт. Нетривиальный смысл тождества проявляет-
ся лишь тогда, когда мы отождествляем два различных описания объекта,
приобретая при этом новое нетривиальное знание о нем.
По содержанию равенство первично и должно предшествовать опреде-
лению какого бы то ни было предиката, поскольку без понятия тождества
нет возможности различать элементы индивидной области. Именно поэто-
му тождество (и его антипод различие) есть основной предикат, возмож-
но, располагающийся вне рамок логики.
Кроме всего прочего, понятие тождества тесно связано с представле-
нием о количестве. С помощью знака равенства без труда выражаются
условия количества элементов индивидной области. Так, логическая фор-
мула
(х)(у) (х = у)
выражает высказывание о том, что в индивидной области имеется лишь
один элемент. Аналогично формула
(x)(y)(z) (x = yV x = zvy = z)
устанавливает, что в индивидной области имеется самое большее два эле-
мента, а формула
(Я*)(ЯУ) (*/?)
при содержательном ее понимании говорит нам о том, что их имеется по
меньшей мере два. Очевидно, что с введением знака равенства существенно
возрастают изобразительные возможности формальных систем.
Сам Дедекинд полагал, что сумел доказать существование бесконечных
множеств. Он рассматривает множество Т всех ‘объектов мысли’ и дока-
зывает его рефлексивность следующим образом. Если t есть произвольный
элемент Т, то мысль “t есть объект мысли” также является элементом Т,
причем, очевидно, отличным от t. Следовательно, совокупность всех мыс-
лей вида “Г есть объект мысли” определяет собственное подмножество То
множества Т. Элементом Т, не принадлежащим То, выступает любой объ-
ект мысли, не обладающий свойством “есть объект мысли”, например сам
все свойства, поскольку в формулировке Лейбница явно различаются два элемента
индивидной области. Чтобы не вступать в противоречие с принципом индивидуали-
зации (два элемента произвольного множества различимы между собой), предикат Р
дрпжеп заключаться в некоторый интервал отождествления.
20 Это не совсем удачный термин с количественным подтекстом. В системе "Principia
Mathematica" соответствующий термин identity переводится как тождество. Тожде-
ственность двух объектов указывавается знаком равенства.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
18
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Дедекинд. Взаимно-однозначное соответствие между Т и То устанавлива-
ется соотнесением каждому t из Т элемента То, выражающего “г есть объ-
ект мысли”. Таким образом, множество Т рефлексивно. Ясно, что доказа-
тельство Дедекинда не может считаться приемлемым. Множество такого
вида, как Т, сравнимо по конструкции с множеством всех множеств, т.е.
с недопустимо широким множеством, снятие запрета на которые, как было
указано Расселом, приводит к антиномиям.
Понятия конечного и бесконечного, сформулированные, следуя Дедекин-
ду, могут быть подвергнуты критике с позиций релятивизма. Если пони-
мать конечность как “неэквивалентность21 никакому своему собственному
подмножеству”, то конечность некоторого множества зависит от определен-
ных отображений или от совокупности его подмножеств, а это уже опре-
деляется изобразительными возможностями формальной системы, моделью
которой должно выступать рассматриваемое множество: более богатая вы-
разительными средствами система может превратить конечное множество
в счетно-бесконечное22.
Из конечного или бесконечного числа индивидов состоит универсум —
это, по-видимому, такой вопрос, на который может быть дан ответ лишь
на основании данных физики, хотя сама аксиома бесконечности системы
"Principia Mathematical' сформулирована исключительно в логических тер-
минах23. Уайтхед и Рассел, очевидно, понимали это, поэтому при прочте-
нии "Principia Mathematical' следует отдавать себе отчет в том, что те пред-
ложения Т, вывод которых требует аксиомы бесконечности Infin ах, сами
по себе в системе "Principia Mathematical' не доказуемы, а доказуема лишь
импликация
Infin ах э Т.
Аналогичная тревожная ситуация сложилась в системе "Principia Mathema-
tical’ в связи с аксиомой выбора, или — как называется в этой системе один из ее
вариантов — мультипликативной аксиомой Mult ах. Интуитивное понимание того,
что такое логическая истинность, не позволило Уайтхеду и Расселу принять ни-
какое удовлетворительное, с их точки зрения, заключение ни об истинности, ни
о ложности мультипликативной аксиомы. Опасаясь, что впоследствии может об-
наружиться ложность Mult ах, они довольствовались тем, что и здесь для пред-
21В смысле невозможности взаимно-однозначного соответствия.
22Незаметный переход конечности в бесконечную счетность является ярким приме-
ром релятивизма и “достаточным основанием” для интуиционистского лозунга о том,
что формально-аксиоматические подходы никогда не позволяют добраться до подлин-
ной сути дела, оставляя все смутным и относительным. Чтобы дать возможность
читателю правильно оценить ситуацию, заметим, что фундаментальные теоретико-мно-
жественные понятия “счетное” и “несчетное” также оказываются (в рамках аксиома-
тической теории множеств) относительными: каждое несчетное множество оказывается
счетным в системе более высокого уровня.
23 Решительные возражения против включения в предмет логики каких бы то ни
было допущений о существовании (конечного или бесконечного числа) индивидов по-
этому вполне понятны и вполне приемлемы. В свое время были разработаны фор-
мально-логические системы, базирующиеся на, так называемых, координатных языках,
не затрагиваемые неприятной проблематикой, связанной с неясным статусом индивид-
ной области.
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
19
ложений Г, вывод которых требует аксиомы умножения Mult ах, сами по себе Т
в системе ”Principia Mathematical не доказуемы, а доказуема лишь импликация
Mult ах э Т.
Противоположная точка зрения на проблематику бесконечного выска-
зывалась Д.Гильбертом и П.Бернайсом в ” Основаниях математики”24:
“Вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не мо-
жет быть разрешен посредством указания каких-либо внематематических
объектов, а должен решаться внутри самой математики. Бесконечное ко-
личество индивидов предъявить невозможно в принципе; поэтому беско-
нечность индивидной области как таковой может выявиться лишь в ее
структуре, т.е. в тех отношениях, которые имеются между ее элементами.
Другими словами, мы должны будем показать, что индивидная область
удовлетворяет определенным формальным соотношениям. Следовательно,
существование бесконечной индивидной области нельзя представить себе
иначе, кроме как через выполнимость определенных логических формул”.
Ясно, что доказательство выполнимости через указание модели приводит
к порочному кругу: существование бесконечной индивидной области следу-
ет из выполнимости как раз таких систем логических формул, моделями
для которых являются предикаты, заданные на бесконечных индивидных
областях. Выход за пределы порочного круга мыслился как замена тезиса
о выполнимости на тезис о непротиворечивости системы логических фор-
мул, заведомо невыполнимых ни в одной конечной индивидной области.
Доказательство же непротиворечивости предполагалось (так как это бы-
ло ими явно намечено программой ” Оснований математики”) реализовать
формальным указанием хотя бы одной невыводимой средствами формаль-
ной арифметики формулы или обоснованием невозможности получить вы-
вод какой-либо формулы и ее отрицания25.
III
Проблематике конечного и бесконечного целиком посвящена третья гла-
ва части III. А. Уайтхед и Б. Рассел явно различают два различных пути,
следуя которым можно определить конечное и бесконечное: первый связан
с разделением на индуктивное и неиндуктивное, а второй —на рефлексив-
ное и нерефлексивное. Эти два пути, вообще говоря, приводят к неэквива-
лентным определениям конечного и бесконечного. Если принимать аксио-
му умножения Mult ах, то можно доказать эквивалентность этих подходов.
С точки зрения авторов ” Principia Mathematica” нет достаточной причины
для того, чтобы рассматривать один из указанных путей как дающий более
точно, чем другой, то, что обычно подразумевается словами “конечный”
и “бесконечный”.
Индуктивный класс в системе А. Уайтхеда и Б. Рассела есть класс, ко-
торого можно достичь от А последовательными добавлениями одного эле-
24См.: [2, с. 38-44].
25Этот путь Д. Гильберт и П. Бернайс называли доказательствами невозможности.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
20
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
мента. Одно из точных определений индуктивного класса в символике
„Principia Mathematical имеет следующий вид:
h :: р е Cis induct. = т] е ц. .T]Ui‘ye|x:Aep:oH.pep.
Далее оказывается, что целый ряд свойств кардинальных чисел индук-
тивных классов не может быть установлен без предположения о том, что
кардинальное число индуктивного класса отлично от нуля. Это положение
выдвигается в качестве “аксиомы бесконечности”:
Infin ах. = : а е NC induct. эа . 3! а Df.
Второе определение конечного и бесконечного признается А. Уайтхедом
и Б. Расселом практически не столь важным как определение посредством
индукции. Согласно этому определению, класс называется рефлексивным,
когда он содержит собственную часть, подобную самому себе, т.е. в сим-
волике „Principia Mathematical
Cis refl = a {(^R). R e 1 -> 1 . D‘fl = a. СГЯ c a (TR ± a} Df.
В системе „Principia Mathematical удается доказать целый ряд поло-
жений о том, как соотносятся между собой индуктивные, неиндуктивные,
рефлексивные и нерефлексивные классы: “Мы обнаруживаем, что индук-
тивные классы и кардиналы нерефлексивны, а рефлексивные классы и кар-
диналы неиндуктивны. Мы также обнаруживаем, что рефлексивные кар-
диналы есть таковые, равные или большие, чем Ко, в то время как ин-
дуктивные кардиналы меньше, чем Ко- Принимая аксиому умножения, мы
можем показать, что каждый кардинал равен, больше или меньше, чем Ко,
откуда следует, что каждый кардинал либо рефлексивен, либо индуктивен,
тем самым отождествляя два определения конечного и бесконечного. Од-
нако пока мы воздерживаемся от принятия аксиомы умножения или ad
hoc некоторой специальной аксиомы, сохраняется возможность (насколько
известно), что могут быть кардиналы, которые не больше, не равны и не
меньше, чем Ко- Такие кардиналы, если они существуют, не являются ни
индуктивными, ни рефлексивными; они бесконечны, если мы определяем
бесконечность с помощью отрицания индукции, но конечны, если мы опре-
деляем бесконечность с помощью рефлексивности. Возможно, дальнейшее
исследование либо докажет, либо опровергнет существование подобных кар-
диналов; в настоящее время их существование должно оставаться откры-
тым вопросом, за исключением тех, кто рассматривает аксиому умножения
как самоочевидную истину.”
При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности ча-
ще всего без всяких особых указаний на это. Для удобства мы приводим
сразу же за этим предисловием содержание всех трех томов „Principia
Mathematica„, а также (в конце этого тома) указатель определений, поме-
щенный А. Уайтхедом и Б. Расселом в первый том.
Мы благодарим Р.А. Ревинского за помощь при подготовке рукописи
второго тома к печати.
Мы надеемся, что выход в свет второго тома книги А. Уайтхеда и
Б. Рассела на русском языке будет так же, как и издание перевода пер-
вого тома, с удовлетворением воспринято всеми, кто интересуется ролью
Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
21
математики в современной науке и основаниями самого математическо-
го знания, анализ которых в столь виртуозной форме был дан в систе-
ме ” Principia Mathematica”. Редакторы перевода и коллектив переводчиков
с признательностью примут пожелания, предложения и критические заме-
чания читателей, относящиеся к первым двум томам русского перевода.
Г. Яровой, Ю. Радаев
Самара, август 2005 г.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
Библиографический список
[1] Гильберт Д, Бернайс П. Основания математики. Логические исчисле-
ния и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с.
[2] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказа-
тельств. М.: Наука, 1982. 656 с.
[3] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.
560 с.
[4] Хофштадтер Д. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда. Са-
мара: Издательский Дом ’’Бахрах-М”, 2001. 752 с.
[5] Хофштадтер Д, Деннетт Д. ГЛАЗ РАЗУМА. Самара: Издательский
Дом ”Бахрах-М”, 2003. 432 с.
[6] Черч А. Введение в математическую логику. Т. I. М.: Изд-во иностр,
лит., 1960. 488 с.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
24
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Содержание ’’Principia Mathematica”
Том I
Введение
Предварительные сведения о понятиях и обозначениях
Теория логических типов
Неполные символы
Часть I. Математическая логика
Глава I. Теория вывода
Глава II. Теория кажущихся переменных
Глава III. Классы и отношения
Глава IV. Логика отношений
Глава V. Произведения и суммы классов
Часть II. Пролегомены к арифметике кардиналов
Глава I. Единичные классы и пары
Глава II. Подклассы, подотношения и относительные типы
Глава III. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные
отношения
Глава IV. Выборки
Глава V. Индуктивные отношения
Том II
Предварительные формальные соглашения
Часть III. Арифметика кардиналов
Глава I. Определение и логические свойства кардинальных чисел
Глава II. Сложение, умножение и возведение в степень
Глава III. Конечное и бесконечное
Часть IV. Арифметика отношений
Глава I. Подобие ординалов и реляционные числа
Глава II. Сложение отношений и произведение двух отношений
Глава III. Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень
отношений
Глава IV. Арифметика реляционных чисел
Часть V. Серии
Глава I. Общая теория серий
Глава II. О сечениях, сегментах, промежутках и производных
Глава III. О сходимости и пределах функций
Том III
Часть V. Серии
Глава IV. Вполне упорядоченные серии
Глава V. Конечные и бесконечные серии и ординалы
Глава VI. Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии
Часть VI. Количества
Глава I. Обобщения чисел
Глава II. Вектор-семейства
Глава III. Измерения
Глава IV. Циклические семейства
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
ФОРМАЛЬНЫЕ
СОГЛАШЕНИЯ
Целью следующих ниже замечаний является сведение воедино в одном
осуждении различных объяснений, которые требуются для применения
теории типов к арифметике кардинальных чисел. Удобно объединить эти
замечания, так как в противном случае их разбросанность по различным
параграфам части III сделает затруднительной оценку их общего влияния.
Но. несмотря на то, что мы разместили данные замечания в начале книги,
их лучше читать одновременно с текстом части III, по крайней мере, с той
его частью, которая содержит объяснения определений. Начальная часть
дальнейшего изложения представляет собой не более чем резюме предыду-
щих разъяснений; и только в следующих частях дается применение к ариф-
метике кардинальных чисел.
I. Общие замечания о типах
Три различных вида типовой неопределенности встречаются в наших
предложениях, касаясь
(1) функциональной иерархии,
(2) пропозициональной иерархии,
(3) экстенсиональной иерархии.
Релевантность этого должна быть рассмотрена отдельно.
Мы часто говорим так, как будто бы тип, представленный строчными
латинскими буквами, не составлялся из функций. Это, однако, совместимо
со всем тем, о чем мы должны сказать как о составленном из функций.
26
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
В дальнейшем будет отмечено, что для заданного числа индивидов ничто
в наших аксиомах не позволяет определить, сколько имеется предикатив-
ных функций от индивидов, т.е. их число не является функцией числа ин-
дивидов: мы знаем только, что число этих функций 2Nc Indiv, где “Indiv”
обозначает класс индивидов.
На практике мы продолжаем рассмотрение экстенсиональной иерархии
после первых параграфов настоящей книги. Если бы мы начали с индиви-
дов, то результатом этого стало бы полное исключение функций из нашей
иерархии; если бы мы начали с функций заданного типа, то все функции
другого типа были бы исключены. Таким образом, новая экстенсиональная
иерархия, полностью исключающая любую другую, начинается с каждого
типа функции. Когда мы просто говорим о единственной в своем роде
экстенсиональной иерархии, то мы подразумеваем именно ту, которая на-
чинается с индивидов.
Следует заметить, что когда мы имеем утверждение некоторой пропо-
зициональной функции, скажем “l-.фх”, то переменная х должна иметь
определенный тип, т.е. мы лишь утверждаем, что фх истинна, каким бы
ни была х в пределах некоторого определенного типа. Поэтому, например,
утверждение “ h . х = х” не утверждает ничего кроме того, что данное утвер-
ждение имеет место для любой переменной х заданного типа. Верно также
и то, что символьно в точности такое же утверждение имеет место для
других типов, но различные типы не могут быть введены под один и тот
же знак утверждаемости, так как никакая переменная не может выйти за
пределы своего типа.
Процесс устранения неопределенности типов переменных начался в *8
и *9, где мы предприняли первые шаги в рассмотрении пропозициональ-
ной иерархии. До *8 и *9 наши переменные представляли собой элемен-
тарные предложения, т.е. предложения, не содержащие кажущихся пере-
менных. Следовательно, единственные функции, которые встречались, это
матрицы, появляющиеся в свою очередь только через свои значения. До-
пущение, принятое нами при переходе от главы 1 к главе 2 (часть I), та-
ково, что если “Ь.ур”, где р — элементарное предложение, то мы можем
вместо р подставить “ф ! (x,y,z,..где ф есть любая матрица. Таким об-
разом вместо “h . fp”, содержащего одну переменную р заданного типа, име-
ем “h . f {ф ! (х,у, z,...)}”, где содержится несколько переменных различных
типов (любое конечное число переменных и типов допустимо). Данное до-
пущение включает несколько довольно сложных моментов. Следует пом-
нить, что ни одно значение ф не содержит ф как конституенту, и, следо-
вательно, ф не является конституентой fp, даже если р есть значение ф.
Итак, выше мы перешли от утверждения, не содержащего функций в ви-
де конституент, к утверждению, содержащему одну или больше функций
в качестве конституент. Утверждение “ F. fp” касается любого элементарно-
го предложения, в то время как “I-./{ф ! (х,у, z,...)}” касается любого из
определенного набора элементарных высказываний, а именно любого из тех,
которые являются значениями ф. Разные типы функций дают различные
способы отбора элементарных высказываний.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
27
Предположив или доказав “h. fp”, где р — элементарное (а значит не
вызывающее неопределенности типа) предложение, мы поэтому утвержда-
ем, что
Н./{ф!(х,у, z,...)},
где типы аргументов и их число вполне произвольны, за исключением то-
го, что они должны принадлежать функциональной иерархии, включаю-
щей индивиды. (Допущение, что высказывания есть неполные символы,
исключает возможность того, что аргументы ф есть предложения.) Необ-
ходимо отметить тот факт, что мы, таким образом, получили некоторое
утверждение, которое может содержать любое конечное число переменных,
обладающих неограниченной типовой неопределенностью, из утверждения,
содержащего лишь одну переменную совершенно определенного типа. Все
это предполагается заранее, до того как мы перейдем к пропозициональной
иерархии.
Заметим, что все элементарные высказывания являются значениями
предикативных функций от одного индивида, т.е. функций вида ф! х, где
х — индивид. Поэтому не нужно допускать, что элементарные предложения
формируют какой-то тип; мы можем заменить р на “ ф! х” в утверждении
“Ь-Ур”. В этом случае высказывания как переменные полностью исчезают.
При распространении соглашений, касающихся элементарных высказы-
ваний, с целью формального применения к предложениям первого порядка
мы вынуждены снова принять примитивное предложение *1-11 (*1-1 нико-
гда не используется), т.е. если “Н.фх” и “Н . фхэ ух”, то “h.yx”, что есть
практически *9-12. Это утверждалось в *1-11 для любого случая, когда фх
и ух — элементарные высказывания. Уже здесь присутствует неопределен-
ность типа, обусловленная тем фактом, что х не обязана быть индивидом,
а могла бы быть функцией любого порядка. Например, мы могли бы вос-
пользоваться предложением *1-11, чтобы перейти от
“Кф!я” и “Ь.ф!яэф!6” к “Кф!6”,
где ф заменяет х из *1-11, а ф! я, ф! b заменяют фх и ух. Итак, предло-
жение *1-11 еще до его распространения в *9 уже формулирует новое при-
митивное предложение для каждого нового типа рассматриваемых функ-
ций. Новизна *9 как раз и заключается в том, что мы разрешаем ф и у
включать одну кажущуюся переменную. Она может принадлежать любо-
му функциональному типу (включая Indiv); таким образом, мы получаем
другой набор символьно идентичных примитивных предложений. При пе-
реходе, как указано в конце *9, к более чем одной кажущейся переменной,
мы вводим новую группу примитивных предложений с каждой дополни-
тельной кажущейся переменной.
Подобные замечания применяются к другим примитивным предложени-
ям *9.
Легитимным такой процесс делает как раз то, что нет ничего в трак-
товке функций степени л, что предполагало бы заранее функции более вы-
сокого порядка. Мы можем иметь дело с новыми типами функций по мере
их появления без необходимости принимать во внимание тот факт, что су-
ществуют последующие типы. Из символьной аналогии мы “усматриваем”,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
28
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
что такой процесс может повторяться бесконечно. Такая возможность ос-
новывается на двух положениях:
(1) Новая интерпретация на каждом шаге наших постоянных —V, ~, !,
(х)., (ах).
(2) Новое допущение, символьно неизменное, о примитивных предложе-
ниях, которые были найдены достаточными на ранней стадии исследова-
ния, — возможность избежать изменений символической системы из-за но-
вой интерпретации постоянных.
Приведенные выше замечания применяются к аксиоме сводимости так
же, как и к другим примитивным предложениям. Если на некотором эта-
пе мы захотим иметь дело с классом, определяемым функцией 30000-го
типа, то мы будем вынуждены повторить наши аргументы и допуще-
ния 30000 раз. Но пока все еще нет необходимости говорить об иерар-
хии в целом или предполагать, что утверждения26 могут быть сделаны
о “всех типах”.
Сейчас мы подошли к экстенсиональной иерархии. Она начинается
с некоторого положения в функциональной иерархии. Мы обычно пола-
гаем, что она начинается с индивидов, но любая другая отправная точка
в равной степени легитимна. Что касается типов функций (включая Indiv),
с которых мы начинаем, то все более высокие типы27 функций исключе-
ны из экстенсиональной иерархии, и также исключены все более низкие
типы28 (если они существуют). Здесь возникают некоторые сложности. По-
ложим, мы начали с Indiv. Тогда, если ф! z есть некоторая предикативная
функция индивидов, z (ф ! z) = ф ! z . Но если мы принимаем теорию из *20,
то, как указано во Введении ко второму изданию29, тождественность функ-
ции и класса не обладает обычными свойствами тождества; фактически,
несмотря на то, что каждая функция тождественна некоторому классу и
наоборот, число функций, скорее всего, больше числа классов. Это связано
с тем фактом, что, возможно, z (ф ! z) = у • 2. z (ф ! z) = х • 2 без у! z = х • 2.
В экстенсиональной иерархии мы доказываем распространение от клас-
сов к классам классов и т.д. без новых примитивных предложений (*20,
*21). Задействованными оказываются лишь те примитивные предложения,
которые касаются функциональной иерархии.
Из всех этих различных видов распространения мы “видим”, что все,
что могло бы быть доказано для низших типов, неважно функциональных
или экстенсиональных, может также быть доказано для высших типов30.
Следовательно, мы принимаем, что нет необходимости знать типы наших
переменных, хотя они должны быть всегда заключены в пределах некото-
рого одного определенного типа.
Хотя все, что может быть доказано для низших типов, может также
быть доказано для высших типов, обратное не имеет места. В первом то-
26 В оригинале — statement. — Прим, перев.
27 В оригинале — higher types. — Прим, перев.
28 В оригинале — lower types. — Прим, перев.
29 См. первый том "Principia Mathematica". — Прим. ред.
30 Ср. со с. 30 для более точной формулировки этого принципа.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
29
ме встречаются лишь два предложения, которые могут быть доказаны для
высших, но не для низших типов. Эти предложения есть g !2 и g ! 2Г. Они
могут быть доказаны для любого типа, исключая тип индивидов. Следует
заметить, что мы не утверждаем, что все, что истинно для низших типов,
истинно для высших типов, мы лишь утверждаем, что все, что может
быть доказано для низших типов, может быть доказано для высших ти-
пов. Если, например, Nc‘Indiv = v, то это предложение ложно для любого
более высокого типа; однако предложение Nc‘Indiv = v есть одно из тех, ко-
торые не могут быть доказаны логически; в действительности оно устанав-
ливается лишь посредством перечисления, а не посредством логики. Поэто-
му среди предложений, которые могут быть доказаны логически, найдутся
некоторые, которые могут быть доказаны для более высоких типов, и не
найдется ни одного, которое может быть доказано для низших типов.
Предложения, которые могут быть доказаны в пределах некоторых ти-
пов, а не в пределах других типов, все являются либо все зависят от эк-
зистенциональных теорем для кардиналов. Мы можем доказать
3 ! О, а ! 1 универсально;
а ! 2 исключительно для Indiv;
а ! 3, а • 4 исключительно для Indiv, CFIndiv, RITndiv; и т.д.
В точности такие же замечания обычно применимы к функциональной
иерархии. В обоих случаях возможность доказательства этих предложений
зависит от аксиомы сводимости и определения тождества. Предположим,
что существует только один индивид х. Тогда у = х, у / х представляют со-
бой две различные функции, которые на основании аксиомы сводимости
эквивалентны двум различным предикативным функциям. Следовательно,
существуют, по крайней мере, две предикативные функции от х, и, по край-
ней мере, два класса ь‘х, Ах. Этот аргумент недействителен как для клас-
сов, так и для функций, если мы либо отрицаем аксиому сводимости, либо
предполагаем, что могут существовать два различных индивида, которые
согласуются по всем их предикатам, а это не согласуется с определением
тождества.
Данная выше формулировка, что то, что может быть доказано для низ-
ших типов, может быть доказано для высших типов, требует некоторых
ограничений или, скорее, более точного выражения. Взяв Indiv в качестве
примитивного понятия, положим
К1 = Cl'Indiv Df, KI2 = С1‘К1 Df, и т.д.
Затем рассмотрим предложение Nc‘Kl = Л. Мы можем доказать
Nc‘Kl П f Indiv = Л. э ! Nc‘Kl П f К1. э ! Nc‘Kl П ГК12 . и т.д.
Таким образом, Nc‘Kl = A может быть доказано в пределах самого низкого
типа, для которого оно значимо, и опровергнуто в пределах любого дру-
гого. Однако этого затруднения удастся избежать, если Indiv замещается
переменной а, а К1— С17о‘а. Тогда мы имеем
Nc‘C17o‘anfa = A,
и это имеет место, каким бы ни был тип а. Поэтому для того чтобы наш
принцип о низших и высших типах мог быть справедливым, необходимо,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
30
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
чтобы любое отношение, которое возможно между двумя типами, встреча-
ющимися в предложении, было бы сохранено; когда один постоянный тип
определен в терминах другого (как, например, К1 и Indiv), то определение
должно быть восстановлено, перед тем как тип подвергнется изменению,
так что, когда изменяется один тип, то изменяется и другой. С этой ого-
воркой наш принцип о низших и высших типах имеет место.
Учитывая оговоренное выше, истинность нашего утверждения ясна, так
как мы показали, что все те примитивные предложения, которые (записан-
ные в символах) имеют место для низшего типа, встречающегося в наших
рассуждениях, имеют место также для последующих типов; поэтому все
наши символьные доказательства могут быть повторены без изменений.
Важность этого покоится на том обстоятельстве, что когда мы доказали
предложение для самого низкого значимого типа, то мы “видим”, что оно
имеет место для любого другого присвоенного значимого типа. Следова-
тельно, каждое предложение, которое доказывается без упоминания типа,
может трактоваться как доказанное для самого низшего значимого типа
и по аналогии распространяется на любой другой значимый тип.
Посредством аналогичных рассмотрений мы “усматриваем”, что пред-
ложение, которое может быть доказано для некоторого типа, отличного
от самого низкого значимого типа, должно иметь место для любого типа,
нисходящего от него. Например, предположим, что мы можем доказать
предложение (такое как д!2) для типа К1 (где Kl = Cl‘Indiv); просто, за-
писывая CFIndiv для К1, мы имеем предложение, которое доказывается об
Indiv, а именно д! 2 n f CFIndiv, и здесь на основании того, что было ска-
зано перед этим, Indiv может быть замещен любым более высоким типом.
Таким образом, имея типово неопределенное отношение R такое, что
если т есть тип, то R*x есть тип (С1 или <R являются подобными отноше-
ниями), мы “усматриваем”, что если мы можем доказать <|)(/?Tndiv), то
мы можем также доказать ф(/?‘т), где т есть любой тип, а ф составляет-
ся из типово неопределенных символов. Аналогично, если мы мы можем
доказать ф (Indiv, R‘Indiv), то мы можем доказать ф(т,/?‘т), где т есть лю-
бой тип. Однако, вообще говоря, мы не можем доказать ф (Indiv,/?‘т) или
ф (т, R‘Indiv), и они в действительности могут оказаться не истинными. На-
пример, мы имеем g! Nc (Kl)‘Indiv. ~ g! Nc (К1)‘К12.
Итак, говоря с большей общностью, когда предложение, содержащее
несколько неопределенностей, может быть доказано для типов 2?‘Indiv,
S ‘Indiv, ..., но не для более низких типов, то оно рассматривается как
функция от Indiv, и в таком случае становится истинным для любого типа;
т.е. по данному
ф (/Tlndiv, S ‘Indiv,...)
мы будем также иметь
ф(/?‘т,5‘т,...),
где т есть произвольный тип. При этом все доказуемые предложения преж-
де всего об Indiv и представленные так остаются истинными, если любой
другой тип подставляется вместо Indiv.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
31
Когда предложение, содержащее типово неопределенные символы, мо-
жет быть доказано как истинное в пределах низшего значимого типа, и
мы можем “увидеть”, что в символьной форме то же самое доказатель-
ство имеет место в пределах любого другого предписанного типа, то мы
говорим, что это предложение обладает “неизменной истинностью”31. (До-
пуская некоторую вольность, мы можем также сказать, что оно “истинно
во всех типах”.) Когда предложение, содержащее типово неопределенные
символы, может быть доказано как ложное в пределах низшего значи-
мого типа, и мы можем “увидеть”, что оно ложно в пределах любого
другого предписанного типа, то мы говорим, что это предложение обла-
дает “неизменной ложностью”. Говорят, что любое другое предложение,
содержащее типово неопределенные символы, “флуктуирует”, или обла-
дает “флуктуирующим истинностным значением”, в противоположность
“неизменному истинностному значению”, которым обладают предложения
либо неизменно истинные, либо неизменно ложные.
В том, что далее следует, неопределенности, связанные с пропозицио-
нальной иерархией, будут игнорироваться, поскольку они никогда не приво-
дят к флуктуирующим предложениям. Поэтому дизъюнкция и отрицание,
и производные от них не получат явной типовой детерминации, а лишь ти-
повую детерминацию, возникающую в результате приписывания типов от
иных встречающихся типово неопределенных символов.
Удобно называть символьную форму пропозициональной функции про-
сто “символьной формой”. Поэтому если символьная форма содержит сим-
волы неопределенного типа, то она представляет различные пропозицио-
нальные функции в соответствии с тем, как порознь регламентированы
типы ее неопределенных символов. Указанная регламентация всегда огра-
ничивается необходимостью сохранения смысла. Совершенно очевидно, что
понятия “неизменного истинностного значения” и “флуктуирующего истин-
ностного значения” в действительности применимы к символьным формам,
а не предложениям или пропозициональным функциям. Неопределенность
типа может существовать лишь в процессе детерминирования смысла. Ко-
гда смысл уже приписан символьной форме и пропозициональной функ-
ции, полученной из нее, неопределенность типа исчезает.
“Утверждать символьную форму”— утверждать каждую из пропозици-
ональных функций, образующихся для набора возможных типовых детер-
минаций, которые где-нибудь перечисляются. В действительности мы пере-
числили весьма ограниченное число типов, начиная от такового для инди-
видов, и мы “увидели”, что этот процесс может быть неограниченно про-
должен по аналогии. Форма всегда утверждается, пока перечисление не
закончено; этого достаточно для всех целей, поскольку по существу невоз-
можно использовать тип, не достижимый последовательным перечислением
от низших типов.
Трудности, которые возникают в арифметике кардиналов в связи
с неопределенностями типа символов, являются только такими, которые
31 В оригинале — permanent truth. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
32
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
происходят от использования символа sm или символа Nc, который есть
ыЙ. Для указанного символа может оказаться так, что класс в пределах
одного типа не имеет подобного ему в пределах некоторого более низко-
го типа (ср. *102-72-73). Все ошибочные рассуждения в арифметике карди-
нальных или ординальных чисел, связанные с типами, за исключением тех,
которые вызваны просто отсутствием смысла в символике, возникают по
этой причине, другими словами, благодаря тому обстоятельству, что в пре-
делах некоторых типов g! Nc‘a истинно, а в пределах других типов 3! Nc‘a
может оказаться не истинным. Заблуждение состоит в пренебрежении этой
последней возможностью невыполнения g!Nc‘a для ограниченного числа
типов, т.е. в принятии “флуктуирующей” формы g!Nc‘a так, как если бы
она обладала “неизменным” истинностным значением.
Однако флуктуирующая форма часто обладает тем, что здесь назы-
вается термином “устойчивое” истинностное значение, важным настолько,
насколько важно и неизменное истинностное значение других форм. На-
пример, предвосхищая наши определения в элементарной арифметике, рас-
смотрим 2+сЗ = 5. Не существует абстрактного логического доказательства
того, что найдутся два индивида; положим, что 2 и 3 относятся к классам
индивидов, 5 — к классу достаточно высокого типа, тогда с указанными де-
терминациями 2+сЗ = 5 доказано быть не может. Однако 2+сЗ = 5 обладает
устойчивым истинностным значением, поскольку оно может быть доказа-
но всегда, когда все типы достаточно высоки. В этом случае тот факт, что
наш эмпирический пересчет индивидов (по крайней мере “относительных”
индивидов повседневной жизни) вышел за возможности логического дока-
зательства, делает полностью несущественной флуктуацию истинностного
значения указанной формы.
Чтобы точно выразить эту идею, необходимо иметь соглашение отно-
сительно порядка, в котором располагаются типы символов в символьной
форме. Правило, которое мы принимаем, заключается в том, что типы
реальных переменных назначаются первыми, а затем —типы постоянных
символов. Типы кажущихся переменных, если таковые имеются, в таком
случае будут полностью детерминированными.
Символическая форма обладает устойчивым истинностным значением,
если после любого приписывания типов реальным переменным типы мо-
гут быть приписаны постоянным символам так, что истинностное значе-
ние предложения, полученного таким образом, в точности совпадает с ис-
тинностным значением любого предложения, полученного посредством его
модификации, заключающейся в приписывании более высоких типов неко-
торым или всем постоянным символам. Это истинностное значение и есть
устойчивое истинностное значение.
II. Формальные числа
Соглашения о приписывании типов, которые мы примем ниже, на прак-
тике ограничивают нашу интерпретацию символьных форм типами, в пре-
делах которых формы обладают устойчивыми истинностными значения-
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
33
ми. Указанное предположение о том, что истинностные значения являют-
ся устойчивыми, никогда не входит в рассуждения. Однако мы судим об
устойчивости истинностного значения, когда любой метод повышения ти-
пов постоянных символов на одну ступень оставляет его неизменным.
На практике флуктуирующие истинностные значения включаются в на-
ше рассмотрение лишь через ограниченное число символов, называемых
“ формальными числами ”.
Формальные числа могут быть “постоянными” или “функциональ-
ными”.
Постоянное формальное число есть любой постоянный символ, для
которого имеется постоянная а такая, что каким бы типом ни детермини-
ровался этот постоянный символ, в пределах этого типа он тождественен
Nc‘a. Другими словами, если о есть постоянный символ, то о является фор-
мальным числом при условии, что “истина” есть неизменное истинностное
значение a = Nc‘a для некоторого постоянного а.
Функциональные формальные числа определяются посредством пере-
числения; они есть
Nc‘a, ENc‘k, IINc‘k, sm“p, p+cv, p-cv, pxcv, pv,
где в каждом формальном числе встречающиеся в нем символы а, к, ц,
v называются аргументами функциональной формы, даже когда они явля-
ются сложными символами. Аргумент Nc‘(a+p) есть a+р, ц +с (v +С(П) — ц и
v+с05, 1+с2—1 и 2.
Таким образом, постоянными формальными числами являются
О, 1, 2, Ко, 1+с2, 2хсК0, 22.
Номера предложений, на основе которых формулируется это утвержде-
ние, есть
*101 11-21-32 . *123-36 . *110-42 . *113-23 . *116-23.
Функциональными формальными числами являются
Nc‘(a+P), p.+c(v+c(D), (р, +с v) хсо), (p+cv)ro.
В дальнейшем будет замечено, что, например, 1+с2 есть одновременно и
постоянное, и функциональное формальное число, так что эти два класса
не являются взаимно исключающими. В действительности они обладают
неограниченным числом общих элементов.
Все формальные числа, за исключением sm“p и p-cv, являются эле-
ментами NC без каких-либо гипотез [ср.
*100-41-01-52 . *110-42 . *112-101. *113-23 . *114-1. *116-23,
замечание к *119-12, и *120-411].
Функциональное формальное число состоит из двух частей, именно из
аргумента или аргументов и постоянной “формы”. Аргумент функциональ-
ного формального числа может быть сложным символом, и может быть
постоянной или переменной. Поэтому р +с v есть аргумент (р, +с v) +с р, а
также (p.+cv)xcl, (p+cv)p; 2+сЗ есть аргумент (2+сЗ)хс1. Постоянная фор-
ма образуется из других символов, являющихся постоянными. Два вхожде-
ния функциональных формальных чисел есть вхождения одного и того же
формального числа, если аргументы и постоянные формы символьно тож-
дественны. Поэтому два вхождения Nc‘a являются вхождениями одного и
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
34
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
того же формального числа, даже если они детерминированы в пределах
различных типов; однако Nc‘a и Nc‘P являются различными формальными
числами. Точно так же ц1 и рхс1 есть различные формальные числа, так
как различны их “формы”, хотя аргументы р и 1 те же самые и (в преде-
лах того же самого типа) обозначаемая ими сущность та же самая. Таким
образом, различие между формальными числами зависит от символики, а
не от обозначаемой ими сущности, и при их рассмотрении именно сим-
вольная аналогия, а не денотат должны приниматься в расчет. Например,
два различных вхождения одного и того же формального числа не будут
обозначать одну и ту же сущность, если в указанных двух вхождениях
неопределенность в типе различным образом детерминирована.
Функциональные формальные числа разделяются на три множества:
(i) первичное множество, состоящее из форм Nc‘a, ENc‘k, HNc‘k, (ii) мно-
жество аргументов, состоящее только из sm“p, (iii) арифметическое мно-
жество, состоящее из p+cv, pxcv, pv и p-cv.
Функциональное формальное число обладает самое большее двумя ар-
гументами. Однако аргумент функционального формального числа сам мо-
жет быть функциональным формальным числом и может соответственно
обладать либо одним, либо двумя аргументами, которые, в свою очередь,
могут быть функциональными формальными числами и т.д. Все множество
аргументов и аргументов аргументов, полученное таким образом, называ-
ется множеством компонент исходного формального числа. Поэтому ц, v,
р и p.+cv являются компонентами (ц +с v) +с р; ц, v, и sm“p, являются ком-
понентами v+csm“p,; ц, а, и Nc‘a являются компонентами p,+cNc‘a. Два
аргумента (p-+cv)4-cp есть p.+cv и р, аргументами v+csm“p, являются v
и sm“p., аргументами p,+cNc‘a будут ц и Nc‘a.
Сложение, умножение, экспоненциация и вычитание будут называться
арифметическими операциями; в p.+cv, p,xcv, p.v, p-cvo ц и v будет гово-
риться как о подвергнутых указанным операциям. Арифметические ком-
поненты арифметического формального числа (т.е. формального числа,
принадлежащего арифметическому множеству) состоят из тех его компо-
нент, которые не появляются среди компонент компоненты, не принадле-
жащей арифметическому множеству. Поэтому ц, v, р, p,+cv есть ариф-
метические компоненты (ц +с v) +с р; v и sm“p, есть арифметические ком-
поненты v+csm“p., а ц таковой не является; ц и Nc‘a есть арифметиче-
ские компоненты p.+cNc‘a, а а таковой не является; ц и sm“(v+cp) есть
арифметические компоненты ц +с sm“(v +с р), но v+cp и v и р являются
компонентами sm“(v+cp) и поэтому не есть арифметические компонен-
ты ц+с sm“(v+с р). Только арифметические формальные числа обладают
арифметическими компонентами.
Формальное число из арифметического множества, не имеющее ком-
понент, которые являются формальными числами из множества аргумен-
тов, называется чисто арифметическим формальным числом. Например,
H+c(v+cP) и p,+cNc‘a чисты, а ц +с sm“(v +с р) и ц +с sm“Nc‘a — нет.
Имеется много типов, появляющихся при рассмотрении формальных чи-
сел. Например, в Nc‘a имеется тип Nc‘a и тип а; в p,+cv имеется тип p,+cv,
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
35
тип ц, тип v; и т.д. для более сложных формальных чисел. Тип формально-
го числа как целого в любом вхождении называется его действительным
типом. Это тип сущности, которую оно в таком случае представляет.
Другие типы, встречающиеся в формальном числе в любом вхождении,
называются его подчиненными типами.
Действительные типы для различных формальных чисел не указыва-
ются в символике, как говорилось выше. Они могут быть указаны относи-
тельно типа пременной записывая Nc(^)‘a, sm^“p, (p.+cv)£,(Hxcv)^ (Hvh>
(p,-cv)^ на основании обозначения *65. Даже когда действительный тип
сложного формального числа, такого как ц +с (v +C(D), установлен (так что
мы имеем {p.+c(v+c(D)}^), смысл символа полностью еще не детерминирован,
так как тип v+c(D остается неопределенным. Однако из
*100-511. *110-23 . *113-26 . *119-61-62
следует, что, пока компоненты не являются нулевыми, для значения фор-
мального числа все равно, каковы подчиненные типы.
Мы можем поэтому сделать формальное число определенным, как толь-
ко его действительный тип определен, заручившись тем, что его компонен-
ты не являются нулевыми. Это достигается посредством соглашения IIТ
(см. ниже) вместе с определениями
*110-03-04 . *113-04-05 . *116-03-04.
Когда подчиненные типы согласованы в соответствии с этими определени-
ями и соглашениями, то о них будет говориться как о нормально согласо-
ванных.
Для того чтобы сформулировать соглашение ИТ, требуется определе-
ние того, что здесь называется достаточностью действительного типа
формального числа32. Общее понятие достаточности весьма просто, имен-
но, для заданных подчиненных типов о действительный тип о должен быть
достаточно высоким с тем, чтобы дать нам возможность логически дока-
зать g! о тогда, когда такое доказательство возможно для не слишком низ-
ких типов. Например, все типы, исключая самый низкий, для которого оно
имеет смысл, достаточны для постоянного формального числа 2. Однако
затруднительно сформулировать смысл достаточности с точностью, пригод-
ной для всех формальных чисел. К счастью, определение самого низкого
типа, которое соответствует этому общему понятию, не существенно для
наших целей. Будет достаточно определить как достаточные некоторые ти-
пы, которые определенно обладают этим свойством.
Метод определения, который мы принимаем, состоит в замещении фор-
мального числа о другим формальным числом о', так связанным с о, что
при одном и том же действительном типе для каждого из них мы можем
доказать g! о'. э g! о всегда, когда о не эквивалентно Л ни в каком ти-
пе. Если о функционально, то нам необходимо рассматривать лишь его
аргумент или два его аргумента, и мы можем пропустить при рассмотре-
нии другие компоненты; затем мы замещаем указанные аргументы други-
ми так, чтобы о' обладало требуемым свойством. Таким образом:
32 В оригинале — adequacy of the actual type. — Прим, перев.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
36
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
(i) Действительные типы Nc‘a, ENc‘k, IINc‘k и sm“p, достаточны, когда
мы можем логически доказать
g!Nc7o‘a, g!ENc‘Zo‘K, а!ПМс70‘к и a!sm‘7o‘p»
(ii) Действительные типы p+cv, p-cv, pxcv и pv достаточны, когда
мы можем логически доказать
3 ! N0c7i ‘р, +с Noc7i ‘v, а ! Noc7i V ~с0 А ГОЧ
3 !Noc7i‘pxcNoc7i‘v, и а’ Noc7i‘pN°c‘n‘v.
В дальнейшем будет отмечено, что £о‘к и Го‘Н являются наибольши-
ми классами 33 того же типа, что и соответственно а, к и р, и что Noc7i ‘р
и Noc7i‘v — наибольшие кардинальные числа34 того же типа, что и соот-
ветственно р и v. Эти определения имеют место, даже когда некоторые из
а, к, р, V —сложные символы.
Оставшиеся формальные чила, которые не являются функциональны-
ми, должны, конечно же, быть постоянными. Здесь возникает трудность,
заключающаяся в том, что если о есть такое формальное число, а Ко вхо-
дит в его символику, то мы не имеем логического метода разрешения ис-
тинности или ложности э! Ко в пределах какого-либо типа. Однако мы за-
мещаем Ко на a!Noc7i‘Ko, являющееся наибольшим существующим карди-
налом того же самого типа, что Ко в указанном вхождении. Таким образом:
(iii) Если о есть формальное число, которое не является функциональ-
ным, то достаточный действительный тип о есть тип, для которого мы
в состоянии логически доказать a*0'? где выводится из о посредством
замещения любого вхождения Ко в о на g!Noc7i‘Ko. Соответственно, если
Ко не входит в о, то достаточный тип есть любой действительный тип,
для которого мы можем логически доказать а •а-
В случае первичной группы и группы аргументов мы подставили подхо-
дящего типа V вместо каждой из переменных. Когда действительный тип
достаточен, мы имеем
(a).a!Nc‘a, (к).Еа^с‘к, (к).Па!Ыс‘к, (p)a’-sm“p.
В случае арифметической группы и (за исключением p-cv) мы под-
ставили вместо каждого из аргументов наибольшее кардинальное число35,
которое может быть получено в пределах того типа, к которому относит-
ся аргумент, а именно 3!Nqc‘V для V подходящего типа. Соответственно
мы убеждаемся (за исключением p-cv), что для всех других значений ар-
гументов, которые есть экзистенциональные кардинальные числа36, фор-
мальное число не является нулевым.
В дальнейшем будет отмечено, что нормальная согласованность касает-
ся лишь подчиненных типов. Например, *110-03 гарантирует, что в Nc‘a+C р
действительный тип Nc‘a достаточен, а *110-23 показывает, что любой до-
статочный действительный тип Nc‘a будет таким же. Однако ничего не
говорится о действительном типе Nc‘a+C р. Мы даем следующее определе-
ние: Когда подчиненные типы формального числа нормально согласованы,
33 В оригинале — the greatest classes. — Прим, перев.
34 В оригинале — the greatest cardinal number. — Прим, перев.
35 В оригинале — the largest cardinal number. — Прим, перев.
36 В оригинале — existent cardinal numbers. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
37
а действительный тип достаточен, то о типах формального числа говорит-
ся как об арифметически согласованных.
Мы замечаем, что для первичного множества арифметическая согласо-
ванность типов означает то же самое, что достаточное согласование дей-
ствительного типа. Если аргументы формального числа из арифметическо-
го множества есть простые символы, то оба понятия приводят к одному
и тому же.
В случае переменных формальных чисел из первичного множества, со-
гласно *117-22-32 следует, что когда их типы арифметически согласованы,
то они не равны Л ни для каких значений переменных.
Так же и в случае тех переменных формальных чисел, которые от-
носятся к чисто арифметической группе (за исключением p,-cv), из
*100-4-52-42 . *113-23. *116-23 следует, что, действуя, начав с самых крайних
компонент, достижимых посредством последовательного анализа, и выше,
для всех значений указанных крайних компонент, которые являются эле-
ментами NC - i‘A, они могут быть сведены к случаю формальных чисел
первичной группы; и что поэтому они не равны Л, когда их типы ариф-
метически согласованы. Например, ц, v, р, о в р, +с {v +с (р +со)} есть те
самые последние компоненты; пусть они являются экзистенциональными
кардинальными числами. Следовательно, когда типы арифметически со-
гласованы, то действительный тип р +со достаточен, а р +со есть экзистен-
циональный кардинал; мы можем поэтому подставить Nc‘a вместо него.
Посредством тех же самых рассуждений мы можем подставить Nqc‘P вме-
сто v+cNoc‘a, и Ыос‘у вместо p+cNoc‘p.
Определенное стандартное арифметическое согласование типов для лю-
бого формального числа может быть найдено всегда, делая каждое исполь-
зование sm, не важно явное или скрытое в Nc или в некотором другом сим-
воле, однородным. Доказательства, применяющиеся к любому арифметиче-
скому согласованию типов, начинаются с рассмотрения этого стандартно-
го типа, а затем на основании *104-21. *106-21-211-212-213 совершается рас-
пространение на прилежащие более высокие классические и относительные
типы. Мы затем “усматриваем”, что аналогичной символикой это распро-
странение всегда может быть формально обосновано на каждом этапе так,
что мы имеем дело с устойчивым истинностным значением. Для некото-
рых постоянных формальных чисел может быть обнаружен более низкий
экзистенциональный тип, чем тот, который указывается этим методом.
III. Классификация вхождений формальных чисел
Символическая форма любого из следующих видов [ср. *117-01-04-05-06]
p.>v, p,<v,
называется арифметическим неравенством.
Эти формы возникают только тогда, когда мы сравниваем кардиналь-
ные числа в отношении быть “больше чем” или “меньше чем”. Было бы
естественным включить равенства среди арифметических неравенств. Од-
нако их использование даже между кардинальными числами не является
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
38
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
исключительно арифметическим, и удобно рассматривать их отдельно под
другим заголовком в процессе наших предварительных исследований.
В арифметических неравенствах, таких как написанные выше, р, и v
или любые другие символы, замещающие ц и v, называются противопо-
ложными сторонами неравенства, а ц или v — стороной неравенства.
Символьные формы вида о = к и о # к, где о или к есть формальное чис-
ло, будут называться равенствами37 и не-равенствами38 соответственно;
пик называются противоположными сторонами равенства или не-равен-
ства, а каждое из них есть просто сторона равенства или не-равенства.
Когда мы достигнем исключительно арифметической точки зрения, бу-
дет удобно свести вместе равенства, не-равенства и арифметические нера-
венства в единую символьную форму. Их раздельное рассмотрение здесь
диктуется спецификой исследований тех исключений, которые возникают
из-за отсутствия экзистенциональных теорем для низких типов. В этой свя-
зи нет никакой необходимости рассматривать арифметические неравенства.
Способы, посредством которых о может входить в символьную форму,
именуются, как следует ниже:
Вхождение о в sm“o называется аргументным вхождением;
Вхождение о в качестве аргумента арифметического формального числа
(которое может быть компонентом другого формального числа) или в ка-
честве одной из сторон арифметического неравенства называется арифме-
тическим вхождением;
Вхождение о в качестве одной из сторон равенства называется экваци-
ональным вхождением;
Вхождение о в называется атрибутивным вхождением;
Любое другое вхождение о называется логическим вхождением. Тако-
вым также является о = Л.
Очевидно, что пара противоположных сторон равенства или не-равен-
ства должна иметь один и тот же тип. Более того, если о есть формальное
число и *20-18 применяется так, чтобы дать
Ь о = к. =>: /(о). = /(к),
то эквациональное вхождение о должно быть того же типа, что и вхожде-
ние о в /(о), иначе вывод ошибочен. В соответствии с этим подстановка
в арифметические формулы может быть предпринята, лишь когда согла-
шения по отношениям неопределенных типов гарантируют это тождество.
Этот вопрос рассматривается позднее в данных предварительных формаль-
ных соглашениях, а результат появляется в тексте как *118-01.
В этом месте полезны некоторые примеры; на них мы будем потом ссы-
латься в связи с соглашениями, ограничивающими неопределенности типа.
*100-35. h а! Nc‘a . V . g! Nc‘P : э :
Nc‘a = Nc‘P . = . aeNc‘P . = . peNc‘a . = . asmp
Здесь формальными числами являются Nc‘a и Nc‘P, каждое из кото-
рых имеет три вхождения. Первое вхождение Nc‘a логическое, второе —
эквациональное, а третье — атрибутивное.
37 В оригинале — equations. — Прим, перев.
38 В оригинале — inequations. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
39
*100-42. (в доказательстве)
h : р,, v e NC . g! р, П v. э . (а, Р). р, = Nc‘a . v = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P
Здесь лишь Nc‘a и Nc‘P есть формальные числа; все их вхождения
эквациональны.
*100-44. (в доказательстве)
h : peNC . g! Nc‘a . ae p. э . (gP). p = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P
Здесь лишь Nc‘a и Nc‘P есть формальные числа; первое вхождение Nc‘a
логическое, второе — эквациональное; оба вхождения Nc‘P эквациональны.
*100-511. h : g! Nc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘P
Здесь формальными числами являются Nc‘P и sm“Nc‘p. Первое вхожде-
ние Nc‘P логическое, второе — аргументное, третье — эквациональное; един-
ственное вхождение sm“Nc‘P эквациональное.
*100-521. I-: peNC . g! sm“p . э . sm“sm“p= р
Здесь лишь sm“p и sm“sm“p являются формальными числами; sm“p
имеет два вхождения, первое вхождение логическое, второе — аргументное;
sm“sm“p имеет одно вхождение, которое является эквациональным.
*101-28. (в выводе)
I-: y€sm“l . = . (ga). etc 1 . ysm a
Здесь формальными числами являются 1 и sm“l. Первое вхождение 1
аргументное, второе — атрибутивное; единственное вхождение sm“l атрибу-
тивное.
*101-38. h : g! 2 . э . scCl‘ ‘2 = 0 U 1 U 2
Здесь 0, 1 и 2 есть формальные числа, и все их вхождения являются
логическими.
*110-54. I-. (Nc‘a+C Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + Р + Y)
Здесь формальными числами являются
Nc‘a, Nc‘P, Nc‘(a + P + Y)> Nc‘a+cNc‘P, (Nc‘a+C Nc‘P) +c Nc‘y.
Единственные вхождения Nc‘(« + P + Y) и (Nc‘a+C Nc‘P) +c Nc‘y эквацио-
нальны, и они должны быть одного и того же типа, поскольку они —про-
тивоположные стороны одного равенства. Вхождения других формальных
чисел появляются как арифметические компоненты более сложных ариф-
метических формальных чисел и в силу этого являются арифметическими.
*116-63. I-. pvx<ro = (pv)ro
Здесь v xc(D, p,v, pvx^ и (p,v)ro есть формальные числа. Каждое формаль-
ное число входит лишь один раз. Вхождения v и pv арифметические,
а вхождения остальных чисел — эквациональные.
*117-108. I-: Nc‘a Nc‘P . = : Nc‘a > Nc‘P . V . Nc‘a = Nc‘P
Формальные числа есть Nc‘a и Nc‘P, каждое из них имеет три вхож-
дения. Первые два вхождения каждого из них арифметические, а послед-
ние — эквациональные.
*120-53. (в выводе).
I-: Р = у+с6 g! Р . э . a₽ = aYxca6
Здесь формальными числами являются у+<А a^, aY, a6, aYxca6. Каждое
формальное число имеет одно вхождение. Вхождения у+<А и aYxca6
эквациональные, а вхождения aY и а6 арифметические.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
40
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
*120-53. (в выводе).
F : а? = aY . (3 = у+с6 . д! . э . aY = aYxca6
Здесь формальными числами являются a^, aY, a6, aYxca6, у+с6. Пер-
вое вхождение эквациональное, его второе вхождение логическое; пер-
вые два вхождения aY эквациональные, его третье вхождение арифметиче-
ское; единственное вхождение а6 арифметическое; единственные вхождения
aYxca6 и y+c& эквациональные.
IV. Соглашения IT и ПТ
Говорят, что два вхождения формального числа одного и того же дей-
ствительного типа связаны одно с другим .
Выбор типов для формальных чисел, когда они не сделаны определен-
ными в терминах переменных посредством обозначений *65, ограничива-
ется следующими соглашениями, которые позволяют нам обходиться без
замысловатостей, произведенных определением типов.
IT. Все логические вхождения одного и того же формального числа
принадлежат одному и тому же типу; аргументные вхождения связы-
ваются с логическими и атрибутивными вхождениями; если не имеет-
ся аргументных вхождений, то эквациональные вхождения связываются
с логическими вхождениями.
Это правило применяется лишь до такой степени, до какой позволяет
смысл, к тем типам, которые остаются неопределенными после приписы-
вания типов реальным переменным.
В дальнейшем будет отмечено, что если не имеется аргументных или
логических вхождений формального числа, то IT никак не применяется
к назначению типов вхождениям в форме указанного формального числа.
Идентификация типов в аргументных и атрибутивных вхождениях
на основании IТ необходимо исполняется, чтобы обеспечить использова-
ние эквивалентности
Y€sm“a. = . (да) .аео.узша,
где а есть формальное число. Без упомянутого соглашения применение
здесь *37-1 было бы ошибочным. Лишь один из наших примеров, к кото-
рому применяется эта часть соглашения, есть *101-28 (доказательство), где
оно обеспечивает то, что два вхождения 1 имеют один и тот же тип. Это
касается также символики в доказательстве *100-521.
На практике будет обнаружено, что это соглашение соотносит типы
вхождений так же, как это естественно делалось бы любым, кто вообще
не думает ни о каких соглашениях. Чтобы посмотреть, как это соглаше-
ние работает, мы пройдем через те примеры, которые уже были приведены
выше.
В *100-35 IT указывает на то, что логические и эквациональные
вхождения Nc‘a имеют один и тот же тип, и так же для Nc‘(3. “Смысл”
обеспечивает то, что эквациональные типы Nc‘a и Nc‘(3 одинаковы.
39 В оригинале — be bound to each other. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
41
Поэтому эти четыре вхождения все в пределах одного типа, который не
обязательно относится к типам атрибутивных вхождений Nc‘a и Nc‘(3.
Поэтому, используя обозначение из *65-04, чтобы гарантировать типовую
определенность, *110-35 будет иметь смысл
|-:.a!Nc(£)‘a. V.a!Nc@‘₽:D:
Nc(^)‘a = Nc(£)‘|3 . = . aeNc(a)‘|3. = . (3eNc(|3)‘a. =. asm(3.
Типы этих атрибутивных вхождений устанавливаются “смысловой”
необходимостью.
В доказательстве *100-42, поскольку все вхождения формальных чисел
эквациональны, IT не дает никаких ограничений типов.
В доказательстве *100-44 IT гарантирует то, что два вхождения Nc‘a
имеют один и тот же тип. Мы также замечаем, что первое вхождение Nc‘|3
в действительности (ср. *65-04) есть Nc(a)‘[3, поскольку имеется вхождение
“аец” и потому “смысл” требует такого отношения типов; второе вхожде-
ние Nc‘P в пределах типа вхождений Nc‘a.
В *100-44 IT указывает на то, что логические и аргументные вхожде-
ния обладают одним и тем же типом. В *100-521 IT указывает на то, что
два вхождения sm“p, обладают одним и тем же типом. В *101-28 оба вхож-
дения 1 имеют один и тот же тип. В *101-38 IT указывает на то, что все
вхождения 2 должны иметь один и тот же тип.
Соглашение IT никоим образом не ограничивает типы ни в *110-54, ни
в *116-63, ни в *117-108.
В первом примере из доказательства *120-53 соглашение IT не приме-
няется.
Во втором примере из доказательства *120-53 соглашение IТ указывает
на то, что два вхождения будут одного и того же типа; “смысловая”
необходимость гарантирует, что первое вхождение aY также будет указанно-
го типа. Эта же необходимость обеспечивает, что у+с6 будет того же типа,
что и р; она также гарантирует, что в “aY = aYxca6” первое вхождение aY
и вхождение aYxca6 будут иметь общий тип, который иначе не распуты-
вается40; точно так же ничего нельзя решить по отношению к типам aY
и а6 в aYxca6.
Здесь мы приходим к соглашениям, охватывающим арифметические по-
нятия. Термин “арифметический” используется для обозначения исследо-
ваний, в которых интерес располагается в сравнении формальных чисел
по отношению к равенству или неравенству, исключая отдельные случаи
(когда бы они ни были исключительными) из-за отсутствия экзистенцио-
нальности в низких типах. Арифметическая точка зрения, которую мы при-
нимаем позднее при исследовании отношения и количества, а также в этой
книге в *117 и *126 и некоторых более ранних предложениях, должна бы
быть отметена как не представляющая интереса во всем исследовании точ-
ных способов, в которых отсутствие экзистенциональных теорем имеет зна-
чение для истинности предложений, концентрируя поэтому внимание ис-
ключительно на устойчивых истинностных значениях. Однако логическое
40 В оригинале — which is otherwise unfettered. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
42
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
исследование обладает своим собственным неотъемлемым интересом сре-
ди принципов, затрагивающих этот предмет. Однако ясно, что он должен
быть ограничен рассмотрением теорем, интересных чисто логически. На
практике на указанное изгнание неинтересных случаев отсутствия арифме-
тических теорем, даже среди логических исследований первой части этой
книги, оказывает влияние гарантия того, что все арифметические вхож-
дения формальных чисел имеют их действительный тип достаточным.
Что касается формальных чисел первичной группы, т.е. Nc‘a, SNc‘k,
IINc‘k, арифметическое согласование типов формально гарантируется
в рамках символической системы посредством определений *110-03-04
для сложения, *113-04-05 для умножения, *116-03-04 для экспоненциации,
*117-02-03 для арифметических неравенств и *119-02-03 для вычитания.
Мы сохраняем символьные разработки, которые возникали бы при рас-
пространении похожих определений на остальные формальные числа по-
средством следующего соглашения:
ПТ. Когда бы ни встретилось формальное число а, если оно было бы
замещено Nc‘a так, что действительный тип Nc‘a согласно определению
должен был бы быть достаточным, то действительный тип а является
достаточным.
Например, в H+c(v+cod), если v+cod было бы замещено Nc‘a, тогда
на основании *110-04 действительный тип Nc‘a достаточен. Следователь-
но, на основании IIТ действительный тип v +cgj будет достаточным: соот-
ветственно, пока v и го есть простые переменные и являются элементами
NC - i‘A, мы всегда можем предполагать g! (v +ccd) для типа вхождения
V +Ссп В Ц +с (v +CGJ).
Существенно заметить, что пока аргумент аргументного формального
числа или аргументы арифметического формального числа арифметиче-
ски согласованы, все равно, какие точные типы выбраны. Для аргумент-
ных формальных чисел это следует из *102-862-87-88, для сложения — из
*110-25, для умножения —из *113-26, для экспоненциации — из *116-26, для
вычитания —из *119-61-62. Поэтому (вспоминая также *100-511) в преде-
лах любого определенного типа формальное число обладает одним опреде-
ленным смыслом при условии, что любое подчиненное формальное число,
которое входит в его символику, экзистенционально детерминируется. Со-
глашение IIТ всегда указывает нам на то, чтобы взять этот определенный
смысл для любого чисто арифметического формального числа.
Это соглашение не определяет полностью смысл арифметического
формального числа, не являющегося чисто арифметическим. Например,
ц +с (v +с р) есть чисто арифметическое формальное число, когда типы ц,
v, р детерминированы; соглашение IIТ указывает, что тип (v +с р) достато-
чен. Но ц +с sm“(v +с р) есть арифметическое формальное число, не явля-
ющееся чисто арифметическим, и соглашение ПТ указывает, что тип об-
ласти sm достаточен и не затрагивает тип (v +с р). Таким образом, нетруд-
но видеть, что ПТ гарантирует достаточность действительных типов всех
арифметических компонент любого арифметического формального числа,
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
43
но не затрагивает действительный тип формального числа, которое вхо-
дит в качестве аргумента аргументного формального числа. В этом случае
соглашение ИТ будет привязывать действительный тип этого вхождения
аргумента к любому логическому или атрибутивному вхождению того же
самого формального числа. Например, если 3! v +с р и ц +с sm“(v +с р) вхо-
дят в одну и ту же форму, то эти два вхождения v +с р должны иметь
один и тот же действительный тип. На практике аргументные формальные
числа полезны в качестве компонент арифметических формальных чисел
для одной цели — избежать автоматического согласования типов, указыва-
емого ПТ.
Смысл IIТ лучше всего разъясняется на примерах. Среди наших преды-
дущих примеров нам необходимо рассмотреть лишь те, в которых встре-
чаются арифметические формальные числа.
В *110-54 принятое соглашение или определения нацеливают нас
на адекватное детерминирование типов Nc‘a и Nc‘(3 при формировании
Nc‘a+cNc‘P, а также на адекватное детерминирование Nc‘a+cNc‘P и Nc‘y
при формировании (Nc‘a+C Nc‘0) +с Nc‘y. Это соглашение не применяется
к типам (Nc‘a+C Nc‘0)+с Nc‘y и Nc‘(a+P+Y)« Эти типы должны быть иден-
тичны для того, чтобы гарантировать смысл.
В *116-63 принятое соглашение указывает нам на адекватное согласо-
вание типов v +C(D и pv; оно не затрагивает типов рЛ+сГО и (p-v)ro, которые
должны быть идентичны, чтобы гарантировать смысл. Если мы произве-
дем замещение ц, v, (D формальными числами, например, 2, No и 1, то мы
получим “I-. 2s°Xcl = (2s0)1”. Соглашение сейчас указывает нам, что 1 адек-
ватно детерминируется. Так случилось, что для этого достаточен любой
тип, поскольку 3! 1 может быть доказано в пределах любого типа. Тогда
достаточными типами для NqXc1 и 2S° будут типы, для которых мы можем
доказать 3! (Noc‘Zi ‘No) хс1 и 3! 2^°С71 <s°. Таким образом, если т есть тип
No в обоих случаях, то достаточный тип для NqXc1 есть т, а для 2S° — СГт.
В *117-108 мы находим арифметические вхождения в арифметические
неравенства. Поэтому ПТ указывает нам принять первые два вхождения
Nc‘a и первые два вхождения Nc‘P с достаточными действительными ти-
пами. Тип Nc‘a и Nc‘P в Nc‘a = Nc‘P им не затрагивается. Очевидно, что
соглашения IT и ПТ недостаточны, чтобы гарантировать истинность это-
го предложения. Существенно, что в равенстве тип адекватно согласуется
для обоих формальных чисел. На деле здесь используется общее ариф-
метическое соглашение о том, что типы эквациональных, так же как и
арифметических вхождений, согласуются арифметически.
V. Некоторые важные принципы
Принцип арифметической подстановки. В *120-53 применение ПТ тре-
бует рассмотрения всего вопроса об арифметической подстановке. Рассмот-
рим первый из двух примеров. Мы имеем
F : Р = Y+Cd . э! Р . =>. ap = a7xca6.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
44
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
Ясно, что если мы не можем практически непосредственно перейти от
“Р = у+с6 . аР = а^” к “аР = ауХс6” на основании *20-18, то теория типов сде-
лает арифметику практически невозможной. Трудность возникает от при-
менения ПТ. Положим, что мы приписываем типы сначала нашим сво-
бодным переменным. Затем произвольно могут быть назначены типы а,
Р, у, 6, и нет никакой необходимой связи между ними, возникающей при
требовании сохранения смысла. Поэтому Р может быть в пределах типа,
который недостаточен для у+с6. Предположим, что это как раз тот слу-
чай. Эквациональное использование у+с6 имеет тот же самый тип, что и
Р, и на основании ПТ арифметическое использование у+с6 в аУХсЬ нахо-
дится в пределах достаточного типа. Ввиду этого рассуждение, основанное
на *20-18, посредством которого оправдывается подстановка, ошибочно; два
вхождения у+с6 на деле относятся к совершенно различным вещам.
Для того чтобы обобщить разрешение этого затруднения, удобно опреде-
лить термин “арифметическое равенство”. Арифметическое равенство есть
равенство между чисто арифметическими формальными числами, чьи дей-
ствительные типы оба детерминируются адекватно. Тогда очевидно, что из
а = т./(т), где а и т есть формальные числа и т арифметически входит
в Дт), мы не можем вывести До), если равенство о = т не является ариф-
метическим, так как иначе т в равенстве не может быть отождествлено
с т в Дт).
Когда мы имеем “Р = т./(т)”, где т есть формальное число, а р —чис-
ло определенного типа, и желаем перейти к “/(Р)” или от “Р = т./(Р)” —
к Дт), имея арифметическое вхождение т в Дт), то тип Р может быть
недостаточен для типа т. Соответственно, т в р = т не может быть отож-
дествлено с т в Дт). Тип т в равенстве должен быть освобожден от зави-
симости от типа р. Соответственно, указанный переход легитимен, лишь
когда мы вместо того, что дается выше, можем написать
“Р+с0 = т . f (т)” или “Р+сО = т./(Р)”,
где в обоих случаях равенство является арифметическим. Сейчас все сим-
волы подчиняются одним и тем же правилам.
Если указанная модификация может быть сделана без изменения истин-
ностного значения утверждаемого предложения, то подстановка легитимна,
иначе — нет.
Очевидно, что в вышеизложенном непосредственный переход осуществ-
ляется либо к-, либо от /(р+с0)- Однако нетрудно видеть, что, имея ариф-
метическое вхождение Р+с0, мы всегда имеем
/(Р).^./(Р+сО).
Для того чтобы это доказать, мы должны доказать лишь
а+<? (Р+<?0) — схч-сО,
ахс (Р+сО) = ахс0,
(а+с0)р = аР,
ар+с° -
и
а > р+с0. = . а > Р . = . а+с0 > р.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
45
Доказательство первого из этих предложений разворачивается следую-
щим образом:
F. *110-4. э I-p~eNC. V. 0 = Л: z>. р+сО = Л. а+с0 = Л .
[* 110-4] z>. а+с (р+с0) = Л - а+ср (1)
I-. *110-4. э I-а ~ е NC . V . а = Л: э. а+с (0+сО) = Л - а+ср (2)
F. *110-6 . э I-а, р е NC - i‘A. э. а+с (р+с0) = а+с sm‘‘0
= а+с₽ (3)
F. (1) • (2). (3). э Ь: а+с (₽+с0) = а+с₽
В приведенном доказательстве переход к (3) легитимен, так как, на ос-
новании гипотезы, р есть детерминация sm“(3 в пределах достаточного
типа.
Аналогичные доказательства имеют место для других предложений, ис-
пользуя при этом *113-204, *116-204, *117-12 и *103-13.
Мы должны также рассмотреть условия, при которых мы можем перей-
ти от “Р = т” к “Р+сО = т”, где последнее равенство арифметическое. Дру-
гими словами, используя *65-01, мы требуем гипотезу, необходимую для
Э!тТ1.р = т^.э.р+с0 = тТ1.
Мы имеем
h. *20-18. э : р = -ц . э . Р+с0 = т^+с0 (1)
F . *110-35 . э : а! . а! . э . т^+с0 = Tn+c0 (2)
h.(l).(2). э а*• Я-• э : Р • э • Р+с() = Тт1+с0 (3)
ь • (3). э а! Р а! • => : Р = . D . р+с0 = ТП+СО (4)
В (4) вхождения Р+с0 и тп+с0, которые находятся в пределах одного
и того же типа, могут быть выбраны в пределах любого желаемого типа.
Следовательно, мы выводим
h . (4). *110-6 . э а! ₽ Я! • э : Р = • э • (Р+^О)^ = smf ‘тл .
[*100-511] э.(р+с0)£ = Т£
Следовательно, а • Р есть необходимое условие. Так как £ может иметь
любой тип, то мы также можем выбрать его в пределах любого экзистенци-
онального типа т. Поэтому, применяя ПТ к арифметическому вхождению
т в /(т), мы имеем, где т есть формальное число, а р —число в пределах
определенного типа,
Ь:а’Р.Р = т./(т).э./(Р),
Ь:а’р.Р = т./(Р).э./(т),
F : а! а. а = т . f (т). =>. f (а).
В последнем предложении на основании IIТ равенство о = т арифме-
тическое. Эти уравнения сводятся вместе в *118-01.
Эти три фундаментальные теоремы заключают принцип арифмети-
ческой подстановки. Гипотеза а • Р в действительности недостаточна по
сравнению с обычными условиями; обычно молчаливо предполагается
PeNC-i/A. На деле, если не принимать peNC, то Р = т необходимо ока-
зывается ложным.
Принцип отождествления типов. Положим, что мы доказали
“ h : Нр . э . фа” и “ I-: ф (а^). э . р”, где а есть формальное число, чье
вхождение в “ I-: Нр . э . фа” находится в пределах полностью неопре-
деленного типа, а а^ есть то же самое формальное число с типом,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
46
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
соотносящимся с типом £ на основании *65-01. Тогда, поскольку тип а
в “ННр.э.фа” не определен, то мы можем написать “I-: Нр. э. ф(о^)”,
откуда вывести ‘Т . р”.
Этот принцип гласит: Полностью неопределенный тип в утверждаемой
символьной форме может быть отождествлен с любым неопределенным ти-
пом в той же самой символьной форме или, иначе, в любой другой утвер-
ждаемой символьной форме.
Например, в доказательстве *100-42, рассмотренном выше, поскольку
входит з! р, A v, то первые вхождения Nc‘a и Nc‘(3 имеют один и тот же
тип, и так же для их вторых вхождений в Nc‘a = Nc‘(3. Однако указан-
ные два типа не детерминируются нашими соглашениями так, чтобы об-
ладать необходимой связью. В действительности, тип в Nc‘a = Nc‘(3 абсо-
лютно произволен. Соответственно, он может быть отождествлен с дру-
гим типом, и поэтому переход к следующей строке доказательства, именно
к “F : Нр . э . р = v”, оправдан.
В случае арифметических равенств важно заметить, что мы имеем
I-. *100-321-33 . э h а! Nc Й)‘а. z>: Nc (£)‘а = Nc (£)‘Р. э . Nc‘a = Nc‘p.
Следовательно, если а и т являются формальным числами, то
F 3! О£ . э : О£ = . э . о = т .
Поэтому, если мы имеем “ F : Нр . а! э • о = т” и “ I-: Нр'. 0^=^ . э. р”, то
мы можем вывести из первого предложения “I-: Нр . а’ ° • э • ат)=хп”’ а из
него и из второго предложения — “ I-: Нр'. Нр . а! о. э . р”, так что общий
принцип отождествления может быть применен, когда ф(а) в первом пред-
ложении есть арифметическое равенство.
Например, в приведенном выше примере, *100-44 (доказательство),
I-: peNC . а! Nc‘a .а€ц.э.аР«Ц = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘0,
равенство Nc‘a = Nc‘p является арифметическим. Соответственно, оправда-
но утверждение пропозициональной функции
I-: pcNC . а! Nc‘a. ае р. э . аР • И = Nc (a)‘P . Nc (a)‘a = Nc (a)‘P,
где Nc(a)‘p в p = Nc(a)‘p предполагалось смысловой необходимостью.
Поэтому имеется вывод
I-: р е NC . а • Nc‘a. а е р. э . Nc (a)‘a = р.
z>. Nc (a) = ц .
Это доказательство теряет значение, когда на р смотрят как на перемен-
ную необходимо одного и того же типа на всем его протяжении. В таком
случае указанное предложение сводится к
I-: р е NC . z>: а е р . = . Nc (a)‘a = р.
Однако если р представляет собой формальное число, необходимо яв-
ляющееся элементом NC, то предложение в действительности есть
F : а! Nc‘a . э : а е р . = . Nc‘a = р .
С этим предположением мы должны иметь в первой строке доказатель-
ства
“I-: 3 - Nc‘a. Nc‘a. = р. э . а ер,”
хотя “р” одна и та же переменная, строка формально корректна в той
форме, в какой она находится в тексте.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
47
Распознавание частных случаев. Важно отметить те условия, при ко-
торых фо распознается как частный случай ф£, где £ есть реальная пере-
менная, а о —формальное число. Сначала мы должны подставить aAZo‘?
вместо а, где бы оно ни встретилось в фо, и получить ф(оСН(/^)- Затем мы
можем обнаружить, что, применяя наши соглашения, мы можем заместить
это посредством фо. Например, мы имеем
*100-42. I-: ц, v е NC .д!цАу.э.р, = у
Полагая Nc‘aAro‘H вместо ц, мы получаем
I-Nc‘a А veNC . д! (Nc‘a А /о‘ц)n v • э • Nc‘a А = v (1)
I-. (1). *100-41 . э I-: veNC д! Nc‘a A/o^v.d. Nc‘a А = v (2)
Теперь на основании IT, даже когда v является формальным числом,
тождественность типов двух вхождений Nc‘a в
h : v eNC . д! Nc‘a A v . э . Nc‘a = v .
гарантируется в равной мере.
Таким образом, это частный случай *100-42. Вообще, такие определения
могут быть даны без всякого явного формального утверждения.
Неопределенность NC. Из типовой неопределенности Nc следует, что
NC также типово неопределен (ср. *100-02 и *103-02). Следовательно,
“peNC.veNC” в соответствии с нашими методами интерпретации ц и v
не обязательно должны быть одного и того же типа. Мы всегда будем ин-
терпретировать “ц, veNC” как замещение “peNC. veNC” и поэтому как
не обязательно распознающее типы р, и v. Аналогично для NqC, NC induct,
NC ind. Например,
*110-402. I-: щ v e NqC . э . g! (p +c v) A f f (p, f v)
Здесь ц и v не обязательно имеют один и тот же тип. С другой стороны,
*110-41. h : щ v е N0C . Гц = Г v . э . g! (ц +с v) А Гр
Здесь отождествление типов р и v требует гипотезы “fp = fv”.
VI. Соглашения АТ и InfinТ
Общее арифметическое соглашение. Соглашения IT и IIТ применяются
всегда, однако следующее соглашение сперва не используется. Это соглаше-
ние ограничивает сохраняющуюся неопределенность типа, отбрасывая те
исключительные случаи низких типов из-за отсутствия экзистенциональ-
ных теорем. Указанное соглашение будет упоминаться как АТ.
АТ. Все равенства, содержащие чисто арифметические формальные
числа, предполагаются арифметическими.
Мы видели, что из арифметического равенства может быть выведено
аналогичное равенство в пределах любого другого типа. Поэтому с АТ
все равенства между формальными числами так детерминированы по ти-
пу, что выводима их истинность в пределах “любого типа”. Таким об-
разом, в нескольких первоначальных предложениях, где вводится А Т,
это обстоятельство отмечается посредством утверждения, что равенства
имеют место “в пределах любого типа”. Этими предложениями являются
*103-16, *110-71-72.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
48
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
Эффект от применения АТ к другим предложениям из *100 состоит
в том, чтобы сделать некоторые из гипотез (обычно логические формы,
утверждающие существование) необязательными, а также ограничить круг
этих предложений. Возьмем, например,
*100-35. I-Я! Nc‘a. V . 3! Nc‘(3 : э :
Nc‘a = Nc‘0 . = . a e Nc‘0. = . (3 e Nc‘a. = . a sm (3
Если мы применим к нему АТ, то мы можем записать
Nc‘a = Nc‘(3 . = . aeNc‘(3 . = . (3 eNc‘a. = . a sm (3.
Эквациональные вхождения Nc‘a и Nc‘(3 на основании AT и ПТ будут
с достаточными действительными типами. Однако, если а есть меньший
класс в пределах высокого типа, то достаточный действительный тип для
Nc‘a будет высоким типом, в то время как g!Nc‘a, возможно, имеет ме-
сто в пределах низкого типа. Поэтому с АТ ради простоты мы избегаем
утверждения минимальности гипотез, необходимых для наших предложе-
ний. При этом не затрагивается ни одна другая формулировка предложе-
ний в *100.
АТ не затрагивает ни одну формулировку предложений в *101, хотя
оно и должно чрезмерно ограничивать область *101-34. В *110 АТ должно
чрезмерно ограничивать область таких предложений, как
*110-22-23-24-25-251-252-3-31-32-331-34-35-351-44-51-54,
а также многих других, не изменяя их формулировки. Нет ни одного пред-
ложения в *110, чью формулировку оно бы изменило. АТ уже применяет-
ся к *110-71-72; если удалить АТ из указанных предложений, то 3!Nc‘a
должно быть добавлено в качестве гипотезы к ним обоим. Влияние АТ
на *113 и *116 полностью аналогично таковому на *110; ни в одном из
этих параграфов нет ни одного предложения, к которому АТ применяет-
ся в тексте.
Что касается *117, то АТ применяется на всем его протяжении, так
что все предложения имеют форму, подходящую для последующих иссле-
дований с чисто арифметических позиций. Ради логических исследований
важно проанализировать влияние АТ на представление предложений, осо-
бенно в связи с *120. Во-первых, АТ может влиять лишь на предложе-
ния, в которых встречаются равенства или не-равенства, а среди таких
предложений оно не влияет на представление таких предложений, в кото-
рых обе части равенств не являются формальными числами, так что после
применения АТ равенства не являются арифметическими. Эти предложе-
ния есть *117-104-14-24-241-243-31-551. Они характеризуются присутствием
единственной буквы на одной из сторон любого входящего равенства и мо-
гут распознаваться с первого взгляда. Предложения, включающие арифме-
тические равенства, чье представление не изменяется при удалении АТ,
есть *117-21-54-592. Предложения, включающие не-равенства, чье представ-
ление не изменяется при удалении АТ, есть *117-26-27. Наконец, пред-
ложения из *117, чье представление изменяется при удалении АТ, есть
♦117-108-211-23-25-3.
В *118 и *119 АТ не используется.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
49
В *120, который посвящен тем свойствам индуктивных кардиналов,
которые представляют логический интерес, АТ вообще не используется.
Ни одно из предложений *117-108-211-23-25-3 не упоминается в *120 за ис-
ключением *117-25 в доказательстве *120-435 в таком употреблении, ко-
гда АТ нерелевантно. Применение АТ в *120 упростило бы гипотезы
в *120-31-41-451-53-55 и ограничило бы область указанных предложений.
Еще одно соглашение, которое мы будем называть “Infin Т”, требуется
в определенных предложениях, где гипотезы подразумевают наличие ти-
пов, в пределах которых каждый индуктивный кардинал существует, т.е.
в пределах которых V не есть индуктивный класс. Среди таких гипотез
Infin ах, g! Prog, э! Ко (или типово определенные формы этих гипотез) или
/?eProg, или аеКо- Когда встречаются подобные гипотезы, мы будем пола-
гать, что NC induct является всякий раз, когда это позволяет значимость,
детерминированным в пределах такого типа, в котором каждый индуктив-
ный кардинал существует, т.е. в котором имеет место аксиома бесконечно-
сти (ср. *120-03-04). Формулировка этого соглашения следующая:
Infin Т. Когда гипотеза предложения подразумевает, что найдется
тип, в пределах которого каждый индуктивный кардинал существует,
то каждое вхождение “NC induct” в это предложение предполагается взя-
тым (если позволяют условия значимости) в пределах достаточно высо-
кого типа, чтобы гарантировать существование каждого индуктивного
кардинала.
Отметим, что это соглашение было бы ненужным, если бы мы ограничи-
ли себя одной экзистенциональной иерархией, так как в пределах любой
одной такой иерархии все типы либо индуктивны, либо не индуктивны,
так что если каждый индуктивный кардинал существует в пределах од-
ного типа иерархии, то в точности то же самое имеет место для любого
другого типа в этой иерархии. Однако когда мы больше не ограничиваем
себя одной экстенсиональной иерархией, то указанный результат может не
получаться. Например, это возможно в том случае, когда число индиви-
дов индуктивно, а число предикативных функций индивидов не индуктив-
но; во всяком случае не может быть выдвинуто никакого логического обос-
нования против указанной возможности, которая может быть отвергнута
лишь на основе эмпирических соображений, если вообще это может быть
сделано.
Способ использования этого соглашения может быть проиллюстрирован
с помощью доказательства *122-33. Во второй строке этого доказательства
мы показываем, что гипотеза влечет
Е ! vR . э . Е ! (v+J)fl, (1)
где на основании *121-04
vR = Rv-XBiR Df
и посредством *121-02
Rv = ху {Noc7?(x Ну) = v+cl} Df.
В дальнейшем будет видно, что эти определения не достаточны для
того, чтобы детерминировать тип v. Следовательно, в (1) v слева, возмож-
но, не имеет тот же самый тип, что v+cl справа. Применение *120-473
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
50
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
в следующей строке доказательства *122-33 требует, чтобы v слева и v+J
справа имели один и тот же тип. Это требует, чтобы v не было бы взято
в пределах типа, в котором мы имеем g! v. v +С1 = А. Следовательно, чтобы
применить *120-473, мы должны выбрать тип, в пределах которого все ин-
дуктивные кардиналы существуют. Поскольку “fleProg” входит в гипотезу,
то мы знаем, что все индуктивные кардиналы существуют в пределах ти-
па С'R. Однако нет никакой необходимости ограничивать себя типом С‘7?,
поскольку любой другой тип, в пределах которого все индуктивные кар-
диналы существуют, в равной мере будет гарантировать справедливость
доказательства. Таким образом, соглашение Infin Т гарантирует требуемое
ограничение и не более того.
Соглашение InfinТ часто релевантно, когда “Infinах” входит в гипоте-
зу без какой-либо типовой детерминации. Всякий раз, когда это так, если
“NCinduct” входит в предложение таким образом, что его тип остается
неопределенным настолько, насколько это позволяется условиями значимо-
сти, то оно принимается в пределах типа, для которого все его элементы
существуют.
VII. Заключительное действующее правило арифметики
Сейчас (как только используется АТ вместе с InfinТ, когда необхо-
димо) появляется возможность, наконец, оставить в стороне рассмотре-
ние типов в связи с индуктивными числами. Комбинируя *126-121-122 и
*120-4232-4622, мы видим, что всегда возможно взять достаточно высокий
тип так, чтобы не было бы нулевого (А) определенно детерминированно-
го индуктивного числа, а все индуктивные рассуждения могли бы иметь
место в пределах этого типа. Более того, мы уже видели, что арифметиче-
ские операции не зависят от типов компонент, пока они экзистенциональ-
ны. Поэтому насколько это касается обычной арифметики конечных чисел,
все соглашения (включая АТ) и необходимость для гипотез, касающаяся
существования индуктивных чисел, в конце концов заменяются следующим
единственным правилом:
ПРАВИЛО НЕ-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЧИСЕЛ41. Тип, приписанный лю-
бому символу, который представляет индуктивное число, таков, чтобы
указанный символ не был равен А.
Мы определяем
*126-01. NC ind = NC induct - i‘A Df
Всякий раз, когда символ “NCind” используется для класса
“ не-определенных индуктивных кардинальных чисел”, применяется
данное выше правило. Другими словами, “цеNCind” всегда может быть
замещено посредством “p = Nc‘a. a e Cis induct”, где Nc‘a есть однородный
или восходящий кардинал, а а есть подходящая постоянная или перемен-
41 В оригинале — rule of indefinite numbers. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
51
ная в зависимости от случая. В последнем случае символическая форма,
такая как
QO./QieNC ind, ц),
может быть замещена посредством
(ц, а). f (ц = Nc‘a. а е Cis induct, ц).
Более того, на основании *120-4622 и указанного правила результат
индуктивного продолжения посредством преобразования от одного типа
к другому тот же самый, что и продолжение по индукции в пределах
последнего указанного типа. Поэтому, например, нельзя достичь преиму-
ществ из-за различия между 2| и 2Л; так как smT1“2^ = 2T1, sm^“2n = 2^,
ц ч-с2^ — ц +с2п, ц хс2^ = ц Хс2ф 2^ — 2^ и ц 2j=. = . ц 2^ и т.д.
Следовательно, все различия типов не-определенных индуктивных чи-
сел могут быть опущены, а типы приняты как полностью не-определенные
и иррелевантные.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ЧАСТЬ III.
АРИФМЕТИКА
КАРДИНАЛОВ
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ III
В настоящей части мы будем иметь дело, во-первых, с определением
и общими свойствами кардинальных чисел (глава 1); затем —с операция-
ми сложения, умножения и экспоненциации, определения и формальные
законы которых не требуют никакого ограничения на конечность чисел
(глава 2); далее —с теорией конечного и бесконечного, которая в какой-то
степени осложняется тем обстоятельством, что существует два различных
понимания “конечного”, которые не могут (насколько известно) быть отож-
дествлены без аксиомы умножения. Указанная теория конечного и беско-
нечного снова будет развиваться в связи с сериями в главе 5 части V.
Именно в этой части теория типов впервые становится релевантной
на практике. Будет найдено, что противоречия, касающиеся максимального
кардинала, разрешаются на основании этой теории. Мы поэтому посвяти-
ли главу 1 настоящей части (за исключением двух параграфов, дающих
соответственно наиболее элементарные свойства кардиналов вообще и свой-
ства 0, 1 и 2) приложению типов к кардиналам. Каждый кардинал типо-
во неопределен, и мы присваиваем типовую определенность посредством
обозначений из *63, *64 и *65. Особенно там, где это касается экзистенци-
ональных теорем, теория типов является существенной. Важность предло-
жений настоящей части состоит не только в пронизывающих все изложе-
ние гипотезах, необходимых для того, чтобы обеспечить заключения, но
также и в типовой неопределенности, которая может быть допущена для
символов, согласующейся с истинностью указанных предложений во всех
случаях, в связи с этим включенных.
ГЛАВА 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Краткое содержание главы 1
Кардинальное число класса а, которое мы будем обозначать “Nc‘a”,
определяется как класс всех классов, подобных а, т.е. как p(psma).
Это определение принадлежит Фреге и впервые было опубликовано в его
“Основаниях арифметики”42; его символическое выражение и использова-
ние находятся в его “Законах арифметики”43. Главные достоинства этого
определения есть (1) то, что формальные свойства, которыми, как мы ожи-
даем, обладают кардинальные числа, проистекают из этого определения;
(2) то, что пока мы не примем этого определения или более сложного,
на практике эквивалентного ему определения, необходимо трактовать кар-
динальное число класса как нечто неопределимое. Следовательно, приве-
денное выше определение позволяет избежать бесполезного неопределимого
понятия вместе с сопутствующими ему примитивными предложениями.
В дальнейшем будет замечено, что если х есть какой-либо объект, то 1
не является кардинальным числом для х, однако является таковым для i‘x.
Это позволяет избежать затруднений, которые в противном случае возника-
ют по отношению к классам. Предположим, мы имеем класс а, состоящий
из множества термов; мы говорим, тем не менее, что он является одним
42 Breslau, 1884. Ср. особенно с. 79, 80.
43 Jena, Vol. I. 1893, Vol. II. 1903. Ср. т. I. §§ 10-12, с. 57, 58. Исчерпывающие дово-
ды в пользу этого определения могут быть найдены во второй части “Принципов мате-
матики”.
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
58 ЧИСЕЛ
классом. Таким образом, он выглядит как единичное и множественное од-
новременно. Однако фактически именно а представляет множественность,
a Г х —единичность. В отношении нуля аналогичная точка зрения ясна еще
больше. Предположим, что мы говорим “не существует короля Франции”.
Это эквивалентно “класс королей Франции есть элемент класса 0”. Очевид-
но, что мы не можем сказать, что “король Франции есть элемент класса О”,
так как не существует короля Франции. Поэтому в случае 0 и 1 и с боль-
шей очевидностью во всех других случаях кардинальное число относится
к классу, а не к элементам класса.
Для целей формального определения мы подвергнем формулу
Nc‘a = p(p sm a)
некоторому упрощению. В дальнейшем будет видно, что в соответствии
с этой формулой “Nc” является отношением, именно отношением карди-
нального числа к любому классу, элементом которого оно является. По-
этому, например, 1 находится в отношении Nc к Гх; так же как и 2 —
к Гх U Гу, при условии х # у. Отношение Nc в действительности являет-
ся отношением ыЙ: snl‘a = Р (р sm а). Следовательно, с целью формального
определения мы полагаем
Nc = snl Df.
Класс кардинальных чисел есть класс объектов, которые представляет
собой класс объектов, которые являются кардинальными числами того или
иного класса, т.е. объектов, которые для некоторого а равны Nc‘a. Мы
называем класс кардинальных чисел NC; таким образом, мы имеем
NC = ц {(да). ц = Nc‘a}.
Для целей формального определения мы заменим эту формулу более
простой
NC = D‘Nc Df.
В настоящей главе мы будем иметь дело с тем, что можно назвать
чисто логическими свойствами кардинальных чисел, именно с такими, ко-
торые не зависят ни от арифметических операций сложения, умножения
и экспоненциации, ни от различия конечного и бесконечного44. Главная
особенность, с которой мы будем иметь дело, в смысле важности и слож-
ности есть отношение кардинального числа в пределах одного типа к тому
же или ассоциированному кардинальному числу в пределах другого типа.
Когда символ является неопределенным по отношению к типу, мы будем
называть его типово неопределенным; когда либо всегда, либо в данном
контексте он не является неопределенным в отношении типа, то мы будем
называть его типово определенным. Символ “sm” является типово неопре-
деленным; единственное ограничение на его тип есть то, что его область и
обратная область должны обе состоять из классов. Кода мы имеем a sm р,
то не нужно, чтобы аир были одного и того же типа, фактически в лю-
бом типе классов существуют классы, подобные некоторому классу любого
44 Определения арифметических операций, конечного и бесконечного являются дей-
ствительно чисто логическими, как и те, что идут перед ними; однако если мы где-то
проведем границу между логикой и арифметикой, то арифметические операции кажутся
естественной отправной точкой для начала арифметики.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1
59
другого типа классов. Например, мы имеем i‘xsmi‘y, каким бы типам х и
у ни принадлежали. Эта неопределенность “sm” выводится из таковой для
1 —> 1, которая в свою очередь выводится из таковой для 1. Мы обозначаем
(ср. *65-01) через “ 1а” все единичные классы, которые имеют тот же са-
мый тип, что и а. В таком случае (в соответствии с определением *70-01)
1а —> 1р будет классом тех одно-однозначных отношений, чья область при-
надлежит тому же самому типу, что и а, а обратная область принадлежат
тому же самому типу, что и р. Поэтому “1а-* 1р” является типово опреде-
ленным, как только а и Р заданы. Предположим теперь, что вместо просто
ysm6 мы имеем
(3/0.Яе1а^ lp.D\R = y.CTfl = S;
тогда мы знаем, что не только ysmS, но также и у принадлежит тому же
самому типу, что и а, а 6 принадлежит тому же самому типу, что и р.
Когда неопределенный символ “sm” представляется типово определенным,
на основании того, что он обладает областью, определенной как принадле-
жащей тому же самому типу, что и а, и обратной областью, определенной
как принадлежащей тому же самому типу, что и Р, то мы записываем это
как “sni(a,p)”, поскольку в общем, в соответствии с *65-1, если R есть ти-
пово неопределенное отношение, то мы записываем /?(а,р) для типово опре-
деленного отношения, которое возникает, когда область R предполагается
состоящей из термов того же самого типа, что и а, а обратная область —
из термов того же самого типа, что и р. Поэтому мы имеем
Y sm(a>p)d . = . (аR). 7? с 1 a —> 1р . у = D7?. S = СГД.
Здесь каждая конструкция является типово определенной, если а и Р (или
их типы) заданы.
Переходя теперь к отношению “Nc”, в дальнейшем будет видно, что оно
разделяет типовую неопределенность “ sm” 45. Для того чтобы представить
его типово определенным, мы должны вывести его из типово определен-
ного “sm”. Пока ничего не добавляется, чтобы задать типовую определен-
ность, “Nc‘y” будет означать все классы, принадлежащие одному (неспе-
цифицированному) типу и подобные у. Если а есть элемент того типа, к
которому эти классы принадлежат, то Nc‘y содержится в пределах типа а.
Для этого случая удобно ввести следующие два обозначения, уже опреде-
ленные в *65. Когда типово неопределенное отношение R предполагается
представить как типово определенное только в отношении его области по-
средством решения, что каждый элемент этой области предполагается со-
держащимся в пределах типа а, то мы пишем “Я (а)” вместо R. Когда
мы далее захотим детерминировать R как обладающее элементами обрат-
ной области, содержащимися в пределах типа Р, то мы пишем “R(a, Р)”
вместо R; и когда мы захотим, чтобы элементы обратной области были
элементами типа Р, то мы пишем “R (ар)” вместо R. Поэтому
sg‘{^(a,p)} = {sg‘7?} (ар)
45 В том смысле, что отношение “Nc” также является типово неопределен-
ным. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
60 ЧИСЕЛ
(ср. *65-2), и, в частности, так как Nc = sS,
Nc (ар) = sg‘sm(a,0).
Поэтому “Nc(ap)‘y” является значимым, только когда у принадлежит то-
му же самому типу, что и Р, и в таком случае оно означает “классы того
же самого типа, что и а и подобные у (который принадлежит тому же са-
мому типу, что и Р)”. “Nc(ap)‘y” будет означать “классы того же самого
типа, что и а, и подобные у”. Пока типы а и у известны, это есть ти-
пово определенный символ, фактически равный Nc(a7)‘y. Следовательно,
пока мы только желаем рассматривать “Nc‘y”, чья типовая определенность
обеспечивается посредством записи “Nc(a)” вместо “Nc”.
Когда мы переходим к рассмотрению NC, то Nc‘(a) более не являет-
ся достаточным детерминированием, хотя оно достаточно для того, чтобы
детерминировать тип. Допустим, мы полагаем
NC₽ (a) = D‘Nc (ap) Df;
мы имеем также, в силу определений из *65,
NC (a) = NC П ?‘а = D‘Nc (а).
Таким образом, NC (а) является определенным по отношению к типу, од-
нако оно является областью отношения, чья обратная область является
неопределенной по отношению к типу; в дальнейшем будет ясно, что суще-
ствуют некоторые предложения о NC (а), чья истинность или ложность за-
висят от детерминирования, выбранного для обратной области Nc (а). Сле-
довательно, если мы желаем иметь символ, который являлся бы полностью
определенным, то мы должны писать “NC₽ (a)”.
Это положение является важным в связи с противоречиями, связанны-
ми с максимальным кардиналом. Следующие замечания дополнительно это
проиллюстрируют.
Кантор показал, что если Р есть произвольный класс, то не существует
класса, содержащегося в р и подобного СГр. Следовательно, в частности,
если Р есть тип, то не существует класса, содержащегося ври подобного
С1‘Р, который был бы следующим более высоким типом за р. В результате
этого, если Р = a U - а, где а есть произвольный класс, то мы имеем
~ (Я Y) - ycaU-a.ysm СГ(а и - а).
Теперь (ср. *63) мы полагаем
fo‘a = aU-a Df
и имеем fa = СГ(а U - а). Поэтому мы находим
~ (Я Y) • Y с to ‘а. у sm fa.
Следовательно,
Nc (ar‘a)‘fa = A.
Те. не существует класса того же самого типа, что и а, имеющего так же
много элементов, как и fa. Следовательно, также
AeNC'a (a).
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1
61
Однако
у с г0‘а. э . у е Nc (аа)‘у. э. g! Nc (аа)‘у,
и Nc(aa)‘Y значимо, только когда у с Го‘а; следовательно,
p,eNCa (а).эи.д!ц
и
A~eNCa (а).
Обозначение “NC(a)” будет применяться в равной степени к “NCa(a)” и
“NC' a(a)”; однако мы только что видели, что в первом случае мы бу-
дем иметь A~eNCa(cx), а во втором случае — AеNCa (а). Следовательно,
“NC(a)” не обладает достаточной определенностью, чтобы предотвратить
практически важные расхождения между различными детерминациями, ко-
торые этот символ способен приобретать.
Обратная к приведенной выше процедура дает аналогичные результа-
ты. Пусть а есть класс классов; тогда s‘a принадлежит более низкому
типу, чем а. Рассмотрим NCja(a). В соответствии с *63 мы пишем fi‘a
для типа, содержащего s‘a, т.е. для s‘a U - s‘a. Тогда наибольшим числом
в классе NC* a (а) будет Nc(a)7i‘a; однако ни этот, ни любой меньший эле-
мент класса не будет равен Nc(a)7o‘a, потому что, как и до этого,
~(gY)-ycri‘a.Ysmr0‘a.
Следовательно, Nc(a)7o‘a, являющийся элементом NCa(a), не является
элементом NC*a (а); однако NCa (а) и NC*a (a) с равным правом могут
быть названы NC (а). Следовательно, “NC(a)” снова есть символ, недоста-
точно определенный для многих наших целей.
Решение указанного парадокса, касающегося максимального кардинала,
является очевидным ввиду того, что было сказано. Этот парадокс состоит
в следующем: он возникает из теоремы Кантора о том, что не существует
максимального кардинала, так как для всех значений a
Nc‘d‘a> Nc‘a.
Однако на первый взгляд могло бы показаться, что класс, который содер-
жит все, должен быть наибольшим 46 возможным классом и должен поэто-
му содержать наибольшее возможное число термов. Мы видели, однако,
что класс а должен всегда содержаться в пределах некоторого одного типа;
следовательно, все, что этим доказано, так это то, что существуют боль-
шие классы47 в пределах следующего типа, являющегося таковым от СГа.
Так как всегда существует следующий более высокий тип, то мы поэтому
имеем максимальный кардинал в пределах каждого типа, но не имеем аб-
солютного максимального кардинала. Максимальный кардинал в пределах
типа а есть
Nc (a)‘(a U - a).
Однако если мы возьмем соответствующий кардинал в пределах следую-
щего типа, т.е.
Nc (Cl‘a)‘(aU-a),
то он не так велик, как Nc (СГа)‘СГ(а U - а), и поэтому не является макси-
46 В смысле — содержащим наибольшее число элементов. — Прим. ред.
47 В оригинале — greater classes. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
62 ЧИСЕЛ
мальным кардиналом своего типа. Это дает нам полное решение рассмат-
риваемого парадокса.
Для большинства целей, чтобы обладать достаточным объемом типо-
вой определенности, мы хотим знать не абсолютные типы а и Р, как вы-
ше, а только то, что мы можем назвать их относительными типами. По-
этому, например, аир могут быть одного типа; в этом случае Nc(ap) и
NC^ (а) равны соответственно Nc (aa) и NCa (а). Мы будем называть кар-
диналы, которые для некоторого а являются элементами класса NCa (a),
однородными кардиналами, потому что “sm”, из которого они выведены,
есть однородное отношение. Мы будем обозначать однородные кардиналы
а посредством “Noc‘a”, а класс однородных кардиналов (в пределах неспе-
цифицированного типа) — посредством “NoC”; таким образом мы полагаем
Noc‘a = Nc‘a A fa Df,
NoC‘a = D‘Noc Df.
Большинство свойств NoC совпадают в пределах различных типов. Когда
далее потребуется типовая определенность, то она может быть обеспечена
записью Noc (a), NoC (а) вместо Nqc, NoC. Хотя Nc(a) и NC(a) не были
полностью определенными, Nqc (а) и NoC (а) являются полностью опреде-
ленными. Кроме того факта, что они имеют различный тип, единственное
свойство, в котором NqC (а) и NoC (Р) различаются, когда а и Р принад-
лежат различным типам, есть таковое в отношении величины кардиналов,
принадлежащих им. Таким образом, предположим, что вся вселенная со-
стоит (как утверждают монисты) из одного единственного индивида. На-
зовем тип этого индивида “Indiv”. Тогда No С (Indiv) будет состоять из О
и 1, т.е.
NqC (Indiv) = i‘O U i‘ 1.
Однако в следующем более высоком типе будут существовать два элемента,
именно А и Indiv. Поэтому
NoC (f Indiv) = i‘O U t‘l U l‘2.
Аналогично
NoC (f Indiv) = i‘O U i‘l U i‘2 U i‘3 U i‘4,
элементами ff Indiv являются A A rTndiv, r‘A, rTndiv, f A U f Indiv; и так
далее. (Наибольший кардинал в пределах любого типа, исключая самый
низкий, всегда есть степень 2.)
Максимум NoC(a) есть Noc‘fo‘a; однако кроме этого различия максиму-
ма и его следствий, NoC(a) и NoC(P) не различаются ни в каких других
важных свойствах. Следовательно, для большинства целей NoC и Nqc име-
ют столь много типовой определенности, сколько необходимо.
Среди кардиналов, которые не являются однородными, мы будем рас-
сматривать три вида. Первые из них мы будем называть восходящими кар-
диналами. Кардинал NC^ (а) называется восходящим кардиналом, если тип
Р есть fa или ffa, или fffa, или и т.д. Мы пишем Г2‘а для ffa, и т.д.
Мы полагаем
N*c‘a = Nc‘a A f f a Df
N2c‘a - Nc‘a A f r2‘a Df
N3c‘a - Nc‘a A fr3‘a Df и т.д.,
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1
63
и
N1C = D‘N1c Df
N2C = D‘N2c Df
N3C = D‘N3c Df и т.д.
Тогда мы, очевидно, имеем
№C(ra)cN0C (Га).
Мы также имеем (согласно тому, что было сказано ранее)
Noc‘f а ~ е N1 С (Га).
Следовательно,
3!N0C (Га)-№С(Га).
Элементами NqC (Га) - N*C (Га) будут все кардиналы, которые превосходят
Nc7o‘a, но не превосходят NcTa.
Давайте вернемся для иллюстрации к нашей предшествующей гипотезе
о вселенной, состоящий из единственного индивида. Тогда N^Tndiv будет
состоять из тех классов, которые подобны “Indiv”, однако имеют следую-
щий более высокий тип. Они представляют собой ГА и rindiv. В нашем
случае мы имели Noc‘Indiv=l. Это приводит к
N^Indiv = 1. N2c‘Indiv = 1 и т.д.
либо, вводя типовую определенность,
N1 с‘Indiv = 1 (rindiv). N2c‘Indiv = 1 (r2‘Indiv) и т.д.
Мы имеем затем 1 (rindiv) eN1 С (rrindiv). Также
1 (rindiv) 6 NoC (rrindiv).
И в предполагаемом случае 1 (rindiv) есть максимум N1 с (rrindiv), однако
2 (rindiv) е NoC (Гrindiv). Следовательно,
N0C (rrindiv) - N!C (rrindiv) = Г2.
Обобщая, мы видим, что N*C(ra) состоит из тех же самых чисел, что и
NoC (а), тип каждого из которых увеличивается на одну ступень. Подобные
предложения имеют место для N2C(r2‘a), N3C(P‘a) и т.д.
Часто оказывается полезным иметь обозначение для того, что мы мо-
жем назвать “тем же самым кардиналом в пределах другого типа”. Пред-
положим, что ц есть типово определенный кардинал; тогда мы будем обо-
значать посредством ц(1) тот же самый кардинал в пределах следующего
типа, т.е.
sm“p А Гц.
Заметим, что если ц есть кардинал, то зт“цАц = ц; и независимо от того,
является ли ц типово определенным или нет,
sm“p А Га
есть кардинал в пределах определенного типа. Если ц является типово
определенным, то sm“pAZ‘a является полностью определенным; если ц
является типово неопределенным, то зш“цАГа обладает тем же родом
неопределенности, которая присуща NC (а). Наиболее важным является
случай, когда ц является типово определенным и а находится к ц в задан-
ном отношении по типу. Мы затем полагаем, как было замечено выше,
ц(1) = sm“p А Гц Df
ц(2) = sm‘ ‘цAt2‘ц Df и т.д.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
64 ЧИСЕЛ
Если ц есть NqC, то есть N!C и ц(2) есть N2C и т.д. К!С(/‘а) будет
состоять из всех чисел, которые имеют вид для некоторого ц, являю-
щегося элементом NqC (а); т.е.
№С (Га) = Ф {(др.). цеN0C (а). v = ц(1)}.
Второй вид неоднородных кардиналов, которые будут рассматриваться,
называется классом “нисходящих кардиналов”. Это кардиналы, которые пе-
реходят в более низкий тип; т.е. Nc(a)‘P является нисходящим кардиналом,
если а более низкого типа, чем р. Мы полагаем
Nic‘a = Nc‘a П t‘t\ ‘a Df
N2c‘a =Nc‘anr72‘a Df и т.д.
NiC = D‘N1C Df
N2C = D‘N2c Df и т.д.
p,(i) = sm“p,nri‘p Df
p,(2) = sm“p,nr2‘H Df и т.д.
Мы, очевидно, имеем
Noc‘a = Nic‘i“a.
Следовательно,
N0C (a)cNjC(a).
Также
yeNic‘S . э . Nic‘5 = Noc‘y,
откуда
glNjc^.o.Nic^eNoC,
откуда
NjC-^AcNoC.
Поскольку также A ~ 6 NqC (a), то мы находим
N0C = NiC-i‘A,
и это предложение не требует никакой дополнительной типовой определен-
ности, так как оно имеет место, как бы ни вводилась подобная определен-
ность, памятуя при этом, что подобная определенность необходимо введена
таким образом, чтобы обеспечить значимость. Далее, в силу того факта,
что не существует класса, содержащегося в и подобного г‘а, мы имеем
AeNiC (а).
Следовательно,
N1C = N0CUi‘A.
Мы можем доказать точно таким же путем
N2C = N0C U i‘A.
Следовательно,
N!C = N2C,
и этот результат может, очевидно, быть распространен на все нисходящие
кардиналы.
Третий вид неоднородных кардиналов, подлежащих рассмотрению, мо-
жет быть назван “относительные кардиналы”. Это те кардиналы, приме-
нимые к классам отношений, находящиеся к заданному классу в заданном
отношении по типу. Рассмотрим, например, Ыс‘бд‘к. (Мы будем принимать
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1
65
это в качестве определения произведения чисел элементов к.) Предполо-
жим, что к состоит из одного терма; мы хотим иметь возможность сказать
Ыс‘ед‘к = NcTk .
Мы имеем в этом случае, если к = i‘a,
6Д к = J, a“a,
и мы знаем, что j,a“asma. Однако если мы просто полагаем
Nc‘X a“a = Nc‘a,
то наше предложение, хотя и не является ошибочным, требует осторож-
ности при интерпретации. Коль скоро мы полагаем i“a€N1c‘a, то нам хо-
телось бы иметь обозначение, придающее типовую определенность предло-
жению Xa“aeNc‘a. Это обеспечивается так, как следует ниже.
Используя обозначения из *64, полагаем
Nooc‘a = Nc‘a n ffa/a Df
No^a =Nc‘anfroba Df и т.д.
NooC = D‘Nooc Df
N01C = D‘N01c Df и т.д.
P(oo) = sm‘‘pnr7ooVH Df и т.д.
В таком случае мы имеем, например,
i a“a с Го1 ‘а, т.е. X а“а е f/о1 а.
Следовательно, |a“a€No1c‘a, где No1c‘a = Nc‘anr7o1‘a.
Аналогично
xet'a. э . ix“aeNooc‘a.
Таким образом, приведенные выше определения дают нам то, что требу-
ется.
Для того чтобы завершить нашу систему обозначений для типов, мы
нуждаемся в возможности выражения типа области или обратной области
R, или любого отношения, чья область и обратная область находятся к об-
ласти и обратной области R в заданном отношении по типу. Поэтому мы
могли бы положить
do7? = ro‘D‘/? Df
Ьо‘Я = Го‘СГЯ Df
(здесь “Ь” представляет собой зеркальное отражение “d”)
doo7? = f‘(do‘tfTbo‘tf) Df
= t‘R
dmniR = ti(tmidoiR^tniboiR) Df и т.д.
Это обозначение позволило бы нам иметь дело с нисходящими относи-
тельными кардиналами. Однако оно не требуется в настоящей работе и
поэтому не вводится среди занумерованных предложений.
Когда типово неопределенный символ, такой как “sm” или “Nc”, встре-
чается более чем один раз в данном контексте, то не должно предпола-
гаться, если это не требуется условиями значимости, что он получает одну
и ту же типовую детерминацию в каждом случае. Поэтому, например, мы
будем писать “asmр. э . Psmа”, хотя если аир различного типа, то два
символа “sm” должны получать различные типовые детерминации.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
66 ЧИСЕЛ
Формулы, которые являются типово неопределенными или только ча-
стично определенными по отношению к типу, не должны приниматься, ес-
ли не каждая значимая интерпретация является истинной. Поэтому, на-
пример, мы могли бы принять
“ h . aeNc‘a ”
потому, что здесь “Nc” должно означать “Nc(aa)”, так что единственная
сохраняющаяся неопределенность есть таковая по отношению к типу а, и
формула имеет место независимо от типа, к которому а могло бы при-
надлежать, при условии, что “Nc‘a” значимо, т.е. при условии, что а есть
класс. Однако мы не должны из “aeNc‘a” позволить себе вывести
“3!Nc‘a”.
Так как здесь условия значимости более не требуют, чтобы “Nc” означало
“Nc‘(aa)”: оно могло бы также означать “Nc‘(Pa)”« И как мы видели, если
Р более низкого типа, чем а, и а достаточно велик в своем типе48, то мы
могли бы иметь
Nc (Pa)‘a = A,
так что “a!Nc‘a” недопустимо без предварительной проверки. Тем не ме-
нее, как мы увидим в *100, существует определенное число предложений,
которые должны быть сконструированы, о полностью неопределенных Nc
или NC.
48 В оригинале — sufficiently large of its type. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
*100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ 67
100. Определение и элементарные свойства
кардинальных чисел
Краткое содержание *100,
В этом параграфе мы будем иметь дело только с такими непосредствен-
ными следствиями определения кардинальных чисел, которые не требу-
ют типовой определенности, за исключением таковой, которую могли бы
дать неотъемлемые условия значимости. Мы вводим здесь фундаменталь-
ные определения:
*10001. Nc = sS Df
*10002. NC = D‘Nc Df
Определение “Nc” требуется в основном ради дескриптивной функции
Nc‘a. Мы имеем
* 100-1. h . Nc‘a = р (Р sm a) = Р (a sm Р)
Это может быть сформулировано в различных эквивалентных формах,
которые приведены в начале настоящего параграфа (*100-1—16). После
нескольких предложений о Nc, как об отношении, мы переходим к эле-
ментарным свойствам Nc‘a. Мы имеем
* 100-3. h.aeNc‘a
* 100-31. h : а е Nc‘P. = . р е Nc‘a . = . a sm р
* 100-321. h : a sm р . э . Nc‘a = Nc‘p
* 100-33. h: g! Nc‘aП Nc‘P . э . asm P
Мы переходим далее к элементарным свойствам NC. Мы имеем
* 100-4. h : p,eNC . = . (ga). р = Nc‘a
* 100-42. h : р,, v е NC .g!pnv.o.p, = v
* 100-45. h : p, e NC . a e p. э . Nc‘a = p
* 100-51. h : p 6 NC . a e p . э . sm“p = Nc‘a
Заметим, что когда мы имеем такую гипотезу, как “p,eNC”, то р хотя
и может быть любого типа, должен быть некоторого типа; следователь-
но, р не может обладать той же типовой неопределенностью, что и Nc‘a.
Если мы положим p = Nc‘a, то это будет иметь место только в пределах
типа р; однако “sm“p,” есть типово неопределенный символ, который будет
представлять в пределах любого типа то же самое число, что и р,. Поэто-
му “sm“p, = Nc‘a” есть равенство, которое применимо ко всем возможным
типовым детерминациям “sm” и “Nc”.
*100-52. h : peNC . 3! р . z>. sm“peNC
Гипотеза glp, не является необходимой, однако мы пока не можем до-
казать это, откладывая возможность доказательства до *102.
Мы заканчиваем параграф некоторыми предложениями (*100-6—64),
гласящими, что различные классы (такие как i“a), для которых уже было
доказано, что они подобны а, имеют Nc‘a элементов.
*100-01. Nc = snl Df
*100-02. NC = D‘Nc Df
*100-1. I-. Nc‘a = p (p sm a) = 0 (a sm p) [*32-13 . *73-31. (*100-01)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
68 ЧИСЕЛ
*10011. I-. Nc‘a = р ((дЯ) .Ле 1 -4 1. D‘R = a. dR = Р) [*1001. *731]
*10012. F . Nc‘a = 0 {(дЯ) .Яе 1-> 1. ac D7?. 0 = Я“а)
[*100-1. *73-11]
*100-13. F . Nc‘a = G“(l -4 1 n fr‘a) = D“(l -> 1 n fra)
Доказательство.
F. *100-11 . *33-6 . z> F. Nc‘a = £ {(дЯ). R e 1 -»1. R e fr‘a. СГЯ = 0}
[*22-33. *37-6] = Q“(l -> 1 n fra) (1)
F. *100 1 . *73 1 . *33-61 . э F . Nc‘a = 0 ((дЯ).Яе 1 —> 1 .tfefra. СГЯ = 0}
[*22-33. *37-6] = D“(l -»1 n fra) (2)
F . (1) . (2) . э F . Prop
*100-14. КМс‘а = р{(яЯ).асСГЯ.Я [ael -> 1 . p = fl“a] [*73-15 . *100-1]
*100-15. F . Nc‘a = p {(g/?): E !!Я“а: x,y ea .R‘x = R‘y. dxj, . x = y: P = /?“a}
Доказательство.
F. *74-1-11 .э
F E !! 7?“a : x,y ea .Rix = Riy. z>xy . x = y: P = /?“a: = :
R Гae 1 -> Cis .acGJ?.R [ ae 1 -> 1. P = 7?“a (1)
F. (1). *4-71 . *100-14 . э F. Prop
*100-16. F . Nc‘a = p {(g/?)x,y ea. oXJ : R‘x = R‘y. = . x-yp = R“a]
Доказательство.
F . *71-59 . э
F :: x9y ea. z>XJ -.Rix = R‘y . = .x = y:. = ./?fael —> l.ac Q7? (1)
F. (1). *100-14 . э F. Prop
*100-2. F.E!Nc‘a [*32-12. (*100-01)]
*100-21. F.Q‘Nc = Cls
Доказательство.
F . *37-76 . (*100-01). э F . CTNc c Cis (1)
F . *33-431 . *100-2 . oF.ClscCTNc (2)
F . (1) . (2) . э F . Prop
*100-22. F . Nc e 1 -> Cis [*72-12 . (*100-01)]
*100-3. F.aeNc‘a [*73-3. *100-1]
Заметим, что ошибочно выводить g!Nc‘a по причинам, разъясненным
во Введении к настоящей главе.
*100-31. F: a е Nc‘p . = . р е Nc‘a. =. a sm р [*32-18 . *73-31. (*100-01)]
*100-32. F: a е Nc‘P . p e Nc‘y. э . a e Nc‘y [*100-31. *73-32]
*100-321. F : a sm p . э . Nc‘a = Nc‘P
Доказательство.
F . *73-37 . э F Hp. э : у sm a. =Y . у sm p :
[*100-1] э : Nc‘a = Nc‘P э F . Prop
Заметим, что Nc‘a = Nc‘P. э . asm p не всегда истинно. Мы могли бы
поддаться искушению доказать это следующим образом:
F . *100-1 . э F Nc‘a. = Nc‘P. = : у sm a. =Y . у sm р :
[*10-1] э : a sm a. = . a sm P:
[*73-3] э: asmP
Principia Mathematica II
♦ 100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ 69
Однако использование *104 здесь является легитимным, только ко-
гда рассматриваемый “sm” является однородным отношением. Если Nc‘a,
Nc‘p есть нисходящие кардиналы, то мы могли бы иметь Nc‘a = А = Nc‘p
без asmp.
*100-33. h : з! Nc‘a A Nc‘P . э . a sm Р
Доказательство.
h . *100-1 . э h : Нр . э . (ay). у sm a . у sm P.
[*73-31] э . (эу). a sm у. у sm P.
[*73-32] э. a sm p: э F . Prop
Заметим, что мы не всегда имеем
a sm Р . э . а! Nc‘a П Nc‘P .
Так как если рассматриваемое Nc есть нисходящее Nc, и а и Р являются
достаточно высокими, то Nc‘a и Nc‘p могли бы оба быть А. Например,
мы имеем
СГ(а U - a) sm СГ(а U — а).
Однако Nc (а)‘С1 (a U - а) = А, так что
~ 3! Nc (а)‘СГ(а и - a) A Nc (а)‘СГ(а и - а).
Поэтому “asm р . э . 3! Nc‘a П Nc‘P” не всегда истинно, когда значимо.
*100-34. h : а Nc‘a A Nc‘p . z>. Nc‘a = Nc‘p [*100-33-321]
*100-35. F а • Nc‘a. V . а! Nc‘P : э :
Nc‘a = Nc‘P. = . aeNc‘P . = . P eNc‘a. = . asm P
Доказательство.
h . *22-5 . эНр. э : Nc‘a = Nc‘P .0.3! Nc‘a A Nc‘p .
[*100-33] D.asmP (1)
h.(1). *100-321 . э Нр. э :Nc‘a = Nc‘P . = . asmp (2)
h . (2). *100-31 . э К Prop
Поэтому единственный случай, в котором импликация в *100-321-33-34
не может быть заменена эквивалентностью, есть случай, в котором Nc‘a
и Nc‘p оба есть А.
*100-36. Н. р е Nc‘a .э:а!а. = .а!р [*100-31. *73-36]
*100-4. F : ц е NC . = . (а«) • Ц = Nc‘a [*37-78-79 . (*100-02-01)]
*100-41. h . Nc‘a e NC [*100-4-2 . *14-204]
*100-42. I-: ц,veNC .a’H^v.D.p, = v
Доказательство.
h . *100-4 .oh: Нр. э . (aa, P). (i = Nc‘a. v - Nc‘P . 3! Nc‘a A Nc‘P .
[*100-34] э . (aa, P). ц = Nc‘a. v = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P .
[*14-15] э . ц = v : э h . Prop
*100-43. h .NCeCis2excl [*100-42 . *84-11]
*100-44. h ц e NC . 3! Nc‘a . э : a e |i . = . Nc‘a = ц
Доказательство.
h . *100-3 .oh: Nc‘a = (i. э . a e ц
h . *10-24 . э h : ц 6 NC . 3! Nc‘a . a e ц . э .
p,eNC . а - H • Э - Nc‘a. аец.
(1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
70 ЧИСЕЛ
[*100-4] э . (аР). ц = Nc‘0 . g! Nc‘P. 3! Nc‘a. aeNc‘0 .
[*100-35]d . (а P). p = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P.
[*14-15] o.Nc‘a = p (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*100-45. F: p e NC . a e p. э . Nc‘a = p [*100-4-31-321]
*100-5. F : p e NC . a, P 6 p. э . a sm P
Доказательство.
F . *100-4 . э F: Нр . э . (ау) • p = Nc‘y. a, P e Nc‘y.
[*100-31] э. (ay). a sm у. P sm у.
[*73-31-32] э . a sm P : э F . Prop
*100-51. F : peNC .aep.D. sm“p = Nc‘a
Доказательство.
F . *100-5 . Fact .DF:.Hp.D:P6p.ysmp.D.asmp.ysmp.
[*73-31-32] o.asmy.
[*100-31] z>.yeNc‘a (1)
F. (1). *10-11-21-23 . *37-1 .эННр. э.зт“цсNc‘a (2)
F . *100-31. э F:. Нр . э : у 6 Nc‘a. э . у sm a . a e p .
[*37-1] D.yesm“p (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*100-511. F: 3! Nc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘P
Здесь последнее “Nc‘P” могло бы принадлежать отличному от других
типу: предложение имеет место, как бы ни был детерминирован его тип.
Доказательство.
I-. *100-51-41. э F : aeNc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘a
[*100-31-321] =Nc‘P (1)
F. (2). *10-11-23. dF. Prop
*100-52. F : peNC . g! p. э . sm“peNC [*100-51-4]
Это предложение все еще имеет место, когда р = А, однако доказатель-
ство является более сложным, так как оно зависит от доказательства того,
что каждый нуль-класс классов есть некоторый NC, что в свою очередь
зависит от доказательства того, что СГа не подобен а или любому классу,
содержащемуся в а.
*100-521. F : peNC . 3! sm“p. э . sm“sm“p = р
Доказательство.
F . *37-29 . Transp . э F:. Нр. э : а! р:
[*100-52] э : sm“peNC :
[*100-51 .Нр] D:y6sm“p.D.sm“sm“p = Nc‘y (1)
F . *37-1. Fact. э F : Нр.у 6sm“p. э . (за). аер. peNC .у sma.
[*100-45-321] э . (за). Nc‘a = р. Nc‘y = Nc‘a .
[*13-17] э . Nc‘y = p (2)
F . (1). (2). э F :. Нр . у esm“p. э . sm“sm“p = p (3)
F . (3). *10-11-23-35 . э F . Prop
Principia Mathematica II
*100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ 71
*100-53. h 3! ц. з! v. э: peNC . v = sm“p,. = . veNC . ц = sm“v
Доказательство.
I-. *100-52 . oh:. Hp. э: ^eNC . v = sm“p. э . veNC (1)
h . *100-521. э h:. Hp. э : p,eNC . v - sm“p, . d . |i = sm“v (2)
h . (1). (2). oh Hp. э: ^eNC . v - sm“p,. э . veNC . ц - sm“v (3)
h . (Э). (3)^ -oh. Prop
*100-6. h.i“a6Nc‘a
*100-61. b . 0 {(3^). у e a. 0 = i‘x U iAy} e Nc‘a
*100-62. h . x J/‘a6Nc‘a
*100-621. h . J,x“ct6Nc‘a
*100-63. h . бдЧ‘а e Nc‘a
*100-631. h . В“бдЧ‘абМс‘а
*100-64. Ь : кe Cis2excl. э . В“ед‘кс Nc‘k
[*73-41 .*100-31]
[*73-27 . *54-21 . *100-31]
[*73-61 .*100-31]
[*73-611 .*100-31]
[*83-41 .*100-31]
[*83-7. *100-6]
Доказательство.
h . *84-3 . *80-14 . э h : Hp./?ббд‘к. э . R e 1 -► 1 . к = СГЯ .
[*73-2 . *100-31] э . D7?eNc‘k: oh . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
72 чисел
*101. О 0, 1 и 2
Краткое содержание *101.
В настоящем параграфе мы должны показать, что 0, 1 и 2, как было
определено ранее, являются кардинальными числами в том самом смыс-
ле, который был определен в *100, и добавить несколько элементарных
предложений к тем, касающимся их предложениям, которые уже были да-
ны. Мы доказываем (*101-12-241), что 0 и 1 не есть нуль, что не может
быть доказано с нашими аксиомами для любого другого кардинала, исклю-
чая (в случае финитных кардиналов) возможность, когда тип специфициро-
ван как достаточно высокий. Таким образом, мы доказываем (*101-42-43),
что 2cis и 2й,е1 существуют; это следует из и A=#V. Мы доказываем
(*101-22-34), что 0, 1 и 2 все отличаются друг от друга. Мы доказываем
(*101-15-28), что sm“0 = 0 и sm“l = l, однако мы не можем доказать, что
sm“2 = 2, если мы не предполагаем существования, по крайней мере, двух
индивидов, или определяем сначала 2 в “sm“2 = 2” как 2 некоторого типа,
отличного от 2indiv, где “Indiv” есть тип индивидов.
Следует заметить, что так как 0, 1 и 2 типово неопределенны, то их
свойства аналогичны свойствам “Nc‘a” в большей мере, чем свойствам ц,
где peNC. Например, мы имеем
*100-511. F : з! Nc‘P. э . sm“Nc‘P = Nc‘fJ
но мы не будем иметь
p.cNC . g! ц. э. sm“p, = ц,
если встречающийся здесь символ “sm” является однородным, так как
в иных случаях эти символы не выражают значимого предложения. Тем не
менее в *100-511 возможна подстановка 0, 1 или 2, и предложение при этом
остается значимым и истинным. В действительности мы имеем (*101-1-2-31)
I-. 0 = Nc‘A. 1 = Nc i‘x. 2 = Nc‘(iTx U i‘A),
где 0, 1 и 2 обладают неопределенностью, соответствующей неопределен-
ности символа “Nc”.
*101-1. F.0 = Nc‘A [*73-48. *100-1]
*101-11. F.OeNC [*101-1. *100-4]
*101-12. F.g!O [*51-161. (*54-01)]
*101-13. F . g! 0 П СГа. A e 0 П Cl‘a [*51-16 . *60-3]
*101-14. F : Nc‘y = 0. = . у = A
Доказательство.
F . *101-1-12 . э F: Nc‘y = 0 . = . Nc‘y = Nc‘A . 3! Nc‘A.
[*13-194] = . Nc‘y = Nc‘A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y •
[*100-35] = . у eNc‘A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y •
[*101-1. *54-102] = . у = A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y.
[*101-1-12. *13-194] = . у = A: э F . Prop
*101-15. F.sm“0 = 0
Доказательство.
F . *37-1. э F : y6sm“0. = . (3a).acO.ysma.
Principia Mathematica II
*101. О 0. 1 и 2
73
[*54-102] = . ysmA.
[*73-48] = . у e 0: э К Prop
*101-16. I-^ieNC - i‘0 . d : aep. эа . 3! a
Доказательство.
F . *100-45 . э F : p e NC . Л e ц. э . p = Nc‘A
[*101-1] = 0 (1)
F.(1). Transp . d F ц e NC - i‘0. э : Л ~ e ц :
[*24-63] э : йец. эа . g! aэ F . Prop
*101-17. F : AeNc‘q . = . Nc‘a = 0. = . Nc‘a = Nc‘A. = . a = A
Доказательство.
F . *100-31-321. э h : A e Nc‘a. э . Nc‘a = Nc‘A.
[*101-l] э . Nc‘a = 0 (1)
1-. *101-13. э F : Nc‘a = 0 . э . AeNc‘q (2)
h.(l).(2). э F : AeNc‘a . = . Nc‘a = 0 (3)
[*101-1] = . Nc‘a = Nc‘A . (4)
[*101-14] = . a = A (5)
F . (3). (4). (5). э F . Prop
*101-2. F. 1 = NcTjc [*73-45 . *100-1]
*101-21. F.IeNC [*101-2 . *100-4]
*101-22. F.1/0
Доказательство.
F . *52-21. *101-13 .z>F.A~e1.Ae0.
[*13-14] dF.1/0
*101-23. h.lnO = A
Доказательство.
F . *52-21. Dhael.D.a/A.
[*54-102] d.o-eO (1)
F.(1). *24-39 . э F . Prop
*101-24. F : g! a. э . g! 1 n Cl‘a
Доказательство.
F . *52-22 . *60-6 . э F : xeq . э . l‘xe 1 А СГа (1)
F. (1). *10-11-28 . э F. Prop
*101-241. F:g! 1 [*52-23]
*101-25. F:aEl.pca.p/a.o.pE0
Доказательство.
F . *52-64. *22-621 .э h:ae1.p c a.э.₽€ 1 U0 (1)
F . *52-46 . DF:a,pEl.pca.D.p = a:
[Transp] DF:a€l.pca.p/a.D.p~€l (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*101-26. F . .у‘СГ‘1 =0u I
Доказательство.
F . *60-371. *40-43 . э F. s‘Cl“l cOU 1 (1)
F . *60-3-34. э F . Л e С1Ч‘х. Cx e CITx.
[*52-22 . *40-4] э F . Ле.у‘СГ‘1 . i‘xes‘C1“1 .
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
74 ЧИСЕЛ
[*51-2 . *52-1]э F. О с 5‘С1“1. 1 с л‘С1“1 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*101-27. F . 1 = a {(gx). х е а . а - i‘x е 0}
Доказательство.
F . *54-102 . э
F : (эх) .xea.a-i‘xe0. = . (gx). хе а. а - i‘x = А .
[*24-3] = . (gx). х е а. а с i/x.
[*51-2] = . (gx). а = i‘x.
[*52-1] = . а е 1: э F . Prop
*101-28. F.sm“l = l
Доказательство.
F . *37-1. э F : Y6sm“l. = . (ga). ae 1 . ysma.
[*52-1] = . (gx). у sm t‘x.
[*73-45] = . y 1: э h . Prop
*101-29. F : i‘xeNc‘a. = . Nc‘a = 1. = . Nc‘a = Nc‘i‘x. = . ae 1
Доказательство.
F . *100-31-321. э F: i‘xeNc‘a . э . Nc‘a = Nc‘i‘x.
[*101-2] o.Nc‘a=l (1)
F. *52-22. э F : Nc‘a = 1 . э . i‘xeNc‘a (2)
F . (1). (2). э F: i‘xeNc‘a . = . Nc‘a = 1. (3)
[*101-2] = . Nc‘a = Nc‘i‘x (4)
F. *101-2. *52-1. э F : ae 1. э . Nc‘a = 1 (5)
F . *100-3. э F : Nc‘a = 1 . э . a e 1 (6)
F . (3). (4). (5). (6). э F . Prop
*101-3. F : x / у . э . 2 = Nc‘(i‘x U i‘y)
Доказательство.
F . *73-71-43. *51-231. э F:. Hp. э: z / w. z>. (i‘z U i‘w) sm(i‘xU i‘y):
[*54-101] э: P e 2. э. P sm (i‘x U i‘y):
[*100-1] d:2cNc‘(l‘xUl‘y) (1)
h. *53-32.*71-163.oh:/?el 1 .xjed‘/?.D.^u(L‘xUi‘y) = iTxUi‘/?‘y (2)
F. *71-56. Transp. oF:Hp./? el -4 1. x,ye CI 7?. э .R'x^R'y (3)
F. (2). (3). *54-26. oh :.Hp. э :Re 1 -4 1. x,ye CI 7?. P = /?“(i‘xUi‘y). d. Pe2:
[*10-11-21-23. *51-234] э: (gfl). Re 1 -► 1. i‘xU i‘y c (TR. p = /T(i‘xU i‘y).
э.ре2:
[*73-12. *100-1] э: Nc‘(i‘xU i‘y) c 2 (4)
F. (1). (4).dF .Prop
*101-301. F . 2 = a {(gx). xea . a - i‘xe 1 [*54-3]
Сравнивая *101-31 c *101-1-2-3, следует заметить, что i‘x и А оба явля-
ются классами, в то время как в *101-1-2-3 не было ограничений по типу,
кроме ограничений, наложенных условиями значимости.
*101-31. F . 2 = Nc‘(i‘i‘x U i‘A)
Доказательство.
F. *51-161. dF.i‘x/A (1)
F . (1). *101-3 . э F . Prop
Principia Mathematica II
• 101. О 0, 1 и 2
75
*101-32. H2eNC [*101-31. *100-4]
*101-33. На, 0el.an|3 = A.z >.аи|}б2 [*54-43]
*101-34. Н 2/0.2/1 Доказательство. Н *101-13. э F. ЛеО (1)
1-. *101-301. [*24-63] DF:ae2.D.a!a: э F . Л~б2 (2)
1-. (1). (2). *13-14 dF.2/0 (3)
h . *52-22 . *54-26. [*13-14] *22-56 . э F . t‘y с 1 . i‘y ~ е 2. dF.1/2 (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*101-35. F.2nO = A.2nl=A [*100-42 . Transp. *101-ll-21-32-34]
*101-36. Ь:аб2.рса.р/а.э.Рб0и1
Доказательство.
F . *54-42 . э1-:аб2.рса.э!р.р/а.э.ре1 (1)
F. *54-102. DH-glp.D.peO (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*101-37. F . $‘Cl“2c0U 1 U2 [*54-411]
*101-38. Нд!2.э..у‘СГ‘2 = 0и 1 U2
Доказательство.
F.*60-3. э F : Нр . э . (да). ae2 . ЛеСГа .
[*40-4] z>.Aes‘Cl“2.
[*51-2] э.Ос.у‘СГ‘2 (1)
I-. *60-34. z>h.2c j‘Cl“2 Ь . *54-101. э H: Нр. э(gx,y). x/y:. (2)
[*13-171. Transp] э(gx,y)(z): z / x. V . z / у:. [*54-26] z>(gx,y)(z): i‘zU i‘xe2. V . i‘zU i‘ye2 [*11-26. *22-58] э (z)(да, P): ae2. I'zeCl'a.V.pe2. i‘zeCl‘p:. [*40-4] э (z). i‘zes‘Cl“2:. [*52-1] d:. las‘Cl“2 1-. (1). (2). (3). *101-37 .oh. Prop (3)
* 101-4. F : (ax, y). x / у. = . a! 2
Доказательство.
F . *54-26 . z>F:x/y.D.a!2:
[*11-11-35] э h : (ax,y). x/y. э . a! 2 (1)
F . *54-101. э F : a e 2 . э . (ax, у). x / у:
[*10-11-23] oh: a’. 2.э.(ах,у).х/у (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Когда мы рассматриваем низший тип, встречающийся в контексте, то
наших посылок недостаточно, чтобы доказать (эх,у).х/у. Для каждого
другого типа49 это может быть доказано. Таким образом, Л/V и A/V
дают требуемый результат для классов и отношений соответственно.
49 Имеется в виду любой другой тип, отличный от самого низшего. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
76 ЧИСЕЛ
* 101-41. h : (gx). i‘x / V. = . g! 2
Доказательство.
h . *24-14 . Transp . э
h (gx). i‘x / V. = : (gx): (gy). у ~ e i‘x:
[*51-15] = '(№,у).х}у.
[*101-4] = : g! 2 э h . Prop
* 101-42. h . g! 2cis • t4A U l‘V 6 2qs
Доказательство.
h . *20-41. *24-1. э h . A, V e Cis . A / V
h . (1). *54-26 . э h . t‘A U i‘V e 2 . i‘A U i‘V c Cis.
[*63-371-105] эН i‘AUi‘Ve2 П f Cis.
[(*65-01)] э h . i‘A U t‘V e 2cis .oh. Prop
*101-43. h . g! 2Re> [Доказательство аналогично *101-42]
(1)
Principia Mathematica II
102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
77
*102. О кардинальных числах заданных типов
Краткое содержание *102.
В этом параграфе мы будем рассматривать типово определенное отно-
шение “Nc”, т.е. мы будем рассматривать отношение класса ц тех клас-
сов у, которые подобны S и принадлежат тому же самому типу, что и а,
к классу S, который задан как класс, принадлежащий тому же самому
типу, что и р. Мы будем полагать, что
H = Nc (ар)‘6,
yeNc (ар)‘5,
у sm(a,p)S,
и класс всех таких чисел, как ц, для заданных аир мы будем называть
NCP (a), так что
NC₽ (a) = D‘Nc(ap).
Обозначения, вводимые здесь для придания типовой определенности
символам “sm” и “Nc”, являются таковыми, определенными в *65 для лю-
бого типово неопределенного отношения.
На основании *63-01-02 мы имеем, что если а является типово неопре-
деленным символом, то
h . ах = а П Г‘х,
h . a (х) = a П fi‘x.
Таким образом, I-. a (х) = at‘X. Если мы применим данное определение
к 1, то “ 1Х” не имеет смысла, если х не является классом; мы поэтому
вместо х пишем греческую букву и имеем
К 1р= 1 ПГ‘р= 1 n(i‘pU-i‘p).
Если хер, то мы будем иметь i‘x = Р . V . i‘x / ~ р. Следовательно,
h : хе Р. э . i‘xe 1р.
Аналогично
И : х ~ е р . z>. i‘xe 1р.
Поэтому
h : хбГо‘Р • э • 1р.
Обратная импликация также имеет место, так что
h : хбГо‘Р • = • 1р.
Следовательно, 1р составлено из всех единичных классов, единственные
элементы х которых либо являются, либо не являются элементами Р, т.е.
для которых “хер” значимо.
В “хеГо‘Р • э . С хе 1р” гипотеза дает всегда, когда это требуется, явное
условие значимости; таким образом, “i/xelp” всегда истинно, когда значи-
мо, и всегда значимо, когда хсГо‘Р- По поводу интерпретации отрицания
утверждений, касающихся типов, см. замечание в конце этого параграфа.
Следует отметить, что все постоянные отношения, представленные
в данной работе, являются типово неопределенными. Рассмотрим, напри-
мер, A, sg, 5, 5, /, и, е, Cl и <R. Все они обладают большей или меньшей
типовой неопределенностью, однако все они обладают тем, что мы будем
называть относительной типовой определенностью, т.е. когда задан тип
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
78 чисел
релятива, то также задан и тип референта. (По отношению к D неспра-
ведливо, что, наоборот, когда тип референта задан, то также задан и тип
релятива.) Однако символы “sm” и “Nc” не обладают даже относитель-
ной определенностью. Когда тип релятива задан, тип референта становится
не более определенным, чем ранее; единственное ограничение есть: реля-
тив для “sm” или “Nc” должен быть классом, референт для “sm” должен
быть классом, и референт для “Nc” должен быть классом классов. Когда
отношение R обладает относительной определенностью, достаточно зафик-
сировать тип релятива; и если к тому же R е 1 э Cis, так что R приводит
к дескриптивной функции, то “7?‘у” обладает полной типовой определен-
ностью, как только тип у задан. Постоянные отношения, введенные до на-
стоящего момента, за исключением “sm” и “V”, все являлись отношения-
ми один—много и использовались почти исключительно в форме дескрип-
тивных функций. Следовательно, не требовалось специального обозначения
для задания типовой определенности, так как “Я‘у” при этих обстоятель-
ствах обладает типовой определенностью, как только у предписано. Но при
рассмотрении “sm” и “Nc”, которые не обладают даже относительной опре-
деленностью, становятся необходимыми явные средства задания типовой
определенности. Следует заметить, однако, что “Nc‘5” обладает типовой
определенностью, когда 5 известен, поскольку область “Nc” обладает ти-
повой определенностью, так как 5 должен принадлежать обратной области.
Ради этого и подобных случаев мы ввели два определения в *65, которые
лишь придают типовую определенность области.
В силу определений из *65, если R есть типово неопределенное отно-
шение и х есть референт, то R становится Rx; если к тому же у есть ре-
лятив, то R становится R(x,y)- Если х есть референт для R, то мы имеем
и 7?‘y6D‘7?. Поэтому D‘7? обладает элементом типа, следую-
щего более высокого, чем тип х, т.е. типа i‘x. Таким образом,
Ksg‘(/?x) = (^)(x)
И
I- • sg‘|/?u,?)( = (7?) (ху),
как было доказано в *65. Следовательно, в частности,
I-. sg‘(sm(a>₽)) = Nc (a₽).
Главным образом по этой причине и стоит ввести определение R(xy).
В силу сказанного выше мы имеем, как будет доказано в *102-46, что
h : у е fa. 5 е . у sm 5 . = . у е Nc (ap)‘5.
Что касается “Nc(a)”, которое интерпретируется посредством *65 04,
необходима некоторая предосторожность. Он будет означать некоторое од-
но из тех типово различных отношений, называемых “Nc”, которые обла-
дают областями, состоящими из термов того же самого типа, что и а. Од-
нако это не означает логической суммы всех таких отношений, так как эти
отношения являются отношениями различных типов соответственно тому,
как различаются по типу их обратные области, и поэтому их логическая
Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
79
сумма не имеет смысла. Поэтому, например, если тип (3 ниже или равен
типу а, то мы будем иметь
h.glNc (а)‘Р,
откуда, если “Nc(a)” имеет своей обратной областью область, состоящую
из термов того же самого типа, что и р, то
h.A~eD‘Nc (a).
Однако если р более высокого типа, чем а, то мы найдем, что
h.AeD‘Nc (a).
Поэтому “Nc(a)” никоим образом не детерминировано.
В точности такие же замечания применимы к NC (а). Мы имеем
h.NC (a) = D‘Nc (а);
поэтому “NC(a)” наряду с “Nc(a)” является неопределенным. Проблема
состоит в том, зависит ли “AeNC(a)” от разрешения указанной неопреде-
ленности. Трудность состоит в том, что “NC(a)” обозначает область любо-
го одного детерминирования “Nc”, которое обладает областью, состоящей
из объектов типа i‘a; однако она являётся областью лишь одного подобно-
го детерминирования “Nc”, так как различные детерминирования облада-
ют различными типами и поэтому не могут быть сведены воедино, даже
когда их области все обладают одним и тем же типом. Вследствие указан-
ной неопределенности “NC(a)” представляет собой символ, который, как
правило, лучше всего избегать, а “Nc(a)” редко оказывается полезным, ис-
ключая его появление в качестве дескриптивной функции, и в этом случае
релятив обеспечивает необходимую типовую определенность.
Особенность символа “NC(a)” состоит в том, что он типово опреде-
ленный, и еще в способности иметь различный смысл: он не определен
в целом, будучи определен как область отношения, чья обратная область
является типово неопределенной. В результате мы не можем с пользой для
дела сделать “NC” полу-определенным, как “NC(a)”, однако мы должны
сделать его полностью определенным, как мы делаем, принимая D‘Nc(ap).
С этой целью мы принимаем обозначение NC^ (а). Мы не можем принять
ни обозначение NC (ар), так как оно вступило бы в конфликт с *65-11, ни
обозначение NC(a)p, поскольку это привело бы к конфликту с *65-01, ни
NCp (а) по той же самой причине. Но NC^ (а) не обладает ранее определен-
ным смыслом. Мы можем, если пожелаем, трактовать NC^ как D‘(Nc Г г‘р).
В таком случае требуемый смысл “NC^(a)” проистекал бы из *65-04. Од-
нако так как таким образом определенный символ NC^ не требуется, то
проще трактовать “NC^(a)” как единый символ. Мы поэтому полагаем
*102-01. NCp (a) = D‘Nc (ap) Df
Настоящий параграф начинается с различных предложений (*102-2—27)
о типово определенном отношении подобия, т.е. sm(a,p). Мы затем имеем
набор предложений (*102-3—46) о “Nc(ap)‘d”. Он значим, только если (3 и
б одного и того же типа; в таком случае он обозначает класс тех классов,
которые подобны б и принадлежат тому же самому типу, что и а. Затем
мы имеем предложения (*102-5—64) о NC^ (а), т.е. о кардиналах, состоя-
щих из классов того же самого типа, что и а, которые подобны классам
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
80 ЧИСЕЛ
того же самого типа, что и [3. Потом мы доказываем (*102-71—75), что нет
подкласса класса а, подобного СГа, и поэтому (подставляя fo‘a вместо а)
нет класса того же самого типа, что и а, подобного fa, и поэтому
*102-74. h.AeNCfa(a)
Этим доказывается, что А есть кардинал, что представляет собой посто-
янно требуемое предложение. Оставшиеся предложения *102 имеют дело
с sm“p,, где р, есть типово определенный кардинал.
Наиболее полезными предложениями этого параграфа (не считая
*102-74) являются следующие:
*102-3. h : у sm(a>p)d . = .у е Nc (ap)‘y
*102-46. h : у е Nc (ap)‘d . = . d е Nc (pa)‘y • = • У sm 5 . у e f a . 5 e f 0
*102-5. I-: Ц e NC₽ (a). = . (g6). p = Nc (a₽)‘5
*102-6. h . Nc (a)‘p = Nc (ap)‘0 = у (y sm p . у e fa) = Nc‘p Cl fa
*102-72. h : P с a. э . ~ (P sm СГа)
Это предложение используется при доказательстве peNC . э . 2И> ц, что
представляет собой предложение, из которого Кантор дедуктивно вывел,
что не существует наибольшего кардинала. (Если p = Nc‘a, то 2H = Nc‘Cl‘a,
и поэтому происходит повышение типа.)
*102-84. h : (gy). у sm a . у е f a . 6 sm у. = . d sm a
*102 85. h . sm“|i П f P = smp“p
*102-01. NC₽ (a) = D‘Nc (a₽) Df
*102-11. I-: Re 1 -> 1. z>. Я(х.у) e 1 (x) -> 1 (у)
Здесь, если R есть реальная переменная, то условия значимости требу-
ют R = R(Xy). Однако если R есть типово неопределенная постоянная, такая
как /, А или sg, то есть типово определенная постоянная. Главным
образом для таких случаев предложения, подобные приведенному выше,
оказываются полезными.
Доказательство.
1-. *37-402 . (*65-1) . эк. D‘R(X,y) c t‘x.
[*33-15] эН {sg‘.R(x,y))‘zcf‘x.
[*63-5] ol-.{sg‘/?(Xiy)}‘zef/‘x (1)
1-. (1). *71-102 . э 1-: Hp. z f. QlR(Xty). э. {sg‘/?(x>J,)}‘z eld t‘tlx.
[(*65-02)] э • {sg4tf(x,y)}‘Z€ 1 (x) (2)
Аналогично 1-: Hp . w€D‘fl(x,y). э. 1 (y) (3)
1-. (2). (3). *70-1.: Э I- . Prop
*102-13. h : Re 1 -»1. э . Rx е 1 (х) -» 1 [Доказательство, как и в *102-11]
*102-2. h : у sm(a>p)d . = . у sm д . у е f a . 5 е f р [*35-102 . (*65-1)]
*102-21. h : у sm(a>p)6 . = . (3/?). R е 1 1. D‘7? е fa .
(TR e f p. D‘tf = у. (TR = 6 [*102-2 . *73-1]
*102-22. h : у sm (x, у) 5 . = . у sm 6 . у c Гх. 5 c t‘y [*63-5 . (*65-12)]
*102-23. h : у sm (x, y) 5 . = . (3Я). € 1 —> 1 . D‘7? c f x.
ttlR с Гу. D‘fl = у. СГЯ = 6 [*102-22 . *73-1]
Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
81
*102-24. к:зт(х,у)8.в.(дЯ).Я€ 1 (х)^ 1 (у). О‘Я = у • СГЯ = 8
Доказательство.
к . *102-23. *40-5-52-43. *37-25 . э
I-ysm(x,y) 8. в : (дЯ) :Яе 1 —»1 : we СТ Я
zeD‘/?. эг. *R‘za.t‘y: D‘R = у. d‘R-b:
[*63-5] = : (дЯ): Я e 1 -> 1 .^“СГЯ c tTx. c t‘t‘y.
О‘Я = у.6‘Я = 8:
[*71-102 . (*65-02)] S : (дЯ) .^“d‘R с 1 (x). )Г“О‘Я с 1 (у). О‘Я = у. d‘R = 8:
[*70-1] = : (аЯ). Я e 1 (x) —»1 (у). В‘Я = у. О‘Я = 8э I-. Prop
*102-25. к : у sm(a,p)8 . =. (дЯ). Я е 1а -> 1р . О‘Я = у. СГЯ = 8
[Доказательство аналогично *102-24]
*102-26. I-: у sm(a>p)8. у' sm<a,p)8 . э . у sm(a,a) у'
Доказательство.
I-. *102-2. э I-: Нр . э. у sm 8. у' sm 8 . у, у' е t‘a.
[*73-32] z>.ysmy'.y,y'er‘a.
[*102-2] э . у sm(a,a) у': э Ь . Prop
*102-27. k : у sm(a p)8. у'sm(a',p)8. z>. у sm(aa-) у' [Док-во, как и в *102-26]
*102-3. F : у sm(a.p)8. =. у eNc (ap)‘8
Доказательство.
I-. *32-18. э
Ь: у sm(a,p)8. = . у е {sg‘sm(a,p)}‘8.
[*65-2] =.ye((sg‘sm)(ap))‘8.
[(*100-01)] = . yeNc(ap)‘8: эI-. Prop
*102-31. I-. Nc(ap)‘8 = D“{1 -> 1 ЛЯ (О‘ЯеРа. СГЯеГ‘0 . СГЯ = 8)}
Доказательство.
I-. *102-3-21. э
I-: yeNc(ap)‘8. = . (дЯ) .Яе 1 —>1 . D‘Ret‘a. d‘Ret‘0. D7? = y. Q‘R = 8.
[*65-2] =. у e ((sg‘sm) (a₽)} ‘8.
[*33-123. *37-1] B.yeD“(l -> 1 ПЯ (D‘Refa. СГЯеГ‘0. СГЯ = 8)): э I-. Prop
*102-32. I-. Nc (ap)‘8 = D“{(la Ip) Л &‘8)
Доказательство.
I-. *102-3-25. э
I-: у eNc(ap)‘8. = . (дЯ). Яе la —> Ip . О‘Я = у. С‘Я = 8 .
[*33-61] в.(дЯ).Яе1а-> Ip .Яе£гб.О‘Я = у.
[*33-123. *37-1] н . у e D“{(la —»Ip) Л &‘8(: э I-. Prop
*102-34. I-. Nc (a, 0)‘8 = D“(l -> 1 Л Я (D7? e t‘a. О‘Я c t‘0. СРЯ = 8))
[Доказательство аналогично *102-31]
*102-35. I-. Nc (a, 0)‘8 = D“[{la -♦ 1 (0)} Л &‘8] [Док-во, как и в *102-32]
*102-36. HE!Nc(ap)‘8 [*102-31. *14-21]
Это предложение истинно всегда, когда значимо, и значимо всегда, ко-
гда defp. Когда д принадлежит некоторому другому типу, приведенное
выше предложение не является значимым.
*102-361. h . Е ! Nc (a, 0)‘d [*102-34. *14-21]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
82 ЧИСЕЛ
*102-37. h . (TNc (ар) = Гр
Доказательство.
I-. *37-402. (*65-11). э F. Q‘Nc (ap) с Гр 1-. *102-36. *33-43 . э 1-. (6). 6 е CTNc (ap). [*63-14] э1-. Zo‘CTNc (ap) = CTNc (ap) 1-. (1). *63-21. =>H.Z0‘a‘Nc(ap) = r‘p F . (2). (3). э F . Prop (1) (2) (3)
*1024. h : у e Nc (ap)‘6 . y' e Nc (ap)‘6 . о . у e Nc (aa)‘y' [*102-3-26]
*102-41. *10242. *102-43. h : у eNc(ap)‘6 . y' eNc (a'p)‘6 . о . у eNc (аа,)‘у' h . a e Nc (aa)‘a [*102-3-2 . *73-3 . *63-103] h.g!Nc(aa)‘a [*102-42] [*102-3-27]
Этот вывод легитимен, поскольку, когда а задано, “Nc (aa)‘a” обычно
определено. Вывод “g! Nc‘a” из “aeNc‘a” (которое истинно) несправедлив,
поскольку “g!Nc‘a” может иметь место только для некоторых из возмож-
ных детерминаций неопределенности “Nc”.
*102-44. h : a sm p . = . a e Nc (ap)‘P . = . p e Nc (pa)‘a
Доказательство.
h . *63-102 . э
h : a sm p. = . a sm p . a e f a . p e f p (1)
h. (1). *102-2-3 .oh. Prop
*102-45. h : у e Nc (ap)‘6 . о . у e Nc (aa)‘y
Доказательство.
h . *102-3-2 .oh: Нр . о . у e f a (1)
h . *73-3. oh.ysmy (2)
h . (1). (2). *102-3-2 .oh. Prop
* 102-46. h: у eNc (ap)‘6 . = . 6 eNc(Pa)‘y. = . у sm6 . у efa . 6‘P
[*102-2-3. *73-31]
* 102-5. l-:n€NC₽(a).s.(a6).n = Nc(ap)‘S [*100-22. *71-41. (*102-01)]
При использовании предложений, подобных тем из *100, в которых
мы имеем типово неопределенные “Nc” или “NC”, любая значимая ти-
повая определенность может быть добавлена, поскольку, когда утвер-
ждается типово неопределенное предложение, это включает утверждение
каждого возможного предложения, полученного в результате разрешения
неопределенности.
* 102-501. F. Nc (а₽)‘6 eNC₽ (а) [*102-5-36]
* 102-51. h : у е Nc (ар)‘б . э . Nc (ар)‘б = Nc (аа)‘у.
Nc (а₽)‘6 еNC₽ (а). Nc (аа)‘у с NC“ (а)
Доказательство.
h . *102-3-2. о
h :. Нр . о h : у sm б . у е Г a . б е Г Р :
[*73-37. *4-73] о : sm б . = . ^ sm у: sm б . = . ^ sm б . б е Г р :
sm у . = . ^ sm у. у е Г a :
[*4-22] о : sm б . б е ÑР. = . ^ sm у. у е Г a :
[Fact] о : sm б . е r‘a . б е Г р . = . ^ sm у. е Г a. у е r‘a:
Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
83
[*102-2-3] э : Nc (а₽)‘6 = Nc (аа)‘у (1)
F.(l). *102-501. эН.Prop
*102-52. I-: a! Nc (а₽)‘6. z>. Nc (ар)‘6 e NC“ (а) [*102-51]
*102-53. h . NC^ (а) - i‘A c NCa (а)
Доказательство.
h . *102-52 . э h : |л = Nc (ap)‘d . g! ц. э . ц e NCa (a) (1)
h . (1). *102-5 .oh. Prop
*102-54. h : d e Nc (pa)‘y. э . Nc (ap)‘d = Nc (aa)‘y [*102-51-46]
*102-541.1-: а! Nc фа)‘у. э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A
Доказательство.
I-. *102-54-501. э h : & e Nc (|За)‘у. э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) (1)
I-. *102-46-45. э I-: 6 e Nc (Pa)‘Y. э . у e Nc (aa)‘y.
[*10-24] э. а! Nc (aa)‘y (2)
|-.(1).(2).э
F : 6 e Nc (Pa)‘y • э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A: э I-. Prop
*102-55. I-: A ~ e NCa (₽).=>. NC₽ (a) - i‘A = NCa (a)
Доказательство.
I-. *102-5. z>
H.Hp. э : p. = Nc (pa)‘Y • . а! H •
[*102-541] . Nc (aa)‘y e NC^ (a) - i‘A:
[*10-23] z>: (ар). p = Nc (0a)‘y • =>Y. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A:
[*102-36] =>: (y). Nc(aa)‘yeNC₽ (a) - i‘A:
[*13-191] z>: v = Nc (aa)‘y. z>v>Y. v e NC^ (a) - i‘A:
[*102-5] z>:veNCa(a).Dv.veNC₽(a)-i‘A (1)
F.(l). *102-53. dH Prop
Приведенное выше предложение показывает, что, если каждый класс
того же самого типа, что и р, подобен некоторому классу того же самого
типа, что и а, то, если задан класс у того же типа, что и а, существует
класс 6 того же самого типа, что и р, такой, что классы, подобные 6 и
принадлежащие тому же типу, что и а, совпадают с классами, подобными
у и принадлежащими тому же типу, что и а; и обратно, если задан любой
класс 6 того же типа, что и р, и подобный некоторому классу того же
типа, что и а, то существует класс у того же типа, что и а, такой, что
классы, подобные у и принадлежащие тому же типу, что и а, совпадают
с классами, подобными 5 и принадлежащими тому же типу, что и а. Мы
можем выразить это, сказав, что если кардиналы, которые переходят от
типа а к типу р, никогда не есть нуль, то те из них, которые переходят от
типа р к типу а, за исключением Л (если Л один из них), совпадают с те-
ми, которые начинаются и заканчиваются внутри типа а. Последние есть
то, что мы называем “однородными” кардиналами. Таким образом, наше
предложение есть шаг в направлении редукции общего учения о кардина-
лах к учению об однородных кардиналах.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
84 ЧИСЕЛ
*102-6. h . Nc (а)‘0 = Nc (ар) ‘ 0 = у (у sm 0 . у е fa) = Nc‘0 П fa
Доказательство.
h . *35-1. (*65-04). э
h : р = Nc (a)‘0 . = . р = Nc‘0 . per2‘a.
[*63-5] =. р = Nc‘0 . р с f а .
[*65-13] =. р = Nc‘0 П f а. (1)
[*100-1] = . р = у (уsm0 . уefа). (2)
[*63-103] = . р = у (у sm 0. у е f а. 0 е f 0).
[*102-46] =. р = Nc (ар)‘0 (3)
h.(1). (2). (3). *20-2. *100-1. э h. Prop
*102-61. h : 6 е f 0 . э . Nc (a)‘6 = Nc (ap)‘d
Доказательство.
h . *4-73 . э h: Нр . э . у (у sm 6. у e fa) = у (у sm d . у e f a . d e f 0)
[♦102-46] =Nc(ap)‘d (1)
h. (1). *102-6 . э h . Prop
*102-62. h . NCP (a) = Nc (a)“f 0
Доказательство.
h. *37-7. (*100-01). э
h . Nc (a)“f 0 = 0 {(gd). 6 e f 0 . p = Nc (a)‘d)
[*102-61] = 0 {(g6). d e f 0 . p = Nc (ap)‘d)
[*102-37] = D‘Nc (ap)
[(*102-01)] = NCP (a). э h . Prop
♦102-63. h : p = Nc‘y. a e p . = Nc (a)‘y
Доказательство.
h . *63-5 . э h : Нр . э . p = Nc‘y. p c f a .
[*65-13] z>. p = Nc‘y П fa .
[*102-6] z> . p = Nc (a)‘y: э h. Prop
*102-64. h : peNC . g! p, э . (ga,y). p = Nc (a)‘y [*102-63 . *100-4]
Следующие предложения являются частью доказательства Кантора,
гласящего, что не существует наибольшего кардинала. Они приведены
здесь, чтобы дать нам возможность доказать, что А есть кардинал, причем
такой, который мы называем “нисходящим” кардиналом, т.е. такой карди-
нал, чей соответствующий “sm” переходит от высшего типа к низшему.
*102-71. h : R е Cis 1. IYR с a . СГЯ с С1‘а . э . g! С1‘а - СГЯ
Доказательство.
F . *20-33 . *4-73 . э
h :: Нр . ш = х (xeD‘7? .x~efCx). э
xeD‘7?. эх : хеш . = . х~ eR'x :
[*5-18] эх : ~ {хеш . = . xe/fx}:
[*20-43 . Transp . *71-164] эх : ш / R'x:.
[*71-411. Transp]э ш ~ е С‘Я (1)
h . *20-33 . *3-26 . z> h : Нр (1). z>. ш с D‘tf .
[Нр] э . ш с а (2)
h . (1). (2). *13-191. э
h : Нр . э . х (xeD‘7?. х ~ е^‘х) еСГа - СГ7?: э h . Prop
Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
85
*102-72. h : р с а . о . ~ (Р sm СГа)
Доказательство.
h . *102-71. о h Нр . о : R е 1 1. D'R = р. (TR с СГа . ол . я! С1‘а - G'R:
[*24-55 . *22-41] о : R е 1 -> 1. В‘Я = р. ол . СГЯ / СГа :
[*10-51] о : ~ (яЯ). Я € 1 1. D'R = р. СГЯ = СГа:
[*73-1] о : ~ (Р sm СГа):. о h. Prop
*102-73. h . Nc (a)‘f а = A
Доказательство.
h . *102-6 . о h . Nc (a)‘fa = у (y sm f a . у e fa)
[*63-65] = у (y sm C17o‘a. у c f0‘a)
[*102-72] = A . о h . Prop
Это предложение доказывает, что нет класса того же типа, что и а,
подобного fa. Класс fa есть наибольший класс своего типа; поэтому су-
ществуют классы, принадлежащие типу, следующему более высокому за
типом класса а, которые слишком велики, чтобы быть подобными любо-
му классу, принадлежащему типу класса а. Таким образом (как будет явно
доказано позднее), максимальный кардинал в пределах одного типа мень-
ше, чем таковой в следующем более высоком типе. Предложение Кантора
о том, что не существует максимального кардинала, имеет место только
тогда, когда мы имеем возможность непрерывно восходить к более высо-
ким типам: в пределах каждого типа существует максимум для него, а
именно число элементов этого типа.
*102-74. h.AeNC'‘a(a)
Доказательство.
h . *102-6-501. о h. Nc (a)‘f a e NC'‘a (a) (1)
h.(l). *102-73. oh. Prop
*102-75. h . NC'a (a) = NCa U Г A
Доказательство.
h . *100-6 . о h:уefa.о.yefa. i“yeNc‘y (1)
h . *63-64-5 . о h : у efa . о . f ‘y er2‘a (2)
h. (1). (2). *102-46 . о h : у ef a . о . f ‘aeNc {(fa)a}‘y .
[*10-24] o.3!Nc{(fa)a}‘y (3)
h. (3). *102-55 . oh. NC'‘a (a) - Г A = NCa (a) (4)
h . (4). *102-74 . oh. Prop
*102-8. h : у e Nc (ap)‘d . у sm £ . £ e f %. о . £e Nc (§p)‘d . £ e Nc (£a)‘y
Доказательство.
h . *102-46 . о h : Hp . о . у sm d . у e f a . d e f p . у sm £. £ e f | .
[*73-31-32] о . £ sm d . £ e f §. 6 e f p. £ sm у. £ e f §. у e f a .
[*102-46] о . £ e Nc (§p)‘d . £e Nc (£a)‘y: о. Prop
*102-81. h : у e Nc (ap)‘6 . о. sm“Nc (ap)‘6 П f £ = Nc (§p)‘d = Nc (§a)‘y
Доказательство.
h. *102-8. *73-31-32. о
h : y, y' e Nc (ap)‘d . £ sm y'. £ e f £. о . £ e Nc (£p)‘6 . £ e Nc (£a)‘y (1)
h.(1). *37-1 .oh: Hp . о . sm“Nc (ap)‘6 Cl f £ c Nc (§p)‘d .
sm“Nc (ap)‘d П f J; c Nc (£a)‘y (2)
h. *102-46. *73-31-32. о
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
86 ЧИСЕЛ
h : Нр . £е Nc (§р)‘6 . э . £ еf |. £ sm у. у е Nc (ар)‘д .
[*37-1] z>.£esm“Nc(ap)‘dAf§ (3)
Аналогично h : Нр . £eNc (£a)‘y • • £csm“Nc (ap)‘d A (4)
h . (2). (3). (4). э h . Prop
*102-82. h : peNC^ (a). g! p. э . sm“p A f^eNC^ (^) [*102-81-5]
♦102-83. h : p e NC^ (a). g! p. v = sm‘ ‘p A f |. g! v. э .
sm“p A - sm“v A . p = sm“v A fa
Доказательство.
h . *102-81. э h : Hp . у e p . y' e v . p = Nc (ap)‘d . э .
v = Nc (£p)‘6 = Nc (£a)‘y. sm“p A f £ = Nc (U)‘Y •
[*102-81] z> . sm“v A f£ = Nc (£a)‘y = sm“p A f £ .
sm“v A fa = Nc (ap)‘d = p (1)
h . (1). *102-5 . э h . Prop
*102-84. h : (gy). у sm a . у e f a . d sm у. = . 6 sm a
Доказательство.
h . *73-32 . э h : (gy). у sm a . у e f a . d sm у. э . d sm a (1)
h . *73-32 . *63-103 . э h : d sm a . э . a sm a . a e f a . d sm a .
[*10-24] z>.(ay).ysma.yefa.6smy (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*102-85. h . sm“p Af|3 = smp“p [*65-3]
*102-86. h : p = Nc (a)‘d . g! p. э . sm^“p = Nc (§)‘d
Доказательство.
h . *102-6-81. э
h: у eNc (a)‘6 . э . sm“Nc (a)‘5 A f£ = Nc ©‘5 .
[*102-85] z>. sm^“Nc (a)‘d = Nc (§)‘d (1)
h.(l). *13-12. z>
h : p = Nc (a)‘5 . у e p. э . sm^“p = Nc (§)‘d : э h . Prop
*102-861. h . sma“sm|“pcsma“p
Доказательство.
h . *37-1. z> h : у esma“sm|“p . d . (g£, t]) . r|ep . £smr]. £ef§. у sm£. у cfa .
[*73-32 . *10-5] z> . (gт]). t] e p. у sm i]. у e f a.
[*37-1] z> . у esma“p: э h . Prop
*102-862.1-цер. . g! Nc©‘т]: э. sma“p = sma“sm^“p
Доказательство.
h . *102-6 . э h Hp . э : i]ep. э . (g£). £smr]. £ef!;:
[Fact. *10-35] э : т]ер.уsmi].yefa. э .
(g£). £ sm T|. £ € t‘|. у sm т]. у e f a.
[*73-37] э . (g£). £ sm I]. £ e f. у sm £. £ e f a.
[*37-1] э. yesma“sm^“p (1)
h . (1). *10-11-23 . *37-1 .oh:. Hp . э . sma“p c sma“sm|“p (2)
h . (2). *102-861. э h . Prop
*102-863. h p = Nc (p)‘d . g! Nc (£)‘5 . э : т] e p . эп . g! Nc (§)4T|
Доказательство.
h . *100-31-321. э h : Hp . T| e p. z>. Nc (§)‘n = Nc ©‘6.
[Hp] э . g! Nc (i)‘T]: z> h . Prop
Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ
87
*102-87. h : р, = Nc (р)‘д . g! Nc (£)‘6 . э . sma“p, = sma“sm^“p,
[*102-862-863]
*102-88. h : |л = Nc (p)‘d . g! . э . sm^“p, = Nc (£)‘d . sma“|i = Nc(a)‘6 .
sma “ p, = sma ‘ ‘sm^ “p, = sma ‘ ‘Nc (£) ‘d
Доказательство.
I-. *37-29 . Transp . э h : Нр . э . g! p.
[*102-86] z> . sm^“p, = Nc (§)‘d . sma“p = Nc (a)‘d. (1)
[Hp] z>. g! Nc(§)‘d .
[*102-87] z> . sma“p = sma“sm^“p (2)
[(1)] =sma“Nc©‘d (3)
К (1). (2). (3). z> H Prop
Замечания об отрицательных утверждениях, касающихся типов.
Утверждения, такие как или “x~eto‘a”, всегда ложны, когда они
значимы. Следовательно, когда объект принадлежит одному типу, не су-
ществует способа значимо выразить то, что мы подразумеваем, когда гово-
рим, что он не принадлежит некоторому другому типу. Причина в том, что
когда, например, о fa и to"а говорится, что они различны, то утверждение
значимо лишь тогда, когда оно интерпретируется в применении к симво-
лам, т.е. как означающее отрицание того, что два символа обозначают один
и тот же класс. Мы не можем утверждать, что они обозначают различные
классы, так как “fa//o‘a” не является значимым, однако мы можем отри-
цать то, что они обозначают один и тот же класс. Благодаря этой особенно-
сти, предложения, имеющие дело с типами, приобретают свою значимость
в основном по той причине, что они могут быть интерпретированы как име-
ющие дело с символами, а не прямо с объектами, обозначенными этими
символами. Другая причина важности типово определенных предложений
состоит в том, что, когда они представляют собой импликации, гипотезы
которых могут утверждаться, они могут быть использованы для вывода,
т.е. для утверждения заключения. Там, где в импликации встречаются ти-
пово неопределенные символы, наоборот, условия значимости могут быть
различными для гипотезы и заключения, так что могут возникать ошибки
в результате использования подобного рода импликаций в процессе выво-
да. Например, ошибочно вывести “h.g!Nc‘a” из (истинных) предложений
“Нас Nc‘a . э . g! Nc‘a” и “Нас Nc‘a”. (Истинность первого из них требу-
ет, чтобы “Nc‘a” получило ту же самую типовую детерминацию в обоих
своих вхождениях.) По этим двум причинам гипотетические предложения,
касающиеся типов, часто полезны, несмотря на тот факт, что их гипотезы
всегда истинны, когда значимы.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
88 ЧИСЕЛ
*103. Однородные кардиналы
Краткое содержание *103.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать кардиналы, про-
изведенные однородным отношением подобия. Подразумевается, что
“однородный” кардинал будет означать все классы, подобные некоторому
классу а и принадлежащие тому же самому типу, что и а. “Однородный
кардинал от а” будет определятся как Nc‘a A fa; это мы будем обозначать
посредством “Noc‘a”. Тогда класс однородных кардиналов представляет
собой класс всех таких кардиналов, как “Noc‘a”, т.е. D‘Nqc; это мы
будем обозначать посредством NoC. Символ “Noc‘a” является типово
определенным, как только класс а предписан; “NoC”, наоборот, является
типово неопределенным: он должен быть Cis3, а в ином случае его
тип может бесконечно изменяться. Однородные кардиналы обладают,
однако, многими свойствами, которые не требуют детерминации типовой
неопределенности “NoC”, и несколькими, которые требуют этого. Они
также являются чрезвычайно важными, будучи самым простым видом
кардиналов и будучи тем видом кардиналов, к которому могут обычно
быть сведены другие виды.
Главным преимуществом однородных кардиналов является то, что они
никогда не есть нуль (*103-13-22). Это позволяет нам избежать с их по-
мощью явного исключения особых случаев; поэтому на протяжении всей
главы 2 мы будем использовать однородные кардиналы при определении
арифметических операций: арифметическая сумма Nc‘a и Nc‘P, например,
будет определяться посредством Noc‘a и Noc‘P, для того чтобы исключить
такую детерминацию типовой неопределенности Nc‘a и Nc‘P, которая сде-
лала бы какой-либо из них нулевым. Справедливо, что не только однород-
ные кардиналы, но также и восходящие кардиналы (ср. *104) не являются
нулевыми. Однако однородные кардиналы представляют собой значительно
более простой вид кардиналов, которые не являются нулевыми, и, следо-
вательно, более удобны.
Тот факт, что ни один однородный кардинал не есть нуль, выводится
из
* 103-12. h. aeNoc‘a
Другими важными предложениями в данном параграфе являются сле-
дующие:
* 103-2. h : ц е NoC . = . (ga). ц = Nc‘a n f a . = . (ga). ц = Noc‘a
* 103-26. h ц eNC . z> : a e ц. = . Noc‘a = |i
Приведенное выше предложение используется постоянно.
*103-27. h : ц = Noc‘a . = . ц е NC . а е ц
Таким образом, сказать, что ц есть однородный кардинал от а, рав-
носильно тому, чтобы сказать, что ц есть кардинал, элементом которого
является а.
Principia Mathematica II
.103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ
89
*103-301. I-. NC“ (а) = N0C (а)
*103-34. h.NC-i‘AcN0C
*103-4. I- . sm“Noc‘a = Nc‘a
*103-41. I-. sm“Noc‘a П f p = Nc (P)‘a
*103-01. Noc‘a = Nc‘a П f a Df
*103-02. NoC = D‘Noc Df
*103-1. F . Noc‘a = (Nc‘a)a = Nc (a)‘a = Nc (aa)‘a [*102-6 . (*103-01)]
*103-11. F : PeNoc‘a. = .Psm a.pefa. = . peNc‘a . Pefa
[*103-1 . *102-6]
*103-12. F . a e Noc‘a [*103-11 . *73-3 . *63-103]
*103-13. F . э! Noc‘a [*103-12 . *10-24]
Это является легитимным выводом из *103-12, поскольку, когда а за-
дано, Noc‘a является типово определенным.
*103-14. F : Noc‘a = Noc‘P . = . a е Nqc‘P . = . Р е Noc‘a . = . a sm р . a е f Р
Доказательство.
F. *103-11 .э
F Noc‘a = Nqc‘P . = : у sm a. уe fa . =Y . у sm P . уe f P : (1)
[*10-1] э : a sm a . a e f a . н . a sm P. a e f P:
[*73-3 . *63-103] o:asmp.aefp (2)
F . *73-32 . *63-17
F : a sm P. a e f P. у sm a . у e f a . э . у sm P . у e r‘P (3)
К (3)!^. *73-31 .*63-16.3
a, p
F : a sm P. a e r‘P. у sm P . у e f P . э . у sm a. у e f a (4)
h . (3). (4). (1). э
F : a sm p . a € f P. э . Noc‘a = Nqc‘P (5)
F . (2). (5). *103-11 . *73-31 . *63-16 . э F . Prop
*103-15. F : а! Noc‘a n Noc‘P . = . Noc‘a = Noc‘P
Доказательство.
F . *103-13 . э F : Noc‘a = Noc‘P . э . а! Noc‘a П Nqc‘P (1)
F . *103-14 . э F : у e Noc‘a. у e Nqc‘P . э . Noc‘a = Noc‘y. Nqc‘P = Noc‘y.
[*14-131-144] э . Noc‘a = Noc‘p :
[*10-11-23] э F : а! Noc‘a П Noc‘P. э . Noc‘a = Noc‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*103-16. F : Noc‘a = Nc‘P. = . Nc‘a = Nc‘P
В этом предложении равенство “Nc‘a = Nc‘P” должно предполагаться
имеющим место в пределах любого типа, для которого оно значимо. Ина-
че мы могли бы найти тип, для которого Nc‘a = A = Nc‘P без того, чтобы
Noc‘a = Nc‘p.
Доказательство.
F . *103-12 . э F : Noc‘a = Nc‘P. э . aeNc‘P.
[*100-31-321] э . Nc‘a = Nc‘P (1)
F . *22-481 . э F : Nc‘a = Nc‘P. э . Nc‘a n fa = Nc‘P П fa.
[*65-13 . (*103-01)] э . Noc‘a = Nc‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
90 ЧИСЕЛ
*103-2. I-: р,еNoC . = . (аа). р = Nc‘a П f а . = . (да). р, = Noc‘a
[*71-41 . *100-22 . (*103-01-02)]
*103-21. F . Noc‘a е N0C . Noc‘a e NC [*103-2 . *100-2-4 . *14-28 . *65-13]
При рассмотрении предложения50, такого как *100-2, которое касает-
ся “Nc”, полностью недетерминированного по типу, любой уровень типо-
вой детерминации может быть добавлен к нашему “Nc”, поскольку утвер-
ждаемое предложение, содержащее неопределенный “Nc”, является леги-
тимным, только если оно истинно для каждой возможной детерминации
указанной неопределенности.
*103-22. F:peN0C.o.a!p [*103-13-2]
*103-23. F.A~eN0C [*103-22]
*103-24. F . N0C е Cis ex2 excl [*100-43 . *103-23 . *84-13]
*103-25. F :. p,, v eN0C . э : g! p A v. = . p = v [*103-24 . *84-135]
*103-26. F p,eNC .э:aep.=. Noc‘a = p,
Доказательство.
F . *100-45 . э F :. Hp. э : a e p,. э . Nc‘a = p, (1)
F . *63-22 . oF:aep,.o.p,cfa (2)
F . (1). (2). *22-621 . э F:. Hp. э : a e p,. э . Nc‘a A f a = p.
[(*103-01)] o.N0c‘a = p, (3)
F. *103-12 . э F : Noc‘a = p. э . aep, (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*103-27. F: p, = Noc‘a . = . p, e NC .aep,
Доказательство.
F . *103-26 . э F : p e NC . p, = Noc‘a . = . p, e NC .aep, (1)
F . (1). *103-21 . э F . Prop
*103-28. F : (ga). у sm a . p, = Noc‘a . = . а! p,. p, = Nc‘y
Доказательство.
F. *103-27. э
F : (aa) • Y sm a . p, = Noc‘a. = . (aa) • у sm a. p, e NC .aep.
[*100-31] = . p e NC . а ’• P A Nc‘y.
[*100-42-41] = . pe NC . а • H n Nc‘y. p = Nc‘y.
[*100-41] = . а! P- • P- = Nc‘y: d F. Prop
*103-3. F : 0 e f a. э . Noc‘0 = Nc (a)‘P = Nc (aa)‘P = Nc‘0 A fa
Доказательство.
F . *63-16. э F : Hp. э . f P = f a .
[*22-481 . (*103-01)] э . Noc‘P = Nc‘0 A fa (1)
[*102-6] =Nc(a)‘P (2)
[*102-61] =Nc(aa)‘P (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*103-301. F . NCa (a) = N0C (a)
Заметим, что, хотя “NC(a)” не является определенным, “NoC(a)” яв-
ляется типово определенным, как только а предписано.
Доказательство.
F . *103-3 . э F : р е f a. р, = Nqc‘P . = . р е f a. р = Nc (aa)‘P.
50 В оригинале — In adducing a proposition. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
.103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ
91
[*102-37] = . р. = Nc (aa)‘P (1)
F. *63-5. (*103-01 ).э
1-р = Nqc'P . э: Pefa. =. pe?‘a (2)
1-. (1). (2). z>F: . p = Noc‘P. г. ji = Nc(aa)‘p (3)
F. (3). *10-11-281-35 . z>
F p e r2‘a: (gP). p = Noc‘P: в . (аР). p = Nc (aa)‘P.
[*102-5] =.peNCa(a) (4)
F . (4). *103-2 . z> F: per2‘a nNoC. н . peNCa (a) (5)
I-. (5). (*65-02). э F . Prop
*103-31. F : а! Nc (а₽)‘6. э. Nc (ар)‘6 е N0C (а)
Доказательство.
F . *102-52 . э F : Нр. э . Nc (ар)‘6 е NCa (а).
[*103-301] э. Nc (ар)‘6 е NoC (а): э I-. Prop
*103-32. F.NCp(a)-i‘AcN0C(a)
Доказательство.
F . *103-31 . э F : ц = Nc (ap)‘d . э! ц. э . це N0C (a) (1)
F . (1). *102-5 . э F . Prop
В приведенном выше предложении “0” может быть опущено, и мы мо-
жем писать (ср. *103-33, ниже)
F.NC (a)-i‘AcN0C(a)
Так как “0” является полностью произвольным, то любая возможная де-
терминация NC (а) делает приведенное выше предложение истинным. Мы
можем сделать следующий шаг и писать (*103-34, ниже)
F.NC-i‘AcN0C.
Однако хотя мы также имеем NoCcNC-i‘A при условии, что “NC”
справа детерминировано подходящим образом, мы имеем это не все-
гда. Например, если “NC” детерминировано как NCa (fa), а “NoC” — как
N0Ca (f а), то Noc‘faeNoC -NC.
*103-33. F . NC (a) - i‘A c N0C (a)
Доказательство.
F. *4-2. (*65-02). э
F p,eNC (a) - i‘A. = : p,eNC . p,er2‘a . а! p:
[*100-4 . *63-5] = : (Э0). p = Nc‘0 : p, c f a . а! H:
[*65-13] = : (30). Ц = Nc‘0 Q f a : а! ц:
[*102-6] = : (30) . p = Nc‘(ap)‘0 . а! p :
[*103-31] э : peNoC (a)э F . Prop
*103-34. F.NC-i‘AcN0C
Доказательство.
F . *100-31-321 . *63-5 . э
F: p = Nc‘a . 0 e p. э . p = Nc‘0 П f 0
[(*103-01)] =Noc‘0
[*103-2] o.peNoC (1)
F . (1). *100-4 . *11-11-35-54 . э F . Prop
Таким образом, каждый кардинал, исключая А, является однородным
кардиналом в пределах соответствующего типа. Заметим, что, хотя каж-
дый однородный кардинал, несомненно, есть кардинал, “NqCcNC” пока
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
92 ЧИСЕЛ
не должно утверждаться, поскольку возможно детерминировать неопреде-
ленность “NC” таким путем, чтобы сделать его ложным. Следовательно,
мы не получаем NC - i‘A = NqC.
*103-35. F:A~eNC“(p).=>.NCp(a)-i‘A = N0C(a) [*102-55 . *103-301]
Гипотеза этого предложения удовлетворяется, как станет ясно позднее,
если тип Р является таким, что мы могли бы назвать его прямым восхож-
дением от типа а, т.е. если если он может быть достигнут из Р посредством
конечного числа шагов, каждый из которых переносит нас от типа т либо
к СГт, либо к ^‘(тТт). Поэтому в подобном случае кардиналы (отличные
от А), которые идут от fp к fa, являются теми же самыми, что и те, ко-
торые начинаются и заканчиваются в пределах fa. В дальнейшем также
будет ясно, что в подобном случае А всегда является элементом NC^ (a).
Если из двух кардиналов, которые не равны, один должен быть больше, а
другой меньше, то AeNC^(a) есть условие для Noc‘fР > Nc (P)‘fа. В том
случае мы будем иметь A eNC^ (a). о . A ~ е NCa (Р). Однако неизвестно до-
казательство того, что из двух различных кардиналов один должен быть
больше, за исключением принятия аксиомы умножения и доказательства с
ее помощью (по теореме Цермело), что каждый класс может быть вполне
упорядоченным (ср. *258).
*1034. I- .sm“Noc‘a = Nc‘a
Доказательство.
I- . *37-1 . э
I-: 6€sm“Noc‘a. = . (gy). у sma. у efa. 6smy.
[*102-84] = . 6 sm a : э F . Prop
*103-41. F . sm“Noc‘a П f P = Nc (P)‘a
Доказательство.
I-. *103-4 . э F . sm“Noc‘a П f P = Nc‘a П f P
[*102-6] = Nc‘(P)‘a . э F. Prop
*103-42. F : P sm a. = . Nc (P)‘a = Nqc‘P
Доказательство.
I- . *100-321 . dF : psma. э . Nc‘a = Nc‘P .
[*22-481] э . Nc‘a П f p = Nc‘P П f P.
[*102-6. (*103-01)] э. Nc‘(P)‘a = Noc‘P (1)
I-. *103-12 . э F : Nc (P)‘a = Noc‘P. э. p e Nc (P)‘a.
[*100-31] D.psma (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*103-43. F : p-eNC . э . sm“p,n fo‘H = H
Доказательство.
F. *37-29. oF:p, = A.o.sm“p,nr0‘H = A (1)
F . *103-27 . э F: ц-eNC .аец.э. ц = Noc‘a . Го‘Н = Га .
[*103-41] э . sm“p, П = Nc (a)‘a
[*103-3-27] = ц
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica II
103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ
93
*103-44. I-щ veN0C . э : ц = sm“v. = . v = sm“p
Доказательство.
I-. *100-53 . эF g! ц. g! v. ц, veNC . э : ц = sm“v. = . v = sm“p (1)
I-. *103-27-2 . э I-: Hp. э . g! ц. g! v. ц, v e NC (2)
I-. (1). (2). э F. Prop
*103 5. F.OeNoC
Доказательство
F. *101-11-12 . э F . OeNC . g! 0 .
[*103-34] э F . 0 e NoC . э F . Prop
*103-51. F.leNoC
Доказательство
F . *101-21-241 . э F . 1 eNC . g! 1.
[*103-34] э F . 1 e NoC . э F . Prop
0 и 1 являются единственными кардиналами, для которых приведенное
выше свойство может быть доказано универсально с нашими допущения-
ми. Если (что возможно, насколько простираются наши допущения) наи-
низший тип есть единичный класс, то мы будем иметь в пределах ука-
занного типа (и никакого другого) 2 = А, так что в пределах указанного
типа 2~eNoC.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
94 ЧИСЕЛ
*104. Восходящие кардиналы
Краткое содержание *104-
В настоящем параграфе мы рассмотрим кардиналы, полученные из от-
ношения подобия, которое идет от типа а к типу г‘а или к типу Г2‘а. Пред-
ложения, которые доказываются, могут быть распространены простым по-
вторением доказательств на Г3‘а, Г4‘а и т.д. Это расширение, однако, долж-
но быть сделано в каждом отдельном случае; мы не можем доказать, что
оно может быть сделано в общем, поскольку математическая индукция не
может быть применена к серии
Го‘ад‘а, г2‘а, г3‘а,....
Восходящие кардиналы хотя и менее важны, чем однородные кардина-
лы, все еще обладают значимостью в арифметике, поскольку Nc‘a х Nc‘P и
(Nc‘a)Nc 0 определены как кардиналы классов более высоких типов, чем ти-
пы а и Р, и то же самое применимо к произведению кардиналов элементов
класса классов. В этих случаях, однако, мы также нуждаемся в кардина-
лах относительных типов, с которыми мы будем иметь дело в *106.
В этом параграфе мы будем иметь дело с тремя различными группами
понятий, а именно
*10401. N1c‘a = Nc‘anr‘r‘a Df
*10402. N1C‘a = D‘N1c Df
*104-03. p(1) = sm“pn Df
с аналогичными определениями N2c‘a и т.д. Таким образом, N*c‘a состо-
ит из всех классов, подобных а, однако принадлежащих следующему более
высокому типу, т.е. представляет собой кардинальное число для а в пре-
делах типа, следующего выше за типом Noc‘a; №С является классом всех
таких кардиналов, как N^a, и представляет собой типово неопределен-
ный символ, хотя N!c‘a является типово определенным, когда а задан;
(если ц не нулевой кардинал) есть “тот же самый” кардинал в пределах
следующего более высокого типа, так что, например, если ц есть 1, де-
терминированная как состоящая из единичных классов индивидов, то
будет 1, детерминированной как состоящей из единичных классов классов
индивидов. (Когда ц не является экзистенциональным кардиналом, не
заслуживает рассмотрения.)
Нижеследующее представляет собой наиболее полезные предложения
настоящего параграфа:
* 104-12. I-: РеN^a. yeN^P. э . у eN2c‘a
* 104-2. I-. i^aeN^a
* 104-21. I-. g! N^a
* 104-24. I-: |i = N1c‘a. э . p = Noc‘i“a = Nqc‘P {(gy) .y ea . p = i‘jcU i‘y}
* 104-25. F.N^cNoC
* 104-26. F: p = Noc‘a. э . p(1) = Noc‘i“a = N^a
* 104-265. F . p(1) = smH“p
* 104-27. I-peNC . э : p = Noc‘a . = . p(1) = N^a
* 104-35. F . N2C c NJC . N2C c N0C
Principia Mathematica II
104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
95
*104-43. к : f а = f Р. э. (ду, 6). у е N^a. 6 е N!c‘P. у П 6 = А
*104-1. N1c‘a = Nc‘anr‘fa Df
Это определяет кардинальное число для а в следующем выше типе, чем
тип Noc‘a; поэтому N^a состоит из всех классов, подобных а, следующего
выше типа, чем тип а.
*104-011. N2c‘a = Nc‘anfr2‘a Df
*104-02. N1C = D‘N1c Df
Подобные определения принимаются для N3c‘a, и т.д.
*104-02. N1C‘a = D‘N1c Df
N!C, подобно NoC, является типово неопределенным; однако N1C(a) яв-
ляется типово определенным.
*104-021. N2C = D‘N2c Df
Подобные определения принимаются для N3C, и т.д.
*104-03. ц(1) = sm“p,nfp, Df
Здесь, если ц есть кардинал, то ц(1) есть тот же самый кардинал в пре-
делах следующего более высокого типа. Например, если р, представляет
собой пары индивидов, то — пары классов индивидов.
*104-031. ц(2) = sm“p,nr2‘p Df
Подобные определения принимаются для ц(3), и т.д.
*104-1. I-: рeNlc‘a. = . Р eNc‘a . рeffa. = . PeNc‘a . Р с fa
[*63-5 . (*104-01)]
*104-101. h : р е N^a . = . р sm a . Р с f a [*100-31 . *104-1]
*104-102. h . N^a = Nc (f a)‘a = Nc {(f a)a}‘a [*102-6 . (*104-01)]
*104-11. k : PeN2c‘a . = . p eNc‘a . P ef f2‘a . = . P eNc‘a . P c r2‘a
[*63-5. (*104-011)]
*104-111. k : peN2c‘a . = . Psma . Pcf2‘a [*100-31 . *104-11]
*104-112. k . N2c‘a = Nc (?‘a)‘a = Nc {(?‘a)a}‘a [*102-6 . (*104-011)]
*104-12. k : p eN^a. у eN1^ . э . у eN2c‘a
Доказательство.
I-. *104-1 .эк: Hp . э . P e NC‘a . P e f f a . у e Nc‘P. у e f f p .
[*100-32] э. у e Nc‘a. P e f f a . у e f f p.
[*63-16] э. у e Nc‘a. f p = f f a . у e f f p .
[*13-12] э . у eNc‘a .уefffa.
[*104-11] э. у eN2c‘a : эк . Prop
*104-121. к : Pe№c‘a . у eN2c‘a . э . у eN1^
Доказательство.
к . *104-102-112 .эк: Hp . э . PeNc {(f a)a}‘a . у eNc .
[*102-41] o.yeNcR^aWP (1)
к . *104-1 . эк: Hp . э . P e f f a .
[*63-16] э . f P = ff a.
[(*65-11)] 3.Nc{(r2‘a)(.a} = Nc{(f₽)₽} (2)
I- . (1). (2). *104-102 .oh. Prop
A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
96 ЧИСЕЛ
*104122. F: Р е N*c‘a. э . N*c‘P = N2c‘a
*104-123. F : Noc‘P = N^a . э . N*c‘P = N2c‘a
*104-13. F : . = . (ga). ^ = N1c‘a
[*104-12-121]
[*104-122 . *103-26]
[*100-22. *71-41. (*104-02)]
*104-14. I-: 6 e ц(1). =. (gу). у e ц. 6 sm у. 6 e . =. (зу). у e ц. 6 sm у. 6 c f у
[*37-1 .*63-22. (*104-03)]
*104-141. Ь:цбМС.э!ц.э. ц(1) e NC [*100-52]
Когда гипотеза “д!ц” опущена, это предложение все еще истинно, од-
нако с одним отличием. Например, положим
ц = Nc (a)‘fa .
Тогда р, = А.ц(1) = А. Поэтому Nc(r‘a)‘fa. Однако мы все еще имеем
p(i) ф
Поэтому p,(1)eNC, однако не тот же самый кардинал, что и ц, в преде-
лах более высокого типа, т.е. существуют классы, чей кардинал в пределах
одного типа есть р,, но чей кардинал в пределах следующего более высо-
кого типа не есть
*104-142. F:peNC.3!p.o.p(2)eNC [*100-52]
*104-15. F:peN2C.H.(3a).p = N2c‘a [*100-22 . *71-41 . (*104-021)]
*104-2. I-. i“aeN1c‘a
Доказательство.
I-. *63-621 . э I-: x e a . эх . f x e fa :
[*36-01] Dl-.i“acfa (1)
F.(l). *100-6. *104-1. dF. Prop
*104-201. F : PeNoc‘a . э . i“PeN1c‘a. N*c‘a = N*c‘P
Доказательство.
F . *100-31-321 . э F : Нр . э . Nc‘a = Nc‘P (1)
F . *103-11 . э F : Нр . э.Pefa.
[*63-16] э. fa = fp .
[*30-37] э. ffa = ffp (2)
F . (1). (2). (*104-01). э F . N^a = NJc‘P
F. (3). *104-2. dF.Prop
*104-21. F.glN^a [*104-2]
Из этого предложения следует, что восходящие кардиналы никогда не
являются нулевыми. Доказательство должно быть сделано отдельно для
каждого вида восходящих кардиналов, т.е. N1^ N2C, и т.д.
*104-211. F . э! N!c‘a П СГ1 [*104-2 . *52-3]
*104-23. F . Р {(ду). у е a . Р = i‘x U i‘y} е N*c‘a
Доказательство.
F . *51-16 . oF:yea.o.yean (i‘x U i‘y).
[*63-16] D.fxUfyefa (1)
F . (1). *10-11-23 . э . p {(зу). у e a . P = Cx U i‘y} c fa (2)
F . (2). *100-61 . *104-1 . э F . Prop
*104-231. F : N*c‘a = N*c‘P. э . Noc‘a = Nqc‘P
Доказательство.
F . *104-2 . э F : Нр . э . i“peNic‘a.
[*104-101] э . i“p sm a. i“P c fa .
Principia Mathematica II
*104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
97
[*74-41 . *63-21-64] z>. р sm а. 1‘Р = 1‘а.
[*103-11 . *63-16] o.peN0c‘a.
[*103-14] э . Noc‘a = Noc‘p: э F . Prop
*104-232. I-: N‘c‘a = Nlc‘p. = . Noc‘a = Noc‘P . = . p e Noc‘a
[*104-231-201 . *103-14]
*104-24. I-: p. = №c‘a. э. p = Noc‘i“a = Noc‘P ((gy) .y ea. p = I'xUi'y)
[*104-2-23 . *103-26]
*104-25. h.N'CcNoC [*104-24-13]
Это предложение имеет место для каждой возможной детерминации ти-
повой неопределенности, т.е. для каждого а мы имеем
№С(Га)сЫ0С(Г‘а).
Мы не имеем
N1C(r,a) = NoC(fa),
поскольку
Noc‘r‘а е N0C (Га) - N1 С (Г‘а).
*104-251. КЛ~е№С [*104-25 . *103-23]
*104-252. I-. №CeClsex2excl [*104-25 . *103-24 . *84-26]
*104-26. F : ^ = Noc‘a. э. р,(1) = Noc‘i“a = №с‘а
Доказательство.
F. *104’14. *103-11 .э
I-Нр . э : 6 е . (ау). у sm a . у € r‘a . 6 sm у. 6 с f у.
[*73-32 . *63-16] э . 6 sm а . 6 с f а.
[*104-101] э.беГ^сЧх
I-. *104-101 . э
НбеГ^сЧх. D.Ssma.bcfa.
[*73-3 . *63-103] э . asma. aefa. 6 sma . 6 сt‘a.
[*10-24] э . (ay). у sm а . у е f а . 6 sm у. 6 с f у
F . (3). (1). э F :. Нр . э : беГ^сЧх. э .
F. (2). (4). *104-24 . э F. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
*104-261. h : = N^a . э . ц с Noc‘a
Доказательство.
I-. *104-14-101 . э
I-Нр. э : (ау). у е ц. 6 sm у. 6 с f у . =а . 6 sm a . 6 с fa:
[*10-23] э : у е р. 6 sm у. 6 с f у. . 6 sm a . 6 с f а .
[*4-7] . 6 sm а. 6 sm у. 6 с f а. 6 с f у.
[*73-32 . *63-13] dy,6 . у sm а . у e f а .
[*103-11] . уeNoc‘a
F. (1) .*10-23-35 .*104-101 .Dhz.Hp.Dzyep-.alN^y.Dy.yeNo^a:
[*104-21] э : у ер. э7 . у eNoc‘a :. э F. Prop
*104-262. F : peNC . p(1) = N*c‘a. э . p = Noc‘a
(1)
Доказательство.
F . *104-21 . э F : Hp . э . а! H(1) •
[*37-29 . Transp] э . a • H
F . *103-26 .oF:Hp.yep,.o.p, = Noc‘y
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
98 ЧИСЕЛ
к . (1). (2). э к : Нр. э. (эу). р = Noc‘y. [*104-26 . Нр] э . (зу). р = Noc‘y. N^a = NJc‘y. [*104-231] э . (зу). р = Noc‘y . Noc‘a = Noc‘y. [*13-172] э. р = Noc‘a: э к. Prop *104-263. к : a е р. э . i“a е р(1) Доказательство. k . *73-41 . *37-1 .эк: Нр . э . i“aesm“p (1)
1-. *63-64 . эк: Нр . э . i“aefp (2)
к. (1). (2). (*104-03). эк. Prop *104-264. к : 3! р. = . 3! р(1) Доказательство. к . *104-263 . эк:з!р.э.з! р(1) (1)
к . *37-29 . Transp . (*104-03). э к : 3! р(1). э . 3! р (2)
к . (1). (2). э к . Prop *104-265. к . р(1> = sm/‘p [*102-85 . (*104-03)] *104-27. к :. р еNC . э : р = Noc‘a. = . И(1) = N^a [*104-26-262] *104-28. к : peNC - i‘A . э . р(1) е^С [*104-26 . *103-34] *104-29. к : vе№С . н . (зр). peN0C . v = р(1) Доказательство. к . *104-26 . э к : р = Noc‘a . v = р(1). э . v = NVa : [*10-11-28] э к : (3а). р = Noc‘a . v = р(1). э . (3а). v = N*c‘a: [*103-2 . *104-13] э к : peN0C . v = р(1>. э. ve№C (1)
к. *104-26 .*103-2 . э к : v = N^a. р = Noc‘a. э . v = р(1). реNoC (2)
к . (2). *10-11-28-35 . э к :. v = N*c‘a: (зр). р = Noc‘a : э . (зр). р еN0C . v = р(1) (3)
к . (3). *100-2 . *14-204 . э к : v = ^с‘а. э . (зр). р еNoC . v = р(1) (4)
к . (4). *10-11-23 . *104-13 . э к : v е N1 С . э . (з р). р е NoC . v = р(1) (5)
к . (1). (5). э к . Prop *104-3. к. i‘TaeN2c‘a Доказательство. к . *104-2 .эк. i/'aeNVa. i‘4“a€N1c4“a. [*104-12] э к . i“i“aeN2c‘a . *104-31. k.s!N2c‘a [*104-3] *104-311. к . N2c‘a = NocTT‘a = ^сТ‘а [*104-3-2 . *103-26] *104-32. к : р = Noc‘a . э . р(2) = NocTT‘a = ^сТ‘а = N2c‘a = {р(1)}(1) Доказательство. F . *104-26 . з F : Нр. з. {ц(1>}(1) = Noc‘i“i“a (1)
[*104-311] =N2c‘a (2)
F. *103-11 . (*104-031 ).з F Нр. з: 6 e р(2). =. (зу). у sm a. у e f a. 8 sm у. 8 e ft2‘y.
Principia Mathematica II
104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
99
[*102-84 . *63-16] в . 6 sm а. 6 е t‘t2‘a.
[*104-11] = .6eN2c‘a (3)
F.(1). (2). (3). *104-24 . э F. Prop
*104-33. F peNC. э : p = Noc‘a. s . |x(2) = N2c‘a
Доказательство.
I- . *104-27 . э FНр. э : ц = Noc‘a. = . ц(1) = №c‘a.
[*104-24] = . ц(1) = Noc‘i“a.
[*104-27-141 . *103-13] . {p(1)}(1) = N*c‘i“a.
[*104-32-24] • p(2) = N2c‘aэ F. Prop
*104-34. F: GJ e N2C . = . (g v). v e N1 C . CD = v(1). s . (gp.). p.e N0C . GJ = p(2)
Доказательство.
I-. *104-32 . э
F: gj = N2c‘a. p = Noc'a. э . gj = p(2). peNoC (1)
I-. (1). *100-2 . *10-11-28-35 . =>
h: (ga). co = N2c‘a. э. (gp). peNqC . GJ = p(2) (2)
I-. *104-32 . э F : p = Noc‘a. GJ = p(2). э . co = N2c‘a.
[*104-15 . *103-2] э F : p e N0C. CD = p(2). э . CD e N2C (3)
F.(l).(3). э I-: GJeN2C. = . (gp). peNoC . co = p<2). (4)
[*104-32] s . (gp). peN0C. co = {p(1)}(l).
[*13-195] = . (gp, v). p e N0C. v = p(1). CD = v(1).
[*104-29] = . (gv). v e N'C . GJ = v(l) (5)
F. (4). (5). э F. Prop
*104-35. F.N2CcN'C.N2CcNoC [*104-3111315]
*104-36. F : у e N2c‘a. у e N’c'P. d . p e №c‘a. Nlc‘a = Nqc‘P
Доказательство.
F . *104-1-11 . z> F : Hp. z>. yeNc‘a. у . yeNc‘P. yer‘r‘P.
[*100-34 . *63-16] э. Nc‘a = Nc‘P. (‘^‘a = t‘r‘0.
[*63-35-15] э. Nc‘a = Nc‘P. t2‘a = r‘0.
[(*104-01 . *103-01)] 2>.N'c‘a = Noc‘P (1)
F. (1). *103-12 .=>F. Prop
*104-37. F : N2c‘a = №c‘P. s . N*c‘a = Noc‘P
Доказательство.
F . *104-21 . э F: N2c‘a = №c‘P. э . g! N2c‘a П №c‘P.
[*104-36] э. №c‘a = Noc‘P (1)
F . (1). *104-123 . э F . Prop
Следующие предложения касаются доказательства того, что если зада-
ны любые два кардинала (1 и v одного и того же типа, то мы находим
два взаимно исключающих класса, один из которых содержит ц термов,
в то время как другой — v термов. Доказательство требует, чтобы мы по-
высили типы р, и v на один уровень выше того, в пределах которого они
изначально были заданы, т.е. чтобы мы обратили ц и v в и v(1). Поэто-
му, например, предположим, что суммарное число индивидов во вселенной
было конечным (предположение, которое согласуется с нашими примитив-
ными предложениями), и предположим, что (1 было этим числом. Тогда
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
100 ЧИСЕЛ
если v/0, то класс v индивидов будет являться экзистенциональным под-
классом единственного класса, которые состоит из ц индивидов, и, следо-
вательно, мы имеем
aep. Pev . оа,р . 3! а А р .
Однако если мы рассматриваем классы классов ц и классов v, то мы
всегда можем найти у и S такие, что
у с . S 6v(1). у П 6 = А .
Существование таких у и S является важным в связи с арифметиче-
скими операциями и поэтому доказывается здесь.
*104-4. h:.xea.x/y.x/z.y^z: ((о). (Dt = а й (a = i‘(D U i‘w): о .
x/^a- fx) U fy/zeN^a А СГ2
Доказательство.
h . *100-61 . о h:Hp.о. xt“(a - fx) sm (a - f x) (1)
h. *73-43 . oh: Hp. о. Cyt'z sm Cx (2)
h . *51-232 . Transp . о h : Hp . о . x ~ ey^z (3)
h . *51-232 . dF: Hp. у exl“(a-i‘x). о .xey (4)
h. (3). (4). oh:Hp.o.y/z~exL“(a-fx).
[*51-211] о. Xi“(a - f x) A Cyt‘z = A (5)
h. (1). (2). (5). (6). *73-71 . *51-221 .oh: Hp . о . xL“(a - f x) U Cy^z sm a (7)
h. *63-101-16 .*51-232-16 .0
h : Hp . о . f x = fу . xe a . у eyL‘z. yCzext“(a - f x) U fyL‘z.
[*63-53-2] о . t2ix = fa. fi'y = ro‘{xL“(a - fx) и fyt‘z}. r2‘x = ?‘y.
[*13-17] о . f a = to‘{*i“(a - f x) U CyCz.
[*63-105] о . xt“(a - f x) U Cyt‘z c fa (8)
h . *54-26 .oh: Hp . о . xL“(a - f x) U i‘yL‘z c 2 (9)
h . (7). (8). (9). *104-101 .oh. Prop
*104-41. h :. fa = fp : (3X,y,z).xea. x^y.x^z.у : з .
(ЗУ, б). у e N^a. 5 e N*c‘P . у A 5 = A
Доказательство.
h . *104-4-2 . *52-3 . о
h:Hp.Hp*104-4 .o.(3x,y,z).xL“(a-fx)UfyL‘zeN1ctanCl‘2.i“P6N1c‘PnCl‘l.
[*13-22] о . (зх, у, z, у, 6). у = xt“(a - i‘x) U fy/z. 5 = i“P.
у eNJc‘a А СГ2.6 eN1^ A Cl‘l.
[*11-55] о . (зу, &). у e N*c‘a A C1‘2.5 eN*c‘P A Cl‘l (1)
h . (1). *101-35 .oh. Prop
Это предложение доказывает желаемые заключения при условии, что
3! а и to'a состоят хотя бы из трех термов. Следующие предложения име-
ют дело со случаями, в которых эта гипотеза не проверяется.
*104-411. h : f a = f р. аеО. у = Аа . 5 = i“P. о . у eN^a . SeN^P. у А 5 = A
Доказательство.
h. *73-47. oh:Hp.o.ysma (1)
*22-43. (*65-01). о h : Нр . о . у с fa (2)
Н. (1). (2). *104-101 . эННр.э. yeN*c‘a (3)
Н. (3). *104-2 . *24-23 . э h. Prop
Principia Mathematica II
• 104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
101
*104-412. h: f a = f р. a = l‘x . у = f Ax. 5 = i“P. о. у eN^a. S cN1 lc‘p.yCi6 = A
Доказательство.
h . *73-43 . oh: Hp . □ . у sm a (1)
h . *63-61-103 . o h : Hp . o . a 6^‘x (2)
h . *22-43 . (*65-01). эh : Нр . э .£су . £cfx.
[*63-5] o^.^e?‘x. [(2). *63-13] o^.^efa. (3)
h. (1). (3). *104-101 . o h : Hp . э . yeN^a (4)
h . *101-23 . oh: Hp . о . у A 5 = A h. (4). (5). *104-2 .oh. Prop (5)
*104-413. h fa = f p . a = fxU fy . x^y . у = i‘A U i‘(fxU fy). 5 = t“0 . o .
у €N!c‘a. 6 €N!c‘p. у A 5 = A
Доказательство.
1-. *54-26. о h : Hp . о . f x U f у € 2. (1)
[*101-35] о . A # f x U f у.
[*54-26] о . i‘A U U f y) 6 2 .
[*101-3] о . f A U f (L‘* U f y) e Nc‘(i‘x U i‘y) (2)
F. *51-16 . о h:Hp.□.a 6 у.
[*63-5] э . у c fa (3)
1-. (2). (3). *104-1. э h : Hp . э . у (4)
1-. *52-21-3 . э h . A ~ ei“P (5)
1-. (1). *52-3 . *54-25 .oh: Hp . o . i‘x U i‘y ~ c i‘ ‘P (6)
К (5). (6). o h : Hp . □ . у A 6 = A (7)
h. (4). (7). *104-2. эк. Prop
*104-42. h : f a = f p . a e 0 U 1 U 2 . э. (зу, 6). у e N*c‘a. S c NVp. у A 6 = A
[*104-411-412-413 . *52-1 . *54-101]
*104-43. h : fa = fp . э . (зу, 5). у €N!c‘a. 6 eN^p. у A 6 = A
Доказательство.
h . *54-56 . э
h : Hp . a ~ c 0 U 1 U 2. о . (зх, y, z). x,y, zea. x^y. x^ z >y / z •
[*104-41] э . (зу, 6). у с N!c‘a. 6 e N!c‘P. у A 6 = A (1)
h. (1). *104-42 .oh. Prop
Приведенное выше предложение дает желаемый результат. Следующие
предложения переформулируют этот результат в других формах.
*104-44. h : р,, . f ц = fv . о . (зу, 5).уец.6еу.уАб = А
[*104-13-43]
*104-45. h : ц, veN0C . fp,= fv . о . (зу, б). у бцh. * * * (1). Scv(1). у А 5 = А
[*104-29-44]
*104-46. h : ц, v с NC - i‘A . f ц = f v . о . (3 у, 5). у е p(1), § еу(0 . у п 6 = А
[*104-28-44]
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
102 ЧИСЕЛ
*105. Нисходящие кардиналы
Краткое содержание *105.
В настоящем параграфе мы рассматриваем кардиналы, полученные из
отношения подобия, которое идет от более высокого типа к более низкому,
т.е. если задан любой класс классов к, то мы рассматриваем Nc‘k в преде-
лах типа элементов к (который мы будем называть Nic‘k) или в пределах
некоторого более низкого типа. Поэтому, например, мы будем иметь
K = i“a.D.a6Nic‘K,
где “N^k” означает “классы, подобные к, однако принадлежащие следу-
ющему более низкому типу”. Аналогично
к = ÑÑа. э. acN2c‘K,
и т.д. В общем случае мы будем иметь
06Nic‘a. = . aeN^p,
Р е N2c‘a. = . a е N2c‘P,
и т.д. Главным различием между восходящими и нисходящими кардинала-
ми является то, что А есть один из нисходящих кардиналов, но ни один
из восходящих. В остальном предложения настоящего параграфа большей
частью сходны с соответствующими предложениями из *104.
По аналогии с определениями из *104 мы полагаем
NiC =D‘N1C Df,
|i(i) =sm“|i ПГГц Df
с подобными же определениями для N2C и |1(2).
Ни на одно предложение настоящего параграфа не будет ссылок впо-
следствии, и читатель, который не заинтересован в данном предмете,
может, следовательно, пропустить его без ущерба для того, что следу-
ет далее. Основными доказанными предложениями являются следующие:
*105-25. F.N0C = NiC-l‘A
* 105-251. h . N0C = N2C - ГА
* 105-26. h.NicTa = A
Поэтому NiC и N2C в пределах любого заданного типа отличаются от
No С в пределах указанного типа лишь добавлением А.
* 105-3. h : (1 - Noc‘a. э . |i(i) = N^a
* 105-322. h 3! Nic‘a. э : Nic‘a = Nic‘P . = . Noc‘a = Noc‘P
* 105-34. h |icNC . g! Щ1). э : |i(i) = Nic‘a. = . p. = Noc‘a
* 105-35. h peNC . veNoC . э : p = v(1). = . = v
* 105-38. h . {|1(d}(1) = Ц(2)
*105-01. Nic‘a = Nc‘a П fr/a Df
Мы могли бы писать
Nic‘a = Nc‘a П r0‘a Df,
что было бы эквивалентно приведенному выше. Однако мы выбрали при-
Principia Mathematica II
105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
103
веденную выше форму ради единообразия. Если 5 есть некоторый суф-
фикс51, то мы полагаем при условии, что ts'a было определено,
NsC4a = Nc‘a П f г/a Df,
и если i есть некоторый индекс52, для которого ?‘а было определено, то
мы полагаем
Поэтому во имя единообразия
нии *105-01 писать “fr/a”, чем
*105-011. N2c‘a = Nc‘a П fr2‘a
*105-02.
*105-021.
*10503.
*105-031.
*105-1.
*105-101.
*105 11.
Nzc‘a = Nc‘a A f rMa Df.
лучше в приведенном выше определе-
на”.
Df
Df
Df
Df /
Df
[*63-383. (*105-01)]
[*63-41 . (*105-011)]
Psma. РбГо‘а- = -Psma. рс^‘а
NiC = D‘N1C
N2C = D‘N2c
|1(1) = sm“|in^i‘|i
|1(2) = sm“|inr2‘^i
h.Nic‘a = Nc‘anro‘a
h . N2c‘a = Nc‘a П t\ ‘a
h : peNic‘a. =. peNc‘a. РеГо‘а
[*105-1. *100-31. *63-51]
*105-111. h: peN2c‘a. =. peNc‘a. pe/i‘a. =. psma. Pefj‘a. =. psma. Pcr2‘a
[*105-101. *100-31. *63-52]
* 105-12. h : peNic‘a . = . PeNc‘a. a c r‘P . = . psma. a cf p. = . aeN1^
[*105-11 . *63-51 . *104-1]
* 105-121. h : peN2c‘a . = . pcNc‘a . a a Г2‘Р . = . psma. a c r2tp . = . aeN2c‘P
[*105-111 . *63-52 . *104-11]
h . Nic‘a = Nc (h‘a)‘a = Nc {0i ‘a)a}‘a
h . N2c‘a = Nc (r2‘a)‘a = Nc {(r2‘a)a)‘a
h : aer0‘P • э . Nic‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P
[*102-6 .(*105-01)]
[*102-6. (*105-011)]
(1)
*105-13.
*105 131.
*105-14.
Доказательство.
h . *63-22 . э h : Нр . э . fa - r0‘P .
[*105-1] э . N!c‘P = Nc‘P П fa
h.(1). *102-6 .oh. Prop
* 105-141. h : aef/p . o . N2c‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘p [Док-во как в *105-14]
*105-142. h : p c f a . z>. Nic‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P [*105-14 . *63-51]
* 105-143. h : p c r2‘a. z>. N2c‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P [*105-141 . *63-52]
* 105-15. h:p6NiC. = .(aa).p = N1c‘a [*100-22 . *71-41 .*105-02]
* 105-151. h : p, e N2C . = . (3a). p = N2c‘a
* 105-16. h : 5 с Ц(1). = . (3у). у e p . 5 sm у . 6 e t\ ‘p.
= . (3 у). У 6 ц . 5 sm у . б с Го ‘y •
= • (ЗУ). у € p,. 6 sm у. у c f 6 [*37-1 . *63-51-54]
* 105-161. h : 5 eP(2). = . (зу). у ср . 5 smy . дбГ2‘ц .
= • (Я Y). у б (i. 6 sm у. 6 е ‘у.
= • (3Y) • у в ц . S sm у. у с г2‘5 [*37-1 . *63-52-55]
51 Термином “суффикс” именуется символ, который располагается в символьном пред-
ставлении на месте нижнего индекса. — Прим, перев.
52 Термин “ индекс” применяется для указания на место верхнего индекса. — Прим, пе-
рев.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
104 ЧИСЕЛ
В том, что следует, предложения, касающиеся N2C или N2C, имеют дока-
зательства, в точности сходные с доказательствами соответствующих пред-
ложений, касающихся NjC или NiC.
*105*2. h . Noc‘a = Nic‘i“a
Доказательство.
h. *105-12 .*
[*103-26]
*105-201. h . Noc‘a = N2c‘i“i“a
* 105-21. h.NoCcNiC
* 105-211. h.N0CcN2C
* 105-22. h : yeNic‘6 . э . N]C46 - Noc‘y
* 105-221. h: у e N2c‘6 . э . N2c‘6 = Noc‘y
* 105-23. h : я! Nic‘6 . э . Nic‘6 = N0C
* 105-231. h : я! N2c‘6 . z>. N2c‘6 = N0C
* 105-24. h . NiC - l‘A c NoC
* 105-241. h . N2C - i‘A c N0C
* 105-25. h . N0C = NiC - i‘A
*105-251. h . N0C = N2C - i‘A
•2 . э h . aeNic‘i“a.
h . Noc‘a - Nic4“a
[*105-2-15]
[*103-26]
[*105-22]
[*105-23]
[*105-21-24 . *103-23]
*105-252. h.N1c‘P = N2c‘i“P
Доказательство.
h . *105-111 .oh: aeN2c‘i“p. =. a sm i“P. a et\ 4“P.
[*73-41 . *63-64-54] = . a sm p. a e Zo‘P •
[*105-11] = . aeNic‘P : э h. Prop
*105-26. h.Nic‘fa = A
Доказательство.
h . *105-141 .oh. NjcTa = Nc (a)7‘a
h. (1) .*102-73 .oh.Prop
*105-261. h . N2c‘i“f a = A [*105-26-252]
*105-27. h.AeNiC [*105-26]
*105-271. h.AeN2C
*105-28. h.NiC = N0CUi‘A [*105-25-27]
*105-281. h . N2C = NiC = N0C U i‘A
*105-29. h . NC c NiC . NC c N2C [*105-281 . *103-34]
*105-3. h : ц = Noc‘a. о . |i(i) = Nic‘a
Доказательство.
h . *103-4 . (*105-03). о h : ц = Noc‘a. о . p(i) = Nc‘a A t\ ‘ц
h . *103-12 . о h : ц = Noc‘a . о . a e p.
[*63-105] о . аеГо‘н •
[*63-55] о.Го‘а = *1‘н
h . (1). (2). о h : ц = Noc‘a . о . p(i) = Nc‘a A fo‘a .
[*105-1] о . |i(i) = Nc‘a: о h . Prop
*105-301. h : ц = Noc‘a . о . |i(2) = N2c‘a
*105-31. h : |ieN0C . о . |i(1) eNiC [*105-3-15 . *103-2]
*105-311. h : ц e NoC . э . (i(2) e N2C
(1)
(2)
Principia Mathematica II
*105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
105
*105-312. h : у cNic‘a . э . <хе^с‘у. N*c‘y ~ Noc‘a [*105-12 . *103-26]
*105-313. h : у eN2c‘a. □ . aeN2c‘y. N2c‘y = Noc‘a
*105-314. h : N1C‘a = Noc‘y . z>. Noc‘a = N^y [*105-312 . *103-12]
*105-315. h : N2c‘a = Noc‘y. o . Noc‘a = N2c‘y
*105-316. h : 3! Nic‘a. Nic‘a = Nic‘0. o . Noc‘a = Noc‘P
Доказательство.
I-. *105-312 . э h : y6Nic‘a. Nic‘a = Nic‘0. о . N!c‘y = Noc‘a. ^с‘у = Noc‘0.
[*13-171] э. Noc‘a = Noc‘P (1)
h.(l). *10-11-23-35. oh. Prop
*105-317. h: 3! N2c‘a. N2c‘a = N2c‘P. o . Noc‘a = Nqc‘0
*105-32. h : Noc‘a = Nqc‘0 . o . Nic‘a = Nic‘P
Доказательство.
h . *103-41 . dH Hp . э. Nc (Г] ‘a)‘a = Nc ‘a)‘0 (1)
h . *103-14 . dH Hp . э. p c r‘a.
[*63-16-36] z>.ri‘a = n‘P (2)
h . (1). (2). o h : Hp. э. Nc (0 ‘a)‘a = Nc (t\ ‘a)‘P.
[*105-13] э . Nic‘a = Nic‘P : э h . Prop
*105-321. h : Noc‘a = Noc‘P. z>. N2c‘a = N2c‘P
*105-322. h:. 3! Nic‘a. □ : Njc‘a = Nic‘P. = . Noc‘a = Noc‘P [*105-316-32]
*105-323. h 3! N2c‘a. o : N2c‘a = N2c‘P. = . Noc‘a = Noc‘p
*105-324. h: 3! p(1). z>. 3! ц [*37-29 . (*105-03)]
*105-325. h : з! p(2). o . 3! ц
*105-326. h : peNC . |i(i) = Noc‘y. о . p = N^y
Доказательство.
h . *103-26 . о h : Hp . аец. □ . |i = Noc‘a. (1)
[*105-3] о . p(i) = Nic‘a.
[Hp] э . Nic‘a = Noc‘y .
[*105-314] o.N0c‘a = N1c‘y.
[(1)] э.ц = №с‘у (2)
h . (2). *1011-23-35 . z> h : Hp. 3! p. z>. p = N1 c‘y (3)
H. (3). *105-324 . *103-13 . => F. Prop
*105-327. F: p e NC . p<2> = Nqc'y . э. p = N2c‘y
*105-33. h : p c NC . 3! |i(i). Щр = Nic‘a . . p = Noc‘a
Доказательство.
h . *103-26 . э h : у 6Ц(1). Щр = Nic‘a . э . Nic‘a = Noc‘y.
[*105-314] э. Noc‘a = ^с‘у (1)
h . (1). *105-326 . э
h : yepd). p(i) = Nic‘a. peNC . э . ц = Noc‘a (2)
h. (2) .*10-11-23-35 .oh. Prop
*105-331. h : ц e NC . 3! |i(2). |i(2) = N2c‘a. о . p = Noc‘a
*105-34. h :. |icNC .3! |i(i). э : щр = Nic‘a. = . ц = Noc‘a [*105-33-3]
*105-341. h :. peNC .3! |i(2). o : |i(2) = N2c‘a. = . ц = Noc‘a
A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
106 ЧИСЕЛ
*105-342. h . |ieNC . э . |i(i) cNiC
Доказательство.
h . *103-34 . oh: Нр . а! р. о . р е NoC .
[*105-31] o.HdjeN’C (1)
h . *103-324 .oh:Hp.~a!p,.o.~a! p(i).
[*105-27] o.^eNiC (2)
h . (1). (2). dF. Prop
*105-343. h : p e NC . о . p<2) 6 N2C
*105-344. h : p = N^y. о . p(i) = Noc‘y
Доказательство.
h . *104-24 .oh: Hp . о . p = Noc‘i“y .
[*105-3] о . p(i) = Nic4“y.
[*105-2] о . p(1) = Noc‘y: о h . Prop
*105-345. h : p = N2c‘y. о . p(2) = Noc‘y
*105-35. h peNC . veNoC . о : p = v(1). = . p(i) = v
Доказательство.
h . *105-326 . *104-26 . о
h: p e NC . v = Noc‘y . P(i) = v. о . p = N!c‘y. v(1) = N^y.
[*13-172] o.p = v(1) (1)
h . *104-26 . Fact. о
h: p e NC . v = Noc‘y. p = v(1). о. p = N!c‘y •v = Noc‘y •
[*105-344] о . p(i) = Noc‘y. v = Noc‘y.
[*13-172] o.p(1)=v (2)
h . (1). (2). о h :. p e NC . v = Noc‘y. о : p = v(1). = . p(i) = v (3)
h. (3). *103-2 .oh. Prop
* 105-351. h :. peNC . veNoC . о : p = v(2). = . p(2) = v
* 105-352. h :. p, v e NC . a! v . о : p = v(1). = . p(1) = v [*105-35 . *103-34]
* 105-353. h :. p, veNC . g! v. о : p = v(2). = . p(2) = v
* 105-354. h : v c NC . g! v . о . {v(1)}(1) = v [*105-352]
* 105-355. h : v 6 NC . a I v • о . {v(2)}(2) = v
* 105-356. h : p e NC . a! H(i) • => • (H(d}(1) = P [*105-352]
* 105-357. h : p e NC . a J H(2) • • (P(2)}(2) = H
* 105-36. h : рб^с‘а. у eNic‘0. о. у eN2c‘a
Доказательство.
h . *105-11 .oh: Hp . о . P sm a. Pefo‘a . у sm p . у сГо‘Р •
[*73-32 . *63-38] о . у sm a. у e Ц ‘a.
[*105-111] о . у cN2c‘a: о h . Prop
* 105-361. h : PcNic‘a. у eN2c‘a . о . у eNic‘P
Доказательство.
h . *105-11-111 .oh: Hp .o.psma. РбГо‘а . у sm a . у eti ‘a .
[*73-31-32] о . у sm p . p e to'a . у e t\ ‘a (1)
h . *63-54 . о h : Pefo‘a. о . Го‘Р = fi‘a (2)
h. (1) . (2) . о h : Hp . о . у sm P . у еГо‘Р •
[*105-11] о . у 6Nic‘P : о h . Prop
Principia Mathematica II
*105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ
107
*105-362. F: р e Nic‘a. э. Njc'P = N2c‘a [* 105-36-361 ]
*105 37. h:Noc‘P = N1c‘a.z>.N1c‘P = N2c‘a [*105-362. *103-12]
*105-371. Ь: а! ц(2). э. g! ц(1)
Доказательство.
Ь. *63-381 . (*63-05) .э
h : у sma. aeц. у er2‘p. э. ysma. aep,. Г‘у = Г2‘ц •
[*73-41 . *63-64] э . i“y sm a. a е |i. Г0Ч“у = r2‘|i.
[*63-57] э . i“y sma . aeц. f i“y = r/p,.
[*63-103] э . i“y sma. ae|i. i“y efi‘p.
[*105-16] э . i“y e‘|i(i).
[*10-24] э.э!ц(1). (1)
F. (1) .*10-11-23 .э
I": (aa) • ysma. aeц.уе12‘ц. э. a’-H(i) (2)
I- . (2). *105-161 . z> h : yeH(2). z>. a'-H(i) (3)
F. (3). *10-11-23 . z> F . Prop
*105-372. I-: Щ1) = A. z>. щ2) = Л [*105-371 . Transp]
*105-38. F. {ц(1)|(1) =ц(2)
Доказательство.
h . *105-16 . z> h : у e {и(1)}(1). . (30). 0 e h(d . у sm 0 . у e ro‘0 .
[*105-16] = . (ga,0). аец. 0sma . 0ero‘a. у sm0. у еГо‘0 • (1)
[*73-32 . *63-38] э . (да). аец. у sm а. у еГ1 ‘а (2)
I-. *73-41 . *63-64-53-57 . э
1-: а е р. . у sm а. у е ‘а . о. а е ц. i“ysmа.уsmi“y.уеГо“ь“у. i“yet^a.
[(1)] => • Ye(H(i)}(i)
I-. (2). (3). э I-: у е (р.(П)(1). = . (за). а е ц. у sm а. у е h‘а.
[*105-161] э . у е Ц(2): э h . Prop
*105-4. F :yeN2c‘a. D.i“yeNic‘a
Доказательство.
I- . *105-111. *73-41. *63-64 . э F:
Hp . э . i“y sm a . у e t\ ‘a. у e to 4‘ ‘y.
э . i“y sm a. t\ ‘a = Го‘е“у •
D.i“ysma. i“yero‘a.
э . i“y eNjc‘a : э h . Prop
[*105-4]
[*105-41]
[*63-41-383-16-55]
[*63-54]
[*105-11]
*105-41. F : 3! N2c‘a. z>. 3! N[C‘a
*105-42. F : N]c‘a = Л. z>. N2c‘a = A
*105-43. F : p.(i) = Njc'a. z>. p.(2) = N2c‘a
Доказательство.
F . *105-11 . z> F
[*63-54 . *100-31-321]
[*105-1-101]
F . *105-3 . *103-26 .
[*105-38]
F.(l).(2).
F. *105-372-42 .
h . (3) . (4). э h . Prop
: Hp . 0 e p(i). э . 0 e Nc‘a П to'o..
э . Nc‘0 = Nc‘a. ro‘0 = ti ‘a .
э . Nic‘0 = N2c‘a
э h : Hp . 0 e p(i). э . Nic‘0 = {p(i)}(1)
= H(2)
э h : Hp . g! |i(i). э . p(2) = N2c‘a
э h : Hp . |i(i) = Л . э . |Л(2) = A . N2c‘a - A
(3)
(3)
(1)
(2)
(3)
(4)
A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
108 ЧИСЕЛ
*105-44. h.N2c72‘a = A
Доказательство.
h . *105-26 . э . Nic Wa = А .
[*105-42] э . N2c7‘f a = А . э h . Prop
Principia Mathematica II
106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ
109
*106. Кардиналы относительных типов
Краткое содержание *106.
В этом параграфе мы должны рассмотреть кардиналы, чьи элемен-
ты представляют собой классы отношений, которые находятся в данном
отношении по типу к некоторому данному классу. Например, мы имеем
J,x“asma, и J,x“a находится в данном отношении по типу к а53, когда
х задан. Поэтому мы хотим иметь обозначение для Nc‘aAfj,x“a и всех
ассоциированных понятий. В этом параграфе мы будем иметь дело лишь
с отношениями, в которых референт и релятив находятся в некотором от-
ношении по типу, которое может быть выражено посредством обозначения
из *63, т.е., грубо говоря, когда для подходящих значений а, т и п наши
отношения содержатся в п
или rw‘afrn‘a, или /'"‘ajf/a, или гт‘аТ^‘а.
Таким образом, если fRV‘a было определено, то мы будем полагать
МИуС‘а = Nc‘aAr7RV‘a Df,
N^VC =П‘МИуС Df,
^d(|iv) = sm A t tyy t\ Df
с аналогичными определениями для r^v‘a, rHv‘a и %‘а.
Намного более важным случаем является таковой для Год‘а. Для этого
случая мы имеем
* 106-1. h : р е Nooc‘a . = . р е Nc‘a . р е ffa/a • = . Р sm a . р е r‘r‘(^o‘a J Го ‘°0 •
= . р sm a . Р с f(a Т а)
Таким образом, Nooc‘a будет числом класса отношений, чьи поля при-
надлежат тому же самому типу, что и а, при условии, что этот класс
отношений подобен а. Например, число термов, таких как xj,x, где хе а,
будет Nooc‘a.
Мы имеем
* 106-21. h . э! Nooc‘a . Nooc‘a е NqC
* 106-22. h : XeNo^a. =. Cnv“kc ^oc^x
* 106-23. h : p e N^a. z>. Nnc‘a = Nooc‘P
* 106-32. h : to'a = r0‘P . =>. (3y, 6). у e Nooc‘a. 5 e Nooc‘P . у A 5 = A
*106-4-41-411. h : ц = Noc‘a. э . p(oo) = Nooc‘a . p(11) = Nnc‘a . р,(ц) = Nnc‘a
*106-53. h . Nc (a)7oo‘a = A
откуда следует, что
* 106-54. h . Noc7oo‘a ~ eN00C
Предложения настоящего параграфа, исключая *106-21, никогда не упо-
минаются в дальнейшем (исключая их упоминание в *154-25-251-262, ко-
торые сами нигде больше не используются), однако они имеют несколько
большую значимость, нежели предложения из *105, благодаря тому факту,
что арифметические операции определяются посредством классов отноше-
ний, т.е. сумма двух кардиналов (например) определяется как кардиналь-
ное число некоторого класса отношений (ср. с *110).
53 В оригинале — X x“a has a given relation of type to a. — Прим, перев.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
110 ЧИСЕЛ
*106-01. Nooc‘a = Nc‘a П f fa/a Df
*106-011. N11c‘a = Nc‘anfr11‘a Df
*106-012. Noic‘a = Nc‘anfroi‘a Df и т.д.
*106-02. hVc^x = Nc‘a П f fo1 ‘a Df и т.д.
*106-021. 1Noc‘a = Nc‘anf %‘а Df и т.д.
*106-03. NooC = D‘N(X)C Df и т.д.
*106-04. P-(oo) =sm“p,Afroo‘ri‘p, Df
*106-041. p,(11) = 8т“р,Пг7п7]‘р, Df и т.д.
* 106-1. h : p€Nooc‘a . = . PcNc‘a . pcffafa .
= . P sm a . p e J r0‘a) •
= . P sm a . p c f (a f a)
[*100-1 . (*106-01 . *64-01). *64-11]
*106-101. h : PcNnc‘a . = . PcNc‘a . Pcffba .
= . P sm a. P e f f (f a J fa).
н . P sm a . P c f (f a | fa)
Аналогичные предложения имеют место для любого другого двойного
индекса /им, для которого /'""‘а было определено.
* 106-11. h : Р € Noic‘a . = . Р е Nc‘a. р с f ZOi ‘а .
= . Р sm а . р е f f (r0‘a Т ‘а).
= . Р sm а . р с f (z0‘a Т й ‘а)
Аналогичные предложения имеют место для любого другого двойного
суффикса /им, для которого zmn‘a было определено.
*106-12. h : PeNoVa . = . PcNc‘a . pcf^a .
= . P sm a . p e f fa).
= . P sm a . p c f (r0‘a T fa)
*106-121. h : Pc ^‘a. s . PcNc‘a . Pcf %‘a.
= . P sm a . p c f f (f a T r0‘a).
= . P sm a . p c f (f a f z0‘a)
Аналогичные предложения имеют место для любого другого индекса и
суффикса, для которых tmnia или nrw‘a было определено.
* 106-13. h: р с NooC . = . (яа). р = Nooc‘a [*100-22 . *71-41]
Аналогичные предложения имеют место для NnC‘a и т.д.
* 106-14. h : р е р,(оо). = . (да). а е р,. р sm а . р е t't'lti ‘р, J й ‘р).
= . (яа). а е р. Р sm а . р с f fa/a •
= . (я а). а ср,. Psma . Ра f(a Т а) [*64-33-11]
* 106-141. h : Рсро1 . = . (яa) .acp.psma.pcr‘f(h‘рТ А)‘н) •
= . (яа). а с р. р sm а . р с f fo1 ‘а .
= . (я a) .acp.psma.pc f (а Т fa)
Аналогичные предложения имеют место для !ро, р11, рп и т.д.
Principia Mathematica II
106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ
111
*106-2. F : хе to*а. э . J, л“а е Nooc'a. 1 x“aeNoc‘J. х“а
Доказательство.
F . *55-15 . э F: R е | х“а. э. D‘R с а . d‘R = i‘x:
[*63-105] э I-xeto‘a. э:Re 1 x“a. эд . D‘R cto‘a. G‘Rc to‘a.
[*35-83] эд . R G lo‘a f lo‘a.
[*64-16-13] эд . R e Z‘(a f a):
[*22-1] э: J, x“a a f (a T a)
F. (1). *73-611 . *106-1 . *103-12 . э I-. Prop
*106-201. F : 0er‘a. э. J, fT'aeNo'c'a
*106-202. I-: 0е?‘а . э. J, P“aeNo2c‘a
*106-203. I-.la“aeN0‘c‘a
*106-204. I-. J, (i“a)“aeNo2c‘a
*106-21. F. 3! Nooc'a. Nooc'a e NoC
*106-211. F . A ~ e NqoC . NooC c NqC . NooC e Cis ex2 excl
*106-212. F . A ~ e N0‘C . No1 C a N0C . N0‘C e Cis ex2 excl
*106-213. F . A ~ e N02C . N02C a N0C . N02C e Cis ex2 excl
*106-22. F : XeNo’c'a. в . Cnv“Xe 'Noc‘a
Доказательство.
h . *73-4 . h : к sm a . = . Cnv“k sm a
h . *6416 . z> hkcf(Jo‘a T fa). = : ReX . z>R . R G r0‘a T :
[*35-84] = : R e к. z>R . R G fa T r0‘a :
[*37-63] = : 5 e Cnv“k. z>s . 5 g f a T to'a :
[*64-16] = : Cnv‘‘k a f (f a T fo‘a)
h. (1). (2). *106-12. z>h. Prop
Приведенное доказательство требует, в дополнение к *106-12, своего
лога для ^‘а. Такие аналоги будут приниматься по мере необходимости.
*106-221. h : к с No2c‘a. = . Cnv“kc2Noc‘a
*106-222. I-. A ~ е !N0C . %С с N0C . %С е Cis ex2 excl
*106-223. h . A ~ e 2N0C . 2N0C a N0C . 2N0C e Cis ex2 excl
Другие предложения того же вида, как и приведенные выше, могут
быть доказаны, замечая, что если т и п представляют собой индексы, для
которых /'"‘а и f‘а были определены, то мы имеем
(1)
[*106-201]
[*106-202]
[♦106-2 . *63-18]
[*106-21 . *103-24]
[*106-203]
[*106-204]
(1)
(2)
ана-
[*106-22-212]
ycf‘a . PcNmc‘a . z>. 1 P“y€Nwnc‘a,
доказательство которого является прямым и простым. Следовательно, так
как мы всегда имеем g!Nmc‘a, то мы также всегда имеем
3! Nw"c‘a,
откуда
Nm”C с N0C . N™C е Cis ex2 excl.
Мы имеем подобным же образом
3! Nomc‘a . а! mNoc‘a .
Однако мы не всегда имеем
или a!Nnmc‘a, или g!mNnc‘a.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
112 ЧИСЕЛ
*106-23. h : . =>. Nnc‘a = Nooc‘P
Доказательство.
h . *64-33 . *104-1 . *63-5 . э h : Нр . э . Z11 ‘a = Zoo‘P
h . (1). (*106-01-011). *100-321 . э h . Prop
*106-231. h : PeNic‘a . э . Nnc‘a = Nooc‘P [Док-во, как в *106-23]
*106-24. h : N^a = Nqc‘P . э . Nnc‘a = Nqqc‘P [*106-23]
*106-241. h : NiC‘a = Nqc‘P . z> . Ыцс‘а = Nooc‘P
Аналоги приведенных выше предложений для других индексов или суф-
фиксов доказываются подобным же образом.
*106-25. h . Nnc‘a = Nooc‘i“a [*106-23 . *104-2]
*106-251. h . Nooc‘a = Niic‘i‘‘a
*106-31. h : x,y eZo‘a • = to‘P • • => •
J, x“acNooc‘a . J,y“PeNooc‘P . J, x“a A J, x“P = A
[*106-2 . *55-233]
*106-311. h хсГо‘а • ^o‘a = ^o‘P : ci = A . V . P = A : э .
J,x“acNooc‘a . J,x“PcNooc‘P . J, x“a A J, x“P = A
[*106-2 . *55-232 . Transp]
*106-312. h : = i‘x. a = P = i‘x. z> .
T i‘*) e Nooc‘a. i‘(A J i‘x) e Nooc‘P . l‘(l‘x T i‘*) H l‘(A J i‘x) = A
Доказательство.
h . *73-43 .oh. l‘(l‘x T l‘x) sm i‘x. i‘(A T i‘x) sm i‘x.
[*13-12] z> h : Hp . э . l‘(l‘x f i‘x) sm a . i‘(A f i‘x) sm P (1)
h . *64-16 . d h : Hp . z>. i‘x T Гоо‘а . A 1 Гсю‘а (2)
h . (1). (2). *106-1 . *51-161 . *24-54 . *55-202 . z> F . Prop
*106-32. h : to'a = Го‘Р • => • (ЗУ, 6) • у eNooc‘a . 5eNooc‘P . у A 5 = A
Доказательство.
h . *106-31 . z> h Hp : (зх,у). x,yetQla . x#y: э .
(3у, б). у c Nooc‘a. 5 с Nooc‘P . у А 5 = А (1)
h . *52-4 . z> h : ~ (gx,y). х,у е Го‘« . х /у. z> . to‘a е 1 U l‘A .
[*63-18] эЛо‘аб1 (2)
h . (2). *60-38 . *63-105 . *52-46 . z> h : ~ (gx,y). х9уе^а . х #у . 3! a . 3! Р . э .
a = p = r0‘a . Г0‘ае 1.
[*106-312] z>. (зу, 5). у е Nooc‘a . 6 с Nooc‘P . у А 5 = A (3)
h . *106-311 . *63-18 . э
h Нр : ~ (з! a . з! Р): э . (зу, 5). у с Nooc‘a . 5 е Nooc‘P . у А 5 = А (4)
h . (1) . (3) . (4) . э h . Prop
*106-4. h : ц = Noc‘a . z>. p,(oo) = Nooc‘a
Доказательство.
h . *106-14 . z> h :: Hp . z>P e poo . = : (зу). ycNoc‘a . Psmy . Peffa/Y:
[*64-3] = : (зу). у e Noc‘a . P sm у . P e f fa/a :
[*102-84] = : p sm a . p c r7oo‘a :
[*106-1] = : P c Nooc‘a :: z> h . Prop
Principia Mathematica II
*106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ
113
*106-401. h : pi = N^a . z>. Ц(оо) = Nnc‘a
Доказательство.
h . *104-24 . *106-4 . э h : Нр . э . ц(оо) = Nooc‘i“a
[*106-25] = Nnc‘a: э h . Prop
*106-402. h : p, = N!c‘a . g! ц. э . Щоо) = Nnc‘a
Доказательство.
h . *106-231 . z> I-: Hp . P с ц. . Nnc‘a = Nooc‘P
[*106-4. *103-26] =H(oo) (1)
h . (1). *10-11-23-35 oh :Hp.g! . p,(Oo) = Nnc‘a : э h. Prop
*106-41. h : p = Noc‘a . z> . p(11) = Nnc‘a
Доказательство.
h . *63-54 . (*106-041). *103-27 . э
h :: Hp . э Pep(11). = : (gy). у eNoc‘a . Psmy : Per7n7o‘a :
[*102-84 . *64-32] = : P sm a . P e f Г11 ‘a:
[(*106-011)] = : PcNnc‘a ::dF. Prop
*106-411. h : p = Noc‘a . э . P(n) = Nnc‘a [Док-во, как и в *106-41]
* 106-43. h : ц, v е N0C . f ц = f v . z> . (gу, 6). у е ц(Оо). 6 е v(00). у А 5 = А
Доказательство.
h . *103-2 . э h : Нр . э . (ga, Р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P .
[*106-4] z>. (да, P). p(00) = Nooc‘a . v(00) = Nooc‘P.
[*106-32] э . (gy, 6). у e p(00) • 6 e v(Oo). у A 5 : э I-. Prop
* 106-44. h : pi, vcNqoC . f pi = f v . z>. (gy, 5).yep.5ev.yA5 = A [*106-32]
Следующие предложения представляют собой аналоги *102-71 и после-
дующих, и подобные замечания применяются и к ним.
* 106-5. h : R е Cis -> 1. TYR с a . СГЯ с Rl‘(a Т a).
W = xy {х,у ea . ~ х(Я‘х)у}. э . W. W Ga J a
Доказательство.
h . *4-73 . dF:: Hp . z> x,y ea . : xWy . = . ~ x(R‘x)y :
[*5-18] z>x,y : ~ {xWy . = . х(Я‘х)у)
[*10-1] z>xea . ~ {xWx . = . х(Я‘х) x).
[*21-43 . Transp] z>x . W # Я‘х
[Hp] z> хеВ‘Я . . W ^R'xz.
[*71-411 .Transp] э:.1У~еа‘Я (1)
h . *21-33 . (*35-04). э h : Hp . э . W Ga T a (2)
h . (1) . (2) . э h . Prop
* 106-51. h : P c a . э . ~ {P sm Rl‘(a J a))
Доказательство.
h . *106-5 . э I-: Hp .Яe 1 -> 1 . D‘tf = p . СГЯaRl‘(a?a) . d.
(gW). WeRl‘(aTa). W-еСГЯ.
[*13-14] z>. СГЯ # Rl‘(a T a) (1)
H. (1).*22-41 .эН:.Нр.э:Яе1->1 .О‘Я = р.эл.СГЯ#НГ(аТа):
[*10-51 . *73-1] э : ~ {P sm Rl‘(a f a))z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ
114 ЧИСЕЛ
* 106-52. F : р с Го‘а . =>. Р ~ с Nc7qo‘(x
Доказательство.
F . *106-51 . э h : Нр . э . ~ {р sm Ш‘Оо‘а Т •
[*64-54] d . ~ (Р sm Гоо ‘а}.
[*100-1] =>. Р ~ eNc7oo‘a : э F. Prop
* 106-53. F . Nc (а)7оо‘а = Л [*106-52 . *102-6 . *63-371]
* 106-54. F. Noc7oo‘a~eNooC
Доказательство.
F . *100-33 . *103-15 . э
F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. z>. P sm fa/a (1)
F. *103-12. (*106-01). э
F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. э . fa/a e ffa/P.
[*63-16 . (*64-01)] z> . f f (fo‘a T fo‘a) = T fo‘P) •
[*63-391] =>. f(fo‘a T to‘a) = t‘(to‘P T to‘P) •
[*64-3 . (*64-01)] z> . = r0‘P •
[*63-105] D.pcfo‘a (2)
F . (1). (2). э F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. d . PcNc7oo‘a . Pcf0‘a (3)
F . (3). Transp . *106-52 . э F . (P). Nooc‘P # Noc7oo‘a .
[*106-13 . Transp] э F . N0c7oo‘a ~ eNooC . э F . Prop
* 106-55. F. а! N0C-NooC [*106-54]
Principia Mathematica II
ГЛАВА 2.
СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ
И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
Краткое содержание главы 2
В настоящей главе мы должны рассмотреть арифметические операции
как в применении к кардиналам, так и в применении к отношению боль-
ше и меньше между кардиналами. Поэтому материал, с которым мы бу-
дем иметь дело в этой главе, есть первое, что собственно принадлежит
к арифметике.
Трактовка сложения, умножения и экспоненциации, которая будет да-
на далее, направляется желанием обеспечить наибольшую возможную общ-
ность. Во-первых, все, что должно быть сказано в общем об арифметиче-
ских операциях, должно применяться в равной степени к конечным и бес-
конечным классам или кардиналам. Во-вторых, мы желаем иметь такие
определения, которые позволили бы числу слагаемых в сумме или множи-
телей в произведении быть конечным. В-третьих, мы желаем иметь воз-
можность складывать или умножать два числа, которые не обязательно
принадлежат одному и тому же типу. В-четвертых, мы желаем, чтобы на-
ши определения были бы таковыми, что сумма кардинальных чисел двух
или более классов зависела бы только от кардинальных чисел этих клас-
сов, и были бы теми же самыми, когда классы частично перекрываются
и когда они взаимно исключающие, с подобными же условиями для про-
изведения. Желание получить определения, удовлетворяющие всем этим
условиям, приводит к несколько более сложным определениям, чем могли
бы потребоваться в ином случае; однако в итоге результат оказывается бо-
лее простым, чем если бы начали с более простых определений, поскольку
мы избегаем не имеющих достаточных оснований исключений.
116
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
Приведенные выше замечания станут более ясными в процессе их при-
менения. Начнем со случая арифметического сложения двух классов.
Если аир есть взаимно исключающие классы, то сумма их карди-
нальных чисел будет кардинальным числом а up. Однако для того чтобы
а и Р могли быть взаимно исключающими, они не должны иметь общих
элементов, а этот признак является значимым, только когда они принадле-
жат одному и тому же типу. Следовательно, задав два совершенно общих
класса а и Р, нам требуется найти два класса, которые взаимно исключи-
тельны и соответственно подобны а и Р; если эти два класса назвать а' и
Р', то Nc(a'uP') будет суммой кардинальных чисел аир. Мы замечаем,
что Ada и А П Р указывают соответственно А-ы того же самого типа, что
а и Р, и соответственно мы принимаем в качестве а' и Р' два класса
J,(AnP)“t“a и J,(Ana)“i“P;
эти два класса всегда принадлежат одному и тому же типу, всегда взаимно
исключающие и всегда подобны а и Р соответственно. Следовательно, мы
определяем
a + Р = J, (А П P)“i“a U(Ana) J, ‘ Ч“Р Df.
Сумма кардинальных чисел аир будет тогда кардинальным числом
a + Р; следовательно, мы можем назвать a + р арифметической класс-сум-
мой двух классов, в отличие от a U р, которая представляет собой логи-
ческую сумму. Будет замечено, что a + р, в отличие от a U р, не требует,
чтобы а и Р принадлежали одному и тому же типу. К тому же a + a не
тождественно а, однако когда a = А, то a + a также представляет собой А,
хотя и в пределах некоторого другого типа. Поэтому закон тавтологии не
имеет места для арифметической класс-суммы двух классов.
Если ц и v есть два кардинала предписанных типов, то мы обозначаем
их арифметическую сумму посредством p+cv. (Так как много видов ариф-
метического сложения встречается в нашей работе, и так как для наших
целей является существенным различать их, то мы будем различать их
посредством суффиксов знака сложения. Конечно, это имеет смысл, лишь
если мы имеем дело с принципами, где эти различные символы вообще
необходимы: мы не хотим предполагать, что они должны быть адаптирова-
ны к обычной математике.) Если p+cv предполагается имеющим свойства,
которые мы обычно ассоциируем с суммой двух кардиналов, то оно долж-
но быть типово неопределенным, и должно быть кардинальным числом
любого класса, который может быть разделен на две взаимно исключаю-
щие части, имеющие ц термов и v термов соответственно. Следовательно,
мы приходим к следующему определению:
Н +с v = I {(да, ₽). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . § sm (a + P)} Df.
В этом определении следует отметить различные аспекты. Во-первых,
оно не требует, чтобы ц и v были бы одного и того же типа; ц +с v является
значимым всякий раз, когда ц и v представляют собой классы классов.
Поэтому не является необходимым для значимости, чтобы ц и v были бы
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
117
кардиналами, хотя если они оба не являются кардиналами, то ц +с v = А.
Если они оба являются кардиналами, то мы находим
Н +с v = I {(а а, Р). а е р. р е v. § sm (а + ₽)).
Поэтому в указанном случае
aep,.pev.D.a + Pep,+cv.
Следовательно, если ни ц, ни v не являются нулевыми, и если а имеет ц
термов и Р имеет v термов, то a + Р есть элемент ц +с v. Без труда выво-
дится, что
h : ц = Noc‘a . v = Noc‘P . э . ц +с v = Nc‘(a + Р) •
Следовательно, когда р, и v есть однородные кардиналы (т.е. когда они
есть кардиналы, отличные от А), то их сумма есть число арифметической
класс-суммы любых двух классов, имеющих ц термов и v термов соответ-
ственно.
Необходимо сказать несколько слов для объяснения того, почему в опре-
делении мы полагаем ц = Noc‘a . v = Nqc‘P, а не ц = Nc‘a . v = Nc‘p. Причина
заключается в следующем. Предположим, что либо ц, либо v, скажем ц,
есть А. Тогда, согласно *102-73, p = Nc(^)7‘^, если t, принадлежит подхо-
дящему типу. Следовательно, если мы положили
Н +сv = f {(л a, ₽) • Н = Nc‘a. v = Nc‘P. £ sm (а + Р)) Df,
где неопределенности типа, заключенные в Nc‘a и Nc‘P, могут быть де-
терминированы так, как мы пожелаем, то мы должны получить
v = Nc‘P. э . + Р е ц +с v,
т.е.
v = Nc‘P . э . f £ + Р с A +с v .
Мы также имели бы + Р с A +с v и т.д. Поэтому A +с v не имело
бы определенного значения, т.е. оно не могло бы просто обладать типо-
вой неопределенностью, которую ей следовало бы иметь, но оно не име-
ло бы определенного значения, даже когда его тип был бы предписан.
Поэтому такое определение было бы неподходящим. По причинам, приве-
денным выше, мы полагаем ц = Noc‘a . v = Nqc‘P в указанном определении
и получаем типовую неопределенность, которую мы желаем, посредством
типовой неопределенности “sm” в “^sm(a + P)”. Всегда существенно для
правильной символики, чтобы значения типово неопределенных символов
были уникальными, коль скоро их тип предписан. Область этих опреде-
лений и соответствующих определений для умножения и экспоненциации
(♦113-04-05 .*116-03-04) расширяется соглашением ПТ из Предварительных
формальных соглашений.
Приведенное выше определение p+cv предназначено для случая, в ко-
тором ц и v являются типово определенными. Однако мы всегда должны
иметь возможность говорить о “Nc‘y +с Nc‘6”, и оно должно быть опреде-
ленным кардиналом, а именно Nc‘(y +6). Если мы просто пишем Nc‘y, Nc‘6
вместо ц, v в определении p+cv, то мы находим
Nc‘y +с Nc‘6 = f {(ga, Р). Nc‘y = Noc‘a . Nc‘6 = Noc‘P . sm (a + P)}.
Однако оно не всегда имеет определенное значение, когда тип Nc‘y+cNc‘6
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
118
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
предписан. Для рассмотрения простейшего случая запишем Г t, вместо у и
i‘y вместо 6. Тогда
Nc‘f£ +с Nc‘i‘y = f {(ga, Р). Nc‘f£ = Noc‘a . Nc‘i‘y = Noc‘0 . | sm (a + P)},
откуда мы без труда получаем
Nc‘f£ +с Nc‘i‘y = | {(ga). Nc‘f£ = Noc‘a . £ sm (a + i‘y)}.
Если мы детерминируем неопределенность Nc‘f£ посредством Nic‘f£, то
мы находим
Nc‘f£+C Nc‘i‘y = A
в пределах всех типов; однако если мы детерминируем неопределенность
посредством Noc‘f£, то мы имеем
Nc‘f £ +с Nc‘i‘y = Nc‘(^X + i‘y),
и оно существует в пределах типа f £ + i‘y, если не в пределах более низких
типов. Следовательно, значение Nc‘f£ +с Nc‘i‘y зависит от детерминации
неопределенности Nc‘f Очевидно, что мы хотим, чтобы наше определение
давало бы
Nc‘y +с Nc‘d = Nc‘(y + б)
в пределах всех типов; однако для чтобы быть уверенными, что оно бу-
дет выполняться, даже когда Nc(£)‘y = A для некоторых значений £, мы
должны ввести два новых определения, а именно
Nc‘a +с ц = Noc‘a +с ц Df,
ц+с Nc‘a = ц +с Noc‘a Df,
откуда
F : Nc‘a +с Nc‘P = Noc‘a +с Noc‘P = Nc‘(a + P).
Это определение применяется, когда “Nc‘y” и “Nc‘6” встречаются без ка-
кой-либо детерминации типа. С другой стороны, если мы имеем Nc(£)‘Y
и Nc(t])‘6, то мы применяем определение ц+су. В дальнейшем мы обна-
ружим, что всякий раз, когда Nc(£)‘Y и Nc(r])‘d оба существуют, то
Nc (У ‘у +с Nc (ц)‘б = Noc‘y +с Noc‘d.
Таким образом, приведенное выше определение требуется только для то-
го, чтобы исключить значения £ или ц, для которых либо Nc(£)‘Y, либо
Nc(t])‘6 есть А. Законы коммутативности и ассоциативности арифметиче-
ского сложения без труда выводятся из определения a + р. Мы будем иметь
h . a + Р = Cnv“(P 4- a),
откуда
h . Nc‘a 4-c Nc‘P = Nc‘P 4-c Nc‘a,
потому что каждое = Nc‘(a 4- P). Аналогичное, однако несколько более длин-
ное доказательство показывает, что
h . (а 4- Р) 4- у sm a 4- (Р 4- у),
откуда
h . (Nc‘a 4-с Nc‘P) 4-с Nc‘y = Nc‘a 4-с (Nc‘P 4-с Nc‘y).
Приведенное выше определение a 4- р позволяет нам перейти к сумме
любого конечного числа классов и позволяет любому одному классу сно-
ва появляться в суммировании. Однако оно не позволяет нам определить
сумму бесконечного числа классов. Для этого мы нуждаемся в новом опре-
делении. Так как бесконечное число классов не может быть задано пере-
числением, а лишь посредством интенции, то мы будем вынуждены взять
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
119
класс классов к и определить арифметическую сумму элементов к. Поэто-
му классы, которые представляют собой слагаемые, все должны быть од-
ного и того же типа (так как они все есть элементы к), и ни один класс не
может встречаться более одного раза, так как каждый элемент к считается
только однажды. (Для того чтобы иметь дело с повторением, мы долж-
ны подойти к умножению, которое будет в скором времени объяснено.)
Таким образом, при снятии ограничений на конечность числа слагаемых
мы вводим некоторые другие ограничения. Это как раз та причина, кото-
рая оправдывает затраченное на введение приведенного выше определения
а + р время вдобавок к определению, которое сейчас будет дано.
Если к есть класс классов, то сумма кардинальных чисел элементов к
будет, очевидно, получена посредством конструирования класса взаимно
исключающих классов, чьи элементы находятся в одно-однозначном отно-
шении к элементам соответствующих элементов к. Предположим, что а, р
есть два различных элемента к, и предположим, что х есть элемент обо-
их классов аир. Тогда мы хотим подсчитывать х дважды, один раз как
элемент а и один раз как элемент р. Простейший способ сделать это —
сформировать ординальные пары х 1 а и х j Р, которые не являются тож-
дественными, исключая случай, когда аир тождественны. Таким образом,
если мы берем все такие ординальные пары, т.е. если мы берем класс
Я {(gx). х € а . Я = х J, а},
для каждого а, которое есть элемент к, то мы получаем класс взаимно
исключающих классов, а именно классов вида J,a“a, где аек, и каждый
из них подобен соответствующему элементу к. Следовательно, логическая
сумма этих классов классов, т.е.
R {(за, х). а € к. х € а. R = х 1 а},
имеет требуемое число термов. Согласно *85-601
1 а“а = €j‘a.
Следовательно, класс, чья логическая сумма, которую мы берем, есть
еГ‘к. Следовательно, мы полагаем
Х‘к = 5‘е1“к Df.
Е‘к может быть назван арифметической суммой к, в отличие от 5‘к, ко-
торый является логической суммой. Поэтому Е‘к находится к $‘к в таком
же отношении, что и a + р к аир.
Мы полагаем далее
ENc‘k = Nc‘s‘e Г‘к Df.
Таким образом, ENc‘к есть сумма чисел элементов к.
В дальнейшем будет замечено, что ENc‘к не является, вообще говоря,
функцией от Nc“k. Так как если два элемента к имеют одно и тоже кар-
динальное число, то оно подсчитывается только однажды в Nc“k, в то
время как оно подсчитывается дважды в ENc‘к.
Затем будет найдено, что при условии a / р
Е Nc‘(i‘a U i‘p) = Nc‘a +с Nc‘p .
Поэтому там, где это относится к конечному числу слагаемых, два опреде-
ления сложения согласуются, исключая то, что первое позволяет одному
классу быть подсчитанным несколько раз, в то время как второе —нет.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
120
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
При рассмотрении умножения наша процедура является подобной про-
цедуре для сложения. Во-первых, мы определяем арифметическое класс-
произведение двух классов аир, которое представляет собой некоторый
класс, чье кардинальное число есть произведение кардинальных чисел а
и р. Мы пишем р х а для арифметического класс-произведения р и а и
определяем его как класс всех ординальных пар, у которых референт есть
элемент а и релятив есть элемент р, т.е. как
Согласно *40-7, этот класс представляет собой s‘aX“p. Следовательно, мы
полагаем
pxa = s‘aX“P Df.
Класс aj,“p подобен р, и каждый его элемент подобен а; следовательно,
если Т%с‘а = ц и Noc‘p = v, то s‘aX“p состоит из v классов, содержащих ц
элементов каждый. Класс аХ“Р является также важным в связи с экспо-
ненциацией. Произведение двух кардиналов определяется следующим об-
разом:
Н хс v = | {(да, р). ц = Noc‘a. v = Noc‘p . §sm (a x p)} Df.
В отношении типов это определение вызывает замечания, аналогичные
тем, которые были сделаны для p+cv. Так же, как и раньше, мы нуж-
даемся в определениях для ^xcNc‘a и Nc‘axcp, откуда мы получаем
Nc‘a хс Nc‘p = Noc‘a хс Noc‘p Df.
Посредством этих определений мы можем определить произведение любого
конечного числа кардиналов; однако для того чтобы определить произве-
дение бесконечного числа сомножителей, нам нужно новое определение.
Если к есть класс классов, то мы берем бд‘к в качестве его арифмети-
ческого произведения. В простых случаях легко видеть оправдание этого
положения. Например, пусть к состоит из трех классов ai, a2, аз, и пусть
элементы ai есть jq, х2; элементы у2; элементы аз— zi, Z2- Тогда
элементы €д‘к есть
*1 Х<*1 Uyi ja2 Uzi X «з
х2 X ai U yi X а2 U zi X а3
X«i 0y2X«2 0zi Х«з
х2 Х«1 0у2 X «2 0 zi Х«з
с еще четырьмя, полученными подстановкой zi вместо zx в приведенном вы-
ше. Таким образом, 1Чс‘бд‘к = 8 = Nc^ хс Nc‘a2 хс Nc‘a3. В общем, однако,
существование ед‘к вызывает сомнения, из-за неуверенности в справедливо-
сти аксиомы умножения. (Мы вскоре вернемся к этому вопросу.) Следова-
тельно, не существует доказательства того, что произведение бесконечного
числа сомножителей не может быть нулем, если ни один из сомножителей
не есть нуль.
Когда к есть класс взаимно исключающих классов, то €д‘к подобен
П“€д‘к. Принимая в расчет его более низкий тип, П“€д‘к часто оказыва-
ется более подходящим, чем €д‘к. Следовательно, мы полагаем
Prod‘K = D‘ ‘ед ‘к Df,
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
121
или (что приводит к тому же самому)
Prod = De | €д Df.
Для произведения кардинальных чисел элементов к мы полагаем
IINc‘k = Nc‘€a‘k Df.
Как и в случае ENc‘k, IINc‘k не является, вообще говоря, функцией от
Nc“k. Мы будем иметь
F : а р . э . П Nc‘(i‘a U i‘p) = Nc‘a хс Nc‘p .
Таким образом, для произведений конечного числа различных множителей
два определения умножения согласуются.
Остается определить экспоненциацию. Так как это некоммутативная
операция, то существенен порядок следования основания и показателя (экс-
поненты); следовательно, мы не получаем определения экспоненциации
класса к, аналогичного ENc‘k или IINc‘k, а только лишь определение
которое может быть распространено на любое конечное число экспоненци-
аций. Мы полагаем
a exp р = Prod‘a Х“р Df,
где сЦ“Р имеет смысл, разъясненный выше, вытекающий из *38-03. В даль-
нейшем будет замечено, что, если Т%с‘а = ц и Noc‘p = v, то а Х“Р есть класс
v взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ц термов; сле-
довательно, аехрр может быть подходящим образом использовано, чтобы
определить Следовательно, мы полагаем
= f {(за, р). ц = Т%с‘а. v = Т%с‘Р . £ sm (a exp p)} Df,
и по тем же причинам, что и ранее, мы полагаем
(Nc‘a)v = (Noc‘a)v Df и nNc‘₽ = HN°C‘₽ Df •
Приведенное выше определение экспоненциации дает то же самое зна-
чение для что и вытекающее из определения Кантора посредством
“Belegungen”. Класс “Belegungen” Кантора есть
R {R е 1 Cis . D ‘Я с a. О ‘Я = р},
т.е.
(а?Р)д‘Р,
и без труда доказывается, что он подобен a exp р.
Обычные формальные свойства экспоненциации выводятся без особых
сложностей из приведенных выше определений.
Приведенное выше определение экспоненциации оформлено таким об-
разом, чтобы сделать предложения об экспоненциации независимыми от
аксиомы умножения, за исключением случая, когда экспоненциация свя-
зывается с умножением, т.е. когда показывается, что произведение v со-
множителей, каждый из которых есть ц, представляет собой Это пред-
ложение не может быть доказано в общем без аксиомы умножения. Ана-
логично в теории умножения предложение о том, что сумма v ц-элементов
есть цхсу, требует аксиомы умножения (так же, как и предложение, что
произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножите-
лей равен нулю). В остальном теория умножения развивается без необхо-
димости привлечения аксиомы умножения.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
122
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Во-первых, рассмотрим связь между сложением и умножением: эта
связь в той форме, в которой мы естественно полагаем эту связь имеющей
место, утверждается в предложении:
ц, v е NC . к е v А С1 ехсГц. э . $‘к е ц хс v (А)
или
ц, v е NC . к е v П СГц. э . Е‘к е ц хс v .
Мы примем первое из них как более простое. Оно утверждает, что сум-
ма v ц-элементов есть p,xcv. Это может быть доказано, когда v конечно,
независимо от того, конечно ли ц или нет; однако когда v бесконечно, то
указанное предложение не может быть доказано без аксиомы умножения.
Это можно видеть, исходя из следующего. Мы знаем, что
h : ц, v € NC . а е ц. р е v . э . а Х“р е v П С1 ехсГц. s‘a Х“р € ц хс v (В).
Поэтому (А), приведенное выше, будет получено, если мы сможем доказать
к, X е v А С1 ехсГц. э . s‘k sm s‘X,
поскольку потом мы положим а!“р для X и используем (В).
Так как к, X е v, то мы имеем к sm X. Предположим
5 е 1 -> 1. D‘5 = к. СГ5 = X.
Пусть Ki, К2, ... есть элементы к и Xi, Х2, ... есть элементы X, которые кор-
релируются с Ki, К2, ... посредством 5, т.е. Xi = 5 ‘Ki . Х2 = 5 ‘К2 . etc. Так как
к, X е СГц, то мы имеем Ki sm Xi . к2 sm Х2 . etc. Поэтому aS p . эад . a sm p, т.е.
S G sm. Если к и X конечны, то мы можем выбрать произвольное кор-
релирование 51 для Ki и Xi, другое S2 для К2 и Х2, и так далее; тогда
5i U52 0... коррелирует $‘к с s‘X, а поэтому s‘Ksmsl Однако когда к и
X бесконечны, то этот метод неосуществим. В этом случае мы поступаем
следующим образом.
Согласно *73 01
a sm р = (1 —> 1) А &‘а П &‘р Df.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
123
Таким образом, “a sm а” будет обозначать все перестановки класса в са-
мого себя; “a sm р” обозначает все перестановки а в р, т.е. все 1 —> 1, чья
область есть а, а обратная область —р. Очевидно, что
Ha’asm pnysm б.э.а = у.р = 5,
В случае кик, указанных выше, мы знаем, что asmp, когда а5р; поэтому
а е к. эа . э! a sm (S ‘а)
или
рек.эр.э!(5‘р) sm р.
Положим
Crp(S)‘p = (S‘P) sm р Df,
где “Сгр” обозначает “соответствие”. Таким образом, Сгр(5)‘р представ-
ляет собой класс всех соответствий 5‘р и р; Сгр (5)“X — класс всех таких
классов соответствий. Если мы извлекаем по одному элементу из каждо-
го указанного класса соответствий, то мы получаем класс отношений, чья
сумма есть коррелятор $‘к и s‘X, т.е.
стеВ“бд‘Сгр(5)“Х. э . j‘<De(s‘K) sm (s‘X).
Таким образом, желаемый результат следует всякий раз, когда
Я!ед‘Сгр (5)“Х.
Мы имеем 5 е 1 —> 1,5 G sm. э. Сгр(5)“XeClsex2excl. Следовательно
Mult ах.э:5е1—>1.S G sm . D‘5 = к. Q‘5 = X. к, X € Cis2 excl.
э. ?Ksm 5‘X,
откуда, согласно тому, что было сказано ранее,
Mult ах. э : к е v А Cl ехсГц. э . $‘к е ц хс v . Z Nc‘k = ц хс v .
Анализ €д‘Сгр(5)“Х приводит подобным же образом к предложению
h Mult ах. э : ц, veNC . K€V А СГц. э . €д‘кецу . ПМс‘к=
Доказательство весьма сходно с доказательством связи сложения и умно-
жения.
В дальнейшем будет видно, что в приведенном выше использовании
аксиомы умножения мы имеем два класса классов к и X, относительно
которых мы предполагаем
(Я5),5el -> 1.5 G sm. D‘5 = к. CTS = X,
т.е. мы предполагаем, что к и X есть подобные классы подобных классов.
Несколько измененная гипотеза, касающаяся к и X, позволит нам получить
много результатов без аксиомы умножения, а иначе мы должны были бы
ожидать привлечения указанной аксиомы. Это достигается следующим об-
разом.
Положим
Ksmsm X. = . (яГ). Т е 1 —> 1. Q‘T = s‘X. к = Те“Х,
где “smsm” есть единый символ, представляющий отношение.
Когда это отношение имеет место между к и X, то мы будем говорить,
что к и X обладают “двойным подобием”. В этом случае Т коррелирует
s‘k с s‘X, в то время как Ге коррелирует к с X, так что если р есть элемент
X, то Те‘Р, т.е. Т“р, есть его коррелят в к. Мы будем тогда иметь
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
124
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
I-: к sm sm X. э . s‘k sm s'X,
I-: Ksmsmh □ .ENc‘k = SNc‘X,
I-: KsmsmL □ . ПNc‘k = ПNc‘X.
Мы также имеем
F : KsmsmX. э . (gS).Sei —> 1.5 G sm.D‘S = к. CTS = X.
Обратно,
F : к,XeCis2excl . S e 1 -+ 1. S c sm. D‘S = к. CTS = X.
(П€В“бд‘Сгр (S)“X. T = s‘tu. d . T e 1 —> 1. СГТ = s‘X. к = Te“X,
откуда
F :: Mult ax. э:. к, Xe Cis2 excl: (gS) .Sei—> 1.5 G sm. D‘S = к. CTS = X:
□ . к sm sm L
Следовательно, аксиома умножения требуется лишь для того, чтобы пе-
рейти от
(3S) .Sei—> 1.5 G sm.D‘S = к. CTS = X
к KsmsmX. Именно этот факт и вытекающая возможность устранения ис-
пользования аксиомы умножения привели нас к использованию символа
“smsm” в настоящей главе.
В этой главе мы также имеем дело с отношением больше и меньше меж-
ду кардиналами. Мы говорим, что Nc‘a>Nc‘p, когда существует часть а,
подобная р, однако не существует части р, подобной а. Основное предло-
жение в этой теме есть теорема Шредера—Бернштейна, т.е.
F:p^v.v^^.D.p = v.
Это есть непосредственное следствие *73-88. Не может быть показано, без
допущения аксиомы умножения, что из любых двух кардиналов один дол-
жен быть больше, т.е.
ц, v € NC .p/v.o:p>v.v.v>p.
Если мы допускаем аксиому умножения, то это следует из доказательства
Цермело, что при таком допущении каждый класс может быть вполне упо-
рядочен, и доказательства Кантора, что из двух вполне упорядоченных се-
рий, не являющихся подобными, одна должна быть подобна части другой.
Однако эти предложения не могут быть доказаны до значительно более
поздней стадии (*258).
Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ
125
*110. Арифметическая сумма двух классов и двух
кардиналов
Краткое содержание *110.
В этом параграфе мы начинаем с определения
*110-01. а + р = | (А П р)‘Т‘а U (А П а) Г‘ь“Р Df
а + р называется “арифметической класс-суммой” аир. Определение
оформлено таким образом, чтобы задать два взаимно исключающих клас-
са, подобных соответственно аир, таких, что число термов в логической
сумме этих двух классов есть арифметическая сумма числа термов в а и р
соответственно, а + р значимо всякий раз, когда аир являются классами
независимо от их типа.
Посредством а + р мы определяем арифметическую сумму двух карди-
налов следующим образом:
*110-02. ц +с v = f {(за, р). ц = Noc‘a. v = Т%с‘р . £ sm (а + р)) Df
Это предложение определяет “арифметическую сумму двух кардина-
лов”. (Для значимости не является необходимым, чтобы ц и v были кар-
диналами, необходимо лишь, чтобы они были классами классов. Если, од-
нако, один из них не является кардиналом, то n+cv = A.) Будет замечено,
что когда |А и v являются типово определенными, то таковыми же явля-
ются а и р в приведенном выше определении; однако является типово
неопределенным за счет неопределенности sm. Следовательно, ц +с v также
является типово неопределенным.
Будет показано, что n+cv всегда есть кардинал и что, если
H = Noc‘a. v = Noc‘p, то ц+с v = Nc‘(a + Р).
Следовательно, всякий раз, когда ц и v есть кардиналы, отличные от А, то
ц +с v представляет собой существующий кардинал в пределах некоторых
типов, хотя он мог быть А в пределах других.
Два дополнительных определения требуются в этом параграфе, именно:
*110-03. Nc‘a +с ц = Noc‘a +с ц Df
*110-04. ц+с Nc‘a = ц+с Noc‘a Df
Эти определения необходимы для того, чтобы применять определение
|1+cvk случаю, в котором ц и v заменены типово неопределенными симво-
лами Nc‘a и Nc‘p. То, каким образом детерминирована неопределенность
Nc‘a и Nc‘p, не оказывает никакого влияния на значение Nc‘a+cNc‘p,
если только они детерминированы таким путем, который гарантирует
3!‘Nc‘a. 3! Nc‘p; однако если существуют типы, в пределах которых либо
Nc‘a, либо Nc‘p есть А, то мы получаем Nc‘a +с Nc‘p = А в пределах всех
типов, если мы детерминируем неопределенность так, что Nc‘a = A или
Nc‘p = A. Именно для того, чтобы исключить такую детерминацию неопре-
деленности, требуются приведенные выше определения. Также, в связи
с этими определениями и соответствующими определениями *113-04-05,
*116-03-04 и *117-02-03, соглашение ПТ Предварительных формальных со-
глашений должно быть замечено.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
126
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Предложения настоящего параграфа начинаются со свойств а + р. Мы
показываем (*110-11-12), что а + р состоит из двух взаимно исключи-
тельных частей, которые соответственно подобны а и Р; мы показываем
(*110-14, что если аир взаимно исключительны, то aUp подобен а + р,
и (*110-15) что, если у и S соответственно подобны а и Р, то y + S подобен
а + р. Мы показываем (*110-16), что Nc‘a(a + p) состоит из всех классов,
которые могут быть разделены на две взаимно исключительных части, ко-
торые соответственно подобны аир.
Мы затем переходим (*110-2—252) к рассмотрению p,+cv. Здесь ц и v
являются типово определенными, и определение *110-02 применяется к лю-
бым типово определенным символам, таким как Noc‘a или Nc(T])‘a. Мы
доказываем (*110-21), что если ц и v кардиналы, то их сумма состоит из
всех классов, подобных некоторому классу вида а + р, где а е ц. р е v; мы
доказываем (*110-22), что сумма Noc‘a и Noc‘p есть Nc‘(a + P), и (*110-25)
что, если ц и v кардиналы, то их сумма равна сумме “тех же самых” кар-
диналов в пределах некоторых других типов, в которых они не являются
нулевыми, т.е.
* 110-25. I-: ц, veNC .3! smn“p.. 3! sm^“v . э . ц +с v = smn“p, +с sm^“v
Мы затем (*110-3—351) рассматриваем Nc‘a+cNc‘p, к которому мы при-
меняем определения *110-03-04. Мы имеем
* 110-3. I-. Nc‘a +с Nc‘p = Noc‘a +с Т%с‘р = Nc‘(a + Р)
откуда другие свойства Nc‘a+cNc‘p следуют из предыдущих предложений.
Мы затем имеем (*110-4—44) различные предложения о типе ц+^v, его
существовании и родственных вопросах. Главные из них есть
*110-4. (-:a’n+cv.D.n,v€ NC - ГА. ц, v е N0C
* 110-42. Kn+cv€NC
Это предложение не требует гипотезы, так как если ц и v не являются
оба кардиналами, то n+cv = A, и А есть кардинал, согласно *102-74.
Наш следующий набор предложений (*110-5—57) касается законов пере-
становки и ассоциативности, которые представляют собой *110-51 и *110-56
соответственно.
Мы затем (*110-6—643) рассматриваем сложение 0 и 1, доказывая
(*110-61), что кардинал не изменяется при прибавлении 0, и (*110-643) что
1+с1 =2.
*110-01. a + р = X (А П p)“i“a U (А П а) X “ÑРDf
*110-02. ц +с v = {(за, Р). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . § sm (а + p)} Df
*110-03. Nc‘a+cn = Noc‘a+cn Df
*110-04. p+cNc‘a = p+cNoc‘a Df
Эти определения расширяются посредством ПТ Предварительных.фор-
мальных соглашений.
*110-1. Н.Яеа + р.н: (gx). х е а . R = (Гх) X (А П р). V .
(ЗУ) -Уе₽ • Я = (А П а) X (i‘y)
[*38-13-131 .(*110-01)]
Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 127
*110-101. к . (t‘x) X (А А р) / (A А а) X (i‘y)
Доказательство.
к . *55-15 .эк. D‘(i‘x) | (Л П Р) = i‘i‘x. D‘(A A a) X (t‘y) = t‘(A A a) (1)
к . *51-161 . э к . i‘x / (A A a).
[*51-23] э к . l‘l‘x/i‘(A A a) (2)
к . (1). (2). э к . D‘(i‘x) X (Л А p) /D‘(A Па) j, (t‘y) .эк. Prop
*110-11. к . X (Л П p)“t“a П (Л П a) X“i“p = A
Доказательство.
к . *110-101 .эк:хеа.Я = Х(ЛП p)‘i‘x .у e p .5 = (Л A a) X‘t‘y • э . R / S :
[*37-67] э к : Re X (Л A p)“i“a. 5 e (Л A a) X“i“P. э . R / S (1)
к. (1). *24-37. эк. Prop
* 110-12. к . X (Л П p)“t“asm а.(ЛПа) X“t“P sm p [*73-41-61-611]
Предложение *110-11-12 дает обоснование для использования a + p при
определении арифметического сложения, так как оно показывает, что а + р
состоит из двух взаимно исключительных частей, которые соответственно
подобны аир.
* 110-13. k:ysma.5smp.yA5 = A.3.yU5sm(a + p)
Доказательство.
к . *110-12 .эк: Нр . э . у sm X (Л A p)“i“a. 5 sm (Л А а) Х“ь“Р (1)
к . (1). *110-11 . *73-71 .эк. Prop
* 110-14. к:аПр = Л.э.аирзт(а + Р) [*110-13 . *73-3]
Таким образом, всякий раз, когда аир взаимно исключительны, их
логическая сумма может заменять их арифметическую сумму при опреде-
лении суммы их кардинальных чисел.
* 110-15. к :ysma.5smp.3.y + 5sma + p
Доказательство.
к . *110-12 . э к : Нр . э . X (Л A 5)“i“y sm a . (Л А у) Х‘Т‘5 sm р (1)
к . *110-11 . э к . X (Л A 5)‘Т‘у А (Л А у) Х‘Т‘6 = Л (2)
к. (1). (2). *110-13. э
к : Нр . э . X (Л А 5)‘Т‘у U (Л А у) X“L‘‘5 sma + р : э к . Prop
*110-151. к :. a А Р = Л . э : sm (a U р). = . (з у, 5).ysma.5smp.yA5 = A.
^ = уиб
Доказательство.
к. *73-71 . эН.Нр.э:
(ЗУ, 5). у sm a. 5 sm Р . у А 5 = Л . ^ = у U 5 . э . sm (a U р) (1)
к . *72-411 . *37-25-22 . *73-22 . э
к : S’ е 1 —> 1. D‘5 = §. CTS = аир.аАр = Л.э.
5 “а А 5 “р = Л . ^ = 5 “a U 5 “Р . 5 “a sm а. 5 “р sm р .
[*11-36] э . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5 (2)
к. (2). *10-11-23-35. *73-1 . э
к :. Нр . э : £ sm (a U р). э . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5 (3)
к . (1). (3) . э к . Prop
* 110-152. к : £ sm (а + р). = . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5
Доказательство.
к. *110-151-11 .э
к : £ sm (a + р). = . (зу, 5). у sm X (Л А p)“i“a . 5 sm (Л A a) X“i“p .
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
128
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
уй8=А.^=уи8.
[*73-37 . *110-12] = . (gy, 8).Ysma.8smp.yn8 = A.^ = YU8:i>F. Prop
*110-16. F . Nc‘(a + p) = t {(gy, 8).ysma.8smp.yn8 = A.^ = YU8}
[*110-152 .*100-1]
* 110-17. F : a € f p. э . g! Nc (f a)‘(a + P)
Доказательство.
F . *104-43 . э
F : Нр. э . (gy, 8). у sm a. у c f a. 8 sm p. 8 c f a. у П 8 = A.
[*22-59] э . (gy, 8). у sm a. 6 sm p. у П 8 = A. у U 6 c f a.
[*110-16] э . (g£). £ c f a. £ e Nc‘(a + p).
[*102-6 . *63-5] э . g! Nc (f a)‘(a + p): э F . Prop
Таким образом, когда аир одного и того же типа, то Nc‘(a + Р) су-
ществует как минимум в пределах следующего более высокого типа, чем
тип аир. Мы не можем доказать, что он существует в пределах типа a
и р. Например, предположим, что наинизший тип содержал только один
элемент; тогда если х был этим одним элементом, то Nc‘(i‘.x + i‘x) не су-
ществовал бы в пределах типа, к которому принадлежит i‘x, однако су-
ществовал бы в пределах следующего типа, т.е. не существовало бы двух
индивидов, однако существовали бы два класса, а именно А и i‘x, такие,
что i‘A U i‘i‘x€Nc‘(i‘x + i‘x).
* 110-18. F . a + р € ff(fa f f p)
Доказательство.
F . *64-53 . э F : лса. □ . 1 (aП P)‘i‘xcf(faT f p) (1)
F . (1). *37-61 . э F . X (Л П p)“t“a с f (f a f f P) (2)
Аналогично F . (Л П a) J,“i“p c f (f a T f p) (3)
F . (2). (3). эF . a + pcf(faT fp).
[*63-5] э F . a + p e f f (f a T f p). э F. Prop
* 110-2. F : £ e ц +c v . = . (ga, p). ц = Noc‘a. v = Noc‘a. £ sm (a + p)
[(*110-02)]
* 110-201. F v. = : ц, veNC : (ga, P). aep. pev . £sm(a + p)
[*103-27. *110-2]
* 110-202. F:.£en+Cv. = :
g! ц. g! v : (g у, 8). ц = Nc‘y . v = Nc‘8 .yA8 = A.^ = yU8
Доказательство.
F. *110-2-152 .dF:.^€h+cv. = :
(ga, p, y, 8). ц = Noc‘a . v = Noc‘p .ysma.8smp.yA8 = A.^ = yU8:
[*103-28] = : (gy, 8) • 3 ’• H • Я • v. H = Nc‘y. v = Nc‘8 .yn8 = A.^ = yU8:.
э F. Prop
*110-21. F :. ц, v e NC . э : £ e ц +c v. = . (ga, p). a e ц. p e v . £ sm (a + p)
[*110-201]
*110-211. F:.h,V€NC.d:^€H+cv. = .
(3 Y, 8). у e sm* ‘ц. 6 e sm“v .yn6 = A.^ = yU6
Доказательство.
F . *110-21-152 . э F :. Нр . э : e ц +c v . = .
(Я a, p, y, 8).a€p.p€v.ysma.6smp.yn8 = A.^ = YU6.
[*37-1] s . (gy, 8). у e sm“n. 8 e sm“v .yn8 = A.^ = yU8:.oF. Prop
Principia Mathematica II
♦ 110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 129
*110-212. h :. р,, v е NC . э : £ е р, +с v . = . (gy). у е sm“p. у с £. £ - у 6 sm“v
Доказательство.
h. *110-211 .*24-47. э
h :. Нр. э : е р, +с v . = . (gy, б). у 6 sm“p,. S е sm“v .yc^.S = ^- y.
[*13-195] = . (gy). у е sm“p,. у с £. £ - у 6 sm‘‘v:. э h . Prop
*110-22. h . Noc‘a +c Noc‘P = Nc‘(a + P)
Доказательство.
h. *103-4. *110-211 .э
I-: £ e Noc‘a +c Nqc‘P . = . (gy, S). у 6 Nc‘a. S 6 Nc‘P .ynS = A.^ = yUS.
[*100-31] =. (gy, S).ysma.Ssmp.ynS = A.^ = yUS.
[*100-16] = . £ 6 Nc‘(a + P): э I-. Prop
* 110-221. h : £ e Nc Cq)‘a +c Nc (£)‘P. = . g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P. £e Nc‘(a + P)
Доказательство.
h . *110-202 . э h :. £ 6 Nc (i])‘a +c Nc (£) ‘p.
= : g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P : (gy, S). Nc (r])‘a Nc‘y.
Nc (£)‘P = Nc‘S .ynS = A.£ = yuS:
[*100-35] = : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P: (gy, d).ysma.Ssmp.ynS = A.£ = yUS:
[*100-16] = : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P. £ 6 Nc‘(a + P)э h . Prop
* 110-23. h : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P. э .
Nc (т])‘а +c Nc (У‘p = Nc‘(a + P) = Noc‘a +c Noc‘P [*110-221-22]
Таким образом, Nc Cq)‘a+c Nc (£)‘P является независимым от т] и до
тех пор, пока Nc‘a и Nc‘P существует в пределах типов т| и £ соответ-
ственно.
* 110-231. I-:. Nc (т])‘а = А. V . Nc (£)‘Р = А: э . Nc (i])‘a +с Nc (У‘р = А
[*110-221]
* 110-24. h : т] sm а . £ sm Р. э . Noc‘t] +с Nqc1^ = Noc‘a +с Nqc‘P
Доказательство.
h . *103-42 . э h : Нр.э. Noc‘T] = Nc (i])‘a. Noc‘£ = Nc (£)‘p (1)
h . (1). *103-13 . э I-: Hp . э . g! Nc (n)‘a. g! Nc (£)‘p.
[*100-23] э . Nc (r])‘a +c Nc (£)‘P = Noc‘a +c Noc‘P (2)
I- . (1). (2). э h . Prop
*110-25. I-: p, veNC . g! smn“p,. g! sm^“v . э . p +c v = sm^n +c sm^“v
Доказательство.
I- . *103-27 .oh: p, veNC .aep.Pev.g! sm^p. g! sm^“v .
э . p = Noc‘a. v = Noc‘P. g! sm^p,. g! sm^“v.
[*103-41 . *102-85]d . p, = Noc‘a. v = Noc‘P. sm^p, = Nc Cq)‘a.
sm^“v = Nc (£)‘P . g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P .
[*110-23] э . p, +c v = Noc‘a +c Nqc‘P = smn“ji +c smf‘v (1)
l- .(l). *10-11-23-35.0
I-: p, veNC . g! p. g! v. g! sm^p. g! sm^“v . э . ц +c v = sm^p +c sm^“v (2)
h . *37-29 . Transp . э h : g! smn“p,. g! sm^“v. э . g! p. g! v (3)
I-. (2). (3). э I-. Prop
*110-251. I-: p, veNC . э . p(1)+cv(1) = p, +c v
Доказательство.
I-. *110-25 . *104-265 . э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
130
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
I-: Нр . g! ц(1). g! у(1). э . |д.(1)+су(1) = ц +с у (1)
I-. *110-202 . э I-: ~ (а! ц(1). g i уО)), э , p,(1)+cv(1) = A (2)
I-. *104-264 . э I-: Нр (2). d . ~ (а! |i. а! у).
[*110-202] э . ц +с у = Л.
[(2)] э. n(1)+cv‘I> = р. +с V . (3)
F . (1). (3). э I-. Prop
*110-252. I-: ц, у eNC . э . |Д.(оо)+с^(ОО) = Ц+с v [Док-во как и в *110-251]
Аналогично доказательство применяется к ц(2), у(2), и т.д., и к любым
таким образом выведенным кардиналам, чье существование следует из су-
ществования ц и v. Это предложение не имеет места в общем для Ц(1), Уц)
и других выведенных нисходящих кардиналов, так как они могут быть
нулевыми, когда ц и у существуют.
Следующее предложение (*110-3) используется намного чаще, чем лю-
бое другое предложение этого параграфа, исключая *110-4.
*110-3. h . Nc‘a +с Nc‘P = Noc‘a +с Noc‘p = Nc‘(a + P) [*110-22 . (*110-03-04)]
*110-31. h : у sm a. 6 sm p. э . Nc‘y +c Nc‘d = Nc‘a +c Nc‘P [*110-24-3]
Следующее предложение используется часто.
*110-32. h : a А Р = Л . э . Nc‘a +c Nc‘p = Nc‘(a U p) [*110-3-14]
*110-33. I-: £ e Nc‘a +c Nc‘P. = . (ay, S).ysma.Ssmp.ynS = A.^ = yUd
[*110-3-16]
Приведенное выше предложение используется в *110-63. Мы могли бы
использовать приведенное выше предложение для определения арифмети-
ческого сложения, однако этот метод был бы менее подходящим, чем ме-
тод, принятый в этом параграфе, так как было бы больше сложностей при
работе с типами, и так как существование Nc‘a +с Nc‘P (в пределах типов,
в которых он существует) менее очевидно с приведенным выше определе-
нием, чем определения, данные в *110-01-02-03-04.
*110-331. h . Nc‘a +с Nc‘P = {(ау) • Y sm a . £ - у sm Р . у с
Доказательство.
I- .* 110-33. *24-47. э
F : £ е Nc‘a +с Nc‘P . = . (эу, 5). у sm a 5 sm р.ус^.5 = ^- у.
[*13-195] = . (ау) .ysma.£-ysmp.yc£:z>l-. Prop
*110-34. h : а! Nc (n)‘a . а! Nc (£)‘р . э . Nc (т])‘а +c Nc (£)‘p = Nc‘a +c Nc‘p
[*110-23-3]
*110-35. I-. N^a +С^с‘р = Nc‘a +c Nc‘P [*104-102-21 . *110-34]
*110-351. h . Nooc‘a +cNooc‘p = Nc‘a +c Nc‘p [*106-21 . *110-34]
Аналогичные предложения будут иметь место в общем для восходящих
кардиналов.
Следующее предложение (*110-4) является наиболее используемым из
предложений этого параграфа. Оно полезно как в данной форме, так
и в форме, следующей из транспозиции, в которой оно показывает, что
ц +с у = Л, если оба ц и у не являются существующими кардиналами. Оно
особенно полезно для избежания необходимости гипотезы ц, ycNC в таких
предложениях, как законы коммутативности и ассоциативности.
*110-4. I-: а! Н +с v . э . ц, v е NC - i‘A. ц, у е N0C [*110-201-202-2]
Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 131
Следующие предложения, вплоть до *110-411 включительно, касаются
типов. На них никогда не будет ссылок впоследствии.
*110-401. I-: р = Noc‘a . v = Nqc‘P . э . a + peff (p T v)
Доказательство.
I-. *110-18 . *103-12 . э I-: Нр . э . a + Peff(f a| f Р). a ер,. Pev .
[*63-11] э . a + P e f T ^P) • = 4)‘p • *‘P = *o‘v •
[*13-12] э . a + Peff(/о‘Ц T ^o‘v)
[*64-13] э . a + P e f f (p T v): э h . Prop
*110-402. I-: p, v = N0C . э . 3! (p +c v) П f f (p T v)
Доказательство.
I-. *110-22 . *100-3 . э
I-: p = Noc‘a. v = Nqc‘P .D.a + Pep+Cv
[*110-401] э . a + P e (p +c v) П f f (p T v).
[*10-24] 0.3! (p+cv)nn‘(p?v) (1)
I-. (1). *103-2 . э I-. Prop
*110-403. I-: p, v e N0C . = . 3! (p +c v) П f f (p T v) [*110-402-4]
*110-404. I-. 3! (Nc‘a +c Nc‘p) П f f (f a T f‘P) [*110-18-3 . *100-3]
*110-41. I-: p, v = N0C . f p = f v. э . 3! (p +c v) П f p
Доказательство.
I-. *103-11 . z> I-: p = Noc‘a. v = Noc‘P . f p = t'v . э .
|icfa. vcfp. f p = f v.
[*63-21-35] э . f P. •
[*13-16-17] D.fa = fp = Zo‘H.
[*110-17] э . 3! Nc‘(« + P) A f z0‘p.
[*110-22 . *63-19]d . 3! (p +c v) n f p: э h . Prop
*110-411. I-: fa = f P . э . 3! (Nc‘a +c Nc‘P) П ffa . 3! Nc (fa)‘(a + P)
[*110-17-3]
Будет замечено, что следующее предложение (*110-42) не требует гипо-
тезы. Это благодаря *110-4 и *102-74.
*110 42. l-:p+cveNC
Доказательство.
h . *110-22 . э h : р = Noc‘a . v = Noc‘P . э . р +с v = Nc‘(a + Р).
[*100-41] o.p+cveNC (1)
h . (1). *103-2 . э1-: р, veN0C . э . p+cveNC (2)
I-. *110-4 . Transp . э h : ~ (p, v e N0C). э . p +c v = Л .
[*102-74] o.p+cveNC (3)
I-. (2). (3). э I-. Prop
*110-43. I-: p +c v = Noc‘t] . = . t] e p +c v [*110-42 . *103-26]
*110-44. I- .sm“(p +c v) = p +c v
Доказательство.
h. *37-1. *110-2. э
I-: e sm“(p +c v). = . (3т], a, P). p = Noc‘a . v = Noc‘P . i] sm (a + P). £ sm ц .
[*73-3-32] = . (3a, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P. % sm (a + P).
[*110-2] =.£ep+cv:dI-. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
132
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Приведенное выше предложение зависит от того факта, что |i +с v
является типово неопределенным, даже когда |1 и v являются типо-
во определенными. Оно используется в теории индуктивных кардиналов
(*120-32-41-424).
Следующие предложения касаются законов коммутативности и ассоци-
ативности для арифметического сложения кардиналов.
*110-5. h . Р + а = Cnv“(a + 3)
Доказательство.
I-. *55-14 .oh. Cnv“(a + Р) = A А Р U J, A A a“i“P
[(*110-01)] = 3 + a . э I-. Prop
*110-501. l-.p + asma + p
*110-51. h . ц +c v = v +c |i
[*110-5. *73-4]
[*110-2-501 . *73-37]
Для истинности приведенного выше предложения не является необхо-
димым, чтобы ц и v были кардиналами. Если один из них не является
кардиналом, то ц +с v и v +с ц оба есть А.
Следующие предложения приводят к закону ассоциативности (*110-56).
*11052. h : £ sm (a + Р) + у . = . (3 л, р, о). л sm a . р sm Р . a sm у .
лйр = Л.лАо = Л.рАо = Л.£ = лирио
Доказательство.
h . *110-152 . э h £ sm (a + Р) + у. = : (зц, о). ц sm (a + Р).
a sm у . ц А а = Л. § = ц U а:
[*110-152] = : (з л, р, ц, а).л8та.р8шр.лПр = Л.т] = лир.
О8ту.цПа = Л.§ = т]иа:
[*13-195 . *22-68 . *24-32] = : (з л, р, а). л sm а . р sm Р . a sm у. л А р = Л .
лАа = Л.рАа = Л.^ = лириа:.э1-. Prop
* 110 521. I- : § sm а + (Р + у). = . (3 л, р, о). л sm а . р sm у. a sm у .
л Ар = Л. л Ао = Л. р Аа = Л Л = л Up Uc [*110-501-52]
* 110-53. I-. (а + р) + у sm а + (Р + у) [*110-52-521]
* 110-531. а + Р + у = (а + Р) + у Df
* 110-54. I-. (Nc‘a +с Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + Р + у)
Доказательство.
h . *110-3 .oh. (Nc‘a +с Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + P) +c Nc‘y
[*110-3 . (*110-531)] = Nc‘(a + p + y). z> k . Prop
* 110-541. k . Nc‘a +c (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘(a + P + y)
Доказательство.
I- . *110-3 .ok. Nc‘a +c (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘{a + (P + y)}
[*110-53 . (*110-531)] = Nc‘(a + p + у). э h . Prop
*110-55. k . (Nc‘a+c Nc‘P)+c Nc‘y = Nc‘a+c (Nc‘P+c Nc‘y) [*110-54-541]
*110-551. I-. (Noc‘a +c Noc‘P) +c Noc‘y = Noc‘a +c (Noc‘P +c Noc‘y)
[*110-55 . (*110-03-04)]
Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 133
*110-56. I- . (ц +с v) +ССТ = ц +с (v +ССТ)
Доказательство.
F. *110-551 .*103-2. э
F : ц, v, СТ 6 N0C . э . (ц +с v) +сст = ц +с (v +сст) (1)
I- . *110-4 . Transp . э
F : ~ (ц, v, ст е NoC). э . (ц +с у) +сст = А. ц +с (у +ССТ) = А .
[*13-171] э . (ц +с у) +сст = ц +с (у +сст) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Это закон ассоциативности для арифметического сложения. Будет вид-
но, что, как и закон коммутативности, он не требует, чтобы ц, v, СТ были
кардиналами.
* 110-561. ц +с v +сст = (ц +с у) +ССТ Df
* 110-57. F . (ц +с v) +с (ст+с р) = ц +с v +сст+с р [*110-56 . (*110-561)]
Следующие предложения, касающиеся прибавления 0 или 1, часто ис-
пользуются при рассмотрении индуктивных кардиналов (*120).
* 110-6. I-: peNC . э . |i+c0 = sm“|i
Доказательство.
F . *101-11 . *110-21 . э
I-:. Нр. э : £ с ц +с0 . = . (да, 0). а 6 ц. 0 6 0. £ sm (а + 0).
[*54-102] = . (да). а 6 ц. £ sm (а + А).
[*110-152] =. (да, у, б). а 6 ц . у sm а . 5 sm А . у А 6 = А . £ = у U 5 .
[*73-47] = . (да, y).a6|i.ysma.^ = y.
[*13-195] = . (да). а е ц. £ sm а.
[*37-1] = . ^6sm“|Li:. э F. Prop
Когда ц типово определенный кардинал, то sm“p есть тот же самый
кардинал, сделанный типово неопределенным; когда |1 типово неопреде-
ленный кардинал, то sm“p есть ц. Вместо приведенного выше предложе-
ния мы могли бы писать pcNC . э . ц+с0 = ц; это было бы истиной всякий
раз, когда неопределенность ц+с0 детерминирована таким образом, что-
бы сделать его значимым. Однако приведенная выше форма дает больше
информации.
* 110-61. F . Nc‘a +с0 = Nc‘a
Доказательство.
F . *101-1 . э F. Nc‘a +с0 = Nc‘a +с Nc‘A
[*110-32] = Nc‘(aUA)
[*24-24] = Nc‘a . э F. Prop
В этом предложении Nc‘a является типово неопределенным; следова-
тельно, мы избегаем необходимости записи sm“Nc‘a справа, как мы долж-
ны были бы сделать, если Nc‘a было типово определенным. Мы можем
вывести *110-61 из *110-6 следующим образом:
F . *110-3 . э F. Nc‘a +с0 = Nc‘a +с0
[*110-6] = sm“Noc‘a
[*103-4] =Nc‘a
Мы вынуждены пройти через Noc‘a в этом доказательстве для того,
чтобы избежать возможности типовой детерминации Nc‘a, которая сдела-
ла бы Nc‘a = A. Именно по той же самой причине мы не можем писать
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
134
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
“sm“Nc‘a = Nc‘a”; так как если первое Nc‘a детерминировано к типу, в пре-
делах которого находится Nc‘a = A, в то время как второе —нет, то это
равенство становится ложным.
*110-62. l-:p+cv = O. = .p = O.v = O
Доказательство.
I-. *103-27 . *101-11-13 . э I-. 0 = Noc‘A (1)
|-.(1). *110-43. э
|-:.|i+cv = 0. = :A6|i+cv:
[*110-202] = : 3! ц . 3! v: (зу, 8). ц = Nc‘y. v = Nc‘8 .yA8 = A.yU8 = A:
[*24-32 . *13-22] = :з!р,.з!у:|А = Nc‘A . v = Nc‘A :
[*101-1-12] h:|i = 0.v = 0:.dI-. Prop
*110-63. I-. Nc‘a +C1 = | {(зу,у) .ysma.y~6y.^ = yU i‘y}
Доказательство.
F . *101-2 . э
I-. Nc‘a +C1 = Nc‘a +c Nc‘i‘x
[*110-33] = | {(3Y> 8). у sm a. 8 sm i‘x. у A 8 = A. £ = у U 8}
[*73-45] = | {(зу, 8).ysma.8el.yn8 = A.^ = yU8}
[*52-1] = £ {(3Y> 8, у). у sm a. 8 = i‘y. у A 8 = A . £ = у U 8}
[*13-195 . *51-211] = f {(зу,у) • Y sm a • У ~ e Y • £ = Y u 1‘Я • э I-. Prop
Приведенное выше предложение часто используется в теории конечного
и бесконечного, и кардинальной, и ординальной. Оно связывает математи-
ческую индукцию для индуктивных кардиналов с математической индук-
цией для индуктивных классов (ср. с *120).
*110-631. I-: pcNC . э . ц+с 1 = f {(зу,у) • У esm“p. у ~ е у • £ = У и 1‘Я
Доказательство.
I-. *110-211 .*101-21 .э
I-: Нр . э . ц+с 1 = S {(3 Y» 6) • ycsm“|i. 8esm“l .yA8 = A.£ = yU8}
[*101-28] = | {(з у, 8). у e sm“p .8el.yA8 = A.£ = yU8}
[*52-1 . *51-211] = f {(з у, у). у esm“p .у ~ е у. £ = у U i‘y}: э h . Prop
Предложение
h:peNC.o.p+cl = £ {(зу,у). у ер. у ~ е у. £ sm у U i‘y},
которое могло бы на первый взгляд показаться доказуемым, будет истин-
ным универсальным, только если общее число объектов в пределах неко-
торого одного типа не является конечным. Пусть а есть тип и p = Noc‘a.
Тогда если a — конечный класс, то ц = i‘a. Следовательно, у 6 ц. э7>у .усу.
Поэтому, | {(зу, y).yep.y~6y.^sm(yU i‘y)} = А в пределах всех типов. Од-
нако ц+с1 будет существовать в пределах всех типов, более высоких, чем
тип у. Если, с другой стороны, число объектов в а бесконечно, то мы бу-
дем иметь
у 6 a. z> . a - i‘y е Nc‘a . у ~ € а - i‘y.
Следовательно, в этом случае приведенное выше предложение будет истин-
ным универсально.
Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ
И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 135
*110-632. I-: picNC . э . ц+с 1 = £{(эу) .уi‘y6sm“pi)
Доказательство.
К *110-631 . *52-211-22 . э
1-:Нр.э.ц+с 1 = |{(3Y,y).Y6sm‘‘p,.ye£.Y = £-i‘y)
[*13-195] = S {(Я?) • У е £ • £ _ 1‘У е sm“p.): z> F . Prop
* 110-64. Ь.0+с0 = 0 [*110-62]
* 110-641. Ь . 1 +c 0 = О +c 1 = 1 [*110-51-61 . *101-2]
* 110-642. Ь.2+с0 = 0+с2 = 2 [*110-51-61 . * 101-31 ]
* 110-643. Ь . 1 +с 1 = 2
Доказательство.
Ь. *110-632. *101-21-28. э
F. 1 +с 1 =£{(ЗУ)-У<^-£-1‘У*1}
[*54.3] = 2. э I-. Prop
Приведенное выше предложение иногда оказывается полезным. Оно ис-
пользуется не менее трех раз в *113-66 и *120-123-472.
*110-7-71 требуется для доказательства *110-72, а *110-72 используется
в *117-3, которое представляет собой фундаментальное предложение в тео-
рии отношений больше и меньше.
*110-7. I-: Р с а . э . (з^). р. е NC . Nc‘a = Nc‘0 +с ц
Доказательство.
h . *24-411-21 . э I-: Нр . э . a = Р U (a - Р). Р A (a - Р) = Л .
[*110-32] э . Nc‘a = Nc‘p +с Nc‘(a - Р): э I-. Prop
*110-71. h : (зц). Nc‘a = Nc‘P +c ц . э . (36). 6 sm P . 5 c a
Доказательство.
I-. *100-3 .*110-4 .э
I-: Nc‘a = Nc‘P +c ц. э . p e NC - i‘A (1)
h . *110-3 . э I-: Nc‘a = Nc‘P +c Nc‘y . = . Nc‘a = Nc‘(P + y).
[*100-3-31] э . a sm (P + y).
[*731] э . (3Я). Я e 1 —► 1. П‘Я = a . С‘Я = 1 A/‘i“P U Ap |“ь“у.
[*37-15] э . (3Я). Я e 1 -+ 1 . i A7“l“P с СГЯ . Я‘Ч Ay“i“p c a .
[*110-12 . *73-22] z>. (36). 5 c a . 5 sm p (2)
h . (1). (2). э I-. Prop
Приведенное выше доказательство зависит от того факта, что “Nc‘a” и
“Nc‘P+cn” являются типово неопределенными, и, следовательно, когда они
приравниваются, то полученное выражение должно иметь место в пределах
любого типа и потому, в частности, в пределах того типа, для которого
мы имеем acNc‘a, т.е. для Noc‘a. Именно поэтому использование *100-3
легитимно.
*110-72. I-: (36). 6 sm р. 5 с a. = . (3ц). pcNC . Nc‘a = Nc‘P +с р
Доказательство.
К *100-321 . *110-17. э
h :. S sm р . S с a . э : Nc‘6 = Nc‘P: (3ц). ре NC . Nc‘a = Nc‘6+C р :
[*13-12] э : (зр). р 6 NC . Nc‘a = Nc‘P +с р (1)
К (1). *110-71 . эк.Ргор
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
136
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*111. Двойное подобие
Краткое содержание *111.
Арифметические свойства класса, насколько они не требуют или не до-
пускают, что это класс классов, являются теми же самыми для любого по-
добного класса. Однако класс классов обладает многими арифметическими
свойствами, которые он не разделяет со всеми подобными классами клас-
сов. Например, если к есть класс классов, то число элементов 5‘к есть
арифметическое свойство к, однако очевидно, что оно не детерминируется
числом элементов к, но требует также знания чисел элементов элементов к.
Например, пусть к состоит из двух элементов а и р, и пусть X состоит
из у и S. Тогда к sink; однако для того, чтобы мы могли вывести 5‘Ksm.s‘k,
мы требуем к X е Cis2 excl и a sm у . Р sm 6 или а sm 6 . Р sm у или некоторыё
похожие дополнительные данные. Отношение “двойного подобия”, которое
будет определено в настоящем параграфе, есть отношение между класса-
ми классов, которое, когда оно имеет место между кик, гарантирует, что
все арифметические свойства кик являются теми же самыми, например,
мы имеем (в частности) Nc‘s‘k = Nc‘s‘k и Мс‘ед‘к = Мс‘ед‘к. Это отношение
мы обозначаем посредством “smsm”, которое должно читаться как единый
символ. Оно определяется следующим образом: мы определяем, во-первых,
класс “двойных корреляторов” кик, который мы обозначаем посредством
“к sm sm к”, и определение которого есть
*11101. кйп sm X = (l->l)n&‘s‘Xnf (к=Т£“Х) Df
так что
I-: Т ек sm sm k. = . Те 1 —> 1 . Q‘T = s‘k. к= T6“k.
Мы затем определяем “ к sm sm к” в том смысле, что к sm sm к не есть
нуль, т.е. что существует, по меньшей мере, один двойной коррелятор кик.
Для того чтобы проиллюстрировать сущность двойного коррелятора,
предположим, что к состоит из двух классов си и а2, и что си состоит
из хп, %12, в то время как состоит из %21, *22, *23 • Аналогично пусть к
состоит из Pi и Р2, в то время как Pi состоит из уп, уп и Р2 состоит из
У2ь У22, У23- Пусть Т есть коррелятор каждого х и у, суффиксы которых
одинаковы. Тогда Т одно-однозначно, и его обратная область есть Т€“к = к.
Более того, Te‘Pi (которое есть T“Pi) = ai, и Те‘Р2 = а2, так что Те“к = к.
Таким образом, Т представляет собой двойной коррелятор в соответствии
с определением.
Существенной характеристикой двойного коррелятора Т есть то, что
(1) Т есть коррелятор 5‘к и 5‘к, (2) Те Г к есть коррелятор кик. Если мы
пишем 5 вместо Те f к, тогда если Рек, то мы имеем 5‘Рек; более того,
Т Г Р есть коррелятор 5 ‘Р и р. Таким образом, кик есть подобные классы
подобных классов. Однако они не просто таковы, так как мы не только
знаем, что 5‘Р подобен р, но мы также знаем особый коррелятор 5‘Р и р,
а именно Т [ р. Это является существенным для использования двойного
подобия, как проявится в скором времени.
Principia Mathematica II
♦ 111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ
137
Рассмотрим отношение между кик, которое состоит в том, что они
являются подобными классами подобных классов. Это значит, что суще-
ствует коррелятор 5 к и X такой, что, если Рек, S‘P подобны р. Другими
словами, нам следует рассмотреть гипотезу
(gS). 5 е 1 -> 1. D‘S = к. CTS = к. 5 Gsm
или, как это может быть выражено короче,
g! к sm k A RTsm.
Предположим 5 е к sm k A Rl‘sm. Если мы попытаемся доказать (ска-
жем), что $‘к подобно 5‘к, то мы найдем, что мы вынуждены принять
аксиому умножения, если кик бесконечны. Необходимость этого возника-
ет следующим образом. Положим
Сгр (5)‘р = (5‘Р) sm р,
где “Сгр” обозначает “соответствие”. Тогда мы знаем, что всякий раз, ко-
гда Рек, Сгр(5)‘Р не есть нуль. Далее не представляет труда доказать,
что если кик есть классы взаимно исключительных классов, и если мы
можем выбрать один репрезентативный элемент Сгр (5)‘Р для каждого зна-
чения Р, которое является элементом к, тогда относительная сумма всех
этих репрезентативных корреляций дает нам коррелятор s‘k и s‘k. Т.е. мы
имеем
I-: к, ЛеCls2excl. 5 ек sm k П Jcsm ./?еед‘Сгр (5)“к. э . s‘D‘/?e(s‘K) sm (s‘k).
Однако для того чтобы вывести в качестве следствия ?К8т?к, мы
нуждаемся в д! ед ‘Сгр (5)“к, т.е. мы нуждаемся в возможности выбрать
особый коррелятор для каждой пары подобных классов S‘P и р. Это, од-
нако, не может быть сделано в общем без допущения аксиомы умноже-
ния. Следовательно, мы не должны определять два класса как обладающие
двойным подобием, когда g! к sm k A Jcsm, но должны дать определение,
которое позволяет нам специфицировать особый коррелятор для каждой
пары подобных классов. Именно это осуществляется приведенным выше
определением двойных корреляторов, где наше 5 дано в форме Те Г к, где
Т е 1 —> 1. СТ Г = 5‘к. Если допускается аксиома умножения, в общем и никак
иначе, то мы имеем (*111-5)
к, к6Cis2excl. э : Ksmsm к. = . g! к sm к A Rl‘sm .
В настоящем параграфе мы начнем с различных свойств двойных кор-
реляторов. Мы доказываем (*111-11), что Т есть двойной коррелятор к и
к тогда и только тогда, когда Т есть коррелятор 5‘к и 5‘к и Те f к есть
коррелятор кик. Мы доказываем (*111-112), что в той же самой гипоте-
зе Те [кекsm kRl‘sm. Мы доказываем (*111-13), что I f s‘k есть двойной
коррелятор к с самим собой; что (*111-121) если Т есть двойной корреля-
тор к и к, то t есть двойной коррелятор кик; что (*111-132) если 5,
Т есть двойные корреляторы к с к и к с |1 соответственно, то 5 | Т есть
двойной коррелятор к и ц. Следовательно (*111-45-451-452), двойное подо-
бие рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Мы затем переходим (*111-2—34) к рассмотрению Сгр(5)“к, где пола-
гаем, что 5 есть коррелятор S “к и к, и что 5‘Р подобен р, если рек. Мы
доказываем
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
138
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*11132. Ь : X, 5 “X е Cis2 excl. 5 el-* 1 .Яеед‘Сгр(5)“Х.М = j‘D7?.z>.
Mel-* 1 .CI‘M = s‘X.S'“X = M£“X.S [Х = М£ [X
Таким образом в рассматриваемом случае М есть двойной коррелятор
5“Х и X. Поэтому
*111-322. I-: к, X 6 Cis2excl. 5 ек sm X ./?ббд‘Сгр (S)“X. A/= s‘D7?. э .
M 6 к sm sm X. 5 = Me f X
Мы затем переходим (*111-4—47) к различным предложениям о “smsm”
и в заключение (*111-5-51-53) утверждаем три предложения, которые пред-
полагают аксиому умножения, а именно
*111-5. Если к, X е Cis2 excl, то KsmsmX. = . g! к sm X A Rl‘sm.
*111-51. В том же самом случае д! к sm X A RTsm. э . s‘Ksm s‘X, т.е. если
к и X есть подобные классы взаимно исключительных подобных классов,
то их суммы подобны.
*111-53. В том же самом случае, если к,XеCis2excl, то KsmsmX. Сле-
довательно, аксиома умножения предполагает, что два класса ц взаимно
исключительных классов, каждый из которых имеет v термов, имеют то
же самое число термов в их сумме.
*111-01. к sm sm Х = (1-* l)n&‘.s‘Xnf (к = Т£‘‘Х) Df
*111-02. Crp (S)‘0 = (5 ‘0) sm 0 Df
*111-03. smsm = кХ(3!к sm sm X) Df
*111-1. НТек sm sm X.=.Tel -* 1. G‘T = s‘X. k = T£“X [(*111-01)]
*111-1. F : Тек sm sm X. s. Te(s‘k) sm (s‘X) . T£ [Хек sm X
Доказательство.
I-. *37-25. Fact .эН d'T = s‘X. к = T£“X. э . D‘T = T“s‘X. к = T£“X.
[*40-38] d.D‘T = .s‘T“‘X.k = T£“X.
[(*37-04)] d.D‘T = s‘k (1)
b . *72-451 . *60-57 . *35-65 . z>
HTel -* 1.Q‘T = s‘X.d.T£ [Хе 1 —> 1. X = G‘(T£ (X) (2)
b.*37-401. dI-:k = T£“X.b.k = D‘(T£ [X) (3)
b . (1). (2). (3). *4-71. э Ь : T e 1 -* 1. GT = s‘X. к = T£“X. =.
Te 1-* 1. D‘T = 5*k. Q‘T = i‘X. T£ [Xe 1-* 1. D‘(T£ [Х) = к.а*(Т£ [X) = X (4)
b . (4). *111-1. *73-03 . z> I-. Prop
*111-111. НТек sm sm X. э . Te f X G sm
Доказательство.
I-. *111-1 . *60-57 . э I-: Hp . э . T e 1 —> 1. X с СГСГТ .
[*73-5] э . Te f X Gsm: э I-. Prop
*111-112. I-: Тек sm sm X. э . Te [Хек sm X ARTsm [*111-11-111]
Два следующих предложения представляют собой полезные леммы для
случая, когда Т заменено (как часто бывает) на Т Г а.
*111-12. Ь:?Хса.э.(Г [а)е“Х = Тб“Х. (Т f а)6 [Х = Те [X
Доказательство.
I-. *37-101-421 . э1-:рса.э.(Т [а)е‘р = Те‘р (1)
I-. *40-13. э I-Нр . э : РеХ . э . Р с а (2)
Principia Mathematica II
»111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 139
h. (1). (2). э I-Нр. э: Рек. э. (Г [ а)е‘Р = Ге‘Р:
[*37-69 . *35-71] z>: (Т [ а )е“к = Ге“к. (Т ] а )е [ к = Те [ кэ h. Prop
*111-121. 1-.(Г [$‘к)е“к=Ге“к = (Ге [к)“к.(Г [s‘k)e ]к = Ге [к
Доказательство.
F. *37-421. эЬ.Г{“к = (Ге [к)“к (1)
F. (1). *11142 — . э F . Prop
*11143. F . I f 5‘XeX sm sm к
Доказательство.
F . *7247 . *505-52 . э F . / [ 5‘Xe 1 -»1. СГ(/ Г 5‘X) = 5‘X (1)
F.*111421 . DF.(/[An = /£“l
[*504 6 47] = X (2)
F. (1). (2). *1114 . э F. Prop
*111431. F : T ек sm sm X. = . T eX sm sm к
Доказательство.
F . *71-212. э F : Те 1 -> 1. = . f e 1 -> 1 (1)
F . *11141. эF : Тек sm sm X. э . D‘T = 5‘k (2)
F. *1114 .(2). *60-57. э
F:TeK sm sm Х.э.Т e 1 -> 1. к c C1‘D‘T . X с СГСГТ . к = Te“X.
[*74-6] э.Х = (Т)е“к (3)
F . (1). (2). (3). *1114 . э F : Тек sm smX.D.feXsm sm к (4)
f v ____ ___ __ ___
F . (4) — . э F : T e X sm sm к. э . T e к sm sm X (5)
F . (4). (5). э F . Prop
*111432. F:5 ек sm smX.TeXsm sm р.э.5 |Тек sm sm p
Доказательство.
F. *11141 .*73-311 . э
F : Нр . э . 5 | T e (5‘к) sm (5‘p). (5e f X) | (Te [ p) e к sm p (1)
F. *35354. dF.(S€ fX)|(Te fp) = 5e|(X1 Te fp) (2)
F.*75-251 .*1114 .z>F:Hp.D.Sc|(X1 Te Г p) = S€ | (Te [ p)
[*35’23] = (Se|TeHp
[*37’34] =(5|Т)еГн (3)
F . (1). (2). (3). э F : Нр. э . 5 | T e (5‘к) sm (5‘p). (S | T)e f p e к sm p,.
[*11141] э . 5 I Тек sm sm p: э F . Prop
*11144. F:T [?Хек sm sm X. = . T [ s‘Xe 1 —> 1 . 5‘X с СГТ . к = Te“X
Доказательство.
F. *111421 . э
F : T [ 5‘Хек sm sm X. = . T f 5‘Xe 1 —»1 . Q.\T f 5‘X) = 5‘X . к = Te“X.
[*35-65] =.T Ts‘Xel -> 1. 5‘X c Q‘T . к = Te“X: э F . Prop
*11145. F:Tf5‘XeKsm sm X . = . T [ 5‘Хе(5‘к) sm (5‘X). Te f Хек sm X
Доказательство.
F. *11141 .э
F : T [ 5‘Хек sm sm X. = . T [ 5‘Хе(5‘к) sm (5‘X). (T [ 5‘X)e [ Хек sm X (1)
F.(l). *111421 . oF.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
140
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*111-16. F : а! a sm р П у sm 6.э.а = у.р = 5
Доказательство.
F . *73-03 . э F : Нр. э . (дЯ). D7? = а. С‘Я = р. D7? = у. С‘Я = 8.
[*13-171] э . а = у. р = 6 : э F . Prop
*111-18. F . а sm р с (а f Р) д ‘р
Доказательство.
F . *35-83 . *73-03 . э F : Я e a sm р . э . Я с a f р (1)
F. *73-03. oF^ea sm р . э .Яе 1-> Cis . (ГЯ = р (2)
F . (1). (2). *80-14 . э F . Prop
Класс (а?Р)д‘Р является важным, будучи классом “Belegungen” Кан-
тора, которой был им использован для определения экспоненциации; фак-
тически мы имеем
Nc‘(a?p)A‘P = (Nc‘a)Nc‘₽.
Поэтому приведенное выше предложение показывает, что Nc‘(a sm Р) мень-
ше либо равно (Nc‘a)Nc‘P; и поскольку всякий раз, когда оно отлично от
нуля, Nc‘a = Nc‘P, то оно меньше либо равно
(Nc‘a)Nc‘“.
Следующие предложения приводят к *111-32-33-34:
*111-2. F : д! 5‘Р. э . Сгр(5)‘Р = (5‘Р) sm р [*14-28 . (*111-02)]
*111-201. I-: f {Сгр (S)‘PJ. = . f {(5 ‘Р) sm Р) [*4-2 . (*111-02)]
*111-202. h:Сгр(5)‘Р. s .7?е 1 —> 1. D‘/? = S‘р. a‘7? = Р
[*111-201 . *73-03]
*111-21. F: д! Сгр(5)‘Р. в .5‘PsmР [*111-201 . *73-04]
*111-211. I-: д! Сгр(5)‘Р. э. д! 5‘р. PeQ‘5 [*111-21 . *14-21 . *33-43]
*111-22. F р е 0'5 . эр . д! Сгр (5)‘Р: = . 5 е 1 -> Cis. 5 Gsm
Доказательство.
F . *111-21 . э FРеО‘5 . эр . д! Сгр(5)‘Р : = : реП‘5 . эр .5‘psmP:
[*72-93] = : 5 е 1 —> Cis. 5 Gsmэ F. Prop
*111-221. F 5 e 1 —»Cis.5 Gsm. э:д! Сгр(5)‘P. = . peQ‘5
Доказательство.
F . *111-22 . э F :. Hp. э: PeO'S . э. д! Crp(S')‘P (1)
F. (1). *111-211 .dF.Prop
*111-23. F: S’ e 1 —> 1. pe Q‘5 . э . Crp (5)‘P = Cnv“Crp (S)‘S ‘P
Доказательство.
F. *111-2 .*71-163 . э
F Hp. э: Crp(5)‘P = (5‘P) sm p
[*73-301] = Cnv“(P sm S ‘P)
[*72-241] =Спу“(5‘5‘Р sm S'P) (1)
x s *6
F . (1). *111-201-7—7- . э F . Prop
□, p
*111-24. F : S e 1 -> Cis. k c (TS . э. Crp (S)“U Cis2 excl
Доказательство.
F . *111-2 . *71-163 . э
F Hp. э : p, yek. . Crp (S)‘P = (S ‘P) sm P . Crp(5)‘y = (5‘y) sm у. (1)
Principia Mathematica II
.111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 141
[*111-16] эр,у . Crp(S)‘0n Crp(S)‘y. э. 0 = у.
[(1). *30-37] o.Crp(S)‘0 = Crp(S)‘y (2)
I-. (2). *37-63 . э FНр. э: р, ae Сгр (S)“X. g! р П о. эР1О . р = о:. э F. Prop
*111-25. I-: S € 1 -> Cis. S' csm. Xc CTS . э. Crp (S)“XeClsex2excl
[*111-24-22]
*111-3. F: Xe Cis2 excl. э. $“В“ед‘а sm “X c (a f s‘k) д‘^‘Х
Доказательство.
I- . *37-29 . *24-12 . э
F: €д‘а sm “X = Л. э. $“В“ед‘а sm “X c (a f s‘X) д15*Х (1)
F. *83-1 . z>
F:. Hp. g! ед‘а sm “X. э : PeЛ.. эр . g! a sm ‘0.
[*111-18] эр.д!(аТр)д‘₽.
[*80-15] эр . g! (af s‘X) д‘0:
[*80-83] э : {(a T 5‘X) д“Х} ] (af s‘X) д e 1 —»1 (2)
. / . a sm, (a T s‘X) д
F. (2). *111-18 . *85-72 _ ' -- . э
R, 5
F: Hp. g!ед‘а sm “X. э.В“ед‘а sm “ХсВ“ед‘(а Js‘X) д“Х.
[*37-2] z> . Б“ед‘а sm “Xc 5“В“ед‘(а f 5*X) д“Х
[*85-27] c(a?s‘X)A‘s‘X (3)
F. (1). (3). э F. Prop
*111-31. F : X, 5 “X e Cis2 excl. 5 e 1 -> 1. R e ед ‘Crp (5) “X. э.
i‘B‘/?e(5‘5“X) sm (s‘X)
Доказательство.
F . *83-2 . э
F Hp. э: 0 eX. в . Я‘Сгр (5)‘0 e Crp (5)‘0.
[*111-202] s ./?‘Crp(5)‘0e 1-»1 .B‘/?‘Crp(5)‘0 = S‘0
СГЯ‘Сгр(5)‘0 = 0 (1)
F. *72-322 . э F : Hp. э . $7?“Crp(S)“Xe 1 -* 1.
[*80-34] D.i‘B‘T?el^l (2)
F . (1). *37-68 . *50-17 . z> F : Hp. э . B“tf“Crp (S)“X = S “X.
Q“/?“Crp(S)“X = X.
[*80-34] o.B“B7? = S“X.Q“B‘fl = X.
[*41-43-44] D.B‘i‘B‘K = 5‘5“X.a‘i‘B‘/? = 5‘X (3)
F . (2). (3). *73-03 . э F . Prop
*111-311. F :X,S“XeCis2excl.S el -> 1. g! ед‘Сгр(5)“Х. э. sT‘Xsms'1
[*111-31 . *73-04]
*111-313. F: X e Cis2 excl. R e€д‘Сгр (S)“X. 0 e X. э . M = РВ‘Я. z>.
M [ 0 = fl'Crp(S)‘0. M [ 0eCrp (5)‘0
Доказательство.
F . *83-2. э F :: Hp. э :. aeX. эа :/?‘Crp (S)‘aeCrp(S)‘a: (1)
[*111-202] 3a:CT7?‘CrP(S)‘a = a:
[*33-14 . *4-71] эа :x{/?‘Crp(5)‘a}y. = . x{/?‘Crp(S)‘a}y .yea (2)
F . *35-101 . *83-23 . *41-11 . э
FHp. э: x{M f 0)y. = . (ga). aeX. x{/?‘Crp (S)‘a}y ,y e0.
[(2)] = . (ga). aeX. x{/?‘Crp (S)‘a}y .yea П 0.
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
142
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
[*84-11 . *22-5] = . (да). а с к. х {Я‘Сгр (5)‘а) у. у с р. а = р .
[*13-195] = . Р е к. х {Я‘Сгр (5)‘р} у. у с р .
[Нр. *4-73 . (2)] = . х {Я‘Сгр (5)‘Р) у (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*111-32. I-: К S “X с Cis2 excl. 5 e 1 -> 1 . Я e eA‘Crp (5)“X. M = s‘X)‘R. э .
Mel^> 1 .GlM = si'k.Sil'k = Me“'k.S \\ = Me px
Доказательство.
F. *111-31 . *73-03 . э F : Hp. z>. Me 1 —> 1 .G‘M = s‘X (1)
I-. *111-313-202 . э F :. Hp . э : p e X. э . D‘(M [ P) = 5 ‘p. (T(M f p) = p.
[*37-25] э.(М [p)“p = S‘p.
[*37-421-11] э.Ме‘р = 5‘р:
[*35-71 . *37-69] э : M£ f X = 5 f X. Me“X = 5 “X (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*111-321. F : X,5 “XeCis2excl. 5 e 1 -> 1. g! eA‘Crp(S)“X. э .
(gM). Me 1 1. (ГМ = s‘X. 5 “X = Me“X. 5 [Х = Ме [X
[*111-32]
*111-322. F : к, XeCis2excl.5 ек sm X. ЯееА‘Сгр (S)“X. M = s'D'R . э .
Мек sm sm X. 5 = Me [X [*111-32-1 . *35-66 . *73-03]
*111-33. F Mult ax. э : S e 1 —>1.5 Gsm. к, Xe Cis2 excl. к = 5 “X. X c (TS .
э. s‘Ksm 5*X
Доказательство.
F. *111-221 . э
F:.Sel->1.5 Gsm, к, Xe Cis2 excl. k = 5“X. Xc D‘S . э :
РеХ.эр.д’.Сгр (S)‘P:
[*88-37] э : Mult ax. э. g! eA ‘Crp (5 )“X.
[*111-311] z>. ?Ksm 5*X:. э F . Prop
*111-34. F :. Mult ax. э :
(g5).5 e 1 -> 1.5 Gsm. D‘5 = к. (TS = X. к, XeCis2excl. э .
(gM). Me 1 -> 1. (ГМ = s‘X. к = Me“X
Доказательство.
F. *111-25. э
F:. Sei—>1.5 Gsm. D‘5 = к. (Г5 = X. к, Xe Cis2 excl. э :
Crp (5) “ X e Cis ex2 excl:
[*88-32] э : Mult ax. э . g! eA‘Crp (5)“X.
[*111-321] э. (gM). Me 1 1. (ГМ = ГХ.к = Me“X (1)
F . (1). *10-11-23 . Comm, э F . Prop
Следующие предложения имеют дело с элементарными свойствами
“smsm”. Будет видно, что они весьма подобны элементарным свой-
ствам “sm”.
*111-4. F : KsmsmX. = . (gT). Те 1 -> 1. (ГТ = ГХ. к = Те“Х. = . д! к sm sm X
[*111-1 .(*111-03)]
*111-401. F : KsmsmX. = . (gT). T€ 1 -> 1. ?Хс(ГТ. к = Те“Х
Доказательство.
F. *22-42 .*111-4. oF: KsmsmX. э . (д Г). Tel 1. s‘X с О‘Т . к = Те“Х (1)
F . (1). *111-14 . э F . Prop
Principia Mathematica II
111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ
143
*111-402. H:KsmsmA.. = .(aT).T [s‘Xel-> 1. s‘XcQ‘T .к = Te“X
[♦Ш-141121]
*111-43. FiKsmsmL э. (gS).S € 1 -> 1.5 Gsm. D‘S = к. CTS = X
[*111-11-111]
*111-44. Ь : KsmsmX. э. KsmX. j'icsm s‘X [*111-11-4 . *73-03]
*111-45. F.XsmsmX [*111-13-4]
*111-451. F : KsmsmX. =. Xsmsm к [*111-131-4]
*111-452. F: KsmsmX. Xsmsm p. э. Ksmsm p [*111-132-4]
*111-46. I-: X, S “k e Cis2 excl. S e 1 1. g! ел‘Crp (S)“. э. S “X sm sm X
[*111-32-4]
*111-47. 1KsmsmX. э :keCis2excl. = . XeCis2excl
Доказательство.
I-. *111-4 . э F Hp . z>: (3T). 74 1 —> 1 . (IT = 5‘k . к = Г “k:
[*84-53] э : k e Cis2 excl. э . к e Cis2 excl (1)
I-. (1). *111-451 . э F Нр . э : кeCis2excl. э . keCls2excl (2)
I-. (1). (2). э I-. Prop
* 111-5. F :: Mult ax. z>к, ke Cis2 excl. э :
KsmsmL = . (3S). 5 € 1 —> 1.5 Gsm. D‘S = к. Q‘5 = k.
= .3! к sm k ARl‘sm [*111-34-43-4]
* 111-51. F :: Mult ax. э : к, ke Cis2 excl. 3! к sm k A Rl“sm . z>. ?Ksm 5‘k
[*111-5-44]
* 111-52. F : p, veNC . к, kep A Cl‘v. э . 3! к sm k ARl‘sm
Доказательство.
F . *100-5 . *73-1 . э F : Нр . э . (3S). 54 1 -> 1. D‘S = к. (TS = k (1)
F . *100-5 . э F Нр . э : a e к. P c k . э . a sm P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 111-53. F :: Mult ах . э : p, v € NC . к, к e p A Cl excl‘v. к sm sm k
[*111-52-5]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
144
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
*112. Арифметическая сумма класса классов
Краткое содержание *112.
В этом параграфе мы возвращаемся к арифметическим операциям.
Определения сложения в *110 было применимо лишь к конечному числу
слагаемых, поскольку слагаемые должны были быть пересчитаны. В насто-
ящем параграфе мы определяем арифметическую сумму класса классов,
так что слагаемые заданы как элементы класса и не требуют пересчета.
Следовательно, определение в этом параграфе применимо к бесконечному
числу слагаемых в той же степени, как и к конечному числу.
Если к есть класс взаимно исключительных классов, то число 5‘к будет
суммой чисел элементов к, т.е. если мы пишем “ENc‘k” для суммы чисел
элементов к, то
к е Cis2 excl. э . Nc‘5‘k = Е Nc‘k .
Однако когда элементы к не являются взаимно исключительными, то
терм х, который представляет собой элемент двух элементов (скажем а
и р) класса к, должен считаться дважды при получении арифметической
суммы к, в то время как в логической сумме х считается лишь однажды.
Поэтому мы нуждаемся в конструкции, которая будет удваивать х, беря
его первый раз как элемент а, а затем как элемент р. Это достигается,
если мы заменяем х сначала посредством х X а, а затем посредством х X Р-
В сущности х X а обладает тем типом арифметических свойств, которые
мы предполагаем обеспечить, когда говорим о “х, рассматриваемом как
элемент а” —оборот речи, который, когда он появляется, не подходит для
наших целей, так как х есть просто х, как бы мы его ни выбрали, что-
бы рассмотреть. Поэтому мы заменяем А на Ха“а, р на ХГРи т.д.; т.е.
(используя *85-5) мы заменяем а на eja, р на ejp и т.д. Эти новые
классы подобны а и Р и т.д. и являются взаимно исключительными. Сле-
довательно, их логическая сумма имеет число термов, которое требуется
для арифметической суммы элементов к. Поэтому мы полагаем
Е‘к=5‘еХ“к Df
ENc‘k=Nc‘E‘k Df
Что касается второго из этих определений, то следует заметить, что
ENc‘k не является функцией Nc“k, если, конечно, существуют два подоб-
ных элемента к; так как Nc“k не может содержать то же самое число
дважды. По тем же самым причинам, если к есть класс кардиналов, и мы
определяем “Sum‘k”, то мы не получаем то, что требовалось для арифме-
тического сложения, поскольку наше определение не позволит нам иметь
дело с суммированиями, в которых есть повторяющиеся числа. Мы могли
бы, если бы вообще на этом стоило останавливаться, определить “Sum‘k”
следующим образом: Возьмем класс классов к, состоящий из одного клас-
са, имеющего каждое число, являющееся элементом X, т.е. пусть к будет
выборкой из X; тогда Е‘к будет иметь требуемое число термов. Т.е. мы
могли бы положить
Sum‘k = | {(дк). кеП“ед‘Х. §smE‘K} Df.
Principia Mathematica II
112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ
145
Однако поскольку под это определение попадают лишь суммы, в которых
нет повторяющихся чисел, то на нем вообще не стоит останавливаться.
В этом параграфе мы доказываем среди прочих следующие предложе-
ния.
*112-15. F : кеCls2excl. э . 5‘kcZNc‘k
Оно является расширением *110-32.
*112-17. F : к sm sm X. э . Е Nc‘k = Е Nc‘X . Е‘к sm Е‘Х
Основная особенность приведенного выше предложения состоит в том,
что оно не требует к, XeCls2excl.
*112-2—24 касаются использования аксиомы умножения и предложений
*111, в которых оно выступает в качестве гипотезы. Мы имеем
*112-22. F Mult ах. э : 3! (e J“k) sm (е I“k) П Rl‘sm. э. E Nc‘k = E Nc‘k
откуда мы выводим предложение
*112-24. F Mult ax. э : p, v € NC . к, X e p A Cl‘v. э. E Nc‘k = E Nc‘k
Т.е. принимая аксиому умножения, из двух классов, каждый из кото-
рых состоит из р классов, по v термов в каждом, каждый имеет то же
самое число термов в их сумме. Это число определялось бы естественно
как р, умноженное на v, однако из-за необходимости привлечения аксиомы
умножения в этом предложении мы выбрали другое определение умноже-
ния (*113), которое не зависит от аксиомы умножения. Читателю следова-
ло бы заметить, что подобие двух классов, каждый из которых состоит из
р взаимно исключительных групп из v термов, не может быть доказано
в общем без аксиомы умножения.
Оставшиеся предложения этого параграфа дают свойства Е в специ-
альных случаях. Мы доказываем, что Е‘Л = Л (*112-3), что ENc‘i‘a = Nc‘a
(*112-321), что a/p.o.ENc‘(i‘aUi‘P) = Nc‘a+cNc‘P (*112-34), которое свя-
зывает определение сложения в этом параграфе с таковым в *110. Нако-
нец, мы доказываем общий закон ассоциативности для сложения в следу-
ющих двух формах:
*112 41. F.s‘E“k = E‘s‘k
*112-43. Н: к е Cis2 excl. z>. Nc‘E‘E“k = Nc‘S‘s‘k
*112 01. Е‘к = $‘еГ‘к Df
*112-02. ENc‘k = Nc‘E‘k Df
*112-1. Ь.Е‘к=5‘е1“к [*20-2. (*112-01)]
*112-101. h.ENc‘K = Nc‘E‘K = Nc‘5‘eI“K [*20-2 . *112-1 . (*112-02)]
*112-102. I-. E‘k = R {(ga, x).aeK.xea./f = xJ.a)
Доказательство.
F. *85-6. *40-11. *112-1 . э
F . E‘k = R {(gp, a). a e к. p = X a“a . R e p}
[*13-195] =R {(3 a). аек .Re], a“a}
[*55-231] =R {(ga, x).aeK.xea./? = xJ,a}.oF. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
146
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*112-103. . F.E‘K = 5‘p,{(ga).a6K.p, = ia“a [*112-1 .*85-6]
*112-11. F : peENc‘K. = . Psm5‘eI“K [*112-101]
*112-12. F. s'eI“keZNc‘k [*112-11]
*112-13. F : XsmsmeJ“K. э . 5‘keENc‘K [*111-44. *112-11]
*112 14. F : к e Cis2 excl. э . e J“k sm sm к
Доказательство.
I-. *21-33. э F Нр . Т = Rx{(^a) .аек.хеа.7? = хХа}.э:
х TR . у TR. э . (да, P)./? = xJ,a./? = yXP*
[*55-31] э.х=у:
[*71-17] э: Те 1-> Cis (1)
F . *21-33 . э
F : Нр (1). xTR. xTS . э. (да, Р). a, p6K.xeanp.7? = xJ,a.S = х J, Р •
[*84-11 . Нр] э . (ga, P).a = p.7? = xJ,a.S’ = х J, р.
[*13-195] э.Я=5:
[*71-171] э : Т e Cis—> 1 (2)
F . *33-131. э F Нр (1). э : хе (ГТ . = . (д/?, a).a6K.xea.7? = xJ,a.
[*55-12] =. хе 5‘к (3)
F. *37-1-11 .э
F :: Нр . э :. а ек. э : Re Т^а. = . (дх, Р).хеапр.рек.Я = хХр.
[*84-11 . Нр] = . (дх, Р).хеапр.рек.а = р.7? = х4р.
[*13-195] = .(дх).хеа.Я = х|р.
[*85-601] =.7?бб1‘а:.
[*37-69] э :. Те“к = е!“к (4)
F . (1). (2). (3). (4). *111-4. э F . Prop
*112-15. F : keCIs2excl. э . 5‘kcENc‘k [*112-14-11 .*111-44]
*112-151. 5‘el“k = ^ {(ga,x) .аек.хеа.1? = хХа}. 5‘5‘el“k = e Г X
Доказательство.
F. *40-11 . (*85-5).э
F . 5‘el“k = R {(ga). aeX.Re J, a“a}
[*38-131] = R {(ga, x). a eX. xe a . R = x J, a} (1)
F.(l). *41-11 . э
F . 5‘5‘eI“k = yP {(g/?, a, x).aeX.xea./? = xia.y/?p}
[*13-195 . *55-13] =yP{(ga,x) .aeX.xea.y = x.p = a}
[*13-22] =yP {P<eX .y cP)
[*35-101] = efX (2)
F. (1). (2). э F . Prop
Следующее предложение является леммой для *112-153, которое тре-
буется для *112-16. Предложение *112-16, в свою очередь, используется
в *112-17, которое является фундаментальным предложением в теории сло-
жения.
*112152. F: Т е 1 -> Cis . р с СГГ. э. (Т114)“е J 0 = € I (Т“р)
Доказательство.
I-. *37-6 . *85-601. эI-. (Г11 Те)“€Jр = {(gy).уер.Я = (Т11 fe)‘(yj. Р)} (1)
F. (1). *55-61 .э
Principia Mathematica II
112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ
147
Н:Нр.э.(Т||Д)“б1Р = ^{(ау).убр./? = (Гу)НГе‘Р)}
[*3741] = R {(Зу). у е р . R = (Ту) J, (Т“р)}
[*38431] =ИГ“Р)“(Т“Р)
[*85-601] = е I (Г‘Р): э F . Prop
В следующем предложении мы имеем двойной коррелятор такого типа,
который часто встречается в кардинальной арифметике, а именно Т11 Те
с ограниченной обратной областью, где Т есть данный двойной корреля-
тор (или единичный коррелятор в других случаях). Как явствует из пред-
ложений, использованных в данном выше доказательстве *112-152, если
Т есть коррелятор, чья обратная область включает р и имеет у в каче-
стве элемента, то (Т11 Те)‘(у i Р) = (Т‘у) i (Т“0). Таким образом, Т11 Те есть
операция, которая, действуя на подходящие отношения индивидов к клас-
сам (включая селекторы), преобразует индивиды в их корреляты и классы
в классы коррелятов их элементов. Именно поэтому оно является полез-
ным отношением.
*112-153. Тек sm sm Х.э.(Т||Д) Г 5‘е I“Xe (е 1“к) sm sm (е!“Х)
Доказательство.
I-. *112-151 . *41-43-44. э F . s‘D“s‘e I“X = D‘(e [ X). s‘CI“s‘6I“X = (Г(* f b) •
[*62-41-43] э F . s‘D“s‘e I“X = s‘X. s‘CI“s‘€ I“X = X - i‘A (1)
F . (1). *111-1 . *37-231 . э F : Hp . э . s‘D“s e I“X c QT . s‘CI“s‘6I“X c a‘T£ (2)
F. *111-1 .*71-29. oF:Hp.o.74s‘D“ser‘^l-> 1 (3)
F. *111-11 .(1). э F : Hp . э . Te fs‘(T‘ser‘X(El->l (4)
F. (2). (3). (4). *74-775^p^^. z> F : Hp. э . (T11 T£) f S‘£I“k 1 -» 1 (5)
F. *43-302. =>F.s‘€l“Xca(r||fe) (6)
F. *112-152 . э F : Hp. э. (T11 fe)‘“eI“k = e .
[*37-11 ] э. (Г 11 T€)e “e = e I“T£ “k
[*111-1. Hp] =еГ‘к (7)
F. (5). (6). (7). *111-14 . э F . Prop
*112-16. F : KsmsmX. э .eI“KsmsmeI“X [*112-153 . *111-4]
*112-17. F : кsmsmX . э . ENc‘k = ENc‘X . ГкзтГХ
Доказательство.
F . *112-16 . *111-44. э F : Hp . э . s‘eI“Ksm 54eI“X (1)
F . (1). *1124401. э F . Prop
*112-18. F.ENc‘K = ENc‘er‘K
Доказательство.
F . *85-61 . *112-15. э F . s‘e!“KeENc‘eI“k (1)
F . (1). *112-12 . *100-34. э F . Prop
*112-2. F:5 e 1 —> 1 .D‘5 = еГ‘к.(Г5 = e!“X. 3! ед‘Сгр(5)“Х.
э . Е Nc‘k = Е Nc‘X. Е‘к sm Е‘Х
Доказательство.
F . *111-311 . *85-61. э F : Нр . э . 5‘е J“Ksm 5‘eJ“X (1)
F . (1). *112-1-101. э F . Prop
*112-21. F :. Mult ax. э: (3S). S e 1 —> 1.5 csm.D‘5 = е!“к. (Г5 = e!“X.
= . eI“KsmsmeI“X [*111-5 . *85-61]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
148
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*112-22. F :. Mult ах. э : 3! (е!“к) sm (е J“X) П Rl‘sm. э .
Z Nc‘k = Z Nc‘X [*112-17-18-21]
*112-23. F Mult ax. э : к, X e Cis2 excl. 3! к sm X П RTsm. э .
5‘к, s‘X e Z Nc‘k . Z Nc‘k = Z Nc‘X
Доказательство.
F . *112-15 . э F : Hp. к, XeCis2excl. э . 5‘KeZNc‘K. 5‘XeZNc‘X (1)
F . *111-51 . э F: Hp (1). a! к sm X П RTsm. э . 5‘к sm 5‘X (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*112-231. F:5 ек sm XПRl‘sm. э .e J15 | Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X)nRrsm
Доказательство.
F.*73-63 .*85-601.oF:5 ек sm Х.э.еЦЗ |Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X) (1)
F. *85-601. *73-33-34 . э F: S Gsm. э. e J15 | Cnv‘e J Gsm (2)
F. (1). (2).oF:5 ек sm XnRrsm.o.eJ|5 |Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X)nRrsm:
э F. Prop
*112-24. F :. Mult ax. э : p, v e NC . к, X e p П Cl‘v . э. Z Nc‘k = Z Nc‘X
Доказательство.
F . *111-52. э F : p, veNC . к,ХерПCl‘v. э . 3! к sm XП Rl‘sm.
[*112-231] э.э!(еГ‘к) sm (eI“X)nRrsm (1)
F.(l). *111-51 .*85-61 .э
F :. Mult ax. э : p, veNC . к, ХерП Cl‘v. э s‘e J“Ksm 5‘eJ“X.
[*112-101 ] э. Z Nc‘k = Z Nc‘X:. э F . Prop
*112-3. F . Z‘A = A [*37-29 . *40-21 . *112-1]
*112 301. F.ZTA = A
Доказательство.
F . *112-102. э F . ZTA = R {(3 a, x). a ei‘A .rea.fl = xja)
[*51-15] = R {(sx) .xeA.tf = xiX)
[*24-15] = A . э F . Prop
*112-302. F.Z‘k = Z(k-i‘A)
Доказательство.
F . *112-102. э F . Z‘k = R ((3a, x). a e к. x e a. R = x X a}
[*10-24] = Я {(3 a, x). a e к. 3! a. x e a . 1? = x i a)
[*53-52] = R ((3a, x). a e к - i‘A. x e a . R = x J, a}
[*112-102] = Z‘(k - i‘A). z> F . Prop
Таким образом, если А есть элемент класса классов, то он не влияет
на значение их арифметической суммы.
*112-303. F : к П X = А. э . Z‘k П Z‘X = А
Доказательство.
F. *112-102 .э
F :7?eZ‘K П Z‘X. = . (3 a, |3, х, y).aeK.|3eX.xea.yep.7? = xXa=y|[3.
[*55-202] э . (3 a, х) .аекАХ.хеа.
[*24-5] э-з!кПХ (1)
F . (1). Transp. э F . Prop
Principia Mathematica II
♦ 112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ
149
*112 304. h : Е‘к = Л . = . 5‘к = Л
Доказательство.
h . *112-3-301 . *53-24 . э h : 5‘к = Л . э. Е‘к = Л (1)
h . *112-102 . эЬ:аек.хеа.э . х J, аеЕ‘к:
[*10-24 . *40-11] э h : з! 5‘к. э . a! Е‘к (2)
F. (1). (2). э I-. Prop
*112-31. h . Е‘(к U X) = Е‘к U Е‘Х
Доказательство.
h . *112-1. э h . Е‘(к U k) = 5‘е Г ‘(к U к)
[*40-31] = 5‘eJ“KU 5‘е1“к
[*112-1] = Е‘к U Е‘Х. э h. Prop
*112-311. Ь:кПк = Л.э.ЕNc‘(kU X) = ЕNc‘k +cENc‘X
Доказательство.
h. *112-303. *110-32. э
h : Нр. э . Nc‘(E‘k U E‘k) = Nc‘E‘k +c Nc‘E‘k
[*112-101] =ENc‘K+cENc‘k (1)
h.(l). *112-31. z>F. Prop
*112-32. t-.E‘i‘a = eJa
Доказательство.
h . *53-31 . *112-1 .oh. E‘i‘a = 5‘1‘e J a
[*53-02] = e J a. э h . Prop
*112-321. h . E Nc‘i‘a = Nc‘a [*112-32-101 . *85-601]
*112-33. h .E‘(i‘aUi‘P) = elaueip [*112-32-31]
*112-331. h . E‘(k U i‘P) = E‘k U e J p [*112-31-32]
*112-34. h : a p . э . E Nc‘(i‘a U l‘P) = Nc‘a +c Nc‘P
Доказательство.
h. *51-231 . *112-311 . э
h : Нр. э . E Nc‘(i‘a U i‘p) = E Nc‘i‘a +c E Nc‘i‘P
[*112-321] = Nc‘a +c Nc‘P : z> h . Prop
Это предложение устанавливает согласование между двумя определени-
ями сложения, а именно таковым в *110 и таковым в *112. В дальнейшем
будет видно, что определение в *112 неприменимо к сложению класса с са-
мим собой, если оно применяется для того, чтобы удвоить класс, вместо
(подобно логическому сложению) простого воспроизведения класса. Отсю-
да следует необходимость условия a / р в приведенном выше предложении.
*112-341. h : р ~ е к. э . Е Nc‘(k U i‘P) = Е Nc‘k +с Nc‘P
Доказательство.
h . *51-211 . z> h : Нр. э . к П i‘P = Л.
[*112-311] э . Е Nc‘(k U i‘P) = Е Nc‘k +с Е Nc‘i‘P
[*112-321] = Е Nc‘k +с Nc‘P: э h . Prop
*112-35. h:a^p.a^y.p^y.o.E Nc‘(i‘a U i‘p U i‘y) = Nc‘a +c Nc‘P +c Nc‘y
Доказательство.
h. *51-231 .*112-311 . э
h : Нр. э . E Nc‘(i‘a U i‘p U i‘y) = E Nc‘(i‘a U i‘p) +c E Nc‘i‘y
[*112-34-321] = Nc‘a +c Nc‘P +c Nc‘y: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
150
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Подобные предложения могут, очевидно, быть доказаны для любого ко-
нечного числа слагаемых.
* 112-4. F : s‘k, s“k€ Cis2 excl. э . ZNc‘s‘k = E Nc‘s“k
Доказательство.
F . *112-15 . э F : Hp. э. E Nc‘s‘k = Nc‘s‘.s‘k
[*42-1] =Nc‘s‘5“k
[*112-15] = E Nc‘s“k : э F . Prop
* 112-41. F.5‘E“k = E‘s‘k
Доказательство.
F . *112-1 . dF. s‘E“k =
[*42-1] =й‘еГ“Х
[*40-38] =5‘€l“s‘k
[*112-1] =E‘j‘X . э F . Prop
* 112-42. F : keCls2 excl. э . E“ke Cis2 excl
Доказательство.
F . *112-303 . э F X e Cis2 excl . э: 0, у e k. 0 у. эр,у . E‘0 A E‘y = A :
[*30-37 . Transp . *37-63] э : p, veE“k. p # v . dh>v • Ц A v = A :
[♦84-1] э :E“keCis2excl:.dF. Prop
* 112-43. F : k e Cis2 excl. z>. Nc‘E‘E“k = Nc‘E‘s‘k
Доказательство.
F . *112-15-42 . э F : Hp . э . Nc‘E‘E“X = NcVE“X
[*112-41] = Nc‘E‘s‘k: э F . Prop
Приведенное выше предложение представляет собой закон ассоциатив-
ности арифметического сложения.
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ
151
*113. Об арифметическом произведении двух классов
или двух кардиналов
Краткое содержание *113.
В этом параграфе мы даем определение умножения, которое может
быть распространено на любое конечное число множителей, но не на бес-
конечное число множителей. Во-первых, мы определяем арифметическое
класс-произведение двух классов а и 0, и оттуда произведение двух кар-
диналов |1 и v как число термов в произведении а и 0, когда а имеет р,
термов, а 0 имеет v термов. В *114 мы дадим определение умножения,
которое не ограничивается конечным числом множителей. Преимущества-
ми определения, которое дается в этом параграфе, является то, что оно
не требует, чтобы множители принадлежали одному и тому же типу, и
то, что оно позволяет умножать класс сам на себя, не просто (как при
логическом сложении и умножении) воспроизводя сам указанный класс.
Единственным недостатком определения в этом параграфе является невоз-
можность распространения его на бесконечное число множителей.
Арифметическое класс-произведение двух классов а и 0, которое мы
обозначаем посредством 0ха54, представляет собой класс всех ординаль-
ных пар, которые берут свой референт из а, а релятив из 0, т.е. оно пред-
ставляет собой класс всех таких отношений, как х X у, где х е а, а у е 0. Для
данного у класс пар, который мы получаем, есть Ху “а, который подобен а;
и число таких классов для переменных у есть Nc‘0. Таким образом, мы
имеем Nc‘0 классов из Nc‘a пар, и 0 х а есть логическая сумма этих клас-
сов пар. С другой стороны, класс таких классов, как Ху “а, где у с 0, яв-
ляется важным в связи с экспоненциацией; мы имеем Ху“^ = ^^У, откуда
класс таких классов, когда у изменяется в пределах класса 0, есть аХ“0, и
0xa = s‘aX“0 (ср. с *40-7),
которое мы принимаем в качестве определения 0 х а.
Мы представляем арифметическое произведение ц и v посредством
р, хс V. Оно, так же как и Nc‘a хс Nc‘0, определяется в терминах а х 0 в точ-
ности так, как в *110 сумма была определена в терминах а + 0.
Настоящий параграф содержит много предложений, которые принадле-
жат к теории аХ“0 в большей степени, чем (собственно) к 0ха; и мно-
го предложений — в большей степени логических, чем арифметических, по
своей природе, т.е. таких, которые могли бы быть даны в *55. Грани-
цу, однако, весьма трудно провести, так что кажется лучше иметь дело
одновременно со всеми предложениями о аХ“0 или его сумме, которая
есть 0ха. Поэтому в настоящем параграфе первоначальные предложения,
вплоть до *113-118, касаются главным образом логических свойств аХ“0
и 0ха; следующие предложения, вплоть до *113-13, посвящены главным
54 Мы обозначаем его как 0ха, а не a х f ради определенных аналогий с произведения-
ми в арифметике отношений. Ср. с *116.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
152
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
образом арифметическим свойствам аХ“Р; предложения *113-14—191 ка-
саются преимущественно арифметических свойств рха; в *113-2—27 мы
имеем дело с более простыми свойствами pxcv; *113-3—34 излагают пред-
ложения, вовлекающие аксиому умножения и демонстрирующие связь (при
допущении указанной аксиомы) сложения и умножения; *113-4—491 каса-
ются различных форм закона дистрибутивности; в *113-5—541 рассматри-
вается закон ассоциативности умножения, а в оставшихся предложениях
речь идет об умножении на 0, 1 или 2.
Наиболее важными предложениями в настоящем параграфе являются
следующие:
*113-101. F :7?ерха . = . (эх, у) .хеа.уер.7? = хХу
Оно просто заключает в себе определение рха.
*113-105. F:д!а.э.аХе1 —> 1
Это предложение особенно полезно в связи с экспоненциацией (*116).
*113-114. F а = А . V . р = А : = . Р X а = А
Именно в силу этого предложения произведение конечного числа мно-
жителей равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю.
*113-118. F . s‘D“(P х а) с а. 5‘О“(Р х а) с р
Это предложение в основном полезно в аналогичной теории ординаль-
ных произведений (*165, *166), где оно позволят нам применять *74-773.
Если мы не имеем Р = А, то имеет место s‘D“(P х а) = а, а если мы не име-
ем а = А, то s‘CI“(P х а) = р (*113-116).
*113-12. F : з! а. э. а X“PeNc‘P П С1ехсГЫс‘а
Т.е. если а не нуль, то аХ“р состоит из Nc‘P взаимно исключающих
классов, каждый из которых содержит Nc‘a элементов.
*113-127. F : R [yea sm у. 5 [ 6ер sm 6 . э .
(Я| |5) Г(6ху)е(аХ“Р) sm sm (у Х“б)
Это предложение является важным, поскольку оно дает двойной кор-
релятор аХ“Р с уХ“6 всякий раз, когда простые корреляторы а с у и р
с 5 даны. Оно сразу же приводит к
*11313. F : a sm у. Р sm 6 . э . aX“Psm smy Х“6 . (Pxa) sm (бху)
Это предложение является фундаментальным в теории умножения, так
как оно показывает, что число элементов рха зависит лишь от чисел эле-
ментов аир. Оно также является фундаментальным в теории экспонен-
циации, как выяснится в *116.
*113-141. F . Nc‘(a х Р) = Nc‘(P х а)
Это предложение является источником закона коммутативности умно-
жения (*113-27).
*113-146. F:a^p.o.axpsm €д‘(i‘a U i‘P)
Оно связывает представленную теорию умножения с теорией выборок.
Затем мы приходим к предложениям, касающимся pxcv. Мы имеем
*113-204. F:.|i = A.V.v = A.V.~(|i, ve NC): э . ц хс v = А
Применение этого предложения, подобно *110-4, состоит в том, чтобы
избежать тривиальных исключений.
*113-23. F.pxcveNC
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ
153
*113-25. I-. Nc‘y хс Nc‘5 = Nc‘(y х 5)
Это предложение позволяет нам выводить предложения о произведени-
ях кардиналов из предложений о произведениях классов, и поэтому оно
постоянно используется.
*113-27. h . р хс v = v хс р
Это предложение представляет собой закон коммутативности умноже-
ния кардиналов.
Основное предложение, использующее аксиому умножения, есть
*113-31. h Mult ах. э : р, v е NC . к е v П СГр. э. Е‘к е р хс v
Т.е. принимая аксиому умножения, мы получаем, что сумма чисел эле-
ментов в v классах из р термов есть pxcv. Если бы мы взяли эту сумму
в качестве определения р хс v, то почти все предложения об умножении тре-
бовали бы аксиомы умножения. Преимущество аХ“Р заключается в том,
что, задав asm у и Psm6, мы можем построить двойной коррелятор аХ“Р
с уХ“6 без привлечения аксиомы умножения. Это доказывается в *113-127
(упомянуто выше).
Закон дистрибутивности, который рассматривается далее, обладает раз-
личными формами. Для начала мы имеем
♦113-4. h . (Р U у) х a = (Р х a) U (у х а)
откуда, используя закон коммутативности, мы без труда выводим
*113-43. F . (v +C(D) хс р = р хс (v +C(D) = (р хс v) +с (р хс (D)
Однако закон дистрибутивности также имеет место, когда вместо зану-
мерованных слагаемых р, у или слагаемые даны как элементы класса
к, который может быть бесконечным. Мы имеем
*113-48. h . $‘ах“к = а х 5‘к = Chv“{(5‘k)х a}
откуда, используя определения из *112, мы находим
*113-491. h : KeCls2excl. э . ENc‘a х“к = Nc‘(aхЕ‘к) = Nc‘a хс ЕNc‘k
Это предложение представляет собой распространение закона дистрибу-
тивности на случай, в котором число слагаемых может быть бесконечным.
Закон ассоциативности
*113-54. F . (р хс v) хс ш = р хс (v хс ш)
доказывается без каких-либо трудностей.
Затем мы доказываем, что pxcv = 0 тогда и только тогда, когда р, = 0
или v = 0, р, v являются экзистенциональными кардиналами (*113-602); что
кардинал остается неизменным, когда умножается на 1 (*113-62-621); что
р,хс2 = р+ср, (*113-66) и что р хс (у +с1) = (р хс v) +с р (*113-671).
*113-02. pxa = 5‘aX“P Df
*113-03. р хс v = f {(ga, Р). р = Noc‘a . v = Noc‘P . £sm(ax Р)} Df
*113-04. Nc‘Pxcp = Noc‘Pxcp Df
♦113-05. p xc Nc‘a = p, xc Noc‘a Df
В отношении типов *113-03-04-05 вызывают замечания, подобные сде-
ланным в *110 для сложения.
*113-1. h.pxa = 5‘aX“P [(*113-02)]
*113-101. h : /?ер х a . = . (з%,у) .xea.yep.7? = xfy [*40-7 . *113-1]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
154
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*113-102. F :у ер . э . a iy = (а f Р) дЧ‘у
Доказательство.
I-. *35-103. э F Нр .э:х(аТ|3)у. = .х€а:
[*85-51] э : (а? Р) дЧ‘у = 1у“а
[(*38-03)] = а 1у : э F . Prop
*113-103. F . а 1“Р = (а Т Р) a“l“P = (а Т Р) ÑР[*113-102 . *85-52]
*113-104. F.E!al‘y [*38-12]
* 113-105. F:3!а.э.ale 1 —>1
Доказательство.
F . *113-104 . *71-166. dF . ale 1 —» Cis h . *38-131. э F : a = a • xea. э . x\,y ea l‘z • (1)
[*38-131] э . (3У) .xf Ea.x[y = x' lz.
[*55-202] zz.y = z (2)
F . (2). *10-11-23-35 . э F : 3! a . a = a I'z. э .у = z (3)
F . (1). (3). *71-54 . oF.Prop
* 113-106. F : xea.у е р . э . х J,у е р х a [*113-101]
* 113-107. F : 3! a. 3! Р . э . 3! Р х a [*113-106]
* 113-11. F : 3!а.э. al“PeNc‘P : (y). a ly eNc‘a
Доказательство.
F . *113-105-104 . *73-26 . э F : 3! a. э . a 1“P sm P (1)
F . *38-2 . *73-611 . □F.alj'sma (2)
F . (1). (2). э F. Prop
* 113-111. F. a ‘PeCls2 excl [*113-103 . *85-55]
* 113-112. h : a = A . 3! P . d . a i“P = l‘A
Доказательство.
F . *38-3. э F : Hp . z>. al“P = p{(зу) .у eP . |i = j,/‘A}
[*37-29] ” = р{(3У) -yep . И = А)
[Hp] = i‘A
* 113-113. F:p = A.z>.al“P = A [*37-29]
* 113-114. h:.a = A.v.p = A: = .pxa = A [*113-l-112-113-107 . *53-24]
* 113-115. h . 5‘(P x a) = a T P
Доказательство.
F. *113-101 . *41-11 .d
I-: и {s‘(P x a)) v. = . (3/?, x,y).xea.yep./? = xj,y. uRv .
[*13-195 . *55-13] = . (зх,у) .xea.yep.w = x.v = y.
[*13-22] = . uea . vep .
[*35-103] = . w (a T P) v: э h . Prop
*113-116. h : 3! P . э . s‘D“(P X a) = a : 3! a . э . s‘G“(P x a) = P
[*113-115 . *41-43-44 . *35-85-86]
*113-117. H:.a = A.V.p = A:z>. s‘D“(P X a) = A . s‘Q“(P x a) = A
[*113-115 .*41-43-44 .*35-88]
*113-118. h . 5‘D“(P x a) c a . 5‘СГ‘(Р x a) с p [*113-116-117]
*113-12. F : 3! a . э . al“PeNc‘P П С1ехсГ1Мс4а [*113-11-111]
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ
155
*113-121. I-. Е‘а i“0sm|3 X а [*112-15 . *113-111-1]
*113-122. F : R [ у, 5 [ 8eCls —> 1 . у с Q‘R. 8 с С‘5 . э. (R115) [ (8ху) е 1 —> 1
[*74-773. *113-118]
*113-123. F : R [ у, 5 [ 8 е 1 —» Cis. у с Q‘R. 8 с Q‘5 . zey • w е 8. э .
(R 115)‘(z I w) = (R‘z) i (S‘w) [*55-61]
*113-124. F:R [y,5[8e 1 Cis. у c CTR. 8 c d‘5 .weS.o.
(R||S)“yiw = (R“y)i(5‘w)
Доказательство.
F . *113-123 . *38-131. э F: Hp. э. (R115)“1 w“y = | (5 ‘w)“R“y.
[*38-2] э . (R115)“y X w = (R“y) i (S ‘w): э F . Prop
*113-125. F : R [ y, 5 [ 8 e 1 -> Cis. у c d‘R. 8 c d‘5 . z>.
(R115)e“y i“8 = (R“y) i“(S“8) [*113-124]
*113-126. F : Hp *113-125 . э . (R11 S)“(8 x y) = (5 “8) x (R“y)
Доказательство.
F . *113-1 . *40-38 . э F. (R115)“(8 x y) = s‘(R 115)“‘y X“8
F . (1). *113-125 . э F : Hp . э . (R11 S)“(8 x y) = s‘(R“y) i“(S“8)
[*113-1] = (S “8) x (R“y): z> F . Prop
* 113-127. F : R [yea sm у. S [ 8e p sm 8. э.
(R115) [ (8 x y) e (a i“P) sm sm (у l‘‘8)
[*113-122-125 . *43-302 . *73-142 . *111-14]
* 113-128. F : Hp *113-127 . э . (R115) f (8 x у) e (P x a) sm (8 x y).
(R||5)t [ (y i“8) e(a i“P) sm (yi“8) [*113-127 . *111-15]
* 113-13. F: asmy. Psm8. d . ai“Psmsmyi“8. (PXa)sm(8 xy)
[*113-127. *111-4-44. *113-1]
* 113-14. F . a x p = Cnv“(P x a) [*113-101 . *55-14]
* 113-141. F . Nc‘(a x P) = Nc‘(P x a) [*113-14 . *73-4]
* 113-142. F : з! p. э. D“(P x a) = i“a: з! a. э. Q“(P x a) = i“P
Доказательство.
F . *55-261 . *2-02 . э h :yeP . d . D“aiy = l“ol
[*37-63] d h : y€D“‘a . d . у = L“a (1)
F. *37-45 . э h : 3! P . э . g! D‘“a (2)
F.(l). (2). *51-141 . э h : 3! P . э . D“‘a X“P = .
[*40-38 . *53-02] э . D“s‘a i“P = L“a (3)
F. *55-251 . э1-:з!а.э.СГ‘а1у = i4‘y.
[*37-355] э . CT“a i“P = l“l“P .
[*40-38 . *53-22] D.a‘^‘al“P = L“P (4)
F . (3). (4). *113-1 . э F . Prop
* 113-143. F:a/p.P = xly.R = xlaUyip.z>.
P = (R‘a) | (R‘P). R = D‘P f i‘a U CPP f i‘P
Доказательство.
F. *55-62. э F : Hp. э .R‘a = x .R‘P =y.
[*30-19 . *13-15] э. P = (R‘a) i (R‘P) (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
156
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
h . *55-15. э h : Нр . э . D‘P = i‘x. d'P = t‘y.
[*55-1] э.Я = В7>Т1‘аи(ГРТ1‘Р (2)
h. (1). (2). э h . Prop
*113-144. h : a (В . T = PR {(gx,y) .xea.yep.P = xJ,y.P = x,|,aUyJ,p}.
э.Те1 -> 1 .D‘T = pxa.a‘T = eA‘(L‘aUi‘P)
Доказательство.
h . *21-33. э h :. Нр . э :
PTR. QTR. э. (gx,y, z, w). x, zea.y, wefi.P = x],y.Q = zlw-
P = xj,aUyj,p = zXaUwj,p.
[*113-143] э . P = (P‘a) X (Я‘Р). Q = (P‘a) J, (P‘P).
[*13-172] z>.P = Q (1)
h . *21-33 . э h :. Нр . э : P TQ. P TR . э .
(gx, у, z, w). x, zca.y, w e p . P = x X у = w X z. G = x 1 a U у j, p . 7? = z X a U w 1 p.
[*113-143] э . Q = D‘P T L‘a U СГР T i‘P • R = D‘P f i‘a 0 СГР T l‘P .
[*13-172] z>.Q = R (2)
h . *33-13 .oh: Нр . э .
D‘T = P {(gP, x,y).xea.yep.P = xly.P = xXaUylp]
[*11-55 . *13-19] = P {(зх,у) .xea.yep.P = xXy)
[*113-101] =pxa (3)
h . *33-131 . э h : Нр . э .
(ГТ = R{(ftP, x,y).xea.yep.P = xj,y.P = xj,aUyj,P)
[*11-55 . *13-19] =R {(зх,у) .xea.yep.P = xJ,aUyXP}
[♦80-9] = ед ‘(i‘a U l‘P) (4)
F . (1). (2). (3). (4). э F . Prop
Замечание к *113-144. В силу *113-143 и *55-61 мы имеем
F :. Нр *113-144 . э : PTR. = . R еед‘(ь‘а U l‘P) . Р = (Р 11 Р)‘(« X Р) •
На более позднем этапе (в *150) мы положим
PJ5 = (Р||Р)‘5 Df.
Поэтому мы будем иметь, предвидя эту запись,
F : Нр *113-144 . э . Г = {f (a X Р)} f eA‘(i‘a U l‘P) .
Следовательно, мы имеем
h : a Р . э . {f (a j, Р)} [ eA‘(i‘a U i‘P) е(Р х a) sm eA‘(i‘a U l‘P) .
*113-145. I-: a/p. □ . Px asmeA‘(i/aU l‘P) [*113-144]
*113-146. F:a/p.D.axp smeA‘(i‘a U l‘P) [*113-141-145]
*113-147. h : Hp *113-144 . p x a = ц. э .
T = PR {P e p,. R = D‘P J L‘s‘D“p U СГР ? iVCI“|i}
Доказательство.
h . *113-114 . Transp. э h : Hp. Pep. э . 3! a. 3! p.
[*113-142 . *53-22] э . a = s‘D“p. p = .у‘СГ‘р (1)
h . *113-101-143 . э h :. Нр . Pe p. э : PTR . = . R = D‘P ? L‘a U СГР T l‘P (2)
h.*113-144. э h : Нр . PPP . э . P e p (3)
h . (1). (2). (3). *113-101 . э h . Prop
Преимущество этого предложения заключается в том, что оно представ-
ляет коррелятор р х а и eA (i‘a U l‘P) как функцию р х а.
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 157
*113-148. F:a(~i0 = A.D.Cf(ax0)el—>1
Доказательство.
F. *113-101 . *55-15 .э
F Нр. э :Я,5 еаX 0. С‘Я = С‘5 . в.
(дх, л/, у, у'). х, х' е а. у, у' е 0. R = у 1 х, S = у' J, х! . i‘x U i‘y = ex' U i‘y'.
[*54-6] z>. (gx, x', y, y'). x, x' e a. y, y' e. 0. R = у J. x, 5 = y' J, x'. x = x'. у = у'.
[*13 22-172] z>.R = S (1)
F. (1). *71-55 • э F. Prop
*113-15. F . C“(a x 0) = C“(0 X a) = | {(gx, у). x e a. у e 0. £ = i‘x U i‘y}
Доказательство.
F. *113-1 .*40-38 . d F . C“(0 X a) = s‘C“‘a X“0
[*40-4] =^{(3y)-yep.^eC“aly}
[*55-27. *38-2] =^{(gx,y).xea.ye0.^ = i‘xUi‘y) (1)
DF.C“(axP) = |{(ax,y).x€a.yep.^ = i‘xUi>} (2)
F . (1). (2). oF . Prop
*113-151. F : a / 0. э . C“(a x 0) = D“eA‘(i‘a U i‘0) [*113-15 . *80-92]
*113152. F : a A P = Л . э . C“(a X P) sm (a x P). В“ед‘(1‘а U l‘P) sm (a X P)
Доказательство.
F . *84-41-62 . dF: Hp . a # P. э . D“€a‘(l‘ci U l‘P) 8тед‘(1‘а U i‘p) (1)
F. (1). *113-146-151 .э
h : Hp . a p . э . C“(a X P) sm (a x p). В“ед‘(ь‘а U l‘P) sm (a x p) (2)
F . *24-38 . э F : Hp .a = p.D.a = A.p = A.
[*113-114 . *83-11 . *37-29] э . a x p = A . В“ед‘(ь‘а U l‘P) = A. C“(a x P) = A.
[*73-47] э . C“(a X P) sm (a x P). В“ед‘(1‘а U l‘P) sm (a X p) (3)
F . (2). (3). d F . Prop
Следующее предложение значимо, лишь когда 1 и ц являются классами
отношений. Оно используется в арифметике отношений (*172-34).
*113-153. F : A s‘p = A. z>. s| С f (kx р)е(5‘Х.^“р) sm (kx р). ^‘^^“psmkx р
Доказательство.
F . *55-15 . *53-13 .oF:/? = T|S.d. s6C6R = S U T (1)
F. (1). *113-101 .d
F :R,R' e X x p. s'C'R = s'C‘R'. d .
(я5,5',Г,Г).5,5'ек.Т,Г e\i.R = T[S . R' = Г | S'. 5 U T = S' U Г (2)
F . (2). *25-48 . *41-13 . э F Hp . э :/?,/?' e k X p . s‘C‘R = s'C'R' .z>.R = R' (3)
F. (l).*U3-101 .z>F.5“C“(Xxp) = Af {(л5,Т).5 ek.Tep.Af = 5 UT}
[*40-7] (4)
F . (3). (4). *73-25 . э F . Prop
*113-16. F : fa = fp. z>. Nc‘(a x p) =
t {(HY, 6). У€^с‘а. SeN^p. у A 6 - A . £sm D“€a‘(l‘y u l‘&)}
Доказательство.
F . *113-152 . э F yeN^a . 6 eN1^. у A 6 = Л. э :
sm D“€a‘(l‘y U l‘&) . = . sm (у X 6).
[*113-13 . *104-101] = . ^ sm (a x P).
[*100-31] E.^Nc‘(axp) (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
158
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
h.(l). *5-32. *11-11-341. о
h (gy, 6). у eN^a. 5 eN1^ . у П 6 = А . £ sm D“eA‘(fy U l‘6) . = :
(ЗУ, 6) • У eNlc‘a . 6 . у n 6 = A . ^Nc‘(a X 0):
[*11-45] = : (gy, 6). у eN^a. 6 eN1 с‘|3. у П 6 = A : £ e Nc‘(a x 0) (2)
h. (2). *104-43. oh. Prop
*113-17. H0xaeff(aT0)
Доказательство.
h . *113-115 . *41-13 . о h : Яе0 x a . о ./?Ga f 0 .
[*64-201] o.tfef(aT0) (1)
h.(1). *63-5 .oh. Prop
*113-171. h:an0 = A.o.g!Nc (f a)‘(a X 0)
Доказательство.
h . *113-152-15 .oh: Hp . о. f {(зх,у) .xea.yf0.^ = i‘xU L‘y} eNc‘(a X 0) (1)
h . *51-16 . oh:xea.ye0.^ = L‘xUL‘y.o.xea.xe§.
[*63-13] o.^efa (2)
h. (2). *11-11-35. о
h • t {(Я*, y). x e a . у e 0 . § = l‘x U i‘y} c fa .
[*63-5] о h . f {(gx,y). xe a . у e 0 . £ = f x U i‘y} e f f a (3)
h . (1). (3). о h : Hp . о . а! Nc‘(a x 0) П f f a (4)
h . (4). *102-6 .oh. Prop
Заметим, что гипотеза a П 0 = Л значима, лишь когда а и 0 принадле-
жат одному и тому же типу.
*113-172. h : aef 0 . о . g! Nc (?‘a)‘(a X 0)
Доказательство.
h . *103-16 . о h :. Hp . о : у eNxc‘a . SeN1^ . у П 6 = Л . о .
D“eA‘(i‘y U l‘6) e Nc‘(a x 0) (1)
h. (1). *104-43 . о h : Hp . о .
(gy, 6) -У eNlc‘a . SeN1^. D“eA‘(fy U l‘6) eNc‘(a x 0) (2)
h . *104-1 . о h : у eN^a . о . у er2‘a .
[*63-61-621] D.i‘yU L‘6ef/2‘a.
[*83-81] о . D“eA‘(fy U l‘6)eft2ia (3)
h . (2). (3). о h : Hp . о . 3! Nc‘(a x 0) П f t2ia (4)
h . (4). *102-6 .oh. Prop
*113-18. Ь:з!а.з!0.ах0 = a'x0'. о . a = a'. 0 = 0'
Доказательство.
h . *113-114 .oh: Hp . э . g! a'x 0'.
[*113-114] D.a!a'.g!0' (1)
h . *30-37 . oh: Hp . о . f Q“(a x 0) = ?Q“(a'x 0').
[*113-142 . (1)] э . f i“a = f L“a'.
[*53-22] o.a = a' (2)
Аналогично h : Hp .0.0 = 0' (3)
h . (2). (3). о h . Prop
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 159
*113-181. k-:g!a.g!a'.axp = a'x Р'. э . Р = Р' Доказательство. I-. *13-172 . э h : р = А . р' = А. э . Р = Р' (1)
h . *113-18 . э F : Нр . ~ (Р = А. Р' = А). э . Р = Р' (2)
К (1). (2). э К Prop *113-182. h:g!p.g!p'.axp = a'x Р'. э . a = a' [Доказательство, как и в *113-181] *113-183. Н g! a . g! р . э . F“(a х р) = s‘C“(a х р) = a U р Доказательство. h . *40-57 . э h . s‘C“(a х р) = s‘D“(a х р) и s‘CI“(a х р) (1)
h . *40-56 . z> h . F“(a x p) = s‘C“(a x p) (2)
h . *113-142 . э h : Нр . э . s‘CI“(a x p) = s‘i“a [*53-22] = a (3)
h . *113-142 .ok: Нр . d . s‘D“(a x P) = s‘l“P [*53-22] = p (4)
h . (3). (4). эк: Нр . э . 5‘D“(a x P) U s‘G“(a x P) = a U P (5)
F . (1) . (2). (5) .эк .Prop *113-19. k-:g!(axp)n(yx8). = .g!any.g!pn8 Доказательство. h . *113-101 . э h :. g! (a x p) A (y x 8). = : (gx, у, z, w).xea.yep.zey.we8.xj,y = wj,z: [*55-202] = : (gx, y, z, w).xea.yep.zey.we8.x = z.y = w: [*13-22] = : (gx,y) .хеаАу.уерА8:.эН. Prop *113-191. h :. g! a . э : g! a i“P A a i“y . = . g! P A у Доказательство. h . *37-6. d h : g! a i“p A a X“y. = . (gy, z). у e P . z ey . a iy = a i z (1)
h . *113-105 . *71-57. эк:. Нр . э : a iy = а i z. = . у = z :
[(1)] o:g!ai“p Aai“y .= . (ду,г) .yep . геу .у = z.
[*13-195] = . g! а А р :. э h . Prop
* 113-2. к-: е р, хс v . = . (ga, Р). р, = Noc‘a. v = Nqc‘P . £ sm (a x P)
[(*113-03)]
* 113-201. h §ep xc v . = : p, veNC : (ga, P). aep . P ev . £sm (a x P)
[*113-2 .*103-27]
* 113-202. h e p xc v . = : g! p . g! v : (a?, $). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . £ sm (у x 6)
Доказательство.
h . *113-201 . *100-4 . э
к :. ^ep xc v . = : (ga, p,y, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . aep . Pev . £sm (a x P).
[*100-31] = : (ga, p, y, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . a sm у . P sm 6 . £ sm (a x P).
[*113-13 . *73-37] = : (ga, p,y, 8). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . asmy . Psm 6 . £sm (у x 6).
[*100-31] = : (ga, p, y, 5). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . ae p . P e v . £sm (у x 6).
[*10-35] = : g! p . g! v : (gy, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . £ sm (у x 6):.
d h. Prop
* 113-203. к : g! pxc v. □ . p, veNC - l‘A . p, veNqC [*113-201-202-2]
* 113-204. h:.p = A.V.v = A.V.~(p, ve NC): э . pxc v = A [*113-203]
*113-205. h : ~ (p, veNqC) . □ . pxc v = A [*113-203]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
160
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*113-21. F р, veNC . d : ^Ер хс v. = . (да, 0). аер . 0 еv. ^sm(а х 0)
[*113-201]
*113-22. F : J- eNc (т])‘у хс Nc (£)‘5. = . д! Nc (т])‘у. д! Nc (£)‘6 . Е- sm (у х 8)
Доказательство.
F . *113-21 . *100-41. э F : £ е Nc (т])‘у хс Nc (У‘8 . = .
(да, 0). а е Nc (т|)‘у. 0 е Nc (£)‘6 . Е=sm (а х 0).
[*102-6] = . (да, 0). а еNc (т])‘у. 0 еNc (£)‘8 . а sm у. 0 sm 8 . sm (а х 0).
[*113-13 . *73-37] = . (да, 0). oeNc (т])‘у. 0eNc (У‘6 . asm у. 0 sm 6 . ^sm (у х 6).
[*102-6] = . (да, 0). oeNc (т])‘У • 0eNc (£)‘8 . ^sm (у х 8).
[*10-35] н . д! Nc (т])‘у. д! Nc (У ‘6 . £ sm (у х 8): z> F . Prop
*113-221. F : д! Nc (т])‘у. д! Nc (У‘8. э . Nc (т])‘у хс Nc (У‘8 = Nc‘(y х 6)
[*113-22]
*113-222. F . Noc‘y хс N0c‘8. = . Nc‘(y х 5)
Доказательство.
И . *103-1-13 . э F. Noc‘y = Nc (у) ‘у. N0c‘8 = Nc (8)‘8. g! Noc‘y. g! N0c‘8 .
[*113-221] э F . Noc‘y xc Noc‘8 = Nc‘(y x 8). э F . Prop
*113-23. F.pxcvENC
Доказательство.
F. *113-222 .*100-41 . d F : p., veN0C . d . pxc veNC (1)
F . *113-205 . *102-74 . э F : ~ (p, veNoC) . □ . цхс veNC (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*113-24. F . Nc‘y xc Nc‘8 = Noc‘y xc N0c‘8 [(*113-04-05)]
*113-25. F . Nc‘y xc Nc‘8 = Nc‘(y xc 8) [*113-24-222]
Это предложение частично устанавливает причину выбора наших опре-
делений. Очевидно, что такие определения должны, если возможно, выби-
раться так, чтобы получить это предложение.
*113-251. F . у х 8eNc‘y хсNc‘8 [*113-25 . *100-3]
*113-26. F : р, veNC . g! smn“p . g! sm^“v . э . р хс v = smn“p хс sm^“v
Доказательство.
F . *37-29 . Transp. dF: Hp.o.glp.glv.
[*102-64] э . (ga, 0, y, 8). p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 (1)
F . *102-88. э F : p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! sm^“v. э .
smn“p = Nc (i])‘y. sm^“v = Nc (£)‘8 . g! Nc (t|)‘Y • g! Nc (£)‘8 .
[*113-221] э . smn“pxcsm^“v = Nc‘(y x 8) (2)
F . *37-29 . Transp . *113-221 . z>
F: p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! smf‘v. э . p xc v = Nc‘(y x 8) (3)
F . (2). (3). z> F : p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! smf‘v. э .
p xc v = smn “p xc 81Ц ‘ ‘v (4)
F . (4). *11-11-35-45 . (1). z> F . Prop
*113-261. F : p, veNC . d . p xc v = p(1) xc v(1) = p(Oo) xc v(Oo) = etc .
Здесь “etc.” включает все восходящие дериваты р. Мы лишь докажем
результат для р^ и v(1), так как он доказывается точно таким же путем
для всех остальных случаев. Произведения p(1)xcv(2) или p(1)xcV(oo), или
Principia Mathematica II
♦ 113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 161
и т.д., будут подходить в той же степени, т.е. нет необходимости брать те
же самые дериваты для р,, что и для v.
Доказательство.
F. *104-264-265 .и
F:Hp.g!p.g!v.D. р(1) = 8ти“р. v(1) = smv“p. g! р(1). g! v(1).
[*113-26] э. p xc v = p(1) xc v(1) (1)
F. *104-264. *113-204. э
F : ~ (g! p. g! v). э . p xc v = A. p(1) xc v(1) = A
F . (1) • (2) . D F . Prop
Как видно из данного выше доказательства, если р1 и v7 есть любые де-
риваты р и v, то приведенное выше предложение имеет место при условии,
что мы имеем
g! р. g! v . э . g! р1. g! v;.
Таким образом, оно имеет место для всех восходящих дериватов, однако
не всегда для нисходящих.
* 113-27. F . р хс v = v хс р
Доказательство.
F. *113-2-141 .э
F : £ е р хс v. = . (да, 0). р = Noc‘a. v = Noc‘0 . £ sm (0 x a).
[*113-2] = .^evxcp:z>F. Prop
Заметим, что это предложение не ограничено случаем, в котором р и v
кардиналы. Когда один из них или оба не являются кардиналами, то
pxcv = A = vxcp.
* 113-3. F :. Mult ах. э : kcNc‘0 A Cl‘Nc‘a. d . E‘KeNc‘a xc Nc‘0
Доказательство.
F . *112-24 . *113-12 . э
F :. Mult ax. g! a . э к e Nc‘0 A Cl‘Nc‘a. d . E‘k sm E‘a ‘0 .
[*113-121] D.E‘Ksm0xa.
[*113-141-25] э. E‘KeNc‘a xc Nc‘0 (1)
F . *113-114-25 . э F : a = A . э . Nc‘a xc Nc‘0 = 0 (2)
F . *101-14 . э F :. a = A . кe Nc‘0 A Cl‘Nc‘a . э : ке C1TA :
[*60-362] z>: к = i‘A. V . к = A :
[*112-3-301] z>:E‘k = A (3)
F . (2). (3). *54-102 . э F : a = A . кe Nc‘0 A Cl‘Nc‘a . э . Е‘кe Nc‘a xc Nc‘0 (4)
F . (1). (4). э F . Prop
* 113-31. F :. Mult ах. э : p, veNC . ке v А СГр . z> . Е‘кер xc v [*113-3]
* 113-32. F :. Mult ax. э : p, v e NC . к e v A Cl ехсГр. z> . s‘k e p xc v
[*112-15 .*113-31-23]
* 113-33. F :. Mult ax. э : p, veNC . кеv А СГр. Хер A Cl‘v. э .
ENc‘k = ENc‘X = pxc v [*113-31-27-23]
* 113-34. F :. Mult ax. э : p, veNC . Kev A ClехсГр. Хер A ClexcPv. э .
Nc‘s‘k = Nc‘.s‘X = p xc v [*113-32-27]
Приведенное выше предложение связывает сложение и умножение.
Следующие предложения имеют дело с различными формами закона
дистрибутивности.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
162
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
* 113-4. F . (Р U у) х а = (Р х a) U (у х а)
Доказательство.
F . *113-1 . э h . (Р U у) X а = 5‘а i“(P U у)
[*40-31] = s‘a i“P U 5‘a Х“у
[*113-1] = (P x а) и (у x a). э F . Prop
* 113-401. Ь:рпу = А.э.(Рха)П(уха) = А [*113-19 . Transp]
*113-41. F . Nc (p + y) xc Nc‘a = Nc‘{(p + y) x a} = Nc‘{(p x a) + (y x a)}
= Nc‘(P x a) +c Nc‘(y x a)
Доказательство.
F . *113-25 . *110-3 . э F. Nc‘(P x y) xc Nc‘a = Nc‘{(p + y) x a}.
Nc‘{(P x a) + (y x a)} = Nc‘(P x a) +c Nc‘(y x a) (1)
I-. *113-4 . (*110-01). э F . (p + y) x a = Ц AY“i“p x a) U (Ap |“i“y x a) (2)
F . *113-13 . *110-12 . z> F . J, Ay“l“P x asm P x a . Ap |“i“y x asm у x a (3)
F . *113-401 . *110-11 . э F . (| AY“i“p x a) П (Ap |“i“y x a) = A (4)
F . *110-152 . (2). (3). (4). d h . (P + y) x a sm {(P x a) + (y x a)) (5)
F . (1). (5). э F . Prop
*113-42. F . (Nc‘P +c Nc‘y) xc Nc‘a = Nc‘(P + y) xc Nc‘a
= (Nc‘P xc Nc‘a) +c (Nc‘y xc Nc‘a)
[*110-3 .*113-25 .*113-41]
*113-421. F . Nc‘a xc (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘a xc Nc‘(P + y)
= (Nc‘a xc Nc‘P) +c (Nc‘a xc Nc‘y) [*113-42-27]
*113-43. F . (v +coj) xc p = p xc (v +C(D) = (p xc v) +c (p xc oj)
Доказательство.
F . *113-27-421 . э F : p, v,шeNC. э . (v +coj) xc p = pxc (v +coj)
= (h xc v) +c (h Xc GJ) (1)
I-. *113-204 . *110-4 . Э
F : ~ (p, v, aj e NC). э . (v +caj) xc p = A. p xc (v +caj) = A.
(p xc v) +c (p xc Ш) = A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Следующие предложения касаются различных форм закона дистрибу-
тивности для случая, когда слагаемые не занумерованы, а заданы как эле-
менты класса.
Первое из них (*113-44) дает закон дистрибутивности в отношении
арифметического класс-умножения и логического сложения классов.
*113-44. F . (5‘к) х a = $‘(х а)“к
Доказательство.
F . *113-1 . э F . 5‘(х а)“к= 5‘5“а >1‘“к
[*42-1] = 5‘5‘а i“‘K
[*40-38] = 5‘а Х“5‘к
[*113-1] = (5‘к) х а . э F . Prop
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 163
*113-45. I-: kcCIs2 excl. э. х a“KeCls2excl
Доказательство.
h . *113-19 . э h : g! х a‘P А х а‘у . э . 3! Р А у (1)
F. (1). *84-11 . э h :. Нр . э : Р, у е к. а! х «‘Р А х a‘y. DptY . Р = у .
[*30-37] =>p,Y . х a‘P = х a‘y:
[*37-63] э : р, о с х а“к. а ’• Р A a. эр>о . р = a (2)
F. (2) .*84-11 .oh. Prop
*113-46. F : кеCis2excl. э . E‘x a“Ksm (Е‘к) x a
Доказательство.
F . *112-15 . э F: Hp . э . E‘Ksm s‘k .
[*113-13] z>. (E‘k) x asm(s‘k) x a (1)
F . *112-15 . *113-45 . э F : Hp . э . E‘x a“Ksm s‘x а“к (2)
F. (1). (2). *113-44. z>F. Prop
*113-47. I-: кe Cis2 excl. э . E Nc‘x а“к = Nc‘{(S‘k) x a] = E Nc‘k xc Nc‘a
Это предложение есть закон дистрибутивности для арифметического
умножения и арифметического сложения того же самого вида, который
был определен в *112.
*113-48. F . s‘a х“к= а х$‘к= Спу“{($‘к) х а}
Доказательство.
F . *113-14 . э F . s‘a х“к = .y‘Cnv‘“x а“к
[*40-38] = Cnv“s‘x а“к
[*113-44] = Cnv“{(s‘K) х а} (1)
[*113-14] =аХ5‘к (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*113-49. F : к e Cis2 excl. d . E‘a xuKsm a x (E‘k)
Доказательство.
F . *113-14 . э F . a х“к = Cnv‘“x а“к (1)
F. (1). *113-45 . *72-11 . *84-53 . z>
F : Hp . □ . а х“ке Cis2excl.
[*112-15] э . E‘a x“Ksm s'a x“k .
[*113-48] э . E‘a x“Ksma x (s‘k) .
[*112-15 . *113-13] d . E‘a x“Ksm a x (E‘k) : z> F . Prop
*113-491. F : кe Cis2excl. э. E Nc‘a x“k = Nc‘(a xE‘k) = Nc‘a xc E Nc‘k
[*113-49-25]
Следующие предложения касаются закона ассоциативности для ариф-
метического умножения.
*113-5. F . (у х Р) х a = R {(ах, у, z). х е a . у е р . z с у. R = х J, (у И)}
Доказательство.
F. *113-101 .э
F . (у х Р) х a = R {(ах, Р). х е a . Р е (у х Р). R = х J, Р}
[*113-101] = R {(ax,y,z) .xea.yep.zey.7? = xJ,(yJ,z)}.Dl-. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
164
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*113-51. h . (а х Р) х у sm а х (Р х у)
Доказательство.
h . *113-141 . э h . а х (Р X у) sm (Р х у) X а (1)
h . *113-5 . э h . (а х Р) х у = R {(gx,y, z).xea.y6p.z6y.7? = ziCyix)}.
(Рху)ха = Р{(дх,у,г).хеа.уер.геу.Р = хНгО)}- (2)
I-. (2). э F : T = RP{(sx,y,z) .хеа.уер.геу.Л = г1.(у1,х).Р = х1(у],г)).э.
ТУТ = (ax P) x у. (ГТ = (₽ x y) x a (3)
I-. *21-33 . э I-: Hp (3). RTP. RTQ. =>
(gx.x'.y.y'.z.z'). x, Уеа.у.у'ер . z,z' ey .R = zi(y J,x) = z' 1(У IO .
P = xl(zly).Q = x' I/).
[*55-202] z>.P = Q (4)
Аналогично F : Hp (3). RTP. QTP. э . R = Q (5)
F . (3). (4). (5). z> F. (a X P) x у sm (P x y) x a (6)
F . (1). (6). z>F . Prop
*113-511. ах0ху = (ах0)ху Df
*113-52. F . (Nc‘axc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘(a x p x y) [*113-25]
*113-53. F. (Nc‘a xc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘a xc (Nc‘p xc Nc‘y)
Доказательство.
F . *113-52-51 . э
F . (Nc‘a xc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘{a x (P x y)J
[*113-25] = Nc‘a xc (Nc‘P xc Nc‘y). d F. Prop
*113-531. F. (Noc‘a xc Noc‘P) xc Noc‘y = Noc‘a xc (Nqc‘P xc Noc‘y)
[*113-53 . (*113-04-05)]
*113-54. F.(pxcv)xcco = pxc(vxcco)
Доказательство.
F. *113-531 .*103-2 .z>
F : p, v, co eNqC . э. (цхсу)хсш = цхс (vxcco) (1)
F . *113-204 . =>
F : ~ (p, v, co e NoC). z>. (p xc v) xc co = A. p xc (v xc co) = A (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*113-541. pxcvxcco = (pxcv)xcco Df
*113-6. F.Nc‘axc0 = 0
Доказательство.
F . *113-25 . *101-1 . э F. Nc‘a xc 0 = Nc‘(a x A)
[*113-114 .*101-1] = 0.z>F.Prop
*113-601. F : p e NC - i‘A . э . p xc 0 = 0
Доказательство.
F . *113-26 . F: Hp. d . (ga). p = Noc‘a (1)
F . *101-11-13 . *103-27 . э F . 0 = Noc‘A (2)
F . (1). (2). z> F: Hp. z>. (ga). p xc 0 = Noc‘a xc Noc‘A
[*113-222] = Nc‘(axA)
[*113-114 .*101-1] = 0:z>F.Prop
Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ
ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ
165
*113-602. F р, хс v = 0. = : р, v с NC -i‘A:p = 0.V.v = 0
Доказательство.
F . *113-203 . *101-12 . э
F : р, хс v = 0. э . р,, veNC - i‘A (1)
F. (1). *113-201 . э
F :: p xc v = 0 . z>£ e0. : (ga, 0). a e p . 0 e v . £ sm (a x 0)
[*54-102] э = A . : (ga, 0). aep . 0ev . i-sm (a x 0)
[*10-1 . *13-15] э (ga, 0). a e p. 0 e v . A sm (a x 0)
[*73-47] d (ga, 0). a e p. 0 e v . a x 0 = A
[*113-114] э (ga, 0). aep. 0ev: a = A . V . 0 = A
[*13-195] э Aep. V . Aev
[(1). *100-45] э p = Nc‘A . V . v = Nc‘A
[*101-1] D:.p = 0.V.v = 0 (2)
I-. *113-601-27 . э F p, v e NC - i‘A : p = 0 . V . v = 0 : z>. p xc v = 0 (3)
F . (1). (3). э F . Prop
Следующие предложения касаются умножения на единичный класс, 1
или 2.
* 113-61. F . Cz х а = J,z“a
Доказательство.
F . *113-1 . э F . l‘z х a = s‘a
[*53-31-02] =ai‘z
[*38-2] = 1 z“a , □ F . Prop
* 113-611. F . i‘z x a sm a [*113-61 . *73-611]
* 113-612. F . a x i‘z sm a [*113-611-141]
* 113-62. F . Nc‘a xc 1 = Nc‘a
Доказательство.
F . *101-2 . э F . Nc‘a xc 1 = Nc‘a xc Nc‘i‘z
[*113-25] =Nc‘(axi‘z)
[*113-612] = Nc‘a . э F . Prop
* 113-621. F : peNC . э . pxc 1 = sm“p
Доказательство.
F. *113-204 .z>F:p = A.D.pxcl=A
[*37-29] = sm“p (1)
F . *103-26 . z>F:Hp.aep.o.p = Noc‘a . (2)
[(*113-04)] э . p xc 1 = Nc‘a xc 1
[*113-62] =Nc‘a
[*103-4 . (2)] = sm“p
F . (2). *10-11-23-35 . э F : Hp . g! p. э . p xc 1 = sm“p (4)
F . (1). (4). э F . Prop
Заметим, что если p типово определенный кардинал, то sm“p представ-
ляет собой тот же самый кардинал, которому придана типовая неопре-
деленность; в то время как если р является типово неопределенным, то
p = sm“p в пределах каждого типа.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
166
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*113-63. hz~€a.34z“a sm В“€д‘(ь‘а U l‘i‘z)
Доказательство.
F . *113-152 . э F: Hp . э . В“ед‘(1‘а U i‘i‘z) sm a x l‘z (1)
I- . (1). *113-61-141 .oh. Prop
*113-64. F . J, z“a x J, z“P sm a x [3 . J, z“a x J, z“P sm J,z“(a x P)
Доказательство.
F. *73-611 .*113-13 . dF.| z“axh“p sma xp (1)
F . (1). *73-611 . э F . i z“a x J, z“P sm J, z“(a x P) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 113-65. F . J, z“a x J, z“P = (J, z 11 Cnv‘J, z)“(a x P)
Доказательство.
F . *72-184 . *55-21 . э F . | z e 1 -> 1. a с CT J, z. P с СД z.
[*113-126] э F . J, z“a x | z“P = (| z 11 Cnv‘J, z)“(a x P).
d F . Prop
* 113-66. F . p xc 2 = p +c p
Доказательство.
F . *110-643 . z> F . p xc 2 = p xc (1 +c 1)
[*113-43] = (p xc 1) +c (p xc 1) (1)
F. (1). z> F p = Noc‘a . э . p xc 2 = (Noc‘a xc 1) +c (Noc‘a xc 1)
[*113-62 . (*113-04)] = Nc‘a +c Nc‘a
[*110-3] = p+cp (2)
F. (2). *103-2 . z> F : p e NqC . z> . p xc 2 = p +c p (3)
F . *113-205 . *110-4 . э F : p ~ eNqC . э . p xc 2 = A. p +c p = A (4)
F . (3). (4). э F . Prop
* 113-67. F . Nc‘a xc Nc‘(P + i‘y) = (Nc‘a xc Nc‘P) +c Nc Nc‘a
Доказательство.
F. *113-421 .*101-2 .э
F . Nc‘a xc Nc‘(P + i‘y) = (Nc‘a xc Nc‘P) +c (Nc‘a xc 1)
[*113-62] = (Nc‘a xc Nc‘P) +c Nc‘a . э F . Prop
* 113-671. F . p xc (v +Д) = (p xc v) +c p [*113-67-205 . *110-4]
Principia Mathematica II
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ
167
*114. Арифметическое произведение класса классов
Краткое содержание *114-
Тот вид умножения, который был определен в *113, не может быть рас-
пространен за пределы конечного числа множителей. Мы поэтому, как и
в случае сложения, вводим другое определение, определяющее произведе-
ние чисел класса классов и способное применяться к бесконечному числу
множителей. Мы определяем произведение чисел элементов к как 1Мс‘бд‘к;
поэтому мы полагаем
IINc‘k = Nc‘6a‘k Df.
Следует заметить, что IINc‘k не является функцией Nc“k, поскольку
если два элемента к имеют то же самое число, то оно будет подсчитываться
лишь однажды в Nc“k, однако в IINc‘k оно будет подсчитываться дважды.
Нетрудно видеть, что в случае, когда к конечен, 1Мс‘ед‘к будет тем,
что мы обычно будем рассматривать как произведение чисел элементов к.
Предположим (например)
K = i‘aU t‘P U t‘y,
где a/p.a/y.p/y. Тогда
6A‘K = fl{(ax,y,z)./? = xJ,aUyJ,pUzJ,Y.xea.yep.z6Y}.
Таким образом, если R есть элемент бд‘к, то R определяет, когда х, у,
z даны, что х, у, z являются референтами по отношению к a, Р, у- Незави-
симо от того, пересекаются ли a, Р, у или нет, выбор некоторого одного х,
у, z полностью независим от выбора двух остальных, и вследствие этого
общее число возможных выборок, очевидно, представляет собой произве-
дение чисел a, Р, у. Таким образом, наше определение не будет вступать
в конфликт с тем, что обычно понимается под произведением.
Предложения этого параграфа менее многочисленны и и не столь важ-
ны, чем таковые из *113. Сначала мы будем иметь дело с произведениями
одного множителя и произведениями, в которых один множитель есть нуль
(*114-2—27). Затем мы будем иметь дело (*114-3—36) с отношениями меж-
ду тем видом умножения, который определен здесь, и видом умножения,
определенным в *113. Далее мы имеем несколько предложений (*114-4—43),
показывающих, что единичный множитель не оказывает влияния на значе-
ние произведения. Далее мы доказываем (*114-5—52), что значение произ-
ведения является тем же самым для двух классов, обладающих двойным
подобием, и затем (*114-53—571) мы предлагаем расширения этого резуль-
тата, которые зависят от аксиомы умножения. И, наконец, мы предлагаем
несколько новых форм закона ассоциативности умножения.
Среди наиболее важных предложений этого параграфа можно отметить
следующие:
*114-21. h . П Nc‘i‘a = Nc‘a
Т.е. произведение одного множителя равно этому множителю.
*114-23. h : А е к. э . П Nc‘k = О
Т.е. произведение равно нулю, если один из сомножителей нуль. Обрат-
ное требует аксиомы умножения, как явствует из предложения
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
168
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
* 114-26. h Mult ах. = : П Nc‘k = 0. =к . А е. к
Т.е. аксиома умножения эквивалентна предположению, что произведе-
ние равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей нуль.
*114-301. h : кП Х = А. э . ед‘(ки к)зтед‘кх €Д‘Х
откуда
* 114-31. 1-:кПХ = А.э.П Nc‘k хс П Nc‘X = П Nc‘(k U к)
которое представляет собой одну из форм закона ассоциативности, и
* 114-35. F : а 0 . э . П Nc‘(l‘« U i‘0) = Nc‘a хс Nc‘0
которое связывает два вида умножения.
* 114-41. h : X с 1. э . П Nc‘(k U X) = П Nc‘k
Т.е. единичный множитель не влияет на значение произведения.
* 114-51. h : Т [ s‘Xck sm sm X. э . (Т || Те) [ бд‘Хе(бд‘к) sm (ед‘к)
Это предложение дает коррелятор ед‘к и ед‘Х как функцию двойного
коррелятора кики поэтому приводит к
* 114-52. h : кsmsmX. z> . П1Мс‘к = П1Мс‘Х.бд‘к8тед‘Х
Следовательно, используя предложения из *111, мы выводим
* 114-571. h Mult ах. э : ц, v е NC . к, X е ц П Cl‘v. э. П Nc‘k = П Nc‘X
Т.е. при допущении аксиомы умножения, если каждый из к и X состоит
из ц классов, каждый из v термов, то их произведения равны.
Мы далее имеем различные формы закона ассоциативности, начиная с
*114-6. F : KeCls2excl. э . ПЫс‘ед“к = IINc‘s‘k
которое является прямым следствием *85-44. Другая форма есть
*114-632. I-: 5 [ye 1 —»1. ус (TS .у ПS“у = Л. э .
ед‘ц {(Я°0 . а е у. ц = а х 5 ‘a} sm ед‘(у U 5 “у)
Что касается смысла, в котором эти предложения являются формой
закона ассоциативности, см. замечания, следующие за *114-6.
*114-01. IINc‘K = Nc‘eA‘K Df
*114-1. h . П Nc‘k = Nc‘eA‘K [(*114-01)]
*114-11. h : 0 e П Nc‘k . = . 0 sm ед‘к. = . 0 e Nc‘eA‘к [*114-1 . *100-31]
*114-12. h . ед‘кеПЫс‘к [*100-3 . *114-1]
*114-2. h.IINc‘A=l [*83-15 . *101-2]
Таким образом, произведение без сомножителей есть 1. Это является
основанием для ц° = 1, как будет видно позднее.
*114-21. F .nNc‘L‘a = Nc‘a [*83-41]
*114-22. h . П NcTA = 0 [*114-21 . *101-1]
*114-23. h : Лек. z>. 4Nc‘k = 0 [*83-11 .*101-1]
Таким образом, арифметическое произведение равно нулю, если какой-
либо из сомножителей равен нулю. Чтобы доказать обратное, мы долж-
ны принять аксиому умножения, которая в действительности эквивалент-
на предложению, что арифметическое произведение равно нулю, когда, по
меньшей мере, один из его сомножителей равен нулю.
Principia Mathematica II
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ
169
* 114-24. F : П Nc‘X / 0. к с X. э . П Nc‘k / О
Доказательство.
К *114-1 .*101-1 .эНПМс‘Х/О.э.э!ед‘Х (1)
h. (1) .*80-6 . э F : ПNc‘X/0. кс X. э . д! ед‘к.
[*114-1 . *101-1] э . П Nc‘k / 0: d F . Prop
*114-25. F Mult ах. = : П Nc‘k = 0. эк . А е к
Доказательство.
F . *88-37 . Transp . э
F:. Mult ах. = : ед‘к = Л . эк . Л 6 к:
[*114-1 . *101-1] = : П Nc‘k = 0.эк.Лек:.эН. Prop
Заметим, что Лек. = .0eNc“K.
*114-26. F :. Mult ах. = : П Nc‘k = 0. =к . Л е к [*83-372 . *101-1]
*114-261. h :. Mult ах. = : П Nc‘k = 0. =к . 0 е Nc“k [*114-26 . *101-1]
*114-27. h :: Mult ах. = :. а е к. эа . 3! а : =к . П Nc‘k / 0
[*114-26 . Transp. *24-63]
*114-3. h : к/X.э . бд‘(ь‘вд‘кU i‘eA‘X) 8Шбд‘кх ед‘Х
Доказательство.
h . *113-146 . Э h : 6д‘к/ 6д‘Х . D . €д‘(1‘бд‘ки 1‘бд‘Х) 8Ш6д‘КХ 6д‘Х (1)
h . *80-81 . э h :. g! ед‘к. V . g! ед‘Х : к / X: э . ед‘к/ ед‘Х (2)
F . *83-903 . *113-114 . э
h : ед‘к = Л . ед‘Х = Л . э . ед‘(ь^д‘ки 1‘ед‘Х) = Л . ед‘к х ед‘Х = Л (3)
h . (1). (2). (3). э h . Prop
*114-301. h : к ГТ X = Л . э . ед‘(к U k) sm ед‘к X ед‘Х
Доказательство.
h . *85-45 . *114-13 . э
h : к П Х = Л . к / X. э . ед‘(к U X) 8Шбд‘кх ед‘Х (1)
h. *22-5 .эЬ:кГТХ = Л.к = Х.э.к = Л.Х = Л.
[*83-15] э . ед‘(к U k) = i‘A . ед‘к = i‘A. ед‘Х = i‘A .
[*113-611] D . €A‘(kU X) 8Ш6д‘КХбд‘Х (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*114-31. h : кП X = Л . э . nNc‘KXc nNc‘k = nNc‘(KU k)
[*114-301-1 .*113-25]
Приведенное выше предложение есть одна из форм закона ассоциатив-
ности умножения.
*114-311. h . П Nc‘(k U X) = П Nc‘k хс П Nc‘(X - к) [*114-31 . *22-91]
*114-32. h : П Nc‘(k U X) / 0. = . П Nc‘k / 0. П Nc‘X / 0
Доказательство.
h . *114-311 . *113-602 . э
h : П Nc‘(k U X) / 0. d . П Nc‘k / 0 (1)
К(1)^. э h : П Nc‘(k U А.) / 0. э. П Nc‘k 0 0 (2)
F . *114-24 . э F:IINc‘X00. э. IINc‘(A.-к) 00:
[Fact] э h : П Nc‘k / 0. П Nc‘X / 0. э . П Nc‘k / 0 . П Nc‘(X - к) / 0.
[*113-602 . *114-311] э . П Nc‘(k U X) / 0 (3)
h . (1). (2). (3). э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
170
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*114-33. F:a~€K.D.nNc‘(KUi‘a) = nNc‘KXcNc‘a [*114-31-21]
*114-34. F: П Nc‘k / 0. g! а. =. П Nc‘(k и i‘a) / 0
[*114-32-21 . *101-14]
*114-35. F: a/ 0. э . IINc‘(i.‘aи i‘0) = Nc‘a хсNc‘0 [*114-33-21]
*114-36. На/р.а/у.р/у.э.П Nc‘(i‘a U i‘0 U i‘y) = Nc‘a xc Nc‘0 xc Nc‘y
[*114-33-35]
*114-4. F : k c 1. э • П Nc‘k = 1 [*83-44]
*114-41. F : k c 1. э . П Nc‘(k U k) = П Nc‘k [*83-57]
*114-42. F .IINc‘K = nNc‘(K-1)
Доказательство.
F . *24-41 . э F . к = (к — 1) U (к О 1) (1)
F . (1). *114-41 . э F . Prop
*114-43. F.nNc‘(KUi“a) = nNc‘K [*114-41 . *52-3]
*114-5. F : Тек sm sm k. э. (T|| T£) fед‘ке(ед‘к) sm (ед‘к)
Доказательство.
F. *111-1-11. э F: Нр. э . T, T£ [ke 1 —> 1 (1)
F . *80-14 . *83-21 .=^.5‘П“ед‘кс.у‘к..РС1“ед‘кск (2)
F . (1). (2). *74-773 . z>
F : Нр. э . (T || T£) [ед‘ке {(T || Т£)“ед‘к} sm (ед‘к) (3)
F . *82-43 4^ . *62-3 . z>
P,Q
F:T,T£ |kl->l.Aca‘r.kca7e.K=T£“)..D.
(Т|е[к|Т£)д‘к=(Т||Т£)“ед‘к (4)
F . (4). (1). *111-1 . *37-111 . э F : Нр. э . (T |e [k| Т£)д‘к= (T|| Т£)“ед‘к (5)
F . *34-1 . *37-101 . z>
F : x (T | e [ k | T£) a. = . (gy, 0). xTy. у e 0.0 e k. a - T“0 (6)
F. (6). *72-52. *111-1 .d
F :. Нр. э : x(T | e [ k| f£) a. = . (gy, 0). xTy .y e0.0ek. 0 = Г “a . ac D‘T.
[*111-1-131 .*13-195] = . (gy).xTy .yeT“a. аек.
[*37-1] s. xeT“T“a. аек.
[*75-502 .*111-1] = .х(е[к)а (7)
F . (5). (7). oF:Нр. э. (e f к) д‘к = (T||Т£)“ед‘к.
[*83-12] э.ед‘к = (Т||Т£)“ед‘к (8)
F . (3). (8). э F. Prop
*114-501. F : 5 = T [ 5‘k. z>. (5 || 5e) [ ед‘к = (T || f£) [ ед‘к
Доказательство.
F . *80-14 . *83-21 . э
F :. Яеед‘к. э :yR 0. э .у es‘k. 0ek.
[*40-13] э .yes‘k. 0c s‘k: (1)
[*4-71 . Fact] z>: xTy ,yR 0.0 f£ a. = . xTy .yes'k.yR 0.0 tf a. 0 c s‘k.
[*37-101 .*22-621] =.x(T [5‘к)у.у/?0.а = Т“0.0 = 0Пл‘к
[(1). *37-412] =.x(T [5‘к)у.уЯ0.а = (Т f s‘k)“0 (2)
F. (2) .DF:.Hp.z>:7?eeA‘K.D.T|7?|T£ = S | R | S£:
[*35-71] э : (T || T£) [ ед‘к = (S || 5e) [ ед‘к:. э F . Prop
Principia Mathematica II
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ
171
* 114-51. h : Т [ s‘Xck sm sm X. э . (Т || Те) [сд‘Хс(сд‘к) sm (сд‘Х)
[*114-5-501]
* 114-52. F : KsmsmX . э . TTNc‘k = IINc‘X . сд‘кзтсд‘Х
[*114-51 .*111-4]
* 114-53. h :: Mult ах. э:. к, Хс Cls2excl:
(g5). 5 e 1 —> 1 . S g sm . D‘5 = к. CI‘5 = X: э . П Nc‘k = П Nc‘X
[*114-52 .*111-5]
* 114-54. h :. Mult ax. э : p, veNC . к, Xс ц П Clexcl‘v . э . IINc‘k = IINc‘X
[*114-52 .*111-53]
Условие к, X e Cis2 excl, которое содержится в гипотезе предложения
*114-54 (через к,ХсClexcl‘v), не является необходимым. Следующие пред-
ложения позволяют устранить его. Сначала мы доказываем
сд‘кзтбд‘с1“к
и затем используем *114-54, чтобы перейти от сд‘с!“к к сд‘с1“Х. Откуда
мы приходим к сд‘кзтсд‘Х.
* 114-56. h . сд‘кsm сд‘с J“k . П Nc‘k = П Nc‘c 1“к [*85-54]
* 114-561. h:5 ск sm X П Rl‘sm . э . cj 15 | Cnv‘(cJ) с(с 1“к) sm (cJ“X)nRl‘sm
[*73-63 . *85-601 . *38-12 . *33-432]
* 114-562. h :. Mult ax. э :
(g5).5 d->l.SG sm.D‘5 = к.СГ5 = X. э . cJ“KsmsmcI“X
Доказательство.
h. *114-561 .*85-61 . э
h :. (g5) .5 cl^ 1.5 g sm.D‘5 = k.Q‘5 = X.d:
cJ“k,cJ“XcCis2excl: (gT). Tc 1 —> 1.7 g sm. D‘T = cJ“k . Q‘T = cJ“X:
[*111-5] э : Mult ax. э . cjKsmsmcJ^X:. э h . Prop
*114-57. h :. Mult ax . э :
(g5) . 5 c 1 —> 1.5 g sm. D‘5 = к. G‘5 = X. э . П Nc‘k = IINc‘X
Доказательство.
I". *114-562-52 . э
I-:. Mult ax. э : (g5). 5 c 1 1.5 G sm. D‘5 = к. Q‘5 = X. э .
IINc‘cI“k = IINc‘cI“X.
[*114-56] э . IT Nc‘k = П Nc‘X:. э F . Prop
*114-571. h :. Mult ax . э : p, veNC . к, Хер, П Cl‘v . э . ПNc‘k = IINc‘X
[*111-52 .*114-57]
*114-6. h : кc Cis2 excl. э .ПМс‘сд“к = IINc‘j‘k [*85-44]
Это предложение представляет собой наиболее общую форму закона ас-
социативности для арифметического умножения.
Из-за того, что мы имеем два вида умножения, а именно ах[3 и сд‘к,
мы имеем четыре формы закона ассоциативности умножения, а именно
(1) *114-6, приведенное выше,
(2) *113-54, т.е. h . (p хс v) хс ст = p хс (v хс ст),
(3) *114-31, т.е. h : к П Х = Л. э . П Nc‘kxc П Nc‘X = П Nc‘(k U X),
(4) форма закона ассоциативности, которая еще не была доказана и
может быть разъяснена следующим образом.
Допустим, мы имеем число пар классов, например (сц,Р1), («2, Рг),
(<х3, ₽з), •••• Предположим, что мы образуем произведения си х Pi, а2хр2,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
172
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
03X^3, ... и перемножаем все эти произведения. Мы хотим доказать,
что (с подходящей гипотезой) результат аналогичен произведению всех
а-элементов и P-элементов, собранных вместе в один класс; т.е. если мы
назовем к класс произведений cq X pi, ot2 X Р2, <*з X Рз, ..., а ц —класс, эле-
ментами КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ 0Ц, 012, аз, ..., рь р2, рз, ..., то мы хотим
доказать, что
nNc‘k = ITNc‘p.
Для того чтобы выразить это предложение символьно, допустим, что 5
есть коррелятор a-элементов и P-элементов такой, что ру = 5‘Оу. (Суффикс
v не будет использоваться в дальнейшем, поскольку он подразумевает, что
число a-элементов и P-элементов конечно или счетно.) Тогда наш класс
произведений вида а х Р есть
р {(За) • а е Y • И - а х $ ‘а},
где у есть класс всех а-элементов; и произведение этого класса произве-
дений есть
бд‘р {(3а). а е у . ц = а х S ‘а}.
С другой стороны, класс всех а-элементов и p-элементов есть yU5“y, a
произведение этого класса есть
ед‘(уи5“у).
Таким образом, то, что мы хотим доказать (с подходящей гипотезой), есть
£д‘р{(Яа) • аеу.ц=ах5<а} sm ед‘(у U 5 “у).
Требуемая гипотеза есть
5 [у е 1 -> 1 . у с Q‘5 . у П5“у = Л .
Более слабая гипотеза достаточна для предложения, которое, в силу
*114-301, весьма близко приведенному выше, а именно
бд‘у х ед‘5 “у smeA‘p {(3 а) .аеу.ц = ах5‘а}.
Для этого предложения достаточная гипотеза есть
5 Г у е 1 -> 1 .ycQ‘5.
Поэтому, например, мы можем записать / вместо 5 и найти
h. ед‘у х ед‘у sm ед‘р {(3а). а е у . ц = а х а}.
Теперь мы докажем приведенные выше предложения. То, что следует,
вплоть до *114-621, состоит из лемм.
Для удобства мы пишем 5х‘а вместо ах5‘а в ходе изложения этих
лемм; это обозначение вводится в гипотезах указанных лемм.
*114-601. h:.5 fyel -> 1 .ycCTS . Л ~ е у . Sx = pct (а е у . = а х S‘а). d :
5Х е 1 -> 1. Q‘5X = у . D‘5X = р {(3а). аеу . ц = а х 5 ‘а}:
аеу. эа . 5х‘а = ах5‘а
Доказательство.
h . *33-11 . э h : Нр . э . D‘5X = р {(3а). а еу . ц = а х 5 ‘а} (1)
h . *21-33 . oh:. Нр .аеу.э: ц(5х) а . =и . ц = а X 5 ‘а :
[*30-3] э: 5х‘а = а х 5 ‘а (2)
h . (2). *14-204 . э h Нр . э : аеу. эа . Е ! 5х‘а . (3)
Principia Mathematica II
114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ
173
[*33-43] Da.aeCTSx (4)
I-. *21-33 . *33-131 . э FНр . э : a е Q‘5X . эа . а е у (5)
F. (4). (5). z> F : Нр. э . O‘SX = у • (6)
[(3). *71-16] э . Sx е 1 Cis (7)
F . *113-181 . э FHp. э : a,a'ey. axS‘a = a'xS'a'. z>.S‘a = S‘a'.
[*71-59] э.а = а' (8)
I-. (8). *71-55 . (2). (6). (7). э F: Hp. э. Sx e 1 -> 1 (9)
F. (1). (2). (6). (9). э F. Prop
*114-602. F :Hp *114-601 . a = R& {aey .R = (S‘a) J. a). э . ae 1 -»1. СГа = у
Доказательство.
Как и в *114-601, мы доказываем
F : Нр. э. А е 1 —> Cis. G‘A = у (1)
F. *21-33 .*13-171 . э FНр. э :/?Аа ./?Ар . э . (S‘a)Xa = (S‘P)X Р •
[*55-202] э.а = Р (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*114-603. F : Hp*114-602 .X e ед‘у. У e eA‘S “у. P = (У||X) | A | Sx • э . P e ед‘D‘Sx
Доказательство.
F . *43-122 . *71-166 . *114-601-602 . э F : Hp. э. P e 1 -> Cis (1)
F . *43-122 . *37-32-322 . *33-431. z> F : Hp. z>. G‘P = Sx‘*a‘A
[*114-601-602] =D‘SX (2)
F . *34-1 . э Hp. э:
MPn. = .(^R,d).M = y|P|X.P = (S‘a)Xa.aey.n = Sx‘a.
[*113-123 . *80-14] в . (ga). M = (Y'S ‘a) X (X‘a). p = Sx‘a. a e у.
[*113-195 . *114-601] = . (aa, P). P = S ‘a . a e у. M = (У‘Р) X (X‘a). p = a x p.
[*83-2] z>. (aa, p, u, v). P = S ‘a. aey. uea. vep.
Л/ = (рХи)«Ц = ихР-
[*113-101] э.А/ец (3)
F . (1). (2). (3). *80-14 . э F . Prop
*114-604. F: Hp *114-602 .T = PQ {(аХ, У). Xe ед‘у. У e eA‘S “y.
е=УХХ.Р=(У||Х)|А|5х).
э . T 6 1 —> Cis. (IT = бд‘у x бд‘5 “у. D‘T c6A‘D‘Sx
Определенное здесь отношение Т представляет собой коррелятор, тре-
буемый для доказательства
бд‘ц {(Эа) . а е у • Н = а X 5 ‘a} sm ед‘у х ед‘5 “у •
Кроме того, что доказывается в настоящем предложении, мы будем
должны доказать
TeCls—> 1 .ед‘Р‘5х cD‘T.
Доказательством настоящего предложения является то, что следует
далее.
Доказательство.
h . *21-33 . *13-171 .oh:. Нр . э :
PTQ.P'TQ.^.t^X, У,Х',У').У |Х=УДХ'. Р = (Y\\X)\A\Sx .
P'=(Y’ || X') | A ISX .
[*55-202] э.Р = Р' (1)
h . *21-33 . *114-603 . э h Hp . э : PTQ . э . PeeA‘D‘5x (2)
h. (1). (2). *113-101. oh. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
174
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*114-605. I-: Нр *114-604 . э. Т е Cis ->1
Доказательство.
F . *114-601 . э F : Нр. э. 5Х е 1—> 1 (1)
F . (1). *74-71. *114-601-602 . э
F:.Hp.X,X'€€A‘v.y,Pe6A‘5“Y.(y||X)|A|5x = (r||X')|A|5x.D:
(У ||Х)|А = (У' ||Х')|А:
[*74-7] э:(У||Х) [D‘A = (y'||X') [D‘A:
[*114-602] z>: а е у. эа . (У || X)‘(S ‘а) X а = (У' || X'Y(S ‘а) X а.
[*113-123] эа . (Y‘S ‘а) X (Х‘а) = (Г ‘S ‘а) X (Х'‘а).
[*55-202] эа.Х‘а = Х'‘а. У‘5‘а = У,‘5‘а:
[*80-14 . *33-45] =>: X = X’. У = У':
[*55-202] э:УХХ=У'ХА" (2)
F . (2). *13-22 . *21-33 . э FНр. э: PTQ. PTQ'. э . Q = Q F . Prop
Следующие предложения требуются для доказательства того, что с той
же самой гипотезой ед‘Е‘5х с D‘T.
*114-61. F : Нр*114-602 . Ребд‘В‘5х .Х = i| Q | Р|5Х . У = t|D | Р|5Х 15 . э .
Хеед‘у. Уеед‘5“у
Доказательство.
F . *72181-13-131 . *80-14 . *114-601 . z> F : Нр. э . X, У е 1 -> Cis (1)
F . *72-2-181-13-131 . *80-14 . *114-601. э
F Нр. э :хХа . =. x = i‘Q‘P‘5x‘a. (2)
[*51-53] 3.xeQ‘P‘5x‘a.
[*83-2 . *114-601] э . (gP) .Peax5‘a.xeQ‘P.
[*113-142] э.хеа (3)
F . *114-601 . э F Нр.э:аеу.=. Sx‘aeD‘5x .
[*83-2] в.Е!Р‘5х‘а (4)
F . *83-2 . z> F Нр. э: Е ! Р‘5Х ‘а. =. Р‘5Х ‘а е Sx ‘а.
[*113-142] э . Q‘P‘5x‘ae 1.
[*52-15] э. Е ! i‘Q‘P‘5x‘a. (5)
F. (2). (4). (5). DFzHp.D.yaCTX (6)
F . *34-36 . *114-601 . z> F : Нр. z>. СГХ с у (7)
F.(l).(3).(6).(7).=F:Hp.D.XeeA‘Y (8)
Аналогично F: Hp. z>. У e ед‘5 “y (9)
F . (8). (9). э F. Prop
*114-611. FHp *114-61. э: a eу • э. (У‘5 ‘a) X (X‘a) = P‘Sx‘a
Доказательство
F. *72-2 . dF : Hp. a e у. э . X‘a = l‘O‘P‘5x‘a. YlS‘a = i‘D‘P‘5x‘a.
[*55-16 . *51-51] z> . (У‘5 ‘a) X (X‘a) = P‘Sx‘a: э F. Prop
*114-612. F : Hp *114-61 . э . (У || X) | A | i>x = P
Доказательство.
F . *83-15 . э F: Hp. g ! P. э. g! D‘5X .
[*114-601] э.д!у (1)
F . *34-1 . э F Hp. э: M ((У || X) | A15X] p. = .
(де,а).Л/ = (У||Х)‘е.еАа.р = 5х‘а.
Principia Mathematica II
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ
175
[*114-601-6021 =. (да). М = (У || Х)‘(5 ‘а) | а. ц = $х‘а. а е у.
[*113-123] =. (да). М = (Y‘S ‘а) 1 (Х‘а). р = 5х‘а. а еу.
[*114-611] = . (да). М = Р‘5/а . ц = 5х‘а. аеу.
[*13-193 . *114-601 . *71-16] = . М = . д! у.
[*71-36 . *80-14 . (1)] = . МР цэ F. Prop
*114-613. I-: Нр *114-61 . Нр *114-604 . э . Р = Г‘(П X) • (П X) еел‘у X еД‘5 “у
Доказательство.
F . *21-33 . *114-604 . э FНр *114-604 . э:
Хеед‘у. Y еед‘5“у. э . T\Y |Х) = (У||Х) | А15Х (1)
F. (1). *114-61-612 . *113-106 . э F. Prop
*114-614. I-: Нр *114-604 . э . eA‘D‘Sx с DT
Доказательство
I- . *114-613 . э F Нр. э: Pee/D‘Sx . э . (gg) - Р = T‘Q.
[*33-43] э . РеТУТэ F . Prop
* 114-62. F : Нр *114-604 . э . Те 1 —> 1 . D‘T = ед‘О‘5х . GT = ед‘у х ед‘5 “у
[*114-604-605-614]
* 114-621. F:S [ у е 1 —> 1. у с G‘S . А ~ еу. э.
ед‘р{(да) • аеу. ц = аxS‘a]smeA‘y Xед‘5“у
[*114-62-601]
Гипотеза А~еу не является необходимой, так как, когда Аеу, то
ед‘р{(да). аеу. ц= ахS‘a) и бд‘ухед‘5“у
оба представляют собой А. Это доказывается в *114-63.
* 114-63. F : S ] ye 1-* 1. у с Q‘S . э.
ед'АКда) .aey.p=axS‘a} зтед‘ухед‘5“у
Доказательство.
F. *10-24 .*83-11 . э
F : Нр. Аеу. э. A х S ‘А ер. {(да) .aey.p, = axS‘a). ед‘у = А .
[*113-114] э . А е р {(да) . а е у. ц = а х S ‘а). ед‘у х ед‘5 “у - А.
[*83-11] э . ед‘р{(да). аеу. ц = а х5‘а] = А.ед‘у хед‘5“у = А (1)
F. (1). *73-47 . *144-621 . э F . Prop
Приведенное выше предложение представляет собой один из двух ва-
риантов закона ассоциативности для ед и X.
*114-631. F. ед‘р {(да). аеу. |1 = а х a) smед‘а хед‘а [*114-63—]
*114-632. F: S [ у е 1 —»1. у с G‘S . у A S “у = А. э.
ед‘Р {(д а) • а е у. ц = а х 5 ‘a} sm ед‘(у U 5 “у) [*114-63-301]
Это предложение представляет собой второй вариант закона ассоциа-
тивности для ед и х.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
176
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*114-64. F: (R“y) 1 R, S f ye 1 ->1. у с CTR. ус Q‘5 . э.
ед‘7?“у х 6Д‘5 “у sm ед‘р {(gz). z е у. ц = R‘z х S ‘г}
Доказательство.
и •> I
F:S|R[R“yel->l.R“yc(T(S|R).n.
e&‘R“y xeA‘5“R“R“ysmeA‘P{(ga). aeR“y. p = a x (S |R)‘a) (1)
F . *74-14 . *35-354 . эF : Нр. э .5 |R f R“y = 5 [y|y] R.R [R“y = y1 R.
э . 5 |R f R“ye 1-> 1 (2)
I-. *37-2 . z>F:Hp.z>.R“ycR“CT5 .
[*37-32] D.R“ycQ‘(5 |R) (3)
F. *74-171. z> F: Нр. э • R“R“y = у (4)
F . (4). *74-14 . эF: Hp. z>. (R“y)1 R = R [у.
[*35-7 . *71-4] э . p {(ga). aeR“y. p = a x (S |R)‘a}
= P {(az). z eу. |i = R'z x S lR‘R‘z]
[*74-53] = P{(gz).zey.p = R‘zxS‘z} (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э F . Prop
В приведенном выше предложении гипотеза должна быть такой, чтобы
дать в результате /£“Я“у = у. Различные другие формы гипотез обеспечат
этот результат, и мы дадим другие формы приведенного выше предложе-
ния. Этот вопрос рассматривается выше, в *74.
*114-65. h (Я“у) 1 R, S f у е 1 -> 1 . у с СГЯ . у с CTS . Я “у П 5 “у = Л . э .
бд‘(Я“у и 5 “у) sm сд‘fl {(az). z еу. ц = R‘z х 5 ‘z}
[*114-64-301]
Principia Mathematica II
*115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 177
*115. Мультипликативные классы и арифметические
классы
Краткое содержание *115.
Всякий раз, когда к есть класс взаимно исключающих классов, ед‘к
подобен В“бд‘к; следовательно,
П Nc‘k = Nc‘D“eA‘K.
D“eA‘K принадлежит тому же самому типу, что и к; и когда к есть
класс взаимно исключающих классов, то В“бд‘к состоит из всех классов,
полученных посредством выбора одного представителя из каждого элемен-
та к. Часто случается так, что с В“бд‘к оказывается легче иметь дело, чем
с бд‘к; следовательно, когда возможно (т.е. когда KeCls2excl), удобно ис-
пользовать Б“бд‘к, а не ед‘к, в качестве стандартного элемента IINc‘k.
Вследствие этого мы полагаем
РгосГк = В“ед‘к Df.
Мы будем называть Prod‘к “мультипликативным классом” класса к.
Закон ассоциативности
Prod4 ^‘к sm Prod‘Prod“K
требует не просто KeCls2excl, но также и $‘ке Cls2excl. Комбинация этих
двух гипотез дает полностью разъединенный класс классов классов, т.е
класс классов классов к, который может быть получен разделением данно-
го класса (s'‘s'‘к) на взаимно исключающие части, а затем разделением каж-
дой из этих частей на взаимно исключающие части. Например, возьмем
квадрат (класс точек) и разделим его горизонтальными линиями, затем
разделим каждый из полученных прямоугольников вертикальными линия-
ми; тогда полученные ряды маленьких прямоугольников формируют такой
класс, что каждый ряд прямоугольников является одним элементом указан-
ного класса. Такой класс мы называем “арифметическим классом” и обо-
значаем посредством “Cis3 arithm”. Настоящий параграф касается свойств
мультипликативных классов и арифметических классов. Некоторые из этих
свойств будут полезными в связи с экспоненциацией.
Настоящий параграф начинается с различных предложений, касающих-
ся Prod‘к, которые являются просто повторениями предыдущих предложе-
ний из *83, *84, *85 или *113. Таким образом, мы имеем
*115-141. h : з! Prod‘K. э . s,‘Prod‘K = ^‘к на основании *83-66,
*115-142. F . Prod‘i‘a = i“a на основании *83-7,
*115-143. h . Prod‘i“a = t‘a на основании *83-71,
*115-16. h . кв Cis2excl. э . Prod‘K a Nc‘k на основании *100-64,
и различные другие свойства.
Далее мы переходим к рассмотрению Cis3 arithm. Мы доказываем
*115-22. h к б Cis3 arithm. э : s'“к б Cis2 excl: а, Рбк. 3! s‘a П ^‘Р . эа>р . а = р
и *115-23 дает подобное предложение, где “Prod” подставлено вместо s.
После еще нескольких предложений о Cis3 arithm мы переходим к за-
кону ассоциативности для Prod (*115-34), т.е.
h : к б Cis3 arithm . э . Prod‘Prod“Ksm Prod‘s,<K.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
178
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
(Это предложение, *115-34, также утверждает, что с той же самой ги-
потезой РгосГ.у‘К8тед‘.у‘к.) Следовательно, мы имеем
*115-35. h : ке Cis3 arithm. э . Nc‘Prod‘Prod“K = NcTrodVK = П Nc‘Prod“K
= П Мс‘ед“к = П Nc‘s‘k
Мы также имеем
*115-42. h : к е Cis3 arithm. э . Prod ‘Prod “к = D “ ‘Prod ‘ед “к = D “ ‘D “ед ‘ед “ к
*115-44. F : KeCls3 arithm . э . Prod‘s,‘K= ^“ProdTrod4^
Далее мы должны доказать, что если два класса классов обладают
двойным подобием, то им же обладают и их мультипликативные классы.
Доказательство этого является простым, так как двойной коррелятор яв-
ляется тем же самым, что и для исходных классов, т.е.
*115-502. F : Т [ е к sm sm X. э . Т f .s‘Prod‘k е (Prod‘K) sm sm (Prod‘k)
откуда
*115-51. h : к sm sm X . э . Prod‘K sm sm Prod‘X
Этот параграф заканчивается предложениями, которые вытекают из
*114-64-65 и подобных им. Одно из них используется в следующем пара-
графе в доказательстве хс vro = (ц хс v )ш, а именно
*115-6. h : (Я“у) 1 R, S Г у е 1 -> 1. у с Q‘Z?. у с Q‘5 . Я“у, 5 “у е Cis2 excl. э .
Prod‘/?“y xProd‘5 “у smeA‘fi {(gz). ze у. ц = R‘z x 5 ‘z}
Предмет, рассматриваемый в этом параграфе, окажется полезным в свя-
зи с экспоненциацией, так как мы будем определять посредством
Prod‘ai“P, где |x = Noc‘a и v = Noc‘p.
*115-01. Prod‘K = D“6A‘k Df
*115-02. Cis3 arithm = к (к, $‘ке Cis2 excl) Df
*115-1. h. Prod‘K = D“eA‘K [(*115-01)]
*115-101. Ь:.аек.эа.(ППае1:сос s‘k : d . (D e Prod‘K [*84-411]
*115-11. h :: KeCls2 excl. э (DeProd‘K . = :аек.эа.(ППае1 :GJc ^‘k
[*84-412]
Благодаря этому предложению Prod‘к может использоваться без каких-
либо ссылок на ед‘к всякий раз, когда KeCls2excl.
*115-12. h : KeCls2excl. э . Prod‘KenNc‘K. Prod‘KsmeA‘K [*84-41]
Это именно то предложение, которое оправдывает применение обозна-
чения Prod‘к для мультипликативных классов.
*115-13. F : а П Р = А . э . Prod‘(i‘a U i‘P) sm (a x (3) [*113-152]
*115-131. F : a / P. э . Prod‘(i‘a U i‘P) = C“(a x p) [*113-151]
*115-14. h К Q X = A . V . ^‘k Q s‘X = A : э :
(D e Prod‘(K U X). = . (gp, 5). p e Prod‘K. 5 e Prod‘X. ш = p U 5
[*83-64-641]
*115-141. F: g! Prod‘K. э . s‘Prod‘K = ^‘k [*83-66]
*115-142. F . Prod‘i‘a = i“a [*83-7]
*115-143. F . Prod‘i“a = i‘a [*83-71]
*115-144. F : к c 1 . э . Prod‘K = l‘.s‘k [*83-72]
Principia Mathematica II
*115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 179
*115145. FKeCls2ехс1.аек.цАае 1.э:n-aeProd‘(K-i‘a). =.цеРпхГк
[*84-422]
*115-15. F к, X. eCls2excl. л‘к =Д.э:кс РгосГХ. = . к с Prod‘к
[*84-43]
*115-151. F : кеCls2excl. э . ед‘$‘к = s“Prod‘eA“K [*85-28]
*115-152. F.PA‘asmProd‘PI“a [*85-55]
*115-153. F. eA‘KsmProd‘eI“K [*115-152]
*115-154. F.Prod‘eI“KeHNc‘K [*115-153]
*115-16. I-: ке Cis2excl. э . Prod‘KcNc‘K [*100-64]
Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных
серий (*250-5).
*115-17. F : 3! ед‘С1 ех‘а . э . Prod‘Cl ех‘а = i‘a
Доказательство.
I-. *80-14 . *115-1 . *37-45 . э F : Нр . э . g! Prod‘Cl ex‘a (1)
F . *60-61 . Fact. э
F Re 1 —> Cis . R G e. СГ7? = Cl ex‘a . z>: Re 1 —> Cis . R G e. i“a с СГ7?:
[*51-15] э : xea. dx . xR (i‘x):
[*33-14] D:acD‘fl (2)
F . *83-21 . э F : Hp (2). э. D‘7? c s‘Cl ex‘a.
[*60-501] D.D‘flca (3)
F . (2). (3). э F : R e 1 —> Cis . R G e. Q‘7? = Cl ex‘a . э . D‘7? = a (4)
F(4). *115-1 . *80-14 . э F . Prod‘Cl ex‘a c i‘a (5)
F. (1). (5). *51-4 . э F . Prop
* 115-18. F.fProd‘K = fK [*83-81]
* 115-2. F : кеCis3 arithm . = . к, $‘кеCis2excl [(*115-02)]
* 115-21. F Ke Cis3 arithm . =: a, Ре к. g! a П p . эа,р . a = p:
а, рек.реа.бер.д!рПб. эадр,б . p = 6
[*115-2 .*84-11]
*115-211. F : Ke Cis3 arithm . а, Рек.pea, Sep. REc p П б . э . a = p
Доказательство.
F . *115-21 . э F : Hp .o.p = S.pea.Sep.
[*13-13] з.реаор.
[*115-21] э . a = P : э F . Prop
*115-22. F:. KeCls3 arithm. э: ^“ке Cis2 excl: а, Рек. g! s‘aA s‘P. эа>р . a = p
Доказательство.
F . *40-11 . э F : g! s‘a П s‘P. = . (gx, p, S).pea.Sep.xep.xeS.
[*10-35] = . (gp, S). p e a. S e p. g! p П S (1)
F.(l). *115-211 .э
F :. Hp . э : a, p e к. g! s'a n s‘P. э . a = p . (2)
[*30-37] D.s‘a = .s‘P (3)
F. (2). (3). *84-11. dF. Prop
Заметим, что, хотя “s‘‘KeCls2excl” следует из
ua, рек. g! s'a П s‘P. эа>р . a = P”,
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
180
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
импликация не имеет места. Если бы было два различных
и р, обладающих одной и той же суммой, то мы могли бы
“s“KeCls2excl”.
полезным, чем
ек, то последнее
обратная
класса а
иметь з! s‘a О .Гр, т.е. 3! Га, не имея а = р, несмотря на
В доказательствах “ Г‘к е Cis2 excl” оказывается менее
“а, рек. 3! ГаП Гр. эа,р. а = Р”. Если Л~ек или ГЛ
из них влечет s [ к е 1 —> 1.
*115-23. I-:. к € Cis3 arithm . э :
Prod“Ke Cis2 excl: а, рек. 3! РгосГа ПРгосГр. эа>р . а = р
э h : ШеРгосГа П Prod‘P . э . Шс s'a П (1)
э I-: ш е РгосГа П Prod‘0.3! ш. э . s‘a П s‘P (2)
э I-: Нр . а, р е к. (О е РгосГа П РгосГр. 3! ш. э . а = р (3)
(4)
(5)
Доказательство.
I-. *83-62 .
I-. (1). *24-58 .
F. (2). *115-22.
I-. *83-16 . Transp. э I-: Л е РгосГа П РгосГр. э . а = Л . р = Л
I-. (3). (4). э I-:. Нр . э : а, р е к. 3! РгосГа П РгосГр. э . а = Р.
[*30-37] э . РгосГа = РгосГр (6)
I-. (5). (6). *84-11 . э h . Prop
*115 24.
*115 25.
[*115-2 .*84-14]
[*84-3. *115-2]
*115 26.
h : к е Cis3 arithm. = . е [ к, е [ ^‘к е Cis —> 1
h .-KeCls3 arithm . э . ед‘кс 1 —> 1. ед‘5‘кс 1 —> 1
I-: к е Cis3 arithm . э .
ед‘Г‘кс 1—^1. ед‘ед“кс 1 -»1. ед‘РгосГ‘кс 1 —> 1
[*84-3 . *115-22 . *84-55 . *115-23]
В приведенном выше предложении ед‘ед“кс 1 1 не требует гипотезы
к е Cis3 arithm, будучи истинным всегда. Оно просто включено здесь для
удобства ссылок.
*115-27. h : KeCls3 arithm. э . к с Cls2excl [*115-2 . *84-25 . *40-13]
Теперь мы должны доказать закон ассоциативности для “Prod”, т.е.
h : KeCls3 arithm . э . Prod‘5‘KsmProd‘Prod“K.
В силу *115-12 мы должны лишь доказать (исходя из той же самой
гипотезы)
ед ‘Гк sm ед ‘Prod ‘ ‘к,
которое посредством *85-44 будет следовать из
ед ‘ед ‘ ‘к sm ед ‘Prod “к,
которое, согласно *114-52, будет следовать из
ед“кзт smeA‘Prod“K.
Тогда
Prod“K = В€“ед“к.
Таким образом, коррелятором, который даст наше предложение, будет
D [ Гед“к. Мы должны доказать лишь то, что он есть 1 —> 1, а все осталь-
ное следует.
*115-3. I-: KeCls3 arithm .R,Se ^‘ед“к. D‘7? = D‘5 . э . R = S
Доказательство.
I-. *115-23 .эI-.-KeCls3 arithm.а,Рек.7?еед‘a.S еед‘р.D‘7? = D‘5 .z>.a = p (1)
I-. *115-27. *84-4 .ol-:KeCls3 arithm.aeк.R,S еед‘а.D‘7? = D‘5 .z>.R = S (2)
Principia Mathematica II
115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 181
I-. (1). (2). oF: KeCls3 arithm. а, рек. R е ед ‘а. 5 eeA‘|3.D‘7? = D‘5 . э. R = S (3)
I-. (3). *10-11-23-35 . *40-11. э F. Prop
*115-31. F : KeCls3 arithm . э . Prod“Ksmзтед“к
Доказательство.
I-. *115-3 . *71-55 . *72-13 . э F : Нр. э . D [ ?еА“ке 1 -> 1 (1)
F. *33-431. э F . s‘eA“Kc G‘D (2)
F . *37-11 . *115-1 . э F . Prod“K = Dc“eA“K (3)
F . (1). (2). (3). *111-402 . э F . Prop
*115-32. F : KeCls3 arithm. э . eA‘Prod“кsmeA‘eA“к [*115-31 .*114-52]
*115-33. F : KeCls3 arithm. э . eA‘Prod“KsmeA‘s‘K [*115-32 . *85-44]
*115-34. F : KeCls3 arithm . э . Prod‘Prod“KsmProd‘5‘K. Prod‘s‘KsmeA‘s‘K
[*115-33-12-23]
Это предложение дает закон ассоциативности для “Prod”.
Следующее предложение включает три последних предложения.
*115-35. F : к е Cis3 arithm. э .
Nc‘Prod‘Prod“K = Nc‘Prod‘5‘K = nNc‘Prod“K = nNc‘eA“K=nNc‘5‘K
[*115-34-33-32]
В связи с Prod‘s‘K и Prod‘Prod“K остается два предложения, достаточно
интересных, чтобы доказать их, а именно
KeCls3 arithm. э . Prod\v‘K = s “Prod‘Prod “к
и
KeCls3 arithm . э . Prod‘Prod“K = D‘“D“eA‘eA“K.
Из этих двух предложений первое выводится из второго, в то время как
второе можно доказать посредством *114-51, полагая D вместо Т, которое
входит в это предложение, и еА“к вместо к в этом предложении.
*115-4. F : Т [ s‘ke 1 -> 1. с G‘T. z>. Prod‘T‘“k = T‘“Prod‘k
Доказательство.
1-. *111-14 . *37-103 . э F : Hp . k= T‘“X. э . T f л‘кек sm sm L
(*114-51. *73-142] o.e4‘K = (T||f£)“eA‘A (1)
F.(l). *115-1 . z> F: Hp. э. Prod‘T“‘X = D“(T || ^е)“ед‘к (2)
F. *37-321-231. э F . D‘(T 17? | T£) = D‘(T |7?)
[*37-32] (3)
F.(3).*43-112 . э F . D“(T || ^£)“ед‘Х = T“‘D“eA‘k
[*115-1] = T‘“Prod‘k (4)
F . (2). (4). э F . Prop
*115-41. F:.7?,5 е . D‘fl = D‘5 . z>R,s *K = S : э . Prod‘D‘“k = D‘“Prod‘k
[*115-4^. *71-55. *72-13]
*115-42. F : KeCls3 arithm . э . Prod‘Prod“K = D‘“Prod‘eA“K
= D‘“D“eA‘eA“K
Доказательство.
F . *115-1 . э F. Prod‘Prod“K = Prod‘D‘“eA“K (1)
F . *115-3-41 . э F : Hp . э . Prod‘D‘“eA“K = D‘“Prod‘eA“K (2)
[*115-1] =D‘“D“eA‘eA“K (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
182
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*115-43. F : KeCls2excl. э . Prod‘s‘K = .s“D‘“D“eA‘eA“K
Доказательство.
F. *115-1 .*85-28 .э
I-: Нр . э . Prod‘5‘K = D“5“D“eA‘eA“K
[*41-43] = 5“D‘“D“eA“K : э F. Prop
*115-44. I-: ке Cis3 arithm. э . Prod‘s‘K = 5 “Prod‘Prod “к [*115-43-42]
Следующее предложение представляет собой лемму для *115-46.
*115-45. I-а, р е к. а! л‘а О . эад . а = р : э .
(51D) [ еА‘ке 1 —> 1. 5 [ Prod‘Ke 1 —> 1
Доказательство.
F . *83-2 . *40-13 . э F : 7? е еА‘к. а е к. э . R'a с я‘а (1)
I-. *83-2 . *33-43 . э F : 7? е еА‘к. а е к. э . 7?‘а с s'D'R (2)
I-. *83-23 . z>
F: Т?ееА‘к. аек. xe(5‘D‘7?П $‘а). э . (аР). Рек. хе7?‘Р . хе s‘a.
[(1)] э . (дР). Рек. хе7?‘р . хеs‘p . хеs‘a (3)
F . (3). э F :. Нр .Т?ееА‘к. аек. э : xe(s‘D П s'd). э . (аР). хе7?‘Р . Р = а .
[*13-195] э.хеТГа (4)
F. (1). (2). (4). э F :. Нр .э:Т?ееА‘к.аек.э. 7?‘а = s'D'R П я‘а (5)
F . (5). э F :: Нр . э :. R, S е ед‘к. s'D'R = s‘D‘S . э : аек. эа . 7?‘а = S ‘а:
[*33-45 . *80-14] d:7? = S:. (6)
[*71-55 . *72-13-161] э:. (51D) ГеА‘ке 1 -> 1 (7)
F. (6). *37-63 . *115-1 . *30-37 . э F:. Нр. э : ц, v е Prod‘к. = s‘v. э . ц = v:
[*71-55 . *72-161] э : 5 Г Prod‘K е 1 -» 1 (8)
I-. (7). (8). э F . Prop
*115-46. F : KeCls3 arithm . э . s ГProd‘Prod“Ke 1 —> 1
Доказательство.
F. *115-141 .э
h : a, P e к. a! s‘Prod‘a П 5‘Prod‘P .э.а! s‘a О 5‘P (1)
F.(l). *115-22. z>
F :. KeCls3 arithm . э : a, p e к. a ’• 5‘Prod‘a П 5‘Prod‘P. э . a = P .
[*30-37] э . Prod‘a = Prod‘P :
[*37-63] э : ц, veProd“K. а! 5‘ц Os‘v.d.|i = v:
[*115-45] э : 5 [ Prod‘Prod“Ke 1 —> 1:. э F . Prop
Приведенное выше предложение используется, когда мы имеем дело
с произведениями в арифметике отношений (*174-42).
* 115-5. I-: Т [ 5‘кек sm sm k. э . Prod‘к = Te“Prod‘k
[*115-4. *111-14]
* 115-501. I-:7Д5‘кек sm sm k.a’-Prod‘k.o.T [s‘ke(Prod‘K) sm sm (Prod‘k)
[*115-5-141. *111-14]
* 115-502. F : T [ e к sm sm k. э . T [ 5‘Prod‘k e (Prod‘K) sm sm (Prod‘k)
Доказательство.
F. *35-75 .oF:~a?Prod‘k.o.T H‘Prod‘k = A (1)
F . *115-5 . *37-29 . э F : Hp. ~ a ’• Prod‘k. э . Prod‘K = A .
[*37-29 . *40-21] э . 5‘Prod‘K = (T f 5‘Prod‘k)“5‘Prod‘k (2)
Principia Mathematica II
*115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 183
F. (1). *72-1 . (2). *115-5 . *111-1 . э
F: Нр . ~ g! РгосГк. э . Т f s‘Prod‘X е (РгосГк) sm sm (Prod‘k) (3)
F. (3). *115-501-141 . э F. Prop
*115-51. F : Ksmsm k. э . Prod‘Ksm sm Prod‘k [*115-502]
Приведенные выше предложения показывают, как в некотором отноше-
нии Prod‘K более удобно, чем ед‘к. Мы не можем иметь ед‘кзт зтед‘Х, так
как ед‘к представляет собой класс отношений, а не класс классов; и кор-
релятор ед‘к и ед‘Х никоим образом не является такой простой функцией
коррелятора кик, как Те Г Prod‘k, которая коррелирует Prod‘K с Prod‘k
в силу *115-502.
Следующие предложения представляют собой продолжение таковых,
данных в предложении *114-601 и следующих за ним.
*115-6. F:(7?“y)1 R,S Г у е 1 —* 1. у с (ГТ?. у с (TS . Т?“у, S “у е Cls2excl. э .
Prod‘7?“у х Prod‘5 “у sm ед ‘ft {(gz). z е у. ц = R‘z х S ‘z}
Доказательство.
F. *115-12. *113-13. о
F : Нр . э . Prod‘7?“y xProd‘S “у smeA‘/?“y Хед‘5“у (1)
F . (1). *114-64 . э F . Prop
*115-601. F : (Т?“у) ] R, S [ у е 1 —> 1. у с (ГТ?. у с СР5 .7?“у е Cls2excl. э .
ц {(gz) • z е у. ц = R‘z х S ‘z] е Cis2 excl
Доказательство.
F . *113-19 . о F :. Нр . э :
z. w е у . з! (JVz х S ‘z) A (R‘w х S ‘w). о . g! R'z О R‘w.
[*84-11] o.T?‘z = T?‘w.
[*74-53 . *30-37] о . z = w.
[*30-37] .R‘z'xS‘z = RiwxSiw (1)
F . (1). *84-11 . э F . Prop
*115-602. F : (T?“y) ] R, S f у e 1 1 . у с СГ7?. у c (TS . S “y e Cis2 excl. э .
H {(gz) • z e у. ц = R‘z x S ‘z} e Cis2 excl
[Доказательство, как и в *115-601]
*115-61. F :. (7?“у) ] R, S f у e 1 —> 1 . у с (ГТ?. у с (TS . 7?“у П S “у = Л :
Т?“у eCls2excl. V . S“yeCls2excl: э .
ед ‘(Т?“у U S “у) sm Prod‘p {(gz) - z e у . ц = R‘z x S ‘z]
[*115-601-602-12. *114-65]
*115-62. F:(T?“y)1 R,S [yel-H .yc(TT?.yc(T5 . T?“y П S “у = Л .
(T?‘ ‘y U S “y) e Cis2 excl. э .
Prod‘(7?“y U S “y) sm Prod‘p {(gz). z e у. ц = T?‘z x S ‘z}
[*115-61-12 .*84-25]
*115-63. F : (7?“y) ] T?, S f у e 1 -> 1. у с (Г7?. у c (TS . T?“y, S “y e Cis2 excl. э .
Prod‘7?“y xProd‘S “y sm Prod‘p {(gz). z ey. ц = 7?‘z x S ‘z}
[*115-6-601-12]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
184
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*116. Экспоненциация
Краткое содержание *116.
В этом параграфе мы определяем “аехрР”, означающее “а в степени
Р”, где аир классы, как
Prod‘aX“P.
Prod‘aX“p состоит из всех способов выбора каждого одного из элемен-
тов а Х“р, т.е. из классов Ху “а, где у ер. Поэтому, чтобы получить элемент
Prod‘aX“P, возьмем набор пар хХу, где х всегда элемент а, и существу-
ет единственный х для данного у, и у пробегает всю последовательность
элементов р. Таким образом для каждого элемента Р мы имеем Nc‘a воз-
можных референтов; следовательно, ясно, что число возможных наборов
пар состоит из Nc‘P сомножителей, каждый из которых равен Nc‘a, и,
следовательно, подходит для того, чтобы быть взятым в качестве опреде-
ления (Nc‘a)Nc<0. Определения и (Nc‘a)Nc<0 выводятся из определения
аехрР в точности так же, как определения ц+су и Nc‘a+cNc‘P или pxcv
и Nc‘axcNc‘P были выведены соответственно из а + р и ахр.
Основная трудность в этом параграфе заключается в доказательстве
трех формальных законов экспоненциации, а именно
хс ц® = +с ®,
р® хс v® = (ц хс V)®,
и
(HV)® = HVX‘®.
Доказательства второго и третьего из них, в частности, требуют различных
лемм; однако это не вызывает трудностей, исключая сложность рассмат-
риваемых классов и отношений.
Определение pv оформлено таким образом, чтобы минимизировать необ-
ходимость в аксиоме умножения (см. замечания об *113-31 во введении
к *113). Мы имеем
*116-36. I-Mult ах. э : ц, veNC - i‘A. ке v П С1‘ц. э . nNc‘K = pv
т.е., допуская аксиому умножения, произведение v сомножителей, каждый
из которых равен ц, равно pv (при допущении того, что ц и v есть ненуле-
вые кардиналы). Если мы определили pv как произведение v сомножителей,
каждый из которых равен ц, то нам потребовалась бы аксиома умноже-
ния для практических всех предложений о pv; однако, воспользовавшись
особым классом аХ“Р, мы избегаем применения аксиомы умножения, за
исключением нескольких предложений. Среди этих нескольких находится
и приведенное выше предложение, связывающее между собой экспоненци-
ацию и умножение.
Кантор определил pv посредством класса “Belegungen”, т.е. класса
R (R е 1 -> Cis. D7? с a. СГЯ = р),
который (*116-12) =(аТр)д‘р. На основании *85-53 и *113-103 указан-
ный класс равен 5“(«ехрр) (как доказывается в *116-13), откуда, так как
s ГaexpPe 1 —> 1, следует (*116-15), что класс “Belegungen” подобен аехрр.
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
185
Следовательно, наше определение дает то же самое значение p,v, что и опре-
деление Кантора.
Предложения настоящего параграфа начинаются с различных простых
свойств аехрр. Его существование следует из
*116-152. 1-:хеа.э.хХ“Ре(аехрР)
откуда (*116-16) I-. Cnv“‘P Х“а с аехр р, и
*116-18. 1-:.а!а.У.р = Л:н.д!а exp р
Мы имеем
*116-19. I-: a sm у. р sm 8 . э . (a exp Р) sm sm (у exp 8)
в силу *113-13 и *115-51. *116-192 показывает, что если R [у коррелирует a
су, а S [8 коррелирует р с 8, то (R || S) Г (8 х у) представляет собой двойной
коррелятор (аехрР) с (уехр8).
Далее мы переходим к группе предложений о piv, которые аналогичны
*113-2 и следующим предложениям о цхсу. Мы имеем
*116-203. I-: а! . э . ц, v е NC - i‘A. ц, v е NqC
*116-25. h.(Nc‘Y)Nc‘6 = Nc‘(Yexp6)
и некоторые другие менее полезные предложения.
Далее мы имеем различные предложения об 0, 1 и 2. Мы доказываем
*116-301. I-: peNC - i‘A . э . р° = 1
*116-311. F: veNC - i‘A -i‘0. э . 0v = 0
*116-321. I-: peNC - i‘A. э . ц1 = sm“p
(Заметим, что sm“p, представляет собой тот же самый кардинал, что
и ц, которому придана типовая неопределенность.)
*116-331. h : peNC - i‘A . э . Р = 1
*116-34. I-. ц2 = ц хс ц
(Это предложение не требует, чтобы ц был кардиналом.)
После уже упомянутого предложения (*116-36) о связи экспоненциа-
ции и умножения мы переходим к группе предложений для того случая,
когда имеется некоторое количество классов, которые подобны (посред-
ством возможности назначения корреляторов) некоторому заданному клас-
су. В *116-411 мы доказываем, что если к есть класс взаимно исключаю-
щих классов, каждый из которых подобен данному классу у, и если, когда
аек, ЛГа есть коррелятор а и у, и Т есть сумма ЛГ‘к, то
Nc‘eA‘^“y = Мс‘7д‘у = Nc‘(k exp у) = (Nc‘k)Nc<y.
Это предложение представляет собой дополнительное звено, связываю-
щее умножение и экспоненциацию. (О смысле этого и следующих предло-
жений см. объяснение, предшествующее предложению *116-4.) В *116-43
гипотеза несколько модифицирована. Мы все еще имеем набор к, состоя-
щий из классов, которые подобны у, однако коррелятор для данного класса
а задан не как ЛГа, а как ATw, где w есть элемент класса 8, подобного к.
Тогда к = D“M“8. Мы предполагаем, что М [ 8 одно-однозначно, и что если
М‘w и М‘v обладают областями, которые перекрываются, то w = v. Поэто-
му к представляет собой класс взаимно исключающих классов, каждый из
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
186
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
которых имеет Nc‘y термов, в то время как к имеет Nc‘5 термов. Затем
в *11-43 доказывается, что
Prod‘D“M“5sm sm (у exp 5). nNc‘D“M“d = (Nc‘y)Nc<6.
Это предложение и другое (*116-45), которое следует из него, оказываются
полезными при доказательстве формальных законов экспоненциации. Их
доказательство заключается в предложениях с *116-5 до *116-68. Мы имеем
*116-52. F.nvxcnro = nv+‘(D
*116-55. I-. хс Vго = (ц хс v)ro
*116-63. F.pVXfa, = (pv)ro
Расширением первого из них является
*116-661. I-. nNc‘(aexp)“K = (Nc‘a)lNc‘K
Здесь число элементов к не обязано быть конечным. Смысл этого пред-
ложения следующий: Пусть Р, у, 5, ... есть элементы к; сформируем
a exp Р, a exp у, a exp 5, ... и возьмем произведение чисел всех этих классов;
тогда полученное число является тем же самым, как если бы мы снача-
ла взяли сумму чисел всех элементов к, таким образом получив (скажем)
число ц, и возвели Nc‘a в степень ц.
Расширение *116-55 дается посредством *116-68, где мы доказываем
I-: KeCls2excl. э . ПМс‘ехру“к = (П Nc‘k)Nc Y.
Аналогичного расширения *116-63 не существует.
Далее мы доказываем предложение Кантора (которое является весьма
полезным)
*116-72. I-. Nc‘Cl‘a = 2Nc‘“
Т.е. число всех возможных комбинаций из ц предметов, взятых в любом
количестве за раз, есть 2й. (Заметим, что ц не обязан быть конечным.)
Оставшаяся часть параграфа посвящена следствиям этого предложения.
*116-01. aexpP = Prod‘aX‘‘P Df
*116-02. = у {(эа, Р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P . у sm (a exp Р)} Df
*116-03. (Nc‘a )v = (Noc‘a )v Df
*116-04. nNc'P = m.NoC₽ Df
*116-1. I-: £ e (a exp 0). = . (gT?). R e ед‘a l“P. £ = D‘R
[*115-1 .(*116-01)]
*116-11. I-(a exp Р). = :уер.эу.аПх(хХуе^)б1:^срха
Доказательство.
F. *113-111 .*115-11 . э
F (a exp P). = : p eaX“P .Dp.pO^l :£c s'a X“P :
[*38-2 . *113-1] = :уeP. . Xy“aП1: p x a (1)
F . *37-6 . э
F:ly“an^el. = .^ {(gx) .xea./? = xj,y./?e^}el.
[*13-193] = . R {(gx) .xea.xXye^.7? = xXy}el.
[*37-6] = . Xy“x(xea. xlye^)e 1.
[*73-611-44] = .x(xea.xXye^)el (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica II
116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
187
*11612. F . (af Р) д‘Р = Я{Яе 1 —> Cis. В‘Я с а. СГЯ= pj
Доказательство.
1-. *80-14 . э F: R е (а ? р) д‘Р. = . R е 1 -> Cis. R G. а J р . СГЯ = р.
[*35-83] = . R е 1 -> Cis. D‘R с а. СГЯ с Р. СГЯ = Р.
[*22-42] = . Я е 1 —»Cis. D‘Sc а. СГЯ = р : э F. Prop
*116-13. F. 5“(аехрР) = (аТР)д‘Р
Доказательство.
F . *85-53 . э F . (а ? Р) д‘р = $“В“ед‘(а ? р) J“p
[*113-103] =д“О“ед‘аХ“р
[*115-1 . (*116-01)] = х“(аехр0). э F . Prop
(а Т 0) д‘0 представляет собой класс одно-многозначных отношений, чья
обратная область есть 0, а область содержится в а. Это именно то, что
Кантор называет “Belegungsmenge” и использует как определение экспо-
ненциации. В силу *116-15, его определение дает тот же самый результат,
что и наше.
*116-131. F. х f (аехр0)е{(а|0)д‘0} sm (аехр0)
Доказательство.
F. *84-241 .*113-103 . э F. i“PeCls2excl. а Х“Р = (а Т Р) д‘Ч“Р (1)
F. (1). *85-42 . э F : М, N еед‘а Х“Р. s‘D‘M = s‘D ‘N .z>.M = N.
[*30-37] ” d.D‘M = DW (2)
F. (2). *37-63 . *115-1 . (*116-01). z> F: p, ve(aexp P). i‘p,= i‘v. э . p = v:
[*71-55 . *72-163] z> F . i [ (aexp P) e 1 —> 1 (3)
F . (3). *116-13 . э F. Prop
*116-14. F.(aexpP)smeA‘ai“p [*115-12 . *113-111]
*116-15. F . (aexp P) sm(a T p) д‘Р [*116-131]
*116-151 представляет собой лемму для *116-152.
*116-151. F : хе а . э . х| | Cnv‘(aX f 0)еед‘а1“0
Доказательство.
F. *113-105 . *72-184 . э F : Нр. э . х J, | Cnv‘(a X f Р) е 1 -> Cis (1)
F. *34-1 . *38-1 . z> F Нр. э: Я {х| | Cnv (aX[ Р)} А.. = .
(ЭУ) .Я = хХу.уер.Х = аХу.хеа.
[*38-21] э.ЯеХ ” (2)
F. *37-322-401 . э F . Q‘{x J, | Cnv‘(aXf Р)} = аХ“р (3)
F. (1). (2). (3). *80-14. =>F. Prop
*116-152. F : хе а . э . х Д/‘0 е (а ехр 0)
Доказательство.
F . *37-32 . *35-65 . oF.D‘{xX|Cnv‘(a,V0)} = xX“0 (1)
F.(l). *116-151-1 . э F . Prop
*116-16. F . Cnv‘‘‘0 X‘‘a с aexp 0
Доказательство.
F . *116-152 . *55-14 . э F : xea . э . Cnv“|x“0 e(aexp 0).
[*38-2] э . Cnv“01xe(aexp 0): э F . Prop
Приведенные выше предложения полезны в установлении экзистенци-
альных теорем, как проявляется в следующих предложениях.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
188
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*116-17, F: g! pl“a. э . д! аехр0 [*116-16 . *37-47]
*116-171. F:.a!a.V.p = A:o.g!a ехр р
Доказательство.
I-. *113-113 . *83-15 . *51-161 . э I-: р = Л . э. а! а exp р (1)
F. *116-152. э I-: g! а . э . д! аехр р (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*116-172. F g! а ехр р. э : g ’. а. V . р = Л
Доказательство.
I-. *83-11 . э F Нр . э : Л ~ есх Х“Р :
[*113-112] z>: ~ (a = Л. g! р):
[*24-51] o:g!a.V.p = A:. oh. Prop
*116-18. I-я! a. V . р = Л : = . я! а ехр р [*116-171-172]
*116-181. F.aexpA = i‘A
Доказательство.
I-. *113-113 . э F . a ехр Л = РгосГЛ
[*85-15 . *33-241] = i‘A. э I-. Prop
*116-182. h : д! Р . э . Л ехр Р = Л [*113-112 . *83-11]
*116-183. I-. s\a ехр Р) = р х a
Доказательство.
I- . *115-141 . *116-18 .oF:. g!a.V.p = A:o. s‘(aexP Р) = s'a Х“Р
[*113-1] =pxa (1)
F. *116-182 . эН:. а = Л.д!р.э. s\a exp P) = A
[*113-114] =pxa (2)
F. (1). (2). dF . Prop
*116-19. h : a sm у . p sm 6 . э . (a exp P) sm sm (y exp 5)
Доказательство.
F . *113-13 . z> F: Нр . э . a 1“P sm sm у .
[*115-51] z> . (a exp P) sm sm (y exp d): э F . Prop
*116-191. F:7?ea sm y.S ep sm 6.d.(/?||S) [(6xy)e(aexpP) sm sm (yexpd).
(R11S )e “ (y exp 6) = a exp p
[*113-127 . *115-502 . *116-183]
*116-192. F:7?fycasmy.S [ d e p sm 6 . э .
(R || S) f (5 x y) e (a exp P) sm sm (y exp 6).
(R || 5)e Г“(у exp 5) e (a exp P) sm (y exp 5)
[*113-127 . *115-502 . *116-183 . *111-15]
*116-194. F:7?fyeasmy.5 Г 5 e P sm 6 . э .
(RII5) [ l(Y T 6) д‘б} e {(a ? 0) д‘0} sin {(у t S) д‘б}
Доказательство.
I-. *116-12 . z>I-: Нр. э . s‘D“(yТ8)д‘8су. s‘Q“(Yf 6)д‘6 c6.
[*74-773 . *73-142] =>. (R || S) [ {(у T 6) д‘б}е
{(R || S)“(y T 6) д‘6} sm {(уТ6)д‘б) (1)
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
189
F . *116-192 . *111-14 . э F : Hp . э . a exp 0 = (R || 5)€“(Y exp 6).
[*116-13] э . (a T 0) д‘0 = s“(R || S)e“(y exp 6)
[*43-43] = (R || S)“y“(Yexp 6)
[*116-13] =(/?||5)“(YTS)A‘6 (2)
F . (1). (2). э F. Prop
Следующие предложения (до *116-27, не включая само это предложе-
ние) являются аналогами предложений с теми же самыми номерами после
точки в *113.
*116-2. F : §е pv . = . (да, 0). р = Noc‘a . v = Noc‘0 . sm (a exp 0)
[(*116-02)]
*116-201. F ^epv . = : p, veNC : (да, 0). aep. 0ev . £sm(aexp 0)
[*116-2 . *103-27]
*116-202. F:.l;epv. = :g!p.g!v: (да, 0). p = Nc‘a . v = Nc‘0 .^sm (a exp 0)
[Доказательство, как и в *113-202]
*116-203. F : д! pv . z>. р, v е NC - i‘A . р, v е N0C [*116-201-202-2]
*116-204. F:.p = A.V.v = A.V.~ (p, veNC): э . pv - A *116-205. F: ~ (p, v e N0C). э . pv = A [*116-203] [*116-203]
*116-21. F р, veNC . э : ^epv . = . (да, 0).aep.0ev.^sm (а exp 0)
[*116-201]
*116-22. F : ^е{Nc (т])‘у }Nc(^‘6 . = . д! Nc(т])‘у. д! Nc (£)‘6 . ^sm(yexp6)
[Док-во, как и в *113-2, используя *116-19 вместо *113-13]
*116-221. F : д! Nc (т])‘у. д! Nc (£)‘6 . э . {Nc (t])‘y }Nc(^‘6 = Nc‘(y exp 6)
[*116-22]
*116-222. F . (N0c‘y)NoC‘s = Nc‘(yexp6) [Док-во, как и в *113-222]
*116-23. F.pveNC [Док-во, как и в *113-23]
*116-24. F . (Nc‘y)Nc S = (Noc‘y)NoC‘8 [(*116-03-04)]
*116-25. F . (Nc‘y)Nc 8 = Nc‘(YexP &) [*116-24-222]
*116-251. F. (Yexp6)e(Nc‘Y)Nc‘8 [*116-25 . *100-3]
*116-26. F : p, veNC . g! smn“p. g! sm^“v . э . pv = (smT1“p)sm^‘v
[Доказательство, как и в *113-26]
Это предложение показывает, что мы могли бы повысить или понизить
типы р и v как пожелаем, не влияя на значение pv, при условии, что р
и v, или точнее sm“p и sm“v, существуют в пределах новых типов.
*116-261. I-: р, v е NC . э . pv = (р(1) }v<” = {poof™ = etc.
[Доказательство, как и в *113-261]
Здесь “etc.” охватывает любой дериват р или v, чье существование сле-
дует из существования р или v.
*116-27. I-. pv = I {(аa, Р). и = Noc‘a. v = Noc‘p. £ sm (a ? p) д ‘p}
[*116-15. *73-37. (*116-02)]
*116-271. F : p,veNC . aep. pev. э . (aexpP)epv [*116-21]
*116-3. F.(Nc‘a)° = l
Доказательство.
F. *101-1 . *116-25 .эН (Nc‘a)° = Nc'(aexpA)
[*116-181] = Nc‘i‘A
[*101-2] = 1. z> F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
190
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*116-301. к: peNC — i‘A. э . р° = 1 [Доказательство, как и в *113-601]
*116-31. F: Р/Л. э .0Nc'₽ = 0
Доказательство.
F. *101-1 .*116-25 .oF.ONc‘₽ = Nc‘(Aexpp).
[*116-182] э F : Нр. э . 0Nc‘₽ = Nc‘A
[*101-1] = 0:oF.Prop
*116-311. F: veNC- i‘A- i‘0. э . 0v = 0
Доказательство.
F . *103-34 . *101-1э F : Hp. э. (aP). P # Л . v = Noc‘P.
[*13-12-15] 3.(aP).p/A.Ov = ON»c₽
[*116-31. (*116-04)] = 0:z>F.Prop
*116-32. F. (Nc'a)1 = Nc‘a
Доказательство.
F . *116-25 . *101-2 . z> F. (Nc‘a )• - Nc‘{a exp (i‘x)}
[(*116-01)] = Nc‘Prod‘ai“i‘x
[*115-142 .*53-31] =Nc‘i“alx ”
[*113-11 . *100-6] = Nc‘a. э F. Prop
*116-321. F: peNC - i‘A . э . p1 = sm“p [*116-32]
He было бы ошибкой писать “р1 = р” вместо “р1 = sm“p” в приведенном
выше предложении. Так как если “sm” является типово детерминирован-
ным так, что sm“per‘p, то sm“p = p. Поэтому, в силу *116-321, р,1 = р ис-
тинно всякий раз, когда значимо. Однако приведенная выше форма дает
больше информации, так как она сохраняет типовую неопределенность р,1
и sm“p,.
*116 33. F.1Nc0=1
Доказательство.
F . *113-11 . э F: ae 1. э . al“P с 1.
[*115-44 . *101-2] э . Nc‘Prod‘a i“p = 1 (1)
F.(l). *101-2. э F. Nc‘{(i‘x) exp Р) = 1 ” (2)
F. *101-2 . *116-25 . э F. iNc‘₽ = Nc‘{(i‘x) exp P) (3)
F. (2). (3). э F. Prop
*116-331. F : peNC - i‘A. э . 1
Доказательство.
F. *103-34 . э F : Hp. э . (gp). p = Noc‘p.
[*13-12-15] э.(эР). r = lNoc‘₽.
[(*116-04)] D.(ap).p = iNc‘₽.
[*116-33] э . P = 1: э F . Prop
*116-34. F.p2 = pxcp
Доказательство.
F . *24-1 .*101-3 . э F . i‘A U i‘Ve2.
[*116-222] э F : p = Noc‘a. э . p2 = Nc‘Prod‘a-l“(i‘A U i‘V)
[*53-32] = Nc‘Prod‘(i a X A U i‘a IV)
[*115-13. *55-233. *38-2] =Nc‘(a iAx i‘ai V)
[*113-11-25-13] =Nc‘aXcNc‘a
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
191
[*113-24] = рхср (1)
F.(1). *103-2 . э F : р е NqC . z>. р2 = р хс р (2)
F. *116-205. э F : p~eN0C . э. р2 = Л [*113-205] =рхср (3)
F. (2). (3). э F. Prop *116-35. F: pv = 0 . =. р = 0. v е NC - СО - i‘A Доказательство. F. *116-311 . э 1-: р = 0. v е NC - СО - С Л. э . pv = 0 (1)
F. *101-12. э F: pv = 0. э . g! pv . F. *116-203. =>.p,veNC-‘A (2)
F . (2). *116-21. *54-102 . z> F:.pv=O.z>:lj = A. = . (ga, 0). a e p. 0 e v. £ sm (a exp 0): [*73-47] э : (ga, 0). a e p. 0e v. a exp 0 = A: [*116-18] э : (ga, 0).aep.0ev.a = A.0#A: [*13-195] э: Ae p. v # СЛ. g! v: [*101-1 . *100-45 . (2)] э: p = 0. v e NC - CA - CO (3)
F. (1). (3). э F. Prop *116-351. F : p e NC - СЛ. к = A. v = 0. э . pv = П Nc‘k = 1 [*116-301 . *114-2] *116-352. F : p = 0. veNC - СЛ. кe v. Лeк. z>. pv = П Nc‘k = 0 [*116-311 .*114-23] *116-353. F: p=0.veNC - i‘A. KevCi СГр. э . pv = IINc'k Доказательство. F . *60-362 . *54-1. э F :. Нр. э : к = Л. V . к = СЛ (1)
F . *100-45 . *101-1 . э F : Нр. к = Л. э . v = 0. [*116-351] z>.pv = IlNc‘K (2)
F. *51-16. э F : Нр. к = СЛ. э . Лек. [*116-352] 3.pv = HNc‘K (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop *116-36. F :. Mult ах. э: р, veNC — СЛ. Kev П СГр. э. HNc‘k= pv Доказательство. F . *113-12 . *100-45 . э F: р, veNC .aep.0ev,g!a.z>.aX“0ev П СГр (1)
F. (1). *114-571 . z> F :. Mult ax. z>: p, veNC .aep.0ev.g!a.KevCi СГр. z>. IINc‘k = HNc‘ai“0 [*116-14 .*114-1] =Nc‘(aexpp) [*116-271] = pv (2)
F.(2).o h Mult ax. z>: p,, v e NC - i‘A . 3! p, - l‘A . к e v П СГр,. э . П Nc‘k = p,v (3)
h . *51-4 . *54-1 . h : p, e NC - i‘A . ~ 3! p, - i‘A . . p = 0 (4)
h. (4). *116-353. э h : p, v e NC - i‘A . ~ 3! p - l‘A . к e v П СГр,. э . П Nc‘k = p,v (5)
h . (3) . (5). э h . Prop В приведенном выше предложении “veNC” является достаточной гипо-
тезой в отношении v, поскольку кеупСГр, влечет “v^A”. Однако Р#Л
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
192
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
является существенным, так как если р, = А, то р/ = Л и к = Л (при условии
v = 0), откуда IINc‘k=1.
Приведенное выше предложение связывает экспоненциацию с умноже-
нием.
*116-361. h Mult ах. э : р,, veNC - i‘A . Kev О ПехсГр,. э . РгосГкерЛ
Доказательство.
h . *115-12 .э h:Kev П С1ехсГц. э . РгосГкеПМс‘к (1)
h. (1). *116-36 . э h . Prop
Следующие предложения, которые иллюстрируют некоторые обобщения
отношений строк и столбцов, могут быть разъяснены сопроводительным
рисунком, в котором ради простоты все рассматриваемые классы конечны.
Пусть к —группа классов, образованная четырьмя строками из пяти то-
чек на приведенном рисунке, каждый из которых подобен данному классу
у, представленному на рисунке верхней строкой из пяти точек, а именно
строкой, заключенной в овал. Мы предполагаем, что действующее корре-
лирующее отношение коррелирует каждый элемент к с у. Пусть к пред-
ставляет собой класс этих отношений, и допустим, что К состоит из одного
коррелятора для каждого элемента к, и что KeCls2excl. Таким образом,
D“k = к и Я е Л . э . G7? = у. Положим Т = s‘k. Тогда, если z е у, то Т соотно-
сит z каждый элемент столбца, расположенного ниже z, т.е. ~f‘z состоит из
четырех точек, которые располагаются по вертикали ниже z; предполагая,
что в данных обстоятельствах оказывается возможным, что каждая точка
размещается ниже своего коррелятора в у. Таким образом Т“у представ-
ляет столбцы, a D“к —строки.
Мы доказываем, в *116-41, что "?“у, класс строк, обладает двойным
подобием с ki“y, или, что приводит к тем же результатам, с к!“у. Отсю-
да следует, что Г “у, который представляет весь класс точек, подобен ухк
или ухк, и что Мс‘€д‘~Т*“у, которое является произведением чисел столб-
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
193
цов, равно (Nc‘X)Nc 7 или (Nc‘k)Nc 7. Коррелятор, который используется для
доказательства этих предложений, есть IV, где, если R есть элемент X и z
есть элемент у, то W коррелирует R‘z с R J, z.
Подобным же образом, коррелируя R‘z с RJ,z, называя коррелятор (/,
мы имеем (/“J,R“y = R“y, т.е. Ue‘y I Р = ТУР^ откуда 14 “у Х“Х = D“X. Следо-
вательно D“X, т.е. класс строк, обладает двойным подобием с уХ“Х или
уХ“к, откуда произведение чисел строк есть (Nc‘y)NcX или (Nc‘y)NcK.
Наконец, мы берем класс S, подобный к или X (представленные на ри-
сунке столбцом точек, заключенным в овал), и, называя М коррелятором X
и 6, мы заменяем X на а к на D“M“6. Поэтому мы находим, что ес-
ли М [ 6 коррелирует с 6 класс отношений, чьи области являются взаимно
исключающими, и каждая из которых коррелирует их области с данным
классом у, то обладает двойным подобием с yi“8, откуда полу-
чается то же самое, что и прежде, с 6 вместо к или X.
Следующие предложения полезны в связывании умножения и экспонен-
циации, а также в доказательстве формальных законов экспоненциации.
*116-4-401 представляют собой леммы для *116-41.
*116-4. h:.Xal 1 :R,5€X.g!D‘RnD‘5 .z>R,s .R = S :
П“Хс1‘у. W = xP{(^R, z).R€X.x = R‘z.P = R|z}:
d . IV e 1 —> 1. a‘W = YxX.D‘W = D‘5‘X
Доказательство.
h . *21-33 . э h Hp . z>: xWP. xWQ. = .
(^R,S,z, w). R,5 eX. x = R‘z = Slw.P = Rlz-Q = S J, w.
[*33-43] = .(gR,5,z,w).R,5 eX.x = R‘z = 5‘w.x€D‘RnD‘5 .
P = R 2 = 5 J, w.
[Hp . *13-195] э . (gR, z, w). R e X. x = R‘z = R‘w. P = R lz • Q = R lw.
[*71-532 . *13-195] z>. (gR, z). R e X. x = R‘z. P = R U. Q = R lz.
[*13-172] э.Р=2 (1)
h . *21-33 . z> h Hp . z>: xWP .y WP. = .
(gR, 5, z, w). R, 5 e X. x - R'z •y = Siw.P = R[z = Qlw.
[*55-202] э . (gR, S,z, w) .R,S еХ.х = Р^ .y = S‘w.R = S .z = w.
[*13-12-172] э. x = y (2)
h . *33-131 . э h Hp . э : PeG‘lV. = . (gx,R, z) .ReX.x-R'z. P = R[z-
[*71-411] =.(^R,z).Re'k.z€d6R.P = Rlz.
[Hp] = . (gR,z).Rel.zey.P = Rlz.
[*113-101] =.PeyxX (3)
h . *33-13 . э h Hp . э : xeD‘W. = . (gP,R, z) .Re'k.x = Rtz. P = R[z-
[*55-12 . *71-36] = . (gR, z) • R e X. xRz.
[*41-11 .*33-13] =.xeD7X (4)
F . (1). (2). (3). (4). э h . Prop
*116-401. F: Hp *116-4 . T = . э . 7*“y = We“U“y
Доказательство.
h . *31-11-1 . *38-3 Hp . ze у. э :
xe z. =. (дЯ) .ЯеХ. xW(R lz).
[*21-33] =.(RR,S,w).R,S ek.x = S‘w.Rlz = S |w.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
194
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
[*55-202 . *13-22] = . (дЯ). R е к. х = R'z -
[*71-36] =.(%R).REk.xRz.
[*41-11] =. x(1y‘X)z.
[Нр. *32-18] (1)
F.(l). *37-68. z>F. Prop
*116-41. F:.Xcl—»1. G“Xci‘y:/?,5 eX.g!D‘/?nD‘5 .z>RjS .R = S :T = s‘k:
3.V“YsmsmXX“Y.T“YsmYxl.T eCis —> 1 Cis2 excl.
Nc‘eA‘7)“Y = Nc‘Ta‘y = Nc‘Prod‘7“Y = Nc‘(Xexp y) = (Nc‘k)Nc
Доказательство.
F . *116-4-401 . *111-4 . *113-1 . э F: Hp . э ."7*“y smsmki“y . (1)
[*111-44. *40-5] D.r^smyxz” (2)
F . *72-321 . *85-14 . э F : Hp. z>. TeCls -»1. Nc‘€a‘T“y = Nc‘Ta‘y (3)
F . (3). *84-51 . э F : Hp. э .Y“y£ Cis2 excl. (4)
[*115-12] o.Nc‘eA‘V“Y = Nc‘Prod‘T“Y (5)
F . (1). *114-52 . z> F : Hp. z>. Nc‘^‘"7*“y = Мс‘ед‘Х X“y
[*116-14] =Nc‘(XexpY) (6)
[*116-25] =(Nc‘X)Nc'y (7)
F . (1). (2). (3). (4). (5). (6). (7). z> F . Prop
Следующее предложение есть просто другая форма *116-41.
*116-411. F к € Cis2 excl: аек. эа . М‘аеа sm у: Т = з'М“к : э .
Т “у smsm кХ“у . Т“у smy х к. Т eCis —> 1 . “у е Cis2 excl.
Мс‘ед‘1*“у = Nc‘7\‘y = Nc‘Prod‘T“y = Nc‘(k exp у) = (Nc‘k)Nc<y
Доказательство.
F. *73-03 . d F : Hp . э . M“к с 1 —> 1 . G“M“k c i‘y (1)
F . *111-16 . dF:. Hp . э : a, p e к. Af‘a = Af‘p . э . a = (3 (2)
F. *14-21 . э F Hp . э : аек. э . E ! M‘a (3)
F . (2). (3). *73-24 . э F : Hp . э . M“к sm к (4)
F . *73-03 . э F :. Нр .□:аек.□. D‘M‘a = а:
[*13-12] э : а, р е к. g! D‘M‘a П D‘ATp . э . g! а А р .
[*84-11] э.а = р.
[*30-37 . (3)] э.М‘а = М‘Р:
[*37-63] э:Л,5еМ“к.я!О‘ЛпВ‘5 .э./? = 5 (5)
А/“к
F . (1). (4). (5). *116-41 -т— . *113-13 . *116-19 . э F . Prop
К
*116-412-413 представляют собой леммы для *116-414.
*116-412. F:.kc 1 -И :Я,5 ek.a!D7?0D‘S . .R = S :CI“kaL‘y:
U = xP{(^R, z).REl.x = Rtz.P = zlR}:
D.t/e(,s‘D“X) sm (kxy) [Доказательство, как и в *116-4]
*116-413. F : Нр *116-412 . э . D“k= t7e“yl“k [Док-во, как и в *116-401]
*116-414. F : Нр *116-412 . э . t/e(D“k) sm sm (у . (D“k) smsm(y i“k)
[*116-412-413]
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
195
*116-42. F:.Xc 1 -► 1 :R,S eX.s’D‘RAD‘S . dr,s .R = S :CI“kcL‘y:
э . D“ksm sm (yi“k). (D^k) sm (kxy). (eA‘D“k) sm (у exp X).
Nc‘Prod‘D“k = П Nc‘D“X = (Nc‘y)Nc‘x
[*116-414-25 . *115-51 . *111-44 . *41-43]
*116-422. F M [ 8 e 1 1 : w, v e 8.3! D‘M‘w П D'M‘v . dWjV . w = v:
we8.73w . M'we 1 —> 1. d'M'w = у: э . D“M“8 smsmy i“8
Доказательство.
. ЛГ‘8
h. *116-42-т— .э
F:.M“8c 1 1 :R,S еЛГ‘8.3! D‘R A D‘S . -R = S : СГ‘ЛГ‘8 c i‘y:
э . D“M“8smsmy i“Af“8 (1)
F. *14-21. z> F Нр . d : we8 . э . E ! M'w: (2)
[*33-43] d:8cG‘M:
[*73-15] o:(Af“8)sm8 (3)
F . *51-15 . э F:. Нр .э:we8.э. CTATwei/y:
[*37-61] э : СГ‘Л/“8 c i‘y (4)
F. (2). *30-37 . э F:. Нр . э : w, v e 8.3! D'M'w П D'M‘v . . M'w = M'v:
[*37-63] D:R,SeAT‘8.31D‘RnD‘5 .z>RfS .R = S (5)
F. (1). (4). (5). э F : Нр . э . D“M“8 smsm у l"M"b .
[(3). *113-13] э . D“M“8smsmу X“8 : э F. Prop
*116-43. F:.M[8el—>l:w, ve8«3! D'M 'w A D'M 'v . DWtV . w = v:
w e 8 . . M'w e 1 —> 1 . d'M'w = у :
э . Prod‘D“M“8 sm sm (y exp 8). П Nc‘D“AT‘8 = (Nc‘y)Nc‘6
Доказательство.
F . *115-51 . *116-422 . э F : Нр . э . Prod‘D“M“8 smsm (y exp 8) (1)
F . *116-422 . *114-52 . z> F : Hp . э . HNc‘D“M“8 = П Nc‘y i“8 (2)
F. *116-14-25 . э F. HNc‘yP‘8 = (Nc‘y)Nc‘6 (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в *116-534-61.
*116-44. F :. 3! у: (z). M'z е 1 —» 1 • d'M'z = V :
w, ve 8.3! (M'w)"y A (M'v)"y. z>WtV . w = v:
э . D“ Г y"M"& sm smy 1“8 . Prod‘D“ [ y"M"6 sm sm (y exp 8)
Доказательство.
F . *71-29 . *35-65 . э
F Hp: (z). N'z = (M'z) [ у: э . (z). N‘z e 1 —> 1. d'N'z = у (1)
F . *37-401 . э F Hp . Hp (1). э : w, v e 8.3! D'N'w A D'N'v. . w = v (2)
F . *35-7 . dF:. Hp. Hp (1). э : xey. w, ve8 .N'w = N'v. э. (N'w)'x = (N'v)'x.
[(2)1 z>.w = v (3)
F . (3). *10-11-23-35 . э F Hp . Hp (1). э : w, v e 8 . N'w = N'v. э . w = v:
[*71-55-166] z>:Nf8el->l (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
196
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
F . (1). (2). (4). *116-422 . *115-51 . э
F : Нр . Нр (1). э. D‘W“6 smsm у . Prod‘D‘ W“6 smsm (у exp 6) (5)
F . *38-11 . э F: Hp . Hp (1). э. DW‘z = D‘ Г y‘Af‘z.
[*37-353] э . D‘= D“ Г y“M“6 (6)
F . (5). (6). э F . Prop
*116-45. F (z). M‘z e 1 1. CTATz = V:
w, ve6. g! (Af‘w)“y О (ATv)“y. dw>v . w = v: z>. Prod‘D“[y“Af“6sm(yexp6)
Доказательство.
F . *116-182 . *115-142 . *37-29 . э
F:Hp.y = A.g!6.o. Prod‘D“ [ y“Af “6 = A. у exp 5 = A (1)
F. *115-1 .*83-15 .*116-181 . z>
F : Hp . 6 = A . э . Prod‘D“[ у“ЛГ‘6 = l‘A . у exp 6 = l‘A (2)
F. (1). (2). *116-44 . э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в *116-676.
Теперь мы должны доказать три формальных закона экспоненциация,
а именно
pv хс цго = pv +с го,
хс Vго = (р, хс v)ro,
и
(pv)ro = p,vx‘ro.
Из них первый является непосредственным следствием закона дистрибу-
тивности, в то время как второй и третий проистекают из форм закона
ассоциативности умножения.
*116-5. F:pny = A.o.(a exp р) х (а ехр у) sm a exp (р U у)
Доказательство.
F. *113-191 .э
F: Нр .3!a.z>.aX“Pnal“y = A.
[*114-301] э . €д‘а i“p х €д‘а i‘‘y 8т€д‘(а i‘‘p и a i“y).
[*116-14 . *113-13] э . (a exp р) х (а ехр у) 8Ш€д‘(а i“P U a i“y).
[*37-22] э. (а ехр р) х (а ехр у) sm ед‘a i“(p и у).
[*116-14] э . (а ехр р) х (а ехр у) sm а ехр (р и у) (1)
F . *116-182 . oF:a = A.g!p.D.a ехр р = А.
[*113-114] d . (а ехр Р) х (а ехр у) = А (2)
F . *116-182 . *24-56 . э F : а = А . д! р . э . аехр (р Uу) = А (3)
F . (2). (3). э F : а = А . а! р . э . (а ехр р) х (а ехр у) sm а ехр (Р U у) (4)
Аналогично F:a = A.g!y.D.(a ехр Р) х (а ехр у) sm а ехр (р U у) (5)
F . *116-181 . z>F:a = A.p = A.y = A.z>.(a ехр р) х (а ехр у) = i‘A х i‘A (6)
F . *116-181 . z>F:a = A.p = A.y = A.z).a ехр (Р U у) = i‘A (7)
F. (6). (7). *113-611. *73-43. э
F:a = A.p = A.y = A.z).(a ехр р) х (а ехр у) sm а ехр (р U у) (8)
F . (1). (4). (5). (8). э F . Prop
В последней строке приведенного выше доказательства предложение
*73-43 необходимо, поскольку не было доказано, что два рассматривае-
мых А принадлежат одному и тому же типу. На самом деле они одного
типа, однако нет необходимости доказывать это.
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
197
*116-51. h . (а ехр (3) х (а ехр у) sm а ехр (0 + у)
Доказательство.
h. *116-19 . *110-12 . Dh.(aexp 0) sm(aexp J, Л/Т‘0).
(a exp у) sm (a exp Ap |‘ T‘y).
[*113-13] э h. (a exp 0) x (a exp y) sm
(a exp J, AY“i“0) x (a exp Ap J/T‘y).
[*110-11 . *116-5] э F. (a exp 0) x (a exp y) sm
aexp(j,AY“i“0UAp J,‘T‘y) (1)
F. (1). (*110-01). э F. Prop
*116-52. p,vxcp,ro = p,v+‘ro
Доказательство.
(-.*116-51 . *110-22. э
F . (N0c‘a)NoC‘P xc (N0c‘a)N°c‘7 = (Noc‘a)N°c‘₽ n°c‘y (1)
F. (1). *103-2 . э F : p, v, oeNqC . □ . pv xc |iro = pv+c ro (2)
F . *116-205 . *113-204 . э F : p~ eNgC . э . pv xc pro = A = pv+c ro (3)
F . *116-205 . *113-204 . d F : ~ (v, (DeN0C). z>. pv xc pro = A (4)
F . *110-4 . *116-204 . o h : ~ (v, (D e NqC) . э . p,v +c ro = A (5)
F . (4). (5). о I-: ~ (v,(DeN0C). о . pv xc pro = pv +<ro (6)
F . (2) . (3) . (6). э F . Prop
Следующие предложения представляют собой леммы для
рго хс Vго = (р, хс v)ro.
Основными предшествующими предложениями, используемыми в доказа-
тельстве, являются *115-6 и *116-43. Доказательство проводится следую-
щим образом.
(а ехр у) х (0 ехр у) представляет собой РгосГа i“y xProd‘01“у. Это пред-
ложение, используя предложение *115-6 и полагая в нем ai, 0i вме-
сто R и 5, является подобным ед‘ц {(яг) .zey.p, = alzx0iz}, т.е. подоб-
ным €д‘ц{(яг). геу. р, = J,z“ax J,z“0}. Далее, на основании *113-65, полагая
= Dft, Xz“ax|z“0 = (J,z)t“(ax0). Затем мы применяем *116-43,
взяв (J, z) t в качестве M'z указанного предложения, или точнее взяв
(J, z) t Г (« х 0). Таким образом мы находим
бд‘ц {(Яг). геу. р = J, z“a х J, z“0} sm (а х 0) ехру,
откуда следует наше предложение.
*116-529. Я t = К || Я Dft [*116]
В параграфе *150 это обозначение будет введено как постоянное опре-
деление. Сейчас же мы его вводим лишь для того, чтобы избежать
(lz|| Cnv‘J,z), которое является неудобным.
*116-53. F : я! « . Я1- Р • => •
(а ехр 0) х (0 ехр у) sm ед ‘р {(яг). г е у. р, = J, z“a х 1 г“0}
Доказательство.
F . *113-104-111 . э F . у с CTa i . у с СГ0 i . a i“y, 0 i “у е Cis2 excl (1)
F. *113-105 . э F : Нр . э . (a i“y) ] a i, 0 у е 1—> 1 (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
198
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
ct X , 0 X
F.(l).(2).*115-6-^—
к, О
F : Нр. z>. (а ехр 0) х (0 ехр у) sm ед ‘р {(gz). z е у. р = а X z х 0 X z} (3)
I-. (3). *38-2 . z> I-. Prop
Гипотеза g! а. g! 0 не является необходимой в приведенном выше пред-
ложении; однако доказательство оказывается более простым с указанной
гипотезой, и нам не требуется данное предложение без этой гипотезы.
*116-531. F:.M = /?z{zey.fl=(Xz)t[(ax0)).D:
z е у. . М’’z - (X z) t F (a x 0). M‘z e 1 -♦ 1. Q‘M‘z = a x 0
Доказательство.
F . *74-772 . *55-12 . *72-184 . э F . (J, z) t e 1 -* 1 (1)
F. *21-33 Hp.zey. э'.RMz. = .R = (Xz) t f (a x 0):
[*30-3] э: M‘z = (Xz)f [(ax0): (2)
[(1). *43-122] э: M‘ze 1 —> 1. Q‘M‘z = a x 0 (3)
F . (2). (3). z> F. Prop
*116-532. F : Hp*116-531 . g! a. g! 0. . Me 1 —»1 .d‘M = y
Доказательство.
F. *116-531 .*14-21 . *71-16 . z> F : Hp. э . Me 1-> Cis (1)
F . *116-531 . □ FHp. z, w eу. M‘z = M‘w. :
Qz)tF(ax0) = (|w)tr(ax0):
[*71-35] z> :Яе(а X 0). э. (J. z) t‘K = (Xw)t‘/?:
[*113-101] э : x e a. у e 0. z>. (| z) t‘(y X x) - (J, w) t‘(y X x).
[*113-123] э.(уХг)1(хХг) = (уХи') l(xXw).
[*55-202] z>.z = w (2)
F . (2). э F Hp. z>: z, we у. M'z- M'w. . z = w (3)
F.*116-531 .*14-21 .*33-43. =>F:Hp. zey. э.геСГЯ (4)
F. *21-33 . э F :. Hp. э : RMz. .zey.
[*33-351] эсСГЯсу (5)
F . (1). (3). (4). (5). э F . Prop
*116-533. F :. Hp *116-531 . z>: D“M“y = p |(gz). zey. p = J,z“ax Xz“0}:
z, wey.g! D‘M‘zOD‘M‘w. ,z = w
Доказательство.
F. *116-531 . э F : Hp. zey. z>. D‘M‘z =D‘{(Xz)t [(ax0)}
[*37-401] =(Xz)t“(ax0)
[*113-65] =Xz“axJ,z“0 (1)
F. (1) .*37-6 . э F: Hp. z>. D“M“y = p ((gz) • zey. p = 1 z“a x 1 z“0) (2)
F. *113-19 . э F : g! (| z“a x J, z“0) n (X w“a x J, w“0). э.
g! | z“a П J. w“a.
[*55-232] z>.z = w (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*116-534. F: Hp *116-532 . z>. ед‘В“М“у8ш(а x 0)expy
Доказательство.
F. *116-531-532-533. z>
F:. Hp .z>:Mel—>l:z, wey.g! D‘M‘zCi D‘M‘w. эг>и,. z = w'.
zey. . M‘ze 1 —> 1. Q‘M‘z = a x 0:
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
199
[*116-43] э : Prod‘D“M“y sm(ax P)expy:
[*115-12 . *30-37 . *84-11] э : €д‘В“М“у sm(a х Р) ехруэ h . Prop
*116-535. h : а! a . з! р . э . (a exp у) x (P exp y) sm (a X P) exp у
[*116-53-533-534]
Гипотеза gla.gip не является необходимой, как мы сейчас докажем.
*116-54. (а ехр у) х (Р ехр у) sm (а х Р) ехр у
Доказательство.
h . *116-182 .эНа = А.а!у.э.а ехр у = Л.
[*113-114] э.(аехру)х(Рехру) = Л (1)
h . *113-114 . *116-182 .z>h:a = A.a!y.D. (ах Р) ехр у = Л (2)
h . (1). (2). э h : а = Л . д! у. э . (а ехр у) х (Р ехр у) sm (а х Р) ехр у (3)
Аналогично h:P = A.g!y.D.(a ехр у) х (Р ехр у) sm (а х Р) ехр у (4)
h . *116-181 . э h : у = Л . э . (а ехр у) х (Р ехр у) = ГЛ х ГЛ .
[*113-611 . *73-43] э . (аехру) х (Рехру) smГЛ (5)
h . *116-181 .э1-:у = Л.э.(ахР) ехр у = ГЛ .
[(5)] э . (а ехр у) х (Р ехр у) sm (а х Р) ехр у (6)
h . (3). (4). (6). *116-535 . z> h . Prop
При получении (5) мы используем *73-43 заодно с *113-611, поскольку
вовлечены Л-ы различных типов.
*116-55. хс = (р хс v)ro
Доказательство.
I- . *116-54-222 . *113-222 . э I-. (Noc‘a)N«c^ хс (Noc‘p)N(>c'v
= (Noc‘a хс Noc‘P)NoC‘y (1)
I-. (1). *103-2 . э I-: ц, v, (D е NqC . э . хс vra = (ц хс v)ra (2)
I-. *116-205 . *113-204 . э I-: GJ ~ e N0C . э. xc vra = Л = (p xc v)ra (3)
I-. *116-205 . *113-204 . э I-: ~ (Ц, v e N0C). э . xc vra = Л (4)
I-. *116-204 . *116-204 . э I-: ~ (Ц, v e N0C). э. (p xc v)ro = Л (5)
I-. (4). (5). э I-: ~ (ц, v e NqC) . э. xc vra = (p xc v)ra (6)
I-. (2). (3). (6). э I-. Prop
Это предложение завершает доказательство второго формального зако-
на экспоненциации. Следующие предложения представляют собой леммы
для третьего из этих законов, а именно
(цТ = НУХсШ-
*116-6. Ь :g! a. э . aexp(P хy)smProd‘Prod“a 1“‘Р 1“у.
а 1“‘р 1“у е Cis3 arithm
Доказательство.
I-. *113-105 . *84-53^ . *113-111. э I-: Нр. z>. a 1“‘Р 1“у е Cls2excl (1)
h . *40-38 . oh. 5‘al“‘P 1“у = a i“s‘P l“y (2)
[*113-111] э h. s‘al“‘P i“y e Cis2 excl (3)
h . (1). (3). *115-2 . oh: Hp . э . a l‘“P l“y e Cis3 arithm (4)
h . *113-141 . *116-19 Nc‘{aexp (P x y)} = Nc‘{aexp (у x P)}
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
200
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
= Nc‘Prod‘a X“s‘P l“y
= Nc‘Prod‘s‘a l“‘pi“y
= Nc‘Prod‘Prod“a i“‘pi“y
[*74-774 . *72-184]
[(*116-01 .*113-02)]
[(2)]
[*115-35 . (4)]
F. (4). (5). э F. Prop
*116-601. I-. | (Cnv‘| z) e 1 -»1
*116-602. F M = Rz [zey. R - { I (Cnv‘Xz)}e f (a exp P)]. э:
zey.э. M'z- { | (Cnv‘|z)}€ [ (aexp P): G'M = y
Доказательство.
F . *21-33 . э
I-:: Hp. d :. zey. э : RMz. s .R = { | (Cnv‘l z)}e [ (aexp P)
I-. (1). *30-3 . э FHp. э :zey. э. M'z = { I (Cnv‘lz)}£ [(aexp p)
F . *21-33 . *33-131. э F : Hp. э. (I'M = у
F . (2). (3). э F. Prop
*116-603. FHp *116-602 .э:zey.э. d'M'z = aexpP
[*116-602 . *37-231 . *35-65]
*116-604. F:.Hp*116-602 . э :zey.э . D‘A/‘z = Prod‘al“pl z
Доказательство.
F . *37-401 . *116-602 . э
F: Hp. zey. э . D‘M‘z ={ |(Cnv‘|z)}e“(aexpP)
[*115-4. *116-601 .*43-301] = Prod‘{ | (Cnv‘1 z)}£“a 1“P
[*113-125^ .*50-75-16] =Prod‘al“lz“p
[*38-2] = Prod‘a l“plz: э F. Prop
*116-605. F:. Hp *116-602 . =>: zey. э . M‘ze 1 -* 1
Доказательство.
F. *116-601 . *72-451 . d
F. { I (Cnv‘l z)}£ r Cl‘Q‘1 (Cnv‘l z) e 1 -> 1.
[*43-301] э F. { | (Cnv‘| z)}£ [ (a exp p) e 1 -»1
F. (1). *116-602 . э F. Prop
(3)
*116-606. F:. Hp *116-602 . а! a. g! p . э:
Mel —>l:z, wey. D‘M'z = D‘M‘w. dz,w .z = w
Доказательство.
F. *116-602. *14-21 . oF:.Hp. э : zed'M. эг. E ! M'z:
[*71-16] d: Mel-* Cis (1)
F . *30-37 . э F:. Hp. э : z, wey. M'z = M'w. э . D'M'z = D'M'w (2)
F. *116-604 . э F:. Hp. э : z, wey. D'M‘z = D'M'w .z>.
Prod'a 1“P I z = Prod‘a I'‘P i w.
[*30-37] э. s‘Prod‘a l“plz= s‘Prod‘ai“p I w.
[*116-171 . *115-141 . (*116-01)] =>. i‘ai“piz = s”al“plw.
[*113-1] э . P1 z x a - p I w x a.
[*113-182] o.plz = plw’.’
[*113-105.Hp] o.z = w ” (3)
F . (1). (2). (3). *71-55 . *116-602 . э F . Prop
Principia Mathematica II
*116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
201
*116-607. I-Нр *116-602 . я! а. я! 0 . э :
Me 1 —> 1. D“Af“Y = Prod“a l“‘pi“y:
z, wey. ТУМ'ъ = ТУМ‘ю. dz,w . z = w:
zey. dz . M'ze 1 —> 1 . CTAPz = a exp 0 [*116-606-604-605-603]
*116-61. h:g!a.g!0.D. Prod‘Prod“al‘“0 A“ysm (a exp 0) expy
[*116-607-43]
*116-611. hg!.A.g!0.D. a exp (0 x y) sm(aexp 0)exp у [*116-6-61]
*116-62. h . a exp (0 x y) sm (a exp 0) expy
Доказательство.
h . *116-181 . *113-114 . э h : 0 = Л. э . a exp (0 x y) = i‘A (1)
h . *116-181 . э h : 0 = Л . э . (a exp 0) exp у = (i‘A) exp у (2)
h. *116-33-25 . oh. Nc‘{(i‘A) exp y} = 1 (3)
h. (1). (2). (3). *52-22 . *100-31. z> h: 0 = Л. э. a exp (0 x y) sm (a exp 0) exp у (4)
h . *113-107 . *116-182 .эН:а = Л.я!0.я!у.э.а exp (0 x y) = A (5)
h . *116-182 э1-:а = Л.д!0.з!у.э.(а exp 0) exp у = A (6)
h . (5). (6). э h : a = A. g! 0 . я! у . э . a exp (0 x y) sm (a exp 0) exp у (7)
h . *113-114 . *116-181 . эк : у = Л. э . a exp (0 x y) = i‘A. (a exp 0) exp у = i‘A.
[*73-43] э . a exp (0 x y) sm (a exp 0) exp у (8)
h. (4). (7). (8). э h a = Л . V . 0 = Л . V . у = Л : э .
a exp (0 x y) sm (a exp 0) exp у (9)
h . (9). *116-611 . эк. Prop
*116-63. h.pvx^ = (pv)(D
Доказательство.
I- . *113-222 . э F. (Noc‘a)NoC'₽ x‘ N»c'v = (Noc‘a)Nc‘<₽ x
[*116-222 . (*116-04)] = Nc‘(aexp(pxy)}
[*116-62] =Nc‘{(a exp p) expy}
[*116-222] = {Noc‘(a exp P)}N°C‘?
[*116-222 . (*116-03)] = {(Noc‘a)NoC‘₽)NoC‘* (1)
I- . (1). *103-2 . э F : |i, v, GJ € N0C . э . |iv Xc ra = (jiv)ro (2)
F. *116-204-205 . z>h:~(n,v€N0C).3.(Hv)ra = A (3)
I- . *113-205 . *116-204-205 . э F : ~ (p, v e N0C). э . pv Xc ш = Л (4)
F. *116-205. d F : (D ~eN0C . э . (pv)ra = Л (5)
F. *113-205 . *116-204 . э F : GJ ~ e N0C . э . pv Xc ® = Л (6)
F. (3). (4). (5). (6). oF:~(p,v,aJeN0C).3.pvx^ = (pv)® (7)
h . (2). (7) . oh. Prop
Это предложение завершает доказательство третьего формального за-
кона экспоненциации.
*116-64. h . (pv)° = (h°)v [*116-63 . *113-27]
*116-651. Ь : (Jeds —> 1 . KeCls2excl. э . €д‘Рд“<2‘“к8т Рд‘2“$‘к
h . *84-53 . э h : Hp . э. 2“‘ке Cis2 excl.
[*85-43] D . €д‘Рд“2“‘К8тРд‘5‘2‘“К .
[*40-38] э . бд‘Рд“(2‘“к8тРд‘(2“5‘к: d h . Prop
*116-652. h : QeCis ->1. KeCls2excl. э . ед‘ед“<2“‘к8тед‘<2“.у‘к
[*116-651^]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
202
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Следующие предложения представляют собой леммы для *116-661, ко-
торое является расширением *116-52.
*116-653. h : KeCls2excl. о . а “KeCls3 arithm
Доказательство.
h . *113-105 . *84-53 .oh: Нр. g! а. о . а 1“‘к е Cis2 excl (1)
h . *113-111 . oh. al“s‘KeCls2excl.
[*40-38] о h . s‘a 1“‘ке Cls2excl (2)
h . *113-112-113 . о h :. a = A. о : Рек. g! p . о . ai“P = Г A :
P e к. p = A . э . a i“P = Л (3)
h . (3). о h :. a = Л . о : а 1“‘к с i‘i‘A U i‘A :
[*24-43-561 ] э : p, oea 1“‘k. g! pП a. э . p,aeГГЛ.
[*51-15] o.p = a:
[*84-11] о : a 1“‘к e Cis2 excl (4)
h . (1). (4). о h : Hp . о . a 1“‘KeCls2excl (5)
h . (2). (5). о h . Prop
*116-654. h : KeCls2excl. о . {РгосГ(аехр)“к} sm {aexp(s‘k)}
Доказательство.
h . *38-13 . (*116-01) .oh. Prod‘(a exp) “k = Prod‘Prod“a 1“‘k (1)
h.(l). *116-653. *115-34. о
h . {Prod‘(aexp)“K} sm {Prod‘s‘a Х“‘к} (2)
h. (2). *40-38 . (*116-01) .oh. Prop
*116-655. h : KeCls2excl. о . HNc‘(aexp)“K = (Nc‘a)lNcK [*116-654]
Это предложение является расширением *116-5.
Гипотеза KeCls2excl не является необходимой в приведенном выше
предложении, как мы сейчас докажем.
*116-656. 1-:а!аехрРПаехру.э.р = у
Доказательство.
h. *116-11 .*52-16. о
h :. ц е (a ехр Р) A (a ехр у). о : у е р . о . (gx). х е а . х 1 у е ц: ц с у х а :
[*113-101] о :у ер . о . (gx) .хеа.х1уец:хХуец.о.уеу:
[Syll] о:уер.о .(gx).xea.xlyep.yey.
[*10-35] о.уеу: (1)
Аналогично h :. цеa ехр р А а ехр у.о:уеу.о.уер (2)
h . (1). (2). о h . Prop
*116-657. h . (aexp)“KeCls2excl [*116-656]
*116-658. h . aexp (ejp) = { | (Cnv‘j P)}€“(aexp P)
Доказательство.
h . *116-602-604 . *37-401 . о h . { I (Cnv‘l P)}c“(aexp P) = aexp(P1 P)
[*85-601 ] = a exp (e J P). о h . Prop
*116-659. T = vp {(g P). P e к. p e a exp P . v = | (Cnv‘j р)“ц}. о .
T e(aexp)“eJ“K sm sm (аехр)“к
Доказательство.
h . *40-4 . oh: Hp . о . G‘T - $‘(аехр)“к (1)
h . *21-33 .oh:. Hp .o:vTp.(DTp.o.
Principia Mathematica II
116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
203
(аР, у). р, у в к. ц € а ехр Р . ц е а ехр у.
v = | (Cnv‘l Р)“ц. ш = | (Cnv‘l у)“ц.
[*116-656] э . (Эр, у). р = у. v = | (Cnv‘l Р)“ц. ш = | (Cnv‘l у)“ц.
[*13-195] d.v = ct (2)
F . *21-33 . э F :. Нр . z> : ШТ|1. (DTv . э .
(Эр,у) • Р»Уек- цеаехрР . veaexpy.
о = | (Cnv‘l Р)“ц = | (Cnv‘l y)“v.
[*116-658] э . (a Р, Y) • Р» Y е к • И е а ехР Р • v е а ехр у.
ш = | (Cnv‘l Р)“ц= | (Cnv‘X y)“v.
ш е а ехр (е J Р) П а ехр (е J у).
[*116-656] э . (аР,у) • Р>Уек • I (Cnv‘J, Р)“ц = | (Cnv‘J,y)“v.
€ip=ely.
[*85-601] z> . (аР). Рек. | (Cnv‘l Р)“ц = | (Cnv‘J,y)“v .
[*116-601 .*72-441] o.p = v (3)
F . (2). (3). э F : Нр . э . Т е 1 —> 1 (4)
F . *116-658 . э F Hp . э : рек. э . T“(«exp Р) = аехр (eJP):
[*37-69] э: Тс“(аехр)“к = (аехр)“е1“к (5)
F.(1). (4). (5). *111-1 . э F. Prop
*116-66. F . Prod‘(а exp) “к sm {а exp (Е‘к)}
Доказательство.
F . *116-659 . *115-51 . э F. Prod‘(aexp)“KsmProd‘(aexp)“€l“K (1)
F. *85-61 .*116-654. d F . Prod‘(a exp)“e J“k sm {a exp (s‘e J“k)} (2)
F . (1). (2). *112-1 . э F . Prop
*116-661. l-.nNc‘(aexp)“K = (Nc‘a)EN [*116-66-657 . *115-12 . *112-101]
Это предложение представляет собой расширение *116-52.
Следующие предложения участвуют в доказательстве *116-68, которое
является расширением *116-54, где а и р в указанном предложении заме-
нены на элементы класса к.
*116-67. F :. р = X{(аа). аек. X = а i“y}. э : ке Cls2excl. z>. реCis3 arithm
Доказательство.
F . *20-3 . э F : Нр .^цер.а^^Ц*^’
(а а, Р). а, Р е к. X = a i ‘‘у. р, = р 1 ‘‘у. а! А, П ц.
[*37-6] э . (а а, р, z, w). а, р е к. z, we у. а 1 z = р 1 w. X = а 1“у.
Н = Р•
[*55-262 . *38-2] э . (да,z, w). аек. z, wey. Х = а Х“у. ц = аХ“у.
[*13-172] э.Ьц ” ” (1)
I-. *37-6 . *40-11 . э
I-: Нр. г] е s‘p. э! £ П t]. э .
(3 а, р, z, w). а, р е к. z, w е у. | = а 1 z. т] = Р X w. 3! £ П т].
[*55-232 . *38-2] э . (3а, p,z). а, рек. zey. | = aiz.г] = P^z. 3! an р (2)
I-. (2). *84-11 . э
I-: Нр. ке Cls2excl. г] е s‘p. 3! £ П г]. э. (3а, р, z). £ = а 1 z. л = Р1 z. а = р.
[*13-195-172] э.£ = т] ” ” (3)
F . (1). (3). э I-. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
204
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*116-671. h о = p,{(gz). zey. ц = Xz‘“k} . з : Нр *116-67 . з . s‘p = s'a
Доказательство.
h . *40-11 . з h :. Нр *116-67 . з : ?=es‘p . = . (ga). аек. ?=eaX“y.
[*38-3] = . (ga, z). а ек. z еу. £ = J, z“a.
[*37-103] = . (gz). zey. £eXz“‘K.
[*40-11] = . J; e s‘p, {(gz). z eу. p = 1 z‘“к}
з h. Prop
*116-672. h : Hp *116-671 . KeCls2excl. Л~ек. з . aeCis2excl
Доказательство.
h. *37-103 .3h:Hp.p,vea.g!pAv.3.
(gz, w, a, P). z, wey. a, p eк. j z“a = 1 vr“P .
lA = J,z“‘a.v =
[*55-262] з . (gz, w, a). z, wey. аек. jz“a = 1 w“a.
p = Xz“‘a. v = Xw“‘a.
[*113-105 . *38-2 . Hp] з . (gz, a). p = X z“‘a. v = X z“‘a.
[*13-172] з . p = v: з h . Prop
*116-673. h : Hp *116-672 . з . ед‘(ехру)“к8шед‘ед“а
Доказательство.
h . *38-131 . (*116-01). з h . ед ‘(exp у)“к = ед | {(ga). a e к. 2= = Prod‘a l“y}
[*37-6] = eA‘Prod“k {(ga). a e к. X = a 1‘‘у} (1)
h.(l). *115-33. *116-67.3
h : Hp. з . ед‘(ехру)“к8шед‘я‘к {(ga). аек. X = al“y}.
[*116-671] з . ед‘(ехру)“к8шед‘я‘о .
[*85-44 . *116-672] з . ед‘(ехру)“к8тед‘ед“а: з h. Prop
*116-674. h :. M = R z {R = (X z) || Cnv‘Q z)J . з :
(z). M‘ze 1 -> 1. D‘(M‘z) Г ед‘к = ед‘1г‘“к
Доказательство.
h . *30-3 . з h : Hp . з . Mlz = Q z) || Cnv‘(X z)e (1)
h . *72-184 . *111-14 . з h . 1 z t ке(|z‘“k) sm sm к.
[*114-51] з h . {1 z || Cnv‘(X z)J [ ед‘ке (едД z‘“k) sm (ед‘к) (2)
h . (1). (2). *73-03 . зЬ.Ргор
*116-675. h :. Hp *116-674 . g! s‘k . з : g! (Л/Чу)“ед‘к А (ЛГу)“ед‘к. з . w = v
Доказательство.
h . *116-674 . з h :. Hp . з : g! (ЛГиО“ед‘к А (Л/‘у)“ед‘к. з .
g! €д‘1 w‘“k Аед‘Х v‘“k.
[*80-32] з . X w‘“k = X v‘“k .
[*40-38] з . X w“s‘k = X v“s‘k .
[*113-105 . *38-2] з . w = v:. з h . Prop
*116-676. h : Hp *116-672-675 . з . Prod‘D“[ (ед‘к)“Л/“у вт(ед‘к)ехру .
(ед‘к)“ЛГ‘у = ед“о
Доказательство.
I-. *116-674-675 . *116-45 £Л К’ У . э
Y. 8
h : Нр . з . Prod‘D“[ (ед‘к)“Л/“у sm (ед‘к) ехр у (1)
Principia Mathematica II
♦ 116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
205
I-. *116-674 . э I-: Hp. z>. D“[ (ед‘к)“ЛГ‘у= (i{(3z). zey. ц = ед‘|г‘“к)
[*37-6. Hp] =ед“о (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*116-68. F : keCIs2 excl. э . ед‘(ехру)“кзт(€д‘к)ехр у.
П Nc‘(exp у)“к = (П Nc‘k )Nc‘y
Доказательство.
h . *115-12 . *84-55 .oh. Prod‘€A“osm€A‘€A“o (1)
К (1). *116-673-676.0
h : Hp . Л ~ e к. £! s‘k . э . €д ‘(exp у)“к sm (ед‘к) ехр у (2)
h . *53-24 . э h : Л е к. ~ 3! s‘k . d . к = Л .
[*83-15 . *116-33] э . €д‘(ехру)“к = i‘A. (ед‘к)ехру е 1.
[*73-45] э . €д‘(ехр у)“к sm (ед‘к) ехр у (3)
h . *83-11 . *116-182 . э h : Л е к. g! у. э . ед ‘к = Л. Л е (ехр у)“к.
[*116-182 . *83-11] о . (ед‘к)ехру = Л. €д‘(ехру)“к = Л (4)
h . *116-181 .э1-:Л€К.у = Л.э. (ед‘к) ехру = i‘A (5)
h . *116-181 .э1-:Лек.у = Л.э. (ехру)“к= i‘i‘A.
[*83-41] э . ед‘(ехр у)“к sm i‘A (6)
F . (4). (5). (6). э F : Лек. э . ед‘(expу)“кsm (ед‘к) exp у (7)
F. (2). (3). (7). *114-1 . *116-25 . э F. Prop
Приведенное выше предложение является расширением *116-54-55.
Следующие предложения представляют собой леммы для
Nc‘Cl‘a = 2Nca.
Указанным предложением и его доказательством мы обязаны Кантору.
*116-7. I-. Nc‘{(i‘A U i‘V) f а} д‘а = 2Nc‘a
Доказательство.
F. *24-1 . *101-3 . э F. Nc‘(i‘A U t‘V) = 2 (1)
F . *116-15 . э I-. Nc‘{(i‘A U i‘V) Т а} д‘а = Nc‘{(i‘A U t‘V) ехр а}
[*116-25] = (Nc‘(i‘A U i‘V)}Nc‘a
[(1)] = 2Nc‘a . э F . Prop
В этом и следующем предложениях класс i‘A U i‘V вводится исключи-
тельно как известный класс, состоящий из двух термов. Любой другой
класс из двух термов будет подходить в равной степени.
*116-71. F: R е {(с‘Л U i‘V) Т а} д ‘а. э . W = а - fr‘A
Доказательство.
F. *116-12 . э F : Нр. э . 1 —»Cis. D‘7?a i‘AU i‘V. О‘Л = А (1)
[*37-271] 3,a = «“(i‘Aui‘V)
[*55-302] = fr‘A и fr‘V (2)
F.(l). *71-18. э F : Нр. э . )Г‘Л U )T‘V = Л (3)
F . (2). (3). *22-47 . э F. Prop
*116-711. F: R, S e {(i‘A U i‘V) Ta)A‘a. fr‘A = S"‘A. э . R = S
Доказательство.
F. *116-71. dF:Hp.d.W=^‘V (1)
F. (1). *116-12 . э F:. Hp. э : у eD‘^?U D‘5 . dy . fr‘y = $"‘у:
[*33-48] э : 7? = 5 :. d F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
206
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
*116-712. I-Т = «Я [Я е «ГА U i‘V) Т а} д‘а. р = fr‘A]. э :
Яс «ГA U i‘V) Т а} д‘а. э. Т‘Я = 5ГЛ: Q‘T = {(i‘A U l‘V) f а} д‘а
Доказательство.
h . *21-33 . э h :: Hp . э R e {(l‘A U l‘V) T а} д‘а. э : p TR. =и . p = ?Г‘Л :
[*30-3] э:Т‘Я = )Г‘Л (1)
I-. (1). *14-21 . э I-Нр. э : Я е {(i‘A U i‘V) Т а} д‘а. э. g! Т‘Я.
[*33-43] э.ЯеСГТ (2)
I-. *21-33 . *33-131 . э I-: Нр. э . (ГТ с «i‘A U i‘V) Т а} д‘а (3)
I-. (1). (2). (3). э I-. Prop
*116-713. I-: Нр *116-712 . э. Т е 1 -> 1
Доказательство.
h . *116-712 . *14-21 . э h Нр . э : R е СТ . э . Е ! T‘R :
[*71-16] э:Яе1-> Cis (1)
h. *116-712-711 . эН:.Нр.э:Я,5еаТ.ГЯ = Г5 .э.Я = 5 (2)
h. (1). (2). *71-55 . э h . Prop
*116-714. h : Hp *116-712 . реСГа.Я = ух{у = A.xep. V.y = V.xea-p}.D.
Re {(i‘A U i‘V) f а} д‘а. p = T'R
Доказательство.
h . *21-33 . *33-13 . э h Hp . э : yeD‘7? . э . у €l‘AU i‘V (1)
h. *21-33 .*33-131 . d h :: Hp . э хеСГЯ . = :
(gy): у = Л . x e p. V . у = V. x e a - p :
[*10-42 . *13-19] = : хер. V . xea - p: (2)
[*24-41 l.Hp] = :xea (3)
h . *21-33 . *30-3 . э h Hp . э : хер . . R'x = Л : xea - р . .R'x = V :
[(2). *14-21] э : хе (TR. эх . Е ! R'x:
[*71-16] э:Яе1—>Cls (4)
h . *21-33 . oh:: Hp .э:.у = Л.э:уЯх.=л.х€р:
[*32-181] э:5Гу = ц (5)
I-. (1). (3). (4). *116-12 . d h : Hp. э . Я e {(i‘A U i‘V) f a} д‘а (6)
I-. (5). (6). *116-712 . z>I-: Hp. z>. p = TR (7)
h . (6) . (7) . э h . Prop
*116-715. h : Hp *116-672 . z>. D‘T = СГа
Доказательство.
h . *116-714 . *33-43 . э h : Hp. э . Cl‘a c D‘T (1)
h . *21-33 . *33-13 . э
h Hp . э : p e D‘T . э . (gZ?). R e {(l‘A U i‘V) T a} д‘a . p = ^‘A .
[*33-151] э . (яЯ). R e {(i‘A U l‘V) T a} д‘а . p с СГЯ.
[*80-14] э.рса (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*116-72. h . Nc‘Cl‘a = 2Nc‘a
Доказательство.
h . *116-712-713-715 . э h . СГаsm {(i‘A U i‘V) |а]д‘а (1)
h . (1). *116-7 .oh. Prop
Principia Mathematica II
•116. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
207
*116-8. F. Rl‘(p Т а) = 5“СГ(о х р)
Доказательство.
F . *60-2 . э I-R € $“СГ(а х р). н : (gX). А. с о х р . R = s‘X:
[*113-101] н : (gX): РеХ. эр . (gx, у) .xep.yeo.P = x|y:P=i‘X:
[*41-11] = : (дХ): РеХ. эр . (дх, у) .xep.yeo.P = xly.
uRv. =u<v. (gP). Р е X. uPv:
[*10-56] э: uRv. эи>у. (дх, у) .xep.yeo.M(xJ,y)v:
[*55-13] э: uRv. эц>у. и ер . veo:
[*35-103] э:ЯсрТа (1)
I-. *35-103 . *113-101. э
НЯс р f о. Х = Р {(дх,у). xRy. Р = х jy}. э . Хсох р (2)
F. *41-11 .*13-195 . э
I-Нр(2). э : и (i‘X) v. =. (дх,у). xRy. и(х|у) v.
[*55-13] ее. uRv (3)
F. (2). (3). э I-: R p J о. э . (gX). X с a x p. R = i‘X (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*116-81. F. s [ Cl‘(ox p)e 1 —> 1
Доказательство.
F. *41-13 . эFa, PeCl‘(axp). i‘a = i‘P.х|уеа.э:х],ус i‘P:
[*41-11] э: (gP). Pe0.x|y GP:
[*113-101. Hp] э:(дР, и, v).Pep.P = u|v.xj,yGw|v:
[*55-134-34] э: (gP, u, v).Pefi.P = ulv.xly = ulv:
[*13-172-13] э:х1уер
F . • э F: a, ped‘(ox p). s‘a = j‘P .х|уер.э.х|уеа
F . (1). (2). *113-101 . э F : a, p e Cl‘(o x p). i‘a = s‘P . э . a = p
F . (3). *71-55 . *72-163 . э F . Prop
(1)
(2)
(3)
*116-82. F . Rl‘(p T a) sm Cl‘(o x p)
*116-83. F . Nc‘Rl‘(p f o) = 2Nc‘p *' Nc‘°
*116-9. F : Nc‘Px= [i. э . Nc‘t2‘x = 2й
*116-901. F : Nc70‘a = ц. э. Nc7‘a = 2»1
*116-91. F : Nc‘r0‘a = ц. э. Nc7oo‘a = 2й
*116-92. F : Nc‘r0‘a = p. э. Nc'ro1 ‘a = 2* x‘ 2“
[*116-83 . *64-16 . *116-901]
[*116-8-81]
[*116-82-72 . *113-25]
[*116-72 .*63-66]
[*116-72 .*63-65]
[*116-83 . *64-5-11]
Nc‘?1‘a = 22l‘x‘2,‘.etc.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
208
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*117. Больше и меньше
Краткое содержание *117.
Говорят, что кардинал ц больше, чем другой кардинал v, когда суще-
ствует класс а, который содержит ц термов и имеет часть, которая со-
держит v термов, в то время как не существует класса р, который со-
держит v термов и имеет часть, которая содержит ц термов. Отношение
“больше чем” транзитивно и асимметрично; и на основании теоремы Шре-
дера-Бернштейна, если ц больше или равен v, и v больше или равен ц, то
p = v. Однако мы не можем доказать, не привлекая аксиому умножения,
что из любых двух кардиналов один должен быть больше. Доказательство
этого следует из теоремы Цермело, утверждающей, что, принимая аксиому
умножения, каждый класс может быть вполне упорядочен. Этот предмет
мы рассмотрим на более поздней стадии.
Форма определений выбрана таким образом, чтобы сделать возможным
неравенство двух кардиналов в пределах различных типов. Соответствую-
щие рассуждения являются такими же, как и для определений сложения,
умножения и экспоненциации.
Наше определение “p>v” представляет собой
*117 01. ц > v. = . (да, (3). ц = Noc‘a. v = Noc‘(3 .
3! Cl‘a П Nc‘(3 . ~ а! СГР П Nc‘a Df
Мы также определяем “p>Nc‘a” как означающее “p>Noc‘a” и
“Nc‘a>v” как означающее “Noc‘a>v” по причинам, разъясненным
в *110. Отсюда без труда следует, что если pv, то ц и v должны быть
однородными кардиналами (это часть *117-15); что если ц и v однородные
кардиналы, и pv, тогда то же самое имеет место, если мы подставляем
sm“p и sm“v вместо одного или обоих вхождений ц и v (*117-16); что
*117-13. h : Nc‘a > Nc‘P . = . а 1 Cl‘a П Nc‘P . ~ а! СГр П Nc‘a
и что
* 117-14. h : ц > v. = . (аa, Р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P . Nc‘a > Nc‘P
Мы не можем определить “ ц v” как “ ц > v . V . ц = v” по причине того,
что “p, = v” слишком сильно ограничивает Ц и v, требуя, чтобы они были
одного типа, и по сути не ограничивает их, не требуя, чтобы они оба бы-
ли экзистенциональными кардиналами. Чтобы избежать обоих указанных
неудобств, мы полагаем
* 117-05. p^v. = :p>v.v. р, veNqC . р = sm“v Df
Это определение в основном используется в предложениях
*117-108. h Nc‘a Nc‘P . = : Nc‘a > Nc‘P . V . Nc‘a = Nc‘P
*117-24. h : p > v. = . (aa, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P . Nc‘a Nc‘P
В *117-2 мы повторяем теорему Шредера—Бернштейна (*73-88), кото-
рая требуется в большинстве оставшихся предложений этого параграфа.
Она сразу же приводит к предложениям
* 117-22. h : а • С1‘а П Nc‘P . = . Nc‘a Nc‘P
(которое практически заменяет определение “>”)
* 117-221. h : Nc‘a Nc‘P . = . (ар). р с a. р sm р
Principia Mathematica II
117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
209
*117-222. h : р с а. э . Nc‘a > Nc‘P
*117-23. h : Nc‘a > Nc‘P . Nc‘P > Nc‘a. = . Nc‘a = Nc‘p
Это последнее предложение могло бы быть названо теоремой Шреде-
ра-Бернштейна с той же правомерностью, что и *73-88; они почти нераз-
личимы.
Если мы вернемся к определению p>v, или к *117-13, и применим
*117-22, то мы увидим (*117-26), что “Nc‘a>Nc‘P” могло бы в равной сте-
пени рассматриваться как утверждающее Nc‘a Nc‘P. ~ (Nc‘P) Nc‘a); на
самом деле наилучшими понятиями, с которыми следует работать, явля-
ются и обратное к нему которые для практических целей мы рас-
сматриваем, как определено в *117-22, и из которых мы выводим < и >.
Отношение > будет результатом отрицания обращения отношения это
имеет место для р и v (*117-281), так же как и для Nc‘a и Nc‘p.
*117-3-31 устанавливает одно важное применение *110-72, а именно до-
казательство того, что один экзистенциональный кардинал больше, чем
другой или равен ему, когда первый может быть получен прибавлением
ко второму (где то, что прибавляется, должно быть кардиналом). Т.е. мы
имеем
*117-3. h : Nc‘a Nc‘P . =. (дш). ®eNC . Nc‘a = Nc‘P +сш
*117-31. h ц v. = : ц, veNoC : (дш). ceNC . ц = v +C(D
*117-4—471 задействованы в доказательстве того, что > и транзитив-
ны, что > ассиметрично (*117-42), а также примыкающих предложений.
Следующая группа предложений касается 0, 1 и 2. Мы доказываем,
что однородный кардинал больше либо равен 0 (*117-501); что однород-
ный кардинал, отличный от 0, больше чем 0 (*117-511); что однородный
кардинал, отличный от нуля, больше либо равен 1 (*117-531); и что одно-
родный кардинал, отличный от 0 и 1, больше чем 1 (*117-55) и больше
либо равен 2 (*115-551).
Далее мы доказываем группу предложений, касающихся которые не
имеют аналогов для >, исключая, когда рассматриваемые кардиналы ко-
нечны. Поэтому, например, мы доказываем
*117-561. h : ц v. ш е NoC . э . ц +сш v +дп
Если мы подставим > вместо то это больше не будет иметь места.
Поэтому, например, положим ц = 2, v=l, ® = No (ср. с *123); тогда p>v,
однако ц +с® = v +сСП = ш. Подобные замечания применяются к аналогичным
предложениям (*117-571-581-591) об умножении и экспоненциации.
Далее мы доказываем, что сумма больше либо равна одному из ее сла-
гаемых (*117-6); что произведение отличных от нуля сомножителей больше
либо равно одному из его сомножителей (*117-62); что, допуская, что если
р и v являются экзистенциональными кардиналами и не равны ни 0, ни 1,
то их произведение больше либо равно их сумме (*117-631), и если ц ни 0,
ни 1, то p,v^pxcv (*117-652).
Последним важным предложением в этом параграфе является теорема
Кантора
*117-661. h:p6N0C.o.2^>p
которая следует непосредственно из *102-72 и *116-72.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
210
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
Предложения этого параграфа интенсивно используются в следующей
главе о конечном и бесконечном.
*117 01. р, > v. - . (да, Р). ц = Noc‘a. v = Noc‘P .
3! СГа A Nc‘P . ~ а! СГР A Nc‘a Df
*11702. p>Nc‘a. = .p>Noc‘a Df
*117-03. Nc‘a>v. = .Noc‘a>v Df
* 117-04. p,<v. = .v>p Df
* 117-05. p^v. = .p>v.V. ц, veN0C . p = sm“v Df
* 117-06. p^v. = .v^p Df
Аналоги *117-02-03 применяются также и к *117-04-05-06.
*117-1. h : ц > v. = . (аa, Р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P .
3 ’ СГа A Nc‘P . ~ а ’• СГР A Nc‘a [(*117-01)]
*117-101. h : р > Nc‘P . = . ц > Noc‘P [(*117-02)]
*117-102. h : Nc‘a > v . = . Noc‘a > v [(*117-03)]
*117-103. h:[A<v. = .v>p [(*117-04)]
*117-104. h:p^v. = .p>v.V. p, veNqC . p = sm“v [(*117-05)]
*117-105. h:p^v. = .v^p [(*117-06)]
*117-106. h : Nc‘a > Nc‘P . = . Noc‘a > Noc‘P [(*117-101-102)]
*117-107. h : Nc‘a Nc‘p . = . Noc‘a Nqc‘P
Доказательство.
F. *117-104-106 .э
h Nc‘a Nc‘P . = : Noc‘a > Nqc‘P . V . Nc‘a, Nc‘PeNoC . Nc‘a = sm“Nc‘P :
[*100-511 . *103-22] = : Noc‘a > Noc‘P . V . Nc‘a, Nc‘P e N0C . Nc‘a = Nc‘p :
[*103-16] = : Noc‘a > Noc‘P . V . Nc‘a, Nc‘P e NoC . Nc‘a = Noc‘P :
[*103-21] = : Noc‘a > Noc‘P. V . Nc‘p e NoC . Nc‘a = Nqc‘P :
[*103-16] = : Noc‘a > Noc‘P . V . Nc‘P e NoC . Noc‘a = Nc‘P :
[*103-2] = : Noc‘a > Noc‘P . V . Noc‘a = Nc‘P :
[*103-4] = : Noc‘a > Noc‘P . V . Noc‘a = sm“Noc‘p :
[*103-21 . *117-104] = : Noc‘a Noc‘P э h . Prop
*117-108. h Nc‘a Nc‘P . = : Nc‘a > Nc‘P . V . Nc‘a = Nc‘P
[*117-107-106-104 . *103-16-4]
*117-11. h a sm a'. p sm P'. э : а ’• СГа A Nc‘P . = . а! СГа' Cl Nc‘P'
Доказательство.
I-. *100-321 . э h Hp. э : а! СГа' A Nc‘P . = . Я! СГа' A Nc‘P' (1)
F . *73-21 . э
h : Re 1 —> 1. D7? = а . СГЯ = а'. у с а. yeNc‘P . э . Я“у с а'. /?“yeNc‘P .
[*60-2] э. а! СГа' ANc‘P (2)
h . (2). *10-11-23-35 . *73-1 .э
h : a sm а'. а! СГа A Nc‘P . =>. а ’• СГа' A Nc‘P (3)
h . (3) 1 ^7 . э h : a sm а'. а 1 СГа' A Nc‘P. э . а! СГа A Nc‘P (4)
h . (3). (4). э h a sm а'. э : а ’• СГа A Nc‘P . = . а • СГа' A Nc‘P (5)
h . (1). (5). э h . Prop
Principia Mathematica II
117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
211
*11712. h :. р> v. = : р, veNoC :
у е р. 8 е v. . а! СГу A Nc‘8. ~ а • СГ6 A Nc‘y
Доказательство.
h. *117-1-11 .э
h :. р> v. = : (аа,0): р = Noc‘a. v = Noc‘0 .3! СГа П Nc‘0 • ~ 3 - СГ0ПNc‘a:
у е р. 6 е v. . а • СГу П Nc‘6 . ~ а! СГ6 A Nc‘y:
[*103-12] = : (3a, 0): р = Noc‘a. v = Noc‘0. а е р. 0 е v. 3! СГа П Nc‘0 .
-3! СГ0 ANc‘a:
у e p. 6 e v. . а! СГу A Nc‘6. ~ а! СГ8 A Nc‘y:
[*10-55] = : (аa, 0): р = Noc‘a. v = Noc‘0. a 6 p. 0 6 v:
у e p. & € v. . а! СГу О Nc‘6 . ~ а ’• СГ6 A Nc‘y:
[*103-12-2] = : р, v е NoC : у с р. 6 с v. dy,& . а! СГу A Nc‘6 . ~ а • СГ6 О Nc‘y
э h. Prop
*117-121. h :. р > v . = . р, veN0C :
a e p. эа . (30) • ₽ е v • Я • СГа П Nc‘0 . ~ 3! С1‘0 A Nc‘a
Доказательство.
F. *117-1-11 .э
F :. р> v. = : (3a,0): р = Noc‘a . v = Nqc‘0.3 - СГа П Nc‘0.
-3! СГ0 ANc‘a:
у е р. oY . (а&) • 8 е v. а! СГу О Nc‘6 . ~ а! СГ8 A Nc‘y
[*103-12 . *10-55] = : (3 a, 0): р = Noc‘a. v = Nqc‘0 .aep:
у e p. dy . (а8). 6 e v. а! СГу A Nc‘6 . ~ а! СГ6 A Nc‘y
[*103-12-2] = : р, veN0C : yep. dy . (38).6ev.3! СГу A Nc‘6 .
~ а! СГ8 A Nc‘y:. э h. Prop
Приведенное выше доказательство дано кратко, так как оно реализу-
ется теми же самыми строками, как и в *117-12. При применении *10-55
выражение фх в указанном предложении замещается aep, а Vх замещается
(30) • Р е v. а! СГа A Nc‘0. ~ а! СГ0 A Nc‘a .
*117-13. h : Nc‘a > Nc‘0. = . а! СГа A Nc‘0 . ~ 3! СГ0 A Nc‘a
Доказательство.
F. *117-106. э
h :. Nc‘a > Nc‘0. = : Noc‘a > Noc‘0:
[*103-2 .*117-12] =:yeN0c‘a.6eNoc‘p.oY,6.
3! СГу A Nc‘8. ~ а! СГ8 A Nc‘y:
[*100-31 . *117-11] = : yeNoc‘a. 6 eNoc‘0. dy,6 .
3! СГа A Nc‘0. ~ а! СГ0 A Nc‘a:
[*10-23] = : а! Noc‘a. 3! Nqc‘0 . э .
3! СГа A Nc‘0 . ~ а! C1‘P A Nc‘a:
[*103-13] = : а! СГа A Nc‘0 . ~ 3! СГ0 A Nc‘a:. э h . Prop
*117-14. h : p > v. = . (3a, 0). p = Noc‘a. v = Nqc‘0 . Nc‘a > Nc‘0
[*117-1-13]
*117-15. h : p> v. = . p, veNoC .3! s‘Cl“p Asm“v. -3! s‘Cl“v Asm“p
Доказательство.
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
212
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
h . *103-4 . *117-1 . о
h :. ц > v. = : (да, Р). ц = Noc‘a. v = Noc‘P. д! СГа A sm“v.
~д!С1‘Р Asm“p:
[*103-2-26] = : н, veN0C : (да,Р).ае ц.pev.д! СГа A sm“v.
~ д! СГр Оsm“p,:
[*117-11] = : н, V6NOC : (да,Р). аец. pev. д! СГа A sm“v.
6 6 v. Эб . ~ д! СГ6 A sm“p:
[*103-13 . *10-51] = : н, veN0C : (да). аец. д! СГа A sm“v.
~ (дб).6ev.д! СГ6 n sm“p:
[*40-4 . *60-2] = : ц, v е NoC . д! $‘СГ‘ц A sm“v.
~ д! s‘Cl“v A sm“p,:. о h. Prop
Единственное преимущество этого предложения заключается в том, что
оно выражает “p>v” в терминах только р и v, без вспомогательных а и
Р из определения.
*117-16. h ц, veN0C. о: ц> v. = . sm“p> v. = . p>sm“v. = . sm“psm“v
[*117-14. *103-4]
*117-2. h : a sm a'. p sm p'. p' < a. a' > P . э . a sm P [*73-88]
Это предложение (которое представляет собой теорему Шредера-
Бернштейна) является фундаментальным в теории отношений больше и
меньше.
*117-21. h : g! СГа A Nc‘P . g! СГр A Nc‘a. о . Nc‘a = Nc‘P
[*117-2 .*100-321]
*117-211. h: g! СГа A Nc‘p . g! СГр A Nc‘a. = . Nc‘a = Nc‘P
Доказательство.
h . *100-3 . *60-34 .oh: Nc‘a = Nc‘P . э. aeСГа A Nc‘P . peC1‘P A Nc‘a (1)
h.(l). *117-21 .oh. Prop
*117-22. h : g! СГа A Nc‘p . = . Nc‘a Nc‘p
Доказательство.
h . *117-13 . о h : Hp. ~ g! C1‘P A Nc‘a. = . Nc‘a > Nc‘P (1)
h . *117-211 . о h : Hp. g! C1‘P A Nc‘a . = . Nc‘a = Nc‘P (2)
h. (1). (2). *117-108. oh. Prop
*117-221. h : Nc‘a Nc‘p. = . (gp). p c a. p sm p [*117-22 . *60-2 . *100-1]
*117-222. h: Pea. o.Nc‘a Nc‘p [*117-221]
*117-23. h : Nc‘a Nc‘P . Nc‘P Nc‘a. = . Nc‘a = Nc‘P [*117-211-22]
*117-24. h : p v. = . (ga, P). p = Noc‘a. v = Noc‘p. Nc‘a Nc‘P
Доказательство.
h . *117-104-14 . о h :. p v. = : (ga, p). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . Nc‘a > Nc‘P . V .
(ga, P). p, = Noc‘a. v = Noc‘P . p = sm“v:
[*103-4 . *13-193] = : (ga, p). p = Noc‘a. v = Noc‘p. Nc‘a > Nc‘P . v .
(ga, P). ц = Noc‘a. v = Nqc‘P . Noc‘a = Nc‘P:
[*103-16] = : (ga, p). p = Noc‘a. v = Noc‘p. Nc‘a > Nc‘p. V .
(ga, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P . Nc‘a = Nc‘P:
[*11-41 . *117-108] — : (ga, p). p = Noc‘a . v = Noc‘P . Nc‘a Nc‘P :.
о h . Prop
*117-241. h : p v. = . (ga, P). p = Noc‘a. v = Nqc‘P . g! СГа A Nc‘p
[*117-24-22]
Principia Mathematica II
*117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
213
* 117-242. F ц, v е NC . э : ц v. = . (за, p).aep.pev.a! СГа A Nc‘P
[*117-241 . *103-26]
* 117-243. F ц v. = : (да, Р): ц = Noc‘a . v = Noc‘P : (др). р с а. р sm р
[*117-24-221]
* 117-244. F ц, veNoC . э : ц v. = . sm“p v . = . ц sm“v. = .
sm“p sm“v [*117-24 . *103-4]
* 117-25. F : ц v. v ц. = . ц, veNoC . sm“p = sm“v
Доказательство.
F. *117-24. э
F:p^v.v^p. = . (д а, р, у, б). ц = Noc‘a = Noc‘y. v = Noc‘P = Noc‘6 .
Nc‘a Nc‘P . Nc‘6 Nc‘y.
[*117-107] = . (ga, p, y, 6). p = Noc‘a = Noc‘y. v = Nqc‘P = Noc‘6 .
Noc‘a > Noc‘P . Noc‘6 Noc‘y.
[*13-193] = . (ga, p, y, 6). ц = Noc‘a = Noc‘y. v = Noc‘P = N0c‘6 .
Noc‘a Noc‘p. Noc‘p Noc‘a.
[*117-107-23] = . (ga, p, y, 6). p = Noc‘a = Noc‘y. v = Noc‘P = Nqc‘6 .
Nc‘a = Nc‘P.
[*11-45 . *103-2] = . (aa, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P . p, v e N0C . Nc‘a = Nc‘P .
[*103-4] = . (aa, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P . p, v e NoC . sm“p = sm“v.
[*11-45 . *103-2] = . p, veNoC . sm“p = sm“v: э F. Prop
* 117-26. F : Nc‘a > Nc‘p. = . Nc‘a Nc‘P . Nc‘a / Nc‘P
Доказательство.
F . *117-13 . *13-12 . Transp . э F: Nc‘a > Nc‘P . э . Nc‘a / Nc‘P :
[*117-108] э F : Nc‘a > Nc‘P. э . Nc‘a Nc‘P. Nc‘a / Nc‘P (1)
F . *117-108 . *5-6 . э F : Nc‘a Nc‘P. Nc‘a / Nc‘P . э . Nc‘a > Nc‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 117-27. F : Nc‘a < Nc‘P . = . Nc‘a Nc‘P . Nc‘a / Nc‘P
[*117-26-103-105]
* 117-28. F : Nc‘a > Nc‘p . = . Nc‘a Nc‘P. ~ (Nc‘P Nc‘a)
[*117-22-13]
* 117-281. F:p>v. = .p^v.~COp) [*117-14-28-24]
* 117-29. F : Nc‘a < Nc‘P . = . Nc‘a Nc‘P . ~ (Nc‘p Nc ‘a) [*117-28]
* 117-291. F:p<v. = .p^v.~(v^p) [*117-281]
* 117-3. F : Nc‘a Nc‘P . = . (a®) • © € NC . Nc‘a = Nc‘P +cct
Доказательство.
F . *117-221 . э F : Nc‘a Nc‘P . = . (36). 5 sm p . 6 c a.
[*110-72] = . (эш). CT eNC . Nc‘a = Nc‘P +JD: э F . Prop
*117-31. F:.p^v. = :p, ve NoC : (аст). ст e NC . p = v +cct
Доказательство.
F. *117-24-3 .э
F p v. = : (3a, p, ст). p = Noc‘a. v = Noc‘P. Nc‘a = Nc‘P +cct :
[(*110-03)] = : (3a, p, ст). p = Noc‘a. v = Noc‘P . Nc‘a = v +cct :
[*103-16 . *110-42] = : (3a, p, ст). p = Noc‘a. v = Noc‘P . p = v +CCT:
[*103-2] = : p, v e N0C : (аст). p = v +cct z> F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
214
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
*117-32. h : ц v . а! sm“pi A f а. о . а ’• sm“v А Га
Доказательство.
h. *117-241 .*103-4. о
h : Нр. о . (аР, у) • Н = Noc‘P . v = Noc‘y. а I С1‘Р A Nc‘y. sm“pi = Nc‘P .
sm“v = Nc‘y (1)
h . *63-105-371 . *73-12 . о
h:7?ep sm p . p e f a . о c p . osmy. о . R“oe t‘ a . 7?“osmy (2)
h. (2). *73-04 . о h : p e Nc‘p A Г a. о e СГр A Nc‘y. о . a J Nc‘y A fa (3)
h . (1). (3). о h . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что если кардинал pi су-
ществует в пределах заданного типа, то все меньшие кардиналы также
существуют в пределах заданного типа.
*117-4. h:pi^v.v^GJ.o.pi^GJ
Доказательство.
h . *117-243 .oh:. Нр . о : (аa, Р, у): И - Noc‘a . v = Nqc‘P . GJ = Noc‘y:
(ЗР) • p c a . p sm P : (ап) • о с p . о sm у:
[*117-11 . *60-2 . *100-1] о : (aa, p, у): pi = Noc‘a. v = Nqc‘P . GJ = Noc‘y:
(ЗР, т). p c a . p sm p . т с p . т sm у :
[*22-44] э : (aa,у): ц = Noc‘a . GJ = Noc‘y: (ат) .тс a. xsmy :
[*117-243] о : pi GJ:. о h . Prop
*117-41. h : pi^ v . v GJ. о . pi GJ [*117-4]
*117-42. h: ~(pi>pi).~(p<pi)
Доказательство.
h . *117-15 . *13-12 . Transp . oh : pi > v. о . pi : oh. Prop
*117-43. h : pi v. ~ (pi GJ). о . ~ (v GJ) [*117-4 . Transp]
*117-44. h : v GJ. ~ (pi GJ). о . ~ (pi v) [*117-4 . Transp]
*117-45. h:pi^v.v>GJ.o.pi>GJ
Доказательство.
h . *117-281 . oh: Hp .o.pi^v.v^GJ.~(GJ^v).
[*117-4-44] o : pi gj . ~ (gj pi).
[*117-281] о : pi > GJ: о h . Prop
*117-46. h:pi>v.v^GJ.o.pi>GJ [Доказательство как и в *117-45]
*117-47. h:pi>v.v>GJ.o.pi>GJ [*117-45-104]
*117-471. h:pi<v.v<GJ.o.pi<GJ [*117-47-103]
*117-5. h : pieN0C . о . pi 0
Доказательство.
h . *60-3 . *100-3 . о h . a! СГа A Nc‘A.
[*117-22] о h . Nc‘a Nc‘A .
[*117-107 . *101-1] о h . Noc‘a 0 (1)
h . (1). *103-2 . oh. Prop
*117-501. h : pieN0C . = . pi 0 [*117-5-104]
*117-51. h : pieN0C - i‘0 . о . pi > 0
Доказательство.
h . *101-15 . о h : Hp . о . pi sm“0 (1)
h.(l). *117-5-104. oh. Prop
Principia Mathematica II
*117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
215
*117-511. F : peN0C -1‘0. = . р> О [*117-51-15-42]
*117-52. h:a!£.z>.Nc‘£> 1
Доказательство.
h . *51-2 . э F: Нр . э . (ах).
[*117-222] э . (ах). Nc‘^ Nc‘i‘x.
[*101-2] э . Nc‘^> 1 Prop
*117-53. h : peNoC - i‘0 . э . p 1
Доказательство.
h . *101-16 . *103-2 . э h : Hp . э . (Да). Noc‘a = p. g! a.
[*117-52] э . (aa). Noc‘a = p. Nc‘a 1.
[*117-107] э.р^ 1 : э h . Prop
*117-531. F:peNoC-i‘O. = .p^ 1
Доказательство.
F. *117-104. э F : p 1. э . peNoC (1)
F. *117-51 .*101-22 . oh. 1 >0
[*117-45] эк:^1.э.р0.
[*117-42] o.p#0 (2)
F.(l). (2). *117-53. oh. Prop
*117-54. F:. l^p. = :p = 0.V.p=l
Доказательство.
h. *117-241 . *101-2 . *52-22 . o
F 1 > p. = : (aa, x). p = Noc‘a . а! Nc‘a A CPi/x:
[*60-362] = : (aa, x). ц = Noc‘a : а ’• Nc‘a A i‘A . V . а ’• Nc‘a A l‘l‘x :
[*51-31] = : (aa, x). pi = Noc‘a : AeNc‘a . V . i‘xeNc‘a:
[*101-17-29] = : (aa, x). pi = Noc‘a : Nc‘a = Nc‘A . V . Nc‘a = Nc‘i‘x:
[*103-16] = : (aa, x). p = Noc‘a : pi = Nc‘A . V . pi = Nc‘i‘x:
[*101-1-2] = : (aa). pi = Noc‘a : pi = 0 . V . pi = 1 :
[*103-2-5-51] = :p = 0.V.p=l:.ob. Prop
*117-55. h:pi> 1 . = . peN0C - i‘0 - i‘l
Доказательство.
h. *117-281 .ob:p>l. = .p^l.~(l^p).
[*117-531-54] = . p e N0C - l‘0 . p / 0. p / 1.
[*51-15] =. pieNoC - i‘O - i‘l : э h . Prop
*117-551. h :. pieN0C - i‘0 - i‘l. = :
(3 a): P = Noc‘a: (ax,y) • x,y e a . x /у: = . p 2
Доказательство.
h. *103-2 .oh:. peN0C - i‘0 - i‘l . = :
(3a). pi = Noc‘a . Noc‘a # 0. Noc‘a 1 :
[*101-14] = : (aa). pi = Noc‘a . а • a. Noc‘a / 1:
[*103-26] = : (aa). pi = Noc‘a . а! a. a ~ e 1:
[*52-41] = : (aa): p = Noc‘a : (ах, у). x, у e a . x # у: (1)
[*54-26 . *51-2] = : (aa): p = Noc‘a: (ax,y). i‘xUi‘yca. i‘xU i‘ye2 :
[*13-195] = : (aa): p = Noc‘a : (ах, у, P). 0 = i‘x U i‘y. [3 c a. 0 e 2 :
[*54-101] = : (aa): p = Noc‘a : (a0). 0 c a . 0e2 :
[*117-241] =:p^2 (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
216
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
h . (1) . (2) . э h . Prop
*117-56. h : Nc‘a Nc‘P . э . Nc‘a +c Nc‘y Nc‘P +c Nc‘y
Доказательство.
h . *110-12 . *117-221 .э
h : Hp . э . (g6). 6 с X AY“i“a. 6 sm J, Ay“l“P .
[*110-11 . *73-71 . (*110-01)] э . (g6). 6 U Aa Х‘Ч“у c a + у.
6 U Aa sm (P + У) •
[*117-221] z> . Nc‘(a + y) Nc‘(P + y).
[*110-3] z> . Nc‘a +c Nc‘y Nc‘P +c Nc‘y : э h. Prop
*117-561. h : p v. отeNoC . э . ц+cot v+COT [*117-56]
Доказательство *117-561 следует из *117-56 точно так же, как доказа-
тельство *117-31 следует из *117-3. В оставшейся части этого параграфа
мы будем опускать доказательства такого рода.
*117-57. h : Nc‘a Nc‘P . э . Nc‘a хс Nc‘y Nc‘P хс Nc‘y
Доказательство.
h . *37-2 . э h : р с a . э . у Х“р су i“a .
[*40-161 . *113-1] э.рхусаху (1)
h . *113-13 . э h : р sm р . э . р X у sm Р х у (2)
h.(l).(2).Dh:pca.psmp.D.pxycaxy.pxysmPxy.
[*117-221] o.Nc‘(axy)^Nc‘(Pxy) (3)
h . (3). *117-221 .oh. Prop
*117-571. h . p v. от e NoC . э . ц xc от > v xc от [*117-57]
*117-58. k: Nc‘a Nc‘0. э. (Nc‘a)Nc‘v > (Nc‘0)Nc‘?
Доказательство.
h. *35-432-82 .эЬ:рса.э.рТусаТу.
[*80-15] =>.(pf у)д‘ус(аТ у)д‘у (1)
I-. *116-15-19 . э k : p sm 0. э . (p T у) д‘Y sm (0 T у) a‘Y (2)
k. (1). (2). *117-221 .=>
Hpca.psmfJ. Э. Nc‘(aTY) a‘YNc‘(0 fY) a‘Y•
[*116-15-25] э. (Nc‘a)Nc‘v (Nc‘0)Nc‘* (3)
k. (3). *117-221 .эк. Prop
*117-581. k: p. > v. tneNoC . э. p.® v® [*117-58]
Два следующих предложения представляют собой леммы для *117-59.
*117-582. h : д! у. р с a . оеу ехр (а - р). э . (U о) f (у ехр Р) е 1 —> 1.
(U о) ‘ ‘(у ехр Р) с у ехр а
Доказательство.
h . *116-183 . э h : р е (у ехр Р). 6 е у ехр (а-Р).э.рсрху.ос(а~Р)ху.
[*113-19. *24-21] э.рПо = А (1)
h . (1). *24-481 . э h :: Нр . э :. р, р' е (у ехр P).o:pUo = p'Ua. = .p = p':.
[*71-58] э :. (Ua) f (уехрР)е 1-> 1 (2)
h . *113-191 . э h :. Нр . э : у Х“Р А у ‘(а - Р) = А :
[*115-14 . (*116-01)] э : ре(уехрР). э . р U o6Prod‘{yi“PUy Х“(а- Р)}.
[*37-22 .*24-411] э. риас (у ехр а):
[*37-61] о : (Uо)“(уехрР)су ехра (3)
h . (2) . (3) . э h . Prop
Principia Mathematica II
♦ 117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
217
*117-583. h:Pca.g!y.o. (дт). т с у ехр а. т sm (у ехр Р)
Доказательство.
h . *116-171 . о h : Нр . о . g! у ехр (а - Р) (1)
h. (1). *117-582 . *73-15 .oh. Prop
*117-59. I-: Nc‘a > Nc‘₽. 3! у. э . (Nc‘y)Nc‘“ > (Nc‘y)Nc‘₽
Доказательство.
h . *117-221 . о h :. Hp. о : (gp) .pca.psmp:g!y:
[*117-583] d : (зр,т). p ca . psmp. тс у exp a . т sm (y exp p):
[*116-19] о : (gx). тсу exp a. r sm (у exp P):
[*117-221] о : Nc‘(y exp a) Nc‘(y exp P) (1)
h.(1). *116-25 . oh. Prop
Гипотеза в приведенном выше предложении является существенной, так
как 0° = 1, в то время как О1 =0, так что 0°>01.
*117-591. h:p^v.CTeN0C-i‘0.o.CT^CTv [*117-59]
*117-592. h:a6 = l.a/0.a/l.o.6 = 0
Доказательство.
h . *116-203 . о h :. Нр . о : a, 6 е N0C :
[*117-551-53] o:a>2:6/0.o.6^1:
[*117-581-591] о : 6 / 0. о . a6 21 .
[*116-321 . *117-244] о . a6 2 .
[*117-551] о . a6 / 1 (1)
h. (1). Transp.oh. Prop
Приведенное выше предложение используется в *120-53.
*117-6. h : ц, v е NoC .o.p+cv^p.p+cv^v
Доказательство.
h . *117-561-5 .oh: Hp. о . p +c v ц +c0 . p +c v 0+c v (1)
h . (1). *110-6 . *117-244 .oh. Prop
*117-61. h:v>p,.o.p+cv>p [*117-6-45]
*117-62. h : p, v e NoC -1‘0. о . p xc v ц. p xc v v
Доказательство.
h . *117-571-53 . oh: Hp . о . p xc v ц xc 1. p, xc v 1 xc v (1)
h . (1). *113-621 . *117-244 .oh. Prop
*117-63. h : a, p ~ eO U 1. о . Nc‘a xc Nc‘P Nc‘a +c Nc‘P
Доказательство.
h . *52-4 . Transp .oh: Hp . о . (gx, x',y,y'). x, x! ea.y,y' e p. х/ x! . у /у' (1)
h . *113-101 . oh: Hp. x, Xх ea .y,y' e p . x / Xх. у/у'. p = J,y“a.
a = x|“(p - Гу) U Г Xх |y'. о . p U ос P x a (2)
h . *55-15 .oh:. Hp (2). о : R e p . од . СГЯ = Гу:
5 ex|“(P - Гу). o5 . CPS ер - Гу: СГх' J,y' = Гу':
[*51-23] [*24-37 . *30-37] 1-. *73-61-611 . 1-. *55-202 . 1-. (4). (5). *73-71 . 1-. (3). (6). *110-13 . о : R e p . S e о. o^ . СГЯ / CTS : о : p A a = A (3) о h : Hp (2). о . p sm a . x |“(P - Гу) sm (P - Гу) (4) о h : Hp (2). о . Xх J,у' ~ ex J/‘(P - Гу) (5) о h : Hp (2) . о . p sm a . p sm p (6) о h : Hp (2). о . p U a e Nc‘(a + P) (7)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
218
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
h. (2). (7). *117-221 . о h : Нр (2). о . Nc‘(P х а) Nc‘(a + Р) (8)
h . (1). (8). *113-141-25 . *110-3 .oh. Prop
* 117-631. h : р, veN0C - l‘0 - i‘l .o.pxcv>p+cv [*117-63]
Два следующих предложения представляют собой леммы для *117-64.
*117-632. h : KeCls2excl. к~е0 U 1. p, оеРгосГк. p П о = A.
T = px{(ga,P). a, рек. a / p . хер. ц = (p - a - p) U (оП a) U i‘x}.
о . T e 1 —> 1 . DT с РгосГк. CT = ^‘к
Доказательство.
h . *115-11-145 .oh:. Hp . a, рек.а/р.о:р-а- p eProd‘(K- i‘a - l‘P) :
[*115-11-145] о : (p - a - P) U (о О a) e Prod‘(K - l‘P) :
[*115-145] э:хер.э. (p- a-P)U (on a) U i‘xeProd к (1)
h. (1). *21-33 о h : Hp . ц Tx. о . p e Prod‘K (2)
h . *52-4 . Transp . oh:. Hp .о:Рек.хер.о. (ga).аек.a/p.
[*21-33 . *33-131] < o.xeOT (3)
h . *21-33 . *33-131 . о h :. Hp. о : xe CT . о . (gp). p e к. xe p (4)
h . (3). (4). о h:Hp.о. CT = 5‘к (5)
h . *21-33 . *13-172 .oh:. Hp . о : Tx. v Tx. о . p = v (6)
h . *21-33 . *13-171 . о h Hp. о : p Tx. p Tx'. о .
(ga, a', p, P'). a, a' e к. p, P' e к. a / p . a' / p'.
(p - a - p) U (а П a) U i‘x = (p - a' - P') П (о П a') U ex' .
[*24-48 . Hp] о . i‘x = i‘x' (7)
h.(2).(5).(6).(7).oh.Prop
* 117-633. h :. к e Cis2excl. к ~ e 0 U 1 : (gp, o). p, oeProd‘K. p П о = A : о .
HNc‘k^ZNc‘k
Доказательство.
h . *117-632 .oh: Hp . о . (gy). у a Prod‘K. у sm ^‘k .
[*117-221] о. Nc‘Prod‘K Nc‘s‘k (1)
h . (2). *115-12 . *112-15 .oh. Prop
* 117-64. h:. к e Cis2 excl: (gp, о). p, о e Prod‘K. p П о = A: о. П Nc‘k E Nc‘k
Доказательство.
h . *112-321 . *114-21. оh: ке 1. о. HNc‘k = SNc‘k (1)
h. *114-2 . *112-3 . о h: кеО. о. ПNc‘k = 1. ENc‘k = 0.
[*117-51] о. П Nc‘k > S Nc‘k (2)
h.(l). (2). *117-633. oh. Prop
*117-561. F: a ~ eO U 1. э. (Nc‘a)Nc₽ Nc‘axcNc‘0
Доказательство.
h. *52-4 . Transp. о h: Hp. о. (gx, у). x, у e a. x у (1)
h. *116-152 . *55-23-202 . о h: x, у e a. x / у. о. x Г ‘P, У Г ‘P e (a exp p).
Х|“0ГШ“Р = Л (2)
F. *113-111. э I-. a X“0 e Cis2 excl (3)
F. (1). (2). (3). *117-64 . *113-1-141-25 . *116-25 . (*116-01). э F. Prop
*117-652. F:peN0C-i‘0-i‘l .veN0C.z>.p.v>p.xcv [*117-651]
Principia Mathematica II
*117. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ
219
*117-66. I-. Nc‘Cl‘a> Nc‘a
Доказательство.
К. *102-72. D(-.~(g0).0ca.0smCl‘a (1)
К.*100-6 .*60-61. ol-.i“acCra.i“asma (2)
К. (1). (2). *117-13. э К. Prop
*117-661. F:jieN0C.D.2^>p [*117-66 . *116-72]
Приведенное выше предложение является важным. (См., однако, Вве-
дение ко второму изданию55.)
*117-67. h: KeCls2excl .3! РгосГк. э . Nc‘5‘k^ Nc‘k
Доказательство.
I-. *115-16-11 . эк: KeCls2excl. цеРгосГк. э . |ismK. цс5‘к.
[*117-22] э . Nc‘5‘k Nc‘k : э k. Prop
*117-68. к:Я,5еед‘к.ЯП5=Л.Т = Рр{рек.Р = Я[-1‘ри5 [Гр]
э. Т е 1 —» l.D‘TceA‘K.a‘T = K
Доказательство.
k . *21-33 . *13-172 . э k :. Нр. э: Р7р . QTp. э. Р = Q (1)
I-. *23-631 . э I-: Нр. р е к. э . (Т‘р) А 5 = 5 Г Гр :
[*13-17] эк:Нр.р,оек.Т‘р = Т‘о.э.5 |Тр = 5 [Го.
[*35-65] э.Гр = Го.
[*51-23] э. р = о (2)
k . (1). (2). эк : Нр. э . Те 1 —> 1 (3)
к . *21-33 . *33-131 .э к:Нр.э. QT = к (4)
к. *80-36. э I-: Нр. э. DT сед‘к (5)
к. (3). (4). (5). эк. Prop
*117-681. k: (дЯ, 5). Я, 5 еед ‘к. R П 5 = Л. э. Nc‘eA‘K Nc‘k [*117-68-22]
*117-682. к : к с Л. g! ед ‘(X - к). э . Nc‘eA ‘X Nc‘eA‘к
Доказательство.
к. *80-65 . эк:.Нр.э:Яеед‘к.5 еед‘(Х-к). э .ЯО5 еед‘Х (1)
к. *80-14. э к :Яеед‘Х. S ееА‘(Х-к). э. (ГЯ П (TS = Л.
[*33-33] э.Яп5=Л.
[*25-4] э.(Я05)-5=Я (2)
к. (2). *13-171 .эк : £2,Яеед‘Х.5 еед‘(Х-к). (2U5 = Яи5 .э.б = Я (3)
k . (1). (3). э к : Нр. 5 еед‘(Х — к). э. (U 5) [ед‘ке 1 —> 1. (05)“ед‘ксед‘Х.
[*117-22] э. Nc‘eA‘X Nc‘eA‘K: э h . Prop
*117-683. 1-:.ксХ.д!ед‘(Х-к):(дЯ,5).Я,5 еед‘к.ЯА5=Л:э.
Nc‘eA‘X Nc‘k [*117-681-682]
*117-684. 1-:.ксХ.д!ед‘Х:(дЯ,5).Я,5 еед‘к.ЯП5 = Л:э.
Nc‘eA‘X^Nc‘K [*117-683 .*88-22]
Приведенное выше предложение используется в *120-765.
55 Имеется в виду Введение ко второму изданию в первом томе 11 Principia Mathe-
matica”. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
220
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
Общее замечание о кардинальных корреляторах
Корреляторы, введенные на различных стадиях на всем протяжении
главы 2, представляют определенные аналоги друг друга, и будет обнару-
жено, что они или другие, весьма сходные с ними, являются коррелятора-
ми, необходимыми в арифметике отношений (часть IV). Вследствие этого
мы соберем здесь воедино наиболее важные предложения, доказанные до
этого момента о корреляторах.
Когда мы вынуждены иметь дело с корреляторами двух различных
функций одного класса, таких например, как ед‘к и Prod‘к, то коррелято-
ром обычно является D, s или j|D с подходящими ограничениями на об-
ратную область. Иногда им является 11D или е | D. Поэтому, например,
класс eJ“K, посредством которого определена Е‘к (*112), обладает двой-
ным подобием с к, если KeCls2excl (*11244); в этом случае двойным кор-
релятором является L | D с ограниченной обратной областью, т.е.
F : kcCIs2excl. э .i| D f Е‘кск sm sm (gJ“k) .
В случае с Prod‘к и ед‘к коррелятором является D, т.е.
F : кеCis2excl. э . D Гед‘ке(Prod‘K) sm (ед‘к).
В случае с ед‘.у‘к и ед‘ед“к коррелятором является j | D, т.е.
F : KeCls2excl. э . s|D Гед‘ед“ке(ед‘$‘к) sm (ед‘ед“к).
s|D также коррелирует ед‘к с ед‘е!“к (*85-61) и Рд‘а с ед‘РГ‘а (*85-53),
и Рд‘$‘к с ед‘Рд“к (*85-27-42), если KeCls2excl.
Коррелятором (аТР)д‘Р с аехрР является s (*116-131).
Другой вид коррелятора возникает, когда нам дан коррелятор к с X и
мы желаем построить коррелятор для некоторых ассоциированных клас-
сов ГИ‘к и W‘X, или когда нам даны корреляторы асуирсб, и мы
хотим построить коррелятор а $ Р с у $ б, где $ есть некоторая двойная
дескриптивная функция в смысле *38. В этом случае коррелятор обычно
будет иметь форму R || S (с ограниченной обратной областью). Иногда R
и 5 будут тождественны; иногда 5 будет представлять собой Re. Такие
корреляторы всегда зависят от
*55-61. F:E!P‘x.E!5‘y.o.(P||5)‘(xly) = (P‘x)l(^‘y)
вместе с предложениями *74-77 seq., дающими случаи, в которых (Я||5) fX
является одно-однозначным отношением. Из *74-77 следует, что, если R и
5 являются корреляторами, чьи обратные области включают область и
обратную область соответственно отношения Р, тогда (R || §УР будет отно-
шением, имеющим место между R'x и 5 ‘у, всякий раз, когда Р имеет место
между х и у. Примерами таких корреляторов, как R || 5, являются
*112-153. F : Тек sm sm X. э . (Т || te) f $‘е1“Хе(е1“к) sm sm (gJ“X)
*113-127. FrPfyeasmy.^ f dep sm б.э.
(P||5) f (бхy)e(al“P) sm sm (yi“6)
*113-65. F . 1 z“a x 1 z“P = (J, z II Cnv‘1 z)“(a x P)
*114-51. F : T Г 5‘Хек sm sm X. э . (T || Te) [ ед‘Хе(ед‘к) sm (ед‘Х)
Principia Mathematica II
ОБЩЕЕ ЗАМЕЧАНИЕ О КАРДИНАЛЬНЫХ КОРРЕЛЯТОРАХ
221
* 116-192. h : R Г у е a sm у .S Г 6 е 0 sm 6 . э .
(R || 5) Г (6 х у) g (а ехр 0) sm sm (у ехр 6).
(R || S )е f “(у ехр 6) g (а ехр 0) sm (у ехр 6)
Исключительно простой коррелятор дается посредством
* 115-502. h : Т f е к sm sm X. э . Т f 5‘Prod‘k g (РгосГк) sm sm (Prod‘k)
Другим исключительно простым случаем является
* 73-63. h : S g a sm 0.7 f а, 7 f 0 g 1 —»1 . a U 0 с G‘7 . э .
7|S |f’G(7“a) sm (7“0)
Посредством приведенных выше корреляторов большинство требуемых
корреляторов может быть вычислено. Поэтому в дальнейшем будет вид-
но, что *116-192 в приведенном выше списке является непосредственным
следствием *113-27 и *115-502, поскольку
а ехр 0 = Prod‘a i“0 и 5‘Prod‘y i“6 = 6xy.
Для того чтобы развить рассматриваемый предмет, практически всегда
необходимо не просто доказать, что два класса подобны, а фактически
построить коррелятор этих двух классов. Это применимо в равной степени
к арифметике отношений, в которой аналоги корреляторов используются
для доказательства подобия ординалов.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3.
КОНЕЧНОЕ
И БЕСКОНЕЧНОЕ
Краткое содержание главы 3
Различие между конечным и бесконечным не требуется, как явствует
из главы 2, для определения арифметических операций и доказательства
формальных законов арифметики. Однако имеется множество важных ас-
пектов, в которых конечные кардиналы и классы соответственно отличают-
ся от бесконечных кардиналов и класссов, и эти различия должны сейчас
быть исследованы.
Существуют два различных пути, следуя которым мы можем опреде-
лить конечное и бесконечное и эти два пути, как это может быть проде-
монстрировано, не могут быть (насколько это в настоящее время известно)
эквивалентными, если не принимать аксиому умножения. Так как, по-види-
мому, нет достаточной причины для того, чтобы рассматривать один из
указанных путей как дающий более точно, чем другой, то, что обычно под-
разумевается словами “конечный” и “бесконечный”, мы будем, чтобы избе-
жать затруднений, давать другие имена, чем указанные, каждому из двух
путей разделения классов и кардиналов. Разделение, произведенное посред-
ством первого метода определения, мы будем называть разделением на ин-
дуктивное и неиндуктивное] то, что получается с помощью второго мето-
да, мы будем называть разделением на нерефлексивное и рефлексивное.
Разделение на индуктивное и неиндуктивное, которое исследуется
в *120, определяется следующим образом. Индуктивный кардинал есть кар-
динал, которого можно достичь от 0 последовательными добавлениями 1;
т.е. индуктивный кардинал есть кардинал, который находится в отношении
(+с1)*, где (на основании *38-02) +С1 есть отношение а+с1 к а, а символ *
224
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
на месте нижнего индекса обладает смыслом, определенным в *90. Следо-
вательно, мы полагаем
NC induct = d {а(+с1)*0} Df.
Применим определение из *90, это дает
h :: а еNC induct. | € ц. | +С1 е ц: . а е ц.
Это предложение может рассматриваться как утверждающее, что индук-
тивный кардинал есть кардинал, который подчиняется математической ин-
дукции, начиная от 0, т.е. кардинал, который обладает каждым свойством,
которым обладает 0, и числа, полученные прибавлением единицы к чис-
лам, обладающим этим свойством. В элементарной математике принято
рассматривать математическую индукцию в применении к последователь-
ностям натуральных чисел не как определение, а скорее как принцип, од-
нако в соответствии с данной выше процедурой она становится определе-
нием, а не принципом. Мы не можем избежать этой процедуры, пока мы
понимаем, что имеются кардиналы, которые не подчиняются математиче-
ской индукции, начинающейся с 0. (Это имеет место лишь при предполо-
жении, что общее число объектов в пределах любого одного типа не есть
один из индуктивных кардиналов. Это предположение в слегка изменен-
ной форме вводится ниже как “аксиома бесконечности”.) Поэтому, напри-
мер, 0^1 и +С1 • ? +с! #? +с2. Следовательно, если а есть любой
индуктивный кардинал, то а^а+с1. Однако мы знаем, что Ко (первый из
трансфинитных кардиналов Кантора56) удовлетворяет Ко = Ко+с1- Поэтому
математическая индукция, начинающаяся с 0, не может быть применена
для доказательства свойств Ко. Следовательно, индуктивные кардиналы,
определенные так, как это сделано выше, есть лишь некоторые среди кар-
диналов; по-видимому, нет никакого пути за исключением такого, что они
подчиняются математической индукции, начинающейся с 0. Следователь-
но, математическая индукция не является принципом таким, чтобы быть
доказанным или принятым в качестве аксиомы, но она является просто ха-
рактеристикой определения некоторого класса кардиналов, именно класса
индуктивных кардиналов.
С помощью силлогизма Barbara видно, что 0 есть индуктивный карди-
нал; следовательно, по определению 1 есть индуктивный кардинал и, сле-
довательно, 2, 3, ... есть индуктивные кардиналы. Поэтому любой данный
кардинал в последовательности натуральных чисел, как можно показать,
будет индуктивным кардиналом. Обычные элементарные свойства индук-
тивных кардиналов, такие как единственность вычитания и деления, легко
доказываются с помощью математической индукции.
Мы определяем индуктивный класс как класс, число термов которого
есть индуктивный кардинал. Более просто мы полагаем
Cis induct = s‘NC induct Df.
Затем легко показать, что индуктивный класс есть класс, которого можно
достичь от А последовательными добавлениями одного элемента. Т.е. если
мы положим
М = f)t {(ay). t, = Т] UI»,
56 По поводу определения Ко ср. *123 01 и с. 228 краткого содержания этой главы.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
225
то
Cis induct = Ж‘A.
Таким образом, мы имеем
h :: р е Cis induct. = т] е ц. .т]иь‘уер(:Лер(:эи.рер(.
Равно мы могли бы начать с определения индуктивных классов и перей-
ти к определению индуктивных кардиналов как кардиналов индуктивных
классов; в таком случае мы должны были бы использовать приведенное
выше отношение А/, чтобы определить индуктивные классы.
Некоторые свойства, которыми, как мы ожидаем, обладают индуктив-
ные кардиналы, такие, например, как а/а+с1, могут быть доказаны, лишь
принимая, что ни один индуктивный кардинал не есть нуль, т.е., что
а е NC induct. эа . 3! а.
Это сводится к предположению о том, что в пределах любого фиксирован-
ного типа может быть найден класс, обладающий любым предписанным
индуктивным числом термов. Если бы это было ложным, то обязательно
нашелся бы определенный элемент последовательности натуральных чисел,
который давал бы общее число объектов рассматриваемого типа. Поэтому
положим, что имеется ровно п индивидов во вселенной и не больше, где п
есть индуктивный кардинал. Тогда мы получили бы 2" классов, 22” клас-
сов классов и т.д. В таком случае в пределах типа индивидов мы имели
бы и+с1=А, и+с2 = А и т.д. Следовательно, мы должны иметь
и+с1 =(и+с1)+с1 и т.д.
В пределах типа классов мы должны получить подобные результаты для
2п и т.д. Ясно (хотя и не доказуемо, за исключением каждого частного
случая), что если предположение a eNC induct. эа . 3! а не проходит в пре-
делах какого-нибудь одного типа, то оно не проходит ни в одном другом
типе той же самой иерархии, и если оно имеет место в пределах какого-
нибудь типа, то оно будет иметь место в пределах любого другого; так как
если п есть общее число индивидов, тогда, если п — индуктивный кардинал,
то соответствующее общее число любого другого типа есть индуктивный
кардинал, в то время как если п не является индуктивным кардиналом, то
нет больше соответствующего общего числа любого другого типа. Следо-
вательно, предположение aeNC induct. эа . 3! а либо истинно в пределах
любого типа, либо ложно в пределах любого типа одной иерархии. Мы
будем называть это “аксиомой бесконечности”, полагая
Infin ах. = : a е NC induct. эа . 3! a Df.
Это предположение наряду с аксиомой умножения будет приводиться в ка-
честве гипотезы тогда, когда это будет уместно. Ясно, что в логике не най-
дется ничего из того, чтобы обосновать его истинность или ложность, и
что в нем можно лишь легитимно быть убежденным или не быть убежден-
ным, опираясь на эмпирические основания. Когда мы хотим использовать
типово определенную форму этой аксиомы, то мы воспользуемся опреде-
лением
Infin ах (х). =: a е NC induct. эа . 3! a (х) Df,
которое утверждает, что если а есть любой индуктивный кардинал, то име-
ется, по крайней мере, а термов того же самого типа, что и х.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
226
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Важно заметить, что хотя аксиома бесконечности не может (как это яв-
ствует) быть априорно доказана, мы можем доказать, что любой данный
индуктивный кардинал существует в пределах достаточно высокого типа,
так как если общее число индивидов будет и, то число объектов в после-
дующих типах будет 2”, 22” и т.д., и эти числа будут расти выше любого
предписанного индуктивного кардинала. Однако, благодаря тому факту,
что мы не можем объединить вместе бесконечное число классов, типы ко-
торых неограниченно возрастают, мы не можем, следовательно, показать,
что найдется тип, в пределах которого каждый индуктивный кардинал су-
ществует, хотя мы можем показать, что для каждого индуктивного карди-
нала найдется тип, в пределах которого он существует. Т.е., если а есть лю-
бой индуктивный кардинал, то должен быть тип для х такой, что g! а (х)
истинно; однако не обязательно будет тип для х такой, что если а есть
любой индуктивный кардинал, то g! а (х).
Аксиома бесконечности обеспечивает доказательство существования
(в пределах подходящих типов) No, 2N°, 22*0, ... Ki, Кг, • • • •57 Насколько
мы знаем, ее недостаточно, чтобы доказать существование Кш или любо-
го алефа с суффиксом большим, чем со, так как экзистенции Ki, Кг, ...
доказываются в последовательно поднимающихся типах, а для типа, чей
порядок бесконечен, не может быть найден смысл.
Другое определение конечного и бесконечного практически не столь
важно как определение посредством индукции. С ним мы имеем дело
в *124. Согласно этому определению, мы будем называть класс рефлек-
сивным, когда он содержит собственную часть, подобную самому себе, т.е.
мы полагаем
Cis refl = d {(д7?). 1 —> 1. D\R = a . (ГЯсаСГЯ/а} Df,
или, что приводит к тому же,
Clsrefl = d{(a??).7?e 1 —> 1 .G‘7?cD‘/?.g!"3‘/?.a = D‘/?} Df.
Мы называем кардинал рефлексивным, когда он является однородным кар-
диналом рефлексивного класса, т.е. мы полагаем
NC refl = Noc“Cls refl Df.
Легко видеть, что
NC refl = a {g! a . a = a+cl}.
Мы обнаруживаем, что индуктивные классы и кардиналы нерефлексивны,
а рефлексивные классы и кардиналы неиндуктивны. Мы также обнаружи-
ваем, что рефлексивные кардиналы есть таковые, равные или большие,
чем Ко, в то время как индуктивные кардиналы меньше, чем Ко. Прини-
мая аксиому умножения, мы можем показать, что каждый кардинал равен,
больше или меньше, чем Ко, откуда следует, что каждый кардинал либо
рефлексивен, либо индуктивен, тем самым отождествляя два определения
конечного и бесконечного. Однако пока мы воздерживаемся от принятия
аксиомы умножения или ad hoc некоторой специальной аксиомы, сохраня-
ется возможность (насколько известно), что могут быть кардиналы, кото-
рые не больше, не равны и не меньше, чем Ко. Такие кардиналы, если они
57 По поводу определений К], Кг и т.д. см. *265.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
227
существуют, не являются ни индуктивными, ни рефлексивными; они беско-
нечны, если мы определяем бесконечность с помощью отрицания индукции,
но конечны, если мы определяем бесконечность с помощью рефлексивно-
сти. Возможно, дальнейшее исследование либо докажет, либо опровергнет
существование подобных кардиналов; в настоящее время их существование
должно оставаться открытым вопросом, за исключением тех, кто рассмат-
ривает аксиому умножения как самоочевидную истину.
В *121 мы будем рассматривать интервалы в дискретных сериях; т.е.
в сериях, произведенных одно-однозначным отношением между последова-
тельными термами. Если Р — производящее отношение такой серии, ахи
у два элемента серии, из которых у более поздний, то термы, которые рас-
положены между х и у, есть те термы z, для которых мы имеем
xPpoZ . Z/роУ,
где Рро имеет смысл, определенный в *91. Следовательно, мы полагаем
P(x-y) = ?po‘xn'?pO‘y Df,
где “Р(х-у)” означает “P-интервал между х и у”. Нам необходимы также
символы для интервала вместе с одной или обеими концевыми точками.
Для этого мы полагаем58
Р (х —I у) ^‘хП^/у Df,
Р(хну) = Й/хА^у Df,
Р (х н у) = X ‘х п"?* ‘у Df.
Поэтому, например, если х и у есть индуктивные кардиналы, а Р отноше-
ние п к п+с1, и х<у, то Р(х-у) — числа большие, чем х, и меньшие, чем
у, в то время как Р(хну) есть те же самые числа вместе с у, Р(хну)
есть те же самые числа вместе с х, Р(хну) есть те же самые числа вме-
сте с х и у. С помощью интервалов мы определяем класс отношений Pv
(где v есть любой индуктивный кардинал), где “xPvz” означает, что мы
можем перейти от х к у за v шагов. Чтобы учесть случай, когда х и z
тождественны, и гарантировать, что нет такого отношения, как Pv, кото-
рое будет иметь место между термами, оба из которых не принадлежат
полю Р, мы полагаем
Pv = ху {Nc‘P(xny) = v+cl} Df.
Тогда при условии Р^ gJ, Pq = I \ С'Р, и если Ре 1 —> 1, то Pi = Р, Р2 = Р2
и т.д. Если Р есть транзитивное сериальное отношение, то Pi есть отно-
шение “непосредственного предшествования”, которое чрезвычайно важно
для вполне упорядоченных серий. В указанном случае Pi = Р-Р2. Если Р
есть транзитивное сериальное отношение, производящее конечную серию
или прогрессию, или серию типа отрицательных и положительных целых
в порядке возрастания их величин, то мы имеем
Р = (Л)ро.
В *121 мы будем рассматривать исключительно Pv в случае, когда
Ре(1 —» Cis) U (Cis —> 1),
и в общем мы всегда будем иметь дополнительную гипотезу Рро G J. В та-
58 Указанные символы предложены на основе таковых, данных Пеано в Formulaire,
Vol. IV. р. 116. (Algebre, §46.)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
228
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
ком случае мы можем доказать, что интервал между х и у есть всегда
индуктивный класс (нулевой, если не имеет место хР*у); это предложение
полезно в своем применении к числовым сериям и вообще к прогрессиям.
Когда Р е (1 —> Cis) U (Cis —> 1). Рро G J, класс таких отношений, как Pv
(где v есть индуктивный кардинал), тождественен Potid‘P, классу степеней
Р (ср. *91 и далее). Это отождествление (которое, вообще говоря, не име-
ет места без указанной выше гипотезы) приводит к множеству полезных
предложений. В *91 и далее мы исследовали степени отношения без исполь-
зования чисел, т.е. не определяя v-степень Р. Когда степени Р есть класс
таких отношений, как Pv, конечно, мы можем взять Pv как v-степень Р.
Общее определение v-степени Р (где v есть индуктивный кардинал) будет
дано позднее, в *301; мы будем обозначать ее посредством Pv, тем самым
включая уже определенное обозначение Р2.
В *122 мы будем иметь дело с прогрессиями, т.е. с сериями типа по-
следовательностей натуральных чисел. В этом параграфе мы будем иметь
дело с сериями, произведенными одно-однозначными отношениями; с сери-
ями, произведенными транзитивными отношениями, мы будем иметь дело
на более поздней стадии (*263). Мы определяем прогрессию как одно-одно-
значное отношение, чья область представляет собой потомство своего пер-
вого терма, т.е.
Prog = (i -> 1)пя(В‘/г = Ж:‘в‘я) Df.
В соответствии с этим определением должен существовать первый терм
B'R] Q7? будет т.е. что содержится в Ж/В7?, т.е. в D7?;
поскольку Q‘flcD% то каждый терм поля R имеет последователя, так
что не существует конца серии; поскольку С7? = D7? = то каждый
терм серии можно достичь последовательными шагами от начала. Этих
характеристик достаточно, чтобы определить прогрессии.
В *123 мы переходим к определению и обсуждению Ко, наименьшего
рефлексивного кардинала. Это кардинальное число любого класса, чьи тер-
мы могут быть организованы в прогрессию; следовательно, оно представ-
ляет собой класс областей прогрессий, т.е. мы можем положить
Ко = D “Prog Df.
Используя это определение и вспоминая, что А есть кардинал, мы можем
доказать, что Ко есть кардинал; однако, чтобы доказать, что Ко есть экзи-
стпенциональный кардинал, нам необходима аксиома бесконечности. Теоре-
ма существоания для Ко выводится при этом из индуктивных кардиналов,
которые, если ни один из них ненулевой, образуют прогрессию, будучи упо-
рядоченными по величине. Следует заметить, что эта экзистенциональная
теорема имеет место для более высокого типа, чем тип, для которого при-
нимается аксиома бесконечности. Для того чтобы получить теорему суще-
ствования для того же самого типа, нам необходима аксиома умножения.
После параграфа о рефлексивных классах и кардиналах (*124) и пара-
графа об аксиоме бесконечности (*125) настоящая глава заканчивается па-
раграфом (*126), посвященным “типово неопределенным индуктивным кар-
диналам”. Постоянные индуктивные кардиналы являются типово неопре-
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
229
деленными символами 0, 1, 2, ...; поэтому мы хотим определить класс ин-
дуктивных кардиналов таким способом, чтобы переменный элемент класса
был бы типово неопределенным. Это невозможно без ущерба строгости, од-
нако в *126 показывается, как минимизировать указанный ущерб и как из-
бежать возникающие логические подводные камни. Переменная, значения
которой типово неопределенны59, называется “типово не-определенной” 60.
Доказательство того, что все индуктивные кардиналы существуют, ча-
сто выводилось из *120-57 (см. ниже). Однако в соответствии с теорией
типов это доказательство неверно, поскольку “р,+Д” в *120-57 необходимо
более высокого типа, чем “ц”.
59 В оригинале — typically ambiguous. — Прим, перев.
60 В оригинале — typically indefinite. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
230
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*118. Арифметическая подстановка и униформные
формальные числа
Краткое содержание *118.
В отношении подстановки в арифметике возникают трудности, так как,
если ц есть формальное число и его вхождение в /ц арифметическое, то
на основании ПТ ц всегда принимается в пределах экзистенционального
типа. Следовательно, мы лишь можем подставить реальную переменную
вместо ц, согласно гипотезе д!^, и мы лишь можем подставить другое
формальное число а вместо ц при условии, что равенство ц = а, которое
оправдывает подстановку, является арифметическим, т.е. при условии, что
в этом равенстве тип ц таков, что g! ц.
Результат состоит в том, что применение *20-18 приводит к ошибкам из-
за различного смысла, которым может обладать формальное число в раз-
ных вхождениях. До этого мы уже рассматривали детально каждый слу-
чай, например, замечание о *110-61 и доказательство *110-56.
Условие безопасного применения *20-18 дается в *118-01, именно
*118-01. 1-:.д!ц.ц = а.э:/ц. = ./а [*20-18]
Этот вопрос подробнее обсуждается в предварительных формальных со-
глашениях в начале данного тома. Первая ссылка на *118-01 появляется
в *120-222. Иной путь обойти указанную трудность — работать с формаль-
ными числами, которые вместе со всеми их компонентами принадлежат
одному и тому же типу. Это приводит к рассмотрению униформных фор-
мальных чисел, которые за исключением *118-01 занимают всю оставшу-
юся часть этого параграфа.
Доминантный тип формального числа в произвольном контексте есть
тип самого формального числа в указанном контексте, а подчиненные ти-
пы формального числа есть доминантные типы его составляющих фор-
мальных чисел.
Когда доминантные типы некоторых формальных чисел не указывают-
ся посредством явных обозначений (ср. *65), правила, в соответствии с ко-
торыми должны быть соотнесены доминантные типы, остающиеся неопре-
деленными, насколько они вообще соотносятся, включая правила, управ-
ляющие отношением подчиненных типов, если они оставлены неопределен-
ными, к доминантным типам, даются соглашениям IT, ПТ и АТ Пред-
варительных формальных соглашений этого тома.
Мы должны рассмотреть важный специальный случай, который возни-
кает, когда типы явно указываются посредством использования *65-01-03.
Формальное число, чьи подчиненные типы в точности такие же, как и его
доминантный тип, называется униформным^ если некоторые из его подчи-
ненных типов такие же, как и его доминантный тип, то оно называется
частично униформным. Формальное число может быть лишь частично
униформным или, по крайней мере, может быть так обозначено, чтобы
быть необходимо частично униформным, когда доминантный тип и подчи-
ненные типы, тождественные ему, явно указываются посредством *65-01-03,
Principia Mathematica II
♦ 118. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА И УНИФОРМНЫЕ
ФОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
231
так как иначе применяются соглашения IT, ПТ и возможно также АТ;
они не гарантируют униформность и могут в некоторых контекстах быть
несовместными с ней.
Здравый смысл в своем рассмотрении арифметики обычно пренебрегает
возможностью формально числового представления А. Другими словами,
он всегда применяет соглашения IIТ и А Т. Однако, благодаря пренебреже-
нию типами, он принимает, что формальные числа все являются униформ-
ными. Предположение, которое действительно является существенным для
здравого рассуждения, насколько это касается формы арифметических за-
ключений, есть предположение о том, что ни один числовой символ не
представляет А. Мы здесь заручимся этим предположением (когда типы
не указываются явно) с помощью ПТ и АТ. Сейчас мы должны рассмот-
реть влияние на арифметические операции других предположений о том,
что формальные числа униформны или частично униформны. Не возника-
ет никаких трудностей от изменения соглашения по символике, поскольку,
как говорилось выше, частичная или полная униформность гарантирует-
ся точным указанием типа. Соответственно, соглашения IT, ПТ продол-
жают, как всегда, применяться, когда типы формальных чисел остаются
неопределенными.
Соглашение АТ не будет применяться ни в *118, ни в *119, ни в *120:
в *118 этот факт полностью не существенен, поскольку доминантные типы
эквациональных вхождений всегда указываются, так что не возникает ни
одного случая, когда оно могло бы применяться.
Вне присущего ей интереса и ее воздействия на подстановку, арифмети-
ка униформных формальных чисел необходима для *120, где исследуются
фундаментальные арифметические свойства индуктивных чисел.
Предложения этого параграфа доказываются с помощью использования
результатов *117. Основа рассуждения есть:
* 118-13. F р v . э : sm^“v . э . g! sm^“p
В *118-2-3-4 формулируется смысл символики для доминантных типов,
именно
* 118-2. F. (р +с v)^ = fj {(да, Р). р = Noc‘a. v = Noc‘P. ц виц (а+Р)}
* 118-3. F . (р хс v)^ = ц {(да, Р). р = Noc‘a. v = Noc‘P. ц sm^ (ахР)}
* 118-4. F . (pv)| = fj ((ga, P). p = Noc‘a . v = Noc‘P . ц sm^ (a exp P)}
Важные предложения, в конце концов получающиеся для сложения,
есть
* 118-23. F : р, veNC . э . (р +с v)^ = (sm^“p +с sm^“v)^
* 118-24. F : veNC . э . (p +c v)^ = (p +c sm|“v)£
* 118-241. F : p e NC . э . (p +c v)^ = (sm^‘p +c v)^
* 118-25. F . (p +c v +c = {(p +c v)^ +c = {p +c (v +c
Важные предложения для умножения есть
* 118-33. F : р, v е NC - i‘0. э . (р хс v)^ = (sm^“p хс sm^“v)^
* 118-34. F : v е NC . р / 0 . э . (р хс v)^ = (р хс sm^“v)^
* 118-341. F : peNC . v / 0. э . (р хс v)^ = (sm^“p хс v\
* 118-35. F : ш / 0. э . (р хс v хс = {(р хс v\ хс
* 118-351. F : р / 0. э . (р хс v хс со)^ = {р хс (v хс (D)^
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
232
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Важные предложения для экспоненциация есть
* 118-43. I-: ц, v eNC - i‘O. ц / 1 э . (piv)£ = {(smf p)snVv}i=
* 118-44. F : v е NC.ц/0.ц/1. э. (р,^ = (hs1^“v)^
* 118-441. F : jieNC . v / 0. э. (pv)^ = {(sm^“p)v}^
* 118-45. F:p,/O.p,/l.z>. (pvx^)B = {p(vx'<%
* 118-451. F : (D / 0. э . (pvx^ = [{(p^f
* 118-46. F:ji/0.p/l.o. (hv+^)^ = {p(v+^
* 118-461. F . (pv+^h = Xc (НГО)Й
а также два аналогичных предложения *118-462-463,
* 118-47. F : (D / 0. э. {(ц хс v)ro}B = [{(И *с v)^}ro]в
* 118-471. F:.p/O.v/O.V.(D = O.V.~(p,, v, (De NoC): э .
{(Н хс v)roh = {(Нш)в Хс (vrohh
а также два аналогичных предложения *118-472-473.
Видно поэтому, что за исключением некоторых случаев, связанных с О
и 1, во всех арифметических операциях униформные или частично уни-
формные формальные числа могут замещать таковые, построенные в под-
чинение соглашению ПТ.
* 118-01. F:.a!p,.p, = a.o:/p,. = ./a [*20-18]
Насколько это касается символьной стороны дела, это предложение
с опущенной частью з! ц в гипотезе представляет собой расшифровку
*20-18. Однако если ц или v (не одновременно) есть формальное число, то
3! ц требуется в случае, когда вхождение ц в /ц арифметическое. В дей-
ствительности это предложение охватывает три фундаментальных предло-
жения принципа арифметической подстановки, достигнутого в Предвари-
тельном объяснении типов61. Его необходимость возникает из-за соглаше-
ния ПТ, которое разъясняется там же.
* 118-11. F : з! Nc (£)‘₽. а с 0 . =>. 3! Nc ©‘a
Доказательство.
F . *100-31. э F :. Нр . э :
у е Nc (£)‘Р. э. у sm^ Р.
[*73-1] э . (зЯ). R € 1 © -> 1. у = D‘Л. р = (ГЛ.
[*22-55] э.(зЯ).Яб1©-> 1 ,aca‘/?./?“a = /?“a.
[*73-12] э. (3/?). tf“a sm^ а.
[*100-31] э. з! Nc ©‘а: э F . Prop
* 118-12. F Nc‘a Nc‘P. э : 3! Nc (£)‘Р . э . 3! Nc (£)‘а
[*117-32-107. *100-511]
* 118-13. F :. ц v . э : 3! sm^“v. э . 3! sm^“p, [*117-32]
* 118-2. F . (ц +с v)^ = ц {(3а, Р). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . ц sm^ (а+Р)}
[(*65-01-03). *110-2]
* 118-201. F : з! (р, +с v). э . smf‘(Н +с v) = (ц +с v)^
[*110-44. Заметьте отличие при формулировке]
61 См. Общие замечания о типах в Предварительных формальных соглашениях в на-
стоящем томе. — Прим. ред.
Principia Mathematica II
♦ 118. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА И УНИФОРМНЫЕ
ФОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 233
*118-21. F : 3! (ц +с v)^ . э . 3! 3! sm|“v
Доказательство.
I-. *110-4. *118-2 . э F: Нр. э . ц, veNoC .
[*117-6] o.p,+cv>p.p+cv>v.
[*118-13-201. (ПТ)] э. 3! . 3! sm^“v: F . Prop
Здесь ссылка (IIТ) относится к соглашению IIТ, разъясненному в Пред-
варительных формальных соглашениях.
*118-22. F ц, veNC . э : 3! (ц +с v)^ . = . 3! (sm^“p +с sm^“v)^ . = .
3! (Н +с sm^“v)^ . = . 3! (sm^“p +с v)B
Доказательство.
I-. *118-21 . э F Нр. э : з! (р, +с v)^ . = . з! (ц +с v)^ . з! sm^“p. 3! sm^“v.
[*110-25-4] = • 3! (sm^“p, +c smfv)^ (1)
F . *118-21 . *103-43 . *110-4 . э
F Hp . э : 3! (p, +c v)^ . = . 3! (p +c v)^ . 3! smf ‘p, П smf‘v .
[*103-43 . *110-25-4] = . 3! (p +c smfv)^ (2)
Так же F Hp . э : (p +c v)^ . = . 3! (sm^“p +c v)^ (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*118-23. F : ц, v e NC . э . (ц +c v)^ = (sm^“p, +c smfv)^
Доказательство.
F . *118-21 . *110-4-25 . э F : 3! (p, +c v)^ . э . (p, +c v)^ = (sm|“p, +c sm|“v)^ (1)
F . *118-21 . э F : Hp . ~ 3! (p, +c v)|. э . (sm^‘p, +c smfv)^ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*118-24. veNC . э . (p, +c v)^ = (p, +c sm^“v)|
Доказательство.
F . *118-21 . *110-4-25 . *103-43 . э
ь : a! (H +c v)g . э. (p. +c V)? = (p +c smg“v)g (1)
F. *110-4. эF : p~eNC. э. (p+c smg“v)g (2)
I- . *118-22 . э F : Hp. peNC. ~ a! (p +c v)^ • э • (p +c v)g = (p +c smg“v)5 (3)
F.(l).(2).(3).oF.Prop
*118-241. F : peNC . э. (p+c v)g = (smfp +c v)6 [*118-24. *110-51]
*118-25. F . (p +c v +c (D)^ = {(p +c v)i= +c ClJ}§ - {p +c (v +c oa)g}g
Доказательство.
F . *110-42 . *118-241-201 . IIT. z>
F : p, veN0C. э. (p +c v +c (D)g = {(p +c v)g +c tn}g (1)
F.*110-4 F : ~ (p,vcNqC) • э • p+c v = A. (p +c v)g = Л.
[*110-4] э. (p +c v +c (D)? = {(p +c v)g +c ш}5 (2)
F . (1). (2). э F. (p +c v +c (D)g = {(p +c v)? +c (Djg (3)
Так же F . (p +c v +c ш)| = {p +c (v +c tn)^ (4)
F. (3). (4). э F. Prop
*118-3. F . (p xc v)^ = fj {(а«> P) • H = Noc'a. v = Nqc'P . t] smg (axP)}
[(*65-01-03). *113-2 ]
*118-301. F .з! pxc v • z> • smg“(pxc v) = (pxc v)g [Док-во, как и в *118-201]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
234
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*118-31. F . g! (р хс v)^ . v / 0. э . 3! sm^“p
Доказательство.
F. *101-15-12 . э F : р = 0. э . 3! sm^“p (1)
F . *113-203 . *118-3 . э F: Нр. р/0.э . р, veNoc -1‘0
[*117-62] z>.pxcv>p.
[*118-13-301 .(ПТ)] z>.3!smf‘H (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*118-311. F . 3! (р хс v)i=. р / 0. э . 3! smf‘v [*118-31. *113-27]
*118-32. F veNC . р / 0. э : 3! (р хс v)^ . = . 3! (р хс sm^“v)^
Доказательство.
F . *113-203 . э F : 3! (р хс v)B . э . р е NC (1)
F . *113-203 . э F : 3! (р хс smfv^ . э . р е NC (2)
F. *113-203. *118-311. э
F :. Нр. э : 3! (р хс v)^ . э. 3! р. 3! smf‘v.
[*103-43] э. 3! sm^“v П /О‘Н • sm^“v.
[(1). *113-26 . *103-43] э. 3! (р хс sm^“v)^ (3)
F . *113-203 . *103-43 . э
F :. Нр . э : 3! (р хс sm|“v)^ . э . 3! sm^“v П/о‘И • sm^“v .
[(2). *113-26 . *103-43] э . з! (р хс v)B (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*118-33. F : р, veNC -1‘0. э . (р хс v)^ = (sm^“p хс sm^“v)^
[Док-во, как и в *118-23, используя *118-31-311. *113-203-26]
*118-34. F : v е NC . р / 0 . э . (р хс v)^ = (р хс sm^“v)|
Доказательство.
F . *118-311 . *113-203-26 . *103-43 . э
F : g! (Н хс v)5 . р.# 0. э. (ц хс v)5 = (р. хс sm6“v)g (1)
F . *118-32 . э F : Нр . ~ з! (р хс v)t. о . - 3! (р хс sm^“v)|
[*113-203] э. (р хс v)^ = (р хс sm^“v)| (2)
F . (3). (4). э F . Prop
*118-341. F : р е NC . v / 0. э . (р хс v)^ = (smf р хс v)^ [*118-34 . *113-27]
*118-35. F : (D / 0. э . (р хс v хс со)^ = {(р хс v)^ хс (D}|
[Док-во, как и в *118-25, используя *118-341-301. *113-203-23]
*118-351. F : р / 0. э . (р хс v хс (D)^ = {р хс (v хс (п)^ [*118-35 . *113-27]
*118-352. F : р / 0. (D / 0. э . {р хс (v хс (D)^ = {(р хс v)^ хс
[*118-35-351]
*118-4. F . (pv)^ = fj {(да, Р). р - Noc‘a. v = Noc‘P . т] sm^ (а ехр Р)}
[(*65-01-03). *116-2]
*118-401. F : a! pv . э . sm^“pv = (pv)^ [Доказательство, как и в *118-201]
*118-402. F :. р, vеNoC . р/0 . р/ 1. э : (pv)|. э . g! (р хс v)^
Доказательство.
F . *103-2 . э F :. Нр. э : (да, Р). р = Noc‘a. v = Noc‘P . а ~ е 0 U 1:
[*117-651] э : (да, Р). р = Noc‘a. v = Noc‘P .
(Noc‘a)N°c‘P Noc‘axc Noc‘P
[*118-13-301-401 . (IIT)] эд! (pv)^ . э . g! (pxc v)|э F . Prop
Principia Mathematica II
*118. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА И УНИФОРМНЫЕ
ФОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 235
*118-41. F : g! (pv)g . v / 0 • э • g! smg“p
Доказательство.
I- . *118-402-31 . oFzHp.p/l.p/O.o.gismf'p (1)
F • *101-12-15-241-28 • э F : p = 0. V . p = 1: э. g! апц“р (2)
F. (1). (2). э F. Prop
* 118-411. F:g!(pv)|.p/O.p/1 .z>.g!smf‘v [*118-402-311 ]
* 118-42. F:. veNC • р/0. p/ 1. э: g! (pv)B . = . g! (psmCv)5
[Док-во, как и в *118-32, используя *116-203-26. *118-411]
* 118-421. F:. р еNC. v / 0. э: g! (pv)s= . = . g! {(sm?“p)v}i=
[Док-во, как и в *118-32, используя *116-203-26. *118-41]
* 118-43. F : р, v е NC -1‘0. р / 1 э . (pv)| = {(smf p)sms“v)?
[Док-во, как и в *118-23, используя *118-41-411. *116-23-26]
* 118-44. F : v е NC. р / 0. р / 1. э. (pv)g = (psn,s“v)i=
[Док-во, как и в *118-34, используя *116-203-26. *118-411-42]
* 118-441. F: реNC. v/0. о. (pv)§ = {(sm^“p)v)g
[Док-во, как и в *118-34, используя *116-203-26. *118-41-421]
* 118-45. F:p/O.p/l.z>. (pVXcCD)? = {p<vx^>s
Доказательство.
F . *113-23 . *118-44-301 . (IIТ). э
F: Нр. V, GJ е N0C . э. (руХсГО)| = {p<vx^>s (1)
F. *113-203 . э F: ~ (v, от е NqC) . э • v хсот = А.
[*116-203] э. (pvx‘ra)? = (р^Мг- (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*118-451. F: (D / 0. э. (pvX'ra)? = [{(pv)?}ro]?
Доказательство.
F . *116-63 . э F Нр. р е NC. э. (pvx‘B’)fc={(pv)'Bk
[*116-23 . *118-441-401. (IIТ)] =[{(pv)g}roh (1)
F . *116-204 . э F: р ~ е NC. э. (р7Х-ш)§ =[{(pv)§}ш]? (2)
F.(l).(2).oF.Prop
*118-46. F:p/0.p/l.o. (pv+'"’)5 = {p<v+^]?
[Док-во, как в *118-45, используя *118-44-201. *116-203 • *110-4-42]
*118-461. F. (р^Х = {(р-)& хс (p»)gh
Доказательство.
F. *116-52 . э F: р / 0. э . (pv+‘ro)B = (pv хс рго)?
[*116-35-23 . *118-33-401. (IIТ)] = {(pv)i= хс (рго)^ (1)
F. *110-4 . *113-203 . *116-203 . э
F : ~ (V, от е N0C). э. (р^ш)? = {(Hv)i= хс (рш)1И (2)
F . *116-311. *113-601. *110-62 . э
F: v, от е N0C -1‘0. р = 0. э. (pv+^)? = {(pv)g хс (рго)й (3)
F . *116-311-301 . *110-6 . *113-601. э
F: v е N0C - i‘O. от = 0. р = 0. э. (pv+‘ro)B = {(pv)? хс (р”)^ (4)
Так же F : от е NoC -1‘0. v = 0. р = 0 • э . (pv+cCD)^ = {(pv)^ хс (pOT)g (5)
F . *116-301 • *113-621 • э
F:v = 0.ra = 0.p = 0.D. (pv+^)5 = {<pv)5 xc (p°>)^ (6)
F. (1). (2). (3). (4). (5). (6). oF. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
236
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
* 118-462. F . (р*^ = (ру Хс
[Доказательство, как и в *118-461, используя *118-34]
* 118-463. F . (ру+‘«% = Кн’Н хс
[Доказательство, как и в *118-461, используя *118-341]
* 118-47. F: (и / 0. э. {(р хс v)”)? = [{(р хс v)g}®
[Доказательство, как в *118-45, используя *118-441]
* 118-471. F:.p/0.v/0.V.ro = 0.V.~(p, v, roeNqC):э.
{(HXcV)roh = {(n,Dhxc(v0’)?}l
Доказательство.
I- . *116-55 . э I-: p / 0. v # 0. z>. {(p xc v)roh= = {pro xc vro}5
[*116-35-23 . *118-33-401 . (IIT)] = ](p”)? xc (v°’)!=}| (1)
F . *110-4 . *113-203 . *116-203 . э
F : ~ (p, v, го e N0C). z>. {(p xc v)ra}g = {(pro)? xc (v®)5]5 (2)
F . *116-301. *113-621 . z>
F : p, v e N0C. и = 0. э. {(p xc v)ra)? = ((pro)? xc (vro)g)? (3)
F.(l).(2).(3). = F.Prop
*118-472. F:p/0.V.ro = 0.V.~(p,v, roeN0C).э: ((pxcv)°% = (pra xc(v®)|}?
[Доказательство, как и в *118-471, используя *118-34]
*118-473. F:v/0.v.ro = 0.V.~(p, v, roe N0C). z>: {(p xc v)roh= = {(рш)? xc vro}?
[Доказательство, как и в *118-471, используя *118-341]
Principia Mathematica II
♦ 119. ВЫЧИТАНИЕ
237
*119. Вычитание
Краткое содержание *119.
Изучение вычитания следует тем же самым общим направлениям, что и
изучение сложения, и упрощается с помощью результатов *110. Трудность
возникает из-за того, что вычитание (в любом обычном понимании этого
термина) не всегда возможно; а также из-за того, что, когда оно возможно,
результат не всегда является кардинальным числом.
Мы полагаем
*119-01. у-с v = {Nc‘^ +с v = у. з! Nc‘^ +с v} Df
Таким образом, когда вычитание (в обычном понимании этого термина)
невозможно,
у-с V = Л .
Соглашение ПТ из Предварительных формальных соглашений, объеди-
ненное с приводимыми сразу же ниже определениями, имеет дело с вопро-
сом экзистенционального согласования типов
*119-02. Nc‘a-C v = Noc‘a-C v Df
*119-03. y-cNc‘P = y-cNoc‘P Df
Затем мы переходим к выводу элементарных свойств, логически выво-
димых из этих определений.
*119-11. I-: 3! у-с v. э . у veNoC
*119-12. F : £ е Nc‘a-C Nc‘P = a sm +Р
*119-14. I-: y-c v. э . Noc‘^ c y-c v
*119-25. I-: у > v. э . 3! (y-c v) П Zo‘y
*119-26. F : 3! y-c v . э . у v
Следующая группа предложений касается некоторых простых результа-
тов вычитания.
*119-32. F : (у+с v) -с veNoC . э . sm“y = (у+с v) -с v
*119-34. F : у-с veN0C . э . (у-с v) +с v = sm“y
*119-35. F : у-с veN0C . э . a+cy = (a+c v) +c (y-c v)
Затем рассматриваются законы ассоциативности.
*119-44. F : ц +с (v -С(П) с (ц +с v) -C(D
*119-45. F : (ц +с v) -C(D е NC . 3! {ц +с (v -C(D)}. э . ц +с (v -C(D) = (ц +с v) -C(D
Затем мы имеем дело с вопросом типов:
*119-52. F : sm$>Y“(p,-cv)Y = (p-cv)s П D‘smstY
Трудность возникает из-за того, что если Tj и Т2 есть два полных типа,
чьи элементы есть классы, то мы не можем доказать ни Xi=sm“x2, ни
X2 = sm“x1. Мы полагаем
*119-54. SM (5, у). = : = D‘sms,Y . V . fy = D‘sm5tY Df
Тогда мы получаем
*119-541. F : SM (6, у). (p-cv)Y е N0C . (p-cv)6 е NC . э . sm6>Y“(H-cv)Y = (p-cv)6
Наконец, мы показываем, что любое экзистенциональное согласование
типов будет достаточным для компонент
*119-61. F : ре NoC . 3! sm^“p. э. ц -с v = sm^“p -с v
Также *119-25-26 распространяется до
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
238
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*119-62. F : veNgC .3! sm^“v . э . ц -с v = ц -csm^“v
*119-64. F g! зпц“ц. э : ц v . = . a’ (p,-cv)|
Все приложения предложений этого параграфа связаны с индуктивны-
ми кардиналами (ср. *120).
*119-01. у-с v = § {Nc4^ +с v = у. а! Nc‘£ +с v} Df
Здесь суффикс у знака вычитания вводится для того, чтобы указать,
что мы имеем дело с вычитанием кардиналов. В дальнейшем мы обнару-
жим, что y-cv не является NC, если не принимаются гипотезы для у и v.
*119-02. Nc‘a-C v = Noc‘a-c v Df
*119-03. y-cNc‘P = y-cNoc‘P Df
*119-04. F . Nc‘a-C Nc‘P = Noc‘a-C Noc‘P [*119-02-03 ]
Заметим, что вхождение формального числа на место у или v в y-cv
есть арифметическое вхождение, и соответственно к нему применяется со-
глашение ПТ.
*119-1. F : е у—с v. =. Nc4^ +с v = у. а! Nc4^ +с v [(*119-01)]
*119-101. F : £ е Nc‘a-C v. =. Nc‘£ +c v = Nc‘a [(*119-02). *103-13]
*119-102. F : £ e y-c Nc‘P. = . Nc‘£ +c Nc‘P = у. а! Nc4£ +c Nc‘P
[(*119-03). *110-3]
*119-103. F : ^eNc‘a-c Nc‘P . = . Nc4^ +c Nc‘P = Noc4a
[(*119-04). *110-3. *103-13]
*119-11. F : a J Y~c v. э . у veNoC
*119-12. F : e Nc‘a-C Nc‘P = a sm £ +P
Доказательство.
F . *119-103 . э F : £ e Nc4a-C Nc‘P . = . Nc‘£ +c Nc‘P = Noc‘a.
[*110-3] = . Nc‘(§ +p) = Noc‘a.
[*110-35 . *103-13] = . asm^ +Pэ F . Prop
Таким образом, Nc4a-cNc‘P является NC, когда |(asm^+P) являет-
ся NC.
*119-13. F : Noc4y c Nc‘a-C Nc‘P.=.asm (y+P)
Доказательство.
F . *22-1 . э F :. Noc‘y c Nc‘a-C Nc‘P . = . £ e Noc‘y. . £ e Nc‘a-C Nc‘P:
[*103-12. *119-12] o:asm(y+P) (1)
F . *110-15 . *100-31 . э F :. asm(y+P). э : ^eNoc‘y. э. (§ +P)sm(y+P).
[*73-32] o.asm(£+P)
[*119-12] э . £ e Nc‘a-C Nc‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*119-14. F : £ e y-c v . э . Noc‘£ c y-c v [*119-1. *100-31-321]
*119-21. F: Pea. э. 3! (Nc‘a-cNc‘P)a
Обозначения определяются в *65-01.
Доказательство.
F . *24-411-21 . э F : Нр .o.a = pu(a-P).pn(a-P) = A
[*110-32] э . Nc‘a = Nc‘P+c Nc‘(a - P).
[*10-24] э . (a?) • £ € f a. Nc‘a = Nc‘P+c Nc4^.
[*119-103] э . 3! (Nc‘a-cNc4P)a : э F . Prop
Principia Mathematica II
*119. ВЫЧИТАНИЕ
239
*119-22. h : Nc‘a Nc‘P . э . (Nc‘a-cNc‘P)a
Доказательство.
h . *117-221 . э h : Hp . z>. (ар). p € a . p sm P .
[*119-21] z>. (ар) • а ’• (Nc‘a-cNc‘p)a p sm p.
[*100-35 . *119-04] z>. а I (Nc‘a-cNc‘P)a : э F . Prop
*119-23. h : а! (Nc‘a-C Nc‘P). э . (а8) • 8 sm p . 8 c a
Доказательство.
h . *119-103 . э h : Hp . э . (a£) • Nc‘a = Nc‘P+c Nc‘£
[*110-71] э . (a 8). 8 sm P . 8 c a : z> I- . Prop
*119-24. h : а 1 (Nc‘a-C Nc‘P). z>. Nc‘a Nc‘P [*119-23 . *117-221]
*119-25. h : у v . э . а ’• (y~c v) A Zo‘Y
Доказательство.
h . *117-24 .oh: Hp . э . (act, P). у = Noc‘a . v = Nqc‘P . Noc‘a Nqc‘P .
[*117-107] э . (aa, P) • Y = Noc‘a. v = Nqc‘P . Nc‘a Nc‘P .
[*119-22-04] z> . (aa, P) • Y = Noc‘a. v = Noc‘P. а ’• (Noc‘a-cNoc‘P)a .
[*63-02 . *13-193] э . а! (Y“c v) n zo‘Y: b . Prop
*119-26. h : а! Y“c v . э . у v
Доказательство.
h . *119-11 . э h : Hp . э . (а«, P). у = Noc‘a . v = Nqc‘P . а! (Noc‘a-C Nqc‘P) .
[*119-04-24] э . (aa, P) • Y = Noc‘a. v = Noc‘P . Nc‘a Nc‘P .
[*117-07. *13-193] э.у > v:dF . Prop
*119-27. I-: у > v. = . а! (Y"c v) П Z0‘y [*119-25-26]
Для распространения этой теоремы ср. *119-64.
*119-31. h : у, v € NoC . э . sm“y с (у+с v) -с v
Доказательство.
h . *119-1 . (IIТ). z> h : £ е (у+с v) -с v . = . Nc‘£ +с v . а! Y+c v (1)
h . *100-51-521 . oh:. Нр . э : §esm“y. э . Nc‘§ = у.
[*103-22 . *118-01] э . Nc‘i +с v = у+с v.
[*110-22-03 . *103-13] э . Nc‘i +с v = у+с v . а! Y+c v.
1(1)] z>.^e(Y+cv)-cv:z>l-.Prop
Предпоследний шаг в данном доказательстве использует принцип, разъ-
ясненный в Предварительных формальных соглашениях, что поскольку
уравнение в предыдущей строке доказательства
Nc‘§ +с v = у+с v
имеет обе части не определенными по типу соглашениями IT и ПТ, то
для них может быть выбран любой удобный тип. Тот тип, который выбран
для указанной строки доказательства, как раз такой, как а • Y+c а ссылки
указывают на существование, по крайней мере, одного такого типа.
*119-32. h : (у+с v) v е N0C . э . sm“y = (у+с v) -с v
[*119-11-31. *103-22 . *100-52-42]
*119-33. h : Nc‘a-C Nc‘P g NoC . э . (Nc‘a-C Nc‘P) +c Nc‘P = Nc‘a
Доказательство.
h . *119-13 . oh: Noc‘y = Nc‘a-C Nc‘P . э . a sm (y+P)
h . *20-18 . *118-01. z> h Hp (1). z>:
(Nc‘a-C Nc‘P) +c Nc‘P = Nqc‘£ . =% . Nc‘y+C Nc‘P = Nqc‘£ .
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
240
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
[*100-3 . *100-35] =£ . £ sm (у+Р)
[(1). *103-42] =в . Noc‘£ = Nc‘a (2)
h . *103-2-34. о F:. Нр. э : 3! Nc‘a . о . (g£). Nqc‘£ = Nc‘a.
[(1). *10-1] э . (Nc‘a-C Nc‘₽) +c Nc‘P = Nc‘a (3)
I- . *110-42 . *103-34-2 . z> F :. Hp. z>:
3! {(Nc‘a-C Nc‘P) +c Nc‘P). o. (g£). Noc‘£ = (Nc‘a-C Nc‘P) +c Nc‘P .
[(2). *10-1] z> . (Nc‘a-C Nc‘p) +c Nc‘0 = Nc‘a (4)
F . (3). (4). э F . Prop
* 119-34. F : y-c veNoC . э . (y~cv) +c v = sm“y
[*119-11-33 . *103-2 . *100-51. *118-01]
* 119-35. F : y-c v e NoC . э . a+cy = (a+c v) +c (y-c v)
Доказательство.
F . *110-51-56 . o F : Hp . o . (a+c v) +c (y-c v) =a+c {(y-c v) +c v}
[*119-34] =a+c sm“y
[*118-24 . *119-11] =a+cy: э F. Prop
*119-41. F 8eNc‘P-c Nc‘y. o :
£e (Nc‘a+C Nc‘P) -c Nc‘y. = . {(a+8) +y] sm (£ +y)
Доказательство.
F . *119-12 . *110-3 . э F : £ e (Nc‘a+C Nc‘0) -c Nc‘y. = . {(a+d) +y] sm (£ +y) (1)
F. *119-12. э F : Hp . = . P sm (8+y) (2)
F.(1). (2). *110-15-53 . o F. Prop
* 119-42. F Nc‘P~c Nc‘y eNoC . T] eNc‘a+C (Nc‘P-c Nc‘y). o :
(Nc‘a+C Nc‘P) -c Nc‘y. = . (r| +y) sm (£ +y)
Доказательство.
F . *118-01. *110-3 . *103-2 . *100-31 .эк:.N0c‘6 = Nc‘p-CNc‘y. э :
т| e Nc‘a+C (Nc‘P-c Nc‘y). =. T]sm (a+d) (1)
F . *119-41. (1). *103-12 . *110-15 . э F. Prop
Заметим, что если у является бесконечным классом, то из
О]+cY) sm (§+су) не следует, что T]sm£. Это, однако, может быть доказано,
когда у является индуктивным классом (ср. *120-41).
* 119-43. F Nc‘P-c Nc‘y € NoC . о .
Nc‘a+C (Nc‘P~c Nc‘y) c (Nc‘a+C Nc‘P) -c Nc‘y
Доказательство.
F . *119-42 . o F:. Hp . r| € Nc‘a+C (Nc‘P-c Nc‘y). o :
т| € (Nc‘a+C Nc‘P) -c Nc‘y. = . (v| +y) sm +y):
[*73-3] D:T]e(Nc‘a+cNc‘P)-cNc‘y (1)
h. (1). *22-1. z>h. Prop
* 119-44. h : |i+c (v-сш) с(ц +c v) -СШ
Доказательство.
h. *119-11-43. *103-2 .э
h : v -сш € NqC . p € NqC . э . p +c (v -сш) c (p +c v) -C(D (1)
h. *110-4-42. *119-11.d
h : ~ {v e NoC . p e NoC). о . ц +c (v -C(D) = A.
[*24-12] z>. p +c (v -сш) c (p +c v) -cro (2)
h. (1) . (2) .oh. Prop
Principia Mathematica II
*119. ВЫЧИТАНИЕ
241
*119-45. h : (ц +с v) е NC . g! {pi +с (v -C(D)}. z>. ц +c (v -сш) = (p +c v) -C(D
[*119-44. *100-33-321. *110-42]
*119-51. h : sni5jY“(Nc‘a-cNc‘P)Y = (Nc‘a-rNc‘P)5 A D‘sm^Y
Доказательство.
I-. *119-12 . z> h : T| e (Nc‘a-cNc‘P)Y . £sm6tY T]. = . a smr] +p . £sm6,Y r|.
[*110-15] = . asm£+P . £sni5,YT].
[*119-12] = . ^€(Nc‘a-cNc‘P)5 . !M(Yt] :
[*37-1. *33-13] z> I-. sm6>Y“(Nc‘a-cNc‘P)Y = (Nc‘a-cNc‘P)6 A D‘sm6>Y : э h. Prop
*119-52. h : sms)Y“(|i-cv)Y = (|i-cv)s A D‘sni6>Y [*119-51-11]
Затруднение в отношении типов, которое возникает из-за того, что не
была доказана тождественность sm6>Y“(|i-cv)Y и (|i-cv)§, не должно иметь
места, когда v есть “индуктивное число”; ср. *120-413.
*119-53. h f 8 = D‘sms>Y . э : sm6>Y“(|i-cv)Y = (h~cv)6 [*119-54 . (*65-01)]
*119-531. h Z‘8 = D‘sni5>Y . (p-cv)6 eNqC . э . sm5>Y“(^-cv)§ eNqC
Доказательство.
h . *65-13 . d h : Hp . z>. (|i-cV)6 c D‘sm6>Y .
[*37-43 . *103-22 . (*65-1)] э . g! sm6>Y“(H-cv)Y .
[*100-52 . *103-34] z> . 8П1й|У“(ц-Л)б cNoC : э h. Prop
*119-54. SM (8, y). = : f 6 = D‘sni6>Y . V . f у = D‘sni6>Y Df
*119-532. F : f 6 = D‘sni6>Y . (|i-cv)s € NqC . (|i-cv)Y e NC . э .
sm6>Y“(H-cv)6 = (h-cv)y
Доказательство.
h . *119-52-531. z> h : Hp . z>. g! (p-cv)Y .
[*119-52-531. *100-34] z>. sni5>Y“(|i-cv)6 = (|i-cv)Y : э h. Prop
*119-54. SM (8, y). = : f 8 = D‘sni6tY . V . f у = D‘sm§>Y Df
* 119-541. h : SM (8, y). (h~cv)y e NoC . (ц-л)6 eNC.□.
sm6tY“(^-cv)Y = (h-cv)6 [*119-53-532]
* 119-61. h : |1eNoC . g! sm^“|i. z> . p. -c v = sm^“|i -c v
Доказательство.
h . *119-1. эк :.Hp. □ :i]E|i-c v. =. Nc‘t] +c v = |i. g! |i.
[*103-16 . *118-201. *37-29] = . (Nc‘t]+cv)^ = smf‘p.
[*119-1] = . T| Esm^“|i v э h . Prop
* 119-62. h : veNqC . g! sm^“v . z>. |i-c v = [i-csm^“v
Доказательство.
h . *119-1. э h Hp . □ :t]E|i-c v , = . Nc‘t] +c v = ц . g! ц.
[*110-25] = . Nc‘t] +csm^“v = p. g! p.
[*119-1] = . T| e |i-csm^“v э h . Prop
* 119-63. h : p, veNqC . g! sm^“|i. э . v = sm^“|i-csm^“v
Доказательство.
h . *119-26 . oh:. Hp .g!|i-cv.z>.|i^v.
[*118-13] э. g! smf‘v.
[*119-61-62 ] э. ц -c n = sm^“|i-csm^“v (1)
h. *119-11. *103-13. э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
242
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Н : Нр . л! . э . 3! sm|“v .
[*119-61-62] э . ц-с v = 8Ш|“ц-csm^“v (2)
h . (1). (2). э F . Prop
*119-64. F 3! . э : ц v . = . з! (|i-cv)^
Доказательство.
h . *117-24 . z> Н. Нр . э : ц v . э . ц, vcNqC . 3! sm^“|i.
[*119-61] z>. (|A-Cv)g = (sm5“p-cv)5 (1)
h . *117-24-244 . z> h Hp . э : p, > v . э . sm^“|i v .
[*119-27] o.a!(sm6“H-cV)5 (2)
[(1)] =>-a!(H-cv)i= (2)
I- . (2). *119-26. z> F . Prop
Principia Mathematica II
120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
243
*120. Индуктивные кардиналы
Краткое содержание *120.
Индуктивные кардиналы есть таковые, которые подчиняются матема-
тической индукции, начиная с 0, т.е. в терминах главы 5 части II они
представляют собой потомство 0 в силу отношения v к v +с 1, или, вы-
ражаясь обычным языком, они есть то, что может быть достигнуто от 0
последовательными прибавлениями 1. В более ранних исследованиях пред-
полагалось, что все кардиналы таковы, а математическая индукция трак-
товалась как самоочевидная аксиома. Сейчас мы знаем, что лишь толь-
ко некоторые кардиналы подчиняются математической индукции, начина-
ющейся с 0. Именно такие кардиналы будут рассматриваться в данном
параграфе. Они включают 0, 1, 2, ... и вообще все те кардиналы, кото-
рые обычно называют финитными, и те, которые могут быть выражены
в обычной арабской системе счисления, и никакие другие. Доказываемые
в этом параграфе предложения, касающиеся индуктивных кардиналов, эле-
ментарны и хорошо знакомы; интерес полностью располагается в области
определения и метода доказательства, а не в самих предложениях.
Положим
NC induct = d {а (+с1)*0) Df.
Поскольку (+с1)* необходимо обладает областью и обратной областью
одного и того же типа, то важно быть осторожным при обращении с та-
кими отношениями. Соответственно, мы также полагаем
N^C induct = a {а (+с 1)*0^} Df.
Мы начинаем, применяя предложения из *90. Таким образом мы имеем
*12011. h aeNnC induct: . ф (§ +с1): ф0п : э. фа
*120-12. h . 0 eNC induct
* 120-121. Нас N^C induct. э . (а +с 1)| с N|C induct
* 120-13. h aeNnC induct: £eNnC induct. ф£ . . ф (§ +cl): ф0л : э. фа
* 120-15. h : аeNC induct. 3! а . э . sm“aeNC induct
* 120-151. h : a eNC induct. 3! a . э . a+cl eNC induct
* 120-152. h : aeNC . sm“aeNC induct - t‘A . э . aeNC induct - t‘A
Затем мы переходим к выводу элементарных свойств индуктивных клас-
сов, полагая
Cis induct = 5‘NC induct.
Мы имеем
* 120-21. h : р е Cis induct. = . Noc‘p c NC induct
* 120-211. h : NC‘p eNC induct - t‘A . э . p e Cis induct
(Здесь мы не имеем эквивалентности, так как, насколько нам известно,
можно было бы детерминировать неопределенность Nc‘p так, что Nc‘p = A,
даже когда р с Cis induct. Это, однако, не было бы возможно, если принята
аксиома бесконечности.)
*120-212-213. h . A, i'хе Cis induct
* 120-214. h р sm a. э : p e Cis induct. = . ae Cis induct
Мы имеем группу предложений, где индукция применяется к классам
напрямую, а не посредством кардиналов. Таким образом мы имеем
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
244
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
* 120-251. h: ц е Cis induct. э . ц U t‘y е Cis induct
* 120-26. hр е Cis induct: фт|. . ф (т| U i‘x): ф А : э . фр
Затем мы формулируем аксиому бесконечности и доказываем (*120-33),
что она эквивалентна допущению о том, что если а есть индуктивный кар-
динал, то а^а+с1. Чтобы это доказать, мы сначала доказываем различ-
ные предложения о а +с 1, среди которых следующие:
* 120-311. Ь:а!а+С1.а+С1=р+С1.э.а = sm“P . 3! а
* 120-322. h аеNCinduct . э : 3! а . = . а 54 а +С1
Затем мы переходим к рассмотрению вычитания (*120-41—418), которое
дает кардинальное число лишь тогда, когда вычитаемое является индук-
тивным кардиналом. Мы имеем
* 120-41. h veNC induct. 3! a +c v . э : a +c v . p +c v . э . a - sm“p
Равно мы могли бы положить a - Р вместо a = sm“P, поскольку a = р
будет истинно всякий раз, когда оно значимо.
Мы имеем
* 120-411. h veNCinduct. э :
3!y-cv.э.у-cve N0C : у v . = . (у -c v) A r0 ‘0y e NoC
*120-4111. h veNCinduct. 3! sm^“y . э : у v . = . (y-cv)| eNqC
Следовательно, мы приходим к условиям, обеспечивающим обычную
точку зрения на вычитание; именно
* 120-412. h : veNC induct. у v . 3! sm^“y. э . (y-cv)^ = {(ia)(a+cv=Y)h
Из *120-4111 мы также выводим
* 120-414. h : |1eNoC - t‘0.3! sm^“|i. z> . (ц-с1)^ eNqC
Из *120-411. *119-34 мы находим
* 120-416. h : veNC induct. 3! у -с v. э . (у -с v) +с v = sm“y
Далее мы доказываем, что нет собственной части индуктивного класса,
подобной всему классу (*120-426), т.е. что индуктивные классы нерефлек-
сивны, а также различные связанные с этим предложения, например,
*120-423. h : oieN^C induct - t‘0. = . (3P). PeN^C induct. a = (P+Cl)n
*120-4232. h : cxeN^C induct - i‘0 . = . (3P). p ENnC induct - i‘A . a = (Р+Д)^
*120-428. h : v e NC induct .3!a+cv.a^0.o.a+cv>v
* 120-429. h : veNC induct .o:p>v. = .|i^v +C1
Два последних предложения не имеют места в общем случае, когда v
есть кардинал, не являющийся индуктивным.
Затем мы доказываем, что если а есть экзистенциональный индуктив-
ный кардинал, то любой экзистенциональный кардинал больше, равен либо
меньше, чем a (*120-441); т.е. если a, Р — индуктивные кардиналы, то та-
ков же и а+сР (*120-45-450), и если а+ср есть индуктивный кардинал,
отличный от А, то таковы же а и Р (*120-452). После этого мы имеем
предложения, связанные с математической индукцией, начинающейся с 1
или 2, например,
*120-4622. h cxeNC . PeNC(t]) .3! sm^“P . э :
P (+cl)*smn“a . = . sm|“P(+cl)*sm^“a
* 120-47. h :: P e NnC induct - i‘0 . = £ e |i . z>t . +c l)n e |i : 1л e |i : . P e |i
Из *120-452 мы выводим
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
245
* 120-48. h : р е NC induct. Р а . э . а е NC induct - i‘A
так что любое число, меньшее, чем индуктивное число, является индуктив-
ным. Следовательно,
* 120-481. h : ц Cis induct. £ с ц. э . £ Cis induct
что постоянно используется, и
* 120-491. h | ~ e Cis induct. = : PeNC induct. эр . g! P А СГ£
Мы далее доказываем, что если аир есть индуктивные кардиналы,
то ахср и а? есть либо индуктивные кардиналы, либо А (*120-5-52), и
обратно, если а хс Р или а? — экзистенциональные индуктивные кардиналы,
то таковы же а и р, за исключением 0 и 1 (*120-512-56-561). Следовательно,
мы выводим единственность деления и извлечения корней (*120-51-53-55),
пока дело касается индуктивных чисел.
Затем мы имеем группу предложений об аксиоме бесконечности и ак-
сиоме умножения. Мы доказываем (*120-61), что если имеется какой-либо
экзистенциональный кардинал, который не является индуктивным, то ак-
сиома бесконечности истинна. Из (*83-9-904) посредством индукции мы вы-
водим, что если к есть индуктивный класс, число которого не есть А, то
существует ед‘к (*120-62), откуда следует, что либо аксиома умножения,
либо аксиома бесконечности должна быть истинной (*120-64).
Наконец, мы имеем группу предложений об индуктивных классах. Мы
доказываем
* 120-71. h : р, ое Cis induct. = . р U ое Cis induct. = . р +о е Cis induct
* 120-74. h : р е Cis induct. = . СГр е Cis induct
* 120-75. h : s‘k e Cis induct. = . к e Cis induct. к c Cis induct
вместе с аналогичными предложениями (включающими, однако, гипотезу,
относящуюся к к) на предмет ед‘к.
Предложения этого параграфа существенны для обычной арифметики
конечных чисел. Однако в настоящей работе они не столь часто исполь-
зуются, пока мы не достигнем главы 5 части V, где мы имеем дело с ор-
динальной теорией конечного и бесконечного.
*120-01. NC induct = а {а (+с1)*0) Df
Заметим, что в силу наших общих соглашений для дескриптивных
функций двух аргументов (*38),
+С1 =dp (а = Р+с1).
Т.е. +С1 есть отношение кардинала к своему непосредственному предше-
ственнику. Именно это число, записанное в обычных математических обо-
значениях как +1, присутствует в последовательности положительных и
отрицательных целых чисел, а противоположное ему — число -1 . (Следу-
ет заметить, что если v есть какой-либо кардинал, то +v не тождественно
v, поскольку +v есть отношение, a v —класс классов.)
*120-011. NBC induct = а {а (+с 1 )*0^J Df
Все элементы N|C induct принадлежат тому же самому типу, что и 0^,
так что если а есть какой-либо элемент N^C induct, то “£еа” значимо.
*120-02. Cis induct = 5‘NC induct Df
*120-021. Cls^ induct = 5‘N^C induct Df
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
246
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
В силу этих определений индуктивный класс есть класс, чье кардиналь-
ное число является индуктивным кардиналом.
* 120-03. Infin ах . = : a eNC induct. эа . g! а Df
“Infin ax”, подобно “Mult ax”, есть арифметическая гипотеза, которую
некоторые предпочитают рассматривать как самоочевидную, однако мы со-
храним ее в качестве гипотезы и будем приводить ее в такой форме всегда,
когда это окажется необходимым. Подобно “Mult ах” она содержит экзи-
стенциональную теорему. В данной выше форме она утверждает, что если
а есть какой-либо индуктивный кардинал, то найдется, по крайней мере,
один класс (рассматриваемого типа), который имеет а термов. Эквивалент-
ное допущение должно было бы утверждать, что если р есть какой-либо
индуктивный класс, то найдутся объекты, которые не являются элемента-
ми р, так как в таком случае, если х является одним из указанных объек-
тов, то Nc‘(p U t‘x) = Nc‘p +с1. Следовательно, с помощью индукции заклю-
чаем, что каждый индуктивный кардинал должен существовать. Еще одно
эквивалентное допущение состоит в том, что V (класс всех объектов рас-
сматриваемого типа) не является индуктивным классом. Предположение о
том, что No существует в пределах рассматриваемого типа, как мы уви-
дим, является более сильным предположением, чем указанное выше, если
мы не допускаем аксиомы умножения.
Если аксиома бесконечности истинна, то все индуктивные кардиналы
отличаются один от другого, т.е. а +с р, где а и f есть индуктивные карди-
налы, не равно а, если р = 0. Однако если аксиома бесконечности ложна,
то в пределах любого предписанного типа все кардиналы, после некоторого
определенного, являются А. (Исключая наинизший тип, самый последний
экзистенциональный кардинал должен быть степенью 2.) Т.е. если (ска-
жем) 8 была бы наибольшим экзистенциональным кардиналом в пределах
рассматриваемого типа, то 9 = А, и в точности то же самое имело бы
место для 10, 11, .... Эта возможность должна быть принята в расчет
в последующем изложении.
Для того чтобы придать типовую определенность аксиоме бесконечно-
сти, мы записываем
* 120-04. Infinах(х) . = : aeNCinduct. z>a . g! а(х) Df
В таком случае “ Infin ах(х)” утверждает, что если а есть какой-либо
индуктивный кардинал, то найдутся, по меньшей мере, а объектов того
же самого типа, что и х.
* 120-1. h : a е NC induct. = . a (+с 1 )*0 [(*120-01)]
* 120-101. h:: a е NC induct. = £ б ц. og . £ +С1 e ц: 0 e . a e ц
[*120-1. *90-131. *38-12]
Правая часть приведенной выше эквивалентности дает обычную фор-
мулу для математической индукции. Заметим, что условия значимости тре-
буют, чтобы §+с1 было взято в пределах того же самого типа, что и
Данное обстоятельство особенно релевантно в доказательстве *120-15.
Символ “NCinduct” неопределенного типа не обязательно тот же са-
мый в различных вхождениях; в соответствии с соглашением, разъяснен-
ным в Предварительных формальных соглашениях, применяющимся к NC
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
247
и NC induct, “а, РеNCinduct” не подразумевает того, чтобы аир были
одного и того же типа. Соответственно, чтобы избежать ошибки в свя-
зи с *120-1-101, требуется типовая определенность, как в трех следующих
предложениях.
* 120-102. h : aeN^C induct. =. a (+cl)*0 [(*120-011)]
* 120-103. h :: aeNnC induct. = §G|i. . £+cl G|i : 0л ец : . a ер
[*120-101]
* 120-11. h a gN^C induct: . ф +cl): ф0л : э. фа
[*120-102. *90-112]
* 120-12. h. 0 gNC induct [*120-101-]
a
* 120-121. h : aeN^C induct. z>. (a +c 1)^ gN^Cinduct [*90-172 . *120-102]
С помощью этого предложения и *120-12 может быть показано, что лю-
бой предписанный кардинал в последовательности натуральных чисел бу-
дет индуктивным кардиналом; поэтому, например, чтобы показать, что 27
является индуктивным кардиналом, мы должны будем использовать лишь
*120-121 последовательно двадцать семь раз.
* 120-122. h . 1 gNC induct [*120-12-121. *110-641]
* 120-123. h.2gNC induct. etc [*120-122-121. *110-643]
* 120-124. h.a+cl #0
Доказательство.
h . *110-4 . Transp . э h : a ~ eNC . э . a +C1 = A .
[*101-102] z>.a+c1^0 (1)
h . *110-632 . oh:. aeNC . э : §ea +C1 . э . g! § :
[*24-63] э . A ~ g a +C1:
[*54-102] z>:a+cl#0 (2)
h . (1). (2). э . h . Prop
* 120-13. h acN^C induct: §GNnC induct. ф§ . . ф +cl): ф0л : э . фа
Доказательство.
I-. *120-121. э h § g NnC induct. ф£. . ф (£ +с1): э :
§ g NnC induct. ф§. . (£; +с 1)л g NnC induct. ф (£; +с1) (1)
I-. *120-12 . z> h: ф0л . э . 0n g NnC induct. ф0л (2)
F . (1). (2) . э h Нр . z>:
£g NnC induct. ф£. +c 1)л gNnC induct. ф (§ +cl): 0л g NnC induct. ф0л :
r Ё g NnC induct. ФЁ
*120-11------——----------] э : aGNnC induct. фа э h Prop
Приведенное выше предложение часто оказывается удобным для индук-
тивных доказательств.
*120-14. h . NC induct с NC
Доказательство.
h . *110-42 . Simp . oh: aeNC . э . a +C1 gNC (1)
h . (1). *101-11 . *120-11 - 6 NC . z>. h . Prop
фа
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
248
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Это предложение не показывает, что каждый индуктивный кардинал
является экзистенционалъным кардиналом; чтобы получить это, требуется
аксиома бесконечности.
*120-15. h : aeNCinduct.g!a. э. sm“aeNC induct
Т.е. кардинал, который не является нулевым и является индуктивным
в пределах какого-либо одного типа, будет индуктивным в пределах любого
другого типа.
Доказательство.
h *101-15 *120-12 z> h . smn“0^ e NnC induct (1)
h*110-4 э h . a = A^ . э . (a+c 1)^ = A^ (2)
h*118-201 э h : g! (a +c 1)|. э . smT1“(a +c 1)| = (a +c l)n
[*118-241 *110-4] = (smn“a +c l)n (3)
h *120-121 э h : g! (a +c 1)^ . sm^aeN^C induct. э . (smn“a +c l)n eNnC induct.
[(3)] z> . smn ‘ ‘(a +c 1)| € NnC induct (4)
h(4)*2-2 z> h : smn“a eNnC induct. z> :
(a +c 1)^ = A|. V . smT1“(a +c 1)^ eNnC induct (5)
h (2) (5) *3-48э h :. a = A^ . V . smn“aeNnC induct: z> :
(a +c 1)^ = A|. v . smT1“(a +c 1)| eNnC induct (6)
h (1) (6) *120-11 *4-6 z>h. Prop
*120-151. h: a e NC induct. g! a . э . a+cl e NC induct
Доказательство.
h *120-15 z> h : aeN^C induct. g! a. э . sm^aeN^C induct.
[*120-121 ] z> . (sm^a +c l)n e NnC induct.
[*118-241 *120-14] э . (a +c l)n e NnC induct: э h. Prop
*120-152. h : aeNC . snTaeNC induct - t‘A . э . aeNC induct - t‘A
Доказательство.
h *100-521 э h : Hp . z>. sm“sm“a = a .
[*120-15] z>. aeNC induct (1)
h *37-29 э h : Hp . o.g!a (2)
h (1) (2) dF . Prop
Следующие предложения, дающие альтернативные формы для опреде-
ления индуктивных классов, приводятся для того, чтобы продемонстри-
ровать, что теория индуктивных классов могла бы трактоваться в менее
арифметической манере, чем та, которая была нами принята.
*120-2. h : ре Cis induct. = . (ga). a eNC induct .pea [(*120-02)]
*120-201. h :. psma. э : Noc‘p eNC induct. = . Noc‘aeNC induct
Доказательство.
h *100-35 *103-13 *100-511 z>
h : Hp . э . Noc‘p = sm“Noc‘a. Noc‘a = sm“Noc‘p :
[*120-152*103-13] oh. Prop
*120-21. h: p e Cis induct. = . Noc‘p e NC induct
Доказательство.
h *120-14-2 z> h : p e Cis induct. = . (ga). a e NC induct. a e NC .pea
[*102-27] = . (ga). a e NC induct. Noc‘p = a.
[*13-195] = . Noc‘p e NC induct: э h . Prop
Principia Mathematica II
»120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
249
э Noc‘p е NC induct.
э. р е Cis induct: э h. Prop
[*120-211-12]
[*120-211 122]
о e Cis induct [*120-201-21]
Заметим, что “h : peCls induct. = . Nc‘peNC induct” не доказывается
тем, что приведено выше. Доказательство этого предложения сталкива-
ется с той трудностью, что мы можем иметь Nc‘p = А; для того чтобы
установить предложение в этом случае, мы должны показать, что если
Л eNC induct, то тогда каждый класс является индуктивным классом. Од-
нако мы можем доказать следующую импликацию.
*120-211. h : NC‘p е NC induct - i‘A. э. pe Cis induct
Доказательство.
h *100-511 э h : Hp . э sm“Nc‘p = Noc‘p .
[*120-15]
[*120-21]
*120-212. h. Ле Cis induct
*120-213. h . l‘x e Cis induct
*120-214. h p sm о. э : p e Cis induct
Следующие предложения являются леммами для *120-24.
* 120-22. h :: ц е р,. . ц U ь‘у е р,: Л е р,: . р е р,э . р е Cis induct
Доказательство.
h *120-212
h*51-2
[*13-12]
h *110-63
[(*110-03)]
[*120-121]
[*120-21-211]
h(2)(3)
h *10-1 (1) (4) э h Prop
* 120-221. h т] e p,. ono,. T] U i/y e p,: Nc‘p с p,: э . Nc‘p +Д c P-
Доказательство.
h *110-63 *100-31 э
h : £ e Nc‘p +c 1 . = . (яц, у). т] e Nc‘p .y~er].£ = T]Ui‘y
h*22-l oh:.Hp. o:T]eNc‘p. э.цер,
[*10-1] o.rjUi/yep,:
[*3-41] эT]eNc‘p .y~er|.z>.r|UL‘ye|i:
[*13-12] э T] e Nc‘p .y~€T).£ = T)Ui‘y.D.£€p,
h (1) (2) oh:. Hp . э : £eNc‘p +C1 . э . £e p, э h Prop
* 120-222. h т] e p,. . ц U i/y e p,: e NC . § с p,: э . § +C1 c p,
Доказательство.
h *100-4 э h : Hp. 3! §. z>. (ga). § = Nc (£)‘a. Nc (У‘a c p,.
[*120-221] э . (ga). § = Nc (£)‘a. Nc‘a+Cl с ц.
[*118-01] эЛ+с1сц.
h *110-4 э h : ~ э! § . э . § +Д c p,
h (1) (2) э h Prop
Доказательство этого предложения могло бы быть также продолже-
но посредством использования униформных формальных чисел, применяя
*118-241.
э h . Л e Cis induct
oh :. у e T). z>: r| U i‘y = r|:
э : T] e Cis induct. э . T] U i/y e Cis induct
oh:.y~et].o: Nc‘(y U i‘y) = Nc‘y+Cl
= Nc‘y+cl :
о : Nqc‘t] e NC induct. э . Nqc‘(t] U i‘y) e NC induct :
| э : T] e Cis induct. э . T] U i‘y e Cis induct
э h : T] e Cis induct. э . T] U i‘y e Cis induct
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
250
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
* 120-23. h т] е ц. оп>у .т]иь‘уец:Лец:о. Cis induct с ц
Доказательство.
h *51-2 *54-1 oh:Hp.o.0cp, (1)
h *120-222-14 о h : Нр. о : § е NC induct. £ с ц. о^+Д < Н (2)
h (1) (2) *120-13 о h : Нр . о : § е NC induct. о . § с ц :
[*40-151 (*120-02)] о : Cis induct с ц о h . Prop
* 120-24. h:: р е Cis induct. = т] e ц. o^ .циь‘уец:Лец:ои.рец
Доказательство.
h *120-23 о h :: р е Cis induct. о ц е ц. о^, . r| U i/у е ц: Л е ц : о . р е р, (1)
h(l) *120-22 oh Prop
Это предложение могло бы быть использовано для того, чтобы опреде-
лить индуктивные классы. Оно дает форму математической индукции, при-
ложимую к классам вместо чисел. Фактически оно утверждает, что индук-
тивный класс есть класс, который может быть сформирован посредством
добавления элементов по одному за один раз, начиная с Л. Это делается
явным в *120-25. Вместо ц е ц. опо,. r| U i/у е ц в данном выше предложении,
так же как и в тех, которые следуют ниже, мы можем просто выполнить
подстановку
т| е ц. у ~ ет|. опо,. ц U ь‘у е ц.
* 120-25. h : М = {(зу). £ = т] U i/у}. о . Cis induct = J7* ‘Л
[*120-24 *90-131]
* 120-251. h: ц е Cis induct. о . r| U i‘y е Cis induct [*90-172 *120-25]
* 120-26. h р е Cis induct: фц . ол>х . ф (r| U i‘x) : ф Л : z>. фр
[*90-172 *90-112]
* 120-261. hр е Cis induct: г| е Cis induct. фг| . опл . ф (ц U i‘x): ф Л: о . фр
[*120-26-251-212]
* 120-27. h: р е Cis induct. о . Nc‘p A t‘y е NC induct
Доказательство.
h *120-12 oh . Nc‘A A fyeNC induct (1)
h *13-12 о h : Nc‘t] A fyeNC induct. у erj . о .
Nc‘(t] U L‘y) A t‘y e NC induct (2)
h *110-63 *120-121 о
h : Nc‘t] A t'y e NC induct. у ~ e ц . о . Nc‘(tj U i‘y) A f у e NC induct (3)
h(l) (2) (3) *120-26 oh Prop
Это предложение также непосредственно следует из *120-21-15.
* 120-3. h Infin ах. = : а e NC induct. оа . 3! а [(*120-03)]
* 120-301. h Infin ax (х). = : а е NC induct. оа . 3! а (х) [(*120-04)]
*120-31. h : 3! Nc‘a +Д • Nc‘a +Д = Nc‘0 +Д • э . Nc‘a = Nc‘0 . asm0
Доказательство.
h *110-63 oh:. Nc‘a +Д = Nc‘0 +Д . = :
(3y,y). ysm a . у ~ e у. § = у U i‘y. . (36,2) .5sm0.z~ed.^ = 5UL‘z:
[*10-1] о : у sm a . у - e у . о . (36, z) • 5 sm 0 . z ~ e d . у U i‘y = d U i‘z •
[*73-72-3] о . (36). d sm 0 . у sm d .
[*73-32] o.ysm0.
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
251
[*73-32]о. asmp (1)
h *110-63 о h:Нр.о. (зу,у). у sm а. у ~ е у (2)
h (1) (2) *100-321 oh Prop
* 120-311. Н:з!а+Д .a+Д = Р+Д . о . a = sm“P . 3! a
[*120-31 *110-4 *103-16-4-2]
* 120-32. h : aeNC induct. 3! a . о . a a +C1
Доказательство.
h *101-22 *110-541 о h . 0j= / 0i=+cl
h *120-311 *110-44о h : aeNC . 3! a +Д . a +C1 = a +cl+cl. о . a = a +Д :
[Transp] о h : aeNC .з!а+Д.а^а+Д.о.а+Д^а+Д+Д:
[*118-2-25] о h : a e NC ® . 3! (а+Д)^ . a ± (a+Jh • => • (a+dh / {(«+Л Wk (2)
h (2) h a e NC ©. a / (а+Дк . о : (а+Дк = A. V . (а+Дк / {(a+cl)^+c 1 }j= (3)
h *110-4 Transp h a ~ e NC (§). V . a = A^ : о . (а+Д k = (4)
h (3) (4) о h a = A^ . V . a ± (а+Дк : э :
(а+Дк = Aj= . V . (а+Дк / {(а+Д)^+Д}j= (5)
h (1) (5) *120-11 oh:. aeN^C induct. о ; a = A^ . V . a / (а+Д)^ о h . Prop
* 120-321. h : a а +Д . о . 3! a
Доказательство.
h *110-4 Transp о h : a = A. о . a +Д - A (1)
h (1) Transp oh Prop
* 120-322. h a e NC induct .0:3! a. = .a/a +Д [*120-32-321]
* 120-33. h Infin ax. =: aeNC induct. oa . a a +Д [*120-3-322]
* 120-41. h veNC induct. 3! a +c v . о : a +c v . 0 +c v. о . a = sm“P
Доказательство.
h *110-4 Transp *118-25 о h : (a+cvk = A. о . {a+c(a+cvkh = A (1)
h *118-25 о h :: 3! {a+c(a+cv)^ .01.3! {(a+cv)^+cl
[*120-311*110-4*118-201]
о {(a+cv)^cl}| = {(0+cvVc 1 h • => • (a+cvk = (P+Cv)^
[Syll *118-25 ] о (a+cv)^ = (P+Cv)^ . о . a - sm“P : о :
{a+c(v+clkh = {p+c(v+c 1)^ . о . a = sm“p (2)
h (2) Comm о h :: (a+cv)^ = (P+Cv)^ . о . a = sm“P : о
{а+Ду+Д)^ = A: V : {а+Ду+Д)Д^ = {p+c(v+c 1)Д^ . о . a = sm“p (3)
h (1) (3) oh:: (a+cv)^ = A : V : (a+cv)^ = (P+Cv)^ . о . a = sm“P :. о :.
{а+с0+Д)й = A: V : {а+Ду+Д)Д^ = {p+c(v+c 1)Д^ . о . a = sm“p (4)
h *110-4 *118-21 о h :. 3! (p+c0k . о : p e NC . 3! smj=“p :
[*120-87 *100-51] о : sm^“a = sm^“P . о . a = sm^“P (5)
h *110-6-4 о h : 3! (a+c0)^ . (a+c0)^ = (P+c0)^ . о . sm^“a = sm^“P .
[(5)] o.a = sm“P (6)
h (6) Exp *4-6 oh:. (a+c0)^ = A : V : (a+c0)^ = (P+c0k . о . a = sm“P (7)
h (4) (7) *120-11 о
h :: v e N^C induct. о :. (a+cv)^ = Л : V : (a+cv)^ = (P+Cv)^ . о . a = sm“P (8)
h *110-4 о h : v = Ал . о . (a+cv)^ = A (9)
h *120-15 о h :: v e NnC induct - l‘A . о :. smf‘v = N^C induct:.
[(8)] о :. (a+csm^“v)| = A: V : (a+csmfv)^ = (P+Csm^“v)^ . о . a = sm“P
[*118-24] о :. (a+cv)^ = A: V : (a+cv)^ = (Р+лк . о . a = sm“P (10)
h (9) (10) о h Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
252
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Данное выше предложение устанавливает (с естественными ограничени-
ями) единственность (в пределах каждого типа) вычитания (выраженную,
как и в *120-412), когда вычитаемое является индуктивным кардиналом.
(Когда вычитаемое есть неиндуктивный кардинал, то вычитание не дает
однозначного результата.) Следовательно, мы приходим к следующему рас-
пространению *118 на случай индуктивных кардиналов:
*120-411. hv е NC induct. э :
g!y-cv.o.y-cve N0C : у v . = . (у -с v) А Го‘Оу е N0C
Доказательство.
h *119-1 э h veNCinduct. э :
т] е у -с v. э . Nc‘§ +с v = у. Nc‘i] +с v. = у. g! Nc‘1; +с v.
[*20-22] э . Nc‘§ +с v = Nc‘t] +с v . g! Nc‘§ +с v.
[*120-41 *100-511 (*110-03)] э . Nc‘£ = Nc‘tj (1)
h (1) *119-14 эЬ:.Нр. э : g! у-с v . э . у -с veNoC (2)
h *119-27 (2) эН:.Нр. э : у v. э . (у -с v) A to'ye NoC (3)
h *130-22 *119-27 oh:. Hp . э : (у -c v) A to'y e NqC . d . у v (4)
h (1) (3) (4) э h Prop
* 120-4111. h veNC induct. g! sm^“y . э : у > v. = . (y-cv)^ eNoC
Доказательство.
h *119-64 oh:. Hp . э:у > v. эд! (y-cvH
[*120-411 ] o.(y-cv)^eN0C (1)
h(l) *119-26 *103-13oh Prop
* 120-412. h : veNC induct. у > v . 3! sm^“y . о . (y-cv)^ = {(ia)(a+cv=y)}^
Доказательство.
h *120-4111 э h Hp . э . (y-cv)^ eN0C .
[*119-34 ] э. (y-cv)5+c v = у (1)
h *120-41 *103-43 *37-29 =>F:.Hp.z>:a+cv = Y.₽+cv = Y. эа>₽ . a = p (2)
b (1) (2) z> F Prop
* 120-413. h : ц NoC . э . ц-c0 = sm“p
Доказательство.
h *119-1 э h Hp . э : §ец-c0. = . Noc‘§ +c0 = y,. g! y,.
[*110-61*103-13] = .Nc‘?; = y.
[*103-44-4] = . Noc‘§ = sm“y .
[*103-26] = . §esm“yэ h . Prop
* 120-414. h : yeNoC -1‘0. g! sm^“y. э . (у-Д)^ eNoC
[*120-4111*117-53]
* 120-415. h : у eN0C -1‘0- i‘l. g! sm^“y. э . (y-c2)^ eNoC
[*120-4111 *117-551]
* 120-416. h : v e NC induct. g! у -c у • э . (у -c v) +c v = sm“y
[*120-411 *119-34]
* 120-417. h: у e NqC - l‘0 . g! sm^“y. э . a +cy = (a +cl) +c(y-cl)^
[*120-414*119-35]
* 120-418. h : veNC induct. g! sm^“y. у v . э . a +cy = (a +c v) +c(y-c 1)^
[*120-4111 *119-35]
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
253
*120-42. h: v е NC induct 3!v.a/0.o.v/a+cv
Доказательство.
h *110-61 *120-14 э : v e NC induct. э . v = 0+c v (1)
h *120-41 э : v e NC induct. 3!. 0+c v . 0+c v = a +c v . d . 0 = a (2)
h (1) (2) э h : v e NC induct .3! v . v = a +c v. э . a = 0 : oh. Prop
*120-422. h : a +Д e NC induct - l‘A . о . a e NC induct - i‘A
Доказательство.
h *120-1-124 *91-542 о h: a +Д eNC induct. о. (a +Д) (+Д)ро0 .
[*91-52] о . (зр). (a +Д)(+Д) p . p (+Д)*0.
[*120-1] о . (3P). a +C1 = P +C1. PeNC induct (1)
[*120-311] о h :. Hp . о : a +C1 = P +C1. о . a = sm“P . 3! a (2)
h (1) (2) *120-15 о h : Hp . э . aeNC induct (3)
h (1) *110-4 о h Prop
*120-423. h: a e NnC induct - l‘0 . = . (3P). P e NnC induct. a = (P-Fc 1 )n
Доказательство.
h *120-121-124 о h : P eN^C induct. a = (P+cl)n . о . aeNnC induct - l‘0 (1)
h *120-102 *92-542 о h : aeNnC induct - l‘0 . о . a С+ДЭроО^ .
[*91-52] э. (зР) • a (+Д) P • P (+Д)*0п .
[*120-102] о . (3P). P eNnC induct. a = (Р+Д)п (2)
h (1) (2) о h Prop
*120-4231. h : aeNnC induct. о . (3P). P eNnC induct - l‘A . (а+Д)п = (Р+Д)п
Доказательство.
h *10-24 *101-12 *120-12 о
h • (3₽) • P e NnC induct - l‘A . (0+Д)п = (Р+Д^ (1)
h *120-121 эЬ:.з!£.э:
P e NnC induct - l‘A . § = (Р+Д)п . о . § e NnC induct - l‘A . (^Ч-Д^ = Gs+Д)^ :
[*10-23-24 ] z>: (зр). p e NnC induct - l‘A . £ = (р+Д^ . о .
(3Y). yeN^C induct - l‘A . (£+Д)п = (у+Д)п (2)
h *110-4 *13-17 о
Ь:.~з!§.э:ре NnC induct - l‘A . § = (Р+Д)л . э . (§+Д)п = (р+Д)п :
[*10-28] о : (зР). р eN^C induct - l‘A . § = (Р+Д)л . о .
(ЗР) • РeNnCinduct - l‘A . £+Д)п = (р+Д)п (3)
h (2) (3) oh: (зр). р eNnC induct - l‘A . g = (р+Д)л • => •
(3P). P e NnC induct - l‘A . (§+Д)л = (Р+Д)л (4)
F (1) (4) —+^1)n *12011 э
h: a e NnC induct. э . (gP). P e NnC induct - i‘A. (a+cl)n = (P+c 1 )n :
э h Prop
*120-4232. h : a e NnC induct -1‘0. = . (зР). P e NnC induct - i‘A. a - (p+cl)n
[*120-423-4231]
*120-424. h: p 0.3! (a+cp)|. э . (a+cp)s-J = a +C(P-J)|
Доказательство.
F *110-42-62 z> F : Hp. э . (a+cP)| eNC - l‘A - l‘0 .
[*120-414*103-13] э . а! (a+cPX-cl (1)
F *110-4 *118-21*120-414 *103-13 э F: Hp. э . а! (P-Cl)5 (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
254
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
h(l) (2) *120-416 э
h : Нр . э. {(a+cpVJ} +С1 = а +с 0 . (0-с 1)^+с 1 = 0. (3)
[*110-56] э . {(a+cpVJ} +С1 = {a +с(0-с 1 )^} +С1 (4)
h (3) э h : Нр . э . Я! [{(a+cpVcl}+cl]^ (5)
h (4) (5) *120-311 *110-44 э
э h:Нр.э. (а+с0)^-с1 = а +с(0-с1)^ : э h Prop
*120-425. h (а+с0)в е N0C -i‘0 . э :
(a+cpVJ = a +c(p-cl)^ • V . (а+ср)^-с1 = (а-Д)^+с0
Доказательство.
h *110-62 *103-22 э h :. Нр . э : a / 0 . V . 0 / 0 : я • (a+c0)j= (1)
h (1) *120-424 oh Prop
*120-426. h: p e Cis induct. p e a. 3! a - p . э . ~ (p sm P). Nc‘p < Nc‘a
Доказательство.
h *110-32 э h : Hp.э. Nc‘a = Nc‘p +c Nc‘(a - p) (1)
h *110-14 э h : Hp . э . Nc‘(a - p) / 0 (2)
h (1) (2) *120-42 *117-222-26 э h Prop
*120-427. h : Re 1 -> 1 . СГЯ c D‘fl . REc СГЯ - D‘fl. э D‘fl ~ e Cis induct
[*120-426 Transp]
Приведенное выше предложение показывает, что нет рефлексивного
класса, который был бы индуктивным.
*120-428. h : v е NC induct .3!a+cv.a/0.o.a+cv>v
Доказательство.
h *117-511 *110-4 о h : Нр . о . a > 0 . v е N0C .
[*117-561*110-6] o.a+cv^v (1)
h *120-42 *110-4 э h : Hp . э . a +c v / v (2)
h (1) (2) *117-26 oh. Prop
*120-429. h : v e NC induct . э : ц > v. = . p, v +C1
Доказательство.
h *120-428 oh:. Hp . о : min NoC . p = v +C1 . э . p > v : (1)
[*117-47-12] э : p > v+C1 . э . p > v (2)
h *117-31 oh: p v. о. (яга). га e N0C . p = v +C(D (3)
h *117-26-12 oh: p v. о . Ц /v+c0 (4)
h (3) (4) э h : p> v. э . (яга) . (De N0C - l‘0 . p = v +C(D .
[*117-531] о . (я^п). oO 1.p = v +cod .
[*117-31] о . (яга, p). p e N0C . co = p +C1 . p = v +Ccu .
[*13-195] о. (яр) • p eNoC . p = v +c p +C1.
[*117-31] o.p^v+cl (5)
h (1) (2) (5) о h Prop
Следующее определение, в котором “spec” есть сокращение от “species”,
определяет “род”, задаваемый кардиналом 0, к которому принадлежат кар-
диналы, которые меньше, равны или больше, чем 0. Мы не можем дока-
зать, если, конечно, не принимаем аксиому умножения, что все кардиналы
принадлежат к роду, задаваемому 0, за исключением того случая, когда 0
является индуктивным кардиналом. Во всех других случаях могут быть,
насколько известно в настоящее время, другие кардиналы, которые не боль-
ше и не меньше, чем 0.
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
255
*120-43. spec‘P = а (а < р. V . а > Р) Df
*120-431. ка е spec‘P . = :a<p.V.a^p [(*120-43)]
*120-432. ка е spec'P . = :a<p.V.a>p [*117-281 *120-431]
*120-433. к Nc‘p е spec‘Nc‘o. = : 3! СГр A Nc‘a. V . 3! СГо A Nc‘p
[*117-22*120-432]
*120-434. к. spec'P с N0C [*117-105-104-12 *120-432]
*120-435. к : Р е N0C . = . р е spec'P. =. 3! spec‘P . [*117-104 *120-434]
*120-436. к а е spec‘P. =: а, Р е NqC : 37: а +су - Р. V . р +су = а
[*120-432*117-31]
*120-437. к : р е N0C . z>. 0 е spec'P [*117-5 *120-432]
*120-438. к : aespec'P. 3! а +С1. э. а+с1 espec'P
Доказательство.
к *120-436 *110-4 э к :. Нр. н : a, р e N0C . 3! а +с 1:
ЭУ . у е N0C : а +су = ₽ • V . 0 +су = а (1)
h *110-61 о h : а, 0 е N0C . а +с0 = р . о . а = р .
[*13-12-15] о.а+с1 = 0+с1.
[*120-436] о. а +С1 e spec‘0 (2)
h *120-417 о h: а, 0, у е NoC . у / 0 . а +су = 0 . о . а +с1+с (у -с1) = 0
[*120-436] о . а+с 1 e spec‘0 (3)
h *13-12-15 о h : а, 0, yeNqC . 0 +су = а . g! а +С1 .0.0 +су+с 1 = а +Д •
[*120-436] о . а+С1 espec‘0 (4)
h(l) (2) (3) (4) oh Prop
*120-44. h: 0 e NqC . о . NC induct - l‘A c spec‘0
Доказательство.
h *120-437 oh : Hp. о. 0 espec‘0 (1)
h *120-438 *110-4 oh:: Hp . о :. a = A . V . ae spec‘0 : о :
a +C1 = A. V . a +Д espec‘0 (2)
h (1) (2) *120-11 oh:: Hp . о :. aeNC induct. о :
a = A . V . a e spec‘0 :: о h . Prop
*120-441. h:. a e NC induct - l‘A . 0 e NC - l‘A .o:a<0.V.a>0
[*120-44*103-34]
*120-442. h :. a e NC induct - l‘A . 0 e NC - l‘A . о :
a < P. = : ~ (a: £p):a>p. = .- - (a < P)
Доказательство.
k *117-104 *120-441 z> k Hp. o : a < 0 . V . a>p (1)
k *117-291 z>k:a<p.z>.- Д<Ор) (2)
k (1) (2) *5-17 э k Hp. э: a < p. = . ~ (a: >₽) (3)
Аналогично к Hp. э: a > p. = . ~ (a i ^P) (4)
h (3) (4) о h Prop
*120-45. h : a, 0 e N^C induct. о . (a+c0)^ e N^C induct
Доказательство.
h *110-6 h: a e N^C induct. о . (а+с0^ e N^C induct (1)
h *120-121 *118-25 о
h : (a+c0)£ e N^C induct. о . {a+c(0+c 1 e N^C induct (2)
h (1) (2) *120-11 oh Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
256
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*120-4501. h : а, р е NC induct - i‘A. э . а +с р е NC induct
Доказательство.
h *120-15 э h : Нр . э . sm^“asm^“P eN^C induct.
[*120-45] э . (sm^“a+csm^“P)^ е N^C induct.
[*118-23] э . (a+cP)£ e N^C induct: э h . Prop
Следующее предложение является леммой в доказательстве *120-452.
*120-451. hу = (a+cP)^ • эа,р • а, Р е NC induct - i‘A:
3! (у+с1)^ . (Y+cl)s = (а'+сРЪ : э • а » P' eNC induct - i‘A
Доказательство.
h *120-414-124 *110-42 э h : а! (y+e 1 )i= • => • {(Y+c 1 1 £ e N0C .
[*119-32] z>.y = {(Y+c1Vc1£ (1)
h (1) *120-124 э h Hp . э : у = {(a'+cP'Vclk • (a'+cP'h / 0.3! (a'+cp')t=:
[*120-425] э : у = {а'+с(р'-с1)^ . V . у = {(a'-Jh +c p'H :
[Hp] э : a', (P'-Cl)^ eNC induct - l‘A . V . (a'-cl)^, P' eNC induct - l‘A :
[*119-11] э : a', P' e NC induct - l‘A Prop
Это предложение могло бы быть распространено в плане большей общ-
ности в аспекте, касающемся типов; однако его единственное применение —
в качестве леммы.
*120-452. h : a +с Р е NC induct - i/A . э . a, Р е NC induct - l‘A
Доказательство.
h *120-428 Transp э h : у = A . э . (у+с 1 )т] = А (1)
h *120-451 э h :: у = (a+cP)n . эад . а, Р eNC induct - i‘A : э
(Y+c 1 )л = A: V : (у+Д)^ = (a'+cp')n • . a', P' e NC induct - l‘A (2)
h (1) (2) э h :: у = A : V : у = (a+cP)n . эад . a, P e NC induct - i‘A э
(у+Д)п = A : V : (у+с1)п = (a'+cp')n . эа,д/ . a', P' e NC induct - l‘A (3)
h *110-62 *120-12 э h : 0 = (а+сР)л . эад . a, P e NC induct - i‘A (4)
h (3) (4) *120-11 э h :: yeNqC induct. э
у = A: V : у = (а+сР)л . эад . a, p e NC induct - i‘A ::
[*13-15 ] э h (a+cP)^ eNnC induct. э :
(a+cP)^ = A. V . a, P e NC induct - i‘Aэ h . Prop
В предпоследней строке данного выше доказательства мы подставляем
вместо из *120-11 функцию
§ = А : V : § = (а+сР)т] • эад • а, Р е NC induct - i‘A.
Следующие предложения требуются в основном как приводящие
к *120-4621-4622-47, которые полезны при доказательстве предложений,
касающихся всех индуктивных кардиналов, отличных от нуля.
*120-46. h : aeNC . у eNnC induct. э . (a+cy^ . (+cl)*smll“a
Доказательство.
h *110-6 *118-241 э h : aeNC . э . (a+cO)^ . (4-cl)*smn“a (1)
h *90-172 *118-25 э h : (а4-су)п . (+cl)*smll“a . э .
(a+c(Y+cl)n}n(+cl)*smn“a (2)
h (1) (2) *120-11 oh. Prop
*120-461. h : aeNC P(+cl)*smT1“a . э . (gy). yeNnC induct. P = (а+су)п
Доказательство.
h *110-6 *118-23 э h : aeNC P = smn“a . э . P = (a+c0)n (1)
h *120-121 *118-25 э h : P = (a+cY)^ . у e NnC induct. э .
Principia Mathematica II
• 120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
257
(₽+с 1 )л = {а+с(у+с 1)л(л . (у+с 1)л е Nnc induct (2)
F (1) (2) *90-112 э F Prop
*120-462. h aeNC . э : (gy). у eNnC induct. 0 = (a+cy)^ . =. 0 (+cl)*smT1“a
[*120-46-461]
*120-4621. h aeNC .g!0. э : 0 (+cl)*smn“a . э . sm^“0(+cl)*sm^“a
Доказательство.
h *120-461 эЬ:.Нр.э:
0 C+cl^sm^a. э . (gy). у eNnC induct. 0 = (a+cy)n .
э . (gy). у e NnC induct - l‘A . 0 = (a+cy)n .
э . (gy). sm^“y e N^C induct. sm^“0 = (a+cy)^ .
э . (gy'). у' 6 N^C induct. sm^“0 = (a+cy'H •
э . sm^“0(+cl)*smT1“a Prop
[*110-4]
[*120-15*118-201]
[*118-24*120-14]
[*120-462]
*120-4622. h a e NC . 0 e NC (ц). g I sm^“0 . э :
0 (+cl)*smT1“a . = . sm^“0(4-cl)*sm^“a
Доказательство.
h *110-4 *37-29 *120-461 э
h Hp . э : sm^“0(4-cl)*sm^“a . э. g! sm^‘a . g! a . (1)
[*100-52] D.sm^“aeNC (2)
h *120-4621 (2) э h Hp . э :
sm^“0(+cl)*sm^“a . э . smT1“sm^“0(+cl)*smT1“sm^“a .
[*102-87 Hp (1)] э . smT1“0(+cl)*smll“a .
[*103-34] э. 0(4-cl)*smn“a
h *37-29 *120-4621 э
h Hp . э : 0(+cl)*smll“a . э . sm^“0(+cl)*sm^“a (4)
h (3) (4) э h Prop
Именно от этого предложения зависит то обстоятельство, что типы ир-
релевантны при рассмотрении индуктивных кардиналов.
*120-463. h aeNC . э :: (gy). у eNnC induct. 0 = (a+cy)n . = :
i e ц. . (§+c 1 )л e ц : sm^ “a e ц: . 0 e ц
[*120-462 *90-11]
*120-47. h :: 0 e NnC induct - l‘0 . = § e ц. . (§ +c l)n e ц: ln e ц: эи . 0 e ц
[*120-423-463]
Таким образом, математическая индукция, начинающаяся с 1, будет
приложима ко всем индуктивным кардиналам, исключая 0. Подобные пред-
ложения аналогично могут быть доказаны для 2, 3, ....
*120-471. h : (ga). aeNCinduct - l‘0 . fa. = . (g0). 0eNCinduct. /(0 +cl)
Доказательство.
h *120-423 э
F: (ga). aeNC induct - l‘0 . fa . = . (g0). 0eNC induct. a = 0 +C1 . /0 .
[*13-195] = . (g0). 0eNC induct. /(0 +cl): э h . Prop
*120-472. h : (ga). aeNC induct - l‘0- l‘1 . fa . = .
(g0). 0eNC induct - l‘0 . /(0 +Д) • = • (эу). у eNC induct - l‘0 . f(y +cl)
Доказательство.
h *120-471 э
h : (ga). aeNCinduct - l‘0 - l‘1 .fa . = .
(g0).0eNC induct .0+Д / 1 -/(0 +Л) •
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
258
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
[*120-42 *110-643] = . (а Р). р е NC induct - l‘0 . f (р +с 1). (1)
[*120-471] =. (зу). у eNC induct. / (у +с1+с1).
[*110-643] = . (ау). у с NC induct. f (у +с2). (2)
h (1) (2) э h Prop
*120-473. h ф1 : £ е NnC induct - l‘0 . ф§ . э^ . ф (§ +с1): э :
е NnC induct - l‘0 . э. ф£
Доказательство.
h *120-122 *101-22 э h : ф1 . э . 1 е NnC induct - l‘0 . ф1 (1)
h *120-121-124 э h : ^eN^C induct - l‘0 . э . £ +C1 cN^C induct - l‘0 (2)
h(l) (2) э
h Hp . э : 1 e NnC induct - l‘0 . ф1 : § e NnC induct - l‘0 . ф§ . э^ .
§ +C1 eNnC induct - l‘0 . ф (£ +cl) (3)
t (3),120.478(^NnCinduct -fO.^ = hprop
*120-48. h : P c NC induct. P > a . э . a e NC induct - l‘A
[*120-452*117-31]
Таким образом, каждый кардинал, который не больше чем каждый ин-
дуктивный кардинал, является индуктивным кардиналом.
*120-481. h : т] Cis induct. § с т]. э . £ Cis induct [*117-222 *120-21-48]
Таким образом, данный класс, содержащийся в каком-либо индуктив-
ном классе, также будет индуктивным классом.
*120-49. h : a е NC - NC induct - l‘A . P e NC induct - l‘A . z> . a > p
Доказательство.
h *120-48 Transp э h : Hp . э . ~ (P > a) (1)
h *120-441 э h Hp . э : a > p . v.p^a (2)
h (1) (2) э h Prop
Таким образом, каждый не индуктивный кардинал (за исключением А)
больше, чем каждый индуктивный кардинал (за исключением А).
*120-491. h ~ е Cis induct. = : PeNC induct. эр . 3! P А СГ£
Доказательство.
h *120-49 э h : § ~ е Cis induct. Р е NC induct - l‘A . э . Noc‘§ > Р .
[*120-240 *117-12] э . Noc‘§ р+Д. 3! р А СГ§ (1)
h(l) *117-104-12 *103-13 э
h : § ~ е Cis induct. Р е NC induct - l‘A . э . Р+с 1 / А (2)
h (2) *101-12 *120-13 э
h ~ е Cis induct. э : Р е NC induct. э . Р / А (3)
F (1) (3) h : § ~ е Cis induct. Р е NC induct. э . 3! р А СГ§ (4)
h *120-121 э
h Р е NC induct. эр . 3! Р А СГ§ : э : р е NC induct. эр . 3! (Р+с 1) А СГ§ .
[*117-242 *120-429] эр . Nc‘§ > р .
[*117-42 (*117-03)] эр . Noc‘§ / Р .
[*13-196] э : Nqc‘§ ~ е NC induct:
[*120-21] э : ~ е Cis induct (5)
h (4) (5) э h Prop
*120-492. h : a e NC - NC induct. P a . э . P e NC - NC induct
[*120-48 Transp]
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
259
В силу *120-491, класс который не является индуктивным, содержит
подклассы, имеющие 0, 1, 2, 3, ... термов. Если мы возьмем последова-
тельные классы подклассов
0аС1‘£, 1АСГ£, 2аС1‘£, ...,
то все они взаимно исключающие и все существуют при условии, что А
не является индуктивным кардиналом, т.е. при условии, что имеет место
аксиома бесконечности. Поэтому если аксиома бесконечности имеет место,
то мы получаем Ко подклассов, содержащихся в каком-либо не индуктив-
ном классе. Следовательно, как мы в дальнейшем увидим, если есть не
индуктивный класс, то СГСГ£ есть рефлексивный класс. По-видимому, это
самый близкий возможный путь к отождествлению данных двух опреде-
лений конечного и бесконечного, когда не принимается аксиома умноже-
ния. Когда аксиома умножения принимается, так же как и аксиома беско-
нечности, то мы выбираем один класс из 1АСГ§, один из 2АСГ§ и т.д.;
затем, образуя логическую сумму всех этих классов, мы получаем Ко тер-
мов, являющихся элементами Следовательно, является рефлексивным
классом; так как, как мы увидим в дальнейшем, рефлексивный класс есть
класс, содержащий подклассы из Ко термов. Таким образом, с помощью
аксиомы умножения два определения конечного и бесконечного могут быть
отождествлены.
*120-493. h о е Cis induct. э :
Nc‘^ < Nc‘o . = . (gp). р sm §. р с о. g! о - р . = . g! Nc‘§ A Cls‘a - t‘a
Доказательство.
I- *117-26-221 э I-Nc‘^ < Nc‘a. э : ~ sm u): (gp). p sm . p c a :
[*73-3-37] z> : (gp). p sm §. p с a . p ± о (1)
I- *120-481 э1- :.Hp . э : pea. g! a-p . э . pe Cis induct. pcG. g! G-p .
[*120-426] z>. Nc‘p < Nc‘a:
[*100-321] э : psm^. pcG. g! G-p . э . Nc‘£<Nc‘a (2)
h (1) (2) *24-6 z> I- Prop
*120-5. I-: a, p c NC induct. g! a xc p . z> . a xc p e NC induct
Доказательство.
I- *113-2031 dF : aeNC induct. g! a xc0. □ . aeNC - t‘A.
[*113-601] э.ахс0 = 0.
[*120-12] z>. a xc0eNC induct. (1)
I- *113-671 z> I-. a xc (p xcl) = (a xc p) xc a .
[*120-4501 *113-203] dF : aeNCinduct. a xc PeNCinduct - t‘A . z> .
a xc (p xcl)eNC induct (2)
h (1) (2) *120-13 э I-Prop
Ограничение, заключенное в g! a xc p в гипотезе приведенного выше
предложения, не является необходимым, если мы принимаем, что аксио-
ма бесконечности не должна выполняться в пределах какого-либо одного
типа, если она не выполняется в пределах какого-либо другого, т.е.
A A fa с NC induct. э . A A f р е NC induct,
где аир есть любые два объекта любых двух типов. Доказательство это-
го предложения потребовало бы допущений, относящихся к взаимосвязи
различных типов, которые не делались в предыдущих доказательствах.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
260
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*120-51. I-: а, р, у eNC induct .а^О.д!ахср.ахср = ахсу.э. р = sm“y
Это предложение устанавливает единственность деления индуктивных
кардиналов.
Доказательство.
F *120-44-436 z> F Нр. z>: (38). p = у +c8 . V . у = p +c8 (1)
F *113-43 э F : Hp. p = у +c8 . z>. a xc у = (a xc y) +c (a xc6).
[*120-42 Transp] z> . a xc8 = 0.
[*113-602] z>.8 = 0.
[*110-6] z>.p = sm“y (2)
Аналогично I-: Hp . у = p +c8 . z>. у = sm“p .
[*100-53*113-203] z>.p = sm“y (3)
F(l) (2) *24-6 oF Prop
Если p и у выше являются типово неопределенными символами, такими
как
0, 1, 2, ... Nc‘p, Nc‘a, ,
то мы имеем Р = у, так как в этом случае р = sm“P, у = sm“y. С другой сто-
роны, если р и у одного и того же типа, то мы имеем р = у в силу *103-43.
Следовательно, “р = у” может быть подставлено вместо “p = sm“y” в дан-
ное выше предложение, поскольку результат подстановки истинен всякий
раз, когда значим. Однако в этой форме указанное предложение ничего
не говорит о том, что происходит, когда р и у не принадлежат одному и
тому же типу.
*120-511. I-: a, р eNC induct .а^0.д!а.ахср = а.э.р=1
Доказательство.
F *113-621 oF:Hp.o.axcp = a хс1 (1)
F (1) *120-51 *101-28 э F Prop
*120-512. F : a хс р е NC induct - t‘0 - t‘A . z> . a, р е NC induct - l‘0 - t‘A
Доказательство.
F *113-602-203 z> F : Hp. z>. a, p e NC induct - l‘0 - t‘A (1)
F (1) *117-62 z>F : Hp .z>. axc p a. axc p p .
[*120-48] э . a, p e NC induct (2)
F (1) (2) z> FProp
*120-513. F : a e NC induct - t‘0 - t‘A. a xc p = a. z>. p = 1 [*120-511-512]
Это предложение не имеет места, когда а не является индуктивным
кардиналом.
*120-52. F : a, р е NC induct . 3! . z>. е NC induct
Доказательство.
F *116-203-301 э F : a eNC induct. g! ct° . z>. ct° = 1.
[*120-122] о. a0 e NC induct (1)
F *116-321-52 о F : 3! a^+cl . э . a^+cl = a^xca.
[*120-5] э F : a e NC induct. e NC induct. g! a^+cl . z> .
a₽+ci e nc induct (2)
F *116-52 *113-204 э F : = A. э . a^1 = A (3)
F (1) (2) (3) *120-11 э F Prop
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
261
*120-53. F : а, р, у eNC induct. а =4 0 . а =4 1.g! oJ5. а? = а7 . э . р = sm“y
Доказательство. к. *116-203. эк: 1-. *120-44-436. эк: к. *118-01. *116-52. эк: к. *120-52. *116-35.(1). эк: [(3). *120-513] [*117-592] [*110-6] :д!а₽.э.з!р (1) :. Нр . э : (36): р = у+с6 . V . у = р+с6 (2) : р = у +с6.3! р. э . а₽ = а?хса6 (3) : Нр . р = у +с6 . э . aY е NC induct - t‘A - t‘0 . g! p . z> . a6 = 1. z>. 5 = 0 z>.p = sm“y (4)
Аналогично F : Нр . у = р +с8 . э . у = sm“p
[*100-53. (1)] к . (2). (4). (5). э к . Prop z>.p = sm“y (5)
Если а, р, у являются типово неопределенными символами, то мы име-
ем р = у в заключении данного выше предложения, вместо Р = sm“y. С дру-
гой стороны, если р и у одного и того же типа, то р = у; таким образом,
р = у всякий раз, когда “p = sm“y” значимо.
*120-54. F : р е Cis induct .g!§.pca.g!a-p.o. (Nc‘p)Nc‘^ < (Nc‘a)Nc<^
Для доказательства, которое приводится сразу же, ср. *117-58.
Доказательство.
I-. *35-432-82 . *80-15 . *116-12 . э F : Нр . э . (р Т §) д‘£ с (a Т £) 䑧 .
а!(оТ?)д^-(рТ?)д^ (1)
F . *120-52 . *116-15-251. *120-2 . z> : Нр . э . (р | §) д е Cis induct (2)
F.(1). (2). *120-426 . э F : Нр . z>. Nc‘(p W д‘5 < Nc‘(a ? §) д: э F. Prop
*120-541. F : a, р е NC induct - i‘A . a / 0 . Р < у . . pa < ya [*120-54-493]
*120-542. I-: a, у e NC induct - t‘A . a 0 . P > у . z>. pa > ya [*120-541]
*120-55. I-: a, p, у cNC induct. a =4 0 . g! pa . pa = ya . z>. p = sm“y
Доказательство.
I-. *120-541-542 . z> F : Hp . z>. ~ (P < У) • ~ (P > У) •
[*120-441] z> . p = sm“y : z> F . Prop
*120-56. h : a 2 . aP c NC induct - t‘A . z>. p e NC induct
Доказательство.
F . *117-581 . z> F : Hp . z>. ap 2P .
[*117-661] z>.a₽>p (1)
F . (1). *120-48 . dF. Prop
*120-561. F : p 1. e NC induct - t‘A . z> . a e NC induct
Доказательство.
F . *117-591. *116-321. э F : Hp . э . aP a
F . (1). *120-48 . z> F. Prop
*120-57. F : p e NC induct - t‘A . z>. Nc‘v (v < ц) = p +C1
Здесь “ц+с1” необходимо более высокого типа, чем “ц”, так как оно
применяется к классу, элементом которого является ц.
Доказательство.
F . *117-511. z> F . Nc‘v (v 0) е 1 (1)
F. *110-4. z> F : ц = А . о . ц +С1 = А (2)
F . *120-429-442 . э
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
262
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
F : ^eNC induct. 3! ц +С1 . э . у (у ц) = у (у < ц +с1).
[*117-104-105] э . у (у < н +Л) = v (у О) U Г(ц +с1) (3)
F . *120-428 . э F : Нр (3). э . ц +С1 ~ еу (у < |1) (4)
F . (3). (4). *110-631. z>
I-: Нр(3). Nc‘y (у ц) = ц +С1 . э . Nc‘y (у < р, +с1) = ц +с2 (5)
F . (2). (5). э F peNC induct: р, = A . V . Nc‘y (у ц) = ц +С1: э :
ц +С1 = А. V . Nc‘y (у р+с1) = ц +с2 (6)
F. (1). (6). *120-13. z>F. Prop
*120-6. I-: (зу). у > а . у с г‘т]. э . 3! (а +с1) П ft]
Доказательство.
F. *117 -1. z>
F :. Нр . э : (зу, р, о). Noc‘p = а . Nqc‘o = у. 3! Nc‘p П СГа. ~ 3! Nc‘o П СГр :
[*100-1] о : (зу, р, а, §). Noc‘p = а . Nqc‘o = y.§smp.§ca.§=4a:
[*24-6] о : (зу, р, а, х). Noc‘p = а . Noc‘a = y.§smp.xEa-§:
[*110-631] о : (з^,х). § U ГхЕа +С1 ПГт]:. о F . Prop
*120-61. I-: 3! NoC П t3ix- NC induct. o . Infin ax (x)
Доказательство.
F . *120-49 . z> F:. у eNqC П t3ix- NC induct. o :
a e NC induct. 3! a. z>a . у > a . у c f2‘x.
[*120-6] oa. 3! a +С1П t2ix (1)
F. (1). *101-12. *120-13. z>
F :. у e NoC - NC induct. о : a eNC induct. oa . 3! a (x):. о F . Prop
*120-611. F : P e Cis induct. p c G‘P. о . 3! Рд‘Р
Доказательство.
F . *80-26 . о F . 3! Рд‘А
[Simp] о F : A c G P. о . 3! Рд‘А (1)
F . *80-94 . о F : 3! Рд‘Р . ze G P. о . 3! Рд‘(Р U t'z):
[Syll] о F :. P c G P. о . 3! Рд‘Р : о : p c G P . z c G P. о . 3! Рд‘(Р U t‘z):
[*51-238] o:PUi‘zcGP.o.3! Рд‘(Р U t‘z) (2)
F. (1). (2). *120-26. о F. Prop
*120-62. F : ke Cis induct. Л-ЕК.0.3! ед‘к
Доказательство.
F.*83-9. oF.3!ea‘A (1)
F . *83-904 . о F . 3! Ед‘к. 3! a . о . 3! Ед‘(ки Га):
[Syll] о F A ~ e к. 0.3! Ед‘к :о:Л~ЕК.з!а.о.з! ед‘(к U Га):
[*24-54] о : A ~ e (к U Га). о . 3! Ед‘(к U Га) (2)
F. (1). (2). *120-26. о F. Prop
Приведенное выше предложение может быть также выведено из
*120-611 на основании *62-231.
*120-63. F . Cis induct - V‘A с Cis2 mult [*120-62 . *88-2]
В силу этого предложения аксиома умножения не требуется, когда речь
идет о конечном числе сомножителей, даже если некоторые или все из них
сами являются бесконечными.
*120-64. F : Infin ах . V . Mult ах
Доказательство.
F . *120-61. Transp . э F ~ Infin ах . э : NqC с NC induct:
Principia Mathematica II
*120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
263
[*120-21 ]э : (к) . кс Cis induct:
[*120-62 ]z>: (к): А ~ е к. z>. g! ед‘к:
[*88-37] э : Mult ах э I-. Prop
Таким образом, из двух арифметических аксиом, аксиомы умножения
и аксиомы бесконечности, по крайней мере, одна должна быть истинной.
*120-7. F : Cis induct. а с р . а =4 р . э . Nc‘a с Nc‘p [*120-426*24-6]
*120-71. F : р, а е Cis induct. = . р U а е Cis induct. = . р +а е Cis induct
Доказательство.
F *120-481 z> I-: р U о с Cis induct. z> . р, a е Cis induct (1)
F *120-481 э F : р, a е Cis induct. d . p, a - p e Cis induct.
[*120-21] z> . Noc‘p, Nqc‘(o - p) e NC induct.
[*120-45] z> . Noc‘p +c Noc‘(a - p) e NC induct.
[*110-32] э . Nc‘(p U o) eNC induct.
[*120-211] э . p U oeCIs induct. (2)
F (1) (2) d F : a, pe Cis induct. = . p U a e Cis induct (3)
I- *110-12 *120-214 z> I-: p, oeCIs induct. = .
1(AA a)“r“p, (A A p) Г7“oe Cis induct.
[(3) (*110-01)] p 4-a e Cis induct (4)
F (3) (4) z> I- Prop
Приведенное выше предложение часто используется.
*120-72. I-: р, о е Cis induct. э . р xa е Cis induct
Доказательство.
I- *120-21 э I-: Нр . э . Noc‘p, Noc‘a е NC induct.
[*120-5] э . Nc‘(p хо) е NC induct.
[*120-211] э . р хое Cis induct: z>F. Prop
* 120-721. F:.g!p.g!a.o: р, a е Cis induct. = . p xoeCis induct
Доказательство.
F *120-512 *113-107 э
I-Hp . э : p xoe Cis induct. z> . Nc‘p, Nc‘aeNC induct.
[*120-211] э . p, a e Cis induct (1)
F (1) *120-72 э I- Prop
* 120-73. F : p, a e Cis induct. z> . (p exp a) e Cis induct [*120-52*116-251]
* 120-731. F:.g!p.g!a.p~El.o:p, oe Cis induct. = . (p exp a) e Cis induct
[*120-56-561-73]
* 120-74. F : p e Cis induct. = . Cl‘p e Cis induct
Доказательство.
F *116-72 *120-21 z> F : Cl‘p e Cis induct. = . 2Nc‘p A f СГр e NC induct.
[*120-123-52-56 *116-72 (*116-04)] = . Noc‘p e NC induct.
[*120-21] = . p e Cis induct: э F Prop
* 120-741. F : 5‘к e Cis induct. z> . к e Cis induct. KeCls induct
Доказательство.
F *120-74 z> F : Hp . z>. СГ$‘к e Cis induct
[*60-57 *120-481] э. к e Cis induct (1)
F *40-13 *120-481 э F Hp . d : p ек. d . pe Cis induct (2)
F (1) (2) z> F Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
264
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*120-75. F : $‘к е Cis induct. = . к е Cis induct. к с Cis induct
Доказательство.
F *22-58 э F : g! к - Cis induct. э . g! (к U t‘a) - Cis induct (1)
F *120-71 *53-15 э F : s‘k e Cis induct. a e Cis induct. э .
U t‘a) e Cis induct
[*5-6] э F ?ке Cis induct. э :
a ~ e Cis induct. V . s‘(K u l‘a)e Cis induct:
[*51-16] э : а! (к U t‘a) - Cis induct. V . U l<a)6 Cis induct (2)
F (1) (2) э F а! к - Cis induct. V . ?kc Cis induct: э :
а! (К U t‘a) - Cis induct. V . u l‘a)e Cis induct (3)
F *40-21 *120-212 э F . s‘A e Cis induct (4)
F (3) (4) *120-26 dF ке Cis induct. z> :
а! к - Cis induct. V . 5‘k e Cis induct
[*5-6] э F : ке Cis induct. к c Cis induct. z> . $‘кe Cis induct (5)
F (5) *120-741 z> F Prop
* 120-76. F : к e Cis induct. к c Cis induct. z> . Ед‘к e Cis induct
Доказательство.
F *51-2 э F a e к .z>: к = к U t‘a :
[*13-12] z> : ед‘ке Cis induct. z> . Ед‘(ки t‘a) e Cis induct (1)
F *83-41 *114-301 dF : a~EK. d . Ед‘(ки i‘a)smЕд‘кхa (2)
F (2) *120-214z> F a ~ e к. z>:
Ед ‘(к U t‘a) e Cis induct. = . Ед‘кх a e Cis induct (3)
F (3) *120-72 dF:.«~ek.d:
ед ‘к, a e Cis induct. э. Ед‘(к U i‘a) e Cis induct (4)
F (1) (4) dF: ед‘к, oieCIsinduct. э . Ед‘(кU t‘a)eCIsinduct (5)
F (5) *51-2 Syll dF:. к c Cis induct. z>. ед ‘к e Cis induct: z> :
к U i‘a c Cis induct. d . Ед ‘(к U t‘a) e Cis induct (6)
F *83-15 *120-213 э F . ед‘Ае Cis induct.
[Simp] dF : Ac Cis induct. z>. Ед‘Л e Cis induct (7)
F (6) (7) *120-26 z> Fк e Cis induct. z> :
к c Cis induct. z>. Ед‘к e Cis inductэ F . Prop
Следующие предложения касаются установления обращения *120-76,
зависящего от подходящей гипотезы. Результат дается в предложении
*120-77.
* 120-761. F : а - ед‘к • сд‘кеС1з induct. d.kc Cis induct
Доказательство.
F *83-41 *114-301 э F aEK. э : Ед‘кзт х Ед‘(к-1‘а): (1)
[*120-214]э : Ед‘к е Cis induct. = . а х Ед‘(к-ь‘а) е Cis induct (2)
F (1) *113-114 z> F : g! Ед‘к. а е к. э . g! а . g! €д‘(к-1‘а) (3)
F (2) (3) *120-721 э F д! ед‘к.оек.э:
Ед ‘к е Cis induct. э . а е Cis induct (4)
F (4) Comm э F . Prop
* 120-762. F : кe Cis induct. A - ek . ~ g! 1 А к. э . (g /?, S) .R, S еед‘к. R h S =A
Доказательство.
F *51-2 z> F : R, S еед‘к . R A S = A . «ек . э . R, S еед‘(к U i‘a). R A S = A (1)
F *83-5 *55-201 z>
Principia Mathematica II
120. ИНДУКТИВНЫЕ КАРДИНАЛЫ
265
:R, S е Ед ‘к. R А 5 = Л.х,уЕа.х^у.а~ЕК.э.
R U х J, а, S U у J, а е Ед‘(к U t‘a). (R U х J, а) А (5 U у J, а) = Л (2)
F(l) (2)*52-41 z> F :/?, 5 еед‘к . Я А 5 = Л. а / Л. а ~ е 1. э .
(Я Л 0 • Л G е ед ‘(к U i‘a). Р A Q = Л (3)
F *51-16 Dl-:.a = A.V.aEl:o:AE(KU i‘a). V . g! 1 А (к U t‘a) (4)
I- *22-58э F Лек. V . g! 1 А к: d : Ae(kU t‘a). V . g! 1 А (к U t‘a) (5)
F (3) (4) (5) э F Лек . V . g! 1 А к. V . (g R, S). Rt S еед‘к . R A S = A : z>:
Ae(kU t‘a). V . g! 1 А (к U i‘a). V . (g R, S). R, S еед‘(к U t‘a). R A S = A (6)
F *83-15 э F . (g R, S). R, S e ед ‘A. R A S = A (7)
F (6) (7) *120-26 э F . Prop
* 120-764. F : keCis induct. A ~ek . ~ g ! (1Ak) . z>. Nc‘ea‘k Nc‘k
[*120-762*117-681]
* 120-765. F : ke Cis induct. A ~ ek.~ g ! (1Ak) .KcLg ! ea‘X. z>.
Nc‘ea‘X. Nc‘k [*120-762 *117-684]
* 120-766. F : X~ eCIs induct. A ~ eX . ~ g! (lAk). g! ед‘Х . z>.
Nc‘ea‘X ~ e NC induct
Доказательство.
F *120-491 э F Hp . э : v e NC induct. э .
(дк).кск. Nc‘k = v. Л ~e к. ~ g! (1 А к).
[*120-765] z>.Nc‘ea‘X^v:
[*120-121] э : veNC induct. э . Nc‘ea‘X v +C1.
[*120-429] z>.Nc‘ea‘X>v:
[*117-42] э : Nc‘ea‘X-eNCinductdF . Prop
* 120-767. F : ea‘Xe Cis induct. A ~ eX . ~ g! (lAk). g! Ед‘Х. э . Xe Cis induct
[*120-766 Transp]
* 120-77. F A ~ e к. ~ g! (1 А к). g 1 Ед‘к. э :
Ед‘к e Cis induct. = . к e Cis induct. к c Cis induct
[*120-76-761-767]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
266
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*121. Интервалы
Краткое содержание *121.
В этом параграфе рассматривается класс термов, расположенных меж-
ду х и у в силу некоторого отношения Р, т.е. таких термов, которые лежат
на пути от х к у, на котором любые два последовательных терма находят-
ся в отношении Р. Такой путь может быть назван P-путем, и если zPw, то
шаг от z к w может быть назван P-шагом. Для того чтобы существовал
P-путь от х к у, необходимо и достаточно, чтобы мы имели хРроу. Когда
это условие выполнено, вообще говоря, найдется множество P-путей от х
к у. Однако если Р е Cis —»1. ~ (уРроУ), или если Pel—» Cis . ~ (хРрох), то са-
мое большее один путь ведет от х к у. Это следует из предложений *96.
В силу этих предложений, если Pel—» Cis. ~ (уРроу) • хРроУ, то Р есть 1 —»1
на всем пути от х к у, и этот путь образует открытую серию. Две другие
возможности для Cis —> 1 есть (предполагая хРроу)
(1) хРроХ
(2) уРроУ • ~ (хРрох).
В первом случае имеются циклический путь от х к х и два пути от
х к у, один, состоящий из той части цикла, которая требуется, чтобы до-
стичь у, другой, состоящий из указанной части вместе с полным циклом,
необходимым для того, чтобы пройти от у в обратном направлении к у.
Таким образом, класс термов, которые могут быть достигнуты в результа-
те некоторого прохода от х к у, есть полный класс потомства терма х, т.е.
класс ?Г*‘х, который представляет собой цикл, образующий путь от х к х.
Во втором случае потомство терма х образует б62, а у находится в кру-
говой части Q. Здесь, как и раньше, имеется два пути от х к у, первый
из которых заканчивается, как только он достигнет у, а второй — продол-
жается по циклу, пока снова не достигнет у. Таким образом, здесь снова
все потомство терма х располагается на некотором пути между х и у.
Интервал между х и у определяется как класс термов, расположенных
на некотором пути от х к у. Имеется четыре типа интервалов соответствен-
но тому, включаем мы или нет концевые точки. Мы обозначаем тот тип,
который включает обе концевые точки, через Р(хНу), который исключа-
ет обе концевые точки, через Р(х-у), а два оставшихся — соответственно
посредством Р (х -I у), Р (х I- у).
Соответствующие определения есть
Хс‘хп"?*‘у, ^Рро'хП^роУ, ^‘хйАу ^‘хП^роУ
Если Р есть либо одно-многозначное, либо много-однозначное отноше-
ние, то оно будет одно-однозначным в пределах интервала Р(хну), за
исключением самое большее одной исключительной точки, именно точ-
ки, в которой хвост присоединяется к окружности в Q. Если хРрох или
~ (уРроу), то интервал между х и у не может иметь Q-форму, а должен быть
либо открытым, либо циклическим; в любом из этих случаев Р есть 1 —» 1
в пределах Р(хну) без всяких исключений; так как если PeCls^ 1, то Р
62 См. *96 в первом томе “Principia Mathematica". — Прим. ред.
Principia Mathematica II
*121. ИНТЕРВАЛЫ
267
есть 1 —» 1 в пределах указанного интервала, поскольку интервал содер-
жится в X ‘х, а если Pel—» Cis, то потому, что этот интервал содержится
в "Я* ‘у. Поэтому на протяжении всего настоящего параграфа мы будем по-
стоянно использовать гипотезу Pe(Cls —» 1) U (1 —» Cis); если PeCls—»1, то
интервал предполагается проходящимся от х к у, а если Pel—» Cis, то он
предполагается проходящимся от у к х. В любом случае интервал между
х и у должен быть индуктивным классом. Это доказывается в *121-47. Ес-
ли, однако, Р является сериальным отношением (ср. *204), и поэтому ни
много-однозначным, ни одно-многозначным, то интервал между х и у пред-
ставляет собой пространство серий63 между х и у с концевыми точками
или без них в соответствии с выбранным определением, и нет необходимо-
сти в том, чтобы он был индуктивным классом.
Если интервал между х и у (оба конца включаются) имеет v+cl эле-
ментов, то мы говорим, что хРуу. Поэтому если имеется лишь один путь
от х к у, то “xPvy” означает, что требуется v шагов, чтобы добраться от х
к у. Предполагая, что PeCls—» 1, если мы также имеем <zJ (т.е. если ни
одно семейство из Р не является циклическим), то тогда, если xPvy и yPz,
то мы будем иметь xPv+ciz. На этом базисе строится индуктивная теория
Pv и показывается, что класс таких отношений, как Pv, для различных ин-
дуктивных значений v в точности такой же, как и PoticTP, класс степеней
Р, включая IГёР(ср. *121-5). Определение Pv есть
Pv = ху {Noc‘P (х н у) = v +с1} Df.
Полный класс таких отношений, как Pv, для различных индуктивных
значений v называется finid‘P, т.е. мы полагаем
finicTP = R {(av). v е NC induct - i‘A . R = Pv) Df.
Если существует B‘P и если PeCls—»1, то потомки В‘Р, пока мы не
достигнем такого терма у, для которого уРроу, могут быть определенно опи-
саны, как 1-й, 2-й, 3-й, ... v-й, ... термы потомства В‘Р, при этом сам
‘Рявляется первым из термов. Получающаяся таким образом корреля-
ция с индуктивными кардиналами является логической сущностью процес-
са счета; последний кардинал, используемый в указанной корреляции, яв-
ляется кардинальным числом пересчитанных термов. Мы будем называть
указанные термы 1р, 2р, ... Vp, ..., определяя Ур как
vp = Pv_c1‘B‘P Df.
Это обозначение не вступает в конфликт с v^, определенным в *65-01.
Там должно быть классом, если v есть кардинал, здесь v должно быть
кардиналом, а Р отношением.
Следовательно, всякий раз, когда Vp существует, число термов от на-
чала до Vp (оба включаются) есть v. Именно на этом обстоятельстве по-
коится процедура счета. Если Р есть много-однозначное отношение, а Рро
содержится в различии и v —какой-либо индуктивный кардинал, отличный
от 0, то vp существует тогда и только тогда, когда обладает, по
крайней мере, v элементами; т.е., грубо говоря, vp существует всякий раз,
когда ожидается, что он, возможно, мог бы существовать. В этом случае
63 В оригинале — the stretch of series. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
268
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
все потомство ‘Рсодержится в серии 1р, 2/>, ... vp, ... (*121-62). Если
потомство является индуктивным классом, то эта серия останавливается;
если нет, то она образует прогрессию (ср. *122).
Предложения настоящего параграфа весьма полезны не только в этой
части работы, но и в ординальной теории конечного и бесконечного, а так-
же в частях книги, следующих за этой теорией.
После предложений, которые попросту повторяют определения и дают
непосредственные следствия, мы переходим (*121-3 и далее) к теории Pv.
Мы имеем
*121-302. F : Рро G J. э . Ро = I \С‘Р
*121-305. F : Рро GJ. z>. Рх GP
*121-31. F:Pc(l Cis)U(Cis1).РроGJ. z>.Pi =Р
Когда Р является транзитивным сериальным отношением, мы будем
иметь Pi = Р - Р2.
*121-321. F : v > 0 . z>. Pv GPpo
*121-333. F : Ре Cis —> 1 . Рро G J . э . Pv+ci = Р | Pv
*121-35-351-352. h : P e (1 -> Cis) U (Cis -► I). P^ g J . p, v e NC induct. z>.
^V|Pv = Pvl^V = P H+Cv
Подобный результат имеет место для (PH)V, что = РИХсУ при тех же са-
мых условиях.
Затем мы переходим к доказательству того, что интервал (при исполь-
зовании аналогичной гипотезы) всегда является индуктивным классом. Это
занимает *121-4—47, будучи подытоженным в предложении
*121-47. h : Я е (1 —> Cis) U (Cis -> 1). z>. Я (х н z) е Cis induct
Это важное предложение. Оно приводит к
*121-481. F Я е Cis —» 1 . э : Мс‘Я (х н у) NcT? (х н z) • = .
Я (х н у) с Я (х н z)
вместе с аналогичным предложением, если Яе1—>Cls.
Следующая группа предложений (*121-5—52) касается finid‘P. Прини-
мая Ре (Cis —> 1) U (1 —» Cis). Рро G J, мы доказываем, что finid‘P = Potid‘P и
finid‘P-i‘PocPot‘P (*121-5); что если Р не нулевое, то finid‘P - i‘Po = Pot‘P
(*121-501); что s‘finid‘P = P* (*121-52) и 5 (finid‘P - l‘P0) = Рро (*121-502); и
что Р2 = Р2 . Р3 = Р3 . etc. (*121-51).
Наша следующая группа предложений касается Ур (*121-6—638). Мы
имеем
*121-601. F : Е ! В‘Р. э . ‘Р= 1Р . ~ {(В‘Р) Р^ (В'Р)}
*121-602. h : Е ! В‘Р. Р е 1 -> 1 . э . Б‘Р= 2Р
*121-634. F PeCls 1 . Рро G J .veNC induct - l‘0 . z>:
vp е D‘P. = . Е ! (v +с 1)р
Наконец, мы имеем три предложения (*121-7—72) о 7?*‘х, наиболее по-
лезное из которых есть
*121-7. F :Яе 1 —» 1 . aBR . aR*x. э .7?*‘х = Я (а н х) .1?*‘хе Cis induct
*12101. Р(х-у) = Но‘хП'?ро‘у Df
*121011. Р(лчу) = ?Ро‘хп‘?*> Df
Principia Mathematica II
»121. ИНТЕРВАЛЫ
269
Df
Pv - ху {Noc'P(xHy) = v +с1) Df
finid'P = R {(gv). v e NC induct - i‘A. R = Pv} Df
[(*121-02)]
[(*121-03)]
[(*121-031)]
[(*121-04)]
[*121-13. *14-28]
[*121-1. *91-53]
*121-012. Р(х1-у) = Х‘хП?ро‘У
*121-013. P (x н у) = К 'x П A ‘у Df
*121-02.
*12103.
*121-031. fin'P = R {(gv). v e NC induct - i‘A - i‘O. R = Pv) Df
*121-04. vP = Pv.ci ‘B‘P Df
*121-1. I-: z e P (x - y) = xPpoZ. zPpo^ [(*121-01)]
*121-101. I-: z e P (x ч y) = xPpoZ. zP*y
*121-102. F :zeP(xi-y) = xP*z. гРроУ
*121-103. F : z e P (x н у) = xP*z. zP*y
*121-11. F : xPvy. ^. Nqc‘P (x н y) = v+C1
*121-12. F: R e finid‘P. н. (gv). v e NC induct - i‘A. R = Pv
*121-121. F : R e fin‘P. =. (gv). v e NC induct - i‘A -1‘0. R - Pv
*121-12. F:/(vP). = ./(Pv_cl‘B‘P)
*121-131. F : E1 Pv_j ‘B‘P. =>. vP = Pv_cl ‘B‘P |
*121-14. F . P (x — у) = P (y — x)
*121-141. F . P (x -i у) = P (у н x)
*121-142. F . P (x н у) = P (у -I x)
*121-143. F . P (x н у) = P (у н x)
*121-2. F:~(xPpox).o.x~eP(x-y) [*121-1]
*121-201. F : ~ (уРроу). э. у ~ e P (x - y)
*121-202. F:PpoGj.o.x,y~eP(x-y) [*121-2-201]
*121-21. F: хРроу. s . у e P (x ч у). =. g! P (x ч у)
Доказательство.
F . *90-12 . *91-54. э F : xPpoy. s. xPpoy. у P* у
[*121-101] в.уеР(хчу)
F. *121-101. oF:g!P(x4y). = .xPpo | P*y.
[*91-574] =. xPpoy
F . (1). (2). э F . Prop
*121-22. F : xPpoy. = . x e P (x н у). в . g! P (x I- у)
*121-23. F : x P* у. =. x, у e P (x H y). s . g! P (x H y)
*121-231. F : xeC‘P . s . xeP(xhx) . s . g! P(xHx) [*121-23. *90-12]
*121-24. F : xPpoy. э. P (x ч у) = P (x - у) U i‘y
Доказательство.
F. *91-54. *121-101. э
F z e P (x ч y). = : xP^z: гРроУ. V . z = у. у e C‘P:
[*13-193. *91-504] = . xP^z • zPpoy • V. xP^y. z = у (1)
F . (1). *4-73 . э F :: Hp. эz e P (x ч у). в: xP^z. гРроУ. V . z = у:: э F . Prop
*121-241. F : xP^y. э. P(xHy) = P(x-y)Ui‘x
*121-242. F : xP*y. э. P (x н у) = P (x ч у) U i‘x = P (x I- y) U i‘y
= P (x - y) U i‘x U i‘y
*121-25. F.Ppo(x-y) = P(x-y) [*91-601. *121-1]
*121-251. F. Ppo (хчу) = Р(хчу)
*121-252. F. Ppo (x i- у) = P (x н у)
*121-253. F. Ppo (x н у) = P (x н у)
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
270
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
♦121-254. Ь. Pv = (Ppo)v [*121-253-11]
♦121-254 часто используется в теории серий.
♦121-26. h. Pv = (£)v
Доказательство.
I-. *121-11143 .=>!-: xPvy. = . Noc‘P (x н у) = v +C1.
[*90-132 . *121-11] = . x(P)vy: э F. Prop
* 121-27. F: xPy,y. э . v, v +C1 e NC - i‘A
Доказательство.
F . *121-11. *103-12 . э F : Hp . э . P(xHy)ev +Д (1)
F . (1). *110-4-42 . dF. Prop
* 121-271. F : ~ (v, v +C1 e NC - i‘A). э . Pv = A [*121-27. Transp]
* 121-272. F : g Pv . э . v > 0. v +C1 > 0. v +C1 1
Доказательство.
F . *117-5 . *121-27. э F : Hp. э . v 0. (1)
[*117-561. *110-641] э. v +C1 1 . (2)
[*117-511-531] d.v+c1>0 (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
* 121-273. F : g Pv+fi . э . v +C1 > 0
Доказательство.
F . *121-27. *110-4. э F : Hp. э . v e NC - i‘A.
[*117-6] d.v+c1 1.
[*117-511-531] э . v +C1 > 0: э F . Prop
* 121-3. F.P0G/fC‘P
Доказательство.
F . *121-11. э F : xPoy . = . P(xHy)el.
[*121-23] э . xP*y .x = y
[*90-12] э . x (I f C'P) у: э F . Prop
* 121-301. F : ~ (xPpoX). э : xP$y. = .xeC'P -x = y
Доказательство.
F . *91-542-56 . э F : xP*z • zP*x. x / z. э . xPpoX (1)
F . (1). Transp . э F Hp . э: xP*z. zP*x. ^хл . x = z:
[*121-231] э: x e C‘P. z>. P (x H x) = i‘x:
[*13-12 . *52-22] э: x e C'P. x = y . э . P (хну) el.
[*121-11] э.хРоу (2)
F . (2). *121-3. э F . Prop
* 121-302. F : Ppo G J. э . Po = I Г C'P [*121-301]
* 121-303. F : Nc‘P (x н у) > 1 . э . xPpoy
Доказательство.
F . *121-23 . *52-22 . *117-42 . э F Нр . э : хеР(хНу). Р(хНу) / l‘x:
[*51-4 . Transp] э : (gz). z / х. z € е Р (х н у):
[*121-103 . *91-542] э : (gz). xP^z. zP*y:
[*91-574] э: хР^уэ F . Prop
Principia Mathematica II
»121. ИНТЕРВАЛЫ
271
*121-304. I-Рро G J. э: хР\у. = . Р (х Ну) = i‘x U i‘y. х / у
Доказательство.
I-. *121-303-11. э F :. Нр. хР\у. э. хРроу
[Нр] э.х/у (1)
F. (1). *54-53-101. *121-23-11. э F. Prop
*121-305. НРроС/.э.Л cP
Доказательство.
F. *121-303. э F: Нр. хР\у. э. хРроу.
[*91-52] э. (з?). xPz • zP*y (1)
F. *121-304. *91-542. э
F Нр. хР\у. э : xPpoZ • zP*y .z>.z = y.
[*91-502] xPz-zP*y .'э-z = y (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*121-306. F : P e 1 -»Cis. ~ (хРр<,х) • xPy. э . P (x H y) = i‘x U i‘y. x / у
Доказательство.
F . *91-542 . z> F : xP*z. zP*y .z±x.z±y- xPy. э: xPpoZ • zPpoy • xPy:
[*34-1] z>: xPpoZ. zPpo\Px:
[*92-11] z>: P e 1 -» Cis. z>. xPpoZ. zP*x:
[*91-574] z>: P e 1 -> Cis. э. xPp<>x (1)
F. (1). Transp. э F :: Hp. эxP*z . zP*y. z>z: z = x. V . z = у (2)
F. *121-23. z> F: Hp. э. х,уеР(хну) (3)
F. *91-502. z> F : Hp. э. x Фу (4)
F. (2). (3). (4). *121-103. э F . Prop
*121-307. F : P e Cis -» 1. ~ (уРроУ). xPy. э. P (x н у) = i‘x U i‘y. x / у
[*121-306-143]
*121-308. F: Pe (1 -»Cis) U (Cis -»1). Ppo g J. z>. P gPi
[*121-306-307-11. *54-101]
*121-31. F : Pe(l —» Cis)U (Cis —»1). Ppo GJ. z>. P[ = P [*121-305-308]
*121-32. F.P + vgP*
Доказательство.
F. *121-11. *120-421. *101-14. Transp. => F : xPvy. э. 3! P (x H y).
[♦121-23] э. xP*y: z> F . Prop
Если v не является кардиналом или если v +с 1 = Л, то PV=A.
*121-321. F : v > 0. =>. Pv GPpo
Доказательство.
F. *120-428. *121-11. z> F : Нр. xPvy. z>. Nc‘P (х н у) > 1
[*117-55 . *52-181. *121-23] э . (32). z е Р (х н у). z ф х.
[*121-103 . *91-542] э . (az) • xPpoZ. zP*y.
[*91-574] э . хРроу: э F. Prop
*121-322. F . C‘PV с ёР[*121-32 . *90-14]
*121-323. F : v > 0. э . D‘PV с D‘P. Q‘PV с (ГР [*121-321. *91-504]
*121-324. F . D‘Pv+cl с D‘P. a‘Pv+u с П‘Р
Доказательство.
F. *121-273-323. э F: э ! Pv+J . э. D‘Pv+c, с D‘P. CTPv+cl с Q‘P (1)
F. (1). *33-241. э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
т
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*121*325. I-: э ! Ри A Pv • э . |л = v
Доказательство.
F . *121-11. э F : Нр . э . g! (ц +с1) О (v +с1) А Го‘Н •
[*100-42 . *110-4] э . а! (р, +с1) А Го‘Н • (ц +с1) А г0‘Н = v +Д
[*120-311] э F . ц = v: э F . Prop
*121-326. F . fin‘P с finid‘P. finid‘P - i‘P0 с/ш‘Р [*121-12-121]
*121-327. F : й ! Ро . э . fin‘P = finid‘P - i‘P0
Доказательство.
F . *121-325 . Transp . *121-121. z> F . Hp. э : Я e fin‘P. э . R / Po (1)
F . (1). *121-326 . э F . Prop
*121-33-331 являются леммами для *121-332, которое представляет собой
весьма полезное предложение.
*121-33. F:.Pel Cis . э : zeP(x-y). = . zeP(x-i Р» :
zeP(xb-y) . = .zeP(xh РУ)
Доказательство.
F . *71-7. э F Нр . э : zP*(P‘y) = . zP* | Ру.
[*91-52] s.zPpoy (1)
F. (1). *1211101102 103. э F. Prop
Из этого предложения следует, что
Р е 1 —> Cis. у е Q‘P. о. Р (х - у) = Р (х -I Р‘у). Р (х I- у) = Р (х н Р‘у).
Следования не будет, если только уеС'Р, так как
Р (х ~ У) — Р (х -I Р‘у). э. Е ! Р‘у,
в то время как
zeP(x-y). =z.zeP(x-iP‘y)
будет всегда истинно, если у~еО‘Р, и поэтому (когда Pel—»Cis), если
~Е!Р‘у.
*121-331. I-Р е 1 -> Cis . Рро G J. э : xPv(P‘y). = xPv+uy
Доказательство.
F . *121-324. *71-16. z> F Нр. z>: xPv+3y. э. Е ! Р‘у
F. *121-33. э1-:Нр.Е!Р‘у.э.Р(хну) = Р(хнР‘у) (2)
I-. *121-242-32. (2). э F: Нр(2). хР*у. э. Р(хну) = Р(хнР‘у) Ui‘y (3)
I-. *91-52 . э F: Нр. э . ~ (уР* | Ру).
[*71-7] э. ~ (уР*(Р‘у)}.
[*121-103] =>.~{Р(хнР‘у)}. (4)
F. (3). (4). *110-63. э F : Нр (3). э. Nc‘P (х н у) = Nc‘P (х н Р‘у) +е 1 (5)
F. (1). (5). *121-11-32 . э
F : Нр. xPv+ciy. э. (v +с 1) +с 1 = Nc‘P (х н Р‘у) +С1.
[*120-311. *121-27] э . v +С1 = Nc‘P (х н Р‘у).
[*121-11] э. xPv(P‘y) (6)
F. (5). *14-21. *121-11-32. э F : Нр. xPv(P‘y). э . Nc‘P(xH Р'у) = (v +с 1) +с 1.
[*121-11] o.xPv+Jy (7)
F. (6). (7). э F. Prop
* 121-332. F:PeCls->l.PpoG./.z>.Pv+ci=Pv|P [*121-331]
* 121-333. F : PeCls-»1. Рро GJ. э.Pv+ci = Р|Pv
Principia Mathematica II
»121. ИНТЕРВАЛЫ
273
* 121-34. I-: Р е Cis -»1. Ppo G J. v e NC induct. э . Pv c 1 -»Cis
Доказательство.
I- . *121-3. э I-. Po e 1 -> Cis (1)
I- . *121-332 . z>F Hp. э: Pve 1 ->Cls. z> . Pv+cl e 1 -> Cis (2)
F. (1). (2). *120-11. эН Prop
* 121-341. I-: PeCls—> 1. Ppo G J. veNC induct. z>. Pv eCis -> 1
* 121-342. F : Ре 1 —> 1. Ppo G J. veNC induct. z>. Pv e 1 -> 1 [*121-34-341]
* 121-35. F : Pe 1 -» Cis. Ppo gJ . p, veNC induct. э. Рц |Pv = Pp+cV
Доказательство.
F . *50-62 . *121-302-322 . э I-: Hp . э. Ри | Po = Рц+с0 (1)
I-. *121-322. э F :. Hp. э : p, v e NC induct. Ри | Pv = Pp+cV . э.
P|l I Pv+cl = P|1+CV I P
[*121-332] = Pp+cV+ci (2)
I- . (1). (2).*120-13.эНProp
* 121-351. F : P e Cis -> 1. Ppo G J. p, v e NC induct. э. Pg | Pv = Pp+cV
* 121-352. I-: P e (1 —> Cis) U (Cis -> 1). Ppo G J. p, v e NC induct. z>.
Ри | Pv = Pv | Pp [*121-35-351. *110-51]
* 121-36. F : Pe(l —» Cis) U (Cis—> 1). Ppo G J. p, veNC induct -1‘0. d .
(P|l)v = P |X+CV
Доказательство.
I-. *121-321. z> Ь : Hp . э. Pp GPpo .
[*91-59-601] э.(Рр)роС/. (1)
[*121-31-34-341] o.(Pp)i=Pp (2)
F. *121-332-333-352 .(!).=>
F :. Hp. э: (Pp)v+c i = (РДу I Рц •
[*34-27] z>: (Pp)v = Pgxcv • о. (Pp)v+Ci = Ppxcv I Рц
[*121-35-351] =Р(цхсу)+сИ
[*121-35-351] =PhMv+cd (3)
F . (2). (3). *120-47. э F. Prop
*121-361. F:Pe(l -> Cis) U (Cis-> 1). Ppo G J. p, veNC induct -1‘0. э.
(Pp)v = (Pv)p [*121-36 . *113-27]
*121-37. F: P e Cis -»1. у e P (x H z). э . P (x H z) = P (x H y) U P (у H z)
Доказательство.
F . *121-103 . z> F : Hp. э. xP*y. yP*z (1)
. F. (1). *121-103. z>
F :. Hp. э : w e P (x н z) • = • xP*w. wP*z • xP*y. yP*z (2)
F. *96-302. z> F:: Hp. э:. xP*w. xP*y. э ‘.yP*w. V .yP*w (3)
F . (2). (3). *4-73. э
F :: Hp. э:. weP (,t н z). =: xP*w. wP*z • xP*y. yP*z. wP*y. V .
xP*w. wP*z • xP*y. yP*z • yP*w (4)
F . *90-17. *4-73. dF : wP*y.yP*z • s • wP*z • wP*y. yP*z:
yP*w. wP*z • -yP*z. wP*z .yP*w (5)
F . (4). (5). э F :: Hp. z>:. w e P (x н z) • =: xP*w. xP*y. yP*z • wP*y. V.
xP*w. wP*z • xP*y. yP*w:
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
274
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
xP*w. wP*y . yP*z . V . хР*у. yP*w . wP*z :
xP*w. wP*y. V . yP*w. wP*z:
weP(xHy)UP(y Hz)□ I-. Prop
Cis) . у € P (x H z). э .
[*9047. *4-73]
1(1). *4-73]
[*121103]
*121-371. F:Pe(Cls—> 1)U(1
P (x н z) = P (x H y) U P (y H z) = P (x H y) U P (у н z)
= P(xHy)UP(y-iz) [Док-во как в *121-37]
*121-372. F: Pe (Cis —»1) U (1 —> Cis). у € P (x н z). z>.
P (x -H z) = P (x -H y) U P (y -H z) = P (x -I y) U P (у H z)
*121-373. F : Pe(Cls —»1) U (1 —»Cis).у eP(xн z). э .
P (x H z) = P (x н y) U P (y I- z) = P (x н y) U P (y I- z)
*121-374. F : P e (Cis -> 1) U (1 -> Cis). у e P (x - z). э .
P (x - z) = p (x -I y) U P (y - z) = P (x - y) U P (y I- z)
= P (x -1 y) U P (y I- z)
Доказательства этих предложений аналогичны доказательству *121-37.
*121-38. F :7?eCls —> 1. хЯроХ. э .Я(хнх) = Ж.‘х [*97-5]
*121-381. F:7?eCls^ 1 .хЛроХ.э.Л(хНх)=Х‘х [*97-501]
* 121-382. F : R € Cis -» 1. xR^x. xR^y. э .
R (x H x) = R (хну) = &‘х = Я (у Ну) [*97-5 . *91-56]
* 121-383. F : R € Cis -> 1. xR^x. yR^x. э .
R (x H x) = R (у H x) =7?*‘x = R (у H y)
* 121-384. F : R € (Cis -> 1) U (1 -> Cis). хЯроХ. у e R (x H x). э .
R (x H x) = R (x H y) = R (у H x) = R (у н у) [*121-382-383]
* 121-39. F fleCls -> 1 .D:/?(xHy)c/?(xHz). V./?(xHz)c/?(xHy)
Доказательство.
F . *96-302 . э F Hp. xR*y. xR*z. z> : yR*z. V . zR*y (1)
F . *121-37. □ F : Hp . xR*y.yR*z. э . (xну) сЯ (хн?) (2)
F . *121-37. э F : Hp. xR*z • zR*y. . R (x н z) cR (x ну) (3)
F . (1). (2). (3). э F Hp . xR*y . xR*z. э :
R (x н у) c R (x H z). V . R (x H z) c R (x H y) (4)
F . *121-23. э F: ~ (x7?*y) ,э./?(хНу) = А
[*24-12] D./?(xHy)c/?(xHz) (5)
F.(5)—. DF:~(x/?*z).D./?(xHz)c/?(xHy) (6)
F . (4). (5). (6). э F . Prop
Ряд следующих предложений связан с доказательством *121-47, т.е.
R е (Cis —> 1) U (1. —»Cis). э . R (х н z) е Cis induct.
Доказательство для R е 1 -> Cis следует из доказательства для R е Cis —» 1
посредством *121-143. Мы продолжим, ограничиваясь поэтому случаем
/?eCls—>1.
Сперва мы доказываем, что, начиная от z и следуя в обратном направ-
лении, каждый новый шаг добавляет лишь один терм (который, возможно,
не отличается от всех своих предшественников); т.е. мы имеем
R е Cis -» 1. xRy. yR*z .R(x Hz) = С х VR (у Hz).
Отсюда с помощью индукции следует, что если 7?(zHz) является индук-
тивным классом, то таков же и R (х н z). Таким образом, мы лишь должны
Principia Mathematica II
♦ 121. ИНТЕРВАЛЫ
275
доказать, что Я(гнг) является индуктивным классом. Здесь мы должны
различать два случая соответственно тому, будет ли ~ (z7?poz) или zR^z.
В первом случае мы имеем
3! R (z н z). э . R (z н z) = i‘z,
откуда заключаем, что R (z Н z) является индуктивным классом, и поэтому
таков же и /?(хнг).
Однако во втором случае, когда zflpoZ, все усложняется. В этом случае
z есть элемент цикла R (z Н z). Мы должны доказать, что этот цикл обязан
быть индуктивным классом. В данном xR*z х будет элементом этого цикла,
если х/Сро*, а может быть у кончика хвоста 2, если ~(хЯроХ). (Ср. *96.)
На основании *96-453 нам известно, что R есть 1 —> 1, когда ограничи-
вается до Л(гнД
Следовательно, в Я(гнг) z имеет единственного предшественника, ска-
жем, а. Предположим, что а / z. Тогда мы можем представить перего-
родку, помещенную между а и z, т.е. мы образуем отношение S, которое
предполагается имеющим место между любыми двумя последовательными
элементами R (z н z), исключая а и z. Полагая а = R (z н z) - i‘a, мы имеем
S = a] R. В таком случае отношение 5 генерирует открытую серию, со-
стоящую из всех термов Я(гнг); т.е. мы имеем
~ (aSpoa). 5 (z н а) = R (z н z).
Следовательно, на основании рассуждений предыдущего случая, поскольку
5 (z Н а) является индуктивным классом, то таков же и R (z Н z).
Если а = z, то на основании *96-33 рассматриваемый цикл сводится
к единственному терму z, и поэтому R (z Н z) все еще является индуктивным
классом.
Следовательно, /?(zHz), а поэтому и 7?(xhz), всегда есть индуктивный
класс, когда 7?eCls—> 1, что и следовало доказать.
*121-4. F : R е Cis -»1. xRy. yR*z. э . R (x H z) = i‘x U R (у H z)
Доказательство.
F . *90-311. э F :: Hp . э xR*w. = : x = w. V . xR | R*w:
[*71-701. Hp] = : x = w. V .yR*w (1)
F . *90-172 . dF Hp. э :x = w. э. wR*z (2)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
276
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
F . (1). (2). э F :: Нр . э xR*w. wR*z. = : х = w. V . yR*w . wR*z (3)
F. (3) .*121-103. oF. Prop
*121-41. F : R e Cis -» 1 . R (z H z) e Cis induct. э . R (z H z) € Cis induct
Доказательство.
I-. *121-4 . *120-251. *90-172 . э F :. Hp . э :
yR*z .R(yHz)e Cis induct. xRy. э . xR*z.R(xHz)e Cis induct (1)
F . (1). *90-112— . э F : Hp . xR*z. э . R (x H z) € Cis induct (2)
F . *121-23 . *120-212 . э F : ~ (xR*z. э . R (x н z) e Cis induct) (3)
F . (2). (3). э F . Prop
В силу этого предложения, мы должны показать только то, что
R (z н z) с Cis induct. Это очевидно, когда ~ (zflpoz), так как либо R (z н z) = i‘z,
либо R (z н z) = А. Однако когда z/?poZ, то ситуация усложняется.
*121-42. F : R е Cis —> 1. ~ (zflpoz). э . R (х н z) € Cis induct
Доказательство.
F . *121-303 . Transp . *120-441. э F : Hp. э . Nc‘fl(zHz) 0 .
[*120-48] э . Nc‘fl(zHz)eNC induct.
[*120-211] d . R (z H z) € Cis induct (1)
F. (1). *121-41. dF . Prop
*121-43. b:/?eCls-^ 1 ,z7?poZ.z>.E!t‘(^‘znM‘z)
Доказательство.
F. *91-52. э F : Hp. э . (ga). zR*a. aRz (1)
Ь. *96-453. z> I-: Hp. Э. (X‘z) 1 Яе 1 -> 1.
[*71-122] z>. a (гЯ*а. e 1 U i‘A (2)
F . (1). (2). э F : Hp. э . a (zR*a . aRz) e 1.
[*52-15] э . E !V(7?‘zn Ж/z): э F . Prop
*121-431. F : R e Cis -> 1. zJR^z. a = t‘(7?‘z А Ж ‘z). a = Ж ‘z - Ca.
5 = a ] R . э . ~ (aSpoa)
Доказательство.
F . *35-61. □ F : Hp. э . a - e D‘5 .
[*91-504] D.a-eDWpo.
[*33-14] э . ~ (aSyoa): э F . Prop
*121-432. F : Hp *121-431 . э . 5 (z H a) e Cis induct
Доказательство.
F . *71-261. э F : Hp . э . 5 e Cis -> 1 (1)
F . (1). *121-431-42 . э F . Prop
*121-433. I-: Hp *121-431 .z/fl.D.S(zHe)^‘z = «(:Hz)
Доказательство.
F . *96-11. э F :. Hp . э : zS*w.
F . *51-3 . *91-504 . эF :. Hp . э :zea.zeD7?:
[*35-61] d:zcD‘5:
[*90-12] d:z5*z
F . (1). *90-16 . э F :: Hp . э :. zS*w. wR*y. э : wea U i‘a. wRy:
[*35-1] э : wSy . V . w = a . wRy:
[Hp . *71-171] э : wSy. V .y = z:
Principia Mathematica II
»121. ИНТЕРВАЛЫ
277
э I-Нр.. э: wS*a. wRy .z>.yS*a
z> Ь Hp. э: zR*y .z>.yS*a
dF Hp. э : zR*y. э. zS*y .yS*a
э F Нр . э : zS*y. yS*a . = . zR*y:
э : 5 (z н а) = Ж* ‘z
= Я (z н z)э F . Prop
[*90-16-17. (2)] э: zS*y
f-. (2). (3). *90-112. э Ь Hp. э: zR*w .z>.zS*w:
[Hp] э: zS*a
К *71-171. эЬ : Hp. aRy. э . у = z
I-. *91-542-504. *35-61. э I-Hp. э: wS*a. w a. wRy. z> . wSpofl. wSy.
[*92-111] oh.Hp.
К (5).(6).(7).
Ь . (5). (8). *90-112 .
К (4). (9).
H(l)^.(10).
[*121-103]
[*121-38]
*121-434. I-: Нр *121-431 . z = а. э. К ‘z = R (z н z) = i‘z
Доказательство.
I-. *3218 . э F : Нр . э. zRz
[*96-33] э . Ж*‘г = i‘z.
[*121-38] d./?(zhz)i‘z
F . (1). (2). э F . Prop
*121-44. F : R е Cis -> 1. zJRpoZ • . R (z H z) e Cis induct
Доказательство.
F . *121-43-432-433 . э
F : Hp. z / i/(J? ‘z П Же ‘z) • э . R (z H z) e Cis induct
F . *121-434 . *120-213 . э
F : Hp . z = 1‘(Ж‘г А Ж ‘z). э . R (z H z) € Cis induct
F . (1). (2). э F . Prop
*121-441. F : R € Cis -> 1. zRpoZ .^.R(xHz)e Cis induct
*121-45.
*121 46.
*121-47.
*121-48.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(Ю)
(1)
(2)
(1)
(1)
[*121-44-41]
[♦121-42-441]
[*121-45-143]
[*121-45-46]
F : R e Cis —> 1. э . Я (x H z) e Cis induct
F : R e 1 -» Cis. э . R (x H z) c Cis induct
F : R e (Cis —> 1) U (1 —> Cis). о . R (x H z) € Cis induct
F :.7?6Cls—> 1. э :
Nc 17? (хну) < Nc‘7? (x н z) • = • Я! R (x H z) - R (x н у)
Доказательство.
F . * 121 -39 . э F :. Hp . э : я! Я (x H z) - Я (x н у). = .
н у) с Я (x н z). Я (x н у) / Я (x н z).
[*120-7 . *121-45] э . Мс‘Я (х н у) < Мс‘Я (х н z)
F . *117-222-29 . э F : Мс‘Я (х н у) < Мс‘Я (х н z). э .
~ (Я (х нz) сЯ (хну)}.
[*24-55] □. з! Я (х н z) - Я (х ну)
F . (1). (2). э F . Prop
*121-481. F ЯеСк —> 1. э : NcT?(хНу)^ Мс‘Я(xHz). = .
Я (х н у) с Я (х н z)
(1)
(2)
Доказательство.
I-. *121-45. *120-441. z>
I-Hp. z>: Nc‘R (x н y) < Nc‘R (x H z) • = • ~ (Nc‘R (x H z) < Nc‘R (x н у)}.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
278
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
[*121-48] = . ~ я! R (х ну) - R (х н z).
[*24-55] = . R (х н у) с R (х н z)F э . Prop
Приведенное выше предложение используется в доказательстве *122-35,
которое является важным предложением в теории прогрессий.
Следующие предложения связаны с отождествлением таких отношений,
как Pv со степенями Р в смысле *91.
*121-5. F:Pe(Cls-» 1) U (1 -> Cis). Р^ g J. э .
finid‘P = PoticTP. fin‘P = Pot‘P
Доказательство.
I-. *121-302-31. э I-: Hp . э . Po = Z Г C‘P. Pi = P (1)
F. (1). *121-332-333-352 . э F Hp . v e NC induct. э : Pv+ci = Pv I P: (2)
[*91-34] э : Pv ePotid‘P. э . Pv+ci ePotid‘P: Pv ePot‘P. э . Pv+ci ePot‘P (3)
F. (1). *91-35 . э F : Hp. э . Po e Potid‘P. Px e Pot‘P (4)
F . (3). (4). *120-13-47. э F Hp . э : veNC induct. э . Pv ePotid‘P:
v e NC induct - l‘0 . э . Pv e Pot‘P:
[*121-12-121] э : finid‘P c Potid‘P. fin‘P c Pot‘P (5)
F . (2). *121-121. э F Hp . э : veNC induct. э . Pv | Pefin‘P:
[*121-12] э : Q e finid‘P. э . Q | P e fin‘P:
[(1). *91-17-171] э : Potid‘P c finid‘P. Pot‘P c Hn‘P (6)
F . (5). (6). э F . Prop
*121-501. F : P e (Cis -> 1) U (1 -> Cis). P^ g J. £ !P. э.
Pot‘P = finid‘P - i‘Po = fin‘P
Доказательство.
F . *121-302 . э F : Hp . э . g !Po
F. (1) .*121-5-327. oF. Prop
* 121-502. F : Pe(Cls 1) U (1 —» Cis). Ppo G J. э .
j‘(finid‘P - i‘P0) = Ppo = s‘fin‘P
Доказательство.
F . *91-504. *33-24. *121-5 . э F : P = A . э . s‘(finid‘P - l‘P0) = A = P^ (1)
F. (1) .*121-501-5.oF.Prop
* 121-51. F : P e (Cis -> 1) U (1 -» Cis). P^ g J. э . P2 = P1. P3 = P3. etc .
Доказательство.
F. *121-31. эННр.э.Р] =Р 1-. *121-332-333 . z> F : Нр . z>. Р2 = Pi | Pi (1)
[(1)1 =Р2 F. *121-332-333-352 . э F : Нр. э . Р3 = Р2 | Pi (2)
1(1)-(2)] =Р3 F. (2). (3). etc.. z> F. Prop (3)
*121-52. F : P e (Cis 1) U (1 -> Cis). P^ g J. э . j‘finid‘P = P*
[*121-5. *91-55]
На более поздней стадии (*301) мы дадим общее определение Pv. По-
сле того как указанное определение будет введено, мы будем в состоянии
доказать, взяв в качестве гипотезы *121-51, что
v е NC induct. э. Pv = Pv.
Упомянутое определение Pv откладывается ввиду различных сложностей,
Principia Mathematica II
*121. ИНТЕРВАЛЫ
279
которые делают затруднительным общее определение Pv. Главная труд-
ность возникает, когда з’РП/. Предположив, что это так, мы имеем уРу;
мы будем также иметь уР2у, уР3у и т.д. Следовательно, если мы имеем
хРу, то мы имеем
v е NC induct - ГО. dv . xPvy.
С другой стороны, предположим, что этот случай исключен, и положим
(Э ц, у). ц е NC induct. у е Р (х н z) • уР^у.
Тогда мы будем иметь
v е NC induct - ГО - ГА . э . уРИХсУу.
Таким образом, общее определение Pv усложняется, исключая тот случай,
когда PpoGj.
Следующие предложения касаются серии отношений Pv и серии тер-
мов Ур. Отношение Pv имеет место между двумя термами (грубо говоря),
когда требуется v шагов, чтобы перейти от первого ко второму; терм Ур
есть v-й по порядку терм, начиная от В‘Р, который, когда он существует,
есть 1р. Для того чтобы Ур существовал, необходимо, чтобы существовал
‘Ри чтобы имелся в точности один терм х в поле Р, такой, что интервал
от ‘Рдо х (оба включаются) состоял из v термов. Когда это имеет место,
то для всех индуктивных кардиналов от 1 до v мы можем сказать, что
Р генерирует серию, начиная с В‘Р, имеющую, по меньшей мере, v тер-
мов, каждый из которых коррелирует с одним из кардиналов в интервале
от 1 до v (оба включаются); т.е. рассматриваемая серия имеет ц-й терм
всякий раз, когда 1 р < v. Если это имеет место для всех индуктивных
значений v, то семейство ‘Рявляется прогрессией64. (В дальнейшем мы
заметим, что все термы, такие как vp, принадлежат семейству В‘Р, которое
не обязательно образует все поле Р.)
* 121-6. F у / 0. э . f (vp). = . f [Гу {Nc‘P (B‘P Hy) = v}]
Доказательство.
I-. *121-11. *120-414-416 . э F Hp . э :
f [Ту {Nc‘P (B‘P ну) = v}]. = . f [Ту {(B‘P) Pv_cl ну)}].
= • f (vp): э F . Prop
*121-601. F : E ! B'P. э . B'P = 1P . ~ {(B‘P) Ppo (B‘P)}
Доказательство.
F . *91-504. *93-1. э F . ~ {(B‘P) P^ (B‘P)}. (1)
[*121-301] э F E ! B‘P. э: (B‘P) Poy. =y . B‘P = у:
[*31-17] э:В<Р = Р0‘В‘Р:
[*121-13] э:В‘Р=1р (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*121-602. F:E!B‘P.Pel-> 1 .э.Б‘Р= 2р
Доказательство.
F . *121-306-601. э F : Hp. э . P (B‘P H P‘B‘P) € 2 (1)
F . *121-23-601. э F :: Hp . э (B‘P) P^y. э . В‘Р,уеР(В‘Рну). B‘P/y
[*54-53. *121-303] э P (B‘P н у) e 2. э : P (B‘P ну) = Г‘РU Гу. (B‘P) P^ у:
[*92-111] э : (P'B'P) P*y.P (B‘P н у) = Г‘РU Гу:
64 Ср. ниже *122.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
280
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
[* 121 •103-601] э: Б‘Ре i‘B‘P U i‘y. Р‘В'Р / В‘Р:
[*51-232] zz:y = P‘B‘P (2)
F. (1). (2). *121-6. э F . Prop
*121-61. F:Ре 1 —»Cis. Рро G J. хе s‘gen‘P. э .
(ga, v). аВР. v е NC induct. аР^х
Доказательство.
F. *93-36. э I-Ре 1 -> Cis. xes'gen'P. э. (да). аВР. аР*х (1)
F . *121-52 . э F Р е 1 ->Cls. Рро G J. э : аР*х . = .а (s‘finid‘P) х (2)
I-. (1). (2). э I-: Нр. э . да. аВР. а (j‘finid‘P) х.
[*121-12] э . (да, v). аВР. v е NC induct. aPvx: э F. Prop
*121-62. F: PeCls —»1. Рро G J. (В‘Р)Р*х. э.
(gv). v e NC induct - Г0. = x = vp
Доказательство.
F. *121-52. э F: Hp . э . (B‘P) (i‘finid‘P) x.
[*121-12] э . (gv). veNCinduct. (B‘P)Pvx (1)
F . *121-341.э F: Hp .veNC induct. э. Pv e Cis -► 1 (2)
F . (1). (2). э F: Hp.d. (gv). v e NC induct. fiv‘B‘P.
[*121-13] э. (gv). v e NC induct. x = (v +c l)p.
[*120-471] z>. (gp). peNC induct -1‘0. x- p/>: э F. Prop
*121-63. F: E ! vP . zj . Noc‘P (B‘P HvP) = v
Доказательство.
F . *121-13-131. э F : Hp. э . (B‘P) Pv_ ivP.
[*121-11] э . Noc‘P (B‘P н vp) = v: z> F . Prop
*121-631. F:. PeCls-> 1. Ppo G J. veNC induct -1‘0. э :
Noc‘P (B‘P Hy)=v.H.y = vp. = . (B‘P) Pv-Ciy
Доказательство.
F. *120-414-416. *121-11. э
F:. Hp. z>: Noc‘P (B‘Pн у) = v. э. (B‘P) Pv.cly. (1)
[*121-341] =.у=^_сСВ1Р.
[*121-13] =-y = vp (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Предложения *121-632-633 требуются для доказательства *121-634.
*121-632. F : PeCls -» 1. Рро g J. veNC induct -1‘0 .y = vp .yPz. э . z = (v +c l)p
Доказательство.
F . *121-13. э F : Hp. z>. (B‘P) Pv_cly. yPz.
[*121-333-352] э . (B‘P) Pvz .
[*121-631] э. z = (v +c l)p : э F . Prop
*121-633. F: P e Cis 1. Ppo G J. v e NC induct -1‘0. vp e D‘P. э .
E ! (v +c l)p. (v +c l)p = P‘vp
[*121-632]
*121-634. FPeCls —»1. Ppo G J. veNCinduct -1‘0. э : VpeD‘P. = . E ! (v +c l)p
[♦121-633-631-333-352]
*121-635. F: PeCls 1. Ppo G J. E ! vp. э. NC induct -1‘0
Доказательство.
F . *121-63-45. э F: Hp . э . v e NC induct (1)
F. *121-13. DF:E!vp.D.g!P(v_cl).
Principia Mathematica II
.121. ИНТЕРВАЛЫ
281
[*121-272]- d.(v-c1)+c 1>0.
[*121-272] э. v > 0 (2)
h . (1). (2). э I-. Prop
*121-636. I-:PeCls —> 1.Ppo GJ.E ! Vp . ~E ! (v+c 1)p.d.
К ‘B'P = P (B'P H vp). Noc‘X. ‘B‘P = v
Доказательство.
I-. *121-635 . э F: Hp. э . v e NC induct - i‘O. (1)
[*121-634. Hp] 3.Vp~eD‘P (2)
I-. (1). *121-63. э I-:: Hp. э a! P (B‘P Hv,):.
[*121-23] э(BlP) P* vP
[*96-302. *91-542] z>(B'P) P*z. э: zP*vP. V . VpP^z (3)
I-. (2). (3). *91-504. э I-Hp. d : (BlP) P*z.z>. zP*vP:
[*4-71] э : (B‘P) P*z - = - (B‘P) P*z. zP*vp:
[*121-103] d:P*‘B‘P=P(B‘Phvp): (4)
[*121-63] d:Noc‘X‘B‘P = v (5)
b. (4). (5). э h. Prop
*121-637. I-: E ! vP . z>. vP e ClP
Доказательство.
F . *121-13. *14-28 . э h : E ! vp . =. Vp = P(v_cl)‘B‘P.
[*121-322] э. vP eC'P: э h . Prop
*121-638. I-E ! (v +c l)p - э: (B‘P)Pvx. = .x = (v+C 1)P : (v +c l)-cl = v
Доказательство.
I- . *121-13. эI-:E ! (y +c l)p. = .E!P(v+ci)_cl‘B‘P. (1)
[*121-272] d.(v+c l)-cl ^0.
[*14-21] d.E!(v+c1)-c1.
[*14-22 . (*120-411)] э . (v +c l)-cl = v (2)
I-. (2). э I-Hp. э: (B‘P) Pvx. =. (B‘P) P(v+ci)_eix -
[(1) • *30-4] =.x-P(v+ci)_ei‘B‘P.
[*121-13] = .x=(v+cl)p (3)
F. (3). (2). э I-. Prop
*121-64. F : PeCls -> 1. Рро G J. veNC induct -1‘0. Nc‘X‘B‘P v. э . E ! vP
Доказательство.
F . *121-636 . э Ь Hp. E ! Vp . э: ~ E ! (v +c l)p . э . Noc‘X‘BlP = v (1)
I-. *120-428 . э I-: veNCinduct 3! v +C1. э. v +C1 > v.
[*117-281] э. ~ (v v +cl) (2)
I-.*117-15. 3l-:~a!v+cl .d.-COv+J) (3)
l-.(2).(3). э I-: veNC induct. э . ~ (v v+cl) (4)
F.(l).(4). d I-Hp. E ! vp. э:
~E !(v+c l)p . э. ~ (Nc‘X‘B‘P v +cl):
[Transp] э : Nc‘X‘P‘P > v+C1. э . E ! (v+c l)p (5)
I-. (5). Syll. *117-6 . э I-Hp: Nc‘X‘B‘P > v. э . E ! vP : z>:
Nc‘X‘B‘P^v+c1.d.E!(v+c1)p (6)
I-. *14-21. *121-601. э I-: Nc‘X‘P‘P > 1. э. E ! lP (7)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
282
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
I-. (6). (7). *120-473 . э
I-Нр . э : Nc‘^*‘B‘P > v . э . Е ! vP э I-. Prop
*121-641. I-PeCls -» 1. Р^ <zJ .veNC induct -1‘0 . э :
Nc‘X‘B‘P > v. = . E ! vp
[*121-64-63-32]
*121-65. F: PeCls —> 1. P^ G J. 0 . E ! (p +c v)P . э . pPPv(H +c v)P
Доказательство.
I- . *121-631-635-64. *120-452 . э
F : Hp. э . (B‘P) Ри_с1Цр . (B‘P) Ри+сУ-д(Н +c v)p .
[*121-351. *120-424] э ДВ‘Р) P^P . (B‘P) (Ри_д | Pv) (|i +c v)P .
[*121-341. *72-591] э . pPPv(p +c v)P: э F . Prop
*121-66. F : PeCls —> 1. Ppo G J. Nc‘P(B‘Phx)> v . э . xed‘Pv
Доказательство.
I-. *121-45 . *120-48 . э F : Hp. э . v e NC induct.
[*120-429] э . Nc‘P (B‘P Hx) > v+cl.
[*117-31] э . (gp). Nc‘P(B‘P hx)=v+c1+cH-
[*121-11] э.(др).(В‘Р)РУ+сИх.
[*121-351-352] э . (gp). (B‘P) (Ри | Pv) x.
[*34-36] э . xeQ‘Pv : □ F . Prop
Следующее предложение используется в *122-38-381.
*121-7. I-:Re 1 -» 1. aBR. aR*x. э ,Х‘х = Л(анх).7?*‘xeClsinduct
Доказательство.
I-. *96-25 . э F Hp . э : уЯ*х. э . aR*y:
[*4-71] э : yR*x. = . aR*y. уЯ*х:
[*121103] э:Х‘х = й(днх) (1)
F. (1). *121-45 . э F . Prop
*121-71. F:.Pel -> 1 :xe5‘gen‘P. V . gy. у eR*'x. yR^y: э .
7?* ‘x e Cis induct
Доказательство.
F . *121-7. *93-36 . э F : Re 1 —> 1. xe 5‘gen‘P. э .7?*‘xe Cis induct (1)
F . *97-55-111. z> F Pe 1 —>1: (gy). у еЯ*‘х.уРроу: э :
у e Я* ‘x. . уРроу: х е Я* ‘х:
[*10-26] э : хЯроХ:
[*121-381] э:Х‘х = Я(лнх):
[*121-45] э ‘хе Cis induct (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*121-72. F : Re 1 -* 1.7?*‘x ~ e Cis induct. э . хер‘О“Ро!‘Я. Яро [ Я*‘хс J
[*121-71. Transp . *93-271. *120-212 . *50-24]
Principia Mathematica II
♦122. ПРОГРЕССИИ
283
*122. Прогрессии
Краткое содержание *122.
Под “прогрессией” мы понимаем серию, которая похожа на серию ин-
дуктивных кардиналов в порядке их величины (предполагая, что все ин-
дуктивные кардиналы существуют), т.е. серию, чьи термы могут быть на-
званы как
1/6 2д, Зд,..., V/?,... ,
где каждый терм этой серии скоррелирован с некоторым индуктивным кар-
диналом, а каждый индуктивный кардинал скоррелирован с некоторым
термом этой серии. Подобные серии соответствуют реляционному числу
(ср. *152 и *263), которое Кантор называет со. Их производящее отноше-
ние может быть взято как транзитивное отношение раньше и позже или
одно-однозначное отношение непосредственного предшественника к непо-
средственному последователю. Мы зарезервируем обозначение со для тран-
зитивных производящих отношений прогрессий; сейчас же мы заинтересо-
ваны с одно-однозначными отношениями, которые генерируют прогрессии.
Класс таких отношений мы будем называть “Prog”.
Оказывается неудобным определять прогрессию как серию, ординально
подобную серии индуктивных кардиналов, и потому, что это определение
приложимо, лишь если мы принимаем аксиому бесконечности, и потому,
что в любом случае мы должны показать, что (принимая аксиому беско-
нечности) указанная серия индуктивных кардиналов обладает определен-
ными свойствами, которые могут быть использованы, чтобы дать прямое
определение прогрессий. Существование прогрессий может быть обоснова-
но, однако, лишь с помощью аксиомы бесконечности и в таком случае наи-
более просто получается из того факта, что индуктивные кардиналы обра-
зуют прогрессию. Мы не будем рассматривать соответствующую экзистен-
циональную теорему до следующего параграфа (*123).
Начиная с этого параграфа и далее используется, когда это уместно,
соглашение Infin Т из Предварительных формальных соглашений.
Характеристики генерирующего прогрессию отношения Я, которое мы
используем в определении, есть:
(1) R является одно-однозначным отношением;
(2) имеется первый терм, т.е. Е! В‘Я;
(3) все поле содержится в потомстве первого терма, т.е. =
(Если это не выполняется, то C‘R должно состоять из двух или более раз-
личающихся семейств, из которых (так как мы имеем Е ! B‘R) все за исклю-
чением одного должны быть циклическими семействами или бесконечными
семействами, не имеющими ни начала, ни конца.)
(4) каждый терм поля имеет последователя, т.е. серия бесконечна. Это
гарантируется посредством G'flcDT? или (что эквивалентно) CiR = DiR.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
284
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
Этих четырех свойств достаточно для того, чтобы определить одно-
однозначные отношения, генерирующие прогрессии. В дальнейшем мы уви-
дим, что (2), (3) и (4) гарантируются посредством
WR = <R*‘B‘R.
Последнее гарантирует Е! B'R на основании *14-21; это гарантирует
CI7?cD‘/? на основании *37-25 и *90-163; следовательно, на основании
*33-181 DiR = CiR, а потому
C‘R=K‘B‘R.
Следовательно, наше определение прогрессий есть
Prog = (l -»l)n/?(D7?=5r*‘B‘/?) Df.
Вместо того чтобы в определении утверждать, что R является одно-
однозначным отношением, достаточно положить Re Cis —* 1 . с что
вместе с ‘Р= Ж/‘Рвлечет 2? е 1 —>1 и может быть подставлено вместо
ReI-> 1, не изменяя силы указанного определения (*122-17).
В настоящем параграфе мы среди других предложений докажем, что
каждый экзистенциональный класс, содержащийся в прогрессии, обладает
первым термом (*122-23), т.е. что прогрессии являются вполне упорядочен-
ными сериями; что в прогресии Рро G J, что обеспечивает доступ к предло-
жениям *121; что если v есть какой-либо индуктивный кардинал, отличный
от 0, то vr существует (*122-33), т.е. серия обладает v-м термом; что любой
класс, содержащийся в D1/? и имеющий последний терм, есть индуктивный
класс (*122-43), и что любой класс, содержащийся в D‘P и не имеющий
последнего терма, сам по себе есть область прогрессии (*122-45), так что
каждый класс, содержащийся в D‘P, есть либо индуктивный класс, либо
область прогрессии (*122-46); что если Р есть много-однозначное отноше-
ние, а х —элемент его области, и если последователи х не имеют последне-
го терма и ни один из них не является последователем самого себя, то Р
упорядочивает указанных последователей в прогрессию (*122-51); и что то
же самое имеет место, если Р есть одно-однозначное отношение и ~ (хРх)
(*122-52); и что если Pel—*1 и х принадлежит одному из поколений Р
и не принадлежит ни одному из поколений Р, то Р упорядочивает все се-
мейство х в прогрессию (*122-54).
Следующие общие замечания о семействах одно-однозначных отноше-
ний, возможно, послужат для того, чтобы выяснить связь предложений
настоящей главы.
Задавшись отношением Р, мы называем Р* ‘х, т.е. Л‘х U X ‘х, семей-
ством х. Если Р одно-однозначно, то указанное семейство может быть че-
тырех различных видов. (1) Оно может представлять собой замкнутую се-
рию, подобную углам в многоугольнике. Это случается, если хРроХ. В этом
случае семейство образует индуктивный класс. (2) Оно может представ-
лять собой открытую серию с началом и концом; это происходит, если
~ (хРрох). Е ! minp‘P* ‘х. Е ! шахр‘Р* ‘х.
В этом случае семейство также образует индуктивный класс. (3) Оно мо-
Principia Mathematica II
*122. ПРОГРЕССИИ
285
жет представлять собой открытую серию с началом и без конца или без
начала и с концом. Это происходит, если
~ (хРро-х). Е ! minp‘P*‘х. ~ Е ! шахр‘Р* ‘х
или если
~ (хРрох). ~ Е ! min/P* ‘х. Е ! тахр‘Р* ‘х.
В этом случае серия имеет тип со или Cnv“co и является не-индуктивной
и рефлексивной. (4) Серия может быть открытой и не иметь ни начала,
ни конца. Это происходит, если
~ (хРрох). ~ Е ! minp‘P*‘х. ~ Е ! тахр‘Р*‘х.
В этом случае мы получаем серию, чье реляционное число есть сумма
(в смысле *180) Cnv“co и со, которая снова не-индуктивна и рефлексивна.
Во всех четырех случаях, если у и z являются какими-либо двумя элемен-
тами семейства х, то интервал между у и z есть индуктивный класс.
Если х есть элемент 11‘Р или если семейство х содержит элемент 11‘Р,
то случаи (1) и (4) исключаются, поскольку серия имеет начало. В этом
случае число предшественников любого терма есть индуктивный класс.
В дальнейшем мы увидим, что каждое семейство либо полностью содер-
жится в gen‘Р, либо полностью содержится в p‘CI“Pot‘P; семейства ви-
дов (2) и (3) (исключая в (2) то, когда имеется конец и отсутствует начало)
содержатся в 5‘gen‘P, в то время как семейства видов (1) и (4) и те из (2),
которые имеют конец, но не имеют начала, содержатся в p‘Q“Pot‘P; се-
мейства, содержащие элемент 11‘Р, содержатся в ^‘gen‘P, в то время как
все остальные содержатся в p‘CI“Pot‘P.
Таким образом, в общем, одно-однозначное отношение задает несколь-
ко полностью несвязных серий, некоторые из которых замкнуты, другие
открыты и имеют или не имеют начало или конец. Условие того, что все
рассматриваемые серии открыты, есть Ppo g J.
Случай семейства Q-формы, рассматриваемый в *96, не может возник-
нуть, когда Pel —> 1, так как в семействе g-формы терм в месте соедине-
ния хвостика и цикла имеет двух предшественников, одного в хвостике,
другого — в цикле, так что рассматриваемое отношение не является 1 —> 1.
Следовательно, когда Pel —> 1, если а есть семейство, содержащее элемент
"Й‘Р, то а^РроС/ (ср. *96-23).
Когда 1}‘Р существует, имеется лишь одно семейство, которое облада-
ет началом. В этом случае, игнорируя остальные семейства (если таковые
есть), мы называем элементы семейства 11‘Р соответственно 2/>, Зр,... .
Если семейство имеет v элементов, где v — индуктивный кардинал, то его
последним элементом будет vp. Если, с другой стороны, число элемен-
тов семейства не является индуктивным кардиналом, то оно должно быть
Ко; в этом случае семейство образует прогрессию, элементы которой есть
1р,2р, Зр,..., vp,..., где Vp всегда существует, когда v представляет собой
индуктивный кардинал.
В дополнение к уже упомянутым предложениям следующие предложе-
ния оказываются важными:
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
286
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*122-21. I-7? € Prog . х,у eC'R . э : хЛроу . V . х = у. V . yR^x
(Ср. замечание к *122-21 ниже.)
*122-34. F R е Prog .эле NC induct - l‘0 . = Е ! vR
*122-341. I-: R e Prog. э . D'R = x {(a v). v e NC induct - l‘0 . x = vr}
В силу этих двух предложений, элементы прогрессии есть
2д, Зд, . . . , Vr, . . . ,
где встречается каждый индуктивный кардинал. Это тот же самый факт,
который обычно предполагается, когда термы представляются как
ХЬ хз,..., xv,....
*122-35. I-: R e Prog. v е Cis induct - t‘0. э =2?(1rHVr) .11%, ev
*122-36. F : a! Prog П Г11 ‘x. э . Infin ax(x)
*122-37. I-: R e Prog. э . D‘fl ~ e Cis induct. Nqc‘D‘7? ~ e NC induct
*122-38. I- ztfeProg. э . 7?* ‘x e Cis induct
Т.е. число термов вплоть до любой заданной точки прогрессии является
индуктивным.
*12201. Prog = (1 -»1)ПЛ(О‘Л = Ж.‘В‘Л) Df
*1221. I-: Л е Prog. н . Л е 1 —> 1 . D‘P = ??*‘В‘Л [(*12201)]
*12211. h Л е Prog. = : Л е 1 -»1. Е ! B'R: хеО‘Л. =х . хе *R*‘B'R
Доказательство.
I- . *122-1. *14-205 . э
I-:: Re Prog. = R е 1 -» 1 : (а«) • а = B'R • = Ж/а
[*20-43] = R е 1 -» 1 (аа): а = B'R : х е D‘fl . =х . х е Ж ‘а
[*1415] = R е 1 -»1(да): а = B‘R: хе О‘Л. =х . хе К 'B'R
[*14-204] = -..Re 1 ->1. Е ! B'R: хеО'Л. . хе К'B'R:: э F . Prop
Заметим, что согласно соглашениям, относящимся к дескриптивным
символам, В‘Л = Ж/В‘Л заключает в себе существование B'R, в то время
как xeDT?. =. хе <R*'D'R, и поэтому (x).~eD‘7? будет удовлетворять ука-
занную эквивалентность, т.е. Л будет удовлетворять указанную эквивалент-
ность, хотя он и не имеет первого терма. Именно по этой причине Е ! B'R
появляется явно в *122-11, будучи неявным в *122-1.
*122-12. F :: tfeProg . = Ле 1 —» 1 . Е ! B'R хеВ‘Л . =х :
B'Rea . R"a с а . э . хе а [*122-11. *90-1]
*122-14. Н Ле Prog, э . Йро‘В‘Л = (ГЛ
Доказательство.
I- . *122-1. *37-25. э h : Нр. э . П‘Л = Л“^*‘В‘Л
[*91-52] =^ро‘В‘Л:э1-.Ргор
*122-141. h : Л е Prog. э . СГЛ с О‘Л. C‘R = О‘Л
Доказательство.
F . *122-1. *37-25. э h : Нр. э . (ГЛ = R“*R*‘B‘R.
[*90-163] D.Q'ftcX'O.
[*122-1. *33-181] э . (ГЛ с О‘Л. С‘Л = О‘Л: э Ь . Prop
*122-142. HPeProg.PePot\P.z>.D‘P = D‘P [*122-141. *92-14]
Principia Mathematica II
»122. ПРОГРЕССИИ
287
*122-143. I-: Ле Prog. Ре Pot‘Л. э . Q‘PcD‘P [*122-142-141. *91-271]
*122-15. I-: R е Prog. э . R = (Й* ‘B'R) ] R = R [ = R [ (fr* ‘B'R)
Доказательство.
I-. *122-1. *35-63. э I-: Нр. э . R = (% 'B'R) 1 R
[*96-2] = R\(*Rpo‘B‘R)
[*96-21] = R [ (<R* ‘B'R): э F. Prop
*122-151. I-: R e Prog. э . Я* = (fr* *В‘Я) 1 R* = R* Г (К ‘B'R)
[*35-63-66 . *90-14. *122-141-1]
*122-152. I-: R e Prog. э . R^ = (fr* ‘B'R) 1 R^ = /?p0 [ (Яро‘В‘Я)
= Ppo ](K‘B‘R)
[*35-63-66. *91-504. *121-1-14]
*122-16. l-sPeProg.D.PpoGj [*96-23. *122-152]
Это предложение позволяет нам применять к прогрессиям все те пред-
ложения из *121, в которых в качестве гипотезы мы имеем
ЯеС1з-* 1 .Яро с/ или Яе1-*Cls.^poGj.
*122-17. F: Л e Prog. = . Л e Cis->1. R^gJ .D'R = <R*'B'R
Доказательство.
F. *35-63. z>\-:X)‘R = K‘B‘R.^.R^(K'B'R)]R (1)
I-. *96-453. э I-: R e Cis -»1. $* ‘B‘P) 1 Ppo G J. э . (& 'B'R) 1 R e 1 -> 1 (2)
F. (1) .(2). *122-1. z>I-:D‘P = 5??B‘P.PeCls-» 1 .PpoGj.o.PeProg (3)
F. (3) .*122-1-16. d1. Prop
Чтобы проиллюстрировать это предложение, рассмотрим его примене-
ние к индуктивным кардиналам, расположенным в порядке их величин;
т.е. возьмем в качестве значения R отношение
pv(peNCinduct. v = р +с1).
Тогда мы имеем R е Cis —> 1.0 = В‘Я; также
NC induct = В‘Я =
Мы имеем также
3! р+с1. р+с1 = v+Д . э . p = v,
так что
R Г (- l‘A) е 1 —* Cis .
С другой стороны,
рЯроу. = . (a cd) . cd е NC induct - l‘0 . v = р +ccd,
откуда
нЯро^. a! p. э . p / v,
т.е.
(— l A) j Яро G J.
Однако мы не получаем Я el—* Cis или ЯроС/, пока мы не имеем
A~eNC induct,
что представляет собой аксиому бесконечности. Если это условие наруша-
ется, то мы достигаем в конце концов индуктивного кардинала, который
= Л, и мы имеем
Л = Л+С1,
так что Л имеет двух непосредственных предшественников, именно себя
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
288
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
самого и последний экзистенциональный кардинал. Потомство 0 в этом
случае есть Q-форма, в которой цикл сводится к единственному терму,
именно А.
Таким образом, нам необходима аксиома бесконечности, чтобы доказать
pv (ц е NC induct. v = ц +с 1) е Prog.
* 122-2. I-R е Prog . х, у € C‘R. э : xR*y. V . yR*x [*96-302 . *122-1-141]
* 122-21. I-Re Prog . x,y eC'R . э : xR^y . v . x = y. V . yRpo x
[*96-303. *122-1-141]
Это предложение вместе с *122-16 и *91-56 показывает, что если Ле Prog,
то Лро обладает тремя свойствами, посредством которых определяется тран-
зитивное сериальное отношение (ср. *204), именно оно (1) транзитивно,
(2) содержится в различии, (3) связно, т.е. таково, что оно соотносит лю-
бые два отличающиеся элемента своего поля. На более поздней стадии
мы определим ординальное число со как класс таких отношений, как Лро,
где Ле Prog.
* 122-22. F : Л e Prog .acDTL х,у ea - Лро“а . э . х = у
Доказательство.
I-. *122-21. э F :. Нр . э : xR^y . V . х = у . V . уЛрох (1)
I-. *37-105 . э F : хе a. xR^y. э . у еЛро“а :
[Transp] э F : хе а. у ~Лро“а . э . ~ (хЛроу) (2)
F . (2). э F : Нр . э . ~ (хЛроу). ~ (yR^x) (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*122-23. F : ЛеProg. асБ‘Л. д! а . э .
Е ! min (Лро)‘а . а - Лро “а = t‘min (Лро)‘а
Доказательство.
F. *96-52. э F : Нр . э . 3! inm (Лро)‘а (1)
F . *93-111. *122-22 . э F :. Нр . э : х,у e min (Лро)‘а . эху. х = у (2)
F . (1). (2). *32-4. *93-111. э F . Prop
Это предложение показывает, что каждый экзистенциональный класс,
содержащийся в прогресии, обладает первым термом, т.е. что прогрессия
есть вполне упорядоченная серия (ср. *250).
*122-231. F : Ле Prog . а сЛро“сх . э . a = Л
Доказательство.
F . *96-504 . э F : Нр. э . а с (ГЛ (1)
F. *93-11. э F : Нр. э . ~ Е ! min (Лро)‘а (2)
F . (1). (2). *122-23-141. Transp . э F . Prop
*122-24. I-: R е Prog. Ре Pot‘Л. э. D‘P = Р* “~§‘Р = s‘gen‘P
Доказательство.
I- . *122-1. *92-102 . э I-: Нр. э . Ре 1 —> 1.
[*93-42] э . p‘Q“Pot‘P = A‘p‘Q“Pot‘P.
[*91-581] э . p‘G“Pot‘P с Ppo“p‘G“Pot‘P.
[*122-231] э . p‘G“Pot‘P = Л (1)
I-. (1). *93-37-36. эI-:Hp.z>. C‘P = A“^‘P=s‘gen‘P (2)
I-. (2). *122-143. э I-. Prop
Principia Mathematica II
*122. ПРОГРЕССИИ
289
За исключением случая, когда P = R, не сводится к единственно-
му терму. В действительности, если P = RV, то ~§‘Р = Р (1/? н v^), т.е.
состоит из первых v термов прогрессии.
*122-25. F : R е Prog. Р е Pot‘Я . х е О‘Я . э .
(X ‘х) 1 Р е Prog. X = В‘{(Х ‘X) 1 Р]
Доказательство.
1-. *122-1. *92-102 . э 1-: Нр. э. (Х‘х) 1 Ре 1 -> 1 (1)
Ь. *122-143. э Ь : Нр . э . X ‘х с D'P.
[*35-62] o.D‘{(X‘x)1 Р} = К‘х (2)
1-. *37-4. *91-52 . э1-.а‘{(Х‘х)1Р) = £ро‘х (3)
К *122-16. *91-6. эЬ: Нр. э .х~е<Рро'х (4)
1-. *91-542. э Ь: у е X ‘х. у ± х. z>. у е 'р’у, ‘х (5)
Ь . (2). (3). (4). (5) . эННр.э.х=В‘{(Х‘х)1 Р} (6)
Ь. (1). (2). (6). *96-131. э Ь. Prop
Приведенное выше предложение показывает, что то, что мы можем на-
зывать “арифметической прогрессией” в прогрессии, является прогрессией,
т.е. если, начиная с какого-либо терма прогрессии, мы выбираем каждый
следующий терм или каждый третий терм, или каждый v-й терм, то мы
все еще имеем прогрессию.
*122-26. F : Я eProg. а с Яро “а. д! а. э . В‘Я = Яро“а
Доказательство.
F . *22-1. э FНр . э : В‘Яеа . э . В‘ЯеЯро“а (1)
F. *91-542. *122-11. э F Нр . В‘Я ~ еа . э :у еа П В‘Я. . (BtR)Rpoy :
[*91-504 . *37-15] э : у е а. . (В‘Я) Яро у :
[*10-55 . Нр] э : (д у). у е а . (В‘Я) Яро у :
[*371] э:В‘ЯеЯрО“а (2)
F . (1). (2). э F : Нр . э . В‘Я еЯро“а (3)
F . *92-111. э F Нр .э : хе Яро “а. xRy . э .у еЯ*“а .
[*91-545] э . у е а U Яро“а.
[Нр] э.уеЯро“а (4)
F . (3). (4). *90-112 . э F Нр . э : (В‘Я) Я* у . э . у еЯро“а (5)
F . (5). *122-1. э F . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что если экзистенциональ-
ный класс, содержащийся в прогрессии, не имеет максимума, то за любым
предписанным элементом прогрессии следуют элементы указанного класса.
Следующее предложение гласит, что если а имеет элементы, принад-
лежащие прогрессии, и имеются элементы прогрессии, которые не пред-
шествуют никакому элементу а, то в прогрессии найдется последний
элемент а.
*122-27. F : ЯeProg . a! WR - Яро“а. а? « П И‘Я . э .
Е !шах(Яро)‘а.а!стВ‘Я-Яро“а
Доказательство.
F . *122-26 . Transp . *37-265 . z> F : Нр . э . аI а П C‘R - Яро “а (1)
F . *122-21. э F : Нр . х,у еа П С‘Я - Яро “а. э . х = у (2)
F . (1). (2). *93-115 . *122-141. э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
290
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*122-28. F: А € Prog. а a~ft*'x. д! а. э . Е ! max(Rpo)‘a. д! аП D‘R -Rpo“a
Доказательство.
F. *90-13. *122-141. => F: Нр. э. а с D'R (1)
I-. *90-14. *122-141. э F : Нр. z>. хеD'R.
[*71-161. *122-16] э.^'х-еЛро11».
[*122-1] э.дЮ'Я-Яро1*» (2)
Ь. (1). (2). *122-27. э F. Prop
* 122-3. F: R е Prog. э . D'R = х {(д v). v е NC induct. (B'R) Rv x)
[*121-52. *122-1-16]
* 122-31. F: Я e Prog .veNC induct -t‘0. о . d‘Rv =y (Nc'R(B'RHy) > v)
Доказательство.
F . *120-429. э F:. Hp. =>: Nc'R (B'R H y) > v. = . Nc'R (B'R H y) > v +C1.
[*117-31] = . (g p). p e NC . Nc'R (B'R н y) = p +e v +C1.
v+cl, p+cv+cleN0C.
[*121-45 . *120-452 . *110-4] = . (g p). peNCinduct.
Nc'R (B'R ну) = p +c v+el. p+c v+cl e NoC .
[*121-11-35 . *110-43. *100-3] в .(g p). peNCinduct. (B'R)R^\Rvy.
[*34-1] в . (g p, x). peNC induct. (B'R)R>i x. xRvy.
[*122-3] = . (g x). xeD'R . xRvy.
[*121-323] B.(gx).xRvy.
[*33-131] = .yeG‘Rv :. z>F . Prop
* 122-32. F : R e Prog. v e NC induct - i‘O. d .
~§'RV =D‘RCix {Nc'R(B'Rнx) < v)
Доказательство.
I-. *122-142 . *121-501. z> F : Hp. э . D‘RV = D‘R (1)
I-. *122-31. *120-442 . z> F : Hp . z>. - G‘RV = x {Nc‘R (B‘R нх) v} (2)
I-. (1). (2). *93-101. э F. Prop
* 122-33. F : R e Prog. v e NC induct - l‘0 . э . E ! vR
Доказательство.
F . *121-601. *122-11. э F : Hp . z>. E ! 1я (1)
F . *121-634-637. *122-141. э F Hp . э : E ! vR . э . E ! (v+cl)^ (2)
F . (1). (2). *120-473 . э F. Prop
* 122-34. F:. R eProg. □ : veNCinduct - l‘0 . = . E ! vR [*122-33 . *121-635]
* 122-341. F : ReProg. э . D‘R = x{(a v). veNC induct - l‘0 . x = V/?}
Доказательство.
F. *122-3-34. *121-638. э
F : Hp . э . D‘R = x {(3 v) .veNC induct. x = (v+cl)^}
[*120-471] = x{(g v). veNC induct - l‘0 . x = V/?}: э F . Prop
В силу *122-34-341, все термы прогрессии встречаются в серии
1я, 2д, Зд,..., V/?,... , и каждый индуктивный кардинал за исключением 0
используется при формировании серии.
* 122-35. F : ReProg .veNC induct - l‘0 . э .7l‘Rv = R(1r h\’r) .S'Ryev
Доказательство.
F . *121-63 . *122-33 . э F : Hp . э . Nc‘R (B‘R н vR) = v. (1)
[*122-32] z> .~§'RV = D'R П x {Nc'R (B'R н x) < Nc'R (B'R н V/?))
Principia Mathematica II
*122. ПРОГРЕССИИ
291
= D7? П х {R (B'R н x) c R (B'R н V/?)}
= x {(B'R) R*x: yR*x. . yR*VR]
= x {(B'R) R*x. xR*Vr]
— R (B'R H Vr)
= Я(1дНУя)
[*121-481]
[*122-1. *121-103]
[*90-17-13. *10-1]
[*121-103]
[*121-601. *122-11]
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*122-36. F: 3! Prog П(1Ьх. □ . Infin ax (x)
Доказательство.
F . *122-35 . э I-: Яс Prog П rn‘x. veNC induct - i‘0 . э . 3! v(x)
F. . (1). *101-12 . э F R e Prog П Г11 'x. э : v e NC induct. dv . 3! v (x):
[*120-301] э : Infin ax (x)э F . Prop
*122-37. F : R e Prog. э . D7? ~ e Cis induct. Nqc‘D7? ~ e NC induct
Доказательство.
F . *122-35 . э F ReProg . э : veNC induct. . 3! СГВ‘Я n (v +cl).
[*117-22-107] dv . Noc‘D‘tf v +C1 .
[*120-429] dv.Noc‘D7?>v.
[*117-42] Dv.Noc‘D‘tf#v:
[*13-196] э : Noc‘D7? ~ e NC induct
F . (1). *120-21. э F . Prop
*12238. I- :/?e Prog. Cis induct [*121-7. *90-13. *120-212]
*122-381. b : 7? c Prog .veNC induct - i‘O. d =R (1« H Vr) .7?*‘уд ev
(2)
(3)
(1)
[*121-7. *122-35]
Следующий ряд предложений связан с доказательством того, что любой
класс, содержащийся в прогрессии, является индуктивным, если он имеет
последний терм, и является прогрессией, если он не имеет последнего тер-
ма. В последнем случае он предполагается упорядоченным в том же самом
порядке, который он имел в исходной прогрессии. Небольшое усложнение
необходимо для того, чтобы определить одно-однозначное производящее от-
ношение. Если R есть производящее отношение исходной прогрессии, то мы
переходим сначала к Яро, а затем —к Яро [а, где а есть рассматриваемый
класс; это дает нам транзитивное производящее отношение для а. Называя
это отношение Я, мы далее переходим к Р-Р2, т.е. к отношению после-
довательных элементов серии, произведенной отношением Р. Исключено,
что это отношение является одно-однозначным и упорядочивает а в про-
грессию; следовательно, наше предложение доказано. Причина, по которой
был необходим этот обходной маневр, состоит в том, что упомянутые по-
следовательные элементы а, возможно, не являются последовательными
элементами исходной прогрессии.
*122-41. F : Яe Prog . а с D‘P . у еа - Яро“а . э . асЯ(В‘Яну)
Доказательство.
F . *37-1. *10-51. э F Нр . э : z е а. dz . ~ (yRpoZ).
[*122-21] эг.гЯ*у (1)
F . *122-1. э F Нр . э : z с а . эг. (B'R) R*z (2)
F. (1). (2). *121-103. dF. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
292
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*122*42. F : R е Prog . а с R (B‘R ну) . у е а. э .у = шах^‘а
Доказательство.
F . *121*103 . э FНр . э : zea. dz . zR*y •
[*91*574 . *122*16] эг. ~ (уад :
[*37-1. *10*51] э: у ~ €Rpo“a: (1)
[*96*303] э : zca -Rpo“a. dz. z = у (2)
F . (1). (2). *93*115 . э F . Prop
*122-43. F : Re Prog . a c D‘R .3! a -Rpo“a. э . a e Cis induct
[*122-41. *121-45. *120-481]
Таким образом, каждый класс, который содержится в прогрессии и име-
ет последний терм, является индуктивным. Затем мы должны доказать
Re Prog. a с D‘R . 3! a . ~ 3! a -Rpo“a . э . aeD“Prog.
Это задействовано в следующем предложении.
*122-44. F : ReProg . acRpo“a . 3! a. P = Rpo \,a.Q = P-P2.z>.
Cel -> 1 . gcRpo
Замечание. Гипотеза здесь превосходит то, что необходимо для заключе-
ния, однако она является гипотезой, необходимой для *122-45, для которого
это и последующие предложения служат леммами.
Доказательство.
F . *23-43 . *35-442 . э F: Нр . э . Q cR^ (1)
F . *36-13 . э F :. Нр .э : х, у, z е a. xRpoy. yRpoZ. э . xP2z:
[TYansp] э : x, у, z e a . xR^y . - (xP2z). э. ~ (yRpoZ):
[*36-13] э : xPy. - (xP2z). э . ~ (yRpoZ):
[*3-47] э : xQy. xQz. э . ~ (yRpoZ). ~ (zRpoy).
[*122-21.(1)] o.y = z (2)
Similarly F :. Hp .d : xQz .yQz. э . x-y (3)
F . (1).(2).(3).э F . Prop
*122-441. F : Hp *122-44 . э . D‘C = a
Доказательство.
F . *37-41. э F : Hp . э . D‘C c a (1)
F . *37-1. э F :. Hp . э : xea .э . (3 y) .y ea . xR^y.
[*3613] э.Я!^‘х.
[*122-23 . *93-11] э . а! .
[*35-442] =>. а! ^‘x - P“<P‘x.
[*37-311. *32-31-35] =>. а! &x (2)
I-. (1). (2). *33-4. z> b. Prop
*122-442. I-:Hp*122-44.z>.P=Qpo
В доказательстве Pg(2po ниже мы предполагаем xPz и рассматриваем
максимум "^ро Z И (Эро'*, который, как оказывается, существует и есть Q‘z,
откуда xQpoZ-
Доказательство.
F. *23-43. ННр.э.СсР (1)
h. *91-56. Ь:.Нр.э:Р2сР:
[(1)] э:5сР.э.5|есР (2)
Principia Mathematica II
*122. ПРОГРЕССИИ
293
F. (1). (2). *91-171. *41-151. э Ь : Нр. э. бро cP (3)
F . *36-13. *121-1. э FНр. э: xP2z .s.x, zea.g!aflS(x-z):
[Transp. Fact] э : xQz. s . x, z e a • xRpoZ. a А Я (x - z) = A (4)
I-. *122-441. о F Hp . xPz. э : xe (~$po‘z A (§*‘x):
[*122-27] =>: а! ^po ‘z A ‘x - Я^ “(7?po ‘z A 'x):
[*37-461] z>: (а у). у e^po'z A t?*‘x. *Rpo'y aT^'z A <2*‘x = A:
[*90-151] э : (а у) • у e"^po‘z A ‘x. ^.'y A^po'z A ^‘y = A:
[(4)] D:(ay):ye’^p0‘zA^k‘x:
~ (a n>). cue ^po‘y A"^po‘z. a A ^‘y A7^*0) = A:
[*22-43 . *91-56] э: (а у):у e^po‘zП §»‘x:
~ (a w). coea A ^‘y A^po'z. a A^o‘y A"^po‘z A"^po‘co = A:
[*37-461] э:(ау).ус"^ро‘гА^'х.
~ а! a A frpo > A "^po‘z - Яро “(a А Йро‘у А "Йро‘z) :
[*122-28. Transp] э: (a y) . ye"^po‘z A (3*‘x.a A 7Гро‘у А’Йро‘г = A:
[(4)] э:(ау).ус&‘х.у2г:
[*91-52] э: xQ^z (5)
F. (3). (5). э I-. Prop
*122-443. F : Hp *122-44. =>. min (Яро)‘а = B‘Q. G'Q = а А Яро“а
Доказательство.
F . *91-504. *122-442 . э F: Hp. э . (TQ = CI‘P
[*37-41] =aA#po“a (1)
F. (1). *122-441. DF:Hp.D.^‘e = a-Ppo“a (2)
F . (1). (2). *122-23 . э F . Prop
*122-444. F : Hp *122-44. z>. D‘Q = & ‘B‘Q
Доказательство.
F . *122-443. *14-21. о F . Hp . э . E ! B‘Q.
[*90-13] э.&‘В‘есС‘е.
[*122-441-443] o.&'B'eca (1)
F. *122-443. *96-303. z>
F : Hp. xea. x^ B'Q. z>. (В‘0ЯроХ. B‘Q, xea.
[Hp] э.(В‘0Рх.
[*122-442] э . (B‘0 2PoX (2)
F . (2). *91-54 . э F: Hp .xea.o. (B‘Q) Q*x (3)
F.(l).(3). =.F:Hp.=>.&'В‘2 = а
[*122-441] = D‘(2: э F. Prop
*122-45. F : Ле Prog . ac/^a .^a.P = Rpo [a.Q = P-P2.^.
Q e Prog . D‘Q = a [*122-44-444-441]
Это предложение показывает, что каждая серия, извлеченная из про-
грессии и не имеющая последнего терма, является индуктивной. Этот ре-
зультат будет развит в следующем параграфе (*123).
*122-46. F : Ле Prog. а с Э‘Л . э . a е Cis induct U D“Prog
[*122-43-45. *120-212]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
294
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
* 122-47. I-ЯеProg . а с D‘R . э : aeClsinduct - l‘A . =. 3! а -Rpo“a
Доказательство.
F . *122-45 . э F: Нр. 3! а. ~ 3! а - Rpo“a. э . а е Prog.
[*122-37] э. а ~ е Cis induct (1)
F.(l). *122-43. z>F. Prop
* 122-48. F : R e Prog. а c D‘R. a e Cis induct. d . D‘R - a ~ e Cis induct
Доказательство.
F . *120-71. э F : a c D‘R . a, D‘R - a 6 Cis induct. э . D‘R e Cis induct:
[Transp] э F : acD‘R . ae Cis induct. D‘R ~ e Cis induct. э .
D‘R - a ~ e Cis induct (1)
F . (1). *122-37. э F . Prop
* 122-49. F : ReProg . a c D‘R . a eCis induct. э . D‘R - aeD“Prog
[*122-46-48]
Следующие предложения связаны с условиями, при которых потомство
или семейство терма формирует прогрессию.
* 122-51. F: PeCls—» 1. 7Р‘х = А. xeD'P. Х‘хс D‘P. =>. (Х‘х) 1 Ре Prog
Здесь Ip'x имеет смысл, определенный в *96.
Доказательство.
F . *71-261. *96-13. э F: Нр . Q = (Х‘х) 1 Р. э .
2 е Cis —> 1. <2ро = (X‘х) 1 Рр0 . (1)
[*96-104] o.gpoGj (2)
I-. *35-61. *37-4. эННр(1).э.О‘2=Х‘х.СГе = Р“Х‘х (3)
[*91-52] = Fp/x
[(1)1 =£ро‘Х
[(2). *91-542] = &‘x-i‘x (4)
F . (1). (3). (4). э F : Нр(1). э D‘2 = &‘х. Q‘2= &‘х- l‘x.
[*93-101] d.^‘2 = i‘x.D‘2=!2*‘x (5)
F.(l). (2). (5) .э
F : Hp. Q = (K ‘x) 1 P. z>. Q e Cis -> 1. g J. D‘2 = & ‘B‘Q.
[*122-17] э . Q e Prog: э F . Prop
Следующее предложение (*122-52) используется в *123-191, *261-4 и
*264-22.
*122-52. F : Ре 1 —> 1. хе D‘P. ~ (хР^х). К‘х с D‘P. э . (К ‘х) ] Р е Prog
Доказательство.
F . *96-492 . э F : Нр . э . = А (1)
F. (1) .*122-51. dF. Prop
Оставшиеся предложения (*122-53-54-55) в последующем изложении не
используются.
*122-53. F:Pel—»1.хеs‘gen‘P. X ‘х с D‘P. э . (Р*‘х)] РeProg
Доказательство.
F . *97-21. э F : Нр .э . (з у) .уВР. Р*1х=<Р*‘у.
[*96-23 . *93-1] э . (з у). у е D‘P. Р*‘х = X‘у. 1Р‘у = А .
Principia Mathematica II
*122. ПРОГРЕССИИ
295
[*97-17 . *91-504 . Нр] □.(gy). у eD‘P. с D‘P. 1Р‘у = А. p*ix=<P*iy.
[*122-51] э . (Р* ‘х) 1 Ре Prog: э F. Prop
*122-54. F : Ре 1 —> 1 . xes‘gen‘P - 5‘gen‘P. э . (Р*‘х) ] Ре Prog
Доказательство.
F . *93-27-272 . э F : Нр . э . хе s‘gen‘P np‘Q“Pot‘P.
[*93-381] э . хе s‘gen‘P. Х‘хс D‘P (1)
F . (1). *122-53 . э F . Prop
*122-55. F:. Pel—»1.э:хе 5‘gen‘P - 5‘gen‘P. = . (Р* ‘х) ] Ре Prog
Доказательство.
F. *35-61. э F : 2 = (Р*‘х) ] Р. э . D‘2 = Р*‘хП D‘P (1)
F . *37-4 . э F 2 = (Р* ‘х) 1 Р. э : С‘2 = Р“Р* ‘х:
[*97-17. *92-111. *91-54-52] э : Qe 1 -> 1 . э . СТС = Р*‘хП СГР (2)
F . (1). (2). э Ь Нр . Нр (1). э : Я\~§‘Q. э 3! Р* ‘х - СГР.
[*97-17. *91-504] э.э!Л‘х-СГР.
[*93-38-27] э. х е 5‘gen‘P (3)
Ь. (1). (2). z> Ь :. Нр(3). z>: D‘£> = C‘Q. э . Р*‘хП D‘P = р*‘х.
[*22-621] o.P*‘xcD‘P.
[*97-13] d.X‘xcD‘P.
[*93-381-275] z> .x~€s‘gen‘P (4)
h. (3). (4). *122-11-141-54. э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
296
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*123. No
Краткое содержание *123.
В этом параграфе нас будут интересовать арифметические свойства No,
наименьшего из трансфинитных кардиналов Кантора. Кантор определяет
Ко как кардинальное число любого класса, который может быть поставлен
в одно-однозначное отношение с индуктивными кардиналами. Это опреде-
ление предполагает, что v / v +с 1, когда v есть индуктивный кардинал; дру-
гими словами, оно предполагает аксиому бесконечности; так как без этого
индуктивные кардиналы образовывали бы конечную серию с последним
термом, именно А. Именно по этой причине, а также по ряду других мы
не можем положить подобие с индуктивными кардиналами нашим опреде-
лением. Мы определяем No как класс таких классов, которые могут быть
организованы в прогрессии, т.е. как D“Prog. Мы в таком случае должны
доказать, что таким образом определенное No представляет собой кардинал
и что если оно не нулевое, то оно есть число индуктивных чисел.
Для удобства мы пока положим, что N есть отношение ц к ц+с1, где
ц — индуктивный кардинал. Тогда мы без труда доказываем
*123 21 23. I-. N € Cis 1. D ‘N = NC induct. B'N = 0. XT* ‘0 = NC induct
Единственное, что еще дополнительно требуется для того, чтобы дока-
зать NеProg, есть Ael—»Cls, т.е.
ц, veNC induct .ц+с1=у+с1.э.ц = у.
На основании *120-311, это имеет место, если 3! ц +с1, что имеет место,
если имеет место Infin ах. Следовательно,
*123-25-26. F : Infin ах (х). э . N [ Г3 ‘х е Prog . NC induct П t3 ‘х е No
откуда с помощью *122-36
*123-27. F : з! No (х). э . NC induct О t3 ‘х е No
С другой стороны, из *122-34-341 очевидно, что если R есть про-
грессия, то D‘fl всегда может быть приведен в 1 —»1 отношение
с индуктивными кардиналами (*123-3), поскольку D'R состоит из тер-
мов 1д, 2r, 3r, ..., v/г,... , и все индуктивные кардиналы используются при
приведении D‘fl в эту форму. Следовательно,
*123-31. F : а е No . э . a sm NC induct
откуда также
*123-311. F : a, peNo . э . asmp
Остается доказать, что любой класс, подобный индуктивным кардина-
лам, есть No; это может быть доказано, лишь предполагая аксиому беско-
нечности. Сначала мы доказываем (*123-32), что если R есть прогрессия и
5 — одно-однозначное отношение, чья обратная область есть D7?, то 5 |Я |5
является прогрессией, чья обратная область есть D‘5. Следовательно,
*123-321. F : a e No . a sm р . э . Р е No
Отсюда и a, Р € No . э . a sm р, мы получаем
*123-322. F : a e No . э . No = Nc‘a
Следовательно, с помощью наших предыдущих результатов
*123-34. F : Infin ах (х). э . No = Nc‘(NC induct n t3 'х)
Principia Mathematica II
*123. No
297
Мы также имеем на основании приведенного выше предложения
*123-322
3!K0.o.K0eNC,
откуда, поскольку ЛeNC, мы, наконец, получаем
*123-36. F.KoeNC
Что касается существования Ко в пределах различных типов, то если
имеет место Infin ах (х), т.е. если для какого-либо данного индуктивного
кардинала v найдутся классы, имеющие v термов и составленные из тер-
мов того же самого типа, что и х, то тогда NC induct (fx) е Ко (^‘х). Таким
образом,
*123-37. F : Infin ах (х). э . 3! Ко (^‘х). Ко (f2‘x) е NqC
Арифметические свойства Ко, касающиеся сложения, умножения и
экспоненциации индуктивным кардиналом, доказываются без труда. Мы
имеем
*123-41. F : v е NC induct. э . Ко = Ко+С v
*123-421. F. Ко = Ко+сКо = 2хсК0
*123-422. F: v е NC induct - l‘0 . э . v xcKo = Ко
*123-52. F . Ко = КохсКо = К02
*123-53. F : v е NC induct - l‘0 . э . Kov = Ко
Все эти предложения хорошо известны.
Первоначальные предложения настоящего параграфа по большей ча-
сти являются непосредственными следствиями предложений, доказанных
в *122.
*123-01. K0 = D“Prog
*123-02. N = |lv {jieNC induct. v = (ц +cl) П *o‘и)
*123-1. F:aeK0. = .(3!R).R€Prog.a = D‘R
*123-101. F : R e Prog . z>. D‘R e Ko
*123-11. b : R e 1 1. D‘B = . z>. D‘B e No
Df
Dft [*123-4]
[*37-1. (*123-01)]
[*123-1]
[*123-101. *122-1]
*123-12. h : atNo . z>. (g! 7?). D‘B = a. Be 1 —» 1 .(TRcD‘R .~S‘Rel
[*123-1. *122-141-11]
*123-13. F : a e Kq . э . Nc‘a = Nc‘a +C1
Доказательство.
F. *123-12. *110-32. э
F : aeKo . э . (3 R). D‘R = a .Re 1 -> 1. Nc‘D‘R = Nc‘Q‘R+cl.
[*100-321] z> . (3 R). D‘R = a. Nc‘D‘R = Nc‘D‘R+cl .
[*35-94 . *13-195] э . Nc‘a = Nc‘a +C1: э F . Prop
*123-14. F : a e Ko . v e NC induct. э. 3! v П Cl‘a [*122-35]
*123-15. F : a e Ko . э . a ~ eCis induct [*122-37]
*123-16. F : a e Ko . э . СГа c Cis induct U Ko [*122-46]
*123-17. F : a e Ko . p e Cis induct. э . a - p e Ko
Доказательство.
F . *120-481. dF : Hp . э . a П p e Cis induct.
[*122-49] э . a - (a П p) e Kq : э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
298
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*123-18. F : а! Ко (х). z>. Infin ах (х) [*122-36]
*123-19. I-:7?eProg. а! «• “сЛро“а. э . аеКо [*122-45]
*123-191. F : 1 —> 1 . хе D‘7?. ~ (х/?рох). Ж'х с D‘7?. z>. Ж‘хе Ко
[*122-52]
*123-192. 1-:Яб1 -> 1.а‘ЛсО‘Л.э.^“^‘/?сК0
Доказательство.
F. *93-101. DF:xe^‘/?.z>.xeD‘« (1)
I-. *91-504. *93-101. ol-:x€'3‘/?.D.~(x/?poX) (2)
F*90-13. эНСГЯсОЧг.э. fr*‘xcD7? (3)
F. (1). (2). (3). *123-191. z> F: Hp. xeS'R. z>. Ж/xeNo : э F. Prop
*123-2. F : |i7Vv . = . jicNC induct. v = (ц +cl) А r0‘H [(*123-02)]
*123-21. F . N e Cis —»1 . DW = NC induct. QW = NC induct - l‘0 . B‘N = 0
Доказательство.
F . *123-2 . *13-172 . э F : pJVv . pJVcn . э . v = cu :
[*71-171] z>F.NeCls->l (1)
F. *123-2. dF.DW = NCinduct (2)
F . *123-2 . э F . QW = v {(3 ц). jieNC induct. v = ц +cl}
[*120-423] = NC induct - l‘0 (3)
F . (2). (3). *93-101. э F . B'N = 0 (4)
F . (1). (2). (3). (4). э F . Prop
*123-22. F . N = (+Cl) [ NC induct [*123-2]
*123-23. F.ft*‘0 = NC induct = D‘N
Доказательство.
F. *123-22 . z> F . V*‘O = fl [p {(+cl) [NC induct}* 0]
[*120-1. *96-21-131] = fl [p. {NC induct 1 (+cl)*} 0]
[*120-1] =NC induct (1)
F . (1). *123-21 ,dF.Prop
*123-24. F : Infin ax (x). э. N [ ^‘xe 1 —> 1
Доказательство.
F . *120-301-121. э F:: Hp . э jieNC induct. э : 3! (ц +cl) A t2ix:
[*120-311] э : (ц +cl) A t2ix = v +C1 . э . ц = v :
[*123-2. *71-17] z>:N [?‘xel -> Cis (1)
F . (1). *123-21. э F . Prop
*123 25.
*123 26.
*123 27.
*123 3.
F : Infin ax (x). э . N C t3 ‘x e Prog
F : Infin ax (x). э . NC induct A t3 ‘x e Ko
F : з! Ko (x). э . NC induct A t3 ‘x e Ko
F : В e Prog .5 = xv {v e NC induct. x = (v+cl)/d . э .
5 e 1 -> 1 . D‘5 = D‘R. Q‘5 = NC induct
[*123-21-23-24. *122-1]
[*123-25-21-101]
[*123-26-18]
Доказательство.
F . *120-423 . □ F : Hp . . D‘5 = x {(3 |i). p e NC induct - l‘0 . x = ця}
[*122-341] =D‘R (1)
F . *14-204 . *122-34 . э F : Hp . э . Q‘5 = v {E ! (v+cl)^}
[*122-34] = v {v +C1 e NC induct - l‘0} (2)
Principia Mathematica II
*123. No
299
h . *122-36 . *120-3 . z> h Hp . z>: v +C1 eNC induct. z>. g! v +C1 .
[*120-422] d. veNC induct (3)
h . (3). *120-421-121. oh:. Hp . э : v +C1 eNC induct - i‘0 . = .
veNC induct (4)
h . (2). (4). э h : Hp . э . CTS = NC induct (5)
I-. *13-172 . *71-17 . э h : Hp. z>. 5 e 1 -> Cis (6)
I-. *121-631. э h Hp . э : xS p. xSv . э .
Nc‘/? (В7?нх) = |i+cl . Nc‘B(B‘Bhx) = v+c1 .
[*13-171] D.|i+Cl=v+Cl (7)
h . (5). *122-36 . *120-3 . э h Hp . z>: xS p. э . g! p +C1:
[*120-41] э : . |i +C1 = v +C1 . z>. p = v :
[(7)] э : х5ц. xSv . э . p = v :
[*71-171] D:5eCls—>1 (8)
F . (1). (5). (6). (8). z> I-. Prop
* 123-31. F : aeNo • э . asmNC induct [*123-3]
* 123-311. F : a, p e No . э. a sm p [*123-31. *73-31-32]
Здесь не предполагается, что аир одного и того же типа.
* 123-312. I-: R е Prog. S е 1 -> 1. СРВ = D'R. э .
S |R|S el —> 1 .D'S = D‘(S ]R]S).S'B'R = B‘(S |R| S)
Доказательство.
I-. *71-252 . *122-1. э F : Hp . э . 5 |Re 1 —> 1 (1)
I-. *122-141. *37-321. э F : Hp . . D‘(R 15) = D'R = Q'B . (2)
[*37-323] o.D‘(B |R|S) = D‘S (3)
F. (2). *37-32. oF:Hp.D.a‘(5 |B|5) = B“a‘B (4)
F . (3). (4). э F : Hp . э .7Г(В | R | S) = D‘5 - S “Q'R
[*37-25. Hp] = 5 “D'R-5 “Q'R
[*71-381] =S“"$‘R
[*122-11. *53-31] = i‘S‘B‘R (5)
F . (1). (3). (5). э F . Prop
d.X'BTcD'P
z>F:Hp.o. 5‘B'ReX'B'P
d F : Hp. 5 ‘xe *P*‘B‘P. xRy. z> . у eQ'R.
z> ,y eQ'B .
э . E ! S *y.
=>.S'x(S|R|5)S‘y.
э . S ‘xPS у.
*123-313. F :ReProg.5 e 1 —> 1 . (Г5 = D'R. P = S |R|S . z>. D‘P= K'B'P
Доказательство.
F . *34-36. *123-312 . э F : Hp. э . Q'Pc D'P. E ! B'P.
[*90-13]
F. *123-312.
F. *33-14.
[*122-141. Hp]
[*76-16]
[*30-32. *34-1]
[Hp]
[*90-163]
F . (2). (3). *90-112 . => F Hp. э : (B‘R)R*x. э. S 1хеК1В'Р:
[*37-63] o:5“^‘B‘RcX‘B‘P:
[*122-1] o:5“D‘RcXc‘B‘P:
(1)
(2)
(3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
300
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
[*37-25 . Нр] э: D‘S с X ‘В‘Р:
[*123-312] d:D‘PcX‘B‘P (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*123-32. F : BeProg. 5 е 1 -> 1. CTS = D‘B. z>.
S |B|S eProg.D‘5 =D‘(5 \R\$). S‘B‘R = B\S | R |5)
[*123-312-313]
*123-321. F: a e No . a sm P. э . P e Ko [*123-32]
*123-322. F: a e No . э. Ko = Nc‘a
Доказательство.
I-. *123-311-321. э I-a e No . э: p e No . s - P sm a (1)
I-. (1). *100-1. z>F.Prop
*123-323. I-: R e Prog. z>. Ko = Nc‘D‘B [*123-322]
*123-33. FInfin ax (x). z>: aeNo . s . asm(NC induct П t3‘x) [*123-26-321-31]
*123-34. F: Infin ах (x). э. No = Nc‘(NC induct П P‘x) [*123-33]
*123-35. I-: g! Ko (x). z>. Ko (x) = Nc‘(NC induct П ?‘x) [*123-34-18]
*123-36. h . No e NC [*123-35. *102-74]
*123-361. F: g! Ko. z>. No ~ eNC induct [*123-15-322 . *120-211]
*123-37. F : Infin ax (x). э. g! No (Z2‘x). No (r2‘x) e NqC
Доказательство.
F . *120-301. эF Hp. э : veNCinduct. dv . g! v(x):
[*65-13] =>: v e NC induct. dv . g! v. v — v (x):
[(*65-02)] z>: v e NC induct. ov . g! v: NC induct c t3 ‘x:
[*123-34] э : NC induct e No . NC induct c t3 ‘x:
[(*65-02)] э: NC induct e Nq (^‘x) (1)
F . (1). *103-34. *123-36 . э F. Prop
*123-39. F . (NoX) = (К0+с1)л
Доказательство.
F. *118-12 . *117-6. *123-322 . э F: (К0)л = A. э . (К0+с1)л = A (1)
F. *123-13-322. DF:g!(No),1.^.(No)n = (Ko+cl),1 (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*123-4. F.No = Ko+cl [*123-39]
*123-401. F : g! No. э. Ko = No-J
Доказательство.
F . *120-124. *123-36-4. => F : g! Ko . z>. Ko e NC -1‘0.
[*120-414-416] z>. (K0-cl) +Д = No
[*123-4] =KO+C1.
[*120-311] d.N0-c1=N0 (1)
F . *119-11. э F : (N0)n = A . э. (N0)n = (N0-cl\ (2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*123-41. F: veNC induct, d. No = K0+cv [*123-4. *120-11]
*123-411. F : v e NC induct. э . No = K0-c v [*123-401. *120-11]
*123-42. F : P eProg. Q = . z>.&‘l/>, ^‘2P eN0 = A
Principia Mathematica II
*123. No
301
Заметим, что Q*‘lp есть нечетные термы, a Q*‘2Р — четные термы D‘P.
Доказательство.
h . *91-6. э FНр .э:^‘1/>сХ=‘1/>. Ё*‘2Р с fi*‘2P:
[*1221] z>:tyiPcD‘P:
[*3313] э:уе^‘1р.э.(дг).уРг.
[*122-141] z>. (gz, со). yPz. zPco .
[Нр. *90-163. *91-503] э. (geo) .yQa). сое %)*‘1Р .yPpoOJ:
[*37-1] э^ЧрсРро'^*1!/.:
[*123-19] э:£у1реКо (1)
Similarly h : Hp. z>. <Q* ‘2P e No (2)
I-. *121-601-602 . э I-: Hp. э . 1P P 2P .
[*122-16. *91-52-6] z>. ~ (2P Q* 1P) (3)
I-. *121-602 . *53-31. *93-1. z> F Hp. z> :^‘2P = 7Hp = Л:
[*13-14] d : yQz .z>.z^2P:
[*91-542] э : 2PQicZ. yQz. =>. 2F2poz. yQz.
[*92-11] z>.2PQ*y:
[Transp] э : ~ . yQz. э. ~ (2PQ*z) (4)
F. (3). (4). *90-112 . э F Hp э : lPQ*z . э . ~ (2PQ*z) (5)
F . (1). (2) . (5) . э F . Prop
*123-421. F. No = NO+CNO = 2xcN0
Доказательство.
F . *123-42 . э F : ae No . э . (aP, у). P, yeN0.pny = A.pUyca.
[*110-32. *117-22] э. Nc‘a NO+CNO (1)
F.(1)* *117-6-23 . э F : g! No . э . No = NO+CNO (2)
F . (2). *118-12 . *117-6 . э h . No = NO+CNO (3)
F . (3). *113-66 .эр. Prop
*123-422. F : v e NC induct - l‘0 . э . v xcNo = No
Доказательство.
F . *113-671. эР: v xcN0 = No . э . (v +cl) xcN0 = NO+CNO
[*123-421] = N0 (1)
F.(1). *120-47 .эр. Prop
*123-43. h g! No . э : v e NC induct. dv . No> v
Доказательство.
F . *123-18-36-361. э F : Hp . э . No e NC -NC induct - i‘A.
NC induct c - i‘A (1)
h . (1). *120-49 . эР . Prop
*123-44. F 3! No . э : veNC induct U i‘No . = . No v
Доказательство.
h . *123-322 . э F a e No . э : No v . э . Nc‘a v .
*117-22-104-12] э . а • v А СГа . v e N0C .
*123-16] э . а! v П (Cis induct U No). v e N0C .
*103-26] => • (Я P) •v = Noc‘P . p e Cis induct U No .
*120-21. *103-26] э . v e NC induct U l‘Nq (1)
F . (1). *123-43 . э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
302
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*123-45. h а! Ко . э : v 6 NC induct. = . Ко> v . = . v <Ко [*123-43-44]
*123-46. F: а e Cis induct .0eKo.D.aU0eKo
Доказательство.
F . *110-32 . *22-91. э F. Nc‘(a U 0) = Nc‘0 +c Nc‘(a - 0) (1)
*120-481-21. d F : Hp.d. Noc‘(a - 0) e NC induct (2)
F . *123-322 . э F : Hp . э . Ko = Nc‘0 (3)
F. (2). (3). (*110-04). *123-41. э F : Hp . э . Nc‘0 +c Nc‘(a - 0) = Ko (4)
F. (1). (4). *100-44. dF. Prop
*123-47. h g! Ko . э : aeCis induct UK0 . = . (a y). No . acy.
= . Nc‘a Ko
Доказательство.
F . *123-46 . э F:. Hp . □ : ae Cis induct. э . (а у) • у € Ко . а с у (1)
F . *22-42 . э h : а е Ко . э . (а у). у е Ко . а с у (2)
F . *123-16 . э1-:(эу).уеКо.асу.э.ае Cis induct U Ко (3)
F . (1). (2). (3). э F :. Hp . э : a e Cis induct U Ko . = . (3 Y) • Ye^o • ac Y (4)
F . *123-44-322 . э F :. 0 e Ko . э : Noc‘a e NC induct U i‘Ko . = . Noc‘a < Nqc‘0 :
[*103-26 . *120-21*117-107] э : a e Cis induct U Ko . = . Nc‘a Nc‘0 .
[*123-322] =. Nc‘a Ko (5)
F. (5). *10-11-23 . э h a! No • : a 6 Cis induct U Ko . = . Nc‘a < Ko (6)
F . (4). (6). z> F . Prop
Следующие предложения входят в доказательство Ко2 = Ко- Данное до-
казательство воспроизводит доказательство Кантора. Оно состоит в том,
чтобы продемонстрировать, что отношение R, определенное в гипотезе
*123-5, является прогрессией.
*123-5. F: P,QeProg.
R = XY [(ащ v): X = pp i vQ . Y = (p+cl)P i (v-cl)e . V .
Х = НрЛе.У=1рИн+с1)е].э.Яе1^1
Доказательство.
F . *122-34 . э F :. Hp . э : X = 1 vQ . Y = (h+c1)f J, (v-cl)e . э .
p, v e NC induct - i‘0. v 1 (1)
F . (1). э F Hp. э: (g p, v). X = pP | ve . У = (p+el)P X (v-cl)e . э .
~(ан).х=нр|1е.г=1рИн+с1)с (2)
I-. (2). *123-3. э
F:: Hp. э (gp, v). X = pP | ve . Y = (p+cl)P | (v-cl)e: XRY'. X’RY: э .
X = X’.Y=Y’ (3)
F . (2). Transp. *123-3. э
F :: Hp. d (gp). X = pP J, le . Y = l/> J. (p+cl)e : XRY’. X’RY: э .
X = X' .Y=Y’ (4)
F . (3). (4). э F: Hp. z>. /?e 1 —»1: эF. Prop
*123-501. F : Hp *123-5 . э. D‘tf = D‘Px D‘Q
Доказательство.
F . *122-34. э F :. Hp . э : p veNC induct - i‘0. v / 1 . э .
(Mve)*{(P+ci)pl(v-ci)e}- (i)
F . *122-34. э FHp. э: p e NC induct - Г0. z>.
(pHi^^dHCn+eDe} (2)
Principia Mathematica II
123. No
303
I-. (1). (2). z> I- :.Hp. э : p, v e NC induct - i‘O. э . pp J, Vq e D‘R:
[*123-341] o:xeD‘P.yeD‘(2.3.xJ.yeD‘^ (3)
F. *21-33. э I-Hp. z>: X e D‘R. э . (gp, v). X - pP | ve .
[*122-341] э . (дх,у).xeD‘P.yeD‘6.X-x\,y (4)
F. (2). (4). *113-101. эк.Prop
*123-502. I-: Hp *123-5 (ГЯс D‘J?. K‘(lp 11G) c D‘fl
Доказательство.
I-. *21-33 . э I-: Hp . Y = (p+cl)P | (v-cl)g. v-cl # 1. z>.
YR{(ii+c2)pI(v-c2)q} (1)
F. *21-33. z> F : Hp. У = (p+cl)p J, lg . э . У7?{Ip J, (p+c2)e) (2)
F. *21-33 . z> F : Hp. У = Ip 1 (p+cl)g . z>. У/?2р J, pg (3)
I-. (1). (2). (3). z> I-: Hp. э. а‘Д c D‘R: z> F . Prop
*123-503. I-: Hp *123-5. z>. D‘fl с 5T*‘(lp J, lg)
Доказательство.
F . *123-501. *122-11. э F : Hp. э. 1F | lg e fr*‘(lp X le) (1)
F.*90-16. z> F : Hp. (Ip 11е)Я* (up I vc) • v / 1. э .
(Ipl lg)/?* {(p+cl)p|(v—cl)g} (2)
F. (2). *120-47. э
F : Hp . (Ip | 1q)R* (|ip J. Vg) . э . (Ip | \q)R* {(p+cv-cl)p J. lg} •
[*90-16] э . (Ip 1lg)/?* (Ip | (p+cv)e) •
[(2). *120-47] o.(lpilg)/?*{Hpi(v+cl)g). (3)
[*90-16] D.(lp|lg)^{(H+cl)p|vg} (4)
I- . (1). (3). (4). *120-47. э
I-:. Hp. э : p, veNC induct - i‘0. э . (Ip 1lg)/?* (pp 1 Vg) (5)
F. (5). *122-341.эк. Prop
*123-504. I-: Hp *123-5. э . B‘R = 1P J, 1g [*123-34. *120-414]
*123-51. F : Hp *123-5. z>. R e Prog. D‘/? = D‘Px D‘2
[*123-5-501-502-503-504]
*123-52. F. No = NoxcNo = No2 [*123-51. *116-34. *113-25-204]
*123-53. F: veNC induct-i‘O.z>.Nov = No [*123-52 . *116-52]
*123-7. I-: Infin ax (x). Mult ax. э . g! No (f x)
Доказательство.
I- . *123-34. *120-301. z> I-: Hp . э . NC induct (fx) e No (1)
h . *100-43 . *120-301. э H Hp . э . NC induct (f x) e Cis ex2 excl (2)
h . (1). (2). *88-32 . э h : Hp. э . g! Prod'NC induct (t‘x) (3)
h . (1). (2). *115-16 . э F : Hp . э . Prod'NC induct (fx) c No (4)
F . *115-18. (*65-02). z> F : KeProd‘NC induct (fx). э. Kefffx (5)
F . (3). (4). (5). (*65-02). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
304
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*124. Рефлексивные классы и кардиналы
Краткое содержание *124-
В этом параграфе мы должны рассмотреть второе определение беско-
нечности, упомянутое во Введении к этой главе. Класс, который является
бесконечным в соответствии с этим определением, мы предлагаем назы-
вать рефлексивным классом, так как класс этого вида способен к отраже-
нию в часть самого себя. Класс называется рефлексивным, когда имеется
одно-однозначное отношение, которое соотносит класс со своей собствен-
ной частью. (Собственная часть — часть, а не все целое.) Рефлексивный
кардинал есть однородный кардинал рефлексивного класса.
Мы доказываем без труда, что рефлексивные классы не индуктивны
(*124-271), что рефлексивные кардиналы таковы, что они больше чем или
равны Ко (*124-23), и таковы, что не изменяются при добавлении 1 (ис-
ключая А) (*124-25). Чтобы доказать, что классы, которые не индуктивны,
должны быть рефлексивными, до настоящего времени не было обнаруже-
но такой возможности, не предполагая аксиомы умножения. Мы не нуж-
даемся, однако, в предположении указанной аксиомы в полной общности,
а лишь применительно к произведениям Ко множителей. С этим предпо-
ложением результат следует на основании ряда предложений, разъясняе-
мых ниже. Таким образом, если произведение Ко множителей, ни один из
которых не является нулевым, никогда не есть нуль, то оба определения
конечного и бесконечного совпадают (*124-56).
Мы намереваемся называть кардинал v “мультипликативным кардина-
лом”, если произведение v множителей, ни один из которых не является
нулевым, никогда не есть нуль. Таким образом, все индуктивные карди-
налы являются мультипликативными; и предположение, необходимое для
того, чтобы отождествить оба определения конечного и бесконечного, со-
стоит в том, что Ко должен быть мультипликативным кардиналом.
Для рефлексивного класса мы используем обозначение “Cisrefl”, а для
рефлексивного кардинала —“NC refl”. Мы определяем рефлексивный кар-
динал как однородный кардинал рефлексивного класса, т.е. мы полагаем
NC refl = Noc“Cls refl Df.
Польза от этого лишь в том, чтобы исключить А из рефлексивных
кардиналов, что удобно. Мы затем нуждаемся (по аналогии с *110-03-04)
в определении того, что имеется в виду, когда о неопределенном символе,
таком как Nc‘a, говорится, что он является рефлексивным, и поэтому мы
полагаем
Nc'peNCrefl. = . Noc‘peNC refl Df.
Для класса мультипликативных кардиналов мы используем обозначение
“NCmult”. Таким образом, мы полагаем
NC mult = NC А а {к g a A Cis ex2 excl. dk . g! бд‘к} Df,
откуда следует, что если agNCmult, то произведение а .множителей, ни
один из которых не является нулевым, никогда не будет нулем.
Настоящий параграф мы начинаем с более очевидных свойств Cis refl,
доказывая, что Cis refl есть один из тех, который содержит подклассы из Ко
Principia Mathematica II
*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЫ
305
термов (*124-15), что он есть один из тех, чье число не изменяется, когда
убирается один терм (*124-17), и что он остается рефлексивным, если ка-
кой-либо индуктивный класс удаляется из него (*124-182).
Затем мы даем соответствующие предложения, касающиеся NCrefl
(*124-23-25-252), доказывая, в дополнение к уже упомянутым предложени-
ям, что рефлексивный кардинал больше, чем каждый индуктивный кар-
динал (*124-26), и что класс, который ни индуктивен, ни рефлексивен (ес-
ли таковой имеется), есть класс, не содержащий и не содержащийся ни
в какой прогрессии (*124-34). По поводу подобных классов см. замечания
в конце настоящего параграфа.
Затем (*124-4-41) мы приводим предложение, просто содержащее опре-
деление NCmult, и показываем, что все индуктивные кардиналы мульти-
пликативны, что непосредственно следует из *120-62.
Ряд следующих предложений (*124-51 и далее) связан с доказатель-
ством того, что если Ко есть мультипликативный кардинал, то тогда оба
определения конечного и бесконечного сливаются. Доказательство этого,
в достаточной степени сложное, разворачивается, как следует ниже.
Начнем с того, что мы знаем, что если р есть класс, который не явля-
ется индуктивным, то он содержит классы, обладающие v термами, если
V —какой-либо индуктивный кардинал. Поэтому мы имеем
э! о п сгр, а! 1 п сгр,... а •v п сгр,....
Классы классов 0 А СГр, 1 А СГр,... v А СГр,..., таким образом, образуют
прогрессию, которая содержится в СГСГр. Следовательно, (*124-511)
h : р ~ е Cis induct. э . Cl СГр е Cis гей.
До сих пор аксиома умножения не требуется.
Указанная выше прогрессия классов классов есть
(A Cl‘p)“NC induct.
Если Р есть выбирающее (селективное) отношение для этого класса клас-
сов, то D‘P является прогрессией, содержащейся в СГр. Следовательно,
*124-513. h : 3! ед‘(А Cl‘p)“NC induct. э . СГр g Cis refl
откуда
*124-514. h No e NC mult. э : р ~ g Cis induct. z>. СГр g Cis refl
Чтобы доказать следующий шаг, именно
Ко е NC mult. а! Ко А СГСГр . э . а! Ко А СГр,
мы начнем заново. Мы имеем, на основании гипотезы, прогрессию R, чья
область содержится в СГр; следовательно, s‘D‘flcp. Поэтому будет доста-
точно доказать
Ко e NC mult. R g Prog . D7? с Cis induct. э . a! Ko A s'XYR,
где условия значимости требуют, чтобы D‘l? состоял из классов.
С этой целью мы доказываем, что не может быть последнего элемента
D‘7?, обладающего новыми элементами, которые уже не встречались пе-
ред ним. Доказательство продолжается тем, что показывается, что если
это было бы не так, то s‘D‘R был бы индуктивным классом и поэтому,
на основании *120-75, D‘7? был бы индуктивным классом. Следовательно
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
306
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
(*124-534), элементы D‘7?, которые вводят новые термы, образуют Ко на ос-
новании *123-19; и так же делают классы новых термов, которые они вво-
дят (*124-535). Следовательно (*124-536), выборка из этих классов новых
термов, являющаяся подклассом s'D'R, есть также Ко, и поэтому (*124-54)
найдется прогрессия, содержащаяся в s'D'R, если указанная выборка су-
ществует. Это завершает доказательство.
В силу *124-511, *120-74, мы имеем без аксиомы умножения
* 124-6. h : р ~ g Cis induct. = . СГСГр g Cis refl
Следовательно, если могло бы быть показано, что СГр не может быть
рефлексивным, если р не рефлексивно, то двойное применение этого поз-
волило бы нам посредством *124-6 отождествить без аксиомы умножения
оба определения конечного.
* 124 01. Clsrefl = р {(д Я) .Яе 1 -> 1. (ГЯс Б‘Я. д!11‘. Я. р = DCR} Df
Эквивалентное определение было бы
Cis refl = D“{(1—> l)AD‘B-Cnv“CTB} Df.
* 124-02. NC refl = N0C“Cls refl Df
* 124-021. Nc‘p eNC refl . = . Noc‘peNC refl Df
* 124-03. NC mult = NC A d {кеа A Cis ex2 excl. . 3! бд ‘к) Df
* 1241. h : peClsrefl. = . (д!Я) .Яе 1 —»1. СГЯcD7?. g 17Гя. p = D7?
[(*124-01)]
* 124-11. Н:Яб1->1.СГЯсО‘Я.д!^‘Я.э.О‘ЯеС15геА [*124-1]
* 124-12. I-. No c Cis refl [*123-12 . *124-1]
* 124-13. h: peCls refl. =>.g!NonCl‘p [*124-1. *123-192]
* 124-14. h: p g Cis refl . э . pUoe Cis refl
Доказательство.
h . *71-242 . *50-5-52 . э
НЯе1 —> 1 .СГЯсО‘Я.д!11‘Я.О‘Я = р.5 = 7[(0-р).э.
ЯU5 el -► 1 ,ОЧЯи5) = О‘Яиа.СГ(Яи.$) = СГЯи(а-р).
[Нр. *93-101] э. Я U S е 1 -> 1.0‘(Я U S) = р U а U S) =~S‘R.
[Нр. *13-12] э.Яи5 el -> 1.0‘(ЯйЯ) = риа.д!11‘(Яи5).
[*124-11] э. р U og Cis refl (1)
h. (1). *124-1. эк. Prop
*124-141. h: 3! СГр A Cis refl . d . p g Cis refl
Доказательство.
h . *124-14 . э h : |i e Cis refl . э . p U (p - p) g Cis refl .
[*24-411] э h : |i c p . pcCls refl . э . p g Cis refl : э h . Prop
*124-15. h : p g Cis refl. = . 3! Ко А СГр
Доказательство.
h . *124-12 . э h : 3! Ko А СГр . э . 3! Cis refl А СГр .
[*124-141] э. ре Cis refl (1)
h . (1). *124-13 . oh. Prop
*124-151. h : p g Cis refl . = . Nc‘p Ko [*124-15 . *117-22]
Principia Mathematica II
*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЫ
307
*12416. h : р е Cis refl. = . (go) .0cp.3lp-0.psm0.
= . 3! Nc‘p А СГр - i‘p
Доказательство.
h . *73-1 .oh: (30). ocp .3! p-о. psmo. = .
(3/?, о). о c p .31 p - о. R € 1 -»1 . D‘7? = p . СГЯ = о.
[*13-195] = . (ЭЯ). с p . з! p - СГЯ. Я e 1 -> 1. D‘fl = p .
[*13-193] =.(зЯ).а‘ЯсВ‘Я.з!В‘Я-а‘Я.Яе1 1 . D7? = p.
[*93-101. *124-1] = . p e Cis refl : о h. Prop
*124-17. h : p e Cis refl . = . (3%). x e p . p - i‘x sm p
Доказательство.
h . *124-16 . о h: (зх). x e p . p - i‘x sm p . о . p e Cis refl (1)
h. *123-17-192-311. о
h :Re 1 —> 1 . С‘Я cD7? .xeS^R . о . fr*‘xsmЖ‘х- i‘x.
[*73-7] о . (D7? - Ж ‘x) U Ж ‘x sm (D‘/? - Ж ‘x) U (Ж ‘x - i‘x).
[*24-411-412] о. WR sm D‘R - i‘x (2)
h. (2). *124-1. о h : p e Cis refl . о . (зх). x e p . p sm p - i‘x (3)
h . (1) . (3) . о h . Prop
*124-18. h : p e Cis refl . p sm о. о . oe Cis refl [*124-151. *100-321]
*124-181. h : p e Cis refl. о . p - i‘x € Cis refl . p - i‘x sm p
Доказательство.
h. *124-17-18. *73-72. о
h : p e Cis refl . x e p . о . p - i‘x sm p . p - i‘x e Cis refl (1)
h. (1). *51-222 .oh. Prop
* 124-182. h : p e Cis refl . о € Cis induct. о . p - о e Cis refl . p - о sm p
[*124-181. *120-26]
* 124-2. h : peNC refl . = . (зр). p 6 Cis refl . p - Noc‘p [(*124-02)]
*124-21. h : peNCrefl. = .
(3/?). R e 1 -> 1. (TR c D‘tf. а . p = Noc‘D‘tf [*124-21]
* 124-23. h : peNC refl. н. p > Ko
Доказательство.
I-. *117-241. э F : p >K0 . = . (ga, 0). p = Noc‘a. No = Noc‘0 . а! Cl‘a Л Nc‘0.
[*123-36-322 . *103-26] s . (aa, 0). p = Noc‘a. 0 e Ko • 3! Cl‘a Л No •
[*10-35] = . (aa, 0). p = Noc‘a. а! СГа Л Ко.
[*124-15] s . (аа, 0). р = Г%с‘а. а е Cis refl.
[*124-2] = . peNCrefl: эНProp
*124-231. h : a! NC refl. =. a! Cis refl. = . a! No [*124-2-12-13]
*124-232. I-: a! NC refl. z>. Infin ax [*124-231. *123-18]
*124-24. F p e NC refl. = : p e NqC : (a v). p = Kq+c v. v e NC
Доказательство.
I-. *124-23 . *117-31. э
I-peNC refl. в: p, Kq eN0C : (av) .veNC . p = Nq+c v (1)
I-. *110-4. z> F: p = N0+c v. p e N0C . э . Ko e N0C (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*124-25. I-: NC refl. =. peNoC . p = p +C1. = . 3! P • P = P +Д
[*124-17-2]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
308
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*124-251. h : р,gNCrefl. э.р = р+с1 [*124-25]
*124-252. h : р, е NC refl. v e NC induct. э . p = p +с v
Доказательство.
h . *124-251. h : р e NC refl . p = p +с v . э . р = р +с v +С1 (1)
h. (1). *120-11.э h. Prop
* 124-253. h: р e NC refl . э . р = р +cNo
Доказательство.
h . *124-24 . э h : Нр . э . (gv). р - N0+c v.
[*123-421] о . (gv). р = NO+CNO+C v. р = N0+c v.
[*13-13] э . ц = N0+c р : э h . Prop
♦ 124-26. h :. цеNC refl . □ : veNC induct. dv . p > v
Доказательство.
h . *124-231. э h:. Hp . э : g! No :
[*123-43] z>: veNC induct. z>v . No> v (1)
h . (1). *124-23 .oh. Prop
* 124-27. h . NC refl A NC induct = A [*124-26 . *117-42]
* 124-271. h . Cis refl A Cis induct = A
Доказательство.
h . *124-2 . о I-: p e Cis refl. э . Noc‘p e NC refl .
[*124-27] э . Noc‘p ~ e NC induct.
[*120-21] о . p ~ e Cis induct: z> h . Prop
* 124-28. h : p e Cis refl . = . Noc‘peNC refl . = . Nc‘peNC refl
Доказательство.
h . *4-2 . (*124-021) .oh : Nc‘peNC refl . = . Noc‘peNC refl .
[*124-2] = . (go). о e Cis refl. Noc‘p = N0c‘o.
[*103-14] = . (go). оeCis refl. p smo. pef о.
[*124-18 . *73-3 . *63-103] = . p e Cis refl : о h . Prop
* 124-29. h . .y‘NC refl = Cis refl
Доказательство.
h . *40-11. о h : p e .y‘NC refl . = . (gp). peNC refl .pep,.
[*103-26] = . (gp). p,eNC refl . p = Noc‘p .
[*13-195] =. Noc‘peNC refl .
[*124-28] = . p e Cis refl : о h . Prop
* 124-3. h :: g! No . о :. p <No . V . p No : = . p e NC induct U NC refl
[*123-45. *124-23]
* 124-31. h : g! No . о . spec‘No = NC induct U NC refl
[*124-3. *120-431]
В силу приведенного выше предложения, если есть какие-либо элемен-
ты, не являющиеся ни индуктивными, ни рефлексивными, то они таковы,
что не больше чем, не меньше чем и не равны No- (Существование No в пре-
делах подходящего типа выводится из существования чисел, которые ни
индуктивны, ни рефлексивны; ср. *124-6.) Два последующих предложения
(*124-33-34) о не-индуктивных и не-рефлексивных классах и кардиналах
приводятся ниже. Этот предмет снова обсуждается в замечаниях в конце
этого параграфа.
Principia Mathematica II
*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЫ
309
*124-33. F а! Ко . э : р, е NC - NC induct - NC refl . = .
Н б NC . ~ (Н <К0) • ~ (Н > Ко) [*124-3 . Transp]
*124-34. F :: а ’• Ко . э а ~ б (Cis induct U Cis refl). = :
~(ау):убКо:ас7. V.yca
Доказательство.
F. *120-21. *124-28 . э I-: a ~ б (Cis induct U Cis refl). = .
Noc‘a ~ б (NC induct U NC refl) (1)
I-. *123-36 . *103-26 . э F : p c Ko . z>. Ko = Noc‘p (2)
I-. (1). (2). *124-31. z> F :: P c Ko . z>a ~ e (Cis induct U Cis refl). = :
Noc‘a ~ e spec‘Noc‘P:
[*120-432] = : ~ (Noc‘a Noc‘p). ~ (Noc‘a Noc‘P):
[*117-107-22] = : ~ (Nc‘a Nc‘p): ~ (a?) • Y 6 Nc‘0 .yea:
[*123-322] = : ~ (Nc‘a Nc‘K0): ~ (a?) - ?eN0 . yea:
[*123-47] = : ~ (ay). Y e Ko . a с у : ~ (aY) • Y e Ko . у c a (3)
F . (3). *10-11-21. э F . Prop
*124-4. F ncNCmult. = : ^eNC : к б ц A Cis ex2 excl. эк . а’- бД‘к
[(*124-03)]
*124-41. F . NC induct c NC mult [*120-62 . *124-4]
Следующие предложения дают доказательство *124-56, которое отож-
дествляет два определения конечного при предположении, что Ко являет-
ся мультипликативным кардиналом. (*124-513 используется лишь в дока-
зательстве *124-514, а *124-514 не используется в рассматриваемом дока-
зательстве. Оно сохранено как отмечающее ступень в аргументации, хотя
действительные предложения, использующиеся впоследствии, не являются
таковыми, а представляют собой леммы, приводящие к ней.)
*124-51. F : р ~ е Cis induct. Q = (А СГр) | N | Cnv‘(A СГр). э .
Qе Prog. D‘e с СГСГр . D‘e = (A Crp)“NC induct
Здесь N обладает смыслом, определенным в *123-02.
Доказательство.
F . *120-61-21. *123-25 . э F : Нр . z>. N е Prog (1)
F . *120-491. э F Нр . э : ц, v б NC induct. . а! ц А СГр . а! v А СГр :
[*22-5] э : щ v б NC induct. р А СГр = v А СГр . .
а! Ц А V А СГр .
[*100-43] = у
[*71-55] э : (А СГр) f NC induct б 1 -> 1 (2)
F . (1). (2). *123-32 . э F : Нр . э . geProg (3)
F. *22-43. э F : aeD‘2. э . а с СГр (4)
F . (3). (4). *37-32-321. э F . Prop
*124-511. F : p ~ б Cis induct. э .
СГСГр б Cis refl . (A Cl‘p)“NC induct б Ko A Cis ex2 excl
[*124-51-15 . *120-491. *100-43]
Доказательство.
F . *83-11. Transp . э F Hp . э : veNC induct. ov a’ v А СГр (1)
F . *115-16 . (1). *124-511. *120-491. э
F : Hp . d . D‘P б Nc‘(A Cl‘p)“NC induct. p ~ б Cis induct.
[*124-511] z>.D‘P6K0 (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
310
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
I-. *83-21 .эк:. Нр. э : aeD‘P. э . (gv) .veNC induct. a e v А СГр .
[*10-5 . *120-2] э . a e Cis induct. a e СГр (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*124-513. F : g! ед‘(П Cl‘p)“NC induct. э . СГр e Cis refl [*124-512-15]
*124-514. к :. Ko e NC mult. э: p ~ e Cis induct. э . Cl‘p e Cis refl
[*124-511-513-4]
Следующие предложения касаются доказательства того, что если Ко
есть мультипликативный кардинал, то класс, такой как D‘P в *124-512,
должен быть таким, как прогрессия, содержащаяся в s‘D‘P. Характеристи-
ки D‘P, которые используются в доказательстве, есть D‘P е Ко . D‘P с Clsl.
Поскольку D‘P е Ко, то мы имеем (gP). R е Prog. D‘P = D‘P. Следовательно,
та гипотеза, с которой связан ряд следующих предложений, есть
R е Prog. D‘P с Cis induct,
однако ранее сформулированные предложения не нуждаются в полной та-
кой гипотезе.
Далее заметим, что если yeD‘P, то у-л‘7?ро‘у есть класс таких тер-
мов, которые встречаются в у и никогда не встречались ни в каком ранее
идущем элементе D‘P. Мы доказываем, что с нашей гипотезой элементы
D‘P, для которых этот класс новых термов не является нулевым, образу-
ют класс, который не обладает последним элементом и поэтому образует
прогрессию.
*124-52. F R е Prog.0 = 0 {(ау). у е D7?. 0 = у - j‘^po‘y. а! 0}. э :
о е Clsex2 excl: у, 6 е D‘7?. у / б . э. (у - хЧ^'у) Г) (5 - s‘7?po‘6) = А
Доказательство.
F.*20-33. э FНр. э : 0ео. эр . 3! 0 (1)
F. *122-21. э I-Нр . у, 6eD‘l?. у 6. э : уЛроб. V . 6ЛроУ (2)
I-. *40-13 . э I-Нр . у2?роб . э : у с х‘~^ро‘6 :
[*24-3] э:(у-^ро‘у)П(6-5‘^ро‘6) = А (3)
Similarly F:.Нр. б^роу. э : (у- П(б- 5‘^ро‘б) = Л (4)
I-. (2). (3). (4). э F: Нр. у, 6 е D‘tf. у # 6. э.
(y-s‘"^pO‘y)n(6-s‘'^pO‘6) = A (5)
I-. (5). *20-33. э F : Нр. 0,0'ео. 0 # 0'. э . 0 О 0'=Л (6)
I-. (1). (6). (5). э F . Prop
*124-521. F: Нр*124-52 .n = y{yeD‘/?.a!y- 5‘^ро‘у}. э.osm я
Доказательство.
F . *124-52. *24-57. э
F: Нр. у, бел.у^б.э.у- хЧ^'у хЧ&Ъ (1)
F. (1). э F : Нр. S = 0у (У е DJ?. 0 = у - хЧ^‘у. а !.₽} • э •
S е 1 -»1. D‘5 - о. СГ5 = лэ F . Prop
*124-53. F: R е Prog. э . s‘D‘ZJ~e Cis induct [*120-75. *122-37]
*124-531. F : R e Prog. D‘2? c Cis induct. э. s‘7?* ‘y e Cis induct
Доказательство.
F . *122-38. э F : Hp. э . "/?* ‘y e Cis induct (1)
F . (1). *120-75. э F . Prop
Principia Mathematica II
♦ 124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЫ
311
*124-532. к : Я е Prog . D‘2? с Cis induct . э. д! .y‘D7? - 5‘7?*‘y
[*124-53-531. *120-481. Transp]
*124-533. к : R e Prog . D‘2? c Cis induct. у e D‘2? . э .
(яР) • уЯроР • Я! Р - i'^po'P
Доказательство.
F. *124-532 . э I-: Нр. э. (gP). р еD‘7?. а! Р - (1)
I-. *40-13 . э F: рЯ*у . э . Р с s‘7?* ‘у :
[Transp] э F : а! Р - ‘у. э. ~ (ря*у):
[*122-21] ol-:Hp.peD‘/?.a!P-^*‘Y.=>-YW (2)
К(1).(2).э
Н.Нр. э:(аР).уЛроР-Я!Р-^*‘У:
[*122-23] э : Е ! min (Яро)‘Р (уЯроР. а! Р - J‘^po‘P‘}:
[*93-111] э : (аР): уЯроР • Я '• Р “ ‘Y: 6лроР - .6 с s‘X ‘у:
[*40-151] э : (аР): уЯроР. а! Р “ ‘Y • *‘Л>о‘Р с s‘^*‘Y:
[*22-81] э : (аР). уЯроР • Я! Р - -s‘^po‘P э F. Prop
*124-534. к : R е Prog. D‘2? с Cis induct.
Jt = у {у е D‘fl. а! у - s‘7?po‘y}. э. л е Ко
Доказательство.
I". *124-533 . э к : Нр. э . д! л. л сЯро“л (1)
I-. (1). *123-19.эк. Prop
*124-535. к : R е Prog. D‘2? с Cis induct.
О = р {(яу) .уеО‘Я.р = у- j‘^po‘Y. я'• Р) • • оеКо
[*124-534-521. *123-321]
*124-536. F : R е Prog. D‘2? с Cis induct.
О = р{(яY) .уеВ‘Я.р = у-5‘^ро‘у • я! Р) •
S ббд‘о. э . D‘5 eNo . D‘5 с 5‘D‘2?
Доказательство.
I-. *115-16 . *124-52-535 . э I-: Нр . э. D‘5 е No (1)
к . *83-21 .эк:. Нр . э : D‘5 с 5‘о :
[*40-11] э : хеD‘5 . э . (дР,у) • У cD‘fl. 0 = у- s%x>‘y . д! 0 . хе(3 .
[*13-195] э . (ду). у eD‘7?. хеу - 5‘^ро‘у.
[*22-43] э . (ду). у eD‘2?. хеу.
[*40-11] э.хб5Т)‘Я (2)
к . (1). (2). э к . Prop
*124-54. к : No eNC mult. 2? € Prog. D‘2? c Cis induct. э . д! No A C1‘$‘D7?
Доказательство.
к. *124-52-535-4. э
F Hp. z>: о = P {(ay) • YeD‘K • P = Y “ ^po‘l • 3! P) • э • Я! ед‘о -
[*124-536] z>.3! No ПС1‘$‘О‘Я:.эНProp
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
312
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*124-541. I": Ко eNC mult. Ре€д‘(П Cl‘p)“NC induct. э .
a!KonCl‘s‘D‘P.s‘D‘Pcp
Доказательство.
I-. *124-512 . э I-: Нр . э . D‘P е Ко . D‘P с Cis induct.
[*123-1] э . (gP). D‘P = D‘P . R е Prog. D‘P c Cis induct.
[*124-54] э . (aP). D‘P = D‘P. a! No П Cl‘s‘D‘P.
[al3-193 . *10-35 э . a! No П Cl‘s‘D‘P (1)
h . *124-512 . э I-: Hp . э . D‘P e СГСГр
[*60-2] D.D‘PcCrp.
[*60-52] элТГРср (2)
I- . (1). (2). э I-. Prop
*124-55. h : Ko c NC mult. p ~ e Cis induct. э . a! No А СГр
Доказательство.
I-. *124-511-4 . z>. I-: Hp . э . a! сд‘(А Cl‘p)“NC induct.
[*124-541. *60-4] э . a ’• No П СГр : э F. Prop
*124-56. h : Ko e NC mult. . Cis induct = Cis refl. NqC - NC induct = NC refl
Доказательство.
I-. *124-55-15 . э I-: Hp. э . - Cis induct c Cis refl (1)
h . *124-271. э F- : Hp. . Cis refl c - Cis induct (2)
I-. (1). (2). эк Hp . э : - Cis induct = Cis refl : (3)
[*120-21. *124-28] э : Noc‘p ~ e NC induct. = . Noc‘p e NC refl :
[*103-2 . *124-2] э : a e N0C - NC induct. = . a e NC refl (4)
I- . (3). (4). z> h . Prop
Приведенное выше предложение отождествляет два определения конеч-
ного с гипотезой Ко е NC mult.
* 124-57. h : ц eN0C - NC induct. э . 2й e NC refl [*124-511. *116-72]
* 124-58. F 2й e NC refl . . peNC refl : э . N0C - NC induct = NC refl
Доказательство.
h . *124-57 . z> h Hp э : p e N0C - NC induct. z>. 2й e NC refl .
[Hp] D.jieNCrefl (1)
h . (1). *124-2-27 . эк. Prop
Приведенное выше предложение дает другую гипотезу, которая позво-
лила бы нам отождествить два определения конечного, если она могла бы
быть доказана, именно
2йeNCrefl . . peNC refl,
или, что приводит к тому же самому,
СГр е Cis refl. э . р е Cis refl.
* 124-6. I-: р ~ е Cis induct. = . СГСГр е Cis refl
Доказательство.
F . *124-511. э I-: р ~ е Cis induct. э . СГСГр е Cis refl (1)
h . *120-74 . э F : р е Cis induct. э . СГСГр е Cis induct.
[*124-271] z>. СГСГр ~ е Cis refl (2)
. (1). (2). z>l-. Prop
Principia Mathematica II
*124. РЕФЛЕКСИВНЫЕ КЛАССЫ И КАРДИНАЛЫ
313
* 124-61. F:. Ко eNC mult. э : р е Cis refl. = . СГр е Cis refl . = . СГСГр е Cis refl
Доказательство.
I-. *124-6-271. э h : р е Cis refl . z>. СГр е Cis refl. э. СГСГр е Cis refl (1)
h . *124-6-56 э I-:. Ко е NC mult. z>: СГСГр e Cis refl . э . p e Cis refl . (2)
[(1)] э.СГре Cis refl (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
Следующие свойства кардиналов, которые не являются ни индуктив-
ными, ни рефлексивными (предполагая, что таковые имеются), без труда
доказываются. Положим
NC med = N0C - NC induct - NC refl Df,
Cis med = - Cis induct - Cis refl Df,
где “med” используется вместо “mediate”65. Тогда
pieNC med . э . p+cl eNC med . Ц-C1 eNC med . p, / p, +С1. p, / р, -С1.
Следовательно, промежуточный кардинал ни имеет ни максимума, ни ми-
нимума.
р., v е NC med. э . р +с v е NC med,
И е NC med . v е NC med U NC induct - ГО. э . p xc v e NC med,
откуда
p. e NC med . э . p,2, p,3,... e NC med,
pv e NC med. z>: p e NC med . V . v e NC med,
p e NC med. э . 22И e NC refl,
откуда
3! NC med. э . (a v). v e NC med . 2V e NC refl,
поскольку мы имеем либо
peNCmed. 2йeNCrefl,
либо
2й eNC med.22"eNC refl.
65 “ Mediate” — промежуточный. — Прим. ped.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
314
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*125. Аксиома бесконечности
Краткое содержание *125.
Настоящий параграф посвящен просто нескольким эквивалентным фор-
мам аксиомы бесконечности, а также родственному предположению о су-
ществовании Ко.
В силу *125-24-25, приводимых ниже, если имеет место аксиома беско-
нечности в пределах какого-либо одного типа, то она имеет место в пре-
делах любого другого типа, который может быть выведен из этого одного
типа или из любого типа, из которого, в свою очередь, указанный тип мо-
жет быть выведен. Следовательно, если мы предположим, что представля-
ется естественным сделать, что все экстенсиональные типы выводятся из
одного первого типа, именно типа индивидов, то аксиома бесконечности
в пределах любого подобного типа эквивалентна предположению о том,
что число индивидов не является индуктивным.
В этом параграфе мы сначала имеем дело с эквивалентными формами
Infin ах, затем —с эквивалентными формами Infin ах (х), далее —с эквива-
лентными формами д! Ко или д! Ко (х). Когда “Infin ах” или “д! Ко” в этом
параграфе без типового определения, они и все другие типово неопределен-
ные символы предполагаются взятыми в пределах наинизшего логически
возможного типа или с теми же самыми относительными типами, как
если бы это уже было сделано. На предложения настоящего параграфа
часто приводятся ссылки в дальнейшем изложении, однако здесь они со-
браны вместе с тем расчетом, что они интересны сами по себе.
*125-1. h Infin ах . = : aeNC induct. =>a . g! a [*120-3]
*125-11. h : Infin ax . = : aeNC induct. эа . a a +Д [*120-33]
*125-12. I-Infin ax . = : aeNC induct. эа . g! a +C1
Доказательство.
h. *101-12. *125-1. э
I-:. Infin ax . = : a e NC induct - t‘0 . =>a . g! a :
[*120-423] = : aeNC induct. эа . g! a +C1 э h. Prop
*125-13. h : Infin ax. = . A ~ e NC induct [*125-1. *24-63]
*125-14. h : Infin ax. = . (+cl) f NC induct e 1 —> 1
Доказательство.
h . *123-22-24 . z> h : Infin ax. э . (+Д) [ NC induct e 1 -+ 1 (1)
I- . *71-55 . oh:. (+cl) Г NC induct e 1 —> 1 . э :
a, PeNC induct. a +C1 = p +C1. эа,р . a = P :
[Transp] э : a, P e NC induct. a / p . эа>р . a +C1 / P +C1 :
[*10-1] э : a, PeNC induct. A / P . эр . А +Д / P +Л :
[*110-4 . Transp] э : A e NC induct. P e NC induct. g! P . z>p . g! (P +cl) (2)
h. (2). *101-12. *120-13. z>
h (+cl) [ NC induct e 1 —> 1. A eNC induct. э : p e NC induct. эр . g! P :
[*24-63] э: A ~ e NC induct (3)
Principia Mathematica II
*125. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ
315
F . (3). *2-01. *125-13 . d F : (+с1) Г NC induct e 1 -> 1. э . Infin ax (4)
F . (1). (4). d F . Prop
*125-15. к Infin ax . = : p e Cis induct. Dp . g! - p
Доказательство.
F.*110-63 . dF .Dr .pU i‘xeNc‘p +C1 :
[*10-28] DF:g!-p.D.g! Nc‘p +c 1 :
[Syll] d F p e Cis induct. Dp . g! - p : d :
p € Cis induct. dp . g! Nc‘p +C1 :
[*120-2] d : cieNC induct .pea. Da>p . g! Nc‘p +C1 :
[*100-45] d : aeNC induct. g! a. Da . g! a +C1 :
[*120-13 . *101-12] э : a 6 NC induct. Da . g! a (1)
F . *13-12 . d FcieNC induct. Da . g! (a +cl): d :
cieNC induct. Noc‘p = a . Da,p . g! (Noc‘p +Д):
[*120-21] d : p e Cis induct. dp . g! (Noc‘p +cl).
[*103-11. *63-101. *110-63] dp . (gy,z). у smp . z ~ e у. yei‘p U - i‘p (2)
h . *13-12 . *10-24 . DF:y = p.z~cy.D.g!-p (3)
F . *120-426 . *24-6 . d F : p e Cis induct. у / p . у c p . d . ~ (y sm p):
[Transp] d F : p e Cis induct .ysmp.y^p.D.gly-p.
[*24-561] D.g!-p (4)
F . (3). (4). d F p e Cis induct: (gy, z). у sm p . z ~ e у . у e i‘p U - i‘p : d .
g!-p (5)
F . (2). (5). d F cieNC induct. Da . g! (a +cl): d :
p e Cis induct, dp . g! - p (6)
F. (1). (6). *125-12-1. dF. Prop
* 125-16. F : Infin ax . = . g! Cis - Cis induct. = . g! NqC - NC induct. = .
V ~ e Cis induct
Доказательство.
F . *125-15 . d F Infin ax . = : p e Cis induct. Dp . p V :
[*13-196] = : V ~ e Cis induct (1)
F . *120-481. Transp. d F : g! Cis - Cis induct. d . V ~ e Cis induct (2)
F. (1). (2). *120-21. dF. Prop
* 125-2. F Infin ax (x). = : cieNC induct. Da . g! a (x) [*120-301]
*125-21. F : Infin ax (x). = . f x ~ e Cis induct
Доказательство.
F . *125-15 . d F Infin ax (x). = : p e Cis induct А Cl‘f x. Dp . g! - p :
[*63-102] = : p e Cis induct A Cl‘f x. dp . p / f x:
[*13-196] = : f x ~ e Cis inductd F . Prop
* 125-22. F : Infin ax (x). = . P ‘x e Cis refl [*125-21. *63-66 . *124-6]
*125-23. F : Infin ax (x). = . g! No (r2‘x) [*125-22 . *124-15]
*125-24. F : Infin ax (x). = . Infin ax (f x). = . Infin ax (r2‘x). = . etc .
Доказательство.
F . *125-21. d F : Infin ax (x). = . f x ~ e Cis induct.
[*120-74] = . Cl‘f x ~ e Cis induct.
[*63-66] = . r2 ‘x ~ e Cis induct.
[*125-21] =. Infin ax (fx): d F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
316
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
*125-25. I-: Infin ах (а). = . Infin ах (Гоо‘а) • = • Infin ах (^‘а). = .
Infin ах (г11 ‘а). = . etc .
[*116-91-92 . *120-56-52 . *125-21]
*125-3. На!К0. = .а!(1^ 1)пЯ(а!1Н.~з!11‘Я)
Доказательство.
к. *123-1 . э к : д! Ко . = . л! Prop .
[*122-11141] э.а!(1—> 1)пЯ(а!^‘Я.~а!^7?) (1)
h. *123-192. эк : а! (11)ПЛ(а!^‘7?.~а!^‘Л).э.а! No (2)
I-. (1). (2). э h . Prop
*125-31. I-: 3! Ко (х). в . PxeClsrefl [*124-15]
*125-32. I-: 3! Ко (х). = . 3! (1 —> 1) Г> &Тх - &Тх
Доказательство.
I-. *63-102 . э I-: а! (1 -»1) Г) &‘г‘х- &‘г‘х. = .
(ЛR). R е 1 -+ 1. D‘2? = t‘x. (ГЯ с f х. л! t‘x - (TR.
[*124-1] = .f хе Cis refl (1)
F . (1). *125-31. oF. Prop
*125-33. I-л’• Ко (х). = : а с fx. л 1« • =>а • Л! (1 1)n _ &а
Доказательство.
к . *73-7 . *51-222 . э к : а с Рх. у е а . z е t‘x - а . э . а sm (а - Ру) U Pz:
[*73-1] э.(лЯ).Яс1-> 1 .D\K = a.G‘fl = (a-Py)UPz.
[*33-6-61] э . 3! (1 —> 1)П &‘а-&‘а (1)
I-. (1). э F : з! а. a! г‘х - а. э . a! (1 -> 1) n t)‘a - &‘а:
[*63-102] э F : a! а. а с г‘х. а / г‘х. э . з! (1 -> 1) п &‘а - &‘а (2)
I-. (2). *125-32. э I-. Prop
*125-34. h : 3! Ко (х). s . i‘r‘x ~ е NC
Доказательство.
F . *125-32 . э к ~ л! Ко (х). = : R € 1 —> 1 . D‘2? = t'x. z>r . (ГЯ = Рх:
[*100-13] = : Nc‘f х = РРх.
[*100-41-45] =:iTx6NC (1)
I-. (1). Transp . э F . Prop
*125-35. I-No cNC mult. z>: л • Ko (x). = . Infin ax (x)
Доказательство.
I-. *125-21. *124-56 .эк:. Hp . э : Infin ax (x) . = . PxeCls refl .
[*125-31] н . л! Ko (x)z> F . Prop
*125-36. F : Infin ax (Cis). = . л! Ko (Cis)
Доказательство.
F . *24-14 . *63-102-66 . z> F .t2ix = C1‘V
[*24-11] = Cls (1)
F . (1). *125-24 . □ F : Infin ax (Cis). = . Infin ax (x).
[*125-23 . (1)] = . л! Ko (Cis): z> F . Prop
Principia Mathematica II
126. О ТИПОВО НЕ-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНДУКТИВНЫХ КАРДИНАЛАХ 317
*126. О типово не-определенных индуктивных
кардиналах
Обзор соглашений и краткое содержание *126.
Мы подошли сейчас к такому этапу, когда можем принять точку зре-
ния обычной арифметики, а также игнорировать в будущем в арифметиче-
ских операциях с кардиналами различия типа. Для того чтобы понять, как
это происходит, будет необходимо кратко напомнить нить рассуждений из
предыдущих параграфов и соглашений, на которых базируется символьная
система.
Символика *102, хотя и является совершенно точной по отношению
к типовым отношениям различных символов, в действительности слишком
сложна для применения, исключая случаи абсолютной необходимости. Луч-
ше использовать типово неопределенные символы Nc и sm в соединении
с некоторыми простыми правилами интерпретации символики так, чтобы
гарантировать, что различные вхождения одних и тех же символов нахо-
дятся в должных соотношениях с типом. Этого курса мы придерживались
в *100, *101 и каждом параграфе, начиная с *100 и далее.
Важные символы, которые вовлекают явно или неявно использование
Nc или sm, называются “формальными числами”, и остается лишь необ-
ходимость применять к ним нужные правила интерпретации.
Постоянное формальное число есть любой символ, представляющий ти-
пово неопределенную постоянную такую, что найдется постоянная а такая,
что, какой бы тип неопределенности ни был бы детерминирован, указан-
ная постоянная тождественна Nc‘a. Переменные формальные числа опре-
деляются посредством перечисления. Они подразделяются на три группы:
первичная группа, аргументная группа и арифметическая группа.
Первичная группа состоит из Nc‘a, LNc‘k, HNc‘k, где а есть перемен-
ный Cis любого типа, а к есть переменный С12 любого типа. К тому же
а и к, возможно, сами являются сложными символами, которые каким-то
образом включают переменные.
Аргументная группа обладает только одним элементом sm“p., где р
есть переменный С12 любого типа. В своей способности формального чис-
ла sm“p. представляет интерес, лишь когда р есть NC; тогда вт“ц дает
соответствующий NC в пределах другого типа при условии, что ц не яв-
ляется А. Символ р также, возможно, сам является сложным символом,
который каким-то образом включает переменные, например, sm“Nc‘a есть
формальное число аргументной группы: р называется аргументом sm“n.
Арифметическая группа состоит из р, +с v, р, хс v, p,v, р, -с v. Эти фор-
мальные числа интересны, лишь когда р и v также являются элементами
NC. Символы р, и v, возможно, сами являются сложными символами, по-
ка один из них включает, по меньшей мере, одну переменную. Например,
23+cV есть формальное число и таковым же является a+c(3+cv).
Первичная, арифметическая и аргументная группы выводятся из соот-
ветствующих групп переменных формальных чисел посредством добавле-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
318
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
ния к ним постоянных формальных чисел, полученных с помощью подста-
новки постоянных вместо переменных, входящих в выражения для элемен-
тов рассматриваемой группы переменных.
В формальных числах арифметической группы, как приведено выше, р,
и v называются первыми компонентами. Таким образом, каждое формаль-
ное число этой группы имеет две первых компоненты. Первые компоненты
(если они имеются) первых компонент также называются компонентами
исходного формального числа, и т.д.; так что компоненты компонент есть
компоненты исходного символа.
Формальное число арифметической группы, чьи компоненты все явля-
ются формальными числами, константами либо переменными, но не при-
надлежащими к аргументной группе, называются чисто арифметическими
формальными числами. Они представляют собой такие формальные чис-
ла, которые важны в арифметике, чтобы не допускать значение А из-за
низкого типа.
Логическое исследование в *100 и *101, где используются типово неопре-
деленные формальные числа, прямо касается исследования предпосылок,
необходимых для того, чтобы предохранить различные предложения от
флуктуирующих истинностных значений, возникающих из-за внедрения ну-
левых значений между кардиналами. Соглашение, необходимое для то-
го, чтобы избежать детерминаций типа, которые мы не желаем никогда
рассматривать, следует ниже, где используемые термины разъясняются
в Предварительных формальных соглашениях:
IT. Аргументные вхождения связываются с логическими и атрибутив-
ными вхождениями; и если не имеется аргументных вхождений, то экваци-
ональные вхождения связываются с логическими вхождениями. Это пра-
вило применяется лишь до того, как позволяет смысл после приписывания
типов реальным переменным.
В *110, *113, *116, *119 мы рассматриваем арифметические операции
сложения, умножения, экспоненциации и вычитания. В *117 мы рассматри-
ваем сравнение кардинальных чисел в силу отношения больше и меньше.
Нет никакого интереса в усложнении наших теорем, разрешая те слу-
чаи, когда чисто арифметическое формальное число, чьи компоненты
неопределенны по типу, становится равным А из-за низкого типа одной из
его компонент. В теории большего и меньшего возможность нулевых зна-
чений в низких типах не имеет реального интереса. Соответственно они
исключаются из рассмотрения посредством определений
*110-03-04, *113-04-05, *116-03-04, *117-02-03,
насколько это касается элементов первичной группы формальных чисел;
а для других формальных чисел с помощью следующего соглашения
ПТ. Когда бы ни встретилось формальное число о, если оно было
бы замещено Nc‘a и доминантный тип Nc‘a должен был бы быть на ос-
новании определения достаточным, то доминантный тип о также будет
достаточным.
Когда о есть чисто арифметическое формальное число, то это соглаше-
ние гарантирует, что тип каждой компоненты достаточен.
Principia Mathematica II
126. О ТИПОВО НЕ-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНДУКТИВНЫХ КАРДИНАЛАХ
319
Однако в арифметике мы также желаем избегать при рассмотрении ра-
венств вовлечения нулевых значений, насколько такое положение может
быть достигнуто с помощью использования высоких типов. Соответствен-
но, когда мы касаемся чисто арифметической точки зрения, мы добавляем
также следующее определение и соглашение (АТ).
Определение. Арифметическое равенство есть равенство между чисто
арифметическими формальными числами, доминантные типы которых оба
детерминированы как достаточные.
АТ. Все равенства, содержащие чисто арифметические формальные
числа, предполагаются арифметическими.
Это соглашение используется в *117 и в некоторых ранее идущих
предложениях, которые отмечены в Предварительных формальных согла-
шениях.
Его эффект состоит в том, чтобы сократить формулировку гипотез, ча-
сто не являющихся необходимыми. Примеры его применения к числам там,
где оно не используется в символике, также рассматриваются в Предвари-
тельных формальных соглашениях.
В случае индуктивных чисел мы не можем логически доказать, за ис-
ключением Infin ах, что существует один тип, который достаточен для всех
формальных чисел 0, 1, 2, 3, etc. Однако мы можем доказать, что для лю-
бого частного индуктивного числа, скажем 521, существует тип, для кото-
рого 521 не равно Л. Соответственно для заданной символьной формы,
в которой символика необходимо имеет лишь конечную сложность, когда
типы переменных, которые на основании гипотез представляют индуктив-
ные классы или индуктивные числа, не Л, были урегулированы, всегда
возможно зафиксировать тип, который будет достаточным для всех чисто
арифметических чисел, построенных с помощью символики указанной фор-
мы, а также в то же самое время (здесь появляются своеобразные свойства
индуктивных чисел), чтобы оказались выбранными исходные типы пере-
менных так, что любая из переменных может предполагать значение лю-
бого предписанного постоянного индуктивного числа, скажем 521, не ста-
новясь нулем.
Результат состоит в том, что мы можем предполагать, что символы,
представляющие индуктивные числа, никогда не являются нулевыми и
с их помощью получаются устойчивые истинностные значения предложе-
ний о них.
Соответственно мы продолжим, как следует ниже: мы полагаем
*126 01. NC ind = NC induct - i‘A Df
Мы устанавливаем правило, что когда появляется NC induct, то согла-
шение АТ всегда применяется. Результат состоит в том, что когда фор-
мальное число есть одно из NC induct, то мы не нуждаемся в постоян-
ном обдумывании его типа, и соответственно, что касается чисто арифме-
тических индуктивных кардиналов, рассуждения освобождаются от всех
соглашений. Мы перекрываем все другие соглашения посредством одного
единственного о том, что если уже было доказано или предполагалось, что
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
320
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
формальное число представляет индуктивный кардинал, то типы упорядо-
чены так, что указанное формальное число не равно Л. Доказательства
предложений в этом параграфе, по большому счету, состоят в получении
определенного типа, в пределах которого достигается этот результат.
*126-12. k : v е NC ind . э . (v +с 1) A Г v е NC ind
*126-121. F. 1,2,3,... eNC ind
*126-13-14 15. F : a, p e NC ind . э . а + Д a xc p, e NC ind
*126-141. F : a, peNC ind - l‘0 . = . a xc PeNC ind - l‘0
*126-151. I-: a, P e NC ind - l‘0 . a 1 . = . a^ e NC ind - l‘0 - l‘ 1
Также *126-4-42-43 дают фундаментальные предложения для вычита-
ния, деления и “обратной экспоненциации”; а *126-5-51-52-53 — фундамен-
тальные предложения для отношений больше и меньше.
*126-011. k : v е NC ind. = . v е NC induct - l‘A [(*126-01)]
Всякий раз, когда используется символ NC induct, применяется пра-
вило не-определенных чисел, так что все рассмотрения различий в ти-
пах среди индуктивных кардиналов могут быть отложены в сторону (см.
Предварительные формальные соглашения и Краткое содержание данного
параграфа).
*126-1. F : veNC ind. = . (ga). ae Cis induct. v = Nc‘a . g! v
Доказательство.
F. *120-14. *100-4. *126-011. э
I-: v e NC ind . э . (ga). v = Nc‘a . v e NC induct - l‘A .
[*118-01] о . (ga). v = Nc‘a . Nc‘aeNC induct - l‘A . g! v.
[*120-211] о . (ga). a e Cis induct. v = Nc‘a . g! v (1)
F . *120-21 . э F: (ga). a e Cis induct. v = Nc‘a . g! v .
э . (ga). N0C‘a e NC induct. v = Nc‘a . g! v.
[*120-15 . *100-511] э.veNC induct - l‘A (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 126-101. I-:. ц, veNC ind. g! цх . э. цх = v^ . = . цх = v . ц = v
[*126-1. *103-16]
* 126-11. F. 0eNCind [*120-12 . *101-12]
* 126-12. F : veNCind. э . (v +Д) A fveNCind
Доказательство.
F . *120-151. dF: veNC ind . о . v +C1 eNC induct (1)
F . *117-66 . *118-01. э F : a e Cis induct. v = Noc‘a . g! v . o . Nc‘Cl‘a > v.
[*126-1. *120-429] э . Nc‘Cl‘a > v +Д .
[*103-13 . *117-32] э . g! (v +cl) A f Cl‘a .
[*103-12 . *60-34] э . g! (v +c 1) A f v (2)
F. (1). (2). *126-1. oF. Prop
* 126-121. F . 1,2,3,... eNC ind [*126-11-12]
Это предложение, взятое в связи с *120-4232, содержит соглашение, но-
сящее имя правила не-определенных чисел, и его оправданность. Соглаше-
ние состоит в том, что 1, 2, 3,... в будущем всегда применяется в экс-
тенсиональных типах. Другими словами, всякий раз, когда используется
какое-либо частное индуктивное число, оно детерминируется в пределах
Principia Mathematica II
126. О ТИПОВО НЕ-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНДУКТИВНЫХ КАРДИНАЛАХ 321
типа, в котором оно не есть Л. Оправдание состоит в том, что на осно-
вании *126-11-12 подобный тип всегда может быть найден для каждого
частного индуктивного числа.
Соглашение также применяется к арифметическим формальным чис-
лам в *126-13-14-15.
Для всех арифметических и эквациональных вхождений это соглашение
есть в действительности остаток от IT, ПТ и АТ.
* 12613. k : а, р е NC ind . = . а +ср е NC ind
[*120-71. *126-1. *110-3 . *103-13]
* 126-14. к : а, р е NC ind. э . а хср е NC ind
[*120-72 . *126-1. *113-25 . *103-13]
* 126-141. к : а, р е NC ind - l‘0 . = . а хср е NC ind -l‘0
[*120-721. *113-114]
* 126-15. к : а, р е NC ind . э . ар е NC ind [*120-73 . *116-25 . *103-13]
* 126-151. к : а, р е NC ind - l‘0 . а / 1. = . ар е NC ind - l‘0 - l‘1
[*120-731. *116-35 . *117-592]
* 126-23. к : peNC . g! p A fa . э . g! 2й A ffa . g! (p +Д) A ffa
Доказательство.
1-. *63-661. *116-72 . э (1)
F : ц е NC . а е ц П fa. э . СГ0 е 2й П t‘t‘a
F.(l). *117-32. э
1-: Нр (1). 2Ц > v. z>. з! sm“v П t‘t‘a (2)
F . *117-661-31. э 1-: Hp (1). э . 2й > |x +C1 (3)
1-. (1). (2). (3). *100-511. э F. Prop
*126-31. к : a +Д e NC ind . = a e NC ind [*126-12-13-121. *120-452]
Заметим, что спецификация типа a+Д опущена в соответствии с ука-
занным соглашением. Ссылка на *126-12 показывает, что всегда возможно
применение указанного соглашения.
*126 32. F : a e NC -1‘0 - i‘A . v e NC ind. э. a +cv> v [*120-428. *110-3]
*126 33. F:. a e NC ind. 0 e NC - i‘A .o:a<0.V.a = 0.V.a>P [*120-441]
*1264. F p, v, Ш e NC ind. э: p +C(D = v +сш. = . p = v [*126-13. *120-41]
*126-41. F ц, v,(DeNC ind. Ш / 0. э: |xхсот = v xcra. = . |i = v [*120-51. *126-14]
*12642. F |i, v, Ш e NC ind .(D^O.o:ji® = v®.B.p. = v [*120-55. *126-15]
*12643. F ц, v, ш e NC ind. ш / 0. ш / 1. э: - tnv . =. ц - v [*120-53. *126-15]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
322
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
* 126-5. к ц, v, CD е NC ind . э : ц +ccd> v +ccd. = . ц > v
Доказательство.
I- . *117-561. эк:Нр.ц>у.э.ц +ccd v +cCD
I- . *126-4 . эк:Нр.ц>у.э.ц +cCD / v +cCD
I- . (1). (2). *117-26 . эк: Hp . |i > v . э . |i +cCD > v +cCD
к . *117-561. Transp . *117-281. э
к : Hp . p +cCD> v +cCD . э . ~ (v |i) .
[*126-33] э.ц>у
к . (3). (4). э к . Prop
* 126-51. к ц, v, co e NC ind . CD 0. э : p xcCD> v xcCD. = . p > v
[*117-571. *126-41]
* 126-52. к |i, v, CD e NC ind . CD 0. э : v° . = . p > v
[*117-581. *126-42]
* 126-53. к |i, v, CDeNC ind . CD / 0? CD 1. э : cd^>cdv . = . p > v
[*117-591. *126-43]
(1)
(2)
(3)
(4)
Principia Mathematica II
ЧАСТЬ IV.
АРИФМЕТИКА
ОТНОШЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ IV
Предметом исследования в этой части является тот общий вид арифме-
тики, частным применением которого является ординальная арифметика.
Та форма арифметики, которая рассматривается в этой части, приложима
ко всем отношениям, хотя ее основная важность состоит в том, что она
касается таких отношений, которые генерируют серии. Аналогия с карди-
нальной арифметикой весьма близка, и читатель найдет, что последующее
изложение значительно облегчается, если придерживаться этой аналогии.
Основные положения реляционной арифметики следующие. Мы сначала
определяем отношение между отношениями, которое мы будем называть
ординальным подобием или сходством и которое будет играть ту же са-
мую роль для отношений, которую подобие играет для классов. Сходство
между Р и Q устанавливается тем фактом, что поля Р и Q могут быть
так скоррелированы посредством одно-однозначного отношения, что если
какие-либо два терма находятся в отношении Р, то их корреляты нахо-
дятся в отношении £>, и обратно. Если Р и Q генерируют серии, то мы
можем выразить это, говоря, что Р и Q сходны, если их поля могут быть
скоррелированы без изменения порядка. Обладая определением сходства,
наш следующий шаг состоит в том, чтобы определить реляционное число
отношения Р как класс отношений, которые сходны с Р, так же как и кар-
динальное число класса а есть класс классов, которые подобны а. Затем
мы переходим к сложению. Ординальная сумма двух отношений Р и Q
определяется как отношение, которое имеет место между х и у, когда х и
у находятся в отношении Р или в отношении Q, или когда х есть элемент
С‘Р, а у —элемент C'Q. Если Р и Q генерируют серии, то будет видно, что
тем самым определяется сумма Р и Q как серия, получающаяся при добав-
лении Q-серии к концу P-серии. Сумма поэтому некоммутативна. Сумма
реляционных чисел Р и Q есть, разумеется, реляционное число их суммы
при условии, что ёРи С‘2 не имеют общих термов.
326
АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНИЙ
Ординальное произведение двух отношений Р и Q есть отношение меж-
ду двумя парами z[x, wXy, когда х и у принадлежат С‘Р, a z принадлежит
С‘2 и либо хРу, либо x = y.zQw. Таким образом, например, если поле Р
состоит из 1/>, 2р, Зр, а поле Q состоит из 1g, 2g, то отношение PxQ бу-
дет иметь место от любого более раннего до любого более позднего терма
следующей серии:
lg X Ip, 2g X 1р, 1^ X 2р, 2g X 2р, 1g X Зр, 2g X Зр.
Ясно, что, обозначив ординальное произведение Р и Q через PxQ, мы
имеем
С‘(Рх0 = С‘РхС‘2,
где второй знак “х”, расположенный между классами, обладает смыслом,
определенным в *113-01.
Бесконечные ординальные суммы и произведения также будут опреде-
ляться, однако определения являются до некоторой степени сложными.
Арифметика, проистекающая из приведенных выше определений, удо-
влетворяет всему тому, что связано с формальными законами, которые вы-
полняются в ординальной арифметике, когда это не ограничивается финит-
ными ординалами; другими словами, реляционные числа удовлетворяют
закону ассоциативности для сложения и умножения66, они удовлетворя-
ют закону дистрибутивности в форме (+ и х таковы, что подходят для
реляционных чисел)
(Р + у) х а = (Р х а) + (у х а),
и они удовлетворяют законам экспоненциации
apxaY = aP+Y,
(a₽)Y = aPx\
Они, вообще говоря, не удовлетворяют закону коммутативности ни при
сложении, ни при умножении, они не удовлетворяют ни закону дистрибу-
тивности в форме
а х (Р + у) = (а х Р) + (а х у),
ни закону экспоненциации
aYxpY = (а х p)Y.
Однако в том особом случае, когда отношения есть конечные сериаль-
ные отношения, соответствующие реляционные числа удовлетворяют ука-
занным формальным законам; следовательно, арифметика финитных ор-
диналов в точности аналогична арифметике индуктивных кардиналов (ср.
часть V, глава 5).
Если отношения ограничиваются вполне упорядоченными отношениями,
то реляционная арифметика становится ординальной арифметикой, кото-
рая была развита Кантором; однако многие предложения Кантора, как мы
увидим в этой части, не требуют ограничения вполне упорядоченными от-
ношениями.
66 Для ассоциативного закона умножения требуется одна гипотеза, относящаяся к виду
затрагиваемого отношения.
Principia Mathematica II
ГЛАВА 1.
ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
Краткое содержание главы 1
Две серии, произведенные отношениями Р и Q соответственно, называ-
ются ординально подобными, когда их термы могут быть скоррелированы
так, как они располагаются, т.е. без изменения порядка.
Р
* : г-"? . . .---------- р=5|е|5
5 5
S‘x—‘ Q ' -sy Q
На приводимом рисунке отношение 5 коррелирует элементы ёРи C‘Q
таким образом, что если хРу, то тогда (5 ‘х) Q (S ‘у), и если zQw, то
(5‘z)P(5‘w). Очевидно, что путь от х к у (где хРу) в таком случае мо-
жет быть взят идущим сначала к 5‘х, оттуда—к S ‘у, а затем назад к у,
так что хРу. = . х (S | Q15) у, т.е. P = S | Q | 5. Следовательно, сказать, что
Р и Q ординально подобны, эквивалентно тому, что сказать, что имеется
одно-однозначное отношение 5, которое обладает в качестве обратной об-
328
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
ласти C‘Q и дает P = S | Q\S. В этом случае мы называем 5 коррелятором
Q и Р.
Мы обозначаем отношение ординального подобия посредством “ smor”,
что является сокращением от “similar ordinally” 67. Таким образом,
Р smor Q. = . (э5). 5 е 1 1 . C‘Q = CTS . Р = S | Q1S .
В дальнейшем будет найдено, что отношение 5 | Q15 играет точно та-
кую же роль применительно к Q в реляционной арифметике, какую играет
S“P применительно к Р в кардинальной арифметике. Поэтому желательно
иметь простое обозначение для 5 | Q1S. Мы полагаем
S’Q = S | Q\S Df.
В дальнейшем мы обнаружим, что таким образом определенная точка с за-
пятой обладает тем же самым видом свойств в реляционной арифметике,
каким обладают две перевернутые запятые в арифметике кардиналов. Со-
ответственно обозначению Se‘P мы полагаем
S1Q = S\Q\S Df.
Мы поэтому будем иметь St = 5||S. В дальнейшем выявится, что St
обладает ординальными свойствами, аналогичными кардинальным свой-
ствам Se. Поэтому, например, там, где S || Se появляется в качестве карди-
нального коррелятора, S ||Cnv‘St будет появляться как ординальный кор-
релятор (с подходящим образом ограниченной обратной областью в каж-
дом случае).
Элементарные свойства S'Q будут рассмотрены в *150. Мы затем,
в *151, будем в состоянии изучать ординальное подобие, принимая в ка-
честве определения ординального коррелятора
Psmofe = S{Sel^l.C‘e = a‘S .P = S'Q} Df
и определяя два отношения как ординально подобные, когда они обладают,
по меньшей мере, одним ординальным коррелятором, т.е. полагая (по ана-
логии с *73)
smor = PQ {3! Р smor Q} Df.
Нет никакой необходимости ограничивать понятие ординального подо-
бия (или сходства, как мы также будем называть его) сериальными отно-
шениями. Когда два отношения обладают ординальным подобием, их внут-
ренние структуры аналогичны, и поэтому они имеют много общих свойств.
Всякий раз, когда подобие между двумя классами а и Р доказано, то, если
Р задан как поле некоторого отношения 2, a S - коррелирующее отноше-
ние, тогда S’Q сходно с Q и имеет а в качестве своего поля. Следовательно,
подобные классы являются полями сходных отношений. Не следует пола-
гать, однако, что сходные отношения коэкстенсивны отношениям, чьи поля
подобны. Это не имеет места, даже когда мы ограничиваемся сериальными
отношениями, за исключением специального случая конечных сериальных
отношений.
Определение реляционных чисел (*152) следующее: Реляционное число
отношения Р, которое мы называем Nr‘P, есть класс отношений, которые
ординально подобны Р; класс реляционных чисел, который мы обозначаем
67 Подобны ординально. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1
329
NR, есть класс всех классов вида Nr‘Л Элементарные свойства реляцион-
ных чисел, исследуемые в *152, вполне аналогичны таковым для карди-
нальных чисел, рассмотренным в *100.
После нескольких предложений об ординале 0 и ординале 2, которые
мы называем 0г и 2Г (*153), мы переходим к рассмотрению реляционных
чисел различных типов. В дальнейшем будет отмечено, что “smor”, по-
добно “sm”, есть отношение, неопределенное по отношению и к типу его
области, и к типу его обратной области. Таким образом, “Р smor 2” лишь
тогда имеет определенный смысл, когда типы Р и Q детерминированы.
Р и Q могут быть, а могут и не быть одного и того же типа; единствен-
ное ограничение на тип каждого из них состоит в том, что оба должны
быть “однородными” отношениями, т.е. отношениями, чья область и об-
ратная область принадлежат одному и тому же типу. Это ограничение
проистекает из того факта, что C‘Q входит в определение “PsmorQ”, а
отношение не обладает полем, если оно не является однородным; следо-
вательно, Q должно быть однородным и поэтому, каким бы ни было S,
S | Q | S должно быть однородным, т.е. Р должно быть однородным. Таким
образом, например, такие отношения, как D, i или с, не являются ординаль-
но подобными ни себе самим, ни каким-либо другим отношениям. Всякий
раз, когда “PsmorQ” значимо для подходящего Q, мы имеем PsmorP; од-
нако если Р не является однородным, то “Р smor б” никогда не значимо.
Следовательно, на протяжении теории ординального подобия отношения,
ординальное подобие которых утверждается или отрицается, должны быть
однородными. Корреляторы, наоборот, не обязаны быть однородными.
Из-за однородности наших отношений с типами реляционных чисел го-
раздо проще иметь дело, чем было бы в противном случае; так как тип
однородного отношения детерминируется типом одного-единственного клас-
са, именно —его поля, в то время как тип отношения, в общем, зависит
от типов двух классов, именно его области и обратной области. Поскольку
там, где дело касается сходства, тип поля детерминирует тип отношения,
предложения, связанные с отношениями между различными типовыми де-
терминациями данного реляционного числа, по большей части в точности
аналогичны и выводимы из таковых для кардиналов. В действительности
отношение, ординально подобное Q, существует в пределах типа Р тогда
и только тогда, когда в пределах типа ёРсуществует класс, подобный
С‘б, т.е.
а! Nr (P\Q. = . а! Nc (С‘Р)‘С‘е.
Половина этого предложения следует из того факта, что если Р сходно
с Q, то ёРподобен C'Q. Вторая половина следует из факта, упомянуто-
го выше, что если р = С‘б и asm0, то найдется отношение, сходное с Q
и обладающее а в качестве своего поля. Если а принадлежит типу С*Р,
то любое отношение, обладающее а в качестве своего поля, содержится
в t^C'P f t^C'P. Следовательно, в предполагаемом случае имеется отноше-
ние, сходное с Q и содержащееся в Го‘С‘Р| t^C'P. Но отношения, содержа-
щиеся в Го‘ёРf Го‘С‘Р, образуют РР. Следовательно, найдется отношение,
сходное с Q и являющееся элементом РР, откуда и следует наше пред-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
330
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
ложение. Посредством этого предложения и предложений из *102-6 легко
следуют свойства реляционных чисел, относящиеся к типам. Соглашения
IT, ПТ и АТ применяются к реляционным числам так, как и к кардина-
ла; они применяются в точности таким же способом, как и в аналогичных
предложениях главы 1 части III.
Principia Mathematica II
*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
331
*150. Внутреннее преобразование отношения
Краткое содержание *150.
В этом параграфе мы вводим два обозначения, которые мы используем
применительно к отношениям, вполне аналогичных использованию R“а и
Re применительно к классам. Эти два обозначения определяются следую-
щим образом:
S’Q = S leiS Df,
5te=sieis Df.
Тогда мы имеем
F .StQ = S’Q = S | 615 = (S||W
S'fQ есть просто альтернатива 5’6, так же как Рс‘а является альтернати-
вой Я“а. Также 5f = 5||5, в силу *38-01 и *43-01.
Использование S'Q встречается в основном, когда S является одно-одно-
значным отношением и C‘CcQ‘S. Этот случай иллюстрируется рисунком,
приведенным во Введении к этой главе. Там, если Q соотносит х и у, то
5’6 соотносит S*x и 5‘у. Таким образом, для заданного класса а, подобно-
го С‘6, если S есть коррелирующее отношение, то 5’6 имеет а в качестве
своего поля и имеет в очень многих аспектах свойства, аналогичные свой-
ствам 6-
5’6 важно для многих специальных значений 5. Например, пусть Q бу-
дет отношением между отношениями; тогда С’6 будет соответствующим
отношением полей этих отношений. Если Q есть какое-либо отношение, то
Хх’6 будет соответствующим отношением между упорядоченными парами,
в которых х является релятивом; т.е. если уQz, то отношение Ix’Q будет
иметь место между у\,х и zlx. Если Q есть отношение между классами
и мы имеем Рбу, тогда отношение a U ’6 будет иметь место между аир
и а U у. Короче, всякий раз, когда 5 является одно-многозначным отноше-
нием и поэтому приводит к дескриптивной функции, 5’6 является отно-
шением, которое имеет место между 5‘у и 5‘z всякий раз, когда Q имеет
место между у и z.
Мы в этом параграфе вводим другое новое обозначение, соответствую-
щее а $ у из *38. Это обозначение поэтому определяется
2$у= ?у’6 Df.
Цель этого обозначения — позволить нам перейти к 6?,’^ и другим по-
добным обозначениям; иначе говоря, чтобы позволить нам трактовать $у;6
как функцию от у, а не от Q. Возьмем, например, случай xl’Q. Мы можем
пожелать рассмотреть различные отношения xl’Q, у 4’6, где мы должны,
скажем, иметь хРу. Чтобы выразить отношение * X ’6 к У i ;6> возникающее
от хРу, мы нуждаемся в упомянутом выше обозначении. С его помощью
мы имеем
х | ;6 = QVx. у Гб = QVy-
Следовательно,
x^.=.(ei‘x)(eisp)(ery).
Поэтому Q^P есть отношение между х X ’Q и у X >£?, соответствующее от-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
332
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
ношению Р между х и у. Q^P играет ту же самую роль в реляционной
арифметике, что и ai“P в кардинальной арифметике.
Обозначения этого параграфа могут иногда использоваться в карди-
нальной арифметике68, однако их основное применение —в реляционной
арифметике, в которой они являются фундаментальными.
Для того чтобы минимизировать использование скобок, полагаем
JVS^R'tS’Q) Df,
R’S’Q = R> (S’Q) Df.
Как непосредственный результат определения S'Q, мы полагаем
*15011. F : x(S'Q)y. = . (gz, w). xSz .ySw. zQw
Мы также имеем
*15012. Н.Спу‘5;е = 5;е
*15013. \-.R’S’Q = (R\SY>Q
Это предложение, которое аналогично (Р| 2)“у = Р“2“у (*37-33), весьма
часто используется. Мы также имеем
*150 3. h. S'*’ (GO/?) = S’QUS>R
*150 42. h.S;A = A
Оставшиеся предложения этого параграфа (за небольшим исключени-
ем) классифицируются как:
(1) Предложения, касающиеся областей, обратных областей и полей S’Q
(*150-2—23). Благодаря тому факту, что основные приложения этого пред-
мета касаются случаев, где Q и S’Q являются сериальными, поле S’Q более
важно, чем его область или обратная область. Таким образом, основные
предложения здесь есть
*150-22. h:C‘Gca‘5 .э.С‘5’е = 5“С‘е
*150-23. h:C‘C = CTS .o.C‘S’e = D‘S
Гипотеза C'QaCTS верифицируется почти во всех приложениях S’Q.
Когда она не верифицируется, часть С‘б, не содержащаяся в П‘5, ирреле-
вантна для значения S'Q. Гипотеза C‘2 = Q‘S очень часто верифицирует-
ся на практике, поскольку она верифицируется, когда 5 есть коррелятор
S'Q и Q.
(2) Предложения, касающиеся отношений с ограниченными областями,
обратными областями или полями (*150-32—38). Вообще говоря, ограниче-
ние поля Q эквивалентно ограничению обратной области S, а оба ограни-
чения эквивалентны соответствующему ограничению поля S’Q при условии
S е Cis -* 1. Ограничения, которые встречаются на практике, представляют
собой ограничения на обратную область S с последующими ограниченями
на поля Q и S;(Z
Основные предложения на указанный предмет есть
*150-32. h.(S fC‘0;e = s;e
*150-35. F:.yeC‘2. =>у .7?‘y = S‘y: z>. =
(Это предложение следует из *150-32 и *35-71.)
*150-36. F.(S r₽);G = ^;(Gt₽)
68 Например, в *116-53 и следующих предложениях, где обозначение St было введено
на основании временного определения.
Principia Mathematica II
150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
333
*150-37. F:S eCls-И .э. 55 (!W) = (S;!2) [S“₽ = (S Г Р) ;<2 = {(^“Р) 1 } ;<2
(3) Предложения об S’Q, когда 5 является одно-многозначным или
много-однозначным (*150-4—56). Мы имеем
*150-4. F S с 1 Cis . э : x(S’Q)y. = . (a z, w). х = S‘z -у = S‘w. zQw
Это предложение постоянно используется. Лишь немногим менее полез-
но
*150-41. I-S eCis-> 1. э: х(S’©?. s . (S‘x)2(S‘у)
Оставшиеся предложения этой группы есть в основном приложения
*150-4-41 к специальным случаям.
(4) Несколько предложений о Q<Zy (*150-6—62). Они являются непосред-
ственными следствиями определения.
(5) Группа предложений о парах и тем, что с ними связано (*150-7—75).
Главные из них есть
*150-71. h:S el ->Cls.z,weCTS . э. S’’(zX w) = (S‘z)X (S‘w)
Это предложение очень часто используется в реляционной арифметике.
Полезным является также
*150-73. F . S’ (а Т Р) = 5 “а Т S“Р
(6) Затем мы имеем четыре предложения (*150-8—83) об S’P, когда Р
есть степень Q. Они связаны с предложениями *92; они полезны в орди-
нальной теории конечного и бесконечного. Мы имеем
*150-82 83. h S e Cis—> 1: D‘Q с Q‘S . V.CTCcCTS :э.
Pot^2 = 5rTot‘2.(5;0po = s;2po
При допускаемой гипотезе следует, что если S есть коррелятор Р и 2,
то оно также есть коррелятор Р^ и Qpo.
(7) Предложения, касающиеся отношения St (*150-14—171 и *150-9—94).
Они имеют применения, аналогичные применениям предложений, касаю-
щихся Se. Важнейшие из них есть
* 150-14. h . R11 St = (R | S) t
(Немедленно следует из *150-13 (выше).)
* 150-141. h. St = S || 5
(Немедленно следует из определения.)
* 150-16. F . s‘/?t“k = W О‘Х) = RWk
Это предложение аналогично s‘/?“‘k = /?“s‘k (*40-38), т.е. аналогично
^‘7?с“к =
как видно из подстановки s и 7?t вместо R и Re в этот вариант *40-38.
Оставшиеся предложения по своей природе в основном являются лемма-
ми, применяемыми в реляционной арифметике один или два раза каждая.
*150-01. S’Q = S\Q\S Df
*150-02. SW = 5|ei5 Df
*150-03. Q9y = ^Q Df
Здесь, как и в *38, представляет собой любой знак, который, будучи
помещенным между двумя буквами, определяет дескриптивную функцию
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
334
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
аргументов, представленных указанными буквами. Таким образом, напри-
мер, может представлять любой из следующих знаков:
П,и,п,и,|,1, [, [,Т,|.
Два следующих определения служат просто для того, чтобы избежать
скобок.
*15004. Я‘№(2 = Я‘($;е) Df
*15005. R’S'Q = R’(S’Q) Df
*1501. I-. S’Q = S | Q |5 = (S || SyQ = StQ = SVQ
[*43-112 . *38-11. (*150-01-02)]
*150-11. F : x(S’Q)y. s. (a z, w). xSz .ySw. zQw [*34-1. *31-11]
*150-12. h.Cnv‘5;e = S;<2 [*34-2. *31-33]
*150-13. I- .R’S’Q = (R\S)’Q
Доказательство.
F . *150-1. (*150-05). z> I-. R’S’Q = R; (S | Q15)
[*150-1] = R|S | <21*5 |£
[*34-2] = R|S|C|Cnv‘(R|S)
[*150-1] =(fl|S);e.=>l-.Prop
*150-131. .(R’S)’Q-R’(S \R)’Q
Доказательство.
F. *150-13. z>F.Ri (S |R)'’Q = (R|S IRpQ
[*150-1] =(7?;5);e.=>l-.Prop
Заметим, что мы не имеем (R;S);e = R’ (S’Q).
*150-14. F.Rt|St = (R|S)t
Доказательство.
F. *150-1-13. i>F.Rt‘St‘e = (Я |S) ГО (1)
F. (1). *34-42 . z> F . Prop
Это предложение — реляционный аналог *37-34.
*150-141. F . St = S || S [*150-1. *30-41]
*150-15. F.Stel—»Cls [*72-14]
*150-151. F :. (x). E ! S ‘x: S eCis -> 1: z>. St e 1 -> 1 [*74-772. *150-141]
Следующее предложение используется в теории двойного ординального
подобия (*164-13).
*150-152. F : S [ s‘C“XeCls-> 1.УСЪс G‘S . э. (St) t Хе 1 -> 1
Доказательство.
к,74'775Н-=
I-: 5 Г 5‘C“kcCls —> 1 . ^‘D“kc Q‘S . ?Q“Xc(I‘5 . э .
(S ||5) ГХе 1-> 1 (1)
F . (1). *40-57. *150-141. э F. Prop
*150-153. F:.S [ ГС“Хе Cis-* 1. s‘C“Xc d‘S . Q,Re\.z>-.
S’Q = S’R.z>.Q = R
Доказательство.
F . *150-152 . *71-55. z> F. Hp. э : St‘O = St‘R. . Q = R:
[*150-1] z>: S ’Q = S ’R. z>. Q = R:. z> F . Prop
Principia Mathematica II
150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
335
Приведенное выше предложение используется при оперировании с от-
ношениями отношений пар (*165-23).
*15016. F . i‘7?t“X = 7?t (j‘X) = /?> i‘X [*43-43^ . *150-141-1]
tj
Следующее предложение является леммой для *150-171.
*150-17. F.(fl [X)t=/?tl [X
Доказательство.
F . *150-1. => F . (R Г X) t‘P = (Л Г X) | Р | (к 1 R)
[*35-354] = Л|Х]Р[Х|Л
[*150-1. *36-11] = /?t(P[X)
[*38-11] [XT (1)
F. (1). *34-42 . э F. Prop
*150-171. I-: s‘C“C‘Q с X. э . (R [ X) VQ = RV'Q. [ X 'Q = Q
Доказательство.
I-. *150-17-13 . z> F . (Я [ X) t;(2 = Rf’ [ X 'Q (1)
F.*150-ll. . = .(^S,T)-M = S fk.N = T fk.SQT (2)
F.*33-17. oF:5(2T.3.5,TeC‘e.
[*37-62] э.С‘5,С‘Теѓёе.
[*40-13] э.С‘5 os‘C“C‘e.C‘Tcs‘C“C‘e (3)
F . (3). z> F :. Hp. : S QT . э . C‘S с X. C'T с X.
[*36-25] э.5 [X = S .T [X = T (4)
F.(2).(4).=>F:.Hp.z>:M([X5e)Ar.B.(aS,T).Af = S .N=T.SQT.
[*13-22] =. MQT :
[*21-43] э:[Х!(2=е (5)
F. (1). (5). э F . Prop
Приведенное выше предложение требуется в теории двойного ординаль-
ного подобия. Оно используется в доказательстве *164-141, которое исполь-
зуется в доказательстве *164-18, являющегося фундаментальным предложе-
нием в теории двойного ординального подобия.
Следующие предложения об области, обратной области и поле S’Q ин-
тенсивно используются, особенно в *150-202-22-23. Предложение *150-201 ед-
ва ли когда-либо используется, но приводится для того, чтобы в общем
случае не оставаться вне поля зрения.
*150-2. F.D\s;g = s‘‘(2“a‘s.crs;(2 = s“e‘‘Ci‘s [*37-32.*1501]
*150-201. F.C‘5;g = S“((2ue)“CrS =D‘5;(eue)
Доказательство.
F . *150-2 . *37-22 . э F . C‘S’R = S“(Q“Q‘S U ё“П‘5)
[*37-221] =5“(eu2)“G‘5
[*150-2] = D‘5 5 (Q U Q). э F . Prop
*150-202. F .D<S’QcS‘TPQ.a<S'’QGS“a‘Q.CtS’QaS“C'Q
Доказательство.
F . *37-15-16 . э F . Q“Q‘S c D‘g. Q“d‘S э (TQ.
[*37-2 . *150-2] э F . D‘5;6 c S “D‘(2 • G‘S;G <= S “d‘(2 (1)
[*37-22] dF .C'S’RaS^C^Q (2)
F. (1). (2). z> F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
336
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*150-203. I-. C'S’R с D‘5 [*150-202 . *37-15]
*150-21. F:G‘2cQ‘5 .z>.D‘S;(2 = 5“D‘(2 = D‘(5 |0 [*150-2 .*37-27-32]
*150-211. F:D‘2cQ‘5 .э.Q‘5’Q = S“Q‘2 = D‘(5 12)
[*150-2. *37-271-32]
*150-22. F:C‘2cQ‘5 . ^>. C'S’R = S“C‘Q [*150-21-211. *37-22]
На практике, когда используется S’Q, мы почти всегда имеем
C‘QaQ‘S, так как использование S’Q предназначается для того, чтобы
получить отношение, аналогичное Q и имеющее другое поле; S’Q аналогич-
но Q [Q‘5, так как та часть C‘Q, которая лежит вне Q‘5, не подвергается
влиянию S. Следовательно, если мы имеем для начала отношение Q, чье
поле не содержится в Q‘5, то мы обычно будем находить более выгодным
ограничивать Q‘5 указанное поле и рассматривать трансформированное
отношение, такое как 5;(2 [Q‘5), а не S’Q. Таким образом, гипотеза
C‘QcQ‘S будет верифицироваться почти во всех применениях S’Q.
*150-23. F: С‘б = Q‘5 . э. С‘5’7? = D‘5 [*150-22 . *37-25]
*150-24. I-C‘Q с Q‘5 . э: g \S’Q. =. g !Q
Доказательство.
F . *37-43 . *150-22 . э I-Hp. э : g! C'S’R. s. g! C'Q:
[*33-24] =>: g! S’Q. =. g! Qz> F. Prop
*150-25. F :. (у). E ! 5‘у. э: g! 5’2. н . g! Q [*150-24. *33-431]
*150-3. .S’(Q()R)^S’Q(JS’R [*34-25-26. *150-1]
*150-301. F.5;(2cfl)G(5;2)n(5;/?) [*34-23-24.*1501]
*150-31. : PG.Q.R<zS .z>.R’P <zS’Q [*34-34. *150-1]
Следующие предложения часто используются, когда мы должны иметь
дело с корреляторами вида 5 [ C‘Q, которые часто встречаются.
5 5 С‘О С‘О
*150-32. F. (5 \ClQ)’Q = S’Q [*43-5. *150-141]
5 5
*150-33. F : С‘0ср . э . (5 f Р) >2 = 5’2 [*43-5^-^ . *150-141]
*150-34. F : D‘2 с а. Q‘2c р. э . 5 [а| 2IР1 $ =5* а] Q ГР = 5’2
[*43-5 . *35-354. *150-141-1]
*150-35. F :. у е C‘Q. эу . R‘y = 5 ‘у: z>. R’Q = 5 ’Q
Доказательство.
h. *35-71. oh : Hp . о. R \С^ = 5 \С^.
[*34-27-28 . *150-1] о . (Я f С‘0; = (5 f C‘Q) ’.
[*150-32] о . R’Q = S’Q : oh . Prop
Приведенное выше предложение, являющееся аналогом *37-69, интен-
сивно используется в реляционной арифметике.
Следующее предложение интенсивно используется после того, как мы
достигнем теории вполне упорядоченных серий, но не ранее (исключая
*150-37).
Principia Mathematica II
*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
337
*150-36. F.(S [₽) ’Q = S’ (<2tP)
Доказательство.
F . *150-11. *35-101. э
И : х {(5 f Р) ’Q] w. =. (ay, z). xSy. у е р. yQz .zefy.wSz.
[*36-13] H.(ay,z).xSy.ytQ [P)z.wSz.
[*150-11] = . x {S’ (Q [ p)} w: z> F . Prop
*150-361. F.(a] S)’Q-(S’Q) [a
*150-37. F : S e Cis —> 1. э. 5; (6 [ P) = (5 ;0 [ S “P
= (S [P)’Q = {(S“P)]S]-’Q
Доказательство.
F . *74-141. z>F : Hp. z>. (S [ P) >Q = {(S“p)1 S| >Q (1)
F . (1). *150-36-361. => F. Prop
Приведенное предложение не используется до того, как мы достигнем
теории серий.
*150-38. F : S е 1 —> 1. z>. S’S ;(2 = <2 I D‘S
Доказательство.
Ь.*150-1. =>\-.S’S’Q = S\S\Q\S\S (1)
h. (1) .*72-59-591. oh: Нр.э.55 5 >Q = (D‘S) 1 Q TD‘S
[*36-11] = Q f D‘5 : э h . Prop
Приведенное предложение используется при работе с коррелированием
серий (*208-2).
*150-4. h :. S с 1 —> Cis . э : x(S’Q)y. = . (gz, w). x = S ‘z. у - S ‘w. zQw
[*150-11. *71-36]
Это предложение является фундаментальным в теории 5’2, так как S
в большинстве применений 5’2 одно-многозначно. Это предложение гласит,
что, когда 5 одно-многозначно, 5’2 есть отношение между 5-ми термами,
соотнесенными Q. Поэтому, если 5 есть отношение жены к мужу, а Q есть
отношение брата к брату, то 5’2 есть отношение между женами братьев.
Если 2 есть отношение между отношениями, то С’Р будет соответствую-
щим отношением их полей; и т.д.
*150-41. F:.SeCls—» 1. =>: х (S’Q) у. s . (S‘х) Q (S‘у) [*150-11. *71-331]
* 150-42. F.S’A = A [*150-1. *34-32]
* 150-5. F : a(^ ’P)p . = . (a*,y). a =^‘x. P=^‘y. xPy
* 150-51. F: a (D !/?) p. = . (аР, Q). a = D‘P. p = D‘Q. PRQ
*150-511. F : a (Q :P) p. = . (аР, 0. a = Q‘P. p = d'Q. PRQ
*150-512. F : a (Ctf) P . а . (аЛ 0 . a = C'P. p = C‘Q. PRQ
*150-52. F : x (F’R)у . = . (a P,Q) • xeC'P .yeC'Q. PRQ
[*150-11. *33-51]
F’R является отношением, которое играет огромную роль в реляционной
арифметике. *150-53. F.PP = P [*50-4]
*150-531. F.P’/ = P|P [*50-4]
*150-532. \-.P’PQ = P’Q [*150-13. *50-4]
*150-534. F.(7 [С‘Р):Р = Р [*150-53-32]
*150-535. F : C‘P a a. z>. (/ [ a) >P = P [*150-53-33]
*150-54. F : a (yR) р. = . (Га)Я(ГР)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
338
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*150-541. F : х (yR) У - = . (l‘x) R (i‘y)
* 150-55. F : Q Ц z'P) R. = . (^u, v). Q = и [z. R = v | z. uPv
* 150-56. F : M(ST'Q)N. = . (gX, F). XQY .M = S>X.N = S’Y
[*150-4-15-1]
* 150-6. F.P$y = $y5P [(*150-03)]
* 150-601. F . e 1 -> Cis [*150-6. *14-21. *71-166]
* 150-61. F : z(P%y) w. = . (gu, v). z = u$y. w = v$y. uPv
[*150-11. *38-101. *150-6]
*150-62. F : R (P$ ;0S . = . (gz, w). R = . S = . zQw
[*150-4-601-6]
Отношения вида часто полезны в реляционной арифметике, осо-
бенно в частном случае Pl’Q, который встречается при использовании
аХ“Р в кардинальной арифметике. Отношения вида Pl’Q будут рассмат-
риваться в *165.
Следующие предложения в основном касаются корреляторов пар. Они
дают величайшую пользу реляционной арифметике. В частности, фунда-
ментальным является *150-71.
*150-7. h.Si(zJ.w)=^‘z?^‘w [*55-6]
*150-71. F:5el^Cls.z,weG‘5.3.55(zJ.w) = (5‘z)X(5‘m') [*55-61]
*150-72. F : z / w. 5 = x J, z Uy J, w. э . S’ (z X w) = x J,y [*55-62-61]
S S
*150-73. F . S’’ (a ? p) = S “a ? S “p [*37-82-^—]
A, S
*150-74. F.(SUT);e = S;GU7’;eu.S|!2|fuT|!2|5 [*150-1]
*150-75. F : ~ (yQy). э. (S U x |y) >Q = 5’Q U 5 “^‘y f i‘x U Cx f S“&y
Доказательство.
F . *150-1. э F : Hp . э . (x J, y) ’2 = A.
[*150-74] 0.(SUxXy)5e = S5euS|e|yXxUxXyie|S
[*55-57-571] = S’Q U S “^‘y f i‘x U i‘xT S “^‘y :dF. Prop
Четыре следующих предложения связаны с предметом *92, но не мог-
ли быть даны в том параграфе из-за того факта, что они включают обо-
значения *150. Они требуются для доказательства того, что если S есть
коррелятор Р и б, то он также есть коррелятор Рро и (Эро (*151-45), и для
одного из фундаментальных предложений в ординальной теории прогрес-
сий (*263-17).
*150-8. F S е Cis —> 1: D‘2 с CTS . V . CTQ с CTS : Р с Pot‘(? - => •
S е Pot‘(S . (S 5Р) | (S50 = S5 (Р | 0
Доказательство.
F. *91-351. =>F.S;(2€Pot‘(S50 (1)
F. *150-1. 3F.(5;P)|(5?e) = S|P|5|Siei5 (2)
F . (2).*71-191. 3F:Hp.=>.(S5P)|(s;g) = s|P|zfa‘S|e|5 (3)
F.*50-63. z> F : D‘Q c G‘S . э . I f Q‘5 | Q = Q (4)
F.*50-62. *91-271 . э F : PePot‘0. Q‘6 c Q‘5.3.P|/|Q‘S =P (5)
F.(3).(4).(5). DF:Hp.PePot‘e.z>.(5;e)|(5i{2) = 5|P|(2lS
Principia Mathematica II
*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
339
[*150-1] = $5(Р|0 (6)
F . *91-282 . d F: 5 >Р е Pot‘5 ’б. э. (S !01 (5 ’0 е Pot‘5 >Q (7)
F . (6). (7). I-Hp. P e Pot'Q. э: S >P e Pot‘S ’Q. э.
55 (P |0 ePot‘5 5g (8)
, , ч , 4 S’PePot‘S>Q
h. (1). (8). *91-373--фр - . э
F :. Hp. d : P e Pot‘0 D/>. S >P e Pot‘(S >0 (9)
F. (6). (9). э F • Prop
*150-81. F:.5eCls—> 1 :D‘0ca‘S .V.lTgcCTS : TePot^’g: d .
(3P).PePot‘2.T = 5;P
Доказательство.
F . *91-351. э I-. (g P). P e Pot‘2. S 50 = S ’P (1)
F. *150-8. dF :Hp• PePot'Q. T = 5’P.э. T|(5>0 = 5’(P| 0 .
[*91-282] э. (a R). RePot‘Q. T | (550 = S’R (2)
F . (2). *10-23. d
F:.Hp.o:(a P). PePot'Q • T = S’P. э.
(3 R) .RePot‘6. T | (S’Q) = S’R (3)
к (1). (3). . =
F : Hp. TePot S’Q. d . (a P). PePot‘0 T = S’P: э F . Prop
*150-82. F 5 eCis —> 1:D‘6cQ‘5 . V . G'gcQ‘5 :D.Pot‘5!6 = 5t“Pot‘G
Доказательство.
F. *150-8-81. э
F: Hp. э. Pot‘556 = T {(aP). PePot‘2. T = S’P}
[*150-1] = 5f“Pot‘Q: d F. Prop
*150-83. F:.S eCis—> 1: D’gc CTS . V . (l‘Qc (PS : э. (№0po = З’бро
Доказательство.
F . *150-82 . (*91-05). d F : Hp • d • (5>0po = j‘5t“Pot‘6
[*150-16. (*91-05)] =5’бро : э F . Prop
Следующие предложения, вплоть до *150-94 включительно, возобновля-
ют рассмотрение отношения которое уже исследовалось в *150-14—171.
*150-9. F.(/t)!G = Q
Доказательство.
F.*15O•56.DF:Лf(7r>0^. = .(aX,r).XeУ.Л/ = /;X.^ = 7^У.
[*150-53] s.(^X,Y).XQY.M = X.N=Y.
[*13-22] =.A/er:DF.Prop
Следующие предложения подводят к *150-931-94, которые используются
в теории двойного ординального подобия (*164-3-21).
*150-91. F : s‘C“C‘Qc а. э . (I [ а) t?<2 = Q
Доказательство.
F.*150-535. э F:. Нр • э: ХеС‘б. э. (7 [ а) >Х = Х (1)
F. (1). *150-56. dF:.HP.d:
M{Q\^VQ}N . = .(^X,Y).XQY .M = X.N=Y.
[*13-22] = . MQN:. d F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
340
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*150-92. F: S е Cis -»1. s‘C“C‘Q с П‘5 . э . § f5St;Q = Q
Доказательство.
F.*150-13-14. эЬ.5 t;St;e = (S |S)t!2 (1)
I-. (1). *71-191. э I-: Нр. э. S f’Sf’Q = (I [ CTS) V'Q
[*150-91] =Q-. эНProp
*150-921. I-: S e 1 -»Cis. 5‘C‘C‘P cD‘5 f;P = P
*150-93. F :. 5 e 1 -> 1. s‘C“C‘P c D‘5 . s‘C‘C‘Q c G‘5 . z>:
P = SV’Q. = .Q = § t;P [*150-92-921]
*150-931. b:5‘C“C‘ecai5 .D.C“C‘5t;e = -S“C“C*e
Доказательство.
F. *150-22. dF .C‘St;e = St“C‘(2 (1)
F . *150-22-1. э F:. Hp. э: Me C'Q. э . C‘S VM = S “C‘M:
[*37-68-11] D:C“5t“C‘2 = Se“C“C‘2 (2)
F . (1) • (2). э F . Prop
*150-932. F : s‘C“C‘ecO'S .5‘C“C‘5t;G = S“s'CTC'Q
[*150-931. *37-11. *40-38]
*150-933. F: s‘C“C‘gcO‘S .s‘C“C‘5t;ecD‘5 [*150-932 . *37-15]
*150-94. F:.5el-^ 1 .э:5‘ѓёеса*5 .P = 5f>e.a.
s‘C“C?cD‘S . Q = § Y'P
Доказательство.
F. *150-933. э F: s‘C“C‘Q c(I‘S . P = SpQ. =.
s‘C“C?cD‘S . s'C“C‘Qcd‘S .P = SVQ (1)
c
F. *150-933- . э F : s‘C“C‘P a D‘5 . Q = 5 f;P . =.
s‘C“C‘P c D‘S . s‘C“C‘G c CTS . Q = S VP (2)
h . *150-93 . *5-32 . э
h S € 1 -> 1 . э : s‘C“C‘P a D‘S . s‘C“C‘e c CTS . P = S VG • = •
s‘C“C‘P c D‘S . s‘C“C‘G с CTS . Q = § VP (3)
h . (1). (2). (3). э h . Prop
Приведенное выше предложение есть аналог *74-61, которое (после
нескольких тривиальных преобразований) может быть записано как
h S € 1 —> 1. э : с G‘S . к = 5е“Х. = . ?кс D‘5 . X = (5)е“к.
При получении ординальных аналогов таких предложений Se должно
заменяться на St, а две инвертированные запятые —на точку с запятой;
класс классов к в большинстве своих вхождений будет замещаться отно-
шением отношений Р, но иногда будет замещаться на ѓёР.
Предложение *150-94 используется в доказательстве того, что обраще-
ние двойного коррелятора Р и Q является двойным коррелятором Q и Р
(*164-21). Соответствующее кардинальное предложение (*111-131) использу-
ет *74-6, которое есть практически то же самое предложение, что и *74-61,
которое является аналогом *150-94.
Principia Mathematica II
*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ
341
*150-95. F: С7? с С1‘а. э. (S [ а)£ 'R = S >R
Доказательство.
F. *37-421.э1-:.Нр.э:реС‘/?.э. (S [а)“р = 5“р.
[*37-11] z>.(S [а)£‘р = 5е‘В (1)
F.(1). *150-35 . э F • Prop
Приведенное выше предложение используется в теории “первых разно-
стей” (*170-41).
*150-96. F : (Г$‘Х с П‘5 . э. D i (Т || S) [ X = Те f D“X
Доказательство.
F . *150-51. э F : a {D ДТ || 5) [ X) р. в.
(3M,N).NeX.M = T\N\S .a = D‘M.p = DW (1)
F. *41-13. э F :. Нр. э : WeX. э . GWc Q‘5 .
[*37-321] z>.D‘(JV|5) = DW.
[*37-32] z>.D‘(T\N\S) = T“D‘N (2)
F. (1). (2). *37-6. э
F:. Hp . э : a{D ? (T || 5) (X) p. =. PeD“X. a = T“p.
[*37-101] =.a(Te fD‘X) p:. э F . Prop
*150-961. F . i; (U || W)e [ X = ([/1| W) [ i“X
Доказательство.
F . *150-4. э F :/? {i > (t/1| W)e [ X} 5 . = . (gp). p eX. S = j‘p. R = s\U || W)“p.
[*43-43] =.(зр).реХ.5 = i‘p .R = (U || VT)‘j‘P.
[*13-193. *37-6] =. S e s‘X. R = (U || W)‘S : э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в теории ординальной
экспоненциации (*176-21).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
342
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*151. Подобие ординалов
Краткое содержание *151.
В этом параграфе мы даем определение подобия ординалов и различ-
ные эквивалентные формы; мы доказываем, что ординальное подобие ре-
флексивно (*151-13), симметрично (*151-14) и транзитивно (*151-15), и при-
водим некоторые частные случаи подобия ординалов (*151-6 и далее). Пред-
ложения в этом параграфе следует сравнить с таковыми из *73, аналогами
которых они являются.
Класс ординальных корреляторов Р и Q записывается как Р smor 2, где
“ smor ” означает “ подобны ординально”. Мы полагаем
Psmof Q = S {S el -► 1 . С‘2 = CTS .P = S'Q} Df.
(В равной мере мы также могли бы положить
Psmofe = (l-^l)n&‘C‘QnteTP Df,
что есть эквивалентная, но более сжатая, форма определения.) Затем мы
определяем “Р ординально подобно 2”, как означающее, что найдется, по
меньшей мере, один ординальный коррелятор Р и 2, т.е.
smor = PQ (а! Р smor 2) Df.
В дальнейшем мы обнаружим, что если Р и Q генерируют вполне упо-
рядоченные серии, то они имеют, самое большее, один коррелятор (*250-6),
однако это не имеет места вообще для других серий.
После того как приводятся элементарные свойства ординального подо-
бия, мы имеем три важных предложения о его связи с подобием ордина-
лов, а именно: (*151-18) если Р подобно 2, то поле Р подобно полю Q
(обратное, вообще говоря, не имеет места, исключая случай, когда Р и Q
являются финитными сериальными отношениями); (*151-19) если ёРпо-
добно С‘2, то найдется отношение Р, подобное Q и имеющее ёРсвоим
полем, и обратно; (*151-191) S есть ординальный коррелятор Р и 2 тогда и
только тогда, когда оно является кардинальным коррелятором ёРи С‘2
и P = S’Q.
Затем мы имеем группу предложений о корреляторах вида 5 [ С‘2
(*151-2—243). Большинство корреляторов, с которыми мы будем иметь де-
ло, обладают этой формой. Здесь наиболее полезные предложения есть
*151-22. HS [С‘2 el -> l.C'QaCTS .P = S>Q. = .S [C‘2ePsmof Q
Полезное следствие этого предложения есть
*151-231. h (у). Е ! 5‘у: 5 [ С‘2е 1 -► 1. Р = S’Q : э . S [C‘2ePsmof2
Это следствие оказывается полезным, так как гипотеза (у). Е ! 5 ‘у удо-
влетворяется большинством отношений, которые встречаются как корре-
ляторы.
Затем мы имеем несколько предложений о выводимости Q = § >Р или
Qc^S’P из P = S’Q или PgS’Q и связанного с этим (*151-25—29). Мы имеем
*151 25. HS eCis—> 1 .C‘QaQ‘5 .p = S’Q.z>.Q = S ip
*151-26. H.S eCls-> 1 .C‘QcQ‘S .э: P gS’Q . z> ’PgQ:
S’QgP.o.QgS iP
Principia Mathematica II
*151. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
343
*151-29. h Р smor Q. = : (gS): xPy . . (S ‘x) Q (S ‘y):
zQw. . (S ‘z) P (S ‘w)
*151-29 никогда не используется, но приводится для того, чтобы по-
казать, что наше определение “ординального подобия” согласуется с тем,
что обычно понимается под этим термином. Если Р и Q рассматривают-
ся как сериальные отношения, так что “хРу” означает “х предшествует у
в P-серии” и “zQw” означает “z предшествует w в Q-серии”, то наше пред-
ложение утверждает, что две серии ординально подобны, когда их термы
могут быть скоррелированы так, что предшественники в одной из них скор-
релированы с предшественниками в другой, а последователи — с последо-
вателями, т.е. когда указанные две серии могут быть скоррелированы без
изменения порядка.
Затем мы имеем (*151-31—52) группу вспомогательных предложений,
наиболее полезные из которых есть
*151-401. h : Т Г С‘Р еХ smor Р. Т Г C‘QeY smor Q . S e P smor Q . э .
T;S € X smor Y
*151-5. hs rC‘eePsmore.D.D‘P = 5“D‘e.a‘P = 5“aie.'^‘P = 5“'^‘e-
*151-401 будет полезно в следующих случаях: Пусть Р и 2 будут отно-
шениями между отношениями, тогда D ’Р и D ’»2 будут соответствующими
отношениями их областей. Положим D f С‘Р, D Г C'Qe 1 —»1. Тогда на осно-
вании *151-401, если S есть коррелятор Р и 2, то D ’S будет коррелятором
D ;р и D 52-
*151-5 показывает, что если S есть коррелятор Р и Q, то он соотносит
D‘P с D‘G, (ГР с (TQ, ~&Р с The, ^‘Р с Tbg.
Следующая группа предложений (*151-53—59) касается корреляторов
степеней Р и Q и родственных вопросов. Мы показываем (*151-55), что
коррелятор Р и 2 есть также коррелятор Рро и 2ро, и поэтому если Р и 2
подобны, то таковы же Рро и 2ро (*151-56); мы показываем также (*151-59),
что если Р и 2 подобны, то таковы же Pv и 2v Эти предложения исполь-
зуются в теории прогрессий (*263-17).
Оставшиеся предложения (с *151-6 и до конца) касаются приложений
к частным случаям. Наиболее полезные из них есть
* 151-61. h . I’Psmor Р,
которое показывает, как повысить тип отношения, не изменяя его
реляционного числа;
* 151-64. h . х J, ;Р smor Р. (х J,) à ёРе (xJ/’P) smor Р
* 151-65. h . X^’Psmor Р. (lx) f C‘P e (J,x;P) smor P
Мы доказываем также, что все элементы 2Г (т.е. все отношения вида
х^у, где х/у) подобны (*151-63), и что все отношения вида х[х подобны
(*151-631).
*151-01. Psmor 2 = 5{Sel X.C'Q^S .P=S>Q} Df
*151-02. smor = PQ {g! P smor Q} Df
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
344
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*151-1. F : Psmor 0. s . (g5). 5 e 1—> 1. C‘0 = Q‘5 . P = 5;0 [(*151-02)] *151-11. F : 5 ePsmor 0. = . 5 e 1—► 1. C‘0 = Q‘5 . P = 5;0 [(*151-01)] *151-12. F : Psmor Q. = . g! Psmor Q [(*151-02)]
*151-121. F. 7 [ C‘0e(0smor 0) [*72-17. *50-5-52 . *150-534 . *151-11] *151-13. F. Q smor Q [*151-121-12] *151131. h : S € P smor Q. = . 5 e £>smor P
Доказательство.
F. *71-212 .dF:5c1—>l.s.5el—>1 F. *150-13. э F: P = 5>0. э. 5 >0 = (5|5);0 : [*71-192] э F: 5 el-> 1. P = S’Q.z> .S>P = (I\d‘S)’Q : (1)
[*150-534] э F: 5 e 1 —»1. C‘0 = Q‘5 • P = 5>0. э. 5 ;P = 0 (2)
F. *150-23. z>F:C‘0 = Q‘5 . P = S ’Q .z>. C'P = D‘S F . (1). (2). (3). *33-21. э (3)
F : 5 e 1 —> 1. C‘0 = СГ5 . P = 5 ;0. z>. 5 e 1 —> 1. C‘P = G‘5.0 = 5 ;P (4)
с о p F. (4)^^. *31-33. э 5,P,0
F : $ e 1 —> 1. C‘P = Q‘5.0 = $ ;P. э. 5 e 1 —> 1. C‘0 = Q‘5 . P = 5 ;0 F • (4) • (5). *151-11. э F . Prop (5)
*151-14. F : Psmor Q. = .QsmorP [*151-131-12 . *31-52] *151-141. F : 5 ePsmor 0. 7 e 0smor P. э . 5 11 ePsmorP
Доказательство.
F . *151-11. *71-252 . э F : Hp. э . 5 | Г e 1 —> 1 F . *151-11. *150-23. э F: Hp. э. Q‘5 = C'Q. D‘T = C'Q. QT = C‘P. (1)
[*37-323] э. Q‘(5 | Г) = Q‘T. Q‘T = C‘P. [*13-17] э . Q‘(5 | T) = C‘P (2)
F. *151-11. эF :Hp. z>.P = 5;T’P [*150-13] = (s । t) ;p F. (1). (2). (3). *151-11. э F . Prop (3)
*151-15. F: P smor 0.0 smor P. z>. P smor P [*151-141] *151-16. F. IG smor [*151-13] *151-161. F • smor = Cnv'smor [*151-14]
*151-162. F. (smor )2 = smor [*151-15-161. *34-81]
*151-17. h P smor Q. э : R smor P. = .R smor Q [*151-14-15] *151-18. h : P smor Q. э . C'P sm C'Q
Доказательство.
I-. *151 11. *150-23. э F: Нр. э. (gS). 5 е 1 -> 1. D‘5 = С‘Р. Q‘S = C'Q.
[*73-1] э. C‘PsmC‘0: э F . Prop
*151-19. I-: С‘РsmC'Q. = . (gP). C‘R = C'P.Rsmor Q
Доказательство.
I- . *73-1. э F : C‘Psm C‘0 • s . (gS) • 5 e 1 -> 1. D‘5 = C‘P. Q‘5 = C'Q.
[*150-23] =. (g5). 5 e 1 -► 1. Q‘5 = C‘0. C‘5 ’0 = C‘P.
[*13-195] =. (gP,5). 5 e 1 ->1. Q‘5 = C‘0. R = 5>Q. C'R = C'P.
[*151-1] s. (gP). C‘P = C‘P. P smor Q: э F. Prop
Principia Mathematica II
*151. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
345
*151191. F :5 ePsmor Q . = .5 е(С‘Р) sm (ClQ).P = S'Q
Доказательство.
F. *15113111. э F : 5 е Р smor £>. =>. ёР= D‘5 :
[*4-71. *151-11] э F : S ePsmor Q. = .S el -»1. C‘Q = Q‘S . P = S’Q. C‘P = D‘5 .
[*73 03] =.Se (C'P) sm (C‘Q). P = S ’Q: э F. Prop
*151-2. F:S el -»1 .CQcO’S .P = S'Q.z>.S [C'QePsmorQ
Доказательство.
F.*71-29. oHHp.o.S [C‘<2el->1 (1)
I-. *35-65. э F : Hp. э . Q‘5 [ C‘Q = C‘Q (2)
F . *150-32. э F : Hp. d . P = 5 [C'Q’Q (3)
F. (1). (2). (3). *151-11. э F . Prop
*151-21. F : Psmor g. s . (g5) • 5 e 1-> 1 .C‘Qcd‘S .P = S’Q [*151-2]
*151-22. F : 5 [ C‘£>e 1-И . C‘£)c G‘5 • P = . s . 5 \C‘QePsmorQ
Доказательство.
F . *35-65. *150-32 . oF:5 \C'Qe-> 1. C‘Qc (TS . P = S’Q. э .
S [C'QePsmorQ (1)
F. *151-11. *150-32. oF:5 [ C'CePsmor Q. э . S (C‘Qe 1 -* 1. P = S’Q (2)
F.*151-11. dF:5 [C‘QePsmofe.D.C‘e = Q‘(5 fC‘Q)
[*35-64] =ciena*5.
[*22-621] o.C‘Qca‘5 (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*151-23. F : Psmor Q. =. (gS). 5 [C‘Q€1 -»1 .C‘QaQ‘5 .P = S>Q
[*151-22]
Приведенное выше предложение (*151-23) очень полезно. Оно являет-
ся аналогом (*73-15). (Следует заметить, что во всех предложениях, ка-
сающихся сходства, S'Q играет в точности такую же роль, что и
играет в предложениях, касающихся подобия.) С помощью *151-23 мы
можем установить сходство во всех тех многочисленных случаях, в ко-
торых отношение, обычно не являющееся одно-однозначным, становится
одно-однозначным, когда ограничивается определенной обратной областью,
как, например, если бы мы имели дело с D [ ед‘к, где KeCls2excl, или
с D [ Рд ‘к, где Р [ к е Cis —> 1. Поэтому, например, на основании приведенно-
го выше предложения, если Q — какое-либо отношение, чье поле есть Рд‘к,
где Р [ к е Cis —> 1, то D’Q будет ординально подобным отношением, область
которого есть О“Рд‘к.
*151-231. F :. (у). Е ! S'y: S ] C‘Qt 1 -> 1. P = S’Q: э . S [С‘2 ePsmor (2
[*151-22. *33-431]
*151-232. F:.(g$):(y).E!S‘y:S f C‘Qe 1 -> 1. P = S’Q. Psmor Q
[*151-231-12]
*151-24. F:.(gS):(y).E!S‘y:y,zeC‘(2.S‘y = S‘z.=>w.y = z:P = S!<2:=>.
S [ C‘QePsmor Q. Psmor Q [*71-166-55 . *33-431. *151-22-23]
*151-241. F:.Se 1-^Cls.C‘ecQ‘S :y,zeC‘2.S‘y = S‘z.ov,,._y = z:P = S'’C:D.
5 \C‘QePsmor Q.Psmor Q [*71-55.*151-22-23]
*151-242. F::y,xeC‘6.DyiZ:5‘y = 5‘z.s.y = z:.P = 5’(2:.s.5 [C‘£>eP smor 2
[*71-59. *151-22]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
346
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*151-243. F :: у, z е C‘Q. ^>ул : S‘y = S‘z~ = . у = zР = 5 ’0э • Р smor Q
[*151-242-12]
*151-25. F:SeCls—> 1 .C‘Qcd‘S . Р = S’Q .z>. Q = S ’P
Доказательство.
I-. *150-13. э I-: Hp. z>. 5 ’P = (S|S)>0
[*71-191] =(7fa‘5)?e
[*151-535] = 0:=>F.Prop
*151-251. F:.5 el —> l.D:C‘ecG‘S . =>. P = S’Q. в . C‘Pc D‘5 .Q = S ’P
[*151-25 . *150-22. *37-15]
*151-252. F: 5 e Cis —> 1. C'QcQ‘S .d.Q = S’S’Q [*151-25]
§
*151-253. F: 5 e 1 Cis. C‘PaD‘5 . э. P = 5’5 ;P [*151-252-]
□
*151-254. F:5el->l.z>.5t [ С“СГСГ5 = Cnv‘{5 f [d‘Cl‘D‘5]
Доказательство.
F . *151-251. э F Hp. э : C‘0 e Cl‘Q‘5 . P(51)0. = .
C‘Pe Cl‘D‘5.0(5f)P:. => I-. Prop
Это предложение является аналогом *72-54. “5 t” означает “(Cnv‘5)t”,
а не “Cnv‘(5t)”.
*151-26. F 5 e Cis -> 1. C'Q a G.‘S . э:
Pg550.z>.5 ;Pg0:550gP.o.0g5 !P
Доказательство.
F . *151-31. э F: Pg5’0 . d . 5 >Pg5 >S’’Qz
[*151-252] э FHp. э : P g5’0. d . 5’P G0 (1)
Similarly FHp. z>: 5 ’Q<zP. э . Q <zS’P (2)
F . (1) • (2). э F. Prop
*151-261. F5 e 1 -> Cis. C‘P c D‘5 . э:
x , 5,0, P,
0g5 ;p.d.№0gP:5 5Pg0.2.Pg5;0 [*151-26 *;-]
*151-262. F5 e 1 —»1. C‘PcD‘5 . C‘0c G‘5 . э:
Pg5;0. = .5 !P;0g0:0g5 !P. = .№0gP [*151-26-261]
*151-263. F5 e 1 -> 1. C'PcD‘5 . C'Qcfl'S .d :
Pg5!0.0g5 ’P. = .S iPGQ.S’Q^P. = .P = S',Q.s.Q = S’P
[*151-262]
*151-264. F:.5 [ C‘Qe 1 -»1. э : PczS’Q. Qg5 5P. a. P = S’Q
Доказательство.
F. *150-202 . *37-401. э F : PgS’Q . =>. C‘PcD‘5 [ C‘Q (1)
S \C'Q
F . (1). *151-262 - . э F : Hp. Pg5!0 . э:
Q G(C‘O\S)’P. = . (5 ГС‘0);0 gp :
[*150-361-32] d:0g(5!P) [C‘0. = .5;0gP:
[*35-9 . *36-29]d : QcS ’P. = .S’QgP (2)
h . (2). *5-32 . э h . Prop
Principia Mathematica II
.151. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
347
*151-27. 1-:5е1-»1.Рс5;е.ес5!Р.
= .S el -»1 .C'PaD'S .C'QcG'S .5 ’PgQ.S’QgP.
= .S el-^1 .C'QaQ'S .P = S’Q.
= .S el-> 1 .C'PaD'S .Q = S ’’P
[*151-263. *5-23. *150-203*4-73]
*151-271. F : (gS). S e 1 -> 1. P <zS’Q. Q gS >P.
a.(3$)•$ ell.C?cD‘S .Cgcd'S .S ’PcQ.S’QgP.
s. Psmor (2 [*151-27-21]
*151-28. F:. P smor Q. в: (aS): S e 1 -> 1: хРу. z>x,y . (5 'x)Q(S ‘y) :
zQw. z>ZtW . (S ‘z)P(S ‘w)
Доказательство.
F . *150-41. э F :: S e 1 -И . э:. (S'x)Q(S ‘y). a. xS’Qy : (S ‘z)PS ‘w. =. zS'Pw : .
[*23-1] эzPy. ^x,y . (5 ‘x)Q(S 'y)-. = . P^S'Q:
z£>. z>ZiW. (S ‘x)P(S ‘y): = . Q gS ’P
[*151-27]э хРу. dx,v . (S ‘x)Q(S ‘y): zQw. z>ZtW . (S ‘x)P(S ‘y): = .
C‘Qca‘S.P=S’Q (1)
I-. (1). *5-32 . *151-21. э F. Prop
Приведенное выше предложение показывает, что ординальное подобие,
как оно было нами определено, обладает свойствами, которые обычно свя-
зываются с термином “ординальное подобие”, а именно, что Р и Q орди-
нально подобны, когда их поля могут быть скоррелированы так, что два
терма, находящиеся в отношении Р, всегда скоррелированы с двумя тер-
мами, находящимися в отношении 2, и обратно.
Гипотеза S е 1 —»1 является излишней в *151-28; это показано в следу-
ющем предложении.
*151-281. FхРу. z>x,y. (5 ‘x)Q(S ‘у): zQw. dz,w . (S ‘x)P(S ‘у):
d.C‘P]S=S [C‘£).S [ C'QePsmof Q
Доказательство.
F. *14-21. [*33-352] э F :. Hp. э: хРу. z>. E ! S ‘x. E ! S ‘y: э : x € C'P. э . E ! S ‘x:
[*71-571] э: (C'P) 1 S e Cis -> 1. C‘P a D‘S (1)
Similarly F. *33-17. [*33-352] [*14-21-26] [*4-71] F:Hp.o.S [ C'Q e 1-* Cis. CgcQ'S э F :. Hp. э: хРу. э . S'x,S'yeC'Q: э: xeC'P. э . S'xeC'Q: э : xeC'P. xSz. э . zeC'Q: э: xeC'P. xSz . = . xeC'P. xSz z^ C'Q: (2)
[*35-1-102] d:(C‘P)1S = (C'P)] S fC'Q (3)
Similarly FsHp.o.S \C‘Q = (C‘P)]S \C‘Q (4)
F.(3).(4) . F:Hp.D.(C‘P)1 S =S \ C'Q. (5)
1(1). (2)1 F. (6). *35 z>.S \C'Qel-^\.C'Q^d'S •7. (1). (2). *150-4-41. z> F: Hp. э . P gS’Q . Q gS >P. (6)
[*151-264. F.(5).(6) (6)] z>.P = S’Q . (7). *151-22. э F . Prop (7)
*151-29. FP smor Q. =: (gS): xPy. z>x,y. (S ‘x)Q(S ‘y): zQw. z>z,w. (S ‘x)P(S ‘y)
[*151-28-281]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
348
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*151-31. f-:SeCls->1.5;2 = .S;fl.C‘eaa‘5 .С‘ЛсП‘5 .z>.Q = R
Доказательство.
F. *151-252. эННр.э.б = S >S>Q
[Нр] = S>S’>R
[*151-252] = P:oF.Prop
*151-32. F:.Psmor2-o:a!P. = .g!2 [*151-18. *73-36. *33-24]
*151-33. HS ePsmor£).=>• Р1$ = S IQ.S |P=Q|§
Доказательство.
F. *151-11. эF : Hp. э . P|S =5 | 21 IS . 5 e 1-> 1 .C‘2 = CPS .
[*72-601] d.P|S=S|2 (1)
Similarly I-: Hp . э. 5 | P = Q\5 (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*151-4. k:T [C‘Qel-^1 .C‘P = T“C‘Q.Q = f’P.=>.T [C'QePsindfQ
Доказательство.
F. 35-52. *37-4. э F : Hp. э. (C'Q) 1 f e 1 -> 1. Q‘{(C‘2) 1 f} = C'P (1)
F . *36-33 э F: Hp. э. Q = (t <P) [ C'Q
[*150-361] = {(C‘2)1 t]’P (2)
F . (1). (2). э F : Hp • э. (C'Q) 1 T e Q smor P.
[*151-131] э. T f C'QeP smor 2: э F. Prop
*151-401. F: T f C'PeXsmor P. T [ C'QeYsmor Q. S ePsmor Q. э •
T’S e X smor Y
Доказательство.
F. *151-131-141. dF :Hp. э. T [C‘P|5 | (C‘2)1 РеХзтогУ (1)
F . *151-11-131. э F : Hp. э. D‘5 = C'P. CPS = C'Q
[*150-34] z>.T\C'P\S\(C'Q)]T = T'S (2)
F . (1). (2). z> F. Prop
*151-41. F •.S cPsmor Q. T Г C‘P, T Г CQe 1 -» 1. CP T C'Q a G'T. э .
T’S e (T’P) smor (T’Q) [*151-401-22]
Это предложение является аналогом *73-63.
Следующее предложение часто используется и в реляционной арифме-
(1)
z>.~$'P = S"D'Q-S"(l'Q.
^.~3‘P = (S ] C‘Q)''D‘Q- (S (C‘Q)“a‘Q
= (S (C'Q)"(D‘Q-a‘Q)
= S“7t‘Q
F:Hp.D.^‘P = S“^‘2
тике, и в теории серий.
*151 5. h : S [ C'Q в P smor Q . э .
D‘P^S“D‘Q.a‘P = S"G'Q.~S'P = S“'^‘Q.^'P = S"~S'^
Доказательство.
F . *151-22 . *150-21-211. э F : Hp. э. D'P = S "D'Q. G'P = S"G‘Q.
[*93-101]
[*37-421. *151-22]
[*71-381. *151-22]
[*93-101. *37-421]
Similarly
F.(l).(2).(3).oF.Prop
*151-51. F:S \C'QePsinorQ.R<iQ.z>.S \C'Re(S’R) sniorR.S'RQP
Доказательство.
F. *151-22 . *33-265. э F : Hp. э. C'R a Q‘S
F . *151-22 . *71-222. э F : Hp. э . S [ C'Re 1 -> 1
(2)
(3)
(1)
(2)
Principia Mathematica II
»151. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ
349
I-. *150-31. *151-22 . э I-: Нр. э . S’R GP (3)
F. (1). (2). (3). *151-22 .эк. Prop
*151-52. F : Psmor <2. э. R1‘2с smor “Ш‘Р [*151-51-12-14]
*151-53. F: 5 [ C‘<2e Psmor Q. T ePot‘6 • => •
S \ C'T e(S*T) smor T. s'T e Pot‘P
Доказательство.
F.*150-8. d F : Hp. э. 5’TePot‘P (1)
F . *91-27. э F : Hp. э. CT c Q‘5 (2)
F. (1). (2). *151-22. dF. Prop
*151-54. F :5 [C‘geP smor Q. z>. S [ C'gePpo smor <2po
Доказательство.
F. *91-504. *151-22. z>F:Hp.z>. S \ C‘Q = s \ . C'Qp0 aQ‘S (1)
F . *150-83. *151-22. z> F : Hp. z> . = S? (2)
F. (1). (2). *151-22. э F . Prop
*151-55. F : 5 e P smor 2. э. S € Pp smor 2po [*151-54]
*151-56. F: P smor Q. э . P^ smor [*151-55]
*151-56 используется в *263-17.
Два следующих предложения являются леммами для *151-59, которое
используется в *263-17.
*151-57. F : 5 е Р smor Q. z, weC‘Q. э. P(S'z н S ‘w) — S “Q(z H w)
Доказательство.
F . *151-33-55 . э . F : Hp. э . ^o‘5‘z = 5“^po‘z."?po‘5‘w' = 5“^po‘w.
[*91-54] э. X‘5‘z = 5“Spo‘zUi‘5‘z.
"?* ‘S ‘w = S “ZU ‘ w U i‘S ‘w.
[*53-31. *91-54] э . jP*‘S‘z = S’‘z. *P* lSw = 5 “15* ‘w.
[(*121-103)] э. P (S ‘z н S ‘w) = 5 “Q (z н w): э F . Prop
*151-58. F : S ePsmor Q. z> . S [ C‘QvePv smor £)v
Доказательство.
F. *151-57. *73-22 . э F :. Hp. э : z, w e C‘Q. э .
Nc‘P(5‘zH5‘w) = Nc*e(zHw) (1)
F.(l). *121-11. DF:.Hp.z,weC‘2.3:z2vW. = .(5‘z)Pv(5‘w) (2)
F. (2). *150-41. э F : Hp. э . (?v = .5 ’ Pv .
[*151-253. *121-322] z>. № Qv = PV . C‘QV c CTS (3)
F . (3). *151-22. э F . Prop
*151-59. F : P smor Q. э . Pv smor Qv [*151-58]
Оставшиеся предложения этого параграфа состоят из приложений
к частным случаям.
*151-6. F . Cnv ’Р smor Р. Cnv f ёРе (Cnv !Р) smor Р
[*151-231. *31-13.72-11]
Это предложение значимо, лишь когда Р есть отношение между отно-
шениями.
*151-61. F. OPsmorР [*151-232. *51-12.72-18]
*151-62. F: С‘Рс 1. э .UPsmor Р [*52-62. *151-243]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
350
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*151-63. F:x#y.z# w. э . х у smor smor (z J, w)
Доказательство.
h . *150-72 . э h : 5 = x J, z Uy J, w. z / w. э . 5’ (z J, w) = x J,y (1)
h . *72-182 . *71-242 . э h : Hp . Hp (1). э . 5 e 1 -> 1 (2)
h. *55-15. эЬ:Нр(1).э.СГ5 =C‘(Uw) (3)
h. (1). (2). (3). *151-1-11. э h . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что все ординальные пары
(т.е. все элементы 2Г) ординально подобны. Следующее предложение пока-
зывает то же самое для пар, чьи референты и релятивы тождественны.
*151 631. h . х х smor z I z
Доказательство.
h. *72-182. *55-15. oh. xizel -> 1. CP(x | z) = C‘(z | z)
F. *55-13. Dh:u{xJ,z|zJ,z| Cnv‘(x J, z)} u'. = . и (x J, z) z. u' (x J, z) z.
[*55-13] [*55-13] F. (2). *150-1. = . U = X . и' = x. = . и (x J, x) u' (2) D F . (x I z)’(z I z) = X 1 X (3)
h . (1). (3). *151-1 .oh. Prop
*151-64. h . x j ’P smor P. (x J,) f CP e (x J, ;P) smor P
[*72-184. *55-12. *151-231]
Следующее предложение часто используется в реляционной арифмети-
ке.
*151-65. h . J, х’Р smor Р. (J, х) [ СР е (| х;Р) smor Р
[*72-184. *55-121. *151-231]
Principia Mathematica II
*152. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
351
*152. Определение и элементарные свойства
реляционных чисел
Краткое содержание *152.
Реляционное число отношения Р, которое мы обозначаем посредством
Nr‘P, определяется как класс отношений, ординально подобных Р, т.е.
Nr‘P = smo? ‘Р.
Следовательно, наше определение есть
Nr = smo? Df.
Класс реляционных чисел состоит из всех таких классов, как Nr‘P, т.е.
NR = D‘Nr Df.
Оба эти определения аналогичны таковым из *100 посредством простой
подстановки “smor” вместо “sm”. Их можно оправдать похожими рассмот-
рениями и получить • сходные результаты. За исключением *152-7-71-72,
предложения этого параграфа аналогичны предложениям из *100 и не тре-
буют никаких комментариев, кроме тех, которые имеются во Введении
к *100 (jnutatis mutandis)69.
*152-7-71-72 дают отношения между реляционными числами и кардина-
лами. *152-7, которое используется постоянно, утверждает, что кардиналь-
ное число C‘Q состоит из полей реляционного числа 2, т.е. классы, подоб-
ные С‘2, есть поля отношений, подобных 2; в символическом виде
*152-7. h . Nc‘C‘2 = C“Nr‘2
Следовательно, поля реляционного числа образуют кардинальное число,
т.е.
*152-71. h : ц е NR. э . С“ц е NC
Следовательно, кардиналы, отличные от Л, состоят из классов вида
С“ц, где ц есть реляционное число, отличное от Л, т.е.
*152-72. h . NC - 1‘Л = C‘“(NR - i‘A)
В *154-9 мы покажем, как устранить указанное ограничение на числа,
отличные от Л, поэтому приводящее к
h.NC = C‘“NR
*152-01. Nr = smo? Df
*152-02. NR = D‘Nr Df
*152-1. h .Nr‘P = 2(2smorP) = Q (P smor Q)
[*32-41. (*152-01). *151-14]
69 С должным изменением деталей (лат.). — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
352
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*152 11. h: Q e Nr‘P. = . Q smor P . = ,P smor Q [*152-1]
*152-2. 1-. E ! Nr‘P [*152-1. *14-21]
*152-21. h.Q‘Nr = Rel [*152-2.*33-432]
*152-22. h.Nrel —>Cls [*152-2. *71-166]
*1523. l-.PeNr'P [*151-13. *152-11]
*152 31. h: PeNr‘2. = . QeNr'P [*152-11]
*15232. h: PeNr‘6. QeNr‘P. z>. PeNr‘P [*151-15. *152-11]
*152321. 1-: P smor Q. z>. Nr‘P = Nr‘£? [*151-17. *152-1]
*152-33. h: g! Nr‘P П Nr‘£. э . Р smor Q . Nt‘P = Nr‘2
Доказательство.
h . *152-11. *151-14 .эН: Hp. э . (gP). P smor R. R smor Q.
[*151-15] э . P smor Q
h.(l). *152-321. oh. Prop
(1)
*152-35. h:. 3! Nr‘P. V . 3! Nr‘£>: z>:
Nr‘P = Nr‘2 . = . PeNr‘2 . = . geNr‘P. = . Psmor Q
Доказательство.
h . *24-571 .oh:. Hp . э : Nr‘P = Nr‘£2. э . g! Nr‘P П Nr‘2 .
[*152-33] d.P smor Q (1)
h . (1). *152-321. э h Hp . э : Nr‘P = Nr‘0 . = . P smor Q (2)
h . (2). *152-11 .oh. Prop
В приведенном выше предложении должны быть сделаны те же самые
замечания в отношении типов, как и в случае *100-35. Если в пределах
некоторого определенного типа Nr‘P и Nr‘2 оба нулевые, то мы имеем
в пределах указанного типа Nr‘P = Nr‘S, но нам не нужно иметь Р smor Q.
Таким образом, например, мы обнаружим, что в пределах типа х|х
Nr^/^x Т t2ix) = Л = Nr‘(?‘x Т t^x).
Однако мы не имеем
(^‘х Т ^‘х) smor
*152-4. HpeNR. = .(3P).p = Nr‘P [*37-78-79. (*152-02-01)]
Заметим, что “Nr‘P”, как и “Nc‘a”, есть формальное число, и к нему
могут быть применены соглашения IТ, IIТ, А Т.
*152-41. F.Nr'PeNR [*152-4-2]
* 152-42. I-: ц, veNR.3! рП v. э . ц = v [*152-33-4]
* 152-43. I-. NR е Cis2 excl [*152-42]
* 152-44. h цеNR: g! ц. V . g! Nr‘P. э: Рец. = . Nr‘P = ц
[*152-35-4]
* 152-45. h : р е NR. Р е ц. э . Nr‘Р = ц [*152-44 . *10-24]
* 152-5. h:peNR.P,2ep.D.P smor Q [*152-31-32-4]
* 152-51. h:peNR.Рец.э. smor“p, = Nr‘P
Доказательство.
h . *37-1. э h:Pe smor “ц. = . (g2). Qe ц. R smor Q (1)
h . *152-5 . d h ц e NR .Рец.э:2ец.Р smor Q . = . Q e ц (2)
h . (1). (2). э h Hp . э: Pe smor “ц. = . (g£). £Эец . Psmor Q. Psmor Q .
[*151-17] = . (gS) • Sep . Psmor Q. P smor P.
[(2)] = • (30 . Qey. .Psmor P.
[*10-35] = .3! |i.PsmorP (3)
Principia Mathematica II
*152. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ 353
h . *10-24. oh:. Нр . э : 3! р:
[*4-73] э : 7? smor Р. = . 3! р. 7? smor Р (4)
h . (3). (4). э h Нр. э : R е smor “р. = . R smor Р.
[*152-11] = . PeNr‘Pэ h . Prop
*152-52. h : peNR. 3! р . э . smor“peNR [*152-51-4]
Ограничение, заключаемое в 3! р, не является, как мы далее увидим,
необходимым, поскольку AeNR имеет место в пределах любого предписан-
ного типа.
*152-53. Нз!№‘£).э. smor “Nr‘2 = Nr‘2
Доказательство.
h. *152-51. d И : P e Nr‘2. d . smor “Nr‘2 = Nr‘P (1)
h . *152-321. э h : P e Nr‘£. э . Nr‘P = Nr‘£ (2)
h . (1). (2). э F . Prop
*152-54. h 3! p. 3! v . э : peNR. v = smor “p . = . veNR. p = smor “v
[ *100-53]
*152-6. h.i’PeNr‘P [*151-61]
*152-62. h.xj5PeNr‘P [*151-64]
*152-63. h.lx’PeNr‘P [*151-65]
Польза *152-6-62-63 состоит в том, что они дают нам возможность по-
высить тип реляционного числа до любого требуемого уровня. Поэтому иР
дает отношение, чье поле представляет собой класс следующего типа над
типом С‘Р, т.е. типа Г2‘С‘Р; xj’P дает отношение, чье поле есть xj“C‘P,
которое имеет тип С‘Р). Если хеС'Р или, несколько более общо, ес-
ли xeto'C'P, то это — тип t2iP. Таким образом, если мы положим 2 = лД’Р,
то мы имеем
t‘Q = e(C‘Q Т C‘Q) = t\t‘P Т t6P) = Г(Р j Р).
Поэтому х 4 ’Р есть отношение, чье поле состоит из термов того же самого
типа, что и Р.
Следующие предложения об отношениях кардиналов и реляционных чи-
сел очень важны.
*152-7. h . Nc‘C‘2 = C“Nr‘£
Доказательство.
h . *151-19 . *35-942 . э h : а еNc‘C‘2. э . (3P). C'R = а. R e Nr‘2 .
[*37-6] D.aeC“Nr‘2 (1)
h . *151-18 . э h : PeNr‘2 . э . C‘PeNc‘C‘2
[*37-61] э h . C“Nr‘2 c Nc‘C‘2 (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*152-71. h : peNR. э . C“peNC [*152-7]
*152-72. h . NC - i‘A = C‘“(NR - i‘A)
Доказательство.
h. *152-71. э h. C‘“NR c NC (1)
h . *152-7. *50-5-52 .Dh:peNC.aep.D.C‘ ‘Nr‘(Z [ a) = NC‘a.
[*100-45] o.C“Nr‘(/fa) = p.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
354
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
[*37-103] D.|ieC‘“NR (2)
h . (2). *10-11-23-35 . э h : ^eNC . а! ц. э . |ieC“‘NR (3)
h . *37-45 . э h : р, = C“v . а! ц . э . а! v:
[*37-103] э h : p e C‘ ‘‘NR. a! ц. э . p e C‘‘ ‘(NR - i‘A) (4)
h . (1). (3). (4). э h . Prop
Мы покажем в *154-9, что исключение Л в *152-72 не является необхо-
димым.
Principia Mathematica II
*153. РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА 0г, 2Г И 1,
355
*153. Реляционные числа 0г, 2Г и 15
Краткое содержание *153.
Реляционные числа 0г и 2Г уже были ранее определены (в *56), хотя
нам и остается показать в данном параграфе, что они являются реляцион-
ными числами. Они являются соответственно ординалами 0 и 1, т.е. они
являются соответственно ординальными числами серии без термов и серии
из двух термов. Нет, однако, никакой возможности ввести ординал 1, ко-
торый был бы аналогичным кардиналу 1, в такой же степени, как 0г и 2Г
полностью аналогичны 0 и 2. Отношения, чьи поля являются единичными
классами, есть отношения вида х[х и только они. Мы поэтому полагаем
*15301. 15=£{(дх).я = л4х} Df
Данное выше определение дает ближайший возможный подход к ор-
диналу 1. 15, определенный таким образом, есть реляционное число, при-
чем реляционное число, соответствующее 1 в том смысле, что оно пред-
ставляет собой реляционное число всех таких отношений, которые имеют
поле, состоящее из одного терма. Однако не есть то, что называется
“порядковым числом”, так как использование этого термина ограничено
реляционными числами вполне упорядоченных серий, a не является
сериальным отношением. Для сериального отношения существенно то, что
оно содержится в различии; если, по определению, мы включаем xjx в се-
рии, то мы вводим больше исключений, чем стараемся их избежать. Более
того, не обладает теми свойствами, которые мы желаем иметь от 1; на-
пример, 1 5-iT j не есть 2Г.
Мы не используем 1г, так как на более поздней стадии мы опреде-
лим vr как класс тех вполне упорядоченных серий, чьи поля имеют v
термов, так что 1Г = Л, в то время как 0г и 2Г имеют значения i‘A и
Я{(ях,у).х/у .7? = xjy}, как уже было определено. Из расчета этого обще-
го определения vr мы выбираем другой символ для реляционного числа 1,
а 15 обладает тем достоинством, что, насколько это возможно, похож на 1г.
Предвидя то, чем 15 отличается от истинного ординального числа, мы
можем указать, что если 15 прибавляется к 2Г, то мы не получаем Зг. Мы
определим Зг как класс серий, которые состоят из трех термов, т.е. класс
отношений вида
х [уй х IzOy [z,
где x/y.x/z.y/z. Мы определим сумму двух ординальных чисел как ор-
динальное число суммы двух отношений, имеющих эти ординальные числа
(ср. *180), и впоследствии выяснится, что если Р и Q являются отноше-
ниями, чьи поля не имеют общих элементов, то
ри ейС‘РТС‘2
обладает реляционным числом, являющимся суммой реляционных чисел Р
и Q. Предположим, что Р = х[у и Q = zlz, где x/y.x/z»y/z. Тогда
Рй Q\JCiP'[CiQ = xlyUxlzOy[zOzlz.
Это не есть элемент Зг из-за дополнительного терма zlz, поэтому добав-
ление одного терма к серии Р не дает то же самое число как результат
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
356
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
сложения 1 j и Nr‘P. Следовательно, добавление 1 к ординальному числу
должно быть исследовано отдельно70.
В этом параграфе мы доказываем, что Or = Nr‘A (*153-11), что
2r = Nr‘(Л X i‘x) (*153-24; заметим, что мы должны взять пару классов
(или отношений) для того, чтобы быть уверенными в существовании
двух различных объектов рассматриваемого класса), и что 15 = №‘(уХу)
(*153-32). Мы доказываем С“0г = 0 (*153-18), С“2Г = 2 (*153-212) и C“l.s = l
(*153-36). Мы имеем также (?“0 = 0г (не доказано) и £“1 = 15 (*153-301).
Однако мы не имеем С“2 = 2Г; например, (хХу Uy Хх)еС“2, если х/у, но
(хХуUyХх)е2г. Мы имеем g!0r (*153-12) и д!15 (*153-34), однако из на-
ших примитивных предложений мы не можем вывести g! 2Г, если только
не повысим наинизший тип отношений. Случай в точности аналогичен
д!2 (ср. *101); мы имеем
*153-26-262. F. а! 2Г П Rl‘(Cls | Cis). a! 2r Cl Rel2
Однако если, как полагают монисты, существует лишь один индивид, то
мы не будем иметь а! 2Г в пределах типа отношений индивидов к индиви-
дам. Наших примитивных предложений недостаточно, чтобы опровергнуть
указанное предположение.
*15301. 1, = Л{(ах).7? = хХх} Df
*1531. F:PeOr. = .P = A [*56 104]
*153101. I-: Р smor Л. = . Р = Л
Доказательство.
F . *151-32 . Transp. э I-: Р smor Л. z>. ~ а !Р
F. *51-13. э F: Р = Л. э. Psmor Л
F . (1). (2). э F. Prop
*153-11. F.Or = Nr‘A [*153-1-101. *152-1]
*153-111. F.OreNR [*152-41 . *153-11]
*53-12. F.g!Or [*51-161]
*153-13. F. g! 0r П <P‘R. Ae0r П R1‘P [*61-3]
*153-14. F: Nr‘P = 0r. = . P = A
Доказательство.
h . *152-44 . *153-11-12 .oh: Nr‘P = 0r. = . P e 0r.
[*152-1] = . P = Л : э h . Prop
*15315. h. smor “0r = 0r
Доказательство.
h . *152-51. *153-111-13 . э h . smor “0r = Nr‘A
[*53-11] = 0r. э h . Prop
*153-16. h peNR- i‘0r. э : Рецэр . g!P
Доказательство.
h . *13-13 . *152-42 . □ h |i€NR. □ : Лец. □ . |i = 0r:
[Transp] э:ц/0г.э.Л~€ц
h . (1). *25-63 .oh. Prop
(1)
(2)
(1)
70 Cp. *161 и *181, где это положение выясняется более полно.
Principia Mathematica II
*153. РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА 0г, 2Г И 1,
357
*153-17. F: А е Nr‘P. =. Nr‘P = 0r. = . Nr‘P = Nr‘A. = . P = A
[*152-35. *153-11-14]
*153-18. F.C“Or = O
Доказательство.
F. *53-31. oF.C“i‘A = i‘C‘A (1)
I-. (1). *33-241. (*56-03. *54-01) . э F. Prop
*153-2. I-: Pe2r. =. (gx,)'). x^y. P = x J,y [*56-11]
*153-201. t-.x/y. = .xlye2r [*56-17]
*153-202. I-: P, Q e 2r. э. P smor Q [*151-63. *153-2]
*153-203. F : Qe2r. Psmor Q. э. Pe2r
Доказательство.
I-. * 113-123. z> I-: 5 e 1 Cis. z, w e Q‘5 . э. S ? (z J. w) = (S ‘z) 1 (S ‘w):
[*55-15] э I-: S'e 1Cis. C‘(z 1 w) = CTS . э .
S5(zXw) = (S‘z)H5M (1)
F. *71-56 dH.Se-> 1 .C‘(ziw) = Q‘5 .o:z = m'. = .5‘z = 5‘w:
[Transp] э: z / w. = . S ‘z # S ‘w (2)
F. (1). (2). *53-201. э
h:5el^l.z/w.C‘(z|w) = a‘S .P = 55(zXw).D.Pe2r:
[*151-1] э F: z / w. Psmor (z J, w). э. Pe2r:
[*153-2 ] э F : Q e 2rP smor Q. э . P e 2r: э I-. Prop
*153-21. F : Pe2r. э . 2r = Nr‘P [*153-202-203]
*153-211. F:x/y.3.2r = Nr‘(xiy) [*153-21-201]
*153-212. F . C“2r = 2 [*55-15 . *56-11. *54-101]
*153-22. F : g! 2r П t”‘z. = . g! 2 (z). = . (gx,?). x /у. xe t‘z
[*153-211. *101-4]
*153-23. F:Pe2r.o.Rl‘PcOru2r [*56-261]
Это предложение иллюстрирует причины того, что мы не полагаем
lr - Р {(gx). Р = х J. х) Df.
Мы хотим, чтобы индуктивные ординалы, как и индуктивные кардиналы,
образовывали серию в порядке величин; однако, как иллюстрирует приве-
денное выше предложение, реляционное число таких отношений, как х|х,
не находится в той же самой серии, что и 0, и 2Г. Приведенное выше пред-
ложение должно быть контрастировано с *54-411.
*153-24. F. 2r = Nr‘(A J. i‘x) [*153-211. *51-161]
*153-25. F.2reNR [*153-24. *152-41]
*153-251. F . 2r # 0r. 2r П 0r = A
Доказательство.
F . *153-218-18. *101-34-35 . z> F. C“2r / C“0r. C“2r П 0r = A.
[*13-12. Transp . *37-21] э F. 2r / 0r. C“(2r П 0r) = A.
[*37-45] z>F .2r/0r.2rn0r = A
*153-26. Fg!2rnRl‘(ClsTCls) [*153-24. *152-3]
*153-261. F . A J, (x J. x) e 2r [*55-134. *56-11]
*153-27. F . 2r = smor “(2r П RTCls) = smor “(2r П Rel2) [*153-261. (*61-03)]
*153-27. F . 2r = smor ‘ ‘(2r П Rel2)
[*152-53. *153-26-262-24]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
358
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*153-28. h : х / у. э . В'(х 1 у) = х. B‘Cnv‘(x у) = у
Доказательство.
h . *93-101. *55-15 . э h: Нр . э .71‘(х|у) = i‘x ."^‘Cnv‘(x J,y) = i‘y: э h . Prop
*153-281. h : Pe2r. э . B‘P = i‘D‘P. B‘P = ГСРР [*153-28 . *55-15]
Приведенное выше предложение используется в теории серий (*204-48).
*153-3. h . h = 2 - 2r = R {(gx). R = x | x} [*56-13 . (*153-01)]
*153-301. h . h = 6“1 [*153-3 . *56-39]
*153-31. h . x J, у e (x J, x) smor (y J, y)
Доказательство.
h . *72-182 . *55-15 . э F. x|y e 1 1. (Г(ф) = C‘(y iy)
h . *35-89. *55-1 =>h.xXy|yiy = xiy.
[*150-1. *55-14] эЬ.(хХу)’(уХу) = хХу|уХх
[*35-89. *55-1] = x[x
h.(l). (2). *151-11. oh. Prop
*153 311. h : Qe lj. Psmor Q. z>. Pe lj
Доказательство.
F. *153-3 . *151-1. z> I-: Hp. э.
(aS,y).e = yXy.5el->l.a‘S = i>.P = S’2.
[*150-71] D . (aS,y). P = (S У) J, (S У).
[*153-3] э . P e 1,: э F . Prop
*153-32. F. l, = Nr‘(yiy) [*153-31-311]
*153-33. F.l.eNR [*153-32]
*153-34. F.a! L-L/Or. 1,/2г.1,П0г = А.1,П2г = Л
Доказательство.
F. *153-3. z>К. дДхе h .
[*10-24] эКаИ,
F. *56-103-104. =>F.l,n0r = A
F. (1). (2). dF.1,/0,.
F. *153-103 . *56-113. э F. 1, П2r cnC“2.
[*72-41.101-35] dF.I, П2Г = А
[(1)] oF.1^2r
F. (1). (2). (3). (4). (5). э F . Prop
*153-341. F : R e 1,. s. Nr‘P = 1, [*153-33-34 . *152-44]
*153-35. F : R e 1,. z> . Nc‘C‘R = C“Nr‘P = 1
Доказательство.
F. *55-15. *153-3. э F : Hp. э . Nc‘C‘P = 1
F. (1). *15-7. э F . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
*153-36. F.C“15=1
Доказательство.
F . *153-301. э F. C“l5 = C“C“1
[*72-502] = 1. э F . Prop
Principia Mathematica II
154. РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА ПРЕДПИСАННЫХ ТИПОВ
359
*154. Реляционные числа предписанных типов
Краткое содержание *154-
Этот параграф дает предложения, аналогичные предложениям *102.
В соответствии с нашими общими обозначениями для типовой определен-
ности, “Nr(P)‘Q” означает “класс отношений, сходных с Q и принадлежа-
щих тому же самому типу, что и Р”, “Nr(Pg)” означает “отношение к от-
ношению типа Q из класса отношений с ним сходных и принадлежащих
типу Р”. Посредством специального определения “NRe(P)” будет обозна-
чать все типово определенные реляционные числа вида “Nr(Pg)‘P”, т.е.
все реляционные числа, произведенные отношением Nr (Pg), т.е. область
Nr (Pg).
Экзистенциональные теоремы в пределах этого предмета могут быть до-
казаны посредством *154-14, которое утверждает, что отношения, сходные
с Q, существуют в пределах типа Р тогда и только тогда, когда классы, по-
добные C‘Q, существуют в пределах типа С‘Р. В силу этого предложения
экзистенциональные теоремы рассматриваемого предмета выводимы из та-
ковых для кардиналов. В символическом выражении это предложение есть
*154-14. h : а! Nr (P)‘Q. = . 3! Nc (С‘Р)‘С‘2
Следовательно, на основании *102-73, мы выводим
*154-242. h . Л е NRl’p(P) откуда посредством *152-72
*154-9. h.NC = C“‘NR
Оставшиеся предложения в основном аналогичны предложениям в *102.
Лишь на немногие из них впоследствии имеются ссылки.
*154-01. NRy (X) = D‘Nr (Ху)
*154-1. h : а! R1‘P П Nr‘Q .0.3! C1‘C‘P П Nc‘C‘2
Доказательство.
h . *152-1 .oh: Hp . d . (aP) • R GP .Psmor Q .
[*151-18] э . (аР). P cP. C‘P sm C‘Q.
[*33-265] э . (аР). C‘P c C‘P. C‘P sm C‘Q.
[*100-1] D . a! C1‘C‘P П Nc‘C‘G: => h . Prop
*154-11. h : a! C1‘C‘P П Nc‘C‘G. э . аР . P smor Q . C'R c C‘P
Доказательство.
h . *100-1. *73-1. э h . Hp э . (a5). 5 e 1 -► 1. D‘5 c C'P. (Г5 = C'Q.
[*151-1] э . (aS) D‘5 c C'P. S'Q.
[*150-203] =>. (aS). C'S’Q c C'P .S’Q smor Q: э h . Prop
*154-12. h : a! Rl‘(a T a) П Nr‘Q. = . 3! Cl‘a П Nc‘C‘G • = • Nc‘a Nc‘C‘G
Доказательство.
h . *154-1. *35-9 . э h : а! Rl‘(a T a) О Nr‘Q . э 3! Cl‘a Nc‘C‘G (1)
h . *154-11. *35-92 . э h : а! Cl‘a П Nc‘C‘G .0.3! Rl‘(a T a) П Nr‘Q (2)
h . (1). (2). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
360
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*154-121. I-. Rl‘(r0‘C‘P т t0‘C‘P) = t‘P = Zoo‘C‘P
Доказательство.
F.*64-5. z>F.Rl‘(r0‘C‘PT^‘C‘P) = P(C‘PTC‘P) (1)
F. *64-201. ol-.r‘(C‘PtC‘P) = r‘P (2)
F. (1). (2)*64-54. z> F. Prop
*154-13. F: a! r‘P П Nr‘2. =. g! r‘C‘P П Nc‘C‘2. = . Nc‘r0‘C‘P > Nc‘C‘2
Доказательство.
F. *154-12^^-^ . *154-121. э
a
h : я! f P П Nr‘Q. = . a! C170‘C‘P П Nc‘C‘G (1)
h. (1). *63-65 . *117-22 . э h . Prop
*154-14. h : я! Nr (P)‘Q . = . я! Nc (C‘P)‘C‘Q [*154-13 . (*65-04)]
В силу *154-14 и предложений из *102, *103, *104, *105, *106, мы ви-
дим, что все однородные или восходящие реляционные числа существуют,
в то время как Л является элементом каждого нисходящего типа реля-
ционных чисел. Памятуя о том, что рассматриваемые отношения должны
быть однородными, мы видим, что их типы могут быть повышены двумя
видами шагов, именно (1) от Р до отношений типа Z‘C‘P Т Z‘C‘P, т.е. от Р
до отношений типа C‘PJ,C‘P или типа i’P; (2) от Р до отношений типа
PPJPP, т.е. от Р до отношений типа Р|Р или типа |х;Р, если xet^C'P.
Поэтому повторения указанных двух шагов от Р до i’P и от Р до J,x;P,
где xeZo‘C‘P, позволят нам, не изменяя реляционного числа, неограничен-
но повышать его тип. В дальнейшем будет замечено, что в соответствии
с нашими общими определениями для относительных типов тип i’P есть
ГН‘С‘Р, а тип J,x’P (где хеГо‘С‘Р) есть гн‘Р.
*154-2. h . Nr (XyYQ = Р{Рsmor (X,y)Q} [*65-2 . (*152-01)]
*154-201. h . Nr (XYQ = Nr‘Q Ci t‘X [Доказательство, как и в *102-6]
*154-202. h : Р e Nr(Xr)‘Q . = . Р е Nr (X)‘Q . Q e t'Y . = .
PeNr‘Q.P6fX.Qefy [*152-2-201. (*65-1)]
*154-203. h : Q e f Y. э . Nr (Xr)‘Q = Nr (X)‘Q [*154-202]
Когда Q принадлежит любому другому типу, чем тип Г‘У, Nr(Xy)‘Q
бессмысленно.
*154-21. F.NRy(X) = M(ae).k = Nr(Xr)‘e} [(*154-01)]
*154-22. F. NRr(X) = Nr (Х)“ГУ = (П fX)“Nr“f Y
Доказательство.
F. *154-21-202 . э
F:.XeNRr(X). H:(a2):PeX.=p.PeNR(X)‘2-2e/‘r:
[*63-108. *4-73] = : (aQ): Q e t‘Y: Pe X. =P. P eNr (X)‘2 :
[*20-43] =: (30: GezT .X = Nr(X)‘2:
[*37-6] = :XeNr(X)“py (1)
F. (1). *154-201. э F. Prop
*154-23. F: A e Nre (P). =. A e NCc‘G (C‘P). = . A e NC (C‘P)“t‘C‘Q
Доказательство.
F. *154-22 . z> F : A e NRe (P). =. A e Nr (P)“t‘Q.
[*37-6] =.(aP)-Pe/‘e-A = Nr(P)‘P.
Principia Mathematica II
*154. РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА ПРЕДПИСАННЫХ ТИПОВ
361
[*154-14. Transp] s. (дЯ). R е PQ. Л = Nc (С‘Р)‘С‘Я.
[*64-24] = . (аЯ). С‘Я е Р C‘Q. Л = Nc (С‘Р)‘С‘Я.
[*35-942] = . (да). а е PC‘Q. Л = Nc (С‘Р)‘а.
[*37-6] = .AeNc(C‘P)‘r‘C‘e. (1)
[*102-62] =. Л е NCc‘g (С‘Р) (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*154-24. I-: С‘б = ÑёР. э . Nr (Р)‘<2 = Л [*102-73. *154-14]
*154-241. I-. Nr (Р)7‘ [ РёР= Л [*154-24]
*154-242. F . Л е NRl’p (Р)
Доказательство.
F . *35-91. э F. 7 [ г‘С‘Рсг‘С‘Р|г‘С‘Р
[*63-64] Gro‘i“C‘PT^o‘i“C‘P
[*150-22] сГо‘С‘рРТГо‘С‘рР (1)
F.(1). *154-121. э I-. I [ r‘C‘Pe гЧ’Р (2)
F . (2). *154-22-241. э F. Prop
*154-25. F:C‘2 = ?oo‘C‘P.z>.Nr(P)‘<2 = A (*106-53. *154-14]
*154-251. F.AeNRP1P(P)
Доказательство.
F. *154-23. э F : A e NR^ (P) . =. AeNc(C‘P)“r‘C‘(PlP).
[*55-15] s.AeNc(C‘P)“A‘P.
[*63-61] =.AeNc(C‘P)“r‘r‘P.
[*154-121] = .AeNc(C‘P)“r‘r0‘C‘P (1)
F . (1). *106-53. *104-264. э F . Prop
*154-26. F:Per‘e.o.g!Nr(P)‘(2 [*64-231. *103-3-13. *154-14]
*154-261. F : C‘P g! Nr (P)‘(2 [*104-21-1. *154-14]
*154-262. F : C‘P e tw‘C‘Q. z>. g! Nr (P)‘Q [*106-21-1. *154-14]
Следующие предложения связаны с двумя частными преобразованиями
от Р к L’P и от Р к ].х’Р, которые полезны при повышении типа реляци-
онного числа.
*154-31. F.r‘i’P = rlllC‘P
Доказательство.
F . *154-121. *150-22 . э F . Г‘рР = Rrao‘i“C‘PTro‘i‘‘C‘P)
[*63-64] =Rl‘(f‘C‘PTr‘C‘P)
[*64-65] = rIllC‘P.z>F.Prop
*154-311. F . g! Nr (г11‘С‘Р)‘Р [*154-31. *152-6]
*154-32. F . xe t0‘C‘P. э . Px pP = Г11 ‘P. t0‘x l“C‘P = PP
Доказательство.
F. *154-121. *150-22 . э F . 5P = RT{(r0‘x |“C‘P) f (r0‘x |“C‘P)) (1)
F. *64-52 . э F : x,y eto‘ClP. э. x J, у ez‘(^o‘C‘P f to‘C‘P).
[*154-121] z>.xj.yer‘P (2)
F . (2). э F : xeto‘C‘P. э . xl“C‘Pa PP.
[*63-21] э.<ь‘4“ёР= ('Р (3)
F . (1). (3). э F : Hp. э. Px J, iP = R1‘(PP T f‘-P)
[*64-56] =ZlllP (4)
F . (3). (4). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
362
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*154-321. I-. а! Nr (г11 ‘Р)‘Р [*154-32 . *152-62.63-18]
*154-322. F: xetolC'P. э . r‘J, х'Р-f11 ‘Р [Док-во, как и в *154-32]
*154-33. I-: х€ t0‘C‘P э. t‘P J, >х J, ?Р = tn‘s‘tliP
Доказательство.
F. *154-32. эЬ:Нр.э.Рег0‘а Х“С‘Р.
[*150-22] э.Рег0‘С‘хХ;р.
[*154-32] o.PPpxJJP^'xJJP
[*64-23] = Zn‘sTxpP
[*154-32] = г11' j*?1 ‘ Р: э F. Prop
*154-331. F. 3! Nr (zn‘s7n‘P) [*154-33 . *152-62. *63-18]
*154-4. F.Nr(Xr)‘e = P{(a5).Del->l.a‘S=C‘e.P = S5e-
D‘S er‘C‘X.Q‘S efCT}
Доказательство.
F . *154-202 . *152-1. э
F:. PeNr (Xy)‘g. =: (а$). S e 1 —»1 Q‘S = C'Q. P = S’Q . Pet‘X. Qet'Y:
[*64-24] =: (aS). S e 1 —> 1 G‘S = C'Q .P = S’Q. C'Pet'C'X.
C'Qet'C'Yt
[*13-193*150-23] h : (aS). S € 1 1 (PS = C'Q. P = S’Q.
D‘S e t'C'X. CTS e t'C'Y:. z> F. Prop
*154-401. F . Nr(Xr)‘e = P{a!(Psinof е)ПГ‘(С‘ХТС‘У)}
[*154-4. *151-11. *64-63]
Оставшиеся предложения этого параграфа (исключая *154-9) аналогич-
ны тем, чьи номера в *102 имеют те же самые десятичные части. Они
приводятся здесь без доказательства, так как доказательства шаг за ша-
гом аналогичны доказательствам соответствующих предложений в *102.
*154-41. F: Р еNr (XZ)'R. Q еNr (YZ)‘R. э . Pe Nr (XY)‘Q. Q e Nr (YX)'P
*154-42. F.PeNr(PP)‘P
* 154-43. F.a!Nr(PP)‘P
* 154-46. F: PeNr {XY)'Q . = . QeNi (Yx)'P . = . Psmor Q. Pe t'X. Q e t'Y
* 154-52. F: a! Nr (XY)‘Q. э . Nr (XY)'Q eNRx (X)
* 154-53. F . NRr (X) - t‘A c NRX (X)
* 154-55. F : A ~ e NRX (У). z>. NRr (X) - i‘A = NRX (X)
* 154-64. F : p e NR. a! p. э . (Я.Р Q) • И = Nr (P)'Q
* 154-641. F : peNR. э. (ap,0 • P = Nr (P)‘£? [*154-64-241]
* 154-8. F:PeNr(Xr)‘(2.PsmorP.PefS . э .PeNr Sy‘2 .PeNr (SX)‘P
*154-81. F:PeNr(Xy)‘2.z>. smor “Nr(Xy)‘£>nr‘S =Nr(Sy)‘0 = Nr (SX)‘P
*154-82. F : peNRr (X).3! p. э. smor “pGPS eNRr(S)
* 154-83. F: peNRr (X). v = smor “pО t'S . 3! v. z>.
smor “p, П f S = smor “v П t'S . p = smor “v П fX
* 154-84. h : (gP). P smor X .Pe t‘X. Q smor P. = . Q smor X
* 154-85. h . smor “p П f Y = smory “p
* 154-86. h : p = Nr (X)‘Q. Я! p. э . smory “p = Nr (K)‘Q
* 154-861. h . smory “smory “pc smory “p
* 154-87. h : p = Nr (K)‘Q. 3! Nr (X)‘Q . э . smorF “p = smorp “smory “p
Principia Mathematica II
154. РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА ПРЕДПИСАННЫХ ТИПОВ
363
* 154-88. h : pi = Nr (Y\Q. g! smorp“pi. э .
smorp “pi = Nr (P)‘Q . smorx “h = Nr (X)‘Q.
smorx “pi = smory “smorp “pi = smorx “Nr (P)‘G
* 154-9. h.NC = C“‘NR
Доказательство.
h . *37-29 . э h : pi = A .d . pi = C“A .
[*154-241] D.pteC‘“NR (1)
F . *37-29 . э h : v = A .d . C“v = A.
[*102-73] d.C“veNC (2)
h . (1). (2). *152-72 .oh. Prop
A. H. Уайтхед, Б. Рассел
364
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
*155. Однородные реляционные числа
Краткое содержание *155.
Реляционное число называется однородным, когда оно производится од-
нородным отношением сходства, т.е. когда оно состоит из всех отношений,
которые сходны с данным отношением Р и того же самого типа, что и Р.
Для однородного реляционного числа отношения Р мы пишем “Nor‘P”; по-
этому Nor‘P = Nr‘PnfP. Когда Р задано, Nor‘P типово определенно. Мы
всегда имеем PeNor‘P, следовательно, g!Nor‘P. Обратно, если типово опре-
деленное реляционное число не является нулевым, то оно будет однород-
ным реляционным числом; фактически, если Р является его элементом, то
оно есть Nor‘P. Таким образом, однородные реляционные числа есть все
реляционные числа, за исключением Л.
Однородные реляционные числа играют в точности ту же самую роль
в реляционной арифметике, что и однородные кардиналы в кардинальной
арифметике. Предложения этого параграфа (исключая *155-6-61) анлогич-
ны предложениям из *103 с теми же самыми номерами после десятичной
точки. Их доказательства в точности аналогичны доказательствам их ана-
логов в *103 и поэтому опускаются.
Наиболее полезные предложения этого параграфа есть
* 155-11. h : Q е Nor‘P. = . Q smor Р. Q е Nr‘P. Q е f Р
Оно просто заключает в себе определение.
* 155-12. h.PeNor‘P
откуда
* 155-13. h.a!Nor‘P
* 155-16. h : Nor‘P = Nr‘Q. = . Nr‘P = Nr‘Q
Это предложение используется в теории вполне упорядоченных серий
(*253 и *255). Оно требует того, чтобы равенство “Nr‘P = Nr‘6” в правой
части подпадало под соглашение А Т. Иначе типовая неопределенность мог-
ла бы быть так детерминирована, что Nr‘P = Nr‘Q = A, что не имело бы
следствием Nr‘P = Nr‘Q.
* 155-2. h : ц е N0R. = . (я Р). ц = Nr‘P П f Р. = . (3 Р). ц = Nor‘P
Оно просто заключает в себе определение NqR.
* 155-22. h:peNoR.D.s!p
* 155-26. h ц e NR. э : Р е ц . = . Nor‘P = ц
* 155-27. h : ц = Nor‘Р. = . ц e NR .Рец
* 155-34. h . NR - i‘A с N0R
* 155-4. h . smor “Nor‘P = Nr‘P
* 155-5. h.OreNoR
* 155-6. h . C“Nor‘P = Nor‘C‘P
Это последнее предложение связывает однородные реляционные числа
с однородными кардиналами.
*155-01. Nor‘P = Nr‘PnfP Df
*155-02. NoR = D‘Nor Df
Principia Mathematica II
»155. ОДНОРОДНЫЕ РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
365
*1551. к. Nor‘P = (Nr‘P)P = Nr (Р)‘Р = Nr (РР)‘Р
*15511. }-tQeN0r‘P.s.QsiaorP.Q€t‘P.s.QeNr‘P.Q€t‘P
*15512. k.PeNor‘P
*15513. F.gleNor'P
*15514. I-: N(>r‘P = Nor‘6 • = • PeNor‘2. =. £)eNor‘P. s .Psmor Q. Qet‘P
*155-15. h : a! Nor‘P П Nor‘(2. s . Nor‘P = N0r‘<2
*155-16. I-: Nor‘P = Nr‘2 • = • Nr‘P = Nr‘C
*155-2. к: p e N0R. =. (a P) • p = Nr‘P П t‘P. s. (a P) • p = Nor‘P
*155-21. I-. Nor‘PeNoR. Nor‘PeNR
*155-22. F : peN0R. z>. 3! H
*155-23. F.A-eNoR
*155-24. к. NqR e Cis ex2 excl
*155-25. к p, v e NqR .э:а'-НГ)^. = .ц = у
*155-26. к peNR. э : Pep. e. Nor‘P = p
*155-27. k:pNor‘P.s.peNR.Pep
*155-28. I-: (a R) • R smor P. p = Nor‘P. =. a 1P • P = Nr‘P
*155-3. I-: Q e t‘P. z>. Nor‘£> = Nr (P)‘Q = Nr (PP)‘Q = Nr‘£> П PP
*155-301. к . NRP (P) = N0R (P)
*155-31. I-: a I Nr (XY)‘Q . э. Nr (Xy)‘Q eN0R (X)
*155-32. к . NRr (X) - i‘A c NqR (X)
*155-33. к. NR (X) - i‘A c N0R (X)
*155-34. I-. NR - i‘A c N0R
*155-35. к: A ~ e NRX (У). z>. NRr (X) - i‘A = N0R (X)
*155-4. к. smor “Not‘P = Nr‘P
*155-41. k. smor “Nor‘Prw‘<2 = Nr(0‘P
*155-42. к : Q smor P. = . Nr (0‘P = Nor‘6
*155-43. к : peNR. э . smor “pПГо‘Н= H
*155-44. к p, veNoR. э: p = smor “v. н . v = smor “p
*155-5. k.OreNoR
*155-51. к . 2r П Rl‘Cls e N0R
*155-52. к . 2r П Rel2 e N0R
Следующие предложения не имеют аналога в *103.
*155-6. k.C“Nor‘P = Noc‘C‘P
Доказательство.
к . *100-11. *103-11. эк aeNoc‘C‘P. н:
aer‘C‘P:(a5).Sel^l.D‘S=aa‘S=C‘P:
[*150-23] =: а е ÑёР: (а 5) • S е 1 -> 1. C‘S ?Р = a. d‘S = С'Р:
[*151-11] = : a е РС‘Р: (а Q) • Q smor Р. a = С‘б г
[*64-24] = : (а О э Q smor Р. Q е Г‘Р. a = C'Q:
[*152-11. *155-11] =: aeC“Nor‘PProp
*155-61. k.C‘“N0R = N0C [*155-6]
Предложения о восходящих и нисходящих реляционных числах, анало-
гичные таковым из *104, *105 и *106, могли бы быть доказаны с помо-
щью доказательств, аналогичных тем, которые приводятся в указанных
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
366
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
параграфах. Однако едва ли необходимо добавлять что-либо к уже дока-
занным предложениям, именно *154-24-241-242-25-251 о нисходящих реля-
ционных числах и *154-26-261-262-31-311-32-321-322-33-331 о восходящих ре-
ляционных числах, а также *155-23-34, дающее отношения неоднородных
к однородным реляционным числам. Восходящие реляционные числа все
существуют, а те, которые начинаются от типа Р, где бы они ни закон-
чились71, являются корреспондентами72 однородных реляционных чисел
типа Р, и лишь некоторые из однородных реляционных чисел имеют тип,
в пределах которого они заканчиваются. Нисходящие реляционные числа
состоят из Л вместе с однородными реляционными числами типа, в пре-
делах которого они заканчиваются; они являются корреспондентами лишь
некоторых чисел того типа, в пределах которого они начинаются, или, ско-
рее, Л есть общий корреспондент всех тех реляционных чисел в пределах
начального типа, которые не являются коореспондентами никакого одно-
родного реляционного числа в пределах финального типа. Эти свойства
в точности такие же, как и в случае кардиналов, как можно предвидеть
с помощью *154-14.
71 Мы говорим, что Nr(P)‘0 начинается от типа Q и заканчивается в пределах типа Р.
72 Мы называем два типово определенных реляционных числа корреспондентами, ко-
гда они различаются лишь типовой детерминацией, т.е. Nr(X)‘P и Ыг(У)‘Р являются кор-
респондентами .
Principia Mathematica II
ГЛАВА 2.
СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ
И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
Краткое содержание главы 2
В настоящей главе мы должны рассмотреть тот тип сложения отноше-
ний, который требуется в ординальной арифметике. В арифметике карди-
налов, если к есть класс взаимно исключающих классов, то 5‘к обладает
свойствами, требуемыми от их суммы, и поэтому нам не требуется новый
тип логического сложения, перед тем как мы будем иметь дело с арифме-
тическим сложением. Однако это не так в арифметике ординалов. Пред-
положим, что Р и Q являются производящими отношениями двух серий,
и мы желаем добавить Q-серию к концу P-серии. Тогда желательно, что-
бы каждый терм P-серии предшествовал каждому терму Q-серии; поэтому
Р U Q не будет генерирующим отношением новой серии, поскольку Р U Q не
дает отношения между термами P-серии и термами Q-серии. Отношение,
которое требуется, есть PUQUC‘P|C‘Q, поскольку оно делает каждый
терм P-серии предшествующим каждому терму Q-серии. Следовательно,
мы полагаем
P^Q = PUQUC‘PTC‘G Df.
В дальнейшем будет видно, что P^Q, в общем, отлично от Q + P-
Если ёРи C'Q не имеют общих термов, то сумма реляционных чисел
Р и Q есть реляционное число P^Q (ср. *180).
Добавление единственного терма к серии требует нового определения,
и с ним нельзя иметь дело как с частным случаем сложения двух отноше-
ний. Можно было бы подумать, что как а П i‘x дает результат добавления
одного терма х к классу а, так и Р (х X х) должно давать результат добав-
ления одного терма х к серии Р. Однако это не тот случай, так как когда
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
368
мы добавляем терм к серии, то мы не желаем, чтобы этот терм предше-
ствовал самому себе, в то время как Р^(хХх) есть отношение, которое х
имеет к самому себе. То, что мы хотим, так это отношение, которое каж-
дый элемент СР имеет к х, но которое х не имеет к самому себе; поэтому
мы принимаем PU СР f i‘x в качестве нашего отношения и полагаем
P-Hx = PUC‘PTi‘x Df.
Этим определяется генерирующее отношение серии, полученной добавле-
нием х к концу P-серии; также при добавлении х к началу мы полагаем
хч-Р=1‘х|С‘РйР Df.
Если х не является элементом С‘Р, то реляционное число Р-нх есть сум-
ма реляционного числа Р и ординала 1, который мы представляем посред-
ством i. (Ординал 1 не имеет смысла сам по себе, а лишь как слагаемое.)
Сумма серии серий определяется таким же способом, как была опре-
делена сумма двух серий. Пусть Р есть сериальное отношение, чье поле
состоит из сериальных отношений. Тогда сумма всех серий, произведенных
элементами С‘Р, когда эти серии взяты в порядке, установленном Р, долж-
на быть отношением, которое имеет место между х и у всякий раз, когда
либо (1) х и у оба принадлежат полю одной из серий, а х предшествует
у в этой серии, либо (2) х принадлежит полю более ранней серии, чем
та, которой принадлежит у. В первом случае мы имеем gQ. QeCP . xQy,
т.е. x(s‘C‘P)y. Во втором случае мы имеем (gQ,F). QPR .xeCQ .у eCR, т.е.
(32,^) • 2РР • • уРР, т.е. x(F'P)y. Следовательно, производящее отноше-
ние суммы всех серий есть s‘C‘PU F'P. Следовательно, мы полагаем
Z‘P=s‘C‘PUF;p Df.
Отношение Z‘P обладает всеми свойствами, которые нам следует ожидать
от суммы серии серий.
Если серия будет результатом сложения серии серий, то необходимо,
чтобы никакие две серии не имели бы общих термов, так как если мы
имеем QRP. xeCQ П CR, то мы будем также иметь xZ‘Px. Следователь-
но, вместо серии мы будем иметь циклы; так как для серии существенно,
чтобы ни один терм не предшествовал самому себе. (То, что кажется нам
серией, в которой имеется повторение, есть всегда результат одно-много-
значной корреляции с серией, в которой нет повторений, так что терм мо-
жет подсчитываться один раз как коррелят одного терма и снова как кор-
релят этого последнего терма.) По этой причине, да и по многим другим,
важно рассматривать отношения между взаимно исключающими отноше-
ниями, т.е. между отношениями, чьи поля не имеют общих термов. Мы
полагаем
Rel2 excl = Р {Q, R еС‘Р. Q/ R. z>QJi .C‘QC}C‘R = Л} Df.
Тогда Rel2 excl дает такую же пользу в реляционной арифметике, что и
Cis2 excl в арифметике кардиналов. Мы имеем
F :ReRel2 excl. s . F f C'PeCls—> 1,
которое аналогично предложению (*84-14)
h : к е Cis2 excl. = . e f к e Cis 1.
В дальнейшем мы обнаружим, что в реляционной арифметике отноше-
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
369
ние F часто появляется там, где е появляется в аналогичных предложениях
арифметики кардиналов.
Аналогом “ sm sm” является отношение двойного ординального подобия.
Это имеет место между двумя отношениями Р и 2, когда они являются
ординально подобными отношениями между ординально подобными отно-
шениями с известными корреляторами, т.е. когда, если Т есть ординаль-
ный коррелятор Р и 2, так что Р=Г’2, то тогда, если X есть элемент
С‘Р, а У — соответствующий элемент С‘2, так что XT У, то мы будем иметь
X smor У и будем в состоянии специфицировать элемент X smor У. Однако
как и в случае кардиналов, так и здесь мы должны оформить наше опре-
деление двойного подобия ординалов таким способом, чтобы минимизиро-
вать использование аксиомы умножения. Мы поэтому принимаем в каче-
стве определения следующее: говорят, что Р и Q обладают двойным орди-
нальным подобием, когда найдется одно-однозначное отношение S, которое
имеет C‘L‘2 своей обратной областью и такое, что P = SpQ. Отношение 5,
которое имеет эти свойства, называется двойным коррелятором Р и 2, т.е.
мы полагаем
Psmor smor <2 = (1 ->• 1)П &‘C‘S*en^ (P = Sf’2) Df-
определение, которое, как мы впоследствии поймем, вполне аналогично
определению Ksm smk в *111. Два отношения обладают двойным подоби-
ем, когда они имеют двойной коррелятор, т.е.
smor smor = PQ {3! Р smor smor Q} Df.
S является двойным коррелятором P и 2, когда S представляет собой кор-
релятор Z‘P и L‘2, a Sf Г С‘2 есть коррелятор Р и Q. Это могло бы быть
принято в качестве определения двойного коррелятора, поскольку эквива-
лентно данному выше определению.
Если мы примем аксиому умножения, то мы сможем доказать, что двой-
ное подобие имеет место между подобными отношениями взаимно исклю-
чающих подобных отношений, т.е. между двумя отношениями взаимно ис-
ключающих отношений Р и 2, которые имеют коррелятор S такой, что
если УеС‘2, то У и CQ всегда подобны. В этом случае S G smor. Та-
ким образом, если мы примем аксиому умножения, то мы имеем, если
Р, Q е Rel2 excl,
Рsmor smor Q. = . 3! Psmor Q П RTsmor.
В том частном случае, в котором поля Р и Q состоят из вполне упорядо-
ченных отношений (т.е. отношений, производящих вполне упорядоченные
серии), эта эквивалентность может быть доказана без применения аксио-
мы умножения, так как два подобных вполне упорядоченных отношения
обладают лишь одним коррелятором, так что затруднения с выбором кор-
реляторов не возникает.
Двойные ординальные корреляторы так же важны при доказательстве
формальных законов арифметики отношений, как и двойные кардиналь-
ные корреляторы в арифметике кардиналов. Построение двойных корре-
ляторов в различных случаях составляет значительную часть арифметики
отношений.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
370
При определении ординального произведения двух реляционных чисел
и экспоненциации мы используем отношение, которое обладает свойства-
ми, аналогичными Это отношение есть PJ,’<2, структура которого
следующая: Пусть z, w есть два терма, находящиеся в отношении Q* затем
образуем два отношения \,z>P и J,w;P. Отношение \,z>P имеет место между
двумя парами x[z и yj,z всякий раз, когда хРу\ поэтому оно упорядочи-
вает пары, чьи референты есть элементы С‘Р, а релятивы —z, в поряд-
ке, подобном Р. Отношения \,vP и J,w’P являются (на основании *150-03)
в точности такими же, как Pj,z и PJ,w. Таким образом, P^Q упорядочивает
такие отношения, как iz’P, в порядке, подобном Q. Таким образом, Pl’Q
подобно 2, а каждый элемент его поля подобен Р. Итак, реляционное чис-
ло PVQ есть Nr‘2, и каждый элемент его поля имеет реляционное число
Nr‘Л Более того, как нетрудно видеть, есть отношение взаимно ис-
ключающих отношений. Следовательно, оно оказывается подходящим для
определения произведения Q и Р, и мы полагаем
QxP = ^P^Q Df.
В следующей главе, после того как мы определим произведение отноше-
ния отношений, мы будем использовать то же самое отношение P\'Q для
определения экспоненциации, полагая
Р ехр Q = Prod‘PJ/2 Df.
Следует сравнить эти два определения с таковыми в *113 и *116.
В силу определения Е, отношение имеет место между термами,
которые либо находятся в одном из отношений вида PJ,z, либо принадлежат
соответственно полям двух отношений PJ,z, PJ,w, где z6w. Поэтому отноше-
ние Е‘Р|’б имеет место между х J, z и у J, w всякий раз, когда х, у е С‘Р. zQw.
Таким образом, если, ради иллюстрации, Р и Q производят финитные се-
рии, так что их поля есть
1р, 2р,..., цр,
1б,2б, ...,v6,
то поле Е‘РХ’2 будет состоять из пар
Ip 1 Ifi, 2/> J, 1q, ..., р,р J, 1Q ;
Ip i 2p J, 2q, ..., рт> J, 2q ;
Ip X vq, 2P J, Vq, ..., p,p J, 2q ;
и их порядок, организованный посредством S‘PJ,;Q, таков, в котором они
выписаны выше. Поэтому данные выше пары в указанном выше порядке
образовывают серию QxP и очевидно, что эта серия имеет v х р, термов.
Когда множители в произведении не нумеруются, а даются как поле
отношения, необходимо новое определение умножения. С этим определени-
ем, обладающим тем преимуществом, что оно применимо к бесконечным
произведениям, мы будем иметь дело в следующей главе.
Principia Mathematica II
160. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
371
*160. Сумма двух отношений
Краткое содержание *160.
В этом параграфе мы вводим определение
P^Q = P(jQ\JC'Py C'Q Df,
которое было объяснено во введении к данной главе. Хотя предложения
этого и других параграфов этой части книги не требуют того, чтобы Р
и Q были такими, которые генерируют серии, но читатель найдет удоб-
ным представлять их таковыми, поскольку важнейшие приложения поня-
тий данной части относятся к сериям. Поэтому мы можем трактовать сум-
му Р и Q как отношение, которое имеет место между х и у, когда либо
х предшествует у в P-серии или х предшествует у в 2-серии, либо х при-
надлежит P-серии, а у принадлежит 2-серии.
Наиболее важные предложения этого параграфа есть:
* 16014. h . C'(P+Q) = СР U C'Q
* 160-21. 1-.Р*Л = Р
* 160-22. h.A^2 = e
* 160-31. k. (P+Q)+R=P+(Q1R)
которое представляет собой закон ассоциативности, и
* 160-4. h . (Р U 2) = (Р*Я) 0 (Q+R)
которое представляет собой закон дистрибутивности для логического
и арифметического сложения;
* 160-44. h:C‘PcCTS .C'QcU'S . . S’(P+Q) = S’P + S’Q
также представляющее разновидность закона дистрибутивности;
* 160-47. h : С‘РП CQ = Л . СР' П CQ' = A.S е Р smor Р'. Т е Q smor Q'. э .
S U Т е (P+Q) smor (P'+Q')
откуда
* 160-48. h : СР П CQ = Л . СР' CiCQ' = Л . Рsmor Р' .Q smor Q'. э .
P±Q smor Р' 4^ 2'
откуда следует, что если Р и 2 взаимно исключающие, то реляционное
число их суммы зависит лишь от реляционных чисел Р и 2;
* 160-5. h : СР П C'Q = Л . э . (Р^2) [СР = Р. (P+Q) [CQ = Q
*160-52. h : СР П C'Q = К .СР CiC'R = К. P+Q = P+R .^.Q = R
*160-01. Р^2 = Р0 20С‘Р?С‘2 Df
*160-1. h . P^Q = P(jQ(JCP'fCQ [(*160-01)]
*160-11. h x (P+Q) y. = :xPy.\/.xQy.\f.xeCP.yeCQ [*160-1]
*160-111. h x(P+Q)y. = : хРу. V . xQy. V . xFR. yFQ [*160-11. *33-51]
*160-12. h : й IQ. э . D‘(P4^2) = C'P U D‘2 [*33-26. *35-85 . *60-1]
*160-13. h : э! P. э CT(P*2) = U C'Q
*160-14. h . C'(P+Q) = C'P U C'Q
Доказательство.
h . *33-262 . *160-1. э h . C'(P+Q) = C'P U C'Q U C'(C'P T C'Q) (1)
h . *35-85-86-88. oh. C'(C'P T C'Q) c C'P U C'Q (2)
h . (1). (2). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
372 отношений
Приведенное выше предложение постоянно используется. Следующие
предложения (*160-15—161) не используются, а приводятся, чтобы пока-
зать, что P$Q обладает такой структурой, которую мы должны ожидать
от суммы.
*16015. F:a!P.z>.^‘(P40=^‘P-C‘e
Доказательство.
F. *1601213 . z> F : а !Р. а !<2. э .^‘(Р+б) = (ёРU D‘0 - (СГР U C‘Q)
[*93101. *33161] =~§‘-C‘Q (1)
I-. * 160-1. z> I-: Q = A. z>. P±Q = P.
[*30-37] z>.^‘(P*0=^‘P
[*33-241] =~S‘P-C‘Q (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*160-151. F: a!<2 • э J‘Cnv‘(/40 =^‘2 - C‘P
*160-16. F:a!P.^‘PnC‘e = A.=>.'^‘(P+0=‘^‘P [*160-15]
*160-161. F : a! • Q П C‘P = A. z> .^‘Cnv‘(PF0 =
*160-2. F. Cnv‘(P4-0 = Q + [*31-15. *35-84]
*160-21. F.P + A = P [*35-88. *25-24]
*160-22. F.A*e=e
*160-3. F . (P4<2) 4R = P 0 Q 0 R 0 C‘P ? ClQ 0 C‘P ? ClR 0 ClQ f C‘R
Доказательство.
F. *160-14-1. э
F.(PK))4R = (P*Q) U R U (C‘P U C‘Q) f C‘R
[*160-1. *35-41-82] = P U Q U C‘P f C'Q U R U C‘P j C‘R 0 C‘Q T C‘R. z> F. Prop
*160-31. F.(PF2HP = Pt(<24P)
Доказательство.
F . *160-14-1. z>
F. P 4- (Q *R) = P U Q U R U C‘P T C‘Q (J ClP ^C‘R(JC'QX ClR (1)
F. (1). *160-3 .oF.Prop
*160-32. P+Q+R = (P+Q)*R Df
Это определение используется просто для того, чтобы избежать скобок.
*160-33. F:PG(2.D.PtRGe^R *160-34. F:RgS .z>.Q*R<zQ + S *160-35. hPcQ.RcS .=>.P*QcR + S *160-4. F.(PU0tR = (P^5)U(24R) [*33-265. *160-1] [*33-265. *160-1] [*160-33-34]
Доказательство.
F . *160-1. => F. (P404R = PU еОЯО C‘(PU Q) ? C‘R
[*33-262 .*23-56] =PURUQURU(С‘РUС‘0ТC‘R
[*35-41-82] = Р 0 R U Q U R U С‘Р Т С‘Я 0 C‘Q ? C‘R
[*160-1] = (Р4Я) U (Q tR). z> F. Prop
*160-401. F . P^(QUR) = (P40 U (P+R)
Два приведенных выше предложения формулируют закон дистрибутив-
ности для логического и арифметического сложения. Три следующих пред-
ложения дают обобщенную форму этого закона, когда замещает Р U Q-,
Principia Mathematica II
160. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
373
эти предложения впоследствии не используются и приводятся ради прису-
щего им собственного интереса.
*160-41. h : а! к. э . s‘k4P = s'+R“l = s'(kfR)
Доказательство.
F.*41-ll.Dl-:.x(j‘4P“k)y. = :(a Р). Рек. x(P + R)y:
[*160-11] = : (а Р): Рек: xPy. V . xRy. хе C'P .yeC'R :
[*10-42] = : (g Р). Р е к. xPy. V . (g Р). Р е к. xRy. V .
(3 Р).Рек.хеС‘Р.уеС‘Р:
[*41-11. *10-35 . *41-45] = : х(s‘k)у. V . а! к. xRy. V . хеCs'X .yeCR (1)
h . (1). э h :: Нр . э х(5‘4Р“к). = : х(5‘к)у. V . xRy. V . xeCs'K .у eCR:
[*160-11] = : x(.s‘k4P)y:: э h . Prop
*160-411. h : а 1 к. э . P4.s‘k = $‘Р4“к [Доказательство, как и в *160-41]
*160-412. Нэ!к.э!ц.э. s‘k45‘p, = 5‘5‘к
Доказательство.
h . *160-411. э h : а • Ц • э • s‘4 s‘p, = s‘(s‘к) 4“ц (1)
h . *160-41. э h : а - к . э . (5‘к)4“ц = 5“к4“ц (2)
h . (1). (2). э И : 3! к. 3! ц. э . s‘k4s‘p = 5‘5“к4“ц
[*42-12] = s‘s‘4“p,: э h . Prop
Следующие предложения подводят к *160-44, которое часто использу-
ется.
*160-42. F.(P42)|S =P|S U2|S йС‘РТ5“С‘2
Доказательство.
h. *160-1. oh. (Р40 |5=Р|5 йб|5 й(С‘РТС‘0|5
[*37-8] =Р|5ие|5йСТ?5“С‘е.э1-.Ргор
*160-421. н.5|(р*е)=$|ро$|ей$“с‘ртс‘е
*160-43. I-. S > (P1Q) = S ’Р 0 S ’’Q и S “ёР1S “С‘ Q
Доказательство.
I-. *150-1. *160-421. э
F.5’(P40 =(S |PUS |eOS“C‘P?C‘<2)|S
[*150-1. *37-8] = S’P 0 S’Q U 5 “C‘P ? S “C‘Q . э F. Prop
*160-44. HCPcO'S .C'QcCTS . S’ (P+Q) = S'’ (P+Q) = S’P+S’Q
Доказательство.
I-. *160-43 . *150-22 . э
F : Hp. z>. № (Pt<2) = S ’P 0 S ’Q 0 (C‘S ’P) ? (C‘S ’Q)
[*1601] =S;P4.S'’£?: z> I-. Prop
*160-45. HS [(C‘PzUC‘e')e 1->1.5 f C‘P'ePsmor P'.
S f C‘Q'eQsmof Q'. . S fC‘(P' + Q')e(P+Q) smor (P'^Q')
Доказательство.
F. *151-22. => I-: Hp. =>. W a Q‘S .C‘Q'a(TS .P^S'P' .Q^S'Q'. (1)
[*160-44] o.P*e = S;(P'*e') (2)
F . (1). *160-14. z> F : Hp. э. C‘(P' * Q') c (3)
F.*160-14. z>F:Hp.3.S [C‘(P'^2')el^l (4)
F . (2). (3). (4). *151-22 . z> F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
374
*160-451. F:S }С'Р' ePsmorP' .S \ C‘Q' eQsmor Q'. S"(C‘P' - C‘Q')C\C‘Q = А.
э.5 }C'(P'4-Q’)e(P+Q) smor (P'tQ')
Доказательство.
I-. *151-22 . *150-22. э I-: Hp. z>. C'Q = 5 "C'Q'.
[*71-381. *37-421] э. S "(C'P' - C'Q') П 5 "C'Q' = A.
[*74-823] э. S [ (C'P' U C‘(2') e 1 -> 1 (1)
F. (1). *160-45 .oh. Prop
*160-452. h$ [C'P'ePsmorP'.S (C'Q'eQsmor Q' .C'P C\C'Q = A.z>.
S }C'(P'*Q')e(P+Q) smor (P' + Q')
Доказательство.
I-. *151-22. *150-22.эF:Hp.z>.C'P = 5"C'P' .C'Q = S"C‘Q’.
[Hp] z>.S"C'P' C\S"C'Q' = A.
[*74-833] =>. S [ C'(P' 4 <2') e 1 -> 1 (1)
F . (1). *160-45. z> F . Prop
*160-46. F: C'P = Q‘5 . C'Q = Q‘T. C'P П C'Q = A. =>.
(S ОТ)!(Р^0 = 5;Р4Ге
Доказательство.
F . *160-44. э F : Hp. э. (5 U T) ’ (P"F0 = (5 0 Г)’Р4"(5 U T) ;<2
[*150-32] = {(5 0 T) [ C'P} 4>*{(S 0 T) [ C'Q} 'Q
[*35-644. Hp] = (5 [ C'P) ’P1(T [ C'Q) >Q
[*150-32] = S’P + T'Q: э F . Prop
*160-47. F: C‘P П C‘(2 = A. C‘P'Cl C‘<2' = A. S ePsmofP'. Teg smor 6' .z>.
S(JTe(P + Q) smor (Р'4-Q’)
Доказательство.
F. *151-11-131. э F : Hp. z>. D‘5 = C'P. D'T = C'Q. Q‘5 = C'P'.
ат = с‘2'. (1)
[Hp] o.D‘SnD‘T = A.a‘Sna‘T = A.
[*151-11. *71-242] э.5иТе1^1 (2)
F . (1). *160-14. z> F : Hp. =>. C'(P' * Q ') = Q‘5 U d'T
[*33-261] = D‘(5 U T) (3)
F . *160-46 . *151-11. => F: Hp. z>. P 4- Q = (5 и T) 5 (P' 4 Q') (4)
F . (2). (3). (4). *151-11. э F. Prop
*160-48. F : C'P Л C'Q = A. C'P' Л C'Q' - A. Psmor P' .Qsmor Q’. э.
PtesmorP'^e' [*160-47. *151-12]
*160-5. F:C‘PCiC‘<2 = A.=>.(P40 }C'P = P .(P + Q) }C'Q = Q
Доказательство.
F . *160-1. *36-23. z>
F • (P^Q) t C'P = P [ C'P U (C'P T C'Q) t C'P 0 Q [ C'P
[*36-29-33] =PU{(C‘PTC‘2)n(C‘PTC‘P)}0etC‘P (1)
F. *36-31. =>F:Hp. =>. Q [C‘P = A (2)
F. *35-834-88. z> F: Hp. =>. {(C‘P| C'Q) Л (C'P^C'P)} = A (3)
F.(l).(2).(3).=>F:Hp.3.(P442HC‘P = P (4)
Similarly F:Hp.o.(P^0[C‘e=2 (5)
F . (4). (5). z> F . Prop
Principia Mathematica II
160. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
375
*160-51. I-: С'Р П C'Q = Л. э. (Р402 = Р2 U Q2 0 DT ? C'Q U С'Р ? (I‘Q
Доказательство.
I-. *34-73. э F: Нр. z>. (Р402 = Р2 0 g2 (1)
I-. *35-895. э I-: Нр. z>. (СТ f C'Q)2 = Л (2)
F*34-62. z> F. (P±Q )2 = (P 0 02 0 (CT T C‘02
0 (P 0 Q) | (CT f C‘0 U (CT ? C‘01 (P U 0
[(1). (2)] =P2Oe2U(PU0|(CTTC‘0U(CTfC‘0|(PO0 (3)
F.*37-81. z>F:Hp.z>.(PU0|(C‘PTC‘0 = DT?C‘<2 (4)
F.*37-8. z>F:Hp.z>.(CT?C‘0|(PU0 = CT?a‘<2 (5)
F . (3). (4). (5). z> F. Prop
Приведенное выше предложение полезно в доказательстве того, что
если С'Р О C'Q = Л, то P4-Q транзитивно, когда Р и Q транзитивны
(ср. *201-4).
*160-52. \--.C‘PC\C'Q = K.C'PC\C‘R = K.P^Q = P^R.z>.Q = R
Доказательство.
F.*160-14.=>F:Hp.=>.(P40 Ц-СТ) = (Р40 [C'Q.
(P+Q) t(-CT) = (P4R) [СТ.
[*160-5] э.(Р4 0 [(-СТ) = <2.(P4R) [(-С‘Р)=Р.
[Нр] э. Q = R: z> F . Prop
Приведенное выше предложение используется при оперировании с се-
рией сегментов серии (*213-561).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
376
*161. Добавление терма к отношению
Краткое содержание *161.
Добавление терма производится двумя способами в зависимости от то-
го, производится ли оно к началу или концу поля рассматриваемого от-
ношения. Если мы добавляем сначала х, а затем у к концу, то результат
будет таким же, как если бы мы добавили xj,y (*161-22); если к началу, то
он такой же, как если бы мы добавили yj,x (*161-221). Все предложения
настоящего параграфа очевидны и не представляют трудностей никакого
рода. Как было объяснено во введении к этой главе, мы полагаем
P-hx = PUC‘PTi‘x Df,
%4-P = i‘xTC‘PUP Df.
Большинство предложений этого параграфа требует гипотезы g !Р, так как
если Р = Л, то Р 4» х = х ч- Р = Л (*161-2-201). Это связано с тем обстоятель-
ством, что нет ординального числа 1. Кроме уже упоминавшихся предложе-
ний, главные предложения этого параграфа есть следующие (мы опускаем
предложения о хч-Р, когда они являются просто аналогами предложений
о Р-нх):
*161-12. h . х ч- Р = Cnv‘(P -н х)
*161-14. h : э !Р. э . С‘(Р -н х) = ёРU i‘x = С‘(х ч- Р)
*161-15. h : д!Р. х~еС‘Р. э .
~§\Р-&х) =Т1‘Р .7l‘Cnv‘(P-H х) = t‘x. В‘(хч-Р) = х
*161-211. h.x4-(yJ,z) = xJ,yUxJ,zUyJ,z = (xJ,y)-F»z
*161-31. h : Р smor Q. х ~ е С'Р .y~eC‘Q.^ .
Р 4» х smor Q +• у. х 4- Р smor у 4- Q
*161-4. НС‘2э(Г$ .xed‘5.5 el -> Cis. э . (Q-н х) = ^<2-нS‘х
*161-01. Р-н х = Pi) С'Р| upi‘x Df
*161-02. x4-P=i‘x?C‘PUP Df
*161-1. F.P-Hx = PUC‘PTi‘x [(*161-01)]
*161-101. I-. x 4- P = Cx T C'P U P [(*161-02)]
*161-11. I- :.y (P+* x)z. = -yPz. V .yeC'P .z = x [*161-1]
*161-111. I-у (x 4- P) z • =: у = x. z e С'Р. V. yPz [*161-101 ]
*161-12. F.x4-P = Cnv‘(P-Hx) [*161-1-101. *35-84. *33-22]
*161-13. I-. D‘(P -H x) = C‘P. Q‘(x 4-P) = C'P
Доказательство.
I-. *161-1. э I-. D‘(P-H x) = D‘P U D‘(C‘P T i‘x)
[*35-85] = D‘PuC‘P
[*33-161] =C‘P (1)
Similarly I-. d‘(x4-P) = C'P (2)
I-. (1). (2). э I-. Prop
*161-131. I-: g !P. z>. СГ(Р-н x) = Q‘P U i‘x. D‘(x 4- P) = D'P U i‘x
[*35-86. *161-1]
*161-14. F:a!P.z>.C‘(P-Hx) = C‘PUi‘x = C‘(x4-P) [*161-13-131]
Principia Mathematica II
*161. ДОБАВЛЕНИЕ ТЕРМА К ОТНОШЕНИЮ 377
Гипотеза д!Р необходима в этом предложении, поскольку без нее мы
имеем Р-нх = А.
*161141. h : g!P. э .ll‘(P-h х) =11‘Р - Гх .ll‘Cnv‘(P-H х) = Гх - С'Р
[*16113-131. *93-101]
*16115. h : 3 !Р. х ~ 6 С‘Р. э .
~$‘(Р 4» х) = 1I‘P .ll‘Cnv‘(P 4» х) = Гх. Ь‘(х ч- Р) = X [*161-141]
*161-16. h : х~ еС‘Р. э . (Р-н х) [ёР= (Р-нх) [(-Гх) = Р [*161-1]
Приведенное выше предложение используется в теории связных отно-
шений (*202-412).
*161-161. F:x~eC‘P.z>.(x-H-P) [С?=(х + Р) [(-i‘x) = P
Два следующих предложения часто используются.
*161-2. F.A-Hx = A [*35-75-82 . *161-1]
*161-201. F.x-H-A = A
*161-21. F.(xJ,y)-HzsxlyUxXz|jyJ,z
Доказательство.
F . *161-1. *55-15 . э F . (х 4 у) -н z = х J. у U (i‘x U i‘y) f i‘z
[*35-82-41. *55-1] = xXyUxJ.zUyJ.z.oF. Prop
Заметим, что xXyUxizOyJ.z является отношением, которое упорядо-
чивает х, у, z в выписанном порядке.
*161-211. F.xH-(yJ,z) = iyOxJ.zUyJ.z = (x4y)-Hz
[Доказательство, как и в *161-21]
*161-212. Р-нх-ну = (Р-нх)-Ну Df
*161-213. х-ч-у-н-Р = хн-(ун-Р) Df
Эти определения служат просто для того, чтобы избежать скобок.
*161-22. 1-:д!Р.э.(Р-нх)-ну = Р4(|у)
Доказательство.
F . *161-14-1. z> F:Нр.z>.(P-Hx)-Hy = PUС‘Рf i‘xU(C'PUi‘x)f i‘y
[*35-82-41] = P 0 C‘P T i‘x U C‘P T i‘y 0 i‘x ? i‘y
[*35-82-412] - P 0 C‘P ? (i‘x U i‘y) и i‘x T v‘y
[*55-1-15] =PUC‘PTC‘(xJ.y)ux4y
[*160-1] = P4(xjy): э F . Prop
*161-221. F:g!P.D.xH-(y4-P) = (xJ,y)4P
*161-23. F :g!<2. э. (P40-ну = P4(<2-Hy)
Доказательство.
F. *161-14-1. *160-1. z> F: Hp. э.
P* (Q * У) = P 0 Q 0 C'Q T i‘y U C'P ? (C‘<2 U i‘y)
[*35-82-412] = P 0 Q 0 C'P T C'Q U C'P ? i‘y 0 C'Q T i‘y
[*160-1] =P4eOC‘PTi‘yUC‘6T i‘y
[*35-82-41. *160-14] = Pt Q0 C‘(P40 T i‘y
[*161-1] = (P4 0-Hу: z> F. Prop
*161-231. F:a!P.=>.xH-(P40 = (x-H-P)te
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
378
*161-232. На!Р.а!е.э.Р*(х-н-<2) = (Р-»хИе
Доказательство.
I-. *161-14-101. *160-1. э F : Нр. э.
Р+ (х я- 0 = Р 0 i'x f C'Q U Q U C'P Т (i'x U C'Q)
[*35-82-412] = Р U C'P ? i‘x 0 Q 0 C'P ? C'Q U i‘x f C'Q
[*161-1-14. *35-82-41] = (Р-н x) 0 Q0 C‘(P + x) ? C'Q
[*160-1] = (P-H x) + Q: э I-. Prop
*161-24. I-. хн-(Р-ну) = (х-н-Р)-ну
Доказательство.
F. *161-101-14. z>I- :Hp.z>.
x я- (P -H y) = i'x T (C'P U i‘y) U P 0 C'P f t'y
[*35-82-412] = i'x T C'P 0 P U i‘x T i‘y U C'P T i‘y
[*35-82-41. *161-101-14] = (x -H- P) U C‘(x я- P) ? i‘y
[*161-1] = (x + P) + y (1)
F. *161-2-201. эF : P = A. э. xч-(Р-ну) = A. (x «-Р)-ну = A (2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*161-25. F:a!P.a!e.D.(P-Hx)t(yH-0 = P4(xb)^(2
Доказательство.
F. *161-14. *160-1. z>
F : Hp. z>. (P -H x) + (у «Н Q) = (P -H x) 0 (у 4- Q) 0 (C'P U i‘x) T (C'Q U i‘y)
[*161-1-101]
[*35-82-41-412]
[*55-15-1. *160-14-1]
[*160-1. (*160-32)]
= P 0 C'P T i'x 0 i‘y f C'Q 0 Q
0 (C'P U i'x) ? (C'Q U i‘y)
= P 0 C'P T (i'x U i‘y) U i'x T i‘y 0 Q
u(C‘Pui‘xui‘y)TC‘6
= {P*(x!y)}UC‘{P*(xXy)}TC‘e
= P4L(xJ,y)4L<2:oF. Prop
*161-26. F . x 4- {у 4- (z 4- w)[ = (x X y) + (z X w) = {(x | y) -H z] -H w
= {x 4- (у X z)) -H w
Доказательство.
F . *161-221. *55-134. э F . x {y # (z X w)} = (x (. y) 4 (z J. w)
[*161-22 . *55-134] = {(x X у) -H z) -H w
[*161-211] = {x -H- (у X z)J -H w. z> F. Prop
Следующие предложения подводят к *161-33.
*161-3. F : g !Q. 5 е Р smor Q. х ~ е C'P .y~eC'Q.z>.
S UxXye(P-Hx) smor (Q-ну)
Доказательство.
F. *151-11-131. => F: Нр. э . 5 е 1 1. C'Q = d'S . Р = S’Q. C'P = D'S (1)
F.(l).*55-15. э F : Hp. э . D‘5 П D'(xXy) = A. Q‘5 U Q'(xXy) = A • (2)
[*72-182. *71-242] o.5UxXyel->l (3)
F . *55-15. *151-11. э F : Hp . z>. Q‘(5 UxXy) = C'Q U i‘y
[*161-14] =C'(Q + y) (4)
F. (1). (2). *34-301. =>F:Hp.D.(xXy)l2 = A.ei(yXx) = A.
(xxy)i(C‘eTi»=A.(C‘eTi»i5=A.
[*34-25-26] э. (5 0 x X у) I (Q U C'Q f i‘y) = S \(QCC'Q]Cy)‘
(Q(JC'Q^Cy)\(ylx(jS) = Q\S(J(C‘QU‘y)\(ylx)
[*35-89.*55-1] =Q\S (JC'Q^i'x (5)
Principia Mathematica II
♦ 161. ДОБАВЛЕНИЕ ТЕРМА К ОТНОШЕНИЮ
379
I-. (5). *150-1. з F : Нр. з. (S U х 1 у) 5 (Q 0 C'Q Т i‘y) = S | {Q | § U C‘Q ? i‘x}
[*150-1] = S’QOS |C‘efi‘x
[*150-1] = S’QOS \C'Q^i'x
[*37-81. (1). *150-23] = PUC‘PTi‘x (6)
F. (6). *161-1.зI-: Hp. э.(5 UxXy);(2-Hy) = P-hx (7)
F . (3). (4). (7). *151-11. з F . Prop
*161-301. F : [j!<2. S e P smor Q. x~ eC'P .y ~ eC'Q. з .
xJ.yU5e(x4P) smor (уя-Q)
Доказательство.
F. *161-3-301. *151-12.3
F : Hp. a!<2. з. P4 xsmor Q-t*y. x4Psmory я- Q (1)
F . *151-32 . *161-2-201. з
F: Hp .2 = А.з.Р4х = А.2*У = А.х4Р = А.у42 = А.
[*153-101] з. P 4 x smor 2 4 у. x 4 P smor у 4 2 (2)
F . (1). (2). з F . Prop
*161-32. F : a!<2 • x~ eC'P .y ~eC'Q .S e(P4 x) smor (Q + y). з.
S [ (- i‘y) 6 P smor Q. xSy
Доказательство.
F . *151-5 . *161-15 . з F : Hp. з. xSy (1)
F . (1). *150-13 F :. Hp. з : и {5 [ (- i‘y) ’Q} v
в . (з z, w). z(Q + y)w. и # x. v/x. uSz. vSw.
[*151-11] s.h/x.v/x.m(P4x)v.
[*161-11] =. uPv (2)
F . *35-64. з F : Hp. з . Q‘5 [ (- i‘y) = C'(Q + y) - i‘y
[*161-14-2] = C‘Q (3)
F.(l).(2).(3).3F.Prop
*161-321. F : з IQ. x ~ e C‘P. у ~ e C'Q. S e (x 4P) smor (y 4 Q). з.
5 f (- i‘y) e P smor Q. xSy
*161-33. F:.x~eC‘P .y~eC‘Q.z>:
P smor Q. :=. (P 4 x) smor (Q 4 y). = . (x 4 P) smor (y 4 Q)
[♦161-31-32-321-2-201. *153-101]
Приведенное выше предложение оправдывает добавление или вычита-
ние 1 в арифметике ординалов.
Следующее предложение (*161-4) интенсивно используется.
*161-4. F:C‘2cCP5 . хе П‘5 . S е 1 Cis. з. £5 (2-4х) = S’Q+ S‘x
Доказательство.
F . *161-1. *150-3 з F . 5! (Q 4 х) = S> OS’(C'Q f i‘x)
[*150-73] =S’Q0(S"C'QW (5“i‘x) (1)
F . (1). *150-22 . *53-31. з F : Hp. з . S ? (Q 4 x) = S ’Q 0 (C'S’Q) ? (i‘S ‘x)
[*161-1] =5’045‘x:3F.Prop
*161-41. F:C‘2=>Q‘5 .xeQ‘5.5el^Cls.3.5!(x42) = 5‘x45;2
*161-42. F . |y! (24 x) = Xy’24 (x|y) [*161-4. *55-21. *72-184]
*161-43. F.Xy;(x42) = (xXy)4y?2
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
380 отношений
*162. Сумма отношений одного поля
Краткое содержание *162.
Та форма суммирования, которая была определена в *160, не может
быть распространена за пределы конечного числа слагаемых, поскольку
она включает явное упоминание о всех слагаемых. В настоящем парагра-
фе мы будем иметь дело с формой суммирования, не подверженной это-
му ограничению. Будет отмечено, что поскольку реляционное суммирова-
ние не перестановочно, то мы не можем определить сумму класса отноше-
ний, так как это не детерминировало бы порядок, в котором производится
суммирование. Наши отношения должны быть даны как поле некоторого
отношения, которое их упорядочивает; поэтому сумма появляется не как
сумма класса, а как сумма отношения, именно отношения, чье поле пред-
ставляет собой суммируемые отношения. В случае двух отношений Q и R
сумма Q | R, определенная так, как в настоящем параграфе, будет равна
Q^R'i так же для трех отношений сумма Q | К U Q X 5 UP|5 будет равна
Q 4^Р 4^5, и т.д. для любого конечного числа слагаемых.
Как было объяснено во введении к этой главе, если Р есть отношение
между отношениями, то мы полагаем
S‘P = 5‘C‘PUF?P Df.
Удобно полагать, что Р сериально и что каждый элемент С'Р также сери-
ал ен. Тогда Е‘Р имеет место между х и у, если либо (1) найдется серия
в поле Р, в которой х предшествует у, либо (2) х принадлежит серии, ко-
торая более ранняя в P-серии, чем серия, которой принадлежит у. Далее
следуют главные предложения этого параграфа:
*162 22 23. I-. C‘S‘P = s‘C“C‘P = C‘s‘C‘P = F“C'P = Р^‘Р
*162-26. КЕ(Рй<2) = ГРйЕ‘<2
*1623. 1-.Е‘(!2|Я) = £ИЯ
*162-31. =
*162-34. h .E‘S;P = E‘E‘P [Закон ассоциативности. Ср. *42-1.]
*162-35. h : C‘E‘<2 с (ГР. э . S‘Pt!G = R’ Z'Q
Это аналог *40-38. (Ср. замечание к *162-35 ниже.)
*162-4. h.a‘A = A
*162-42. h : а! S‘P. = . а! s‘C‘P. = . а! С'Р - i‘A
*162-43. 1-:а!Р.э.Е‘(Р-нЯ) = Е‘Р*Я
Необходимо отметить, что ординальные аналоги предложений о клас-
сах классов часто привлекают подстановку Е (не s) вместо 5. Примеры
предоставляются предложениями *162-34-35, приведенными выше.
*162-01. S‘P = s‘C‘PUF;p Df
*162-1. h.S‘P = s‘C‘PUF;p [(*162-01)]
*162-11. h:.x(E‘P)y.s:x(s‘C‘P)y. V.x(F’P)y [*162-1]
*162-12. h x (E‘P) у. =: (a Q). Q e C'P. xQy. V . (a Q, R). xFQ. yFR. QPR
[*162-1. *41-11. *150-11]
Principia Mathematica II
»162. СУММА ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
381
*16213. F:.x(E‘P)y. = :(g Q). QeC'P. xQy.
V .(&Q,R).xeC‘Q.yeC‘R. QPR [*162 12 . *33-51]
*162-14. I-x (ГР)у. =: (g 0. QFR. xQy. V . (g Q, R). xFQ. yFR. QPR
[*161-12. *33-51]
*162-2. F . Cnv‘E‘P = E‘Cnv > P
Доказательство.
I-. *162-13. z> I-:. x(E‘Cnv ’ P)y. s : (g Q) .QeC'Cnv ’P.xQy.
V.(g e,P).e(Cnv;P)P.xeC‘e.yeC‘P:
[*150-22-41] =:(g Q). QeCnv“C‘P .xQy .^
V . (a Q,R). QPR. xeC'Q .yeC'R:
[*37-64. *33-22] = : (g Q) Q e C'P. yQz. V . (g Q, R). RPQ .xeC'Q.eC'R:
[*162-13] = :y(E‘P)x:. z> F . Prop
*162-21. I- D‘E‘P = i‘D“C‘P U i‘C“D‘(P [ - i‘A)
Доказательство.
F.*162-13 . э I-xe D‘E‘P. =: (g Q, y). Q e C'P. xQy.
V.(g Q,R,y) .QPR .xeC'Q .yeC'Rz
[*33-13-24] a: (g Q). eC'P. xeD'Q. V . (g Q,R). QPR . xeC'Q.&R-.
[*40-4. *35-101] = : xe s'D"C'P. V . xe s‘C“D‘(P [ - i‘A):. => h . Prop
*162-211. F . G‘E‘P = s'd"C'P U s‘C“G‘(- i‘A) 1 P
*162-212. F : A ~ ed'P. э . D‘E‘P = s'C"D'P U s'D'^'P
Доказательство.
F . *162-21. z> F : Hp. z>. D‘E‘P = s‘D"C'P U s‘C"D'P
[*40-31. *93-12] = s‘D“D‘P U s'D“~S'P U s'C"D‘P
[*40-57] = s'D'^'P U s'C"D'P: э I-. Prop
*162-213. I-: A ~ e D'P. э . CTE‘P = s'C"d'P U s'D'^'P
Приведенное выше предложение используется в *163-22.
Два следующих предложения весьма часто используются.
*162-22. .C"L‘P = s'C“C'P
Доказательство.
F. *162-21-211 .*40-57. э
Н. C"L'P=s‘C“C'P U s'C“D‘(P f - i‘A) U s‘C“G‘(- i‘A) 1 Р
[*40-161]=s‘C“C‘P. э I-. Prop
*162-23. h.C‘S‘P = C‘i‘C‘P = F“C‘P = P3‘P [*162-22. *42-2]
*162-26. h.S‘(PU0 = L‘PUS‘(2
Доказательство.
I-. *162-1. э h . S‘(P0 Q) s'C'(PDQ)DFi(PU Q)
[*33-262 . *41-171. *150-3] = s'C'P 0 s'C'Q U F'P U F'Q
[*162-1] =E‘PuZ‘<2.z>|-.Prop
*162-27. h.S‘5;(Pue) = E‘5;PUS‘№(2 [*162-26. *150-3]
*162-3. h.S‘(0|P) = 2 + P
Доказательство.
I-. *160-1э F. S‘((21P) = s'C'(Q | P) U F! {QIR)
[*55-15. *150-7] = s'(i'Q U CR) (J~f'Q
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
382 отношений
[*53 13. *33-5]= Q 0 R U C‘Q ? C‘R
[*1601] = 24P.z>F.Prop
Это предложение устанавливает связь между двумя видами арифмети-
ческого сложения отношений.
*162-31. = +
Доказательство.
I-. *160-1. э I-. 0 Z‘R О С‘Е‘(2 Т С‘ГЯ
[*162-123] = i‘C‘6 U F’Q 0 s‘C‘R 0 F’R J (F“C‘0 T (F“C‘P)
[*150-73] = s‘C‘e U s‘C‘P 0 F'Q 0 F>R U F’ (C‘Q f C‘R)
[*41-171. *160-14. *150-3. *160-1] = s‘C‘(e4/?) 0 F’ (Q±R)
[*162-1] =L‘(G + F) •=>!-. Prop
Следующие предложения подводят к *162-34.
*162-32. F . S‘s‘k = s‘S“k
Доказательство.
I-. *41-6. *162-1. *150-1. э F. s‘S“k = s‘s“C“kU j‘Ff“K
[*42-12 . *150-16] = Й‘С“кОРГк
[*41-45] = s‘C‘s‘kUF>5‘k
[*162-1] = E‘i‘K. э F . Prop
*162-33. F . E‘E‘P = s‘C‘j‘C‘F U Fi i‘C‘P 0 F2>P
Доказательство.
F . *162-1. э F . E‘S‘P = s‘C‘E‘P U Fi E‘P
[*162-23] = 5‘C‘i‘C‘P U Fi (s‘C‘P U F’P)
[*150-3-13] = s‘C‘j‘C‘P 0 F’ s‘C‘P U F2’P. => F. Prop
*162-331. F . F|£ = F|s|C = F2
Доказательство.
F.*71-7.z>F:x(F|S)P. = .xF(S‘P).
[*33-51] ee.xeCTP.
[*162-23] =. xF2P (1)
F . *71-7. э F : x (F | j | С) P. = . xF (s'C'P).
[*33-51] s.xeC'sVP
[*42-2] =. xF2P (2)
F. (1). (2). z> F. Prop
*162-332. F . E‘E ;p = s‘C‘j‘C‘P U Fi s‘C‘P 0 F2’P
Доказательство.
F . *162-1. э F . SPS iP = s‘C‘2 ’P U Fi S iP
[*150-22-13] =s‘S“C‘PU(F|S)iP
[*162-32-331] =S‘j‘C‘PUF2iP
[*162-1] = s‘C‘s‘C‘P U Fi s‘C‘P U F2iP. э F . Prop
*162-34. F . iP = S‘S‘P [*162-33-332]
Это ассоциативный закон для арифметической суммы отношений.
Следующие предложения подводят к *162-35.
*162-341. \-:.ClQcd‘R.z>:x(F\Rt)Q. = .x(R\F)Q
Доказательство.
F . *71-7. *150-1. z> F : x(F |Pf) Q = xF (R>Q).
[*33-51] s.xeC'PiQ (1)
F . (1). *150-22. э F Hp. =>: x(F | Pf) Q = .xeR“C'Q.
Principia Mathematica II
162. СУММА ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
383
[*33-5] =.xeR^'Q.
[*37-3. *32-18] =. х (R | F) Qэ Н. Prop
*162-342. Н C‘s‘X э (ГЛ. z>. (F | FtH = (Я IFH X
Доказательство.
h . *4113 .oh:. Нр . э : Qe\ . э .C'Q a Q.'R :
[*162-341] o:Gek.x(F|/?t)G. = . G^X. x(F | F) G :• => h . Prop
*162-343. h : СТР c d'R . э . F’Rf'P = R'F’P
Доказательство.
h . *162-23 . э h : Hp . э . C's'C'P c CTF .
[*162-342] э. (F|Ft) [(C'P) >P = (R\F)\ (C'P) .
[*150-32] z>. (F | Ft) ;P = (F | F) ’P.
[*150-13] э . F’Ft’P = R’F’P: э h . Prop
*162-35. h : CTQ c CTF . э . E‘Ft’G = & ^'Q
Доказательство.
h . *162-1. *150-22 .oh. E‘Ft’G = s'RV'C'Q U F’RV’Q
[*150-16] = R> s'C'QU F’RpQ (1)
h.(1). *162-343 . э h : Hp . э . E‘Ft’G = s'C'Q U RWQ
[*150-3 . *162-1] = F’ E‘G: э h . Prop
Это предложение является важным, поскольку оно позволяет нам вы-
вести (с подходящей гипотезой), что если R'M всегда сходно с Л/, когда
MeC'Q, то арифметическая сумма всех таких отношений, как R’M, сходна
с E‘G, будучи в действительности RTQ. Другими словами, если всякий
раз, когда MeC'Q,R [СМ есть коррелятор R'M и Л/, то F fX'Q есть кор-
релятор E‘Ft’G и ^‘G- Это предложение аналогично в своем применении
предложению
s‘F€“k = F“5‘k,
которое представляет собой *40-38. Вообще, при получении реляционных
аналогов кардинальных предложений Р“к должно заменяться на F’G, Fe —
на Ft, а 5 —на Е. Когда эти подстановки совершены в 5‘Fc“k = F“5‘k, по-
лучается *162-35, исключая его гипотезу.
Если мы трактуем F’G как род произведения R и Q, *162-35 становится
законом дистрибутивности, так как оно утверждает, что если мы умножаем
каждый элемент CQ на F, а затем суммируем полученные произведения,
то мы получаем точно такое же отношение, как если бы мы сперва про-
суммировали CQ, а затем умножили на F. Следующее приложение *162-35
к суммированию двух отношений делает более очевидным его дистрибутив-
ный характер.
*162-36. h : C'P U CQ с СГР . э . Р’Р *P;G = F5 (Р * Q)
Доказательство.
F . *162-3 . э F . R’P ГR’Q = Ъ'{(КР) 1 (F’G)}
[*150-1-71] =E‘Ft;(PIG) (1)
F. (1). *162-35 . э h : Hp . э . F’P 4х F’G = F; E‘(P 1 G)
[*162-3] = F’ (P 4- G): => F . Prop
Это предложение может быть распространено на любое конечное число
слагаемых.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
384
*162-37. F:s!X.s!p.z>.S(k'|'p) = i'X + j'p
Доказательство.
F . *35-85-86. э F : Нр . э. C‘(k f р) = k и р.
[*162-1] z>. S‘(X, Т р) = s‘(X и р) U F> (к Т р)
[*41-171. *150-73] = s'k 0 s‘p U (F“X) ? (F“p)
[*41-45 . *40-56] = i‘X. 0 s‘p U (C‘s‘X) T (C‘i‘p)
[*160-1] = s‘X4- j‘p: z> F. Prop
*162-371. F: s! a. э. E‘(a T i‘G) = s'a 4 Q [*162-37. *53-04]
*162-372. F : в! p. э. Y‘(i'P)
*162-4. F.E‘A = A
Доказательство.
F. *33-241. *41-21. dF.s‘C‘A = A (1)
F. *150-42. oF.F»A = A (2)
F . (1). (2). *162-1. э F . Prop
*162-41. F.E‘(A|A) = A
Доказательство.
F . *162-3 . эF .E‘(A J, A) = A + A
[*160-21] =A.oF.Prop
*162-42. F : з! L‘P. = . з! s'C'P. = . s! C'P - i‘A
Доказательство.
F. *162-23 . *33-24. э F : 3! E‘P. = . 3! s'C'P.
[*41-26] 5.3!C‘P-i‘A
*162-43. F:3!P.2>.Z‘(P-bP) = L‘P4P
Доказательство.
F. *162-26. *161-1. =>F.E‘(P-HP) = S‘PuE‘(C‘Pf i‘P) (1)
F . *162-371. *33-24. э F : з !P. э. E‘(C‘P T i‘P) = s'C'P IR (2)
F . (1). (2). *160-1. э
F : Hp. z>. E‘(P + R) = S‘P 0 s'C'P U R 0 (C's'C'P) ? C'R
[*162-1-23] =S‘PUPU(C‘S‘P)TC‘P
[*160-1] = 2?P4P: э F . Prop
*162-431. F : 3ЧР. z>. S‘(P Я-P) =P4lE‘P [Доказательство, как в *162-43]
Заметим, что в *162-43-431 Р и R должны быть различных типов, фак-
тически R должно быть того типа, к которому принадлежат элементы С'Р.
*162-43-431 часто оказываются полезными.
*162-44. F.S4P-# А) = Е‘(Ая-Р) = Е‘Р
Доказательство.
F . *162-43. э F : з !Р. э . S‘(P -н А) = Е‘Р 4 А
[*160-21] =S‘P (1)
F . *33-241. *35-88. э F : Р = А. э. С'Р Т i‘A = А.
[*162-4] э.Е‘(ёР?i‘A) = А.
[*25-24] 3.S‘P = S‘PUS‘(C‘PTi‘A)
[*162-26] =S‘(PUC‘P?i‘A)
[*161-1] =S‘(P-i>A) (2)
F.(1).(2).=>F.E‘(P-#A) = Z‘P (3)
Similarly F . Б‘(А я- P) = S‘P (4)
Principia Mathematica II
162. СУММА ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
385
F. (3). (4). э F. Prop
*16245. h:a!P.E‘P = A. = .P = Aj,A
Доказательство.
I-. *162-42 . э h : S‘P = А. =. C'P с i‘A.
[*33-16] =.D‘Pci‘A.a‘Pci‘A (1)
F.*33-24. =>l-:a!P. = .a!D‘P.a!a‘P (2)
F.(l). (2). *51-4.3
l-:a!P.S‘P = A. = .D‘P=i‘A.(rP = i‘A.
[*55-16] ^.Р = А|А:э1-. Prop
Приведенное выше предложение используется в *174-162.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
386
*163. Отношения взаимно исключающих отношений
Краткое содержание *163.
В этом параграфе мы должны определить взаимно исключающие отно-
шения и дать некоторые их свойства. Взаимно исключающие отношения
во многом играют ту же самую роль в арифметике отношений, что и вза-
имно исключающие классы в арифметике кардиналов. Prima facie 73 име-
ются различные способы определить их. Мы могли бы определить Р как
отношение взаимно исключающих отношений, когда
QPR . Q/R .z>Q R . QQR = N,
или когда
или когда
Q, R е СР. Q / 7?. эе, R . D‘2 П D‘fl = A. СТ 2 П СГЯ = A,
или несколькими иными способами. Однако в действительности наиболее
полезное для определения свойство состоит в том, что любые два элемента
поля имеют взаимно исключающие поля, т.е.
е,ябст\е/я.эе,л.с‘епс‘я=л.
Главные применения того предмета, который изучается в этой части
книги, относятся к сериям, а в сериях являются важными всегда имен-
но поля отношений. Мы хотим, например, определить отношения взаимно
исключающих отношений так, чтобы если Р является сериальным отноше-
нием и каждый элемент СР есть сериальное отношение, то тогда есть
сериальное отношение. С этой целью необходимо, чтобы содержалось
в различии, что требует, чтобы F'P содержалось в различии, т.е. чтобы
.С‘епС‘А-А.
Если Р является сериальным отношением, как мы и предполагаем, то это
эквивалентно
е,ябст.е/я.эе,л.с‘епс‘я=л.
С другой стороны, мы хотим определить отношения взаимно исключа-
ющих отношений так, чтобы если Р и Q два таких отношения, Р и Q
обладают двойным сходством (*164), то сходно с Е‘2; т.е. если нам
задан коррелятор 5 отношений Р и 2, и для каждых М и А, которые
соотносятся 5, нам снова задан коррелятор, то будет сходно с Е‘2-
Если к есть класс отношений, которые коррелируют пары отношений М
и А, где AeC'Q. MSN, то мы хотим, чтобы 5к был коррелятором Р и Q.
Это требует того, чтобы 5 к являлось одно-однозначным отношением, что
требует, в свою очередь,
М,М'еСР.М^М' .ОЧИпОЧИ'=А.СГЛ/пСГМ' = А.
Это обеспечивается
М, М ’ е СР . М / М'. эд/, м, . СМ П СМ' = А,
однако, исключая специальные классы отношений, оно не обеспечивается
МРМ'. Эд/, м' • С'М П СМ’ = А,
поскольку могут найтись два отношения М и А, которые оба принадлежат
73 На первый взгляд (лат.). — Прим, перев.
Principia Mathematica II
163. ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ
387
полю Р, но ни одно из них не находится в отношении Р к другому. С дру-
гой стороны, аналогия с арифметикой кардиналов нарушается во многих
местах, если только, когда Р является отношением взаимно исключающих
отношений, ѓёРне есть класс взаимно исключающих классов. Однако
это не обеспечивается никакими другими возможными определениями, ко-
торые мы рассматривали. Существуют другие причины, связанные с ариф-
метическим произведением отношения отношений, для выбора в качестве
определения
е,ябст.е/я.эе,л.с‘епс‘я=л.
С технической точки зрения свойства Cis2 excl зависят в основном от
того факта, что, когда к есть такой класс, efKeCls—>1 (*84-14); также
свойства Rel2 excl зависят от
FfCPeCls-H,
что требует нашего определения и эквивалентно ему (*163-12). Мы поэто-
му получаем способность использовать предложения из *81 о выборках из
много-однозначных отношепний, чего иначе не могло бы быть.
Следует отметить, что
не эквивалентно ѓёРе Cis2 excl, хотя и влечет это. Обратная имплика-
ция не выполняется, если С'Р содержит два различных отношения с од-
ним и тем же полем. Например, возьмем отношение Р, чье поле состоит
из четырех отношений 5, S, Т, Т, и предположим С‘5ПС‘Т = А. Тогда
ѓёРΠl‘C‘5 Ui‘C‘T и ѓёРе Cis2 excl. Однако пока не имеет места S = §
и Т -Т, мы не будем иметь
е,РбС‘р.е#р.эб,/г.с‘епс‘р=л.
То свойство, с помощью которого мы определяем отношения взаимно
исключающих отношений, есть свойство, зависящее лишь от поля, так что
в равной мере мы могли бы положить
(С1‘Не1)ехс1 = Ме,РбХ.е/Р.э(2,/г.С‘епёР= Л} Df.
Однако для наших целей это было бы менее удобно, чем определение
Rel2 excl.
Мы, таким образом, полагаем
*163-01. Rel2 excl = Р {Q, R е С‘Р. Q / Я. R . C‘G П С‘Я = Л} Df
Мы имеем
*163-11. h PeRel2excl. н : g,ЯеС‘Р. д! С‘2пС‘Я . og,/?. 2 = Я
*163-12. h : РеRel2 excl . = . F [ С‘РеCis—> 1
*163-17. h : PeRel2 excl . = . С [ С‘Ре 1 —> 1. ѓёРеCis2excl
Любое из них могло бы быть использовано, чтобы определить Rel2 excl.
Следующие предложения являются важными
*163-3. h : Q е Rel2 excl. 5 е Cis 1. э . 5 VQ е Rel2 excl
Это аналог *84-53.
*163-4-41. h . Л, Р1Р е Rel2 excl
*163-441. h : Р, Q е Rel2 excl. C‘Z‘P П C^Q = A . э . P 4- Q e Rel2 excl
*163-451. h : P e Rel2 excl. C‘E‘P ПёР= A . P^Re Rel2 excl
A. H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
388 отношений
*16301. Rel2 excl = Р {(2, РеС‘Р. 2/Р.эая.С‘(2пёР= Л} Df
* 1631. h Ре Rel2 excl. = : Q, R eC'P. Q / R. z>Q>R . C'Q C}C‘R = A
[(*163-01)]
* 163-11. h PeRel2 excl. = : Q,ReC'P. 3! C'Q П C'R. ^>q,r . =R
[*163-1. Transp]
* 163-12. I- :PeRel2excl. = . F \C'PeCis -> 1 [*163-1. *74-632]
Для многих целей это предложение дает самый полезный эквивалент
Р е Rel2 excl.
Вместо приведенного выше доказательства мы можем использовать
*74-62, что приводит к результату в силу *33-5.
* 163-13. h PeRel2 excl. э :
Q, R e C'P. Q / R. r . D‘G A D‘P = A . СГ2 П СГЯ = A
[*24-402. *163-1]
* 163-14. h : P e Rel2 excl. z>. C f C‘P e 1 -> 1 [*163-12 . *74-32 . *33-5]
* 163-15. h : PeRel2 excl. э . D [ C‘P, CI [ C‘Pe 1 —> 1
Доказательство.
h . *74-63 . *163-13 . э h : Hp . э . (e | D) [ C‘P e Cis —> 1 .
[*74-32] э. ё]3 f C‘Pe 1 —> 1.
[72-27] . D [ C‘Pe 1 —> 1 (1)
Similarly h : Hp . z>. CI f C'P e 1 —> 1 (2)
F . (1). (2). э h . Prop
* 163-16. h : PeRel2 excl. э. C“C‘PeCls2excl [*84-51. *33-5 . *163-12]
* 163-17. b : PeRel2 excl. в. C f C‘Pe 1 —> 1. C"C'PeCis2excl
[*163-12. *84-522 . *33-5]
* 163-2. I-: P e Rel2 excl. э. D [ F^'C'Pe 1 -> 1. F^C'P с 1 -• 1
[*81-21-1. *163-12]
* 163-21. I-: P 6 Rel2 excl. z>. D“FA‘C‘P = Prod‘C“C‘P
Доказательство.
h. *85-1 F’C P . *163-12 . => I-: Hp. z>. W'F^'C'P = X)'\'F^'C'P
Qi A,
[*115-1. *33-5] = Prod‘C“C‘P: э h . Prop
Это предложение важно в связи с умножением отношений, так как мы
определим как произведение отношения Р (чье поле состоит из отношений)
отношение, чье поле есть ХУ'Р^'С'Р. Поэтому с помощью приведенного вы-
ше предложения всякий раз, когда Р является Rel2 excl, поле его произве-
дения есть произведение (в смысле произведения кардиналов) полей его
поля, как и поле его суммы является (на основании *162-22) суммой по-
лей его поля.
*163-22. Ь : РеRel2excl. A~еС‘Р. z>.
~i"L'P = В"~ё‘Р,^‘Cnv‘S‘P = B“Cnv“ll‘£
Доказательство.
h . *162-23-213. *93-103. z> I-: Нр. э ."Й‘Е‘Р = F"C'P- s'C"d'P - s'd'^'P
[*40-56] = F"C'P - F"G.'P — s'G'^'P
[*71-381. *37-421. *163-12] = F"(C'P - (TP) - s'G'S'P
[*40-56. *93-103] =s‘C“^‘P-s‘(T‘^‘P (1)
Principia Mathematica II
*163. ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ 389
F.*163-ll. э F :: Нр. эQ еЗ‘Р .xeC'Q.zi'.R e~$‘P. xeG'R .э. R = Q.
[*13-12] D.xeQ'g:
[*40-4] э: xe s‘D“l$‘P. э. xeG'Q:
[*40-13] э:хе?С1‘Фр . = .xeG‘Q (2)
F.(2). *5-32. э FHp. э: Q el^'P. xe C'Q. x ~ e j‘CTФр . =.
QeS'P ,xeC‘Q.x~eCL'Q:
[*10-281. *40-4. *93-103]э : хел‘С“^‘Р - s'CT'J^'P . = . (a 2) • Qe$‘P - xBQ.
[*371] = .xeB“"2‘P (3)
F . (1). (3). э F : Hp. э .7?‘S‘P = В“"Й‘Р (4)
I-. (4). *162-2. *33-22 . *163-1.э F: Hp.э .^‘Cnv'E'P = B“7l‘Cnv ?P
[*151-6-5] = B“Cnv“^‘P (5)
F. (4). (5). э F . Prop
*163-3. F : Q e Rel2 excl. S e Cis -> 1. э . S t>Q € Rel2 excl
Доказательство.
F. *72-421. э F Hp. э : M,NeC'Q. g! S''C'MC\ S ''C'N.z>. a \C'M C\C'N.
[*163-11] d.M = W.
[*30-37] z>.S-fM = S-fN (1)
F . (1). *150-202. э F :. Hp. э :
Л/^еС‘2.я!С‘(5|М)П(54ДГ).э.5Ш = 5Ш (2)
F . (2). *163-11. d F . Prop
*163-31. F:. C'P = C'Q. э :Pe Rel2 excl. a. Q e Rel2 excl [*163-1. *13-12]
*163-311. F :. C'Q = Cnv“C‘P. э: PeRel2 excl. = . 2 е Rel2 excl
Доказательство.
F . *72-513. э F:: Hp. э :. M,NeC'P. = . M, Йе C'Q:.
[*31-32] э:. M,N eC'P .M/N . = .Й,Й eC'Q. MfN-..
[*33-22] z>-..M,NeC'P .M/N .z> .C'M C\C‘N = N-. = -.
M,fteC'Q.M±ft .э.С'йс\С'Й = А-..
[*11-33. *163-1] z>:. PeRel2 excl . = :
M,fteC'Q.M±ft .?M'N .С'МГ\С'Й = А-.
[*31-51] =-.M,NeC'Q.M^N .z>M,N .C'MC\C'N = A:
[*163-1] = : Q eRel2 excl:: э F . Prop
*163-32. F : P e Rel2 excl. = . P e Rel2 excl. = . Cnv ;P e Rel2 excl. = .
CnvPeRel2 excl [*163-31-311. *33-22 . *150-22-12]
*163-33. F : P4 Qe Rel2 excl. s. Q4 PeRel2 excl [*163-31. *160-14]
*163-331. F : P+-PeRel2excl. = .Рч-PeRel2 excl [*163-31. *161-14-2-201]
*163-4. F. A e Rel2 excl
Доказательство.
F . *33-241. *24-105. э F. (2). 2 ~ e C‘A.
[*11-57] dF.(2,P).0P~€C‘A.
[*11-63] z>\--.Q,ReC'A.Q^R.z>Q<R.C'Qr}C'R = A (1)
F. (1). *163-1. э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
390 отношений
*163-41. F . Pl РеRel2 excl
Доказательство.
I-. *54-25. *55-15. э F. С‘(Р J. Р) е 1.
[*52-41. Transp] oF.-fa Q,R).Q,ReC'(J> ],P).Q±R.
[*11-63] эН:е,ЯеСЧПР).СМ.эе,й.С‘епС‘Я = Л (1)
F.(1). *163-1. э F. Prop
*163-42. F :. Pl Q^Rel2 excl. s: P = 2. V . C‘PnС‘2 = Л
Доказательство.
F . *163-1. *55-15. z>
b:.PieeRel2excl. = :M,Aei‘PUi‘e.A//A.DMiN.C‘A/nCW = A:
[*54-441] = -.P = Q. V.C‘PnC‘e = A.C‘enC‘P = A:
[*22-51] = -.P=Q. V . С‘РЛ C‘2 = Л:. э F. Prop
Приведенное выше предложение используется в *251-22.
* 163-43. F: Р е Rel2 excl. Q GP. э . Q e Rel2 excl
Доказательство.
F . *33-265. э F Hp. э : M, Ne C'Q. э . M, Ne C'P:
[Fact] D-.M,NeC‘Q.M^N.2.M,NeC‘P.M^N-.
[*163-1. Hp] 3.C‘MnCW=A (1)
F.(l). *163-1. э F. Prop
* 163-431. F : P e Rel2 excl. э . R1‘P c Rel2 excl [*163-43]
* 163-44. F : P 4 2 e Rel2 excl. s .
P, Q e Rel2 excl. s‘C“C‘P Л s'C"(C'Q - C'P) = A
Доказательство.
F. *163-12. *160-14.dF:P4<2eRel2excl. s. F [(C‘PUC‘<2)eCls-> 1.
[*74-821] s. F \ C'P, F \ C'QeOs^ 1. F"C'P Q F"(C'Q - C'P) = Л..
[*163-12 . *40-56] =. P, QeRel2 excl. s'C"C'PC\ s'C“(C‘Q-C'P) = Л: э F. Prop
*163-441. F : P, Q e Rel2 excl. С'Ъ'Р Л C‘£‘Q = A.z>.P*Qe Rel2 excl
[*163-44. *162-22]
Приведенное выше предложение используется в *173-26.
*163-442. F:. C'P Л C'Q = A. э :
Р4QеRel2 excl. н . Р, QeRel2 excl. С'Ъ'Р Л C"L'Q = A
Доказательство.
F. *24-313. э F : Hp. e. C'Q C'P = C'Q (1)
F. (1). *163-44. *162-22 . z> F . Prop
*163-45. F : PReRel2 excl. = . PeRel2 excl. s'C'\C'P - i‘R)nC‘R=h
Доказательство.
F. *161-14. *163-12. э
F :. g !P. э . P 4+R e Rel2 excl. s . F [ (C‘P U i‘R) e Cis—> 1.
[*74-821. *53-301. *33-5]
= .F\C'P,F fi‘ReCls-> 1. F"(C'P-i'R)C\C'R = Л..
[*35-101. *71-171] = . F f C‘P e Cis -> I. F"(C'P - t‘R) Л C'R = A.
[*163-12 . *40-56] = :PeRel2 excl. s'C“(C‘P-i‘R)r} C'R = A (1)
F. *161-2 . *163-4.эF : P = A. э .P + ReRel2 excl.PeRel2excl (2)
F. *33-241. *37-29. *40-21dF : P = A. э. s'C"(C'P- CR)HC‘R = h (3)
Principia Mathematica II
*163. ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ 391
h . (2). (3). Comp . *5-1э h Р = А. о :
Р + R е Rel2 excl. в . Р е Rel2 excl. s'C' ‘(С'Р - CR) r\C‘R = L (4)
h . (1). (4). э h . Prop
* 163-451. I-: P e Rel2 excl. C"£‘P П C'R = Л. э . P 4» R e Rel2 excl
[*163-45. *162-22]
Приведенное выше предложение используется в *173-25.
* 163-452. Ь R~ еС'Р. о : Р*RеRel2 excl. = . РеRel2 excl. C'Y'P r\C'R = A
[*51-222 . *163-45. *162-22]
* 163-46. b : R -и-PeRel2 excl. a. PeRel2 excl. s'C''(C'P - CR)OC‘R = h
[*163-45-331]
* 163-461. I-:PeRel2excl.C‘S‘PпёР= Л.э.Р*-РеRel2excl
[*163-451-331]
* 163-462. F P ~ e C‘P. э : P я- P e Rel2 excl. s . Pe Rel2 excl. C‘Z‘P П C'R = Л
[*163-452-331]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
392
*164. Двойное сходство
Краткое содержание *164-
Предмет этого параграфа имеет величайшую важность для всей ариф-
метики отношений и ее приложений. Двойное сходство, или двойное ор-
динальное подобие, есть отношение, которое будет иметь место между Р
и б, когда (1) Р и Q сходны, (2) скоррелированные элементы полей Р и Q
сходны, причем со специальным заданным коррелятором в каждом случае.
(В общем требуется иметь заданный коррелятор в каждом случае, чтобы
избежать применения аксиомы умножения для выбора между коррелятора-
ми.) Это определение может быть до некоторой степени упрощено, начав
с отношения, коррелирующего Е‘Р и Е‘б- Если S есть такой коррелятор,
так что
5 е 1 —> 1. СГ5 = С‘Гб. ГР = 5* Гб,
то мы желаем, чтобы S не только соотносил целое ГР с целым Гб? но
также соотносил каждый элемент С'Р с соответствующим элементом С‘б>
т.е. чтобы, если N — какой-либо элемент C'Q, то SW — соответствующий
элемент С'Р. Это требует
NQN' . = .(S>N)P(S‘>N'),
т.е., записывая SVN' вместо 5W, S>N', оно требует
P = 5f’6-
Когда P = SpQ и G‘5 = С‘Е‘б? мы имеем посредством *162-35 ГР = S’Y'Q.
Следовательно, двойное сходство будет сохраняться, если существует отно-
шение S такое, что
5 е 1 -> 1. СГ5 = С‘Е‘б • Р = St;!2-
Отношение 5, удовлетворяющее этому условию, будет называться двой-
ным коррелятором Р и Q. Таким образом, два отношения Р и б обладают
двойным сходством, когда существует двойной коррелятор Р и б, т.е. когда
(35). S е 1 -> 1. CTS = C'Y'Q. Р = SVQ-
Двойной коррелятор Р и б есть отношение S, которое является корреля-
тором ГР и Гб таким, что Sf f C'Q есть коррелятор Р и Q.
В дальнейшем будет видно, что это определение имеет обычную анало-
гию с соответствующим определением в кардиналах (*111-01). Две инвер-
тированные запятые определения в кардиналах замещаются точкой с запя-
той, 5е — a sX —Гб или C'X'Q. Предложения настоящего параграфа
в основном состоят из аналогов предложений *111 в соответствии с ука-
занными выше подстановками.
Если бы не было трудности с выбором между корреляторами, то мы
могли бы определить два отношения как обладающие двойным сходством,
когда они являются сходными отношениями сходных отношений, т.е. когда,
если Р и б есть два отношения, то они имеют коррелятор S такой, что,
если MSN, то тогда М smor N. В этом случае S е Р smor Q A RT smor. Поэто-
му мы должны рассмотреть отношения класса Р smor б smor к клас-
су двойных корреляторов, и мы должны рассмотреть отношение отноше-
ния “ а! Р smor б R1‘ smor ” к отношению двойного сходства. Предложе-
Principia Mathematica II
164. ДВОЙНОЕ СХОДСТВО
393
ния на этот предмет, доказываемые в настоящем параграфе, аналогичны
предложениям *111. Однако на более поздней стадии (*251-61) мы пока-
жем, что если поле Р состоит полностью из отношений, которые генериру-
ют вполне упорядоченные серии, то применение аксиомы умножения ока-
зывается ненужным при отождествлении двойного сходства с отношением
3! Р smor Q A R1‘ smor по той причине, что две вполне упорядоченные се-
рии никогда не могут быть скоррелированы более чем одним способом.
Наши определения есть
*164-01. Р smor smor Q = (1 —> l)n’3‘C‘S‘2n5(P = 5f’0 Df
*164-02. smor smor = PQ (3! P smor smor g) Df
Главные предложения этого параграфа есть
*164-15. F : 5 еРsmor smor Q . = . 5 eE‘Psmor X'Q. (Sf) f C‘QeP smor Q
откуда
*164-151. F : P smor smor Q . э . E‘P smor . P smor Q
*164-18. F:5 ГC‘E‘(2ePsmor smorQ. = .
S fC‘E‘eel^l.C‘E‘ecG‘5 .P = SV'Q
Это обычно является наиболее удобным предложением, когда требуется
доказать двойное коррелирование.
*164-201-211-221. Двойное сходство рефлексивно, симметрично и транзи-
тивно.
*164-31. F : 5 е Р smor smor Q, = .S е (ССР) sm sm (ѓё0 . Р = Sf’C
(Ср. замечание к *164-31 ниже.)
Затем мы имеем группу предложений (*164-4 и до конца) об отождеств-
лении з! Р smor Q A RT smor с двойным сходством посредством аксиомы
умножения. Мы имеем
*164-43. F Р, QеRel2 excl .SePsmor Q.
smofNJ.o:
Ре€д‘ц. d . j‘D‘Pe Psmor smor Q.S = (s'D'R) t t C‘C
Другими словами, данные P и Q есть сходные отношения сходных вза-
имно исключающих отношений в том случае, если мы можем выбрать один
коррелятор для каждой пары скоррелированных элементов ёРи C'Q, то
тогда сумма (5) выбранных корреляторов будет двойным коррелятором Р
и Q. Следовательно, замечая, что если S является двойным коррелятором
Р и Q, то (51) f С‘б е Р smor Q A R1‘ smor (*164-15-16), мы приходим к
*164-45. F :: Mult ах . d
Р, Q е Rel2 excl. d : 3! Р smor Q A R1‘ smor . = . P smor smor Q
Из *164-43 мы выводим также
*164-46. F:.Multax.o:
Р, Q е Rel2 excl. 3! P smor Q A R1‘ smor . d . E‘P smor
*164-48. F Mult ax. d : R, S e Rel2 excl A Nr‘(2 • C'R, C'S e 0‘Nr‘P. d .
R smor smor S . E‘P smor X'S
Т.е., допуская аксиому умножения, если две серии (Е‘Р и Е‘5) могут
быть каждая разделены на 0 групп из а термов (а, 0 являются реляцион-
ными числами), то указанные две серии ординально подобны, а первые 0
группы обладают двойным подобием со вторыми 0 группами. (Здесь мы
написали а, 0 вместо Nr‘P и Nr‘Q.)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
394
Именно посредством приведенных выше предложений связываются ор-
динальное сложение и умножение, как выявится в *166.
*16401. Psmor smorб = (1->1) п'З'СТ'бП5 = Df
* 164-02. smor smor = PQ (3! P smor smor Q) Df
* 164-1. F : 5 € Psmor smor Q . = . 5 e 1 —> 1. Q‘5 = С‘Е‘б. P — SpQ
[(*164-01)]
* 164-11. F : Psmor smor Q . = . 3! Psmor smor Q [(*164-02)]
* 164-12. F: Psmor smor Q. = . (g5). S e 1 -> 1. (Г5 = C'Y'Q. P = SpQ
[*164-1-11]
* 164-13. F:5 fC‘E‘e.P = 5t;e-^.D‘5 =C‘E‘P.E‘P = 5’E‘e
Доказательство.
F . *162-35 . о F : Hp. о . E‘P = 5 ’ (1)
[*150-23. Hp] о. C‘E‘P = D‘5 (2)
F . (1). (2). о F . Prop
*164-14. F : 5 € P smor smor Q. о . 5 eE‘Psmor E‘(2 [*164-1-131. *151-11]
Два следующих предложения требуются для доказательства *164-18.
*164-141. F : С‘Е‘Сса. э . (Тfa)t;G = TpQ [*150-171. *162-22]
*164-142. F . (TfC‘E‘0t;C = TpQ = {(Tf) f C'QYQ [*164-141. *150-32]
*164-143. F : 5 e Psmor smor Q . о . (5f) f C‘QeP smor Q
Доказательство.
F. *164-1-13. =>HHp.($t) ГС‘2е1->1 (i)
Ь. *35-65. oi-.axst) K‘e=c‘2 (2)
h. *164-1. *150-32. э 1-: Hp. э . P = {(5f) t C‘Q} 'Q 1-. (1). (2). (3). *151-11. э 1-. Prop (3)
*164-15. F : 5 ePsmor smor Q . = . 5 eE‘Psmor E‘(2 • (5f) f C'Qe Psmor Q
Доказательство.
F . *164-14-143 . о
F : 5 ePsmor smor Q . о . 5 eE‘Psmor E‘£2 . (5f) f C'QePsmor Q (1)
F. *151-11. о
F : 5 eE‘Psmor E‘(2 . (5f)f C‘CePsmor Q. о .
5 e 1 —> 1. СГ5 = C‘E‘(2. P = {(St) Г C'Q] ’Q (2)
F . (2). *150-32 . *164-1. о
F : 5 eE‘Psmor E‘£2 . (5f) f C‘CeP smor Q .z>.S e P smor smor Q (3)
F . (1). (3). о F . Prop
*164-151. F: Psmor smor Q . о . E‘P smor ^‘Q.PsmorQ [*164-15-11]
*164-16. F : 5 €Psmor smor Q . о . (5f) f C'Qa smor
Доказательство.
F . *35-101. *150-10 F : M {(51) f C'Q] N . = . NeC'Q. M = S’N (1)
F . *164-1. *162-22 . о F :.Hp . о : 5 e 1 -> 1 : N e C'Q . z>N . C'N c G‘5 :
[*151-23] ^zNeC'Q.M = S^N .^MyN .M smortf
[(1)] о : M {(51) f C'Q] N. o^ N . M smor Nо F . Prop
*164-17. F: Psmor smor £2 . о . 3! Psmor Q A R1‘ smor [*164-143-16]
Это предложение утверждает, что, когда Р и Q имеют двойное сход-
ство, найдется коррелятор Р и Q, который спаривает сходные отношения
Principia Mathematica II
164. ДВОЙНОЕ СХОДСТВО
395
со сходными; т.е. если 5 есть указанный коррелятор, тогда, если MSN,
то М и N ординально подобны. Обращение этого предложения, а именно
то, что если Р и Q имеют коррелятор, который спаривает ординально по-
добные отношения, то Р и Q обладают двойным сходством, может быть
доказано, если допускать аксиому умножения, но не иначе, исключая лишь
специальные случаи, такие как случай вполне упорядоченных серий.
Следующие предложения часто используются из-за того обстоятельства,
что в рассматриваемых нами случаях двойные корреляторы, в общем, име-
ют форму 5 [ С‘Е‘(2, где 5 есть некоторое отношение, для которого мы
имеем (у). Е ! S ‘у.
*16418. F:5 [ С‘Е‘б € Р smor smor б . = .
S Г C‘E‘G е 1 —> 1. С‘Е‘б с G‘5 . Р = SVQ
Доказательство.
F . *35-64 . *22-621. d F: (Г(5 = C'Y'Q. = . C'Z'Q с G‘5 (1)
F . *164-142 . d F : P = (5 fC‘E‘0 t; Q . = . P = St;G (2)
F . *164-1. э F : S [C‘E‘2ePsmor smor Q. = .
5 [C‘E‘6 6 1 -> 1 . Q‘(S fC‘E‘6) = C‘E‘6. P = (5 \C^Q) t; Q (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*164-181. F: Psmor smor Q . = . (g5). S 1 -> 1. C‘VQ c G‘5 . P =
Доказательство.
F. *35-66. *164-1.d
F : 5 ePsmor smor £2 . э . 5 1 —> 1. С‘Е‘бс G‘5 . P = (1)
F.(l). *164-11.d
F: Psmor smor Q. о . (g5). S fC‘E‘Ge 1 -> 1. C'Y'Q c G‘5 . P = SpQ (2)
F. *164-18-11. о
F : (g5). S e 1 -> 1. C‘L‘6 c G‘5 . P = S V'Q - э . P smor smor Q (3)
F . (2). (3). о F . Prop
Следующие предложения связаны с доказательством того, что двойное
сходство рефлексивно, симметрично и транзитивно.
*164-2. F . I [ С‘Е‘Р е Р smor smor Q
Доказательство.
F . *151-121. о F . IГ C‘E‘PeE‘Psmor ГР. I f C‘PePsmorP (1)
F . *35-101. *150-1. о
F : M {(I f C‘E‘P) t Г C‘P) N. = . NeC'P. M = (I \С'Ъ'Р) W.
[*150-33 . *162-22] = . N e C'P. M = PN.
[*150-53] = .M(I\C'P)N (2)
F . (1). (2). о F . I f СТРеГРяпог E‘P. (Z f C‘E‘P) t f C'PePsmor P.
[*164-15] oF.Prop
*164-201. F. Psmor smorP [*164-2-11]
*164-21. F : S ePsmor smor Q. = . S e Qsmor smorP
Доказательство.
F . *164-1. *71-212 . d F : S e P smor smor Q. d . S e 1 —> 1 (1)
F . *164-131-1. э F : 5 e P smor smor Q. d . Q‘5 = C‘E‘P (2)
F . *150-94 . *164-1. *162-22 . d F : S e P smor smor Q . э . Q = 5 f>P (3)
F . (1). (2). (3). *164-1. d F : 5 e P smor smor Q. d . S e Q smor smor P (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
396
$ , Q р
F . • э F : 5 € (2 smor smor Р. э .5 е Р smor smor Q (5)
F . (4). (5). d F . Prop
*164-211. F : P smor smor Q. = . Q smor smor P [*164-21-11]
*164-22. F : S e P smor smor Q. T e Q smor smor R. d . S | T e P smor smorP
Доказательство.
F. *164-1. э F : Hp. э . 5, T e 1 —> 1.
[*71-252] э. S | Te 1-^1 h. *164-1-131. э h : Hp. э. Q‘5 = C‘E‘6. D7 = C‘S‘6. (1)
[*37-323] э. Q‘(5 | T) = QT. [*164-1] z>. Q‘(5 | T) = C^R (2)
h . *150-13-14. э 1-. (8 | Г) = SV’TV’R (3)
F.*164-1. ol-:Hp.D.Tt5/?=e.8t;e = ^ (4)
F.(3).(4). э Ь : Hp. э . (8 | Г) ttt = P (5)
F . (1). (2). (5). *164-1. d F . Prop
*164-221. F : P smor smor Q. Q smor smor P. э . P smor smor P [*164-22-11]
*164-23. F P smor smor Q. э : P e Rel2 excl. = . Q eRel2 excl
Доказательство.
F . *164-12 . э F Hp. э : gP . T e 1 -> 1. Q‘T = C^Q. P = TpQ:
[*163-3] э : Q € Rel2 excl. d . P e Rel2 excl (1)
F . (1). *164-211. z> F:. Hp. d : P eRel2 excl. э . Q e Rel2 excl (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*164-3. F : 5 eP smor smor б. э . 5 e (C“C‘P) sm sm (C“C‘O
Доказательство.
F . *164-1. *162-22 . d F : Hp . э . 5 e 1 —> 1. Q‘5 = 5‘C“C‘6 -P=SVQ- (1)
[*150-931] d . C“C‘P = 5e“C“C‘(2 (2)
F. (1). (2). *111-1. э F. Prop
*164-301. F: Psmor smor Q. э . C“C‘PsmsmC“C‘(2 [*164-3-11. *111-4]
*164-31. F : 5 e P smor smor Q. = .S e (C“C‘P) sm sm (C^C'Q). P = 5f’C
Доказательство.
F . *164-3-1. d
F : S ePsmor smor (2 . d . 5 e(C“C‘P) sm sm (C“C‘6) . P = S^Q (1)
F . *111-1. *162-22 . э
F:5 e(C“C‘P) sm sm (C“C‘0 . э . 5 € 1 1. Q‘5 = C‘L‘6 (2)
F. (2). Fact. *164-1. э
F:5 e(C“C‘P) sm sm (ѓёб). P = SpQ. э . S e P smor smor Q (3)
F . (1). (3). z>F . Prop
Это предложение обладает тем достоинством, что в двойном сходстве
сокращает к минимуму ординальный элемент. Доказательства того, что
5 е(ѓёР) sm sm (C“C‘0
есть проблема из области кардиналов, а то, что следует добавить для целей
теории ординалов, есть просто
P = st’G.
*164-32. F . A е (A smor smor A). A smor smor A
Principia Mathematica II
164. ДВОЙНОЕ СХОДСТВО
397
В этом предложении различные Л-ы не обязательно одного и того же
типа. Следовательно, “A smor smor А” не является непосредственным след-
ствием *164-201.
Доказательство.
F . *72-1. *162-4 . dF.A€1->1.CTA = CT‘A (1)
F. *150-42. z> F. A = A > A (2)
F.(l). (2). *164-1. э F Ae(A smor smor A). (3)
[*164-11] d . A smor smor A (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*164-33. F:MePsmof7?^e2sinof5 .C'PftC'Q = Л.C‘RftC‘S = Л.э.
М 0 N е (Р | Q) smor smor (R J. S)
Доказательство.
F.*160-47. э F: Hp. э . Л/U£)) smor (Я + 5).
[*162-3. *151-11] z>.MUNel^l .d‘(MON) = C‘Y‘(RlS) (1)
F.*150-32. . э. (M (J N)’R = {(M (J N) \ C'Rj’R
[*35-644. *150-32] = M'R
[*151-11] =P (2)
Similarly F : Hp. э . (M U N)>S = Q (3)
F. *150-71-1. э F: Hp. э. (M 0 N) f (R X S) = {(M 0 N) ’R} | {(M U N) >S}
[(2). (3)] =PIQ (4)
F . (1). (4). *164-1 . d F . Prop
*164-34. F : Psmor/?. Q smor 5 . C'P П C'Q = Л . C'R П C'S = Л . d .
P IQ smor smor R j, S
[*164-33-11. *151-12]
Следующие предложения касаются доказательства того, что, если Р и Q
являются сходными отношениями и коррелятор Р и Q содержится в сход-
стве (т.е. коррелирует отношения, которые находятся в отношении сход-
ства), для каждой пары отношений, спариваемых коррелятором Р и Q,
задается коррелятор, то логическая сумма таких корреляторов будет двой-
ным коррелятором Р и Q при условии, что Р и Q — отношения взаимно
исключающих отношений. Т.е., принимая S в качестве коррелятора Р и Q
и полагая, что SWsmorW всякий раз, когда NeC'Q, дадим возможность
выбрать один коррелятор из класса корреляторов (S W) smor N для каждо-
го W, принадлежащего C'Q. Т.е. примем, что имеется возможность сделать
выборку из класса классов корреляторов. Если ц есть такая выборка, то
5‘ц будет двойным коррелятором Р и С, если Р, Q е Rel2 excl.
Следующие предложения, до *164-421, являются леммами для *164-43.
*164-4. F We C'Q . z>N . R'Ne(5 ‘W) smor N: э . d's'R"C'Q = C'X'Q
Доказательство.
F . *41-44. d F . d's'R"C'Q = s'G"R"C'Q (1)
F . *151-11. d F Hp . d : N e C'Q. d . G'R'N = C'N:
[*37-68] d : G"R"C'Q = C"C'Q (2)
F . (1). (2). э F Hp . э : G's'R"C'Q = s'C'C'Q
[*162-22] = C‘E‘6: d F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
398 отношений
*164-41. FQeRel2 excl ’.NeC'Q. Эн .R‘Ne(S‘N) smor У: э .
s‘R“C‘6e 1 —> Cis
Доказательство.
F. *151-11. э FHp. э : M, N e C'Q. 3! d'R'M П (I'R'N. z>.
S'.C'MOC'N.
[*163-11] э.А/ = АГ.
[*30-37] z>.R'M = R‘N (1)
I-. *151-11. э FHp. э : M e C'Q. э . R'Me 1 -> 1 (2)
F. (1). (2). *72-32 . э F . Prop
*164-411. I-: S’Q e Rel2 excl. 5 [ C'Q e 1 -► 1. Hp *164-4. э . s'R"C'Q e Cis -»1
Доказательство.
F . *151-11. э F Hp. э : M, Ne C'Q. 3! D'R'M П D'R'N. z>.
ZlC'S'MQC'S'N.
[*163-11. *150-22] z>.S'M = S'N.
[*71-532] z>.M = N.
[*30-37] z>.R'M = R'N (1)
F . *151-11. э I-Hp. э : MeC'Q. э .R'Me 1 -»1 (2)
F. (1). (2). *72-321. э F . Prop
*164-412. F S’Q, geRel2 excl. S [C‘2el-> 1:
Уе C'Q. эд, • R'Ne (S 'N) smor N: э . s'R"C‘Q e 1 -> 1
[*164-41-411]
*164-413. F Hp *164-41. э :
NeC'Q. z> . R'N = (sd'R"C‘Q) [ C'N .S‘N = (s‘R"C‘Q) >N
Доказательство.
F . *41-13. э F : Hp. Ne C'Q. z>. R'N Gs'R"C'Q.
[*72-92 . *164-41] э . R'N = (s'R"C'Q) [ C'R'N
[*151-11. Hp] = (s'R"C‘Q) \C'N (1)
F . *151-11. э F : Hp. NeC'Q. э. 5 ‘N = (R'N) ’N
[(1). *150-32] = (s‘R“C‘Q)’N (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*164-414. F : Hp *164-41. э. S’Q = (s'R''C'Q)t’Q [*164-413. *150-1-35]
*164-42. F Q, S’Q e Rel2 excl. S f C'Q e 1 1:
NeC'Q.^N .R‘Ne(S‘N) smoflV:z>.
s‘/?“C‘6€(5;0 smor smor Q [*164-4-412-414-l]
*164-421. F P, QeRel2 excl. S [ C‘CePsmor Q:
N eC‘Q. dn . R‘N e(5 W) smor N: э .
s'R^C'QeP sinox smor Q [*164-42]
Следующее предложение, кроме того, что используется в доказа-
тельстве всех последующих предложений этого параграфа (исключая
*164-432-433, которые есть просто леммы для *164-44), применяется
в *251-6, в теории ординальных чисел.
*164-43. F Р, QеRel2 excl .SePsmor Q.
Principia Mathematica II
164. ДВОЙНОЕ СХОДСТВО
399
(1 = X {gW. N е C'Q. X = (S W) smor N}. э :
Реед‘ц. э . 5‘D‘Pe Psmor smor Q. S = (s'D'R)t \C'Q
Доказательство.
h . *83-2-22 .oh:. Hp . Реед‘ц. э :
NeC'Q. d .P‘{(S W) smor N} e (S W) smor N: s‘D‘P = P“p, (1)
h . (1). э h Hp (1) . T = XN{NeC'QA = (S'N) smorNJ.o:
NeC‘2.o.PTWe(5W) smor N: s‘D‘P = R"T"C'Q: (2)
[*164-42^^-] э : 5‘D‘Pe Psmor smor Q (3)
R
F.(2). *164-413^ . *151-11. *35-71. э F : Hp (2). э. S = (s‘D‘R) f f C‘<2 (4)
h . (3). (4). э h . Prop
*164-431. h P, (7eRel2 excl: (3$). S ePsmor 2.
3! €д‘X {(gW). N e C'Q. X = (S 'N) smor N}: э . P smor smor Q
[*163-43-11]
* 164-432. h : S e P smor Q A RT smor . э .
N~e\{(rN).NeC'QA = (S'N) smorN}
Доказательство.
h . *151-11. э I-Hp . э : N e C'Q. э . N e (J.'S .
[*71-31]
[Hp] э . (S 'N) smor N.
[*151-12] 0.3! (S4V) smor Noh. Prop
* 164-433. h Mult ax. э : S э P smor Q A RT smor . э .
3! ед‘X {(з#). N e C'Q. X = (5 W) smor N]
[*164-432. *88-37]
Все оставшиеся предложения данного параграфа являются важными.
* 164-44. h Mult ах. э : Р, Q е Rel2 excl. 3! Р smor Q A RT smor . э .
Psmor smor Q [*164-433-431]
* 164-45. h :: Mult ax. э P, Q e Rel2 excl. э :
3! Psmor Q A RT smor . = . Psmor smor Q [*164-44-17]
* 164-46. h Mult ax. э : P, Q e Rel2 excl. 3! P smor Q A RT smor . э .
E‘Psmor [*164-44-151]
* 164-47. h : P, S e Nr‘£>. C'R, C'S e Cl‘Nr‘P. э . 3! R smor S A RT smor
Доказательство.
h. *152-5-4. oh:Hp. d. Psmor S.
[*151-12] 0.3! Psmor S (1)
h . *60-2 . -..Up . : M eC'R . N EC'S . . M, N eNt'P .
[*152-5-4] D.AfsmorW (2)
h . *151-1-131. э F T ePsmof 5 . э : MTN. э . MeC'R . NEC'S (3)
h . (1). (4). oh Hp . э : T eRstrotS . d .T g smor (4)
th . (1). (4). э h . Prop
*164-48. h Mult ax. э : P, 5 e Rel2 excl A Nr‘2 • C'R, C'S e Cl‘Nr‘P. э .
Psmor smorS .E‘Psmor E‘5 [*164-47-44-46]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
400
*165. Отношения отношений пар
Краткое содержание *165.
В настоящем параграфе мы приведем различные предложения, касаю-
щиеся отношения Р X которое имеет те же самые применения в арифме-
тике отношений, что и сЦ“(3 в арифметике кардиналов. Предложения это-
го параграфа будут использоваться в следующем параграфе, чтобы устано-
вить свойства арифметического произведения двух отношений Р и 2, кото-
рое определяется как Е‘РХ;2- С другой стороны, предложения настоящего
параграфа будут полезны в связи с экспоненциацией, поскольку, после то-
го как уже было определено произведение отношения отношений (*172),
мы определим экспоненциацию посредством следующего определения
Р ехр Q = РгосГР J, »2 Df.
(Ср. *176.) Там, в теории серий иногда также будут находить применение
предложения настоящего параграфа. Отношение РХ’2 важно, так как его
структура достаточно хорошо известна. Оно является Rel2excl, который
состоит из Nr‘2 отношений, каждое из которых сходно с Р (*165-27); и если
PsmorР'. 2smor(>', то мы можем построить двойной коррелятор РХ’2
и Р' l;Q', не привлекая аксиомы умножения.
Фактически мы имеем
*165-362. h:P Г С‘Р'ePsmofP' .5 f С‘2' е 2smor 2'. z>.
(Я||5) ГС'Е'Р' Ге'еСРре) smorsniof (Р f’Q')
Это предложение следует сравнить с *113-127. 6 силу *164-31, вместе
с различными предложениями из *165 и *166, выявляется, что *165-362
включает *113-127 как часть того, что утверждается.
В настоящем параграфе мы начнем с группы предложений о полях.
Мы имеем
*165-12. h . ёРI ’2 = р Ñё2
*165-13. F . ёРX z = X z“C‘P = (С‘Р) х z
откуда
*165-14. h . ѓёРX ;2 = (С‘Р) Х“С‘2
что связывает теорию отношения РХ’2 с теорией аХ“Р (*113 и *116).
Следовательно,
*165-16. F . С‘Е‘Р X ;2 = С‘2хС‘Р
В *166 мы определим PxQ как Е‘РХ’2; поэтому приведенное выше
предложение становится
h.C‘(2xP) = C‘2xC‘P.
Затем мы имеем группу предложений, касающихся РХ как отношения,
и тех условий, при которых мы можем вывести х = у или Р = Q из таких
данных, как Р[х и Qly. Мы имеем
*165-21. I-. Р J. >Q е Rel2 excl
*165-211. 1-:а!С‘Р1хПС‘РХу.э.х = у
*165-22. I-. g!P-. P J,е I —> 1
Principia Mathematica II
165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР
401
Затем мы имеем различные предложения, касающиеся Л, главные из
которых есть
*165-241. F:2 = A.z>.P 1’6 = Л
*165-242. 1-:Р = Л.а!е.э.Р15е = Л1Л
Далее мы имеем четыре предложения, которые постоянно используют-
ся, доказывая, что Pl’Q состоит из Nr‘2 отношений, каждое из которых
сходно с Р. Эти предложения есть
*165-25. F : g!P. z>. Pl’gsmor 2. (Pl) \ClQe(Pl’Q) smor 6
*165-251. F.PlxsmorP.dx) fC‘Pe(Plx) smorP
*165-26. F. C‘P 1 >2 c Nr‘P
*165-27. F: з !P. э . P1 >2 6 Rel2 excl П Nr‘Q. C‘P X ’ 2 e Cl‘Nr‘P
Предложения от *165-3 до *165-372 касаются построения двойного кор-
релятора Pl’Q иР' I’Q', когда нам заданы простые корреляторы Р и Р',
Q и Q'. Результат (*165-362) уже был приведен. Следовательно, мы имеем
*165-37. F : Рsmor Р' .Qsmor Q'. э . Р J, smor smor Р' X '
и с помощью *164-48 и *165-27 мы имеем
*165-38. h Mult ах. э :
R е Rel2 excl A Nr'Q. C'R c Nr‘P. э . R smor smor P X ’(2
Следовательно, предложения, касающиеся серии (3 серий, содержащих
а термов каждая (где а и 0 — реляционные числа), которые, в общем, тре-
буют аксиому умножения, могут быть выведены, допуская указанную ак-
сиому, из предложений (не требующих этой аксиомы) о РХ’С, где Nr‘P = a
и Nr‘2 = 0. Таким образом, использование РХ’б позволяет нам минимизи-
ровать применение аксиомы умножения.
*165-01. h.PXz = XrP [*150-6]
*165-1. h : Р (Р X ;С) 5 . gz, w. zQw. R = X vP. 5 = X wP [*150-62]
*165-11. h:X(Xz;P)r.H.3x,y.xPy.X = xXz.y = yXz [*150-55]
*165-12. h . C‘P X = P,X“C‘C [*150-22]
*165-13. h . CP U = X z“C‘P = (C'P) X z
*165-131. h.C“PX“₽ = (C‘P)X“₽
*165-14. h . C“C‘P X ;2 = (C‘P) X“C‘2
*165-15. h . s'C'C'P X = C'QxC'P
*165-16. h . С E‘P X = C'QxC'P
•»
[*165-01. *150-22 . *38-2]
[*165-13 . *38-11. *37-68]
[*165-12-131]
[*165-14. *113-1]
[*165-15. *162-22]
*165-161. F : M(F>Pl’Q)N. = .
• 5
(gx,y,z, w). x,y eC‘P. zQw. M = x z. N = у [w
Доказательство.
F. *150-52 . э
F M (F'P J, ’Q) N. =: (gP, S). R (P J. ’Q) S . M e C‘R. N e C'S .
[*165-1] ’=:(a/?,5,z,M’).z2M'.R = lrP.5 = lw<P.MtC‘R.NtC‘S .
[*165-01-13] =: (gP, 5, z, w). zQw ,R = l z'P. 5 = X w'P.
MeXz“C‘P.NeJ,w“C‘P.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
402 отношений
[*21-151] = : (az, w). zQw. М е X z“C‘P. N е X w‘‘С‘Р.
[*38-131] =: (ах, у, z, w). zQw. х,уеС'Р. М = хlz • N = у :. з F. Prop
*165-162. \-:M(s'C'Pl’Q)N .s.(%x,y,z).xPy.zeC‘Q.M = xlz.N = ylz
Доказательство.
F. *165-12. *41-11. з
I-: M (s'C'P X ’>0 N . = . (a/?) • R e P I'‘C'Q. MRN.
[*38-13] ’’ =.(az).xeC‘2.Af(PXz)N.
[*165-01-11] = . (ax,y,z). xPy .zeC'Q .M = xlz.N = ylz:z>l. Prop
*165-17. I-M (S‘P X 50 N. ее : (ax,y, z, w):
x, у e C'P .z.weC'Q'. zQw .V .z = w. хРу: M = x X z .N = y
Доказательство.
F. *165-161-162. *162-11.3
F:. M (E‘PX ’QjN. = : (ax,y,z, w). x, у e C'P. zQw .M = xlz.N = ylw.V.
(ax,y,z) .xPy .zeC'Q. M = xlz-N -у X w:
[*13-195] = : (ax,y,z, w). x,y eC'P. zQw .M = xlz.N = ylw.v.
(Rx,y,z,w). xPy. z,weC'Q.z = w.M = xlz.N=ylw:
[*33-17. *4-71] = : (ax, y, z, w). x, ye C'P. z, we C'Q. zQw .M = xlz.N = ylw.V.
(^x,y,z,w). x,yeC‘P. z, we C'Q. xPy .z = w.M = x\,z-N = y\,w.
[*11-41. *4-4] a: (ax,y,z,w): x,yeC'P. z.weC'Q: zQw. V .z = w. xPy:
M = x X z. N = у X w:. 3 F . Prop
*165-18. F.Cnv‘PX;2 = P.X;£ [*150-12]
*165-181. FCnv‘PXz = £.Xz [*165-01. *150-12]
*165-182. F.Cnv5PX;e = ^X;e [*165-181. *150-35]
*165-19. F. Cnv'Cnv 5P X 'Q = £X; 6 = Cnv 5 Ctiv'P X 'Q [*165-18-182]
*165-2. F.PXel-»Cls’ [*72-14]
*165-201. F . C‘(P X z) = (C'P T t‘z)a‘i‘z
Доказательство.
F. *35-103.3F:y(C‘P?i‘z)z. = .yeC‘P:
[*85-51] з F. (C'P ? i‘z)a ‘i‘z = X z‘ 'C'P
[*165-13] = C'(P X z) • з F . Prop
*165-202. F.C“C‘PX;e = (C‘PTC‘0A“i“C‘e ’ [*165-14. *113-103]
*165-203. F . C"C'pI ’Qe Cis2excl [*84-55 . *165-202]
*165-204. F: C'PI x= C'P lу. s. P X x = Ply
Доказательство.
F . *165-13. *55-232 . з
F : C'P[x = C'Ply. a! C'Plx. з . x = y.
[*30-37]’ ’ з.РХх = РХу (1)
F . *33-241. з F : C'P X x = C'P X у. C'P X x = Л. з . P X x = Л. P X.y = A (2)
F.(l).(2).3F:C‘p'Xx = C‘PXy.o.PXx = PXy ’ ’ (3)
F. (3). *39-37.3F. Prop
*165-205. F . С Г D'P X e 1 -♦ 1 [*165-204 . *71-58]
*165-206. F : (x).E ! PX‘x: (a). acG‘PX [*38-12 . *33-431]
Principia Mathematica II
•165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР
403
*165-21. I-. Р15(2 е Rel2 excl
Доказательство.
к . *165-205 . *150-203. з к . С [ C'P X 'Q e 1 -> 1 (1)
I-. (1). *165-203. *163-17. з к. Prop’
*165-211. k:a!C‘PpOC?b.D.x=y [*165-13. *55-232]
*165-212. I-: g!P. = . g!PXx
Доказательство.
k. *165-11-01. з I- :д!РХх. = .(аХ,Г,х, y). xPy .X = x [z.Y = y [z.
[*13-19] = . (gx, y). xPy: з k . Prop
*165-22. I- :g!P.z> .PJ,e 1 -> 1
Доказательство.
I- . *165-212 . з k :. Hp. з: g !P X x:
[*30-37. *24-574. *33-24] з: P X’x = PX у. з. a 1 C'P X x П C'P Xу.
[*165-211] ’ ’ з.х=у ’ ’ (1)
k.(1). *71-54. *165-2 .ok. Prop
* 165-221. k :. g!P. з: g!PXxH PXy • = • P Xx = PXy • = • x = y
Доказательство.
k . *33-252 . d k : а !PX x ПP ly. з. g! C'P X x П C'P Xy.
[*165-211] ’ ’ з.х —у ’ ’ (1)
k . *165-212 . *25-571. з k:. g !P. з: x = у. з. g !P X x П P X у (2)
k . (1). (2). *165-212. *30-37. з k . Prop
* 165-222. k g !P • =>: 3! C'P X x П C'P X у . = . C'P X x = C'P X у. = . x = у
[Доказательство, как и в *165-221]
* 165-223. к а !Р • =>: Р X = Р X >Р • = • G = R
Доказательство.
к. *151-31. *165-22 . з к Нр. з: Р X 'Q = Р X ;Я • э. Q = R (1)
к. *34-29. *150-1. зк:е = Р.з.РХ/!2 = РХ;Р (2)
к . (1) . (2) . 3 к . Prop
*165-23. к:РХх=еХу.=>.Р=е
Доказательство.
к . *72-184. *150-153 . з к : X х’Р = X x'Q. з. Р = Q (1)
к . (1). *165-01. з к . Prop
*165-231. к:Р Хх=еХх.а.Р=2 [*165-23. *30-37]
*165-232. k:.g!P. V.a!e:=>:PXx=!2Xy- = -R=e-x = y
Доказательство.
к.*165-23.зк:.РХх=еХу.=>:Р=е: (1)
[*13-12. Нр(1)] ’’ ’’ э:РХх = РХу.СХх=2Ху:
[*165-221] з:д!Р. з. х = у: д!<2. з .х = у (2)
k.(l).(2).3k:.a!P.V.a!e:o:PXx=eXy. = .P=e.x=y (3)
к. (3). *13-12-15.3 к. Prop
*165-233. к : а! C'P X х П C'Q Ху. = . х = у. g! C'P nC'Q
[*55-232. *165-13]
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
404
*165-24. F:Р = А. з. РХх = А.РX = i‘AТ V
Доказательство.
I- . *165-212. Transp .зХ:Р = А.з.РХх = А (1)
I-. (1). *38-1. зF Р = А. з :P(P J,)x. s .Р = А.
[*51-15. *24-104] ’’ = .Pei‘A.xeV.
[*35-103] = .P(i‘A?V)x (2)
F. (1). (2). з F. Prop
*165-241. 1-:е = А.э.РГе = А [*150-42]
*165-242. НР = А.Й!С.э.РГС = АХА
Доказательство.
К *165-1-24.эН.Р = А. э:Я(Р|. = .(3z,w).z2w.P = A.S= А.
[*10-35] ’ =.g!2.« = A.S =А (1)
F. (1). *55-13. з F. Prop
*165-243. F : a !G • = • 3 !Р 1 ;G
Доказательство.
I- . *165-1. з F : а !Р X ;С • = • (S.x,y,R,S) .xQy .R = P [x.S = PXy.
[*13-19] = . (ax,у). xQy: oh . Prop
*165-244. 1-:АеС‘РГ>е. = .Р = А.а!С- = -РХ;е = А|А
Доказательство.
I- . *165-212-12. э I-: AeC‘P| >6 • о. P = A (1)
I- . *10-24. *33-24. d I-: AeC‘P| >Q. з. a IP X ’Q •
[*165-243] з.а!С’ (2)
I-. *165-242 . *55-15 . зF: P = A.g!£>. з . AeC‘PX 'Q (3)
F. (1). (2). (3). 3F:AeC‘PX;2. = .P = A.a!e (4)
F. *55-15 зF :PX’Й = ЛХ A.з. AeC'PX’<2•
[(4)] ’’ 3.P = A.a’!e (5)
F. (5). *165-242. 3F:P = A.a!C. = .PX;2 = AXA (6)
F. (4). (6). з F . Prop
*165-245. F:.a!P-V.e = A: = .A~eC‘PX;C- = -A~e(C‘P)X“C‘e
[*165-244. Transp. *33-241. *165-14]
*165-25. F:a!P.3.PX;2smore.(Pn fC‘<2e(PX;2) smorg
[*165-22-206. *151-231]
*165-251. F.PXxsmorP.(Xx) [C‘Pe(PXx) smorP
[*72-184. *55-21. *151-22]
*165-26. F.C‘PX;CcNr‘P [*165-251-12. *152-11]
*165-27. F : a !P • =>. P X eRel2 excl П Nr'g. C‘P X 'Q e Cl‘Nr‘P
[*165-21-25 . *152-11. *165-26]
Следующие предложения касаются доказательства того, что если R яв-
ляется коррелятором Р и Р', a S — Q и Q, то R || § (с ограниченной обрат-
ной областью) есть двойной коррелятор P l;Q и P' J, ;С'. Это предложение
требуется впоследствии при установлении сходств.
Principia Mathematica II
«165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР
405
*165-3. FE!P‘y.D.Xz‘P‘y = P|‘Xz‘y
Доказательство.
I-. *34-1. *38-11. э I-: и {Л |‘Х z'y} w . = . (gv). uRv. v (у X z) w.
[*55-13] = .uRy.w-z (1)
F. (1). *30-4 . z> I-Hp. z>: и {P |‘X z‘y} w . = .u- R‘y .w = z-
[*55-13 . *38-11] = и (| z'R'y) w:. э F . Prop
*165-301. F:Pel—»Cls.z> .Xz|P = (P|)l(Xz) [CPP
Доказательство.
I-. *165-3. 3F:.E!P‘y.3:M{(Xz)|P}y. = -A7{(P|)|Xz|y:.
[*71-16. *34-36] э I-Hp. э: M {(X z) I P} у. =.
M {(P I) J, z} у • у e G.'R:. э F. Prop
*165-302. E !! P“C‘P. z>. X z;P;P = K' X vP
Доказательство.
I-. *165-3. z> F:. Hp. z> :yeC‘P. э. X z'R'y =R ГХ z'y (1)
I- . (1). *150-35-13. э F. Prop
*165-31. I-: E !! R“C‘P. э. (R'P) X z = RI ’P X z • (R’P) X 'Q = (P I) t;P X 'Q
Доказательство.
F . *165-302-01. э F : Hp. э. (p:p) X z = RI ’P X z (1)
[*150-1] ’’ =(/?|)t;PXz (2)
F. (1). (2). *150-35. dF. Prop
*165-311. F : P f C'P e 1 —»Cis. C'P c Q'P. э.
(p;p) x z = R15P X z. (P’P) x 'Q = (R I) Y'P X ’Q
[*165-31. *71-571]
Доказательство.
F. *34-1. *43-101. *38-101. э
F:Af{(|S)|Xz}*.^.(aA0..M = An5.W = xXz.
[*13-195] s.M = (xXz)|5 (1)
F . (1). *55-581. э
F:.Hp.3:M{(|S)|Xz}x. = .M = xX(S‘z).
[*38-101] =.M{X(5'‘z))x (2)
F. (2). *21-43. э F: Hp. э. X (5 ‘z) = (15) IXz.
[*150-13] =>. X (S ‘z) ;P = {5 ! X z;P: => F . Prop}
*165-321. F:E!S‘z.3.PX(S‘z) = |5’PXz [*165-32-01]
*165-33. F : Е !! 5 “C'Q. z>. P X ;S'Q = (| S) t’P X (Q
•? • ?
Доказательство.
F. *165-321. *38-11. *150-1. э
F :. Hp. э: zeC'Q. э .PI'S ‘z = (15) t‘P X‘z (1)
F . (1). *150-35 . э F. Prop
*165-331. F:5 f C‘2e 1 —> Cis. C‘6c G‘5 . э. P X = (I S) t;PX ;<2
[*165-33. *71-571]
*165-34. F : Е !! R“C'P. E !! S “C'Q. э. (PSP) X; (№0 = (PII5) t; (P X ’2)
Доказательство.
F. *165-31. э F: Hp. э. (PSP) X (S'’Q) = (R |) V>P X ’ (S'>Q)
• 5 • 1
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
406
[*1б5-зз] =(я|)Г’(|£)т;е
[*150-13-14. (*43-01)]= (R ||5) (Pl ;0: =>I-. Prop
*165-341. I-: R [ C'P, S [ C'Q e 1 -> Cis. C'P c Q‘R. C'Q c d'S . z>.
(R’P) 15 (S’0 = (R || 5) f’P 1 -Q [*165-34. *71-571]
*165-35. HR fCPeCls-» 1. C‘P c CTR. z>. (R |) \C'VP l’Qe\^> 1
Доказательство.
I-. *113-118. *165-16. э F. s‘D“C‘E‘P I ’Q cy'P (1)
C'^'P 1>Q,C'P
1-. (1). *74-751------------. э F. Prop
A, a
*165-351. 1-: S [ C'Q e Cis -> 1. C'Q c Q‘5 . э. (| S) f C'Y'P 15(2 e 1 -> 1
Доказательство.
I-. *113-118. *165-16. э F. s'd"C"L'P J. 5(2 c C'Q.
[*74-75—] э F: Hp. э. (| 5) f C"L'P I50 e 1 -► 1: э F . Prop
*165-352. HR ]С‘Р,5 [С‘беС18-> 1. C'Pa d'R. C'Qa d'S .z>.
(R||5)[C‘E‘Preel^l
Доказательство.
F. *113-118. *165-16. э
F:Hp.э. s‘D“C‘S‘P J. >Q c C'P. s'd“C"£,‘P I ’Q c C'Q.
[*74-773] э . (R || S) [ C‘S‘P 1>Q e 1 -> 1: э F. Prop
*165-36. F:R[C‘P' ePsmorP' .d.
(R I) [ C"L‘P' i 5<2 e (P1 52) smor smor (P' J, 'Q)
Доказательство.
F. *151-22. *165-35 . э F : Hp. z>. (R |) \ C"L'P’ I'Qel 1 (1)
F.*43-3. э F. C'Z'P’ J. <Qc d'R | ’ (2)
F. *151-22. *165-311. э F : Hp. э. P | >Q = (|| R) f?P' J, >Q (3)
F . (1). (2). (3). *164-18 . э F . Prop
*165-361. F: S [C'Q’ e6smor Q'. э.
(|S)\C'^'Pl>Q' e(Pl’Q) smofsmor (P I'Q')
[*165-351-331]
Доказательство проводится, как и в *165-36.
*165-362. h : R f C'P' ePsmor P'. S f C'Qe 2smor Qr .z> .
(RII5) F C‘E‘P' x 5(2' e (Pi >Q) smofsmor (P' | Q')
[*165-352-341]
Три приведенных выше предложения исключительно полезны в ариф-
метике отношений.
*165-37. h : Рsmor Р’ .Q smor Q'. э . Р X smor smor Р' X ;2'
[*165-362. *164-11. *151-12]
Principia Mathematica II
165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР
407
*165-38. h Mult ах. э : R € Rel2 excl П Nr‘£) • C'R с Nr‘P. э .
R smor smor P Q
Доказательство.
h . *164-48 . *165-27. э h : Hp. g IP. э . R smor smor P J, ’(? (1)
h. *153-17. *165-241.0
к:е = Л.ЛеКе12ехс1﹑2.э./? = Л.РГе = Л.
[*164-32] э. R smor smor P J,»Q (2)
F. *165-242. z>F:P = A.giQ.o.Pl^ A| A ’ (3)
F. *153-17. *51-4. *151-32.d
F: R e Nr‘£). C‘R c Nr‘P. P = A. g\Q. o. ClR = i‘A.
[*56-381] o.P = Aj,A (4)
F. (3). (4). *153-101. *164-34. о
F: Re Nr‘g. C‘R c Nr‘P. P = A. g !Q. о. R smor smor P J, >Q (5)
F . (1). (2). (5). o F. Prop
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
408
*166. Произведение двух отношений
Краткое содержание *166.
Произведение QxP определяется как E‘PJ,’6- Это отношение, которое
в качестве своего поля имеет все пары, которые могут быть сформирова-
ны, выбирая референт в С‘Р, а релятив в С Q. Эти пары упорядочиваются
QxP на основе следующего принципа: если релятив одной (первой) пары
находится в отношении Q к релятиву другой (второй) пары, то мы рас-
полагаем первую пару перед второй, а если релятивы двух пар равны,
в то время как референт одной пары находится в отношении Р к рефе-
ренту другой, то мы располагаем первую из указанных пар перед второй.
Таким образом, двигаясь от какого-либо терма х\,у в поле QxP, мы спер-
ва фиксируем у и изменяем х до последнего возможного терма; затем мы
изменяем у до последнего терма, передвигаем х к началу, и т.д. Поэтому
для заданного у мы получаем серию, которая сходна с Р, и за этой серией
полностью следует или ей полностью предшествует серия с референтом у',
где у' следует за или предшествует у.
Предложения этого параграфа, по большей части, являются непосред-
ственными следствиями предложений из *165. Наиболее важные из них
есть
*16612. h . С‘(Рх0 = CPxCQ
*16613. F PxS = A.h.:P = A.V.2 = A
Следовательно, ординальное произведение конечного числа множителей
исчезает тогда и только тогда, когда исчезает один из его множителей.
*16616. F .^‘(Р х Q) = ~3'Pxl^Q .~3‘Cnv‘(P х Q) =
* 166-23. h : Р smor Р' .Q smor Q'. э . QxP smor Q' xP'
Это предложение показывает, что реляционное число произведения QxP
зависит только от реляционных чисел его множителей.
* 166-24. h Mult ах. э : Р € Rel2 excl Cl Nr‘2. CR c Nr‘P. э .
E‘P smor QxR
Это предложение связывает сложение и умножение (ср. замечание
к *166-24 ниже).
* 166-42. I-. (Р х Q) xR smor Р (QxR)
Это закон ассоциативности. Закон дистрибутивности имеет две формы:
*166-44. h . Е‘хР?2 = (Е‘0 хР
* 166-45. I-. (Q4-R) хР = (QxP) + (RxP)
Вообще говоря, мы не имеем (ср. замечание к *166-24 ниже)
Рх (Q+R) = (PxQ) 4(PxR).
Мы имеем также закон дистрибутивности при добавлении единственно-
го терма, т.е.
* 166-53. F : a IQ. э . (Q -и у) хР = (QxP) 4 (Р1 у)
*166-531. h : a IQ. э . (у <1- Q) хР = (Р1. у) 4 (QxP)
Здесь снова закон не имеет места в общем случае для Px(Q-hy) и
Рх(у + Q).
Principia Mathematica II
166. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
409
*16601. ехР = Е‘Рре Df
*1661. I- .QxP^'P^Q [(*16601)]
*16611. F M(QxP)N. а: (ях,у, z, w): x,у eC'P. z, weC'Q :zQw. V .
z = w. xPy :M-xlz.N = yl w[*165-17. *166-1]
*166-111. FM(PxQ)N. =: (ях,у, z, w): x,у eC'P. z, weC'Q: xPy. V .
x = у. zQw: M = z[x. N = w I y[*165-17. *166-1]
*166-112. I-(xlz) (QxP) (у 1 w). =: x,у eC'P .z, weC'Q tzQw. V .
z = w. xPy[*166-ll. *55-202 . *13-22]
*166-113. F :: x, yeC'P. z, weC'Q. z>
(x 1 z) (СхР) (у 1 w). a: zQw. V .z = w. xPy[*166-112]
*166-12. F.C‘(Px0 = C‘PxC‘e [*165-16. *166-1]
*166-13. F:.Pxe = A. = :P = A.V.e = A [*166-12 . *113-114. *33-241]
*166-14. F:a!Pxe. = .a!P.g!e [*166-13]
*166-15. F . Cnv‘(P x Q) = Px (J [*165-19. *162-2]
*166-16. F .7J‘(P x Q) =^'Px^'Q .7TCnv‘(P x Q) =~&'Рх~$'&
Доказательство.
F. *166-111. *93-103. э
FM e~fi‘(P x Q). a : (gx,z): xeC'P .zeC'Q.M = zlxt
~ (ЯУ) • ypx: ~ (Я w) • w2z:
[*93-103] = : (ях, z). x et'P. у eH'Q. M = z J. x:
[*113-101] s:Me~S'Px~S'Q (1)
F. (1). *166-15 . э F .^‘Cnv‘(P x Q) =~8'P x~§'Q (2)
F . (1). (2). э F. Prop
Приведенное выше предложение используется в ординальной теории
прогрессий (*263-62-65).
*166-2. F-.Я \С'Р'еРsmorР'.э.(Я|) [C'(QxP')е(QxP) smor (QxP')
[*165-36. *166-1. *164-14]
*166-21. F:5 \ C'Q'eQsmorQ' .z>.(|S) [ C‘(Q' xP) e (QxP) smor (Q'xP)
[*165-361. *166-1. *164-14]
*166-22. F :P f C‘P' ePsmor P' .S \C‘Q' eQsmor Q' .z>.
(RII5) [ C‘(Q'xP')e (QxP) smor (Q' xP')
[*165-362 . *166-1. *164-14]
Это предложение дает коррелятор для произведения, когда даны кор-
реляторы для множителей.
*166-23. h : РsmorPf .Qsmor Q'. э . Q*Psmor Q' xP'
[*166-22. *151-12]
Это предложение позволяет нам использовать QxP для того, чтобы
определить произведение реляционных чисел Р и Q, так как оно показы-
вает, что реляционное число QxP детерминируется, когда заданы реляци-
онные числа Р и Q. Поэтому (глава 4 этой части) мы определим произве-
дение двух реляционных чисел ц и v как реляционное число QxP, когда
Nor‘P = v и Nor‘P = p,.
*166-24. h Mult ах. э : R е Rel2 excl П Nr‘Q . ёРс Nr‘P. э .
ГР smor QxP[*165-38 . *164-151. *166-1]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
ОТНОШЕНИЙ
410
Это предложение показывает связь сложения и умножения. Если мы
положим Nr‘P = p, и Nr‘£) = v, то R в приведенном выше предложении
есть сумма v отношений, каждое из которых есть ц. В силу приведенно-
го выше отношения, следует, что (если принимается аксиома умножения)
Nr‘E‘P = v х ц. Другими словами, принимая аксиому умножения, сумма v
серий (или других отношений), каждая из которых имеет Ц термов, обла-
дает v х ц термами.
*166-3. F: а! С‘(Р X 0 П С‘(Р' хб'). =. а! С'Р П С'Р'. а! C'Q П C'Q'
[*166-12. *113-19]
Аналогичное предложение
3!(Рх0П(Р'хе'). = :
a!(PnP').a!C‘CnC‘ez .V .й!(епС').Я!С‘РПС*Р'
в общем случае истинно, лишь если PaJ и P'tzJ.
*166-31. F. s'C'(QxP) = C'Pf C'Q [*113-115.*166-12]
*166-311. I-: а 12 • => • s‘D“C‘(2xP) = C'P: a !P • о • 5‘Q“C‘(exP) = C'Q
[*113-116. *166-12. *33-24]
*166-312. F . $‘D“C‘(2xP) c C'P. s‘d"C'(QxP) a C'Q
[*113-118. *166-12]
Следующие предложения являются леммами для закона ассоциативно-
сти (*166-42).
*166-4. F:. М {(PxQ) xR)M' . = : (ax,y,z,x',yz,zz):
х,х' еёР.у,у' eC'Q.z,z' eC'Rt
хРх'. V . х = х'. yQy z.V.x = xz.y = yz. zPz':
M = z\,(y \,x) .M' = z' \,(y' \,x')
Доказательство.
I- . *116-111. э F :. M {(PxQ) xR}M'. = : (aM N',z,z'):
N,N' eC‘(PxQ).z,z' eC‘R: N (PxQ)N'. V .A = W' .zRz':
M = z[N.M'=z' IN':
[*116-12 . *113-101] = : (aMW',x,xz,y,yz,z,zz):
x, x' eC'P .y,y' eC‘Q . z, z' eC'R. N = y \.x. N' =y' \.x':
N(PxQ)N' .V .N = N' .zRz' :M = z[N .M' = z' IN':
[*13-22. *116-113] s: (ax,x',y,y',z,z'): x,x' eC'P .y,y' eC‘Q . z,z' eC'R:
хРх'. V . x = x'. yQy' .У .y \,x = y' \,x'. zRz':
M = z\.(y\,x).M'-z' l(y' \,x'):
[*55-202] s: (ax,xz,y,yz,z,zz): x, x’ eC'P .y,y' eC‘Q. z, Zz eC'R:
хРх' .V . x- x'. yQy' .У ,x = x' .y = y'. zRz':
M = zl(ylx).M'=z'l(y'lx'):.z>\-. Prop
*166-401. F :. N {Px (QxR)]N' . = : (ax,x',y,y',z,z'):
x,x' eC'P-y,y’ eC‘Q.z,z' eC'R:
хРх'. V . x = x'. yQy' .У ,x = x' .y = y'. zRz':
A = (zJ.y)lx^z = (zzly')lxz
[Доказательство, как и в *166-4]
Principia Mathematica II
166. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
411
*166-41. F : Т = MN {(gx,y,z) .хеС'Р .yeC'Q.zeC'R. M = z\.(y\.x).
N = (z J. у) X x). э . T e {(Рх® хР} smor (Px (gxP)}
Доказательство.
F. *21-33. z> F :: Нр. э MTN .M'TN.z>:
(^x,j^,y,yf,z,z!)‘X,x'eC*P.y,y,e.C'Q.z,z'eClR‘.
M = z\,(y\,x).M' = z' X (y' X*'):
^ = (zXy)X^-^' = (z'Xy/)X-v':
[*55-202] z>: (gx, x\ y, y1, z, z'). M - z X (у X x) • M' = z ’ X (у' X x').
x = x' .y = y' . z = z':
[*13-22] z>-.M = M' (1)
SimilarlyF Hp.. э: MTN. MTN'. z> ,N = N' (2)
F. (1). (2). z>F:Hp.D.Tel->l (3)
F. *21-33. *13-19. z>F:Hp.z>.
G‘T = JV{gx,y,z • xeC'P .y eC'Q .zeC'R. N = (zXy) X x}
[*113-101] = C‘Px(C‘2xC‘P)
[*166-12] =C‘(Px(exP)} (4)
F. *166-401. э F :: Hp. э:. M {Г! (Px (QxP))} M'. =: (gx.x',y,y,z,z',N,N'):
x,x' eC'P .y,y' eC'Q .z,z' eC'R. N = (z ly) I x. N' = (z' ly') I x'.
Af = zX(yXx).A/'=z'X(y'Xx'):
xPx'. V . x = x ’. yQy '.V.x = x'.y = y'. zRz’:
[*13-19. *166-4] =: M {(PxQ) xR] M' (5)
F . (3). (4). (5). *151-11. э F . Prop
*166-42. F . (PxQ) xR smor Px (QxR) [*166-41]
Это закон ассоциативности для того типа умножения, который рассмат-
ривается в этом параграфе.
*166-421. PxQxR = (PxQ) xR Df
Это определение служит просто для того, чтобы избежать употребления
скобок.
Два следующих предложения дают закон дистрибутивности. В реляци-
онной арифметике он в общем случае истинен в одной из своих двух форм,
т.е. мы имеем
(Q*R) хР = (QxP) * (RxP),
но не
Px (Q1R) = (PxQ) * (PxR).
Последняя форма истинна для конечных серий, но не для бесконечных
серий или (исключая отдельные случаи) отношений, не являющихся сери-
альными.
*166-44. F. ГхР;<2 = (Е‘2) хР
Доказательство.
F . *166-1. *38-11. *150-1. э F. Е‘хР:е= Е‘Е 5 (Р X) f’Q
[*162-34-35] =Е‘РХ’2*2
[*166-1] = (Е‘2) хР. oF . Prop
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ
412 отношений
*166-45. F.(e+R)xP = (0<P)4(RxP)
Доказательство.
F . *166-1. э F. (QxP) 4(RxP) = ГР J, ’(К ГР J. ’R
[*162-31] =S‘(Ppe + PpP)
[*162-36] =ГРр(е4Я)’
[*166-1] = (Q 4 R) xP. э F . Prop
Следующие предложения (*166-46—472) показывают невыполнение дис-
трибутивного закона в форме Рх (Q4R) = (Px04(PxR) и дают некоторые
результаты для специальных случаев.
*166-46. \-.(P(jQ)lz = Plz(jQlz [*165-01. *150-3]
*166-461. F . s'C'(P(jQ)l ’R = s'C'P I ’RUs'C'Ql ’R
[*41-6. *165-12’.*166-46]
*166-462. 1. F> (PU g) | ’R = F’P i ’R U F’Q | ’R 0 A/A {(gx,y, z, w):
zRw'. xeC'P. у eC'Q. V . xeC'Q .yeC'P :M = xlz.N = yj,w}
Доказательство.
F*165-161. z> F. F’ (P U Q) | ;R
= MN ((gx, y, z,w) .x, ye C'P UC'Q. zRw. M = x lz. N-y lw}
[*22-34] = MN{(Qx,y,z,w). x.yeC'P. V . x,у eC'Q. V .
xeC'P. у eC'Q. v . xeC'Q .y eC'P :zRw .M = x{z.N = ylw}
[*11-41. *165-161]=F’P i ’R U F’Q 1 >R U MN {(gx,y, z, w):
xeC'P.у eC'Q. V . xeC'Q .y eC'P:
zRw ,M = xlz-N = ylw].z>\-. Prop
*166-463. F :С‘РсС‘0э. F'P JJRgF^I iR [*165-161]
*166-464. F : C'P c C'Q. э . F' (RO fi) J. ’R = F’Q J. ’R = F’P i ’R U F’Q | ’R
Доказательство.
F . *166-463 . э F : Hp. э . F’P I ’R g F>Q J, ft (1)
F. *33-262 э F : Hp. э . C‘(PU 0 = C‘6.
[*166-463] э . F’ (P U 0 J, ’R = F’Q I ’R (2)
F. (1). (2). э F. Prop
* 166-47. F . Rx (P U 0 = (RxP) U (RxQ) U A4W((gx,y,z,w):
xeC'P. у eC'Q. V . xeC'Q. у eC'P: zRw • M = x [z - N = y lw]
[*166-461-462-1. *162-1]
* 166-471. F : C'P c C'Q. z>. Rx (PCQ) = (RxP) и (RxQ)
[*166-461-464]
* 166-472. F. Rx (P 4 0 = (RxP) U (RxQ) U Rx (C'P | C'Q)
Доказательство.
F . *166-471. *35-85. э
F:.g!0z>:Rx (Р+0 = (РхР)иРх(би(С‘РГС‘0}:
[*166-471. *35-86]
э : g!P. э. Rx (P+ Q) = (RxP) 0 (Rx0 URx (C'P f C'Q) (1)
F . *160-21. *166-13. z>
F:C = A.z>.P+e = P .RxQ^N.Rx (C‘Pf C‘0 = A.
[*25-24] d.Rx(P + 0 = (RxP)U(Rx0URx(C‘P1C‘0 (2)
Similarly
Principia Mathematica II
»166. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ 413
F : Р = Л .э . Rx (Р4 0 = (RxP) U (RxQ) U Rx (C'P ? C‘0 (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
Следующие предложения касаются закона дистрибутивности при до-
бавлении единственного терма к отношению. Этот закон в той фор-
ме, в которой он имеет место, приводится в *166-53-531 (напомним, что
Nr‘PXy = Nr‘P). Предложение *166-54-541 демонстрирует невыполнение дру-
гой формы.
*166-5. F . (0UP)xP = (0<P)U(PxP)
Доказательство.
F. *166-1 .эЬ.(СОР)хР = £‘РГ(еиР)
[*162-27] =Е‘РГеиЕ‘Р|;р
[*166-1] = (QxP) U (RxP) ’ э F . Prop
*166-51. F.(2-Hy)xP = (2xP)U(C‘2Ti‘y)xP [*166-5. *161-1]
*166-511. F. (у 4- 0 хР = (i‘y Т С'Р) хР U (QxP)
*166-52. F.PJ,5(e-Hy) = Ppe-HPJ.y [*161-4. *165-2]
*166-521. F . Р15 (у * 0 = РX у -н- Р X >Q
*166-53. F : a !Q. э. (Q -и у) хР = (QxP) 4 (Р X у)
Доказательство.
F . *162-43. *165-243 . э F : Нр. э . S‘(P X >Q 4» Р Ху) = S‘P X !2 4 Р Xу.
[*166-52 ] э. ГР X; (Q -в у) = ГР X -’64 Р X у’ ’ (1)
F . (1). *166-1э F . Prop
*166-531. F : а!(2. э . (у ч- 0 хР = (Р Xу)4 (QxP)
*166-54. F . Qx (Р + х) = (QxP) 0 Qx (ёР? i‘x)
Доказательство.
F. *161-1. z> F . Qx (Р +• х) = Qx (Р U (С'Р Т i‘x)}
[*35-85 . *166-471] = (QxP) й Qx (С'Р f i‘x). э F . Prop
*166-541. F . Qx (x -H- P) = Qx (i‘x f C'P) 0 (QxP)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3.
ПРИНЦИП ПЕРВЫХ
РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ
И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
ОТНОШЕНИЙ
Краткое содержание главы 3
В настоящей главе мы должны рассмотреть различные формы принци-
па, который наиболее продуктивен в арифметике отношений. Указанный
принцип может быть назван “принципом первых разностей”. Он был разъ-
яснен и использовался Хаусдорфом в его блестящих статьях74. Результаты,
полученные там посредством его применения, позволяют дать некоторую
оценку его важности в арифметике отношений. Он имеет, однако, другие
применения помимо тех, которые касаются умножения и экспоненциации
реляционных чисел, как, например, в упорядочивании сегментов и проме-
жутков в серии или любом другом множестве классов, которые содержатся
в поле данного отношения. В настоящей главе, после первых двух парагра-
фов, мы будем иметь дело с его арифметическими применениями, однако
другие применения встретятся позднее.
Принцип первых разностей имеет различные формы, которые, хотя и
аналогичны, не могут в общем случае быть сведены к одному общему виду.
Самой простой из этих форм является отношение Pci, посредством которо-
го подклассы С'Р упорядочиваются. Это определяется следующим образом.
Если а и Р оба содержатся в С‘Р, то мы говорим, что aPci Р, если существу-
ют термы, принадлежащие к а, но не к р, такие, что нет термов, принадле-
74 “Untersuchungen iiber Ordnungstypen”, Berichte der mathematisch-physischen Klasse
der Koniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Feb. 1906, Feb. 1907.
Ср. также его “Grundziige einer Theorie der geordneten Mengen”, Math. Annalen, 65 (1908).
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
416 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
жащих к 0, но не к а, предшествующих им; т.е. если после отбрасывания
термов (если они есть), которые являются общими для а и 0, останутся
термы в а, которые не следуют после любого из термов, оставшихся в 0,
т.е. если g! а - 0 - Р“(0 - а). Поэтому рассматриваемое определение есть
Pci = d0 {а, 0 е С1‘С‘Р. £! а - 0 - Р“(0 - а)) Df.
Будет видно, что это отношение имеет место, если 0 с а. 0 / а. Поэтому
оно имеет место между любым экзистенциональным элементом СГёРи
А, и между ёРи любым элементом СГС‘Р, отличным от самого С‘Р.
Когда Р есть сериальное отношение (что является важным случаем для
всех отношений в этой главе), то Рс\ транзитивно (Pj G Pci) и асимметрич-
но (Pci hPci = А), однако не обязательно связно, т.е. могут существовать два
элемента его поля, ни один из которых не находится в отношении Pci к дру-
гому. Это происходит всякий раз, когда Р не является вполне упорядочен-
ным; однако когда Р вполне упорядоченно, то Рс\ связно и, следовательно
производит серии.
Чтобы проиллюстрировать упорядочивание, произведенное посредством
РС1, в простом случае рассмотрим серии трех термов х, у, z. Запишем
(xj,yj,z) вместо отношения
xj,yUxJ,zUyJ,z5 т.е. (x|y)-hz,
и аналогично мы будем писать (х J, у J, z J, w) вместо х J, у J, z 4* w и т.д. Тогда,
предполагая
x/y.x/z.y/z,
(х X у i z)cl = (t‘* и b‘y U l‘z) i (b‘x и l/y) i (l‘x U l‘z) i l‘x i (l/y U l‘z) i L‘y J, l‘z J, A .
В этой серии класс, содержащий х, всегда появляется раньше, чем
класс, не содержащий х; и из двух классов, оба из которых содержат
или ни один не содержит х, класс, содержащий у, появляется раньше, чем
класс, не содержащий у; и из двух классов, оба из которых содержат или
ни один не содержит х, и оба содержат или ни один не содержит у, класс,
содержащий z, появляется раньше, чем класс, не содержащий z. Поэто-
му наше отношение может быть построено следующим образом: Начнем
с (i‘z)J,A, представляющего собой (zj,z)ci- Добавим перед этими термами
то, что получается в результате прибавления i‘y к каждому из них; тогда
мы имеем (у J,z)cb который представляет собой
(ь‘у U l‘z) X i/у J, L‘z J, A .
Добавим в начало то, что получается в результате прибавления l‘x к каж-
дому из приведенных выше четырех классов, и мы имеем (xj,yj,z)ci- По-
этому, в общем, если х~еС‘Р, то
(X 4- P)d = (L‘X U) 5 РС1 * Pd .
Таким образом, добавляя один терм к Р, мы удваиваем число термов в Рс\.
С другой стороны, если Р и Q есть два отношения, которые не имеют
общих термов в своих полях, то мы будем иметь
аРс1 0. у, беСГС‘2. э. (а Uy)(P*0ci (0 U б)
и
а е СГС‘Р. у 2d & • =>. (а U у) (Р* 6)d (а U б),
Principia Mathematica II
Краткое содержание главы 3
417
в то время как обратно
а, 0еСГС‘Р.у, б€С1‘С‘е.(аиу) (P+0d (0 U б). э: аРс] 0. V . а = 0. у Qci б.
Следовательно,
(аиу(РФе)с1(риб). = .(у|а)(Рс1Хес1)(6Хр)
=. (аи у) (j > С ’ (РС1 х gcl)} (р U б),
так что
Nr‘(P4- 0ci = Nc‘Pcl х Nc‘Cci.
Эти предложения иллюстрируют связь Рс\ с умножением.
Помимо РС1 нам часто требуется (хотя не в этой части) отношение, ко-
торое является обращением (Р)сь Это отношение мы называем Pic, так что
Plc = Cnv‘(P)cl Df.
Оно начинается с А и заканчивается С‘Р.
Поэтому мы будем иметь, например,
(х i у i z)lc = A i l‘x i L‘y i (l‘x U L‘y) i l‘z i (l‘x и l‘z) i (L‘y и l?z) i (l‘x и L‘y U l‘z) .
Здесь, если мы начинаем с A J, l‘x, что представляет собой (xj,x)ic, то се-
рия растет посредством присоединения термов к концу: мы добавляем ь‘у
к каждому элементу A J, l‘x и помещаем полученные термы ь‘у, l‘x U ь‘у по-
сле А и l‘x; мы затем добавляем С г к каждому из четырех термов, которые
мы уже имеем, и добавляем полученные термы в конец; и так мы можем
продолжать бесконечно.
Отношение Р\с с ограниченным полем выстраивает сегменты Р в поряд-
ке возрастания величины; если класс сегментов есть 6, то Р\с £ 6 произво-
дит то, что мы могли бы назвать естественным упорядочиванием сегментов
(ср. *212).
Вариант Р\с дается посредством отношения Pdf (*171), которое должно
иметь место между двумя элементами а, Р из СГС‘Р, когда первый терм
любого одного из этих классов, который не принадлежит обоим классам,
принадлежит а, т.е. “первая разность” принадлежит а. Это отношение вле-
чет РС1 и совпадает с ним, если Р является вполне упорядоченным; одна-
ко когда Р не является вполне упорядоченным, то Pci может иметь место
между двумя классами, которые не имеют первой точки разности, т.е. (ес-
ли Р представляет собой “меньше чем” среди рациональных чисел) если
а состоит из рациональных чисел между 0 и 1 (исключая их), а Р — из
рациональных чисел между 1 и 2 (исключая их). Определение Pdf есть
Pdf = ар (а, Р е CVC'P: (gz). zе а - р ."?‘z П а - l‘z ="?‘z П р} Df.
Отношение Pdf обладает интересным свойством: его реляционное чис-
ло находится возведением 2Г в степень Nr‘P (ср. *177). Так как поле
Pdf есть СГС‘Р, то эта теорема представляет собой ординальный аналог
Nc‘Cl‘a = 2Nc‘a (*116-72).
Несколько более сложная форма указанного отношения первых разно-
стей возникает, когда мы имеем серию серий. Предположим для начала,
что Р есть сериальное отношение, чье поле состоит из взаимно исключа-
ющих сериальных отношений. Поэтому на сопровождающем рисунке каж-
дая строка представляет серию, производящими отношениями указанных
серий являются Q,... Р,... . Однако эти серии сами по себе формируют
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
418 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
серию, которая могла бы трактоваться как произведенная посредством от-
ношения Р, чье поле состоит из отношений Q,... R,... . (Могло бы пока-
заться более естественным взять C'Q, C'R, ...в качестве поля Р; однако
это привело бы к путанице в случае, когда две или более серий имеют
одно и то же поле.) Положим, что мы желаем найти отношение, кото-
рое будет упорядочивать мультипликативный класс полей Q, R, ..., т.е.
класс Prod‘C“C‘P. В случае, проиллюстрированном рисунком, в котором
Р производит вполне упорядоченную серию, и все элементы С'Р являются
сериальными, и Ре Rel2 excl, мы могли бы использовать (E‘P)ci; это отно-
шение с полем, ограниченным Prod 'С "С'Р, даст нам то, что мы хотим.
Это отношение поместит в рассматриваемом случае выбранный класс ц
перед другим выбранным классом v, если там, где они различаются впер-
вые, ц выбирает терм, встречающийся раньше, чем v. Однако если серия Р
не является вполне упорядоченной — если она (скажем) имеет тип Cnv“w
(ср. *263), —то может не существовать первого элемента поля Р, где ц и v
различаются. Это произойдет, например, если ц состоит из всех первых тер-
мов, а V —из всех вторых. Наше упорядочивающее отношение может быть
таким образом определено, чтобы поместить ц перед v также и в этом
случае, однако если оно таким образом определено, то закон ассоциатив-
ности умножения имеет место, лишь если Р является вполне упорядочен-
ным. По этой причине мы определяем наше упорядочивающее отношение
таким образом, что, в таком случае, ц идет ни до, ни после v. С другой
стороны, если Р не есть Rel2excl, то элемент выбранного класса мог бы
входить дважды, один раз как представитель C'Q и один раз как пред-
ставитель C'R, если CQ и C'R обладают общими термами. Мы желаем
различать эти два вхождения. Следовательно, мы действуем следующим
образом: Если ц и v есть два выбранных класса С'С'Р, то пусть суще-
ствуют один или более элементов С'Р, в котором ^-представитель предше-
ствует v-представителю, и которые таковы, что среди всех более ранних75
элементов С'Р ц-представитель тождественен v-представителю.
□
о
о □
о
□
□
0
Однако некоторая дополнительная модификация желательна для того,
чтобы соответствовать случаю, в котором два или более элементов С'Р об-
ладают одним и тем же полем. Предположим, например, что мы вынуж-
75 Здесь о Q говорится как о идущем раньше, чем Я, если Q находится в отношении Р
к R и не тождественно R.
Principia Mathematica II
Краткое содержание главы 3
419
дены иметь дело с серией, состоящей из всех серий, которые могут быть
сформированы из заданного набора термов: в этом случае мы должны раз-
личать вхождения любого данного терма не на основании поля, а на ос-
новании производящего отношения. Это требует того, чтобы мы сделали
F-выборку из СТ, а не е-выборку из ССР. Следовательно, мы берем два
элемента скажем М и N, и выстраиваем их или их области на ос-
новании следующего принципа: Мы помещаем М перед N (или D‘Af перед
DW), если существует отношение Q в поле Р такое, что М-представитель
от б, т.е. M'Q находится в отношении Q к N-представителю от б, и такое,
что если R есть какой-либо более ранний элемент СТ, тогда M'R тожде-
ственно NT. Т.е. М предшествует N, если
(Я б): (А/‘б) Q (^‘б): RPQ .R*Q.^r.M'R = N'R.
Отношение между М и N, таким образом определенное, обладает свой-
ствами, требуемыми от арифметического произведения; следовательно, мы
полагаем
ПТ = МДЧМ, N е Гд‘С‘Р
(Яб): (А/‘б) Q (N'Q): RPQ. В / б • . М Т = N'R} Df.
Это отношение является ординальным аналогом €д‘к. Одинальный ана-
лог Prod‘к есть соответствующее отношение областей М и N, т.е. D»П‘Р;
следовательно, мы полагаем
ProdT = D;nT Df.
В случае, когда Р есть Rel2excl, мы имеем Nr‘ProdT = №‘ПТ. Одна-
ко когда Р не является Rel2 excl, то ProdT и ПТ не являются, вооб-
ще говоря, подобными ординально. Мы можем, однако, всегда образовать
Rel2excl посредством замещения элементов х, у, etc., принадлежащих С‘б
(где QeCP) на х^б, ylQ> etc.. Следуя таким путем, если х появляется
дважды в СТТ, один раз как элемент CQ и один раз как элемент СТ,
то эти два появления вводятся таким образом, чтобы соответствовать х I Q
и x[R соответственно, и поэтому мы получаем новое отношение, которое
представляет собой Rel2excl.
Если каждый элемент СР имеет первый терм, то В f СР будет первым
термом П‘Р, а В“СР будет первым термом РгорТ. Если в дальнейшем
будет существовать последний элемент СТ, т.е. если Е! ВТ, и если этот
последний элемент имеет второй терм, то второй элемент ПТ получает-
ся посредством выбора указанного второго терма в качестве представителя
ВТ, оставляя при этом всех других представителей неизменными. В любом
случае, если ВТ существует, то первоначальными последователями какого-
либо элемента ПТ являются те, которые получены лишь варьированием
представителя в ВТ. Поэтому, если ВТ существует, то те элементы ПТ,
которые обладают заданным набором представителей во всех элементах
DT, формируют последовательный промежуток этой серии, и этот про-
межуток сходен с ВТ. Если ВТ имеет непосредственного предшественни-
ка, то промежутки, полученные лишь варьированием представителя в этом
предшественнике, снова являются последовательными и формируют серию,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
420 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
сходную с упомянутым предшественником; и т.д. Тем самым разъясняется,
почему П‘Р обладает свойствами произведения.
Как и в случае с кардиналами, определение экспоненциации выводится
из определения умножения. Мы полагаем
Р ехр Q = РпхГР i » Q Df.
Мы также полагаем
PQ = s 5 (Р ехр Q) Df.
Это является важным отношением, которое заслуживает рассмотрения, не
говоря уже о том факте, что оно является полезным в связи с экспонен-
циацией. Будет найдено, что
PQ = MN {М, N е (С‘Р Т С‘е)д‘C‘G ••
(gy): у € С‘ Q. (ЛГу) Р (N'y): xQy. х±у . . М'х = W‘x}.
Это предложение представляет собой форму принципа первых разно-
стей, которая является подходящей, когда рассматриваются два отношения
вместо только одного, как в Рсь Указанный принцип в этом случае пред-
ставляет собой следующее: Пусть Л/, N есть два некоторых одно-многознач-
ных отношения, которые соотносят часть (или все) С'Р ко всему C'Q. Т.е.
каждое из этих двух отношений приписывает представителя в С'Р к каж-
дому терму C‘Q, однако разные термы CQ могут обладать одним и тем же
представителем. Тогда, следуя вдоль серии б, обнаружится, рано или позд-
но, терм у, чей М-представитель идет раньше, чем его N-представитель,
и у термов, которые идут раньше, чем у, в Q все их ^-представители
тождественны N- представителям.
Отношение PQ может быть подвергнуто различным ограничениям, кото-
рые дают важные результаты. Этот предмет рассматривался Хаусдорфом.
Например, если Р = х[у (где х/у), и Q принадлежит ординальному ти-
пу, который Кантор называет со, т.е. типу прогрессий (произведенных по-
средством транзитивных отношений), тогда если z есть некоторый элемент
C'Q, то M'z всегда есть либо х, либо у. Если мы накладываем условие,
что M'z есть х, за исключением конечного числа значений z, то получен-
ная серия принадлежит типу рациональных чисел в порядке величины,
т.е. типу, называемому ц. Если мы накладываем условие, что существует
бесконечное число значений z, для которых M'z = y, то полученная серия
представляет собой континуум, т.е. она принадлежит ординальному типу,
называемому 0; в этом случае содержащаяся “рациональная” серия состо-
ит из тех М-к, для которых существует лишь конечное число z-в, обла-
дающих M'z = x. Если мы не накладываем никаких ограничений, то Р®
принадлежит типу, представленному посредством действительных чисел,
когда десятичные дроби, оканчивающаяся повторяющейся цифрой 9, под-
считывается отдельно от завершенных десятичных дробей76, обладающих
той же самой величиной.
Мы можем обобщать Р® вместо того, чтобы ограничивать его. Для на-
чала мы можем позволить нашим М и N обладать лишь частью С'Р для их
76 В оригинале — the terminating decimals. Подразумеваются равные по величине беско-
нечным периодическим (с девяткой в периоде) десятичным дробям, но уже конечные по
форме записи десятичные дроби. — Прим. ред.
Principia Mathematica II
Краткое содержание главы 3
421
обратных областей и отказаться от предположения, что существует первый
элемент С‘б, для которого М'у и N'y различаются; это приводит к отно-
шению
MN {М, N е (1 -> Cis) О R1‘(C‘P Т C'Q)
(ЗУ): (A/‘y) р (N‘y): х Qy. х е Q W. зл . (ЛГ х) (Р UI) (ДГх)}.
Кроме того, мы можем снять ограничение на одно-многозначные отно-
шения. Будет замечено, что если (М‘у) Р (N'y), то мы имеем y(M\P\N)y.
Поэтому мы можем рассматривать отношение
MN [MN е Ш'(С'Р Т С‘б)(лу): у (М | Р | N) у: xQy. зх . х {М | (Р U /) | N} х].
Это отношение обладает для своего поля всеми отношениями, содержащи-
мися в С'Р У C'Q. Мы можем, если пожелаем, снять и это ограничение и
рассматривать
MN [fay) :yeC'Q .у(М \ P\N)y: xQy .:>х . х{М \(PU I \ C'P)\N] х].
Это отношение представляет собой наиболее общую форму принципа пер-
вых разностей в применении к паре отношений Р и Q. В ординальной
арифметике, однако, Ре является достаточно общим для случаев, в кото-
рых мы желаем его применять.
Формальные законы, поскольку являются истинными, могут быть до-
казаны без чрезмерных трудностей. Мы имеем
I-: Р / Q. э . №‘П‘(Р IQ) = Nr‘(P х б),
которое связывает два вида умножения;
F : Psmor smor Q. з . NrTTP = №‘П‘б,
I-: P e Rel2 excl. P g J. з . №‘П‘П 5 P = NrTTX‘P,
которое представляет собой одну форму закона ассоциативности, другой
формой которого является
I-: Р / б • => • №‘(П‘Р х П‘б) = №‘П‘(Р* б) •
К тому же
I-: Р, E‘PeRel2 excl. Pg J. з . Nr‘Prod‘Prod»P = Nr‘Prod‘E‘P = №‘П‘Е‘Р,
которое представляет собой закон ассоциативности для “Prod”. Мы имеем
I-: C'Q О C'R = Л . э . Nr‘(PG х PR) = Nr‘PG
F.Nr‘(P^ = Nr‘(P/?xG).
Однако мы не имеем, вообще говоря,
Nr‘(P* х 6я) = Nr‘(P х б)\
которое, очевидно, требовало бы закона коммутативности для умножения
и, следовательно, не имеет места, вообще говоря, несмотря на тот факт,
что его кардинальный аналог всегда имеет место.
Что касается связи с кардиналами, мы имеем
F : PeRel2 excl. з . C‘Prod‘P = Prod‘C“C‘P,
F : Й\Q . з . C‘(P exp Q) = (C'P) exp (C'Q),
и мы уже имели
.С'(Рх Q) = C'PxC'Q.
Более того, корреляторы, посредством которых устанавливается подобие
в арифметике кардиналов, в общем достаточны для установления сходства
в аналогичных случаях в арифметике отношений. Поэтому мы имеем
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
422 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
к : S е Р smor Q. э . [ СГС‘2еРс1 smor Qci,
I-: Р, QeRel2 excl. S f Psmor smor Q. э .
Г C‘Prod‘Q€(Prod‘P) smor (Prod‘2),
I-: S f C‘P' € P smorP' ,T [ C‘Q' eQ smor Q . э .
(5 || T) f C‘(P' exp C')e(P exp Q) smor (P' exp Q'),
все из которых вполне аналогичны предложениям, которые были доказаны
в арифметике кардиналов.
Применения предложений этой главы практически полностью располо-
жены в области серий, и оказывается удобным представлять наши отноше-
ния, являющимися сериальными. Однако гипотеза о том, что они являются
сериальными, не будет необходимой для истинности любого из предложе-
ний настоящей главы. Замечательным фактом является то, что так много
формальных законов ординальной арифметики имеют место для отноше-
ний вообще.
Следует заметить, что П‘Р не всегда является серией, когда Р есть се-
рия, и все отношения в поле Р есть серии. Серия (ср. *204) есть отно-
шение Р, которое (1) содержится в различии, (2) транзитивно, (3) связно,
т.е. такое, что каждый терм поля Р находится в отношении Р или в отно-
шении Р к каждому другому терму поля. Именно третье условие может
не выполняться для П‘Р, и оно в действительности не выполняется, когда
Р не является вполне упорядоченным. Поэтому, допустим, ради простоты,
что Р принадлежит типу Cnv“(D, который мы будем называть регрессией,
т.е. противоположностью прогрессии (ср. *263); и допустим, что поле Р
полностью состоит из пар. Возьмем выборку М, которая выбирает первый
терм каждой нечетной пары, и второй терм каждой четной пары; и возь-
мем другую выборку N, которая выбирает второй терм каждой нечетной
пары и первый терм каждой четной пары. Ни одна из этих двух выбо-
рок не находится в отношении П‘Р к другому, так как какой бы терм Q
из ёРмы ни выбрали, если М есть выборка, которая выбирает первый
терм из Q, то существует более ранний терм в СР (а именно непосред-
ственный предшественник 2), в котором N выбирает первый терм, в то
время как М выбирает второй. Следовательно, не существует такого Q, ко-
торое требуется для М (П‘ P)N\ и подобное же возражение имеет место про-
тив N(H'P)M. В таком случае П‘Р производит некоторое число различных
серий, и на основании подходящих ограничений поля одна из этих серий
может быть извлечена. В точности такие же замечания применяются к Р®.
Principia Mathematica II
*170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ
ДАННОГО КЛАССА
423
*170. Об отношении первых разностей среди подклассов
данного класса
Краткое содержание *170.
Определение первых разностей среди подклассов данного класса, кото-
рое дается в этом параграфе, ни в коем случае не является единствен-
но возможным, на самом деле другое определение будет рассматриваться
в *171. В настоящем параграфе определение, которые мы выбрали, таково:
в соответствии с этим определением об а говорится как о предшествую-
щем Р, когда а имеет, по крайней мере, один элемент, который не принад-
лежит Р и не следует за за каким-либо термом, принадлежащим р, но не а
(аир оба являются подклассами С'Р). Другими словами, если мы рассмат-
риваем два класса а - р и Р - а, то существуют элементы а - р, которым
не предшествует никакой из элементов р - а. Например, мы можем пред-
ставить себе указанное отношение следующим образом (Р предполагается
сериальным): каждый из а и Р выбирает термы из С'Р, и эти термы имеют
порядок, задаваемый с помощью Р; мы полагаем, что более ранние тер-
мы, выбранные посредством аир, возможно, совпадают, однако рано или
поздно, если а / Р, то мы должны обнаружить термы, которые принадле-
жат одному и не принадлежат другому. Мы допускаем, что самый ранний
терм такого сорта принадлежит а и не принадлежит р; в этом случае а
находится в отношении Pci к р. Т.е. там, где а и Р начинают различаться,
есть термы а, которые мы обнаружили, не являющиеся термами р. Мы
не допускаем, что существует первый терм, который принадлежит а и не
принадлежит р, поскольку это наложило бы нежелательные ограничения
в случае, если Р не является вполне упорядоченным.
Несколько предложений настоящего параграфа будут использоваться
в следующем параграфе, в котором речь идет о несколько другой форме
отношения первых разностей, однако (с указанным исключением) на пред-
ложения этого параграфа не будет ссылок до тех пор, пока мы не дойдем
до серий. Они находят свое основное применение в главе о компактных
сериях, рациональных сериях и непрерывных сериях (часть V, глава 6),
особенно в *274 и *276, которые соответственно устанавливают существо-
вание рациональных серий (при допущении аксиомы бесконечности) и того
факта, что кардинальное число термов в непрерывных сериях является тем
же самым, что и число классов, содержащихся в поле прогрессии, т.е. 2S°.
Определения и несколько более простых предложений также используются
в связи с сериями сегментов серии, поскольку, как разъяснено выше, сег-
менты серии Р упорядочиваются в серии, произведенной посредством Pic.
Предложениями этого параграфа, которые будут использоваться, когда
мы имеем дело с сериями, являются следующие:
*1701. F : а РС1 р . = . а, р е Cl'C'P. g! а - р - Р“(Р - а)
*170101. F.Plc = Cnv‘(P)ci
*170102. F : а Pic Р . = . а, р е СГС'Р. g! р - а - Р"(а - р)
(Эти предложения просто заключают в себе определения.)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
424 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*17011. I-а РС1 р . = : а, Р € СГС‘Р: (зу) . у € а - р .^‘у П р с а
Эта форма часто оказывается более удобной, чем *1701.
*17016. F: а с С'Р .рса.р^а.э.аРС1Р
Т.е. каждый подкласс С'Р находится в отношении Pd к каждой соб-
ственной части самого себя.
*17017. F.Pc1g J.PicG J
*170-2. I-a, р е CVC'P: (зу) . у € a - P . ?‘y П a =?‘y П P : э . a Pd P
Это предложение имеет дело со случаем, когда существует определен-
ный первый терм у, который принадлежит а и не принадлежит Р, и чьи
предшественники все принадлежат обоим или не принадлежат ни одному.
*170-23. F а с С'Р. у € a - р - Р“(Р - а). э :
у minp (а - Р). = .~?'у О а =?‘у П Р
Это предложение оказывается полезным в случае, когда Р является
вполне упорядоченным, поскольку тогда a - Р должен иметь минимум, ес-
ли он существует (а и Р полагаются подклассами С'Р).
*170-31. F : р с С'Р. р / С'Р. = . (С'Р) РсХ р
Это следует из *170-16, как и следующее предложение:
*170-32. F : а с С'Р. 3! a. = . a Pd A
*170 35. F.Ad = A
*170-38. F : 3! P. э . B‘Pd = C'P. B‘Cnv‘Pd = A
* 170-6. F : A Plc p. = . p c C‘P. л! p
Кроме предложений, приведенных выше, следует упомянуть следующие
предложения:
* 170-36. F . D‘Pd = Cl ех‘С‘Р. CTPcI = CVC'P - ССР
* 170-37. F : з! Р. э . C‘Pd = CVC'P
*170-44. F : P smor Q . э . Pd smor Qd
*170-64. F : x ~ € C'P. э . (x я- P)d = (i‘x U); Pd 4 Pd
Это предложение показывает, что каждый терм, добавленный к Р, удва-
ивает число термов в Pd; следовательно, не является удивительным то, что
Pd (когда Р вполне упорядоченно)’ имеет степень 2Г для своего реляцион-
ного числа (ср. *177).
*170-67. F:3!P.3!e.C‘PnC‘e = A.D.(P^e)d = ^C’(Pdxed)
откуда
*170-69. F : з! Р. 3! Q. С'Р П C'Q = А . э . (Р* 0d smor (Pd х 2d)
*170-01. Pd = dp {a, p e CVC'P. 3! a - p - P“(p - a)} Df
*170-02. Pic = Cnv‘(P)ci Df
*170-1. F : a Pd p. = . a, p e CVC'P. 3! a - p - P“(P - a) [(*170-01)]
*170-101. F . Рю = Cnv‘(P)d [(*170-02)]
*170-102. F : a Pic p. = . a, p e CVC'P. 3! p - a - P"(a - p) [*170-1-101]
Поэтому a Pic P означает, грубо говоря, что Р - а продолжается дальше,
чем a - р, подобно тому, как a Pd Р означает, что a - Р начинается раньше.
Principia Mathematica II
♦ 170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ
ДАННОГО КЛАССА 425
Поэтому, если Р есть отношение раньше и позже во времени77, а а и р
представляют собой моменты, когда А и В соответственно просыпаются,
то “aPciP” будет означать, что А встает раньше, чем В, а “aPkP” будет
означать, что В ложится спать раньше, чем А.
*170103. F : у ~ е Р“(0 - а). = .~?‘у П 0 с а
Доказательство.
F . *37105 . э F :.у ~еР“(0 - а). = : ~ (дх).хе0- а. хРу:
[*10-51] = : хе0. хРу. . хе а:
[*32-18] = :1^‘у Л 0 с аэ F . Prop
*170-11. FaPd 0. = : а, 0еСГС‘Р: (gy) .yea - 0 .~?'y Л 0 ca
[*170-1-103]
*170-12. F a Pd 0 • s : a, 0 e C1‘C‘P. g! a - (а Л 0) - P“{0 - (а Л 0)}
[*170-1 . *22-93]
*170-121. F a PC| 0. в : a, 0 e C1‘C‘P. g! (a U 0) - 0 - P“((a U 0) - a}
[*170-1 . *22-9]
*170-13. F a Pci 0. = : (gp, а, у). p, о, уеСГС'Р.
рЛу = Л.оЛу = Л.рЛо = Л.а = уир.0 = уио.д!р-Р“о
Доказательство.
F. *24-24 . *22-69 .
F. *24-4.
F. *24-4 .
F. (1). (2). (3).
DF:pna = A.a = yUp.p = yUa.D.anp = y (1)
DF:.a = yUp.D:pOy = A. = .a-y = p (2)
DF:.p = yU0.D:any = A. = .p-y = a oF:.pna = A.a = yUp.p = yUa.D: pny = A.any = A. = .a-(anP) = p.p-(anP) = a. (3)
= .a-p = p.p~a = a (4)
[*22-93]
F . (1). (4). э F : (gp,о,у). р, а, у еСГС‘Р.рПу = А.оПу = Л.рПо = А.
a = yUp.p = yUa.g!p- .
(ЭР, о, у). р, а, у е СГёР.pna = A.a = yUp.p = yUa.
anp = y.a-p = p.p-a = a.g!p-P“a.
[*13-22] = . а - р, Р - а, а П р е С1‘С‘Р. g! а - р - Р“(р - а).
[*60-43 . *24-41] = . а, р е СГС‘Р. л! а - р - Р“(Р - а).
[*170-01] = . a Pci р: э F . Prop
*170-14. F а, р е С1‘С‘Р. э : а - Pci Р • = • а - Р с Р“(Р - а)
[*170-1 . *24-55]
*170-141. F а, р е С1‘С‘Р. э : а - Рк р . = . Р - а с Р“(а - р)
[*170-14-101]
*170-15. F : a Pci р . э . р П р‘^“(а ~ Р) <= а
Доказательство.
F . *40-12 .DF:yea-p.D. p‘^“(a - Р) с?‘у.
[*22-48] э . р П рЧ*“(а - р) с р А>у '
[*22-44] э F : у ea - Р . Р п"?‘у са.э.рп р‘?“(а - Р) с а :
[*10-11-23] э F : (gy). у е а - Р . Р П^‘у са.э.рп pr?ii(a - Р) с а (1)
F. (1). *170-11 .=>F. Prop
77 Здесь авторы книги переходят на образную речь с неформальными оборотами
“просыпаться раньше” и “ложиться позже”, нехарактерными для формального стиля
“Оснований математики”. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
426 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*17016. F : ас С'Р .0са.0/а.з.аРС10
Доказательство.
I-. *24-6 . з F: Нр. з . э! а - 0 (1)
F . *24-3 .зк:Нр.з.0--а = Л.
[*37-29] з.Р“(0-а) = Л.
[*24-101-26] з . а - 0 - Р“(0 - а) = а - р (2)
F. (1). (2). *170-1 .зк. Prop
*170-161. F : а с С‘Р. 0 с а . 0 / а. з . 0 Pk а
Доказательство.
I-. *170-16 . з F : Нр . з . а (Р)с1 р .
[*170-101] з . 0 Рк а: з F . Prop
*170-17. F . Pci g J. Plc g J
Доказательство.
F . *170-1 . з F : a Pci P . з . э! a - p .
[*24-55 . *22-42] з.а^р.
[*50-11] з . a J p : з F . Prop
Для того чтобы Pci было сериальным, необходимо, кроме того, чтобы
оно было транзитивным и связным. Рс\ транзитивно, если Р транзитивно и
связно. Однако Рс\ тем не менее может не быть связным: могут существо-
вать много несовпадающих семейств в его поле, хотя все из них должны
начинаться с ёРи заканчиваться Л. Например, если Р является регресси-
ей, то класс, который выбирает каждый нечетный элемент, не находится ни
в одном из отношений Pci, Рс\ к классу, который выбирает каждый четный
элемент. Для того чтобы Рс\ было сериальным, мы требуем, чтобы Р было
не только сериальным, но и вполне упорядоченным, т.е. чтобы каждый
экзистенциональный подкласс ёРимел первый терм. Когда Р является
сериальным, но не вполне упорядоченным, то Рс\ будет производить, одна-
ко, различные серии, содержащиеся в нем, посредством наложения подхо-
дящих ограничений на его поле.
*170-2. F а, 0 еСГС‘Р: (gy) .уеа-0.?‘уПа ="?‘у П 0 : з . aPci 0
[*170-11 . *22-43]
*170-21. F а с С‘Р. з :у minp (а-0). = .уеа-0.?‘уПас0
Доказательство.
F . *93-11 . з F Нр . з :у minP (a-0). = .yea-0 - P“(a - 0) •
[*170-103] = . у е a - 0 .7*‘у П a с 0з F . Prop
*170-22. F a c C'P. у minP (a - 0). з :"?‘y П 0 c a . = П a ="?‘y П 0
Доказательство.
F . *170'21 . *4-73 . з F Hp . з :?‘y П 0 c a. = ."?‘уПас0 .~P'y П 0 с а.
[*22-47] s П а =?‘у П 0 з F . Prop
*170-23. F а с С'Р. у е а - 0 - Р“(0 - а). з :
у minp (а - 0). = .~Р'у П а =~Р'у П 0
Доказательство.
F . *170-103-21 . зк:.Нрз:
у minp (а-0).н.уеа-0.?‘уП0са.?‘уПас0.
Principia Mathematica II
♦ 170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ
ДАННОГО КЛАССА 427
[*22-74 . *4-73] = . у е а - Р П Р с а."?‘у П а ="?> П Р .
[*170-103] = .уеа-0-Р“(Р-а).‘?‘уПа='?‘упр (1)
I-. (1). *5-32 . э F. Prop
*170-3. F: аеСГС'Р. 0са. д! а-р. э. aPd 0 [*170-16]
*170-31. I-: р с С'Р. р / С‘Р. = . (C'P) Pci Р [*170-16]
*170-32. Ь : ас С‘Р. g! а. = . аРС1Л [*170-3]
*170-33. F : g! Р. =. (C‘P)Pd Л
Доказательство.
F. *33-24 . *170-32 . э F : g! Р. э . (C'P) Pd А (1)
F.*170-1 . эF : (C'P)PdЛ. э . д’-(С'Р)-Л.
[*33-24] э.а’.Р (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*170-34. Ha!P.s.a!Pci
Доказательство.
F.*170-33.эЬ:а!Р.=>.g! Pci (1)
F . *170-1 . э I-: а! Ра . э. (да, 0). а, 0 е СГС'Р. д! а - Р •
[*24-561] э . (да). аеСГС'Р. д! «•
[*60-361] э.д! С'Р.
[*33-24] э.д!Р
F. (1). (2). э F. Prop
*170-35. F . ЛС1 = Л [*170-34 . Transp]
*170-36. F. D‘Pd = Cl ех'С'Р. CTPci = Cl'C'P - ГС'Р
Доказательство.
F . *170-32 . z>F . Cl ех'С'Р с D‘Pd (1)
F. *170-31 . э F. Cl'C'P - ГС'Р с CTPei (2)
F.*170-1 . э F : aeD‘Pd . z>. (д0). а, 0еСГС‘Р. д! а - 0.
[*24-561] э. аеСГС'Р. д! a (3)
F.*170-1. э F: aeG‘Pd . э • (g0). a, ped'C'P. g! 0 - a.
[*60-2] d. ae Cl'C'P. g! C'P-a.
[*24-6] э. a e Cl'C'P-i'C'P (4)
F. (1). (2). (3). (4). э F. Prop
*170-37. F : g! P. э . C'Pci = Cl'C'P [*170-36]
*170-371. F . C'Pei c Cl'C'P [*170-37-35 . *33-241]
*170-38. F : а! P • э . BlPd = C'P. B'Cm'Pd = Л [*170-36]
Следующие предложения подводят к *170-44.
*170-4. F : S e 1 -> 1. C'Q = G'S . э . (S > Q)ci = S£ ’ Qcl
Доказательство.
F . *170-1. *150-4 . *37-11 . э F : a (5e ’ eci) P • = •
(aY,8).Y,6eCl‘C‘e.a = S“Y.p = 5“6.a!Y-6-£“(6-Y) (1)
F. (1). э F :. Hp. э :
«(S’e’GcDp.s.laY.SbY.SeCl'Cr.S .a = 5“Y.p = S’“6.
aiY-s-$“(6-Y)-
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
428 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
[*37-43] = . (я у, 6). у, 6 € crcrs . а = S “у. 0 = S “Ь .
а! 5“{у-8 - 6“(8-у)} •
[*71-381] в . (ау, 8). у, 6eCl‘a‘S .a = S“y.p = S“5.
З!5“у-5“6-5“б“(8-у).
[*72-511 . *71-38] s. (ау, 6) - У, 6 е CPC'S . a = S “у. Р = S “S.
a!S‘y-S“6-S“£“S“(p-a).
[*13-193 . *37-33] а . (ау, 8) • у, 8 eCPG'S . а = S “у. р = S “6.
а!а-р-(5^)“(р-а).
[*71-48 . *37-23] = .a,peCl‘D‘S . а! а - р - (5 : £)“(р - а).
[*150-23] = - а, р е С1‘С‘($ ; б). а '• а - Р - ($ ; б)“(Р - а) •
[*150-12 . *170-1] = . а (5 •- Q)d р:. э F . Prop
*170-41. F . (S f C‘Q)( 5 Cd = Se 5 Qd [*150-95 . *170-371]
*170-42. HS \C'Qel->\.C'QcG'S . э . (S ! 6)d = ^e5 6ci
Доказательство.
F. *150-32. oK(S;0d = {(5 [C‘6);e}ci (1)
F.(1). *170-4 . э H: Hp. Э. (S ! 6)ci = (S Г C‘6)e ’ Qd
[*170-41] =5e > gci. э I-. Prop
*170-43. F: S [ C'Q e P smor Q. d . S6 f C'Qd e Pd smor Qd
Доказательство.
I-. *151-22 . *170-42 . Dh:Hp.D.Pd=Se;Gci (1)
F . *74-131. *170-371. э F : Hp. d . Se f C'Qd e 1 1 (2)
I-. *37-231 . э F. C'Qd a d'Se (3)
F.(1). (2). (3). *151-22 . э F. Prop
*170-44. F : P smor Q. z> . Pd smor Qd [*170-43 . *151-23-12]
*170-5. F.(xXx)d = (b‘x)XA
Доказательство.
F. *170-36 . *55-15 . э F. D‘(x X x)d = Cl ex‘i‘x
[*60-37] = i‘i‘x (1)
F. *170-36 . *55-15 . э F. G‘(x J- x)d = Q‘i‘x - i‘i‘x
[*60-362] = i‘A (2)
F . (1). (2). *55-16 . э F. Prop
*170-51. F: x у. э . (x X y)d = (i‘x U i‘y) I i‘x U (i‘x U ь‘у) X i‘y U (i‘x U i‘y) X Л
U i‘x X i‘y U i‘x X A U i‘y X A
Доказательство.
F . *55-13 . э F : Hp. э. xly'x = A. xly'y = i'x (1)
F. *170-11 .*55-15 . э F :: Hp. э:. a (x Xy)d P • s :
a, p e Cl‘(i‘x U i‘y): (az) • z e a - P • xly'z Л P c a
[*60-39] = : a = i‘x U i‘y. V . a = i‘x. V . a = i‘y: P c i‘x U i‘y:
(3z). zea - p. лДу‘гП p ca (2)
F . *51-235 . э F :: a = i‘x U Cy. z>:. (az). z e a - p . xly'z Л p c a. s:
x e a - p. xXy‘x npca.v.yea-p. xXy‘y П P c a:
[(1)] =:xea-p.v.yea-p.i‘xnpca:
[Hp.*22-43-58] B:xea-p.v.yea-p:
[*51-232 .*4-73] = :x~ep.v.y~ep (3)
F . *54-4 . э F :: Hp. э :. P c i‘x U i‘y. x ~ e p. = : p = i‘y. V . p = A (4)
Principia Mathematica II
*170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ
ДАННОГО КЛАССА 429
I-. *54-4 .oh:: Нр . э р с Сх U i‘y. у ~ е р . = : р = i‘x. V . р = А (5)
К(2).(3).(4).(5).=
h :: а = i‘x U i‘y. э а (х X y)ci р . = : Р = i‘x. V . р = i‘y. V . р = А (6)
h . (1). (2). э h Нр . э :: а = i‘x. э а(хХу)С1 р . = : р с i‘xU i‘y . х~ еР .
[(4)] = : р = i‘y. V . р = А (7)
h . (1). (2). э h :: Hp . э а = i‘y . э : а (х X y)d Р • = •
р с i‘x U i‘y. у ~ е р . i‘x П Р с а .
[*51-211] = . р с l‘x U i‘y. у ~ е р. х ~ е р.
[*54-4] =.р = А (8)
h . (2). (6). (7). (8). э h . Prop
* 170-52. h : хфу. э . (xXy)ci = (i‘xU i‘y) J, i‘x4-i‘y J, Л
Доказательство.
h . *55-15 .oh. C‘{(i‘x U i>) X i‘x} T C‘{i‘y X A} =
{i‘(i‘x U i‘y) U i‘i‘x} T {i‘i‘y U t‘A}
[*55-52] = (i‘x U i‘y) X i‘y 0 (t‘x U i‘y) X i‘A U i‘x X i‘y 0 i‘x X A (1)
h . (1). *170-51 . *160-1 .oh. Prop
* 170-6. h : A Pic p. = . p с C‘P. я! p [*170-32-101]
* 170-601. I-: a Plc (C‘P). = . a c C‘P. a / C‘P [*170-31-101]
* 170-61. h x ~ eC‘P .glP.xeanp.D:
a (x P)ci P. = . a {(i‘x U) ’ Pci) p . = . (a - i‘x) Pd (P - i‘x)
Это и следующие предложения представляют собой леммы для
х ~ е С‘Р. э . (х P)ci = (i‘x U) 5 РС1 4- РС1 (*170-64).
Доказательство.
h . *161-111 . э h :: Нр . э у е Р . у (х ч-Р) z . Эу . у е a : = :
у 6 р . yPz. . у € a : у е р . у = х .zeC'P. эу .yea:
[*13-191 . *33-17] = : у е р - i‘x. yPz . . у е a - i‘x: хе р . z еёР. э . хе a :
[Нр] = :у ер - i‘x .yPz . .у Ea- i‘x (1)
F . *51-34 . э h : Hp . э . - p = - i‘x П - P .
[*22-481] D.a-p = a-i‘x~p
[*24-21] = a - i‘x A (i‘x U - P)
[*22-86] =a-i‘x-(P-i‘x) (2)
h . *170-11 . *161-101-14 . э h :: Hp . э a (x 4- P)cl p . = :
a, P e СГ(ёРU i‘x): (gz) :zEa-p:yEp.y(x4-P)z.oz.yEa:
[(1). (2)] = : a, p e СГ(ёРU i‘x): (gz): z. c a - i‘x - (P - i‘x): у e p - i‘x. yPz . .
yEa- i‘x:
[*24-43] = : a - i‘x, p - i‘x e СГС‘Р: (gz). z c a - i‘x - (P - i‘x).
~P'z П (P - i‘x) c a - i‘x:
[*170-11] = : (a - i‘x) Pd (P - i‘x):
[*55-221] = : a {(i‘x U)5 Pci} p:: э h . Prop
*170-62. I-:.x~EC‘P.a!P.xEa-p.z>:
a (x 4- P)ci P . = . a c t‘x U C‘P. p c C‘P
Доказательство.
h . *161-13 . э h Hp . э :x-eQ‘(x^P) :
[*10-53] э:уЕр.у(хч-Р)х.эу.уЕа:
[Hp] э:хЕа-р:уЕр.у(хч-Р)х.эу.уЕа:
[*170-11] э : a, p e Cl‘C‘(x P). э . a (x P)ci P:
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
430 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
[*161-14 . Нр. *24-49] э : а с i‘x U С'Р. 0 с С'Р. э . а (х Р)сХ 0 (1)
F. *170-11 .*161-14 .э
I-Нр. э : а (х <+ P)d 0. э . а, 0 е d‘(i‘x U С'Р).
[*24-49. Нр] э . а с i‘xU С'Р. 0 с С'Р (2)
F. (1). (2) . эН.Ргор
*170-63. F х ~ е (а U 0). э : а (х <4- P)d 0. = . а Pd 0
Доказательство.
I-. *24-49 . *161-14 . э I-:. Нр . э : а, 0 е С1‘С‘(х ч- Р). = . а, 0 е С1‘ёР(1)
F . *13-14 . э F :: Нр .э:.уе0.э:у/х:
[*161-111] э :y(x«-P)z. = .yPz (2)
F . *170-11 . э F :: Hp . э a (x 4- P)d 0 . = :
a, 0 e СГ(х 4- P): (gz) :zea-0:ye0.y(x4-P)z.oy .yea:
[(1). (2)] = : a, 0 e QX'C'P: (gz): z e a - 0: у e 0 . yPz. =>y . у e a:
[*170-11] = : aPd 0:: э F . Prop
*170-64. F : x~ eC'P . э . (x4-P)d = (i‘xU) 5 Pcl -£Pcl
Доказательство.
F . *170-61-62-63-37 . э
F :: Hp . g! P. э :. a (x 4- P)d 0 . = :
xea П 0. a {(i‘xU)»Pd} 0. V . x e a - 0. a eC‘(t‘x U)5 Pd . 0 eC‘Pd . v .
x~e(aU₽).aPcl₽ (1)
I-. *150-4 . d F: a {(i‘x U) > P) p . э . xe a О P (2)
I-. *150-22 . *170-37 . э F:. Hp. z>: a e C‘(i‘x U) 5 Pd . P e C‘Pcl. э . x e a - p (3)
F. *170-1. эF Hp.z>:aPcl p. э .x~e(aПP) (4)
F . (1). (2). (3). (4). э F:: Hp. 3! P. э :.
a(x # P)d p. =: a((i‘xU) > Pd} p. V. aeC‘(i‘xU) ’ Pd. PeC‘Pd. V. aPd p:
[*160-11] =: a{(i‘xU) ’ Pd + Pd) p (5)
F . *161-201. э F: P = A. э. x^P = A.
[*170-35] = .(x«-P)d = A (6)
F . *150-42 . *160-22 . *170-35 . э F : P = A . э . (i‘x U) ? Pd *Pd = A (7)
F . (6). (7). э F : P = A. э. (x P)d = (i‘x U) 5 Pd *Pd (8)
F . (5). (8). э F . Prop
Следующие предложения представляют собой леммы для *170-67, т.е.
F:a!P.a!e.c‘pnc‘e=A.D.(p^e)d = j;c!(Pdxeci),
которое само приводит к *170-69, т.е.
F : а! Р • 3IQ • С‘Р П C‘Q = А. э. (Р4- Q)d smor (Pd X Qci).
*170-65. F p (P4- Q)d 0. = : (3a, p. y, 8): a, P e C1‘C‘P. y, 8 e Cl‘C‘2.
p = aUy.a = pu8: (ау). у e (a U у) - (P U 6). P~F(5‘y Ci (P U 8) c a U у
Доказательство.
F . *13-193 . э F(30, P, у, 6): a, P e СГС'Р. у, 8 e СГС'б .p = aUy.0=pu8:
(ау). у e (a U у) - (P U 8). P+&y П (fu8) call у:
в:(aa,р,у,8):a, реСГС'Р.у,8еСГС'б.p = aUy.a = pu8:
(3y)-yeP~°-f ^^‘yCiocp:
[*60-45] = : р, а е СГ(ёРU C'Q): (gy). у е р - a. P + Q'y А а с р :
[*160-14] = : р, аеСГС‘(Р^0 : (gy) .у ер - а. W^'y А аср :
[*170-11] = : р (Р^ 0с1 аэ h . Prop
Principia Mathematica II
*170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ
ДАННОГО КЛАССА 431
*170-651. h С‘Р П С‘б = Л. а, р е СГС‘Р. у, 8 е СГС‘2. у е а. э :
у е (а U у) - (Р U 8). РЪ&у П(ри8)саиу. = .уба- р.Аор са
Доказательство.
h . *24-402-313 . э I-: Нр . э . (a U у) - (р U 8) = (а - Р) U (у - 8) (1)
F. *160-11. :^:Нр.э.РФ^‘у=1*‘у (2)
h . *24-402 . э FНр . э :у ~ б у:
[(1)] э:уе(аиу)-(Ри8). = .уеа-р (3)
I-. *33-15-161 . эк>усС?.
[*24-402] э!-:Нр.э.?‘уПб = Л.
[(2)] э.Р?3‘уП(ри8)=>уПр. (4)
[*24-402] э.РФ^‘уП(ри8)Пу = Л (5)
I-. (4). (5). *24-49 . z> F:. Нр. э : Р+ &у П (Р U 8) с а U у. а .?‘у П Р с а (6)
F . (3). (6). э h . Prop
*170-652. I-С'Р П C'Q = Л . а, р е CVC'P. у, 8 е CVC'Q. у е у. э :
у е (а U у) - (Р U 8). Р^&у n(Pu8)caUy. = .
Рса.уеу-8 ."3‘уП 8 су
Доказательство.
I-. *24-402-313 . z> I-: Нр . z>. (a U у) - (Р U 8) = (a - Р) U (у - 8) (1)
I-. *24-402 . э I-: Нр. э . у ~ е а (2)
I-. (1). (2). э I-Нр. э : у е (a U у) - (Р U 8). в. у еу - 8 (3)
I-. *160-11. э F: Нр. э . Р*&у = С'Р и’З'у.
[*22-621 . *24-402] э. РФ d‘y А (Р U 8) = Р U (&у П 8) (4)
F. *24-49 . э F Нр .D.pcaUy.s.pca:
^‘у П 8 с a U у. ,^‘у о 8 с у (5)
F. (4). (5). э F:. Нр. э:
РЪ&у n(pu8)caUy. = .pca .^‘у П 8 с у (6)
F. (3). (6). э F . Prop
*170-653. F :: С'Р П C'Q = Л. а, р е С1‘С‘Р. у, 8 е CVC'Q. э:.
(aUy)(P^e)cl(Pu8). = :aPclp.v.a = p.y(2ci6
Доказательство.
F . *170-11 . э F :: Нр. э:. (a U у) (РФ 2)ci (Р U 6). = :
(gy). у е (a U у) - (Р U 8). РФ(3‘У П (Р U 8) a a U у:
[*170-651-652] = : (gy) .уеа- р .~Р‘у ПPea: V :
Р с а: (gy). у еу - 8 .‘З'у П 8 с Р:
[*170-11] s : аРС| р. V . Р с а. у <2С18:
[*170-16] = : а РС1 Р. V . а РС1 Р. у ба 8 . V . а = Р. у би 8:
[*4-44] : а Рс] р. V . а = р. у бс18:: э F . Prop
*170-66. F:.g!P.g! е.С‘РПС‘2 = Л.э:
р (РФ б) а. = . (да, р, у, 8). (у | a) (Pci х ed) (8 X у). р = a U у. о = р U 8
Доказательство.
F . *170-65-11. э
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
432 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
ь : Р (.Р* 2)С1 о. =. (аа, р, Y, б). а, р е С1‘С‘Р. у, б е С1‘С‘2.
р = а U у. о = ри б . (аи у) (РФб)С1 (Р и б) (1)
F . (1). *170-653 . э I-:: Нр. э
Р (Р+О)а а. =. (за, Р, у, б).а,реСГС‘Р.у,беСГС‘е.р = аиу.а = риб:
а Pci р. V . а = Р. у бС1 б:
[*170-37] = . (за, р, Y, б). а, р е C‘Pci. у, б е C‘Qa .p = aUY-« = P1-|6:
а РС1 р. V . а = р. y 0ci б:
[*166-112] в. (за, Р, Y, б). (y 1 а) (Рс1 х 6ci) (б J. y) • Р = а U y • о = Р и б::
э I-. Prop
*170-67. F:a!P.a!e.C‘PnC‘e = A.D.(P4e)cl = j;C->(Pclxecl)
Доказательство.
I- . *170-66 . *13-22 . э F :: Нр. эр (РФ Q)cl а. = :
(За, р, у, б, R, 5). Я = y -Iа • - б i Р • р = а U y • о = Р U б. P (Pcj X Qci) 5 :
[*55-15 . *53-11] в : (за, р, у, б, R, S). R = у 1 а. S = б 1Р
р = slClR. а = s'C'S . R (Pd X 2С|) 5 :
[*166-111] в : (зР, S). р = s‘C‘R. о = s'C‘R. R (Pd х Qci) 5 :
[*150-4] в : р {5»С ’ (РС1X бе])} о:: z> I-. Prop
*170-68. F:3!P.3! е.С‘РпС‘е = А.э.
(J IО f C‘(Pci X Sei) e (РФ 0C1 smor (Pcl X £>cl)
Доказательство.
F . *55-15 . *53-11 . э
b:.R = YXa-5 = 81P.5‘C‘R = s‘C‘5' .o.aUY = Pu6 (1)
I-. (1). *24-48 . э
h::Hp.z>:.a,peCl‘C‘P.7,беСГС‘е.Р = 71.а.5 = 6 j p . s‘C‘P = s‘C‘5 .d.
a = p.y = 6.
[*55-202] z>.P = S (2)
I-. (2). *166-12 . *170-37 . э
F:.Hp.z>:P,5eC‘(PciXec|). s'C‘R=s‘C‘S .o.R = S (3)
I-. (3). *151-24 . *170-67 .oh.Prop
*170-69. H а! P. а! £. C‘P Л C‘(2 = A. э . (РФ 2)ci smor (Pcl x 0ci)
[*170-68]
Principia Mathematica II
♦ 171. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 433
*171. Принцип первых разностей (продолжение)
Краткое содержание *171.
В этом параграфе мы рассмотрим более ограниченную форму принци-
па первых разностей, которая применима, когда существует определенный
первый элемент одного класса, не принадлежащий другому классу. В этом
случае, если z есть первый отличающийся элемент, то та часть а, которая
предшествует z, является той же самой, что и часть р, которая предше-
ствует z- Если z принадлежит а и не принадлежит Р, то мы помещаем а
перед Р; в противоположном случае мы помещаем р перед а. В случае zPz
сам по себе z не подсчитывается среди своих собственных предшественни-
ков; поэтому предшественниками z являются ‘z - i‘z. Следовательно, рас-
сматриваемое отношение будет иметь место между подклассами (а и Р)
класса С‘Р, когда существует z такой, что
zea - р ."?‘z - t‘z A a =~?'z - Cz А Р,
или, что приводит к тому же самому (в силу z ~ еР),
zea- р A a - А р .
Это отношение между а и Р мы обозначаем посредством “Pdf”, где “df”
обозначает “разность”.
Таким образом, наше определение есть
Pdf = «Р {a, Р е СГС‘Р: (gz). z е а - р .~?'z А а - Cz = ~?'z А Р) Df.
По аналогии с Р\с мы полагаем также
Pfd = Cnv‘(P)df.
Когда Р является вполне упорядоченным, то Pdf и Pfd совпадают со-
ответственно с Pci и Pic. Их свойства весьма аналогичны таковым для Pci
и Pic- Поэтому, например, следующие предложения остаются истинными,
когда Pdf подставляется вместо Рс\:
♦170-17-35-36-37-38-44-5-51-52-64-67-68-69.
Единственными новыми предложениями, на которые стоит обратить
внимание в этом параграфе, являются
*171-2. F:PGj.3.Pdf = aP{a,PeCl‘C‘P:(az).z6a-p.>zCia=‘?‘zCi0}
* 171-21. F. G Pci
и следующие формулы, подразумевающие индуктивное отождествление от-
ношений Pci и Pdf в случаях, в которых такая индукция оказывается при-
менимой:
* 171-7. h : Pdf = РС1. х ~ е С‘Р. э . (х ч- P)df = (х ч- P)ci
* 171-71. I-: С'Р A C'Q = А. Pdf = Pci . Gdf = Gci • => . (P^Q)df = (Р*С)а
Эти предложения, однако, заменяются (на более поздней стадии) дока-
зательством того, что РС1 и Pdf совпадают, если Р является вполне упоря-
доченным (*251-37).
Главное свойство Pdf состоит в том, что его реляционное число есть 2Г
в степени Nr‘P. Это будет доказано в *177 и *186-4.
*171-01. Pdf = aP{a,PeCl‘C‘P:(az).zea-p.‘?‘zna-i‘z=‘?‘znp) Df
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
434 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
* 17102. Pfd = Cnv‘(£)df Df
* 171-1. I-a Pdf Р • = : а, р е СГС‘Р: (gz). z е а - р.~?‘z Cl а - i‘z-~?'z Л р
[(*171-01)]
* 171-101. I-. Pfd = Cnv‘(P)df [(*171-02)]
*171-102. I-aPfd Р • =: а, РеСГС'Р: (gz).zep- a ."?‘z П P~ i‘z=l^‘z Cl a
[*171-1-101]
*171-11. I-a Pdf P • = :: a, P e C1‘C‘P::
(gz) :• z e a - pу Pz. у / z. : у e a. = . у e p [*171-1]
*171-12. F:.aPdfp. = :a,peCrC‘P:
(gz)zea- P.>z Л a - i‘z=?‘zCl p- i‘z [*171-1 . *51-222]
*171-13. I-. C‘Pdf c C1‘C‘P [*171-1]
*171-14. F: a c C‘P. z e a. z>. a Pdf (a - t‘z)
Доказательство.
F. *51-22 . z> F: Hp. э. z e a - (a - t‘z).
[*13-15] z>. z e a - (a - i‘z) ."?‘z Л a - i‘z =~P‘z Cl (a - i‘z) •
[*171-12] d . a Pdf (a - i‘z): э F. Prop
*171-15. F: p c C‘P. z e C‘P - p. э . (P U i‘z) Pdf P
Доказательство.
F . *51-16 . F: Hp. z>. z e (P U i‘z) - P (1)
F . *51-211-22 . э F: Hp. э. (P U t‘z) - i‘z = P.
[*22-481] 2D.~?‘zC)(Pui‘z)-i‘z="?‘zCip (2)
F. (1). (2). *171-1. dF. Prop
*171-16. F . D‘Pdf = Cl ex‘C‘P. Q‘Pdf = C1‘C‘P - t‘C‘P
Доказательство.
F. *171-14 . z> F : a e Cl ex‘C‘P. э . a e D‘Pdf (1)
F. *171-1. oF:aeD‘Pdf .э.ае Cl ex‘C‘P (2)
F. (1). (2). oF.D‘Pdf = Cl ex‘C‘P (3)
F. *171-15. z>F : РеСГС'Р. g! C‘P-p. э. PeG'Pdf:
[*24-6] z>F:peCl‘C‘P-i‘C‘P.3.pea‘Pdf (4)
F.*171-1 . DFrPeQ'Pdf.э.реС1‘С‘Р.д!С‘Р-р.
[*24-6] o.peCl‘C‘P-i‘C‘P (5)
F. (4). (5). z> F . Q‘Pdf = C1‘C‘P - t‘C‘P (6)
F . (3). (6). э F . Prop
*171-17. F:g!P.z>.C‘Pdf = Cl‘C‘P
Доказательство.
F. *171-16 . э F: a e C1‘C‘P. a / A . э. a e D‘Pdf (1)
F. *171-16 . э F: a e C1‘C‘P. a / C'P. z>. a e a‘Pdf (2)
F.(l).(2).oF:aeCl‘C‘P.~(a = A.a = C‘P).=>.aeC‘Pdf:
[*13-171] DF:aeCrC‘P.C‘P#A.z>.aeC‘Pdf (3)
F. (3). *33-24 . э F . Prop
*171-18. F : g! P. z>. В'Рц = C'P. P‘Cnv‘Pdf = A
Доказательство.
F. *171-16 . э F :^‘Pdf = Cl ex‘C‘P - (C1‘C‘P - i‘C‘P)
[*24-3] = Cl ex'C'P Л CC'P (1)
Principia Mathematica II
171. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
435
F. (1). *60-35 . э 1-: g! Р. э ."^‘Pdf = СёРF . *171-16 . э F :^‘Cnv‘Pdf = С1‘ёР- i‘C‘P - Cl ех‘ёР(2)
[*60-24] = i‘A - i‘C‘P (3)
F.(3). *33-24 . э F : а! Р. z> .^‘Cnv‘Pdf = i‘A F . (2). (4). э F . Prop *171-19. F : Р = Л . z>. Pdf = Л Доказательство. 1-. *60-33 . *171-16 . э 1-: Нр. э. D‘Pdf = Л. [*33-241] z>.Pdf = Л: oh. Prop *171-2. F:PGj.D.Pdf = ap{a,peCrC‘P:(az).zea-p.?‘zna=?‘znp} Доказательство. 1-. *50-11 . *32-19 . э h : Нр . э ."?‘z с - i‘z. (4)
[*22-621] э .^P‘zna- i‘z="?‘zna F.(1). *171-1. э F. Prop *171-21. F . Pdf G Pd Доказательство. F. *171-1 . *22-43 . э F aPdf p. э:a,peСГС‘Р:(az).zea-p."?‘znpca: [*170-11] э: aPci PэF . Prop *171-22. F. P^ GJ [*170-17 . *171-21] *171-4. F : 5 e 1 1. C‘2 = Q‘5 . э . (5 : (2)df = i Gdf [Доказательство аналогично *170-4] *171-41. F : (5 Г C‘2)£ 5 2df = St ? 2df [Доказательство аналогично *170-41] (1)
*171-42. F : 5 ] C‘ge 1 —»1. С‘б c Q‘5 . э . (5 ’ 6)df = ’ 0df [*171-4-41] *171-43. h:5 [ C'QePsmor Q. э . Se | C'^df ePdf smor Qdf [Доказательство аналогично *170-43] *171-44. h : P smor Q. э . Pdf smor <2df [*171-43] *171-5. h . (x J, x)df = (t‘x) | Л = (x | x)ci Доказательство. F. *171-1 .*55-15 .d 1-a(x J,x)df P . = : a, P e Q4‘x: (gz). zea-p. x|x‘z A a - i‘z = x|x‘z A P: [*171-16] = : a e Cl ex‘i‘x. p e ClVx - i‘i‘x: (gz). z e a - P. x j, x‘z A a - i‘z = x J, x‘z A p: [*60-362-37] = : a = i‘x. p = Л : (gz). ze i‘x. x| x‘z A a - i‘z = x|x‘z A p : [*13-195] = : a = i‘x. P = Л . i‘x A a - i‘x = i‘x A p: [*24-21-23] =:a = i‘x.p = A.A = A:
[*13-15 . *55-13] = : a {(i‘x) X Л} p F. (1). *170-5. oF. Prop (1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
436 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*171-51. t-.(xiy)df = (x|y)ci
Доказательство.
I-. *171-1 . э h а (х X y)df Р . = : а, Р е СГ(Сх U i‘y):
(gz). zеа - р. x\,y‘z А а - i‘z = x\,y‘z П р:
[*171-16] = : а е Cl ex‘(t‘x U i‘y) • Р е СГ(|/х U i‘y) - i‘(i‘x U i‘y):
(gz). z e а - p. x|y‘z Па - i‘z = x[y‘z A P :
[*60-39] = : а = i‘x U i‘y. V . а = i‘x. V . а = i‘y: p = i‘x. V . p = i‘y. V . p = A:
(gz). z e а - p. x X y‘z А а - i‘z = x | y‘z A P: (1)
h . *55-13 . э h x / у . э : x j y'y = i‘x. x j y‘x = A : (2)
[*51-222] э : а = i‘x U i‘y. p = i‘x. э .
у e a - p. xly'y A a - i‘y = i‘x = x j у 'у A p.
[(1)] o.aPdfP (3)
F . (2). э I-: x / у. a = Cx U i‘y. p = i‘y. э.
x e a - p. xXy‘x na-i‘x = A = xj y‘x П p.
[(1)] э.а^р (4)
h . (2) . э h : x / у. a = i‘x U i‘y. P = A . э .
x e a - p. x j y‘x A a - i‘x = A = x X у‘x A p.
[(1)1 D.aPdfP (5)
I-. (2). э F : x / у. a = i‘x: P = A . V . p = i‘y : э .
x e a - p . xly'x A a - i‘x = A = x X A p .
[(1)1 o.aPdfP (6)
h . (2). *24-23 .э1-:х/у.а = 1‘у.р = Л.э.
у e a - P. x X y‘x A a - i‘y = Л = x X y‘y A P (7)
h . (3). (4). (5). (6). (7). *170-51 . э h :x/y. d . (xXy)ci ^(xXy)df •
[*171-21] D.(xly)df — (xXy)ci (8)
F. (8). *171-5 . э F . Prop
*171-52. F : x/y. z>. (xXy)df = (i‘xU i‘y)1 (i‘x) + (i‘y) i Л
[*171-51 . *170-52]
*171-64. F: x ~ e C‘P. э. (x я- P)df = (i‘x U) 5 P^ 4Pdf
Доказательство продолжается с помощью точно таких же шагов, что
и доказательство *170-64.
*171-67. F^iP.g! 2.C‘PnC‘e=A.o.(P4e)df = ^C’(Pdf xQdf)
[Доказательство аналогично *170-67]
* 171-68. F :g! Р.g! б. С‘РПС‘б = Л. э .
s IС f (Pdf х gdf) e (Р4 6)df smor (Pdf x gdf)
[Доказательство аналогично *170-68]
*171-69. F:a!P.g!6.C‘PnC‘e = A.o.(P46)df smor (PdfXSdf)
[*171-68]
* 171-7. F : Pdf = Pd . x ~ e C‘P. э . (x -4- P)df = (x -H- P)ci
[*171-64. *170-64]
* 171-71. F : ClP П ClQ = A. Pdf = Pd • 6df = Qa • => • (P*(2)df = (Hfi)d
[*170-67 . *171-67 . *160-21-22]
Principia Mathematica II
*172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ 437
*172. Произведение отношений одного поля
Краткое содержание *172.
В этом параграфе мы должны рассмотреть такую форму произведения,
которая применима к любому отношению отношений независимо от того,
являются ли они взаимно исключающими или нет. Если наше отношение
представляло бы собой Rel2excl, то мы могли бы взять СС'Р и упоря-
дочить выбранные из ССР классы посредством первых разностей. Это
дало бы нам отношение, чье поле было бы Prod‘C“C‘P. Однако если ка-
кие-либо два поля пересекаются, то этот метод не работает. Мы могли бы
подставить ед‘ѓёРвместо Prod‘C“P и упорядочить элементы ед‘ѓёР
посредством первых разностей; однако этот метод не даст нам того, что
мы хотим, если два или более элементов ёРобладают одним и тем же
полем. Для того чтобы избежать любой путаницы из-за повторения, мы
должны, если QeC'P и хеС‘£>, рассматривать х в связи с 2, а не просто
с C'Q. Т.е. отношения в поле произведения Р должны быть такими, чтобы
они связывали самих себя с упорядоченными парами x\,Q, а не просто с х.
Простейшим путем достижения этого является рассмотрение F^'C'P. Эле-
мент Fb'C'P, скажем А/, представляет собой отношение, которое выбирает
представителя Q из поля каждого б, который является элементом С‘Р;
т.е. всякий раз, когда geC‘P, то M'QeC'Q. Поскольку мы имеем M'Q, но
не АГС‘б, то два отношения могли бы обладать одним и тем же полем, и
мы все еще могли бы различать вхождения данного терма как представи-
теля одного от его вхождения в качестве представителя другого. Поэтому
никакая степень пересечения не вызовет путаницы.
Отношения, которые составляют F^CP, упорядочиваются посредством
первых разностей, однако для того, чтобы различать различные вхождения
данного терма, мы должны дать несколько иную форму принципа первых
разностей, отличную от тех, которые привлекались в *170 или *171. Ука-
занная новая форма этого принципа такова: Рассмотрим два отношения
М и У, которые являются элементами F^CP. Пусть Q будет элементом
С‘Р, в котором М выбирает представителя, который предшествует таково-
му в У, т.е. в котором (M'Q) Q(N'Q)\ и пусть все отношения, более ранние
чем б, т.е. все отношения Л, такие, что RPQ и R^Q, имеют M'R = N'R.
Тогда мы говорим, что М предшествует N. Этот принцип мог бы также
быть сформулирован следующим образом: Мы могли бы разделить элемен-
ты С'Р на четыре класса, не являющихся, вообще говоря, взаимно исклю-
чающими, а именно:
(1) те, в которых (M'Q) Q(N'Q), т.е. в которых Af-представитель пред-
шествует У-представителю;
(2) те, в которых (N'Q) Q(M'Q),
(3) те, в которых M'Q-N'Q^
(4) те, в которые не входит ни одно из приведенных выше трех отно-
шений M'Q и N'Q.
Тогда мы будем говорить, что М предшествует У, если существует эле-
мент класса (1), все предшественники которого принадлежат классу (3).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
438 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
В случае, когда все элементы ёРявляются сериальными, четвертый
из приведенных выше классов является нулевым, а остальные три —вза-
имно исключающими. Если к тому же Р является вполне упорядоченным,
то любые два различных элемента F^'C'P должны быть такими, что один
предшествует другому в определенном выше порядке. Поэтому в этом слу-
чае произведение серии серий есть серия (Ср. с *251).
Определение произведения П‘Р есть
WP = MN{M,NeF^'C'P г.
(3 Q): (M'Q) Q (N'Q): RPQ. R* Q. z>R . M'R = N'R} Df.
Из-за сложности этого определения доказательства предложений настояще-
го параграфа удлиняются.
Различные другие определения могли бы быть приняты для П‘Р, однако
мы нашли приведенное выше определение в целом наилучшим.
Мы могли бы, например, отбросить условие R / Q в определении; мы
могли бы затем записать наше определение в более простой форме:
П‘Р = MN {M,NeF^‘C'P: (gg): (M‘Q) Q (N'Q): M rf'Q = N rf'Q},
которая с нашим определением доступна, лишь когда Pg J. Однако если
мы принимаем это упрощение, то мы больше не имеем
П‘(Р|Р) = Р|Р (*172-2),
которое является очень полезным предложением, необходимым в доказа-
тельствах *183-13, *185-21 и других важных предложений.
С другой стороны, мы могли бы оформить наше определение по анало-
гии с РС1, а не (как выше) по аналогии с Pdf. Указанное определение тогда
было бы:
ГГР = MN {М, N е Ед 'С'Р
(30: (М‘2) Q (У‘0: RPQ • =>л . (M'R) (R0 Г) (N'R)}.
Это определение не предполагает, что существует первое отношение
2, для которого Af-представитель предшествует У-представителю. Поэтому
можно было бы подумать, что оно дало бы лучшие результаты в случаях,
когда Р не является вполне упорядоченным. Однако на самом деле это не
так. Если Р не является вполне упорядоченным, то могло бы оказаться
так, что каждое 2, для которого (M'Q) Q(N'Q), имеет предшественника,
для которого (N‘2) 2(^/‘G)> и наоборот; в этом случае мы не будем иметь
ни А/(П‘Р)У, ни N(H'P)M. Поэтому наше выдвинутое новое определение
не обеспечивает того, что П‘Р будет серией всякий раз, когда Р и все эле-
менты С'Р есть серии, и, следовательно, не обладает существенным пре-
имуществом над более простым определением, которое мы уже приняли,
и обладает недостатком, который заключается в большей сложности.
В настоящем параграфе мы сначала доказываем, что П‘А = А (*172-13)
и что АеС‘Р. э .П‘Р = А (*172-14), так что произведение равно нулю, если
один из сомножителей равен нулю. Затем мы переходим к предложениям
о С‘П‘Р, "Й‘П‘Р и т.д. Мы имеем
*172162. Ь : а! Р. э .^‘П‘Р = В^'С'Р .^‘Cnv'ITP = BA‘Cnv“C‘P
*17217. I-: g! P. э . С‘П‘Р = F^'C'P
Principia Mathematica II
172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
439
Следовательно мы выводим предложения, относящиеся к существова-
нию 1ГР. Мы имеем
*172181. I-Mult ах. э : А ~ е С'Р. a! Р. s . g! 1ГР
Таким образом, принимая аксиому умножения, произведение, сомножи-
тели которого не равны нулю, не равно нулю.
Затем мы рассматриваем П‘(Р X Р) и П (Р X 0, где Р / Q. Мы имеем
*172-2. F .П'(Р],Р) = Р1Р
которое является полезным предложением, и
*172-23. НР/е.э.1Г(Р|0 smorPxQ
которое связывает два определения умножения, показывая, что они приво-
дят к эквивалентным результатам для любого конечного числа сомножи-
телей, т.е. всякий раз, когда определение *166 применимо.
Далее мы рассматриваем IT(P-hZ) и ГГ(Р^С), доказывая
*172-32. F:Z~€C‘P.o.IT(P-hZ) smor WPxZ
с подобным предложением для Z4-P (*172-321), и
*172-35. Н g! Р. д! 0СТАС‘е = А. Э.П‘(Р*0 smor WPxWQ
которое представляет собой одну из форм закона ассоциативности, исполь-
зующей оба вида умножения. Тот вид, который использует лишь П, будет
доказан в *174.
Далее мы имеем доказательство (с его непосредственным следствиями)
того, что если Р и Q обладают двойным сходством, то ITPsmorlTg. Мы
доказываем
*172-43. F : Т f C‘E‘0eP smor smor Q. э .
(T||Cnv‘Tt) ГСТГее(ГГР) smor (ITQ)
Это предложение следует сравнить с *114-51, которое является его кар-
динальным аналогом. В дальнейшем будет видно, что коррелятор разли-
чается лишь подстановкой вместо Т€. Из *172-43 мы получаем
*172-44. F : Р smor smor Q. э . П‘Р smor П‘0
откуда
*172-45. F : Mult ах. э : Р, Q е Rel2 excl. а! Р smor Q A RT smor . э .
ITPsmor U'Q
Другие предложения о П‘Р будут даны в *174.
*172-01. ГГР = MN {М, N е Рд 'С'Р
(Я 2) : (М‘2) 2 (А‘2): RPQ .R*Q.^>r.M'R = N'R} Df
*172-1. F :: M (1ГР) N. = M, N e FA'C'P
(32): (M‘2) 2(N'Q):RPQ. R? Q .z>R . M'R = N'R
[(*172-01)]
*172-11. F :: M (1ГР) N. = M, N e FA'C'P
(32): QtC'P. (M'Q) Q(N'Q): RPQ. Я / Q ,^R . M'R = N'R
Доказательство.
F . *14-21 . э F : (M'Q) Q (N'Q). э . E ! M'Q.
[*33-43] э.СеСГМ (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
440 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
F . (1). *8014 . э F М е Гд‘С‘Р. э : (ЛГ0 Q (N'Q). э . Q е С'Р:
[*4-73] э:(Л/‘е)2(^е). = .ееС*Р.(Л/‘2)е(^е) (2)
Н. (2). *172-1. э I-. Prop
*172-12. I- .С‘П‘РсРд‘С‘Р
Доказательство.
Ь.*172-1 .эН:Л/(П‘Р)ЛГ.э.МЛеГд*ёР(1)
I-. (1). *33-352 . э I-. Prop
*172-13. Ь.П‘Л = Л
Доказательство.
F.*172-11. э I-: М (П‘Р)ЛГ. э. д! С'Р.
[*33-24] э.д!Р (1)
F. (1). Transp. э F : Р = Л. э. (M.N). ~ {Л/(П‘Р)М : э I-. Prop
♦172-14. Ь:ЛеС‘Р.э.П‘Р = А
Доказательство.
Ь.*33-24-5 . эЬ.^‘Л = Л.
[*33-41] эЬ.Л-еСГР.
[*80-21] эНЛеС‘Р.э.Рд‘ёР= Л.
[*172-12 . *33-24] э. П‘Р = Л: э h . Prop
*172-141. Ь:. а! ГГР. z>: Q е С'Р. эе. g! Q [*172-14 . Transp]
Следующие предложения касаются С'П'Р, S'TI'P и т.д. Предложения
*172-15-151-16-161 представляют собой леммы для *172-162-17.
*172-15. Ь: М е Гд‘С‘Р. Q е С'Р. (M'Q) Qy. э. М (П‘Р) {М [ - CQ 0 у 1 Q]
Доказательство.
Ь.*80-41 .эк:Нр.э.Л/[-1*е0у|ееРд‘ёР(1)
I-. *35-101 . *55-13 . э
b:.z{M[-i‘e0y|2}P. = :P/e-zMP.V .R = Q.z = y (2)
F. (2). *80-3 . =>
Н:.Нр.э:Р= е.э.(М \-t'QUy lQ}'R = y:
ReC'P.RtQ.=>.{M(-i‘QUylQ}‘R = M‘R:
[Hp] ^-.(M‘Q)Q{M\-i'Qi)ylQ}‘Q'.
ReC'P .R£ Q . {M (- t'QVy [Q]‘R = M'R:
[*33-17] z>: (M'Q) Q {M [ - t'Q Uу | Q}'Q:
RPQ.RtQ.z>R.M'R = {M\-\.'QVy\,Q}'R‘.
[*172-1 . (1)] э: M (П‘Р) {Af [ - CQ U у | Q}э b. Prop
*172-151. I-: ЯeF&'C'P. QeC'P.yQ(N‘Q). э. {N [- CQ(Jy | Q] (П‘Р)N
[Доказательство аналогично *172-15]
*172-16. I-: M e F^'C'P. g! M - В. z>. M e П‘П‘Р
Доказательство.
Ь. *72-93 . *80-14 . э Ь:: Нр. эМ G В. а: Q е С'Р. . (М'Q) BQ
[Transp] o:.g!A/-B. = :(ge).2eC‘P.~{(M*e)PG}:
[*93-1. *80-3] ^•.(^QD.QeC'P.M'QeQ'Qt
[*33-121] ^:(gG,y).GeC‘P .yQ(M'Q)-.
[*172-151] э : Л/ e П*П‘Р:: э h . Prop
Principia Mathematica II
172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
441
*172161. I-: М e FA'С'Р. g! М - В | Cnv. э. М € D'H'P
Доказательство.
Н. *72-93 . *80-14 . э I-:: Нр. э
М <Z B\Cnv. = : QeC'P. z>q . (M'Q) (B\Cnv) Q:
[*71-7] = -.QeC‘P.z>Q.(M‘Q)B$-..
[Transp] э :. а! А/- В | Cnv. s : (аб) • 2 e С'Р. ~ ((Л/‘0 В ^}:
[*93-1 . *80-3] =>-.(^Q).QeC‘P.M‘QeD'Q:
[*33-i3] o:(ae,j).eec‘p.(M‘e)ej:
[*172-15] э: M e D'H'P:: э I-. Prop
Следующее предложение является важным. Оно показывает, что если
С'Р состоит из серий и если какой-либо элемент С'Р не имеет первого тер-
ма, то 1ГР не имеет первого терма, однако если каждый элемент С'Р имеет
первый терм, то выборка всех этих первых термов есть первый терм ГГР.
*172-162. I-: а! Р • э .71‘П‘Р = В&'С'Р .ТГСпу'П'Р = BA'Cnv“C‘P
Доказательство.
F. *93-103 . *172-12-16 . Transp . э Ь ./ЬП'Р с FA'C'P П Rl'B (1)
I-. *72-93 . =>
э Ь: N e QTTP. э. (а б, М). Q е С'Р. (M'Q) Q (N'Q).
^(nQ)-QeC'P.~{(N‘Q)BQ].
z>.~(NgB):
эЬ: MG В.z>. М~€<ГП‘Р
э I-: Hp. э .^‘П'Р = FA'C‘P Л Rl'B
= ВД‘С'Р
h : Hp. э .7^‘Спу‘П‘Р = Вд‘Спу“С‘Р
M e FA‘C‘P. M G. В. QeC'P : (M'Q) BQz
[*93-1] z>:(M'Q)eD'Qt
[*33-13] ^(ny)-(M'Q)Qy.
[*172-15] э:А/е D'H'P
h. (2). *10-11-23-35 . z> Ьu! P. z>: Л7e FA'C'P Л Rl'B. =>. MeDTI'P
b. *172-11.
[*931]
[*72-93]
[Transp. —]
h.(l). (3). (4).
[*80-17]
Аналогично
F . (5). (6). э F . Prop
Следующее предложение интенсивно используется.
*17217. F : э! Р. э . СП'Р = F^'C'P
Доказательство.
F . *172-16-162 . э
ЬНр. М е FAC'P .=>:а!М-В.э.Л/е СГП'Р: М G. В. э. М е'Й'П'Р:
[*93-11. *25-55] э: М е С'П'Р
Ь. (1). *172-12 . э Н. Prop
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
*172-171. h: а! Р. • D‘II‘P = F^'C'P - Вд‘Спу“ёР.
СРП‘Р = Fa‘C‘P - ВА‘ёР[*172-162-17]
*172-18. Ь:.а!Р.э:а!П‘Р.а.а!^д‘ёР[*172-17]
*172-181. I-Mult ах. э: Л ~ е С'Р. а! Р • = • Й! П‘Р
Доказательство.
h . *88-361 . *172-18 . э F :: Нр . эа '• Р • э : а '• П'Р . = . С'Р с Q'F.
[*33-41-5] =.С‘Рс^(а!С‘е).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
442 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
[*33-241] = .А~еёР(1)
F.*172-13. эЬ:а!П‘Р.э.а!Р (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*172-182. F:: Mult ax. эЛ eC'P. V . P = A: ее . ГГР = A
[*172-181. Transp]
*172-19. F: 3!П‘Р. э. 5‘С‘П‘Р = F [C‘P [*172-17 . *80-42]
Заметим, что мы не можем перейти к Е‘П‘Р, поскольку F; ГГР не имеет
смысла из-за того факта, что поле ГГР состоит из неоднородных отно-
шений.
*172-191. F. ГСТГР G F [ С‘Р
Доказательство.
F. *172-19 . *23-42 . э F : а 1 П‘Р. э. ГСТГР G F [ С'Р (1)
F. *41-21. э . F:ГГР = Л. =>. ГСТГР = Л.
[*25-12] =>. s'CTI'Pg F [ С'Р (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*172-192. F . a‘(F [ Р) = р - ГЛ
Доказательство.
F. *35-101 . z>F: QeQ'(F [ р). = . (а%). xFQ. 0ер.
[*33-5] в.а!С‘е.еер.
[*33-24] ее . a! Q. £>еР: => F • Prop
Следующее предложение иногда оказывается полезным. (Оно использу-
ется в *173-22, *182-2, *185-21.)
*172-2. F . П‘(Р|Р) = Р|Р
Доказательство.
F. *172-11. *55-15. э
F :: М {П‘(Р | Р)} N. =:. М, NeF^'i'P:.
(аС).ееГР.(Л/,е)е(^е):Л = Р.Л/(2.э/г.М‘Л = А‘Р:.
[*13-195-191] ее :. М, NeF^'t'P:. (ЛГР) Р (ЛГР):.
[*85-51 . *33-5] ее :. М, Nе X Р"С'Р. (ЛГР) Р (ЛГР):.
[*38-131] ЕЕ:.(ах,у).х,уеС‘Р.М = хХР.А = уХР.(ЛГР)Р(ЛГР):.
[*55-13] в:. (ах, у). х,уеёР.M = x{P.N = ylP. хРу:.
[*150-11] =:.Л/(|Р;Р)А:.
[*150-6] ее :. М (Р|Р)ЛН: =>F . Prop
Следующие предложения имеют дело с природой связи между П‘(Р | Q)
и PxQ. Эта связь такова, как можно было бы пожелать, исключая случай,
когда P=Q, в этом случае, как показано выше, ГГ(Р|Р) сходно с Р и,
следовательно, не сходно с Р х Р.
*172-21. F:P/e.z>.Pxe=t(GXP)!n*(P|0
Доказательство.
F. *172-11. *55-15 . э
FМ {П‘(Р | Q)} N. ее :: М, N е F±'(i'P U i‘Q):.
(аЯ):ЯеГРиГе.(ЛГЯ)Я(ЛГЯ):5 (P{Q)R.S ?R.^S-M'S =N'S ::
[*51-235] ее :: M, N е Рд‘(ГР U i‘Q)::
(ЛГР) Р (N'P): S (PIQ)P.S /P.=>s . M'S = N'S :. V :.
(M'Q) Q (N'Q): S (P | Q) Q. 5 / Q. z>s . M'S = N‘S (1)
Principia Mathematica II
♦172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ 443
F. (1). *55-13. эН:Нр.=>:.
М {П‘(Р X Q)} N. = : М, N е F& ‘(СР UCQ):
(М‘Р) Р (N‘P). V . (M‘Q) Q (N‘Q). M‘P = N‘P:
[♦80-9-91] s : (gx, x!,y,y'): x, x7 eC‘P . y,y' eC‘Q.
M = xlP()ylQ.N = x'lP(Jy'lQ‘-
xPC .V .x = x!-yQy' (2)
F. *150-72. z>\-: M = x I P(jy IQ. . M' (QI P) = y I x.
[*150-1] z>.t(QlP)‘M = ylx (3)
F . *150-4 . о F: R (t (QXP) : ГГ(Р X 6)} S . = .
(gM, N). М{П‘(Р x Q)} N. R = t (Q X РУМ. 5 = t (Q X P)‘N (4)
F. (2). (3). (4). э F :: Hp. э:.
R {| (Q X P); П‘(Р X Q)} s . =: (gM, N, x, x!, y, yf):
х,х'еС‘Р.у,У eC‘£>.M = xXPUyX C-A^x'XPUy'X£>:
R = y\,x.S = yf \,x! ххРх! .x = x! .уQy' :
[*13-19] =:(gx,х',у,У):х,x'eCT.y,/eC‘Q.R = y\,x.S = /lx':
xPx'. V . x = x' .yQYi
[*166-111] =: R (P X Q) S :: э F. Prop
*172-22. F: P + Q. э. {t (Q X P)} [ FY(CP VCQ)e(Px Q) sfnof П‘(Р X Q)
Доказательство.
F . *80-9 . *150-71. z> F:. Hp. z>:
M e FY(CP U CQ) .^>.M’(QIP) = (M‘Q) X (M‘P) (1)
F. (1). *150-1 . z> F Hp. э:
M, NeFY(CP U CQ). f (QI P)‘M = f (Q X P)‘N. э.
(M‘Q)l(M‘P) = (N‘Q)l(N‘P).
[*55-202] z>.M‘P = N‘P.M‘Q = N‘Q.
[*80-91] = (2)
F. (2). *151-241. *172-21-17 . э F . Prop
*172-23. F:P/C-=>.n‘(PXG) smorPxg [*172-22]
Следующие предложения представляют собой леммы для *172-32.
*172-3. F:.g!P.Z~eC*P.э:Л/{П,(P-^>Z)}^ . = .
(д5,Т, u,v) .(и lS)(n‘PxZ)(v IT). М = S (Ju [Z. N = Т (Jv [Z
Доказательство.
F. *80-66-44 . *161-14 . э FНр. э: MeFYC‘(P+ Z). =.
(^S,u).S eFA‘C‘P.ueC‘Z.M = S UulZ (1)
F . *55-13 . *33-14 . *4-73 .=>F::M = 5 йи[Z.э:.
xMQ. = -.xSQ.Qed‘S .V .x = u.Q = Z (2)
F . (2). *80-14 . э F :: Hp. Hp(2). S e F^C‘P .ueC‘Z.z>i.
xMQ. = -.xSQ.QeC‘P .V .x = u.Q = Z‘..
[*24-37] Q e C‘P. z>: xMQ . = .xSQt.Q = Z. =>: xMQ . = .x = ut.
[*30-341 . *80-3 . *30-3] оQ e C‘P. э. M‘Q = S‘Q:Q = Z.=>. M‘Q = и (3)
F . (1). *172-11 . *161-14 . *172-17 . э
F::.Hp.=>::Af{n‘(P-»Z)}Ar. = :.
(^S,T,u,v)-..S,T€FYC‘P.u,veC‘Z.M = S (Ju [Z. N = T Ov [Zt.
(^Q):QeC‘PUCZ.(M‘Q)Q(N‘Q)tR(P^Z)Q.R^Q.^R.M‘R = N‘R‘..
[*51-239.(3). *161-11]
s :. (g5, T, u, v):. 8, T eF^‘C‘P. u, veC'Z ,M = S U и XZ .N =T Uv J.Z
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
444 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
(ае):евС‘Р.(5‘2)е(7’*е):ЛРе.Л/е.^.5‘Л = Г‘Л:У:
uZv'.ReC'P .^>r.S'R = T'R-..
[*172-11-17 . *71-35 . *80-14]
= :.(aS,T,м, v):. S, ТеС‘П‘Р. u, veC‘Z. Л/= S Uu XZ. А= 7 U v jZ:
S (П‘Р) T. V. S = Т. uZv:.
[*166-112] = (aS, Т, и, v): (и 15) (П‘Р х Z) (v | Г).
M = S U u[Z.N = T U v|Z::.z>F. Prop
*172-31. F : 3! Р.Z~еС‘Р.
W = MR {(aS, и).S e'C'P.ueC'Z. R = и X S . M = S Um|Z} . d .
WeIT(P4»Z) smor (H'PxZ)
Доказательство.
I-. *172-3 . э F : Hp. э. П‘(Р* Z) = Q ? (П‘Р X Z) (1)
F. *21-33 . э F :. Hp. э: MWR. M’WR. s .
(aS, S’, u,«'). S, S' cFa'C'P .u,u'e C'Z .R = u[S = u'l S'.
M = S й и IZ. M' = S' 0 u'lZ.
[*55-202] э. (gS, S', u, u'). S, S' eF^'C'P. u, u' eC'Z. S = S'. « = «'.
M = S UulZ.M'=S'Uu'lZ.
[*13-22-172] э. Af = Л/' (2)
F . *21-33 . z> F :. Hp. э: MWR. MWR'. =.
(aS, S', и, и'). S, S' e F^'C'P. u, u! e C'Z. R = и X S . R’ = u'l S'.
M = S 0ulZ.M = S'0u'lZ.
[*80-45-661] z>.(aS,S',u,u').R = ulS .R' = u' IS'.
S = M\C‘P.ulZ = M\i'Z.S' = M\C‘P.u’lZ = M\C‘P.
[*13-172] =>. (aS,S', m,«').R = иXS . R' = u'lS'. S = S'. и|Z = и'ХZ.
[*55-202] э. R = R’ (3)
F . (2). (3). э F : Hp. э . Wel-H (4)
F. *166-12 . *113-101 . *172-17 . э F: Hp. z>. Q‘W = С‘(П‘Р x Z) (5)
F . (1). (4). (5). *151-11 . э F. Prop
*172-32. F:Z~eC‘P.o.H‘(P-hZ) smor H‘PxZ
Доказательство.
F. *172-31. z>F: Hp.a!P.э.n‘(P-kZ) smor П‘РxZ (1)
F. *172-13. *161-2. z>F:~a!P.o.n‘(P-HZ) = A (2)
F. *172-13. *166-13. oF: ~a!P-^-H‘PxZ = A (3)
F. (2). (3). *153-101 . z> F : ~ a’. P. э. H‘(P-hZ) smor H‘PxZ (4)
F . (1). (4). э F. Prop
*172-321. F: Z ~ e C'P. =>. H‘(Z -H- C'P) smor Z X П‘Р
[Док-во проходит те же стадии, что и док-во *172-32]
Следующее предложение представляет собой лемму для *176-34, кото-
рое необходимо для доказательства *172-35 (так же, как и для *176-4).
*172-33. F:: а! Р. 3! g. С‘РП С‘С = Л. э:.
М {П‘(Р* Q)}N. = : (aS, Т, S', Т’): S, S’eF^'C'P. Т, T’eF^'C'Q:
S(H‘P)S'.V.S =S' .T(Il'Q)T' :M = S UT .M' = S’UT’
Доказательство.
F . *80-66 . э F :. Hp. э: M eF^C'PU C'Q). s .
(aS, T). S e F^'C'P. T e F^'C'Q .M = SVT (1)
Principia Mathematica II
*172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ одного ПОЛЯ 445
I-. *80-661 . *35-7 . э F Нр. 8 е Fh'C'P. Т € F^C'Q .M = S(JT. z>:
ReC‘P. э. JH‘R = S‘R :ReC‘6. э . Л/‘Я = T‘R (2)
I-. (1). *172-11-17 . *160-14 . э I-Нр. э:: М (П‘(Р4- 0} N. =
(38,7,8', T')t.S,S’ eF^C'P .Т,Т €F±‘C‘Q.M = S VT .N = S'\JT'
(дЛ): ReC'P U C'Q. (M'R)R(N'R) :R’ (P+Q)R.R?R'. ^>R-. M'R' = N'R'
[(2). *160-11] = (a$, T, S', T’)S,S' eF^'C'P. T, T'eF^'C'Q.
M = SVT.N = S'(JT':.
(gR)-.ReC'P.(S'R)R(S'‘R):R'PR.R'?R.^R’.S'R’ = S''R':V:
(ЗЯ): Re C'Q. (T'R) R (T'R) tR’QR ,R' ?R . T'R' = Г'R':
R’eC'P.^ ,S‘R'=S''R':.
[*10-35]s:.(sS,T,S',T'):.S,S'€Fb'C'P.T,T'€Fb'C'Q.M=SVT.N=S'\jT':.
(аЯ): Я e C'P. (8 ‘R)R(S'‘R): R'PR .R’/R.^ .S‘R' = S'‘R': V :
R'eC'P.^ .S‘R'=S''R':
(3R): ReC'Q. (T'R)R (T'R): R'QR .R'^R.z>r>. T‘R' = T'R'
[*172-11 . *71-35 . *80-14]
s(aS, т, S', T)S, S’eF^C'P. T, T'eF^'C'Q. M = S ()T . M’ = S' UT
5 (П‘Р) S'. V . 5 = S'. T (П‘О) T э F. Prop
*172-34. b:a!P-a! Q.C'PC\C'Q = L.z>.
(5|С)в{П‘(Р4 0} smor {П‘РхП‘0
Доказательство.
I-. *172-33 . *55-15 . *53-13 . =>
F:: Hp. эЛ/{П‘(Р4-0} У . = : (38, T, S', T',R, R'):
8,8'еРд*С‘Р.Г, T €Fl'C'Q.R = T \,S .R'= T’ [S’. M = s'C'R. N = s'C'R't
S (n‘P)S' .V .S =8' ,T(n‘Q)T':
[*166-11. *172-17] = : (aR, R') • R (П‘Р x П‘0 R'. M = s'C'R. N = s'C'R’:
[*150-4] =:M(s!C;(irPxn‘2)}W (1)
I-. *113-153 . *172-19 . *166-12 . э h : Hp. z>. (i | С) Г С‘(П‘РxH‘Q)e 1 -> 1 (2)
F. (1). (2). *151-231 .oh.Prop
*172-35. F:a!P.a!G.C‘PnC‘2 = A.o.n‘(P4e) smor П‘РхП‘е
[*172-34]
Приведенное выше предложение является важным, будучи одной из
форм закона ассоциативности.
Следующие предложения представляют собой расширения *172-23. Оче-
видно, что они могли бы быть распространены на любое конечное число
сомножителей.
*172-36. F:X#y.X#Z.y/Z.o.n‘{(Xiy)4»Z} smorXxYxZ
Доказательство.
F. *172-32 .z>h : Нр. э.П‘{(Х 1 У)-нZ} smor П‘(Х|У)хг (1)
F . *172-23 . *166-23 . э F : Нр . =>. П‘(Х 1 У) X Z smor X x Y X Z (2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*172-361. F:X/y.X/Z.y/Z.D.H‘{X-H(y|Z)} smorXxYxZ
[Доказательство аналогично *172-36]
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
446 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*172-37. l-:X/Y.X/Z.X/W.Y/Z.Y/W.Z/W.z>.
n*{(X|y)4(Z|W)} smorXxFxZx W
Доказательство.
I-. *172-35 . о
ННр.э.П‘{(Х|УЖг|ИО} smor П‘(Х| y)xH‘(Z| W) (1)
I-. *172-23 . *166-23 . э
1-:Нр.э.П‘(Х|У)хП‘(г|Ю smor (XxY)x(ZxW) (2)
I-. (1). (2). *166-42 . o F. Prop
Следующие предложения касаются построения коррелятора П‘Р с П‘0,
когда нам дан двойной коррелятор Р с Q. Если указанный двойной кор-
релятор есть Т или Т Г С‘Е‘б, то коррелятор П‘Р с П‘б есть
{Г || Cnv‘Tt)rC‘ire.
*172-4. I-: Т е Р smor smor Q. z>. {T || Cnv'Tf} Г C'XI'Qe 1 -»1
Доказательство.
I- . *164-15 . z>
I-: Hp. z>. T7 f C‘S‘6, rt ГС‘ее1^1.С‘Е*е = аТ.С‘еса‘Т| (1)
F. *41-43 . э F. 5‘D“C‘n*2 = D‘s'C'TTQ.
[*172-191] э I-. 5‘D“C‘n*e c D\F f C'Q)
[*37-401. *162-23] cC‘S‘6 (2)
I-. *41-44 . o F. s‘<J“C‘n‘Q = (J's'C'H'Q.
[*172-191] э F. s*a“C*n*(2 c <J'(F [ C'Q)
[*35-64] a C'Q (3)
. m 7Л m T’ rt. C'Z'Q, C'Q, C'Yl'Q
F. (1). (2). (3). *74-773 —------------— . э F . Prop
*172-401. F: TePsmor smor Q .NeF^'C'Q. S eC'Q. о .
{(TII Cnv‘Tf)W}‘T; S = T'N'S
Доказательство.
F . *43-112 . *150-1 . э F . ((T || Cnv‘TV‘N}‘T >S=(T\N\ Cnv‘Tt)‘Tt‘5 (1)
F . (1). *35-7-48 . *80-14 . о
F: Hp. э. {(T || Cnv‘Tt)W}T ? 5 = {Г | N | Cnv‘(Tt [ C‘Q)}'(Tt [ C‘Q)'S
[*34-41 . *72-601. *164-13] = (T | N)‘S
[*34-41] = T'N'S : о F . Prop
*172-402. F: TePsmor smor Q.N,N'eF^'C'Q.S eC‘Q.M = (T\\ CnvTf)W.
M’ = (T\\Cnv'T-f)'N' .R=T‘’S .o:
N'S =N"S . =. M'R = M’'R:(N'S)S (N''S) .s .(M'R)R (M' 'R)
Доказательство.
F . *172-401 . э F : Hp. э. M'R = T'N'S . Mr‘R = T'N'‘S (1)
F . *162-22 . *40-13 . z> F : Hp. o. C'S c C'Z'Q.
[*164-1] ^.C'Scd'T (2)
F . *80-31 . *33-5 . oF :.Нр.э:N‘S,N'‘S eC'S :
[(2)] z>:N‘S,N''S eQT:
[*71-56] о: N‘S = Nr'S . = . T'N'S = T'N’'S .
[(1)] =.M'R = M''R (3)
Principia Mathematica II
<172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ одного ПОЛЯ 447
F. (1). э I-Нр. =>: (M'R)R (M''R). =. (T'N'S)(T '’S) (T'N'‘S).
[*150-41] = .(N‘S)(f >T’S)(N'‘S).
[*151-252 . (2)] =. (N‘S)S (N'‘S) (4)
F. (3). (4). z> F. Prop
*172-403. F : T eP smor smor Q. э. (T || CnvTt)“FA‘C‘e c FA‘C‘P
Доказательство.
F. *80-14 . *35-48 . э
F:. Hp. z> :NeF&'C‘Q .^.T\N\Cnv‘Tt = T | N | Cnv‘(Tt [ C'Q).
[*80-14. *164-13] =>.(T|Ar|Cnv‘Tt)€l ->Cls (1)
F. *37-32 . э F Hp. э : Ne Fh‘C‘Q. э. CT(T | N | CnvTf) = TV‘N“d‘T
[*37-271 . *164-1. *80-33 . *162-23] = Tt'Q'N
[*80-14] =П“С‘е
[*164-1. *150-22] = C'P (2)
F. *80-14 . z> F :. Hp. э: NeF^C'Q .x(T\N\ Cnv‘Tf)R. э.
(Ry,S).xTy.yFS .R = T’S .S eC'Q.
[*33-51. *37-1] э.(а5).хеÓё5 .R = T’S .S eC'Q.
[*150-22 . *164-1] z>.xeC'R:
[*33-51] =>^€FA*C‘e.3.T^|CnvTtGF (3)
F . (1). (2). (3). *80-14 . z>
F Hp. э: N e F^'C'Q. э. (T | N | CnvTf) e F^C'P (4)
F . (4). *43-112 . э F. Prop
*172-404. F:.TePsmof smor Q.z>iN eF^'C'Q.M = T\N\Cmr'T^ . = .
M e F^'C'P .N = t\M\ Cnv‘f |
Доказательство.
F. *164-1. *162-23 . *80-33 . э FHp. э: We FA'C'Q. =>. D'N c Q‘T.
[*71-191 . *50-63] z>.T\T\N = Nt
[*34-28] z>: Ne F^'C'Q. M = T | N | CnvTf. =>. 11M = N | CnvTf .
[*34-27] z>.f |M|Cnv‘ft = Ar|CnvTt|Cnv*/'t (1)
F. *80-14 . э F: NeF^C'Q. 5 ed'N .=>.S eC'Q.
[*40-13] z>.C'S cs'C"C'Q (2)
F. (2). *164-1 . z> FHp. =>: Ne F^'C'Q. S e d'N .^.C'Sc d'T (3)
F. (1). *150-1. э FHp. NeF^'C'Q.M = T\N\Cnv'Tt • э:
y(T \ M\ Cm'ty)Y .s .(^S ,R) .yNS .R = T’S .Y = T>R.
[(3). *151-25] s.(sS,R).yNS .R = T’S .Y = S .
[*13-19-195] =.yNS (4)
F. (4). *172-403 . => F Hp. =>: NeF^'C'Q .M = T\N\ Cnv'Tt. =>.
MeF±'C'P.N = t | A/|Cnv‘ft (5)
T.O.P ,
F . (5) г p g • *164-21. z> F Hp. =>: M eF^'C'P .N=T | M| Cnv'Tt. =>.
NeFb'C'Q.M = T\N\Cnv'Tt (6)
F. (5). (6). э F. Prop
*172-41. F: TePsmor smor 0. z>. Fa‘C‘P = (T|| Cnv*Tt)“fA*C‘6
Доказательство.
F . *172-404 . *43-112 . э FHp . э : M eF^'C'P. э.
11M | Cnv‘f | e F^'C'Q. M = (T || Cnv‘Tt)‘(f | M | Cnv‘f f) -
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
448 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
[*37-6] o.A/e(7’||CnvTt)“FA‘C‘e (1)
F.(l). *172-403.эк.Prop
Следующее предложение является важным, поскольку оно дает требу-
емый коррелятор ГГР с П*б.
*172-42. F: Т е Р smor smor Q. э. (Т || CnvTt) t CITQ е (ГГР) smor (П‘£>)
Доказательство.
F. *164-1. *150-22 . э I-Нр. э: ёР= Г|“С‘2:
[*37-6. *150-1] =>:PeC‘P. = .(gS).S tCQ.R = T’S (1)
I-. *164-1 . э F:. Нр. э : R'PR. = . (gS', У). R' = Т ? S'. R = T 5 Y. S'QY (2)
F. *151-31 . *164-1 . эF :: Hp. э:.S, УеС‘2.P = T>S . R = T 5 Y. э. 5 = Y(3)
[*13-13] э5 eC‘e.P = T >5 .=>:YeCQ.R = T’Y . = .S = Y (4)
F. (2). (4) АзЗ-17 . э
I-Hp. S e C'Q. R = T s 5 . z>: R'PR .= . (gS', У). R’ = T 5 S'. 5 = Y. S'QY.
[*13-195] =.(aS').P' = r5S' .S’QS (5)
I-. *150-4 . *172-11 . z> I-Hp . э:: M {(T || CnvTt) ? П‘С} M'. = i.
(дЛГ, N') :.M = (T || CnvTt)‘N .M’ = (T || CnvTt)Wz. N, N' e F^CQ
(gS):SeC‘e.(^S)S (N"S):S'QS .S' /S . z>s-.N'S’ = N"S’
[*172-41-402] = M, M' e FA‘C‘P(gS, R): S e C'Q. R = T ? S . (APR) R (M“R):
S'QS .R' = T’S' .S' ?S .2>s-jr .M'R' = M"R' -..
[*10-23. (3). (5)] = :. Af,Af'eFA‘C‘P:.(gS,R):S eC‘6.R = T’S .(Af‘R)R(A/z‘R):
R’ / R. R’PR. . M'R’ = M"R':.
[(1). *172-11] = :.M(T1'P)M' (6)
I- . (6). *43-302 . *172-4 . *151-22 . э F. Prop
Следующее предложение представляет собой лемму для *172-43.
*172-421. I-: S = Т [ CYSQ. S е Р smor smor Q. z> .
(S || Cnv‘St) [ Fa‘C‘2 = (T || CnvTt) Г FaCQ
Доказательство.
F. *80-43 . *164-18 . *162-23 . э F:. Hp. NeF^C‘Q. э. DWc CY.'Q.
[*35-481] z>.T\N = S\N (1)
F. *80-14 . z> F :. Hp. Ne FA‘C‘2. Уe aW. z>: Уe C‘2:
[*150-33 . *162-22] э:X = T > У. s .X = S > У.
[*150-1] э : У (CnvTt) X. = . У (Cnv‘S t) X (2)
F. (2). *33-14 . эF:. Hp. NeF^CQ. э:
(g У). yNY. У (Cnv‘Tt) X. = . (g У). yNY. У (Cnv‘S t) X:
[*34-1] =:W| CnvTt = M|Cnv‘St (3)
F. (1). (3). о F :. Hp . э -.NeF^CQ .^.T\N\ CnvTt = S | N | Cnv'St:
[*43-112 . *35-71] z>: (T || CnvTt) [ F&‘C‘Q = (S || Cnv‘St) [ F^CQ:. z> F . Prop
*172-43. F : T [CZ'QePsmor smor Q.^>.
(T || CnvTt) [ C‘n‘Q e (П‘Р) smor (П‘б)
[*172-42-421]
*172-44. F : Psmor smor Q. z>. H'Psmor ITQ [*172-42]
*172-45. F: Mult ax. э: P, QeRel2 excl. g! Psmor Q П R1‘ smor . э .
H'Psmor П‘б
[*164-44 . *172-44]
Следующее предложение показывает, что если два отношения обладают
одним и тем же полем, и если их части, которые содержатся в различии,
Principia Mathematica II
172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ
449
являются теми же самыми, то они имеют одно и то же произведение. По-
этому, например, П‘Рро = П‘Р* в силу *91-541.
*172 5. I-: ёР= C‘Q . Р A J = Q A J. э . П‘Р = WQ
Доказательство.
h . *50-11 . э h Нр. э :РР5 .R^S . = .RQS .R^S (1)
h . (1). *172-11 . э h . Prop
Следующее предложение используется в *182-42.
*172-51. h . П‘Р = П‘(Р UIГ С‘Р) [*172-5]
*172-52. I-Q е СГР. . (gP). RPQ. R / Q: э . П‘Р = П‘(Р A J)
Доказательство.
К*50-11. э h : Нр.. э . СГРс СГ(Р A J) (1)
F. *3314 . *93101. Transp. э Ь: QPR .z>.Q~ е^'Р:
[Transp. *3313] э I-: Q е^'Р. э. (а Я). QPR .R±Q.
[*50-11] э.ееСЧРПУ) (2)
I-. (1). (2). *93-103 . э I-: Нр. э. С'Р с. С\Р П J).
[*33-265] э. С'Р = С‘(Р Л J) (3)
I-. (3). *172-5 . э Н Prop
Таким образом, мы будем всегда иметь П‘Р = П‘(РА/), если не суще-
ствуют элементы СГР, которые не имеют референтов, исключая самих себя.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
450 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*173. Произведение отношений одного поля
(продолжение)
Краткое содержание *173.
В этом параграфе мы рассмотрим отношение между областями отно-
шений, связанных посредством П‘Р, т.е. мы рассмотрим D 5П‘Р. Это от-
ношение связывает с П‘Р отношение, аналогичное тому, которое связыва-
ет Prod‘к с ед‘к. Мы будем обозначать его посредством “Prod‘P”. Когда
PeRel2excl, то Prod‘P сходно с П‘Р и часто оказывается более удобным,
чем П‘Р. Когда PeRel2excl, то Prod‘P организовывает мультипликативный
класс С" С'Р посредством первых разностей, принимая первые разности
для обозначения того, что самый ранний элемент Q класса С‘Р, для кото-
рого vnC‘g, имеет ц-элемент раньше, чем v-элемент в g-серии.
Все свойства Prod‘P вытекают непосредственно из свойств 1ГР и не
вызывают никаких сложностей. Наиболее важными из них являются:
*17314. I-: а! Р. С t С'Р е 1 -> 1. э. C‘Prod‘P = Prod‘C“C‘P
Т.е. если Р не есть нуль и никакие два элемента С'Р не обладают одним
и тем же полем, то поле Prod‘P есть произведение полей С'Р. Заметим,
что С f С'Ре 1 —> 1, если РеRel2 excl.
*173-16. h:РеRel2excl.э.Prod‘Psmor ITP.D fC‘ITPe(Prod‘P) smor (1ГР)
* 173-2. h.Prod‘A = A
* 173-22. h . Prod‘(P | P) = 15 P
* 173-23. h : P / Q. э . Prod‘(P | Q) = С ? (P x Q)
* 173-3. h : T Г C‘E‘geP smor smor Q . э .
Te Г C‘Prod‘ge(Prod‘P) smor (Prod‘g)
* 172-31. h : Psmor smor Q. э . Prod‘Psmor Prod‘g
*173-01. Prod‘P = D;ITP Df
*173-1. h . Prod‘P = D ; П‘Р [(*175-01)]
*173-11. h : p (Prod‘P) v. = . faM, N). M (1ГР) N. ц = D‘M. v = D'N
[*173-1 . *150-51]
*173-12. h . C‘Prod‘P c D“Fa‘C‘P [*172-12 . *150-202]
*173-121. h . C‘Prod‘P = D“C‘ITP [*173-1 . *150-22]
*173-13. h : a! P. э . C‘Prod‘P = D“FA‘C‘P [*172-17 . *173-121]
*173-14. h:a- P-C \C'P el -> 1. э . C‘Prod‘P = Prod‘C“C‘P
Доказательство.
h . *85-12 . *33-5 . э h : Hp. э . D“FA‘C‘P = D“eA‘C“C‘P.
[*173-13 . *115-1] э . C‘Prod‘P = Prod‘C“C‘P: э h. Prop
*173-15. h : D f F^'C'Pe 1 -> 1. э . D [ СТГРe (Prod‘P) smor (П‘Р)
[*173-1 .*172-12 .*151-231]
*173-151. h : D Г Ъ'С'Ре 1 -> 1. э . Prod‘n smor П‘Р [*173-15]
Principia Mathematica II
*173. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОДНОГО ПОЛЯ (продолжение) 451
*173-16. F: PeRel2 excl. d. Prod'P smor H‘P.D fC‘H‘Pe(Prod‘P) smor (ГГР)
Доказательство.
F. *163-12 . э F: Hp. э. F [ C'PeCls —> 1.
[*81-21] э. D f Т'д'С'Ре 1 —»1
F . (1). *173-151-15 . э F . Prop
*173-161. F : P e Rel2 excl. g! P. o. C'Prod'P = Prod‘C“C‘P
[*173-14. *163-14]
*173-17. F : a'- Prod'P. z>. s‘C‘Prod‘P = C‘S‘P
Доказательство.
F. *173-13 . э F: Hp. э. s‘C‘Prod‘P = s‘D“F^C‘P
[*41-43 . *80-42] = D‘F[C‘P
[*37-401. *162-23] = C‘S‘P: э F . Prop
F . Prod'A = A [*172-13 . *150-42]
F : a! Prod'P. = . a! H'P [*173-1 . *150-24 . *33-12]
F.Prod‘(PXP) = i;P
(1)
*173-2.
*173 21.
*173-22.
Доказательство.
F. *173-2 . э F. Prod‘(PXР) = D > XР;Р
[*150-4] = p.v {(дх,у). хРу. р = D‘(x X Р) • v = D‘(y X Р)}
[*55-16] = p.v ((ах,у). хРу. ц = i‘x. v = i‘y)
[*150-4] = U Р. z> F . Prop
*172-23. I-: P / Q. z>. Prod‘(P X Q) = C 5 (P x Q)
Доказательство.
F.*172-21 . DF:Hp.z>.Ci(Pxe) = C;t(2XP);n‘(PX2)
F . *80-14 . *150-23 . э F : Me F^‘C‘(Q X P). э. С'Л/; (2 X P) = D'M:
[*55-15 . *150-1]
[*172-12]
[*150-35]
F. (1). (2). *173-1 . dF. Prop
*173-24. F: C'P fl C‘Q = Л. z>. C f C‘(P x Q) e {Prod‘(P X 2)) smor (P x Q).
Prod‘(P X 2) smor P x Q
(1)
DF:MeFA‘C‘(PX2)-^-C‘t(2XP)‘M=D‘M:
=> I-: М е С‘П‘(Р X Q). э. C'f (Q X РУМ = :
экс!нехр);п‘(рх0=о;п‘(рхе)
(2)
Доказательство.
F.*166-12 . dF.C [С‘(Рх 2) = С [(С‘РхС‘2)
F . (1). *113-148 . dF : Нр. э. С [С‘(Рх 0е 1-> 1
I- . (2). *173-23 . э F. Prop
*173-25. F: Р е Rel2 excl .Z~ еёР.ClZC\ СЪ‘Р = Л. э.
(1)
(2)
Prod‘(P 4» Z) smor (Prod'P x Z). Prod‘(Z 4- P) smor (Z x Prod'P)
Доказательство.
h . *163-451 . э h : Hp . э . P-hZeRel2 excl.
[*173-16] э . Prod‘(P4» Z) smor П‘(Р 4» Z).
[*172-32] э . Prod‘(P 4» Z) smor П‘Р x Z.
[*173-16 . *166-23] э . Prod‘(P4>Z) smorProd‘PxZ (1)
Аналогично h : Hp . э . Prod‘(Z P) smor Z x Prod‘P (2)
h . (1). (2). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
452 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*173-26. F:P,2eRel2excl.g! P.g! 2-C‘PnC‘2 = A.C‘S‘PnC‘S‘2 = А.э.
РгосГ(Р4" 0 smor Prod‘P х Prod‘2
Доказательство.
I-. *163-441 . *173-16 . э F : Нр. э. Prod‘(P* Q) smor П‘(Р* Q).
[*172-35] э. Prod‘(P + Q) smor П‘Р X WQ.
[*173-16 . *166-23] э. Prod‘(P^Q) smor Prod‘P х Prod‘2: э F. Prop
*173-27. I-: C'P Л C'Q = Л. C'P Л C'R = Л. C‘2 Л C'R = Л. z>.
Prod‘{(P X Q) -H P) smor P X Q x R
Доказательство.
F. *173-25 . э F: Hp. P / P. P # 2 •э •
Prod‘{(P X Q) +• P) smor {Prod‘(P 12)) X R.
[*172-24] э. Prod‘{(P X 2) +• P) smor P x Q x P (1)
F. *33-241 .dF:HP.P = P.d.P = A.P = A.
[*172-14 . *166-13] э. П‘{(Р Х2)*Р) = Л.Рх2хР = Л.
[*173-1 . *150-42] э. Prod‘((P X2)*P} = A.Px2xP = A.
[*153-101] э. Prod‘{(P X 2) P| smor (PxQxR) (2)
Аналогично F : Hp. P = Q. э. Prod‘{(P X 2) P) smor (PxQxR) (3)
F. (1). (2). (3). э F. Prop
Следующее предложение дает коррелятор Prod‘P и Prod‘2, когда нам
дан двойной коррелятор Р и Q.
*173-3. F : Г f C‘S‘2еPsmor smor Q.z>.
Те f C‘Prod‘2 e(Prod‘P) smor (Prod‘2)
Доказательство.
F . *173-11. *172-43 . z>
F Hp. z>: p. (Prod‘P) p'. в . (gA, N’). N (П‘2) N’. p = D‘(T | N | Cnv‘Tf).
p' = D‘(T | N’ | Cnv‘Tt).
[*37-32-321] = . (gA, N'). N (П‘2) N'. p = T"D'N. p' = T"~D'N'.
[*173-11] = . (gv, v') .v (Prod‘2) v7 • p = T“v. p' = T“v'.
[*37-101] = . p(7’J Prod‘2) M-' (1)
F . *173-17 . э F . s‘C‘Prod‘2 c C"L‘Q (2)
[♦111-12] э F . (T [ C‘S‘2)e [ C‘Prod‘2 = [ C‘Prod‘2 (3)
F . (2). (3). *72-451. э F : Hp. э . Te f C‘Prod‘2 c 1 -► 1 (4)
F . (1). (4). *151-231. z> F . Prop
*172-31. F: P smor smor Q. э. Prod‘P smor Prod‘2 [*173-3]
*173-32. F : P f C‘S‘2 e 1 -> 1. C‘S‘2 c Q‘P. z>. Prod‘Pf 5 Q = Pe! Prod‘2
Доказательство.
F . *164-18 . э F : Hp. э. P [ C‘S‘2 c (Pt ’ 2) smor smor Q.
[*173-3] э • Pe [ C‘Prod‘2 e (Prod‘Pt ’ 2) smor (Prod‘2) •
[*151-22] э . Prod‘Pt ’ 2 = Pe ’ Prod‘2: F. Prop
*173-33. F:D[C‘S‘2el^l.D.Prod‘Dt;2 = De5Prod‘2 [*173-32^]
R
Приведенное выше предложение используется в доказательстве закона
ассоциативности для “Prod” (*174-401).
Principia Mathematica II
174. ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ РЕЛЯЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ
453
*174. Закон ассоциативности реляционного умножения
Краткое содержание *174.
В настоящем параграфе мы должны доказать закон ассоциативности
для П и для Prod, т.е. мы должны доказать (с подходящими гипотезами)
П‘П; Psmor П‘£‘Р
и
Prod‘Prod»Р smor Prod‘Z‘P.
Первое из них требует Р е Rel2 excl и либо PclJ, либо
GPe.oe.C‘GeOUl;
второе требует не только этого, но также E‘PeRel2 excl. Когда Р и ГР
оба являются отношениями взаимно исключающих отношений, то мы на-
зываем Р арифметическим отношением, которое мы обозначаем посред-
ством “Rel3 arithm”. Арифметические отношения служат в точности та-
ким же целям, которым служат арифметические классы в кардинальной
арифметике.
Доказательство закона ассоциативности для П заключается в том, что-
бы показать, что при подходящей гипотезе s | D (с ограниченной обратной
областью) есть коррелятор П‘Е‘Р и П‘П’Р (*174-221-23). Для того чтобы
доказать это, мы сначала доказываем
*17417. I-: РеRel2 excl. э . s“D“C‘irn 5Р = С‘П‘Е‘Р
И
*17419. I-: PeRel2 excl. э . (s| D) ГСТГП’Ре 1 -> 1
Это дает то, что мы можем назвать кардинальной частью доказатель-
ства, т.е. оно показывает, что (s | D) [ С‘П‘П ’ Р есть кардинальный корреля-
тор полей П‘Е‘Р и П‘П; Р. Затем мы доказываем, что если М и N принад-
лежат полю П‘П > Р, то они находятся в отношении П‘П ’ Р, когда реляцион-
ные суммы их областей находятся в отношении П‘Е‘Р. Здесь, в дополнение
к гипотезе PeRel2excl, мы требуем, чтобы если некоторое отношение Q на-
ходится в отношении Р к самому себе, то C'Q не должен иметь более чем
один терм. Поэтому мы имеем
*174-215. F:. Р е Rel2 excl: QPQ . . С‘б е О U 1: э :
М (П‘П;Р) N. = . М, NeГд‘П“С‘Р. (s‘D‘O (11‘S‘P) (j‘DW)
Гипотеза QPQ. . C‘QeO U 1 верна, если PclJ (*174-216); поэтому для
большинства целей оказывается удобнее подставить более простую гипоте-
зу Pg J вместо QPQ . . C'QeO U 1. Нам представится, однако, случай ис-
пользовать гипотезу QPQ . ^>q . C'QeO U 1 в *182-42-43-431, где наше Р есть
отношение, чье поле состоит целиком из отношений вида QIQ, чьи по-
ля всегда являются единичными классами, так что наше Р удовлетворяет
приведенной выше гипотезе, даже если Р не содержится в J.
Доказательство *174-215 (выше) достигается посредством предваритель-
ного доказательства
*174-2. F: Р е Rel2 excl. Q е С‘Р. М е СТГП 5 Р. э. M‘H‘Q = ($ТУМ) ГC‘Q
Из *174-17-19-215 мы выводим
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
454 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*174-221. I-Р eRel2 excl: QPQ. зе. C'Q еО U 1: з.
П‘ГР = s; D 5 П‘П; Р. (s ID) Г С‘П‘П; P e (П‘ГР) smor (1ГП 5 P)
откуда мы получаем более удобное предложение
*174 23. F: Р е Rel2 excl. Р G J. з.
11‘S‘P = s ’ D > П‘П ? Р. (i | D) С С‘П‘П 5 Р е (П‘Е‘Р) smor (П‘П ? Р)
Поэтому если гипотеза *174-221 или *174-23 имеет место, то закон ас-
социативности имеет место для П (*174-241-25).
Для того чтобы доказать закон ассоциативности для Prod, т.е.
Р е Rel3 arithm. Pg. J. з. Prod‘S‘P smor Prod‘Prod > P,
мы замечаем, что поскольку П‘Е‘Р = i»D»П‘П»Р (*174-23)
= i;Prod‘n;P из определения Prod,
то мы имеем (*174-41) Prod‘S‘P = D»i; Prod‘n; Р
= s > De > РпхГП; Р на основании *41-33,
= s > Prod‘D f ’ П; Р на основании *173-33,
= > Prod'Prod > Р из определения Prod.
Кроме того, s [ C‘Prod‘Prod»Ре 1 —> 1 на основании *115-46. Поэтому сле-
дует закон ассоциативности (*174-43). Будет замечено, что в этом случае
коррелятор есть просто s с ограниченной обратной областью (*174-42).
Как и в случае с П, “Pg J” является более сильной гипотезой, чем нам
действительно необходимо: что нам надо, так это QPQ. 3 g. C'Q ей U 1.
*174-01. Rel3 arithm = Р(Р,Е‘Р eRel2 excl) Df
*174-12. hC [C‘Pel -> 1. з. П; PeRel2 excl
Доказательство.
I-. *150-202 . з
\- z M,N eC'XV P .^\C'M C\C'N . M,N eW'C'P .r\C'M ftC'N.
[*37-6] э.(ае.Я). Q,ReC'P.M = WQ.N = WR.^\C'MC\C'N.
[*172-12] з. (g6, R). Q, R e C'P. M = П‘0. N = П‘Я. a! F±‘C'Q П F^'C'R.
[*80-82 . Transp] з. (a Q, R). Q, R e C'P. M = II'Q. N = П‘Я. C'Q = C'R (1)
F. (1). *71-59.э I- :.Нр.з:
M,NeC‘n>P.^.C‘MCtC‘N .z>.(^Q,R).Q = R.M = H'Q.N = Xl'R.
[*13-195-172] з • А/= IV (2)
F. (2). *163-11. dF. Prop
*174-13. F: P e Rel2 excl. з. П ? P e Rel2 excl [*174-12 . *163-14]
*174-16. F : a! P. z>. С‘П‘П 5 P = РД‘П“С‘Р
Доказательство.
F. *150-25. о F : Hp. о. а! П> P.
[*172-17] з.С‘П‘П;р = Гд‘С‘П5Р
[*150-22] = ГД‘П“С‘Р: з F . Prop
*174-161. F : a! P. P e Rel2 excl. з.
C‘Prod‘n; P = П“С‘П‘П ’ P = Prod‘Fb“C“C‘P
Доказательство.
F . *173-121 . з F. C‘Prod‘n > P = О“С‘П‘П? P (1)
F . *173-161 . з F : Hp. з. C‘Prod‘n ? P = Prod‘C“‘C П 5 P
[*150-22] = Prod‘C“H“C‘P (2)
Principia Mathematica II
174. ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ РЕЛЯЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ
455
F.*172-17. oF: А~еС‘Р.э.ѓϓёР= Рд“ѓёР(3)
I-. *172-14 . *173-21. => I-: Л е С‘Р. э. C‘Prod‘11 > Р = Л (4)
I-. *80-26 . *83-11 . =>F: AeC‘P.z>.Prod‘FA“C“C‘P = A (5)
I-. (2). (3). э F : Нр. Л ~ еС‘Р. э. C'ProdTI :р = Prod‘FA “ѓёР(6)
I-. (4). (5). э F: Нр. Л е С‘Р. э . C‘Prod‘H ? Р = Prod‘FA“C“C‘P (7)
F. (1). (6). (7). э F. Prop
*174-162. I-: а! Р. Р е Rel2 excl. z>. s“D“C‘H‘H > P = С‘ПТ‘Р = Рд‘С‘Е‘Р
Доказательство.
I-. *174-161 . *115-1 . э F : Нр. z>. j“D“CTrn ? P = i“D“eA‘FA“C“C‘P
[*85-27 . *163-16] = Fa‘s‘C“C‘P
[*162-22] =Fa‘C‘S‘P (1)
I-. (1). *172-17 . э F : Hp. a! ГР. э . $“О“С‘П‘П ? P = С‘ПТ‘Р (2)
F.*162-45. z> F : Hp. S‘P = A. э. P = A X A.
[*172-13 . *150-71] э.П’Р = Л|Л.
[♦172-14] э.П‘П!Р = Л.
[*33-241] э.5“П“С‘П‘П;р = Л (3)
F . *172-13 . *33-241. э F : S‘P = A. э. С‘П‘Е‘Р = Л (4)
F . (3). (4). э F : Hp. S‘P = Л. э. i“D“C‘H‘H ? P = С‘П‘ГР (5)
F. (1). (2). (5). э F. Prop
*174 17. F : PeRel2 excl. э. $“О“С‘П‘П 5P = С‘П‘Е‘Р
Доказательство.
F . *150-42 . *172-13 . э F : P = A. э. s“D“C‘H‘n > P = Л (1)
F . *162-4 . *172-13 . oF:P = А.э.С‘П‘ГР = Л (2)
F. (1). (2). *174-162 . э F. Prop
*174-18. F: P e Rel2 excl. э D f С‘П‘П ? P e 1 -> 1
Доказательство.
F . *174-12 . *163-14-12 . э F : Hp. z>. F [С‘П ’ Pe Cis -> 1.
[*81-21] o.D ГРд‘С‘П;Ре1->1.
[*172-12] э. D [ С‘П‘П; P e 1 -> 1: э F. Prop
*174-19. F : P e Rel2 excl. z>. (i | D) [ С‘П‘П 5 P e 1 -> 1
Доказательство.
F . *163-1 . *35-14 . э F :. Hp. э:
е,лес‘р.е/р.эел.р rc‘enp[c‘p=A.
[*172-191] DW.s‘C‘H‘2hs‘C‘n‘R = A (1)
17 ГÓёР
F . (1). *33-5 . *85-31 77-. э
v ’ P, a
F :. Hp . э : M, N e РД‘П“С‘Р. sTTM = s'D‘;V. э . M = N:
[*172-12 . *150-22] э : M, N e С‘П‘П ? P. s4TM = s‘DW. э. M = N:. э F . Prop
*174-191. F : P e Rel2 excl. э . i f C‘Prod‘H 5 P e 1 1
Доказательство.
F . *174-19 . э F :. Hp. э: M, Ne С‘П‘П»P. = s‘D‘N. э. M = N.
[*30-37] d.D‘M=DW:
[*37-63] э : Ц,veD“C‘H‘n’P. s‘p = s‘v. z>. p = v:
[*173-121] d : p, veC‘Prod‘H ’ P. = s‘v. э . |i = v:. э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
456 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*174-2. I-: Ре Rel2 excl. Q е С'Р. Me С‘П‘П 5 Р. э. M'WQ = (s'WM) Г C'Q
Доказательство.
I-. *172-12 . *150-22 . э I-: Нр. э. MeF^'W'C'P. (1)
[*80-31 . *33-5] ^.M'WQeC'WQ.
[*172-12] ^.M'WQeF^'C'Q.
[*80-14] z>.WM'WQ = C'Q (2)
I-. (1). *80-3 . *41-13 . э F : Hp. э. M'WQ G i‘D‘Af (3)
I-. *174-17 . z> F : Hp. э. s‘D‘Af e С‘П‘£‘Р.
[*172-12 . *80-14] z>. s‘D‘Af e 1-> Cis (4)
I-. (3). (4). *72-92 . э I-: Hp. z>. M'WQ = (s'WM) [ Q‘Af‘H‘2
[(2)] = (s‘D‘Af) fC'Q: эН Prop
*174-21. F:: PeRel2 excl. Q e C'P. M, N e С‘П‘П 5 P. =>
M ‘WQ = N'WQ . = -.ReC'Q.z>R. (s‘WM)'R = (s'WN)'R
Доказательство.
I-. *71-35 . *80-14 . *172-12 . z> I-:: Hp. z>
M'WQ = N'WQ. =: R e C'Q. =>R . (M‘WQ)‘R = (N‘WQ)‘R:
[*174-2] =: R e C'Q. aR . {(s'WM) [ C‘Q]‘R = {(s'WN) [ C‘Q}'R:
[*35-7] = : R e C'Q. . (s‘WM)‘R = (s‘WN)‘R:: э F. Prop
*174-211. F PeRel2 excl. z>:: Л/(П‘П 5 P)N. в
M,Ne F^'W'C'P(32,5): <2eC‘P. 5 eC'Q. {(M‘WQ)'S} S {(N'WQ)'S}:
TQS .T±S .z>T- (M'WQ)‘T = (N'WQ)'T:
RPQ .R^Q.TeC'R. z>RJ . (M'WR)'T = (N‘WR)'T
Доказательство.
F . *172-11. *150-22 . э F :: M (П‘П 5 P) N. =
M, N e F^'W'C'P(gQ): Q e C'P. (M'WQ) (WQ) (N'WQ):
RPQ.WR^WQ.=>r.M‘WR = N‘WR (1)
F . *80-31. э FMeF^'W'C'P. z>: QeC'P .z>Q . M'WQeC'WQ. (2)
[*33-24] эе.З!П‘е. (3)
[*172-19] z>q.s‘C‘WQ = F\C'Q (4)
F . (3). (4). э F: M e F&'W'C'P. Q, R e C'P. П‘2 = П‘Р. z>.
F[C‘2 = F[C‘P.a!n‘e.a!n‘P.
[*172-14-192] z>.C‘Q = C‘R (5)
F . (5). *163-14 . э F :: Hp. эMeF^'W'C'P .Q,ReC‘P.z>:
WQ = WR.z>.Q = R:
[*30-37 . Transp] э: WQ ?WR. =. Q ^R (6)
F . *71-35 . (2). *172-12 . *80-14 . z>
F :: M, N e F^'W'C'P .ReC‘P.z>
M ‘П‘Р = N'WR . = tTeC'R.z>T . (M'WR)'T = (N‘WR)‘T (7)
F . *172-11. z> F :: (M‘П‘2) (П‘2) (ЛГ‘П‘2). = ЛГП‘2, N'WQeF^'C'Q
(35): 5 е C'Q. {(Л/‘П‘2)‘5) S {(ЛГП‘2)‘Я}:
TQS .T±S .z>T. (M'WQ)'T = (#‘П‘2)‘Т (8)
F.(l).(2).(6).(7).(8).oF.Prop
*174-212. FPe Rel2 excl. z>:: M (П‘П ? P) N. =
M, Ne F^'W'C'P :.(^Q,S)t QeC'P.S eC'Q. {(s'WM)‘S]S {(s'WN)‘S]:
Principia Mathematica II
174. ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ РЕЛЯЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ
457
TQS .T±S .z>T. {s‘D‘M)‘T = {s‘D'N)'T:
RPQ .R^Q.TeC'R. z>RJ . (i‘D‘2W)‘T = (j‘D‘AI)T
[*174-2-211 . *35-7]
*174-213. I-RPQ .S eC'Q.T eC'R.S ±T. z>QAS,T .R^Q’.Pe Rel2 excl: z>:
RPQ.S eC'Q. TeC'R.R/Q. = . RPQ. S eC'Q.TeC'R.S /Т
Доказательство.
F. *163-1 .z>}-:.}lp.z>’.RPQ.R/Q.S eC‘Q.TeC‘R.=>.S ^T (1)
F.*ll-1. z>\-:.Hp.z>: RPQ.S eC'Q.TeC'R.S ?T.=>.R?Q (2)
F. (1) . (2). э F. Prop
*174-214. F :: P e Rel2 excl: QPQ. эе. C'Q e 0 U 1: э
{zQ):QeC'P-.TQS .T^S .V .{rR).RPQ.R*Q.S eC‘Q.TeC'R. = .
T{£‘P)S .T±S
Доказательство.
F. *52-41 .э I-:. Hp.z>: S, TeC'Q. S ?T .a .~{QPQ):
[*1312 . Transp] t>:RPQ.S eC'Q.TeC'R.S ?T .z>.Q±R (1)
F. (1). *174-213 . э
z>:.RPQ.S eC'Q.TeC'R.R^=Q. = .RPQ.S eC'Q.TeC'R.S ^T-..
[*4-37 . *11-341] э:.
{SQ).QeC'P. TQS .T/S .V.(^Q,R).RPQ.S eC'Q.TeC‘R.R/Q: = :
(aQ).QeC‘P.TQS .T/S .V .(aQ.R).RPQ.S eC'Q. TeC'R.T/S :
[*162-13] =tT(L‘P)S .T±S (2)
F. (2). *33-17. dF. Prop
*174-215. F Pe Rel2 excl: QPQ. z>Q . C'Q e0 U 1: э:
M (1ГП 5 P) N. =. M, Ne F^'D"C'P. {s'D'M) (ПТ‘Р) {s'D'N)
Доказательство.
F. *174-212-214 . z> F Hp. э :: M (П‘П 5 P) N. =
M, N e F& 'П"С'Р -..(nQ,S):QeC'P.S eC'Q. {(s‘D‘A/) S ((s'D'N)'S}:
T (E‘P) S . T / 5 . Dr . {s‘D‘M)‘T = {s‘D'N)‘T (1)
F. *172-13. *152-42 .oF:Af (П‘П?Р)#.э. g! P.
[*172-162] o.s‘D‘Af. s'D'NeFi'C"L'P (2)
F.*162-22 .z>\-:^Q).QeC'P.S eC'Q. = .S eC'Y'P (3)
F . (1). (2). (3). *172-11 . э F . Prop
*174-216. F :. P G J. э: QPQ. z>e . C'Q eO U 1
Доказательство.
F . *50-24 . э F :. Hp. э: (0. ~ {QPQ):
[*10-53] э : QPQ .Dg.C'QeOulj.DF. Prop
*174-22. F:. PeRel2 excl. Pg J. э:
M (П‘П; P) N. = . M, N e Fb‘H“C‘P. (s'D'M) (П‘Е‘Р) {s'D'N)
[*174-215-216]
*174-221. F :. P e Rel2 excl: QPQ. эе . C'Q e 0 U 1: =>.
П‘Е‘Р = i 5 D: П‘П 5 P. (i | D) [ С‘П‘П > P e (П‘£‘Р) smor (П‘П ? P)
Доказательство.
F. *174-215 . *150-41 . э
F : Hp. T = (i | D) [ С‘П‘П ’ P. э . П‘П»P= T ’ П‘Е‘Р (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
458 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
F. *174-19. э F : Нр(1). э. Т е 1 —»1 (2)
F. *174-17. э I-: Hp(l). э. D‘T = С‘П‘Е‘Р (3)
F. (1). (2). (3). *151-11 . э F: Нр(1). э. t е (П‘П ? Р) smor (П‘Е‘Р).
[*151-131] э.Те(П‘Е‘Р) smor (П‘П?Р) (4)
F. (4). *151-22 . э F. Prop
* 17423. F: PeRel2excl: Pg J. э.I1‘S‘P= s»D >П‘П;Р.
(s|D) [С‘П‘ПiPe(II‘S‘P) smor (ПТПР) [*174-221-216]
* 174-231. F: P e Rel2 excl: QPQ . z>e. С‘2 e 0 U 1: z>.
i [C‘Prod‘115 Ре(П‘РР) smor (Prod‘11 ?P)
Доказательство.
F . *174-221. *173-1 . z> F : Hp. э. ПТ‘Р = s ? ProdTI 5 P (1)
F. (1). *174-191. *151-231 . э F . Prop
* 174-24. F: P e Rel2 excl: P G J. э.
i [ C‘Prod‘H! P e (ПТ‘Р) smor (Prod'H 5 P) [*174-231-216]
*174-241. F:. PeRel2 excl: QPQ. z>e . C‘£)eO U 1: э.
H‘S‘Psmor n‘n!P.n‘S‘PsmorProd‘n’P [*174-221-231]
*174-25. F:PeRel2excl:Pg 7. o.
n*E‘Psmor П‘П;Р.П‘Е‘РsmorProd‘П’Р [*174-23-24]
Это предложение дает закон ассоциативности для П. Остается доказать
закон ассоциативности для Prod.
Следующие предложения имеют дело с различными свойствами
“арифметических” отношений, вплоть до *174-4, где начинается доказа-
тельство закона ассоциативности для Prod.
* 174-3. F: РеRel3arithm. = .Р,2‘РеRel2excl [(*174-01)]
* 174-31. F :. Pe Rel3 arithm. = : Q, Q e C'P. Q / Q’. . C'Q П C'Q! = A:
^R'eC'Z'P.R^R' .C'RC\C‘R'=A [*174-3 . *163-1]
* 174-311. F :. PeRel3 arithm. s: Q, Q eC'P. g! C'QC\C'Q. .Q!Q:
«JeC‘PP.g!C‘SnC‘«'.DV .P/P' [*174-3 . *163-11]
* 174-32. F :PeRel3arithm. = .F \C'P,F \C"L'PeCis-> 1 [*174-3 . *163-12]
* 174-321. F :PeRel3 arithm. =>. C \C'P,C [C‘S‘Pel-> 1 [*174-3 . *163-14]
* 174-322. F : P e Rel3 arithm. Q, Q e C'P. g! C"C'Q CiC“C‘Q'. . Q = Q'
Доказательство.
F. *37-6 . z> F:. Hp. z>. (gP, R'). R e C'Q. R! e C'Q . C'R = C'R'.
[*174-321] э.(gP,R').ReC‘Q.R'eC‘Q' .R = R'.
[*13-195] D.g!C‘enC‘ez.
[*174-311] э. G= Q’: э F . Prop
*174-33. F: PeRel3 arithm. z>. C“‘C“C‘PeCls3 arithm
Доказательство.
F. *174-322 . э
F : Hp. z>: Q, Q e C'P. g! C"C'Q Л C"C'Q . . C"C'Q = C"C'Q :
[*37-63] э: у, 6 e C'"C"C'P. g! у П 6. z>Y,6 . у = 6 :
[*84-11] z>:C“‘C“C‘Pe Cis2 excl ’ (1)
F. *174-3 .*163-16 .*162-22 . dF:Hp.o.C“s‘C“C'PeCis2excl.
[*40-38] z>.s‘C“‘C"C‘Pe Cis2 excl (2)
F. (1). (2). *115-2. dF. Prop
Principia Mathematica II
*174. ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ РЕЛЯЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ 459
*174-34. F: РеRel3 arithm. s.С“‘ѓёPeCls3 arithm.C \C‘P,C \C"L'Pe 1 -> 1
Доказательство.
F. *174-321-33 . э
I-: РеRel2 excl. э . C“‘C“C'PeCis3 arithm. C f C'P, C f C‘E‘Pe 1 -> 1 (1)
F . *115-2 . z> I-: C“‘C“C‘PeCis3 arithm. С Г C'Z'Pe 1 -> 1. э.
i‘C“‘C“C‘PeCis2excl.C fC‘E‘Pel1.
[*40-38 . *162-22] э . C“C‘E‘Pe Cis2 excl. C [ C‘E‘Pe 1 -> 1.
[*163-17] э.ГРе Rel2 excl (2)
F . *37-62 . э I-: 6, Q eC'P. R eC'Q Л C'Q . z>. C‘ReC“C‘Qd C“C‘Q’ (3)
F. (3). *115-2. *84-11 .d
I-: C'"C"C'PeCis3 arithm. Q, Q eC'P. g! C'Qd C'Q'. э.
C“C‘Q = C“C‘Q' (4)
I-. (4). *72-481 . *37-421 . э
F:C‘“C“C‘PeCis3arithm. C [C'Y'Pel 1.
Q, Q’eC'P.z'. C'QПC'Q' .z>.C'Q = C'Q' (5)
I-. (5). *71-59 . э
I-:. C‘“C“C‘Pe Cis3 arithm. С [C‘E‘Pe 1 -И . C f C‘Pe 1 -> 1. z>:
Q,Q’eC'P.n'.C'QdC'Q'.z>qq..Q = Q’-.
[*163-11] э:Ре Rel2 excl (6)
I- . (2). (6). *174-3 . э
I-: C“‘C“C‘Pe Cis3 arithm. C [ C‘E‘Pe 1 -> 1. C [ C'Pe 1 -> 1. э.
P e Rel3 arithm (7)
F . (1). (7). э F. Prop
*174-35. F: P e Rel3 arithm. Q, Q’ e C'P. Q = Q . z>. C"L'Q Л C"L'Q = A
Доказательство.
F. *174-3 . *163-1. z> F :. Hp. э : P e C‘2 • P' eC'Q .R?R' (1)
F. *162-22 . z>F:.Hp . эгРеС'е.Р'eC‘g'.R,R’eC‘l.'P (2)
F. (1). (2). *174-31 . э F :. Hp. э : R e C'Q. R’ e C'Q’. . C'R Cl C'R' = A:
[*40-27] s'C"C'Qd s'C"C'Q'= Л.:
[*162-22] э: C"L'Q d C'X'Q' = A:. d F. Prop
*174-36. F : P e Rel3 arithm. э . E > P e Rel2 excl
Доказательство.
F . *174-35 . *37-63 . *150-22 . э
F:. Hp. э : R, R’ e C‘I ’ P. R + R’ • => • C'R П C'R' = A (1)
F. (1). *163-1. э F. Prop
*174-361. F : P e Rel3 arithm. э . C'P c Rel2 excl
Доказательство.
F.*162-1 .DF:eeC‘P.D.eGE‘P (1)
F. *174-3 . э F : Hp. z>. E‘P e Rel2 excl (2)
F. (1). (2). *163-43 . э F. Prop
*174-362. F: P e Rel3 arithm. э. Q, Q e C'P. C''C'Q = C"C'Q . э. Q = Q
Доказательство.
F.*174-322 .DF:Hp.a!C“C‘e.D. 2 = 2' (1)
F.*37-45. dF:C“C‘2 = A.d.C‘2 = A.
[*33-241] d.2 = A (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
460 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
к . (2). *13-172 . э к : Нр. ѓёб = Л. э . б = б' (3)
к. (1). (3). э к. Prop
*174-363. к: Р е Rel3 arithm. э . Prod > Р е Rel2 excl
Доказательство.
к. *173-61. *174-361 . *173-2 . Transp. э
к Нр. э: Q, Q е С'Р. g! C‘Prod‘6 П C‘Prod‘6'. э .
Я! Prod‘C“C‘6 П Prod‘C“C‘6'.
[*115-23 . *174-33] э. ѓёб = ѓёб'.
[*174-362] э.б = б'.
[*30-37] э. Prod‘6 = Prod‘6' (1)
к . (1). *163-11 . *150-22 .эк. Prop
*174-4. к : Р е Rel2 excl. Р G J. э .
Prod'E'P = D > s5 Prod‘H»Р = s5 Df 5 Prod‘H > P
Доказательство.
к. *173-1. э к . Prod'E'P = D5 П‘Е‘Р (1)
к. (1). *174-24 . э к : Р е Rel2 excl. Р G J. э . Prod'E'P = D > s5 Prod‘H 5 Р
[*41-43] = j ’ De ’ Prod'H > P: э к . Prop
*174-401. к: P e Rel3 arithm. э. Prod‘Prod ’ P = De ’ Prod‘H > P
Доказательство.
к . *80-33 . *162-23 . э к : R е F^C'Q. э . D‘P с C"L‘Q (1)
к.(1) .эк:РеРд‘С‘е.Л'еГд‘С‘е'.а!О‘РпО‘7?'.э.
а!С‘Е‘епС‘Е‘б' (2)
к . (2). *174-35 . э к:. Нр. э :
б,е,еС‘Р.7?еГд‘С‘е.Л'еГд‘С‘б'.О‘Л = О‘Л'.а!°‘/г-=>-
б=б'
[*81-21 . *174-361 . *163-12] э. R = R ’ (3)
к . (3). *33-241 . э
к :. Нр. э: Q, Q е С'Р. Re F^C'Q. R’ eF^'C'Q' .D‘P = О'Я'.э. R = R':
[*172-12 . *150-22] э : D [ д‘С“П“С‘Ре 1 -> 1:
[*162-22] э : D f С‘Е‘П’Ре 1 —> 1:
[*173-33] э : Dc! Prod‘11 ’ P = Prod‘D t ’ П > P
[*173-1] = Prod'Prod ’ P:. э к . Prop
*174-41. к : P e Rel3 arithm. P G J. э. Prod'E'P = s»Prod'Prod»P
[*174-4-401]
♦174-42. к : P e Rel3 arithm. P G J. э.
s [ (C‘Prod‘Prod > P)e(Prod'S'P) smor (Prod'Prod5 P)
Доказательство.
к . *173-161-2 . *174-363 . э
к: Нр. э. C'Prod'Prod»Р с Prod'C'C'Prod5 Р
[*150-22] с Prod‘C“Prod“C‘P
[*173-161 . *174-361] cProd‘Prod“C“‘C“C‘P (1)
к . (1). *174-33 . *115-46 . э к:Нр. э. 5 [C'Prod'Prod ? Ре 1 1 (2)
к . (2). *174-41 . *151-231 .эк. Prop
*174-43. к: Р е Rel3 arithm. Р G J • э . Prod'E'P smor Prod'Prod»Р
[*174-42]
Principia Mathematica II
*174. ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ РЕЛЯЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ
461
Это и есть закон ассоциативности для Prod.
*174-44. I-: Р е Rel3 arithm. э . Prod'Prod > Р = De ’ D ’ П'П > Р
[*174-401 .*173-1]
♦174-45. F : Р е Rel3 arithm. э .
(De | D) [С‘П‘П 5 Ре (Prod'Prod 5Р) smor (П'П 5 Р)
Доказательство.
F . *174-18 . э F : Нр. э . D [ С'П'П ’ Ре 1 -> 1 (1)
I-. *80-33 . *162-23 . э
I-: R е F^'C'Q. R' е Рд‘С‘(У . g! D'R Л D'R'. z>. g! C‘£‘Q л C‘S‘Q' (2)
I-. (2). *174-35 . э
I-:. Hp. э : Q, Q' e C'P. R e F^'C'Q. R'eF^'C'Q'. g! D‘R. D'R = D'R'. э .
Q = Q'
[*81-21. *174-361 . *163-12] d.R = R' (3)
I-. (3). *33-241. э
F :. Hp. э : 6, 0'еС'Р.РеРд'С'б.R'еРд‘С‘6'. D‘R = D‘R'. э .R = R':
[*172-12] э : Q, Q’ e C'P. R e C'lI'Q. R’ e C'lI'Q'. D'R = D'R'. z> . R = R' (4)
F . *173-161 . *37-6 . *173-2 . Transp. э
F:: Hp. p, v e C'Prod'H»P. D“p = D“v. z> :•
Re|i.z>:(g<2): QeC'P.ReC'H'g:
(Я O', R') • Q € C'P. R' e C'lI'Q'. R' e v. D‘R = D‘R':
[(4)] э : (gR'). R'ev. R = R':
[*13-195] z>:Rev (5)
Аналогично F :. Hp(5) .z>:Rev.D.Rep
F . (5). (6). э F :. Hp. э: p, veC'Prod'H > P. D“p = D“v. э . p = v:
[*71-55] э: De [C'Prod'H i Pel1:
[*150-22 . *173-1] z>: D6 [О“С‘П‘П’Ре 1-> 1 (7)
F . (1). (7). *35-481 . э F: Hp. э. (De | D) [С'П'П ’ Pe 1 -> 1 (8)
F . (8). *174-44 . э F . Prop
*174-46. F : P e Rel3 arithm. . Prod'Prod»P smor П'П; P [*174-45]
*174-461. F : PeRel3 arithm. Pg J. э. Prod'Prod ’Psmor П‘2?Р
[*174-46-25]
*174-462. F : PeRel3 arithm. z>. H'Prod ’ P smor Prod‘Prod » P
[*174-363 . *173-16]
Два следующих предложения просто подытоживают предыдущие ре-
зультаты.
*174-47. F : Р е Rel3 arithm .P<zJ.-d.
Prod‘Z‘P = 5 ’ Prod‘Prod; P = 5; De 5 D; П‘П; P = D» s; Prod‘II; P.
5 [ C‘Prod‘Prod ’»P, s | De | D Г С‘П‘П ’’ P, D | j Г C‘Prod‘II ? P € 1 -> 1
[*174-42-45-24 . *41-43]
*174-48. F : PeRel3 arithm . Pg J. э ,
Nr‘Prod‘Prod 5 P = Nr‘Prod‘Z‘P = Nr‘n‘E‘P = Nr‘ITII 5 P
= Nr‘Prod‘II; P = Nr‘ITProd5 P
[♦174-43-46-25-462 . *152-321]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
462 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*176. Экспоненциация
Краткое содержание *176.
Определение экспоненциации оформлено по аналогии с определением
в кардиналах, т.е. мы полагаем
Р ехр Q = РгосГР I; Q Df.
• ?
Мы полагаем также, что часто оказывается более удобной формой
PQ = s>(P ехр Q) Df.
Отношение PQ имеет в качестве своего поля (если не Q = А) класс Кан-
тора “Belegungen”, т.е. класс (C‘Pf С‘б)д‘С‘б. Оно упорядочивает элемен-
ты указанного класса посредством некоторой формы принципа первых раз-
ностей, а именно следующим образом: Предположим, что М и N есть два
элемента (C‘Pf С‘б)д‘С‘б, и предположим, что существует терм у в С‘б,
для которого ^-представитель (А/‘у) предшествует N-представителю (N‘y),
т.е. для которого (A/‘y) Р (N‘y), и предположим к тому же, что для всех
термов в С‘б, которые являются более ранними, чем у, т.е. для которых
z Qy .z^y, их ^-представители и ^представители тождественны; в этом
случае мы говорим, что М находится к N в отношении Р^. Это может
быть сформулировано следующим образом при условии, что мы допуска-
ем, что Р и Q серии: Пусть М и N есть две однозначные функции, чьи
возможные аргументы все есть элементы С‘б, в то время как их значения
есть некоторые или все элементы С‘Р. Тогда мы говорим, что М находит-
ся к N в отношении Р^, если первый аргумент, для которого указанные
две функции не имеют одного и того же значения, дает более раннее зна-
чение для А/, чем для N. Таким образом, например, пусть Р есть серия
О1, 02,^3, ^4» ^5, И пусть Q еСТЬ серия ^1,^2,^3»^4-
л2 а3 а5
....................... Р
• • • • ------ Q
Z?i b2 Ь3 ь<
Тогда М и N будут такими, что М'Ь или N'b определено тогда и толь-
ко тогда, когда b есть hi, h2, Ьз или £4, и значение М'Ь или N'b есть
а2, яз, а4 или а§. Тогда если A/‘hi=ai и M'b\ /ai, то М предшествует N;
если M'b\ = N'bi = а\ и M'bz = а\ . N'b2 / а2, то М предшествует N; и т.д. По-
этому в этом случае первый терм этих серий, произведенный посредством
PG, есть терм, для которого М'Ь\=а\, когда b принимает некоторое зна-
чение из Ь^ Ьз,Ь1. Таким образом, первый терм указанных серий есть
i‘aiTC‘6? т.е. i‘B‘PT C'Q. Следующим термом будет
i‘ai Т (ь‘^1 i‘h2 ь‘Ьз) U i‘a2 Т 1‘^4,
т.е.
CB'PyD'QiJlplB'Q.
Следующий есть
L‘B‘PTD‘eu3FlB‘£
Principia Mathematica II
*176. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
463
и т.д. Это делает очевидным то, что наша серия обладает структурой,
требуемой от серии, которая представляет Q-ю степень Р.
Два отношения Р ехр Q и PQ являются ординально подобными, посколь-
ку s является одно-однозначным, когда его поле ограничено С\Р ехр Q).
Это следует из *116-131 вместе с
3! Q • э . С‘(Р ехр Q) = (С‘Р) ехр (С‘б) .
Если 5 есть коррелятор Р и Р', и Т — коррелятор Q и Q', то (S || Т)е
и (S || Т) с ограниченными обратными областями являются соответственно
корреляторами Р ехр Q с Р' ехр Q' и PQ с PfQ . Это показывает, что ре-
ляционное число Р ехр Q зависит только от реляционных чисел Р и Q,
что, конечно, является существенным, если Р ехр Q дает определение экс-
поненциации.
Если аксиома умножения принимается, то тогда, если R есть отноше-
ние, которое сходно с б, и чье поле состоит из отношений, которые сходны
с Р, и R е Rel2 excl, то произведение Р сходно с Р ехр Q. Т.е. если мы пола-
гаем ц = Nr‘P. v = Nr‘б, так что R состоит из v термов, каждый из которых
имеет ц термов, то произведение R имеет |iv термов. Это дает связь между
умножением и экспоненциацией.
Существует два формальных закона экспоненциации, которые имеют
место для реляционных чисел, а именно
PQxPR smor pQ^R
и
(PQ)R smor PRxQ.
Оба формальных закона нуждаются в гипотезе: первый нуждается в
д! б. g!Р. С‘б А ёР= Л,
в то время как второй нуждается в
PG J,
поскольку он доказывается посредством закона ассоциативности (*174-43).
Первый из приведенных выше формальных законов может быть обоб-
щен, полагая L‘5 вместо Q + R и рассматривая произведение различных
степеней
Р ехр б> Р ехр б\ • • • >
где б, • • • €С‘5, и эти произведения берутся в порядке, детерминирован-
ном посредством S. Полученное обобщение есть
5 е Rel2 excl. 5 G J. э . {Prod‘(P exp); 5} smor {P exp (E‘S)}.
Доказательство этого предложения вытекает непосредственно из *174-43
и *162-35.
Доказательство второго из указанных формальных законов является бо-
лее сложным. Мы замечаем для начала, что
Р ехр (Р х б) = Prod‘P 15 Е‘б 1; R.
Принимая подходящую гипотезу, это на основании *162-35
= Prod‘E‘(Pl)t5 6i;P,
которое сходно с
Prod‘Prod ’ (Р1) t; б X ’ Р на основании *174-43.
• > • >
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
464 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
Однако
(Р ехр Q) ехр R = Prod‘{Prod‘P j » Q] J,; R.
Поэтому наш результат будет следовать, если мы сможем доказать
{Prod; (Р j) t; Q1 ’ Р) smor smor {(Prod‘P 1; Q) 1; Р}.
Одним элементом поля Prod; (Р J,) f5 Q15 Р будет
Prod‘P j»21z, где zeC‘P.
Это сходно с Prod‘P J,5 Q, поскольку Qlzsmor Q. Следовательно,
Prod; (Р j) f ’ Q15 P есть серия термов, каждый из которых сходен
с Prod‘Pj’6, и вся серия таких термов сходна с Р. Если бы мы приняли
аксиому умножения, то этого было бы достаточно для доказательства
результата. Однако оказывается возможным получить наш результат без
принятия аксиомы умножения.
С этой целью мы действуем следующим образом. Коррелятор
Prod‘Pl*’61z и Prod‘P J,»g
есть { |(Cnv‘l^)}e на основании *165-361 и *172-3. Назовем его M'z. Тогда
Ме 1 -* 1 : zeC'R . dz . (M'z)е(Prod‘P 1’61 z) smor (Prod‘P 1; Q):
z, w e C'R. з! D'M'z A D'M‘w. dz>iv . z = w.
Этого предложения, наряду с помощью двух или трех лемм, достаточно
для доказательства того, что
{Prod5 (Р1) f5 Q1 ’ Р} smor smor {(Prod‘P 1; Q) 1; Р},
откуда следует требуемый результат.
Главными предложениями настоящего параграфа являются следующие:
*1761. F.Pexp e = Prod‘P15e = D5n‘Pl?e
*176-11. i-.pg = Г’(Рехр e) = 5;prod‘Pi;e = 5;D;n‘Pi?e
Эти предложения просто заключают в себе определения.
*176-14. I-: а! Q. э . С‘(Р ехр Q) = (С'Р) ехр (C'Q). C'PQ = (С'Р Т C'Q^'C'Q
*176-151. F Р = А . V . 2 = А : н . Р ехр 2 = А . = . Р^ = А
В дальнейшем будет замечено, что в арифметике отношений ц° = 0, то-
гда как в кардинальной арифметике ц° = 1. Указанное расхождение возни-
кает из-за того факта, что не существует ординального числа 1 (Ср. *153).
*176-181. h . PGsmor (Р ехр Q)
*176-182. h . (Р ехр Q) smor (П‘Р1J Q)
*176-19. F:: 5 (PQ) T. = :.S,Te (С'Р Т C'Q)±'C'Q
(gy): у е C'Q. (S 'у) Р (Т'у): y'Qy .у' /у. . S'y' = Т'у'
*176-2. \--.U ГС‘РеPsmorP.W ГС‘5 е 2 smor 5 . z>.
(U || W)e f C'(R exp 5) e (P exp Q) smor (P exp S)
*176-21. С той же самой гипотезой (t71| W) Г С‘(Ps) коррелирует PQ и Р5
*176-22. F : PsmorP . Qsmor 5 . э . (P exp Q) smor (P exp S). PQ smorP5
*176-24. F Mult ax. э :
P e Rel2 excl A Nr‘2 . C'R c Nr‘P. э . П‘Р smor (P exp Q)
Это предложение связывает умножение и экспоненциацию.
♦176-31. I-: а! Q. э ехр Q) = (Ё‘Р) ехр (C‘Q)
Principia Mathematica II
176. ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ
465
*176-311-32-321. Подобные предложения дляТ1‘Спу‘(Р ехр б),^‘(Ре),
^‘(Cnv'P2)
*176-34. Нз!6.Е!В?.э.
В‘(Р ехр Q) = (В'Р) Х“С‘2 • В‘(Р2) = (i'B'P) Т C'Q
Мы переходим далее к формальным законам. Мы имеем
*172-142. I-: а! Q. g! R. C'Q Л C'R = Л. э. PQxPR smor PQ*R .
(P exp Q) x (P exp R) smor P exp (Q+R)
*176-44. k : S e Rel2 excl. S G J. э . {Prod‘(P exp) 5 5} smor {P exp (I'S)}
Это предложение является распространением *176-42.
*176-57. k:RG J. э. {(P exp Q) exp Я} smor {P exp (R X Q)}. (PQ)R smor
*176-01. P exp Q = Prod'P X 5 Q Df
*176-02. Pc = .v 5 (P exp Q) Df
*176-1. k . P exp 2 = Prod'P X ’ 2 = D ’ П'Р Х ’ 2 [(*176-01)]
*176-11. k . P2 = i: (P exp 2) =’ i 5 Prod'P X ? Q = s; D ? П'Р р Q [(*176-02)]
*176-12. k:: p(P exp Q)v . = p, ve(C'P) exp (C‘2) :•
(gy,x,x'):xXyep.x'Xyev.xPx/ : zQy. z^y .w [zey.. . w zev
Доказательство.
k . *165-21-12 . *163-12 . э k . F rP J,“C‘2eCls-> 1. (1)
[*85-1 .*115-1 .*33-5] ok.D“FA‘’pX“C‘2 = Prod‘C“PX“C‘2
[*165-12-14 . (*116-01)] ’ = (C'P) exp (C‘2) (2)
k . *176-1 . *173-11 . *172-11. *165-12 . э
k::.p(P exp Q) v. = :: (gM, N,y) M, Ne F&'Pl“C'Q:
yeC'Q. (M‘PXy)(P.Xy) (ЛГРХу):
zQy. z*y • =>z • M'P lz = N'P lz: |x = D'M,v=D‘N::
[*81-15 . (1). *150-6] з :: (gM, N, у)M, Ne F&'Pl''C'Q. p. = D'M. v = D ‘N:
У eC'Q. l‘(p Л X y“C‘P) (X у ’ P) i‘(v Л X У‘'C'P):
zQy • Z /У • =>z • Пи n x y"C'P) = i‘(v Л Xy"C'P)::
[(2). *150-55] =:: (gy):: p, ve(C'P) exp (C'Q).у eC'Q(gx.x')
= i‘(nn Xy“C‘P) .x' Xy = nv л Xy“C‘P). xPx':
z Qy • z # у. w i z = Г(р л X z"C'P).
w' lz- l‘(v Л X z“C‘P). . w - w'::
[*116-11] =:: (gy):: p, v e (C'P) exp (C‘2) :•
(gx.x') rxXyep.x'Xyev. xPx7:
zQy .zty • w>Xzep. . wXzevэк . Prop
Приведенное выше предложение используется в *176-19. Его достоин-
ство заключается в том, что оно дает прямую формулу для Р ехр Q вместо
формулы, которая основывается П‘РХ’278-
*176-13. k:g!(P ехр 2)- = -д!Ре- = -а!П‘РХ;2 [*150-25 . *176-1-11]
*176-131. к : 2 - Л. э. Р ехр 2 = Л. Ре = Л [*165-241. *173-2 . *150-42)
78 В оригинале — which proceeds by way of П‘РД> Q. — Прим. ped.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
466 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
Благодаря этому предложению предложения, формулирующие аналогии
между ординальными и кардинальными степенями, по большей части тре-
буют гипотезы gig или ее эквивалента, поскольку ординальная степень,
чей индекс есть нуль, сама равна нулю, тогда как кардинальная степень,
чей индекс есть нуль, равна 1.
*176132. h : Р = А. д! <2. э . Р ехр Q = K.pV = K
[*165-244 . *172-14 . *176-13 . *150-42]
*176-133. I-. С‘Ре = s“C‘(P ехр Q) [*176-11 . *150-22]
*176-14. I-: а! Q. э . С‘(Р ехр Q) = {С‘Р) ехр (С‘0. С‘РЙ = (С‘Р Т C‘Q)^C‘Q
Доказательство.
F. *165-243 .DHHp.D.aJPJJC.
[*173-161. *165-21] D.C‘Prod‘P|5e = Prod‘C“C‘PX,>e- '
[*176-1 . *165-14] э. С‘(Р ехр Q) = Prod‘(C‘P) 1“{C'Q)
[(*116-01)] =(С‘Р)ехр(С‘е) (1)
I-. (1). *176-133 . => h : Нр. э. С‘Р<2 = i“{(C‘P) ехр (С‘б)}
[*ii6-i3] =(с‘ртс*е)д‘с‘е (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*17615. 1-:а!Р.а!е. = .а!(Р ехр е). = .д!ре
Доказательство.
I-. *176-131-132 . э I-: д! (Р ехр б). э . а! Р. д! С (1)
F. *116-18. *176-14. эЬ: д! Р. а! G-э. а! С‘(Р ехр Q).
[*33-24] э. д! (Pexpg) (2)
I-. (1). (2). *176-13 . э I-. Prop
*176-151. Н :. Р = А. V .е = А: = .Р ехр е = А. = . Ре = А [*176-15]
*176-16. F.C‘(Pexp С)с(С‘Р) ехр (С‘е).С‘Рес(С‘Р'ГС‘О)д‘С‘е
[*176-14-151]
*176-18. I-. j [ С‘(Р ехр 6) е (Ре) smor (Р ехр Q)
Доказательство.
I-. *116-131 . *176-14 . э
l-:a!O-=>. j[C‘(Pexp С) е (С‘Ре) sm С‘(Р ехр Q) (1)
I- . (1). *176-11. *151-191. э
I-: 3! О •э • -И С‘(Р ехр Q) е (Ре) smor (Р ехр Q) (2)
F . *176-151 . *150-42 . *72-1 . э
F : е = Л. э. i [ Cl(P ехр Q) е (Ре) smor (Р ехр Q) (3)
I-. (2). (3). э I-. Prop
*176-181. h . Ре smor (Р ехр Q) [*176-18]
*176-182. I-. (Р ехр Q) smor (П‘Р J,’ Q) [*176-1 . *173-16 . *165-21]
*176-19. h::5 (Рй)Т.5:.5,Те(С‘Р7С‘е)д‘С‘е:.
(а?):У еC‘Q. (5»Р(Т‘у):у'Qy .у' Фу. . 5У = Т‘у'
Доказательство.
I-. *176-11-12 . э
I-:: S (OQ) Т . =:. (аЦ, v)Щ v е (С‘Р) ехр {C'Q) .S = . Т = i‘v:.
(gy,x^ytyeC'Q. х[ye\i. х' lyev. хРх':
y'Cy-y'^y •w'ly ец.э/.н,.и'ХУ ev:.
Principia Mathematica II
♦176. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
467
[*56-4] =(ан, v)р, ve(C‘P) ехр (C'Q) .S = . T - s‘v
(ЭЗ'.х.х') tyeC'Q. xSy. x'Ty. xPx' ’.y'Qy .у' /y.wSy’. . wTy'
|*11613 . *80-3] = S, T e (C‘P T C'Q^'C'Q:. (gy): у e C'Q. (S ‘y) P (T'y):
y'Qy • у' #У • эу . S У = Tly':: э I-. Prop
Приведенное выше предложение часто оказывается полезным, посколь-
ку дает прямую формулу для Ре, а не формулу, которая проходит через
Р ехр Q или П‘Р |; Q.
*176-2. Н U [CRePsmofR. W (С‘5ее§тог5 .э.
(U || W)e Г C‘(R ехр 5)е(Р ехр Q) smor (R ехр S)
Доказательство.
Ь. *165-362 . э I-: Нр. э. (С/1| Vk) [ C‘E‘R15 5 е(Р|? Q) smor smor (R| ’ S).
[*173-3] э.((/1| W)e ГС‘Рго<1‘Л1JS e(Prod‘P| ? Q) smor (Prod'RJJS)’ (1)
F . (1). *176-1 . э F . Prop
*176-21. b: U Г C'ReP smor R. IV Г C'S eQ smor 5 .d .
((7||W) ГСЧЯ5)e(Pc) smor (R5)
Доказательство.
F. *176-2-18 .*151-401 .d I- :Нр.э. i; (U || VV)C [C‘(R exp S)e(Pe) smor (Rs)
[*150-961] D.(tf||W) [i“C‘(R exp S)e(PV) smor (R5) (1)
I-. (1). *176-11 . *150-22 . э F. Prop
♦176-22. F: Psmor R. (2smor5 .э.(Р exp Q) smor (R exp S).PesmorR5
[*176-2-21]
*176-23. I-: R smor smor P1» Q. э . П7? smor (P exp Q)
Доказательство.
I-. *172-44 . э F: Hp. э. H‘Rsmor П‘Р | ’ Q (1)
F . (1). *176-182 . э F . Prop
*176-24. h Mult ax. э:
R eRel2 excl П Nr‘0 • C'R c Nr‘P. э . H‘Rsmor (P exp Q)
[*165-38 . *176-23]
*176-3. I-. Cnv‘(Pe) = (P)2
Доказательство.
I-. *176-19 . э
F:: T (JP)QS . = :.S,Te (C'P f C'Q)yC'Q
(gy):У e C'Q. (T‘y) P(S ‘y):y'Qy .у' / у. z>y . S 'y' = T'y'
[*176-19] b:.S (Pe) T:: d I-. Prop
*176-31. b:a!G.o.^‘(P exp Q) = (fi'P) exp (C'Q)
Доказательство.
I-.*165-21 .*163-12 .*71-221 .*93-1. oh. В [C‘P Г ge Cis-> 1 (1)
I-. *165-12-01 . *37-67 . э b .~&"C'P i: Q = d {(az). ze C'Q. a z ’ P)
[*165-251 . *151-5. *38-3] ’ =(S'P)l“C‘Q (2)
I-. *172-162 . *165-243 . э I-: a! 6 • => .^‘П'Р i ? Q = ByC'Pl ’ Q.
[*173-16 . *165-21 . *151-5] э .~Ё'(Р exp Q) = D“Ba‘C‘P J, 5 Q
[*85-1. (1). *115-1] = Prod‘-£“C‘P ; 5 Q
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
468 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
[(2)] =Prod‘(‘3*/’)X“C‘G
[(♦116 01)] = (Ё'Р) ехр (C'Q): э I-. Prop
♦176-311. I-: g! Q. э .^‘Cnv‘(P exp Q) = (fi'P) exp (C‘Q)
[Доказательство аналогично *176-31]
♦176 32. h : g! б => .^‘(Pe) = (^‘PTC‘Q)A‘C‘Q
Доказательство.
h . ♦176-31-18 . ♦Ш-б . э
I-: Hp. э ,~ft‘(PQ) = i“(^‘P) exp (C'Q)
[♦116-13] = (S'P T С*е)д‘С‘е: э I-. Prop
♦176-321. l-:a!G.z>.^‘Cnv‘(Pe) = (^‘PTC‘e)A‘C‘e [♦176-32-3]
♦176-33. I-3! Q. э : a!^‘(^ exp Q). s. a^XP6) • s •
a!^‘Cnv‘(P exp Q). = . a!^‘Cnv‘(PG) • s. a!^‘P
[♦176-31-311-32-321 . ♦116-18-15]
♦176-34. h : [j! Q. E ! B'P. z>.
B‘(P exp Q) = (B‘P) l“C‘Q. B'(P°) = (i‘B‘P) ? C'Q
Доказательство.
h . ♦176-31. z> I-: Hp. z> .ТЦр exp Q) = (t'B'P) exp (C'Q)
[(♦116-01)] =Prod‘(i‘B‘P)i“C‘e
[♦38-3 . ♦бЗ-З!] = Prod‘i“(B‘P) l“C‘Q
[♦115-143] =i‘{(B‘P)|“C*e} (1)
I-. ♦176-32 . z> I-: Hp. z> .~ft'(pQ) = (i‘B‘Pf C'Q)&'C'Q
[♦116-12 .♦51-4] =i‘{(i‘B‘P)fC‘e) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*176-341. F : 3! g . E ! B‘P. э .
B‘Cnv‘(P exp Q) = (B‘P) Ñёб . B‘Cnv‘(P<2) = (i‘B‘P) ? C‘Q
[Доказательство аналогично *176-34]
*176-35. F:Pg g.D.P^G
Доказательство.
I- . *116-12 . d h : Hp . э . (C‘P T С‘Я)Д‘С‘Я c (C‘g ? С‘Я)Д‘С‘Я (1)
F . (1). *176-19 . dF . Prop
Приведенное выше предложение используется в теории конечных орди-
налов (*261-64).
Следующие предложения задействованы в доказательстве (с подходя-
щей гипотезой)
PQxPRsmoT pQ^R
и его расширения
{Prod‘(P ехр)’5} smor {Р ехр (Е‘5)}.
*176-4. F:a!e.s!P.P“C‘enP“C‘P = A.C‘euC‘Pca‘P. э .
j | С Г С‘{(П‘Р ? Q) х (П‘Р; В)} е {П‘Р 5 (Q 4-В)} smor {(П‘Р 5 Q) х (П‘Р ? В)}
Доказательство.
F . *172-34 . *150-22-24 . э F : Нр . э .
j | С Г С‘{(П‘Р; О) х (П‘Р;Я)} е {П‘(Р5 Q * Р' Я)} smor {(П‘Р 5 б) х (П‘Р 5Я)} (1)
F . *162-36 . э F : Нр. э . Р ? Q 4- Р 5 Я = Р ? (Q 4- Я) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica II
♦ 176. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
469
*176-41. F : g! Q. g! R. P"C'Q П P''C'R = Л. C'Q U C'R a d'P. p .
ГГР 5(6*Я) smor (П‘Р5 6)х(П‘Р5Л) [*176-4]
*176 42. F:g! Q.g! Я. C'QD С‘Я = Л. p.Pex P* smor Я2** .
(Я exp Q) x (P exp R) smorP exp (2*Я)
Доказательство.
I- . *72-411 . *165-22 . p
I-: g! P. C'Q П C'R = Л. p. P [''C'Q П P [''C'R = Л (1)
P|
F. (1). *176-41 . *38-12 . *33-431 . p
F: Hp. g! P. э. П‘Р |J (64Я) smor (П‘Р | ? Q) x (П‘Р 15 Я).
[*176-182 . *166-23] p . P exp (<2*Я) smor (P exp Q) x (P exp Я). (2)
[*176-181 . *166-23] э. Ре^я smor PGxPK (3)
F. *176-151 . *166-13 . *153-101 . э
F : P = Л. э . P exp (Q^R) smor (P exp Q) x (P exp R).
P®^R smor(4)
F . (2). (3). (4). э F . Prop
*176-43. F: 5 e Rel2 excl. 5 G J. э .
s f C‘Prod‘(P exp)»5 e {P exp (E‘5)} smor Prod‘(P exp) » 5
Доказательство.
F . *165-22 . *163-3 . pF:Hp.g!P.p.(Pi)t;S eRel2excl (1)
F . *162-35 . *38-12 . *33-431 . э F . S‘(P |) |; 5 = P i 5’S‘S (2)
F . *165-21 . (2). э F .E‘(P|) t!S eRelh excl (3)
F. (1). (3). *174-3 . p F : Hp. g! Я. p . (Я1) t; 5 eRel3 arithm (4)
F . *165-223 . Transp. эFHp.g! P. p : 6/Я. p. PiJ 6/РрЯ:
[*150-4. *72-14] p:(Pi)|?S gJ ’’ (5)
F. *176-1. э F . Prod‘(P exp) ;5 = Prod'Prod ’ (P|) t ’ 5 (6)
F . (4). (5). (6). *174-42 . p
F : Hp. g! P. э .
5 f C‘Prod‘(P exp)5 5 e {Prod‘E‘(P J,) t ’ S} smor {Prod‘(P exp)5 5}.
[(2)] э . 5 f C‘Prod‘(P exp) ’ S 6 {Prod‘P J, ’ E‘5} smor {Prod‘(P exp) ’ 5}.
[*176-1] э. 5 \C(P exp)’5 e{P exp (E‘5)} smor {Prod‘(P exp) ’5} (7)
F . *176-151 . *173-21 . *172-13-14 . э
F : P = Л. d . Prod‘(P exp) ’ 5 = A . P exp (E‘5) = A (8)
F . (7). (8). *173-2 . *164-32 . э F . Prop
*176-44. F : 5 eRel2 excl. 5 g J. э . {Prod‘(P exp)’5} smor {P exp (E‘5)}
[*176-43]
Следующие предложения являются леммами для
R G J. э . (PQ)R smor рИ*®
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
470 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
*176-5. Н.М [С‘Яе1 -> 1 .С‘Лса‘Л/.С‘2ср‘а“А/“С‘Л.
ЛГ‘С‘Я с 1 -> 1: z, i е C'R. g! D‘A/‘z П D'M'z'. . z = z':
T = xX {(ди, z). и e C'Q. z e C'R. x = {M‘z)‘u. X = и | {M'z)}:
d.Tel-И
Доказательство.
F. *21-33. э I-Hp. z>: xTX. x'TX. э .
(gw, u', z, z'). w, u' e C'Q. z, z' e C'R. x = {M'z)‘u. x' - (M'z')'u'.
X = ulM'z.X = u' l(M'z').
[*55-202] э. (gw, w', z, z') . x = (M'z)‘u. x! = {M'z!)'tf .u = u'. M'z = M'z' .
[*13-22] э.х = У (1)
F.*21-33. э F :. Hp. э : xTX. xTX'. э.
(gw, w', z, z'). w, w' e C'Q. z, z' e C'R. x = {M‘z)'u. У = {M‘z?)‘u'.
X = и I M'z. X' = u' l(M'z').
[*33-43 . Нр]э. (gw, w', z, z'). w, u' e C'Q. z e C'R .z = z’.x = {M'z)'u - (M'z’)'u'.
X = ulM'z.X' = u' l(M‘zf).
[*13-195] э . (gw, w',z). w, u' eC'Q. zeC'R. x = {M'z)‘u = {M‘z)‘u'.
X = u[M'z.X' = u' l(M'z).
[*71-59 . Нр]э. (gw, w', z) • и = и'. X = и | (M‘z) .X' -и' I (M'z) •
[*13-195] z>.X = X’ (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*176-501. F: Hp *176-5 . э. Q‘T = C'Z'Qi’M'R
• )
Доказательство.
F . *71-16 . э F :. Hp. d :zeC‘R. иeC'Q. э. E ! {M'z)‘u.
[*21-33] z>.ul{M‘z)eD'T (1)
F . *21-33 . э
F:. Hp. э: Xe D'T. d . (gz, w). z e C'R. w e C'Q. X = и | {M‘z) (2)
F. (1). (2). э F:. Hp. э: X e D'T. =. (gz, w). z e C'R .ueC‘Q.X = ul {M'z).
[*71-4] =.{^Z,u).ZeM“C'R.ueC'Q.X = ulZ.
[*150-22] s.{sZ,u).ZeC'M’R.ueC'Q.X = ulZ.
[*165-16 . *113-101] =.XeC'Z'Ql‘<M Sflz.oF.Prop
*176-502. F:Hp *176-5 . zeC'R .z> .T > Q l'M‘z = -}Q'M'z
Доказательство.
F . *150-4 . *165-01. *176-5 . э
F: Hp. э . T ’ Q\,'M'z = xy {(gw, v). uQv. x - T‘| {M‘z)‘u. у = T‘| (ATz)‘v)
[Hp. *176-5-501 j = xy {(gw, v). uQv. x = {M'z)'u. у = {M‘z)'v}
[*150-4] = {M'z); Q
[*150-1] = ^Q'M'z: э F . Prop
*176-503. F : Hp *176-5 . э. Te(f6 ’ Л/’Л) smor smor {Q^ M’R)
• ?
Доказательство.
F . *176-502 . *150-1-35 . э F : Hp. э. Tf i g | i Л/ i 7? = IQ i Л/: Л (1)
F . (1). *176-5-501. *164-1. э F . Prop
Principia Mathematica II
*176. ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
471
*176-51. F М t C'R e 1 -> 1. M“C‘R с 1 -И .
C'R c (I'M. C'Q a p'd"M"C'R:
Z, z' e C'R. з! D‘A/‘z Cl D'M'z' . . z = z': э . tg ’ Л/ ’ R smor smor Ql’R
Доказательство.
F. *165-361 . э F: Hp. z>. Q1»M ’ R smor smor Q j. > R (1)
I-. (1). *176-503 . *164-221 . z> F. Prop
*176-52. F:.zeC‘P.z>, .M‘ze(P‘z) smor Q: э . P<R= tQ; M’R
Доказательство.
I-. *151-11 . э FHp. э: ze C'R. эг. P'z = (M'z) ’ Q
[*150-1] = tQ'M'z (1)
F.(1). *150-35 . э F . Prop
*176-53. \--..M \C‘Rel->l:zeC'R.z>z.M'ze(P'z) smofg:
z, z' e C'R. g! C'P'z A C'P'z! . . z = z': э . P > R smor smor Ql’R
Доказательство.
F. *14-21 . z> F Hp. э: zeC'R. эг. E ! M'z: (1)
[*33-43] э: C'R с (ГМ (2)
F . *151-11 . э F Hp. э: zeC'R. эг. M'ze 1 1:
[*37-61.(1)] э:М“С?с1ч1 (3)
F. *151-11-131. э F :. Hp. э. ze C'R. эг. D‘Af‘z = C'P'z:
[Hp] э : z, z' e C'R. 3! D‘Af‘z A D‘Af‘z' • . z = z' F.*151-11. oF:.Hp.D:zeC‘R.D.a‘A/‘z = C‘2: (4)
[*37-63] o:ZeA/“C‘R.o.a‘Z=C‘2: [*40-15] ^'.C'Qcp'G"M"C'R (5)
F. (2). (3). (4). (5). *176-51 . э F : Hp. . tQ > M ’ R smor smor Q | ’ R F . (6). *176-52 . э F . Prop (6)
*176-54. F :. 3! P.3! g. A/ = Zz[zeC‘P.Z= {| (Cnv‘|z)}e [C‘(P exp 2)].=>:
Mel —»1: z e С‘Я. эг. M ‘z e (Prod'P | ’ Q J, z) smor (Prod'P | > Q)
Доказательство.
F . *116-606 . *176-14 . э F: Hp. э . Me 1 -> 1 (1)
F . *21-33 . *30-3 . э F : Hp. z e C'R. э. M'z = {I (Cnv‘1 z)]f [ C‘(P exp Q) (2)
F . *151-65 . *165-361. *166-1 . *165-1 . э
F. {| (Cnv'J, z)} [ C‘(Q x P) e (P |»Q J, z) smor smor (P J. ’ Q).
[(2). *173-3] z>F:Hp.zeC‘P.D.
M'ze (Prod‘P I ’ QI z) smor (Prod‘P | > Q) (3)
F. (1). (3). э F. Prop
*176-541. F. (P1) f; Q | ’ R e Rel3 arithm. E‘(P |) | ? Q15 R = P J. ? 1,‘Q | ? R
Доказательство.
F . *163-3 . *165-21-22 . э F : й! P. э . (P J.) |: 21; Л e Rel2 excl (1)
F . *165-242 . э F : P = A. 3!5.3! S'. o'.’pj. =AIA. P^S' = A | A:
[Transp] dF:. P = A.P|’5 = Л. V .S' = A:
[*165-241] ’’ ’ э:Рр5 =A. V.PpS' = A:
[*33-241] э:C‘P|;5 AC‘P|j5'= A (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
472 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
F. *150-22-1 .dF:.P = A.z>:
Т, T'eC‘(Pl) t; GI . Т / Г . э.
(az.z,).z^z'.z,z,eC‘l?.T = (Pl)ieU.r = (Pi);eiz'.
г Х-. • > • ’ ‘ ‘ ’ Z
[(2)] э.С‘ТПёà = Л (3)
F. (1). (3). *163-1. э F. (Р1) t; Q1.5 R е Rel2 excl (4)
I-. *162-35 . э F. Е‘(Р 1) 15 Q15 R = PJ 5£‘Q j 5 R. (5)
[*165-21] э F . E‘(P X) t ’ 21 ’ P e Rel^ excl ' (6)
F . (4). (5). (6). *174-3 . э F . Prop
*176-55. F:a!P.a!<2.D. Prod 5 (P1) t; QI; R smor smor (Prod'P |! Q) | ’ R
Доказательство.
F. *176-133-15 . *37-44-21 . э
F : g! C'Prod'P 1 ’ Q1 z П C'Prod'P J,: Q J, w. э.
a! С'Р6-1/ n C'PQ^W .fr.Qiz.
[*176-16 . *80-14 . *165-212] э . (aP). C'P = C‘Q 1z. Q'P = C‘Q 1 w. a! Q •
[*13-171 . *150-22] D.lz“C‘2 = lw“C‘2.a! Q.
[*55-232] z>.z = w
F. (1). *176-54 . *176-53
Prod'P J, ’ 2 i z, Prod'P J, 5 2
-------Li---Li_________Li__
P'z, Q
. э F. Prop
(1)
*176-56. FiglP.g! Q.R<z J.z>.
Prod‘E‘(P 1) |5 QI. ’ R smor Prod‘(Prod‘P | ’ Q) | ’ R
Доказательство.
F. *165-223 . э Fg! P. Pl: 21 z = PГ 21 z'. э: 21 z = Q1 z':
[*165-22] ’’ ’’ ’’ ’’ э:а!2.=>.‘г = г/ (1)
F . (1) .Transp. dF Hp .zRz'. э . Pl ’ 2lz/Pl5 21z' (2)
F . (2). *150-4 . эF :Hp. э. (Pl) t ’ 21’Pg J ’’ ’’ (3)
F . (3). *176-541 . *174-43 . э
F : Hp. э. Prod‘E‘(P 1) f; 215 P smor Prod'Prod 5 (P1) t ’ 2.15 P (4)
F . *176-55 . *173-31 . э
F : Hp. э . Prod'Prod > (P1) t5 21 ’ P smor Prod‘(Prod‘P 1 ’ 2) 1 ’ P (5)
F. (4). (5). э F. Prop
*176-57. F: P G J. z>. {(P exp Q) exp P) smor {P exp (P x 2)} • (Ре)я smor PR*Q
Доказательство.
F. *176-151. dF:.P = A. V.2 = A: d.(P exp 2) exp Р = Л (1)
F . *176-151. *166-13 . z> F:. P = A. V . 2 = A: э. P exp (P x 2) = A (2)
F . (1). (2). *153-101 .dF:.P = A.V.2 = A:d.
{(P exp 2) exp P} smor {P exp (P x Q)} (3)
F . *176-56-541-1. *166-1. эF : 3! P. g! 2-Pg J. э.
{(P exp 2) exp P) smor {P exp (P x 2)) (4)
F . (3). (4). э F: Hp. э. {(P exp Q) exp P} smor {P exp (P x 2)} (5)
[*176-181-22] э.(Ре)я smor РЯх!3 (6)
F. (5). (6). э F. Prop
Это предложение завершает доказательство второго формального зако-
на экспоненциации.
Principia Mathematica II
*177. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ Pdf С ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ
И СТЕПЕНЯМИ
473
*177. Предложения, связывающие Pdf с произведениями
и степенями
Краткое содержание *177.
Основным предложением на этот предмет является
*177-13. F : х / у. э . Pjf smor {(х 1 у)р}
которое является аналогом *116-72 или скорее приводит к аналогу *116-72,
как только степени реляционных чисел определены; тогда оно становится
Рле2^_
Другое предложение представляет собой расширение *171-69, а именно
*177-22. F : PeRel2 excl. Pg J. э . Prod‘df ’ Psmor (E‘P)df
где мы полагаем df‘Q=2df-
Оставшиеся предложения этого параграфа являются леммами для двух
приведенных выше.
*177-13 показывает, например, что все классы конечных целых могут
быть упорядочены в серию, чье реляционное число есть 2J0, где со есть
реляционное число серии конечных целых. 2“ не является реляционным
числом континуума, однако тесно к нему прилежит.
*177-1. F : х/у. Т = рР [Ре {(i‘x U i‘y) Т а}д‘а. ц = 5Г‘х]. э .
Т е (СГа) sm {(t‘x U i‘y) ? а}А‘а [*116-712-713-715]
В предложениях из *116, на которые имеются ссылки выше, А и V
появляются вместо х и у, однако никакие свойства А и V не используются
в приведенном выше доказательстве, исключая А / V.
*177-11. F:Hp *177-1 .a = C‘P.D.7’5(x|y)/’ = Pdf
Доказательство.
I- . *176-19 . э
F Нр. э :: р. {Т ’ (хХу)р} v. = :. (аЯ, 5): Я, 5 е {(i‘x U i‘y) Т С‘Р}Д‘С‘Р:
(az): z е С'Р. R'z (xly)S‘z:
wPz. w / z • . R'w = S‘w-.\i = <R'x. v = S^'x
[*5513] = :. (аЯ, S):R,Se {(i‘x U i‘y) T С‘Р}Д‘С‘Р
(az)zeC'P. R'z = x. S'z = y p = <R'x. v = §^‘x
wPz. w / z • э» • xRw . = .xSw. yRw. = . yS w
[*71-36] = (аЯ, •$): Я, S e {(i‘x U i‘y) f С‘Р}Д‘С‘Р
(az)zeC'P .zo p- v. p = )Г‘х. v= ^T‘x:.
wPz .w^z.z>w.we\i. = .wev:.
[*177-1] = :. p, v e CVC'P(az):. z e C'P. ze p - v
wPz .w^z.z>w:we\i. = .wev:.
[*171-11] =p. (Pdf) vэ h . Prop
* 177-12. h : Hp *177-11. э. TePdf smor {(x|y)p} [*177-1-11. *151-191]
* 177-13. F : x у. э . Pdf smor {(x | y/} [*177‘12]
* 177-2. df‘<2 = 2df Dft[*177]
* 177-21. F: PeRel2 excl. Pg J. . s f C‘Prod‘df’Pe(S‘P)df smor (Prod'df’P)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ
474 В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
Доказательство проводится так же, как и доказательство *174-24. Если
2^С‘Р, то мы будем иметь, если Л/е Ед‘df “С‘Р,
M‘Gdf = (s‘D‘A/)nC‘2.
Следовательно, мы без труда получаем
М (II‘df 5 Р) N. = . М, N е EA‘df“C‘P. (s‘D‘M) (E‘P)df (s‘D W),
откуда
p (Prod‘df ’ P) v. = . p, v e Prod‘Cl“C“C‘P. (5‘p) (E‘P)df (5‘v),
поэтому легко выводится требуемый результат.
*177-22. F : PeRel2 excl.Pg J. э. Prod'df’Psmor (S‘P)df [*177-21]
Principia Mathematica II
ГЛАВА 4.
АРИФМЕТИКА
РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
Краткое содержание главы 4
В настоящей главе мы будем иметь дело с арифметическими опера-
циями над реляционными числами. Их чисто логические свойства были
рассмотрены в главе 1; в настоящей главе будут установлены именно их
арифметические свойства. Эти свойства проистекают непосредственно из
арифметических свойств отношений, которые были установлены в главах 2
и 3. Темы, обсуждаемые в настоящей главе, аналогичны тем, которые об-
суждались в главе 2 части III, за исключением тех, которые уже имели
их аналоги, обсуждаемые в главах 2 и 3 части IV. Аналогия является на-
столько близкой, что часто делает ненужным приводить доказательства,
поскольку они часто шаг за шагом аналогичны доказательствам соответ-
ствующих предложений главы 2 части III.
Два главных орудия при определении арифметических операций с ре-
ляционными числами —это (1) принять должным образом в расчет типы,
(2) построить то, что могло бы быть названо отделенными отношения-
ми, т.е. отношениями взаимно исключающих отношений, выведенных из
данных отношений и ординально подобных им. Каждый из этих вопросов
требует некоторых предварительных разъяснений.
Сумма двух реляционных чисел Ц и v будет обозначаться посредством
“p, + v”, для того чтобы отличать этот вид сложения от ц + v (арифметиче-
ское сложение классов) и |i+cv (сложение кардиналов). При определении
ц + v мы должны принять в расчет следующие рассуждения.
Предположим, что Р и Q есть два отношения, которые принадлежат
одному и тому же типу и имеют взаимно исключающие поля. Тогда, оче-
476
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
видно, мы захотим оформить наше определение суммы двух реляционных
чисел таким образом, что сумма Nr‘P и Nr‘Q будет равна Nr‘(P^6)- Одна-
ко если Р и Q не принадлежат одному и тому же типу, то Р Q является
бессмысленным; и если С'Р и C'Q перекрываются, то Р$Q может быть
слишком маленьким, чтобы иметь в качестве своего реляционного числа
сумму реляционных чисел Р и Q. С этими трудностями можно столкнуть-
ся, заметив, что если Nr‘P = Nr‘P и Nr‘Q = Nr‘5, то мы должны выдвинуть
такие определения, чтобы иметь
Nr‘P + Nr‘Q = Nr‘Я + Nr‘5.
Следовательно, при определении суммы реляционных чисел Р и Q мы мо-
жем заменить Р и Q двумя другими отношениями R и 5, которые соответ-
ственно сходны с Р и Q. Следовательно, то, что мы требуем для нашего
определения, есть нахождение двух отношений R и S, которые (1) соот-
ветственно сходны с Р и 2, (2) принадлежат одному и тому же типу, (3)
имеют взаимно исключающие поля. Все эти три указанных реквизитных
условия удовлетворяются, если мы положим
R = X (А П C'Q) 515 Р. 5 = (А П С'Р) j 51J Q.
Тогда мы определяем Р + Q как означающее R 4-5, и мы определяем сумму
реляционных чисел Р и Q как реляционное число Р + Q. Эта процедура
в точности аналогична таковой из *110; в действительности мы имеем
С‘(Р + 2) = ёР+ С‘£.
При определении суммы реляционных чисел одного поля мы не долж-
ны рассматривать типы, поскольку элементы поля необходимо принадле-
жат одному и тому же типу. Однако мы должны рассматривать вопрос
перекрытия. Если терм х входит и в C'Q, и в C'R, где Q'ReС'Р, то мы хо-
тим иметь метод подсчета х дважды при формировании арифметической
суммы. Поэтому Nr‘E‘P не может быть взят в качестве суммы реляцион-
ных чисел элементов С'Р, если не PeRel2excl. Предположим, например,
что мы имеем три серии
(а,Ь, с), (Ь,с,а), (с,а,Ь).
Каждая из них имеет три терма; и мы хотим, чтобы сумма их реляцион-
ных чисел была равна реляционному числу серии из девяти термов. Од-
нако если мы положим
Q = а X b X с (где a J, b J, с записано вместо а i b U a J, с U b J, с),
R = b [с [а,
S =с lalb,
и если мы далее положим
P=QIRIS,
так что Р помещает указанные выше три серии в приведенном выше по-
рядке, то мы имеем
Е‘Р = (i‘a U Cb U i‘c) Т (i‘a U Cb U i‘c),
которое не является серией и не имеет реляционного числа, которое нам
требуется в качестве суммы реляционных чисел Q, R и 5.
То, что необходимо, так это метод, позволяющий различать разные
вхождения а, b и с. По этой причине, когда а входит в качестве элемента
поля Q, мы заменяем его на а X Q; когда входит в качестве элемента поля R,
Principia Mathematica II
Краткое содержание главы 4
477
то заменяем на а X R\ а когда входит в качестве элемента поля S, то заменя-
ем на a J, 5. Поэтому серия (а, Ь, с) заменяется на (a J, Q, b 1 Q, с i б); (Ь, с, а)
заменяется на (b\,R, clR, а J,P); (с, а, Ъ) заменяется на (cj,5»a |5).
Сумма этих трех серий тогда имеет реляционное число, которое требуется
в качестве суммы реляционных чисел Q, R и 5.
Приведенный выше процесс в символьном виде записывается следу-
ющим образом. Производящее отношение серии (a J, Q, b i Q, с X Q) есть
J, Q ’ Q; поэтому три приведенных выше отношения, чьи суммы берутся,
есть Хб’б, [R'R и ;5, т.е., используя обозначение из *182, в соответ-
ствии с которым мы полагаем = три наших отношения есть J‘2,
£‘Р и J‘5.
Однако производящим отношением серии (Т‘б, Х‘Р, 1‘5) является 15 Р,
поскольку Р = (Q [R [S). Таким образом J’ Р есть отношение, требуемое
для определения суммы реляционных чисел элементов поля Р; т.е. мы по-
лагаем
ENr‘P = Nr‘S‘pP Df.
Мы будем называть |»Р отделенным отношением, соответствующим Р.
X»Р строится, как изложено выше, посредством замены каждого элемента
х отношения С‘0, где QeC'R на х j б; так что если х принадлежит и к С‘б,
и к С‘Р, то он удваивается путем преобразования один раз в xJ,Q и еще
один раз в xlR.
Для трактовки произведений нам не требуется J»Р, поскольку П‘Р бы-
ло определено таким образом, чтобы вызывать требуемое отделение. Мы
могли бы, однако, посредством использования J ’ Р обойтись без П‘Р как
фундаментального понятия и довольствоваться РгосГР; так как мы имеем
П‘Р= 5; Prod‘J ’ Р.
Таким образом мы могли бы взять Prod в качестве фундаментального по-
нятия и определить П через него.
Прибавление единицы к реляционному числу должно трактоваться от-
дельно от сложения двух реляционных чисел, по тем же причинам, кото-
рые делают необходимым трактовку Р -и х и х я- Р отдельно от Р Q. Не
существует ординального числа 1, однако мы можем определить прибав-
ление единицы к реляционному числу. Если Nr‘P = p и х~еС‘Р, то мы
должны иметь
Nr‘(P-Hx) = ц+ 1,
где мы пишем “ 1 ” для единицы в качестве варианта, исправляющего ситу-
ацию. Мы не пишем “1Г”, поскольку мы дадим, на более поздней стадии,
общее определение цг, в силу которого, если ц есть индуктивный карди-
нал, то будет соответствующим ординалом. Это определение влечет за
собой 1Г = А, и, следовательно, мы используем другой символ “i” для 1
в качестве исправления. Символ i определен лишь через свои примене-
ния и не имеет значения, исключая применение, которое было специально
определено.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
478
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
Мы определяем произведение р х v как реляционное число PxQ, когда
|i = Nor‘P и v = Nor‘Q. Произведение, определенное таким образом, подчи-
няется закону ассоциативности, а также закону дистрибутивности в следу-
ющей форме:
(v х ш) х р = (v х р) + (со х р),
однако не подчиняется, вообще говоря, указанному закону в форме
р х (v + ш) = (р х v) + (р х ш).
Последняя форма имеет место, когда р, v и Ш являются конечными орди-
налами, как мы докажем на более поздней стадии (*262). Закон коммута-
тивности также не имеет места, вообще говоря, для ординального сложе-
ния и умножения, однако имеет место, когда рассматриваются конечные
ординалы.
Произведение чисел элементов ёРв порядке, произведенном посред-
ством Р, определено как №‘П‘Р и обозначается посредством П№‘Р.
В дальнейшем будет видно, что ПР4г‘Р не является функцией С‘Р, по-
скольку значение произведения зависит от порядка сомножителей; оно так-
же не является функцией Nr»Р, если найдутся два элемента С‘Р, облада-
ющие одним и тем же реляционным числом. Свойства nNr‘P вытекают
из *172 и *174.
“р в степени v” обозначается посредством “р exprv” и определяется
как реляционное число Рехр Q, где p = Nor‘P и v = Nor‘Q. Его свойства
вытекают из предложений *176 и *177.
Principia Mathematica II
♦ 180. СУММА ДВУХ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
479
*180. Сумма двух реляционных чисел
Краткое содержание *180.
Для того чтобы определить сумму двух реляционных чисел, мы присту-
паем (как в *110) к построению отношения, чье реляционное число будет
требуемой суммой. Для этой цели мы полагаем
p+e={i(Anc‘e)5i5p}^{(Anc‘P)i;i;e} Df.
Это определение обладает следующими достоинствами: (1) какими бы ни
могли быть типы Р и 2, J,(AnC‘0;i’P принадлежит тому же самому
типу, что и (АПС‘Р)X’l’G; (2) несмотря на то, что поля Р и Q могут
перекрываться, и даже если Р = б, поля J, (А П C'Q)» l »Р и (A А С'Р) X »i5 Q
являются взаимно исключающими; (3) эти два отношения соответственно
подобны Р и Q. Следовательно, ясно, что без наложения некоторых огра-
ничений на Р и Q мы можем взять реляционное число Р + Q как опреде-
ляющее сумму реляционных чисел Р и Q. Следовательно, мы полагаем
ji + v = P{(aP,G).H = N0r‘P.v = Nor‘e.Psmor (Р + Q)} Df.
Из этого определения следует, что p + v равно нулю, если р и v не яв-
ляются однородными реляционными числами, однако если они являются
однородными реляционными числами Р и б, тогда p + v есть реляционное
число Р + Q.
Для того чтобы иметь возможность обсуждать типовую неопределен-
ность реляционных чисел, мы полагаем, как в *110
Nr‘P + v = Nor‘P + v Df,
p + Nr‘Q = p + Nor‘6 Df.
Основными предложениями настоящего параграфа являются
*180111. F . С'(Р + Q) = С'Р + C'Q
* 180-3. h . Nr‘P + Nr‘0 = Nor‘P + Nr‘0 = Nr‘P + Nor‘e
= Nor‘P + Nor‘e = Nr‘(P + G)
* 180-31. h : P smor R . Q smor 5 . э . Nr‘P + Nr‘g = Nr1/? + Nr‘5
Это предложение является существенным, поскольку в противном слу-
чае Nr‘P + Nr‘2 не было бы функцией Nr‘P и Nr‘£>, однако зависело бы
от частных Р и Q.
* 180-32. h : С'Р П C'Q = А . э . Nr‘P + Nr‘6 = Nr‘(P* Q)
* 180-4. h : a! p + v . э . p, ve NR - i‘A . p, v e NqR
* 180-42. h . p+veNR
* 180-56. h . (p + v) + Ш = p + (v + Ш)
которое представляет собой закон ассоциативности.
* 180-61. h . Nr‘P + 0r = Nr‘P = 0r + Nr‘P
* 180-71. h : p, veNR. э . C“(p + v) = C“p+c C"v
Это предложение дает связь между ординальным и кардинальным сло-
жением. Следует отметить, что, в силу *154-9, С“р и C“v есть кардиналы,
когда р и v есть реляционные числа.
*180-01. P + e = {|(Anc‘e);i;p}^{(Anc‘P)|;i;e) Df
*180-02. р + v = R {(аР, Q). р = Nor‘P. v = Nor‘2 . R smor (P + Q)} Df
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
480
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*18003. Nr‘P + v = Nor‘P + v Df
*180 031. ц + Nr‘G = ц + Nor‘6 Df
О целях определений *180-03-031 смотри замечания о соответствующих
определениях в *110 и ПТ Предварительных формальных соглашений.
*180-1. ь.р + е = {ИллС‘0;1;РЖ(Апс‘Ри;1;е} [(*i8o-oi)]
*180-101. F . сч (А П С‘б); i! Р = 1 (Л П C‘G)“1“C‘P.
С‘(Л П С‘Р) ГI i Q = (Л П С‘Р) |“i“C‘G [*150-22]
*180-11. l-.C4(AnC‘e)5i5PDC‘(AnC‘P)J,5i;0 = A [*180-101. *110-11]
*180-111. F. С‘(Р+ Q) = С'Р + C'Q
Доказательство.
F. *180-101 . *160-14 . э
F. C‘(P+G) = I (A n C‘G)“i“C‘P и (Л n C‘P)
[(*110-01)] = C‘P +C‘g. z> F . Prop
*180-12. F Д (An C‘G)!i!PsmorP. (ЛПС‘Р) J, 5 ugsmorG [* 151-61-64-65]
*180-13. F:RsmorP.5 smorQ.C'RCtC'S = Л. э. P15 smorP + Q
Доказательство.
F . *180-12 . oF: Hp. э. R smor | (Л П C'Q) > i; P .5 smor (Л П C'P) |515 Q (1)
F . (1). *180-11. *160-48 . э
F:Hp.o.Pt5 smor {|(A nC‘G) 5 и Pt (Л П C'P) 15 и Q}.
[(*180-01)] d . R t S smor (P + Q): э F . Prop
*180-14. F:C‘PnC‘G = A.D.PtesmorP+G [*180-13 . *151-13]
*180-15. F : R smor P. S smor Q. э. R + S smor P+Q
Доказательство.
F . *180-12 . э F: Hp. э. | (Л П C'S) > i > R smor P. (Л П C'R) |»i ’ S smor Q.
[*180-13] D.(|(AnC‘5);iiPt(AnC‘P)J.5i!5} smorP+G-
[(*180-01)] э .R + S smor P+ Q: э F . Prop
*180-151. F C'PПC‘Q = A.z>:Zsmor (Pt £>). = .
(gP, S). Psmor P. S smor Q. C'R П C'S =A.Z=R$S
Доказательство.
F . *160-48 . э FHp. э : (gP, 5) • P smor P. 5 smor Q. C'R П C'S = A.
Z = Pt5 .o.Zsmor (Ptg) (1)
F.*160-44. DFtTeZsmof (Pte).D.Z = T!PtT;e (2)
F. *160-14 . *151-11 . и F: TeZsmof (Pt Q). э . C'Pc СГТ.CQc Q'T (3)
F . (3). *151-21. э F : TeZsmof (Pt 0. э. T ’Psmor P. T ’ gsmor G (4)
F. *72-411 . *150-22 . э FHp. э:
TeZsmof (PtG).o.C‘T;PnC‘T;G = A (5)
F . (2). (4). (5). э F Hp. э: T eZ smor (P t Q). э .
T 5 P smor P. T 5 G smor Q .C'T 5 P f\C‘T 5 Q = A .Z=T ’ P^T ? Q\
[*151-12] э rZsmor (PtG)-=>.
(gP, 5). P smor P. S smor Q. C'R П C'S =A.Z = R + S (6)
F. (1). (6). э F. Prop
*180-152. F: Z smor (P + Q). s .
(gP, S). R smor P. 5 smor Q. C'R П C'S =A.Z = R + S
[*180-151-11-12]
Principia Mathematica II
♦ 180. СУММА ДВУХ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
481
*18016. h.Nr‘(P+G) =
Z {(g Р, 5). PeNr‘P. 5 eNr‘G. С‘РПС‘5 =\.Z = R±S}
[*180-152 . *152-11]
* 180-2. h : Z е ц + v . = . (gP, Q). p = Nor‘P. v = Nor‘G . Z smor (P + Q)
[(*180-02)]
* 180-201. F:.Zep4-v. = : p, veNoR: (gP, Q). Рец. Qev. Zsmor (P+ Q)
[*155-27 . *180-2]
* 180-202. F:.Zep4-v. = :
g! p. g! v: (gP, Q). p = Nr‘P. v = Nr‘G. Z smor (P + Q)
Доказательство.
h. *155-34-22. *180-201 .э
h:.Zep4-v. = :g!p.g!v.p,ve NR: (gP, Q). Pe p. Q e v. Z smor (P + Q):
[*152-44] =: g!p.g!v. p, veNR: (gP, Q). p = Nr‘P. v = Nr‘Q.Zsmor (P + Q):
[*152-41] =: g! p. g! v: (gP, Q). p = Nr‘P. v = Nr‘g. Z smor (P + Q):. э h . Prop
В следующих предложениях доказательства опускаются, поскольку они
в точности аналогичны доказательствам предложений в *110, чьи номера
имеют ту же самую десятичную часть.
*180-21. h :. р, veNR. э : Zep4-v . = . (gP, Q). Рец. Qev .Zsmor (P+ Q)
*180-211. h :. p, v eNR. э : Zep 4-v . = .
(gP, S).Re smor “p.5 e smor “v. C'R П C'S = A.Z=P^5
*180-212. h :. p, v e NR. э : Z e p + v . = .
(gP). P e smor “p. P g Z. Z £ (- C'R) e smor “v
*180-22. h . Nor‘P + Nor‘(2 = Nr‘(P + Q)
*180-24. h : P smor P. 5 smor Q. э . Nor‘P + Nor‘5 = Nor‘P 4- Nor‘6
[*180-15-22]
*180-3. h . Nr‘P + Nr‘Q = Nor‘P + Nr‘G = Nr‘P + Nor‘G
= Nor‘P4-Nor‘e = Nr‘(P+e) [*180-22 . (*180-03-031)]
*180-31. h : P smor P . Q smor 5 . э . Nr‘P 4- Nr‘£> = Nr‘P 4- Nr‘5
*180-32. h : C'P П C'Q = A . э . Nr‘P 4- Nr‘£ = Nr‘(P* Q) [*180-14-3]
*180-4. h : g! p 4- v. э . p, v e NR - i‘A. p, v e NqR
*180-42. H.p+veNR
*180-43. h : p 4- v = Nor‘Z. = . Z e p 4- v
*180-53. h . (P + Q) + P smor P + (Q + P)
Доказательство.
h. *160-44. (*180-01 ).э
h : P' = 1 (А П C'R) 5151 (А П C'Q) 5 и P . Q' = 1 (А П C'R) 515 (А П C'P) X ; i; G .
р' = {лпс‘(Р + 0}Х’1;Р.э.р'^е' = Х(лпс‘Р)5 1;(Р + е)- (i)
[(*180-01)] э . (Pf Q') ^R' = (P + Q) + P.
[*163-31] э . P' 4- (Q' ^P') = (P + Q) + P (2)
F . (1). *18011 P+pQ' . *160-14 .oh: Hp(l). о .
С\Р'Г|С‘Я' = Л.С‘е'ПС7?'=Л (3)
h. *180-11. *72-411 . *150-22 .oh: Hp(l). э. C'P' C\C'Q' = h (4)
h. (3). (4). *160-14 .oh: Hp(l). о . C'P' П C'{Q *R') = A (5)
h . *180-12 . э h : Hp(l). э . P' smor P. Q' smor Q . P' smor P (6)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
482
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
F. (3). (6). *180-13 . э F: Нр(1). и . Q 3-R' smor Q + R.
[(5). (6). *180-13] э . P’t (Q ФЯ') smor P + {Q + R).
[(2)] :>.(P + Q) + RsmorP + (Q + R) (7)
F. (7). *13-19. эН Prop
* 180-531. P+Q + R = (P+ Q) + R Df
* 180-54. F. (Nr‘P + Nr‘0 + Nr‘P = Nr‘(P +Q + R)
* 180-541. F. Nr‘P + (Nr‘6 + Nr‘A) = Nr‘(P + Q + R)
* 180-55. F. (Nr‘P + Nr‘6) + Nr‘P = Nr‘P + (Nr'g + Nr‘P)
* 180-551. F. (Nor‘P + Nor‘6) + Nor‘P = Nor‘P + (N0r‘6 + Nor‘P)
* 180-56. F.(p + v) + aj = p + (v + ro)
* 180-561. F.p + v + aj = (p + v) + ro Df
* 180-57. F.(p + v) + (ro + p) = p + v + ro + p
* 180-6. F : peNR. э . p +0r = smor “p = 0r + p
Заметим, что p + 0r = 0r + p представляет собой равенство, зависящее от
специфических свойств 0г. Мы не имеем, вообще говоря, p + v = v + v, если
р и v не являются конечными ординалами.
* 180-61. F.Nr‘P + Or = Nr‘P = Or + Nr‘P
* 180-62. F:p + v = Or. = .p = Or.p = Or
* 180-64. F.0r + 0r = 0r
* 180-642. F . 2r + 0r = 0r + 2r = 2r
Заметим, что сумма i + 0r, которая будет определена в *181, есть 0г,
а не i.
Следующие предложения, будучи рассмотренными в связи с отношени-
ями реляционных и кардинальных чисел, не имеют аналогов в *110.
*180-7. F . С‘ ‘Nr‘(P + Q) = C“Nr‘P +с C“Nr‘<2 = Nc‘C‘P +с Nc‘C‘(2
Доказательство.
F . *152-7 . э F. C“Nr‘(P + Q) = Nc‘C‘(P + Q)
[*180-111] =Nc‘(C‘P + C‘(2)
[*110-3] = Nc‘C‘P+cNc‘C‘0 (1)
[*152-7] =C“Nr‘P+cC“Nr‘e (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 180-71. F: p, veNR. э . C“(p + v) - C“p+c C“v
Доказательство.
F . *152-4 . э F: Hp. э . (gP, Q). p = Nr‘P. v = Nr‘(2 •
[*180-3] э. (gP, Q). p = Nr‘P. v = Nr‘g. p + v = Nr‘(P + Q).
[*180-7] D.(gP,e).p = Nr‘P.v = Nr‘e.
C“(p + v) = C“Nr‘P +c C“Nr‘G •
[*13-193] э .C“(p +v) = C“p+cC“v:dF.Prop
Principia Mathematica II
181. О ПРИБАВЛЕНИИ ЕДИНИЦЫ К РЕЛЯЦИОННОМУ ЧИСЛУ
483
*181. О прибавлении единицы к реляционному числу
Краткое содержание *181.
Реляционное число i не имеет, в соответствии с нашим определением,
никакого смысла изолированно, поскольку наше определение оформлено,
имея в виду серии, а серия не может состоять из одного терма. Однако мы
можем прибавить один терм к серии; следовательно, i необходимо в каче-
стве того, что мы добавляем. Для того чтобы получить наше определение
в наиболее гибкой форме, мы сначала конструируем отношение, которое
мы называем Р4*х, которое таково, что всякий раз, когда Р существует,
Р+х имеет на один терм больше в своем поле, чем Р; реляционное чис-
ло этого отношения определяется тогда как Nr‘P+i. Мы вводим также
определение
i + 1 = 2r Df,
которое является чисто формальным и служит для того, чтобы миними-
зировать исключения в законе ассоциативности сложения.
Определения вполне аналогичны таковым в *180. Мы полагаем
Р-н х = X Ах ’ I ’ Р-н (Л А С'Р) X i‘x Df
с похожим определением для х 4 Р. Символы х и Р могли бы быть любого
относительного типа, и мы всегда имеем
J, Лх ; i; Psmor Р. (Л А С‘Р) 4 i‘x~еС‘4 Ах ’ i’ Р (*181-1112).
Мы полагаем
р + 1 = R {(gP, х). Nor‘P = p. R smor (Р -н х)} Df
с похожим определением для i + р,. Мы также вводим определения, анало-
гичные *18003031.
Основными предложениями этого параграфа являются
* 181-3. h . Nr‘P 4- i = Nor‘P + i = Nr‘(P -H x)
* 181-31. h : P smor Q . э . Nr‘P + i = Nr‘g + i
* 181-32. h : x ~ e C'P. э . Nr‘P + i = Nr‘(P -H x)
* 181-33. h p, v e NR .g!p+i.D:p = v. = .p+i=v+i. = .i + p= i+ v
* 181-4. h : g! p, + i. э . p e NR - i‘A. p e NqR
* 181-42. h.p+leNR
Следующие предложения представляют собой формальные формы за-
кона ассоциативности, однако они нуждаются в отдельном доказательстве
из-за специфичности i.
* 181-54. h : v / 0г. э . (р + v) + 1 = р 4 (v + 1)
* 181-56. Н : р / 0г. э . (р + i) + i = р + (i + 1) = р + 2Г
* 181-58. h : р / 0г. v / 0г. э . (р + i) + v = р + (i + v)
* 181-59. h : р / 0r. v / 0г. э . (р + i) + (i + v) = р + 2r + v
Гипотезы в приведенных выше предложениях являются существенны-
ми.
*181-6. h : g! Р. э . C“Nr‘(P-H х) = Nc‘C‘P +с 1
*181-62. h : рeNR- Г0г. э . С“(Р + i) = C“(i + р) = С“р +с 1
Эти предложения дают связь с кардиналами.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
484
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*18101. P-kx = J.Ax;i5P-H(AClC‘P)ii‘x Df
*181011. х 4 Р = (i‘x) | (А П C'P) ч-Ах X; i ? P Df
*18102. p+i =P((gP,x). Nor‘P = p.Psmor (P4x)} Df
*181021. i + p = R {(gP, x). Nor‘P = p. R smor (x 4 P)} Df
*18103. Nr‘P + i = Nor‘P + i Df
*181031. i + Nr‘P= i + Nor‘P Df
*18104. i + i=2r Df
Предложения, касающиеся x 4 P, опускаются в дальнейшем изложении,
поскольку они доказываются в точности так же, как и аналогичные пред-
ложения, касающиеся Р4х.
*181-1. F:.P(P4x)S.B:(gy,z).yPz.P = (i‘y)XAx.S=(i‘z)XAx.V.
(gy). у е С'Р. R = (i‘y) X Ах. 5 = (А П С'Р) X Сх [(*181-01)]
*181-11. I-. (А п С'Р) X i‘x ~ е С‘Х Ах ’ i ’ Р
Доказательство.
F.*150-22 . dI-.C‘XAx;i;P = XAx“i“C‘P.
[*55-15] э F : <2eC‘XAx ’ i’Р. . Q‘6 = i‘Ax (1)
F. *55-15. DF.CI‘(AnC‘P)Xi.‘x = i‘i‘x (2)
F . (1). (2). *51-161 . э F : C‘X Ax 51; P. dg . d'Q / Q‘(A П C'P) X i‘x.
[*30-37 . Transp] . Q/(A П C'P) X i‘x:
[*13-196] э F . (A Cl C'P) X i‘x ~ e C‘X Ax: 15 P. э F . Prop
*181-12. F. X Ax * i’ Psmor P [*151-61-65]
*181-13. F : 6smor P . у ~eC'Q. э. Q + y smor P4 x
Доказательство.
F. *181-12 . э F: Hp. zj . Qsmor X Ax 51’P (1)
F. (1). *161-31 . *181-11 . э F . Prop
*181-2. F:Zep+ i. = . (gP, x). p= Nor‘P. Zsmor (P4x) [(*181-02)]
*181-21. F :. peNR. э:Zep+ i. =. (gP,x). Pep .Zsmor (P4 x)
[*181-2 . *155-26]
*181-22. F.Nor‘P+i=Nr‘(P4x)
Доказательство.
F . *181-21 . э F :ZeNor‘P+i. в . (g£),у). geNor‘P.Zsmor {Q + y) (1)
F . (1). *155-12 . *152-11 . э F. Nr‘(P4 x) c Nor‘P + i (2)
F. *181-12-11 .*161-31 .dF: £>eNor‘P. Zsmor (£>4y). э .Zsmor (P4x) (3)
F . (1). (3). *152-11 . z>F:ZeNor‘P+i.D.ZeNr‘(P4x) (4)
F. (2). (4). э F . Prop
*181-24. F: Psmor d. Nor‘P+i = Nor*e+i [*181-22-12-11. *161-31]
*181-3. F.Nr‘P+i=Nor‘P+i=Nr‘(P4x) [*181-22. (*181-03)]
*181-31. F: Psmor б. э. Nr‘P+i = Nr‘Q+i [*181-3-24]
*181-32. F:x~eC‘P.3.Nr‘P+i = Nr‘(P4x) [*181-3-13]
*181-33. F:. p, veNR .g!p+i.D:p = v. = .p+i=v+i. = .i+p=i+v
[*161-33. *181-3-11-12]
Приведенное выше предложение используется в *253-23-571.
*181-4. F : g! р+i. э . peNR-i‘A. peN0R [*181-2 . *155-22]
Principia Mathematica II
181. О ПРИБАВЛЕНИИ ЕДИНИЦЫ К РЕЛЯЦИОННОМУ ЧИСЛУ
485
*181-42. k.p+ieNR
Доказательство.
к. *181-3 . э k : р е N0R. э . (gP, х). р + i = Nr‘(Р -к х).
[*152-4] э.р+ieNR (1)
к. *181-4 . э к: р ~ е NqR . э . р + 1 = А.
[*154-242] э.р+leNR (2)
к. (1). (2). э к. Prop
*181-43. к : р + 1 =Nor‘Z. = .Zep + 1 [*155-26 . *181-42]
Следующие предложения касаются закона ассоциативности, когда 1
есть одно из слагаемых.
*181-53. к:д!Р.х^у.э.(Р-к x)-ky smor Р + (х|у)
Доказательство.
к. *13-15. (*181-01). э
к . (P-кх)-н-у = J,Лу; i; {1 лх; i; Р+-(A Cl С‘Р) 1 i‘x[+ {А П С‘(Р-к х)[ |i‘y
[*161-4] = | Ау 5151 Лх ’ i! Р +• | A/i‘(A П С‘Р) | i‘x-0 {Л О С‘(Р -к х)} 1 i‘y (1)
к . (1). *161-22 . э к : Нр. э . (P-к х) -ку
= х \у 51! X Лх 51 > Р + {| Л/1‘(Л П С'Р) 1 i‘x} 1 [{Л П С‘(Р -к х)} | i‘y] (2)
к. *180-13 .*181-11 .э
к: Нр. э . IЛ, •> 151Лх; i; Р4ЦA/i‘(A ПС'Р) 1 i‘x) х [{Л ОС‘(Р-к х)} х 1‘у]
smor Р + (х X у) (3)
к. (2). (3). э к. Prop
*181-54. к : v/0г. э . (р +v) + 1 = р +(v+i)
Доказательство.
к. *181-2 .*180-2 .эк: Ze(p + v)-k 1 . = .
(дР, С, К’х) • Nor'P = р. Nor‘0 = v. Л smor P+Q.Ysmor R -к х.
[*181-22-31] =. (gP, Q х). Nor‘P = р. Nor‘6 = v. Y smor (P + Q) -к x (1)
к . *153-14 . э к :. Hp. э: Nor‘6 = v. э . g! Q (2)
к . *160-44 . (*180-01 . *181-01). э
k:P' = XAx;i4Ac-e;i;p.(2' = iAx;i;AC7>x;i;e-A'=(Anc‘(P + (2)lli‘x.
э .P' *Q = x Ax!L;(P + Q) .(P + 2') + X = (P + G)-k X (3)
к . *180-12 . *181-12 .эк: Hp(3). э . P' smor P. Q smor Q (4)
к . *180-11. *72-411 . *181-11 . (3). э
к : Hp(3). э. С‘Р' П C'Q = Л. X ~ е С'Р’. X~ eC'Q (5)
к. *161-23 . (4). э к : Нр(3). g! Q. э . (Р't Q) + X = Р't (Q -и X) (6)
к. *181-13 . (4). (5). э к: Нр(3). э. Q -н X smor (£> -к х).
[*180-13 . (4). (5)] э.Р'^(0'-иХ) smorP + (<2-kx) (7)
к . (1). (2). (6). (7). эк :. Нр. Нр(3). э : Ге(р + v)+ i. =.
(ЯЛ С»х) • Nor‘P = р. Nor‘6 = v. Y smor Р + (Q-к х).
[*180-3 . *181-3] =. (gP, Q, х). Nor‘P = р. Nor‘£ = v. Y е Nor‘P + (Nor‘6 + 1).
[*13-193 . *155-2] e . p, veN0R. Yep + (v + i).
[*181-4 . *180-4] =. Zep + (v+i) (8)
к. (8). *13-19 .эк. Prop
*181-55. k:p/0r.3.i+(p + v) = (i+p) + v
[Доказательство аналогично *181-54]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
486
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*181-56. F: р. / 0г. э. (н + i) + i = |х 4- (i + i) = ц + 2r
Доказательство.
I-. *153-2 . *180-2 . э
I-: Z e p 4- 2r. = . (gP, x, y). p = Nor‘P. x /у. Z smor P + (x J, y) (1)
F . (1). *181-53 . oF Hp. d :
Z e p + 2r. =. (gP, x,y). p = Nor‘P. x /у. Z smor (P 4+ x) 4» у.
[*181-22] =.(gP,x,y).p = Nor‘P.x/y.Ze(Nor‘P4-1)4- i.
[*181-4] = . (gx,y). x/y .Ze(p4-i) 4-i.
1*24-1] = .Ze(p4-i)4-i (2)
F. (2). (*181-04). э F. Prop
Последняя строка в приведенном выше доказательстве, в которой ис-
пользуется *24-1, является легитимной, поскольку х и у могли бы принад-
лежать совершенно любому типу, и, следовательно, тот факт, что A/V,
является достаточным, чтобы установить (дх,у).х/у в том смысле, кото-
рый мы хотим.
* 181-561. р, + i + i = р, + (i + i) Df
Этим определением принимается соглашение, противоположное тому,
которое обычно принимается. Однако удобно иметь 0r + i + i = 2Г, а также
настолько много сходства, насколько возможно, между результатами до-
бавления i в начало и в конец отношения. Обе указанные причины ведут
к принятию приведенного выше соглашения. (Ср. с *181-57-571, ниже.)
*181-57. h : р / 0г. z>. i + (1 + р.) = (i + 1) + р. = 2Г + р
[Доказательство аналогично *181-56]
* 181-571. i + i + p. = (i + i) + ii Df
* 181-58. h : р. / 0г. v / 0r. э . (р, + 1) + v = р, + (i + v) [*161-232]
Доказательство проводится точно таким же путем, что и *181-54.
* 181-59. h:p./0r.v#0r.D.(p^ i) + (i +v) = p. + 2r + v [*161-25]
Приведенные выше предложения показывают, что, исключая, когда од-
но из слагаемых равно нулю, закон ассоциативности имеет место для i,
как если бы оно было реляционным числом.
Следующие предложения касаются отношений к сложению с кардина-
лом.
* 181-6. h : g! Р. э . C“Nr‘(P4> х) = Nc‘C‘P +с 1
Доказательство.
h . *152-7 . э h . C“Nr‘(P4> х) = Nc‘C‘(P-k х).
h . (1). *161-14 . э h : Нр . э . C“Nr‘(P4> х)
= Nc‘[X Ax“i“CT U i‘{(A П СТ) X i‘x}]
[*110-13-3 . *181-11 . *110-12] = Nc‘CT +с 1: э h . Prop
* 181-61. h : g! Р. э . C“Nr‘(x 4Р) = 1+с Nc‘CT = Nc‘CT+с 1
[Доказательство аналогично *181-6]
Principia Mathematica II
*181. О ПРИБАВЛЕНИИ ЕДИНИЦЫ К РЕЛЯЦИОННОМУ ЧИСЛУ
487
*181-62. Н: ц е NR - i‘0r. э. С“(ц + i) = C“(i + р) = С“р, +с 1
Доказательство. Н. *153-16. *152-4. эННр.э. [*181-3-6] э. [*152-7] [*13-193] э. Аналогично F: Нр. э , Н. (1). (2). *110-51 oh. Prop ,(aP).p = Nr‘P.a!P. . (аР) • и = Nr‘P. C“(Nr‘P + i) = Nc‘C‘P +c 1 = C“Nr‘P +c 1. ,C“(p +i) = c“p+c i (i) ,C“(1 + |1) = 1+CC“J1 (2)
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
488
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*182. Об отделенных отношениях
Краткое содержание *182.
В этом параграфе мы должны рассмотреть в качестве введения к сло-
жению реляционных чисел поля свойства отношения X»Р, которое опреде-
* >
ляется следующим образом. Если х$у есть некоторая функция двух ар-
гументов в смысле *38, то мы полагаем
$>‘х = х$>х Df.
Поэтому yQ = Q X б, т.е. yQ = X Q; Q. Следовательно, X; P есть отношение
X Q5 Q к | R»P, когда QPR. Поэтому символ X ; P является значимым толь-
ко тогда, когда Р есть отношение отношений; когда это так, J ’ Р есть от-
ношение, которое получается, когда для каждого б, которое является эле-
ментом С‘Р, каждый элемент х из C'Q замещается хХ Q. Результатом явля-
ется Rel2excl, чьи арифметические свойства служат определению арифме-
тических свойств суммы реляционных чисел элементов С'Р. В следующем
параграфе мы положим
ENr‘P = Nr‘E‘pP Df.
Позже мы будем полагать
П№‘Р = №‘П‘Р
и обнаружим, что
П‘Р = 5 5 РгосГ J 5 Р. NrTTP = Nr‘Prod‘X; Р.
Поэтому мы могли бы обойтись без П‘Р как фундаментального понятия,
используя вместо него Prod и полагая
n‘p = j;prod‘x;p Df.
Однако такая направленность действий в целом менее удобна, чем та, ко-
торая была принята в *172 и *173.
Обозначение § требуется поэтому в связи с ординальным сложением,
где оно почти неизбежно. Помимо этого оно имеет некоторые второсте-
пенные применения. Цель указанного обозначения заключается в том, что-
бы позволить нам представить в качестве функции от х выражение вида
х $ х, где J есть некоторая дескриптивная двойная функция, которая суще-
ствует для всех возможных пар аргументов. Поэтому, например, xix есть
функция от х, однако обозначения, введенные до настоящего времени, не
позволяют нам представить ее в виде R'x. Следовательно, если мы хотим
(скажем) иметь дело с классом
Р {(Эх) • хеа. Р = хХ х},
то мы не можем записать его в виде Р“а, если не введем новое обозначе-
ние. Мы полагаем
Х‘х = х X х,
откуда
Р {(3х) • х е а. Р = х X х} = Х“«.
Мы вводим обозначение в общем для всех дескриптивных двойных функ-
ций, которые существуют для всех возможных пар аргументов. Поэтому
“$>” в этом параграфе соответствует “$>” в *38.
Principia Mathematica II
♦ 182. ОБ ОТДЕЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ
489
В настоящем параграфе мы начнем с нескольких предложений, иллю-
стрирующих возможные применения обозначения $. Поэтому, например, ес-
ли X есть класс отношений, то мы до настоящего момента не имели про-
стого обозначения для выражения класса их квадратов. Однако поскольку
R1 = |‘Л, то класс квадратов Х-элементов есть |“к. Наше обозначение, од-
нако, вводится в основном для того, чтобы применить его к | и Мы
поэтому практически сразу же переходим к предложениям о 1 и особенно
о J»P. Мы имеем
*18216162. F. Г- Р е Rel2 excl. J е 1 -» 1. J ’ Рsmor Р
*182-2. ь.Ге=п‘(21е)=п‘Ге
*182-21. F. J ’ Р = П ’ J ’ Р
Мы далее доказываем (*182-27), что если PeRePexcl, тогда Р обладает
двойным сходством с 15 Р, имея двойной коррелятор 11D с обратной обла-
стью, ограничиваемой к C‘E‘J;P (*182-26). Мы затем доказываем (*182-33),
что если Т Г С‘Е‘Р есть двойной коррелятор Р с 2, то Т || Cnv‘Tt (с ограни-
ченной обратной областью) является двойным коррелятором |; Р и | > 0,
откуда мы выводим
*182-34. F : Р smor smor Q. э . J »Р smor smor |; Q
Далее мы переходим к доказательству
*182-42. F . П‘Р = 5 ’’ РгосГ J ? Р = j » D 5 П‘ J ? Р = П‘Е‘Т 5 Р
Доказательство этого предложения проводится следующим образом:
В силу *182-21 и закона ассоциативности для П мы имеем
$;э;п‘рр = п‘гГ’Р.
Тогда
ЕЧ;Р = РО/рёР(*182-413),
и
П‘(Ри/рС‘Р) = П‘Р (*172-51).
В результате мы получаем наше предложение. Следовательно, мы прихо-
дим к
*182-44. F . NrTPP = Nr‘Prod‘ J > Р = NrTT J ? Р
Наконец, мы имеем несколько предложений, показывающих, как обо-
значение $ может быть применено к кардиналам. Оно далее применяет-
ся к X вместо применения, как дано выше, к Мы имеем (*182-5-51-52)
еIа = Т‘а. е J“k = I. Е‘к = $Ф‘к. Поэтому обозначение настоящего парагра-
фа могло бы быть применено, когда мы имеем дело с кардинальным сложе-
нием (*112), вместо обозначения eja. Общее обозначение PJx требовалось,
однако, для других целей (ср. *85), и мы не могли бы обойтись без него.
В *183 мы положим
ENr‘P = Nr‘E‘J»P,
и на основании *182-52 мы имеем
ENc‘k = Nc‘5‘J“k.
В дальнейшем будет видно, что эти формулы аналогичны (с обычным ви-
дом аналогии).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
490
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
[(*181-01)]
[*182-02 . *30 3]
[*182-021. *14-21]
[*182-022 . *71-166 . *33-431]
[*182-021. (*34-02)]
*182-01. ? = yx(y = x$x) Df
*182-02. F:y$x.s.y = x?x
*182-021. F.$‘x = x$x
*182-022. F.E!$‘x
*182-023. F: § e 1 -► Cis: (a). a c d‘$
*182-03. F.j‘7? = 7?2
Поэтому если А. есть класс отношений, то класс их квадратов есть |“Х.
*182-031. F.f‘a = aTa
*182-032. F.I‘x = x|x
*182-033. F.2-2r = D‘I= 1
*182-04. F.I‘a = |a“a
•)
[*182-021]
[*182-021]
[*56-13 . *182-032 . *153-3]
[*182-021 . *38-2]
Заметим, что в X мы берем сначала X и затем помещаем циркум-
флекс79 над ним. Если бы мы сперва взяли X, то мы не могли поместить
две запятых под ним, поскольку X есть отношение, а не двойная дескрип-
тивная функция, а две запятых могут быть помещены без нарушения зна-
чимости лишь под двойной дескриптивной функцией.
*182-05. Ь . VQ = X Q ? Q = QI Q [*182-021 . *150-6]
Отношением, ради которого приведенное выше обозначение в основном
и вводится, является X»Р, где Р есть отношение отношений. Если Р со-
относит Q и Р, тогда X ; Р соотносит X Q ’ Q и IR> R. Это формулируется
в следующем предложении:
*182 1.
F . J: ? Р = XY {faQ,R). QPR. Х= Q J. Q. Y = R |/?}
[*182-023-05 . *150-4]
КСфР= i“C‘P
F.C“C‘pP = FJ“C‘P
F.FJel—> 1
*18211.
*18212.
*18213.
[*150-22]
[*182-05 . *150-22 . *33-5 . (*85-5)]
[*182-11-12]
(1)
(2)
♦ 182-14.
Доказательство.
F.*182-12 . z>F : FI2 = FJ7?.z>. (?“С‘(2=1.7?“С7?
F . (1). *55-232 . *37-45 . z> F : FI(2 = F J7?. э. g! 2• э. £> = 7?
I-. *37-45 . э F : J, Q“C‘Q = J, 7?“C‘7?. Q = A. э. 17?“C‘7? = A.
[*37-45. *33-241] z>.T? = A (3)
I-. (1). (2). (3) . z> I-: FIQ = FIR. z>. Q =R: z> I-. Prop
*182-15. F : g! FjQ DFI7?. z>. Q = R
Доказательство.
F . *182-12 . э F: Hp . z>. а Ц Q“ClQ П X R“C'R.
[*55-232] z>. Q = R: z> F . Prop
*182-16. F . p P e Rel2 excl [*182-12-15]
79 Имеется в виду диакритический знак ~. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
182. ОБ ОТДЕЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ
491
*182161. к : Гб = l'R. = .Q = R
Доказательство.
к . *182 05 .эк: I'Q = . в . Q X Q = R X R.
[*165-23] ’ э.£ = Я ’ (1)
к. (1). *30-37 .эк. Prop
*182-162. к . | е 1 -► 1.15 Р smor Р [*182-161 . *71-57 . *151-243]
*182-17. к . С‘Е‘Г> Р = 5 {(aQ, х). QеС'Р. хе C'Q. 5 = s X Q}
Доказательство.
к. *182-12 . *162-22 . *40-4 . э
к. er J; Р=§ {(аб). Q е С'Р. s е х q"C‘qj
[*55-231] = S {(aQ,x).QeC'P.xeC‘Q.S = $Х G) • =>к . Prop
*182-18. \-.s'C"£'l'>P = F \C'P
Доказательство.
к. *182-17. э
\-.s‘C"L‘t’P^yR((.^Q,x).QeC'P.xeC'Q.y(xlQ)R}
[*55-13] ’’ = yR{(QQ,x). QeC'P.xeC'Q.y = x.R= Q}
[*13-22] =yR{ReC'P.yeC‘R}
[*33-51] =yft{ReC‘P.yFR}
[*35-101] = F\C'P. эк. Prop
*182-19. к. s‘D“C‘E‘i: P = C'Y'P. s‘d“C‘S‘i 5 P = C'P - i‘A
Доказательство.
к . *41-43 . *182-18 .эк. s‘D“C‘E‘ J ’ P = D‘(F Г C'P)
[*162-23] ’ =C"L'P (1)
к. *41-44 . *182-18 .эк. s*d“C*E‘J ’ P = Q‘(F [ C'P)
[*172-192] ’ =C'P -i‘A (2)
к . (1) . (2) . э к . Prop
*182-2. к. x*e=пче x Q)=пфе [*18205032. *1722]
*182-21. к.)лР = 11фР [*182-2]
Следующие предложения подводят к *182-26-27.
*182-22. k.D: J‘e = Prodl‘G = i,’G [*182-2 . *173-1-22]
*182-23. к .C>D ’l'Q=Q [*182-22 . *151-252]
♦182-24. k.lt;Dt; 1>Р = Р [*182-23]
*182-25. к . I - D ’ J: Р = . С‘Е‘ i ? Р с a‘(t | D)
Доказательство.
к. *55-15 . э к . l‘D‘X Q'y = y-
[*33-43] 3k.XG‘yea‘(t|D).
[♦182-12] эк.С‘?еса‘(1|О).
[*162-22] эк.С‘ГХ;РсСГ(Х|О).
[*162-35] эк .liD5E‘pP = E‘tt;Dt; J;P
[*182-24] ’ =Е‘Р.эк.Ргор
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
492
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*182-26. F: Р е Rel2 excl. з. 11D f C‘E‘ J»P e P smor smor 1»P
Доказательство.
F . *182-24-25 . з F. P = (I | D) f Ф P. ? P c Q‘(l | D) (1)
F . *182-17 . *55-15 . з
Ь: S, TeC‘S‘1 > P .l‘D‘S = l‘DT.3.
(&Q,R,x,y) .Q,ReC'P .xeC‘Q.yeC‘Q.x = y .S =x[Q.T = ylQ.
[*13195]э.(ае,Р,х).е,РеС‘Р.хеС‘2ПС‘Л.5=хХ2.Г = х1Р (2)
I-. (2). *163-11. з
I-: Hp. 5, T eC‘S‘ J 5 P. 1‘D‘S = VDT. з.
(s’q,R,x).Q = R.S =x[Q.T = xlR.
[♦13-195-172] з. S = T (3)
F. (3). *71-55 . з F: Hp. з. i| D [ CT‘p Pe 1-> 1 (4)
F. (1). (4). *164-18 . з F. Prop
*182-27. F: P e Rel2 excl. з . P smor smor J > P [*182-26]
Следующие предложения подводят к *182-33-34.
♦182-3. F:P [СТ‘2еPsmor smor2-=>.(I’llCnvTf) [C‘S‘p2el -► 1
Доказательство.
2, R, A-
F:P [s‘D“C‘S‘p2.П Гs‘a“C‘E‘2eCls^l.
s‘D“C‘E‘i 5 2 c QT. s‘a“C‘i‘i 5 2 c QTf . 3.
’ ’ (Г II CnvT) [ C‘E‘i 5 2 e 1 -> 1 (1)
F. *182-19 . *164-18 . з F : Hp. з. T f s‘D“CT‘J ? Qe 1 1 (2)
F. *164-18-13 . з F : Hp. з. Tf [ C‘2e 1 —♦ 1 •
[*182-19] з.Г| [s‘a“C‘E‘p2el->l (3)
F. *164-18 . *182-19 . з F : Hp. з . s‘D“C‘E‘J 5 Q c QT (4)
F. *150-1 .*33-431 . 3F.s‘a“C‘S‘p2ca‘Tt (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). з F. Prop ’
*182-31. F: E !! Óё5 . з. JT > 5 = (T || CnvTf) ’
Доказательство.
F. *182-05.3F. jT5S = (r’’S) J,(T;S) (1)
F . (1). *165-31. з
F:Hp.3. llT ’S = T \’S l(T’S)
[*150-1 . *165-321] = T15 (ICnvTt) i 5 J.S
[*150-13 . *182-05] = (T || CnvTf) 5 : з F . Prop
*182-32. F : E !! T“C‘S‘2 • э. J 5 Tf5 2 = (T || CnvTf) f5 J5 2
Доказательство.
F . *162-22 . з F:. Hp. з: S eC‘2-Э5 .E!!T“C‘S .
[*182-31] 3S . l‘T; S = (TII CnvTf) ’ i‘5 :
[*150-35-1] з: I: Pf 5 S = (Г II CnvTf) f 5 p Q:. з F .’ Prop
Principia Mathematica II
*182. ОБ ОТДЕЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ
493
*182*33. F : Т f С‘Е‘Р е Р smor smor Q. э .
(Т || Cnv‘Tt) Г С‘2Г 15 0 е (| 5 Р) smoF smor (J 5 Q)
Доказательство.
F . *164*18 . dF : Hp. э . Q‘T c C‘E‘0. T f C‘E‘P e 1 -> 1. P = Tf; Q •
[*74*11] z>. E !! T“C‘E‘0. P = Tf ; Q •
[*182-32] э. 15 P = (T || CnvTf) t; X 5 Q (1)
F . (1). *182*3 . *164*18 . э F . Prop
*182*34. F : P smor smor Q. э . X »P smor smor X » Q [*182*33]
Обращение приведенного выше предложения является ложным. Напри-
мер, если Q = 15 Р, то мы будем иметь |»Р smor smor J» Q на основании
*182*16*27, однако мы не будем иметь Psmor smor0, если не PeRel2excl,
как явствует из *182*16 и *164*23.
= ГЯ{(ау)-уеС‘Р.Я = у {.у]
= xz{(ay) .ytC'P. x(yXy)z)
= Jr z {z € C'P . X = z]
= I f C'P • z> F. Prop
Предложения *182-411-412 являются леммами для *182-413. Все следу-
ющие предложения подводят к *182-42, которое ведет к *182-44.
*182-411. F. s'CVP = I\C'P
Доказательство.
F. *150-22 . э F. s‘C‘1 ’ Р = s't"C'P
[*182-032]
[*41-11]
[*55-33 . *13-195]
[*50-1 . *35-101]
*182-412. К.ГфР = Р
Доказательство.
F. *150-11 .*182-032 .oF. Г
[*33-51 . *55-15]
[*13-22]
♦182-413. Е‘Т ’ Р = Р UI [ С'Р
*182-414. F . рPeRel2 excl
Доказательство.
F. *150-22. oF.C‘15 Р = ÑёР
[*182-32] = Q {(Зх). х е С'Р. Q = х X х}
F . (1). *5515 . э F : 0, R е С‘р Р. я! C'Q П C'R. э.
(Ял> У) •У е • 0 = х X х. Р = у X у. я! i‘x П i‘y.
[*51-231 . Transp] э . (gx,y) .Q = x\,x.R = y\,y.x = y.
[*13-195*172] э . 0 = R : z> F . Prop
*182*415. F:0eC‘X;P.o.C‘0el
Доказательство.
F . *150*22 . э F : Hp. э . (gx). xeC'P. Q = x[x.
[*55*15] э . (gx). xeC'P. C'Q = i‘x.
[*52*1] э . C'Qe 1: э F . Prop
Цель приведенного выше предложения заключается в том, чтобы дать
нам возможность применить *174*221*231 к П‘П;Х;Р? что и делается
в *182*42*43*431 ниже.
’ P = xz {(az, w). zPw. xF (z | z). yF (w x w)}
= xz {(az, w). zPw .x = y .y = w]
= P. э F . Prop
[*182-411-412 . *162-1]
(1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
494
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*182-42. F • ГГР = s > Prod'i5 Р = s > D > П‘Г ? Р = П‘Е‘1; Р
Доказательство.
F. *182-21 .эН.$5О;П‘Г’Р = -*;О’1ГПфР
[*174-221. *182-414-415] ’ = ТГЕ‘Х5 Р (1)
[♦182-413] ' = П‘(Рй/[С‘Р)
[*172-51] = П‘Р (2)
F. (1). (2). *173-1 . = F. Prop
*182-43. F. $ [ (C’Prod'J ’ Р) е (ГГР) smor (Prod‘ J ? Р)
Доказательство.
I-. *174-231 . *182-414-415 . э
F. s f (C‘Prod‘n Ф Р) € (П‘Е‘1 •> Р) smor (РпхГП ф Р) (1)
F. (1). *182-21-42 . э F. Prop
*182-431. F. s | D [ (С‘П‘15 Р) е (ГГР) smor (П‘1 ? Р)
[*174-221. *182-414-415-21-42]
*182-44. F. №‘П‘Р = Nr‘Prod‘J ’ Р = №‘П‘15 Р [*182-43-431 . *152-321]
*182-45. F: Ре Rel2 excl. z>. Nr‘Prod‘P = Nr‘Prod‘| 5 P [*182-44 . *173-16]
Следующие предложения связаны с кардиналами. Они показывают, как
выразить предложения и определения из *112 в обозначениях этого пара-
графа, и таким образом иллюстрируют аналогию между кардинальным и
ординальным сложением.
*182-5. F . еГа = Га [*182-04 . *85-601]
♦182-51. F.er“K = ’j“K [*182-5]
♦182-52. F . S‘k = s‘I“k.ENc‘k = Nc‘5‘I“k [*182-51 . *112-1-101]
*182-53. F:C \C'Pe 1 ->1 .z>.
(IО f (C‘E‘i>P) e(i“C“C‘P) smsm (C“C‘i’P)
Доказательство.
F . *182-18 . *41-44 . z> F. sia“C‘S‘i 5 P = (I'(F [ C'P)
[*35-64] ’’ c C'P (1)
F . (1). *74-75 . э F: Hp. э. ( | С) Г C‘S‘15 Pe1-И (2)
F. *55-581 y.=>F.(xie)|d = x|C‘e.
[*38-11] =>F.|(?‘lG‘x = r(C‘e)‘x.
[*182-12-04] => F . | C"C't'Q = I'C'Q.
[*150-22] z>F .\С“‘С''СфР = 1‘‘ѓёР(3)
F . (2). (3). *111-14 . *162-22 ’ э F . Prop
♦182-54. F:C [C‘Pel -> 1. z>. Nc‘C‘S‘pP = SNc‘C“C‘P
[*182-52-53. *111-44]
Principia Mathematica II
*183. СУММА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ ОДНОГО ПОЛЯ
495
♦183. Сумма реляционных чисел одного поля
Краткое содержание *183.
В этом параграфе мы должны определить и рассмотреть сумму реляци-
онных чисел элементов С‘Р, где Р есть отношение отношений. Поскольку
реляционные суммы не являются коммутативными, то мы не можем опре-
делить сумму реляционных чисел элементов класса отношений X: необхо-
димо, чтобы к было дано как поле отношения Р, где Р детерминирует
порядок, в котором суммирование должно быть осуществлено.
Для того чтобы избежать повторения, мы заменяем Р на X»Р, так что
если Q есть элемент С‘Р, то Q заменяется на Х‘С, т.е. на X Q»Q. Это отно-
шение сходно с 2, и его поле не содержит элементов, общих с полем | R»Я,
если не Q = R. Следовательно, мы приходим к следующему определению:
*18301. ENr‘P = Nr‘E‘pP Df
Это определение аналогично *112 01, как явствует из *182-52, а пред-
ложения настоящего параграфа аналогичны некоторым предложениям
из *112.
Мы имеем не только
* 183-11. F : Р smor smor Q. э . Е Nr‘P = Е Nr‘Q
но также и
* 183-15. F : X»Р smor smor X ; Q • э Nr‘P = Е Nr‘Q
которое представляет собой предложение с более слабой гипотезой, чем
гипотеза предложения *183-11 (ср. с замечанием к *182-34).
Важными предложениями в этом параграфе являются:
* 183-13. F: Р е Rel2 excl. z>. Nr‘S‘P = E Nr‘P
* 183-2. F : SNr‘P = 0r. в . E‘P = A
Т.е. сумма равна нулю, только когда нет ни одного слагаемого, за ис-
ключением нуля. (Ср. с *162-4-45).
* 183-25. F . Е Nr‘P J 5 Q = Nr‘(2 х Р)
* 183-26. F Mult . э : Р е Nr‘Я . ёРс Nr‘5 . z>. Е Nr‘P = Nr ‘(Я х 5)
Это предложение связывает сложение и умножение.
* 183-31. F : Р # Q. э . Е Nr‘(P X Q) = Nr‘P + Nr‘0
Это предложение связывает два вида сложения. Мы также имеем
* 183-33. F : й! Р. Z ~ е С'Р. э . Е Nr‘(P -и Z) = Е Nr‘P + Nr‘Z
Закон ассоциативности сложения в весьма общей форме представляет
собой следующее
* 183-43. I-: Р е Rel2 excl. z>. S Nr‘E 5 jj t; P = 2 Nr‘E‘P
И наконец связь ординального и кардинального сложения дается по-
средством
* 183-5. F: С Г С'Ре 1 -> 1. э. C‘"LNr‘P = ЕNc‘C“C‘P
♦ 183-01. ENr‘P = Nr‘E‘pP Df
♦ 183-1. F .SNr‘P = Nr‘E‘| > P [(*183-01)]
A.H. Уайтхед, В. Рассел
496
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*18311. F: Psmor smor Q. z>. ENr‘P = ENr‘6
Доказательство.
I-. *182-34 . z> F : Hp. э. ( J; P) smor smor ( J»Q).
[*164-151] z>. (E‘ J 5 P) smor (E‘X ’’q).
[♦183-1. *152-321] э. ENr‘P = ENr‘2: э F . Prop
*183-12. F:Psmor smor p(2.z>.Nr‘S‘P = ENr‘2 [*164-151 . *183-1]
*183-13. F: PeRel2 excl. э. Nr‘E‘P = ENr‘P [*182-27 . *183-12]
*183-14. F. ENr‘P = ENr‘J ’ P
Доказательство.
I-. *182-16 . *183-13 .ok.Nr‘E‘X> P = E Nr‘ X ’ P (1)
I-. (1). *183-1. z> F. Prop
*183-15. I-: J ’ P smor smor J 5 Q. z>. E Nr‘P = E Nr‘6 [*183-11-14]
*183-2. I-: ENr‘P = 0r. в . E‘P = A
Доказательство.
I- . *183-1. *153-17 . z>
F:.ENr‘P = Or. = :E‘J»P = A:
[*162-42] = :C‘t’Pci‘A:
[*182-05] =:(2еС‘Р.эе Де’б^А:
[*151-65 . *153-101] =:есС‘Р.эе.е = А:
[*162-42] в :E‘P = A:. oF . Prop
*183-22. F:. Mult ax. z>: 3! (X ’ P) smor ( X ’ 6) О R1‘smor . z>. ENr‘P = ENr‘(2
Доказательство.
F. *164-46 . *182-16 . z>
F:. Mult ax. э: з! (J ’ P) smor ( J»Q) О R1‘ smor . z>. E‘ J; P smor E‘ J > Q.
[*183-1. *152-321] ’ ’ z>.ENr‘P = ENr‘6:oF.Prop
*183-23. F :. Mult ax. z>: P, Q e Rel2 excl. 3! P smor Q О R1‘ smor . э.
E Nr‘P = E Nr‘6 [*164-46 . *183-13]
♦183-231. F: P e Nr‘P. C‘P c Nr‘5 . a. X ; P e Nr‘P. C‘p P c Nr‘5
Доказательство.
F. *182 162 . *152-321. э F . PeNr‘P. = . X ’ PeNr‘P (1)
F. *182-05-11 .эF :’>PcNr‘5 . н : geC'P. z>e . X 6; 6eNr‘5 :
[*151-65] ’ =:QeClP.^Q.QeNTlS:
[*22-1] s:C‘PcNr‘5 (2)
F. (1). (2). z> F. Prop
*183-24. F :. Mult ax. z>: P, Q e Nr‘P. C‘P, C'Q e Cl‘Nr‘5 . z>. E Nr‘P = E Nr‘6
Доказательство.
F. *183-231 . z> F:. P, Q e Nr‘R. C‘P, C‘Q e Cl‘Nr‘S . э:
J > P, i ’ Q e Nr‘R. C‘ J ’ P, C‘P Q e Cl‘Nr‘S :
[*164-48 . *182-16] z>: Mult ax. z>. J > P smor smor X ’ Q •
[*183-15] z>.ENr‘P = ENr‘e’ (1)
F. (1). Comm. э F. Prop
Principia Mathematica II
183. СУММА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ ОДНОГО ПОЛЯ
497
*183-25. I-. S Nr‘P X ’ Q = Nr‘(2 х Р)
Доказательство.
F . *165-21 . *183-13 . э F. Е Nr‘P X 5 Q = Ят'Ъ'Р X 5 Q
[*166-1] = Nr‘(2 x P). z> F . Prop
*183-26. I-Mult ax. z>: PeNr‘P. C‘P c Nr‘5 . z>. S Nr‘P = Nr‘(P x S)
Доказательство.
I-. *165-27 . *183-24 . э
F:. Mult ax. э: a! 5 . P e Nr‘P. C‘P c Nr‘5 . z>. E Nr‘P = E Nr'S X ’
[*183-13. *166-1] = Nr‘(Px5) (1)
F. *153-11-101 .z>
F:5=A.PeNr‘P.C‘PcNr‘5 . z>. C‘P c i‘A.
[*162-42] z>.E‘P = A.
[♦183-2] 3.ENr‘P = 0r (2)
F.*166-13.z>F:S=A.z>.PxS=A (3)
F. (2). (3). *153-17 . э
F:5 = A. PeNr‘P. C‘Pc Nr‘S . z>. ENr‘P = Nr‘(P x S) (4)
F. (1). (4). z> F . Prop
*183-3. F . E Nr‘A = 0r [*183-2 . *162-4]
*183-301. F . E Nr‘(A X A) = 0r [*183-2 . *162-41]
*183-302. F. S Nr‘(P X P) = Nr‘(C‘P T C'P)
Доказательство.
F. *183-13 . *163-41. э F. E Nr‘(P X P) = Nr‘E‘(P X P)
[*162-3 . *160-1] = Nr‘(C‘P T C'P). z> F. Prop
♦183-31. F: P / Q. =>. E Nr‘(P X Q) = Nr‘P + Nr‘<?
Доказательство.
F . *183-1 . z> F . E Nr‘(P X Q) = Nr‘E‘15 (P X Q)
[*150-71] =Nr‘E‘((i‘P)X(i‘e)}
[*162-3] =Nr‘(i‘P4 i*e) ’ (1)
F . (1). *180-32 . *182-12-15 . z> F : Hp . z> .’
E Nr‘(P X Q) = Nr‘J‘P + Nr‘i‘C
[*182-05 . *151-65 . *180-31] = Nr‘P + Nr‘2 :’z> F . Prop
*183-32. F: C'P П C'Q = A. z>. E Nr‘(P4 Q) = E Nr‘P + E Nr‘6
Доказательство.
F . *183-1 . z> F . E Nr‘(P 4 Q) = Nr‘E‘J 5 (P4 Q)
[*162-31 . *160-44] =Nr‘(E;J’P4E‘J;0) (1)
F . *182-17 . *55-202 . z>
F:a!C‘E‘pPnC‘E*pe. = .(a5,P,x).PeC‘PnC‘e.xeC*P.S =xXP.
[*10-5] ’’ э.а!С‘РПС‘е (2)
F . (2). Transp . z> F : Hp. z>. C‘E‘J ’»P fl C‘E‘ J >Q = A.
[*180-32] z>. Nr‘(i\i; P*t ’ Q) = Nr‘E‘X ; P + Nr‘E‘ J ? Q
[*183-1] ’’ ’ =ENr‘P + ENr‘e ’ (3)
F . (1). (3). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
498
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*183-33. F:a!P.Z~eC‘P.D.E Nr‘(P Z) = £ Nr‘P + Nr‘Z
Доказательство.
F. *183-1. z> F. S Nr‘(P + Z) = Nr‘S‘ J ? (Р -» Z)
[*161-4] =Nr‘S‘(J ;P+- l‘Z) (1)
I-. (1). *162-43 . z> I-: Hp. э. SNr‘(P+- Z) = Nr‘(E‘ J ? P 4- J‘Z)
[♦182-12-15 . *180-32] = Nr‘E‘J: P + Nr‘J‘Z
[*183-1. *182-03 . *151-65] = S Nr‘P + Nr‘Z: э F. Prop
*183-331. F: g! P.Z~eC‘P. z>. ZNr‘(Z4-P) = Nr‘Z + ZNr‘P
[Доказательство аналогично *183-33]
*183-42. F: P e Rel2 excl. z>. J f»P e Rel3 arithm
Доказательство.
I-. *163-3 . *182-162 . z> F : Hp. э . И; P c Rel2 excl (1)
F. *162-35. z>F.S‘JtP = ’pS‘P.
[*182-16] z>F.E‘ffPe Rel2 excl
F . (1). (2). *174-3 . z> F. Prop
Следующее предложение представляет собой одну из форм закона ас-
социативности .
*183-43. F: Р е Rel2 excl. э. Е Nr‘E 5 J t; Р = S Nr‘S‘P
Доказательство.
F . *183-42 . *174-36 . э F : Нр. э. £ 5 J f; Р е Rel2 excl.
[*185-13] z>. S Nr‘S ’ J |5 P = Nr‘E‘S ? J |; P
[*162-34] ’ =Nr‘S‘S‘ft;P
[*162-35] = Nr‘S‘J ’ S‘P
[*183-1] = S Nr‘S‘P: z> F . Prop
*183-5. F: C [C‘Pe 1 1. э. C“SNr‘P = SNc‘C“C‘P
Доказательство.
F. *152-7 . *183-1 . z> F: Hp. z>. C“S Nr‘P = Nc‘C‘S‘J ’ P
[*182-54] = S Nc‘C“C‘P. z> F . Prop
Principia Mathematica II
*184. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
499
*184. Произведение двух реляционных чисел
Краткое содержание *184-
Предложения этого параграфа большей частью аналогичны предложе-
ниям в *113, которые касаются pxcv. Те предложения из *113, которые
касаются ах0, имеют свои аналоги в *166. Мы полагаем
*184 01. р х v = R {(gP, Q). р = Nor‘P. v = Nor‘0 • R smor (P x Q)} Df
*18402. Nr‘Pxv = Nor‘Pxv Df
*18403. pxNr‘(2 = pxNor‘(2 Df
Мы доказываем, что pxv равно нулю только тогда, когда один из его
сомножителей есть нуль (*184-16); мы доказываем закон ассоциативности
(*184-31) и закон дистрибутивности в следующих формах:
*184-33. F: Р е Rel2 excl. э. Е Nr‘P х Nr 7? = Е Nr‘(x R)5 Р
* 184-35. h . (v + ш) х р = (v х р) + (ш х р)
и мы доказываем 2гхр = р + р (*184-4). Мы также распространяем закон
дистрибутивности на случай, когда одно из слагаемых есть i, т.е. мы до-
казываем
* 184-41. h : v / 0г. э . (v + i) х р = (v х р) + р
* 184-42. h : v / 0г. э . (i + v) х р = р + (v х р)
а связь кардинального и ординального умножения дается посредством
*184-5. h : р, v е NR. э . С“(р х v) = С“р хс C“v
*184-01. р х v = R {(gP, Q). р = Nor‘P. v = Nor‘2 • К smor (P x Q)} Df
*184-02. Nr‘Pxv = Nor‘Pxv Df
*184-03. p,xNr‘(2 = p,xNor‘(2 Df
*184-1. h : R e p x v. = . (gP, Q). p = Nor‘P. v = Nor‘(2 • R smor (P x Q)
[(*184-01)]
Доказательства следующих предложений опускаются, поскольку они
аналогичны доказательствам соответствующих предложений в *113.
*184-11. h : g! р х v . э . р, v е NoR. g! p. g! v
*184-111. H : ~ (p, veN0R). о . p x v = A
*184-12. h p, veNR. э:Pepx v . = . (gP, Q). Pep. Qev .Psmor (P x Q)
*184-13. h . Nr‘P x Nr‘2 = Nor‘P x Nr‘£ = Nr‘P x Nor‘2
= Nor‘PxNor‘e = Nr‘(Px0
*184-14. I-: PsmorP . 2smor S . о . Nr‘PxNr‘Q = Nr‘P xNr‘S
*184-15. h.pxveNR
*184-16. h p x v = 0r . = : p, v e NR - i‘A : p = 0r . V . v = 0r
*184-2. h Mult ax. z>: P e Nr‘P . C‘P c Nr‘5 . z>. E Nr‘P = Nr‘P x Nr‘5
[*183-26 . *184-13]
*184-21. h Mult ax. э : p, v e NR. v / A . P e p. C‘P c v . □ . S Nr‘P = p x v
Доказательство.
h . *152-45 . э h : p e NR. P e p. э . p = Nr‘P (1)
F. *152-45 veNR.CPcv. S eC‘P.o.v = Nr‘5 .C‘P cNr‘5 (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
500
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
I-. (1). (2). *184-2 . э
I-Mult ах. э: р, v е NR . Р е р. С'Р cv.Se С'Р. о.
Z Nr'P = Nr'P х Nr‘5 . р = Nr'P. v = Nr'S .
[*13-13] D.SNr'P = pxv (3)
I-. (3). *10-11-21-23 . z>
I-Mult ax. э: p, v e NR .Pep. C'P c v. g! C'P. э. Z Nr‘P = p x v (4)
I-. *183-2 . *162-4 . d F : P = A. z>. £ Nr'P = 0r (5)
I-. *153-16 . Transp. э F:. p e NR .Рер.Р = А.э:р = 0г:
[*184-16] э: veNR- i‘A. э. px v = 0r (6)
I-. (5). (6). z> F : p, v e NR. v / Л. P e p. C'P c v. P = Л. э. Z Nr'P = p x v (7)
F. (4). (7). dF.Prop
*184-3. F. (Nr'P x Nr‘2) X Nr'P = Nr'P x (Nr‘2 x Nr'P) = Nr‘(P x Q x P)
Доказательство.
F . *184-13 . z> F. (Nr'P x Nr‘0 x Nr'P = Nr‘(P x Q) x Nr'P
[*184-13] = Nr‘(Px2xP)
[*166-42] =Nr‘(Px(£)xP)}
[*184-13] = Nr'P x (Nr‘2 X Nr'P). z> F . Prop
*184-31. F.(pxv)x0J = px(vxGJ)
Доказательство.
F. *184-111. э F: ~ (p, v, О e NqR) . z>. (p x v) x gj = Л. p x (v x gj) = A (1)
F . *155-2 . э F : p, v, G> e NqR . э.
(gP, Q, R) • P = Nor‘P. v = Nor'g. GJ = Nor‘P (2)
F . *184-13 . э
F: p = Nor'P. v = Nor‘6. GJ = Nqt'P . э. (p x v) x gj = Nr‘{(P X Q) x P}
[*184-3] =Nr‘{Px(exP)}
[*184-13] = p X (v X GJ) (3)
F. (2). (3). э F: p, v, GJ e NqR . э . (p x v) x gj = p x (v x gj) (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*184-32. px v x (D = (p x v) x gj Df
*184-33. F: P e Rel2 excl. z>. Z Nr ‘P x Nr ‘P = Z Nr ‘(x P) ’ P
Доказательство.
F . *183-13 . э F : Hp. z>. Z Nr'P x Nr'P = Nr'E'P x Nr'P
[*184-13] =Nr‘(E‘PxP)
[*166-44] =Nr‘Z‘(xP)’P (1)
F . *166-3 . э F : Hp. э. (x P) > P e Rel2 excl.
[*183-13] э. Nr‘Z‘(x P) 5 P = I Nr‘(x P) ’ P (2)
F. (1). (2). э F. Prop
♦184-34. F. (Nr'P + Nr‘0 x Nr'P = (Nr'P X Nr'P) + (Nr‘2 X Nr'P)
Доказательство.
F. *180-3 . *184-13 . z>
F. (Nr'P + Nr‘2) x Nr'P = Nr‘{(P + Q) x P)
[*166-45 . *180-1] = Nr‘[(X (Л П C'Q) > Г> P) x P * {(Л П C'P) 1515 Q} X P]
[*166-3 . *180-11-32] = Nr‘[{| (Л П C'Q) ’> Г> P} x P] + Nr‘[{(A Cl C'P) | ? i ? Q} x P]
[*184-14 . *180-12] = Nr‘(P X P) + Nr‘(0 x P)
[*184-13] = (Nr'P x Nr‘6) + (Nr'2 x Nr'P). э F . Prop
Principia Mathematica II
«184. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ 501
*184-35. 1-. (v 4 CD) X р. = (v х р.) 4 (СП х р) [*184-34] Доказательство проводится, как и в *184-31. *184-4. F.2rxp = p4p Доказательство.
1-. *184-111 . *180-4 .э 1-: p~eN0R. э. 2гхр = А.р4р = А 1-. *153-24 . *184-13 . => (1)
1-: р = Nqt'P . z>. 2r х р = Nr‘{A | (i‘x) х Р} 1-. *166-1 . э 1-. А | (i‘x) X Р = S‘P | i (А | i‘x) [*150-71] = S‘{(P |A) | (Pb'x)) (2)
[*162-3] = (P | A) 4 (P | t‘x) 1-. *180-31-32 . *165-251-211. Transp .=> ’ (3)
1-. Nr‘{(P J. A) 4 (P | i‘x)) = Nr‘P 4 Nr‘P 1-. (2). (3) . (4). э k: p = Nor‘P ?z>. 2r X p = Nr‘P 4 Nr‘P (4)
[*180-3] = p 4 p k. (1). (5). э k. Prop *184-41. F: v / 0r. э. (v 4 i) x p = (v x p) 4 p Доказательство. 1-. *166-53 . *180-32 . *165-251. z> (5)
F: Й! 6 • J ~ e C‘2 • => • Nr‘{(G4»У) x P] = Nr‘(6 x P) 4 Nr‘P 1-. (1). *181-32 . *184-13 . э (1)
1-: p = Nr‘P. v = Nr‘(2 • v /0r .y ~eC‘Q. э. (v 4 1) x p = (vx p) 4 p (2)
k. *181-11-12 . эk : veNR-i‘A. э. (g2,y). v = Nr‘£>.у ~eC‘6 к.(2).(3).э (3)
h: p e NR. v e NR - i‘A. v / 0r. o . (v + i) x p = (v x p) + p h. *184-111 . *181-4. э (4)
h : ~ (p e NR. v e NR - i‘A) .o.(v+i)xp = A.(vxp) + p = A h . (4). (5). o h . Prop *184-42. h : v / 0r . э . (i + v) X p = p + (v X p) [Доказательство аналогично *184-41] *184-5. h : p,, veNR. э . C“(p. x v) = C“p xc C“v Доказательство. h . *184-13 . z> h : Hp. P e p. Q e v. z>. C“(p x v) = C‘ ‘Nr‘(P x Q) [*152-7 . *166-12] = Nc‘(C‘P x C‘0 [*152-7 . *113-25] = C“Nr‘P xc C“Nr‘(2 (5)
[*152-45] = C“p xc C“v h . *184-11 . *113-204 . o (1)
h : ~ (a! p. a! v). э . C“(p x v) = A . C‘p xc C“v = A h . (1). (2). э h . Prop (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
502
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
*185. Произведение реляционных чисел одного поля
Краткое содержание *185.
Предмет настоящего параграфа аналогичен части предмета *114. Рас-
сматриваемые предложения являются непосредственными следствиями ра-
нее доказанных свойств П‘Р и не вызывают никаких трудностей.
*18501. *1851. *18511. *18512. ♦185 2. *185 21. *185 22. *185 23. *185-25. *185-27. IINr‘P = Nr‘irP Df h.nNr‘P = Nr‘ITP [(*185-01)] 1-: Psmor smor Q. э. IINr‘P = IINr‘6 [*172-44] 1-. П Nr‘P = Nr‘Prod‘ J •> P = Nr'lT J: P [*182-44] F.nNr‘A = Or ’ ’ [*172-13] 1-. П Nr‘(P i P) = Nr‘P [*172-2 . *165-251] НП№‘(Л1А) = 0г [*185-21] НЛеС?.э.П№‘Р = 0г [*172-14] 1-:: Mult ax. z>П Nr‘P = 0r . = : A e C‘P. V . P = A [*172-182] 1-Mult ax. э: P, Q e Rel2 excl. g! P smor Q О R1‘ smor . э. П№‘Р = П№‘2 [*172-45]
*185-28. 1-Mult ax. z>: P, Qe Rel2 excl. P, QeNr‘P. C'P, C'Qe Cl‘Nr‘5 . э. П№‘Р = П№‘<2 [*164-48 .*185-11]
*185-29. 1-Mult ax. э: P e Rel2 excl. P e Nr‘P. C'P c Nr‘5 . z>. П Nr‘P = Nr‘(5 exp Л) [*176-24]
*185-31. 1-:д!Р.д!е-С‘РПС‘е = Л.э.П№‘(Р + 2) = П№‘РхП№‘С [*172-35]
*18532. *185-321. *185-35. *185-4. 1-: Z ~ e C'P. z>. П Nr‘(P 4» Z) = П Nr‘P x Nr‘Z [*172-32] 1-: Z ~ e C'P. z>. П Nr‘(Z 4- P) = Nr‘Z X П Nr‘P [*172-321] 1-: P # Q. z>. П Nr‘(P X Q) = Nr‘P x Nr‘2 [*172-23] 1-PeRel2 excl: 2PQ. og. C‘0eOU 1: э. ПNr'EI > P = ПNr‘E‘P [*174-241]
*185-41. 1-: P e Rel2 excl. P G J. э . П Nr‘n > P = П Nr‘E‘P [*174-25]
Следующее предложение дает связь между ординальным и кардиналь-
ным умножением.
*185-5. h : Р е Rel2 excl. й! Р. э . С“П Nr‘P = П Nc‘C‘‘С‘Р
Доказательство.
h . *173-16 . z> h : Нр. э . С“П Nr‘P = C“Nr‘Prod‘P
[*152-7] =Nc‘C‘Prod‘P
[*173-161] = Nc‘Prod‘C“C‘P
[*163-16 . *115-12] = П Nc‘C“C‘P: z> h . Prop
Principia Mathematica II
♦ 186. СТЕПЕНИ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
503
*186. Степени реляционных чисел
Краткое содержание *186.
Для “р, в степени v”, где участвуют ординальные степени, мы использу-
ем обозначение “р, exprv”. Мы не можем использовать “р7” или “р, ехр v”,
поскольку они уже были использованы для кардиналов и классов (*116).
Поэтому мы снабжаем “ ехр ” суффиксом г, чтобы показать, что степени,
с которыми мы имеем дело, реляционные. Мы полагаем
р, ехр rv = R {(gP, Q). р, = Nor‘P. v = Nor‘(2 • R smor (P exp Q)] Df
Следующие предложения являются основными предложениями этого па-
раграфа:
* 186-2. h : р, е NqR . э . 0г ехр г р, = 0г. р, ехр г 0г = 0г
Мы не имеем р, ехр r 0r = 1, поскольку нет ординального числа 1.
* 186-21. I-. р, ехр Г2Г = р, х р,
* 186-22. h . а ехр r (Р + 1) = (а ехр r Р) х а
* 186-23. h . а ехр r (i + Р) = а х (а ехр r Р)
* 186-14. h:v/Or.(D/Or.o.p, ехр г (у + ш) = (р, ехр r v) х (р, ехр Г(П)
* 186-15. h : ш с R1‘ J. э . р, ехр г (ш х v) = (р, ехр r v) ехр гш
* 186-31. I-Mult ax. э : ц, veNR- t‘A .PeRel2 excl П Ц. С'Р a. v. э.
П№‘Р = р, expr v
которое связывает экспоненциацию с умножением.
* 186-4. h . Nr‘Pdf = 2r ехр r (Nr'P) (ср. с *177)
* 186-5. h : р, v е N0R. v / 0r. z>. C“(p exp r v) = (C“p)c“v
а также ординальную и кардинальную экспоненциацию.
*186-01. р, exprv = P{(gP, 0.p, = Nor‘P.v = Nor‘(2.Psmor (Р ехр Q)} Df
*186-02. (Nr‘P) exprv = (Nor‘P) exprv Df
*186-03. p exp r (Nr‘0 = P exp r (Nor‘Q) Df
* 186-1. h : R e p exp r v . = . (gP, Q). p = Nor‘P. v = Nor‘(2 • R smor (P exp Q)
[(*186-01)]
* 186-11. h . g! p, expr v. э. p, veNoR. |x,veNR- i‘A
* 186-111. h : ~ (p,, v e NqR) . э . p exp r v = A
* 186-12. h : R e p exp r v . = . (gP, Q). p = Nor‘P. v = Nor‘(2 • R smor PQ
[*176-181 . *186-1]
* 186-13. h.(Nr‘P) expr(Nr‘0 = (Nor‘P) expr(Nr‘0 = (Nr‘P) expr(Nor‘(2)
= (Nor‘P) exp r = Nr‘(P exp Q) = Nr‘(P<?)
[Доказательство аналогично *180-3]
*186-14. h:v/Or.(D/Or.o.p, exp r (v + (D) = (p, exp r v) x (p, exp r(D)
Доказательство.
h. *180-4. *186-111 .z>
h : ~ (p., v, (D e NoR). э . p, exp r (v + (D) = A . (p, exp r v) x (p, exp r(D) = A (1)
h . *186-13 . *180-3 . э
h : p, = Nor‘P. v = Nor‘(2 • © = Nor‘P . э . p, exp r (v + Ш) = Nr‘Pe+/? (2)
h. *176-42 .*180-11 .z>
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
504
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
F: Нр. Нр(2). э . Nr‘Pe+fi = Nr‘(Pi(Anc‘p);i;e X
[*180 12 . *176-22 . *166-23]= Nr‘(Pe х Рл)
[*186-13 . *184-13] = (р ехр r v) х (р ехр гго) (3)
F. (2). (3). *155-2 . z> F : р, v, го е NoR. v / 0r. го / 0r. э .
р ехр r (v + го) = (р ехр r v) х (р ехр гго) (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*186-15. F: го с RTJ. э. р ехр г (го х v) = (р ехр r v) ехр гго
Доказательство.
F. *186-11 . *184-111 . э
I-: ~ (р, v, го € NoR). э. р ехр r (го х v) = А. (р expr v) ехргго = Л (1)
F. *186-13 . *184-13 . э
I-: р = Nor‘P. v = Nqt‘2. го = Nor‘P. э. р ехр r (го х v) = Nr‘(№xe) (2)
F. *176-57 . z> F: Hp. Hp(2). z>. Nr‘(P*x!2) = Nr‘(Pe)s
[*186-13] = {(Nor‘P) exp r (Nor‘2) exp r (N0r7?)
[Hp] = (p exp r v) exp rro (3)
F . (2). (3). *155-2 . э
F : p, v, ro e NqR . го c RTJ. э. p exp r (ro x v) = (p exp r v) exp rro (4)
F . (1). (4). э F. Prop
*186-2. F: peN0R. э. 0r exp r p = 0r. p expr 0r = 0r [*176-151]
*186-21. F . p exp r2r = p x p
Доказательство.
F . *186-111. *184-111 . эF : p~eN0R. э . p expr2r = Л. px p = Л (1)
F . *186-13 . *176-1. э F : p = Nor‘P. x/y. э.
p exp r2r = Nr‘Prod‘P | > (x J, y)
[*150-71] = Nr‘Prod‘{(P X x) X (PXy))
[*173-24 . *165-211. Transp] = Nr‘((P X x) X (PXy)}
[*165-251 . *166-23] =Nr‘(PxP)
[*184-13] = p X p (2)
F . (2). *155-2 . *24-1 . э F: p e NqR . э. p exp r2r = p x p (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*186-22. F . a exp r (0 + i) = (a exp r 0) x a
Доказательство.
F . *186-111. *181-4 . э
F : ~ (a, 0 e NqR) . э. a exp r (0 + i) = A. (a exp r 0) X a = Л (1)
F . *186-13 . *181-22 . э
F : a = Nor'P. 0 = Nor‘2. э. a exp r (0 + i) = Nr‘(P exp (Q z)) •
(a exp r 0) x a = Nr‘(P exp Q) x Nr‘P (2)
F . (2). *176-151 . *166-13 . z>
F: Hp(2). P = A. z>. a exp r (0 + i) = 0r. (a exp r 0) x a = 0r (3)
F . *165-2 . *161-4 . *176-1 . (*181-01). z>
F . Nr‘{P exp (Q 4> z)} = Nr‘Prod‘[P X; IАЛ ’ Г> Q P X {(Л П C‘P) X i‘x}] (4)
F . *165-221-222 . *181-11 . *162-22 . z>
F: g! P. э. P X {(Л П C‘P) X i‘x) - e C‘P X ’’ X Ax 51 ’ 2 •
C‘PX {(A nC‘pj’Xi‘x}nC‘S‘PX;XAx; i’2 = A (5)
F. (4). (5). *165-21 . *173-25 . э F: а! P. э .
Principia Mathematica II
СТЕПЕНИ РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
505
I-. Nr‘{P ехр (Q -к z)} = Nr‘[(Prod‘P | Ц Лх ? i ’ Q) X Р X {(Л А С'Р) J, i‘x}]
181-12 . *165-251. *176-1-22 . *184-13] = Nr‘(P ехр Q) X Nr‘P (6)
. (2). (6). э F: Нр(2). з! Р. э . а ехр г (0 + i) = (а ехр г 0) х а (7)
• (1) • (3) • (7). э I-. Prop
!3. F. а ехр r (i + 0) = а х (а ехр г 0)
[Доказательство аналогично *186-22]
к F Mult ах. э: Р е Rel2 excl A Nr‘P. С'Р с Nr‘5 . э .
П Nr‘P = (Nr‘P) ехр r (Nr‘5) [*185-29]
Н. к Mult ах. z>: ц, v е NR -СЛ.Ре Rel2 excl А ц. С'Р с v. э.
П Nr‘P = ц ехр r v [*186-3]
I. I-. Nr‘Pdf = 2r ехр r (Nr‘P) [*177-13]
>. I-: р., v е NqR . v / 0г . э . С“(н ехр r v) = (C“p)c'v
казательство.
>2-7 . *186-13 . э к: р = Nor‘P. v = Nor‘Q. z>.
C“(p exp r v) = Nc‘C‘(P exp Q) (1)
. *176-14 . э F : Hp(l). v / 0r. э . C“(p expr v) = Nc‘{(C‘P) exp (C'Q)}
222] = (Noc‘C‘P)N»c‘c‘e
6] = (C“Nor‘P)c‘‘N°r'!2
= (C“p)c“v: э F . Prop
<йтхед, Б. Рассел
ЧАСТЬ V.
СЕРИИ
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ V
Отношение называется сериальным, или производящим серии, когда оно
обладает тремя различными свойствами, а именно (1) содержится в раз-
личии, (2) транзитивно, (3) связно, т.е. рассматриваемое отношение или
обратное к нему имеет место между двумя различными элементами его по-
ля. Поэтому Р является сериальным отношением, если (1) Pg J, (2) Р2 g Р,
(3) х, у € С'Р. х / у. эх>у : хРу. V . уРх. Третья характеристика, т.е. связность,
могла бы быть записана более кратко
xeC'P. эх ."?‘xU i‘xU = у‘Р,
т.е.
X € С'Р. эх . Р'х = С'Р,
используя обозначения из *97; и оно, в силу *97-23, эквивалентно
P“C‘PeOU 1.
В силу *50-47 первые две характеристики эквивалентны
Р h Р = Л. Р2 g Р.
Когда РПР = Л, мы говорим, что Р является “асимметричным”. Поэтому
такие сериальные отношения асимметричны, транзитивны и связны.
Можно было бы подумать, что сериальное отношение не должно содер-
жаться в различии, поскольку мы, как правило, говорим о сериях, в ко-
торых существуют повторения, т.е. в которых более ранний терм тожде-
ственен более позднему терму. Поэтому, например,
а, Ь, с, а, е, f, b, g, h
было бы названо серией букв, хотя буквы а и b появляются вновь. Од-
нако во всех таких случаях существует некоторый способ (в приведенном
выше случае положение в пространстве), посредством которого одно вхож-
дение данного терма отличается от другого вхождения, и будет найдено, а
это означает, что существует некоторая другая серия (в приведенном вы-
ше случае серия положений в строке), свободная от повторений, с которой
510
СЕРИИ
наша псевдосерия имеет одно-многозначное соответствие. Поэтому в при-
веденном выше примере мы имеем серию из девяти положений, которые
мы могли бы назвать
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
которые формируют настоящую серию без повторений; мы имеем одно-мно-
гозначное отношение, охватывающее эти положения, посредством которого
мы различаем вхождения а, первое вхождение представляет а как корре-
лят 1, второе —как коррелят 4. Все серии, в которых существуют повторе-
ния (которые мы могли бы назвать псевдосериями), получаются поэтому
посредством корреляции с настоящими сериями, т.е. с сериями, в которых
нет повторений. Т.е. псевдосерии имеют в качестве своего производяще-
го отношения отношение вида S ’ Р, где Р есть сериальное отношение, a S
есть одно-многозначное отношение, чья обратная область содержится в по-
ле Р. Таким образом, то, что мы могли бы назвать самоподдерживающими
сериями80, должно быть сериями без повторений, т.е. сериями, чьи про-
изводящие отношения содержатся в различии.
Для наших целей нет никакого смысла в различении серии и ее произ-
водящего отношения. Серия не является классом, поскольку имеет опреде-
ленный порядок, в то время как класс не имеет порядка, однако допускает
многократное упорядочивание (если не состоит только из одного терма или
вообще не имеет термов). Производящее отношение детерминирует поря-
док, а также класс упорядоченных термов, поскольку этот класс является
полем производящего отношения. Следовательно, производящее отношение
полностью детерминирует серию и может для всех математических целей
быть принято в качестве серии.
Когда Р транзитивно, мы имеем
Ppo = P.P*=PUi[C‘P.
Следовательно, все предложения главы 5 части II становятся неизмеримо
проще, когда применяются к сериям.
Кроме того, поскольку поле связного отношения состоит из единствен-
ного семейства, то серия имеет один первый терм или вообще не имеет
термов и один последний терм или вообще не имеет термов.
В случае сериального отношения Р отношение Pi (определенное
в *121-02) становится Р-Р2, т.е. отношением “непосредственного предше-
ствования”. В дискретной серии термы, вообще говоря, непосредственно
предшествуют другим термам. Компактная серия, напротив, определена
как серия, в которой существуют термы между двумя любыми термами:
в такой серии Pi = Л.
Очень часто оказывается так, что мы желаем рассмотреть отношения
различных серий, которые все содержатся в некоторой одной серии; напри-
мер, мы могли бы пожелать рассмотреть различные серии вещественных
чисел, упорядоченных по величине. В таком случае, если Р является се-
рией, в которой заключены все другие серии, а а, Р, у, ... представляют
собой поля этих упомянутых серий, то указанные серии сами есть Р [ а,
80 В оригинале — self-subsistent series. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ V
511
Р £ Р, Р [ у, ... . Таким образом, когда серии даны заключенными в данную
серию, то они полностью детерминированы посредством их полей.
В том, что следует далее, глава 1 посвящается элементарным свойствам
серий, включая максимальные и минимальные точки, секвентные точки и
пределы.
В главе 2 мы будем иметь дело с теорией сегментов и сходными тема-
ми; в этой главе мы определим “Дедекиндовы” серии и докажем важность
предложения, что серия сегментов серии всегда Дедекиндова, т.е. что каж-
дый класс сегментов имеет максимум или предел.
Глава 3, которая находится за пределами основных изысканий кни-
ги, касается сходимости и пределов функций и определения непрерывной
функции. Ее цель заключается в том, чтобы показать, как эти понятия
могут быть выражены, и устанавливаются многие их свойства гораздо бо-
лее общим образом, чем это обычно делается, и без допущения того, что
аргументы или значения рассматриваемых функций являются либо числен-
ными, либо численно измеримыми.
В главе 4 мы будем иметь дело с “вполне упорядоченными” сериями,
т.е. сериями, в которых каждый класс, содержащий элементы поля, имеет
первый терм. Свойства вполне упорядоченных серий многочисленны и важ-
ны; большинство из них зависит от того факта, что расширенная разновид-
ность математической индукции возможна, когда мы имеем дело с вполне
упорядоченными сериями. Термин “ординальное число” ограничивается по-
средством применения к реляционному числу вполне упорядоченной серии;
ординальные числа будут также рассмотрены в четвертой главе.
В главе 5 мы будем иметь дело с конечным и бесконечным. Мы пока-
жем, что различие между “индуктивным” и “нерефлексивным” не возни-
кает во вполне упорядоченных сериях.
В главе 6 мы будем иметь дело с “компактными” сериями, т.е. серия-
ми, в которых существует терм между двумя любыми термами, т.е. для
которых Р2=Р. В частности, мы рассмотрим “рациональные” серии (т.е.
серии, сходные с сериями рациональных чисел, упорядоченных по вели-
чине) и непрерывные серии (т.е. серии, сходные с сериями вещественных
чисел, упорядоченных по величине). При изложении этого предмета мы
будем следовать Кантору.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Краткое содержание главы 1
В настоящей главе мы будем рассматривать свойства, общие для всех
серий. Такие свойства большей частью являются очень простыми и не
представляют никаких трудностей. Многие из этих свойств серий не требу-
ют всех трех характеристик, посредством которых определяются сериаль-
ные отношения, а требуют лишь одно или два их этих свойств: поэтому мы
начинаем с предложений, в которых, несмотря на то, что доказанные свой-
ства важны прежде всего в связи с их возможностью применения к сериям,
гипотезами является лишь то, что затрагиваемые отношения имеют одно
или два свойства сериальных отношений. Затем мы переходим к наиболее
элементарным свойствам, присущим сериям, а затем к теории минималь-
ных и максимальных элементов классов, содержащихся в сериях, а также
последователям и границам классов. Затем мы переходим к корреляции
серии с частью самой себя. Основа этого достаточно хорошо знакома, и
трудностей, с которыми мы столкнемся, меньше, чем в большинстве преды-
дущих глав.
В дальнейшем будет замечено, что там, где затрагиваются серии, ес-
ли а есть экзистенциональный класс, содержащийся в С‘Р, то
скоррелировано с Р“а (которое есть Р“а есть “предшественники
некоторого а”, а р‘^“а есть “последователи всех а-ов”. Если а являет-
ся экзистенциональным классом, содержащимся в С‘Р, то весь С‘Р, за
исключением последнего терма а (если такой терм существует), принад-
лежит одному или другому из классов Р“а, р‘^“а, первый из кото-
рых полностью предшествует второму. Разделение ёРна эти два клас-
са есть Дедекиндово “сечение”, определенное посредством а. Однако ко-
гда лишь часть а содержится в С‘Р, то мы должны заменить
514
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
на р‘г“(аПС‘Р), поскольку р‘Р“а = А, если а содержит какой-либо эле-
мент, не принадлежащий С'Р. С другой стороны, если аПёР= А, то мы
имеем р‘^‘(а П С'Р) = V. Однако то, что мы хотим, есть дополнение к Р“а,
которое в этом случае равно нулю. Следовательно, мы должны заменить
р'*Р''(а(УС'Р) на С'Р (Ур'*Р"(аС\С'Р): это есть С‘Р, когда Р“а = А, т.е. ко-
гда аС\С'Р = А. В любом другом случае это эквивалентно р'^Р'^аПС'Р).
Если а содержится в С'Р и не есть нуль, то С'Р С\р''<Р''(аС\С'Р) = р'*Р''а.
Таким образом Дедекиндово “сечение”, определенное посредством класса
а, независимо от того, содержится ли этот класс во всем С'Р или его части
или нет, всегда есть два класса
Р“а, С‘РПр‘?“(аП С‘Р).
Во всех элементарных предложениях этой главы мы уже предприня-
ли меры предосторожности, чтобы избежать более сильных гипотез, чем
требуется: мы не предполагали, что Р является сериальным, если наши
заключения следовали бы (например) из гипотезы, что Р транзитивно и
связно. В дальнейшем будет обнаружено, что многие свойства серий за-
висят от того факта, что если х и у есть два различных терма серии Р,
то хРу. = . ~ (уРх) (*204-3). Здесь импликация хРу. э. ~ (уРх) требует, что-
бы Р было асимметричным, т.е. мы должны иметь Р h Р = А или Р2 G J.
Импликация ~ (уРх). э. хРу требует, чтобы Р было связным. Поэтому тре-
буемая гипотеза заключается не в том, чтобы Р было сериальным, а чтобы
Р было связным и асимметричным (*202-5).
Кроме того, рассмотрим предложение о том, что если Р есть се-
рия, то Р\ = Р - Р1. Отношение Pi является очень полезным отношением
“непосредственного предшествования”; поэтому приведенное выше предло-
жение является важным, как и дальнейшее предложение о том, что ес-
ли Р есть серия, то Pi есть одно-однозначное отношение. Напомним, что
(на основании *121) “xPiy” означает, что Р(хну) состоит из двух термов.
Было показано в *121-304-305, что если Р^ содержится в различии, то
“xPiy” влечет “хРу”, и эквивалентно утверждению, что х и у составляют
весь интервал Р(хНу) и не тождественны. Также, на основании *121-254,
Р\ - (Рро)1• Очевидно, что если Рро содержится в различии и xPiy, то мы не
можем иметь хР2у, поскольку нет терма, кроме х и у, в интервале Р (х н у)
и мы не можем иметь хРх или уРу. Следовательно, если Ppo G J, то мы
имеем Pi G -Р2. Следовательно, на основании сказанного выше (*121-305),
если Ppo G J, то мы будем иметь Pi G Р - Р2. С другой стороны, если Р
транзитивно, то мы имеем Р —P2g Pi (*201-61). Объединяя эти два факта
и помня, что если Р транзитивно, то Р = Рро (*201-18), мы находим, что
Pi = Р - Р2, если Р транзитивно и содержится в различии. Мы находим
далее (*202-7), что если Р связно, то Р-Р2 является одно-однозначным.
Следовательно, нам нужна полная гипотеза о том, что Р есть серия, для
того чтобы доказать, что Pi является одно-однозначным (*204-7). Это яв-
ляется хорошим примером способа, при котором различные отдельные ха-
рактеристики делают определение серии релевантным при доказательстве
свойств серий.
Principia Mathematica II
*200. ОТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В РАЗЛИЧИИ
515
*200. Отношения, содержащиеся в различии
Краткое содержание *200.
Некоторые предложения этого параграфа являются повторениями или
непосредственными следствиями предыдущих предложений, в особенности
тех предложений из *50, которые имеют дело с различием. Однако мы
в основном рассмотрим здесь предложения, которые будут полезны в тео-
рии серий; это приводит нас к введению предложений о р‘^“а и вещах,
связанных с арифметикой отношений и другими темами. Будет видно, что
“P2gJ” (т.е. “Р асимметрично”) является важной гипотезой, так же как
и PqqGJ) примеры применения которого мы уже имели в *96 и *121.
Следующие предложения являются одними из наиболее полезных пред-
ложений этого параграфа:
*20012. F : Р е RT J. э . С'Р ~ е 1
Это предложение делает возможным определение ординального чис-
ла 1, которое займет свое место среди реляционных чисел, применимых
к сериям.
* 200-35. F:PGj.ael.o.P[a = A
Это предложение является следствием *200-12.
* 200-36. F:P2g J.o.Pg J
* 200-361. F : Р2 G J. э A (i‘x U *Р'х) = А . *Р'х A (f'x U i‘x) = A
Т.е. если Р2 G J, то нет терма, предшествующего самому себе или лю-
бому своему предшественнику, и нет терма, последующего за самим собой
или своим последователем.
* 200-38. h : Рро G J . э . Рро = Р* A J
* 200-39. F : Рро G J. хеС'Р.э/?*‘хпК‘х = 1‘х
Далее мы имеем группу предложений, касающихся арифметики отно-
шений.
* 200 211. F : Pg J . Рsmor Q. э . QG J
Т.е. свойство содержаться в различии инвариантно относительно преоб-
разований сходства;
* 200-4. F : Р * Q е R1‘ J . = .P,Qe RF J .C'PC\C'Q = K
*200-41. F:P4»xgJ. = .x<+-PgJ. = .PgJ.x~€ С'Р
и другие такие же предложения.
Далее мы имеем набор предложений, касающихся и р'*Р"а. Наи-
более важными из них являются
* 200-5. F : Pg J. э . a А р'~Р"а = А . а А р'<Р“а = А
* 200-52. HPg
* 200-53. I-: Р2 G J. э . Р“аП р‘"?“а = А. Р“аПр‘^“а = А
Т.е. если Р асимметрично, то термы, которые предшествуют части а,
не являются последователями всего а, и наоборот.
*200-11. F : PeRlV. = . PeRTJ [*50-23]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
516
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*20012. h : Р е R1‘ J. э . ёР~ е 1
Доказательство.
h . *50-11 . *33-17 . э F:. Нр : хРу. V .уРх: э .у / х .уеС'Р (1)
h. (1). *33-132 . э h Нр . э : х е С'Р. э . (gy). у / х. у е С'Р:
[*52-181] э : С'Р ~ е 1:. э h . Prop
* 200-2. h :Т el -»1 . э .Т 5 (Р h J) = T 5 Р h J
Доказательство.
h . *150-4 . э h Нр . э :
х {Т»(Ph J)]y. = . (gz, w). x = T'z.y = T'w. zPw. z / w.
[*71-56] = . (gz, w). x / у. x = T'z • у = T'w. zPw.
[*150-4] = . x{T »Ph J}y:. э h . Prop
* 200-21. hjTeCls^l.PGj.o.TJPGj
Доказательство.
h . *150-1 . *50-24 . oh:. Hp . э : x(T > P)y. э . (gz, w). xTz .yTw .z±w.
[*71-171 . Transp] э . x / уэ h . Prop
* 200-211. h : P G J. P smor Q. э . Q G J [*200-21 . *151-1]
Свойства отношений очень часто оказываются общими для всех отноше-
ний, которые сходны с данным отношением, и это применимо в особенности
к тем видам свойств, с которыми мы чаще всего имеем дело. Приведенное
выше предложение является иллюстрацией этого факта: оно показывает,
что свойство содержаться в различии инвариантно относительно преобра-
зований сходства.
* 200-22. h : Р G J. = . Nor‘P с R1‘J. = . g! Nor‘P n R1‘ J
Доказательство.
h . *151-11 . *200-211 . э h : P g J. э . Nor‘P c R1‘ J (1)
h. *155-12. oh :N0r‘PcRl‘J.o. Pg J (2)
h. *155-12 . oh: Pg J. э . g! Nor‘PnRl‘J (3)
h . *151-11 . *200-211 . э I-: g! Nor‘P П RT J .d.PgJ (4)
F . (1). (2). (3). (4). э Ь. Prop
Мы имеем, без необходимости типовой определенности,
h:PG J.o.Nr‘PcRl‘J
и
h : g! Nr‘P n RTJ. э .Pg J,
оба из которых являются непосредственными следствиями *200-211. Об-
ратные импликации, однако, не выполняются, если Nr‘P рассматривается
в пределах типа, в котором Nr‘P = A.
*200-3. l-.AeRlV [*25-12]
*200-31. F:x/y. = .xXyeRl‘J [*55-3]
*200-32. h:aTPGj. = .anp = A [*50-55]
*200-33. Ь:Рс/.э.Р[ас/ [*35-442]
*200-34. F : P [ac J. = . P [ac J. = . a] Pg J [*50-58]
*200-35. F:PGj.ael.D.Pla = A
Доказательство.
h . *52-16 . э h :. Hp . э : x, у e a . ~ (xJy).
[*23-81]
Principia Mathematica II
*200. ОТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В РАЗЛИЧИИ
517
[*11-521] э : (х,у). ~ {х,у еа . хРу}э F. Prop
*200-36. F:P2gJ.d.PgJ [*50-45]
*200-361. F : P2 G J . э .^‘xA(i‘xU *P'x) = A . U i‘x) = A
Доказательство.
F . *51-15 . э F :ye?‘xAi‘x. э . хРх (1)
F . *200-36 . oh: Hp . z>. ~ (xPx). [(1) .Transp] o.^‘xAi‘x = A (2)
F . *34-11 . э F <P'x. = . xP2x (3)
F. (3). Transp . □ F : Hp. □ ^‘x = A (4)
F . (2). (4). э F : Hp . э .^хП^хП^х) = A (5)
Аналогично F : Hp . э. *P'x A 'x U i‘x) = A (6)
F . (5). (6). э F . Prop *200-37. F : a! Pot‘P A RT J .j.PU Доказательство. F . *91-373 . z> ф 5 F :: xPx-.S ePot‘P. xSx. э$ . x(5 | P)x: э: QcPot/P. og . xQx (1)
F . *3-2 . э F хРх. э : xSx. э . xSx. xPx [*34-1] э.х(5|Р)х (2)
F . (1). (2). э F xPx. э : QePot'P. og .xQx. [*50-24] og.~(Gg J) (3)
F . (3). Transp. э F : (3 Q). Q e PqVP . 0G J .z>. ~ (xPx). [*50-24] э. Pg J: oF. Prop *200-38. F:PpoG J.o.Ppo = P*h J [*91-541] *200-381. F : Ppo G J . э .^‘хП X‘x = A . ^‘хП^/х = A Доказательство. F . *91-56 . э F : Hp . э . Ppo2 G J. [*200-361] э .7*po‘xA (i‘x U ^o‘x) = A . ^o‘x A C?po‘x U i‘x) = A . [*91-54] э ."?po‘x П X‘x - A . ^o‘xn"?*‘x = A : э F . Prop *200-39. F : Ppo G J .xeC'P. э ."?*‘x A X‘x = i‘x Доказательство. F . *91-54 . э F : Hp .э.Ч‘хА H‘x = ("?po‘xU i‘x) A (^‘x U i‘x) [*22-69] = C?po‘x A ^o‘x) U i‘x (1)
F . *91-56 . э F zye^po^ A ^o‘x. э .yPpoj (2)
F . (2). Transp . э F : Hp . э ."?po‘x A ^o‘x = A (3)
F . (1). (3). э F . Prop *200-391. HPpoG J.o.A’PsmorP.A \С‘Ре(Р*>Р) smorP Доказательство. F . *90-12 . э F : Hp . x,у eC'P 'x =1**'у. э . x P* у. у P* x. [*200-39] э.х = у (1)
F.(l). *151-24. z>F. Prop Приведенное выше предложение оказывается полезным в теории сегмен-
ТОВ.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
518
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Следующие предложения касаются понятий арифметики отношений.
Аналогичные предложения будут доказаны для транзитивности и связно-
сти в *201 и *202, откуда аналогичные предложения, касающиеся серий,
будут выведены в *204.
*200-4. h : Q е R1‘ J . = .P,Qc RT J. С‘Р П C'Q = А
Доказательство.
h . *23-59 . *160-1 . э
h : Р$ Q е RT J . = .P,Qe R1‘ J. С'Р ^C'QclJ .
[*200-32] = . P, Q е RT J. С'Р П C'Q = А : э h . Prop
Это предложение является частью доказательства того, что сумма двух
взаимно исключающих серий есть серия.
*200-41. h:P-bxGj . = .x + PgJ . = .PgJ .х~еС'Р [*23-59 . *200-32]
*200-42. h : Е‘РG J. = . C'Pc RTJ .F'PgJ
Доказательство.
h . *23-59 . *162-1 . э h : E‘P g J. = . s'C'P gJ.F'PgJ.
[*61-52] = . C'PcR1‘JProp
Следующие предложения (*200-421-422-423) являются леммами для
*204-53.
*200-421. F: Ре Rel2 excl. Р G J. Qе С'Р. э. Q = (Е‘Р) [ C'Q
Доказательство.
F. *163-11 .*162-13 .э1-::Нр.э:.х{(Е‘Р) [C'Q] у. = :
(gR) .ReС'Р. x,yeC'Q. xRy. R = Q. V .
(gR,S).RPS . x,yeC'Q. xeC'R .yeC'S .R = Q.S=Q:
[*13-195-22] = : xQy. V . QPQ .x,ye C'Q:
[*50-24 . Hp] =: xQy:: oh . Prop
*200-422. I-: E‘P G J. z>. P ] (- i‘A) G J
Доказательство.
I-. *162-13 . *50-24 . F :: Hp. :. QPR. z>: xeC'Q .yeC'R. z>. x/y:
[*24-37] z>:C‘6nC‘R = A:
[*24-57] z>:g!C.z>.C‘0/C‘R.
[*30-37] э. 2/R:: z>F . Prop
*200-423. I-:. Pe Rel2 excl. A ~ e C'P. z>: E‘P G J. = . P g J. C'P c R1‘ J
Доказательство.
I- . *200-422-42 . z> F : Hp. E‘Pg J. z>. Pg J. C‘PgR1‘J (1)
F. *61-52. dF:C‘PcR1‘J.o.s‘C‘Pg J (2)
F. *163-12 . *200-21. z> F : Hp. Pg J. z>. F > Pg J (3)
F . (2). (3). *162-1 . z>F:Hp.Pg J. C‘Pc R1‘J. d . E‘Pg J (4)
F . (1). (4). э F . Prop
*200-43. F:PG J.z>.H‘P =
MN {M,NeFh‘C‘P: (g0). (M'Q) Q (N'Q) .M\?'Q = N (?‘Q}
Доказательство.
F. *4-71 . *172-1 . э F : Hp . z>.
П‘Р = MN {M, N e Fl'C'P (g2): (M'Q) Q (N'Q): RPQ. z>R . M'R = N'R}
[*35-71 . *71-35]
= MN {M,NeFi‘C‘P: (g2). (M'Q) Q (N'Q). M \~^‘Q = N f>2}. => F . Prop
Principia Mathematica II
♦200. ОТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В РАЗЛИЧИИ
519
Следующие предложения, за исключением *200-52, касаются р‘Р“а и
р‘^“а, т.е. класса термов, предшествующих (или следующих за) всем а.
*200-5. h : Pg J. э . аА= А. а Ар‘^“а = Л
Доказательство.
F . *40-51 . э F хеа А. э: хеа:уеа. . хРу:
[*10-26] э : хРх:
[*50-24] d:~(PgJ) (1)
F. (1). Transp. э F: Hp. э . а А р‘"?“а - Л (2)
Аналогично F : Нр . □ . а = Л (3)
F . (2). (3). э F . Prop
* 200-51. F : Р G J. з! Р. э . р‘>‘ёР= А . р‘?“ёР= Л
Доказательство.
F . *40-62 . э F : Нр . э . р‘>‘ёРс С‘Р.
[*22-621] э : р‘"?“ёР= ёРА р‘"?“С‘Р
[*200-5] = А (1)
Аналогично!-: Нр. э . р'*Р''С'Р = А (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 200-52. F : Р G J. э . C'P - 6>‘C‘P
Доказательство.
F . *50-24 . d F Hp . э : xeC'P. . x~ e?‘x.
[*1314] dx.C‘P
[*37-7 . Transp] э : C'P ~e~?“C*Pэ F . Prop
Это предложение часто используется в теории вполне упорядоченных
серий.
* 200-53. F : Р2 G J . э . Р“а А р‘~?“а = Л . Р“а А = Л
Доказательство.
F . *37-1 . *40-53 . э F хеР“а А р']Р“а. э: (gy) .yea. xPytyea. .уРх:
[*10-56] э : (зу). хРу . уРх:
[*34-5] э : хР2х:
[*50-24] э: ~ (Р2 G J) (1)
F . (1). Transp. э F : Нр . э . (х). х~еР“а Ар'*Р"а (2)
Аналогично F : Нр. э . (х). х ~ 6 Р“а А р'~Р' (3)
F . (2). (3). э F . Prop
Приведенное выше предложение часто используется. Если а есть эк-
зистенциональный класс, заключенный в С‘Р, то Р“а и р'<Р"а являются
двумя частями Дедекиндова “сечения”, детерминированного посредством
а (исключая максимум а, если он существует). Приведенное выше предло-
жение показывает, что эти две части являются взаимно исключающими.
* 200-54. F:PgJ.3!P.d. р‘"?“{ёРА р'*Р"а} = р'~$"р'*Р"а
Доказательство.
F . *40-62 . э F: 3! а. э . С'Р Ар'*Р"а = р'*Р“а (1)
F . *40-2 . DF:a = A.D.p‘^“a = V. (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
520
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
[*40-16] э . с р‘"?“ёР(3)
h . (3). *200-51. z> h : Нр. а = Л. э. р'~Р“р^Р“а. = Л (4)
Ь. (2). *24-46 . э1-:а = Л.э.С‘РПр‘^“а = ёР(5)
Ь. (5). *200-51.эН Нр.а = А.э . р‘^“(С‘РО р‘^“а) = Л (6)
F . (1). (4). (6). э F . Prop
Это предложение представляет собой лемму, целью которой является
избежание необходимости введения гипотезы g! а в доказательства, в кото-
рых она не является действительно необходимой. Первое применение этого
предложения встречается в *206-551.
Principia Mathematica II
♦201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
521
*201. Транзитивные отношения
Краткое содержание *201.
Существует две основных разновидности транзитивных отношений, а
именно симметричные (Р = Р) и асимметричные (Р А Р = Л) отношения.
Транзитивные симметричные отношения обладают формальными свой-
ствами равенства; примеры таких отношений встречались выше, например
тождество, подобие и сходство. Предложения настоящего параграфа, одна-
ко, в большей степени таковы, что будут полезны в связи с транзитивными
асимметричными отношениями, поскольку они предназначаются для при-
менения к сериям.
Мы обозначаем класс транзитивных отношений посредством “trans”; по-
этому
trans = P(P2gP) Df.
Многие предложения этого параграфа аналогичны предложениям, чьи но-
мера имеют ту же самую десятичную часть в *200. Это такие предложе-
ния, как: если отношение Р транзитивно, то таково и обратное к нему
(*201-11), и таково же любое отношение, сходное с Р (*201-211); Л и х\,у
транзитивны (*201-3-31); если Р транзитивно, то таково и Р[а (*201-33).
Предложения *201-4—42, в которых рассматриваются понятия арифметики
отношений, также аналогичны *200-4—42.
Большинство других предложений этого параграфа, однако, не имеют
аналогов в *200. Среди наиболее важных из них следующие:
* 201-14. F : Petrans . хРу. э ."^хс^у
* 201-15. F . Р* е trans
* 201-18. F : Р2 G Р. э . Рро = Р. Р* = Р 0 / Г С'Р
Это предложение является очень важным, поскольку оно приводит к су-
щественному упрощению при использовании всех предложений, включаю-
щих Рро и Р*, когда эти предложения применяются к транзитивным отно-
шениям. Благодаря приведенному выше предложению Рро отбрасывается,
когда дело касается транзитивных отношений. Р*, с другой стороны, оста-
ется полезным: Если уеС‘Р, то “хР*у” будет означать “х предшествует у
или является у”, что, если Р производит серию, элементами которой яв-
ляются х и у, эквивалентно “х не следует за у”.
Мы имеем ряд предложений (*201-5—56) о Р“а и Основными
из них являются
* 201-5. h : Ре trans . э . ГГа с Р“а
* 201-501. h : Petrans. э . Р“7^‘хс^‘х
Эти два предложения выражают тот факт, что предшественник пред-
шественника является предшественником.
* 201-52. F : Ре trans. э . Р*“а = Р“а U (а А С'Р)
Поэтому если асС‘Р, то Р*“а состоит из а вместе с предшественни-
ками его элементов.
* 201-521. F : Ре trans .xeC'P. э .^*‘x="?‘xU t‘x
* 201-55. F : Р е trans. э. P“(aU Р“а) = Р“а
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
522
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Далее мы имеем ряд важных предложений о Р-Р1 и Pi. Основными
из них являются
* 201-63. h : Р 6 trans А Ю‘J . э . Pi = Р - Р2
* 201-65. h Ре trans A RTJ. э : Pi = А. = . Р1 = Р
Об этих двух предложениях смотри замечания ниже.
* 200-01. trans = Р (Р2 g Р) Df
* 201-1. F : Petrans. = . Р2 G Р [(*201-01)]
* 200-11. h : Ре trans. = . Ре trans
Доказательство.
F . *201-1 . *31-4 . э F : Ре trans. = . Cnv‘P2 G Р.
[*34-63 . *201-1] = . Ре trans: э F. Prop
* 201-12. FP e trans .d:PgJ. = .P2gJ. = .PaP = A [*50-47]
В силу этого предложения, свойство содержаться в различии эквива-
лентно (где речь идет о транзитивных отношениях) асимметричности. Это,
вообще говоря, не так в случае с отношениями, которые не являются тран-
зитивными; поэтому, например, различие само содержится в различии, од-
нако является симметричным.
* 201-13. F.RT/ctrans
Доказательство.
F. *34-34 .dF:Pg/.d.P2gP|Z.
[*50-4] э . R1 G R : э F . Prop
* 201-14. F : Ре trans . хРу. э .^хс"?^
Доказательство.
F . *201-1 . э F: Нр . zPx. э . zPy (1)
F . (1). *32-18 . э F . Prop
Следующие предложения (*201-15—19) касаются Р* и Рро*
* 201-15. F . Я* е trans [*90-17]
* 201-16. F . Яро е trans [*91-56]
Это предложение является важным, поскольку часто случается так, что
серия дана как определенная посредством одно-однозначного отношения Я,
как, например, в *122, и в таких случаях Яро является сериальным отно-
шением в данном смысле. На основании приведенного выше предложения
Яро всегда транзитивно; на основании *96-421 Яро связно, когда сводится
к потомству данного терма, при условии Я е Cis el; на основании *96-23,
если Я е 1 —> Cis и хВЯ, то Яро содержится в различии на всем протяжении
потомства х. Поэтому, если Я является одно-однозначным, то Яро, ограни-
ченное некоторым семейством, которое имеет начало, будет сериальным
отношением.
* 201-17. F:P2gP. gePotT.D. QclP
Доказательство.
F.*34-34 .oF:.Hp. gP.d$ .5 | Pg Р (1)
5 gP
F . *91-171э
Principia Mathematica II
*201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
523
l-:.eePot‘P:5GP.35 ,S I Pg Р: Pg Р: =>. Qg Р (2)
Ь. (1). (2). *23-42 . э h. Prop
*201-18. Ь: Р2 g Р. э. Рро = Р. Р* = Р UIГ С'Р
Доказательство.
Ь. *201-17 . *41-151 . (*91-05). э Ь: Нр. э . Р^ g Р (1)
F. (1). *91-502 . э F : Нр . э . Рро = Р (2)
F . (2). *91-54 . э F. Prop
Это предложение является важным, поскольку оно упрощает все пред-
ложения, касающиеся Р^ и Р*, в случае, когда Р транзитивно. Следующее
предложение представляет собой пример этого упрощения.
*201-19. F : Ре trans . э . Р(х-у) = [*201-18 . (*121-01)]
Следующие предложения (*201-2—22) касаются доказательства того,
что преобразования сходства не оказывают влияния на транзитивность, и
поэтому транзитивность присуща каждому элементу реляционного числа
либо не присуща ни одному элементу.
*201-2. F:5eCls^l .a‘ecQ‘5 .э.(5 5 02=5 ?е2
Доказательство.
F. *150-1 . 'Q)2 = S I2|S |5 |g|5 (1)
Н. *72-601. эЬ:Нр.э.2|5|5 = 2 (2)
Ь. (1). (2). э I-: Нр. э . (5 5 02 =S | G2 15 : эЬ . Prop
*201-201. HS e Cis-* 1 .D‘Cca‘5 .=>.($ >Q)2 = S > Q2
[Доказательство аналогично *201-2]
*201-21. F : S eCis 1. Qe trans. э . 5 ; Qe trans
Доказательство.
F . *150-36 . *35-452 . э F . S ? Q = S ’ Q [ Q‘5 (1)
F . (1). *201-2 . э F: Hp . э . (S ? Q)2 = S 5 (Q £ Q‘5)2 .
[*150-31 . *201-1] э . (S 5 Q)2 g S 5 Q : э F . Prop
*201-211. F : Petrans. (2 smor P. э . Qetrans [*201-21 . *151-1]
Это предложение показывает, что транзитивность является свойством,
которое не изменяется преобразованиями сходства. Следовательно,
*201-212. F : Ре trans. э . Nr‘P с trans [*201-211]
*201-22. F : Р е trans. = . Nor‘P с trans . = . 3! Nor‘P A trans
[Доказательство аналогично *200-22]
Доказательство.
F. *34-32. dF.A2 = A (1)
F . (1). *23-42 . d F . A2 g Л . э F . Prop
*201-31. F.xiye trans
Доказательство.
F . *55-13 . э F : z(x J,y)2w. = . (gu) .z = x.u = y.u = x.w = y.
[*10-35] э . z = x. w = у.
[*55-13] э . z(x\,y) w: э F . Prop
Если неверно x = y, то (xj,y)2 = A. Отношение, чей квадрат есть А, яв-
ляется транзитивным, поскольку А содержится в каждом отношении.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
524
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
* 201-32. F . а Т Р е trans
Доказательство.
F . *35-103 . э F : х(а f (3)2z. = . (ау) .xEa.yEp.yEa.zep.
[*10-35] э . хе a . zeP .
[*35-103] э . х (a J, Р) z: э I-. Prop
* 201-33. F : P e trans. э . P [ a e trans
Доказательство.
F . *36-13 . э F : x (P [ a)2z. = . (gy). x, у, z e a. xPy. yPz (1)
F . (1). э F :. Hp. э : x (P C a)2z. э . (ау). x, у, z e a . xPz.
[*10-35 . *36-13] э . x(P [a)z:. dF . Prop
Следующие предложения (*201-4—42) касаются понятий арифметики от-
ношений.
* 201-4. F : Р, Q е trans. С'Р A C'Q = А
Доказательство.
F. *160-51 .DF:Hp.D.(P^e)2 = P2ue2UD‘PTC‘GUC‘PTCI‘e (1)
F. *201-1. DF:Hp.D.P2GP.Q2Ge (2)
F . *35-432-82 . э F . D‘P T C'Q g C'P T C'Q. C'P T Q‘Q g C'P T C'Q (3)
F . (1). (2). (3). э F : Hp . э . (P^ 02 g P U 2 U C‘P f C‘2: э F . Prop
*201-401. F :. C'P A C'Q = A . э : P + Qetrans . = . P, Qetrans
Доказательство.
F . *160-51 . э
F :. Hp. э : P* Q e trans. = . P2 U Q2 U D‘P T C'Q U C'P T CTQ gPIQ.
[*160-1] = .P2UQ2gP*Q.
[*160-5] э . (P2 U Q2) [C'PgP. (P2 U Q2) [C'QgQ.
[*36-4 . *34-56] э. P2 G P. Q2 g Q (1)
F. (1). *201-4. dF. Prop
* 201-41. F :. x~ eC‘P . э: Petrans. = . P-н xetrans. = . хч-Ре trans
Доказательство.
F . *34-301 . э F : Hp. э . (C‘P| i‘x) | P = A.
[*161-1] □ . (P4>x)2 = P2 U (C'P T i‘x)2 U P | (C'P T l‘x)
[*35-881] = P2 U (C'P T i‘x)2 U (D'P T i‘x)
[*35-895] = P2 U (D'P T i‘x) (1)
F.(l). *201-1. э
F :. Hp . э : (P4* x) e trans . = . P2 U (D‘P f i‘x) G P U (C'P f t‘x).
[*35-432-82] = . P2 G P U (C'P T i‘x) (2)
F . *33-33 . *34-56 . *35-86 . э F : Hp. э. P2 A (C'P T i‘x) = A (3)
F . (2). (3). *25-49 . □ F :. Hp. d : P x e trans. = . P2 g P.
[*201-1] =.Pe trans (4)
Аналогично э F :. Hp . э : x 4- P e trans . = . P2 G P. (5)
F . (4). (5). э F . Prop
* 201-411. F : z/x. z/у. э . xj,y 4*zetrans [*201-41-31]
* 201-42. F : P e trans A Rel2 excl. C'P c trans. э . E‘P e trans
Доказательство.
F . *162-1 . э
F . (E‘P)2 = (s'C'P)2 U (F; P)2 U (s'C'P) \(F->P)\J(F ? P) | (s'C'P) (1)
F . *41-11 . э F : x(s'C'P)2z. = . (я£?,Р,у). Q,ReC'P. xQy .yRz.
Principia Mathematica II
*201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
525
[♦33-17] = . (ае. R,y) • Q, R е С'Р .xQy.yRz.^. C'Q Л C'R (2)
I-. (2). *163-11 . э
кHp. э : x(s‘C‘P)2z. . (&Q,R,y). Q,ReC'P. xQy. yRz .Q = R.
[*13195] ^.(sQy.QeC'P.x&z.
[♦201-1. Hp] э . (a 2) - 2 e C'P. xQz.
[*41-11] z>.x(s‘C‘P)z (3)
к. *201-21. *163-12 . э I-: Hp. э. (F ? P)2 G F 5 P (4)
к. *34-1. *41 11. *150-52 . э
}'.x(s'C'P)\(F'P)z-z> .(,rQ,R,S ,y). QeC'P. xQy .RPS .yeC'R.zeC'S (5)
к. (5). *163-11 . *13-195 . э
H.Hp.z>tx(s'C'P)\(FiP)z.:>.(aQ,S,y).Q€C'P.xQy.QPS .zeC'S .
[*33-17. *150-52] э. x (F 5 P) z (6)
Аналогично кHp. э: x(F5 P) | (s'C'P)z.d.x(F’ P)z (7)
к. (1). (3). (4). (6). (7). э
к: Hp. э. (S‘P)2 G i‘C‘PUF>P: эк. Prop
Следующие предложения (*201-5—56) касаются P“a и т.е. пред-
шественников некоторой части класса и предшественников всего класса.
*201-5. F : Petrans . э . ГГас Р“а [*37-33-201]
*201-501. F : Petrans. э . Р“"?‘хс"?‘х [*53-301 .*201-5]
*201-51. F : Petrans. э . Р“р‘^“аср‘"?“а
Доказательство.
F . *37-1 . *40-51 . э F :. хеР“р‘^“а . = : (gy): zea . dz .yPz: хРу:
[*5-31] э : zca. dz . xP2z (1)
F. (1). *201-1 . эк:. Hp . э :xeP“p‘^“a. э : zea . dz . xPz:
[*40-51] э :xe/?“a:. э F. Prop
*201-52. F : Petrans . э . P*“a = P“aU (a A C‘P) [*91-543 . *201-18]
*201-521. F : Petrans. xeC‘P. э ,'?*‘x='?‘xUi‘x [*201-52 . *53-301]
*201-53. F -.Petrans . э . Р*“Р“а = Р“а [*201-5-52 . *37-265]
*201-54. F -.Petrans. э . Р“(аUР“а) = Р“а [*201-51-52]
*201-55. F : Petrans . э . Р“(а U Р“а) = Р“а
Доказательство.
F . *201-5 . э F : Нр . э . Р“а = Р“а U ГГа
[*37-22] = Р“(а U Р“а): э F . Prop
Следующее предложение представляет собой лемму, которая использу-
ется в *205-192 и *206-24.
*201-56. F : Petrans . 0 с Р“а . э .
Р"(а U Р) = Р"а. р‘~Р"{(а U Р) Л С'Р] = р‘*Р“(а Л С'Р)
Доказательство.
к. *37-22. эк.Р“(аир) = Р“аиГР(1)
к. *37-2. э к: Нр. э. ГРс ГГа.
[*201-5] э.Р“РсР“а (2)
к. (1). (2). э к: Нр. э. Р“(а и Р) = Р“а (3)
к . *40-51 . *37-265 . э
к:: Нр. э :.гер‘^“(а Л С'Р). хер Л С'Р. z>:
у с а Л С'Р. z>y . yPz: (ay). у е а Л С'Р. хРу:
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
526
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
[*10-56] э: (gy). хРу. yPz:
[*34-5. Нр] э: xPz (4)
I-. (4). *40-51 . z> Н Нр. z>. р‘1>“(а О С'Р) с р'^“(0 О С'Р).
[*22-621] э . р‘*Р“(а Л С'Р) = р'^'Ча Л С'Р) Рр'^'ф Л С'Р)
[*40-18. *37-22] = р‘^“{(а U 0) Л С'Р} (5)
F . (3). (5). э F . Prop
Следующие предложения до конца параграфа касаются отношения Рь
определенного в *121. Мы могли бы расценивать Pi в смысле “непосред-
ственного предшествования”. Предложения *201-6-61-62 представляют со-
бой леммы для *201-63.
*201-6. F : Р е trans . ~ (хРх). ~ (уРу). хР\у .э.х(Р- Р2) у
Доказательство.
F . *121-32-242 . э F: Нр. э . Р (х н у) = i‘x U i‘y U Р (х - у)
[*201-19] = i‘xU t‘y U jF‘xCi"?‘y (1)
h . *121-321 . *201-18 . эННр.э.хРу (2)
F . (2). *13-14 . э1-:Нр.э.х/у (3)
F. (2). *54-53 . *121-11 . э F : Hp . э . ^‘x n"?‘y c i‘x U i‘y (4)
F . *32-18-181 . d F : Hp . э . x ~ e F‘x. у ~ e"?‘y (5)
F . (4). (5). э F : Hp . э . *P‘x n"?‘y = A .
[*34-11] э.~(хР2у) (6)
F . (2). (6). э F . Prop
*201-61. F : P 6 trans . э . P - P2 g P{
Доказательство.
F . *121-242 . *90-151 . э F : xPy. э . Р(хну) = i‘xU i‘y U P(x-y) (1)
F . (1). *201-19 . э F Hp . э : xPy. э . P(xHy) = i‘xU i‘y U (^‘xn"?‘y) (2)
F. *34-11. э F : ~ (xP2y). э . ^‘xn7*‘y = A (3)
F . *34-54 . э F : xPy. ~ (xP2y). э . x / у (4)
F . (2). (3). (4). э F Hp . э : xPy. ~ (xP2y). э . P (x H y) = i‘x U i‘y . x / у.
[*54-101] э.Р(хну)е2.
[*121-11] э . xPiyэ F . Prop
*201-62. F P e trans. ~ (xPx). ~ (уРу). э : xP^y. = . x (P - P2)у
[*201-6-61]
*201-63. F : P e trans A R1‘ J. э . Pi = P - P2 [*201-62]
Приведенное выше предложение обладает фундаментальной важностью.
Отношение Pi (определенное в *121) играет значительную роль в теории
серий. Это отношение “непосредственного предшествования”. Его область
состоит из тех термов, которые имеют непосредственных последователей;
его обратная область —из тех, которые имеют непосредственных предше-
ственников. Во вполне упорядоченных сериях D‘Pi =D‘P, в то время как
СГР1 состоит из всех термов (исключая первый), которые не принадлежат
первому деривату (ср. с *216). В любой серии СГР-СГР1 состоит из всех
термов, которые являются пределами восходящих серий, a D‘P-D‘Pi со-
стоит из всех термов, которые являются пределами нисходящих серий.
Principia Mathematica II
*201. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
527
*201-64. F Р е trans .э:Р-Р2 = Л. = .Р2 = Р
Доказательство.
F . *23-41 . э F Нр. э : Р2 = Р. = . Р g Р2 .
[*25-3] = .P-P2 = A:.dF. Prop
*201-65. h Petrans A R1‘J. э : Pj = Л. = . Р2 = Р [*201-64-63]
Когда Р есть серия, Р2 = Р является условием того, чтобы указанная се-
рия была компактной серией, т.е. серией, в которой имеются термы между
любыми двумя термами. В силу *201-65 это условие эквивалентно Pi =Л,
которое утверждает, что ни один терм не имеет непосредственного пред-
шественника.
Следующее предложение впервые используется в *253-521.
*201-66. F : Petrans . Е ! Р‘х. Р‘х/ х. э . (Р‘х) Р\х
Доказательство.
F. *201-521 .*121-11 .э
F Нр. э : (Р‘х) Р\х. = . (i‘P‘x U 1?‘Р‘х) П (t‘x и"?‘х) е 2 (1)
F . *53-31 . э F : Нр. э .
(ГР‘х А F‘P‘x) A (Гх и"?‘х) = (ГР‘х U F‘P‘x) A (Гх U i‘P‘x)
[*30-32. *22-68] = Гх U ГР‘х (2)
F . *54-26 . э F : Нр. э . (Гх U ГР‘х) e 2 (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*201-661. F Pe trans. СГРe 1. g! D‘P - СГР. э . СГР c CTPi
Доказательство.
F . *33-151-4 . *60-38 . э
F : Hp . у e D‘P - СГР. э . <P'y e 1. у ~ e *P'y. ^‘y = СГР.
[*53-3] э . E ! P'y. у ± f>‘y. ГР‘у = СГР.
[*201-66-11 . *121-26] э .yPi (£‘y). i‘P‘y = СГР: э F . Prop
Приведенное выше предложения является леммой для следующего.
*221-662. HP6trans.a!Tl‘P.a!a7’-a‘P1 .э.СГР~€1
[*201-661 . Transp]
Это предложение впервые используется в *253-521.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
528
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*202. Связные отношения
Краткое содержание *202.
Отношение называется связным, когда либо оно само, либо обратное
к нему отношение имеет место между любыми двумя элементами его по-
ля, т.е. когда, если х,уеС'Р. х/у, то мы имеем хРу. V .уРх. Поэтому поле
связного отношения состоит из одного единственного семейства, если отно-
шение не нулевое, в таком случае оно не имеет семейств. Обратно, отноше-
ние, которое имеет одно семейство или вообще не имеет семейств, является
связным. Связность необходима, вдобавок к транзитивности и асимметрич-
ности, для того, чтобы отношение могло производить одну единственную
серию. Если к есть класс транзитивных или асимметричных отношений,
то s‘X, транзитивен или асимметричен; однако если X есть класс связных
отношений, то s‘X не является, вообще говоря, связным. Следовательно,
если X есть класс серий, то является не одной серией, а множеством
несвязанных между собой серий81. Это одна из причин, по которой ариф-
метическая сумма отношения отношений определяется не как s'C'P, а как
5‘C‘PU F 5 Р (ср. с *162), поскольку последнее, но не первое, вообще го-
воря, является связным, когда Р и все элементы С'Р являются связны-
ми (*202-42).
Когда Р связно, если а есть некоторый класс, содержащийся в С'Р, то
мы имеем
С'Р = P“aUaU(C‘P А р'*Р"а),
и найдется самое большее один элемент а, не принадлежащий ни Р“а,
ни С‘РАр‘^“а. Этот элемент а, если он существует, представляет со-
бой максимум а. Если, кроме того, Р1 G J (т.е. Р асимметрично), то
(Р“а U а) А (С‘РА р‘А“а) = А. Поэтому когда Р и связно, и асимметрично,
то Р“а и С'Р С\ р6<Р'а являются дополнениями друг друга и оба вместе об-
разуют Дедекиндово сечение, определенное классом a, P“aUa представ-
ляет собой все термы, которые не следуют за всем а, а С'Р Г\ р'<Р"а пред-
ставляет собой все термы, которые следуют за всем а.
В более общем виде, если а есть некоторый класс, не обязательно со-
держащийся в С'Р, то, когда Р связно, мы имеем
С'Р - р'<Р"(а А С'Р) с Р“а и (а А С'Р),
а когда Р асимметрично, мы имеем
P“a U (а А С'Р) с С'Р - р'*Р"а .
Поэтому, когда оба условия выполняются, мы имеем (*202-503)
С'Р - р'*Р"(а А С'Р) = P“a U (а А С'Р).
Приведенные выше включения и последующее равенство будут часто
востребованы в дальнейшем изложении. Разделение С'Р на две взаимно
исключающих части
P“aU(aAC‘P) и С'Р А р‘^“(а А С'Р)
81 В оригинале — detached series. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
529
представляет собой Дедекиндово “сечение”, определенное классом а. Если
асе?, то указанные две части становятся, как упомянуто выше,
P“aUa и С'РПр‘^“а.
Если, кроме того, а не есть нуль, то они становятся
P“aUa и р‘?“а.
Если а содержится в С'Р и содержит всех своих собственных предшествен-
ников, то они становятся
а и С‘РПр'<Р"а.
В этой упрощенной форме Дедекиндово “сечение” будет рассмотрено позд-
нее (*211).
Мы принимаем в качестве нашего определения
connex = Р {х е С'Р. эх . Р'х = С‘Р} Df.
Некоторые предложения настоящего параграфа представляют собой
аналоги предложений из *200 и *201. Это такие предложения, как: Если
Р связно, то таково и Р (*202-11); если Р связно, то таково и любое подоб-
ное ему отношение (*202-211); Л и х|у связны (*202-3-31); если Р связно,
то таково и Р[а (*202-33); а также различные предложения, связанные
с арифметикой отношений (*202-4—42). Большая часть предложений этого
параграфа, однако, имеет дело со свойствами, обязанными исключительно
связности. Среди наиболее важных предложений следующие:
*202-101. F Реconnex. = : хе С'Р. эх .~P'xU i‘xU <Р'х = С'Р
* 202-103. F :: Р е connex. = х,у е С'Р. : хРу. V . х = у. V . уРх
Эти предложения представляют собой попросту альтернативные формы
определения.
* 202-13. I-: R* е connex. = . Ppo е connex
* 202-5. F Р е connex. Р2 G J. х, у е С'Р. э : х / у. ~ (хРу). = . уРх
* 202-501. F : Р е connex. э. С'Р - a - P“acp‘^“(anC‘P)
* 202-503. F : Реconnex. Р2 g J. э . C'P - p'<P"(a П C'P) = (a П C'P) U P“a
*202-505. F : Pe connex. z>. C'P = P“aU(aA C'P) U {C'P П p‘X“(a П C'P)}
*202-52. F : P e connex. d . ibP.lbPeOUl
* 202-524. F : P e connex. 3!
* 202-55. F : P C a e connex. a c C'P. a ~ e 1. э . C'P £ a = a
В силу этого (а также других) предложений, если Р есть серия и а есть
класс (не единичный), содержащийся в С'Р, то Р[а является производя-
щим отношением серии, состоящей из класса а в том порядке, который
он имел в серии Р.
* 202-7. F: Р е connex .э.Р-Р2 el—>1
Это предложение должно быть принято в связи с предложением
*201-63. Эти два предложения вместе показывают, что когда Р есть серия,
то Pi является одно-однозначным.
*202-01. connex = Р{хеС‘Р. эх . Р‘х = С‘Р} Df
«->
По поводу определения Р'х см. *97-01.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
530
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*202-1. I-Р е соппех. = : х е С'Р. эх . Р'х = С'Р [(*202-01)]
* 202-101. F Ресоппех. = : xeC'P. эх ."?‘хи i‘xU <Р'х = С'Р
[*202-1 .*97-1]
* 202-102. F : Ресоппех. = . P“C‘Pe0U 1 [*97-231 . *202-101]
* 202-103. F :: Р е соппех . = х, у е С'Р. эх>у : хРу. V . х = у. V . уРх
[*97-23 . *202-102]
* 202-104. F :: Ресоппех . = х,у еС'Р .х^у. эхо,: хРу . V .уРх
[*202-103 . *5-6]
* 202-11. F : Ресоппех. = . Ресоппех [*202-104 . *33-22]
*202-12. F g! Р. э : Ресоппех. = . Р"С'Ре 1 . = . Р"С'Р = СС'Р
Доказательство.
F . *202-1 . эF : Ресоппех. = . P"C'Pci'C'P (1)
F. *37-45. z>F:.Hp .d:3!P“C‘P:
[*54-102] d:P“C‘P~e0:
[*202-102] э : Ресоппех. э . P"C'Pe 1 (2)
1-. *202-102 . э F : P"C'Pe 1. э . Ресоппех (3)
F.(2).(3). э F Hp. э : Ресоппех. = . P"C'Pe 1 (4)
1-. (1). (4). *52-46 . d F Hp. э : Ресоппех. d . P"C'P = CC'P (5)
F. (1). *22-42 . э F : P"C'P = i'C'P . э . Ресоппех (6)
F. (4). (5). (6). э F . Prop
Следующие предложения, вплоть до *202-181 включительно (исключая
*202-16-161), касаются Р* и Рро. Часто случается так, что они являются
связными, когда Р таковым не является, например, если Р есть отношение
+С1 среди индуктивных кардиналов.
* 202-13. F : Р* е соппех. = . Рро е соппех
Доказательство.
F . *202-104 . э
F :: Р* е соппех. = х, у е C'R* . х / у. z>XJ : хР* у . V . у R* х:
[*91-542] н х,уеС‘Р* . х/у. dx>j : хРроу. V .уРро х
[*91-14 . *91-504] = :. х,у еC'R^ .х^у. dxj : хРроу. V .уРро х
[*202-104] = Рро е соппех :: э F . Prop
* 202-131. F : Р е соппех. С'Р -C'Q.P^Q.^.Qe соппех [*202-103]
* 202-132. F : Р е соппех. э . Рро, Р* 6 соппех
[*202-131 . *90-14-151 . *91-502-504]
* 202-133. F :: Z Г С'Р сР.э:, Ресоппех. = : xeC'P. эх . С'Р =?‘xU ^‘х
Доказательство.
F . *35-101 . э F Нр. э: xeC'P. э . i‘xc^‘x (1)
F. (1). *202-101 . dF. Prop
* 202-134. F I fC'PcP . э :: Ресоппех. = x,y eC‘P. эх>у : xPy. V .yPx
[*202-103]
Principia Mathematica II
*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
531
* 202-135. I-: Р е соппех. = . Р UI f С'Р е соппех
Доказательство.
I-. *202-134 . э F :: Р U / Г С Ре соппех. =
х,уеС‘Р.э^:х(Ри/ fC‘P)y. V .y(P(JI \ С'Р)х:.
[*202-103] = Ресоппех:: э F. Prop
* 202-136. F Р* есоппех. = : хе С'Р. . С'Р =^*‘xU И‘х
[*202-133 . *90-14-15]
* 202-137. F :: Р* е соппех. = х, у е С'Р. : х Р* у. V . у Р* х
[*202-134 . *90-15]
* 202-138. F Ре trans. э : Ре соппех. = . Р* есоппех [*202-13 . *201-18]
* 202-14. F : R е Cis -> 1. э . Рро t ?Г* 'х е соппех [*96-303 . *202-104]
* 202-141. F : Р е 1 -» Cis . э . Рро £/?* ‘х е соппех [*202-14 . *202-11]
Р
* 202-15. F : Р е 1 —> 1. э . Рро £ Р* ‘х е соппех
Доказательство.
F . *97-13 . dF :.у,zeP*‘x. :y,ze~ft*'x. V .у,ze?T*‘x. V .
уе~Й*'х .zefr*'x .V .ye<R*'x .zе 7?*'х (1)
F . *202-141-104 . э F :: Нр. э у, z е7?* 'х. у / z • э : у Рро х. V . хРро у (2)
F . *202-14-104 . э F :: Нр. э :.у,ze^*‘х.у /z. э :уРро х. V . хРроУ (3)
F . *90-17 . э F : у е7?* ‘x.zeJT*‘x.y^z.D.yP*z.y/z.
[*91-542] э-yPpoZ (4)
Аналогично F : у е ?Г* ‘х, z е/?* 'х. у # z • э . zPpo У (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э
F :: Нр. э :. у, z е Р* ‘х. у / z. : у Рро z. V . z Рро у (6)
F . (6). *202-104 . э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в ординальной теории ко-
нечного и бесконечного (*260-4).
* 202-16. F : Ресоппех. х,у еС'Р. ~ (хРх). ~ (уРу) .^'х-~Р'у. э . х = у
Доказательство.
F . *32-18-181 . э F : Нр. z>. ~ (хРу). ~ (уРх).
[*202-103] э . х = у: э F . Prop
*202161. F: Ресоппех П R1V. э .7* \С‘Ре1-> 1.7* ГС‘Ре(?5Р) smofP
Доказательство.
F . *202-16 . э F Нр . э : х,уеС'Р .~?'х=~?'у. э . х-у (1)
F . (1). *71-55 . *151-24 . э F . Prop
*202162. HPeconnex.PpoG J.d.P нЧ’РвтогР.Р t|4 ГС‘Ре1-И
Доказательство.
F. *36-13 .z>H.P t4‘x = P = :
uPv. и, vе^*‘х. 5И>„. uPv .u,vel**‘y (1)
I-. (1). *11-1 . *90-12 . э
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
532
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
I-х, у е С'Р. Р [Т** ‘х = Р 'у. э : хРу .уР*х. = . хРу .хР*у.
уРх .у Р* х. = . уРх .хР* у:
[*90-151 . *91-52] э : хРу. э . х Рро х: уРх .^.уР^у (2)
F . (2). э I-: Нр. х,у еС'Р. Р [ А‘х = Р [ . э. ~ (хРу). ~ (уРх).
[*202-103] э . х = у: э F . Prop
* 202-17. F : Ppo е connex. у e P (x H z). э . P (x н у) U P (у H z) = P (x H z)
Доказательство.
F . *201-14-15 . *121-103 • d
F : Hp . □. Р(хну) c P(xF-rz). P(у Hz) с P(xHz) (1)
F . *202-13-137 . *121-103 . э
F Hp . w e P (x H z). э : w P* у. V . у P* w: x P* w. w P* z:
[*121-103] □: weP(xHy) U P(y Hz) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 202-171. F : Ppo e connex. у e P (x H z). э .
P (x -I z) = P (x -I y) U P (y -I z). P (x f- z) = P (x f- y) U P (у f- z)
[Доказательство аналогично *202-17]
* 202-172. F : Ppo e connex. у e P (x - z). э .
p (x - y) = P (x -I y) U P (y - z) = P (x - y) U P (y H z)
[Доказательство аналогично *202-17]
* 20218. F: Ppo e connex. E ! B'P. z>. C'P = X‘B'P
Доказательство.
I-. *202 1. э I-: Hp. z> . C'P = Ppo'B'P
[*97-2 . *91-504] = X 'B'P: э F. Prop
*202-181. F: Ppo e connex. E ! B'P. E ! B'P. э . C'P = P (B'P H B‘f>)
Доказательство.
F. *202-18 . z> F: Hp. э . C'P = X‘B'P ПX'B'P
[*121-103] = P(B‘PhB‘P):oF .Prop
Приведенное выше предложение используется в ординальной теории ко-
нечного и бесконечного (*261-2).
Следующее предложение представляет собой лемму для предложения
*202-211, которое показывает, что если отношение связно, то таковы же и
все подобные ему отношения.
*202-21. F : Р е connex. 5 е 1 -> Cis. э . S »Р е connex
Доказательство.
F . *150-202 . э F :: Нр . э х,у eC'S > Р. х^у. э : х,у “С‘Р. х/у:
[*71-4 . *30-37] э : (gz, w). z, w e C‘P .x = 5‘z.y = 5‘w.z/w:
[*202-104] э : (gz, w). x = 5 ‘z. у = 5 ‘wzPw. V . wPz:
[*150-4] э : x (S 5 P) у. V . у (S 5 P) x (1)
F.(l). *202-104. dF. Prop
Доказательства трех следующих предложений проводятся подобно до-
казательствам аналогичных предложений в *200 и *201.
* 200-211. F : Р е connex. Q smor Р. э . Q е connex
* 200-212. F : Р е connex. э . Nr‘Р с connex
* 200-22. F : Р е connex. = . Nor‘P с connex. = . g! Nor‘P П connex
Principia Mathematica II
*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
533
* 202*3. F . Л е соппех
Доказательство.
F . *37-29 . э I-: Р = Л. э . ГёР= Л.
[*202-102] э . Р е соппех: э F. Prop
* 202-31. F . х J, уе соппех
Доказательство.
F . *55-15 . э F :. z, w e C‘(x J, у) . э :
z, w e i‘x. V . z, w e i‘y. V . z g l‘x . w e i‘y. V . z g i‘z. w e i‘x:
[*51-15 . *13-172] z>:z = w.V.z = x.w = y.V.z = y- w = x:
[*55-15] э: z = w. V . z (x J, y) w. V . w (x J, y) z (1)
F . (1). *202-103 . э F. Prop
*202-33. F: P e соппех. э. P [ a e соппех
Доказательство.
F . *37-41 . э F : x, у e C‘P £а.э.х,уеа.х,уе C‘P (1)
F.(l). *202-103. э
F :: Hp . э :. x,у e C‘P £ a. э : x,у e a: xPy. V . x = у. V . уРх:
[*36-13] D : x(P [a)y. V . x = y. V .у (P £а)х (2)
F. (2) .*202-103 .dF. Prop
Следующие предложения (*202-4—42) касаются применений арифмети-
ки отношений.
*202-4. F : Р, Q е соппех .э.Р+Qe соппех
Доказательство.
F . *160-14 . э F :. х,у е С‘(Р* О) • = •
х,уеС'Р. V . х, у eC'Q. v .xeC'P.yeC'Q. V . xeC'Q .у eC'P (1)
F . *202-103 . э F :: Hp . э :. x,у eC'P. э : xPy . V.x = y. V .yPx:
[*160-1] э:х(Р*0у. V.x = y. V.y(P*0x (2)
Аналогично F :: Hp . d :. x,у e C'Q. d : x (P4- Q) у. V . x = у. V . у (P4 Q) x (3)
F.*160-1 . *35-103 . э F : xgC‘P .у gC‘6 . э . x(P4 0y (4)
F . *160-1 . *35-103 . э F : x e C'Q. у e C'P. э . у (P4 Q) x (5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э
F :: Hp . э :. x,y eC‘(P4 Q). э : x(P^Q)y. V . x = y. V . у (P^Q)x (6)
F. (6) .*202-103 .oF. Prop
Приведенное выше предложение иллюстрирует доводы в пользу опре-
деления P3-Q так, как это было сделано в *160. Когда Р и Q связны,
то PU б не является, вообще говоря, связным: необходим дополнительный
терм С'Р Т C'Q, который гарантирует связность.
*202-401. F :. С'Р П C'Q = Л. э : Р + Qeсоппех. = . Р, ресоппех
Доказательство.
F . *202-33 . э F : Р4 Q е соппех. э . (Р 4 Q) [ С'Р, (Р 4 Q) £ C'Q е соппех (1)
F . (1). *160-5 . э F :. Нр. э : Р+ Qeсоппех. э . Р, Qесоппех (2)
F . (2). *202-4 . э F . Prop
*202-41. F : Ресоппех. э . Рzесоппех Ресоппех
Доказательство.
F . *161-14-2 . э F :. x,yeC'(P-hz) .х/у.э: х,уе(С'Р U i‘z). х/у:
[*51-236] э : х,у eC'P. х^у. V . xeC'P .у = z. V .уеС'Р. x = z (1)
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
534
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
F. (1). *202-104 . D
F :: Р е connex. эх,у е С'{Р -н z). х / у. э :
хРу. V . уРх. V . х е С'Р .y = z>V . у е С'Р. х = z:
[*161-11] o:x(P-Hz)y. V.(P-hz)x:.
[*202-104] э :. Р-н zeconnex (2)
Аналогично F : P e connex. э . z *н P e connex (3)
F. (2). (3). dF. Prop
* 202-411. F.xjy-Hze connex [*202-41-31]
* 202-412. F :. z ~ e C'P. э : P e connex. = . P -H z econnex. = . z P e connex
Доказательство.
F . *161-16 . э F Hp . э : P = (P-H z) [ C'P:
[*202-33] э : P -H z e connex. □. Pe connex (1)
Аналогично F Hp. э . z P e connex. э. Pe connex (2)
F . (1). (2). *202-41 . э F. Prop
* 202-42. F : P e connex. C'P c connex. э. E‘P e connex
Доказательство.
F . *162-22 . z> F : x,y eC‘E‘P. = . (gg,P). 2,PeC‘P. xeС‘2.у e C‘P (1)
F . (1). *202-103 . э
F :: Pe connex. э x, у e C‘E‘P. э :
(&Q,R)-.QPR. V . Q = R. Q,ReC'P . V .RPQ-.xECQ.yECR (2)
F . *162-13 . э F:. QPR. V . RPQ : xeC'Q .yeC'R-.zz :
x(E‘P)y.v.y(E‘P)x (3)
F. *13-195. DF:(aG,P).G = P.G,PeC‘P.xeC‘G.yeC‘P.D.
(aC).GeC‘P.x,yeC‘e (4)
I-. *202-103 . э F :: C‘Paconnex. э (gg). QeC‘P. x,yeC‘Q. э:
(l3.Q):QeC‘P:xQy.v .x = y.v .yQx-.
[*162-13] z>:x(S‘P)y.v .x = y.v .y(£‘P)x (5)
F.(4).(5).o
F :: C'P c connex. э (аб,Р). Q -R • Q,Re C'P .xeC'Q .yeC'R . э :
x (E‘P) у. V . x = у. V . у (E‘P) x (6)
F . (2). (3). (6). d F :: Hp . э :.
x, у e С'Ъ'Р. э : x (E‘P)у . V . x = у. V . у (E‘P) x (7)
F . (7). *202-103 . э F. Prop
*202-5. F P e connex. P1 G J. x, у e C'P. э : x / у . ~ (xPy). = . yPx
Доказательство.
F.*50-43. dF:.P2g У.э:уРх.э.~(хРу) (1)
F.*20p-36. dF:.P2g/.э:уРх.э.х/у (2)
F . *202-104 . э F :. Peconnex. x,у eC'P. э : x /у. ~ (хРу). э . yPx (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
Следующие предложения (*202-501—51) касаются отношений Р"а и
р'<Р"(аС\С'Р). Они являются важными, и предложения *202-501-503-505 бу-
дут часто использоваться.
Principia Mathematica II
*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
535
*202-501. F : Ресоппех. э . С'Р- а - Р“а ср‘^“(а П С'Р)
Доказательство.
I-. *13-14 . *37-1 . э F -..уеС'Р -а - Р"а. хе а . э . х/у. ~ (уРх) (1)
F . (1). *202-103 . э F Нр . э : у еС'Р- а - Р"а. хе а П С'Р. э . хРу:
[*40-53] э : у е С'Р - а - Р"а. э . у е р'<Р"(а П С'Р)э F . Prop
*202-502. F: Р е соппех. Р2 g J. g! а П С'Р. э. ёР- а - Р“а = р‘^“(а П С'Р)
Доказательство.
F. *40-62 . dF : Нр .э . р'4р"(аПС'Р)аС'Р (1)
F . *200-5 . э F : Нр . э . р'<Р"(а П С'Р) с - а (2)
F . *200-53 . э F : Нр . э . р'<Р"(а П С'Р) с - Р“а (3)
F . (1). (2). (3). *202-501 . э F. Prop
*202-503. F : Р е соппех. Р2 g J. э . С'Р - р‘<Р' ‘(а А С'Р) = (а А С'Р) U Р“а
Доказательство.
F . *202-501. *24-43 . э I-: Нр. э . С'Р - р'*Р' ‘(а А С'Р) caUP“a (1)
F. (1) .*22-43 . z> F: Нр. э. С‘Р-р‘^“(а А С‘Р) с (а и Р“а) А С‘Р
[*22-68 . *37-15] с(аПС?)иР“а (2)
F. *200-5-36. эННр.э. а ПС'Р с - р'*Р"(аЪС'Р) (3)
F. *200-53. э F: Нр. э . Р"а с -р‘^“(аП С'Р) (4)
I-. *22-43 . *37-15 . z> F. а А С‘Рс С‘Р.Р“асёР(5)
F. (3) .(4). (5). э F: Нр. э. (а А С‘Р) U Р“а с ёР- р‘7*“(а А С‘Р) (6)
F . (2). (6). э F . Prop
*202-504. F : Р е соппех . Р2 G J. э . С ‘Р А р‘<Р"(а А С'Р) = С'Р -а-Р“а
Доказательство.
F. *200-5-36. э I-: Нр. э. р'*Р “(а А С'Р) с - а (1)
F. *200-53. э I-: Нр. э . р‘*Р"(а А С'Р) с - Р“а (2)
I-. (1). (2). *22-48 . э I-: Нр. э . С'Р А р'*Р"(а А С'Р) аС'Р-а- Р"а (3)
F. (3). *202-501. э F. Prop
*202-505. F : Ресоппех. э. С'Р = Р“а U (а А С'Р) U {ёРАр'*Р"(а А С'Р)}
Доказательство.
F. *200-501 . э F: Нр. э. С'Р - а - Р“а с р'*Р"(а А С'Р).
[*24-43] э . С'Р с а U Р“а U {р'*Р"(а А С'Р)}.
[*22-621. *37-15] э. С'Р = (а А С'Р) U Р“а U {С'Р А р‘*Р“(а А С'Р)}: э F. Prop
*202-51. F : Р е соппех. а с СР. g! а. э .
С'Р = Р“аи а U р‘^“а = ^“аиаи р'~^"а
Доказательство.
F. *40-62. э F: Нр. э . р‘^“а с С'Р (1)
F. *22-621. э F: Нр. э . a= а А ёР(2)
F . (1). (2). *202-505 . э F: Нр. э . С'Р = Р“а U а и р'*Р"а (3)
F . (3) . *202-11. э F: Нр. э. ёР= Р“а U а U р‘^“а (4)
F . (3). (4). э F . Prop
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
536
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Следующие предложения (*202-511—524) касаются 11‘Р. Предложение
*202-52 показывает, что если Ресоппех, то Р не может иметь больше од-
ного первого терма или более одного последнего терма, а *202-523 пока-
зывает, что это все еще имеет место, только если Р* связно. Предложение
*202-511 показывает, что если Р является связным отношением, которое
имеет первый терм, если а есть некоторый класс, то найдутся предше-
ственники всего а А ёРтогда и только тогда, когда ‘Рявляется таким
предшественником и тогда и только тогда, когда В‘Р~еа. Предложение
*202-524 показывает, что если Р связно и обладает первым термом, то Q‘P
состоит из последователей этого первого терма. Эти предложения интен-
сивно используются.
*202-511. F Р есоппех. Е ! В‘Р. э:
3! р‘“?“(аП С'Р) . = .В‘Р~еа. = .В‘Рер‘^“(аП С'Р)
Доказательство.
I-. *202-104 . *93-1. э I-Нр. В'Р ~ е а. э: хе (а П С'Р). эх. (В'Р) Рх:
[*40-51] ^•.В'Рер'-р'ЧаПС'Р)-. (1)
[*10-24] э:д!рФ“(аПС‘Р) (2)
F. *93-1 . э I-: Нр. В'Реа. э. (х). ~ {хР(В'Р)). В'РеаПС'Р.
[*40-51] э./7*“(аПС‘Р) = Л. (3)
[*24-105] э:В‘Р~ер‘"?“(аПС‘Р) (4)
F. (2). (3). эFНр. э: В‘Р~еа. s . д!р'?“(аГ>С'Р) (5)
F. (1). (4). э FНр. э: В'Р ~ еа. =. В'Рер‘"?“(а П С'Р) (6)
I-. (5). (6). э I-. Prop
*202*52. F * Р е соппех • о • 7l‘P,7^‘PeOU 1
Доказательство.
I-. *93-103 . э F: х,у е^‘Р. э . х,у еС‘Р. х~ eQ‘P. у ~ еСГР.
[*33-14] э.х,уеС‘Р.~(хРу).~(уРх) (1)
F. (1). *202-103 . э F Нр . э : х,у е"Й‘Р. э . х = у:
[*52-4] z>:7}‘PeOUl (2)
F. (2). *202-11. э F : Нр. э .Tb/’eOu 1 (3)
F . (2). (3). э F. Prop
*202-521. I-: Р*есоппех.э.^'Рср'^^'С'Р
Доказательство.
F . *202-13-103 . э
F :: Нр . э xell‘P .у еёР. э : хР^у. V . х = у. V .у Рро х (1)
F. *91-504 . dF :хе"Й‘Р. э . ~(уРроХ) (2)
F. (1). (2). oF :: Нр. э хе~§‘Р .уеС'Р .э:хРроу.У.х = у:
[*91-54] э : х Р* у:: э F . Prop
*202-522. F.’5‘P=‘^‘Ppo [*91-504]
*202-523. F: Р* есоппех. э ."З'РеОи 1 [*202-13-52-522]
Principia Mathematica II
*202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
537
*202-524. I-: Р е connex. g! /1‘Р. э. (ГР = ^‘В‘Р
Доказательство.
I- . *202-52 . э I-Нр. э : Е ! В'Р:
[*202-104 . *93-103] э : хе П‘Р. э . (В‘Р) Px (1)
F. (1). *33-151 . э F. Prop
Следующие предложения (*202-53—55) касаются отношений с ограни-
ченными полями. Такие отношения постоянно используются в теории
серий.
*202-53. F : geconnex. Р2 g J. Q G Р. э . Q = Р [ C'Q
Доказательство.
F . *33-17 . *36-13 . э FНр. э: xQy. э. х (Р [ C'Q) у (1)
1-. *50-43 . э F :• Нр. э: хРу. э . ~ (уРх).
[*23-81] ~ (yQx). (2)
F. *200-36 . э 1-Нр. э : хРу. э . х / у (3)
I-. (2). (3). *202-104 . э F Нр. э : х,уеС‘2 • хРу. э . xQy:
[*36-13] э:х(Р [С‘б)у.э.хбу (4)
F . (1). (4). э F. Prop
Это предложение является важным в теории серий. Если Р и Q являют-
ся сериальными отношениями, и Q G Р, то они верифицируют приведенную
выше гипотезу; следовательно, если Q есть серия, содержащаяся в данной
серии Р, то Q есть просто Р с ограниченным полем. Поэтому серии, со-
держащиеся в данной серии, полностью детерминированы своими полями.
*202-54. F : Р [ а е connex. а П С'Р ~ е 1. э . С'Р £ а = а П С'Р
Доказательство.
F . *52-181 . э
F :: Нр . э х е а П С'Р. эх : (gy). у е а П С'Р . у / х:
[*202-104] эх : (gy): у е а П С'Р: хРу. V . уРх:
[*3613] Эх: (gy): х(Р [ а)у. V . у (Р [ а) х:
[*33-132] эх:хеС‘Р[а (1)
F . *37-41-15-16 . э F. С‘Р С а с а П С'Р (2)
I- . (1). (2). э I-. Prop
Приведенное выше предложение часто используется. Предложение
*202-55, которое является непосредственным следствием *202-54, использу-
ется постоянно.
Следующее предложение используется в *232-14.
*202-541. F: Р е trans П connex. а П С'Р ~ е 1. э . (Р [ а)* = Р* [ а
Доказательство.
F . *201-18-33 . э F : Нр. э . (Р t a)* = Р t a U(ёР[ а)
[*202-54] = Р t a UIГ (С‘Р П а)
[*201-18 . *36-23 . *50-5] = Р* f а
*202-55. F : Р t а е connex. а с С'Р. а ~ е 1. э . С'Р £ а = а [*202-54]
*202-56. F : Peconnex. Pg J. хеС‘ Р. 0 с С‘Р. ГРс"?‘х. э. р с"?1* U l‘x
Доказательство.
F . *37-1 . э F: Р“Рс^?‘х.у ер. хРу. э . хРх (1)
F . (1). Transp. d F : Нр . у е Р . о . ~ (хРу) (2)
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
538
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
I-. (2). *32-18 . э F: Нр .уеР -1^‘х. z>. ~ (хРу). ~ (уРх).
[*201-103] э . у = х: э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в *212-652.
*202-6. F :: Р е соппех. Р G. J. э х, у е С'Р. х / у. = : хРу. V . уРх
Доказательство.
I- . *202-104 . э F :: Нр . э х,у еС'Р. х/у. э : хРу. V .уРх (1)
F . *50-11 . *33-17 . э F :: Нр . эхРу. V .уРх: э . х,у еС‘Р. х / у (2)
F. (1). (2). э F . Prop
Следующее предложение является леммой для *202-62, которое само
в свою очередь является леммой для *204-52.
* 202-61. F :: Р е соппех . Pg J: ф(х,у). =х<у . ф (у, х): э
хРу. z>XJ . ф (х,у): в : х,у еС'Р. х/у. эх>у . ф (х,у)
Доказательство.
F . *202-6 . э F Нр . э :: х,у eC'P .х^у. dxj . ф (х,у): =
хРу . V . уРх : эх,у . ф (х,у)
|*4-77] г хРу. эх>> . ф (х,у): уРх. эх>),. ф (х,у)
[*4-85 . Нр] вхРу. эх,у . ф (х,у): уРх. эх,у . ф (у, х)
[*4-24] в хРу. эХ1У. ф (х,у)э F. Prop
* 202-611. F:.P е соппех .PgJ.R = R.z>: Р g R. = . J [ С'Р G R
[*202-61 -^Ц]
Ф(х,У)
* 202-62. F Ресоппех. Р G J . э . РеRel2 excl. = . F» Pg J
Доказательство.
F . *202-61 . *163-1 . э F :: Hp . э
PeRel2 excl. = : QPR . . C'Q=
[*24-37] = : QPR .xeC'Q. ye C'R. -x^y:
[*150-52] = . x (F»P) у. эх>у . x / у:: э F . Prop
Три следующих предложения (*202-7—72) касаются Р-Р2. Из них пред-
ложение *202-7 является важным: оно показывает, что если Р связно, то
ни один терм не может иметь более одного непосредственного предшествен-
ника или последователя. Предложение *202-72 используется в *204-71, ко-
торое является важным.
* 202-7. F : Р е соппех .э.Р-Р2 el—>1
Доказательство.
F . *34-5 . Transp . э F : zPx. ~ (уР2х). э. ~ (yPz) (1)
Аналогично э F : уРх. ~ (zP2x). э. ~ (zPy) (2)
F.(l).(2).3F:y(P-P2)x.z(P-P2)x.z>.~(yPz).~(zPy) (3)
F. (3). *202-103 . z>F:.Hp.z>:y(P-P2)x.z(P-P2)x.o.y = z (4)
Аналогично э FНр. э: х(Р - Р2)у. х(Р- P2)z • э .у = z (5)
F . (4). (5). э F . Prop
*202-71. F : Р е соппех. х (Р - Р2) у. э . 'у = 7^* ‘х
Доказательство.
F . *91-52 . э F : Нр . э .^*‘хс^ро‘у (1)
F . *91-57 . э F z Рро У • э : zPy. V . z Рро I Ру:
[*25-41] D:z(P-P2)y.V.z(P-P2)y.V.z(Ppo|P)y:
Principia Mathematica II
.202. СВЯЗНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
539
[*91-502] z>:z(P-P2)y.V.z(Ppo|P)y (2)
I-.*202-7. z>F:Hp.z(P-P2)y.o.z = x 1-. (2). (3). э 1-: Hp. z Ppo У • z / x. э. z (Ppo 1P) У • (3)
[*34-1] z>. (g w). z Ppo w. wPy (4)
F . *34-5 . э F : wPy. xPw. э. xP2y F . (5). Transp. э F :. Hp. wPy. э: ~ (xPw): (5)
[*202-103] z>: wPx. V . w = x F. (4). (6). э F :. Hp. z Ppo У • Z / x. э: z Ppo x. V . (gw). z Ppo w. wPx: (6)
[*91-511] э:гРро^ (7)
F. (7). *91-54 . э F: Hp. э .~?po‘y c?*‘x F. (1). (8). э F. Prop (8)
♦202-72. F : Р е trans О connex. х (Р - Р2) у. э.‘у ‘х U i‘x
[*202-71 .*201-18-521]
*202-8. F: Q е connex .SeP smor Q. C‘(? Ci P ~ el. э .
S [Pe(P[S“P) smorg tp
Доказательство.
F. *71-29. z>F:Hp.z>.S Г pel -> 1
F . *35-64 . *151-11 . oF: Нр. э . G‘(S ГР) = С‘бпр
[*202-54] = C‘(Q [ р)
F.*150-37. э1-:Нр.э.(5 [Р);е = Р [5“Р
I-. (1). (2). (3). э F. Prop
*202-81. I-: Q е connex. S е Р smor Q. (Р [ S “Р) smor Q [ р
(1)
(2)
(3)
Доказательство.
F.*202-8. э F : Hp. С‘2 П P ~e 1. э. (P [S“P) smorQtP (1)
F . *36-13 . *33-17 . DF:C‘enp = i‘y.z>.e tpcyly (2)
F.*36-13. oF:.Hp(2).o:y(etP)y. = .yGy (3)
F . (2). (3). *55-341 . => F: Hp(2) .yQy. э. Q [p = y 1 у (4)
F . *35-64 . *151-11 . =>F:Hp.=>.a‘(5 [P) = C‘Gnp (5)
F.(4).(5). oF:Hp(4).D.Q‘(5 ГP) = C\Q [p) (6)
F . *71-29 . *150-37 . => F : Hp. э. S [ Pe 1 1. P [5“P = S (Q [ P) (7)
F . (6). (7). *151-1 . dF:HP(4).o.(P[5'“P) smorQFp (8)
F . (2). (3). *55-341 . э F : Hp(2). ~ (yQy). э. Q [ p = A. (9)
[(7). *150-42] d.P[S“P = A (Ю)
F . (9). (10). *153-101. э F : Hp(9). э. (P [ S “p) smor Q [ p (И)
F. (8). (11). *52-1 . DF:Hp.C‘enpel.=>.(P[S“p) smorGtP F . (1). (12). э F . Prop (12)
Приведенное выше предложение показывает, что если Q связно, и неко-
торый класс р выбирается из C‘Q, и Р подобно Q, то Q упорядочивает р
в порядке, подобном тому, в котором Р упорядочивает корреляты р.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
540
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*204. Элементарные свойства серий
Краткое содержание *204-
В этом параграфе мы даем определение и несколько простейших
свойств серий. Большинство предложений этого параграфа вытекают непо-
средственно из предложений параграфов *200, *201 и *202. Наше опреде-
ление представляет собой
Ser = R1‘ J П trans П соппех Df.
Мы имеем
*20416. I-: P e Ser. = . P e соппех . P2G/.P3Gj. = .Pe соппех .P?ogJ
каждое из которых могло бы быть принято в качестве определения.
После нескольких предложений, выражающих другие возможные фор-
мы определения серии, мы переходим к группе предложений, которые сле-
дуют непосредственно из предложений параграфов *200, *201 и *202. Это
такие предложения, как
*204*2. I-: PeSer . = . PeSer
*204*21. I-: Р е Ser . Р smor Q. э . Q e Ser
*204*24. HAeSer
*204*25. F : x / у . = . x 4 у e Ser
Другим важным предложением о парах является
*204*272. I-PeSer . э : D‘Pe 1. = . Ре2г. = . П‘Ре 1
так что парами являются только серии, имеющие единичные классы в ка-
честве своих областей или обратных областей.
Далее мы переходим к группе предложений о "?‘х. Мы имеем
*204*33. F PeSer . х,у еС‘Р. э : х/у .^‘у с^‘х. = .уРх
Кроме того, если Р е Ser, то 7^ f С'Р является одно-однозначным и
^5PsmorР (*204*34*35).
Далее мы имеем несколько предложений (*204*4—44) об отношениях
с ограниченными полями. Наиболее важными из них являются
*204*4. F : Р е Ser. э . Р [ а е Ser
*204*41. F : Р, QcSer. Q G Р. э . Q = Р [ C'Q
Это предложение является важным, поскольку оно показывает, что лю-
бая серия, содержащаяся в данной серии, полностью детерминирована, ко-
гда задано ее поле.
Далее мы имеем несколько предложений (*204*45—59), связанных с при-
менением арифметики отношений к сериям. Первая часть этих предложе-
ний (*204*45—483) касается доказательства того, что если “сечение” произ-
водится в серии, то серия является суммой двух частей, на которые сечение
делит ее, где сумма берется в смысле *160 или *161 в соответствии с тем,
состоит одна часть сечения из единственного терма или нет. Большинство
из этих предложений не требуют полной гипотезы о том, что Р есть серия,
а только часть этой гипотезы. Поэтому мы имеем, например
*204 46. F : Р е соппех. Е ! В'Р. Q‘P ~ е 1. э.
Р = В'Р ч- Р t G'P. Nr‘P = i + Nr‘(P t СГР)
с подобными предложениями для В'Р и D‘P (*204-461).
Principia Mathematica II
'204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИЙ
541
Затем мы доказываем, что если Р и Q являются взаимно исключающи-
ми сериями, то их сумма (Р^0 является серией, и наоборот (*204-5); что
если Р есть серия, к которой х не принадлежит, то Р+> х и х + Р являются
сериями, и наоборот (*204-51); что если Р есть серия взаимно исключаю-
щих серий, то ее сумма S‘P является серией (*204-52); что если Р, Q серии,
то Px Q тоже серия (*204-55); что если Р серия серий, то 1ГР содержится
в различии и транзитивно (*204-561), в то время как если Р является, кро-
ме того, вполне упорядоченным, т.е. таким, что каждый экзистенциональ-
ный подкласс ёРимеет первый терм, то ГГР есть серия (*204-57); и что
если Р и Q серии, и Q является вполне упорядоченной, то PQ и Р ехр Q
являются сериями (*204-59). Эти предложения являются существенными
для ординальной арифметики, однако на них не будет ссылок, пока мы
не достигнем указанной стадии (главы 4 и 5 этой части) в изложении.
Далее мы имеем набор предложений (*204-6—65) о р‘7*“а для различ-
ных значений а, и, наконец, три предложения о Р\. Два из них интенсивно
используются, а именно
*204-7. k:PeSer.D.Piel-> 1
* 204-71. F : PeSer . хР\у. э .~?'у ='?‘xUi‘i
* 204-01. Ser = RT J П trans П соппех Df
* 204-1. F : P e Ser. = . P G J. P2 G P. P e connex.
=. P e RT J. P б trans. P € connex [(*204-01)]
* 204-11. F PeSer. =: P G J. P1 G P: xeC'P . эх .~?'x U Cx U *P'x = C'P
[*204-1 .*202-101]
* 204-12. F :: P e Ser . = P G J. P2 G Px, у e C'P. z>XtJ :
xPy. v . x = у. V . уРх [*204-1 . *202-103]
* 204-121. I-:: P e Ser. = P G J. P2 G Px, у e C'P. x ± у. y :
xPy. V . yPx [*204-1 . *202-104]
* 204-13. F : P e Ser . э . P2 G J . P h P = A
Доказательство.
F . *204-1 . *23-44 . э I-: P e Ser. э . P2 g J. P e trans (1)
F. (1). *201-12 .oF. Prop
* 204-14. I-: P e Ser . = .РПР = А.Р2сР.Ре connex
[*204-1 . *50-47]
* 204-15. I-: P e connex. P2gJ.P3gJ.o.Pe trans
Доказательство.
F. *34-5 . :>F:P2g J.o:xPy.yPz.o.x/z (1)
I-. *50-41 . э F : P3 G J. э : xPy .yPz • э . ~ (zPx) (2)
F . (1). (2). э F Hp . э : xPy. yPz .x±z.~ (z,Px).
[*202-103] z> . xPzz> F . Prop
*204 151. F:P e connex. Ppo G J. э. P e trans
[*204-15 . *91-502-503-511]
*204-16. Ь : P e Ser. =. P e connex. P2G,J.P3G.J. = .Pe connex. Ppo G J
[*204-15-151 . *200-36 . *201-18]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
542
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Мы имеем также
I-: Р е Ser. =. Р е соппех. Р6 G J,
так как, поскольку Р6 = (Р2)3 = (Р3)2 (на основании *200-37), то
Р6 G J . Э . Р2 G J . Р3 G J.
Отношение такое, как xXyUyizUzix, где x/y.y/z.z/x, удовлетво-
ряет Р е соппех. Р2 G J, но не Р3 G J. С другой стороны,
удовлетворяет Р2 G J. Р3 G J, но не Ресоппех.
* 204-2. k : PESer . = . PeSer [*200-11 .*201-11 .*202-11]
* 204-21. I-: Р е Ser . Р smor Q. э . Q e Ser
[*200-211 . *201-211 . *202-211]
* 204-22. k : P e Ser . э . Nr‘P c Ser [*204-21 ]
* 204-23. I-: P e Ser. = . Nor‘P c Ser. = . 3! Nor‘P П Ser
[*200-22 . *201-22 . *202-22]
* 204-24. k : A e Ser [*200-3 . *201-3 . *202-3]
* 204-25. k:x/y. = .x|yE Ser [*200-31 .*201-31 .*202-31]
* 204-26. k:x/y.x/z.y/z.o.xjy-hzE Ser
[*200-31-41 . *201-411 . *202-411]
Три следующих предложения имеют дело с парами. Пары часто требу-
ют особой трактовки из-за того факта, что если Р есть пара, то Р [ D‘P = А,
так что С‘(Р [ D‘P) / D‘P, хотя в любом другом случае, если Р серия, то
C‘(P[D‘P) = D‘P. Поэтому следующие предложения часто требуются.
* 204-27. k : Р е Ser . хРу . D ‘Р = i‘x. э . Р = х J, у
Доказательство.
к . *33-14 . э к : Нр . zPw. э . z = x (1)
к . (1). *50-24 .эк: Нр . zPw . э . w / х.
[(1). Transp р^] э . ~ (wPy) (2)
к . (1). Transp . *50-24 .эк: Нр . э . ~ (yPw) (3)
к . (2). (3). *204-12 . эк: Нр. zPw .z>.y = w (4)
к . (1). (4). э к :. Нр . э : zPw .z>.z = x.y = w (5)
к . (5). *55-34 .эк. Prop
* 204-271. k:PESer.D‘PEl .э.Ре2г
Доказательство.
к . *204-27 .эк: Нр . э . (дх,у). Р = х\,у .
[*204-25] э . (gx, у).х^у.Р = х|у.
[*56-11] э . Ре2г : э к . Prop
*204-272. к :. PESer . э : D‘Pe 1. = . Ре2г . = . СГРе 1
[*204-271-2 . *56-111]
*204-3. к :. Р е Ser . х, у е С‘Р. э : х / у. ~ (уРх). = . хРу
[*202-5 . *204-13]
Principia Mathematica II
204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИЙ
543
*204*32. I-Р е. Ser. х, у € С'Р с7*‘х. = . у €~Р'х U i‘x
Доказательство.
I-. *204*1 . э h Нр . э : уРх. zPy. э . zPx:
[*32*18] э :уе^‘х. э .^‘у с7*‘х (1)
К *22*42. oh :у = х. э .^‘у с7*‘х (2)
h . (1). (2). э hНр . э :у e7*‘xU i‘x. э .7*‘у с^‘х (3)
I-. *204*11 . э F:. Нр . э :у ~e^‘xU i‘x. э .уе jP‘x.
[*32*18*181] э.хе>у (4)
I-. *50*24 . э F : Нр . э . х~ е~Р'х (5)
F . (4). (5). э hНр . э :у ~e7*‘xU i‘x. э . ~ (?‘у с"?‘х) (6)
I-. (3). (6). э I-. Prop
*204*33. I-Ре Ser. х,у еС'Р . э : х/у .^‘у с^‘х. = .уРх
Доказательство.
I- . *204*32 . э h :. Нр . э :х/у.7*‘ус?‘х. = . х/у .у ^?‘xU i‘x.
[*51*15] н . х/у .уе^‘х.
[Нр . *4*71] = . уРх:. э I-. Prop
Три следующих предложения требуют лишь Р е ИГJ А соппех, однако
они необходимы для применения к сериям и поэтому удобны в данной
здесь форме.
*204*331. h Ре Ser. х,у еС‘Р. э :7^‘х=7^у. = . х = у
[*202*161 . *71*55]
♦204 34. HPeSer.D.T* [С‘Ре1->1."? \С‘Ре{?’Р) smofP [♦202-161]
♦204 35. h:PeSer.o.?;PsmorP [♦204-34]
Это предложение показывает, что серия сегментов, которые имеют непо-
средственных последователей, сходна с исходной серией, так как сегмент,
чей непосредственный последователь есть х, представляет собой ?‘х, а се-
рия таких сегментов есть 7* 5 Р.
Следующие предложения (*204*4—44) касаются отношений с ограничен-
ными полями.
*204*4. h : Р е Ser. э . Р [ а е Ser [*200*33 . *201*33 . *202*33]
*204*41. I-: Р, Q е Ser . Q g Р. э . Q = Р [ C'Q [*202*53 . *204*13]
В силу двух приведенных выше предложений серии, содержащиеся
в данной серии, представляют собой отношения, вытекающие из границ
поля; процесс ограничения поля есть просто процесс выбора части исход-
ной серии без изменения порядка.
*204*42. I-Ре Ser. э : (Эе Ser. 0G Р. = . (да). Q = Р [ а. = . QeD‘P [
[*204*4*41]
*204*421. h : Р е Ser. э . Ser A R1‘P = D‘P [ [*204*42]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
544
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*204-43. I-:P2gP.PgJ.2gP.0€ connex. э . Q е Ser
Доказательство.
F . *23-1 . *34-55 . э ЬНр. э : xQy. yQz. э . xPz •
[*50-43 . Нр] э . ~ (z,Px) .xfa.
[*23-81. Нр] z>.~(zQx).x^z-
[*202-103] o.xQz:
[*34-55] э: С2 с Q (1)
Ь. *23-44. эННр.э. QG.J (2)
I-. (1). (2). *204-1 . э F. Prop
*204-44. I-: Р е ВТ J П trans . э . ИГР П connex с Ser [*204-43]
Следующие предложения (*204-45—483) касаются разделения серии на
две части, одна из которых полностью предшествует другой. Случай, когда
одна из частей состоит их одного единственного терма, требует отдельного
рассмотрения, так же как и случай, когда обе части состоят из одного
единственного терма, т.е. когда серия является парой.
*204-45. I-: Реconnex. аеСГС‘Р- 1. Р“а с а. 0 = С'Р - а. 0 ~ е 1. э.
Р = Р £ а * Р £ 0 . Nr‘P = Nr‘P £ а + Nr‘P £ 0
Доказательство.
F. *24-411 .*3317. oh:: Нр.э:.
хРу. = : у е а. хРу. V . х е а. у е 0. хРу. V . х, у е 0. хРу (1)
F. *3717. э I-:. Нр . э :у еа. хРу. э. хса (2)
F . (2). Transp. *202-103 . э I-:. Нр .э:уеа.хе0.э. уРх (3)
h . *202-55 . э I-: Нр. э . а = С'Р £ а. 0 = С'Р £ 0 (4)
К(1).(2).(3).(4).эН:Нр.э:.
хРу. = : х(Р [ а)у. V . хеС'Р [а .уеёР[ р. V . х(Р [ р)у:
[*1601] = :х{Р [а *Р [Р)у (5)
Ь. (5). *180-32 . э Ь:Нр.э. Nr‘P = Nr‘P [ а + Nr‘P [ р (6)
Ь . (5). (6). э Ь. Prop
*204-46. I-: Р € connex. Е ! В‘Р. Q‘P ~ € 1. э.
Р = ‘Р4- Р [ (ГР. Nr‘P = i + Nr‘(P [ (ГР)
Доказательство.
I-. *202-524. эЬ:.Нр. э:х = В‘Р.уе(ГР. э.хРу (1)
Ь. (1). *161-111 . z> I-:: Нр. э:. х (‘Р4- Р [ (ГР)у. = :
х = В‘Р. у е (ГР. хРу .У .х, у е (ГР. хРу:
[*93-103] =:хеС‘Р.уеа*Р.хРу:
[*33-14-17] =ххРу (2)
F . (2). *181-32 . oh:Hp.=>.Nr‘P=i+Nr‘(P[:a‘P) (3)
F. (2). (3). э I-. Prop
*204-461. I-: Реconnex.Е ! В‘Р.D‘P~е 1. э.
Р = Р [ D‘P -и В‘Р. Nr‘Р = Nr‘(P t D‘P) + i
[Доказательство аналогично *204-46]
*204-462. I-:. Р, Q econnex. Е ! В‘Р. (ГР ~ е 1. Е ! BlQ. Q‘Q ~ е 1. z>:
Р smor Q. =. Р [ (ГР smor Q [ G‘Q [*161-33 . *204-46]
Principia Mathematica II
204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИЙ
545
*204-463. F : Р, 2eRl‘J. Е ! В‘Р. G‘Pe 1. Е ! . G'Qe 1. э.
Р smor Q. Р [ G‘P smor Q £ d‘Q
Доказательство.
F. *56-37. z> F: Hp. z>. P, 6e2r (1)
F . *200-35 . z> I-: Hp. z>. P [ G‘P = A. 2 t G‘e = A (2)
F.(1). (2). *153-202-101 . =>
F:Hp.э.P smor Q. P [ G‘P smor Q [ G'Q: э F. Prop
*204-47. FP, Q eсоппех П R1‘J. E ! B'P. E ! B'Q. z>:
P smor Q. =. P [ G‘P smor Q [CTQ
Доказательство.
F . *151-18 . *200-35 . *202-55 . *153-102 . =>
F: Hp. G‘Pe 1. G‘Q~e 1. э. ~ (Psmor Q). ~ (P [ G'Psmor Q [ G'Q) (1)
F . (1). *204-462-463 . z> F. Prop
*204-48. F:: PeSer. z>:. E! _B‘P. = : (aQ) . 3! Q. Nr‘P = j + Nr‘<2. V. Nr‘P = 2r
Доказательство.
F.*204-46. э F : Hp. E ! B‘P. G‘P~e 1. э. (a0 • Nr‘P= 1+Nr‘g (1)
F.*161-2. DF:a!P.Nr‘P=i+Nr‘e.o.a!2 (2)
F.(l).(2). =>F : Hp. E ! B'P. G‘P~ e 1. э.
(a2)-a!e.Nr‘p=i + Nr‘e (з)
F . *204-272 . d F : Hp. G‘Pe 1. э. Pe2r (4)
F . (3). (4). z> F: Hp. E ! B'P. z>:
(a Q) • a! Q • Nr‘P = i + Nr‘e • V . Nr‘P = 2r (5)
F . *181-11-12-32 . z> F: Nr‘P = i + Nr‘£> • э.
(ЗР, z) • R smor Q. z ~ € C'R. Nr‘P = Nr‘(z 4» R) (6)
F. *161-15-12 .z>F:.a!P.z~eC‘P.=>:E!B‘(z-t»P):
[*151-5] э: Nr‘P = Nr‘(z 4-P). z>. E ! B'P (7)
F.(6).(7). dF : Nr‘P= i + Nr‘G. 3! Q. э. E ! B'P (8)
F. *153-281 . э F : Pe2r. э. E ! B‘P (9)
F . (5). (8). (9). э F. Prop
*204-481. F::PeSer.z>:.
E!B‘P. = :(aG)-a! G-Nr‘P = Nr‘e+ i. v.Nr‘P = 2r
[Доказательство аналогично *204-48]
*204-482. F :: a e Nor “Ser. э:. ac G'B: = : 3! a П G‘B:
= : (Э₽) • P e NR - i‘0r .a=i + p.v.a = 2r
Доказательство.
F . *151-5 . *155-13 . z> F :. Hp. э: a c G‘B. =. а ' a П G‘B (1)
F . *204-23-48 . z> F :: Hp. Pea. z>:.
E ! B'P. s: (аР). 0 e NR - i‘0r . a = i + 0. v . a = 2r (2)
F . (1). (2). *202-52 . z> F . Prop
*204-483. F :: aeNor“Ser. э:. ac G‘(B| Cnv): н : 3! a Cl G‘(B| Cnv):
= : (эР) • P e NR - i‘0r .a = 0 + i.v.a = 2r
[Доказательство аналогично *204-482]
Следующие предложения касаются применений арифметики отношений
к сериям.
*204-5. F :Р, geSer.С'РПC'Q = A.^.P^QeSer
[*200-4 . *201-401 . *202-401]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
546
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*204-51. F: Ре Ser. х~ еС‘Р. =. Р-н хе Ser. в . х я- Ре Ser
[*200-41 . *201-41 . *202-412]
*204-52. I-: Р е Rel2 excl n Ser. С'Р с Ser. э. Е‘Р е Ser
Доказательство.
F. *200-42 . *202-62 . => I-: Нр. э. ГР G J (1)
I-. (1). *201-42 . *202-42 . э I-. Prop
*204-53. FР е Rel2 excl. А ~ е С'Р. z>: ГР е Ser. = . Р е Ser. С'Р с Ser
Доказательство.
I-. *200-423 . э I-Нр. ГРе Ser. э: Р с J: (1)
[*200-421] э: QeC'P. э. Q = (ГР) [C'Q.
[*204-4] D.geSer (2)
I-. *162-13 . z>
F :.Нр.ГРе8ег. gPP.PPS . xeC'Q .yeC'R .zeC'S .z>-.x(L‘P)z: (3)
[*162-13 . *163-11] э : faM, N). MPN .xeC'M .zeC'N .M=Q.N = S .V .
(rM) . MeC'P. xMz. M = Q. M = S :
[♦13-22-195] z>:QPS .V .Q = S (4)
I-. (3). *50-24 . *24-37 . => Ь : Hp(3). э. C'Q П C'S = Л.
[*24-57 . *30-37] =>.Q/S (5)
F . (4). (5). э F :. Hp. TPeSer. э: £)PP.PPS .z>.QPS (6)
F. *162-1. э I-:. Hp. TPeSer. £?,PeC‘P. xeC'P. у eC'Q. Q/R.^'.x *yt
[*202-104] э:х(ГР)у. У.у(ГР)х:
[*162-13. *163-11] э: QPR. V. RPQ (7)
F . (6). (7). z> F : Hp. E'PeSer. э. Petrans П connex (8)
I-. (1). (2). (8). *204-52 . э I-. Prop
*204-54. F: P e Rel3 arithm П Ser. C'P c Ser. C‘E‘P c Ser. э. ГГР e Ser
Доказательство.
F . *204-52 . d F : Hp. d . TPeSer (1)
F . *174-3 . z> F : Hp. э . E‘PeRel2 excl (2)
F . (1). (2). *204-52 . э F . Prop
*204-55. F:P, geSer.D. QxPeSer
Доказательство.
F . *165-27 . *204-22 . dF Hp. =>: g! P. э. PJ,? geSer (1)
F . *165-204 . *204-22 . z>F : Hp. z>. C'P J. 5 Qc Ser (2)
F. (1). (2). *165-21 . *204-52 . э F : Hp. э: g! P’ ’ э . ГР J ’ Q e Ser.
[*166-1] э. Qx PeSer (3)
F . *166-13 . *204-24 . =>F : P = A. . Q x PeSer (4)
F. (3). (4). э F. Prop
*204-551. F :.g! P .g! Q. z>: Qx PeSer. = . P.QeSer
Доказательство.
F. *165-21-212 . z> FHp. э: P XJ Q eRel2 excl. A ~ e C'P 15 Q:
[*204-53 . *166-1] =>: P x Q e Ser. = . P15 Q e Ser. C'P J ’ Q c Ser.
[*165-27 . *204-22] = . P, geSerэ F. Prop
Principia Mathematica II
«204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИЙ
547
*204 56. F : C‘PcRl‘J. э. П‘Рс J
Доказательство.
F . *172-11 . э I-: М (П‘Р) AL э. (30.0 € С‘Р. (M'Q) Q (N'Q) (1)
F. (1). э F Hp. э: M (П?) N. э. (з2) • M'Q # N'Q.
[*30-37 . Transp] э. M / Nэ F . Prop
*204-561. F : P e Ser. C'P c Ser. э. П‘Р e R1‘J П trans
Доказательство.
F . *200-43 . э F:: Hp. эL (П‘Р) M. M (П‘Р) N. э:
(32. *) • 2, R « C'P. (L'Q) Q (M'Q). (M'R) R (N'R). L\^‘Q = M \~?‘Q.
M\~?'R = N\~?'R-.
[*204-12]
э: (32,R) • 2 = R • V. QPR. V . RPQ: (L'Q) Q (M'Q). (M'R)R (N'R).
L\~?'Q = M\?'Q.M \~?‘R-N \~f'R (1)
F. *204-1 . э F: Hp. L (П‘Р) M. M (П‘Р) N.
Q = R. (L'Q) Q (M'Q). (M'R)R (N'R) .L\~?‘Q = M\~?‘Q.
M [>P = N \?‘R. э. (L'Q) Q (M'Q). L rf'Q = N \?‘Q. (2)
F. *204-33 . э
F: Hp. L (П‘Р) M. M (П‘Р) N. QPR. (L'Q) Q (M'Q). (M'R)R (N'R).
L n*'Q = M 0'Q. M \~?‘R = N \^'R.z>.
L \~P'Q = N \~?'Q.M'Q = N'Q.
[*13-12] z>.L\^‘Q = N\'P'Q.(L'Q)Q(N'Q) (3)
F . *204-33 . э
F : Hp. L (П‘Р) M. M (П‘Р) N. RPQ. (L'Q) Q (M'Q). (M'R)R (N'R).
L \^‘Q = M \~P‘Q. M \?'R = N \?'R.z>.
L\~P‘R = N\-?‘R.L‘R = M'R.
[*13-12] . L\~P‘R = N \~?‘R .(L‘R)R(N‘R) (4)
F . (1). (2). (3). (4). *200-43 . э
F:. Нр.э: HTTP) Л/.Л/(П‘Р)ЛГ.э.£(П‘Р^ (5)
h . (5). *204-56 . dF . Prop
Для того чтобы доказать, что ГГР связно, нам требуется добавочная
гипотеза, а именно то, что Р является вполне упорядоченным, т.е. что каж-
дый класс, содержащийся в ёРи не являющийся нулевым, имеет первый
терм.
*204-562. h СР с Ser: а с С'Р. 3! а. эа . 3! а - Р"а: э . ГГР е connex
Доказательство.
h . *172-11 . *33-45 . Transp . э
I-:: Нр. э М, N е С‘П‘Р. М ± N. э : (з0 . Q е С'Р. M'Q t N'Q :
[Нр] ^z(^Q)zQeC'P.M'Q^N'QtRPQ.^R.M'R = N'Rz
[*204-121 . *172-12] э : (30 : QtC'P. {M'Q) Q (N'Q). V . (N'Q) Q(M'Q):
RPQ. z>R . M'R = N'R:
[*172-11] э: M (WP) N.V.N (П'Р) M (1)
h. (1) .*202-104 .oh. Prop
*204-57. I-P e Ser. C'P c Ser : a c C'P. 3! a. oa . 3! a - P"a: э . П‘Р e Ser
[*204-561-562]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
548
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*204-58. I-Р е Ser. ёРс Ser. C‘S‘P a Ser. Ре Rel2 excl:
ас С‘Е‘Р. g! а. эа . g! а - (Cnv‘E‘P)“a: э . П‘Е‘Р, П‘П; Р е Ser
Доказательство.
F.*204-52. =>F:Hp.D.E‘PeSer (1)
F. (1).*204-57. =>F:Hp.D.H‘E‘PeSer (2)
F. *174-25. э F: Hp. э. H‘E‘Psmor П‘П > P (3)
F. (2). (3). *204-21 . э F : Hp. э. П‘П! PeSer (4)
F . (2). (4). э F . Prop
*204-581. F: Hp *204-58 . S‘P e Rel2 excl. э. ProcTProd; P, Prod‘S‘P e Ser
[*174-461-43. *204-58-21]
*204-59. F:. P, geSer:acC'Q . g! a. эа . g! a - : э.
PG e Ser. (P exp Q) e Ser
Доказательство.
I-. *165-27-241 . *204-22-24 . э I-: Нр. z>. Р | i Q е Ser (1)
I-.*165-26. *204-22. э F : Нр. э. С‘Р1; (7 с Ser (2)
I-. *150-22. *71-47. z>b:pcC‘PX;G.g!p.D.’(ga).acC‘G.g! a. р = РГ‘а:
[Hp] эI-:Hp. PcC‘PX’Q. g! p. э. (ga). g! a-(2“a. p = P V'a ' (3)
F.*37-45 . э F : g! a - Q“a. =. g! PJ,“(a - (2“a) (4)
F . (4). *71-381 . *165-22 . э F: g! P. g! a - £“a. э.g! PX“a -Р|“£“а (5)
F . *72-503 . *165-22 . эF: g! P. э. a = (Cnv‘P J,)“PX“a ’ (6)
F . (5). (6). э F : g! P. g! a - ^“a. э. g! P X“a - P l‘‘Q‘‘(Cnv‘P l)“P X“a.
[*165-18] э. g! P|“a-(Cnv‘P| > 0“PX“a ’ (7)
F . (3). (7). эF:.Hp. g! P. э:
p c C‘P|; e. g! P. Э. g! P - (Cnv'P J. ? 2)“p (8)
F . (1). (2). (8). *204-57 . э F : Hp .'g! P. э. П‘РХ > QeSer ’ (9)
F . (9). *176-182 . *204-21 . э F : Hp. g! P. z>. (P exp 0eSer (10)
F . *176-151 . *204-24 . z> F : P = Л. z>. (P exp £>) e Ser (11)
F.(10).(ll). d F: Hp. э. (P exp Q) e Ser (12)
F . (12). *176-181. *204-21 . э F: Hp. э. PQ e Ser (13)
F . (12). (13). э F. Prop
Два следующих предложения являются леммами для *204-62.
*204-6. I-: Petrans . э . aUP“ac
Доказательство.
F . *40-53 . э F :: . = :.у ер‘7^“а. .уРх
[*40-51] н:.геа.эг.уРг:эу .уРх (1)
F . *10-26 .э1-:.хеа:гба.эг .yPz: э .уРх:
[Exp.(l)] dF : xea . э . х€р‘^“р‘"?“а (2)
F . *10-1 . э I-и е а. иРх :zca.z>z. yPz: э . уРи. иРх (3)
I- . (3). *202-1 . э I-:: Нр. э и е а. иРх: z е а. z>z. yPz: э . уРх
[*37-105] э хе Р“а: zе а. . yPz: э . уРх
[Ехр. (1)] э:.хеР“а.э.хер‘^“р‘^“а (4)
h . (2). (4). э I-. Prop
Principia Mathematica II
*204. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИЙ
549
*204-61. h :PeRTJ П соппех. о . С‘РПП С‘Р) с а U Р“а
Доказательство.
F. *200-5 . э I-: Нр. z>. р‘"?“(а Г>С'Р) Пр'*Р"р'^"{а ЛС'Р) = Л.
[*24-311] э. р'<Р"р'~?"(а л С'Р) с - р'~?"(а Л С'Р).
[*22-48] z>. С'Р Л р'*Р"р'^"(а Л С'Р) с С'Р - р'~?"(а Л С'Р)
[♦24-43 . *202-505] call Р"а: э I-. Prop
*204-62. I-: Ре Ser. э. С'Р Л р‘<Р‘'р‘~Р“(а Л С'Р) = (а Л С'Р) и Р"а
Доказательство.
F . *204-6 . *37-265 . z> I-: Нр. э. (а П С'Р)иР"а с р'<Р"р'~?"(а Л С'Р) (1)
I-. *37-16 . *22-43 . э I-. (а Л С‘Р) U Р“а с ёР(2)
I-. *204-61 . *22-43 . z> I-: Нр. о. С'Р Лр'*Р"р'^"(а ЛС'Р) с (а и Р"а) Л С'Р.
[*37-16] z>.C'PC}p'‘^"p''^"(ar\C'P)c(.anC'P)\jf>"a (3)
I- . (1). (2). (3). о h . Prop
*204-63. h : PeSer .3! p‘^“a. z> .= a U P“a
Доказательство.
h . *40-65 . Transp. dH Hp. o . a с C‘P (1)
I-. *40-62. эННр.э./?‘?“р‘?“асёР(2)
h.(1). (2). *204-62 .oh. Prop
* 204-64. h : PeSer . xeD‘P. о . =?*‘x
Доказательство.
1-. *40-62 . о h:Нр.о. р'~?"*Р'х с С'Р (1)
1-. *40-51. о h :. zep'^'^'x. = : хРу. оу . zPy (2)
1-. (2). *50-11 . о h :: Нр . о :. z е p'~F*"fi'x. о : хРу .z>y.z/y:
[(1). *202-103] э: zPx .v.z = x (3)
1-. *201-521 . oh:: Нр . о :. z 'х. = : zPx. V .z = x: (4)
[*201-1. *13-12] о : хРу. о . zPy:
[(2)] о -.zep'~P"^'x (5)
Н(3).(4).(5). о h. Prop
Следующее предложение используется в *234-101.
* 204-65. h : Ре Ser. хе С'Р. о . р'1*"<Р'х П С'Р = К'х
Доказательство.
h . *40-2 . о h : Нр. х ~ е D'P. о. р'7*"<Р'х П С'Р = С'Р
[*204-11] =^‘xUi‘x
[*201-521] =Ч‘х (1)
h . *40-62 . *204-64 . о h : Нр . хе D'P. о . р'7*"<Р'х П С'Р =4'х (2)
h . (1). (2). о h . Prop
* 204-7. h : Р е Ser. о . Pi е 1 -4 1 [*201-63 . *202-7]
По поводу этого предложения ср. с замечаниями, предшествующими
*201-6.
* 204-71. l-:PeSer.xPiy.D.‘?‘y="?‘xUi*x [*202-72 .*201-63]
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
550
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*204-72. I-:: Р е Ser . о:. xPiy. = : хРу: xPz .z^y.'Df yPz
Доказательство.
h. *201-63. о I-Hp. о: xPiy. о . хРу (1)
h . *204-71 . *121-26 . oh:. Hp . xP\y. о : *P‘x = *P‘y U t‘y:
[*24-43. *32-181] ^-.xPz.z±y.=>z.yPz (2)
h . *24-43 . *32-181 . oh:. xPz . oz .yPz: о . X‘xc i‘y U *P‘y (3)
h . (3). *200-361 . о h :. Hp : xPz yPz: о . *P'x nJ*‘y = A.
[*34-11] o.^(xP2y) (4)
h . (4). Fact. о h :. Hp : xPy: xPz. z # у. oz. yPz: о . x (P - P2) у.
[*201-63] о. xPxy (5)
h . (1). (2). (5). о h . Prop
Приведенное выше предложение используется в *274-23.
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
551
*205. Точки максимума и минимума
Краткое содержание *205.
Точками минимума класса а в силу отношения Р являются те элементы
а, которые принадлежат полю Р, с которыми, однако, ни один элемент а
не находится в отношении Р; т.е. это те элементы а, которые принадлежат
С‘Р, но не имеют предшественников в а. Аналогично точки максимума а
есть те элементы а, которые принадлежат С‘Р, но не имеют последовате-
лей в а. Оба этих понятия уже были определены в *93, однако они ис-
пользовались там лишь для особой цели изучения поколений. Их главная
польза связана с сериями, и именно в этой связи мы будем их рассматри-
вать. Многие свойства максимумов и минимумов в сериях не зависят от
полной гипотезы uPeSer”, а только от “Реconnex”. Дело обстоит именно
так, в частности, для фундаментального свойства максимумов и миниму-
мов в сериях, а именно такого свойства, что каждый класс имеет самое
большее один максимум и один минимум. Минимум класса, если он суще-
ствует, есть его первый терм, а максимум, если он существует, есть его
самый последний терм. Максимумы в силу отношения Р есть минимумы
в силу отношения Р; следовательно, свойства максимумов вытекают непо-
средственно из соответствующих свойств минимумов и будут установлены
в последующем изложении без доказательств.
В дальнейшем будет видно, что максимумы и минимумы а зависят
лишь от аАС‘Р: та часть а (если она существует), которая не содержится
в С‘Р, иррелевантна.
В соответствии с определениями *93 класс минимумов а обозначается
посредством minp‘а, где
minp‘a = (а П С‘Р) - Р“а,
а определение есть
minp = ха {х е (а П С‘Р) - Р“а).
Поэтому minp есть отношение, содержащееся в е. Когда Р связно, то мы
имеем minp‘aeOUl, т.е. (на основании *71-12)
minp е 1 —> Cis .
Следовательно, если к есть набор классов, все из которых имеют миниму-
мы, то minp [ к есть выбирающее отношение для к, т.е.
minp f к е €д ‘к.
Благодаря этому факту существование выборок может быть иногда дока-
зано, когда мы имеем дело с сериями (особенно с вполне упорядоченными
сериями) в случаях, когда такие доказательства были бы невозможны, ес-
ли не было дано сериальное упорядочивание.
Определение minp выбрано таким образом, чтобы исключить из minp‘а
какую бы то ни было часть а, не содержащуюся в С'Р, и сделать так, что-
бы minp‘i‘x = l‘x, т.е. чтобы minp‘i‘x = x при условии, что хеС'Р, ~ (хРх). По
этим двум причинам мы должны отклонить два более простых определе-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
552
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
ния, о которых иначе мы могли бы думать как о более предпочтительных.
Одно из них дало бы
minp‘а = а - £“а,
которое могло бы быть получено, полагая
minp = е - е | Р Df.
Это согласуется с нашим определением всякий раз, когда асС‘Р, однако
не иначе, поскольку оно включает в minp‘а любую часть а, не содержащу-
юся в С'Р. Следовательно, оно неизбежно влечет за собой гипотезу а с С'Р
во многих предложениях, которые с нашим определением не требуют этой
гипотезы, в частности, в предложении
Р е connex. э . minp‘а е О U 1,
так что вместо того, чтобы иметь (как с нашим определением)
Р е connex. э . minp е 1 —> Cis,
мы будем иметь лишь
Р е connex. э . minp f CVC'Pе 1 —> Cis .
По этим причинам указанное определение менее удобно, чем определение,
которое мы приняли.
Другое напрашивающееся определение есть определение, которое дает
minp‘a =~8'Р f a .
Если бы мы приняли это определение, то могли бы полностью обойтись
без специального обозначения, используя S'Pla и В'Р[а вместо minp‘а
и minp‘а. Это определение, однако, обладает той отрицательной стороной,
что если a е 1 и PelJ, то
Р [ а = А,
так что мы имеем
minp‘а = А, когда a е 1. а с С'Р,
а это неизбежно влечет за собой добавление гипотезы a ~ е 1 (как в *204-45
выше, например) в случаях, когда с нашим определением такая гипотеза не
требуется. Если мы берем 11‘а 1 Р вместо ~&'Р fa в качестве класса точек
минимума, то мы обеспечиваем minp4‘x = x, когда PelJ и xeD‘P, но не
когда xeS'P. Поэтому мы все еще имеем исключения, по поводу которых
нам надо принимать какие-то меры, но которые не возникают с принятым
нами определением.
Несколько первых предложений этого параграфа уже были доказаны
в *93, однако повторяются здесь для удобства ссылок.
Предложения этого параграфа многочисленны и интенсивно использу-
ются. Среди элементарных свойств тахр и minp, с которых начинается
параграф, должны быть отмечены следующие:
*20512. F .~6‘Р = mrnP‘D‘P = ттБёР
*205-123. h : тёйр‘а = Л. = . а П С'Р с Р"а
* 205-14. h . minp‘a = л(хеаП С'Р. ап"?‘х = Л}
* 205-15. h . minp‘(а П С'Р) = minp‘а
* 205-16. h . niinp‘A = Л
*205-18. h : ~ (хРх). х е С'Р. э . minp‘i‘x = maxp‘i‘x = х
Principia Mathematica II
♦205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
553
*205-19. h : Ре trans . э. minp‘a = minp‘(a U P“a) = minp‘P*“a
*205-194. h : x minp a . z>. ~ (xPx)
Благодаря этому предложению, мы можем иногда обойтись без гипоте-
зы Pel J в предложениях о минимумах, которые иначе требовали бы эту
гипотезу.
*205-197. h Ре RTJ П trans . э : хе С'Р. = . х- maxp‘(?‘xU i‘x)
В следующей группе предложений (*205-2—27) вводится гипотеза о том,
что Р связно, или транзитивно и связно. Основными из этих предложений
являются следующие
*205-21. I-: Ресоппех. Е ! min/a .yea П С'Р- i‘min/a. э . min/aPy
Т.е. если минимум а существует, то он предшествует каждому другому
элементу аПС‘Р.
*205-22. h : Ре trans П соппех. Е ! minp‘а. э. = ^‘minp‘a
Т.е. термы, которые идут после некоторой части а, представляют со-
бой термы, которые следуют после его минимума (когда этот минимум
существует).
*205-25. l-.minp‘?’‘x = (P-7j2)*x
Далее мы имеем фундаментальное предложение:
*205-3. h : Ресоппех. э . minp‘ae0 U 1. ma£p‘aеО U 1
откуда
*205-31. h : Р е соппех . э . minp, шахр е 1 —> Cis
которое приводит к
*205-33. h : Ресоппех. к с (Гminp . э . minp f кеед‘к
Это предложение полезно в теории вполне упорядоченных серий. Заме-
тим, что “KcQ‘minp” означает, что к состоит из классов, которые имеют
минимумы.
Далее мы приводим группу предложений (*205-4—44), которые имеют
дело с отношениями minp‘а к В'Р [а и В'а] Р- далее мы рассматриваем
предложения об отношениях минимумов двух классов, из которых наибо-
лее полезным является
*205-55. h : Ресоппех. ZTPea. э . В'Р = minp‘a
Далее мы имеем различные предложения о р‘"?“(а П С‘Р), из которых
главное есть
*205-65. h : Ре trans П соппех. Е ! minp‘a . э . р‘^“(а П С'Р) ="?‘minp‘a
Т.е. предшественники всего класса, содержащегося в С‘Р, есть предше-
ственники его минимума (если класс его имеет).
Полезным предложением является
*205-68. h : Р"а са.э. minp‘a = min (Рро)‘а
Т.е. если а есть наследственный класс, то его минимумы в силу Р есть
те же самые минимумы в силу Рро-
Далее мы доказываем, что если Р"а имеет максимум, то его имеет и
a (*205-7), и что если Ресоппех, то только единичный класс может иметь
свой максимум тождественным с его минимумом (*205-73).
Предложения *205-8—85 касаются арифметики отношений. Основным
предложением здесь является
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
554
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
* 205-8. h : S е Р smor Q. о . minp‘а = S ‘ ‘min@‘5 ‘ ‘а
Т.е. в любой корреляции минимумы коррелятов класса являются кор-
релятами минимумов.
Мы завершаем параграф двумя предложениями об отношениях с огра-
ниченными полями. Наиболее полезным из них является
* 205-9. h : Ре connex . к с С'Р. к~ е1. о . min (Р [ к)‘а = minp‘(а А к)
* 205-1. h : jcminp а. = . хе а О С'Р - Р“а [*93-11]
* 205-101. h : xmaxp а. = . хе о. А С'Р- Р"а. = . xmin(P) а [*93-115]
* 205-102. h . maxp = min (Р) [*93-114]
♦ 205-11. h . inmp‘a = а П C'P - P"a [*93-111]
* 205-111. h . тЙ/а = а A C'P - P“a [*93-116]
* 205-12. h .~&'P = ininp‘D‘P = inmp‘C‘P [*93-112]
* 205-121. h .~&'P = maVCPP = тЙ/ёР[*93-117]
* 205-122. h : пипр‘а = A. = . а A C‘Pc P“a [*205-11 . *24-3]
* 205-123. I-: тЙ/а = A. = . а A C'P c P“a
* 205-13. h . inmp‘a U P“a = (a A C'P) U P“a [*22-91 . *205-11]
* 205-131. h . тЙ/а U P“a = (a A C'P) U P“a
* 205-14. h . minp‘a = x (xc a A C'P. a A^‘jc = A} [*37-462 . *205-11]
* 205-141. I-. тёйр‘а = x (xca A C'P. a A <P'x = A}
* 205-15. I-. mmp‘(a A C'P) = mrnp‘a [*37-265 . *205-11]
* 205-151. I-. malp‘(a A C'P) = тЙ/а
* 205-16. h . inmp‘A = A [*205-11 . *24-23]
* 205-161. h.ma£p‘A = A
* 205-17. h xc(a A C'P). ox. ~ (xPx): а A C'Pe 1 : о.
minp‘a = тЙр‘а = a A C'P
Доказательство.
h. *13-14 . о h Hp . о : xe a . хРу. ox>y . x (1)
h . *52-16 . о h Hp . о : x, у e a A C'P. ох>у . x = у (2)
h. (1). (2). *33-17 .эк:. Hp . о : xca . хРу. ox,y .v~ea:
[*37-1] о : P“a c - a:
[*22-811] э:ас-Р“а (3)
h. (3). *205-11 .oh. Prop
*205-18. h : ~ (xPx) .xeC'P . о . minp‘i‘x = maxp4‘x = x
Доказательство.
h . *205-17 .oh: Hp. о . minp‘i‘x = пНйр‘с‘х = i‘x (1)
h . (1). *53-4 .oh. Prop
*205-181. h : хРу. ~ (xPx). ~ (yPx). о . minp‘(i‘x U i‘y) = x
Доказательство.
h . *37-105 .oh: Hp . о . cP“(i‘xU i‘y).у eP“(i‘xU t‘y) (1)
h. *33-17. о h : Hp . о . i‘xU i‘yc C'P (2)
h . (1). (2). *205-11 .oh: Hp . о . minp‘(i‘xU i‘y) = i‘x:oh. Prop
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
555
*205*182. h : Р2 G J . хРу. о . min/(i‘x U i‘y) = х
Доказательство.
h . *200*36 . *50*43 . о h : Нр. о . ~ (хРх). - (уРх) (1)
h.(l). *205-181 .oh. Prop
*205*183. h Р2 G J. Р е соппех . х, у е С'Р. о :
minp‘(i/jc U i‘y) = х. V . minp‘(i‘x U i‘y) = у
Доказательство.
h . *202*103 . о h Нр . о : х = у. V . хРу. V . уРх (1)
h. *205-18 . о h : Нр . х = у. о . min/(i‘x U i‘y) = х (2)
h . *205*182 .oh: Нр . хРу. о . minp‘(i‘x U i‘y) = х (3)
h . *205*182 . о h : Нр . уРх. о . minp‘(i‘x U i‘y) = у (4)
h . (1). (2). (3). (4). о h . Prop
* 205*19. h : Petrans . о . min/a = minp‘(a U P“a) = min/P*“a
Доказательство.
h . *205-11 . oh. min/(a U P“a) = (aU P“a) П C'P - P“(a U P“a) (1)
h . (1). *201-55 .oh: Hp. о . min/(a U P“a) = (a U P“a) Q C'P- P"a
[*22-9] =anC?-P“a
[*205-11] = min/a (2)
h . *201-52 . *37-265 . о h : Hp . о . P*“a = (a A C'P) U P"(a A C'P).
[(2)] о . min/P*“a = minp‘(a A C'P)
[*205-15] = min/a (3)
h . (2). (3). о h . Prop
* 205-191. h : Petrans . о . mal/a = пйй/(а U P"a) = ma£/P*“a
* 205-192. h : Pe trans . p с P"a. о . minp‘(a U p) = min/a
Доказательство.
h . *205 11 . *201-56 . о
h : Hp. о . minp‘(a U p) = (a U p) A C'P - P"a
[*22-68] = (a A C'P - P"a) U (p A C'P - P"a)
[*24-3] = a AC‘P-P“a
[*205-11] = min/a : о h . Prop
* 205-193. h : Petrans . p c P“a . о . ma£/(aU p) = пйй/а
* 205-194. h : x minp a . о . ~ (xPx)
Доказательство.
h . *37-105 . о h . xea . xPx. о . xeP"cl (1)
h . (1). Transp. о h : xea - P“a . о. ~ (xPx) (2)
h . (2). *205-1 .oh. Prop
*205-195. h : x maxp a . о . ~ (xPx)
*205-196. h :. PeRTJ A trans . о : xeC'P . = . x = min/(i‘xU X‘x)
Доказательство.
h . *205-19 .oh:. Hp. о : min/(i‘xU *P'x) = min/i/x:
[*205-18] о : xeC'P . о . min/(i/xU X‘x) = x (1)
h . *205-11 .oh: min/(i/xU X‘x) = x. о . xeC'P (2)
h . (1). (2). о h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
556
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*205-197. h PeRPJ О trans . э : xeC'P . = . х = max/^iU i‘x)
*205-2. h Ресоппех. Е ! minp‘a .у еа А С'Р. э : min/a = у. V . min/a Ру
Доказательство.
h . *202-103 . э h Нр. э : уР mi пР‘a. V . min/a = у. V . minP‘a Ру (1)
h . *205-14 . d F : Нр . z>. ~ (yP minp‘a) (2)
h . (1). (2). э h . Prop
В оставшейся части настоящего параграфа, когда предложение уже до-
казано для minp, мы не будем формулировать соответствующее предложе-
ние для тахр, если это не представляется особо важным. Когда предло-
жения, касающиеся тахр, необходимы для того, чтобы ссылаться на них
в дальнейшем, то мы будем ссылаться на соответствующие предложения
для minp в случае, если не существует ссылок для тахр.
*205-21. h : Ресоппех. Е ! minp‘a ,у еа А С'Р - i‘minp‘a . э . minp‘aРу
[*205-2]
*205-211. h : Ре trans П соппех. Е ! minp‘а .у еР"а. э . minp‘а Ру
Доказательство.
I-. *37-105 . э I-: Нр. э . (gx). х е a. хРу (1)
h . *13-13 . э h : xea . хРу. х = minp‘a. э . minp‘aPy (2)
h . *205-21 . э h: Нр . xea . хРу. х / minp‘a . э . minp‘a Рх. хРу.
[Нр. *201-1] э. minp‘a Ру (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*205-22. I-: Ре trans А соппех. Е ! minp‘a. э . Р"а = ^‘minp‘a
[*205-211 .*37-181]
*205-23. I-: Ресоппех . xeD‘P .у е~$'Р. э . хРу
Доказательство.
I-. *93-101 . э F: Нр . э . х / у. ~ (уРх).
[*202-103] э . хРу: э F. Prop
*205-24. I-:Ресоппех. o.^'Pcp'^'D'P [*205-23]
*205-241. I-: Р е соппех. э . £‘Рс//?“СГР
[Доказательство аналогично *205-24]
*205-25. I-. пипр'^'х = (Р-Р2)‘х
Доказательство.
I-. *205-11 . z>l-.mmP*^‘x=^*x-P“jP‘x
[*37-301] = Х'х-^'х
[*32-31-35] = (Р-Р2)'х.э1-.Ргор
Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных
серий (*250-2).
*205-251. I-: g! mrn/^'x. = . xeD‘(P- Р2) [*205-25]
*205-252. I-: а! maV?‘x. г. хе G‘(P - Р2)
*205-253. F :Ресоппех.Е ! B‘P.z>.(ГР = ^"‘‘Р[*202-524]
*205-254. I-: Р е соппех. Е ! В'Р. э. пЛпр'СГР = Р - Р^В'Р [*205-253-25]
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
557
*205*255. h . 3! minp‘Q‘P. о . g!Tl‘P
Доказательство.
h . *93-101 . о h :7l‘P = Л. о . D‘P с (ГР.
[*37-271] о.(ГР = Р“(ГР.
[*205-122] о.тшр‘(ГР = Л (1)
h.(1). Transp .oh. Prop
*205-256. h :. Pe Ser. о: E ! minp‘(TP. = . E ! Pi ‘B‘P. = . min/CTP = Pi ‘B‘P
[*205-254-255 . *201-63 . *202-52-7]
*205-26. h : Q G P. о . minp f CVC'Q G ming
Доказательство.
h . *37-201 .oh:. Hp . a c C'Q. о : 2“a c P“a. a c C'Q. a c C'P:
[Transp. *22-621] о : a - P“a c a - Q"a. a = a A C'Q = a A C'P:
[*205-11] о : min/a cmin@‘a :
[*32-18] о : x minp a . о . x min@ a :. о h . Prop
*205-261. h : P [ 0 e connex. 0 A C'P ~ e 1 . о . min (P [ P)‘a = minp‘(a A 0)
Доказательство.
h . *205-11 . *202-54 . *37-413 . *36-34 . о
h : Hp. о . min (P [ p)‘a = a A p A C'P - {p A P“(a A p)}
[*22-93 . *205-11] = minp‘(a A p): о h . Prop
*205-262. h : Petrans A connex. xea A C'P. p =^‘xU i‘x. о .
minp‘a = minp‘(a A p)
Доказательство.
h . *32-18 .oh:. Hp .yea. yPx. о : у e a A p :
[*37-105] о :yPz. о . zeP“(a A p) (1)
h . *51-15 .oh:. Hp .yea.y = x.o:yeaAp:
[*37-105] о: yPz. о . z e P“(a A p) (2)
h . *51-15 . *201-1 .oh: Hp . у ea . xPy .yPz.о:xea. xPz •
[*37-105] o.zcP“(aAp) (3)
h . (1). (2). (3). *202-103 .oh:. Hp . о :yea .yPz. о . zeP“(a A p):
[*37-105-2] о: P“a = P“(a A p) (4)
I-. *37181 . *202 101 . э I-: Hp. z>. *P'xa P“a. *P'x = C'P - 0.
[*22-82] D.C‘P-P“ac₽.
[*22-621. (4)] D.C?na-f“a = C?nanp-P“(anp).
[*205-11] z> . minp‘a = minp‘(a Cl 0): э I-. Prop
*205-27. I-: Petransflconnex. xea C)G‘P. 0 ="?‘xU i‘x.э.
minp'a = min (P [ 0)‘a = minp‘(a Cl 0)
Доказательство.
h . *52-41 .oh: Hp i‘x. о . p ~ e 1 .
[*205-261] о . min (P [ P)‘a = minp‘(a A p) (1)
h . *202-101 .oh: Hp .~P'x = i/x. о . C'P - i‘x = *P'x. xPx.
[*37-105] o. C'P c£“(a A p).
[*205-122 . *37-413] о. minp‘(a A p) = Л. min (P [ p)‘a = Л (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
558
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
h . (1). (2). о h : Нр. о. min (Р С р)‘а = min/(а А 0) (3)
h. (3). *205-262 .oh. Prop
Приведенное выше предложение используется в *250-7.
*205-3. h:Peconnex.o.mmp‘aeOU 1 . ma£p‘aeOU 1
Доказательство.
h . *205-11 . о h х, у е min/а . о: х, у е а А С‘Р: z е а . oz. ~ (zPx). ~ (zPy):
[*10-1] о: х, у е а А С‘Р. ~ (уРх). ~ (хРу) (1)
h. (1). *202-103 .oh:. Нр. о : х,у е minp‘а . о . х = у:
[*52-4] о: min/aeO U1 (2)
Аналогично h :. Нр. о : та£р‘ае0 U 1 (3)
h . (2). (3). о h . Prop
Приведенное выше предложение обладает огромной значимостью в тео-
рии максимумов и минимумов.
*205-31. h : Ресоппех . о . minp, maxp е 1 —> Cis [*205-3 . *71-12]
*205-32. h P e connex. о : g! minp‘a. = . E ! min/a. = . a e G‘minp
[*205-31 . *71-163 . *33-41]
*205-33. h : Ресоппех. кс G‘minp . о . minp f кеед‘к
Доказательство.
I- . *205-31 . о h : Hp. о . minp [ к e 1 —> Cis (1)
h . *205-1 . oh: Hp . о . minp [kg e (2)
h . *35-65 . oh: Hp. о . G‘minp f к = к (3)
h. (1). (2). (3). *80-14. oh. Prop
* 205-34. h : Pe connex. к c G‘minp . о . к e Cis2 mult [*205-33 . *88-2]
Следующее предложение используется в *260-17.
* 205-35. h :: Р2 G J. Ресоппех. о :.
х = minp‘a . = :xea А ёР:у ea А С‘Р- i‘x. оу . хРу
Доказательство.
h . *205-31 . *71-36 .oh:: Нр. о :. х = minp‘a . = : х minp a :
[*205-1 . *37-265] = : х е a А ёР- P“(a А С‘Р):
[*37-105] = : xea А С‘Р: у е а А С‘Р. оу . ~ (уРх):
[*51-221] =: xea АС‘Р:у = х. оу . ~ (уРх) :уеа А С‘Р- i‘x. ох . ~ (уРх) (1)
h . *200-36 .oh:. Нр . о :yPz. *y±z\
[Transp. *10-1] о : у = х. оу. ~ (уРх) (2)
h . (1). (2). о h :: Нр . о :.
х = minp‘a. = :xea А ёР:уеа А С‘Р- i‘x. оу. ~ (уРх):
[*202-5] = : хе а А С'Р :у еа А С'Р-Сх. оу . хРу:: о h . Prop
* 205-36. h : Ре trans А соппех. о . minp‘а с р‘Р*“(а А С'Р)
Доказательство.
h . *205-2 . *201-18 .oh:. Нр. х = minp‘a. о: у е (a А С'Р). оу. хР* у:. о h. Prop
Приведенное выше предложение используется в *230-53.
* 205-37. h : Ре trans . тЙр‘а = А. о . Р*“а = Р“а [*201-52 . *205-123]
Следующее предложение используется в *257-21.
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
559
*205-38. F : Рро G J. э . цП р'~Р* “р, с min (Рро)‘н
Доказательство.
F . *200-381 . э F :: Нр . э хер. эх .у Р* х: э : хер. эх . ~ (хР^у)
[*40-51 . *37-105] э:.рО**“нс-Рро“ц (1)
F . *40-62 . э F : д! ц. э . сёР(2)
F . *24-12 .эН:~а!р,.э.цс С'Р (3)
F . (1). (2). (3). э F: Нр. э. цПр^*“цс цП С'Р- Рро“н
[*205-11 . *91-504] с min (Рро)‘ц: э F. Prop
*205-381. F : Рро G J. та£/р, = Л. э . = р‘^ю“Н
Доказательство.
F . *205-38 . э F : Нр . э . цОр'*Р*"\ь = К (1)
F. (1). *40-3 . *24-37 . э
F :: Нр . э хе“ц. = : у е ц. эу .уР*х.у^х:
[*200-38] = : у е ц. эу . у Рро jc :
[*40-53] = : х ер‘^о“ц:: э F. Prop
Три следующих предложения подводят к *205-42, которое используется
в *261-26.
*205-4. F:C‘Pel .э.7Ьр = Л.Т1‘Р = Л
Доказательство.
Н. *56-381 . *55-15 . э F: Нр . э . (gx). D‘P = i‘x. (ГР = i‘x.
[*93-101] э .7bP = Л .Т1‘Р = Л: э I-. Prop
*205-401. HgiTbP [а.э.аПС‘Р~еОи 1 .ёР[а~е0и 1
Доказательство.
F. *205-4. Transp. эF :Нр. э. ёР[а~е 1 (1)
F. *93-103. э I-: Нр. э. д! С‘Р[ а (2)
I-. (1). (2). z>F:Hp. э. С'Р [а~е0и 1 (3)
F.*37-41. z>F.ёР[асаПС'Р (4)
F. (4). *60-32-371. Transp. z> F: С'Р [ а ~ е 0 и 1. э. а п С'Р ~ е 0 и 1 (5)
F. (3). (5). э F. Prop
Следующее предложение помимо того, что требуется для *205-42, ис-
пользуется в *250-151.
*205-41. F : Ресоппех. аП С'Р~е 1. э . min/a=7l‘P [ а
Доказательство.
F.*202-54. z>F:Hp.z>.C‘P [a = anC‘P (1)
F.*37-41. э F . G‘P [ a = а П P“a (2)
I-. (1). (2). *93-103 . э I-: Hp. z> ."ft'P [ a = a П C'P - (a П P“a)
[*22-93 . *205-11] = minp‘a: э F . Prop
*205-42. F : P e соппех. E ! B'P [ a. э . B'P [ a = minp‘a
Доказательство.
F . *205-401 . □ F : Hp . э . a A C'P ~ e 1.
[*205-41] э.minp‘a="3‘P [a (1)
F . (1). *32-41 . э F . Prop
Следующее предложение подводит к *205-44.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
560
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*205*43. F : Peconnex. g! a A D‘P. э . minp‘а =11‘а j Р
Доказательство.
F . *205-11 . э F. minp‘а = (а A D‘P- Р“а) и (а А^‘Р- Р“а)
[*35-61 . *37-4] =7^а1 Ри(аЛ1Ь?-?“а) (1)
I- . *205-23 . э F: Р е connex. х е a fl D‘P. у е~3‘Р. эле а. хРу.
[*37-1] э.уеР“а (2)
I- . (2). *10-23 . э F: Нр. э с Р“а.
[*24-3] э.ап'3‘Р-Р“а = Л (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*205-44. F : Р е connex. Е ! В‘а 1 Р. э . minp‘a = j Р [*205-43 . *32-41]
Следующие предложения имеют дело с обстоятельствами, при которых
минимум одного класса тождественен минимуму другого класса или идет
ранее, чем он.
*205-5. F : Реconnex. ас Р. minp‘Pea. э. Е! minp‘a. minp‘a = minp‘P
Доказательство.
F . *37-2 . Transp .эк: Hp . э. - P“P с - P“a .
[*205-11 .Hp] D.minp‘Pea-P“a.
[*205-1] э. minp‘Peminp‘a (1)
F. (1). *205-3 .эк. Prop
* 205-501. F : Peconnex. minp‘a = minp‘P.э.рс- p‘"?“a
Доказательство.
F . *205-11 . э F Hp . э : minp‘a ~ eP“P :
[*37-105] э : у e P . ~ (yPminp‘a):
[*205-11] э :y ер . . (gx). xea.~ (yPx):
[*40-51] э : P c - p‘"?“a:.dF. Prop
* 205-51. F Peconnex. ac p. E ! min/a. E ! min/p. э :
minp‘a = minp‘P. V . min/p Pminp‘a
Доказательство.
F . *22-1 . *205-1 . э F : Hp. э . minp‘a e P A C‘P (1)
F . (1). *205-2 .эк. Prop
* 205-52. F : Petrans A connex. g! a A p‘7^“P.
E ! minp‘a. E ! minp‘P. d . minp‘a Pminp‘P
Доказательство.
F . *40-51 . э F Hp . э : (gx). xea: у e P . . хРу (1)
F . *205-2 . э F :: Hp . э :. xea A C‘P. dx : minp‘a = x. V . minp‘aPx (2)
F. (1) .*205-1 .DF:.Hp.D:(gx).xea.xPminp‘P:
[*33-17] э : (gx). xea A C‘P. xPminp‘P (3)
F . (2). (3). э F :. Hp. э : (gx): xPminp‘P : minp‘a = x. V . minp‘a Px:
[*201-1 . *13-195] э : minp‘aPminp‘P:. э F . Prop
*205-53. F : Peconnex ARTJ.xeaAC‘P.?‘x = P“a. э .x = maxp‘a
Доказательство.
F . *50-24 ,DF:Hp.D.xeaA C'P-~P'x.
[Hp] э . x e a A C'P - P“a.
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
561
[*205-111] э . хетЙ/а (1)
F . (1). *205-3 . э F . Prop
*205-54. F PeSer.э:xeaА ёР.^‘х = Р“а. = . х = max/a
[*205-53-22]
*205-55. F: Р е соппех. В'Р еа. □. В'Р = min/a
Доказательство.
F . *93-101 . *37-16 . э F : Е ! В'Р. э . В'Ре С'Р - P“a (1)
F. (1). *205-1 . э F: В'Р еа. □. В'Рттр а (2)
F. (2). *205-31 . э F. Prop
*205-56. F . ma£p‘s‘K с тахр“к
Доказательство.
F . *205-11 . *40-38 . э F. тЙрУк с 5‘к А С'Р - s'P'"k
[*40-11] су {(да). аек .у еа А С'Р: ~ (да). аек .у еР“а}
[*10-56] су {(да). аек .у еа А С'Р - Р"а]
[*205-11] су {(да). аек.уета5р‘а}
[*40-5] с maxp“к. э F . Prop
*205-561. F : к с - (Гтахр . э . 5‘к ~ е (Гтахр [*205-56 . *37-26-29]
*205-6. FР е соппех. z>: ~ Е ! min/a. = . а А С'Р с Р‘‘а [*205-32-122]
*205-601. F : Ресоппех. а с С'Р. э : ~ Е ! minp‘a. = . а с Р“а [*205-6]
* 205-61. F : Ресоппех. э . С'Р = [С'Р А р‘7^“(а А С'Р)} U minp‘a U Р“а
[*202-505 . *205-13]
* 205-62. F : Ресоппех. д! а А С'Р. э . С'Р = р‘7^“(а А С'Р) U minp‘a U Р“а
[*40-62 . *205-61]
* 205-63. F: Р е соппех. Р2 g J. д! (а А С'Р). э .
р'~Р"(а А С'Р) = С'Р-Р"а- minp‘а
[*202-502 . *205-13]
* 205-64. F: Р е соппех. д! (а А С'Р). э .
ттр‘а = С'Р -Р"а- р‘"?“(а А С'Р)
Доказательство.
F . *205-62 . э F : Нр . э .
С'Р -Р"а- p‘"?“(a А С'Р) = minp‘a - Р“а - р'~Р"(а А С'Р) (1)
F . *205-11 . э F. minp‘а - Р“а = minp‘а (2)
F . *205-14 . э F: хеminp‘а. э :уеа. ~ (уРх):
[*205-11 . *10-1] э : ~ (хРх). х е а А С'Р:
[*40-51] э : х~ ер‘7^“(а А С'Р) (3)
F . (3). э F . minp‘а - р‘"?“(а А С'Р) - minp‘а (4)
F.(1). (2). (4). э F . Prop
* 205-65. F : Petrans A connex. E ! minp‘a . э . p‘?“(a A C'P) ="?‘minp‘a
Доказательство.
F . *205-2 . □ F :: Hp . э xPminp‘a. □ :y ea A C'P. . xPy:
[*40-51] э: xep‘"?“(a A C‘P) (1)
F . *205-1 . *40-12 . э F : Hp. э . p'~P"(a A C'P) c”?‘minp‘a (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
562
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*205-66. F : Ре trans А соппех. Е ! minp‘a. э .
р‘7*“(а А С'Р) =~Р‘minp‘а. Р“а = ^‘min/a.
С'Р - р'^"(а А С'Р) U i‘minp‘a U Р“а
[*205-65-22 . *202-101]
*205-67. F Ре Ser. э : х = min/a. = .1^'х = р'~Р"(а А С'Р) .xeC'P
Доказательство.
F. *205-65-11 . э F Hp . d : x = min/a. d .~P'x = /?“(aAC‘P). xeC'P (1)
F . *50-24 . э F : Hp .7^‘jr = p‘7^“(a A C'P). d . x ~ ep'7$"(a A C'P) (2)
F . *200-5 . э F: Hp(2). э . a A 7* x = Л. [*37-462] D.x~eP“a (3)
F . (2). (3). *202-505 . э F: Hp(2). x e C'P. э . x e a A C'P - P“a. [*205-3-11] d . x = minp‘a (4)
F. (1). (4). d F . Prop *205-68. F : P“a c a. э . minp‘a = min (Ppo)‘a Доказательство. F . *91-711 . d F : Hp . d . Ppo“a = P“a. [*205-11] d . min (Ppo)‘a = minp‘a: d F. Prop *205-681. F : Ppo econnex. P“a c a. d . minp‘ae0u 1 [*205-68-3] *205-7. F : g! тгйр‘Р“а. э . g! та£р‘а Доказательство. F . *37-2-265 . d F : a A C‘PcP“a . d . P“acP“P“a (1)
F . (1). Transp . э F : g! P“a - P“P“a. э . g! a A C'P - P"a (2)
F. (2). *205-11. dF. Prop *205-71. F : Ресоппех. g! пйй/Р“а. d . maxp‘P“a(P- P2) maxp‘a Доказательство. F . *205-7-3 . d F: Hp. э . E ! maxp‘P“a. E ! maxp‘a. (1)
[*205-101] d. maxp‘P“aeP“a (2)
F . (1). *205-101 . d F:. Hp . d : maxp‘P“a~ eP“P“a: [*37-39] э :yea. ~ (maxp‘P“aP2y): [(1)] э : ~ (maxp‘P“aP2 maxp‘a): (3)
[*34-5 . Transp] d : zPmaxp‘a. d . ~ (maxp‘P“a Pz): [*205-21] d : zea - L‘maxp‘a . d . ~ (maxp‘P“aPz) (4)
F. (2) .*37-1 .DF:Hp.D.(az).zcamaxp‘P“aPz (5)
F . (4). (5). d F : Hp . d . maxp‘P“a Pmaxp‘a (6)
F . (3). (6). э F. Prop
*205-72. F : Ресоппех. Pg Р2 . э . ~д! та^р‘Р“а [*205-71 . Transp]
*205-73. F: Р е соппех. minp‘у = тахр‘у. d . у А С'Р е 1. у А С'Р = i/min/y
Доказательство.
F . *205-21 . э F:. Нр . э : jcey А С'Р - i‘minp‘y. э . шах/у Рх.
[*37-1] э.тахр‘уеР“у (1)
F . *205-111 . э F: Нр. э . шах/у ~ еР“у (2)
F. (2). (1). Transp . э F : Нр . э . у А С'Р - i‘minp‘y = Л .
[*205-11] э. у А С'Р = i‘minp‘y: э F. Prop
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
563
*205-731. F Ресоппех A RTJ. э : minp‘у = тахр‘у. = . у А С"Ре 1
[*205-17-73]
*205-732. F : Р е соппех. у А ёРе 1. Е ! min/y. Е ! тахр‘у. э .
minp‘у Ртахр‘у
Доказательство.
F . *205-73 . Transp . э F: Нр . э . maxp‘a / minp‘а.
[*205-21] э . minp‘a Pmaxp‘a: э F . Prop
Следующие предложения подводят к *205-75, которое показывает, что
минимум класса принадлежит D‘P, если часть класса, содержащаяся в С‘Р,
не является ь‘В‘Р.
*205-74. F: а А ёРс^‘Р. э . minp‘a = а А С'Р
Доказательство.
F . *93-101 . э F: Нр . □ . a A D‘P = Л.
[*37-261-29] э.Л“а = Л.
[*205-11] э . minp‘а = а А С'Р: э F . Prop
*205-741. F: Ресоппех. a AC‘P~el. э . minp‘a с D‘P
Доказательство.
F . *205-21 . э F: Ресоппех. у = minp‘a. zea А С'Р - ь‘у. э . yPz:
[*205-3] э F : Р е соппех. у е minp‘a. z е а А С'Р - ь‘у. э . yPz:
[*33-13] э F : Ресоппех .у eminp‘а. д! а А С'Р -Су .-э .у eD‘P:
[*52-181] э F : Р е соппех. а А С'Р ~ е 1. э . minp‘а с D‘P: э F . Prop
*205-742. F Ресоппех. э : g! minp‘а - D‘P. = . а А С'Р = Cfi'P
Доказательство.
F . *205-74 . э F : а А С'Р = СВ'Р. э . minp‘а = СВ'Р.
[*93-101] э . g! minp‘a - D‘P (1)
F . *205-741 . э F : Нр . а • inrnp‘a - D'P. э . a A C'P e 1 (2)
F . *205-11 . э F : а! minp‘a - D‘P. . g! a A C'P - D'P.
[*93103] э.д!ап^ (3)
I-. (2). (3). *202-52 . э F: Hp. g! inm/a - D‘P. z>. а Cl C'P = CB'P (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*205-75. FP e connex. э: ~ (a Cl C'P = CB'P). s . minp‘a cD‘P
[*205-742]
Заметим, что ~ (a A CP = CB'P) не является, вообще говоря, эквивалент-
ным aAC‘P/i‘B‘P, поскольку последнее влечет Е! В'Р, в то время как
первое нет.
Следующее предложение является важным.
*205-8. F : 5 е Р smor Q . э . minp‘а = 5 “min^‘5“a
Доказательство.
F. *205-11 . э F . 5 “mine‘5 “а = 5 “а n C‘Q ~ (1)
F. *151-11 .oF:Hp.o.5“aaC‘(2 (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
564
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
F . (1). (2). э F : Нр. э . S “milled “а = 5 “{5 “а - Q''S “а}
[*71-381] = S “5 “а - S“£“S“а
[*72-5 . *150-23] = а А ёР- Р“а
[*205-11] = minp‘а: э F. Prop
*205-81. F:. 5 еРsmor Q. э : Е ! min/a. = . Е ! min2‘5“a
Доказательство.
F . *205-8 . *73-22 . э F:. Нр . э : minp‘a sm min^‘5 ‘‘а:
[*73-44] э : min/ae 1. =. т^‘5“ае 1:
[*53-3] э: Е! minp‘a. = . Е ! min^‘5“a :. э F. Prop
*205-82. F : 5 е Р smor Q. Е ! minp‘а. э . minp‘a = 5 ‘min^‘5“a
[*53-31 .*205-8-81]
Два следующих предложения используются в *251-13.
*205-83. F : z~ еС‘Р. д! С'Р А а . э . minp‘а = min (Р-н z)‘a
Доказательство.
F . *161-1 . э F:. Нр. э . {Cnv‘(P-H z)}“a = P“a U Cz •
[*161-14-2 . *24-495] э . a A C‘(P -Hz) - {Cnv‘(P -H z)}“a = a A C'P - P“a.
[*205-11] э . min (P-Hz)‘a = minp‘a: э F. Prop
*205-831. F : z ~ с C'P. C'(P -H z) П a = l‘z . э . min (P -h z)‘a = i'z
Доказательство.
F . *161-11 . э F :. Hp . э : xea. эл . ~ {x(Р-нz)z}:
[*37-1 . Transp] э : z ~ e {Cnv‘(P-Hz)} “a (1)
F. (1) .*22-621 .oF:Hp. э. l‘z = C‘(P-Hz) A a-{Cnv‘(P-Hz)}“a
[*205-11] = min (P -H z)"cl : э F . Prop
Два следующих предложения используются в *251-14.
*205-832. F : z ~ e С'Р .z-ecl-^) . таЙ/a = пйй (Р -н z)‘a
Доказательство.
F. *205-111 . *161-2 .oF: Р = А. э.таЙ/а = А.таЙ (Р-н z)‘a = А (1)
F. *205-111 . *161-11-14. э
F : Нр. g! С'Р A a. э . тай (Р-н z)‘a = a А (С'Р U i‘z) - (P“a U i‘z)
[*24-495. *205-111] = тайр‘а (2)
F. *161-14. *205-151-161 .э
F : Hp. g! P. C'P A a = Л. э . тайр‘а = Л . тай (P -H z)‘a = A (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
*205-833. F : а! P. z ~ e C'P. z c a. э . тай (P -н z)‘a = l‘z
Доказательство.
F . *161-11 . э F : Hp. э . (P -H z)“a = C'P.
[*161-14 . *205-111] э . тай (P -н z)‘a = a A (C'P U l‘z) - C'P
[*22-621 . Hp] = i'z: э F . Prop
Следующее предложение используется в *251-25.
Principia Mathematica II
*205. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
565
* 205-84. F : С'Р A C'Q = Л. g! С'РС\ а . э . min (P-t 0)‘а = min/a
Доказательство.
F . *160-11 . э F : Нр . э . {Cnv‘(P^ Q)]"a = Р"а U C'Q.
[*205-11 . *160-14] э . inm (PlQ)'a = а А (С'Р U C'Q) - (Р"а U C'Q)
[*24-495] =аГУС'Р-Р"а
[*205-11] = min/a: э F. Prop
* 205-841. F : C'P A a = Л . э . min (P4- Q)'a = min^‘a
Доказательство.
F . *160-11 . э F : Hp . э . {Cnv‘(P^F 2)}“a = Q"a.
[*205-11 . *160-14] э . inm (Pl Q)'a = a A (C'P U C'Q) - &"a
[Hp] = аГ)С'Р-ф"а
[*205-11] = min^‘a: э F . Prop
Следующее предложение используется в *251-2.
* 205-85. F Ре Rel2 excl. э : x {min (E‘P)} a. = .(g0. Qminp (F"a). jcmin^ a
Доказательство.
F . *162-12-23 . *205-1 . э F x {min (E‘P)} a. = :
x e a: (g Q). Q e C'P . xFQ : ~ (а С, y). QeC'P .y e a . yQx:
~ (a Q, Ry y) • xFQ . RPQ . yFR .yea:
[*37-105] = : xea: (gg). QeC'P . xFQ : xFQ . QeC'P . . x ~ e &"a:
xFQ .QeC'P.=>q.Q~e P"F"a (1)
F . (1). *163-12 . *14-26 . э F :: Hp . э x {min (I‘P)} a . = :
(ЭО • xFQ • QeC'P.xea-$“a: xFQ. QeC'P . . QEF"a- P"F'a:
[*163-12 . *14-26] = ; (gQ). xFQ. QeC'P . хео,-ф''а. QeF''cl-P''F''a*.
[*205-1] = : (a О • Qminp (F"a). jrming a:: э F . Prop
* 205-9. F : Ресоппех. кс C'P. к ~e 1. э . min (P [ к)‘а = minp‘(a А к)
[*205-261]
* 205-91. F : P"a с a. P^ [ aeсоппех. э . min/aeOU 1
Доказательство.
F . *205-261 . э F : Hp. a A C'P ~ e 1. э . min (P^ [ a)‘a = min (Ppo)‘a
[*205-68] = minp‘a.
[*205-3] э. minp‘ae0 U1 (1)
F . *93-113 . *60-371 . э F : a A C'Pe 1. э . min/aeOU 1 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
566
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*206. Секвентные точки
Краткое содержание *206.
“Секвентом” класса а является минимальный из термов, которые идут
после всего аАС‘Р; т.е. мы полагаем
§еф>‘а = min/p‘jP“(a А С'Р).
Таким образом секвентами а являются его непосредственные последова-
тели. Если а имеет максимум, то секвентами являются непосредственные
последователи максимума; однако если а не имеет максимума, то не най-
дется ни одного терма а, за которым непосредственно следует секвент а;
в этом случае, если а имеет единственный секвент, то этот секвент есть
“верхняя граница” а. Всякий раз, когда Р связно, и поэтому всякий раз,
когда Р сериально, каждый класс имеет один секвент или ни одного в силу
Р на основании *205-3.
В дальнейшем будет видно, что секвенты а являются точно такими же,
что и секвенты аАС‘Р, и поэтому §ёф>‘а зависит лишь от аАС‘Р: если
а имеет термы, не принадлежащие С'Р, то они иррелевантны.
Для непосредственных предшественников класса а мы полагаем
ргёЙр‘а = т&£р'р'~Р"(а А С'Р).
Мы имеем ргеср = seq(P), так что предложения о ргеср получаются из пред-
ложений о seq/> простой заменой Р на Р; поэтому в том, что следует далее,
они не приводятся.
Среди элементарных свойств seqP, с которых начинается это параграф,
следующие являются наиболее важными:
* 206-13. F . эёф/а = min/p‘^“(a А С'Р)
Это предложение просто заключает в себе определение.
* 206-131. h . secj/a = вёф>‘(а А С'Р)
* 206-134. F . вёф>‘а = С'Р А х {а А С'Р с.~Р'х .~Р'х с - р'^"(а А С'Р)}
* 206-14. h : а А С'Р = Л . э . §ёф>‘а
Таким образом, если Р имеет первый терм, то он является секвентом
нулевого класса или любого другого класса, который не имеет общих с С'Р
элементов.
* 206-16. F : Р е соппех. э . эёф/а е 0 U 1
Это предложение следует непосредственно из *205-3. Оно приводит к
*206-161. F: Р е соппех. э . seq/> е 1 —> Cis
Поэтому если Р есть связное отношение, то ни один класс не имеет
более одного секвента. Это не относится, вообще говоря, к случаю с от-
ношениями, которые не являются связными, даже когда понятие секвен-
тов вполне естественно применимо. Возьмем, например, отношение потом-
ка к предку, и пусть, например, а будет классом монархов Англии. То-
гда §ёф>‘а будет такими родителями монархов, которые сами не являются
монархами.
* 206-171. F : Р е соппех. Р2 G J.
зёф>‘а = С'Р А х {а А С'Р с (а А С'Р) U Р"а]
Principia Mathematica II
*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
567
Это предложение утверждает, что х есть секвент а, если весь а А С'Р
предшествует х, однако каждый терм, который предшествует х, либо при-
надлежит а, либо предшествует некоторому терму а. Когда Р серия и а
не имеет максимума, мы имеем
Бёй>‘а = С‘РПх(>х = Р“а) (*206-174),
т.е. секвент а, если таковой имеется, представляет собой терм, чьи предше-
ственники тождественны с предшественниками элементов а. Именно это и
есть случай границы (ср. с *207).
Далее мы имеем группу предложений (*206-211-28), касающихся
?‘seq/>‘a и ^‘seq/>‘a. Когда Р транзитивно и связно, и а есть экзистенци-
ональный класс, содержащийся в С'Р и имеющий секвент, то мы будем
иметь
7^‘seqp‘a = a U Р"а. i‘seqp‘a U ^‘seq/a = p'<P"a .
Т.е. предшественники секвента есть элементы а и предшественников
элементов, в то время как секвент и его последователи есть последователи
всего а. Различные составляющие этого утверждения требуют различных
составляющих гипотезы. Поэтому мы имеем
*206-211. h: Е! seq/>‘a . э.аА С'Р c7^‘seq/>‘a
*206-213. F : Реconnex. Е ! seq/>‘a. э .7^‘seq/>‘a с (а А С'Р) U Р"а
*206-22. F : Р е trans A connex. Е ! seq/>‘a. э .
^‘seq/>‘a = (а А С'Р) U Р“а = пйй/а и Р“а
*206-23. h : Р е trans A connex. Е ! seq/>‘a. э .
L‘seq/>‘a U ^‘seq/a = р'<Р"(а А С'Р) А С'Р
Если Р транзитивно, то значение secret остается неизменным, если мы
добавляем к а любой набор термов, содержащихся в Р"а (*206-24); поэто-
му, в частности, se<i/>‘(a и P“a) = sec^a (*206-25). Таким образом мы можем
заполнить любые пробелы в а и взять всю серию вплоть до конца а без
изменения секвента.
Далее мы имеем группу предложений (*206-3—38) о секвенте Р“а, т.е.
о сегменте, определенном посредством а. Если Р серия, то seq/>‘P“a есть
максимум а, если а имеет максимум, секвент а, если а имеет секвент, но
не имеет максимума, и не существует, если а не имеет ни максимума, ни
секвента (*206-35-331-36).
Наша следующая группа предложений (*206-4—52) касается секвентов
единичных классов, особенно ь‘тахр‘а, и классов вида ~?'х. Мы имеем
*206-4. h : Pg J. хеС'Р. э . xseqp~P'x
*206-42. h : хеС'Р . э . sc<5f‘l‘x = Р - Р2'х = т1пр'<Р'х
откуда вытекают три следующих предложения:
*206-43. F : Реtrans A R1‘J. хеС'Р . . se(^A‘x = 'х
*206-45. F Ре Ser. хеС'Р. э : Е ! seq/i/x. = . xeD‘Pi
*206-46. F : Р е trans A connex. Е ! шах/а. э . se^/a = se^j/ma^/a
Из приведенных выше предложений следует, что, когда Р есть серия,
любой элемент С'Р есть секвент класса ее предшественников, Р\'х есть се-
квент l‘x, если какой-либо из них существует, и секвент класса, который
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
568
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
имеет максимум, есть непосредственный последователь (если таковой име-
ется) указанного максимума, т.е.
*206-5. F : Ре trans А соппех. Е ! max/a. Е ! seq/>‘a. э . maxp‘a (Р - Р2) seqp‘a
Далее мы имеем группу предложений (*206-53—57) о секвенте
р‘^“(аПС‘Р), т.е. секвенте предшественников всего аПС‘Р. Эти пред-
ложения особенно полезны в связи с “Дедекиндовыми” сериями, т.е.
сериями, в которых каждый класс имеет либо максимум, либо секвент
(*214). Все эти предложения требуют полной гипотезы о том, что Р есть
серия. В этом случае se^>‘p‘^“(aA С‘Р) = minp‘а, т.е. секвент (если тако-
вой имеется) предшественников всего а А С'Р есть минимум (если таковой
имеется) класса а. Более того, по определению, максимум р‘?“(аАС‘Р),
если таковой имеется, есть прецедент а. Следовательно, а обладает либо
минимумом, либо прецедентом, если р‘?“(аАС‘Р) имеет либо секвент,
либо максимум (*206-54). Более того, секвент и максимум а являются
соответственно (если они существуют) секвентом и максимумом предше-
ственников всех последователей всего а А С'Р (*206-551). Следовательно,
мы приходим к заключению, что предположение о том, что каждый
класс вида р'^"(аС\С'Р) имеет либо максимум, либо секвент, является
эквивалентом обоих предположений: (1) о том, что каждый класс имеет
либо максимум, либо секвент (*206-56), (2) о том, что каждый класс
имеет либо минимум, либо предшественника (*206-55). Следовательно,
два последних предположения эквивалентны (*206-57), т.е. тому, что
серия является Дедекиндовой тогда и только тогда, когда ее обращение
является Дедекиндовым (*214-14).
Далее мы имеем дело (*206-6—63) с корреляциями, показывающими, что
если два отношения скоррелированы, то секвенты коррелятов любых клас-
сов являются коррелятами секвентов, т.е.
*206-61. h:5eP smor Q. э . se^>‘a = S "s&^q'S “a
Мы заканчиваем параграф группой предложений (*206-7—732), показы-
вающих, что секвент класса остается неизменным, если мы убираем из
класса любой терм, отличный от его максимума (*206-72); что если класс
имеет термы в С'Р, а также имеет и прецедент, и секвент, то прецедент
находится в отношении Р2 к секвенту (*206-73), и что прецедент не тожде-
ственен секвенту (*206-732). Эти предложения, по сути, являются леммами,
чье применение в основном лежит в теории промежутков (*215).
*206-01. seq/> = х a {х minpp‘^‘ ‘(a А С'Р)} Df
*206-02. precp = xa {хтахрр‘7^‘‘(а А С‘Р)} Df
*206-1. F : xseq/>a. = . xminpp‘^“(a А С'Р) [(*206-01)]
*217-101. F . precp = seq (Р) [*32-241 . *33-22 . *205-102]
Мы не будем формулировать никаких других предложений о ргеср (ес-
ли на то нет особой причины), поскольку приведенное выше предложение
позволяет вывести эти предложения непосредственно из соответствующих
предложений о seq/>.
Principia Mathematica II
♦206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
569
*20611. h : xseq/> а. = . сер‘^“(а А С‘Р) П С'Р - Р“р‘^“(а П С'Р)
[*206-1 .*205-1]
Заметим, что когда аС\С'Р не есть нуль, то р'<Р"(а А С'Р) с С'Р, так
что С'Р справа не является необходимым; однако когда а А С'Р = Л, то мы
имеем р'*Р"(а А С'Р) = V, так что С'Р становится релевантным. Благодаря
С'Р секвентами Л являются ~$'Р, так что если В'Р существует, то В'Р яв-
ляется секвентом Л.
*206-12. h :: xseqp а . = :.у еа А С'Р. .уРх -.xeC'P
у е а А С'Р. . yPz: z>z. ~ (zPx) [*206-11 . *40-53 . *37-105]
*206-13. h . se^p‘a = minp‘p‘^“(a А С'Р) [*206-1]
*206-131. h . se^/a = se^‘(a А C'P) [*206-13 . *22-43-621]
*206-132. h . se^p = р‘Х“(а А C'P) A C'P - P"p'~P"(a A C'P) [*206-11]
*206-133. h : xseqp a. э. ~ (xPx) [*205-194 . *206-13]
*206-134. I-. se^>‘a = C‘P A x {a C\ C'P C2~fi'x .~P'x a - p‘^“(an C'P)}
Доказательство.
h . *206-12 . *32-18 . э
h . se<5p‘a = C'P A x (a A C'P c~?‘x) A x {y e a A C'P. . yPz: эг. ~ (zPx)}
[*40-53] = C'P A x(a A C'P <z$'x) Ax|zep‘^“(a H C'P). ~ (zPx)}
[Transp. *32-18]
= C'P A x (a A C'PM~fi'x) A x {P'x c - p'*P"(a A C'P)} .oh. Prop
Эта формула для эёф/а обычно более удобна, чем *206-13-132.
*206-14. h : а А С'Р = Л . э . эёф/а =7l‘P
Доказательство.
h . *206-13 . *40-2 . э h : Нр . z>. setJ/Za = minp‘V
[*205-15 . *24-26] = inmp‘C‘P
[*205-12] =~S'P: э h . Prop
*206-141. h : э! a A C'P. э . se^>‘a = p'<P"(a A C'P) - P"p'~?"(a A C'P)
Доказательство.
F. *40-62 . э F:Hp.э. p‘^“(a П C‘P) c C‘P (1)
F. (1). *206-132 . э F. Prop
*206-142. F:g!anC‘P.D.s^>‘acP“a [*40-61 . *206-141]
*206-143. F : a cC‘P. э. se^p‘a = p‘^“a Л C‘P- Р“р‘*Р“а
[*206-132 .*22-621]
*206-144. F : Я! se^>‘a. z>. g! p‘X“(a Л C‘P) [*206-132]
*206-15. F : aaC‘P. g! a. э.se<|p‘a = p‘^“a-
[*206-141 .*22-621]
*206-16. h : Ресоппех. э . se<5p‘ae0 U 1 [*205-3 . *206-13]
*206-161. h : P e соппех. d . seqp el-* Cis [*206-16 . *71-12]
Таким образом в серии или любом связном отношении ни один класс
не имеет более одного секвента.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
570
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*20617. I-х seq/> а . = : у € а А С'Р. . уРх: х е С'Р:
уРх. . (gz). z е а А С'Р. ~ (zPy)
Доказательство.
I-. *37-462 . *206-11 . э
I-xseq/> а . = : хер'*Р'\а. А С'Р) А С'Р .~?'хс- р'<Р"(а А С'Р):
[*40-53] = : у € а А С'Р. . уРх: х е С'Р:
уРх. . (gz). z с а А С'Р. ~ (zPy)э F . Prop
Следующие предложения дают упрощенные формулы для вёф/а в раз-
личных особых случаях.
*206 171. 1-:Р е connex. Р2 G J. э .
se^/>‘a = С'РАх{аАС'Рс.~Р'х.~Р'хс(а А С'Р) UР“а)
Доказательство.
h . *206-134 . *33-152 . э
h . se^/>‘a = С'Р Ax{a А С'Р с~?‘х .~?‘х с С'Р - р'*Р"(а А С'Р)] (1)
h.(l). *202-503. эк. Prop
*206-172. h : Peconnex. P2 G J. P“ac a. d .
se^/a = C'P П x (a A C'P =~?'x) [*206-171 . *22-62]
*206-173. h : Peconnex. P2 g J. a A C‘PcP“a. э .
secret = C'P Ax{aA C'P а~Р'х.~Р'х a P"a]
[*206-171 . *22-62]
*206-174. h : P e Ser. a A C'P c P“a. э . se^>‘a = C'P A x (P'x = P“a)
Доказательство.
h . *13-12 . *22-42 . э h Hp . э :
~P'x = P“a. э . a П C'P a^'x.^'x с P"a (1)
h . *37-265 . э h : a A C'P a~P'x. э . P“a c P'^'x:
[*201-501] э h Hp . э : a П C'P c~?‘x. э . P“a :
[Fact] э: a А С'РсГР'х .~P'x c P“a. d . P“a =~P'x (2)
h . (1). (2). *206-173 . э h . Prop
В предложениях *206-173-174 речь идет о границах. Когда класс а не
имеет максимума, т.е. когда aAC‘PcP“a, то его секвент (если таковой
имеется) называется границей. Согласно приведенным выше предложени-
ям, граница представляет собой терм х такой, что а А С'Р предшеству-
ет х, однако каждый предшественник х предшествует некоторому элементу
аАёР(*206-173); это также терм х, чьи предшественники тождественны
предшественникам a (*206-174). Тема границ будет детально рассмотрена
в *207.
*206-18. h.se^/a с С'Р [*206-132]
*206-181. h : а! а А С'Р. э . seej/a с (ГР [*206-142 . *37-16]
*206-2. h.se^/ac-a
Доказательство.
F . *40-68 . Transp. э I-. р‘^“(а Л С‘Р) - ^“р‘?“(а Л С‘Р) с - (а Л С‘Р) (1)
I-. (1). *206-132 . э I-. Prop
*206-21. I-:P2g J.z>.se^>‘ac-P“a [*200-53 . *206-132]
Principia Mathematica II
*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
571
*206-211. F: Е ! seqp‘a . э. a А С'Р c^‘seq/a
Доказательство.
F . *206-17 .oh:. Нр . э : у е а А С'Р .^>у.уР seqp‘a э I-. Prop
*206-212. F : Petrans. Е ! seqp‘a. э . P“a c?‘seqp‘a
Доказательство.
F . *206-211 . d F: Hp . э . P“a c P“^‘seqp‘a
[*201-501] c^‘seq/>‘a : d F. Prop
*206-213. I-: Ресоппех. E ! seq/a. d .^‘seq/a c(aA C'P) U P“a
Доказательство.
I-. *206-17 . э F :: Hp. э: yP seq/a. : (gz). z e (a A C'P). ~ (zPy):
[*202-103] z>y : (gz): z e a П C'P :y = z.V • yPz:
[*13-195 . *37-1] : у e a A C'P. V . у e P“(a A C'P):
[*37-265] D?:ye(aA C'P) U P“a:: d F . Prop
* 206-22. I-: P e trans A connex. E ! seqp‘a . d .
"?‘seq/>‘a = (a A C'P) U P“a = ma£p‘a U P“a
[*206-211-212-213 .*205-131]
* 206-23. F: P e trans A connex. E ! seqp‘a. d .
i‘seq/a U ^‘seq/a = p'*P"(a П C'P) A C'P
Доказательство.
F . *205-22 . *206-13 . э
F : Hp . d . i‘seqp‘a U ^‘seqp‘a = i‘seqp‘a U P“p‘^“(a A C'P)
[*206-13 . *53-31] = mmP'p'*P"(a. П C'P) U P"p'*P"(a A C'P)
[*205-13] = р'^Р"{а П C'P) П C'P U Р"р'1>"(а П C'P)
[*201-51 . *37-16] = p'*P"(a П C'P) A C'P: э F . Prop
* 206-24. F : Petrans. 0 cP“a . э . se^p‘(aU 0) = setj/a
Доказательство.
F. *201-56 . э F : Hp. э. p‘^“{(a U 0) П C'P] = p‘*P“(a Л C'P) (1)
F. (1). *206-13 . э F . Prop
*206-25. F : Petrans. d . se^p‘(a U P“a) = se<^‘a [*206-24]
*206-26. F: P etrans A connex. g! а А СР. E ! seqp‘a. d .
p'*P"(a. A C'P) = i‘seq/>‘a U ^‘seqp‘a
Доказательство.
F . *40-62 . э F : Hp. э. p'*P"(a Л C'P) с C'P) (1)
F . (1). *206-23 . э F. Prop
*206-27. F: P e trans A connex. E ! seqj>‘a . E ! maxp‘a. d .
^‘seq/>‘a =^‘maxp‘a и i‘maxp‘a.
^‘maxp‘a = ^‘seqp‘a U i‘seqp‘a
h . *206-22 . oh: Hp . э ."?‘seqp‘a = тЙ/a U P“a
[*205-22] = i‘maxp‘a U^‘maxp‘a (1)
I-. *205-65 . э F: Hp . э. Х‘тахр‘а = p‘X“(a A C'P) (2)
F . *205-151-161 . □ F : Hp . □ ,E ! (a A CP) (3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
572
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
к. (3). *206-26 . э к : Нр . э. р‘^‘(а П С‘Р) = i‘seq/>‘a U ^‘seq/a (4)
к . (2). (4). э I-: Hp . э . ^‘maxp‘a = i/seq/a U ^‘seq/a (5)
к . (1). (5). э к . Prop
*206-28. к PeSer . э : xeC'P - a .^‘x = P“a . = . x = se^/Za. ~ E ! maxp‘a
Доказательство.
I-. *206-174 . *205-6 . э
k Hp . э : x = se^p‘a. ~ E ! maxp‘a. э .xeC'P .~^'x = P"a (1)
[*206-2] =>.xeC'P-a.l*'x = P''a (2)
k . *37-1 . эк: xPy . yea .~?'x- P"a . э .xe~P'x (2)
k. (2) .Transp. эк: Pg J .y ea .~P'x= P"a. z>. ~ (xPy) (3)
k. *13-14. э к : xeC'P- a. yea. э . х/ у (4)
к . (3). (4). *202-103 . э к :. Нр . э :
х е С'Р -а.~Р'х = Р"а.уеаС\ С'Р. э . уРх:
[*32-18] э : хеС'Р- а .~Р'х = Р"а. э . а П С'Р а~Р'х (5)
к . (5). *206-171-16 . э к :. Нр . э :
xeC'P- а .?'х = Р"а. э . х = seqp‘a (6)
к . (5). *205-123 . эк:.Нр.э:
xeC'P- а .~Р'х = Р"а . э . ~ Е ! шахр‘а (7)
к. (1). (6). (7).эк.Prop
*206-3. к : Petrans А соппех. а с С'Р. Р"а с а. Е ! seqp‘a. э .
~?‘seqp‘a = а [*206-22]
*206-31. к : Petrans П соппех. Е ! seqp‘P“a . э .^‘seqp‘P“a = Р"а
[*206-3 . *201-5]
*206-32. к : Petrans П соппех. Е ! maxp‘a. Е ! seqp‘P“a. э .
maxp‘a = seqp‘P“a
Доказательство.
к . *206-31 . *205-22 .эк:. Нр . э :^‘maxp‘a =^‘seqp‘P“a :
[*205-194 . *206-133] э : ~ (seqp‘P“aPmaxp‘a). ~ (maxp‘aPseqp‘P“a):
[*202-103] э : тахр‘а = seqp‘P“a :. э к . Prop
В гипотезе предложения *206-32 мы имеем и Е! шахр‘а и Е ! seqp‘P“a.
Пока Р не содержится в различии, они оба необходимы. Предположим,
например, что мы берем
Р = a Т (a U i‘x), где х ~ е а . з! а.
Тогда Р транзитивно и связно, однако не содержится в различии. Мы име-
ем
a U i‘x = С'Р. Р"(а и i‘x) = a = D‘P.
Кроме того,
maxp‘(aUi‘x) = x,
se^p'P"(a U i‘x) = minp‘p‘^“a = minp‘(a U i‘x) = A .
Поэтому в этом случае maxp‘(aUi‘x) существует, однако seqp‘P“(aUi‘x)
не существует. Когда Р является сериальным, т.е. когда Р содержится
Principia Mathematica II
*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
573
в различии, будучи к тому же транзитивным и связным, то существова-
ние тахр‘а приводит к существованию seq/>‘P“a, и, следовательно, гипо-
теза Е! seq/>‘P“a, которая появляется в *206-32, становится ненужной.
*206-33. I-: Ре trans А соппех. ~ Е ! maxp‘a. э . se^p‘P“a = se^p‘a
Доказательство.
h.*205-6. э h : Нр . э . a A C‘PcP“a .
[*22-62 . *37-15] э . (a U P“a) А C‘P = P“a (1)
h . *206-25 .oh: Hp . э . se^p‘a = se^p‘(a U P“a)
[*206-131] = se3p‘{(a U P“a) A C‘P]
[(1)] = se^p‘P“a: э h . Prop
*206-331. h : Petrans П соппех. ~ E ! maxp‘a. E ! seqp‘a. z> . seq/P“a = seqp‘a
[*206-33]
*206-34. h : PeSer . э . ma£p‘a c se^p‘P“a
Доказательство.
h. *205-101. *37-265. э
h :.y епйй/а . = :y ea A C‘P :zea A C‘P. dz . ~ (yPz) (1)
h.(l). *202-103. Dh::.Hp.o::
у ema£p‘a. э :.y ea A C‘P :.zean C‘P. dz :z = y. V . zPy (2)
h . (2). *13-195 . *201-1 . о h Hp . о ::
у ema£p‘a. d :.y ea A C‘P:. zea A C‘P. uPz. . uPy:.
[*37-1-265] о :. ueP“a. dm . uPy:.
[*40-53] z>:.yep‘^“P“a (3)
h . (1). *37-1 . о h :y ema£p‘a . vPy . D.veP“a (4)
h . *50-24 . о h : Hp . о . ~ (yPv) (5)
h . (4). (5). oh :. Hp . о :y ema£p‘a. vPy. э . (gw). weP“a . ~ (wPv).
[*40-53] э . v ~ e p‘1®“P“a:
[*10-51] d :y ema$p‘a. э. ~ (gv). vep‘^“P“a. vPy.
[*37-105] D.y~eP“p‘^“P“a (6)
h . (3). (6). (1). э h :. Hp . э :
у ema£p‘a. о .у ер‘<ГГа A C‘P - P“p‘^“P“a.
[*206-143] э . у e se^p‘P“a Prop
*206-35. h : PeSer . E ! maxp‘a. о . maxp‘a = seqP‘P“a. E ! seqp‘P“a
Доказательство.
h . *206-34 . d h : Hp . о . maxp‘aese^p‘P“a (1)
h . (1). *206-16 . o h : Hp . о . maxp‘a = seqp‘P“a (2)
h . (2). *14-21 . о h : Hp . о . E ! seqp‘P“a (3)
h.(2).(3).oh.Prop
Условие (a): E ! maxp‘a. V . E ! seqp‘a является определением того, что
мы могли бы назвать “Дедекиндовой” серией, т.е. серией, в которой, ко-
гда любое разделение поля на две части выполняется таким образом, что
первая часть полностью предшествует второй, то либо первая часть име-
ет последний терм, либо вторая часть имеет первый терм. (Когда эти аль-
тернативы, кроме того, взаимно исключают друг друга, то серия обладает
“Дедекиндовой непрерывностью”.) Если а есть некоторый класс, то Р“а
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
574
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
является сегментом С‘Р, определенным посредством а. В силу приведен-
ного выше предложения каждый сегмент Дедекиндовой серии имеет се-
квент. Секвент класса, не имеющего максимума, представляет собой то,
что обычно называется границей. Поэтому в серии, обладающей Дедекиндо-
вой непрерывностью (в которой сегменты никогда не имеют максимумов),
каждый сегмент имеет границу.
*206-37. F : Ре Ser . э. se^p‘P“a = minp‘(ma£p‘a U secret)
Доказательство.
F . *205-16 .dF: ma£p‘a = A. se^p‘a = A . э .
minp‘(ma£p‘a U se^p‘a) = A (1)
F . *206-36 .dF: Hp . Hp(l). d . ~E ! seqp‘P“a.
[*206-16] D.se^p‘P“a = A (2)
F . *24-24 . dF : Hp. ma£p‘a = A . 3! se^p‘a. d .
miiip‘(nia£p‘a U se^p‘a) = minp‘se^p‘a
[*205-17 . *206-16] = se^p‘a
[*206-33] =se^p‘P“a (3)
F . *205-17-3 . dF : Hp. 3! ma£p‘a. se^p‘a = A . э .
штр‘(пйр‘а U se^p‘a) = пййр‘а
[*206-35] =se^p‘P“a (4)
F . *206-16 . *205-3 . э
I-: Hp .glmaVa .3! se^p‘a. э .
miiip‘(nia£p‘a U se^p‘a) = minp‘(i‘niaxp‘a U i‘seqp‘a)
[*206-27 . *205-182] = i‘maxp‘a
[*206-35] =se^p‘P“a (5)
I-. (1). (2). (3). (4). (5). э I-. Prop
*206-38. F : PeSer . d . та$/а = a A se^p‘P“a
Доказательство.
F . *206-35 . *205-11 . э
F : Hp . E ! maxp‘a. э . ma£p‘a = se^p‘P“ ex. maip Jct c ci.
[*22-621] D.ma^p‘a = anse^p‘P“a (1)
F. *205-3 э h : Hp . ~ E ! maxp‘a . э . ma^p‘a = A (2)
F . *206-33 . э F : Hp. ~ E ! maxp‘a. d . se^p‘P“a = se^p‘a.
[*206-2] D.anse^p‘P“a = A .
[(2)] э .ma^p‘a = anse^p‘P“a (3)
F . (1). (3). z> F . Prop
*206-4. F:Pg J. xeC‘P. э . xseqp^x
Доказательство.
F . *206-134 . *22-43 . э
F : xseqp^x. = .xeC‘P.^‘xc-(1)
F . *200-5 . □ F : Pg J. э J‘xc - (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*206-401. F : Peconnex A R1‘J. xeC‘P. d . x = seqp‘"?‘x [*206-4-161]
*206-41. F.ininp‘^‘x = P-P2‘x [*205-25]
Principia Mathematica II
'206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
575
*206-42. h : xeC'P. э . = Р- Р2'х = minp‘X‘x
Доказательство.
I-. *53-01-31 . эк. p'<P''Cx = <P'x (1)
h.(l). *206-41-143. эк. Prop
*206-43. h : P e trans П R1‘J • x e C'P. э . = X 'x
[*206-42 . *201-63]
* 206-44. h P e trans П RT J. x e C'P. э :
E ! seqp‘i‘x. = . E ! P\ 'x: E ! seqp‘i‘x. э . seqp‘i‘x = P\ 'x
[*206-43]
* 206-45. h P e Ser . x e C'P. э : E ! seqp‘i‘x. = . x e D‘Pi
[*206-44. *204-7. *71-165]
* 206-451. h : PeSer . E ! seqp‘a. d . ma£p‘a =^i‘seqp‘a
Доказательство.
h . *206-41 . oh: Hp . d .^i‘sec^a = ma£p‘^‘seqp‘a
[*206-22] = пййр‘{(а П C'P) U P“a)
[*205-191] = тйр‘а:эк. Prop
* 206-46. I-: Petrans П connex. E ! maxp‘a . d . se^p‘a = se^p‘maip‘a
Доказательство.
h . *206-42 . oh: Hp . э . se^p‘ma^p‘a = minp‘^‘maxp‘a
[*206-65] = minp'p'<P"(a A C'P)
[*206-13] = se^p‘a :□ F. Prop
* 206-47. h : Petrans . E ! seqp‘a. d . se^p‘a = maxp‘(a U se^p‘a)
Доказательство.
h . *206-134 . э h : Hp . э . a A C'P c^‘seqp‘a.
[*205-193-151] d . ma^p‘(a U secret) = ma^p‘se^p‘a
[*206-133 . *205-18] = i‘seqp‘a :эк. Prop
* 206-48. h : Petrans A connex. E ! seqp‘a . d . se^p‘se^p‘a = se^p‘(a U se^p‘a)
Доказательство.
h . *206-47 . э h : Hp. э .
se^p‘se^p‘a = se^p‘ma^p‘(a U se^p‘a). E ! maxp‘(a U seqp‘a).
[*206-46] d . se^p‘se^p‘a = se3p‘(a U se^p‘a): d h . Prop
* 206-5. h : Petrans П connex . E ! maxp‘a . E ! seqp‘a . d . maxp‘a(P- P2) seqp‘a
Доказательство.
h . *206-46 . э I-: Hp . э . se^p‘a = se^p4‘maxp‘a
<----------------------------------X
[*206-42] = P - P2‘maxp‘a : э I-. Prop
* 206-51. h : g! maV?‘r. э . xseqp~P'x
Доказательство.
F.*205161. э I-: Hp. z>. g!^‘x.
[*33-42] э.хеСТ (1)
I-. (1). *206-134 . эF Hp. э :xseq^T^'x. = ,^‘xc^‘x.^‘xc -p‘^“^‘x.
[*22-42] E.?‘xc-p‘W‘x (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
576
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
h . *205-101 . э h . э : уРх. у ~ еР“~?'х:
[*37-1] э : уРх: хРх. dz . ~ (yPz):
[*32-18 . *5-31] э : zPx. dz . yel^'x. ~ (yPz) •
[*40-53] dz . z ~ e:
[*32-18] э:^‘хс-р‘^“Л (3)
F . (2). (3). э h : Hp .yemaV^x. d . xseqpl^‘x:dF. Prop
*206-52. F : Petrans A connex. E ! maxp‘P“a. d .
E ! seqp‘P“a. seqp‘P“a = maxp‘a
Доказательство.
F . *205-7 . э F: Hp. э . E ! maxp‘a. (1)
[*205-22] d . P“a =^‘maxp‘a (2)
F. (2). *206-51 . э F: Hp . d . maxp‘a seqpP“a.
[*206-161] d .maxp‘a = seqp‘P“a (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*206-53. F : PeSer . d . se^p‘p‘^“(oi A C‘P) = minp‘a
Доказательство.
F . *206-13 . d F. se^p‘p^“(a A C‘P) = minp‘p‘^“{p‘^“(a А C‘P) A C'P]
[*205-15-16 . *206-18 . *200-54] =пйпр‘{С‘РПр‘^“р^“(аПС‘Р)} (1)
F. (1). *204-62 . d F: Hp . d . se^p‘p‘^“(a A C'P) = minp‘{(а A C'P) U P“a}
[*205-19 . *201-52] = minp‘a :dF . Prop
*206-531. h:PeSer.D.
C'P A x {p'~?"(a A C'P) =?'x] = se$p'p'~P"(a A C'P) = minp‘a
Доказательство.
F . *206-172 . *201-51 . э
F : Hp . э . se&p'<P"(a А C'P) = С'РПх{p'~?"(a A C'P) A C'P =~?'x] (1)
F. (1). *40-62 . э F : Hp. a! (a A C'P). э .
se^p>‘^“(a A C'P) = С'РПх {p‘7*“(a A C'P) =1*'x] (2)
F . *205-16 . *206-53 . э F : Hp. a A C'P = A. э . se^p‘p‘^“(a A C'P) = A (3)
F . *40-2 . □ F : a A C'P = A . z>.
C‘P Л x {p‘7*“(a П C‘P) =7*‘x) = C'P Л x (V ^'x) (4)
I-. *50-24 . э I-: Hp. э . (x). x ~ e^‘x.
[*24-104] o.(x).^‘x/V (5)
I-. (4). (5).э1-:Нр.аПС? = Л.э.С?Пх{р‘>(аПС‘Р)=А) = Л
[(3)] =§ё^>‘р‘^“(аПС‘Р) (6)
I-. (2). (6). *206-53 . э h. Prop
*206-54. I-PeSer. э: E !. э: E ! seqp‘p‘^“(a Г) C'P). =. E ! minp‘a:
E 1 maxp‘p‘^“(a 0 C'P). =. E ! precp‘a
Доказательство.
h . *206-53 . э h Hp . э : E ! seqp‘^“(a A CP). = . E ! minp‘a (1)
I-. *206-13-101 . э h : E ! maxp‘p‘^“(a А СР). н . E ! precp‘a (2)
h . (1). (2). э h . Prop
Principia Mathematica II
*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
577
*206-55. I-Ре Ser . э : (а). а е CPminp U СГргеср . = .
(а). р‘"?“(а О С‘Р) eCTmaxp U CTseqp [*206-54-161 . *205-32]
*206-551. I-: Ре Ser. э. se^p'a = Л C‘P).
пй/а - тёйр‘р‘^“р‘^“(а Л C‘P)
Доказательство.
h . *206-13 . эк.se^p‘a = minp‘p‘^“(aAC'P) (1)
h . (1). *206-53 . э h : Hp. э . se^p‘a = s^p>‘^“{p‘^“(a А C'P) A C'P} (2)
h . (2). *200-54 . э h : Hp. g! P. э . se^>‘a = se^‘p‘7*‘‘p‘^‘‘(a A C'P) (3)
h . *206-18 . d h : P = A . э . se^p‘a = A . se^p‘p‘^“p‘^“(a П C'P) = A (4)
h . (3). (4). э к : Hp . э . se^p‘a = se&p'~?"p'<P"(a A C'P) (5)
h . *206-53 . эк: Hp . э . ma£p‘a = preip‘p‘^“(a A C'P)
[*206-13-101 . *200-54] = i^p'p'~$"p'*P"(a. A C'P) (6)
I-. (5). (6). э F . Prop
*206-56. h P e Ser . э : (a). p'~^"(a A C'P) € CTmaxp U CTseqp . = .
(a). a e CTmaxp U CTseqp
Доказательство.
h . *10-1-11 . эк : (a). aeCTmaxp U CTseqp . d .
(a). p‘ \a | PC T)e CTmaxp U CTseqp (1)
h . *10-1 . эк:(а). p'~P"(a A C'P) e CTmaxp U CTseqp . d .
р'^"р'^Р"(^ A C'P) eCTmaxp U CTseqp .
[*206-551] э. p e CTmaxp U CTseqp (2)
h . (1). (2). d h . Prop
*206-57. h : PeSer . э : (a). ae CTminp U CTprecp . = .
(a). a e CTmaxp U CTseqp [*206-55-56]
Это предложение является важным, поскольку оно показывает, что ко-
гда сериальное отношение удовлетворяет аксиоме Дедекинда, то обратное
также верно. Поэтому если все классы, которые не имеют максимума, име-
ют верхнюю границу, то все классы, которые не имеют минимума, имеют
нижнюю границу, и наоборот.
*206-6. F : S еРsmor Q. э . р'<Р"(а А С'Р) = S"p'^"S"a
Доказательство.
F . *151-11 . э F : Нр. э . р‘^“(а Л С‘Р) = plSЛ D‘S)
[*72-341] =S“p‘£‘“S'“(cmD‘5)
[*71-613] = 5“р‘^“5“а:э1-.Ргор
*206-61. h : S е Psmor Q. э . secret = S"sq^q'S“a
Доказательство.
h . *205-8 . *206-6-13 . э h : Hp . э . se^p‘a = S “min^^ "S "p'^"S "a
[*72-501 . *151-11] =S"m^'(p'l)"S"anC'Q)
[*206-13 . *205-15] =5“se^6‘5“a: эк . Prop
*206-62. h S e P smor Q. э: E ! seqp‘a. = . E ! seqg‘5“a
[*206-61 . *73-22-44 . *53-3]
*206-63. h S € P smor Q. E ! seqp‘a. э . seqp‘a = 5‘seqg‘5“a
[*206-61-62 . *53-31]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
578
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*206-7. h : Petrans . Р с С'Р. ~ (уРу).у ~ ета£Р‘Р. э .
-1»
Доказательство.
h . *51-222 . э h : у ~ е Р . э . р‘^“Р = р‘^“(Р “ L‘j) (1)
F . *205-111 .oh:. Нр .у ер . э :уеГР. ~ (уРу):
[*37-1] э : (gx). х е р - i‘y. уРх:
[*10-56 . Нр] э : z е р‘^“(Р - i‘y) • э . yPz:
[*53-14 . *51-221] э : p‘k“(P - i‘y) с р‘^“Р:
[*40-16] э : р‘^“(Р - i‘y) = р‘^“Р (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*206-71. h : Р е trans. Р с С'Р. ~ (уРу). у ~ е пййР‘Р. э . sec^/P = se^>‘(P - i‘j)
Доказательство.
h. *51-222 . э I-:у ~ер . э .se^p‘P = se^/>‘(P - i‘y) (1)
F.*205-lll .Dh:Hp.yep.D.yeP“p.~(yPy).
[*37-1] D.(gz).zep-L‘y.yPz (2)
h . (2). *10-56 . *201-1 .oh: Hp .у eP . P - i‘y с.1*'х. d .yPx.
[*32-18] э.рс>х (3)
h.(3). *206-7. э h Hp(2). э :
p c^‘x.^‘xc-p‘^“P . = . P - i‘yc^‘x.^‘xc-p‘^“(P - i‘y):
[*206-134] э : x seqp P . = . x seq/> (P - i‘y) (4)
h . (1) . (4). d h . Prop
*206-72. h : Petrans . ~ (yPy) .y ~ ema£P‘P. d . sec^/P = sec^XP - i‘j)
Доказательство.
h . *206-71-131 . *205-151 . э h : Hp . э . se^/p = se^4P A C'P - Cy)
[*206-131] = se^XP - i‘j): э h . Prop
*206-73. h : 3!у A C'P. E ! precP‘y . E ! seq/Zy . d . precP‘yP2 seqj/y
Доказательство.
h . *206-211 . э h : Hp. э . у П C'P cT^seq/y A ^‘precP‘y . 3! у Л C'P.
[*34-11] э . precP‘y P2 seqj/y : d h . Prop
*206-731. h 3! у A C'P: Petrans . V . P2 G J: d . ~ (precP‘y = seq^y)
Доказательство.
h . *206-73 . э
h : 3! у Л C'P. E ! precP‘y . E ! seq/Zy. Pe trans . э . precP‘y Pseqp'y.
[*206-133] э. precP‘y / seq/y (1)
h . *206-73 . э
h : 3! у П C'P. E ! precP‘y . E ! seq/y. P2 G J. э . precP‘y / seqP‘y (2)
h . *14-21 . dH~(E ! precP‘y. E ! seq^y). z>. ~ (precP‘y = seq/Zy) (3)
h . (1) . (2). (3). э h . Prop
Заметим, что “precP‘y / seq/Zy” не то же самое, что ~ (precP‘y = seqj/y).
Первое приводит к Е! precP‘y. Е! seq/Zy, в то время как второе —нет,
в силу соглашений относительно дескриптивных символов, разъясненных
в *14.
Principia Mathematica II
*206. СЕКВЕНТНЫЕ ТОЧКИ
579
*206-732. I-Р € trans . V . Р2 G J: э . ~ (prec/y = seq/y)
Доказательство.
I-. *206-14 . э I-: у П С'Р = Л. э . prec/y = ~3'Р. seq/y =~Ё'Р.
[*93-101] э . ргеср‘у П seq/y = Л
[*53-4] э . ~ (ргес/у = seq/y) (1)
F. (1). *206-731 .oh. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
580
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*207. Границы
Краткое содержание *207.
Терм х называется “верхней границей” а в Р, если а не имеет макси-
мума, а х является секвентом а. В этом случае х непосредственно следует
за классом а, хотя не существует ни одного элемента а, за которым непо-
средственно следует х. Секвенты, которые являются границами, обладают
особой важностью, и оказывается удобно иметь специальное обозначение
для них. Мы пишем “lt/а” для верхней границы а; или, если более удоб-
но, “lt(P)a”. (Это является более удобным, когда Р заменяется выраже-
нием, состоящим из нескольких букв, или буквой с суффиксом.) Нижняя
граница а будет непосредственным предшественником а, когда а не имеет
минимума; мы обозначаем это с помощью tip‘а.
Следующие предложения о границах по большей части следуют непо-
средственно из предложений *206 о секвентах.
Наше определение оформлено таким образом, что граница нулевого
класса представляет собой первый элемент нашей серии (если таковой име-
ется). Это отступление от традиции оказывается удобным для того, чтобы
всякий раз, когда наша серия содержит любую граничную точку в обыч-
ном смысле, серия граничных точек могла существовать, т.е. для того, что-
бы Р [ D‘ltp могла существовать всякий раз, когда существуют экзистенци-
ональные части С‘Р, которые имеют верхние границы. Серия Р £D‘ltp яв-
ляется “первой производной” Р. Определение границы представляет собой
Itp = seqp f (- СГтахр) Df.
Помимо границ нам требуется для многих целей единое обозначение
для “границы или максимума”. Это мы обозначаем посредством “limaxp”,
полагая
limaxp = maxp U ltp Df.
Аналогично для нижней границы или минимума мы используем “liming”,
полагая
liming = minp U tip Df.
Мы имеем tlp = lt(P) (*207401) и liminp = limax (P) (*207-401). Следователь-
но, нет необходимости доказывать предложения, касающиеся нижних гра-
ниц, поскольку они вытекают непосредственно из предложений, касающих-
ся верхних границ.
В силу нашего определения границы, х ограничивает а, если х являет-
ся секвентом а и а не имеет максимума (*207-11). Поэтому если а имеет
максимум, то он не имеет границы (*207-11), однако если он не имеет мак-
симума, то класс его границ есть класс его секвентов (*207-12). Поэтому
существование класса границ эквивалентно существованию класса секвен-
тов вместе с неэкзистенциональностыо класса максимумов, т.е.
*207-13. I-: g! ltp‘a. = . ~3! ma£p‘a. 3! se^>‘a
Предложения *207-2—232 состоят из различных формул для ltp‘а. Мы
имеем
*207-2. I-: Р€connex. хltp. a. э . а П С‘Рс^‘х .^‘хсР“а
Principia Mathematica II
♦207. ГРАНИЦЫ
581
Т.е. весь а А С'Р предшествует х, однако любой предшественник х пред-
шествует некоторому элементу а.
*207-231. h : PeSer . gjlt/a. э .lt/a = ёРА х(Р'х = Р“а)
Т.е. граница а, если существует, есть терм, чьи предшественники тож-
дественны с предшественниками некоторой части а.
Мы также имеем
*207-232. I-Рс Ser. э : х = It/a. = . хс ёР- а .~Р‘х = Р“а
Это предложение следует сравнить с *205-54, которое (в немного изме-
ненной форме) представляет собой
h PeSer . э : х = maxp‘a . = .xeC'P Aa.?‘x = P“a
Из этих двух предложений мы получаем
*207-51. I-PeSer . э : х = limax/a . = . хеёР.^‘х- Р''а
которое служит для демонстрации полезности “limaxp”.
Мы имеем
*207-24. h : Ресоппех. э .lt/>‘aeO U 1 . Itp е 1 —> Cis
Т.е. если Р связно, то класс не может иметь более одной границы; кроме
того,
*207-25. I-: Ре trans. р cP“a. э .ltp‘(a и Р) =^tp‘a
Т.е. любые термы, которые имеют несколько a-элементов за ними, мо-
гут быть добавлены к а без изменения границы.
Далее мы имеем группу предложений (*207-251—27), доказывающих,
что если класс имеет границу, то какой-либо один терм класса может быть
удален без изменения границы (*207-261), и в любом случае при условии,
что класс не является единичным, его минимум (если таковой имеется) мо-
жет быть удален без изменения границы (*207-27). Далее мы доказываем
(*207-291), что если Р серия и а является классом, который имеет границу,
то предшественники этой границы представляют собой класс Р*“а.
Далее мы имеем группу предложений (*207-3—36) о границе ^‘х и со-
путствующих вопросах. Если х не имеет непосредственного предшествен-
ника, то граница ~Р'х есть х, и наоборот (*207-32-33). Следовательно,
*207-35. F : Р € RTJ А соппех. э . D‘ltp = С'Р - Q (Р - Р2)
Т.е. граничными точками Р являются те точки, которые не имеют непо-
средственных предшественников.
Далее мы обращаем свое внимание к “limaxp”, которое к тому же явля-
ется одно-многозначным при условии, что Р связно (*207-41). Мы имеем,
по определению,
*207-42. F : 3! maip‘a. э . limaxp‘a = maip‘a
*207-43. I-: maip‘a = Л . э . limaxp‘a = эёф/а = ltp‘a
*207-44. I-. CTlimaxp = CTmaxp U CTltp = CTmaxp U CTseqp
*207-45. I-. limaxp‘a = тЙ/а ultp‘a
Мы также имеем
*207-46. h x = limaxp‘a . = : x = maxp‘a . V . x = ltp‘a
которое является очень полезным предложением, так же как и *207-51
(приведенное выше).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
582
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
Полезным предложением в связи с классом классов, содержащихся в се-
рии, является
*207-54. I-: Ре Ser . KcCTltp . э . limaxp ‘It р “ к = limaxp ‘ s ‘ к = Tt р ‘ s ‘ к
Т.е. если каждый элемент к имеет границу, то граница или максимум
(если таковой имеется) границ представляет собой границу или максимум
(на самом деле границу) 5‘к.
Далее мы имеем группу предложений (*207-6—66) о корреляциях, до-
казывающих, что граница или limax коррелятов является коррелятом гра-
ницы или limax, т.е.
*207-6. I-: S е Рsmor Q . э .It/а =
*207-64. I-: S е Р smor Q . э . limaxp‘а = 5“limax£‘S“a
Три последних предложения (*207-7—72) представляют собой леммы,
которые применяются в теории промежутков (*215-5-51).
*207-01. ltp = It (Р) = seqp [ (- CTmaxp) Df
*207-02. tip = tl (P) = precp [ (- Q‘minp) Df
*207-03. limaxp = maxp U ltp Df
*207-04. liminp = minp U tip Df
*207-1. h : xltp а. = . xseqpа. [(*207-01)]
*207-101. I-. tip = It (P) [*205-102 . *206-101 . (*207-02)]
Мы не будем далее давать предложения о нижних границах, если на
то нет особой причины, поскольку все они вытекают непосредственно из
предложений о верхних границах на основании
*207-11. I-: д! пй/а . э .ltp‘a = А
*207-12. I-: та£р‘а = А . э . ltp‘a = se^p‘a
*207-121. F : а А С‘РсР“а. э .ltp‘a = se^p‘a
*207-13. F : g! ltp‘a . = . ~g! пй/а . g! se^p‘a
*207-14. Fg! maip‘a. V . g! se^p‘a: =: g! пйр‘а. V . g! ltp‘a
[*207-13 . *5-63]
*207-101.
[*207-1]
[*207-1]
[*207-12 . *205-123]
[*207-1]
Приведенное выше предложение является важным, так как
(a): д! пйр‘а. V . g! ltp‘a
является признаком “Дедекиндовой” серии, т.е. такой серии, которая удо-
влетворяет аксиоме Дедекинда.
*207-15. F : х ltp a. = .хеС'Р. a А ёРс Р“а а"?‘х .~Р‘х с - р‘Х“(а А С‘Р)
[*207-1 . *205-123 . *206-134]
*207-16. F .ltp‘a =ltp‘(a А С‘Р) [*207-15 . *37-265]
*207-17. I- .Ttp‘A =/1‘Р [*20712 . *205-161 . *206-14]
*207-18. Ь : G‘PcD‘ltp . = . C‘P = D‘ltp
Доказательство.
F. *207-17 . z> I-: СГР c D4tP . s . G‘P U~3‘P a D‘ltP.
[*93-103] =.C'P cD'ltp.
[*207-15] = . C‘P = D‘ltP :=>!-. Prop
Principia Mathematica II
*207. ГРАНИЦЫ
583
*207-2. I-: Ресоппех. xltp . а. э . а А С‘Рс^‘х.^‘хсР“а
[*207-15. *202-503]
*207-21. F : Р2 G J .xeC'P . а А ёРс^‘х.1^‘хсР“а. э . xltp а
Доказательство.
I-. *200-53 . э I-: Р2 g J. э . Р“а с - р‘Х“(а А С‘Р) (1)
I-. (1). э F: Нр . э . хеС‘Р. а А ёРс^‘х .^?‘х с - р‘^“(а А С‘Р).
[*206-134] э. х seq/> а (2)
F . *22-44 . э F: Нр .э.аА С‘РсР“а.
[*205-123] э.та£/а = Л (3)
F . (2). (3). *207-1 . э F . Prop
*207-22. I-: Ресоппех. Р2 G J. э .lt/a = C‘P Ах(а АС‘Рс^‘х.^‘хсР“а)
[*207-2-21]
Это предложение очень часто является наиболее удобной формой для
ltp‘a. Оно утверждает, что граница а является элементом х класса ёРта-
кого, что а А С'Р целиком предшествует х, однако каждый предшественник
х предшествует некоторому элементу а.
*207-23. I-: Ре Ser. э .Tt/a = С'Р А х(Р'х = Р"а. а А С'Р с Р“а)
Доказательство.
F . *13-12 . *22-42 . э
F :^‘х = P“a . а А С'Р с Р"а . э . а А С'Р а1*'х.1*'х с Р"а (1)
F . *205-501 . *37-265 . э F:. Petrans . э : а А С'Р с.~Р'х. э . Р“а с7?'х:
[Fact] э: а А С'Р сТР'х .~Р'х с Р“а . э .^‘х = Р"а (2)
I-. *22-44 . э F : а А С'Р с.~Р'х.~Р'х с Р“а .□ .а А С'Р с. Р"а (3)
F . (1). (2). (3). э
F :. Petrans . э : а А С‘Рс"?‘х.^‘хсР“а. = .^‘х = Р“а . а А С'РаР"а (4)
I-. (4). *207-22 . э F. Prop
*207-231. F : Р е Ser. g !lt/a. э .lt/a = C'P A x(P'x = P“a) [*207-23]
*207-232. I-:. Pe Ser . э : x = ltp‘a . = . xeC'P - a.I^'x = P“a
[*206-28. *207-1]
*20724. I- : Ресоппех. э .Tt/aeO U 1. lt/>e 1 —> Cis
Доказательство.
I-. *206-161 . *71-26 . (*207-01). э h : Hp. d . Itp e 1 —> Cis. (1)
[*71-12] D.ltp‘ae0Ul (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*207-25. F : Petrans. pcP“a. э .ltp‘(a U p) =ltp‘a
Доказательство.
F . *205-193 . э F : Hp.g! пйй/a. э . g! йй?‘(а и р) (1)
F . (1). *207-11 . э F : Нр . д! пйй/а. э .ltp‘a = Л .ltp‘(a U р) = Л (2)
F . *205-193 . *207-12 . э
F : Нр. mal/a = Л . э .lt/а = se^>‘a .ltp‘(a U р) = зёф>‘(а U р).
[*206-24] э. Itр'а = Itр ‘(a U р) (3)
F . (2). (3). э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
584
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*207-251. F : Ре trans. р сР“а. э . lt/(aU р) = It/а
Доказательство.
I-. *51-222 . э I-: у ~ е р . э .lt/p = Tt/(p -i‘y) (1)
I-. *207-25 . э F : Hp. э .lt/{(p - i‘y) U i‘y] = Tt/(P -i‘y) (2)
F. (2). *51-221 . э I-: Hp . у e p . э .lt/p = ItP‘(p - Cy) (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*207-26. F : Petrans. ~ (yPy). gllt/p . э .Tt/p =Tt/(P - L‘y)
[*207-13-12 . *206-72]
*207-261. F : Petrans.уemin/p . gllt/p . э .lt/р =Ttp‘(p - i‘y)
[*207-26 . *205-194]
*207-262. F : PetransПconnex. g’.lt/P . d .lt/p =ltp‘(P- min/p)
[*207-261 . *205-3]
♦207-263. F : Petrans Пconnex. э .lt/p clt/(P - min/P)
[*207-262 . *24-12]
*207-27. F : Petrans A connex. p AC‘P~ e 1. z> ,ltp‘P =lt/> =Ttp‘(p - min/p)
Доказательство.
F . *24-26-101 . э F : minP‘P = A. э .Tt/p =Tt/(P - min/p) (1)
F. *52-181 .э
F : Hp . a! miii/p . э . (gy). у e P П C‘P. у # min/P.
[*205-2] э . (gy) . у e(p A C‘P) - i‘minp‘p . min/pPy.
[*37-1] э . minp‘peP“(p - L‘minp‘P).
[*207-251] э .lt/p =ltP‘(p - L‘minP‘p) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
♦207-28. F : Petrans. э .Tt/(a U P“a) =Tt/a [*207-25]
*207-281. F : Petrans • ~ 3! пйй/a. э .Ttp‘P“a =lt/a
[*207-28-16. *205-123]
* 207-282. F:Petrans• ~ 3!пйй/а• ~ 3 ’• ma^/P. Р“а = P“P. э.lt/a =lt/p
[*207-281]
* 207-29. F : Petrans. э .ltp‘a =lt/>‘P*“a
Доказательство.
F . *207-16-28 . z> F : Hp . э .lt/a =ltP‘{(a U P“a) A C‘P}
[*201-52] = ltp‘P*“a:dF. Prop
* 207-291. F : Petrans A connex. E ! It/a. э .^‘lt/a = P*“a
Доказательство.
F. *207-29. эННр.э. >ltP‘P*“a (1)
I-. *90-14-172. z>l-.P*“acC‘P.P“P*“acP*“a (2)
F . *207-11-12 . э F : Hp . э . seq/P* “a = lt/P* “a (3)
F . (2). (3). *206-3 . d F : Hp . э .”?‘seq/>‘P*“a = P*“a (4)
F . (1). (3). (4). э F . Prop
Principia Mathematica II
207. ГРАНИЦЫ
585
*207 3. F : аПёР= Л. э .Itp‘a =7l‘P
Доказательство.
I-. *205-151-161. z> F : Нр. э. та&а = Л (1)
F . *206-14 . э F : Нр. э. se<^p‘a =7l‘P (2)
I-. (1). (2). *207-12 . э F. Prop
* 207-31. I-: Р G J. х е С'Р - (Г(Р - Р2) • э. х Itp^'x
Доказательство.
F . *206-41. э F : Нр. э . та£рг?‘х = Л (1)
F . *206-4 . z> F : Нр. э. хзёс^р^'х (2)
F . (1). (2). *207-1 . э F . Prop
* 207-32. F : РеRTJПconnex. хеС'Р- СГ(Р- Р2). э. х = ltp\?‘x
[*207-31-24]
* 207-33. F : xeQ‘(P-Р2). э .Tt/»‘^‘x = Л [*205-252 . *207-11]
* 207-34. F : Реconnex. xltp‘a. э . xltp^'x. x~eG‘(P- Р2)
Доказательство.
F . *207-15 . э F : Нр. э. хеС‘Р. a ClC‘PcP“a. a Cl C'Pc~P‘x.
?‘хс-р‘Х“(аПС?) (1)
F . *40-16 . э F : an C'Pc.~?'x. z>.p'*P"~?'xсp‘*P"(a П C'P).
[♦22-81] а.-р'*Р"(а(УС'Р)а-р'*Р"~Р'х (2)
F . (1). (2). z> F : Hp. z> . xeC'P .~P‘xc - p‘<P“~P‘x.
[*22-42] . xeC'P.~P‘xc~P‘x.~P‘xc-p‘<P“~P‘x (3)
F . (1). *202-505 . z> F : Hp. z> .7*‘x c (a П C‘P) U P“a. a П C‘P c P“a.
[*22-62] z>.~P‘xcP"a (4)
F . (1). *37-2-265 . э F : Hp. э . P“a c P“7*‘x (5)
F . (4). (5). oF:Hp.=>.’?‘xcP“?‘x (6)
F . (3). (6). *207-15 . э F . Prop
* 207-35. F : P e R1‘ J A connex. z>. D‘ltp = C'P - Q (P - P2)
Доказательство.
F . *207-34 . э F: Hp. э . D‘ltP = C'P - G‘(P - P2) (1)
F . *207-15 . э F . D‘lt/> cC‘P (2)
F. *207-32 . z> F: Hp. z>. C'P - Q‘(P - P2) a D‘ltP (3)
F . (1). (2). (3). э F. Prop
*207-36. F : P e R1‘ J A connex. э .
D‘ltp = ltP“?“(C? - Q‘(P - P2)[ = ltp "~P"C'P
Доказательство.
F. *207-32 . э F: Hp. z>. C'P - G‘(P - P2) = ltp“7*“{C‘P - G‘(P - P2)} (1)
F. (1). *207-35 . => F: Hp. =>. D‘ltp = ltp“"?“{C‘P - G‘(P - P2)} (2)
F. *207-33. z>F.ltp“>‘{C‘Pna‘(P-P2)} = A (3)
F.(l).(3). =>F:Hp.o.D‘ltp = ltp“‘?“C‘P (4)
I-. (2) . (4). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
586
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
В силу этого предложения все границы являются границами классов
вида В этом плане границы (вообще говоря) отличаются от сегмен-
тов. Если мы называем Р“а сегментом, определенным посредством а, то,
вообще говоря, будут существовать сегменты, отличные от вида^‘х. Ими,
однако, будут сегменты, которые не имеют секвентов и, следовательно, гра-
ниц; поэтому их существование не вводит границ, не выводимых из классов
вида ^‘х.
* 207-4. I-F х Umax а . а . = : х maxp а . V . х Itа :
= : xmaxp а.V.~ 3! тЙ/а. xseq/> а [(*207-03)]
* 207-401. I-. liming = limax (Р) [(*207-04)]
* 207-401. I-: Р € соппех. э . limaxp, liming е 1 —> Cis
[*71-24 . *205-31 . *207-24 . (*207-03-04)]
* 207-42. F: a! тЙ/а. э . limax/а = тЙ/а [*207-4]
* 207-43. F : тЙ/а = A . э . limax/a = se^/a =ltp‘a [*207-4]
* 207-44. F . CTlimaxp = CTmaxp U CTltp = CTmaxp U CTseq/>
[*207-14 . (*207-03)]
* 207-45. I-. limax/>‘a = пй/а ult/a [(*207-03)]
* 207-46. F x = limax/a . = : x = max/>‘a. V . x = lt/>‘a
Доказательство.
F . *207-45-11 . э F а! тЙ/а . э : x = limaxp‘a . = . x = max/a (1)
F . *207-45-12 . dF тЙ/a = A . э : x = limax/a. = . x = It/a (2)
F . (1). (2). *5-32 . э
F а • ma£/a . x = limax/a . V . тЙ/а = A . x = limax/>‘a: = :
a! тЙ/а. x - max/a . V . тЙ/а = A . x = It/a (3)
F . (3). *4-42 . э
F x = limax/a. = : 3! ma£/a. x = max/a . V . тЙ/а = A . x = It/a:
[*30-32] = : x = max/a . V . тЙр‘а = A . x = lt/а :
[*207-13] = : x = max/a . V . x = lt/а □ F . Prop
* 207-27. F : a!lt/a. = . 3! limax/a . ~ 3! тЙ/а
Доказательство.
F . *207-45-11 . э F : a!lt/a • . 3! limax/a. ~ 3! тЙ/a (1)
F . *20-45 . э F: 3! limax/a. ~3! тЙ/а. э. 3! It/а (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 207-48. I-. limax/a = limaxP‘(a fl C‘P) [*207-45 . *205-151 . *207-16]
* 207-481. F : Petrans. э . limax/a = Umax/P*“a
[*207-45 . *205-191 . *207-29]
* 207-482. F : P e Ser . a c C‘P. a = limax/a. э . a ‘a
Доказательство.
F . *205-22 . *90-151 . э F : Hp . a = max/a. э . a ‘a (1)
I-. *207-291 . *90-151. z> I-: Hp. a = ltP‘a. z>. P* “a ct.
[*90-21] o.acA'a (2)
I-. (1). (2). *207-46 . э I-. Prop
Principia Mathematica II
♦207. ГРАНИЦЫ
587
*207-5. F : PeSer . э . limax/a = se^p‘P“a = minp‘(malp‘aUse^p‘a)
[*206-33-35-37]
♦207-51. I-PeSer. э : x = limax/a. = .xeC'P .~P'x = P''a
[*205-54 . *207-232-46]
*207-52. I-П e Ser . 3! P“a. э : x = limax/a. = .~P'x- P''a [*207-51]
*207-521. I-: PeSer. э : x = It/a. = .xeC'P ,~?'x = P"a. ~ E ! max/a
Доказательство.
F. *207-51 . oFr.Hp.o:
xeC'P .~P'x = P"a. ~ E ! max/a. = . x = limax/a. ~ E ! max/a.
[*207-46] = . x = It/aэ I-. Prop
* 207-53. F : PeSer . kc CHimaxp . э . limaxp‘limaxp“к = limaxp‘s‘k
Доказательство.
F . *207-51 . э F Hp . э : аек. эа .^‘limaxp‘a = P“a :
[*37-68] э : "?' ‘limaxp“к = P“ ‘к:
[*40-5-38] э : P“limaxp“K = P"s'k :
[*207-51] э : x = limaxp‘limaxp “к. = . x = limaxp‘s‘K :.dF . Prop
* 207-54. F : PeSer. к c CTltp . э . limaxp‘ltp“K = limaxp‘s‘K =ltp‘s‘K
Доказательство.
F . *205-561 . *207-13 . э F : Hp . э . s‘k ~ e CTmaxp .
[*207-43] э. iimaxp‘s‘K=ltp‘s‘K (1)
F . *207-13-43 . э F : Hp . э . ltp“K = limaxp “к.
[*207-53] э . limaxp‘Itp“k = limaxp‘s‘k (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 207-55. F : PeSer . к c CTltp . $‘кеCTltp . э . limaxp‘ltp“K = ltp‘s‘K
[*207-54]
*207-6. F : S e P smor Q. э .ltp‘a = S “lte‘5“a
Доказательство.
F . *205-8 . *37-43 . э F Hp .0:3! malp‘a. = . 3! ma^‘5“a: (1)
[*207-11] э : 3! ma£p‘a. э .ltp‘a = Л .ltg‘5 “a = Л (2)
F . (1). TYansp. *207-12 . э
F Hp. malp‘a = Л. э : ltp‘a = se^p‘a. ltg‘5“a = se^e‘5 “a:
[*206-61] D.ltp‘a = 5“lte‘5“a (3)
F . (2). (3). *37-29 . э F . Prop
*207-61. F S e P smor Q. э : E ! ltP‘a. = . E ! lte‘5 “a [*207-6 . *53-3]
*207-62. F : S e P smor Q. E ! ltp‘a. э . ltp‘a = 5‘ltg‘.§“a [*207-6 . *53-31]
*207-63. F : S e Psmor Q. э . ltp“K = 5“ltg“.§‘“K
Доказательство.
F . *207-6 . *40-5 . э F : Hp . э . ltp“K = s‘5“‘lt0“,5 “‘к
[*40-38-5] = 5“ltg“.§‘“K: э F . Prop
*207-64. F : S e P smor Q. э . limaxp‘a = 5 “limaxp‘S “a
[*205-8 . *207-6-645]
*207-65. F S e Psmor Q. э : E ! limaxp‘a. = . E ! limaxg‘S “a
[*207-64]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
588
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*207-66. I-: S еPsmor Q. Е ! limax/a. э . limax/a = S‘limax/5“а
[*207-64]
*207-7. h Petrans . V . Р2 G J : э :
limin/y = limax/y. э . limin/y - minp‘у - max/y
Доказательство.
1-. *207-42-43 . э 1-: E ! min/y. E ! limax/y. ~ E ! max/y. э .
limin/y = min/y. limax/y = seq/y.
[*205-11 .*206-2] d. limin/y e у. limax/y ~ey.
[*13-14] э . limin/y / limax/y (1)
Аналогично
1-: E ! max/y. E ! limin/y . ~ E ! min/y. э . limin/y # limax/y (2)
h . *206-732 . *207-43-12 . э
h : Hp . ~ E ! min/y . ~ E ! max/y. э . ~ {limin/y = limax/y} (3)
h. (1). (2). (3). э 1-: Hp . limin/y = limax/y . э . E ! min/y. E ! max/y .
[*207-42] limin/y = min/y = max/y: э 1-. Prop
*207-71. H.P e connex: P e trans . V . P2 g J : limin/y = limax/y : э .
у П C‘P € 1. у П C'P = i/limax/y
[*207-7-205-73]
*207-72. кP econnex. P2 G J. э : limin/y = limax/y . = . у П C'Pe 1
[*207-71 . *205-731-17 . *207-42]
Principia Mathematica II
*208. КОРРЕЛЯЦИЯ СЕРИЙ
589
*208. Корреляция серий
Краткое содержание *208.
Предложения этого параграфа являются особенно важными из-за их
следствий в теории вполне упорядоченных серий (*250 и далее) и в тео-
рии вектор-семейств (*330 и далее). Когда две вполне упорядоченные серии
являются ординально подобными, то они имеют лишь один коррелятор; а
вполне упорядоченная серия не является ординально подобной никакому
из ее сегментов. Из этих двух предложений первое является непосредствен-
ным следствием *208-41, а второе —*208-47.
Предложения, касающиеся корреляторов двух отношений Р и 2, полу-
чаются из предложений, касающихся корреляторов Р с самим собой, на
основании того факта, что если 5, Т являются двумя корреляторами Р
и 2, то 5 | Т является коррелятором Р с самим собой. Кроме того, корре-
ляторы Р с самим собой рассматриваются в этом параграфе как особый
случай корреляторов Р с частями самого себя. Это последнее является по-
нятием, которое окажется важным по другим причинам, отличным от тех,
по которым оно используется в нашем текущем контексте. Если Р связно,
а 5 коррелирует Р с частью самого себя (так, что 5 ’РсР), то С'Р бу-
дет содержать термы трех видов: (1) те, для которых 5‘х = х, (2) те, для
которых (5 ‘х) Рх, (3) те, для которых хР (S'x). Наши предложения происте-
кают из неэкзистенциональности (при определенных условиях) максимумов
и минимумов классов (2) и (3).
Следующее определение определяет “корреляции Р с частями (либо це-
ликом) самого себя”. Запись “сгог” обозначает “ординальную корреляцию”.
Для кардинальной корреляции, если такой случай возникнет, мы будем ис-
пользовать “сг”, т.е. мы полагаем
сг‘а = s' sm а“СГа Df,
так что
5 есг‘а. = . 5 е 1 —> 1. П‘5 = а. D‘5 с а.
В настоящее время мы рассматриваем соответствующее ординальное поня-
тие; поэтому мы требуем, чтобы
5 е сгог‘Р. = . 5 е 1 -> 1. СГ5 = С‘Р. 5 5 Р g Р.
Мы обеспечиваем это, полагая
сгог‘Р= smor Р“Ш‘Р Df.
В дальнейшем будет замечено, что если а является тем, что мы
называем “нерефлексивным” классом (ср. с *124), то cr‘a = i7[a и
5 ecr‘a.o.D‘5 =a. Когда С'Р является нерефлексивным, то то же самое
справедливо для Р; а когда С'Р является рефлексивным, то Р также ре-
флексивно в том смысле, что оно содержит собственные части, подобные
самим себе, несмотря на то, что если Р является вполне упорядоченным,
то такие собственные части не могут быть сегментами Р, однако должны
простираться до конца С'Р.
Класс полных корреляторов Р с самим собой, т.е. Р smor Р, представ-
ляет собой подкласс сгог‘Р и является особенно важным. Этот класс во
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
590
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
многих аспектах отличается по своим свойствам от соответствующего кар-
динального класса. Если а имеет более одного элемента, то класс a sm а
(который является “перестановками” а в самом обычном смысле) всегда
имеет более одного элемента. Однако класс Р smor Р (состоящий из таких
перестановок С‘Р, которые сохраняют порядок неизменным) будет состоять
из единственного терма I f С‘Р, если С'Р не содержит классы, которые не
имеют ни минимума, ни максимума, в таком случае найдется множество
корреляторов Р с самим собой. В качестве простой иллюстрации возьмем
серию отрицательных и положительных целых чисел в их естественном по-
рядке. Тогда если v является каким-либо целым числом, то +v является
коррелятором всей серии с самой собой. Если мы берем только положи-
тельные целые числа, то +v более не является коррелятором всей серии
с самой собой, поскольку все целые числа, меньшие, чем v, не включаются
в коррелят.
Первое важное применение предложений этого параграфа относится
к началу теории вполне упорядоченных серий (*250). Используемыми там
предложениями являются
* 208-41. F : Ресоппех. Р2 G J. Cl ех‘ёРс Q‘minp U Q‘maxp .
Р smor Q. э . (Р smor Q) el
Т.е. если Р связно и асимметрично и каждый экзистенциональный под-
класс С'Р имеет либо минимум, либо максимум, а Р и Q не могут иметь
более одного коррелятора.
* 208-42. При тех же самых условиях, Р smor Р = C(J [ С'Р)
* 208-43. F : Cl ех'С'Р с G‘minp . 5 е сгог‘Р. э. ~ (gx). (S 'х) Рх
Т.е. если каждый экзистенциональный подкласс С'Р имеет минимум, то
коррелятор Р с частью самого себя никогда не может перемещать термы
в обратном направлении. Поэтому, например, в простейшем случае беско-
нечная серия, состоящая из некоторых натуральных чисел в порядке воз-
растания величины, не может иметь свой ц-й терм меньшим, чем ц.
* 208-45. F : Р е соппех. С1 ех'С'Р с Q‘minp A Q‘maxp . э . RTP A Nr'Р = t'P
Т.е. если Р связно и каждый экзистенциональный подкласс С'Р имеет
и максимум, и минимум, то ни одна собственная часть Р не является по-
добной Р. Это предложение является важным в теории конечных серий и
конечных ординалов.
* 208-46. F : С1 ех'С'Р с. Q‘minp . 5 есгог‘Р. э . С'Р A pi4p"D'S = Л
Т.е. если каждый экзистенциональный подкласс С'Р имеет минимум,
то часть Р, которая подобна Р, должна простираться до конца Р, т.е. не
должна полностью предшествовать любому элементу С'Р.
* 208-47. F : С1 ех'С'Р с G‘minp . Q G Р. g! С'Р A p'*P"C'Q .z> .~(Q smor P)
Это предложение является непосредственным следствием *208-46.
Доказательство приведенных выше предложений проводится путем де-
монстрации того, что если 5 есгог‘Р и (5‘х)Рх, то (S'S'x) P(S'x), так что
х не является самым ранним термом, для которого (5‘х)Рх, поскольку
S'x является более ранним термом, для которого то же самое имеет ме-
сто. Следовательно, х{(5‘х)Рх} может не иметь минимума; и подобным
Principia Mathematica II
*208. КОРРЕЛЯЦИЯ СЕРИЙ
591
же образом х{хР(5‘х)} может не иметь максимума (*208-14). До настояще-
го времени нам не требовалась гипотеза касательно Р. Предполагая, что
Р е соппех. Р2 g мы показываем подобным образом, что если 5 коррели-
рует все Р с самим собой, то х{(5‘х)Рх} может не иметь максимума, а
х{хР(5‘х)} может не иметь минимума.
Предложения о корреляторах Р с Q следуют из изложенного выше по-
средством двух корреляторов S и Т и применения приведенных выше пред-
ложений к S | Т, который является полным коррелятором Р с самим собой.
*208-01. сгог‘Р= 5* smor P“R1‘P Df
*2081. I-: S есгог ‘Р.н.5е1^1.а‘5=С‘Р.5 5РсР
Доказательство.
I- . *40-4 . (*208-01). *151-11 . z>
I-: 5 ecror'P. = . (gg). Qa P. S e 1 -> 1. CTS = C'P. Q = S >P.
[*13-195] =. 5 e 1 —> 1. Q‘5 = C‘P • 5 5 P G P: э h. Prop
* 208-11. e cror‘P. э. S ’ P g P £ D‘5
Доказательство.
F . *150-203 . э F Hp . э : x (5 ’ P) у . э . x, у e D‘5 (1)
F . *208-1 . э F Hp. э : x (5 5 P) у. э . xP (2)
F . (1). (2) . dF . Prop
* 208-111. F : 5 есгог‘Р. э. D‘5 = C‘5 »P = S“C‘P. D‘5 c Q‘5
[*150-22-23 . *208-1 . *33-265]
* 208-12. F : 5 e cror‘P . z> .5 5 5 5 P = P . AG 5 5 P [*151-252-26 . *208-1]
* 208-13. F : 5 e cror‘P. z>. (5 ‘5 ‘x) P (5 ‘x)
Доказательство.
F . *208-12 . э F : Hp . э . (5‘x) (5 »P)x.
[*150-41] z>. (5 ‘5 ‘x)P(5‘x): э F . Prop
* 208-131. F: 5 e cror‘P. xP (5 ‘x). z>. (5 ‘x) P (5 ‘5 ‘x)
[Доказательство аналогично *208-13]
* 208-14. F : 5 e cror‘P. z> . minp‘x {(5 ‘x) Px] = A . malp‘x {xP (5 ‘x)} = A
Доказательство.
F . *208-13 . *20-3 . э FHp. э: xex{(5 ‘x)Px}. э. 5 ‘xex{(5‘x)Px]. (5 ‘x)Px.
[*37-105] э. xe A‘x{(5‘x)Px} (1)
F . (1). *24-3 . э F : Hp . э . x {(5 ‘x) Px} - P* ‘x {(5 ‘x) Px} = A .
[*205-11] э . min/x {(5 ‘x) Px} = A (2)
Аналогично F : Hp . э . malp‘x {xP (5 ‘x)} = A (3)
F . (2). (3). э F . Prop
Поэтому доказательство того, что х{(5‘х)Рх} не имеет минимума, а
х{хР(5‘х)} не имеет максимума, не требует гипотез касательно Р. Доказа-
тельство того, что х{(5‘х)Рх} не имеет максимума, а х{хР(5‘х)} не имеет
минимума, требует гипотезы Р е соппех . Р2 g J, Это доказательство проис-
текает из следующих предложений.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
592
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
* 208-2. F : Ресоппех • Р2 G J.S естот'Р .z>.P = S ’’Р. S > Р = Р [D‘S
Доказательство.
F. *150-41 . э F :. Нр. э: х(5 >Р)у. = .(S*x)P(S‘y).
[*50-43-45] э. S ‘х # 5 ‘у. ~ (S ‘у) Р (S ‘х)}.
[*30-37 • *150-41] z>.x#y.~{y(S !Р)х}.
[*208-12 . Transp] z>. х / у. ~ (уРх) (1)
F.*150-203. dF:x(S ;Р)у.э.х, yeCTS (2)
I-. (2). *208-1. э F :. Нр. э : х(5 ’ Р)у. э.х,уеёР(3)
F. (1). (3). *202-103 . э F :. Нр. э : х(5 :р)у.э.хРу (4)
I-. (4). *208-12 . э F : Нр. э. Р = S ’ Р (5)
F. (5). z>F:Hp.z>.S ’P = S ’S 'Р
[*150-38] =P[D‘5 (6)
F . (5). (6). э F . Prop
* 208-21. F: P e connex. P2 G J • 5 e cror‘P. (S ‘x) Px • xe D‘5 • э • xP (5 ‘x)
Доказательство.
F. *33-43 . э F : Hp. э. (S‘x) (P [ D'S) x.
[*208-2] э.(5‘х)(5 ;p)x.
[*150-41] z>.(£‘S‘x)P(S‘x).
[*72-42 . *33-43] z>. xP (5 ‘x): э F . Prop
*208-211. F: P econnex.P2<lJ.S ecror‘P.xP(S‘x).xeD‘5 • z>.(S‘x)Px
[Доказательство аналогично *208-21]
*208-22. F: Peconnex. P2 G J. S ecror'P. D‘S c D‘5 . э.
пйр‘х {(5 ‘x) Px) = A. minp‘x {xP (S ‘x)J = A
Доказательство.
F • *33-43 • z>F:. Hp. э: (S‘x)Px. э. xeD‘5 . xeCTS .
[*208-21] э . xP(5‘x). xeQ‘5 .
[*72-241 ] э. xP (5 ‘x). 5 ‘x e x {(5 ‘x) Px}.
[*37-1] =>.xeP“x{(S‘x)Px} (1)
F . (1). *205-123 . э F : Hp. z>. maS/x {(A ‘x) Px) = A (2)
Аналогично F : Hp. э. min/x {xP (S ‘x)} = A (3)
F . (2). (3) • э F . Prop
Заметим, что в силу *208-111 приведенная выше гипотеза дает
§‘5 = CTS =С'Р, так что § е Рsmor Р. Следовательно, мы приходим к *208-3.
*208-3. F: Р € connex. Р1 G J . 5 e Р smor Р. э .
~ а! min/x {(5 ‘х) Рх]. ~ а! {(5 ‘х) Рх].
~ а! minp‘x {хР (S ‘х)} • ~ а • {хР (S ‘х)}
Доказательство.
I-. *151-11 . *150-23 . э I-: Нр. э . 5 е 1 -4 1. (Г5 = С'Р. 5 5 Р = Р. D‘5 = С‘Р.
[*208-1] э . 5 ecror‘P. СГ5 = D‘5 (1)
h.(l). *208-14-22. oh. Prop
*208-31. F:5,TePsmof 0.Э.5 |f ePsmofP [*151-131-141]
*208-32. h : Peconnex . P2 G J. 5, T ePsmor Q . э .
~ a 1 min/x {(5 ‘f‘x) Px} • ~ a • ma^p‘x {(5 ‘f‘x) Px].
~ a J minp‘x {xP (S ‘f‘x)}. ~ a • ma£/x {xP (5 ‘f‘x)}
[*208-3-31 .*34-41]
Principia Mathematica II
♦208. КОРРЕЛЯЦИЯ СЕРИЙ 593
*208-4. Ь : Р е соппех. Р2 G J. Cl ех‘ёРс Q‘minp U Q‘max/>.
5, Т е Рsmor Q. э . 5 = Т
Доказательство.
h . *208-32 . э : Нр. э . х {(5 ‘Гх) Рх] = Л. х {хР (S Т‘х)} = Л (1)
I-. *208-31 . *34-41 э h Нр. э: хе С'Р.^>. S 't'xe С'Р (2)
I-. (1). (2). *202-103 . э h :. Нр. э: хеС'Р. э. S'Т'х = х
[*72-241] э.Т‘х = 5‘х:
[*150-23] z>: xeD‘5 U D‘T. э. Т‘х = 5‘х:
[*33-46] z»:S = Т:. э h. Prop
* 208-41. I-: Р е соппех. Рг G J. С1 ех'С'Р с Q‘min/> U CTmaxp.
Р smor Q. э . (Р smor Q) е 1
[*208-4 . *151-12 . *52-16]
Приведенное выше предложение обладает огромной важностью в тео-
рии вполне упорядоченных серий.
* 208-42. F : Ресоппех. Р2 G J. Clех‘С‘Рс G‘minp U G‘maxp . э .
Р smor Р = l‘(7 [С‘Р)
*208-43. F : Cl ех‘ёРс Q‘minp . 5 е сгог‘Р. о . ~ (gx). (S ‘х) Рх [*208-14]
*208-431. F : Cl ех‘ёРс Q‘maxp . S е cror‘P. z>. ~ (gx). хР (5 ‘х) [*208-14]
* 208-44. F : Р е соппех. Cl ех‘ёРс G‘minp A G‘maxp . S е cror‘Р. э. 5 = IГ С‘Р
Доказательство.
I- . *208-43-431 . *202-103 . э F Нр . э : х е С‘Р. э . 5 ‘х = х.
[*50-14 . *35-7] э . 5 ‘х = (IГ С‘Р)‘х:
[*208-1 . *50-5-52] э:хеСГ5 U G‘(7 f С‘Р). э . 5‘х = (7 [ С‘Р)‘х
[*33-45] э : 5 = 7 [ С‘Рэ F . Prop
В силу этого предложения, если Р является конечной серией, то ника-
кая собственная часть Р не является ординально подобной Р. (В дальней-
шем будет показано, что конечная серия является серией, в которой каж-
дый содержащийся в ней экзистенциональный класс имеет и максимум, и
минимум.) Следующее предложение дает более явную форму приведенного
выше результата.
*208-45. F: Р е соппех. Cl ех‘ёРс Q‘minp A G‘maxp . э . RTP A Nr‘P = СР
Доказательство.
I-. *208-44-1 . э F Нр . э : 5 е 1 —> 1. Q‘5 = С‘Р. 5 ’ Р G Р. э . 5 = 7 [ С‘Р.
[*150-534] э.5»Р = Р (1)
F.(l). *13-12 .эН.Нр. э :£g P.S е l-^l. Q‘5 =C‘P.Q = S >P.z>.Q = P:
[*151-1] э: QzP. Q smor P. э . C = P:
[*152-1] э: R1‘P Nr‘P c CP (2)
I-. *61-34 . *152-3 . э F . CP c RTP A Nr‘P (3)
I-. (2). (3). э I-. Prop
Следующие предложения являются полезными в теории сегментов
вполне упорядоченных серий, поскольку они показывают, что вполне упо-
рядоченная серия никогда не является ординально подобной никакому из
ее сегментов.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
594
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ
*208-46. F: Clex‘C‘PcQ‘min/>.S ecror'P. э • С'РАр‘*Р“ХУ8 = А
Доказательство.
F. *208-1 . эF 5 ecror'P. э:хеC‘PAp‘1^“D‘5 .э.(5‘х)Рх:
[Transp] z>:~{(5‘x)Px}.o.x~eC‘PAp‘^“D‘5 (1)
F.(1) • *208-43 . э F: Нр. z>. (х). х~еёРAp^P“D'S : э F. Prop
*208-46. F: Cl ex'C'P c Q‘min/>. 5 e стог‘P. 3! P. э. p'^“D'S - A
[*208-46-1 . *40-62]
*208-47. F: Cl ex'C'Pc Q‘minP . QG P. 3! C'P Ap'1>"C'Q. э. ~ «2smorP)
Доказательство.
F. *208-46 . (*208-01). z>
F:. Hp. э: (2 G P. 5 e Qsmor P. э. C‘P A p‘^“D‘S = A (1)
F . (1). Transp. *151-11. *150-23 . э
FHp. : <2G P. з! C‘P Ap‘^“C‘(2. э . (S).S -egsmorP.
[*151-12] э . ~ (Q smor Prop
Principia Mathematica II
ГЛАВА 2.
О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ,
ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
Краткое содержание главы 2.
В этой главе нашей главной темой обсуждения будут сечения и сег-
менты. Эта тема будет занимать параграфы *211, *212 и *213, а *210 бу-
дет состоять из предложений, чья основная полезность заключается в их
применении к сегментам. В *214 мы рассмотрим Дедекиндовы серии, ко-
торые тесно связаны с сегментами, благодаря тому факту, что одно из
главных предложений по этому вопросу есть предложение о том, что се-
рии сегментов серий являются Дедекиндовыми. В *215 мы рассмотрим
“промежутки”, которые состоят из любой последовательной части серии
и образуются посредством произведения верхнего и нижнего сечения. На-
конец, в *216 мы рассмотрим производную серии или класса а, содержа-
щегося в серии: первое есть серия граничных точек серии, т.е. PfD‘ltp,
второе есть класс границ экзистенциональных подклассов а А С‘Р, т.е.
ltp“Cl ех‘(а А С‘Р).
Класс называется сечением Р, когда он содержится в С'Р и содер-
жит всех предшественников его элементов, т.е. а есть сечение Р, если
асС‘Р.Р“аса, Поэтому сечение состоит из всех полей вплоть до опре-
деленной точки. Оно может состоять из всех предшественников х, т.е. оно
может иметь форму "?‘х; или, с другой стороны, оно может состоять из
них вместе с х, в этом случае оно имеет форму "?‘xUi‘x; или иначе оно
может быть неопределяемым посредством единичного секвента или макси-
мума, однако иметь форму Р“а, где а есть класс, не имеющий границы
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
596
или максимума. Класс сечений Р обозначается посредством sect‘P. Сечение
Р будет называться “верхним сечением” Р.
Понятие сегмента является немного менее общим, чем понятие сече-
ния. Мы определяем сегмент Р как любой класс вида Р“а, т.е. как любой
элемент D‘Pe. При условии, что Р транзитивно, сегменты содержатся сре-
ди сечений. Однако даже в сериях сечения, вообще говоря, не содержатся
среди сегментов: если Р серия, и если х есть элемент С‘Р, который не
имеет непосредственного последователя, то будет сечением, а не
сегментом.
Если сегмент имеет максимум, то он должен также иметь секвент.
Сегменты, которые не имеют максимумов, формируют особо важный
класс сегментов: это классы а такие, что а = Р“а; они формируют класс
D‘(PeAZ).
Свойства сечений и сегментов, рассматриваемых как классы классов,
многочисленны и разнообразны: они рассматриваются в *211. В *212 мы
переходим к рассмотрению серий сечений и сегментов. Этими сериями яв-
ляются Р\с [sect‘P и Р1С [D‘Pe (ср. с *170). Серия таких сечений, не име-
ющих максимума, есть Р\с [D‘(PeC/). Мы полагаем
$‘P = Plc[D‘Pe Df,
sgm‘P = Plc £D‘(Pe) Df.
Затем выявится, что
<P* = sgm‘P* = Pic [ sect‘P,
так что нет необходимости вводить специальное обозначение для серии се-
чений.
Всякий раз, когда Р связно и транзитивно, Р\с [D‘Pe превращается в эк-
вивалент логического включения, объединенного с различием (с полем,
ограниченным к D‘Pe). Т.е. (*212’23)
h : Р е trans A connex. э . д‘Р = dp {а, р е D‘Pe. а с р . а ± Р) •
Отсюда следует (*212-24), что
F : Р* е connex. э . $‘Р* = dp {а, р е sect‘Р. а с р . а ± Р) •
Мы имеем также (*211-6-17)
F Р* е connex. а, р е sect‘P .э:аср.У.рса.
Отсюда без труда следует, что всякий раз, когда Р* связно, д‘Р* является
серией. Аналогично д‘Р будет серией, если Р транзитивно и связно.
Указанный факт связности, который требуется для того, чтобы д‘Р или
$‘Р* могли быть серией, проистекает из того, что
а, р е sect‘P .э:аср.У.рса
или
а, peD‘Pe .э:аср.У.рса.
Для того чтобы иметь дело с такими случаями в общем, мы изучаем во
вводном параграфе (*210) следствия, выводимые из гипотезы
а, р е к. эа>р : а с р . V . р с а .
Мы находим, что с этой гипотезой, полагая
Q = dp (а, р е к. а с р . а / р),
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
597
Q-PK [к, если ксСГёР(*210-13), и поэтому при тех же обстоятельствах
Рк £к является серией (*210-14).
Интересным моментом, касающимся таких серий, является их поведение
в отношении границ. Предполагая, что к не является единичным классом
(так, чтобы обеспечить 3! 2), если X. есть некоторый подкласс к, то логи-
ческое произведение р‘Х. есть минимум к, если оно является элементом X.
(*210-21), и нижняя граница X., если оно является элементом к, а не элемен-
том X. (*210-23). Аналогично 5‘Х. есть максимум X., если является элементом
X. (*210-211), и верхняя граница X., если не является элементом X., однако
является элементом к (*210-231). Поэтому, если к таков, что всякий раз,
когда Х.ск, мы имеем 5‘Х.ек, то каждый подкласс к имеет либо максимум,
либо границу, т.е. серия Р\с [ к является Дедекиндовой. Итак, каждый из
трех классов sect‘P, D‘Pe и D‘(P€A/) удовлетворяет этому условию, т.е.
сумма любого подкласса любого из этих классов принадлежит рассматри-
ваемому классу (*211-63-64-65). (Это имеет место без какой-либо гипотезы
относительно Р.) Следовательно, мы приходим в итоге к тому, что д‘Р*
(т.е. серия сечений) является Дедекиндовой серий всякий раз, когда Р*
связно, а Р не есть нуль (*214-32), в то время как д‘Р (т.е. серия сегмен-
тов) является Дедекиндовой серией тогда, когда Р транзитивно, связно и
не является нулевым (*214-33), a sgm‘P (серия сегментов, не имеющих мак-
симума) является Дедекиндовой серией в том случае, когда существует и
Р является связным (*214-34). Эти предложения являются важными, и по
этой причине сечения и сегменты оказываются весьма полезными.
Для многих целей, особенно в ординальной арифметике, необходимо
рассматривать сечения не как классы, а как серии. Т.е. если а есть элемент
sect‘P, то мы хотим иметь дело с Р [а, а не с а. Можно было бы пред-
положить, что серия всех таких термов, как Р[а, есть Р^»д‘Р*. Однако
здесь необходимо ограничение из-за того факта, что если В'Р существует,
то А и t'B'P оба являются сечениями, а Р [а и Р (t'B'P оба являются А,
так что Р $‘Р* будет отношением, в котором А будет находиться к са-
мому себе. Для того чтобы избежать этого, мы сначала исключаем А из
рассматриваемых сечений, а затем полагаем
= Df.
Тогда Р? является серией сечений, рассматриваемых как серии. При усло-
вии, что Рро есть серия, отношение Р? имеет место между двумя любыми
элементами Q и R его поля тогда и только тогда, когда QaR. Q±R- Этот
предмет (отношение Р?) рассматривается в *213; полезность предложений
этого параграфа не будет явной, пока мы не дойдем до ординальной ариф-
метики.
Далее рассматривается тема Дедекиндовых отношений (*214). Мы опре-
деляем Дедекиндово отношение как отношение такое, что каждый класс
имеет либо максимум, либо секвент. Дедекиндова серия должна иметь пер-
вый и последний терм, поскольку первый терм должен быть секвентом А,
а последний — максимумом ее поля. Дедекиндова серия может быть дис-
кретной или компактной (т.е. такой, что существует терм между любыми
двумя термами, т.е. такой, что Р2 = Р) или частично одной, а частично дру-
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
598
гой. Конечная серия должна быть Дедекиндовой: вполне упорядоченная се-
рия является Дедекиндовой, если имеет последний терм. Однако основная
важность Дедекиндова свойства заключается в его связи с компактными
сериями. О компактной Дедекиндовой серии говорится как об обладаю-
щей “Дедекиндовой непрерывностью”; такая серия имеет много важных
свойств. Они являются более широким классом, чем серии, обладающие
Канторовской непрерывностью; последние будут рассматриваться в главе 6
этой части.
Principia Mathematica II
*210. О СЕРИИ КЛАССОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ОТНОШЕНИЕМ
ВКЛЮЧЕНИЯ
599
*210. О серии классов, образованных отношением
включения
Краткое содержание *210.
В теории серий часто обстоятельства складываются так, что мы вы-
нуждены иметь дело с классом таких классов, что из любых двух один
содержится в другом. Т.е. если к есть класс классов, то мы имеем
а, Р е к. эа,р : а с р . V . р с а .
Пример этого дается с помощью различных классов сечений, рассмат-
риваемых в *211. Когда к удовлетворяет приведенному выше условию,
классы, составляющие к, могут быть упорядочены в серию посредством
отношения включения (объединенного с неравенством), т.е. посредством
отношения
dp (а, р е к. а с Р. а / Р),
или, что приводит к тому же,
dp (а, р е к. a! Р - а).
Если Р есть какое-либо отношение, такое, что ксСГС‘Р, то приведенное
выше отношение включения эквивалентно
Р\С С К .
(По поводу определения Р\с см. *170). Поэтому в оговоренных выше усло-
виях Р\с [ к является серией, каковым бы ни было отношение Р.
Важность таких отношений включения как генераторов серий заклю-
чается в связи с существованием максимумов и минимумов, или границ.
Если мы полагаем
Q = ар (а, рек. д! 0-а),
где к удовлетворяет приведенному выше условию, и если Хек и $‘Хек,
то s‘X представляет собой максимум или верхнюю границу X в силу 2,
в соответствии с тем, является s‘X элементом X или нет. Аналогично, если
р‘Хек, то р‘Х представляет собой минимум или нижнюю границу X в соот-
ветствии с тем, является р‘Х элементом X или нет. Следовательно, если к
таков, что сумма любых подклассов к является элементом к, то каждый
подкласс к имеет либо максимум, либо верхнюю границу; и если произве-
дение каждого подкласса к является элементом к, то каждый подкласс к
имеет либо минимум, либо нижнюю границу.
Для того чтобы каждый подкласс к имел минимум или нижнюю гра-
ницу, оказывается достаточным, чтобы сумма каждого подкласса к была
элементом к. Так как, если X есть какой-либо подкласс к, то следует рас-
сматривать те элементы к, которые содержатся в р‘Х, т.е.
кА СГр‘Х.
Если р‘Хек, то сумма этих классов = р‘Х и представляет собой нижнюю
границу или минимум к. Однако, если р‘Х~ек, то каждый элемент к, ко-
торый не содержится в 5‘(кйСГр‘Х), также не содержится в р‘Х и поэтому
не содержится в некотором элементе X. Следовательно, $‘(к А СГр‘Х) явля-
ется нижней границей X.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
600
Благодаря именно этим предложениям сегменты серий обладают таким
существенным значением в связи с границами.
Гипотеза о том, что если кек, то р‘Х является элементом к, обычно ока-
зывается неприемлема при верификации в случае, когда Х = А, поскольку
в этом случае p‘X = V. Однако все желаемые результаты могут быть по-
лучены из гипотезы о том, что если кек, то (р‘ХА$‘к)ек. Эта гипотеза
эквивалентна другой, исключая случай с А, в котором она требует $‘кек,
что верифицируется намного чаще, чем V е к, которое требовалось другой
гипотезой.
Основными предложениями этого параграфа являются следующие:
*210-1. Н:а,рек.эа>р:аср. У.рса:.э:.а,|3ек.э:аср.а/р. = .з!р-а
*210-11. h:2 = ap(a, Рек.аср.а/Р).э. Qe trans A RPJ
* 210-12. h : Нр *210-1-11. э . Q е Ser
* 210-13. h : Нр *210-12 . к с С1‘С‘Р. э . Q = Рк [ к
* 210-2. h : Нр *210-12 . к ~ е 1.. э . ming‘X = X А к А Ср‘(к А к)
* 210-21. h : Нр *210-2 .кек. р‘ХеХ. э . ming‘X = р‘Х
*210-211 дает аналогичные предложения для s‘X и maxg. Мы не будем
упоминать здесь такие аналоги, если на то нет особой причины.
* 210-23. h : Нр *210-2 .кек. р‘Х е к - X. э . р‘Х = precg‘X = tig ‘X
* 210-232. h : Нр *210-2 .кек. р‘Х е к. э . р‘Х = limin/X
* 210-251. h Нр *210-2 :Хск.эх.$‘Хек:э:Хск.э. s‘Xe (ma^g‘X U se^g‘X)
* 210-252. h Hp*210-2 : kcк. . p‘X A s‘keк: э :
кск.э. p‘X A s‘Ke(ming‘X U precg‘X). p‘X A s‘k = liming‘X
*210-254. h : Hp *210-251. э. (X). X e G‘maxg U G‘seqg
* 210-26. h : *210-2 .Хек. p‘X ~ e X. s‘(k A Cl‘p‘X) e к. э .
s‘(K H Cl‘p‘X) = precg‘X
*210-28. h : *210-2.s“C1‘kck. □.
(X). X e (Q‘maxg U Q‘seqg) A (Q‘ming U CTprecg)
Поэтому если к есть класс, состоящий не менее чем из двух классов,
такой, что из любых двух его элементов один должен содержаться в дру-
гом, и если Q есть отношение а с р. а / р, ограниченное элементами к, то
Q есть серия (*210-12), в которой при условии, что суммы подклассов к
всегда являются элементами к, каждый класс имеет либо максимум, либо
верхнюю границу, и каждый класс имеет либо минимум, либо нижнюю
границу.
Читатель заметит, что если а, р е к. эа>р : а с Р. V . р с а, то любой конеч-
ный подкласс к должен содержать его собственную сумму и произведение
в качестве элементов. Например, если мы имеем два класса а и Р, и если
а с Р, то а = р‘(Га U ГР) и Р = s‘(i‘a U i‘P); если мы имеем три класса a, Р и
у, и аср.рсу, то a = p‘(i‘aUL‘PUL‘y) и у = s‘(l‘a и и 1<Y); и т-Д- Таким
образом, гипотеза $“С1‘кск требуется лишь для того, чтобы позволить
нам иметь дело с бесконечными подклассами к.
Principia Mathematica II
*210. О СЕРИИ КЛАССОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ОТНОШЕНИЕМ
ВКЛЮЧЕНИЯ
601
*210-1. Н::а,Рек.эа>р :аср. У.рса:.э:.а,рек.э:аср.а^р. = .д!р-а
Доказательство.
F . *24-6. эН:аср.а/р.э.д!Р-а (1)
h . *24-55 . эЬ:д!р-а.э.~(Рса). (2)
[*22-42] э.а/р (3)
h . *2-53 . э h Нр . а, Р е к. ~ (Р с а). э . а с Р (4)
h . (2). (3). (4). э h Нр . а, Р е к. э : а! Р - а . э . а с Р . а / Р h . (1). (5). э h . Prop *210-11. h : б = dp (а, Рек. а с Р . а Р). э . Qеtrans П R1V Доказательство. (5)
h. *50-11. э h : Нр . э . geRTY (1)
h . *22-44 . э h :. Нр . э : абР . рбу. э . ас у h . *24-6 . *21-33 . э h :. Нр. э : абР . Рбу .э.д!р-а.рсу. [*24-58] э . g! у - а. (2)
[*24-21] э . а / у (3)
h . *24-6 . *21-33. э h :. Нр. э : agp . Рбу. э . agy h . (1). (4). э 1-. Prop *210-12. h : Нр *210-1-11. э. Q е Ser Доказательство. h . *10-1. э h :. Нр . а, Рек .o:a<p.V.p<a: (4)
[*5-62] o:a<p.a/p.V.p<a.p/a.V.a = p h . *21-33 . э h :. Hp . э : a6P • эа,р . а, Рек: (1)
[*33-352] э:С‘бск’ (2)
h . (1). (2). э h :: Hp . э :. a, P e C'Q. э : абР • V . Рб« . V . a = P h . *210-11. (3). *204-12 .oh. Prop *210-121. h : Hp *210-12 . э . D‘6 = к - i‘s‘k . Q‘6 = к - i‘p‘K Доказательство. h . *21-33 . э 1-:: Hp . э :. aeD‘6. = : аек: (gP) .рек.а<р.а/р: [*210-1] = :аек:(дР).рек.д!р~а: [*40-151. Transp] = : а е к. g! $‘к - а: [*24-55] = : а е к. ~ ($‘к с а): (3)
[*22-41. *40-13] =: аек. а/ $‘к h . *21-33 . э h :: Нр . э :. аеС‘б.=:аек: (дР) .рек.р<а.р/а: [*210-1] = : а е к: (дР). р е к. g! а - р : [*40-15 . Transp] = : а е к. д! а - р'к: [*24-55] = : а е к. ~ (а с р‘к): (1)
[*22-41. *40-12] = : аек. а /р'к h . (1). (2). э h . Prop *210-122. h : Нр *210-12 . к ~ е 1. э . CQ = к Доказательство. h . *52-181. э h :: Нр. э:. аек. э : (дР). э : (дР). Рек. р / а: [Нр. *10-1] э:(дР).рек.р/а:а<р.У.р<а: [*21-33] э : (дР). рек: (абР). V . Рб<х (2)
[*33-132] э:аеС‘б h . *21-33 . э h :. Нр . э : а Q р . эа>р . а, Рек: (1)
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
602
[*33-352] э:С‘0ск (2)
h . (1). (2). э h . Prop
* 210-123. h :Hp*210-12 .ке0и1.э.б = А
Доказательство.
h . *52-41. Transp . э h : Hp. э . ~ (ga, 0). a, 0ек. a 0 .
[*21-33] э . - (ga, 0). a£)0 : э h. Prop
* 210-124. I-Hp. *210-12 . э : ag0 . = . a, 0ек. 3! 0 - a [*210-1]
* 210-13. h : Hp *210-12 . к C1‘C‘P. э. Q = PK £ к
Доказательство.
h. *170-102. э h :. Hp. э : a(Pk[K)0 . = . a, 0ек .P 0 - a - P“(a - 0). (1)
[*210-124] э. a£)0 (2)
h . *210-1-124 . э h :. Hp . э : a£)0 . э. a, 0ек. 3! 0 - a . a < 0 .
[*37-29] э.а, 06K.3? 0 - a. P“(a - 0) = A.
[*24-23-313] э . а, 0ек. 3! 0 - a - P“.
[(1)] э.а(Р1с[к)0 (3)
h . (2). (3). э h . Prop
Таким образом, с гипотезой из *210-1 Р\с [к не зависит от Р, поскольку
ксСГС‘Р. Мы также имеем
*210-14. h : Нр *210-1. к с С1‘С‘Р. э . Рк [ к е Ser
[*210-12-13]
*210-15. h Нр *210-12 . a, 0 е к. э : ~ (aQ0). = . 0 с a
[*210-124. *24-55]
*210-16. h ::Нр *210-1. э:.
аек Дек. э : а с . V . са: ас Л. V . Л са
Доказательство.
h . *10-1. э h :: Нр. а е к. К с к. э :. 0 е К. эр : а с 0 . V . 0 с a :. (1)
[*10-57] э :. 0ek. эр . а с 0 : V : (з0). 0 ек. 0 с a :.
[*40-15-12] э :. a cp‘k. V . с a (2)
h.(l). *10-57. э
Н::Нр.аек.Хск.э:. 0еХ.эр.0са:У: (з0). 0 ек. а с 0 :.
[*40-151-13] э:.Лса.У.асЛ (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*210-17. h : Hp *210-12 Xc к. э . к - = кП СГр‘к. к - = кА у (5‘к с у)
Доказательство.
h . *37-105 . Transp . э h :. аек- .=:аек:0ек.эр.~ (0Qa) (1)
h.(l). *210-15. э
h:: Hp .э:.аек-<2“к. = :аек:ек.эр.ас0:
[*40-15] = :аекАС1‘р‘к (2)
Similarly h :. Hp . э : аек - Q“k. = . а ек A у (s‘Xcy) (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*210-2. h : Hp *210-12 . к ~ e 1. э . min^‘k = k А к A i‘p‘(k А к)
Доказательство.
h . *205-15 . *210-122 . э h : Hp . э . min^/k = min^‘(A А к)
[*205-11] =ХАк-е“(ХАк)
[*210-17] = кАкАС1‘р‘(кАк) (1)
Principia Mathematica II
*210. О СЕРИИ КЛАССОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ОТНОШЕНИЕМ
ВКЛЮЧЕНИЯ 603
F . *40-12 .эЬ:.аекПк.э: р‘(Х А к) с а :
[*22-41] з : а с р‘(Х А к). = . а = р‘(ХА к) (2)
F . (2). *5-32 . з F . X А К А СГр‘(Х А к) = К А к А Ср'(к А к) (3)
F . (1). (3). з F . Prop
Заметим, что XАкAк) есть либо i‘P‘(Xak), либо А в соответ-
ствии с тем, является ли р‘(ХАк) элементом ХАк или нет.
*210-201. F : Нр *210-2 . X с к. з . ming‘X = X A i‘p‘X
[*210-2. *22-621]
*210-202. F : Нр *210-2 . з . ma5fcg‘X = X А к A i‘s‘(X А к)
[*210-2]
*210-203. F : Нр *210-2 . X с к. з . ma^g‘X = X A i‘s‘X
[*210-202. *22-621]
*210-21. F : Нр *210-2 .Хек. р‘Х е X. з . ming‘X = р‘Х
[*210-201. *51-31]
*210-211. F : Нр *210-2 . X с к. s‘X е X. з . ma5g‘X = s‘X
[*210-203. *51-31]
*210-22. F : Нр *210-12 .Хек. р‘Х ~ е X. з . ~ 3! ming‘X
[*210-201-123. *51-211]
*210-221. F :Нр*210-12 .Хск.^Х-еХ.з.-д! ma5g‘X
[*210-203-123. *51-211]
*210-222. F :. Нр *210-2 .Хск.э: р‘ХеХ. = . Е ! ming‘X
[*210-21-22]
*210-223. F :. Нр *210-2 . X с к.. з : s‘X е X. = . Е ! ma5g‘X
[*210-211-21]
*210-23. F : Нр *210-2 .Хек. р‘Х е к - X = precg‘X = tig‘X
Доказательство.
F . *210-22 . з F: Нр . з . ming‘X = А. (1)
[*205-122 . *210-122] з.Хсб“Х (2)
F. (2). *210-12. *206-174. з
F : Нр . з . рпй(/Х = C'Q A d (^‘а = б“Х)
[*210-122] =кАа(^‘а = е“Х) (3)
F. *37-105. *210-124.3
F :. Нр. з : р с б“Х. = . (зу). уеХ. 3! р - у. р ек.
[*40-15 . Transp] = . 3! р - р‘Х .рек.
[*210-124] (4)
F . (4). з F : Нр. з . р‘Хек. <2‘р‘Х= б“Х.
[(3)] з.р‘Хергё?е‘Х (5)
F . (5). *210-12 . *206-16. з F : Нр . з. р‘Х = precg‘X (6)
F . (1). (6). *207-12 з F : Нр. з . р‘Х = tig‘X (7)
F . (6). (7). з F . Prop
*210-231. F : Нр *210-2 . X с к. s‘Xe к - X. з . s‘X = seqg‘X = tlg‘X
[*210-23]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
604
В силу *210-21-23 каждый класс, который содержится в к, и чье произ-
ведение является элементном к, имеет либо минимум, либо нижнюю гра-
ницу; а в силу *210-211-231, каждый класс, который содержится в к, и чья
сумма является элементом к, имеет либо максимум, либо верхнюю границу.
*210-232. h : Нр *210-2 Дек. р‘кек. э .p‘klimin/>‘k [*210-21-23]
*210-233. h : Нр *210-2 . к с к. 5‘k е к. э . 5‘k = limax/k [*210-211-231]
*210-24. h : Нр *210-2 . э . к А Ср'к ="§'(). к A 1‘5‘к
[*205-12-121. *210-201-203-122]
*210-241. h : Нр *210-2 . р‘к ек. □. р‘к = B‘Q [*210-24]
*210-242. h : Нр *210-2 . 5‘к е к. э. = B‘Q [*210-24]
*210-25. h Нр *210-2 : К с к. эх . р‘кек: э Дск.э. p‘ke(min^‘k U ргёЙ^‘к)
Доказательство.
h . *210-21 .oh:. Нр . э : к с к. p‘kek. э . p‘kemin^‘k (1)
h . *210-23 .oh:. Нр . э : к с к. р‘к ~ ек.э. p‘kepre£gk (2)
h . (1). (2). . h . Prop
*210-251. h Hp*210-2 :кск.эьЛек:э:кск.э. s‘ke(m*^‘kU sec^k)
[*210-25]
*210-252. h Hp *210-2 : k с к. эх . p‘k А 5‘kek: э :
кск.э . p‘k A 5‘Ke(min^‘kUpfe^g‘k). p‘k A s‘K = limin2‘k
Доказательство.
h . *40-23-161 .dF :kcK.g!k. d.p‘kc 5‘к.
[*22-621] э. p‘k А 5‘к = p‘k (1)
h . (1). *210-21-23 .oh: Hp .кск.д!к.э. p‘k А 5‘ке(шш^‘к U ргёЙ^к) (2)
h.*40-2. э h : ~ 3! к. э. p‘k A 5‘к = 5‘к (3)
h . (3). *24-12 . d h : Hp . э . s‘k e к.
[*210-242] э.5‘к = В‘б
[*206-14] э. j‘k - prec^A (4)
h . (3). (4). э h : Hp . ~ 3! k. э . p‘k А 5‘ке (inm^k U pfe^k) (5)
h . (2). (5). э h . Prop
Это предложение более полезно, чем *210-25, так как его гипотеза ве-
рифицируется значительно чаще. Для того чтобы гипотеза *210-25 могла
быть верифицирована, мы должны иметь V с к, поскольку А с к. р‘А = V;
следовательно, мы должны также иметь 5‘А = V. Однако гипотеза *210-252
требует лишь в той части, которая касается А, чтобы мы имели 5‘кек.
*210-253. h : Нр *210-252 . э . (к). к е Q‘min^ U Q‘prec^
[*210-252 . *205-15. *206-131]
*210-254. Нр *210-251. э. (к) к е a‘maxe U D‘seq0
[*210-253]
*210-26. h : Нр *210-2 . к с к. р‘к ~ е к. 5‘(к А СГр‘к)ек. □ .
5‘(к А СГр‘к) = ргес(/к
Доказательство.
h . *210-22 . э h : Нр . э . ~ 3! min^/k.
[*205-122] (1)
Principia Mathematica II
♦210. О СЕРИИ КЛАССОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ОТНОШЕНИЕМ
ВКЛЮЧЕНИЯ
605
F. *60'2. э|-: РекоСГр‘к. э.рср‘к:
[*40-151] э1-:5‘(кПСГр‘Х)ср‘Х (2)
Н(2). э F: Нр. э . s‘(kA С1‘р‘Х)екП С1‘р‘Х. (3)
[*210-211] э. s‘(K П С1‘р‘к) = тахеЧХ' П С1‘р‘Х)
[*210-17] =maxg‘(K-£“k)
[(1)] =тахе‘(к-к-2“k)
[*210-122. *202-502 . (3)] = тахеУ^Х
[*206-1-101] = ргеС(/Х: э h. Prop
*210-261. h : Нр *210-2 . К с к. s‘X ~ е X. p‘d (аек. Л са)ек. э .
р‘а (аек. Л са) = seq^X [*210-26]
*210-262. h : Нр *210-2 . X с к s‘X ~ 6 X. $‘к А р‘а (а е к. s‘X с а) е к. э
$‘к А р‘а (а с к. s‘X с а) = seq^X
Доказательство.
h . *40-23-161. э
h : Нр . 3! а(аек. Л са). э . р‘а (аек. ?Хс а) с $‘к.
[*22-621] э . $‘к Ар‘а(аек. Лса) = р‘а(аек. j‘Xcа).
[*210-261] э . j‘k А р‘а (аек. Лса) = seq^/X (1)
h . *10-51. э h :. d (а е к. s‘X с а) = A. э : а 6 к. эа . ~ (s‘X с а) (2)
h. (2). *210-16. э F:. Нр . а(аек. Леа) = А. □ : аек. эа . ас j‘X :
[*40-151] э: $‘к с s‘X :
[*40-161] э:5‘к=5‘Х (3)
h . *40-2 . э h: Нр (3). э. s‘k A p‘d (а е к. s‘X. s‘X с а) = $‘к. (4)
[Нр.(З)] э.$7бк.
[*210-231] э . s‘X = seq^‘X
[(3). (4)] э . s‘k Аа(аек. Л са) = seq^‘X (5)
h . (1). (5). э h . Prop
К этому предложению применяются те же самые замечания, что и
к *210-252.
*210-27. F Нр *210-2 : X с к. эх . s‘X е к: э :
Хск. эх . 3! (ma^/XUse$g‘X) .3! (min^‘XUpfe£(/X)
Доказательство.
h . *210-251. э h:. Нр . э : X с к. эх . 3! (ma£g‘X U se^g) (1)
I-. *210-222 . э h: Нр .Хек. р‘ХеХ. э . 3! min^‘X (2)
h . *10-1. э h :. Нр . э : з*(К А С1‘р‘Х) е к:
[*210-26] э : Хск. р‘Х~еХ. э . 3! ргёЙ/Х (3)
h . (2). (3). э h :. Нр . э : X с к. э . 3! (min^‘X U ргёЙ^Х) (4)
h . (1). (4). э1-. Prop
*210-271. h :. Нр *210-2 : X с к. эх . р‘Х е к: э :
X с к. эх . 3! (ma£g‘X U see^X). 3! (min^X U ргёЙе‘Х)
[Доказательство аналогично *210-27]
*210-272. h :. Нр *210-2 : Xс к. эх . р‘Х А $‘кек: э :
X с к. эх . 3! (ma£e‘X U see^X). 3! (min^X U ргё^Х)
[Доказательство аналогично *210-27, используя *210-262]
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
606
*210-28. h : Нр *210-2 . $“С1‘к с к. э .
(К). ke (G‘maxe‘X U G^eq^) A (C‘min2 U G^recg)
Доказательство.
I-. *37-61 .oh:. Нр. э : X с к. эх . s‘X е к:
[*210-27] э : X с к. эх . э! (ma^g‘X U se^X). а! (min^‘X U pfe^X)
h . (1). *22-43. э
h : Hp. э . (X). з! {ma^‘(k А к) U sec^gXX А к)}.
g! {mingXX А к) U pfeJG‘(X А к)}.
[*210-122] э . (X). a! {ma^XX A C‘0 U se^G‘(X A C‘0}.
a! {rnm<2‘(X A C‘g) U preJG‘(^ H C‘0].
[*205-15-151. *206-131] э . (X). a• {ma^g‘XU se^G‘X}. a’ {min^X U ргёЙ^Х}.
[*33-41 ] э . (X). X e a‘maxg U G^eq^ . X e G‘min^ и а‘ргёЙ0 : э h . Prop
*210-281. h : Hp *210-2 . р“СГкск. э .
(X). X e (G‘maxe U G^eqg) A (G^in# U G^recg)
*210-282. h Hp *210-2 :Хек. эх .p‘X A s‘keк: э .
(X). X e (G‘maxe u ^‘seqe) A (G‘min2 U precg)
Таким образом, когда одна из двух гипотез *210-281-282 выполняется,
серия Q является Дедекиндовой в обоих направлениях.
*210-29. h : Нр *210-251. э. (X). X е G‘limax/> A G‘limm/> [*210-28 . *207-44]
*210-291. h : Нр *210-252 . э . (X). Xе G‘limax/> A G‘limin/>
[*210-282. *207-44]
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
607
*211. О сечениях и сегментах
Краткое содержание *211.
Теория форм разделения серии на два класса, один из которых полно-
стью предшествует другому, и которые вместе составляют целую серию,
обладает фундаментальной важностью. Когда один из пары таких классов
задан, то другой представляет собой оставшуюся часть серии; мы можем,
следовательно, для большинства целей ограничивать наше внимание тем
из двух классов, который идет первым в сериальном упорядочивании. Лю-
бой класс, который может быть первым в такой паре, мы будем называть
сечением нашей серии. Если Р является серией, то мы будем обозначать
класс ее сечений посредством “sect‘P”. Если а является сечением Р, то мы
будем называть С'Р -а (который является вторым классом нашей пары)
дополнением а. Классом дополнений сечений является
(С'Р -)“sect‘P,
который тождественен sect‘P (*211-75).
Для того чтобы класс мог быть сечением Р, необходимо и достаточно,
чтобы он содержался в С'Р и содержал всех своих собственных предше-
ственников; поэтому мы полагаем
sect‘P = а (а с С'Р. Р“а с а) Df.
Мы имеем также, на основании *90-23,
sect‘P = d (а = Р* “а)
(*211-13). Среди сечений особенно важный класс состоит из классов, кото-
рые составлены из всех предшественников некоторого класса, т.е. классов
вида Р“Р, т.е. классов, являющихся элементами D‘Pe. Всякий раз, когда Р
транзитивно, ГГ0сР“Р; следовательно, Р“0 является сечением в соот-
ветствии с приведенным выше определением. Когда Р серия, дополнением
ГР(когда Р существует и содержится в С'Р) является
mal/P U р‘^“Р.
Элементы D‘Pe называются сегментами серии, образованными посред-
ством Р. В серии, в которой каждый подкласс имеет максимум или се-
квент, D‘Pe=l*“C'P (*211-38), т.е. предшественники класса всегда являют-
ся предшественниками единственного терма, а именно максимума класса,
если он существует, либо секвента, если максимума не существует. Однако
если существуют классы, которые не имеют ни максимума, ни секвента, то
QQ
предшественники таких классов не являются равнопротяженными с пред-
шественниками одного произвольного терма. Поэтому, вообще говоря, се-
рия сегментов будет больше, чем исходная серия. Например, если наша
исходная серия принадлежит типу серий рациональных чисел в порядке
величины, то серия сегментов принадлежит типу серий вещественных чи-
сел, т.е. типу континуума.
Среди сегментов особенно важный класс состоит из тех, которые не име-
ют максимума. В этом случае, если а является таким сегментом, то мы
имеем асР“а; и поскольку (при условии, что Р транзитивно) мы также
82 В оригинале — coextensive. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
608
имеем для всех сегментов Р“аса, то сегментами, не имеющими максиму-
ма, являются те, для которых а = Р“а, т.е. они представляют собой класс
D‘(Pe ПТ). В компактных сериях все сегменты принадлежат этому последне-
му классу, однако, вообще говоря, ему принадлежат только те сегменты,
которые относятся к “Haufungsstelle”. Во всех случаях, в которых суще-
ствование границы неизвестно, сегменты выполняют функции границ; т.е.
в тех местах в серии, где граница могла бы ожидаться, мы имеем сегмент,
не имеющий границы или максимума, который занимает то же самое место
в серии сегментов, которое занимала бы граница в исходной серии, если
бы граница существовала. Сегменты, не имеющие границы или максиму-
ма, представляют собой граничные точки в сериях сегментов, и каждый
класс сегментов, не имеющих максимума в серии сегментов, имеет границу
в этой серии.
Поэтому мы будем иметь дело с тремя классами, а именно
(1) sect‘P,
(2) D‘PC,
(3) D‘(PehT).
Из них второй содержится в первом, когда Р транзитивно (*211-15), а тре-
тий содержится в первом и втором (*211-14). Второй состоит из тех эле-
ментов первого, которые имеют либо секвент, либо не имеют максимума
(*211-32); третий состоит из тех элементов первого, которые не имеют мак-
симума (*211-41). Если каждый элемент третьего класса имеет границу, т.е.
если
D‘(PC h Z) с G‘seq/>,
то каждый класс имеет либо секвент, либо максимум, т.е. серия является
Дедекиндовой; обратное также имеет место (*211-47).
Когда Р связно, из любых двух сечений одно должно содержаться
в другом (*211-6). Более того, если К содержится в любом из трех клас-
сов sect‘P, D‘Pe или D‘(PCHZ), тогда является элементом этого класса
(*211-63-64-65). Следовательно, мы получаем доступ к предложениям *210.
Именно поэтому существование границ в сериях сегментов или сечений
доказывается: максимумом или верхней границей любого класса К, состо-
ящего из сегментов или сечений, является s‘k, а минимумом или нижней
границей является сумма сегментов, которые содержатся в каждом X.
Мы начинаем этот параграф с элементарных свойств sect‘P. Сечения
Р представляют собой сегменты Р* (*211-13) и сечения Рро (*211-17). Мы
имеем
*211-26. h . C‘Pesect‘P. s‘sect‘P = C‘P
Далее мы переходим к элементарным свойствам сегментов, т.е. D‘PC
(*211-3—38). Мы имеем
*211-3. !-.’?“C‘PcD‘Pt
*211-301. F.D‘PeD‘Pe
*211-302. I-: PeSer. э .~?“CtP = sect'PCi G‘seq/>
*211-351. h: Pe Ser. z>. sect‘P-D‘Pe = A“(C‘P-D‘Pi)
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
609
Далее мы переходим к элементарным свойствам сегментов, не имеющих
максимума, т.е. D‘(PeA7) (*211-4—47). Мы имеем
*211-42. F : Petrans . э . D‘(Pe A I) = D‘Pe - CTmaxp
*211-44. F . A e D‘(Pe h I). Л e D‘Pe. A e sect‘P
*211-451. h eD‘(Pe n7). э. x~eQ‘(P- P2)
Наша следующая группа предложений (*211-5—553) связана с компакт-
ными сериями, т.е. с гипотезой Р2 = Р. Мы имеем
*211-51. F : Р2 = Р. э . D‘Pe = D‘(Pe A I)
* 211-551. FP e Ser . э : (Tmaxp A (Tseqp = A. = . P = P2
Т.е. серия является компактной тогда и только тогда, когда не суще-
ствует класса, имеющего и максимум, и секвент.
Мы приходим далее к применению предложений *210 (*211-56—692).
Эти предложения начинаются с
* 211-56. FР е соппех. а, 0 € sect‘Р .э:ас0.У.0сР“а
(Здесь “Рробсоппех” может быть опущено в гипотезе: ср. с *211-561).
Предложения этой группы, которые являются очень важными, уже были
упомянуты.
Наша следующая группа предложений (*211-7—762) касается дополне-
ний сечений и сегментов. Некоторые из этих предложений уже были упо-
мянуты; другими важными предложениями являются:
* 211-7. F: a € sect‘P. э. ёР- a € sect‘P
* 211-703. F : Ресоппех. aesect‘P-i‘C‘P.0.3!
* 211-726. F : Ресоппех A RTJ. a esect‘P. э.
mafc/a = pfe£p‘(C‘P - a). se<V>‘a = minp‘(C‘P - a)
* 211-727. h P e connex A RT J. a e sect‘P. э :
E ! limaxp‘a. = . E ! ргё£р‘(ёР- a)
* 211-728. F Ресоппех A RTJ. aesect‘P: ~ E ! maxp‘a. V .
~ E ! minp‘(C‘P - a): э . limax/a = limin/(C‘P - a)
Оставшиеся предложения в основном связаны с арифметикой отноше-
ний. Наиболее важным из них является
* 211-82. F :: Ре Ser . Q е D‘P £.=>:.
C‘0esect‘P. = : (3Р). Р = Q^R .У .(gx) . Р = Q+> xz
= :(ЭЯ).Р=0*Я. V.P=0-hB‘£
Т.е. по данной какой-либо серии, содержащейся в Р, если что-то может
быть добавлено, чтобы превратить эту серию в Р, то ее поле является
сечением Р, и наоборот.
*211-01. sect‘P = a(acC‘P.P“aca) Df
*211-1. F : aesect‘P. = . a с C‘P. P“a c a [(*211-01)]
*211-11. F : a e D‘PC. = . (3 0). a = P“0 [*37-101]
*211-12. F : a e D‘(Pe A I). = . a = P“a
Доказательство.
F . *37-101. *50-1. dF : a e D‘(PC A I). = . (3 0). a = P“0 . a = 0.
[*13-195] = . a = P“a: э F . Prop
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
610 И ПРОИЗВОДНЫХ
*21113. h : а е sect‘P. = . а = Р* “а. = . а е D‘{(P*)e h 1}. = . а е D‘(P*)e
Доказательство.
h . *211-1. *90-23 . oh : aesect‘P. = . a = P*“a (1)
h. *90-17. oh.P*“P*“P = P*“(3.
[*13-12] о h : a = P*“p . о . P*“a = a:
[*211-11] oh:aeD‘(P*)e.o.a = P*“a (2)
h . *10-24. *211-11. oh : a = P*“ao. aeD‘(P*)e (3)
h. (1). (2). (3). *211-12. oh. Prop
В силу приведенного выше предложения свойства sect‘P могут быть
выведены из свойств D‘Pe или D‘(PehZ) путем подстановки Р* вместо Р.
*211-131. h : aesect‘P. о . Рро“а
Доказательство.
h . *211-13 .oh: Нр . о . Р“а = Р“Р*“а
[*91-52] = Рро “а: о h . Prop
*211-132. h : aesect‘P. о . D‘(P [а) = D‘(Ppo [a). CT(P [ a) = СГ(Рро [a)
C‘(P[a) = C‘(Ppota)
Доказательство.
h . *37-41. *211-131 .oh: Hp. о. D‘(Ppo [ a) = a П P“a [*37-41] = D‘(P[a) (1)
h . *91-502 . oh. G‘(P f a) c a‘(Ppo [ a) (2)
h . *37-41. о h :.y eCT(Ppo [a). = :y ea П Про“а: [*91-57] = :y e(aP“a) U (aZ^“Ppo“a) (3)
h . *211-1. oh: Hp .yean P“Ppo“a .o.(gz). zPy. zea.
[*37105] э .yeP“a (4)
h . (3). (4). э 1-: Hp. D . a‘(Ppo [a)canP“a.
[*37-41] z>. a‘(Ppo [а)сО‘(Р[а) (5)
h.(2).(5).3h:Hp.=>.a‘(PPo [a) = a‘(P[a) (6)
h . (1) . (6) . о h . Prop
*211-133. h : Ppo e connex. aesect‘P- 1 . о . C‘(P [ a) = a
Доказательство.
h . *202-55 . о h : Hp. о . C‘(Ppo [ a) = a.
[*211-132] о . C‘(P [ a) = a: о h . Prop
*211-14. h . D‘(Pe h I) c D‘Pe. D‘(Pe h Z) c sect‘P
Доказательство.
h . *33-263 . oh. D‘(Pe h Z) о D‘Pe (1)
h . *211-12 . *22-42 .oh: aeD‘(Pf h Z) . о . P“ac a (2)
h . *211-12 . *37-15 . о h : aeD‘(Pe П Z). о. a c C‘P (3)
h . (2). (3). *211-1. о h :aeD‘(Pf hZ). о. aesect‘P h . (1). (4). о h . Prop *211-15. h : Petrans . о . D‘Pe csect‘P Доказательство. (4)
h . *211-11. *37-15 . о h : a e D‘Pe. о . a a C'P (1)
h . *211-11. *201-5 . о h :Petrans. aeD‘Pf. о . P“ac a h . (1). (2). о h . Prop (2)
Principia Mathematica II
♦211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
611
*21116. h. Ppo“aesect‘P
Доказательство.
h . *91-504 . *37-15 . z> h . Рро“а с ёР(1)
h. *91-51-511. z> h. Р“Рро“а с а (2)
h.(l). (2). *211-1. oh. Prop
*211-17. h . sect‘P = sect‘Ppo = sect‘P*
[*211-13. *91-602]
Следующие предложения оказываются полезными в связи с отношени-
ями сечений, т.е. отношениями вида Р[а, где aesect‘P. Единичным сече-
ниям часто необходима особая трактовка из-за того факта, что для них
мы не имеем С'Р [ a = a.
*211-18. h : Ppo G J. о . sect‘P 0 1= i“7l‘P
Доказательство.
h . *211-13. h : aesect‘PO 1. = . a = P*“a. ae 1
[*52-1. *53-301] = . (3 x). a = i‘x.^*‘x = i‘x.
[*91-54. *90-12] =.(gx).a = i‘x ."?po‘x с Cx .xeC'P (1)
h . (1). о h : Hp. о : aesect‘P n 1. = . (3 x). a = i‘x ."?po‘x = A. xeC'P.
[*91-504] = . (3 x). a = l‘x . x ~ e СГР. x € C'P.
[*93-103] = . aE i“"^‘P:. о h. Prop
*211-181. h : Ppo € Ser . g!^‘P. о . sect‘Pn 1 = t'CB'P
Доказательство.
h . *202-13-523 . о h : Hp . о J‘Pe 1 (1)
h.(l). *211-18. *53-3. oh. Prop
*211-182. h : Ppo e Ser .~Ё'Р = A . о . sect‘P П 1 = A [*211-18]
*211-2. h : aEsect‘P. o.a = afi C'P = a U P"a = (a n C'P) U P"a
= P“aUma£/a
Доказательство.
h . *211-1. *22-621-62 .oh: Hp . о . a = a П C'P. a = a U P"a. (1)
[*13-12] o.a = (aAC‘P)UP“a (2)
[*205-131] =P“aUmaVa (3)
h . (1). (2). (3). о h . Prop
*211-21. h :. aesect‘P. о : ~ 3! ma£/a. = . aeD‘(P£ A Z)
Доказательство.
h . *211-2-12 . о h : a e sect‘P. ~ 3! пйй/a . о . a e D‘(Pe A I) (1)
h . *211-12 . *205-111. о h : aED‘(Pe AZ). о. ~ 3! пйй/а (2)
h . (1). (2). о h . Prop
*211-22. h :Peconnex. aEsect‘P.o.aUse^>‘aEsect‘P
Доказательство.
h . *24-24. *13-12 . oh: Hp . §ёф>‘а = Л . о . a U sec^‘aEsect‘P (1)
h . *206-16*53-3-31 .oh: Hp . 3! se^>‘a. о. P"(a U se^>‘a) = P“a u"?‘seq/>‘a
[*206-213] cP“aU(an C'P) U P"a
[*211-2] ca (2)
h . *211-1. *206-18. о h : Hp . о . a U se^/a c C'P (3)
h . (1). (2). (3). о h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
612 И ПРОИЗВОДНЫХ
* 211-23. F : Ресоппех. aesect‘P. Е ! seqp‘a. э. a = P“(a Use^p‘a) =^‘seqp‘a
Доказательство.
F . *206-211. *211-2 . э H Hp. о. a c^‘seq/>‘a (1)
F . *206-213. *211-2 ,dF:Hp .^‘seqp‘aca (2)
F.(l).(2). о F : Hp . о ."?‘seqp‘ci (3)
F . *53-3-31. о F: Hp. о. P“(a U se^p‘a) = P“a U^‘seqp‘a
[(3)] =P“aUa
[*211-2] = a (4)
F . (3) . (4). о F . Prop
* 211-24. F : Ресоппех. aesect‘PA ((Tseqp U - G‘max/>). о . aeD‘Pc
Доказательство.
F . *211-23-11. о F: Ресоппех. aesect‘P A G‘seqp. о . aeD‘Pf (1)
F . *211-21-14. о F: a e sect‘P - (Tmaxp . о. aeD‘Pf (2)
F . (1). (2). oF . Prop
* 211-26. F . C'P € sect ‘P. s‘sect‘P = C‘P
Доказательство.
F . *22-42 . *37-15. о F. C'P c C'P. P‘ 'C'P a C'P.
[*211-1] 0 F. C'Pe sect 'P (1)
F . (1). *40-13 . 0 F. C'P c 5‘sect‘P (3)
F . *40-151. *211-1.0 F. s'sect'P c C'P (3)
F . (2). (3). 0 F . s'sect'P = C'P F . (1). (4). 0 F. Prop *211-27. F: Petrans. 0. (а П C'P) U P“aesect‘P Доказательство. (4)
F . *22-43. *37-15.0 F . (a A C'P) U P"a a C'P (1)
F . *37-22-265 . 0 F . P“{(a A C'P) U P“a} = P“a U P"P"a (2)
F . (2). *201-5 . 0 F : Hp . 0. P“{(a A C'P) U P"a] = P"a (3)
F . (1). (3). *211-1. о F . Prop
* 211-271. F : Petrans. о . (3 0). 0esect‘P. mal/a = ma£p‘P . secret = s£(|p‘P
Доказательство.
F. *205-15-19. о
F : Hp . о . пйй/а = тЙ/{(а A C'P) U Р“а} (1)
F. *206-131-25 . о
F: Hp. о. se^p‘a = se^p‘{(ot A C'P) U P'‘a} (2)
F . (1). (2). *211-27. о F . Prop
*211-272. F :. Petrans . о :
(a). a e CTmaxp U G‘seqp . =. sect‘P c CTmaxp U G‘seqp
Доказательство.
F . *24-11-14. dF: (a). aeCTmaxp U (Tseqp . о .sect‘Pc(Tmaxp U (Tseqp (1)
F . *33-41. о F:. sect‘P c (Tmaxp U G‘seqp . о :
0 esect‘P. op . a! (ma£p‘P U se^p‘0):
[*13-12] о : pesect‘P. ma£p‘a = ma^p‘0. se^p‘a = se^p‘0 . oa>p .
3! (тЙр‘а U se^p‘a):
[*13-12] о :(s P)P e sect‘P. шй/а = та£р‘0 . se^p‘a = se^p‘0. oa>p
3! (тЙр‘а U se^p‘a)
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
613
F. (2). *211-271. э
F :. Нр . э : sect‘P с С'тах/» U Q‘seq/>. э . (а). g! (та£/а U se^/>‘a).
[*33-41] э. (а). а € CTmaxp U Q‘seq/> (3)
F . (1). (3). э F . Prop
*211-28. F :. Ре Ser. а с С‘Р. а ~ е 1. (C‘p-a)~el .z>:
aesect‘P . = . P = P [a^FP [(C‘P-a)
Доказательство.
F. *204-45. z>F:Hp.aesect‘P.z>.P = P [аАР ЦС‘Р-а) (1)
F . *160-1. *202-55 . z> I-:. Hp . P = P [ a * P [ (C‘P - a). z>:
x e a . у e C‘P - a . э . xPy:
[Transp. *204-3] z>: x € a. yPx. z>. у e a:
[*211-1] D:aesect‘P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*211-281. F : P e Ser. C‘(2 A С‘Я = Л . P = . z>. C'Q € secVP
Доказательство.
F . *160-1. эН. Hp . z> : xeC'Q .y eC'R. э . xPy:
[Transp . *204-3] э: xeC'Q.yPx. э .yeC'Q:
[*211-1] z> : C'QesecVP:. э F. Prop
*211-282. F :. PeSer . 0eD‘P [.C'P-C'Q-el .z>:
C'Q e secVP .= .(gtf) .C'QQC'R = A . P = Q + R
[*211-28-281. *200-12]
*211-283. F : P G J .P = Q+R.z>. C'Q f]CR = \
Доказательство.
F . *160-1. z> F : Hp. э . C'Q T C'R G J.
[*200-32] z>. C'Q П C'R = A : z> F . Prop
Следующие предложения касаются D‘P€. Этот класс следует сравнить
с двумя другими классами, а именно sect‘P и ~?"С'Р. Элементами sect‘P,
которые не принадлежат D‘Pe, являются те, которые имеют максимум, но
не имеют секвента, т.е. (если Р серия) те классы, которые состоят из терма
х вместе со всеми его предшественниками, где х не имеет непосредствен-
ных последователей. В сериях, в которых каждый терм за исключением
последнего имеет непосредственного последователя, С'Р будет единствен-
ным элементом sect‘P-D‘Pe, если серия имеет последний терм; если серия
не имеет последнего терма, то sect‘P = D‘Pe.
Элементами D‘Pe, которые не являются элементами “?"С'Р, являются
те, которые не имеют секвента, т.е. те, которые не имеют верхней границы
(так как элемент D‘Pe, который не имеет секвента, также не имеет макси-
мума). Это те элементы D‘PC, относящиеся к “пробелу”, т.е. к Дедекиндову
сечению, в котором ни более ранние термы не имеют максимума, ни более
поздние термы не имеют минимума. Следовательно, в Дедекиндовой серии
D‘Pe=7*“C‘P; и обратно, если D‘Pe =~?“С‘Р, то серия является Дедекин-
довой. Эти свойства D‘P£ доказываются в следующих предложениях.
*211-3. (-.?“C‘PcD7’£ [*53-301. *211-11]
*211-301. b.D‘P€D‘P£ [*37-25. *211-11]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
614 И ПРОИЗВОДНЫХ
*211-302. F : PeSer. э .7*“ёР= sect‘РО CTseqp
Доказательство.
F. *206-4. z> F : Нр . э ."?“ёРс CTseqp (1)
F. *211-315. эН: Нр. э .^“СТ с sect7» (2)
F. *211-23. oh: Нр. э. sect'PD G‘seq/> с^“ёР(3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
* 211-31. F Petrans П connex. aeD‘Pe. э : E ! seqp‘a . V . ~ E ! max/a
[*206-52. *211-11]
* 211-311. F : Petrans П connex. aeD‘Pe. E ! seq/a. э . a =7*‘seqp‘a
[*206-31. *211-11]
* 211-312. F: Petrans П connex. aeD‘Pe. э . a = P“(a U sec^/a)
Доказательство.
F . *211-15-23. э F: Hp. E ! seq/a. э . a = P“(a U se^/a) (1)
F . *211-31. z> F : Hp. ~ E ! seq/a. э . ~ E ! maxp‘a.
[*211-21-15-12] z>.a = P“a.
[*24-24.Hp] z>. a = P“(aUse^p‘a) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 211-313. F : aesect‘PП D‘Pe. э . (3 0). 0esect‘P. a = P“0
Доказательство.
F. *211-1-11. э F:. Hp. э : P“aca: (3 0). a = P“0:
[*37-265] z>: P“a c a: (3 0). 0 c C'P. a = P“0 :
[*22-58] э : (3 0). 0 e C'P. P“(a U 0) c a U 0 . a = P“(a U 0):
[*37-15] z>: (3 0). a U 0 с C'P. P' ‘(a U 0) c a U 0 . a = P' ‘(a U 0):
[*211-1] э : (3 0).aU0esect‘P.a = P“(a| U 0):. э F . Prop
*211-314. F : PeRTJП connex. aesect‘Pn D‘Pe. E ! maxp‘a. э . E ! seqp‘a
Доказательство.
F. *211-313. *205-7. z>
F : Hp. э. (3 0). 0esect‘P. a = P“0 . E ! maxp‘0
F. *37-18.
F : 0esect‘P. a = P“0 . E ! maxp‘a. э‘maxp‘0 c a (2)
F . *211-1. *205-111. э
F : Hp(2). Ресоппех.у eP“0. э .у e0 - i‘maxp‘0.
[*205-21] D.yPmaxp‘0 (3)
F . (2). (3). эF :Hp(2).Ресоппех. э.a ="?‘max/>‘a.
[*206-4] э. maxp‘0 seqp‘a (4)
F . (1). (4). э F . Prop
Приведенное выше предложение и два следующих предложения позво-
ляют нам в определенных случаях доказать предложения, касающиеся от-
ношений sect‘P и D‘Pe без предположения того, что Р транзитивно. При-
мер использования этих предложений встречается в *211-754, где гипотеза
предполагает Pin RTJ О соппех. Если мы использовали *211-31 и его след-
ствия вместо *211-314 и его следствий, то гипотеза *211-754 должна была
бы подразумевать PeSer.
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
615
*211-315. h :. PeRTJ А соппех. a E sect‘Р. о :
oieD‘Pc . = . aEG‘seq/> U - CTmaxp
Доказательство.
h . *211-314. о h :. Hp. о: a e D‘Pe. о . a e G‘seqp U - (Tmaxp (1)
h.(l). *211-24. oh. Prop
*211-316. h : P e R1‘J П connex. о . sect‘P - D‘Pe = sect‘P A G‘maxp - G‘seqp
[*211-315. Transp]
*211-17. h : PEtrans . о . D‘Pe = Pc“sect‘P
Доказательство.
h . *211-15-313. о h : Hp . о. D‘Pe c Pe“sect‘P (1)
h . (1). *37-15 . oh. Prop
* 211-32. h : Petrans A connex. о . D‘Pe = sect‘P A ((Tseqp U - CTmaxp)
[*211-24-15-31]
* 211-321. h : Petrans A connex. о . sect‘P - D‘Pe = sect‘P A G‘maxp - (Tseqp
[*211-32]
* 211-33. h :. P e Ser . a e sect‘P. о :
a ~ eD‘Pc . о . E ! seqp‘P“a. ~ E !! seqpsecJp‘P“a
Доказательство.
h . *211-321. о h : Hp. a ~ e D‘Pe. о . E ! maxp‘a (1)
[*206-35] о . E ! seqp‘P“a. seqp‘P“a = maxp‘a (2)
h . (1). *206-46 .oh: Hp. a~eD‘P£ . о . se^p‘a = se3p‘ma£p‘a
[(2)] =se^p‘se^p‘P“a (3)
h . *211-321. oh: Hp . a ~ e D‘Pc . о . ~ E ! seqp‘a .
[(3)] о. ~E! seqp‘se3p‘P“a (4)
h . (2). (4). о h : Hp . a ~ e D‘PC. о .
E ! seqp‘P“a . ~ E ! seqp‘sei$p‘P“a : о h . Prop
*211-34. h :.Pe Ser . о : a Esect‘P - D‘Pe. = .
a = P“aU i‘seqp‘P“a. ~E ! seqp‘se^p‘P“a
Доказательство.
h . *211-321 .oh: Hp . aEsect‘P - D‘Pe. о . E ! maxp‘a .
[*206-35] о. maxp‘a = seqp‘P“a. (1)
[*211-2] o.a = P“aUi‘seqp‘P“a (2)
h . *21-321. oh: Hp. a E sect‘P - D‘Pe. о ~ E ’ seqp‘a.
[*206-46.(1)] o.~E!seqp‘se^p‘P“a (3)
h . *206-21. *205-111. о h : Hp . a = P“a U i‘seqp‘P“a . о .
seqp ‘P‘ ‘a = maxp ‘a (4)
h . (4). *206-46 .oh: Hp. a = P“a U i‘seqp‘P“a . ~ E ! seqp‘se^p‘P“a. о .
~ E ! seqp‘a (5)
h . *206-18 . *22-58. о h : a = P“a U i‘seqp‘P“a. о . a, C‘P. P“a c a (6)
h. (4). (5). (6). *211-321. о
h : Hp . a = P“a U i‘seqp‘P“a . ~ E ! seqpse^p‘P“a . о . aEsect‘P- D‘Pe (7)
h . (2). (3). (7). о h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
616 И ПРОИЗВОДНЫХ
*211-35. F Ре Ser . э: aesect‘P - D‘Pe. = .
(g х). хеС'Р. a="?‘xU i‘x. ~ Е ! Pi‘x
Доказательство.
F. *211-34. oF:.Hp.o:
aesect‘P-D‘Pe. =. (а х). х = seqp‘P“a. a = P“aU i‘x. ~Е ! seq/i‘x
[*206-21. *205-111] = . (g x). x = seqp‘P“a. x = max/a.
a = P“ct U l‘x . ~ E ! seq/i/x.
[*206-35] = . (a x). x = max/a. a = P“ct U i‘x. ~ E ! seqp‘i‘x.
[*205-22] = . (3 x). x = max/>‘a ="?‘x U i‘x. ~ E ! seqp‘Z‘x.
[*205-197] = . (a x). xeC‘P. a =?‘xU i‘x. ~ E ! seq/i‘x.
[*206-44] = . (a x). xeC‘P. а="?‘и t‘x. ~E I P/x : oF.Prop
*211-351. F : P e Ser. э . sect‘P - D‘Pe =A “(C‘P - D‘Pi)
Доказательство.
F. *204-7. *211-35. э
F :. Hp. э: aesect‘P- D‘Pe. = . (a x). xeC‘P- D‘Pi . a ="?‘xUl‘x.
[*201-521] = . (a x). x e C‘P - D‘Pi. a = A ‘x.
[*37-7] = . a е~Й* “(C‘P - D‘Pi)э F . Prop
*211-36. F :. P e Ser. D‘Pi = D‘P. z>: a e secVP - D‘Pe. = . a = C'P. E ! B'P
Доказательство.
F. *211-351. з F : Hp. з. sect'P - D‘Pe = (1)
F. (1). *202-52.3I- :.Нр.з:
a e sect'P - D‘P€. = . (3 x). x = B'P. a = A ‘x.
[*204-11. *201-521] = . (a x). x = B'P. a = C'P.
[*204-11. *201-521] = . a = C'P. E ! B'Pз F. Prop
*211-361. F: Pe Ser. D‘Pi = C'P. з. sect'P = D‘Pe
Доказательство.
F. *201-63 3 F : Hp. 3. D‘P[ c D‘P.
[*93-103.] z>.~S‘P = A (1)
F . (1). *211-36. з F: Hp. 3. sect‘P - D‘P€ = A (2)
F . (2). *211-15.3 F. Prop
*211-371. F :. Petrans Пconnex: (a). aeQ‘max/> U Q‘seqp: э . D‘PC с CTseqp
[*211-32]
*211-372. F :. Petrans П connex: (a). aeCTmaxp U CTseqp : э . D‘Pe =~P''C'P
Доказательство.
F . *211-371. э F : Hp. э: aeD‘P€. э . E ! seqp‘a.
[*206-3. *211-1-15] э . a ="?‘seqp‘a.
[*206-18] з.ае?“ёР(1)
F. (1). *211-3. sF. Prop
*211-38. F:. PeSer. з: (a). aed'maxp U Q‘seq/>. =. Q‘Pe =~P"C'P
Доказательство.
F . *211-11.3F :. D‘Pe =~P'C'P. a: (p).P“0 =~P'x.xeC'P (1)
F. *206-174. *205-111.3
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
617
F : Р е Ser. ~ g! тахр‘0 . э . secJ/P = С‘Р П х (Р‘‘0 = Z*‘x) (2)
F . (1). (2). э F PeSer . D‘PC ="?“С‘Р. э: ~g! тах/0 . э. g! se^p‘0:
[*33-41] о: 0 z> CTmaxp U G‘seq/> (3)
F.(3). *211-372. эк.Prop
Следующие предложения касаются D‘(PehZ), т.е. тех сечений Р, кото-
рые не имеют максимума. Если Р является компактной серией (т.е. если
Р2 = Р), то D‘(PehZ) = D‘Pe. Если Р является также Дедекиндовой серией,
то D‘(P€hZ)=“?“C‘P. Это является признаком Дедекиндовой непрерывно-
сти, поскольку утверждает, что если Р“а не имеет максимума, то суще-
ствует х, для которого Р“а="?‘х, и этот х представляет собой верхнюю
границу Р“а; в то время как наоборот, если х есть некоторый терм С‘Р,
то не имеет максимума, так что серия является компактной.
*211-4. h . D‘(Pe h I) с - G‘max/>
Доказательство.
F . *211-12 . э F : aeD‘(Pe HZ). э. a - P“a = Л.
[*205-111] э. malp‘a = Л: э F. Prop
*211-41. F . D‘(Pe h Z) = sect‘P - CTmaxp
Доказательство.
F. *211-1. *205-111. э
F : a e sect‘P - CTmaxp . = . a c C‘P. P“ac a. acP“a.
[*22-41] =.acC‘P.a = P“a.
[*37-15 . *211-12] = . a e D‘(Pe h Z) : э F . Prop
*211-411. F : Petrans . a = P“0 . a cP“a. a = P“a
Доказательство.
F . *30-37. э F : Hp . э . P“a = P“P“0
[*201-5] cP“0
[Hp] c a (1)
F . (1). *22-41. э F : Hp. э. a = P“a: э F . Prop
*211-42. F : Petrans . э . D‘(Pe ПZ) = D‘Pe - G‘maxp
Доказательство.
F . *211-14-4 . э F . D‘(Pe П Z) c D‘Pe - 0‘maxp (1)
F. *211-411-11. *205-111. э F : Hp . aeD‘Pe - CTmaxp . э. aeD‘(Pe h Z) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*211-43. F : P e trans H connex. э . D‘Pe - CTseqp c D‘(Pe h Z)
Доказательство.
F. *211-312 . э F :. Hp. э: aeDPf. se^‘a = A .□ a = P“a.
[*211-12] э. aeD‘(Pe hZ):. э F . Prop
*211-431. F : Pe trans H connex. э . D‘Pe - D‘(Pe h Z) sect‘P H G‘maxp П CTseqp
[*211-32-41]
*211-44. F . A eD‘(Pe h Z). A eD‘Pe. A esect‘P
[*37-29. *211-12-14]
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
618 И ПРОИЗВОДНЫХ
*211-45. h : Petrans. eG‘(P - Р2). э .T*‘xeD‘(Pe hI)
Доказательство.
F. *201-501. (1)
F. *33-41. *32-3-34. э F: Нр. э .~?‘х- Р~Р“х = А (2)
F. (1). (2). эР:Нр.э.?‘х=Р“>х (3)
F. (3). *211-12. эН. Prop
*211-451. F>€D‘(P£ П I). э. x ~ e d‘(P - P2)
Доказательство.
F. *211-12 . э F :. Hp. z> :"?‘x = P''~?'x:
[*37-3] э:уРх.у=.уР2х:
[*10-51] э : ~(g у) . уРх. ~ (yP2x)э h. Prop
* 211-452. F:. P e trans. z>: A ‘x e D‘(Pe П I). =. x ~ e CT(P - П2)
[*211-45-451]
* 211-46. hPe trans П connex: (a). a e (Tmaxp U (Tseqp : э
a*(P£ n) ="?“{C‘P - a‘(p - p2)}
Доказательство.
F. *211-452. z>F:Hp.z>.‘?“{P-P2}cD‘(P£n/) (1)
F. *211-372-14. э
F :. Hp. э: aeD‘(Pe AT) . z>. (g x). xeC'P. a-~?'x .~P‘xeT)'(PfC\ I).
[*211-452] э. (g x). xe C'P a =~P'x. x ~ e Q‘(Pe - P2) •
[*37-7] э.а6‘?“{С‘Р-а*(Р£-Р2)} (2)
h . (1). (2). э h . Prop
* 211-47. h Petrans. э : (a). aeG‘maxp G‘seqp . = . D‘(Pe h I) c (Tseqp
Доказательство.
h . *211-272 . *24-43 . z>
h Hp . э : (a). a e (Tmaxp U (Tseqp . = . sect‘P - (Tmaxp c (Tseqp .
[*211-41] = . D‘(Pe П Г) c G‘seqp э h. Prop
Следующие предложения касаются определенных следствий гипотезы
Р2 = Р. Эта гипотеза является важной, так как она определяет характери-
стики компактных серий.
* 211-5. h : Р2 = Р. а = ГР. э . а = Р“а
Доказательство.
h . *37-22 . э h : Нр . э . Р“0 = ГГ0 .
[Нр . *13-12] э . а = Р“а: э h . Prop
* 211-51. h : Р2 = Р. э . D‘Pe = D‘(Pe П Z) [*211-5-11-12]
Таким образом, в компактных сериях нет различия между двумя ви-
дами сегментов.
* 211-52. h Р2 = Р.Ресоппех. э :Е ! тахр‘а. э . ~Е ! seqp‘a
Доказательство.
h . *206-5 . э h :Р2 cP. Ресоппех. Е ! maxp‘a. Е ! seq/a. э . д! (Р-Р2) (1)
h . (1). Transp. э h : Р2 = Р. Ресоппех. Е ! maxp‘a. э. ~ g! seqp‘a:
э h . Prop
Principia Mathematica II
♦211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
619
* 211-53. F :: Р2 = Р. Ресоппех. э :. Е ! max/a . V . Е ! seqp‘a: = :
Е ! тахр‘а. = . ~ Е ! seq/a
Доказательство.
F . *4-64 . э F :. Е ! max/a . V . Е ! seqp‘a : = : ~ Е ! seqp‘a . э . Е ! тах/а (1)
F. *4-73. *211-52. э
F :: Нр . э ~ Е ! seqp‘a . э . Е ! тах/а : = : Е ! тах/а . = . ~ Е ! seqp‘a (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Условие (а): Е ! тахр‘а . = . ~ Е ! seqp‘a является Дедекиндовым опреде-
лением непрерывности. В силу приведенного выше предложения это экви-
валентно (в сериях) компактности вместе с аксиомой Дедекинда, а именно
(a): Е ! шах/а. V . Е ! seq/a .
* 211-54. F x.PG-J: 3! тЙ/>‘а . эа . ~g! secj/a : э. PgP2
Доказательство.
I-. *10-1. э F:. Нр . э : а! ma£p‘i‘jc .0.-3! seqp‘i‘x:
[*205-18] э : хеС‘Р. э . ~ 3! seqp‘i‘x.
[*206-42] D.-a^-J’24*-
[*33-4] z>.x~eD‘(P-P2) (1)
F . *33-263 . э F : x - e C‘P. э.л~е D^P-P2) (2)
F . (1). (2). э F : Hp . э . D‘(P-P2) = A .
[*33-241. *25-3] э. Pc gP2 : э F . Prop
* 211-541. F PeRTJ A trans: 3! mal/a. z>a . ~3! se^>‘a: э. P = P2
Доказательство.
F. *201-1. эЬ:Нр.э.Р2сР (1)
F . *211-54. э h : Hp . э . P gP2 (2)
F . (1) . (2). э F . Prop
* 211-55. F :: PeSer . э :. а’ пйй/a . z>a . ~3! se^/a : = . P = P2
[*211-52-541]
* 211-551. F :. PeSer . э : CTmaxp A CTseqp = Л . = . P = P2
[*211-55. *33-41]
* 211-552. F :: Pe Ser . э :. E ! maxp‘a . =a . ~ E ! seqp‘a : = :
P = P2 : (a): E ! maxp‘a . V . E ! seqp‘a
[*211-55]
*211-553. F :: PeSer . э :. CTmaxp = - CTseqp . = :
P = P2 : (a). a e CTmaxp‘U CTseqp
[*211-552. *71-163]
Следующие предложения касаются демонстрации того, что sect‘A, D‘PC
и D‘(PeAZ) все верифицируют гипотезы из *210, если рассматриваются
в качестве к указанного параграфа.
*211-56. F :. Ресоппех. a, [3esect‘P. э : а с [3 . V . [3 с Р“а
Доказательство.
F . *211-2 . э F :. Нр . а ’• a - р . э . а! а А ёР- р - Р“Р.
[*202-501] э . а! а П р‘^“Р .
[*40-682] э.рсР“а (1)
F . (1). *24-55 . э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
620
*211-561. F Ppo е connex. a, (3esect‘P. э : а с (3 . V . р с Р“а
[*211-56-17-131]
*211-562. I-:. Ppo е connex. а, pesect‘P .z>:acp.V.pca [*211-561-1]
*211-6. F Ре connex. a, pesect‘P .z>:acp.V.pca [*211-56-1]
*211-61. F Petrans П connex. a, p ed‘P€. э : a c p . V.pca
[*211-15-6]
*211-62. F:.P econnex. a, peD‘(PC A/). d : аср. V. pea [*211-14-6]
В гипотезе *211-61 необходимо, чтобы Р было транзитивно, так же как
и связно. Возьмем, например,
P=xiyUyizUzix (х/у .x/z.y/z).
Тогда Р связно, но не транзитивно; также мы имеем
-?‘y = l‘x.?‘z = l‘y.
Следовательно,
l‘х, Су е D‘Pe. ~ (i‘x с i‘y). - (i‘y с l‘x) .
Таким образом, связность не является достаточной в гипотезе *211-61.
*211-63. F: k с sect‘P. э . е sect‘P
Доказательство.
F . *211-1. э F Нр . э : a е к. эа . а с С‘Р:
[*40-151] э:ЛсС‘Р
F . *211-1. э F:. Нр. э : аек. эа . Р“а с а:
[*40-8] э : P“s‘kc
F. (1). (2). *211-1. dF.Prop
Это предложение показывает, что sect‘P верифицирует
*210-251, исключая sect‘P~el, которое требует д!Р.
*211-631. F : kc sect‘P. э . П С'Ре sect‘Р
Доказательство.
F . *22-43 . э F . П С'Р с С'Р
F . *211-1. э F:. Нр . э : а е\. эа . Р“а с а :
[*40-81] э : Р"р'\ с р'\ :
[*37-265-15] э : Р"(р'\ П С'Р) с р'\ П С'Р
F . (1). (2). oF . Prop
*211-632. F : kсsect‘P.REc\. э . p‘kesect‘P
Доказательство.
F . *40-23 . э F: Hp . э . p'\ c .
[*211-63-1] э.р‘ХсС‘Р
F . (1). *211-631. э F . Prop
*211-633. F:kc sect‘P. э . p'\ П s‘sect‘Pesect‘P [*211-631-26]
Это предложение показывает, что sect‘P верифицирует
*210-252, исключая sect‘P~el, которое требует д!Р.
*211-64. F : к с D‘Pe. э. s'X е D‘Pe
Доказательство.
F . *72-504. э F : Нр . э . s'’k=s'Pe"P€"’k
[*40-38] =P"s'Pe"\
F.(l). *211-11. dF. Prop
(1)
(2)
гипотезу
(1)
(2)
(1)
гипотезу
(1)
Principia Mathematica II
211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
621
*211-65. F: к с D'(Pt Л 7). э. s'k e D‘(PC Л 7)
Доказательство.
F . *211-12. z> FНр . э: а е X. эа . а = Р£‘а:
[*50-17] э:Х = Р£“Х:
[*40-38] z>:s‘X = /’“s‘X:
[*211-12] z>: $‘ХеВ‘(Л Л 7):. z> F . Prop
*211-66. F: з!Р. э. sect'P,D'P£ ~е 1
Доказательство.
F. *211-44-26. эЬ . А. C'Pesect‘73
F. *33-24. э F: Нр. э . А / С'Р
F . (1). (2). *52-41. э F: Нр. э . sect'P ~ е 1
I-. *211-44-301. э F : Нр. э . A, D'P e D‘P£
F.*33-24. z> F : Нр . э. A/D'P
F. (4). (5). *52-41. э I-: Нр. э. D‘P£ ~ е 1
F. (3). (6). э F . Prop
*211-661. F: Petrans .3! Clex‘C‘P- Q‘max/>. э . D'(P£ - Г) ~e 1
Доказательство.
F . *205-111. э F : a e Cl ex'C'P - G‘max/>. э.3! a. a aC'P. acP“a.
[*24-58. *37-2] э . 3! P“a. P“a c P“P“a
F . (1). *201-5 . э
FPetrans. э : a e Cl ex'C'P - Q‘max/>. z>. P“a = P“P“a. 3! P“a.
[*211-12] z>. P“a e D'(P£ Л 7). 3! P“a.
[*10-24] э. 3! D‘(Pe -1) - i‘A
F. (2). *211-44. dF. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
(2)
Следующие предложения суммируют полученные выше результаты в от-
ношении гипотез из *210. Отношение Р\с с полем, ограниченным сечениями
или сегментами, которое входит в следующие предложения, является важ-
ным и будет детально рассматриваться в следующем параграфе.
*211-67. F : Ресоппех. к = sect‘P. Q = Р\с [ к. э . Нр *210-12
[*211-6. *210-13]
*211-671. F: Р е соппех. к = sect‘P. Q = Р\с. а! Р. э .
Нр . *210-251. Нр*210-252 [*211-67-66-63-633]
*211-68. F : Р е trans А соппех. А = D‘Pe. Q = Pjc [ к. э . Нр *210-12
[*211-61. *210-13]
*211-681. F : Petrans А соппех. К = D‘Pe. Q = Р\с [ к. а’.Р. э . Нр *210-251
[*211-68-66-64]
*211-69. F : Petrans А соппех. К = D‘(PC И I). Q = Р]с [ к. g!P. э . Нр *210-12
[*211-62. *210-13]
*211-691. F:P е соппех .к — D (Р A Z) • Q — Р\с • О (Р A Z) ~ е 1 • о.
Нр*210-12 [*211-69-65]
*211-692. F : Р е trans А соппех. к = (Ре А I). Q = Р\с [ к.
а! С1 ех‘ёР- (Гтахр . э. Нр *210-251 [*211-691-661]
Следующие предложения касаются отношений сечений и сегментов Р
к сечениям и сегментам Р. Когда aesect‘P, С‘Р-a e sect‘Р, и наоборот.
Кроме того, если Р связно, то максимум а (если существует) представляет
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
622
собой прецедент83 в силу Р (т.е. секвент в силу Р) С‘Р-а, а секвент а
(если существует) представляет собой минимум в силу Р (т.е. максимум
в силу Р) С'Р - а. Поэтому необходимые отношения без труда следуют.
*211-7. F : aesect‘P. э . С'Р - a e sect ‘Р
Доказательство.
К *22-43. dF .С'Р-ааС'Р (1)
F . *211-1. *37-1. э F:. Нр . э : xea .уРх. э .у еа :
[Transp] [*37-1. Transp] [*37-265] [Transp] [*37-15] э: xea. у ~ e a . э . ~ (уРх): э : x e a . э . x ~ e P“(- a): э:ас-Р“(С‘Р-а): э : P"(CP - a) c - a : э:Р“(С‘Р-а)сС‘Р-а (2)
F . (1). (2). *211-1. э F . Prop
*211-701. F : aesect‘P. Е ! тах/а . э . р'*Р"и. с ^‘тах/а с С'Р - а
Доказательство.
I- . *40-12 . э F : Нр . э . р'*Р"а с ^‘max/a (1)
F . *205-101. э F: Нр . э . тах/а ~ еР“а .
[*37-1. Transp . *32-181] э . ^‘max/а с - а.
[*33-152] э I-: Нр . э . ^‘тах/а с С'Р - а (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*211-702. F : Ресоппех. aesect‘P. э . С'Р - а ср‘^“а [*202-501. *211-1]
*211-703. F : Ресоппех. aesect‘P- ССР. э . д! р'*Р''а
[*211-702-1. *24-58]
*211-71. F : Ресоппех. aesect‘P. Е ! тах/а . э .
р‘^“а = 4р'тахр'а = С'Р -а
Доказательство.
F . *202-50-1. *211-2 . э F : Нр . э . С'Р - а ср'*Р"а. (1)
F. (1). *211-701. э F : Нр . э . С'Р - a = р'*Р"а (2)
F . (2). *211-701. э F : Нр . z> . ^‘max/>‘a ср'*Р"а..
[*211-701] э. ^‘шах/а = р‘^“а (3)
F . (2). (3). э F . Prop
Если а является сечением Р, то мы будем называть С'Р-а дополне-
нием а. На основании приведенного выше предложения, если а является
сечением Р, имеющим максимум, то его дополнением является сечение Р,
которое является элементом *Р"С'Р.
*211-711. F : Ресоппех. Р2 G J. aesect‘P. э .
a = С'Р- р'*Р"а.. С'РП р'*Р"а. = С'Р-а [*202-503 . *211-2]
*211-712. F : Ресоппех. aesect‘P. Е ! minp‘(C‘P- a). э . a =~Р‘minp'(С'Р - a)
Доказательство.
F. *211-71^ .э
F : Ресоппех. 0esect‘P. Е ! minp‘fJ. э .~?‘minp‘0 = С'Р - 0 (1)
83 В оригинале — precedent. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
♦211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
623
F . *211-7. *24-492 . э F: а с sect‘Р. 0 = С'Р- а . э . 0esect‘P. а = С'Р - 0 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*211-713. F : Р е connex. а е sect‘P - D‘P. э . Е ! maxp‘a. ~ Е ! minp‘(C‘P - а)
Доказательство.
F . *211-24 . Transp . э F: Нр . э . Е ! max/a (1)
F . *211-712-3 . э F: Peconnex. aesect‘P. Е ! minp‘(C‘P- а). э. aeD‘Pe (2)
F . (2). Transp . о F: Нр. э . ~ Е ! minp‘(C‘P _ а) (3)
F . (1). (3). oF . Prop
*211-714. F : Реconnex. aesect‘P. э . se^p‘a c minp‘(C‘P- a)
Доказательство.
F . *206-18-2 . э F : ле secret . э . xeC'P - a (1)
F.*206-134. dF : x e sc^‘a. z> .1^‘xcC‘P - р'<Р"а (2)
F. (2). *202-501. *211-2. э
F :. Hp . э : xese^/a . э ."?‘xca.
[*37-462] э . x ~ e P"(C'P - a) (3)
F . (1). (3). *205-11. э F . Prop
Приведенная выше гипотеза недостаточна для обеспечения
se<V‘a = minp (С'Р- а), как могло бы показаться, если положить
P = aT(aUi‘x), где gla.x-ea.
Далее мы имеем Р е connex. P“a = a. С'Р - a = l‘x . p'*P"a. = a U i‘x. По-
этому mmp4C‘P-a) = i‘x.se3p‘a = A. В дальнейшем будет видно, что
a Т (a U i‘x) е trans, так что нет смысла добавлять Р е trans к гипотезе
*211-714. Достаточным добавлением является PtzJ, что и доказывается
в следующем предложении.
*211-715. F : Реconnex A RTJ. aesect‘P. о. se^p‘a = mnip‘(C‘P- a)
Доказательство.
F . *205-14 . э F : л minp (C'P - a). э . xeC'P- a .~?‘л A (C'P - a) = A (1)
F.(l). *33-152. *211-2. э
F :. Hp . о: xminp (C'P - a) . э . xeC'P - a - P“a .~P'x c a .
[*202-501] э . xeC'P A p'*P"a .~?'xa a.
[*200-5] э . xeC'P A p'^"a .~P'xc- p'*P"a .
[*37-1. Transp] э . xeC'P A p'<P"a - P"p'*P"u..
[*206-11] э. л seqp a (2)
F. (2). *211-714. oF. Prop
*211-72. F : Peconnex. aesect‘P - D‘Pe. э .
C'P - a = P"(C'P -a).C'P-aE D‘{(P)e A1} [*211-21-7-713]
*211-721. F : P e connex. a e sect‘P A (Q‘maxp U Q‘seqp). э .
se^p‘a = minp‘(C‘P - a)
Доказательство.
F . *211-71. э F : Peconnex. aesect‘P A G‘maxp . э . p'*P"u. = C'P - a .
[*206-13] э . se^p‘a = inmp‘(C‘P-a) (1)
F. *211-714. э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
624 и производных
F Ресоппех. aesect‘P. э : se^p‘a сminp‘(C‘P- °0 :
[*205-3 . *206-16] э : 3! se^p‘a . э . sec^p a = minp‘(C‘P ~ °0 (2)
F . (2). э F : Ресоппех. a esect‘P A Q‘seqp . э . se^/a = minp‘(C‘P- a) (3)
F . (1). (3). эк . Prop
*211-722. F : Ресоппех. aesect‘P. E ! max/a . E ! seq/a . э .
max/a = prec/(C‘P - a)
Доказательство.
I-. *211-721-7 . э F : Hp . э . C‘P - a e sect‘P. E ! min/(C‘P - a).
P C'P-a
[*211-721^-----—] э . pre£/(C‘P - a) = mal/{C‘P - (C'P - a)}
[*24-492] =ma£/a
[Hp] = L‘max/a: э F . Prop
Мы всегда имеем, если Ресоппех. a esect‘Р, то
ртё&р'(С'Р - a) с ma£p‘a .
Обратное включение не всегда имеет место, как видно (записывая Р вме-
сто Р) из замечания к *211-714. Для обеспечения обратной импликации
достаточно допустить Р G J или Е ! seq/a или ~Е ! max/a.
*211-723. F : Ресоппех. aesect‘P. э . ргё£/(С‘Р- а) с пйй/а
Доказательство.
F . *202-11. *211-7 . э F : Нр . э . Р е соппех. С'Р - a е sect‘P.
р
[*211-714- . *205-102 . *206-101] э . ргёЙ/(ёР- а) с таЗ/а: э F. Prop
*211-724. F : Ресоппех. aesect‘PA ((Tseqp U - (Гтахр) . э .
тёйр‘а = ргё£/(ёР- а)
Доказательство.
F . *211-722 . э F: Ресоппех. aesect‘P A CTseqp П (Гтахр . э .
тёйр‘а = ргё£/(ёР- а) (1)
F . *211-723 . *24-13 . эF ‘.Ресоппех. аеsect'P- (Гтахр . э .
тЙ/а = ртё&Р'(С'Р - а) (2)
F . (1). (2). *22-91. э F . Prop
*211-725. F : Ресоппех. aesect‘P A (Tseqp . =>.
таЙр‘а = ргё^р‘(ёР- а). se^>‘a = пипр‘(ёР- а) [*211-721-724]
*211-726. F : Р е соппех A RTJ. aesect‘P. э.
тЙ/а = ргёЙр‘(ёР- а). se^p‘a = minp‘(C‘P - а)
Доказательство.
F . *200-11. *202-11. *211-7. э F : Нр . э . Ресоппех A RTJ. С'Р - a esect‘P.
[*211-715 . *205-102 . *206-101] э . ргёЙр‘(ёР- а) = тЙ/а (1)
F . (1). *211-715 . э F . Prop
*211-727. F Р е соппех A RT J. а е sect'P. э:
Е ! limaxp‘a . = . Е ! liminp‘(C‘P- а) [*211-726 . *207-44]
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
625
*211-728. F РесоппехA RTJ. aesect‘P: ~ Е ! max/a . V .
~ Е ! minp‘(C‘P - a): э . limax/a = liminp‘(C‘P - a)
Доказательство.
F . *211-726 . *207-43-12 . э F : Hp . ~ E ! max/a . э .
limaxp‘a=minp‘(C‘P _ a)
[*207-46. *211-726] =Йттр‘(ёР- a) (1)
Similarly F : Hp . ~ E ! minp‘(C‘P - a). э . limaxp‘a=liminp‘(C‘P - a) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*211-729. F : РесоппехA RTJ. aesect‘P- (CTmaxp A CTseqp). z>.
limaxp‘a = liminp‘(C‘P - a) [*211-728-726]
*211-73. F : Ресоппех. aesect‘P- D‘(Pe A Z). э .
C'P - a eD‘{(£)€ A1} - CTprecp U {sect‘P - D‘(P)e}
Доказательство.
F . *211-21. э F : Hp . э . a e sect‘P - G‘maxp .
[*211-7-723] э . C'P - a e sect‘P - CTprecp .
[*24-41] э . C'P - a e (sect‘P - CTmaxp - G‘precp) U
(sect‘P A Q‘maxp - G‘precp).
[*211-31-21] э . C'P - a e {D‘(P)e A1} - CTprecp U {sect‘P - D‘(P)e):
э F. Prop
*211-74. F : Petrans A connex. aeD‘Pe - D (Pe A I) . э .
C‘P-aeD‘Pe-D‘{A АД
Доказательство.
F . *211-431. э F : Hp. э . aesect‘P A CTmaxp A G‘seqp .
[*211-7-725] э . C'P - aesect‘P A CTprecp A CPminp .
[*211-431^] э . C'P - a e D‘Pe - D‘{A= П 7): z> F . Prop
Следующие предложения суммируют полученные ранее результаты.
*211-75. F a а С'Р. Q = Р. э : a е sect‘P. = . С'Р - a е sect‘G [*211-7]
*211-751. F:.PeSer.acC‘P.g = P.o:
aeD‘Pc. = . С'Р - a esect‘Q A (CTmaxp U - CTseqp)
Доказательство.
F*211-32 . э F : Нр . э : aeD‘Pe. = . aesect‘P A (CTseqp U - Q‘maxp).
[*211-75-726] = . C'P - aesect‘2 A (G‘maxg U - Q‘seqg)э F . Prop
В приведенном выше предложении “Petrans” необходимо для того, что-
бы D‘Pe мог содержаться в sect‘P, a “PeRTJ” необходимо для того, чтобы
“(С'Р - а) ~ е CTseqp” могло влечь “а ~ еCTmaxp”. Следовательно, полная ги-
потеза PeSer становится необходимой.
*211-752. F Ресоппех. а с С'Р. Q = Р. э :
а eD‘(Pc АI). э . С'Р- а esect‘2 - CTseqp
Доказательство.
F . *211-41. э F : а е D‘(Pe A Z). = . а е sect‘P - CTmaxp
F . (1). *211-7-723 . э F : Нр . а е D‘(P€ АZ). э .
С'Р - а е sect‘6 - G‘seqg : э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
626
*211-753. F Р е Ш‘J A connex . а с С‘Р. Q = Р. э :
а е D‘(Pe А 7). = . С'Р - а е sect‘2 - (Tseqe [*211-41-7-726]
*211-754. F PeRFJ A connex. асС‘Р. Q = P. э :
a e sect‘P - D‘Pe . = . C'P - a e D‘(Se И I) A (Tseq^
Доказательство.
F. *211-316. э
F Hp . э : aesect‘P- D‘Pe . = . aesect‘P A (Q‘maxp A - CTseqp).
[*211-7-726] = . C'P - aesect‘2 n (CTseq^ A - (Tmax^).
[*211-41] = . C'P - a e D‘(Ce A I) A G‘seqg э F , Prop
* 211-755. F Petrans A connex. a c C'P. C = P. э :
a e D‘Pe - D‘(P€ A I). = . C'P - a e D‘£e - D'(Qe A 7) [*211-74]
* 211-756. F PeRTJ A connex. a c C'P. Q- P. э:
a e sect‘P - D‘(Pe A 7). = . C'P - a e sect‘6 A (Tseqg [*211-41-7-726]
* 211-757. F :. PeSer . a с C‘P. э :
a e sect'P - D‘(Pe П I). =. C'P - a e *P''C‘P [*211-756-302]
* 211-76. I-: P e Ser. э. D‘Pe = (C'P -)“(sect‘P -
Доказательство.
F . *207-13 . Transp . э F . - = CPminp U - G‘seq/> (1)
F . (1). *211-751. э F:. Hp . э : a eD‘Pe. = . a c C'P. C'P - aesect‘P .
[*24-492] = . (g p). p e sect‘P - (Ttlp . a = C'P - p .
[*38-13] = . ae(C‘P-)“(sect‘P- Q‘tlp)=> F . Prop
* 211-761. F : Pe Ser . э . sect‘P A G‘tlP = (C'P -)“{sect‘P - D‘(P)C}
[*211-76]
* 211-762. h: P e Ser. э. D‘(PC П I) = (C'P -)“(sect‘P - 1>"C'P)
Доказательство.
F . *211-757. Transp. э
F Hp. э : a esect‘P. C'P- a ~ e *P"C'P. = . a eD‘(Pe A 7) (1)
F . (1). *24-492 . *38-13 . э F. Prop
* 211-8. F : Ppo e Ser. aesect‘P. э.
пйй/a = тай (Ppo)‘a . minF‘(C‘P - a) = min (Ppo)‘(C‘P - a) = se^ (Ppo)‘a
Доказательство.
F . *211-13 . *91-602 . э F : Hp . э . a e sect‘Ppo (1)
F . *211-131. *205-111. э F : Hp . э . mal/a = maSP (Ppo)‘a (2)
P ___> ____>
F . (2)— . *211-7. (1). э F : Hp . э . minP‘(C‘P - a) = min (Р^)'(С'Р - a) (3)
[*211-726] =se4(Ppo)‘a (4)
F . (2). (3). (4). э F . Prop
Приведенное выше предложение используется в *232-352 и *234-242.
Следующие предложения подводят к *211-82, которое используется
в *213-4. Предложения *211-83-841-9 также используются в *213.
Principia Mathematica II
*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ
627
*211-81. h : Р е Ser. а е sect‘P. а ~ е 1 . С'Р - а е 1 . э .
С'Р - а = i'B'P . Р = Р С а -н В'Р. а = D‘P
Доказательство.
F. *211-7-181-182^ . = F : Нр. э. ёР- а = С В'Р (1)
F.*204-461. = F:Hp. = .P = P[D'P-KB'P (2)
F. (1). *211-1. э F: Нр. э. а = D'P (3)
F. (1). (2). (3). э F. Prop
*211-811. F: PeSer - i‘A. Р = Q + х. э. C'Qe sect'P .х-В'Р. C'Q = D'P
Доказательство.
F . *161-11. э F: Нр. э: у eC'Q. эу .уРх:
[*204-1] = :x~eC‘Q:
[*161-15] э:х = В'Р (1)
F.*161-13. = F:Hp. = .C‘Q = D‘P (2)
F . (1). (2). *211-1. э F. Prop
*211-812. F :. Р е Ser - i‘A. Q е D'P [. =:
C'Qеsect'P. С'Р -C'Qе!. s . (g x). P = Q-frx. s . P = Q + B'P
Доказательство.
F . *204-4. *201-12 . = F : Hp . = . C'Q ~ e 1 (1)
F.*204-41 = F:Hp. = .Q = P [C'Q (2)
F . (1). (2). *211-81. = F : Hp. C'Q e sect'P. C'P - C'Q e 1. =.
C'P-C'Q = CB'P .P=Q + B‘P (3)
F . *211-811. = F Hp. =: (g x). P = Q 4» x. s . P = Q 4» B'f> (4)
F . *211-811 . = F : Hp. P = Q-иx. =. C'Q e sect'P. C'P - C'Qe 1 (5)
F . (3). (4). (5). = F. Prop
*211-82. F ::PeSer. QeD'P [. = :.
C'Qe sect'P. = : (^ R). P = Q^-R. V. (g x). P = Q-ьx:
= :(gP).P=Q4<V .P=Q+B‘P
[*211-282-283-812 . *160-22 . *161-2]
*211-83. F : з !P. x ~ e C'P. э . sect‘(P4+ x) = sect'P U i‘(C‘PU i'x)
Доказательство.
F. *211-1.=
F Hp. =: a e sect‘(Р-нx). = . a cC'PU i'x. (P4»x)“aca (1)
F . (1). *161-11. =
FHp. =: a e sect‘(Р-нx). xea. =. acC'PUi'x. P“aUC'Pca. xea.
[*22-41] =. a = C'P Ui'x (2)
F. (1). *161-11. =
F Hp. = : aesect‘(P4*x).x~ea. =. acC'PU i'x. P“aca. x~ea.
[*51-25] в . a c C'P. P“a c a.
[*211-1] =. a e sect'P (3)
F. (2). (3). = F. Prop
*211-84. F : C'P A C'Q = A. =. sect^P+Q) = sect'P U (C‘P<J)“sect‘Q
= sect'P U (C'P <J)“(sect‘Q- t'A)
Доказательство.
F.*211-l. = F:aesect‘(P^Q). = .acC‘PuC‘Q.(PtQ)“aaa (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
628 и производных
F.(l). *160-11. э
F Нр. э : aesect‘(P^G) • a с С'Р. = . а с С'Р. Р"а с a
[*2114] = .aesect‘P (2)
F . (1). *160-11. э
F :. Нр . э : aesect‘(P4Q). 3! а П C'Q. = .
aaC'PuC'Q. C?U 2“aca.g! anC'Q.
[*24-43-491] a - C'P c C'Q .C'Paa.Q"aaa-C'P. REc a-C'P.
[*24-491. *37-265]
= . a - C'P c C'Q. C'P c a . Q"(a - C'P) c a - C'P. 3! a - C'P.
[*211-1] = . a - C'P e sect‘2 - i‘A. C'P c a.
[*22-92] =. a e (C'P U)“(sect‘g - l‘A) (3)
F . *211-26-44 . э F. C‘Pesect‘P. C‘Pe(C‘PU)“(sect‘6Q i‘A) (4)
F . (2). (3). э F : Hp . э . sect‘(P^ Q) = sect‘P U (C'P U)“(sect‘C - i‘A)
[(4)] = sect‘P U (C'P U)“sect‘g: э F. Prop
*211-841. F : C'P П C'Q = A . э .
sect‘(P^F Q) - l‘A = (sect‘P- iA) U (C'P U)“ (sect4 Q - iA) [*211-84]
*211-841. F . sect‘(xj,y) = l‘A U iVxli i‘(| i'xU i‘y)
Доказательство. F . *211-1-26 э F . Aesect‘(x J,y). i‘xU i‘yesect‘(xjy) (1)
F . *55-13 . э F : x/y. э . (x J,y)“i‘jc = A (2)
F . *55-13 . э F : x = y. э . (x J,y)“i‘x = l‘x F . (2). (3). dF . (xj,y)“i‘xci‘x. (3)
[*211-1] э F . i‘xesect‘(x J,y) F. *211-1. *54-4.э (4)
F :. Pesect‘(x . э : p = A . V . p = i‘x. V . 0 = i‘y. V . p = l‘xU i‘y F . *55-13 . э F : x/y. э . xe(x i‘y. (5)
[*211-1] э. i‘y ~ e sect‘P (6)
F . *51-23 . э F : x = у. э . i‘y = i‘x (7)
F . (5). (6). (7). э F :. P e sect‘(x J, у). э : p = A. V . p = i‘x. V . p = i‘x U i‘y F . (1). (4). (8). э F . Prop (8)
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
629
*212. Серии сегментов
Краткое содержание *212.
Серии сегментов или сечений серии могут бы упорядочены посредством
отношения включения, способом, рассмотренным в *210. Поскольку, как
было показано в *211, сечения и сегменты обладают свойствами, припи-
санными к к, в гипотезах *210, то полученные серии таковы, что каждый
класс имеет либо максимум, либо секвент, и либо минимум, либо преце-
дент; т.е. серии сегментов или сечений являются Дедекиндовыми. Большин-
ство свойств серий сечений и серий сегментов, которые не имеют макси-
мума, требуют лишь, чтобы исходное отношение было связным. Свойства
серии сегментов (D‘P€), вообще говоря, требуют также, чтобы исходное от-
ношение было транзитивным.
Мы обозначаем серию сегментов посредством $‘Р, полагая
<Р = Р1с £D‘P€ Df.
Далее мы имеем, в силу *210-13 и *211-61,
*212-23. F : Р е trans П connex. э . $'Р = сх(3 {а, 0 е D‘Pe. а с 0. а / 0}
Равно для серии сегментов, которые не имеют максимума, мы полагаем
sgm‘P = Pic t О‘(Ре Л J) Df
и имеем
*212-22. I-: P e connex. э . sgm‘P = a0 {a, 0 e D‘(Pe nZ)-ac0.a/0}
Нам не нужно особое обозначение для серии сечений, поскольку, в силу
*211-13, им является <;‘Р* или sgm‘P*. Поэтому, на основании *212-23,
*212-24. F: Р* е connex. э . <;‘Р* = а0 {а, 0 е sect‘P а с 0 . а / 0}
Мы начинаем этот параграф с различных предложений о полях, и т.д.
этих отношений и об условиях их существования. Мы имеем
*212-132. F . D4‘P = D‘P€ - i‘D‘P. G'^P = D‘P€ - i‘A
*212-133. F : g !P. э . C\'P = D‘P€. B'q'P = A . B‘Cnv4‘P = D‘Pe
*212-14. F:g!P. = .g!<P
*212-152. F . D‘sgm‘P = D‘(Pe h Г) - i‘A
*212-17. F: g! <;‘P* . = . g! sect‘P - i‘A . = . sect‘P ~ e 1. = . g IP
*212-172. F : g IP. э . C'q'P* = sect‘P. B'q'P* = A . B‘Cnv‘$‘P* = C‘P
Из следующей группы предложений (*212-2—25) некоторые уже были
упомянуты. Важным предложением является
*212-25. l-:PeSer.D.‘?5/’ = «/>)
так как оно показывает, что серия сегментов содержит серию, подобную Р.
Далее мы рассматриваем применение предложений *210 к сериям се-
чений и сегментов. Мы показываем, что если Реconnex, то sgm‘P и <;‘Р*
являются сериями (*212-3), и что если Р также транзитивно, то <;‘Р явля-
ется серией (*212-31). Мы имеем
*212-322. F : Р е connex. д! Р. X с sect‘P. э. = limax (<;‘P*)‘k
*212-34. F : Peconnex. д! P. kc sect‘P. э. П C'P = limin(<;‘P*)‘k
так что каждый класс сечений имеет и верхнюю границу или максимум,
и нижнюю границу или минимум (*212-35).
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
630
Далее мы доказываем подобные предложения для q'P и sgm‘P, исклю-
чая то, что вместо *212-34 мы имеем
*212-431. h : Petrans П соппех. д!Р. kс D‘Pe. э .
s‘(D‘Pe П СГр‘к) = limin (<;‘Р)‘к
*212-53. h .Ресоппех. 3! sgm‘P. к с D‘(Pe ПI). э .
s‘{D‘(Pe h Z) П СГр‘Х} = limin (sgm‘P)‘k
Причина отличия от *212-34 заключается в том, что произведение эк-
зистенциональных классов сегментов может не быть сегментом. Предполо-
жим, например, что сегментами являются все те, которые содержат дан-
ный терм х, где х не имеет непосредственного последователя; тогда их
логическое произведение есть "?‘xUi‘x, которое является сечением, но не
сегментом.
Мы имеем далее (*212-6—667) группу предложений о границах и макси-
мумах подклассов в серии <;‘Р. Интерес этого вопроса заключается
в его отношении к иррациональным числам. Если а есть класс, содержа-
щийся в ёРи не имеющий границы или максимума, то Р“а содержится
в С\'Р и имеет границу в $‘Р. Мы можем назвать эту границу иррацио-
нальным сегментом. Не существует иррационального терма в С'Р, так как
в Р не существует границы к а; однако граница "?“а в ^'Р может быть
названа иррациональной, так как она не соотносится ни с одним термом
в С'Р. Следует заметить, что (как будет доказано в главе 6) если Р подоб-
но серии рациональных чисел, то <;‘Р подобно серии вещественных чисел.
Наиболее полезными предложениями по этому предмету являются:
*212-6. F: PeSer.ааС'Р. э. mal«P)‘‘?“a = inalC? ;р)‘‘?“а=‘?“тёйР‘а
♦212-601. I-PeSer.acC'P. э:E ! max/»‘a. =. E ! max(? ’P)‘?“a
*212-602. F:. PeSer. [j!P. ac‘P. z>: E ! maxp'a. в . P“ae?“a
*212-61. F: Petrans П connex. g!P. э . limax(^‘P)‘?“a = P“a
*212-632. F: PeSer. з!P. ac C‘P. P“a ~e>‘C?. z>. P“a = It (g‘P)‘>‘<x
*212-661. F: P e Ser. к a D‘Pe. E ! It «Р)‘к. z>. It (?‘P)‘k = It ($‘P)‘-?“s‘k = j‘k
Это предложение показывает, что каждая граница в серии сегментов
является границей класса того, что мы можем назвать рациональными сег-
ментами (т.е. сегментами вида "?‘х), а именно границей
*212-667. I-: Р е Ser. э . D‘It ($'Р) - i‘A = (Tsgm‘P
Это предложение показывает, что сегменты (отличные от А), которые
являются границами классов сегментов, представляют собой сегменты (от-
личные от А), которые не имеют максимума в Р.
Параграф заканчивается группой предложений (*212-7—72) об отноше-
ниях сечений и сегментов двух коррелированных серий. Если S есть кор-
релятор Р с Q, то (с ограниченной обратной областью) является кор-
релятором <?‘Р* с ^'Q*, ъ'Р с <;'Q и sgm‘P с sgm‘0 (*212-71-711-712). Сле-
довательно,
*212-72. I-: Psmor Q . э . <;‘Р* smor . ^‘Psmor $'Q. sgm‘Psmor sgm‘2
Это предложение используется в следующем параграфе, а также в *271.
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
631
*212 01. $‘Р = Р1с [D‘Pe Df.
*212 02. sgm'P = Plc t D‘(Pe П Г) Df.
*2121. I-: a ($‘Р) 0. = . a, 0 e D‘Pe. g! 0 - a - P“(a - 0)
[*170-102. *37-15]
*212-11. I-: a (sgm'P) 0. =. a, 0 e. D‘(Pe П /). 3! 0 - a
Доказательство.
F. *170-102 . *37-15. э
F: a (sgm'P) 0. =. а, 0eD‘(Pe П /) .REcfi - a- P“(a- 0) (1)
F. *21-12 . э F : aeD‘(P€ О Г). э. a- = - P“a.
[*37-2. Transp] э. - ac - P“(a- 0).
[*22-621] э . - a - P“(a - 0) = - a (2)
F. (1). (2). dF . Prop
*212-12. F: a(sgm‘P*) 0. =. a, 0esect‘P. 3! 0 - a [*211-13. *212-11]
Таким образом sgm‘P* обладает такой же связью с sect'P, что и sgm'P
с D‘(PeCi/). Когда Р транзитивно, то sgm'P* также обладает такой же свя-
зью с sect'P, что и <;‘Р с D‘P€. Следующее предложение делает этот факт
более явным.
*212-121. F . sgm'P* = д'Р* = Р]с [ sect'P
Доказательство.
F . *211-13. э F . sgm'P* = Р|С [ sect'P (1)
F. *212-1. *211-13 . z> F: a (g'P*) 0. = . a, 0 е sect'P. 3! 0 - a - P*“(a - 0) (2)
F . *211-13. э F : aesect'P. z>. = P*“a.
[*37-2] z>. P* (a - 0) c a.
[Transp. *22-621] э. - a - P* “(a - 0) = - a (3)
F. (2). (3). э F : a (<;‘P*) 0. = . a, 0 e sect'P. g! 0 - a.
[*21-12] =.a(sgm‘P*)0 (4)
F. (1). (4). э F . Prop
*212-122. F . $‘P, sgm'PeRl'J [*170-17]
*212-123. F . C‘<P, C'sgm'P ~ e 1 [*200-12 . *212-122]
*212-13. F : A«P) 0. =. 0eD‘Pe - i‘A [*170-6]
*212-131. F : a (g'P) (D'P). = . a e D‘PC - i'D'P
Доказательство.
F . *212-1. z> F: a (<;‘P) (D'P). =. a, D'P e D‘Pe. 3! D'P - a - P“(a - D'P).
[*211-301. *37-15] = . a e D‘Pe. a c D'P. 3! D'P - a.
[*24-55. *22-41] = . aeD‘Pe. a c D'P. a / D'P.
[*37-15] = .aeD‘Pe.a/D'P: э F .Prop
*212-132. F . D‘$‘P = D‘Pe - i'D'P. Q'^'P = D‘Pe - i‘A
Доказательство.
F. *212-13-131. э F, D‘Pe - i'D'P c D‘<P. D‘Pe - t'A c Q'g'P (1)
F . *212-1. э F . D's'P c D‘Pe. a‘$‘P c D‘Pe (2)
F . *212-1. э F : a e D'?‘P. z>. (3 0). 0 eD‘Pe. E ! 0 - a.
[*37-15] =>.E!D‘P-a (3)
F . *212-1. э F: 0 e Cl'g'P. э . (g a). g! 0 - a.
[*24-561] =-я!р (4)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
632 и производных
F. (3). (4). => F D‘$‘P с - i‘D‘P. с - ГА (5)
I-. (1). (2). (5). э I-. Prop
*212133. F : э !Р. z>. С'д'Р = D‘P£. В'д'Р = Л. B'Cnv'^'P = D‘P
Доказательство.
F. *33-24. э F: Нр. э . Л / D‘P.
[*212-132] D.AeD‘5‘P.D‘PeeaVP-
[*51-221] z>. D‘<P = {(D‘P£ - i‘D‘P) - ГЛ} U i‘A.
[*212-132] э. C‘<P = {(D‘P£ - ГЛ) - i‘D‘P} U ГЛ U (D‘P£ - t‘A)
[*22-63] = (D‘P£ - ГЛ) U ГЛ
[*51-221] =D‘Pe (1)
F. (1). *93-103. *212-132. z> F: Hp. z> .’Й^'Р = D‘P£ - (D‘P£ - ГЛ)
[*211-44] = ГЛ (2)
F. (1). *93-103 . *212-132 . z> F: Hp. => .~S‘Cnv'<;'P = D‘P£ - (D‘P£ - i‘D‘P)
[*211-301] F. (1). (2). (3). э F. Prop = i‘D‘P (3)
*212-134. F : P = A. q'P = A [*170-35]
*212-14. F: a!P. = . 3!
Доказательство.
F . *212-133. *211-301. э F: a !P. z>. a! C\‘P.
[*33-24] э.а!$‘Р (1)
F . (1). *212-134 .эк.Prop
*212-141. F: aeC\‘P. в. atD‘P£.а'P
Доказательство.
F.*10-24. эF :aeC‘<j‘P.э .3!C‘?‘P.
[*33-24. *212-14] 0.3 IP. (1)
[*212-133. Hp] z>. a e D‘P£ (2)
F.*212-133.DF:aeD‘Pe.a!P.D.aeC‘5‘P (3)
F. (1). (2). (3). э F . Prop
*212-142. F: а! ?‘P. = . D‘P£ ~ e 1
Доказательство.
F. *211-66. *212-14. z>F:a!$‘P.:5.D‘Pe~€l (1)
F. *212-132. *211-44. э F: D‘P£ ~ e 1. э. 3! D\‘P.
[*33-24] э.аЧ? (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*212-15. F : A(sgnTP)0. = . 0eD‘(P£О/)- ГЛ [*212-13]
*212-151. F: Р = Л. э. sgm‘P= A [*170-35]
Обратная импликация не имеет места в данном случае. Для существо-
вания sgm'P необходимо, чтобы С'Р содержал экзистенциональный класс,
не имеющий максимума.
*212-152. F. Q‘sgm‘P = D‘(P£ А Г) - i‘A [*212-132]
*212-153. F: а! sgm‘P. = . 3! D‘(Pe Й /) - ГЛ. = . D‘(P£ Л Г) ~ е 1
Доказательство.
F.*212-15. z>F: 3! D‘(P£ h I) - ГЛ. z>. 3! sgm‘P (1)
F . *212-152 . э F: a! sgm‘P .0.3! D‘(P£ П Г) - ГЛ (2)
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
633
I-. *212-11. э F : g! sgm'P. э. (д а, 0). a, eD‘(Pe О Г). а/ 0.
[*5216. Transp] э.О‘(РеЛ7)~е1 (3)
F. *211-44. *52-181. э
F:D‘(P€07)~e 1. э . (g 0). 0eD‘(Pe Л 7). 0/Л.
[*212-15] э. g! sgm'P (4)
F. (1). (2). (3). (4). э F . Prop
*212-154. F: g! sgm'P. э . C'sgm'P = D‘(Pe Л 7)
Доказательство.
I-. *212-153-15. □ F: Hp. э. A e D'sgm'P.
[♦212-152] э . D‘(Pe Л 7) c C'sgm'P (1)
F. *212-11. dF. C'sgm'P cD‘(PeO 7) (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*212-155. F: g! sgm‘P. z>. A = 5‘sgm‘P [*212-152-154. *93-103]
*212-156. F : a e C'sgm'P. = . a e D‘(Pe Л 7). g! sgm'P.
= .aeD'(PeO/).D‘(PeO/)~el
Доказательство.
F . *212-154. э F: aeD'(P€ Л 7). g! sgm'P. э . a e C'sgm'P (1)
F. *10-24. *33-24. э F : a e C'sgm'P. о. g! sgm'P. (2)
[*212-154] z>. a e D‘(P€ Л 7) (3)
F. (1). (2). (3). *212-153 . z> F. Prop
*212-16. F : Q'PcD'P. э. D‘PeD‘(P€ Л 7)
Доказательство.
F. *37-27. z>F:Hp.z>.P“D‘P = D'P (1)
F.(l).*211-12. dF.Prop
*212-161. F: O'Pc D'P. g !P. z>. g! sgm'P
Доказательство.
F . *33-24 . *212-16. э F : Hp. z>. D'P e D‘(Pe Л Г) - i‘A.
[*212-15] э. A (sgm'P) (D'P).
[♦11-36] э. g! sgm'P: d F . Prop
*212-162. F : СГР c D'P. g !P. z>.
D'P = B'Cnv'sgm'P. D'sgm'P = D‘(Pe Cl Г) - i'D'P
Доказательство.
F . *212-16-152. *33-24. z> F: Hp. z>. D'Ped'sgm'P (1)
F. *212-11. *37-24. э F: Hp. a e D‘(Pe Л 7) - i‘D‘P. z>. a (sgm'P) (D'P) (2)
F. *37-24. эF:aeD‘(Pe Л7). z>. ~3! (a-D'P).
[*212-11] d.~ {(D'P) (sgm'P) a} (3)
F. (2). (3). э F : Hp . э. D'(P€ Ci 7) - i'D'P c D'sgm'P. D'P ~ e D'sgm'P (4)
F. (1). (4). *212-154. z> F . Prop
*212-17. F: g! $‘P* . = . g! sect'P - i‘A. =. sect'P ~ e 1. = . g !P
Доказательство.
F. *212-132. *211-13 . о F: g! s'P* . =. 3! sect'P - i‘A (1)
F. *212-142. *211-13 . э F : g! s‘P* . = . sect'P ~ e 1 (2)
F.*212-14. z>F:g!<P* . = .g!P* .
[*90-141] в.д!Р (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
634
*212-171. F . D‘$‘P* = sect'P - i‘C‘P. G‘g‘P* = sect'P -i‘A
[*212-132. *21-13. *90-14]
*212-172. F : a !P. э. C‘$‘P* = sect'P. P‘?‘P* = A. B‘Cnv\'P* = C'P
[*212-132 . *211-13. *90-141]
*212-173. F : aeC'cj'P* . e. aesect'P. g!P. =. aesect'P.sect'P ~ e 1
[*212-141-142-14. *211-13]
*212-18. F . $‘P* = (C'P-) ’ Cnv'^'P*
Доказательство.
F. *212-12-121. э F: a (<;‘P*) p. =. a, p esect'P. g! p - a.
[*211-7] в . (а у, 8). у, 8 e sect'P. a = C'P - у • P = C'P - 8. a I P - a.
[*24-55] =.(a Y> 6)-Y-6 esect'P. a = C'P-y-P = C'P-8. ~ (Pc a).
[*211-l.*24-492] = .(a Y> 8). Y. 8 esect'P. a = C'P-y-P = C'P-8. ~(yc 8).
[*212-12. *24-55] = . a {(C'P -) ? Cnv's'P*} p: э F . Prop
*212-181. F. (<P*) smor (Cnv‘<P*) [*212-18]
Приведенное выше предложение используется в *252-18.
*212-2. F. sgm'PG<P. sgm'PG$‘P* [*211-14. *212-1-11-12]
*212-21. F: Petrans. d.$‘Pg<P* j*211-15. *212-12]
*212-22. F:Peconnex. э.sgm'P = aj3{a,PeD‘(P€fl/).acp.a^P)
[*211-62. *210-1. *212-11]
*212-23. F: P e trans П connex. э . <;‘P = ap {a, p e D‘Pe. a с P. a / P)
[*210-13. *211-61. (*212-01)]
* 212-24. F : P* e connex. э. $‘P* = ap {a, p e sect'P. a c p. a / P)
[♦212-121-22. *211-13]
* 212-25. F: Pe Ser. э .? ’P = (<P) f?“C‘P
Доказательство.
F . *204-33-331. э
F:.Hp.D:a(?5P)p. = .a,pe‘?“C‘P.acp.a#p.
[*212-23. *211-3] = • a, P e‘?“C'P. a (g‘P) p:. z> F . Prop
Следующие предложения, вплоть до *212-55, состоят из применений
предложений из *210, где к указанного параграфа заменяется на sect‘P,
D‘Pe или D‘(Pe А/), а Q заменяется на Pic [к, т.е. на <;‘Р*, <^Р или sgm‘P.
Предложения, которые следуют далее, являются важными, поскольку ис-
пользование сегментов, особенно в связи с непрерывностью, зависит в ос-
новном от них.
* 212-3. F : Р e connex. э . sgm‘P, <;‘Р* е Ser
[*211-67. *210-14.212-121]
* 212-31. F : Petrans Пconnex. э . <;‘Ре Ser
[*211-68. *210-14. (*212-01)]
* 212-32. F : Реconnex. д!Р. k с sect‘P. s‘kek. э . s‘k = max(<;‘P*)‘k
[*210-211. *211-67. *212-17]
Мы пишем max(<;‘P*)‘k вместо того, чтобы записывать <;‘Р* ниже ос-
новной линии текста, так как, когда мы вынуждены иметь дело с выра-
жением, не состоящим из единственной буквы, оказывается неудобно запи-
сывать его как суффикс, особенно если оно само содержит суффикс, как
в данном случае.
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
635
*212 321. F : Р э соппех. g IP. X с sect‘P. s‘X ~ е X. э . s‘X = seq (<;‘Р*)‘Х
= lt (?Р*)‘Х
[*210-231. *211-67 . *212-17. *211-63]
* 212-322. F : Ресоппех. g!P. Хс sect‘P. э . s‘X = Umax (^‘Р*)‘к
[*212-32-321. *207-46]
* 212-33. F: P e connex. g !P. X c sect‘P. р‘Х А C‘Pe X. э .
p‘X A C‘P = min (<;‘P*)‘X
Доказательство.
I- . *211-671. *210-252 . *211-26 . э
I-: Hp . э . p‘X A C'P e min (<;‘P*)‘X U ргеё (<;‘P*)‘X (1)
I-. *206-2 . э F : p'l А СР e X. э . p‘X A C'P ~ e pre£ (<P*)‘X (2)
F . (1). (2). э F : Hp . э .p‘X A C‘Peinm (<;‘P*)‘X (3)
F. (3). *205-3I.dF. Prop
*212-331. F: P e connex. g !P. X c sect 'P. p‘X А C'P ~ e X. э .
p‘X A C'P = prec (<;‘P*)‘X = tl (<;‘P*)‘X
Доказательство.
F . *21-671. *210-252 . *211-26 . э
F : Hp . э . p‘X A C'P = limin (<;‘P*)‘X (1)
F . *205-1. Transp . □ F: p‘X А C'P ~ e X. э . p‘X A C'P ~ e min «P*)‘X (2)
F. (1). (2). *206-161. oF. Prop
*212-34. F : Ресоппех. g!P. Xc sect‘P. э . p‘X A C‘P = limin(<;‘P*)‘X
[*212-33-331. *207-46]
*212-35. F : P e connex . g !P. э .
(X). Xe {CTmax (<;‘P*) U Q‘seq «Р*)} A {CUmin (<;‘P*) U Q‘prec «P*)l
[*210-28. *211-671. *212-121]
*212-36. F Ресоппех . э : keC‘sgm‘^‘P* . э . E ! seq(<;‘P*)‘X
Доказательство.
F . *21-47. *212-35-3 . э
F Hp . g!P. э : XeC‘sgm‘<;‘P* . э . E ! seq«P*)‘X
F . *33-24 . э F : X e C‘sgm‘<;‘P* . э . g! sgm‘<;‘P* .
[*212-151. Transp] э . g! <;‘P* .
[*212-17] o.g!P
F . (1). (2). dF . Prop
*212-4. F : Petrans A connex. REdcP. Xc D‘Pfn. 5‘keX. э . s‘X = max(<;‘P)‘X
[*211-68-66. *210-211]
*212-401. F : P e trans A connex. g !P. X c D‘Pe. s‘X ~ e X. d .
s‘X = seq (<;‘P)‘X = It (<;‘P)‘k
[*211-68-66-64. *210-231]
*212-402. F : Petrans A connex. g!P. Xc D‘Pe. э . s‘X = limax(E‘P)‘X
[*212-4-401. *207-46]
*212-41. F : Petrans Aconnex. g!P. Xc D‘Pe. p‘Xek. э .p‘X = min(^‘P)‘X
[*211-68-66. *210-21]
*212-411. F : Petrans Aconnex. g!P. Xc D‘Pe - X. э .
p‘X = prec fe‘P)‘k = tl (<;‘P)‘k
[*211-68-66. *210-23 ]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
636 И ПРОИЗВОДНЫХ
*212*42. F : Petrans П соппех. д!Р. к с D‘Pe. р‘Х~ ек. э .
s‘(D‘Pe п СГр‘Х) = ргес (<;‘Р)‘Х = tl (g‘P)‘X
[*210*26*22. *21*68*66*64]
Случаи, рассматриваемые в *212*411 и *212*42, не являются взаимно
исключающими, поскольку если p‘XeD‘Pe, то мы имеем s‘(D‘Pe П СГр‘Х).
*212*421. F : Petrans П соппех. g!P. Xс D‘Pe. р‘Х~ eD‘Pe. э .
s‘(D‘PenCrp‘k) = P‘‘p‘k
Доказательство.
F . *211*15*1. э F:. Нр. э: аеХ. эа . Р“а с а:
[*40*81] э:Р“р‘Хср‘Х (1)
I-. (1). *211*11. о F:Нр.э. Р“р‘Хе D‘Pe П С1‘р‘Х.
[*40*13] э . Р“р‘Хс s‘(D‘Pe П С1‘р‘Х) (2)
F . *13*196 . *60*2 . о F Нр . э : а е D‘Pe П СГр‘Х. эа . а с р‘Х. а / р‘Х:
[*211*56*15*632] э : a! X. а е D‘Pe П С1‘р‘X. эа . а с Р“р‘Х:
[*40-151] э : a! X. э . s‘(D‘Pe П С1‘р‘Х) с Р“р‘Х (3)
F . *40*2 . *37*24. э F : X = А . э . s‘(D‘Pe П С1‘р‘Х) с D‘P. Р‘‘р‘Х = D‘P (4)
F . (3). (4). э F : Нр.о. s‘(D‘Pe П СГр‘Х) с Р“р‘Х (5)
F. (2). (5). о F. Prop
*212*43. F : Ре trans П соппех. a !Р. X с D‘Pe. р‘Х ~ е D‘Pe. э.
Р“р X = ргес «Р)‘Х = tl «Р)‘Х [*212*42*421]
Таким образом, относительно нижнего конца класса, выбранного из
С‘<;‘Р, нам следует различать три случая: (1) если р‘ХеХ, то р‘Х есть
минимум; (2) если p‘XeD‘Pe-X, то р‘Х есть нижняя граница; (3) если
p‘X~eD‘Pe, то Р“р‘Х есть нижняя граница.
*212*431. F : Petrans Псоппех. а’.Р. Хс D‘Pe. э .
s‘(D Ре П СГр‘Х) = limin (<;‘Р)‘Х
Доказательство.
F. *212*42 . э F : Нр. р‘Х ~ е X. э . s‘(D Ре П С1‘р‘Х) = tl «Р)‘Х (1)
F . *22*441. э F: Нр. р‘Хе X. э . р‘Хе (D‘Pe П СГр‘Х).
[*40*13] э . р‘Х с s‘(D‘Pe П С1‘р‘Х) (2)
F . *60*2 . эF: аеD‘Pe П СГр‘Х. □ .аср‘Х:
[*40*151] э F . s‘(D‘Pe П С1‘р‘Х) с р‘Х (3)
F . (2). (3). э F : Нр. р‘Х е X. э . s‘(D‘Pe П СГр‘Х) = р‘Х
[*212*41] э. s‘(D‘Pe П СГр‘Х) = min (<;‘Р)‘Х (4)
F . (1). (4). *207*46 . э F . Prop
*212*44. F : Р е trans П соппех. g !Р. э .
(X). Xe{CTmax «Р) U Q‘seq (<;‘Р)} П {Q‘min «Р)}
[*211*681. *210*28]
*212*45. F :. Petrans П соппех. э: XeC‘sgm‘<;‘P. э . Е ! seq(<;‘P)‘X
Доказательство.
F. *211*47 .*212*44*31.э
F :. Нр . а !Р. о : Xе C‘sgm\‘P. э . Е ! seq ($‘Р)‘Х (1)
F . *33*24. э F : X е C‘sgm‘^‘P. э . а! sgm‘<;‘P.
[*212*151. Transp] э . а! д‘Р •
[*212*14] э.д!Р (2)
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
637
F . (1). (2). э F . Prop
Доказательства следующих предложений в точности аналогичны дока-
зательствам соответствующих предложений о <;‘Р.
*212*5. F : Р e connex. 3! sgm‘P. X с D‘(Pe И I). s‘X 6 X. э .
5‘Х = max (sgm‘P)‘X
*212-501. F : Ре connex <, 3! sgm‘P. Xc D‘(P€ H I). s‘X~ eX. э.
s‘X = seq (sgm‘P)‘X = It (sgm‘P)‘X
* 212*502. F : Peconnex .3! sgm‘P. Xc D‘(Pe h Z) . э . s‘X = limax(sgm‘P)‘X
[*212*5*501]
* 212*51. F : Peconnex. 3! sgm‘P. Xc D‘(Pe h I).p‘XeX. э .
p‘X = min (sgm‘P)‘X
* 212*511. F : Peconnex. 3! sgm‘P. Xc D‘(Pe H Z) . p‘XeD‘(Pe ПI) - X. э .
p‘X = prec (sgm‘P)‘X = tl (sgm‘P)‘X
* 212*52. F : P e connex. 3! sgm‘P. X c D‘(Pe П Z). p‘X ~ e X. э .
H Z) П СГр‘Х} = prec (sgm‘P)‘X = tl (sgm‘P)‘X
Это предложение включает *212*511, поскольку, если p‘XeD‘(Pe A Z), то
мы имеем
5‘{Dt(PenZ)nCrp‘X} = p‘X.
* 212*53. F : Р е connex. 3! sgm‘P. X с D‘(Pe П Z) . э .
s‘{D‘(Pe П Z) П Cl‘p‘X} = limin (sgm‘P)‘X [*212*51*52]
Доказательство аналогично *212*431.
* 212*54. F : P e connex. 3! sgm‘P. э .
(X). X e {a‘max (sgm‘P) U Q‘seq (sgm‘P)} П {(Turin (sgm‘P) U Q‘seq (sgm‘P)}
*212*55. F P e connex. э : X e C‘sgm sgm‘P. э . E ! seq (sgm‘P)‘X
Следующие предложения касаются отношений максимумов, границ и
секвентов в Р и q‘P соответственно. Серия »Р, которая ординально по-
добна Р, содержится в $‘Р; и если а имеет максимум или границу в Р,
то максимумом или границей "?“а в <;‘Р является "?‘шах/>‘а или ^‘lt/>‘a.
Следовательно, серия (а именно "?’Р), которая имеет те же самые орди-
нальные свойства, что и Р, может быть помещена в некоторую Дедекин-
дову серию (а именно <;‘Р) таким образом, что классы, имеющие границы
в Р, есть те классы, чьи корреляты имеют пределы, которые являются эле-
ментами в то время как классы, чьи корреляты имеют границы,
которые не являются элементами представляют собой классы, не
имеющие ни максимума, ни границы в Р. Эти отношения являются важны-
ми в связи со многим. Например, если Р принадлежит типу рациональных
чисел, то <;‘Р принадлежит типу вещественных чисел: С‘д‘Р-"?“ёРсоот-
ветствует иррациональным числам, а классы, содержащиеся в ~?“С'Р, но
имеющие границу, не принадлежащую соответствуют сериям ра-
циональных чисел, имеющих иррациональную границу. В исходной серии
Р не существует иррациональных границ; однако если а есть класс в С‘Р,
не имеющий границы, то "?“а имеет иррациональную границу в <;‘Р.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
638 и производных
*212-6. F : Р е Ser . а с С'Р. э .
mal (^‘Р)‘1^“а = тёй (? ’Р)‘"?“а ="?“та£/а
Доказательство.
F. *205-9. *200-12. э
F : Нр. э . тёй(^‘Р)‘"?“а = та£(? ’Р)‘"?“а (1)
I- . *204-35 . *205-8. э
F : Нр . э . тЙ ("? ="?“та5Р‘а (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*212-601. I-:. P e Ser . а с C'P. э :
E ! max/a. = . E ! max(? ’P)‘"?“a. = . E ! max (g‘P)‘"?“a
[*212-6]
*212-602. F :. PeSer ,g!P.ac C'P. э : E ! max/a. = . P“ae'?“a
Доказательство.
I-. *212-601. *210-223 . э
F:. Hp. э : E ! шах/A . = . s‘7*“ae*?“a.
[*40-5] = . P“ae"?“a: э F. Prop
*212-61. F : Petrans П connex. g!P. э . limax(^‘P)<-?“a = P'a
[*212-402. *40-5]
*212-62. F :. PeSer. g!P. э :
E ! limaxp‘a. = . E ! limax (? »P)‘"?“a.
= . limax (cj‘P)‘"?“a="?‘limax/a.
=. limax (^‘P)‘^“ae^“C‘P
Доказательство.
F . *204-35 . *207-65 . dF :. Hp . э : E ! limax/a. = . E ! limax (? >Pyl*"a (1)
F . *207-51. э F :. Hp . э :"?‘limax/a = P"a. = . limax/a = limax/a.
[*14-28] = .E! limax/a (2)
F . (2). *212-61. э
F :. Hp . э : E ! limax/a. = . limax (^‘P)‘"? “a ="?‘limaxp‘a (3)
F . *207-51. *14-204 . э
F :. Hp . э : E ! limax/a. = . (g x). xeC'P .~P'x = P"a.
[*37-7] =.P"a€^"C'P (4)
F . (1). (3). (4). э F . Prop
*212-621. F :. PeSer. 0 с C'P. э : limax/ae0 . = . limax(^‘P)‘"?“ae"?“0
Доказательство.
F . *33-24 . □ F : Hp. limax/a e 0 . э . g !P. limax/a e 0 .
[*14-21] э . g !P. E ! limax/a. limax/a e 0
[*212-62] э. limax(^‘P)‘"?“ae"?“0 (1)
F . *33-24 . *22-621. э F : Hp . limax . э .
g !P. limax (^‘P)‘^“ae^“0 n^“C‘P.
[*212-62] э . limax(<;‘P)‘"?“ae"?“0 . limax (g‘P)‘"?“0 =l^‘limax/a.
[*72-512 . *204-34] э . limax/a e 0 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica II
*212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
639
*212-63. F :PeSer. g!P. асC'P. ~E ! max/>‘a. э .It (<j‘P)‘~?“a = P“a
[*212-61-601. *207-43]
*212-631. FP e Ser. э !P. a с C‘P. э : E ! It/a. ее . It ($‘РУ?“а ='?‘lt/>‘a.
= . It (<j‘P)‘7*“a ex'C'P
Доказательство.
h . *207-47. о h : E ! ltp‘a . = . E ! limax/a. ~ E ! max/a (1)
h. (1). *212-62-601. э
h :. Hp. о : E ! It/a. = . limax (^‘P)‘^“a =^‘limax/a. ~ E ! max(^‘P)‘^“a.
[*207-43-11] =.lt(5‘P)‘‘?“a=^‘ltP‘a (2)
F.(1). *212-62-601. z>
F Hp.э : E ! It/a. =.limax(q‘P)‘^“ae^“C‘P. ~E ! max(^‘P)‘^“a.
[*207-43-11] = .lt(g‘P)‘7*“ae>‘C‘P (3)
h . (2). (3). э I-. Prop
*212-632. F : P e Ser. з !P. a с C'P .P“a~ e?“C‘P. э. P“a = It (s‘P)‘~?''a
Доказательство.
h . *212-602 . э h : Hp. э . ~ E ! тахР‘а.
[*212-601] э . ~E ! max(5‘P)‘^“a.
[*212-61] э . It (?‘P)‘^“a = P“a: э F . Prop
*212-633. FP e Ser. 3 !P. x e C‘P. P с C'P. э : x = lt/р. s .~?'x = It (s'P)'~?"$
Доказательство.
F. *212-631. *14-21. z>
F Hp. z>: x = ltP‘p. z> = It ($‘Р)‘>‘р (1)
F . *212-402 . z> F : Hp .>x = It (s‘P)‘l*“p. э .~?'x = P“p
F. *206-2. э F : Hp .~?'x = It (<;‘P)‘1*“P. э .~?'x ~ e"?“p.
[*72-512 . *204-34] э . x ~ e p (3)
F. (2). (3). *207-232 . э F : Hp .^‘x = It (<P)‘>‘p. э . x = It/.‘p (4)
h . (1) . (4) . э h . Prop
*212-65. h Pe Ser . a с C‘P. о : E ! seq/a. = .^‘seq/a = seq(^‘P)‘^“a
Доказательство.
h. *206-17. *210-15. *211-3. э
h :: Hp . э :.^‘seq/a = seq (^‘P)‘?“a . = :
yeanC‘P. c"?‘seq/a /^‘seq/a:
уеВ‘Рс. yc^‘seq/a. y/^‘seqp‘a . dy . (g z). zea . у c^‘z:
[*204-33 . *206-22] = : у e a A C‘P. эу . yPseq/a:
Y e D‘Pe. у c (a A C‘P) U P“a . у / (a A C‘P) U P“a. dy . (g z)ze a. у c^‘z (1)
h. *211-56.э I-:Нр.убО‘Рб.2бС‘Р-у.э.ус"?‘г (2)
h . (2). э h : Hp . yeD‘Pc. yc (a A C‘P) U P“a . у / (a AC‘P) U P“a. э .
(gz) .zca.yc-?^ (3)
h.(l).(3).D
h :: Hp . э :.^‘seqp‘a = seq (^‘P)‘^“a. = : у e a A C‘P. oy . yPseq/a:
[*206-211. *14-21] = E ! seq/a:: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
640 и производных
*212-651. h Р е Ser. а с С'Р. э :
Е ! seqp а. =. seq (^‘Р)‘^“ае^“С‘Р. =. Е! seq С? ;Р)‘^“а
Доказательство.
h . *212-65 .oh:. Нр . э : Е ! seqp‘a. э . seq (^‘P)‘^“ae?“C‘P (1)
h. *206-17. *210-15. *211-3. э
h :: Нр . э :. seq (^‘P)‘^“a =^‘w. we C'P. = :
yean C'P .^'y <z~P'w .~ft'y±~P'w:
у e D‘P6. у c^‘w. y . dy . (g z). z e a. у c.~P'z: w e C'P:
[*204-33 . *211-3] э: a П C'P c.~P'w: yPw. эу . (g z). z e a c.l*'z: w e C'P:
[*204-32] э: a A C'P a.~P'w 7?'w caU P“a .we C'P: (2)
[*206-171. *33-15] э : w = seq/a
h . (2). *37-7. *14-204. э
h :. Hp. э : seq(^‘P)‘^“ae^“C‘P. э . E ! seq/»‘a (3)
h.(l).(3). *206-62. oh. Prop
*212-652. h : PeSer. a cC‘P. E ! max/a. E ! seq(^‘P)‘?“a. э .
seq (g‘P)‘"?“a = a U P“a
Доказательство.
h . *212-6-601. *206-46 . э h : Hp . э . seq(^‘P)‘?“a = seq(^‘P)‘i‘^‘maxp‘a (1)
h. *206-17. *210-15. *211-3. э
h :: Hp . э :. p = seq ($‘P)‘i‘maxp‘a . = :
peD‘Pe.T* ‘maxp‘a c p ."^max/a / p :
Y e D‘P6 .уср.у/Р«Эу.6 c^‘maxp‘a:
[*201-55. *210-1] э : p eD‘Pe. 3! P - P“C?‘maxp‘a U i‘maxp‘a):
Y e D'Pe. y c p . y / P • =>y . G c^‘maxp‘a:
[*211-56] D:peD‘Pe.T* ‘maxp‘a U i‘maxp‘a c p :
Y e D‘P6 .уср.у/р.Эу.С c"?‘max/>‘a:
[*211-3] э : peD‘P6 .^‘maxp‘aU i‘maxp‘aс p : хер . эх ."?‘xc"?‘max/>‘a:
[*40-5] э : PeD‘P6 .^‘max/a U i‘maxp‘a с p . P“p c^‘maxp‘a:
[*202-56] э : p e D‘P6 .^‘max/a U i‘maxp‘a = p :
[*205-131-22] э : p = a U P"a (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*212-653. h :. PeSer. E ! max/a. ac C'P. э : E ! seqp‘a. = . E ! seq(^‘P)‘^“a
Доказательство.
h . *212-652 . э h :. Hp. E ! seq(^‘P)‘^“a. э a U P"ae D‘P6 (1)
h . *205-191. z> h : Hp. э . E ! maxP‘(a U P“a) (2)
h . (1). (2). *211-31. э h : Hp (1). э . E ! seq/(a U P“a).
[*206-25] э . E ! seqp‘a (3)
h . *212-65 . э h : Hp . E ! seqp‘a . э . E ! seq (^‘P)‘^“a (4)
h . (3) . (4) . э h . Prop
Principia Mathematica II
♦212. СЕРИИ СЕГМЕНТОВ
641
*212-66. h : Р е trans А соппех. к с D‘P6. ~ Е ! max ($‘Р)‘к. э . ~ Е ! шах/$‘к
Доказательство.
F. *210-1. *212-23. э
h :. Нр. э : 0 е к. эр . у е к. р с у. з! у - 0 :
[*201-5] э : р е к. х е р. эр, х. (д у). у е к . я! у-~Р'х - i‘x:
[*202-101] э : х е 5‘к. эх . (я y) • Y 6 к • Я ’• Y А ^‘х.
[*37-46] эх . хеР“$‘к:. э h . Prop
*212-661. I-: Р е Ser. к с D‘Pe. Е ! It (<;‘Р)‘к. э . it ($‘Р)‘к = It (£‘РУ?“х‘к = s'k
Доказательство.
h . *212-402 . э h : Нр . э . It ($‘Р)‘к = s‘k (1)
h . *212-402 . э h : Нр. э . limax (^‘Р)‘^“5‘к = P“s‘k
[*212-66] = s‘K (2)
h . *212-601-66 . э h : Hp. э . ~ E ! max (^‘P)‘^“5‘k (3)
F . (2). (3). oF:Hp.D.lt($‘P)‘7*“s‘K = s‘K (4)
F. (1). (4). э F. Prop
*212-662. I-: P e Ser. к c D‘Pe. E ! It (<;‘Р)‘к. э.
(3 к). X c"?“C‘P. It «Р)‘к = It ($‘P)‘X
[*212-661]
*212-663. I-: P e Ser. x€ C'P .~?fxe D‘lt (<;‘P). э.
^‘x = It (g‘P)‘?“"?‘x. x = ltP‘?‘x
Доказательство.
h . *212-661. э h : PeSer .xeC'P .~P'x = It ($‘Р)‘к. э .
"?‘x = s‘k .>x = It (^‘P)‘^“5‘K .
[*13-12 . *212-66] э .>x = It (g‘P),'?“‘?‘x. ~ E ! max/>‘7*‘x.
[*206-4] э .>x - It (g‘P)‘"?‘r?‘x. x = ltP‘>x:oF. Prop
*212-664. F P e Ser. x e C'P. э: x e D‘ltP . =.e D‘lt (<;‘P)
Доказательство.
h . *212-631. э h : Hp. x = lt/a . э .^‘x = ltp‘^“a (1)
h . (1). *212-663 . э h . Prop
*212-665. F : P e Ser . a !P • a e D‘(Pe n /). э . It (?‘P),'?“a = a
Доказательство.
h . *211-4. э h : Hp. э . ~ E ! max/a .
[*212-601-44] э . It (^‘P)‘?“a = limax (^‘P)<-?“a
[*212-402. *40-5] =~?“a
[*211-12] =a:DF.Prop
*212-666. F : P e Ser. a IP • • D‘lt (?‘P)‘= D‘(Pe h I)
Доказательство.
F . *212-66-661. э F : Hp. к c D‘P£. у = It (?‘Р)‘к. d . у = j‘k . ~ E ! max/y.
[*211-64-42] D.yeD‘(Pen/) (1)
F . (1). *212-665. э F . Prop
*212-667. F : P e Ser. э . D‘lt ($‘P) - i‘A = CTsgm'P [*212-152-151-666]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
642
*212-7. h : S еР smor Q. э . sect‘P = 5e“sect‘Q.
Доказательство.
I-. *151-11-131. э h : Нр. р с C‘Q. э . 5 “р с ёР(1)
И. *37-2. э h : б“р с р . э . 5 “£2“р с5 “р (2)
F . (2). *72-503. э1-:Нр.рсС‘е.е“₽ср.э.5“С“5“5,“рс5“р.
[*151-11] =>.Р“5“рс5“р (3)
F. (1). (3). *211-1. э F: Нр. Р е sect‘6 • э. S “р е sect'P (4)
F. (4). *151-131. э F: Нр. аеsect'P. э . ^“aesect'Q •
[*72-502] э. aeSe“sect‘Q (5)
F . (4) • (5). э F: Нр. z>. sect'P = SV'sect'C (6)
F. (6). *212-17-172. э F. Prop
*212-701. F : S e Psmor Q. э . D‘Pe = Se“D‘0e. C‘<;‘P = Se“C‘s‘C
[*212-7]
*212-702. F :S e Psmor Q.~z>.
D‘(Pe П I) = 5e“D‘(6e n Г). C'sgm'P = 5e“C‘sgm‘6
[*212-7]
*212-71. F: S ePsmor (7 . э . Г C‘<;‘Q* e(<j‘P*) smor «£?*)
Доказательство.
F . *71-381. э F :: Hp • z>a, p e sect'g. э: g! p - a. s. 3! 5 “P - S “a (1)
F . (1). *212-7. z> F Hp. a, pesect‘0. э: a(<;‘Qt:) p. = . 5“a(?‘P*)5'“p.
[*150-41] =.a{Se;(s‘P*))P (2)
F . (2). *212-172 . э F : Hp. э . g5£‘> (s'P*) (3)
Similarly F: Hp. z>. <;‘P* g5£> (?‘Q*) (4)
F. *72-451. DF:Hp.D.5e [C4‘Q*el^l (5)
F . (3). (4). (5). *151-27. э F . Prop
*212-711. F : S e P smor Q. э • Se [ C‘q‘Qe(^‘P) smor
[*212-7]
*212-712. F : S e Psmor Q. э . S€ f C‘sgm‘P‘e(sgm‘P) smor (sgm'Q)
[*212-7]
*212-72. F: P smor Q. э . $‘P* smor . q‘P smor q‘Q. sgm'P smor sgm‘0
[*212-71-711-712]
Principia Mathematica II
*213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
643
*213. Отношения сечений
Краткое содержание *213.
Если а является сечением Р, то Р [ а называется отношением сече-
ний Р', и если а является сегментом Р, то Р [ а называется сегментным от-
ношением Р. Если Рро является сериальным, то отношения сечений могут
быть упорядочены в серию посредством отношения включения (*213-153).
Т.е. если мы называем серию отношений сечений Р?, то мы будем так опре-
делять Р?, чтобы обеспечить то, что если Рро является сериальным, то
Q Р^ R. = . Q, R е А [ “ (sect ‘Р-CK).QgR.Q^R
(*213-21). Естественным определением было бы
Р? = РГ^‘Р*.
Однако оно обладает недостатком, который заключается в том, что если
хВР, то
Р Ц‘х = Р [Л.Л,i‘xesect‘P.
Поэтому Р t а = Р [ р не влечет а = р; и когда Р является сериальным, то
Рр$‘Р* не является сериальным, так как Л(Р $‘Р*)Л. Для того чтобы
устранить это неудобство, мы ограничиваем себя сечениями, которые не
являются нулевыми, полагая
Рд = РГ’(?‘Р*)[(-1‘Л) Df.
С приведенным выше определением мы имеем (*213-151-152), если Рро e Ser,
(Р ПГС‘{(?‘Р*)Г-1‘Л}61^1
и
Р? smor ($‘Р*) [ (- 1‘Л) .
Отношение Р? является очень полезным, когда мы имеем дело с вполне
упорядоченными сериями; в этом случае мы имеем (как будет показано
позднее)
р? = п ;р ссгр-нр.
В дальнейшем будет видно, что если Рро € Ser, то всякий раз, когда Р су-
ществует, Р = С‘1\ (*213-158); а всякий раз, когда ^‘Р существует, А = В1Р^
(*213-155).
Мы имеем, если Рро e Ser,
Q Р<; R. = . R e ylP<;. Q e D‘P? (*213-245).
Следовательно,
Леу‘Р? .3.'?/P = D‘Ps.P? = P? (*213-246-242).
Если P является сериальным, то отношения сечений Р представляют
собой все отношения такие, что путем добавления чего-либо к ним они
становятся Р, т.е. они представляют собой
Q {(дР) .P = Q1R.V .&x).P = Q + x} (*213-4).
Следовательно, их реляционные числа есть те числа, которые могут быть
сделаны равными реляционному числу Р путем добавления. Этот факт яв-
ляется важным в связи с теорией больше и меньше среди реляционных
чисел.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
644 и производных
Предложения этого параграфа являются сложными из-за необходимо-
сти принимать во внимание возможность сечений быть единичным клас-
сом. Это неизбежно влечет за собой большое количество предложений, ко-
торые представляют собой просто леммы; однако по мере продвижения
к концу сложности практически исчезают.
Мы начинаем с предложений о поле и т.д. Р?. Мы имеем
*213-141. h . D‘Pq = Р [“(sect‘P - i‘A - i‘C‘P)
*213-142. hiPpoG/.D.CT^P [“(sect‘P-i‘A)
*213-16. h . D‘P? = P t“(sect‘P - i‘A) - i‘A
*213161. F:GJ.gi^Ti.D.P [“sect‘P = P [“(sect'P-t‘A) = C‘P?
*213162. F: Ppo e Ser. э . Q'P4 = P [“sect’P - i‘A
Далее мы доказываем:
*213-17. h : Ppo e Ser. э . Nr4‘P* = 1 + Nr‘P? . Nr‘fc‘P*) [ (Q4‘P*) = Nr‘P?
Если P конечно, то из приведенного выше предложения следует, что
$‘Р* не является подобным Р?; однако если Р бесконечно, имеет начало и
вполне упорядоченно, то мы находим
Nr‘g‘P* = Nr‘P?.
Далее мы имеем группу предложений (*213-2—251), главным образом
касающихся сечений Р, где ReC'P^ Помимо того, что уже было упомянуто,
следующие предложения являются важными:
* 213-172. h : Рро, (2ро е Ser. Р smor Q. э . Р? smor
* 213-24. h : р e sect‘P. R = P [ p . э . sect‘P = sect‘P А СГС‘Р
*213-243. I-
* 213-25. h : Ppo eSer. 2,Pe y‘P? . э : 2eD‘P? . V . PeD‘2? . V . Q = R
Наша следующая группа предложений (*213-3—32) касается А и х\,у.
Мы имеем
* 213-3. h : Р = А. э . Р? = А
* 213-32. h : Р е 2Г. э . Р? = А X Р. Р< е 2Г
Далее мы имеем три предложения (*213-4-41-42), показывающие, что
отношение сечений Р является отношением, которое становится Р путем
добавления. Мы переходим далее к группе предложений (*213-5—58) о
(Р4*х)? и (Р^б)?, приводящих к
* 213-57. h : Рро G J. Nr‘2 = Nr‘P + i. э . Nr‘2? = Nr‘P? + i
* 213-58. h : Ppo G J. Qpo e Ser . C'P A C'Q = A . э . Nr‘(P* 2)q = Nr‘Pg + Nr‘Q?
*213-01. P? = P p ($‘P*H (-i‘A) Df
*213-1. Y-.QP^R.^.
(g a, p). a, p e sect‘P -i/A.g!p-a.2 = P|:a.P = P|:p
[*212-12-121. (*213-01)]
*213-11. h : Ppo e connex. э : Q Pq R. = .
(ga, p). a, p e sect'P -i‘A.acp.a/p.2 = P[;a.P = P|:p
[*213-1. *211-6-17. *210-1]
Principia Mathematica II
*213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
645
*21312. I-. D‘($‘P*) С (- i‘A) = sect'P - i‘A - i'C'P
Доказательство.
I-. *21212 . э F : а е D‘(<;‘P*) ] (- i‘A). = . (gp). P e sect'P. g! p - а. а / A.
=.а/Л.aeD‘<j‘P* .
= . a e sect'P — i‘A - i'C'P : э F. Prop
[*21212]
[*212-171]
*213-121. F : Ppo e Ser. э .^‘(?‘P*) ] (- i‘A) = sect'P П 1 = i“^‘P
Доказательство.
F . *212-12. *213-12. э Fp e^'(<;‘P*) [ (- i‘A). =:
p e sect'P - i‘A - i'C'P: a e sect'P. g! p - a. Da . a = A (1)
F. *211-3-13-1. *37-18. э
F : pesect'P. хер.э . A'x e sect'P.?*‘xcp.g!?*‘x (2)
F . (1). Transp. (2). э F :. p e Afc'P*) ] (- i‘A). э :
pesect'P- i‘A- i'C'P: хер. эх . A‘x = P (3)
F. *200-391. э F :. Hp. Pesect'P - i‘A: xep . z>x . A‘x = p. э:
P e sect'P - i‘A: x, у e p. эх>у. x = у:
[*52-16] o:pesect‘PQl (4)
F.(3). (4). э F : Hp. z>. A(g‘P*) ](-i‘A)csect'PП1 (5)
F . *213-12. *200-12 . э F : Hp. э . sect'P П 1 c D‘(<;‘P*) ] (- i‘A) (6)
F . *51-401. эF :. pesect'Pn 1. э : acP. p. э . a = A (7)
F . (7). *212-22-121. э F : Hp. э . sect'P Die- CT($‘P*) ] (- i‘A) (8)
F. (5). (6). (8). *211-18. э F . Prop
*213-122. F :Ppoe Ser. g! ‘P. э. B‘(?‘P) [(-i‘A) = i‘B‘P
[*213-121. *211-181]
*213-123. F: P,» e Ser. 1I‘P = A. э . A(<;‘P) [(-i‘A) = A
[*213-121]
*213-124. F :. Ppo e Ser. э : g! B'fc'P) ] (- i‘A). = . g! B‘P
[*213-122-123]
*213-125. F : Рро c J. э. C‘<;‘P* - i‘A ~ e 1
Доказательство.
h. *212-17. э h : P = Л . э . C‘$‘P* = A .
[*52-21] э.С‘0’Р*-1‘Л-е1 (1)
h . *212-172 . э h : g IP. э . C‘?‘P* = sect‘P. C‘P e y‘?‘P* - Г A (2)
h . *211-13.-3 . *200-39. z> h : Hp . x e D‘P. z> .“?* ‘x e sect‘P. g! C‘P -Л ‘x (3)
h . (2). (3). э h : Hp. g IP. э . C\‘P* - ГЛ ~ e 1 (4)
h . (1). (4) . э h . Prop
Гипотеза P^ G J в приведенном выше предложении ограничивает Р бо-
лее, чем необходимо для истинности заключения. Что действительно тре-
буется, так это Р = Л. V . (дх). хеёР.^*‘х/С‘Р, т.е. Это
имеет место, если либо (1) поле Р не состоит из единственного семейства,
либо (2) существует элемент С‘Р, который не находится в отношении Р^
к самому себе. Поэтому единственным случаем, который исключен, являет-
ся случай единственного циклического семейства. Гипотеза ^*“С‘Р/ГС‘Р
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
646 И ПРОИЗВОДНЫХ
может быть подставлена вместо Рро G J в большинстве последующих пред-
ложений этого параграфа, в которых Рро G J встречается в качестве ги-
потезы. Мы предпочли, однако, гипотезу Рро G J как дающую более непо-
средственное применение случая PeSer, что является случаем, в котором
предложения настоящего параграфа являются более важными.
*213126. I-: Рро G J. а !Р. о. а! sect'P - t‘A - i‘C‘P
Доказательство.
I-. *213125-. *212-172. э F: Нр. о. sect‘P - i‘A ~ e 1 (1)
F. *211-26. *33-24. э F: Hp. o. C‘Pesect‘P- t‘A (2)
F . (1). (2). *52-181. о F. Prop
*213-13. F : Ppo <zJ. o. C‘(s‘P*) [ (- i‘A) = sect'P - i‘A
Доказательство.
F. *213-125. о
F :: Hp. о:. a e sect'P - i‘A. о: (a p): P e sect‘P - i‘A :a!a-p.V.a!p-a:
[*212-12] o : (a p): a {(?‘P*) [ (- i‘A)} p. V . p {(<;‘P*) [ (- i‘A)} a:
[*33-132] э:аеу‘«Р*Н(-1‘А) (1)
F. (1) .*212-172. о F : Hp. а !P. о. C‘(^‘P*) [(-i‘A) = sect‘P-i‘A (2)
F . *212-17. *211-1. о F : P = A. o. C‘(<;‘P*) [ (- t‘A) = secVP - t‘A (3)
F . (2). (3). oF .Prop
*213-131. F : Ppo e Ser. о. G‘(g‘P*) [ (- i‘A) = secVP - i‘A -1‘ ‘^‘P
[*213-13-121]
*213-132. F : Ppo e Ser. а!”^‘P • э . СГ(?‘Р*) [ (- i‘A) = secVP - i‘A - i‘i‘B‘P
[*213-13-122]
*213-133. F : Ppo e Ser .^‘P = A. o. CT($‘P*) £ (- i‘A) secVP - i‘A
[*213-13-123]
*213-134. F: Ppo G J. а !P. о . B‘Cnv‘(s‘P*) [ (- i‘A) = C‘P [*213-12-13]
*213-14. F . D‘P? = P [“D‘(S‘P*) [ (- i‘A). СГР? = P t“G‘(g‘P*) [ (- i‘A).
C‘Ps = P[“C‘(<;‘P*H(-i‘A)
[*150-21-211-22]
*213-141. F. D‘P? = P t“(sect‘P - i‘A - t‘C‘P)
[*213-12-14]
*213-142. F: Ppo G J. о . C‘P? = P [“(sect‘P - i‘A)
[*213-13-14]
*213-143. F: Ppo e Ser. о. Q‘P? = P [“(sect'P - i‘A -1‘‘Z^‘P)
[*213-131-14]
*213-144. F: Ppo eSer. a!^‘P • =>. G‘PS = P [“(sect‘P- i‘A- t‘t‘B‘P)
[*213-132-14]
*213-145. F:PpoeSer.^‘P = A.o.a‘P? = P C“(sect‘P-i‘A)
[*213-143]
Principia Mathematica II
*213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
647
*213146. F : GJ. э. Р [“sect'P = Р (“(sect'P- 1)
Доказательство.
F.*37-22. эF.P (“sect‘Р = Р [“(sect'P- 1)UP [“(sect'P01) (1)
I-. *200-35 . э I-: QeCt [“(sect'P О 1). э. Q = A.
[*36-27] d.<2 = P[A.
[*211-44] э . geО [“(sect'P-1) (2)
F . (1). (2). э F. Prop
*213-15. F Ppo e Ser. a e sect'P - i‘A .z>:P[a = A. = .ael
Доказательство.
F. *200-35.э F: Hp. a e 1. z>. P [ a = A (1)
F . *52-41. э F :. Hp. a ~ e 1. э : (g x, y) • x,yea. x:
[*211-1. *202-103] э: (g x, y): x (Ppo [ a) у. V . у (P^ [ a) x:
[*11-7] э:д!Рро[а:
[*37-41] э:д!аОРро“а:
[*211-131] z>:g!aOP“a:
[*37-41] э:д!Р[а (2)
F • (1). (2). э F . Prop
*213-151. F : Ppo e Ser. э. (P [) f (sect'P - i‘A) e 1 -> 1
Доказательство.
F . *213-15 . э
F : Hp. a e sect'P - i‘A - 1. p e sect'P - i‘A .Р[а = Р[р.э.р~е1.
[*211-133] э. C'P [ p = p • C'P [ a = a.
[Hp] э.а = р (1)
F . *213-15. э
h:Hp.aesect‘Pn 1. p esect ‘P - l‘A . P £а = Р£р.э.ре1 (2)
F . (2). *211-18. э F : Hp (2). э . a, p e i“"3‘P.
[*202-523-13] э.а = р (3)
F . (1). (3). э F :. Hp. э: a, P e sect'P - i‘A. P [ a = P [ p. э. a = p:.
z>F. Prop
*213-152. F : Ppo e Ser. э . P? sect (s'P*) [ (- i‘A) [*213-151-13]
* 213-153. F: Ppo e Ser. э . P4 e Ser [*213-152 . *212-3. *204-21]
*213-154. F : Ppo eSer. э .^‘Pg = P (“i“zl‘P [*213-151-121. *151-5]
* 213-155. F : Ppo eSer. g!^‘P. э."3‘P? = A
Доказательство.
F . *213-151-122. *151-5 . z> F : Hp. z>. В‘РЧ = P [ (PB'P)
[*200-35] = A: э F. Prop
* 213-156. F : Ppo e Ser. Z^'P = A. z> .7l‘P? = A
* 213-157. F : PpoeSer. э : g! B'P. = . g! B‘P?
* 213-158. F:PpoeSer.g!P.o.B‘P? = P
Доказательство.
h . *213-151134. *151-5. э h : Hp . э . = P [ y‘P: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
648
*21316. F.D‘P? = P [“(sect'P-t'A)-t'P
Доказательство.
I-. *213-141. э
h : * =. (a a). aesect‘P- i‘A. Q = P [ a. a / C‘P (1)
h . *2111 acsect‘P. Q = P [a . э : a/C‘P. = . g! C'P- a. [*36-25 . Transp] = .Q±P (2)
h . (1). (2). э h : Q e D‘Pg . = . (g a). a e sect‘P - i‘A. Q = P [ a. Q ф P : э h. Prop *213-161. F : PpogJ. g!ll‘P. э .P [“sect'P = P [“(sect'P - t'A) = C‘P4 Доказательство. h . *211-18 . э h : Hp. э . csect‘P A 1.3! • [*37-2-45.] э.Р [“t'^'pcP [“(sect‘P-t'A).g!P [“t“^‘P. [*200-35] э • AeCi [“(sect'P - t'A). [*36-27] d.P [Aed [“(sect'P-t'A). [*37-22] э. P [“sect'P = P [“(sect'P - t'A) [*213-142] = C‘P? : z> F. Prop *213-162. 1-: Ppo e Ser. d.Q‘Ps = P [“sect'P-i‘A Доказательство. 1-. *213-143. э 1-:. Hp. э: Q e Q‘P? . =. (g a). a e sect'P- t'A - t“ll‘P. Q = P [ a. (1)
[*213-15 . *211-18] э . Q e Cl [“sect'P - t'A (2)
F . *213-15 • эН. Hp • э: Q e П [“sect'P - t'A. э. (g a). a esect'P - t'A - t“^‘P. Q = P [ a. [(1)] D.eeQ'P, (3)
F . (2). (3). э F . Prop *213-163. F: Ppo e Ser. "Й‘Р = А. э.С‘Р? = Р [“sect'P . t'A Доказательство. F. *213-156. => F: Hp. э. C‘P = G‘P4 (1)
F . (1) • *213-162 • э F . Prop *213-164. F: Ppo e Ser ."Й'Р = A. э. D‘P4 = P [“sect'P - t'A - t'P [*213-142-163-16] *213-17. F: Ppo e Ser. э • Nr‘<j‘P* = i + Nr‘P4 . Nr‘(<;'P*) [ (d's'P*) = Nr‘P4 Доказательство. F . *212-171-172. э F : g !P. э. B's'P* = A. G's'P* = sect'P - t'A. (д‘Ря.)[(- t‘A) = (?‘P*)[(Crg‘P*) (1)
F . (1). *213-125. z>F:Hp.g!P.D.a‘<;'P*~el (2)
F. *212-3 • *91-602. э F: Hp. э . <;‘P* e connex (3)
F . (1). *213-152 . DF:Hp.g!P.D.Nr‘($‘P*) [ (d‘$‘P*) = Nr‘P? (4)
F. (1). (2). (3). *204-46. э F : Hp. g !P. z>. Nr‘<j‘P* = 1 + Nr'fc'P*) [ (d's'P*) [(4)] =i+Nr‘Ps (5)
F . *212-17. *150-42. э F : P = A. э. $'P* = A. P? = A. [*161-201] э. Nr‘<j‘P* = i + Nr‘Ps . Nr'fc'P*) [ (d's'P*) = Nr‘P? (6)
F . (4). (5). (6). э F • Prop
Principia Mathematica II
=213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
649
*213-171. F Рро, gpo е Ser. э: Р? smor Q4 . = . cj‘P* smor 0*
Доказательство.
F . *212-172 . э F Hp. g !P. gIQ. э : E ! B^P* . E ! B^Q*: [*204-47. *91-602 . *212-3]
э : <P* smor <0*. = . ($‘P*) [ (d‘<P*) smor «0*) t (CT<Q*) •
[*213-17] =.P? smor Qg F . *213-158. э F : Hp. g !P. P? smor Qg . э . g! Qg . (1)
[*212-17. *150-42] o.g!0 (2)
F . *212-17. э F : Hp. g !P. <j‘P* smor • э g !0 (3)
F . (1). (2). (3). э F : Hp. g !P. э : $‘P* smor <0* • = • Pq smor Qg F . *212-17. э F : Hp . P = A. <j‘P* smor <;‘Q*. э . (j‘P* = A. $‘0* = A. (4)
[*150-42] э . P? = A. 0? = A (5)
F . *213-17. э F : Hp. P? smor 0? . э . <;‘P* smor 0* (6)
F . (5). (6). э F Hp. P = A. э : c;‘P* smor <;‘Qt. = . P? smor 0? F . (4). (7). э F . Prop (7)
*213-172. F : Ppo, 0^ € Ser. P smor Q. э . P? smor [*212-72 . *213-171]
*213-18. F : Ресоппех.PeD‘P? . э. g! C‘PAp‘*P“C‘R
Доказательство.
F . *213-1. э F :PeD‘P? . э. (ga). aesect‘P- i‘C‘P .R = P [ a.
[*37-41] э. (ga). aesect‘P- i‘C‘P. C‘Pca.
[*40-16] э. (ga). a esect‘P - i‘C‘P. p‘^“a c p^P'C'R (1)
F . *211-703. э F : Hp . aesect‘P- i‘C‘P. э . g! p‘^“a (2)
[*211-1. ] э F : aesect‘P- t‘C‘P. э . g! C‘P- a.
[*33-24] o.glP (3)
F . (2). (3). *40-69. э F : Hp. aesect‘P- i‘C‘P. э . g! C‘Pnp‘^“a (4)
F.(1).(4).d
F : Hp. R e D‘P? . э. (ga). g! C‘P A p‘^“a. p‘^“a c p‘*P“C‘R: э F . Prop
*213-2. Fi.PpoeSer.A 0esect‘P-i‘A. Q-P [a.P = P £0. d:
g! 0 - a. = . g !P - Q. = . Q gR. Q / R. = . a c 0 . a / 0
Доказательство.
F. *36-24. э 1-: a с P. э . P acP p (1)
F. *211-133. эF:Hp.a,p~e 1.P tacP [p. э.acp F. *211-181-182. эF :Hp. ae 1. э. a = i‘B‘P. (2)
[*202-521] o.acp (3)
F. *213-15. dF: Hp .ре1.а~е1.э.~(Р[асР[Р) (4)
F.(2).(3).(4). oFzHp.P taGP[p.z>.acp (5)
F.(l).(5). э F:. Hp. э : acf. =. Q G.R: (6)
[Transp] э:з!а-р. = .д!б-Р F. (6). *213-151.э (7)
F:. Hp .э:аср.а/р. = .б GP .Q/R F. (7). (8). *210-1. *211-562. о F . Prop (8)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
650 и производных
*213 21. k:.PpoeSer.z>:QPqR. = .Q,R€P [“(sect'P-i'A).a!R- g.
= . Q, R e P [“(sect'P - i'A). Q <zR. Q / R
Доказательство.
F. *213-12. z>H.Hp.z>:
eP?R. = .(aa)p).a,pesect'P-i‘A.e = P[a.R = P[p.a!R-e-
s.(ga,P).a,pesect'P-i'A. Q = P [a.R = P [p. Q^R. Q?R (1)
I-. (1). *37-6. з F. Prop
* 213-22. F Ppo e Ser. g !^‘P.d:
CP?R.B.C,RePt“ sect'P .^IR - Q . =. Q,ReP [“sect'P. QcR .Q±R
[*213-21-161]
* 213-23. F:. Ppo econnex. 2, ReC‘P? . з : Qg.R . V .R<zQ
[*213-1. *211-6-17. *36-24]
♦ 213-24. F: P e sect'P. R = P [ P. з. sect'R = sect'P П Cl'C'R
Доказательство.
F.*36-20.=>F:.HP.d:RgP: (1)
[*211-1] з: a esect‘PO Cl'C'R. з . acC'R .R“aca.
з. a e sect'R (2)
F. (1). *211-1. з
F:. Hp. з : a e sect‘R. з. a cC'R. ac C'P. (P [ P)“a ca (3)
F . (3). *37-41-413. з
F: Hp. aesect'R. з . a с p. p 0 P“(a П P) c a.
[*22-621. *37-2] з. P П P“a c a. P“a c P“P.
[*211-1] з. pnP“aca. P“acP.
[♦22-621] 3.P“aca (4)
F. (3). (4). з F:. Hp. з: aesect'R. з. ac C'R. aesect'P (5)
F . (2). (5). з F. Prop
*213-241. F:ReP [“sect'P. 3.RqcP? [C'R?
Доказательство.
F. *213-1. з
F:. Hp. з: QR^ Q'. =. (ga, a'). a, a' esect'R - i‘A.
6 = R[a.6' = R[a'.ala'-a*
[*213-24] s . (aa, a'). a, a' e sect'P П Cl'C'R - i'A.
6 = R[a.£)'=R[a'.3!a'-a.
[*213-1] з.(2Р«(2' (1)
F. (1). *33-17. з F: Hp. з. R? GP? [ C‘R? : з F. Prop
*213-242. F:PpoeSer. ReP [“sect'P. з .R? = Pq [C‘RS
Доказательство.
F. *213-1. *211-1. з F:. C (P? [ C‘R?) Q'. з:
(3 a, a'). a, a' e sect'P - i'A. Q = P [a. Q' = P [a' .3!°' - a:
(3Y> /) • Y> Y' e sect'P - i'A. Q = P [ у. Q' = P [ у' (1)
F . *213-24-151.3
F :. Hp. 3 : a e sect'P. у e sect'R .6 = P[a = R[y.3.a = y (2)
F. (1). (2). 3F :.Hp. 3: [C‘R?) Q'. 3.
(aY.Y')-Y>Y'esect‘p-l‘A-C = ^tY-C' = ptY'-a!Y'-Y-
[*213-l]3.eR?ez (3)
F . (3). *213-241.3 F. Prop
Principia Mathematica II
*213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
651
*213-243. H^'PsD'Pg
Доказательство.
I-. *2131. э I- ’.ReT^ P •= • (Яа> Р) • а, |3е sect'P-i‘A.
р = р[а.р=р(:р.а!р-а (1)
I-. *37-41. э F. С‘(Р f Р) с р (2)
Н.(2). эЬ:3!С‘Р-р.э.з!С‘Р-С‘(Р^Р).
[*13-14] э.Р/Р[р (3)
I-. (3). Transp. э F: P e sect'P. P = P [ P. э. C'P = P (4)
F . (1). (4). э F zRe^^P. a . (ga). aesect'P - i‘A .R = P [ a. g! C'P - a.
[*211-1] = .(ga).aesect'P -i‘A-i‘C‘P.P = P [ a.
[*213-141] a .PeD'Pg : э F. Prop
*213-244. I-: R e C‘Pq . Q e D‘P? . z>. Q R
Доказательство.
F . *213-243. э F:.PfC'Pg . z>: QeD'Pg . z>. QP?P.
[*213-241] э . QP^R: э F. Prop
*213-245. FPpo e Ser. z>: б P? P. а . Л e C‘P? . Q e D‘PS
Доказательство.
F . *213-11. э F :.Hp. э:
QP^R. =. (ga, P). a, |besect‘P- i‘A. 6 = P[a.P = P[p.acp.a/p.
[*213-24] а. (gp). p e sect'P - t'A .R = P [P. a esect'P - i‘A.
acp.a/p. Q = P [a.
[♦213-142. *211-133. *36-21]
а. (aa). P e C‘Pq . a e sect'P - t'A. a c C'P. a / C'P. Q = P [ a
[*213-141] =. P e C‘P? . Qe D‘P? => F . Prop
*213-246. F: Ppo e Ser. P e C‘P5. э .^‘P = D‘P? [*213-245]
*213-247. FPpo e Ser. э: 6 (P? [ D‘Pq)P. а. P e D‘P? . Q eD‘P?
[*213-245]
*213-25. F:. Ppo eSer. 2,PeC‘Pq.D:6eD‘P? . V . PeD'g^ . V . Q = P
Доказательство.
F. *213-153. oF:.Hp.D:6PqP.V.PP?e.v.e = P:
[♦213-245] э: Q e D‘Pg .V.PeD‘2g.v.(2 = P:.DF. Prop
*213-251. F:.PpoeSer.e,PeC‘P? .~(е = Л.Р = А).э:ееС‘Р?. V.PeD‘e5
Доказательство.
F.*213-158. z>F:Hp.a!P-2 = P-=>.(2€C‘P? (1)
F.(l). *13-12.эF:Hp.a’.£). 6 = P. z>. geC‘P? (2)
F.(l).(2). z>F:Hp.2 = P-3-2€C‘P? (3)
F . (3). *213-25 . э F . Prop
*213-3. F:P = A.=>.P? = A
Доказательство.
F . *212-17. э F: Hp. э. $‘P* = A.
[*150-42] э. Pg = A: z> F. Prop
*213-301. F: a! sect'P - i‘A - i'C'P . э. a! P? [*213-141]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
652 и производных
*213-302. H.PpoGJ.DzglP.B.alP.;
Доказательство.
F . *213-126-301. э I-: Нр. а !Р. э. а! Р? (1)
I-. (1). *213-3. э F. Prop
*213-31. F:x/y.D.(x|y)? = A|(x|y)
Доказательство.
F. *211-9. э
I-: Нр. э. sect'(xXy) - i‘A = i‘i‘xUi‘(i‘xUi‘y) .3! (i‘xU i‘y) - i'x.
[*213-1-141] э.{(х|у) [i‘x}(x],y)?{(x|y) [(i‘xUi‘y)).
D‘(x|y)? = i'(x|y) [ i'x.
[*200-35. *55-15] э. A(x J.y)? (x J,y). D‘(xjy)q = i'A (1)
I- . *213-153. *204-25. э F: Hp. э . (| y) s e Ser (2)
F . (1). (2). *204-27. z> F. Prop
*213-32. F:Pe2r.D.P? = AiP.P?e2r [*213-31]
*213-4. F: Pe Ser. z>. P [“sect'P = Q {(аР). P = Q4P. V . (ax). P = Q +• x}
Доказательство.
F . *211-82. *5-32 . э
F:: Hp. э:. QeP [“sect'P. =:
eeD'P[:(aP).P = e*P.v.(ax).P=e-»x (1)
F. *211-283. *160-5. э F : Hp. P= Q*R. z>. QeD'P [ (2)
F . *161-11. dF: Hp. P = g-Hx. э. 2 = P [C'P (3)
F.(2).(3).3F:.Hp:(aP)-P=24P.V.(ax).P=e-Hx:o.
0eD‘P[ (4)
h . (1). (4). э F . Prop
*213-41. F:PeSer.a!"^‘P-=>-
C‘P? = Q {(aP) .P=64P.V.(ax).P=e*x} [*213-4-161]
*213-42. F:PeSer.^‘P = A.D.
C‘PS = 2 {(aP). P = Q + R. V . (ax). P = Q + x} - i‘A [*213-4-163]
*213-5. F : Ppo G J. x ~ e C'P. э. D‘(P +• x)? = C'P5
Доказательство.
F. *213-141. *211-83. э
F: Hp. 3 IP. э . D‘(P -h x)s = (P -h x) [' '(sect'P - i‘A)
[*36-4. *161-1] = P [“(sect'P - i'A)
[*213-142] =C'P? (1)
F. *213-3. *161-2. э F : P = A. э . D'(P +• x)? = A. C‘P? = A (2)
F. (1). (2) . э F. Prop
♦213-51. F: PpoGJ.x~eC‘P. э. (Р-»x)? = P?-н (P-hx)
Доказательство.
F. *213-1. *211-83. z> F:: Hp. a!P. z>:. 6(P-иx)?P. =:
(3 a, 0). a, 0 e sect'P - i'A U i‘(C‘P U i'x).
a!0-a.g = (P-Hx)[a.P = (Р-нx) [0.
[*211-1. *36-4] =: (a a, 0) • a, 0e sect'P - i'A .a!0-a.() = P[a.P = P[0.V.
(3a).aesect'P-i'A. g = P[a.P = P-Hx:
[*213-1-142] =:gP?P. V.(2eC‘P?.P = P-Hx:
[*161-11] =:Й{Р?-н(Р-нх)}Р (1)
Principia Mathematica II
*213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
653
F.*213-3.*161-2.dF:P = A.z>.(P+-x)? = A.P?+-(P+-x) = A (2)
F. (1). (2) . э F. Prop
*213-52. I-Qpgеconnex. С'Р П С‘2 = Л. э:
(30). р О C'Q ~ е 1. р е (С'Р U)“(sect‘2 - i'A). 5 = (Р4 2) Г Р • = •
(ЗУ).yesect‘6-i‘A-‘.S = P$Q [у
Доказательство.
I-. *37-6. э Ь: Ре(С‘РU)“(sect‘e - i‘A). 5 = (Р^ 0 t р . = .
(Зу). у esect‘2-i‘A.p = С'Р Uy .5 = (P*Q) t(C'PUy) (1)
F . *16011. э F:: Hp. yesect‘2. э x{(P$Q) £ (C'P Uy)} у. в :
xPy. V .се С'Р. у е у. V. х (Q [ у) у
[♦213-133. *160-11] эу ~ е 1. э. (Р* CH (С'Р и у) = Р $ Q [ у (2)
F . *24-24. э F: Нр. р = ёРUy. э . р П С‘2 = уП С‘б (3)
F . (1). (2). (3). э
F:.Hp.D:pnC‘2~el .pe(C‘PU)“(sect‘2-i‘A),5 =(Р+0 [р. = .
(Зу).у е sect‘2- t‘A- 1.5 = P$Q [у. р = С'РUy (4)
F . (4). *10-281. *13-19. э F . Prop
*213-53. F: Рро G J. 2ро еSer .~&'Q = Л. С'РП C'Q = Л. э.
(Р^2)? = Р^(Р^5(2?)
Доказательство.
F. *213-1. *211-841. э F:: Нр. эR (Р* Q\ S . = :
(3а, Р). а, Р е sect'P - i'A U (С'Р U)“(sect‘2 - i'A).
3! p - a ,R = (P+Q) [a. S = (P+Q) [p:
[*211-182] = : (за,Р). a, pesect‘P- i‘AU (C'P U)“(sect'Q - 1 - i'A).
3! p - a .R = (P+Q) [a. S = (P*Q) [ p:
[*160-1. *213-52]
= : (3 a, P). a, p e sect'P -i‘A.3!p-a.R = P[:a.5=P[p.V.
(3a,y) • aesect'P - i'A. yesect‘2- i'A ,R = P [ a. S = P1Q [у. V .
(3Y,6) • y, 6esect‘2 - i'A. 3! 6 - у .R = P4-2 f.S = P+Q [8:
[*213-l-142]s:RPs5 . V.ReC‘Ps.5 бС‘Р^;2?. V.R(P4;2?)S :
[*160-11] =:R{P?4(P4;e?)>5 noF.Prop
*213-531. F:: 2po e Ser. 3 !~fi'Q. C'P П y'Q = Л. э
(Эр). pe(C'PU)“(sect‘P- i'A). 5 = (P4Q) [p. =:
S = P4*^'2. V . (зу). Desect‘2 - i'A - i‘i‘B‘2 • S = P+Q [y
Доказательство.
F. *213-52 . z>
F:: Hp. э:. (ap). pe(C'PU)“(sect‘2 - i‘A). S = (P* 2) t P • =:
(3P). Pe(C'PU)“(sect'2 П 1). S = (P^Q) [ p. V .
(HY) • Yesect‘2 - i'A - 1. S - P$Q [ у:
[*211-181] = : (зр). p = C'P U i‘B‘2 • S = (P+Q) [ p. V .
(HY) .yesect‘Q-i‘A.-i‘i‘B‘Q.S =P+Qty (1)
F. *160-11. э F :: Hp. э x {(P+Q) [ (C'P U i‘R‘2)}y • = :
xPy. V . xeC'P .y = B'Q:
[♦161-11] =:x(P+B'Q)y (2)
F. (1). (2). э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
654
*213 54. I-: g!P. Рро G J. gpoeSer. С‘РПС‘(2 = A. a‘g?~el.z>.
(Р40? = Р? 4» (Р 4» B'Q) 4 {Р 4 5 (С? t d‘e?)J
Доказательство.
h. *213-1. *211-841. э I-:: Нр. эR (P^Q\ S . = :
(3 a, Р). a, ре sect'P- i‘A U (С'Р U) “(sect‘2 - i‘A) . 3! - a •
R = (P4Q)[a.5=(P4Q)[p:
[*213-531]
= : (ga, P). a, p e sect'P -i‘A.a!P-a-P = Pta-6 = ^tP-v-
(3a). a e sect'P- i'L .R = P }a.S = Р-н B'Q. V .
(ga, y). a e sect'P- i‘A. R = P [a. Pesect'Q - t'A - i'i'B'Q .
S=P*Qty.v.
(ay) .R = P + B'Q. pesect‘Q-i‘A- i'i'B'Q.S =P$Q [у. V .
(ay, 5) • y, 5 e sect'Q - i‘A - i'i'B'Q. a I 8 - Y • R - P$Q t Y •
S=P4Q[6:
[♦213-1-142-132]
s: R Pg S . V . R e C'P.;. S’ = P4* B'Q. V . R = P -h B'Q. S eP4“Q‘Qg .
V.R?5e(P4“)a‘Q?.R(P4iQ)5 .V.ReC'Pq.5eP4“a'Q?:
[*161-11. *211-133.*160-11]
= -.R{P^(P-^B'Q)^(P^>Q; [a‘2?)}5 ::ol-.Prop
*213-541. НРроеЗег-а^'Р-СГР^е 1 .э.Ре2г
Доказательство.
I-. *213-144. *211-26. z> I-:. Нр. э: Р Г ‘(sect'P - i‘A - t'l'B'P) = i‘P:
[♦211-3-13] э:хбО‘Р.э.Р \^^x-P.
[*202-55] э.^*‘л = С‘Р.
[*200-39] э. ?ро‘х = Л.
[*202-522-523] э.л = В‘Р:
[*204-271] э : Ppo 6 2r :
[*56-111. *91-504] э : Pe2r э h . Prop
*213-55. H 3!P. P^ GJ. Qe2r. C'PО C'Q = A. z>.
(P*Q\ = P? 4» (P 4» B'Q) 4* (P4Q)
Доказательство. (Как и *213-54.)
F::Hp.z>:.R(P4Q)q5.
= :RPgS . y.ReC'Pg .S =P+B‘Q. V .ReC'P.; .SeP^'d'Q^.
V .R = P+B'Q.S eP4“a‘Q? .V . R,S eP4“a'Q?.
R(P4’Qq)S :
[*213-32] = :RPSS . V .ReC‘P4 .S = Р-н B'Q. V .ReC‘Pq .S = P4Q.
V . R = Р-н B'Q. 5 = P4Q. V . R = P4Q. S = P4Q.
R(P4iQs)S:
У .R = P-^B'Q.S =P$Q:
[*161-11] = : R (P? 4* (P 4* B'Q)} S :: z> h. Prop
*213-56. F:. Ppo G J. Qpo e Ser. C'P П C'Q = Л. э :
t'Q = Л. э. (P*Q); = Ps 4(P4 i Q.):
а!Р.а!^‘б-б~е2г.э.
(P4Q)? = P? 4* (P 4+ B'Q)4 {P4: (Q? [ CI‘Qq)}:
Principia Mathematica II
.213. ОТНОШЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
655
а !Р. Q е 2Г. э . = Р? 4» (Р B'Q) +• (Ptfi):
Р = Л. э. (P^e)q = & [*213-53-54-541-55. *160-22]
*213-561. I-: С'Р Л C'Q = Л. э. (Р*) £ C'Q<; f 1 -> 1
Доказательство.
Ь.*213-1.э1-:ЛеС‘е?.эС‘РсС‘С (1)
I- . (1). э F Нр. R, S е C‘Qg . э: С'Р П C'R = Л. С'Р Cl C‘S = Л:
[*160-52] z>-.P*R = P*S .=>.R = S z.oF.Prop
*213 57. I-: Ppo G J. Nr‘fi = Nr‘Pp i. э . Nr‘g? = Nr'P^ p i
Доказательство.
F . *181-2-12. (*181-01). э
F : Hp. э . (aR, x). R smor P .x~eC'R.Q = R+> x.
[*213-51] э. (aR, x). R smor P. x ~ e C'R. Cs = Rs 4» (R 4» x).
[*181-32] z>. (aP) • R smor P. Nr‘£>? - Nr‘Rq p 1.
[*213-172] э. Nr‘6s = Nr‘Pq p i: э F. Prop
*213-58. F : Ppo G J. gpo eSer. C‘P П C'Q = Л. э. Nr‘(P* Q\ = Nr‘P? + Nr‘g?
Доказательство.
F . *213-53-561. э
F : Hp .^‘6 = Л. э . (P* = Pq4ЧР*’&) • Nr‘P*: & = Nr‘e<; •
[*180-32] э. Nr‘(P* e)« = Nr‘Pg + Nr‘e? (1)
F . *213-54-561. *181-32. э
F: Hp. a!^‘(2 • a‘& ~ e 1. э. Nr‘(P$ g)? = Nr‘P? + i + Nr'g? 1
[*204-46. *213-157] =Nr‘P? + Nr‘es (2)
F. *213-541-55. *181-32. z>
F:Hp.o.a!P.a‘esel .D.ee2r.Nr‘(P^0q = Nr‘Pq+ i + i.
[*181-56] э . Q e 2r. Nr‘(P * Q\ = Nr‘P? + 2r.
[*213-32] э . Nr‘(P* Q\ = Nr‘P? + Nr‘(2? (3)
F. *160-22. *213-3. z> F : P = Л. э . Nr‘(Pl Q\ = Nr‘P? + Nr‘6? (4)
F.(l).(2).(3).(4). = F.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
656
*214. Дедекиндовы отношения
Краткое содержание *214-
Мы называем отношение “Дедекиндовым”, когда оно таково, что каж-
дый класс имеет либо максимум, либо секвент в силу этого отношения.
Как правило, гипотеза о том, что отношение является Дедекиндовым, яв-
ляется важной лишь в случае сериальных отношений. Дедекиндовы серии
обладают немалой важностью, особенно в связи с границами.
Когда Р транзитивно, гипотеза о том, что Р является Дедекиндовым,
эквивалентна гипотезе, что каждое сечение Р имеет максимум либо секвент
(*214-13); это также эквивалентно предположению, что каждый сегмент Р
имеет максимум или секвент (*214-131), т.е. предположению, что каждый
сегмент Р, который не имеет максимума, имеет границу, т.е.
D‘(P€ А Г) с critp.
Когда Р является серией, то гипотеза о том, что она Дедекиндова, эквива-
лентна гипотезе, что каждый сегмент имеет секвент (*214-15), т.е. гипотезе,
что класс сегментов является классом ?“ёР(*214-151). Если Р является
Дедекиндовой серией, то такова же и Р, и наоборот (*214-14). Всякий раз,
когда Р является связным и ненулевым, $‘Р* является Дедекиндовой сери-
ей (*214-32), и такова же и sgm‘P, если она существует (*214-34); всякий
раз, когда Р является транзитивным, связным и ненулевым, $‘Р являет-
ся Дедекиндовой серией (*214-33). Все эти предложения уже фактически
были доказаны: практически единственным нововведением в настоящем па-
раграфе является определение, которое представляет собой
Ded = Р {(а). а е CTmaxp U (Г seqp} Df.
Предложения *214-4—43 устанавливают свойства серий, которые обла-
дают Дедекиндовой непрерывностью. Мы имеем
*214-4. h Р2 = Р. Р е connex. э : Р с Ded . = . G‘maxp = - G‘seqp
*214-41. F PeSer . э : P2 = P. PeDed . = . G‘maxp = - G‘seqp
Т.е. в серии Дедекиндова непрерывность эквивалентна предположению,
что классы, которые имеют максимум, представляют собой те же самые
классы, которые не имеют секвента.
*214-42. F : Р е Ser A Ded. Р2 = Р. а е sect‘P. э . limax/a = liminp‘(C‘P - а)
Это предложение является важным, когда мы имеем дело с Дедекин-
довыми “сечениями”.
*214-43. F Р е Ser A Ded. a е sect‘Р. э :
limaxp‘a = liminp‘(С6Р - a). V . max/a Piminp‘(C‘P - a)
*214-5 показывает, что Дедекиндово отношение имеет начало и конец;
следующие предложения имеют дело с PAJ, когда Р является Дедекин-
довым.
*214-6 показывает, что отношение, которое подобно Дедекиндову отно-
шению, является Дедекиндовым.
Мы называем отношение “полу-Дедекиндовым”, если оно становится
Дедекиндовым путем добавления одного терма в конец; а определением
является
Principia Mathematica II
♦214. ДЕДЕКИНДОВЫ ОТНОШЕНИЯ
657
*214-02. semi Ded = Р(sect‘Р-i‘C‘Pc(Tmaxp U (Tseqp) Df
* 214-01. Ded = P {(a). a e (Tmaxp U (Tseqp} Df
* 214-02. semi Ded = P (sect‘P - i‘C‘P c CTmaxp U (Tseqp) Df. Df
* 214-1. F : P e Ded . = . (a). a e (Tmaxp U Q‘seqp [(*214-01)]
* 214-101. F : PeDed. = . - CTmaxp c (Tseqp . =. - (Tmaxp c (Tltp
[*214-1. *24-312 . *207-12]
* 214-11. F : P e Ded . = . (a). a e CTmaxp U (Tltp . = . (a). a e (Tlimaxp
[*214-1. *207-14-44]
* 214-12. F P e Ded . =: a с C'P. эа . a e (Tmaxp U (Tseqp
[*214-1. *205-151. *206-131]
* 214-13. F Petrans. э : PeDed . = . sect'P c CTmaxp U (Tseqp
[*211-272. *214-1]
* 214-131. F Petrans . э : PeDed . = . D‘(Pe A I) c (Tseqp [*211-47. *214-1]
* 214-132. F Petrans . э .PeDed. = . D‘P€cCTmaxp U(Tseqp
[*214-131. *211-42]
* 214-14. F :. P e Ser. э : P e Ded . = . P e Ded [*206-57. *214-1]
* 214-141. F :. Pe Ser . э : PeDed . = . (a). p‘^“(a A C'P) eD‘maxp U (Tseqp
[*206-56. *214-1]
*214-15. F :. PeSer . э : PeDed . = . D‘Pe c (Tseqp
[*206-36. *214-1. *211-11]
*214151. I-:. PeSer. z>: PeDed. =. D‘P£ =?“C‘P [*211-38. *214-1]
*214-2. F : Petrans A connex A Ded . э . D‘Pe c (Tseqp [*211-371]
*214-21. F : Petrans A connex A Ded .. э . D‘Pe = ~P''C'P [*211-372]
*214-22. F : Petrans A connex A Ded . э . D‘(Pe A I) =~fi"{C'P -<1'(P - P1)}
[*211-46]
* 214-23. F: P e trans A connex A Ded . ~ E ! maxp‘a. э .
seqp‘a = maxp‘(a U i‘seqp‘a). E ! maxp‘(a U i‘seqp‘a)
Доказательство.
F . *214-101. э F : Hp . э . E ! seqp‘a .
[*206-47] э . seqp‘a = maxp‘(a U i‘seqp‘a). (1)
[*14-21] э . E ! maxp‘(a U i‘seqp‘a) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 214-24. F: P e connex A Ded . a e sect'P. э. se^p‘a = minp‘(C‘P - a)
[*211-721]
* 214-241. F : Ресоппех. PeDed . aesect‘P. э . тйр‘а = рпЙр‘(С‘Р- a)
[*214-24^ .*211-7]
* 214-3. F :: a, P e к. эа>р :ac|3.V.pca:.
к ~ e 1. Q = a|3 (a, 0 e к. a c p . a / P):. э :.
X с к. эх . Tk e к: э . Q e Ser A Ded
[*210-12-253]
*214-31. F :. Hp *214-3: X с к. эх . А 5‘к e к: э . Q e Ser A Ded
[*210-12-254]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
658 и производных
* 214-32. F: Р € connex. з !Р. э . $‘Р* е Ser О Ded [*212-3*35]
* 214*33. F: Р е соппех. Р е trans А соппех. з !Р. э . $‘Р е Ser A Ded [*212*31*44]
* 214-34. F: Р е соппех. g! sgm‘P. э . sgm‘P е Ser A Ded [*212*3*54]
* 214*4. F :. Р2 = Р .Ресоппех. э : Ре Ded. = . CTmaxp = - CTseqp
[*211*53]
* 214*41. F PeSer. э : Р2 = Р. РеDed. = . CTmaxp = - CTseqp
[*211*552]
* 214*42. F: Р е Ser A Ded. Р2 = Р. а е sect‘P. э . limaxp‘a = liminp‘(C‘P - а)
Доказательство.
F . *211*721. э F :. Нр . э : se^p‘a = minp‘(C‘P - a):
[*214*101] z>: ~ Е ! тахр‘а. э . ltp‘a = minp‘(C‘P - а) (1)
(-.*211*726. э h : Нр . Е ! тахр‘а. э . тахр a a = ргеср‘(ёР- а) (2)
F . *214*14*41. э F: Нр. Е ! ргеср‘(ёР- а). z>. ~ Е ! тахр‘(ёР- а).
[*207*12] э. ргеср‘(ёР- а) = ltp‘(C‘P - а) (3)
F . (2). (3). э F:Нр.Е! тахр‘а. э . тахр‘а = ltp‘(C‘P - а) (4)
F . (1). (4). *207*46. э
F :. Нр . э : limaxp‘a = minp‘(C‘P - а). V . Итахр‘а = ltp‘(C‘P - а):
[*207*46] э : limaxp‘a = liminp‘(C‘P -а)□ F . Prop
* 214*43. F :. PeSer A Ded. aesect‘P. э :
limaxp‘a = liminp‘(C‘P - a). V . maxp‘a Piminp‘(C‘P - a)
Доказательство.
F . *214*11 .d F :. Hp . z>: ~ E ! maxp‘a . э . limaxp‘a = seqp‘a
[*211*715] =minp‘(C‘P-a) (1)
F . *211*726. э F: E ! maxp‘a. ~ E ! minp‘(C‘P - a). э.
limaxp‘a = tlp‘(C‘P- a) (2)
F . (1). (2). *207*46. э F :. Hp: ~ E ! maxp‘a. V . ~ E ! minp‘(C‘P - a): э.
limaxp‘a = liminp‘(C‘P - a) (3)
F . *211*726. э F : Hp . E ! maxp‘a. E ! minp‘(C‘P - a). э .
E ! maxp‘a. E ! seqp‘a. seqp‘a = minp‘(C‘P - a).
[*206*5] э . maxp‘aPiminp‘(C‘P - a) (4)
F. (3). (4). э F . Prop
Следующие предложения более не являются просто переутверждениями
предыдущих результатов.
♦214-5. I-: PeDed. э. д!^‘Р.a!^‘P.^‘P = se^.‘A= та&С,Р
Доказательство.
I- . *205-161. *214-101. э I-: Нр. э . а! se^.‘A.
[*206-14] э.а!'Й‘-Р.'3‘/’ = 8ёй>‘Л (1)
I-. *206-18-2. э h . se3/C‘P = A (2)
F . (2). *214-1. э F : Нр. э . 3! та£р‘С‘Р.
[♦93-117] э.а!'^‘Р.'5‘Р = тЁЙр‘ёР(3)
F. (1). (3). э F. Prop
*213-51. F :. РеDed . d : ~ (хРх). V . хеD‘(P - Р2)
Доказательство.
F . *214-1. э F :. Нр . э : д! та£р‘Тл. V . 3! se^Tx:
Principia Mathematica II
*214. ДЕДЕКИНДОВЫ ОТНОШЕНИЯ
659
[*53-301. *206-42]э: g! Сх-~Р'х. V . a! Р - Р^х:
[*51-31. *33-4] э: ~ (хРх). V . хе D‘(P - Р2)э F. Prop
*214 52. F: Ре Ded. PgP2 . z>. Pg J [*214-51]
*214 53. I-: PeDed. z>. D‘P = D‘(Pn J)
Доказательство.
F. *214-51. z> F: Hp. xPx. э. xeD‘(P- P2).
[*33-13] э. (ay) • xPy ,x-P2y.
[*34-54. Transp] z>.(ay)-*/y (1)
F. (1). *13-195. z> FHp. э: (ay) • xPy. z>. (ay) • xPy .xfy:
[*33-13] o:D‘PcD‘(Ph J):
[*33-25] z>: D‘P = D‘(Pn J)э F. Prop
*214-531. F: P e Ded. э . C'P = C‘(P П J)
Доказательство.
F . *93-12. z> F x e~§‘P. z>: x ~ e D‘P: (ay) • yPx:
[*13-14] э : (ay) -yPx. x±y:
[*33-13] э:хеа‘(РП1) (1)
F . (1). *214-53. э F: Hp. z> D‘P и"Й‘Р с C‘(P П J).
[*93-12] э.С‘РсС‘(РП1).
[*33-252] z>. C'P = C‘(P П J): z> F . Prop
*214-532. F: P e Ded. z>. СГР = Q‘(P П J)
Доказательство.
F . *34-54 . э F :^‘x = i‘x. э .^‘x = P“”?‘x.
[*205-123] э.та£/Л‘х = Л (1)
F . *206-134 . э F :^‘x = i‘x. э .
se^/>‘"?‘x = C‘P A у {i‘x c.~P'y .~P'y c - p‘^“i‘x}
[*53-301-01] = C'P A у {i‘x cf'y *P'x}
[Hp] = C'P A у {i‘x с"? 'у . 'у c - i‘x}
[*51-161] = A (2)
F . (1). (2). dF:?‘x=i‘x.d. тгй/>‘”?‘х = A. se^/>‘"?‘x = A (3)
F . (3). Transp . э F Hp . э : (x) .~P'x / i‘x:
[*51-401. Transp] э : (x): g!^‘x. э . g!”?‘x- i‘x:
[*33-41] DixeTP.D.xeTCPn J) (4)
F . (4). *33-251. э F . Prop
*214-54. F : P e Ded. э . P A J e Ded
Доказательство.
F . *205-111-195 . э F . тЙ/а саА C'(P A J) - P"a
[*37-201] с a A C'(P QJ)-(Pn J)"a
[*205-111] с тёй (P A J)'a.
[*24-59] d F : ~ з! тЙ (P A f)'a. э . ~ g! тЙ/а (1)
F. (1) .*214-1. DF:Hp.~g’ma2(PA J)‘a.D.g’s^‘a (2)
F . *206-2-17. э
F x seqp а. = :уеаАС‘Р.эу. yPx .y^x:xe C'P:
yPx. z>y . (gz). xea. ~ (zPy):
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
660 И ПРОИЗВОДНЫХ
[*214-531] = :у еа А С‘(Р A J). .у (Р A J)x: хеС‘(Р A J):
уРх. эу . (gz). хе а. ~ (zPy) :
[*23-43. *3-14] э:уеа АС‘(РA f).z>y.y(PQ J)x:xeC‘(PA J)-.
y(PQ J)x.z>y.(Qz).ZEa~{z (PQJ)y}t
[*206-17] d : x seq (P A J) а (3)
F . (2). (3). э F : Hp. ~ a! mak (P A J)‘a. d . a! seq (P A J)‘a (4)
F. (4). *214-1. d F . Prop
* 214-6. F: P e Ded. P smor Q. d . Q e Ded
Доказательство.
F . *207-65 . *214-11. d
F : PeDed .SePsmor Q. d . (a). S “a e CTlimaxg .
[*71-481] d . CFCTS c CTlimaxg .
[*151-11. *214-12] d . QeDed: d F . Prop
* 214-7. F Pesemi Ded. = : a e sect‘P. a / C‘P. z>a . а (тёй/a U se^/a)
[(*214-02)]
* 214-71. F. Ded c semi Ded [*214-1-7]
* 214-72. F Petrans . э : PeDed. = . PesemiDed. a’"^‘P
[*214-13. *205-121]
* 214-73. F . semi Ded - i‘A с СТ В [*206-14. *211-44 . *214-7]
Доказательство следующего предложения дается в несколько сжатом
виде, поскольку если оно дается с обычной полнотой, то требует различных
лемм, которые нигде более не требуются.
* 214-74. F : Р е Ser A semi Ded. э . Р [ X ‘х е semi Ded
Доказательство.
F.*214-7.DF:Hp.aesect‘P.a^C‘P.D.a!(ma£p a aUse^/a) (1)
F . *205-261. э
F : Hp (1). e 1 . xea . э . пй (P £ X‘x)‘a = пй/(а A X<‘x)
[*205-262] =пй/а (2)
F . *211-75-56 . dF : Hp(2) C‘P -ac (3)
F . (3). *211-715 . d F: Hp (2). Q = P [ X=‘x. э. se^/a = min/>‘(Xe‘z - a)
[*205-261] = ming‘(- a)
[*211-715. *206-25] = se3/(a A X ‘x) (4)
F.(2).(4).o
F : Hp (4). э. пй/а U se^/a = пй(/(а aX‘x)U se^g‘(a П Xe‘x) (5)
F . (1). (5). э F: Hp. aesect‘P. a / C‘P . X‘x~ 6 1. xea. Q = P £ X‘x. э .
а!{та^2‘(апХ‘х)и§е5е‘(апХ‘х)} (6)
F . *211-715 . d F: Hp. X‘x~ e 1. a ="?‘x. э. se^/a = min/>‘X<‘x
[*205-261] = mm(P [X‘x)‘X‘x
[*206-14] =se$(P [X‘x)‘A (7)
F . (7). *206-401. э F : Hp. K‘x~ e 1. z>. a! se$(P t X‘x)‘A (8)
F . (6). (8). d F :. Hp . X ‘x ~ e 1. Q = P [ <P* ‘x. э :
Pesect‘6- i‘C‘2. эр . a’. (mai(/pU se^g‘P):
Principia Mathematica II
*214. ДЕДЕКИНДОВЫ ОТНОШЕНИЯ
661
[*214-7] oigesemiD (9)
F . *214-7. *200-35 . э F : Нр. X ‘х е 1. э . Р [ X ‘х е semi Ded (10)
F. (9). (10). э F . Prop
*214-75. F : P 6 semi Ded. P smor Q. э . Q e semi Ded
[*205-8 . *206-61. *212-7]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
662
*215. Промежутки
Краткое содержание *215.
Промежуток серии представляет собой любой кусок, выбранный из нее
и не имеющий никаких пробелов; т.е. это класс, содержащийся в серии и
содержащий все термы, которые идут между любыми двумя ее термами.
Поэтому он определяется как
d (а с С'Р. Р"а А Р“а с а).
Мы обозначаем класс промежутков посредством “str‘P”, где “str” заме-
няет “stretch”84 или “Strecke”85. Промежуток, который не имеет предше-
ственников, представляет собой сечение Р; промежуток, который не имеет
последователей, представляет собой сечение Р. Свойства промежутков яв-
ляются очень важными в связи с компактными сериями. В дискретных
сериях промежутки есть то же самое, что и интервалы.
Если Р транзитивно, то промежутки Р представляют собой произведе-
ния сечений Р и сечений Р, т.е. верхних и нижних сечений Р (*215-16).
Если Р связно и а есть нижнее сечение, £ — верхнее сечение, тогда, если
эти два сечения имеют общий промежуток а А р, мы имеем
а = Р“(а А Р) U (а А Р). Р = Р“(а П р) U (а П р) (*215-161).
Несколько более общей формой этого предложения является
*215-165. F : Рро 6 соппех. а е sect'P. Р е sect'P. 3! а А Р. э .
а = Р*“(аП Р). р = Р*“(аГ1 Р). Р“а = Рро“(аП р). ГР=/^“(ап Р)
Особо важным случаем является случай, когда а и Р имеют лишь один
общий терм. В этом случае мы имеем
*215-166. h : Рро еSer. aesect‘P. Pesect‘P. a А Pe 1. э .
a А р = i‘max/a = i‘min/>‘p
Когда aAp имеет более одного терма, если верхняя граница или мак-
симум а и нижняя граница или минимум Р оба существуют, то последний
предшествует первому (*215-52); если а и р не имеют общей части, одна-
ко вместе исчерпывают поле Р, то мы имеем либо limax/a = limin/p, ли-
бо limax/>‘aPilimin/>‘P, предполагая Е ! limaxp‘a . Е ! liming‘Р (*215-54). Сле-
довательно, если limax/>‘a не имеет непосредственного последователя, оно
должно быть тождественным с liming‘р. Поэтому мы имеем
*215-543. F : PeSer. aesect‘PPesect‘P. a U Р = C'P. a A peO U 1.
E ! limax/>‘a. limax/a ~ e D‘Pi . э . limax/a = liminp‘P
Приведенное выше предложение будет полезным в главе 3 (*231
и *233).
*215-01. str‘P = a (а с С'Р. Р"а A P“a с a) Df
*215-1. F : а е str'Р. = . а с С'Р. Р“а А Р“а с а [(*215-01)]
*215-11. h str‘P = str‘P [(*215-01). *33-22]
*215-13. h . sect'P c str‘P. sect'P c str‘P [*215-1. *211-1]
84 Stretch — отрезок, промежуток (англ.). — Прим, перев.
85 Strecke — отрезок, промежуток (нем.). — Прим, перев.
Principia Mathematica II
*215. ПРОМЕЖУТКИ
663
*215-14. F : aesect‘P. pesect‘P. d . а A pestr‘P
Доказательство.
F . *211-1. э F : Нр. d . а с С‘Р. Р“а с а. Р“р с р.
[*22-43 . *37-21] э. а А р с С‘Р. Р“(а А р) с а. Р“(а А р) с р.
[*22-49] d . а А р с С'Р. Р“(а А р) А Р“(а А р) с а А р .
[*215-1] э . а А р е str‘P: э F. Prop
* 215-15. F: Petrans . aestr‘P. э . a U P“aesect‘P. a U P“aesect‘P.
a = (a U P“a) П (a U P“a)
Доказательство.
F . *211-27. *215-1. э F: Hp. э. a UP“aesect‘P. a U P“aesect‘P (1)
F . *215-1. *22-62 . z> F : Hp. z>. a = a U (P“a A P“a)
[*22-69] = (a U P“a) П (a U P“a) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 215-16. F : P e trans. э . str‘P = у {(ga, P). a e sect‘P. P e sect‘P. у = a A p)
= s‘{(sect‘P) A“sect‘P}
[*215-14-15. *40-7] ’’
* 215-161. F : P e connex. aesect‘P. Pesect‘P .gJanp.D.
a = P“(a П P) U (a П P). P = P“(a A p) U (a A p)
Доказательство.
F . *211-1. *37-2 . э F : Hp. э. P“(a A p) U (a A p) c a (1)
F . *211-702 oF:.Hp.xea-p.D:yep.D. xPy:
[*37-1] э:д!(аПр).э.хбР“(аПр) (2)
F . (2). э F: Hp. xea.э .xeP“(a A p) U (a A p) (3)
F.(l). (3). d F : Hp. э . a = P“(a A p) U (a A P) (4)
F.(4)^. э h : Hp. э. p = f>“(a П p) U (an ₽) (5)
F . (4). (5). э F . Prop
* 215-162. F : P e trans A connex. a e sect‘P. P e sect‘P. g! a A p. э .
P“a = P“(a A p). P“= P“(a A p)
Доказательство.
F . *215-161. э F : Hp . э . P“a = P“P“(a A p) U P“(a A p)
[*201-5] =P“(aAP) (1)
Similarly F : Hp. э . P“P = P“(a A P) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 215-163. F : P e trans A connex. a e sect‘P. p e sect‘P. g! a A P. э .
p'<P"a = р^^(аГ\ P)
Доказательство.
F . *40-16 . э F .p‘X“ac p‘^“(aA P)
F . *10-56 . *37-1. э FHp .y ea A P. эу .yPx tzeP''(a A p): э . zPx (2)
F . (2). *215-161. э F Hp . у e a A P. . yPx: э : z 6 a. dz . zPx (3)
F . (1). (3). э F . Prop
* 215-164. F :Hp*215-162 .э .min/>‘P = min/>‘(a AP). пйй/а = пйй/(а Ар.)
se<V‘a = se^>‘(a A P). ргёЙ/Р = pfe£/(a A P).
Tt/P =Tt/(a A P). limaxp‘a = limaxp‘(a A P)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
664 И ПРОИЗВОДНЫХ
Доказательство.
I-. *215-162 . э F:Нр.э. пй/а = а - Р“(а А 0)
[*215-161] = аАр-Р“(аАр)
[*205-111] = таЙ/(аАр) (1)
Similarly F : Нр. э . min/p = minp‘(a И P) (2)
F . *215-163. *206-13 . э F : Hp.э. se^‘a = se^>‘(a A p) (3)
Similarly F : Hp. э. pfe£/p = pfe£/(a A P) (4)
F . (1). (3). *207-11-12 . э F : Hp. э .Tt/a =ltP‘(a A p) (5)
F . (1). (5). *207-45 . э F : Hp. э . limax/a = limax/(a A p) (6)
h. (1). (2). (3). (4). (5). (6). э F . Prop
* 215-165. F : Ppo econnex. aesect‘P. Pesect‘P. g! а П P. □ .
a = P*“(anP).p = P*“(anp).P“a = Ppo“(anP).P“P = Ppo“(anp)
Доказательство.
F. *211-17.э F:Hp.э.ae sect‘Ppo . p e sect‘Ppo . g! a A p.
[*215-161] э . a = P*“(a A P). P = P*“(a A p). (1)
[*91-52] э . P“a = Ppo“(a A P). P“p = Ppo“(a A P) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 215-166. F : Ppo eSer. aesect‘P. Pesect‘P. a A pe1.э.
a A P = t‘maxp‘a = l‘min/P
Доказательство.
F . *215-161. *211-17 . э F : Hp . э . a = (a A p) U Ppo“(a A p).
[*215-165] э . a - P“a = (a A p) - Ppo“(a A p).
[*205-11] э . тай/a = тай (Ppo)‘(a И P)
[*205-17] =aAp (1)
Similarly F : Hp . d . min/P = a A P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
* 215-17. F : Petrans. э . P“a A P“pestr‘P
Доказательство.
F . *211-15-11. э F : Hp . э . P“Pesect‘P. P“aesect‘P (1)
F . (1). *215-14. э F . Prop
* 215-18. F . Р(хну), Р(хну), P(xHy), P(x-y)estr‘P
Доказательство.
F . *211-13-3 . э F esect‘P. X<‘xesect‘P (1)
F . *211-16 . dF ."?po‘y esect‘P. ^o‘xesect‘P (2)
F. (1). (2). *215-14. dF. Prop
* 215-19. F : P2 G J. x e C'P. э . i‘x e str‘P
Доказательство.
F . *53-301. dF . P“i‘xAP“i‘x=^‘x A^‘x (1)
F . (1). *50-43 . э F : Hp. э . P“i‘x A P“i‘x = A (2)
F . (2). *215-1. э F . Prop
*215-2. F : Ресоппех. aestr‘P. xea. э . P“a = - тай/a u"?‘x.
£“a = a - min/>‘a U *P'x
Principia Mathematica II
*215. ПРОМЕЖУТКИ
665
Доказательство.
I-. *205-111 . э F. а - тёй/>‘асР“а (1)
F . *37-18 . э F : Нр. э .>х с Р“а (2)
F . (1). (2). э F : Нр . э . а - пйй/> а аи?‘хсР“а (3)
F . *202-103 . э F: Нр .у еР“а. э :у Е^'у U i‘xU *Р'х:
[*37-181] э :у e^‘xU i‘x. V .у eP“cl:
[*4-73] z>: у е~?‘х U l‘x . V .уеР“аАР“а:
[*215-1] э: у е"?‘х U i‘x U а:
[Нр] э:уе7*‘хиа (4)
F . *205-111. э F .у еР“а. э .у ~ етЙ/а (5)
F. (4). (5). э F : Нр. у бР‘‘а. э .у 6а - тЙ/а U~?‘x (6)
F . (3). (6). э F : Нр. э . Р“а = а - пий/а и~?‘х (7)
Similarly F : Нр. э . Р‘‘а = а - inm/а U ^‘х (8)
F . (7). (8). э F . Prop
*215-21. F : Р е connex. а, 0 е str‘P. 3! а А 0. э . а А 0 е str‘Р
Доказательство.
F . *215-2 . э F : Нр . э . (дх). хе а А 0 . Р“а с а и"?‘х. Р“0 с 0 и"?‘х.
Р“а с а U ^‘х. Р“0 с 0 U Х‘х.
[*22-68] э . (дх). хе а А 0 . Р“а А Р“0 с (а А 0) и"?‘х.
Р“а А Р“0 с (а А 0) U ^‘х.
[*37-21] э . (дх).хеа А 0. Р“(а А 0) с (а А 0) и"?‘х. Р“(а А 0) с (а А 0) U Х‘х.
[*22-69] э . (дх). х е а А 0 . Р“(а А 0) А Р“(а А 0) с (а А 0) U (?‘х А ^‘х) (1)
F. *37-18. э F : хе а А 0 . э ."Р'хс. Р“а А Р“0. ^‘хсР“а А Р“0.
[*22-49] э.>хА?‘хсР“аА Р“а А Р“0 А Р“0 (2)
F. (2). *215-1. э FНр. э : хе а А 0. э .?‘хА^‘хса А 0 (3)
F . (1). (3). э F:Нр.э. (дх). хеа А 0 . Р“(а А 0) А Р“(а А 0) с а А 0 .
[*215-1] э . а А 0 е str‘P: э F. Prop
*215-22. F : а, 0 e str‘P. э . а А 0 е str‘P
Доказательство.
F . *215-1. э F: Нр .э.ас С‘Р. 0 с С‘Р. Р“а А Р“а с а. Р“0 А Р“0 с 0.
[*22-47-49] э . а А 0 с С'Р. Р“а А Р“0 А Р“а А Р“0 с а А 0 .
[*37-21] э . а А 0 с С'Р. Р“(а А 0) А Р“(а А 0) с а А 0 .
[*215-1] э . а А 0 е str‘P: э F. Prop
*215-23. F: Р е connex. р с str‘P. д! . э. s‘p. е str‘P
Доказательство.
F . *215-2 .oh:. Нр . хер‘ц. э : ае ц . эа . Р“а с а U^‘x. Р“а с а U ^‘х:
[*40-13] э : а е ц . эа . Р“а с и"?‘х. Р“а с U ^Р'х:
[*40-43-38] э : P“s‘p с и"?‘х. P“s‘p с U X‘x:
[*22-49-69] э : P“s‘p A P“s‘p c U (?‘x A <P'x) (1)
h . *40-14. э F : Hp. x e .аец.э.хеа.ае str‘P.
[*37-18] э ."?‘x А^‘хсР“а AP“a. aesect‘P.
[*215-1] dJ‘xA ^P'x c a.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
666 И ПРОИЗВОДНЫХ
[*40-13] э.^‘хП^‘хс?ц. (2)
F . (1). (2). эF: Нр.д! ц. э.P“s‘p.Q f“s‘pc (3)
F. *37-29 э F : ц = А. э . P“s‘p, А P“s‘p, с (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*215-24. F: ц с str‘P. э . С'Р П с str‘P
Доказательство.
F. *37-265. э F. Р“(р‘ц П С'Р) А Р"(р'\ь А С'Р) = Р“р‘ц П Р"р'ц (1)
F . *37-2 . э F : а е ц. э . Р"р'ц A P"p'\i с Р"а А Р"а (2)
F. (2). *215-1. э FНр.э:аец.э. P"p'y.P"p'\i с а:
[*40-15] э : Р"р'ц П Р“р‘ц с (3)
F. (1). (3). *215-1. э F. Prop
* 215-25. F: ц с str‘P. g! р. э. еstr‘P
Доказательство.
F . *40-24. *215-1. э F : Нр. э . с С'Р (1)
F. (1). *215-24 . э F. Prop
* 215-3. FРесоппех. a, pestr‘P- i‘A. a A p = A. э:
acP“p. = .ac p'~P"$. = . P c p'^P"a. = . p c P“a
Доказательство.
F.*215-1 DF:Hp.D.acC‘P-p (1)
F . *22-48 . dF :acP“p.D. anP“pcP“PnP“P:
[*215-1] э F : Hp . a с P“P. э . a п P“P с P.
[*22-621. Hp] □ . a П P“P = A (2)
F . (1). (2). э F : Hp . acP“P. э . acC'P- P~ P“p .
[*202-501] э.аср‘>‘Р (3)
F . *40-61. э F Hp. a с p‘"?“P. э . a c P“P (4)
F . (3). (4). э F Hp . z>: a c P“P . = . a c p‘"?“P . (5)
[*40-67] =.pcp‘?“a. (6)
[(5)J] H.pcP“a (7)
F . (5). (6). (7). э F . Prop
* 215-31. F : P e trans A connex. a e str‘P. E ! min/a. E ! max/a. э .
a = P (minp‘a н maxp‘a)
Доказательство.
F . *205-2 . *90-15-151 .oF:Hp.yea.D. minp‘a P* у (1)
p
F . (1)— . *205-102. э F : Hp. э.у P* maxp‘a (2)
F . (1). (2). *121-103 . э F : Hp. э . a с P (minp‘a н maxp‘a) (3)
F . *121-242 . *201-19 . *205-2 . э F : Hp. э .
P (minp‘a H maxp‘a) = i‘minp‘a U (^‘minp a n"?‘maxp‘a) U i‘maxp‘a
[*37-18] c i‘minp‘a U (P“a П P“a) U i‘maxp‘a
[*205-11-111. *215-1] ca (4)
F . (3). (4). э F . Prop
Principia Mathematica II
*215. ПРОМЕЖУТКИ
667
* 215*32. F : Р е trans А соппех. а е str‘P. Е ! minp‘a. Е ! seqp‘a. d .
а = Р (min/,‘а н seq/а)
Доказательство.
F. *206-211. *205-2 . d F : Нр. d . a с A"?‘seq/a (1)
F . *206-22 . *205-22 . d F: Нр . d . ^‘min/a A"?‘seq/a = P“a A (a U P“a)
[*215-1] ca.
[*201-19 . *121-241] d . P (min/a I- seq/a) c a (2)
F. (1). (2). d F . Prop
* 215-33. F : P e trans A connex. a e str‘P. E ! ргес/a. E ! seqp‘a. d .
a = P (precp‘a - seqp‘a) [*206-22 . *215-1]
* 215-4. F : P e connex. p e Cl excl‘(str‘P - i‘A). d . Pci [ p = P\c [ p
Доказательство.
F . *84-12 . э F Hp. э: a, p e p. a / P. э . a A p = A: (1)
[*170-1] d : a (Pcj [ p) p. = . a, p e p. g! a — P“p.
[*215-3 . Transp] = . a, P e p. 3! P - P“a.
[(1). *170-102] = . a, P e p. a Pk pd F. Prop
* 215-41. F : P e trans A connex. p e Cl excl‘(str‘P - i‘A). d . Pk [ p e Ser
Доказательство.
F . *84-12 . *170-102 . d F Hp. d : a (Plc [ p) p. = . 3! p - P“a (1)
F . *215-3 . d
F : Hp. a, p e p. a с P“P. P cP“a. d . a c P“P. a c P“P.
[*215-1] э.аср (2)
Similarly F : Hp (2). э . p c a (3)
F . (2). (3). d F :: Hp.а,рер.э:.асP“P. pсP“a. d . a = P
[Transp. (1)] d a / p . d : a (Pk £ p) p . V . p (Pk [ p) a (4)
F . *37-1. d
F :: Hp. p А у = Л . ~ (у с P“p). э(gz) :zcY:yep.Dy.~ (zPy). z / у
[*202-103] э (gz): z e у: у e P. . yPz
[*11-61] эу e P. Dy . (gz) -zey. yPz
[*37-1] D:.pcP“Y:.
[*201-5. *37-2] d у c P“a. d . P c P“a
[Transp] D:.g!p-P“a.D.g!Y-P“a (5)
F . (5). (1). d F Hp . d : a (Pk [ p) p. p (Pk f p) у. d . a (Pk f p) у (6)
F. (4). (6). *170-17. dF. Prop
* 215-42. F : P e trans A connex. p e Cl excl‘(str‘P - i‘A). p ~ e 1. d . C‘Pk [ p = p
[*202-55. *215-41]
* 215-5. F P e trans A connex. a e sect‘P. p e sect‘P. d :
g! а A p . limax/а = limin/p. d . a A P e 1 [*207-71. *215-164]
* 215-51. F : PeSer . aesect‘P. Pesect‘P. a A Pe 1. d .
limax/a = limin/p = i‘(a A p) [*207-72 . *215-164]
* 215-52. F : Hp *215-5 .aAP~e0ul.E! limax/a. E ! limin/p. d .
limin/p Plimax/a
Доказательство.
F . *215-164 . d F Hp . d : limax/a = max/(a A P). V . limax/a = seq/(a A P):
limin/P = min/(a A P). V . limin/p = prec/(a A P) (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
668
I-. *206-15.
F . *205-732 . э F : Hp . limaxp‘a = max/(a П (J). limin/P = minp‘(a П P). э .
limin/P Plimaxp‘a
э F : Hp . limax/a = seq/(a П P). limin/P = minp‘(a H P) . э .
limin/p Plimaxp‘a
I- (3)^
’ WP, a,p
F. *206-73.
. э F : Hp . limax/a = max/(a П P). limin/P = prec/(a П p). э.
limin/P Plimax/a
э F : Hp . limaxp‘a = seq/(a П P). limin/P = prec/(a П p). э .
limin/P Plimax/a
(2)
(3)
(4)
(5)
F . (1). (2). (3). (4). (5). э F . Prop
*215-53. F : Hp *215-5 . а П (J = A. E ! limax/a. E ! limin/P. э .
limax/a P* limin/|3
Доказательство.
F . *207-2 . *205-22 . э F : Hp. э .^‘limax/a cP“a. ^‘limin/p c P“p.
[*211-1] э‘limax/a cP“a. ^‘limin/p c p (1)
F . (1). *37-1. э F : Hp. limin/pPlimax/a. □. (gx). xea. limin/pPx.
[(1)] z>.g!an₽ (2)
F . (2)Transp . dF . Prop
* 215-54. F : PeSer. aesect‘P. Pesect‘P.anp=A.aup= C‘P.
E ! limaxp‘a. E ! liminp‘P . э : limaxp‘a = liminp‘P . V .
limaxp‘a Piliminp‘P
Доказательство.
F . *211-726. э F : Hp. E ! maxp‘a. E ! minp‘P. э .
limaxp‘a = тахр a a. liminp‘P = seqp‘a.
[*206-5] э. limaxp‘a Piliminp‘P (1)
F . *211-726. э F : Hp. ~ E ! maxp‘a. э .
limaxp‘a = minp‘P . liminp‘P = minp‘P (2)
F . *211-726. э F : Hp. ~ E ! min/p. э .
limaxp‘a = maxp‘a. liminp‘P = maxp‘a (3)
F . (1). (2). (3). z> F . Prop
* 215-541. F :: PeSer . aesect‘P. Pesect‘P. a U p = C‘P. э
апре0и1.э:Е! limaxp‘a. = . E ! liminp‘p
[*211-727. *215-51]
* 215-542. F : Hp *215-541 a П p = A. E ! limaxp‘a. limaxp‘a ~ e D‘Pi. d .
limaxp‘a = liminp‘P
[*215-54. *211-727]
* 215-543. F:PeSer.a6sect‘P.p6sect‘P.aup = C‘P.anpe0U 1 .
E ! limaxp‘a. limaxp‘a ~ 6 D‘Pi. э . limaxp‘a = liminp‘P
[*215-542-51]
Principia Mathematica II
♦216. ПРОИЗВОДНЫЕ
669
*216. Производные
Краткое содержание *216.
Если а есть некоторый класс, а Р есть некоторая серия, то производ-
ная 86 (или первая производная) а в силу Р есть класс границ экзистенци-
ональных подклассов аАС‘Р, т.е. lt/>“Clex‘(a А С‘Р). Т.е. терм х принадле-
жит производной а, если существует группа термов, которые содержатся и
в а, и в С'Р и имеют х в качестве своей границы. Производная а в силу Р
будет обозначаться посредством 6/>‘а.
Вообще говоря, будут существовать элементы а, не содержащиеся
в 6/>‘а, и элементы 6р‘а, не содержащиеся в а. Класс а называется плот-
ным в Р, если все его термы, исключая первый (если он существует), при-
надлежат 6р‘а, т.е. если все его термы, исключая первый, являются грани-
цами экзистенциональных классов, содержащихся в а. Класс а называется
замкнутым в Р, если каждый экзистенциональный подкласс а, который
не имеет максимума, имеет границу, принадлежащую а, т.е. если каждый
экизистенциональный подкласс а имеет границу или максимум, и произ-
водная а содержится в а. Если а является и плотным, и замкнутым, то
он называется совершенным. В этом случае класс, выбранный из а, имеет
границу или максимум в а.
Вторая производная а представляет собой т.е. &/>2‘а и т.д. (Мы
не можем иметь дело с производными бесконечного порядка до более позд-
ней стадии.) Если Р является сериальным, то вторая производная всегда
содержится в первой (*216-14).
Если Р является Дедекиндовой серией, то а является замкнутым всякий
раз, когда 5^‘а с а. Для того чтобы обеспечить Дедекиндовость некоторой
серии, иногда оказывается удобно заменить Р на ординально подобную се-
рию 5 Р, которая содержится в Дедекиндовой серии <;‘Р. Тогда а заме-
няется на 7^ “а, и а является замкнутым, если производная 7^ “а в силу
q'P содержится в 7* “а. Отношение производной а в Р к производной ^“а
в $'Р рассматривалось в *212-6 и последующих предложениях. Рассмотре-
ние этого предмета возобновляется ниже (*216-5 и далее).
Производная серии Р будет определяться как серия ее граничных точек
и обозначаться посредством V‘P. Поэтому мы полагаем
V‘P = Р‘[ .
Если Р серия, то производная класса а состоит из тех элементов х из
П‘Р, которые таковы, что элементы а существуют в каждом интервале,
который заканчивается в х, т.е.
*216-13. I-:: PeSer . z>xebp'a . = xed'PzyPx. z>y . g! a A *P'y a"?‘x
Мы имеем
*216-2. l-.6p‘C‘P = D‘lt/.-'3‘P
*216-3. F : acdense‘P. = . a - min/a c 6/a
*216-32. F: acclosed‘P. = . Clex‘(a A C'P) c (Tlimaxp . S/a c a
86 Или дериват. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
670
Мы доказываем (*216-4—412), что свойства а в силу Р, в отношении
плотности, замкнутости или совершенства, принадлежат D“a в силу 2,
если 5 являются коррелятором Р с Q.
Далее мы рассматриваем отношение а в Р к ^“а в $‘Р (*216-5—56).
Ключевой момент этих предложений заключается в том, что $'Р является
Дедекиндовой, так что класс является замкнутым в $‘Р, если он содержит
свою первую производную. (Вполне обычно определять класс как замкну-
тый всякий раз, когда он содержит свою первую производную; однако это
включает молчаливое предположение, что серия Р является Дедекиндовой.
Если Р есть серия вещественных чисел, то это предположение конечно ве-
рифицируемо.) Мы доказываем (*216-52), что производная в ^Р есть
Р‘“(С1ех‘а - (Гшахр), т.е. класс сегментов, определенный посредством та-
ких экзистенциональных подклассов а, которые не имеют максимума; мы
показываем, что а является плотным, замкнутым или совершенным в Р
в соответствии с тем, является ^“а плотным, замкнутым или совершен-
ным в ^Р (*216-53-54-56), и что а и~?“а являются замкнутыми, если~?“а
содержит свою первую производную (*216-54).
Мы заканчиваем параграф различными предложениями о V‘P
(*216-6—621), из которых главным является
*216-611. I-: Р е Ser. а !V‘P. э. C‘V = ёР- СТР, = 6/ёРи"Й‘Р
Рассмотрение этого предмета будет возобновлено в связи с вполне упо-
рядоченными сериями в *264.
*216-01. 6p‘a = ltp“Clex‘(aAC‘P) Df
*216-02. dense‘P = a(a-mmp‘ac6p‘a) Df
*216-03. closed‘P = a {Cl ex‘(a A C'P) c (Tlimaxp . 6p‘a c a} Df
*216-04. perf‘P = dense‘P A closed‘P Df
*216-05. V‘P = P[D‘ltp Df
*216-1. F : xe 6p‘a . = . (gp). p c a A C‘P. g! p . x ltp p [(*216-01)]
*216-101. I-: x6 6/a . = . (gP). p c a . g! p . p c P“P . xseqp P
Доказательство.
I-. *216-1. *207-1. э
I-: xe6p‘a. = . (gP). pcaA C'P.g!p.p A C'P cP“P . xseqp p .
[*37-15] = . (gP). pca . g! p. pcP“P .xseqp P: э I-. Prop
*216-11. F.8p‘acP“a
Доказательство.
I-. *216-101. *206-142 . d'F: xe6p‘a. э . (gP). p ca. g! p . xeP“P.
[*37-2] э . xeP"a: э I-. Prop
*216-111. I-. 6p‘a c O? [*216-11. *37-16]
*216-12. F . 5p‘a = 6p‘(a A C'P) [*22-5 . (*216-01)]
*216-13. F :: PeSer. э xe6p‘a . = : xed'P :yPx. . g! a A *P'y A^‘x
Доказательство.
F . *206-173. *216-101. э F :: Peconnex. P1 g J. э
xe 6p‘a . = :(gP).pca.gip.p c~?‘x .^‘x c P“P :
Principia Mathematica II
*216. ПРОИЗВОДНЫЕ
671
[*37-46] = : (эР): р с а . а! Р . Р с^‘х: уРх. . g! р А *Р'у:
[*24-58] э: уРх. . g! а а"?‘х П *Р'у (1)
I-. *33-41-152 . э
F хеС‘Р:уРх. dv . 3! а П?‘хП <Р‘у: э: д! ап"?‘х. а п"?‘хса П С'Р:
[*216-1] э:хк/>(ап"?‘х).э.хе6р‘а (2)
I-. *37-2. *201-501. э F : Нр. э . Р“(а а“?‘х) с>х (3)
I-. *50-24. э F : Нр. э . х~е(а П/*‘х) (4)
I-. (3). (4). *207-232 . э
I-:: Нр. хе (ГР. о xltp (а а"?‘х) . = :^‘хсР“(а а"?‘х):
[*37-46] = :уРх. . д! ап"?‘хП *Р'у (5)
F . (2). (5). о FНр . хе(ГР -.уРх. . д! а а"?‘х А *Р'у: о . хе8р‘а (6)
F . (1). (6). *216-111. о F . Prop
*216-14. F : Ре Ser. э . б/й‘а с 8р‘а
Доказательство.
F . *71-47. э F Нр . о : Р cltp“Clex‘a .g!р.о.
(дк). ксClex‘a. р = ltp“K. g! р.
[*37-26] э . (gk). К с Cl ех‘а А d‘ltp“X. g! р.
[*207-54] о . (gk). К с Cl ех‘а A (Tltp. Р = ltp“k. g! Р . limax/p =ltp‘s‘k.
[*216-1. *37-29. *53-24. Transp] э . limax/p с 8р‘а.
[*207-45] D.ltp‘Pc6/>‘a (1)
F . (1). (*216-01). э F Hp . э : реС1ех‘8р‘а . э .ltp‘P c 8p‘a:
[*40-43-5] э : tlp“Clex‘8/a c 8p‘az> F . Prop
*216-15. F : a с p . о . 8/a c 8/p [*37-2 . (*216-01)]
*216-16. F : Petrans A connex. э . 8p‘a = 8p‘(a - minp‘a)
Доказательство.
F . *24-26-101. э F : minp‘a = Л. э . 8p‘a = 8p‘(a - minp‘a) (1)
F . *51-36 .oF:Pca.gip.E! minp‘a . minp‘a ~ e p . э .
P e Cl ex‘(a - L‘minp‘a).
[*37-18] о .Ttp‘P c 8p‘(a - i‘minp‘a) (2)
F . *205-5 . э F : Hp. p c a. g! p. minp‘a e P . э . minp‘a = minp‘P .
[*207-262] о .ltp‘P cltp‘(P - i/minp‘a) (3)
F . (3). *37-18 . э F : Hp (3). P i‘minp‘a. э .ltp‘P c 8p‘(a - i‘minp‘a) (4)
F . *205-1.94-8 . о F : E ! minp‘a. о . minp‘a = maxp‘i‘minp‘a.
[*207-11] э .Ttp4‘minp‘a = Л (5)
F . (5). *24-12 . э F : E ! minp‘a . p = i‘minp‘a. э . ltp‘P c 8p‘(a - i‘minp‘a) (6)
F . (4). (6). о F : Hp (3). о .ltp‘P c8p‘(a- i‘minp‘a) (7)
F . (2). (7). э F : Hp . p c a. g! p . E ! minp‘a. о .ltp‘P c 8p‘(a- i‘minp‘a) (8)
F . (8). *40-5-43 . э F : Hp. E ! minp‘a. э . 8p‘a c 8p‘(a - i‘minp‘a) (9)
F . (9). *216-15 . э F : Hp . E ! minp‘a . э . 8p‘a = 8p‘(a - i‘minp‘a) (10)
F . (1). (10). э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
672
*216-2. I- .6PYP = D‘lt/.--#‘P
Доказательство.
F. *37-15. *216-111 .oh. 6р‘С‘Рс D‘ltp -7J‘P
I-. *216-1. d F : xeD‘lt/> - 6/C‘P. э . Л.
[*207-3] э. xt'P
F. (2).Transp. dF .D'ltp—"3‘Pc8p‘C‘P
F. (1). (3). э F. Prop
*216-21. F : P e R1‘J Л connex. э. 8P‘C‘P = D‘P - Q‘(P - P2)
[*207-35. *216-2]
*216-22. F :PeRl‘Jn connex. РсР2.з.8р‘ёР= а*Р [*216-21]
*216-23. F : Petrans . d . 6/C‘P = seq/>“(Tsgm‘P = lt/>“CPsgm‘P
Доказательство.
I-. *206-25 . d
F Hp . d : xebp'C'P. = . (aP). 3! p . p с P“p . xseq^ (P“p).
[*24-58 . *37-29] = . (aP) • P c P“p . a! P“P • xseq^ (P“P).
[*201-55] d . (эР). P“P“P = P“P. Я! P“P. xseqp (P“P).
[*212-152] d. xeseqp“a‘sgm‘P
F . *211-4. d F. seqp“a‘sgm‘P = ltp“G‘sgm‘P
I-. *212-152 . (*216-01). d F. ltp“C[‘sgm‘P c 6/C‘P
I- . (1). (2). (3). d F . Prop
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
*216-3. F: a e dense‘P. = . a - minp‘a c 6/a [(*216-02)]
*216-31. F : aedense‘P. = . a c C'P. a П P“a c 6/a
Доказательство.
F . *216-3-111. d F: aedense‘P. d . a - min/ac (TP.
[*205-11] э.асСР. (1)
[*205-11] d. a - minp‘a = a П P“a (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*216-32. F : aeclosed‘P. = . Clex‘(a П C'P) c(Tlimaxp . 6/>‘ac a
[(*216-03)]
*216-33. F aeclosed‘P. = . p c a .REcfi с P“P . Dp . gllt/p .Tt/>‘P c a
Доказательство.
F . *207-45 . *205-123 . d F Cl ex‘(a П C'P) c (Tlimaxp . = :
P c a. а! P. p с C'P. p с P“P . Dp . a!Ttp‘P:
[*37-15] =:Рса.а!р.РсР“р.ээ.а^р‘Р (1)
F . *40-43-5 . э F dp'a ca. e : Pca.a! ₽. Pc C'P. Dp .Tt/p c a:
[*207-11. *24-12] = : p c a. а 1 P • P c C‘P. maVp = Л . Dp .lt/p c a :
[*205-123. *37-15] = : p c a. а! P • P c P“P. Dp .ItP‘P c a (2)
F . (1). (2). *216-32. d F . Prop
*216-34. F :: Ресоппех. d aeclosed‘P. = :
p c a. а! P - P c P“p. Dp . ltP‘p e a [*216-33. *71-332 . *207-24]
Principia Mathematica II
♦216. ПРОИЗВОДНЫЕ
673
*216*35. I-: Ре Ser . Clex‘a c (Tlimaxp. э . Clex‘8p‘a c (Tlimaxp
Доказательство.
F . *71-47. *37-26 . э
F Hp. э : p e Cl ex‘8p‘a. э . (gX). X c Cl ex‘a A CPltp. p = ltp“X. g! p .
[*207-54]
э . (gX). Xc Clex‘a A CPlt/». P = ltp“X. g! p. limaxp‘P = limaxp‘.s‘X.
[*37-29. Transp]
э . (gX). X c Clex‘a A (Tltp. P = ltp“X. g! X. limax/p = limaxp VX.
[*53-24. Transp] э . (gX). s‘Xe Cl ex‘a. limax/p = limaxpVX.
[Hp] э . g! limaxp‘P z> F. Prop
*216-36. F: a e perf‘P. = . a e dense‘P A closed‘P [(*216-04)]
*216-37. F: a e perf‘P. = . Cl ex‘a c (Tlimaxp. 8p‘a = a - minp‘a
[*216-3-32-36]
*216-371. F : aeperf‘P. = . Clex‘a c (Tlimaxp. a c C'P. 8p‘a = a A P“a
[♦216-31-32-11-36]
*216-38. F : P e trans A connex. a e dense‘P. d . 8p‘a e dense‘P. Sp‘ac 8p‘8p‘a
Доказательство.
F . *216-3-15 . э F : Hp . э . 6p‘(a - minp‘a) c 8p‘8p‘a.
[*216-16] э . 6p‘a c 6p‘6p‘a .
[*216-3] э . 6p‘a edense‘P: э F . Prop
*216-381. F : PeSer. aedense‘P. э . 8p‘a = 8p‘8p‘a . minp‘8p‘a = Л
[*216-38-14-11]
*216-382. F : A e Ser. a e dense‘P. Cl ex‘a c (Tlimaxp . э. 8p a a e perf‘P
[*216-35-381-37]
*216-4. F : S ePsmof 2 • э . 8p‘a = S“8g‘5“a. 5“8p a a = 8g‘5“a
Доказательство.
F . *207-63 . э F : Hp . э . 8p‘a = 5 “lte“S “Cl ex‘a
[*71-491] = S“lte“Clex‘S“a
[(*216-01)] =S“8e‘S “a (1)
F . (1). *72-52 . *216-111. э F . Prop
*216-401. F:5 ePsinorQ.D.P ^8p‘a = 55(2 t8e‘5“a)
Доказательство.
F . *150-37. э F : Hp . э . 55 (Q 18e‘S “a) (5 ?2) 15 “8e‘5 “a
[*216-4. *151-11] = P C 8p‘a : э F . Prop
*216-41. F 5 e P smor Q. a с C'P. э aedense‘P. = . S"a edense‘2
Доказательство.
F . *216-3 . *37-2 . э
F Hp. э : aedense‘P. э . 5“(a-minp‘a) c5“8p a a.
[*71-38 . *205-8] э . S"a - min^“5“a c5“8p‘a.
[*216-4] э . Sc"a - min2‘5“a c 8G‘5“a .
[*216-3] э. S"aedense‘2 (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
674
P,Q, a
F Hp. э : 5“a6dense‘2. э . 5 "S “a edense‘P.
[*72-502] э. a c dense‘P
F . (1). (2). э F . Prop
*216-411. F 5 e P smor Q. a с C'P. э : aeclosed‘P. = . S “aeclosed‘2
Доказательство.
F . *207-64. *37-431. э
F Hp . э : p c C'P. g! p. p e (Tlimaxp . э .
S “P c C'Q. g! S “P . S “P e (Tlimaxg :
[*71-49] э : Cl ex‘a c (Tlimaxp . э . Cl ex‘5 "a c (Tlimax^
F . *37-2 . *216-4. э F Hp. э : ЬР'а c a. 6Q'S "a c S "a
F . (1). (2). *216-32 . э F Hp . э : aeclosed‘P. э. S “aeclosed‘2
t ч Q. P, S "a v -
F . э I" Hp. э : 5“a6closed‘2. э . 5 “5 “a6closed‘P.
[*72-502] э. a c closed‘P
F . (3). (4). э F. Prop
*216-412. F 5 e P smor Q. a c C'P. z>: aeperfP. = . S “aeperf‘2
[*216-41-411-36]
*216-5. F: PeSer. э . d\‘P ~^“C‘P cb (<;‘Pyl*“C‘P
Доказательство.
F. *212-134. *216-111. э
F:Hp.P = A.D.a‘$‘P->‘C‘P = A.8($‘P)‘7*“C‘P = A
I-. *212-632. э
I-Hp. [j!P. P“a ~e?“C‘P. o : P“a = It (<j‘P)‘"?“a:
[*216-1] э: 3!a. acC'P. o . P“ae8«P)r?“C‘P
F. (2) .*212-132. *37-265.0
F: Hp. 3 !P. P e (I‘<P-^“C‘P. о . p e 6 (?‘P)‘"?“C‘P
F. (1). (3). о F . Prop
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
*216 51. FxPeSer.o.
6 (?‘P)*'?“C‘P = 8 (s‘P)‘C‘<P = D‘lt (<P) - i‘A = Q‘sgm‘P
Доказательство.
F . *212-661. э F : Hp. к c D‘PC. x = It «Р)‘к. э. x = It (1)
F . *207-13 . *212-133. э F : Hp . к c D‘Pe. x = It (?‘Р)‘к. d . к / l‘A (2)
F . (1). (2). *40-26 . э
F : Hp . kcD?6 . g! к. x = It (<j‘P)‘k. d . g! 5‘к. x = It (&'P)'l*"s'k .
[*216-1] o.xe8(?‘P)‘^“C‘P (3)
F. (3). *216-1. DF:Hp.o.8(?‘P)‘C‘?‘Pc8(?‘P)‘^“C‘P (4)
F. *211-3. *216-15. o F . 8 (<P)‘"?“C‘P a 8 (?‘Р)‘С‘<^ (5)
F.(4).(5). oF:Hp.D.8(<P)‘‘?‘‘C‘P = 8($‘P)‘C‘s7> (6)
[*216-2. *212-133] = D'lt (?‘P) - i‘A (7)
F . (6). (7). *212-667. э F . Prop
Principia Mathematica II
♦216. ПРОИЗВОДНЫЕ
675
*216-52. F : PeSer .g!P.ac C'P. d . 6 (^‘P)‘^“a = P‘“(Clex‘a - CTmaxp)
Доказательство.
F . *216-1. d F :. Hp . d : у e6 (g‘P)‘~?“a. = . (дк). к c~?“a. g! к. у = It «Р)‘к.
[*212-402] = . (дк). к c"?“a . g! к. ~ Е ! max ($‘Р)‘к. у = $‘к.
[*71-47. *37-2] = . (gp). р с a. g! р . ~ Е ! max ($‘Р)‘>‘Р. у = Z?“P.
[*40-5 . *212-601] = . (др). р с a . д! р. ~ Е ! тах/р . у = Р“р.
[*37-6] = . у еР“‘(С1ех‘а - (Гтахр):. d F. Prop
*216-521. I-: PeSer . a с C'P. d .^“(a - minp‘a) =~?“a - min($‘P)‘"?“a
Доказательство.
I-. *71-381. *204-34 . d F : Hp . d .^“(a - min/a) =^“a “minp‘a
[*212-6] =^“a - min (^‘P)‘^“a: d F. Prop
*216-53. F PeSer. g!P. acC‘P. d : aedense‘P. = .^“aedense‘^‘P
Доказательство.
F . *216-52-3. d
F :: Hp . d :.~?“aedense‘(j‘P • = :
~?“a - min (^‘P)‘^“a c P“‘(C1 ex‘a - CTmaxp):
[*216-521] = :^“(a - minp‘a) c P“‘(C1 ex‘a - CTmaxp):
[*37-6] = : xea-min/a . dx . (gP) .pca.g!p.~E! maxp‘P .~?‘x = P“P:
[*207-521] =: xea - minp‘a. dx . (gP). pca. g! p. x = lt/p:
[*216-1] = : x e a - minp‘a. dx . xe 6p‘a:
[*216-3] = : a e dense‘P:: э F . Prop
*216-54. F PeSer . g !P. a с C'P. d : aedense‘P. =. 6 (^‘P)‘^“a c^“a
Доказательство.
F . *216-52. d
F :: Hp . d :. 6 (g‘P)‘"?“a c^“a . = : P“‘(C1 ex‘a - CPmaxp) c~?“a:
[*37-6] =:Pca.g!p.~E! max/p. Dp . (gx). xea. P“P =~?‘x:
[*207-521] = :Pca.g!p.~E! max/p. Dp . ltp‘P e a :
[*216-34] = : a eclosed‘P:: d F . Prop
*216-55. F PeSer . g !P. a c C'P. d : a eclosed‘P. = .^“aeclosed‘(j‘P
Доказательство.
F . *212-44. d F : Hp. d .~?“a с <Г1нпах«Р) (1)
F . (1). *212-54-32 . d F . Prop
*216-56. F PeSer . g!P. a c C'P. d : aeperf‘P. = .^“aeperf‘^‘P.
= . 6 (<j‘P)‘~?“a =^“a - min (<j‘P)‘~?“a
[*216-53-54-55-36-37. *212-44]
*216-6. F : x(V‘P)y. = . x,y eD‘ltp . xPy [(*216-05)]
*216-601. F : x e D‘ltp П Q‘P. P e connex. E ! B'P. d . (B‘P) (V‘P) x
Доказательство.
F. *206-14. d F : Hp. d . B‘PeD‘ltp (1)
F . *202-524 . d F : Hp . d . (B'P) Px (2)
F. (1). (2). *216-6. dF. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
676 И ПРОИЗВОДНЫХ
*216-602. I-: Реconnex. Е ! B'P. э. Q'V'P = D*ltP - zl'P = б/С'Р
Доказательство.
F. *216-601. э F: Нр. э . D‘ltp -^‘Р с Q'V'P (1)
F. *216-6. z> F. CTV'PcDltp-Tl'P (2)
I-. (1). (2). *216-2. э F. Prop
*216-603. I-: Peconnex. 3 !V‘P. э . C‘V‘P =
Доказательство.
I-. *200-35 . э F : Hp. d . ~ 6 1 .
[*202-55] э . C‘V‘P = D‘lt/>: э F. Prop
*216-61. F : P e Ser. E ! B'P. э. Q‘V‘P = (TP - (TPi [*216-602-21]
*216-611. F: PeSer. a !V‘P. э. C'V'P = y'P- (TPi = 8/C‘P U zl'P
Доказательство.
F. *216-603. *206-14. z> F: Hp. э . C'V'P = (D‘ltP-~&P) U~&P
[*216-2] =6/С‘Ри 7l‘P (1)
[*2i6-2i] =(a‘p-a‘Pi)u/bp
[*93-103. *24-412] = C‘P - Q'Pi (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*216-612. F : P e Ser . э . (ГV‘P с (TP - (TPi
Доказательство.
F. *216-6. э F . Q'V'Pc D‘ltP-7^‘P (1)
F. *216-2-21. z> F : Hp. э. D‘ltP -Tl'P = d'P - d'Pi (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*216-62. F : PeSer. g!V‘P. э . C‘V‘P = seq/>“C‘sgm‘P = lt/>“C‘sgm‘P
Доказательство.
F. *216-611. э F: Hp. э . C'V'P = 8P‘C‘P и’З'Р
[♦216-23] =seq/>“Q‘sgm‘PU^‘P (1)
[*206-14] = seqp“CI‘sgm*PU i‘P (2)
F. *211-45. oF :Hp.g! a*P-a*P] .=>.a!D‘(P£n/)-i‘A.
[*212-153] э. з! sgm‘P.
[*212-155] d . CTsgm'PU i‘A = C‘sgm‘P (3)
F . (1). *216-23. *207-17. z> F : Hp. э . C‘V‘P = lt/.“(a‘sgm‘P U i'A) (4)
F. (2). (3). (4). э F. Prop
*216-621. F:PeSer.[j!V‘P.0.3!sgm'P.s!aiP-a‘Pi [*216-62-612]
Principia Mathematica II
♦217. О СЕГМЕНТАХ СУММ И ОБРАЩЕНИЙ 677
*217. О сегментах сумм и обращений
Краткое содержание *217.
Целью настоящего параграфа является доказательство предложения
*217-43, которое требуется в теории вещественных чисел (часть 6, глава 1),
где Q будет серией положительных отношений, включая нуль, Р будет се-
рией отрицательных отношений в порядке от нуля до - оо (оба исключают-
ся), а — вещественным числом нуль, a Z и W — двумя различными сериями,
любая из которых может быть взята в качестве серии отрицательных и
положительных вещественных чисел. В силу *217-43 эти две серии орди-
нально подобны.
*217-1. I-: а П С‘2 = Л. э . (Р*0“а = Р“а [*160-1]
*217-11. I-: я! а П C‘Q . э • (Р*0“а = С'Р U Q"a [*160-1]
*217-12. I-. D‘(/*h2)c с D'Pe U (С'Р uy'V'Qe [*217-1-11. *211-11]
*217-13. I-: С'Р П C'Q = Л. э . Р"а = (P±Q)''(a - C'Q) [*217-1]
*217-14. F : я! Q"a. z>. C'PUQ"a = (P*Q)"a [*217-11]
*217-15. I-: C'P П C'Q = Л . э . D‘Pe U (C'P U)“(D‘2C - ь‘Л) c D‘(P^0c
[*217-13-14]
*217-16. I-C'P П C'Q = Л: ~ я• V . Я -^‘2 • => • C'Ptb'(P±Q)e
Доказательство.
F. *211-301. Dl-:~a!7h£.D.C‘P€D‘P£ (1)
I- . (1). *21715. э I-: Hp. ~ a! ^‘P. э. C‘P e D‘(P4Q)£ (2)
F. *217-11. э1-:а!'3‘е-=>.(Р^е)“'3‘е = ёР(3)
F. (2). (3). э F. Prop
*217 17. F :. C‘PП C‘Q = Л: ~ aV . a : => •
D‘(P40)£ = D‘Pe U (C'P U)“D‘0e [*217-1215-16]
*21718. I-:. C'P Л C'Q = A: ~ a !^‘P • V . ~ a'-"^‘0: => -
D‘(P4<2)£ = D‘P£ U (C'P U)“(D‘0£ - i‘A)
Доказательство.
F. *211-301. э F: ~ a• => • {C'P U)‘Ч‘Л c D‘P£ (1)
F. (1) .*217-17. э F : Hp. ~ э •
D‘(PtQ)£ = D‘P£ U (C'P U)“(D‘0£ i‘A) (2)
F.*217-11. z>F:~a!^‘0-H!a^C‘0-=>-S!(^G)“anC‘0 (3)
F. *217-1. oFt-al^'G-a'^'P .anC‘e = A.z>.(PtQ)“a/C‘P (4)
F . (3). (4). э1-:~а!^‘е.а^‘Р.э-С‘Р~бО‘(РЖ (5)
F . (5). *217-12-15. э
F : Hp. z>. D‘(P4<2)£ = D‘P£ U (C‘PU)“(D‘0£ - i‘A) (6)
F. (2). (6). э F. Prop
*217-2. F: C'P fl C'Q = Л. э. D‘P£ Л (C'P U)“(D‘0£ - i‘A) = A
Доказательство.
F. *211-11.э
F : D‘P£ c C1‘C‘P: a e (C'P U)“(D‘0£ - i‘A). э. а! a Q C'Q: э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
678 и производных
♦217-21. I-: а !ТГ£. э. D‘P£ П (С'Р U)“D'e£ = А
Доказательство.
F . ♦211-11. э F: Нр. aeD'P£.0.3! С'Р- a: э F. Prop
♦217-22. F : Р, Q е trans П connex. C'P(~\C'Q = .ftCfi'Q. z>.
g‘(P*2) = sgm'P* (C'P U) 5 g'Q
Доказательство.
F. ♦201-401. ♦202-401. э F: Hp. э. P*<2 e trans П connex (1)
F. (1). ♦212-23. э
[♦217-17-21] =: a, p e D*P£. a c p. a / p. V . a e D‘Pe. p e (C'P U)“D‘6£.
V. a, p e (C'P U)“D‘<2£. a a p. a / p:
[♦212-23] з: a (sgm'P) P. V . aeC'sgm'P. PeC'(C'PU) ’ $‘Q •
V. a {(C'P U)4‘C}₽:
[♦160-11] s: a {sgm'P* (C'P U) 5 g'Q} p:: э F . Prop
♦ 217-23. FP, Qe trans П connex. C'Pn C'Q = K: ~a!^‘^-v-~a!^‘S::3-
g'(P*0 = g'P* (C'P U) i (g‘0) [ (- i'A)
Доказательство.
F . ♦201-401. ^202-401. ♦212-23. э
F :: Hp. э a fc‘(P*2)) p. з: a, peD'(P*(2)£. a c p. a / p:
[♦217-18-2] s: a, p eD‘P£. a c p. a # p. V . a e D'P£. p e (C'P U)“(D'2£ - i'A).
V.a,pe(C‘PU)“(D‘C£-i‘A).aap.a/P:
[♦212-23. ♦160-11] 3 s a {sgm'P*(C'P U) i (g'g) [ (- i'A)} P:: z> F. Prop
♦ 217-24. F: aП p = A. z>. (a U) [Cl'Pe 1 —> 1 [*24-481]
♦ 217-25. F: C'P П C'Q = Л. э . (C'P U) f C'g'g e {(C'P U) ? q'Q] smor (g‘<2)
[♦217-24]
♦ 217-3. F: Pe Ser. э. D‘P£ =~?“C'P U D‘(P£ П I) - Q'seq^
[♦211-32-302-41]
♦ 217-301. F: P e Ser. у e D‘(P£ П /) - Q'seq^ . э. у = C'P - P"(C'P - y)
Доказательство.
F . ♦211-727. э F: Hp. э . ~ E ! liminp‘(C'P - y).
[♦207-44. ♦211-7] э. C'P - у e sect'P - G'minp.
[♦211-41-12] э. C'P - у = P"(C'P - y): z> F . Prop
♦ 217-31. F: Pe Ser. у e D‘Pe. э . (аР) • у = P“(C'P - P“P)
Доказательство.
F . ♦201-53. э
F: Hp.у =7*‘х.р = Х‘х.э. C'P-£“P =?*'*.
[♦201-53] э.Р“(С'Р-Р“Р) = у (1)
F . (1). ♦г^-З-ЗО! . э F. Prop
♦217-32. F: PeSer. э . V>'(P\ = (P)£“(C‘P-)“D‘P£
Доказательство.
F. ♦г^-З!^ . э F: Hp. D*(P)£ c (P)£“(C‘P-)“D‘P£ (1)
F.(l).^37-16.2>F.Prop
♦217-33. F . (a-) f Cl'ae 1-»1
Доказательство.
I- . *24-492 .э!-:Рса.уса.а-р = а- у.э.р = у:э1-. Prop
Principia Mathematica II
*217. О СЕГМЕНТАХ СУММ И ОБРАЩЕНИЙ
679
*217-34. F: Р e Ser. э. Р£ [ (sect'P - CI‘ltp) е 1 —> 1
Доказательство. F. *211-1. dF : ас 0e sect'P. Р“а = P“0 .д!0-а.э.д!0- P“0 (1)
F . (1). *205-11. z> F: Hp. Hp (1). э. E ! maxP‘0 (2)
F.*211-56. dF:Hp(2).э . acP“0. (3)
[*2105-111.(2)] z>. maxp‘0 ~ea F.(3). э F : Hp (2). э. a = P“0. (4)
[*205-22. (2). Hp] э. a =^‘maxP‘0 = P“a (5)
F . (4). (5). *207-232 . z> F : Hp (2). z>. maxP‘0 = ltP'a (6)
F . (6). Transp. z> F: Hp • a, 0 e sect'P. P“a = P“0. ~ E ! ltP‘a. э. 0 c a (7)
Similarly F : Hp. a,0esect'P. P“a = P“0. ~E! ltP'a. z>. ac0 F . (7). (8). э F : Hp. a, 0 э sect'P. P“a = P“0. z>. a = 0: z> F . Prop *217-35. F: P e Ser. э. (P)t I (C'P -) [ D‘PC e 1 -> 1 Доказательство. (8)
F . *217-33. z> F. (C'P -) [ D‘PC e 1 -> 1 F . *211-76. э F: Hp. э. (C'P -)“D'Pe = sect'P - d‘ltP . (1)
[*217-34] =>. (P)£ [ (C'P -)“D‘P£ e 1 -> 1 F. (1). (2). э F. Prop *217-36. F: P e Ser. э . <;‘P = (P)£ ’ (C'P -) ? Cnv's'P Доказательство. F. *212-23. => F:. Hp. э: 0 (<P) a. у = P"(C'P - a). 6 = P"(C'P - 0). э. 0 ca. a/0. C'P —acC‘P-0. (2)
[*37-2. *217-35] =>. у с 6. у / 6.
[*212-23] =>. у (<Р) 6 (1)
F. (1). э F: Нр. э . (Р)£ 5 (С'Р -) •’ Cnv's'P с?‘Р (2)
I-. (1). Transp. э
I-: Нр. 6(?‘Р) у. у = Р“(С'Р-a) .6 = f>''(C'P-0). a, 0eD‘P£. э. ас 0 (3)
F. *217-35 => I-: Нр (3) . =>. а / 0 (4)
F. (3). (4). *212-23. э F: Нр (3). э. 6 {(Р)£ ’ (С'Р -) ’ Cnv's'P} У (5)
F. *217-31=> I-: Нр. 6 «Р) у. э.
(да, 0). у = Р“(ёР- а). 6 = ГёР- 0 (. а, 0 еD'P£) (6)
F . (5). (6). э F : Нр. =>. с(£)е 5 (С'Р -) 5 Cnv's'P (7)
F. (2). (7). э F. Prop
*217-37. F : Р е Ser. э. (Р)е | (С'Р -) [ D‘P£ е fc'P) smor (Cnv\‘P)
[*217-35-36]
*217-38. F : Р е Ser. э . (s'P) smor (Cnv'^'P) [*217-37]
*217-4. F : P, Q e Ser. C'P П C'Q = Л. E ! В'Р. E ! B'Q. z>.
?‘(P 4 0 = (P)e (C'P -) 5 Cnv'<j‘P 4 (C'P U) ’ q'Q [*217-22-36]
*217-41. FP, Qe Ser. C'P П C'Q = Л: ~ E ! В'Р. V . ~ E ! B'Q: z>.
?‘(P4 Q) = (P)£ ? (C'P -) 5 Cnv's'P 4 (C'P U)! ($'Q) [ (- i'A)
[*217-23-36]
*217-411. F: Hp *217-41. ->. k‘(P4 Q)} [ (- i'A) =
(P)€; (C'P -) ? Cnv‘(5‘P) t (- i‘D‘P) 4 (C'P u); vq) [ (- сл)
[*217-41]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ
И ПРОИЗВОДНЫХ
680
*217-42. I-: Нр *217-41. э. {<(Р t Q)} [ {- i‘A - i‘D‘(P*2)} =
(Р)£ 5 (С'Р -) 5 Cnv‘(?‘P) [ (- ь‘А - i‘D‘P) ч» СГР
^(C‘PU)!(?‘e)[(-i‘A-i‘D‘e) [*217-411]
*217-43. FP, Q e Ser. C'P П C'Q = A: ~ E ! B'P. V . ~ E ! B'Q:
X = (<P) [ (- i‘A - i‘D‘P). Y = fc‘2) [ (- i‘A - i‘D‘0 •
Z={?‘(Pt0) [{-i‘A-i‘D‘(P^0}.
1¥ = Хч>а4У.а~еС‘ХиС‘У.э.
U (C'P U) [ (D'Qe - i‘A - i‘D‘0 eZ smor W [*217-37-25-42]
Principia Mathematica II
ГЛАВА 3.
О СХОДИМОСТИ
И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Краткое содержание главы 3.
Целью настоящей главы являются выражение в общем виде определе-
ний сходимости, пределов функций, непрерывности функций и родствен-
ных понятий, а также представление таких элементарных следствий этих
определений, которые могли бы служить их иллюстрацией.
В определениях, обычно даваемых в курсах анализа, предполагается,
что и аргументы, и значения функций являются числами некоторого рода,
обычно вещественными числами, а пределы берутся относительно порядка
величины. Однако нет ничего существенного в этих определениях, что тре-
бовало бы столь ограниченной гипотезы. Что является существенным, так
это то, что аргументы должны быть даны принадлежащими серии, и что
значения должны быть также даны принадлежащими серии, которая не
обязана быть той же самой серией, что и серия, к которой принадлежат
аргументы. Следовательно, в том, что следует далее, мы предполагаем, что
все возможные аргументы нашей функции или, по меньшей мере, все аргу-
менты, которые мы рассматриваем, принадлежат полю некоторого отноше-
ния 2, которое в случаях, когда наши определения являются полезными,
будет сериальным отношением; мы предполагаем подобным же образом,
что значения нашей функции, по крайней мере для аргументов, принад-
лежащих С‘2, принадлежат полю отношения Р, которое во всех важных
случаях будет сериальным отношением. Функцию саму по себе мы пред-
ставляем посредством отношения значения к аргументу: т.е. отношением
f(x) к х будет отношение Р, так что если функция является однозначной,
то /(х) = Р‘л. (Если функция не является однозначной, то f(x) является
682
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
некоторым элементом R'x.) Таким образом, мы можем говорить о R как
о функции, о Q как об аргументной серии, а о Р как о серии значений
функции 87.
Для иллюстрации предположим, что нам дан набор вещественных чи-
сел Xi, Х2,.. • Ху,..., где v может быть любым конечным целым числом.
Здесь Ху является функцией v; аргументная серия является серией конеч-
ных целых чисел в порядке возрастания величины, серия значений функ-
ции является серией вещественных чисел (или любой частью этой серии,
которая содержит все значения jq, %2, • • • *v, • • • )• Функция R представляет
собой отношение ху к v, так что Xy=R'v. В этом случае, называя Q ар-
гументной серией, а Р — серией значений функции (как будет делаться на
протяжении всей этой главы), мы имеем D‘7? = C‘2= конечные целые чис-
ла, R''C'Q = D'R = класс jq, jq,... Ху,..., a R; Q = серия jq, jq,... xv,.... Се-
рия, которая упорядочивает jq, jq, • • • *v, • • • в порядке возрастания их вели-
чин вместо порядка величин из суффиксов, представляет собой Р [D'R или
P[R''C'Q. Это не будет эквивалентным R»Q, если функция не является
постоянно возрастающей, т.е. функцией, для которой ц<у.э.ли<Ху.
Предложения настоящей главы, вообще говоря, являются важными,
лишь когда Р и Q серии. Если наши утверждения нетривиальны, то мы
должны иметь а!С‘2ПП‘/? и g! С'Р n/?“C‘Q, т.е. должны существовать
аргументы в C'Q, которые приводят к значениям в С'Р. Также часто будет
оказываться так, что функция является однозначной, т.е. что R е 1 —> Cis.
Однако приведенные выше условия хотя и являются необходимыми для
важности наших предложений, вообще говоря, являются гораздо более
узкими, чем гипотезы, необходимые для истинности наших предложений.
Настоящая глава является полностью самодостаточной, т.е. на предло-
жения этой главы нет ссылок в дальнейшем. Мы рассматриваем в этой
главе данный предмет, поскольку он кажется подходящим для настоящей
работы; его дальнейшее развитие должно быть предметом курсов анализа.
Мы начинаем (*230) с общей концепции, которая включается в поня-
тие сходимости. Мы будем говорить, что значения функции сходятся (или,
проще говоря, что сама функция сходится) в класс а, если для достаточно
поздно появляющихся значений аргумента значения функции всегда при-
надлежат классу а, т.е. если существует терм у такой, что если у Q* z, то
R'zea, или для избежания предположения о том, что R является однознач-
ным, ^‘zca. Поэтому значения функции сходятся в класс а, если
(ЗУ) • y^C'QC\G.'R.R"^'yaa.
Если терм у таков, что от у и далее все значения принадлежат а, то мы
пишем yeRQcna, где “сп” означает “convergent”88, т.е. мы полагаем
RQcn a = y{yeC'QC\(J'R.R"^'yc.a] Df.
Когда такой у существует, т.е. когда функция сходится в класс а, то мы
пишем “/?^па”, т.е. мы полагаем
87 В оригинале используются термины the argument-series и value-series. — Прим, пе-
рев.
88 Convergent — сходящийся в одной точке (англ.). — Прим, перев.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
683
&п=Яа(а!Я£па) Df.
“Я£па” может быть прочитано как “R является (^-сходящимся в а”. Это
означает, что для значений аргумента, достаточно поздно появляющихся
в Q-серии, значение функции всегда является элементом а. Поэтому, на-
пример, если R‘x=l/x и а = у(у<1), то Р$а, а если г>1, то zeRQ^cl-
Далее мы рассматриваем (*231) предельные сечения и предельные ос-
цилляции функций89. Для достижения этой цели мы действуем следую-
щим образом. Если 2С^П а’ то Р*“а является сечением P-серии таким, что
для достаточно поздно появляющихся значений аргумента значения функ-
ции должны принадлежать Р*“а. Следовательно, если мы берем все воз-
можные значения а, для которых Я £J.n а, и берем логическое произведение
всех полученных сечений Р*“а, то мы получаем сечение, содержащее все
“предельные” 90 значения функции; более того, очевидно, что им является
наименьшее сечение, которое обладает этим свойством, так как если мы
берем какое-либо сечение 0, которое содержит все “предельные” значения,
то мы имеем QQnfi и Р*“Р = Р, и, следовательно, рассматриваемое логиче-
ское произведение содержится в 0. Указанным логическим произведением
является
Для того чтобы избежать тривиальных исключений, которые возника-
ют, когда С‘2ЛСГЯ = Л, мы определяем “предельное сечение” следующим
образом:
р*р**“^сп‘/?пС‘Р.
Это “предельное сечение” мы обозначаем посредством PR^Q, где буквы
“sc” обозначают “section”91. Поэтому мы полагаем
P/^e = P‘F**‘‘£cn*7?nC‘P Df.
PRSCQ представляет собой класс тех элементов х серии Р, которые таковы,
что каким бы поздним ни было данное значение аргумента, все еще име-
ются значения аргумента, настолько же поздние или более поздние, для
которых значение функции не меньше, чем х. Подобным же образом Р 2,
который мы будем называть “предельным верхним сечением”, состоит из
тех элементов х серии Р, которые таковы, что каким бы поздним ни было
данное значение аргумента, все еще имеются значения аргумента, настоль-
ко же поздние или более поздние, для которых значение функции не боль-
ше, чем х. Поэтому произведением Р7^с2 и PP$CQ является наименьший
промежуток, который содержит все “предельные” значения функции, т.е.
это промежуток, состоящий из тех термов л, которые таковы, что каким
бы поздним мы ни взяли значение аргумента, имеются значения аргумен-
та, настолько же поздние или более поздние, для которых значение функ-
ции не больше, чем л, и, кроме того, существуют аргументы, для которых
функция не меньше, чем х. Таким образом, произведение PR^Q и PRSCQ
89 В оригинале — limiting sections и ultimate oscillations. — Прим, перев.
90 В оригинале — ultimate. — Прим, перев.
91 Section — сечение (англ.). — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
684
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
представляет собой то, что мы можем назвать “предельной осцилляцией”
функции. Мы будем обозначать ее посредством PR0SQ1 полагая
Df.
Мы можем выразить PR$CQ в форме, не включающей £^п, а именно
(*23142)
PR^Q = p'P*'''R'''<Q*''(C'Q П СГР) П С‘Р.
Эта формула для PR^Q может быть разъяснена путем следующих рас-
суждений. Если у есть некоторый элемент С‘2, то D‘PA§*‘y состоит из
всех значений аргумента от у и далее. Следовательно, Р“(СГР A т.е.
Р“2*‘у, состоит из всех значений функции для значений аргумента от у
и далее. Поэтому Р*“Р“2*‘у состоит из всех элементов P-серии, которые
оказываются равными или превышенными значениями функции для зна-
чений аргумента, равных или появляющихся позже, чем у. Если терм х
принадлежит классу Р*“Р“^*‘у для каждого значения аргумента у, то
найдется такой терм, что как бы далеко от серии аргументов Q мы ни
ушли, все еще найдутся такие значения, которые также велики или боль-
ше, чем х. В том случае, когда это так, мы можем сказать, что х является
Р-стабильным92. В этом случае х может рассматриваться как не превос-
ходящий “предельного” значения функции. Рассматриваемым классом зна-
чений аргумента является C'Q A Q‘P. Следовательно, класс Р-стабильных
термов представляет собой
где С'Р может быть добавлен для того, чтобы приспособить эту формулу
к тривиальному случаю, в котором С‘2 А СГР = А (это единственный слу-
чай, в котором С'Р несущественен). Поэтому класс Р-стабильных термов
является предельным сечением. Аналогично Р-стабильные термы являют-
ся предельным верхним сечением. Это те термы, которые не меньше, чем
“предельные” значения функции. Таким образом, произведение PR^Q пред-
ставляет собой термы, которые ни больше ни меньше, чем все предельные
значения; следовательно, это произведение есть класс предельных значе-
ний, который может быть назван “предельной осцилляцией”.
В дальнейшем будет видно, что PR^Q, будучи произведением верхнего и
нижнего сечений, само по себе является промежутком: мы можем назвать
его (альтернативно) “предельным промежутком”. Он состоит из всех эле-
ментов х P-серии, таких, что функция не становится равной х, каким бы
большим мы ни сделали аргумент, и остается меньшей, чем х, а также не
становится равной и остается большей, чем х. Если PR^Q состоит из един-
ственного терма, то этот терм является пределом функции, когда аргумент,
возрастая, проходит серию Q. (Он, конечно, вообще говоря, отличается от
предела значений функции, рассматриваемого как просто класс элементов
С‘Р, т.е. он отличается от ltp‘P“C‘2-) Если P7^s2 состоит из более чем
одного терма, то мы будем иметь два предела, а именно limaxp ‘PP^S 2 и
92 В оригинале — P-persistent. — Прим, перев.
Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
685
liminp‘P/^6, которые дают две границы предельных значений функции.
Когда класс PR^Q является нулевым, то функция может рассматриваться
как имеющая определенный предел: в этом случае PRSCQ и PR^Q являют-
ся двумя частями “иррационального” Дедекиндова сечения, т.е. сечения,
в котором первая часть не имеет максимума, а вторая — минимума. Таким
образом, P7^s2eOU 1 является условием для определенного предела функ-
ции, когда аргумент неограниченно возрастает.
Приведенное выше дает обобщение предела функции, когда значение
аргумента может быть любым элементом C‘QnG‘P. Для того чтобы по-
лучить пределы для других классов значений аргумента, нам требуется
лишь, как правило, ограничить поле Q классом рассматриваемых значений
аргумента, т.е. заменить Q на Q [а (ср. с *232). Однако для того чтобы
избежать тривиальных исключений, возникающих, когда а е 1, оказывает-
ся более удобным заменить Q на Q* £ а. Поэтому сечение Р, определенное
посредством класса значений аргумента а, представляет собой PR^ (Q* £ а).
Мы полагаем
(PRQ)sc^ = PRsc(Q. fa) Df.
Это определение является полезным, поскольку мы очень часто желаем
иметь возможность выражать предельное сечение, определенное посред-
ством а, как функцию а. Сечение (Р R 2)sc‘a таково, что если х является
каким-либо его элементом, а у является каким-либо значением аргумента,
принадлежащим а, то найдется значение аргумента в а, равное у или встре-
чающееся позже, чем у, для которого функция имеет значение, равное х
или встречающееся позже, чем х. Поэтому х таков, что функция в конце
концов не становится меньше, чем х, когда значение аргумента возрастает
в пределах класса а. Предел или максимум таких термов, как х, является
пределом или максимумом предельных значений функции, когда аргумент
стремится к наивысшему элементу а. Класс предельных значений представ-
ляет собой
(PRQ)sc‘a, который мы называем (РRQj^a.
Если функция имеет определенный предел, когда аргумент возрастает
в пределах а, то класс предельных значений не должен содержать более
одного терма.
В следующем параграфе (*233) мы имеем дело с пределом функции для
данного аргумента. Граница или максимум класса предельных значений не
обязательно является значением для границы а. Однако в дальнейшем бу-
дет найдено, что с подходящей гипотезой предельное сечение (РR
зависит лишь от Q* “(а П СТ/?), и что если аПО‘Я не имеет максимума,
то он зависит лишь от 2“(аПО‘Я). Поэтому если айСГЯ и 0ПСГЯ оба
имеют одну и ту же границу, то они определяют то же самое предельное
сечение. Следовательно, если а является границей а, то предельное сече-
ние а есть (PR 2)sc‘13‘a- Верхняя граница этого является верхней границей
предельных значений, когда аргумент стремится к а снизу. Мы полагаем
R (PQY®- = limaxp ‘(Р RQ) sc Ч^* ‘a Df.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
686
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Таким образом, мы имеем четыре предела для функции, когда аргумент
стремится к а, а именно
R(PQ\a, R(PQ)'a, R(PQya, R(PQ\a.
Если R является непрерывной функцией, то все эти четыре предела рав-
ны R‘а; однако, вообще говоря, они отличаются друг от друга и от
R'a. Вопрос о непрерывности функций рассматривается в *234. Когда
7? (Р0‘а = 7? (Р 0‘а, каждый из них является пределом функции для ар-
гумента а при стремлении снизу. Следует заметить, что если R опреде-
ляется для набора аргументов, которые являются плотными в 2, т.е. ес-
ли &Q ‘d‘R = ClQ, то R(PQ)‘a и R(PQ) ‘а определены для всех аргументов
в С‘0.
Principia Mathematica II
'230. О СХОДИМОСТИ
687
*230. О сходимости
Краткое содержание *230.
В настоящем параграфе мы должны рассмотреть понятие функции, схо-
дящейся в данный класс, или, как можно было бы это выразить, понятие о
том, что значение функции “в конце концов” принадлежит данному классу.
Если R является рассматриваемой функцией, а —данным классом, a Q —
серией, к которой принадлежат аргументы, то мы говорим, что “R явля-
ется Q-сходящимся в а”, если существует аргумент у такой, что для всех
значений аргумента от у и далее (в Q-порядке) значение функции есть
элемент класса а. Т.е. R является Q-сходящимся в а, если
(3,y).y€C‘Qr\Q'R.R“^‘yca.
Терм у, который обладает таким свойством, называется принадлежащим
классу а. Поэтому R является Q-сходящимся в а, если класс а
не является нулевым. Следовательно, мы имеем следующую пару опреде-
лений:
RQn а = C‘Q А СГЯ Пу (Я‘‘§*‘у с a) Df,
£„= ^a(g!^n а) Df.
Во всех более-менее важных случаях R будет однозначной функцией
(т.е. одно-многозначным отношением), Q будет серией, a C‘QAQ‘7? будет
классом, не имеющим максимума в Q. Так как если C‘QACI‘7? имеет мак-
симум, то классы, в которые сходится 7?, являются просто классами, к ко-
торым принадлежит значение этого максимума. Следующие предложения
хотя и являются важными при указанных выше условиях, вообще говоря,
являются истинными при гораздо более широких гипотезах.
Существует возможность обобщить далее понятие сходимости, для того
чтобы применять его к любому свойству, присущему Я, когда оно ограниче-
но достаточно поздно появляющимся значением аргумента. Для этой цели
мы должны рассмотреть R [ Q* ‘г, где z ограничен термами, более поздни-
ми, чем у, или равными у. Если при указанных выше условиях R [ ‘z
всегда принадлежит классу X, то мы можем сказать, что R в конечном
счете принадлежит а. Мы можем положить
^ngX = j){y€C*ena‘/?:y0HZ.3z.7?^‘zeX} Df,
&ng=M(3!/?£ngX) Df.
Это общая концепция, частным случаем которой является Q; на самом
деле
Мы должны будем использовать Q^ng, когда предельные свойства рассмат-
риваемой функции не являются свойствами ее значений; однако когда они
являются свойствами ее значений, то Q.n позволяет нам иметь дело с ними
более простым образом, чем Q,ng.
В этом параграфе мы доказываем среди других следующие предложе-
ния:
*230171. НуеЯЦп (Х‘х). =>. хеР*“Я“&‘у
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
688
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*230-211. Н.аср.эхЯ^а.э.ЯС^Р
*230-253. FЯ“С‘б с а. R Q^ а. =. g! C'Q П (ГЯ.
= .д!Я“С‘е. = .д!(Я[С‘е)
*230-4. КЯ^а = (ГЯП&“(Я£па)
*230-42. F:. Qk есоппех. э : R (£п а •R Осп 0 • = •R Осп (а п ₽)
*230-53. F Qetrans А соппех. Е ! тах^СГЯ. э : R Q^n а. = ./^‘тахдЧГЯ с а
В силу этого предложения случай, когда Е ! тах^/СГЯ, является мало-
интересным, и для того чтобы получить интересные интерпретации на-
ших предложений, необходимо предположить, что СГЯ не имеет макси-
мума. Аналогично, когда в последующих параграфах мы рассматриваем
СГЯ А (5‘л, то мы будем получать интересные результаты, когда оно не
имеет максимума, для чего требуется, чтобы Q была компактной серией
(G2 = G), а СГЯ был плотным в Q. Эти предположения, однако, обычно не
требуются для истинности наших предложений.
*230-01. Я^.п а = С‘2 АСГЯ Ау(Я“(^к‘уса) Df
*230-02. Qcn = Ra (Э! RQn а) Df
*230-1. I-: у eRQ^ а .=. у е С‘(2 А СГЯ .R“&y с а [(*230-01)]
*230-11. I-: R Qn а. = . g! RQn а. =. (gy). у еC'Q А СГЯ .R'^yca
[(*230-02)]
*230-12. F :у eRQcn а. э. (Э*‘у А СГЯ ^RQcn а
Доказательство.
F. *230-1. *201-14-15. э
F : у eRQcn а. у 0к z. ze СГЯ. э . R''&'y с а . ze C'Q А СГЯ. t^‘z с t?*‘y.
[*37-2] z>. z с C'Q А СГЯ. R"&'z с а.
[*230-1] э . zeRQcn а: э F . Prop
*230-13. \-.RQcna = (R\C'Q)Qcna
Доказательство.
F . *35-64. z> F . C'Q A (X'R = C'Q A Q'(R Г C'Q) (1)
F. *37-421. э F. Я“&> = (Я [ C'QY'^'y (2)
F. (1). (2). *230-1. э F. Prop
*230-131. F : Я Г C'Q П (ГЯ = Т [ C'Q. =>. ЯЦ.п а = тЦ.п а [*230-13]
*230-14. F: yeRQca а. э. g! C'Q П СГЯ. g! а П D7?
Доказательство.
F. *230-1. э F: Нр. э .у eC'Q П СГЯ .~Й‘у с а.
[*33-41] э. у еC'Q П СГЯ. g '.~&'у .~Й‘у с а.
[*22-621. *22-15] z>. g! C'Q П G'R. g! а П О‘Я: э F. Prop
*230-141. F. ЯЦП А = А [*230-14. Transp]
*230-142. F :.Я = А. V. б = Л: э.ЯЦп а = Л [*230-14. Transp. *33-24]
*230-15. F^^a.D.g’.C^na^.gianD'R [*230-14-11]
*230-151. F: Я Q^ а. э . g !Я. g !Q. g! a [*230-15]
*230-152. F :.Я = A. V . б = A. V . а = Л: э. ~(Яa) [*230-15.Transp]
Principia Mathematica II
*230. О СХОДИМОСТИ
689
*23016. F. RQn а = R (Q* [СГЯ) сп а
Доказательство.
F . *230-14. э F: C'Q А СГЯ Л. э. яЦп а = Л. R ШСГЯ)сп = Л (1)
F. *90-41. эНа!С‘епа\Я.э.С*(ОИ(ГЯ)у‘епа‘Я (2)
F. *37-26. эР.Я“&‘у = Я“(&‘уАСГЯ) _______ (3)
F. (3). *35-102. э F : у е d'R. э. Я“&'у = Я“Ьд(ГЯ‘у (4)
F. (2). (4). *230-1. э
(-:.д!С‘епа‘Я.э:уеЯЦ,па. = .уеС‘(0* [ СГЯ) А СГЯ. Я“& [СГЯ‘у с а.
[*230-1] =.уеЯ(<ЭДСГЯ)спа (5)
F . (1). (5) • э F. Prop
*230-161. F: Q4 СГЯ = S* [ СГЯ. э. RQ^ а = Я5СП а [*230-16]
*230-17. 1-:уеС‘0па‘Я.э.а!Я“^|1‘у
Доказательство.
F. *90-12 . *33-41. э F: Нр. э. у е & 'у. g! 1 'у.
[*37-18] э. g! R''<Q*'y: э F . Prop
*230-171. F: у е ЯЦп (X ‘х). э. х е Р* ''<0* 'у
Доказательство.
I-. *230-1-17. э F: Нр. э. д! R''&y R''<Q*'y аК'х.
[*22-621] э.д!Я“^‘упХ‘х.
[*37-46] э. хеР*“Я“^.‘у: э F . Prop
*230-21. F:«cp.D.P(>n асЯ(?п 0 *230-211. F:.acp.D :Я£.п а.э.Я^ P *230-22. F. RQcn a U ЯЦП 0 c RQ^ (a U 0) *230-221. F:.A£na. V.RQ^ 0: э .Я £n (a U 0) *230-23. F .Я£п а АЯ^п 0 = RQCB (a A 0) [*230-1. *22-44] [*230-21-11] [*230-21] [*230-211]
Доказательство.
F. *230 1. э F :у €Я(?п аПЛ^п 0. = .yeC'Q П Q‘fl са .Я‘‘£^‘‘у с 0 .
[Comp. *230-1] = . у е Я^.п (а П 0): э F . Prop
*230-231. F : Я £п (а П 0). э . Я £п а . Я £п 0 [*230-211]
*230-24. F . Я£п а П Я£п (0 - а) = Л [*230-231-141]
*230-25. F .RQ™ а = Я(£ (а A D‘P) =ЯЦп (а АЯ“&“СГЯ) = яЦп (а АЯ“С‘0)
Доказательство.
F. *37-15. эк:й“^‘}-са.Е.Я“^‘усапО‘Я (1)
I-. *37-18 . э F -..у ed'R. R"*Q*'y <^R"Q*"d'R :
[Comp] э:Я“^*‘уса.г.Я“^‘усаАЯ“Й*“С1‘Я (2)
I-. *37-2-18. = F. R“&‘y cR“C'Q.
[Comp] э I- :Я“<3*‘ус a. s .R“&'yc. a CiR“C‘Q (3)
I-. (1). (2). (3). *230-1. z> F . Prop
*230-251. F . RQ^ (R"C'Q) = C'Q А СГЯ
Доказательство.
F. *33-15. *37-2. э F. (y). R"^'y cR"C'Q (1)
I-. (1). *230-1 .oh. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
690
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*230-252. I-: Л“С‘О с а. з. RQ^ а = C'Q П [*230-25-251]
*230-253. I-R"C'Q с а. з: R Q.n а. =. 3! C'Q П СТ Я. г.
g!R"C'Q. г . g! (R [C'Q) [*230-11-252. *37-401. *35-64]
*230-31. F • s'RQ^ “к с RQcn (s'k)
Доказательство.
I-. *230-21 • з F: а е к. з. RQcn а с RQ^ (s'k) : з F. Prop
*230-311. F.
Доказательство.
F. *230-211 • з F: a e к. 7? Qcn а. з. R Qcn (s'k) : з F. Prop
*230-32. F . ЯЦ.П (р'к) = C'Q Cl G'R Cl p‘RQ.„ “к
Доказательство.
F. *230-1. з
Fу eRQca (р'к) . = :yeC'QC\ G'R.R“t^'у ср'к:
[*40-15] s :y eC'QO G'R: аек. за . с а:
[*4-73] = ’.у eC'QCi G'R: аек. за .у eC'Qn G'R .R“tk 'у а а:
[*230-1] =:у еC'Q П СГЯ П p'RQcn“K:. з F. Prop
*230-321. F: a! к. э.RQcn (р'к) = p‘RQcn“K. p‘RQcji“K a. C'Q ft G'R
Доказательство.
F • *230-1 • з F: a e к. за . 7?Q,n a c C‘Q П G‘7? (1)
F . (1). *40-23-151. з F: Hp. з. р‘ЯЦ.п “к c C'Q Ci СГЯ (2)
F. (2). *230-32 . з F. Prop
*230-4. F. RQ^ a = G'R П & “(ЯЦП a)
Доказательство.
F. *230-11. *90-21. з F. RQa acd'R. RQ^ a a&'^RQ^ a) (1)
F . *201-14-15 . з F ca .yQ*z. з ./1“&‘гс a (2)
F. (2). *230-1 • з F tyeRQ^ a.yQ^z • zeG'R. з . ze7?(?n a:
[*37-105] з F. Q‘/? Cl & “(RQ.n a) c RQ^ a (3)
F. (1). (3). з F . Prop
*230-41. F0» e connex. з: RQ^ a c RQ,n 0. V . 2?Q.n 0 c RQn a
Доказательство.
F. *211-16. *201-15.3
F :. Hp. з. &‘'(RQ^ a) с 0) - V • & ‘‘(Я£п 0) <= & ‘ '(RQ^n a):
[Fact. *230-4] з: RQ^ a c RQm 0. V . RQ.n 0 c RQ^ a:. з F . Prop
*230-42. F :. Q* e connex • з: R Qcn a. R Qcn 0 • =. R Q.a (a Cl 0)
Доказательство.
F . *230-41. з F: Hp. з: /?gn a Cl Я£п a^v . RQ^ an RQ^ 0 = ^0:
[*230-33] з: RQB (a П 0) = RQ^ a. V . RQ^ (a П 0) = RQ^ 0:
[*230-11] (1)
F. (1). *230-231. з F. Prop
*230-421. F: 0k e connex. a П 0 = Л. з. ~ {Л Q.a a. R Q^ 0) [*230-42-141]
Principia Mathematica II
*230. О СХОДИМОСТИ
691
*230-51. I-: Я а. э. p'Q*“C‘Q О П‘Я <^RQCB а
Доказательство.
F .*201-14. oF -.у еС‘2ПС‘Я .R'^'y с a. zep‘&“C‘Q.:> .R“&zc а (1)
I-. *230-151. *40-62. э F : Нр. э. p‘&“C‘Qс C‘Q (2)
I-. (1). (2). *230-1. э F: Нр . у еЯЦп а. zep‘&‘C‘Q П П‘Я. э.
геС‘2пСГЯ.Я“^‘гса (3)
И. (3). *230-1-11. oh. Prop
*230-511. F syep'&'C'Q. э. &'y = p‘tk“C‘Q
Доказательство.
F . *40-12. э F : Нр. э.p‘&‘C‘Qа&У (1)
F . *40-53. э F :. Нр. z е £)*‘у • э :xeC‘Q. z>x . xQ*z:
[*201-15] э: xeC‘2.2>x. xQ*z:
[*40-53] o:zep‘U“C‘2 (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*230-512. F : а‘ЯПр‘^*“С‘2 сЯЦ.п а. => .R“p‘&“C‘Q аа
Доказательство.
F . *230 1 .эк:. Hp . э :y eQ‘2? П. э . ‘у с a .
[*230-511] э.7?“р‘^“С‘2са (1)
F . (1). *10-23. э F : Hp. a! СГЯ П p‘&“C‘Q. э. R“p‘&“C‘Q c a (2)
F. *37-26-29. э F : СГЯ Пp‘&“C‘Q = Л. э.R“p‘^“C‘Q = Л.
[*24-12] =>.R“p‘&“C‘Qaa (3)
F . (3). (3). э F . Prop
*230-513. F :. a !2 • : R“p‘^“C‘Q <= a. = . СГЯ П p‘&‘C‘Q сяЦп а
Доказательство.
F . *230-511. э F :.уеС‘Я П p‘^“C‘Q. э :
R“p‘^“C'Qa а. э . уеСГЯ. Я“^‘у с а (1)
F . (1)*40-62 . *230-1. э
F :lslQ.yeа*ЯПр‘^“С‘2.Я“р‘^“С‘2са. э .yeRQ^ а (2)
F. (2). Comm. э Fg . э:
Я“р‘^“С‘2са.э.а‘ЯПр‘&“С‘2сЯЦ.па (3)
F . (3). *230-512. э F . Prop
*230-514. F : э !2 • Я! p‘S*“C‘2 П С‘Я. Я“р‘&“С‘2 с а. э . Я а
Доказательство.
F . *230-513. э F : Нр. э. а! р‘&“С‘2П СГЯ. p‘^“C‘QП СГЯсЯЦП а.
[*24-58. *230-11] D.Rq.na:oF.Prop
*230-52. F : gj ClQ П dlR. g! Q7? П p‘Sc“.s7?(2n“K. К c . р‘ке^.п‘7?
Доказательство.
F . *40-16 . oF : аек. э .р‘^“.у7?(2п“кса (1)
F . (1). *40-61. э
F Нр . э : аек. э .p‘t^‘‘s7?(?n‘‘Kc а .
[Fact. *230-4] э . Q7? П p‘^*“?/?Qn“Kc^n а:
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
692
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
[*40-44] э: T)lR('\p‘^2*“s‘RQ‘“кар^О^'к:
[*230-321] э: д!к.э. П'ЛПp'QS's'RQ^'Kc.RQ^ (р'к).
[Нр. *24-58] э.д!яЦп(р‘к).
[*230-11] э.р‘к€^сп‘Т? (2)
I-. *230-253. *40-2. э F : g! C‘QCi Q‘R. к = Л. э. р‘ке <2СП‘Я (3)
F . (2). (3). э F . Prop
*230*53. F Q e trans П connex. E ! max^/GT?. э : R Q.n a . = .7?‘maX{2‘G7? c a
Доказательство.
F . *205-111. э F : Hp. э . max^GT? e C‘Q П G7? (1)
F . *205 141. *201 18 . э F : Hp. э . t^Tnax^GT? П G‘/? = i‘maxg‘G‘7?.
[*37-26. *53-301] (2)
I- • (1). (2). э FHp. э:^?‘maxg*a7?са.э.maxg‘G‘l?e(7?£[,n a).
[*230-11] э.Я£па (3)
F . *205-36 . э FHp. э :y eC'Q П GT?. /?“^‘уса. э. /Г^Тпах^/ПТ? c a:
[*230-11] э : R Q.n a . э . 7?“^c‘max2‘G‘2? c a .
[(2)] D.^‘max^‘Q‘y?ca (4)
F . (3). (4). э F . Prop
*230-54. FQe trans A connex. E ! max^/GT?. э : кс Qcn*R • = • р'ке Q^R
Доказательство.
F . *230-53. э F :: Hp .э:.кс £7nT? •=:аек.эа . 7?‘maxg‘G7? с а:
[*40-15] = :7?‘max0‘GT?c р‘к:
[*230-53] = : р‘к e Цп 7?□ F . Prop
Principia Mathematica II
*231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ
ФУНКЦИИ
693
*231. Предельные сечения и предельная осцилляция
функции
Краткое содержание *231.
В настоящем параграфе мы рассматриваем предельное сечение, опре-
деленное в серии Р, к которому принадлежат значения функции R, когда
значения аргумента функции возрастают в аргументной серии Q. Т.е. мы
рассматриваем сечение, состоящее из тех термов х класса С‘Р, которые
таковы, что каким бы большим ни становился аргумент при R, все еще су-
ществуют значения, по меньшей мере, такие же большие, как х. Такие тер-
мы, как х, могут быть названы Р-стабильными; х является Р-стабильным,
если функция в конце концов не становится равной и остается меньше,
чем х. Класс стабильных термов называется предельным сечением. Пре-
дельное сечение может быть определено следующим образом. Если а есть
некоторый класс, в который R Q-сходится, то сечение Р*“а таково, что зна-
чения функции в конечном счете содержатся в нем. Произведением таких
термов, как Р*“а, является наименьшее сечение, обладающее указанным
свойством. Следовательно, если х есть некоторый элемент этого сечения,
то в конце концов (т.е. для значений аргумента, которые находятся до-
статочно далеко в серии Q) значения функции R не являются постоянно
меньшими, чем х, в серии Р. Таким образом, произведение таких термов,
как Р*“а, представляет собой предельное сечение, и, следовательно, мы
можем положить
р^се=Р‘р*‘“Цп‘Рпс‘р Df,
где буквы “sc” означают “section”93 (ёРсправа является излишним, ис-
ключая случай, когда Цп‘Р = Л, т.е. когда С‘2пП‘Р = Л.)
Мы будем называть предельное сечение Р, т.е. FR^Q “предельным верх-
ним сечением”. В дальнейшем будет видно, что если х является элементом
™sCQ> то функция в конечном счете не станет равной и останется, посколь-
ку рассматриваются некоторые ее элементы, большей, чем х, т.е. каким бы
большим мы ни сделали аргумент, все еще найдутся значения, не большие,
чем х. Следовательно, если х принадлежит и к Р^с2, и к PRSCQ, то найдут-
ся значения, не меньшие, чем х, и значения, не большие, чем х, каким бы
большим мы ни сделали аргумент. Этот класс PR^QCipR^Q может поэто-
му рассматриваться в качестве класса предельных значений функции. Мы
будем называть его “предельной осцилляцией” функции, поскольку, когда
аргумент стремится к оо, значение функции в конце концов осциллирует
внутри этого промежутка Р, и ни один меньший промежуток не обладает
этим свойством. Мы будем обозначать этот класс посредством “P2^s2”, где
“os” означает “oscillation”94. PR^Q является промежутком в С‘Р, так как
представляет собой произведение двух сечений. Поэтому мы будем также
называть его “предельным промежутком”. Когда функция имеет опреде-
93 Section — сечение (англ.). — Прим, перев.
94 Oscillation — осцилляция (англ.). — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
694
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
ленный предел, когда аргумент стремится к оо, то предельный промежуток
не должен содержать более одного терма.
Пределы функций для аргументов х в середине CQftCR, которые бу-
дут рассмотрены позже, выводятся из пределов, рассматриваемых в насто-
ящем параграфе, путем ограничения поля Q предшественниками х.
В этом параграфе мы доказываем среди прочих следующие предложе-
ния:
*231103. }-.RR.sQ = PpoRosQ = P^RosQ
*23112. I-. PRJ2 = р‘Р**“Я“‘&“(С‘2 П СГЯ) п С'Р
*23113. Ь.РЯ,С Qe sect'P
*231141. Ь : Q* е соппех. R Qcn (X ‘х). э. х е PR^ Q
*231191. I-:Рроесоппех• g!PR^Q.z>.
^PR^Q - P*"(PROiQ). P'‘(PR*Q) = Ppo“(P^sQ)
*231192. I-Ppoeconnex.g!PR^Q^a!PR^Q:
PR.SQ = PR^Q'. =. PR^Q = PR*CQ'. PR*CQ = PR*CQ'
*231193. F : Ppo e Ser. PROS Q e 1. э . PROSQ = t‘max/(P/^c Q) = i‘min/(P/^c Q)
Это предложение часто используется в настоящем параграфе.
В обычных условиях мы будем иметь СР = PR^Q U PR3CQ, так что ес-
ли верхнее и нижнее предельные сечения не имеют более одного общего
терма (т.е. если P2^s2el), то они определяют Дедекиндово сечение в Р.
Следующие предложения имеют дело с этим фактом:
*231-202. h : Р*, Q* е соппех. э! Р^с Q. э . СР - (Р^с Q) с Р Q
*231-21. F: Р*, & есоппех. CQ П СГЯ с & “Я“С‘Р. э. СР = PR^Q U Р^сQ
*231-22. F : Р*, & есоппех. R“CQ сСР.э. СР = PRSCQUPRSCQ
Заметим, что “Я“С‘2сёД является гипотезой о том, что для аргу-
ментов, принадлежащих CQ, значения функции принадлежат СР.
*231-24. I-: Р* е соппех. R"C'Q аС'Р.~ {R ‘х)). А ‘х с PR* Q
*231-01. PR*Q = p'P*'''tQca'RC\C'P
*231-02. PRosQ = PR*QC\pR*Q
*231-1. \-.PR*Q = p'P^'"^m'PC\C'P
*231-101. КР/^^Р^епР/^е
*231-102. I-. PR* Q = Ppo_^c Q = Р*_/^ Q
*231-103. \-PRosQ = PpoRoiQ = P^RosQ
Df
Df
[(*231-01)]
[(*231-02)]
[*231-1. *91-602. *90-4]
[*231-102-101]
*231-11. Ь:.хеР^се. = :Я^;па.эа.х€Р*“а:хеёР[*231-1]
*231-111. b :• xePR^Q. = zyeC‘Q П G‘P.R“^‘yca. ^зу<а . хеР*“а: xeC'P
[*231-11. *230-11]
*231-112. }-t.xePRxQ. = -.yeC‘Qna'R.:3y.xeP*"R"t}*'y'-xeC'P
Доказательство.
I-. *231-111. *22-42. э
I- :• xePR^Q • э eC'QCi d'R. . xeP*“R“^‘y: xeC'P (1)
b. *37-2. э
Principia Mathematica II
*231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ
функции 695
I- :.у еС‘2 П Q‘7?. . лбР*“Я“£^‘у: леС‘Р: э :
у еС‘2 П (TR .R"^'y с а . эу>а . леР*“а : хе С'Р:
[*231-111] э: леР^с2
F . (1). (2). э h . Prop
*231-113. Ь:.леР^с2. = :уеС‘2па‘/?.эу.л(Р* \R\&)y:xeC'P
[*231 112. *37-3]
Если R является однозначной функцией (т.е. одно-многозначным отно-
шением), и если мы пишем вместо лР*х' и у^у' вместо у£^у', то
мы имеем
х е PR*C Q. = -.yeC'QCi O.'R. эу . (gy'). у у'. х R'y': х е С'Р.
Т.е. х принадлежит Р/^сб, если для какого-либо аргумента у в C'Q мы
можем найти аргумент у', больший или равный у, для которого значение
функции больше или равно х.
*231-12. F. Р^с £ = рТ* ‘ ‘ \Я“ 1^“(С‘Р Л СГЯ) Л С‘Р [*231-112]
_Это предложение является обычно наиболее удобной формулой для
p^Q-
*231-121. I-: g! C'Q Л СГЯ. э.
PR^ Q = Р‘Р* “ ‘ £сп ‘R - р‘Р* “ ‘Я“ ‘ & “(С‘ Q Л Q ‘Я)
Доказательство.
F . *230-253. => F : Нр. э . g! ‘Я.
[*40-23. *37-47] э.р'Р*“'^'Rc s'P*‘“£>сп‘Я.
[*40-38.*37-16] э.р‘Р*‘“^‘ЯсёР(1)
I-. *40-23. э F: Нр. э. p‘P*"‘R"‘Q*“(C‘QП СГЯ) с s‘P*“‘P“‘&“(C‘<2 Л G'R)
[*40-38. *37-16] а С'Р (2)
F. (1). (2). *231-1-12 . э F. Prop
*231-13. I- .PR^Qesect'P [*211-631-13. *231-12]
*231-131. F. PRJ2 c C'P [a231-l]
*231-132. I-: g! C'Q Л С‘Я. э . PR^ Q с P* "R“Q* "G'R
Доказательство.
F. *40-23. *231-121. э F : Hp. э. PR^Q a s'P*"‘R'"^"(C'Q Л СГЯ)
[*40-38] aP*"R"s'lb"(C‘QnG‘R)
[*40-52 . *37-265] cP*"R"Qt:"G'R: э F. Prop
*231-133. F: C'P П G'R = Л. =. PRJQ = C'P [*231-12. *37-29. *40-2]
*231-134. F.Ppo“(P^c0 = P“(P]^c0 [*211-131. *231-13]
*231-14. F::Pel -»C1s.d t.xeP^Q. = :
у e C'Q Л (ГЯ. z>y . (gz). yQ*z. xP* (R'z) -.xeC'P [*71-7. *231-113]
*231-141. F : Qt econnex.Я(7n (^*‘x). э . xe PKJ2
Доказательство.
F . *230-4. dF ’.yeRQcn (^*'x) .zeG'R.yQ^z.zi .zeRQ^ (X‘x).
[*230-171] z>.xeP*"R"&z (1)
F . *230-171. *96-3. э
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
696
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
F :yePQ.n (Х‘х). zQ*y. о. хеР*"Р"<О*'у. <Q*‘y с <2*‘z •
[*37-2] э.хеР*“Я“&‘г (2)
F.(l).(2).DF:Hp.yeP^,n(X‘x).zeC‘enG‘P.D.xeP*“P“g(!‘z (3)
I-. (3). *23011. э F Нр. э: zeC'Q Cl СГЯ. эг. хеР*“Я“&‘г (4)
F. *230-151. э F : Нр. э. хеёР(5)
I-. (4). (5). *231-112. э F. Prop
*231 142. h : oi€sect‘P. Р Q.n а. э . PR^Q с а
Доказательство.
F . *231-1. *40-12 . э F : Нр . э . PR^Q с Р*“а .
[*211-13] э . PR^ Q с а: э F . Prop
*231-143. \--.RQcn^'x).^.PRscQc~?^x [*231-142]
* 231-144. I- :R q.n (7*po‘*) •э • [*231-142. *211-16]
* 231-15. I-: R"C‘Q<zC'P.z>. C'PПp'~P*"C'Pc PR^Q
Доказательство.
F . *37-2. э I-Hp. э: R"*Q*'y c C'P:
[*40-16] э: p'~ft*"C'P c. p'~P*"R"^*'y:
[*40-23] э zyeC'QCi Q‘P. z>y . p'~fi*"C'Pc.P*"R"^*'yz
[*231-12] э: C'P П p'^'C'PcPR^Qz.z»}-. Prop
* 231-151. F : P* e connex. C‘P П p‘~K "C'P c PRSC Q. Э.‘P c PR^ Q
[*202-521]
* 231-152. F: P* econnex. C'PCl p'~P*''C'P cPR^Q . Э! ^‘P. э . В'РePRJi
[*231-151. *202-523]
Гипотеза C'PC\ p'^*"C‘PcPRscQ верифицируется не только, когда
Гё2сС‘Р, но и, кроме того, при более общих гипотезах. Две таких ги-
потезы, а именно
С‘2пСГЯсЯ“С‘Р
и
с‘епа7?с0г‘я‘‘С‘р,
рассматриваются в следующих предложениях.
* 231-153. F: C'Q П СГЯ с 0*"R"C'P. э. ёРCi р'~?*"С'Р cPR^Q
Доказательство.
F . *37-1. э F :: Нр . э :.у еС‘2П Q‘P . эу : (gz). леС‘Р. z (Р| Q*)y:
[*40-51] эу : хер^^С'Р. эх . (gz). zе С'Р .z(R\Q*)y. xP*z.
[*34-1] эг.х(Р*|Я|^)у (1)
I-. (1). Comm. э
Ь:.Нр.хеС‘РПр‘А“С‘Р.э:уеС^па‘Я.э>.х(Р* \R\&)y: xeC'P
[*231-113] э : xePRscQэ I-. Prop
*231-154. F:R"C‘QcC'P.d. C'QClG‘PcR"C'P
Доказательство.
F. *37-2. э F: Hp. э . H“R"C‘Q c R"C‘P.
[*37-501] э . C'Q 0 d7? c.R"C'P: э F. Prop
Principia Mathematica II
♦231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ
функции 697
*231155. F: С‘2 П (ТЯ сЯ“С‘Р. э . С‘2 П (ТЯ
Доказательство.
F . *22-43-45 . э F : Нр. э . С‘2 П (ТЯ с С‘2 ПR“C‘P
[*90-33] с Q* “Я“С‘Р: э F . Prop
*231156. FС‘СAСГЯс &“Я“С‘Р. = : Л~ еР*“‘Я'“&“(С‘2AС'Я):
= :zeC‘2n Q‘P. эг. g! С‘РАЯ“^.‘г
Доказательство.
I-. *371. э F:. C'Q А СГЯ с &“Я“С‘Р. s :
zeC'QCid'R. эг. (gx).xeC'P .z(Q* |Я)х:
[*37-3] =: zeC'QА СГЯ. эг. (gx). xeC‘. хеЯ“<2*‘г:
[*22-33] =:zeC*en(TP.z>z.g!C‘PnP“U‘z: (1)
[*37-265-43] в:геС‘епа‘Я.эг.д!Р*“Я“&‘г (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*231-16. F: P* econnex. g !~S'P. C'Q А СГЯ c Q*"R"C'P ._э.
^.PR^Q.B'PePR^Q [*231-152-153]
*231-161. F: P* e connex. g !^‘P. R"C'Q c C'P. g! PR^Q. B'Pe PR^Q
[*231-154-155-16] _ _
*231-17. I-:R"C'QcCP.i.RQcn acRQca (P* “a)
Доказательство.
F. *90-13. oF:.Hp.o:yeC‘2.o.P“^‘ycC‘P:
[*230-1] э :y €Я(?п a. э .yeC'Q П Q‘P. Я“£^‘у c a П C'P.
[*90-33] э .yeC'QPi СГЯ .R'^'y cP*“a .
[*230-1] э .y eRQCB (P*“a)э I-. Prop
*231-171. V\R"C'Q<zC'P .RQma.zx.RQm(P*"a) [*231-17. *230-11]
*231-18. F: R"C'Q с C'P. э. PR^ Q = p‘(sect‘P А (2cn 'R) A C'P
Доказательство.
F.*23111 .*211-13. э
Fx-xeP^C.ojpCU^.p esect‘P. эр . хер: xeC'P (1)
F. *231-171. э
F:: Hp. э t.R Q.B (P*“a). эа . xeP*“a: э:R Q.n a. эа .xeP*"a:.
[*13-195. *231-11]
э:. (ga). P = P*“a.R Qn P. эр . xeP: xeC'P-. z^xePR^Q:.
[*211-13] э:. p e sect'P. R QCB P. эр . x e p: x e C'P: э: x eRR^Q (2)
F.(l).(2).o
F :: Hp. э xePR^cQ . = : pesect‘P. R P . эр . :xeCPv. э F . Prop
*231-181. F: P e Ser. R"C'Q cC'P .a. PRscQ = C'PC} p'(?"C'P П £сп ‘Я)
Доказательство.
F. *231-18. *211-302. *40-16. э
F: Hp. э. PR^Q c C'P Ap'(?"C'P A ‘R) (1)
F . *40-55. *230-211. э F:. aesect'P A *Q ‘R .zeC'PCip'*P"a • э:
^cn r
f'ze^n'R-.
[*40-12] э:лер‘(ГёРП есп‘Я).э.ле?‘г (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
698
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
I-. (2). Сошт.э F леС‘РО р‘("?“С‘РП ^.п‘Р) • aesect‘Pn (2^‘Р • э :
хе СР :хеСРС\ р'<Р“а. эг. xe~P'z:
[*40-12] э:хеС7’Пр*ТЬ*(С‘РПр‘5’“а) (3)
F . *211-711. э
I-: Нр. а е sect'P. э. С'РОр‘?“(С‘РПр‘^“а) - С'РП р'~?''(С'Р - а)
[*211-7-711] = С'Р-(С'Р-а) (4)
Н(3).(4).э
I-Нр. хеС'РГУ p‘(?“C‘PCit)cn‘R). э: а е sect'P Л !2СП‘Р • эа . хеа:
[*231-18] э:хеР^с2 (5)
Ь. (1). (5). э F. Prop
*231-182. I-: Ре Ser. Гё2 с С'Р. a! С'Р - (Р^.Q). э.
Р^Q - р‘(?‘‘С'Р П £сп ‘Я). a! (?“С'Р Л %п ‘R)
Доказательство.
F . *231-181. э
I-:Нр.а'-&“С‘РП %L‘R) .zx.PRscQ = р‘(?“С‘РЛ £сп‘Я) (1)
F. *230-11. э F :. Нр. Р“С‘Р Л 1>сп ‘Я =А. э:
хе С'Р. у е C'Q Л СГЯ. эху. ~ (R“%)* 'у а~Р'х).
[*90-33. Нр] эх>> . ~ (P*"R"&y а?‘х).
[*211-56] эХ0,.А‘хсР*‘‘Я‘‘&>.
[*90-13] ox,y.xeP*“P“U‘y (2)
I-. (2). *231-12 . э F : Нр .~?"С'Р Л Ц.п‘Я = Л. э. С'Р a PRJQ (3)
I-. (3). Transp. э I-. Нр • э. а!"?“С‘Рп Ц.п‘Я (4)
F . (1). (4). э F . Prop
*23119. F : Petrans . Q* econnex . R“CQ с CP. э .
PR^ Q = p‘(str‘P П £cn 7?) П CP
Доказательство.
F . *231-18-101. э F :: Hp . э
xePR3cQ . = : a esect‘P. 0 esect‘P. a, 0 e ЦП‘Р. эар . хеа П 0 : хеСР:
[*13-191. *11-35] = : (да,0). aesect‘P. 0esect‘P. а, 0 е ^.П‘Р. у = а И 0. эу .
хеу: хеСР (1)
F . *230-42 . э F Нр . э : а, 0е ^сп‘Р. = . а П 0е^сп‘Р (2)
F . *215-16 . э
F Нр. э : (да, 0). а е sect‘P. 0 е sect‘P .у = аП0. = .уе str‘P (3)
F.(1).(2).(3).d
F :: Нр . э xeP^Q . s=: у estr‘P .R g.n у. эу . леу:: э F . Prop
*231-191. F : Рро €connex. PR0SQ. э.
P^c Q = P* “(P/^s Q). Pi ‘(P^c Q) = Ppo “(P^s Q)
[*215-165. *231-13-101]
*231*192. F .. Ppo connex • ! PROSQ.^.PROSQ\^-.
P^SQ = P^Q'^- PR^Q = PRJ2'.PRJ2 = PR^Q'
[*231-191-101]
Principia Mathematica II
*231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ
функции 699
*231193. I-: Рро е Ser. PR^QeA. э. PR^Q = i‘maxP‘(P^cO) = i‘minP‘(P
[*215-166. *23113101]
Это предложение обладает фундаментальной важностью.
*231-2. h : Р*, О» е соппех. С‘£) С1СГЯ с Ои“Я“С‘Р. э. _ _
ст-ср^^ср^е
Доказательство.
F. *231-12. э
F : xeC'P ~{PR^Q) .э. (gy).уеС'ОпСГЯ. xeC'P - P*“R“&y (1)
I-. *202-501. *90-33 . э
F:. Нр, хеС'Р- Р*“Я“£)*‘у. э : xep'*P*'\R''<Q*'y П С'Р):
[*96-3] э : yQ*z . z>z. хер‘<Р*‘ ‘(Я“ 'z Г\С'Р)‘.
[*40-61] э :yQ*z. геСГЯ. эг. хеР*“(Я“5*‘гП С'Р).
[*37-265] эг.хеР*“Я“&‘г: (2)
[*90-12] э : у е C'Q П СГЯ. э. х е Р* “R“^ 'у:
[*96-3. *37-2] э: у е C'Q П СГЯ. г&у. эг. х е Р* “Я“& ‘г (3)
F. (2). (3). *202-137. э Н Нр. у еС‘(2П СГЯ. хеС‘Р-Р*“Я“&‘у. э:
zeC'QC\ Q'R. эг. хеР*“Я“^‘г: хеС‘Р:
[*231-112] э:хеР^се _ (4)
F.(1). (4). эЬ:. Нр. э -.хе С'Р- (PR^Q) . э . хеР Д.с0:. эЬ. Prop
Это предложение является фундаментальным в теории предельных сег-
ментов.
*231-201. F : a, Q* е соппех. R"C‘Q сСР.з. С'Р - (PRJ2) ^P^Q
[*231-2-154-155]
*231*202. F: Р*, Q% е соппех. g! рдсе.э.с‘р-(р^се)сР/^се
Доказательство.
h . *40-22 . Transp.*231-12 . э
h : Нр . э . А ~ вP*'“R'“<Q*“(C'Q П СГЯ).
[*231-156] э. C'Q П d'R <zQ*"k“C'P.
[*231-2] э . С'Р - (Р^О) с PRJ2: э F . Prop
*231-21. F : Р*, Q* есоппех. C'Q П СГЯ с Q*“R“C'P. э .
C'P = PRscQkjf>RxQ
Доказательство.
I- .*231-13. эЬгР^есС'Р. PR^QсС'Р (1)
F. *231-2. эН:Нр.э.С‘РсР^с2иРР,се (2)
F. (1). (2) • э F. Prop
*231-22. I-: Р*, & е соппех. R"C'Q eC'P .z>. С'Р = PR^Qk) PR^Q
[*231-201-13]
*231-23. F:. Р* е соппех. R"C'Q с С'Р. э:
g! R"^ ‘у -"fi*‘х. э."?* ‘х с Рро"R"^ 'у
Доказательство.
F.*90-14. z>F:Hp.3.P“tVycC‘P (1)
F.(l). *90-21.3F:Hp.g!P“&‘y-A‘x.3.g!P*“S.‘y-^‘x.
[*211-56 . *202-13] э . А‘хс Рро“Я“^‘у: э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
700
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*231-24. I-: Р* е соппех. R“C‘Q с С'Р. ~ {Я 0п (А ‘х)}. э . X ‘х с PR^ Q
Доказательство.
h . *230 11. э F : Нр. э в C'Q П (ТЯ. . д! .
[*231-23] . А 'х с Рро“R“<2*‘y:
[*91-54. *40-44] э:'?*‘хср‘Р*“‘/е“‘^*“(С‘епа‘/?) (1)
F. (1). *231-12. эк. Prop
*231-25. I-:. PeSer. Q* есоппех. R“C‘Q сС'Р. PROSQ = A.
E ! limaxp'(PR^Q). э : limaxp'(PR^Q) = liminp‘(P 7^.0 . V .
limaxp ‘(P/^c Q) Рг liminp ‘(P Rsc Q)
[*215-54-541. *231-13-22]_
*231-251. F:Hp*231-25.limaxp‘(P/^.0~eD‘Pi .э.
limaxp^PP^O = liminp '(PRSCQ) [*231-25]
*231-252. I-: PeSer. Q* econnex.R"C‘QcC‘P. PRosQeO'J 1.
E ! limaxp‘(PP^.0 • limaxp‘(P7^cQ) ~ e D‘Pi. d .
limaxp‘(P/^c0 = liminpXPP^Q)
[*215-543. *231-13-22]
*231-4. F: getrans П connex. E ! maxg‘CTP. э . PR^Q = P*“^‘maxg‘CI‘P
Доказательство.
F. *230-53. *231-121. э
F :: Hp . э :. xePR^Q. s :^‘maxg‘CI‘P с a. эа . xeP*“a:
[*37-2 . *22-42] =: xeP*“^‘maxg‘CI‘P:: э F . Prop
*231-41. F: Qetrans П connex • E ! P‘maxg‘Q‘P. d . PRscQ=~fi*‘R‘maxQ‘(I'R
Доказательство.
F. *30-5. *231-4 . *53-31. э
F: Hp. э . PRscQ = P*“i‘maxg‘a‘P
[*53-301] =Л‘Я ‘maxg (ГЯ: э h . Prop
Principia Mathematica II
*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ, КОГДА АРГУМЕНТ СТРЕМИТСЯ
К ДАННОМУ ПРЕДЕЛУ 701
*232. Об осцилляции функции, когда аргумент
стремится к данному пределу
Краткое содержание *232.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели предельную осцилляцию
функции, когда аргумент неограниченно возрастает. Если в предложениях
последнего параграфа мы ограничиваем поле Q к 1^‘х, где xed'Q, то пре-
дельная осцилляция становится предельной осцилляцией, когда аргумент
стремится к х снизу. Если предельная осцилляция состоит из единствен-
ного терма, то он является пределом функции, когда аргумент стремится
к х снизу. Если вместо ограничения аргумента к Qr'x мы ограничиваем
его к любому другому классу, чей предел есть х, то мы получаем, с весь-
ма обычной гипотезой, то же самое значение для предельной осцилляции,
как если бы мы ограничили его к ^‘х. И в более общем виде, с подобной
же гипотезой, если аир представляют собой два класса аргументов, кото-
рые определяют то же самое сечение (т.е. таковы, что 0/‘а = тогда
независимо от того, имеет ли это сечение предел или нет, предельные се-
чения и предельная осцилляция являются теми же самыми для а, что и
для р. Следовательно, мы приходим сначала к рассмотрению результата
ограничения поля Q, но не к^‘х, а к некоторому классу а. Для того что-
бы не исключать явным образом случай, в котором а е 1, мы имеем дело
с СМ а не с 2 [ а. Поэтому мы приходим к следующим определениям:
*23201. (PR_Q)sc'a = PR^c(Q. Га) Df
*23202. (PRQ)os'a = PRos(Q. Га) Df
Большинство предложений настоящего параграфа являются непосред-
ственными следствиями соответствующих предложений в *231. Наиболее
важным применением предложений настоящего параграфа является слу-
чай, в котором а имеет вид^‘х, а х является элементом 8g‘(ГЯ. Мы можем
в этом случае взять вместо ^‘х любой другой класс аргументов (например,
прогрессия аргументов хь Х2,..., Xv,...), имеющий х в качестве своего пре-
дела, без изменения предельных сечений или предельной осцилляции. Сле-
довательно, предел функции для данного аргумента (если он существует)
может быть детерминирован посредством рассмотрения любой выборки ар-
гументов, имеющих данный аргумент в качестве их предела (ср. с *233-142
ниже).
Из определения (PRQ)sc*<* мы непосредственно получаем
*232-11. h х е (PRQ)5C'a. = :
у еа П C'Q П П‘1?. . хеР*“Я“(а П §и‘у): xeC'P
Мы доказываем, что (PR 0sc‘a = (PR 0sc‘(a П C'Q П Q‘P) (*232-131), и
что если а П y'Q П (ГР = Л, то два предельных сечения и предельная осцил-
ляция равны С'Р (*232-15). Кроме того, мы имеем
*232-14. F : Q* е trans П connex. a Г) C'Q 1. э . (PR 0sc‘a = Р^с (Q Га)
Поэтому подстановка Q* вместо Q в наших определениях делает их при-
менимыми к единичным классам и позволяет нам подставлять гипотезу
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
702
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
0 £ соппех вместо Q е trans П соппех. Однако когда Q является транзитив-
ным и связным (а следовательно, когда Q является серией), то подстановка
вместо Q в определениях не является существенной, если а не является
единичным классом. Этот случай является трививальным, поскольку наши
определения представляют интерес, лишь когда а не имеет максимума в Q.
Из *231-11 мы получаем
*232-22. Р*,О* t аесоппех. Я“(а п C'Q) с С'Р. э.
С'Р = (PR Q) sc'aU (PRQ) sc‘a
Далее мы имеем группу предложений, касающихся исследования усло-
вий, при которых два класса а и 0, которые детерминируют то же самое
сечение в б (и следовательно имеют тот же самый предел, если он суще-
ствует), дают те же самые значения для двух предельных сечений. Для
этой цели является необходимым лишь исследовать условия, при которых
мы можем подставить 0 “(a И СГЯ) вместо а. Когда это может быть сде-
лано, предельная осцилляция функции, когда аргумент стремится к гра-
нице а, может быть детерминирована, если мы возьмем некоторый набор
аргументов, имеющих этот предел. Мы имеем
*232-301. \-.(PR_Q)sc'aa(PRQ)sc'Q,"(a(^a'R) _
*232-32. F : (Р R Q) os'Q* "(а П Q'R) е 0 1. э . (Р R Q) os‘a е 0 U 1
Поэтому если функция имеет предел, когда аргумент стремится к гра-
нице 0“(а П (ГЯ), то она также имеет предел, когда аргумент стремится
к границе а.
*232-33. \-:P*,Q* Саесоппех.Я“(аГ1С‘б)сС‘Р.э.
(PRQ)&c'aV(PRQ)sc'a = (PRQ)sc'Qii"(ar}(l'R)^(PRQ)sc'Qtl"(ar\a'R) = C'P
откуда
*232-34. _h:Hp *232-33. (Р RQ) os'Q^"(a Q G'R) = .
(PRQ)scia = (PRQ)sc'Q,"(aC\d'R).(PRQ)scia = (PRQ)5c'Q."(aQ(I'R)
Следовательно, мы приходим к заключению, что если Рро являет-
ся серией, и х является пределом функции для класса Q*"(a И (ГЯ),
и если х является элементом (РRQ)sc'a, то он представляет собой его
максимум (*232-352), в то время как если х не является элементом
(Р Я 0sc‘a, т0 он является его секвентом (*232-356) при предположении,
что (PP0sc‘aU(^P0sc‘a = C‘P, которое, как мы видели (*233-22), обыч-
но имеет место, и при предположении, кроме того, что PeSer. С другой
стороны, если (Р Я 0$с‘а не имеет максимума, то х является минимумом
(PR О) sc‘a; а если (PR 0sc‘a имеет максимум, отличный от х, то этим мак-
симумом является Р\'х (*232-357-358). Этот последний случай невозможен,
если х не имеет непосредственного предшественника. Следовательно, мы
приходим к следующему предложению.
*232-38. HPeSer^Q»: С а е соппех. R"(a ПС‘ 0 с С'Р.
(PR 0os‘0“(a П G'R) е0 (1 - СГС‘Р1). э .
Ишах/(РЯ 0sc‘a = 1нпах/(ЯЯ 0Sc‘0“(aН (ГЯ).
limin/(Р Я 08С‘а = 1ппт/(РЯ 0sc‘0“(aИ (ГЯ).
Применяя его к серии, обладающей Дедекиндовой непрерывностью, мы
узнаем, что Pi = А, и что Umax и limin всегда существуют. Следовательно,
Principia Mathematica II
*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ, КОГДА АРГУМЕНТ СТРЕМИТСЯ
К ДАННОМУ ПРЕДЕЛУ 703
*232*39. F Ре Ser О Ded. Р^ = Р. Q* еconnex. R''C'Q с С‘Р. э :
(Р Р Q) os ‘0 “(а А (ГР) е 0 -И . эа .
limaxp‘(PP) sc‘а = limaxp‘(РР 0sc‘0“(a А (ГР) =
liminp ‘ (Р Р) sc ‘ а = liminp ‘ (Р Р Q) sc ‘ 0 “ (а A Q ‘Р)
Т.е. если серия значений Р обладает Дедекиндовой непрерывностью и
содержит все значения для аргументов в С‘2, тогда при условии, что функ-
ция имеет определенный предел для класса 0“(аП(ГР), то он является
его границей, кроме того, для класса а; т.е. любой набор аргументов, име-
ющих ту же самую границу или максимум, что и данное сечение, даст
тот же самый предел для функции.
*232*01. (PP0sc‘a = P^c(0 ta) Df
*232*02. (PP0os‘a = P^s (2Да) Df
*232*1. F.(PP0sc‘a = P^c(0 [a) [(*232*01)]
*232*101. Н.(РР0О8‘а = Р^с(0[а) = (РР08с‘аП(РР08С‘а [(*232*02)]
*232*11. F x e (PR Q) sc‘a . = :
у ea П C'Q П (ГР. . xeP*“P“(a П <2*‘y): xeC'P
Доказательство.
F. *90-41*42. *231*112. э
F :. xe(PR 0)sc‘a . = :y ea П C'Q П (ГР. . хеР*“Р“((§Да)‘у: xeC'P:
[*35-102] = :y ea П C'Q П (ГР. . xeP*"R"(a Ci%)*'y): xeC'P:. э F. Prop
*23212. F . (PR Qj^a = p'P*'"R'"(a П)“&“(а A C'Q П (ГР) П C'P
[*232-11]
*232-121. F: у а П C‘Q П CT 7?. э. (PR 2)sc‘a = р‘Р*“‘Я“‘(у П)“§*“у П C‘P
Доказательство.
F. *90-13. э F . a П = an C‘QC\ <Q*ly.
[*37-26] эЬ.Г(аП&‘у) = й“(аПС‘!2па‘ЛП^‘у) (1)
F . (1). *232-11. э F. Prop
*232-13. F:anC‘ena‘/? = pnC‘ena‘/?.o.(P^0sc‘a = (P«e)sc‘P
[*232-121]
*232-131. F.(P^2)sc‘a = (P^0sc‘(anC‘ena‘/?) [*232-13]
Из приведенных выше предложений следует, что значения (РRQ)sc‘a,
(PRQ) sc'а и (РR 0)os‘a зависят лишь от а П С‘2 А (ГР; поэтому, если а не
содержится в С‘2 А (ГР, то часть, не содержащаяся в C‘2AQ‘P, ирреле-
вантна.
*232-14. F : Q е trans П connex. a n C'Q ~ е 1. э . (PP 0)sc‘a = PR^ (Q C a)
[*232-1. *202-54-541]
*232-15. F : a П С‘2 А (ГР = A. э . (PP 0sc‘a = (PR Q)sc‘a = (PR 0os‘a = C'P
[*232-12*101. *37*29 . *40*2]
*232*151. F : g!P. (PR 2)os‘a = Л . э . g! a П C'Q П G'R
[*232*15 . Transp . *33*24]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
704
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*232-2. к : C'Q П (37? с а. z>. (PR Q)xa = PR^Q
Доказательство.
к . *22-621. *232-11. э
к :: Нр. эх е (РR Q)sc‘a. = : у е C'Q П (17?. эу . х е Р*‘'R''<Q*'у:
[*231-112] = : xePR^Q:: э к . Prop
*232-21. k:P*,Q* I aeconnex. а П C'Q П (37? с 0*“(а C\R“C'P). э . _
ёР= (РР 0sc‘a U (PP0sc‘a
[*232-21^-^]
*232-22. к: Р*, Q* [ aeconnex .R“(a О C'Q) с С'Р. э. _
C‘P = (PPQ)sc‘aU(PP0sc‘a [*231-22]
*232-23. к: у е С‘б П Q‘R. э . (РR Q) х'Су = Р*' Ч$‘у
Доказательство.
F . *232-11. *13-191. э
F Нр . э: xe(PR 2)sc‘i‘y • = . xeP*“R“(Cy П э F . Prop
*232-24. F : Qe trans П соппех. Е ! maxg‘(a ПО‘Я).э.
(PR 6)sc‘a = P*“Xc‘maxg‘(an П‘Л)
Доказательство.
F . *232-14 . э F : Нр. а П С‘б П СГЯ ~ е 1 . э .
(PR 0sc‘a =Р^ {Q [(аПСГЯ)}
[*231-4. *205-9] = Р*“Х‘тахе‘(а П (37?) (1)
к. *205-17. *232-23-131. э
к : а О C'Qd d'Re 1. э. (PR 6)sc‘a = P*“^*‘maxg‘(an d'R) (2)
к. (1) . (2). э к. Prop
*232-3. к : a c d'R. э. (PR Q) x'a c (PR Q)sc'(^"a
Доказательство.
к. *96-3.3k:yeQt.“a.o. (gz). z e a Г) C'Q. (2* ‘z c & 'y.
[Fact. *37-2] э. (gz) .zeaOC'Q. Р*“Р“(апЙ»‘г)сР*“Р“(аП^‘у) (1)
к. (1). *232-11. э кHp .xe(PR б)«‘а .э tye Q/'a. э. xeP»“R“(aCi &‘y).
[*90-33] . xeP*“R“(Q>1“aC\^'y):
[*232-11] d : xe(PR 6)sc‘!3*“a:• эк . Prop
*232-301. к . (PR Q)x‘a a (PR Q) х‘0.“(а П Q7?)
Доказательство.
к. *232-13. э к. (PR Q)x‘a = (PR_ Q) х'(а П Q7?)
[*232-3] с (PR Q) “(a П Q7?). э к . Prop
*232-31. к. (P R 6) os‘a a (PPG) os‘би “(a nQ‘R)
Доказательство.
й _
к. *232-301- . э к . (PR Q)K‘a c (PR Q)x‘Q^“(a П Q‘R) (1)
к. *232-301. (1). *232-101 .эк. Prop
*232-32. к : (PR6)os‘G*“(aПQ‘R)e 1 иО.э.(PR6)os‘ae0u 1 [*232-31]
Principia Mathematica II
*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ, КОГДА АРГУМЕНТ СТРЕМИТСЯ
К ДАННОМУ ПРЕДЕЛУ 705
*232*33. F:P*,Q»= [аесоппех.Р“(аПС‘0сС‘Р. э_.
(PR 2) sc‘а U (£я 0)sc‘a = (PR 0)^'0* “(а П СГЯ) U (PR 0)Sc‘0*“(a П СГЯ) = С'Р
Доказательство.
I-. *232-22-301. э
F : Нр. э. С'Р с (РR 2)sc‘2*“(an СГЯ) и (РЯ 0)sc‘0*“(а Л СГЯ) (1)
I-. (1). *231-131. э F. Prop
*232 34^ F : Нр *232J3 . (РЯ Q) os‘2* “(а Л (ГЯ) = Л. э. _
(РЯ 0k‘а = (РЯ Q)sc‘0*“(a Л СГЯ). (РЯ 0) sc‘a = (РЯ 0) к0/‘(а П СГЯ)
[*232-33-301. *24-482]
♦232-24L F: Р* е connex. g! (Р Я 0) os‘a. (РЯ 0) О8‘0* “(а | Р СГЯ) е 1. э.
(Р Я 0) к‘а = (Р Я 0) sc ‘0и ‘ ‘(а Л СГЯ). (Р Я0) sc‘a = (PRQ) sc 'Q* “(а Л (ГЯ)
[*231-192 . *232-31. *60-38]
*232-35. F: P* e connex. (РЯ 0)os‘0*“(a Л Q.'R) = Гх. э .
(P Я 0) sc ‘а с A ‘x • (P Я 0) ‘а с X ‘x
[*232-301. *231-191]
*232-351. F: Hp *232-35. хе(РЯ 0k • =>. (РЯ 0k = A‘x
Доказательство.
F. *231-13. э F: Hp. э .A‘xc (РЯ 0k (1)
I-. (1). *232-25. э F. Prop
*232-352. F: Hp *232-351. Ppo G J. э . x = тахР‘(РЯ 0k
[*211-8. *205-197. *232-351]
♦232-353. F: Hp *232-35. (PЯ 0k = C'P. x ~ e (PЯ 2k . э . (PЯ 0k = K'x
Доказательство.
F . *231-13. э F : Hp .d . x e (?Я 2k .
[*232-351] э . (P Я 0k = X ‘x: э F . Prop
_ p
*232-354. F : Hp *232-353. Ppo G J. x = minP‘(PP 0k [*232-352-]
*232-355. F : Hp *232-353. э . (PR Q\c =^'х
Доказательство.
F . *232-35 . э F : Hp. э . (РЯ 0k c A‘x- i‘x
[*91-542] c^po'x _ (1)
F. *232-353. dF :Hp.d .C'P-K'xcC'P-(f>RQ^ .
[*202-101. Hp] э Аро‘хс(РЯ0к (2)
F. (1). (2). oF.Prop
*232-356. F:. PeSer .(РЯ 0)os‘0*“((аЛ а‘Я)) = 1‘хл
(РЯ 0k U (?Я 0k = C‘P. э :х~е(РЯ 0k-э.х = неф>‘(РЯ 0k
[*206-172 . *231-13. *232-355]
*232*357. F : Hp *232*35 . Ppo G J. ~ 3! maxp‘(Pl? 0SC . э . x = minp‘(PЯ Q)sc
Доказательство.
I-. *232*352 . Transp. э F : Hp . э .x~ e (PR Q)sc.
[*232*354] э . x = minp‘(PP Q)^ : э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
706
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*232-358. I-: Нр *232-35. G J. (PR 0SC U (PR Q^c = C'P.
E ! max.P‘(PR Q)^ . maxP‘(PR Q)^ x. э. maxp‘(PP 0scA-X
Доказательство.
I-. *232-352 . Transp . э F: Hp. э. x ~ e (PR 0SC.
[*232-356] э. x = seqp ‘(P R Q\c.
[*206-5] э. maxp‘(PP 0scPix: э F . Prop
*232-36. F PeSer. (PRQ)os‘Q>:"(aПСГР) = i'x.
(PRQ\cU(PRQ)K = C'P.^
xe(PR 0OS. э . x = maxp ‘(P R 0SC = minP‘(P R Q\c:
xe(PR Q\c - (PR бХс . э. x = maxP‘(PR Q\c = precp‘(PP 0SC:
xe(PR Q)x -(PR 0SC. э.x = seqP'(PR 0sC = minp‘(PP 0SC
[*232-352-354-356]
*232-361. F: Hp *232-36. x ~ e Q'Pi . э . x = limaxp‘(PP Q\c
Доказательство.
F. *232-358 . Transp.э
F Hp. э : E ! maxP‘(PR Q\q . э. maxp‘(PP 0sc = x (1)
F . *232-352 . Transp.э
FHp. э : ~ E ! maxp‘(PP 0sc . э . x ~ e(PR 0sc .
[*232-356] э. x = seqp‘(PP 0SC (2)
F . (1). (2). *207-46. э F. Prop
*232-37. F : PeSer. (PP 0os‘0“£aП G‘P)e 1 - Cl‘G‘Pi .
(ряеХси^яе^с'р.э.
limaxp‘(PP GXc = maxp‘(PP 0sc‘0“(a Cl СГР)
= Г(РР0о5‘0“(аПСГР)
[*232-361. *231-193]
*232-38. F:PeSer.0 [ ае connex. Р“(аП C‘0 с С‘Р.
(PR 0os‘0“(a П (ГР)eOu (1 - Cl‘C‘Pi). э.
limaxp ‘(P P 0sc = limaxp‘(P P 0 sc ‘ 0 “(a Cl СГР).
liminp‘(P P 0sC = liminp‘(T5 P 0 sc ‘0 “(а П CI ‘P)
[*232-33-34-37]
*232-39. FP e Ser П Ded. P2 = P. 0 e connex. R“C‘Q с C'P. э :
(PP0os‘0“(aОСТР)eOu 1. эа.
limaxp‘(PP 0SC = limaxp‘(PP 0sc‘0“(an СГР)
= liminp‘(PP 0sc = liminp‘(PP 0 sc‘0 “(а П (TP)
Доказательство.
F . *201-63 . *232-38 . z> F : Hp . (PR Q)os‘0 “(a Г) G‘P) z> 0 U 1. z>.
limaxp ‘(P P 0SC = limaxp ‘(P P 0 sc ‘ 0 “(а О СГР).
liminp‘(PP 0sc = liminp‘(PP 0sc‘0“(a Cl СГР) (1)
F . *231-193 . э F: Hp (1). (PR 0os‘0“(a ПСГР) e 1. э .
limaxp‘(P P 0 sc ‘0 “(a П СГР) = liminp‘(£ P 0 sc ‘0 “(a П СГР) (2)
F. *214-42 . *232-33 . э F : Hp (1). (PR 0os‘0“(a П СГР) = A. э .
limaxp‘(PP 0 sc‘0 “(a Cl G‘P) = liminp‘(PP 0 sc‘0 “(a П СГР) (3)
F . (1). (2). (3). э F . Prop
Principia Mathematica II
*232. ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ, КОГДА АРГУМЕНТ СТРЕМИТСЯ
К ДАННОМУ ПРЕДЕЛУ 707
* 232-5. F . (РР Q) sc‘^‘x = С'Р П у {z е~&х П СГР . эг. у е Р* “Р“(^‘х П £)* ‘z)}
[*232-11]
* 232-51. И : б 6 trans П соппех. Е ! maxg‘(l^‘* И (ГР). э .
(РР Qsc^x = P*“1?‘maxQt(3^n СГР)) [*232-24]
* 232-511. И : Qetrans П соппех. Е ! P‘maxg‘(3‘xИ (ГР). э .
(PR 6sct^tx=^*‘P‘maxet(3‘^^ (ГР) [*232-51]
* 232-52. к : Q е соппех. yQx .~&х П (&у U Гу) О СГР = Л. э .
(PRQhc^x = (PRQ^&y [*232-13]
* 232*53. F ! Q е соппех • z €^‘Х П Q7?. э. (PR Q) scT^'x = (PR С)ю‘(3‘х n§»‘z)
Доказательство.
h . *232-5. *96-3. э F Hp. ye (PR ОУ^'х. э:
ие^ТП &‘znG7?. эи .уеР*“Р“(2‘хП^‘и). ^‘«c^t'z:
[*22-621. *232-11] э :ye(PK esc‘(3‘xn &=‘z) (1)
I-. *232-11. *37-2. э I-Hp .ye(PR Q)sc‘(&x('\ &‘z). э:
и£^‘хП ^‘zOCT?. э„ .уеР*“/?“((5‘хГ1 (2*‘и) (2)
[*96-3] э : ие^хП^/гПСТ?. эи .)>еР*‘7?“(2‘хП (Э*‘и) (3)
F . (2). (3). э h Нр (2). э : ие^'хГШТ?. эы .yeP*“R“(^‘xCi^‘u):
[*232-5] o:y6(P«e)sc‘'3‘x (4)
F . (1). (4). э F . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
708
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*233. О пределах функций
Краткое содержание *233.
Существуют четыре предела функции, когда аргумент стремится к
некоторому терму а в аргументной серии, а именно: верхний и нижний
пределы предельной осцилляции при стремлении снизу и сверху соответ-
ственно. Если предельная осцилляция при стремлении к а снизу сводится
к единственному терму, т.е. если (PR 0Os4^‘a€ 1, то указанный терм явля-
ется единственным пределом функции при стремлении к а снизу. Если ука-
занный единственный терм также является предельной осцилляцией при
стремлении сверху, то мы можем назвать его просто пределом функции
для аргумента а. Он может быть, а может и не быть (когда существу-
ет) равным значению для аргумента а. Признаком непрерывной функции
является то, что предел существует для каждого аргумента и всегда ра-
вен значению функции для этого аргумента. Непрерывные функции будут
рассмотрены в *234.
Верхний предел или максимум предельной осцилляции, когда аргумент
стремится к а, представляет собой верхний предел или максимум предель-
ного сечения. Следовательно, если мы полагаем
R (PQY<* = Ишахр‘(^Я Df,
то четырьмя пределами функции, когда аргумент стремится к /, будут
являться
R(PQYa, R(PQYa, R(PQYa, R(P$Ya-
В дальнейшем будет видно, что R(PQYa является функцией ^‘а. Может
оказаться так, что если мы возьмем а вместо ^‘а, то функция будет иметь
определенный предел, когда аргумент увеличивается в а, хотя а не име-
ет границы или максимума. Поэтому если, например, Q состоит из серии
рациональных чисел, а Р — из серии вещественных чисел, то если а яв-
ляется классом рациональных чисел, не имеющим рациональной границы,
то мы можем рассматривать предел функции (если он существует), когда
аргумент возрастает в а, как значение функции для иррациональной гра-
ницы а. Таким путем мы можем расширить область действия определения
функции.
Для того чтобы иметь возможность рассматривать классы, в которых
а не имеет границы, мы полагаем
(Р R G)hnx = limaxp\Р R 6)s/a Df.
Если Р является Дедекиндовой серией, то (PRQhnaCL всегда существует.
Если мы берем а как некоторый сегмент б, то мы получаем новую функ-
цию, выведенную из R, но имеющую сегменты Q вместо элементов С‘Р
в качестве ее аргументов. Поэтому если R имела рациональные числа в ка-
честве своих аргументов, то эта новая функция будет иметь вещественные
числа в качестве своих аргументов. (Вещественные числа могут рассмат-
риваться как сегменты серии рациональных чисел.)
Principia Mathematica II
*233. О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
709
Функция R(PQYa является частным случаем приведенного выше; по-
этому мы берем в качестве нашего определения
P(P0'a = (PP0mx‘^‘a Df,
или, что приводит к тому же самому,
R (PQ) = (P PQWI^ Df.
Следующие предложения этого параграфа являются важными:
♦23315. ЬРе Ser П Ded. (PR U (PR <2)sc‘« = C‘P. (PR 0Os‘a = A. z>:
(PR 0bnx‘a = (PR . V . {(PR Q^a} P, {(PR Q^'a}
♦23316. I-P e Ser n Ded. P2 = P_.Q*e connex. R“C'Qc_ClP .z>:
(P R 0os ‘a e 0 U 1. эа . (P R ‘a = (f> R Q)^ ‘a
Предложения *233-2—25 являются приложениями более важных предло-
жений *232-34—39, показывающими условия, при которых предел функции
для класса а является тем же самым, что и для класса (^‘(айСТЯ).
Предложение *233-4 и последующие применяют более ранние предло-
жения *233 к случаю, в котором а заменяется на и, следовательно,
(РЯ0)1тх‘а заменяется на R(PQ)'a. Мы имеем
♦233-43. Н: Рро е Ser. (PR е 1 • =>. R (PQ)‘a = R(PQ)‘a = V(PR Q)aP~&a
♦233-433. H.PeSer. Q* ^‘aeconnex.P“^‘acC‘P.(PP2\>s‘^‘a = A.
E!P(Pe)‘a.E!P(^0‘a.z>:
R (PQ)‘a = R(P Q)'a. V . {P (P(?)‘a} P, {P (P 0‘a)
*233-45. F Pe Ser n Ded. P2 = P. Q* e connex. R^C'QcC'P. э :
P (P0‘a = P (P Q)‘a.=a.(PR 0os‘^‘a => 0 U 1
Т.е. в серии, обладающей Дедекиндовой непрерывностью, необходи-
мость и достаточность условия, при котором два предела функции, когда
аргумент стремится к а снизу, должны быть равны, заключается в том,
что предельная осцилляция не должна иметь более одного терма.
Далее мы имеем группу предложений (*233-5—53) о возможности заме-
ны ^‘а на класс а, имеющий а в качестве своей границы, без изменения
пределов функции. Мы должны начать с
*233-5. F : QeSer . a = tlg‘(a П (ГЯ) . э .^‘a = ft“(an (ГЯ)
в силу *207-291. Отсюда, на основании более ранних предложений этого
параграфа,
♦233-512. ЬНр ♦гЗЗ-б. Ре Ser. P“(a n C'Q) с C‘P. (PP 2)„s‘^‘a = i‘x. z>:
x = P(P0‘a = R(P Q)'a :x=(PR 0™‘a. V . (PR Q)\mK‘a P}x
откуда мы получаем
*233-514. F : Hp *233-512 . x~ eC'PX . э . x = (PR Q^a = (PЯ QWa
Поэтому, если P и Q являются сериями, а х является пределом функ-
ции для аргумента а (х есть терм, который не имеет непосредственного
последователя или предшественника), то х является пределом функции для
любого класса аргументов, чьей границей является а. Следовательно, мы
приходим к предложению
*233-53. F : Q е Ser. Р е Ser A Ded . Р2 = Р. R“C'Q с С'Р. а с СГЯ. Е ! lte‘a.
(PR_2)os‘^“ae0u 1. э.
(Р R 2)1™ ‘a = (Р Р 2)i™ ‘a = Р (P0‘lte ‘a = P (P ‘a
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
710
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Таким образом, если Р обладает Дедекиндовой непрерывностью, а а
является классом аргументов, имеющим границу, и если предельная ос-
цилляция, когда аргумент стремится к эту пределу, имеет не более одного
терма, то предел функции для класса а существует и равен пределу функ-
ции для аргумента lt^‘a.
*233-01. (PR = Итахр | (PR Q)sc Df
*23302. P(P0 = (PP0hnxl'3 Df
*233-1. [(*233-01)]
*233-101. F:y = (PP0imx‘a.s.y = limax/>‘(PP0sc‘a [*233-1]
*233-102. F: E! limax/>‘(PP 0sc‘a. =. (PR 0imx‘a = limax/>‘(PP 0sC‘a.
= .E!(PP0hnx‘a [*233-101. *14-28]
*233-103. I-: Ресоппех. z>. (PR e 1 -> Cis [*207-41. *233-1]
*233-11. I-PeSer. z>:у = (PR Q^'a . = .yeClP .~fry = F'tPRQVa
[*207-51. *233-101]
*233-111. FP e Ser. я! P“(PR Q)sc‘a. z>:
У = (PR 0imx‘a. = .?> = P“(PR e)sc‘a [*207-52. *233-101]
*233-12. F PeSer. ~ E ! max/(PP 6)sc‘a • :
У = (PR 6)imx‘a . = .ye C‘P .~P'y = (PR 0sC‘a
Доказательство.
I-. *231-13. *211-41. э I-: Hp. э. (PR 0sc‘a = P“(PR Q)sc'a (1)
F . (1). *233-11. э F . Prop
*233-13. I-: P e connex П Ded. z>. _ _
E ! (PR 0imx‘a. (PR Qjina'a = limaxP‘(PP Q\c‘a
[*233-102-103. *214-11]
*233-14. I-: PeSer. (PR 0os‘ae 1. z>. (PR Q^a = (PR Q\m‘a = V(PR 0os‘a
[*231-193. *233-102]
*233-141. FPe Ser. (PR Q^a U (PR 0sc‘a = C'P APR 0os‘a = A.
E ! (РЯ (2)imx‘a. =. E ! (PR 2U‘a
[*211-727. *233-102. *231-13]
*233-142. F: P e Ser. 0 [ a e connex.
P“(a П C‘2) с C‘P. (PP 2)os‘0“(a n Q‘P) eO u 1.
E ЦРЯ 0im/0‘4aП (TP). (PRQ^'Q^aП Q‘P) ~eC‘Pi . э.
(P P 0hnx « = (P R 0hnx « ~ (P R 01mx 0 (d D Q P)
= (P«e)ta‘ft“(ana‘Jf)
Доказательство.
F. *231-252 . э F : Hp. э . (PP 2)tax‘0 “(a n Q‘P) = (PR e)hnx‘0“(a П Q‘P) (1)
F. *232-37. *233-14. z> F_: Hp. (PR 6V0“(a n D‘P) e 1. z>.
(PRQ\mx ‘a = (PP0!
mx ‘a = (PRQ)i
mx ‘0“(аП (TP)
= (РЛ0тх‘0“(апа‘Р) (2)
Principia Mathematica II
*233. О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ 711
F.(1). *232-34д э F:Нр. (Pit 0OS‘0“(а Л С'Р) = А. э .
(PR 01тх‘а = (PR 0ь„‘0“(А Л С'Р) = (PR 0)^‘0*'‘(аП G'R)
= (PRQ\^a (3)
F. (2). (3). z> F . Prop
*23315. FР е Ser ODed. (PR Q)^a U (PR Q^a = C'P. (PR 0os‘a = A. э:
(PR 6)hnx‘a = (f>R 0i™‘a. V . {(PR Q^'a} P, {(f>R Q^'a]
[*214-43. *233-13. *231-13]
*233-16. FP e Ser Л Ded. P2 = P. Q* e connex. R“C‘Q с C'P. о:
(PR 0os‘a e0 U 1. эа . (PR Q^‘a = (PR Q^'a
Доказательство.
I-. *232-22 . z> F: Hp. э . C'P = (PR 0sc‘a U (PR Q^'a (1)
F. *201-65. эННр.э. Pi =A (2)
F.(1). (2). *233-14-15. => I-. Prop
*233-17. F:. a Л C'Q Л СГР = A. z>: у = (PP 0i,m‘a. s. у = B'P
Доказательство.
I-. *232-15. *233-101. э
I-Hp. э:у = (PR Oim/a. =. у = limaxp'C'P.
< [*206-2. *93-117] B.y = 5‘P:.z>F.Prop
*233-171. I-: a Л C'Q Л СГР = A. z>. ~ {(PR Q^'a = (PR Q^'a}
Доказательство.
F. *93-102 . z> F . ~ (B‘P = B'P) (1)
F. (1). *233-17.oF.Prop
*233-172. F : a л C'Q Л G'R = A. E ! (PR Q^'a .El (PR QXm/a_. z>.
(PPQ)os‘a~e0u 1
Доказательство.
F. *233-171. *232-15. z>
F: Hp. э. (Pit QWa, (PR Q)imx‘ae (PR Q)os‘a. (PR QWa # (PR QWa.
[*52-41]э. (PR Q)os‘a ~ e0 U 1: э F. Prop
*233-173. F: (PR Q)os‘a э() U 1. E ! (PR Q^'a .El (PR Q)imx‘a. э.
д!аПС‘ЙОО‘Л [*233-172.Transp]
*233-174. F: Pg J. (PP Q)oS‘ae 1. э. 3! а Л C'Q Л Q'P
Доказательство.
F . *200-12 . э F: Hp. z>. ~ {C‘Pc(PP QVa].
[*232-15] э 3! a П C'Q Л Q'P: э F. Prop
*233-2. F:0 ] a econnex. P Ser. R“(ar}C‘Q) c C'P.
(PP Q)os‘0“(a Л (ГР) = A. E ! (PR Q)bm‘^"(a Л (TP) .j>.
(PR 0tax‘a = (PP 0imx‘0‘‘(a л СГР). (PP Q)^'a = (PP Q^'Q,'‘(a л (TP)
[*232-34. *211-727. *233-102]
*233-21. F: Ppo e Ser. а! (PR Qk'a. (PP 0os‘0“(a Л G'R) e 1. э.
(P P 01mx « = (P R 0hnx О. — (P R 0hnx 0 (<X Л G P)
= (PR 0imx‘0“(a л G'R) Ic‘(PR Q)os‘0“(a Л G‘P)
[*232-341. *231-193]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
712
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*233-22. F :._PeSer. (Р R QWQ*“ (а П D‘R) = i‘x.
(Р R б\с ‘а U (Р R Q)x 1а = С‘Р.^>:
х = V . (PR 2)ьпх‘а Р{х. (PRQ^a = maxP\PR <2)sc‘a
Доказательство.
I-. *232-352. z> F : Нр .хе(РЙ0к‘а. z>. x = (PR Q^a (1)
F . *232-356 .oh: Hp .x~e(PR 0sc‘a • ~ E! max/>‘(PR Q)sc‘a • э •
x = (PRQ)iim‘a (2)
I-. *232-358. *207-42. э F : Hp. x~e(PR 2)sc‘a. E ! maxP‘(PR <2)sc‘a • => •
max/>‘(PR Q)‘aPix. (PR 0imx‘a - maxP‘(PR 0sc‘a (3)
I-. (1). (2). (3). z> F. Prop
*233-23. F: Hp *233-22. z>.
x = (PRQ^Qt^aП Q‘R) = (f>R Q)^Q*“(aП Q‘R) [*231-193]
*233-24. F: Hp*233-22 .x~eQ‘Pi . э.x = (PRg^mx'a _ [*233-22]
*233-241. F : Hp *233-22. x ~ e ClPi. z>. x = (PR Q^'a = (PR 2)1™‘a
[*233-24^ . *233-24 ]
*233-25. FP e Ser Cl Ded. P2 = P. Q» e connex. R“C‘Q с. C‘P. э:
(PR 2)os‘Q*“(a О Q‘R) э 0 U 1. э.
(PR 2)bnx‘a= (PR ‘(а П (PR) = (f>R Q^'a = (PR QU‘ft“(a Cl Q‘R)
[*232-39]
*233-4. F:y{R(P2))a.H.y{(^‘a [(*233-02)]
*233-401. (:y = R(PQ)‘<i. = .y = (PRQ')i„‘^‘a [*233-4]
*233-402. F: P e connex. э. R (PQ) e 1 -> Cis [*207-41]
*233-41. F: у = R (PQ)‘a. =. у = (PR Q^C&a П CPR)
Доказательство.
F. *232-13. z> F. (PR = (PR GXc‘(^‘a П CPR) (1)
F. (1). *233-401-101. z> F. Prop
*233-42. FQ e trans П connex. E ! maxg'^'a П Q‘R). э:
y = R (P2)‘a. =. у = limax/>‘P*“7?‘maxg‘(3‘a П Q‘R)
[*232-4. *233-401-101]
*233-421. F:Pe^"‘Jn trans. Q e trans П connex. R'maxgXa П (PR) e C‘P. э.
R (PQ)‘a = R‘maxg‘(3‘a Г) Q‘R)
Доказательство.
F. *233-42 . э F Hp. э: у = R (PQ)‘a. =. у = limaxp*^*‘Rmaxg‘(3‘a Cl Q‘R).
[*205-197] = . у - R‘maxg‘(3‘a Cl Q‘R)э F . Prop
*233-422. F:.‘2‘ana‘R = A.z>:y = R(P6)‘a.=y = B‘^ [*233-17]
*233-423. F :^‘an CI‘R = A. э . ~ (R(P6)‘a = R(P 0‘a) [*233-171]
*233-424. F: (Va П Q‘R = A. E ! R (P6)‘a. E ! R (f> Q)la .d.(PR Q)os^‘a ~ e 0 U 1
[*233-172]
*233-425. F: (PR G)os‘^‘a e 0 U 1. E ! R (PQ)la .E!R(PQ).d. g 1^‘a П Q‘R
[*233-424. Transp]
*233-426. F: PGj^PROos^'ae'.o.gl^'anCrR [*233-174]
Principia Mathematica II
*233. О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
713
*233-43. h : Р^ e Ser. (PR 0osf2‘ae 1. э.
R (РОУ a = R(P ОУ а = V(PR 0os‘^‘a [*231 193]
*233-431. F:PetransOconnex.(PP0os‘^‘a~eOU 1.
Е ! R (PQ)' а. Е ! R (Р Q)'a. э. {Р (Р 0‘a} Р {R (РОУ а}
[*215-52. *231'13'101]
*233-432. F : Petrans П соппех. (PR 0os‘13‘a = A.
Е ! R (PQ)‘a. E ! R (P 0‘a. z>. (P (PQ)'a} P* {P (P 0‘a} [*215-53]
*233-433. H.PeSer.0 ae connex. R'^'acC'P .(PR 0os‘^‘a = Л.
E ! R (РОУa. E ! R (P 0‘a. э: R (PQya = R(P 0‘a. V . (P (P0‘a} Pj {P (P 0‘a}
[*215-54. *232-22]
*233-434. Ь: P e Ser. 0 }^‘a e connex. P“^‘a с C‘P. E ! P (P0‘a.
E ! P (P 0‘a. э. {P (P0‘a} (Pi U P*) {P (| pc0‘a} [*233-43-431'433]
*233-35. I-: P e Ser. P (P0‘a = P (P 0‘a. z>. (PR 0os‘^‘a e 0 U 1
[*233-431. Transp]
*233-44. I-PeSer. Q* e connex. P“^‘a с C'P. E !P(P0‘a.
E ! R (PcQ)'a . ~ {R {PQYa e D?} . R (P 0‘a e (TPi}. э :
P (РОУ a = R (P Q)‘a. =. (PR 0os‘^‘a e 0 U 1 [*233-426'43-433'435]
*233-45. h PeSer П Ded . P2 = P. 0 econnex. R''C'Q с C'P. э :
P (P0‘a = P (P 0‘a. =o. (PR 0os‘^‘a e 0 U 1
[*233-13. *201-65. *233-44]
*233-5. I-: QeSer. a = ltg‘(a П Q‘P). z> .^‘a = 0“(a Л Q‘P) [*207-291]
*233-501. bfgeSer. a = ltg‘(a П СГР). э: g!^‘a П СГР. =. g! а П y'Q Л Q‘P
Доказательство.
Ь. *233'5. э h :. Нр. э: g! <5‘aЛ СГР. =. g! 0“(a Л Q‘P) П СГР. (1)
2>.g!anG‘PnC‘2 (2)
Ь. *90-33. *22-43.э Ь:xea Л C'QЛ СГР. э. хе 0“(a Л СГР). хеСГР (3)
Ь. (3). *10-28 . эЬ:д!аЛС‘е П СГР.э.д! 0“(аЛО‘Р)ПО‘Р (4)
F . (1). (2). (4). э Ь. Prop
*233-51. h : Нр *233-5. Ре Ser. Р“(а П С‘0 с С‘Р. (PR 0os‘‘p‘a = Л.
Е ! Р (PQy a .z>.(PR Q^'a = R(f> 0‘a [*233-2-5]
*233-511. I-: Hp *233-5 .PeSer. g! (PR 0os‘a. (PR Q)os^'ael. z>.
(PR <2)bnx‘a = (pR 0hnx‘a = R (PQya = R(P 0‘a = l‘(PP 0>s‘3‘a
[*233'501'5'21]
*233-512. I-:. Hp *233-5 . P e Ser. P“(a Л C'Q) с C?. (PR 0os‘'3‘a = Гх. z>:
x = P (P0‘a = R(P 0‘a: x = (PP Q)^‘a. V . (PR 0п„‘аPxx
[*233-22'23. *232-22]
*233-513. b:Hp*233-512.x~eQTj .э.х=(РР0юх‘а [*233-512]
*233-514. I-:Hp*233-512.x~eC‘Pi .z>.x = (PP0mx‘a = (PP2)imx‘a
[*233-513- . *233-513]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
714
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*233-515. I-: Р, Q е Ser. а = lte‘(a | Р (TR). R“(C‘Q П а) с С'Р.
(PR 0oSе О U 1. Е ! R (PQ)'a. R (PQ)'a ~ е С'Р\ . э.
(PR 2)imx‘a = (PR Oimx'a = R (PQ)‘a = R(P 0‘a
[*233-142-5]
*233-516. F : P, Q e Ser. E ! R (P2)‘lte‘a. R (P0‘lte‘a ~ e C‘Pi .
R“(C‘Q П a) c C'P. (PR 2)Os‘^‘lte‘a eO U 1. z>.
(PR 0imx‘a = (PR Qhtm'a = R (P0‘lte‘a = R(P Q)']tQ'a
[*233-515]
*233-52. FHp*233-5 . PeSer ПDed. P2 = P.R“C'QcC‘P.j:
(PP0os‘^‘aeOU 1 . z>.
(PR 2)imx‘a = (PR Oimx‘a = R (PQ)‘a = R(f>Q)'a [*233-25]
*233-53. I-: Q e Ser. P e Ser П Ded. P* = P. R"C'Q с C'P. a c d'R. E ! lte‘a.
(PP0oS‘^“aeOu 1.2>.
(PR 2U‘a = (PRQ^'a = R (PQ)‘lte‘a = R (P g)‘lte‘a
[*233-52]
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
715
*234. Непрерывность функций
Краткое содержание *234-
В настоящем параграфе мы рассматриваем определение непрерывности
функций и анализируем это понятие. Дини95 дает следующее определение
непрерывности:
“Мы называем ее [функцию] непрерывной при х = а, или в точке а, в ко-
торой она имеет значение f (а), если для каждого положительного числа о,
отличного от 0, но столь малого, сколь мы пожелаем, существует положи-
тельное число е, отличное от 0, такое, что для всех значений 6, которые
численно меньше, чем е, разность f (а + 6) - f (а) численно меньше, чем о.
Другими словами, f (х) является непрерывной в точке х = а, где она имеет
значение f(a), если пределы ее значений справа и слева от а одинаковы
и равны f(a) ...”.
На основании второй формулировки приведенного выше определения
функция R предыдущих параграфов называется непрерывной в точке а,
если
R(PQ)'a = R(PQ)‘a = R(P Q)'a = R(JP Q\a = Rla.
Первая форма определения может быть, кроме того, изложена таким обра-
зом, чтобы освободиться от любых ссылок на числа и быть выводимой из
понятий, с которыми мы имели дело в предыдущем параграфе настоящей
главы. Для этой цели вместо “положительного числа о” мы берем интер-
вал, в котором содержится К а, скажем P(z-w). Аналогично “значения 6,
которые численно меньше, чем е” заменяются на аргументы в определен-
ном интервале, содержащем а.
На основании *233-423, если пределы функции, когда значения аргумен-
та стремятся к а, все совпадают, то а не должен быть максимумом или
минимумом (ГР. Следовательно, мы должны взять в качестве интервала,
содержащего а, интервал, в который предельные точки не включаются,
скажем Q (у -у'). Поэтому наше определение становится
(А) Ка eP(z-w). .
(ЗУ, У) • У* У' 6 • л е С (У “ У'). Р“£ (у н у') с Р (z - w)
Далее мы требуем, что неявно подразумевается определением Дини,
чтобы R‘a являлся элементом С‘Р, который не имеет непосредственного
предшественника или последователя, т.е.
Р‘аеС‘Р-С‘Рь
Для того чтобы упростить применение приведенного выше определения,
мы раскладываем его на произведение четырех множителей, которые каса-
ются соответственно Р и 2, Р и 2, Р и Р и Q. Прежде всего очевидно,
что (А) является произведением
(В) R‘a е Р (z - w). DZtW. (gy). у e (ГР. у е&а. Р“2 (у I- а) с Р (z - w)
с множителем, полученным подстановкой Q вместо Q в (В). Если
Q* е connex и Рро е Ser, то (В) является произведением
(С) . (gy) .R“Q(y ha)c"?*‘w
95 Theorie der Functionen einer veranderlichen reellen Grosse, Chap IV. § 30, p. 50.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
716
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
с множителем, полученным подстановкой Р вместо Р и z вместо w в (С);
а в силу R'a~ eC'Pf, (С) становится
R'a е~?ро 'w.^w. (gy). у е d'R .ye&a.R“Q(yi-d) с"^ ‘w,
т.е. если Q транзитивно, то
(D) R'a . R (& C?poM
Следовательно, функция является непрерывной для аргумента а, если
а удовлетворяет (D) и трем другим гипотезам, получаемым заменой Р на
Р или Q на 2, или Р и Q на Р и Q. Если мы подставляем х вместо R'a
и Q вместо Q* t то (D) становится
(Е) ^ро <Рро х с Qcn R
Следовательно, непрерывность может изучаться путем изучения гипо-
тезы (Е), и замены х на R'a и 2 на ft 1&а.
Гипотеза (Е) является интересной сама по себе. Мы полагаем
sc (Р, Q)‘R = С‘РОх (7*» ‘% ‘х с t?cn ‘R) Df.
Поэтому “хе sc (P'Q)'R” означает, что х является элементом серии значений
такой, что если у является элементом, идущим позже, то функция, в конце
концов, становится меньше, чем у. Если мы полагаем далее
os (Р, Q)'R = sc (P, Q)'R П sc (P, Q)'R Df,
тогда, если x является элементом os(P‘2)‘P, то функция, в конце концов,
становится меньше, чем любой идущий позже элемент С‘Р, и больше, чем
любой идущий раньше элемент. Следовательно, х является пределом функ-
ции, когда аргумент бесконечно возрастает. Следовательно, если мы под-
ставляем Qh [ <Q'a вместо Q и если хе os (P'Q* Va)'R, то х является пределом
функции, когда аргумент стремится к а снизу, т.е.
R(PQ)'a = R(P Q)'a = x.
(Что доказывается в *234-462). Следовательно, при замене х на R'a функ-
ция является непрерывной снизу в точке а, если
R'a cos (Р, Q* [~&a)'R,
и непрерывной снизу, если
/Где os (P, Q* l~^'a)'R.
Эти результаты и некоторые другие, связанные с ними, доказываются
ниже. Эквивалентность двух определений Дини доказывается в *234-63.
В дальнейшем будет замечено, что ничто в теории непрерывных функций
не требует применения чисел.
Мы используем символ “ct (PQ)'R” для класса аргументов а, для кото-
рого предел функции, при стремлении к а снизу, есть R'а. Поэтому, в силу
сказанного выше, мы можем положить
ct(PQ)'R = a{R'aeos(P,Q. t^'a)'R-C'Pi] Df.
Тогда функция является непрерывной в точке а, если а принадлежит двум
классам ct (PQ)'R и ct (РЙ‘Я. Следовательно, мы полагаем
contin (PQ) 'R = ct (PQ) 'R П ct (P Q) 'R Df.
Функция R является непрерывной в силу Р и Q, если она является непре-
рывной для всех аргументов в C'Q. Поэтому мы полагаем
PcontinQ = R {g! C'Q П П‘Я. C'Q П d'R с contin (PQ)'R} Df.
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
717
Наши предложения в этом параграфе начинаются со свойств sc (Р, QYR
и os (P'QYR. Мы имеем
*234103. h : Рро е Ser . а! os (Р, QYR. э . P^s Q е 0 U 1
Таким образом гипотеза g! os(P, QYR позволяет нам использовать пред-
ложения предыдущих параграфов, содержащих гипотезу P/^s£)eOul.
Отождествление наших определений с обычными определениями непре-
рывности функций развивается посредством предложения
*234*12. Ь :: 0!= е соппех, э хе os (Р, QYR О D‘Pn (ГР. = :
хе D‘P П (ГР: хе Р (z - w). эг>и,. Я ££п {P(z - w)}
Мы имеем набор предложений, имеющих дело с отношениями sc (Р, QYR
к PR^Q и РР,С<2; sc (Р, QYR представляет собой верхнее сечение Р
(*234-131); sc(P, QYR является дополнением Р“(Р/^с0, т.е. PR^Q без его
максимума (если таковой имеется). Это выражается в следующем предло-
жении:
*234174. I-: Р^ e Ser. Q* е соппех. R“C‘Q с С‘Р. э .
С‘Р П p‘7*po“sc (Р, QYR = P'^PRJZ) = ёР- sc (Р, Q)‘R
Таким образом мы приходим к
*234*182. I-: PeSer . Q* есоппех.Гё2с С‘Р. э .
limaxp ‘(РЯ^С О = minp‘sc (Р, QYR
Таким образом, os (Р, Q) ‘R содержится в пйр ‘ (PR$C Q) U minp ‘ (Р Q)
(*234*201) и, следовательно, имеет не более двух термов (*234*202). Если
PRqSQ имеет один терм, то он является единственным элементом os(P, QYR
(*234*203). Если os(P, QYR имеет два терма, то они находятся в отноше-
нии Р\ (*234*242); следовательно, если Р является компактной серией, а
os (Р, QYR не является нулевым, то его единственным элементом являет-
ся ИшахрЧР/^б) и liminp‘(РR^Q) (*234*25), в то время как наоборот, если
limaxp i(PR3cQ) и liminp ‘(Р R^Q) равны, то каждый порознь является един-
ственным элементом os(P, QYR (*234*251).
Затем мы применяем приведенные выше результаты к пределам функ-
ции, когда ее аргумент стремится к границе класса а. Это выполняется,
как и ранее, путем подстановки Q* £ а вместо Q. Мы приходим к предложе-
нию (*234*33) о том, что если Р обладает Дедекиндовой непрерывностью,
и os(P, Q* [а)‘Р не является нулевым, то его единственным элементом яв-
ляется (РРС)1тх‘с1 и (РР01тх‘а, т.е. предел функции, когда аргумент воз-
растает в классе а.
Далее мы берем для а специальное значение так что для нас
становится интересным то, что происходит, когда аргумент стремится к а
снизу. Для сравнения нашего определения непрерывности с такими опре-
делениями, как определение Дини, приведенное выше, мы имеем
*234*41. F :: Q е trans . Q* е соппех. э
xeos(P,Q* ^‘а)‘РпО‘РПС1‘Р. = :
xeD'Pn СГР: xeP(z - w). z>ZiM,.
(ау)-уе^‘аГ)СГЯ.Я“б(у|- a)cP(z-w)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
718
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Т.е. если х не является ни первым, ни последним термом P-серии, то х
принадлежит os (Р, Q* тогда и только тогда, когда для произвольно
выбранного интервала P(z-w), каким бы малым он ни был, в котором
содержится х, найдется такой аргумент у, идущий раньше а, что значение
функции для всех аргументов, идущих раньше а, но не раньше у, лежит
в интервале P(z-w).
Мы выводим из приведенных выше предложений, что с обычной гипо-
тезой в отношении Q, если Р Дедекиндова серия, то
R (PQ)‘a = limin/sc (Р, Q> \~&aYR (*234-422),
и если Р серия, a os (Р, Он l^‘a)‘R является единичным классом, то его
единственным элементом является R(PQYa и Р(Р0‘д, т.е. предел функции
при стремлении к а снизу (*34-43). Следующее предложение суммирует
наши результаты:
* 234-45. Н. Ре Ser. Q е trans. Q* I'&ae connex. R“~&a с С‘Р.Р2 = Р.э:
а! os (Р, Q* l^a)‘R. =. os (Р, Q* t^‘a)‘R = CR (PQ)‘a.
=. os (P, & t~&a)‘R = CR (P Q)‘a.
=. R(PQ)‘a-R(P Q)‘a
Таким образом, 3! os(P, Qu [~$‘a)‘R является в компактных сериях необ-
ходимым и достаточным условием для существования определенного пре-
дела функции при стремлении аргумента к а снизу.
Без предположения Р2 = Р, если х есть элемент os (P,& {fraTR и если
х не имеет непосредственного предшественника или последователя, так что
в ближайшем окружении х серия является компактной, мы все еще имеем
х = Р(РС)‘л = Я(Р0‘л (*234-462).
Далее мы рассматриваем ct(P0‘P. По определению мы имеем
* 234-5. h:aect(P2)‘P. = .P‘aeos(P, Q* t&^aYR - С‘Р\
Поэтому а представляет собой аргумент, для которого функция имеет
единственное значение, которое не имеет непосредственного предшественни-
ка или последователя в Р и которое, в силу *234-462, является пределом
функции, когда аргумент стремится к а снизу (*234-52). Случаи, когда
Р‘а = ‘Рили Р‘а = В‘Р, требуют особого внимания; исключая их, мы при-
ходим к
* 234-51. F :: Q е trans . Q* connex .P‘aeD‘P П Q‘P . э :.
е ct (PQYR. = : R'a ~ е С‘Р) : Rla tP(z-w). ^>ZtW .
(gy) • У ефа И (ГР. R“Q (у I- а) с Р (z - w)
Это предложение аналогично *234-41.
Мы доказываем (*234-562), что если Р, Q серии и а является некото-
рым классом аргументов, для которого все значения принадлежат С‘Р, и
если а имеет границу, на которой функция является непрерывной снизу,
то предел функции, когда аргумент возрастает в а, представляет собой
значение функции на границе а.
Далее мы рассматриваем contin(P0‘P, который определяется как
ct (PQYR П ct (Р QYR. Мы показываем, что если Р является серией, чье по-
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
719
ле содержит и Q транзитивно, и Q* [ Q'a связно, и R'a есть ни В‘Р,
ни В‘Р, тогда, если а принадлежит классу contin (PQ^'R, R'a представля-
ет собой предел функции для аргумента а при приближении либо снизу,
либо сверху (*234-62). Если серия Р является компактной, то обратное так-
же имеет место (*234-63). Поэтому наше определение точки непрерывности
отождествляется со второй формой приведенного выше определения Ди-
ни. Оно отождествляется с первой формой указанного определения с по-
мощью следующего предложения: В условиях предложения *234-62, если
R'aeD'P Р П‘Р, то мы имеем (*234-64)
а е contin (PQ)'. = : R'a е С'Р - C'Pi : R'a eP(z-w). .
(gy, У) • J, У' e • a e Q (У ~ У') •‘2 (У н У')c ? (z ~ ™)>
т.е. а является точкой непрерывности тогда и только тогда, когда значение
R'a для аргумента а является элементом P-серии, не имеющим непосред-
ственного предшественника или последователя, и если R'a содержится
в интервале P(z-w), тогда, каким бы малым ни был интервал, могут
быть найдены два аргумента у, у' таких, что а располагается между
ними, и значения для всех аргументов от у до у' (оба включаются)
расположены в интервале Р (z - w).
Мы заканчиваем параграф несколькими предложениями о непрерывных
функциях. Последнее из них (*234-73) утверждает, что если Р является
компактной серией, a Q транзитивно и связно, то R является непрерывной
в силу Р и Q тогда и только тогда, когда она имеет аргументы в C‘Q, и
для всех таких аргументов а мы имеем
R (PQYa = R(P Q)'a = R(PQ)'a = R(P Q)'a = R'a,
т.е. значение для каждого аргумента есть предел указанного аргумента при
приближении либо сверху, либо снизу.
*23401. sc(P,QyR = C'Pdx(?po"%o'x-'^ea'R) Df
*234 02. os (Р, Q)'R = sc (P, Q)'R П sc (P, Q)‘R Df
*23403. ct(PQ)‘P = a{P‘aeos(PQt: [^po‘a)‘P-C‘Pi} Df
*234-04. contin (PQ)‘P = ct(P0‘Pnct(P^)‘P Df
*234-05. PcontinQ = P {3! C‘g П . C‘C П a contin (PQ)‘R} Df
*234-1. Fxesc (P, Q)‘R. = : xeC'P: xP^w. -RQ.n (?po‘w):
= : xe C'P: x Ppo w. . (37). у e C'Q П d'R. R“& ‘y
[*230-11. (*234-01)]
*234-101. I-: Ppo e Ser. xsc (P, Q)‘R. e. PscQ cT** ‘x
Доказательство.
I-. *40-16. (*234-01). э
F:Hp.э .xeC'P. p'P*"<Qcn‘RCiC‘P c.p‘P*“'~Pvo“*Pvo‘xC\C‘P
[*91-574] c. p'^?0"*Pvo‘x Г\ C'P
[*204-65. *91-602] сЛ‘х (1)
I-. (1). *231-1. э F. Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
720
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*234102. I-: Рро е Ser. х е os (Р, Q)'R. z>. PP0S Q c i‘x
Доказательство.
I-. *2341 101. (*234 02). э F : Hp . э . хеC'P. PR^Qс ?VxП K'x.
[*200-39] э . P/^s Q с Cx: э F . Prop
*234-103. F : Ppo e Ser . a! os (P, QYR. э . P^s Q e 0 U 1
Доказательство.
F . *234-102 . э F : Hp . э . (gx). P/^s Q c i‘x.
[*51-401] э . P^s Q e 0 U 1 : э F . Prop
*234104. F: Я £n (A ‘x). э . x e sc (P, Q)'R
Доказательство.
F . *91-52 . d F : xPpoZ. э .^*‘xc^po‘z (1)
F. (1). *230-211 151. э F Hp . z>:xPpoZ. z>z.R C?po‘z) xeC'P-.
[*234-1] э : x e sc (P, QYRэ F . Prop
*234-105. F : Ppo e Ser. x e sc (P, Q)'R (D‘P,. э. Я QCB (?»‘x)
Доказательство.
F . *201-63 . *121-254. э F :: Hp . xPxz. э yP^z. э: ~ (xP^y):
[*202-103] э zyPpoX. V .у = x (1)
F . (1). *91-54 . э F Hp . xP\z. э :?po‘z c"?*‘x:
[*230-211] э: Я (7^‘z). э. Я £n (A ‘x) (2)
F. *234-1. э F : Hp. э. (gz). xPiz. Я Q.n (Ppo ‘z) (3)
F . (2). (3). э F . Prop
Когда x~eD‘Pi, то приведенное выше предложение не обязательно яв-
ляется истинным: оно может не выполняться, если х = minp‘sc (Р, QYR.
Заметим, что sc(P, QYR и os(P, QYR представляют собой функции Рро,
так что они остаются неизменными, когда Рро подставляется вместо Р. Сле-
довательно, гипотеза Рро е Ser столь же эффективна по отношению к ним,
как и гипотеза PeSer. Это утверждается в следующем предложении.
*234-106. F . sc (Р, QYR = sc (Рро, QYR • os (Р, QYR = os (Рро, QYR [*234-1]
*234-107. F xeC'P- D‘Pi . э: хе sc (Я, Q)‘R. s. А“К>‘ХС
Доказательство.
F. *121-254. э F Нр. z>: х ~ е D‘(Ppo)i:
[*201-61] э:х~еО‘{Рро-Рро2}:
[*10-51] э : хРроу. э . хРро2у.
[*91-574] o.(az).xPp0z.’?*‘zc'?p0‘y (1)
F. (1). *230-211. z>
F:. Нр: хРроу. . Я Q.a~^*‘y: э: хРроу. . Я Q-^po'y (2)
F. *91-54. *230-211. э
F:. хРроу. . Я <2.n ~Рро 'у: э: хРроУ. . Я Qn~P*‘y (3)
F . (2). (3). э F :. Нр. э : А "^'х с £сп ‘R • = .?ро“Но‘*с Un ‘Л (4)
F . (4). *234-1. э F . Prop
*234-11. F х е D‘P А (ГР: х е Р (z - w). . R Qcn (P (z - w)}: = :
x e D‘P A d‘P: x e P (z - w). .
(ay) • У t C'Q n СГЯ. R“^ ‘ycP(z-w) [*230-11]
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
721
*234111. I-хе D'P О G'P: xeP(z - w). эг>и,. R £*.n {P(z-w)}: э. xeos(P, Q)‘R
Доказательство.
I-. *230-211. э
F :: Hp. э:. xeD'P П (TPxP^w: (gz). zPpoX: z>w. R (£n^po‘w
[*91-504] z>x e D'P: zPpoW. dw . R ?po‘w
[*234-1] z>:. xesc(P, 0‘R (1)
Similarly F : Hp. э. sc(P, Q)'R (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*234-12. F :: Q* econnex. э:. xeos(P, Q)‘R CiD'P П G‘P. = :
xeD'P П СГР: xeP(z - w). эг>и,. R Qca {P (z - w))
Доказательство.
F. *234-1. э F :. xeos(P, Q)'R Cl D'P П G‘P. s:
x e D'P П G'P: xP^w. dw . R £».n (fpo'w): zPpoX .^>z.RQcn (£po*z):
[*11-71] = : xeD'P О СГР: zPpoX. xP^w. z>ZtW. R Qn (Ppo'w). R Q^ (P^'z) (1)
F . *230-42 . э F Hp. э: R . R (?po‘z) . = .
RQ:n(Ho‘zn?po‘M') (2)
F. (1). (2). *121-1. z>F. Prop
*234-121. F.’S'Pcsc(P,Q)'R [*93-104. (*234-01)]
*234-122. F Ppo e connex. x = B'P. э :
xeos (P, Q)'R. = . x esc (P, Q)'R. = .~?po"G.‘Pс Ц.П*Р
[*234-121. (*234-02). *234-1. *205-253]
*234-13. F: sc (P, Q)‘R. z>. K'x c sc (P, Q)'R
Доказательство.
F . *96-3 . *91-74. *90-13. dF: xP*z. э. iPfO'zc.tPVo'x. xeC'P.
[*37-2] .~?Vo"*Pvo'zc.*Pvo"4PfO'x .zeC'P (1)
F . (1). (*234-01). э F . Prop
*234-131. F . sc(P,0‘R = Л“sc(P,Q)‘R.sc(P,C)‘Resect‘P
Доказательство.
F . *90-21. *234-1. э F . sc (P, Q)'R с P* “sc (P, Q)'R (1)
F. *234-13. э F. P*“sc (P,Q)'Rc sc (P,Q)'R (2)
F . (1). (2). *211-13. э F . Prop
*234-14. F . Qt econnex. xesc (P, Q)'R. э. xeC'P. ^Ppo'xczPR^Q
Доказательство.
F . *234-1. э F :. Hp. э : x e C'P txPpoZ.z^.RQ^ C?po‘z) -
[*230-211] ^.R^J^'z).
[*231-141] эг. zeP/^,2:. э F. Prop
*234-141. F : Q» econnex.g! sc(P, 0‘R. э. g! P^.Q [*234-14]
Доказательство.
F . *234-1. э
F :. xesc(P, Q)‘R OD‘P. э: xeD'P: (gw). xP^w. э . g! C'Q П Q'R:
[*91-504] э: g! C'Q П G'R:. э F . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
722
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*23415. F: Р*, Q* есоппех. g! sc (Р, 0)‘Р . э . Р/^сQ U РPscQ = С'Р
Доказательство.
I- . *231-202 . *234 141. э F : Нр. э . С'Р - PR^ Q с Р Q (1)
F. *231-1. э1-.Р^сеи^^сесёР(2)
F. (1). (2). э I-. Prop
*234-16. F : Рро е Ser. Q* е соппех. э .
PRJQ с p‘A“sc (Р, QYR, Ppo“sc (Р, Q)'R cpR^Q [*234101-14]
*234-161. F Рро е Ser. R“C'Q с С'Р. PR^ Q с А 'х. э:
PRscQ =А ‘х •v •R £сп (?* ‘х)
Доказательство.
I-. *231-24. э I-: Нр. ~ {Я £п (А‘х)}. э. А'хсРТ^б.
[Нр. *22-41] э. А ‘х = PR^ Q: э F . Prop
* 234-162. F: Рро еSer. R''C‘Q с С'Р .^*'x = PR^cQ. xeC'P. z>. х е sc (Р, Q)'R
Доказательство.
F . *202-5. э F:. Нр. xP^z. э: z ~ е PRSCQ:
[*231-12] э : (gy). у е C'Q Л СГЯ. z ~ е Р* "R"&'у:
[*211-56] э : (ау) .у eC'Q Л СГЯ. Р*“Я“(2*‘у с Ао‘? '
[*90-33] э : (ау) .у eC'Q Л П‘Я. Я“£^‘у с A/z:
[*230-11] о:Я^(^ро‘г) (1)
F . (1). *234-1. э F . Prop
* 234-17. F Рро е Ser. Я“С‘б с С‘Р.э:
х е sc (Р, Q)'R. = . х е С'Р. PR^ Q с А ‘х
Доказательство.
F. *234-101. э F:. Нр. : xesc(P, 0‘Я. э. xeC'P. PR^Q с ~?*'х (1)
F . *234-161-162-104. э F :. Нр. э: х е С'Р. PR^ Q с А ‘х. э.
хезс(Р,е)‘Я (2)
F. (1). (2). э F . Prop
*234-171. F: Рро е Ser. R"C'Q с С'Р. х е С'Р - sc (Р, Q)'R .d.^'xc P'^PR^ Q)
Доказательство.
F. *234-17. э F : Нр. э . а! Р^б _А‘х (1)
F . (1). *211-56. *231-13. э F : Нр. э . А‘х с Рро “(Р^ б) (2)
F. (2). *231-134. э F. Prop
*234-172. F: Рро е Ser. э . ёР- sc (Р, Q)‘R = С'Р Л р Apo“sc (Р, Q)‘R
Доказательство.
F . *200-5. э F . Нр. э. С'Р Л p'^'sc (Р, Q)'R с С'Р - sc (Р, Q)'R (1)
F. *234-131. э
F : х е sc (Р, Q)'R . у е С'Р - sc (Р, Q)‘P . э . ~ (хР*у). х, у е С'Р.
[*202-103] э.уРроХ
F . (1). (2). э F . Prop
* 234-173. F : Рро е Ser. а! sc (Р, Q)'R. э. С'Р - sc (Р, Q'R = p'^'sc (Р, Q)‘R)
[*234-172 . *40-61. *37-15]
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
723
*234174. F : e Ser . Q* есоппех. R"C'Q с С'Р. э .
ёРп p'^'sc (Р, Q)‘R = P“(PR,C Q) = С‘Р- sc (Р, QYR
Доказательство.
F . *234171 172. э F: Нр. э. Р*“[С‘Р П p'^'sc (Р, QYR} с P'^PR^Q).
[*90-21] э. С‘РПр^ро'^с(Р, Q)‘RсР“(Р^с0 (1)
I-. *234-16. *37-2. э I-: Нр . э . Р“(Р^с0 с Р“р‘А “sc (Р, Q)'R
[*40-37. *91-52] _ cp‘?po“sc(P,0‘P (2)
F. *37-15. dF.P“(P^c0cD‘P (3)
I-. (1). (2). (3). *234-172. э F. Prop
*234-175. F : Hp *234-174. g! sc (P, QYR. э. p‘?po“sc (P, QYR = P'^PR^Q)
[*234-174. *40-61. *37-15]
*234-18. F : P^ eSer. 0 econnex. R“C‘QcC‘P. z>.
C'P = sc (P, QYR U P“(P^c0 . sc (P, QYR П P“(P^c0 = A.
sc (P, QYR = C'P - P'^PR^Q)
Доказательство.
F . *234-174. *24-411 .=> F : Hp. z>. C'P = sc (P, QYR U P“(P^c0 (1)
F . *234-174. э F : Hp. э . P‘ ‘(PP^ 0 c p'T^sc (P, QYR.
[*200-5] э. sc (P, QYRnP"{PRKQ)=_K (2)
F . *24-492 . *234-174. => F : Hp . z>. sc (P, QYR = C'P - P"(PR*.Q) (3)
F . (1) . (2) . (3) . э F . Prop
В силу этого предложения Р“(Р7^сб) и sc(P, QYR являются дополни-
тельными сечениями Р, т.е. они составляют Дедекиндово сечение в Р.
*234181. I-: Рро е Ser . Q* есоппех. R“C'Q с СР. э .
PR^G A sc (Р, QYR = Q).
sc (Р, QYR = (С'Р- Р^с Q) U тах/СР/^сQ)
Доказательство.
I-. *23418 . э F : Нр. э . PRJ2 A sc (Р, Q\R = PR^Q~ £“(^G)
[*205-111] =malp‘(P^ce) (1)
I-. *24-412 . *231-13 . э
F : Нр . э . С'Р - РДР^сб) = {ёР- (Р/LG)} и K^cG) - P“(P^CJ2)} •
[*234-18 . *205-111] э . sc (Р, QYR = (С'Р - PR3CQ) U тЙР‘(Р^сQ) (2)
F . (1). (2). э F . Prop
*234-182. F : Pe Ser . Q* econnex. R“C'Q с C'P. э .
limaxp‘(^c Q) = minp‘sc (P, Q\R
Доказательство.
F . *207-51. э F :. Hp. э: x = limaxp‘(^0 . = . xeC'P .~?'x= P"{PR^Q).
[*234-174] =. xeC'P.^'x = C‘PC\p'^"sc(P, QYR (1)
F . *200-52. э
F: Hp. x e C'P.^'x = C'P П p‘"?“sc (P, QYR .^>.C'P± C'P П p'~f"sc (P, QYR.
[*40-2 . Transp] э . g! sc (P, QYR.
[*40-62] э. C'P П p'-?"sc (P, QYR = p'^"sc (P, QYR.
[*13-12] z>.^‘x = p''^“sc(P,QYR (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
724
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
I-. *22-621. з
F :7*‘x = p‘7*“sc(P, Q)'R. з .~?‘x = C'P Cip‘7* “sc (P, Q)'R (3)
F. (2). (3). з F:. Hp. xeC'P. з:
"?‘x = C‘Pnp‘"?“sc (P, Q)‘R. = .'?‘x = p‘"?“sc(P, Q)'R (4)
F.(1).(4).d
FHp. з : x = limax/>‘(P7^c2). = .xeC'P .~P'x = p‘"?“sc (P, Q)‘R.
[*205-67] =. x = minp‘sc (P, Q)'R :. з F. Prop
*234-183. F: Hp *234-18. sc (P, Q)'R = A. з. PRSCQ = C'P. ~ E ! B'P
[♦234-181-121]
*234-2. F: Ppo e Ser. R"C'Q c C'P. Q* e connex. з.
os (P, Q)'R = ‘(PQ) - PR^Q} ЩтгЙр'(PR^Qj-PR^Q}^
[ma^p'iPR^Q) n ттР‘(Р/^<2)}
Доказательство.
F . *234-181. з F: Hp. з . os (P, Q)‘R = {(C'P -PR^QjU ma&fJPR^Q)} Л
{(СР-РадойПпрЧР^е)} (1)
F . *231-201. з F : Hp. з . (C'P- PRJ2) Л (C'P- PR^Q) = A (2)
F . (1). (2). з F . Prop
*234-201. F: Hp *234-2. з. os (P, Q)'R c ma^>‘(PR.c0 U тш/(^е)
[*234-2]
*234-202. F: Hp *234-2. з. os (P, Q)'R e 0 U 1 U 2
{*234-201. *205-681. *60-391]
*234-203. F: Hp *234-2. PROS Q e 1. з .
os (P, Q)'Re 1. os (P, Q)'R = CmaxP'(PRxQ) = i‘minp‘(P RSCQ) = PR0SQ
[*231-193-103 ._*205-68. *234-2]
*234-204. F: Ppo e Ser. P^>s 6 ~ e 0 U 1. э . os (P, 0 ‘Й = A [*234-103]
*234-21. F: Hp *234-2. PR^ Q = A. з.
os (P, Q)‘R = nia^.p'(PRscQ) U minP'(P R^Q)
Доказательство.
F. *205-11-111. з
F: Hp. 3 . ma^PR^Q) c - (PR^Q). ^xiP‘(PR^Q) c - (PR^Q) (1)
F. (1). *234-2. з F . Prop
*234-23. F: Hp *234-2. PR^ Q ~ e 1. os (P, Q)‘R e 1. з:
PRosQ = A:os(P, Q)'R = Cmaxp^PR^Q). ~E ! min/C^^C)• v •
os (P, Q)'R = i‘minp‘(£/k6) • ~ E ! max/>‘(P/^,6)
Доказательство.
F. *234-103. з F : Hp. з. P^.2 = L (1)
[*234-21] _ 3.os(P,e)‘R = malp‘(P^ce)Umnp‘(P^ce) (2)
F . *52-41. з F : PR^Q = A. E ! тах/(Р/^2) • E ! mnp'fJPR^Q). з.
{т^/(Р/^е)и^>‘№е))~е1 (з)
h . (1). (2). (3). Transp . э
F:.Hp.3:~E!maxp‘(^c0-V.~E!min/(^^ce) _ (4)
F. (2). *205-681. з F :. Hp. з: E !. maxP'(PR3CQ). V . E ! min/(PR^Q) (5)
F. (1). (2). (4). (5). з F. Prop
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
725
*234-24. FPeSer. Q* econnex. R“C'Q с C'P. z>:
os (P, Q)'R e‘. э . os (P, Q)'R = I'limax/CPP^Q) = i‘liminP‘(P^c6)
Доказательство.
I-. *234-203. *207-42 . э
F : Hp. PR0SQe 1. э. os(P, Q)'R = i‘limaxp‘(P/^.c6) = i‘limin/(P/<.c<2) (1)
F . *234-23. *211-728. э
F : Hp. PR^ Q ~ e 1. э . os (P, Q) 'R = i‘limax/(Pj^c 2) = i‘liminf ‘(P Q) (2)
F. (1) . (2) . э F. Prop
*234-241. F : Hp *234-2 . os (P, Q)'R e 2. z>. PR^ Q = Л
Доказательство.
F. *234-103. э F: Hp. э. P^s6e0U 1 (1)
F. *234-203. Transp . э F: Hp. э. PR0&Q~ e 1 (2)
F. (1). (2). э F. Prop
*234-242. F: Hp *234-2 . os_(P, Q\R e 2. z>. _
os (P, Q)'R = Cmaxp'tPR^Q) U i‘minP‘(PR^Q). maxp'tPR^Q) PiminP‘(PR^Q)
Доказательство.
F . *234-201. *205-3. z> F : Hp. э. E ! max/(P^c0. E ! min/CPP^Q).
ma^‘(P^ce)/minF‘(P^ce) (1)
F. *234-241-15. э F : Hp. z>. PR^Q = C'P - PR^Q.
[*211-8. (1)] э. maxP‘(PRJ2) = msa.(Ppoy(PRKQ).
min/(P 2) = seq (Рро)‘(Р^Q) -
[*206-5. *201-63] э . (max/>‘(P^c2)l (Ppo) i (minP4P^c2)} •
[*121-254] э. (тахр'СР/^б)} Pi {ттр‘(Л1^с2)} (2)
F . (1). (2). *234-201. э F. Prop
*234-243. F : Hp *234-24. os (P, Q)'R el. z>.
E ! Ктах/ДРД^б). E ! liminp‘(P^c2)
Доказательство.
F.*234-202.oF:Hp.э.os(P,6)‘Pel U2 (1)
F . (1). *234-24-242. э F. Prop
*234-244. F : Hp *234-2. P2 = P. z>. os (P, Q)'R eO U 1
Доказательство.
F . *234-242-202 . z> F : Hp *234-2 . os (P, Q)'R ~ e 0 U 1. э . g !Pt (1)
F . (1). Transp. *201-65. э F . Prop
*234-25. F: Hp *234-2. P2 = P. g! os (P, <2)‘P. .
os (P, Q)'R = i/limax/CPP^Q) = i/limin/lP^Q)
[*234-244-24]
*234-251. F : Hp *234-24. limax/CPP^e) = limin/(P^.0. э.
os (P, Q)'R = t/limax/CP^Q) = i‘min/sc (P, Q)lR = i‘max/sc (P, Q)‘R
Доказательство.
F . *234-18. *207-51. э
F : Hp. э . sc (P, Q)'R = C'P -f'limaxp'CP^Q).
sc (P, Q)‘R = C'P - Himin/(Pi^.Q).
A. H. Уайтхед , Б. Рассел
726
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
[Нр. *202 101] э. os (Р, QYR = С‘Р П i‘limaxp‘(P^c Q).
[*51-31] = i‘limaxP‘(F^c0 (1)
[*234-182] = i‘minp‘sc(P, QYR (2)
[(2)^] = i‘maxp‘sc‘(A QYR (3)
F.(1). (2). (3). э F. Prop
*234-26. F :.Hp *234-2. P2 = P.z>:
3! os (P, QYR • = • os (P, QYR = i/limax/CP/^. Q).
= . os (P, QYR = i‘liminp‘(?R^Q) •
s . os (P, QYR = i‘minp‘sc (PQYR •
= . os (P, QYR = i‘maxp‘sc (P QYR.
= . limaxp ‘(PR^ Q) = liminp a (T5 R^ Q)
[*234-25-251-182. *51-161]
*234-27. F: Hp *234-24. xeos (P, QYR - CT Pi. э . x = limax/>‘(P^c2)
Доказательство.
F. *234-24. DF:Hp.os(P,2)‘Pel.D.x = limaxp‘(P^c0 (1)
F . *234-242. э F : Hp. os (P, QYR e 2. э. x = limaxp^P^. Q) (2)
F. *234-202 . э F: Hp. z>. os (P, QYR e 1 U 2 (3)
F. (1). (2). (3). э F. Prop
*234-271. F: Hp *234-24. x eos (P, QYR - CTPi . z>. x = liminp‘(£ P.cQ)
[*234-27^]
*234-272. F : Hp *234-24. x e os (P, QYR - CPi. z>.
x = limaxp‘(P^. Q) = liminp ‘(PR^ Q) [*234-27-271]
Оставшиеся предложения настоящего параграфа по большей части яв-
ляются непосредственными следствиями тех, которые уже были доказа-
ны. Для того чтобы получить из уже доказанных предложений предложе-
ния, касающиеся предела функции, когда аргумент стремится к границе
некоторого класса аргументов а, мы должны лишь подставить Q* [ а вме-
сто Q. Для того чтобы получить предел функции, когда аргумент стре-
мится к данному терму а, мы берем 0 вместо Q.
*234-3. h:.xeos(P, 0 [а)‘Р. = :
х€С'Р: xPpoW. . (gy). t ea A C'Q A (I'R. R"(a C\~@*'y) c?po‘w
[*234-1]
*234-301. h :: Q* [ aeconnex . э xeos (P, Q* [ a)'R A D'P A Q‘P. = :
xeD‘PAQ‘P:xeP(z-w). .
(ЗУ) • У a A C'Q А СГЯ. R"(a A tj*‘у) с P (z - w)
[*234-12]
*234-31. F : Ppo e Ser. Q^ [aeconnex. R"(a A C'Q) c C'P. z>.
C'P -sc(P, 0c [a)‘P = CtPAp‘‘?pottsc(P, 0 [a)‘P = P“(PP0)sc‘a
[*234-174]
Principia Mathematica II
*234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
727
*234-311. h : Нр *234-31. С'Р = sc (Р, 0с tayRUP“(PRQ)K'a.
sc (Р, 0с la)‘RCtP“(PRQ)sc‘a = A..
sc (Р, 0с [ а)‘Р = С'Р - P"(PR 0)^0
[*234-18]
*234-312. H.PeSer. 0с [аесоппех.Р“(аПС‘0)сС‘Р.э:
E ! (PR 0imx‘a • = • E ! min/sc (P, 0c [ a)‘R.
= .(PR ghmx'a = minp'sc (P, 0c [ a)‘R
[*234-182]
*234-32. I-Ppo e Ser. Q* [ a e connex . P“(aCi C'Q) a C'P .d:(PR 0)os‘cte 1. э.
os (P, Qt [ a)‘R = (PR 2)os‘a = i'maxP‘(PR 0)sc‘a = i‘minp‘(Ptf 0)sc‘a
[*234-203]
*234-321. I-:: Hp *234-32 . os (P, Q, [ a)‘Re 1. э: ДРР 0)os‘a ~ e 1. э: _
(PR 2)os‘a = A: os (P, Qt [ a)'R = i‘max/>‘(PP 0)sc‘a. ~ E ! minP‘(PR Q^'a..
V . os (P, Qt [ a)'R = i‘minp‘(PP 0sc‘a. ~ E ! maxP‘(PR 0\c‘a
[*234-23]
*234-322. I-: Hp *234-312 . os (P, 0c I а)‘Я e 1 .p.
os (P, 0c [ a)‘P = i‘(PP 6)knx‘a = C(PR Q^'a [*234-24]
*234-329. I-: Hp *234-32 . os (P, 0c I a)‘Pe 2. p.
. os (P, Q» [ a) 'R = i‘maxp(P R 0)sc ‘a U i‘minP(P R Q)sc 'a.
{maxp(PP 0)sc‘a} Pi (min/>‘(PP 2)sc‘a)
[*234-242]
*234-33. I-: Hp *234-32 . P2 = P. g! os(P, . z>.
os (P, Q, t a)‘R = i'(PR Q^'a = C(PR Q^'a [*234-25]
♦234-331. I-: Hp *234-312. (PRQ^'a = (PR Q^'a. э .
os (P, Q» [ a)'R = t'(PR 0)imx‘a = i‘(PP 0)imx‘a
= rminp'sc (P, 0» [ a)'R = i maxp'sc (P, 0» [ a)‘R
[*234-251]
*234-34. I-: Hp *234-32 . P2 = P. z>:
3! os (P, 0» [ a)‘R. s . os (P, 0* [ a)'R -i‘(PR Q^'a.
= . os (P, 0c [ a)'R = tJPR 0)imx‘a.
= • (P R 0)lmx = (P P G)lmx Ct
[*234-26]
*234-35. h :Hp*234-312.xeos(P,0* [a)‘P-Q‘P!. э .x = (PPQh^'a
[*234-27]
*234-351. F : Hp *234-312 . xeos (P, 0c [ a)‘P- D‘Pi. э . x = (PR Q^'a
[*234-35^]
*234-352. I-: Hp *234-312. xeos (P, 0c [ a)7? - C‘Pi. z>. _
x = (PP0)bM‘a = (^P0)inix‘a [*234-35-351]
*234-4. F:.xesc(P, 0c [^po‘a)‘P. = :
x e C'P: xPpoW. z>w . (gy). у e^po'a П Q‘P. R"Q (у и a) c^po'w
[*234-3. (*121-012)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел
728
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*234-41. к :: Qetrans . Qc f@‘a е соппех. э
xeos(P,0* [S*‘a)‘RnD‘Pna‘P. = :xeD‘Pna‘P:
х е Р (z - w). dZiW . (gy). у е&а П G‘R. R“Q (у н) а с Р (z - w)
[*234-301. (*121-012). *201-18]
*234-42. F:. PeSer. 0etrans. 0* econnex.R''~&aсC'P. э:
R(P0?a = mm/sc (P, Q* t~&a)‘R [*234-182]
*234-421. I- :.PpoeSer. 0e trans. 0» [(5‘ae connex .R“(5‘a с C‘P. d :
sc (P, 0» t~3 ‘a) ‘R = Л. э . R(P0^ ‘a = 'P [*234-183]
*234-422. F : Hp*234-42 . PeDed. э .R(P0)‘a = limax/sc(P, 0». t"3‘a)‘P
[*233-13. *234-42]
*234-43. F : Hp *234-42. os (P, 0» [&a)'Re 1. z> .
os (P, 0» {&a)'R = i'R (PQ)'a = i'R (P Q)‘a [*234-322]
*234-439. F : Hp *234-421. os (P, 0» (&a)'R e 2. z>.
os (P, 0» [&dyR = i'R (PQ)'a U CR (P Q)‘a.
]R (PQ)‘a) Pi {R (P Q)‘a} [*234-329]
*234-44. F: Hp *234-421. P2 = P. a! os (P, 0* t&a)‘R. z>.
os (P, Q* t~&a)‘R = i'R (PQ)'a = t‘R (P Q)‘a [*234-33]
*234-441. F :Hp*234-42.R(PQ)‘a = R(pQ)‘a.z>.
os (P, Qtt~&a)'R = i'R (PQ)'a=t'R (P Q)'a [*234-331]
*234-45. F:. PeSer. 0etrans. 0» [^‘aeconnex. R‘*(5‘a с C'P. P2 = P. э:
3! os (P, Q, \ &a)'R. = . os (P, 0* \&a)'R = i‘R (P0)‘«.
= . os (P, 0» t^'a)‘R = i‘R (P Q)‘a.
=. R(PQ)‘a = R(P Q)'a [*234-34]
*234-46. F : Hp *234-42. x e os (P, 0» \&a)'R - CT Pi . э . x = R(PQ)'a
[*234-35]
*234-461. F : Hp *234-42. x eos (P, Q* \ &a)'R - D‘P, . z>. x = R (P Q)‘a
[*234-46^]
*234-462. F: Hp *234-42 . xeos (P, 0* \^'a)'R - C‘P}. z>.
x = R(PQ)'a = R(PQ)'a [*234-46-461]
*234-5. F : aect (PQ)‘R. = . R'a eos (P, 0» t^'ayR-C'Pi [(*234-03)]
*234-51. F :: 0etrans. 0» 'aeconnex. R‘aeD‘Pn G‘P. э:.
a e ct (PQ)'R. = : R'a ~ e C'P\ : R'a eP(z-w) . .
(ЭУ) • У t&a Л СГЯ • Я“С (у н а) с Р (z - w)
Доказательство.
к . *234-5-4. *53-31. э
к :: Нр . э aect (PQ)'R • = •. R'aeD'P ГУ(1'Р - С'Р\ : R'aeP^z- w). .
(ЯУ) • У И (ГЯ. R"Q (у н а) с Р (z - w). R"i'a с Р (z - w) (1)
к. (1). *121-242. эк. Prop
*234-52. к :. PeSer. Qе trans. ^‘aeconnex. R'^'a с C'P. э :
a e ct (PQYR. э . R (PQ)'a = R(PQ)'a = R'a [*234-462-5]
Principia Mathematica II
♦234. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
729
*234-521. I-: Нр *234-52. а е ct (PQ)'R. э. os (Р, 0к [~&‘а) = CR'a
[*234-441-52]
*234-522. I-Hp *234-52. P1 = P. э: a e ct (PQ)‘R . = .R (PQ)‘a = R(P Q)‘a = R'a
Доказательство.
I-. *234-45. z>
F Hp. z>: R (PQ)‘a = R(P Q)'a = R'a. z>. os (P, 0k [ (5‘a)‘P = i‘R‘a.
[*234-5. *201-65] o.aect(P0)‘P (1)
I-. (1). *234-52. э F. Prop
*234-53. F :: Ppo e connex. Q € trans .R'a = B'P. э
aect(P0)‘P.s:5‘P~6D‘Pi :wea‘P.ow.
(ЯУ) • У П (ГР. R''Q (у H a) c~^po'w
Доказательство.
I- . *234-122. *53-31. *234-5. z>
I-:: Нр. z>a е ct (PQ)‘R. н: B'P ~ e D‘P]: (B'P) Pp<>w. z>w •
(ЯУ) *У n • P“(S*‘y Л (5‘a) c'Ppo'w. R“\.‘a cl^'w:
[*202-522. *205-253. *201-18] s: B'P ~ e D‘P1:
weG'P. z>w . (ЯУ) ’Уе^‘а n G'R .R''Q(y Ha) c^/w:: э F. Prop
*234-54. F : aect (PQ)'R. . a eQ‘P Г) 0po“a‘P. R'aeC'P
Доказательство.
F. *234-5-1. (*234-02). z> F : Hp. z>. R'a e C'P (1)
F. (1). *234-5. (*234-02). э
FHp. z>: з! sc (P, О» [^‘a/P П D‘P. V . 3! sc (P, & t&po'aYR D (TP:
[*234-142] =>: 3 '.^‘a Г) (TP:
|*37-46] z>:aeQpo"G'R (2)
F . (1). *14-21. *33-43. z> F: Hp. z>. a e G'R (3)
F.(1). (2). (3). э F. Prop
*234-55. F . ~ {min(G^'Q‘Peet (PQ)'R) [*234-54. Transp]
*234-56. F : Hp *234-52. a e ct (PQ)'R. .
(PR 0)oS‘^‘ae0 U 1. E ! P (PQ)'a. R (PQ)‘a eC‘Pi. R'a = P (PQ)‘a
Доказательство.
F.*234-5. z> F : Hp. э. g! os(P, 0k t^‘a)‘R .R'a-eC'Pj.
[*234-103] D.fPRQ^aeOU 1 .R'a~eC‘P} (1)
F . *234-52 . z> F : Hp. э. R'a = P (P0)‘a. E ! P (P0)‘a (2)
F . (1). (2). z> F . Prop
*234-561. F : P, Q e Ser. a e ct (PQ)'R. a = ltG‘(a П СГР). R"~^'a с C'P. э.
(PR Q\tm'a = Rla = (PR 0)ta«‘a [*233-515. *234-56]
*234-562. F: P, 0eSer. lte‘(a Л Q‘P)ect (PQ)'R.R"(aПC'Q)cC'P.d.
(PR 0)imx‘a = (PR 0)imx‘a = P‘ltG‘a [*233-516. *234-56]
Т.е. если a есть некоторый класс аргументов, имеющий границу, на
которой функция является непрерывной, то предел функции, когда аргу-
мент стремится к границе группы аргументов, представляет собой значение
функции на этой границе.
*234-6. F;aecontin(P0)‘P. = .aect(P0)‘Pnct(P0)‘P [(*234-04)]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
730
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
*234-61. I-:: Рро € Ser. Q е trans. Q* [ е connex .R‘aeD‘Pn Q‘P. э
a econtin (PQ)‘R. =: R'a ~ eC'Pi: R'aeP(z-w). z>z,w.
(ЯУ> У) •a e Q (у - У ’) • У, У ’ € a ‘R. R“ Q (у н у ’) с P (z - w)
Доказательство.
I-. *234-51 Hp. z> a e contin (PQ)'R. = :
R'a e D'P О СГР - C'P\: R'a e P (z - w). z>ZiW •
(ЯУ>У?) • У e Cl G'R. у ’ e %)‘а П G'R.
R''Q(yHa)UR"Q(aHy')aP(z-w) (1)
F.(1). *201-19. *202-17. э F. Prop
*234-62. I-Hp *234-61. Petrans .R“Q‘a c C'P. z>: a e contin (PQ)‘R. э .
R(PQ)'a = R(P Q)‘a = R(PQ)‘a = R(P Q)‘a = R'a
[*234-52-6]
*234-63. F Hp *234-62 . P2 = P. z>: a e contin (PQ)‘R. s.
R (PQ)'a = R(P Q)‘a = R(P Q)'a = R(P Q)'a = R'a
[*234-522-6]
*234-64. F :: Hp *234-62 . R'a e D‘P П G‘P. z>a e contin (PQ)‘R. =:
R'ae C'P -C'P\ :R'aeP(z-w). .
(ЯУ>У) • У>У'е aeQ(y-y’).R"Q(yHy’)cP(z-w)
[♦234-5Г6]__
* 234-7. F : R е PcontinQ. =. я! C'Q П CTR. C'Q О G'R с contin (PQ)'R
[(*234-04)]
*234-71. F : R e Pcont inQ. z> .R [C'Qe 1 -> Cis .R“C‘QcC‘P
Доказательство.
F . *234-6-5. =>
F Hp. z>: aeC'QPiG'R. z>. R'aeos (P, Q* t^po‘a)‘R.
[*234-1] э. R'a e C'P. (1)
[*14-21] z>. E! R'a (2)
F. (2). *71-572 . z> F : Hp. z>. R [C‘Qe 1 —> Cis (3)
F . (1). (2). *37-61. z> F : Hp. z>. R"(C'Q П G'R) c C'P (4)
F . (3). (4). *37-26. э F . Prop
* 234-72. F Pe Ser. Q e trans П connex. Re PcontinQ. z>:
a e C'Q П G'R. z>a. R (PQ)'a = R (P Q)'a = R (P Q)'a = R (P Q)'a = R'a
[*234-62-7]
* 234-73. F :: Pe Ser. P2 = P. Qetrans П connex. э
RePcontinQ • =: Я! C'Q C) G'R :aeC‘Qtl СГР. z>a .
R (PQ)‘a = R(P Q)‘a = R (P Q)‘a = R{pQ)'a = R'a
Доказательство.
F. *234-7-71. э F :: Hp. z>R e Pconting. =: g! C'Q Cl Q‘R. R"C‘Q c C'P:
a e C'Q П G'R. эа . a e contin (PQ)‘R:
[*234-63] s: g! C'Q П G'R. R"C'Qa C'PzaeC'Qn G'R. z>a .
R (PQ)'a = R(P Q)‘a = R(P Q)‘a = R(PQ)‘a = R'a (1)
F . *233-401-101. z>
F a 6 С‘б П СГЯ. Da . R (PQYa = : э : a 6 C'Q А СГЯ . Da . R'a e C'P:
[*37-61-26] z>:R"C'QcC'P (2)
F . (1). (2). э F . Prop
Principia Mathematica II
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*101. *11-04. (дх,у,г).ф(х,у,г)
*2 33. pV qV г *11 05. Ф(х,у).эх>у.у(х,у)
*301. p.q *11-06. Ф(-Х.У)-2х,у¥(х.У)
*302. p^q^r *13-01. х = у
*401. p = q *1302. х/у
*402. p = q^r *1303. x = y = z
*434. P-q-r *1401. [(зх) (фх)]. у (ix) (фх)
*901. ~ (W • <M *14-02. Е!0х)(фх)
*9011. ~ (x). фх *1403. [(IX) (фх), (ix) (ух)].
*902. ~ {(я*) • ФЛ f {(ix) (фх), (ix) (ух)}
*14-04. [(ух) (ух)]. f {(ух) (фх),
*9-021. ~(ах).фх (ix) (ух))
*9-03. (x). фх . V . p *20-01. f{z (yz)}
*9-04. p . V . (x) . фх *20-02. хе(ф!г)
*9-05. (дх).фх.7.р *2003. Cis
*9-06. P • V . (gx). <px *2004. х,у еа
*9-07. (x). фх. V . (gy). уу *20-05. х, у, г е а
*9-08. (ЯУ) • УУ • V . (х). фх *20-06. х~еа
*10-01. (Ях). фх *20-07. (а) • /а
*10-02. фх Эх Vх *20-071. (да). /а
*10-03. Ф*=х УХ *20-072. [(да) (фа)] .f (да) (фа)
*11 01. (х,у).ф(х,у) *20-08. /{а (уа)}
*11-02. (х, у, z). ф (х, у, Z) *20-081. а е (ф ! а)
*11 03. (ях, у). ф (х, у) *21-01. /{хуу(х,у)}
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
732
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*2102. а (ф ! (х, у)} *33-02. a
*2103. Rel *33’03. c
*21 07. (Л)./Л *3304. F
*21071. (аЛ)./я *3401. R\S
*21072. *3402. R2
*2108. f{RSy(R,S)} *3403. R3
*21081. Р{ф!(Л,5)}<2 *3501. a]R
*21082. f{R(.WR)} *3502. ЯГР
*21083. /?еф!Я *35’03. аШр
*2201. а с Р *3504. aTP
*2202. а П Р *35’05. R‘xTP
*2203. аир *3524. a1/?|S
*2204. - а *35’25. 5 |Я ГР
*2205. а-р *3601. Р Га
*2253. апрпу *3701. Я“р
*2271. аириу *37 02. Re
*2301. RaS *37 03. Re
*2302. RnS *3704. Л“‘к
*23 03. RUS *37 05. Е!!Я“Р
*2304. -R *3801. хЧ
*2305. R-S *3802. ЧУ
*2353. RnSHT *38-03. а?У
*23-71. RUS UT *4001.
*2401. V *4002. s‘k
*2402. л *4101.
*2403. Я !a *4102.
*2501. V *4301. Я ||S
*2502. л *5001. I
*2503. Я 'R *5002. J
*3001. R'y *5101. i
*3002. R‘S‘y *5201. 1
*3101. Cnv *5401. 0
*3102. £ *5402. 2
*3201. *5501. х|у
*3202. *5502. Л‘х|у
*3203. Sg *5601. 2
*3204. gS *56-02. 2г
*3301. D *56-03. ог
Principia Mathematica II
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
733
*6001. С1 *7302. sm
*6002. С1ех *8001. Рд
*60-03. Cis2 *84-01. Cis2 excl
*6004. Cis3 *8402. Cl excl‘y
*6101. R1 *84-03. Cis ex2 excl
*6102. Ш ex *85-5. Ply
*61-03. Rel2 *8801. Rel Mult
*61 04. Rel3 *88-02. Cis2 Mult
*62-01. e *88-03. Mult ax
*6301. tlx *90-01. R*
*63011. tl ‘x *90-02. P*
*63-02. to‘a *91-01. Pst
*63-03. /|‘K *91 02. Pts
*63-04. ?‘x *91 03. Pot 7?
*63041. ?‘x *91-04. Potid‘7?
*6305. t2‘K *91-05. Ppo
*63051. Г3‘к *9301. В
*64 01. too ‘a *93 02. minp
*64-011. tn‘x *93-021. maxp
*64-012. t,2‘x *93-03. gen‘P
*64013. P'x *95-01. (P*2) Dft [*95]
*64014. P‘x *96-01. I^x Dft [*96]
*6402. toi‘« *96-02. Jr'x Dft [*96]
*64-021. tio‘a *97-01.
*64-022. tn‘a *100-01. Nc
*6403. to1‘a *100-02. NC
*64031. fi1‘a *102-01. NC₽ (a)
*64-04. ’t0‘a *10301. Noc‘a
*64-041. ’ti‘a *10302. N0C
*6501. ax *104-01. №c‘a
*6502. a(x) *104-011. N2c‘a
*6503. Rx *10402. N’C
*65-04. R(x) *104 021. N2C
*65-1. R(*j) *10403. ц<’>
*65 11. R(xy) *104031. и(2)
*65-12. R(x,y) *105-01. Nic‘a
*70-01. a->p *105 011. N2c‘a
*73-01. a sm p *105-02. N,C
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
734
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*105021. n2c *117-05. p.> v
*10503. H(1) *11706. p. o
*105031. H(2) *11901. Y-Cv
*10601. Nooc'a *11902. Nc‘a-C v
*106011. Nnc‘a *11903. Y“c Nc‘0
*106012. NOic‘a *12001. NC induct
*10602. Мо]с‘а *120011. N^C induct
*106021. *12002. Cis induct
*10603. NqoC *120-021. Cls^ induct
*10604. H(00) *12003. Infin ax
*106041. |X<n) *12004. Infin ax (x)
*11001. a + p *120-43. spec‘0
*11002. H+Cv *121 01. P(x-y)
*11003. Nc‘a+C p *121-011. P(x-iy)
*11004. р+с Nc‘a *121-012. Р(хну)
*110-561. p +c V +c GJ *121013. P(xt-iy)
*111 01. к sm sm X. *121-02. Pv
*111-02. Crp(5)‘₽ *12103. finid'P
*111 03. smsm *121 031. fin'P
*112-01. E‘K *121 04. vP
*11202. SNc'k *122 01. Prog
*113-02. 0xa *12301. No
*113 03. pX0 V *123 02. N Dft [*123-4]
*11304. Nc‘0 Xo p *124-01. Cis refl
*11305. p Xq Nc‘a *12402. NCrefl
*113 511. ax0xy *124021. Nc'peNC refl
*113541. p Xo V Xo GJ *124-03. NC mult
*11401. Wk *126-01. NCind
*11501. РгосГк *150-01. S’Q
*11502. Cis3 arithm *150-02. StQ
*11601. aexpP *15003. Q?,y
*116-02. *150-04. R'S’Q
*11603. (Nc‘a)v *15005. R’S’Q
*116-04. pNc‘₽ *151-01. P smor <2
*11701. p> V *151 02. smor
*11702. p. > Nc‘a *152 01. Nr
*11703. Nc‘a> v *152 02. NR
*117-04. p.< V *15301. L
Principia Mathematica II
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
735
*15401. NRy(X) *183-01. ENr‘P
*155 01. Nor‘P *184-01. px V
*15502. N0R *184-02. Nr‘Px v
*16001. P + Q *18403. pxNr‘2
*161 01. P-h x *18432. pxvxaj
*16102. x + P *185-01. IINr‘P
*161 212. P X V *18601. p expr v
*161 213. X *1- У 4- P *186-02. (Nr‘P)expr v
*162 01. I? *18603. jiexpr(Nr‘2)
*16301. Rel2 excl *201-01. trans
*16401. P smor smor Q *202-01. connex
*16402. smor smor *204-01. Ser
*16601. QxP *20601. seqP
*166-421. PxQxR *206-02. precp
*170-01. Pci *207-01. Itp
*17002. P1C *207-02. tip
*171-01. Pdf *207-03. limaxp
*171-02. Pfd *207 04. liminp
*172-01. 1ГР *208-01. cror‘P
*17301. Prod‘P *211-01. sect‘P
*17401. Rel3 arithm *212-01. s‘P
*17601. Pexp Q *212-02. sym‘P
*17602. PQ *21301. Ps
*180-01. P + Q *21401. Ded
*180-02. p + V *214-02. semi Ded
*18003. Nr‘P + v *215 01. str‘P
*180-04. p + Nr‘g *216-01. 6p
*180-561. Ц4- V + CD *216-02. dense‘P
*181-01. Р-н X *216-03. closed‘P
*181 011. xA-P *21604. perf‘P
*181-02. p+ i *21605. V‘P
*181-021. i + p. *230-01.
*181 03. Nr‘P+ i *230-02. Gen
*181-031. i+Nr‘P *23101. PRscQ
*18104. i + i *231-02. P^osG
*181-561. p+i + i *23201. (P^G)sc‘a
*181-571. i + i + p *232 02. (P^G)os‘a
*18201. *23301. (P^G)lmx
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
736
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*23302. R(PQ) *26501. <01
*23401. sc (P,Q)'R *26502. Ki
*23402. os (P,Q)‘R *26503. a>2
*23403. ct (PQ)‘ R *26504. f<2
*23404. contin (PQYR *26505. M Dft [*265]
*23405. P contin Q *265-06. N Dft [*265]
*25001. Bord *27001. Comp
*25002. Q *27101. med
*251 01. NO *272 01. Tpq
*25401. less *27301. n
*25402. ^sm *27302. Rspq'T Dft [*273]
*25501. <* *27303. (RS)pq Dft [*273]
*255*02. •> *27304. Trspq Dft [*273]
*255*03. N0O *27401. Pn
*25504. *27402. Pm‘K Dft [*274]
*25505. *27403. TP‘K Dft [*274]
*25506. p<-Nr‘P *27404. Mp‘k Dft [*274]
*25507. Nr'P <• *27501. 0
*25601. M Dft [*256] *27601. P&
*25602. N Dft [*256] *276 02. A Dft [*276]
*25701. (R * Q)‘x *27603. Pm‘k Dft [*276]
*25702. Qrx *27604. TP Dft [*276]
*25901. A Dft [*259] *27605. Pu‘k Dft [*276]
*25902. Dft [*259] *30001. U
*25903. wA *30002. Rel num
*26001. Pfn *300 03. Rel num id
*26101. Ser infin *301 01. RP Dft [*301]
*261 02. Q infin *30102. num (R) Dft [*301]
*26103. Ser fin *30103. R°
*26104. Q fin *302 01. Prm
*26105. Q induct *30202. (p, o) Prmr (p, v)
*26201. NO fin *30203. (p, a) Prm (p, v)
*26202. NO infin *30204. hcf (p, v)
*26203. Hr *302*05. 1cm (p, v)
*26301. <0 *30301. p/v
*263*02. N Dft 1*263] *30302. 09
*264*01. Ррт Dft [*263] *303 03. °°?
*264*429. i x a *303 04. Rat
Principia Mathematica II
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
737
*303 05. Rat def
*304 01. X<r *30402. H *30403. H’ Y
*305 01. Xxs Y
*30601. X+, *30701. Ratn *307 011. Ratg *307-02. <n Y
*307-021. >n
*30703. <g *307 031. >g *307-04. Hn *30705. 77g *308-01. X-s Y
*308-02. X +g Y
*309-01. Xxg *310-01. 0 *310-011. 0' Y
*31002.
*310021.
*310 03. ®g
*311 01. concord (fi, v,...)
*31102. H+Pv
*31201. |1-PV
*31202.
*31301. p.xav
*31401. X+rY
*31402. XxrY
*31403. cT
*31404. M+aN
*31405. MxaN
*33001. cr‘a
*33002. Abel
*33003. fm‘a
*33004. FM
*330*05. к.
*331 01. сопх'к
*33102. FM сопх
*332 01. герк‘Р
*333 01. 1Q
*333 011.
*33302. FM ар
*333*03. ГМ ар сопх
*33401. trs‘K
*334 02. FAftrs
*334*03. FM connex
*334 04. FMst
*33405. FM asym
*33501. init‘K
*33502. FAfinit
*33601. VK
*336 011. UK
*33602. Aa
*35101. FAfsubm
*35201. TK
*35202. Tn,
*353 01. FAfrt
*353 02. FMcx
*353*03. FM rt ex
*354*01.
*35402. ext/k
*35403. FAZ grp
*356*01. XK
*370*01. FM cycl
*370*02. KK
*370*03. ZK
*371*01. WK
*372*01. vK
*373*01. Dft [*373-5]
*37302. Prime
*373-03. (5,v) Dft [*373-5]
*375-01. (p/v)K
A.H. Уайтхед, В. Рассел
Научное издание
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том II
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Г.П. Ярового;
д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. Радаева
Редактор и корректор Т.И. Кузнецова
Художественный редактор Л.В. Крылова
Компьютерная верстка, макет Д.В.Чичерова
Подписано в печать 25.01.06. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 59,96. Уч.-изд. л. 46,13.
Typeset by LXI^X2e. Тираж 100 экз. Заказ №369
Издательство ’’Самарский университет”, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1,
тел. +7 846 3345423, факс +7 846 3345406. E-mail: university-press@ssu.samara.ru
Отпечатано в ООО "Типография "Книга”, 443068, г. Самара, ул. Ново-Садовая, 106,
тел. +7 846 3353526. E-mail: slovo@samaramail.ru
EAN-13
ISBN 5-86465-361-6