КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 2
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И РЯДЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
■ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

Б. М. БУДАК, С. В. ФОМИН
КРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
И РЯДЫ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника
для физических и физико-математических
факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

517.2
Б 90
УДК 517.3/517.52@75.8)

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 14
Предисловие 14
Глава 1. Двойные интегралы 15
§ 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 16
1. Граничные и внутренние точки. Область A6). 2. Расстояние
между множествами A8). 3. Площадь плоской фигуры A9).
4. Основные свойства площади B2). 5. О понятии меры мно-
множества B3).
§ 2. Определение и основные свойства двойного интеграла 24
1. Определение двойного интеграла B4). 2. Условия существо-
существования двойного интеграла. Верхние и нижние суммы B6).
3. Важнейшие классы интегрируемых функций C2). 4. Свой-
Свойства двойного интеграла C3).
§ 3. Аддитивные функции области. Производная по площади .... 35
1. Функции точки и функции области C5). 2. Двойной инте-
интеграл как аддитивная функция области C6). 3. Производная
функции области по площади C6). 4. Производная по пло-
площади от двойного интеграла C7). 5. Восстановление аддитив-
аддитивной функции области по ее производной C8). 6. Определен-
Определенный интеграл как функция области D0). 7. Продолжение
функций области по аддитивности D1).
§ 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных
интегралов 41
1. Вычисление объемов D1). 2. Вычисление площадей D2).
3. Масса пластинки D2). 4. Координаты центра масс пла-
пластинки D3). 5. Моменты инерции пластинки D4). 6. Свето-
Световой поток, падающий на пластинку D5). 7. Поток жидкости
через поперечное сечение канала D5).
§ 5. Сведение двойного интеграла к повторному 46
1. Наводящие соображения D6). 2. Случай прямоугольной обла-
области D8). 3. Случай криволинейной области E0).
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле 54
1. Отображение областей E4). 2. Криволинейные коорди-
координаты E6). 3. Полярные координаты E7). 4. Постановка за-
задачи о замене переменных в двойном интеграле E8). 5. Пло-

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
щадь в криволинейных координатах E9). 6. Замена перемен-
переменных в двойном интеграле F6). 7. Сравнение с одномерным
случаем. Интеграл по ориентированной области F9).
Глава 2. Тройные и многократные интегралы 71
§ 1. Определение и основные свойства тройного интеграла 71
1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи-
фигуры G1). 2. Определение тройного интеграла G3). 3. Усло-
Условия существования тройного интеграла. Интегрируемость непре-
непрерывных функций G4). 4. Свойства тройных интегралов G5).
5. Тройной интеграл как аддитивная функция области G6).
§ 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геомет-
геометрии 77
1. Вычисление объемов G7). 2. Нахождение массы тела по
плотности G7). 3. Момент инерции G8). 4. Вычисление коор-
координат центра масс G8). 5. Притяжение материальной точки
телом G9).
§ 3. Вычисление тройного интеграла 80
1. Сведение тройного интеграла по параллелепипеду к повтор-
повторному (80). 2. Сведение тройного интеграла по криволинейной
области к повторному (82).
§ 4. Замена переменных в тройном интеграле 85
1. Отображение пространственных областей (85). 2. Криволи-
Криволинейные координаты в пространстве (86). 3. Цилиндрические и
сферические координаты (86). 4. Элемент объема в криволи-
криволинейных координатах (88). 5. Замена переменных в тройном
интеграле. Геометрический смысл якобиана (89).
§ 5. Понятие о многомерных интегралах 93
1. Общие сведения (93). 2. Примеры (94).
Глава 3. Элементы дифференциальной геометрии 97
§ 1. Вектор-функции скалярного аргумента 97
1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность (97).
2. Дифференцирование вектор-функции (98). 3. Годограф. Осо-
Особые точки A00). 4. Формула Тейлора A01). 5. Интеграл
от векторной функции по скалярному аргументу A01). 6. Вектор-
Векторные функции нескольких скалярных аргументов A02).
§ 2. Пространственные кривые 102
1. Векторное уравнение кривой A02). 2. Основной трехгран-
трехгранник A05). 3. Формулы Френе A06). 4. Вычисление кривизны
и кручения A07). 5. Система координат, связанная с основным
трехгранником A-09). 6. Вид кривой вблизи произвольной ее
точки (НО). 7. Ориентированная кривизна плоской кривой A13).
8. Понятие о натуральных уравнениях кривой A13). 9. Неко-
Некоторые приложения к механике A15).
§ 3. Параметрическое уравнение поверхности 117
1. Понятие поверхности A17). 2. Параметризация поверхно-
поверхности A18). 3. Параметрическое уравнение поверхности A19).

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
4. Кривые на поверхности A20). 5. Касательная плоскость A21).
6. Нормаль к поверхности A22). 7. Системы координат в каса-
касательных плоскостях A23).
§ 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей.
Первая квадратичная форма поверхности 124
1. Аффинная система координат на плоскости A25). 2. Длина
дуги на поверхности. Первая квадратичная форма A26). 3. Угол
между двумя кривыми A28). 4. Определение площади поверх-
поверхности. Пример Шварца A29). 5. Вычисление площади гладкой
поверхности A31).
■§ 5. Кривизна линий на поверхности. Вторая квадратичная форма 135
1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна A36).
2. Вторая квадратичная форма поверхности A38). 3. Индикат-
Индикатриса кривизны A39). 4. Главные направления и главные кри-
кривизны поверхности. Формула Эйлера A40). 5. Вычисление
главных кривизн A42). 6. Полная кривизна и средняя кри-
кривизна A43). 7. Классификация точек на поверхности A43).
8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система
инвариантов поверхности A45),
§ 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности 146
1. Наложимость поверхностей. Необходимое и достаточное усло-
условие наложимости A46). 2. Внутренняя геометрия поверхно-
поверхности A47). 3. Поверхности постоянной кривизны A48).
Глава 4. Криволинейные интегралы 150
§ 1. Криволинейные интегралы первого рода 150
1. Определение криволинейного интеграла первого рода A504
2. Свойства криволинейных интегралов A54). 3. Некоторые
применения криволинейных интегралов первого рода A55).
4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве A57).
§ 2. Криьолинейные интегралы второго рода 158
1. Постановка задачи. Работа силового поля A58). 2. Опреде-
Определение криволинейного интеграла второго рода A59). 3. Связь
между криволинейными интегралами первого и второго
рода A60). 4. Вычисление криволинейного интеграла второго
рода A62). 5. Зависимость криволинейного интеграла второго
рода от ориентации кривой A65). 6. Криволинейные интегралы
вдоль самопересекающихся и замкнутых путей A65). 7. Криво-
Криволинейные интегралы второго рода вдоль пространственных кри-
кривых A66).
§ 3. Формула Грина '. 168
1. Вывод формулы Грина A68). 2. Вычисление площади с по-
помощью формулы Грина A73).
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
Интегрирование полных дифференциалов 174
1. Постановка вопроса A74). 2. Случай односвязной обла-
области A74). 3. Нахождение функции по ее полному дифферен-
дифференциалу A78). 4. Криволинейные интегралы в многосвязной
области A79).

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Поверхностные интегралы 183
§ 1. Поверхностные интегралы первого рода 183
1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ-
функции A83). 2. Сведение поверхностного интеграла к двой-
двойному A84). 3. Некоторые применения поверхностных интегра-
интегралов к механике A88). 4. Поверхностные интегралы от вектор-
векторных функций. Общее понятие поверхностного интеграла пер-
первого рода A89).
§ 2. Поверхностные интегралы второго рода 191
1. Сторона поверхности A91). 2. Определение поверхностного
интеграла второго рода A95). 3. Сведение поверхностного инте-
интеграла второго рода к двойному интегралу A99).
§ 3. Формула Остроградского ... 201
1. Вывод формулы Остроградского B01). 2. Вычисление позерх-
ностных интегралов с помощью формулы Остроградского. Пред-
Представление объема пространственной области в виде поверхно-
поверхностного интеграла B05).
§ 4. Формула Стокса 207
1. Вывод формулы Стокса B07). 2. Применение формулы
Стокса к исследованию пространственных криволинейных инте-
интегралов B10).
Глава 6. Теория поля 213
§ 1. Скалярные поля 213
1. Определение и примеры скалярных полей B13). 2. Поверх-
Поверхности и линии уровня B14). 3. Различные типы симметрии
полей B15). 4. Производная по направлению B16). 5. Градиент
скалярного поля B17).
§ 2. Векторные поля . . . ; 219
1. Определение и примеры векторных полей B19). 2. Векторные
линии и векторные трубки B20). 3. Различные виды симметрии
векторных полей B20). 4. Поле градиента. Потенциальное
поле B21).
§ 3. Поток векторного поля. Дивергенция 223
1. Поток векторного поля через поверхность B23). 2. Дивер-
Дивергенция B24). 3. Физический смысл дивергенции для различных
полей. Примеры B26). 4. Соленоидальное поле B29). 5. Урав-
Уравнение неразрывности B30). 6. Плоское течение жидкости. Фор-
Формула Остроградского на плоскости B31).
§ 4. Циркуляция. Ротор 233
1. Циркуляция векторного поля B33). 2.- Ротор векторного
поля. Запись формулы Стокса в векторных обозначениях B33).
3. Символическая запись ротора B35). 4. Физический смысл
ротора B35). 5. Еще раз о потенциальных и соленоидальных
полях B38).
§ 5. Оператор Гамильтона 239
1. Символический вектор V B39). 2. Действия с векто-
вектором VB40).

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
§ 6. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лап-
Лапласа 243
1. Дифференциальные операции второго порядка B43). 2. Урав-
Уравнение теплопроводности B45). 3. Стационарное распределение
температур. Гармонические поля B46).
§ 7. Запись основных дифференциальных операций теории поля
в ортогональных криволинейных координатах 248
1. Постановка задачи B48). 2. Криволинейные ортогональные
координаты в пространстве B49). 3. Цилиндрические и сфери-
сферические координаты B51). 4. Градиент B52). 5. Диверген-
Дивергенция B52). 6. Ротор B53). 7. Оператор Лапласа B54). 8. Запись
основных формул в цилиндрических и сферических координа-
координатах B55).
§ 8. Переменные поля в сплошных средах 256
1. Локальная и материальная производные B56). 2. Уравнение
Эйлера B58). 3. Производная по времени от интеграла по жид-
жидкому объему B59). 4. Другой вывод уравнения неразрывно-
неразрывности B62).
Глава 7. Тензоры 263
§ 1. Понятие аффинного ортогонального тензора 264
1. Преобразования ортогональных нормированных базисов
B64). 2. Определение аффинного ортогонального тензора B66).
§ 2. Связь между тензорами второго ранга и линейными операто-
операторами 268
1. Линейный оператор как тензор второго ранга B68). 2. Тен-
Тензор второго ранга как линейный оператор B69).
§ 3. Связь между тензорами и инвариантными полилинейными фор-
формами 271
1. Тензоры первого ранга и инвариантные линейные формы
B71). 2. Тензоры второго ранга и инвариантные билинейные
формы B72). 3. Тензоры произвольного ранга р и инвариант-
инвариантные полилинейные формы B74).
§ 4. Тензор деформаций 275
§ 5. Тензор напряжений 276
1. Определение тензора напряжений B76). 2. Тензор напряже-
напряжений как линейный оператор B78).
§ 6. Алгебраические операции над тензорами 279
1. Сложение, вычитание и умножение тензоров B79). 2. Умно-
Умножение тензора на вектор B80). 3. Свертка B81). 4. Переста-
Перестановка индексов B81). 5. Разложение тензора второго ранга на
симметричный и антисимметричный B81).
■§ 7. Тензор относительных смещений 282
§ 8. Поле тензора 284
1. Поле тензора. Дивергенция тензлра B84). 2. Формула Остро-
Остроградского для поля тензора B86). 3. Уравнения движения
сплошной среды B87).

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным
осям 288
§ 10. Общее определение тензора 289
1. Взаимные базисы векторов B89). 2. Ковариантные и контра-
вариантные координаты векторов B90). 3. Операция суммиро-
суммирования в тензорной символике B90). 4. Преобразование базис-
базисных векторов B91). 5. Преобразование ковариантных и кон-
травариантных координат вектора B91). 6. Общее определение
тензора B92). 7. Операции над тензорами B94). 8. Дальней-
Дальнейшие обобщения B94).
Дополнение к гл. 7. Об умножении матриц 294
Глава 8. Функциональные последовательности и ряды 297
§ 1. Понятие равномерной сходимости; признаки равномерной схо-
сходимости 297
1. Сходимость и равномерная сходимость B97). 2. Признаки
равномерной сходимости C03).
§ 2. Свойства равномерно сходящихся функциональных последова-
последовательностей и рядов 308
1. Непрерывность и равномерная сходимость C08). 2. Пре-
Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегри-
интегрирование ряда C11). 3. Предельный переход под знаком про-
производной и почленное дифференцирование ряда C14). 4. По-
члеииый предельный переход в функциональных последова-
последовательностях и рядах C16).
§ 3. Степенные ряды 318
1. Интервал сходимости степенного ряда; радиус сходимости
C18). 2. О равномерной сходимости степенного ряда и непре-
непрерывности его суммы C24). 3. Дифференцирование и интегри-
интегрирование степенных рядов C27). 4. Арифметические операции
над степенными рядами C29).
§ 4. Разложение функций в степенные ряды 330
1. Основные теоремы о разложениях функций в степенные
ряды; разложения элементарных функций C30). 2. Некоторые
применения степенных рядов C36).
§ 5. Степенные ряды в комплексной области 338
§ 6. Сходимость в среднем 342
1. Квадратичное уклонение и сходимость в среднем C42).
2. Неравенство Коши — Буняковского C43). 3. Интегрирова-
Интегрирование сходящихся в среднем последовательностей и рядов C44).
4. О связи между сходимостью в среднем и возможностью по-
почленного дифференцирования последовательностей и рядов
C47). 5. Связь между сходимостью в среднем и другими ви-
видами сходимости C48).
Дополнение 1 к гл. 8. Критерий компактности семейства функций . . 350
Дополнение 2 к гл. 8. Слабая сходимость и дельта-функция 353

ОГЛАВЛЕНИЕ И
Глава 9. Несобственные интегралы • 358
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования ...... 358
1. Определения; примеры C58). 2. Сведение несобственного
+ СО
интеграла I / (х) dx к числовой последовательности и число-
а
вому ряду C62). 3. Критерий Коши для несобственных инте-
интегралов C64). 4. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной
сходимости C66). 5. Условная сходимость C72). 6. Распро-
Распространение методов вычисления интегралов на случай несоб-
несобственных интегралов C74).
§ 2. Интегралы от неограниченных функций с конечными и беско-
бесконечными пределами интегрирования 375
§ 3. Главное значение расходящегося интеграла 383
§ 4. Несобственные кратные интегралы 387
1. Интеграл от неограниченной функции по ограниченной об-
области C87). 2. Интегралы от неотрицательных функций C89).
3. Абсолютная сходимость C93). 4. Признаки абсолютной схо-
сходимости C94). 5. Эквивалентность сходимости и абсолютной
сходимости C97). 6. Несобственные интегралы с неограничен-
неограниченной областью интегрирования C99). 7. Методы вычисления не-
несобственных кратных интегралов D00).
Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра 402
§ 1. Собственные и простейшие несобственные интегралы, зависящие
от параметра 402
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра D02).
2. Простейшие несобственные интегралы, зависящие от пара-
параметра D07).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 410
1. Понятие равномерной сходимости D11). 2. Сведение несоб-
несобственного интеграла, зависящего от параметра, к последователь-
последовательности функций D13). 3. Свойства равномерно сходящихся
интегралов, зависящих от параметра D16). 4. Признаки равно-
равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от
параметра D23). 5. Примеры вычисления несобственных инте-
интегралов с помощью дифференцирования и интегрирования по
параметру D28).
§ 3. Эйлеровы интегралы 434
1. Свойства гамма-функции D35). 2. Свойства бета-функции
D38).
§ 4. Кратные собственные и несобственные интегралы, зависящие
от параметров 442
Глава 11. Ряды Фурье н интеграл Фурье 449
§ !. Предварительные сведения о периодических функциях и поста-
постановке основной задачи 449
1. Периоды периодической функции D49). 2. Периодическое
продолжение непериодической функции D50). 3. Интеграл от

ОГЛАВЛЕНИЕ
периодической функции D51). 4. Арифметические действия над
периодическими функциями D51). 5. Суперпозиция гармоник
с кратными частотами D52). 6. Постановка основной задачи
D53). 7. Ортогональность тригонометрической системы; коэф-
коэффициенты Фурье н ряд Фурье D53). 8. Разложение в ряд Фурье
четных и нечетных функций D56). 9. Разложение функции на
отрезке [—я, я] D58).
§ 2. Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда
Фурье 459
1. Класс кусочно-гладких функций D59). 2. Формулировка
основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда
Фурье D61). 3. Основная лемма D61). 4. Доказательство
основной теоремы сходимости D63). 5. Примеры D67). 6. Раз-
Разложение функций, заданных на отрезке [О, I], только по синусам
или только по косинусам D72).
§ 3. Ряды Фурье по ортогональным системам. Неравенство Бесселя 474
1. Ортогональные системы функций D74). 2. Коэффициенты
Фурье и ряд Фурье функции / (х) по ортогональной системе
D76). 3. Задача о наименьшем квадратичном уклонении. То-
Тождество Бесселя. Неравенство Бесселя D77).
§ 4. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходи-
сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Понятие улучшения
сходимости 481
1. Условия равномерной сходимости тригонометрического ряда
Фурье D81). 2. Связь между степенью гладкости функции и
скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье D84).
3. Понятие улучшения сходимости тригонометрического ряда
Фурье D89).
§ 5. Равномерная аппроксимация непрерывной функции тригономе-
тригонометрическими и алгебраическими многочленами; теоремы Вейер-
штрасса 491
§ 6. О полноте и замкнутости ортогональных систем 495
1. Понятие полноты ортогональной системы D96). 2. Критерий
полноты — равенство Парсеваля D96). 3. Свойства полных си-
систем D97). 4. Полнота основной тригонометрической системы
D99). 5. Полнота других классических ортогональных систем
E02).
§ 7. Ряды Фурье по ортогональным системам комплексных функций
и комплексная запись тригонометрического ряда Фурье .... 503
§ 8. Тригонометрические ряды Фурье для функций нескольких неза-
независимых переменных 507
§ 9. Интеграл Фурье , 510
1. Неограниченное растяжение интервала разложения функции
в ряд Фурье и интегральная формула Фурье E!0). 2. Обосно-
Обоснование интегральной формулы Фурье E11). 3. Интеграл Фурье
как разложение d сумму гармоник E16). 4. Комплексная форма
интеграла Фурье E17). 5. Преобразование Фурье E18).
6. Интеграл Фурье для функций нескольких независимых пере-
переменных E21).

ОГЛАВЛЕНИЕ 13
Дополнение 1 к гл. 11. О полиномах Лежандра 527
Дополнение 2 к гл. 11. Ортогональность с весом и ортогонализация . 529
Дополнение 3 к гл. 11. Функциональное пространство и геометриче-
геометрические аналогии 535
Дополнение 4 к гл. 11. О некоторых применениях преобразования
Фурье 539
Дополнение 5 к гл. 11. Разложение 6-функции в ряд Фурье и инте-
интеграл Фурье 544
Дополнение 6 к гл. 11. Равномерная аппроксимация функций много-
многочленами 546
Дополнение 7 к гл. 11. Об устойчивом суммировании рядов Фурье
с возмущенными коэффициентами 551
Добавление 1. Об асимптотических разложениях 556
§ 1. Примеры асимптотических разложений 556
1. Асимптотические разложения в окрестности нуля E56).
2. Асимптотические разложения в окрестности бесконечности
E57).
§ 2, Некоторые общие определения и теоремы 560
1. Соотношения порядка. Асимптотическая эквивалентность
E60). 2. Асимптотические разложения функций E62).
§ 3. Метод Лапласа для асимптотического разложения некоторых
интегралов 568
Добавление 2. Некоторые сведения об универсальных вычисли-
вычислительных машинах 573
§ 1. Общие сведения о вычислительных машинах 573
1. Введение E73). 2. Основные типы вычислительных машин E74).
3. Основные узлы УЦВМ и их назначение E75). Системы счи-
счисления, используемые в УЦВМ E78). 5. Представление чисел
в вычислительной машине E79).
§ 2. Основные операции, выполняемые УЦВМ. Команды 580
1. Типы операций E80). 2. Основные арифметические опера-
операции E81). 3. Дополнительные операции вычислительного назна-
назначения E82). 4. Поразрядные (логические) операции E82).
5. Операции обращения к внешним устройствам E83). 6. Опе-
Операции передачи управления E84). 7. Осуществление операций
в машине E85).
§ 3, Элементы программирования • 586
1. Общие сведения E86). 2. Программирование по форму-
формулам E87). 3. Циклические процессы E89). 4. Блок-схемное про-
программирование. Подпрограммы E92). 5. Коды команд. Операции
над командами E93), 6. Об автоматизации программирова-
программирования E95).
§ 4. Некоторые вопросы организации работы на УЦВМ 596
1. Условия, определяющие эффективность применения на
УЦВМ E96). 2. Основные этапы решения задачи с применением
УЦВМ E96). 3. Методы предупреждения и обнаружения ошибок
счета E97).
Литература 599
Предметный указатель 600

ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
Кратные, криволинейные и несобственные интегралы, теория поля,
степенные и тригонометрические ряды — это те разделы математики,
с которыми каждому физику приходится встречаться достаточно
часто. Им и посвящена эта книга- Такие важные для читателя-физика
вопросы, как, например, теория поля, ряды и интегралы Фурье, из-
изложены здесь несколько шире, чем это делается обычно в общих
курсах анализа. Кроме того, в книге излагаются элементы дифферен-
дифференциальной геометрии, а также сведения о тензорах, об асимптотических
разложениях и о вычислительных машинах, что обычно не входит
в традиционные руководства по анализу.
Эта книга представляет собой второй выпуск серии «Курс высшей
математики и математической физики». Вместе с первым выпуском
она соответствует программе курса анализа для физических и физико-
математических факультетов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот выпуск, как и остальные выпуски, входящие в серию, на-
написан на основе опыта чтения лекций на физическом факультете МГУ.
В нашем изложении мы старались показать связи между различными
математическими понятиями, их применения и, если это возможно,
их физический смысл, уделяя также должное внимание алгоритмиче-
алгоритмической, вычислительной стороне дела. Главы 1—6 н добавление о вы-
вычислительных машинах написаны С. В. Фоминым, главы 7—11 и до-
добавление об асимптотических разложениях — Б. М, Будаком, однако
общий план и детали изложения неоднократно обсуждались совместно.
При работе над книгой нам оказали помощь своими советами наши
товарищи по кафедре В. А. Ильин, Э. Г, Позняк, А. Г. Свешников
и др. Особенно большую и ценную помощь мы получили от А. Н. Ти-
Тихонова. Ряд важных замечаний сделали Н. В, Ефимов и Л. Д. Куд-
Кудрявцев, прочитавшие книгу в рукописи. Всем этим лицам авторы вы-
выражают глубокую благодарность.
Авторы

ГЛАВА 1
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие определенного интеграла
J / (х) dx
связано с такими задачами, как вычисление пройденного пути по
заданной скорости, нахождение площади криволинейной трапеции и
т. д. Существует много задач, аналогичных названным, но относящих-
относящихся к функциям не одной, а несколь ких, скажем двух, незави-
независимых переменных. Типичная задача такого
рода — нахождение объема криволинейно-
криволинейного цилиндра (трехмерный аналог криволи-
криволинейной трапеции).
Под криволинейным цилиндром с ос-
основанием F, лежащим в плоскости ху,
понимается тело Т, ограниченное этим
основанием, некоторой поверхностью
z = f(x, у) и боковой цилиндрической
поверхностью (рис. 1.1). Объем такого
тела естественно искать следующим обра-
образом. Разобьем основание F сетью кривых
на ячейки Ft; тогда весь цилиндр Т
разобьется на цилиндрические столбики Г,-,
основаниями которых служат ячейки Ft.
Ясно, что объем цилиндра Т следует считать равным сумме объемов
составляющих его столбиков TL.
Чтобы вычислить объем столбика Тг, выберем в Ft некоторую
точку (|;, т]г) и заменим цилиндрический столбик Tt с «кривым»
верхним основанием «настоящим» цилиндром с постоянной высотой,
равной f(li, t]j), и тем же основанием F {. Иначе говоря, объем
столбика Tt примем (приближенно) равным
Рис. 1.1.

16 двойные интегралы [гл. 1
где ASj — площадь ячейки Ft. За прибдиженное значение объема
всего цилиндра Т примем сумму
Jft A.1)
1=1
взятую по всем ячейкам, на которые разбито основание F. Интуи-
Интуитивно ясно, что сумма A.1) будет представлять объем цилиндра Т
с точностью тем большей, чем меньше размеры ячеек F(. Для полу-
получения точного значения этого объема нужно в выражении A.1)
перейти к пределу, неограниченно уменьшая размеры ячеек Ft.
Этот предельный переход и приведет нас к понятию интеграла
от функции/(л:, у) двух независимых переменных — так называемому
двойному интегралу. Изучение двойных интегралов составит содер-
содержание настоящей главы.
Очевидна аналогия между изложенными (пока лишь наводящими)
рассуждениями и построением определенного интеграла на отрезке.
Отличие их состоит лишь в том, что здесь рассматриваются функции
не одной, а двух переменных, а вместо длин отрезков Ах1 берутся
площади тех ячеек F-p на которые разбивается фигура F, служащая
Основанием цилиндра.
Помимо задачи о вычислении объема криволинейного цилиндра,
существует много других задач, также связанных с понятием двойного
интеграла. Некоторые из них будут рассмотрены в § 4 этой главы.
Ряд физических и геометрических задач приводит к понятию
интеграла от функций трех и большего числа переменных. Изучению
таких интегралов будет посвящена следующая глава.
Уже рассмотренная выше задача о вычислении объема криволи-
криволинейного цилиндра показывает, что понятие двойного интеграла суще-
существенно опирается на понятие площади криволинейной плоской фигуры,
поскольку в выражение A.1) входят площади \St криволинейных
ячеек Ft, на которые мы разбили основание цилиндра. Поэтому, хотя
с понятием площади читателю приходилось встречаться и раньше *),
мы начнем эту главу с краткого изложения основных сведений
о площадях.
§ 1. Некоторые вспомогательные понятия.
Площадь плоской фигуры
1. Граничные и внутренние точки. Область. Напомним не-
некоторые необходимые для дальнейшего понятия. Пусть а — не-
некоторая точка на плоскости. Открытый круг радиуса е с центром
*) См. вып. 1, гл. И, § 2.

§ I] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 17
в,точке а *} называется г-окрестностью или просто окрестностью
этой точки. Точка а, принадлежащая данному множеству А, называ-
называется его внутренней точкой, если некоторая «достаточно малая»
е-окрестность точки а целиком состоит из точек множества А. Мно-
Множество, всеточки которого внутренние, называется открытым множе-
множеством. Говорят, что открытое множество G связно, если любые две его
точки можно соединить не-
непрерывной кривой, целиком У
принадлежащей О. Связное
открытое множество короче
называется областью.
Например, совокупность
точек, координаты которых
удовлетворяют условию а)
х2 + У2 < 1 • есть область
(рис. 1.2, а). Множество, Рис. 1.2.
состоящее из двух кругов
х2-\-у2<_\ и (х— 2J -f- у2 < 1, не область: оно открыто, но не
связно (рис. 1.2, б).
Точка а называется граничной для множества А, если любая ее
окрестность содержит точки, как принадлежащие, так и не принад-
принадлежащие А. Сама граничная точка при этом может принадлежать А,
а может ему и не принадлежать. В частности, открытое множество не
содержит ни одной своей граничной точки. Совокупность всех гра-
граничных точек множества называется его границей. Множество,
содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым.
Каждое множество может быть превращено в замкнутое присоедине-
присоединением к нему всех его граничных точек. В частности, присоединив к
некоторой области О все ее граничные точки, мы получим множество,
называемое замкнутой областью.
Точка а называется предельной для множества А, если в А
существует последовательность попарно различных точек ах, а2
ап сходящаяся к а. Предельная точка множества А может
принадлежать, а может и не принадлежать А. Замкнутые множества,
и только они, содержат все свои предельные точки. (Докажите это!)
Множество называется ограниченным, если его можно поместить
внутрь некоторого достаточно большого круга. Пусть А — ограни-
ограниченное множество. Обозначим р(ах, а2) расстояние между двумя его
произвольными точками. Пусть теперь ах и а2 пробегают (независимо
друг от друга) все множество А. Ясно, что множество чисел р(ах, а2)
ограничено сверху (р(ах, а2) не может превысить диаметр круга,
*) То есть совокупность всех точек плоскости, расстояние которых
от а строго меньше е.
2 Б. М. Bvnaic. Г. В Фпмии

18 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
в котором помещается А). Точная верхняя грань чисел р(а1, а2)
называется диаметром d(A) множества А (рис. 1.3).
Если множество А есть часть множества В (или совпадает с ним),
то мы будем обозначать это, как обычно, символом АсВ. Принад-
Принадлежность точки а множеству А записывается
так: а£А.
Объединение двух множеств А и В, т. е.
совокупность точек, принадлежащих хотя бы
одному из них, мы обозначим А-\-В, а об-
общую часть множеств Л и В, т. е. сово-
Рис. 1.3. купность точек, принадлежащих и Л и В од-
одновременно, обозначим АВ.
2. Расстояние между множествами. Введем еще одно понятие,
которое нам понадобится при доказательстве теоремы существования
двойного интеграла.
•Пусть А и В — два произвольных множества на плоскости. Назо-
Назовем расстоянием между множествами А и В число
р(Л, B) = infp(a, b), A.2)
где точная нижняя грань берется по всем парам а £ А, Ь£В. Ясно,
что если А и В имеют хотя бы одну общую точку, то р(Л, В)=0.
Обратное, вообще говоря, не верно; например, расстояние между
гиперболой у = — и осью х равно нулю, хотя эти две линии не
X
имеют общих точек. Справедлива, однако, следующая теорема, кото*
рая нам понадобится в § 2.
Теорема 1.1 {отделимость замкнутых множеств). Если
Р и Q — ограниченные замкнутые множества без общих точек,
то р(Р, <2)>0.
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть
р(Р, Q) = 0. Тогда, по определению расстояния между множествами,
для каждого п~ 1, 2, ... найдутся такие точки рп£Р и qn£Q, что-
Р(Рп. <7«)<7f- A-3)
Так как \рп] — ограниченная бесконечная последовательность, то по
теореме Больцано — Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 14, § 2) из нее
можно выбрать подпоследовательность
сходящуюся к некоторой точке р0. Но тогда соответствующие точки
из последовательности \qn) образуют подпоследовательность, сходя-
сходящуюся, в силу A.3), к той же самой точке р0.

1]
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
19
они совпадают
Точка р0 обязательно принадлежит множеству Р. В самом деле,
здесь возможны два случая. Либо подпоследовательность lpn \ со-
содержит бесконечно много различных точек, тогда р0 будет предель-
предельной для Р и, в силу замкнутости Р, />0£Р; либо же подпоследо-
подпоследовательность [рп \ стабилизируется, т. е. все ее точки, начиная
с некоторого места, совпадают. Тогда, очевидно,
с р0 и ро£Р. По тем же причинам />0£Q. Но
тогда Р и Q имеют общую точку, что противо-
противоречит условию теоремы.
Упражнение. Убедиться, что теорема вер-
верна, когда из двух замкнутых множеств Р и Q ог-
ограничено хотя бы одно.
3. Площадь плоской фигуры. Из элементарной
геометрии известно понятие площади многоуголь-
многоугольной фигуры. (Под многоугольной фигурой мы по-
понимаем множество, составленное из конечного
числа ограниченных многоугольников (рис. 1.4.)
Площадь многоугольной фигуры — это число,
обязательно неотрицательное*), обладающее
■свойствами:
1 (монотонность). Если Р и Q—две многоугольные фигуры
и Р целиком лежит внутри Q, то
плР<плС?.
2 (аддитивность). Если Р1 и Р2—две многоугольные фигуры
без общих внутренних точек и Рх-\-Р2 означает объединение
этих фигур, то
пл {Рх +Р2) = пл Р1 + пл Р2 **).
3 (инвариантность.) Если многоугольные фигуры Pt и Р2
конгруэнтны между собой, то
пл(Р1) = пл(Р2).
Распространим теперь понятие площади, сохранив все три свойства,
■с многоугольных фигур на некоторый более широкий класс фигур.
Эта задача решается следующим способом.
Рис. 1.4.
следующими
*) Нулем оно будет, разумеется, лишь тогда, когда многоугольная фигура
вырождается в конечное число точек или отрезков.
**) Легко убедиться в том, что требования 1 и 2 не независимы: моно-
монотонность площади вытекает из ее неотрицательности и условия аддитивности.
Действительно, если многоугольная фигура Р лежит внутри многоугольной
фигуры Q, то Q можно представить как объединение Р и многоугольной
фигуры, которую естественно назвать разностью между Q и Р и обозначить
■Q — P- Тогда (по аддитивности) пл Q = пл Р -f пл (Q — Р), но так как
пл(<Э — Р)>0, то пл<?>А

20 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. t
Пусть F — некоторая плоская фигура*). Будем рассматри-
рассматривать всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком лежащие вну-
внутри F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Фигуры Р
будем называть вложенными, а фигуры Q — объемлющими. Площади
вложенных фигур ограничены в совокупности сверху (например,
площадью любой объемлющей фигуры), а площади объемлющих фигур
ограничены снизу (например, нулем). Поэтому существуют точная
верхняя грань **)
S. = S.{F) = sup (плР)
площадей всех многоугольных фигур, вложенных в фигуру F, и точ
ная нижняя грань
S* = S*(F)= inf (пл<2)
QF
площадей всех многоугольных фигур, объемлющих F.
Величина S.f называется внутренней площадью фигуры Fr
a S* — ее внешней площадью. Из того, что площадь любой вложен-
вложенной фигуры не больше, чем площадь любой объемлющей, следует:
Если 5Ф = 5*, то их общее значение 5 называется просто пло-
площадью фигуры F. Сама фигура F при этом называется имеющей
площадь или квадрируемой
Итак, мы распространили понятие площади с многоугольников
на некоторый, более широкий класс фигур ***). Сохранение основных
свойств площади (аддитивность, монотонность и инвариантность)
будет доказано в п. 4.
Установим следующее, полезное для дальнейшего условие квадри-
квадрируемости фигуры.
Теорема 1.2. Фигура F квадрируема в том и только
том случае, если для любого е > 0 найдутся две такие много-
многоугольные фигуры PaF и Q^dF, что
плф — плР<е. A.4)
Доказательство. Действительно, если такие фигуры суще-
существуют, то из
Рб;5*С?
*) То есть некоторое ограниченное множество точек на плоскости.
**) Если в фигуру F нельзя вписать ни одного многоугольника, то мы
полагаем по определению, что St = 0.
***) Ясно, что всякая многоугольная фигура представляет собой квадри-
руемую (в указанном выше смысле) фигуру и для нее новое определение
площади (с помощью S,, и S*) дает исходную величину этой площади.

§ I] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 2Г
получаем, что
0<5* — S.<e.
а так как е>0 произвольно, то S* = S^.
Обратно, если S* = Sit, то, по определению точных граней, для
заданного е > О найдутся вложенная фигура Р и объемлющая фи-
фигура Q такие, что
откуда
пл Q — плР < е.
Совокупность точек, принадлежащих Q, но не принадлежащих РУ
представляет собой многоугольную фигуру площади пл Q — плР,
содержащую границу фигуры F. Поэтому ус-
условие теоремы 1.2 означает, что фигура F
квадрируема в том и только том случае,
если ее граница может быть погружена в
многоугольную фигуру сколь угодно малой
площади (рис. 1.5).
С помощью этой теоремы легко устано-
установить квадрируемость ряда фигур, отличных
от многоугольных, например квадрируемость рис. 1.6.
круга. В качестве Р и Q для круга можно
взять правильный вписанный и правильный
описанный многоугольники с достаточно большим числом сторон.
Собственно говоря, тот вывод формулы площади круга, который
обычно приводится в школьном курсе геометрии, основан на тех же
самых рассуждениях, которые здесь излагаются в общем виде.
Введем следующую терминологию. Будем говорить, что некоторое
множество, в частности кривая, имеет площадь нуль, если его можно
заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.
Мы можем теперь сформулировать теорему 1.2 иначе.
Теорема 1.2'. Для того чтобы фигура F была квадрируе-
мой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела пло-
площадь нуль.
Опираясь на эту теорему, мы опишем сейчас некоторый класс
заведомо квадрпруемых фигур, достаточно широкий для того, чтобы
ограничиться им во всех дальнейших рассмотрениях.
Лемма. Всякая спрямляемая *) кривая имеет площадь нуль.
*) Спрямляемой называется кривая, имеющая конечную длину. Как.
известно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), если кривая задана уравнениями
■к=ф(О. У =
где tf(t) и "§(t) — непрерывные функции, имеющие непрерывные (или кусочно-
непрерывные) производные, то она спрямляема.

22 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
Доказательство. Пусть L — спрямляемая кривая и /—ее длина.
Разобьем эту кривую с помощью п-\-\ точек на части, длина каж-
I .
дой из которых меньше чем — (это, разумеется, всегда возможно),
21
и примем каждую из этих точек за центр квадрата со стороной —
.(рис. 1.6). Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную
фугуру, объемлющую кривую L, а площадь
этой многоугольной фигуры не превосходит
суммы площадей составляющих ее квадра-
тов, т. е. —г"(я+ 1). Так как / фиксиро-
фиксировано, а п можно взять произвольно боль-
большим, то кривую L действительно можно по-
погрузить внутрь фигуры сколь угодно малой
площади. Лемма доказана.
Рис 1.6. Из этой леммы и теоремы 1.2' полу-
получаем:
Всякая плоская фигура {т. е. ограниченное плоское множе-
множество), граница которой состоит из одной или нескольких
спрямляемых кривых, квадрируема.
Именно этот класс фигур мы и будем, как правило, рассматри-
рассматривать в дальнейшем.
Замечание. Укажем еще один класс плоских квадрируемых
фигур. Всякая кривая, определяемая уравнением
где f (х)—непрерывная функция, или уравнением x = g{y), с ^.
где g{y) тоже непрерывна, имеет площадь нуль. (Доказательство
этого было дано в гл. 11 вып. 1.) Отсюда, в силу теоремы 1.2',
следует, что всякая фигура, граница которой представима в виде
конечного числа непрерывных кривых, задаваемых уравнениями вида
y = f(x) или x = g{y), квадрируема.
4. Основные свойства площади. Покажем теперь, что введенное
нами определение площади плоской фигуры действительно обладает
свойствами монотонности, аддитивности и инвариантности.
Монотонность почти непосредственно вытекает из определения
площади, и ее проверка может быть предоставлена читателю- Уста-
Установим аддитивность, т. е. докажем следующее предложение:
1) Пусть Z7, и F2 — две квадрируемые фигуры без общих
внутренних точек и F— их объединение (рис. 1.7); тогда F
тоже квадрируема и
x\nF=miFl-\-xmF2. A.5)

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
23
Рис. 1.7.
Квадрируемость фигуры F следует из теоремы 1.2' и того, что
ее граница составлена из множеств площади нуль, ограничивающих
фигуры Fl и F2 (она является частью объединения границ фигур /^
и F2) *)• Остается доказать равенство A.5).
Для этого рассмотрим многоугольные фигу-
фигуры Р, и Р2, вложенные в Z7, и F2 соответствен-
соответственно, и многоугольные фигуры Qj и Q2, объем-
объемлющие соответственно Z7, и F2. Фигуры Р, и
Р2 не пересекаются, поэтому площадь много-
многоугольной фигуры, составленной из Р, и Р2,
равна плРу-{-пл Р2. Фигуры Qt и Q2 (возмож-
(возможно, пересекающиеся) составляют в сумме фи-
фигуру Q, площадь которой не превосходит пл Qj-f-пл Q2. Таким обра-
образом, имеем
пл Р = пл Р, -f- пл Р2 ^! пл F ^ пл Q ^ пл Q, -f- пл Q2
и
пл Pj -j- пл Р2 <; пл Fj -\- пл F2 ^ пл Qj -j- пл Q2.
Так как разности nnQy— плР, и пл<22— плР2 могут быть сделаны-
сколь угодно малыми, то отсюда следует равенство A.5). Аддитив-
Аддитивность доказана.
Наконец, свойство инвариантности площади непосредственно выте-
вытекает из инвариантности площади для многоугольных фигур и самого-
способа определения площади квадрируемых
фигур через площади многоугольников. Укажем
еще одно свойство квадрируемых фигур.
2) Общая часть двух квадрируемых
фигур есть квадрируемая фигура.
Действительно, если Z7, и F2 — какие-либо
Рис. 1.8. Две фигуры и F — их общая часть (рис. 1.8),
то каждая точка, граничная для F, является
граничной либо для Z7,, либо для F2- Поэтому наше утверждение
следует из теоремы 1.2' и того факта, что объединение множеств
площади нуль само имеет площадь нуль.
5. О понятии меры множества. Введенное в этом параграфе понятие
площади называют понятием площади по Жордану **), или мерой Жордана.
Зто понятие имеет, однако, некоторые недостатки. Действительно, выше
было показано, что объединение двух квадрируемых фигур есть квадрируе-
квадрируемая фигура. Отсюда, конечно, немедленно следует, что и объединение любого
конечного числа квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Однако
если мы рассмотрим некоторую последовательность квадрируемых фигур
*) Очевидно, что всякая часть множества площади нуль сама является,
множеством площади нуль.
**) Камилл Жор дан A838—1922) — французский математик.

4 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
то их объединение может быть уже и не квадрируемой фигурой. Вот про-
простой пример. Рассмотрим на плоскости квадрат
•и отметим в нем точки с рациональными координатами. Нетрудно показать-
что все эти точки образуют счетное множество, т. е. что их можно располо-
расположить в виде последовательности
Р\ == \-**1* У Vh P% == \-**2» У 2)* • • •» Pfl == \X/i* У Tlj* • • •
£
Возьмем теперь некоторое число е > 0 и построим круг радиуса г( < -к-
< центром в точке pt. Далее, возьмем первую из точек р2, р3, ..., не попав-
шую в этот круг, и построим с центром в этой точке круг радиуса г2 <^,
/не пересекающийся с первым кругом. После этого возьмем первую из остав-
оставшихся точек, не попавшую в построенные круги, и примем ее за центр круга
е
■радиуса г3 < -щ, не пересекающегося с двумя уже построенными кругами.
Будем продолжать такое построение до бесконечности. Мы получили последо-
последовательность помещенных внутри квадрата кругов (без общих точек),
расположенных в этом квадрате «всюду плотно*)». Нетрудно показать (сде-
-лайте это), что объединение этих кругов представляет собой фигуру F,
не квадрируемую в смысле Жордана. Вместе с тем этой фигуре естественно
приписать площадь, равную сумме площадей составляющих ее кругов. Эта
<умма, очевидно, равна
оо оо
S2 V е2 1 2
' jU 22i 3
Подобные затруднения отпадают, если вместо понятия меры Жордана
[пользоваться более гибким и совершенным понятием меры Лебега **), кото-
которое мы, к сожалению, не можем здесь излагать.
§ 2. Определение и основные свойства
двойного интеграла
1. Определение двойного интеграла. Перейдем к основной теме
•этой главы — понятию двойного интеграла. Пусть О — некоторая
жвадрируемая фигура, и пусть в О определена ограниченная функция
,/(х, у). Разобъем О на конечное число непересекающихся квадри-
руемых частей О(- и составим сумму
л
0=11/F,. ть) AS,, С1-6)
i=i
где ASt — площадь Ot, a (lit r\t) — произвольная точка, принадлежа-
принадлежащая Ot. Суммы вида A.6) будем называть интегральными суммами
*) Это означает, что объединение этих кругов представляет собой
.множество, замыкание которого есть весь квадрат.
**) Анри Лебег A875—1941) — французский математик, Один из созда-
создателей современной теории функций.

5 2]
свойства двойного интеграла
25-
(отвечающими функции f(x, у) и фигуре О). Введем понятие пре-
предела интегральных сумм A.6) следующим образом.
Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d @^
фигур Ог. Мы скажем, что число J есть предел инте-
интегральных с у м м A.6) при D—>0, если для любого е > 0 най-
найдется такое 6 > 0, что
|о —У|<е A.7).
как только
D<6. A.8)
Иными словами, неравенство A.7) должно выполняться для всех,
интегральных сумм а, соответствующих разбиениям G=G,-|-G2-f-
-\- .. . -\-Gn, которые удовлетворяют условию A.8) независимо от
вида разбиения фигуры О на части Ot и независимо от выбора точки.
(!(• %) в каждом из элементов разбиения.
Определение 2. Если предел
Нш 11/F,. т)г)А5г
интегральных сумм A.6) существует, то он называется двой-
двойным интегралом от функции / (х, у) по области О и обо-
обозначается символом Г I f(x, y)ds или Г Г f(x, y)dxdy. Сама.
о о
функция f(x, у) при этом называется интегрируемой по фигуре О.
Иногда понятие двойного интеграла вводят несколько иначе. Фигуру G,.
взятую из того или иного класса фигур, разбивают прямыми, параллельным»
осям координат на прямоугольные ячей-
ячейки (рис. 1.9). В каждой из ячеек Gt вы-
выбирают по точке i\i, x\i) и составляют
сумму а = ^/ (£*■ 'Чд bSi- Сумму берут,
скажем, по всем ячейкам, лежащим вну-
внутри G, игнорируя ячейки, прилегающие
к границе G (их суммарная площадь ма-
мала). Затем переходят к пределу, когда
максимальный диаметр ячейки стремит-
стремится к нулю. Неудобство этого определе- -
ния состоит в том, что оно по форме
привязано к определенной системе D
координат на плоскости, в то вре- ™с- '-9-
мя как интуитивно ясно, что интеграл
/ (х, у) ds, т. е. объем цилиндрического тела, не должен зависеть
Я
от выбора системы декартовых координат на плоскости. Определение
с прямоугольными ячейками потребовало бы специального доказательства
этого факта. При нашем определении это получается автоматически. Изло-
Изложенное выше определение обладает и другими преимуществами. Пусть, ска»
жем, функция f(x, у) принимает на G только два значения: а, и а2 (рис. 1.10)..

26 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
Если части G, и G2, на которых f (х, у) равна at и а2 соответственно, квадри-
руемы, то наше определение позволяет получить интеграл Г \ f (х, у) ds,
о
по существу, без предельного перехода. Ин-.
туитивно очевидно, что
J J f(x, у) ds = пл G, • а, + пл G2 • а2
о
(доказать!). Определение с прямоугольными
ячейками потребовало бы даже в этом очевид-
очевидном случае кропотливого предельного пере-
._ хода.
у Вместе с тем следует подчеркнуть, что
оба указанных пути приводят к одному и
тому же понятию двойного интеграла.
2. Условия существования двойно-
двойного интеграла. Верхние и нижние сум-
суммы. Выясним, какие условия нужно наложить на функцию f(x, у),
-определенную на некоторой квадрируемой фигуре О, для того,
чтобы можно было гарантировать существование двойного интеграла
Рис. 1.10.
J ff(x, y)ds.
Вводя определение двойного интеграла, мы предполагали, что
■соответствующая функция f(x, у) ограничена*). Однако, как
легко показать на примерах, не всякая ограниченная функция инте-
интегрируема **).
*) В гл. 10 вып. 1 применительно к функциям одной переменной на от-:
резке было доказано, что всякая интегрируемая функция ограничена. Однако,
проведенные там рассуждения мы не можем полностью перенести на случай
двух переменных. Действительно, рассматривая различные разбиения квадри-
квадрируемой фигуры G на квадрируемой части G^, мы, вообще говоря, не сможем
избежать случая, когда некоторые из этих элементов разбиения имеют пло-
площадь нуль. Но тогда из неограниченности функции не следует неограничен-
неограниченность ее интегральных сумм 2 /(■*/> Уд^1 ПРИ каждом разбиении (по-
(поскольку функция может оказаться неограниченной только на том элементе
разбиения, который имеет площадь нуль). В случае одной переменной при
разбиении промежутка интегрирования на непересекающиеся полусегменты
такое положение не возникает. В случае двух (или нескольких) переменных
мы могли бы исключить появление элементов нулевой площади, сузив как
класс рассматриваемых фигур, так и класс рассматриваемых разбиений. Дру-
Другой возможный путь (который мы здесь и выбрали) состоит в том, чтобы
заранее исключить из рассмотрения неограниченные функции.
**) Примером ограниченной, но не интегрируемой функции двух пере-
переменных может служить функция, определенная на квадрате O^je<Jl, O^y^l
■следующим образом: f(x, y)= 1, если х и у рациональны, и f(x, y)=0
в противном случае. Доказательство неинтегрируемости такой функции предо-
предоставляется читателю.

§ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2Г
Для нахождения условий интегрируемости удобно, как и в слу-
случае одной переменной, воспользоваться так называемыми нижними
и верхними суммами Дарбу*).
Пусть f(x, у) — ограниченная функция, определенная на квадри-
руемой фигуре О, и {Ог} — некоторое разбиение этой фигуры. Обо-
Обозначим М, и т1 соответственно точную верхнюю и точную нижнюю-
грани значений f(x, у) на элементе Ог. Суммы
i-i t-i
назовем соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функ-
функции f (х, у) (отвечающими данному разбиению {О,} фигуры О). Оче-
Очевидно, что Q^><b для любого разбиения {Ot}.
Укажем основные свойства верхних и нижних сумм.
1) Для данного разбиения {О(} фигуры О верхняя и ниж-
нижняя суммы представляют собой соответственно точную верх-
верхнюю и точную нижнюю грани интегральных сумм
-2/A,. %) AS,.
(=1
отвечающих данному разбиению {О(} {и всевозможным выборам-
точек (|,, т),)). В частности, всегда
со = S /и, AS, < % f (|(.,т)(.) AS, <|ж, AS, = Q.
Неравенство
S/(!,. r|,)AS,<ilM(.AS, = Q
очевидно при любом выборе точки (|г, т)(-) на О,.
С другой стороны, по определению точной верхней грани, для
каждого е>0 можно в каждом из элементов данного разбиения {О,}
выбрать точку (|., т],) так, что M-t — /(|;, т)() < -^- (S — площадь-
области О). Но тогда
1-Х l=\ Ы\
Для нижней суммы рассуждения аналогичны.
*) Гастон Д а р б у — французский математик A842—1917);

28 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
Назовем разбиение {Oj} измельчением разбиения [О/], если каж-
каждый элемент Ot второго разбиения либо служит элементом первого
разбиения, либо представляет собой объединение нескольких элемен-
элементов этого первого разбиения. Справедливо следующее утверждение:
2) Если Q и со— верхняя и нижняя суммы, отвечающие раз-
разбиению {Oi\. a Q' а ю' — верхняя и нижняя суммы, отвечающие
некоторому его измельчению [Oj], то
т. е. при измельчении разбиения верхняя интегральная сумма
не увеличивается, а нижняя не уменьшается.
Действительно, пусть {Ог}—некоторое разбиение фигуры О и
\Oj\ — его измельчение. Это означает, что каждый элемент Ot раз-
убиения [Qj] представляет собой сумму элементов О\а, а= 1, 2, .... kt,
второго разбиения. При этом
h
AS, = 2AS;a, A.9)
Mi^Mla, o=l, 2 kh A.10)
« каждый элемент Oj входит в состав одного из Ot. Отсюда следует
п п k^
Q=2iMiASl^2i 2 AfiaAS,'a = Q'.
;=i г=1 a=i
Аналогично доказывается неравенство со^со'.
3) Пусть [Оц и \О А — два произвольных разбиения фи-
фигуры О, a Q', а' и Q", со —отвечающие им верхние и нижние
суммы. Тогда
Q'>co", Q">co',
ж. е. любая верхняя сумма (отвечающая данной функции f(x, у))
не меньше, чем любая нижняя сумма (отвечающая той же функ-
функции). Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего,
что для любых двух разбиений {О\\ и {о)\ фигуры О найдется их
«.общее продолжение», т. е. такое разбиение, которое служит из-
измельчением каждого из двух данных. В качестве элементов этого
«общего продолжения» можно взять, например, пересечения произ-
произвольного элемента Ot одного разбиения с произвольным элементом Oj
второго разбиения (нужно брать, конечно, только такие Gj и Oj,
которые имеют общие точки).
Рассмотрим теперь верхние и нижние суммы, отвечающие разбие-
разбиениям {g'i}, {Oj} и их общему продолжению (Gft). Обозначим эти

$ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 29
«уммы соответственно Q', со'; Q", со"; О. со. Тогда по свойству 2)
Кроме того, очевидно, имеет место неравенство
Таким образом,
Q'>Q>co>co"
и аналогично
Q" ^й^-а ^-со'.
Утверждение доказано.
Совокупность всех верхних сумм, отвечающих данной функции
f(x, у), ограничена снизу (например, любой нижней суммой), а сово-
совокупность всех нижних сумм ограничена сверху (например, любой
верхней суммой). Обозначим У точную нижнюю грань верхних сумм,
а У—точную верхнюю грань нижних сумм. Числа У и У называются
верхним и нижним интегралами функции / (х, у) (по области О).
Имеет место неравенство
У<7.
Действительно, если бы имело место обратное неравенство, то на-
нашлось бы число е такое, что
J—7>е>о. (l.ii)
Далее, по определению точных граней, нашлись бы верхняя сумма Ql
и нижняя сумма со2 такие, что
Ц — 7<4- и у — <в2 < -|-.
т. е.
Qj — «2 -f- (У — У) < е,
откуда, в силу A.11),
Й1 — «2 < О-
что противоречит свойству 3).
Свойства 1) — 3) верхних и нижних сумм позволяют установить
следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функ-
функции /(х, у), вполне аналогичное необходимому и достаточному усло-
условию существования определенного интеграла (см. вып. 1, гл. 10,
теорема 10.1).
Теорема 1.3. Ограниченная на квадрируемой фигуре О
функция f(x, у) интегрируема на О в том и только том случае.

30 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
если для любого е >0 найдется такое разбиение фигуры О,
что отвечающие этому разбиению суммы Дарбу удовлетво-
удовлетворяют условию Q—со < е.
Доказательство этой теоремы опирается на следующую лемму Дарбу.
Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы J uJ служат соответ-
соответственно пределами верхних и нижних интегральных сумм Дарбу при
£>->0. (D — максимум диаметров d(Gi) элементов разбиения {Gi} фигуры G.)
Для удобства введем понятие границы разбиения. Если дано разбие-
разбиение {Gj} фигуры G на квадрируемые элементы Gt, то под границей L раз-
разбиения {G;} мы будем понимать объединение границ Lt всех элементов Gj:
L = L, + L2+ ... +Ln.
Для всякого разбиения фигуры G на квадрируемые G; границы Li имеют
площадь нуль, поэтому граница L разбиения {G;} также имеет площадь
нуль.
Граница L как объединение конечного числа замкнутых множеств L[
является замкнутым множеством. (Это общее утверждение о замкнутых мно-
множествах читателю предлагается доказать!)
Перейдем теперь к доказательству леммы Дарбу.
Доказательство леммы Дарбу. По определению верхнего инте-
интеграла J для всякого е > 0 найдется такое разбиение |G*} фигуры G, что
отвечающая ему верхняя сумма Q* удовлетворяет условию
0<Q*-7<|-.
Заключим границу L* этого разбиения строго внутрь некоторой многоуголь-
многоугольной фигуры Q, площадь которой меньше чем -jr-j-т-, где М = sup \f(x, y)\.
2М С*. у)£О
Граница L* и граница многоугольной области Q — это два ограниченных
замкнутых множества без общих точек (рис. 1.11). Следовательно, по тео-
теореме 1.1 расстояние между ними есть некоторая положительная величина а.
Рассмотрим теперь произвольное разбиение
{Gk} фигуры G, для которого D < а. Элемен-
Элементы Gk этого разбиения обладают, очевидно,
следующим свойством: если Gk имеет хотя бы
одну общую точку с £*, то Gk целиком лежит
внутри области Q. Такие элементы Gk мы на-
назовем граничными, а все остальные — внут-
внутренними. Покажем теперь, что всякому раз-
разбиению {Gk}, для которого D < а, _отвечает
верхняя сумма Q, отличающаяся от J меньше
чем на е. Разобьем сумму Q на два слагаемых:
Рис. 1.11. о -
где первая сумма / берется по всем внутренним, а вторая "Z" по всем
граничным элементам разбиения {Gk}- Оценим каждую из этих сумм в отдель-
отдельности. Каждый внутренний элемент разбиения {Gk} целиком лежит внутри
некоторого элемента разбиения @*1. При этом соответствующая точная
верхняя грань Mk не превосходит, очевидно, точной верхней грани значений

3 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 31
•функции f {х, у) на этом элементе разбиения {б,}. Отсюда следует, что
Далее, очевидны неравенства
|jWb|<jW= sup \f(x,y)\ при всех k
11 (х, у)€О
я
Следовательно,
и, значит,
что и требовалось доказать. Для нижних сумм доказательство аналогично.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.3.
Необходимость. Пусть /(х, у) интегрируема и пусть задано е > 0.
Обозначим интеграл от f(x, у) символом J. По определению предела инте-
интегральных сумм, для данного е найдется такое б > 0, что для всякого разбие-
иия {О;}, для которого D < 6, выполняется, независимо от выбора точек
{£(„ у].), условие
п
" :4- A12>
Далее, верхняя и нижняя суммы, отвечающие разбиению {Gj}, представляют
собой соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани интеграль-
интегральных сумм, отвечающих этому разбиению. Поэтому, зафиксировав разбиение,
можно выбрать точки (lc, т),) и (£,-, т^) в элементах Gt этого разбиения так,
чтобы выполнялись неравенства
Так как каждая из этих двух интегральных сумм удовлетворяет неравен-
неравенству A.12), то из A.13) следует:
Q — и < е.
Достаточность. Если для любого е > 0 существует такое разбие-
«ие, что
Q — и < е,
то, очевидно, _
У=У.
Обозначим общее значение этих величин через J и покажем, что J предста-
представляет собой предел интегральных сумм, т. е. двойной интеграл от функ-
функции f(x, у) по G. В силу леммы Дарбу, J есть общий предел верхних и
нижних сумм при D ->0. по так как любая интегральная сумма, отвечающая

32
двойные интегралы
[ГЛ. I
некоторому разбиению, заключена между соответствующими суммами Q и.и,
то J есть предел интегральных сумм при £>->0. Теорема доказана.
3. Важнейшие классы интегрируемых функций. С помощью
теоремы 1.3 мы установим сейчас интегрируемость некоторых важ-
важных классов функций, в первую очередь непрерывных функций. Ниже
мы будем считать, что каждая из рассматриваемых функций задана
в некоторой замкнутой ограниченной квадрируемой области.
Теорема 1.4. Всякая функция f(x, у), непрерывная в замк-
замкнутой ограниченной*) области О, интегрируема на О.
Доказательство. Поскольку f(x, у) непрерывна на замкну-
замкнутом ограниченном множестве, она ограничена и равномерно непре-
непрерывна на этом множестве **). В силу равномерной непрерывности
функции f(x, у), для каждого е>0 найдется такое 6 > 0, что как
только фигура О разбита на части Ot, диаметр каждой из которых
меньше 6, колебание функции / (х, у) в каждой из этих частей,
т. е. разность Ж,- — т^ будет меньше чем е. Но тогда
Q — <в =S iWjASi—!JmJAS,<ellASJ = e5.
следовательно, функция f(x, у) интегрируема.
Требование непрерывности подынтегральной функции слишком
стеснительно. Поэтому для приложений важна следующая теорема,.
гарантирующая существование двойно-
двойного интеграла для некоторого класса
разрывных функций.
Теорема 1.4'. Если функция
f(x, у) ограничена в замкнутой
ограниченной области О и непре-
непрерывна на О всюду, кроме некото-
некоторого множества площади нуль,
то f(x, у) интегрируема в G.
Доказательство. Возьмем про-
произвольное е > 0. По условию / (х, у)
ограничена, т. е. существует такое
К, что |/(лг, у)\<.К. Заключим множество, на котором функ-
функция /(х, у) может быть разрывной, внутрь многоугольной фигу-
g
ры Q, площадь которой меньше чем -^ (рис. 1.12). Часть области
G, не входящую в Q, обозначим О. Граничные
0
Рис. 1.12.
точки много-
*) И, конечно, квадрируемой; в дальнейшем мы всегда будем пред-
предполагать выполненным условие квадрируемости, ие оговаривая этого особо.
**) См. вып. 1, гл. 14, теоремы 14.6 и 14.8.

5 21 ДВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 33
угольной фигуры Q, принадлежащие G, мы причисляем к G, поэто-
поэтому G замкнута. На замкнутом множестве О функция f(x, у) непре-
непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Выберем 6 > О
так, чтобы в любой части фигуры О, имеющей диаметр меньше
чем 6, колебание функции f(x, у) было бы меньше чем -^- (где
S — площадь G). Рассмотрим теперь такое разбиение {G,} области G:
первым его элементом Gx служит Q, а все остальные имеют диа-
диаметр, меньший чем 6. Оценим разность Q — <в для этого разбиения.
Имеем
я
Q — и = Мх tbSy — тг ASl -f ^ (Mt — mt) AS, <
n
Но Мх — т{^.2К, a ^jhS^S, следовательно,
1 = 2
4К 2S
Так как е>0 произвольно, то, в силу теоремы 1.3, функция f(x, у)
интегрируема.
4. Свойства двойного интеграла. Основные свойства двойного
интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам определен-
определенного интеграла для функции одной переменной, поэтому мы только
перечислим эти свойства, не останавливаясь на доказательствах.
1. Если функции fi{x, у) и /2(х, у) интегрируемы в обла-
области G, то их сумма {разность) тоже интегрируема в G и
J J [/, {х, у) ± /2 (х, у)] ds = fff1 (х, y)ds±fff2 (х, у) ds.
О 0 0
2. Если k — постоянное число и функция f(x, у) интегри-
интегрируема в G, то функция kf{x, у) тоже интегрируема в G и
/ fkf(x, y)ds = k f J f(x, y)ds.
О G
Совокупность этих двух свойств называется линейностью ин-
интеграла.
3. Если область G представляет собой объединение двух
областей О, и О2, в каждой из которых функция f(x, у) инте-
интегрируема, то в G эта функция также интегрируема. Если,
3 Б. М. Будак, С. В. Фомин

34 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
кроме того, G, и G2 не имеют общих внутренних точек, то
///(*. y)ds = f f f(x, y)fi?s + J j f(x, y)ds.
О О, О,
Это свойство называется аддитивностью интеграла.
4. Если fi(x, у) и f2(x, у) интегрируемы в G и fx(x, у)<!
</2(лг, у), то
f J
Это свойство называется монотонностью интеграла; из него вы-
вытекают свойства 5 и 6.
5 (оценка интеграла по модулю). Если f(x, у) инте-
интегрируема в G, то функция \f(x, y)\ также интегрируема в G и
f(x, y)ds
, y)\ds.
6 (теорема о среднем). Если функция /(х, у) интегри-
интегрируема в G и удовлетворяет неравенствам
то
J Jf(x, y)fi?s<MS, A.14)
где S — площадь фигуры G.
Это утверждение непосредственно вытекает из свойства 4 и того
очевидного факта, что
J J cds=cS, c =
const.
Если функция f(x, у) непрерывна, то теорема о среднем может
быть сформулирована в таком виде:
6'. В области G найдется такая тонка (|, ц), что
f ff(x.y)ds = f&.ii>S. A.15)
Действительно, примем за т и М соответственно точную нижнюю
и точную верхнюю грани значений функции f(x, у) в G. Тогда, со-
согласно A.14),
m-

§ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 35
Но (см. вып. 1, гл. 14, § 3) функция, непрерывная в замкнутой
области, принимает значения т, М. Предположим для простоты,
что функция f{x, у) принимает значения М и т в точках (х{, у{)
и (х2, у2), лежащих внутри области G. (Рассуждение несколько
усложняется, если какая-либо из этих точек, или обе они, попадают
на границу области G.) Любые две точки области мы можем соеди-
соединить ломаной, лежащей в области. Соединим ломаной точки (х1, у^-
и (х2, У2)> в которых функция равна соответственно Мит. Вдоль
такой ломаной функция f(x, у) непрерывна и, следовательно, вместе
со значениями Мит принимает и все промежуточные. В частности,
найдется точка, обозначим ее (|, т|), в которой
(*. У)Л.
тем самым формула A.15) доказана.
§ 3. Аддитивные функции области.
Производная по площади
1. Функции точки и функции области. Одно из самых основ-
основных понятий анализа — понятие функции. Мы встречались с функ-
функциями, зависящими от одной, двух или нескольких независимых
переменных. Пользуясь геометрической терминологией, можно ска-
сказать, что эти функции представляют собой переменные величины,
зависящие от точки на прямой (в случае одной переменной), от
точки на плоскости (при двух переменных) или от точки в про-
пространстве некоторого числа измерений. Однако в анализе и его фи-
физических применениях часто встречаются функции другого рода,
в которых роль значений аргумента играют уже не отдельные точки,
а множества — например плоские или пространственные фигуры;
такие функции называются функциями множества или функциями
области *).,
Примером функции области может служить площадь S(G) об-
области G, определенная для всех квадрируемых плоских областей
так, как это было описано в § 1. Рассмотрим еще один пример.
Пусть по плоскости ху распределена некоторая масса. Тогда каждой
области G, лежащей в этой плоскости, отвечает определенное число —
масса ц (G), сосредоточенная на G. Здесь опять-таки мы имеем дело
*) Термин «область» употребляется здесь просто как синоним термина
«множество», а не как термин, означающий открытое связное множество.
Запас областей (т. е. запас множеств), на которых определена данная функ-
функция области (т. е. множества), различен в различных ситуациях. У нас таким
запасом будет, как правило, совокупность всех квадрируемых фигур.
3*

36 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
с переменной величиной, зависящей от области, т. е. с некоторой
функцией области.
Введем следующее важное определение.
Определение. Функция области F (G) называется аддитив-
аддитивной, если выполнены следующие условия:
1) если F{G) определена для областей Gl и G2, то она
определена и для их объединения G1-\-G2;
2) если Gj и G2 не имеют общих внутренних точек, то
Обе указанные выше функции — площадь и масса — обладают этим
свойством аддитивности. Можно привести и много других примеров
аддитивных функций области: поверхностный заряд, количество све-
световой энергии, падающей на освещенную поверхность, давление
жидкости на дно сосуда и т. п.
Можно, конечно, указать примеры и не аддитивных функций
области. Например, если каждой квадрируемой области поставить
в соответствие квадрат ее площади, то мы получим функцию об-
области, но не аддитивную.
С аддитивными функциями, в которых роль аргумента играет не
плоская, а пространственная область, мы встретимся в следующей
главе, посвященной тройным интегралам.
2. Двойной интеграл как аддитивная функция области. Рас-
Рассмотрим двойной интеграл
f ff(x, y)ds,
о
считая в нем подынтегральную функцию f(x, у) фиксированной,
а область интегрирования G переменной. Тогда этот интеграл будет
представлять собой некоторую функцию Ф(О) области G. В силу
свойства 2 двойных интегралов, сформулированного в предыдущем
параграфе, эта функция области аддитивна. Запас областей, на ко-
которых она определена, составляют все квадрируемые фигуры, содер-
содержащиеся в квадрируемой фигуре Go, на которой задана f(x, у).
3. Производная функции области по площади. Рассмотрим
снова функцию |i(G), т. е. некоторое распределение масс по пло-
плоскости. Если G — квадрируемая область и 5@) — ее площадь, то
отношение
AЛЬ)
*) Отсюда, в частности, следует, что если G имеет площадь нуль, то
F (G) =0. Это означает, что мы рассматриваем лишь массы, распределенные
с некоторой двумерной плотностью (а не сосредоточенные в отдельных точ-
точках или на отдельных линиях).

$ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 37
представляет собой среднюю плотность распределения массы в данной
области G. Будем теперь уменьшать размеры области G, стягивая
ее к некоторой фиксированной точке р0. Если при этом отноше-
отношение A.16) стремится к некоторому пределу р(р0), то этот предел
называется плотностью распределения масс в данной точке р0.
Таким образом, распределение масс по плоскости можно задавать
непосредственно с помощью аддитивной функции области ц(О),
а можно его характеризовать и соответствующей плотностью.
Перейдем теперь от нашего конкретного примера (распределения
масс) к произвольной функции области. В отличие от рассмотрен-
рассмотренного выше примера — массы, произвольная функция области может
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть F(G)—некоторая аддитивная функция области, определен-
определенная для всех квадрируемых областей *). Мы скажем, что число А
есть предел отношения
F{O)
S(G)
(S (G) — как обычно, площадь области G) при стягивании области G
к точке р0, если для любого е > О найдется такое 6 > О, что
<е
для всякой области G, целиком помещающейся в круге радиуса 6
с центром в точке р0.
Этот предел мы будем обозначать символом
,. F{G) dF
lim o;' или
0-»д,
S{G) ds
и называть производной аддитивной функции F(G) no площади.
Эта производная представляет собой, очевидно, уже функцию в обыч-
обычном смысле, т. е. переменную величину, зависящую от точки.
Возвращаясь к нашему примеру, можно сказать, что плотность
Р(Ро) распределения масс по плоскости есть производная по пло-
площади от массы.
4. Производная по площади от двойного интеграла. Из тео-
теоремы о среднем для двойных интегралов (см. § 2, п. 4, свойство 6)
вытекает следующий результат. Пусть
F(G)=fff(x,y)ds, A.17)
*) Или для всех квадрируемых областей, содержащихся в некоторой
фиксированной области.

38 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
где f(x, у)— некоторая фиксированная функция, которую мы пред-
предположим непрерывной во всей рассматриваемой части плоскости.
Покажем, что аддитивная функция области F (G), определенная ра-
равенством A.17), имеет производную по площади и эта производная
совпадает с подынтегральной функцией f(x, у).
Действительно, пусть р0—некоторая фиксированная точка,
G— область, лежащая в некотором круге с центром в р0, и т,
М — соответственно точная нижняя и точная верхняя грани значений
функции f(x, у) в области G. По теореме о среднем
При стягивании области G к точке р0, т. е. при стремлении радиуса
круга к нулю, числа т и М стремятся (в силу непрерывности f(x, у)
в точке р0) к одной и той же величине, а именно к значению
функции / (х, у) в этой точке. Следовательно, к этому пределу
стремится и заключенное между ними отношение. Итак, действи-
действительно,
dF
5. Восстановление аддитивной функции области по ее произ-
производной. Выше мы говорили о нахождении производной от функции
области. Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана функция
точки f(x, у); найти такую функцию области F {G), производная
которой совпадала бы с f(x, у). Считая f(x, у) непрерывной, мы
сразу можем указать одну такую функцию области, а именно двой-
двойной интеграл
fff(x,y)ds A.18)
о
(рассматриваемый как функция от G). Естественно поставить вопрос:
существуют ли какие-либо другие аддитивные функции области,
имеющие ту же самую производную. Покажем, что если f(x, у)
непрерывна, то существует лишь одна аддитивная функция области,
имеющая f(x, у) своей производной (и представимая, следовательно,
двойным интегралом A.18)).
Если /^(О) и F2(G) — две аддитивные функции области, имею-
имеющие одну и ту же производную по площади, то
Поэтому нам достаточно показать следующее:

§ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 39
Если -^-=0, то F=0. Это в свою очередь вытекает из сле-
следующей леммы:
Лемма. Если в ограниченной замкнутой области D про-
производная —j- аддитивной функции области F(D) суще-
существует и неотрицательна, то ()
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть
.F(D)<0. Тогда найдется такое / < 0, что
т. е.
F(D)^lS(D). A.19)
Далее, выберем последовательность положительных чисел гх,
£2 сходящуюся к нулю, и разобьем область D на конечное
число частей Dt, диаметр каждой из которых меньше ег По край-
крайней мере для одной из этих частей, обозначим ее D , должно вы-
выполняться условие
(DA
так как если бы для всех Dt выполнялось противоположное нера-
неравенство
F(Di)>lS(Dt),
то, просуммировав эти неравенства по всем Dt, мы пришли бы
к противоречию с неравенством A.19).
Далее, разобьем DA) на части, диаметр каждой из которых
меньше чем е2. Среди них найдется хотя бы одна, обозначим ее D^2\
для которой выполнено неравенство
Продолжив этот процесс, мы получим последовательность {d'"'}
вложенных друг в друга замкнутых ограниченных областей, диаметры
которых стремятся к нулю (Z)w означает замыкание D(/!), при этом
F (D(/!>) = F (D(n)). Но тогда существует точка, обозначим ее р0,
принадлежащая всем D(n) *). Так как, по предположению, производ-
dF
ная —7— существует всюду, в частности и в точке р0, то ее зпаче-
CIS
ние в этой точке может быть представлено как
*) Это — двумерный аналог леммы о вложенных сегментах, см. вып. 1,
гл. 3, § 3.

40 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
Но по построению последовательности Dл) отношение , при
всех п не превосходит фиксированного отрицательного числа /, по-
поэтому предел A.20) не может быть неотрицателен. Лемма доказана.
Заменив F(G) на —F(G) и воспользовавшись доказанной лем-
леммой, получим, что если —г- существует и неположительна, то
.O. Наконец, если
dF -О
Is— Ul
т. е. если одновременно
£«>■
то F(D) = 0 для всякой замкнутой ограниченной области.
6. Определенный интеграл как функция области. Сравним изложен-
изложенные сейчас факты с тем положением, которое существует для функций
одного независимого переменного. Определенный интеграл
f/(t)dt
можно рассматривать (при фиксированной функции /) как функцию от сег-
сегмента [а, Ь], т. е. как функцию области на прямой, причем, в силу известных
свойств определенного интеграла, это будет аддитивная функция. Но сегмент
определяется двумя точками — своими концами. Если же один его конец,
скажем левый, считать фиксированным, то функция сегмента сводится
к обычной функции точки. Именно так и поступают, рассматривая интеграл
Б A-21)
(при фиксированном а) как функцию верхнего предела. При этом, выбрав
вместо нижнего предела а какую-либо иную точку а', мы изменим функ-
функцию A-21) на постоянное (т. е. не зависящее от х) слагаемое, а именно нз
величину
а'
f
Таким образом, интеграл от функции одного переменного представляет собой
однозначно определенную функцию области на прямой. Эту функцию, рас-
рассматриваемую на сегментах, можно свести к функции одной переменной,
определенной с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Изло-
Изложенные в этом параграфе теоремы о производной двойного интеграла по
площади и о восстановлении функции области по ее производной предста-
представляют собой двумерные аналоги теорем о производной определенного инте-
интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу и о том, что первооб-
первообразная определяется по функции однозначно, с точностью до постоянного
слагаемого.

§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 41
7. Продолжение функций области по аддитивности. Если некоторая
функция задана не всюду, где она может быть определена, то ее обычно
можно продолжить, если известны те или иные ее свойства. Например, если
известно, что функция / (х) линейна, т. е. имеет вид
то достаточно знать ее значения в двух точках для того, чтобы определить
ее значение всюду. Если же функция f (х) периодическая, т. е. обладает
тем свойством, что при некотором Т
для всех х, то достаточно знать значения этой функции на отрезке [О, Т] для
того, чтобы определить ее значения всюду (иапример, зная sin x для всех х
от 0 до 2я, мы можем найти синус любого угла). Аналогично обстоит дело
и с функциями области. Если известно, что функция области F(G) аддитивна,
то, зная ее значения на некотором классе областей, мы можем во многих
случаях однозначно продолжить ее (с сохранением свойства аддитивности)
на некоторый более широкий класс областей. Например, пусть F (G) — адди-
аддитивная функция области, определенная на всех треугольниках. Тогда ее можно
продолжить «по аддитивности» на все многоугольники (а затем и иа более
широкий класс областей).
Фактически именно с такой задачей о продолжении функции области
по аддитивности мы имели дело в § 1, где рассматривалось понятие площади.
Площадь представляет собой аддитивную функцию области, которую мы
считали определенной на многоугольниках (или иа многоугольных фигурах)
и затем продолжали, с сохранением аддитивности, на более широкий класс
фигур, которые мы назвали квадрируемыми. Общая задача о продолжении
аддитивных функций «по аддитивности», о нахождении того возможно более
широкого класса фигур, на который такое продолжение возможно, и т. д.
играет важную роль во многих вопросах математики.
К сожалению, мы не имеем возможности излагать здесь эти вопросы:
это потребовало бы от нас введения и систематического использования идей
и понятий общей теории меры.
§ 4. Некоторые физические и геометрические применения
двойных интегралов
1. Вычисление объемов. В самом начале этой главы мы уже
рассматривали одну геометрическую задачу, лежащую в основе поня-
понятия двойного интеграла, а именно задачу о вычислении объема
криволинейного цилиндра. Мы видели, что для цилиндра, ограничен-
ограниченного снизу замкнутой областью О, а сверху поверхностью z = f(x, у).
где f(x, у)—неотрицательная непрерывная функция, приближенное
значение объема дается интегральной суммой
я
S/Fi- Л*) AS,. A-22)
{Сумма берется по всем элементам G, разбиения фигуры О на ква-
дрируемые части; AS,-— площадь элемента Gc; (|,, т|г)(ЕО(-.) Как уже
говорилось во введении к этой главе, точное значение объема — это

42 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
предел, к которому стремятся интегральные суммы A.22) при неогра-
неограниченном измельчении разбиения фигуры О. Но предел сумм A.22)—
это двойной интеграл от функции / (х, у) по О. Его существование
(при указанных выше предположениях об / (х, у) и О) было доказано
(теорема 1.3). Итак, объем V криволинейного цилиндра, ограничен-
ограниченного снизу замкнутой областью О, а сверху поверхностью z = / (х, у)
(/ непрерывна), представляется двойным интегралом
J ff(x. y)ds.
На самом деле объем криволинейного цилиндра следует определить
'как значение этого интеграла. Ведь само понятие объема, хотя н ясное
геометрически, заранее не определено. Строго говоря, приведенные рас-
рассуждения показывают лишь, что такое определение естественно и хорошо
согласуется с нашей геометрической интуицией.
Рассмотрим еще некоторые задачи, в которых находит применение
понятие двойного интеграла.
2. Вычисление площадей. Полагая в двойном интеграле подын-
подынтегральную функцию / (х, у) тождественно равной 1, мы получим
интеграл
J J ds, A.23)
о
равный, очевидно, площади фигуры О (поскольку этой площади будет
равна каждая из интегральных сумм, отвечающих интегралу A.23)).
Формула
S= § § ds A.24)
о
для вычисления площади часто бывает удобнее, чем формула
ь
выражающая площадь криволинейной трапеции, поскольку фор-
формула A.24) применима не только к криволинейным трапециям, но
и к любым квадрируемым фигурам, расположенным произвольным
образом по отношению к координатным осям.
3. Масса пластинки. Рассмотрим на плоскости ху материальную
пластинку, т. е. некоторую область О, по которой распределена масса
с плотностью р(х, у). Вычислим по заданной плотности р(х, у) массу
этой пластинки, считая, что р(лг, у)—непрерывная функция от лг
и у. Разобьем О каким-либо образом на части О; и в каждой из
этих частей выберем некоторую точку (|г, т),-). Массу каждого такого

§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 43
элемента Ot можно считать равной приближенно р(|г, г)г) А5г (где
AS; — площадь Ог), а масса всей пластинки приближенно равна сумме
п
ЦрF„ ri/)AS,. A.25)
взятой по всем элементам разбиения. Для получения точного значения
массы пластинки нужно перейти в этой сумме к пределу, неогра-
неограниченно измельчая разбиение {О,} области О. При этом сумма A.25)
переходит в двойной интеграл
fff(x,y)ds, A.26)
о
который и представляет собой массу пластинки.
Ясно, что нахождение массы пластинки по плотности есть частный
случай задачи о восстановлении функции области по ее производной
по площади, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе.
4. Координаты центра масс пластинки. Найдем координаты
центра масс пластинки, занимающей в плоскости ху некоторую
область О. Пусть р(х, у) -*—плотность этой пластинки в точке (х, у).
Разбив область О на части Ot, выберем в каждой из этих частей
некоторую точку (|г, т|г) и будем приближенно считать массу каждой
из частей пластинки равной р(|г, t^AS^, где AS;— площадь частичной
области Ot. Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена
в одной точке, а именно в точке (|г, t\(), то для координат хс и ус
центра масс такой системы материальных точек получаются сле-
следующие выражения:
которые представляют собой приближенные значения координат центра
масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат,
нужно в формулах A.27) перейти к пределу, неограниченно измельчая
разбиение области О. При этом стоящие в формулах A.27) суммы
перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что коорди-
координаты центра масс пластинки определяются формулами:
J J ХР (х, y)ds j j yp (jf, у) ds
-2гт : у«=-тт
J J Р (х, у) ds J J p (x, у) ds

44 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
Если пластинка однородна, т. е. р— const, то формулы для коор-
координат центра масс имеют более простой вид:
ffXds ffyds
, ' Ус r r
j j as
а
б. Моменты инерции пластинки. Как известно, момент инерции
материальной точки относительно некоторой оси равен произведению
массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции
системы материальных точек (относительно одной и той же оси)
равен сумме моментов инерции, составляющих эту систему масс.
Пусть область О плоскости ху занята пластинкой, имеющей плот-
плотность р(х, у). Разбив область О на части Ot, площади которых
равны AS;, и выбрав в каждой из этих частей некоторую точку (|г, x\j),
заменим нашу пластинку системой масс р(|;, т)/)А5/, лежащих в
точках (fe[, r\i). Момент инерции такой системы точечных масс
Относительно оси у равен
Это выражение мы принимаем за приближенное значение момента
инерции пластинки, тем более точное, чем мельче взятое разбиение.
Переходя здесь к пределу при неограниченном измельчении разбиения
области О, получим для момента инерции пластинки относительно
оси у следующую формулу:
Iy= J j x2p(x, y)ds. A.30)
о
Аналогично момент инерции пластинки относительно оси х равен
Ix=ffy2p(x,y)ds. A.31)
о
Найдем еще момент инерции /0 пластинки относительно начала коор-
координат. Приняв во внимание, что момент инерции материальной точки
с массой т относительно начала координат равен
и воспользовавшись рассуждениями, аналогичными проведенным выше,
получим, что
т. е.

§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 45
6. Световой поток, падающий иа пластинку. Пусть пластинка,
лежащая в плоскости ху, освещена точечным источником света,
находящимся в точке с координатами @, 0, z0). Его силу света
(одинаковую по всем направлениям) обозначим /. Вычислим световой
поток, падающий на пластинку. Световой поток dF, падающий на
элементарную площадку ds, равен Ida, где da — телесный угол,
под которым видна площадка ds из точки @, 0, z0). В свою
очередь da равняется площади площадки ds, деленной на квадрат
расстояния до источника и умноженной на косинус угла между нор-
нормалью к площадке и направлением на источник. Освещенностью А (х, у)
* р
пластинки в точке (х, у) называется величина -т—. Из сказанного
выше следует, что
. dF /da /г0
ds ~~ ds ~~ (л:2 + у2 + г2)% '
Полный световой поток, падающий на пластинку, равен двойному
интегралу от А (х, у) по области О, занимаемой пластинкой, т. е.
равен
/*, Г Г dS
7. Поток жидкости через поперечное сечение канала. Рас-
Рассмотрим канал, по которому течет жидкость, и выделим некоторое
сечение этого канала, перпендикулярное направлению течения. Приняв
плоскость этого сечения за плоскость ху, мы можем сказать, что
скорость V жидкости в каждой точке рассматриваемого сечения есть
функция от х и у, т. е. V = V(x, у). Вычислим количество жидкости,
протекающее через это сечение в единицу времени. Рассмотрим бес-
бесконечно малый элемент площади ds этого сечения. Количество жидко-
жидкости, протекающей через этот элемент в единицу времени, равно, оче-
очевидно, массе столбика с основанием ds и высотой V(x, у), т. е. равно
pV(x,y)ds, A.32)
где р—плотность жидкости. Для получения количества жидкости, про-
протекающего через все сечения, надо просуммировать бесконечно малые
элементы A.32), т. е. взять двойной интеграл
J jpV(x, y)ds
по рассматриваемому сечению.
Замечание. Выше, в частности при рассмотрении последней
задачи, мы пользовались такими выражениями, как «бесконечно малый
элемент площади», «элемент массы» и т. п. Такой язык широко

46
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
применяется, особенно в физической литературе. Например, обычно
говорят, что для пластинки с плотностью р(х, у) величина
, y)ds
есть «элемент массы» (сосредоточенный на «элементе площади ds»),
а масса этой пластинки, т. е. интеграл
y)ds,
есть «сумма этих элементов массы».
Смысл подобных выражений состоит в том, что в них каждый
раз подразумевается тот процесс предельного перехода (от конечных
сумм к интегралам), который нам встречался в каждой из рассмо-
рассмотренных выше задач. В дальнейшем мы тоже будем пользоваться
иногда этим «физическим» языком (отдавая, однако, себе ясный отчет
в точном смысле того предельного перехода, который за ним
скрывается).
§ б. Сведение двойного интеграла к повторному
Мы познакомились уже с определением и основными свойствами
двойного интеграла, условиями его существования и некоторыми
физическими и геометрическими задачами, связанными с этим понятием.
Но мы еще совсем не затраги-
затрагивали вопроса о способах фак-
фактического вычисления двойных
интегралов. В решении этой за-
задачи основную роль играет
теорема о том, что вычисление
двойного интеграла сводится,
при достаточно широких усло-
условиях, к последовательному ин-
. , тегрированию по каждой из
О/ х=а dx- x=b jt переменных в отдельности.
Доказательство этой теоремы
и составляет содержание на-
Рис. 1.13.
стоящего параграфа.
1. Наводящие соображения. Основная идея излагаемых ниже
теорем состоит в следующем. Будем рассматривать двойной интеграл
///(*. y)dxdy
как объем криволинейного цилиндра Т, ограниченного снизу обла-
областью О, сверху поверхностью z = f(x, у), и сбоку цилиндрической

§ 51 СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 47
поверхностью, проходящей через границу области О (рис. 1.13).
Тело Т можно представлять себе как составленное из бесконечно
тонких слоев, параллельных плоскости yz. Объем каждого такого
слоя равен
J(x)dx,
т. е. произведению площади J(x) соответствующего сечения тела Т
на толщину слоя dx. Объем всего тела Т при этом равен
J(x)dx. A.33)
В свою очередь величина J(x) (площадь криволинейной трапеции)
представляется интегралом
J /(*. y)dy, A.34)
у, (лг)
где х рассматривается как фиксированная величина, а у, (х)
и УгС-чО — концы того отрезка, который служит проекцией рассматри-
рассматриваемого сечения на плоскость ху (рис. 1.13). Комбинируя A.33)
и A.34), получаем, что объем тела Т может быть представлен в виде
fdxf f(x, y)dy,
У{(х)
т. е. что имеет место равенство
J J/(x, y)ds = j dx J f(x, y)dy. A.35)
О a y,(jr)
Эта формула означает, что, представляя себе двойной интеграл как
сумму элементов f(x, y)dxdy, мы можем при вычислении этой суммы
сначала произвести суммирование по слоям, параллельным одной ко-
координатной оси, а потом просуммировать результаты, относящиеся к
каждому слою. Алгебраическим аналогом равенства A.35) служит
формула
2,.
Ясно, что, если бы мы, снова взяв некоторый криволинейный цилиндр,
стали бы рассматривать его сечения, параллельные не плоскости yz,

48 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
а плоскости xz, это привело бы к равенству
d х2(у)
///(*■ y)ds = fdy f f(x, y)dx
О с jr,(y)
(рис. 1.14). Перейдем теперь от картинок к точному изложению.
2. Случай прямоугольной области. Рассмотрим сначала двойной
интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллель-
параллельными осям координат.
Теорема . 1.5. Если для
функции / (х, у), опреде-
определенной в прямоугольнике
A.36)
существует двойной инте-
интеграл
, y)dx dy, A-37)
Рис. 1.14.
а при каждом фиксирован-
фиксировансуществует однократный инте-
инте= ff(x, y)dy,
ном значении х,
грал
то существует повторный интеграл
ь d ь
J dx J / (х, у) dy = J J(х) dx
ас а
и выполняется равенство
ь d
J J fix, y)dxdy = jdx f f(x, y)dy.
A.38)
A.39)
A.40)
Доказательство. Разобьем прямоугольник Р на частичные
прямоугольники Рц, подразделив его стороны точками а = х0 <
< хх < х2 < ... < xk = Ь и соответственно с = у0 < ух < у2 < ...
•-• <Уг^й?; таким образом, Рц = {х1_1-^х -^. х{, Уу-i ^ У ^ Уу}
(рис. 1.15). Пусть тц—точная нижняя грань, а Мц—точная верхняя
грань значений функции f(x, у) в прямоугольнике Рц. Выберем

§ 5]
СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
49
в каждом из промежутков [Xi_v х{\ произвольную точку lt. Так
как т,у-</(£,, у)<Ми при уу_, < у < yjt то
A-41)
причем стоящий здесь интеграл существует, так как по предполо-
предположению существует интеграл A.38), взятый по всему отрезку [с, d]
при произвольном х. Суммируя неравенства A.41) по j от 1 до I,
получим
i d i
Умножив каждое из этих неравенств на
мировав по / от 1 до k, полу-
получим
%
= x-t—х1-х и просум-
просум2
Р
Посредине здесь стоит интеграль- &
ная сумма, отвечающая функции рис. 1.15.
J(x), а слева и справа — нижняя
и верхняя суммы, отвечающие двойному интегралу A.37). Таким
образом,
Если теперь все Axt и Ayk устремить к нулю, то, поскольку мы
предположили существование двойного интеграла A-37) *), как
*) Так как двойной интеграл A.37) по предположению существует, то
при любом способе разбиения прямоугольника Р на части, таком, что ма-
максимум диаметров элементов разбиения стремится к кулю, верхняя и нижняя
суммы Дарбу стремятся к общему пределу, а именно, к соответствующему
двойному интегралу. Мы выбрали тот способ разбиения, который для нас
наиболее удобен, а именно, с помощью систем вертикальных и горизон-
горизонтальных прямых.
4 Б. М. Будак, С. В. Фомин

50 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
нижние, так и верхние интегральные суммы будут стремиться к этому
k
двойному интегралу. Следовательно, и интегральные суммы 2 J'(Hi)^xi
i = \
стремятся к тому же самому пределу. Таким образом,
f jf(x, y)dxdy = j J{x)dx = f dx J /(x, y)dy.
P а а с
Меняя роли переменных х и у (и предполагая существование инте-
интеграла Ji(y)= I /(x, y)dx\, получаем аналогичное равенство
ь
f f(x, y)dx = J J/(x, y)dxdy.
d
Наконец, если наряду с двойным интегралом A.37) существуют оба
d ь
интеграла, J(x)= Г/(х, y)dy и Jl(y)= Г/(х, у) dx, то
с а
Ь d d Ь
J ff(x, y)dxdy = fdxff(x, y)dy = fdy ff(x, y)dx.
P
3. Случай криволинейной области. Рассмотрим теперь вопрос
о сведении двойного интеграла к повторному для случая криволиней-
криволинейной области. Пусть область О ограничена двумя непрерывными кри-
кривыми y = yj(x) и у = у2(х) и вертикальными отрезками х = а и
х = Ь (рис. 1.16). Тогда справедлива следующая теорема:
Теорема 1.6. Если для функции f(x, у), определенной
в области О, существует двойной интеграл
J ff(x, y)dxdy,
о
а при каждом фиксированном значении х из [а, Ь] существует
интеграл
= J
то существует повторный интеграл
Ь Уг(х)
fdx J f(x,y)dy
а у,(х)

§ 5] СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
и выполняется равенство
51
J J f(x, y) dx dy = J dx j /(*, y)dy. A.42)
О а у,(л-)
Доказательство. Положив c=mmy1(x), d = max y2 (x),
заключим область О в прямоугольник Р, определяемый неравенствами
а -^.х ^,Ь, с ^.у ^.d (рис. 1.16), и рас-
рассмотрим в этом прямоугольнике вспомога- ff.
тельную функцию
f(x, у) внутри О,
(ж. y) = f
О
в остальных точках.
Функция f*(x, у) удовлетворяет ус- с
ловиям предыдущей теоремы. Действи- _
тельно, она интегрируема в области О &
(так как совпадает в ней с f(x, у)) и Рис 1 16
интегрируема в остальной части прямо-
прямоугольника Р, которую мы обозначим
Р — О (там она равна нулю). Следовательно (по свойству аддитив-
аддитивности интеграла, см. стр. 33—34), она интегрируема и по всему
прямоугольнику Р. При этом
///•(ж. y)dxdy = fjf(x, y)dxdy
о о
и
f f fix, y)dxdy=0,
P-G
f f fix, y)dxdy = fjf(x, y)dxdy. A.43)
откуда
Далее, при каждом значении х, лежащем между а и Ь, существует
Интеграл
d y,(jr) y2(x) d
jf(x, y)dy = f /*(x, y)dy-\- J /•(*, y)dy-\- //'(ж, y)dy,
с е у,(Л У2(лг)
A.44)
так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа.
Действительно, отрезки {с, )>i(x)] и [У2(х), d] лежат вне области О
УАх)
и на них /*(х, у) равна нулю, а интеграл I /*(х, у)dy совпадает

52 двойные интегралы [гл. »
с интегралом
УМ
/ /(*. y)dy,
существующим по условию. Первый и третий интегралы в правой
части равенства A.44) равны нулю, поэтому окончательно получаем
ff(x, y)dy= J f(x, y)dy. A.45)
с У Ах)
Мы видим, что функция f*(x, у), определенная в прямоугольнике Р,
удовлетворяет условиям теоремы 1.5 и, следовательно, двойной
интеграл от этой функции по Р может быть сведен к повторному:
ь d
dY—t . J //'(*. y)dxdy = fdxjf*(x, y)dy.
P а с
Отсюда и из равенств A.43) и A.45) полу-
получаем
О
J //(«. y)dxdy=fdx f f(x, y)dy.
УЛх)
X
что и требовалось доказать.
Рис. 1.17. В теореме 1.6 мы. рассматривали такую
область О, что каждая вертикальная прямая
х = const пересекает ее границу не больше чем в двух точках
уг(х) и у2(х). и предполагали существование интеграла
Уг(х)
= J /(*• У)
Предположив, что каждая прямая у = const пересекает границу
области О не более чем в двух точках xY(y) и х2(у) (рис. 1.17),
•АМУ)
и потребовав существования интеграла I / (x, y)dx при каждом
•Му)
фиксированном у, мы можем доказать существование повторного
интеграла
d х2 (у)
fdy f f(x, y)dx
с *i(y)
и его совпадение с двойным интегралом.

СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
53
Как мы уже видели в самом начале этого параграфа, геометри-
геометрический смысл формул, сводящих двойной интеграл к повторному,
состоит в том, что объем тела равен интегралу от площади его
поперечного сечения (представляющей собой функцию той перемен-
переменной, которая определяет положение секущей плоскости).
Замечание 1. Если область О такова, что некоторые прямые
(вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более
чем в двух точках, то для представления двойного интеграла,
взятого по этой области, в виде повторного область О следует
О
Рис. 1.18.
Рис. 1.19.
7 х
разбить на части, каждая из которых удовлетворяет условиям тео-
теоремы 1.6, и сводить к повторному каждый из соответствующих
двойных интегралов отдельно (рис. 1.18).
Например, пусть область интегрирования О — единичный круг
•я2+У2-^1. из которого вырезан эллипс .к2+2у2<С1 (рис. 1.19).
Тогда двойной интеграл по О можно представить, например, такг.
y)dxdy= J dx J f(x, y)dy
-1 1 / .-2
-1
J f(x,
т. е. в виде суммы двух повторных интегралов.
Замечание 2. Если двойной интеграл может быть сведен как;
к повторному интегралу вида I dx Г /(х, y)dy, так и к инте-

двойные интегралы
[ГЛ. t
d хг(у)
тралу вида I dy I / (х, у) dx, то для вычисления двойного инте-
С -Г, 1У)
трала можно воспользоваться любым из этих представлений. Однако
может оказаться, что одно из них значи-
значительно удобнее, чем другое, поэтому в кон-
конкретных задачах выбор того или иного по-
порядка интегрирования (т. е. сначала по х,
а потом по у, или наоборот) может быть
не безразличен.
Пример. Записать двойной интеграл
• y)dxdy,
Рис. 1.20.
тде О — область, ограниченная кривыми у — ]/2ах — х2иI = ]/ lax
л прямой х = 2а (рис. 1.20), в виде повторного (двумя способами).
la V2ax
О тв ет. 1) I dx I f(x, y)dy;
0 Viax-JP
la la a a-Vat-y*
2) J dy f f(x, y)dx + fdy f f(x,y)dx +
а угр.а О угра
a la
-\-fdy J / (x, y) dx.
Во втором случае нам пришлось разбить интеграл на три слагаемых,
а в первом мы обошлись одним.
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле
К замене переменных часто приходится прибегать при интегри-
интегрировании функций одной переменной. Не менее важную роль играет
замена переменных и при вычислении двойных интегралов. Прежде
чем заняться вопросом о замене переменных в двойном интеграле,
мы должны будем изложить некоторые сведения об отображении
областей.
1. Отображение областей. Рассмотрим две плоскости с декар-
декартовыми координатами х, у и £, г\ соответственно и предположим,
что в плоскости ху выделена некоторая замкнутая ограниченная
область О с границей L, а в плоскости |т] — замкнутая ограниченная

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
55
область *) Г (рис. 1.21, а и б). Предположим, что в области Г
определены функции
х = хA,ц), у = уF. л) A.46)
такие, что, когда точка (|, ц) пробегает область Г, соответствующая
точка (х, у) пробегает всю область О. Таким образом, функции
A.46) определяют отображение области Г на область О.
О
а;
{"
\
--
г
Л
Рис. 1.21.
Мы предположим, что это отображение удовлетворяет следующим
условиям:
1) Отображение взаимно однозначно, т. е, различным точкам
области Г отвечают обязательно различные точки области О. Иным»
словами, мы предположив, что существуют решения
1=1(х, у), ц = Ц(х, у) A.47)
уравнений A.46) относительно | и т|, однозначные во всей области О.
2) Функции A.46) и A.47) непрерывны и имеют непрерыв-
непрерывные частные производные первого порядка.
3) Функциональный определитель (якобиан)
D (х, у) _
d a, r\) ~
дх
ду
дх
дг\
ду_
A.48)
всюду в области Г отличен от нуля, а следовательно, поскольку
входящие в этот якобиан производные предполагаются непрерывными,.
сохраняет в Г постоянный знак.
Якобиан _ ^ обратного отображения A.47) связан с якобиа-
якобианом A.48) соотношением
Д(*у) Д(Еч),
D (|, Ч) D (х, у)
*) Области G н Г предполагаются, конечно, квадрируемыми.

:56 двойные интегралы [гл. i
непосредственно вытекающим из определения произведения опреде-
определителей и правила дифференцирования сложной функции, поэтому
^' ^ также нигде не обращается в нуль.
Если в области Г дана некоторая гладкая или кусочно-гладкая
кривая
то отображение A.46) переводит ее в кривую
* = *(!(*). л(9). У = ПШ
опять-таки гладкую или кусочно-гладкую, так как если производные
rfS rfri
—j- и —гг существуют и непрерывны, то существуют и непрерывные
(tt - (XT
производные
dx dx_d\^ . dx_di\_ dy_ ду d% , ду dr\
~Ж ~ ~Щ Hi ~T~ ~дц dt dt ~ d% dt ~T~~dx]~dT'
причем они не обращаются в нуль одновременно., если хотя бы одна
dl d /
ных -^г
D (х, у)
р
dl dv\ /
из производных -^г и ——■ отлична от нуля I последнее вытекает
D (х, у) , Л
ИЗ ТОГО, ЧТО - д ''■ ф 01 .
В частности, граница Л области Г переводится в границу L
области О.
Это вытекает из теоремы о неявных функциях (см. вып. 1, гл. 15, § 2).
Если бы точке (х0, у0), принадлежащей L, отвечала какая-то внутренняя
точка (go> ^o) области Г, то из равенств
х = х{%, ц), у = у (g, г))
величины | и г] определялись бы в некоторой окрестности точки (ха, уа)
как функции от л: и у. Но всякая окрестность граничной точки (лг0, у0) со-
содержит точки, не принадлежащие G, следовательно, у точки (g0, ri0) (внутрен-
(внутренней для Г) нашлась бы окрестность, содержащаяся в Г н не отображаю-
отображающаяся в область G, что противоречит условию.
2. Криволинейные координаты. Рассмотрим в области Г прямую
| = |0 (см. рис. 1.21). В области О ей отвечает гладкая линия, опре-
определяемая параметрическими уравнениями
х = хA0, г,), у = уFо, г,) A.49)
(параметром служит г)). Аналогично каждой прямой г) = гH отвечает
в области О линия, определяемая уравнениями
х = х&. TV,), )) = П1- %>• A-50)
Линии A.49) и A.50) области О, в которые отображение A.46) пере-
переводит прямые из Г, параллельные координатным осям, называются
лоординатными линиями г\ и \ в области О.

§ 61 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 57
Из взаимной однозначности отображения
Х = Х&, Г)), У = У(|, Л)
следует, что через каждую точку (х, у) области О проходит един-
единственная линия вида A.49), отвечающая постоянному значению |, и
единственная линия вида A.50), отвечающая постоянному значению т).
Следовательно, величины \ и т| можно рассматривать как координаты
(отличные, конечно, от декартовых) точек области О. Так как коор-
координатные линии A.49) и A.50), отвечающие этим координатам, будут,.
вообще говоря, кривыми (а не прямыми, как в случае декартовой
координатной сетки), то величины g и т| называются криволиней-
криволинейными координатами точек области О.
Таким образом, переменные % и х\ имеют двоякий геометрический смысл:,
во-первых, это — декартовы координаты точек области Г, а во-вторых, это —
криволинейные координаты точек области G. В соответствии с этим каждое
соотношение вида Ф(£, г]) = 0 можно рассматривать как уравнение (в де-
декартовых координатах) некоторой кривой Я, лежащей в области Г, и как
уравнение (в криволинейных координатах) кривой /, лежащей в G и являю-
являющейся образом кривой Я при отображении A.46).
3. Полярные координаты. Наиболее употребительная система
криволинейных координат на плоскости — это полярные коорди-
координаты. Они связаны с декартовыми ко-
координатами х и у соотношениями У >
V = г sinop
A.51)
X = Г COS ф,
(г > 0; 0 < ф < 2л).
Рис. 1.22.
Координатными линиями для поляр-
полярных координат служат концентрические
окружности с центром в начале коор-
координат (г = const) и лучи, выходящие из
этого центра (ф = const). Отображение
A.51) переводит полуполосу г^О,
0<^ф<2л в целую плоскость ху. Оно
взаимно однозначно всюду, кроме точки
х = 0, у = 0, которой на плоскости гф
отвечает полусегмент г = 0, 0 ^ ф < 2л.
Исключив точку х = 0, у = 0, мы можем рассмотреть отображение-
плоскости ху на полуполосу г > 0, обратное A.51). Это обратное
отображение непрерывно всюду, кроме положительной полуоси х, так
как, хотя лежащим на ней точкам отвечает значение ф, равное нулю, но
если точка М приближается к этой полуоси снизу, то соответствую-
соответствующее значение ф стремится не к нулю, а к 2л. Таким образом, фор-
формулы A.51) устанавливают отображение полуполосы г^-0, 0^1
-^! ф < 2л на плоскость ху, взаимно однозначное и в обе стороны
непрерывное всюду, кроме тех точек, в которых г = 0 или ф=0.-

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Наглядно можно представлять себе переход от полуполосы на
плоскости Гф к плоскости ху как «раскрывание веера». Мы берем
,полуполосу 0<><оз, 0<ф<2л и как веер развертываем ее
на плоскость ху (рис. 1.23). Рис. а
— первый кадр фильма, рис. б—вто-
б—второй кадр, рис. s — уже почти конец
фильма, рис. г — это последний кадр.
p=const
Рис. 1.23.
Например, пусть на плоскости гф задана прямоугольная область
0<а
О
Ъ г О
Рис. 1.24.
Наше «раскрывание веера» пре-
превращает ее в сектор кругового
кольца на плоскости ху (рис. 1.24).
Вычислим якобиан перехода
от декартовых координат к по-
полярным, т. е. якобиан преобра-
г~ь зования A.51). Получим
х D (х, у) cos ф — г sin i
D (%, r\) sin ф г cos i
= г.
Он отличен от нуля всюду, кро-
кроме точки х = 0, у = 0.
4. Постановка задачи о замене переменных в двойном инте-
интеграле. Сформулируем теперь задачу о замене переменных в двойном
интеграле, о которой уже говорилось выше. Пусть О — замкнутая
область, ограниченная кусочно-гладкой кривой L, и f(x, у) — задан-
заданная в О функция, непрерывная или имеющая разрывы, лежащие

6]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
на множестве площади нуль, и ограниченная. Пусть,
функции
59
далее
определяют отображение на область О некоторой области Г, удо-
удовлетворяющее условиям 1)—3), перечисленным в п. 1. Задача со-
состоит в том, чтобы интеграл
J ff(x, y)dxdy,
взятый по области О, представить, преобразовав в нем подынтеграль-
подынтегральное выражение к новым переменным ^ и т|, в виде интеграла по об-
области Г.
б. Площадь в криволинейных координатах. При выводе фор-
формулы замены переменных в двойном интеграле основной шаг состоит
в том, чтобы выразить через криволинейные координаты площадь
области. Здесь имеет место следующая теорема:
Теорема 1.7, Пусть х — хЦ, ц), у = у(|, ц) — взаимно одно-
однозначное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое отобра-
отображение области Г на область О, якобиан которого отличен
от нуля. Тогда
пл
= / dxdv =
A.52)
Доказательству этой теоремы мы предпошлем наглядные рассу-
рассуждения, проводимые «на физическом уровне строгости». (При жела-
желании читатель может ими и ограни-
ограничиться.)
Рассмотрим в области О две па-
пары бесконечно близких координатных
линий. Пусть первая из этих пар от-
отвечает значениям
координаты
ни ям
а вторая пара — значе-
значено и 'По
Рис. 1.25.
координаты т|. Эти координатные линии вырезают в области О бес-
бесконечно малый элемент площади А0А1А3А2, который с точностью до
малых выше первого порядка можно считать параллелограммом
(рис. 1.25). Сторонами этого параллелограмма служат, очевидно,.

'69
векторы
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Площадь ds параллелограмма А0А1А3А2 равна абсолютной величине
детерминанта, составленного из компонент векторов A0At и А0А2,
т. е.
дх „ ду .
ds = абс. вел.
дх , ду
D (x, у)
D F, 4)
A.53)
А площадь 5 всей области О получается суммированием всех
таких элементов, т. е. действительно представляется в виде двойного
интеграла
Р(х, у)
DO.
Ill
взятого по области Г изменения переменных \ и t\.
Оформим теперь эти наглядные рассуждения в виде доказательства. При
этом мы позволим себе Опускать некоторые детали, которые читатель при
желании легко восстановит. Кроме того, для упрощения рассуждений мы
будем предполагать, что рассматриваемое отображение определено и удо-
удовлетворяет указанным в теореме условиям не только в области Г, но и
в некоторой большей области, содержащей внутри себя область Г (вместе
с границей).
Доказательство теоремы 1.7. Рассмотрим сперва тот элемен-
элементарный, но, по существу, основной случай, когда рассматриваемая в пло-
плоскости gr) область представляет собой прямоугольник П со сторонами, па-
параллельными осям координат, а ее отображение на плоскость ху есть ли-
линейное отображение, определяемое формулами
где ха, у0, а, Ь, а{ и 6, — постоянные и
х = х0 + а% + br\,
а, 6,
A.54)
Ф 0. Как известно из ана-
аналитической геометрии, образ прямоугольника П при таком отображении будет
параллелограммом (обозначим его Р), площадь которого связана с площадью
прямоугольника П соотношением
пл Р = абс. вел.
пл П
A.55)
(докажите это!). Отсюда следует, что любая квадрируемая фигура Ф,
лежащая в плоскости %г\, переводится линейным отображением A.54) в

4 61 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
квадрируемую фигуру /•", площадь которой выражается так:
пл F = абс. вел.
я, 6,
пл Ф.
61
A.56)
Впрочем, для дальнейшего нам понадобится лишь равенство A.55).
Рассмотрим теперь некоторое произвольное (нелинейное) отображение
х = х (g, у\), >■ = у (%, у\), удовлетворяющее условиям теоремы. Возьмем
в области Г, где это отображение определено, некоторую точку (g0, %) и
рассмотрим прямоугольник
V •
!о<£<§о + Л1> "По < 11 < "По + Л2,
который мы снова обозначим П (рис. 1.26).
С помощью формулы конечных при-
ращений запишем отображение этого пря-
ыоугольника на плоскость ху в виде
х = хо
дх
дх
a,,
, ду ,,. , ду
у = Уо + ~3% ^ + ~Щ
A.57)
Рис. 1.26.
где хо = х (|0, г|0), у0 = у (|0, г),,), значения производных берутся в точке
a1 = D(f, г)*) —jc^Iq,
«2 = (>5 F**- О-П(So-
f, r\) — x'n(^, rH))rfri,
<3десь |0 < §* <
<
I: Чо < Ч* < Ч: Чо < Ч** < Ч-)
Первые производные от л: и у по | и г\ по условию непрерывны, а зна-
значит, и равномерно непрерывны в замкнутой ограниченной области Г. Следо-
Следовательно, для любого е > 0 можно выбрать число h настолько малым, что,
как только hi-\-h2 < h, для всех точек (g, r\), принадлежащих прямоуголь-
прямоугольнику П, выполняются неравенства
|, г)) — х'ъ
е, | хп A, г)) — х^ (g0, ч0) |
и аналогично для у^ и у причем е не зависит от выбора точки (g0, ц0).
С помощью этих оценок получаем, что
1а, | < eft, |а2| < eft. A.58)
Сравним теперь нелинейное отображение A-57) с линейным отображением
которое получается, если в формулах A.57) отбросить а, и а2. Как мы
уже знаем, такое линейное отображение переводит прямоугольник П в

62 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
параллелограмм, который мы снова обозначим Р, причем, согласно A.55),
дх дх
пл П.
пл Р = абс. вел.
ду ду
1$ ^г
A.60)
Нелинейное отображение A.57) переводит П в некоторую криволиней-
криволинейную фигуру сЯ. Посмотрим, насколько ее площадь отличается от площади
параллелограмма Р.
В силу A.58), для любой точки (|, т|)£П
\x — x\ = \al\ <ей, |у —у| = |а2| < ей,
/2" ей.
Иначе говоря, расстояние между образами одной и той же точки (|, ^
при линейном A.59) и нелинейном A.57) отображениях не превышает ]/~2 ей.
Поэтому если мы заключим границу параллелограмма Р в полоску ширины
]/~2 ей, то граница криволинейной фигуры сЯ будет целиком лежать внутри
этой полоски (рис. 1.27). Ясно, что пл сЯ
отличается от пл Р не больше чем на
площадь этой полоски. Элементарный
подсчет показывает, что площадь
такой полоски не превосходит ее ши-
ширины, умноженной на периметр парал-
параллелограмма Р. Этот периметр лег-
легко оценить. Пусть М выбрано так, что
во всей рассматриваемой области Г
дх дх ду
каждая из производных^^, ^—, -^-,
Рис. 1.27. ду ^ d\f
-т— не превосходит по модулю М (эти
производные непрерывны, а значит,
и ограничены в замкнутой ограниченной области Г). Тогда из A.59) сразу
следует, что стороны параллелограмма Р не превосходят Mh. Таким обра-
образом, периметр Р не больше, чем 4Mh, а площадь полоски, в которую мы
заключили границу Р, не превосходит 4]/~еЛ4й2, т. е. не превосходит
Следовательно,
или, в силу A.60),
ПЛ сЯ
|/ТеЛ4плП
ПЛ сЯ = ПЛ P-J
= абс. вел.
дх
dl
ду
«1
Ь\
дх
дг
ду
дг
пл П -(- у,
где
| у | <
пл П.
A.61)
A.62)

§ о) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 63
Пусть теперь Ф — многоугольная фигура, лежащая внутри Г и соста-
составленная из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат,
a g~—фигура, в которую она переводится отображением х = х(\, х\),
у = у (|, т|). Разобьем Ф на прямоугольники П,-, полупериметр каждого из
которых меньше h. Образы сЯ; этих прямоугольников в сумме составляют
фигуру ff~, а площадь каждого cf,- можно представить в виде
A-63)
где точка (\и щ) принадлежит прямоугольнику П; «
Просуммировав равенства A.63) по всем прямоугольникам П;, получаем
п п
Первое слагаемое в правой части этого равенства представляет собой,
очевидно, интегральную сумму, отвечающую интегралу
/Л
°(Х'У) — A.65)
. 0F. ц)
ф
а второе не превосходит
п
У~2 Me ^ пл пг = У"Ъ Me. пл Ф,
где е может быть сделано (за счет выбора достаточно мелкого разбиения
■фигуры Ф) сколь угодно малым. Интеграл A.65) заведомо существует, так как
подынтегральная функция непрерывна. Следовательно, мы можем в ра-
равенстве A.64) перейти к пределу, неограниченно измельчая разбиение фигуры Ф.
Получим
-J J | />F,т,)
ф
пл ёГ ■
Для завершения доказательства теоремы остается сделать переход от много-
многоугольной фигуры Ф, погруженной в область Г, к самой области Г. Этот
переход уже не составляет труда. Так как Г квадрируема, то можно найти
две такие фигуры Ф! и Ф2, составленные из прямоугольников *), первая из
которых вложена в Г, а вторая объемлет Г, что разность их площадей
меньше заданного положительного числа б. Отображение х = х (|, т|), у (g, т|)
переводит их в две квадрируемые фигуры g~i и е7. одна из которых вло-
вложена в G, а другая объемлет G. Нетрудно показать, что
, — пл ,Г21 < BЛ42 + У~2 Me) б
*) При этом объемлющая фигура Ф2 должна лежать в той области,
большей чем Г, в которой, как мы условились, рассматриваемое отображе-
отображение определено и удовлетворяет условиям теоремы.

64 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
(проделайте это, воспользовавшись равенство» A-64) и тем, что
max
. у)
D (|, г\)
2jW2). Тогда тем более
| пл G — пл ^", | < BЛ42 + У 2 Me) б. A.66)
Но £ГХ — образ многоугольной фигуры Ф1( следовательно, по доказанному
ранее
Р С I n i „ ,.\
, -1*41 (L67)
ф, "
Кроме того, по теореме о среднем
-//I-
ф,
Ч)
= г л
d\dx\
D (х, у)
Г-Ф,
Из A.66) и A.68), учитывая A.67), получаем
d\d\\ < 2МЧ. A.68)
пл G —
D (х, у)
D
d\dx\
< DМ2 + У 2 Ms) б.
Так как б произвольно мало, то отсюда вытекает утверждение теоремы.
Замечание 1. Основная идея, на которую опирались как
изложенное доказательство, так и приведенные выше наглядные рас-
рассуждения, состоит в том, что нелинейное
отображение х = х(£, т]), у = у(£, т]) в ма-
малой области можно аппроксимировать ли-
линейным, притом тем точнее, чем меньше
область. Собственно говоря, рассмотрение
нелинейного функционального соотношения
как линейного в бесконечно малом—это
основа всего анализа.
Пример. Рассмотрим снова полярные
координаты. Линии r = rQ, r = ro-f-rfr,
ф = ф0, ф = фо-)-й(ф вырезают на плоско-
плоскости ху бесконечно малый прямоугольник со
сторонами dr и rod(f (рис. 1.28). Поэтому элемент площади в
полярных координатах равен rodq>dr. (Этот же результат вытекает,
конечно, и из общей формулы A.52), поскольку -~~Ц- ==гЛ Сле-
Следовательно, площадь в полярных координатах выражается формулой
S= f f rdrdy, A.69)
Рис. 1.28.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
65
где Г—область изменения переменных г и ср. В частности, если
область О ограничена двумя лучами ф = ф1 и ф = ф2 и кривой
г = г(ф), т. е. имеет вид, изображенный на рис 1.29 (изобразите
эту область на плоскости гц>), то, преобразо-
преобразовав двойной интеграл A.69) в повторный, по-
получим
S= I d(f i r dr.
ф| О
Выполнив здесь интегрирование по г, на-
находим
Фг
О
==\ f
Рис. 1.29.
Это — известная формула площади в полярных координатах (см. вып. 1,
гл. 11, § 2).
Замечание 2. Из формулы A.53) ясен геометрический смысл
абсолютной величины якобиана
^д №,q)\d£dy
О
Обозначим этот якобиан,
Рис. 1.30.
для сокращения записи, У(^, tj) и рассмотрим отображение области Г
на область О, определяемое формулами
х = х (|, X]), у = у (|, л).
Это отображение переводит лежащий в Г бесконечно малый прямо-
прямоугольник (рис. 1.30), ограниченный прямыми
и имеющий площадь d\ dr\, в параллелограмм, площадь которого
равна
5 Б. М. Будак, С, В. Фомин

66
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Следовательно, |У(|, т))| представляет собой коэффициент растяжения
площади (в точке (£, т])) при отображении области Г на G.
Замечание 3. В теореме 1.7 мы предполагали, что отображение
х = хЦ, т]),
= у(£.
области Г на область О взаимно однозначно. Однако выражение A.52)
для площади в криволинейных координатах сохраняет силу и в том
случае, если это условие нарушается в отдельных точках или вдоль
отдельных линий. Рассмотрим в качестве типичного примера ото-
отображение прямоугольника 0 ^ г ^ а,
О ^ ф ^ 2л на круг, отвечающее
введению полярных координат по
формулам
х = гсоБф, у = г sin (р. A.70)
Это отображение удовлетворяет ус-
условиям теоремы 1.7 всюду, кроме
точек, лежащих на отрезке у = 0,
0 ^ х <^ а. Возьмем в плоско-
плоскости Гф прямоугольник р^г^а,
t — е, а в плоскости ху—
Рис. 1.31.
^ф< у
область, отвечающую этому прямоугольнику при отображении A.70)
(рис. 1.31). Для этих областей формула A.52) верна (так как там
условия 1)— 3) выполнены). Если теперь перейти к пределу при р—>0
и е—>0, то получим, что формула A.52) остается справедливой и
для всего рассматриваемого круга г ^ а.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в общем слу-
случае произвольного отображения, взаимно однозначного всюду, кроме
отдельных точек или линий.
6. Замена переменных в двойном интеграле. Полученное нами
выражение A.52) площади в криволинейных координатах позволяет
легко найти и общую формулу замены переменных в двойном инте-
интеграле. Рассмотрим интеграл
f ff(x. y)dxdy,
A.71)
где область G ограничена кусочно-гладким контуром L, а функ-
функция f(x, у) или непрерывна в этой области (включая границу) всюду,
или же ограничена в ней и непрерывна всюду, кроме некоторого
множества площади нуль.
Пусть функции х=х{\, X]) и у = у(|, ц) определяют соответ-
соответствие между точками области О и точками некоторой области Г,
удовлетворяющее всем тем предположениям, при которых была уста-
установлена формула A.52), выражающая площадь области О в криво-

§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 67
линейных координатах. Разобьем область Г на части Гг некоторой
системой кусочно-гладких кривых. Соответствующие им кусочно-
гладкие кривые разобьют область G на части Ог площади А5г.
Выбрав в каждой из этих частей Ог произвольную точку (хг, уг),
составим интегральную сумму
п
2/(*„ Уг)А5г, A.72)
i-l
отвечающую интегралу A.71).
Применив к каждой из частичных областей Ог формулу A.52),
получим
~J J \
Обозначив якобиан символом J{\, ц) вместо у' у' и воспользо-
воспользовавшись теоремой о среднем, будем иметь
где Ааг — площадь области Гг Заменив в интегральной сумме A-72)
каждую из величин А5г найденным выражением, получим
±
Точка (I*, rQ получается в результате применения теоремы о сред-
среднем, и выбор ее в каждой из частичных областей Гг от нас не
зависит. Напротив, точка (хг, уг) выбирается в каждой из частичных
областей Gt совершенно произвольно. Поэтому мы можем положить
т. е. выбрать ту точку области Ог, которая соответствует точке
(£*• Л*) области Г;. Тогда рассматриваемая интегральная сумма при-
примет вид
а это не что иное, как интегральная сумма для интеграла
(x(i, л). уA. л))!•/(!. ri>\didi\. A73)
г
Этот интеграл существует, так как подынтегральная функция в об-
области Г либо непрерывна, либо ограничена и непрерывна в Г всюду,
5*

68 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
кроме точек некоторого множества, имеющего площадь нуль. Если
теперь неограниченно измельчать разбиение области Г на части Гг,
то, в силу непрерывности соответствия, диаметры областей Gl также
будут стремиться к нулю. При этом рассматриваемая интегральная
сумма должна стремиться, с одной стороны, к двойному интегралу
A.71), а с другой — к интегралу A.73). Следовательно, эти инте-
интегралы равны
(*> y)dxdy = f f f(x(l, ц), у(|. П))№ 4)|d!dTi- A-74)
а г
Это и есть_ формула замены переменных в двойном интеграле.
Итак, 'если О — замкнутая ограниченная область с кусочно-
гладкой границей и f(x, у) — заданная в этой области функ-
функция, непрерывная всюду или же ограниченная и непрерывная
всюду, кроме некоторого множества площади нуль, и если
формулы
х = х{%, г]), у = уЦ, ц)
устанавливают соответствие между точками области G и
точками некоторой области Г в плоскости |г|, удовлетво-
удовлетворяющее условиям 1)— 3) it. 1, то имеет место формула замены
переменных A-74).
Равенство A.74) справедливо и в тех случаях, когда условия
взаимной однозначности, непрерывности и непрерывной дифференци-
руемости соответствия между областями О и Г нарушаются в отдель-
отдельных точках или вдоль конечного числа кривых площади нуль.
В двойном интеграле, как и в однократном, замена перемен-
переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удоб-
удобному для его вычисления. Необходимо, однако, подчеркнуть, что
в случае двух переменных возникает одно новое обстоятельство.
В то время как для однократного интеграла замена переменных
делается лишь с целью упрощения подынтегрального выражения, при
вычислении двойных интегралов стремятся упростить не только инте-
интегрируемую функцию, но и ту область, по которой берется интеграл.
Последнее обстоятельство настолько важно, что иногда имеет смысл
пойти даже на некоторое усложнение подынтегральной функции, но
зато получить простую область интегрирования.
Пример. Вычислить I I dxdy, где О — область, ограниченная
а
х1 v2
эллипсом —Т-\--р-= 1. Здесь подынтегральная функция тождественно
равна 1, т. е. является простейшей из всех возможных. Однако для
вычисления этого интеграла все же имеет смысл сделать замену

§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 69
переменных, положив
x = apcos<p, у = b psincp. A-75)
Якобиан такого преобразования равен abp. Область интегрирова-
интегрирования при этом переходит в прямоугольник
0<<р<2я,
Переходя к новым переменным и записывая двойной интеграл в виде
повторного, получаем
2я 1
Г Г dxdy = ab Г dtp Г р ф = nab.
а оо
Упражнения. 1. Вычислить площадь области, ограниченной
кривыми ху=1, ху = 2, у = х2, у = 2х2.
Указание. Принять за новые переменные
| = *у, т|=-^-. A.76)
2. Нарисовать сети координатных линий, отвечающие заменам A.75)
я A.76).
7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной
области. Формула A.74) аналогична формуле замены переменной в опреде-
определенном интеграле
ь р
ff(x)dx^jf(x(t))x'(t)dt A.77)
а а
с той только разницей, что в случае одной переменной берется не модуль
производной х' (t) (играющей здесь роль якобиана), а сама эта произ-
производная. Причина этого различия состоит в том, что определенный инте-
ь
грал I / (x) dx берется по ориентированному отрезку [а, Ь\ и при
а
перестановке пределов'меняет знак, а двойной интеграл берется по не-
неориентированной области. Если бы мы условились в определенном
интеграле пределы интегрирования всегда ставить так, чтобы нижний предел
был не больше верхнего, то формула A.77) (где х = х (t) — монотонная
функция) приняла бы вид
ь р
j f(x)dx= j f(x (t)) I x' (t) I dt. A.78)
a a
{Проверьте это!)
С другой стороны, можно было бы в случае двойных интегралов ввести
понятие ориентации области и приписывать площади такой области знак
плюс или минус.
За ориентацию области принимается выбор определенной ориентации
.{направления обхода) ее границы. Именно, область называется ориентире-

70 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
ванной положительно, если при движении по ее границе область остается
слева от наблюдателя (рис. 1.32). В противоположном случае область назы-
называется ориентированной отрицательно.
Если площадь области G (неориенти-
(неориентированной) равна S, то площадь этой
области, взятой с положительной ориен-
ориентацией, положим равной опять-таки S,
а площадь отрицательно ориентирован-
ориентированной области G будем считать равной—S.
Можно показать, что отображение
- х = х (|, т|), у = у (|, т|) области Г на О
сохраняет ориентацию, если его якобиан
положителен, и меняет ориентацию,
Рис. 1.32. £> ix уч
если '■ ' }> < 0. Поэтому формула,
представляющая в криволинейных координатах площадь ориентированной
области G, имеет вид
О
' (i. ч)
r
аналогично меняется и формула A.74).
Я£> (х, у)
В it n\ d^dx\ (без знака модуля);

ГЛАВА 2
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В предыдущей главе мы ввели понятие двойного интеграла. Сей-
Сейчас мы определим интеграл от функции трех переменных, так назы-
называемый тройной интеграл. Тройные интегралы, подобно двойным,
находят широкое применение в различных физических и геометриче-
геометрических задачах. Некоторые из этих задач будут рассмотрены в § 3.
Между тройными интегралами и двойными существует почти полная
аналогия. Те доказательства, которые не отличаются сколь-нибудь
существенно от доказательств соответствующих утверждений для двой-
двойных интегралов, мы будем, как правило, опускать.
В § 5 этой главы будет дано понятие о многократных интегралах,
т. е. об интегрировании функций произвольного числа независимых
переменных.
§ 1. Определение и основные свойства
тройного интеграла
1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи-
фигуры. Понятия внутренней точки области, границы, замкнутой обла-
области, диаметра и т. д., определенные в § 1 гл. 1 для плоскости, пе-
переносятся без всяких изменений на случай трехмерного пространства.
Вводя двойной интеграл, мы пользовались понятием площади.
Аналогично определение тройного интеграла опирается на понятие
объема пространственной фигуры.
Определение объема многогранника мы считаем известным из эле-
элементарной геометрии. Распространить это понятие на более широкий
класс фигур можно так же, как в § 1 гл. 1 мы распространили по-
понятие площади с многоугольных фигур на криволинейные квадрируе-
мые фигуры. Изложим вкратце соответствующие рассуждения.
Объем V (Р) многогранного тела (т. е. тела, составленного из
конечного числа многогранников) представляет собой неотрица-
неотрицательную величину, обладающую следующими свойствами:

72 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
1 (монотонность). Если Р и Q — два многогранных тела
и Р содержится в Q, то
V(P)<V(Q).
2 (аддитивность). Если Р и Q — два многогранных тела
без общих внутренних точек, то
3 (инвариантность). Если многогранные тела Р и Q кон-
конгруэнтны между собой, то их объемы равны.
Эти три свойства должны быть сохранены при распространении
понятия объема с многогранных тел на более общий класс куби-
руемых тел.
Возьмем произвольное пространственное тело*) Фи рас-
рассмотрим всевозможные вложенные в него многогранные тела; точную
верхнюю грань их объемов назовем внутренним объемом тела Ф
(если тело Ф таково, что внутрь него вообще нельзя поместить ни
одного невырожденного многогранного тела, то его внутренний
объем мы положим по определению равным нулю). Точную нижнюю
грань объемов многогранных тел, объемлющих тело Ф, мы назовем
его внешним объемом. Если внешний объем тела Ф равен его
внутреннему объему, то это общее их значение называется просто
объемом тела Ф, а само это тело называется кубируемым. Ана-
Аналогично теореме 1.2 доказывается следующая теорема:
Теорема 2.1. Тело Ф куб и руе мо в том и только том
случае, если для любого е>0 найдутся два таких много-
многогранных тела РсФ и QzdQ), что
V(Q)-V(P)<s.
Мы скажем, что некоторое множество имеет объем нуль, если
его можно поместить внутрь многогранного тела сколь угодно малого
объема. Пользуясь этим понятием, мы можем теорему 2.1 сформу-
сформулировать так:
Чтобы тело Ф было куб и р у е мо, необходимо и доста-
достаточно, чтобы его граница имела объем нуль.
Этот критерий позволяет установить кубируемость достаточно
широких классов тел. Например, кубируемо всякое тело, составлен-
составленное из конечного числа криволинейных цилиндров, каждый из кото-
которых имеет квадрируемое основание, а сверху ограничен поверхностью,,
задаваемой уравнением г = /(х, у), где f(x, у) — непрерывная функ-
*) То есть некоторое ограниченное множество точек в пространстве.

$ I] СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 73
ция. Объем каждого такого цилиндра представляется двойным инте-
интегралом
( (fix, y)dxdy,
а
взятым по основанию этого цилиндра.
Другой важный класс кубируемых тел — это пространственные
области, ограниченные конечным числом гладких *) поверхностей.
Доказательство того, что область, ограниченная гладкими поверхно-
поверхностями, кубируема, по существу, аналогично доказательству того, что
гладкая кривая имеет площадь нуль, но несколько более громоздко.
Мы не будем приводить его.
Повторив рассуждения, проведенные в п. 4 § 1, можно устано-
установить справедливость следующих утверждений:
1) Если <Е>1 и Ф2 — два кубируемых тела, то их объедине-
объединение Ф — кубируемое тело, и если тела Фх и Ф2 не имеют общих
внутренних точек, то объем Ф равен сумме объемов Фх и Ф2.
2) Пересечение (общая часть) двух кубируемых тел есть ку~
бируемое тело.
Замечание. Обратим внимание на то, что к понятию объема
у нас имеются два различных по форме подхода.
С одной стороны, мы определили объем криволинейного цилиндра
с квадрируемым основанием G, ограниченного сверху поверхностью
z = f(x, у), как двойной интеграл
{x, y)dxdy.
С другой стороны, мы ввели понятие объема кубируемого тела с по-
помощью аппроксимации такого тела (изнутри и снаружи) многогран-
многогранными телами. Можно, однако, показать, что для достаточно широкого
класса тел (во всяком случае, для тел, ограниченных кусочно-глад-
кусочно-гладкими поверхностями) оба эти подхода равносильны.
2. Определение тройного интеграла. Пусть на кубируемом теле V
задана ограниченная функция f(x, у, z). Разобьем V на части Vt
и, произвольно выбрав в каждой из Vt некоторую точку (|г, % £г),
составим сумму
Г = 2/(&,.*)<.£<) А*/. B-1)
i= I
где Лог — объем элемента Vt< а сумма берется по всем элементам
разбиения. Введем следующие определения.
*) Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует
касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой ка-
касательной плоскости меняется непрерывно.

74 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d(Vt)
элементов Vt, на которые разбито тело V. Число J называется
пределом интегральных сумм B.1) при D->0, если
для любого е > О найдется такое б > 0, что
||<
как только D < 6.
Иначе говоря, неравенство \Т — J\ <e должно выполняться для
каждой интегральной суммы Т, отвечающей любому разбие-
разбиению (У;), для которого D < 6, и любому выбору точек (|г, т]г, £г)
в каждом из У;.
Определение 2. Если предел интегральных сумм B.1) при
D—>0 существует, то он называется тройным и нтег р а-
лом от функции f(x, у, z) no V и обозначается символом
Г Г Г / (х, у, z)dv или Г Г Г f(x, у, z)dxdydz.
V V
Функция f(x, у, z) при этом называется интегрируемой по V.
3. Условия существования тройного интеграла. Интегрируе-
Интегрируемость непрерывных функций. Как и в случае одной или двух пе-
переменных, не всякая ограниченная функция /(х, у, z) интегрируема.
Для нахождения достаточных условий существования тройного инте-
интеграла используют обычно, как и в случае двойных или однократных
интегралов, верхние и нижние суммы Дарбу.
Пусть /(х, у, z) — ограниченная функция, заданная на кубируемом
теле V, {Vi\—некоторое разбиение этого тела и Mit nil — соответ-
соответственно точная верхняя и точная нижняя грани значений функции
/(х, у, z) на У;. Тогда
(здесь hvt — объем элемента Vj) называются соответственно верхней
и нижней суммами Дарбу для функции /('х, у, z) и данного раз-
разбиения (Уг) тела V. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу, сфор-
сформулированные в § 2 гл. 1, дословно переносятся на случай трех
переменных.
С помощью рассуждений, в точности повторяющих доказатель-
доказательство теоремы 1.3, доказывается следующее необходимое и достаточ-
достаточное условие существования тройного интеграла:
Теорема 2.2. Ограниченная на кубируемом теле V функция
/(х, у, z) интегрируема по V в том и только том случае,
если для любого е > 0 найдется такое разбиение тела V, что
разность между верхней и нижней суммами Дарбу для функ-
функции f(x, у, z), отвечающими этому разбиению, меньше е.

§ I] СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 75
С помощью этого критерия устанавливаются следующие теоремы,
аналогичные теоремам 1.4 и 1.4' для двойных интегралов.
Теорема 2.3. Всякая функция f(x, у, z), непрерывная в зам-
замкнутой ограниченной*) области V, интегрируема в этой
области.
Теорема 2.4. Если функция f(x, у, z) ограничена в замкну-
замкнутой ограниченной *) области и непрерывна в этой области
всюду, кроме, быть может, точек, принадлежащих некото-
некоторому множеству объема нуль, то f(x, у, z) интегрируема
по этой области.
4. Свойства тройных интегралов. Основные свойства тройных
интегралов вполне аналогичны свойствам двойных интегралов. Пере-
Перечислим их.
1—2 (линейность). Если fx{x, у, z) и /2(х, у, z) интегри-
интегрируемы по области V, a kx и k2— постоянные, то klfl-\-k2f2
интегрируема по V и
dV =
f f ff2(x, y, z)dv.
V V
3 (аддитивность). Если V — объединение двух тел V, и V2
без общих внутренних точек и f(x, у, z) интегрируема по Vt
и по V2, то f(x, у, z) интегрируема по V и
f f ff(x, y, z)dv = ffff(x,y, Z)dv+ffff(x, у, z)dv.
v vt v%
4 (монотонность). Если f\{x, у, z)^>f2(x, у, z) и обе
эти функции интегрируемы по V, то
f { f
/а (*. У. z)dv.
5 (оценка интеграла по модулю). Если f(x, у, z) инте-
интегрируема по V, то \f(x, у, z)\ также интегрируема и
/(х, у, z)dv\^fff\f(x, у, z)\dv.
*) И кубируемой. Условие кубируемости мы в дальнейшем всегда будем
предполагать, не оговаривая этого каждый раз особо.

76 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
6 (теорема о среднем). Если функция f (х, у, z) интегри-
интегрируема по V и удовлетворяет неравенствам m^f {х, у,
то
mv -
Г Г Г / (х< У' z)dv
где v — объем тела V.
Для непрерывных функций теорема о среднем может быть сфор-
сформулирована так:
6'. Если функция f(x, у, z) непрерывна, а V — связная зам-
замкнутая ограниченная область, то в области V найдется
такая точка (|, г], £), что
////(х, у, z)dv =
5. Тройной интеграл как аддитивная функция области. Ана-
Аналогично функциям области на плоскости можно ввести понятие функ-
функции пространственной области *). Примером такой функции (опре-
(определяемой на всех кубируемых телах) может служить объем области.
Далее, ■ если пространство (или некоторая его часть) заполнено мате-
материей, то, ставя в соответствие каждой области ту массу, которая
находится внутри этой области, мы опять-таки получим некоторую
функцию области в пространстве. Объем и масса обладают уже зна-
знакомым нам свойством аддитивности, которое формулируется здесь
точно так же, как и для плоского случая: функция области F(V)
называется аддитивной, если для любых двух областей V1 и V2,
для которых F(V) определена и которые не имеют общих внутрен-
внутренних-точек, F(yi~\-V2) определена и
Если /(х, у, z)—интегрируемая функция, то тройной интеграл
////(х, у, z)dv,
V
рассматриваемый как функция области интегрирования, представляет
собой аддитивную функцию области (свойство 3 п. 4).
Аналогично двумерному случаю вводится понятие производной
аддитивной функции области в пространстве по объему, а именно:
число А мы назовем пределом отношения
F{V)
v
*) Термин «область» мы здесь употребляем как синоним термина «куби-
руемое тело».

§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ. ИНТЕГРАЛОВ 77
(где v — объем области V) при стягивании V к точке Мо, если для
любого е > 0 найдется такое б > 0, что
<е
для всякой области V, целиком помещающейся в шаре радиуса б,
с центром в точке Мо. Этот предел называется производной функ-
функции F(V) no объему в точке Мо и обозначается
dF
lim —*—i , или -г-
v dv
Если F (V) — масса, содержащаяся в области V, то ее производ-
производная по объему (если она существует) представляет собой плотность
р(х, у, z) пространственного распределения масс.
Из теоремы о среднем для тройного интеграла и из непрерыв-
непрерывности подынтегральной функции сразу вытекает, что производная
интеграла от непрерывной функции по объему существует и совпа-
совпадает с подынтегральной функцией
(x> y> z)dv=f(x> у> z)>
причем этот интеграл представляет собой единственную аддитивную
функцию области в пространстве, производная которой по объему
есть заданная непрерывная функция f(x, у, z).
§ 2. Некоторые применения тройных интегралов
в физике и геометрии
Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с вычислением
тройных интегралов.
1. Вычисление объемов. Если V — кубируемое тело, то тройной
интеграл
j J jdxdydz B.2)
v
равен объему этого тела. Действительно, этому объему равна каждая
из интегральных сумм, отвечающих интегралу B.2). Тройные инте-
интегралы в некоторых случаях бывают удобнее для вычисления объемов,
чем двойные, так как с их помощью можно записать сразу объем
не только криволинейного цилиндра, но и любого кубируемого тела.
2. Нахождение массы тела по плотности. Если дано некото-
некоторое тело с объемной плотностью р(х, у, z), представляющей собой
непрерывную функцию, то тройной интеграл
JJJp(x, у, z)dxdydz,

78 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
взятый по всему объему, занимаемому этим телом, представляет собой
массу данного тела. Вывод здесь вполне аналогичен выводу формулы
для нахождения массы пластинки по ее плотности.
3. Момент инерции. Проводя обычный предельный переход от
системы материальных точек к непрерывно распределенной массе,
легко получить следующие выражения для моментов инерции отно-
относительно координатных осей тела с объемной плотностью р(х, у, z)\
/г= J J J(x2+y2)p(x, у, z)dxdydz,
V
/y = ///(x2+22)p(x, у, z)dxd$dz,
. у. z)dxdydz.
V
Момент инерции относительно начала координат выражается фор-
формулой
IQ=fff(x2 + f- + z2)p(x, у, z)dxdydz.
V
4. Вычисление координат центра масс. Координаты центра
масс некоторого тела, имеющего объемную плотность р(х, у, z),
выражаются формулами:
Г Г Г хр (х, у, z) dx dy dz }[] Ур (x> У'
v
dz
хс — r r r ' У" — Г г г '
I I I Р {х, у, z) dx dy dz J I J p {x, y, z) dx dy dz
V V
f J / zp ^x< y' г) dx dy dz
j j j P (x. y, z) dx dy dz
V
которые получаются с помощью тех же рассуждений, что и в слу-
случае двух измерений. В частности, если рассматриваемое тело одно-
однородно, т, е. р(х, у, z)= const, то выражения для координат центра
масс принимают более простой вид:
iljxd" SSh"" И!
'""

§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 79
б. Притяжение материальной точки телом. Пусть даны тело,
заполняющее область V и имеющее плотность р(х, у, z), и мате-
материальная точка (лежащая вне V) с координатами (х0, у0, z0) и мас-
массой т. Найдем силу, с которой материальная точка притягивается
телом. Рассмотрим элемент объема тела dv. Масса этого элемента
равна р(х, у, z)dv,a сила, с которой он притягивает материальную
точку, равна по величине
тр (х, у, z) dv
Р
где у — постоянная тяготения (зависящая от выбора единиц) и
г = У(х - х0J + (у — у0? + (z - zof,
а направление ее совпадает с направлением вектора г, соединяющего
точки (х0, уй, z0) и (х, у, z). Рассмотрим компоненту этой силы вдоль
оси х. Эта компонента равна
(х — х0) тр (х, у, z) dv
У р \г-6>
(д. д. \
поскольку косинус угла между осью х и вектором г равен .
Для того чтобы получить проекцию Fx на ось х силы, с которой
притягивает материальную точку все тело, нужно просуммировать
элементы B.3), т. е. взять тройной интеграл.
Итак,
v
Аналогично получаются и две другие компоненты:
Замечание. Следует подчеркнуть, что в рассматриваемых здесь за-
задачах о нахождении координат центра масс, моментов инерции и т. д., равно
как и в аналогичных задачах, о которых шла речь в § 4 предыдущей главы,
полученные нами формулы представляют собой, собственно говоря, опреде-
определения соответствующих понятий (центра масс, моментов инерции и пр.) для
случая непрерывного распределения масс. Оправданием этих определений
служат, в конечном счете, не логические рассуждения, а совпадение резуль-
результатов экспериментов с расчетами, основанными на этих определениях.

80
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 2
г.
§ 3. Вычисление тройного интеграла
Как и в случае двойных интегралов, основной прием, на кото-
котором базируется вычисление тройных интегралов, состоит в сведении
интеграла к повторному, т. е. к замене интегрирования по объему
интегрированием по каждой из переменных в отдельности *).
Задачу о сведении тройного интеграла к повторному мы рассмо-
рассмотрим сначала для случая, когда интеграл берется по некоторому
параллелепипеду со сторонами, парал-
параллельными осям координат.
1. Сведение тройного интеграла
по параллелепипеду к повторному.
Рассмотрим тройной интеграл
(х, у, z)dxdydz,
Рис, 2.1.
(рис. 2.1), проектирующийся на плоскость ху в прямоугольник Р,
определяемый неравенствами
^л
/\
J
1
/ Р
Q
в котором область интегрирования Q
представляет собой прямоугольный па-
параллелепипед:
Имеет место следующая
Теорема 2.5. Если для функции /(х, у, z) существует
тройной интеграл
(х, у, z)dv
Q
и если для каждой фиксированной точка (х, у) из Р суще-
существует интеграл
Пх, y) = ff(x, у, z)dz,
k
то повторный интеграл
i
f (dxdyff(x, у, z)dz
*) Здесь мы имеем в виду точное вычисление интеграла. Для прибли-
приближенного вычисления кратных интегралов сведение их к повторным, как пра-
правило, не применяется.

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 81
существует и имеет место равенство
i
////(*• У> z)dv = ffdxdyff(x, у, z)dz. B.4)
Q Р к
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы о сведении двойного интеграла к повторному (см. тео-
теорему 1.5). Оно сводится к установлению того факта, что любая
интегральная сумма, отвечающая при некотором разбиении интегралу
Г Г/(х, y)dxdy, заключена между нижней и верхней суммами Дарбу,
р
отвечающими тройному интегралу Г Г Г f(x, у, z)dv.
Q
Предположив, что интеграл
а
Г(х, y)dy
(при любом фиксированном х, а-^x-^b) также существует, мы
можем в формуле B.4) интегрирование по прямоугольнику Р заме-
заменить повторным интегрированием, сначала по у, а потом по х. Сде-
Сделав это, мы можем переписать равенство B.4) в следующем виде:
ъ a i
////(*■ У. z)dv = fdxfdyff(x, у, z)dz. B.5)
Q а с k
Это и есть формула, сводящая вычисление тройного интеграла по
параллелепипеду Q к последовательному интегрированию по каждой
из трех переменных в отдельности. В формуле B.5) интеграл справа
берется сначала по z, потом по у и, наконец, по х. Мы могли бы,
предположив существование интегралов
ь d
1ЛУ> z) = Jf(x, у, z)dx и •/,(£) = /Л(У. *)dy,
а с
получить аналогичную формулу
{ d Ь
J* ///О- У. z)dv = fdzfdyff(x, у, z)dx,
Q к с а
а'также (опять-такн при условии существования соответствующих
однократных и двойных интегралов) и другие аналогичные формулы,
сводящие тройной интеграл к повторному, взятому по х, у и z
в той или иной последовательности. В частности, если f(x, у, z)
непрерывна, то как тройной, так и все возможные двойные и одно-
однократные интегралы от этой функции существуют, поэтому при
6 Б. М. Будак, С, В. Фомин

82
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 2
вычислении тройного интеграла от непрерывной функции можно инте-
интегрировать по переменным х, у и z в любой последовательности.
2. Сведение тройного интеграла по криволинейной области
к повторному. Рассмотрим теперь криволинейную область V, кото-
которая снизу и сверху ограничена поверхностями
z = z1(x, у) и z = z2(x, у),
а сбоку — некоторой цилиндрической поверхностью, и пусть
О — проекция области V на плоскость ху (рис. 2.2). Будем такую
область кратко называть «цилиндри-
«цилиндрической по z». Пусть в области V за-
задана функция /(х, у, z), интегрируе-
интегрируемая в этой области и такая, что для
любой фиксированной точки (х, у) из
О существует однократный интеграл
гг (х, у)
f f{x, у, z)dz.
г, (х, у)
Заключим область V в некоторый па-
параллелепипед Q:
Рис. 2.2.
и определим на Q вспомогательную
функцию /*(х, у, z), положив
/*(х, у, z) = -
О
вне
V.
Ясно, что /*(х, у, z) интегрируема по Q и что
V, z)dv. B.6)
Q V
Применив к /*(х, у, z) формулу B.4), получим
i
////*(*. У> z)dv = ffdxdyff*(x, у, z)dz, B.7)
Q P ft
1де Р — проекция Q на плоскость ху.
В силу того, что /*(х, у, z) равна нулю вне V, имеем
I z%(x, у)
ff*(x, у, z)dz= f /(x, у, z)dz. B.8)
ft г,(х, у)
Этот интеграл представляет собой функцию от х и у, равную, оче-
очевидно, нулю вне области О. Поэтому двойной интеграл от нее, взя-

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 83
тый по Р — проекции параллелепипеда Q на плоскость ху,—сов-
ху,—совпадает с интегралом от нее же, взятым по О. Таким образом, учи-
учитывая B.6) и B.8), равенство B.7) можно переписать в следующем
виде:
гг(х, у)
////(*. у, z)dxdydz = Jjdxdy J f(x, у, z)dz. B.9)
V G г, (х, у)
Итак, мы получили следующий результат:
Теорема 2.6. Если для функции f(x, у, z), заданной
в области V, цилиндрической по z, существует тройной ин-
интеграл
////(*> У- z)dv,
v
а для каждой фиксированной точки (х, у), принадлежащей
проекции G области V на плоскость ху, существует инте-
интеграл
z2(x, у)
I(x, y)= j fix, у, z)dz,
г, (х, у)
то повторный интеграл
z3 (х, у)
f fdxdy f f(x, y, z)dz
a z,(x, y)
существует и имеет место равенство B.9).
Выражение
z2(x, у)
1{х, у)= J fix, у, z)dz
Zi (х, у)
представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функ-
функции и той области О, по которой она интегрируется, выполнены
условия теоремы 1.6, то двойной интеграл
, у) dx dy
o~
можно в свою очередь представить в виде повторного, взятого, ска-
скажем, сначала по у, а потом по х. В результате получаем равенство
Ь уг(х) z2(x, у)
f J ffix, у, z)dv = f dx f dy f f(x,y,z)dz. B.10)
V а У\(х) Zi(x,y)
Это и есть окончательная формула, сводящая тройной интеграл к по-
повторному. Ясно, что мы могли бы поменять ролями переменные х,

84 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
у и z и свести тройной интеграл к повторному, взятому в каком-
нибудь ином порядке, например, сначала по х, потом по у и, нако-
наконец, по z. При этом всегда пределы интегрирования по какому-либо
переменному зависят от тех координат, по которым мы еще не ин-
интегрировали.
При выводе формулы B.9) мы пользовались тем, что каждая
прямая, параллельная оси z, встречает границу области V не более
чем в двух точках. Если область имеет более сложный вид, то для
сведения взятого по ней тройного интеграла к повторному нужно
эту область предварительно разбить на такие части, к каждой из
которых формула B.9) применима. С аналогичным положением дел
мы уже встречались в случае двойных интегралов.
Подводя итог сказанному выше, сформулируем кратко «рецепт»
сведения тройного интеграла к повторному (для определенности бу-
будем считать, что повторный интеграл берется сначала по z, а по-
потом по остальным переменным).
,1. Область, по которой берется тройной интеграл, следует раз-
разбить на такие части, чтобы граница каждой из этих частей пересе-
пересекалась любой вертикальной прямой не более чем дважды. Ниже бу-
будем рассматривать только одну такую часть.
2. Зафиксируем х и у, т. е. рассмотрим некоторую прямую, па-
параллельную оси z. Пусть z1(x, у) и z2(x, у) — точки пересечения
этой прямой с границей области интегрирования; z1(x, у) и z2(x, у)
являются пределами для интегрирования по z.
3. После интегрирования по z мы получаем функцию двух пере-
переменных х и у; ее область определения — это проекция простран-
пространственной области V на плоскость ху. Двойной интеграл от этой
функции двух переменных заменяется повторным так, как это было
описано в § 5 гл. 1.
По существу, формула сведения тройного интеграла к повторному осно-
основана на той же самой «группировке слагаемых», с которой мы уже имели
дело. Вместо того чтобы суммировать элементы / (х, у, z) dx dy dz в ка-
каком-то произвольном порядке /т. е. брать I I I f (х, у, z) dxdy dz \, мы
\ v I
сначала собираем все слагаемые, отвечающие одному столбику над точкой
(z,{x,y) \
т. е. берем I f {х, у, z) dx I, затем собираем вместе все стол-
столбики, лежащие в сечении области V плоскостью х = const I т. е. вычисляем
Уг(х) Zi{x,y) \
Г dy Г / (х, у, z)dz\, и, наконец, собираем вместе все такие сечениа

§4]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
т. е. получаем формулу
Ь у2(х) z2(x,y) \
*• y,z)dv=fdx j dy J f{x,y,z)dz\.
a yt(x) zt(x,y) I
V a yt(,x) zt(x,y)
Пример. Тройной интеграл, взятый по шару
записать в виде повторного.
Ответ.
f f f f(x, у, z)dv= J dx f dy j f(x,y,z)dz.
<a2 -a -Va2-x2 -Va?-x2-y2
§ 4. Замена переменных в тройном интеграле
Мы уже встречались с заменой переменных в двойном интеграле-
(§ 6 гл. 1) и в однократном (вып. 1, гл. 6, § 2). Здесь мы рассмотрим
вопрос о замене переменных в тройном интеграле. Содержание этога
параграфа во многом ана-
аналогично § 6 гл. 1. zk „
1. Отображение про- ^ГГ7Т"
странственных областей.
Рассмотрим два экземпляра
трехмерного пространства.
Пусть в одном из них вве-
введены координаты х, у, z, a
в другом — координаты |,
т], £. Пусть, далее, V и
Q — две области в этих про-
пространствах, ограниченные
кусочно-гладкими поверхностями S и 2 соответственно (рис. 2.3).-
Предположим, что между точками этих областей установлено взаимно-
взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие. Это соот-
соответствие может быть записано с помощью трех функций
х = х(£, я £), у^= у(£, т|> £)> z = z(£, п, t.) B.11)
или с помощью обратных функций
1=1(х, у, z), i\ = i\(x. у, z), 1 = 1{х, у, z). B.12)
Предположим, что функции B.11) и B.12) не только непрерывны,
но и имеют непрерывные частные производные первого порядка-
Тогда якобианы
Рис. 2.3.
D
D E,
у, z)
D
D (х, у, г)
], Q

:g6 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
существуют и непрерывны. Мы будем предполагать, что каждый
из этих якобианов отличен от нуля. При этих условиях выполняется
■соотношение
D (*. У. г) D F, Г), I) _ .
D& л. О ' D(x,y,z) -Ь ^-ld)
Как и в двумерном случае, можно показать, что соответствие, опре-
определяемое формулами B.11) и B.12), переводит внутренние точки
одной области во внутренние точки другой, а граничные точки —
опять-таки в граничные.
2. Криволинейные координаты в пространстве. Отображе-
Отображение B.11) переводит область Q в V. Следовательно, задание точки
(|, т], С) из Q вполне определяет соответствующую точку (х, у, z)
из V. Иначе говоря, величины |, ц, t, можно рассматривать как
координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области V.
Они называются криволинейными координатами.
Рассмотрим в Q плоскость, определенную условием £ = £0> т- е-
параллельную координатной плоскости г)£. Отображение B.11) пере-
переводит ее в некоторую поверхность. Декартовы координаты точек
этой поверхности суть *)
х = х (|о, т], 0. У = У (So- Л. С), г = z (|0, ц, I). B.14)
Придавая |0 различные значения, мы получим некоторое семейство
поверхностей, зависящее от | как от параметра. Плоскости г) = const
и С = const переходят при отображении B.11) в два аналогичных
семейства поверхностей в области V- Эти три семейства поверхно-
поверхностей называются координатными. Через каждую точку области V
проходит по одной поверхности каждого из трех семейств (при усло-
условии взаимной однозначности отображения B.11)).
3. Цилиндрические и сферические координаты. Рассмотрим
две наиболее употребительные системы криволинейных координат
в пространстве — цилиндрические и сферические координаты.
г) Цилиндрические координаты. Определим положение точки М
в пространстве ее декартовой координатой z и полярными коорди-
координатами г, ф ее проекции /И, на плоскость ху (рис. 2.4). Величины
г, ф, z называются цилиндрическими координатами точки М.
Непосредственно из чертежа видно, что они связаны с декартовыми
координатами точки М следующими соотношениями:
Z=Z. B.15)
*) Выражения B.14) представляют собой так называемые параметрические
уравнения поверхности. Подробнее о параметрических уравнениях поверх-
поверхности будет сказано в гл. 3.

§ 4]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
87
Цилиндрическим координатам отвечают следующие три семейства
координатных поверхностей:
а) цилиндры г = const @ <; г < со),
Р) вертикальные полуплоскости ср = const @^ср<2л),
у) горизонтальные плоскости z = const (— со < z < со).
Якобиан, соответствующий переходу от декартовых координат-
к цилиндрическим, равен
coscp sincp О
D (х, у, z) _
D (г, ф, г)
= г.
Рис. 2.4.
— rsincp r coscp и
О 0 1
B.16)
Формулы B.15), устанавливающие
связь между декартовыми и цилиндри-
цилиндрическими координатами, определяют отоб-
отображение области
0<г<со, 0^ср<2л, —co<z<co
B.17)
пространства переменных (г, ср, z) на все пространство (х, у, z).
При этом каждой точке @, 0, z0) отвечает в области, определенной;
неравенствами B.17), целый полусегмент
г = 0, 0<ф<2л, z = z0.
Таким образом, в точках, лежащих на оси z, наше отображение не
является взаимно однозначным. Во всех остальных точках простран-
„ ства (х, у, z) рассматриваемое соответствие бу-
будет, очевидно, взаимно однозначным.
б) Сферические координаты. Определим
положение точки М в пространстве следующими
тремя величинами:
а) расстояние р от начала координат О
до М,
Р) угол 9 между отрезком ОМ и положи-
положительным направлением оси z,
у) угол ф между проекцией ОМХ отрезка
ОМ на плоскость ху и положительным на-
направлением оси х (рис. 2.5). Величины р, 0
и ф называются сферическими координата-
координатами точки М. Из чертежа видно, что декар-
декартовы координаты точки М связаны с ее сферическими координа-
координатами следующими соотношениями:
х = рзт9созф, y = psin9s^, z = pcos9. B.18>
Сферическим координатам отвечают следующие три семейства коор-
координатных поверхностей:
Рис. 2.5.

ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
а) сферы р = const @ -^ p < со),
P) полуконусы 0 = const @ <^ 0 -^ л),
у) вертикальные полуплоскости ф = const (I
Якобиан, соответствующий переходу от декартовых координат
:к сферическим, равен
sin 0 cos ф sin 0 sin ф cos0
= p2sin0. B.19)
—psin0
— psinGsincp рвшОсовф О
Формулы B.18) определяют отображение области (полубесконеч-
иый брус)
0<р<со, О<0<л, 0<Ф<2л
пространства (р, 0, ф) на все пространство (х, у, z). Это отобра-
отображение, как и отображение, отвечающее цилиндрическим координатам,
взаимно однозначно во всех точках пространства (х, у, z), кроме
точек, лежащих на оси z. Каждой точке @, 0, z0) отвечает полу-
полусегмент p = z0, 0 = 0 (или 0 = л, если z0 < 0), 0^ф<2л, а
точке @, 0, 0) отвечает прямоугольник р = 0, 0 <; 0 .< л, 0 .< ф < 2л.
4. Элемент объема в криволинейных координатах. Найдем
теперь выражение элемента объема в криволинейных координатах.
Рассмотрим снова некоторую пространственную область V, в кото-
которой введены криволинейные координаты £,
v\, £, связанные с декартовыми координата-
координатами х, у, z формулами
х = хA, ц, £), у = у(|, т], £). п 9Пч
Функции x(l, ч), £), y(|, ц, £) и 2A, ц, 0
мы предполагаем непрерывными и имеющи-
имеющими непрерывные производные, а якобиан
D (х, у, z)
D —J ' считаем отличным от «уля.
Рассмотрим три пары бесконечно близких между собой коорди-
координатных поверхностей. Пусть первая из этих пар задается фиксиро-
фиксированными значениями первой координаты, равными соответственно £
и \-\~d\, вторая — значениями г) и г)-}-<2г) второй координаты и
третья — значениями £ и X>-\-d%> третьей координаты. Эти три пары
поверхностей вырезают в пространстве бесконечно малый криволи-
криволинейный параллелепипед. Найдем его объем dv, пренебрегая вели-
величинами выше первого порядка малости по сравнению с этим объе-
объемом. С точностью до бесконечно малых высшего порядка этот па-
параллелепипед совпадает с прямолинейным параллелепипедом, ребрами
которого служат векторы PPV РР2 и PPS (рис. 2.6). Легко про-

§ 4]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
89-
верить, что эти векторы имеют следующие координаты (мы опять
здесь ограничиваемся главными членами)
w.-Df* •£* -14
Как известно, объем параллелепипеда, построенного на трех векто-
векторах, равен абсолютной величине детерминанта, составленного из.
координат этих векторов. Следовательно,
дх
ду
i
dz
dz
= +
dx
dl
dx
ch,
dx
dy
dl
_dy
dt]
dy
dz
dz
dz
где знак плюс или минус берется так, чтобы все выражение было
положительно. Итак, мы получим, что
dv = \J(l, т), t)\dld4di, B.21)
где У(|, т], £,)= n,J у> 5. якобиан преобразования B.20).
5. Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический
смысл якобиана. Мы показали, что объем бесконечно малого эле-
элемента выражается в криволинейных координатах формулой B.21).
Из нее сразу следует, что объем конечной области V записывается
в виде тройного интеграла *)
J/JV(i.
B.22)
взятого по той области й изменения переменных |, г), £, которая
переводится в область V отображением B.20).
Из этого выражения для объема формула замены переменных
получается с помощью следующих рассуждений, аналогичных изло-
изложенным в п. 6 § 6 гл. 1.
*) Мы опустили здесь те оценки, которые в § 6 гл. 1 были проведены
для двух переменных.
Читатель, разобравший доказательство теоремы 1.7, легко воспроизведет
аналогичное доказательство и для данного случая. Здесь, как и в случае
двух переменных, основная идея состоит в аппроксимации нелинейного
отображения малой области подходящим ее линейным отображением.

SO ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
Пусть /(х, у, z)—непрерывная функция, заданная в замкнутой
ограниченной области V. При этих предположениях интеграл
/(х, у, z)dxdydz B.23)
существует. Он представляет собой предел интегральных сумм вида
п
2/(хг- Уг. ■гг)Аг>,. B.24)
Пусть формулы B.20) устанавливают соответствие между об-
областью V и некоторой областью Q изменения переменных |, г), £,
причем это соответствие удовлетворяет условиям, указанным в п. 1.
В силу этого соответствия, каждому разбиению {Vt} области V на
части отвечает определенное разбиение {Q^} области Q, и обратно.
Согласно B.22) можно объем Лг»г области Vt представить в виде
Я 01 <*£
Применив к этому интегралу теорему о среднем, получим
где Дсог — объем частичной области Q;, а (|*, г)*, ^ — некоторая
точка, принадлежащая Q;.
В сумме B.24) каждая из точек (хг, уг, zt) выбирается внутри
соответствующей области Vt произвольно. В частности, можно в ка-
качестве (xt, yt, zt) взять ту точку, которая имеет криволинейные
координаты !*, т)*, t,*. Следовательно, интегральную сумму B.24)
можно переписать в виде
B.25)
т. е. в виде интегральной суммы, отвечающей интегралу
////(*(&. Я 0. У(Е. Л. 0. Ч1> Я 0I^A. Л. 0|^^Л^- B-26)
Этот интеграл заведомо существует, так как подынтегральная функ-
функция в нем непрерывна. Рассмотрим некоторую последовательность
неограниченно измельчающихся разбиений \Vt\ области V. Ей отве-
отвечает, в силу отображения B.20), определенная последовательность
разбиений {Q;} области Q, причем если максимум диаметров областей V{
стремится к нулю, то максимум диаметров областей Qt тоже стре-

§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 91'
мится к нулю. Этой последовательности разбиений отвечает последо-
последовательность интегральных сумм, каждую из которых можно записать,
в виде B.24) или в виде B.25). Предел этой последовательности
интегральных сумм B.24) равен интегралу B.23), а предел сумм B.25).
есть интеграл B.26). Таким образом, интегралы B.23) и B.26) пред-
представляют собой пределы одних и тех же интегральных сумм. Следо-
Следовательно, они равны, т. е.
У(I. Ч 0. *(&. Л. £))№ т,. 0|Ао. B.27)
Итак, если задано взаимно однозначное отображение зам-
замкнутой ограниченной области V на область Q, непрерывное,
непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля
якобиан, и если f(x, у, z)— непрерывная функция, опреде-
определенная в этой области V, то имеет место формула B.27) —
формула замены переменных в тройном интеграле.
Нетрудно показать, что она справедлива не только для непре-
непрерывной функции /, но и для ограниченной функции, непрерывной
в V всюду, кроме точек, образующих множество объема нуль.
Вернемся снова к формулам B.20), устанавливающим соответ-
соответствие между областью V изменения переменных х, у, z и областью £1:
изменения переменных \, х\, £. Это соответствие переводит лежащий
в Q бесконечно малый параллелепипед
!о<!<£<>+<*&■ Т1о<л<л0+^. loKKU+dt
объем которого равен da> = dl,dr\dt,, в криволинейный параллелепи-
параллелепипед, определяемый теми же неравенствами, с объемом
dv=\J(l, т), t)\dld4dl. B.28),
Следовательно, модуль якобиана |У(|, т|, £)|—эт0 отношение бес-
бесконечно малых объемов, отвечающих друг другу при отображении,
B.20) (рис. 2.7).
В простейших случаях якобиан, отвечающий той или иной замене
переменных, можно найти, пользуясь выражением B.28) для элемента
объема, из чисто геометрических соображений, не проводя вычисле-
вычислений. Покажем это на примерах цилиндрических и сферических коор--
динат.
Цилиндрические координаты. Рассмотрим элемент объема,,
заключенный между тремя парами бесконечно близких координатных,
поверхностей, а именно, двумя цилиндрами радиусов г и r-\~dr,
двумя горизонтальными плоскостями, лежащими на уровнях z n\d

-92
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 2
и двумя полуплоскостями, проходящими через ось z и составляющими
<. осью х углы ф и (f-{-d(f. Ограниченный ими элемент объема
лредставляет собой, с точностью до малых высшего порядка, прямо-
угольный параллелепипед с ребрами dr, dz и rrfcp (рис. 2.8). Его
объем равен
г dr d(f> dz,
откуда видно, что якобиан перехода от декартовых координат к ци-
цилиндрическим равен г.
г
Рис. 2.9.
Сферические координаты. Рассмотрим область, ограниченную
двумя сферами радиусов г и r-\-dr, двумя полуконусами, опреде-
определяемыми углами 9 и 9 + ^9 (отсчитываемыми от оси z), и двумя
ЛОЛуПЛОСКОСТЯМИ, СОСТавлЯЮЩИМИ уГЛЫ ф И (f)-\-d(f С ПЛОСКОСТЬЮ XZ.

$ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 93
Эту область можно считать прямоугольным параллелепипедом с реб-
ребрами г dQ, dr и rsinOdcp (рис. 2.9). Следовательно, объем этого
параллелепипеда равен
г2 sin QdrdQdy,
•откуда видно, что соответствующий якобиан равен
г2 sin 9.
§ 5. Понятие о многомерных интегралах
1. Общие сведения. Те определения и факты, которые в первой
главе были изложены для двух переменных, а в этой — для трех,
могут быть перенесены на случай любого числа переменных. Именно,
прежде всего определяется объем re-мерного параллелепипеда.
В соответствии с известными из аналитической геометрии фор-
формулами, представляющими площадь параллелограмма и объем парал-
параллелепипеда в виде детерминантов, за объем re-мерного параллелепи-
параллелепипеда принимается абсолютная величина детерминанта, элементами строк
(или столбцов) которого служат координаты векторов, образующих
ребра этого параллелепипеда. Далее, отправляясь от объема парал-
параллелепипеда, нетрудно ввести объем для многогранных я-мерных тел,
а затем определить объем и для некоторого класса областей в ге-мер-
ном пространстве. После этого интеграл от функции п перемен-
переменных f(xv х2, ..., хп) вводится как предел соответствующих инте-
интегральных сумм; п-кратный интеграл от f(xv х2 хп), взятый по
некоторой re-мерной области G, обозначается символом
(*!, х2 xn)dx1dx2 ... dxn.
При соответствующих условиях, налагаемых на область О и на
подынтегральную функцию, re-кратный интеграл может быть записан
с помощью п последовательных интегрирований по каждому перемен-
переменному в отдельности, т. е. в виде
J f
•I
a
i— j
f{xv
b л
fdx,
x2,
i2> (x
/
i)
dx2
xn)dxx
dx,
2 • ■
/
. dx
xn-\
n
)
/(•
xn)dxn.
Формула замены переменных в re-кратном интеграле аналогична
•соответствующим формулам для двойных и тройных интегралов,
а именно, если х,- — xi(y1, у2, .... уп), г —1, 2 п,

94 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
ТО
/ xn)dXl...dxn =
= j ■•• J /О1О1 уп)> •••■ *п(у>1 Уп)
X
x Уп)
... dyn,
где Г—область изменения переменных у1( ..., уп.
2. Примеры. Для re-кратных интегралов остаются в силе все
основные факты, изложенные выше для двойных и тройных инте-
интегралов. Не останавливаясь на общих вопросах теории ге-кратных
интегралов, рассмотрим некоторые простейшие примеры.
1) Взаимное притяжение двух материальных тел. Хотя
реальное физическое пространство, в котором мы живем, имеет
только три измерения, существуют разнообразные конкретные задачи,
в которых приходится рассматривать интегралы кратности большей
трех. В качестве простейшего примера такого рода укажем формулу
для силы взаимного притяжения двух материальных тел конечных
размеров. Пусть одно из этих тел занимает некоторую область G и
имеет объемную плотность р(х, у, z), а другое занимает область О'
и имеет объемную плотность р'(х', у', z') (нам удобно обозначить
декартовы координаты точек одного и другого тела разными симво-
символами). По закону Ньютона направленная по оси х компонента dFx
силы притяжения, действующей между двумя бесконечно малыми
элементами
dv = dx dy dz и dv' = dx' dy' dz'
объемов этих двух тел, равна
у р {х' у' z) ргз(х'' у/' г>) (х — х') dx dy dz dx' dy' dz', B.29)
где у — постоянная и
г = У (х- х'J+(у - y'f~\-{z- z'f .
Для того чтобы получить полную величину компоненты Fx силы
взаимодействия между рассматриваемыми телами, нужно просуммиро-
просуммировать выражения B.29) по всем элементам объема обоих тел. Иначе
говоря, компонента Fх силы взаимного притяжения тел, заполняющих
области G и G', равна
yIfffff
00"
f
0X0"
B.30)

§ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 95
Аналогично записываются и две остальные компо ,енты. При этом
точка (х, у, z) пробегает всю область G, а точка (х'', у', z') неза-
независимо пробегает всю область G'. Таким образом, интеграл B.30)
берется по области в шестимерном пространстве, которую естественно
обозначить GXG' и назвать «произведением» областей О и G'.
2) Рассмсг эим интеграл
fxidx2...dxn, B.31)
о
взятый по области G, определяемой неравенствами
х,>0, х2>0 х„>0,
Сводя интеграл B.31) к повторному, получаем
dx2... f dxn.
0 0 0
Выполнив интегрирование по хп и подставив пределы, получим
In=fdx1f dx2... f (l—xl—... — xn_1)dxn_1.
0 0 0
Далее, проинтегрировав по xn_t и подставив пределы, будем иметь
г — С rlx С dx Г (l-xl~...~xn_2f
0 0 0
Продолжая последовательно интегрирование, окончательно получим
(/г—1)! aJCl~nl'
о
3) Объем п-мерного шара, п-мерный шар радиуса а с центром
в начале координат—это совокупность тех точек я-мерного про-
пространства, координаты которых удовлетворяют условию
Объем Vп такого шара — это интеграл
//•••/ dxi
--- dxn.

96 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2
Вычислить этот интеграл можно следующим образом. Положив
х,- — ау, получим
где Un—объем шара радиуса 1. Далее, так как
Un= //•••/ dxi dx2 ... dxn =
= f dxn /-••/ dxl...dxn_l =
^44
n-l
n-1
-1
то, положив xn = cos9, получим
я
т
B.32)
Приняв во внимание, что G1 = 2 (одномерный шар радиуса 1 — это
отрезок [—1, 1], а одномерный объем — это длина), мы можем по-
последовательно найти U2, иг и т. д. *).
*) С помощью эйлеровых интегралов (см. гл. 10, § 3, в частности при-
пример 3) можно дать явное выражение для Uп.

ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В этой главе мы применим дифференциальное и интегральное
исчисления к изучению геометрических объектов — кривых и
поверхностей. Исследование геометрических образов средствами
анализа составляет содержание дифференциальной геометрии.
Рамки этого курса позволяют нам изложить лишь основы дифферен-
дифференциальной геометрии, которая представляет собой обширную науку,
тесно связанную с механикой, теорией дифференциальных уравнений
и другими дисциплинами.
§ 1. Вектор-функции скалярного аргумента
1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность. Кри-
Кривые и поверхности удобно задавать функциями, принимающими
векторные значения (короче, вектор-функциями). Поэтому
мы начнем главу с того, что кратко сформулируем основные понятия
анализа применительно к вектор-функциям. Мы можем при этом не
входить в подробности, так как нового (по сравнению со случаем
скалярных функций) здесь будет немного.
Определение. Пусть каждому значению переменной t,
принадлежащему отрезку [а, Ь],
поставлен в соответствие вектор
C.1)
Такой вектор называется век-
вектор-функцией скалярного ар- ^—~777
гумента t. 0
С вектор-функцией r(i) связыва- _
ются следующие наглядные представ-
представления. Если откладывать от начала
координат векторы г (f), отвечающие различным значениям аргумента t,
то концы этих векторов составят некоторую кривую — график вектор-
функции г (t), обычно называемую годографом функции г(^)(рис. 3.1).
7 Б. М. Будак, С. В. Фомин

98 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
Если рассматривать аргумент t как время, то годограф функции г (t) —
это траектория движения некоторой точки.
Постоянный вектор
R = ai -Ь *j -Ь ск
называется пределом г @ при t-+t0, если
lim |r@ — R| = 0, C.2)
где |r(f)—R|—длина вектора r(t)—R. Это условие равносильно
трем скалярным условиям:
lim х (t) = a, lim у (t) = b, lim z (t) = с C.2')
t-*t0 t-±ta <-*•/■„
Вектор-функция г (t) называется непрерывной в точке t0, если
lim r (t) = г (t0).
Вектор-функция г(^) непрерывна в точке ^0 тогда и только тогда,
когда все т р и ее компоненты — скалярные функции х (t), у (t), z (i) —
непрерывны в точке t0. (Докажите это!) Сумма, разность, ска-
скалярное и векторное произведения непрерывных вектор-функций не-
непрерывны. (Проверьте это!)
2. Дифференцирование вектор-функции. Вектор-функция г (t)
называется дифференцируемой в точке t, если существует предел
Иш
Этот предел называется производной вектор-функции г (t) и обозна-
обозначается символами —, г' (f) или г (t). Легко проверить, что суще-
существование г' (t) равносильно существованию трех производных х' {t),
у' (i) и z' (t), причем
Вектор -гт- направлен по секущей ММХ годографа функции г(/)
(рис. 3.2), а направление вектора -тт — это направление предельной
прямой, к которой стремится эта секущая, когда точка Мг прибли-
приближается к М, т. е. направление касательной к годографу в точке М.
Кинематически г'(^) — это скорость точки, движущейся по за-
закону г(^).
Для вектор-функции имеют место следующие правила дифферен-
дифференцирования:
1) если г (t) = const, то г'@ = 0;
2) (kr @ )' = kr' @, k = const;

§ I] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 99
3) (u(t)r(t))' = u'(t)r(t)+u(t)r'(t), к (О —скалярная функция;
4) (r,(O±ra(O)' = ;±J
5) (i-jCO, гя (*))' = (г; (
6) [г^О. гя (/)]' = [rj (/). rjCOIH-Ir,^), гя(*)] (здесь необходимо
сохранять порядок сомножителей);
7) если г = г (t) и * = * (т), то
dx _ dx dt
dx dt dx
— правило дифференцирования сложной вектор-функции.
Доказательство этих правил мы предоставим читателю.
Отметим следующие частные случаи дифференцирования вектор-
функции:
а) Производная вектора постоянного направления. Пусть
вектор г (t) имеет постоянное направление (т. е. от t зависит
лишь его длина). Тогда векторы
r(t) и г'(^) коллинеарны. Дей-
Действительно, в этом случае г(/) мож-
можно записать в виде
где и {t) — скаляр, а е — постоянный
вектор, например единичный. Тогда
гЧ0=«'.@е.т.е.г'@=£$г(,).
б) Производная вектора постоянной длины. Если |г(£)| =
= const, то векторы г(t) и г'(t) взаимно ортогональны. Действи-
Действительно, в этом случае (г (t), r' (t)) = const; дифференцируя это равен-
равенство, получаем
2(r(t), г/@) = 0. т. е. (г (О,
что и требовалось.
Геометрический смысл этого соотношения очень прост. Если
\r(t)\=^R, то годограф функции г(^) лежит целиком на сфере ра-
радиуса R с центром в начале координат. Касательная к такой кривой
лежит в плоскости, касательной к сфере, и, следовательно, перпенди-
перпендикулярна радиусу-вектору г (i), идущему в точку касания.
Дифференциалом ее кто р-ф у нкции г (t) называется
вектор
dr = dx- i-\-dy- i-\-dz-k. .
Иначе говоря,
d r = х' (t) dt • i -+- у' (t) dt • j -f- z' (t) dt • k = r' @ dt.

100
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
т. е. дифференциал вектор-функции равен произведению ее произ-
производной на дифференциал (т. е. приращение) независимой переменной.
Как и в случае скалярной функции, дифференциал dr вектор-функции
отличается от ее приращения Аг на величину выше первого порядка
малости относительно А^.
3. Годограф. Особые точки. Мы назвали годографом вектор-
функции г@.ту кривую, которую описывает конец вектора г(^) при
изменении t, если его начало все время находится в некоторой фикси-
фиксированной точке.
Если г(^) — дифференцируемая вектор-функция, то вектор г'(^)
там, где он не равен нулю, направлен, как мы видели, по касатель-
касательной к годографу. Точки, в которых производная г' (t) не существует
или существует и равна 0, называются особыми. Эти особые точки
могут иметь различный характер. Приведем несколько примеров
Рис. 3.3.
(рис. 3.3). При движении точки по закону г(^) путь может пред-
представлять собой «гладкую» кривую, однако скорость v (t) = г' (t) при
t—>t0 может стремиться к нулю. Материальная точка испытывает
остановку в момент t — t0. Это — особенность самого движе-
движения, но не той геометрической кривой, по которой движется точка
(рис. 3.3, а). В других случаях такая остановка может сопрово-
сопровождаться изменением направления пути (излом; ель рис. 3.3, б). Это —
особенность как самого движения, так и соответствующей геометри-
геометрической кривой. Может оказаться, что на кривой имеется излом, но
скорость г' (t) при приближении к этой точке не стремится к нулю
(рис. 3.3, б). Здесь точка испытывает толчок, меняющий ее скорость
скачком. Далее, кривая, по которой происходит движение, может
иметь точку возврата (рис 3.3, в), причем скорость материальной точки
вблизи этой точки также может либо стремиться к нулю, либо меняться

§ 1) ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 101
скачком. Наконец, при t —>t0 движение г @ может просто «замирать»
и не возобновляться при t > t0. Это — «покой» в конце пути (рис. 3.3, г).
Эти и различные другие особенности движения представляют интерес
при изучении конкретных случаев; вместе с тем они затрудняют при-
применение общих методов. Мы будем в дальнейшем такие особенности
исключать и рассматривать движения, для которых г' (t) всюду суще-
существует и не обращается в нуль.
4. Формула Тейлора. Для вектор-функции имеет место формула
Тейлора
C.3)
где я— вектор, стремящийся к нулю при At—>0. Действительно,
применив формулу Тейлора к каждой из трех компонент *) х (t),
y(t) и z(t) вектора r(t), получим
...~\-~{x^{t) + al) At"
я еще два аналогичных равенства для у и z. Умножив эти равенства
соответственно на i, j и к и сложив, получим формулу C.3).
Мы видим, таким образом, что основные понятия и правила диф-
дифференциального исчисления легко и без существенных изменений пере-
переносятся со скалярных функций на векторные. Следует, однако, иметь
в виду, что такой перенос все же нельзя делать совершенно
автоматически. Например, известная формула конечных прираще-
приращений (вып. 1, гл. 8, § 9) для вектор-функций несправедлива. (Постройте
пример!)
5. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу.
Для вектор-функции г (t), заданной на отрезке a-^t <^#, как и для
обычных скалярных функций, можно составить интегральные суммы
и рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины
отрезков, на которые разбит отрезок [а, Ь]. Этот предел называется
интегралом от г(^) по отрезку [а, Ь\ и обозначается символом
и
г @ dt.
*) Мы, разумеется, предполагаем, что компоненты х (t), у (t), z (t) вектор-
функции г (t) удовлетворяют тем условиям, при которых формула Тейлора
для каждой из них имеет место.

102 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
Как и для скалярных функций, можно установить, что если r(t}
непрерывна на [а, Ь], то этот предел существует.
Легко видеть, что существование предела одной векторной инте-
интегральной суммы
1 = 1
(здесь а = ^0<^< ... <^tn = b, tl_1<^.xi^.tl) равносильно суще-
существованию пределов трех скалярных интегральных сумм для трех
компонент х (t), у (t), z (t) функции г (t). При этом
На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства
интегралов от скалярных функций. Например,
ь ь
j и' (i) r (i) di=u (b) r(b) — u (a) r (a) — f и (t) r' (/) dt
a a
— формула интегрирования по частям; a (i) — скалярная функция.
Легко выводятся также формулы, связывающие интегрирование
с основными операциями векторной алгебры. Например,
ь р ь
f[c, r(t)]dt=\c. fr(t)
а [_ а
dt
где с — постоянный вектор.
6. Векторные функции нескольких скалярных аргументов.
Можно рассматривать векторные функции не одного, а нескольких
скалярных аргументов (в частности, с вектор-функциями двух ска-
скалярных аргументов мы встретимся в этой главе при изучении поверх-
поверхностей). На такие функции легко переносятся понятие частной произ-
производной и другие понятия анализа.
§ 2. Пространственные кривые
1. Векторное уравнение кривой. Вектор-функции скалярного
аргумента представляют собой удобный способ задания кривых в про-
пространстве. Действительно, если нам задана некоторая непрерывная
вектор-функция г (t)(a^t -^.b), то, построив ее годограф, мы полу-
получим некоторую кривую у в пространстве.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
103
Обратно, если задана тем или иным способом некоторая кри-
кривая *) у> то можно попытаться задать ее с помощью вектор-функции.
Для этого поступим следующим образом:
Мы скажем, что кривая у параметризована, если каждой ее
точке поставлено в соответствие определенное значение некоторого
параметра t, пробегающего какой-то отрезок [а, Ь], причем это соот-
соответствие взаимно однозначно**) и непрерывно в каждой
точке отрезка [а, Ь] (последнее условие означает, что если ^->^0> то
я расстояние между точками г(^0) и r(t) кривой тоже стремится
к нулю). Если кривая у параметризована, то радиус-вектор каждой
точки этой кривой определяется соответ-
соответствующим этой точке значением парамет-
параметра t, т. е.
r = r@ (r = xi + yj+^k). C.4)
Это соотношение называют параметри-
параметрическим (векторным) уравнением кри-
кривой у- Ясно, что векторное уравнение C.4)
можно заменить тремя скалярными урав-
уравнениями:
Рис. 3.4.
x=x(i), y =
Пользуясь термином, введенным в
предыдущем параграфе, можно сказать,
что, параметризуя кривую, мы представляем ее как годограф некото-
некоторой вектор-функции г (t).
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые и
такие их параметризации, для которых соответствующая вектор-функ-
вектор-функция г(^) трижды непрерывно дифференцируема.
Пример. Положим
C.5)
Это параметрическое уравнение определяет кривую, называемую вин-
винтовой линией (рис. 3.4).
Рассматривая ту или иную кривую, мы можем выбрать для нее
различные параметризации. Например, если кривая у задана уравне-
уравнением r=r(/), a^t^b, то, положив
а<т<р,
где ^(т) — монотонная функция такая, что ^'(т)>0, t(a) = a,
t(fi) = b, мы можем принять т за новый параметр и писать уравнение
*) Мы не уточняем здесь самого понятия кривой. Некоторые сведения
по этому поводу содержатся в вып. 1, гл. 11, § 1.
**) Это условие означает, что мы рассматриваем кривые, не имеющие
то_чек самопересечения.

104 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
кривой у в виДе г = г(/(т))-
Во многих случаях удобна так называемая натуральная пара-
параметризация кривой, когда за параметр принимается длина дуги
этой кривой, отсчитываемая от фиксированной точки. Переход
от какого-либо параметра на кривой к натуральному параметру
может быть осуществлен следующим образом: пусть у—некоторая
кривая и t — какой-либо параметр на ней. Выберем на у некоторую
точку Мо, отвечающую значению параметра t = t0, и назовем ее
начальной точкой. Возьмем на у произвольную точку М. Длина I
дуги М0М выражается, как известно, формулой
/ t
1= f Vх'2 + у'2 + z'2 dt *), т. е. 1= f\r'(t)\dt,
/о 'о
где t—значение параметра, отвечающее точке М. Эта формула
определяет I как однозначную и непрерывную функцию от t: 1 = 1 (t).
Если функция г (t) такова, что t'(t) нигде не обращается в нуль,
то всюду I' (t) Ф 0 и, следовательно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), t можно
представить как однозначную и непрерывную функцию от Z: £ = £(/).
Положив г = г(^(/)), мы представим г как функцию дуги /, т. е.
получим натуральную параметризацию кривой.
Пример. Рассмотрим снова винтовую линию C.5). Для нее
dl = У a1 sin21 + a2 cos2 t + b2dt = Y~a?~+¥dt,
т. е. 1= Y^-^r^t. Переходя к параметру I, мы можем переписать
уравнение винтовой линии в виде
/
г (/) = i п. гпя—— -\-\а sin
Замечание. Если в уравнении
*) По существу, эта формула означает следующее: кривая (х (t), у (t),
z (t)) рассматривается как «ломаная» с бесконечным числом бесконечно
малых звеньев (dx, dy, dz). Длина отдельного звена дается теоремой Пифа-
Пифагора и равняется y~(dxf + (dyJ + (dzy = /(•*'@ J+ (/@ J+ (*'(') J dt.
t
«Сумма» длин этих «звеньев», т. е. интеграл Г у х'2-\-у'г-\-z'2 dt, и равна
длине кривой.

§ 2) ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 105
параметр t представлять себе как время, то кривую, определяемую
этим уравнением, можно рассматривать как траекторию точки, дви-
движущейся из начального положения со скоростью г'(^). Но по одной
и той же кривой точка может двигаться разными способами: зада-
заданием кривой определяется лишь направление скорости в каждый
момент, но не ее величина. Можно, в частности, рассмотреть случай,
когда скорость движения г' по модулю тождественно равна единице.
Именно это и будет иметь место в случае натуральной параметри-
параметризации кривой. Действительно, dr = \dx-\-\dy-\-\s.dz, следовательно,
dr
2__dl_
~dl ~ dl
6
Таким образом, различные параметрические уравнения одной и той же
кривой можно кинематически представлять себе как законы движения
частиц, описывающих одну и ту же траекторию с разными скоро-
скоростями. При этом уравнение
г=г@.
где I — длина дуги описывает движение частицы со скоростью,
по модулю равной единице.
2. Основной трехгранник. Рассмотрим кривую, заданную урав-
уравнением
г = г(/). C.7)
В каждой ее точке М (отвечающей значению I) единичный вектор *)
определяет направление касательной к этой кривой. Вектор
Г = X
ортогонален т, как производная вектора постоянной длины (см. п. 2
§ 1). Разделив его на |г|, мы получим единичный вектор**)
ортогональный
t.
V
Присоединим
P
r
|r
еще
= h,
к t
v].
и
V
вектор
C
C
.8)
• 9)
*) Здесь и дальше мы будем обозначать производные от г по натураль-
натуральному параметру символами г, г и т. д., сохранив обозначения г', г" и т. д.
для производных по произвольному параметру.
**) В тех точках, где г'=0, вектор v не определен. Такие точки (онн
называются точками спрямления) мы в дальнейшем будем исключать
из рассмотрения.

106
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
Векторы х, v и р образуют тройку взаимно ортогональных единич-
единичных векторов, которая называется основным репером или основным'
трехгранником кривой C.7) в данной точке (рис. 5.5). Этот
трехгранник жестко связан в каждой точке с рассматриваемой кри-
кривой, поэтому вид самой кривой можно пол-
полностью охарактеризовать, описав движение ос-
основного трехгранника при перемещении его
вершины по кривой.
Отметим, что векторы т, v и {3 удовлетво-
удовлетворяют, кроме соотношения C.9), еще двум ана-
логичным соотношениям:
рис
[v, р] =
Векторы х, v, P называются соответственно единичными векторами
касательной, нормали и бинормали.
3. Формулы Френе. Движение основного трехгранника задается
скоростями изменения векторов х, v и р, т. е. их производными по I.
Вычислим эти производные.
Производную вектора х, т. е. вектор г, мы уже рассматривали.
Введя обозначение
мы запишем эту производную в виде
где k — неотрицательное число.
Рассмотрим теперь вектор р. Его производная р, как и произ-
производная всякого единичного вектора, перпендикулярна ему. Кроме
того, она перпендикулярна х. В самом деле, р = [х, v] и, значит,
P = [t, v]-f-[x, v] = [&v, v]-f-[x, v] = [x, v], а этот вектор перпен-
перпендикулярен x. Вектор р перпендикулярен р и х, следовательно, он
коллинеарен v. Поэтому можно положить
где к — числовой коэффициент*).
Наконец, вычислим V. Имеем
*) Этот коэффициент может быть-как положительным, так и отрица-
отрицательным. Обозначение —% (а не и) удобно для дальнейшего.

§ 2) ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Ю7
Итак, мы получили для производных х, v и р следующие формулы:
х= Av, (ЗЛО)
v = — их -+-к?. C.11)
р= —XV. C.12)
Они называются формулами Френе *). Эти формулы содержат
две скалярные величины: k и %. Величина k называется кривизной,
кривой, а и—кручением. Геометрический смысл кривизны и кру-
кручения мы рассмотрим несколько позже.
4. Вычисление кривизны и кручения. По определению
k — \x\. C.13)
Таким образом, для вычисления кривизны кривой г = г(/) достаточно
найти вектор г @ и вычислить его длину.
Для вычисления кручения % возьмем равенства
и продифференцируем последнее из них еще раз по I. Воспользо-
Воспользовавшись формулой C.11) для v, получим
r = ftv — i
Из трех последних равенств следует, что'
(г, г, г') = й2и, C.14)
(г, г, г)
откуда к = -—rj—- , т. е.
Формулы C.13) и C.15) позволяют вычислить кривизну k и кру-
кручение и при натуральной парал1етризации кривой. Если же кривая
задана уравнением
r = r(f).
где г(^)—трижды дифференцируемая функция какого-то произволь-
произвольного параметра t, то, рассматривая t как функцию длины дуги /,
получим
dt__dt_ dt^ d2r _ d?v (dt\* . dx d.4
dl ~ dt ' dl ' dP ~ df \dl) "+" dt dP '
^.^£tdtd4.dt dH (Ъ.Щ
dl3 ~ dt3 \dl! ~r° dt2 dl dP "f" dt dl3 '
*) Жан Френе — французский математик A801—1880).

108 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3>
Первое из этих равенств можно переписать так:
х = r' Tl '
откуда (поскольку |т|=1)
dl — | г' (t) I ^Л/>
(мы считаем, что i и I возрастают в одном и том же направлении,.
т. е. что --7Т > 0). Далее, взяв векторное произведение первых двух
равенств C.16)> будем иметь
[dl ' dl2\~[dt ' dt2 \\dlj '
Г dx d2r  , 0
или, поскольку \—fj-> ~df*\= P'
(§K- C.18)
Так как |Р|=1, то из C.17) и C.18) получаем
l[r'(t),r"(t)]\
«— |r'(*)|8 • ^ЛУ>
Наконец, подставляя выражения C.16) в равенство C.14); получим
k*K. C.20)
Из двух последних равенств получаем окончательную формулу для
кручения:
('(f)'("'(*)
к— | [г' (t), r" (t)} |* ■ ^'Z1^
Упражнение. Вычислить кривизну и кручение винтовой линии
г = i a cos t -f- j a sin t -f- k W.
Замечание. Вернемся еще раз к формулам C.16). Они пока-
показывают, что векторы г' и г" выражаются линейно через векторы г
и г. Иначе говоря, векторы г' и г" определяют ту же самую пло-
плоскость, что и векторы г, г, а именно, соприкасающуюся плоскость.
Таким образом, соприкасающаяся плоскость кривой (в данной точке)
может быть определена как плоскость, в которой лежат векторы г' (t}
и г" (t) (какой бы ни была параметризация кривой). Если предста-
представлять себе t как время, а уравнение

§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 109
как закон движения точки, то можно сказать, что соприкасающаяся
плоскость — это та плоскость, в которой лежат векторы
скорости и ускорения движущейся точки.
5. Система координат, связанная с осиовным трехгранником.
Три вектора •?, v и р определяют в каждой точке кривой г(/) свою
систему координат, в которой координатными осями служат:
1) касательная (ее направление определяется вектором х),
2) главная нормаль; ее направление определяется вектором v) и
3) бинормаль (ее направление определяется вектором $).
Координатными плоскостями в этой системе служат:
1) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная х
(т. е. плоскость, в которой лежат главная нормаль и бинор-
бинормаль); она называется нормальной плоскостью кривой г = г (/) в
точке М;
2) плоскость, проходящая через точку /VI и перпендикулярная v;
она называется спрямляющей плоскостью;
3) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная ,3
(т. е. плоскость, в которой лежат г и г); она называется сопри-
соприкасающейся, плоскостью
У га система координат называется сопровождающей системой
коо рдинат.
Расположение этих прямых и плоскостей показано на рис. 3.6.
Задача. Для кривой г = г(/) написать уравнения касательной,
главной нормали и бинормали, а также нормальной, спрямляющей
и соприкасающейся плоскостей в точке го=г(/0).
Решение. Векторное уравнение прямой, проходящей через точку
с радиусом-вектором г0 в направлении вектора а, имеет вид
р = го-|-Яа, —со < % < со,
а уравнение плоскости, проходящей через точку с радиусом-векто-
радиусом-вектором г0 и ортогональной вектору п, пишется так;
(р — г0, п) = 0.
Отсюда сразу получаем следующие уравнения:
р=го-г-Яг0 (касательная),
p=ro-J-A.ro (главная нормаль),
р=го + Мго, г0] (бинормаль),
(р — г0, г0) = 0 (нормальная плоскость),
(р — г0, г0) = 0 (спрямляющая плоскость),
(р — г0, [г0, го]) = О (соприкасающаяся плоскость)
(здесь г0 = г (/„). г0 = г (/0), г0 = г (lQ)).

по
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
Упражнения. 1. Написать уравнения касательной, главной
нормали и бинормали для кривой
Указание. Заметил!, что вектор [г', г"] направлен по бинор-
бинормали, а вектор [г', [г', г"]] — по главной нормали.
Рис. 3.6.
2. Написать уравнения нормальной, спрямляющей и соприкасаю-
соприкасающейся плоскостей для кривой г = г (t).
3. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинор-
бинормали, а также уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляю-
спрямляющей плоскостей для винтовой линии
х = a cos t, у = a sin t, z^bt
в точке ^ = 0.
6. Вид кривой вблизи произвольной ее точки. Воспользуемся
сопровождающей системой координат для выяснения вида кривой
в окрестности какой-либо ее точки.
Предположим, что в точке ro=r(Zo) производные
г0 = г Со). г0 = г A0), г0 = г <70)
отличны от нуля, и разложим функцию г@ в окрестности точки 10

§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
по формуле Тейлора *):
г (I) = r0 -f- г0 М + % гс
111
1 го
C.22)
Воспользуемся теперь сопровождающей системой координат, т. е.
примем точку г0 за начало координат, касательную за ось х, глав-
главную нормаль за ось у и бинормаль за ось z. Применив для вычи-
вычисления производных гиг формулы
Френе, заменим равенство C.22) сле-
следующими тремя скалярными равенст-
равенствами:
4), C.23а)
' (Д/4), C.236)
C.23в) -
о
Рис. 3.7.
Найдем проекции этой кривой на со-
соприкасающуюся и спрямляющую пло-
плоскости.
Возьмем равенства C.23а) и C.236) и ограничимся в них глав-
главными членами; эти равенства примут вид
х = М, у=уйДГ2.
Исключив отсюда Д/, получим уравнение параболы (рис. 3,7)
y
которая представляет собой, с точностью до величин порядка Д/3,
проекцию кривой г—г (Г) на соприкасающуюся плоскость. Так как
по определению k > 0, то ветви этой параболы отходят от касатель-
касательной в ту же сторону, куда направлен и единичный вектор v, причем
тем быстрее, чем больше k.
Рассмотрим теперь проекцию кривой на спрямляющую плоскость.
Из формул C.23а) и C.23в), ограничиваясь в них главными членами,
полу-'ае а
х = М, z = ±
Исключив отсюда Д/, получим уравнение кубической параболы
Z =-jr
C.24)
*) О (А^4) означает в соответствии с общепринятой символикой вели-
величину порядка Д^4.

112
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
{ГЛ. 3
Здесь знак коэффициента при х3 совпадает со знаком кручения (так
как кривизна всегда положительна). Соответствующие параболы изо-
изображены на рис. 3.8, а и б. Так как при малых \1 знаки коорди-
координат х я у определяются знаками их главных членов, то из фор-
формулы 3.24 вытекает:
1. Вблизи точки, в которой кручение отлично от нуля, кривая
расположена по обе стороны от соприкасающейся плоскости.
2. Кривая отходит от соприкасающейся плоскости тем быстрее,
чем больше абсолютная величина кручения. При этом, если и > О,
fi
а)
Рис. 3.8.
то при возрастании I кривая отходит от соприкасающейся плоскости
в ту сторону, куда указывает вектор р, а при и < О — в противо-
противоположную.
Задачи. 1. Показать, что кривая, кривизна которой тождественно
равна нулю, есть прямая линия.
2. Показать, что кривая, кручение которой тождественно равно
нулю, — плоская (т. е. она целиком лежит в некоторой фиксирован-
фиксированной плоскости).
Решение. 1. Если й^О, то г^О, т. е. r = e = const, откуда
г = ro
о> а эт0 — уравнение прямой.
2. Если и^О, то, в силу третьей формулы Френе, |3 = 0, т. е.
= J50= const. Так как векторы г и р0 ортогональны, то
(Р. г) = 0.
т. е., в силу постоянства
Отсюда (Ро, г) = const, а это есть уравнение плоскости.

§ 21
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
113
7. Ориентированная кривизна плоской кривой. Рассмотрим кри-
кривую, лежащую в некоторой фиксированной плоскости. Приняв эту
плоскость за плоскость ху, напишем уравнения нашей кривой в виде
x=x(t), y = y(t), *==(). C.25)
Вычислив кривизну этой кривой по формуле C.19), получим
k =
| Х'у" _ л-"/ |
C.26)
Однако обычно (см., например, вып. 1, гл. 16, § 3) кривизной плоской
кривой называют само выражение
Х'у" _
C.27)
а не его модуль. Дело в том, что па плоскости (в отличие от трех-
трехмерного пространства) можно определить не только абсолютную вели-
величину скорости вращения касательной, но и направление этого вра-
вращения (против или по часовой стрелке). Именно это направление
вращения и указывается знаком величины C.27). Если это выражение
положительно, то кривая называется выпуклой (рис. 3.9, а), а если
оно отрицательно, то кривая называется вогнутой (рис. 3.9, б). Вели-
Величину C.27) называют иногда ориентированной кривизной кривой C.25).
8. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Формулы C.13)
и C.15) позволяют найти кривизну и кручение кривой, заданной
уравнением г = г (I), в виде
■функций от I:
k = k(l), x = x(l). C.28)
а)
х О
Рис. 3.9.
У\
Эти соотношения, связывающие
кривизну и кручение кривой с
длиной дуги, называются нату-
натуральными уравнениями данной О
кривой. Естественно поставить
вопрос: в какой мере нату-
натуральные уравнения C.28) опре-
определяют саму кривую. Нетрудно
показать, что каждая кривая определяется своими натуральными
уравнениями однозначно с. точностью до ее положения в прост-
пространстве.
Действительно, пусть даны две кривые у и \i- Если на этих кривых
можно ввести натуральные параметры / и lt так, чтобы в точках, отвечаю-
отвечающих одинаковым значениям этих параметров, совпадали их кривизны k н kt
и их кручения у. и
р
р т. е. чтобы при I
k (I) =
1{ выполнялись равенства
Б. М. Будак, С. В. Фомин

114 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
то мы скажем, что кривые Y и Yi имеют совпадающие натуральные уравне-
уравнения. Покажем, что в этом случае можно, передвигая одну из кривых как
твердое тело, полностью эти кривые совместить. Действительно, совместим
некоторую точку А кривой у, отвечающую фиксированному значению /° пара-
параметра /, с точкой кривой Yi. отвечающей тому же значению параметра /,.
Далее, повернем кривую y так' чтобы единичные векторы х, v, ft основного
трехгранника, отвечающего этой кривой в точке А, совпали бы соответ-
соответственно с единичными векторами хи \и E, основного трехгранника, отвечаю-
отвечающего точке А\ кривой Yi- Этого, очевидно, всегда можно добиться. Мы
имеем, таким образом,
х°=х°, v°=v°, (J°=g°, C.29>
х°=х
где индекс «нуль» означает, что векторы берутся в точке, отвечающей зна-
значению параметра /° = l\. Ставя в соответствие друг другу те точки М и М1
кривых y и Yb в которых 1 — 1и мы можем считать, что на y и Yi введен
один и тот же параметр, и рассматривать хи v, и E, как функции от /. Рас-
Рассмотрим, далее, скалярную функцию
и вычислим ее производную по /. Пользуясь при этом формулами Френе,
получаем
+ (v, — ft,,
т. е. на самом деле а от / не зависит. Из равенств C.29) вытекает, что при
/ = 1а значение а равняется трем; таким образом,
а (/)=3.
Каждое из трех входящих в a (/) слагаемых представляет собой скалярное
произведение двух единичных векторов и, следовательно, не может быть
больше единицы. А так как вся сумма равна трем, то каждое из этих сла-
слагаемых должно быть в точности равно единице. Но скалярное произведение
двух единичных векторов равно единице только тогда, когда эти векторы
совпадают. Таким образом,
при всех I, т. е. основные трехгранники кривых Y и Yi совпадают не только
в начальной точке 10, но и при всех значениях параметра. Отсюда вытекает,
что совпадают и сами кривые, потому что кривую всегда можно восстано-
восстановить по вектору х = г (I), именно
«•(/)=«•(/„)+
h
Очевидно, верно и обратное: если две кривые отличаются друг от
друга только положением в пространстве, то они имеют одинаковые
натуральные уравнения.
Естественно поставить следующий вопрос: возьмем произвольно
две непрерывные функции
ft @ и кA),

^ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ J J5
причем k (I) > 0. Существует ли кривая, для которой эти функции
представляют собой соответственно кривизну и кручение? Ответ на
этот вопрос положительный. Однако приводить здесь соответствую-
соответствующее доказательство мы не будем, так как оно потребовало бы ряда
сведений из теории дифференциальных уравнений, которых мы здесь
не приводим.
9. Некоторые приложения к механике. Рассмотрим материаль-
материальную точку, движущуюся по некоторой траектории. Если r(f)— ра-
радиус-вектор точки в момент времени t, то уравнение ее траектории
запишется в виде
Производная
£=»«>
представляет собой скорость движения точки по траектории. Вводя
натуральный параметр I, мы можем написать
dr_ _ dt_ dl _ dl
dt ~~ dl
Так как х — единичный вектор, то
V — dt ~~ dl dt X dt'
т. е. производная —гт представляет собой абсолютную величину ско-
скорости.
Вторая производная
_ d4
W~ dt2
радиус-вектора по t — ускорение. Его можно записать в виде
d4_
~ dt2 ■
(
w~ dl2\dt
С помощью формул Френе получаем
d4 . .( dl
Таким образом, ускорение раскладывается в сумму двух составляю-
dH
щих, одна из которых t-тп направлена по касательной и называется
\-ут) —
тангенциальным ускорением, а другая v& \-ут) —по главной нор-
нормали и называется нормальным ускорением. Тангенциальное уско-
dH dv dl
рение \ут = т-^р- можно записать в виде \ут = т-тт-, где v=--rr —
абсолютная величина скорости, т. е. тангенциальное ускорение —
8*

116 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Л
это скорость изменения абсолютной величины скорости v.
С формулой для нормального ускорения wv=vfe(-r-l читатель зна-
\ at j
ком из элементарного курса физики. Именно,, известно, что при дви-
движении точки по окружности радиуса R с постоянной скоростью v
ускорение направлено к центру окружности и
равно -„ v2, но -д—это как раз кривизна к
окружности. Таким образом, разложение
W=: WT-f- Wv = t-rrr- -f- Vfe \-tt\ МОЖНО Ha-
at \ dt / •..
глядио представить себе так: движение в данный
момент времени как бы разлагается на уско-
ускоренное движение по касательной (что дает а
ускорении член wT) и на движение по ок-
окружности радиуса R=l/k с постоянной ско-
скоростью (что дает в ускорении член wv)- Точка
Рис. 3.10. участвует одновременно в двух этих движениях
(рис. 3.10).
Задача. Материальная точка движется под действием некоторой
центральной силы, т. е. силы, которая в каждый момгнт времени
направлена по прямой, соединяющей эту материальную точку с неко-
некоторым неподвижным центром. Доказать, что траектория плоская.
Решение. Примем притягивающий центр за начало координат»
Пусть
г = г (О
— уравнение траектории движения. Сила, действующая на движу-
движущуюся точку, направлена к притягивающему центру. Следовательно,
согласно второму закону Ньютона, такое же направление имеет и
ускорение, т. е. вектор г" (t); таким образом, векторы г и г" колли-
неарны. Но тогда в каждой точке траектории выполнено соотношение
(г, г', г")='0.
Дифференцируя это смешанное произведение по t, получаем
А(Г, г', г") = (г', г', г
Первые два слагаемых в средней части равенства равны нулю, сле-
следовательно, равно нулю и третье. Но если
(г, г', 0 = 0
и векторы г и г" коллинеарны, то
(г', г", 0 = 0
при всех t, но тогда я = 0, а это и есть условие того, что наша
кривая плоская (п. 6 § 2).

$ 3) ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 117'
§ 3. Параметрическое уравнение поверхности
1. Понятие поверхности. В этом и следующих параграфах мы
применим аппарат анализа к изучению поверхностей.
Понятие поверхности, интуитивно достаточно ясное, можно опре-
определять с различной степенью общности. В анализе чаще всего при-
приходится рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями вида
z = f(x, у),
где f(x, у)— непрерывная функция, определенная в некоторой
области О. Несколько более широкий класс поверхностей мы полу-
получим, рассматривая уравнения вида
F(x, у. z) = 0.
Чтобы такое уравнение действительно определяло поверхность
(в смысле, соответствующем нашим наглядным представлениям), необ-
необходимо на функцию F(x, у, z) наложить некоторые дополнительные
условия.
Определение поверхности как совокупности точек, координаты кото-
которых удовлетворяют уравнениям вида z = f(x, у) или F(x, у, z)=Q,
не очень удобно, так как оно привязывает понятие поверхности
к выбору той или иной системы координат. Сформулируем понятие
поверхности, не прибегая к координатной системе. Введем прежде
всего важное понятие од поев яз ной области.
Пусть G — некоторая область на плоскости. Назовем область О
односвязной, если она удовлетворяет следующему условию:
каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий
внутри этой области, ограниченная этим конту-
контуром (конечная) часть плоскости целиком лежит в О.
Иными словами, односвязность области озна-
означает отсутствие в ней «дырок». Любой замкнутый
контур, лежащий внутри такой области, можно
стянуть в точку, не выходя за пределы этой об-
области.
Если область не односвязна, то она называется
м н о г о с в яз но й.
Примерами односвязных областей служат
круг, треугольник, квадрат и т. д. Кольцо, т. е. Рис" "
часть плоскости, ограниченная двумя концентри-
концентрическими окружностями, представляет собой простейший пример много-
многосвязной области: действительно, область, ограниченная контуром L
(рис. 3.11), вовсе не составляет части кольца, заключенного между
окружностями Сх и С2.
Назовем теперь п р о с гой н о в е р х н о ст ь ю множество то-
точек в трехмерном пространстве, представляющее собой взаимна

118
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
Рис. 3.12.
однозначный и в обе стороны непрерывный образ какой-либо замкну-
замкнутой ограниченной односвязной области. Далее, просто поверхно-
поверхностью мы будем называть соединение любого конечного числа простых
поверхностей. При этом мы, вообще говоря, допускаем и наличие
у поверхности самопересечений, т. е. рассматриваел1 и такие гео-
геометрические образы, как, скажем, изо-
изображенный на рис. 3.12.
Если /(х, у)— непрерывная функ-
функция, определенная в замкнутой одно-
связной ограниченной области G, то
уравнение
* = /(*. У)
определяет простую поверхность. Дей-
Действительно, отображение
(х, у)*->-(х, у, /(х, >>))
устанавливает взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие (проверьте это!) между точками области О и точками,
координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(x, у).
Практически наши дальнейшие рассмотрения будут ограничи-
ограничиваться поверхностями, представленными как соединение конечного числа
простых поверхностей, определяемых уравнениями вида z — f(x,y).
При этом от соответствующих функций / нам придется обычно,
кроме непрерывности, требовать еще и некоторой гладкости (суще-
(существования и непрерывности первых или вторых производных). Эти
условия будут оговорены там, где они нам понадобятся.
2. Параметризация поверхности. Хотя задание поверхности
с помощью уравнения вида z = f(x, у) или F(x, у, z) = Q в ана-
анализе встречается очень часто, во многих случаях удобнее задавать
поверхность с помощью параметрических уравнений. Для того чтобы
написать уравнение поверхности в параметрической форме, введем
прежде всего понятие координат на поверхности.
Пусть на некоторой поверхности 2 задано одпопараметрическое
семейство линий *). Назовем это семейство правильным, если через
каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия из
данного семейства. Если на поверхности даны два правильных семей-
семейства, такие, что каждая из линий первого семейства пересекается
(без касания!) с каждой линией второго семейства не более чем
в одной точке, то говорят, что на поверхности задана координат-
координатная сеть. Пусть линии первого из семейств, образующих коорди-
координатную сеть, определяются значениями некоторого параметра и,
*) Таким образом, каждая линия этого семейства характеризуется опре-
определенным значением некоторого параметра.

§ 3)
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
119
Рис. 3.13.
а линии второго семейства — значениями некоторого параметра v.
Так как по условию через каждую точку поверхности проходит
единственная кривая из первого семейства и единственная кривая
второго семейства, то положение точки на поверхности однозначно
определяется соответствующими этим линиям значениями и0 и v0
параметров и и v. Параметры миг», значениями которых опреде-
определяются линии, составляющие коор-
координатную сеть, называются ко-
координатами на данной поверх-
поверхности.
Замечание. В § 6 гл. 1 мы
вводили криволинейные координаты в
плоской области. Здесь мы, собствен-
собственно говоря, повторили то же самое по-
построение, но только применительно к
кривой поверхности. Введение коорди-
координат на поверхности можно, очевидно,
рассматривать как задание взаимно од-
однозначного и взаимно непрерывного
отображения поверхности на некоторую
часть плоскости, в которой введены
декартовы координаты и н v. При этом линии, образующие координат-
координатную сеть, — это образы лежащих в плоскости uv прямых, параллельных
координатным осям.
Примеры. 1. Тором называется поверхность, образованная
вращением окружности вокруг не пересекающей ее прямой, лежащей
в плоскости этой окружности. Положение точки на. окружности
можно задавать углом cp@<^cp<2jr)t
отсчитываемым от некоторой начальной точ-
точки. Положение самой окружности мож-
можно задавать углом поворота ф, который
отсчитывается от начального положения.
Таким образом, положение точки на торе
определяется двумя углами ср и ф, каж-
каждый из которых меняется от 0 до 2л.
Линии ф = 0 и ф= 0 соответствующей ко-
координатной сети изображены на рис. 3.14.
2. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, у); иначе
говоря, она проектируется взаимно однозначно на некоторую часть
плоскости ху. Линии, которые при этом проектируются в прямые
х = const и у = const, образуют на поверхности z=f(x, у) коор-
координатную сеть (рис. 3.15).
Ясно, конечно, что на одной и той же поверхности можно зада-
задавать различные координатные сети.
3. Параметрическое уравнение поверхности. Если на поверх-
поверхности 2 введены каким-либо образом координаты и, v, то говорят,
что эта поверхность параметризована параметрами и и v. Каждая
Рис. 3.14.

120
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
точка такой поверхности может быть задана значениями параметров и
и г». Но эта же точка может быть задана и своими декартовыми
координатами. Следовательно, декартовы координаты точек пара-
параметризованной поверхности
представляют собой функции
координат на поверхности:
х=х(и, г»), у —у (и, г»),
z = z(u, v). C.30)
Эти три скалярных урав-
уравнения можно заменить одним
векторным:
г=г(м, г»), C.30')
где r = jci-f yj + ik. Урав-
Уравнения вида C.30) или C.30')
мы будем называть параметри-
Рис. 3.15. ческими уравнениями поверх-
поверхности.
Замечание 1. В параметрическом уравнении кривой коорди-
динаты х, у, z являются функциями одного параметра. В уравне-
уравнении поверхности г = г(м, г»), представляющей собой геометрический
образ двух измерений, естественно должны участвовать два неза-
независимых параметра.
Замечание 2. Уравнение z=f(x, у) можно рассматривать
как частный случай параметрического уравнения, если принять х и у
за параметры и положить
r = xi + yj-f-/(*, у) к.
Упражнение. Написать параметрическое уравнение тора в коор-
координатах ф и tJ) (см. пример 1 п. 2).
В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, заданные
именно параметрическими уравнениями, причем функцию г (и, г») будем
предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные производ-
производные по к и г». Начиная с § 8, нам придется потребовать также сущест-
существования и непрерывности ее частных производных второго порядка.
4. Кривые на поверхности. Рассмотрим на поверхности, задан-
заданной уравнением C.30'), какую-нибудь кривую. Если на этой кривой
введен некоторый параметр t, то каждому значению t будет отвечать
некоторая точка поверхности, т. е. некоторые значения «иг».
Таким образом, вдоль криоой координаты миг» являются функциями
параметра t:
v{t).

3]
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
121
Эти уравнения называются уравнениями кривой на поверхности. Под-
Подставив их в уравнение поверхности, получаем параметрическое урав-
уравнение кривой на поверхности:
N
И обратно, подставив в уравнение поверхности C.30') вместо
независимых переменных миг» какие-либо функции одного пере-
переменного t, мы получим уравнение не-
некоторой кривой, лежащей на этой по-
поверхности.
Рассмотрим касательную к кривой
C.31). Ее направление определяется
вектором
dx дг du . Or dv
аи dt
dt
ov dt
Рис. 3.16.
который представляет собой линей-
, дт дт
ную комбинацию векторов ——, —.—,
J r да Ov
называемых координатными векторами и представляющих собой
векторы, касательные к координатным линиям, проходящим через
рассматриваемую точку. Для краткости обозначим их re = -s—,.
_ дт
Tv dv '
5. Касательная плоскость. Рассмотрим всевозможные кривые на
поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные
векторы к ним в этой точке (рис. 3.16). Каждый из этих векторо»
представляет собой линейную комбинацию векторов г„ и rv, т. е.
лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость
называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М.
Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы гц
и rv лежат в касательной плоскости, вектор N = [r,,, г.,] нормален
к ней и уравнение этой плоскости имеет вид *)
(р — г, N) = 0
C.32>
(здесь г — радиус-вектор точки касания, р — радиус-вектор текущей
точки касательной плоскости).
Пусть поверхность задана уравнением z — f(x, у), т. е. в век-
векторной форме
, у).
Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности.
*) Точки, в которых [гц, rv] = 0, мы исключаем из рассмотрения.

122
Имеем
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
и, следовательно,
N=[
v
[ГЛ. 3
C.33)
Подставив в уравнение касательной плоскости C.32) вместо р—г
вектор i (х — xo)-\-j(y — yo)-{-k(z — z0), а вместо нормального
вектора N его выражение C.33), получим уравнение плоскости,
касающейся поверхности z — f(x, у) в точке (х0, у0, z0):
z — zo = f'x(x — xo) + f'y (У — У о)- С3 •34)
где значения четных производных f'x и f берутся в точке касания
(х0, у0).
Если поверхность задана неявным уравнением F(x, у, z) = Q,
которое определяет z как дифференцируемую функцию от х и у, то
dF_ dF_
дг dx дг dy
~ Ту~-
dF
дР_
дг
Подставив эти выражения вместо f'x и /' в уравнение C.33), полу-
получаем уравнение плоскости, касательной к поверхности F(x, y,z) = Q,
Здесь значения F'x, F' и F'z также берутся в точке касания (х0, у0, z0).
6. Нормаль к поверхности. Вычислим направляющие косинусы
вгктора
N = [rB. г„],
нормального к поверхности г = г (и, v). Так как
I дх ду дг \ I дх ду дг \
Гц \~дп ' HIT ' ~дй) " *v \~д%Г' ~~d~v ' ~~5v) '
то вектор [гц, rv] имеет компоненты
А =
ди
dv
дг
ди
дг
dv
дг
ди
дг
dv
дх
ди
дх
dv
С =
дх
ди
ди
dv
C.35)
его направляющие косинусы соответственно равны
А
cos(N, x) =
У А2 + В2 + С2
cos(N, z) =
cos(N, y) =
У А* + В2 + С2
В
У А2 + В2 4- С2

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
В частности, если поверхность задана явным уравнением
z = f(x, у),
или в векторной форме уравнением
, у) к.
123
то
А =
=-/;■ *=
1 О
О 1
т. е. в этом случае
cos(N, x) =
v\
2 cos(N, y) =
<2 . .'2
cos(N, z) =
v\
C.36)
7. Системы координат в касательных плоскостях. Рассмотрим
поверхность 2, в каждой точке М которой можно построить каса-
касательную плоскость. Полезно представлять себе поверхность, покры-
покрытую «чешуей» касательных плоскостей. Поверхность — это кривое
многооб разие-носитель, ее касательные плоскости — это плоски?
несомые многооб разия. Этот наглядный образ будет полезен пра
изучении дальнейшего материала
этой главы.
Выберем в каждой касательной
плоскости пару неколлинеарных
векторов (репер) ег и е2, кото-
которые определят в ней систему коор-
координат. Этот репер, разумеется,
можно выбирать в каждой точке
произвольным образом. Однако за-
задание параметризации и, v, есте-
естественно, порождает в каждой из ка-
касательных плоскостей некоторый
специальный репер, именно репер t, — -^—, t2—"з—
тельно, фиксируем значение параметра v —г;0 и будем менять пара-
параметр и; тогда радиус-вектор г (и, v0) опишет на поверхности коор-
координатную кривую v = vo= const (рис. 3.17). Касательный вектор
к этой кривой, т. е. -у-(и, v0), будет лежать в касательной пло-
плоскости к поверхности (см. п. 4). Аналогично вектор -у- также лежит-
в касательной плоскости к поверхности. Мы предполагаем, что через.
Р|1С-
, = -з—, е2=-з—. Действи-

Действи124 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия
каждого из семейств и = const и v = const. Поэтому в каждой каса-
касательной плоскости возникает один и только один репер (ru, rv); если
эти векторы отличны от нуля, то они не коллинеарны, поскольку
по условию кривые и = const и v = const ни в одной точке не
касаются друг друга. Опасно лишь обращение какого-либо из этих
векторов в нуль. Мы будем в дальнейшем считать, что параметриза-
параметризация на рассматриваемом куске поверхности такова, что ги Ф О и rv ф 0.
Итак, задание параметризации и, v на поверхности по-
порождает в каждой касательной плоскости невырожденный
репер e1 = ru, e2=rj,, т. е. некоторую аффинную систему ко-
координат.
Выбор другой параметризации и, v порождает в несомых каса-
касательных плоскостях другой набор систем координат е: = г~, е2 = г~,
а в каждой из касательных плоскостей переход от одной параметри-
параметризации к другой порождает аффинное преобразование системы
координат.
Действительно, пусть
и = и(и, v), v = v(u, v)
— выражение старых параметров и, v через новые и, v. По правилу
дифференцирования сложной вектор-функции имеем
ди . dv
и ди ^ v ди .
ди , dv \ C-37>
г~= г.
г
Таким образом, новый репер ер е2 выражается через старый е^
tio формулам
~ ди , dv
2 dv 1 dv 2' |
Аналогично выражается старый репер е,, е2 через новый ер е2.
§ 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей.
Первая квадратичная форма поверхности
Для решения многих физических, технических и геометрических
задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности,
углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверх-
поверхности. Этот круг вопросов мы и рассмотрим сейчас. Основная идея

3 4) ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 125
всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит, по существу,
в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ-
соответствующим элементом касательной плоскости. Поэтому нам полезно
начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению
длин, углов и площадей на плоскости.
1. Аффинная система координат на плоскости. Рассмотрим
плоскость и некоторый невырожденный репер ер е2 на ней. Любой
вектор г, лежащий в плоскости, можно представить в виде
Запишем квадрат длины вектора г. Имеем
/-2 = (r, r) = l\(ev et) + 21^,, е2) + Ц(е2, е2).
Введя обозначения *)
gn = (ev e,), gl2 = (ev e2), g22 = (e2, e2),
перепишем это равенство в виде
ll2 + g22H. C.38)
Величины gu, g12 и g22 определяются выбором репера еР е2- Легко
видеть, что через эти величины (и, конечно, координаты соответ-
соответствующих векторов) выражаются длины векторов, углы между век-
векторами и площади параллелограммов, натянутых на два вектора.
Действительно, выражение для длины г вектора г получается из
C.38). Далее, если
то
Воспользовавшись формулой
мы можем выразить угол между векторами г и р через их коорди-
координаты и коэффициенты glk.
*) Иногда также пользуются обозначениями
£ = (e,, е,), /7=(е1, е2), G=(e2, е2).
Полагая еще g2l*- gl2, совокупность величины glk (i, k— 1, 2) часто запи-
записывают в виде матрицы
/gu gu\
\g2\ g22/

126 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Э
Наконец, найдем площадь 5 параллелограмма, построенного на
векторах г и р. Как известно
S=|[r. p]|,
поэтому
5 = I Iliei + l2e2. ■Hiel + %е2] | = | 1хх\2 — ^11 [е„ е2] |.
Но
\[еи е2]| =
Следовательно,
I ех 11 е2
s=
sin (ej,
-(e,. e
e2) =
eil|e2|Vl-
») = V gi\g22 g\2-
cos2(ep
e2) =
Итак, знание величин g"n, g2, g22 действительно позволяет вычи-
вычислять на плоскости длины, углы и площади, т. е. все метрические
величины.
2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма.
Пусть задана поверхность
г = г (и, v).
Вычислим длину линии, расположенной на этой поверхности. Вы-
Выбрав на этой линии за параметр длину дуги, ее уравнение можно
ваписать в виде
г=г(«(/). «(/)).
Так как вектор -тт- имеет длину единица, то
dP = dr2.
Но
dr = radu-\- rvdv,
следовательно,
Воспользуемся обозначениями
тогда
dP = gn du2 + 2g12 da dv + ^ dv2. C.39)
Это выражение представляет собой квадратичную форму (относи-
(относительно переменных du и dv), при этом, очевидно, положительно
определенную *). Она называется первой квадратичной формой
п
*) Квадратичная форма 2 aififek называется положительно опре-
i, k=l
п
деленной, если 2 ацЛ£>к>® для лю^ых |j 5Л, кроме \х — ...
i А 1

$ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 127
поверхности г=г(и, v). Коэффициенты gn, gl2 и g-22 квадратичной
формы C.39) — это, очевидно, те самые коэффициенты gn, gl2, g-22,
которые отвечают реперу гв, г^, в плоскости, касательной к нашей
поверхности в рассматриваемой точке. Эти коэффициенты зависят
от точки поверхности. Кроме того, они зависят, конечно, и от вы-
выбора параметризации поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности дает выражение для
длины бесконечно малого элемента дуги. Длина некоторой конечной
кривой, лежащей на поверхности, получается отсюда интегрирова-
интегрированием. Точнее, если кривая на поверхности задана уравнениями
и = и (t), v = v (t), tx < t < t2,
го ее длина равна
h
Г -t f i du\i _ du dv ,
dv\2
чг) dt
(вдоль этой кривой gn, g12 и ^ представляют собой, очевидно,
функции параметра t).
Примеры. 1. На плоскости задана декартова система коорди-
координат, определенная взаимно ортогональными единичными векторами
«! и е2. Если г0 — радиус-вектор начала этой системы координат,
то радиус-вектор произвольной точки плоскости равен
г = г0 -)- йхи + e2v.
Мы получили уравнение плоскости, параметризованной декартовыми
координатами и и г; на ней. Для этой параметризации
следовательно, для плоскости, параметризованной декартовыми коор-
координатами, первая квадратичная форма записывается так:
dl2 = du2 + dv2.
Здесь несомое многообразие — касательная плоскость — совпадает
в каждой точке с несущим многообразием (тоже плоскостью), а по-
порождаемый в каждой из касательных плоскостей координатный репер
совпадает (с точностью до параллельного переноса) с координатным
репером ер е2 рассматриваемой плоскости.
2. Пусть на плоскости введены полярные координаты риф.
Тогда радиус-вектор произвольной точки плоскости можно записать
так:
г = r0-[-p(e1cos94-e2sin9)

128
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
(ej и е2 — опять-таки единичные взаимно ортогональные векторы).
Это — уравнение плоскости, параметризованной полярными коорди-
координатами. Здесь
rp = e: cos rp -f- e2 sin ф, гф = р (—
и, следовательно,
gu = (гР. гр) =
sin ф 4- е2 cos ф)
g22 = (r<f, гф) = р2,
3. Рассмотрим сферу радиуса а, приняв на ней за параметры
долготу ф и широту 0*) (рис. 3.18). Ее урав-
уравнение в координатах ф и 0 имеет вид (про-
(проверьте это!)
г = ro-\~a {(i созф4- j sinф) cos 0 4-k sin 0j.
Из этого уравнения получаем
г0 = — a (i cos ф 4~ j sin ф) sin 0 4- «к cos О,
гф = а (— i sin rp 4- j cos ф) cos 0
и, следовательно, здесь
rf/2=a2(rf024-cos20*iJ).
4. Если поверхность задана явным уравнением
z = f{x, у).
. У)к,
т. е.
то для нее
и, следовательно,
м=A+г*)dx2+2/;/; d
Упражнение. Написать первую квадратичную форму тора
в координатах ф и ф (см. упр. в п. 3 § 3).
3. Угол между двумя кривыми. Углом межОу Овумя пересе-
пересекающимися кривыми называется угол между их касательными
в точке пересечения. Пусть через точку на поверхности проходят
две кривые и пусть смещению по одной кривой соответствуют диф-
дифференциалы координат du и dv, а смещению по другой — диффе-
дифференциалы Ьи, bv. Векторы смещений можно записать так:
dr=rudu-\-rvdv, 6r = ru6u-\-rv6v.
*) Отсчитываемую от экватора.

§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 129
Угол ф между ними определяется формулой
I rfr I I 6r I
В частности, угол со между координатными линиями, т. е. между
векторами ги и rv, определяется формулой
cos со =
?Ug22
Если gl2 = Q, то координатные линии на поверхности пересе-
пересекаются под прямым углом. Такая координатная сеть называется
ортогональной. В ортогональных координатах первая квадратичная
форма имеет вид
4. Определение площади поверхности. Пример Шварца. Пе-
Перейдем теперь к рассмотрению площади кривой поверхности.
Прежде чем говорить о ее вычислении, нужно определить само по-
понятие площади поверхности. Введем это понятие следующим образом.
Пусть 2— некоторая гладкая поверхность, ограниченная кусочно-
гладким контуром L. Разобьем эту поверхность с помощью некото-
некоторого числа кусочно-гладких кривых на части — «элементы» 2;,
г = 1 N, — и выберем в каждой из этих частей произвольную
точку Mt. Проведем через точку Mt касательную плоскость к по-
поверхности 2 и спроектируем элемент 2(. на эту касательную пло-
плоскость; мы получим на этой ка-
касательной плоскости некоторую
квадрируемую плоскую фигуру 5-
(рис. 3.19).
Определение. Площадью
поверхности 2 мы назовем
предел (если он существует) сумм
площадей этих проекций, взя- Рис' 3'19'
тых по всем элементам разбие-
разбиения, при условии, что. максимум диаметров этих элементов
стремится к нулю. Поверхность, для которой этот предел суще-
существует, называется квадрируемой
На первый взгляд кажется, что естественнее всего было бы определить
площадь поверхности^ 2 как предел, к которому стремятся площади поверх-
поверхностей вписанных в 2 многогранников, при условии, что максимум диаметров
г.х граней стремится к нулю (так же как длина криной есть предел длин
вписанных в эту кривую ломаных). Однако еще в прошлом веке была обна-
обнаружена несостоятельность такого определения. Рассмотрим следующий при-
пример, принадлежащий Шварцу.
В цилиндр радиуса R и высоты Я впишем многогранник следующим
образом: разделив цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных
9 Б. М. Будак, С. В. Фомин

130
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Н
[ГЛ. 3
цилиндров высоты — каждый, разобьем каждую из возникающих т +1
окружностей (включая сюда верхнее и нижнее основания исходного цилиндра)
на равные части п точками так, чтобы точки деления на каждой окружности
находились над серединами дуг соседних окружностей. Возьмем теперь две
соседние точки, лежащие на какой-либо окружности, и точку, лежащую не-
непосредственно иад или под серединой дуги, соединяющей эти две точки,
н построим на этих трех точках треугольник (рис. 3.20). Совокупность всех
таких треугольников образует много-
многогранную поверхность, вписанную в ис-
исходный цилиндр. На вид этот многогран-
многогранник похож на голенище сапога, собран-
собранное в гармошку. Его называют поэтому
сапогом Шварца (рис. 3.21).
Если теперь и п и т неограни-
неограниченно растут, то размеры каждого из
треугольников, составляющих вписан-
вписанный в цилиндр многогранник, стремятся
В
Рис. 3,20.
Рис. 3,21.
к нулю. При этом, однако, суммарная площадь этих треугольников вовсе не
обязана стремиться к 2%RH (боковой поверхности цилиндра); в зависимости
от того, как меняются пит, она может неограниченно расти, стремиться
к пределу, отличному от 2nRH, или же вообще не иметь предела.
Действительно, элементарный подсчет показывает, что площадь одного
треугольника (при заданных тип) равна
Число таких треугольников равно, очевидно, 2пт, поэтому сумма их
площадей есть
n, т-
: 2Rn sin —
C.40)
Если теперь пит стремятся к бесконечности, причем так, что т растет
быстрее, чем и2, то выражение C.40) неограниченно растет. Если же и и от
т
меняются так, что отношение —j- стремится к некоторому конечному пре-
пределу д, то
litn m
п,
— cos —1= litn
и, т-^оо
~

§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ. ПОВЕРХНОСТИ 131
и, следовательно,
/
.„, ... ,
Подбирая q, мы можем получить в пределе любое число, большее или
равное 2я/?Н, т. е. любое число, большее «истинной» площади цилиндра.
Истинное значение площади боковой поверхности цилиндра мы получим
лишь при q = О, т. е. если т растет медленнее, чем и2.
Итак, попытка определить площадь кривой поверхности с помощью
вписанных многогранников оказалась неудачной даже для обыкновенного
круглого цилиндра. Легко понять причину, по которой способ, пригодный
для определения длины кривой, не годится для определения площади поверх-
поверхности. При достаточно "мелком разбиении кривой (будем считать кривую
гладкой) направление хорды, соединяющей соседние точки деления, близко
к направлению касательной, проведенной в любой точке соответствующей
дуги. В случае поверхности это не так: многоугольная площадка сколь
угодно малых размеров может опираться всеми своими вершинами на
гладкую поверхность так, что угол между нормалью к площадке и поверх-
поверхности будет большим. При этом, очевидно, такой плоский элемент не может
служить хорошей аппроксимацией соответствующего элемента поверхности.
Это как раз и наблюдается в приведенном выше примере Шварца: если
q я —- велико, то треугольники, образующие вписанную поверхность, почти
перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Образованный ими много-
многогранник весь состоит из мелких складок. Это и служит причиной того, что
площадь поверхности такого многогранника может быть много больше
площади боковой поверхности цилиндра.
5. Вычисление площади гладкой поверхности. В предыдущем
пункте мы ввели определение площади кривой поверхности. Уста-
Установим теперь для гладкой поверхности существование площади и
формулу, с помощью которой эта площадь может быть фактически
вычислена.
Теорема 3.1. Пусть параметрическое уравнение
г = г (и, v)
определяет гладкую поверхность, ограниченную кусочно-глад-
кусочно-гладким контуром. Тогда эта поверхность квадрируема и ее
площадь равна
ffgnga— g\2dudv, C.41)
где gu< g\2 u ёчъ — коэффициенты, первой квадратичной формы
этой поверхности, a D — область изменения переменных и п v.
Доказательство. Разобьем поверхность S на части 2^. Вы-
Выбрав в каждой из этих частей некоторую точку Mt, проведем в ней
касательную плоскость. Введем местную систему декартовых коорди-
координат, выбрав за начало точку Mit нормаль в этой точке за направление
оси г, а касательную плоскость за плоскость ху. Координаты х, у
Q*

132
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
и z произвольной точки поверхности Ег можно записать как функции
от и и г»:
х=х(и, v), y = y(u, v), z = z(u, v)*).
Проекция поверхности Ег на касательную плоскость в точке Mt
определяется уравнениями
х = х(и, v), y = y(u,v), 2 = 0.
Пользуясь выражением для площади плоской фигуры в криво-
криволинейных координатах (§ 6 гл. 1), мы можем записать площадь
этой проекции в виде
D.
Уи
du dv,
где Dt — та область, которую пробегают переменные и, v, когда
точка (х, у, z) пробегает элемент 2,-, а знак берется так, чтобы
Dee выражение было положительным.
Выражение
Уи
можно переписать в виде, не связанном с выбором системы коорди-
координат, а именно:
+ хи х
Уи У
Если области Ег (а следовательно, и Dt) достаточно малы, то
rv\
где dt—площадь области Dit ut, v{—координаты точки Mt и
max e; ->0 при измельчении разбиения поверхности S. Таким образом,
сумма площадей проекций всех частичных поверхностей Ег на соот-
соответствующие касательные плоскости равна
[г„. rv]
dt
C.42)
*) Правильнее было бы писать х = xt (и, v), у = Уг (и, v), z = z. (и, v),
потому что эти уравнения соответствуют г-й системе координат, связанной
с касательной плоскостью и нормалью в точке Mi%

§ 4]
ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
133
Предел этого выражения при неограниченном измельчении разбиения
поверхности мы и назвали площадью поверхности. Этот предел
существует и равен интегралу
|[г„, rv]\dudv
(поскольку в C.42) первое слагаемое есть интегральная сумма для
этого интеграла, а предел второго равен нулю). Для завершения
доказательства остается установить, что
\\ru< rv]\=VSugm—g\r C-43)
Пусть со — угол между векторами г„ и rv. Тогда
1[г„. rJ|= |г„| |rj sinco = |r,,|| rj
—cos2 со =
"~ Vrlrl — г2/2 cos2 со =
Теорема доказана.
Замечание 1. С вектором \ru, rv\ мы уже встречались выше
(п. $ § 3). Там мы установили, что этот вектор имеет следующие
компоненты:
дг dx
du ди
дг дх
dv dv
А =
du
dv
dz
du
дг
dv
в =
дх
ди
дх
dv
ду_
ди
ду_
dv
следовательно, длина его равна
Таким образом, формулу C.41) площади поверхности можно пере-
переписать так:
о= J j
C.41')
Замечай не 2. Геометрический смысл
полученной нами формулы C.41) состоит
в том, что подыинтегральное выражение
Уёиёп —g^dudv (с точностью до бес-
бесконечно малых высших порядков) —
площадь «бесконечно малого параллело-
параллелограмма», вырезаемого из поверхности S
двумя парами бесконечно близких координатных
u = uo-{-du, v = v0
Рис. 3.22.
линий и = и.
шины
О'
и v = vo-{-dv (рис. 3.22V. Действительно, вер-
этого параллелограмма имеют криволинейные
координаты (и0, v0), (uo-{-du, v0) и (и0, vo-\-dv) соответственно.

134 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
Поэтому с точностью до малых выше первого порядка имеем
0P,= vadu, P0P2=rvdv.
Площадь do параллелограмма, построенного на векторах РйРх и Р0Р2>
равна модулю их векторного произведения
do=|[rtt. rv\\dudv.
В силу C.43) это выражение можно переписать так:
do= Vgng22 — g\2dudv.
Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы C.41). Если
поверхность S задана явным уравнением
z = f(x, у),
то, как мы уже видели выше (см. п. 2, пример 4), в этом случае
откуда
Следовательно, площадь поверхности z — f(x, у) выражается фор-
формулой
f fV~2 C.44)
причем в данном случае D — проекция поверхности S на плоскость ху
Замечание 1. Так как
1/ 1 1 f'2 | f2—
f
у — cos (N, г)
(см. п. 5 § 3), то формулу C.44) можно переписать так:
dx dy
cos(N, z)
D
Смысл ее состоит в том, что элемент площади поверхности равен
его проекции на плоскость ху, деленной на косинус угла между
нормалями к этому элементу поверхности и к плоскости ху.
Замечание 2. Если поверхность S достоит из конечного числа
кусков, каждый из которых представим уравнением вида z = f(x, у),
то ее площадь можно вычислить, применив формулу C.44) к каж-
каждому такому куску в отдельности.
Пример. Найти площадь части параболоида z=^x2-\-y2, лежа-
лежащей внутри цилиндра х2-\-у2=а2.

5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 135
Решение. Искомая площадь равна
Переходя к полярным координатам, получаем
2л а 2л
о = f dq> f
0 0
2я
D«2 + 1)'/2- 1] ЙФ = | [Dа2 + l)'/s- 1].
Предположим теперь, что поверхность задана неявным уравне-
уравнением F(x, у, 2)=0. Если поверхность такова, что это уравнение
можно однозначно разрешить относительно z (это равносильно
тому, что наша поверхность пересекается любой вертикальной пря-
прямой не более чем в одной точке), то, воспользовавшись правилами
дифференцирования неявных функций, получаем
dF_ dF_
дг дх дг ду
дх df_ ' ду dF
дг дг
Подставляя эти выражения вместо f'x и /' в формулу Г3.44), получаем
C.45)
dF
дг
Здесь опять-таки, как и в формуле C.44), подынтегральная функ-
функция представляет собой не что иное, как обратную величину косинуса
угла между нормалью к поверхности и осью z.
У п р а ж н е н и е. Найти площадь части поверхности конуса
х2-\-у2 — z~== 0, лежащей внутри цилиндра х2-|-у2 = а2.
Ответ. о = г
§ 5. Кривизна линий на поверхности.
Вторая квадратичная форма
В предыдущих параграфах мы получили формулы для вычисления
длин кривых на поверхности, углов между кривыми и площади
поверхности. Однако эти величины еще не определяют форму поверх-
поверхности. Например, цилиндр и плоскость—это разные поверхности,

136
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
хотя цилиндр можно развернуть на плоскость так, что при этом
все углы, длины и площади сохраняются. Для изучения1 формы
поверхности мы примем следующий метод: взяв в рассматриваемой
точке нормаль к поверхности, будем проводить через эту нормаль
всевозможные плоскости (нормальные плоскости) и изучать форму
получаемых при этом сечений поверхности (нормальных сечений).
1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна. Рассмо-
Рассмотрим поверхность S, заданную уравнением
г = г (и, v).
Вектор-функцию г (и, v) мы будем считать здесь и далее дважды
непрерывно дифференцируемой. Возьмем на поверхности 2 некото-
некоторую точку Мо и выберем на норма-
нормали к S, проведенной в этой точке,
определенное направление, т. е. опре-
определенный единичный вектор п. Пусть
Y — одно из проходящих через Мо
нормальных сечений. Таким образом,
кривая 7 лежит в плоскост.1, проходя-
проходящей через единичный вектор п, нор-
нормальный к 2 в точке Мо (рис. 3.23).
Y представляет собой плоскую кривую,
и форма этой кривой в окрестности
точки Мо вполне определяется ее кри-
кривизной k в этой точке и направлением
вогнутости (по отношению к выбранному направлению нормали в
точке Мо). Для вычисления кривизны кривой у запишем уравнение
этой кривой в виде
r=r(«(Q. «(/)) C.46)
Рис. 3.23.
(/—натуральный параметр) и воспользуемся 1-й формулой Френе
dl
откуда
,4/9 » *
C.47)
Единичный вектор v направлен, очевидно, по нормали к поверх-
поверхности 2 в точке Мо, и следовательно, он или совпадает с п (если
направление вогнутости сечения у совпадает с выбранным направле-
направлением нормали к S), или отличается от п знаком (если эти напра-
направления противоположны). Для того чтобы учесть одновременно и
величину кривизны и направление вогнутости сечения, введем ве-
величину
(§) C8>

§ 5]
КРИВИЗНА ЛИНИП НА ПОВЕРХНОСТИ
137
которую мы назовем нормальной кривизной поверхности S
в точке Мо в направлении сечения у. Из сказанного ясно, что
k=\k\. При вращении вокруг п плоскости, в которой лежит
сечение y> будет меняться и нормальная кривизна k = k(y); она будет
теперь «следить» не только за формой нормального сечения, но и
за его направлением вогнутости. Так, например, если поверхность
в точке Мо имеет форму седла, как
на рис. 3.24, то для сечения Yi нор-
нормальная кривизна kx будет положи-
положительна, поскольку вектор v, главной
нормали к Yi совпадает с п, а для
сечения у2 нормальная кривизна Ъ2 бу-
будет отрицательна, поскольку v2 = — п.
В дальнейшем, говоря о нормаль-
нормальных сечениях поверхности, мы будем
рассматривать только соответствую-
соответствующую нормальную кривизну C.48), а
не кривизну, определяемую форму-
формулой C.47). Эту нормальную кривизну мы будем дальше обозначать
просто буквой k, опуская значок ~ над ней.
Величину
Рис. 3.24.
мы будем называть радиусом нормальной кривизны поверхности S
(в данной точке и в данном направлении). Неотрицательная вели-
величина \R\ есть, очевидно, радиус кривизны соответствующего нор-
нормального сечения. Поскольку k может обращаться в нуль, для R
мы должны допускать и бесконечные значения.
Выведем теперь формулу для вычисления нормальной кривизны k.
Для этого воспользуемся уравнением C.46) кривой у и вычислим
-Tj2- Введем для сокращения записи обозначения
"" аи2 uv аи dv m dv2
Из уравнения ;C.46.) кривой у получим, что
d2r d I du К dv \
dl2 dl \ u dl v dl )
/ du\2 . o du dv . (dv\2 , d'-u , rf2f
C.49)
Векторы г„ и rv лежат в касательной плоскости. Следовательно,
они ортогональны п, т. е.
(г„. п) = (г1), п) = 0.

138 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
Поэтому, подставив в формулу C.48) выражение C.49) для -Л-,
получим
1 / d2t
^). C.50)
2. Вторая квадратичная форма поверхности. Запишем полу-
полученную нами формулу C.50) нормальной кривизны поверхности
в более удобном виде. Введя обозначения
перепишем равенство C.50) следующим образом:
ь 1 bu du2 + 26,2 du dv -f b22 dv2 „ _
В знаменателе здесь стоит rf/2, т. е. первая квадратичная форма
поверхности. Числитель тоже представляет собой квадратичнуюформу
(относительно du и dv). Она называется второй квадратичной
формой поверхности и играет в теории поверхностей (наряду
с первой квадратичной формой) фундаментальную роль. Вторую ква-
квадратичную форму поверхности мы будем в дальнейшем обозначать
символом ф2. Таким образом,
ф2 = bndu2 + 2bn du dv -f- b22 dv2,
rue bn, bn и £22 определены равенствами C.51).
Пример. Рассмотрим поверхность, заданную уравнением
z = f(x, у),
т. е. в векторной форме
r = x\+y)-\-f(x, у)к.
Здесь
Следовательно,
Гху =
т. е.
ф2=(/«**2-|-2/1и**у+/;;,<*у)со8(п. «). C.53)
Таким образом, в этом случае вторая квадратичная форма предста-
представляет собой, с точностью до множителя cos (n, z), совокупность
членов второго порядка в разложении функции z = f(x, у) по фор-
формуле Тейлора.

§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 139
Замечание. Мы уже видели, что первая квадратичная форма
определяет «метрику» поверхности: с ее помощью на поверхности
измеряются длины, углы и площади. Вычисление этих величин опи-
опиралось, пс существу, на возможность заменять в первом приближе-
приближении бесконечно малый элемент поверхности соответствующим эле-
элементом касательной плоскости. Вторая квадратичная форма — это
мера того, насколько поверхность
уклоняется в окрестности данной
точки от касательной плоскости,
проведенной через эту точку.
Чтобы убедиться в этом, вы-
вычислим расстояние между близкой
к М9 точкой М поверхности S и
касательной плоскостью, проведен-
проведенной в точке Мй (рис. 3.25). Рас- р „2g
смотрим проходящее через точки Мо
и М нормальное сечение. Искомое
расстояние равно, очевидно, расстоянию МР от М до касательной
к кривой у. Но это расстояние с точностью до малых высшего по-
порядка (см. п. 6 § 2) равно
~kdP=~ (bn du2-{-2bl2 du
причем знак этого выражения указывает направление, в котором по-
поверхность отходит от касательной плоскости.
Можно было бы само понятие второй квадратичной формы ввести,
исходя из задачи о вычислении расстояния от точки поверхности до
касательной плоскости, проведенной через близкую точку.
Упражнения. 1. Показать, что для плоскости (при любой ее
параметризации) вторая квадратичная форма тождественно равна нулю.
2. Вычислить вторую квадратичную форму для тора в коорди-
координатах ф и i|) (см. пример 1 п. 1 § 3).
3. Индикатриса кривизны. Радиус кривизны R = -j- нормаль-
нормального сечения у в точке А10 зависит от направления, в котором про-
проведено сечение у. Чтобы изобразить эту зависимость наглядно, вос-
воспользуемся следующим приемом. Отложим от точки Мо на касательной
плоскости в каждом направлении вектор р, длина которого равна
1^1/?], где R — радиус нормальной кривизны поверхности в этом
направлении. Этот вектор можно, очевидно, записать в виде
где т— единичный вектор, касательный к соответствующему нор-
нормальному сечению.

140
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
Геометрическое место концов этих векторов представляет собой
некоторую кривую, лежащую в плоскости, касательной к S в точке Мо
(рис. 3.26). Эта кривая называется индикатрисой кривизны по-
поверхности S в данной точке.
Найдем уравнение индикатрисы
кривизны.!
Примем за координатные век-
векторы в касательной плоскости га
и rv. Так как
dt_
U
du
dv
rv~dT
Рис. 3.26.
то
т. е. каждая точка индикатрисы кривизны имеет, в выбранном базисе,
координаты
Воспользуемся равенством
1 h (duY !
du dv . , I dv-p
Умножив его на \Щ, получаем, что
и г) удовлетворяют уравнению
т. е. что
= ± 1. C.54)
Это—уравнение некоторой центральной кривой второго порядка
с центром в начале координат *).
Таким образом, индикатриса кривизны представляет собой цен-
центральную кривую второго порядка **) с центром, находящимся в рас-
рассматриваемой точке поверхности.
4. Главные направления и главные кривизны поверхности.
Формула Эйлера. Уравнение индикатрисы кривизны, как и уравне-
уравнение всякой центральной кривой второго порядка, можно привести
*) Последнее видно из того, что в уравнении отсутствуют члены первой
. степени.
**) Точнее, здесь имеются две такие кривые: bnl? -f 26,,!^ 4- b^rf = 1
и ^iil2 -f- 2^i2irl + *22"П2 = — It уравнения которых отличаются" лишь свобод-
свободным членом. Подробнее о виде индикатрисы кривизны см. п. 7.

§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 141
к главным осям, т. е. вместо базисных векторов ru n rv можно
выбрать в касательной плоскости два других базисных вектора так,
чтобы они были взаимно ортогональными и единичными и чтобы
в уравнении индикатрисы кривизны отсутствовал член с произведе-
произведением координат. Для этого нужно, чтобы новые базисные векторы
были направлены по главным осям индикатрисы кривизны. Эти два
направления мы назовем главными направлениями нашей поверх-
поверхности (в данной точке).
При таком выборе системы координат в касательной плоскости
уравнение индикатрисы принимает вид
px2-\-qy2= ± 1. C.55)
Пусть ф — угол между главным направлением, принятым за напра-
направление оси х, и произвольным нормальным сечением. Тогда, очевидно,
х—У\Щ cosy. y = V[R~
где R — радиус кривизны данного нормального сечения. Подставив
эти выражения х и у в уравнение C.55) и вспомнив, что правая
часть этого уравнения представляет собой отношение \ R\ к R,
получим
р cos2 ф-j- (] sin2 ф ^тт == k- C.56)
1 1
Назовем главными кривизнами «i = -?r~ и «9 = -^— поверхности
К\ " Кг
в данной точке нормальные кривизны, отвечающие главным напра-
направлениям индикатрисы кривизны в этой точке. В выбранной нами
. л
системе координат это — направления ф = 0 и ф-«-, поэтому
Таким образом, равенство (З.сО) принимает вид
V. t Ч t f. л ■ 9 /О К'7\
или
r — Ж""° т ! /г
_ = — cos2 ф -+- -тг- sin2 ф. (З.о7 )
Это—так называемая формула Эйлера. Она дает выражение
нормальной кривизны поверхности по любому направлению через
главные кривизны.
Из формулы Эйлера сразу видно, что главные кривизны — это
экстремальные значения нормальной кривизны. Действительно, если
kx = k2, то k не зависит от ф и здесь любое направление будет

142 элементы дифференциальной геометрии [гл. з
экстремальным *). Пусть kx Ф k2, например kx > k2. Тогда kx—k2 > 0
и, переписывая формулу Эйлера в виде
k = {kx — k2) cos2 ф -f- k2 (cos2 ф -f- sin2 ф) = (kx — k2) cos2 ф + k2,
получаем, что kx~^k^>k2 при каждом ф.
Эти экстремальные свойства главных кривизн дают удобный способ
для их фактического вычисления.
5. Вычисление главных кривизн. Из формулы Эйлера C.57)
легко усмотреть, как нормальная кривизна k (ф) зависит от напра-
вления ф. График зависимо-
4 сти k от ф изображен на
рис. 3.27. Из него видно, что
при каждом заданном kQ,
k-i ~> ко > k2, существуют че-
^г\ ^^^ тыре значения угла ф, при
-t ^ -^ IzjT^ кот°рых *(ф) = *о- Так как
-g -jr углы, * отличающиеся па я,
определяют одно и то же нор-
Рис. 3.27. мальное сечение, то каждому k0
отвечают два нормальных се-
сечения, для которых нормальная кривизна равна k0. Но если k0 —kx
или ko = k2, то эти два нормальных сечения сливаются в одно.
Иными словами, главные кривизны — это те значения нор-
нормальной кривизны, каждому из которых отвечает одно и
только одно нормальное сечение нашей поверхности. Форму-
Формулу C.52) для определения нормальной кривизны как функции на-
направления можно переписать так:
или, деля на dv2 и полагая —г- = t (где t определяет сечение),
— kg22) = 0. C.58)
В соответствии с изложенным выше это квадратное уравнение для t,
отвечающих главным направлениям и только для них, имеет не два,
а лишь один корень. Для Этого в свою очередь необходимо и доста-
достаточно, чтобы дискриминант уравнения C.58) обращался в нуль.
*) Точка, в которой kx = k2, называется точкой округления или омби-
омбилической точкой. Можно показать, что единственная поверхность, целиком
состоящая из точек округления, — это сфера.

§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 143
Итак, для нахождения главных кривизн мы получаем уравнение
или
Л.. — her.. Ьло — kgto
'2 *12 =0. C.59')
6. Полная кривизна и средняя кривизна. Во многих случаях
вместо главных кривизн kx и k2 удобнее рассматривать их про-
-изведение
K=k1k2 C.60)
и полусумму
±J. C.61)
К называется полной или гауссовой кривизной Поверхности, а Н—ее
средней кривизной.
Из квадратного уравнения C.59') сразу получаем формулы
j, ^11^22 ^12 I, ьц*22 ^ol2^l2"f S<sPп
Д — 2~ , П — —. 7Г\
2( )
Пример. Вычислить полную и среднюю кривизны для гипербо-
гиперболического параболоида z — х2 — у2.
Решение. gn = 1 + 4х2, gl2=—4xy, g-22=l-f 4y2; bu = 2
£12 = 0, Ь22= — 2. Значит,
к -4 „ 4(^-у»)
В частности, в начале координат # = — 4, Я^О.
7. Классификация точек на поверхности. Каждой точке Мо
дважды непрерывно дифференцируемой поверхности S мы сопоставили
определенную кривую—индикатрису кривизны в этой точке. Урав-
Уравнение индикатрисы можно, как мы знаем, привести к виду
klX2 + k2y2= ±1, C.63)
где k1 и k2 — главные кривизны нашей поверхности в точке Мо.
Тип кривой C.63) зависит от знака произведения kxk2. Рассмотрим
возможные здесь три случая.
1) k1k1 > 0. Можно считать, что kx > 0, k2 > 0, так как, изменив
направление нормального вектора п, мы можем изменить знаки у kx
и k2 на противоположные. При kx > 0 и k2 > 0 уравнение C.63)
определяет эллипс, если в нем справа стоит -(-1, а уравнение, в ко-
котором справа стоит —1, никакой кривой не соответствует.
Точки, в которых kxk2 > 0 (т. е. индикатриса кривизны — эллипс),
называются эллиптическими точками.

144
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
2) /ej/e2< 0. В этом случае уравнение C.63) определяет гиперболу
или, точнее говоря, две гиперболы с общими асимптотами. Одна из
них отвечает правой части -f-1, а другая — правой части —1. Точки,
в которых kxk2 < 0 (индикатриса кривизны—пара гипербол), назы-
называются гиперболическими.
3) klk2-=Q. Если при этом одна из главных кривизн отлична
от нуля, то уравнение C.63) определяет пару параллельных прямых.
в)
Точки, в которых £^ = 0 (но одна из главных кривизн отлична
от нуля), называются параболическими.
Если в данной точке kx = k2 = 0, то в ней понятие индикатрисы
кривизны теряет смысл. Точки, где kx = k2 = 0, называются точками
уплощения поверхности.
Итак, тип точки определяется знаком полной кривизны K = ktk2
в этой точке. Поскольку
А = г~.
а величина glig]9—g\2 всегДа положительна, то тип точки опреде-
определяется знаком дискриминанта bub22—&\2 второй квадратичной формы.
Легко представить себе строение поверхности в окрестности
точки каждого из трех типов. Пусть точка Мо — эллиптическая.
Тогда kx и k2 имеют одинаковые знаки, а следовательно, в силу
формулы Эйлера, все нормальные кривизны в данной точке имеют
одинаковые знаки. Геометрически это означает, что в рассматриваемой
точке все нормальные сечения имеют одно и то же направление во-
вогнутости. В окрестности эллиптической точки поверхность похожа
на эллипсоид и имеет вид, изображенный на рис 3.28, а.
Рассмотрим теперь гиперболическую точку. В ней главные кри-
кривизны имеют разные знаки. Поэтому здесь существуют нормальные
сечения с различными направлениями вогнутости. Поверхность в окре-
окрестности такой точки имеет седлообразный вид (см. рис. 3.28, б).
Несколько сложнее строение поверхности в окрестности парабо-
параболической точки. Здесь имеется одно направление, по которому нор-
нормальная кривизна равна нулю. По всем остальным направлениям нор-
нормальная кривизна имеет один и тот же знак. Типичным примером

§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 145
параболической точки является любая точка обыкновенно круглого
цилиндра (см. рис. 3.28, в), однако возможны и другие случаи, на
которых мы не будем останавливаться.
Рассмотрим следующий пример. Пусть поверхность задана урав-
уравнением
z = f(x, у)
и пусть в точке (х0, у0) выполнены необходимые условия экстре-
экстремума, т.е. —^=0, —i = 0. Тогда нормаль к поверхности в этой
J Ох иу ^
точке совпадает с направлением оси z и, как показывает простое вы-
вычисление, коэффициенты второй квадратичной формы поверхности
в этой точке равны
и, следовательно,
Мы видим, что тип рассматриваемой точки определяется знаком вы-
выражения C.64). Но, как известно, знаком этого же выражения опре-
определяется наличие или отсутствие экстремума в данной точке. Таким
образом, мы получаем следующие связи между типом точки и нали-
наличием или отсутствием в этой точке экстремума:
эллиптическая точка — экстремум есть {f'xxf"yy — f' > 0),
гиперболическая точк а—экстремума нет (f"xxf" — /гУ<0)-
параболическая точка — неопределенный случай'
(/" /" _/ = 0).
V ххJ уу J ху 1
Упражнение. Каков тип точек, лежащих на: 1) эллипсоиде,
2) двуполостном гиперболоиде, 3) однополостном гиперболоиде,
4) эллиптическом параболоиде, 5) гиперболическом цилиндре.
8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система
инвариантов поверхности. Мы ввели для поверхностей первую
квадратичную форму и показали, что эта форма определяет на по-
поверхности длины, углы и площади. Далее, мы показали, что вторая
квадратичная форма определяет нормальные кривизны поверхности,
т. е. вид поверхности в окрестности каждой точки. Естественно
поставить следующий вопрос: в какой мере поверхность определяется
своими двумя квадратичными формами. Ответ на него дает следую-
следующая теорема.
Теорема 3.2. Если на поверхностях S и X* можно ввести
координаты и и v и, соответственно, и* и v* так, чтобы в тех
точках, в которых и = и*, v = v*, совпадали бы и соответ-
10 Б. М. Будак, С. В. Фомин

146 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3
ствующие квадратичные формы, т. е. чтобы в этих точках
выполнялись равенства
то такие две поверхности конгруэнтны, т. е. могут отли-
отличаться друг от друга только положением в пространстве.
Таким образом, первая и вторая квадратичные формы играют для
поверхностей ту же роль, что и натуральные уравнения для кривой:
они образуют полную систему инвариантов, определяющую по-
поверхность с точностью до ее положения в пространстве.
Мы не будем проводить здесь доказательство сформулированной
теоремы. Его можно найти почти во всех учебниках дифференциаль-
дифференциальной геометрии*).
§ 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности
1. Наложимость поверхностей. Необходимое н достаточное условие
наложимости. Выше мы рассматривали поверхности как твердые тела,
считая, что они могут перемещаться в пространстве, но не меняют свою
форму. В некоторых случаях естественнее, однако, другая точка зрения,
состоящая в том, что поверхности рассматриваются как нераетяжимые,
но абсолютно гибкие пленки. При этом изучаются те свойства поверхности,
которые не меняются при ее изгибании, т. е. при деформациях, не связанных
с растяжением.
Если одна поверхность может быть совмещена с другой при помощи
изгибания, то эти поверхности называются наложимыми друг на друга.
Иначе говоря, две поверхности называются наложимыми друг на друга, если
между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие так,
чтобы линии, переходящие друг в друга при этом соответствии, имели одну
и ту же длину.
Естественно возникает вопрос: каковы условия, необходимые и доста-
достаточные для того, чтобы две поверхности были наложимы друг на друга.
Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема 33. Для того чтобы две поверхности 2 и 2* были нало-
наложимы друг на друга, необходимо и достаточно, чтобы эти поверх-
поверхности допускали такую параметризацию и, v, при которой в точках
JH£2 и М* £2*, имеющих одинаковые координаты и, v, соответствую-
соответствующие коэффициенты их первых квадратичных форм были бы равны.
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна: если та-
такая параметризация возможна, то, поставив в соответствие друг другу те
точки поверхностей 2 и 2*, которые имеют одинаковые координаты и, v,
мы получим в соответствующих точках одинаковые коэффициенты первых
квадратичных форм
Su = Su, gl2 = g'l2> £22 = 222-
Но тогда, параметризовав две соответствующие друг другу линии на этих
поверхностях с помощью одного и того же параметра t (т. е. так, чтобы
*) См., например, А. П. Н о р д е н, Дифференциальная геометрия,
Учпедгиз, 1948, стр. 188.

§ 6] ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 147
в соответствующих друг другу точках этих линий значение параметра было
одно и то же), мы получим, что
/У*.
«, г
/*,/*/ du\2 о * du dv , * / dvY1 ., ,о Ксч
= У V g» Ы +2g* ИГ-Ж + е* Ы) dt' C5)
У
т. е. что длины этих дуг равны.
Обратно, если две поверхности 2 и 2* наложимы друг на друга, то на
этих поверхностях можно ввести общую параметризацию, введя каким-либо
образом координаты и, v на поверхности 2 и считая, что точка Л1*£2* имеет
те же внутренние координаты и, v, что и отвечающая ей точка М. Рас-
Рассмотрим теперь на поверхностях 2 и 2* две отвечающие друг другу линии
и параметризуем их так, чтобы их точки, совпадающие при наложении,
отвечали одному и тому же значению параметра t. Тогда равенство длин
дуг этих кривых запишется в виде C.65). Так как это равенство будет иметь
место при всех tx и t2, то из него получим
gn du2 -f 2£12 du dv + g22 dv2 = g*n du2 + 2g\2 du dv + g*22 du2.
Но это последнее равенство должно выполняться тождественно по du
и dv, так как оно справедливо для любых соответствующих друг другу кри-
кривых, проходящих через любые точки и в любых направлениях. Тождествен-
Тождественное равенство двух квадратичных форм влечет совпадение их коэффициентов.
Таким образом,
gu = g*n> Sn = S*i2. S22 = g\i,
что и требовалось доказать.
2. Внутренняя геометрия поверхности. Совокупность тех свойств по-
поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней
геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы
друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну
и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геомет-
геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства *), которые могут
быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внут-
внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой, квадратичной
формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно,
длины линий, лежащих на поверхности. Далее, поскольку угол между лини-
линиями на поверхности и площадь поверхности выражаются через коэффициенты
первой квадратичной формы (см. п. 2 и 4 § 4), то эти величины также отно-
относятся к внутренней геометрии.
Замечательно то обстоятельство, что внутренним свойством поверхности
является и ее полная кривизна К- Именно, Гауссом была получена для пол-
полной кривизны в ортогональных координатах следующая формула:
в которую входят только коэффициенты первой квадратичной формы. В то же
время ни средняя кривизна, ни главные кривизны при изгибании не сохра-
сохраняются.
*) Речь идет, конечно, о тех свойствах, которые относятся к самой по-
поверхности и не зависят от выбора ее параметризации.
10*

14В
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 3
Сам термин «внутренняя геометрия» применительно к свойствам, сохра-
сохраняющимся при изгибании поверхности, означает, что онн присущи именно самой
поверхности и не связаны с ее вложением в пространство. Поясним это сле-
следующим «мысленным экспериментом». Представим себе, что поверхность
населена некими двумерными существами, достаточно разумными, но не имею-
имеющими никаких выходов в окружающее эту поверхность пространство. Такие
существа могли бы построить геометрию своего «мира», назвав «прямой»,
проходящей через две точки, кратчайшую из всех линий (лежащих целиком
на поверхности), проходящих через эти точки (например, на сфере такой
«прямой» будет дуга большого круга), и, далее,
определить «треугольники», «многоугольники» и
т. д. и изучать свойства этих фигур (не выходя
в окружающее поверхность пространство). Та
геометрия, которая при этом получилась бы, и
является внутренней геометрией нашей поверх-
поверхности. При этом наши гипотетические существа
никоим образом не смогли бы отличить одну по-
поверхность от любой другой, на нее наложи-
наложимой *). Например, внутренняя геометрия плоско-
плоскости— это обычная планиметрия, которую все
изучают в школе. Однако все теоремы плани-
планиметрии останутся верны, если вместо плоскости
рассматривать любую наложимую на нее по-
поверхность, скажем параболический цилиндр. А
вот внутренняя геометрия сферы существенно
отличается от геометрии плоскости: например, на
сфере сумма углов треугольника всегда больше,
чем я.
3. Поверхности постоянной кривизны. Рас-
Рассмотрим поверхность, полная кривизна К кото-
которой в каждой точке имеет одно и то же зна-
значение. Такие поверхности называются поверх-
поверхностями постоянной кривизны. Из инвариантности полной кривизны при
изгибаниях следует, что две поверхности постоянной кривизны наложимы
друг на друга только тогда, когда их кривизны равны. Можно показать,
что верно и обратное: две поверхности одной и той же постоянной кри-
кривизны наложимы друг^на друга. Таким образом, каждая из этих поверхностей
полностью (с точки зрения внутренней геометрии) характеризуется одним
числом — своей полной кривизной К-
Геометрические свойства поверхности постоянной кривизны существенно
зависят от знака кривизны, поэтому следует отдельно рассматривать поверх-
поверхности положительной, нулевой и отрицательной кривизны.
Поверхностью нулевой кривизны является плоскость. Ее внутренняя
геометрия — это обычная планиметрия. Ту же самую внутреннюю геометрию
имеет и любая другая поверхность нулевой кривизны.
«Канонической моделью» поверхности положительной кривизны К. может
служить сфера радиуса /? = Внутренняя геометрия этой поверхности
у К
Рис. 3.29.
*) Соображения о том, когда возможно, а когда невозможно «внутренним
образом» отличить прямое от кривого, имеют смысл не только примени-
применительно к двумерным объектам — поверхностям, но и для объектов большей
размерности, в частности и для трехмерного пространства. Эти вопросы
очень важны с точки зрения общих представлений о вселенной. К сожале-
сожалению, мы не имеем возможности здесь их рассматривать.

§ 61 ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 14£
отлична от привычной нам планиметрии: если под «прямыми» понимать
кратчайшие линии (т. е. в случае сферы дуги больших кругов), то верны,
следующие утверждения: любые две «прямые» при неограниченном их про-
продолжении пересекаются, сумма углов треугольника больше двух пря-
прямых и т. д.
Поверхностью постоянной отрицательной кривизны К < 0 является так.
называемая псевдосфера, которая изображена на рис. 3.29. Она представляет
собой поверхность, образованную вращением трактрисы, т. е. кривой, опре-
определяемой уравнениями
:= a (c
cos ^ + In tg-g-J, y = as,\\it.
Изображенная на рис. 3.29 поверхность не гладкая: она имеет ребро^
Это обстоятельство не случайно: можно показать, что в трехмерном про-
пространстве не существует неограниченно продолжимой гладкой поверхности,
имеющей постоянную отрицательную кривизну. Внутренняя геометрия псевдо-
псевдосферы отлична и от обычной планиметрии и от геометрии на сфере. Она
совпадает с так называемой геометрией Лобачевского, в которой сумма
углов треугольника меньше двух прямых, через данную точку проходит
бесконечно много прямых, не пересекающих данную, и т. п. Не имея воз-
возможности останавливаться здесь на всех этих вопросах (имеющих, между
прочим, глубокие связи с современными физическими представлениями,
в частности с теорией относительности), мы отсылаем интересующегося ими.
читателя к соответствующей специальной литературе*).
*) См., например, Н. В. Ефимов, Высшая геометрия, Физматгиз,

ГЛАВА 4
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Нахождение массы материальной кривой по ее плотности, вычисле-
вычисление работы силового поля вдоль некоторого пути и ряд других
задач требуют введения так называемых криволинейных интегралов,
т. е. интегралов от функций, заданных вдоль кривых. Этому поня-
понятию, важному как для самого анализа, так и для его физических
приложений, посвящена настоящая глава.
Рассмотрение различных физических задач, связанных с интегри-
интегрированием функций вдоль линий, приводит к необходимости введения
двух типов криволинейных интегралов, называемых обычно криво-
криволинейными интегралами первого и второго рода. Впрочем, как мы
увидим, эти два типа криволинейных интегралов легко преобразуются
друг в друга.
§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
1. Определение криволинейного интеграла первого рода.
Пусть АВ— некоторая кривая, гладкая или кусочно-гладкая*), и
пусть f {M) — функция, заданная на этой кривой. Рассмотрим не-
некоторое разбиение этой кривой на части Ai_lAi точками
А = А0. А1 Ап = В, D.1)
выберем на каждой из дуг Л^Л,- произвольную точку Mt и соста-
составим сумму
*) Напомним, что кривая, заданная уравнениями x=q>(t), у = |()
называется гладкой, если функции ф (t) и \|з (t) непрерывны и имеют не-
непрерывные первые производные, не обращающиеся в нуль одновременно
(иными словами, если кривая в каждой точке имеет касательную и напра-
направление этой касательной непрерывно зависит от точки касания). Непрерыв-
Непрерывная кривая, составленная нз конечного числа гладких кусков, называется
кусочно-гладкой.

§ I]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
151
где А1[ — длина дуги А1_ХА1 (рис. 4.1). Мы будем называть такие
суммы интегральными суммами. Введем следующее определение:
Определение. Если при стремлении max bdt к нулю инте-
интегральные суммы D.2) стремятся к некоторому конечному
пределу*) J, то этот предел называется криволинейным
интегралом первого рода от функции f(M) no кри-
кривой АВ и обозначается
f f{M)dl.
D.3)
АВ
У\
о
А=А
a;
Поскольку точки кривой АВ определяются своими координа-
координатами {х, у), функцию f(M), заданную на АВ, мы будем обычна
писать в виде f(x, у), а сам интег-
интеграл Г f(M)dl— в виде
АВ
J/(x, y)dl.
АВ
При этом, однако, следует иметь в
виду, что переменные х и у здесь не
независимы, а связаны условием; точ-
точка (х, у) лежит на кривой АВ.
Нетрудно убедиться в том, что по-
понятие криволинейного интеграла пер-
первого рода на самом деле почти не отличается от обычного понятия*
определенного интеграла функции одной переменной и легко к
нему сводится. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр
длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А, запишем эту
кривую с помощью уравнений вида
х — х{1), у — у{1) (O-^J-^Z.). D.4)
При этом функция f(x, у), заданная на АВ, сведется к функции
/(х(/). у@) переменной /. Обозначив It значение параметра I, отве-
отвечающее точке Mt, перепишем интегральную сумму D.2) в виде
Рис. 4.1.
D.5)
*) Как и в случае определенных интегралов (см. вып. 1, гл. 10, § 1),
число J называется пределом интегральных Сумм, если для любого е > 0 выпол-
нено неравенство
< с, как только max Д/; достаточно мал.

152 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
Это — интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу
//(*(/), y{l))dl.
о
Раз интегральные суммы D.2) и D.5) равны между собой, то
-равны и отвечающие им интегралы; таким образом,
L
ff(M)dl = ff(x @, у @) dl, D.6)
АВ О
причем оба эти интеграла существуют или не существуют одно-
одновременно. Следовательно, если функция / (М) непрерывна *) (или же
кусочно-непрерывна и ограничена) вдоль кусочно-гладкой кривой АВ,
то криволинейный интеграл D.3) заведомо существует, поскольку
при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий
в равенстве D.6) справа.
Замечание. Хотя, как это ясно из сказанного, криволинейный
интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному
интегралу от функции одной переменной, между этими понятиями
имеется следующее различие. В интегральных суммах D.2) величины
Alt (длины дуг A^iAj)—обязательно положительные, независимо
ют того, какую точку кривой АВ мы считаем начальной, а какую —
конечной: Таким образом, выбор на кривой АВ того или иного
направления (ориентация этой кривой) на величину интеграла D.3)
никак не влияет, т. е.
f f{M)dl= ff(M)dl, D.7)
АВ ВА
Ь
в то время как определенный интеграл Г / (х) dx при перестановке
а
пределов меняет знак.
Для сведения криволинейного интеграла первого рода к обыкно-
обыкновенному определенному интегралу нет необходимости пользоваться
натуральным параметром (длиной дуги). Пусть кривая АВ задана
параметрическими уравнениями
'i). D-8)
причем (f(t) и ty(t) непрерывны, а ф'@ и я|/@ кусочно-непрерывны
м ограничены и q/ (t)-i-ty'2 (t) > 0. Тогда на АВ можно ввести
*)о Мы говорим, что функция f (Щ, определенная на спрямляемой
кривой, непрерывна на этой кривой, если она непрерывна на ней как
функция параметра /.

§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 15$
в качестве параметра длину дуги I, отсчитываемую от некоторой
фиксированной точки. Выберем при этом направление отсчета для I
так, чтобы возрастанию параметра t отвечало возрастание длины
дуги Л Тогда / будет монотонно возрастающей функцией t и
dl= V<f'\t)-{-y\t)dt. D.9)
Воспользовавшись равенством D.6) и формулой замены переменной
в определенном интеграле, получим
l tt
J / (Ж) dl = J / (х (/), у @) dl = f f (Ф @, яр@) VV2 @ + V2 (О dK
АВ 0 ta
причем здесь to<Ch- Итак, справедлива следующая
Теорема. 4.1. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав-
уравнениями
и /(х, у) — функция, заданная на этой кривой. Тогда имеет
место равенство
U
J7 (*. У) <Я = / / (ф @, if it)) УФ'2 @ + я|/2 @ dt. D.10>
АВ
причем стоящий слева криволинейный интеграл существует
в том и только том случае, когда существует определенный
интеграл, стоящий справа.
В частности, если кривая АВ задана явным уравнением
то формула D.10) сведения криволинейного интеграла к определен-
определенному принимает вид
ь
ffiM)dl = f /(х, у (х)) У\ + у'г их. D.11)
АВ а
Упражнение. Записать криволинейный интеграл от функции
/(х, у) по дуге АВ, заданной полярным уравнением
г = г (ф) (ф! ■<! ф ^ Фг)
в виде определенного интеграла по ф.
Ответ. J fix, y)dl= j fir cos (f, rsinqi) Уг2-\-г'2 d<p.
AB cp,

154 Криволинейные интегралы
Замечание. Определенный интеграл
[ГЛ. 4
ff(x)dx
от неотрицательной функции можно трактовать как площадь криво-
криволинейной трапеции (рис. 4.2, а). Подобным же образом криво-
криволинейный интеграл
ff(M)dl
АВ
можно при /(М)>-0 представлять себе как площадь куска цилин-
цилиндрической поверхности, составленной из перпендикуляров к пло-
плоскости ху, восставленных в точках М кривой АВ и имеющих
леременную длину f(M) (рис. 4.2, б).
У
О
Ь СЕ
Рис. 4.2.
2. Свойства криволинейных интегралов. Свойства криволиней-
криволинейных интегралов вполне аналогичны свойствам определенных интегра-
интегралов и сразу вытекают из формулы D.6), сводящей криволинейный
интеграл к определенному. Перечислим основные из них.
1 (линейность). Если k = const, af(M) интегрируема
на АВ, то
Jkf(M)dl = k J f{M)dl
АВ
АВ
и интеграл слева заведомо существует.
2 (линейность). Если f(M) и g{M) интегрируемы на АВ,
то f{M)±g{M) интегрируема и
f(J{M)±g{M))dl=ff(M)dl± fg{M)dl.
АВ
АВ
АВ

§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 155>
3 (монотонность). Если f (M) — неотрицательная инте-
интегрируемая функция, то всегда
f f (M)
АВ
4 (аддитивность). Если дуга АВ составлена из двух,
дуг АС и СВ, то
J f(M)dl= f f(M)dl-{- f f(M)dl,
АВ АС СВ
причем интеграл слева существует тогда и только тогда»
если существуют оба интеграла справа.
5 (оценка по модулю). Если f (M) интегрируема на АВ»
то \/(М)\ тоже интегрируема и
f
А
\f(M)\dl.
АВ ' АВ
6 (теорема о среднем). Если f{M) непрерывна на АВ,.
то на этой дуге найдется такая точка М*, что
ff(M)dl =
АВ
(L—длина дуги АВ).
7. Подчеркнем, наконец, еще раз, что
J f{M)dl= ff(M)dl,
АВ ВА
т. е. что выбор направления на дуге АВ не влияет на вели-
величину интеграла от скалярной функции f (M) по этой дуге.
3. Некоторые применения криволинейных интегралов первого
рода. Укажем некоторые типичные задачи, в которых удобно поль-
пользоваться криволинейными интегралами первого рода.
1) Нахождение массы материальной кривой по ее плот-
плотности. Материальной кривой будем называть кусочно-гладкую кри-
кривую, вдоль которой распределена некоторая масса. Линейной плот-
плотностью р(Ж) материальной кривой в точке М называется предел,
к которому стремится отношение массы Дц, находящейся на дуге ММГ
этой кривой, к длине дуги ММ', при условии, что длина этой
дуги стремится к нулю. Иначе говоря, если I — длина дуги AM я
—масса этой дуги, то р(Ж) = —~-^. Отсюда ясно, чта

156 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
I
масса [iAB дуги АВ выражается интегралом Г р dl, т. е. криволиней-
о
ным интегралом
fp(M)
А
fp()dl
АВ
от плотности, взятым по кривой АВ.
2) Вычисление координат центра масс материальной кривой.
Пусть масса распределена вдоль кривой АВ с плотностью р (х, у) *).
Разбив эту кривую на части длины AZf и выбрав на каждой из этих
частей некоторую точку (xlt у{), можно материальную кривую при-
приближенно рассматривать как систему масс р(х;, У;) А';, расположен-
расположенных в точках (xt, yj). Центр масс такой системы материальных
точек имеет координаты
п п
2 *fi (*,. Уь) А/,
t=l 1=1
Эти выражения можно считать приближенными значениями координат
хс и ус центра масс материальной кривой АВ. Для получения точных
значений этих координат следует перейти к пределу при тахЛ^->0.
В результате такого предельного перехода получаем
jxp(x,y)dl jyp(,x,y)dl
Л
D-12)
fp(x,y)dl ' ° fP(x,y)dl
АВ АВ
В частности, в случае однородной кривой р = const имеем
J xdl Г ydl
" - Ав " Ав D.13)
J,
dl
АВ АВ
3) Вычисление моментов инерции материальной кривой.
Момент инерции системы точечных масс mt относительно некоторой
*) Здесь и в последующих задачах нам естественно задавать точки
кривой их декартовыми координатами х, у (см. п. 1).

§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 157
прямой равен
где гi — расстояние от 1-й массы до этой прямой. В частности,
моменты инерции такой системы масс, лежащих в плоскости ху,
относительно осей х и у равны соответственно
п п
/ = S v?m, и /..=
1Х — 2 у\щ и 1у 2
(где (xt, yt) — координаты точечной массы mt). Для получения
моментов инерции относительно координатных осей материальной
кривой АВ, вдоль которой распределена масса с плотностью р(х, у),
нужно сделать такой же предельный переход, как и в предыдущей
задаче. Тогда для моментов инерции кривой АВ относительно коор-
координатных осей мы получим выражения
Ix=
Ix= fyp(x, y)dl, /y= Jx2p(x. y)dl. D.14)
АВ АВ
4) Притяжение точечной массы материальной кривой.
Пусть снова АВ — материальная кривая с плотностью р(х, у) и
т0 — точечная масса, имеющая координаты (х0, у0). Рассуждения,
аналогичные проведенным выше, показывают, что кривая АВ при-
притягивает массу т0 с силой, проекции которой на координатные оси
равны соответственно
= ущ f PU УН«-*> Mt Fy = ущ
АВ АВ
dL
Здесь у — постоянная тяготения и г — ]/ (х — х0J -f- (У — у0J.
Если считать, что интегрирование вектора по некоторому пара-
параметру означает интегрирование каждой из его компонент (см. § 1 гл. 3),
то эти две скалярные формулы можно заменить одной векторной:
сила F, с которой материальная точка т0 притягивается материальной
кривой АВ, равна
*%£-г dl. D.15)
АВ
где г — вектор с компонентами (х — х0) и (у — у0).
4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве.
Определение криволинейного интеграла первого рода, сформулиро-
сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай
функции f (M), заданной вдоль некоторой пространственной кривой.

158 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
Если эта кривая АВ задана параметрическими уравнениями
3» — "Ф СО- * =
то криволинейный интеграл первого рода, взятый вдоль этой кривой*
сводится к определенному интегралу по формуле
J / (ж) di = ff (Ф (t). t @, х (О )>V2 @ +1'2 @ + х'2 @ л.
Условия существования и основные свойства пространственных
криволинейных интегралов вполне аналогичны тем, которые были
сформулированы выше для плоского случая. Криволинейные инте-
интегралы первого рода в пространстве естественно возникают при рас-
рассмотрении таких задач, как вычисление массы пространственной кри-
кривой по заданной плотности, нахождение координат центра масс ма-
материальной пространственной кривой, ее моментов инерции и т. п.
Соответствующие формулы читатель легко может получить с помощью
рассуждений, аналогичных проведенным выше для плоского случая.
§ 2. Криволинейные интегралы второго рода
1. Постановка задачи. Работа силового поля. Введем теперь-
криволинейные интегралы другого типа — так называемые криволи-
криволинейные интегралы второго рода.
Для того чтобы лодойти к этому понятию, начнем с конкретной
физической задачи. Рассмотрим плоское силовое поле, т. е. некоторую
плоскую область, в каждой точке М которой задана сила F(M).
Компоненты F(M) по осям х и у обозначим Р{М) и Q(M).
Определим работу этого силового поля при перемещении точки
вдоль некоторой кривой АВ.
Если сила F постоянна (и по величине и по направлению), а путь АВ
прямолинеен, то соответствующая работа равна произведению вели-
величины этой силы на длину пути и на косинус угла между силой и
перемещением, т. е. работа равна скалярному произведению
(F, АВ).
Найдем теперь выражение для работы в общем случае, т. е. когда
сила F переменна, а путь криволинеен. Пусть АВ — гладкая кривая,
лежащая в той области, где задано силовое поле. Разобьем кривую АВ
на части точками
а = м0, тх мп = в
и рассмотрим ломаную, вершинами которой служат точки Mt (рис. 4.3).
Считая, что вдоль каждого звена Mi_lMi ломаной сила F сохраняет
постоянное значение, скажем, равное F(M;), вычислим работу»
отвечающую перемещению вдоль этой ломаной. Если (хг, yt) —

§ 21 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
координаты точки Mt и
159
то работа, отвечающая перемещению вдоль отрезка Mi_I, Ж,-, равна
а работа, отвечающая перемещению вдоль всей ломаной, равна
^
D16)
Эту сумму можно принять за приближенное значение работы, совер-
совершаемой силовым полем F(M) вдоль кривой АВ. Для получения точ-
точного выражения этой работы нужно в
сумме D.16) перейти к пределу, устре-
устремив максимум длин дуг Mi_lMt к ну-
нулю. Рассмотрим этот предельный пере-
переход в общем виде.
2. Определение криволинейного
интеграла второго рода. Пусть АВ —
гладкая кривая и F (М) = (Р (М), Q (М))
— вектор-функция, определенная на
кривой АВ. Разобьем эту кривую на о
части точками
Рис-
координаты которых обозначим соответственно (х0, у0),
^.., (хп, у„). Рассмотрим сумму
p у{),
где Hxi = xl — xt_x, Ду; = у,;—у^_р Если при стремлении макси-
максимума длин дуг Mt^1Ml к нулю эти суммы стремятся к некоторому
конечному пределу, то этот предел называется криволинейным инте-
интегралом второго рода от вектор-функции F —(P, Q) и обозна-
обозначается *) символом
J D.18)
J
АВ
*) Вместо Р (М) и Q (М) мы будем иногда писать Р (х, у) и Q (х, у),
лонимая под х и у декартовы координаты переменной точки М; в тех слу-
случаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем функции Р(М)
•и Q (М) обозначать просто Р и Q, а криволинейный интеграл D.18) писать
виде Г Р dx -(- Q dy.
АД

160 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
Этот интеграл представляет собой, очевидно, сумму дзух интегралов
jP(M)dx и JQ(M)dy,
АВ АВ
отвечающих векторам (Р, 0) и @, Q), на которые разлагается век-
вектор (P. Q).
Замечание. Понятие криволинейного интеграла второго рода
не следует смешивать с тем «покомпонентным» интегрированием
векторной величины по скалярному аргументу, с которым мы встре-
встречались выше (см. п. 5 § 1 гл. 3 и конец п. ь § 1 этой главы),
например при вычислении силы притяжения материальной точки мате-
материальной кривой.
3. Связь между криволинейными интегралами первого и вто-
второго рода. Криволинейный интеграл второго рода легко сводится
к интегралу первого рода, рассмотренному в § 1. Действительно,
справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав-
уравнениями
х=хA), у = уA), D.19)
и F = (P, Q) — векторная функция, определенная и ограничен-
ограниченная *) на этой кривой. Тогда имеет место равенство
Г Pdx~\~Qdy= j (Р cos a -f Q sin a) dl, D.20)
АВ АВ
где а = а (Ж) — угол между касательной к кривой АВ в точке М
и положительным направлением оси х. При этом стоящий
слева интеграл существует, если существует криволинейный
интеграл первого рода, стоящий в равенстве D.20) справа.
Доказательство. Докажем равенство
АВ АВ
Равенство
jPdx=
АВ
Г Qdx= j Qs'madl
АВ АВ
доказывается так же. Интеграл
Л Pdx
АВ
*) Вектор-функция (Р, Q) называется ограниченной, если Р и Q — огра-
ограниченные функции.

§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 161
представляет собой ло определению предел сумм вида
T=j±P(Mi)Axi.
1 = 1
Сравним эту сумму с интегральной суммой
л
Т* = 2 Р (Мд cos a (Mt) Mt,
отвечающей (при том же самом разбиении кривой АВ) интегралу
I Pcos adl.
АВ
Если х — х (/), то в каждой точке М кривой АВ
^- = cosa(M) D.21)
и, следовательно,
h
Ллг;= Г cos adl.
Воспользовавшись теоремой о среднем, получаем
где М\—некоторая точка дуги А1г_1/И;. Следовательно,
\Т — Г*| =
It
2 P(M^ [cos a (Mj) — cos a(ywj)] Mt
<
jcosa(M() —
1=]
Вдоль гладкой кривой функция cosa(M) непрерывна, а значит (по-
(поскольку эта кривая представляет собой замкнутое ограниченное мно-
множество), и равномерно непрерывна. Следовательно, каково бы ни было
£ > 0, для каждого достаточно мелкого разбиения кривой АВ имеет
место неравенство
|cosa(vW() — cosa(Al*)j < e.
Тогда
я
\Т — Т*|<Се 2 Ч- = CeL-
где С = sup |Р|, а L — длина кривой АВ. Отсюда следует, что если
11 Б. М. Будак, С. В. Фомин

162 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ■ [ГЛ. 4
интегральные суммы Т* имеют предел, то суммы Т стремятся к этому же
пределу. Тем самым теорема доказана.
Замечание. Выражение Pcosa-|-Qsina представляет собой
скалярное произведение (F, т) вектора F = (Р, Q) на единичный век-
вектор T = (cosa, sin a), касательный к кривой АВ, т. е. проекцию
вектора F = (P, Q) на касательную к АВ. Обозначив эту проекцию
символом Fx и воспользовавшись равенством D.20), мы можем за-
записать криволинейный интеграл D.18) в виде
J Fx dl. D.22)
АВ
Этой краткой записью мы будем часто пользоваться ниже, особенно
в гл. 6. Иногда также, особенно в физической литературе, этот ин-
интеграл пишут в виде
J (F, dl), D.23)
АВ
понимая под dl бесконечно малый вектор с компонентами
dx — dlcosa и dy = dtsina.
4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Из
сопоставления теорем 4.1 и 4.2 сразу вытекает следующая
Теорема 4.3. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная
уравнениями
x = <?(t), у = яр @. D.24)
и пусть F = (P, Q) — вектор-функция, заданная на этой кри-
кривой. Тогда
f P dx + Q dy = f [Р (Ф (t), i|) @ ) q>' @ + Q (Ф @, ф @ ) ф' @1 dt,
АВ U
D.25)'
и интеграл слева существует, если существует определенный
интеграл, стоящий справа; при этом t0 — значение парамет-
параметра t, отвечающее точке A, a:tl— значение, отвечающее точке В.
Теоремы 4.1—4.3 очевидным образом остаются справедливы,
если кривая АВ не гладкая, а лишь кусочно-гладкая.
Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы D.25).
Если кривая АВ задана явным уравнением
у=у(х). D.26)

§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 163
где х пробегает отрезок [а, Ь], то формула D.25), сводящая криво-
криволинейный интеграл второго рода к определенному, принимает вид
:,y{x))y'{x)]dx D.27)
АВ а
(где х=а отвечает начальной точке А кривой, а х = Ь — ее конеч-
конечной точке В). Если, в частности, кривая АВ — отрезок горизонталь-
горизонтальной прямой у = у0, то вдоль него / = 0 и интеграл
J Pdx-\-Qdy
АВ
вдоль такого отрезка сводится просто к интегралу
ь ■
fP(x, yo)dx.
Аналогично для кривой, заданной уравнением
х = х(\», D.28)
где у пробегает некоторый отрезок [с, d], имеем
d
fPdx + Qd\> = f[P(x(\»,y)x' + Q(x(\>),y)]dy. D.29)
АВ с
В частности, если АВ — отрезок вертикальной прямой х = х0, то
х' = 0 и интеграл D.29) сводится к
fQ(xo,y)dy. D.30)
АВ
Примеры. 1. Вычислить интеграл
j x2dx-\-xydy D.31)
АВ
а) вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки A, 0) в точку
@. 1),
б) вдоль четверти окружности x = cos^, у = sinnO ^^ -^
соединяющей те же точки (рис. 4.4).
11*

164
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 4
АВ
Решение.
о
a) fx2dx-{-xy dy= j(х2 — хA — x))dx =
\
о
= fBx2 — x)dx = — 1;
б) Г х2 dx -\- xy dy — f (— cos21 sin t -\- cos21 sin ^) ^ = 0.
AB 0
2. Вычислить интеграл
D.32)
а) вдоль прямолинейпого отрезка, идущего из точки @, 0)
в точку A, 1),
б) вдоль дуги параболы у = х2, соединяющей те же точки,
W
О\ G,0) а:
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
в) вдоль ломаной, проходящей через точки @, 0), A, 0), A, 1)
{рис. 4.5).
Решение.
1
а) j Зх^у tfx-|-(x°-+- 1)йУ= | Dx°~(- \)dx =2;
б) Г 3x2y dx -)- (x3~\- l)dy= ГEх4+2х)с?х = 2;
лв о
в) J3x2ydx + (x3+l)dy =
(it
= /
A.0)
/
@,0)
A,1)
A,0)

§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 165
Замечание. Читатель, видимо, обратил внимание на то, что
во втором примере мы, взяв три различных пути (соединяющих одни
и те же точки), получили три одинаковых результата. Это обстоя-
обстоятельство не случайно. Причину его мы разъясним в § 4.
5. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от
ориентации кривой. Из определения криволинейного интеграла
Г
Pdx + Qdy D.33)
АВ
непосредственно следует, что в нем постоянный множитель можно
выносить за знак интеграла, что интеграл от суммы двух векторных
функций равен сумме интегралов от слагаемых и т. д. Подчеркнем
следующее важное свойство интеграла D.33): криволинейный интеграл
второго рода в отличие от интеграла первого рода, определенного
в § 1, зависит от ориентации кривой АВ, по которой этот интеграл
берется, а именно, при изменении ориентации этой кривой интег-
интеграл D.33) меняет знак:
j Pdx-\-Qdy = — J Pdx + Qdy. D.34)
ВА ВА
Действительно, изменив направление обхода кривой АВ, мы заменим
тем самым Дхг и Дуг в сумме D.17) на —A.vf и —Ay* соответ-
соответственно. При этом изменят знак интегральные суммы D.17), а сле-
следовательно, и их предел.
Это свойство криволинейного интеграла второго рода вполне соот-
соответствует физической интерпретации такого интеграла, как работа
силового поля вдоль некоторого пути: при изменении направления
движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет
знак на противоположный.
6. Криволинейные интегралы вдоль самопересекающихся и
замкнутых путей. С точки зрения возможных приложений теорда
криволинейных интегралов целесообразно не исключать из рассмо-
рассмотрения пути интегрирования, которые имеют самопересечения. Иначе
говоря, если кривая задана уравнениями
x = x(t), y = y(t) (a<f<6).
то мы не исключаем того, что существуют два различных значения t1
и t2 параметра t, для которых
При этом, однако, когда речь идет об интегралах второго рода,
нужно учитывать, что задать путь интегрирования это значит не просто
задать множество точек, но и определенное направление обхода. Для
кривых с самопересечениями направление обхода не определяется

166 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
заданием начальной и конечной точек. Например, кривые, изображен-
изображенные на рис. 4.6, а и б, нужно рассматривать как две различные кри-
кривые. Сказанное относится не только к плоским, но и к простран-
пространственным кривым.
Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы, взятые
по тому или иному замкнутому контуру. При этом под замкнутым
контуром (на плоскости) мы понимаем
такую кривую
x = x(t). y = y(f) (a<f<ft).
что
х(а) = х(Ь) и у(а) = у(Ь).
Не исключается, что этот контур имеет
еще и точки самопересечения, т. е.
что, кроме t = а и t = b, есть и дру-
р 4g гие различные между собой значения
параметра, которым отвечают одина-
одинаковые значения х и у.
Если замкнутый контур не имеет точек самопересечения, то для
него можно указать два и только два направления обхода (ориента-
(ориентации): против часовой стрелки (положительная ориентация)и по часо-
часовой стрелке (отрицательная ориентация). Если рассматривается инте-
интеграл второго рода
J Pdx + Qdy
с
вдоль такого контура, то его значения, отвечающие двум различным
ориентациям контура С, равны между собой по абсолютной вели-
величине и противоположны по знаку. Мы будем, как правило, рассмат-
рассматривая замкнутый контур, считать его ориентированным положительно,
а криволинейный интеграл второго рода по отрицательно ориентиро-
ориентированному контуру заменять интегралом, взятым в положительном
направлении, но со знаком минус перед интегралом.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру С часто обо-
обозначают символом
§Pdx-\-Qdy.
7. Криволинейные интегралы второго рода вдоль простран-
пространственных кривых. Выше мы рассматривали криволинейные инте-
интегралы от векторных функций вдоль плоских кривых. Все сказанное
о них более или менее автоматически Переносится на пространствен-
пространственный случай. Пусть АВ— гладкая пространственная кривая и
F = (P. Q, #)—непрерывная вектор-функция, заданная вдоль этой

§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 167
кривой. Разбив АВ на части точками
А = М0, М, Мп = В
с координатами (xt, yt, zc), 1=1, 2 и, рассмотрим сумму
1=1
где
Ajc, = *, — *,_!. Ауг = Уг — Уг_1. Ьг^г^г^.
Предел этих сумм мы назовем криволинейным интегралом
второго рода от вектор-функции F = (P, Q, R) вдоль про-
пространственной кривой АВ и обозначим
J P(M)dx-{-Q(M)dy> + R(M)dz, D.35)
АВ
ИЛИ *)
jP(x. у. z)dx-\-Q(x, у, z)dy-\-R(x, у, z)dz.
АВ
С помощью рассуждений, дословно повторяющих те, которые были
проведены для плоского случая, устанавливается формула, сводящая
интеграл D.35) к криволинейному интегралу первого рода
Г р ах + Q dy + R dz = j [P cos a -f- Q cos p + R cos y] dl
АВ АВ
(здесь а, p, Y — углы между касательной к АВ и осями координат
х, у и z).
Если гладкая кривая АВ задана уравнениями
причем точке А отвечает t — tQ, а точке В отвечает t = ti, то имеет
место равенство
f . Х(О)Ф'(О +
AS U
+ Q(«P(O. WO. x(W@+tf(q>@. Ф@. х(О)х'(О1<«. D.36)
сводящее криволинейный интеграл второго рода к определенному
интегралу.
Так как выражение Pcosa-f-Qcosp-f-/?cos у — это проекция
вектора F —(Р, Q, R) на направление касательной к АВ, то,
*) Часто для краткости мы будем писать его просто в виде
Г Pdx + Qdy + Rdz.
АВ

168
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 4
обозначив эту проекцию Fr, мы можем, как и в плоском случае, запи-
записать криволинейный интеграл D.35) в виде
/
АВ
Fxdl.
Все свойства плоских криволинейных интегралов, изложенные выше,
автоматически переносятся на пространственный случай. В частности,
криволинейный интеграл D.35) меняет знак при изменении ориента-
ориентации кривой, т. е.
С Pdx-j-Qdy-j-Rdz = — J* Pdx-\-Qdy-\- Rdz.
АВ ВА
В соответствии с этим в определенном интеграле, стоящем в фор-
формуле D.36) справа, нижний предел tQ — это значение параметра,
отвечающее начальной точке А кривой АВ, а верхний предел t1 — зна-
значение параметра, отвечающее конечной точке В. (Независимо от того,
какое из чисел /0, tx больше, а какое меньше.)
§ 3. Формула Грина
В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Грина *),
связывающую криволинейный интеграл
&Pdx-±-Qdy,
с
взятый по границе некоторой области, с двойным интегралом по са-
самой этой области. Эта формула широко применяется как в самом
анализе, так и в его приложениях. Неко-
Некоторые из этих применений будут рассмот-
рассмотрены ниже.
1. Вывод формулы Грина. Рассмот-
Рассмотрим сначала область G, имеющую простой
вид: снизу и сверху она ограничена ку-
кусочно-гладкими кривыми
D.37)
Рис. 4.7.
а слева и справа — вертикальными отрез-
отрезками
х=а. х = Ь D.38)
(рис. 4.7). Границу ABCDA области мы будем считать ориентиро-
ориентированной положительно, т. е. будем считать принятым на ней то
направление обхода, при котором сама область G остается все время
*) Джордж Грин A793—1841) — английский математик, автор ряда
исследований по математической физике.

§ 3] ФОРМУЛА ГРИНА 169
слева. Пусть функция Р(х, у) определена и непрерывна
дР
вместе со своей частной производной —— во всей области G, вклю-
включая ее границу.
р f г) Р
Рассмотрим двойной интеграл I I ——dx dy и постараемся пре-
G
образовать его в криволинейный. Для этого сведем его к повторному
интегралу и выполним интегрирование по у. Получим
ь у2 (х)
а у, (х)
b
= f[P(x, y2(x)) — P(x, yl(x))]dx=
а
Ь Ь
= fP(x, y^(x))dx—fP(x. у, (х)) dx. D.39)
а а
Каждый из этих двух определенных интегралов можно рассматривать
как криволинейный интеграл, взятый по соответствующей дуге (см.
D.27)), а именно:
ь
j P(x, y2{x))dx= j P(x, y)dx = — f P(x, y)dx
a DC CD
И
b
— fP(.x. yx{x))dx = — fP(x, y)dx.
AB
Добавив к правой части равенства D.39) еще два криволинейных
интеграла:
. y)dx и — f P(x, y)dx,
f f
ВС DA
каждый из которых равен нулю (как интеграл по dx вдоль верти-
вертикального отрезка), получим равенство
~ SPdx~ fPdx-
CD DA
f f^dxdy = ~ J" Pdx. D.40)
Sfw l l S f
О АВ ВС CD DA
T. e.
abcda
Мы доказали это равенство для области, ограниченной линиями
D.37) и D.38). Но формулу D.40) можно распространить и на

170
криволинейные интегралы
[ГЛ. 4
любую область, которую можно разбить на конечное число частей
такого вида. Действительно, пусть область G с границей L разбита
на части Gt, i=\, 2 и, для каждой из которых имеет место
равенство
УН
f
;
(L; — граница области Gt). Просуммировав эти равенства по i от 1
до п, мы слева получим двойной интеграл, взятый по всей области О,
а справа получится сумма кри-
криволинейных интегралов, взятых по
контурам Lt. Каждый из этих кон-
контуров состоит из линий, ограни-
ограничивающих область G, и из вспо-
вспомогательных линий, с помощью ко-
которых область G разбивается на
части. Но каждая из; этих вспомо-
вспомогательных линий входит в состав
ровно двух контуров Lt, следова-
следовательно, по каждой из них криволи-
криволинейный интеграл будет взят дважды,
причем в двух противоположных направлениях (рис. 4.8). Поэтому
при суммировании интегралов вида
о
Рис. 4.8.
f
L.
PdX
интегралы по всем вспомогательным линиям взаимно уничтожатся и
останется лишь интеграл по границе области G, т. е. мы получим
.равенство
ff^dxdy = -j'Pdx, D.41)
О L
где L—положительно ориентированная*) граница области G.
Поменяем теперь х и у ролями и рассмотрим область, ограни-
ограниченную горизонтальными отрезками
и линиями
у = с, у = d
= хх (у), х = х2 (у)
D.42)
D.43)
dQ
(рис. 4.9). Пусть функция Q (х, у) и ее производная -р- опреде-
*) То есть на L выбрано то направление обхода, при' котором Область О
остается слева.

3]
ФОРМУЛА ГРИНА
171
лены и непрерывны в области G (включая границу). Записав двойной
интеграл
в виде
G
d л% (
fd> I
dQ_
дх
dx
■My)
и проделав те же выкладки, что и при выводе формулы D.40), по-
получим равенство
_
дх
■dy=^ I Qdy,
ABCDA
аналогичное D.40) (с той лишь разницей, что справа нет знака ми-
минус). Рассуждения, ничем не отличающиеся от изложенных выше,
показывают, что равенство
f j -g- dx dy = f Q dy D.44)
' П L
верно не только для областей, ограниченных
линиями D.42) и D.43), но и для конечных
объединений таких областей.
Будем, для краткости, называть область G
простой, если она допускает разбиение как
на части с границами вида D.37), D.38),
так и на части с границами вида D.42), D.43).
Для простой области справедливы, в силу до-
доказанного, как равенство D.41), так и равенство D.44). Вычтя D.41)
из D.44), получим формулу
Рис. 4.9.
j
^j f[«L-^)dxdy. D.45)
где криволинейный интеграл берется по границе L области G в по-
положительном направлении. Это и есть формула Грина, которую
мы хотели установить. Итак, мы получили следующий результат:
Теорема 4.4. Пусть G—простая область и пусть функ-
функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными
производными -j- и -р- в замкнутой области G. Тогда имеет
место формула Грина D.45).

172
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 4
Замечание 1. Если граница L области G состоит из несколь-
нескольких отдельных контуров, то I Pdx-\-Qdy означает сумму интегра-
интегралов, взятых по составляющим L контурам, причем по каждому из
них берется то направление обхода, при
котором сама
(рис. 4.10).
Замечание 2. При выводе формулы Гри-
Грина мы предполагали: " Л
р р
область G остается слева
дР
производные -г— и
—з—
д
что Я и О и их частные
непрерывны не только
Рис. 4.10.
знутри области, но и на ее границе.
дР 6Q
носительно производных -^г- и
Однако от-
достаточно
ду дх
предположить, что они непрерывны и огра-
ограничены внутри области О. Действительно, рас-
рассмотрим снова область G, ограниченную кривыми у = у, (х) и у = у2 (■*)
и вертикальными отрезками х = а, х — b (рис. 4.7). Пусть б > 0 и пусть
G6 — область, ограниченная сверху и снизу кривыми у = у2 (х) — о и
у = у, (л:) -J- 6 соответственно, а слева и справа вертикальными отрезками
х — а-\-Ь ж х=>Ъ — 6. Область G6 при всяком б>0 лежит вместе с гра-
границей внутри G, следовательно, для G§ выполнены те условия, при которых
равенство D.41) было доказано. Таким образом,
D.46)
Об
S
L6
(L6 — граница области Об). Так как площадь области G& отличается от пло-
площади области G не больше чем на 16, где I — длина границы L области G,
то интеграл, стоящий в равенстве D.46) слева, отличается от
не более чем на 1ЬМ, где М—верхняя грань
дР
ду
внутри G. Далее, функ-
функция Р(х, у) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна и огра-
ограничена в замкнутой области G. Отсюда сразу следует, что
С Pdx->f Pdx при 6->0.
Таким образом, в равенстве D.46) можно сделать предельный переход при
6 -> 0, и мы получаем, что равенство
//%<*<>--/
Pdx

§ 3] ФОРМУЛА ГРИНА 173
верно для области, изображенной иа рис. 4.7, а следовательно, и для любой
простой области. Аналогично устанавливается и равенство
Воспользовавшись понятием несобственного двойного интеграла *), можно-
было бы требование ограниченности производных -^— и —- в области Q
заменить требованием существования интеграла / / \-т^-—^—\dxdy
а
(хотя бы как несобственного интеграла).
Замечание 3. Мы доказали формулу Грина для областей,
которые мы условились называть простыми. К ним заведомо от-
относятся все многоугольные фигуры. С помощью аппроксимации кри-
криволинейных областей многоугольными нетрудно получить, что фор-
формула Грина верна и для любой области, ограниченной конечным
числом кусочно-гладких линий.
2. Вычисление площади с помощью формулы Грйна. Из фор-
формулы Грина вытекают некоторые полезные формулы для Вычисления
площади области.
Пусть G—некоторая простая область с границей L и S — пло-
площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл
fxdy.
L
Применив к нему формулу Грина, получим
J х dy = j j dx dy = S.
l a
Аналогично получается формула
S^—jydx,
L
а также следующая, более симметричная, формула**) для
*) О несобственных интегралах см. гл. 9.
**) Можно, конечно, получить бесконечно много различных формул вида
S= J Pdx+Qdy.
Для этого достаточно в качестве Р и Q брать любые функции, удовлгтво-
dQ дР ,
ряющие условию -~ -^— = 1.

174 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
площади;
S = -?г f xdy — ydx. D.47)
Пример. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой
x=acos3*, у = as\n3t.
Р е ш е н и е. Применяя формулу D.47), получаем
2я
S = -I J х dy — у dx = -| a2 J sin21 cos21 [cos21 + sin21\ dt =
L 0
2я
_ 3 2
--g-ла.
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла
от пути. Интегрирование полных дифференциалов
1. Постановка вопроса. В § 2, рассматривая примеры криво-
криволинейных интегралов, мы обратили внимание на то, что в некоторых
случаях криволинейный интеграл
AB
зависит не от самой кривой АВ, а только от начальной и- конечной
точек, т. е. принимает одинаковые значения для всех кривых, соеди-
соединяющих фиксированные точки А к В. Сейчас мы установим условия,.
при которых такая независимость интеграла от выбора пути имеет
место. С этим вопросом связана другая важная задача, которую мы
здесь также рассмотрим: нахождение функции двух переменных по ее
полному дифференциалу.
2. Случай односвязной области. Напомним (см. гл. 3), что
плоская область G называется односвязной, если, каков бы
ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, огра-
ограниченная этим контуром (конечная) часть плоскости целиком при-
принадлежит G.
Теорема 4.5. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) определены
дР
и непрерывны вместе со своими частными производными —*—

. § 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 175
и -jp- в замкнутой ограниченной односвязной области G.
Тогда следующие четыре условия равносильны между собой
(т. е. выполнение любого одного из них влечет за собой выполнение
остальных трех):
1. Интеграл
§Pdx-{-Qdy,
взятый по любому замкнутому пути, лежащему в О, равен
нулю.
2. Интеграл
f Pdx-\-Qdy
АВ
не зависит от выбора пути интегрирования.
3. Выражение Рdx-\-Qdy представляет собой полный диф-
дифференциал некоторой однозначной функции, определенной
в области G.
4. В области G всюду 27_
■2£- = 0О-. D.48)
ду дх ч '
Доказательство этой теоремы мы .
проведем по следующей логической схеме:
т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из вто-
второго — третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова
первое. Тем самым будет доказана равносильность всех четырех
условий.
а) 1 —у 2. Рассмотрим в области G два произвольных пути,
соединяющих точки Л и В, скажем, АСВ и ADB (рис. 4.11).
В сумме они составляют замкнутый путь ACBDA. По условию
интеграл, взятый по любому замкнутому пути, равен нулю, т. е.
ACBDA
Но
J Pdx-{-Qdy = 0.
J Pdx-\-Qdy= j Pdx-\-Qdy+ J
BDA
= J Pdx-\-Qdy— J Pdx-\-Qdy.
ACBDA ACB BDA
ACB ADB

176 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ; ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1
Следовательно,
f Pdx-!rQdy= f Pdx-{-Qdy.
ACB ADB
Утверждение «1->2» доказано*).
б) 2—>3. Пусть интеграл I Pdx-\-Qdy не зависит от пути
лв
интегрирования; тогда, если точку А зафиксировать, то
этот интеграл будет однозначной функцией координат х и у
точки В:
СPdx^-Qdy = U{x, у).
АВ
Покажем, что эта функция U{x, у) дифференцируема и что
dU = Pdx-\-Qdy.
dU dU
Для этого достаточно показать, что производные -у— и —т— суще-
ствуют и равны Р(х, у) и Q(x, у) соответственно**).
Вычислим
= {{щ у) — Ц(х, у)
дх Дх '
Величина At/ = U (х -)- Ах, у) — U(x, у) представляет собой
интеграл от Pdx~\-Qdy, взятый по пути, соединяющему точки
(х, у) и (х-{-Ах, у). Так как, по условию, этот интеграл не
зависит от вида кривой, то можно считать, что путь совпадает с
*) Если кривые АСВ и ADB имеют общие точки, отличные от А и В
(рис. 4.12), то небольшое усложнение проведенных рассуждений приводит
к тому же самому результату.
,3
А'
Рис. 4.12.
**) Как известно, функция, имеющая непрерывные частные производ-
производные, дифференцируема.

§ 4]
НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ
горизонтальным отрезком ВВХ (рис. 4.13). Таким образом,
х+&х, у
fPd + Qd
177
ВВ, х, у
(В последнем равенстве мы использовали теорему о среднем для
.интегралов.) Следовательно,
dU
ох
= lim
-{-Qkx, у) =
= Р{х, у),
поскольку Р(х, v) непрерывна.
Аналогично доказывается, что—;— =
= Q(x,y).
в) 3->4. Если
Pdx + Qdy
и
РИС. 4; 13.
полный дифференциал некоторой функции U(x, у), то
dU р dU п
Но тогда по теореме о смешанных производных
dQ _ d2U _ d2U. _ дР
дх дх ду ду дх ду '
г) 4—>1. Пусть равенство -у^- = ~— выполнено и пусть L —
произвольный контур, лежащий в области О. Так как эта
область по условию односвязна, то ограниченная контуром L
часть плоскости принадлежит области О, в которой определены
функции Р, Q и их производные. Поэтому криволинейный интеграл
J Pdx-rQdy
L
по формуле Грина можно преобразовать в двойной:
где D—область, ограниченная контуром L. В силу D.48), интеграл
справа равен нулю. Следовательно,
I P dx -j- Q dy = О
L
для всякого замкнутого контура L, лежащего внутри G. Доказатель-
Доказательство теоремы закончено.
12 Б. М. Будак, С. В. Фомин

178 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
3. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.
В процессе доказательства теоремы 4.5 мы получили решение сле-
следующей задачи, с которой нам еще придется встречаться (см. п. 4
§ 2 гл. 6): найти функцию, полный дифференциал которой есть
заданное выражение
Pdx-\-Q dy.
Ограничившись случаем, когда функции Р и Q и их частные про-
производные —— и -р- непрерывны в некоторой односвязной области G,
мы доказали (теорема 4.5), что Рdx-\-Qdy служит полным диф-
дифференциалом некоторой функции в том и только том случае, когда
дР __ dQ
ду дх '
Далее, мы показали (там же), что если это равенство выполнено,
то условию
dU = Pdx-{-Qdy D.49)
удовлетворяет функция
(х, у)
U{x, y)= Г Pdx-{-Qdy.
0*о, Уо)
Наконец, из формулы конечных приращений (см. вып. 1, гл. 8, § 9)
следует, что две функции, имеющие одинаковые полные дифферен-
дифференциалы, отличаются друг от друга лишь на
У\ постоянное слагаемое. Следовательно, формула
(х, у)
U(x, y)= Г Pdx-\-Qdy-\-C D.50)
(где (х0, у0) — фиксированная точка, а С —
произвольная постоянная) содержит все функ»
U ции, удовлетворяющие условию D.49). Так
как в равенстве D.50) интеграл не зависит
Рис, 4.14. от ПуТИ) то мы можем выбрать линию, сое-
соединяющую точки (х0, yQ) и (х, у), по своему
усмотрению. Удобно, например, за путь интегрирования взять лома-
ломаную, составленную из горизонтального и вертикального отрезков *)
(рис. 4.14). При этом выборе пути равенство D.50) принимает вид
(X, Уо) (X, У)
U(x,y)= f Pdx+f Qdy + C.
{Xa, Уо) (Х, Уо)
О
*) Сели эти отрезки принадлежат G.

§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 179
Начальную точку (х0> у0) можно выбрать произвольно (в пределах
той области, в которой определены функции Р и Q). Изменение
этой точки равносильно, очевидно, изменению аддитивной по-
постоянной С.
Практически при нахождении функции по ее полному дифферен-
дифференциалу удобно поступить следующим образом. Если
то, интегрируя первое из этих равенств по х и рассматривая в нем у
как параметр, получим
U(x, y) = fPdx-{-fv D.52)
где /j не зависит от х (но, вообще говоря, зависит от у, т. е.
fl = fl(y)). Далее, интегрируя второе из равенств D.51) по у и
рассматривая в нем х как параметр, получим
D.53)
где /г = А С*)'. если мы сможем подобрать функции f1(y) и /2
так, чтобы правые части равенств D.52) и D.53) совпали, то полу-
полученная таким образом функция переменных х и у и будет той функ-
функцией, полный дифференциал которой совпадает с Рdx-\-Qdy.
Пример. Пусть
dU = Bху + 1) dx + (х2 + Зу2) dy.
Интегрируя коэффициент при dx по х, имеем
y), D.54)
а интегрирование коэффициента при dy по у дает
J(x2 + 3y2)rfy = x2y + y3 + /2(x). D.55)
Правые части равенств D.54) и D.55) совпадут, если мы положим
Таким образом, получаем, что
4. Криволинейные интегралы в многосвязной области. На по-
последнем шаге доказательства теоремы 4.5, т. е. там, где мы из условия
■¥- = -^ D-56)
ду дх к '
П*

180 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
вывели справедливость равенства
0 D.57)
для любого замкнутого контура, была существенно использована
односвязность области G.
Рассмотрим простой пример, показывающий, что в много-
связной области из условия D.56) равенство D.57), вообще
говоря, не следует. Пусть
Подынтегральное выражение не имеет смысла в точке @, 0), поэтому
мы исключим из рассмотрения некоторую окрестность начала коор-
координат. В оставшейся части плоскости (это будет уже многосвязная
область) коэффициенты при dx и dy непрерывны, имеют непрерывные
частные производные и
д ( -у \= д (
дх \
ду
Однако интеграл D.58), взятый по некоторому замкнутому пути,
не равен, вообще говоря, нулю: например, если С—окружность,
заданная уравнениями
x = cos^, y = sin^,
то
t = 2n. D.59)
Выясним, какими свойствами обладает интеграл
' Pdx + Qdy,
/■
если функции Р и Q удовлетворяют условию *)
дР _ dQ
ду дх *
но область G, в которой они заданы, многосвязна. Рассмотрим
для определенности область G, изображенную на рис. 4.15, т. е.
*) Мы по-прежнему предполагаем, что Р, Q, -у— и -~ непрерывны
в замкнутой ограниченной области G.

§ 4]
НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ
181
имеющую три «лакуны». Рассмотрим сначала некоторый замкнутый
контур L, который не охватывает ни одной из этих лакун. Тогда
к интегралу, взятому по такому контуру, можно применить формулу
Грина, и мы получим, что этот интеграл равен нулю.
Пусть теперь ij — контур, охватывающий одну из лакун.
Здесь формула Грина уже неприменима и интеграл по такому кон-
контуру, вообще говоря, нулю не ра-
равен (см. приведенный выше при-
пример). Покажем, что величина
этого интеграла не зависит
от выбора контура, охваты-
охватывающего данную лакуну. Пусть
L\ и L\ — два таких контура. Соеди-
Соединив их вспомогательной линией (ab),
получим контур
Рис. 4.15.
(ей)+ Li+ (fte) — L[ D.60)
(знак минус перед L\ означает, что
этот контур обходится в отрица-
отрицательном направлении). Этот контур не охватывает ни одной из лакун,,
следовательно, интеграл по нему равен нулю. Но интегралы по (аЬ\
и (Ьа) равны по величине и противоположны по знаку. Таким обра-
образом, получаем
f Pdx-{-Qdy =
г
т. е.
J
= J
+ Qdy.
Таким образом, каждой из лакун в области G отвечает неко-
некоторое определенное число—значение криволинейного интеграла
ф Р dx -f- Q dy, взятого по любому из замкнутых контуров, охваты-
охватывающих эту лакуну. Оно называется циклической постоянной этой
лакуны. Отсюда легко получается, что значение интеграла
&Pdx-{-Qdy по произвольному замкнутому контуру записывается
так. Пусть Юр (Од, ©з — циклические постоянные лакун, имеющихся
в области О, и пусть контур Lx обходит первую лакуну kx раз,
вторую k2 раз, а третью k3 раз (при этом под каждым из k.
понимается алгебраическая сумма ориентированных обходов, т. е..

182 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
"число обходов против часовой стрелки минус число обходов по часо-
часовой стрелке), тогда
ф Р dx -f- Q dy = /fjCOj + /e2G>2 H~ ^з°>з-
L
Если в многосвязной области О провести разрезы /, //, ///, как это
локазано на рис. 4.16, то мы получим односвязную область, и в ней
„. можно построить однозначную функ-
цию
(х, у)
(J(x, y)= f Pdx + Qdy,
(•«■о, У»)
D.61)
О
^ однако, в силу сказанного выше,
s ее значения на противоположных
Рис. 4.16. краях разреза / будут отличаться
на coj, на краях разреза //—на со2
и на краях разреза /// — на щ. Если же разрезов не делать,
то выражение D.61) будет опять-таки функцией, полный дифферен-
дифференциал которой равен Pdx-^-Qdy, но уже функцией многозначной.
Ее значения в фиксированной точке (отвечающие путям, делающий
различное число обходов вокруг лакун) отличаются друг от друга
слагаемым вида
где fej, k2 и fe3 могут принимать любые целые значения *)•
Ясно, что все сказанное здесь автоматически переносится на случай
любого числа лакун.
*) Конечно, может оказаться случайно, что все циклические постоян-
постоянен, У)
яые (В/ равны нулю. Тогда функция U(x,y)= Г Pdx-\-Q dy окажется
однозначной и при отсутствии разрезов. В этом случае будут иметь место
все утверждения теоремы 4.5 (независимо от связности области).

ГЛАВА 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В разных физических вопросах часто встречаются функции,
заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций
могут служить плотность распределения зарядов на поверхности
Проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, проте-
протекающей через некоторую поверхность, и т. д. Эта глава посвящена
изучению интегралов от функций на поверхности, так называемых
поверхностных интегралов, и некоторым их применениям.
Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории
криволинейных интегралов, изложенной в предыдущей главе. В част-
частности, мы и здесь будем различать интегралы первого и второго рода.
Вводя определение поверхностного интеграла, мы будем опи-
опираться на некоторые сведения о поверхностях, изложенные в §§ 3 и 4
гл. 3, и в первую очередь на понятие площади кривой поверхности»
§ 1. Поверхностные интегралы первого рода
1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ-
функции. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности S с кусочно-глад-
кусочно-гладкой границей *) L определена некоторая ограниченная функция
f(M). Разобьем поверхность S кусочно-гладкими кривыми на
части Sp Sg 2„ (рис. 5.1). Площадь каждой из них обозначим
о(. A= 1, 2 га). Выбрав в каждой из этих частей произвольную.
точку Mt, составим сумму
которую мы будем называть интегральной суммой, отвечающей
функции f(M) (при данном разбиении поверхности 2 и данном
выборе точек Mt).
*) Поверхность S может быть, в частности, замкнутой.

184
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
Введем следующее
Определение. Если при стремлении наибольшего из диа-
диаметров частей 2г поверхности 2 к нулю интегральные суммы Т
стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел
называется поверхностным интегралом первого
рода от функции /(М) по по-
2 и обозначается
верхности
символом
fff(M)
da.
E.2)
Точку М поверхности 2 можно
задать декартовыми координатами
х, у, z. Поэтому функцию /(/И),
У определенную на 2, мы будем обо-
обозначать также f(x, у, z), а соот-
соответствующий поверхностный инте-
Рнс. 5.1. грал—символом I I f(x, у, z)da.
При этом, однако, необходимо помнить, что переменные х, у и z
не независимы, а связаны условием: точка (х, у, z) лежит на поверх-
поверхности 2.
2. Сведение поверхностного интеграла к двойному. Мы сформу-
сформулировали определение поверхностного интеграла первого рода,
теперь возникает вопрос об условиях его существования и о спо-
способах его фактического вычисления.
Оба эти вопроса решаются легко, путем сведения поверхностного
интеграла к двойному.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана
уравнением в декартовых координатах.
Теорема 5.1. Пусть 2 — гладкая поверхность, заданная
уравнением z^z(x, у), (х, y)£D, где D — замкнутая огра-
ограниченная область, a f(x, у, z) — некоторая ограниченная
функция, определенная на поверхности 2. Тогда справедливо
равенство
f f fix,
У, z)da =
E.3)
При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, суще-
существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой
части равенства E.3).
Доказательство. Разобьем поверхность 2 кусочно-гладкими
кривыми на п частей 2г. Спроектировав это разбиение на пло-

§ I]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
185
скость ху, мы получим разбиение области D на квадрируемые
части Dt (рис. 5.2). При этом диаметр каждого из элементов Dt
будет не больше, чем диаметр соответствующего элемента 2г по-
поверхности 2.
Рассмотрим теперь интеграль-
интегральную сумму
i
E.4)
отвечающую поверхностному ин-
интегралу Г Г f(x, у, z)da. Пло-
s
щадь О; элемента
ставить в виде
можно пред-
предРис. 5.2.
D
где г = z (х, у), и затем, воспользовавшись теоремой о среднем для:
двойного интеграла от непрерывной функции *), в виде
a. = l/ \-L-z'2(x* '
i г I х \ i *
где (х*, у*Л—некоторая точка, принадлежащая области D(, a Sr-—пло-
Sr-—площадь этой области. Следовательно, интегральную сумму E.4) можно-
переписать так:
Z
Сравним ее с интегральной суммой
f=%f{xl, yrz(xr
'y\xlt y,)S., E.5)
отвечающей двойному интегралу, стоящему в равенстве E.3) справа
(при том разбиении области D, которое отвечает данному разбиению
поверхности S).
Суммы E.4') и E.5) отличаются друг от друга только тем, что-
в E.5) значения как функции /, так и выражения у 1 -\-z'*-\-z'2
берутся в одной и той же точке (xt, yt), произвольно выбираемой
внутри элемента D;, а в E.4') значения у 1 -j- z
'2
z' берутся
*) Поверхность z — z(x, у) мы считаем гладкой, следовательно,.
у 1 -J- гх {х, у) -4- zv (x, у) — непрерывная функция.

186 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
в точке (х!, у!), диктуемой нам теоремой о среднем и, хотя и при-
принадлежащей тому же элементу D/r но, вообще говоря, не совпадаю-
совпадающей с точкой (х(, yt).
Функция у 1 + z'x ~т~ zy непрерывна, а следовательно, и равно-
равномерно непрерывна в замкнутой ограниченной области D, поэтому
для каждого е > 0 найдется такое 6j > 0, что
\Vi+z'x\xt.
как только максимум диаметров областей Dt станет меньше, чем
Функция f(x, у, z) по условию ограничена, т. е.
|/(х, у, г)|</С= const,
поэтому из E.6) следует оценка:
\T-?\=
±f(x., У г
t, yt)] St
Ke Д S, = /CeS, E.7)
где S — площадь области D.
Теперь мы уже легко закончим доказательство теоремы. Если
интеграл, стоящий в E.3) справа, существует, то для всякого е > О
найдется такое б2 > 0, что для всякой суммы Т, отвечающей такому
разбиению }D;} области D, диаметры элементов которого меньше б2,
выполнено неравенство
J f f(x, у, z(x, у))]/ l+z'x\x, y)-\-z'y2(x, y)dxdy — f
E.8)
Пусть теперь 6= minFj, 62), a }Sf}—такое разбиение поверх-
поверхности E, что диаметры всех 2г меньше, чем б, и пусть }D;}—отве-
}D;}—отвечающее ему разбиение области D. Тогда диаметр каждого из Dt
меньше, чем б, и, следовательно, выполнены неравенства E.7) и
E.8). Из этих неравенств получаем, что
f f f(x, y,z(x, y))]/l^-Z'x2(Xt y) + Zy2(x, y)dxdy —
для всякого достаточно мелкого разбиения поверхности S. Но это и
означает, что предел интегральных сумм Т существует и равен инте-
интегралу, стоящему в E.3) справа. Теорема доказана.

§ 1] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА ]§7
Следствие. Если поверхность 2—гладкая, а функция
f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл
//у,
s
существует.
Действительно, в этом случае в равенстве E.3) справа стоит
интеграл от непрерывной функции. Он существует, а следовательно^
существует и стоящий слева поверхностный интеграл.
Замечание 1. Так как (см. п. 6 § 3 гл. 3)
1
1 + zx + zy cos („, Z) •
то равенство E.3) можно переписать так:
///(*. у, z)do=fff(x, у, г(х, У))-^5Г. E-9)
S D
Переменив роли координат х, у и z, можно в случае поверхности,
заданной уравнением
х = х(у, z),
получить равенство
//
f{x, y.z)da=JJ f(x(y, z), y, z) co7(n;;c) E.9,).
D,
(где Dx — проекция поверхности 2 на плоскость yz), а в случае
поверхности
y = y(z, х)
— равенство
у, z)da= I / f(x, y(z, x), z) fnw*4 E.92)
2 D2
(где D2 — проекция S на плоскость zx).
Замечание 2. Если поверхность S состоит из нескольких
частей, каждая из которых может быть представлена уравнением
вида
х=х(у, z), y = y(z, х) или z = z(x, у),
то для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверх-
поверхности, к двойному можно воспользоваться тем, что поверхностный
интеграл по S равен сумме интегралов, взятых по составляющим
эту поверхность частям, и затем применить формулы E.9) к каждому
из этих частичных интегралов в отдельности.

188 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
Если поверхность задана параметрическим уравнением, то рас-
рассуждения, не отличающиеся сколько-нибудь существенно от приве-
приведенных выше, приводят к следующей теореме.
Теоргма 5.1'. Пусть 2— гладкая поверхность, заданная
уравнением
г = г (и, v),
и f (x, у, z) — ограниченная функция, определенная на этой
поверхности. Тогда справедливо равенство
{ //(*. у, z)de =
= / //(*(«■ v), у (и, v). z(u, v))Ygng^, — g\2dudv, E.10)
D
причем поверхностный интеграл, стоящий слева, существует,
если только существует двойной интеграл в правой части
равенства.
Здесь D — область изменения параметров и и v, a gn, g12 и
^22 —коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (см. п. 1
§ 4 гл. 3). Выражение YeuByi — g^dudv представляет собой эле-
элемент площади поверхности, записанный в криволинейных коорди-
координатах. Таким образом, формула E.10) означает следующее: для того
чтобы записать поверхностный интеграл Г Г f(x, у, z)da
s
в виде двойного, нужно подставить в него вместо декартовых
координат х, у, z точек поверхности их выражения через
криволинейные координаты и viv, а элемент площади da тоже
заменить его выражением через криволинейные координаты.
Формула E.3) и формулы E.9), E.9j) и E.92) являются, оче-
очевидно, частными случаями общей формулы E.10). Легко проверить,
что все эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая,
а кусочно-гладкая.
3. Некоторые применения поверхностных интегралов к меха-
механике. Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются
в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело
при изучении распределения масс по поверхности, например при
нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных
поверхностей и т. п. Вывод соответствующих формул, по существу,
ничем не отличается от вывода формул, относящихся к распреде-
распределению масс в плоской области или вдоль кривой (см. пп. 3—5 § 4
гл. 1 и п. 3 § 1 гл. 4), поэтому мы приведем лишь окончательные
результаты, предоставив все выкладки читателю.
Пусть по поверхности 2 (гладкой или кусочно-гладкой) распре-
распределена некоторая масса с поверхностной плотностью р(х, у, z).

f I] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 189
представляющей собой непрерывную функцию на 2. Такую поверх-
поверхность 2 будем кратко называть материальной поверхностью.
Тогда имеют место следующие формулы:
1) Масса [I материальной поверхности 2 равна
\i = j j р(х, у, z)da.
s
2) Координаты центра масс материальной поверхности опреде-
определяются формулами:
J J* хр (х, у, z) da J J ур (х, у, z) da
х — _* v __s
J J Р (х, у, z) da J J р (х, у, z) da
2 S
J J гр (х, у, z) da
P U у,
i
s
В частности, для однородной поверхности (р = const)
ffxda ffyda ff.
— S— •• - s z=-*
Hda' c f!
S
/ Hf!da
2 S S
3) Момент инерции поверхности S относительно оси z равен
Аналогично выражаются моменты инерции относительно других
осей.
4. Поверхностные интегралы от векторных функций. Общее
понятие поверхностного интеграла первого рода. Выше мы рас-
рассматривали поверхностные интегралы от скалярных функций. Это
понятие легко переносится на векторные функции. Пусть
— некоторая векторная функция, заданная на поверхности S. Опре-
Определим интеграл от этой функции по поверхности S, положив
f f F(M)do = i f fP(M) rfo+j J J Q (M)da-i-k J J R (M)da.
S 2 S S
E.11)

190
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
Мы назовем его поверхностным интегралом первого
рода от векторной функции F. Значение такого инте-
интеграла представляет собой вектор. Вопросы об условиях существова-
существования поверхностного интеграла первого
рода от векторной функции, о сведе-
сведении его к двойному, о его свойствах
и т. д. непосредственно сводятся к со-
соответствующим вопросам для интегра-
интегралов от скалярных функций Р, Q и
R — компонент вектора F.
Для иллюстрации этого понятия вы-
'числим силу, с которой материальная
поверхность притягивает материальную
точку.
Пусть р(х, у, z) — плотность рас-
распределения масс на поверхности 2 и
пц,— масса, сосредоточенная в некото-
Р"с- 5-3. рОй точке (х0, у0, z0), не лежащей на
этой поверхности. Элемент поверхно-
поверхности da несет на себе элемент массы р(х, у, z)da, а сила dF, с кото-
которой этот элемент притягивает точечную массу т0> равна по закону
Ньютона
= ymdp(x,y,z)~fda,
E.12)
где у— постоянная, зависящая от выбора единиц, а г — вектор, сое-
соединяющий точки (х0> у0, z0) и (х, у, z) (рис. 5.3). Полная сила F.
с которой вся поверхность 2 притягивает массу т0, равна сумме
элементарных сил E.12), т. е. поверхностному интегралу
ут°
j J
~F d<3'
Таким образом (поскольку г = (х — xo)i-j-(y —
У-
, у,
Этот интеграл обязательно существует, если поверхность S гладкая
или кусочно-гладкая, а поверхностная плотность р(х, у, z) непре-
непрерывна на S.

§ 21 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 191
В том понятии поверхностного интеграла, которое мы рассмо-
рассмотрели, было существенно, что каждый «интегральный элемент»
/ (М) da
зависел от величины элемента площади da и значения функции f(M)
(скалярной или векторной) в данной точке, но не зависел от ориен-
ориентации поверхностного элемента da в пространстве. Именно
так обстоит дело в тех физических задачах, которые мы рассматри-
рассматривали здесь: масса элемента материальной поверхности или сила,
с которой этот элемент притягивает материальную точку, не будут
меняться, если этот элемент поверхности мы каким-либо образом
повернем.
Однако существуют задачи другого типа, в которых ориентация
элемента da играет существенную роль. К ним относится, например,
задача (которую мы рассмотрим ниже) о вычислении количества жидко-
жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и
ряд других. Этот второй круг задач приводит нас к другому понятию
поверхностного интеграла, так называемому поверхностному инте-
интегралу второго рода. Ему будет посвящен следующий параграф.
Как мы увидим ниже, поверхностные интегралы первого и второго
рода связаны между собой простыми формулами.
§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
1. Сторона поверхности. Для того чтобы определить поверхно-
поверхностный интеграл второго рода, нам нужно ввести сначала понятие сто-
стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой.
Пусть 2—гладкая поверхность. Возьмем на 2 некоторую внутрен-
внутреннюю точку Мо, проведем через нее нормаль к 2 и выберем на этой
нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать,
фиксировав определенный единичный вектор п, нормальный к 2 в точ-
точке Мо. Проведем теперь на поверхности 2 через точку Мо какой-либо
замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхно-
поверхности, и будем передвигать единичный вектор п из точки Мо вдоль С
так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к 2 и чтобы
его направление менялось при этом передвижении непрерывно. По-
Поскольку вектор п все время остается нормальным к 2, то имеются две
возможности: 1) при возвращении в точку Мо вектор п возвращается
в первоначальное положение; 2) в результате обхода по контуру С
вектор п меняет свое направление на противоположное.
Введем следующее
Определение. Гладкая поверхность 2 называется д в у -
сторонне й. если обход по любому замкнутому контуру,
лежащему на поверхности 2 и не имеющему общих точек с ее
границей, не меняет направления нормали к поверхности.

192
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
Если же на поверхности существует замкнутый контур,
при обходе по которому направление нормали меняется
на противоположное, то поверхность называется односто-
односторонней.
Если поверхность Е двусторонняя, то в каждой ее точке М
можно выбрать единичный вектор нормали n (M) так, чтобы вектор
п(М) зависел от точки М непрерывно. Для построения такой вектор-
функции п (Ж) возьмем на Е некоторую начальную точку Мо и вы-
выберем в этой точке один из двух возможных единичных нормальных
векторов п(Л10). После этого возьмем на Е произвольную точку Мг
соединим ее с Мо какой-либо кривой L, лежащей на Е, и перенесем
вдоль L вектор п из Мй в М так, чтобы он все время оставался
нормальным к поверхности и чтобы его направление при этом пере-
переносе менялось непрерывно. Вектор п(М), полученный таким образом
в точке М, не зависит от выбора кривой L, соединяющей точки Мо
и М. Если бы две разные кривые L{ и L2 приводили к разным резуль-
результатам, то, соединив эти кривые в одну, мы получили бы на Е замкну-
замкнутый путь С, при обходе по которому направление нормального
вектора меняется на противоположное, т. е. эта поверхность не
была бы двусторонней.
Из сказанного ясно, что на двусторонней поверхности существуют
две и только две такие функции п(М), непрерывные на всей поверх-
поверхности Е. Действительно, каждая такая функция полностью опреде-
определяется выбором одного из двух воз-
возможных направлений нормали в одной
точке. Мы будем называть каждую
из этих двух функций «непрерывным
полем нормалей» на Е. Ясно, что на
односторонней поверхности нельзя по-
построить ни одного непрерывного по-
поля нормалей.
у Выбор на Е определенного непре-
непрерывного поля нормалей мы будем на-
зывать выбором стороны этой поверх-
поверхности.
Примеры. 1. Простейший при-
пример двусторонней поверхности—г
плоскость. Двусторонней поверхностью будет и любая часть пло-
плоскости, например круг.
2. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением
z = f(x, у), — двусторонняя. Действительно, мы получим одну
ее сторону (верхнюю), выбрав в каждой ее точке нормальный вектор
так, чтобы он составлял с положительным направлением оси z ост-
острый угол, а другую (нижнюю) сторону — при противоположной ориен-
ориентации нормали (рис. 5.4).
t
Рис. 5.4.

§ 21
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
193
АС
Рис. 5.5.
3. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопе-
самопересечений, — например сфера, эллипсоид ит. п., — двусторон-
двусторонняя. Направив в каждой точке замкнутой поверхности нормаль внутрь
объема, ограниченного поверхностью, мы получим внутреннюю сто-
сторону поверхности, а направив нормаль наружу,
получим внешнюю сторону.
4. Простейшим примером односторонней
поверхности может служить так называемый лист
Мебиуса, изображенный на рис. 5.5. Его можно
получить, взяв полоску бумаги ABCD (рис. 5.6,а)
и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точ-
точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув
перед склеиванием один ее край на 180° (рис. 5.6, б). Легко видеть,
что при обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление
нормали к нему меняется на противоположное, т. е. эта поверхность
действительно является односторонней.
Замечание 1. Двустороннюю поверхность называют также
ориентируемой, а выбор определенной ее стороны — ориентацией
поверхности. Односторонние поверх-
поверхности называют неориентируе-
мыми.
д Читатель должен различать тер-
д мины «ориентируемая» (сторону
можно выбрать) и «ориентирован-
- ная» (сторона уже выбрана).
"' Замечание 2. В отличие от
Рис. 5.6. таких свойств, как, например, глад-
гладкость поверхности, которые могут
иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свой-
свойства), ориентируемость (или неориентируемость) — это свойство,
характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свой-
свойство). Действительно, на листе Мёбиуса или любой другой поверх-
поверхности малая окрестность любой точки ориентируема. В каждой та-
такой окрестности можно построить непрерывное поле нормалей,
хотя на всем листе Мёбиуса такое поле построить нельзя.
С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориен-
ориентации ее границы, которое нам понадобится ниже*).
Пусть 2— ориентированная поверхность, ограниченная
одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каж-
каждого контура L, входящего в состав границы поверхности Б,
согласованную с ориентацией поверхности 2, по следующему
*) Эта связь существенно зависит от того, к какой координатной си-
системе, правой или левой, отнесено все трехмерное пространство. Мы будем
иметь в виду правую систему.
13 Б. М. Будак, С. В. Фомин

194
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
правилу: направление обхода контура L мы считаем положи-
положительным (согласованным с ориентацией Е), если наблюдатель,
расположенный на поверхности так, что направление вектора
нормали совпадает с направлени-
направлением от ног к голове, обходит кон-
контур L, оставляя поверхность Е все
время слева от себя (рис. 5.7).
Противоположное направление мы
считаем отрицательным. Если
L — произвольный замкнутый кон-
контур, ограничивающий какую-либо
часть ориентированной поверхности
Е, то направлением обхода этого
контура, согласованным с ориен-
^_ тацией поверхности S, мы считаем
У опять-таки то, при котором ограни-
ограниченная этим контуром часть поверх-
поверхности Е (на рис. 5.8 она заштрихо-
заштрихована) остается слева *).
Если в качестве поверхности Е
взята ориентированная плоскость,
согласованности ориентации контура и по-
поуже хорошо знакомому читателю правилу, по
если его
1
Рис. 5.7.
то это определение
верхности сводится к
которому контур считается ориентированным положительно,
Рис. 5.8.
Рис. 5.9.
обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным
отрицательно в противоположном случае.
Замечание 3. Правило согласования ориентации поверхности
2 и ограничивающего ее контура L можно сформулировать еще
следующим образом: пусть п — единичный вектор нормали к по-
поверхности Е в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть
*) Если в пространстве взята левая система координат, то согласова-
согласование противоположное, т. е. положительно то направление обхода кон-
контура L, при котором поверхность 2 остается справа.

§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 195
v — вектор, нормальный к L и к п и направленный в ту сторону,
с которой расположена поверхность 2. Тогда положительное на-
направление обхода контура L указывается вектором [v, n] *)(рис. 5.9).
2. Определение поверхностного интеграла второго рода. Рас-
Рассмотрим сначала одну из задач, приводящих к понятию поверхно-
поверхностного интеграла второго рода, а именно, задачу о вычислении потока
жидкости через некоторую по-
поверхность.
Пусть пространство заполне-
заполнено движущейся жидкостью, ско-
скорость которой в точке (х, у, z)
задается вектором \ {х, у, z) с
компонентами Р = Р(х, у, z),
Q = Q(x, у, z), R=~R(x, у, z).
Вычислим количество П жидко-
жидкости, протекающей за единицу
времени через некоторую ориен-
ориентированную поверхность 2. Рис. 5.10.
Рассмотрим бесконечно малый
элемент da поверхности 2. Количество жидкости, протекающее чгрез
da за единицу времени, равно, очевидно, dli = Vn da, где Vn —
проекция скорости V на направление нормали п к da (рис. 5.10).
Записав Vп как скалярное произведение вектора V на единичный
вектор нормали п к da, имеем
rfII = [Pcos(n, x) + Qcos(n, y)-i-Rcos(n, z)]da. E.13)
Это — элемент потока жидкости. Чтобы получить количество жидко-,
сти, протекающее через всю поверхность 2, нужно просуммировать
выражения E.13) по всем элементам do, т. е. взять интеграл
П = JJ[P cos (n, x) + Qcos(n, y) + #cos(n, z)] da.
Этот интеграл представляет собой не что иное, как поверхно-
поверхностный интеграл первого рода (в том смысле, как мы определили его
в § 1) от выражения
/>cos(n, x)-\-Qcos(n, y) + /?cos(n, z).
Важно, однако, то, что само это выражение зависит не только от
вектор-функции (Р, Q, R), заданной на поверхности 2, но и от на-
направления нормали в каждой точке этой поверхности.
*) Это правило остается справедливым, независимо от того,, к какой
системе координат, правой или левой, отнесено все пространство. Направле-
Направление вектора п ие зависит от системы координат, направление v также не
зависит. При смене правой системы на левую векторное произведение [v,n]
меняет свое направление на противоположное.
13*

196 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
Перейдем теперь к общему определению. Пусть Е — гладкая дву-
двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную
сторону этой поверхности (поле нормалей n(M)) и рассмотрим не-
некоторую векторную функцию А = (Р, Q, R), заданную на Ё. Обо-
Обозначим Ап проекцию вектора А на направление нормали к Е в дан-
данной точке. Эту проекцию можно записать в виде
Ап = Р cos (n, x)-\-Qcos(n, y)-\-Rcos(n, z),
где cos(n, х), cos(n, у) и cos(n, z)—косинусы углов между напра-
направлением нормали к поверхности и направлениями координатных осей,
г. е. компоненты единичного вектора нормали п.
Интеграл
§ § [Р cos (n, x)-f-Qcos(n, y)+#cos(n, z)]da E.14)
2
мы назовем поверхностным интегралом второго
pod а от вектор-функции А = (А*, Q, R) по поверхности Е
(точнее говоря, по выбранной стороне поверхности 2) и будем
обозначать
f Г Р dy dz + Q dz dx + R dx dy.
Таким образом, по определению
J f Pdydz + Qdzdx-\-Rdxdy =
= Г j [P cos (n, x) + Qcos(n, y) -\- R cos (n, z)]da. E.15)
2
При переходе к другой стороне поверхности компоненты единич-
единичного вектора нормали, а следовательно, и сам интеграл E.14), меняют
свой знак на противоположный. Для односторонней поверх-
поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не
вводится.
Для того чтобы понятие поверхностного, интеграла приобрело общ-
общность, необходимую для приложений, приходится рассматривать инте-
интегралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения
(с аналогичной ситуацией мы уже встречались в теории криволинейных
интегралов).
Замечание 1. Если do — бесконечно малый элемент площади
поверхности, то выражения
cos(n, x)do, cos(n, у) da, cos(n, z)do

■§ 2]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
197
представляют собой проекции элемента do на плоскости yz, zx и ху
{рис. 5.11), поэтому мы и обозначаем их dydz, dzdx и dx dy соот-
соответственно.
Замечание 2. Мы определили поверхностный интеграл второго
рода, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода.
г
.V
d(£cos(n,z)
Рис. 5.11.
Рис. 5.12.
Однако интеграл второго рода можно определить и непосред-
непосредственно, с помощью соответствующих интегральных сумм, а именно,
следующим образом:
Будем для сокращения записи рассматривать только одну компо-
компоненту вектора (Р, Q, R), скажем R. Возьмем некоторую гладкую
ориентированную поверхность Е и рассмотрим разбиение этой поверх-
поверхности на части Ег. Взяв в каждой их этих частей произвольную
точку (Xi, У{, Zi), составим интегральную сумму
л
2#(*;. У;. Zi)Sh E.16)
где St — проекция Ег на плоскость ху. При этом величину St мы
будем считать положительной, если в точках, принадлежа-
принадлежащих Е;, нормаль к поверхности образует с положительным направле-
направлением оси z острый угол, и отрицательной, если в каждой
точке элемента Ег этот угол тупой*). Нетрудно проверить, что
*) В разбиение поверхности 2 могут входить еще и «неправильные»
элементы, т. е. такие, что в некоторых их точках угол (п, г) острый, а в не-
некоторых— тупой (рис. 5.12). Можно или избегать разбиений, содержащих
такие элементы, или приписывать таким элементам произвольный знак. Это
не влияет на результат, поскольку сумма площадей проекций таких элемен-
элементов мала.

198 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
для непрерывной функции R(x, у, z) и гладкой поверхности Е пре-
предел интегральных сумм E.16) при неограниченном измельчении раз-
разбиения поверхности существует и равен
J J R(x, у, z)dxdy
2
(ср. с определением криволинейного интеграла второго рода в п. 2
§ 2 гл. 4).
Аналогичным образом можно определить через интегральные
суммы и интегралы
J J Р(х, у, z)dydz и J JQ(x, у, z)dzdx,
2 2
а следовательно, и интеграл общего вида
Г Г Pdydz-\-Qdz dx-\-Rdx dy
2
— сумму интегралов этих трех типов.
Замечание 3. Отличие поверхностного интеграла второго рода
от интеграла первого рода состоит, по существу, в том, что в инте-
интеграле второго рода элемент площади da рассматривается не как
скалярная величина, а как вектор da, направленный по нормали
к поверхности и имеющий компоненты:
rfcrcos(n, х), rfcrcos(n, у), dacos(n, z).
В соответствии с этим поверхностный интеграл второго рода от
векторной функции А = (Р, Q, R) часто записывают в виде
"(A, d<s), E.17)
2
что равносильно записи
J J (A, n)da. E.18)
2
Замечание 4. Наряду с интегралами вида E.18) в некоторых
задачах приходится рассматривать интегралы вида
J J
2
[A, n]da. E.19)
Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр,
а вектор. Его вычисление сводится, очевидно, к покомпонентному
интегрированию вектора [А, п]. Так как здесь подынтегральное вы-
выражение зависит и от нормали п к поверхности Е, то интеграл E.19)

$ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 199
естественно рассматривать как поверхностный интеграл второго рода
(но только «векторный», в отличие от «скалярного» инте-
интеграла E.18)).
3. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двой-
двойному интегралу. Из определения поверхностного интеграла второго
рода и теоремы 5.1 сразу вытекает следующий результат:
Пусть гладкая {или кусочно-гладкая) поверхность Е за-
задана уравнением
z = z(x, у)
(причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R(x, у, z)—
некоторая ограниченная функция на Е. Тогда
J J R(x, у, z)dxdy = J J R(x, у, z(x, y))dxdy, E.20)
X D
где Р — проекция поверхности Е на плоскость ху, входящий в это
равенство поверхностный интеграл существует, если суще-
существует стоящий справа двойной интеграл.
Действительно, рассматриваемый поверхностный интеграл можно
переписать в виде
Г \ R (х, у, 2)cos(n, z)da.
s
Применив к нему формулу E.9), немедленно получаем требуемое
равенство. Таким образом, для того чтобы поверхностный инте-
интеграл I I R(x, у, z) do, взятый по верхней стороне поверх-
ности S, определенной уравнением z = z(x,y), преобразовать
в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z
подставить соответствующую функцию z(x, у), а интегриро-
интегрирование по поверхности S заменить интегрированием по ее проек-
проекции D на плоскость ху.
Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности S, то
Г Г R(x, у, z)dxdy = — Г Г R(x, у, z(x, y))dxdy.
X D
Аналогично получаются формулы
Г JP(x, у, z)dydz=± Г ГР(х(у, z), у, z)dydz E.21)
Л
Г JQ(x, у, z)dzdx=± Г Г Q(x, y(z, x), z)dzdx, E.22)

200 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
где в первом случае под S понимается поверхность, заданная урав-
уравнением x = x(y, z), а во втором — поверхность, заданная уравне-
уравнением y = y(z, x). Знак плюс берется в том случае, когда нормаль
к поверхности образует с осью х (соответственно с осью у) о с т р ы й
угол, а знак минус, когда этот угол тупой. D, и D2 — проекции
поверхности S на плоскости yz и zx соответственно.
Формулой типа E.20) можно воспользоваться для сведения по-
поверхностного интеграла к двойному и в том случае, когда ориенти-
ориентированная поверхность S состоит из нескольких кусков, каждый из
которых определяется уравнением вида z = z (x, у). В этом случае
рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегра-
интегралов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых
применить формулу E.20).
Упражнение. Интеграл
J= Г Г R(x, у, z)dxdy,
взятый по внешней стороне сферы
записать в виде суммы двойных интегралов.
Ответ.
J= [ j R(x, у, У а* — х2 — у2) dx dy —
— J J R(x, у, — ]/а2 — х2 — y*)dxdy.
(Первое слагаемое равно интегралу, взятому по верхней стороне
верхней полусферы, а второе, вместе со знаком минус, равно инте-
интегралу, взятому по нижней стороне нижней полусферы. Две таким
образом ориентированные полусферы составляют вместе внешнюю
сторону полной сферы.)
Мы показали, как сводится к двойному интегралу поверхностный
интеграл второго рода, взятый по поверхности, заданной уравнени-
уравнением в декартовых координатах. Для поверхности, заданной парамет-
параметрическим уравнением, применение теоремы 5.1' сразу дает следующий
результат: если гладкая {или кусочно-гладкая) поверхность 2
задана параметрическим уравнением
г=г(и, V)

§ 3]
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
201
и (Р, Q, R)— ограниченная вектор-функция, определенная
на S, то
ydz + Qdzdx-\-Rdxdy =
Г Г Pdyd
= JJ[Pcos(n, x) + Qcos(n,
?22~g2l2dudV-
E.23)
где D — область изменения параметров и wv, a gn, gl2 и g22 —
коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S;
входящий в это равенство поверхностный интеграл сущест-
существует, если существует стоящий справа двойной интеграл.
Формулу E.23) можно записать несколько иначе. Известно, что
(см. п. 5 § 3 гл. 3)
cos (п, у) — —— —, cos(n, у) = —-— —,
"■«. + * + <? т^2 + в2+с2 E24)
cos(n, z) =
где
А =
ди
ду_
dv
дг
ди
дг
dv
дг
ди
дг
dv
дх
ди
дх
dv
С =
дх
ди
дх
dv
ди
dv
и что
Поэтому формулу E.23); можно записать так:
f f Pdydz-JrQdzdx-irRdxdy = f f
S D
dudv,
E.25)
где
, v), y(u, v), z(u, v))
а аналогично для Q и R.
Ясно, что равенства E.20)—E.22) представляют собой частные
случаи общей формулы E.23).
§ 3. Формула Остроградского
1. Вывод формулы Остроградского. В предыдущей главе мы
вывели формулу, связывающую двойной интеграл по некоторой
плоской области, с криволинейным интегралом, взятым по ее границе
{формула Грина). Сейчас мы установим аналогичную формулу.

202
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
связывающую тройной интеграл по пространственной области с по-
поверхностным интегралом, взятым по внешней стороне поверхности,
ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой
Остроградского *).
Введем для удобства следующие термины. Пространственную
область V, ограниченную двумя кусочно-гладкими поверхностями St
и S2, заданными уравнениями
= zl(x, у)
= z2(x, у),
E.26)
и боковой цилиндрической поверхностью Sj с образующими, парал-
параллельными оси z, мы назовем областью, цилиндрической вдоль
оси z или, короче, «z-цилиндрической». Поверхности z = zl(x, у)
и z = z2(x, у) назовем ее криволинейными основаниями, ниж-
нижним и верхним**) (рис. 5.13). Ана-
Аналогично область, ограниченную ку-
кусочно-гладкими поверхностями
x = xI(y, z) и х = х2(у, z)
и цилиндрической поверхностью с
образующими, параллельными оси х,
назовем «лг-цилиндрической». Так
же определяются и «у-цилиндриче-
ские» области.
Назовем, наконец, область V
z*z,(j:,y) Простой, если ее можно разбить
как на конечное число z-цилиндри-
"£ ческих областей, так и на конеч-
конечное число областей каждого из двух
остальных типов.
Пусть V — некоторая 2-цилинд-
рическая область с основаниями Sj,
Рис. 5.13. S2, заданными уравнениями E.26)
и боковой поверхностью S3. Сое-
Соединение этих трех поверхностей, т. е. всю границу области V, обо-
обозначим 2. При этом мы будем рассматривать внешнюю сторону
поверхности S. Возьмем функцию R(x, у, z), определенную и непре-
*) М. В. Остроградский опубликовал эту формулу в 1828 г. в ра-
работе «Заметка о теории тепла». Часто ее называют также формулой Гаусса,
однако Гауссом эта формула была получена значительно пойже, в 1841 г.
**) Боковая поверхность 2 может отсутствовать. Например, шар
мы считаем г-цилиндрической областью, основания которой суть 2j —
нижняя полусфера и 22 — верхняя полусфера, а боковая поверхность 23 вы-
выродилась в экватор (шар является также и областью, цилиндрической вдоль
осей х и у).

§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 203
рывную вместе со своей частной производной -з— в области V (вклю-
(включая ее границу), и рассмотрим очевидное равенство
•М-*, у)
J dz
1 <*, У)
j¥Ldz = R(x, у, гг(х, y))~R(x, у, zY(x, у)).
Проинтегрируем это равенство по области D, представляющей собой
проекцию V на плоскость (х, у), заменяя повторный интеграл
тройным:
У' *2(*> y))dxdy~
— JJR{x, у, г,(*. y))dxdy. E.27)
D
Первый из стоящих справа интегралов можно записать (см. фор-
формулу E.20)) в виде поверхностного интеграла от функции R (х, у, z),
взятого по верхней стороне поверхности
х-=я2(х, у).
Аналогично второй из этих интегралов можно рассматривать как
поверхностный интеграл от той же функции R (х, у, z), взятый
по верхней стороне поверхности z==zl(x, у), или как интеграл
по нижней стороне той же поверхности z = zx{x, у), взятый с обрат-
обратным знаком. Таким образом, мы получим
I" f J¥Ldxdydz = j f Rdxdy + f j Rdxdy, E.28)
где первый из стоящих справа интегралов берется по верхней сто-
стороне поверхности 22, а второй — по нижней стороне поверхности S^
Прибавив к правой части формулы E.28) интеграл
J J R dx dy
(равный, очевидно, нулю), взятый по внешней стороне боковой
поверхности S3, мы получим справа поверхностный интеграл, взятый
по внешней стороне всей поверхности S, ограничивающей область V.
Таким образом, мы получаем следующее равенство:
J j / 4г rfx rf3> rf* = f f Rdxdy=f f Rcos(n, z)da. E.29)

204 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
Равенство E.29) справедливо и для любой области V, которую
можно разбить на конечное число z-цилиндрических частей. Дей-
Действительно, разобьем V на такие части Vv напишем для каждой
из них равенство вида E.29) и просуммируем эти равенства. Слева
мы получим тройной интеграл, взятый по всей области V, а справа —
сумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности S,
ограничивающей V, и по тем поверхностям, с помощью которых V
разбивается на части V;, причем по каждой из этих последних инте-
интеграл берется дважды, один раз по одной ее стороне, а второй
раз — по другой. Поэтому в результате суммирования все интегралы,
взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожа-
уничтожаются, и мы получаем
Пусть теперь V—область, цилиндрическая вдоль оси х, т. е.
ограниченная кусочно-гладкими поверхностями-основаниями
x=xl(yl, z), х=х2(у, z)
и боковой цилиндрической поверхностью, а Р(х, у, z) — функция,
непрерывная вместе со своей производной -=— в области V (включая
ее границу). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят
к равенству
/ / f—dxdydz^f fpdydz, E.31)
V 2
которое остается в силе и тогда, когда V состоит из конечного числа
х-цилиндрических частей.
Аналогично получается и равенство
fff-^-dxdydz^ffQdzdx, E.32)
V S
справедливое для всякой области V, которую можно разбить на ко-
конечное число у-цилиндрических областей.
Пусть, наконец, V — некоторая простая область и пусть функ-
функции Р, Q, R вместе со своими производными -т—, —-, -г— непре-
непрерывны в этой области всюду, включая ее границу (т. е. непрерывны
в замкнутой области). Тогда справедливы все три равенства: E.30),

§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 205
E.31) и E.32). Сложив их, получаем
V
2
или, в других обозначениях,
= f f P dy dz-\-Q dz dx-\-R dx dy E.33)
-Я/'
[Pcos(n, x) + Qcos(n, y) + #cos(n, z)]da. E.33')
Это и есть формула Острограоского.
Замечание. При выводе формулы Остроградского мы считали,
что функции Р, Q, R и их частные производные—г—, —~~, -^— непрерыв-
непрерывны (а следовательно, и ограничены) в замкнутой простой области.
Применив те же рассуждения, что и для формулы Грина (см. замечание 1
§ 3 гл. 4), можно доказать справедливость формулы Остроградского при
следующих более общих условиях:
1. V — ограниченная область, граница которой состоит из конечного
числа кусочно-гладких поверхностей.
2. Функции Р {х, у, z), Q {х, у, г) и R (х, у, г) непрерывны, а следова-
следовательно, н ограничены в замкнутой области V.
~ П дР dQ dR
3. Производные —т—, , —— существуют и непрерывны внутри
области V (без границы) и интеграл II (-з V ~г-Л~-~л~\ dx dy dz
v
существует (быть может, как несобственный интеграл *)).
2. Вычисление поверхностных интегралов с помощью фор-
формулы Остроградского. Представление объема пространственной
области в виде поверхностного интеграла. Выше мы показали
(формула E.10)), как поверхностный интеграл второго рода свести
к двойному. Однако для фактического вычисления поверхностного
интеграла этот путь не всегда самый удобный. В частности, инте-
интеграл по замкнутой поверхности иногда удобнее сводить к тройному
по формуле Остроградского.
Примеры. 1. Вычислить интеграл
J = Г Г х3 dy dz -f- у3 dz dx -\- z3 dx dy,
взятый no сфере x2 -f- y2 -f- z2 = a2.
*) О несобственных кратных интегралах см. гл. 9.

206 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ, 5
Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского, будем
иметь
=3 ffj (x2
откуда, введя сферические координаты, получаем
2я я а
./= 3 f dtp f dQ f r4sin Qdr = 4 na5.
-' pi pi О
0 0 0
2. Вычислить интеграл
J= Г Г z dy dz-\- x dz dx-\- у dxdy,
взятый по некоторой замкнутой поверхности S.
Решение. По формуле Остроградского рассматриваемый инте-
интеграл сводится к тройному, под знаком которого стоит тождествен-
тождественный нуль. Следовательно, /=0, какова бы ни была замкнутая по-
поверхность S.
В предыдущей главе мы видели, что формула Грина дает,
в частности, выражение для площади области через криволинейный
интеграл по ее границе (см. D.47)). Точно так же и из формулы
Остроградского легко получить выражение для объема области в виде
поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S — границе этой
области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы
дР_ dQ_ <Ш__,
дх ' ду ' дг
Тогда получим
J J Pdydz-\-Qdzdx-\-Rdxdy= С j С dxdydz = V,
X V
где V — объем, ограниченный поверхностью S. Интеграл здесь бе-
берется по внешней стороне S. В частности, положив
мы получим для вычисления объема удобную формулу
V = ~ f f xdydz-\-ydzdx~^-zdxdy. E.34)

§ 4]
ФОРМУЛА СТОКСА
207
§ 4. Формула Стокса
1. Вывод формулы Стокса. В этом параграфе мы выведем так
называемую формулу Стокса, связывающую поверхностные интегралы
с криволинейными. Формула Стокса обобщает формулу Грина и пере-
переходит в нее, если рассматриваемая поверхность сводится к плоской
области, лежащей в плоскости ху. Подобно формулам Грина и
Остроградского, формула Стокса широко применяется как в самом
анализе, так и в его приложениях.
Пусть дана гладкая ориентированная поверхность S, ограниченная
оригнтированным контуром Л (ориентации Е и Л согласованы,
см. п. 1 § 2), и пусть в некоторой трехмерной области, содержащей
внутри себя поверхность S, определена векторная функция (Р, Q, R),
такая, что Р, Q и R непрерывны в этой области вместе со своими
частными производными первого порядка.
Постараемся преобразовать, криволиней-
ный интеграл
J Pdx-\-Qdy-\-Rdz, E.35)
л
взятый по контуру Л, в интеграл по по-
поверхности S.
Рассмотрим сначала случай, когда
поверхность S задана уравнением
z = z(x, у)
в декартовых координатах. Обозначим D проекцию поверхности Е
на плоскость ху, и пусть L — граница области D, т. е. проекция
контура Л (рис. 5.14). Преобразование криволинейного инте-
интеграла E.35) в поверхностный мы проведем по следующей схеме:
Рис. 5.14.
т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру Л пре-
преобразуем сперва в криволинейный интеграл по плоскому контуру L.
затем (с помощью формулы Грина) переведем его в двойной инте-
интеграл по области D и, наконец, этот последний преобразуем в поверх-
поверхностный интеграл по Е.
Проведем теперь соответствующие выкладки, Рассмотрим сначала
интеграл вида

208 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
Заметим прежде всего, что
Jx= (Р(х, у, z)dx = JР(х, у, z(x, y))dx,
Л L
поскольку контур Л лежит на поверхности S, заданной уравнением
z = z{x, у). Далее, применив формулу Грина, получаем
Jl= [P(x, у, z(x,
(здесь Р — сложная функция от х и у, и мы учли это при вычи-
вычислении производной от Р по у).
Воспользовавшись выражениями для направляющих косинусов
нормали (см. C.36)), получаем, что
dz cos (n, у)
ду cos (n, г) '
Поэтому
Г С ( др дР cos (n, у) \ . .
D
Теперь, воспользовавшись формулой E.20), мы можем этот двойной
интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем
, Г Г I дР дР cos (n, у) \ . . ,
Л=— / / \-л з / ( I cos(n, z)de~
1 J J \ ду dz cos (n, г) ) v '
=-f f(wcos(n> z)-4fcos(n> y))da-
Итак,
f ff(^ ^ ja. E.37)
Мы предполагали, что поверхность S задана уравнением
z=z(x, у). Тот же результат можно было получить, предположив,
что S задана уравнением y=*y(z, x). Для этого нужно было бы
рассмотреть проекцию 2 на плоскость zx (вместо ху) и провести
рассуждения, аналогичные изложенным выше. Далее, если S — часть
плоскости, перпендикулярной оси х (тогда S нельзя однозначно
спроектировать ни на плоскость ху, ни на плоскость zx), то равен-
равенство E.37) верно тривиальным образом: и правая и левая его части
будут равны нулю (проверьте это!). Наконец, стандартные рассужде-
рассуждения, которыми мы уже пользовались при выводе формул Грига
и Остроградского, показывают, что если поверхность 2 состоит из
конечного числа частей, для каждой из которых верно равенство E.37),

§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 209
то оно верно и для всей поверхности S. Таким образом, равен-
равенство E.37) установлено для поверхности, состоящей из конечного
числа кусков перечисленных выше типов. В точности так же полу-
получаются два аналогичных равенства:
A s
Складывая все эти три равенства, получаем
)a, E.38)
х)-Ц-соз(п. у)) da. E.39)
<5-4О>
Это и есть формула С токе а. Ее можно переписать в следующем
виде:
Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое
в правой ее части — это то же самое выражение, которое стоит под
знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье по-
получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и
функций Р, Q, R.
Если поверхность Е сводится к плоской области, лежащей в пло-
плоскости ху, то интегралы по dz dx и dy dz обращаются в нуль и
формула Стокса переходит в формулу Грина.
Замечание 1. При выводе формулы Стокса мы пользовались"
декартовой системой координат. Но ни криволинейный, ни поверх-
поверхностный интегралы, входящие в эту формулу, не зависят от способа
задания поверхности S и ее границы Л. Поэтому формула Стокса
остается в силе и при любом другом способе задания поверхности,
например с помощью параметрического уравнения
г= г (и, v).
14 Б. М. Будак, С. В. Фомин

210
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 5
V
Замечание 2. Формула Стокса остается в силе и в том случае,
когда граница Л поверхности S состоит из нескольких отдельных
контуров. В этом случае под I P dx-\-Q dy-\- Rdz следует пони-
л
мать сумму интегралов, взятых по этим контурам, причем ориентация
каждого из этих контуров опять-таки должна быть согласована с вы-
выбором стороны поверхности S. Например, если S представляет со-
собой боковую поверхность цилиндра с вырезан-
вырезанным в ней отверстием (рис. 5.15) и мы рас-
рассматриваем внешнюю сторону этой поверхно-
поверхности, то формула Стокса связывает интеграл
по S с криволинейным интегралом, взятым по
трем контурам, образующим ее границу и ори-
ориентированным так, как это показано стрелка-
стрелками на рис. 5.15.
2. Применение формулы Стокса к ис-
исследованию пространственных криволиней-
криволинейных интегралов. Формула Стокса имеет много-
многочисленные применения, и мы еще вернемся к
ней в следующей главе. Сейчас мы воспользу-
воспользуемся этой формулой для того, чтобы перенести
на пространственные криволинейные интегралы
те результаты об условиях независимости кри-
криволинейного интеграла от пути, которые в § 4
гл. 4 были получены (с помощью формулы Грина) для плоского случая.
Введем следующее
Определение. Трехмерная область V называется поверх-
поверхностно о д н о с в яз ной*), если на любой замкнутый контур*
лежащий в V, можно натянуть по-
поверхность, также целиком лежащую в V
(т. е. если внутри V найдется поверхность,
имеющая этот контур своей границей).
Примерами поверхностно односвязных
областей являются: шар, все пространство,
область, заключенная между двумя концен-
концентрическими сферами, и т. п. Примером не-
односвязной области может служить шар,
сквозь который проходит цилиндрический
туннель (рис. 5.16).
Установим теперь следующий результат,
аналогичный теореме 4.5.
Теорема 5.2. Ес4Н функции Р(х, у, z),
Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны вместе со своими частными.
Рис. 5.15.
Рис. 5.16.
*) Или, короче, просто «о д н ос в я з но й».

§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 211
производными первого порядка в некоторой замкнутой огра-
ограниченной поверхностно односвязной области V, то следующие
четыре утверждения равносильны между собой:
1. Интеграл ф Рdx-\-Qdy-\- R dz, взятый по любому зам-
замкнутому контуру, лежащему внутри V, равен нулю.
2. ГРdx-\-Qdy-\-Rdz не зависит от выбора пути, со-
АВ
единяющего точки А и В.
3. Рdx-f- Q dy-\- R dz — полный дифференциал некоторой
однозначной функции, определенной в V.
4. Выполняются равенства
E.42)
Доказательство этой теоремы, по существу, не отличается
от доказательства теоремы 4.5 и проводится по той же схеме 1 —>
-> 2—>3-> 4-> 1. Мы предоставим его читателю, ограничившись
лишь следующим указанием: -для того чтобы из условия 4) получить
условие 1), рассмотрим некоторый замкнутый контур Л, лежащий в V;
так как область V по условию односвязна, то на Л можно натя-
натянуть поверхность 2, целиком лежащую внутри V. Применив к кри-
криволинейному интегралу, взятому по Л, формулу Стокса, получаем,
что из условия E.42) следует равенство
0Q
дх
дР
— ~ду~'
dR
ду
dQ
~ dz '
дР
~ЬТ
dR
~ дх '
J Pdx-\-Qdy-\-Rdz= 0.
Если выражение Рdx-\-Qdy + Rdz представляет собой полный
дифференциал некоторой функции U (х, у, z), то нетрудно написать
явное выражение этой функции:
(х, у, z)
U{x, у, z)= J Pdx-\-Qdy-\-Rdz-\-C, E.43)
(-Со, Уо, г„)
аналогичное формуле D.50), установленной в § 4 гл. 4 для двух
переменных.
/ U, у, *)
I Здесь I означает интеграл, взятый по произвольному пути,
\ (-«-о, Уо, г0)
целиком лежащему в области V и соединяющему точку (х0, yQ, zQ)
с (х, у, z). I
14*

212 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5
Если функции Р, Q и R удовлетворяют условиям E.42), но об-
область, в которой они определены, не односвязна, то свойства инте-
интеграла
;■
АВ
аналогичны свойствам криволинейного интеграла \Pdx-\-Qdy
АВ
в плоской многосвязной области. В частности, выражение E.43) при
выполнении равенств E.42) и в случае мвогосвязной области пред-
представляет собой функцию, полный дифференциал которой равен
Pdx-\-Qdy-\-R dz, но в многосвязной области эта функция, во-
вообще говоря, многозначна.

ГЛАВА 6
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Понятие поля лежит в основе многих представлений современной
физики. В этой главе мы изложим элементы того математического
аппарата, которым приходится пользоваться при изучении физических
полей.
В физических задачах чаще всего встречаются величины двух
типов: скаляры и векторы*). В соответствии с этим мы будем
рассматривать два типа полей — скалярные и векторные.
§ 1. Скалярные поля
1. Определение и примеры скалярных полей. Пусть Q — неко-
некоторая область в пространстве. Мы говорим, что в этой области
задано скалярное поле, если каждой точке М этой области
поставлено в соответствие некоторое число U(М).
Примерами скалярных полей могут служить поле температур
внутри некоторого нагретого тела (в каждой точке М этого тела
задана соответствующая температура U (М)), поле освещенности, со-
создаваемое каким-либо источником света, и т. д.
Важным примером скалярного поля служит поле плотности массьи
с которым мы уже встречались. Напомним это понятие. Пусть неко-
некоторая пространственная область Q заполнена непрерывно распреде-
распределенной массой. Сопоставив каждой области V, содержащейся в Q,
ту массу, которая нахЪдится в области V, мы получим аддитивную
функцию области \х (V). Если в каждой точке существует производ-
производная от n(V) по объему, то эта производная называется плотностью-
*) Это, собственно говоря, верно лишь применительно к более элемен-
элементарным вопросам физики. В ряде разделов теоретической физики — электро-
электродинамике, теории относительности, теории элементарных частиц и т. д. суще-
существенную роль играют величины более сложной природы, чем скаляры и.
векторы. Об одном важном типе таких величин — так называемых тензо-
тензорах— будет идти речь в следующей главе.

214 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
массы, а значения этой производной образуют скалярное поле, назы-
называемое полем плотности массы. Аналогично, рассматривая некоторое
непрерывное распределение зарядов по пространственной области Q,
мы приходим к скалярному полю плотности электрического заряда.
Число подобных примеров можно было бы увеличить.
Наряду с полями, заданными в пространственных областях, часто
приходится рассматривать и плоские скалярные поля. Примером
такого поля может служить освещенность части плоскости, создавае-
создаваемая каким-либо источником света.
2. Поверхности и линии уровня. Если U(М) — некоторое ска-
скалярное поле, то, введя в области, где задано поле, декартовы коор-
координаты, можно представить это поле в 7виде функции U (х, у, z)
координат точки М *). Эту функцию мы всегда будем в дальнейшем
предполагать непрерывной и имеющей в рассматриваемой области
непрерывные частные производные первого порядка по х, у и z.
Задание скалярного поля с помощью фиксированной системы ко-
координат и соответствующей функции U (х, у, z) не всегда дает
достаточно ясное представление о поведении этого поля. Для полу-
получения более наглядной картины удобно пользоваться так называемыми
поверхностями уровня. Поверхностью у р о в к я скалярного
поля U(М) называется геометрическое место точек, в кото-
которых поле U(М) имеет данное фиксированное значение С.
Уравнение поверхности уровня имеет вид **)
U{x, у. z) = C. F.1)
Ясно, что поверхности уровня (отвечающие различным С) запол-
заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверх-
поверхности
U{x, у, 2) = С, и U(х, у, z) — C2
не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня с отмет-
*) Вид этой функции зависит, конечно, не только от рассматриваемого
поля, но и от выбора системы координат. Но если система координат счи-
считается фиксированной, то понятие скалярного поля просто совпадает
с понятием функции трех переменных. Мы, однако, будем все время поль-
пользоваться термином «поле», подчеркивая этим, что речь идет здесь, как пра-
правило, о величинах, имеющих непосредственный физический смысл, не свя-
связанный с выбором той или иной системы координат.
**) При сделанных выше предположениях относительно функции
■U (х, у, г) такое уравнение действительно определяет некоторую гладкую
поверхность, если только точки, удовлетворяющие равенству F.1) (при дан-
dU dU
ном С), вообще существуют и если в этих точках производные -т—, -,—,
—;— не обращаются в нуль одновременно (см. вып. !■ гл. 14, § 4).

§ I]
СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ
215-
Рис. 6.1.
кой на них соответствующих значений С равносильно заданию
самого поля U (М). Взаимное расположение поверхностей уровня
в пространстве дает наглядное представление о соответствующем ска-
скалярном поле.
Указанный способ изображения поля особенно удобен тогда, когда
речь идет о поле, заданном не в пространственной, а в плоской
области. Такое поле описывается
функцией двух переменных U {х, у).
Равенство вида О (х, у)=С опре-
определяет, вообще говоря, некоторую
кривую. Такие кривые называют-
называются линиями уровня плоского ска-
скалярного поля U (М). С помощью
линий уровня обычно изображается
рельеф местности на топографиче-
топографических картах, а именно, на них про-
проводятся линии, состоящие из то-
точек, имеющих одну и ту же высоту
над уровнем моря; эти линии называются горизонталями (рис. 6.1).
Распределение температур, давлений, количества осадков и т. п.
обычно также изображается на специальных каргах с помощью соот-
соответствующих линий уровня (называемых
изотермами в случае температур, изобара-
изобарами, когда речь идет о давлениях, и т. д.).
3. Различные типы симметрии полей»
Во многих физических задачах приходится,
иметь дело с полями, обладающими теми,
или иными специальными свойствами с и м-
м е т р и и, облегчающими изучение таких
полей. Укажем некоторые частные случаи,
а) Плоскопараллельное поле. Если
скалярное поле U(М) в какой-либо декар-
декартовой системе координат можно описать
функцией, зависящей не от трех, а только от двух координат, ска-
скажем, функцией вида U(х, у), то такое поле называется плоскопа-
плоскопараллельным (или двумерным)., Иначе говоря, поле U (М) назы-
называется плоскопараллельным, если в пространстве существует
направление, при сдвигах вдоль которого поле U (М) переходит
само в себя. Поверхности уровня такого поля — это семейство ци-
цилиндрических поверхностей (рис. 6.2); в соответствующим обра-
образом выбранной системе координат они задаются уравнениями ви-
вида U(x, y) = C
б) Осесимметрическое поле. Если для поля U{M) можно
подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой
оно изображается функцией, зависящей только от переменных.
Рис. 6.2.

216 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
r = Yx2-\-y2 и z (но не от угла ср), то это поле называется
осесимметрическим. Иначе говоря, поле U (М) осесимметрическое,
если оно переходит само в себя при повороте пространства (на
произвольный угол) вокруг некоторой фиксированной прямой — оси
симметрии этого поля. Поверхности уровня такого поля предста-
представляют собой, очевидно, поверхности вращения (рис. 6.3). Если эти
Рис. 6.3.
Рис. 6.4.
-поверхности вращения—круглые цилиндры (рис. 6.4), т. е. если
поле U(M) в соответствующей цилиндрической системе координат изо-
изображается функцией, зависящей лишь от одной координаты г (рассто-
(расстояния точки от оси симметрии поля), то U (М)
называется цилиндрическим полем.
в) Сферическое поле. Если значе-
значения U (М) зависят лишь от расстояния точ-
точки М от некоторой фиксированной точки Мо,
то такое поле называется сферическим.
Поверхности уровня сферического поля —
семейство концентрических сфер (рис. 6.5),
4. Производная по направлению. При
изучении скалярного поля методами анализа
мы должны в первую очередь описать его
локальные свойства, т. е. изменение вели-
величины U (М) при переходе от данной точки М
к близким точкам. Для этого мы используем производную поля по
направлению. Напомним это понятие.
Пусть U (М)— скалярное поле. Рассмотрим две близкие точки М
и Ж' и составим отношение
U(M') — U(M)
h
Рис. 6.5.
F.2)
где h—длина отрезка MAY. Пусть точка М' приближается к М,
лричем напраиление отрезка ММ' все время совпадает с направле-

§ I] СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 217"
нием фиксированного единичного вектора X. Если при этом отноше-
отношение F.2) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется
производной скалярного поля U(М) в точке М по направле-
направлению X и обозначается
dU(M)
дХ '
Производная -^- характеризует скорость изменения величины U(M)
в направлении X.
Для вычисления -тт— выберем некоторую систему координат и
представим U (М) в виде U (х, у, z).
Пусть направление X образует с осями координат углы а, р и у
Тогда
ММ' = h (i cos a + j cos P + k cos y)
и
U{M')=U{x-\-hcosa, y + ucosp, z-\- h cosy), F-3>
a производная -^т- совпадает с производной по h от сложной функ-
ции F.3) при h = 0. Дифференцируя, получаем
=^FCosa + ^rcosP+^^cosY- F.4>
dU(M) _ dU(M')
дК ~ dh
Б. Градиент скалярного поля. Выражение F.4) можно рассма-
рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного
вектора
X = (cosa, cosp, cosy).
, dU
определяющего направление, по которому берется производная —тт-,.
и вектора, имеющего компоненты
dU dU dU
дх ' ду ' дг
Этот вектор называется градиентом скалярного поля U и обозна-
обозначается символом
grad U.
Таким образом,
gradU={-;—, -3—, -т— | F.5)
ь \ дх ду дг } v '
и, следовательно,
/, XV F.6>

218
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 6
Рис. 6.6 дает наглядную интерпретацию выражения производной по
направлению как проекции grad U на это направление.
Из формулы F.6), которую можно переписать в виде
-дд- = | grad U | cos ф
(где ф — угол между grad U и единичным вектором X), видно, что
в каждой точке, в которой grad U ф О, существует единственное
6U
направление, по которому —гт- имеет наибольшее значение, т. е. един-
единственное направление наибыстрейшего возрастания функции U. Это
направление совпадает с направлением вектора grad U. Действительно,
для этого направления ф = 0 и, следова-
следовательно,
в то время как для всех других направле-
направлений
Рис. 6.6.
dU
= | grad U | cos ф < | grad U |.
Итак, мы получили, что направление вектора grad U — это на-
направление наибыстрейшего возрастания величины U, а длина вектора
grad U равна скорости возрастания величины U в этом направлении.
Однако ни направление наибыстрейшего возрастания функции,
ни величина ее производной в этом направлении не зависят, очевидно,
-от выбора системы координат. Мы установили, таким образом, что
градиент скалярного поля зависит, лишь от самого поля, но
не от выбора системы координат (хотя из равенства F.5), при-
принятого нами за определение градиента, это сразу и не видно).
„ dU dU dU „ ..
Производные -;—, -т—, -г— в данной точке Ж — это компоненты
вектора, нормального к поверхности U (х, у, z)= const, проходящей
через эту точку *). Таким образом, в каждой точке поля О градиент
поля направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через
эту точку.
*) Действительно, если направление К лежит в плоскости, касательной
к поверхности U (х, у, z) — const, то производная по этому направлению
равна нулю:
dU
= (gsadU, Ji) =
т. е. grad U ортогонален любому вектору, лежащему в касательной плоскости.

I 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 219-"
Назовем линией градиента*) скалярного поля U всякую кривую,'
касательная к которой в каждой ее точке направлена по grad U
в этой же точке. Таким образом, линии градиента поля — это те
линии, вдоль которых поле U меняется быстрее всего.
Можно показать, что если функция U(х, у, z) имеет непрерыв-
непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно, то через
каждую точку области, в которой задано поле U, проходит одна
и только одна линия градиента. В каждой точке линия градиента
ортогональна той поверхности уровня, на которой эта точка лежит.
§ 2. Векторные поля
1. Определение и примеры векторных полей. Мы говорим, что
в некоторой области Q определено векторное поле, если каждой
точке М этой области поставлен в соответствие определен-
определенный вектор А (Ж).
Один из важных примеров векторных полей, к которому мы*
будем неоднократно возвращаться, — это поле скоростей стацио-
стационарного потока жидкости, Оно определяется так: пусть область Q
заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой ско-
скоростью v, не зависящей от времени (но различной, вообще говоря,
в разных точках); поставив в соответствие каждой точке М из О.
вектор v — v(M), мы получим векторное поле, называемое полем
сТ< о р о сте й,
Другой важный пример векторного поля — это поле тяготения,
Пусть в пространстве распределена некоторая масса. Тогда на мате-
материальную точку с массой 1, помещенную в данную точку М, дей-
действует некоторая гравитационная сила. Эти силы, определенные
в каждой точке, образуют векторное поле, называемое полем
тяготения (отвечающим данному распределению масс) или гра-
гравитационным полем.
Если в пространстве распределены каким-либо образом электри-
электрические заряды, то на единичный электрический заряд, помещенный
в точку М, эти заряды действуют с определенной силой F(M).
Образуемое этими силами векторное поле называется электро-
электростатическим полем.
И поле тяготения, и электрическое поле представляют собой
примеры силовых полей.
Если А (М) — некоторое векторное поле в пространстве, то, взяв
в этом пространстве какую-либо декартову систему координат, мы
можем представить А (Ж) как совокупность трех скалярных функций—
компонент этого вектора. Эти компоненты мы будем обозначать, как
правило, Р(х, у, z), Q(x, у, г) и R(x, у, г). В дальнейшем мы
*) Ср. с общим определением векторной линии в следующем параграфе..

220 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непре-
непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка *).
2. Векторные линии и векторные трубки. Пусть в области Q
задано векторное поле А (Ж). Кривая L, лежащая в Q, называется
векторной линией, если в каждой точке этой кривой направление
касательной к ней совпадает с направлением вектора А в этой же
точке. В частности, если поле А есть поле скоростей стационарного
потока жидкости, то его векторные линии — это траектории частиц
жидкости.
В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль играет
задача о нахождении векторной линии поля А, проходящей через
данную точку Мо.
Аналитически эта задача формулируется, очевидно, так: требуется
найти вектор-функцию г (t), удовлетворяющую условиям
г'(О = ЬА,
г W-г.. <6'7>
где г0 — радиус-вектор начальной точки Мо, t0 — начальный момент
времени, а К — произвольная числовая величина. Можно показать,
что если компоненты Р, Q, R вектора А — непрерывно дифферен-
дифференцируемые функции координат, ни в одной точке не обращающиеся
в нуль одновременно, то условия F.7) действительно определяют
в той области, в которой задано поле А, одну и только одну век-
векторную линию**).
Ограниченная некоторой поверхностью 2 часть пространства,
в котором задано векторное поле А, называется векторной труб-
трубкой, если в каждой точки4 поверхности 2 нормаль к 2 орто-
ортогональна вектору А в этой же точке. Иначе говоря, векторная
трубка—это часть пространства, состоящая из целых век-
векторных линий; каждая векторная линия или целиком лежит внутри
данной векторной трубки, или находится целиком вне ее. Можно
сказать, что поверхность 2, ограничивающая векторную трубку,
соткана из векторных линий.
Если снова представить себе векторное поле А как поле скоро-
скоростей движущейся жидкости, то векторная трубка — это та часть
пространства, которую «заметает» при своем перемещении некоторый
фиксированный объем жидкости.
3. Различные виды симметрии векторных полей. Изучение
векторного поля (как и скалярного) существенно облегчается, если
это поле обладает теми или иными свойствами симметрии, Перечислим
некоторые важнейшие частные случаи.
*) Ясно, что если это условие выполнено в какой-либо одной декарто-
декартовой системе координат, то оно выполнено и в любой другой системе.
**) Это следует из теоремы существования и единственности решения
для систем дифференциальных уравнений (см, вып. 3, гл, 1, § 6).

§ 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 221
а) Плоскопараллельное поле. Если для данного векторного
поля А можно подобрать декартову систему координат, в которой
компоненты поля А имеют вид Р(х, у), Q(x, у), R(x, у) (т. е, не
зависят от г), то поле А называется плоскопараллельным. Если
при этом R(x, у) = 0, то поле А называется плоским. Примером
такого поля может^ служить поле скоростей жидкости, скорости
частиц которой параллельны некоторой фиксированной плоскости и
не зависят от расстояния частицы до данной плоскости (плоский
поток). Векторные линии такого поля — плоские кривые (одни и те же
в каждой параллельной плоскости).
б) О несимметрическое поле. Векторное поле А называется
осесимметрическим, если существует такая цилиндрическая система
координат г, ф, г, что в каждой точке М вектор А (Ж) зависит
лишь от г и г, но не от ф, Иными словами, такое поле переходит
■само в себя при повороте вокруг оси z. Если вектор А (М) зависит
только от г, то поле называется цилиндрическим.
в) Одномерное поле. Векторное поле называется одномерным,
если существует такая декартова система координат, в которой ком-
компоненты этого поля имеют вид Р(х), 0, 0. Векторные линии такого
поля представляют собой, очевидно, совокупность всех прямых,
параллельных оси х.
4. Поле градиента. Потенциальное поле. Рассмотрим снова
некоторое скалярное поле U (М). Построив в каждой точке М
вектор grad U, мы получим векторное поле — поле градиента скаляр-
скалярной величины U, Введем следующее
Определение. Векторное поле А (М) называется потен-
потенциальным, если его можно представить как градиент
некоторого скалярного поля U{М)\
А = grad U.
Само скалярное поле U называется при этом потенциалом вектор-
векторного поля А.
Рассмотрим следующий пример. Пусть U = f(r), где г —
= Ух2 ^-у2-\-z2 (т. е. U — сферическое поле), Найдем grad f/.
Имеем
L=f(r)-
дх J { ' дх
Аналогично
Таким образом,
grad £/ = /»!■, F.8)

222 теория поля [гл. в
Если векторное поле А имеет потенциал, то этот потенциал
определяется полем А однозначно, с точностью до произвольного
постоянного слагаемого. Действительно, если скалярные поля U и V
имеют один и тот же градиент, то
grad(t/ — V) = 0.
Но тогда и производная от U — V по любому направлению
равна нулю в любой точке, откуда сразу следует, что
U — V = const.
Векторные линии потенциального поля А представляют собой, разу-
разумеется, линии градиента его потенциала U, т. е. линии наибыстрей-
наибыстрейшего изменения этого потенциала.
Естественно возникает вопрос об условиях, при которых данное
векторное поле А потенциально. Фактически этот вопрос мы уже
рассмотрели в гл. 5. Действительно, там было показано (теорема 5.2),
что выражение
Pdx + Qdy + Rdz
(где Р, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные част-
частные производные 1-го порядка) служит полным дифференциалом не-
некоторой однозначной функции U(х, у, z) в том и только том слу-
случае, есм Р, Q, R удовлетворяют условиям *):
дР_ = dQ_ J)Q_ __ dR dR_ _^ дР_
ду дх ' дг ду ' дх дг К • J
Но если
Р dx + Q dy + R d z = dU,
то
D—dU n—dU o—dU
и — ~д7' ч — ~ду~' к — ~дГ'
т. е. условие F.9) как раз и означает, что поле (Р, Q, R) потен-
потенциально.
Итак, для того чтобы векторное поле А = (Р, Q, R), имею-
имеющее непрерывные и непрерывно дифференцируемые компоненты^
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы,
выполнялись равенства F.9).
Если А — потенциальное векторное поле, то фактическое нахо-
нахождение его потенциала сводится к нахождению функции по ее пол-
полному дифференциалу — задаче, которую мы рассматривали в § 4
гл. 5 (формула E.43)), а для двух переменных—в § 4 гл. 4 (фор-
(формула D.50)).
*) Мы считаем, что область, в которой определено векторное поле А*
односвязна.

§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 223
К понятию потенциального поля мы еще вернемся в п. 5 § 4.
Пример. Пусть в начало координат О помещена масса т. Если
теперь в некоторую течку М(х, у, z) поместить единичную массу,
то на нее будет действовать сила притяжения, равная
Эти силы, определяемые в каждой точке пространства, образуют
векторное поле — поле тяготения точечной массы т. Его можно
представить как градиент скалярной величины
ут
г
называемой ньютоновским потенциалом точечной массы т. В самом
деле, воспользовавшись формулой F.8), получаем
ут т
§ 3. Поток векторного поля. Дивергенция
1. Поток векторного поля через поверхность. В предыдущей
тлаве (§ 2) мы показали, что количество жидкости, протекающей за
■единицу времени через данную (ориентированную) поверхность 2,
равно интегралу
ffAnda,
2
тде Аа — нормальная составляющая вектора скорости А = (Р, Q, R).
Эту величину мы назвали потоком жидкости через поверхность 2.
Пусть теперь А — произвольное векторное поле и 2—ориентиро-
2—ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл
Я
мы назовем потоком векторного поля А через поверхность 2.
Таким образом, если А — скорость движения жидкости, то поток
вектора А через некоторую поверхность равен количеству жидкости,
протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для век-
векторного поля иной природы поток имеет, конечно, другой физиче-
физический смысл.
Пример. Пусть U = U(x, у, z) — поле температур внутри не-
некоторого тела, k — коэффициент теплопроводности и A = gradt/.
Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, протекающее за

224 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
единицу времени через элемент da некоторой поверхности 2, вы-
выражается формулой
dQ = — k~da, F.10)
dU
где —j производная поля температур в направлении нормали
к da. (Знак минус в правой части равенства F.10) отвечает тому
известному факту, что тепло течет от более нагретых частей тела
к менее нагретым, т. е. в направлении убывания U.) Так как
то равенство F.10) можно переписать в виде
dQ = — k (grad U)n da,
из которого следует, что [количество тепла Q, протекающего за еди-
единицу времени через всю поверхность 2, равно
Q = — J J k (grad U)n da. F.11)
s
Ввгдя вектор
q = — k grad U,
называемый вектором потока тепла, получаем
Q=ffqada.
s
Таким образом, количество тепла, протекающее через 2 за еди-
единицу времени, равно потоку вектора q через поверхность 2 (отсюда
и название «вектор потока тепла»).
2. Дивергенция. Пусть А—некоторое векторное поле, которое
мы снова будем представлять себе как поле скоростей несжимаемой
жидкости. Поскольку жидкость несжимаема, поток
П-Л
Anda
вектора А через какую-либо замкнутую поверхность 2 *) равен,
очевидно, количеству жидкости, которое за единицу времени возни-
возникает или уничтожается в пределах той пространственной области Q,
границей которой служит 2. Назовем это количество суммарной
мощностью источников (если II > 0) или стоков (если П. < 0),
*) Мы условимся рассматривать внешнюю сторону этой поверхности.

§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 225
расположенных в области 2. Рассмотрим отношение
Anda
V(Q)
потока жидкости через поверхность 2 к объему области й, ограни-
ограниченной этой поверхностью. Оно представляет собой среднюю плот-
плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возни-
возникающей (исчезающей) за единицу времени в единице объема области Q.
Рассмотрим, наконец, предел
Я
Anda
этого отношения, где знак lim означает предел при условии, что
область Q стягивается к некоторой фиксированной точке М. Этот
предел можно назвать плотностью источников (стоков) в точке М.
Он представляет собой скалярную величину и служит важной харак-
характеристикой исходного поля.
Рассмотрев этот пример, перейдем к общим определениям.
Пусть А — некоторое векторное поле. Поставим в соответствие
каждой пространственной области Q, ограниченной гладкой или
кусочно-гладкой поверхностью 2, величину
.do
— поток вектора А через внешнюю сторону поверхности 2.
Мы получим некоторую функцию области Ф(й). Легко проверить,
что эта функция аддитивна.
Определение. Производная функции <P(Q) no объему, т. е.
предел
Цла*о
F.12)
называется дивергенцией векторного поля А и обозна-
обозначается
div А.
Таким образом, введенная нами для поля скоростей несжимаемой
жидкости плотность источников представляет собой дивергенцию
этого поля скоростей.
15 Б. М. Будак, С. В. Фомин

226 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
Теорема 6.1. Если А = (Р, Q, R) — векторное поле, опреде-
определенное в области Q и такое, что функции Р, Q, R непре-
непрерывны в Q вместе со всеми своими первыми производными, то
divA существует во всех точках этой области и в любой де-
декартовой системе координат выражается формулой
н;„ 4 дР _i_ °Q _l dR ,a 1 чч
div A = -т —^ —з—• F.1 о)
дх ' ду ' dz v '
Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского
В силу теоремы о производной тройного интеграла по объему
(п. 5 § 1 гл. 2), производная по объему от правой части этого ра-
равенства существует и равна -; Ьгг^Ч~~^~- Следовательно, тому же
самому выражению равна и производная по объему от левой его
части. Но эта последняя и есть по определению div A.
Замечание. Часто равенство
... дР . dQ . OR
dvA + #+
принимают за определение дивергенции. Однако это определение
менее удобно, чем принятое нами, так как оно опирается на выбор
той или иной системы координат, и мы должны еще доказывать,
0P.dQ.dR ,
что сумма -г г~т^ t~7j— от выбора системы координат не зависит.
А независимость от выбора системы координат выражения F.12)
очевидна.
Итак, каждому векторному полю А, компоненты которого непре-
непрерывны и имеют непрерывные частные производные, мы поставили
в соответствие скалярную функцию div А. Пользуясь этим понятием,
Гмы можем теперь формулу Остроградского записать так:
J J Anda = J [ fdivAdv, F.14)
т. е. поток вектора А через внешнюю сторону замкнутой по-
поверхности S равен интегралу от дивергенции поля А, взя-
взятому по области, ограниченной поверхностью S.
3. Физический смысл дивергенции для различных полей.
Примеры.
а) Мы уже выяснили, что для поля скоростей А несжимаемой
жидкости, движущейся в некоторой пространственной области,

§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 227
выражение
JffdivXdv
представляет собой суммарную мощность источников, расположенных
в области Q, a div А — это плотность источников (т. е. их мощ-
мощность, приходящуюся на единицу объема). В частности, если А —
поле скоростей несжимаемой жидкости, у которой нет ни стоков,
ни источников, то
divA = 0.
б) Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое некоторым
распределением масс. Выясним, что представляет собой дивергенция
такого поля. Рассмотрим сначала поле, создаваемое массой щ, со-
сосредоточенной в точке (х0, у0, z0). В этом случае единичная масса,
помещенная в точку (х, у, z), притягивается с силой
^' Ymo£^£l) F-15)
(г = V(x - xof + (у - yof + (z~ zof).
Здесь у—постоянная тяготения, зависящая от выбора единиц.
Ниже мы уписать не будем, считая, что система единиц выбрана
так, что Y= !• Вычислим дивергенцию силового поля F.15). В ка-
каждой точке, отличной от точки (х0, у0, z0), имеем
д (т х —
"aJV о гз
аналогично
Складывая, получаем
Г5
Однако в точке (х0, у0, z0) приведенные выкладки теряют смысл,
и в этой точке значение div F вообще не определено. Поэтому и
значение интеграла
п /* /*
div F dv
не может быть получено непосредственным вычислением, если об-
область Q содержит точку (х0, у0, z0). Таким образом, выражение,
15*

228 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
стоящее в формуле Остроградского F.14) справа, в нашем случае
не определено. Однако мы легко можем найти величину, стоящую
в этой формуле слева, т. е. поток вектора F через поверхность 2,
ограничивающую объем Q. Сделаем это. Пусть сначала 2— сфера
некоторого радиуса а с центром в точке (х0, у0, z0). В каждой
точке такой сферы направление вектора F.15) совпадает с напра-
направлением нормали к этой сфере. Поэтому проекция вектора F.15) на
нормаль в данном случае равна длине этого вектора, т. е. постоян-
постоянной величине —§-. Следовательно,
Заменив сферу 2 любой другой замкнутой поверхностью 2:, охва-
охватывающей точку (х0, у0, z0), мы получим тот же самый результат.
Действительно, выберем сферу 2 настолько малой, чтобы она цели-
целиком содержалась внутри 2:. Тогда
так как левая часть этого равенства представляет собой поток век-
вектора F через границу пространственной области, в которой
divF==0.
Следовательно,
Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое несколькими то-
точечными массами. Это поле равно сумме полей, создаваемых каждой
массой в отдельности. Поток суммы полей через некоторую поверх-
поверхность 2 равен, очевидно, сумме потоков слагаемых; отсюда выте-
вытекает, что поток через некоторую замкнутую поверхность поля тяго-
тяготения, создаваемого системой материальных точек, равен сумме на-
находящихся внутри этой поверхности масс, умноженной на 4л.
С помощью предельного перехода от системы материальных точек
к массе, непрерывно распределенной по пространству с объемной
плотностью р(х, у, z), можно показать*), что при непрерывном
распределении масс поток гравитационного поля через замкнутую
поверхность 2 равен заключенной внутри этой поверхности массе,
умноженной на 4л. Но эта же масса может быть представлена как
*) Строгое обоснование этого предельного перехода относится к так
называемой теории потенциала; оно ойирается на теорию интегралов, зави-
зависящих от параметра, основы которой излагаются в гл. 10.

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ
229
интеграл от плотности р(х, у, z), взятый по объему Q, ограничен-
ограниченному поверхностью 2. Таким образом, обозначая по-прежнему сим-
символом F (х, у, z) значение гравитационного поля в точке (х, у, z),
имеем
откуда
4лр(х, у, z)= lim
Q(x, y, z)
= 4n J J jp(x, у, z)dv,
Q
ПFndo
J
v Уы>
стоящий здесь справа предел представляет собой дивергенцию век-
векторного поля F. Итак, окончательно получаем: дивергенция грави-
гравитационного поля, создаваемого некоторым распределением
масс, равна объемной плотности, р(х, у, z) этого распределе-
распределения, умноженной на 4л.
в) Те же самые рассуждения, которые мы провели для поля
тяготения, можно повторить и для электростатического поля и по-
показать, что дивергенция такого поля равна плотности зарядов, умно-
умноженной на 4л. (Это утверждение, известное в электростатике
под названием теоремы Гаусса, широко используется в различ-
различных задачах, связанных с электростатическими полями, например
при вычислении напряженности поля в конденсаторах различной
формы.)
4. Соленоидальное поле. Векторное поле, дивергенция которого
тождественно равна нулю, называется соленоидальним *) или труб-
трубчатым. Примером соленоидального поля может служить, как мы
видели выше, поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии
стоков и источников, | т. е.
при условии, что ни в одной
точке жидкость не исчезает и
не возникает.
Для соленоидальных полей
имеет место так называемый
закон сохранения интен-
интенсивности векторной труб-
ки, состоящий в следующем.
Пусть А — соленоидальное по-
поле. Рассмотрим некоторую векторную трубку и возьмем ее отре-
отрезок, заключенный между двумя ее сечениями 2t и 22 (рис. 6.7) Эти
сечения вместе с боковой поверхностью 23 трубки образуют замкну-
замкнутую поверхность 2. Так как поле соленоидально, т. е. div A= 0, то,
*) От греческого слова
(солен) — трубка.

230 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
в силу формулы Остроградского,
J fAnda=0.
s
Но
J fAnda = f f Ande+f f Aada+f f Anda, F.16)
S 2, S2 2,
причем в каждом из слагаемых имеется в виду внешняя сторона по-
поверхности. Третье из стоящих справа слагаемых равно нулю, так как
по определению векторной трубки на поверхности 23 направление
векторного поля А перпендикулярно направлению нормали к этой
поверхности, т. е. на 2^
Если мы теперь на сечении 2: направление нормали изменим на
противоположное, то равенство F.16) перепишется в виде
f fAnde=f fAndo, F.17)
т. е.,поток вектора А через любое сечение векторной трубки имеет
одно и то же значение. Если поле вектора А представлять себе как
поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии источников
и стоков, то равенство F.17) означает: количество жидкости,
протекающей за единицу времени через сечение векторной
трубки, одно и то же для всех сечений этой трубки.
б. Уравнение неразрывности. В качестве применения изложен-
изложенных выше понятий дадим вывод одного из основных уравнений дви-
движения жидкости, так называемого уравнения неразрывности. Пусть
А — поле скоростей движущейся жидкости. Мы будем предполагать,
что в рассматриваемой области жидкость не исчезает и не возникает.
Однако в отличие от наших предыдущих рассмотрений мы будем
предполагать эту жидкость сжимаемой, т. е. считать плотность р
некоторой функцией координат х, у, z и времени t. Выясним, как
связана скорость движения такой жидкости с изменением ее плот-
плотности. Для этой цели рассмотрим некоторый замкнутый объем Q и
подсчитаем двумя способами изменение AQ количества жидкости внутри
этого объема за время At. Пусть р(лг, у, z, t) — плотность жидкости
в момент t в точке х, у, z. Тогда, очевидно,
С другой стороны, изменение количества жидкости внутри объема Q
равно умноженному на At потоку жидкости через поверхность S,

§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 231
ограничивающую этот объем, т. е. равно —Л£ Г Г (p\)nda, где
S
п — наружная нормаль (знак минус берется потому, что если ско-
скорость направлена наружу, то количество жидкости в объеме умень-
уменьшается). Преобразовав этот поверхностный интеграл с помощью фор-
формулы Остроградского в объемный, получим
AQ = — Л* J J J div (pA) dv.
Приравняв друг Другу два выражения для AQ н сократив на At,
будем иметь
q a
так как это равенство должно иметь место для любой области Q, то
равны между собой и подынтегральные выражения, т. е.
•& = —div(pA). F.18)
Мы получили уравнение, связывающее между собой скорость и плот-
плотность движущейся жидкости при отсутствии источников и стоков.
Оно называется уравнением неразрывности.
Если ввести вектор J = pA — плотность потока жидкости,
то уравнение неразрывности можно переписать так:
|E + divJ = 0. F.18')
6. Плоское течение жидкости. Формула Остроградского на
плоскости. Рассмотрим плоское векторное поле, т. е. поле, компо-
компоненты которого в некоторой декартовой системе координат имеют вид
Р = Р(х, у), Q = Q(x, у), R = 0 F.19)
(см. п. 3 § 2). Его можно представлять себе как поле скоростей
жидкости, каждая частица которой движется параллельно фиксиро-
фиксированной плоскости со скоростью? не зависящей от ее расстояния до
этой плоскости (такое движение жидкости называется плоским тече-
течением). Дивергенция такого поля равна
дР , dQ
дх ~| ду '
Пусть Q — цилиндр высоты единица, с основанием О, лежащим в пло-
плоскости ху, и боковой поверхностью S (рис. 6.8). Напишем для
области У формулу Остроградского, предварительно заметив, что трой-
тройной интеграл от -т Ь"^" по ^ численно равен двойному интегралу

232
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 6
от этого выражения по плоской области G, поток вектора F.19)
через поверхность 2 равен криволинейному интегралу
J[Pcos(n, x) + Qcos(n,
Где n — нормаль к контуру £, а поток через верхнее и нижнее осно-
основания цилиндра О равен нулю (последнее вытекает из того, что век-
вектор F.19) перпендикулярен оси z). В силу сказанного, формула
Остроградского для плоскопараллельного поля А и цилиндрической
области Q, имеет вид
l
Vcos(n,
y)]dl =
F.20)
Отбросим теперь окончательно третью координату z, будем рассма-
рассматривать F.19) как векторное по-
поле, заданное в плоскости ху.
Назовем криволинейный интеграл
f [Pcos(n, x) + Qcos(n, y))dl
F.21)
потоком этого векторного поля
через контур L. Тогда форму-
формула F.20), называемая формулой
Остроградского для плоскос-
плоскости, означает, что двойной инте-
интеграл от дивергенции плоского поля А по некоторой области G равен
потоку вектора А через границу этой области.
Легко убедиться в том, что формула F.20) — просто эквивалент
формулы Грина D.45). Действительно, если мы, как обычно, обозна-
обозначим через а угол между касательной к кривой и положительным на-
направлением оси х, то
cos(n, х) = — sin a, cos(n, у) = cos а,
поэтому интеграл F.21) можно записать так:
Рис. 6.8.
или
Г (Q cos а — Р sin а) dl,
L
J Qdx — Pdy.
Преобразовав этот криволинейный интеграл в двойной с помощью
формулы Грина, мы и получим равенство F.20). Это рассуждение

§ 4] ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР 233
можно обратить, т. е. если равенство F.20) установлено, то из него
можно вывести формулу Грина.
Таким образом, как формула Стокса, так и формула Остроград-
Остроградского в плоском случае превращаются в формулу Грина.
§ 4. Циркуляция. Ротор
1. Циркуляция векторного поля. Пусть снова А = (Р, Q, R)—
некоторое векторное поле и L—гладкая или кусочно-гладкая кривая.
Криволинейный интеграл
Pdx + Qdy + Rdz,
L
или, короче,
/л, аи
L
где Ах — тангенциальная составляющая поля А на контуре L, мы
назовем циркуляцией векторного поля А вдоль кривой L. Если
А = (Р, Q, R)— силовое поле, то его циркуляция вдоль кривой L
представляет собой, как мы уже знаем (см. § 2 гл. 4), работу этого
силового поля вдоль пути L. Для полей иной природьТ циркуляция
имеет, конечно, другой физический символ.
2. Ротор векторного поля. Запись формулы Стокса в вектор-
векторных обозначениях. Если L — замкнутый контур, то криволинейный
интеграл
J Pdx + Qdy-\-Rdz
i
по этому контуру можно преобразовать в поверхностный, восполь-
воспользовавшись формулой Стокса E.41):
F.22)
взятый по некоторой поверхности 2, натянутой на контур L. Правая
часть равенства F.22) представляет собой поток через поверхность S
вектора
Назовем этот вектор ротором (или вихрем) векторного поля А
и обозначим rot А. Таким образом, по определению
dR dQ\ . . (дР dR\, , (dQ дР\ .

234 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
Пользуясь понятием ротора, мы можем переписать формулу Стокса
в следующем компактном виде:
Ах dl = J J (rot А)„ da, F.25)
i s
т. е. циркуляция векторного поля А вдоль некоторого зам-
замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного
поля через поверхность, натянутую на этот контур.
В нашем определении ротора участвует не только само векторное
поле А, но и некоторая определенная система координат (х, у, z).
Однако на самом деле вектор rot А не зависит от выбора координат-
координатной системы, а определяется лишь исходным векторным полем А.
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой Стокса F.25), счи-
считая, что поверхность 2—это некоторая плоская площадка, a L—огра-
L—ограничивающий ее контур. Применив к стоящему в равенстве F.25)
справа поверхностному интегралу теорему о среднем, получим *)
rdl
где М* — некоторая точка, принадлежащая площадке 2, а а — пло-
площадь этой площадки. Будем теперь стягивать площадку 2 к некото-
некоторой фиксированной точке М так, чтобы направление нормали п к этой
площадке оставалось все время одним и тем же. В пределе полу-
получим
Axdl
(rotA(M))n= lim . F.26)
Циркуляция вектора А вдоль контура не зависит от выбора коорди-
координатной системы, поэтому из равенства F.26) вытекает, что проекция
rot А на направление нормали п не зависит от выбора системы коор-
координат. Но направление нормали п мы могли выбрать произвольно,
поэтому проекция вектора rot А на любое направление, а следова-
следовательно, и сам вектор rot А не зависят от выбора системы коор-
координат **).
*) Как обычно, мы считаем, что компоненты Р, Q, R векторного поля А
имеют непрерывные частные производные первого порядка по х, у и г.
**) Предполагается, что мы рассматриваем только правые системы коор-
координат. При переходе к левой системе координат (где положительным напра-
направлением вращения считается направление по часовой стрелке) вектор rot A
изменит направление на противоположное.

4]
ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР
235
i
д
дх
Р
j
д
ду
Q
к
д
дг
R
3. Символическая запись ротора. Ротор векторного поля
А = (Р, Q, R) удобно записывать в виде символического детерми-
детерминанта
F.27)
где i, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат,
д д д
а под умножением символа -г—, -*— или -?— на некоторую функцию
понимается выполнение соответствующей операции дифференцирова-
ния например, -т—Q означает -т2-).
\ ОХ их /
Действительно, разложив детерминант F.27) по элементам первой
строки, получим, что
i
д
Ш
Р
j
д
ду
Q
к
д
дг
R
4. Физический смысл ротора. Физический смысл ротора можно
пояснить следующим образом. Будем снова рассматривать вектор-
векторное поле А как поле скоростей движу-
движущейся жидкости. Поместим в таком
потоке, в определенной его точке, беско-
бесконечно малое колесико с лопастями, рас-
расположенными по окружности L этого
колесика (рис. 6.9). Под воздействием по-
потока жидкости такое колесико будет вра-
вращаться с некоторой скоростью, завися-
зависящей, вообще говоря, от направления оси
колесика.
Естественно считать, что линейная
скорость каждой точки окружности L по
величине будет равна среднему произведений проекций вектора А
на направление касательной к L, т. е. будет выражаться формулой
[xdl. F.28)
Рис. 6.9.
По формуле Стокса F.25) криволинейный интеграл F.28) можно пре-
преобразовать в поверхностный интеграл
1 ; f f (rot A)n da, F.29)

236 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
взятый по площади 2 рассматриваемого колесика. Считая это колесико
бесконечно малым, мы можем записать интеграл Г f (rotA)ntfa в виде
s
произведения площади колесика на значение (rot А)„ в его центре,
т. е. в виде
n/?2(rotA)B.
В результате равенство F.28) принимает вид
Максимально возможное значение проекции вектора на какое-либо
направление есть модуль этого вектора. Поэтому, если направление
оси колесика выбрать так, чтобы его скорость v была максимальной
(это направление, очевидно, совпадает с направлением rot А), то мы
получим
R
■ = f I rot А |
или
|rot А | =
2vn
Но -д- — это величина угловой скорости со колесика. Итак, мы полу-
получили следующий результат: если колесико с лопастями ориентировано
так, что скорость его вращения максимальна, то его угловая ско-
скорость равна половине | rot А |, а направление
оси совпадает с направлением вектора rot A.
Таким образом, rot А характеризует «вра-
«вращательную компоненту» поля скоростей; он
равен удвоенной угловой скорости вращения
бесконечно малой частицы жидкости.
Примеры. 1. Рассмотрим векторное по-
ле с компонентами
Р = — уа, Q = xa, R = 0.
Рис. 6.10. Это поле можно рассматривать как поле ско-
скоростей, отвечающее вращению всего простран-
пространства вокруг оси z с угловой скоростью «о. Ротор этого вектор-
векторного поля равен, как легко проверить, 2сок, т. е. он направлен по
оси вращения, а по величине равен удвоенной угловой скорости
(рис. 6.10).
Физический смысл этого результата заключается в следующем.
Всякая частица жидкости при вращении вокруг оси z участвует в двух
движениях: в мгновенном переносном движении со скоростью
v = (—усо, дгсо, 0) и в мгновенном вращательном движении. Легко

§ 4]
ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР
237
видеть, что мгновенная угловая скорость вращения любой частицы со-
совпадает с угловой скоростью w всего макроскопического движения
жидкости. Поэтому поле мгновенных угловых скоростей частиц ока-
оказывается постоянным и равным ы. Значит, и поле ротора также по-
постоянно и равно 2w. Вся жид-
жидкость как бы заполнена беско-
нечно малыми вихрями.
2. Рассмотрим жидкость, те-
текущую в постоянном направле-
направлении с постоянной скоростью, т. е.
предположим, что Р, Q и R посто-
постоянны. В этом случае rotA = 0.
3. Пусть Р = у, Q = 0,
ft — 0. В этом случае
rotA = —к.
rut A=-к
Рис. 6.11.
В последнем примере ротор
в каждой точке отличен от нуля,
хотя все векторные линии—пря-
линии—прямые, параллельные плоскости yz. Это может показаться противоре-
противоречащим утверждению, что rot А характеризует «вращательную ком-
компоненту» поля А. Но на самом деле это не так. Здесь «вращатель-
«вращательная компонента» обусловлена не искривлением векторных линий, а
изменением скорости движения при изменении расстояния от плос-
плоскости yz. Легко сообразить, что колесико с лопастями, поставлен-
поставленное в поток жидкости, движущейся в каждой точке (х, у, z) со ско-
скоростью {у, 0, 0), не будет находиться в покое, если только его ось
вращения не перпендикулярна оси z.
4. Пусть векторное поле А имеет компоненты
р =
i— —У
= 0.
F.30)
Это поле можно рассматривать как поле скоростей жидкости, дви-
движущейся в плоскости ху по гиперболам ху = С (рис. 6.12) так, что
величина скорости в каждой точке равна 1. Найдем дивергенцию и
ротор этого поля. Имеем
i^ У2-*2
(*2 + У2)'/2 '
, . Г д I —у \ д I х
rot А [ Л
L дх \ Vx2 + у2 / ду
divA = -^-
дх
ду
к =
к.
Здесь дивергенция положительна, когда |у|>|*|. и отрицательна
при | у | < | х \. Физически это означает, что движение несжимаемой
жидкости, описываемое полем F.30), возможно лишь тогда, когда

238
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 6
в тех областях, где |у|>|-*:|> имеются источники, а там, где
)у|<|х|, имеют место стоки. Ротор поля F.30), как и всякого
плоскопараллельного поля, направлен в каждой точке по оси z, именно,
ff\
его направление совпадает с положи-
положительным направлением оси z во вто-
второй и четвертой четвертях и с отри-
отрицательным направлением оси z в пер-
первой и третьей. И дивергенция, и ротор
поля F.30) стремятся к нулю, когда
х2-\-у'2—>оо, т. е. по мере удаления
от начала координат.
5. Еще раз о потенциальных и
соленоидальных полях. Понятие ро-
ротора, рассмотренное в этом парагра-
параграфе, непосредственно связано с опре-
определениями потенциального и солено-
идального полей, введенными выше.
Рис. 6.12. Мы назвали потенциальным вектор-
векторное поле, представимое в виде гра-
градиента некоторого скалярного поля, и показали *), что векторное
поле А = (Р, Q, R) потенциально в том и только том случае, если
его компоненты удовлетворяют условиям
_dP_j)Q дО___дЦ dR — др
ду дх ' дг ду ' дх дг
Но эти три условия означают не что иное, как равенство нулю всех
трех компонент ротора поля А. Таким образом:
Для того чтобы векторное поле А было потенциальным,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие**)
rotA=0.
Понятие соленоидального поля, введенное в § 2, тоже связано
с понятием ротора. Действительно, непосредственное вычисление
показывает, что для любого векторного поля А
д ( dR dQ\ . д (дР dR\ , д FQ дР\ „
=и (iff —ш)+17 Ы - -дх-)+1^ кй ~ -ду-) =Ol
т. е. векторное поле, представимое в виде ротора какого-либо дру-
другого векторного поля, соленоидально. Можно показать (мы не будем
этого делать), что верно и обратное, т. е. что всякое соленоидаль-
ное поле можно представить в виде ротора некоторого век-
*) Считая функции Р, Q, R непрерывно дифференцируемыми, а область,
в которой задано поле (Р, Q, R), односвязной.
**) Мы считаем, что поле А задано в односвязной области и его компо-
компоненты дважды непрерывно дифференцируемы.

§ 5] ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 239
торного поля. Иными словами, для всякого поля А, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию divA = 0, можно подобрать поле В так, что А = rot В.
Это векторное поле В определяется не однозначно, а с точностью
до произвольного слагаемого вида grad U.
Если А = rot В, то поле В называется вектор-потенциалом
поля А.
Хотя потенциальные и соленоидальные поля не исчерпывают всех
векторных полей, любое векторное поле сводится к комбинации
полей этих двух типов. Точнее говоря, можно доказать, что всякое
векторное поле А представимо в виде
А=В + С,
где В потенциально, а С соленоидально.
§ 5. Оператор Гамильтона
1. Символический вектор V. В § 1 мы ввели понятие градиента
скалярного поля. Переход от скалярного поля U к grad U можно
рассматривать как некоторую операцию, во многом аналогичную
по своим свойствам операции дифференцирования, с той, однако,
разницей, что дифференцирование переводит скаляр в скаляр,
в то время как здесь мы имеем переход от скаляра к вектору.
Операцию перехода от U к grad U часто обозначают, следуя Гамиль-
Гамильтону *), символом V (читается «набла» **)) и называют оператором
«.набла», или оператором Гамильтона. Таким образом, по опре-
определению
•W=grad(/.
Оператор V удобно трактовать как символический вектор с компо-
д д д
нентами -г—, -3— и -г—:
ох ду аз
а применение его к скалярной функции—как умножение скаляра на
этот вектор ***).
*) У. Р. Гамильтон A805—1865)— английский математик и ме-
механик.
**) Само название «набла» было также введено Гамильтоном. Наблой
назывался старинный музыкальный инструмент, имевший треугольную форму.
***) Выше, например, при записи ротора как символического детерминанта
мы уже видели, что операцию дифференцирования удобно представлять себе
как «умножение» символа дифференцирования на ту функцию, производная
которой вычисляется.

240 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
С помощью вектора V удобно записывать и остальные операции
векторного анализа, а именно, если А = (Р, Q, R), то
divA = ^P + ^LQ+4* = (V, A),
т. е. дивергенция векторного поля А есть скалярное произведение
символического вектора V и вектора А. Аналогично
т. е. ротор векторного поля А есть векторное произведение век-
вектора V на вектор А.
2. Действия с вектором V. Целесообразность введения символи-
символического вектора V состоит в том, что с его помощью удобно полу-
получать и записывать различные формулы векторного анализа. Кроме
того, сами эти формулы приобретают в такой записи большую
наглядность и выразительность. Вот простейшие примеры.
Выше мы с помощью непосредственных вычислений получили
следующие два равенства:
rotgrad U = 0
и
div rot A= 0.
Переписав их с помощью вектора V, получим
[V, Vf/] = O
(V, V, А) = 0.
Левая часть первого из этих равенств представляет собой «векторное
произведение» (символическое) двух «векторов», отличающихся друг
от друга лишь скалярным множителем, а во втором равенстве слева
стоит «смешанное произведение» трех векторов, два из которых
одинаковы. Следовательно, равенство нулю этих выражений нахо-
находится в полном соответствии с основными законами векторной
алгебры.
С помощью непосредственной проверки можно убедиться в том,
что на вектор V можно перенести многие из основных действий,
известных для обычных векторов. Именно это обстоятельство и дает
возможность получать с помощью вектора V ряд формул векторного
анализа, применяя аппарат векторной алгебры.
Следует, однако, иметь в виду, что аналогия между символи-
символическим вектором V и «настоящими» векторами — не полная. Именно,
формулы, содержащие символический вектор V, аналогичны обычным

§ 5] ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 241
формулам векторной алгебры в том случае, если они не содержат
произведений переменных величин (скалярных или векторных), т. е.
до тех пор, пока нам не приходится применять входящие в V опера-
операции дифференцирования к произведению переменных величин. Если же
некоторое выражение содержит произведение двух или нескольких
переменных сомножителей, то, применяя к этому выражению вектор V,
нельзя руководствоваться обычными правилами векторной алгебры.
Для установления соответствующих правил действия рассмотрим
некоторые примеры.
1. Пусть U=U{x, у, z)—скалярное поле и А = А(->с, у, z) —
векторное поле. Вычислим div(t/A), т. е. (V, Uk). Применение
вектора V сводится к применению входящих в него операций диф-
дифференцирования. Но, как известно, правило дифференцирования
произведения состоит в том, что мы дифференцируем сначала первый
сомножитель, а остальные рассматриваем как постоянные, затем
дифференцируем второй сомножитель, считая остальные постоянными,
и т. д. и берем сумму полученных таким образом выражений.
Условимся каждый раз отмечать в формулах знаком «j >> тот
сомножитель, к которому оператор V должен применяться. Тогда,
как легко проверить, выражение для div(£/A) можно записать так:
(V, f/A) = (V, #A) + (V. Uk).
Множители, на которые V не действует, можно «высвободить»
из-под оператора V. Таким образом, получаем
(V, (/A) = (V, (/A) + (V, f/A) = (Vf/, A) + f/(V, A),
т. е. в обычных обозначениях
div(f/A) = (A, gradf/)+f/divA.
2. Рассмотрим выражение
grad (UV),
которое в символической записи имеет вид
VUV.
Руководствуясь сказанным выше, имеем
VUV = VUV + VUV = VVU + (/VI/,
т. е. в обычных обозначениях
grad (UV) = V grad U + U grad V.
Из рассмотренных примеров ясны правила, которые надо приме-
применять, пользуясь оператором V: в выражениях, содержащих одну
16 Б. М. Ьудак, С. В. Фомин

242 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
переменную, с ним можно поступать, как с обычным вектором,
а к выражениям, содержащим произведения нескольких переменных,
оператор V применяется в соответствии с правилом дифференциро-
дифференцирования произведения. Наконец, применение V к сумме любых слагае-
слагаемых всегда сводится к применению V к каждому из слагаемых
в отдельности.
Дадим в заключение этого параграфа сводку формул, связываю-
связывающих операции взятия градиента, ротора и дивергенции с основными
операциями векторной алгебры:
1. div(£/A) = (A, grad£/)+£/divA;
2. grad(£/K) = Kgrad£/+£/gradK;
3. rot(f/A)=f/rotA+[gradf/, A];
4. diy[A, B] = (B, rot A) —(A, rot B);
5. rot [A, B] = (B, V)A —(A, V) В + A div В — В div A;
6. grad(A, B) = (B, V)A-|-(A, V)B + [B, rot A] + [A, rot B];
в частности, положив в последней формуле А=В, получим
-^- = (A, V)A+[A, rot A].
Первые две из этих формул были получены выше. Остальные могут
быть получены аналогичным образом с применением оператора V
(и соблюдением указанных выше правил действия с V) и обычных
формул векторной алгебры. В частности, для вычисления выраже-
выражения rot [А, В], которое в символической форме пишется как
[V, [А, В]],
следует применить известную формулу *) двойного векторного произ-
произведения:
[a, [b, c]] = b(a, с) —с (а, Ь).
Выражение вида (A, V)B, встречающееся в последних двух форму-
формулах, означает векторную величину
/ дВх дВх дВх
\ х дх ' У ду ' z dz
л
лх
6Ву
дх
А
лх
-А- А
дВг'
дх
дВу
' ду
1 Л
1 лу
I Д
6Вг
ду '
дВу
dz
А
дВг
dz
*) Эту формулу удобно запомнить так: произведение [а, [Ь, с] ] равно
среднему вектору Ь, умноженному на скалярное произведение крайних
(т. е. на (а, с)), минус внутренний крайний вектор (т. е. с), умноженный на
скалярное произведение двух остальных (т. е. на (а, Ь)). Это правило, как
легко проверить, остается в силе и для двойного векторного произведения,
имеющего вид [ [а, Ь], с].

6]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
243
которую можно рассматривать как результат применения «скаляр-
«скалярной» операции
/ А \/\ Л ^__ I , А I , А _^_
v ' х ах ' у ду г oz
к каждой из компонент вектора В *).
§ 6. Дифференциальные операции второго порядка.
Оператор Лапласа
1. Дифференциальные операции второго порядка. В преды-
предыдущих параграфах мы ввели понятия градиента, дивергенции и
ротора. В приложениях векторного анализа приходится встречаться
не только с выполнением этих основных операций, но и с различ-
различными их комбинациями. Особенно часто встречаются так называемые
операции второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указан-
указанных выше основных операций.
Комбинируя символы grad, rot, div попарно, мы можем соста-
составить из них девять пар. Однако не все эти пары имеют смысл;
например, операция
rot div
{т. е. взятие ротора от дивергенции) не имеет смысла ни для ска-
скалярного поля, ни для векторного. Все имеющиеся здесь возмож-
возможности изображаются следующей таблицей:
grad
div
rot
Скалярное поле U
grad
div grad V
rot grad СэО
Векторное поле А
div
grad div A
rot
div rot A
rot rot A = 0
в которой заштрихованы клетки, отвечающие не имеющим смысла
сочетаниям основных операций. Мы видим, что применительно
*) Для большей симметрии формул мы здесь обозначили компоненты
векторов А н В теми же буквами, что сами векторы, добавив соответствую-
соответствующие индексы. Такой системой обозначений мы будем пользоваться и дальше.
16*

244 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
к скалярному полю имеют смысл две операции, а именно:
rot grad U,
divgrad U.
Первое из этих выражений представляет собой ротор потенциаль-
потенциального поля grad U и, как мы видели, тождественно равно нулю.
Выражение divgrad U, вообще говоря, не обязано быть нулем.
Оно называется оператором Лапласа *) и обозначается ail. Вос-
Воспользовавшись известными выражениями градиента и дивергенции
в декартовых координатах, получаем
дх ' ду J ' dz
Так как и дивергенция, и градиент не зависят, как мы знаем,
от выбора координатной системы, то и ДУ зависит лишь от самого
поля U, но не от системы координат. К оператору Лапласа мы еще
вернемся ниже.
Оператор Лапласа А естественно рассматривать как скалярный
квадрат вектора V. Действительно,
-V+(—V-W—V-
-д
. [дх) \ду) \дг) — '
Иногда приходится оператор А применять не к скалярной величине,
а к вектору. При этом если
то под АА понимается вектор
Как мы увидим немного ниже, это выражение на самом деле зависит
только от самого вектора А, но не от выбора системы координат.
Рассмотрим теперь операции второго порядка для векторного
поля. Применительно к векторному полю имеют смысл три операции
второго порядка, а именно:
grad div A,
rot rot A,
div rot A.
*) Точнее, оператором Лапласа называется сам символ Д = div grad,
применение которого к скалярному полю U Дает величину (опять-таки ска-
скалярную) AU.

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 245'
С выражением вида divrotA мы уже встречались в § 4 при нахо-
нахождении условий соленоидальности поля и выяснили, что всегда
divrot A=0.
Напротив, выражения graddivA и rot rot А не обязаны обра-
обращаться в нуль. Они часто встречаются в различных вопросах меха-
механики и электродинамики.
Выведем формулу, связывающую эти величины. Рассмотрим для.
этого выражение
rot rot A,
которое в символической форме записывается так:
[V, [V, А]].
Воспользовавшись снова формулой для двойного векторного произ-
произведения, получим, что
[V, [V, A]] = V(V, A) —(V, V)A,
т. е.
rot rot A = grad div A — АА. F.31).
Из этой формулы видно, в частности, что выражение АА, опре-
определенное выше, действительно не зависит от выбора системы коор-
координат, поскольку величины rot rot А и grad div А с выбором системы,
координат не связаны.
Так как в выражении F.31) участвует только одна переменная
величина, то мы, оперируя с V, могли воспользоваться обычными
формулами векторной алгебры. Читателю рекомендуется проверить
равенство F.31) непосредственно, не прибегая к символическому
методу (и сравнить выкладки в том и другом случае).
2. Уравнение теплопроводности. В качестве применения введен-
введенных выше понятий рассмотрим вывод уравнения для поля темпера-
температур внутри некоторого нагретого тела. Пусть U (х, у, z, t) — темпе-
температура тела в точке (х, у, z) в момент t. Выделим в этом теле
некоторый объем О, ограниченный замкнутой поверхностью 2, и вы-
вычислим двумя способами изменение количества тепла внутри этого
объема за малый промежуток времени dt. В каждом элементе объема
температура за время dt меняется на величину -^j-dt, а масса этого
элемента равна pdv (где р — плотность). Следовательно, изменений
количества тепла в элементе объема есть
c~dtpdv

'246 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
(здесь с — удельная теплоемкость; величины сир предполагаются
постоянными), а изменение количества тепла за время dt во всем
объеме й равно
С другой стороны, ту же самую величину dQ можно подсчитать как
количество тепла, протекающего за время dt через поверхность 2,
ограничивающую объем Q. Количество тепла, протекающего за время dt
через элементарную площадку da, равно (см. п. 1 § 2)
dtk (grad U)a da,
а количество тепла, протекающего за это время через всю поверх-
поверхность 2, выразится интегралом
dtffk(gradU)nda.
s
Преобразовав этот интеграл по формуле Остроградского в объем-
объемный, получим
k (grad U)nda=dt J J J ft div (grad U)dv = dt J J J ft At/ ato.
S Q Q
Приравняв друг другу полученные выражения для AQ и сократив
на dt, будем иметь
JI №<**>=!П
Так как это равенство должно иметь место для любой пространст-
пространственной области О, то отсюда следует
Мы получили уравнение, которому должна удовлетворять функция U,
представляющая собой температуру некоторого тела, т. е. так назы-
называемое уравнение теплопроводности.
3. Стационарное распределение температур. Гармонические
поля. Мы показали, что распределение температур внутри тела
должно удовлетворять уравнению F.32). Может, в частности, ока-
оказаться, что рассматриваемое нами тело находится в состоянии тепло-
теплового равновесия, т. е. что ни на границе его, ни во внутрен-
внутренних точках температура не меняется со временем. Тогда —зт- = 0 и

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 247"
уравнение F.32) принимает вид
т. е. в декартовых координатах
d2U d2U д2и _
дх2 ду2 ■" дг2
Состояние теплового равновесия можно представить себе следующим-
образом. Предположим, что на границе тела в каждой точке под-
поддерживается некоторая фиксированная температура, не зависящая от
времени (но разная, вообще говоря, в разных точках). Тогда то
распределение температур, которое установится внутри тела через
достаточно большой (строго говоря, бесконечно большой) промежу-
промежуток времени, и будет тем равновесным распределением температур,
которое соответствует заданному тепловому режиму на поверх-
поверхности тела.
Уравнение
называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается не
только стационарное распределение тепла. Уравнение Лапласа играет-
первостепенную роль при описании и других установившихся про-
процессов, например равновесного распределения зарядов по поверх-
поверхности проводника, установившегося движения несжимаемой жидкости
в замкнутом сосуде и т. д. Скалярное поле U(х, у, z), удовлетво-
удовлетворяющее условию Д£/ = 0, называется лапласовым или гармониче-
гармоническим полем. Стационарное распределение температур внутри неко-
некоторого тела представляет собой, согласно сказанному выше, гармони-
гармоническое поле.
Один из важных примеров гармонического поля — это функция
у (r=Yx2-\-y2-\-z2, k = const).
Эту функцию можно представлять себе как потенциал поля тяготе-
тяготения (или электростатического поля), создаваемого точечной массой
(точечным зарядом), помещенной в начале координат. Проверим, что
эта функция — гармоническая (кроме начала координат, где она не-
определена). Действительно,
Jkkx д2 к г3
дх г ~ г3 ' дх2 г ~ " г6
и аналогично
_ .
д2 _ft _ Зу2 — г2 д2 k _ . 3z2 — г2
ду2 г г5 ' !F~T г5

248 ТЕОРИЯ ДОЛЯ [ГЛ. 6
откуда
А
(А)-*
k
k
Гармонической будет и функция ,г_г , при любом фиксирован-
фиксированном г0, а следовательно, и любая линейная комбинация вида
представляющая собой потенциал, создаваемый системой точечных
масс. Предельный переход от точечного распределения масс к непре-
непрерывному с плотностью \х(х, у, г), естественный здесь с точки зре-
зрения физики, потребовал бы для своего математического обоснования
применения теории интегралов, зависящих от параметра, которые
будут рассмотрены в гл. 10. Систематическое изложение всего круга
вопросов, связанных с понятием потенциала, имеется в учебниках по
математической физике.
Упражнения. 1. Напишите потенциал поля тяготения, созда-
создаваемого массой, непрерывно распределенной по пространству с плот-
плотностью \х(х, у, z).
2. Каков потенциал электростатического поля, создаваемого беско-
бесконечной, равномерно заряженной нитью. Будет ли этот потенциал
гармонической функцией?
§ 7. Запись основных дифференциальных операций
теории поля в ортогональных криволинейных координатах
1. Постановка задачи. Такие величины, как градиент, диверген-
дивергенция, ротор и другие, часто встречаются в различных задачах теоре-
теоретической и математической физики. Во многих случаях полезно уметь
записывать эти величины не только в декартовых координатах, как это
было сделано выше, но и в тех или иных криволинейных системах
координат. Предположим, например, что рассматривается поле, обла-
обладающее сферической симметрией, т. е. в каждой точке рассматри-
рассматривается величина, скалярная или векторная, зависящая только от рас-
расстояния этой точки до начала координат. Ясно, что все формулы,
связанные с таким полем, должны значительно упроститься, если
записывать их в сферических координатах, а не в декартовых.
В других случаях могут оказаться удобными какие-либо иные си-
системы координат.
В этом параграфе мы запишем в криволинейных координатах
выражения для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа.

§ 7] ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 249"'
2. Криволинейные ортогональные координаты в пространстве.
Предположим, что в трехмерном пространстве введена некоторая
система криволинейных координат q^, qv q3 *) и пусть
x = x{qv qv q3), y = y{qx, q2, q3), Z = z(qv q2, q3) F.33)
— формулы, связывающие декартовы координаты х, у, z с криволи-
криволинейными координатами qv q2, q3.
Мы ограничимся простейшим и в то же время практически наи-
наиболее важным случаем ортогональных координат (система криволи-
криволинейных координат называется ортогональной, если в любой точке
три координатные линии, проходящие через эту точку, ортогональны
между собой). Свойством ортогональности обладают, в частности,
такие употребительные в пространстве системы координат, как сфе-
сферическая и цилиндрическая.
Найдем прежде всего выражения для элементов длины, площади
и объема в ортогональных координатах.
Для этой цели рассмотрим бесконечно ма-
малый криволинейный параллелепипед, вы -
резаемый тремя парами координатных по-
поверхностей, отвечающих соответственно
значениям параметров qx, q2, q3, равным qx
и ql-\-dql\ q2 и q2-\~dq2, q3 и q3-\-dq3
(рис. 6.13).
Рассмотрим сначала ребро MMV Тлч-
ка М имеет криволинейные координаты
(<7i> Qv Яъ)< а точка Л1, — криволинейные
координаты (qi-\-dqx, q2, q3). Обозначив Рис. 6.13.
декартовы координаты точки М через
х, у, z, а декартовы координаты точки Мх — через x-\~dx, y-\-dy,,
z-\-dz, мы можем написать, что длина dlx вектора ММХ равна
Вдоль ребра ММ1 координаты х, у, z суть функции переменной qv
(q2 и <73 постоянны вдоль ММХ). Следовательно, в данном случае
ах=а^ dy=dq dz=
*) С понятием криволинейных координат в пространстве мы уже встре-
встречались в гл. 2. Мы будем предполагать, что функции, связывающие криво-
криволинейные координаты с декартовыми, удовлетворяют тем условиям, которые
формулировались в гл. 2 § 4. Для большей симметрии формул мы будем
здесь обозначать криволинейные координаты несколько иначе, чем в гл. 2,
а именно, одной буквой с индексами 1, 2, 3. Аналогично компоненты вектор-
векторного поля А (в той системе координат, которая будет рассматриваться^
мы обозначим А}, Аъ А3.

250 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
и
Аналогично для длин dl2 и <й3 ребер ММ2 и МА13 получаем сле-
следующие выражения:
/" дг
Введя обозначения
F.34)
dz
перепишем формулы для rf/p rf/2 и ^з так:
dll = Hldql, dl2 = H2dq2, dl3 = H3dq3. F.35)
Множители //j, //2> ^з называются параметрами Ламэ, отвечаю-
отвечающими криволинейным координатам qx, q2, q3; их называют также
масштабными множителями. Координатные линии, вдоль каждой
из которых меняется только один параметр, следует представлять
себе как кривые, на которые нанесены шкалы значений этих пара-
параметров. Множители Hlt H2, Н3 на этих кривых преобразуют «неесте-
«неестественные» параметры qv q2, q3 в «естественные»—длины дуг соот-
соответствующих линий.
Наша система координат ортогональная, поэтому площадь do1
грани MM2NXMZ равна произведению dl2 на dl3, т. е.
dal = H2H3 dq2 dq3;
аналогично для площадей da2 и da3 двух других граней MM1N2M3
и MMlNiM2 имеем
и da3 = HlH2dqldq2. F.36)
Наконец, объем всего рассматриваемого бесконечно малого парал-
параллелепипеда равен
dv = dlx dl2 dl3 = HXH2H3 dqx dq2 dq3. F.37)
Введем в точке М ортогональный и нормированный базис, состоящий
из трех единичных векторов ev e2, е3. касательных к координатным

§ 7]
ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
251
линиям, проходящим через точку М. Заметим, что в отличие от
декартовой системы координат, определяемой тремя постоянными
единичными векторами i, j, k, этот базис е^ е2. е3 будет меняться
от точки к точке, т. е. сами векторы е^ е2, е3 представляют собой
функции параметров qv q2, q3. Это не мешает нам, однако, любой
вектор, заданный в произвольной точке М (т. е. любое векторное
поле), записать в виде линейной комбинации векторов е^ е2, е3.
Ъ. Цилиндрические и сферические координаты. Вычислим пара-
параметры Ламэ для важнейших частных типов ортогональных криволи-
криволинейных координат: цилиндрической и сферической систем. Цилиндри-
Цилиндрические координаты г, ф, z связаны с декартовыми координатами,
формулами
X = rCOS(p, у = Г81Пф, Z = Z.
Отсюда по формулам F.34) получаем
F.38>
Благодаря тому что параметры Ламэ имеют непосредственный геоме-
геометрический смысл, эти результаты нетрудно усмотреть геометрически
без всяких вычислений. Рассмотрим бесконечно малый параллелепи-
параллелепипед, ограниченный тремя парами координатных поверхностей, отве-
отвечающих значениям цилиндрических координат, со-
соответственно равным г и r-\-dr, ф и ф-4-а?ф. z
и z-\-dz (рис. 6.14). Длины dlx, dl2 и dl3 ребер
АВ, АС и AD этого параллелепипеда соответст-
соответственно равны dr, r dtp и. dz, откуда сразу следуют
формулы F.38).
Аналогично для сферических координат, за-
задаваемых равенствами
A; = pcos<psin9, y = psirupsin9, z =
вычисление дает
H1=l,
=р, #3=psin9. F-39)
Этот результат тоже виден непосредственно из чертежа (рис. 6.15),.
так как длины dlv dl2 и dl3 ребер АВ, АС и AD параллелепипеда,
ограниченного координатными поверхностями, отвечающими значе-
значениям сферических координат р и p-\-dp, <p и ф-|-й?ф, 9 и

252
соответственно равны
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 6
dp, pdQ и
откуда сразу получаем F.39).
4. Градиент. Найдем выражение градиента в ортогональных криво-
криволинейных координатах. Проекция градиента функции U^U(ql> qv q3)
на некоторое направление совпадает, как известно, с производной
от U по этому направлению. Следовательно, для того чтобы вычи-
вычислить компоненты вектора grad U в базисе е^
е2, е3. нужно вычислить производные от U по
направлениям, определяемым этими векторами.
Пусть ALJ—разность значений функции U в
точках Мг и М. Тогда
Рис. 6.15.
(grad U, в1)= Hm 4^ =
= hm
1 dU
Я, d4l
Аналогично две другие компоненты градиента равны
1 dU
dU
Я,
Таким образом, окончательно,
ал 1 dU , 1 dU . 1 dU ,R лпл
grad и =-=-=- -т—ei + -rr-^—£i-r--rr-^,— е,. F.40)
6 Я, d^, l ' Н2 dq2 l ' Я3 d^a J v
б. Дивергенция. Вычислим теперь дивергенцию некоторого век-
векторного поля А в координатах qx, q2, q$- В § 2 мы определили divA
в точке М формулой
div
A= lim —щу- Г Г Ando.
Следовательно, мы можем вычислить div А в точке М как отно-
отношение потока вектора А через поверхность бесконечно малого парал-
параллелепипеда, изображенного на рис. 6.13, к объему dv этого парал-
параллелепипеда. Обозначим А-у, А2, А3 компоненты вектора А в базисе е^
е2, е3 (т. е. положим А^ Л1е1-[~^2е2 4~^зез) и вычислим сначала
поток этого вектора через две грани, перпендикулярные ребру MMV
Внешняя нормаль к грани MM2N\M3 совпадает с вектором — &г
(вектор £у направлен в сторону возрастания qlt а внешняя нормаль
к рассматриваемой грани имеет противоположное направление). Следо-

■§ 7] ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 253
вательно, поток вектора А через эту грань равен (с точностью до
бесконечно малых выше первого порядка относительно dv)
(A, — il)dal = —AlH2H3dg2dg3, F.41)
где величины Av Н2, Н3 берутся в точке (ди д2, q3).
Противоположная грань M1N3NN2 отличается от рассмотренной
тем, что на ней первая криволинейная координата равна gi~\-dg1
{а не дх)\ следовательно, значение величины А1Н2Н3 на этой грани
отличается от ее значения на грани MM2NXM3 приращением
Кроме того, направление нормали к грани M{N3NN2 совпадает
с направлением вектора ег Поэтому поток вектора А через грань
MlN3NN2 равен
[ЛН2Н3 + -^ (А,Н2Н3) dqi\ dg2 dg3. F.42)
Сложив выражения F.41) и F.42), получим, что поток вектора А
через две параллельные между собой грани MM2N^M3 и MXN3NN2
равен
-^-(A1H2H3)dg1dg2dg3.
Аналогично, рассматривая две другие пары параллельных между
собой граней, получим следующие два выражения для потока век-
вектора через эти пары граней:
d(A2H3Hi) , , , d(A3HlH2) , , ,
dql d(lid42dg3 и ^з dgxdg2dg3.
Складывая все эти три величины и деля на dv, получим
2Нъ) , d(A2H3H{) , д(Л3Я,//2I
н,НгН3 [ dqi ' W2 ' W» J" ( }
6. Ротор. В § 4 мы показали, что проекция (rotA)n ротора век-
векторного поля А в некоторой точке М на направление некоторого
фиксированного вектора п представляется формулой
(rotA)n=lim - Г Axdl,
где S — площадка, перпендикулярная вектору n, a — ее площадь и
L — ее граница. Следовательно, мы можем получить проекцию rot A
на направление вектора е^ вычислив циркуляцию А вдоль контура
MM2N1M3M (рис. 6.13) и разделив ее на da1. Представим эту
циркуляцию в виде суммы четырех слагаемых, отвечающих отрезкам

254 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ТЛ. 6
ММ2, M2Nit NiM3 и М3М, и вычислим каждое слагаемое отдельно.
Начнем с первого из них. Проекция вектора А на направление ММ2
равна А2, следовательно, циркуляция вектора А вдоль ММ2 равна
(с точностью до бесконечно малых выше первого порядка относи-
относительно ufo)
А2 dl2 = А2Н2 dq2, F.44)
где величины А2 и Н2 берутся в точке (qu q2, q3). Циркуляция
вдоль №гМ3 отличается от только что полученного выражения тем,
что на NXM3 третья координата равна q3-\-dq3, а не q3, как на ММ2,
и, кроме того, направление отрезка NXM3 противоположно направ-
направлению е2. Поэтому циркуляция вдоль NXM3 равна
(А2Н2)dq3~\ dq2. F.45)
Аналогично получаем для циркуляции вдоль M2NX и Щ3М выра-
выражения
[А3Н3 + -£- (А3Н3) dq2] dq3 F.46)
— A3H3dqr F.47)
Сложив величины F.44), F.45). F.46) и F.47), получим, что цир-
циркуляция вектора А вдоль контура М М2Ыг N3M равна
d
Деля полученное выражение на H2H3dq2dq3, т. е. на площадь гра-
грани MM2N1M3, получаем, что компонента (rotA)! вектора rot А в на-
направлении базисного вектора е1 равна
з) д(АгН2)\
dq3 Г
Аналогично вычисляются две другие компоненты:
7. Оператор Лапласа. Исходя из найденных выражений для
grad U и div А, мы можем написать выражение оператора Лапласа
в координатах qv q2, q3- Получаем
д
Я3//, dU\ , о i nxn2 uu \\ F 49)
ug2 \ H2 cq2

§ 7] ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 255
Эту формулу очень легко запомнить, если знать ее «происхожде-
«происхождение». Множители Ламэ //,, Н2, Н3 в знаменателях при dqx, dq2, dq3
возникли из-за градиента. Множители Н2Н3, Н3НХ> НХН2 в числите-
числителях возникли из площадей тех площадок, через которые вычисляется
поток, множитель -&■ „ „ возник из-за того, что поток через грани
пхпгпг г г
параллелепипеда делится на объем параллелепипеда.
8. Запись основных формул в цилиндрических и сфериче-
сферических координатах. Выше, в п. 3, мы уже нашли параметры Ламэ
для цилиндрических и сферических координат. Чтобы написать в эгик
системах координат формулы для градиента, дивергенции, ротора
и оператора Лапласа, нужно лишь подставить эти параметры в по-
полученные выше общие формулы. Таким образом, находим:
а) для цилиндрических координат:
. ,, dU . 1 dU , dU
grad и = —j— er ~\ -г— еф + -s— er,
6 dr r ' г дф ф ' dz z
1 d\ i <>Az
dr г дц>
~r ~dr X dr j ~r ~W дф2 г dz2 '
б) для сферических координат:
dU . 1 dU , 1 dU
А- л— ' д{рАр) I ' d(sinMe) ,
р2 ф "^ р sin 9 дв ~г~
ф "r p sin 9 дв ■" p sin 9 Лр '
1 / д (Лф si
fOt A = psin9 1 W
1 дА 1 д(рА)\ /1 д(рАв) 1
1ее + Ьг'
"+" \ р sin 9 «?ф р ф /ее ~Г" \ р ф р дв
1 д I 2 dU\ . 1 d / . 0 df/\ , I d2U
= т ^ \р ~W>+lsin e +
В задачах, связанных с рассмотрением- оператора Лапласа в сфе-
сферических координатах, часто наряду с полным оператором Лапласа А(/
встречается выражение
д
fcine^ i
р2 sin 9 дд \ с»9 j |~ р2 sin2 9 дф
называемое «угловой частью» оператора Лапласа.

256 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
Замечание. В этом параграфе мы систематически пользова-
пользовались такими понятиями, как «бесконечно малый параллелепипед»,
«элемент объема» и т. д. Ясно, что здесь, как и в других подоб-
подобных случаях, смысл этих выражений состоит в том, что мы рассмат-
рассматриваем сначала объекты конечных размеров, а затем совершаем
предельный переход, стремя эти размеры к нулю. Мы полагаем, что
при желании читатель может проделать самостоятельно все те пре-
предельные переходы, которые здесь лишь подразумевались, но не изла-
излагались.
§ 8. Переменные поля в сплошных средах
До сих пор мы, изучая те или иные' поля, интересовались в ос-
основном зависимостью соответствующих величин (скалярных или век-
векторных) от пространственных координат. Сейчас мы рассмотрим не-
некоторые вопросы, связанные с зависимостью поля от времени.
1. Локальная и материальная производные. Рассмотрим дви-
движущуюся жидкость, скорость которой в каждой точке зависит не
только от координат этой точки, но и от времени. Пусть, далее,
с этой жидкостью связана некоторая переменная величина ф, напри-
например температура, давление и т. п. Изучая изменение этой величины ср
с течением времени, мы можем поступать двояким образом: или сле-
следить за ее изменением в данной точке, т. е. при фиксированных
значениях х, у и z, или же рассматривать значение этой величины
для данной частицы (координаты которой меняются с течением вре-
времени). Например, если речь идет о температуре потока жидкости,
то ее можно измерять термометром, укрепленным неподвижно, или
же термометром, который плывет в этом потоке. Изменение с те-
течением времени некоторой величины (f(M, t) в данной точке М ха-
характеризуется так называемой частной или локальной производной
* = lim ■PW+AQ-'KAf.Q, F>50)
at м
при вычислении которой точка М рассматривается как фиксиро-
фиксированная.
Изменение с течением времени величины cp(AI, t) для данной
частицы характеризуется полной или материальной производной
ц>{М, t) no t, которая определяется следующим образом.
Пусть М — положение данной частицы в момент t, a M' — по-
положение этой же частицы в момент t-\-At. Полной производной ср
по t называется
—<p(AU) _ F
д/->э

§ 8] ПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ 257
Чтобы установить связь между локальной и материальной производ-
производными, заметим, что, вычисляя материальную производную, мы должны
считать координаты х, у и z точки М функциями от t, причем их
производные по t — это компоненты скорости потока в точке М:
dx dy dz
~dt = Vx> 4t==vr ~lt= v*-
Поэтому, дифференцируя ср = ф(л;, у, z, t) как сложную функцию"
от t, получаем
da <3ф , дф . дф , йф
т. е.
4f = ^+^, gradcp). F.52)
Аналогичным образом можно ввести понятия частной и полной про-
производной по времени и для какой-либо векторной величины А (М, t),
связанной с движущейся средой. Эта производные определяются фор-
формулами
вК = , A(Af.< + AQ
dt At+0 М
dk ,. А (М ,t + АЛ — А <М, t)
~1г= llm ——^~d——
at
аналогичными формулам F.50) и F.51). Связь между этими произ-
производными дается формулой
dA дА , дА . дА , дА ,„ __
—7T = -M--h^—'ur-!r-i— vv + 1— vz< F.55)
dt dt ' dx x ' ду У ' dz z ч '
которая получится дифференцированием А (х, у, z, t) как сложной
функции от t- Равенства F.52) и F.55) удобно записать в виде
Нf F.56)
понимая под (v, V) оператор
д
т. е. «скалярное произведение» вектора скорости v и символиче-
символического вектора V.
Слагаемые (v, ¥)q> и (v, V)A, входящие в формулы F.56) и
F.57), называются конвективными членами; они связаны с переносом
17 Б. М. Будак, С. В. Фомин

258 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
(конвекцией) частиц и возникают только при рассмотрении движу-
движущейся среды.
Рассмотрим в качестве примера ускорение частицы движущейся
жидкости. Оно представляет собой полную (т. е. относящуюся к
фиксированной частице) производную скорости. Воспользовавшись
формулой F.56), получаем
F.58)
т. е. в координатной записи
dvx dvx dvx
J
и аналогично для двух других компонент.
2. Уравнение Эйлера. Воспользуемся понятиями материальной и
локальной производных для вывода одного из основных уравнений
гидродинамики — так называемого уравнения Эйлера.
Рассмотрим внутри движущейся жидкости некоторый объем Q,
ограниченный поверхностью 2. На элемент da этой поверхности
действует сила — давление, равное — рп da, направленное по нор-
нормали *) к da (здесь п — единичный вектор внешней нормали, а
р — скалярная величина). Сила F, действующая на всю поверхность S,
запишется в виде
F = — J J рп. da, F.59)
где, как всегда, под интегралом от вектора
рп = р cos(n, х) i -f- p cos(n, у) j -\- p cos(n, z)k
понимается вектор с компонентами
Г Г р cos (п, х) da, I Г р cos (n, у) da и Г Г р cos (n, z) da.
2 S 2
F.60)
Интеграл F.59) можно преобразовать в тройной интеграл по объему,
применив формулу Остроградского к каждой из компонент F.60)
*) Мы считаем, что рассматриваемая жидкость идеальная, т. е. имеет
нулевую вязкость. В этом случае давление на любую бесконечно малую пло-
площадку внутри жидкости направлено по нормали к этой площадке.

§8] ПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ 259
этого вектора. Получим
s а й
~kff fl&** = -fffgnipto.
я а
следовательно, на каждый элемент d& объема жидкости действует
сила
— grad p ufa».
С другой стороны, если р(Л4, t) — плотность жидкости в данной
точке М в момент t, a w — ускорение частицы, находящейся в этой
точке, то wp(M, t)dio представляет собой произведение массы, со-
содержащейся в объеме dm, на ускорение, и, следовательно, по за-
закону Ньютона имеет место равенство
w p ufa) = — grad p d<A,
т. е.
wp = — grad/?. F.61)
Это и есть основное уравнение свободного движения идеальной
жидкости, называемое обычно уравнением Эйлера *). Здесь под w
понимается ускорение частицы жидкости, т. е. полная производная
скорости по времени w=="^7"- Воспользовавшись выражениями для
компонент ускорения, найденными в конце п. 1, мы можем перепи-
переписать уравнение Эйлера в координатной форме:
/ dvz . ииг .
\dr4rV*~WT-vy ду
3. Производная по времени от интеграла по жидкому объему.
Рассмотрим в движущейся среде некоторый объем О. Мы будем
называть этот объем жидким, если он во все моменты времени
состоит из одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, жидкий
*) Знак минус в правой части уравнения F.61) имеет ясный физиче-
физический смысл: понятно, что ускорение каждой частицы жидкости направлено
в сторону уменьшения давления, т. е. против градиента р.
17"

250 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6
объем с течением времени перемещается и деформируется. Рассмотрим
интеграл
У== Г J J cpcto F.62)
от некоторой скалярной функции ср(М, t) по такому жидкому объему
и вычислим производную этого интеграла по времени.
При вычислении этой производной мы должны учесть, что инте-
интеграл F.62) зависит от времени двояким образом: во-первых, от t
зависит подынтегральная функция, а во-вторых, при изменении t
меняется и та пространственная область, по которой интеграл берется *).
Если бы изменения объема Q не происходило, то за время dt
функция ф получила бы приращение -~dt, а интеграл F.62) полу-
получил бы при этом приращение
*///£*••
£2
Рассмотрим теперь изменение интеграла F.62), вызванное изменением
объема Q. Обозначим S поверхность, ограничивающую объем Q
в момент t. Изменение объема Q за время dt происходит, очевидно,
за счет того, что некоторые частицы жидкости за это время втекают
или вытекают через поверхность 2. Через элемент da поверхности 2
за время dt вытекает объем жидкости, равный vndtda, где vn — проек-
проекция скорости жидкости на внешнюю нормаль к da. Это изменение
объема даст интегралу F.62) приращение
фг/я dt da,
а все изменение интеграла F.62), вызванное изменением объема О
за время dt, равно
dt / / фг/я da'
Таким образом, полное изменение интеграла F.62) за время dt равно
dJ=dt f f f -^-da + dt f f <pvnda
*) Интеграл F.62) представляет собой так называемый интеграл, зави-
зависящий от параметра, причем от параметра t зависят и подынтегральная
функция и область интегрирования. Основы теории интегралов, зависящих
от параметра, будут изложены в гл. 10. Здесь мы, не опираясь на общую
теорию, рассмотрим лишь вопрос о вычислении производной интеграла F.62)
по времени, важный с точки зрения физических приложений.

§ 8] ПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ 261
и, следовательно,
ff !&//*>. F.63)
Преобразовав второе слагаемое в правой части этого равенства по
формуле Остроградского, получим
± f f f Ф <*» = /// [i|- + div (q>v)] fito. F.64)
£2 "a
Наконец, воспользовавшись равенством
div (фу) = ф div v + (v, grad ф)
(см. F.29)) и выражением F.52) для полной производной, получаем
окончательно
fff fff(% v*)d*. F-65)
В частности, если divv = 0 (т. е. рассматривается движение
несжимаемой жидкости, без стоков и источников), то формула F.65)
принимает более простой вид:
Замечание. Рассмотренная нами задача о дифференцировании
интеграла, взятого по жидкому объему, аналогична следующей одно-
одномерной задаче (с которой мы еще встретимся в гл. 10): вычислить
производную по t от интеграла
b(t)
У(*) = J ф(х, t)dx.
a(t)
Рассматривая J{t) как сложную функцию от a (t), b{t) и t, легко
получаем, что
/ (t) = f ^dx + cp(b (t), t) V (t) — ф (a (t), t) a' (t).
a\t)
Здесь опять-таки J'(t) представляет собой сумму двух слагаемых,
первое из которых определяется изменением подынтегральной функ-
функции, а второе — изменением области интегрирования.
Мы рассмотрели выше интеграл по жидкому объему от скалярной
функции. Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл по

262 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. S
жидкому оОъему от векторной функции А (М, t). Для производной
этого интеграла по t получается с помощью тех же рассуждений
формула
^//////BH&)- F-66>
Выше речь шла об интегрировании по жидким объемам. В гидро-
гидродинамике и других разделах физики приходится рассматривать, наряду
с жидкими объемами, жидкие поверхности и линии. Они определяются
как поверхности и линии, состоящие из фиксированных частиц
жидкости и, следовательно, меняющие с течением времени форму и
положение в пространстве в соответствии с движением жидкости.
Поверхностные или криволинейные интегралы по таким жидким поверх-
поверхностям или линиям от тех или иных функций опять-таки предста-
представляют собой выражения, зависящие от времени двояким образом
(от времени зависят и область интегрирования и подынтегральная
функция). Применяя те же рассуждения, что и в случае жидких
объемов, нетрудно получить формулы для дифференцирования таких
поверхностных и криволинейных интегралов по времени.
4. Другой вывод уравнения неразрывности. Из формулы F.63)
сразу вытекает уравнение неразрывности, полученное нами в п. 5 § 3.
Пусть р(М, ^—плотность движущейся (сжимаемой) жидкости. Масса Т
этой жидкости, заключенной в некотором объеме Q, равна
Если объем Q жидкий, то масса внутри этого объема остается
постоянной. Следовательно (см. F.64)),
d
dt
f f fp*« = f f f[£
Так как объем Q произволен, то отсюда получаем
-|L+div(pv) = 0,
т. е. уравнение неразрывности.

ГЛАВА 7
ТЕНЗОРЫ
В естествознании и технике приходится иметь дело с физическими
величинами различной математической природы. Это различие про-
проявляется, в частности, в характере их аналитического выражения
и в законах преобразования их аналитического выражения при пере-
переходе от одной системы координат в пространстве к другой.
Простейшими, с точки зрения математической природы, физиче-
физическими величинами являются скалярные величины, например масса
тела, объем тела, длина вектора и т. п., инвариантные относительно
преобразований координат. Каждая такая скалярная величина в лю-
любой системе координат выражается одним числом, причем это число
не зависит от выбора системы координат.
Следующими по сложности математической природы являются
величины векторные, например скорость, ускорение, сила и т. п.
Векторная величина в трехмерном пространстве в каждом базисе
определяется тройкой чисел — тройкой проекций вектора на оси
координат, или, как говорят, «тройкой координат вектора в данном
базисе», причем эти «координаты вектора» при переходе от одного
базиса к другому преобразуются по определенному закону.
Следующими после векторов по сложности математической при-
природы являются физические величины, называемые тензорами, играю-
играющие роль линейных операторов над векторами (по поводу понятия
линейного оператора см. п. 1 § 2). Такого рода величиной описы-
описываются, например, проводимость в анизотропном теле.
А именно, в изотропном теле вектор плотности тока j и вектор
напряженности электрического поля Е коллинеарны, т. е. связаны
соотношением
j = aE, G.1)
где а—скалярный множитель (а > 0), называемый проводимостью.
В анизотропном теле j и Е уже, вообще говоря, не коллинеарны и
множитель а является линейным оператором, преобразующим вектор Е
в вектор j; этот оператор называется «тензором» проводимости.

2g4 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. 7
Если выбрать в пространстве какой-либо определенный базис
е , е2. е3 и разложить по этому базису j и Е
+£3е3. ( " }
то равенство G.1) можно заменить эквивалентной системой трех
скалярных равенств
з
Л=2°*А. k=\, 2, 3. GЛ')
Таким образом, тензор проводимости а в каждом базисе опреде-
определяется девятью числами aki, k, t = l, 2, 3, которые называются
координатами тензора а в данном базисе.
В определение тензора входит описание преобразования его коор-
координат при переходе от одного базиса к другому.
В §§ 1—9 мы ограничимся переходами лишь в множестве всех
ортогональных нормированных базисов и Изучением соответствую-
соответствующих им аффинных ортогональных тензоров. В § 10 мы остановимся
кратко на обобщениях.
§ 1. Понятие аффинного ортогонального тензора
1. Преобразования ортогональных нормированных базисов.
Рассмотрим два каких-либо ортогональных нормированных базиса elt
е , е3 и ej, е2, е3 в трехмерном евклидовом пространстве. Из орто-
ортогональности и нормированное™ базисов вытекают следующие соотно-
соотношения для скалярных произведений:
f 0 при I ф k,
(е, е,) = 4„. (ej. е'„) = 6и. 6lk = { } при . = k G.3)
Базисы ег е2, е3 и ej, e'y е'3 будем условно называть «старым» и
«новым»- Разложив векторы нового базиса по старому, получим
е2 = а^! + а22е2 + а23е3, G.4)
ез=аз1е( + аз2е2 + аззез'
или, короче,
е;= 2«оеу, t=l, 2, 3. G.4')

§ 1] ПОНЯТИЕ АФФИННОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 265
Матрица
" «и «12 а.
«21 а22 а23
а31 а32 аЗЗ
G.5)
называется матрицей перехода от старого базиса et, e2, е3 к новому
базису ej, е2, е3.
Изучим свойства этой матрицы. Умножая вектор ej = ane,-f-
"bai2e2~bai3e3 скалярно на вектор е'. = a.1e1-f-a.2e2-|-a.3e3, по-
получим
0 при у Ф I,
^^ G.б)
т. е. сумма квадратов элементов любой строки матрицы равна еди-
единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух
различных строк матрицы равна нулю*). Умножая скалярно G.4')
на ek, находим **)
Найдем аналогичные выражения для элементов матрицы, обратной
матрице G.5). Разлагая векторы старого базиса вр е2, е3 по новому,
будем иметь
или, короче,
Матрица
з
= 23
G.8)
G.8')
G.9)
Pil Pl2 Pl3
Р21 Р22 Р23
Р31 Р32 Р;
является, очевидно, обратной матрице G.5). Умножая G.8') скалярно
*) Матрица ||оеу||, для которой выполнены соотношения G.6), называется
ортогональной. Таким образом, матрица перехода от одного ортогонального
нормированного базиса к другому является ортогональной.
**) Очевидно, aik = (е', е#) = cos (е-, гк).

266 ТЕНЗОРЫ ГЛ. 7
на е'г получим
{*'t'4) = hi- G-10)
Сравнивая G.10) и G.7), найдем следующую связь между эле-
элементами матриц G.5) и G.9):
а« = Р«- G.П)
Таким образом, матрица G.9), обратная матрице G.5), получается
транспонированием матрицы G.5).
2. Определение аффинного ортогонального тензора. При по-
построении формальной теории тензоров инвариантные скалярные ве-
величины и векторы оказывается целесообразным включить в число
тензоров. Так, скалярная величина L, инвариантная относительно пе-
переходов от одного ортогонального норм рованного базиса к другому,
называется аффинным ортогональным тензором
нулевого ранга.
Температура, масса, длина вектора являются аффинными орто-
ортогональными тензорами нулевого ранга. Проекция вектора на первую
координатную ось (т. е. на ось, определяемую первым базисным
вектором ej) в каждом базисе е,, е2, е3 является скалярной вели-
величиной, не инвариантной относительно переходов от одного базиса
к другому, и поэтому не является тензором нулевого ранга.
Включение векторов в число тензоров обеспечивает
Определение I. Пусть величина L определяется в каждом
ортогональном нормированном базисе тройкой чисел: в ба-
базисе ег, е2, е3 числами Lv L2, L3, в базисе e'v е2, е3— числами
L\, Z,2, Lj, и т. д. Если при переходе от любого базиса elt e2, еа
к любому другому базису ej, е2, е3 эти числа преобразуются
по формулам
где \\alk\\—матрица перехода от базиса ep e2, е3 к базису
ej, е2, е3, то величину L называют аффинным ортого-
ортогональным тензором первого ранга и обозначают
символом (/.;), т. е. L = (Z.;).
Числа Lt, i=\, 2, 3, называют координатами тензора L в базисе
ej, e2, е3, а числа L[, l=\, 2, 3, соответственно координатами
этого тензора в базисе е|, е2, е3.
Докажем, что любой вектор является аффинным ортогональ-
ортогональным тензором первого ранга. Во-первых, в каждом ортогональ-
ортогональном нормированном базисе et, e2, е3 вектор х определяется трой-
тройкой чисел — тройкой своих координат. Во-вторых, при переходе

§ [] ПОНЯТИЕ АФФИННОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 267
от одного базиса к другому координаты вектора х преобразуются
по формулам вида G.12). Действительно, разложив х по базисам
€г е2, е3 и ej, e^, е^, получим
х = х^ + *,е2 + лг3е3 = х{е{ + *2е2 + xfa. G.13)
Умножим равенство G.13) скалярно на е'г В силу G.3) и G.7),
это дает
з
x'i = anxi-+-ai2x2+ai,ix,i='Za.kxk, 1=1, 2, 3, G.14)
* = i
причем формулы G.14) имеют тот же вид, что и формулы G.12),
а это и означает, что вектор х является аффинным ортогональным
тензором первого ранга.
Замечание 1. Очевидно, каждый аффинный ортогональный
тензор первого ранга можно рассматривать как вектор.
Замечание 2. Так как обратная матрица для матрицы Ца^Ц
получается транспонированием Ца^-Ц, то из равенства G.14) находим
з
xi=%a.lx'y {=1,2,3. G.14')
Сформулируем теперь определение тензора второго ранга.
Определение 2. Пусть величина L определяется в каждом
ортогональном нормированном базисе девяткой чисел: в ба-
базисе е,, е2, е3 числами L^, i, j=\, 2, 3, в базисе е[, е2, е^
числами Lij, I, 7=1, 2, 3, и т. д. Если при переходе от лю-
любого базиса ег, е2, е3 к любому другому базису е[, е2, е3 эти
числа преобразуются по формулам
L'ij=Ii 2 «;ma,vA™. I. J=h 2, 3, G.15)
где [|a^j—патрица перехода от базиса еР е2, е3 к базису
е[, е!2, е3, то величину L называют аффинным ортого-
ортогональным тензором второго ранга и обозначают
символом (Lij), т. е. L = (£.,,-).
Числа Lij, i, /=1, 2, 3, называют координатами тензора L
в базисе ег, е2, е3, а числа Lij, i, j=\, 2, 3, — его координатами
в базисе ej, e2, е^.
В §§ 2—9 мы остановимся подробно на примерах и свойствах
аффинных ортогональных тензоров второго ранга, а сейчас сформу-
сформулируем определение аффинного ортогонального тензора произволь-
произвольного ранга р~^-\.
Определение 3. Пусть величина L определяется в каж-~~
дом ортогональном нормированном базисе ех, е2, е3

268 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. 7
совокупностью Зр чисел L{ t t , is=l, 2, 3; s=l, 2, .... p.
Если при переходе к любому другому ортогональному норми-
нормированному базису ej, е2, е3 эти числа преобразуются по закону
з
L'i i с — 2 ai iat j ■•■ ai i L. , , , G.16)
где \\ац\\—матрицы перехода от базиса е,, е2, е3 к базису
е[, е2, е3, то величину L называют аффинным ортого-
ортогональным тензором р-го ранга и обозначают символом
Числа L,- 12.шш1 называются координатами этого тензора в базисе
ei> е2. е3, а числа L'. l __ t~ — его координатами в базисе е[, е2, е'3.
Замечание 1. Иногда определение тензора р-ro ранга, р~^-\,
формулируют в следующей эквивалентной форме.
Говорят, что задан аффинный ортогональный тензор ранга
р >-1 (Li i [ \ если в каждом ортогональном нормирован-
нормированном базисе et, е2, е3 задано Зр чисел L{ { ... t ^=1, 2, 3.
s=l,...,p и если при переходе к любому другому ортого-
ортогональному нормированному базису е[, е2, е3 эти числа преоб-
преобразуются по закону
L't r i = 2 а, ,• а, , ... a L . . G.17)
12" Р }xh--lp=x " 22 рр li" P
Иногда мы будем пользоваться этой формой определения тензора
при /7 = 1, а также при р — 2.
Замечание 2. Определения 1, 2 и 3 сформулированы для
трехмерного пространства. Совершенно аналогично они могут быть
сформулированы и для /V-мерного пространства, где ортогональ-
ортогональные нормированные базисы содержат по N единичных векторов
^ а матрица перехода от базиса
... е^ имеет порядок N, так как
»=1. 2 /V.
§ 2. Связь между тензорами второго ранга
и линейными операторами
1. Линейный оператор как тензор второго ранга. Напомним
прежде всего, что линейным оператором или линейной вектор-
функцией называется такая функция
y=L(x).
e,.
ei.
e2, ..
e2, ..
К
ev e2, .
базису
N
ej.
e2.

§ 2] ТЕНЗОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 269
которая каждому вектору х ставит в соответствие вектор у и для
которой выполняется равенство
L (C,Xl -f C2x2) = CtL (Xl) -f- C2L (x2) G.18)
при любых Xj и х2 и любых константах Ct и С2.
Координатами линейного оператора L в базисе ej, e2, е3 назы-
называются коэффициенты LV] разложения образов L (ej), L (e2), L (е3)
базисных векторов по базису е^ е2, е3:
L (ej = Lnet + Z.21e2+ Z.31e3,
L (e2) = Ll2ex + L22e2 + L32e3, G.19)
L (e3) = L13ei + L23e2 + ^е3,
или, короче, разложения
з
L(e,)=2Uwejk. y=l. 2, 3. G.20)
Умножим скалярно обе части равенства G.20) на ег. В силу
соотношений G.3), это дает
Lij = (ei,L(ej)), i, J=l, 2, 3. G.21)
Аналогично для координат оператора L в базисе е[, е2, е^ получаем
Z.;, = (e;.L(e;)), I. /=1. 2, З. G.22)
Подставляя в G.22) выражения
e;=Sia/me/B. е; = |;а/Л, G.23)
найдем
( ( |4 A %L (е„)) ) =
= И Е a,ma,.n(em, L(eB))= 2] 1 atea7-nZ.mn, t,j =1,2, 3. G.24)
m=l n=l m=l л=1
Формулы G.24) совпадают с формулами G.15), а следовательно,
доказано, что линейный оператор L является аффинным орто-
ортогональным тензором второго ранга.
2. Тензор второго ранга как линейный оператор. Аффинный
ортогональный тензор (/.;;) 'второго ранга можно рассматривать как
линейный оператор над векторами евклидова пространства. Пусть
задан аффинный ортогональный тензор второго ранга (Ltj). Определим
соответствующий линейный оператор y = L(x) сначала на базисных
векторах каждого ортогонального нормированного базиса е^ е2> е3

270 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. 7
соотношениями G.19), а затем определим этот оператор для каждого
;
;s
вектора х = 2 *ге; соотношением
i = i
з
L (х) = ^ A-;L (e,). G.25)
Докажем, что определенный таким образом оператор действительно
является линейным, т. е. что для него выполняется соотноше-
3 3
ние G.18). Пусть х= 2 xiei и У = S У<е;'> тогда
i=i t=i
з
ClX + С2у = 2 (С,Jf, + СаУ/) е,.
Следовательно, в силу определения G.25) (заменяя в G.25) х
на С1х.-\-С2у), получим соотношение
з
L (ClX + С2у) = 2 (СЛ + С2уг) L (е<) =
/=1
з з
г S t (е,) + С2 2 у;L (ег) = CtL (x) + C2L (у).
совпадающее с G.18). Линейность оператора доказана.
Нетрудно доказать, что определение линейного оператора L
с помощью тензора (L^) не зависит от выбора базиса. Иными сло-
словами, если вместо координат Ltj тензора в базисе ej, e2, е3 взять
координаты L' этого тензора в базисе е|, е2, е^ и определить линей-
линейный оператор I/ соотношениями
V 00 = L'vfii + ^йеа+ £32ез- G.19')
V (ез) = L'nei + L'v&+ L»e3
для базисных векторов ej, e.j, ej и соотношением
L'W=2^L'(e;) G.25')
з
для каждого вектора х= 2 х';е'г то
L'(x) = L(x) G.26)
для каждого вектора х.

§ 3] ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 271
Действительно, воспользовавшись соотношениями
зз з з
L'tj = 2J 2 ««<*,/£«. х( = У aJtx'j. ek = У aifte;,
G.19), G.25), G.19') и G.25'), получим
L (ж)= I x;L(ef)= ixt 2^= j] x'j | (g 2 a^tx,^) e,' -
3 3 3
= s *} 2 w=s *;-L' (e;-)=l' «• G-27>
что и требовалось доказать.
Мы доказали совпадение операторов L' и L и тем самым доказали,
что с помощью Соотношений G.19) и G.25) каждому аффинному
ортогональному тензору второго ранга (£;;) однозначно ставится
в соответствие линейный оператор L. Этот линейный оператор L
можно отождествить с тензором (Ltj), которому он соответствует,
иными словами, рассматривать аффинный ортогональный тензор вто-
второго ранга как линейный оператор. Такая интерпретация аффинного
ортогонального тензора второго ранга широко используется в физике;
именно таким образом интерпретируются тензор проводимости и тензор
инерции, упомянутые в начале этой главы, а также тензор напряже-
напряжений, с которым мы познакомимся в § 5 *). Но возможна и другая
весьма полезная интерпретация тензора второго ранга, на которой
мы остановимся в следующем параграфе.
§ 3. Связь между тензорами и инвариантными
полилинейными формами
1. Тензоры первого ранга и инвариантные линейные формы.
Пусть в каждой системе координат задана система трех чисел аг,
а2, й3' причем эти числа при переходе от одной системы координат к
другой преобразуются так, что линейная форма aiXi-\-a2x2-\- а%х3,
где jCj, xv jc3 — координаты произвольного вектора х, остается
инвариантной; тогда величины al (i = 1, 2, 3) образуют тензор пер-
первого ранга. Действительно, пусть в базисе ej, e2, е3 вектор х пред-
представляется в виде х = JCjej -j- -*г2е? ~Ь -"-з^ и коэффициенты линейной
формы равны Oj, av a3, а в базисе e'v е'2< е^ тот же вектор х
*) Если вместо соотношений G.20) и G.25) для определения линейного
оператора, соответствующего тензору (Ln), воспользоваться соотношениями
s з
L* (ej) = 2 L]kek> 7=1. 2, 3, и L* (x) — ^ xiL* (ег), то получится липей-
* = i i=i
ный оператор L*. который называется сопряженным с L.

272 тензоры [гл. 7
представляется в виде х = х[е[ + х2е2 + х'^'г и коэффициенты линей-
линейной формы равны a'v а'2, a'3 и пусть линейная форма инвариантна,
т. е. для любого вектора х выполняется равенство
а[х[ + а'2х'2 + а'ъх'ъ = а1х1 + а2х2 + а3х3- G.28)
Подставив в правую часть равенства G.28) выражение xk через х'(:
з
xk^yialkx'., будем иметь
i = \
3 3 3 3/3
2 а<'х/ = S aA S а«*х; = S S a<Jk
t=i * = i »=i »= i \ k= l
В силу произвольности x'v x'r x'y получим
«;=|v, G-29>
что и требовалось доказать.
2. Тензоры второго ранга и инвариантные билинейные формы.
Совершенно аналогично коэффициенты инвариантной билинейной
формы
3
S atjxiy} G.30)
I, 7 = 1
(где X; и уг — соответственно координаты текущих векторов х и у)
составляют тензор второго ранга. Действительно, пусть в базисе
е^ е2, е3 билинейная форма имеет вид G.30), а в базисе е|, е'2, е3 —
вид
и пусть
Ъа'их'.у'= Ъатпхтуп G.32)
I, 7 = 1 т, п—\
для любых двух векторов х, у. Подставив в правую часть равенства
G.32) выражение старых координат векторов х, у через новые
3 3
х = У el x' v z= X ctv G 33)
'" М "» '' '" ;=1 '" >'
получим
з з

$ 3] ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 273
В силу произвольности х\ и у'.,
3
а'п = 1i aimajnamn. С7-35)
т, п= 1
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Равенство G.35) можно доказать, используя
лишь векторы единичной длины. Действительно, полагая, например,
при I = i0, \ 1 при j = j0,
., ■ t=l, 2, 3. у;.= /=1, 2, 3.
I 0 при I Ф t0, [О при j ф j0,
G.36)
получим из равенства G.34) равенство
з
a'.Jo= 2 ai,ma\namn' G.35')
причем векторы
имеют, в силу соотношений G.36), единичную длину, так как базис
е[, е[, е^ ортогонален и нормирован (мы условились рассматривать
только такие базисы). Следовательно, если билинейная форма инва-
инвариантна на единичной сфере, т. е. при условии, что ее значения
рассматриваются лишь на векторах единичной длины, то совокуп-
совокупность ее коэффициентов atj образует аффинный ортогональный тен-
тензор второго ранга.
Билинейная форма называется симметричной, если матрица ее
коэффициентов симметрична, т. е. uji = aij. (В силу G.35), это
равенство имеет место в любом базисе, если оно выполняется хоть
в одном базисе.) Полагая в симметричной билинейной форме у = х,
мы получим по определению квадратичную форму
V аих1У]. G.37)
i, j=\
Симметричная билинейная форма однозначно определяется поро-
порождаемой ею квадратичной формой. Действительно, подстазим в G.37)
вместо координат вектора х координаты вектора х + у. Поскольку
18 Б. М. Будак. С. В, Фомин

274 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. Г
0.^ = 0.]^ мы получим
3
d(xj + yj)= 2 auxiXj-+- 2 «г
з з
+ 2 ац*1У]+ 2 ацУ1Х] =
i,J=l », y = l
3 3 3
= 2 «у*1Уу-+ 2 «^У.УуЧ-2 2 eyJf,yy. G-38)
i =i г y=i i7i
Следовательно,
з
;> G-39>
что и требовалось доказать. Отсюда следует, что коэффициенты
инвариантной квадратичной формы составляют аффинный
ортогональный тензор второго ранга, так как они являются
коэффициентами соответствующей симметричной инвариантной били-
билинейной формы, а ранее было доказано, что коэффициенты инвариант-
инвариантной билинейной формы образуют аффинный ортогональный тензор
второго ранга.
Замечание 2. На основании замечания 1 мы можем сказать
теперь, что система коэффициентов аи квадратичной формы
з
2 а::Х,Х/, инвариантной на единичной сфере, образует аффинный
ортогональный тензор второго ранга.
3. Тензоры произвольного ранга р и инвариантные поли-
полилинейные формы. Пусть векторы |i, |2» • • •» 1р разложены по ба-
базису ev e2, е3:
1у = 6;1е1 + 1/2е2 + 1уЗеЗ- / = 1 • 2 Р>
и пусть в этом базисе задана система коэффициентов п{ ; , ; , где
/j=l, 2, 3, s=l, ..., р. Тогда функция
называется полилинейной формой. Как и в случае инвариантной
билинейной формы, нетрудно доказать, что совокупность коэффициен-
коэффициентов инвариантной полилинейной формы произвольного ранга р ^ 1
образует аффинный бртого нальный тензор /?-го ранга.

§ 4]
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ
§ 4. Тензор деформаций
275
Рассмотрим некоторое деформируемое тело, любую точку кото-
которого в системе координат Ох{х2Хз будем характеризовать ее радиусом-
вектором г = £ie, -+• х2е2 -+• jc3e3: если радиус-вектор точки М
равен г, т. е. ОМ = г, то будем
писать М(г).
Пусть тело подверглось де-
деформации, причем точка М (г) ^>
сместилась на вектор и, т. е.
заняла положение М'(г-\-и)
{рис. 7.1). Эта деформация описы-
описывается полем смещений u = Mjej -f- q
-f- u2e2 -\- м3е3. Рассмотрим точку Zf
AJt(r-f-rfr), близкую к Л1(г); при ^^Г
деформации она перейдет в точку
M\(x-\-dx, u + du). Деформа-
Деформацию тела в окрестности данной точки Ж (г) можно характеризовать
изменением длин всевозможных отрезков ММ1§ ММ2 выходя-
выходящих из точки Ж (г) в достаточно малой ее окрестности.
Рассмотрим изменение длины отрезка ММХ при деформации тела.
Длина отрезка ММг равна \dr\. Он перейдет в отрезок М'м[,
длина которого равна |dr-j-rfu|. За меру изменения длины от-
отрезка ЖМХ примем
рис
x dx
2 -Ь
dx3
dx2 dx,.
Мы получили квадратичную форму относительно переменных dxx%
4х2, dx3, которая по самому своему определению является инва-
инвариантной. Следовательно, ее коэффициенты образуют тензор второго
ранга. Матрицей этого тензора будет
Ух
Ух
Узд
G.40)
Этот тензор называется тензором деформаций.
Если деформация столь мала, что квадратами и произведениями
величин «!, и2, и3 и их производных по хх, х2, х3 можно пренебречь
18*

276
ТЕНЗОРЫ
[ГЛ. 7
по сравнению с их первыми степенями, то матрица этого тензора,
представится в виде
2 \ дх2
ди2
дх2
_L ( ди-з _|_ дщ \ 1 / ди3 _. ди2\ ди3
2 \ dx, ■" дх3 j ~2 \ d*2 <?jc3 j (9лг3
2
1
2
1<Ь:з '
/ ди2
\ дх3 "i
<?ц3
Л*з
<?и3
бдг2
G.41)
§ 5. Тензор напряжений
1. Определение тензора напряжений. Пусть упругое тело
деформировано. Проведем мысленно через точку /VI этого тела эле-
элементарную плоскую площадку а и восставим к какой-нибудь из двух
сторон этой площадки нормальный единичный вектор п (рис. 7.2).
Если равнодействующую Fna всех упругих сил, приложенных к вы-
выбранной стороне площадки, разделить на площадь а этой площадки>
то по определению получится среднее напряжение (р„)Ср = —— на
площадке а, проходящей через
точку М с нормалью п. Пере-
Переходя к пределу при стягивании о
к М, получим истинное напря-
напряжение в точке М на элементар-
элементарной площадке с нормалью п:
р„ = lim ■
а->М
G-42)
Меняя направлейие нормали п,
т. е. поворачивая площадку а,
Рис. 7.2, проходящую через точку М, мы
получим различные значения век-
вектора р„ в одной и той же точке М. Таким образом, напряженное
состояние упругого тела в данной его точке М не может быть
описано одним вектором. Но оказывается, что достаточно знать на-
напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих
через точку М, и тогда может быть вычислено напряжение в точке М
на площадке любой ориентации, проходящей через М.
Докажем это. Обозначим через рг, рх и рг напряжения в точке М
на элементарных площадках, нормали к которым совпадают по на-
направлению с осями координат Oxv Ox2, Ох3. Иными словами,
рх означает напряжение на площадке с единичной нормалью е,-.

§ 5]
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
277
где е,- — единичный вектор вдоль оси Oxt (рис. 7.3). Рассмотрим
тетраэдр с вершиной в точке М и ребрами MA, MB, MC, парал-
параллельными осями Охх, Ох2, Ох3. Внешняя нормаль п2 к грани MAC
направлена противоположно
вектору е2. Значит, напряжение
на этой площадке будет равно
— рх. Аналогично напряжение
на грани ВМС соответствую-
соответствующей внешней нормали пх =
=—ег будет равно —рх ,
а напряжение на площадке
МАВ, соответствующей внеш-
внешней нормали п3 — — е3> будет
равно —рх. Обозначим че-
через рп напряжение на пло-
площадке ABC, соответствующей
внешней нормали п, и составим уравнение, выражающее второй за-
закон Ньютона для тетраэдра МАВС:
Рис. 7.3.
-g-aApf. G.43)
„ —°cos(n,
— ocos(n,
(Здесь а—площадь грани ABC, h — высота тетраэдра, если за осно-
основание принята грань ABC, р—объемная плотность массы, f — объем-
объемная сила, приходящаяся на единицу массы (например, сила тяжести).)
Тогда -g-a/z — объем тетраэдра МАВС, acos(n, xx), acos(n, дг2),
acos(n, х3) — площади граней МВС, MAC, МАВ. Если разделить
равенство G.43) на а, а затем перейти к пределу при h—>0 при
условии, что ускорение —тт- и объемная сила f остаются ограничен-
ограниченными, то получится равенство
О = р„-Рж1со3(п, *,) —Pjricos(n. х2)-ржзсо
х3).
Следовательно,
Так определяется напряжение ря на площадке с нормалью п через
напряжения на площадках, нормали к которым совпадают по напра-
направлению с осями координат.

278
ТЕНЗОРЫ
Разложим векторы р , р , р по базисным векторам е
[ГЛ. 7
, е... е •
*3
Если матрица
\Pij\\=
Pn Рп P13
Pi\ Pii Piz
Ръ\ Р32 />33
G.46)
для данной точки М известна, то в точке М можно определить
напряжение на любой площадке а, проходящей через точку М, как
только будет задано направление нормали п к этой площадке; это
обеспечивается соотношениями G.44) и G.45). Таким образом, на-
напряженное состояние тела в точке характеризуется матрицей G.46).
Рассмотрим проекцию вектора напряжения рп на площадке с нор-
нормалью п на направление этой нормали. По самому своему смыслу
эта величина не зависит от выбора системы координат. Умножая
обе части равенства G.44) скалярно на п и используя G.45), полу-
получим, что эта величина выражается квадратичной формой
(р„, п)= _2 ри cos (п, х$ cos (n,
G.47)
определенной на единичной сфере.
Таким образом, квадратичная форма G.47) инвариантна на еди-
единичной сфере. Следовательно, совокупность ее коэффициентов рГ)
образует аффинный ортогональный тензор второго ранга П = (/?(у)
(см. замечание 2 § 3).
Этот тензор называется тензором напряжений.
2. Тензор напряжений как линейный оператор. Тензор напря-
напряжений удобно рассматривать как линейный оператор, преобразующий
единичную нормаль п к площадке в вектор напряжения рп иа этой
площадке.
Подставим в левую часть равенства G.44) разложение вектора
напряжения по базису е^ е2, е3:
а в правую часть — разложения рх, рх, рх по этому же базису (см.
-соотношения G.45)). Получим, в силу единственности разложения

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 279
р„ по базису е^ е2. е3. систему трех скалярных уравнений:
Рп\ = Р\\ Cos О1- -^lL-P21 COS(n. Х2) + Рз1 COS (П, ДГ3),
(п, дг3),
G.48)
- -«2L-^33 COS (П, ДГ3),
выражающих упомянутый линейный оператор в базисе е^ е2, е3.
Если единичный вектор нормали к площадке
n=e1cos(n, Ar^-f^cos^, -*r2)-f-e3cos(n, -^з)
представить в виде горизонтальной матрицы-строки
п = ||cos(п, хх), cos(n, дг2), cos(n, лг3)]|,
то можно написать (см. Дополнение к гл. 7)
Р» = п 11^11. G.49)
где \\Pij\\—матрица тензора П = (/7(-у-), представляющая тензор на-
напряжений в данной точке. Вместо того чтобы говорить об умно-
умножении матрицы ||/;/у || тензора 11 = (рф на вектор, говорят об умно-
умножении тензора (р^) на вектор*). Таким образом, чтобы получить
в данной точке М напряжение на площадке с единичной нормалью п,
нужно умножить тензор напряжений T\=(pij) в данной точке на
единичный вектор нормали п слева:
рп=п(ри)=пП. G.49*>
§ 6. Алгебраические операции над тензорами
1. Сложение, вычитание и умножение тензоров. Тензоры
одинакового ранга можно суммировать и вычитать; например, сум-
суммой (разностью) тензоров второго ранга at-s и btj называется тен-
тензор, координаты которого равны
cij = аИ + ЬИ (€И = ач — bi))> l' J=l- 2. 3.
Нетрудно убедиться, что величины ctj- при изменении системы коор-
координат преобразуются по тензорному закону. Аналогично определяется
сумма двух тензоров любого (одинакового) ранга. Перемножать
можно тензоры любых рангов. Например, произведением тензора
второго ранга а^ на тензор третьего ранга Ьтпр называется тензор
пятого ранга, координаты которого равны
^ijbmnp, i, j, т, п, р=\, 2, 3.
Нетрудно доказать, что величины с^тпр при переходе от одной.
*) Или, точнее, об операторном умножении тензора на вектор.

280
ТЕНЗОРЫ
[ГЛ. 7
системы координат к другой преобразуются по тензорному закону.
Аналогично определяется произведение двух тензоров любых рангов.
Умножение тензора на число можно рассматривать как частный
случай произведения двух тензоров; оно определяется так: произ-
произведением тензора а^к на число С называется тензор с координа-
координатами bljk = Caijk. Нетрудно проверить, что величины Ь^к соста-
составляют тензор.
2. Умножение тензора на вектор. Остановимся теперь на так
называемом операторном умножении тензора второго ранга на вектор.
Мы уже встречались с частным случаем такого умножения тензора
второго ранга на вектор при рассмотрении тензора напряжений (см.
соотношение G.49) предыдущего параграфа). Различают операторное
умножение тензора (L;j) на вектор х слева, х(£(-Д и справа,
(Lij) х. В обоих случаях под произведением тензора на вектор
понимают некоторый вектор. Пусть матрица тензора (L^) в базисе
е2, е3 равна
22
^■32
^23
^33
G.50)
и пусть в этом базисе х =
^. Тогда координаты вектора-произ-
ведения
у* = х (/.„■) G.51)
определяются в этом базисе уравнением (см. Дополнение к гл. 7)
— х,, х„,
а координаты вектора-произведения
определяются в этом же базисе уравнением
^■22
/•1
Уч
Уз
=
^•21
/-31
Ll2
/■22
/■32
^13
/■23
/•зз
х3
G.52)
G.53)
G.54)
Соотношения G.52) и G.54) можно записать соответственно в более
компактной форме
У* = х|1М G-52')
У = 11Мх. G-54')

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 281.
интерпретируя в первом случае векторы х и у* как матрицы-строки,
а во втором случае — векторы х и у как матрицы-столбцы*).
3. Свертка. Следующей операцией, специфической дл1 тензоров,,
является операция свертывания или свертки по какой-либо паре
индексов. Так, например, сверткой тензора четвертого ранга с^тп
называется тензор второго ранга, координаты которого определяются
равенствами 3
VI
атп == 2j ciimn-
l=\
Нетрудно доказать, что величины атп образуют тензор второго ранга.
Если тензор четного ранга подвергнуть операции свертки максимально
возможное число раз, то получится число, т. е. инвариант.
Так, например, если произведение двух тензоров первого ранга afij
подвергнуть свертке, то получится скалярное произведение векто-
векторов а и Ь:
з
(a. b) = 2«A-
4. Перестановка индексов. Рассмотрим перестановку индексов
для весьма важного случая — аффинного ортогонального тензора вто-
второго ранга (£,-■)• Положим в каждом базисе е^ е2, е3
где Ltj — координаты тензора {Ltj) в этом базисе. Совокупость ве-
величин Lij, как нетрудно доказать, также образует аффинный орто-
ортогональный тензор второго ранга. Этот тензор называется сопряжен-
сопряженным с тензором (L^) и обозначается символом {Lij). Аналогично
в тензоре любого ранга можно делать перестановку любых двух
индексов, при этом снова получится тензор того же ранга.
5. Разложение тензора второго ранга на симметричный и анти-
антисимметричный. Тензор второго ранга (/.;;) называется симметрич-
симметричным, если его матрица
/-и /-12 /-13
/-21 /-22 /-23
/-31 /-32 /-33
в каждом базисе симметрична, т. е. если в каждом базисе выполнены
соотношения Llj = L-.i, i, у= 1, 2, 3.
Тензор второго ранга (L^) называется антисимметричным,
если для элементов его матрицы ||£^|| в каждом базисе выполнены
*) Соотношениями G.51) и G.53) (или, что то же самое, соотношениями.
G.52') и G.54')) определяются два взаимно сопряженных линейных оператора.
Ср. со сноской на стр. 271.

282 тензоры [гл. 7
соотношения
Из этих соотношений следует, что для антисимметричного тензора
Lu = — Ln, т. е. 2Z.(I = 0 и Ln=0. Таким образом, симметричный
тензор второго pahra определяется шестью своими координатами,
а антисимметричный — только тремя недиагональными координатами.
Простейшим примером антисимметричного тензора второго ранга
является векторное произведение двух векторов а и Ь. Действительно,
пусть в базисе е^ е2, е3
а = а1е1-\г я2е2+ азез> b = b^ + b2e2-f- b3e3.
Тогда векторное произведение [а, Ь] можно записать так:
ei e2 e3
a, a0 «,
{а, Ь] =
— a3h) ei + («з*1 — aib3> е2 + О А — a2*i) e3- G.55)
Учитывая, что векторы аи b являются тензорами пгрзого ранга,
получим, что система девяти величин /,(/ = а(йу— а^г образует
тензор второго ранга. Очевидно, этот тензор антисимметричен.
Действительно, Lji = cijbl — а;^ = — (.cijbj — ujbt)-= — Ltj. Сле-
Следовательно, этот тензор определяется тремя своими координатами
(аф3 — a3b2), {аф\ — ujZ>3), (а\Ь2 — a^i)* входящими в равенство G.55).
Нетрудно показать, что если матрица тензора второго ранга {Ltj)
симметрична (антисимметрична) в каком-либо одном ортогональном
нормированном базисе, то она также симметрична (антисимметрична)
в любом другом таком базисе.
Заметим теперь, что каждый тензор второго ранга (Ltj) может
быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного
тензоров, что вытекает из равенства
% = Т fLu + Ln\ -+■ J iLu - Ln\- G-56>
В следующем параграфе мы рассмотрим важный пример разло-
разложения аффинного ортогонального тензора второго ранга на симме-
симметричный и антисимметричный тензоры, а именно, тензор относительных
смещений разложим на тензор деформаций и тензор относительного
поворота.
§ 7. Тензор относительных смещений
Рассмотрим, как и в § 4, деформированное состояние тела. Пусть
U = U (г) — ei«! (дгр х2, х3)Н-е2а2(хх, х2, х3)Н-е3а3(хх, х2, х3) — вектор
■смещения точки, определяемой радиусом-вектором r=x1e1-f-x2e2-f-x3e3.

§ 7] ТЕНЗОР ОТНОСИТЕЛЬНЫХ СМЕЩЕНИЙ
Предполагая функции ии «2> аз дифференцируемыми, получим
du, = -г-*- dx, -4- ^r-i- dx,-4- -s-i- dxo,
283
du2
du2
G.57)
Переходя от координат хх, х2, хъ к координатам х\, х% х-л,
3
x'i = 2 aikxk> нетрудно проверить, что величины -j-^ , I, j= 1, 2, 3,
образуют аффинный ортогональный тензор второго ранга. Этот тен-
тензор называется тензором относительных смещений. Обозначая
его через I- . ■■-1, можно переписать систему G.57) в виде равенства
' '^JfL\dr. G.58)
Разложим теперь тензор I—. ' ) на симметричный и антисимметрич-
антисимметричный тензоры. На языке матриц это разложение примет вид
дхх
ди2
дх.
дх2
дх2
дх3
ди2
дх3
дхх дх2
дх3
OXi
ди2 , дих
2 V дхх ~^ дх2
дх3
2 \dx
диз
2 \дх3
ди2
ди3
2 \ дхх
2 \ дх2
dx3
—
/
0
©a
0J
dx3
— @3
0
«l
@2
— «l
0
G.59)
где вектор ю = оо1е1 —|—■ со2е2Н-оKе3 равен -=-rot U. Первая матрица
в правой части равенства G.59) есть матрица симметричного тензора
деформаций Д, а вторая — матрица антисимметричного тензора отно-
относительного поворота О. Теперь равенство G.58) можно переписать

284
в виде
ТЕНЗОРЫ
[ГЛ. 7
G.60)
Непосредственным вычислением можно проверить, что
Qdr=[~rotU, rfrl,
а следовательно.
G.61)
Рассматривая относительные смещения rfU точек в окрестности
точки г, получившей в результате деформации смещение U (г), заме-
замечаем, что: 1) если rotU^O, то, в силу G.61), относительные сме-
смещения rfU происходят за счет чистой деформации; 2) если же Д = 0
(т. е. все элементы матрицы тензора Д равны нулю), то относитель-
относительные смещения rfU происходят за счет чистого поворота.
§ 8. Поле тензора
1. Поле тензора. Дивергенция тензора. Если каждой точке М
некоторой области G пространства поставлен в соответ-
соответствие тензор (L,j), то говорят, что в области G задано поле
тензора (L^) *), при этом предполагается, что координаты L^ тен-
тензора являются определенными функциями координат точки М (xv xlt x3).
Характерными примерами тензорных полей являются поле тензора
деформаций и поле тензора напряжений в упругом теле, подверг-
подвергшемся деформации, так как напряженное и деформированное состоя-
состояния такого тела в различных его точках (xv x2, х3), вообще говоря,
различны.
Пусть координаты Ltj тензора (Ltj) имеют непрерывные частные
производные первого порядка по хх, х2, х3.
Составим с помощью матрицы тензора
Jll
13
'21 ^-22 ^-23
'31
Ь33
G.62)
векторы
1*3 = ^З1е1 I"
G.63)
*) Для определенности мы имеем в виду поле тензора второго ранга.

8] ПОЛЕ ТЕНЗОРА
Дивергенцией тензора (Z.;y) называется вектор
285
+
dL2
(Z.</)Ke3. G.64)
Это определение дивергенции тензора (Z.,y) является формальным.
Нужно проверить, имеет ли оно инвариантный характер, т. е.
является ли определенная таким образом дивергенция вектором или,
что то же самое, тензором первого ранга. Итак, нужно про-
проверить, что величины
образуют тензор первого ранга. Имеем
з
(div (£„)), = £4^-' /=1,2,3.
Перейдем к новой системе координат Ох'хх'^х'ъ. В новой системе
Но, как известно, матрица, обратная матрице
стым транспонированием ||а,-у||, поэтому
з
хя = 2 атпх'т.
В силу определения тензора второго ранга имеем
3 3
L'mj =5 2<W*/^ft,-
ft=l 1=1
получается про-
проG.67)
G-68)
Подставляя выражения G.67) и G.68) в G.66), получим
dLbl
3 3 3 3
V
m=l я=1 k=l i=\
3 J г 3

286 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. 7
поскольку
при п ф fti
что и требовалось доказать.
2. Формула Остроградского для поля тензора. Пусть коорди-
координаты L/j, {=1, 2, 3, у —1, 2, 3, тензора (£;/) имеют непрерывные
производные первого порядка в замкнутой ограниченной области
Q + aa, границей которой является кусочно-гладкая поверхность aQ,
удовлетворяющая условиям, при которых устанавливается справедли-
справедливость обычной формулы Остроградского. Пусть, далее, п — единич-
единичный вектор внешней нормали к поверхности, а произведение n(Z.;y)
образуется так же, как в соотношении G.49') образовывалось п(/?/;).
Тогда имеет место формула
J J n (Lu) da = f f f div (Lu) rfco, G.69)
которая читается так:
Поток тензора (L^) через замкнутую поверхность aQ равен
тройному интегралу от дивергенции тензора Ltj no объему Q,
ограниченному этой поверхностью.
Потоком тензора (£;/) через поверхность oq называется инте-
интеграл, стоящий в левой части G.69).
Формула G.69) называется тензорной формулой Остроград-
Остроградского.
Доказательство формулы G.69) сводится к применению обыч-
обычной формулы Остроградского к каждой составляющей вектора n(Z,i;):
/ Jn(/.;.-) da =
= e1 Г f[Z.n cos (n, *i) + £2i cos(n, x2) + L3l cos (n, x3)] do-\-
+ e2 JJ[Z.12 cos (n, xx) + Z.22 cos (n, x2) + Z.32cos(ii, x3)]da +
-f-e3 f j[Ll3 cos (n, Xj) + Z.23 cos (n, x2) + Z.33cos (n, ^3)]da =
= e, J J J (div (Z.o)), do + e2 J J J (div (Lu) Jrfco +
а а
)з d0) = J / / tdW (i/^} d0)-

ПОЛЕ ТЕНЗОРА
287
3. Уравнения движения сплошной среды. Применим тензорную
формулу Остроградского к выводу уравнения движения сплошной
среды. Выделим мысленно элементарную область в движущейся сплош-
сплошной среде (рис. 7.4) и напишем для нее второй закон Ньютона, рас-
рассматривая область Q, заполненную массой, как материальную точку,
G.70)
"а
(Здесь р—объемная плотность массы, Q — объем области (Q),
f — объемная сила, приходящаяся на единицу массы, ря — напряжение
на элементарной площадке da с единичным нормальным вектором п.)
Поверхностный интеграл в пра-
правой части равенства G.70) равен
fJpnda=ffnUda =
= ///divndco =
= е,
,JJ J(divnKdco, G.71)
£2
Рис. 7.4.
где П—тензор напряжений. Применяя к каждому из интегралов
в правой части равенства G.71) теорему о среднем, получим
J J Ря da = ejQ (div П)\ + e2Q (div П)*2 + e3Q (div П)\. G.72)
<J£2
Подставляя этот результат в G.70), деля на Q и переходя к пределу
при Q—>М (при стягивании Q к точке М), получим уравнение дви-
движения сплошной среды в векторной форме:
^ ivn. G.73)
В проекциях иа оси координат векторное уравнение G.73) рас-
распадается на три скалярных уравнения:
dv3
=р/2+
дх{
др12
+ ^ +
дхг
др22
дхх
= Р/з + ^Г +
дх2
др23
дхо
+
дх3
дрз2
дх3
дрзз
дх*
G.74)

288
ТЕНЗОРЫ
[ГЛ. 7
§ 9. Приведение симметричного тензора второго ранга
к главным осям
Будем интерпретировать аффинный ортогональный тензор второго
ранга (Ltj) как линейный оператор
y = L(x) G.75)
(см. п. 2 § 2). Собственными векторами и собственными зна-
значениями тензора (Ltj) называют собственные векторы и собствен-
собственные значения линейного оператора L(x). Напомним, что всякий от-
отличный от нулевого вектор х, удовлетворяющий равенству
L(x) = A,x, G.76)
где К—некоторое число, называется собственным вектором опера-
оператора L; при этом число к называется собственным значением опера-
оператора L, отвечающим собственному вектору х.
Переходя к координатам вектора х в базисе е^ е2, е3, уравнение
G.76) можно заменить системой скалярных уравнений;
(Z.n — к) хг -f- Lax2 + L13x3 = О,
1 4" (^22 — *0 Х1 + ^23*3 = О,
! ~~Г~ ^Ъ2ХЧ I ( А$3 " М Х3 == ^"
G.77)
Чтобы эта линейная однородная система имела нетривиальный век-
вектор— решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель
был равен нулю, т. е.
, — к
,22
12
— к
Ь31
^32
Ь23
>— к
= 0.
G.78)
Если тензор симметричен, т. е. если его матрица в каждом ба-
базисе еР е2, е3 симметрична, то, как известно, все корни Яр к2 и к3
уравнения G.78) вещественны. Известно, что можно так выбрать
нормированные собственные векторы ер е2, e3i отвечающие собствен-
собственным значениям Яр к2, к3, чтобы они образовали ортогональный нор-
нормированный базис, причем в этом базисе матрица оператора L будет
иметь диагональную форму
,, О О
0
О
0 0 /.о
G.79)
Выбор базиса
е3, в котором матрица тензора имеет диа-
диагональную форму, называется приведением тензора к главным

§ 10] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА 289
осям. Укажем в качестве примера, что для тензора проводимости
в анизотропном теле — «монокристалле» — главными осями являются
кристаллографические оси. По поводу главных осей тензора инер-
инерции, тензора деформации и тензора напряжений мы отсылаем к кур-
курсам механики и механики сплошных сред.
§ 10. Общее определение тензора
Понятие аффинного ортогонального тензора, рассматривавшееся
в предыдущих параграфах, связано с преобразованием ортогональ-
ортогональных декартовых систем координат и соответствующих им ортогональ-
ортогональных нормированных базисов.
В настоящем параграфе, рассматривая всевозможные косоуголь-
косоугольные декартовы системы координат и соответственно произвольные
базисы, мы дадим общее определение тензора.
1. Взаимные базисы векторов. Пусть векторы
•ер е2, е3 или, короче, ег - G.80)
образуют базис. Обозначим через
^=(е,. е2, е3) G.81)
объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на реб-
ребрах. Векторы е*
ci _ [е2, е3] t e2 = J^31_eiI! сз _ tei, e2] (/g2)
образуют так называемый «взаимный» базис для базиса е;.
Легко проверить, что и, обратно, базис е,- является взаимным
для базиса е*. Действительно, объем параллелепипеда, построенного
на векторах е*, как на ребрах, равен
v — (е , е , е) —
[е3, ei] [е,, е2] \ __
г? —
V 3 V ' V
= ут([е2. ез1. Пез. ej, [ej, e2]]) =
= J-([e е ]{е (е е е ) —е (е е е ))) = — = — G 83)
Таким образом,
W'=l. G.84)
Поэтому
19 Б. М. Будак, С. В. Фомин

290 ТЕНЗОРЫ (ГЛ. 7
аналогично получаем
ГаЗ а11 Га1 *»21
^1 1Ц^1 е3. G.86)
Из соотношений G.85) и G.86) вытекает, что
0 при г т*= k,
/ = t G.37)
Следует заметить, что если базис elf e2. е3 ортонормироваи, то
взаимный базис с ним совпадает.
2. Ковариантиые и коитравариантные координаты векторов.
Рассмотрим разложение вектора х по взаимным базисам:
3 3
х= 2 *,е' = 2] *Ч- G-88>
Контраварнантными координатами вектора х в данном ба-
базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по данному
базису; так, числа х1 и xt являются контравариантными координа-
координатами вектора х в базисах е{, е2, е3 и е1, е2, е3, соответственно.
Ковариантными координатами вектора х в данном базисе назы-
называются скалярные произведения этого вектора на векторы взаимного
базиса. Умножая скалярно G.88) на ек или на е* и используя G.87),
получим, что ковариантные координаты вектора х в базисах е1, е2,
е3 и ег, е2, е3 равны, соответственно,
3 3
(х, ей) = 2 х, (el, ek) = 2 xfii = xk, G.89)
i=i i=i
3 3
(х, е*) = 2 х1 (е,-, е*) = 2 х1ъ\ = х". G.90)
i=i i=\
Таким образом, ковариантными координатами вектора в данном
базисе являются его контравариантные координаты во взаимном
базисе.
3. Операция суммирования в тензорной символике. В тензор-
тензорном исчислении для записи операции суммирования принято следую-
следующее правило: если в некотором выражении встречаются одинаковые
индексы, из которых один верхний, а другой нижний, то это озна-
означает, что по данному индексу проведено суммирование от 1 до 3.
Например, суммы G.87) и G.88) в соответствии с этим правилом
записываются в виде
\ = xlei, x=x'et; G.91)

§ 10] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА 291
3_
билинейная форма ^ alkxlxk записывается в виде
1, k = i
aikxLxk G.92)
и т. п.
4. Преобразование базисных векторов. Рассмотрим преоб-
преобразование старого базиса ег в новый базис ег- Применяя тензорную
запись суммирования, будем иметь
e;,=a',e;, i'=\, 2, 3. G.93)
Коэффициенты с^, образуют матрицу перехода от старого базиса ег
к новому базису e,s т. е.
а\, а?, а3,
а*, а|, а3,,
аз-
G.94)
Если мы рассмотрим обратное преобразование нового базиса е<>
в старый базис е;:
e. = afe.,, G.95)
то матрица ja*' |, очевидно, будет обратной для матрицы llaj, J. Дей-
Действительно, подставляя в равенство
е. = cd'e., G.96)
выражение е[,=а\',е1, получим
eb = ai'a'e,. G.97)
В силу единственности разложения вектора ек по базисным векто-
векторам еР е2, е3, из G.97) получаем
О при г Ф k,
G.98)
при i^k,
но это и означает, что матрицы |ctj'|| и IIct*, II взаимно обратны.
5. Преобразование ковариантных и контравариантных коор-
координат вектора. Рассмотрим сначала, как преобразуются контрава-
риантные координаты вектора:
х=*'е, = *''е('. G.99)
Подставляя е(. =а''е., в G.99), получим, что
х ^= x'ctCe ^= jcf'e
В силу единственности разложения х по базису е^, в2', ез', находим
xi'=ali'xi. G.100)
19*
(
-

292 ТЕНЗОРЫ [ГЛ. 7
Таким образом, «новые» контравариантные координаты х1' выра-
выражаются через «старые» контравариантные координаты х1 с помощью
матрицы Ja-'J обратного перехода от нового базиса ег к старому
базису е(- *). Отсюда и происходит название «контравариантные коор-
координаты» (т. е. противопреобразующиеся).
Аналогично G.100) получаем, что
xl=allrx1'. G.101)
Рассмотрим теперь, как преобразуются ковариантные коорди-
координаты xi вектора х- Так как
*, = (х, е,-), Jf(.=(x. ег), G.102)
то
xr = (x, е,,)=(ха',.е() =<*',*,. G.103)
Таким образом, прямое преобразование ковариантных координат
выполняется с помощью той же матрицы, что и прямое преобразо-
преобразование базисных векторов (е,- в ег); отсюда и название «ковариантные
координаты» (т. е. сопреобразующиеся). Аналогично G.103) получаем
xl = al['xr. G.104)
6. Общее определение тензора. Будем по-прежнему обозначать
через IIaj, II матрицу перехода от старого базиса ег к новому ег.
а через |аП| — матрицу обратного перехода от нового базиса ег
к старому е(-.
Определение /. Величина А, определяемая в каждом базисе
ei(i—l, 2, 3) 3p+q числами л/1/2.V."/?, где индексы ts, s—l,
2 р, и jv t—\, 2 q, независимо друг от друга про-
пробегают значения 1, 2, 3, называется тензором(р~\-д)-го ранга,
р раз ковариантным и q раз контравариантным, если при
переходе от любого базиса е(- к любому другому базису е^
эти числа преобразуются по закону
а9? - j =а'У; .. . «W» . . . *'<№ - ;*, G.105)
где ||ctj,||—матрица перехода от базиса ev e2, e3 к базису
ег, е2,, е3,, а матрица |aj' |—обратная ей.
Числа Л;1;2.'.. Iя называются координатами тензора А в базисе е,-.
Верхние индексы у, jq называются контравариантными индек-
индексами тензора, а нижние iv ..., ip — ковариантными.
*) Точнее, с помощью матрицы, получающейся транспонированием этой
обратной матрицы.

§ Ю] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА 293
Иногда пользуются следующей эквивалентной формой определения
тензора.
Пусть в каждом базисе е^ е2, е3 задана система Зр+Ч
чисел Ai\*'.['. i ч, где индексы ts, s= 1, 2 р, и jt, t = 1, 2, . . ., q,
независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, 3.
Если при переходе к любому другому базису ег, е2,, е3, эти
числа преобразуются по закону
^"•LaW-.W!.!' ... «Wf-;*. G.105)
где I!of i II—матрица перехода от базиса вр е2. е3 к базису
€j,, е2,, е3,, а матрица |oj'||—обратная ей, то говорят, что
задан тензор (р-\-д)-го ранга, р раз ковариантный и q раз
кон трава риантный.
Примеры. 1. а) Система коэффициентов a-h-H инвариантной
билинейной формы
/(X, y)=e/ljljc'iy/« = e ' ос'»/2 G.106)
AB
является ковариантным тензором второго ранга.
Действительно, подставляя в G.106) выражения
x1=a)x1 и у=а."у\ G.107)
ll B
получим, в силу произвольности векторов х и у, что
a..y = a/a.?a, . . G.108)
»1»2 11 B г1B _
б) В частности, если /(х, у)^(х, у)—скалярное произведение
двух векторов х, у, то совокупность коэффициентов gcti2 билиней-
билинейной формы
(х, y) = giliixl'y''
называется метрическим тензором или, точнее, ковариантным
метрическим тензором. Если в каждом базисе ег элементы обрат-
обратной матрицы для ||§"(,B|| обозначить через g1^1, то они образуют
так называемый контравариантный метрический тензор.
В силу симметрии скалярного произведения, (х, у) = (у, х), тен-
тензоры giS и g1' симметричны, т. е. в каждом базисе
£Г ■ ■ = Р" ■ ■ Р"^ = Р"-^
2. Совокупность координат Ц линейного оператора L
l=\, 2, 3, G.109)

294
ТЕНЗОРЫ
[ГЛ. 7
образует тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз
контраварианчный. Действительно, взяв новый базис е/-, имеем
С другой стороны,
G.110)
J: G.111)
Сравнивая G.110) с G.111), в силу единственности разложения век-
вектора Ь(ег) по базису е;-, получаем
l{:=ai.a}j'L{.
G.112)
3. Совокупность ковариантных координат хь вектора х образует
ковариантный тензор первого ранга; совокупность контравариантных
координат вектора х образует контравариантный тензор первого
ранга.
7. Операции над тензорами. Операции над тензорами в общем
случае определяются так же, как в случае аффинных ортогональных
тензоров, с той лишь разницей, что операции сложения и вычитания
определяются для тензоров одинакового ранга, имеющих одинаковое,
строение, т. е. таких, у которых число р нижних индексов
одинаково и число q верхних индексов также одинаково, а свертка
делается только по верхнему и нижнему индексам.
Добавляются некоторые новые операции, например операции опу-
опускания и поднятия индексов, осуществляемые соответственно путем
свертки с ковариантным или контравариантным метрическим тен-
тензором.
8. Дальнейшие обобщения. Дальнейшие обобщения связаны
с введением криволинейных координат. Возникают понятия парал-
параллельного перенесения, ковариантного дифференцирования, объекта
связности. По поводу общей теории тензоров мы отсылаем к спе-
специальным руководствам [1], [2], [3].
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ. 7
ОБ УМНОЖЕНИИ МАТРИЦ
Напомним, что произведением Р • Q двух прямоугольных матриц
(где число столбцов в первом множителе должно равняться числу
строк во втором)
Р =
Pll Р\2 ■■■ Р\п
Pi\ РЪ2 • • ■ Р2п
Рт\ РтЧ
Рп
И Q =
Яп Яи ■•■ Яи
Я2\ #22 • • • fe
Ян1 ЯпЧ
Япз

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ, 7
295
называется матрица
R =
r12 • • • rin
'22
, . . Г
2/1
ml ' ml
■ . Г„
элемент которой гц, 1=\, 2, ..-., т, /=1, 2 и, стоящий на
пересечении 1-й строки и у'-го столбца, равен скалярному произве-
произведению 1-й строки первого множителя (матрицы Р) на у-й столбец
второго множителя (матрицы Q):
Представим векторы у и х как вертикальные матрицы-столбцы
\У\\
дг,
Тогда равенство
= L
'21
^■22 ^23
^■32 ^33
A)
после умножения матриц в правой его части принимает вид
3
Г2
II Уз
3
2 ^
ьХ,
ft=l
B)
что равносильно системе трех скалярных равенств
У1^ ^11-^1 + ^-12-^2+ ^13-^3'
у2 = L2lXl -f- Z,22^2-f- ^-23-^3'
Уз^ ^31-* 1 ~f" ^32-^2+ АзЗ-^-З-
C)
Аналогично представим векторы х и у* в виде горизонтальных
матриц-строк
х = ||д:1. х2, х3\\, У*=\\у*у У*2, Уз 1-

296
Тогда равенство
ТЕНЗОРЫ
Ln Z.j2 Z,1
^■21 ^-22 ^
23
после умножения матриц в правой части принимает вид
# * * л
что равносильно системе трех скалярных равенств:
Обычно равенство A) записывают еще короче в виде
а равенство D) соответственно в виде
У*=хЬ.
[ГЛ. 7
D)
E)
F)
G)

ГЛАВА 8
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
В этой главе мы рассмотрим последовательности и ряды, членами
которых являются функции. Такие последовательности и ряды
называются функциональными.
Разложение функций в ряды, члены которых, вообще говоря,
проще, чем разлагаемые функции, используется при вычислении и
исследовании функций, при интегрировании функций, при решении
дифференциальных уравнений и играет важную роль в математике и
ее приложениях. При этом существенно используются понятия равно-
равномерной сходимости и сходимости в среднем, характер-
характерные для функциональных последовательностей и рядов.
§ 1. Понятие равномерной сходимости; признаки
равномерной сходимости
1. Сходимость и равномерная сходимость. Рассмотрим последо-
последовательность функций
/iD AGO /„(*) (8Л)
определенных на сегменте а-^х -^Ь *). Если вместо текущего х
подставить какое-нибудь фиксированное значение хо£[а, Ь\, то
функциональная последовательность превратится в числовую:
/i(*o). Л(*о) /л(-о). ••■ (8-2)
Функциональная последовательность (8.1) называется сходящейся
в точке х0, если числовая последовательность (8.2) сходится; функцио-
функциональная последовательность (8.1) называется расходящейся в точке х0,
если числовая последовательность (8.2) расходится. В первом слу-
случае х0 называют точкой сходимости последовательности (8.1),
*) Вместо сегмента а^х^Ь можно взять какое-либо другое множе-
множество X значений х, например: а < х < Ь или а ^ х < Ь, или а < х <; Ь, или
а < х < -f-oo, или а< х < -\-со, или —со < х < -]-оо и т. п. В тех слу-
случаях, когда такая замена замкнутого отрезка [а, Ь] произвольным множе-
множеством X недопустима, это будет оговариваться особо.

298 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
во втором случае — точкой расходимости этой последователь-
последовательности *).
Если последовательность функций сходится в каждой точке
х£[а, Ь], то говорят, что она сходится на сегменте [а, Ь]. При
этом в каждой точке х сегмента [а, Ь] существует определенный
предел lim /я (х), который будет, вообще говоря, зависеть от х,
я-»+оо
т. е. будет некоторой функцией /(х), определенной на [а, Ь]. Эту
функцию называют пределом последовательности функций (8.1)
и пишут
/я0*0-*/W ПРИ я-»•-{-сю,
или
lim /„(■*) = /(■*) на [а, Ь]. (8-3)
+ +
Теперь мы можем сформулировать следующее
Определение 1. Последовательность функций {/„(■*)} назы-
называется сходящейся к функции f (х) на сегменте [а, Ь],
если при каждом фиксированном значении х£[а, Ь] последо-
последовательность чисел fn(x) сходится к числу /(х), т. е. если для
каждого г > 0 и каждого х £ [а, Ь] найдется такое N = N(e, x)**),
зависящее от г и, вообще говоря, от х, что будет
\fn{x) — /(дг)|<е при каждом я>М(б, x). (8.4)
Среди всех сходящихся функциональных последовательностей осо-
особого внимания заслуживают равномерно сходящиеся последова-
последовательности.
Определение 2. Последовательность функций {/„ (л:)} назы-
называется равномерно сходящейся к функции f(x) на
сегменте ■ [а, Ь\, если для каждого е > 0 найдется такое
N = N(е) ***), зависящее от е и не зависящее от х, что откло-
отклонение fn{x) от f (х) удовлетворяет неравенству
I/я (*)—/(*) I < е при каждом п > N(е) (8.5)
сразу для всех х £ [а, Ь].
*) Множество всех точек сходимости функциональной последовательно-
последовательности (8.1) называют областью сходимости этой последовательности. Область
сходимости функциональной последовательности может иметь сколь угодно
сложную структуру; она может совпадать со всей осью х, как в случае
последовательности /„ (х) = —, —со<л:<-|-со. я=1. 2 сходящейся
на всей оси х к функции f(x)=0, или не содержать ни одной точки, как
в случае последовательности /„ (х) == (—1)я, —со < л: <-|~ оо, л=1, 2, ....
расходящейся при каждом значении х, —оо < х < -|~со.
**) Л/(е, х) не предполагается обязательно целым.
***) N (е) не предполагается обязательно целым.

§ i] ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 299
Этому определению, очевидно, эквивалентно следующее
Определение 2', Последовательность функций \fn(x)} назы-
называется равномерно сходящейся к ф у н к ц и и f (x) на
сегменте [а, Ь], если
sup |/„(*) — /(jc)|-vO при я-* + оо, (8.5')
<<6
т. е. если верхняя грань отклонения функции fn(x) от функ-
функции f (х) на сегменте [а, Ь] стремится к нулю при я—>-|-со.
Действительно, если выполняется (8.5'), то для всякого е > О
найдется такое N (е), что при любом n>N(e) будет
sup \fn(x) — f(x)\<£.
<6
Но, в силу определения верхней грани,
I/.W-/WK sup \fn{x)-f{x)\
a<x<b
сразу для всех х£[а, Ь]. Следовательно, будут выполнены соот-
соотношения (8.5).
Обратно, если выполнены соотношения (8.5), то
sup \f{) f)\
при каждом п > N(е), а это означает, в силу произвольности е > О,
что выполнено (8.5').
Равномерную сходимость последовательности {/„(х)} к функции
/ (х) на [а, Ь] обозначают символом
на [а, Ь]. (8.6)
Равномерная сходимость имеет простой геометрический смысл.
Соотношение (8.5') означает, что верхняя грань отклонения графи-
графика функции y — fn(x) от графика функции у — /(х) на отрезке [а, Ь]
стремится к нулю при «-*■-(-со. Иными словами, если окружить
график функции y = /(jt) «е-полоской», определяемой соотношениями
/(*) —е<у</(*) + е, а <•*-•<*. (8-7)
то графики всех функций y^fn(x), начиная с достаточно боль-
большого п, целиком лежат в этой «е-полоске», окружающей график
предельной функции y — f(x) (рис. 8.1).
Примеры. 1. Последовательность/я(л;)= — sin nx-> f (x) = 0
при я—>-|-со на всей оси х, —oo<Jt<-f-co; эта сходимость
является равномерной, так как \fn(x) — f(x)\ = — j sin nx | <^
■^—<e сразу при всех х, —со < x < -f-со, если только

300 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
2. Последовательность fn(x)=x" сходится к функции
0 при 0<Jt < 1
при х = 1
[ГЛ. S
на сегменте 0 <; х <[ 1 при п->-\-со.
Однако эта сходимость будет неравномерной. Действительно,
пусть 0<е<1, 0<лг<1. Тогда неравенство \fn(x) — /(jc)| =
= хп < е выполняется только при п > N(е, х) = -.— . Но N(e, x) —
--f-oo при х—*■ 1—0 и 0<е<1. Следовательно, при
\пх
У
О
О
Рнс. 8.1.
Рнс. 8.2.
0 < е ■< 1 не найдется такого конечного N (г), не зависящего от х,
чтобы неравенство \fn(x) — f(x)\ — xn<it выполнялось при каж-
каждом n>N(e) сразу для всех х из полусегмента 0<^л;<1. Если
сегмент O^x^l заменить меньшим сегментом O^x^l—б,
где 0 < б < 1, причем б может быть сколь угодно малым положи-
положительным числом, то на этом меньшем сегменте последовательность
fn(x) = xn сходится к своему пределу f(x)^0 равномерно.
Действительно, N (г, х) = ~ < JV (е) = [п "^_ &, при 0<л;<1— б.
^_
поэтому |/я(х) — f (дг)| = хп < е при п> N(e) = |п п!_^ сРазУ Для
всех Jt£[O, 1 —б].
К анализу этого примера можно подойти и с геометрической точки
зрения. На рис. 8.2 изображены графики функций последователь-
последовательности и жирной линией график предельной функции/(л:); он состоит
из отрезка 0 ^ х < 1 (без правого конца) оси х и изолированной
точки с координатами A, 1). Окружим график предельной функции/(л:)
«е-полоской» при 0<е<1. График каждой функции fn(x)—x",
выйди из начала координат, обязательно при некотором х, 0 < х < 1,

§ I]
ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
301
покидает эту «е-полоску», так как его правый конец должен попасть
в точку A, 1). Значит, последовательность fn(x) = xn, n—\, 2, . . .,
сходится на сегменте 0^х<^1 неравномерно.
3. Последовательность функций /я (х) = —- arctg пх, —со < х <
<-f-co, n=l, 2, 3
сходится к функции
{—1 при —со < х < 0,
f{x)= sign x = \ 0 при jc = O,
( -f- 1 при 0<jc<-f-°o,
однако эта сходимость не является равномерной, что легко
устанавливается с помощью геометрического анализа, аналогично тому,
как это сделано в предыдущем
примере.
4. Последовательность
ций /„(■*) = i j^
функции /(jc)=O
функ-
сходится
к функции /(Jt)=U на полу-
полупрямой 0<;jt<-f-co. Чтобы
установить, сходится ли эта по-
последовательность равномерно к
своему пределу на полупрямой
О ^.х < -j- со, проверим, выпол- д
няется ли соотношение типа (8.5'),
т. е. будет ли sup |/„(■*) —
0<Х<+оо
— f(x)\->0 при и->-(-оо. Для
этого найдем максимум «отклонения»
2пх
/ /
J 2
РиС 83
Фя(*)=1/я(*) —/(*I =
= . Л2 2 на полупрямой 0<;x<-f-°o- Мы имеем
Фя(*) =
• A+п2х2J'
Очевидно, что q>'n(x)—0 при 1—п2х2=0, т. е. при хя^—,
Следовательно,
max
0<х<+со
1 + :
при n->-f-oo.
Значит, сходимость не является равномерной. Здесь неравно-
неравномерная сходимость характеризуется наличием бегущего горбика, вы-
высота которого (рис. 8.3), равная единице, является максимумом откло-
отклонения графика fn(x) от графика f (х) при ()<.*;<-}-со-

302
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. 8
Все сказанное до сих пор о функциональных последовательностях
легко переносится на функциональные ряды, т. е. на ряды вида
(8.8)
где функции ик(х) заданы, например, на сегменте [а, Ь\.
Определение /,. Функциональный ряд (8.8) называется схо-
сходящимся, если сходится последовательность его частичных
сумм
)=v2 «*(*)• я=1. 2. ... (8.9)
k=i
Предел последовательности частичных сумм
S(x)— lim Sn(x)
л-> +оо
(8.10)
называют суммой ряда (8.8). Если ряд (8.8) сходится и
его сумма равна S(х), то пишут
со
S(*)= 2 «*(*)• (8.11)
Определение 2Х. Функциональный ряд (8.11) называется
равномерно сходящимся к своей сумме S (х) на сег-
сегменте [а, Ь], если последовательность его частичных сумм
{Sn(x)} сходится равномерно на [а, Ь] к его сумме S(x), т. е.
если для всякого е>0 найдется такое N = N(e), что откло-
отклонение Sn(x) от S(x) будет удовлетворять неравенству
\S(x)-Sa(x)\ =
«*(*)
<е
(8.12)
для каждого п^>Ы(г) сразу при всех х£[а, Ь], иными сло-
словами, если
sup \S(x) — Sn(x)\= sup
k=n+l
«*(*)
•0 при л
(8.12')
Примеры равномерно (неравномерно) сходящихся рядов легко по-
построить, отправляясь от примеров равномерно (неравномерно) сходя-
сходящихся последовательностей. Действительно, по произвольной последо-
последовательности функций
fi(x), /2(-"О /л (-*-)■ ■•' (8.13)

§ 1] .ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 303
легко построить ряд
/i (х) + If г (х) - /i (x)\ + [ Д (х) - /2 (х)] + ...
■•• +[/„(*)— /„-i(Jt)l+... , (8.14)
для которого она является последовательностью частичных сумм.
Поэтому, если последовательность (8.13) сходится равномерно (не-
(неравномерно), то и ряд (8.14) сходится равномерно (неравномерно),
в силу определения 2,.
Заметим, что в силу определения 21 справедливо и обратное утвер-
утверждение: из равномерной (неравномерной) сходимости ряда (8.14) сле-
следует равномерная (неравномерная) сходимость последовательности
(8.13).
Непосредственно из определения равномерной сходимости вытекает
справедливость следующих двух утверждений:
1) Сумма конечного числа равномерно сходящихся последо-
последовательностей (рядов) является равномерно сходящейся последо-
последовательностью (рядом).
2) Умножение всех членов равномерно сходящейся после-
последовательности (ряда) на одну и ту же ограниченную функ-
функцию (((х) (в частности, константу) не нарушает равномерной
сходимости.
Докажем, например, второе утверждение. Пусть fn(x)^+f(x)
на [а, Ь] и пусть существует такая константа С, 0<C<;-f-oo, что
[ф(л:)|<С при всех х£[а, Ь\. Пусть, наконец, дано какое угодно
е > 0. В силу равномерной сходимости fn(x) к /(х), найдется такое
N (е), что \fn(x) — /(-*0l<-£- сразу при всех х £[а, Ь] для ка-
каждого я > ./V (е), но тогда
для каждого n>N(e.) сразу при всех х£[а, Ь], т. е. <f(x)fn (x)^%
^$.(f(x),f(x) на [а, Ь] при л->-+-°°- Считая fn(x) частичной сум-
суммой, а / (х) — суммой равномерно сходящегося функционального
ряда, заключаем, что это утверждение справедливо и для равномерно
сходящегося ряда.
2. Признаки равномерной сходимости. Если предел f (х) после-
последовательности функций (8.13) известен, то ее исследование на равно-
равномерную сходимость часто может быть выполнено непосредственно,
на основе определений 2 и 2, или их геометрической интерпретации,
аналогично тому, как это было сделано в примерах 1—4.
Однако иногда целесообразнее исследование вопроса о равномер-
равномерной сходимости последовательности функций (8.13) свести к иссле-
исследованию вопроса о равномерной сходимости соответствующего функ-
функционального ряда (8.14), для которого она является последователь-
последовательностью частичных сумм. Такое сведение может быть полезным

304
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
(ГЛ. 8
потому, что для функциональных рядов существуют различные прак-
практически удобные признаки равномерной сходимости.
Наиболее простым и широко используемым из таких признаков
является мажорантный признак Вейерштрасса, основанный на сравне-
сравнении функционального ряда с числовым рядом, члены которого неот-
неотрицательны.
Числовой ряд с неотрицательными членами
2
называется мажорирующим, или мажорантным, для
функционального ряда
(8.16)
на отрезке а
если
|afe(je)|<oft (8.17)
при всех k=l, 2, ... сразу для всех х £[а, Ь\.
Мажорантный признак Вейерштрасса. Если для функ-
функционального ряда (8.16) существует сходящийся мажорирую-
мажорирующий на [а, Ь\ числовой ряд (8.15), то ряд (8.16) сходится
равномерно на [а, Ь\.
Доказательство. Пусть дано какое угодно е > 0. В силу
сходимости мажорантного ряда (8.15), при всех достаточно
больших значениях п имеет место неравенство
+ СО
Тогда при всех таких п, в силу соотношений (8.17), будут выпол-
выполняться неравенства
-foo +со
С 2 |М*)|< 2 ak<e (8.18)
сразу для всех х£[а, Ь\, что и означает равномерную
сходимость ряда (8.16). Признак доказан.
+ СО
Примеры. 1. Ряд "V ■—з— сходится равномерно на всей
оси х, —сс<л;<4~ос> так как Для нег0 существует мажори-
мажорирующий сходящийся числовой ряд
1
1=1
1

§ I] ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 305
4-оо
SX
t . 4 2 на полуоси 0 <^ х < -f-oo. Поль-
Пользуясь обычными приемами дифференциального исчисления, находим
1
тах ' 1 о,"* 4 2 == ~9~г • Следовательно,
-f oo
0 <^ х < -j" °°- Но ряд У. —j- сходится. Следовательно, по при-
и=1
у--.—j—j- сходится равномерно на
1 ~~|— tl JC
и=1
всей полуоси
, 0 ^ л: <-f-oo, не существует мажори-
л=[
(—1)"
рующего сходящегося числового ряда, так как max
4-0О
а ряд У. — расходится. Однако, в силу признака Лейбница (см.
и = 1
вып. 1, гл. 13, § 5, неравенство A3.80)), при любом х £[0 <; х < + °°)
имеет место оценка
v ' ' —z— ' — при
а следовательно, в силу определения равномерной сходимости функ-
4-оо
Si \\п
-—р5— СХОДИТСЯ
равномерно на полуоси 0 ^ х < -f- qo. Этот пример показывает, что
признак Вейерштрасса является лишь достаточным для равно-
равномерной сходимости и не является необходимым.
Приведем теперь основной критерий равномерной сходимости,
имеющий важное теоретическое значение и позволяющий установить
более тонкие достаточные признаки равномерной сходимости, чем
признак Вейерштрасса.
Критерий Коши (для равномерно сходящихся последова-
последовательностей). Для равномерной сходимости последователь-
последовательности функций {fn(x)\ к функции f(x) на отрезке [а, Ь\ необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 существовало пи эе
N — N(e), что при каждом л>Л/(е) и всех р > 0 неравенство
I/„+,(*)-/„(*) К е (8.19J
выполнялось бы сразу для всех х£[а, Ь\.
20 Б. М. Будак, О. В. Фомин

306 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ II РЯДЫ [ГЛ. 9
Доказательство. Необходимость. Пусть fn(x)tf(x)
на [а, Ь\; тогда при любом е>0 существует такое N(е), что при
всех п > N (е) и всех р > 0 будет
|/„(*)-/(*) |<-J- и !
сразу для всех х£[а, Ь\. Поэтому
при всех n~>N(e,) и всех р>0 сразу для всех х £[а, Ь\.
Достаточность. Из выполнения неравенства (8.19) при всех
х£[а, Ь\ вытекает, что при каждом фиксированном х£[а, Ь\
последовательность чисел /„ (х), п = 1, 2» .. ., сходится, так как
она является фундаментальной, т. е. последовательность функций
fn(x), л=1, 2, ..., сходится на всем отрезке [а, Ь\. Обозначим
предельную функцию через f(x). Переходя к пределу в (8.19) при
р—>-(-ос, получим, что
при всех п > N (е) сразу для всех х£[а, Ь\. Но это и означает,
что fn(x)^$-f(x) на отрезке [a, i]. Критерий доказан.
Применяя критерий Коши для равномерно сходящихся последова-
последовательностей к последовательности частичных сумм
S1(x)=u1(x),
S2{x) = u1(x) + u2{x) $„(*) = «,(*)+ ... +ип(х), ...
+ 00
функционального ряда 2"*D получим
k=i
Критерий Коши (для равномерно сходящихся рядов). Для
равномерной сходимости ряда
й= 1
на отрезке [а, ^] необходимо и достаточно, чтобы для вся-
всякого е>0 существовало такое N = N(е), что гари каждом
и всех р>0 неравенство
\Sn+p(x)-Sn(x)\ =
п + р
2 «*(*)
(8.21)
выполнялось бы сразу для всех х £[а, 6].
С помощью критерия Коши можно доказать

§ I] ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 307
Признак Абеля. Если частичные суммы ряда
2 uk{x) = ux (x)~\-u2(x)-\- ... +«ft(.*0+ ••■ (8.22)
равномерно ограничены на [а, Ь], т. е. существует
такая константа С, 0<С<4~оо, что
\Sn(x)\ =
п
S
k=l
«*(*)
<С при п = 1, 2 (8.23)
с разу для всех х£[а, Ь\, а последовательность функций
щ(х), aj(jc) ak(x) (8.24)
монотонно не возрастая, равномерно стремится
к нулю на этом отрезке, то ряд
+ 00
2П, ( у\ а . (у\ /О ОК\
k \ / ft \ / \O.ZO)
сходится равномерно на [а, Ь].
Прежде чем доказать признак Абеля, приведем пример его при-
применения.
. „ VI sin kx
4. Ряд у. —х— можно рассматривать как результат умножения
членов ряда
+ СО
^ sin kx = sin x -(-sin 2x -f- ••• +sinAx-(-... (8.26)
на члены последовательности
Для частичных сумм ряда (8.26) имеет место оценка
sln-jj
(ср. с вып. 1, гл. 13, § 5), а следовательно, сразу при всех х,
удовлетворяющих неравенствам
2отл-(-а<;л: <Bm-j- 1)л-(-а, где 0 < а < л,
т = 0, ±1, ±2 (8.28)
выполняются неравенства
1
при п =
sin If
20*

308 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Так как последовательность (8.27), монотонно убывая, стремится
к нулю и, будучи числовой, стремится к своему пределу равно-
+ СО
VI sin kx
мерно на всей оси х, то ряд ^—^— удовлетворяет всем усле-
уследи 1
виям признака Абеля на каждом интервале( (8.28) и поэтому схо-
сходится равномерно на каждом таком интервале.
Доказательство признака Абеля. Докажем, что при
сформулированных выше условиях для ряда (8.25) выполнен критерий
Коши (для равномерно сходящихся рядов). Мы имеем
= ап+1 [Sn + 1 —Sn]-{-an+2[Sn+2 —
+an+pSn+p, (8.29)
Учитывая, что a, (x) ;> a2 (x) ~^> ... ^-an(x)^-an+1(x)^- ... и что
|5n(x)|<;C при всех л=1, 2, ... и всех х^[а, Ь\, из равенства
(8.29) получим, что
л+1— ал+2) +
при всех р > 0 и сразу для всех х£[а, Ь\, где ел+, =
= sup an + 1(jc)-*0 при л-*4-оо, что и требовалось доказать.
§ 2. Свойства равномерно сходящихся функциональных
последовательностей н рядов
1. Непрерывность н равномерная сходимость.
Теорема 8.1. А) Если последовательность непрерывных
функций fl(x), fo(x) fn(x)< ••• сходится равномерно
на [а, Ь] к функции f(x), то f (х) также непрерывна на [а, Ь\.
Б) Если все члены ряда
S(x)=^uk(x) (8.30)
k=i
непрерывны на [а, Ь\ и ряд сходится равномерно на [а, Ь\,
то его сумма S(х) также непрерывна на [а, Ь\.
Доказательство. А) Возьмем произвольную точку х £ [а, Ь\,
и пусть (x-\-h) £ [а, Ь\. Установим непрерывность / (х) в
точке х. Для этого оценим разность f(x-\-h) — / (х). Пусть дано
произвольное е > 0. Покажем, что при достаточно малых по

§ 2] СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 309
модулю значениях А модуль этой разности будет меньше е. Имеем
—/,.(* +А) 1 +
/»Wl + l/.W-/W|. (8.31)
Взяв п достаточно большим, мы, в силу равномерной сходимости
/„(*) к f(x) на [а, Ь\, будем иметь
4-А) —/„(* + *)!<!■ при всех (JC-f-ANW». *Ь (8.32)
1/(*) —/„(*)!<■§■ при всех х£[о. Ъ\. (8.33)
Фиксировав п, выбранное указанным образом, рассмотрим сред-
средний член в правой части неравенства (8.31). Так как fn(x) — функ-
функция непрерывная, то найдется такое б = б(е)>0, что при всех h,
удовлетворяющих неравенству ]А|<б(е), будет
!/„(* +ft)-/я(*)|<!. (8.34)
Но тогда из (8.31), в силу (8.32), (8.33) и (8.34), получаем, что
|/(jt-f-A) — /(л:)|<е при всех А, удовлетворяющих неравенству
]А| <6(е). а это и означает, что f(x) непрерывна в точке х£[а, Ь\.
Но точка х£[а, Ь] была выбрана произвольно, следовательно,
/(х) непрерывна в каждой точке х£[а,Ь]. т. е. непре-
непрерывна на [а, Ь\.
Заметим, что если х является одним из концов сегмента [а, Ь],
то приращению А можно придавать значения лишь какого-нибудь
одного знака, что приводит к доказательству непрерывности справа
в точке а и непрерывности слева в точке Ь.
п
Б) Частичная сумма ряда Sn(x)= 2 uk(x)> как сумма конечного
числа непрерывных функций, непрерывна при любом л=1, 2, 3, ...
Так как, в силу равномерной сходимости ряда, Sn(x)^tS(х) на
[а, Ь\, то, по доказанному в А), сумма ряда также непрерывна.
Теорема доказана.
Равномерная сходимость является лишь достаточным усло-
условием для того, чтобы предел последовательности непрерывных функ-
функций был непрерывной функцией. Это подтверждает хотя бы пример 4
из п. 1 § 1, в котором рассматривается последовательность непре-
непрерывных функций /д(х)= . . 2 2 , я—1, 2 неравномерно
сходящаяся на полупрямой 0<Сл:<-|-со к непрерывной функ-
функции /(л:)г=0.
Однако для некоторого узкого класса последовательностей и
рядов справедливы и обратные утверждения, доказанные Дини *),
*) Улисс Дини A845—1918) — итальянский математик.

310 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Теорема 8.1' {теорема Дини). А) Если последовательность
непрерывных функций, заданных на [а, 6|.*), не убывает,
т. е. А(-«X/г(-«X ••• </»W< ••• «о [я, Ь\, и сходится
к непрерывной функции f (х), то эта сходимость является
равномерной на [а, Ь].
+ са
Б) Если с\>мма ряда S(x)= 2 uk(x) c неотрицательными
s=i
непрерывными на [а, Ь\ членами непрерывна на [а, Ь], то
этот ряд сходится равномерно на [а, Ь].
Доказательство. А) Докажем, что при любом е>0 най-
найдется такое п, при котором будет
0 < Rn (x) = f (x) — fn (x) < е сразу при всех х £ [а, Ь\. (8.35)
Тогда, в силу очевидной монотонности последовательности
Ri(x)>R2{x)> ... >«„(*)> .... (8-36)
соотношение (8.35) будет выполняться и при всех больших значе-
значениях п, т. е. будет иметь место равномерная сходимость.
Доказательство будем вести от противного. Пусть для некото-
некоторого е0 > 0 такого п не существует. Тогда при каждом п = 1,
2, ... найдется такое хп £ [а, Ь], что будет
Яя(*«)>е„. (8.37)
Из последовательности точек xlt х2, .... хп, ... на отрезке [а, Ь\
выберем по теореме Больцано — Вейерштрасса подпоследовательность
хп , х„2 хп , .... сходящуюся к некоторому хо£[а, Ь\. Функ-
Функция Rn(х) = /(х) — fn(x)> как разность двух непрерывных функ-
функций, является непрерывной; поэтому при любом т будет
lim
Rm (х„ ) — Rm (x0).
Но при любом т и достаточно большом k будет пк > т, и, сле-
следовательно, в силу (8.36) и (8.37),
Rm {Хп^ > Rnk (xnk) ^- 60.
Переходя в этом неравенстве к пределу при nk —> -j- oo, получим,
что Rm(x0)^-&0 при любом т. Но это противоречит соотношению
lim Rm(xa) = 0, вытекающему из сходимости fm{x) к /(х)
т->+оо
в точке х0.
*) В этой теореме существенно используется замкнутость и ограничен-
ограниченность отрезка [а, Ь\, однако теорема сохраняет силу и при замене отрезка
[а, Ь] произвольным замкнутым ограниченным множеством X.

§ 2] СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 311
п
Б) Частичные суммы ряда Sn(x)= 2 uk(x)> ti=\, 2, .... с не-
неотрицательными непрерывными членами образуют неубывающую по-
последовательность непрерывных функций, сходящуюся по условию
к непрерывной функции S(x). Следовательно, в силу пункта А)
данной теоремы, эта сходимость равномерна, а это и означает,
что ряд сходится равномерно.
2. Предельный переход под знаком интеграла и почленное
интегрирование ряда. Если
X X
ffa(l)dl= [\ Jim fn(l)]dl (8.38,)
или
X ( +OO ) +OO X
Mi) U = S /Mi)<*i. (8-382>
mo говорят, что можно переходить к пределу под знаком
X +°°
интеграла \ fn{\)d\ или соответственно что ряд 2j ukix)
х„ k=l
можно интегрировать почленно в пределах от хй до х.
Соотношение (8.382) является обобщением теоремы об интеграле
суммы на случай бесконечного числа слагаемых.
Заменяя функциональную последовательность {/„ (х)} рядом, для
которого она является последовательностью частичных сумм, или,
-uoo
наоборот, заменяя ряд 2ma(jc) последовательностью его частичных
сумм, мы можем соответственно соотношение (8.38!) преобразовать
к виду (8.382) и соотношение (8.382) преобразовать к виду (8.38,).
Таким образом, решая вопрос об условиях справедливости одного
из них, мы тем самым решаем вопрос об условиях справедливости
и другого. Заметим, что для справедливости соотношений (8.38,) и
(8.382) не достаточно существования интегралов и сходимости соот-
соответствующих последовательностей и рядов (см. примеры в конце
/Этого пункта). Требуется еще выполнение некоторых дополнительных
условий. Такого рода достаточными условиями являются:
1) равномерная сходимость и, как это будет показано в § 6 настоя-
настоящей главы, 2) сходимость в среднем.
Теорема 8.2. А) Если последовательность непрерывных
функций {fn(x)\ сходится равномерно на [а, Ь\ к функ-
функции f (х), т. е.
на [а, Ь). (8.39)

312 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
f х \
то последовательность интегралов \ I fn{z)dz\ сходится
Uo I
X
равномерно по it на [а, Ь\ к интегралу Г f(z)dz
х х
ffn(z)dzztff(z)dz (8.40)
при любом хо(~[а, Ь\.
Б) Если ряд
+ оо
= 2 «*
члены которого непрерывны на отрезке [а, Ь\, сходится равно-
равномерно на этом отрезке, то имеет место равенство
X + ОО X
Г S(z)dz = 'S\ fuk(z)dz, (8.42)
J л^Л J
X(j k — 1 Xq
т. е. ряд (8.41) можно интегрировать почленно в пределах
от х0 до х при любых х0 и х из [а, Ь\, причем ряд (8.42)
сходится равномерно по х на [а, Ь\ при любом хо(~[а, Ь\.
Доказательство. А) Пусть дано е > 0. Выберем такое N (е),
чтобы, в силу (8.34), выполнялось неравенство
I/»(*) — /(*) К-г5— (8-43)
при каждом л>Л/(е) сразу при всех х(~[а, Ь\. Так как по тео-
теореме 8.1 функция f (х), будучи пределом равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций, непрерывна, то инте-
х
грал I f(z)dz существует при любых х0 и х из [а, Ь\. Оценим
Хч
X X
разность Г fn(z)dz— Г f(z)dz. При каждом п > N(е), в силу (8.43),
= J[fn(z)-f{z)\dz
г<\х-хо\1Г^-^г, (8.44)
МЫ
J
I
Хц
X
имеем
с
/„B)
0
dz
-I
Хо
Хо
к
f(z)dz
X
=

§ 2] СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 313
а это и означает, что имеет место (8.40). Из соотношения (8.40)
вытекает равенство
X X
Hm ffn(z)dz= Гf{z)dz при х, хй£[а, Ь\. (8.45)
Xq Xq
Таким образом, если последовательность непрерывных функ-
функций {fn{x)\ сходится равномерно на [а, Ь], то можно пере-
х
ходить к пределу под знаком интеграла I fn{z)dz при любых
Хо
х0 и х из [а, Ь].
п
Б) При любом л=1, 2, 3, ... частичная сумма Sn (х) = 2 uk(x)>
как сумма конечного числа непрерывных функций, непрерывна..
По условию
Sn (х) z£S(х) на [а, Ь\.
Но тогда, в силу пункта А),
X X
jSn(z)dzz$f S(z)dz на [a, b].
Заметим, что
х х п п х
/Г \~\ V4 Г
Sn(z)dz= I V«ftB)d2= V I uk(z)dlt. (8.46)'
X Xa k=\ k=\ X
Поэтому соотношение (8.45) можно переписать так:
{п х \ х
У Г uk(z)dz\-=t ГS(z)dz на [а, Ь], (8.47)
^™ j | j
причем выражение, стоящее в фигурной скобке, является частичной
суммой ряда (8.42). Следовательно, равенство (8.42) имеет место
и ряд (8.42) сходится равномерно на [а, Ь\, что и требовалось
доказать.
Замечание. Теорема сохраняет силу и в том случае, когда
fn{x), n=\, 2 могут иметь разрывы, но являются интегри-
интегрируемыми функциями. Тогда при условии равномерной сходимости f(х)
также интегрируема и выполняется соотношение (8.40).
Равномерная сходимость является лишь достаточным условием
для того, чтобы можно было переходить к пределу под знаком инте-
интеграла и интегрировать ряд почленно. Например, последовательность
/„ (х) = х" сходится неравномерно на отрезке 0 <; х ^ 1 к своему-

314 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ, 8
пределу /(*)== О при 0<х<1, /A)=1. Однако
I fn{z)dz=) z-dz^—-^ ю =
а ха
X
= / f{z)dz при п->-\-
оо
и любых х0 и л: из отрезка [а, Ь\. Но если последовательность инте-
интегрируемых функций fn(x) сходится к своему пределу f (х) неравно-
X X
мерно, то может случиться, что lim I fn(z)dz ф \f{z)dz. На-
Ха х,
=s0, —оо<х<+оо,
[ \пхЧ-п* dx= 1 — e-n-/*fo -dx = 0 при и-> + оо.
П->+со
пример
но
1 1
о
3. Предельный переход под знаком производной и почленное
дифференцирование ряда. Если
или
+оо -1' +оо
=2«;(*). (8.49)
то говорят, что можно переходить к пределу под знаком
производной или соответственно что ряд 2 uk(x) можно диф-
ференцироватъ почленно.
Соотношения (8.48) и (8.49) эквивалентны в таком же смысле,
как и соотношения (8.38t) и (8.382).
Соотношение (8.49) является обобщением правила дифференциро-
дифференцирования суммы на случай бесконечного числа слагаемых.
Для справедливости соотношений (8.48) и (8.49) не достаточно
существования производных и сходимости соответствующих после-
последовательностей и рядов, требуется еще выполнение некоторых допол-
дополнительных условий. Достаточные условия такого рода содержит
Теорема 8.3. А) Если последовательность непрерывно диф-
дифференцируемых функций*) [fn{x)\ сходится к f (x) на [а, Ь],
/„(*)->/(*) »а [о. Ь\, (8.50)
*) Функция / (л;) называется непрерывно дифференцируемой, если оиа
имеет непрерывную производную.

§ 2] СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 315
а последовательность их производных {f'n{x)\ сходится равно-
равномерно к <f(x) на [а, Ь],
f[(x), /2(x) f'n{x), ... г$Ф(х) на [а, Ь\, (8.51).
то f (х) также дифференцируема на [а, Ь\ и
f'(x) = <f(x)= lim f'n(x), (8.52>
П-Я-оо
т. е. допустим предельный переход под знаком производной.
Б) Если ряд с непрерывно дифференцируемыми членами
+ СО
^) (8.53).
(8.54>
сходится на [а, Ь\, а ряд производных
сходится равномерно на [а, Ь\, то сумма S (х) ряда диффе-
дифференцируема на этом отрезке и всюду на нем выполняется
равенство
S'(x) = a(x)=^u'k(x), (8.55)
k = \
т. е. ряд (8.53) можно почленно дифференцировать.
Доказательство. А) Так как по условию доказываемой тео-
теоремы производные f'n{x) являются непрерывными функциями и имеет
место равномерная сходимость f'n(x)^t(f(x) на [а, Ь\, то по тео-
теореме 8.2
X X
lim Г f'(z)dz= f(f(z)dz, (8.56),
л-»+оо У •>
т. е.
[/»(*) —/я (*оI= (<t(z)dz. (8.57)
л-Я-оо
Переходя к пределу в левой части равенства (8.57), получим
X
f(x)-f(xo)=f<f(z)dz,
Хо
т. е.
X
(8.58>

316 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Следовательно, / (х) как сумма двух дифференцируемых функций —
х
константы / (х0) и интеграла I (f(z)dz — является функцией диф-
ференцируемой. Дифференцируя обе части равенства (8.58) по х,
получим
;
п
Б) Полагая Sn (x)= 2 и*(-*0> имеем 5л(л:)-*5(лг) на [а, £>],
п
Sn{x)^Xo(х) на [а, Ь\, причем Sn(x)= 2 uk(x) непрерывна на [а, £]
при я=1, 2, ... Следовательно, в силу пункта A), «S(jc) является
функцией, дифференцируемой на этом отрезке, и всюду на
этом отрезке выполняется равенство
что и требовалось доказать.
Если последовательность производных сходится неравномерно, то
может случиться, что равенство (8.52) не выполняется. Например,
но
0 при
— оо < х < +оо,
*• \ 1 I ff <'<~*\ f\
lim f'n($)= Hm
4. Почленный предельный переход в функциональных после-
последовательностях и рядах. Теорема о пределе суммы, вообще говоря,
неверна в случае бесконечного числа слагаемых. Так, например, и
сумма, и каждый член ряда в равенстве
+ 00
__ 21 VI (— 1) r . knx , . , „
х — — 2^ и Sin —■ — 1<х<1, 1ФУ,
k=i
справедливость которого доказывается в п. 5 § 2 гл. 11, стремятся
к определенным конечным пределам при х-*1—0. Если же при-
применить к этому равенству теорему о пределе суммы при х—>1 — О,
то мы получим абсурдное равенство /=0.
Однако при определенных дополнительных ограничениях теорема
о пределе суммы распространяется и на случай бесконечного числа
слагаемых. Справедлива следующая

2] СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 317
Теорема 8.4. А) Если функциональный ряд
_ .т . .. (8.59)
сходится равномерно в некоторой окрестности точки х0 и
если
Umuk(x)=ck при k=\, 2, .... (8.60)
х-ьх,
Ч-оо
то числовой ряд 2 ck сходится, причем
Ч-оо Ч-оо
lim 2 uk(x)=2t ck< (8-61)
k=i
т. е. в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пре-
пределу почленно.
Б) Если последовательность функций fi(x), /2(-*:), ...
.... /„(х), ... равномерно сходится в окрестности точки х0
и при каждом п существует определенный конечный предел
lim fn(x)=An>
то последовательность чисел Аг, А2, .,., Ап, ... также схо-
сходится и
lim lim fa(x)= lim Hm /„ (jc).
Л-Я-ОО
Доказательство. Пусть дано произвольное е > 0. Так как
ряд (8.59) сходится равномерно в окрестности х0, то существует
такое Л/ (е), что при всех п > Л/ (е) и всех р > 0 будет
| ип+1 (х) + . .. + ип+р (х) |< £ (8.62)
сразу для всех х из этой окрестности х0. Переходя к пределу
при х —>■ х0 в неравенстве (8.62), получим неравенство
К+!+ ... +сл+р|<£, (8.63)
справедливое при всех л>Л/(е) и всех р > 0. Следовательно, ряд
+ СО
^Сь сходится. Устремляя в (8.62) и (8.63) индекс р к беско-
нечности, получим
k=n+l
«*(*)
<е (8.64)
при всех л^5>Л/(е) и сразу для всех л: из окрестности х0.
Фиксируем теперь n>yV(e) и выберем 6 = 6(е) так, чтобы

318
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ.
выполнялось неравенство
п п
2 «*(*)—21
< е при 0 < | х — х01 < б (е). (8.65>
Тогда при 0<|л: — лго|<6(е) будем иметь, в силу (8.64) и (8.65),
+ CO +OO
21 Uk(x)— 2 С;
2 «*(■«) —2
2 «*(*)
4-e = 3e. (8-66)
Доказательство Б) следует из А), если рассмотреть ряд
для которого последовательность f\{x), /2(Jc), ..., fn(x) является
последовательностью частичных сумм и который удовлетворяет всем,
условиям пункта А).
§ 3. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
2V»=c9+V + V4 ... +спхп+ •-. (8-67)
А —О
или вида
2 cft(x — xo)* = co4-c,(a: — л:0)+...+сл(л: — лго)л+..., (8.68)
А = 0
где коэффициенты с0, С], ..., сл, ...—постоянные числа. Ряд
вида (8.68) простой заменой jc' = jc -— jc0 сводится к ряду вида (8.67)-
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением рядов вида (8.67).
Представление функции в виде суммы степенного ряда или, иными
словами, разложение функции в степенной ряд при-
применяется как в теоретических исследованиях, так и в приближенных
вычислениях. Подробнее мы остановимся на этом в § 5, а сейчас
займемся изучением основных свойств степенных рядов.
1. Интервал сходимости степенного ряда; радиус сходимости.
Выясним прежде всего, какой может быть область сходимости сте-
степенного ряда. В отличие от области сходимости произвольного функ-
функционального ряда, которая может оказаться множеством точек сколь
угодно сложной структуры, область сходимости степенного ряда
■foo
2 ckxk всегда является отрезком оси х, который может быть
* 0

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 319
сегментом, полусегментом или интервалом, может вырождаться в одну
точку х = 0 или совпадать со всей осью х. Всякий степенной ряд
+ оо
2 скхк сходится в точке х = О, поскольку в этой точке он превра-
щается в числовой ряд
со + «1-О + с2.О+ ... +сл.0+ ... =с0.
Существуют степенные ряды, сходящиеся только в точке х = О,
+ ОО
например ряд 2 п! х" *)• Действительно, при любом х Ф О
• I л I п-ъ+ао
-f oo
следовательно, по признаку Даламбера ряд ^ п\ х" расходится.
Существуют степенные ряды, сходящиеся на всей оси х, например
ряд 2j ~т • его сходимость при любом х легко устанавливается также
с помощью признака Даламбера. Рассмотрим теперь какой-нибудь
степенной ряд, область сходимости которого не совпадает со всей
осью х и не вырождается в точку х = О, например ряд 1 + х -f-
-j-jt2-j- • • ■ + х" -j- . .., представляющий собой геометрическую про-
прогрессию со знаменателем х. Как известно, он сходится при | х | <; 1
и расходится при \х\^\. Таким образом, областью сходимости этого
ряда является конечный интервал — 1 < х < 1 с центром в точке
х = 0. Оказывается, что вообще справедлива следующая
Теорема 8.5, Если область сходимости степенного ряда
-1-оо
2 ckxk не вырождается в точку х=0 и не совпадает со всей
*=о
осью х, то существует такой конечный интервал (—R, R),
называемый интервалом сходимости степенного ряда
2 ckx>1' 8 каждой внутренней точке которого этот ряд схо-
сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне сегмента
{—R, R], расходится**).
*) Напомним, что по определению 0!= 1.
**) При этом, если интервал (— R, R) является интервалом сходимости
степенного ряда 'S\ ckxk, то, как выяснится из дальнейшего, областью схо-
димости этого ряда может оказаться либо интервал (—R, R), либо сегмент
I— R, R], либо один из полусегментов (— R, R] или [— R, R). .

320 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Для доказательства этой теоремы нам потребуется
+ СО
Лемма. Если степенной ряд 2 ckxk сходится паи
л: = а=£0, то он сходится абсолютно при каждом х, для
которого \х\ < |а|.
+ СО
Доказательство леммы. Из сходимости ряда 2 с*а*
следует, что cka!l—>-0 при k—>-\-oo; поэтому существует такое
А = const <-f-°o, что |cfta*|<-<4 при всех k = 0, 1, 2, ...
\х\
Пусть \х\ < |а|. Положим Я==Т^\'> очевидно, что 0<;^<1.
Тогда мы будем иметь | cuxk \ = | ckak | • -^- <С Aqk при всех
-Г СО
k = 0, 1, 2, ... Но ряд ^ Aqk, как геометрическая прогрессия
А 0
со знаменателем, меньшим единицы, сходится, значит, ряд 2
также сходится по признаку сравнения (см. вып. 1, гл. 13, § 2),
+ ОО
т. е. ряд 2 скх>г ПРИ данном значении х сходится абсо-
А = 0
л ют но. Лемма доказана.
+ оо
Из доказанной леммы вытекает, что если степенной ряд 2 ckxk
сходится при некотором значении x = a=^0, то он сходится абсо-
абсолютно на интервале —|a|<x<|a|. В частности, если ряд
+ ОО
2 ckxk сходится на всей оси х, то он сходится на всей оси
А = 0
х абсолютно.
Доказательство теоремы 8.5. Положим /? —sup|jt'|, где
х' пробегает множество всех точек сходимости ряда. Совершенно
очевидно, что /?<-f-oo, так как если бы существовали точки
сходимости х' со сколь угодно большим модулем | х' |, то, в силу
леммы, ряд сходился бы абсолютно на всей оси х, а это противо-
противоречит условию теоремы. В силу определения числа R, при \х\ > R
ряд расходится. Докажем, что при |л:|</? он сходится абсолютно.
Пусть \х\ </?. В силу определения точной верхней грани, найдется
такая точка сходимости х', что |дг| < |л:'| </?; но тогда по лемме
при таком значении х ряд будет сходиться абсолютно. Теорема
доказана.

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 321
В концах интервала сходимости степенные ряды могут вести себя
различным образом. Например, ряды
.**+...+*»+..., (а)
(б)
(в)
(г)
имеют интервал сходимости —1 < л: < 1. Для рядов (б), (в), (г) это
устанавливается с помощью признака Даламбера, а ряд (а) — извест-
известная геометрическая прогрессия. Ряд (а) в концах интервала сходи-
сходимости расходится. Ряды (б) и (в) сходятся в одном из концов интер-
интервала (но признаку Лейбница) и расходятся в другом, превращаясь
в гармонический ряд. Ряд (г) сходится абсолютно в обоих концах
интервала сходимости (в силу интегрального признака).
Таким образом, если область сходимости степенного ряда 2 сах*
отлична от одной-единственной точки х = 0 и не совпадает со всей
осью х, то существует такое число R, 0 < R < -j- со, что областью
сходимости данного степенного ряда является какой-либо из отрез-
отрезков: (~R,R) или (— R, R], или [-R.R), или [— /?, /?]; это
число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
Если степенной ряд сходится только при х = 0, то полагают, что
радиус сходимости R = 0; если же степенной ряд сходится на всей оси х,
то полагают /?=-)- оо. Это позволяет пользоваться понятием радиуса
сходимости в случае любого степенного ряда. Степенной ряд, а сле-
следовательно, и его радиус сходимости однозначно определяются после-
последовательностью коэффициентов-с0, с1 сп, ... Укажем некоторые
способы вычисления радиуса сходимости по коэффициентам ряда.
Теорема 8.61. Если существует предел
то радиус сходимости ряда S С*А:* равен /?=-г, при этом
/г = 0 '
полагают R=0 при / = -f-oo и R = -\-co при 1=0.
Доказательство. Применив к ряду признак Даламбера,
получим, что
1л М**|'И~1 I/1 1
Пт I сд+1 11*1 I v-1 . lim I "+'' — \x\-l*)
I С I I Х I 11
Ic
*) Если члены ряда неположительны, ю для применения признака
Даламбера нужно брать их абсолютные величины. Аналогично обстоит дело
с применением признака Коши.
21 Б. М. Будак. С, В. Фомин

322 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Если / — 0, то \х\ -1 = 0 и ряд сходится абсолютно при любых
значениях х, т. е. R = -j- оо. Если 1 = -\-оо\\хфО, то |jt|-/ = -j-oo
и ряд расходится при любых х ф О, т. е, R = 0. Если 0</<-f-co,
то при /|х|<1 ряд сходится абсолютно, а при Z|jc|>1 ряд
расходится; иными словами, при |л:| < у ряд сходится абсолютно,
а при х > -у он расходится; следовательно, /?=у. Теорема
доказана.
Аналогично доказывается (с применением признака Коши) сле-
следующая
Теорема 8.62. Если существует предел
lim у |ся|=/. 0<Z<+oo,
л-Ясо
+2° j
ото радиус сходимости ряда ZiCkxk равен /? = -г, яри это.м
полагают R = O при Z = -f-oo и /? = + оо при Z = 0.
Теоремы 8.6t и 8.62 применимы лишь в тех случаях, когда
I c ' | "
существуют соответственно пределы lim n+ ' и lim У|с„|.
л-Я-со I сл I л-^+со
К любому степенному ряду применима следующая более сильная
Теорема 8.63 (Коши — Адамара). Радиус сходимости произ-
вольного степенного ряда 2 ckxk Равен
, л
/? = y, где 1= lim У"|сл|, (8.69)
л-Я-оо
причем считается, что R= 0 при Z = -f-oo и /? = -|-оо при Z^O.
л
Замечание. Символом lim У\ сп\ обозначен верхний предел
последовательности неотрицательных чисел \cl\, "|/| c21, У"|с3|. ...
л
.... У| с„ | ,.. . Если эта последовательность не ограничена, то по опре-
л
дел&нию lim ]/|с„| =+оо. Если же она ограничена, то
л-^+оо
л
lim У | сп | является абсциссой самой правой предельной точки
Л-> +со
последовательности.
Доказательство теоремы 8.63. Возможны лишь следующие три
случая: 1) 0<J<-}-co, 2) / = 0, 3) Z = +oo. Рассмотрим каждый случай
отдельно.

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 323
1) Пусть 0 < / < -(-со. Докажем, что R = —, т. е. что: а) при любом х]г
для которого | л:] | < у, ряд 2 скхк сходится; б) при любом х2, для кото-
которого ] х21 > -у, этот ряд расходится.
а) Пусть | x, | < -у, т. е. /1 х1 \ < 1. Тогда при достаточно малом е > О
я
будет (/ + еI х, | = q < 1. Так как /= lim У\ сп | является самой правой
я-> +оо
I п 1 л
предельной точкой последовательности \У|с„|/, то У\ сп \ </-(-е, начиная
с достаточно большого я,.а следовательно, при всех таких значениях п
п
y\c^\\xA<(l + e)\Xi\ = q<h т.е. \сп\\ х, \" < q«.
+ ОО
Поэтому, в силу признака сравнения и в силу сходимости прогрессии 2 Чп<-
+оо -f со
ряд 2 I сп I I х\ \п сходится, т. е. ряд 2 спх" сходится абсолютно.
л=0 л=0
б) Пусть \ х?\ > -у, т. е. / | х21 > 1. Тогда при достаточно малом е,
л
О < е < /, будет (/ — е) | х2 \ > 1. Но так как /= Tim У\ сп \ является
л-> +оо
п
предельной точкой последовательности {]/ | сп \ }, то найдется такая беско-
бесконечная последовательность индексов п{ < пц < ... < пк < ..., что
п
+ ОО
| сп J | л:
п J | л:2 |
я*
Таким образом, для ряда 2 сал:* необходимый признак сходимости не вы-
ft = 0
полнен, а следовательно, этот ряд расходится.
+ ОО
2) Пусть /=0. Докажем, что /? = -}- со, т. е. что ряд 2 сал:* сходится
л
при всех х, —со<л:<-|-со. Пусть х0 ф 0. Так как / = 0= lim У\ с„ \ ,
л-^+оо
" 1
то, начиная с достаточно большого п, будет у \ с„ | < -^ 1-( т. е. при
^ I х01
всех таких п будет |/|с„| | х0 \ < -^ и | сп \ | х0 \" < -^. Поэтому, в силу
-f-co
признака сравнения, ряд 2lcnll-*ol" сходится, а следовательно, ряд
л = 0
+СО
2 спхо сходится абсолютно.
л = 0
21*

324 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
я
3) Пусть / = + со, т. е. последовательность чисел [У\ сп | ) не ограни-
+ оо
чена. Докажем, что R = О, т. е. что при любом кй ф О ряд
ходится. Допустим, что ряд 2 слхо> где хо ^ °' сходится, тогда спх£
л = 0
при я->■-}-со (в силу необходимого признака сходимости), а следовательно,
найдется такое число А, 1 < А < -|- со, что | сл-к" < Л при всех
п п
я = О, 1,2....; поэтому при всех п = 0, 1, 2, ... будет }/"| с„ | | лг01 < j/~3 < A,
л ^
т. е. будет |/| с„ | <- г, а это противоречит условию, что последова-
тельность {|^| с„ | } не ограничена. Теорема полностью доказана.
Замечание. Теорема Коши — Адамара позволяет иначе, чем это
сделано в п. 3, доказать возможность почленного дифференцирования и
почленного интегрирования степенного ряда, так как легко проверить, что
формулы (8.69) для проинтегрированного и продифференцированного степен-
степенного ряда дают ту же величину радиуса сходимости, что и для исходного
степенного ряда.
2. О равномерной сходимости степенного ряда и непрерыв-
непрерывности его суммы. Было установлено, что во внутренних точках
интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно.
Выясним теперь, как обстоит дело с равномерной сходимостью.
Справедлива
+ ОО
Теорема 8.7. Степенной ряд 2 ckx>t сходится равномерно
k = 0
на каждом замкнутом интервале, лежащем строго внутри
интервала сходимости.
Доказательство. Пусть — /?<a<^jc^p < R, где
(—R, R) — интервал сходимости. Докажем, что на отрезке [а, р]
ряд сходится равномерно. Возьмем д:0>тах(|а|, |р|), хо£(—R, R).
Тогда для всех х£[а, fi] будет выполняться неравенство \х\ < |дго|,
а следовательно, и неравенство | спхп | <!j cnx* |. Но числовой ряд
+ СО
2 спХо сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряды
л=0
+ ОО -*-ОО
^ спх" и 2 \спх"\ сходятся на отрезке [а, р] равномерно.
л=0 л=0
Теорема доказана.
+оо
Замечание 1. Если ряд 2 l^ftWl сходится равномерно, то
ft = O
+ 0О
ряд 2 ик(х) называется регулярно сходящимся. Следовательно,

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 325
степенной ряд 2 скхк сходится регулярно на каждом замкнутом
* = 0
интервале, лежащем строго внутри интервала сходимости.
Замечание 2. На всем интервале сходимости степенной ряд
может сходиться неравномерно. Например, ряд
на своем интервале сходимости —1 < х < 1 сходится неравно-
неравномерно, так как модуль разности между его суммой и частичной
суммой при любом фиксированном п неограниченно возрастает при
х —> 1 и, следовательно, не может оставаться меньше конечного е > О
сразу при всех х из интервала —1 < х < 1. Однако справедлива
-f-oo
Теорема 8.71. Если степенной ряд 2 ckxk сходится в конце
x=R интервала сходимости (—R, R), то он сходится равно-
равномерно на замкнутом интервале [О, R].
Доказательство. Докажем, что на замкнутом интервале
|0, R] будет выполнен критерий Коши равномерной сходимости
функционального ряда. Отсюда будет следовать равномерная сходи-
сходимость ряда на [О, R]. Введем обозначение
Sn,P = cn+1Rn+1+ ... +cn+pRn+p, p = 1, 2, ...
Очевидно, что
пП+\ о
«+2 С" + 1 ~ ЛЛл'+р («)
л+2 л, 2 л» 1' * * * ' л + р л, р tit p~l*
Пусть дано е > 0. Так как числовой ряд 2 ck^k п0 условию схо-
сходится, то, в силу критерия Коши для числового ряда, существует
такое Л/(е), что при всех л>Л/(е) будет
|Sn>ft| <е для всех А = 0. 1, 2, 3, ... (Р)
П+Р I „\Л+Р—I
Учитывая, что (J-j < ^J < ... < Щ < 1 при 0<л:
и используя (а) и (Р), получим

326 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
к 1(х\"+] 1х\п+2Л \(х\п+2
л+2
<е1Ы -Ы +Ы -Ы +•••
+Ы )=еЫ <
при всех л>Л/(е), всех /7=1, 2, ... и сразу для всех х из от-
отрезка 0 ^ х ^ R, что и требовалось доказать.
+ 00
Замечание 1. Аналогично обстоит дело, если ряд ^ скхк
ft = O
сходится в левом конце интервала сходимости (— R, R) или
в обоих концах, тогда он сходится равномерно на [— R, 0] или
соответственно на [— R, R].
Замечание 2. Если в конце x = R интервала сходимости
(— R, R) степенной ряд расходится, то он не может сходиться равно-
равномерно на интервале 0 ^ х ^ R, иначе по теореме о почленном пере-
переходе к пределу в равномерно сходящемся ряде мы получили бы, что
он будет сходиться и в конце х = R.
Из теорем о равноменной сходимости степенного ряда и непре-
непрерывности членов степенного ряда вытекает следующая
Теорема 8.8. Сумма степенного ряда
+ ОО
5(x)=2v* (8-70)
непрерывна в каждой внутренней точке интервала сходи-
сходимости *).
Доказательство. Если точка х лежит внутри интервала
сходимости (—R, R) ряда (8.70), то ее можно заключить в замкну-
замкнутый интервал [а, р], лежащий строго внутри интервала сходимости
(рис. 8.4). На интервале [а, р] ряд (8.70) сходится равномерно и его
члены непрерывны. Следовательно, его сумма будет непрерывной
на интервале [а, р], а значит, и в точке х этого интервала. Теорема
доказана.
*) Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что интервал сходи-
сходимости ряда (8.70) не вырождается в точку.

§ 3]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
327
Замечание. Если ряд (8.70) сходится в каком-либо из концов
интервала сходимости (— R, R), то его сумма будет непрерывной
и в этом конце. Это вытекает из равномерной сходимости ряда (8.70)
на соответствующем замкнутом интервале вида [—R, 0] или [0, R]
(см. теорему 8.7i).
3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Теорема 8.9. Степенной ряд (8.70) можно дифференциро-
дифференцировать почленно во внутренних точках интервала сходимости,
т. е. в них его сумма S(x)
дифференцируема и выпол- ~ff ос О х В R х
няется равенство —' ' ' '—' ' —
S'(*)=3! kckxk-1. (8.71) Put 8.4.
причем производный ряд (8.71) имеет тот же интервал схо-
сходимости, что и ряд (8.70).
Доказательство. Обозначим соответственно через R и R'
радиусы сходимости рядов (8.70) и (8.71). Докажем сначала, что
+оо
R' = R. Если х £ (—R', R'), то ряд 2
I ck 1
1 x I* сходится, по-
-f CO
а значит, и ряд 2
ft0
*- следо-
+ ОО
этому сходится ряд 2 & 1С*||
* = 1 ft=0
вательно, х£(—R, R). Поэтому /?'</?. Еслих£(—R, R), то можно
выбрать такое хо£(—R, R), чтобы выполнялось неравенство |л:0|>|л:|
(х0 ф 0). Так как ряд 2 cftjco сходится, то
ft 0
0 при А—>+оо;
ft 0
значит, найдется такая константа А > 0, что будет | cftx* < А при всех
k = 0, 1, 2, ... Поэтому имеет место следующая оценка для членов
ряда (8.71):
1
X
x0
k-i
k-i
(8.72)
При |л:| < \хо\, т. е. при
X
x0
k=i
k- i
схо-
сходится, что легко устанавливается с помощью признака Даламбера.
Действительно, при k—>-j-°° будет
■(А+1)
х0
X
*7
Но тогда по признаку сравнения, в силу соотношений (8.72), ряд
(8.71) при данном х также сходится, т. е. х£(—R', R')- Следова-
Следовательно, R^,R'. Сопоставляя это с полученным ранее неравенством
R' ^CR, заключаем, что R' = R.

328 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Теперь мы можем воспользоваться тем, что на каждом замкнутом
интервале, лежащем строго внутри интервала сходимости (—R, R),
ряды (8.70) и (8.71) сходятся равномерно, а члены их непрерывны.
Это означает, что заведомо выполнены условия теоремы 8.3 о по-
почленном дифференцировании функционального ряда, откуда и следует
справедливость доказываемой теоремы.
+ 00
Следствие. Сумма степенного ряда S(x) = ^ckxk имеет
производные всех порядков, причем
+оо
S(n)(je)=2 k{k — 1) ... (k — n~\-\)ckxk-", л=1,2,... (8.73)
k = n
Радиус сходимости ряда (8.73) совпадает с радиусом сходи-
+ СО
мости ряда S(x)='^i ckxk.
ft = O
Доказательство этого следствия получается повторным при-
применением теоремы 8.9 к производному ряду (8.71), затем к полу-
полуденному из него таким же образом производному ряду второго по-
порядка и т. д.
Теорема 8.10. Степенной ряд
+ оо
S{x)=^ckxk (8.70)
ft = O
можно интегрировать почленно в интервале сходимости;
в частности, имеет место равенство
л
!■
(8.74)
п. —|— j
ft = O
причем радиусы сходимости рядов (8.70) и (8.74) совпадают.
Доказательство. Ряд (8.70) состоит из непрерывных функ-
функций, поэтому его можно интегрировать почленно на интервалах равно-
равномерной сходимости. Какова бы ни была точка х £ (— R, R), ее всегда
можно заключить в замкнутый интервал [а, р], лежащий строго внутри
интервала (— R, R) и содержащий начало координат. Интегрируя
в этом интервале от 0 до х ряд (8.70) почленно, получим равенство
(8.74), что и требовалось доказать.
Замечание. Если ряд (8.70) сходится в каком-либо из концов
интервала сходимости (—R, R), то jc в равенстве (8.74) может со-
совпадать с этим концом, так как тогда ряд (8.70) сходится равно-
равномерно на соответствующем замкнутом интервале [— R, 0] или [О, R\.

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 329
4. Арифметические операции над степенными рядами. Оста-
Остановимся сначала на сложении, вычитании и умножении. Пусть
+ OO
л = 0
+ СО
причем радиусы сходимости рядов (а) и (Р) равны соответственно
Ra > 0 и Rb > 0. Тогда
+оо
f(x) + g(x)= ^i(an ± bn)xn при | х | < min (/?a, Rb), (у)
л=0
л=0
при | х | < min (/?e, /?(,). (б)
Справедливость соотношения (у) очевидна (см. вып. 1, гл. 13,
§ 4); соотношение (б) получается по теореме об умножении абсо-
абсолютно сходящихся рядов (см. вып. 1, гл. 13, § 4), так как при
| х | < min (Ra, Rb) оба ряда (у) и (б) сходятся абсолютно.
Рассмотрим, наконец, деление. Если Ra > 0, Rb> 0 н Ьоф 0,
то при достаточно малых значениях [ х | имеет место следующее раз-
разложение в степенной ряд частного:
коэффициенты сг- которого могут быть найдены по рекуррентным
формулам, получающимся в результате умножения степенных рядов
в правой части равенства
а0 -\- a jX -\- a2x2 -f- . . . =
и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х в правой и
левой частях результирующего равенства. Ряд 21 спхп может быть
также получен делением ряда а0 + ахх -f- a2x2 -f- . . . на ряд
60—h й,лг -f- 62JC2 -f- ... по тем же правилам, по которым делятся
многочлены, расположенные по возрастающим степеням х. На дока-
доказательстве этих утверждений мы останавливаться не будем.

330 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
§ 4. Разложение функций в степенные ряды
Говорят, что функция f (х) разлагается в степенной ряд
+ 00
2 ckxk на интервале (—г, г), если на этом интервале дан-
ft = O
ный степенной ряд сходится и его сумма равна f(x), т. е.
+ оо
f(x)= 2V* (8.75)
на интервале (— г, г), при этом предполагается, что интервал
(— г, г) не вырождается в точку *). О роли, которую играют раз-
разложения функций в степенные (и другие функциональные) ряды, мы
уже говорили в начале главы. В конце этого параграфа мы дадим
характерные примеры применения разложений в степенные ряды при
вещественных значениях х. Степенным рядам в комплексной области
посвящен § 5 этой главы.
1. Основные теоремы о разложениях функций в степенные
ряды; разложения элементарных функций. Докажем прежде всего,
что одна и та же функция /(х) не может иметь двух различ-
различных разложений вида (8.75), так как справедлива
Теорема 8,11, Степенной ряд
+ 00
/W=2v*, (8.76)
ft=O
сходящийся на интервале (— R, R) (не вырождающемся в точку),
является рядом Тейлора для своей суммы f(x), т. е. его коэф-
коэффициенты находятся по формулам Тейлора
А=0' 1- 2 (8>77>
а следовательно, коэффициенты степенного ряда (8.76) опре-
определяются по его сумме однозначно.
Доказательство. Для доказательства достаточно воспользо-
воспользоваться следствием из теоремы о почленном дифференцировании сте-
степенного ряда. В силу этого следствия, сумма f (х) ряда (8.75)
бесконечно дифференцируема и имеет место равенство
-Ьоо
/('V)=SA(*-1)-(*-"+1)Vs"". л=1.2, ... (8.78)
*) Если / (х) может быть разложена иа интервале (—г, г) в степенной
ряд, то она называется аналитической функцией переменной х на этом
интервале.

§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 331
Полагая в (8.78) ->с = 0, получим
/">(()) = л !с„,
а следовательно,
г _/Я)@)
С" — л! '
что и требовалось доказать. Итак, если функцию f(x) можно раз-
разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой
функции рядом Тейлора.
Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Если
функция f(x) бесконечно дифференцируема на интервале
(— R, R), где R ф 0, и для нее формально построен ряд Тейлора
■•■• (8-79)
то будет ли ои сходиться на интервале (—/?, /?), и села да, то
будет ли его сумма равна функции fix)? В общем случае ответ
на этот вопрос является отрицательным, как показывает при-
пример функции
/(*)= \е X2 "Ри х^°> (8.80)
| 0 при х = 0.
Эта функция бесконечно дифференцируема' на всей оси х, причем
в начале координат
() (+1))= ... =0. (8.81)
Следовательно, все коэффициенты ряда Тейлора для этой функции
равны нулю; ряд Тейлора сходится на всей оси х, и его сумма
тождественно равна нулю, в то время как данная функция равна
iivnio только в начале координат.
Теорема 8.12, Для того чтобы функцию f(x) можно было
Ч-оо
разложить в степенной ряд ^tckxk на интервале (—R, R),
R Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы f(x) имела на этом
интервале производные всех порядков и чтобы остаточный
член в формуле Тейлора
0)*+ ... +^-/ + /?„ (8.82)
стремился к-нулю при всех х£(—R, R), когда л—>-|-оо.
Доказательство. Если f (х) может быть разложена в сте-
+ ОО
пенной ряд 2 ckxk на интервале (— R, R), то, в силу следствия

332 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [Гл. 8
теоремы 8.9, она имеет производные всех порядков, и по тео-
+ СО
реме 8.11 равенство f(x)= 2 ckxk м°жет быть переписано в виде
f{x) = f{0)+Ap-x+ ... +f?M-x"+ ... (8.83)
Равенство (8.83) означает, что разность между суммой и частич-
частичной суммой ряда (8.83), равная, согласно (8.82), остаточному
члену в формуле Тейлора, должна стремиться к нулю при
я-»- + оо для всех х£(—R, Щ).
Обратно, если /(х) имеет производные всех порядков на ин-
интервале (—R, R) и в формуле Тейлора (8.82) Rn—>0 при я->+с»э
для каждого х£(—R, R), то
при я—»- + оо для каждого х £ (—R, R), а следовательно, ряд (8.83)
сходится и его сумма равна / (х) иа интервале (—R, R), что и
требовалось доказать.
Удобные достаточные условия разложимости функции в степенной
ряд содержит следующая
Теорема 8.13. Для того чтобы функцию f(x) можно было
+ СО
разложить в степенной ряд 2 cttxtt на интервале (—R, R),
ft = 0
достаточно, чтобы f (х) имела на (—R, R) производные всех
порядков и чтобы существовала такая константа М, что
\f{"\x)\<M при п = 0, 1, 2, ... и всех x£(—R, R), (8.84)
т. е. чтобы производные всех порядков были равномерно огра-
ограничены в совокупности на интервале (— R, R).
Доказательство. Так как функция f(x) имеет производные
всех порядков на (— R, R), то для нее можно формально по-
построить ряд Тейлора. Докажем, что он сходится к f(x). Для этого,
согласно теореме 8.12, достаточно доказать, что остаточный член
в формуле Тейлора (8.82) стремится к нулю при л-> + оо и всех
х£(—R, R). Воспользовавшись формой Лагранжа *) для Rn, полу-
получим, в силу (8.84), следующую оценку:
(я+1I
■ X"
<<„ . Щ ПРИ n = 0, 1, ...
(я+1I
(—Я. Я). 0<6< 1. (8.85)
*) См. вып. 1, гл. 8, § 9.

§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 333
Нетрудно проверить с помощью признака Даламбера, что ряд
-f СО
V4 MRn+
V, . ... сходится; поэтому, в силу необходимого признака схо-
я=о
MRn+l
димости, будет . ;у-->0 при я->+-оо. Значит, в силу оценки
(8.85), будет Rn—>0 при л-> + оо и всех jt£(—R, R), что и
требовалось доказать.
Рассмотрим некоторые важные примеры разложения функций
в степенной ряд, т. е. в ряд Тейлора.
1. Для функций f(x) = sinx и /(jc) = cosjc имеем |/л)(л:)|^1
при всех я=0, 1, 2 и всех х, — оо < х < + оо, поэтому каждая
из них разлагается в степенной ряд, сходящийся на всей число-
числовой оси.
ft") @)
Вычисляя коэффициенты Тейлора -———, получим
X3 X5 „ X2n + l
slnx = x— -37- + -5I ••
, X2 , X4
cosx=1__ + __
_ + __ ... +(_1) __+ ...
2. Для функции f(x)=ex производные всех порядков на от-
отрезке (—R, R) удовлетворяют условию" |/^(я) | = ех ^eR. Следо-
Следовательно, показательная функция f(x)—ex разлагается в сте-
степенной ряд на любом интервале (— R, R) оси х, т. е. на всей
оси х.
Вычисляя коэффициенты Тейлора, получим
3. К функции f(x)= ln(l +-х) целесообразно применить следую-
следующий прием. Дифференцируя ее по х и разлагая полученную произ-
производную по формуле геометрической прогрессии, получим
при —
Интегрируя это равенство почленно, на основании теоремы 8.3 будем
иметь
1пA + х)=х — ^--1г~ — ^-\-... при —1 <*< 1. (8.86)
Разложение (8.86) остается справедливым и при х = 1. Действительно,
так как ряд (8.86) сходится при х=1 (по признаку Лейбница), то

334 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
его сумма
2 3 *
будет непрерывной (в силу замечания к теореме 8.3) на отрезке [0, 1].
Следовательно. lim S(a:) = SA)—1 о+^г — -т+ ••• ФУНК-
Z 6 4
х>!0
ция f (x)~ In (I -\-x) также непрерывна на этом отрезке, поэтому
In 2 = In A -f- х) | j_0. Но при 0 ^ х < 1 выполняется, согласно (8.86),
равенство In (I ~\- x)=S(x). Следовательно,
In 2= lim InA-1-*)= lim S(x)
!0 !0
4. Функцию f(x) = arctg x можно разложить в степенной ряд
аналогичным образом. Дифференцируя и применяя для производной
разложение по формуле геометрической прогрессии, находим
/'(-О=-Гр-Г=1-*2 + .к4--К6+ ... при -1<*<1.
Интегрируя почленно, получим
arctg х = х —"Х+Т"—Т~+ ••• при —1<х<1-
Что это разложение остается справедливым и в точке х=1, можно
показать так же, как была доказана в предыдущем примере спра-
справедливость разложения
5. Напишем формально ряд Тейлора для функции f(x) = (\ -
где а — произвольное отличное от нуля действительное число:
, . , а (а—1) , , а (а — 1) (а — 2) , ,
\+ах~\ ' х2~\ i^f!-х3+ =
«<«-1>-;(«-*+1> хк (8.87)
При целом положительном а = п все члены ряда (8.87), начиная
с (л-|-1)-го, обращаются в нуль, и мы приходим к обычной фор-
формуле бинома Ньютона. Применяя признак Даламбера (при а ф п,
п = 0. 1, 2. ...) легко установить, что радиус сходимости ряда (8.87)
равен 1. Следовательно, вне отрезка [—1, 1] функция (\~\-х)а

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
335
при а, не являющемся целым положительным числом, заведомо не
+ОО
может быть разложена в степенной ряд вида ^ c,,xk, т. е. по це-
лым неотрицательным степеням х. Покажем, что внутри этого от-
отрезка будет справедливо разложение
k= I
Для этого достаточно доказать, согласно теореме 8.12, что остаточ-
остаточный член в формуле Тейлора для функции A -\~ х)а будет стремиться
к нулю при л—>-f-oo для всех х из интервала (—1, 1).
Остаточный член в формуле Тейлора возьмем в форме Коши:
Для функции A -j- x)a он примет вид
a(a—
Так как х >—1, то 0 <
1. (8.89)
1
. . „
< 1, а следовательно, 0<
A Q \ П
. , Qv. <1 при всех л=1, 2, 3, ... Далее, при всех х £
£(—1, 1), в силу неравенства 0<9<1, | ах | A + Qx)a будет за-
клочено между |ах|A—|л:|)а и \ах |A +| jc |)a, а последние вели-
величины не зависят от л. Наконец, множитель — ^х"
является л-м членом ряда Тейлора для функции (l+x)", сходи-
сходимость которого при — 1 < х <; 1 легко доказывается с помощью
признака Даламбера. Поэтому при —1 <х<1. в силу необходи-
необходимого признака сходимости, будем иметь
a (a — 1) ... (a — я)
я!
■X'
•О
при л->-}-оо. Таким образом, при — 1 < х < 1 две из квадратных
скобок в (8.89) остаются ограниченными, а третья стремится к нулю
при п->-\-оо; следовательно, Rn->0 при л—> + оо для каждого
х£(—1, 1). Этим доказательство справедливости разложения (8.88)
на интервале — 1 < х < 1 завершено.

336 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
2. Некоторые применения степенных рядов.
а) Степенные ряды могут применяться для приближен-
приближенных вычислений значений функций. Ряды
^ +—-+.... (8.90)
')*+ (891)
+ +A>"+--- (8l92)
можно использовать для вычисления значений ех, sin х и cos х при
любых значениях х с любой степенью точности, поскольку ра-
равенства (8.90) — (8.92) выполняются на всей оси х.
Если в качестве приближенных значений этих функций брать
частичные суммы рядов (8.90) — (8.92) соответственно, то допускаемые
при этом погрешности особенно просто оцениваются в случае рядов
(8.91) и (8.92), в силу признака Лейбица погрешность не превос-
превосходит первого из отброшенных членов *).
Ряд для логарифма
1пA+х) = х —£■ + £- — ... +(—0*~lj£-+ .... (8.93)
— 1 < х < 1,
хотя и знакопеременный, но сходится медленно, а при х > 1 рас-
расходится. Чтобы ускорить сходимость ряда и сделать возможным
вычисление логарифмов чисел, больших единицы, из разложения (8.93)
вычитают разложение
1пA — х) = — х — £- — ^- — ... (8.93')
Это дает
1п
Полагая в (8.94) х = ■ „ . . , получают
In -^-i—=1п(л+ 1)— In л =
(l _i I 1 \ i_ \ (8 95)
~" 2/г+1 \ ^ 3 Bn -+-1J ^ 5B/г+ IL ^ '••/• ^ J
Отправляясь от In 1=0, можно с помощью ряда (8.95), сходящегося
достаточно быстро, найти логарифмы всех натуральных чисел.
*) Ср. с вып. 1, гл. 13, § 5.

% 4] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 337
Ряд для арктангенса
arctgx=A: — — + 4" — Т"+ •'• (8-96)
можно использовать для вычисления числа л с любой степенью точ-
точности. Именно, полагая в (8.96) х=1, получим
т=»—3-+Т-Т+ ••• <8-97)
В силу знакопеременности этого ряда, легко оценивается
погрешность, допускаемая при замене его суммы частичной суммой.
Ряд
можно использовать для извлечения корней. Например
x"
Выписанные члены дают значение этого корня с четырьмя верными
знаками. Ряд (8.98) — знакопеременный, поэтому погрешность
оценивается легко.
б) Разложение в степенные ряды можно использовать
для вычисления интегралов, не берущихся в элементарных
функциях. Например, используя ряд (8.91) для sin x, получим
о
Заметим, что деление ряда (8.91) на х при х Ф 0 законно, так что
sin хх2 х4
1 + {
при х Ф 0. При х = 0 полагаем = 1; тогда равенство (*) сохра-
нится и при х = 0. Ряд (8.99) — знакопеременный, так что
погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается
очень просто.
в) Степенные ряды (не только по целым положительным сте-
степеням х) находят широкое применение при интегрировании
дифференциальных уравнений, причем эго приводит, вообще
говоря, к построению новых функций, о чем подробно будет идти
22 Б. М. Будак, С. В. Фомин

338 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
речь в вып. 3 и 4 настоящего курса. Мы же ограничимся здесь одним
элементарным примером. Пусть требуется разложить в степенной ряд
X
функцию F(x)= е-*2 I е& й\. Легко проверить, что F(x) удовле-
о
творяет, дифференциальному уравнению
F' (х) + 2xF(x)=\ (8.100)
и начальному условию /7@) = 0. Будем искать решение уравне-
уравнения (8.100) в виде степенного ряда
Подставляя этот ряд в уравнение (8.100) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства,
получим
с, = 1, (я + 2)сл+2 + 2сл = 0, л=1, 2, ... (8.102)
Из начального условия /7@) = 0 находим
со = О. (8,103)
С помощью (8.102) и (8.103) из (8.101) получаем
X -f-CO
/Vi / ]\nnnY2n
л=о
Сначала ряд (8.101) мы дифференцировали почленно формально,
теперь, когда коэффициенты его уже известны, мы видим, что
ряд (8.104) сходится при всех х, —оо < х <[ -j-oo, и, следова-
следовательно, почленное дифференцирование законно при всех значе-
значениях х (см. теорему 8.9).
§ 5. Степенные ряды в комплексной области
Последовательность комплексных чисел
z1 = xl-\-iyv z2 = x2-\-iy2, .... zn = xn + tya, ... (А)
называется сходящейся к комплексному числу z0 = х0 -\- ty0 при
п—>-f-oo, если
\zn~ zo\ = V(xn — хоJ + (Уп — УоJ-*О при я-* + ос.
Поэтому для сходимости последовательности (А) к числу zQ — х0 -f- ^>'o
необходимо и достаточно, чтобы
Хп-*хо и уп->у0 при я-> + оо.

<§ 5] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 339
Ряд с комплексными членами
+ОО
где ak = ak-A-~ i$k, А= 1, 2, .... называется сходящимся, если
сходится последовательность его частичных сумм.
На ряды с комплексными членами легко распространяются поня-
понятия абсолютной и условной сходимости, а также основной критерий
сходимости, признак Даламбера и признак Коши *).
Областью сходимости степенного ряда
... (Б)
где коэффициенты с0, сх сп,... — комплексные числа, a z = x-\~iy —
комплексное переменное, является круг с центром в точке z = 0. Этот
круг может вырождаться в точку z = 0 или занимать всю плоскость
переменного z — x-\-iy. Внутри круга сходимости ряд (Б) сходится
абсолютно. Справедливость этих утверждений вытекает из следую-
следующей леммы.
Лемма. Если степенной ряд (Б) сходится при z = а Ф О,
то он сходится абсолютно при любом г, для которого |.г|<|а|,
т. е. в круге \z\ < |а| с центром в точке z = 0 и радиусом,
равным |а|**).
В каждом круге, концентрическом с кругом сходимости и лежащем
строго внутри него, степенной ряд сходится равномерно, и его
сумма будет не только непрерывной, но и бесконечное число
раз дифференцируемой функцией.
Отправляясь от разложений в степенные ряды элементарных
функций действительного переменного:
. (8.105;
J*-+ ... +(_i)*B^_i)i + .... (8.Ю6)
cosjc=1—^+ ... +(—1)*^-+ .... (8.107)
мы можем дать определение элементарных функций комплексного
переменного z = x-\~iy: ez, cos z, sin z, которые при z = x совпа-
совпадают соответственно с ех, cos x и sinx. Напомним, что ряды (8.105) —
*) Если члены ряда не являются положительными вещественными
числами, то для применения признаков Даламбера и Коши нужно брать
их модули.
**) Эта лемма была доказана для степенных рядов в действительной
области (см. доказательство теоремы 8.5), но таким же образом она доказы-
доказывается и для степенных рядов в комплексной области.
22*

340 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
(8.107) сходятся при всех действительных значениях х, но тогда,
в силу сформулированной выше леммы, они будут сходиться
и при всех комплексных значениях z, если в них вместо х подста-
подставить z. Поэтому, полагая
(8.108)
"ЗГ+ ••• +(—0й Bfe+i)| + •••■ (8.109)
(8.110)
мы получим функции комплексного переменного г, определенные
при всех значениях z. Умножая абсолютно сходящиеся (в силу леммы)
ряды, можно проверить, что для определенных таким образом функ-
функций комплексного переменного ег, cos z, sinz выполняются соот-
соотношения
е*> .ezi = ez'+z**) (8.111)
и
cos2 2+sin2 z=\. (8.112)
Заменяя в (8.108) z на iz и группируя отдельно в полученном ряде
члены, явно содержащие и явно не содержащие /, получим, исполь-
используя (8.109) и (8.110)i замечательную формулу Эйлера
eiz=cosz-\-ismz, (8.113)
справедливую при любом комплексном z. Действительно,
Так как из соотношений (8.109) и (8.110) следует, что cos(—z) =
= cos2, sin (—z) = — sin z, то, заменяя в формуле Эйлера z на —z,
получим
е~" = cos z — l sinz. (8.114)
Из уравнений (8.113) и (8.114) находим
cos 2 = ——~~- , sin z = -—^^ . (8.115)
Эти формулы также обычно называют формулами Эйлера.
*) Равенство (8.111) получается путем умножения степенных рядов
для eZi и е*2 по правилам, которые были доказаны в действительной области
и сохраняют силу в комплексной области.

§ Б] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 34]
Из формул (8.115) следует, что cos z и %\nz в комплексной
области могут принимать сколь угодно большие значения.
Полагая, например, 2 = —In, где. п — натуральное число, получим,
е" -\-е~п
cos(—in)=—-=^ >-j-°° ПРИ л—>-f-oo.
При этом формула (8.112) остается справедливой.
С помощью степенных рядов в комплексной области можно опре-
определить и другие функции комплексного переменного, такие, как
In A-}-.г), arctg2 и другие.
Теория функций комплексного переменного является одним из важ-
важнейших разделов современной математики и находит широкие при-
применения в математической физике.
С точки зрения теории функций комплексного переменного находят
более полное объяснение некоторые факты из анализа функций
действительного переменного. Например, в равенстве
J _|_д-2 -v j -v л —p- ... ^;
левая часть непрерывна и ограничена на всей числовой оси, однако
стоящий справа ряд при \х\^\ расходится. Если рассматривать
равенство (*) при комплексных значениях х, то причина этого явления
становится ясной, так как при х = I левая часть равенства обра-
обращается в бесконечность и, следовательно, окружность круга сходи-
сходимости (с центром в начале координат) должна проходить через точку
х = I. (Если бы эта точка лежала внутри круга сходимости, то в ней
функция -г—г-—J- была бы непрерывной, а она при x = i обращается
в бесконечность.)
В § 4 была рассмотрена функция
1
~ х* при х Ф О,
О при х = 0.
Эта функция имеет в начале координат производные по х всех по-
порядков, но не разложима в степенной ряд по целым неотрицательным
степеням х. Причина этого становится ясной, если рассмотреть
функцию
1
= е~ z* (z ф 0),
считая, что z принимает комплексные значения. Беря z = iy, получим
е z1 =gy2 _>_j_oo при у—>0, в то время как е *' —>0 при х—>0.
Следовательно, эту функцию нельзя доопределить в начале координат
таким образом, чтобы она стала непрерывной. Если бы существовал

-342
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ II РЯДЫ
[ГЛ. 8
степенной ряд, сходящийся к <f>(x) на некотором отрезке —R<ix <^R,
то при замене х на z получился бы степенной ряд, сходящийся
к у(х) в круге |г| < R, и функция ср(г) была бы в точке г = 0
непрерывной и даже дифференцируемой по z, а она разрывна.
Исчерпывающий анализ этого примера также может быть выполнен
лишь в теории функций комплексного переменного.
§ 6. Сходимость в среднем
В ряде разделов математики и ее приложений используется бли-
близость функций f(x) и g(x) в некотором интегральном смысле,
допускающем в отдельных точках большие значения модуля разности
f(x) — g{x). Обычно в качестве меры интегральной близости берут
«квадратичное уклонение» и рассматривают тесно связанную
с ним «сходимость в сред-
среднем».
1. Квадратичное уклонение
и сходимость в среднем.
Определение /. Ква-
Квадратичным уклонением
функции f(х) от g(x) на
[а, Ь] называется неотрица-
неотрицательное число
ь
Р2(/. g)=
о
Очевидно, что
(8.116)
Рис, 8.5.
Графики двух функций f(x) и g(x), близких в смысле малости
квадратичного уклонения, могут сильно отклоняться друг от друга
в отдельных точках (рис. 8.5).
Определение 2. Последовательность функций
ftix), /2(x) fn(x). ... (8.117)
называют сходящейся в среднем к функции f(x) на
[а, Ь\, если
ь
(?(fn- f)=
при n
со. (8.118)
*) Все функции в настоящем параграфе будут предполагаться инте-
интегрируемыми в обычном смысле, хотя большая часть понятий и утверж-
утверждений этого параграфа сохраняет силу и для функций, интегрируемых с
квадратом в смысле несобственного интеграла.

§ 6] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 343
При этом пишут:
lim fn(x) = f(x) на [а, Ь]. (8.119)
Л-Я-оо
Определение 3. Функциональный ряд
л2 «*(-«) С8-12»)
называется сходящимся в среднем к S{x) на отрезке [а, Ь\,
если последовательность его частичных сумм
п
5»W=2«*D n=\, 2 , (8.121)
сходится в среднем к S(x) на [а, Ь], т. е. если
* г л 2
Qi2(S(x), Sn(x))= I S(x)—Vm^jc) dx->0 при л—>-f-co.
a L *=1 J (8.122)
/7joa этом пишут:
-boo
5W=2"jW на [a, £]. (8.123)
2. Неравенство Коши т- Буняковского. Если f{x) и g(x)
удовлетворяют на [а, Ь] описанным выше требованиям, то
ь Г~ь / Ъ
ff(x)g(x)dx <l/ jf(x)dx-j/ fg*(x)dx. (8.124)
a a * a
Доказательство. Положим
A = ff(x)dx, B= f f(x)g(x)dx, C=fg?(x)dx (8.125)
a a a
и рассмотрим два возможных случая: 1) А = С = 0 и 2) по крайней
мере одно из чисел А к С отлично от нуля.
1) Если Л = С=:0, т. е.
Г f(x)dx= f g*(x)dx=0,
а а
то из очевидного неравенства

344 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
следует, что
*<-j f f2{x)dx+ f gi{x)dx =0.
- а с J
ff(x)g(x)dx <f\f(x)g(x)\dx.
a
Ho
a
b
■следовательно, В= Г /(x) g(x) dx = 0, и неравенство (8.124) выпол-
a
няется, так как в левой и правой его частях стоит нуль.
2) Пусть, например, А > 0. Тогда поступим следующим образом.
Заметим, что при всех действительных значениях параметра X
Интегрируя это неравенство по х от а до b и учитывая обозначе-
обозначения (8.125), получим, что при всех действительных Я,
ЛА,2+2£А, + С>0, (8.126)
причем А > 0. Но тогда квадратный трехчлен Al? -J- 2BA, -j- С не может
иметь двух различных действительных корней Х2 < Я,2, иначе его можно
было бы представить в виде А (к — A,j)(A,— Я,2) и он принимал бы
отрицательные значения при Х1 < Я, < Я,2, что противоречит нера-
неравенству (8.126). Необходимым и достаточным условием отсутствия
различных действительных корней является, как известно, неположи-
неположительность дискриминанта трехчлена
В2— ЛС<0. (8.127)
Перенося произведение АС в правую часть неравенства и извлекая
из обеих частей арифметический квадратный корень, получим )В[^
<с;/!Л] 'У^!, а это, если учесть обозначения (8.125), и есть
неравенство Коши — Буняковского.
3. Интегрирование сходящихся в среднем последовательностей
и рядов.
Теорема 8.14^ Если последовательность функций f1(x),
/2(x), ..., fn(x), ... сходится в среднем на отрезке [а, Ь\
.к функции f (х). то при любых х0 и х на [а, Ь\ будет
X X
lim f fa(z)dz= f f{z)dz; (8.128)

§ 6] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 345
более того, при любом хо£[а, Ь\ имеет место равномерная
по х сходимость
X X
Jfn(z)dz=tf f(z)dz на [а, Ь]*). (8.12Й)
хй хй
Доказательство. По условию
Р2(/. /«)= J[/B) — /„(*)]2d2^0 при л^ + оо- (8.130)
Чтобы доказать (8.129) (а следовательно, и (8.128)), оценим инте-
X
грал f[jf(z) — fn{z)\dz. Для этого, представив подынтегральную
функцию в виде произведения
[/ B) - /„ (Z)] = 1 • [/ B) - /„ BI,
применим неравенство Коши — Буняковского
„). (8.131)
Так как правая часть неравенства (8.131) от х не зависит и, в силу
(8.130), стремится к нулю при л—>-f-co, то это и означает, что
на [а, Ь\,
т. е. соотношение (8.129) выполняется. Этим доказательство теоремы
завершено.
Если разность f(x) — fn(x) заменить ее модулем, то вместо (8.131)
при ха=-а и х~Ь получим неравенство
) - fn (z)\dz < YF=Z ■ >У (/. /„)• (8.132)
Интеграл в левой части (8.132) выражает площадь, заключенную
*) Напомним, что все функции в данном параграфе, в том числе fn(x)
и / (х), предполагаются интегрируемыми на [а, Ь\ в обычном смысле;
см., однако, сноску на стр. 342.

346 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
между графиками fn(x) и f(x) и ординатами х = а и х=Ь. Таким
образом, в случае сходимости в среднем fn(x) к f(x) на [а, Ь\ эта
площадь стремится к нулю, так как квадратичное уклонение р2(/. /„)
стремится к нулю. При этом максимум обычного отклонения fn(x)
от f(x) на [а, Ь\ может даже неограниченно возрастать. Например,
_1 1„х,
последовательность fn(x) = n 8 у Inxe 2 сходится в среднем
к /(л:) = 0 на отрезке 0<х<1, но
/ 1 \ У" 2" —
max |/„(-«) — /(*)| = /„(-7== = 1/ —na->-\-co при п->-\-оэ.
o<x<i IF ^я/ в
С помощью теоремы 8,142, доказанной для последовательностей,
легко доказывается для рядов
Теорема 8.14^. Если функциональный ряд 2 м* (-"О с инте-
k=i
грируемыми членами сходится в среднем к интегрируемой
функции S(x) на отрезке [а, Ь\, то
XX X
J S(z)dz= J «iB)d2-f- ... + f un(z)dz+ ... (8.133)
Xo Xo X\
при любых х0 и х£[а, b\, причем ряд (8.133) сходится к своей
сумме равномерно на [а, Ь\.
Доказательство. Так как по условию Sn (x) сходится в сред-
нем
к S{x) на [а, Ь], где Sn(x) = 2 uk(x)> то по теореме 8.14
2
X X
f-Sn(z)dz=Z ГS(z)dz на [а,*]. (8,134)
Xi Ха
X П X
= ^ fuk(z)dz.
но
•следовательно,
I
f=t fS(z)dz,
k=l Хц ) Хо
т. е. частичная сумма ряда (8.133) сходится равномерно к функции
X
\S(z)dz, что и требовалось доказать.

СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
347'
4. О связи между сходимостью в среднем и возможностью
почленного дифференцирования последовательностей и рядов.
Теорема 8.15г. Если последовательность непрерывно диф-
дифференцируемых функций [fn(x)\ сходится на [а, Ь\ к функ-
функции f{x), а последовательность их производных \fn{x)\ схо-
сходится в среднем на [а, Ь\ к непрерывной функции (f(x), то fix)-
дифференцируема на [а, Ь\ и
f'(x) = (p(x)= lim fn{x) на [a, b\. (8.135)
Доказательство. Мы имеем при х, хо£[а, Ь\,
X X
/я (*) — /я (Х0) — f ф B) dZ = f [/; (X) — ф B)] d2
4z.y f[f'n(z)-
— a • 1/р2(/;(, ф) -> О (8.136)
при л->-[-со. Следовательно, переходя к пределу и учитывая, что
fn(x)-*f(x) и fn(x0)-*f(x0) при ;г->+оо. получим
X X
. (8.137)
, т. е. f(x) = f(
Xi Хо
Из равенства (8.137) вытекает, что /(х) дифференцируема и
что имеет место равенство (8.135). Теорема доказана.
Аналогичным образом доказывается
Теорема 8.15.2, Если функциональный ряд
S(x)=2luk(x) (8.138)
с непрерывно дифференцируемыми членами сходится на [а, Ь\,
а ряд
k= 1
(8.139)
сходится в среднем к непрерывной функции а(х), то сумма S(х)
ряда A38) дифференцируема на [а, Ь\ и
'(x) = o(x)=^u' (х).
(8.140)
Доказательство теоремы 8.152 предоставляем выполнить
читателям.

348
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. 8
б. Связь между сходимостью в среднем и другими видами
сходимости. Из обычной сходимости последовательности функ-
функций fx(x), f2(x) /„(*). ••• в каждой точке отрезка [а, Ь\
гг<х)
ш
щ
SJ
%
У//
1/2
б)
0 //4 1/2
о
S)
X
Рис. 8.6.
сходимость в среднем не вытекает. Например,
i_ г
fn(x)=Y2nx е'2 "Х ->/(л:) = 0 на отрезке [0, 1],
но
1
при п
■Из равномерной сходимости вытекает сходимость в сред-
среднем. Действительно, если для всякого е>0 найдется такое Л/(е),
что при всех «>7V(e) неравенство \fn(x) — /(Jc)|<l/ -т—^—

■§ 6] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 349
выполняется сразу для всех х£[а, Ь\, то, возводя в квадрат обе
части этого неравенства и интегрируя, получим, что
Р2(/. fn)=
при всех п~>Ы{е), т. е. что р2(/, /„)—>0 при п-*-\-со, а это
и означает сходимость в среднем fn{x) к f(x) на [а, Ь\.
Из сходимости в среднем равномерная сходимость не вытекает;
более того, не вытекает даже обычная сходимость в каждой точке.
Рассмотрим пример последовательности функций f1(x), /2(->0
fn(x), .... сходящейся в среднем к f(x)^0 на отрезке [0, 1] и не
сходящейся на этом отрезке ни в одной точке. Построение этой после-
последовательности будем вести шаг за шагом, подвергая отрезок [0, 1]
разбиению сначала на 2 равные части, затем на 22 равных частей и
т. д., на 2" равных частей и т. д. Разбив отрезок [0, 1] на две
равные части, определим fi(x) и /2(-*0, как указано на рис. 8.6, а
и б. График функции изображен жирной линией, а маленькая дужка
означает, что точка, через которую она проходит, к примыкающему
куску графика не причисляется.
Разбив отрезок [0, 1] на 22 равных частей, определим /3(-*0.
/4(х), f5(x) и f6(x), как указано на рис. 8.6, в, г, д, е. Продолжая
этот процесс неограниченно, получим последовательность функ-
функций fi(x), /гС-хО. •••> fn(x)< •••• каждая из которых принимает на
отрезке [0, 1] только два значения: 0 и 1, поэтому f2(x) = f (x)
на отрезке [0, 1 ] при всех я = 1, 2, 3, ...
Докажем, что fn{x) сходится в среднем к /(jt)= 0 на [0, 1].
Мы имеем
Р2(/. fn)=
при я-*-)-со. Действительно, I fn(x)dx равен площади заштрихо-
о
ванного прямоугольника, которая, очевидно, стремится к нулю при
я—>-j-co. Сходимость в среднем доказана.
Однако последовательность f1 (x). /2(-*:), .... fn(x), ... не схо-
сходится ни в одной точке отрезка [0, 1], так как в каждой точке х
этого отрезка при сколь угодно большом Л/ > 0 найдутся функ-
функции с номером я' > Л/, имеющие в этой точке значение 0, и най-
найдутся функции с номером я" > Л/, имеющие в этой же точке зна-
значение 1.

350 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. »
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛ. 8
КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Вопрос о компактности семейства функций в математической
физике возникает при доказательстве существования решений диф-
дифференциальных и интегральных уравнений и при доказательстве схо-
сходимости различных приближенных методов решения таких уравнений»
но для его рассмотрения не требуется привлечения понятий теории
дифференциальных или интегральных уравнений; по своему характеру
он естественным образом примыкает к вопросам, рассмотренным
в настоящей главе.
Определение I. Семейство функций {/(#)), заданных на,
некотором множестве X точек х, мы будем называть ком-
компактным (в смысле равномерной сходимости), если из любой
бесконечной последовательности функций /: (л;), /2 (х)
/,,(х), ... данного семейства можно выделить подпоследова-
подпоследовательность fu{(x), fnAx) fnk(x) равномерно сходя-
сходящуюся на множестве X *).
Определение 2. Семейство функций {f(x)}, заданных на
некотором множестве X, мы будем называть р а в н о м с р н о
ограниченны м на этом множестве, если существует такая
константа С, и < С < -{-со, что неравенство \f (х)\ ^.С выпол-
выполняется сразу для всех х£Х и для всех функций f (x) из дан-
данного семейства.
Определение 3. Семейство функции \ f (х)), заданных на мно-
множестве X, называется р а ч н о с т е к е и н о не п р е р ы в н ы м
на этом множестве, если для каждого е > 0 существует такое
6 = 6(е)>0, не зависящее от выбора функции f{x) £ {f{x)\ и
выбора х' и х"£Х, что для каждой функции f (х) £ {f(x)\ и
любых х' и х" £Х, удовлетворяющих неравенству \х' — лг'''|<;б(е),
выполняется неравенство
Теорема 1 (Ариела). Если семейство функций \f(x)} задан-
заданных на отрезке а-^x^b, равномерно ограничено и равно-
равностепенно непрерывно, по оно компактно в смысле равномер-
равномерной сходимости.
Доказательство. Рассмотрим какое-либо счетное всюду
плотное на отрезке а^х^Ь множество М точек хх, х2
хп например множество всех рациональных точек этого отрезка
или множество всех точек деления при последовательном делении
*) Аналогичным образом определяется к о м п а н : 1: с. , „ п ;. ы ы с л е
сходимости в среднем. Однако по этому поводу мы отсылаем к руко-
руководствам по функциональному анализу.

ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛ. 8 351
этого отрезка на 2, 4, 8 2", . .. равных частей. Возьмем какую-
либо последовательность функций {/л (х)} из данного семейства.
В силу равномерной ограниченности семейства, \fn(x)\^.C —
= const < -J- оо при всех я = 1, 2, 3, ... и сразу для всех х £ М.
В частности, последовательность чисел /„(-^i). я=1, 2 будет
ограниченной, так что по теореме Больцано — Вейерштрасса найдется
сходящаяся подпоследовательность /jj(JCj), /!2(.x:j) fin(xi)< •■•
В результате из последовательности функций /л (х) оказалась выде-
выделенной подпоследовательность
/I v\ 4 t v\ / / v\ Ю \
11 \л)< J12\X> J ln\ ' У i'
сходящаяся в точке х1^М.
Аналогично из последовательности B2) выделим подпоследова-
подпоследовательность
f (x} f (хЛ f {х\ B 1
сходящуюся в точке х2£М\ последовательность B2) сходится также
и в точке хг£М, ибо она является подпоследовательностью последо-
последовательности Bj), которая в точке х1 сходится. Итак, последователь-
последовательность B2) сходится в точках х1 и х2 множества М.
Продолжая неограниченно этот процесс выделения подпоследова-
подпоследовательностей, получим бесконечную таблицу:
fnl(X). /B2(JC) fnn{X). ...
в я-й строке которой (я=1, 2, 3, ...) стоит подпоследователь-
подпоследовательность, сходящаяся в точках хх, х2, ..., хп. Поэтому диагональная
последовательность
fn(x). fm(x) fnn(x), ... D)
будет сходиться в каждой точке хп£М. Докажем, что она схо-
сходится равномерно на [а, Ь\. Для этого достаточно доказать, что
данная последовательность D) удовлетворяет критерию Коши для
равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
Пусть дано какое угодно е > 0. Сначала выберем из всюду плот-
плотного множества М такое конечное подмножество M[xv x2 хр],
чтобы его точки делили отрезок [а, Ь] на частичные отрезки длины
<б(е), где 6(е)>0 выбирается из условия равностепенной непре-
непрерывности семейства, т. е.
I/(*') — /(*")!< е при |*' — *"|<6(е) и х',х"£[а,Ь\.
Тогда для каждого л; £ [а, Ь\ найдется такое значение xi £ М, что
\х — ^|<6(е). Найдем, далее, по заданному е>0 такое N(е), не

352 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
зависящее от xt, t=l, 2, ..., р, что
\fmm(xi)~ fnn(xi)\ <s при всех /и и п > Л/(е) E)
и всех {=1. 2 р. Тогда будет |/mm(x) — fnn(x)\ < Зе при
всех т и я>Л/(е) и сразу для всех л:£[а, Л]. Действительно,
пусть т и я>Л/(е), а л:£[а, £]. Найдется такое значение Х;£М,
что |л:—Х;| < б(е). Но тогда, в силу равностепенной непрерывности
\fmm(x) — fmm(xi)\<£- \fnn(x)~fnn(xi)\<n, а следовательно,
в силу E), будет выполняться неравенство
1/т*(-Ю —/mm(**)l + \fmm(x i) ~ fnn(X M +
Критерий Коши равномерной сходимости для последовательности D)
выполнен. Теорема доказана.
Теорема Арцела находит, например, применение при доказатель-
доказательстве существования решения дифференциальных уравнений.
Докажем еще одну теорему, существенно используемую в теории
интегральных уравнений.
Теорема 2. Если последовательность функций {/„ (х)} равно-
равностепенно непрерывна на [а, Ь\ и удовлетворяет условию
ь
Р^/п. /J =/[/«(*) —/п(-Ю12<**-> 0 при п, т -> •+- оо. F)
а
то она сходится равномерно на этом отрезке к некоторой
непрерывной функции f(x).
Доказательство. Докажем, что для этой последовательности
выполнен критерий Коши равномерной сходимости, т. е. докажем,
что
Фя, ™ (*) = [/я (*) — /»W1^0 "а [«• *1 при п, т-* + со.
Допустим противное. Тогда найдется такое е0 > 0, что при как угод-
угодно больших k существуют такие nk > k и xk£[a, b\, для которых
В силу равностепенной непрерывности последовательности, найдется
6 = 6 (е0), для которого
I/.W- /я(**)|<-е0 при \х — xk\<6(e0). (8)
Следовательно, при пk > k > Af (е0) и \х — xk\ <6(e0) будет
| %nk W - %nk (Xk) | < | /*(*)-/* К) | +
-+|/,,ftW-/^K)|<2eo- (9)

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. 8 353
Но тогда, в силу G) и (9), будем иметь
Если взять 6(£0)<£ — а, то по крайней мере половина интервала
хк—6 < Jt < Jtft~J-° лежит на отрезке [а, Ь\. Следовательно,
в силу A0), при Яд. > & > Л/(е0)
Р2 (/« • /*) = f Vin (*) dx > 4eo T = 2еоб = const > °- (ll)
a
что противоречит условию F), так как число k можно взять сколь
угодно большим. Поэтому <pmn(x) = [fm(x)—/„(jc)I^JO на [а, Ь]
при п и т—>-}-оо. Следовательно, в силу критерия Коши для равно-
равномерно сходящихся последовательностей, последовательность {/„ (х)}
сходится равномерно на [а, Ь\ к некоторой функции /(х), при-
причем f(х) непрерывна, как предел равномерно сходящейся после-
последовательности непрерывных функций- Теорема доказана.
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. 8
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Наряду с равномерной сходимостью и сходимостью в ере а нем
важную роль в математике и математической физике играет так назы-
называемая слабая сходимость.
Определение /.. Последовательность функций
(Pj (Х), ф2 (X) фл (X), ..., A)
определенных и интегрируемых на (а, Ь), называется слабо
сходящейся «в себе» на (а, Ь), если для всякой непре-
непрерывной и ограниченной на (а, Ь) функции f (х) существует
конечный предел
ft
f(x)(fn(x)dx. B)
а
Определение 2. Функция <f(x) называется слабым пре-
пределом последовательности функций A) на (а, Ь),
если
ft s
lim f f(x)(fn(x)dx= f f(x)<f(x)dx, C)
a a
для любой непрерывной и ограниченной на (а,Ь) функции f(x)*}.
*) Точнее, в этом случае говорят, что последовательность A) сходится
к ф (х) слабо в классе функций, непрерывных на (а, Ь); можно определить
слабую сходимость и в других классах функций.
23 Б. К. Будак, С. В. Фомин

354
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. 8
Если последовательность A) сходится р а в н о м ер н о или в сред-
среднем к интегрируемой функции (f(x), то, в силу теорем о предельном
переходе под знаком интеграла, равенство C) будет выполняться для
каждой непрерывной и ограниченной функции f(x); таким образом,
из равномерной сходимости, а также из сходимости в среднем {<рл(л;))
к (f(x) вытекает слабая сходимость {фя(лг)) к (f(x).
Если для любой непрерывной и ограниченной на (а, Ь) функ-
функции f(x)
ь
D)
lim I / (л;) фя (л;) dx = О,
г.^ J-та •>
то, очевидно, последовательность {<рл (л;)} сходится слабо к нулю
на (а, Ь), так как равенство D) можно переписать в виде
f(x)-0-dx.
D')
Применяя критерий
1
Коши к последовательности чисел
I f(x)q>n(x)dx\, получим следующий критерий слабой сходи-
а I
мости «в себе».
Критерий Коши (для слабо сходящихся последовательно-
последовательностей). Для того чтобы последовательность A) была слабо схо-
сходящейся «в себе-» на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
она была слабо фундаментальной,, т. е. чтобы для каждой
непрерывной функции f (х) и для каждого е > 0 существовало
такое число Л/(е, /), что
f f(x)[<fn(x) — <pm(x)]dx
<е
E)
при всех п и т > Л/(е, /).
Напомним, что не всякая фундаментальная последовательность
рациональных чисел сходится к рациональному числу, и это при-
приводит к необходимости расширения запаса чисел и введению ирра-
иррациональных чисел. Аналогично не всякая слабо фундаментальная
последовательность интегрируемых функций сходится слабо к инте-
интегрируемой функции, и это приводит к необходимости расшире-
расширения запаса функций и введению так называемых обобщенных
функций.

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. 8 355
Рассмотрим, например, последовательность функций {6„ (л;0, л;)),
определяемых соотношениями
1 . ,1
п при хп — тгт < -*: < xn +—
6„ . „
О при — оо < х •< х0 — tj— ,
F)
Эта последовательность сходится слабо «в себе» на любом интер-
интервале (а, Ь).
Действительно, пусть f(x) непрерывна на (а, Ь) и пусть л;0£(а, Ь).
Тогда, начиная с достаточно большого п, интервал (л;й—-я-,
xQ -\- -я— j содержится в (а, Ь), и, применяя теорему о среднем к инте-
интегралу, мы получим, как при хо£(а, Ь), так и при xo(fc[a, b]
6
f
6
f(xNn(x0. x)dx = n
X
X° ~ 2^" ~^ ^ "^
Переходя в последнем равенстве к пределу при п—>~{-оо, в силу
непрерывности f(x), получим
lim { f(xNn(x0, x)dx = f(x0). G)
Если же х0 лежит вне сегмента [а, Ь\, найдем
ft
lim f f(xNn(x0, x)dx^0. (8)
Однако не существует никакой обычной интегрируемой функ-
функции, которая являлась бы слабым пределом последовательности
{бл(л:0, а:)}. В качестве слабого предела этой последовательности
вводят обобщенную функцию б (л:0, х), называемую б-ф у и к-
цией (дельта-функцией) с центром в точке х0.
В силу определения слабого предела (см. равенство C)) и в силу
G) и (8), для любой непрерывной на (а, Ь) функции f(x) будем иметь
\ /(ха) при ха£(а, Ь),
f(xN(x0, x)dx = { J\0) °\] / (9)
I 0 при xo(fc[a, b\.
23*
f

356 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 8
Иногда б-функцию определяют формально соотношением (9).
Замечание. Вместо ограниченной и непрерывной на (а, Ь)
функции f (х) в соотношениях G) и (8) можно, очевидно, брать
кусочно-непрерывную ограниченную на (а, Ь) функцию /(х), если
в каждой точке разрыва х* она доопределена равенством f(x*) =
f I v* Q\ _l_ /■ (x* _]_ Q\
= — 9 — ' . Тогда равенство (9) естественно считать
выполненным и для таких функций *).
Аналогично тому, как одно и то же иррациональное число можно
определять с помощью различных эквивалентных фундаментальных
последовательностей рациональных чисел, так и одну и ту же
обобщенную функцию можно определять с помощью различных
эквивалентных слабо сходящихся последовательностей. При этом
имеет место следующее
Определение 3. Две слабо сходящиеся на (а, Ь) последова-
последовательности функций {<рп(х)}, и {tyn(x)} называются эквива-
эквивалентными, если для любой непрерывной а ограниченной
на (а, Ь) функции f(x) выполняется равенство
lim Г f(x)[<pa(x)
При практическом применении б-функции часто вместо рассмотрен-
рассмотренной нами последовательности {бл (х0, х)) берут другие эквива-
эквивалентные ей слабо сходящиеся последовательности, определяющие
б-функцию (см. Дополнение 5 к гл. 11). Характеризуя соотноше-
соотношение (9), которым формально определяется б-функция, иногда говорят,
что б-функция обладает «выхватывающим» или «фильтрую-
«фильтрующим» свойством: умножая любую непрерывную функцию f (х) на
б(х0, х) и интегрируя их произведение по интервалу, в котором
*) Если х0 — точка разрыва кусочно-непрерывной функции / (х), причем
/ (хо) = ° 2 ° ' Т0 ДЛЯ доказательства равенства G) при
х0 £ (а, Ь) нужно интеграл I / (x) dx в соотношении F') разбить на два:
1
2я
I f (x) dx и I f (x) dx и применять теорему о среднем к каждому
x-
Х" 2л
ИЗ НИХ.

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. 8 357
определена f (х) и в котором лежит х0, мы «выхватываем» или
«отфильтровываем» значение f (х) в точке л;0.
Если каждой функции f (x) из некоторого класса функций,
определенных на (а, Ь), ставится однозначно в соответствие
некоторое число, то говорят, что на этом классе функций
определен функционал.
Например, пусть {/ (х)) — класс всех интегрируемых на (а, Ь)
ь
функций; тогда интеграл \f(x)dx является функционалом,
а
определенным на этом классе.
С помощью интеграла (9) при любом фиксированном хо£(а, Ь)
также определяется функционал на классе всех функций, непре-
непрерывных на (а, Ь)- Действительно, с помощью интеграла (9) каждой
непрерывной иа (а, Ь) функции f (х) ставится однозначно в соот-
соответствие число f(x0), равное значению этой функции в точке хо£(а, Ь).
Иногда б-функцию отождествляют с функционалом, который опре-
определялся соотношением (9). Такова одна из интерпретаций обобщенных
функций, которая может быть положена в основу построения теории
обобщенных функций.

ГЛАВА 9
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение интеграла как предела интегральной суммы
b n
[f(x)dx= Urn У\/Aк)Ахк (9.1)
J max Д*А-> 0 £*0
не охватывает случаев, когда подынтегральная функция не ограни-
ограничена или интервал интегрирования бесконечен. Однако в мате-
математике и математической физике широко используются интегралы
от неограниченных функций и интегралы с неограниченными обла-
областями интегрирования. Такие интегралы называются несобственными.
Для их определения не достаточно одного предельного перехода
вида (9.1), требуется еще дополнительный переход по области инте-
интегрирования. Именно, первоначальную область интегрирования, где
определение (9.1) не годится, заменяют такой подобластью, где оно
пригодно; предел интеграла, взятого по этой подобласти, когда она,
расширяясь, стремится совпасть с первоначальной областью, назы-
называют несобственным интегралом по первоначальной области. Такова
общая идея определения несобственного интеграла. Более точные
формулировки будут приведены ниже.
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования
1. Определения; примеры. Пусть функция f(x) определена на
полупрямой а <^ х < -j- аз и пусть для каждого В > а существует
интеграл jf(x)dx (определяемый соотношением вида (9.1)).
а
Определение I. Несобственным интегралом
+ ОО
I f(x)dx называется предел
ff(x)dx= lim (f(x)dx. (9.2)
a

§ ,j ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 359
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что
+ ОО
несобственный интеграл I f(x)dx сходится; в противном
а
случае говорят, что он расходится.
Замечание. Пусть а^а. Тогда из равенства
в щ в
f f(x)dx=f f(x)dx + f f(x)dx
a a,
+00 +co
следует, что интегралы I f(x)dx и I f(x)dx сходятся или pac-
a a,
ходятся одновременно. Таким образом, исследование на сходимость
+ ОО
интеграла I f(x)dx можно заменить исследованием на схо-
а
+оо
димость интеграла I f(x)dx при любом а, > а, если только
а,
функция f (x) удовлетворяет „
требованиям определения A).
Несобственный интеграл (9.2)
имеет простой геометрический
смысл. Пусть f (х) — непрерыв-
непрерывная неотрицательная функция при
х^-а. Область Q, примыкающая
сверху к оси х, ограничена гра-
графиком этой функции, отрезком рис. 9.1.
а <^ х < -f-oo оси х и отрезком
ординаты л; = a, 0^,y^,f(a). Определения квадрируемости и площади
области, сформулированные ранее (п. 3 § 1 гл. 1), к этой области непри-
неприменимы *). Проведя произвольную ординату х = В> а, О^Су^./(В),
мы отсечем квадрируемую криволинейную трапецию ABB'А' (рис. 9.1),
в
площадь которой выражается интегралом jf(x)dx. Естественно на-
а
звать область Q квадрируемой, если площадь трапеции ABB'А'
стремится к конечному пределу, когда В -> -(- оо, и этот предел
площади трапеции ABB'А' назвать площадью области п- Но
тогда площадь области Q будет выражаться несобственным
интегралом (9.2).
*) В силу ее неограниченности.

360 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Аналогично интегралу (9.2) определяется несобственный интеграл
а а
ff(x)dx=Um ff(x)dx. (9.3)
" А~^ — со "
—оо А
Если оба предела интегрирования бесконечны, то пола-
полагают по определению, что
+оо
f f(x)dx= Jf(x)dx + f f(x)dx, (9.4)
a
где а — произвольное конечное число, причем интеграл
+ ОО
Г /(x)dx называется сходящимся тогда и только тогда,
— оо
когда оба интеграла в правой части (9.4) сходятся.
+ ОО
Легко показать, что сходимость интеграла I f(x)dx и его вели-
— оо
чина в случае, если он сходится, не зависят от выбора точки а *).
+ CQ +CQ
Итак, интеграл I f(x)dx сводится к интегралам вида I f (x) dx
*) Можно определить интеграл I / (л;) dx соотношением
— оо
+оо В
Г f(x)dx^ lim Г / (л;) dx, (9.4')
J Л-^-со J
где А я В стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Действи-
Действительно, в силу (9.4), (9.3) и (9.2), имеем
+ ио а +оо
J f(x)dx= f f(x)dx+f f{x)dx =
— oo —oo a
а В В
= lim Г f(x)dx+ lim Г / (*) dx = lim [f(x)dx,
A-±—oo J B-±+oo J Л->— оо J
lim I / (х) dx, lim I / (х) dx.
-*-оо J B-i+oo J
B-^+co A
причем для существования последнего предела при независимом стремлении
А-> — со, В-+-\-со необходимо и достаточно существование пределов
а в
lim
Л-^-оо J ' В-Ь+оэ
А

§ Ц ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 361
а а
и Г / (х) dx. Но. интеграл вида Г / (л;) dx простой заменой л; на — х
— оо —со
+ ОО
сводится к интегралу вида Г f(x)dx, поэтому мы ограничимся
а
+ со
в основном изучением интегралов вида I f(x)dx.
а
Рассмотрим некоторые примеры-
+ со В
1. Интеграл I sinxdx= lim I sinxdx— lim A—cosB) pac-
ходите я, так как cosB при В—>-\-оо не стремится ни к какому
пределу, колеблясь между — 1 и -f- 1.
+ 00
2. Интеграл / 2 сходится, так как существует опре-
— оо
деленный конечный предел:
в
lim / 1 /^ г = lim [arctgS — arctgA]—^-—f—-5-) = я.
В -> + со *' ~у "^В->-(-со ^ I
Л-> —со ^ Л-> —оо
3. Особенно важным примером служит интеграл
+ ОО
I -% dx, где С > 0 и а > 0;
х
а
он сходится при а> 1 и расходится при а-^1. Действительно,
С 1п — при а= 1,
а *
поэтому
в
lim / —r-dx =
а
т— '-при аФ\.
а1а
_. при а > 1,
-f-oo при а <^ 1.
Используя этот интеграл для сравнения, можно установить сходи-
сходимость или расходимость многих других несобственных интегралов.
(Подробнее об этом см. теорему 9.3, п. 4.)

362 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
+ 0О
2. Сведение несобственного интеграла (f(x)dx к числовой
а
последовательности н числовому ряду. Исследование сходимости
+оо
несобственного интеграла I / (х) dx может быть сведено к исследо-
а
ванию сходимости числовых последовательностей или числовых рядов.
+ оо
Согласно определению 1, несобственный интеграл Г f(x)dx
а
В
является пределом функции F(B)= Гf(x)dx при В—>-j-oo. Если
а
применить к F (В) определение предела функции через последова-
последовательности (см. вып. 1, гл. 4, § 2), мы придем к следующему
критерию:
Для сходимости интеграла I f(x)dx необходимо и доста-
а
точно, чтобы при любом выборе последовательности точек
Вп> а, п=1, 2, ...; Bn->-j-°° при п->оо (9.5)
последовательность чисел
Вп
f f(x)dx, я=1, 2, 3 (9.6)
а
сходилась к одному и тому же конечному пределу. В случае
+ оо
сходимости интеграла Г f(x)dx предел последовательности
а
(9.6) равен этому интегралу.
Заметим, что последовательность (9.6) является последователь-
последовательностью частичных сумм ряда
J f(x)dx+ J f(x)dx +...+ J /(Jt)djc-f- ... (9.7)
В связи с этим высказанный выше критерий можно сформулировать
иначе:
+ со
Для сходимости интеграла Г f(x)dx необходимо и до-
а
статочно, чтобы при любом выборе последовательности точек

§ I] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 363
(9.5) числовой ряд (9.7) был сходящимся и его сумма не зави-
зависела от выбора последовательности точек (9.5). В случае
+ со
сходимости интеграла I f(x)dx сумма ряда (9.7) равна
а
этому интегралу.
Замечание 1. Если функция /(х) знакопеременна на по-
полупрямой а<Сх < + °о. то из сходимости ряда (9.7) при каком-либо
одном выборе последовательности точек (9.5) еще не вытекает,
+ со
вообще говоря, сходимость интеграла Г f(x)dx. Например, инте-
а
+ оо
грал I sin х dx расходится (см. пример 1 п. 1), хотя ряд
о
+со 2я(я + 1)
2^ I %mxdx сходится, так как все его члены равны нулю.
Если функция f (x) сохраняет знак при всех х^-а, напри-
например f(x)^-0 при всех х^О то для сходимости интеграла
-f со
Г f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы ряд (9.7) схо-
о
дился хотя бы при каком-либо одном выборе монотонно
возрастающей последовательности (9.5) *).
Необходимость этого критерия вытекает из сказанного выше.
Докажем его достаточность. Пусть /(х)^-О при всех х^а
и пусть ряд (9.7) сходится для некоторой монотонно возра-
возрастающей последовательности (9.5). Тогда последовательность
частных сумм (9.6) этого ряда, в силу неотрицательности / (х),
будет монотонно возрастающей (неубывающей) и стремящейся к опре-
определенному конечному пределу J. Докажем, что при любом другом
выборе последовательности
Вт > а, т=\, 2, ...; В'т-±-\-оо при /и-> + °о (9.5')
соответствующий ряд
J /(*)</*+ f f(x)dx+ ... -f- f f{x)dx-{- ... (9.7')
B'l B'm
также сходится и его сумма равна J.
*) Ср. с интегральным признаком сходимости числового ряда (вып. 1,
гл. 13, § 2, п. 4).

364 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
При доказательстве мы будем оперировать с частными суммами
рядов (9.7) и (9.7'). Пусть дано е > 0; тогда найдется такое В„„,
что будет выполняться неравенство
вщ
J — e< J f(x)dx<J.
а
Возьмем такое mQ, чтобы при всех /и ]> mQ было В'т > В^. Так как
для любого Вт найдется Вп > Вт, то при всех т ^> т0, в силу
неотрицательности /(х), будет выполняться неравенство
вп в' вп
"о т т
J — e< J /(x)dx< J /(x)dx<J /(x)dx<J.
Следовательно, lim Г f(x)dx = J, что и требовалось доказать.
m-» + co J
а
Пример. Пусть
2" при п <^ х ■ ' ~~ '
! " я=1. 2, ...
0 при «+22я < Jf<«+1.
+°° +со Я+1 +со
Тогда интеграл / / (х) dx = ^ / / (х) dx = J^ gn = 1 сходится.
1 я=1 и и=1
Замечание 2. Этот пример показывает, что из сходимости инте-
+со
грала I f(x)dx даже в случае неотрицательной функции /(х) не
а
следует, что /(х)—>0 при х—>-j-oo.
3. Критерий Коши для несобственных интегралов. Сходимость
несобственного интеграла
+ со В
С f(x)dx= lim ff(x)dx (9.2)
означает существование определенного конечного предела у функ-
в
ции F(B)= J f(x)dx при В-+-\-оо.
а
Согласно общему критерию Коши (см. вып. 1, гл. 8, § 1, п. 2),
F(B) стремится к определенному конечному пределу при B->-j-co

§ 1]
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
365
в том и только том случае, если для каждого е > 0 существует
такое В (е), что | F (В") — F (В') | < е при всех В' и В" > В (е).
в
Подставляя сюда выражение F(B)= I f(x)dx, получим следующий
а
Критерий Коши (для интеграла). Для сходимости инте-
Ч-со
грала Г f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы для всякого
а
е>0 существовало такое В(е), что при всех В' и 23">В(е)
выполнялось бы неравенство
В"
в'
dx
т. е. чтобы интеграл
В"
f(x)dx
(9.8)
(9.8')
(
В'
стремился к нулю при В' и В"—>-|-оо.
В некоторых случаях критерий Коши (9.8) можно применять не-
непосредственно при исследовании на сходимость конкретных интегралов.
+оо
Пример. Рассмотрим интеграл / dx (полагая его подын-
о
тегральную функцию, для непрерывности, равной 1 при х = 0).
Интегрируя по частям, будем иметь
в" в"
/■
dx
Поэтому
В"
I
В'
sin х
в'
dx
_ cos В' cos В" Г
~ В' В" ,1
В'
х2
-dx.
В' ~ В"
В"
В'
dx
7Fr + -J^->0 при В'иВ"->+со.
Следовательно, интег
■р-Л /
sin х
dx сходится.
Важнее, однако, применение критерия Коши не к исследованию
отдельных конкретных интегралов, а к выводу практически более

366
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 9
удобных общих достаточных признаков сходимости интегралов.
Переходя к рассмотрению таких признаков, введем сначала понятие
абсолютной сходимости интеграла, аналогичное понятию абсолют-
абсолютной сходимости числового ряда.
4. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной сходимости.
Определение 2. Пусть функция f (х) интегрируема в обыч-
обычном смысле на каждом конечном отрезке*) а-^х-^23,
а < В < -j- oo. Несобственный интеграл (9.2) называется
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
J \f(x)\dx.
(9.9)
Теорема 9.1. Если интеграл (9.2) сходится абсолютно,
то он сходится.
Доказательство. Действительно, из сходимости интеграла
(9.10) вытекает, что для всякого е>0 найдется такое В(е), что
В"
\dx
В'
< е при всех В' и В" > В (е). Но всегда
ff(x)dx < j\f(x)\dx
В' В'
(9Л0)
Поэтому будет
ff(x)dx < f\f(x)
' В'
\dx
< е при всех В' и В" у В (е),
т. е. для интеграла (9.2) выполняется критерий Коши. Следовательно,
интеграл (9.2) сходится. Теорема доказана.
Замечание 1. Из сходимости интеграла (9.2) его абсо-
лютная сходимость не вытекает. Например, интеграл / sinx dx
о
+ оо
сходится (см. п. 3), а интеграл / 's nx' dx расходится. Чтобы до-
о
казать его расходимость, достаточно, согласно п. 2, доказать рас-
*) Из интегрируемости f (х) в обычном смысле на конечном отрезке
следует, как известно, интегрируемость \/{х)[ в обычном смысле на этом
отрезке.

§ Ij ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 367 '
+0о Я(я + 1)
ходимость числового ряда V / -——— dx, которая легко уста-
устала ял
навливается с помощью признака сравнения числовых рядов. Мы
имеем
/* | Sin AT I . 1 Г
smxdx
;—гт\— при
(п-\-\)п *
V4 2 2 VI 1
а ряд 2j — = — 7j~* расходится, так как он отличается лишь по-
2
стоянным множителем — от гармонического ряда *).
Замечание 2. Пусть /(х) определена при a<;x<-j-°° и|
интегрируема на каждом конечном интервале а-^х-^23. Тогда
при любом а, > а из абсолютной сходимости интеграла I / (x) dx
а,
-f оо
следует абсолютная сходимость интеграла Г f(x)dx, так как для
а
Ч-оо -f со
сходимости любого из интегралов I |/(x)|rfx и I \f(x)\dx не-
а as
обходимо и достаточно, чтобы
В"
J |/(x)|rfx->0 при В' и В"->4-сю-
В'
При исследовании абсолютной сходимости несобственных интегралов
обычно применяют признаки сравнения для интегралов.
Теорема 9.2. {общий признак сравнения). Если при всех
достаточно больших х
(9.11)
*) Если интеграл i / (х) dx сходится, а интеграл I \f(x)\dx pac-
а а
-Ьсо
ходится, то интеграл J / (х) dx называется условно сходящимся.
а
Таким интегралам посвящен п. 5.

368 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
то из сходимости интеграла
+оо
f g(x)dx (9.12)
а
следует абсолютная сходимость интеграла *)
f f(x)dx. (9.13)
а
Доказательство. В силу выполнения критерия Коши для
сходящегося интеграла (9.1) и в силу неравенства (9.11), для вся-
всякого е > 0 найдется такое В (е), что
В"
f \f(x)\dx < f g(x)
В' В'
В"
I dx
<е при всех В', В" > В(е),
т. е. критерий Коши будет выполнен также и для интеграла
4- со +оо
I \f(x)\dx. Следовательно, интеграл I \f(x)\dx сходится, а это
а а
и означает абсолютную сходимость интеграла (9.13). Признак доказан.
В примере 3 п. 1 мы установили, что при а > 0 и С > О
= lim ^
Отсюда и из общего признака сравнения следует
Теорема 9.3 (частный признак сравнения). Пусть дан
+ ОО
несобственный интеграл I f(x)dx*).
а
1. Если при всех достаточно больших значениях х,
/-•
I / (л:) I < — , где С ^> 0 и а > 1, то данный интеграл сходится
ха
абсолютно.
2. Если же при всех достаточно больших значениях х
Q
функция f(x)^— или если при всех достаточно больших х
Q
функция / (х) < -, где С > 0 и а<1, то этот интеграл
расходится.
*) В теоремах 9.2, 9.3, 9.3', 9.3" и 9.3'" мы предполагаем, что функ-
функция f (х) интегрируема в обычном смысле на каждом конечном интервале

§ 1] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 369
Доказательство. 1) Полагая в общем признаке сравнения
+ 0О
с г
g(x) = —— и учитывая, что при а>1 интеграл / g(x)dx =
+00
dx „ al~a
х а — 1
(при а > 0) *) сходится, получим, что инте-
грал I / (x) dx сходится абсолютно.
a
Q
2) Пусть / (x) ^ , где С > 0 и а <[ 1 при всех х !> а, > а.
л:
В
Интегрируя в пределах от ах до В, получим, что / /(x)dx^>
в
~>-С / —£-*■-}-оо при B->-f-oo, так как а<[1, а следовательно,
./ х
+ ОО
интеграл I f(x)dx расходится. Но тогда расходится и интеграл
J/(x)rfx.
а
Q
Если же /(х) -^ — при всех х^а,>-а>-0, С>0 и а^1,
то, полагая /*(х) = — /(х), получим /*(х) ^-—j- при всех х ^ flj>
+00
> а > 0, а следовательно, интеграл j f*(x)dx расходится; вместе
а
с ним расходится и интеграл
+оо В В
Г f(x)dx= lim f/(x)dx = — lim (f*(x)dx.
*) Мы предполагаем, что а > 0, так как в противном случае можно
заменить а через aY > 0, потому что из абсолютной сходимости интеграла
+ СО -J-CO
I f (x) dx следует абсолютная сходимость I / (x) dx, а из расходимости
Hi a
+оо -)-оо
Г / (х) dx — расходимость Г / (х) dx.
«1 а
24 Б. М. Будак, С. В. Фомин

370 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Замечание 1. Пункт 2 теоремы 9.3 можно сформулировать
в следующей эквивалентной форме: если при всех доста-
достаточно больших значениях х(х^а) функция f (х) сохраняет
С г
знак и |/(х)|> —-, где С > 0, а<1, то интеграл I f{x)dx
X J
расходится. а
С
Замечание 2. Выполнение условия |/(х)|^——, С>0, а-^1,
X
при всех достаточно больших х ^> а является недостаточным
+оо
для расходимости интеграла Г f(x)dx. Интеграл может оказаться
а
сходящимся за счет знакопеременности функции. Напри-
мер, нетрудно показать, что интеграл I f(x)dx от функции, опре-
i
деляемой соотношением / (х) = (—l)n+1 , я < х < п -f U
ха
«=1,2,3,..., где 0<а<[1, сходится, хотя |/(д:)| = —, где
0<а<1. *
Q
Очевидно, признак сравнения с функцией — можно сформули-
Xх
ровать иначе:
Теорема 9.3' (модифицированный частный признак
сравнения). Пусть подынтегральная функция в интеграле
+ ОО
I f(x)dx при всех достаточно больших х представила в ви-
а & (х)
де /(х) = ^-*-' Тогда: 1) если g(x) no лодулю ограничена,
х
а а>1, то этот интеграл сходится абсолютно, 2) если
g(x) сохраняет знак и |^(х)| ^ const > 0, а а<1, то этот
интеграл расходится.
Иногда оказывается удобной следующая форма признака сравне-
сравнения с функцией —-:
Теорема 9.3" (частный признак сравнения в предельной
форме). Пусть существует предел lim |/(х)|ха = С. Тог-
да: 1) если 0<[С<Н-оо, а> I, то интеграл I f(x)dxсходится
а
абсолютно, 2) если же 0 < С <!-)- оо, а<! 1, a f (x) сохраняет
знак при всех достаточно больших х, то этот интеграл
расходится.

§ I] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 371
Доказательство. 1) Если О <[С < -j~oo, то при всех
достаточно больших х
| / (х) | ха < 2С. т.е. | / (*) |<-fii. при С > О,
|/(х)|ха<1, т.е. [/(x)[<-i_ при С = 0.
поэтому, в силу теоремы 9.^, интеграл f f(x)dx сходится
а
абсолютно.
2) Если 0<С<!Н-оо, а<^1, то при всех достаточно больших х
|/(х)|*а>-|, т.е. |/(*)[>.£_ при С< + оо,
и
|/(х)|х«>1, т.е. |/(jf)|>-L при С=+оо,
поэтому, в силу замечания 1 к теореме 9.3', интеграл I f(x)dx
а
расходится. Теорема доказана.
Замечание 3. Теорема 9.3" (частный признак сравнения в пре-
предельной форме) охватывает несколько более узкий класс функций,
чем теорема 9.3' (частный признак сравнения), поскольку в отличие
от теоремы 9.3' теорема 9.3" предполагает существование конечного
или бесконечного предела у |/(х)|ха при х—>-f-oo.
Из теоремы 9.3" очевидным образом следует
Теорема 9.3"' (частный признак сравнения в терминах
порядков величин). Пусть |/ (х)| является бесконечно малой вели-
величиной порядка — при х->-f-оо, тогда: 1) если а > I, то интеграл
Г f(x)dx сходится абсолютно, 2), если же a^l, a f(x) со-
а
храняет знак при всех достаточно больших х, то интеграл
Г f{x)dx расходится.
а
Напомним, что / (х) называется величиной такого же порядка
малости, как и —^-(а>0) при jc->-f-°°« если
!im I/(*)I:-1T= !im \f(x)\xa = C, где 0 < С <-f-оо..
24*

372 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Замечание 4. Теорема 9.3'", очевидно, охватывает еще более
узкий класс функций, чем теорема 9.3", так как предполагает суще-
существование предела | / (х) | ха при х—>-|-оо, отличного от нуля и
бесконечности.
Ч-оо
Примеры. 1. Интеграл Пуассона I e~xldx сходится, в силу
о
теоремы 9.3, так как показательная функция е~х* убывает быстрее
любой отрицательной степени х при х—>-(-оо и, следовательно,
при всех достаточно больших х будет
е-*2 < —
где С = const > 0 (здесь мы взяли а =2, хотя могли бы взять а
равным и любому другому числу > 1). Этот интеграл сходится
также и в силу теоремы 9.3" так как
lim х2е~х2 = 0 (а =2).
-V-> + rX>
2. Интеграл Г е~ххр~1 dx сходится при всех вещественных
:чения:
таких р
i
значениях р, например, в силу теоремы 9.3", поскольку при любых
lim
Ч-оо
Г Хт
3. Рассмотрим интеграл / у-j-—-^ dx при п ~^ 0. Мы имеем
I
хт 1 g (х)
\-\-хп~ хп 1 + х-п ~ х"~т '
где -„- -^ g (x) <^ 1 при х^-1. Следовательно, в силу теоремы 9.3',
интеграл сходится при п—т. > 1 и расходится при п — т<^ 1.
5. Условная сходимость.
Определение 3. Интеграл
J f(x)dx (9.14)
а
называется условно сходящимся, если он сходится, в то
время как интеграл
+ оо
J |/(*)|dJt (9.15)
а
расходится.

5 )] ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 373
Сходимость некоторых условно сходящихся интегралов позволяет
установить признак Абеля.
Теорема 9.4 (признак Абеля). Пусть <р(х) непрерывна,
a g (x) непрерывно дифференцируема на полупрямой
a<[x<-j-oo. Интеграл
+ оо
f 4>(x)g(x)dx (9.16)
а
В
заведомо сходится, если первообразная Ф(В)= I (p(x)dx ог-
а
раничена на полупрямой a-^B<-j-oo, a g(x), монотонно
убывая, стремится к нулю при х—>-j-°°-
Доказательство. Покажем, что при выполнении условий
теоремы для интеграла (9.16) выполнен критерий Коши. Интегри-
Интегрируя по частям, получаем
В" В"
f q>(x)g(x)dx=<b(B")g(B")—<D(B')g(B')—f <D(x)g'(x)dx.
В' В'
В силу монотонного убывания g(x) при х—>-j-oo, g' (x) -^0, по-
поэтому к последнему интегралу можно применить обобщенную тео-
теорему о среднем; это дает
В" В"
f Ф (х) g' (х) dx=Ф A) J g' (x) dx = Ф (|) [g (В") — g (B%
В1 В'
где | заключено между В' и В". Следовательно,
В"
J Ф (х) g (х) dx = Ф (В") g (В") - Ф (В') g (В')-Ф A) [g (B")-g (B%
В'
откуда, в силу ограниченности Ф(В) и стремления к нулю g(B}>
при В—>-j-oo, получаем
В"
Г q>(x)g(x)dx-±0 при В' и В"->-j-°°-
В'
Теорема доказана.

374 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
-t-oo
С Sin Ж
Примеры. 1. Интеграл / —~^г dx, где а > 0, сходится,
я
так как, положив <p(x) = sinx и g(x) = будем иметь
х '
■л л
I <p(x)dx = I sinxdx
x
= I COS Я— COS X I
при я-^x-^-j-00- a g (x) = —— -> 0, монотонно убывая, при
x—>-j-oo и а>0.
Замечание. Сходимость этого интеграла можно доказать и
не прибегая к признаку Абеля, а применяя критерий Коши и ин-
интегрирование по частям, как в конце п. 4.
2. Полагая в интеграле
+ О0
/
(\пх) sin х , , . . , .
; dx(f(x) = smx, g(x) =
замечаем, что он сходится по признаку Абеля.
+ со
3. Рассмотрим интеграл Френеля Г sin(x2)rfx, находящий при-
о
менение в оптике. Полагая x2 = t, получим
-f оо -f оо
/*.,,., Г sin t
I sm(x-)dx = J -TTTfdt.
о о '
Последний интеграл сходится в силу признака Абеля.
6. Распространение методов вычисления интегралов на слу-
случай несобственных интегралов. При вычислении несобственных ин-
интегралов можно использовать замену переменных, интегрирование
по частям, представление интеграла от суммы нескольких слагаемых
в виде суммы интегралов от этих слагаемых, т. е. поступать так,
как это делалось в случае собственных интегралов; соответствую-
соответствующие формулы будут иметь силу, если все входящие в них интег-
интегралы сходятся.
Поясним на примере смысл последней оговорки. Интеграл
-J-OO
8 . Х_п сходится (например, в силу частного признака сравне-
3

§ 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 375
ния). Разлагая дробь на простейшие (см. вып. 1, гл. 7, § 7),
имеем
1 _ 1 , 1
— 2 — 3(x+2) г ()
оо -f-oo
_ С dx С dx ,
Однако интегралы / —-гтг и / г очевидным образом р а с-
3 3
ходятся. Поэтому нельзя написать равенство
-foo -foo -foo
Г dx 1_ /" dx , J_ Г dx
J x2 + x — 2~ 3,/ x + 2~T~3J x—l'
3 3 3
Чтобы воспользоваться разложением (*) для вычисления рассматри-
рассматриваемого интеграла, проинтегрируем (*) от 0 до Л и преобразуем
после этого правую часть равенства:
л л л
С dx _ 1 С dx , J_ С dx __ 1 , Г5 А— 1]
./ л-2 + * — 2~ 3,/ х + г^З,/ x_i — з lnL2 А 2\-
3 3
3 3 3
Переходя к пределу в последнем равенстве при Л—>-j-oo, получим.
dx 1.5
х* + х — 2 ~~ 3 " 2 *
§ 2. Интегралы от неограниченных функций с конечными
и бесконечными пределами интегрирования
Остановимся сначала на интегралах с конечными пределами ин-
интегрирования. Пусть f (х) определена на отрезке [а, Ь] всюду, кроме,
быть может, конечного числа точек. Точку хо£[а, Ь] мы будем на-
называть особой для f (х), если f (х) не ограничена на [а, Ь] в л го-
гобой окрестности точки х0. Например, для функции
(— при 0 < дс<1,
/ (х) = { х точка х = 0 является особой (рис. 9-2).
( 0 при х = О
Для функции
I — sin — при 0 < х ^ 1.
( 0 при х = О

376
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 9
точка х = 0 также является особой (рис. 9.3). Заметим, что
в этом примере f (х) не стремится к бесконечности при д;->0, так
как в сколь угодно малой окрестности точки х = 0 эта функция
бесконечное число раз обращается в нуль.
~о\
х
Рис. 9.2.
Рис. 9.3.
Определение. Пусть / (х) определена на отрезке [а, Ь]
ъсюду, кроме, м&же-т быть, к&шян&га-числа точшт Если х = Ь
является для f(х) особой точкой и если интеграл Г f{x)dx
существует при каждом ц,
ь
ц<£ — а, то несобствен-
ным интегралом Гf(x)dx называется предел
Г f(x)dx= lim Г f(x)dx. (9.17)
J и-> t-o J
a a
Если этот предел существует и конечен, то интеграл
(9.17) называется сходящимся, в противном случае — расхо-
расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случаях,
жогда особой точкой для / (х) является:
левый конец х=а интервала интегрирования [а, Ь]:
ь ь
Г f(x)dx = lim С f(x)dx, (9.18)
a a + h
или оба конца х = а и х = b:
b Ь-ц
Г f(x)dx— lim Г f(x)dx, (9.19)
a a l

5 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 377
или внутренняя точка х = с, а < с < Ь:
ъ г с-ц ь -|
ff(x)dx=lim Г f(x)dx-\- ff(x)dx\. (9.20)
•> *-->+0 J J,
Остановимся теперь на условиях сходимости несобственных ин-
интегралов от неограниченных функций. Применяя критерий
Коши к функции
1= | f(x)dx (9.21)
а
при ц —>—j— 0, получим
Критерий Коши (для несобственного интеграла (9.17)).
Для сходимости интеграла (9.17) необходимо и достаточно,
чтобы, для всякого е>0 существовало такое б = б(е)>0, что
Г f(x)dx <е при всех 0 < ц', ц"<6(е).
Аналогично может быть сформулирован критерий Коши для ин-
интегралов (9.18) — (9.20). Можно доказать, что для сходимости ин-
интегралов (9.19) и (9.20) необходимо и достаточно, чтобы сходились
с ь
интегралы I f(x)dx и I f(x)dx, причем в случае (9.19) точку
а с
х = с, а < с < Ь, можно выбирать произвольно. В случае схо-
сходимости для интегралов (9.19) и (9.20) имеет место равенство
ъ с ъ
J f(x)dx = J f{x)dx~\- J f(x)dx. (9.22)
а о с
Аналогично можно поступить в случае любого конечного
числа особых точек на интервале интегрирования [а, Ь\; интервал
\а, Ь] следует так разбить на конечное число интервалов, чтобы на
каждом частичном интервале функция f (х) имела особую точку
лишь в одном из его концов.
Таким образом, общий случай сводится к интегралам вида (9.17)
и (9.18); но интеграл вида (9.18) простой заменой х на —х сво-
сводится к интегралу вида (9.17). Поэтому мы ограничимся в основ-
основном рассмотрением интегралов вида (9.17).
Абсолютная и условная сходимости определяются, как
и в случае интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
С помощью критерия Коши можно доказать, что нз абсолютной
сходимости следует сходимость, а также установить следующий

378
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 9
Общий признак сравнения. Если b — единственная особая
точка f (х) на [а, Ь] и \f {x)\^Cg{x) при всех х £ [а, Ь), до-
ь
статочно близких к Ь, то из сходимости интеграла Г g(x)dx
а
b
вытекает абсолютная сходимость интеграла Г f(x)dx.
а
Остановимся теперь на частном признаке сравнения с функ-
Q
цией , аналогичном теореме 9.3.
(Ь — х)а
Частный признак сравнения. Пусть функция f (х), задан-
заданная на [а, Ь], имеет особую точку в конце х = Ь и интеграл
I f(x)dx существует при каждом ц, 0 < ц < Ъ — а. Тогда:
1) если при всех х£[а, Ь), достаточно близких к Ь,
С
I/WK
(Ь-х)а '
где 0<С<Ч-оо, а< 1,
(9.23)
то интеграл I f(x)dx сходится абсолютно;
2) если же при всех х£[а, Ь), достаточно близких к Ь,
где С>0' а
либо при всех х£[а, Ь), достаточно близких к Ь,
С
/(*)< 77 • где С > 0, а>-1,
(b—xf
то этот интеграл расходится.
Доказательство. 1) В этом случае имеем
(9.24)
(9.24')
f f(x)dx < f \f{x)\dx
ft-ц'
<c
I
ft-H'
— Г
dx
(b-x)a
1-
— a
яри
а<1 и ц', (л"->0. Следовательно, интегралы ff(x)dx и
f )f(x)\d
X СХОДЯТСЯ.

ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 379'
2) Предполагая / (л:) неотрицательной*), будем иметь-
Q
71 ^Г "Ри а <ахКх <Ь,
(Ь — х)а
f W>I lihr
при
.. (b-x)a
так как
ft-ц
■*■•>'•
Cln-—Ь- прИ а=1.
6 г?
Следовательно, интеграл Г f(x)dx, а с ним и интеграл I f(x)dx,_
а, а
расходится.
Замечание. Пункт 2) доказанного признака можно сформули-
сформулировать в следующей эквивалентной форме: если при всех х,
достаточно близких к b, \f (х)\^* —, где С > 0, а!>1, причем
b
/ (х) при указанных х сохраняет знак, то интеграл I / (x)dx
а
расходится.
Простой перефразировкой из доказанного частного признака;
сравнения получается
Модифицированный частный признак сравнения. Пусть
функция f (х), интегрируемая в обычном смысле на каждом
отрезке а ^ х -^.Ь — К, где 0 < К -< Ь — а, может быть пред-
представлена в окрестности Ь {т. е. при Ь — К < х -< Ь) в виде
f(x) = —g a ■ Тогда:
1) если g(x) ограничена по модулю, а <х< 1, то интеграл
ь
I f(x)dx сходится абсолютно;
*) Если / (х) неположительна, то делаем замену /*(•*) = —/(•*)> где
ь
f* (х) уже неотрицательна; из расходимости I f* {x) dx вытекает расходи-
а
ь ь
мость интеграла I / (x) dx = — if* (x) dx.

ч38О НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
2) если g(х) сохраняет знак в окрестности b, \g(x)\^-
ь
!>- const > 0, а а ~^ 1, то этот интеграл Г / (л:) dx расходится.
а
Аналогично формулируется модифицированный частный признак
сравнения в случае, когда единственной особой точкой f (х) на [а, Ь]
является конец х = а.
Нетрудно также сформулировать и доказать частный признак
сравнения в предельной форме, что мы предоставляем сделать
читателю.
Напомним, что |/(-*0| называется величиной такого же порядка,
что и при х—>Ь — 0, если
(Ь-х)а
lim \f(x)\: 1 = lim (b - x)a\f(x)\ = С, где 0 < С< + со,
-v->(>-0 (Ь — Х) х->Ь-0
и сформулируем
Частный признак сравнения в терминах порядков вели-
величин. Пусть \f (х)\ при х-±Ь — 0*) является бесконечно боль-
большой величиной порядка (а > 0); тогда:
ь
1) если а< 1, то интеграл I f(x)dx сходится абсолютно;
а
2) если же а^-1, a f(x) сохраняет знак в окрестности
х = Ъ (т. е- при Ь — К < х < Ь, 0 < К < Ь — а), то этот ин-
интеграл расходится.
Аналогично формулируется этот признак, когда f(x) имеет осо-
особую точку не в конце л: = 6, а в конце х=а отрезка [а, Ь].
1
t сходится, так как
1 1 1 _ 1
где р-(л;)= г, ограниченная функция. Здесь а = О,
Ь=1. d=l.
*) Мы предполагаем функцию /(х) интегрируемой в обычном смысле
на каждом отрезке а <Г. х <^ b — А, 0 < К < b — а.

§ 2] ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 381
1
2. Рассмотрим интеграл / —— dx. Мы имеем
о
, , . sin л: 1 sin л: 1 sin л: .
f (x) = —— = х =——rg(x), где g(x) = функ-
функция, ограниченная по модулю, причем sin x -^g(x) ^ 1. Здесь а=0,
Ь=\, а=р—1. Поэтому при ct= p—1<1 интеграл сходится,
а при а= р—1!>1 он расходится. Таким образом, интеграл
1
sin х , . п ^ о
——dx сходится при р < 2 и расходится при />^>2.
о
Признак Абеля для несобственных интегралов с конечными пре-
пределами интегрирования мы предоставляем сформулировать и доказать
читателю по аналогии с признаком Абеля для несобственных инте-
интегралов с бесконечными пределами интегрирования (см. п. 5 § 1).
Наконец, по поводу замены переменных, интегрирования по ча-
частям и разложения на слагаемые несобственных интегралов с конеч-
конечными пределами интегрирования можно сказать то же самое, что
говорилось об этих операциях для несобственных интегралов с бес-
бесконечными пределами интегрирования (см. п. 6 § 1).
Остановимся теперь вкратце на интегралах с бесконечными пре-
пределами интегрирования от неограниченных функций с конечным чис-
числом особых точек. Если несобственный интеграл берется по полу-
полупрямой а<Сл:<-)-с>о (—оо < х-^а) или по всей оси — оо< jc<-j-oo.
то, разбивая область интегрирования одной или двумя точками деления
на один конечный интервал, содержащий все особые точки
подынтегральной функции f(x), и на один или два полубесконечных
интервала без особых точек f (х), сводят общий несобственный
интеграл к рассмотренным выше частным случаям. При этом исход-
исходный интеграл полагают равным по определению сумме интегралов
по частичным интервалам, на которые разбита первоначальная область
интегрирования.
Исходный интеграл называют сходящимся тогда и только
тогда, когда все интегралы по упомянутым частичным интервалам
сходятся, и расходящимся, если хоть один из них расходится.
Можно показать, что это определение сходимости исходного
интеграла и численная величина интеграла в случае его сходимости
не зависят от выбора точек деления.
-Ьоо
Примеры. 3. Г е~ххР~Ых. Если р—1 < 0, то подынте-
о
тральная функция имеет особую точку х = 0. Поэтому разбиваем
интервал интегрирования точкой д;=1 на два: [0, 1] и A, -f-oo);

382 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
мы имеем
-J-OO
Г e~xxP-1dx = J е-ххР-г dx-\-
О 0 1
1 1
Интеграл / e~xxP~1dx = I p dx сходится при 1 —р < 1, т. е.
о х
при р > 0, и расходится при р^.0. Интеграл Г e~xxP~1dx, как
1
было установлено ранее (п. 4 § 1), сходится при всех значениях р,
оо
— оо < р < -f-°°> следовательно, интеграл *) I e~xxp~1 dx cxo-
о
дится при всех р > О и расходится при всех р<!0.
1
4. \ хр\пч—dx. Сделаем замену переменных: 1п— = t, —= е',
о
x=e~f, dx = — e~'dt.' Тогда
1 Г - t t Г
t"e-
При <? < 0 подынтегральная функция имеет особую точку л: = (}.
Поэтому разбиваем интеграл на два:
+0О
J
О
Интеграл / e~(p+1)'^ dt = I ——^—dt сходится только при —<
6 о
т. е. только при q^> — 1, независимо от значений, принимаемы
+ ОО
Интеграл Г e~{-p+l)ttqdt при q > — 1 сходится только при />-}-1 >0,
J
О 0
1 1
6 о
т. е. только при q^> — 1, независимо от значений, принимаемых р.
+ ОО
*) Этот интеграл называется гамма-функцией Эйлера и обозна-
+ ОО
чается символом Г (р), т. е. Г (р) = I e~xxp~1 dx.

§ 31 ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАСХОДЯЩЕГОСЯ ИНТЕГРАЛА 383
1
т. е. только при р > — 1. Следовательно, интеграл / лг'Чп'7—dx
о
сходится только при р > — 1 и ?> — 1.
5% j хР(\пх)Ч\п\пх)г' Делаем замену ln\nx = t. Получаем,
е
что при р > 1 интеграл сходится только при г < 1 и любых q;
при р=1 он сходится только при г < 1 и 9 > Ф если р<1,
то он расходится при любых гид. i- ?
§ 3. Главное значение расходящегося интеграла
Пусть /(л:) интегрируема в обычном смысле на каждом конечном
отрезке оси х. Если не существует Iim Г f(x)dx при н е з а в и-
Д->-со /
В->+оо'4
+оо
симом стремлении А и В к их пределам, т. е. интеграл I f (x) dx
— со
Л
расходится, но существует Iim Г f(x)dx, то этот предел назы-
Л-»+оо J
+ 0О
вают главным значением расходящегося интеграла Г f (x) dx
— оо
и пишут
+ со А
V.p. Г f(x)dx= Iim С f(x)dx (9.25)
(V.p.—начальные буквы французских слов «Valeur principal», озна-
означающих «главное значение»).
Пусть теперь f(x) имеет единственную особую точку с, а < с < Ь,
на отрезке [а, Ь] и пусть интеграл
ь ( с-х ь
[f(x)dx= Iim I f f(x)dx-\- Г f(x)dx
J *.-»o+o ■> J
*.-»o+o J
ц->0+0 I a
расходится, т. е. предел фигурной скобки при независимом стре-
стремлении X и [х к 0 —f- 0 не существует. Тогда, если предел этой
скобки существует при К = \i —> О -J- 0, то его называют главным

384 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
b
значением расходящегося интеграла Г f(x)dx и пишут
а
V.p. ff(x)dx = Iim I f f{x)dx-\- ff(x)dx
. (9.26)
Примеры. 1. Если f(x) — нечетная функция*), то всегда
существует
+ со А
V.p. Г f(x)dx= Iim Г f(x)dx = Q.
-A
2. Если f (x)—четная функция*), то
А А О
J / (х) dx = 2 J / (х) dx = 2 J f(x) dx.
-A 0 -A
+ CQ
Поэтому, если интеграл Г f(x)dx от четной функции расходится,
— со
О +со
т. е. хоть один из интегралов I f (x) dx и Г f(x)dx расходится,
-со О
4-со
то и главное значение V.p. I f(x)dx также не существует.
— GO
3. Применяя главные значения расходящихся интегралов, вычислим
интеграл
+со
, т dx, где т и я — целые, 0 < т < я, B.27)
1 Т •*
— со
играющий важную роль в теории эйлеровых интегралов (см. § 3
гл. 10). Так как
Q
< — при л:->±оо, где С = const,
1 -f xm
. Bft+1) я
и так как все корни уравнения 1 -j- х2п = 0, хк = е 2п =
= ak-\- ibk, k = 0, 1 2я—1, не являются вещественными,
то подынтегральная функция не имеет особых точек на оси х
*) См. п. 8 § 1 гл. 11.

§ 3]
ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАСХОДЯЩЕГОСЯ ИНТЕГРАЛА
385
х2
и интеграл сходится. Разлагая дробь . 2П- на простейшие и инте-
1 ~\- X
грируя в пределах от —/до I, получим*)
1
J
2л-1
2я-1
f P L
2,1-1
dx
где Ak— ^-j- = xl'n + \ так как х2ка = —I. Переходя
к пределу при /—>-j-oo, находим
2я-1
+ °°
J i+x™ dx =
где знак плюс соответствует Ьк > 0, а минус соответствует Ьк < 0.
Интегралы
со ( со со
я С dx . 1 f (х — аь) dx , . Г Ьи dx
•' x — xh J x — ahr-\-bh 'I (х — аЛА-Ъи
dx
Г d
являются, очевидно, расходящимися, а числа ±я/Л»= lim /
/-> -f со j/ •* —
являются их главными значениями.
Заметив, что bk > 0 при А = 0, 1 и—1 и bk<.Q при
k = n, /г-j-l, ..., 2я—1, можно написать
п-\
2я-1
ft=n J
(А)
*) Интеграл от комплексной функции и (х) -\- iv (x) вещественной пере-
переменной х, где и (х) н v (х) вещественны, по определению равен
Г [и (х) 4- iv (x)] dx — Г и (л:) йл: -)- / Г и (д:) йл.
25 Б. М. Будак, С, В. Фомин

386 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
где
V А — -V х2™-1 — -У е <2m + 12^k+1) я_
Д k~ 2n Li " — 2п Zi ~~
к-0 ft=0 ft=O
B/Я + 1) Bт+1)Bя + 1) 2ш + 1
2П i2..2^-+1.« 1 i2^±i,t'
так как е'Bш+1)л=—1. Далее, полагая k = k'-\-n, получим
■1п-\ 2и-1 2я-1
(Б)
2п 2иХ" —~2
Bm + l)i?ft41) .
а эта сумма лишь знаком отличается от суммы (Б).
Из (А) с помощью (Б) и (В) получаем
'- f x2m dx- Ш
— J 1 _)_ х2а ~ п
2J_ , и.- „.. 2ш е я 1
2т + 1 я п . 2т +1
2 Sm
В силу четности подынтегральной функции (см. сноску на стр. 384),
отсюда находим, что
J
о sin
4. Интеграл
/dx ,. \ Г dx . Г dx
Y г — иш 1 / ~z z г / ~z jr
i b — с . ,, , A,
= ln \- Iim In —,
с — а К^о+О ц
д->0+0
где а < с < 6, расходится. Однако если при переходе к пределу
считать, что Х = ц, то мы получим, что данный интеграл имеет
главное значение:
V,
а

§ 4]
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
387
§ 4. Несобственные кратные интегралы
Сначала мы рассмотрим случай, когда подынтегральная функция
не ограничена, а область интегрирования ограничена, а затем случай,
когда область интегрирования не ограничена. Все рассуждения мы
будем вести для двойных интегралов; тройные и iV-кратные инте-
интегралы рассматриваются аналогично-
1. Интеграл от неограниченной функции по ограниченной
области. Пусть в ограниченной области Q на плоскости ху задана
функция / (УИ)= / (х, у), неограниченная в окрестности точки
М0(х0, yo)£Q, и пусть, какова бы ни была область щ, содержа-
содержащая внутри себя точку Л10, в области Q — щ (заштрихованной на
aj
Рис. 9.4.
рис. 9.4, а и б) функция / (М) = / (х, у) ограничена и интегри-
интегрируема в обычном смысле, т. е. интеграл I Г / (М)йы существует как
Я-йб
предел интегральной суммы (см. определение 1, § 2, гл. 1)*). Индек-
Индексом б обозначен диаметр области щ. При 6->0 область «б стяги-
стягивается к точке Мо.
Определение I. Несобственным интегралом от
ф'у н к ц и и f (М) = f (х, у) по области^ называется предел
6->0
f f f(M)d(o= f [ f(M)dv>.
(9.28)
Q-ftlA
*) Области Q и (Oj, как и все другие, рассматриваемые в этом параграфе,
предполагаем квадрируемыми; символом Q обозначается замкнутая область,
т. е. область Q с присоединенной к ней границей. Точка Мо может лежать
внутри Q или на границе, но она обязана, лежать внутри сой; под Q — сой по-
понимается множество всех точек, принадлежащих Q и не принадлежащих сой
если й и (Oj квадрируемы, то Q — сой квадркруема.
25*

388 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Если этот предел существует, конечен и не зависит от
способа стягивания щ к точке Мо, то несобственный инте-
интеграл (9.28) называется сходящимся; в противном случае
он называется расходящимся-
Мы говорим, что при б—>0 интеграл I I /(TW)dco стремится
Я-юб
к определенному конечному пределу J, не зависящему от способа
стягивания области coj к точке М$, если, какова бы ни была после-
последовательность областей
«в,. «а2 со6;1 (9.29)
каждая из которых содержит точку Мо внутри себя и диаметры
которых удовлетворяют условию
6я->0 при я-> + оо*), (9.30)
соответствующая последовательность чисел
JJf(M)da), JJ/GW)d« J J/GW)dco, ... (9.31)
Сходится к одному и тому же пределу J, не зависящему
от выбора последовательности (9.29).
Замечание 1. В то время как для однократного интеграла (т. е.
при JV=1) в качестве Q — Ьп брались интервалы [а, Ъ — h] (см.
определение и формулу (9.17)), т. е. обязательно связные области,
при N^2 области Q — щ и соб не предполагаются связ-
связными.
Определение 2. Пусть точка Мо лежит внутри й. Если
интеграл (9.28) расходится, но последовательность (9.31)
стремится к одному и тому же пределу каждый раз, когда
в качестве (9.29) берется стягивающаяся последовательность
кругов с центром в Мо, то этот предел называется г л а в -
ним значением расходящегося интеграла (9.28)**),
Главное значение расходящегося двойного (и тройного) интеграла
находит применение в математической физике.
Замечание 2. Если точка /Ио лежит внутри Q, то исследо-
исследование на сходимость интеграла I I f(M)db) можно заменить иссле-
*) Здесь не предполагается, что последовательность (9.29) стягивается
монотонно, т. е. что со6 Z3сов з...з«в з...; предполагается только
выполнение условия (9.30).
**) При определении главного значения расходящегося TV-кратного инте-
интеграла вместо стягивающихся последовательностей кругов берутся стягиваю-
стягивающиеся последовательности TV-мерных шаров.

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 389
дованием на сходимость интеграла I I f(M)da no любой под-
области О'сО, содержащей внутри себя точку Мо (ср. с замеча-
замечанием на стр. 359, § 1). В том случае, когда особая точка Мо при-
принадлежит границе Q, в качестве Q' можно взять подобласть,
являющуюся пересечением с областью О какой угодно области Q*,
содержащей Мо внутри себя.
Замечание 3. Случай, когда /(М) имеет произвольное ко-
конечное число особых точек, принадлежащих области Q или ее гра-
границе, сводится к случаю, рассмотренному в определении 1, с по-
помощью надлежащего разбиения области Q на части, аналогично тому,
как это делалось для однократных несобственных интегралов.
2. Интегралы от неотрицательных функций. Интегралы от не-
отрицательных функций мы рассмотрим в первую очередь,
поскольку их исследование проще и сами они могут быть использо-
использованы при исследовании интегралов от знакопеременных функций.
Теорема 9.5. Пусть подынтегральная функция f{M)~
= f(x, у) в интеграле (9.28) является неотрицательной
и пусть в качестве стягивающейся последовательности (9.29)
взята какая-либо монотонно стягивающаяся последователь-
последовательность кругов с центрами в точке Мо, т. е. такая, что
K6'ZdKu'=> ... =>Кй> =>..., ^->0 при я->4-°°- (9.29')
Тогда для сходимости интеграла (9.28) необходимо и доста-
достаточно, чтобы соответствующая последовательность чисел
fff(M)d«>, fff(M)da J f/(M)da, ... (9.31')
Q-A" , Q-A" / Я-А" /
б1 б2 bn
была ограниченной.
Доказательство. Необходимость условия вытекает
непосредственно из определения сходимости интеграла (9.28): если
интеграл (9.28) сходится, то последовательность (9.31') сходится
и, следовательно, она ограничена.
Достаточность. Пусть последовательность (9.31') огра-
ограничена. Так как последовательность (9.29') является монотонно
стягивающейся, то последовательность областей интегрирова-
интегрирования у интегралов (9.31') является монотонно расширяю-
расширяющейся, т. е. имеют место включения
Q~K.'CzQ — К.'с: ... czQ~K.ro. ...
б1 б2 6п
Тогда, в силу неотрицательности подынтегральной функции f(M) —
х=/(х,у), последовательность чисел (9.3Г) будет неубывающей.

390 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Но, в силу ограниченности, она будет сходиться к определен-
определенному конечному пределу J:
lim f f f(M)da = J, (9.32)
причем I С f (M) d® -$^J. Для завершения доказательства теоремы
нужно установить, что и при любом другом выборе стягивающейся
последовательности областей (9.29) соответствующая последователь-
последовательность чисел (9.31) будет сходиться к тому же пределу J. Чтобы
это установить, заметим, что при любом достаточно большом я для
области 01л можно найти такие круги К.' и К.г из последователь-
ности (9.29')i чтобы имело место включение
Ч^^Ч (9-33)
и чтобы радиусы б' и б' этих кругов стремились к нулю прибп->0.
Из включения (9.33) вытекает включение
О—/Сб'С:О —соб ей- Кй', (9.34)
из которого, в силу неотрицательности функции, вытекает неравен-
неравенство
J J/GW)rfco< J J / (Ж) rfco < J f f(M)d(*; (9.35)
а-к * я-ид q-k '
6 " 6
HO
lim Г ff(M)d«>— lim J J f(M)dd) = J,
6 ->0 Q-A" ' 6a-*° H-^ '
'б б
P q
следовательно, из (9.35) вытекает, что
lim Г f f(M)dio = J,
Q-0),
6n
что и требовалось доказать.
Из теоремы 9.5 непосредственно следует более общая
Теорема 9.6. Пусть подынтегральная функция f(M) =
= f (x, у) в интеграле (9.28) является неотрицательной и
пусть в качестве (9.29) взята произвольная стягивающаяся
последовательность областей (см. сноску на стр. 388). Тогда для

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 391
сходимости интеграла (9.28) необходимо и достаточно, чтобы
соответствующая последовательность чисел (9.31) была огра-
ограниченной.
Доказательство. Необходимость устанавливается также,
как в доказательстве предыдущей теоремы. Для доказательства до-
достаточности возьмем какую-либо монотонно стягиваю-
стягивающуюся последовательность кругов (9.29') и докажем, что соответ-
соответствующая последовательность чисел (9.31') будет ограниченной,
■если ограничена последовательность (9.31). А тогда по теореме 9.5
интеграл (9.28) будет сходящимся. Ограниченность последова-
последовательности чисел (9.31') устанавливается следующим образом: пусть
Г Г/(/И)</со<С = const < +co (9.36)
при всех
каково бы
включение
—
НИ
Ъ£—<Я
0
:1, 2,
было
т
3,
я,
... Так
найдется
как £
такое
т,
► 0
что
при т
будет
-> -\- со, то.
иметь место
(9-37)
из которого следует включение
Q — К -сЙ-«б (9.38)
6п т-
Поэтому, в силу неотрицательности f(M) = f(x, у), будет выпол-
выполняться неравенство
J J / (M) da < J J / (M) da. (9.39)
9.-K ' Q~a(,
Сопоставляя его с (9.36), получаем, что при всех я выполняется
неравенство
J J / (M) da < С = const < -1- оо, (9.40)
что и требовалось доказать.
Пример. Докажем, что интеграл
/ / —dxdy, где С = const, г = у (х — хоJ-\-(у — у0J, (9.41)
J J г
я
по ограниченной области О, содержащей внутри себя точку
М0^(х0, у0), сходится при а<2 и расходится при а^>2.

392 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
В соответствии с замечанием 1 в конце п. 1 интеграл (9.41) по
области й можно заменить интегралом по какой-либо подобласти й',
содержащей внутри себя точку Мо. В качестве такой подобласти
возьмем круг Кд с центром в точке Мо и достаточно малым радиу-
радиусом R и исследуем интеграл
±-dxdy, С>0, г = У (х — х0J + (у — у0J, а = const.
га
(9.42)
Для этого возьмем какую-либо монотонно стягивающуюся последо-
последовательность кругов
->-г-=о, (9.43)
и рассмотрим интеграл
f fJLdxdy. (9.44)
KR-\r
Переходя к полярным координатам, получаем
2л R
R
= 2nC I r
2nC[\nr\rlR при а=2.
(9.45)
Если в (9.45) перейти к пределу при б„ -> 0, то мы получим, что
интеграл (9.40) при а<2 остается ограниченным, а при aj>2 он
становится неограниченным. Следовательно, интеграл (9.42), а вместе
с ним и интеграл (9.41), сходится при сс<2 и расходится
при a ~^- 2.
Аналогично в случае любого числа .V независимых переменных
xv x2 хх yV-кратный интеграл
/ / ... / Цгйх{ ... dxK. С> 0,
_^ (9.46)
сходится при a < N и расходится при a^z-N, если точка
MqSS/'a'j' д-°х.) лежит внутри .V-мерной области Q. Таким обра-

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 393
зом, значение а=Л/, равное размерности пространства, является
критическим, оно отделяет значения a(a<iV), при которых
интеграл (9.46) сходится, от значений a(a^N), при которых этот
интеграл расходится, причем значение а —/V приводит к расходи-
расходимости интеграла.
3. Абсолютная сходимость. Пусть функция f(M), заданная
в области Q, имеет единственную особую точку М3, принадлежащую
области й или ее границе, и, какова бы ни была область со, содер-
содержащая внутри себя Жо, f (M) „интегрируема в обычном смысле
в области Q — со.
Определение 3. Интеграл I I /(/H)rfco называется абсо-
лютно сходящимся, если сходится интеграл I I \f(M)\ds>.
Q
Теорема 9.7. Если интеграл Г f/(/W)rfco сходится абсо-
Q
лютно, то он сходится.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 9.7, отметим не-
некоторые общие свойства сходящихся несобственных интегралов.
В силу теоремы о пределе суммы и теоремы о выносе постоянного
множителя за знак предела, имеем."
1) если интегралы Г I /1(М)Aы и Г I f2(M)du> сходятся,
Q 9.
то сходятся и интегралы I I [/i(/Vl)±/2(/W)]rfco, причем имеет
место равенство
f f [/, (Ж) ± /2 (Ж)] rfco = J J /, (М) dQ ± f f /2 (M) dQ;
Q О О
2) если интеграл I I f(M)dv) сходится, то при С = const
я
интеграл I ]Cf(M)dio также сходится и
а
J J Cf (Ж) rfco = С J J / (Ж) rfco.
Q Q
Перейдем теперь к доказательству теоремы 9.7. Представим
подынтегральную функцию /(Ж) в виде разности двух неотрица-
неотрицательных функций
fU\l)= |/(Ж)| -[|/(Ж)| -/(УМЛ^/1(Ж)-/2(Ж), (9.47)

394 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
где
/1(/И)=|/(Ж)| и f2(M) = \f(M)\~f(M).
Интеграл I I /i(M)fifco = I I \f(M)\du> сходится по условию.
а а
Так как
а интеграл
сходится по условию доказываемой теоремы, то, в силу теоремы 9.6,
какова бы ни была стягивающаяся последовательность (9.29), соот-
соответствующая ей последовательность интегралов I I 2 | / (М) | da>
ограничена. Поэтому, в силу очевидного неравенства
Q-и,
о
последовательность I I /2 (-M) ^га также ограничена. Следова-
Q-0).
тельно, по теореме 9.6 интеграл I I /2GW)rfco сходится. Но тогда,
Q
в силу (9.47), будет сходиться и интеграл Г Г f(M)du>, причем
Q
будет выполняться равенство
J J / (М) rfco = J J /, (М) rfco - J J /2 (Ж) rfco, (9.48)
Q Q Q
что и требовалось доказать.
Замечание. Для ./V-кратного несобственного интеграла при
N^■2 справедлива и обратная теорема (см. п. 5), т. е. сходимость
и абсолютная сходимость эквивалентны.
4. Признаки абсолютной сходимости.
Теорема 9.8 (общий признак сравнения). Пусть всюду
в области О выполняется неравенство
(9.49)

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 395
причем f (М) и g (М) имеют единственную особую точку Мо,
принадлежащую области Q или ее границе. Тогда:
1) если Г Jg-(/H)fifo сходится, то и Г j f(M)dv) сходится
а а
абсолютно;
2) если Г f/(УИ)Ло расходится, то и I I g(M)d® pac-
а а
ходится.
Доказательство. Возьмем какую-либо стягивающуюся после-
последовательность областей (9.29). В силу неравенства (9.49), будем иметь
J J|/(M)|rfco< J fg(M)d«>. (9.50)
а-а.
1) Если I I g(M)d(u сходится, то последовательность
я
I I ^(Al)rfcoi остается ограниченной, но тогда, в силу нерав.ен-
Q-o,
1 '" '
ства (9.50), последовательность I Г Г | / (/VI) | rfco I также ограничена,
i\ I
а следовательно, по теореме 9.6 интеграл I I |/(Л1)|Ло сходится.
я
f (M) da) расходится, то расходится также
я
и интеграл I I \f(M)\da>; действительно, если бы последний инте-
а
грал сходился, то сходился бы по теореме 9.7 также и интеграл
Г I f(M)d(u. Из расходимости интеграла I I \f(M)\da> вытекает,
а а
в силу теоремы 9.6, что при любом выборе стягивающейся после-
последовательности (9.29) последовательность I I \f(M)\du> не ограни-
ограничена; но тогда, в силу неравенства (9.50), не ограничена также после-
последовательность I I g(M)d«), а следовательно, интеграл I I g(M)dd)
расходится, что и требовалось доказать.
Теорема 9.9 (частный признак сравнения). Если для функ-
функции, заданной в Q и имеющей единственную особую точку

396
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 9
М0(х0, у о), принадлежащую области О, или ее границе, выпол-
выполняется неравенство
:. у) |< -^-, где C = const>0.
при а < 2, дао интеграл Г f/(/W)rfco сходится и притом
а
абсолютно.
Доказательство. В силу (9.51) и в силу сходимости инте-
интеграла (9.41), при а<2 интеграл I I |/(Л1)|й?со будет сходящимся
я
по теореме 9-8, что и требовалось доказать.
Замечание. В случае несобственного интеграла по ./V-мерной
области О
N раз
l' " " XN)dxl ••■ dxN
от функции f (M) = f (xl xN), имеющей единственную особую
точку MQ=(x\, ..., х°Л .в области й или на ее границе, в частном
признаке абсолютной сходимости (теорема 9.9) следует брать
r=Y(x1-x(>f+ ... -i-(xjX-x°Nf и а < N.
Пример. Найдем силу притяжения материальной точки
Л10 = (л:0, у0, z0) с единичной массой материальным телом, зани-
занимающим объем О в пространстве (х, у, z), если объемная плотность
массы тела равна р(М) = р(х, у, z).
Найдем проекции силы притяжения на оси х, у, z (см. п. 5
§ 2 гл. 2):
= f
p (
^ dx dy dz,
= f f f
dx dy dz,
(9,52)
где
=Y(x — xQf + (y — y0J + (z — zQf, Als(x, y, z).
В гл. 2 мы ограничились случаем, когда точка М0^(х0, у0, z0)
лежит вне тела Q; если же Мо лежит внутри тела О, то ипте-

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 397
гралы (9.52) становятся, вообще говоря, несобственными. Пусть плот-
плотность р(М) = р(х, у, z) ограничена в п, т. е. р(Л1) •^ро= const
при всех значениях М £ Q. Тогда
рШ)
X — Xn
■Ро
1 X— Xo
#. ибо
■x0
Так как а=2<Л/=3, то, в силу частного признака сравнения,
первый из интегралов (9.52) сходится абсолютно. Аналогично уста-
устанавливается абсолютная сходимость двух других интегралов (9.52).
Для N-к ратных несобственных интегралов при N^-2, в отличие
от однократных, имеет место тот замечательный факт, что из обыч-
обычной сходимости интеграла вытекает его абсолютная сходимость, т. е.
справедлива теорема, обратная теореме 9.7.
5. Эквивалентность сходимости и абсолютной сходимости. Г;>и
N > 2 несобственный интеграл от / (М) сходится /тогда и только тогда,
когда сходится интеграл от |/(ЛГ)|. Это вытекает из теоремы 9.7 и сле-
следующей теоремы.
N раз
Теорема 9.10. Если интеграл ])■■■] f(M)dxx ... dxN сходится
и N ~^>2, то интеграл I I ... I \f(M)\dx. ... dx^ также сходится.
Доказательство. Для упрощения записи доказательство будем вести
для случая N = 2. Пусть особая точка Мо функции / (М) = / (х, у) лежит
внутри области й на плоскости *). Пусть интеграл J I / (Щ *° сходится;
а
предположим, что интеграл I I [ / (М) \ da расходится. Тогда, взяв какую
Q
угодно стягивающуюся последовательность концентрических кругов {Кп}
—\ If —\ IS —^ —. J/ —, ZiH*\ /Q ^Ч\
-D 1\\ ZD 1\2 -D ... -D *\/1-—> ... -J iW о ) (У.Оод
с центром в точке Мй, в силу неотрицательности \f(M)\, получим
''m I I I / (М) | da = -f- со. (9.54)
"~*+М п-Кп
Но тогда последовательность (9.53) можно выбрать так, чтобы выполнялись
неравенства
" < f(M)\da-\-2n, я= 1, 2, ... (9.55>
*) Если Мо лежит на границе Q, то вместо кругов К„ нужно взять их
пересечения с Q, т. е. их части, лежащие в Q.

398 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
Введем функции
f+(M)=~[\f(M)\+f(M)], /_(Л1) = 1[|/(Л1)|-/(Л1I. (9.56)
Очевидно, что /+(Л1)>0, /_(Л1)>0 и
/ (М) = /+ (М) - /_ (М), ! / (М) | = /+ (М) + /_ (М). (9.57)
В силу (9.57), имеем
jj f+(M)da + jj /_ (М) da. (9.58)
Kn~Kn + l
Последовательность (9.53) можно считать выбранной так, что
fj f+(M)da^ ff f_(M)de>. (9.59)
Kn-Kn+\ Кп'Кп + 1
(В противном случае можно перейти к подпоследовательности последова-
последовательности (9.53) и, если потребуется, к замене / (М) на —f(M).) Тогда из
(9.58) и (9.55) вытекает, что
f f f+(M)d<o> Г J\f(M)\d(o + n, n=l, 2, ... (9.60)'
2-Кп
Если разбить кольцо Кп — Кп+\ на достаточно малые квадрируемые ячейки,
У/ Г Г
, mi + Дюг- *) для I I /+ (M) da
tf tf if if
Kn~Kn + l Vn+I
на этом кольце будет, в силу (9.60), удовлетворять неравенству
Y^ /j_ Г Г
7, т^+Дю,> I I |/(Л1)| da-\-n, п — 1, 2, ... (9.61)
h' It' o It'
кп~кп+\ и'кп
f
На всех этих ячейках т^ + >0, так как /+>0 всюду. Не нарушая неравен-
ства (9.61), отбросим из суммы 2 тг + Дщг все слагаемые, для кото-
которых mt + = 0. Если обозначить через C„ область, составленную из ячеек,
соответствующих оставшимся слагаемым, то, очевидно, на этой области
Я/(М) da= I I /+ (ЛГ) йш!> 7 m,- + Дш- >
°п °п °п
> Г [\f(M)[da + n, n= 1, 2, ... (9.62)
*) Здесь m(+ означает точную нижнюю грань f+{M) на ячейке Дш^.

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 399
Далее имеем
J J/(Af)*o> — JJ |/(M)Uco, n = 1. 2, ... (9.63)
Я-А-„ Я-Ки
Складывая (9.62) и (9.63), получим
J ff(M)d<o>n, n=\, % .... (9.64)
где Я„ = (й — К„) + О„, причем если обозначить через со,, разность й — Нп,
то, очевидно, диаметр со„->0 при п->-\-оо. Следовательно, из (9.64) вытекает
расходимость интеграла I I f(M)da), что противоречит условию. Итак,
я
предположение, что интеграл I I | / (М) \ da> расходится, приводит к проти-
я
воречию; следовательно, он сходится. Теорема доказана.
Замечание. Если в определении N-кратного несобственного интеграла
при N>2 области й — соб считать связными, то теорема 9.10 сохранит
свою силу. Действительно, область Я„=(й — Kn)-\-Gn в доказательстве
теоремы 9.10 можно сделать связной, сохранив неравенство (9.64); для этого
достаточно соединить связные куски, составляющие Нт квадрируемыми
полосками с достаточно малой суммарной площадью. Возможность построе-
построения таких полосок становится очевидной, если разбиение кольца Кп — Кп+\
на квадрируемые ячейки для образования интегральной суммы
2 mt + Дщ,- осуществлять с помощью лучей, выходящих из центра Мо
этого кольца, и концентрических окружностей с центром в Мо.
В противоположность этому, если в случае однократного несобственного
ь
интеграла I f (x) dx вместо последовательностей интервалов [a, b — Я], вхо-
а
дящих в определение (см. § 2, соотношение (9.17)), брать исчерпывающие
последовательности произвольных «разрывных» областей, то класс функций,
интегрируемых в несобственном смысле, сузится; интегрируемыми а несоб-
несобственном смысле функциями окажутся лишь абсолютно интегрируемые в не-
несобственном смысле функции. (Абсолютно интегрируемые в несобственном
смысле функции в обоих определениях, очевидно, одинаковы.)
6. Несобственные интегралы с неограниченной областью
интегрирования, подынтегральные функции которых ограничены
в любой ограниченной подобласти, исследуются совершенно анало-
аналогично. Сформулируем для примера определение несобственного инте-
интеграла и достаточный признак сходимости.
Определение 4. Пусть дана неограниченная область Q.
Расширяющаяся последовательность ограниченных подобла-
подобластей
й,. Оо Йя. ••• (9.65)

400 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 9
называется и с ч е р п ы в а юш, ей, если, каково бы ни было R > 0,
все точки области Q, принадлежащие кругу радиуса R с цент-
центром в начале координат, будут принадлежать всем Qn, начи-
начиная с достаточно большого п.
Определение 5. Пусть в неограниченной области Q задана
функция f (М), интегрируемая в обычном смысле по любой
ограниченной подобласти. Если при любом выборе исчерпываю-
исчерпывающей последовательности (9.65) соответствующая последова-
последовательность чисел
J J f(M)da>, f f f(M)da, ..., J J/(M)rf«, ...
сходится к одному и тому же конечному пределу J, то инте-
интеграл I I /(TW)dco называется сходящимся; в противном
а
случае интеграл называется расходящимся.
Достаточный признак сходимости. Если f(M) = f(x, у)
удовлетворяет требованиям, сформулированным в предыдущем
определении, и неравенству
I / (М) I < -v • гДе С = const > 0,
г
a = const<2, г = У{х — xof -\-{у — yof,
причем Л10 = (л:0, у0) — какая-нибудь фиксированная точка, то
интеграл Г I f(M)dv) сходится.
а
Заметим, что общие теоремы, аналогичные 9.5, 9.6, 9.7, 9.8,
9.10, верны и для несобственных интегралов с неограниченными
областями интегрирования.
7. Методы вычисления несобственных кратных интегралов.
Сведение сходящегося несобственного двойного интеграла к повтор-
повторному осуществляется так же, как и в случае собственного двойного
интеграла: 1) для неотрицательной (неположительной)
подынтегральной функции — при условии сходимости повторного инте-
интеграла от этой функции, 2) для знакопеременной подынтеграль-
подынтегральной функции — при условии сходимости повторного интеграла от ее
модуля *).
Замена переменных в сходящемся несобственном Л^-кратном инте-
интеграле осуществляется по тем же правилам, что и в случае собствен-
собственного ./V-кратного интеграла.
*) Аналогично обстоит дело в случае Л^-кратного несобственного инте-
интеграла при 7V>3.

§ 4] НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 401
Оставляя в стороне доказательства общих утверждений, ограни-
ограничимся примером, в котором используются сведение несобственного
двойного интеграла к повторному и замена переменных в несобствен-
несобственном двойном интеграле.
+ СО
Пусть требуется вычислить интеграл J= I e~xldx. Его сходи-
о
мость устанавливается обычным образом. Так как при изменении
обозначения переменного интегрирования величина определенного
+ оо + оо
интеграла не меняется, то J= I е~х2 dx = I e~y2 dy. Поэтому
о о
+ О0 + ЭО +00 / +33 \
Л — Г е-*г dx Г е~Уг dy = Г I е-** Г е~>'2 dy\dx =
о о о V о /
4со +оо
= Г dx Г e~x"--y*dy,
о о
причем повторный интеграл сходится. Двойной интеграл
+ 00 +ЭО
Г dx Г e-*2-y2dy,
о о
очевидно, также сходится, в силу достаточного признака сходимости.
Следовательно,
+ М +00
р= С С е-хг-У*- dxdy.
о о
Переходя к полярным координатам, получаем
Я/2 + оэ + оо
У2= / йф / e-r!rdr = ^ f e-rlrdr = ~,
0 0 О
Следовательно,
о
Этот прием вычисления данного интеграла предложен Пуассоном.
26 Б. М. Будак, С. В. Фомин

ГЛАВА 10
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В математике и математической физике весьма эффективным ана-
аналитическим аппаратом являются интегралы, зависящие от пара-
параметра; таковы, например, эйлеровы интегралы (см. § 3), интегралы
типа потенциала (см. вып. 4) и т. п.
Эта глава посвящена изучению свойств интегралов, зависящих от
параметра.
§ 1. Собственные и простейшие несобственные интегралы,
зависящие от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть
функция u=f(x, у), заданная в прямоугольнике П: а-^Сх-^Ь,
c^y-^Cd, интегрируема по л: на отрезке а--Сх^.Ь при ка-
каждом значении у из отрезка с <;>><;</. Тогда интеграл
ь
Ау) = //(■«. y)dx A0Л)
а
является функцией параметра у, определенной на отрезке
с^У^^- Займемся изучением свойств интегралов вида A0.1).
Теорема 10.1 (о непрерывной зависимости интеграла от
параметра). Если функция f(x, у) непрерывна в замкну-
замкнутом прямоугольнике П: a^x-^t, c^y^id, то интеграл
ь
J(y)= I f (x< y)dx является непрерывной функцией парамет-
ра у на отрезке с ^.
Доказательство. Из непрерывности функции f(x, у) в зам-
замкнутом прямоугольнике П следует ее равномерная непрерыв-
непрерывность. Это значит, что для всякого е > 0 найдется такое 6 = 6(е) > 0>
не зависящее от расположения точек (xf, у') и (jc", у") в прямо-
прямоугольнике П, что при выполнении неравенств
| х' — х" |< б (б) и |/ — у"\<Ь{,Е) A0.2)

§ I] СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
выполняется также неравенство
403
\ i (Y1 \if\ / ( y" м"\ I ^ (\ П 4\
\ J \ * У ) J \ * У ) \ ^- ^, ' 11 u.OI
В частности, полагая х' = x" = x, получим, что для любых у' и у"
из отрезка c^.y^.d, удовлетворяющих неравенству
I/ — У"\ <6(б), A0.2')
и всех х из отрезка а -^.х -^.Ь будет выполняться неравенство
1/(*. у0-/(*. у'ОК-гЧ-- (Ю.з')
Поэтому при любых уг л у" из отрезка c-^y-^d, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству A0.2'), будет выполняться неравенство
6
!■/(/)-■/(/')! =
/[/(*. У')—fix. y"))dx
а
ь
<f\f(x. yf)-f(x, у") I a
а это означает равномерную непрерывность J(y) на отрезке
с^-У^-d. Теорема доказана.
Следствие. При условиях теоремы ЮЛ функция F(u, v, y) =
V
== I /(■*'• y)dx непрерывна в замкнутом параллелепипеде П*:
Доказательство. В силу непрерывности функции f(x, у)
в замкнутом прямоугольнике П, найдется такая константа С,
0<С<-|~оз> что \f(x, у) | < С всюду в П. Поэтому при любых
(«', v1', у') и (а", г/', у") из П* выполняется неравенство
J F (и', v', у') — F {и", v\ у") | =
v'
f f(x, /)dx— f f(x,y")dx
/
u'
(x< y'-j fix, y")] dx
v'
J f{x. yrr)dx
v'
f fix. y")dx < J [fix. y')—f(x. yf')]dx
" — a'|TC|i/'- v'\. A0.4)
26*

404 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
Пусть точка («', v', у') фиксирована, а точка (и", v", у") —>
->(«', v', у'). Тогда первое слагаемое в правой части A0.4) стре-
стремится к нулю по теореме 10.1, а второе и третье — очевидным об-
образом, что и требовалось доказать.
Теорема 10.2 (о дифференцировании интеграла по пара-
параметру). Если f(x, у) и f'(x, у) непрерывны в прямоугольнике П:
ь
a-^.x^b, c-^.y-^d, то интеграл J(y)= I f{x, y)dx является
a
дифференцируемой функцией параметра у на отрезке c^.
причем всюду на этом отрезке
ь ь
а а
Замечание. Формула A0.5) называется формулой дифферен-
дифференцирования интеграла по параметру по правилу Лейбница: производ-
производная интеграла по параметру равна интегралу от производ-
производной подынтегральной функции по этому параметру.
Доказательство. Мы должны доказать, что
Для этого докажем, что разность между переменной величиной
ь
—' ~i~ У> \LL и ее предполагаемым пределом I /' (х, у) dx
а
стремится к нулю при Ду->0. В силу формулы конечных при-
приращений, имеем
у (у + Ay)-У (у) _ /• /(лг, у + Ау)-/(лг, у) ■
—J их
Ь
ь
Ду —J Ду
где 0^0 < 1. Поэтому упомянутая разность равна
ь
У(у + Ду)_У(у) _ /- =
Ду J •/>Л ' >;
а
b
= f [/'., (-v> У Л- Ъ Ду) — /' (х, у)] dx. A0.6)
а

§ 1]
СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
405
Оценим ее при достаточно малых значениях |Ау|. Пусть дано е > 0.
Так как f'y(x, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П,
то она равномерно непрерывна в нем. Следовательно, найдется
такое 6(е)>0, что при |Ау| <6(е) будет
при всех х £ [а, Ь] и любых у и y-j-Ay из отрезка [с, d].
Так как 0 < 0 < 1, то и подавно при всех указанных х, у и y-f-Ay
будет
Следовательно, в силу A0.6),
при всех |Ду|<б(е). Теорема доказана.
Теорема 10.3 (о дифференцировании по параметру инте-
интеграла с пределами интегрирования, зависящими от пара-
параметра). Пусть f(x, у) и f'(x, у) непрерывны в прямоуголь-
прямоугольнике П: а<д;<:&, c<y<d, a jc = jc1(y) и д; = л;2(у) диффе-
дифференцируемы и удовлетворяют условию а < д;; (у) < b (i=l, 2)
при с 4^.у -^.d. Тогда производная интеграла
■МУ)
л-i (У)
яо параметру у существует и равна
х2 (у-)
J'(y)= f f'y(x,
;ю.7)
. A0.8)
JTj(y)
Доказательство. Мы имеем
), jc2 (у), у),

406 ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
v
причем функция F{u, v, y)= I f(x, y)dx при а ^.и ~^b, a -^v -^b,
и
c-^y^d имеет непрерывные частные производные:
V
Fu = -f(x- «). Fv = f{x, v), Fy = f f'y(x, y)dx. A0.10)
и
Непрерывность частной производной Fy, существующей по тео-
теореме 10-3, имеет место в силу следствия теоремы A0.1). Поскольку
функции х = хх (у) и х = х2 (у) дифференцируемы, то к инте-
интегралу A0.7) можно применить правило дифференцирования слож-
сложной функции, которое и приведет к равенству A0.8). Теорема до-
доказана.
Теорема 10.4 (об интегрировании интеграла по пара-
параметру). Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике И:
a^Cx-^b, c^y^.d, no
d d b b d
fj(y)dy = fdyff(x, y)dx = fdxff(x, y)dy, A0.11)
с с а ас
т. е. для того, чтобы проинтегрировать интеграл
ь
J(y)= I f(x, y)dx no параметру у, нужно подынтегральную
а
функцию f(x, у) проинтегрировать по этому параметру у.
Доказательство. Равенство A0.11) является следствием тео-
теоремы о сведении двойного интеграла к повторному (см. § 5 гл. 1).
Приведем еще одно доказательство, легко распространяющееся
на N-мерный случай (см. § 4). Вместо равенства A0.11) докажем
более общее равенство
d l t d
jdyjf(x, y)dx = j dx f f(x, y)dy при а<^<*. A0.12)
с а а с
.Если ввести обозначения
d t t d
<p(t)=fdyff(x,y)dx, q(t)=fdxff(x,y)dy, A0.13)
с а а с
то достаточно доказать, что <p'(t) = i|/(t) при a^.t^.t> и что
<p(a) = i|)(a), так как тогда, очевидно, будет <р(£)н=1|)(£) на [а, Ь].
Равенство <p(a) = i()(a) очевидно, так как <р(а) = 0 и ty(a) = 0.
t d
.Полагая F{t, у)= Г f(x, y)dx, получим <р@= Г F(t, y)dy, где

§ 1] СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 407
F(t, у) непрерывна в прямоугольнике П*: a ^t ^.b, с <!у <!</.
в силу следствия теоремы 10.1, a Ft(t, y) = f(t, у) непрерывна
по условию доказываемой теоремы. Следовательно, по теореме 10.2
d d
<p'(*)=J>,'(*. y)dy = f f(t, y)dy. A0.14)
с с
d t
Полагая |(л:) = I f(x< y)dy, получим г|з(£) = I \{x)dx. Так как
с а
по теореме 10-1 £,(х) является непрерывной функцией х на отрезке
а^х-^b, то по теореме о дифференцировании определенного инте-
интеграла по верхнему пределу
t d
^ V)= 4t f Ux) dx=l(t) = f f (t, y)dy. A0.15)
а с
Сопоставляя A0-14) и A0.15), получаем, что (pr (t) = tyr (t) гцзи
a^t^ib. Следовательно, в силу равенства <р(а) = г|з(а), также
(p(t) = $(t) при а <;£<>. В частности, <p(ft) = ^F), т- е. равенство
A0.11) выполняется. Что и требовалось доказать.
2. Простейшие несобственные интегралы, зависящие от па-
параметра. Теоремы 10.1, 10.2, 10.4 легко распространяются на не-
несобственные интегралы следующего специального вида:
= ff(x. y)g(x)dx, A0.16)
где /(л:, у) непрерывна, a g(x) — вообще говоря, разрывная
ь
функция, но такая, что интеграл / \g(x)\dx сходится, причем
а
один или оба предела интегрирования могут быть бесконечными.
Перейдем к точным формулировкам соответствующих обобщен-
обобщенных теорем *)-
Теорема 10.1' {обобщенная теорема о непрерывной зависи-
зависимости интеграла от параметра). Если f(x, у) непрерывна и
~-со
ограничена при а <; х <+»э, с ^ у ^.d, а интеграл Г |^(л;)| dx
*) Теоремы 10.1', 10.2', 10.4' находят применение в математической фи-
физике и в теории интеграла Фурье.

408 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
сходится, то
-f-co
= f f(x, y)g(x)dx A0.17)
является непрерывной функцией у на отрезке c^.y
Теорема 10.2' (обобщенная теорема о дифференцировании
интеграла по параметру). Если f (х, у) и /' (л:, у) непрерывны и
ограничены при а ^.х <-}-оо, с ^.у ^.d, а интеграл Г |£Г(л:)| dx
а
сходится, то интеграл A0.17) является дифференцируемой
функцией параметра у на отрезке с-^у ^.d, причем всюду
на этом отрезке выполняется равенство
J'(y) = ] h(x,y)g(x)dx. A0.18)
а
Теорема 10.4' (обобщенная теорема об интегрировании
интеграла по параметру). При условиях теоремы 10.1 инте-
гралD^.17) является интегрируемой функцией параметра у
на отрезке с ^.у ^.d, причем
d d +co +co Id \
fj(y)dy = fdyf f(x, y)g(x)dx = J [g(x)ff(x, y)dy\dx.
с с a a v с '
A0.19)
Докажем для примера теорему 10.1'. Пусть |/(*> у)\ <С = const
при a^Ar<-f-°°. c^y^.d, а Г \g(x)\dx </C <-f-оэ и пусть
а
+ ЭО
дано е>,0. В силу сходимости интеграла I \g(x)\dx, можно взять />а
столь
~f- -KJ
ль большим, что будет 2С I \g(x)\dx < 4-. Фиксировав такое/
и взяв уг и у" на отрезке с <!у ^.d, представим разность J(y')~J(y")
в виде
-■/(/)-J(y") = /[/(*. У') —fix, y'r)]g(x)dx +
/(*. У')~fix, y")]g(x)dx. A0.20)
В прямоугольнике а^.х^.1, c^.y^d функция f(x, у), будучи
лепрерывной, равномерно непрерывна. Поэтому найдется такое

§ 1] СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 409
б = б(е)>0, что для любых / и у" из отрезка c<y<d, удовле-
удовлетворяющих неравенству |/ — у''\ <6(е), при всех х из отрезка
а^.х^.1 будет выполняться неравенство
I/O*./)-/(*• /ОК -щ.
Но тогда из равенства A0.20) получаем неравенство
-f-oo
+ / {I/O*. /)| -I/O*. y")\}\gW\dxj£
при I/ — /'| <6(e),
а это означает, что интеграл J(_y) является непрерывной функ-
функцией на отрезке с ^.у ^d.
Мы предоставляем читателю доказать теоремы 10.2' и 10.4' для
интегралов вида A0.17), а также переформулировать и доказать тео-
теоремы 10. Г, 10.2' и 10.4' для интегралов вида A0.16). Заметим
только, что в случае интегралов вида A0.16): 1) ограниченность
f(x, у), f (х, у) вытекает из непрерывности f(x, у), f'y(x, у) в рас-
рас^ ^ ^d 2)
y
сматриваемой области а^.х^Ь, с ^.у ^.d, 2) отпадает необходи-
необходимость разбиения интервала интегрирования по х, а ^.х ^.b, m части,
в отличие от того, как это делалось при доказательстве теоремы ЮЛГ
для интегралов вида A0.17).
Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру
широко применяются для вычисления интегралов, зависящих от пара-
параметра, а также для вычисления интегралов, не зависящих от пара-
Метра, после надлежащего введения параметра.
Пример. Вычислим интеграл
+ О0
J(y)= ( e--ajc^^-dx, где a?=const>0. — Л
. A0.21).
Полагая f(x, у) = sin ху-, g{x)=^e~ax, получим, что f(x,y)nf'(x, у)
непрерывны и ограничены в полуполосе 0-^ дс <-[-сад,
+ О0 J
-J-CO
интеграл / | () | d
+ 0 JCO
/ | с (х) | dx = j e~ax dx = —-

410 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
сходится. Поэтому можно применить обобщенную теорему 10.2'
для интеграла вида A0.17). Дифференцируя по параметру под
знаком интеграла, получим
+ 00
i= I e~ax cos xy dx.
о
Выполняя дважды в последнем интеграле интегрирование по частям
(по х), найдем
Так как, согласно A0.21), У@) = 0, то, интегрируя A0.22) в пре-
пределах от 0 до у, получим
у
J а2^у2 dy = arctg j-.
Можно поступать и несколько иначе. Интегрируя A0.22) по у,
будем иметь
y(y)=arctg-£~f С.
Так как, в силу A0.21), J@) = 0, то, полагая в равенстве, содер-
содержащем константу С, у = 0, получим, что С = 0. При обоих под-
подходах требуется, чтобы было известно значение вычисляемого инте-
интеграла при некотором частном значении параметра у.
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть функция u = f(x, у) определена при 0 -^ х < -j- oo,
и пусть при каждом значении у, c-^.y^.d, интеграл
J(y) = J f(x. y)dx A0.23)
а
сходится; тогда J(y) является функцией у, определенной на
отрезке [с, d]. В силу определения несобственного интеграла, имеем
+ СО
Г f(x,
^ lim f f(x, y)dx. A0.24)
l J
Аналогично обстоит дело с интегралами от неограниченных
•функций. Пусть, например, функция и = f(х, у) определена
лри a^.x<b, c^y^d, не ограничена при х->Ь — 0 и

§ 2]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
при каждом значении у £ [с, d] интеграл
ь ь-к
J*(y)= f/(*. y)dx= lim f f(x, y)dx
J A-»0+0 ■>
a
411
A0.25)
сходится. Тогда J*(у) является функцией у, определенной на
отрезке [с, d].
1. Понятие равномерной сходимости. В теории несобствен-
несобственных интегралов, зависящих от параметра, важную роль играет
понятие равномерной сходимости. При наличии равномерной
сходимости с несобственными интегралами, зависящими от параметра,
можно обращаться, вообще говоря, как с собственными (см. п. 3
настоящего параграфа). Остановимся сначала на определении равно-
равномерной сходимости для интеграла с бесконечным интервалом инте-
интегрирования.
Определение I. Интеграл A0.23) называется равно-
равномерно сходящимся по параметру у {относительно
параметра у) на отрезке c-^y^d, если для всякого е>0
найдется такое L = L(e), что неравенство
Л.У) —
y)dx
J f{x. y)dx
<e
A0.26)
будет выполняться при всех />Z.(e) сразу для всех у £ [с, d].
Аналогично определяется равномерная сходимость и для интеграла
от неограниченной функции.
Определение 2. Интеграл A0.25) называется равно-
равномерно сходящимся по параметру у на отрезке [с, d],
если для всякого е>0 найдется такое 6 = 6(е) > 0, что не-
неравенство
b-K
b-K
<e
A0.27)
будет выполняться при всех X, удовлетворяющих неравенству
0<Я<б(е), сразу для всех у £ [с, d].
-J-OO
Примеры. 1. Интеграл J(y)= I ye~~xy dx сходится при каж-
о
1, но Эта сходимость не является равно-
равнодом у на отрезке
мерной. Действительно,

412 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
при сколь угодно большом фиксированном / > 0 будет > -у при
всех значениях у, достаточно близких к нулю, и, следовательно,
при £=-75- не найдется такого £(е), чтобы при /> Z.(e) неравенство
f ye-xydx
выполнялось сразу для всех у из отрезка i
Если же отрезок 0 -^ у -^ 1 заменить отрезком 0<б-^у-^1,
-f оо
то на нем интеграл J(y)= I ye~xydx сходится уже равно-
о
+ СО
[ е р н о- Действительно, Г уе~ху dx = Г e~'dt= e~ly -^ e
-16
при
i; поэтому при 0<е<1 и />
неравенство
I ye xydx
<е
будет выполнено сразу при всех у из отрезка 0 < б <^ у -^ 1.
2. Интеграл У(у)= Г уху'1 dx сходится при каждом у из отрезка
Ь но эта сходимость не является равномерной.
Заметив, что подынтегральная функция становится неограниченной
г.
при х->0-\-0, оценим интеграл Г уху~1 dx = ху |0 = Ху. Как бы
ни было мало фиксированное h > 0, при у
этот интеграл
стремится к единице. Поэтому при £ = у не найдется такого
= 6(е), чтобы приО<А,<6(е) неравенство
f yxy-1 dx
о
выполнялось сразу для всех у из отрезка
Если же отрезок О-^у-^1 заменить отрезком 0<б0<!у<;1,
1
то на нем интеграл J(y) = Г уху'1 dx сходится уже равно-

2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 413
[ е р н о. Действительно, Г yxy~ldx = Ху -<; Хл° при 0 < X < 1 и
1
б0 <; у <; 1. Так что, ее ли 0 < е < 1 и к < е *>, то
при всех у из отрезка бо
2. Сведение несобственного интеграла, зависящего от пара-
параметра, к последовательности функций позволяет доказательство
основных теорем о таких интегралах свести к простой ссылке на
соответствующие теоремы о последовательностях функций.
Если интеграл
= f fix, y)dx A0.28)
сходится при каждом у из отрезка [с, d], то, какова бы ни была
последовательность значений l\, h, . ... Ik, • • • —>-f-oo при A—>-j-oo,
где lk^a при А=1, 2 последовательность функций
Fk(y)= J f(x, y)dx, k=\, 2, ..., c<Cy<d,
a
будет, очевидно, сходиться к J(y) на отрезке [с, d].
Пусть интеграл A0.28) сходится при каждом у из отрезка [с, d]\
тогда справедлива
Теорема 10.5. Для равномерной сходимости интеграла
J(y)= Г f(x, y)dy no параметру у на отрезке [с, d] необхо-
а
димо и достаточно, чтобы при любом выборе последователь-
последовательности значений 1г, 12, .-., 1^, ...—>-f-oo при k—^—j— ехэ после-
последовательность функций
'к
Fk(y)= §f(x, y)dx, k=\,2, A0.29)
сходилась к J(y) равномерно на отрезке y
Доказательство. Необходимость. Пусть интеграл A0.28)
сходится равномерно на отрезке с -^ у -^ d и пусть дано е > 0.
Тогда найдется такое Z-(e), что при всех />Z.(e) неравенство
I
Ну) — [fix, y)dx
<е
будет выполняться сразу для всех у £ [с, d].

414
ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. 10
Пусть / А —s—]— осэ при &->-)-°° (причем lk~^- а при А = 1, 2, .. .).
Тогда найдется такое N {г), что при всех k~^-N(z) будет lk > Z.(e),
а следовательно, при всех таких k, в силу выбора Z.(e), будет
выполняться неравенство
■/(У)-
сразу для всех у £ [с, d], что и означает равномерную на
отрезке сходимость последовательности A0-29) к интегралу A0.28).
Достаточность. Если всякая последовательность функций
вида A0.29), где 1к->-\-со при k->-\-co, сходится равномер-
равномерно к J(y) на отрезке с -< у <; d, то интеграл A0.28) будет равно-
равномерно сходящимся по параметру у на этом отрезке. Действи-
Действительно, если бы интеграл A0-28), сходящийся по условию при
каждом у £ [с, d], сходился неравномерно относительно у на этом
отрезке, то существовало бы такое е0 > 0, что при сколь угодно боль-
большом L нашлись бы такие / > L и у £ [с, d], для которых выполня-
выполнялось бы неравенство
y)dx
Тогда, придавая L значения Z.= 1, 2, 3, . .., k, ..,, мы получили бы
последовательности соответствующих значений 1к > k и ук £ [с, d],
для которых было бы
— f f(x>
it
т. е- построенная последовательность функций Fk(y)= I f(x, у) dx,
а
k=l, 2, ..., оказалась бы неравномерно сходящейся на отрезке
с -^у -< d, что противоречит условию. Теорема доказана.
Замечание 1. Если функция f(x, у) сохраняет знак, например
неотрицательна, то для равномерной сходимости интеграла
+ СО
J(y) = С f(x, y)dx по у на отрезке с <!у <;d достаточно, чтобы
а
при каком-либо одном выборе последовательности lv /2, ..., lk, ...
соответствующая последовательность функций A0-29) сходилась к J(y}
равномерно на отрезке с -^.у

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 415
I
Действительно, если f(x, у) неотрицательна, то I f(x,
а
'к
~^, Г f(x, y)dx при всех 1^-1 к. Поэтому
J(y) — f f(x>
к
J(y)~ J f(x< y)dx
<£ ПРИ всех l>lk
сразу для всех у £ [с, d], если только lk достаточно велико.
Замечание 2. Если функция / (л:, у) непрерывна при
d и сохраняет знак, например неотрица-
те ль на, а интеграл J (у) = I f(x, у) dx является непрерывной функ-
о
цией параметра у на отрезке [с, d], то этот интеграл сходится
равномерно на отрезке [с, d].
Действительно, взяв какую-либо возрастающую последовательность
lt, l2, .... lk, . . .—>~{-oo(lk^-a, k=l, 2,...), получим после-
последовательность непрерывных, в силу теоремы A0.1), функций
k=l, 2, 3 (А)
монотонно возрастающую, в силу неотрицательности f(x, у), и схо-
сходящуюся к непрерывной функции
+ ОО
J(y)= f f(x, y)dx (Б)
a
на отрезке с<СУ ^Cd. Но тогда по теореме Дини (см. п. 1 § 2 гл. 8)
последовательность (А) будет равномерно сходиться на отрезке [с, d]
к своему пределу (Б), а следовательно, в силу замечания 1, инте-
грал J(y)= Г f(x, y)dx будет равномерно сходящимся на этом
а
отрезке.
Замечание 3. Несобственный интеграл
ь ь-х
= Г/С*, y)dx= lim Г f(x, y)dx
J J-Ml-4-0 J

416 ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
можно аналогичным образом свести к последовательности функций
Fl(y) = j /(*> y)dx, где Я.А —> 0 -+- 0 при k->~\-oo. Подробности
<-f-oo, c<;y-^d, а интеграл 7(у) = Г f(x, y)dx
мы опускаем.
3. Свойства равномерно сходящихся интегралов, зависящих
от параметра.
Теорема 10.6. Если функция f(x, у) непрерывна в полу-
полосе
сходится равномерно по параметру у на отрезке
то на этом отрезке У(у) является непрерывной функцией.
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность
чисел 1{, 12, ..., lk, . ..—>-f-oo при A->-j-°° Qk ^а) и рассмо-
рассмотрим последовательность функций
k=l, 2 c<y<d.
a
По теореме 10.1 о непрерывной зависимости собственного интеграла
от параметра, все они непрерывны на отрезке с -^ у -^ d. По тео-
теореме 10.5 эта последовательность сходится равномерно на от-
+ ОО
резке c-^y-^d к интегралу У (у) = I f(x, у) dx, а следовательно /(у),
а
как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций, будет непрерывной функцией. Теорема доказана.
Теорема 10.7 (о дифференцировании несобственного
интеграла по параметру). Пусть f(x,y) и f'y (x, у) непре-
непрерывны при c^y^id, а<!д;<-т-00 и интеграл
+ оо
■/(У) = //(*, y)dx A0.28)
а
сходится на отрезке c^y-^d, а интеграл
+ ОО
ff'y(x,y)dx A0.30)
а
сходится равномерно на этом отрезке. Тогда J(y) является
дифференцируемой функцией у на [с, d], причем
+ 00 +ОО
^/ /<* y)dx f /;(*• V)dx. A0.31)

§ 21 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 417
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность
чисел /j, /2, , . ., 1к, . . . ->-j-°° при £->-}- оо Aк^- а) и рассмотрим
последовательность функций
*
Fk(y) = ff(x, y)dx, k=l, 2
+ OO
сходящуюся на отрезке [с, d] к интегралу J(y)= I f(x, y)dx.
a
По теореме 10.3 о дифференцировании собственного интеграла по
параметру имеем
F'k(y) = 4jff(x< y)dx=ffy(x,y)dx, k=\,2
a a
причем все Fk(y) непрерывны на [с, d\\ а в силу равномерной схо-
сходимости интеграла A0.30), последовательность функций Fk(y) схо-
сходится равномерно на отрезке [с, d] к интегралу A0.30). Итак,
на [с, d], Fk(y)=$ f fy(x, y)dx на [с, d],
a
причем Fk(y) непрерывны на [с, d]. Поэтому, в силу теоремы
о дифференцировании функциональной последовательности (см. п. 3
§ 2 гл. 8) J(y) будет дифференцируемой функцией на [с, d],
и всюду на этом отрезке будет
+ 00
y(x. y)dx, A0.31)
а
что и требовалось доказать.
Теорема 10.8 (об интегрировании несобственного инте-
интеграла по параметру). Если f {х, у) непрерывна при a<><-j-oo,
c<Cy^d, а интеграл
+ СО
= ff(x,y)dx A0.28)
сходится равномерно на отрезке с ^.у -<^dt то
d d -fco -fco d
fj(y)dy = fdy f f{x. y)dx = f dx f f(x, y)dy. A0.32)
с с а ас
Доказательство. Какова бы ни была последователь-
последовательность, чисел lv l2, ..., lk, ... ->-f-oo при &->-J-oo (lk ^- a),
27 Б. М. Будак, С, В. Фомин

418 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
соответствующая последовательность функций
Fb(y) = f fix. V)dx, k=l, 2
a
по теореме 10.5 о сведении равномерно сходящегося интеграла к по-
последовательности функций сходится к J(y) равномерно на [с, d].
По теореме 10.1 о непрерывности собственного интеграла, как функ-
функции параметра, все Fk(y), А= 1, 2, .... непрерывны на отрезке [с, d].
Следовательно, по теореме об интегрировании функциональных после-
d d
довательностей (см. п. 2 § 2 гл. 8) lim f/7ft(y)rfy = fj(y)dy.
Но по теореме об интегрировании собственного интеграла по пара-
параметру
d d ik ik d
J Fk(y)dy= fdy J f{x, y)dx = f dx ff(x, y)dy.
с с а ас
Следовательно, при любом выборе последовательности /р /2, ...
.... lk, ... ->-j-oo при A->-f-oo будет
ik d d
lim Г dx Г f(x. y)dy= (J(y)dy.
а с с
-j-co d
А это означает, что интеграл I dx I f(x, y)dy сходится и имеет
а с
место равенство
+оо d d -foo
J dx ff(x, y)dy= fdy J f(x, y)dx.
а с с а
Теорема доказана.
Следствие. Если f(x, у) непрерывна и сохраняет знак при
а ^.х <-j-oc>. с<!у<;</, например неотрицательна, то из не-
непрерывности интеграла
Лу) = {/(*• y)dx
а
на отрезке [с, d] следует справедливость равенства A0.32).
Доказательство. Действительно, в силу замечания 2 к тео-
реме 10.5, интеграл J(y)= I f(x, y)dx сходится равномерно на

§ 2| НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 419
отрезке с ^у ^.d, а следовательно, в силу теоремы 10.8, справед-
справедливо равенство A0.32).
Для знакопостоянной функции f(x, у) справедлива сле-
следующая
Теорема 10.9 (о перестановке двух несобственных инте~
грирований). Пусть функция / (х, у) непрерывна и сохраняет
знак при с-^у< + оо, а ^.х < -f-oo, а интегралы
+ со f (SO —' f
= ff(x. y)dx, J*(x)=ff(x, y)dy
а с
как функции параметров непрерывны соответственно при
с-^у<-|-оо и а -^.х <^~\- оо. Тогда, если хотя бы один из по-
повторных интегралов
-foo -foo -foo -foo
J dy J f(x, y)dx, J dx J f(x, y)dy
с а а с
сходится, то сходится и другой, и они равны между собой,
т. е.
-foo -foo -foo -foo
J dy J / (x, y) dx = J dx J / (я, у) dy.
с а а с
Доказательство. Будем вести доказательство для случая,
когда f(x, у) неотрицательна при с -^ у •< -f- оо, а-^д;<-г-оо.
Допустим, что сходится повторный интеграл
-f со -Ь°°
/= J dy J f(x, y)dx. A0.33)
с а
Тогда нужно доказать, что
I -foo -foo -foo
lim Г dx Г f(x, y)dy = J= f dy f f(x, y)dx. A0.34)
1-A4-CO J J J J
т а с с а
Пусть дано е > 0. Докажем, что при всех достаточно больших I
I -f оо
разность между переменной величиной I dx I f(x, y)dy и ее пред-
а с
-f оо оо
полагаемым пределом Г dy j f(x, у) dx будет по абсолютной ве-
а с
личине меньше е.
27*

420 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
Прежде чем оценивать эту разность, заметим, что, в силу след-
следствия теоремы 10.8,
I -f со -f-co I
J dx J f(x, у) dy = J dy J / (x, у) dx.
ас с а
Учитывая, что f(xt у) неотрицательна, можно записать
0 < J dy J /(*, y)dx- f dx J f(x, y)dy= J dy J /(*, y)dx =
с а а с с I
С, +co 4-co -fco
с l с
Cx 4-00 -foo -f-oo
= fdyf f(x, y)dx-\-f dyff(x,
I
o -f-oo
dy f f(x, y)dx. A0.35)
с { с, а
Оценим сначала второе слагаемое в правой части неравенства A0.35).
Поскольку повторный интеграл A0.33) сходится, то найдется такое с,,
что
-}-оо -f оо
f dy f f(x, y)dx<~. A0.36)
с, а
Фиксировав ci так, чтобы выполнялось неравенство A0.36), перей-
перейдем к оценке первого слагаемого в правой части неравенства A0.35).
4-со
По условию интеграл Г f(x, y)dx является непрерывной на отрезке
а
с -^ у < -J- оо функцией и, следовательно, поскольку f{x, у) неот-
неотрицательна, сходится равномерно на отрезке с-^у -^С\ (по за-
замечанию 2 к теореме 10.5). Поэтому можно найти такое Z-(e), что
+ ОО
всех />Z.(e) неравенство / f(x, у) dx < — будет вы-
выполняться сразу для всех у £(с, с^. Но тогда при всех / > Z.(e) будет
f dy f f{x, y)dx < ffi~^ =4- A0-37>
Сопоставляя A0.35), A0.36) и A0.37) заключаем, что
4-со -foo I -foo
0< J dy J f(x, y)dx — j dx J f(x, y)dy < e
с а а с
при всех />L(e), что и требовалось доказать.
при

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 421
Если на знак функции не наложено никаких ограничений, то имеет
место следующая
Теорема 10.9' (о перестановке двух несобственных
интегрирований). Пусть функция f(x, у) непрерывна при
а -^ х < ~\~ оо, c<^y<-j-oo, а интегралы
foo 4-°°
J /О, y)dy и Г/(*. УИ* A0.38)
сходятся равномерно: первый — на каждом конечном отрезке
а -^ х -^ А, а второй — на каждом конечном отрезке с -^ у -^ С.
Тогда если хотя бы один из повторных интегралов
f dx f \f(x, y)\dy, J dy j \f(x, y)\dx A0.39)
а с с а
сходится, то сходятся и равны между собой повторные инте-
интегралы
-1-:х> оо -f со -foo
J dx ff(x, y)dy, J dy J f(x, y)dx. A0.40)
а с с а
Доказательство. Пусть сходится, например, второй из инте-
интегралов A0.39). Тогда, в силу двукратно примененного признака срав-
сравнения— один раз для функций f(x, у) и \f(x, y)|, а другой раз для
+ ОО +=О
функций Г f{x, y)dx и Г \f(x, у) | dx—, второй из интегра-
а а
лов A0.40) также сходится.
Поэтому нужно доказать только, что
/ 4-оо -foo -foo
lim J dx j f(x, y)dy= J dy J f(x, y)dx. A0.41)
В силу равномерной сходимости интеграла I f(x, y)dy, при любом
с
конечном />а будет
-foo
fdxff(x,y)dy=fdyff(x, y)dx. A0.42)

422 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
I +O0
Оценим разность между переменной величиной I dx \ fix,y)dy
а с
+ OG +GO
и предполагаемым пределом Г dy [fix, y)dx в соотношении A0.41).
с а
Воспользовавшись равенством A0.42), мы получим при любом
С] > С, ЧТО
-t-OO +OO I +OO
J dy f fix, y)dx — f dx f fix,y)dy
а с
f-OO +CO +OO
f dy f fix, y)dx — f dy f fix, y)dx
с а с а
+00 +00 Ct +00
f dyf fix,y)dx = fdyf f(x.y)dx-+
c I
со -boo
J dyf fix, y)dx
c, I
+ 00 .+ 00
<
С I
C, +00
fix, y)dx
c I
( +00
+ / dyf \fix, y)\dx< fdyf fix, y)dx +
I
ю +00
dy Г \f{x, y)\dx. A0.43)
+00 -f-oo
Так как повторный интеграл I dy \\fix, y)\dx по условию схо-
c a
дится, то при любом е > 0 найдется такое сх > с, что будет
+ ОО -{-СО
f dy J \fix,y)\dx<^. A0.44)
с, а
Фиксировав с, > с, выбираем, как в доказательстве теоремы 10.9
/ +оо \
пользуясь равномерной сходимостью \f(x.y)dx\, такое Lie),
\ J I
чтобы при всех / > L{t) неравенство
j fix, y)dx
2 (с, - с)

2]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
выполнялось сразу для всех у £ [с, сх]. Тогда
С, +оо
f dyf f{x. y)dx
e (C| — с)
2 (Cj —- С)
423
A0.45)
при всех />£(е), а следовательно, в силу A0.43), A0.44) и A0.45)
при всех таких / будет
+ оо + оо /
J dy f fix, y)dx — fdx j fix, y)dy
с а а с
что и требовалось доказать.
Отметим, что аналогичные теоргмы имеют место также и для
зависящих от параметра несобственных интегралов от неограничен-
неограниченных функций.
4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегра-
интегралов, зависящих от параметра.
Критерий Коми. Для равномерной сходимости интеграла
+ ОО
Г fix, y)dx на отрезке [с, d] необходимо и достаточно,
а
чтобы для всякого е>0 существовало такое L = Lie)> что
при всех V и /">£(е) неравенство
г
с, у) dx
A0.46)
выполнялось бы сразу для всех у £ [с, d].
Доказательство. Это условие является необходимым. Дей-
Действительно, в случае равномерной сходимости при любом е > 0 можно
найти такое £ = £(е), что при всех /'>£(е) и всех /">£(е) нера-
неравенства
f fix, y)dx
i"
будут выполняться сразу для всех у £ [с, d]. Поэтому при всех /' и
/" > L (е) и сразу для всех у £ [с, d] будет выполняться неравенство
г
//(*. У)
dx
оо оо
f fix, y)dx — f fix, y)dx
i- i-
+oo oo
J fix, y)dx + j fix, y)dx

424 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
Это условие является достаточным. Действительно, если при
всех /' и /">£(е) неравенство A0.46) выполняется сразу для всех
+оо
у£[с, d\, то интеграл Г f{x, y)dx сходится при каждом у £ [с, d\
а
(см. п. 3 § 1 гл. 9), и, переходя к пределу в A0.46) при 1"-*-\-оо,
получим, что при всех /'>£(е) неравенство
f f{x, y)dx
выполняется сразу для всех у £ [с, d]. Теорема доказана.
Мажорантный достаточный признак равномерной схо-
сходимости (признак Вейерштрасса). Если \f(x, y)]*Cg(x) при
сю
а <; х < +оо, с <iy <Cd, причем интеграл I g(x)dx сходится,
а
+ СЮ +ОО
то интегралы. I /(x, y)dx и Г \f(x, y)\dx сходятся равно-
а а
мерно на отрезке c^Cy-^d.
Доказательство. Пусть дано произвольное е > 0. В силу
+ сю
сходимости интеграла | g(x)dx, найдется такое L = L(e), что при
а
всех /' и /" > L(e) будет выполняться неравенство
г
Г g (x) dx < е (/" > I');
v
но тогда при всех I' и I" > L (е) будут также выполняться и нера-
неравенства
г г г
J f(x, y)dx < J ) / (л:, у) I rfx < J g-(x) dx < e (/" > /')
, v t,
сразу для всех у £ [с, d]. Следовательно, в силу критерия Коши,
+ ОО +ОО
интегралы Г f(x, y)dx и Г \f(x,y)\dx сходятся равномерно
а а
на отрезке с ^С у <^d, что и требовалось доказать.
Для несобственных интегралов от неограниченных функций
с конечными пределами интегрирования признаки равномерной сходи-

§ 2]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
425
Мости формулируются и доказываются аналогичным образом. Сформу-
Сформулируем для примера
Критерий Коша (для равномерно сходящегося инте-
интеграла)- Для равномерной сходимости интеграла
Ь-к
ff(x, y)dx= lim f f(x,y)dx,
A0.47)
no параметру у на отрезке c^.y^.d необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждого е>0 существовало такое 6 = 6(е),
Что при всех X' и %" из интервала 0<Х<6(е) неравенство
b-k"
Г f(x, y)
dx
b-k'
A0.48)
выполнялось сразу для всех у£[с, d].
1
Примеры. 1. Ясно что интеграл J(p)= Г xp~l dx cxo-
0
Дится при р>0 и расходится при р < 0. Пусть р0 > 0;
при 0 < х < 1 неравенство л^-1 <^ хр'-1 будет выполняться при.
всех / ^ Ро- Поэтому в мажорантном признаке можно взять
/(xi p)=xP-1, g(х) = хр»-1 , и, в силу сходимости интеграла
1 1 ,
1
/ g(x)dx= I
Ра
интеграл J(p)= I f(x, p)dx= j x11'1 dx будет сходиться равно-
o 6
Мерно относительно параметра р на отрезке 0 < р0 <J p < -\- оо,
Сколь бы мало ни было р0 > 0.
Посмотрим, будет ли этот интеграл сходиться равномерно на
отрезке 0 < р < -\- оо. Для этого изучим поведение интеграла
J
при р—>0-)-0. Имеем
/\р
хр~х dx —
-)-оо при
о о
р > 0 -4~ 0 и любом сколь угодно малом фиксированном X > 0. Следо-
вательН0- ПРИ любом е > 0 неравенство
fxP-t
dx
<е

426 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ От ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
не может быть выполнено сразу для всех р из интервала О < р < +
как бы мало ни было X > О, т. е. на интервале 0 < р < -\- со инте-
интеграл J(p)= I xp~l dx сходится неравномерно.
о
+оо
2. Интеграл У(а)= Г e~axl dx сходится равномерно при
о
О < а0 <^ а < -|-со, как бы мало ни было а0 > 0, в силу мажорант-
мажорантного признака, если положить f (x, a) = e~ax\ g(x) = е~а<>х\ так
как \f(x, a)\=e-axl^g(x) = e-a°xl при 0 < а0 <а < -j-oo,
О^л:<+со, причем интеграл I g(x)dx^ I e~aoX'dx сходится.
о о
Докажем, что если устранить число Oq > 0, не допускающее
стремления а к нулю, и рассмотреть полный интервал значений а,
+оо
при которых интеграл У(а)= Г е~ах'dx сходится, т. е. интервал
о
0<а<-(-со, то на нем этот интеграл не будет сходит ся равно-
+ о
мерно. Для этого прежде всего заметим, что Г е~'' dt есть некото-
о
рая положительная константа, как интеграл от неотрицательной
непрерывной функции, не равной тождественно нулю.
+ ОО
Оценим теперь остаток интеграла I е~ах* dx при как угодно
i _
большом фиксированном / и 0<а<-}-оо. Полагая / = х \^а,
d^=)/adje, получим
ye~ax*dx — —yr=. \ e~'* dt —>-)-оо при а-
V о, *
так как
lim Г e~''dt=f e~''dt= const > 0.
a->0+0 J J
IVa 0
Следовательно, при любом / > 0 и малом фиксированном е нера-
неравенство
f e-a*'dx = ~ ( е-''dt <е
' iVa

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 427
не может выполняться сразу для всех а из интервала 0 < а < -f- oo,
+ ОО
т. е. интеграл У(а)= Г е~ах'dx на всем интервале 0<а<-|-оо
о
сходится неравномерно.
+оо
3. Докажем, что интеграл У(а) = / е~ах s " dx при 0<[а < -j-oo
о
и фиксированном $фО сходится равномерно относительно па-
+ 0О
раметра а. Оценим для этого остаток интеграла / е~ах-—-—dx,
i
полагая и= —, dv = e~axsin$xdx и интегрируя по частям, полу-
чим
+ ии
/-
-/
е~ах sin
х=1
где ф — вспомогательный угол, определяемый соотношениями
coscp =
L
Так как
1
при р=/=0 у всех дс^-0 и всех а^-0, то, следовательно,
+ оо
1 Г dx __
при
сразу для всех а, 0<^а<-(-оо, что и означает равномерную схо-
сходимость интеграла. ,
Если интеграл, зависящий от параметра у на отрезке [с, d],
является несобственным по нескольким причинам, то интервал ин-
интегрирования разбиваем на конечное число интервалов таким обра-
образом, чтобы (если это возможно) каждый из отвечающих им интег-
интегралов был несобственным по какой-либо одной причине: либо из-за
наличия особенности у подынтегральной функции, либо из-за беско-
бесконечности интервала интегрирования. Первоначальный интеграл на-
называется равномерно сходящимся относительно параметра у на от-
отрезке с <^.у ^.d тогда и только тогда, когда каждый из частичных
интегралов, полученных при таком разбиении, сходится равномерно
на этом отрезке.

428 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
б. Примеры вычисления несобственных интегралов с помощью
дифференцирования и интегрирования по параметру. Интегралы
в этих примерах служат не только для демонстрации методов, но
почти все представляют также самостоятельный интерес и находят
применения в различных разделах математики и физики.
1. Зная, что
1
х2т , л 1
И у
14- х2п 2п 2т+ 1
sin ■ ~
2л "
при т < л, где т. и л — натуральные числа (см. пример 3 § 3 гл. 9),
докажем, пользуясь теоремой 10.6 о непрерывной зависимости ин-
интеграла от параметра, что
о
при 0<р< 1. Сделав замену переменного интегрирования, получим
t П dt= 2* ■. (Б)
° sin -^Г-Я
Заметим, что функция / {t, р) является непрерывной при О < t < -|-со,
Г tp~x
0<р<1, и что интеграл / . . , dt сходится равномерно отно-
0
сительно р на любом отрезке вида 0 < Pi^.p <С Рч < 1- Послед-
+ ОО 1 +ОО
нее легко установить, разбив интеграл I на два: I и , и при-
0 0 1
менив к ним мажорантный признак с мажорирующими функциями
(Pi-1 (Pi~l \ f tp~l
. . и соответственно I. Следовательно, интеграл / ■. . , dt
l-f-t l-\-t / i/ I Т f
/ о
является непрерывной функцией параметра р при 0<р<1. Так
как любое значение р из этого интервала может быть получено как
2т 4-Х
предел последовательности чисел вида —„ ' , где т < л, то, пере-
переходя к пределу в (Б), получим требуемое равенство (А). Равенство (А)
используется в теории эйлеровых интегралов (см. § 4 настоящей
главы).

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 429
-boo
2. Вычислим интеграл / ■ —dx. Непосредственно его нельзя
г/ X
О
дифференцировать по параметру р, но мы знаем (см. п.2 § 1), что
-f оо
/sin Rx
е-ах . 1-— rf jc, отличающийся отданного
х
о
«множителем сходимости» е~ах, а > 0, можно вычислить, применяя
дифференцирование по параметру и это дает (см. там же),
+ ОО
С „, sin Rx , , В
/ е~ах — dx = arctg —.
,/ х ь а
о
Было доказано (пример 3 п. 4), что последний интеграл схо-
сходится равномерно по а при фиксированном р и 0^a<-j-co, сле-
следовательно, он является непрерывной функцией параметра а при
О <; a < +co. Поэтому
+ ОО +ОО
/sin Rx J ,. С „„ sin Rx ,
ii_dje= lim / e~ax — dx =
x a->0+0'/ x
= lim arctg — =
a->0+0
В частности,
\ . Y "Ри P>0-
О при р=0, A0.49)
— 4 при р<0.
f ^Lax = «. (Ю.50)
о
Последний интеграл используется в теории рядов и интегралов Фурье.
3. Вычислим интеграл Пуассона (см. также конец гл. 9)
+ ОО
J=j e~x'dx. A0.51)
о
Его сходимость была установлена ранее (см. п. 4 § 1 гл. 9). Пе
лагая x=ut, rfje = и dt, получим
J=f e-uH'udt.

430 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
Умножая обе части последнего равенства на е~и', найдем
e-ll+Vu*udt. A0.52)
Интегрирование последнего равенства по и дает
J2 = JJ e~du = J du j e-v+W и dt. A0.53)
0 0 9
Подынтегральная функция f(t, u) = £-A+'!>«!и неотрицательна и не-
непрерывна при 0<[^<+оо, 0<;«<-|-со. Внутренний интеграл
в A0.53) является, согласно A0.52), непрерывной функцией и при
0<С«<-|-оо. Изменив формально порядок интегрирования, получим
повторный интеграл
J dtj е-A+'2)«2и du, A0.54)
о о
внутренний интеграл которого
j e + и и — — -j
= tt±w <10-55)
u=o z i-rtd
является непрерывной функцией t при 0^^<-)-оо. Следовательно,
по теореме 10.9 о перестановке двух несобственных интегрирований
в случае знакопостоянной подынтегральной функции интеграл A0.54)
также будет сходящимся и будет равен интегралу A0.53). Таким
образом, в силу A0.55),
0
Следовательно,
f dt f e-V+^^udu — — f dt — "
./ ./ e uau 2 J 1+t* — 4
0 0
-l-oo
о
Этот интеграл имеет различные применения, в частности, в теории
теплопроводности, в теории вероятностей и статистической физике.
4. Вычислим интеграл
где a = const>0, A0.57)

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 431
имеющий применение в теории теплопроводности и в статистической
физике. Его сходимость следует, например, из сходимости интеграла
+ ОО
Г е~ах'dx. Дифференцируя формально по р, получим равенство
+ оо
~ = f e-ax'(— x)smfrxdx. A0.58)
о
Справедливость равенства A0.58) нетрудно обосновать. В самом деле:
1) е~ах* cospx и е~ах' xs'mfix непрерывны при —co<p<-f-co,
0 <С х < ~\~ со> и 2) интеграл A0.57) сходится при — со < р < -(- со,
а интеграл A0.58) сходится равномерно относительно р при —со <
< р < -\- со, в силу мажорантного признака с мажорирующей функ-
функцией g(x) = e-axl; таким образом, равенство A0.58) действительно
имеет место по теореме о дифференцировании несобственного инте-
интеграла по параметру. Интегрируя в A0.58) по частям (по х), получим
dp ~в 2а х=0 2а j e C0S РлГ Х ~ ~ 2а
Разделяя переменные в полученном дифференциальном уравнении
для У(Р), найдем
dJ
Интегрируя A0.59), получим
У(Р)=Се 4а. A0.60)
Найдем теперь константу С. Согласно A0.56) имеем
= f e-°*dx = -Lf е-"' dz =\Y~^ {z = xVa). A0.61)
Следовательно, в силу A0.60) и A0.61),
Подставляя этот результат в A0.60), будем иметь
У(Р)= f e-ax'cosfixdx=^^-]/r—e~^. A0.62)

432 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (ГЛ. in
+ СО -f-CO
5. Вычислим интегралы Френеля Г s\n(x2)dx и Г cos (х2) dx,
о о
находящие применение в оптике. Полагая л:2 = ^, получим
-Ьсо -boo -$-со -t-co
f sinx2dx^±- f *£±dt, f cosx2dx=± f ^J-dt.
■I 2.1 Yt J 2.J ft
1 2 Г
Вычислим, например, первый из них. Заметив, что —= = -— / e~tu2 da
(см. 10-61), получим
+ СО +СО +СО
Если бы в интеграле A0-63) было легко обосновать изменение
порядка интегрирования, то вычисления было бы легко довести до
конца. Однако непосредственно это делается весьма громоздко, по-
поэтому, как в примере 1. мы введем множитель сходимости e~kt, где
k = const > 0, т. е.
+СО +СО
f e-u^A_dt=J^ f dt f e-<-k + u2)'sinudu =
■> Yt Y*i J
= 2 f daf e-{k+a2Vsmtdt=^ f ^ . П0.64)
В этом случае перестановка двух интегрирований легко обосновы-
+ ОО
вается с помощью теоремы 10.9. Так как интеграл / e~kt -_ dt
сходится равномерно при 0^.k < + oo и его подынтегральная функ-
функция непрерывна при 0^^<-(-со' 0<^<-|-со, то он является
непрерывной функцией k на отрезке 0 <; k < -j- со. Поэтому, пере-
переходя к пределу при £->0 + 0, получим
Г sin t , 2 /' du
о ' о
Разлагая дробь на простейшие и выполняя интегрирование, находим
I sin х2 dx = ~ \f ~. A0.65)

§ 2] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Аналогичным путем доказывается, что
-f- <JJ
./■
6. Рассмотрим, наконец, интеграл Фруллани
/* flbx)
433
A0.66)
A0>67)
Остановимся на двух основных случаях:
1) Если /' (х) непрерывна и интегрируема на полупрямой О^дс <
< -}-со, а / (х) стремится к определенному конечному пределу /(+ со)
при je—>-j-oo, т. е.
Jr<
/@).
то интеграл
j f(ux)dx
A0.68)
сходится равномерно по параметру и на отрезке 0 <а <! и
Действительно, так как f (х) стремится к конечному пределу /(+оо)
при jc-> + co, то для f(x) выполнен критерий Коши, т. е. для вся-
всякого е>0 найдется такое N(e), что при всех х' и х" ^> N {г) будет
А"
\f{x') — f{x")\ <e. Но тогда
fr
(ux)dx
А" и
тМ {А"а) ~
А'и
e при всех А' и
А"~> — Ы{г) сразу для всех и из отрезка а^и<!6. Поэтому инте-
интеграл A0.67) можно вычислить, интегрируя A0.68) по параметру
в пределах от а до Ъ, т. е.
-foo -f°° b b -f-co
f /(^)-/(^) dx= f dx ff'(ux)du=fduff'(ux)dx =
b
= f
|. A0.69)
2) Если не существует конечный предел / (х) при х—»-}-оо, но
+ СО
сходится интеграл / ^ rfx, Л>0, и существует производная/'@),
28 Б. М. Будак, С. В. Фомин

434
то
Действительно,
as
0
bs
0
Следовательно,
Г f(bx)-f(ax)
J x
0
ИНТЕГРАЛЫ,
+ ОО
Г /<*■*)-
.1 х
0
) _ / @) ^
) —/@)
bs
as
ЗАВИСЯЩИЕ
f(ax) .
if У
s
0
0
ОТ ПАРАМЕТРА
bs
J t
as
bs
(ГЛ. 10
A0.70)
f
as
Ьткуда, переходя к пределу при s->-j~°°> получим A0.70).
Равенства Фруллани A0-69) и A0.70) можно применять к вычи-
вычислению различных конкретных интегралов. Так, с помощью A0.69).
находим (всюду 0 < а < Ь)
/* е-ъх_е-ах а р arctg Ьх — arctg ах я . Ь
/ rfx=ln-r-, / s s rfx^-o-ln —,
./ x b J x 2 a
о о
а с помощью A0.70) находим
/' sin Ьх—sin ax , л Г cos bx—cos ax . t a
J x dx = 0' J x dx = lnT.
о о
§ 3. Эйлеровы интегралы
Эйлеровы интегралы
+ СО
Г(р)^ Г xp~le~xdx — гамма-функция от р
о
и
1
В(р, д)= Г дг'' A — xf'^dx — бета-функция от р, q

§ 3] ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 435
играют важную роль в различных разделах математики и математи-
математической физики. Поскольку бета-функция может быть выражена через
гамма-функции (см. соотношение A0.81)), то мы в первую очередь
остановимся на исследовании свойств гамма-функции.
1. Свойства гамма-функции.
+ ОО
1) Интеграл Г (р) = Г xp~le~x dx сходится при 0<р < -\- оо
' о
и расходится при р -^0 (см. конец § 2 гл. 9). При р < 1 он
является несобственным не только потому, что интервал интегриро-
интегрирования бесконечен, но и потому, что при р < 1 подынтегральная функ-
функция стремится к бесконечности при х—>0-(-0.
+ СО
Докажем, что интеграл Г (р) = I xp~le~x dx с ходится равно-
о
мерно по параметру р на любом конечном отрезке 0 < р0 <J p <^
^ Ро < -\- оо. Как и в случае исследования этого интеграла на про-
простую сходимость, разобьем интервал интегрирования [0, -|- оо) на два:
0<!х<;1 и 1 <; х < -|- оо, и займемся исследованием на равномер-
ную сходимость интегралов Г xp~le~x dx и Г xp~le~x dx. Интегр
ал
i
I xp~le~xdx сходится равномерно при 0<.р0*СХ<.-\-оо в СИЛУ
о
мажорантного признака, так как е~ххр~1 ^.хр"~ при 0 < х < 1 и
1
> р0, а интеграл I хр"~' dx при р0 > 0 сходится. Остаток
о
к к к
f хр-1 е~х dx > f xp-le~l dx = e~l f x"'1 dx = Ц- -* +
при р—>0-)-0 и A, —const >0. Следовательно, на интервале
О < р < -|- оо интеграл I xp~le~x dx сходится неравномерно.
о
+ оо
Интеграл I xp~1e~x dx сходится равномерно при —оо < р <
1
<Р0<-|-оо, где Ро—произвольное фиксированное числа, в силу
мажорантного признака, так как
х"~1е~х<Схр*~1е~х при 1 < х < -|-оо, — оо < р < Ро.
28*

436 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
+ оо
а интеграл I х " е~х dx сходится. На интервале —оо < р < -|- сх>
этот интеграл равномерно сходиться не будет. Чтобы это доказать,
-f СО
исследуем остаток I хр~хе~х dx при />—> + оо и любом фиксиро-
i
ванном /> 1. Каково бы ни было натуральное N, при р —>-j-oo,
начиная с некоторого значения р, будет р — 1 > N, и мы будем
иметь неравенство
\
f x"-1e-xdx> f x"e~xdx = -e-
=[lN + NlN~l + N(N-1) lN~2 -f- ... + N\] e~l -> + с» при W-H-oo.
Следовательно,
+ CO
, С n-\ -К
lim Iх e " dx =-\-co
при любом фиксированном / > 0.
Итак, интеграл Г e'xxp~l dx сходится равномерно на интервале
о
0 < Ро^С Р < +°°. где р0 — произвольное положительное число,
а интеграл I xp~'e~x dx сходится равномерно на интервале —с» <;
< р <; Ро < -\- с», где Ро — произвольное конечное число. Поэтому
оба они одновременно сходятся равномерно на любом отрезке
вида 0<р0<р<;Р0, а следовательно, и интеграл Г (р) =
= Г xp~le~xdx сходится равномерно относительно р на каждом
о
таком отрезке.
2) Так как подынтегральная функция f(x, p) = x"~ е~х непре-
непрерывна при 0<х<-(-оо> 0<Р< + °°> а сходимость
I +СО
lim f хр~ге~х dx= Г xp~le~x dx
является равномерной по р на каждом конечном отрезке 0 < р0 ^ Р ^С
<;P0<-j-c»> т0 Г(р)=| xp~'e~Jrrfx является непрерывной

§ 3] ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 437
функцией на каждом таком отрезке, т. е. непрерывной функцией при
всех р, удовлетворяющих неравенству 0 < р < + оо.
-(-СО
3) Дифференцируя Г(р)= Г xp~le~x dx no p под знаком инте-
о
грала, получим
Т'(р)= f x"'1 {lnx)e~xdx. A0.71)
о
Равенство A0.71) справедливо, так как интеграл A0.71) сходится
равномерно на каждом конечном отрезке 0<p0<^p^.P0<;-J-oo
и частная производная f'p(x, p)= x?-1 (In х) е~х непрерывна при
0 < х < -(- оо, 0 < р < + оо. Равномерная сходимость интеграла
A0.71) устанавливается применением мажорантного признака к инте-
интегралам:
1 со
f х"-1 (lnx)e~xdx и Г xp~l (\nx)e~xdx
о о
с мажорирующими функциями л:Р|>~' | In # | и хРо~' 11п х\ е~х соответ-
соответственно.
Аналогично устанавливаются существование производной любого
порядка k= 1, 2, 3, ... и справедливость равенства
+ 00
l<k\p)=j xp~l {\nxfe-xdx, k=\, 2,... A0.72)
о
4) Интегрируя по частям, находим
pT(p) = pj xP-le-xdx = xfe-x\^0 + j xPe~x dx,
о о
Г(р+1) = рГ(р). A0.73)
Применяя повторно рекуррентную формулу A0.73), можно свести
вычисление Г(а-\-п), где 0<а<;1, а л — произвольное натураль-
натуральное число, к вычислению Г (а):
) = (а-|-л— \){а + п— 2) . . . {а-\- 1)аГ(а). A0.74)
Если положить A=1 и учесть, что
+ ОО
Г0)= J e~xdx=l, A0.75)
о
то формула A0.74) даст
Г(л+1) = л(л— 1).. . 2- 1 = л! A0.76)

438 ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
5) Вычислим
[ГЛ. 10
-fOO J
l\= f x~2e~xdx,
^полагая x=t2. Получим
A0.77)
6) График функции Г(р) имеет вид, изображенный на рис. 10.1,
причем Г(р)->4-°° при р->0-\-0 и при р—>-\-оо. Значения Г(р)
три натуральных значениях р находятся по формулам A0.83) и A0.84).
Так как ГA) = ГB)=1. то по
теореме Ролля Г' (р) обращается
в нуль по крайней мере в одкой
точке интервала Q < р < 1; пусть
это будет р0. Так как Г" (р) =
+ СО
— Г хр~1 (In xJ e~xdx>0 при всех
о
р, 0 < р<-|-оо, то Г' (р) монотон-
монотонно возрастет при 0 < р < -J- со
и не может иметь приО < р < -{-оо
корней, отличных от р0; кроме
того, в силу монотонного возра-
возрастания, Г'(р)<0при р < Ро и
Г'(/>)>0 при р~>ро- Значит, Г(р)
при р=Ро достигает минимума.
Приведем численные значения:
Ро& 1,4616, т1пГ(р) =
= Г (ро) = 0.8856.
Так как при р^-2 гамма-функцкя. возрастает, то при р>л-)-1,
где л> 1, будет Г(р) > Г(л-{- 1) = «1 Следовательно, Г(р)->-(-оо
при р->-)-схэ. Далее,
itpl
5
(f
3
г
i
0
х
\
1
■^^_
I
Зис.
у
/
/
3
Ю.1.
t
/
/
/
—,
р
яри р > 0. Следовательно, Г(р) = — + —>-|-оо при р->0, так
как Г(р-|-1)->ГA)= 1 при р->0-|-0.
2. Свойства бета-фуикции.
1
1) Интеграл В (р, <?)= I ^p~' A—х)ч~1 dx сходится при р>0
о
я ?>0.

§ 3] ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 439'
2) С помощью замены переменной интегрирования х=1—/,
получаем, что
li(p, q) = В (д, р). A0.78),
Следовательно, бета-функция симметрична относительно р и q.
3) Если q > J, то
1
1
В (p. q) = J A—.
6
Р
о
l l
1=± fxp(l-xf-2dx =
p
Следовательно,
^, q—l) при q>l. A0-79).
Если р> 1, то, в силу симметрии бета-функции, используя A0.79),.
можно записать
71 B(P—l'rt прир>1. A0.79')-
1
4) Выполнив в интеграле В(р, ^)^ \ хр~1 A — x)e~' rfx замену
о
переменной интегрирования х= . , , получим для бета-функции,
новое аналитическое представление:
Iz. A0.80)
5) Связь между функциями В и Г. Докажем, что при р > 0 и q > 0
Сделав в интеграле Г(р) = I xi}~le~xdx замену переменной х = tz,.
4 о
им
JP- = J zP-4-^dz. A0.82>
о
> 0, dx = tdz, получим

440 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
Заменив в A0.82) t на \-\-t и р на р-\-д, получим
= f гР+о-^-и+иыг. A0.83)
Умножим обе части последнего равенства на tp ' и проинтегрируем
по t от 0 до -f- oo:
-boo -foo -foo
о v ' о о
В силу A0-80), последнее равенство перепишется так:
В(р, q) = f dtf z!'+q-xtp-le-^t)zdz. A0.84)
о о
В интеграле A0.34) при р > 1 и <? > 1 допустима перестановка двух
интегрирований, в силу теоремы 10.9 о перестановке двух несоб-
несобственных интегрирований в случае знакопостоянной подынтегральной
■функции. Действительно,
а) функция
f(z, 0 = «'+«-If-V(I+')*>0
и заведомо непрерывна при 0^2<-}-оо, 0^^<-)-оо;
б) если р > 1 и ?>1, то интеграл A0.84) сходится;
в) интеграл
является непрерывной функцией f при 0 -^ t < -f- oo,' а интеграл
J ^-'^«-^-O+o* л = г (p)
является непрерывной функцией z при 0-^2< + оо. Сле-
Следовательно, в силу упомянутой теоремы, повторный интеграл
4-оо -Ьсо
Г dz Г zp+4~lt''~le~^+t)z dt также сходится и равен интегралу A0.84).
о о

§ 3]
Таким образом,
T(p-\-q)B(p, q)
Г + l
0
0
e~zdz
ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
^
dz
+ ОО
/
0
J *'+*~I/
0
-..-..♦«.<,_
J ~ C zP
0
+ oo
441
dz =
= T(p)f
Следовательно, равенство A0.81) имеет место при р>1 и q^> 1.
Чтобы доказать его справедливость при р > 0 и g > 0, приме-
применим к этому равенству, написанному для р> 1 и ?>1, рекуррент-
рекуррентные формулы A0.79), {Ю-Ш) к левой части и A0-73) к правой
части.
6) Имеет место равенство
Н(п 1—о)= П при 0<о<1. A0.85)
Действительно, подставляя в формулу A0.80) q=l—р, получим
В(р, 1— ф= f ~—dz, 0<р<1. A0.86)
0
Но в п. 5 § 2 (пример 1) было доказано, что интеграл A0.86)
равен -£р£— при 0< р< 1, откуда и следует справедливость соот-
соотношения A0.85). Воспользовавшись формулой A0.81), из A0.85)
получим так называемую формулу д о п о i н е и к я:
~Р) = -^~ ПРИ 0 </><!. A0.87)
Многие интегралы можно вычислять, сводя их к эйлеровым инте-
интегралам.
Примеры.
1 Г
Г B) . — 4 \ 4 \ 4 ) — 4 . л
\ > \ i \ / sin -т-
4

442 ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 19
я
2. Вычислим интеграл •/=/ sin2 xcos2 xdx. Полагая sin2x = z,
о
получим sinx = 22, cosx = (l—zJ, dz = 2sin xcos xdx. Следо-
Следовательно, учитывая предыдущий пример, будем иметь
3. Вычислим интеграл
Т
У= f sin^'xcos^'xdx, р >0, <7>0.
о
Полагая sin2x = 2, получим
я
Т 1
f sin"-1 х cos"-1 xdx = ±r f z^~\l—
UJ Г [i
В частности, при q — 1 найдем
С . р-1 Yn г (т)
I sin xdx = J—y--
о
§ 4. Кратные собственные и несобственные интегралы,
зависящие от параметров
Для краткости мы будем рассматривать только тройные инте-
интегралы, зависящие от параметров; однако все рассуждения будут
иметь силу и для интегралов любой кратности, кроме тех случаев,
которые будут оговорены особо.
Пусть функция /(х, у, z, а, р, у) определена при (х, у, z)£Q
и (а, р, ■у)€^*« гДе ^ и ^* — области пространств (х, у, z) и
(а, р, у) соответственно, и пусть интеграл
у (а, р, v)= Г Г {fix, у, z, а, р, y)dxdydz A0.88)

§ 4] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 44$
существует в собственном или несобственном смысле при любых
(а, р, у) £ Q*. Тогда он является функцией параметров (а, р, у),.
определенной в области Q*.
Справедливы следующие предложения:
1) Если f(x, у, z, a, р, Y) непрерывна, как функция
(х, у, z, a, p, y) в области ЙХ^'> причем Q. и Q* — замкнутые
ограниченные области *), то, как и в одномерном случае,
У(а, р, y) будет непрерывной функцией параметров а, р, y
в Q*.
2) Если, кроме того, f'a(x, у, z, а, р, у) также непрерывна
в ОХЙ*. то
Z' а> Р> 4)dxdy>dz- A0.69c
Аналогично обстоит дело с дифференцированием по р и Y-
3) Наконец, при условиях предложения 1) допустимо инте-
интегрирование интеграла по параметру.
Предложения 1)—3) доказываются так же, как и в одномерном?
случае. Они легко распространяются на интегралы
Г Г Г
J(a, p, Y) = ////(*. У. 2, а, р, y)g(x, у, z)dxdydz, A0.90>
а
где f{x, у, z, а, р, y) удовлетворяют прежним требованиям, а
IS" С*. У> г) I ^^ dy dz < А' =; const < -\- оо,
а
причем интеграл Г Г I \g(x, у, z)\dxdy dz может быть собствен-
а
ным или несобственным.
Пример. Потенциал гравитационного поля, создаваемого телом Q1
с плотностью массы р(Л1)==р(х. у, z) в точке Q(x0, y0, z0), лежа-
лежащей вне тела, равен
U(Q) = U (х0. У0, zo)= f f f SSD. dx dy dz, A0.91).
*) Областью 2Xa* называется множество всех точек (х, у, z, а, р, -у)
шестимерного евклидова пространства, получающихся, когда точка (х, у, я>
пробегает U и, независимо от нее, точка (а, р, -у) пробегает п*.

444
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. 10
где rPQ=Y(x — хоJ-\-(у—УоJ + B — znf—расстояние между
точками Р(х, у, z) и Q(x0, у0, z0). Функция f(x, у, z, х0, у0, zQ) =
= , если точка Q лежит на положительном расстоянии от
rPQ
тела Q, непрерывна и имеет непрерывные производные т-^-, -г^-, -J-.
охй оу0 ог о
Плотность р(х, у, z) можно считать абсолютно интегрируемой функ-
дией в Q. Дифференцируя A0.91) по х0, у0 и z0 по правилу Лейб-
Лейбница (см. соотношение A0.89)), получим проекции на оси координат
силы притяжения материальной точки Q(x0, yQ, z0) единичной массы
телом Q:
P
^~= f f ГЦР-<У-
дУо J q rPQ
dydz, \ (Ю.92)
rPQ
Если точка Q(x0, yQ, zQ) лежит внутри тела Q, то гРд=0 при
совпадении Р с Q. Следовательно, Q является особой точкой подын-
подынтегральной функции интегралов A0.91) и A0.92) и эти интегралы
становятся несобственными, даже если р(Р) = р(х, у, z) является
ограниченной интегрируемой функцией в О. Характерной чертой
этих несобственных интегралов, зависящих от параметров (х0, у0, z0),
является то, что координаты особой точки подынтегральной функции
зависят от этих параметров, а именно, равны им. Мы ограничимся
рассмотрением несобственных кратных интегралов, зависящих от
параметров, вида
где
J(Q)
Р(х, у,
. Q)f{P)dxdydz.
Q(x0, y0,
A0.93)
Функция F(P, Q) непрерывна при Р ФО. и становится неограничен-
неограниченной при P-4>Q, a f (P) — ограниченная интегрируемая в О функция.
(Интегралы A0.91) и A0.92) являются частными случаями интеграла
вида A0.93).)
Определение. Интеграл A0.93) называется равномерно
сходящимся в точке Q(x0, yo,-zo), если для всякого е>0

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
существует такое 6 = 6(е), что неравенство
э. Q')f{P)dxdydz <e
445
A0.94)
выполняется для любой об ласта О6(е) диаметра <6(е), содер-
содержащей в себе точку Q, и для любой точки Q', расстояние
которой от Q меньше 6(е).
Достаточный признак равномерной сходимости. Инте-
Интеграл A0.93) сходится равномерно в точке' Q(x0, y0, zo)£Q,
если существуют такая окрестность точки Q(x0, y0, z0) и
такие константы С и К, что при всех Р и Q' из этой
окрестности выполняется неравенство
. еОК-
rPQ'
где 1= const < 3, C = const <~f-oo. A0.95)
Доказательство. По условию | / (Р) | < К = const < оо
всюду в Q. Следовательно, если шар радиуса 6(е) с центром в Q,
i^6(e)(Q). лежит в упомянутой окрест-
окрестности точки Q, то для любой об-
области 26(е) диаметра <6(е), содержа-
содержащей в себе Q и для любой точки
будет
j j f' F(P, Q')f(P)dxdydz
f f f-
<CK
rPQ'
A0.96)
Рис. 10.2.
где ZZ/26(e)(Q')—шаР радиуса 26(e) с центром в Q' (рис. 10.2).
Переходя к сферическим координатам с полюсом в точке Q',
получим
2л в 26 (е)
f
3-Я,
[26 (е)]. A0.96')

446 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Из A0.96) и A0.96') следует, что
4л
[ГЛ.
Я/
F(P, Q')f(P)dxdydz
A0.97)
Так как 3 — к > 0, то при достаточно малом 6(е) правая часть
A0.97) будет меньше е, что и требовалось доказать.
Замечание. В случае TV-кратного интеграла (N ^- 1) показа-
показатель X в признаке должен удовлетворять неравенству X -< N.
Если плотность массы р(Я) в интегралах A0.91) и A0.92)
является ограниченной интегрируемой функцией в й, то, в силу
доказанного признака, эти интегралы будут равномерно сходящимися
в любой точке Q (х0, у0, z0) £ О.
Из равномерной сходимости вытекают следствия, такие же как
и в случае однократных интегралов. Рассмотрим для примера тео-
теоремы о непрерывности интеграла, как функции параметров, и о диф-
дифференцировании интеграла по параметру.
Теорема 10.10. Если интеграл A0.93) сходится равно-
равномерно в точке Q£O, то при сформулированных ранее огра-
ограничениях на функции F(P, Q) и f (P) интеграл A0.93) является
непрерывной функцией в точке Q£Q.
Доказательство. Докажем, что для всякого е>0 найдется
такое 6=6(е), что из неравенства |''QQ'|<6(e) следует неравенство
\J(Q) — J(Q')\ < е- Для этого возь-
возьмем шар LU(,(e)(Q) радиуса 6(е)
с центром в Q, лежащий внутри Q
(рис. 10.3), и разобьем каждый из
интегралов J(Q) и J(Q') на два сла-
слагаемых: У] по области ZZ/6(e)(Q) и У2
по области п—ZZ/6(e)(Q). Тогда
\J(Q) -J(Q') \<\MQ) — Л (Q') I +
рис
При достаточно малом 6(е)>0 и
второе и третье слагаемые в правой
части A0.98) (каждое) будут < —,
о
в силу равномерной сходимости интеграла в точке Q. Если взять ка-
какое угодно положительное 6' (е) < -^ 6 (е), то при условии, что рас-
расстояние от Q до Q' удовлетворяет неравенству
IQQ7! < 6'(е), A0.99)
интегралы в первом слагаемом в правой части A0.98) будут соб-
собственными. Следовательно, если взять 6' (е) < -~ 6 (е) достаточно ма-

^ 4] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 447
лым, то по теореме о непрерывной зависимости собственного крат-
кратного интеграла от параметров первое слагаемое в правой части
A0.98) также будет <-д- при условии A0-99). Сопоставляя эти
результаты, получаем, что, в силу A0.98), из выполнения неравен-
неравенства A0.99) будет следовать выполнение неравенства
|7(Q) — •/((?') I <е, A0.100)
что и требовалось доказать.
Исследование дифференцируемое™ по параметру несобственного
интеграла вида A0.93) в общем случае выходит за рамки данной
книги (см., напр., [12], Лекц. VII, § 2). Покажем, как решается этог
вопрос в случае, когда F(P, Q)=l//-pQ, /(Я) = р(Я), где р(Р) —
ограниченная (|р(Я)| < С = const < -f-оо) в Q интегрируемая функ-
функция, т. е. когда интеграл имеет вид A0.91). Этот случай является
весьма существенным для теории потенциала (см. вып. 4). Если точка
Q (х0' Ус*' zo> лежит вне Q (Р (х, у, z) пробегает Q), то интеграл
A0.91) является собственным и, как было доказано выше, выпол-
выполняются равенства A0.92). Докажем, что равенства A0.92) сохраняют
силу и в том случае, когда точка Q(x0, y0, z0) лежит внутри О.
Ограничимся рассмотрением первого из равенств A0.92). Для его
доказательства докажем, что разность
__ U(xo + Л.% у0. го) — U (х0, у0, г0)
_ Г Г Г У(Р)(х-хй) dxdydz
a rpQ
стремится к нулю при Ах0 -> 0 и фиксированной Q (х0, у0, z0) £ О._
Пусть дано какое-угодно е > 0. Опишем из точки Q (х0, у0, z0) шар
достаточно малого радиуса 6(е), LU(,(e\(Q), лежащий внутри О, и
обозначим через иг (х0, у0, z0) и 1/2(х0, у0, z0) интеграл A0.91),
взятый по области Qj = Ш^ (е) (Q) и Q2 = Q — Q,=Q — UI(>^)(Q).
Очевидно, U = Ul-\-U2, поэтому разность A0.101) можно перепи-
переписать в виде
Q
_ f С [
J I J
dxdydx\. A0.102)
Оценим первое слагаемое в правой части (Kj.102). Мы имеем:
At/, __ 1
Ах0 Ах
-r -=L-)dxdydz =
rPQ" rPQ I
о,
1 ,,.,„, -^ ^v dxdydZi (Ю.103)
rPQrPQ'

448 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ГЛ. 10
где Q' — точка с координатами (хо-)-Дхо, yQ, z0), лежащая
в Q, = ZZ/6 (ц (Q). Стороны треугольника QPQ' равны tPq, rPQ>
и |Дхо|; поэтому
\rp<y — rpoKIAjeJ. A0,104)
Учитывая оценку A0.104) и очевидное неравенство
| _
PQ PQ' ^ \rPQ rPQ'
получаем для A0.103) оценку
С Г С СI 1 , 1 \
TJJJ hr~ + 72~)dxd^dz' так как
z Li, \ rPQ rPQ'i
A0.105)
Интеграл J / f х ^ сходится равномерно в Qx = ZZ/6(e) (Q) (см.
Si, rPQ
достаточный признак); поэтому правая часть неравенства A0,105)
будет <-|- при достаточно малом 6 = 6(е)>0. Второе слагаемое
в правой части A0.102) в силу неравенства \х — -^оI/rpq<C 1
и достаточного признака равномерной сходимости также является
равномерно сходящимся интегралом и поэтому будет по модулю
<-о- при всех достаточно малых 6 = 6(е). Оценим, наконец, третье
слагаемое в правой части A0.102). Так как U2(x0, Уо> zo) ==
= 11 I р ' dx dy dz является интегралом вида A0.90) (точка
Q{Xq, у0, 2о) лежит вне О2), то его можно дифференцировать по пара-
параметру х0, а следовательно, при всех достаточно малых |Дхо|<
< 6 = 6 (е) будет
Таким образом вся разность A0.101) будет по модулю <е при
всех достаточно малых 6 = 6(е) и |Дхо|, что и требовалось доказать.
Замечание. Результаты, полученные в этом параграфе для инте-
интегралов по объему, без труда переносятся на интегралы по кривым и
поверхностям. Надлежащее видоизменение формулировок и дока-
доказательств предоставляется сделать читателям.

ГЛАВА 11
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
В естествознании и технике часто приходится иметь дело
с периодическими процессами: колебательным и вращатель-
вращательным движением различных деталей машин и приборов, периодиче-
периодическим движением небесных тел и элементарных частиц, акустическими
и электромагнитными колебаниями и т. п.
Математически все такие процессы описываются периодическими
функциями. Функция f (t) одной переменной t называется
периодической, если существует такое число ТфО, на-
называемое ее периодом, что
f(t-{~T) — f(t) при всех значениях t, —оо < t < -(- оо. A1.1)
Простейшими периодическими функциями являются, как известно,
тригонометрические функции sin^ и cos^ с периодом Г=2я.
В физике простейшей периодической функцией обычно считают
«гармонику» (или «гармоническое колебание»)
\{t)= /lsin(utf + (p), — oo<^<-f-oo. A1.2)
Так как
&('+-|L) = 6@ при _оо<г<+оо, A1.3)
то Г — — есть период гармоники. Константы А, со и ф называются
соответственно амплитудой, частотой и начальной фазой
гармоники.
Одним из основных вопросов настоящей главы является вопрос
о представлении произвольной периодической функции в виде суммы
гармоник.
§ 1. Предварительные сведения о периодических функциях
и постановка основной задачи
1. Периоды периодической функции. Пусть f (t) — периоди-
периодическая функция с периодом Т Ф О, т. е.
f(t + T) = f(t) при всех t, — oo<^<-j-oo. (П-4)
29 Б. М. Будак, С. В. Фомин

450 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Тогда любое целочисленное кратное периода kT, k=±l, ±2, ....
также является периодом этой функции.
Действительно, если Т — период, то при любом целом й>1
будет
при всех t, —оо < t < + со, то есть kT является периодом / (t).
Далее,
f[t—T] = f[(t—T) + T]=f(f) при всех /. — оо<* <-f-oo, A1.6)
а следовательно, число —Т является периодом f (t). Но тогда
по только что доказанному число k(—Т) = — kT при любом
целом k > 1 также является периодом / (t). Утверждение доказано.
Пусть теперь числа 7\ и Т2 являются периодами функции f (t);
тогда легко проверить, что числа Тг ± Г2 также являются периодами
этой функции.
Очевидно, тождественную константу можно рассматривать как
периодическую функцию с каким угодно периодом, иными словами,
любое число будет ее периодом.
Если f (t) — непрерывная периодическая функция, отличная
от тождественной константы, то она имеет наименьший
положительный период *), который обычно и называют пе-
периодом этой функции.
2. Периодическое продолжение непериодической функции.
Отправляясь от непериодической функции /(#)**), заданной на от-
отрезке а <] х <; a -f- Т, можно построить периодическую функцию F (х)
с периодом Т, совпадающую с /(х) на отрезке а <^.х<^.а-\-Т.
Если рассуждать геометрически, то для этого нужно выполнить
переносы графика функции / (х) параллельно оси х вправо и влево
на расстояния Т, 27\ 37\ ..., пТ, ... (рис. 11.1). Этот процесс
мы назовем периодическим продолжением функции f (x) за пре-
пределы отрезка а -*Сх ^Са-{~Т с периодом Т. При этом F(x) не
получает, вообще говоря, однозначного определения в точках вида
x=a±kT, k=l, 2, 3, ...
*) Если бы непрерывная периодическая функция f (t), отличная от то-
тождественной константы, не имела наименьшего положительного периода, то,
как нетрудно показать, нашлась бы последовательность ее положительных
периодов Ти Т2, ..., Тп, .... сходящаяся к нулю. Их всевозможные цело-
целочисленные кратные представляли бы всюду плотное множество точек на оси t,
— со<^<4-со, а следовательно, значения / (t) на этом всюду плотнол
множестве были бы равны значению / (t) в начале координат. Таким обра-
образом, / (t) была бы равна тождественной константе / @) на этом всюду
плотном множестве и, в силу непрерывности, она была бы равна тождест-
тождественной константе на всей оси t, —со < t < -j-co, что противоречит условию.
**) В дальнейшем независимую переменную мы всюду будем обозначать
через х.

§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
451
3. Интеграл от периодической функции. Если /(х) является
периодической интегрируемой функцией с периодом Т, то
а+Т Т
Г /(х) dx = Г f(x)dx при любом а, —оо<а<-(-оо. Дей-
а о
ствительно,
а+Т Т а+Т
f f(x)dx=ff(x)dx + f f (х) dx =
а О
так как, в силу периодичности функции,
а+Т а+Т а
f f(x)dx= f f(x — T)dx=ff(x')dx',
т т
где х' = х —
Таким образом, интеграл от периодической функции с периодом Т
по любому отрезку длины Т имеет одно и то же значение.
а-2Т
а-Т
а О а+Т
Рис. 11.1.
а+2Т
а+ЗТ'
4. Арифметические действия над периодическими функциями.
Очевидно, что сумма, разность, произведение и частное функций
с одним и тем же периодом Т являются периодическими функциями
с периодом Т.
Если периоды Тj и Tg двух периодических функций f(x) и g(x)
соответственно соизмеримы, т. е. Т^: Tg= p : q, где р и q —
целые числа, то число Т*= pTg=qTj будет периодом как функции
/(*), так и функции g{x). Следовательно, сумма, разность, произ-
произведение и частное этих функций также будут периодическими функ-
функциями с периодом Т*.
Если же периоды Tf и Tg функций /(х) и g(x) несоизме-
несоизмеримы, то сумма таких функций уже не является периодической
функцией, она будет так называемой почти периодической функцией.
Сформулируем определение почти периодической функции. Функция / (х),
непрерывная на всей вещественной оси —со < х <-f-co, называется
29*

452 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 11
почти периодической, если для всякого е > О найдется такое
число L = L (е) > О, что на любом интервале длины L, a< х <a-j- L,
— со < a < -j- со, найдется по крайней мере один «почти период» т = х (е),
соответствующий данному е, т. е. такое число т=т(е), что
|/(*+т(е)) — /(*)|<е
и/ш всех х, — со < х < -j- со.
(Очевидно, что периодические функции являются частным случаем почти
периодических.) Можно доказать, что сумма, разность, произведение и част-
частное (если делитель ф 0) двух любых почти периодических функций является
почти периодической функцией, т. е. что множество всех почти периоди-
периодических функций (в отличие от множества всех периодических функций)
замкнуто относительно основных арифметических операций.
б. Суперпозиция гармоник с кратными частотами. Рассмотрим
последовательность гармоник
£=1,2 — оо < х <-f-°o. A1.7)
Т
Очевидно, число Tk = -r- является периодом k-R гармоники *). Сле-
Следовательно, число Т = kTk является общим периодом всех гармоник
2n.k
последовательности A1.7). Частотой £-й гармоники является X,ft = -=-,
k=l, 2, ... Таким образом, частоты гармоник последовательности
A1.7) являются целочисленными кратными одного и того же числа -у-.
Такие гармоники мы будем называть гармониками с кратными
частотами.
Сумма или, как говорят физики, суперпозиция конечного
числа таких гармоник
N
fN(x)=A0+^Aksm(^x + 4,^ A1.8)
k=i
является периодической функцией периода Т, так как число Т
является общим периодом всех этих гармоник **).
Аналогично суперпозиция бесконечного числа таких гармоник,
точнее, сумма сходящегося ряда
+ ОО
также является периодической функцией с периодом Т,
*) Действительно, sin 1 лг-j—^-j -)- фй = sin J1-^- х-\-уА -j- 2it
, /2nk
**) Напомним, что константу Ло можно считать периодической функцией
с каким угодно периодом и, в частности, с периодом Т.

§ I] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 453
Равенства A1.8) и A1.9) можно преобразовать так. Учитывая, что
Аи sin (-^-л: + <рй| = Аь%тщ cos —=-х A- Ak cosqHsin-5-л;.
\ ' I ' '
положим
-?Г = ^о> лй^= ^4Йsinфй, bk = Akcostyk, 21=Т\
тогда равенства A1.8) и A1.9) примут вид
N
knx , , knx\ .. , , _..
+ *in-rJ> A1.10)
k = l
В правой и левой частях равенств A1.10) и A1.11) все функции
являются периодическими с периодом 21.
Заметим, что функции fN(x) и / (х) имеют уже более сложную
, knx
природу, чем составляющие их гармоники или функции cos —-.—
и sin—-.— ,k=l, 2, 3, . .. (см., например, рис. 7,6).
Ряд A1.11) называют тригонометрическим, а равен-
равенство A1.11), если оно имеет место, — разложением функ-
функции f(x) в тригонометрический ряд.
6. Постановка основной задачи. Основной задачей настоящей
главы является исследование вопросов:
1) Какую периодическую функцию с периодом 21 можно раз-
разложить в тригонометрический ряд вида A1.11), т. е. пред-
представить в виде суммы такого ряда?
2) Как найти коэффициенты разложения A1.11) а0, ak ubk,
если это разложение возможно?
3) Какова зависимость между характером сходимости
ряда A1.11) и свойствами функции f(x)?
7. Ортогональность тригонометрической системы; коэффи-
коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Разложение A1.11) — это разложение
■функции / (х) в ряд по функциям системы:
1 пх . пх knx . knx ,,, . г,.
-j, CQs —. sin— cos—p, sin —j~ A1.12)
которую мы будем называть основной тригонометрической си-
системой.
Основная тригонометрическая система является ортогональной
на отрезке [— I, I] в следующем смысле: интеграл по отрезку

454
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. 11
[— /, /] от произведения любых двух различных функций этой си-
системы равен нулю, а интеграл по отрезку [— /, I] от квадрата любой
функции этой системы отличен От нуля.
Действительно,
knx
Г 1 knx 1 I . kn
,12 I 2 kn I
-l
l
Г J_ . knx II kn
J 2 I 2 kn I
= 0,
x=-l
Далее,
Г knx , nnx
/ cos—-j— sifi —j— dx —
1 J_
2 kn
A1.13,)
-V
~2 J r^ /
Аналогично находим
x + cos
= 0 при k ф га-
/. knx . nnx , _ ,
sin—j— sin——dx=0 при k Ф n,
-i
i
Г . knx nnx , _ , ^
/ sin—j— cos—j— dx=0 при ЫЩп.
Наконец,
9
cos2
knx
+cos
-i
-i
1 — cos2
A1.134)
J Sln "Г dX= J 2 dx = l
-t -i
Решим теперь вопрос об определении коэффициентов а0, ак, Ък
разложения A1.11).

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
455
Если ряд A1.11) сходится равномерно или в среднем на
отрезке [—/, /] к функции f (x), то его можно интегрировать
почленно. Это утверждение сохраняет силу и после умножения равен-
равенства A1.11) на любую интегрируемую функцию. Последнее обстоя-
обстоятельство в сочетании с ортогональностью системы A1.12) позволяет
найти коэффициенты а0, ak и Ьп разложения A1.11). Интегрируя
равенство A1.11) почленно, получим
i
ff(x\'dx =
I
1 +=ог '
= ~f J + Id ak J
k L i
knx
cos—j-dx
J
-\-bk I
-i
. knx ,
sin-j—dx
= aol,
откуда
i
ao = j f f(x)dx.
-i
Чтобы определить коэффициент ап при cos
nnx
(U.14O)
умножим равен-
ство A1.11) на cos—"-.— и проинтегрируем по л: от —/ до /; это
даст (в силу A1.13,) —(ПЛЗ^)
/•
ппх
2 ,/
-I
cos
ir&x
dx
г
knx плх ,
cos ~~i—cos "~J~ x
k=i -i
(У и / Slfl
knx ппх ,
cos—-{—dx =
-i
откуда
an = )- f
-i
A1.14,)
Аналогично, чтобы определить коэффициент Ъп при sin
ппх
ппх
умножим равенство A1.11) на sin —-.— и проинтегрируем по х от

456 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 1С
— / до +/; это даст (в силу A1.13,) — A1.134))
-I
откуда
I
Г ,г/..ч _,_ ППХ
-I
Определение I. Числа а0, ап а Ъп, определяемые по фор-
формулам A1.140), A1.14,) и A1.142), называются коэффициен-
коэффициентами Фурье функции f(х) по основной тригонометриче-
тригонометрической системе A1.12).
Определение 2. Тригонометрический ряд
knx , t .,. knx\ (ПЛ5>
коэффициенты а0, ak и bk которого определяются по фор-
формулам A1.140), A1.14,) и A1.142) через функцию f(x), назы-
называется рядом Фурье функции f(x).
Заметим, что для существования интегралов A1.140), A1.14,) к
A1.142) достаточно интегрируемости функции /(х) на отрезке
f— /, I]. Поэтому каждой интегрируемой на отрезке [—/, I] функ-
функции fix) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье
4-ОО
knx , . knx \ ... ...
s cos —-. j-PjSin—-,— , (ll.lb)
т. е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются:
по формулам A1,140), A1.14,) и A1.142). Однако, если от функ-
функции / (х) не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке
[—I, I], то знак соответствия в соотношении A1.16), вообще говоря,
нельзя заменить знаком равенства. В следующем параграфе мы выясним
некоторые достаточные условия, при выполнении которых это
можно сделать.
8. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Функция / (х), заданная на отрезке [—/, /], называется четной, если
/(—x) = f(x) при всех х£[—1,1]. A1-17)
Функция f (х), заданная на отрезке [—/, /], называется нечет-
нечетной, если
при всех х£[— I, I]. A1.18)

<§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
457
Из этих определений следует, что график четной функции сим-
симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции
симметричен относительно начала координат.
Если / (х)— произвольная функция, заданная на отрезке [—I, I],
то первая из функций
A1.19)
является четной, а вторая — нечетной, причем
x) при всех х £1—
A1.20)
& следовательно, всякая функция f(x), заданная на отрезке [—/, /],
может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.
Если f (х) интегрируема на отрезке [—I, I], то
i
t
o
l
ff(x)dx=
-I -I 0 0
<[так как при замене х на — x получаем
О О
A1.21)
-I
x)dx = — ff(—x)dx = ff(—x)dx).
I О
Из соотношения A1.21) следует, что
2 Г f(x)dx, если функция f (х) четная,
-i
0,
если функция / (х) нечетная.
A1.22)
. 1 пх 2пх Ых ,
Функции у, cos-j-, cos—j—, .... cos — четные, а функ-
лх ,
ции sin—j— , sin.
2пх . knx
sin—-. нечетные.
Пусть / (х) интегрируема на отрезке [—I, 1\\ если функция f (х)
четная, то ее ряд Фурье имеет вид
knx
A1-23)
k=\
если же функция /(х) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид:
A1.24)
k=i

458
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Действительно, если функция f (х) четная, то f (x) cos
[ГЛ. И
knx
также четная, a f (x) sin
knx
нечетная, поэтому
i
ао=т f'f(l)dl=jf'f{\)d\,
-I о
-i
ak=\
-I
i
^dl = ^- J
I
A1.25)
Если же функция f (х) нечетная, то /(x)cos
knx
нечетная,
a /(x)sin
бил:
четная, поэтому
-i
-i
I
A1.26)
9. Разложение функций на отрезке [—п, я]. Если требуется
разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию / (х), заданную
на отрезке [—л, я], то, полагая в формулах A1.13) и A1.17) 1 = л,
получим для коэффициентов Фурье и ряда Фурье следующие выра-
выражения:
я +оо
= ~ f f (I) sin n\ dl. f (x) ~ ^ + 2 (ak cos kx + bksin kx)
Общий случай задания функции f(x) на отрезке [—I, I] сводят
к только что рассмотренному с помощью замены независимой пере-
переФуки ф(лг') /| 1 определена на отрез-
отрезке — я^лг'^я, если f{x) определена на отрезке [—/, /].
менной х'=-—г-. Функция ф(лг') =

§ 2] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
459
Однако, имея в виду последующие применения рядов Фурье
в математической физике, мы для единообразия написания и выра-
выработки надлежащих навыков будем вести все рассмотрения непосред-
непосредственно для отрезка [—/, /].
§ 2. Основная теорема о сходимости
тригонометрического ряда Фурье
Целью настоящего параграфа является доказательство того, что
тригонометрический ряд Фурье A1.16) периодической кусочно-
гладкой функции f (х) с периодом 11 сходится к f(x) в каждой
точке непрерывности / (х).
Сначала вы опишем класс кусочно-гладких функций, играющих
важную роль в математической физике, а затем перейдем к изло-
изложению основной теоремы.
1. Класс кусочно-гладких функций. Функция f{x) назы-
называется кусочно-непрерывной на [а, Ь], если она непре-
непрерывна всюду на этом отрезке, исключая, быть может, конеч-
конечное число точек разрыва первого рода.
Такая функция имеет в каждой точке х отрезка [а, Ь\ конечные
правое и левое предельные значения:
f(x + O)=llmf(x + z), f(x — 0)=lim/(x — z), A1.27)
z>0 г>0
а в концах отрезка [a, b] — конечные предельные значения f(a-\-0)
и f(b-O).
Кусочно-непрерывную на [a, b], а < &, функцию / (х) назы-
называют кусочно-гладкой на [а, Ь], если /'(х) существует
и непрерывна всюду на этом отрезке, кроме, быть может,
конечного числа точек, в которых, однако, существуют конеч-
конечные правое и левое предельные значения
f(x-\-O)=timf(x + z), /'(х — 0)=Пт/'(х — г). A1.28)
z>0 z>0
При этом предполагается также, что существуют конечные
предельные значения f'{a-\-Q) и f ф — 0) в концах отрез-
отрезка [а, Ь].
Кусочно-гладкая функция f(x) имеет в каждой точке х отрезка
[а, Ь] конечные правую и левую производные:
A1.29)
г>0
z>0

460
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. It
Действительно, применяя формулу конечных приращений*) и используя:
соотношения A1.28), получим
-/(* ±0) = lj
г>0
= ljm fl(х ± вг) =/,(х±0)<
г>0
а следовательно, производные /прав(-*0 и /'лев(х) существуют и имеют
место равенства
/;рав (*>=/'
о).
=/' с* - о).
График кусочно-гладкой функции f (х) имеет определенную каса-
касательную в каждой точке, кроме, быть может, конечного числа точек..
U а
Рис. 11.2.
в которых, однако, существуют определенные правая и левая каса-
касательные (рис. 11.2).
Если f (х) является кусочно-гладкой функцией на [а, Ь], то, оче-
очевидно, [а, Ь] можно разбить на конечное число таких отрезков
[а0, а,], [а„ а2], .... [а,-, а,+1] [aN, a
где
N
что внутри каждого отрезка [аг, аш] функции f(x) и f'(x) не-
непрерывны и стремятся к определенным конечным пределам
*) Нужную нам формулу конечных приращений f(x-\-z) — /(;e-j-O) =
= zf (x -\- Qz), где 0 < 6 < 1, можно получить так: возьмем 0 < б < z и
применим обычную формулу конечных приращений
(*-6)/'(*+ 6),
где 0<6<|<г, а затем перейдем к пределу при б -> 0.

§ 2] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 461
при стремлении х к ai справа и к а1 + 1 слева. Отсюда следует
ограниченность /(х) и/'(л:) на каждом из отрезков [ait ai+1],
а следовательно и на [а, Ь]*).
2. Формулировка основной теоремы о сходимости тригоно-
тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 11.1. Если функция f (х) является кусочно-гладкой
на отрезке —1^x^.1, то ее тригонометрический ряд Фурье
сходится в каждой точке х этого отрезка, причем для
суммы
) (п3i)
этого ряда выполняются равенства:
1) S(x) = f (х), если —I < х < / и х является точкой не-
непрерывности f(x),
2) S(x)= ■'^"г '~\.*^х '- , если — I < х <Ц и х является
точкой разрыва f {Xs),
Замечание. Если —I < х < I и X является точкой непрерыв-
непрерывности f (х), то f(x — 0) = / (л: + 0) = / (л:), а следовательно,
f(x + 0) + f(x-0) __ 2f(x) __
2 — —2— — * ^ ''
Поэтому равенства 1) и 2) можно заменить одним равенством
выполняющимся в каждой внутренней точке х отрезка [—1,1].
3. Основная лемма. Для доказательства теоремы нам потре-
потребуется следующая
Основная лемма. Если / (х) является кусочно-гладкой
функцией на отрезке а^х^.Ь, то
ь
lim f f(x)sinaxdx=0. A1.33)
а-юо J
*) Действительно, если / (х) и /' (х) доопределить по-новому в концах
отрезка \ah aif,], полагая, что f(at)= f(at + 0), /(e/+1)= f(at+i — 0),
/'(яг)=/'(«« + 0), /'(««4i) = /'(«i+i — °). т0 /W и f'(x) станУт "пре-
"прерывными на замкнутом отрезке [а,-, в(+1], а следовательно, и ограниченными
Т f () /' ()
р у р [,, (+1], до, р
на нем. Так как при этом значения f (х) и /' (х) могут измениться лишь
в концах отрезка [а,-, в/+1], то и при первоначальном определении функции
f (х) н f'(x) ограничены на [ah ai+l].

462 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Доказательство. Разобьем [а, Ь] на такие частичные отрезки
[а0, а,], [а„ а2], .... [at, а/ + 1], .... [а^, aN+l],
где a=^a!)<ial<i ... <а;<а;41< ... < aN < aN+l = b, что
функции f (x) и f'(x) внутри каждого отрезка [at, ai+l] непрерывны
и стремятся к определенным конечным пределам
/(«/ + 0). /'(в/+0) и f(ai+1-0), f'(ai+1-O)
при лг->аг справа и x->ai+l слева. Так как
Ь N "i + i
f f (x)sinax dx = 2j f f (x)s\nax dx, A1.34)
a 1=0 ai
то достаточно доказать, что
lim I f (x)sinax dx = 0 A1.35)
i
при 0<^/<^Л/\ Поскольку f (x) и f'(x) можно считать непрерыв-
непрерывными на замкнутом отрезке [ait at+l] (см. сноску на стр. 461),
то можно воспользоваться интегрированием по частям. Это дает
Г ,, ч . . f (x)cosax x=at+t~° .if,,,. ,
/ f(x)smaxdx=——— _ -]— / / (x)cosaxdx.
"l
I
A1.36)
Так как f (x) и f'(x) ограничены на [a, b], i. e. существуют такие
константы М и Л!', что |/(л:)|^Л1 и \f (х)\<СМ' всюду на [a, b],
то из равенства A1.36) следует неравенство
/ /(x)slnaxdx
Из неравенства A1.37) при a->oo следует соотношение A1.35).
Этим основная лемма доказана.
Замечание 1. Можно доказать, что лемма верна и для значи-
значительно более широкого класса функций. Например, если f(x) абсо-
абсолютно интегрируема на [а, Ь], т. е. несобственный интеграл
ъ
ъ
I \f(x)\dx < -f- oo, то лемма также сохраняет силу.
а
Замечание 2. Под знаком интеграла в лемме можно вместо
sinax брать cosax.

§ 2]
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
463
4. Доказательство основной теоремы сходимости. Пусть
f (х)—кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция на отрезке —
1<^х^.1. Продолжим периодически функцию f (х) с периодом
21 за пределы этого отрезка на всю ось х и докажем, что для
каждого х, —'оо < х < -f- оо,
при »
где
A1.38)
(п-39>
— частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (х),
отвечающего отрезку —I -^ х <^ / *). Подставляя в A1.39) выражения
коэффициентов Фурье
«о =|
-i
-i
получим
knx
-У /'
k=\ -t
1-х
-i
[cos
l, A1.40)
cos
ftre (£ —
, A1.41)
*) Так как / (х) после периодического продолжения стала периодической
„ л, 1 лх . пх knx , knx
функцией с периодом 21, а -»-, cos-—, sin— cos—-—, sin——
также являются периодическими функциями с периодом 21, то интегралы
при вычислении коэффициентов Фурье а0 — — f (x) dx, an =
-I
l l
— -L / / (х) cos ППХ dx, Ьп = — I /(x)sin ППХ dx можно после такого
-I -I
продолжения / (х) брать не только по отрезку —£<*<£, но и по любому
другому отрезку длины 21; от этого значения коэффициентов не изменятся.

464 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
где z — \ — х. Найдем теперь замкнутое выражение для суммы
Умножая обе части A1.42) на 2sin-^-, получим
я
г, , . . nz . яг \л р. . nz knz
2ап (z)sin -gj- = sin -у- -f- 2j 2 SIn-2— cos -7- =
я
. nz
1\ nz . I. I\ nz 1 . I , l\ nz
откуда
l\ nz
)
s'n " + T) 1 v ^ n, ,ч
2 (П-43)
2sinT *=!
Подставляя это в A1.41), получим для частичной суммы ряда Фурье
выражение
1-х . I , 1 \ nz
S!n " + т)~Г~
1 /*
n(x) = ± /
-1-х 2 sin-
21
Так как /(л:) (периодически продолженная за пределы отрезка [—I, I]
с периодом 21) является периодической функцией с периодом 21
I . I\ nz
sin(" +
и так как, в силу A1.43), ^ является периодической
1\ nz
функцией z с периодом 21, то произведение /(jc-f-2)
также является периодической функцией z с периодом 21. Поэтому
интеграл по z от этого произведения по любому отрезку длины 21
имеет одно и то же значение. Следовательно, в интеграле A1.44),
берущемся по интервалу длины 21, пределы интегрирования —I—х
-л I—X можно заменить пределами —I и I, в результате получим
равенство
I . / , l\ nz
1 Г Sin(" + T ~Г
Sn(x) = -j- / f{x-\-z)- > '—!—dz. A1.45)
-' 2sin^f

§ 2] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 465
Интегрируя A1.43) по z от —/до I, получим
<"•«»
, 8Ш л + ±)
так как / ^ 0 й 1 2 3 Н
/ cos-^-rf2 = 0 при й= 1, 2, 3, ... Но
является четной функцией z (см. п. 8 § 1); поэтому из A1.46)
вытекает, что
О / . 1 \ JUT
1 /-sin [n + Y)—„ I I ,
-"' "'"IT ° 2sinT
Умножая первое из равенств A1.47) на /(л; — 0), av второе на
/(x-f-О) и складывая результаты, получим
2Г
sin л + _
о 2 sin
Вычитая A1.48) из A1.45), будем иметь
г. A1.48)
-т/
sin [п + ^г
4 / [/(х+^)-/(^+0I-^ У-5-^- С11-49)
2s!n'/
Докажем, что оба интеграла в правой части равенства A1.49)
стремятся к нулю при п—>-\-со. Покажем это, например, для
30 Б. М. Будак, С. В. Фомин

466 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
второго из интегралов A1.49). Представим оцениваемый интеграл в виде
б
У =1 [^
" п,)
nz
7"
sin —
nz
21
2 sin -yj-
взяв 0 < 6 < l. Пусть дано е > 0. Докажем, что за счет выбора 6 > О
первый из интегралов A1.50) можно сделать по модулю < у
сразу при всех п= 1, 2,... Так как f(x + z~>-f{x + 0)->f'(x + 0)
при z —> 0 -f- 0 *), то при достаточно малом 6 > 0 и всех z из интервала
0 < z < 6 будет
Так как
nz
~2f
sin
nz
~2f
1 при z—>0, то при достаточно малом 6>0
и всех z из интервала 0 < z < 26
иг
~2Г
1<
sin-
nz
W
Наконец, при всех действительных z и всех ге= 1, 2, ...
I
Следовательно, при всех и=1, 2,...
в
21
sin
nz
<
26
если только 6 > 0 достаточно мало. Взяв 6 > 0 столь малым, чтобы
26 е
■^-[|/'(■*+0I +И < у. получим, что
-9" при всех ге=1, 2, ...
A1.51)
*) См. соотношения A1.30).

§ 2] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 467
Фиксируем выбранное 6> 0 и рассмотрим второй интеграл из A1.50)
Функция f (x + *} ~ f ±x ~т~ является кусочно-непрерывной и ку-
сочно-гладкой на отрезке 6<;,г<^ (при 6 > 0), так как таковым
является числитель, а знаменатель 2sin -^- представляет собой не-
непрерывно дифференцируемую функцию, не обращающуюся в нуль
на этом отрезке. Тогда по основной лемме У„->0 при п-*-\-оо
и, следовательно, при всех достаточно больших значениях п будет
|Л|<|. A1.52)
Сопоставляя A1.51) и A1.52), получим, в силу A1.50), что
UJ<l-/«l + U«l<l + l = e A1-53)
при всех достаточно больших п. т. е. У„->0 при re—>-f-oo.
Аналогично доказывается, что и первый из интегралов в правой
части A1.49) стремится к нулю при re—>-f-oo. Следовательно,
:—^-. A1.54)
Напомним, что f (x) периодически продолжена за пределы отрезка
[—;, /] с периодом 2/. Следовательно,
(— / — 0) = / (/ — 0). A1.55)
Подставляя в A1.54) сначала л: = —I, а затем х = 1 и используя
соотношения A1.45), получим
lim Sn{-1)= Нш 5д@-/(-г + 0) + /(г~0)- С11'56)
я-)-+оо л-».+со
Этим доказательство теоремы завершено.
б. Примеры. I. Разложим f (x)= x в тригонометрический ряд
Фурье на отрезке [—/, /]• В силу нечетности функции f (х)
i
2
ао = О, ап = 0, bn = j
о

468 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Интегрируя по частям, будем иметь
I
, 2 /* • ппх ,
bn=-r I л: sin —— dx =
о
/ xl ппх\\х'1 . I С ппх . ! 21 ,
cos—:— -А / cos—г-Aх\ = — (
\ пп I 0 ' пп J I j пп. v
[ГЛ. II
-1)л+!.
Следовательно, по основной теореме сходимости
+ ОО
(-1)
k+l
. knx
sin—-j— =
при — I < x < I,
/ (_; _i_ о) + / (г — о) — г -+■ i n
-i-i ~ 2 ^^ ^~=
Графики /(jc)=jc и S{x) изображены на рис. 11.3.
A1.57)
Рис. 11.3.
Функция S(х) является периодической с периодом 21, причем
S(x) = x только при —I < х < I. В точках вида jc = Bй —|— 1) /,
й = 0, ±1, ±2 S(х) претерпевает разрывы, принимая значение,
равное нулю, так как полусумма правого и левого предельных зна-
значений S (х) в каждой такой точке равна нулю. На рис. 11.4 при-
21 \л (—1
21 \л
веден график частичной суммы S5(х) — — У,
. Ых
sin —-.— при
к=\
2. Пусть f(x)=x2 на отрезке
функция четная, то
[—I, I]. Так как f(x)=x2 —
ao=jfx2dx, an = j
bn = 0, п= 1, 2, .

2]
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
469
Вычислив коэффициенты а0 и ап, получим, в силу основной теоремы
сходимости, что
I2 , U2 \\ (—1)* «л,л ,
x fe/ cos —-— = x2 при — t
/1 1 еоч
(П.58)
Графики функции f(x)=x2 и суммы ряда Фурье S(x) изображены
на рис- П.5.
U x
Функция S(х) является непрерывной и в точках вида лг=Bй-|-1)я,.
k=Q, ±1, ±2 так как f (—l-\-0) = f (l — 0)= p для функ-
функции / (л:) = х2.
Если разложение ведется на интервале [—я, я], т. е. ^ = я,
то равенство A1.58) принимает вид
x' = -
k2
COS&JC .
A1.59)

470 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
При л=0 из A1.59) получаем полезное равенство
п2 1,1 1 ,
[ГЛ. II
3. Пусть
/(*) =
— 1)*~1-£Г+ ••• (П.60)
при —I < х < 0,
Тогда
при 0 < лг < /.
О I
1 Г 1 /* j , 1 /*
fl0 = у / f(x)dx = Y / ci"x-t-t c2dx= c,-f-£2,
-*< -i о
i о /
an=-r / /(jc)cos —г-rfx = -j- / CjCos—j— dx-\—T I c2cos—r-dx=v,
-I -I 0
f 0 I
_J_ f f( \ ■ nnx d —— /* ■ fH.w _i__L С ■ nnx d
n—-jj f(X)sm t x~yJ ci SIn i x~i~~T J C2sm i x-
•Следовательно, bn = 0 при и четном и bn = —^ ^- при « нечетном.
С, ,-
-61 -Я -41 -31 -21 '10 1 81 Л 41 51 61
Рис. 11.6.
Поэтому, в силу основной теоремы сходимости,
при —I < х < 0,
при 0 < х < J,
при
=г±/, 0.
График S{x) изображен на рис. 11.6.
На рис. 11.7 приведены графики частичных сумм полученного
ряда Фурье S, (л:), S2 (х) и S3 (х) при условии, что сх = — 1, с2 = Н- I»

§ 21
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
47!

472 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 11
когда ряд принимает вид
4 ( . лх . 1 . Злх . 1 . 5л*
SIn bsin+ sn
1—1 при — / < x < О,
1 при 0 < х < I,
к О при х = О, х= ±1.
6. Разложение функций, заданных на отрезке [О, I], только
по синусам или только по косинусам. Пусть кусочно-непрерывная
и кусочно-гладкая функция / (х) задана на отрезке 0 -^ х -^ I. Ее
можно продолжить различным образом на отрезок — I -^ x -^ О,
в частности: 1) четно и 2) нечетно. В первом случае на отрезке [—I, 1\
получится четная функция. Для нее
i. ak = lff(i)cos^dl, Ьк = 0, A1.61)
о о
а ряд Фурье на отрезке [— I, I] принимает вид
. A1.62)
Во втором случае получается нечетная функция на отрезке [—I, I].
Для нее
flo = O, ak = Q, bk = ^-f f(l)sia-^dl, A1.63)
о
а ряд Фурье на отрезке [—I, I] принимает вид
На отрезке 0 < х < / каждый из рядов A1.62) и A1.64) сходится
к f (х) (в точках непрерывности f (х)).
Следовательно, мы можем сказать, что каждую кусочно-гладкую
функцию f (х), заданную на отрезке О^л:^/, можно, по желанию,
разложить в ряд по одним косинусам A1.62), коэффициенты
которого находятся по формулам A1.61), и в ряд по одним
синусам A1.64), коэффициенты которого находятся по форму-
формулам A1.63).
Пусть, например, / (х) = х на отрезке 0 ^ х ^ I; при нечетном
продолжении получаем /(jc) = jc на отрезке —l^.x^.1, но разло-
разложение такой функции в ряд Фурье было рассмотрено выше (см.
пример 1 и рис. 11.3). При четном продолжении f(x) = x полу-
получаем /(jc)=|jc| на отрезке —l^x^l. Разлагая f(х) в ряд

§ 2]
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
473
по косинусам на отрезке 0 <^ л: <^/ по формулам A1.61), A1.62),.
получим
X
= "T + 2fl*C0S~T^
при
k-l
где
2 Г . , 2 Г Ых .
flo = T f xdx = l, an = jj xcos—dx=
11
Следовательно,
!0 при п четном,
41
I rr-r при п нечетном.
. 1
...} A1.65)
при
Справедливость равенства A1.65) при л: = 0 и jc = J легко уста-
установить, если рассматривать A1.65) как тригонометрический ряд.
Фурье четной функции /(л:)=|л:|, заданной на отрезке [—L I].
Такое истолкование ряда A1.65) позволяет легко построить график
его суммы при любых значениях х (рис. 11.8).
Вообще, так как при четном продолжении любой кусочно-непре-
кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой функции f (х), заданной на отрезке [О, I],
имеют место соотношения
—/+0) = /(/ —0).
A1-66)
то сумма ее тригонометрического ряда Фурье в точках х = О
и л'= +1 будет непрерывной и равной соответственно /(-f 0) = /( — 0)
и / (— / -f- 0) = / (I — 0). Если / (л:), кроме того, непрерывна в концах
отрезка [0, I], т. е. /(-f-0) = /@) и / (I — 0) = /(/), то отсюда
следует, что сумма ее ряда по косинусам равна / (х) и в концах
этого отрезка.
Напротив, при разложении f (х), 0 ^ х ^.1, в ряд по синусам,
т. е. при нечетном продолжении / (л:) на отрезок — I <^ x <J 0»

„474 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. П
у сумм ряда Фурье могут появиться разрывы в точках х = 0 и х = ±/,
несмотря на непрерывность и гладкость f (х) на отрезке 0<^л:<^/.
На рис. 11.9 изображен график суммы ряда Фурье нечетно продол-
продолженной функции / (л:) = х -\- 1, заданной при О^лг<[/. Так как
-л -гг -г
гг зг п sz
Рис. 11.9.
при нечетном продолжении /(—0) = — /D-0) и /(— /-f-0) =
= — / (I — 0), то равенства / (— 0) = / (+ 0) и / (—/+ 0) = / (/—0),
необходимые для непрерывности суммы ряда Фурье в точках х = 0
и х = ± I, будут иметь место только в случае, когда
= 0 и /(/ — 0) = 0. A1.67)
§ 3. Ряды Фурье по ортогональным системам.
Неравенство Бесселя
Разложение функции f (х) в тригонометрический ряд Фурье
является частным случаем разложения f (х) в ряд по ортогональной
системе функций.
1. Ортогональные системы функций. Функции <р(х) и г|)(лг),
интегрируемые*) на [а, Ь], называются ортогональными
на [а, Ь], если
ь
f<p(x)^(x)dx = 0. A1.68)
а
Система функций
Ф„(лг) A1.69)
интегрируемых на [а, Ь], называется ортогональной
на [а, Ь], если
J ° ПРЙ '^' A1.70)
\ > 0 при i= k.
*) Всюду, если не оговорено противное, интегрируемость понимается
в смысле собственного интеграла, а функции предполагаются вещественными.

РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
Приведем примеры ортогональных систем.
1) Основная тригонометрическая система
пх клх
sin—г-, .
1 лх
у, COS -J-
COS
ортогональна на отрезке [— I, I].
2) Системы функций
. 1 лх 1лх
а) у, cos—^-, cos
б) sin
лх
sin
1лх
—j—
sin
, cos ■
клх
Sin
клх
клх
475-
A1.71),
(П.72Г
ортогональны (каждая) на отрезке [0, /].
3) Система полиномов Лежандра
р (Х\=
dxn
(х*-1П п=1,2 Р0(х)=1. A1.73).
ортогональна на отрезке [—1, 1] (см. Дополнение 1 к гл. 11).
Если функция ф(лг) интегрируема на [а, Ь], то ее н о р м о й
на [а, Ь] назовем неотрицательное число
( " Xk
||<р||= {tf(x)dx\ . A1.74).
Нормы всех функций ортогональной системы положительны,
в силу соотношений A1.70), которыми определяется ортогональность
системы.
Используя символ нормы, эти соотношения можно переписать так:
0 при ьфк,
I2 ппн i = &.
Фг ОО Фй ОО <** = {
Приведем нормы функций некоторых ортогональных систем.
1) Нормы функций основной тригонометрической системы A1.71)-
на отрезке [—/, I] равны, в силу определения A1.74) и соотноше-
соотношений A1.132):
cos
клх
= /7.
1=У~1, A1.76).
k= 1, 2, ...
2) Нормы функций систем A1.72) на отрезке [0, /], как нетрудно-
вычислить, равны
а)
vt
cos—— = I/ -г-
A1.77),

476 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
3) Нормы полиномов Лежандра на отрезке [—1, 1] равны
\\Pn(x)\\=if Pl(x)dx\ =yriJp[.. (П.78)
(По поводу вычисления нормы Ц/3,, (л:) || см. Дополнение 1 к гл. 11.)
2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье функции f{x) по орто-
ортогональной системе. Пусть функция f (х) интегрируема на [а, Ь]
и пусть на [а, Ь] имеет место равенство
+ ОО
/W=S«AD (П.79)
k = \
где ak — постоянные числа, a q>k (x) — функции ортогональной
на [а, Ь] системы A1.69). Если ряды, получающиеся после умноже-
умножения равенства A1.79) на любую функцию срп (л:) системы A1.69),
можно интегрировать почленно *), то, в силу ортогональности си-
системы A1.69), коэффициенты ак очень просто выражаются через f (х)
следующим образом. Умножим равенство A1.79), на сря (л:) и про-
проинтегрируем по л: от а до Ь\ мы получим
/ / (х) Ф„ (х) dx = ^] ак J <pk (x) фя (x) dx. A1.80)
k-\
Все интегралы в правой части равенства A1.80) при k Ф п обра-
обращаются в нуль, в силу соотношений ортогональности A1.70). Сле-
Следовательно,
ъ ь
J / (х) Фя (х) dx = ап / Ф'я (х) dx = an \\ Ф/) f,
а
откуда
ь
Числа ап, определяемые по формулам A1.81), называются коэф-
коэффициентами Фурье функции f (х) по ортогональной системе
A1.69), а ряд A1.79), коэффициенты ak которого определяются
по формулам A1.81), называется рядом Фурье функции f (x) по
ортогональной системе A1.69).
Так как для образования чисел ak по формулам A1.81) от функ-
функции / (х) требуется лишь интегрируемость (напомним, что функ-
*) Возможность такого почленного интегрирования заведомо будет иметь
место, если ряд A1.79) сходится к своей сумме равнрмерно или в среднем
на отрезке [а, Ь\.

§ 3]
РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
477
ции фй (х) интегрируемы в силу определения ортогональной системы),
то каждой интегрируемой на [а, Ь] функции f (х) можно поставить
в соответствие ее ряд Фурье по системе A1.69), ортогональной на [а, Ь\:
(*)•
A1.82)
т. е. ряд, коэффициенты ak которого находятся по формулам A1.81).
Условия, которым должна удовлетворять функция / (х) для того,
чтобы знак соответствия в соотношении A1.82) можно было заменить
знаком равенства, зависят от свойств ортогональной системы
{(fk(x)}. Для случая, когда в качестве ортогональной системы, по
которой ведется разложение, взята основная тригонометрическая си-
система, соответствующие достаточные условия содержатся в доказан-
доказанной выше основной теореме сходимости тригонометрического ряда
Фурье. Доказательство аналогичных теорем сходимости для других
ортогональных систем требует специального рассмотрения.
3. Задача о наименьшем квадратичном уклонении. Тождество
Бесселя. Неравенство Бесселя. Рассмотрим какой-либо фикси-
фиксированный отрезок
), Ф2(лг) <р„1
A1.83)
системы
■функций
A1.69), ортогональной на [а, Ь\\ линейная комбинация
2>»Ф»(*)
(П.84)
с произвольными числовыми коэффициентами ak, k=l, 2 п,
называется многочленом п-го порядка гэ ортогональной си-
системе A1.69).
Пусть функция f (х) интегрируема на [а, Ь] и пусть требуется
решить следующую задачу:
Найти, при каких значениях коэффициентов ak, k=l, 2, ..., п,
многочлен tt-ro порядка по данной ортогонально** системе имеет
наименьшее квадратичное уклонение (гл. 8, § 6, п. 1) от функции
f (х) на отрезке [а, Ь], т. е. при каких значениях коэффициен-
коэффициентов а,, а2, ...
Р2 I /• ^ «А ) = /
(*)
dx =
A1.85)
достигает своего абсолютного минимума.

478 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬБ
Раскрывая квадратную скобку, получим
9 i /• ^ I
Ъ п Ь Ь / п
[ГЛ. II
= f f(x)dx-2^ak f f(x)q>k(x)dx + f I £ «*<Pft (*)) <*x =
ft=l e
a Vft=l
n
IP
k=\
= f f2 (x) dx - 2 )£ а*а* IIФ* I
a *=1
b
так как Г/(лг)<р4 (x)dx= «ft |j Фл |р (согласно A1.81))
a
b b
и J <pt (x) <pk (x) dx = 0 при /^й, а J(p| (лг)йлг =
Дополняя до полного квадрата, из A1.86) получим
f -86>
)
A1.87)
Только последняя сумма в правой части A1.87) зависит от коэф-
коэффициентов ak. Так как эта сумма неотрицательна, то она достигает
точной нижней грани, обращаясь в нуль при ak = ak; при этом
/
квадратичное уклонение р2 /, 2 айФ& достигает, очевидно, своего
\ k=i I
абсолютного минимума, равного
" \ ь
min р2
Многочлен
(ЛГ)
A1.88)
коэффициенты ак которого являются коэффициентами Фурье функ-
функции f(х) по данной ортогональной системе [<pk(x)}, называется
многочленом Фурье функции / (х) по данной ортогональной
системе [<pk(x)}.

«j 3] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ 479,
Итак, среди всех многочленов га-го порядка (п фиксировано)
по данной ортогональной на [а, Ь] системе {фй(л0} наименьшее
квадратичное уклонение от функции f (х) на отрезке [а, Ь] имеет
многочлен Фурье функции f (х) по этой ортогональной системе.
Равенство A1.88), выражающее квадратичное уклонение от f (х)
ее многочлена Фурье на отрезке [а, Ь], называется тождеством
Бесселя.
Замечая, что левая часть равенства A1.88) неотрицательна, полу-
получим неравенство
п ь
2(*)<**. (П.90)
справедливое при всех п^-l, поскольку правая его часть от п
не зависит. При возрастании п сумма, стоящая в левой части нера-
неравенства A1.90), не убывает; в силу ограниченности сверху, она
стремится к определенному конечному пределу при п—»-|-оо. Пере-
Переходя к пределу в неравенстве A1.90) при ra->-j-°°> получим так
называемое неравенство Бесселя
l?<ff4x)<ix. A1.91)
В случае основной тригонометрической системы неравенство A1.91)
принимает, в силу соотношений A1.76), вид
2
/2W^. A1.92)
k=i -t
Неравенство Бесселя A1.91) мы установили для любой функции f (х),
интегрируемой в обычном смысле на отрезке [а, Ь].
Функция f (х) называется интегрируемой с квадратом на [а, Ь\,
если интегралы
ь ь
jf(x)dx и J f{x)dx A1.93)
а а
существуют как собственные или как несобственные.
Неравенство Бесселя A1.91) (а следовательно, и 11.92) сохра-
сохраняет силу и для любой функции f (х), интегрируемой с квад-
квадратом на [а, Ь\.
Более того, неравенство Бесселя A1.91) сохраняет силу и в том
случае, когда функции Ц>к(х) ортогональной системы также являются
4ункциями, интегрируемыми с квадратом. Действительно,

480 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Ь Ь
из сходимости интегралов jf2(x)dx, f<p2k(x)dx и очевидных
а а
неравенств
вытекает, в силу общего признака сравнения, абсолютная сходимость
интегралов
ь ь
/ / О) Ф* О) <** и J ф,- (лг)фй (л:) rfx,
а а
а при написании и выводе неравенства Бесселя мы имеем дело лишь
с такими интегралами **).
Вводя понятие интегрируемости с квадратом и ортогональности
с весом можно вывести обобщенное неравенство Бесселя, справедли-
справедливое для более широкого класса функций (см. по этому поводу До-
Дополнение 2 к гл. 11).
Из неравенства Бесселя для случая основной тригонометриче-
тригонометрической системы (см. неравенство A1.92)) вытекает сходимость ряда
2
+^( + *i0 Hl слеДовательно,
1 ,. Г ,, . knx , .
ak = -j- lim / /(jc)cos—j—dx = 0,
+i A1-94)
lim bk=-y lim / /(лг) sin "^ й?л: = О.
-г
Соотношения A1.94) являются частным случаем более общих соот-
соотношений
+i +i
lim Г / (х) cos ал: dx = 0, lim Г/(л:) sin ал: йл: = 0, A1.95)
справедливых, в силу замечания 1 к основной лемме (см. § 2), для
абсолютно интегрируемых функций.
•) 0<(lf(x)\—\Vk(x)\J=fz(x)—2\f(x)<pk(x)\+<tl{x). откуда
P
**) По поводу дальнейших обобщений см, Дополнение 2 к гл. 11.

§ 4] ПОНЯТИЕ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 481
§ 4. Связь между степенью гладкости функции
и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье.
Понятие улучшения сходимости
Сначала мы изучим условия равномерной сходимости тригоно-
тригонометрического ряда Фурье, а затем установим связь между степенью
гладкости функции f (х) и скоростью убывания коэффициентов ak и bk
ее тригонометрического ряда Фурье (при неограниченном возрастании
номера к), и оценить скорость сходимости этого ряда.
1. Условия равномерной сходимости тригонометрического
ряда Фурье. Равномерную сходимость тригонометрического ряда
Фурье мы докажем для непрерывной и кусочно-гладкой функции,
удовлетворяющей некоторому дополнительному необходимому усло-
условию. Напомним, что функция f (х) называется непрерывной и кусочно-
гладкой на отрезке [—I, I], если сама она непрерывна, а ее произ-
производная /' (л:) кусочно-непрерывна на этом отрезке. Справедлива
следующая
Теорема 11.2. Если непрерывная и кусочно-гладкая на
отрезке [—I, I] функция f (x) имеет равные значения на кон-
концах этого отрезка /(—l)= f (/), то ее тригонометрический
ряд Фурье
^ 2(^^). A1-96)
где
i i
ao=~ff(l)dl, an = \ ff(l)cos^dl,
-i -i
i
bn = j f f(l)sin^dl, A1.97)
-'/
сходится равномерно на этом отрезке, причем S(at) = /(at)
в каждой точке отрезка [—1, /].
Доказательство. Чтобы доказать равномерную сходимость
ряда A1.96), достаточно доказать сходимость мажорирующего число-
числового ряда
Ь-1
или, что равносильно, сходимость ряда
+ СО
31 Б, М. Будак, С. В, Фомин

482
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. И
Тогда по признаку Вейерштрасса (см. п. 2, § 1 гл. 8) ряд A1.96)
будет равномерно сходящимся на всей оси х, так как
Ых 1^-1 ,
ак cos-y-|< \ak\ и
при всех х, —оо < х < -\- оо. Обозначим через a'k и b'k коэффи-
коэффициенты Фурье производной /'(х):
а'к = \ f ' /' (х) cos ^ dx, b'k = \ f Г (х) sin ^
-i -i
dx,
и выполним в формулах для коэффициентов Фурье функции f(x)
интегрирование по частям. Будем иметь
-1 ff(x\
'■ — T ,/ J
-I
cos
клх
клх
x=+l
x=-l
ых
i ък
Ых
так как sin-^1- обращается в нуль при х= +1;
i
1 Г ,. . . клх ,
bk = ~f J f(x)sm-j-dx =
-i
=l . 1 l Г ., . . Ых I a'k
\_J_
поскольку
Ых л / >
COS-y-/(x)
x=l
x=-l
так как по условию теоргмы / (/) = / (— /). Поэтому
Но f'(x) по условию теоремы кусочно-непрерывна на отрезке
j—I, /]. Поэтому она интегрируема на этом отрезке и для нее
выполняется неравенство Бесселя
/2 +ОО
*=1

§ 4] ПОНЯТИЕ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ
а следовательно, числовой ряд
483
сходится. Далее, из неравенств
вытекают неравенства
Следовательно,
+ ОО
Но тогда из сходимости рядов A1.101) и £. -tj- (легко устанавли-
ваемой с помощью интегрального признака) вытекает сходимость
Vj 1 / ,2 , ,,2\ , 1 )
Р..„„ у, < -g- (aft -+- oft j -j- -p- >, а следовательно, в силу признака
k=\
сравнения и неравенств A1.102) и A1.100), сходится ряд
мажорирующий для тригонометрического ряда Фурье функции /(х).
Отсюда следует равномерная сходимость тригонометрического ряда
Фурье функции f (х) к его сумме S(x) на всей оси х. Справедли-
Справедливость равенства S(x) = f(x) на отрезке [—/, Z] вытекает из основной
теоремы сходимости, условия которой здесь выполнены. Этим дока-
доказательство теоремы завершено.
Замечание. Равенство значений функции /(х) на концах
отрезка [— /, /] является необходимым условием того, чтобы
тригонометрический ряд Фурье A1.96) функции f (х) сходился к ней
па концах этого отрезка. Действительно, если для суммы этого
ряда S (х) выполнены равенства
= /(—Q.
(п.103)

484 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
то, в силу равенства
S(—t) — S(l), A1.104)
являющегося следствием периодичности суммы ряда A1.96) с перио-
периодом 21 (все члены ряда периодичны с периодом 2/), будет выпол-
выполняться также равенство
/(—0 = /@- A1.105)
Поэтому равенство A1.105) и подавно является необходимым для
того, чтобы ряд Фурье A1.96) функции / (х) сходился к пей равно-
равномерно на всем замкнутом отрезке [—Z, Z].
Если изменить в конечном числе точек значения непрерывной
кусочно-гладкой функции /(х), заданной на отрезке [—/, Z] и имею-
имеющей равные значения на его концах, то получится разрывная
функция, имеющая на концах отрезка [—Z, I], вообще говоря, раз-
различные значения. Коэффициенты Фурье такой измененной функции
останутся прежними (так как интегралы, выражающие коэффициенты
Фурье, при этом не изменятся). Следовательно, в силу оценок дока-
зательства теоремы 11.2 ряд 2(|flftl + l*ft|) будет сходящимся; а
fe=i
значит, тригонометрический ряд Фурье этой кусочно-непрерывной и
кусочно-гладкой функции будет сходиться равномерно на отрезке
(—I, I], но не к ней, а к исходной функции. Однако для равно-
равномерной сходимости на отрезке [—/, /] тригонометрического ряда
Фурье кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой функции f(x) не-
необходимо, чтобы все ее разрывы были устранимыми и имело место
равенство ее предельных значений на концах отрезка /(—1-\-0) =
= /(/—0). Это легко доказывается с помощью теорем о непрерыв-
непрерывности суммы ряда и о почленном предельном переходе в равномерно
сходящемся ряде (§ 2 гл. 8).
Теорему 11.2 можно сформулировать несколько иначе. Заметим
прежде всего, что если функция f (х) непрерывна на отрезке [—/, /]
и имеет равные значения на его концах, то при ее периодическом
продолжении с периодом 2/ получается функция, непрерывная на
всей оси х.
Назовем, далее, функцию / (х) кусочно-гладкой на всей оси х,
если она является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке оси х.
Теперь мы можем сформулировать теорему следующим образом:
Если периодическая функция f (х) с периодом 21 является
непрерывной и кусочно-гладкой на всей оси х, то ее тригоно-
тригонометрический ряд Фурье A1.96) сходится к ней равномерно на
всей оси.
2. Связь между степенью гладкости функции и скоростью
сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Исследование
такой связи важно для выяснения возможности приближенной замены

§ 4] ПОНЯТИЕ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 485
суммы тригонометрического ряда Фурье его частичной суммой,
а также для выяснения возможности почленного дифференцирования
такого ряда, что находит важные применения в математической физике.
Теорема 11.3. Если f(x), f'(x) f{m)(x), где m>0,
непрерывны на отрезке [—/, Z] и имеют равные значения на
его концах, т. е.
/(—/) = /(/), /'(_/) = /'(/) /С™)(_/) = /С™) @, A1.106)
а /т+1)(х) кусочно-непрерывна на отрезке [—/, /], то для
коэффициентов Фурье функции f(x)
-и
i
-I -I
выполняются соотношения
I \ L I \ /111 A*7\
д^=о| 1, Ьь'=о\ 1 (J1.107)
и ряды
2 kv{\ak\+\bk\), v=0, 1. 2 m, A1.108)
сходятся *).
Доказательство. Интегрируя по частям, как при доказа-
доказательстве теоремы 11.1, получим
1 С , /s. £я£ .с.
ak = T J /(s)cos-7^rf| =
/ ,/,*v ._. *л£ |s=/
*) Соотношения A1.107) означают, что
Hm |aft: —-| = 0, lim lbk: —-^=
Л km+1 j [ km+1 J
: —-| = 0, lim lbk: —
km+1 j *->+<*[ km+1

486
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. II
=-w//"©«,. *£«=...
-i
= + im+1 I f
cos
sin
fall I
При этом мы пользуемся тем, что, в силу: 1) условия A1.10) тео-
теоремы, 2) четности косинуса и 3) обращения в нуль синуса на концах
отрезка [— Z, /], выполняются равенства
COS-
1=-/
sin
;=-/
= 0 при 0 <С s ^ т.
Фигурная скобка под знаком интеграла A1.109) означает, что в зави-
зависимости от того, сколько раз было выполнено интегрирование по
частям, в качестве множителя при f-m+ >(|) может оказаться либо
&я£ - . &я£
cos-—, либо sin—р-.
Совершенно аналогично получаем, что
я л i 2\ cos —р
Переходя в равенствах A1.109) и A1.110) к модулям и складывая
результаты, будем иметь
ь'л+1
■+-
A1.111)
Jm
где аТ+ч и ЬТ+Ч~ коэффициенты Фурье /(т+1) (х).
Так как о4т+ ' и 6й'л+1) стремятся к нулю при ft-»-J-oo, то из
A1.111) следует, что
Из A1.111) получаем, что
,т+\
■+■
„т+1

§ 4] ПОНЯТИЕ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 487
так как
Поэтому из A1.11L), в силу неравенства Бесселя
I л(т + 1)|2
k=\ -I
+00
и в силу сходимости ряда N. -р-, вытекает сходимость ряда
-ьоо
2 km (I ak I -f- \bk I), а из нее — сходимость всех рядов A1.108).
Теорема доказана.
Замечание 1. Если речь идет о разложении в ряд по sin—■£-,
k=\, 2 функции /(х), заданной только на отрезке [0, I], то
условия теоремы 11.3 должны быть выполнены для функции F (х),
определяемой на всем отрезке [—Z, Z] путем нечетного продолже-
продолжения / (х). В частности, для непрерывности функции F (х) при х = 0
необходимо, чтобы выполнялось равенство /@) —0, так как в про-
противном случае при нечетном продолжении получится разрыв в точке
■х = 0. Аналогично этому в точке х — 1 должно быть /(/) = 0, ибо
для продолженной нечетной функции должно выполняться равенство
F (—1) = F (/). Поскольку производная нечетной функции четна, то
для производной функции F(x) автоматически выполняется соотно-
соотношение F'(—l) = F'{l).
Вообще для того чтобы производные функции F(x), непрерыв-
ныеЛ на отрезке [—./, I], имели равные значения на его концах,
нужно потребовать, чтобы выполнялись условия
Тогда для производных нечетного порядка от функции F(x) соот-
соответствующие условия теоремы 11.3 будут выполнены автоматически.
В частности, для сходимости рядов
2
ОО
kx\bk\, v = 0, I, 2,
где bk = — I f A) sin-T-^-d?! — коэффициенты Фурье функции /(х),
о
заданной на отрезке [0, Z], достаточно потребовать, чтобы /(х) удо-
удовлетворяла следующим условиям:

48Ь РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 11
1) /(х)- f'(x) и /" (х) Должны быть непрерывны, а /'" (х) —
кусочно-непрерывна^на отрезке [0, /];
2) / @) = / (W @) = /" (/) = 0.
Замечание 2. Если функцию f(x), удовлетворяющую усло-
условиям теоремы 11.3, периодически продолжить за пределы отрезка
[—Z, Z] с периодом 21, то она станет непрерывной периодической,
функцией с периодом 2/ на всей оси х, равно как и ее производные,
до т-го порядка включительно. Поэтому теорему 11.3 можно пере-
перефразировать следующим образом:
Если периодическая функция f (х) с периодом 21 является
непрерывной при — оо < х •< оо вместе со своими производ-
производными до т-го порядка включительно (т^-0), а (т-\- \)-я произ-
производная /т+1) (х) кусочно-непрерывна, то для коэффициентов
Фурье ak и bk этой функции по основной тригонометрической
системе выполняются соотношения:
2) ряды 2 kv (| ak \-\-\bk I) при v = 0, 1, ... m
сходятся. Таким образом, эта теорема устанавливает связь между
степенью гладкости периодической функции и скоростью сходимости
ее тригонометрического ряда Фурье.
Замечание 3. Если выполнены условия теоремы 11.3 при
т > 0, то тригонометрический ряд Фурье функции / (х) можно диф-
дифференцировать почленно не менее т раз, т. е. заведомо будут вы-
выполняться равенства
) ... ....
rr) A1-114)
k-\ '
при 1<Х>г, —1-^х-4Ц,
так как мажорирующие ряды
« (|я*1 + Р*1) ПРИ i<>s-C.m
k = \
сходятся вместе с рядами A1.109).
Замечание 4. Доказательство теоремы 11.3 позволяет оце-
оценить скорость сходимости ряда Фурье, то есть дать оценку погреш-
погрешности, допускаемой при замене суммы тригонометрического ряда Фурье
его частичной суммой. При выполнении условий теоремы 11.3, исполь-
используя соотношение A1.111), неравенство Коши — Буняковского для сумм,
неравенство Бесселя для коэффициентов Фурье функции /('п+1)(х)

§ 4! ПОНЯТИЕ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 489
и очевидную оценку ряда
+ оо +со
ft=fto + l
получим
3. Понятие улучшения сходимости тригонометрического ряда
Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, получающийся в результате
решения какой-либо конкретной задачи, может оказаться столь мед-
медленно Сходящимся, что его практическое использование затруднено,
поскольку замкнутое выражение его суммы неизвестно.
В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли из медленно сходя-
сходящегося тригонометрического ряда Фурье
*=fl), -/<x</. (А)
выделить такой медленно сходящийся тригонометрический ряд Фурье,
сумма которого ф(х) известна в замкнутой форме, чтобы оставшийся
ряд, связанный с f (х) и ф(х) соотношением
клх
лх \
сходился уже достаточно быстро, т. е. чтобы его коэффициенты ак
и рк достаточно быстро стремились к нулю при &->-)-со.
Такой переход от представления (А) для функции f (х) к пред-
представлению (Б) называется улучшением сходимости ряда (А).
Если известны особенности функции / (х) (предельные значе-
значения f(х) и ее производных при х—>+1 и в точках разрыва), то

490 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
улучшение сходимости достигается вычитанием из /(х) достаточно
простой функции ф (х) с такими же особенностями, как и у /(х).
Пусть, например, известно, что /(х) непрерывно дифференци-
дифференцируема на отрезке [—Z, 1\ и что Игл /(х) = ± Z. Так как значе-
х->± I
ния / (х) на концах отрезка [—Z, Z] не равны, то ряд (А) сходится
неравномерно на этом отрезке. Положим ф (х) = х; эта функция
так же непрерывно дифференцируема на [—/, Z] и имеет такие же
предельные значения на его концах, как и /(х). Поэтому функ-
функция /(х) — х непрерывно дифференцируема и имеет равные предель-
предельные значения на концах отрезка [— Z, Z], а следовательно, ряд в пред-
представлении (Б) для функции / (х) при ф (х) = х будет сходиться уже
равномерно на отрезке [— Z, Z].
Ознакомимся теперь с другим подходом к улучшению сходимости
ряда (А), когда никакой дополнительной информации о его сумме не
имеется. А. Н. Крылов предложил в этом случае выделять из коэф-
коэффициентов ап и Ьп ряда (А) младшие степени величины — и пы-
тяться суммировать ряд с коэффициентами, содержащими эти млад-
младшие степени величины —. При этом нужно пользоваться таблицей
разложений различных функций в тригонометрические ряды Фурье
с достаточно медленно сходящимися разложениями.
Пусть, например, требуется улучшить сходимость ряда
= %(—l)n-^zrr sin пх, — я<х<я. A1.115)
Так как
п? _ 1 1
п* — 1 п'п5 — п '
то
-1)"!^. ~я<х<я.
/1=2 я=2
Но ранее было установлено (см. пример 1 п. 5 § 2, в котором для
нашего случая нужно положить /==я), что
^, -я<х<л.
Поэтому
+оо
^(_l)n^JHL^_^ + s-mXt —я<х<п.
п-2

§ 5] ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА 491
Следовательно,
+ ОО
Л\"\ ■ __^ __ I С1 п V \ v I — 1 \ ТТ *-^ V ^^ rr /11 1 1 С\
л) о ^~ ^^ ^J ^ ' ns П ' — Jl^X-c^IX. A1.11DJ
Ряд A1.116) сходится уже значительно быстрее, чем ряд A1.115).
§ 5. Равномерная аппроксимация непрерывной функции
тригонометрическими и алгебраическими многочленами;
теоремы Вейерштрасса
Пусть е > 0 — какое-нибудь фиксированное число. Если нера-
неравенство
|ф(х)— ар(х)| <е
выполняется сразу для всех х£[а, А], то говорят, что 'ф(х) равно-
равномерно ^-аппроксимирует функцию ф(х) на отрезке [а, Ь\.
Теорема 11.4. (первая теорема Вейерштрасса). Если функ-
функция f{x) непрерывна на отрезке —1<^х^1 и имеет равные
значения на его концах, то при любом е > 0 найдется три-
тригонометрический многочлен
rj, A1.117)
k=\
равномерно ^-аппроксимирующий функцию /(х) на отрезке
[-1, I].
Для доказательства этой теоремы нам потребуется
Лемма. Какова бы ни была непрерывная на- отрезке
я-^хО функция /(х), при всяком е>0 существует такая
непрерывная и кусочно-гладкая на этом отрезке функция g \x\,
что
| / (■*) — gs (■*) | < y при всех х£[а, Ь\, A1.118)
причем
ge(a) = f(a), ge(b) = f(b). A1.119)
Доказательство леммы. Так как /(х) непрерывна на
замкнутом отрезке [а, Ь], то она равномерно непрерывна на нем,
т. е. при любом е>0 найдется такое 6 = б(е), что для любых х'
и х" из отрезка [а, Ь], удовлетворяющих неравенству |х' — х"\ < б(е),
будет выполняться неравенство
|/(х')-/(х")|<|- A1.120)

492 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. И
Поэтому, если разбить отрезок [а, Ь] точками деления хо = д<
< Xj < ... < xl < xt+1 < ... <xn+i = 6 на частичные отрезки
[хг, x;+i] длины меньше б, то для любых двух точек х' и х", при-
принадлежащих одному и тому же частичному отрезку [хг, хг+1], будет
выполняться неравенство A1.120).
Определим на [а, Ь\ непрерывную кусочно-гладкую функцию
y=ge(x)> положив g-e(х.) = /(х.) при i = 0, 1 m+1 и счи-
считая ge(x) линейной на каждом отрезке [xt, xt+1], t=0, 1, ..., т.
График функции у = ge (x) представляет собой ломаную, вписанную
в график функции у = / (х). В силу определения ge (x), имеем
Докажем, что
при любом х'£[я, 6]. Пусть, например, х' £[х(-, хг+1]. В силу линей-
линейности g"e(x) на отрезке [хг, хг+1], значение gz(x') заключено между
значениями ge(хг) = /(хг) и g"e(^+1) = /(^i+i). Так как непрерыв-
непрерывная функция /(х) принимает на отрезке [хг, хг+1] все значения, про-
промежуточные между значениями f(xj) и f(xi+1), то найдется такое
х"£[хг, хг+1], что f(x") = ge(x'). Следовательно,
так как х' и х"£[х;, х/+!], что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 11.4. По условию /(х) непре-
непрерывна на отрезке [—I, 1} и имеет равные значения на его кон-
концах: /(—0 = /@- Пусть дано е > 0. Согласно лемме существует
такая непрерывная и кусочно-гладкая на [—;, I] функция gE(x),
что
E
> — ge(x)\<Y при всех •*€[—■/./] A1.121)
gA~D = f(-l), gPd) =
а следовательно,
^(-0 = ^@. (П.122)
так как / (— l) — f @-
По теореме 11.2 тригонометрический ряд Фурье функции ge(x)
сходится равномерно к gz(x) на отрезке [—I, I]. Следовательно,
при достаточно большом п для его частичной суммы Тп (х) =

§ 5] ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА 493
п
ао i V1 I клх , , , кях\ £
— -2~-г 7j \ak cos—7 M'ftsin—т~) будет выполняться неравенство
всех х£1—1,1]. A1.123)
Сопоставляя A1.121) и A1.123), получим
при всех х£[—I, I]. Теорема доказана.
Замечание. Взяв последовательность gj, e2 гк, ..., стре-
стремящуюся к нулю, мы получим последовательность тригонометрических
многочленов ГЛ] (х), Т„2(х), .... равномерно сходящуюся на от-
отрезке [—I, I] к функции /(х). Однако эти тригонометрические
многочлены не являются, вообще говоря, частичными суммами одного
и того же тригонометрического ряда. Действительно, многочлен Тп (х),
отвечающий данному е > 0, т. е. входящий в неравенство A1.124),
является многочленом Фурье для вспомогательной непрерывной и
кусочно-гладкой функции ^(х), которая с изменением е меняется,
что приводит к изменению коэффициентов многочлена Тп(х). Однако
тот факт, что непрерывная функция /(х) не является, вообще говоря,
пределом равномерно сходящейся последовательности частичных сумм
одного и того же тригонометрического ряда, не есть следствие лишь
способа построения многочленов Тп (х).
Если бы /(х) была пределом равномерно сходящейся последова-
последовательности частичных сумм некоторого тригонометрического ряда
+ОО
-j--f- У laftcos—-. [-pfesin—— на отрезке [—1,1], то он (этот
ряд) неизбежно являлся бы тригонометрическим рядом Фурье для f (х).
Однако можно привести примеры непрерывных функций /(х) на
отрезке [—I, I], тригонометрические ряды Фурье которых расходятся
в конечном или даже в бесконечном числе точек этого отрезка.
Построение таких примеров довольно сложно *).
Теорема 11.5 {вторая теорема Вейерштрасса). Если /(х)
непрерывна на отрезке a^x-^fa то для всякого е>0 най-
найдется алгебраический многочлен
2х'+ ... +Атхт,
равномерно ^-аппроксимирующий f(x) на отрезке а
*) См., например, Н. К. Бар и, Тригонометрические ряды.

494 ряды фурье и интеграл фурье [гл. и
т. е. такой, что всюду на этом отрезке выполняется нера-
неравенство
\f(x) — Pm(x)\<E. A1.125)
Доказательство. Возьмем />0 столь большим, чтобы от-
отрезок [а, Ь] лежал строго внутри отрезка [—/, /]. Определим на
[—I, I] непрерывную функцию F(x), положив F(x) = f (x) на [а, Ь],
F (— /) = F @ = 0 и считая F (х) линейной на отрезках — I <[ х -^ а,
bk^x-^.1. По первой теореме Вейерштрасса при любом е>0 най-
найдется такой тригонометрический многочлен
что всюду на [— I, I] будет выполняться неравенство
\F(x)—Ta(x)\<±. A1.127)
Разложим в ряд Тейлора синусы и косинусы, входящие в A1.127):
l—-mrx2 + Tnrx*—..., A1.128)
Sin—r=~rx'~~3fFx~t~WFx
Степенные ряды A1.128) и A1.129) сходятся (например, по признаку
Даламбера) при всех х, —со<х<-(-со- Подставляя A1.128) и
A1.129) в A1.126), получим степенной ряд.
Tn(x)=A0 + Atx-\-A2x*+ ... +Атхт+..., A1.130)
сходящийся при всех х, — ос < х < -\- со, и, следовательно,
равномерно сходящийся на любом конечном отрезке оси х,
в частности на отрезке [—I, I]. Поэтому, беря т достаточно боль-
большим, получим такую частичную сумму ряда A1.131)
Гт(х)=А0+А1х+ ... +Атхт,
что
\Т„(х) — Рт(х)\<±- при всех х£[—1,1]. A1.131)
Сопоставляя неравенства A1.131) и A1.127), получим
Р(х)-Ря(х)\<£\Р(х)—Ти(х)\ +
+ |Гя(*)-ЯЯ1(*)|<^- + | = е A1.132)
при всех х^[—I, /], в частности при всех х£[а, Ь]. Но при
всех х£[а, b] F(x) = f(x) и неравенство A1.132) превращается в

§ 6] О ПОЛНОТЕ И ЗАМКНУТОСТИ 495
неравенство
е. A1.133)
что и требовалось доказать.
Замечание. Взяв последовательность ej, e2, ..., е,к, ..., схо-
сходящуюся к нулю, получим последовательность алгебраических много-
многочленов Рт1(х), Рт2(х) равномерно сходящуюся к f (х) на [а, Ь].
Эти многочлены не представляют собой, вообще говоря, частичных
сумм одного и того же степенного ряда по причинам, аналогичным
описанным в замечании после доказательства первой теоремы Вейер-
штрасса (теоремы 11.4).
Теоремы Вейерштрасса не дают эффективного способа построе-
построения многочленов, равномерно аппроксимирующих непрерывную функ-
функцию с заданной точностью е > 0.
П. Л. Чебышев поставил и исследовал проблему построения много-
многочленов наилучшего приближения, играющую важную роль при эффектив-
эффективной равномерной аппроксимации непрерывных функций многочленами.
Обозначим через Нп множество всех алгебраических многочленов
степени ^.п. Пусть Рп(х)£Нп, а функция f (х) непрерывна на [а, Ь].
Число
E(f, Pn)= max \f(x) — Pn(x)\
назовем отклонением Рп(х) от f (х) на [а, Ь]. Нижнюю грань
значений E(f, Р„), когда Рп(х) пробегает все множество Нп, обо-
обозначим через Еп(/) и будем называть наименьшим отклоне-
отклонением. Чебышев доказал существование и единственность многочлена
наилучшего равномерного приближения, т. е. такого Рп (х) £На, что
E(f,Pn) = £„(/).
и исследовал методы построения таких многочленов. При этом им
были получены так называемые многочлены Чебышева, наименее
уклоняющиеся от нуля (см. по этому поводу [4], том II, гл. 4).
При построении многочлена, равномерно аппроксимирующего непре-
непрерывную функцию f (х) на отрезке [а, Ь] с заданной точностью е,
для практических применений важно, чтобы, он имел наименьшую
возможную степень. Таким многочленом, очевидно, является много-
многочлен наилучшего равномерного приближения к функции f (х) на [а, Ь\
из совокупности Нп при к, для которого выполняется неравенство
§ 6. О полноте и замкнутости ортогональных систем
Всюду в этом параграфе под классом функций Q[a, b] мы будем
понимать множество всех кусочно-непрерывных на [а, Ь] функций.
Понятия полноты и замкнутости будут определены для функций
из Q[a, b]; основные теоремы о полноте и замкнутости будут также

496
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. II
доказаны для функций этого класса (теоремы 11.6—11.10 настоящего
параграфа).
Следует заметить, однако, что все это может быть сделано и для
значительно более широкого класса функций — для функций, инте-
интегрируемых с квадратом на [а, Ь\, или даже для функций, интегри-
интегрируемых с квадратом с некоторым весом р(х) на [а, Ь\ (см. Допол-
Дополнение 2 к гл. 11).
1. Понятие полноты ортогональной системы. Ортогональная
на [а, Ь] система функций
ф1(х), ф2(*) Ф„(х)> ... A1.134)
называется полной в Q [а, Ь], если для каждой функции / (х) из Q [а, Ь\
ее ряд Фурье по ортогональной системе A1.134)
где
= f<tl(x)dx) , A1.136)
сходится к f(x) в среднем на [а, Ь\, т. е.
п 12
k=l
f (X) —
(х)
k=l
при п~>--\-оо.
A1.137)
В этом случае говорят, что система A1.134) образует базис про-
пространства Q\a, Ь\, так как для каждого «элемента» f(x)£Q[a, b]
в случае полноты системы A1.134) имеет место обобщенное равенство
+
Где с*=
которое следует понимать з смысла сходимости в среднем на от-
отрезке [а, Ь\, т. е. it смысле выполнения соотношения A1.137).
2. Критерий полноты — равенство Парсеваля. Воспользуемся
тождеством Бесселя
/■
к=\

§ 6] О ПОЛНОТЕ И ЗАМКНУТОСТИ 497
(см. п. 3 § 3). Переходя в нем к пределу при п —>--[~°°> получим
Я \ Ь +СО
откуда следует, что равенство
/ " ^\
lim р2 /, 2 с*ф* =0 A1.141)
равносильно равенству
ff4x)dx = ^icll(fkf. A1.142)
Равенство A1.142) называется равенством Парсеваля. Таким обра-
образом, для того чтобы ортогональная система A1.134) была полна
в Q[a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любой функции
/(x)£Q[a, b] выполнялось равенство Парсеваля A1.142).
3. Свойства полных систем. Ортогональная на [а, Ь\ система
ф1(х), ф2(х) ф„(х), ... A1.143)
называется замкнутой в Q[a, b\. если любая функция
f (x)£Q[a, b], ортогональная на [а, Ь] всем функциям системы
A1.143), является нулем пространства Q\a, b], т. е. равна
нулю всюду в точках непрерывности f(x), и, следовательно,
может быть отлична от нуля лишь в конечном числе точек
на [а, Ъ\.
Теорема 11.6. Если ортогональная на [а, Ъ\ система A1.143)
полна в Q[a, b], то она и замкнута в Q[a, b\.
Доказательство. Пусть кусочно-непрерывная функция f (х)
ортогональна всем функциям системы A1.143) на [а, Ь], т. е.
ь
f(x)(fk(x)dx = 0 при k=\, 2, ...
Тогда коэффициенты Фурье функции /(х) по системе A1.143)
равны нулю:
ь
AfAx)dx = O, A = l, 2, ... 01.144)
В силу полноты системы A1.143) в Q[a, b\, для любой функции
/ (х) £ Q [а, Ь] будет выполняться равенство Парсеваля
Ь 4-со
32 Б. М. Будак, С. В. Фомин

498 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II'
но, в силу A1.144), из A1.145) следует, что
J/2(x)rfx=0. A1.146)
а
Пусть / (хо)фО, где хо£ [а, Ь] является точкой непрерывности /(х).
Заключим х0 в отрезок [а', Ь'\, на котором /(х) непрерывна и
который содержится в [а, Ь]. Так как /2(х) непрерывна и неотри-
неотрицательна на [а', Ъ'\, причем /2(х0) > 0, то I f2(x)dx > 0. Но тогда
а'
Ь
и подавно |/2(x)fifx>0, что противоречит равенству A1.146).
а
Следовательно, /(х)^0 в точках непрерывности на [а, Ь]. Тео-
Теорема доказана.
Теорема 11.7. Если две функции /(х) и g(x) из Q[a, Ъ\
имеют один и тот оке ряд Фурье по полной ортогональной
системе на [а, Ь\, то они как элементы пространства Q[a, b]
совпадают, т. е. могут отличаться лишь в конечном числе
точек на [а, Ь\.
Доказательство. Функция г|7(х) = (/(х) — g(x))£Q[a, b\
ортогональна всем функциям системы A1.143) на [а, Ь\. Действи-
Действительно,
* * *
: = J / (х) <pk (x) dx— J g (x) щ (x) dx =
a a
= (cl — cf)h>f. k = l- 2. 3 (П-147)
где c£ — коэффициент Фурье функции /(x), a c|—коэффициент
Фурье функции g(x). Так как по условию ряды Фурье этих функ-
функций совпадают, т. е. cjt = c£ при k=l, 2, .... то из A1.147) сле-
следует, что
fy(x)q>fc(x)dx = 0 при £=1,2,3,... A1.148)
а
Но тогда по предыдущей теореме разность ар (х) = / (х) — g (x)
тождественно равна нулю на [а, Ь] в точках непрерывности гр(х),
а следовательно, может быть отличной от нуля лишь в конечном
числе точек на \а, Ь], что и требовалось доказать.
Теорема 11.8. Если ортогональная на [а, Ь] система A1.143)
является полной в Q[a, b], то для любых двух функций
f (x) и g(x) из Q[a, b\ имеет место обобщенное равенство

§ 6] О ПОЛНОТЕ И ЗАМКНУТОСТИ 499
Парсевалч
ь
где с[ и с\— коэффициенты Фурье функций /(х) и g(x) по
ортогональной системе A1.143).
Доказательство. Равенство A1.149) получается, если на-
написать равенство Парсеваля для функций f(x)-\-g{x) и f(x)—g(x),
а затем вычесть их и разделить результат пополам.
Теорема 11.9. Если f(x)£Q[a, b], а ортогональная на [а, Ь\
система {фг (х)} полна в Q[a, b], то ряд Фурье функции f (х)
по системе {цч(х)\ можно интегрировать почленно т. е.
4>k(l)dl A1.150)
k=\ X,
при любых х0 и х из отрезка [а, Ь], причем ряд A1.150) схо-
сходится равномерно по х на [а, Ь].
Доказательство. Справедливость этой теоремы вытекает из
-(-оо
сходимости в среднем ряда Фурье 2С*Ф*(Х) к /(х) на №> Ь] и
k=\
теоремы о почленном интегрировании рядов, сходящихся в среднем
(см. п. 3 § 6 гл. 8).
4. Полнота основной тригонометрической системы.
Теорема 11.10. Основная тригонометрическая система
1 ЛХ . ЛХ Ых . Ых /11 1Пч
-Н-. COS -у-, Sin-у COS—-.— , Sin—-— , ... (I 1.1 О I)
полна в Q[— I, I].
Доказательство. Требуется доказать, что для любой кусочно-
непрерывной функции /(х) на [—/, /] будет
р2(/, Tfn)= j[f(x) — Tfn(x)Y dx~>0 при я-> + оо, (П.152)
где
п
. Ых\
— многочлен Фурье функции /(х) по системе A1.151).
Пусть |/(х)|<Ж на [—/, I] и пусть е > 0. Не нарушая общ-
общности рассуждений, можно предположить, что /(х) имеет единствен-
единственную точку разрыва х0, лежащую внутри [—/, I]. Построим такую
непрерывную на отрезке [—I, I] функцию g(x), чтобы она имела
32*

500
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. И
равные значения на его концах: g(—l) = g(l), и чтобы выполнялось
неравенство
Р2(/- *)=
(*) — g(x)Jdx<j.
A1.153)
Для этого, взяв 6>0 достаточно малым, положим g(x) = f(x)
при —I -^ х -^ х0 — б и при хо-{-6 <^.х ^1 — б, а на отрезках
х0 — 6<Сх<^хо4~6, I— 6<^х<^/ будем считать g(x) линейной
(см. рис. 11.10, на котором график / (х) изображен сплошной ли-
линией, а график функции g(x) — пунктиром с длинными штрихами)-
О лд-5 хл ха+5 IS I
Рис. 11.10.
В силу определения g(x), имеем g(—l) = g(l) = f(—/), причем
разность /(х) — g (x) может быть отличной от нуля только прИ
х0 — 6<х<хо + б и при I — б < х < /. Поэтому будем иметь
Р2(/. g)=
-g(x)]4x= f
6
f {\f(x)\+\g(x)\)*dx +
1-6 Xv-6
I
+ / {I / (x) I + I g (x) I P dx < 4Ж22б + 4Л^2б = 12Ж2б < — ,
(-6
если только взять б>0 достаточно малым. Так как g(x) непре-
непрерывна на отрезке [— /, /] и имеет равные значения на его концах:
g(—l) = g(l), то по первой теореме Вейерштрасса (теорема 11.4)
найдется такой тригонометрический многочлен
«o
cos
sin
клх\

§ 6] О ПОЛНОТЕ И ЗАМКНУТОСТИ 501
что
| g (х) — ТПо (х) |< у -щ при всех х£[—1.1]. A1.154)
Следовательно,
dx = ^. A1.155).
-i -i
Воспользуемся теперь элементарным неравенством
(а -\- ЬJ <; 2а2 -(- 2^>2,
положив а = /(х) — g(x), b — g(x)—ТПа(х); это даст
и, следовательно,
-i -i
f\f(x)-g{x)?dx-}-
i
+ 2 f [g (x) - Tno (x)]*dx < 2 i- + 2 i- = e.
Если в последнем неравенстве заменить тригонометрический много-
многочлен ТПа(х) тригонометрическим многочленом Фурье 7"{„(х) функ-
функции /(х), то и подавно будет
Р2(/. 7)<e. A1.156)
так как при подстановке 7 вместо Т„о квадратичное уклонение до-
достигает своего минимума.
Воспользовавшись тождеством Бесселя, перепишем неравенство
A1.156) так:
Р2
Р2(/. Г«,)= ff4x)dx-l<^-+fd(al + bl)\<e. A1.157)
-i \ ft=i J
Следовательно, и пода&но будет
Р2(/. TfJ= ff(x)dx-l\^- + ^(а1 + ЬЩ<Е A1.158)
при всех я^-я0. В силу произвольности е > 0, это означает, чта
р2
р2
(/. T'Q-^O ПРИ л—>- + оо, что и требовалось доказать.

502 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. [[
Из доказанной полноты тригонометрической системы следует, со-
согласно предыдущему, ее замкнутость, а также однозначная определи-
определимость кусочно-непрерывной функции /(х) ее тригонометрическим
рядом Фурье всюду на отрезке [—I, I], кроме, быть может, конеч-
конечного числа точек (точек разрыва /(х)). Впервые полноту тригоно-
тригонометрической системы доказал А. М. Ляпунов.
5. Полнота других классических ортогональных систем, исполь-
используемых в математической физике, доказывается аналогично. Рассмотрим,
например, доказательство полноты системы полиномов Лежандра.
Пусть /(х) кусочно-непрерывна на отрезке [—1, 1] и пусть дано
произвольное е > 0. Заменим /(х) непрерывной на [—1, 1] функ-
функцией gs(x), для которой
1
р2 (/, gE) = f [f (x) - ^Е (x)f dx<\. A1.159)
-i
аналогично тому, как это делалось в доказательстве полноты тригоно-
тригонометрической системы; только здесь уже незачем добиваться равенства
значений функции gE(x) на концах отрезка [—1, 1]. По второй тео-
теореме Вейерштрасса (теорема 11.5) найдется такой алгебраический
многочлен
Qffl(x) = A,+ ^x+^2x2+ ... +Атхт,
что равномерно на отрезке [—1, 1] будет выполняться неравенство
а следовательно, и неравенство
р2(*е. Q.) = f [ее(*)-QmM]2dx<т• СИ-160)
-I
Так как 1, х, л:2, .... хт *) являются линейными комбинациями
полиномов Лежандра, то
... +ВтРт{х),
где Я, (х), .... Рт(х) — полиномы Лежандра.
Из A1.159) и A1.160), в силу неравенства (а+6J<2а2 + 2Я
следует, что
Р2(/' Qm)<2p3(/, gj+2p>(ge, Qm)<2| + 2| = e. A1.161)
*) См. Дополнение 1 к гл. 11.

§ 7] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ 503
Если в выражении р2(/, Qm) коэффициенты Вд, ..., Вт заменить
коэффициентами Фурье функции /(х) по системе полиномов Лежандра
+i
c*=p4tF f f(x)Pk(x)dx. k = 0, 1 m, A1.162).
то, в силу минимизирующего свойства коэффициентов Фурье, квадра-
квадратичное уклонение р2(/, Q/n) не увеличится. Поэтому, вводя обозна-
обозначение
<&(*) = «О+СЛ(*)+ ••• +СтРт(Х)- (И-163)
получим, что
р2(/- Q4)<e- (п.164).
В силу тождества Бесселя
+ 1 а
2(*)**-2 е*IMP- A1Л65)
получим, что из выполнения неравенства A1.164) вытекает также
выполнение неравенства
Р2(/. Q{)<z (П.166)
при всех я ^> т. В силу произвольности е > 0, это означает, что
Р2(/. <Э£)-*0 при п-+-±оо. A1.167)
Этим полнота системы полиномов Лежандра в Q [— /, I] доказана.
§ 7. Ряды Фурье по ортогональным системам
комплексных функций и комплексная запись
тригонометрического ряда Фурье
В данном параграфе наряду с вещественными функциями мы будем
рассматривать комплексные функции вещественной переменной х,
а именно, функции вида
ф(х) = ф*(х)-ИУ*(-*0. A1.168)
где ф*(х) и ф**(х) — вещественные функции. Функцию, комплексно
сопряженную с ф(х), т. е. отличающуюся знаком мнимой части,
будем обозначать через ф (х); таким образом,
ф (х) = ф* (х) — (ф** (х). A1.168')
Заметим, что
>0. A1.169)

504 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. И
Функция ф (х) = ф* (х) -\-t(f** (х) называется непрерывной (ку-
(кусочно-непрерывной) на [а, Ь], если ее вещественная и мнимая части,
т. е. ф*(х) и ф**(х), непрерывны (кусочно-непрерывны) на [а, Ь].
Производная и интеграл от функции ф(х) = ф*(х)-(-йр**(х) опре-
определяются соответственно равенствами
dx dx
ь
A1Л70)
f q(x)dx = Jф*(x)fifx + г■ f q>**(x)dx, A1.171)
a a a
причем ф (x) = ф* (x) -f- г'ф** (х) называется дифференцируемой (инте-
(интегрируемой), если ф*(х0) и ф**(х) дифференцируемы (интегрируемы).
Если ф (х) = ф*(х) -f-«Ф**(х) и 'Ф(х) = 'Ф* (х) + ;Ф** (х) интегри-
интегрируемы на [а, Ь\, то, очевидно, функция ср(х)а|)(х) также интегри-
интегрируема на [а, Ь]. В частности, если ф(х) интегрируема на [а, Ь], то
ф(х)ф(х) также интегрируема на [а, Ь], причем
ь ь ь
f Ф (х) ф(х) dx = f I ф(x) \*dx = f {[Ф*(х)]2+ [Ф**(*I2} dx > 0.
a a a
Функции ф(х) и г]з(х), интегрируемые на [а, Ь], называются орто-
ортогональными на этом отрезке, если
ь
^x)dx = 0. (If. 172)
•Система комплексных функций
cPl(x), ф2(х) Фл(х) A1.173)
интегрируемых на [а, Ь], называется ортогональной на [а, Ь], если
/— { О при / ф k, \
ф.-(х)фй(х)й?х= F } A1.174)
I j!Фл!!2 > о при j = k, j
причем нормой интегрируемой функции cf (х) называется неотрица-
неотрицательное число
1 1
* \Т ( <■ \1
f(x)(p(x)rfx ^ l|(p(x)|2fifx . A1.175)

§ 7] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ 505
Одним из важнейших примеров ортогональных систем комплекс-
комплексных функций является система
. ппх
1 , « = (). ±1, ±2 A1.176)
i
ортогональная на отрезке [—I, I]. Ортогональность е ' и е '
при k ф п устанавливается непосредственным интегрированием произ-
произведения
1глх ппх (к-п)ях
tk—n) ях ... (k—n) nx
= COS-i p [/Sini1
Для норм получаем значения
|| . ппх || / ' . плх . ппх \Т
=( fdxj =Y2l A1.177).
Коэффициенты Фурье для любой функции /(х), интегрируемой;
на [а, Ь], по ортогональной системе A1.173) определяются по фор-
формулам
ь
(x)^k(x)dx, A=l. 2. ... A1.178)
Рядом Фурье функции /(х) по ортогональной системе A1.173)
называется ряд
2х), A1.179)
коэффициентами ск которого являются числа A1.178).
В частности, коэффициенты Фурье /(х) по системе A1.176) равны
i
ck = ~ f f(x)e~'~r~dx. k = 0, ±1, ±2 A1.178')
— I
а ряд Фурье A1.179) по этой системе принимает вид
/(•«)— 2 с/~г~. A1.179')
П-—ОО

Qg РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Докажем, что если функция f (х) вещественна на отрезке [—I, I],
о соотношения A1.178') и A1.179') эквивалентны соотношениям
i
ak^=j f f(x)cos^-dx, k = 0, 1, 2, ...;
~'i A1.180)
bk=j f f(x)s\n~dx, *=1, 2. ...
и
A1.181)
k-\
т. е. что соотношения A1.178) и A1.179) являются комплексной
записью коэффициентов Фурье и ряда Фурье для функции f (х) по
основной тригонометрической системе.
Применяя формулу Эйлера
elf = cos ф —j— i sin ф
к A1.178'), получим
i
cu = 4r ff(x)dx = 4r> A1.182)
il ,/ Z
1 /• . -*2« . 1 /,,
* iff y\ p I /J V I Г I 1
U J it J
1 1 С Г * клхЛ
J
= ak~tb* , £ = 1,2,...; A1.183)
1 С r , \ ' ~T~ j 1 /" ,, Л Алл: . . . клхЛ ,
c_k=-^ J f{x)e l dx = w J /(x)[cos—— + tsin—r\dx =
i t
2
k=l, 2, ... A1.184)
Ряд A1.179') можно переписать в виде
+оо . пях +оэ . кях +lo _. кях
2 c/'~r = cu4-2ciei ' +%с_ке~ 1 .A1.185)
Подставляя в A1.185) выражения A1.182), A1.183) и A1.184) коэф-
коэффициентов с0, ск и с_к и используя формулы Эйлера

§ 8) РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 50?
получим равенство
пях +°° ., . клх +i" ... .. клх
\п~-\, A1.186>
г= 1
что и требовалось доказать.
Если функция /(х) является не только интегрируемой, но и
кусочно-гладкой на [—I, I], то, в силу основной теоремы о сходи-
сходимости тригонометрического ряда Фурье и в силу равенства A1.186),
можно написать
-foo . плх
/(*)= 2 спе~1~, A1.187)
п--со
где коэффициенты Фурье определяются по формулам A1.178), при-
причем в левой ча,сти равенства A1.187) /(х) в точках разрыва нужно
/(лг + О) + /(лг —0) . . „ ,
заменить через -^—!— ' -, если —/<х</, а в точках
х=±/ через /(^-Q) +
Комплексная запись A1.178), A1.179) разложения функции /(х).
в тригонометрический ряд Фурье широко используется в математике
и ее приложениях. Она весьма удобна при выполнении различных
выкладок, в частности, где фигурируют произведения тригонометри-
тригонометрических рядов Фурье, а также при рассмотрении тригонометрических
рядов Фурье для функций нескольких независимых переменных.
§ 8. Тригонометрические ряды Фурье
для функций нескольких независимых переменных
Пусть функция f (х, у) определена в прямоугольнике —i^^,
— 'г^СУ^С'г и ПРИ каждом у 6 [—h< Ч\ удовлетворяет условиям,
при которых ее можно разложить в тригонометрический ряд Фурье,
как функцию х на отрезке [—/], 1А- Тогда, воспользовавшись ком-
комплексным представлением для тригонометрического ряда Фурье,
получим
fix. у)= 2 са(у)е~,
П— — QO

508
где
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. И
1
1
я = 0, ±1. ±2, ... A1.189)
-л
Пусть каждую из функций сп(у) в свою очередь можно разло-
разложить на отрезке — 12 ^ у ^ /2 в тригонометрический ряд Фурье, т. е.
. тяу
1~Г
сп(У)=
где
. тяц
п = 0, ±1. ±2 A1.190)
я. /» = 0, ±1, ±2, ... A1.191)
-h
Тогда, подставляя A1.189) в A1.191) и A1.190) в A1.188), получим
+ оо +00 . / пях тяу \
f{x, у)= 2 2 сят<?^ '■ + '• >*, A1.192)
fl~ — OO TJl = — OO
■где
1 /• /• ,/«я| тят1\
™=-щ- J J filt ц)е~ '' h
2 h h
A1Л93)
J J
Так мы получили разложение функции двух переменных в тригоно-
тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.
Воспользовавшись формулой Эйлера e'V = cos ф -{- sin ф, разло-
разложение A1.192) можно переписать в следующей форме:
f(x,y)=
n, m = — со
. тяу \
тяу
плх . тяу
. пях . тяу
где
■j- при т = n = 0,
■i при m=0, й>0 илиж>0, я = 0, A1.195)
1 при т > 0, я > 0.

§ 8] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 509
И
г, h
1 Г Г г , . ляде /илу ,
птп~Т& J J f(х> у)cos~7Г cos~"ТГ dxay'
-г, -/2
А '2
ьтп = -щ J J f(x>
-h -h
A ',
Cmn=7j;J J f(X.
A fa
J J
A ',
/*/* ляд: . тлу
J
-A -
A
A
d™ = -g; f f f(x. y)sia^-sia^dxdy. A1.196)
' 2 fa
Если / (х, у) является четной функцией по каждому из аргу-
аргументов, т. е.
/(— х, y) = f(x,— y) = f(x. у), A1.197)
то, как легко усмотреть, bma = c'mn=dmn = 0 и ряд Фурье для
такой функции принимает вид
+ ОО
г, . V л ляд: тяу ,,
f(x,y)=2jl'nna'nncos-7rCOS~~lf~' С1
nt, я = 0
Если /(х, у) нечетна по х и по у, то для нее могут быть
отличными от нуля только dmn, так что ряд Фурье принимает вид
+ ОО
fix, y)= ^ ^sin^sinS. A1Л99)
т, п=0
Если f(x, у) четна по у и нечетна по х, то она разлагается
ляд: тпу
в ряд по sin—5—cos—у-*-; если же она нечетна по у и четна
ппх . тпу
по х, то разлагается в ряд по cos—-.— sin •—■—-.
М '2
Мы не будем исследовать условий разложимости функции /(х, у)
в двойной тригонометрический ряд Фурье, а сформулируем без дока-
доказательства, что если /(х, у), -^-, -~- и * являются непре-
непрерывными функциями, периодическими по х с периодом 21Х
и по у с периодом 2/2, то тригонометричеекии ряд Фурье
функции f{x, у) сходится к f (x, у) в каждой точке.

510 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
§ 9. Интеграл Фурье
1. Неограниченное растяжение интервала разложения функ-
функции в ряд Фурье и интегральная формула Фурье. Если интер-
интервал [—;, /], на котором функция f (х) разлагается в тригонометри-
тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает, т. е. I—>--)-оо, то ряд
Фурье превращается в интеграл Фурье. При переходе к пределу
происходит качественный скачок: функция, заданная на любом
конечном интервале [— I, I], разлагается в ряд «гармонических коле-
колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность;
функция f (х), заданая на всей оси х или на полуоси х, разлагается
в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических коле-
колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную
полуось 0 <^ X < -f- oo. Рассмотрим этот предельный переход от ряда
Фурье к интегралу Фурье.
Пусть f (х) задана на всей оси х и на каждом конечном от-
отрезке [—I, I] является кусочно-гладкой. Тогда, в силу основ-
основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье, при
любом I > 0
где
\ffl)db !//(» cos
i ~l \ (П.201)
=\ f f{l)s\nk-^dl.
k
' -I
Равенство A1.200) имеет место, если х — внутренняя точка
отрезка [—I, I], в которой f (х) непрерывна; если же х — вну-
внутренняя точка этого отрезка, в которой / (х) разрывна, то в левой
части равенства A1.200) f (х) нужно заменить через * (х —J"
Подставляя выражения A1.201) в A1.200), получим
' k
k=\ -i
Если f(x) еще и абсолютно интегрируема на всей оси хУ
т. е.
+оо
\f(x)\dx=Q<+oo, A1.203)
J

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 511
то при переходе к пределу при 1—>~\-оо первое слагаемое в пра-
правой части A1.202) в силу условия A1.203) стремится к нулю.
Следовательно,
/(*)= Нт |У [f(&cos~(i — x)dl. A1.204)
' 7
Положим -у- = Ък, y = AA.ft. Тогда A1.204) можно переписать
в виде
+ ОО
+ ОО
/(*)= lim ^-УДЯ,» f(l)coslk(l~x)dl A1.205)
AKk->0 Й = 1 -'
Будем теперь рассуждать нестрого:
1) при больших значениях; интеграл f / (£) cos ^ft (E,— x)dl, можно
+ ОО
заменить интегралом f/(i)cosA,ft(| — x)d\,
— оо
-t-oo -t-oo
2) У ЬХЬ f/(|)cos^ft(| — х) d\ является интегральной суммой
-оо
-t-oo +оо
для интеграла Г d% I /(|)cosX,(| — х)</|, поэтому из A1.205)
О
получаем
+ ОО -{-ОО
=ЦdX
//©cosМ§-*)<*§. A1.206)
где в левой части равенства A1.206) вместо f(x) нужно писать
2 ' если х является точкой разрыва функции f (х).
Равенство A1.206) называется интегральной формулой Фурье,
а интеграл, стоящий в ее правой части, — интегралом Фурье.
2. Обоснование интегральной формулы Фурье. Равенство
A1.206) было получено с помощью формальных предельных пере-
переходов, которые не были обоснованы. Вместо того чтобы их обосно-
обосновывать, удобнее непосредственно доказывать справедливость равен-
равенства A1.206).
Теорема 11.11. Если функция f(x), кусочно-гладкая на
каждом конечном отрезке оси х, абсолютно интегрируема

512 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
+ оо
на всей оси х, т. е. интеграл I \f(x)\dx сходится, то
— оо
/ +оо
lim - f dX f/(£) cos *< (I —■*)<*£ = —
о
Доказательство. Заметим прежде всего, что интеграл
+ ОО
f/(£)cosX,(| — x)dl, зависящий от параметра X, сходится р а в н о-
— оо
м е р н о по параметру X при 0^.Х <-j-oo, так как |/(|)cos X (| — х)|^
-Ьоо
■^|/(|)|> а интеграл I |/(|)|^| по условию сходится. Следова-
— оо
тельно, можно изменить порядок интегрирования (см. п. 3 § 2 гл. 10),
т. е. записать так:
О —оо —оо О
+оо +оо
l, A1.208)
lim i ff(x + Q^-dZ=f(x-0), A1-209)
— оо —оо
где £=| — х, dt,= d\. Нам остается доказать, что
о
— оо
+ ОО
lim I [ /(х + 5)-^Л=-^а. (П.210)
При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением
+ ОО
&-Ц^& = \ A1.211)
о
(см. п. 5 § 2 гл. 10).
Докажем, например, справедливость соотношения A1.210). В силу
равенства A1.211), можно записать, что
о

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 513
Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым
пределом в соотношении A1.210) будет равна
7t J
'0. +оо7t J
о
A1.213)
Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю
при /—>--|-оо. Разобьем интервал интегрирования 0^^<-j-co на
три: 0<£<6, 6<£<A, А<£<+оо; тогда интеграл A1.213)
будет представлен в виде суммы трех интегралов
А + со = J-\ {-г Л\ д -+- Л\, + .о- A1.214)
После этого будем действовать следующим образом. Сначала, за-
задавшись произвольным е > 0, докажем, что при всех достаточно
малых 6 > 0 и всех достаточно больших А > 6 будут выполняться
неравенства
|70,6|<-1 и \J&.+OO\<% A1.215)
сразу при всех 1^>\. Затем, фиксировав б и Л так, чтобы выпол-
выполнялись неравенства A1.215), выберем £>- 1 столь большим, чтобы
в силу основной леммы (см. § $) выполнялось неравенство |Л, л| <С -т •
Отсюда, в силу A1.214), будет следовать, что \\ +оц| <е при всех
достаточно больших /^-1. Итак, оценим сначала интеграл
о
При всех достаточно малых 6 > О
всех ££@, 6).
Следовательно,
|Ай|<|{|/;рав(х)|+1}<| при всех 6< 3{\/'Jan(x)\+\\
A1.216)
и при всех значениях /.
ЭЗ Б. М. Судак, С. В. Фомин

514 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Оценим, далее, интеграл
[ГЛ. II
Мы имеем
-—J
+OO
+ OO
sin
•<K
IA
Q ,
~~ лД "г"
, где 1* = К. A1.217)
Напомним, что, согласно условию A1.203), Q= Г |/(х)| dx < оо,
— оо
поэтому при всех достаточно больших А > 0 будет -— < -^- сразу
/sin £*
—-rzr—dt,* сходится, то при
о
всех достаточно больших А > 0 и всех
гд
Следовательно, в силу A1.217)
при всех достаточно больших А>0 и всех
Оценим, наконец, интеграл
A1.218)
A1.219)
Функция ./ {-JCT.b>'-J Ух+ по переменной Z, является кусочно-
гладкой на отрезке б ^ Z, -^ А. Поэтому, в силу основной леммы
(см. § 5), при всех достаточно больших значениях / ^- 1 будет
выполняться неравенство
IAaK-j. A1.220)

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
515
Сопоставляя A1.216), A1.218) и A1.220), получим, что при всех
достаточно больших / ^ 1
\Jq, +о
A1.221)
что и требовалось доказать.
Замечание. Основная теорема об интеграле Фурье справедлива
и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию / (х).
А именно, если абсолютно интегрируемая на всей оси х функ-
функция f (х) 1) кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке
ограничено при лю-
оси х и 2) отношение р "^" ?
<7ол< фиксированном х для всех достаточно малых £, /«о основ-
основная теорема сохраняет силу.
Действительно, доказательство основной теоремы сводится к оценке
трех интегралов: JQi6, У6(Д, УД/ +оо для Jo, +«,*)• Последний из этих
трех интегралов мал при достаточно большом А, в силу абсолют-
абсолютной интегрируемости f (х). Интеграл Уо, 6 мал при всех достаточно
малых б > 0, если отношение
С
ограничено при
каждом фиксированном х для всех достаточно малых £ > 0. В ин-
интеграле же
функция ф (£) = £ кусочно-непрерывна на отрезке
0<6<!£^А при любом фиксированном х. Пусть [а, Ь)—какой-
либо сегмент, на котором ф(£) непрерывна, и пусть дано какое угодно
е > 0. Построим такую кусочно-гладкую функцию ge(x) (как при
доказательстве первой теоремы Вейерштрасса), чтобы выполнялось
неравенство
-а)
Но тогда
ь
*) И соответствующих трех интегралов /0 _e, J _6i _&, J_&_€O для
/Oi _co, которые рассматриваются совершенно аналогично.'
33*

516 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
при всех достаточно больших I > О, так как для кусочно-гладкой
функции gR (£) справедлива основная лемма. Разбивая интеграл J& д
ня интегралы по сегментам непрерывности ф(£)> получаем, что
>0 при I—>-|-оо, чем и завершается доказательство теоремы.
3. Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник. Инте-
Интегральную формулу Фурье A1.206) можно переписать следующим
образом:
-f- оо
f(x) = J [A(X)cosXx-L-B(X)smXx]dX, A1.222)
где
-t-uu -f-uu
^W=7 j f (i) «>s II d\, В (X) = -z f f (!) sin XI dl. A1.223)
—-о —со
Равенство A1.222) аналогично разложению функции в тригонометри-
тригонометрический ряд Фурье, а выражения A1.223) аналогичны формулам для
коэффициентов Фурье. Выражение A1.222) можно несколько пре-
преобразовать. Мы имеем
А (X) cos Хх-\-В (X) sin Хх = N (X) sin (Хх + фа,), A1.224)
где
- AL225)
Таким образом, соотношение A1.222) представляет собой разложе-
разложение функции /(х), заданной на бесконечном интервале 0 <С ^ < -\-оо,
на гармонические колебания, частоты которых X непрерывно запол-
заполняют действительную полуось 0^.Х <+схэ, а функции А(Х) и В(Х)
дают закон распределения амплитуд 0 <Cl < -\-оо и начальных фаз ф.
в зависимости от частоты X.
Если функция f (х) задана на конечном отрезке [—I, I], то, как
было установлено выше, при надлежащих ограничениях она разла-
разлагается на «гармонические колебания»:
, . . а0 , V4 / k-лх . , . knx \
f (х) = -£ + 2^ (ak cos — \-Ьк sin -jj
(П.226)
частоты которых Xk = -j-, k=l, 2 образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию.

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 517
4. Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид
f(x) = -^~ f dk I f (I) etK tx-V d& A1.227)
— CO —OO
она эквивалентна действительной форме A1.206). В самом
+ СО
деле, I /(|)cos^(x— |) d\ является четной функцией X, а
— со
+со
I /(|)sin^(x — |) d| — нечетной функцией А.; поэтому
+со -f-oo
±fdlj /(§) cos Я, (£ — *)<*£ =-L
—со —со
4-СО +СО
J
- со —со
Следовательно, в силу формулы Эйлера
еЧ (х- I) == cos ^ (х — |) -f- / sin ^ (X — I
имеем
4-со -j-°°
СО +ОО
— со —со —оо —оо
+ СО +ОО
-со —оо
0 —оо
откуда вытекает эквивалентность A1.206) и A1.227). При этом
-Ьоо +со
интеграл 0^-gr- I dk I /(|)sin^(x — |) d\ понимается, вообще
— со —оо
говоря, в смысле главного значения (см § 3 гл. 9):
-f-co 4-°°
^ f dk f f(l)sink(x — l)dl =
O —CO
/ 4-co
= lim | f dk f f(l)sinl(x— l)d\.

518 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
5. Преобразование Фурье. Равенство A1.227) можно переписать
в виде
k/k/ AL228)
Если ввести обозначение
+ ОО
— 1 Г
f(l) — —r=- / f(l)e-illdt, A1.229)
у 2я J
— со
то, согласно A1.228), получим
+ ОО
f ( v\— / ~f (\\ aikx /Л (\\ ОЧП1
1/ 2я ./
' —со
Функция /(а) называется образом Фурье или спектральной
характеристикой функции f (х), заданной на всей вещественной
оси х, —оо<х<-}-оо, а переход от /(х) к /(а) по фор-
формуле A1.229) называется преобразованием Фурье. Восстановление
«оригинала» /(х) по образу /(л) с помощью формулы A1.230)
называется обратным преобразованием Фурье.
Перефразируя «основную теорему об интеграле Фурье, мы можем
теперь утверждать, что справедлива
Теорема 11.12. Если /(х) абсолютно интегрируема на всей
оси х и является кусочно-гладкой на каждом ее конечном
отрезке, то: 1) образ Фурье функции, определяемый соотно-
соотношением A1.229), существует и 2) справедлива формула обра-
обращения A1.230), которую следует понимать как предельное
соотношение:
i
J (-"О ==: ,/-о- / f О*) el x dh.
у 2л /->+со у
Замечание. В силу замечания к основной теореме об интеграле
Фурье, теорема 11.12 сохраняет силу и для любой абсолютно инте-
интегрируемой на всей оси х функции /(х), кусочно-непрерывной на
каждом конечном ее отрезке, если отношение -r<*>) J \х-г )
остается ограниченным при каждом фиксированном х для всех доста-
достаточно малых \Z\. Преобразование Фурье для функций, заданных при
— оо<х<-(-оо. находит широкое применение в математике и
математической физике (см. Дополнение 4 к гл. 11).
Наряду с преобразованием Фурье, которое применяется для
функций, заданных на всей бесконечной прямой — оо < х < -f- оо,

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 519
широко используются также синус- и косинус-преобразования Фурье
для функций, заданных на полупрямой 0<[x<-f-oo- Остановимся
на этих преобразованиях несколько подробнее. Раскрывая в формуле
{11-206) косинус разности, получим
О —оо
1 С С
+ -V / dk / / d) sir
-f-OO 4-OO
0
причем оба интеграла сходятся, в силу абсолютной интегрируе-
интегрируемости f(x), на всей оси х. Если / (|) — четная функция, то
/(|)sinA4 нечетная, a /(|)cosA,| четная, поэтому второе слагаемое
в правой части A1.231) обращается в нуль и мы получаем
/(*)=— f coskxdk I f (|) cos Ц. d\. A1.232)
о о
Если функция / (x) нечетная, то аналогично находим, что
+ ОО +ОО
/ (х) = А |* sin Xxdl f f (|) sin Ц d\. A1.233)
6 о
В случае, когда х является точкой разрыва, нужно в левых
частях равенств A1.231), A1.232) и A1.233) заменить /(х)
„-/(■*"+0) + /(*-0)
на ц •
Если f(x) определена только на отрезке 0 <; х < -(- со, то ее
можно продолжить на отрезок — оо <[ х << 0 четно или нечетно,
и тогда для /(х) мы получим два различных представления:
=VlC f ^slxdli^f^- f f(l)cosl$dl , A1.234)
0 \ 0 /
+co , +oo
=]/4 / sin *,*<«, I }/ //(£) sin a,&d|). A1.235)
Если /(х), заданная на полуоси 0-^х<-г-оо, непрерывна
в точке х^О, то при четном продолжении она будет непрерывной
в точке х = 0 и как функция, определенная на всей оси, поэтому
равенство A1.234) будет выполняться также при х=0. Напротив,
равенство (II.235) будет выполняться при х=0 только в том
случае, если /@) = 0. так как при нечетном продолжении функции

520 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
всегда 2 = 0. Равенство A1.234) можно разложить на
два более простых равенства следующим образом. Положим по опре-
определению
-t- '-JO
fc (>0 = j/4 f J (s) cos kid-. A1.236)
о
Тогда, согласно A1.234), будет
/ (x) = у ~ f fc (к) cos kx dk. A1.237)
о
Функция fc(k) называется icocunvc-oo разом Фурье функции /(х)>
заданной на полуоси 0-< .v < -|~ -?. а переход от /(х) к fr(k) no
формуле A1.236) называется косинус-преобразованием Фурье.
Восстановление «оригинала» f (х) по косш>ус-образу fc(k) с по-
помощью формулы A1.237) называется обратным косинус-преобра-
косинус-преобразованием Фурье.
Мы видим, что преобразования A1.236) и A1.237) являются
взаимно обратными.
Аналогично вместо A1.235) можно написать
fs Q-) = }/ |- j f (l)sin kl d\ A1.238)
f(x)=y -=;- I fs(k)s\nkxdk, A1.239)
о
где fs(k) называется синус-образом Фурье функции f(x), задан-
заданной на полуоси 0 <J х < -j- схэ; переход от f(x) к fs(k) по фор-
формуле A1 238) называется синус-преобразованием Фурье, а восста-
восстановление «оригинала» fix) по формуле A1.239) называется обрат-
обратным (инус-преобразованием Фурье.
Пример ы.
| 1 при 0 <^ х <[ а,
1. f (х) == { -j при х = а,
j 0 при х > а,
а
/,).=]/ — / cosA£at= -1'

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Применяя формулу A1.237), получаем
! при 0 ^ х < а,
2 Г sin Xa cos Хх
~я .1 X
521
1
'=1 
при х=я,
О при х > д.
2. f(x) = e~ax, a > 0, х>0. Интегрируя по частям, по фор-
формулам A1.236) и A1.238) находим, что
Применяя к полученным равенствам соответственно формулы A1.237)
и A1.239), получим
cos Xx
а2 + X2
-dl=e-ax, a->0,
2_ Г Л sin Л
я J а2 + Х
х>0.
Так, применяя косинус- и синус-преобразования Фурье, мы можем
получить таблицу значений несобственных интегралов, зависящих
от параметра. Однако основное назначение синус- и косинус-пре-
косинус-преобразований Фурье состоит в применениях к решению задач мате-
математической физики (см. Дополнение 3 к гл. 11).
6. Интеграл Фурье для функций нескольких независимых
переменных. Остановимся сначала на случае двух независимых пере-
переменных. Пусть функция f{xv х^) определена при —оо < х, < -f-oo,
— оо < х2 <С ~Ь со и абсолютно интегрируема от —со до -|-оо
по каждой из переменных xv x2 при каждом фиксированном зна-
значении другой из них. Если, кроме того, f(xl, x%) является непре-
непрерывной и кусочно-гладкой по каждой из переменных xv x2 при
каждом фиксированном значении другой из них, то к функции
/ (jcj, x2) по каждой из переменных xv x2 в отдельности при любом
фиксированном значении другой из них применима интегральная фор-
формула Фурье. Фиксировав х2 и применяя формулу Фурье A1.206)
по Xj, получим
cos
(П.240)

522 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Фиксировав |j и применяя к /(|j, X2) формулу Фурье A1.206)
по х2, получим
4-оо
f f(lv h)^osl2(x2-l2)dl2. A1.241)
oo
Подставляя A1.241) в A1.242), найдем
f(xv x2) =
4-oo 4-oo 4-oo +oo
= ^/ dli f cosM*i-£i)d6i/ dl2 f
0 —oo 0 —oo
4-oo 4-oo 4-oo 4-oo
^i/ dXl f d^f d^ J f&'
0
0 c» 0 oo
A1.242)
Если f (xv x2) четна как по xY, так и по х2, то фор-
формула A1.242) преобразуется к виду
ld'klj cosl^d^ j cosl2x2dl2X
0 0
+oo
X //(li- ycos^2rf|2. A1.243)
Если же /(xj, Хг) нечетна как по Xj, так и по х2, то
4-°°
/(хр х2) = -^5- / sin^jXjrf^j / sin^jljrfl! /
0 0 0
x//Fi, Ijjsin^rfgj. A1.244)
о
Переходя к комплексной форме интеграла Фурье, фор-
формулу A1.242) можно преобразовать к виду
/С*1. -^2) =
^7 + со 4-со 4-со -f-^^0
-OO —СО —OO —СО
A1.245)
причем интегралы по Х1 и по Х2 следует понимать, вообще говоря,
в смысле главного значения (см. § 3 гл. 9, а также п. 4 § 9

§ 9] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 523
настоящей главы). Если возможно изменение порядка интегрирования
по |j и Я,2, то формула A1.245) оказывается эквивалентной сово-
совокупности следующих двух формул:
= ~Ш f dlij f (Si- li> о'l1КЛ1+Ш <% A1-246)
— oo —oo
4-oo -boo
/(*!. x2) = ^- J rfЯ,1 J f(lv I2)e'\^+^dl2. A1.247)
— oo —oo
Первая из них называется прямым преобразованием Фурье функ-
функции /(#i, х2), а вторая — обратным.
Аналогично обстоит дело и в случае функции трех и большего
числа независимых переменных. Приведем соответствующие формулы
для функции трех независимых переменных. Интегральная формула
Фурье имеет вид
-boo -boo -boo -boo 4-0O 4-0О
!.х2,*з) = 5г.У ^i У ^i,/ ^2 У rf£*y ^з У /(Si. h. УХ
О —оо 0 —оо 0 —оо
X cos Я,, (xj — |j) cos l2 (x2 —12) cos l3 (x3 — |з) rf|3, A1.248)
а в комплексной форме
/(*!• x2, x3) =
+ oo -boo 4-oo 4-oo -boo 4-oo
X e'ftiW-lo+^j-bj+^to-loirfig. A1.249)
Если промежуточные интегрирования перестановочны, то фор-
формула A1.249) эквивалентна совокупности следующих двух формул:
+оо +оо
(Ц.250)
— оо —оо —оо
и
f(xv х2. х3) =
4-оо -boo 4-оо
/(Я,!. Я,, Я,а)*'1».л+».л+^.[Лз. (П.251)
— оо —оо —оо
Интегралы A1.247) и A1.251) понимаются, вообще говоря, в смысле
главного значения.

524 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 11
Остановимся вкратце на обосновании формул A1.246) и A1.247).
Аналогично обосновываются формулы A1.250) и A1.251). Спра-
Справедлива следующая
Теорема 11.13. Пусть функция f (xv х2) непрерывна на
всей плоскости ххх2 и выполнены следующие условия: 1) инте-
интегралы
+ оо +со
J \f(xv x2)\dxx и J \f(xv x2)\dx2 A1.252)
— оо —оо
сходятся равномерно по х2 и х1 на каждом конечном от-
отрезке х2 <^ х2 <С х2 и Xj-^Xj^Xj, соответственно, 2) повтор-
повторный интеграл
-Ьоо 4-°°
f dx2 f \f(xv x2)\dx, A1.253)
— ОО —ОО
сходится; тогда если при всех достаточно малых
3)
/(■*!+С ■*»)-/(■*!+О.*»)
ном хх и всех х2,
4)
<;С, /грм каждом фиксирован-
(xi) /г/?м каждом фикси-
фиксированном х2 и всех xv причем \ С2(хх)dx1 сходится, то суще-
— со
ствует образ Фурье функции f{xv x2)
f(kvl2) = -^ / d\x J /(cj, yr''(^L+U.)^2 A1.254)
— оо — оо
и справедлива формула обращения
f(xv x2) = ~y~ / dhx / J(%x, l2) e'11'-^+W dl2, A1.255)
— oo —oo
понимаемая в следующем смысле:
h h
1 Г Г =
х?) = -ъ- Hm / dl: / /(Я,,, Я.Ле'О-^+хл)^,, A1.256)
)е предельный переход осуществляется сначала по /2.
затем по U.

9]
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Доказательство. Образ Фурье функции
менту Xj
1
/2л
f /(!,.
525
!■ х2) по аргу-
A1.257)
существует, в силу сходимости первого интеграла A1.252), и
является непрерывной функцией х2, в силу равномерной сходимости,
вытекающей из равномерной сходимости первого интеграла A1.252).
Интеграл
\f(K
= f
dx2
-у=г A1.258)
/2л v
сходится, в силу сходимости интеграла A1.253).
В силу условий 1) и 3) и непрерывности функции f {xv x2) по хх
и в силу замечания к основной теореме о преобразованиях Фурье
(см. теорему 11.10 п. 4 § 6), справедлива формула обращения
1
lim
В силу условия 4) и равенства A1.257), имеем
^dlv A1.259)
+оо
filv
/
т. е.
, + C)-7(^i.^ + 0) < j" c2^)dlv A1.260)
В силу сходимости интеграла A1.258), существует двукратный
образ Фурье функции f(xv x2):
/(Я,!, ^2)-у=
A1.261)
— ОО —СО

626 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
причем, в силу непрерывности f (kv x2) по х2 и выполнения усло-
условия A1.260), справедлива формула обращения
+ ОО
f (\ у \ 1 I ~f (\ \ \ eik2X, /j\
J 1 2 /2л «/ ! 2 2
— оо
= -7==- lim ffil^lje^dx,. A1.262)
Подставляя A1.262) в A1.259), получим
1 Г I /* -
/ (xt, х2) ==-н— lim / ел^ d"kA lim / /(V Я,,
A1.263)
или иначе
(xj, д;2) = ^- lim Г d%x
%x, k2)el<K^+1^dl2, A1.264)
где предельный переход совершается сначала по 12, а затем по 1Х.
Теорема доказана.
В случае функции трех переменных /(Xj, x2, х3) формулы пря-
прямого и обратного преобразований Фурье запишутся следующим
образом:
+ ОО +ОО +ОО
f(lv l2, 1ъ) = —±— f f f /(|„ |2, ух
— ОО —ОО —ОО
X e-UUi+^+UsJdfgjdl2dl3 A1.265)
+ 00 +00 +00
„ xv xs) = ±
+ 00 +00 +00
f f f /(A,,. V
— OO —OO —00
(/2SK
X el (hxi+iixi+itx,) аъг dl2 dl3. A1.266)
Если подставить A1.265) в A1.266), то получится равенство
-ТОО +00 +ОО +ОО +ОО +ОО
////
— оо —оо —оо —со —со —оо
Не составляет труда выписать соответствующие формулы и для
функции N переменных.

ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛ. II
527
Для обоснования системы равенства A1.265), A1.266), кроме
требований к сходимости интегралов, аналогичных рассмотренным
в случае функций двух переменных, достаточно потребовать, чтобы
при всех достаточно малых |£| выполнялись неравенства:
(*1 + £l. Х2, Х3) —/(*!+ 0. Х2, Х3)
1)
&
при каждом фиксированном х1 и всех х2 и х3,
i, x2 + g2, х3) — /{х{,х2+ 0, х3)
<С2(х,)
при каждом фиксированном х2 и всех х1 и х3,
3)
2, x3 + Сз) —
+ 0)
<С3(х1, х2)
при каждом фиксированном х3 и всех Xj и х2, причем интегралы
Г C2(x1)rfx1 и Г rfx2 Г С3(х!, x2)d?X! должны сходиться. Тогда
— со —оо —со
существует трехкратный образ Фурье A1.265) функции f(xv x2, х3)
и имеет место равенство A1.265), понимаемое в следующем смысле:
/(*,.
X
-I,
lim
h->+o
, A1.268)
-h
где предельный переход осуществляется сначала по /3, затем по 12
и, наконец, по lv
Случай N независимых переменных рассматривается аналогично.
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛ. и
О ПОЛИНОМАХ ЛЕЖАНДРА
Докажем, что полиномы Лежандра
Р0(х)=1, Ра(х) =
2"п\ dx"
[(х2—If], я=1, 2 A)
ортогональны на отрезке [—1, 1], т. е. что
+ 1
J Рп (х) Рп (х) dx = 0 при тфп.
B)
-I

528 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Очевидно, достаточно доказать, что равенство B) выполняется при
т < п (ввиду равноправия т и п). а для этого в свою очередь
достаточно доказать, что
•и
j Pn(x)xmdx = 0 при т<п. C)
-1
где т — целое и неотрицательное. Полагая
/)»W = ii7?£l' где «Л*) = [*2-1Г.
получим, что
/ Рп (х) xmdx = -^ f ^^~ xm dx. D)
-1 -I
Выполняя в последнем интеграле интегрирование по частям до исчез-
исчезновения хт и учитывая, что
ия(±1)=«;(±1)= ... =«и-1)(±1) = о.
получим равенство C). Этим доказательство ортогональности поли-
полиномов Лежандра на отрезке [—1, 1] завершено.
Вычислим теперь норму и-го полинома Лежандра. Для этого
снова применим интегрирование по частям в интеграле
Интегрируя по частям п раз и учитывая, что ип (х) имеет степень
2п и и (il)^M^(il)^ ... = M^~1'(i 1) = 0, получим
f dnun (х) d"un (х) = Г <*"-'«„(*) dn+lun(x) dx==
J dxn dx" 4 dx"'1 dxn+l
+
+ i
... =(—1)" / и„ (x) " dx — Bд)! / (l—x)"(l-\-x)"dx-(G)
i/ dx"^ *
dx

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. U 529
Но
J A-Х) A + X) dX--^^
+1
= '1AH—' • • • 1 / (l-j
Подставляя G) в F) и F) в E). получим
+ 1
i ^. (8)
Следовательно, норма п-то полинома Лежандра равна
. О)
Заметим, что степень «-го полинома Лежандра Рп (х) равна п при
л = 0, 1, 2, ... Так как полиномы Лежандра Р0(х), Pj (x), ...
..., Рп(х) ортогональны на отрезке [ — 1, 1], то они линейно не-
независимы, а следовательно, образуют базис пространства всех алге-
алгебраических многочленов степени -^.п; отсюда вытекает, что любой
многочлен степени <^/г может быть представлен в виде линейной
комбинации многочленов Лежандра PQ(x), Рг(х) Рп(х) и- в част-
частности,
хп = аОяРо (х) + «i^i (*)+...+ аппРп (х)
{см. Дополнение 2 к гл. 11).
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. 11
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ С ВЕСОМ И ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
Обобщением введенного ранее понятия ортогональности функций
является понятие ортогональности функций с весом.
Пусть р{х) — неотрицательная функция, не равная тождественно
нулю и непрерывная на открытом интервале (а, Ь), причем инте-
интеграл
*
fp(x)dx A)
а
34 Б- М, Будзк, С. В, Фомин

530 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
существует (как собственный или как несобственный) и положителен *).
Будем называть функцию р(х) весом.
Пусть для функции /(х), заданной на [а, Ь], интегралы
fp(x)f(x)dx и fp(x)[f(x)?dx B)
а а
(собственные или несобственные) существуют; тогда функция называ-
называется интегрируемой с квадратом с весом р(х) на [а, Ь]. В част-
частности, если р(х)^1, то мы приходим к сформулированному ранее
(стр. 479, соотношение A1.93)) определению интегрируемости с квад-
квадратом.
Пусть функции системы
<Pi(*). Фз(*) Ф„(*) C)
заданной на [а, Ь], также интегрируемы с квадратом с весом р (х)
на [а, Ь], т. е. интегралы
f p(x)<pn(x)dx и J p{x)[ifn{x)fdx, n= 1,2, ... D)
а а
(собственные или несобственные), существуют. Если интервал [а, Ь]
конечен, то из существования интегралов B) и D) и элементарных
неравенств
следует существование интегралов
f p(x)f(x)q>n(x)dx и j p(x)(fn(x)(fm(x)dx. F)
а а
Если же интервал [а, Ь] бесконечен, то существование интегра-
интегралов F) будем предполагать дополнительно.
Мы будем предполагать, далее, что каждая из рассматриваемых
функций непрерывна на [а, Ь] всюду, кроме, может быть, конечного
числа точек, которые могут быть, в частности, особыми точками
функций.
*) Интеграл при сформулированных условиях может оказаться несоб-
несобственным, если функция р (х) не ограничена прн х->а-\-0 или х->Ь — 0.
Такого типа особенности у р (х) встречаются в случае некоторых важных
классов специальных функций (см., например, полиномы Чебышева первого
рода в конце этого Дополнения).

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. II 531
Функции <рл (х) и фт (х) называются ортогональными с весом р (х)
«а отрезке [а, Ь], если
P(xL>n(xL>m(x)dx — 0 при тфп. G)
Система функций 9), интегрируемых с квадратом с весом
р(х) на [а, Ь], называется ортогональной с весом р(х)
на [а, Ь], если
ь
/ p(x)(pn(x)(pm(x)dx = O при пфт (8)
а
U
Ь
Р (х) 4>\(х) dx > 0 при я=1, 2, ... (9)
а
Обычная ортогональность функций является частным случаем орто-
ортогональности с весом, когда вес р(х)^1.
Пусть функция /(х) интегрируема с квадратом с весом р(х)
на [а, Ь], а система C) ортогональна с весом р (х) на [а, Ь].
Если коэффициенты ряда
/ (х) ~ см (х) + с2ф2 (х) + ... + сяф„ (х), ... (А)
определяются по формулам
ь
J p(x)f (х) фя (.v) dx
cn = ^—b , я=1, 2 (Б)
Р (X) Фя (х) dx
то он называется рядом Фурье для функции /(х) по си-
системе C).
Мы скажем, что ряд (А) сходится к f (х) в среднем с ве-
весом р(х) на [а, Ь], если
о р т
lim fp(x) /(x) — V ck(fk(x)
dx = 0. (В)
Если ряд (А) сходится равномерно или в среднем с весом р (х)
•к функция /(х) на [а, Ь], то его коэффициенты однозначно опре-
определяются по формулам (Б). Действительно, при сформулированных
34*

532
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. IB
условиях, в силу неравенства Коши — Буняковского, имеем
ь
при m —> -f~ со и любом фиксированном я. С другой стороны, в силу ор-
ортогональности с весом р(х) функций <pt (х) на [а, Ь] при т ^- п, имеем
„ (х)
*=I
= j P(x)f (x) фя (x) dx~cn j p (x) ф2 (х) rfx = const
при фиксированном /г. Следовательно,
J p (x) / (х) фя fx) rfx — cnfp (х) ф2я (х) rfx = О,
а а
откуда и следует (Б).
Понятие полноты и замкнутости (см. § 6 гл. 11), а также основ-
основные связанные с ними теоремы (теоремы 11.4—11.7 § 5, 6 гл. 11)
легко обобщаются на случай систем, ортогональных с весом.
Разложение функций в ряд по системам, ортогональным с весом,
находит широкое применение в математической физике. Из систем,
ортогональных с весом, назовем прежде всего различные системы
специальных полиномов, о которых речь будет идти ниже, а также
системы собственных функций круглой и кольцевой мембран, шара
и шарового слоя (см. вып. 4).
Разложение функций в ряд по системам, ортогональным с весом
(в частности, с весом /?(х)=1), весьма удобно в силу простоты
определения коэффициентов разложения. Ортогональные с весом си-
системы можно строить, отправляясь от линейно независимых систем,
путем так называемой ортогонализации.
Функции'*) ф, (х), Ф2(х) Фл(-к) называют линейно
зависимыми на [а, Ь\, если существуют такие константы
С,, С2 Сп, не все равные нулю, что линейная комбинация
С,Ф, (х) + С2
яфя (х) = 0
A0)
*) Напомним, что каждую из рассматриваемых функций мы считаем непре-
непрерывной всюду на [а, Ь], кроме, быть может, конечного числа точек.

ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛ. II 533
тождественно равна нулю на [а, Ь] всюду, кроме, быть может,
точек разрыва функций ф, (х), Ф2(х) Фл(х)-
Если же из тождественного в указанном смысле равен-
равенства A0) следует, что все коэффициенты Ci линейной комби-
комбинации равны нулю, то функции ф; (х), ф2(х) Фя(х) назы-
называются ли не Оно независимыми на [а, Ь].
Если система функций ц>1 (х). Ф2(х) фл (х) ортогональна
на [а, Ь] с весом р(х), то функции системы линейно не-
независимы на [а, Ь]. Действительно, пусть
„(-^) = 0 на [а, Ь\ A1)
всюду, кроме, быть может, конечного числа точек. Умножим равен-
равенство A1) на р(х)ц>т(х) и проинтегрируем по х от а до Ъ, учитывая
ортогональность функций с весом р(х) на [а, Ь]. Получим, что
ь
Ст f p(x)<pl(x)dx = 0, A2)
т
ф3 (х) = г|K (х) + Х31^г (х) + ^32г1J (х),
а так как интеграл =£0, то Ст = 0. В силу произвольности т,
получаем, что С1 = С2 = ... = Сп = 0.
Отправляясь от линейно независимой системы i|)j (x), i|J (х), .. .
..., г))я (х), легко построить ортогональную систему (с весом р (х))
<Pi (х)' Фг(х) Фя(х) такую, что
A3)
Из соотношений A3) следует, что при каждом k=\, 2 п функция
ц>к (х) является линейной комбинацией i|)j (x) г))й (х) с коэффициен-
коэффициентом 1 при ij)ft (x) и, следовательно, не может быть равной тожде-
тождественно нулю всюду, кроме точек разрыва функций г^ (х) i|)ft (x),
так как иначе функции ij)j(x) г|)^ (х) были бы линейно зависимыми
на [а, Ь], что противоречит условию. Следовательно, каждая функция
Фд, (х) отлична от нуля в некоторой точке своей непргрывности, поэтому
f р (х) (рЦх) dx > 0, £=1,2 п. A4)
а
(Из соотношений A3) следует также, что г))л (х) при каждом
£=1,2 п является линейной комбинацией Ф](х), ф2(х)
с коэффициентами 1 при (рк (х).)

'534 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Числа Xtj, входящие в A3), однозначно определяются из условий
ортогональности функций ср, (х). Ф2(х) ф„(х). Это можно до-
доказать по индукции. Умножая обе части второго из равенств A3)
на р (х) cpj (х) и интегрируя по х от а до Ь, получим
*
/ Р О) Ф1 О) Ф:
а
Следовательно,
2 (х) dx
ft
= /
а
^21
: =
р{х)
Ь
(х) dx + l2l f р (х) ф2 (х) dx = 0.
а
J P (x) <Pi (x) dx
Пусть %ц при t ^ k — 1 уже вычислены и функции <$х (х), .... фй-1 (х)
попарно ортогональны на [а, Ь\ с весом р{х). Тогда из соотношений
ортогональности
ft-i
при /=1, 2 k—1 находим, что
_ (tft. Фу) -—12
■где
ь »
01>*. Фу) = / /> (-*) ^ (х) Фу (х) dx< (Фу Ф;) = / Р(х) <f) (x) dx.
а а
После этого уже все функции ф! (х) (рк (х) определены и по-
попарно ортогональны на [а, Ь\ с весом р (х). Этим доказательство
утверждения закончено.
Описанный процесс построения по системе линейно независимых
функций \|}j(x) \рп (х) ортогональной системы Ф1(х) ФпО^Х
связанной с ней соотношениями A3), называется о ртогонализацией.
Ортогонализуя систему целых неотрицательных степеней х
1. х, х2 Xя, ... A5)
на отрезке [—1, 1] с весом р(х)^1, мы получим систему ортого-
ортогональных на отрезке [—1, 1] многочленов, которые лишь постоян-

ДОПОЛНЕНИЕ 3 К ГЛ. 11 535
ными множителями отличаются от многочленов Лежандра, опреде-
определяемых по формуле Родрига
Рп(х) = -2^Т-!Ьп[(х2-1П «=1,2,...; Р0(х)=1. A6).
Ортогонализуя ту же систему степеней A5) на отрезке [—1, 1]
с весом р (х) = , получим систему полиномов Чебышева пер-
у \ — х2
вого рода; если же взять вес p(x)—rf\—х2, то получаются по-
полиномы Чебышева второго рода.
Ортогонализуя систему степеней A5) на полупрямой [0, -j-со)
с весом р (х)= е~х, получим систему полиномов Чебышева — Ла-
герра. Если же взять р (х)= xse~x, где s> — 1, то при ортого-
нализации системы A5) на той же полуоси [0, -{-со) получатся обоб-
обобщенные полиномы Чебышева — Лагерра.
Наконец, ортогонализуя систему степеней A5) на всей прямой
— oo<x<-j-oo с весом р(х) = е-х\ получим систему полиномов
Чебышева—Эрмита. Для всех специальных полиномов существуют
удобные общие формулы, подобные формуле Родрига A6) (см. вып. 4).
Перечисленные системы ортогональных полиномов находят важные
применения в математической физике (см. вып. 4).
ДОПОЛНЕНИЕ 3 К ГЛ. 11
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
Множество функций Q[a, b], определенное в § 6, можно рас-
рассматривать как функциональное пространство, считая, что две функ-
функции ф (х) и ф(х) из Q[a, b] представляют один и тот же элемент
или «вектор» пространства, если они могут отличаться самое боль-
большее в конечном числе точек на [а, Ь\. Элементы пространства Q[a, b],
определяемые функциями (f(x), ф(х), т)(х), ••• будем обозначать,
опуская аргумент х, через ф, (я|>> т]> • • •
Определив сумму элементов ф + ф и произведение А,ф элемента ц>
на число Я, соответственно через сумму ф(х)-)-ф(х) и произведение
на число X функций ф(х), представляющих эти элементы, получим,,
что Q [а, Ь] относительно этих операций ведет себя так же, как
множество всех векторов трехмерного евклидова пространства отно-
относительно операций сложения векторов и умножения их на числа.
Нулевой элемент 0 пространства представляется любой функцией
из Q[a, b\, которая может отличаться от нуля самое большее в ко-
конечном числе точек на [а, Ь].

.536 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Определим скалярное произведение любых двух элементов <р и ф
из Q [а, Ь\ равенством
ь
dx. A)
Нетрудно проверить, что определенное таким образом скалярное
произведение удовлетворяет обычным требованиям, а именно:
0) (Ф. Ф) = М>. Ф).
B) (Х<р, ф) = X (ср, ф), где X — любое вещественное число,
C) (ф, ih+ip2) = (<P. W + Сф. W-
D) (ф, ф) ^- 0; если же (ф, ф) = 0, то ф = 0.
(Выполнение требования D) уже было доказано в ходе доказательства
теоремы 11.6 п. 3 § 6.)
Таким образом, относительно скалярного произведения, опреде-
определяемого равенством A), пространство Q[a, Ь\ ведет себя так же, как
множество всех векторов трехмерного евклидова пространства отно-
относительно обычного скалярного произведения.
Два «вектора» <р и ф из Q [а, Ь\ называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если
ь
(ср, ф) = J Ф (х) г|) (х) dx = 0. B)
а
Норму или «длину» вектора (p£Q[a, b\ можно теперь опреде-
определить равенством
= УГ(фГф). C)
Если ||ф||#0, то, полагая ф (х) = ^ , получим, что
в силу определения C). Косинус угла между /(х) и g (x) определим
соотношением
C0S(^> = 7WT E>
Это определение закономерно, так как, в силу неразенства Коши —
Буняковского (ср. п. 2 § 6 гл. 8),
Проекцией / на g, где g ф 0, называют

ДОПОЛНЕНИЕ 3 К ГЛ. II 537'
Определим теперь сходимость в пространстве Q[a, д]. Мы скажем,
что <ря —> ф при п —> -f- со, если
у
IIФ« — Ф11 = ( / №«(*) — 4>(x)]2dxj ->0 (8)
при п—>~\-оо, т. е. если последовательность {ф„(х)} сходится
в среднем к ф(-к) на [а, Ь].
Мы скажем, что имеет место равенство
+..., (9)
если
kS / S(x>\dx) -*0
при п-*-\-оэ, т. е. если ряд 2/*(х) сходится в среднем к / (х)
на [а, Ь].
Установим аналогию между разложением вектора х трехмерного
евклидова пространства по ортогональному базису е^ е2, е3 и раз-
разложением функции f(x)£Q[a, b] в ряд Фурье по полной ортого-
ортогональной системе
ф)(х), ф2(х) ф„(х), ... A1)
В трехмерном евклидовом пространстве для каждого вектора х
в любом фиксированном базисе существует единственное разложение
x = xlel-Jr х2е2 + лг3е3. A2)
Коэффициенты этого разложения легко найти, если воспользоваться
скалярным произведением. Умножая равенство A2) скалярно на е,,
получим
(х, ei) = xl(el, ег) = хг||ег||2, A3)
в силу ортогональности базиса е^ е2, е3*)- Из A3) находим, что
х —
Величины
^||eft|| = ij^, k=\. 2, 3, A5)
где символом || || обозначена длина вектора, являются проекциями
вектора х на направление векторов eft, k=\, 2, 3,
*) Векторы е|, е2, е3 мы не предполагаем, вообще говоря, единичными..

538 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Возводя обе части равенства A2) в скалярный квадрат, получим
равенство
выражающее теорему Пифагора для трехмерного случая: квадрат
длины вектора равен сумме квадратов его проекций на три взаимно
перпендикулярных направления.
Совершенно аналогично d пространстве Q[a, b\ каждый «век-
«вектор» / может быть единственным образом разложен по «векторам»
полной ортогональной системы {ф}, т. е. представлен в виде (см. п. 1
§ 6 гл. 11)
причем коэффициенты ck разложения A7) определяются по фор-
формулам
Таким образом, каждый «вектор» / из Q[a, b\ однозначно опреде-
определяется бесконечной последовательностью своих «координат» (ск)
в «базисе» {фй}.
В силу полноты системы {ф„}, имеет место равенство Парсеваля
(см. п. 2 § 6)
выражающее теорему Пифагора для функционального пространства
Q[a, Ь\.
Если взять проекции вектора х не на все базисные векторы е^
е2. е3. а, например, только на eY и е2. то равенство A6) заменится
неравенством
II х I2 ">■ х2 li'e II2 -I- jr2ll с II2 ОП\
Аналогично, если ортогональная система {ф„} не полна в Q[a, b\,
то равенство Парсеваля A9) заменится неравенством Бесселя
•• B1)
Эти геометрические идеи используются в теории так называемых
гильбертовых пространств, находящей применения в квантовой меха-
.нике и математической физике.

539-
ДОПОЛНЕНИЕ 4 К ГЛ. 11
О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Остановимся на некоторых применениях преобразования Фурье.
Многие физические приборы можно рассматривать как операторы
или преобразователи, на вход которых подаются функции fl (t),
f2(t) а на выходе получаются соответственно функции хг (t),
x2(t), ... Так, различные усилители можно рассматривать как опе-
операторы, преобразующие напряжение f (t) переменного тока, пода-
подаваемого на вход, в напряжение x(t) переменного тока, получающе-
получающегося на выходе.
Преобразователь называется линейным, если он удовлетворяет
следующим требованиям:
1) если f (t) преобразуется в х (t), то cf {t), где с—произволь-
с—произвольная постоянная, преобразуется в ex (f),
2) если /[@ и /2@ преобразуются соответственно в xY(t) и.
х2 @. то /г (t) -\- /2 @ преобразуется в хх (t) + x2 (t).
Если требования 1) и 2) выполнены, то говорят, что для пре-
преобразователя выполняется принцип суперпозиции.
Мы будем предполагать также, что установившиеся гармонические
колебания с частотой со преобразуются в установившиеся гармони-
гармонические колебания с той же частотой со, т. е. что выполнено еще
одно требование:
3) функция е1ш преобразуется в функцию А (со) еш.
Зависимость коэффициента пропорциональности А (со) от частоты
означает, что гармонические колебания с различными частотами один
и тот же преобразователь преобразует по-разному. Функция А — Л (со)
называется спектральной характеристикой преобра-
преобразователя. Эта функция принимает, вообще говоря, комплексные зна-
значения
А (со) --= R (со) е'<Р(а), где R (со) = | А (со)|, ср (со) = arg А (со).
Следовательно, гармоническое колебание еш преобразуется в гармо-
гармоническое колебание A (co)efo< = /?(со)£'(О)<+ч)(О)».
Модуль R (со) = | А (со)| спектральной характеристики называется
частотной характеристикой преобразователя; он по-
показывает, во сколько раз изменяется амплитуда гармонического коле-
колебания с данной частотой со. Аргумент ср (со) = arg А (со) спектральной
характеристики называется фазовой характеристикой
преобразователя; он показывает, насколько изменяется фаза гармо-
гармонического колебания с данной частотой со.
Зная спектральную характеристику Л = Л(со) линейного преобра-
преобразователя и применяя преобразование Фурье, можно решить следую-
щие две задачи.

5<0 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Прямая задача. По заданной функции /(t) на входе найти
преобразованную функцию х (t) на выходе.
Обратная задача. По преобразованной функции x(t), полу-
получающейся на выходе, найти функцию /(/)• поданную на вход.
Покажем сначала, как решается прямая задача. Пусть на вход
подана функция /(t). Найдем ее образ Фурье
+ О
/
f(x)e-^dx A)
и представим функцию / (t) в виде
+ ОО
[ 7()'»<Л B)
Ал
— оо
Интеграл в правой части равенства B) можно рассматривать как
сумму бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических
колебаний вида
1 /(со) еш rfco. C)
Гармоническое колебание еш преобразуется в гармоническое колебание
А(а)е'ш, следовательно, гармоническое колебание /-^=/(co)dco) e
\К2я /
преобразуется, в силу свойства 1) преобразователя, в гармоническое
колебание
iat
-7=- / (со) rfco А (со) еш = -у= А (со) / (со) еш rfco. D)
Сумма колебаний C) преобразуется, в силу свойства 2) преобразо-
преобразователя, в сумму колебаний D), а следовательно, функция f (х),
определяемая соотношением B), преобразуется в функцию x(t), опре-
определяемую соотношением
+ ОО
/ ^(coO(co)to<rf E)
Соотношением E) решается прямая задача.
Из соотношения E) следует, что образом Фурье функции х (t)
является
1 7 F)
т. е. для получения образа Фурье х(со) преобразованной функции x{t)
нужно образ Фурье /(со) функции f (t), поданной на вход, умножить
на спектральную характеристику А (со) преобразователя.

ДОПОЛНЕНИЕ 4 К ГЛ. II 541
Чтобы решить обратную задачу, из соотношения F) находим
и, применяя к этому равенству обратное преобразование Фурье,
получаем, что
+ ОО _
/2я J А (°>) W
-оо
Соотношение (8) представляет собой решение обратной задачи; оно
позволяет по фу-нкции x(t), получающейся на выходе, найти функ-
функцию f (t), поданную на вход, при этом предварительно нужно, при-
применив преобразование Фурье, найти образ Фурье х(со) функции x(t),
получающейся на выходе.
Эти задачи часто приходится решать в радиофизике, радиотех-
радиотехнике, при исследовании систем автоматического регулирования и ?. п.
Преобразование Фурье широко применяется также для решения
различных краевых задач математической физики. Образ Фурье
искомой функции часто удовлетворяет значительно более простому
уравнению, чем сама искомая функция. Поэтому для решения краевых
задач математической физики преобразование Фурье применяется по
следующей схеме: сначала подвергают преобразованию Фурье уравне-
уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, и таким путем полу-
получают уравнение для ее образа Фурье, затем, найдя из этого уравне-
уравнения образ Фурье используемой функции, находят с помощью обратного
преобразования Фурье саму искомую функцию (см. вып. 4).
Рассмотрим один характерный пример. Пусть требуется найти
распределение температуры в неограниченном стержне в произволь-
произвольный момент времени t > 0, если ее распределение в начальный
момент времени t=0 известно. Температура я в стержне (ось х
считается направленной по стержню) является функцией точки х
стержня и времени t: и = и (х, t), — оо < х < -f- оо, 0 < t < -f- oo.
Известно, что температура в стержне удовлетворяет уравнению тепло-
теплопроводности (см. вып. 4)
~дГ~ ~дх*' ~ °° <х <+°°< t>0. (9)
Так как начальное распределение температуры известно, то
и(х, 0) = /(х), — oo<x<-foo, A0)
где /(х) — известная функция. Таким образом, чтобы найти распре-
распределение температуры в неограниченном стержне в любой момент
времени t, нужно найти решение уравнения (9), принимающее задан-
заданные начальные значения A0).

542 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Решим эту задачу, применяя преобразование Фурье по перемен-
переменной х. Через и (X, t) обозначим образ Фурье функции и(х, t):
+00
1 Г
а (к, 0 = -л=- / и{х, t)e-i%xdx. A1)
/2я J K '
— оо
Умножим обе части уравнения (9) на , е~1Кх и проинтегрируем
У 2я
по х от — со до -j-^oo, предполагая, что функция и и ее производ-
производные достаточно быстро стремятся к нулю при х —> ± оо.
Применив интегрирование по частям, получим
-Ьсо +оо
1 / ди -j о 1 /
/2л ^ dt e X~~dF /2i ^
— оо —оо
rf« (Л, <) 2 1 /* д2и _;Лл. , 2 1 ЙИ -iXx\X=+OD I
dt /2я ' дл /5я д^с ^^
так как внеинтегральные члены обращаются в нуль, в силу ограни-
ограниченности е~'кх*) и стремления к нулю а и -т— при х—> + со.
Следовательно, для образа Фурье искомой функции получается
уравнение
«jL+a№U=0. A2)
значительно более простое, чем уравнение (9). Из равенства A1)
при t = 0 находим начальное условие для и (к, t)
п(к, 0) = -yLr f u(x, 0)e-i%xdx =
у In J
—00
= Y= f f(x)e-^dx = f(l). A3)
—00
Решим уравнение A2) при начальном условии A3); из A2) получаем
| cos А* -И sin А* | = У cos2 кх + sin2 Ал: = 1.

ДОПОЛНЕНИЕ 4 К ГЛ. И 543
Следовательно,
1п«"=— a
и (К, t) = Ce~aVt.
Определим константу С с помощью начального условия A3):
1{%, Q) = C=J(k).
Подставляя это значение С в предыдущее равенство, получим для
образа Фурье искомой функции выражение
И -a*M. A4)
Чтобы найти и (х, t), применим к равенству A4) обратное преобра-
преобразование Фурье, подставив вместо f(X) его явное выражение / (к) ==
= -Д= f fiDe-^dl. Это дает
— оо
+ 0О
и{х, 0 = -Д= f й-(Х,
у 2л J
+ OO
1 ffa>
— GO
так как (см.
п.
+ СО
0
5 § 2
+ ОО
lVt cos X (л
гл. 10)
1
2а У
-J-CO
— CX3
Таким образом, решение уравнения (9) при начальном условии A0)
имеет вид
1 Т
Аналогичным образом применяются синус- и косинус-преобразова-
косинус-преобразования Фурье для решения краевых задач на полупрямой 0 -< х < -I- оо
{см. вып. 4).

544 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. !!
Применение кратных преобразований Фурье позволяет решать
краевые задачи для неограниченных областей на плоскости и в про-
пространстве, таких, как вся плоскость, полуплоскость, квадрант, все
пространство, полупространство и т. п.
ДОПОЛНЕНИЕ 5 К ГЛ. И
РАЗЛОЖЕНИЕ S-ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Вычисляя коэффициенты Фурье для 6-функции 6(.v0, х) по обыч-
обычным формулам, получаем
ak = j J 6(х0, 1)cos-j^di = Tcos—j^-,
-i
i
(при *06(—/. 0).
Следовательно, ряд Фурье для 6-функиии 6(х0, х) имеет вид
. , . 1 , 1 V4 I кпх0 Ых . . knx0 . Ых \
t (x0, x)~jj+r2d (cos~Г^cos~Т~ +sin ~~Т^sm~T~) —
k=\
или в комплексной форме
fro _
6(лг0, х)~2/■ 2и е • B)
Рассмотрим последовательность частичных сумм этого ряда
п
■х , . 1,1ч/ knx0 Ых . . кях0 . hnx\ „.
&„(*„, x)=2i+jZi\COS'~T^COS~l hsin —j-2-sin—j—J . C)
re=l, 2
или в комплексной форме
n n
i 1 V1 '* T-U-^o) . ., ...
6;дх0, x) — 2/ 2i e • n=1- 2- ■■• D>
* = - и

ДОПОЛНЕНИЕ 5 К ГЛ. !! 545
Если f (х) является кусочно-гладкой на интервале (—/, /), то, оче-
очевидно,
i
я -» + со У
если считать / (х) доопределенной в каждой точке разрыва х* равен-
равенством f(x*)= )~г/(х~г _ Поэтому (см. замечание после
соотношений G), (8) и (9) в Дополнении 2 к гл. 8 и сноску на
стр. 356) последовательность {6„(х0, х)} будет слабо сходящейся
к 6-функции 6(х0, х) в классе кусочно-гладких функций на (—/, /);
иными словами, ряд A) слабо сходится к 6(х0, х) в классе кусочно-
гладких функций на (—/, /). Этот факт можно выразить символи-
символическим равенством
+ ОО
11 4l~^4 / /> ТТ V £* Т V 1?ТХ V />7TV*^
°(X0, X) = -к-j -j- -j Т. COS - -. COS—- p Sin j Sin j— . (OJ
Умножив обе части равенства F) на любую кусочно-гладкую функ-
функцию f(х) и интегрируя почленно по х от —/до /, мы приходим
к доказанному выше равенству
где ak и bh определяются по обычным формулам для коэффициен-
коэффициентов тригонометрического ряда Фурье функции / (х) на интервале
(-/; о.
Равенство F), понимаемое в смысле слабой сходимости в классе
кусочно-гладких функций на (— /, /), называется разложением
6-функции 6(х0, х) в тригонометрический ряд
Фурье.
Аналогично обстоит дело с разложением 6-функции 6(х0, х)
в интеграл Фурье. Применяя к 6(х0, х) формально интегральную фор-
формулу Фурье (см. § 9)
6(х0. x) = ±j d% J
О -со
получим
+со
6 (лг0. х) = ^ / cos Я, (х0 ~ х) d\. (8)
ЗБ Б. М. Будак, С. В. Фомин

546 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
Это равенство, называемое разложением 6 - функции 6 (х0, х)
в и н те г р а л Фурье, также следует понимать в смысле слабой
сходимости. Умножая обе его части на любую абсолютно интегри-
интегрируемую на всей оси х функцию f (х), кусочно-гладкую на каждом
конечном интервале, и интегрируя по х от — оо до + оо (с изме-
изменением порядка интегрирования по х и X в правой части), получим
известное равенство
+ 0О +0О
f(хо)=1 /dl If (l) cos k (x° —l) dl- (9)
Итак, при разложении 6-функции 6(х0, х) в ряд Фурье F) и
в интеграл Фурье (8) с 6-функцией можно обращаться так же, как
с обычной кусочно-гладкой функцией (абсолютно интегрируемой на
всей оси в случае интеграла Фурье), а с разложениями F) и (8),
понимаемыми в смысле слабой сходимости, можно, в известном смысле,
обращаться, как с обычными равенствами.
По поводу дальнейших сведений о 6-функции мы отсылаем к вып. 4
настоящего курса, а также к [5] и [6].
ДОПОЛНЕНИЕ 6 К ГЛ. 11
РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
Приведем доказательство теоремы Вейерштрасса о равномерной
аппроксимации непрерывной функции / алгебраическими многочле-
многочленами, легко распространяющееся на функции многих независимых
переменных. Это доказательство в случае iV-кратно непрерывно диф-
дифференцируемой функции / позволяет построить равномерно аппро-
аппроксимирующий функцию / алгебраический многочлен, производные
которого до N-vo порядка включительно равномерно аппроксимируют
соответствующие производные функции /.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Любую функцию f (х), непре-
непрерывную на замкнутом ограниченном отрезке а -^ х -^ Ь, можно
равномерно аппроксимировать алгебраическим многочленом
со сколь угодно высокой точностью.
Доказательство. Предположим, что 0 < а < Ь < 1 (в про-
противном случае сделаем надлежащую замену независимой перемен-
переменной х). Возьмем числа аир, удовлетворяющие неравенствам
0<а<а<£<р< 1, и продолжим f (х) непрерывно на сесь отре-
отрезок 0<!x-<;i так, чтобы было /(х)==0 при О-^х-^а и

ДОПОЛНЕНИЕ б К ГЛ. П 547
Докажем, что алгебраический многочлен степени 2/г (относитель-
(относительно х)
C
ff(u)[l-(u-xyydu
A)
Г A — u2)n
-i
при достаточно большом п равномерно аппроксимирует функцию f (х)
на отрезке [а, Ь] с любой наперед заданной степенью точности. Для
этого заметим, что
i i
Jn= / О —v2)n dv^ I A —vf dv = — ~ ^
6 о
i
fn= С A — г»2)" dv < A — б2)" при любом 6, 0 < 6 < 1.
б
Следовательно,
0<—<A —62)"(/г+1)-*0 при Я-> + оо, B)
•I п
если 6= const, 0<6<1. Сделав замену а — x = v, перепишем
интеграл A) в виде
I / (v ~\~х) A — v2)" dv
а-х
C)
-I
и оценим на отрезке а -^ х <^ Ъ разность
Ь-х +1
Г f(v-\-x)(l — v2)ndv— j f(x)(\ —
Pa(X)-f(x) = 27 • W
Пусть дано е > 0. Выберем 6, 0<6< 1, так, чтобы выполнялось
неравенство
|/(* + «0 —/(*)|<Y при а<х<6 и |г»|<6 E)
и чтобы было 0 < х -р г» < 1 при а -^ х -^Ь и |г»|<^6. Представим
35*

548 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
числитель дроби D) в виде
-б 3-*
Г /(г/ + л:)A — v2)n dv-{- Г / (г; -f- дт) A — v2)ndv-{-
а—х б
[ГЛ. II
-б
-б
В силу E) имеем
б
f f(x)(l-v*y
-i
_/(*)](!-«У Л,
-6
F)
G)
Полагая М= max |/(x)|, получаем оценки
<<6
-6
J /(г/ + *)A — v?)n
a—x
Э-Jr
J f(v + x)O—v*)a
dv
(8)
<Mfn,
так как — 1<а — х<0и0< р,— х < 1 при а <[ х ■< ft, и оценки
-1
<ЖУЛ и
f(x)[\—v*fdv
Поэтому числитель дроби D) не превосходит величины
Заметив это, получаем следующую оценку для D):
е j
= +<2M-f-
(9)
A0)
A1)
для всех х ^ [а, Ь\.
Но, в силу B), второе слагаемое в правой части неравенства A1)
будет меньше е/2 при всех достаточно больших п. Следовательно,
при всех достаточно больших п
\рЛх) — f(x)\<e для всех х£[а, Ь]. A2)
Теорема доказана.
Совершенно аналогично для функции многих переменных может
быть доказана

ДОПОЛНЕНИЕ 6 К ГЛ. II 549
Теорема 2 (Вейерштрасса). Пусть f (x,, х2 хт) непре-
непрерывна в области П: al-^.xi-^.f?i, i-=\, 2, .... т, причем
О < at < bt < 1. Продолжим f непрерывно на весь единичный
т-мерный куб Ет: О-^л^-^1, /=1, 2 т, так, чтобы f
была тождественно равна нулю вне параллелепипеда П*:
а,- <; xt ^L Р,-, где О < аг < аг < bt < р, < 1. Тогда алгебраический
многочлен степени пт относительно xv x2, .... хт
1 1 пг
f ... f f(al,...,um)[l-(u1-x1Y)n...[\-(um-xmY)"da1
dun
r +1
f (i-
L-i J A3)
/г/?и достаточно большом п равномерно аппроксимирует функ-
функцию f{Xi хт) в П с любой наперед заданной точностью.
Замечание 1. Если функция f(x) (/(х1 х^) имеет не-
непрерывные производные до некоторого порядка N включительно, то
производные Рп{х) {Рп(х1, . . ., хт)) до Л/-го порядка включительно
равномерно аппроксимируют соответствующие производные f (х)
(/(Xj, ..., хт)) со сколь угодно высокой точностью на отрезке [а, Ь\
(в параллелепипеде П) при всех достаточно больших значениях п.
Докажем справедливость этого утверждения в простейшем случае.
Пусть / (х) и /' (х) непрерывны на отрезке а-^.х-^.1?, 0<а<£< 1.
Продолжим f (х) на весь отрезок 0-^х^С 1 так, чтобы f(x) и f'(x)
были непрерывны на всем этом отрезке и тождественно равны нулю
вне отрезка а<!х-^р, где 0<а<а<£<р< 1. Дифференцируя
многочлен A) по х и интегрируя по частям, получим
Э
— jf(u){\-(u-xf\ndu
wn
а-х
а—х
f (и) [1 — (и — xJ]n du I f'(v + x)(l — v2I1,
/ A — v2)" dv

550 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. 1Г
После этого разность
3--*- +1
Г f (X-\-v)(\ — v2)ndv — f f (x)(l — v2)adv
P'n (x) - f (x) = -^ „ ^
оценивается так же, как разность D) при доказательстве тео-
теоремы 1.
Замечание 2. Простым следствием теоремы 2 является
Теорема 3 {Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна
на отрезке —/-^х-^/ и имеет равные значения на его кон-
концах, т. е. /(—/) = /(/), то она может быть с любой наперед
заданной степенью точности равномерно аппроксимирована
на этом отрезке тригонометрическим многочленом вида
f+lpC0S~r+>»sin"r
Доказательство. Положим —j- = 6. Тогда функция F(Q) =
(/ft ч '
— )=/(x) будет непрерывной на отрезке —я<[8^я, причем
F(—я)=.Р(я). Введем на плоскости с декартовыми прямоугольными
координатами |, г\ полярные координаты 6, р: | = pcos8, r| = psin8,
и рассмотрим функцию ф(|, t])=pF(9). Эта функция непрерывна
на всей плоскости £, ц и при р^1 совпадает с F(Q), т. е.
фA' Ц)=Рф) на окружности |2-(-т]2^1. По теореме 2 функцию
ф(|, г)) можно в квадрате —1 -^ % -^ 1, —l^rj^l равномерно
аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическим
многочленом Рп (|, ц). Полагая р= 1, получим равномерную аппро-
аппроксимацию F(Q) с той же точностью на отрезке —я-<8-<!я тригоно-
/о
метрическим многочленом Pn(cos8, sin 9) или, возвращаясь к х = — ,
равномерную аппроксимацию f (х) с той же точностью на отрезке
,-.-., п ( ЯХ . ЯХ\
— / -^. х .%/ тригонометрическим многочленом Pn\cos-^— , sin—j-)•
Заменяя в последнем произведения и высшие степени cos —j- и
sin —г- линейными комбинациями синусов и косинусов кратных
дуг, этот многочлен можно привести к виду A4). Теорема до-
доказана.

ДОПОЛНЕНИЕ 7 К ГЛ. II 551
ОБ УСТОЙЧИВОМ СУММИРОВАНИИ РЯДОВ ФУРЬЕ
С ВОЗМУЩЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть известны точные значения ck коэффициентов Фурье функ-
функции f (х), интегрируемой с квадратом на [а, Ь] по ортонормирован-
ной системе {cpfe(x)j:
ь
(x)(fk(x)dx, k=\, 2 A)
а
и пусть при некотором х£[а, Ь\ выполнено равенство
+ ОО
/(х)=2-с,ф,(х). B)
fe=i
Заменяя в нем сумму ряда частичной суммой, получим приближенное
равенство
п.
/(х)«2сйФй(*). C)
которое при п->-\-со переходит в точное равенство B). Таким
образом, увеличивая число членов п, приближенное равенство C)
в рассматриваемой точке х можно сделать сколь угодно близким
к точному.
Однако на практике приходится пользоваться приближенными
или, как говорят, возмущенными значениями коэффициентов
Фурье:
ck=ck + Ack, D)
которые отличаются от точных значений ск добавками Acft, называе-
называемыми погрешностями или возмущениями.
Если в приближенном равенстве C) точные значения коэффициен-
коэффициентов Фурье ск заменить их приближенными значениями ck, то полу-
получится приближенное равенство
п.
/(*)*2е*«Р»D E)
точность которого при неоправданном увеличении числа членов п
может, вообще говоря, не улучшиться, а ухудшиться. Если на воз-
возмущения Ack не наложено никаких ограничений, то это совершенно
очевидно. Обычно на Ack накладывают следующее ограничение:
+ ОО
2 (Ас,J < б2, F)
ftl

552 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. II
где б2 — достаточно малое число. Из выполнения условия F) при
каком угодно конечном 6 следует, во-первых, существование функ-
функции /(х), интегрируемой с квадратом на [а, Ь], для которой ряд
+ СО
2 ck(fk (х) -является рядом Фурье*), а также следует, во-вторых, что
в силу равенства Парсеваля
f(x) — f (x)}2 dx=>j (cft — c*J = Zi (Ac*J < 62> G)
т. е. что квадратичное уклонение /(x) от /(х) на [a, b] меньше б2.
Однако выполнение условия F) при сколь угодно малом 6 не га-
гарантирует сходимости ряда с возмущенными коэффициентами
"V1 г [~ (\-\ /Q\
ляЛ ь}\ к \ )' К )
Поэтому даже при выполнении условия F) неоправданное увеличение
числа членов п в приближенном равенстве E) может привести
не к его улучшению, а к ухудшению.
Рассмотрим, например, полную ортонормированную систему
1 , /'~2~ , , г,
ср. (х) = —=г, Фь,, (х) = 1/ — cos kx, & = 1, 2 С9)
на отрезке О^х^я. Пусть функция /(х) язляется как угодно
гладкой на отрезке 0<^х<^я, и пусть ее точный ряд Фурье
k=\
*) Действительно, из неравенства "Sj (Ас^J < + со, неравенства Бесселя
ft = i
b
с\ < I /2 (•*") d* и элементарного неравенства с2к < 2 [с2; + (Дс^J],
fe = l a
fe= 1, 2 вытекает сходимость ряда 2 е*' ^° в теоРии Функций дей-
ствительного переменного доказывается ([7], теорема Рисса — Фишера), что
+ ОО
сходимость ряда 2 с\ является необходимым и достаточным условием су-
7v-=I
ществования функции / (х), интегрируемой с квадратом на [а, Ь], для которой
ряд 2 с*Фь (■*) является рядом Фурье.

ДОПОЛНЕНИЕ 7 К ГЛ. II 553
сходится к ней как угодно быстро в точке х —. 0. Положим
ДС] = 0, AcA+1 = -j- при k=\, 2 -^!_<62, б'>0. A1)
Тогда
2>*>* = ^-<* A2)
т. е. условие F) для возмущений Ack выполнено. Однако ряд
cft -f- Acft) <pft (х)
ft = 1
-f-oo
расходится при х = 0. Действительно, ряд ^ скц>к@) по условию
сходится к / @), а ряд
- оо
4 оо
/ 2 Vi
2
k=l ft=I ft=I
расходится, отличаясь от гармонического лишь отличным от нуля
множителем 6 1/ — Ф Ф 0).
Тем не менее, если точный ряд Фурье функции f (х) сходится
к f (х) в некоторой точке х£[а, Ь\, то выполнение условия F) при
сколь угодно малом 6 > 0 позволяет с помощью надлежащего вы-
выбора Л/F) сделать в этой точке х модуль разности
Л" F) _
f(x)~ 2 cftcpft (х)
ft=I
сколь угодно малым, т. е. сделать в данной точке х приближенное
равенство
Л'F) __
сколь угодно близким к точному. При этом не требуется никаких
дополнительных ограничений на степень гладкости функции f(х)
и скорость сходимости ее точного ряда Фурье в данной точке х.
Именно, справедлива следующая
Теорема. Пусть для членов ортоноржированной на [а, Ь]
системы {фй(х)} выполнены неравенства
(х)\ ^С А = const < -jr со при k=l, 2 д < д: < ^ A3)

554 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ. It
и пусть при каждом б2 в правой части неравенства F) число
N F) выбирается так, что выполнены условия:
N{b)-+-\-oo при 6->0, A4,)
6WF)->0 при 6->0.
Тогда
lim
/ (*) — S
(х)
= 0
A42)
A5)
при любом х £ [a, ft], для которого выполнено равенство B).
Доказательство. В силу соотношений B), D), F), A4t)
и A42) и неравенства Коши—Буняковского для сумм, будем иметь
ЩЬ)
(х) <
/ (х) — 2 сйфл (х)
+ ОО
2
N(b)
(x)
V 2(Д
' k= I
k=I
. Y&N F) +
S Ck<Qk (X)
• A6)
Член A~\/r62N ф) в правой части неравенства A6) стремится к нулю
при 6—>0, в силу условия A42), а член
2
стремится
к нулю при б->0, в силу условия A4,) и сходимости ряда 2j ck(fk (ХУ
в рассматриваемой точке х. Теорема доказана.
Из доказательства этой теоремы вытекают следующие выводы.
Пусть в точке х £ [a, ft] выполнено равенство B) и при некотором
6 > 0 выполнено ограничение F) на возмущения Ack коэффициентов
Фурье. Чтобы модуль разности
/(*)■
2
, где ck=ck-\-Ack,.
k = 1, 2 сделать в данной точке х £ [a, ft] минимальным,
нужно число членов iVF) частичной суммы 2 ck(fk(x) взять
не слишком малым, чтобы член
2
в правой части
неравенства A6) был достаточно мал, и не слишком большим,
чтобы член Л]/62МF) в правой части неравенства A6) также был
достаточно малым.

3 21 ДОПОЛНЕНИЕ 7 К ГЛ. II 555
Всякий метод восстановления функции / (х) с любой наперед за-
заданной степенью точности по ее ряду Фурье с возмущенными коэф-
коэффициентами, если возмущения коэффициентов удовлетворяют усло-
условию F) при сколь угодно малом 6 > О, мы называем устойчивым
методом суммирования ряда Фурье с возмущенными коэффи-
коэффициентами.
Таким образом, из доказанной теоремы вытекает, что если б2
в правой части условия F) может быть сделано сколь угодно малым,
то путем надлежащего выбора NF) в приближенном равенстве E')
может быть осуществлен устойчивый метод суммирования ряда
Фурье с возмущенными коэффициентами.
Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с возмущенными
коэффициентами рассматривались А. Н. Тихоновым в работе [8].
В этой работе были предложены методы восстановления по ряду
Фурье с возмущенными коэффициентами не только функции / (х),
но и ее производных. Однако рассмотрение этих более тонких во-
вопросов выходит за рамки данной книги.

ДОБАВЛЕНИЕ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ
При решении многих задач математики и математической физики
вычисление и исследование функции f(x) в окрестности некоторой
конечной точки х0 или в окрестности бесконечности *) связано
с большими трудностями. Эти трудности часто удается преодолеть
с помощью асимптотических разложений, приводящих к замене функ-
функции f (х) такими функциями, которые вычисляются и исследуются
проще, чем f (х), и которые при х, приближающемся к х0, или
соответственно при х, стремящемся к бесконечности, все более и
более точно аппроксимируют f (х).
Сначала, не формулируя общих определений, мы приведем при-
примеры асимптотических разложений (§ 1), затем остановимся на неко-
некоторых общих определениях и теоремах (§ 2) и, наконец, покажем
на примере гамма-функции применение метода Лапласа для получения
асимптотических разложений некоторых интегралов (§ 3).
§ 1. Примеры асимптотических разложений
1. Асимптотические разложения в окрестности нуля рассма-
рассматривались уже в 1-м выпуске настоящего курса. Там в гл. 8 были
получены асимптотические разложения в окрестности нуля для сле-
следующих элементарных функций:
е = 1 + X + -2J-
cosx=l— 4т + -п •••
п нечетно,
(л-1I ^
л четно,
*) То есть при х -> -f- со, или при х -> — со, или при | х | ->• со.

§ I] ПРИМЕРЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИИ 557
_|_ «(« — г) •••(« — "+ 1) х0 (Хп\
где о (хп) — величина более высокого порядка малости при х—>0,
чем хп. Разложения (I) использовались для вычисления некоторых
тонких пределов, когда более грубая информация о поведении эле-
элементарных функций в окрестности нуля была недостаточной.
2. Асимптотические разложения в окрестности бесконечности.
Рассмотрим теперь некоторые асимптотические разложения в окрест-
окрестности бесконечности. Часто в математической физике приходится
пользоваться функцией
A)
при больших значениях аргумента х > 0. Найдем асимптотическое
разложение функции W (х) в окрестности бесконечности, т. е. при
jc—>~т-оо. Интегрируя по частям, находим
X
Поступая таким же образом с интегралом / -^2 rf| и т. д.,
после
(«■+• 1)-кратного применения этого приема получим следующее раз-
разложение для W (х):
Упх
B а-2)*
B)
) Y(jf) = -|=r / e-^dE= 1-ФD где
X
2
«интеграл ошибок», играющий важную роль в теории вероятностей, тескжи
теплопроводности, статистической физике. Он не выражается через элемен-
элементарные функции; существуют многочисленные таблицы его значений при раз-
различных значениях аргумента х.

558
где
ДОБАВЛЕНИЕ
Для остаточного члена Rn(x) справедлива следующая очевидная оценка;
,.
Обозначим через 01 — I При х—>-со величину, для которой выпол-
\ х }
няется «соотношение порядка»:
1 \ . , I
■ <^ const •— при х—>со.
Тогда разложение B), в силу оценки D), можно переписать в виде
л
1 Q /О*. 14
О
о-У?
Так как
\х
•О при х■
1 • 3 ... Bk — 1)
со, то, отбрасывая член О
E)
1
„2л+2
можно написать, что
- 3 ... Bft — 1)
при х->-\-оо. F)
Соотношения E) и F) называются асимптотическими
разложениями
2 Г
Ч?(х)= / е~& d\ при лг->+
V Л •'
со или,
иначе, «в окрестности бесконечности-».
Если в правой части соотношения F) суммирование продол-
продолжить неограниченно, то получится разложение Ч? (х) в асимптоти-
асимптотический ряд
п* 1 - 3 ... Bft — 1)
W(X):
G)
Этот ряд расходится при всех значениях х. При каждом достаточно
большом х модуль &-го члена ряда с возрастанием номера k сначала
убывает, затем, достигнув некоторого минимального значения, возра-
возрастает неограниченно. Однако, в силу неравенства D), для разности

§ I) ПРИМЕРЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИИ 559
между W (х) и частичной суммой этого ряда имеет место оценка
Иными словами, погрешность, допускаемая при замене функции Ч? (х)
частичной суммой ряда G), не превосходит первого из отброшен-
отброшенных членов и быстро стремится к нулю при х—>-[-оо.
Многократное интегрирование по частям является достаточно
общим методом получения асимптотических разложений. Таким путем
могут быть получены асимптотические разложения для интегральной
показательной функции
со,
х
С е1
Ei(x)= / -г- d\, —оо < х < 0 при х
J &
~оо
для интегрального косинуса
С\(х)= I ^Y^-dl, 0<x<+oo при |x|->-i-oo,
х
для интегрального синуса
х
Г sin ъ
Si(x)= j - de,, —co<x<-j-oo при |х|->оо.
Некоторые асимптотические разложения удается получить иными
элементарными приемами (см., например, [9] или [10]).
Рассмотрим один несложный пример. При исследовании распро-
распространения электромагнитных волн у поверхности земли и в ряде
других задач используется функция
х
F(x)=e-x2 j ei2 dl- (9)
о
Нетрудно получить разложение для F(x) в сходящийся степенной
ряд *), которым, однако, при больших значениях х пользоваться
неудобно. Найдем асимптотическое представление для F(x) при
х—>-f-°°- Умножая равенство (9) на 2х и применяя дважды
*) См. п. 2 § 4 гл. 8.

5£0 ДОБАВЛЕНИЕ [р
правило, Лопиталя при х —>-рос, получим
lim 2xF(x)=i. AQ-)
-tr->+co
Следовательно, для /^(х) имеет место асимптотическое представление
?(.*)=-& [1 + 0AI при х->+со, A1)
где оA) при х—>-j-oo определяется как величина, стремящаяся
к нулю при х—>-j-oo. Вместо A1) можно написать также
Р<<х)~Тх~ при *-* + °°- A2>
Можно было бы привести много других асимптотических разложений,
но мы пока ограничимся рассмотренными примерами.
§ 2. Некоторые общие определения и теоремы
Мы будем рассматривать функции / (х), g(x) заданные
на некотором множестве М точек х вещественной прямой, например
на конечном интервале, на полупрямой, на всей вещественной прямой.
1. Соотношения порядка. Асимптотическая эквивалентность.
Остановимся сначала на соотношениях порядка / (х) = о (g (х))
и /(х) = О (g(x)). Пусть х0 — какая-либо предельная точка мно-
множества М.
Определение 1. Если
lim 1Щ = о, A3)
то говорят, что f (х) есть «о малое» от g(x) при х—>х0
на множестве М, и пишут
f(x) = о (g(x)) при х—>х0 на М. A4)
Замечание. Выполнение соотношения A3) означает, что для
всякого е > 0 найдется такое 6 = 6 (е) > 0, что
|/(х)| <е|^(х)| при всех х£М, для которых \х — хо| < 6.
A3')
Определение 2. Если существует такая константа С,
О <С С < -р со, что при всех х £ М из достаточно малой окрест-
окрестности х0 выполняется неравенство
fix)
g(X)
[С, A5)

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 561
то говорят, что /(х) есть «о большое» om^ff(x) при х—>х0
на множестве М, и пишут
/(x)=O(g(x)) при х->х0 на /И. A6)
Определение 2г. Если неравенство A5) выполняется на
всем множестве М, то говорят, что f (x) есть «о большое»
от g(x) на множестве /И, и пишут
f(x) = O(g(x)) при х£М. A6')
Если f (х) = о (g(x)) при х —> х0 на /И, то, как это следует
из определений 1 и 2, и подавно / (х) = О (g (х)) при х—> х0
на /VI.
Замечание. Если множество М не ограничено, то совершенно
аналогично определяются соотношения порядка / (х) = о (g (x))
и f(x)= О (g(x)) при х—>-f--o (или х —> — оо, или \х\—>со),
иными словами, соотношения порядка «в окрестности бесконечности».
Если выбор множества М очевиден, то в соотношениях A3)—A6)
указание на /VI опускают.
Примеры.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
ex — 1 = О (х)
sinx = O(x)
cosx — 0 A)
sin2 x = о (x)
x1 = o(x)
x2 = О (х)
e-l'2=o(x)
при
при
при
при
при
при
при
X
X
X
X
X
X
X
->0,
-»0,
->о,
->0,
->0,
•^>о,
—> со
8) F(x) = e-^ I e~ildl = o{~\ при х->^-оо.
о
Сформулируем теперь определение асимптотической эквивалент-
эквивалентности функций.
Определение 3. Функции f (x) и g(x) называют асимпто-
асимптотически эквивалентными при х—> х0 на множестве М
и пишут
f(x)~g(x) при х->х0 на М, A7)
если
(f(x)/g(x))->l при а-->х0 на М. A8)
Вместо соотношения A7) можно написать, очевидно, соот-
соотношение.
g(x) [1 + о AI при х^х0 на М, A9)
называемое асимптотическим представлением f(x)
в окрестности х0 на множестве /VI.
36 Б. М. Будак, С. В. Фомин

562 ДОБАВЛЕНИЕ [1
Совершенно аналогично определяется асимптотическая эквива-
эквивалентность функций на множестве М в окрестности бесконечности
(т. е. при х —>-j-co, или при х —> — со, или при [х\—>со).
Примеры. 9) sinx~x при х->0,
х
10) F(x) = e-*2j e?di~-^ при х-*+со.
о
2. Асимптотические разложения функций. Раскрывая скобки
в соотношении A9), получим равенство
f(x) = g(x)+o(g(x)) при х->х0 на М, A9')
которое является простейшим асимптотическим разложением /(х)
в окрестности х0 на множестве М.
Сформулируем теперь общее определение асимптотического раз-
разложения, охватывающее также частные случаи, рассмотренные в § 1
настоящего добавления. Для этого нам прежде всего потребуется
ввести понятие асимптотической последовательности и асимптоти-
асимптотического ряда.
Определение 4. Конечная или бесконечная последователь-
последовательность функций (ф„(х)}, заданных на множестве М, называется
асимптотической на М при х->х0 (л-->оо), если при
каждом п выполнены соотношения порядка фд + 1(х) = о(ф„(х))
при х -> х0 (х->со).
Например, последовательности
1) 1, х, х2 хп, ... при х—>0,
2) 1, хЧ хх* Xх", ... @<Я,!<Я,2< ... <А„< ...)
при х—>0У
3) 1, (х— х0), (х — х0J (х —х0)", ... при х->х0,
4) 1, х~хК х~^ х~\ ... @<?.1<>.2< ... <*,„< ...)
при х—>-j-co,
5) ех, ехх'}'К ехх~Х* exx~h", ... @ < )ч <...<>.„<...)
при X—>-j-CXD^
6) 1, х", х~2 х~", ... при х—>-j-oo
являются, очевидно, асимптотическими.
Последовательности 1), 3), 6) называются степенными; по-
последовательности 2), 4), 5), где kt — некоторые вещественные числа,—
обобщенными степенными.
Определение 5. Если {<р„(х)}—бесконечная асимптоти-
асимптотическая последовательность (на множестве М) при х —> Хд.

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 563
(х—>-j-oo), то ряд 2 сп4>п(х) с любыми постоянными коэффи-
я=1
циентами ср с2 са, ... называется асимптотическим
рядом (на множестве М) при х->х0 (х->со).
Определение 6. Пусть (ф„(х)}—конечная или бесконечная
асимптотическая последовательность на множестве М при
х —> х6 (х-^-оо). Если для функции /(х), заданной на М, вы-
выполняется соотношение
N
/О)= 2 а*Ф* (х) + о (фд, (х)) при х->х0 (х-^оо), B0)
где av a2 aN — некоторые константы, то его называют
асимптотическим разложением f(x) на М при
х —> х0 (х —> са) по последовательности (ф„(х)} до N-го члена
включительно.
Разложение B0) записывают также в виде
N
2 x) ПРИ х->х0 (л;->оо). B1)
Если имеет место асимптотическое разложение B0), то, очевидно,
и подавно имеют место асимптотические разложения, получающиеся
из B0) заменой N на k, где &=1, 2 N—1.
Определение 7. Пусть 2 а^ь{х) — асимптотический ряд
k 1
k — 1
на множестве М при х->х0 (х-^-са) и пусть для функции f (х),
заданной на М, асимптотическое разложение B0) имеет
место при каждом N=1, 2, 3, ... Тогда этот ряд назы-
называют асимптотическим разложением функции f(х)
на М при х —> х0 и пишут
-Ьсо
/(•*)«* 2 ak4>k (x) при х->х0 (х->со.) B2)
Асимптотические разложения, рассматривавшиеся в предыдущем
параграфе, очевидно, удовлетворяют определениям 6 и 7.
Заметим, что асимптотические разложения в окрестности х = 0,
или х=х0т^0 или в окрестности бесконечности сводятся друг
Q
к другу заменой вида z = —, или вида z = C(x—х0), или вида
X
С
z= соответственно, однако такое сведение при практических
х— ха
применениях асимптотических разложений не всегда целесообразно.
Остановимся на различии между разложением функции /(х)
в сходящийся к ней функциональный ряд и ее .разложением в
36*

564 ДОБАВЛЕНИЕ [I
асимптотический ряд. В первом случае мы требуем, чтобы разность
между / (х) и частичной суммой ряда стремилась к нулю при любом
фиксированном х и N—>-(-со; во втором случае требуем, чтобы
N
разность / (х)—2 akq>k(x) при каждом N стремилась к нулю при
k=i
х —> хй (х —>со), имея более высокий порядок малости, чем послед-
последний член в частичной сумме.
Асимптотический ряд для f(x) может быть сходящимся или рас-
расходящимся, как это показывают примеры асимптотических рядов, рас-
рассмотренных в § 1 настоящей главы. Однако из сходимости асимптоти-
асимптотического ряда данной функции / (х) не следует, что его сумма равна
/(х). Так, например, нетрудно убедиться, что для функции /(х) =
=е~х имеет место следующее тривиальное асимптотическое разложение:
е~х яаО-\-\-О- х-1-^ ...-{-О- х-"-\- ... (при х-> -+- со), B3)
причем асимптотической ряд A2.23) сходится, однако его сумма
при всех х (хфО) не равна е~х.
Для практических применений асимптотических разложений важно
оценить погрешность, допускаемую при замене f(x) частичной
N
суммой 2 ak(Pit(x) ee асимптотического разложения B2), т. е.
4=1
оценить остаточный член о DV (•*■)) в разложении B0) при
х—> х0 (х->со).
Ввиду того, что аналитическая оценка остаточного члена часто
сопряжена с большими трудностями, на практике для выяснения
области применимости асимптотических разложений пользуются конт-
контрольным расчетом, проведенным каким-либо другим методом. В ряде
случаев этого оказывается достаточно. Например, пусть известно,
что модуль остаточного члена \o((fN(x))\ стремится к нулю при
х—> х0, монотонно убывая. Если при значении х, достаточно близ-
близком к х0, удалось каким-либо способом получить значение f (х)
N
и оно отличается от значения 2 ak(fk(x) в этой же точке х меньше,
чем на е > 0 (по модулю), то при всех х, более близких к х0, мо-
Л'
дуль разности /(х)— 2 ak4>k(x) и подавно будет оставаться меньшее.
к = 1
Аналогичным образом обстоит дело, когда не \о ((fN(x))\, а неко-
некоторая мажоранта г|5ЛГ (х) ^3>|о(фдг(х))| стремится к нулю, монотонно
убывая, при х —> х0.
Асимптотическое разложение любой функции f (х) по заданной
асимптотической последовательности {ф„(х)}, если оно существует,
определяется однозначно. Именно, имеет место

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 565
Теорема 1. Пусть каждый член асимптотической после-
последовательности [ц>п(х)} отличен от нуля при всех х в доста-
достаточно малой окрестности х0 (или при х—>.оо) и пусть имеет
место асимптотическое разложение B0) для функции f (х).
Тогда его коэффициенты ak однозначно определяются по фор-
формулам
л-1
ап= Mm -^г при я=1. 2 N. B4)
Доказательство. Заменив в соотношении B0) N на п и
переписав его в виде
л-1
4 = 1
находим
л-1
/(•«о — 2 w )
_ ь = \ , о (Фд (х)) . .- „ / ъг
" Ф(л-) ^ Ф(л-) ^
откуда и следует справедливость равенства B4). Теорема доказана.
Обратная теорема неверна; именно, функция /,(х) определяется"
своим асимптотическим разложением неоднозначно; могут быть раз-
различные функции с одним и тем же асимптотическим разложением.
Так, например, функции f(x) = e~x и g(x) = Q имеют одинаковое
асимптотическое разложение B3) по степеням 1, х~1, х~2, ...
..., х~п, . ■. при х->-\-оо.
Определение 8. Две функции f (x) и g(x) называются
асимптотически эквивалентными относительно
данной асимптотической последовательности (ф„(х)} при
х—> х0 (х —>со), если при всех п выполняется соотношение
x->xQ (x->oo). B5)
Две функции f(x) vi'g(x) с одинаковым асимптотическим раз-
разложением по некоторой асимптотической последовательности, оче-
очевидно, асимптотически эквивалентны относительно этой асимптоти-
асимптотической последовательности.
Нетрудно доказать, что для совпадения коэффициентов асимпто-
асимптотических разложений функций f (х) и g (x) по одной и той же
асимптотической последовательности {ф„(х)} необходимо и доста-
достаточно, чтобы эти функции были асимптотически эквивалентны отно-
относительно последовательности (фл(х)}.
Остановимся теперь на вопросе об операциях над асимптотиче-
асимптотическими разложениями.

566 ДОБАВЛЕНИЕ [I
Если при х —> xQ (x —>оо) имеют место асимптотические раз-
разложения
4-со
2 ^Ф*О) при
l
B6)
то, очевидно, при любых постоянных аир имеет место также
асимптотическое разложение
a/M+PS'O)— 2 (а^ + Р^ФаМ при х->х0 (х->оо). B7)
Перемножать асимптотические разложения двух функций f (х)
и g(x) по одной и той же асимптотической последовательности {ф„(х)},
вообще говоря, нельзя, так как уже произведения Ф,„(х)ф„ (х)
не всегда можно расположить в асимптотическую последовательность.
Остановимся на вопросе о почленном интегрировании асимпто-
асимптотических разложений. Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть последовательность [ц>п (х)} положи-
положительных функций вещественной переменной х, определенных
на интервале а <С х <С Ь, является асимптотической при
х—>Ь — 0 и пусть имеет место асимптотическое разложение
J при .;->£ — О*). B8)
Если интегралы
ь ь
ff(l)dl и fcpk(l)dl B9)
X X
сходятся, то имеет место также асимптотическое разложение
ь +х> ь
<*1- C0)
Доказательство. Для положительных функций в неравен-
неравенстве |q>n+i(*)| < е|фп(*)|. выражающем соотношение порядка
фл+1 (х)= о (ф„(х)) **), знак модуля можно опустить. В результате
получим, что
Фл+1 ОХ «Рл 00 при х-^Ь — 0 (*)
*) Здесь Ь—конечное число или -f-oo.
**) См. замечание к определению 1.

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 567
при любом е > 0. Интегрируя (*) от х до Ь, что возможно, в силу
сходимости интегралов, получим, что
о< f<pn+i (£)<*£ <е Г Фл (£)<*£ C1)
х х
при любом е>0 и при х->Ь — 0, откуда вытекает, что последо-
( Г )
вательность < I ф„(|) d\ > является асимптотической при х—>Ь — 0.
Для доказательства соотношения C0) нужно доказать, что
* n ь
k(l)dl при х->Ь — 0 C0')
х к = \ х
для каждого N= 1, 2, 3, ... В силу положительности функций
Ф„(х), соотношение B0), имеющее место в силу B8), можно пере-
переписать в виде
N
ак(р/1(х) <СеФлг(л:) ПРИ х—>Ь — О
4=1
и любом е>0 для каждого N=1, 2, 3, ... Следовательно,
* n ь
/(I)
N
(i)
J
при
и любом е>0 для каждого 7V=1, 2, 3, ... Но это и означает,
что для каждого N= 1, 2, 3, ... справедливо асимптотическое раз-
разложение C0), что и требовалось доказать.
Из теоремы 2 вытекает очевидным образом справедливость
следующего утверждения:
Если имеет место степенное асимптотическое разложение
k~Q
при
- со
C2)
и интеграл Г [/(|) — а0 —at| J] d\ сходится, то имеет место
также степенное асимптотическое разложение
-f-co
4 = 2
C3)

68 ДОБАВЛЕНИЕ [I
Почленное дифференцирование асимптотических разложений,
вообще говоря, недопустимо. Однако можно указать важные частные
виды асимптотических разложений, допускающих почленное диффе-
дифференцирование. Пусть, например, /(х) допускает степенное асимпто-
тлческое разложение вида C2), а ее производная /' (х) допускает
также степенное асимптотическое разложение, в котором -отсутствуют
члены с х° и х~1:
* * *
а, 2а.? пап
/'(*)»_-£__f_ ... --^г- ... при х->+со. C4)
Интегрируя C4), в силу предыдущего предложения, получим
/(*)»/(+оо) + -^ + -§-+ ... +-J-+ ... при *-* —оо. C5)
Но, в силу единственности разложения f(x) в асимптотической ряд
■по степеням 1, х~1, х~2, х~3, .... х~к разложение C5)
должно совпадать с разложением C2), т. е. будут выполняться
равенства f(r\-oo) = aQ, а* = а1 а* = ак, ... Подставляя эти
.значения в C4), получим
/'(*)«--£>._.?£— ... -^- ... при *-* + Оо. C4')
а это асимптотическое равенство получается почленным дифферен-
дифференцированием асимптотического равенства C2).
На этом мы закончим краткое изложение некоторых общих све-
.дгний об асимптотических разложениях и в следующем параграфе
опишем один важный метод построения асимптотических разложений
.для некоторых интегралов.
§ 3. Метод Лапласа для асимптотического разложения
некоторых интегралов
Пусть требуется получить асимптотическое представление интеграла
J(t) = ff(x, t)dx при *->-(-оо C6)
а
в предположении, что при больших значениях t подынтегральная
функция имеет резкий пик в окрестности некоторого значения х = хп,
а вне этой окрестности значения подынтегральной функции по модулю
весьма малы. Очевидно, может случиться, что интеграл, взятый по
этой окрестности х0, будет при'больших значениях t почти равен всему
интегралу C6). Если, кроме того, окажется возможным в этой
окрестности заменить функцию f(x, t) с достаточно зысокой точ-

§ 31 МЕТОД ЛАПЛАСА 569
ностью такой простой функцией, интеграл от которой легко берется,
причем разность между этим интегралом и исходным интегралом C6)
стремится к нулю при t—>-f-oo, то это приводит к асимптотиче-
асимптотическому представлению интеграла C6) при больших значениях t.
Такой метод получения асимптотических представлений для интегра-
интегралов описанного типа был предложен Лапласом.
Рассмотрим применение этого метода на примере гамма-функции
Г(*-}-1) = / е-аи1 du C7)
о
при t—>-\-co. Асимптотическое представление, которое мы таким
путем получим для Г(/-|- 1) при больших значениях t в случае целых
t = it > 0, представляет собой так называемую формулу Стирлипга,
дающую асимптотическое представление для п\ при больших значе-
значениях п.
Заменой и = /A-|-х) приведем интеграл C7) к виду
T(t-\-l)=e~'tt + l j {e-x{l-\-x)}'dx = e'ltt+l j eth^dx. C8)
-l -l
Функция е~х(\-\-x) = е-х+ыA+х*> = ehl-x\ где h(x) = — x + In A+x),
достигает максимума при х = 0 вместе с функцией h (x). Действи-
Действительно, h' {х) = — 1 ~f- -у-г-— положительна при — 1 < х < 0 и от-
отрицательна при 0 < х < -f-oo. Так как в точке максимума h (x) имеем
/г@) = 0, то при всех остальных значениях х, —1 < х < О,
0<лг<-(-со, функция h{x) отрицательна. Поэтому при £->-)-со
функция е'/г(-)С|->0 при —1 < х < 0 и при 0<x<-j-°°- Следо-
Следовательно, можно попытаться применить метод Лапласа.
Взяв число 6 > 0 достаточно малым (и во всяком случае <1),.
представим интересующий нас интеграл в виде суммы
4-со —б б +аэ
Г eth w dx = Г eth W dx -f J eth W dx + f e<* W dx. C9)
-i -i -б б
Чтобы оценить каждый из интегралов, стоящих в правой части ра-
равенства C9), найдем оценки для h(x) на интервалах: —1<х-^—6,
— 6^х<!б и 6<!х<+со. Разлагая ln(l-f-x) на отрезке
— 6^х<^6 в степенной ряд, получим
_ х?_ Г_
— 2 L

570 ДОБАВЛЕНИЕ [1
Ряд, стоящий в квадратных скобках, удовлетворяет признаку Лейб-
Лейбница, так как |х| <6< 1. Поэтому отбрасывание всех членов, на-
2х2 Ix2
чиная с j—, дает погрешность, не превосходящую по модулю -j- .
2л*2 2 I х \
Но при достаточно малом 6 > 0 будет —г- < - 3 для всех х из
отрезка —6<^х-Сб. Следовательно,
1+-|б] при -6<х<6, -j6<1.
D0)
На интервале —1<^х^—6 функция h(x) возрастает, достигая
при х = —6 наибольшего значения h{—6) < 0. На интервале
6<[x<-f-CXD функция h{x) убывает, имея наибольшее значение при
х = 6, /гF)<0. Таким образом,
/г(х)</г(— 6)< 0 при — 1<х<6, D1)
h (x)< h F)< 0 при б < х < + с»- D2)
Займемся теперь оценкой интегралов C9). В силу неравенства
D1), при t—>-j-°c> будем иметь
-6 -б
J eth^dx^ j ethl.-6)dx = etll<.-V{\ — 6) = О(е'л(-б))->0. D3)
i i
Далее, при (>1 и 6^х<-|-со> в силу D2), выполняются не-
неравенства th(x) ^.thF) и rt (x) ^ h (x), складывая которые получим
th (х) < ~ [th F) -f /г (х)] при ^ > 0 и б < х < + °о- D4)
Поэтому при ^—
I elH{x}(fx ^- I
р_0. D5)
б
Наконец, в силу неравенства D0),
б X" Г 4 -I * ^A:2r4-i
Je-'l-l1 + 3-6Jdx< fetb(*)dx< f е~'~\-1~~*ЬЫх. D6)
-б -б -6
С помощью оценок типа D4) и D5) находим
б хг р 4т +со Х2Г 4т
£ е-1Т\1± J6\dx= J* e-'^i^^^dx + O^-»^) D7)
— 6 —со

§ 3] МЕТОД ЛАПЛАСА 57Г
при t—>-\-со, где аF) < 0 является константой, зависящей от 6,
но не зависящей от t. Вычислим теперь интегралы
+ СО r2 r Д т
I e 2 L 3 Ых.
— со
1_
Сделав замену | = x-K-(l±-5-6]2, получим
-Ьсо 2
«/ \ 3 у
— со
Из D7) и D8) при ^->-f-CXD следует, что
D9)
-б
Очевидно, что
(l +|б)"Т= 1-6,F), (l _|б)"= 1 +е2(б),
где etF) и е2F) положительны и стремятся к нулю при 6->0. Если
6>0 фиксировано, то, в силу отрицательности —аF), при доста-
достаточно больших t > 0 будет
\_ _\_
<min(e,F), е2F))BлJ Г2.
Поэтому из D6) и D9) получаем, что
1-1 б - _1
BяJ t 2 [1 — 2et F)] < [ ethwdx < BлJ ^ 2 [1 -f 2e, F)] E0)
при достаточно больших t > 0. Учитывая оценки D3) и D5) и
тот факт, что при достаточно больших t > 0 будут выполняться
неравенства
\0{eth<-6)\ < BяJ t 2 min(e1F), е2(б)),
i _i
| О (е'л <б> | < BяJ Г2 min (et F), е2 F)),
найдем
± L +со
BлJ f 2(l~3e1F))<:J ^Wdx<B^J t 2(l4-3e2F)) E1),
-i

572 ДОБАВЛЕНИЕ [I
при всех достаточно больших t > 0. Следовательно, в силу произ-
произвольной малости et F) и е2F) и определения отношений порядка, будет
+оо -^ -^
J eth^dx = BяJ"Г2 [1 + оA)] при *-> + oo. E2)
-1
Подставив это в C8), получим окончательно асимптотическое пред-
представление для Г (^ —f— 1) при £-> + оо:
T{t-\-l) = e-'t+^Bny [1 + 0A)]. E3)
При t = n, где п — целое положительное число, соотношение E3)
превращается в формулу Стирлинга
п\ = е-"п"+тBпУ [1+оA)] при я-> + оо, E4)
широко применяющуюся в математике и ее приложениях.
Методом Лапласа могут быть получены асимптотические разло-
разложения и более общего вида; он может быть применен также к крат-
кратным интегралам [10]. Обобщением метода Лапласа на случай инте-
интегралов от функций комплексного переменного является метод перевала,
применяющийся, как и метод Лапласа, в различных разделах математики
и математической физики. По поводу метода перевала см. [10] и [11].

ДОБАВЛЕНИЕ 2
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Цель этого добавления — дать самые общие сведения о совре-
современных вычислительных машинах, принципах их работы и их исполь-
использовании. Его нельзя, конечно, рассматривать как сколько-нибудь
систематическое изложение теории вычислительных машин и методов
программирования. Для более подробного ознакомления с этими во-
вопросами следует обратиться к специальной литературе.
§ 1. Общие сведения о вычислительных машинах
1. Введение. Многие задачи, возникающие в физике, технике
и других областях, требуют для получения окончательных, практи-
практически важных результатов проведения весьма громоздких и трудо-
трудоемких вычислений. Часто объем этой вычислительной работы оказы-
оказывается столь большим, что выполнить ее вручную практически
невозможно, или же она требует так много времени, что при этом
сам результат счета успевает потерять всякую ценность. Например
бессмысленно для предсказания погоды на сутки вперед пользоваться
методом, который требует месяца вычислительной работы.
Количество задач, в которых требуются и проведение больших
вычислений и быстрое получение результата, особенно возросло
в последнее время в связи, например, с автоматизацией производ-
производства и другими потребностями техники.
Уже давно люди пользовались для облегчения и ускорения вычи-
вычислений различными техническими приспособлениями. Однако коренное
изменение положения здесь произошло за последние 10—20 лет,
когда появились быстродействующие вычислительные машины, осно-
основанные на применении радиоэлектронных элементов и схем.
Эта новая область техники за короткий срок достигла порази-
поразительных успехов. Появились вычислительные машины, выполняющие
несколько десятков и даже сотен тысяч арифметических операций

574 ДОБАВЛЕНИЕ [2
в секунду. Это позволяет успешно решать такие задачи, сама поста-
постановка которых при ручном способе вычислений была бы безнадежной.
Появление электронных вычислительных машин не только рас-
расширило возможности применения математических методов в приклад-
прикладных вопросах, но и повлияло на развитие самой математики. В мате-
математической логике, приближенном анализе возникли новые задачи
и целые новые направления. Теория вычислительных машин, вопросы
программирования (см. об этом § 3) составляют сейчас один из важ-
важных разделов математики.
В наши дни вычислительная техника используется в самых раз-
различных областях. Поэтому знакомство с основными свойствами и
принципами действия вычислительных машин, их возможностями
и особенностями необходимо людям разных специальностей, в том
числе и каждому физику.
2. Основные типы вычислительных машин. Вычислительные
машины разделяются по принципу их действия на два больших класса:
машины дискретного действия, называемые также цифровыми вычи-
вычислительными машинами, и машины непрерывного действия, называемые
также аналоговыми устройствами. В цифровых машинах операции
выполняются над числами, представленными в той или иной системе
счисления. Величины, вводимые в машины непрерывного действия,
изображаются (моделируются) значениями каких-либо физических ве-
величин (сил тока, напряжений, механических смещений и т. п.), ко-
которые могут меняться непрерывно. При этом в цифровую форму
переводится лишь окончательный результат вычислений. Машины не-
непрерывного действия находят применение в ряде задач (главным
образом там, где не требуется большой точности вычислений), однако
в современной вычислительной математике они играют значительно
меньшую роль, чем машины дискретного действия.
Ниже, говоря о вычислительных машинах, мы будем иметь в виду
только цифровые машины.
По своему назначению цифровые вычислительные машины делятся
обычно на специализированные, т. е. рассчитанные на решение задач
определенного, сравнительно узкого класса, и универсальные, т. е.
вычислительные машины, предназначенные для решения весьма разно-
разнообразных задач, как вычислительных, так и логических (например,
перевод с одного языка на другой). Именно универсальные цифровые
вычислительные машины (короче УЦВМ) мы и будем здесь рассма-
рассматривать.
Возможность применения одной и той же УЦВМ для разнообраз-
разнообразных задач представляет собой большое преимущество машин этого
типа. Следует, однако, иметь в виду, что непосредственно УЦВМ
может выполнять лишь некоторый, ограниченный набор основных
операций (о них будет сказано в § 2), поэтому для решения той или
иной конкретной задачи на УЦВМ необходимо свести решение этой

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
575
задачи к определенной последовательности тех операций, которые
может выполнять машина, т. е., как обычно говорят, необходимо
составить для машины программу, соответствующую данной задаче.
Таким образом, каждая задача требует для своего решения на УЦВМ
определенной, подчас довольно сложной подготовки — программиро-
программирования, т. е. составления программы, отвечающей этой задаче. Эле-
Элементарные сведения о программировании и простейшие примеры про-
программ приведены в § 3 этого добавления.
3. Основные узлы УЦВМ и их назначение. Как уже было
сказано выше, всякая УЦВМ может выполнять некоторые элемен-
элементарные операции, арифметические и логические. Кроме того, при ре-
решении задач выполняется ряд других функций, а именно: ввод
в машину исходных данных и команд, хранение этих данных и про-
промежуточных результатов, вывод окончательных результатов. В соот-
соответствии с этим каждая УЦВМ, независимо от ее конструктивных
особенностей, должна иметь следующие основные узлы:
1. Устройство ввода—(УВ).
2. Запоминающее устройство (или память) — (ЗУ).
3. Арифметическое устройство—(АУ).
4. Устройство управления — (УУ)-
5. Устройство вывода — (УВыв.).
Принципиальную схему любой УЦВМ можно изобразить так:
Ус/проис/лоо
управления
Сплошные стрелки на этой схеме указывают направления передачи
информации, а пунктирные—направления, по которым идут упра-
управляющие сигналы.
Рассмотрим вкратце роль каждого узла.
1. Ввод — устройство, предназначенное для введения в машину
как исходных данных, так и тех правил (команд), по которым ма-
машина должна действовать при решении данной задачи. Исходные
данные и команды должны быть представлены в той форме, в ко-
которой машина их может воспринимать; обычно их записывают либо
на магнитную ленту, либо на перфоленту, либо на перфокарты.

576 ДОБАВЛЕНИЕ [2
На магнитной ленте информация записывается с помощью чере-
чередования намагниченных и ненамагничеиных участков.
На перфоленте (представляющей собой обычную бумажную ленту)
запись делается с помощью отверстий, которые пробиваются в этой
ленте на определенных местах.
На перфокарте запись делается также путем пробивания определен-
определенных отверстий. Стандартная перфокарта имеет вид, показанный на
стр. 577. Такие перфокарты широко применяются в вычислительных
машинах.
2. Память (запоминающее устройство) машины предназначена для
хранения и выдачи команд, хранения исходных данных и промежуточ-
промежуточных результатов, необходимых для дальнейших вычислений. Запомина-
Запоминающее устройство состоит из ряда занумерованных ячеек, каждая из ко-
которых имеет определенное число разрядов. Любая из этих ячеек может
быть использована либо для хранения чисел, либо для хранения команд.
Как видно из приведенной выше схемы, запоминающее устройство ма-
машины непосредственно связано со всеми остальными блоками. Через
ввод сюда поступают исходные данные для решения задачи и соответ-
соответствующий этой задаче набор команд (программа). Из запоминающего
устройства числа поступают в арифметическое устройство, где выпол-
выполняются арифметические операции, а результаты снова поступают в
запоминающее устройство.
Для решения сложных задач нужны машины с запоминающими
устройствами возможно большей емкости. Вместе с тем важно,
чтобы выбор необходимых данных из запоминающего устройства
происходил быстро. Для того чтобы совместить эти два требования,
запоминающее устройство обычно составляют из двух блоков:
быстродействующей оперативной (или внутренней) памяти ограничен-
ограниченной емкости и внешней памяти, имеющей большой объем, но дей-
действующей сравнительно медленно. Внешняя память с арифметическим
устройством непосредственно не связана: данные из нее поступают
по мере необходимости в оперативную память и только потчм пере-
перерабатываются арифметическим устройством.
3. Арифметическое устройство — та часть машины, в которой
выполняются арифметические операции. Какие именно операции
должны быть предусмотрены в машине, будет сказано ниже-
4. Устройство управления интерпретирует (т. е. переводит в
определенные электрические сигналы) команды, входящие в программу,
и посылает соответствующие сигналы в остальные узлы машины. Устрой-
Устройство управления определяет (в соответствии с заданной программой)
работу всех устройств, входящих в состав вычислительной машины.
Автоматическое (в соответствии с заданной программой) управле-
управление — один из важнейших принципов работы УЦВМ, поскольку
никакое ручное управление не могло бы обеспечить той скорости,
с какой работает электронная вычислительная машина.

p
I
I II III II
I
I I
12 4 6 8 10 I? 14 16 18 20 22 2i 26 28 3D 3? 34 36 38 40 It! it 46 48 50 52 54 56 5» 60 6? H 66 68 70 rt U /ft 78 80
оовоооооооооооооооовоооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооопооооооооооп
1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M 1 1 И П 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 I i 1 1 I 1 1 1 t 1 1 П I I
3 3 3333 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3|3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3|3 3 33 33 3 3 3 3 3|3 3|3|3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3133 3 3II Ы III 3|3I I 33
555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 55555555555555555
6 6 6 6 6 6 6 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
7 777 77777 7777777 7 7 77 7777 77 77 7777 7777777 7777 77 77777 77777 777777 77 7 77 7 7 77777 7 777 777
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8-8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 й 8 8 8 8 8 8 8
\ 2 4 6 8 10 12 Я 16 18 П 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 55 60 62 64 66 68 70 72 Д 76 78 80
9 9 9 S 3 9 9 3 3 3 3 99 9 9 99999999999999933999999 9 9 9999999339999999999900999939990990999990
о
CD
E
га
о
ш
га
Ja
га
х
S
ш
Е
si
S
о
s
н
га
Е
X
I
S
X
Стандартная перфокарта.

578 ДОБАВЛЕНИЕ [2
5. Устройство вывода предназначается для записи в удобной
форме ответов задачи или каких-либо промежуточных данных, кото-
которые желательно сохранить. Вывод данных может осуществляться
в различной форме: на перфокартах или на перфоленте, в виде
цифр, отпечатанных на бумажной ленте, или же в виде записи на
магнитной ленте.
4. Системы счисления, используемые в УЦВМ. Если мы про-
производим с числами какие-либо операции, то, независимо от того,
выполняются ли эти операции вручную или на вычислительной ма-
машине, мы должны пользоваться каким-либо определенным способом
записи чисел, т. е. некоторой системой счисления. В настоящее
время повсеместно распространена десятичная система, в которой
каждое число изображается в виде комбинации степеней числа 10.
Так, например,
2548
есть сокращенная запись выражения
2 . Ю3+5- 102-j- 4 . 1О' + 8. 10°.
В десятичной системе каждое число записывается с помощью цифр
0, 1, ..., 9, а операции над числами выполняются по общеизвест-
общеизвестным правилам.
Однако за основание системы счисления можно было бы взять
любое другое целое положительное число, отличное от единицы *).
Логически наиболее проста двоичная система, в которой каждое
число представляется как комбинация степеней двойки. Йапример,
13= 1 • 23 + 1 • 22 + 0- 2'+ 1 • 2°. Для этой системы требуется
всего две цифры: 0 и 1, так как уже число 2 представляет собой
единицу следующего разряда.
Посмотрим теперь, какую систему счисления удобнее всего
использовать в цифровых вычислительных машинах. Заметим прежде
всего следующее. Если мы пользуемся системой счисления с неко-
некоторым основанием р, то у нас в каждом разряде будут участво-
участвовать р цифр (например, в десятичной системе используется 10 цифр,
в двоичной 2 цифры и т. д.). Для того чтобы иметь возможность
фиксировать в машине р различных цифр, нужно, чтобы в этой
машине были устройства, имеющие р устойчивых состояний, каждое
из которых изображало бы определенную цифру.
При тех скоростях, с которыми работают современные вычисли-
вычислительные машины (как правило, десятки и сотни тысяч операций в
*) Системы счисления, отличные от десятичной, действительно были
в употреблении у разных народов. С математической точки зрения десятич-
десятичная система не имеет никаких специальных преимуществ. Ее распространен-
распространенность исторически связана с тем, что десять пальцев на обеих руках были
той первой «вычислительной машиной», которой человек пользовался с не-
незапамятных времен.

§ I] ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ 579
секунду), было бы трудно пользоваться для фиксации чисел в машине
какими-либо механическими устройствами. Однако такие скорости
легко могут обеспечить радиоэлектронные устройства (радиолампы,
полупроводниковые элементы и т. п.), практически безынерционные.
Такие радиоэлектронные устройства имеют, как правило, два устой-
устойчивых состояния. Например, радиолампа может быть или «отперта»
(ток через нее идет), или «заперта» (тогда через нее ток не идет).
Эти свойства радиоэлектронной аппаратуры приводят к тому, что в
современной вычислительной технике именно двоичная система нашла
самое широкое применение.
Важное достоинство двоичной системы составляет также простота
тех правил, по которым в этой системе выполняются арифметиче-
арифметические операции. Например, вся «таблица умножения» для двоичной
системы исчерпывается следующими равенствами:
0-0 = 0, 1.0 = 0-1=0, 1-1 = 1.
Некоторое неудобство двоичной системы состоит в необходи-
необходимости перевода исходных данных из десятичной системы (которой
мы пользуемся обычно) в двоичную и обратного перевода резуль-
результатов машинного счета из двоичной в десятичную. Впрочем, эта
операция перевода чисел из одной системы в другую несложна и
легко может быть автоматизирована.
Помимо двоичной системы, в вычислительных машинах исполь-
используются также восьмеричная система (т. е. система с основанием 8)
и смешанная двоично-десятичная система. Эта последняя состоит
в том, что каждое число сперва представляется в десятичной системе,
а затем каждая входящая в него цифра записывается по двоичной
системе. Например, число
5386
в двоично-десятичной системе имеет вид
0101; ООП; 1000; ОНО.
Очевидно, что для представления одного десятичного разряда (т. е.
всех цифр от 0 до 9) нужно отвести 4 двоичных разряда.
В некоторых вычислительных машинах*) применяются элементы,
имеющие не два, а три устойчивых состояния (скажем, ток идет,
ток идет в обратном направлении, ток не идет). Арифметика
этих машин основана не на двоичной, а на троичной системе счи-
счисления.
б. Представление чисел в вычислительной машине. В вычи-
вычислительной машине оперируют с числами, имеющими определенное
*) К ним относится, например, отечественная машина «Сетунь».
37*

580 ДОБАВЛЕНИЕ [2
(для данной машины) число разрядов. (В реально существующих
конструкциях обычно бывает 30—40 двоичных разрядов.) Если число
содержит меньше значащих цифр, то свободные разряды слева за-
заполняются нулями. Если же некоторое число содержит больше цифр,
чем предусмотрено разрядов в машине, то это число при вводе
в машину округляется (т. е. отбрасываются его младшие разряды).
Ограниченность числа разрядов ограничивает, таким образом, и ту
точность, с которой мы можем вести вычисления на УЦВМ.
Так как в любой задаче приходится оперировать не только с по-
положительными, но и с отрицательными числами, то нужно пред-
предусмотреть способ, с помощью которого в машине фиксируется знак
числа. Обычно для этой цели выделяется один разряд (первый слева)
и в этом разряде ставят 0, если число положительно, и 1, если
отрицательно.
Далее, в вычислительных задачах нам приходится иметь дело,
вообще говоря, с дробными числами. Поэтому в машине должна быть
предусмотрена, как и в обычной записи чисел, «запятая», отделяющая
целую часть числа от дробной. Положение этой запятой может или
меняться в процессе вычислений (машины с «плавающей» запятой),
или же быть раз навсегда фиксированным (машины с фиксированной
запятой). В этом последнем случае число разрядов в целой части
числа строго фиксированное. Машины с фиксированной запятой
менее удобны: в них для каждой задачи приходится вводить опре-
определенные «масштабные факторы», приводящие все встречающиеся
в задаче числа к тому порядку величин, который предусмотрен
в машине. Однако с точки зрения логической и конструктивной
эти машины проще, чем машины с плавающей запятой.
§ 2. Основные операции, выполняемые УЦВМ. Команды
1. Типы операций. Мы уже говорили, что работа ,УЦВМ состоит
в выполнении некоторого, сравнительно небольшого числа основ-
основных операций. Теоретически можно было бы свести все действия,
выполняемые машиной, всего лишь к нескольким, действительно
элементарным, действиям. Однако это вызвало бы значительные
трудности при составлении программ и при использовании машин.
Поэтому в реально существующих машинах не стремятся свести
набор основных операций к минимальному. Увеличение количества
основных операций усложняет конструкцию, но зато существенно
облегчает использование машины. Набор основных операций в раз-
различных машинах бывает различным, однако в любой УЦВМ имеются
операции следующих типов:
1) основные арифметические операции;
2) дополнительные операции вычислительного назначения;
3) логические операции;

г 2]
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ УЦВМ. КОМАНДЫ
581
4) операции передачи управления (в частности, условный пере-
переход);
5) операции обращения к внешним устройствам.
Прежде чем описывать отдельные типы операций, обратим вни-
внимание на следующее. Все числа, над которыми производятся опера-
операции, мы считаем записанными в ячейках памяти машины, а сами эти
ячейки — определенным образом пронумерованными. Если произво-
производится какая-либо операция над двумя числами, то мы должны ука-
указать 1) номера ячеек, в которых находятся эти числа; 2) действие,
которое следует с ними произвести (сложить, умножить и т. п.),
и 3) номер ячейки, в которую следует записать результат. Следова-
Следовательно, каждая «команда», т. е. сигнал, по которому выполняется
такая операция, должна содержать три номера ячеек, участвующих
в операции (они называются адресами), и указание о том, какая
именно операция производится. Иначе говоря, каждая такая команда
имеет вид *)
Название
операции
1-й адрес
2-й адрес
3-й адрес
Здесь важно обратить внимание на следующее: в команде, по
которой выполняется та или иная операция, всегда указываются
только номера ячеек, содержащих те числа, над которыми произво-
производится операция, но не сами эти числа. Благодаря этому мы можем
составлять программу, т. е. последовательность команд, не зная еще
тех чисел, с которыми нам придется оперировать.
Перейдем теперь к описанию конкретных операций.
2. Основные арифметические операции. В их число входят
следующие четыре операции.
1) Сложение: «к числу, записанному в ячейке а, прибавить
число, записанное в ячейке р, и результат записать в ячейку у».
Символически:
сложить
а
со.
Y
2) Умножение: «умножить число, стоящее в ячейке а, на число,
стоящее в ячейке р, и записать произведение в ячейку у»- Симво-
Символически:
умножить
а
со.
Y
*) Для простоты изложения мы имеем в виду так называемые трех-
адресные машины. Существуют машины, у которых в каждой команде уча-
участвует иное количество адресов (одно-, двух- и четырехадресные машины),
но мы не будем о них говорить.

582
ДОБАВЛЕНИЕ
[2
3) Вычитание: «вычесть из числа, стоящего в ячейке а, число,
стоящее в ячейке р, и записать разность в ячейку у». Символически:
вычесть
а
Р
Y
4) Деление: «разделить число, записанное в ячейке а, на число,
записанное в ячейке р, и записать результат в ячейку у». Символи-
Символически:
разделить
а
то
Y
3. Дополнительные операции вычислительного назначения.
Число и набор таких операций могут быть различными в различных
машинах. Вот некоторые примеры таких операций:
1) Нахождение минимума двух чисел: «из двух чисел, стоя-
стоящих в ячейках а и fS, выбрать меньшее и записать его в ячейку у»,
т. е.
min
а
то
Y
2) Нахождение максимума двух чисел определяется анало-
аналогично.
3) Нахождение модуля числа: «найти модуль числа, находя-
находящегося в ячейке а, и записать его в ячейку \», т. е.
mod
а
Y
Здесь, как и в некоторых других операциях, участвуют не три
адреса, а только два.
Чем больше в машине предусмотрено различных дополнительных
операций, тем проще и короче составление программы. Во многих
современных машинах в число основных операций включают, на-
например, операции извлечения корня, вычисления синуса и т. п.,
которые на самом деле представляют собой комбинации некоторого
числа основных арифметических операций (см. соответствующие про-
программы в § 3).
4. Поразрядные (логические) операции. Эти операции характе-
характеризуются тем, что в них действия выполняются без переноса цифр
из одного разряда в другой. Приведем некоторые примеры таких
операций.
1) Поразрядное сложение. Операция состоит в том, что числа,
стоящие в ячейках аир, складываются поразрядно, т. е. каждый
разряд из ячейки а складывается с тем же самым разрядом ячейки (i

■§ 2] ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ВЫПОЛНЯЕМЫЕ УЦВМ. КОМАНДЫ 583
по правилу.
0 + 0 = 0, 0+1 = 1+0=1, 1 + 1=0.
Результат заносится в ячейку у. Обозначим эту операцию так:
Слож. поразрядн.
а
Р
Y
2) Проверка совпадения. Операция состоит в том, что числа,
стоящие в ячейках аир, сравниваются поразрядно и в соответ-
соответствующем разряде ячейки у пишется единица, если сравниваемые цифры
одинаковы, и нуль в противном случае *). Например, результат
сравнения чисел
€СТЬ
ЧИСЛО
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
10 0 110 110.
Обозначение этой операции:
Сравн.
а
Р
Y
3) Логическое отрицание. Операция состоит в следующем:
в ячейке а стоит некоторое число. В ячейку у в каждый разряд
пишется нуль, если в ячейке а в этом разряде записана единица,
и наоборот. Обозначение:
Отриц. логнч.
а
Р
Y
Набор поразрядных операций также варьируется в зависимости от типа
машины.
б. Операции обращения к внешним устройствам. Сюда отно-
относятся: ввод, запись (передача числа из внутренней памяти во внешнюю),
считывание (передача числа из внешней памяти во внутреннюю),
печать и останов машины.
1) Команда ввода обозначается так:
Ввод
л —1
а+1
Она означает следующее: «ввести в п ячеек памяти, имеющих номера
а+1, а + 2 а + /г, числа (или команды) из вводного устройства
(например, с перфоленты или с перфокарт)».
*) В некоторых типах машин принята обратная система, т. е. совпадение
обозначается нулем, а различие—единицей.

584
ДОБАВЛЕНИЕ
2) Печать. Команда
Печ.
а
л —1
означает: «отпечатать (в десятичной системе) числа, содержащиеся
в п ячейках, начиная с ячейки номер а».
3) Останов *). Команда
Ост.
представляет собой сигнал, по которому работа машины прекращается.
Внешними запоминающими устройствами, а следовательно, и
командами обращения к ним приходится пользоваться в громоздких
задачах с длинной программой и большим количеством исходных
данных. Мы на них останавливаться не будем.
6. Операции передачи управления. Мы уже отмечали, что
в команде указываются не сами числа, над которыми выполняются
операции, а только их адреса. Именно это и дает возможность спла-
спланировать (запрограммировать) весь ход вычислений заранее, до начала
решения задачи. Однако при решении многих задач возникают ситуации,
в которых дальнейший ход вычислений зависит от того, какой ре-
результат мы уже получили на данном этапе. Например, если решается
квадратное уравнение, то ход вычислений зависит от того, получится
дискриминант этого уравнения положительным или отрицательным.
В тех случаях, когда вопрос о дальнейшем ходе вычислений решается
в зависимости от результата, полученного на некотором шаге, при-
приходится прибегать к операциям условного перехода.
Приведем несколько примеров таких операций:
1) Передача управления в зависимости от сравнения двух
чисел с учетом знаков. Обозначение:
Пер. упр. <
а
Р
k
Эта операция состоит в следующем: «сравнить число, стоящее
в ячейке а, с числом, стоящим в ячейке Р; если первое из них больше
второго, перейти к выполнению следующей команды, а если первое
меньше или равно второму, то выполнять команду, записанную
в ячейке с номером ft»
2) Передача управления в зависимости от сравнения мо-
модулей двух чисел. Обозначение:
Пер. упр. | < I
а
СО.
k
*) В вычислительной технике сложилась почему-то традиция заменять
этим термином равнозначащее слово «остановка».

§ 2] ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ УЦВМ. КОМАНДЫ 585
Эта операция аналогична предыдущей, с той лишь разницей, что
сравниваются не сами числа, а их абсолютные величины.
3) Передача управления по знаку числа. Обозначение:
Пер. упр. по знаку
а
Эта операция состоит в следующем: «если число, записанное в ячейке а,
положительно, то выполняется команда, записанная в ячейке kv
в противном случае выполняется команда, записанная в ячейке k2».
Эта последняя операция может быть использована как операция
безусловного (т. е. выполняемого обязательно) перехода к команде
с номером k. Для этого достаточно составить такую команду:
Пер. упр. по знаку
а
k
k
Тогда, какое бы число ни было записано в ячейке а, будет совер-
совершаться переход к команде, записанной в &-й ячейке.
Вычислительная машина выполняет любую из предусмотренных
в ней операций по получении соответствующей команды. Эти команды
изображаются двоичными числами и записываются, как и исходные
данные для решения задачи, в памяти машины. Устройство управле-
управления интерпретирует эти команды, т. е- переводит их в определенные
комбинации электрических сигналов, управляющие действиями осталь-
остальных блоков машины.
7. Осуществление операций в машине. С инженерной точки
зрения вся работа вычислительной машины представляет собой ту или
иную переработку комбинаций электрических сигналов, осуществляе-
осуществляемую с помощью определенных радиотехнических схем. Мы не будем
здесь останавливаться на технической стороне дела, т. е. не будем
выяснять, какие именно устройства нужны для осуществления той
или иной конкретной операции. Рассмотрим в качестве примера
несколько подробнее лишь одну операцию — сложение двух положи-
положительных чисел.
В двоичной системе, как и в любой другой позиционной системе
счисления, сложение двух многозначных чисел сводится к их пораз-
поразрядному сложению и переносу в случае необходимости единицы
в ближайший старший разряд. Правила, которыми определяется сло-
сложение цифр в каждом разряде, состоят в следующем: 0-)-0 = 0;
1 —)— 0 = 0 —{— 1 = 1; 1 —}— 1 = 0 плюс единица следующего разряда.
Пусть а и Ъ — цифры, которые мы должны сложить, выполняя
операцию сложения в некотором разряде, а с — число, которое пере-
переносится из предыдущего разряда. Выполнить сложение в данном
разряде — это значит по данным а, Ь и с (каждое из которых может
быть нулем или единицей) найти цифру s, которая должна быть
записана в данном разряде в сумме, и цифру р, которая должна

586
ДОБАВЛЕНИЕ
быть перенесена в следующий разряд. Легко проверить, что все воз-
возможные здесь случаи исчерпываются следующей таблицей:
а
Ь
с
S
р
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Отсюда ясно, что для осуществления операции суммирования в пре-
пределах одного разряда мы должны иметь в машине устройство с тремя
входами (отвечающими цифрам a, b и с) и двумя выходами (отве-
(отвечающими цифрам s и р), работающее в соответствии с таблицей (*),
т. е. так, что если ни на один из входов не подается напряжения,
то на выходах sup напряжения тоже нет, если напряжение подается на
один из входов, то оно есть на выходе s и отсутствует на выходе р,
и т. д. Устройство, действующее по этим правилам, называется
одноразрядным сумматором. Такое устройство нетрудно факти-
фактически реализовать в виде некоторой радиотехнической схемы, соста-
составленной из радиоламп или из полупроводниковых элементов. Мы,
однако, не будем приводить эти схемы.
§ 3. Элементы программирования
1. Общие сведения. Для решения задачи на УЦВМ весь ход
этого решения должен быть представлен как некоторая последова-
последовательность тех элементарных операций, которые данная машина может
выполнять. Выполнение каждой операции определяется соответствую-
соответствующей командой, а последовательность команд, отвечающая решению'
данной задачи, называется программой. Программирование, т. е.
составление программы, — один из основных этапов решения задачи
на УЦВМ. Ясно, конечно, что прежде, чем приступать к програм-
программированию, нужно выбрать определенный математический метод
решения задачи и получить те конкретные формулы, по которым
должен происходить расчет.
Программа зависит от тех численных методов, которые мы выбрали
для решения задачи (например, для приближенного вычисления инте-
интеграла мы можем пользоваться формулой трапеций, формулой прямо-
прямоугольников или каким-либо иным приемом), и от типа машины, т. е.
от набора тех операций, которые может выполнять данная машина.
Однако даже если метод счета и тип машины определены, то про-
программа этим еще не определяется однозначно: мы можем разложить

§3]
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
587
нашу вычислительную задачу в последовательность элементарных
операций различными способами. Выбор наиболее рациональной про-
программы для той или иной задачи определяется в значительной мере
квалификацией лица, составляющего программу. Мы не можем здесь
останавливаться на вопросах программирования сколько-нибудь под-
подробно и ограничимся лишь разбором простейших типичных примеров.
2. Программирование по формулам. Наиболее простой для
программирования тип задач — это вычисление по формулам, сводя-
сводящееся к последовательному выполнению ряда арифметических опера-
операций. В этих случаях программирование сводится к рациональному
разбиению всей формулы на отдельные операции, к размещению
соответствующих команд и исходных данных в памяти машины.
Рассмотрим элементарный пример.
Пример. По данному х вычислить значение
2а-+ 3
Ъх+1 *
Все вычисление можно, очевидно, представить в виде такой после-
последовательности элементарных операций:
1) А1 = 2х, 2) Л2=Л1 + 3, 3) В1 = 5х, A)
4) В2 = В1+1, 5) У = -^-.
Для того чтобы произвести эти операции на машине, расположим
в пяти ячейках памяти машины (скажем, в ячейках с номерами
п +-1 -г- п -+■ 5) исходные данные. Получим
Л» ячейки
«+1
« + 2
«4-3
Записанное число
X
2
3
.\» ячейки
п-4-4
«4-5
Записанное число
5
1
В других пяти ячейках запишем команды, отвечающие тем действиям,
которые указаны в равенствах A). Получим такую последователь-
последовательность команд:
№ ячейки
7Я + 1
/Я + 2
/Я + 3
7Я + 4
/я + 5
Операция
Умножить
Сложить
Умножить
Сложить
Разделить
1-й адрес
«+1
и + 2
л+1
«+1
« + 2
2-й адрес
л + 2
л + 3
л + 4
п + 5
«+1
3-й адрес
а а а а з
\-2
-2
-1
-1
Ь2
Результат
операции
2х
2ЛГ + 3
Ъх
5*+1
2л: + 3
Ъх +1

588
ДОБАВЛЕНИЕ
[2
В тот момент, когда тот или иной промежуточный результат
перестает быть нужен для дальнейших вычислений, мы можем соот-
соответствующую запись «стереть» и использовать содержавшую его
ячейку для новой записи. Так мы поступили, например, при выпол-
выполнении первой команды, записав произведение чисел, хранившихся
в ячейках п-\-1 и п-\-2, снова в (п-\-2)-ю ячейку. Это позволяет
рациональнее использовать объем памяти машины, не загружая ее
ненужными для дальнейшего данными.
Составленную нами программу нужно еще дополнить вначале
командой ввода, по которой начальные данные и коды программ
вводятся в память машины, и командой перевода исходных данных
из десятичной системы в двоичную, поскольку все операции в машине
выполняются в двоичной системе, а исходные данные записываются
и вводятся в машину обычно в десятичной системе. Далее, после
команды «разделить», записанной в (m-\-5)-i\ ячейке, необходимо
поместить еще три команды. По первой из них результат вычисления
переводится из двоичной системы в десятичную, по второй печатается
ответ, и, наконец, последняя команда — это прекращение работы
машины — останов.
Последний шаг в написании программы — это замена буквенных
обозначений адресов конкретными числами. Эти номера пишутся
четырехзначными числами в восьмеричной системе, начиная с 0000
и т. д. Обычно первые ячейки памяти используются как рабочие
ячейки для стандартных операций (ввод, перевод числа из одной
системы в другую и т. д.). Например, в машине «Стрела» для этой
цели отведены первые 11 ячеек (от 0001 до 0013 в восьмеричных
обозначениях)*). Начав заполнение ячеек памяти с 0014, запишем
окончательно нашу программу в таком виде:
Ms ячейки
0014
0015
0016
0017
0020
0021
0022
0023
0024
Операция или число
Ввод (в ячейки 0015—0032)
Перевод из десятичной системы
в двоичную (ячейки 0026—0032)
Умножение
Сложение
Умножение
Сложение
Деление
Перевод из двоичной системы
в десятичную
Печать
1-й адрес
0015
0026
0026
0027
0026
0026
0027
0027
0027
2-й адрес
0015
0004
0027
0030
0031
0032
0026
3-й адрес
0026
0027
0027
0026
0026
0027
0027
*) При этом ячейка с номером 0000 содержит число «0».

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
589
Продолжение
№ ячейки
0025
0026
0027
0030
0031
0032
0033
Операция или число
Останов
X
2
3
5
1
1-й адрес
2-й адрес
3-й адрес
3. Циклические процессы. Ясно, конечно, что в случаях, по-
подобных только что рассмотренному элементарному примеру, никакого
практического смысла применение УЦВМ не имеет. Мы рассмотрели
этот пример лишь для того, чтобы показать, как в самом простейшем
случае привычные нам формулы переводятся на язык, «понятный»
машине. Применение вычислительных машин с программным управле-
управлением оказывается эффективным лишь в тех случаях, когда число
операций, выполняемых машиной, велико по сравнению с числом
команд, которые мы должны фактически ввести в память машины.
Во многих задачах такое многократное использование одних и тех же
команд достигается благодаря тому, что соответствующая вычисли-
вычислительная схема состоит из многократных повторений отдельных серий
операций. Эти повторяющиеся серии называются циклами, а соот-
соответствующие вычислительные схемы называются циклическими. Рас-
Рассмотрим некоторые простейшие примеры циклических программ.
1) Вычисление квадратного корня. Предположим, что мы
должны вычислить с заданной точностью квадратный корень из некото-
некоторого положительного числа а. Для решения этой задачи можно
воспользоваться следующим фактом (см. вып. 1, гл. 3). Каково бы
ни было положительное число а, последовательность,
1 , а
xQ—a; Xi — j^o-r—
"f B)
V — Ilr
сходится и ее предел равен У а . Вычисляя последовательно xv х2,
и т. д., мы можем продолжить процесс до тех пор, пока не будет
достигнута некоторая заданная точность, например до тех пор, пока
разность между хп и предыдущим значением х„_, не станет меньше
заданной величины. _
Следовательно, для вычисления У а на машине мы должны ввести
в три ячейки памяти число а = х0, принятое нами за нулевое

590
ДОБАВЛЕНИЕ
приближение, число е, определяющее точность, и число -^. Далее
вычисление \/~а~ осуществляется по следующей программе:
ячейки
0014
0015
0016
0017
0020
0021
0022
0023
0024
0025
0026
0027
0030
0031
0032
0033
0034
Название операции
Ввод
Перевод Ю->2
Сложение пораз-
поразрядное
Деление
Сложение
Умножение
Вычитание
Пер. управления
1<1
Перевод 2 -> 10
Печать
Останов
а
х0
е
1

1-й адрес
0016
0030
0031
0030
0031
0031
0031
0032
0031
0031
2-й адрес
0015
0003
0027
0027
0033
0027
0027
3-й адрес
0030
0027
0031
0031
0031
0027
0016
0031
Результат операции
Ввод массива
Перевод исходных дан-
данных в двоичную си-
систему
Засылка хп из ячейки
«0031» (где хп остает-
остается) в «0027»
а
~~х^
i а
хп+ —
лп
1 ( , а \
*я+, = тия + —)
\ "Л /
Хп+1 хп
Проверка того, дости-
достигнута ли заданная
точность (сравнение
*п-\— хп и е), и
окончание цикла, если
точность достигнута
Перевод результата в
десятичную систему
Печать результата
Рабочая ячейка
2) Составление таблиц функций. Другой типичный пример
циклического процесса счета — это вычисление значений различных
функций — показательной, тригонометрической, логарифмической при
различных значениях аргумента, т. е. составлениие таблиц элемен-
элементарных функций.
Рассмотрим, например, функцию sinx. По формуле Тейлора
C)
Bл + 1I~Г"'л+1>

§ 3] ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
причем остаточный член Rn+i не превосходит
„2л+3
591
Bл+ 3)! •
Обозначив &-й член суммы, стоящей в C) справа, через ик и положив
sk = и1-\-и2-\- ... -\-Uk< получим, что
Uuj.1 =
где ah =
=1. 2,
Наконец, легко проверить, что
= 1,2,...).
D)
E)
F)
Итак, мы приходим к следующей схеме вычислений: за первое при-
приближение для sin х принимается st = х. Далее, после того как полу-
получено k-t приближение sk (& = 1, 2, ...), для нахождения следую-
следующего приближения sk+l находятся сперва коэффициент ak+l (по
формуле F)), затем величина uk+l (по формуле D)) и, наконец,
sk + i (по формуле E)). Если же величина ak+1 оказывается меньше,
чем заданное е, то sk принимается за значение sin x, оно отпечаты-
отпечатывается и машина переходит к вычислению sin x при новом значении х.
Этот ход вычислений можно осуществить при помощи следующей
программы:
ячейки
0014
0015
0016
0017
0020
0021
0022
0023
0024
0025
0026
0027
0030
0031
Операция
Ввод
Перевод 10->2
Сложенне пораз-
поразрядное
Сложение пораз-
поразрядное
Умножение
Вычитание
Умножение
Сложение
Сложение
Сложение
Ле
Умножение
Сложение
Передача упра-
управления 1^1
1-й адрес
0043
0044
0050
0062
0062
0045
0065
0057
0060
0062
0065
0063
0047
2-й адрес
0015
0010
0062
0064
0060
0046
0065
0044
00^7
V\AJ /
0064
0062
0062
3-й адрес
0044
0062
0063
0064
0064
0065
0065
0057
0060
00fi"i
\J\J\JO
0062
0063
0022
Результат операции
Ввод массива
Запись исходных данных
к двоичной системе
Перенос х в стандарт-
стандартную ячейку для iik
Перенос щ в стандарт-
стандартную ячейку для S
А
8(fe—1)
8 (fe—1) + 6
аъ
:-а;
Щ
__ 2 U-k __
Sk 1~Sk+uk+t
Конец вычисл. sin vj

592
ДОБАВЛЕНИЕ
[2
Продолжение
ячейки
0032
0033
0034
0035
0036
0037
0040
0041
0042
0043
0044
0045
0046
0047
0050
0051
0052
0053
0054
0055
0056
0057
0060
0061
0062
0063
0064
0065
Операция
Сложение пораз-
\J n ДНО С
Сложение пораз-
Сложение пораз-
рИДпис
Сложение адре-
адресов
Сложение адре-
адресов
Сложение
Передача упра-
управления
Перевод 2->10
Печать
Останов
1
8
6
$
*г
*3
Xi
4
1 III адр.
1 I адр.
0 (ак)
0 (к)
Раб. ячейка для /
Станд. ячейка
для щ
Станд. ячейка
для S
Станд. ячейка
ДЛЯ — X2
1-й адрес
0063
0016
0032
0061
0061
0050
0050
2-й адрес
0056
0055
0044
0054
0003
0003
3-й адрес
0050
0060
0057
0016
0032
0061
0016
0050
Результат операции
Перенос sin xi -> xt
Перенос 0-> k
Перенос 0-> а0
Изменение 1-го адреса
команды 0016
Изменение 3-го адреса
команды 0032
i -> / + 1
Конец табулирования
Аналогичные программы можно составить для вычисления других
элементарных функций (cos x, ex, In x и т. п.).
4. Блок-схемное программирование. Подпрограммы. При соста-
составлении программ для более или менее сложных задач удобно разбивать
такие программы на отдельные части, так называемые блоки, отве-
отвечающие отдельным частным задачам. Это облегчает составление про-
программы; кроме того, одни и те же блоки могут входить в качестве
составных частей (стандартных программ) в программы различных
задач. Рассмотрим такой элементарный пример. Требуется вычислить

§ 3] ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ 593
приближенное значение интеграла
ь
J=ff(x)dx G)
а
с помощью метода прямоугольников (см. вып. 1, гл. 12). Вычисле-
Вычисления здесь естественно разбить на две части (два блока):
1) вычисление входящих в формулу прямоугольников значений
функции / (х) в точках хг;
2) вычисление суммы
(8)
представляющей собой приближенное значение интеграла G). Про-
Программа для вычисления f{xt) зависит от вида функции / (лт). На-
Напротив, программа для вычисления суммы (8) не связана с выбором
функции f{x).
Точность получающегося таким образом результата (т. е. абсо-
абсолютная величина разности J—S) зависит, очевидно, от двух факто-
факторов: точности самой формулы прямоугольников *) и точности, с кото-
которой находятся значения функции / в точках xt.
б. Коды команд. Операции над командами. Выше при составле-
составлении программ мы пользовались словесными обозначениями операций,
например «сложить», «умножить» и т. д. Но для ввода команд
в машину эти словесные обозначения необходимо заменить числен-
численными, записанными по двоичной системе, т. е. кодами этих команд.
Поэтому те ячейки памяти машины, в которые введены команды,
заполняются так же, как и при вводе числовых данных, некоторой
последовательностью нулей и единиц. Из общего числа имеющихся
в каждой ячейке рязрядов несколько разрядов отводятся для записи
кода команды, а остальные — для записи адресов. Например, в машине
«Стрела» в каждой ячейке имеется 43 разряда. Из них по 12 разрядов
отводится на запись каждого из адресов, а шесть — на код команды
(один разряд отводится для контрольного знака). Таким образом,
команда «сложить числа, находящиеся в ячейках 7 и 12, и результат
записать в ячейку 13» в коде машины «Стрела» запишется так:
Контрольный JHSft
t*u at
3-й адрес
Над операции
*) Об оценке точности различных формул для приОлиженного вычисле-
вычисления интегралоп см. вып. 1, гл. 2, § 2.
38 р. М. Будак, С. В. Фомин

594
ДОБАВЛЕНИЕ
[2
(«0000001» по коду «Стрелы» означает сложение). То обстоятельство,
что команды, введенные в машину, по виду ничем не отличаются
от числовых данных, не вызывает каких-либо неудобств. Напротив,
это дает возможность обращаться с командами, как с обычными
числами, например «складывая» их*), а это в свою очередь позво-
позволяет сильно упростить программирование. Рассмотрим для иллюстра-
иллюстрации сказанного следующий простой пример. Предположим, что нам
нужно составить программу для суммирования тысячи чисел. Можно,
конечно, ввести их в память машины, например в ячейки с (n-\-l)-t\
по {п-\~ Ю00)-ю, а затем составить программу следующим образом:
1-я команда:
сложить
л4-1
л4-2
л4- 2
2-я команда:
сложить
л4-2
л4-з
л4-з
999-я команда:
СЛОЖИТЬ
л 4" 999
л 4-юоо
л 4-юоо
Можно, однако, решить эту задачу более экономно следующим
образом. Запишем снова те числа, которые нужно сложить, в ячейках
памяти от (/г-4-1)-й до («+ Ю00)-й. После этого в ячейку, скажем,
с номером «4-1001 запишем:
0001
0001
0001
Пусть теперь в ячейке с номером т-\-1 записана команда:
сложить
л+1
л4-2
л4-2
дающая сложение двух первых чисел. Далее, в ячейку с номером
т 4-2 запишем такую команду:
поадресно сложить
т 4-1
л 4- Ю01
/«4-1
В ячейку с номером т-\-Ъ поместим команду перехода к ячейке
с номером т~\-\, которая теперь уже будет содержать команду.
сложить
л + 2
л4-3
л4-3
*) Следует иметь в виду, что при операциях над командами применяются
специальные операции сложения: сложение кодов операций, поадресное и
поразрядное сложение.

§ S] ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ 595
по которой к сумме двух первых чисел будет прибавлено третье
и результат будет записан в ячейку с номером п-\-Ъ. Ясно, что
цикл из таких трех команд обеспечит сложение всех чисел, записан-
записанных в ячейках я-f-l я-f-lOOO. Остается еще обеспечить
печать ответа и останов машины по окончании работы.
Таким образом, применение операции сложения команд позволило
нам заменить длинную цепь однотипных команд небольшим числом
операций.
6. Об автоматизации программирования. Несмотря на наличие
таких приемов, как использование стандартных подпрограмм, и
другие усовершенствования, облегчающие и упрощающие програм-
программирование, составление программы часто бывает весьма трудоемким
процессом, требующим во много раз больше времени, чем сам счет
на УЦВМ. В первую очередь это относится к большим современным
быстродействующим машинам. Поэтому сейчас все большее зна-
значение приобретают различные методы автоматизации програм-
программирования.
Не имея возможности останавливаться здесь на описании этих
методов сколько-нибудь подробно, укажем лишь их основную
идею. Она состоит в том, чтобы передать функции перевода
словесного описания тех или иных вычислений в последова-
последовательность команд, записанных в коде машины, самой вычислительной
машине. Иначе говоря, математик пишет ход решения той или иной
задачи в виде словесного описания, пользуясь некоторым заранее
фиксированным набором понятий и терминов. Далее такое словесное
описание вводится в УЦВМ (при этом, конечно, каждая буква текста
изображается определенной комбинацией нулей и единиц, так же как
это делается, например, в телеграфии); после этого сама вычисли-
вычислительная машина с помощью некоторой универсальной программы-
транслятора переводит это словесное описание в программу, записан-
записанную в коде данной машины. Для того чтобы такой переход от сло-
словесного описания к программе мог быть автоматизирован, необходимо,
чтобы это описание было составлено с соблюдением определенных
формальных правил и с четко ограниченным запасом слов. Суще-
Существует несколько таких стандартизованных формальных «языков»,
используемых для автоматического программирования. Наиболее
распространенные из них — это алгоритмический язык АЛГОЛ и
язык ФОРТРАН*). Каждый такой язык может быть использован
независимо от того, на какой машине в дальнейшем будет про-
проводиться счет. Напротив, программа-транслятор, преобразующая
словесную запись в машинные команды, зависит от выбора языка и
*) АЛГОЛ — сокращение английских слов «algoritmic language» (алго-
(алгоритмический язык), а ФОРТРАН — комбинация слогов слов «formula tran-
translating» (перевод на язык формул).
38*

596 ДОБАВЛЕНИЕ 12
от типа машины (но не зависит от той конкретной задачи, которая
должна быть сосчитана).
Введение таких формальных языков, и программ-трансляторов
позволяет значительно сократить трудоемкую и кропотливую работу
по программированию.
§ 4. Некоторые вопросы организации работы на УЦВМ
1. Условия, определяющие эффективность применения УЦВМ.
Как уже говорилось выше, для решения на УЦВМ той или иной
задачи должна быть составлена отвечающая этой задаче программа,
т. е. указана в соответствующем коде последовательность тех эле-
элементарных операций, к которой сводится задача. Если бы число
отдельных команд в программе было таким же, как и число тех
операций, которые необходимы для решения данной задачи, то при-
применение УЦВМ было бы лишено всякого смысла, так как при этом
составление программы занимало бы не меньше времени, чем выпол-
выполнение всех расчетов вручную. Однако при решении всякой задачи
отдельные циклы операций приходится повторять несколько, а иногда
и очень много раз (мы видели это уже на таких простых примерах,
как программа извлечения квадратного корня; в еще большей степени
это относится к более сложным задачам). Поэтому число команд
в программе (разумно составленной) во много раз меньше числа
операций, выполняемых по этой программе машиной. Особенно
эффективно применение УЦВМ в тех задачах, где приходится много-
многократно повторять вычисления с различными данными, но по одной
и той же схеме. С другой стороны, существуют и такие задачи,
в которых применение УЦВМ оказывается неэффективным из-за того,
что они при сравнительно небольшом объеме счета требуют
для решения их на УЦВМ составления длинной и громоздкой про-
программы.
Умение правильно решить вопрос о целесообразности примене-
применения УЦВМ для той или иной конкретной задачи — первое условие
рационального использования вычислительной техники.
2. Основные этапы решения задачи с применением УЦВМ.
Решение той или иной прикладной задачи с помощью УЦВМ слагается
из следующих основных этапов.
1) Математическая формулировка задачи. Всякая задача,
предназначенная для численного ее решения на УЦВМ, должна быть
прежде всего четко сформулирована именно как математическая
задача. Иначе говоря, та физическая, техническая или какая-либо
другая проблема, которая подлежит решению, должна быть пред-
представлена как задача о решении каких-либо уравнений, вычислении
интегралов и т. п. Следует иметь в виду, что этот этап работы,
требующий обычно совместной работы физиков или инженеров»

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ НА УЦВМ 597
разрабатывающих данную проблему, и математиков-вычислителей,
представляет собой часто значительные трудности. Для успешного
преодоления их необходимо, с одной стороны, знакомство матема-
математиков с физическим или техническим существом тех задач, численным
решением которых они занимаются, а с другой — знание «заказ-
«заказчиком», хотя бы в общих чертах, тех методов и возможностей,
которыми располагает вычислительная математика.
2) Численный анализ задачи (выбор алгоритма). Вычислитель-
Вычислительная машина непосредственно не может оперировать такими понятиями,
как решение уравнения, интеграл, функция и т. д., с помощью
которых мы обычно формулируем ту или иную задачу. Поэтому
для перевода уже сформулированной задачи на язык, доступный
машине, мы должны для каждой операции (интегрирование, диффе-
дифференцирование, решение уравнения и т. д.) подобрать соответствую-
соответствующий численный метод. Например, вычисление производной заме-
заменяется нахождением соответствующего разностного отношения, инте-
интегралы считаются с помощью тех или иных приближенных методов
(формула трапеций, формула Симпсона и т. п.), в которых при-
приходится выполнять лишь некоторую последовательность арифмети-
арифметических операций, и т. д. Ясно, что для решения одной и той же
математической задачи можно пользоваться различными численными
приемами. Выбор наиболее рациональных методов счета во многом
определяет эффективность решения задачи с помощью УЦВМ.
3) Составление программы. После того как закончен числен-
численный анализ задачи, т. е. для каждого ее этапа подобран соответ-
соответствующий алгоритм, сводящийся к некоторой последовательности
элементарных операций, приступают к составлению программы. Для
одной и той же задачи, даже при одном и том же выборе численных
методов ее решения, программа может быть составлена далеко не
единственным образом. Выбор наиболее рационального пути про-
программирования, наилучшего использования объема памяти и других
возможностей машины требует от лица, составляющего программу,
опыта, знания типа той вычислительной машины, на которой будет
происходить счет, а также известной изобретательности.
4) Выполнение вычислений и анализ результатов. После
того как программа счета полностью подготовлена, выполнение вычи-
вычислений на правильно работающей машине представляет собой довольно
стандартную процедуру. Ее часто выполняет оператор, который
может и не быть знаком со всей задачей в целом.
3. Методы предупреждения и обнаружения ошибок счета.
Проведение сложных вычислительных работ на УЦВМ бывает связано
с выполнением миллионов элементарных операций. При этих усло-
условиях обеспечение безошибочного счета представляет собой достаточно
сложную .задачу. Причины ошибок могут быть различны. Прежде
всего необходимо обеспечить правильность самой программы, так как:

598 ДОБАВЛЕНИЕ [2
искажение или пропуск хотя бы одной команды в программе при-
приводит, как правило, к тому, что весь счет оказывается или вовсе
невозможным, или приводит к совершенно неверным результатам.
Поэтому каждая программа должна быть до начала счета тщательно
проверена. Процесс проверки и исправления программы называется
ее отладкой. Иногда для отладки программы прибегают к следую-
следующему приему, проделав какой-то этап вычислений вручную, сравни-
сравнивают полученный результат с результатом такого же счета на машине.
Существуют и другие систематические методы обнаружения ошибок
в программе, но мы не будем на них останавливаться.
Далее, для правильности счета необходимо обеспечить правиль-
правильность работы самой машины. Основной метод проверки работы
машины — это решение на ней стандартных задач (тестов) с заранее
известными ответами и отлаженной программой. Следует, однако,
иметь в виду, что та или иная погрешность в работе машины (сбой)
может возникнуть уже в процессе самого счета. Для обнаружения
и устранения таких ошибок прибегают часто к двойному счету: тот
или иной промежуточный результат вычисляется и запоминается
машиной, после чего вычисления повторяются еще раз. Получив
таким образом два раза один и тот же результат, машина автомати-
автоматически переходит к следующему этапу вычислений.
Наконец, еще один возможный источник неправильностей в счете —
это накопление ошибок при округлениях. Наличие в машине опре-
определенного фиксированного числа разрядов ограничивает возможную
точность счета, поскольку все числа мы вынуждены округлять
с точностью до единицы последнего разряда. Эти ошибки округления
при выполнении большого количества операций могут накапливаться
и в результате, без всяких погрешностей в программе или в машине,
приводить к ошибкам, во много раз превышающим погрешности
исходных данных.
Существуют различные методы повышения точности счета на
УЦВМ. Например, можно в случае необходимости записывать все
числа с удвоенным количеством знаков, отводя для записи каждого
числа не одну ячейку памяти, а две.

ЛИТЕРАТУРА
1. К о ч и н Н. Е„ Векторное исчисление и начала тензорного исчисления1
ГОНТИ, 1938.
2. Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, Изд-во
«Наука», Москва, 1964.
3. Эддингтон А. С, Теория относительности, ГТТИ, 1934.
4. Березин И. С. и Жидков Н. П., Методы вычислений, т. II, гл. 4,
Физматгиз, 1962.
5. Иваненко Д. и Соколов А., Классическая теория поля, ГТТИ,
1951.
6. Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 1,
2, 3, Физматгиз, 1958.
7. Колмогоров А. Н. н Фомин СВ., Элементы теории функций и
функционального анализа, вып. 2, Изд-во МГУ, 1960.
8. Тихонов А. Н., Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье,
ДАН СССР, т. 156, № 2, 1964, стр. 268—271.
9. Э р д е й А., Асимптотические разложения, Физматгиз, 1962.
10. Д е Б р ё й н, Асимптотические методы в анализе, ИЛ, 1962.
11. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций ком-
комплексного переменного, Изд-во «Наука», 1965.
12. С о б о л е в С. Л., Уравнения математической физики, ГТТИ, 1954.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля признак 307, 373
Абсолютно интегрируемая функция
510.
— сходящийся несобственный инте-
интеграл 366, 393
Автоматизация программирования
595
Адамара — Коши теорема 322
Аддитивная функция множества 36
области 36, 76
Аддитивность двойного интеграла
34
— криволинейного интеграла 155
— тройного интеграла 75
Адрес 581
АЛГОЛ 595
Амплитуда колебания 449
Аналитическая функция 330
Антисимметричный тензор 281
Арифметические операции 581
Арифметическое устройство 576
Арцела теорема 350
Асимптотическая эквивалентность
561, 565
Асимптотический ряд 563
Асиптотическое представление 561
— разложение 556, 563
Аффинная система координат 125
Аффинный ортогональный тензор вто-
второго ранга 267
первого ранга 266
— р-го ранга 268
Базисы векторов взаимные 289
Бесселя неравенство 479
— тождество 479
Бета-функция 434, 438—442
Бинормали вектор 106
Бинормали уравнение 109
Блок-схемное программирование 592
Буняковского — Коши неравенство
343
Ввода устройство 575
Вейерштрасса признак 424
мажорантный 304
— теорема 491, 493, 546, 549
Вектор бинормали 106
— касательной 106
— нормали 106
Векторная линия 220
— трубка 220
Векторное поле 219
, вихрь 233
, дивергенция 225
, потенциал 221
, поток 223
— —, ротор 233
, циркуляция 233
— уравнение кривой 103
Вектор-потенциал 239
Вектор-функция 97
— —, дифференциал 99
дифференцируемая 98
— —, интеграл по скалярному аргу-
аргументу 101
— — линейная 268
непрерывная 98
, производная 98
, формула Тейлора 101
Верхняя сумма Дарбу 27, 74
Вес 530
Взаимные базисы векторов 289
Винтовая линия 103
Вихрь 233, 235
Внешний объем тела 72

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
601
Внешняя площадь фигуры 20
Внутренний объем тела 72
Внутренняя геометрия поверхности
146
— площадь фигуры 20
— точка 17
Восьмеричная система счисления
579
Вторая квадратичная форма 138
Вывода устройство 578
Вычислительного назначения допол-
дополнительные операции 552
Вычислительные машины дискретно-
дискретного действия 574
непрерывного действия 574
Вычитание тензоров 279
Гамильтона оператор 239
Гамма-функция 382, 434—438
Гармоника 449, 452
Гармоническое колебание 449
— поле 247
Гауссова кривизна 143
Геометрия Лобачевского 149
Гиперболическая точка 144
Главная кривизна 141
Главное значение расходящегося ии-
теграла 383, 388
Главной нормали уравнение 109
Главные направления поверхности
141
Гладкая поверхность 73
Годограф 97, 100
Гравитационное поле 219, 227—229
Градиент 217, 252, 255
Граница множества 17
Граничная точка 17
Грина формула 171
Дарбу лемма 30
— сумма 27, 74
Двоичная система счисления 578
Двоично-десятичная система счисле-
счисления 579
Двойной интеграл 16, 25
, замена переменных 66—70
как аддитивная функция обла-
области 36
, оценка по модулю 34
— —, производная по площади 37
— —, сведение к повторному 46—54
, свойства 33, 34
— —, теорема о среднем 34
■ , физические и геометрические
применения 41—46
Двумерное поле 215
Двусторонняя поверхность 191
Деформаций тензор 275
Дельта-функция 355, 544—646
Диаметр множества 18
Дивергенция 225, 252, 255
— тензора 285
—, физический смысл 226—229
Дини теорема 310
Дифференциал вектор-функции 99
Жордана мера 23
Замена переменных в двойном инте-
интеграле 66—70
тройном интеграле 85—93
Замкнутая область 17
— система функций 497
Замкнутое множество 17
Запоминающее устройство 576
Индикатриса кривизны 140, 143
Интеграл двойной 16, 25
—, зависящий от параметра 402—
407
—, кратный 442
— криволинейный второго рода 159,.
166
■ первого рода 151, 157
— многомерный 93—96
— несобственный 358, 360, 376, 387,.
400
— от векторной функции 101
— поверхностный второго рода
196
первого рода 184, 190
— повторный 48, 50, 80, 83
— Пуассона 372, 429
— тройной 71, 74
— Френеля 432
— Фруллани 433
— Фурье 510, 517, 521
— эйлеров 434
Интегральная сумма 24, 151,
183
Интегрируемая функция 25, 32, 33,.
74
— с квадратом функция 479,.
530
Интервал сходимости 319
Касательная плоскость 121
Касательной вектор 106
— уравнение 109

802
предметный указатель
Квадратичная форма вторая 138
— — первая 126
— •— положительно определенная
126
Квадратичное уклонение 342
Квадрируемая фигура 2г), 22
Ковариантные индексы тензора
292
— координаты тензора 290
Ковариантный метрический тензор
293
Код 593
Команда 581
Компактное семейство функций
350
Контравариантные индексы тензора
292
— координаты тензора 290
Контравариантный метрический тен-
тензор 293
Координатная сеть 118
•— •— ортогональная 129
Координатные линии 56
— поверхности 86
Координаты аффинные 125
— ковариантные тензора 290
— контравариантные тензора 290
— криволинейные 56, 86, 249
— — ортогональные 249
— на поверхности 118
— полярные 57, 64
— тензора 264, 292
•— сферические 87, 92, 251
— цилиндрические 86, 91, 251
Коши критерий 305, 306, 354, 364,
365, 377, 423, 425
Коши — Адамара теорема 322
Коши — Буняковского неравенство
343
Косинус-преобразование Фурье
520
Коэффициенты Фурье 456, 476,
505
Кривая параметризованная 103
•— кусочно-гладкая 150
— спрямляемая 21
Криволинейные координаты 57, 86,
249
— •— ортогональные 249
Криволинейный интеграл второго ро-
рода 159, 166
— •— •— •—, вычисление 162
Криволинейный интеграл второго ро-
рода независимость от пути 174—182
— •— •— •—, связь с криволинейным
интегралом первого рода 160
Криволинейный интеграл первого ро-
рода 151, 157
•— •— , оценка по модулю 155
• , применения 155—157
• , свойства 154, 155
1 связь с криволинейным
интегралом второго рода 160
, теорема о среднем 155
Кривизна 107
— гауссова 143
— главная 141
— нормальная 137
— полная 143
— средняя 143
Кривизны индикатриса 140, 143
Кручение 107
Кубируемое тело 72
Кусочно-гладкая кривая 150
Кусочно-гладкая функция 459
• непрерывная функция 459
Ламэ параметры 250
Лапласа метод 569
— оператор 244, 254, 255
— уравнение 247
Лапласово поле 247
Лебега мера 24
Лежандра полиномы 475, 527
Лейбница правило 404
Линейная вектор-функция 268
•— зависимость функций 532
Линейность двойного интеграла 33
— криволинейного интеграла 154
— тройного интеграла 75
Линейный оператор 268
Линии координатные 56
Линия векторная 220
— винтовая 103
•— уровня 215
Лист Мёбиуса 193
Лобачевского геометрия 149
Логические операции 582
Локальная производная 256
Магнитная лента 576
Мажорантный признак 424
— признак Вейерштрасса 304
— ряд 304
Мажорирующий ряд 304
Масштабные множители 250
Материальная производная 256
Матрица ортогональная 265
— перехода 265
Матрицы, умножение 294—296
Мёбиуса лист 193

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
603
Мера Жордана 23
— Лебега 24
Метрический тензор 292
Многомерный интеграл 93-—96
Миогосвязная область 117
Множества, общая часть 18
—, объединение 18
— функция 35
Множество, граница 17
—, диаметр 18
•— замкнутое 17
•— ограниченное 17
•— открытое 17
•— связное 17
Монотонность двойного интеграла 34
•— криволинейного интеграла 155
— тройного интеграла 75
Набла (V).оператор 239
Наименьшее отклонение 495
Направления поверхности главные
141
Напряжений тензор 276, 278
Натуральная параметризация кривой
104
Натуральные уравнения кривой 113
Начальная фаза 449
Неориентируемая поверхность 193
Неразрывности уравнение 231, 262
Несобственный интеграл 358, 360,
376, 400
• абсолютно сходящийся 366, 393
— •—, зависящий от параметра 402,
407—434
•— •—, — •— •— кратный 442
— — кратный 387, 400
•— •— равномерно сходящийся 411,
444
•— •— расходящийся 359, 376
• сходящийся 359, 366, 376
— — условно сходящийся 372
Нижняя сумма Дарбу 27, 74
Норма функции 475, 504
Нормали вектор 106
Нормаль 122
Нормальная кривизна 137
•— плоскость 109
Нормальное сечение 136
— ускорение 115
Области функция 35, 76
— — аддитивная 36, 76
Область 17
— замкнутая 17
•— многосвязная 117
Область односвязная 117
— поверхностно односвязная 210
— сходимости 298
Обобщенная функция 355
Образ Фурье 518, 520
Обратное преобразование Фурье 518
Обращение к внешним устройствам.
583
Общая часть множеств 18
Объединение множеств 18
Объем многогранного тела 71
— тела 72
Ограниченное множество 17
Одномерное поле 221
Одноразрядный сумматор 586
Одйосвязная область 117
Односторонняя поверхность 192
Окрестность 17
Округления точка 142
Омбилическая точка 142
Оператор Гамильтона 239
— Лапласа 244, 264, 255
■— линейный 268
— набла (V) 239
Определитель функциональный 55, 85
Ориентируемая поверхность 193
Ортогональная координатная сеть
129
— матрица 265
— система функций 453, 474, 504
— • (с весом) 529
замкнутая 497
•— • полная 496
Ортогональные криволинейные коор-
координаты 249
Осесимметрическое поле 215, 221
Основной репер (трехгранник) кри-
кривой 106
Остроградского формула 205
Отделимость замкнутых множеств 18
Отклонение 495
Открытое множество 17
Относительных смещений тензор
283
Отображение 55, 85
Память 576
Параболическая точка 144
Параметризованная кривая 103
— поверхность 119
Параметрическое уравнение кривой
103
Параметры Ламэ 250
Парсеваля равенство 497
Первая квадратичная форма 126

604
предметный указатель
Передачи управления операции
584
Перестановка индексов тензора •—
281 —
Перехода матрица 265
Период функции 449
Периодическая функция 449
Перфокарта 576, 577
Перфолента 576
Плоская фигура 20
Плоское поле 221
Плоскопараллельное поле 215, 221
Плоскость касательная 121
•— нормальная 109
— соприкасающаяся 108, 109
— спрямляющая 109
Плотность распределения масс 37
Площадь многоугольной фигуры 19
•— ориентируемой фигуры 70
— плоской фигуры 20
—, свойства 22, 23
— поверхности 129, 131
— фигуры в криволинейных коорди-
координатах 59
Поверхности координатные 86
Поверхностно односвязная область
210
Поверхностный интеграл второго ро-
рода 196
• • , вычисление 205
•— •— • , сведение к двойному ин-
интегралу 199
•— •— первого рода 184, 190
— — — —, применения 188
— — — •—, сведение к двойному ин-
интегралу 184
Поверхность 118
— гладкая 73
— двусторонняя 191
— неориентируемая 193
— односторонняя 192
— ориентируемая 193-
— параметризованная 119
—, площадь 129, 131
— постоянной кривизны 148
•— простая 117
— уровня 214
Повторный интеграл 48, 50, 80,
83
Подпрограмма 592
Поле векторное 219
• , вихрь 233
•— —, дивергенция 225
— —, потенциал 223
, поток 223
• , ротор 233
Поле векторное, циркуляция 233
— гармоническое 247
гравитационное 219, 227—229
•— двумерное 215
•— лапласово 247
•— одномерное 221
•— осесимметрическое 215, 221
— плоское 221
— плоскопараллельное 215, 221
— потенциальное 221, 238
•— скалярное 213
— —, градиент 217
•— —, производная 217
— скоростей 219, 227
— соленоидальное 229, 238
•— сферическое 216
— тензора 284
— трубчатое 229
— тяготения 219, 227—229
— цилиндрическое 216, 221
— электростатическое 219, 229
Полная кривизна 143
— ортогональная система функций
496
— производная 256
Положительно определенная квадра-
квадратичная форма 126
Полярные координаты 57, 64
Поразрядные операции 582
Последовательность функциональная
297
Постоянной кривизны поверхность
148
Потенциал векторного поля 221
Потенциальное поле 221, 238
Поток векторного поля 223
— тензора 286
Почти периодическая функция
451
Предельная точка 17
Проводимости тензор 264
Программа 581, 586
Программирование 586
•— блок-схемное 592
Производная вектор-функции 98
•— локальная 256
•— материальная 256
— по площади от двойного интегра-
интеграла 37
Производная полная 256
— скалярного поля 217
•— функция облаем по площади
36
•— частная 256
Простая поверхность 117
Пространственное тело 72

предметный указатель
605
Пространство функциональное 536
Псевдосфера 149
Пуассона интеграл 372, 429
Равномерная сходимость последова-
последовательности функций 298, 299
ряда 303—308, 348
•— •— — Фурье 481
Равномерно ограниченное семейство
функций 350
— сходящийся несобственный инте-
интеграл 411, 444
•— •— функциональный ряд 302
Равностепенно непрерывное семейст-
семейство функций 350
Радиус нормальной кривизны 137
•— сходимости 321
Разложение асимптотическое 556
Расстояние между множествами
18
Расходимость последовательности
функций 297
Расходящийся несобственный инте-
интеграл 359, 376
— , главное значение 383,
388
Регулярно сходящийся ряд 324
Репер основной 106
Ротор 233, 253, 255
•—, символическая запись 235
•—, физический смысл 235
Ряд асимптотический 563
— степенной 318—329
— Тейлора 331, 333, 334
•— тригонометрический 453
•— функциональный 297
— Фурье 456, 474, 476, 505, 507, 531
Свертка тензоров 281
Связное множество 17
Сеть координатная 118
•— •— ортогональная 129
Сечение нормальное 136
Симметричный тензор 281
Синус-преобразование Фурье 520
Скалярное поле 213
— •—, градиент 217
— •—, производная 217
Скоростей поле 219, 227
Слабая сходимость 353
Сложение тензоров 279
Собственные векторы 288
— значения 288
Соленоидальное поле 229, 238
Соприкасающаяся плоскость 108, 109
Сопряженный тензор 281
Спектральная характеристика 539
— — функции 518
Специализированные цифровые вы-
вычислительные машины 574
Спрямляемая кривая 21
Спрямляющая плоскость 109
Сравнения признак 367, 368, 370, 371,
378, 379, 380, 394, 395
Средняя кривизна 143
Степенной ряд 318—329
в комплексной области 338 —
342
— —, применения 336—338
Стерлинга формула 569
Стокса формула 209
Сумма Дарбу 27, 74
— интегральная 24, 151, 183
— ряда 302
Сумматор одноразрядный 586
Суперпозиции принцип 539
Суперпозиция гармоник 452
Сферические координаты 87, 92, 251
— •—, градиент 255
— —, дивергенция 255
•— •—, Лапласа оператор 255
, ротор 255
Сферическое поле 216
Сходимости интервал 319
— область 298
-,- радиус 321
Сходимость «в себе» 353
— в среднем 342, 347, 348, 537
— последовательности функций 297—
299
— рядов 303—308
Сходящийся несобственный интеграл
359, 376
— функциональный ряд 302
Тангенциальное ускорение 115
Тейлора ряд 331, 333, 334
— формула для вектор-функции 101
Тело (пространственное) 72
— кубируемое 72
— объем 72
Тензор 264, 292
— антисимметричный 281
•— аффинный ортогональный второго
ранга 267
— первого ранга 266
— •— — р-то ранга 268
— деформаций 275
•—- дивергенция 285

606
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тензор, ковариантные индексы 292
—, контравариантные индексы
292
—, координаты 264, 292
— метрический 292
— напряжений 276, 278
—, общее определение 292
— относительных смещений 283
—, поле 284
—, поток 286
— проводимости 264
— симметричный 281
•— сопряженный 281
Тензоры, алгебраические операции
279—282
Теплопроводности уравнение 246
Тор 119
Точка внутренняя 17
— гиперболическая 144
— граничная 17
•— округления (омбилическая) 142
— параболическая 144
— предельная 17
— уплощения 144
— эллиптическая 143
Транспонирование матрицы 266
Трехгранник основной 106
Тригонометрическая система 453, 475,
499
Тригонометрический ряд 453
Тройной интеграл 71, 74
, замена переменных 85—93
как аддитивная функция об-
области 36
— —, оценка по модулю 75
сведение к повторному 80—85
свойства 75, 76
теорема о среднем 76
физические и геометрические
применения 77—79
Трубка векторная 220
Трубчатое поле 229
Тяготения поле 219, 227—229
Угол между кривыми 128
Уклонение квадратичное 342
Умножение матриц 294—296
Умножение тензора на скаляр 280*
— тензоров 279
Универсальные цифровые вычисли-
вычислительные машины 574
Уплощения точка 144
Управления устройство 576
Уровня линия 215
— поверхность 214
Ускорение нормальное 115
— тангенциальное 115
Условно сходящийся несобственный
интеграл 372
Устройство арифметическое 576
•— ввода 575
— вывода 578
— запоминающе 576
— управления 576
УЦВМ 574
Фазовая характеристика 539
Фигура квадрируемая 20, 22
— плоская 20
Форма квадратичная вторая 138
первая 126
положительно определенная
126
ФОРТРАН 595
Френе формулы 107
Френеля интегралы 432
•—, геометрический смысл 65, 91
36
Фруллани интеграл 433
Функция абсолютно интегрируем»
510
— интегрируемая 25, 32, 33, 74
с квадратом 479
— кусочно-гладкая 459
— кусочно-непрерывная 459
— множества 35
— области 35, 76
• , производная по площади 36
— периодическая 449
— почти периодическая 451
Функционал 357
Функциональная последовательность
297
Функциональное пространство 535
Функциональный определитель 55,
85
— ряд 297
•— •—, сумма 302
сходящийся 302
•— — •— в среднем 343
равномерно 302
Фурье интеграл 510, 517, 521
Фурье косинус-преобразование 520
— коэффициенты 456, 476, 505
— образ 518
•— обратное преобразование 518
— преобразование 518
— ряд 456, 474, 476, 505, 507,
531
, равномерная сходимость 481
— —, скорость сходимости 485

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
607
Фурье
489
ряд, улучшение сходимости
1UJ
— сииус-преобразование 520
Цилиндрические координаты 86, 91,
251
, градиент 255
, дивергенция 255
, Лапласа оператор 255
, ротор 255
Цилиндрическое поле 216, 221
Циркуляция 233
Цифровые вычислительные машины
574
Частная производная 256
Частота колебания 449
Частотная характеристика 539
Шварца пример 129
Эйлера уравнение 259
— формула 141, 340
Эйлеровы интегралы 434—442
Электростатическое поле 219, 229
Эллиптическая точка 143
Якобиан 55, 85
—, геометрический смысл 65, 91

Борис Михайлович Будак,
Сергей Васильевич Фомая
Кратные интегралы н ряды
(Серия «Курс высшей математики
и математическая физика»)
М., 1965 г., 608 стр. с илл.
Редакторы Н, А. Угарова, Ю, А. Горькое
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор С. И. Емельянова
Сдано в набор 8/IV 1965 г. Подписано к печа-
печати 27/VI1I 1965 г. Бумага 60x90</ie. Фиэ. печ. л. 38.
Условн. печ. л. 38. Уч.-нзд. л 37,93.
Тираж 24 000 экз. Т-10739. Цена книги 1 р. 29 к.
Заказ № Н25.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
вмени Евгении Соколовой Главполнграфпрома
Государственного комитета Совета Министров
СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.