Текст
                    КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 2
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И РЯДЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
■ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965


Б. М. БУДАК, С. В. ФОМИН КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для физических и физико-математических факультетов университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1965
517.2 Б 90 УДК 517.3/517.52@75.8)
ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии 14 Предисловие 14 Глава 1. Двойные интегралы 15 § 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 16 1. Граничные и внутренние точки. Область A6). 2. Расстояние между множествами A8). 3. Площадь плоской фигуры A9). 4. Основные свойства площади B2). 5. О понятии меры мно- множества B3). § 2. Определение и основные свойства двойного интеграла 24 1. Определение двойного интеграла B4). 2. Условия существо- существования двойного интеграла. Верхние и нижние суммы B6). 3. Важнейшие классы интегрируемых функций C2). 4. Свой- Свойства двойного интеграла C3). § 3. Аддитивные функции области. Производная по площади .... 35 1. Функции точки и функции области C5). 2. Двойной инте- интеграл как аддитивная функция области C6). 3. Производная функции области по площади C6). 4. Производная по пло- площади от двойного интеграла C7). 5. Восстановление аддитив- аддитивной функции области по ее производной C8). 6. Определен- Определенный интеграл как функция области D0). 7. Продолжение функций области по аддитивности D1). § 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных интегралов 41 1. Вычисление объемов D1). 2. Вычисление площадей D2). 3. Масса пластинки D2). 4. Координаты центра масс пла- пластинки D3). 5. Моменты инерции пластинки D4). 6. Свето- Световой поток, падающий на пластинку D5). 7. Поток жидкости через поперечное сечение канала D5). § 5. Сведение двойного интеграла к повторному 46 1. Наводящие соображения D6). 2. Случай прямоугольной обла- области D8). 3. Случай криволинейной области E0). § 6. Замена переменных в двойном интеграле 54 1. Отображение областей E4). 2. Криволинейные коорди- координаты E6). 3. Полярные координаты E7). 4. Постановка за- задачи о замене переменных в двойном интеграле E8). 5. Пло-
6 ОГЛАВЛЕНИЕ щадь в криволинейных координатах E9). 6. Замена перемен- переменных в двойном интеграле F6). 7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной области F9). Глава 2. Тройные и многократные интегралы 71 § 1. Определение и основные свойства тройного интеграла 71 1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи- фигуры G1). 2. Определение тройного интеграла G3). 3. Усло- Условия существования тройного интеграла. Интегрируемость непре- непрерывных функций G4). 4. Свойства тройных интегралов G5). 5. Тройной интеграл как аддитивная функция области G6). § 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геомет- геометрии 77 1. Вычисление объемов G7). 2. Нахождение массы тела по плотности G7). 3. Момент инерции G8). 4. Вычисление коор- координат центра масс G8). 5. Притяжение материальной точки телом G9). § 3. Вычисление тройного интеграла 80 1. Сведение тройного интеграла по параллелепипеду к повтор- повторному (80). 2. Сведение тройного интеграла по криволинейной области к повторному (82). § 4. Замена переменных в тройном интеграле 85 1. Отображение пространственных областей (85). 2. Криволи- Криволинейные координаты в пространстве (86). 3. Цилиндрические и сферические координаты (86). 4. Элемент объема в криволи- криволинейных координатах (88). 5. Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана (89). § 5. Понятие о многомерных интегралах 93 1. Общие сведения (93). 2. Примеры (94). Глава 3. Элементы дифференциальной геометрии 97 § 1. Вектор-функции скалярного аргумента 97 1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность (97). 2. Дифференцирование вектор-функции (98). 3. Годограф. Осо- Особые точки A00). 4. Формула Тейлора A01). 5. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу A01). 6. Вектор- Векторные функции нескольких скалярных аргументов A02). § 2. Пространственные кривые 102 1. Векторное уравнение кривой A02). 2. Основной трехгран- трехгранник A05). 3. Формулы Френе A06). 4. Вычисление кривизны и кручения A07). 5. Система координат, связанная с основным трехгранником A-09). 6. Вид кривой вблизи произвольной ее точки (НО). 7. Ориентированная кривизна плоской кривой A13). 8. Понятие о натуральных уравнениях кривой A13). 9. Неко- Некоторые приложения к механике A15). § 3. Параметрическое уравнение поверхности 117 1. Понятие поверхности A17). 2. Параметризация поверхно- поверхности A18). 3. Параметрическое уравнение поверхности A19).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 4. Кривые на поверхности A20). 5. Касательная плоскость A21). 6. Нормаль к поверхности A22). 7. Системы координат в каса- касательных плоскостях A23). § 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей. Первая квадратичная форма поверхности 124 1. Аффинная система координат на плоскости A25). 2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма A26). 3. Угол между двумя кривыми A28). 4. Определение площади поверх- поверхности. Пример Шварца A29). 5. Вычисление площади гладкой поверхности A31). ■§ 5. Кривизна линий на поверхности. Вторая квадратичная форма 135 1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна A36). 2. Вторая квадратичная форма поверхности A38). 3. Индикат- Индикатриса кривизны A39). 4. Главные направления и главные кри- кривизны поверхности. Формула Эйлера A40). 5. Вычисление главных кривизн A42). 6. Полная кривизна и средняя кри- кривизна A43). 7. Классификация точек на поверхности A43). 8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система инвариантов поверхности A45), § 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности 146 1. Наложимость поверхностей. Необходимое и достаточное усло- условие наложимости A46). 2. Внутренняя геометрия поверхно- поверхности A47). 3. Поверхности постоянной кривизны A48). Глава 4. Криволинейные интегралы 150 § 1. Криволинейные интегралы первого рода 150 1. Определение криволинейного интеграла первого рода A504 2. Свойства криволинейных интегралов A54). 3. Некоторые применения криволинейных интегралов первого рода A55). 4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве A57). § 2. Криьолинейные интегралы второго рода 158 1. Постановка задачи. Работа силового поля A58). 2. Опреде- Определение криволинейного интеграла второго рода A59). 3. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода A60). 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода A62). 5. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от ориентации кривой A65). 6. Криволинейные интегралы вдоль самопересекающихся и замкнутых путей A65). 7. Криво- Криволинейные интегралы второго рода вдоль пространственных кри- кривых A66). § 3. Формула Грина '. 168 1. Вывод формулы Грина A68). 2. Вычисление площади с по- помощью формулы Грина A73). § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Интегрирование полных дифференциалов 174 1. Постановка вопроса A74). 2. Случай односвязной обла- области A74). 3. Нахождение функции по ее полному дифферен- дифференциалу A78). 4. Криволинейные интегралы в многосвязной области A79).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Поверхностные интегралы 183 § 1. Поверхностные интегралы первого рода 183 1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ- функции A83). 2. Сведение поверхностного интеграла к двой- двойному A84). 3. Некоторые применения поверхностных интегра- интегралов к механике A88). 4. Поверхностные интегралы от вектор- векторных функций. Общее понятие поверхностного интеграла пер- первого рода A89). § 2. Поверхностные интегралы второго рода 191 1. Сторона поверхности A91). 2. Определение поверхностного интеграла второго рода A95). 3. Сведение поверхностного инте- интеграла второго рода к двойному интегралу A99). § 3. Формула Остроградского ... 201 1. Вывод формулы Остроградского B01). 2. Вычисление позерх- ностных интегралов с помощью формулы Остроградского. Пред- Представление объема пространственной области в виде поверхно- поверхностного интеграла B05). § 4. Формула Стокса 207 1. Вывод формулы Стокса B07). 2. Применение формулы Стокса к исследованию пространственных криволинейных инте- интегралов B10). Глава 6. Теория поля 213 § 1. Скалярные поля 213 1. Определение и примеры скалярных полей B13). 2. Поверх- Поверхности и линии уровня B14). 3. Различные типы симметрии полей B15). 4. Производная по направлению B16). 5. Градиент скалярного поля B17). § 2. Векторные поля . . . ; 219 1. Определение и примеры векторных полей B19). 2. Векторные линии и векторные трубки B20). 3. Различные виды симметрии векторных полей B20). 4. Поле градиента. Потенциальное поле B21). § 3. Поток векторного поля. Дивергенция 223 1. Поток векторного поля через поверхность B23). 2. Дивер- Дивергенция B24). 3. Физический смысл дивергенции для различных полей. Примеры B26). 4. Соленоидальное поле B29). 5. Урав- Уравнение неразрывности B30). 6. Плоское течение жидкости. Фор- Формула Остроградского на плоскости B31). § 4. Циркуляция. Ротор 233 1. Циркуляция векторного поля B33). 2.- Ротор векторного поля. Запись формулы Стокса в векторных обозначениях B33). 3. Символическая запись ротора B35). 4. Физический смысл ротора B35). 5. Еще раз о потенциальных и соленоидальных полях B38). § 5. Оператор Гамильтона 239 1. Символический вектор V B39). 2. Действия с векто- вектором VB40).
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 § 6. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лап- Лапласа 243 1. Дифференциальные операции второго порядка B43). 2. Урав- Уравнение теплопроводности B45). 3. Стационарное распределение температур. Гармонические поля B46). § 7. Запись основных дифференциальных операций теории поля в ортогональных криволинейных координатах 248 1. Постановка задачи B48). 2. Криволинейные ортогональные координаты в пространстве B49). 3. Цилиндрические и сфери- сферические координаты B51). 4. Градиент B52). 5. Диверген- Дивергенция B52). 6. Ротор B53). 7. Оператор Лапласа B54). 8. Запись основных формул в цилиндрических и сферических координа- координатах B55). § 8. Переменные поля в сплошных средах 256 1. Локальная и материальная производные B56). 2. Уравнение Эйлера B58). 3. Производная по времени от интеграла по жид- жидкому объему B59). 4. Другой вывод уравнения неразрывно- неразрывности B62). Глава 7. Тензоры 263 § 1. Понятие аффинного ортогонального тензора 264 1. Преобразования ортогональных нормированных базисов B64). 2. Определение аффинного ортогонального тензора B66). § 2. Связь между тензорами второго ранга и линейными операто- операторами 268 1. Линейный оператор как тензор второго ранга B68). 2. Тен- Тензор второго ранга как линейный оператор B69). § 3. Связь между тензорами и инвариантными полилинейными фор- формами 271 1. Тензоры первого ранга и инвариантные линейные формы B71). 2. Тензоры второго ранга и инвариантные билинейные формы B72). 3. Тензоры произвольного ранга р и инвариант- инвариантные полилинейные формы B74). § 4. Тензор деформаций 275 § 5. Тензор напряжений 276 1. Определение тензора напряжений B76). 2. Тензор напряже- напряжений как линейный оператор B78). § 6. Алгебраические операции над тензорами 279 1. Сложение, вычитание и умножение тензоров B79). 2. Умно- Умножение тензора на вектор B80). 3. Свертка B81). 4. Переста- Перестановка индексов B81). 5. Разложение тензора второго ранга на симметричный и антисимметричный B81). ■§ 7. Тензор относительных смещений 282 § 8. Поле тензора 284 1. Поле тензора. Дивергенция тензлра B84). 2. Формула Остро- Остроградского для поля тензора B86). 3. Уравнения движения сплошной среды B87).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ § 9. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям 288 § 10. Общее определение тензора 289 1. Взаимные базисы векторов B89). 2. Ковариантные и контра- вариантные координаты векторов B90). 3. Операция суммиро- суммирования в тензорной символике B90). 4. Преобразование базис- базисных векторов B91). 5. Преобразование ковариантных и кон- травариантных координат вектора B91). 6. Общее определение тензора B92). 7. Операции над тензорами B94). 8. Дальней- Дальнейшие обобщения B94). Дополнение к гл. 7. Об умножении матриц 294 Глава 8. Функциональные последовательности и ряды 297 § 1. Понятие равномерной сходимости; признаки равномерной схо- сходимости 297 1. Сходимость и равномерная сходимость B97). 2. Признаки равномерной сходимости C03). § 2. Свойства равномерно сходящихся функциональных последова- последовательностей и рядов 308 1. Непрерывность и равномерная сходимость C08). 2. Пре- Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегри- интегрирование ряда C11). 3. Предельный переход под знаком про- производной и почленное дифференцирование ряда C14). 4. По- члеииый предельный переход в функциональных последова- последовательностях и рядах C16). § 3. Степенные ряды 318 1. Интервал сходимости степенного ряда; радиус сходимости C18). 2. О равномерной сходимости степенного ряда и непре- непрерывности его суммы C24). 3. Дифференцирование и интегри- интегрирование степенных рядов C27). 4. Арифметические операции над степенными рядами C29). § 4. Разложение функций в степенные ряды 330 1. Основные теоремы о разложениях функций в степенные ряды; разложения элементарных функций C30). 2. Некоторые применения степенных рядов C36). § 5. Степенные ряды в комплексной области 338 § 6. Сходимость в среднем 342 1. Квадратичное уклонение и сходимость в среднем C42). 2. Неравенство Коши — Буняковского C43). 3. Интегрирова- Интегрирование сходящихся в среднем последовательностей и рядов C44). 4. О связи между сходимостью в среднем и возможностью по- почленного дифференцирования последовательностей и рядов C47). 5. Связь между сходимостью в среднем и другими ви- видами сходимости C48). Дополнение 1 к гл. 8. Критерий компактности семейства функций . . 350 Дополнение 2 к гл. 8. Слабая сходимость и дельта-функция 353
ОГЛАВЛЕНИЕ И Глава 9. Несобственные интегралы • 358 § 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования ...... 358 1. Определения; примеры C58). 2. Сведение несобственного + СО интеграла I / (х) dx к числовой последовательности и число- а вому ряду C62). 3. Критерий Коши для несобственных инте- интегралов C64). 4. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной сходимости C66). 5. Условная сходимость C72). 6. Распро- Распространение методов вычисления интегралов на случай несоб- несобственных интегралов C74). § 2. Интегралы от неограниченных функций с конечными и беско- бесконечными пределами интегрирования 375 § 3. Главное значение расходящегося интеграла 383 § 4. Несобственные кратные интегралы 387 1. Интеграл от неограниченной функции по ограниченной об- области C87). 2. Интегралы от неотрицательных функций C89). 3. Абсолютная сходимость C93). 4. Признаки абсолютной схо- сходимости C94). 5. Эквивалентность сходимости и абсолютной сходимости C97). 6. Несобственные интегралы с неограничен- неограниченной областью интегрирования C99). 7. Методы вычисления не- несобственных кратных интегралов D00). Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра 402 § 1. Собственные и простейшие несобственные интегралы, зависящие от параметра 402 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра D02). 2. Простейшие несобственные интегралы, зависящие от пара- параметра D07). § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 410 1. Понятие равномерной сходимости D11). 2. Сведение несоб- несобственного интеграла, зависящего от параметра, к последователь- последовательности функций D13). 3. Свойства равномерно сходящихся интегралов, зависящих от параметра D16). 4. Признаки равно- равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра D23). 5. Примеры вычисления несобственных инте- интегралов с помощью дифференцирования и интегрирования по параметру D28). § 3. Эйлеровы интегралы 434 1. Свойства гамма-функции D35). 2. Свойства бета-функции D38). § 4. Кратные собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметров 442 Глава 11. Ряды Фурье н интеграл Фурье 449 § !. Предварительные сведения о периодических функциях и поста- постановке основной задачи 449 1. Периоды периодической функции D49). 2. Периодическое продолжение непериодической функции D50). 3. Интеграл от
ОГЛАВЛЕНИЕ периодической функции D51). 4. Арифметические действия над периодическими функциями D51). 5. Суперпозиция гармоник с кратными частотами D52). 6. Постановка основной задачи D53). 7. Ортогональность тригонометрической системы; коэф- коэффициенты Фурье н ряд Фурье D53). 8. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций D56). 9. Разложение функции на отрезке [—я, я] D58). § 2. Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье 459 1. Класс кусочно-гладких функций D59). 2. Формулировка основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье D61). 3. Основная лемма D61). 4. Доказательство основной теоремы сходимости D63). 5. Примеры D67). 6. Раз- Разложение функций, заданных на отрезке [О, I], только по синусам или только по косинусам D72). § 3. Ряды Фурье по ортогональным системам. Неравенство Бесселя 474 1. Ортогональные системы функций D74). 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье функции / (х) по ортогональной системе D76). 3. Задача о наименьшем квадратичном уклонении. То- Тождество Бесселя. Неравенство Бесселя D77). § 4. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходи- сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Понятие улучшения сходимости 481 1. Условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье D81). 2. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье D84). 3. Понятие улучшения сходимости тригонометрического ряда Фурье D89). § 5. Равномерная аппроксимация непрерывной функции тригономе- тригонометрическими и алгебраическими многочленами; теоремы Вейер- штрасса 491 § 6. О полноте и замкнутости ортогональных систем 495 1. Понятие полноты ортогональной системы D96). 2. Критерий полноты — равенство Парсеваля D96). 3. Свойства полных си- систем D97). 4. Полнота основной тригонометрической системы D99). 5. Полнота других классических ортогональных систем E02). § 7. Ряды Фурье по ортогональным системам комплексных функций и комплексная запись тригонометрического ряда Фурье .... 503 § 8. Тригонометрические ряды Фурье для функций нескольких неза- независимых переменных 507 § 9. Интеграл Фурье , 510 1. Неограниченное растяжение интервала разложения функции в ряд Фурье и интегральная формула Фурье E!0). 2. Обосно- Обоснование интегральной формулы Фурье E11). 3. Интеграл Фурье как разложение d сумму гармоник E16). 4. Комплексная форма интеграла Фурье E17). 5. Преобразование Фурье E18). 6. Интеграл Фурье для функций нескольких независимых пере- переменных E21).
ОГЛАВЛЕНИЕ 13 Дополнение 1 к гл. 11. О полиномах Лежандра 527 Дополнение 2 к гл. 11. Ортогональность с весом и ортогонализация . 529 Дополнение 3 к гл. 11. Функциональное пространство и геометриче- геометрические аналогии 535 Дополнение 4 к гл. 11. О некоторых применениях преобразования Фурье 539 Дополнение 5 к гл. 11. Разложение 6-функции в ряд Фурье и инте- интеграл Фурье 544 Дополнение 6 к гл. 11. Равномерная аппроксимация функций много- многочленами 546 Дополнение 7 к гл. 11. Об устойчивом суммировании рядов Фурье с возмущенными коэффициентами 551 Добавление 1. Об асимптотических разложениях 556 § 1. Примеры асимптотических разложений 556 1. Асимптотические разложения в окрестности нуля E56). 2. Асимптотические разложения в окрестности бесконечности E57). § 2, Некоторые общие определения и теоремы 560 1. Соотношения порядка. Асимптотическая эквивалентность E60). 2. Асимптотические разложения функций E62). § 3. Метод Лапласа для асимптотического разложения некоторых интегралов 568 Добавление 2. Некоторые сведения об универсальных вычисли- вычислительных машинах 573 § 1. Общие сведения о вычислительных машинах 573 1. Введение E73). 2. Основные типы вычислительных машин E74). 3. Основные узлы УЦВМ и их назначение E75). Системы счи- счисления, используемые в УЦВМ E78). 5. Представление чисел в вычислительной машине E79). § 2. Основные операции, выполняемые УЦВМ. Команды 580 1. Типы операций E80). 2. Основные арифметические опера- операции E81). 3. Дополнительные операции вычислительного назна- назначения E82). 4. Поразрядные (логические) операции E82). 5. Операции обращения к внешним устройствам E83). 6. Опе- Операции передачи управления E84). 7. Осуществление операций в машине E85). § 3, Элементы программирования • 586 1. Общие сведения E86). 2. Программирование по форму- формулам E87). 3. Циклические процессы E89). 4. Блок-схемное про- программирование. Подпрограммы E92). 5. Коды команд. Операции над командами E93), 6. Об автоматизации программирова- программирования E95). § 4. Некоторые вопросы организации работы на УЦВМ 596 1. Условия, определяющие эффективность применения на УЦВМ E96). 2. Основные этапы решения задачи с применением УЦВМ E96). 3. Методы предупреждения и обнаружения ошибок счета E97). Литература 599 Предметный указатель 600
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Кратные, криволинейные и несобственные интегралы, теория поля, степенные и тригонометрические ряды — это те разделы математики, с которыми каждому физику приходится встречаться достаточно часто. Им и посвящена эта книга- Такие важные для читателя-физика вопросы, как, например, теория поля, ряды и интегралы Фурье, из- изложены здесь несколько шире, чем это делается обычно в общих курсах анализа. Кроме того, в книге излагаются элементы дифферен- дифференциальной геометрии, а также сведения о тензорах, об асимптотических разложениях и о вычислительных машинах, что обычно не входит в традиционные руководства по анализу. Эта книга представляет собой второй выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики». Вместе с первым выпуском она соответствует программе курса анализа для физических и физико- математических факультетов. ПРЕДИСЛОВИЕ Этот выпуск, как и остальные выпуски, входящие в серию, на- написан на основе опыта чтения лекций на физическом факультете МГУ. В нашем изложении мы старались показать связи между различными математическими понятиями, их применения и, если это возможно, их физический смысл, уделяя также должное внимание алгоритмиче- алгоритмической, вычислительной стороне дела. Главы 1—6 н добавление о вы- вычислительных машинах написаны С. В. Фоминым, главы 7—11 и до- добавление об асимптотических разложениях — Б. М, Будаком, однако общий план и детали изложения неоднократно обсуждались совместно. При работе над книгой нам оказали помощь своими советами наши товарищи по кафедре В. А. Ильин, Э. Г, Позняк, А. Г. Свешников и др. Особенно большую и ценную помощь мы получили от А. Н. Ти- Тихонова. Ряд важных замечаний сделали Н. В, Ефимов и Л. Д. Куд- Кудрявцев, прочитавшие книгу в рукописи. Всем этим лицам авторы вы- выражают глубокую благодарность. Авторы
ГЛАВА 1 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Понятие определенного интеграла J / (х) dx связано с такими задачами, как вычисление пройденного пути по заданной скорости, нахождение площади криволинейной трапеции и т. д. Существует много задач, аналогичных названным, но относящих- относящихся к функциям не одной, а несколь ких, скажем двух, незави- независимых переменных. Типичная задача такого рода — нахождение объема криволинейно- криволинейного цилиндра (трехмерный аналог криволи- криволинейной трапеции). Под криволинейным цилиндром с ос- основанием F, лежащим в плоскости ху, понимается тело Т, ограниченное этим основанием, некоторой поверхностью z = f(x, у) и боковой цилиндрической поверхностью (рис. 1.1). Объем такого тела естественно искать следующим обра- образом. Разобьем основание F сетью кривых на ячейки Ft; тогда весь цилиндр Т разобьется на цилиндрические столбики Г,-, основаниями которых служат ячейки Ft. Ясно, что объем цилиндра Т следует считать равным сумме объемов составляющих его столбиков TL. Чтобы вычислить объем столбика Тг, выберем в Ft некоторую точку (|;, т]г) и заменим цилиндрический столбик Tt с «кривым» верхним основанием «настоящим» цилиндром с постоянной высотой, равной f(li, t]j), и тем же основанием F {. Иначе говоря, объем столбика Tt примем (приближенно) равным Рис. 1.1.
16 двойные интегралы [гл. 1 где ASj — площадь ячейки Ft. За прибдиженное значение объема всего цилиндра Т примем сумму Jft A.1) 1=1 взятую по всем ячейкам, на которые разбито основание F. Интуи- Интуитивно ясно, что сумма A.1) будет представлять объем цилиндра Т с точностью тем большей, чем меньше размеры ячеек F(. Для полу- получения точного значения этого объема нужно в выражении A.1) перейти к пределу, неограниченно уменьшая размеры ячеек Ft. Этот предельный переход и приведет нас к понятию интеграла от функции/(л:, у) двух независимых переменных — так называемому двойному интегралу. Изучение двойных интегралов составит содер- содержание настоящей главы. Очевидна аналогия между изложенными (пока лишь наводящими) рассуждениями и построением определенного интеграла на отрезке. Отличие их состоит лишь в том, что здесь рассматриваются функции не одной, а двух переменных, а вместо длин отрезков Ах1 берутся площади тех ячеек F-p на которые разбивается фигура F, служащая Основанием цилиндра. Помимо задачи о вычислении объема криволинейного цилиндра, существует много других задач, также связанных с понятием двойного интеграла. Некоторые из них будут рассмотрены в § 4 этой главы. Ряд физических и геометрических задач приводит к понятию интеграла от функций трех и большего числа переменных. Изучению таких интегралов будет посвящена следующая глава. Уже рассмотренная выше задача о вычислении объема криволи- криволинейного цилиндра показывает, что понятие двойного интеграла суще- существенно опирается на понятие площади криволинейной плоской фигуры, поскольку в выражение A.1) входят площади \St криволинейных ячеек Ft, на которые мы разбили основание цилиндра. Поэтому, хотя с понятием площади читателю приходилось встречаться и раньше *), мы начнем эту главу с краткого изложения основных сведений о площадях. § 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 1. Граничные и внутренние точки. Область. Напомним не- некоторые необходимые для дальнейшего понятия. Пусть а — не- некоторая точка на плоскости. Открытый круг радиуса е с центром *) См. вып. 1, гл. И, § 2.
§ I] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 17 в,точке а *} называется г-окрестностью или просто окрестностью этой точки. Точка а, принадлежащая данному множеству А, называ- называется его внутренней точкой, если некоторая «достаточно малая» е-окрестность точки а целиком состоит из точек множества А. Мно- Множество, всеточки которого внутренние, называется открытым множе- множеством. Говорят, что открытое множество G связно, если любые две его точки можно соединить не- непрерывной кривой, целиком У принадлежащей О. Связное открытое множество короче называется областью. Например, совокупность точек, координаты которых удовлетворяют условию а) х2 + У2 < 1 • есть область (рис. 1.2, а). Множество, Рис. 1.2. состоящее из двух кругов х2-\-у2<_\ и (х— 2J -f- у2 < 1, не область: оно открыто, но не связно (рис. 1.2, б). Точка а называется граничной для множества А, если любая ее окрестность содержит точки, как принадлежащие, так и не принад- принадлежащие А. Сама граничная точка при этом может принадлежать А, а может ему и не принадлежать. В частности, открытое множество не содержит ни одной своей граничной точки. Совокупность всех гра- граничных точек множества называется его границей. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым. Каждое множество может быть превращено в замкнутое присоедине- присоединением к нему всех его граничных точек. В частности, присоединив к некоторой области О все ее граничные точки, мы получим множество, называемое замкнутой областью. Точка а называется предельной для множества А, если в А существует последовательность попарно различных точек ах, а2 ап сходящаяся к а. Предельная точка множества А может принадлежать, а может и не принадлежать А. Замкнутые множества, и только они, содержат все свои предельные точки. (Докажите это!) Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутрь некоторого достаточно большого круга. Пусть А — ограни- ограниченное множество. Обозначим р(ах, а2) расстояние между двумя его произвольными точками. Пусть теперь ах и а2 пробегают (независимо друг от друга) все множество А. Ясно, что множество чисел р(ах, а2) ограничено сверху (р(ах, а2) не может превысить диаметр круга, *) То есть совокупность всех точек плоскости, расстояние которых от а строго меньше е. 2 Б. М. Bvnaic. Г. В Фпмии
18 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I в котором помещается А). Точная верхняя грань чисел р(а1, а2) называется диаметром d(A) множества А (рис. 1.3). Если множество А есть часть множества В (или совпадает с ним), то мы будем обозначать это, как обычно, символом АсВ. Принад- Принадлежность точки а множеству А записывается так: а£А. Объединение двух множеств А и В, т. е. совокупность точек, принадлежащих хотя бы одному из них, мы обозначим А-\-В, а об- общую часть множеств Л и В, т. е. сово- Рис. 1.3. купность точек, принадлежащих и Л и В од- одновременно, обозначим АВ. 2. Расстояние между множествами. Введем еще одно понятие, которое нам понадобится при доказательстве теоремы существования двойного интеграла. •Пусть А и В — два произвольных множества на плоскости. Назо- Назовем расстоянием между множествами А и В число р(Л, B) = infp(a, b), A.2) где точная нижняя грань берется по всем парам а £ А, Ь£В. Ясно, что если А и В имеют хотя бы одну общую точку, то р(Л, В)=0. Обратное, вообще говоря, не верно; например, расстояние между гиперболой у = — и осью х равно нулю, хотя эти две линии не X имеют общих точек. Справедлива, однако, следующая теорема, кото* рая нам понадобится в § 2. Теорема 1.1 {отделимость замкнутых множеств). Если Р и Q — ограниченные замкнутые множества без общих точек, то р(Р, <2)>0. Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть р(Р, Q) = 0. Тогда, по определению расстояния между множествами, для каждого п~ 1, 2, ... найдутся такие точки рп£Р и qn£Q, что- Р(Рп. <7«)<7f- A-3) Так как \рп] — ограниченная бесконечная последовательность, то по теореме Больцано — Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 14, § 2) из нее можно выбрать подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке р0. Но тогда соответствующие точки из последовательности \qn) образуют подпоследовательность, сходя- сходящуюся, в силу A.3), к той же самой точке р0.
1] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 19 они совпадают Точка р0 обязательно принадлежит множеству Р. В самом деле, здесь возможны два случая. Либо подпоследовательность lpn \ со- содержит бесконечно много различных точек, тогда р0 будет предель- предельной для Р и, в силу замкнутости Р, />0£Р; либо же подпоследо- подпоследовательность [рп \ стабилизируется, т. е. все ее точки, начиная с некоторого места, совпадают. Тогда, очевидно, с р0 и ро£Р. По тем же причинам />0£Q. Но тогда Р и Q имеют общую точку, что противо- противоречит условию теоремы. Упражнение. Убедиться, что теорема вер- верна, когда из двух замкнутых множеств Р и Q ог- ограничено хотя бы одно. 3. Площадь плоской фигуры. Из элементарной геометрии известно понятие площади многоуголь- многоугольной фигуры. (Под многоугольной фигурой мы по- понимаем множество, составленное из конечного числа ограниченных многоугольников (рис. 1.4.) Площадь многоугольной фигуры — это число, обязательно неотрицательное*), обладающее ■свойствами: 1 (монотонность). Если Р и Q—две многоугольные фигуры и Р целиком лежит внутри Q, то плР<плС?. 2 (аддитивность). Если Р1 и Р2—две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и Рх-\-Р2 означает объединение этих фигур, то пл {Рх +Р2) = пл Р1 + пл Р2 **). 3 (инвариантность.) Если многоугольные фигуры Pt и Р2 конгруэнтны между собой, то пл(Р1) = пл(Р2). Распространим теперь понятие площади, сохранив все три свойства, ■с многоугольных фигур на некоторый более широкий класс фигур. Эта задача решается следующим способом. Рис. 1.4. следующими *) Нулем оно будет, разумеется, лишь тогда, когда многоугольная фигура вырождается в конечное число точек или отрезков. **) Легко убедиться в том, что требования 1 и 2 не независимы: моно- монотонность площади вытекает из ее неотрицательности и условия аддитивности. Действительно, если многоугольная фигура Р лежит внутри многоугольной фигуры Q, то Q можно представить как объединение Р и многоугольной фигуры, которую естественно назвать разностью между Q и Р и обозначить ■Q — P- Тогда (по аддитивности) пл Q = пл Р -f пл (Q — Р), но так как пл(<Э — Р)>0, то пл<?>А
20 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. t Пусть F — некоторая плоская фигура*). Будем рассматри- рассматривать всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком лежащие вну- внутри F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Фигуры Р будем называть вложенными, а фигуры Q — объемлющими. Площади вложенных фигур ограничены в совокупности сверху (например, площадью любой объемлющей фигуры), а площади объемлющих фигур ограничены снизу (например, нулем). Поэтому существуют точная верхняя грань **) S. = S.{F) = sup (плР) площадей всех многоугольных фигур, вложенных в фигуру F, и точ ная нижняя грань S* = S*(F)= inf (пл<2) QF площадей всех многоугольных фигур, объемлющих F. Величина S.f называется внутренней площадью фигуры Fr a S* — ее внешней площадью. Из того, что площадь любой вложен- вложенной фигуры не больше, чем площадь любой объемлющей, следует: Если 5Ф = 5*, то их общее значение 5 называется просто пло- площадью фигуры F. Сама фигура F при этом называется имеющей площадь или квадрируемой Итак, мы распространили понятие площади с многоугольников на некоторый, более широкий класс фигур ***). Сохранение основных свойств площади (аддитивность, монотонность и инвариантность) будет доказано в п. 4. Установим следующее, полезное для дальнейшего условие квадри- квадрируемости фигуры. Теорема 1.2. Фигура F квадрируема в том и только том случае, если для любого е > 0 найдутся две такие много- многоугольные фигуры PaF и Q^dF, что плф — плР<е. A.4) Доказательство. Действительно, если такие фигуры суще- существуют, то из Рб;5*С? *) То есть некоторое ограниченное множество точек на плоскости. **) Если в фигуру F нельзя вписать ни одного многоугольника, то мы полагаем по определению, что St = 0. ***) Ясно, что всякая многоугольная фигура представляет собой квадри- руемую (в указанном выше смысле) фигуру и для нее новое определение площади (с помощью S,, и S*) дает исходную величину этой площади.
§ I] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 2Г получаем, что 0<5* — S.<e. а так как е>0 произвольно, то S* = S^. Обратно, если S* = Sit, то, по определению точных граней, для заданного е > О найдутся вложенная фигура Р и объемлющая фи- фигура Q такие, что откуда пл Q — плР < е. Совокупность точек, принадлежащих Q, но не принадлежащих РУ представляет собой многоугольную фигуру площади пл Q — плР, содержащую границу фигуры F. Поэтому ус- условие теоремы 1.2 означает, что фигура F квадрируема в том и только том случае, если ее граница может быть погружена в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади (рис. 1.5). С помощью этой теоремы легко устано- установить квадрируемость ряда фигур, отличных от многоугольных, например квадрируемость рис. 1.6. круга. В качестве Р и Q для круга можно взять правильный вписанный и правильный описанный многоугольники с достаточно большим числом сторон. Собственно говоря, тот вывод формулы площади круга, который обычно приводится в школьном курсе геометрии, основан на тех же самых рассуждениях, которые здесь излагаются в общем виде. Введем следующую терминологию. Будем говорить, что некоторое множество, в частности кривая, имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Мы можем теперь сформулировать теорему 1.2 иначе. Теорема 1.2'. Для того чтобы фигура F была квадрируе- мой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела пло- площадь нуль. Опираясь на эту теорему, мы опишем сейчас некоторый класс заведомо квадрпруемых фигур, достаточно широкий для того, чтобы ограничиться им во всех дальнейших рассмотрениях. Лемма. Всякая спрямляемая *) кривая имеет площадь нуль. *) Спрямляемой называется кривая, имеющая конечную длину. Как. известно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), если кривая задана уравнениями ■к=ф(О. У = где tf(t) и "§(t) — непрерывные функции, имеющие непрерывные (или кусочно- непрерывные) производные, то она спрямляема.
22 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Доказательство. Пусть L — спрямляемая кривая и /—ее длина. Разобьем эту кривую с помощью п-\-\ точек на части, длина каж- I . дой из которых меньше чем — (это, разумеется, всегда возможно), 21 и примем каждую из этих точек за центр квадрата со стороной — .(рис. 1.6). Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную фугуру, объемлющую кривую L, а площадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы площадей составляющих ее квадра- тов, т. е. —г"(я+ 1). Так как / фиксиро- фиксировано, а п можно взять произвольно боль- большим, то кривую L действительно можно по- погрузить внутрь фигуры сколь угодно малой площади. Лемма доказана. Рис 1.6. Из этой леммы и теоремы 1.2' полу- получаем: Всякая плоская фигура {т. е. ограниченное плоское множе- множество), граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема. Именно этот класс фигур мы и будем, как правило, рассматри- рассматривать в дальнейшем. Замечание. Укажем еще один класс плоских квадрируемых фигур. Всякая кривая, определяемая уравнением где f (х)—непрерывная функция, или уравнением x = g{y), с ^. где g{y) тоже непрерывна, имеет площадь нуль. (Доказательство этого было дано в гл. 11 вып. 1.) Отсюда, в силу теоремы 1.2', следует, что всякая фигура, граница которой представима в виде конечного числа непрерывных кривых, задаваемых уравнениями вида y = f(x) или x = g{y), квадрируема. 4. Основные свойства площади. Покажем теперь, что введенное нами определение площади плоской фигуры действительно обладает свойствами монотонности, аддитивности и инвариантности. Монотонность почти непосредственно вытекает из определения площади, и ее проверка может быть предоставлена читателю- Уста- Установим аддитивность, т. е. докажем следующее предложение: 1) Пусть Z7, и F2 — две квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и F— их объединение (рис. 1.7); тогда F тоже квадрируема и x\nF=miFl-\-xmF2. A.5)
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 23 Рис. 1.7. Квадрируемость фигуры F следует из теоремы 1.2' и того, что ее граница составлена из множеств площади нуль, ограничивающих фигуры Fl и F2 (она является частью объединения границ фигур /^ и F2) *)• Остается доказать равенство A.5). Для этого рассмотрим многоугольные фигу- фигуры Р, и Р2, вложенные в Z7, и F2 соответствен- соответственно, и многоугольные фигуры Qj и Q2, объем- объемлющие соответственно Z7, и F2. Фигуры Р, и Р2 не пересекаются, поэтому площадь много- многоугольной фигуры, составленной из Р, и Р2, равна плРу-{-пл Р2. Фигуры Qt и Q2 (возмож- (возможно, пересекающиеся) составляют в сумме фи- фигуру Q, площадь которой не превосходит пл Qj-f-пл Q2. Таким обра- образом, имеем пл Р = пл Р, -f- пл Р2 ^! пл F ^ пл Q ^ пл Q, -f- пл Q2 и пл Pj -j- пл Р2 <; пл Fj -\- пл F2 ^ пл Qj -j- пл Q2. Так как разности nnQy— плР, и пл<22— плР2 могут быть сделаны- сколь угодно малыми, то отсюда следует равенство A.5). Аддитив- Аддитивность доказана. Наконец, свойство инвариантности площади непосредственно выте- вытекает из инвариантности площади для многоугольных фигур и самого- способа определения площади квадрируемых фигур через площади многоугольников. Укажем еще одно свойство квадрируемых фигур. 2) Общая часть двух квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Действительно, если Z7, и F2 — какие-либо Рис. 1.8. Две фигуры и F — их общая часть (рис. 1.8), то каждая точка, граничная для F, является граничной либо для Z7,, либо для F2- Поэтому наше утверждение следует из теоремы 1.2' и того факта, что объединение множеств площади нуль само имеет площадь нуль. 5. О понятии меры множества. Введенное в этом параграфе понятие площади называют понятием площади по Жордану **), или мерой Жордана. Зто понятие имеет, однако, некоторые недостатки. Действительно, выше было показано, что объединение двух квадрируемых фигур есть квадрируе- квадрируемая фигура. Отсюда, конечно, немедленно следует, что и объединение любого конечного числа квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Однако если мы рассмотрим некоторую последовательность квадрируемых фигур *) Очевидно, что всякая часть множества площади нуль сама является, множеством площади нуль. **) Камилл Жор дан A838—1922) — французский математик.
4 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I то их объединение может быть уже и не квадрируемой фигурой. Вот про- простой пример. Рассмотрим на плоскости квадрат •и отметим в нем точки с рациональными координатами. Нетрудно показать- что все эти точки образуют счетное множество, т. е. что их можно располо- расположить в виде последовательности Р\ == \-**1* У Vh P% == \-**2» У 2)* • • •» Pfl == \X/i* У Tlj* • • • £ Возьмем теперь некоторое число е > 0 и построим круг радиуса г( < -к- < центром в точке pt. Далее, возьмем первую из точек р2, р3, ..., не попав- шую в этот круг, и построим с центром в этой точке круг радиуса г2 <^, /не пересекающийся с первым кругом. После этого возьмем первую из остав- оставшихся точек, не попавшую в построенные круги, и примем ее за центр круга е ■радиуса г3 < -щ, не пересекающегося с двумя уже построенными кругами. Будем продолжать такое построение до бесконечности. Мы получили последо- последовательность помещенных внутри квадрата кругов (без общих точек), расположенных в этом квадрате «всюду плотно*)». Нетрудно показать (сде- -лайте это), что объединение этих кругов представляет собой фигуру F, не квадрируемую в смысле Жордана. Вместе с тем этой фигуре естественно приписать площадь, равную сумме площадей составляющих ее кругов. Эта <умма, очевидно, равна оо оо S2 V е2 1 2 ' jU 22i 3 Подобные затруднения отпадают, если вместо понятия меры Жордана [пользоваться более гибким и совершенным понятием меры Лебега **), кото- которое мы, к сожалению, не можем здесь излагать. § 2. Определение и основные свойства двойного интеграла 1. Определение двойного интеграла. Перейдем к основной теме •этой главы — понятию двойного интеграла. Пусть О — некоторая жвадрируемая фигура, и пусть в О определена ограниченная функция ,/(х, у). Разобъем О на конечное число непересекающихся квадри- руемых частей О(- и составим сумму л 0=11/F,. ть) AS,, С1-6) i=i где ASt — площадь Ot, a (lit r\t) — произвольная точка, принадлежа- принадлежащая Ot. Суммы вида A.6) будем называть интегральными суммами *) Это означает, что объединение этих кругов представляет собой .множество, замыкание которого есть весь квадрат. **) Анри Лебег A875—1941) — французский математик, Один из созда- создателей современной теории функций.
5 2] свойства двойного интеграла 25- (отвечающими функции f(x, у) и фигуре О). Введем понятие пре- предела интегральных сумм A.6) следующим образом. Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d @^ фигур Ог. Мы скажем, что число J есть предел инте- интегральных с у м м A.6) при D—>0, если для любого е > 0 най- найдется такое 6 > 0, что |о —У|<е A.7). как только D<6. A.8) Иными словами, неравенство A.7) должно выполняться для всех, интегральных сумм а, соответствующих разбиениям G=G,-|-G2-f- -\- .. . -\-Gn, которые удовлетворяют условию A.8) независимо от вида разбиения фигуры О на части Ot и независимо от выбора точки. (!(• %) в каждом из элементов разбиения. Определение 2. Если предел Нш 11/F,. т)г)А5г интегральных сумм A.6) существует, то он называется двой- двойным интегралом от функции / (х, у) по области О и обо- обозначается символом Г I f(x, y)ds или Г Г f(x, y)dxdy. Сама. о о функция f(x, у) при этом называется интегрируемой по фигуре О. Иногда понятие двойного интеграла вводят несколько иначе. Фигуру G,. взятую из того или иного класса фигур, разбивают прямыми, параллельным» осям координат на прямоугольные ячей- ячейки (рис. 1.9). В каждой из ячеек Gt вы- выбирают по точке i\i, x\i) и составляют сумму а = ^/ (£*■ 'Чд bSi- Сумму берут, скажем, по всем ячейкам, лежащим вну- внутри G, игнорируя ячейки, прилегающие к границе G (их суммарная площадь ма- мала). Затем переходят к пределу, когда максимальный диаметр ячейки стремит- стремится к нулю. Неудобство этого определе- - ния состоит в том, что оно по форме привязано к определенной системе D координат на плоскости, в то вре- ™с- '-9- мя как интуитивно ясно, что интеграл / (х, у) ds, т. е. объем цилиндрического тела, не должен зависеть Я от выбора системы декартовых координат на плоскости. Определение с прямоугольными ячейками потребовало бы специального доказательства этого факта. При нашем определении это получается автоматически. Изло- Изложенное выше определение обладает и другими преимуществами. Пусть, ска» жем, функция f(x, у) принимает на G только два значения: а, и а2 (рис. 1.10)..
26 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Если части G, и G2, на которых f (х, у) равна at и а2 соответственно, квадри- руемы, то наше определение позволяет получить интеграл Г \ f (х, у) ds, о по существу, без предельного перехода. Ин-. туитивно очевидно, что J J f(x, у) ds = пл G, • а, + пл G2 • а2 о (доказать!). Определение с прямоугольными ячейками потребовало бы даже в этом очевид- очевидном случае кропотливого предельного пере- ._ хода. у Вместе с тем следует подчеркнуть, что оба указанных пути приводят к одному и тому же понятию двойного интеграла. 2. Условия существования двойно- двойного интеграла. Верхние и нижние сум- суммы. Выясним, какие условия нужно наложить на функцию f(x, у), -определенную на некоторой квадрируемой фигуре О, для того, чтобы можно было гарантировать существование двойного интеграла Рис. 1.10. J ff(x, y)ds. Вводя определение двойного интеграла, мы предполагали, что ■соответствующая функция f(x, у) ограничена*). Однако, как легко показать на примерах, не всякая ограниченная функция инте- интегрируема **). *) В гл. 10 вып. 1 применительно к функциям одной переменной на от-: резке было доказано, что всякая интегрируемая функция ограничена. Однако, проведенные там рассуждения мы не можем полностью перенести на случай двух переменных. Действительно, рассматривая различные разбиения квадри- квадрируемой фигуры G на квадрируемой части G^, мы, вообще говоря, не сможем избежать случая, когда некоторые из этих элементов разбиения имеют пло- площадь нуль. Но тогда из неограниченности функции не следует неограничен- неограниченность ее интегральных сумм 2 /(■*/> Уд^1 ПРИ каждом разбиении (по- (поскольку функция может оказаться неограниченной только на том элементе разбиения, который имеет площадь нуль). В случае одной переменной при разбиении промежутка интегрирования на непересекающиеся полусегменты такое положение не возникает. В случае двух (или нескольких) переменных мы могли бы исключить появление элементов нулевой площади, сузив как класс рассматриваемых фигур, так и класс рассматриваемых разбиений. Дру- Другой возможный путь (который мы здесь и выбрали) состоит в том, чтобы заранее исключить из рассмотрения неограниченные функции. **) Примером ограниченной, но не интегрируемой функции двух пере- переменных может служить функция, определенная на квадрате O^je<Jl, O^y^l ■следующим образом: f(x, y)= 1, если х и у рациональны, и f(x, y)=0 в противном случае. Доказательство неинтегрируемости такой функции предо- предоставляется читателю.
§ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2Г Для нахождения условий интегрируемости удобно, как и в слу- случае одной переменной, воспользоваться так называемыми нижними и верхними суммами Дарбу*). Пусть f(x, у) — ограниченная функция, определенная на квадри- руемой фигуре О, и {Ог} — некоторое разбиение этой фигуры. Обо- Обозначим М, и т1 соответственно точную верхнюю и точную нижнюю- грани значений f(x, у) на элементе Ог. Суммы i-i t-i назовем соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функ- функции f (х, у) (отвечающими данному разбиению {О,} фигуры О). Оче- Очевидно, что Q^><b для любого разбиения {Ot}. Укажем основные свойства верхних и нижних сумм. 1) Для данного разбиения {О(} фигуры О верхняя и ниж- нижняя суммы представляют собой соответственно точную верх- верхнюю и точную нижнюю грани интегральных сумм -2/A,. %) AS,. (=1 отвечающих данному разбиению {О(} {и всевозможным выборам- точек (|,, т),)). В частности, всегда со = S /и, AS, < % f (|(.,т)(.) AS, <|ж, AS, = Q. Неравенство S/(!,. r|,)AS,<ilM(.AS, = Q очевидно при любом выборе точки (|г, т)(-) на О,. С другой стороны, по определению точной верхней грани, для каждого е>0 можно в каждом из элементов данного разбиения {О,} выбрать точку (|., т],) так, что M-t — /(|;, т)() < -^- (S — площадь- области О). Но тогда 1-Х l=\ Ы\ Для нижней суммы рассуждения аналогичны. *) Гастон Д а р б у — французский математик A842—1917);
28 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Назовем разбиение {Oj} измельчением разбиения [О/], если каж- каждый элемент Ot второго разбиения либо служит элементом первого разбиения, либо представляет собой объединение нескольких элемен- элементов этого первого разбиения. Справедливо следующее утверждение: 2) Если Q и со— верхняя и нижняя суммы, отвечающие раз- разбиению {Oi\. a Q' а ю' — верхняя и нижняя суммы, отвечающие некоторому его измельчению [Oj], то т. е. при измельчении разбиения верхняя интегральная сумма не увеличивается, а нижняя не уменьшается. Действительно, пусть {Ог}—некоторое разбиение фигуры О и \Oj\ — его измельчение. Это означает, что каждый элемент Ot раз- убиения [Qj] представляет собой сумму элементов О\а, а= 1, 2, .... kt, второго разбиения. При этом h AS, = 2AS;a, A.9) Mi^Mla, o=l, 2 kh A.10) « каждый элемент Oj входит в состав одного из Ot. Отсюда следует п п k^ Q=2iMiASl^2i 2 AfiaAS,'a = Q'. ;=i г=1 a=i Аналогично доказывается неравенство со^со'. 3) Пусть [Оц и \О А — два произвольных разбиения фи- фигуры О, a Q', а' и Q", со —отвечающие им верхние и нижние суммы. Тогда Q'>co", Q">co', ж. е. любая верхняя сумма (отвечающая данной функции f(x, у)) не меньше, чем любая нижняя сумма (отвечающая той же функ- функции). Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего, что для любых двух разбиений {О\\ и {о)\ фигуры О найдется их «.общее продолжение», т. е. такое разбиение, которое служит из- измельчением каждого из двух данных. В качестве элементов этого «общего продолжения» можно взять, например, пересечения произ- произвольного элемента Ot одного разбиения с произвольным элементом Oj второго разбиения (нужно брать, конечно, только такие Gj и Oj, которые имеют общие точки). Рассмотрим теперь верхние и нижние суммы, отвечающие разбие- разбиениям {g'i}, {Oj} и их общему продолжению (Gft). Обозначим эти
$ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 29 «уммы соответственно Q', со'; Q", со"; О. со. Тогда по свойству 2) Кроме того, очевидно, имеет место неравенство Таким образом, Q'>Q>co>co" и аналогично Q" ^й^-а ^-со'. Утверждение доказано. Совокупность всех верхних сумм, отвечающих данной функции f(x, у), ограничена снизу (например, любой нижней суммой), а сово- совокупность всех нижних сумм ограничена сверху (например, любой верхней суммой). Обозначим У точную нижнюю грань верхних сумм, а У—точную верхнюю грань нижних сумм. Числа У и У называются верхним и нижним интегралами функции / (х, у) (по области О). Имеет место неравенство У<7. Действительно, если бы имело место обратное неравенство, то на- нашлось бы число е такое, что J—7>е>о. (l.ii) Далее, по определению точных граней, нашлись бы верхняя сумма Ql и нижняя сумма со2 такие, что Ц — 7<4- и у — <в2 < -|-. т. е. Qj — «2 -f- (У — У) < е, откуда, в силу A.11), Й1 — «2 < О- что противоречит свойству 3). Свойства 1) — 3) верхних и нижних сумм позволяют установить следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функ- функции /(х, у), вполне аналогичное необходимому и достаточному усло- условию существования определенного интеграла (см. вып. 1, гл. 10, теорема 10.1). Теорема 1.3. Ограниченная на квадрируемой фигуре О функция f(x, у) интегрируема на О в том и только том случае.
30 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I если для любого е >0 найдется такое разбиение фигуры О, что отвечающие этому разбиению суммы Дарбу удовлетво- удовлетворяют условию Q—со < е. Доказательство этой теоремы опирается на следующую лемму Дарбу. Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы J uJ служат соответ- соответственно пределами верхних и нижних интегральных сумм Дарбу при £>->0. (D — максимум диаметров d(Gi) элементов разбиения {Gi} фигуры G.) Для удобства введем понятие границы разбиения. Если дано разбие- разбиение {Gj} фигуры G на квадрируемые элементы Gt, то под границей L раз- разбиения {G;} мы будем понимать объединение границ Lt всех элементов Gj: L = L, + L2+ ... +Ln. Для всякого разбиения фигуры G на квадрируемые G; границы Li имеют площадь нуль, поэтому граница L разбиения {G;} также имеет площадь нуль. Граница L как объединение конечного числа замкнутых множеств L[ является замкнутым множеством. (Это общее утверждение о замкнутых мно- множествах читателю предлагается доказать!) Перейдем теперь к доказательству леммы Дарбу. Доказательство леммы Дарбу. По определению верхнего инте- интеграла J для всякого е > 0 найдется такое разбиение |G*} фигуры G, что отвечающая ему верхняя сумма Q* удовлетворяет условию 0<Q*-7<|-. Заключим границу L* этого разбиения строго внутрь некоторой многоуголь- многоугольной фигуры Q, площадь которой меньше чем -jr-j-т-, где М = sup \f(x, y)\. 2М С*. у)£О Граница L* и граница многоугольной области Q — это два ограниченных замкнутых множества без общих точек (рис. 1.11). Следовательно, по тео- теореме 1.1 расстояние между ними есть некоторая положительная величина а. Рассмотрим теперь произвольное разбиение {Gk} фигуры G, для которого D < а. Элемен- Элементы Gk этого разбиения обладают, очевидно, следующим свойством: если Gk имеет хотя бы одну общую точку с £*, то Gk целиком лежит внутри области Q. Такие элементы Gk мы на- назовем граничными, а все остальные — внут- внутренними. Покажем теперь, что всякому раз- разбиению {Gk}, для которого D < а, _отвечает верхняя сумма Q, отличающаяся от J меньше чем на е. Разобьем сумму Q на два слагаемых: Рис. 1.11. о - где первая сумма / берется по всем внутренним, а вторая "Z" по всем граничным элементам разбиения {Gk}- Оценим каждую из этих сумм в отдель- отдельности. Каждый внутренний элемент разбиения {Gk} целиком лежит внутри некоторого элемента разбиения @*1. При этом соответствующая точная верхняя грань Mk не превосходит, очевидно, точной верхней грани значений
3 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 31 •функции f {х, у) на этом элементе разбиения {б,}. Отсюда следует, что Далее, очевидны неравенства |jWb|<jW= sup \f(x,y)\ при всех k 11 (х, у)€О я Следовательно, и, значит, что и требовалось доказать. Для нижних сумм доказательство аналогично. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.3. Необходимость. Пусть /(х, у) интегрируема и пусть задано е > 0. Обозначим интеграл от f(x, у) символом J. По определению предела инте- интегральных сумм, для данного е найдется такое б > 0, что для всякого разбие- иия {О;}, для которого D < 6, выполняется, независимо от выбора точек {£(„ у].), условие п " :4- A12> Далее, верхняя и нижняя суммы, отвечающие разбиению {Gj}, представляют собой соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани интеграль- интегральных сумм, отвечающих этому разбиению. Поэтому, зафиксировав разбиение, можно выбрать точки (lc, т),) и (£,-, т^) в элементах Gt этого разбиения так, чтобы выполнялись неравенства Так как каждая из этих двух интегральных сумм удовлетворяет неравен- неравенству A.12), то из A.13) следует: Q — и < е. Достаточность. Если для любого е > 0 существует такое разбие- «ие, что Q — и < е, то, очевидно, _ У=У. Обозначим общее значение этих величин через J и покажем, что J предста- представляет собой предел интегральных сумм, т. е. двойной интеграл от функ- функции f(x, у) по G. В силу леммы Дарбу, J есть общий предел верхних и нижних сумм при D ->0. по так как любая интегральная сумма, отвечающая
32 двойные интегралы [ГЛ. I некоторому разбиению, заключена между соответствующими суммами Q и.и, то J есть предел интегральных сумм при £>->0. Теорема доказана. 3. Важнейшие классы интегрируемых функций. С помощью теоремы 1.3 мы установим сейчас интегрируемость некоторых важ- важных классов функций, в первую очередь непрерывных функций. Ниже мы будем считать, что каждая из рассматриваемых функций задана в некоторой замкнутой ограниченной квадрируемой области. Теорема 1.4. Всякая функция f(x, у), непрерывная в замк- замкнутой ограниченной*) области О, интегрируема на О. Доказательство. Поскольку f(x, у) непрерывна на замкну- замкнутом ограниченном множестве, она ограничена и равномерно непре- непрерывна на этом множестве **). В силу равномерной непрерывности функции f(x, у), для каждого е>0 найдется такое 6 > 0, что как только фигура О разбита на части Ot, диаметр каждой из которых меньше 6, колебание функции / (х, у) в каждой из этих частей, т. е. разность Ж,- — т^ будет меньше чем е. Но тогда Q — <в =S iWjASi—!JmJAS,<ellASJ = e5. следовательно, функция f(x, у) интегрируема. Требование непрерывности подынтегральной функции слишком стеснительно. Поэтому для приложений важна следующая теорема,. гарантирующая существование двойно- двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций. Теорема 1.4'. Если функция f(x, у) ограничена в замкнутой ограниченной области О и непре- непрерывна на О всюду, кроме некото- некоторого множества площади нуль, то f(x, у) интегрируема в G. Доказательство. Возьмем про- произвольное е > 0. По условию / (х, у) ограничена, т. е. существует такое К, что |/(лг, у)\<.К. Заключим множество, на котором функ- функция /(х, у) может быть разрывной, внутрь многоугольной фигу- g ры Q, площадь которой меньше чем -^ (рис. 1.12). Часть области G, не входящую в Q, обозначим О. Граничные 0 Рис. 1.12. точки много- *) И, конечно, квадрируемой; в дальнейшем мы всегда будем пред- предполагать выполненным условие квадрируемости, ие оговаривая этого особо. **) См. вып. 1, гл. 14, теоремы 14.6 и 14.8.
5 21 ДВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 33 угольной фигуры Q, принадлежащие G, мы причисляем к G, поэто- поэтому G замкнута. На замкнутом множестве О функция f(x, у) непре- непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Выберем 6 > О так, чтобы в любой части фигуры О, имеющей диаметр меньше чем 6, колебание функции f(x, у) было бы меньше чем -^- (где S — площадь G). Рассмотрим теперь такое разбиение {G,} области G: первым его элементом Gx служит Q, а все остальные имеют диа- диаметр, меньший чем 6. Оценим разность Q — <в для этого разбиения. Имеем я Q — и = Мх tbSy — тг ASl -f ^ (Mt — mt) AS, < n Но Мх — т{^.2К, a ^jhS^S, следовательно, 1 = 2 4К 2S Так как е>0 произвольно, то, в силу теоремы 1.3, функция f(x, у) интегрируема. 4. Свойства двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам определен- определенного интеграла для функции одной переменной, поэтому мы только перечислим эти свойства, не останавливаясь на доказательствах. 1. Если функции fi{x, у) и /2(х, у) интегрируемы в обла- области G, то их сумма {разность) тоже интегрируема в G и J J [/, {х, у) ± /2 (х, у)] ds = fff1 (х, y)ds±fff2 (х, у) ds. О 0 0 2. Если k — постоянное число и функция f(x, у) интегри- интегрируема в G, то функция kf{x, у) тоже интегрируема в G и / fkf(x, y)ds = k f J f(x, y)ds. О G Совокупность этих двух свойств называется линейностью ин- интеграла. 3. Если область G представляет собой объединение двух областей О, и О2, в каждой из которых функция f(x, у) инте- интегрируема, то в G эта функция также интегрируема. Если, 3 Б. М. Будак, С. В. Фомин
34 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I кроме того, G, и G2 не имеют общих внутренних точек, то ///(*. y)ds = f f f(x, y)fi?s + J j f(x, y)ds. О О, О, Это свойство называется аддитивностью интеграла. 4. Если fi(x, у) и f2(x, у) интегрируемы в G и fx(x, у)<! </2(лг, у), то f J Это свойство называется монотонностью интеграла; из него вы- вытекают свойства 5 и 6. 5 (оценка интеграла по модулю). Если f(x, у) инте- интегрируема в G, то функция \f(x, y)\ также интегрируема в G и f(x, y)ds , y)\ds. 6 (теорема о среднем). Если функция /(х, у) интегри- интегрируема в G и удовлетворяет неравенствам то J Jf(x, y)fi?s<MS, A.14) где S — площадь фигуры G. Это утверждение непосредственно вытекает из свойства 4 и того очевидного факта, что J J cds=cS, c = const. Если функция f(x, у) непрерывна, то теорема о среднем может быть сформулирована в таком виде: 6'. В области G найдется такая тонка (|, ц), что f ff(x.y)ds = f&.ii>S. A.15) Действительно, примем за т и М соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани значений функции f(x, у) в G. Тогда, со- согласно A.14), m-
§ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 35 Но (см. вып. 1, гл. 14, § 3) функция, непрерывная в замкнутой области, принимает значения т, М. Предположим для простоты, что функция f{x, у) принимает значения М и т в точках (х{, у{) и (х2, у2), лежащих внутри области G. (Рассуждение несколько усложняется, если какая-либо из этих точек, или обе они, попадают на границу области G.) Любые две точки области мы можем соеди- соединить ломаной, лежащей в области. Соединим ломаной точки (х1, у^- и (х2, У2)> в которых функция равна соответственно Мит. Вдоль такой ломаной функция f(x, у) непрерывна и, следовательно, вместе со значениями Мит принимает и все промежуточные. В частности, найдется точка, обозначим ее (|, т|), в которой (*. У)Л. тем самым формула A.15) доказана. § 3. Аддитивные функции области. Производная по площади 1. Функции точки и функции области. Одно из самых основ- основных понятий анализа — понятие функции. Мы встречались с функ- функциями, зависящими от одной, двух или нескольких независимых переменных. Пользуясь геометрической терминологией, можно ска- сказать, что эти функции представляют собой переменные величины, зависящие от точки на прямой (в случае одной переменной), от точки на плоскости (при двух переменных) или от точки в про- пространстве некоторого числа измерений. Однако в анализе и его фи- физических применениях часто встречаются функции другого рода, в которых роль значений аргумента играют уже не отдельные точки, а множества — например плоские или пространственные фигуры; такие функции называются функциями множества или функциями области *)., Примером функции области может служить площадь S(G) об- области G, определенная для всех квадрируемых плоских областей так, как это было описано в § 1. Рассмотрим еще один пример. Пусть по плоскости ху распределена некоторая масса. Тогда каждой области G, лежащей в этой плоскости, отвечает определенное число — масса ц (G), сосредоточенная на G. Здесь опять-таки мы имеем дело *) Термин «область» употребляется здесь просто как синоним термина «множество», а не как термин, означающий открытое связное множество. Запас областей (т. е. запас множеств), на которых определена данная функ- функция области (т. е. множества), различен в различных ситуациях. У нас таким запасом будет, как правило, совокупность всех квадрируемых фигур. 3*
36 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I с переменной величиной, зависящей от области, т. е. с некоторой функцией области. Введем следующее важное определение. Определение. Функция области F (G) называется аддитив- аддитивной, если выполнены следующие условия: 1) если F{G) определена для областей Gl и G2, то она определена и для их объединения G1-\-G2; 2) если Gj и G2 не имеют общих внутренних точек, то Обе указанные выше функции — площадь и масса — обладают этим свойством аддитивности. Можно привести и много других примеров аддитивных функций области: поверхностный заряд, количество све- световой энергии, падающей на освещенную поверхность, давление жидкости на дно сосуда и т. п. Можно, конечно, указать примеры и не аддитивных функций области. Например, если каждой квадрируемой области поставить в соответствие квадрат ее площади, то мы получим функцию об- области, но не аддитивную. С аддитивными функциями, в которых роль аргумента играет не плоская, а пространственная область, мы встретимся в следующей главе, посвященной тройным интегралам. 2. Двойной интеграл как аддитивная функция области. Рас- Рассмотрим двойной интеграл f ff(x, y)ds, о считая в нем подынтегральную функцию f(x, у) фиксированной, а область интегрирования G переменной. Тогда этот интеграл будет представлять собой некоторую функцию Ф(О) области G. В силу свойства 2 двойных интегралов, сформулированного в предыдущем параграфе, эта функция области аддитивна. Запас областей, на ко- которых она определена, составляют все квадрируемые фигуры, содер- содержащиеся в квадрируемой фигуре Go, на которой задана f(x, у). 3. Производная функции области по площади. Рассмотрим снова функцию |i(G), т. е. некоторое распределение масс по пло- плоскости. Если G — квадрируемая область и 5@) — ее площадь, то отношение AЛЬ) *) Отсюда, в частности, следует, что если G имеет площадь нуль, то F (G) =0. Это означает, что мы рассматриваем лишь массы, распределенные с некоторой двумерной плотностью (а не сосредоточенные в отдельных точ- точках или на отдельных линиях).
$ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 37 представляет собой среднюю плотность распределения массы в данной области G. Будем теперь уменьшать размеры области G, стягивая ее к некоторой фиксированной точке р0. Если при этом отноше- отношение A.16) стремится к некоторому пределу р(р0), то этот предел называется плотностью распределения масс в данной точке р0. Таким образом, распределение масс по плоскости можно задавать непосредственно с помощью аддитивной функции области ц(О), а можно его характеризовать и соответствующей плотностью. Перейдем теперь от нашего конкретного примера (распределения масс) к произвольной функции области. В отличие от рассмотрен- рассмотренного выше примера — массы, произвольная функция области может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пусть F(G)—некоторая аддитивная функция области, определен- определенная для всех квадрируемых областей *). Мы скажем, что число А есть предел отношения F{O) S(G) (S (G) — как обычно, площадь области G) при стягивании области G к точке р0, если для любого е > О найдется такое 6 > О, что <е для всякой области G, целиком помещающейся в круге радиуса 6 с центром в точке р0. Этот предел мы будем обозначать символом ,. F{G) dF lim o;' или 0-»д, S{G) ds и называть производной аддитивной функции F(G) no площади. Эта производная представляет собой, очевидно, уже функцию в обыч- обычном смысле, т. е. переменную величину, зависящую от точки. Возвращаясь к нашему примеру, можно сказать, что плотность Р(Ро) распределения масс по плоскости есть производная по пло- площади от массы. 4. Производная по площади от двойного интеграла. Из тео- теоремы о среднем для двойных интегралов (см. § 2, п. 4, свойство 6) вытекает следующий результат. Пусть F(G)=fff(x,y)ds, A.17) *) Или для всех квадрируемых областей, содержащихся в некоторой фиксированной области.
38 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 где f(x, у)— некоторая фиксированная функция, которую мы пред- предположим непрерывной во всей рассматриваемой части плоскости. Покажем, что аддитивная функция области F (G), определенная ра- равенством A.17), имеет производную по площади и эта производная совпадает с подынтегральной функцией f(x, у). Действительно, пусть р0—некоторая фиксированная точка, G— область, лежащая в некотором круге с центром в р0, и т, М — соответственно точная нижняя и точная верхняя грани значений функции f(x, у) в области G. По теореме о среднем При стягивании области G к точке р0, т. е. при стремлении радиуса круга к нулю, числа т и М стремятся (в силу непрерывности f(x, у) в точке р0) к одной и той же величине, а именно к значению функции / (х, у) в этой точке. Следовательно, к этому пределу стремится и заключенное между ними отношение. Итак, действи- действительно, dF 5. Восстановление аддитивной функции области по ее произ- производной. Выше мы говорили о нахождении производной от функции области. Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана функция точки f(x, у); найти такую функцию области F {G), производная которой совпадала бы с f(x, у). Считая f(x, у) непрерывной, мы сразу можем указать одну такую функцию области, а именно двой- двойной интеграл fff(x,y)ds A.18) о (рассматриваемый как функция от G). Естественно поставить вопрос: существуют ли какие-либо другие аддитивные функции области, имеющие ту же самую производную. Покажем, что если f(x, у) непрерывна, то существует лишь одна аддитивная функция области, имеющая f(x, у) своей производной (и представимая, следовательно, двойным интегралом A.18)). Если /^(О) и F2(G) — две аддитивные функции области, имею- имеющие одну и ту же производную по площади, то Поэтому нам достаточно показать следующее:
§ 31 АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 39 Если -^-=0, то F=0. Это в свою очередь вытекает из сле- следующей леммы: Лемма. Если в ограниченной замкнутой области D про- производная —j- аддитивной функции области F(D) суще- существует и неотрицательна, то () Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть .F(D)<0. Тогда найдется такое / < 0, что т. е. F(D)^lS(D). A.19) Далее, выберем последовательность положительных чисел гх, £2 сходящуюся к нулю, и разобьем область D на конечное число частей Dt, диаметр каждой из которых меньше ег По край- крайней мере для одной из этих частей, обозначим ее D , должно вы- выполняться условие (DA так как если бы для всех Dt выполнялось противоположное нера- неравенство F(Di)>lS(Dt), то, просуммировав эти неравенства по всем Dt, мы пришли бы к противоречию с неравенством A.19). Далее, разобьем DA) на части, диаметр каждой из которых меньше чем е2. Среди них найдется хотя бы одна, обозначим ее D^2\ для которой выполнено неравенство Продолжив этот процесс, мы получим последовательность {d'"'} вложенных друг в друга замкнутых ограниченных областей, диаметры которых стремятся к нулю (Z)w означает замыкание D(/!), при этом F (D(/!>) = F (D(n)). Но тогда существует точка, обозначим ее р0, принадлежащая всем D(n) *). Так как, по предположению, производ- dF ная —7— существует всюду, в частности и в точке р0, то ее зпаче- CIS ние в этой точке может быть представлено как *) Это — двумерный аналог леммы о вложенных сегментах, см. вып. 1, гл. 3, § 3.
40 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Но по построению последовательности Dл) отношение , при всех п не превосходит фиксированного отрицательного числа /, по- поэтому предел A.20) не может быть неотрицателен. Лемма доказана. Заменив F(G) на —F(G) и воспользовавшись доказанной лем- леммой, получим, что если —г- существует и неположительна, то .O. Наконец, если dF -О Is— Ul т. е. если одновременно £«>■ то F(D) = 0 для всякой замкнутой ограниченной области. 6. Определенный интеграл как функция области. Сравним изложен- изложенные сейчас факты с тем положением, которое существует для функций одного независимого переменного. Определенный интеграл f/(t)dt можно рассматривать (при фиксированной функции /) как функцию от сег- сегмента [а, Ь], т. е. как функцию области на прямой, причем, в силу известных свойств определенного интеграла, это будет аддитивная функция. Но сегмент определяется двумя точками — своими концами. Если же один его конец, скажем левый, считать фиксированным, то функция сегмента сводится к обычной функции точки. Именно так и поступают, рассматривая интеграл Б A-21) (при фиксированном а) как функцию верхнего предела. При этом, выбрав вместо нижнего предела а какую-либо иную точку а', мы изменим функ- функцию A-21) на постоянное (т. е. не зависящее от х) слагаемое, а именно нз величину а' f Таким образом, интеграл от функции одного переменного представляет собой однозначно определенную функцию области на прямой. Эту функцию, рас- рассматриваемую на сегментах, можно свести к функции одной переменной, определенной с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Изло- Изложенные в этом параграфе теоремы о производной двойного интеграла по площади и о восстановлении функции области по ее производной предста- представляют собой двумерные аналоги теорем о производной определенного инте- интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу и о том, что первооб- первообразная определяется по функции однозначно, с точностью до постоянного слагаемого.
§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 41 7. Продолжение функций области по аддитивности. Если некоторая функция задана не всюду, где она может быть определена, то ее обычно можно продолжить, если известны те или иные ее свойства. Например, если известно, что функция / (х) линейна, т. е. имеет вид то достаточно знать ее значения в двух точках для того, чтобы определить ее значение всюду. Если же функция f (х) периодическая, т. е. обладает тем свойством, что при некотором Т для всех х, то достаточно знать значения этой функции на отрезке [О, Т] для того, чтобы определить ее значения всюду (иапример, зная sin x для всех х от 0 до 2я, мы можем найти синус любого угла). Аналогично обстоит дело и с функциями области. Если известно, что функция области F(G) аддитивна, то, зная ее значения на некотором классе областей, мы можем во многих случаях однозначно продолжить ее (с сохранением свойства аддитивности) на некоторый более широкий класс областей. Например, пусть F (G) — адди- аддитивная функция области, определенная на всех треугольниках. Тогда ее можно продолжить «по аддитивности» на все многоугольники (а затем и иа более широкий класс областей). Фактически именно с такой задачей о продолжении функции области по аддитивности мы имели дело в § 1, где рассматривалось понятие площади. Площадь представляет собой аддитивную функцию области, которую мы считали определенной на многоугольниках (или иа многоугольных фигурах) и затем продолжали, с сохранением аддитивности, на более широкий класс фигур, которые мы назвали квадрируемыми. Общая задача о продолжении аддитивных функций «по аддитивности», о нахождении того возможно более широкого класса фигур, на который такое продолжение возможно, и т. д. играет важную роль во многих вопросах математики. К сожалению, мы не имеем возможности излагать здесь эти вопросы: это потребовало бы от нас введения и систематического использования идей и понятий общей теории меры. § 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных интегралов 1. Вычисление объемов. В самом начале этой главы мы уже рассматривали одну геометрическую задачу, лежащую в основе поня- понятия двойного интеграла, а именно задачу о вычислении объема криволинейного цилиндра. Мы видели, что для цилиндра, ограничен- ограниченного снизу замкнутой областью О, а сверху поверхностью z = f(x, у). где f(x, у)—неотрицательная непрерывная функция, приближенное значение объема дается интегральной суммой я S/Fi- Л*) AS,. A-22) {Сумма берется по всем элементам G, разбиения фигуры О на ква- дрируемые части; AS,-— площадь элемента Gc; (|,, т|г)(ЕО(-.) Как уже говорилось во введении к этой главе, точное значение объема — это
42 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 предел, к которому стремятся интегральные суммы A.22) при неогра- неограниченном измельчении разбиения фигуры О. Но предел сумм A.22)— это двойной интеграл от функции / (х, у) по О. Его существование (при указанных выше предположениях об / (х, у) и О) было доказано (теорема 1.3). Итак, объем V криволинейного цилиндра, ограничен- ограниченного снизу замкнутой областью О, а сверху поверхностью z = / (х, у) (/ непрерывна), представляется двойным интегралом J ff(x. y)ds. На самом деле объем криволинейного цилиндра следует определить 'как значение этого интеграла. Ведь само понятие объема, хотя н ясное геометрически, заранее не определено. Строго говоря, приведенные рас- рассуждения показывают лишь, что такое определение естественно и хорошо согласуется с нашей геометрической интуицией. Рассмотрим еще некоторые задачи, в которых находит применение понятие двойного интеграла. 2. Вычисление площадей. Полагая в двойном интеграле подын- подынтегральную функцию / (х, у) тождественно равной 1, мы получим интеграл J J ds, A.23) о равный, очевидно, площади фигуры О (поскольку этой площади будет равна каждая из интегральных сумм, отвечающих интегралу A.23)). Формула S= § § ds A.24) о для вычисления площади часто бывает удобнее, чем формула ь выражающая площадь криволинейной трапеции, поскольку фор- формула A.24) применима не только к криволинейным трапециям, но и к любым квадрируемым фигурам, расположенным произвольным образом по отношению к координатным осям. 3. Масса пластинки. Рассмотрим на плоскости ху материальную пластинку, т. е. некоторую область О, по которой распределена масса с плотностью р(х, у). Вычислим по заданной плотности р(х, у) массу этой пластинки, считая, что р(лг, у)—непрерывная функция от лг и у. Разобьем О каким-либо образом на части О; и в каждой из этих частей выберем некоторую точку (|г, т),-). Массу каждого такого
§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 43 элемента Ot можно считать равной приближенно р(|г, г)г) А5г (где AS; — площадь Ог), а масса всей пластинки приближенно равна сумме п ЦрF„ ri/)AS,. A.25) взятой по всем элементам разбиения. Для получения точного значения массы пластинки нужно перейти в этой сумме к пределу, неогра- неограниченно измельчая разбиение {О,} области О. При этом сумма A.25) переходит в двойной интеграл fff(x,y)ds, A.26) о который и представляет собой массу пластинки. Ясно, что нахождение массы пластинки по плотности есть частный случай задачи о восстановлении функции области по ее производной по площади, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе. 4. Координаты центра масс пластинки. Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости ху некоторую область О. Пусть р(х, у) -*—плотность этой пластинки в точке (х, у). Разбив область О на части Ot, выберем в каждой из этих частей некоторую точку (|г, т|г) и будем приближенно считать массу каждой из частей пластинки равной р(|г, t^AS^, где AS;— площадь частичной области Ot. Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке (|г, t\(), то для координат хс и ус центра масс такой системы материальных точек получаются сле- следующие выражения: которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, нужно в формулах A.27) перейти к пределу, неограниченно измельчая разбиение области О. При этом стоящие в формулах A.27) суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что коорди- координаты центра масс пластинки определяются формулами: J J ХР (х, y)ds j j yp (jf, у) ds -2гт : у«=-тт J J Р (х, у) ds J J p (x, у) ds
44 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Если пластинка однородна, т. е. р— const, то формулы для коор- координат центра масс имеют более простой вид: ffXds ffyds , ' Ус r r j j as а б. Моменты инерции пластинки. Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции системы материальных точек (относительно одной и той же оси) равен сумме моментов инерции, составляющих эту систему масс. Пусть область О плоскости ху занята пластинкой, имеющей плот- плотность р(х, у). Разбив область О на части Ot, площади которых равны AS;, и выбрав в каждой из этих частей некоторую точку (|г, x\j), заменим нашу пластинку системой масс р(|;, т)/)А5/, лежащих в точках (fe[, r\i). Момент инерции такой системы точечных масс Относительно оси у равен Это выражение мы принимаем за приближенное значение момента инерции пластинки, тем более точное, чем мельче взятое разбиение. Переходя здесь к пределу при неограниченном измельчении разбиения области О, получим для момента инерции пластинки относительно оси у следующую формулу: Iy= J j x2p(x, y)ds. A.30) о Аналогично момент инерции пластинки относительно оси х равен Ix=ffy2p(x,y)ds. A.31) о Найдем еще момент инерции /0 пластинки относительно начала коор- координат. Приняв во внимание, что момент инерции материальной точки с массой т относительно начала координат равен и воспользовавшись рассуждениями, аналогичными проведенным выше, получим, что т. е.
§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 45 6. Световой поток, падающий иа пластинку. Пусть пластинка, лежащая в плоскости ху, освещена точечным источником света, находящимся в точке с координатами @, 0, z0). Его силу света (одинаковую по всем направлениям) обозначим /. Вычислим световой поток, падающий на пластинку. Световой поток dF, падающий на элементарную площадку ds, равен Ida, где da — телесный угол, под которым видна площадка ds из точки @, 0, z0). В свою очередь da равняется площади площадки ds, деленной на квадрат расстояния до источника и умноженной на косинус угла между нор- нормалью к площадке и направлением на источник. Освещенностью А (х, у) * р пластинки в точке (х, у) называется величина -т—. Из сказанного выше следует, что . dF /da /г0 ds ~~ ds ~~ (л:2 + у2 + г2)% ' Полный световой поток, падающий на пластинку, равен двойному интегралу от А (х, у) по области О, занимаемой пластинкой, т. е. равен /*, Г Г dS 7. Поток жидкости через поперечное сечение канала. Рас- Рассмотрим канал, по которому течет жидкость, и выделим некоторое сечение этого канала, перпендикулярное направлению течения. Приняв плоскость этого сечения за плоскость ху, мы можем сказать, что скорость V жидкости в каждой точке рассматриваемого сечения есть функция от х и у, т. е. V = V(x, у). Вычислим количество жидкости, протекающее через это сечение в единицу времени. Рассмотрим бес- бесконечно малый элемент площади ds этого сечения. Количество жидко- жидкости, протекающей через этот элемент в единицу времени, равно, оче- очевидно, массе столбика с основанием ds и высотой V(x, у), т. е. равно pV(x,y)ds, A.32) где р—плотность жидкости. Для получения количества жидкости, про- протекающего через все сечения, надо просуммировать бесконечно малые элементы A.32), т. е. взять двойной интеграл J jpV(x, y)ds по рассматриваемому сечению. Замечание. Выше, в частности при рассмотрении последней задачи, мы пользовались такими выражениями, как «бесконечно малый элемент площади», «элемент массы» и т. п. Такой язык широко
46 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 применяется, особенно в физической литературе. Например, обычно говорят, что для пластинки с плотностью р(х, у) величина , y)ds есть «элемент массы» (сосредоточенный на «элементе площади ds»), а масса этой пластинки, т. е. интеграл y)ds, есть «сумма этих элементов массы». Смысл подобных выражений состоит в том, что в них каждый раз подразумевается тот процесс предельного перехода (от конечных сумм к интегралам), который нам встречался в каждой из рассмо- рассмотренных выше задач. В дальнейшем мы тоже будем пользоваться иногда этим «физическим» языком (отдавая, однако, себе ясный отчет в точном смысле того предельного перехода, который за ним скрывается). § б. Сведение двойного интеграла к повторному Мы познакомились уже с определением и основными свойствами двойного интеграла, условиями его существования и некоторыми физическими и геометрическими задачами, связанными с этим понятием. Но мы еще совсем не затраги- затрагивали вопроса о способах фак- фактического вычисления двойных интегралов. В решении этой за- задачи основную роль играет теорема о том, что вычисление двойного интеграла сводится, при достаточно широких усло- условиях, к последовательному ин- . , тегрированию по каждой из О/ х=а dx- x=b jt переменных в отдельности. Доказательство этой теоремы и составляет содержание на- Рис. 1.13. стоящего параграфа. 1. Наводящие соображения. Основная идея излагаемых ниже теорем состоит в следующем. Будем рассматривать двойной интеграл ///(*. y)dxdy как объем криволинейного цилиндра Т, ограниченного снизу обла- областью О, сверху поверхностью z = f(x, у), и сбоку цилиндрической
§ 51 СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 47 поверхностью, проходящей через границу области О (рис. 1.13). Тело Т можно представлять себе как составленное из бесконечно тонких слоев, параллельных плоскости yz. Объем каждого такого слоя равен J(x)dx, т. е. произведению площади J(x) соответствующего сечения тела Т на толщину слоя dx. Объем всего тела Т при этом равен J(x)dx. A.33) В свою очередь величина J(x) (площадь криволинейной трапеции) представляется интегралом J /(*. y)dy, A.34) у, (лг) где х рассматривается как фиксированная величина, а у, (х) и УгС-чО — концы того отрезка, который служит проекцией рассматри- рассматриваемого сечения на плоскость ху (рис. 1.13). Комбинируя A.33) и A.34), получаем, что объем тела Т может быть представлен в виде fdxf f(x, y)dy, У{(х) т. е. что имеет место равенство J J/(x, y)ds = j dx J f(x, y)dy. A.35) О a y,(jr) Эта формула означает, что, представляя себе двойной интеграл как сумму элементов f(x, y)dxdy, мы можем при вычислении этой суммы сначала произвести суммирование по слоям, параллельным одной ко- координатной оси, а потом просуммировать результаты, относящиеся к каждому слою. Алгебраическим аналогом равенства A.35) служит формула 2,. Ясно, что, если бы мы, снова взяв некоторый криволинейный цилиндр, стали бы рассматривать его сечения, параллельные не плоскости yz,
48 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 а плоскости xz, это привело бы к равенству d х2(у) ///(*■ y)ds = fdy f f(x, y)dx О с jr,(y) (рис. 1.14). Перейдем теперь от картинок к точному изложению. 2. Случай прямоугольной области. Рассмотрим сначала двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллель- параллельными осям координат. Теорема . 1.5. Если для функции / (х, у), опреде- определенной в прямоугольнике A.36) существует двойной инте- интеграл , y)dx dy, A-37) Рис. 1.14. а при каждом фиксирован- фиксировансуществует однократный инте- инте= ff(x, y)dy, ном значении х, грал то существует повторный интеграл ь d ь J dx J / (х, у) dy = J J(х) dx ас а и выполняется равенство ь d J J fix, y)dxdy = jdx f f(x, y)dy. A.38) A.39) A.40) Доказательство. Разобьем прямоугольник Р на частичные прямоугольники Рц, подразделив его стороны точками а = х0 < < хх < х2 < ... < xk = Ь и соответственно с = у0 < ух < у2 < ... •-• <Уг^й?; таким образом, Рц = {х1_1-^х -^. х{, Уу-i ^ У ^ Уу} (рис. 1.15). Пусть тц—точная нижняя грань, а Мц—точная верхняя грань значений функции f(x, у) в прямоугольнике Рц. Выберем
§ 5] СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 49 в каждом из промежутков [Xi_v х{\ произвольную точку lt. Так как т,у-</(£,, у)<Ми при уу_, < у < yjt то A-41) причем стоящий здесь интеграл существует, так как по предполо- предположению существует интеграл A.38), взятый по всему отрезку [с, d] при произвольном х. Суммируя неравенства A.41) по j от 1 до I, получим i d i Умножив каждое из этих неравенств на мировав по / от 1 до k, полу- получим % = x-t—х1-х и просум- просум2 Р Посредине здесь стоит интеграль- & ная сумма, отвечающая функции рис. 1.15. J(x), а слева и справа — нижняя и верхняя суммы, отвечающие двойному интегралу A.37). Таким образом, Если теперь все Axt и Ayk устремить к нулю, то, поскольку мы предположили существование двойного интеграла A-37) *), как *) Так как двойной интеграл A.37) по предположению существует, то при любом способе разбиения прямоугольника Р на части, таком, что ма- максимум диаметров элементов разбиения стремится к кулю, верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к общему пределу, а именно, к соответствующему двойному интегралу. Мы выбрали тот способ разбиения, который для нас наиболее удобен, а именно, с помощью систем вертикальных и горизон- горизонтальных прямых. 4 Б. М. Будак, С. В. Фомин
50 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I нижние, так и верхние интегральные суммы будут стремиться к этому k двойному интегралу. Следовательно, и интегральные суммы 2 J'(Hi)^xi i = \ стремятся к тому же самому пределу. Таким образом, f jf(x, y)dxdy = j J{x)dx = f dx J /(x, y)dy. P а а с Меняя роли переменных х и у (и предполагая существование инте- интеграла Ji(y)= I /(x, y)dx\, получаем аналогичное равенство ь f f(x, y)dx = J J/(x, y)dxdy. d Наконец, если наряду с двойным интегралом A.37) существуют оба d ь интеграла, J(x)= Г/(х, y)dy и Jl(y)= Г/(х, у) dx, то с а Ь d d Ь J ff(x, y)dxdy = fdxff(x, y)dy = fdy ff(x, y)dx. P 3. Случай криволинейной области. Рассмотрим теперь вопрос о сведении двойного интеграла к повторному для случая криволиней- криволинейной области. Пусть область О ограничена двумя непрерывными кри- кривыми y = yj(x) и у = у2(х) и вертикальными отрезками х = а и х = Ь (рис. 1.16). Тогда справедлива следующая теорема: Теорема 1.6. Если для функции f(x, у), определенной в области О, существует двойной интеграл J ff(x, y)dxdy, о а при каждом фиксированном значении х из [а, Ь] существует интеграл = J то существует повторный интеграл Ь Уг(х) fdx J f(x,y)dy а у,(х)
§ 5] СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ и выполняется равенство 51 J J f(x, y) dx dy = J dx j /(*, y)dy. A.42) О а у,(л-) Доказательство. Положив c=mmy1(x), d = max y2 (x), заключим область О в прямоугольник Р, определяемый неравенствами а -^.х ^,Ь, с ^.у ^.d (рис. 1.16), и рас- рассмотрим в этом прямоугольнике вспомога- ff. тельную функцию f(x, у) внутри О, (ж. y) = f О в остальных точках. Функция f*(x, у) удовлетворяет ус- с ловиям предыдущей теоремы. Действи- _ тельно, она интегрируема в области О & (так как совпадает в ней с f(x, у)) и Рис 1 16 интегрируема в остальной части прямо- прямоугольника Р, которую мы обозначим Р — О (там она равна нулю). Следовательно (по свойству аддитив- аддитивности интеграла, см. стр. 33—34), она интегрируема и по всему прямоугольнику Р. При этом ///•(ж. y)dxdy = fjf(x, y)dxdy о о и f f fix, y)dxdy=0, P-G f f fix, y)dxdy = fjf(x, y)dxdy. A.43) откуда Далее, при каждом значении х, лежащем между а и Ь, существует Интеграл d y,(jr) y2(x) d jf(x, y)dy = f /*(x, y)dy-\- J /•(*, y)dy-\- //'(ж, y)dy, с е у,(Л У2(лг) A.44) так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки {с, )>i(x)] и [У2(х), d] лежат вне области О УАх) и на них /*(х, у) равна нулю, а интеграл I /*(х, у)dy совпадает
52 двойные интегралы [гл. » с интегралом УМ / /(*. y)dy, существующим по условию. Первый и третий интегралы в правой части равенства A.44) равны нулю, поэтому окончательно получаем ff(x, y)dy= J f(x, y)dy. A.45) с У Ах) Мы видим, что функция f*(x, у), определенная в прямоугольнике Р, удовлетворяет условиям теоремы 1.5 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по Р может быть сведен к повторному: ь d dY—t . J //'(*. y)dxdy = fdxjf*(x, y)dy. P а с Отсюда и из равенств A.43) и A.45) полу- получаем О J //(«. y)dxdy=fdx f f(x, y)dy. УЛх) X что и требовалось доказать. Рис. 1.17. В теореме 1.6 мы. рассматривали такую область О, что каждая вертикальная прямая х = const пересекает ее границу не больше чем в двух точках уг(х) и у2(х). и предполагали существование интеграла Уг(х) = J /(*• У) Предположив, что каждая прямая у = const пересекает границу области О не более чем в двух точках xY(y) и х2(у) (рис. 1.17), •АМУ) и потребовав существования интеграла I / (x, y)dx при каждом •Му) фиксированном у, мы можем доказать существование повторного интеграла d х2 (у) fdy f f(x, y)dx с *i(y) и его совпадение с двойным интегралом.
СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 53 Как мы уже видели в самом начале этого параграфа, геометри- геометрический смысл формул, сводящих двойной интеграл к повторному, состоит в том, что объем тела равен интегралу от площади его поперечного сечения (представляющей собой функцию той перемен- переменной, которая определяет положение секущей плоскости). Замечание 1. Если область О такова, что некоторые прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для представления двойного интеграла, взятого по этой области, в виде повторного область О следует О Рис. 1.18. Рис. 1.19. 7 х разбить на части, каждая из которых удовлетворяет условиям тео- теоремы 1.6, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно (рис. 1.18). Например, пусть область интегрирования О — единичный круг •я2+У2-^1. из которого вырезан эллипс .к2+2у2<С1 (рис. 1.19). Тогда двойной интеграл по О можно представить, например, такг. y)dxdy= J dx J f(x, y)dy -1 1 / .-2 -1 J f(x, т. е. в виде суммы двух повторных интегралов. Замечание 2. Если двойной интеграл может быть сведен как; к повторному интегралу вида I dx Г /(х, y)dy, так и к инте-
двойные интегралы [ГЛ. t d хг(у) тралу вида I dy I / (х, у) dx, то для вычисления двойного инте- С -Г, 1У) трала можно воспользоваться любым из этих представлений. Однако может оказаться, что одно из них значи- значительно удобнее, чем другое, поэтому в кон- конкретных задачах выбор того или иного по- порядка интегрирования (т. е. сначала по х, а потом по у, или наоборот) может быть не безразличен. Пример. Записать двойной интеграл • y)dxdy, Рис. 1.20. тде О — область, ограниченная кривыми у — ]/2ах — х2иI = ]/ lax л прямой х = 2а (рис. 1.20), в виде повторного (двумя способами). la V2ax О тв ет. 1) I dx I f(x, y)dy; 0 Viax-JP la la a a-Vat-y* 2) J dy f f(x, y)dx + fdy f f(x,y)dx + а угр.а О угра a la -\-fdy J / (x, y) dx. Во втором случае нам пришлось разбить интеграл на три слагаемых, а в первом мы обошлись одним. § 6. Замена переменных в двойном интеграле К замене переменных часто приходится прибегать при интегри- интегрировании функций одной переменной. Не менее важную роль играет замена переменных и при вычислении двойных интегралов. Прежде чем заняться вопросом о замене переменных в двойном интеграле, мы должны будем изложить некоторые сведения об отображении областей. 1. Отображение областей. Рассмотрим две плоскости с декар- декартовыми координатами х, у и £, г\ соответственно и предположим, что в плоскости ху выделена некоторая замкнутая ограниченная область О с границей L, а в плоскости |т] — замкнутая ограниченная
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 55 область *) Г (рис. 1.21, а и б). Предположим, что в области Г определены функции х = хA,ц), у = уF. л) A.46) такие, что, когда точка (|, ц) пробегает область Г, соответствующая точка (х, у) пробегает всю область О. Таким образом, функции A.46) определяют отображение области Г на область О. О а; {" \ -- г Л Рис. 1.21. Мы предположим, что это отображение удовлетворяет следующим условиям: 1) Отображение взаимно однозначно, т. е, различным точкам области Г отвечают обязательно различные точки области О. Иным» словами, мы предположив, что существуют решения 1=1(х, у), ц = Ц(х, у) A.47) уравнений A.46) относительно | и т|, однозначные во всей области О. 2) Функции A.46) и A.47) непрерывны и имеют непрерыв- непрерывные частные производные первого порядка. 3) Функциональный определитель (якобиан) D (х, у) _ d a, r\) ~ дх ду дх дг\ ду_ A.48) всюду в области Г отличен от нуля, а следовательно, поскольку входящие в этот якобиан производные предполагаются непрерывными,. сохраняет в Г постоянный знак. Якобиан _ ^ обратного отображения A.47) связан с якобиа- якобианом A.48) соотношением Д(*у) Д(Еч), D (|, Ч) D (х, у) *) Области G н Г предполагаются, конечно, квадрируемыми.
:56 двойные интегралы [гл. i непосредственно вытекающим из определения произведения опреде- определителей и правила дифференцирования сложной функции, поэтому ^' ^ также нигде не обращается в нуль. Если в области Г дана некоторая гладкая или кусочно-гладкая кривая то отображение A.46) переводит ее в кривую * = *(!(*). л(9). У = ПШ опять-таки гладкую или кусочно-гладкую, так как если производные rfS rfri —j- и —гг существуют и непрерывны, то существуют и непрерывные (tt - (XT производные dx dx_d\^ . dx_di\_ dy_ ду d% , ду dr\ ~Ж ~ ~Щ Hi ~T~ ~дц dt dt ~ d% dt ~T~~dx]~dT' причем они не обращаются в нуль одновременно., если хотя бы одна dl d / ных -^г D (х, у) р dl dv\ / из производных -^г и ——■ отлична от нуля I последнее вытекает D (х, у) , Л ИЗ ТОГО, ЧТО - д ''■ ф 01 . В частности, граница Л области Г переводится в границу L области О. Это вытекает из теоремы о неявных функциях (см. вып. 1, гл. 15, § 2). Если бы точке (х0, у0), принадлежащей L, отвечала какая-то внутренняя точка (go> ^o) области Г, то из равенств х = х{%, ц), у = у (g, г)) величины | и г] определялись бы в некоторой окрестности точки (ха, уа) как функции от л: и у. Но всякая окрестность граничной точки (лг0, у0) со- содержит точки, не принадлежащие G, следовательно, у точки (g0, ri0) (внутрен- (внутренней для Г) нашлась бы окрестность, содержащаяся в Г н не отображаю- отображающаяся в область G, что противоречит условию. 2. Криволинейные координаты. Рассмотрим в области Г прямую | = |0 (см. рис. 1.21). В области О ей отвечает гладкая линия, опре- определяемая параметрическими уравнениями х = хA0, г,), у = уFо, г,) A.49) (параметром служит г)). Аналогично каждой прямой г) = гH отвечает в области О линия, определяемая уравнениями х = х&. TV,), )) = П1- %>• A-50) Линии A.49) и A.50) области О, в которые отображение A.46) пере- переводит прямые из Г, параллельные координатным осям, называются лоординатными линиями г\ и \ в области О.
§ 61 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 57 Из взаимной однозначности отображения Х = Х&, Г)), У = У(|, Л) следует, что через каждую точку (х, у) области О проходит един- единственная линия вида A.49), отвечающая постоянному значению |, и единственная линия вида A.50), отвечающая постоянному значению т). Следовательно, величины \ и т| можно рассматривать как координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области О. Так как коор- координатные линии A.49) и A.50), отвечающие этим координатам, будут,. вообще говоря, кривыми (а не прямыми, как в случае декартовой координатной сетки), то величины g и т| называются криволиней- криволинейными координатами точек области О. Таким образом, переменные % и х\ имеют двоякий геометрический смысл:, во-первых, это — декартовы координаты точек области Г, а во-вторых, это — криволинейные координаты точек области G. В соответствии с этим каждое соотношение вида Ф(£, г]) = 0 можно рассматривать как уравнение (в де- декартовых координатах) некоторой кривой Я, лежащей в области Г, и как уравнение (в криволинейных координатах) кривой /, лежащей в G и являю- являющейся образом кривой Я при отображении A.46). 3. Полярные координаты. Наиболее употребительная система криволинейных координат на плоскости — это полярные коорди- координаты. Они связаны с декартовыми ко- координатами х и у соотношениями У > V = г sinop A.51) X = Г COS ф, (г > 0; 0 < ф < 2л). Рис. 1.22. Координатными линиями для поляр- полярных координат служат концентрические окружности с центром в начале коор- координат (г = const) и лучи, выходящие из этого центра (ф = const). Отображение A.51) переводит полуполосу г^О, 0<^ф<2л в целую плоскость ху. Оно взаимно однозначно всюду, кроме точки х = 0, у = 0, которой на плоскости гф отвечает полусегмент г = 0, 0 ^ ф < 2л. Исключив точку х = 0, у = 0, мы можем рассмотреть отображение- плоскости ху на полуполосу г > 0, обратное A.51). Это обратное отображение непрерывно всюду, кроме положительной полуоси х, так как, хотя лежащим на ней точкам отвечает значение ф, равное нулю, но если точка М приближается к этой полуоси снизу, то соответствую- соответствующее значение ф стремится не к нулю, а к 2л. Таким образом, фор- формулы A.51) устанавливают отображение полуполосы г^-0, 0^1 -^! ф < 2л на плоскость ху, взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное всюду, кроме тех точек, в которых г = 0 или ф=0.-
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Наглядно можно представлять себе переход от полуполосы на плоскости Гф к плоскости ху как «раскрывание веера». Мы берем ,полуполосу 0<><оз, 0<ф<2л и как веер развертываем ее на плоскость ху (рис. 1.23). Рис. а — первый кадр фильма, рис. б—вто- б—второй кадр, рис. s — уже почти конец фильма, рис. г — это последний кадр. p=const Рис. 1.23. Например, пусть на плоскости гф задана прямоугольная область 0<а О Ъ г О Рис. 1.24. Наше «раскрывание веера» пре- превращает ее в сектор кругового кольца на плоскости ху (рис. 1.24). Вычислим якобиан перехода от декартовых координат к по- полярным, т. е. якобиан преобра- г~ь зования A.51). Получим х D (х, у) cos ф — г sin i D (%, r\) sin ф г cos i = г. Он отличен от нуля всюду, кро- кроме точки х = 0, у = 0. 4. Постановка задачи о замене переменных в двойном инте- интеграле. Сформулируем теперь задачу о замене переменных в двойном интеграле, о которой уже говорилось выше. Пусть О — замкнутая область, ограниченная кусочно-гладкой кривой L, и f(x, у) — задан- заданная в О функция, непрерывная или имеющая разрывы, лежащие
6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ на множестве площади нуль, и ограниченная. Пусть, функции 59 далее определяют отображение на область О некоторой области Г, удо- удовлетворяющее условиям 1)—3), перечисленным в п. 1. Задача со- состоит в том, чтобы интеграл J ff(x, y)dxdy, взятый по области О, представить, преобразовав в нем подынтеграль- подынтегральное выражение к новым переменным ^ и т|, в виде интеграла по об- области Г. б. Площадь в криволинейных координатах. При выводе фор- формулы замены переменных в двойном интеграле основной шаг состоит в том, чтобы выразить через криволинейные координаты площадь области. Здесь имеет место следующая теорема: Теорема 1.7, Пусть х — хЦ, ц), у = у(|, ц) — взаимно одно- однозначное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое отобра- отображение области Г на область О, якобиан которого отличен от нуля. Тогда пл = / dxdv = A.52) Доказательству этой теоремы мы предпошлем наглядные рассу- рассуждения, проводимые «на физическом уровне строгости». (При жела- желании читатель может ими и ограни- ограничиться.) Рассмотрим в области О две па- пары бесконечно близких координатных линий. Пусть первая из этих пар от- отвечает значениям координаты ни ям а вторая пара — значе- значено и 'По Рис. 1.25. координаты т|. Эти координатные линии вырезают в области О бес- бесконечно малый элемент площади А0А1А3А2, который с точностью до малых выше первого порядка можно считать параллелограммом (рис. 1.25). Сторонами этого параллелограмма служат, очевидно,.
'69 векторы ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Площадь ds параллелограмма А0А1А3А2 равна абсолютной величине детерминанта, составленного из компонент векторов A0At и А0А2, т. е. дх „ ду . ds = абс. вел. дх , ду D (x, у) D F, 4) A.53) А площадь 5 всей области О получается суммированием всех таких элементов, т. е. действительно представляется в виде двойного интеграла Р(х, у) DO. Ill взятого по области Г изменения переменных \ и t\. Оформим теперь эти наглядные рассуждения в виде доказательства. При этом мы позволим себе Опускать некоторые детали, которые читатель при желании легко восстановит. Кроме того, для упрощения рассуждений мы будем предполагать, что рассматриваемое отображение определено и удо- удовлетворяет указанным в теореме условиям не только в области Г, но и в некоторой большей области, содержащей внутри себя область Г (вместе с границей). Доказательство теоремы 1.7. Рассмотрим сперва тот элемен- элементарный, но, по существу, основной случай, когда рассматриваемая в пло- плоскости gr) область представляет собой прямоугольник П со сторонами, па- параллельными осям координат, а ее отображение на плоскость ху есть ли- линейное отображение, определяемое формулами где ха, у0, а, Ь, а{ и 6, — постоянные и х = х0 + а% + br\, а, 6, A.54) Ф 0. Как известно из ана- аналитической геометрии, образ прямоугольника П при таком отображении будет параллелограммом (обозначим его Р), площадь которого связана с площадью прямоугольника П соотношением пл Р = абс. вел. пл П A.55) (докажите это!). Отсюда следует, что любая квадрируемая фигура Ф, лежащая в плоскости %г\, переводится линейным отображением A.54) в
4 61 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ квадрируемую фигуру /•", площадь которой выражается так: пл F = абс. вел. я, 6, пл Ф. 61 A.56) Впрочем, для дальнейшего нам понадобится лишь равенство A.55). Рассмотрим теперь некоторое произвольное (нелинейное) отображение х = х (g, у\), >■ = у (%, у\), удовлетворяющее условиям теоремы. Возьмем в области Г, где это отображение определено, некоторую точку (g0, %) и рассмотрим прямоугольник V • !о<£<§о + Л1> "По < 11 < "По + Л2, который мы снова обозначим П (рис. 1.26). С помощью формулы конечных при- ращений запишем отображение этого пря- ыоугольника на плоскость ху в виде х = хо дх дх a,, , ду ,,. , ду у = Уо + ~3% ^ + ~Щ A.57) Рис. 1.26. где хо = х (|0, г|0), у0 = у (|0, г),,), значения производных берутся в точке a1 = D(f, г)*) —jc^Iq, «2 = (>5 F**- О-П(So- f, r\) — x'n(^, rH))rfri, <3десь |0 < §* < < I: Чо < Ч* < Ч: Чо < Ч** < Ч-) Первые производные от л: и у по | и г\ по условию непрерывны, а зна- значит, и равномерно непрерывны в замкнутой ограниченной области Г. Следо- Следовательно, для любого е > 0 можно выбрать число h настолько малым, что, как только hi-\-h2 < h, для всех точек (g, r\), принадлежащих прямоуголь- прямоугольнику П, выполняются неравенства |, г)) — х'ъ е, | хп A, г)) — х^ (g0, ч0) | и аналогично для у^ и у причем е не зависит от выбора точки (g0, ц0). С помощью этих оценок получаем, что 1а, | < eft, |а2| < eft. A.58) Сравним теперь нелинейное отображение A-57) с линейным отображением которое получается, если в формулах A.57) отбросить а, и а2. Как мы уже знаем, такое линейное отображение переводит прямоугольник П в
62 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I параллелограмм, который мы снова обозначим Р, причем, согласно A.55), дх дх пл П. пл Р = абс. вел. ду ду 1$ ^г A.60) Нелинейное отображение A.57) переводит П в некоторую криволиней- криволинейную фигуру сЯ. Посмотрим, насколько ее площадь отличается от площади параллелограмма Р. В силу A.58), для любой точки (|, т|)£П \x — x\ = \al\ <ей, |у —у| = |а2| < ей, /2" ей. Иначе говоря, расстояние между образами одной и той же точки (|, ^ при линейном A.59) и нелинейном A.57) отображениях не превышает ]/~2 ей. Поэтому если мы заключим границу параллелограмма Р в полоску ширины ]/~2 ей, то граница криволинейной фигуры сЯ будет целиком лежать внутри этой полоски (рис. 1.27). Ясно, что пл сЯ отличается от пл Р не больше чем на площадь этой полоски. Элементарный подсчет показывает, что площадь такой полоски не превосходит ее ши- ширины, умноженной на периметр парал- параллелограмма Р. Этот периметр лег- легко оценить. Пусть М выбрано так, что во всей рассматриваемой области Г дх дх ду каждая из производных^^, ^—, -^-, Рис. 1.27. ду ^ d\f -т— не превосходит по модулю М (эти производные непрерывны, а значит, и ограничены в замкнутой ограниченной области Г). Тогда из A.59) сразу следует, что стороны параллелограмма Р не превосходят Mh. Таким обра- образом, периметр Р не больше, чем 4Mh, а площадь полоски, в которую мы заключили границу Р, не превосходит 4]/~еЛ4й2, т. е. не превосходит Следовательно, или, в силу A.60), ПЛ сЯ |/ТеЛ4плП ПЛ сЯ = ПЛ P-J = абс. вел. дх dl ду «1 Ь\ дх дг ду дг пл П -(- у, где | у | < пл П. A.61) A.62)
§ о) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 63 Пусть теперь Ф — многоугольная фигура, лежащая внутри Г и соста- составленная из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, a g~—фигура, в которую она переводится отображением х = х(\, х\), у = у (|, т|). Разобьем Ф на прямоугольники П,-, полупериметр каждого из которых меньше h. Образы сЯ; этих прямоугольников в сумме составляют фигуру ff~, а площадь каждого cf,- можно представить в виде A-63) где точка (\и щ) принадлежит прямоугольнику П; « Просуммировав равенства A.63) по всем прямоугольникам П;, получаем п п Первое слагаемое в правой части этого равенства представляет собой, очевидно, интегральную сумму, отвечающую интегралу /Л °(Х'У) — A.65) . 0F. ц) ф а второе не превосходит п У~2 Me ^ пл пг = У"Ъ Me. пл Ф, где е может быть сделано (за счет выбора достаточно мелкого разбиения ■фигуры Ф) сколь угодно малым. Интеграл A.65) заведомо существует, так как подынтегральная функция непрерывна. Следовательно, мы можем в ра- равенстве A.64) перейти к пределу, неограниченно измельчая разбиение фигуры Ф. Получим -J J | />F,т,) ф пл ёГ ■ Для завершения доказательства теоремы остается сделать переход от много- многоугольной фигуры Ф, погруженной в область Г, к самой области Г. Этот переход уже не составляет труда. Так как Г квадрируема, то можно найти две такие фигуры Ф! и Ф2, составленные из прямоугольников *), первая из которых вложена в Г, а вторая объемлет Г, что разность их площадей меньше заданного положительного числа б. Отображение х = х (|, т|), у (g, т|) переводит их в две квадрируемые фигуры g~i и е7. одна из которых вло- вложена в G, а другая объемлет G. Нетрудно показать, что , — пл ,Г21 < BЛ42 + У~2 Me) б *) При этом объемлющая фигура Ф2 должна лежать в той области, большей чем Г, в которой, как мы условились, рассматриваемое отображе- отображение определено и удовлетворяет условиям теоремы.
64 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 (проделайте это, воспользовавшись равенство» A-64) и тем, что max . у) D (|, г\) 2jW2). Тогда тем более | пл G — пл ^", | < BЛ42 + У 2 Me) б. A.66) Но £ГХ — образ многоугольной фигуры Ф1( следовательно, по доказанному ранее Р С I n i „ ,.\ , -1*41 (L67) ф, " Кроме того, по теореме о среднем -//I- ф, Ч) = г л d\dx\ D (х, у) Г-Ф, Из A.66) и A.68), учитывая A.67), получаем d\d\\ < 2МЧ. A.68) пл G — D (х, у) D d\dx\ < DМ2 + У 2 Ms) б. Так как б произвольно мало, то отсюда вытекает утверждение теоремы. Замечание 1. Основная идея, на которую опирались как изложенное доказательство, так и приведенные выше наглядные рас- рассуждения, состоит в том, что нелинейное отображение х = х(£, т]), у = у(£, т]) в ма- малой области можно аппроксимировать ли- линейным, притом тем точнее, чем меньше область. Собственно говоря, рассмотрение нелинейного функционального соотношения как линейного в бесконечно малом—это основа всего анализа. Пример. Рассмотрим снова полярные координаты. Линии r = rQ, r = ro-f-rfr, ф = ф0, ф = фо-)-й(ф вырезают на плоско- плоскости ху бесконечно малый прямоугольник со сторонами dr и rod(f (рис. 1.28). Поэтому элемент площади в полярных координатах равен rodq>dr. (Этот же результат вытекает, конечно, и из общей формулы A.52), поскольку -~~Ц- ==гЛ Сле- Следовательно, площадь в полярных координатах выражается формулой S= f f rdrdy, A.69) Рис. 1.28.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 65 где Г—область изменения переменных г и ср. В частности, если область О ограничена двумя лучами ф = ф1 и ф = ф2 и кривой г = г(ф), т. е. имеет вид, изображенный на рис 1.29 (изобразите эту область на плоскости гц>), то, преобразо- преобразовав двойной интеграл A.69) в повторный, по- получим S= I d(f i r dr. ф| О Выполнив здесь интегрирование по г, на- находим Фг О ==\ f Рис. 1.29. Это — известная формула площади в полярных координатах (см. вып. 1, гл. 11, § 2). Замечание 2. Из формулы A.53) ясен геометрический смысл абсолютной величины якобиана ^д №,q)\d£dy О Обозначим этот якобиан, Рис. 1.30. для сокращения записи, У(^, tj) и рассмотрим отображение области Г на область О, определяемое формулами х = х (|, X]), у = у (|, л). Это отображение переводит лежащий в Г бесконечно малый прямо- прямоугольник (рис. 1.30), ограниченный прямыми и имеющий площадь d\ dr\, в параллелограмм, площадь которого равна 5 Б. М. Будак, С, В. Фомин
66 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Следовательно, |У(|, т))| представляет собой коэффициент растяжения площади (в точке (£, т])) при отображении области Г на G. Замечание 3. В теореме 1.7 мы предполагали, что отображение х = хЦ, т]), = у(£. области Г на область О взаимно однозначно. Однако выражение A.52) для площади в криволинейных координатах сохраняет силу и в том случае, если это условие нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий. Рассмотрим в качестве типичного примера ото- отображение прямоугольника 0 ^ г ^ а, О ^ ф ^ 2л на круг, отвечающее введению полярных координат по формулам х = гсоБф, у = г sin (р. A.70) Это отображение удовлетворяет ус- условиям теоремы 1.7 всюду, кроме точек, лежащих на отрезке у = 0, 0 ^ х <^ а. Возьмем в плоско- плоскости Гф прямоугольник р^г^а, t — е, а в плоскости ху— Рис. 1.31. ^ф< у область, отвечающую этому прямоугольнику при отображении A.70) (рис. 1.31). Для этих областей формула A.52) верна (так как там условия 1)— 3) выполнены). Если теперь перейти к пределу при р—>0 и е—>0, то получим, что формула A.52) остается справедливой и для всего рассматриваемого круга г ^ а. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в общем слу- случае произвольного отображения, взаимно однозначного всюду, кроме отдельных точек или линий. 6. Замена переменных в двойном интеграле. Полученное нами выражение A.52) площади в криволинейных координатах позволяет легко найти и общую формулу замены переменных в двойном инте- интеграле. Рассмотрим интеграл f ff(x. y)dxdy, A.71) где область G ограничена кусочно-гладким контуром L, а функ- функция f(x, у) или непрерывна в этой области (включая границу) всюду, или же ограничена в ней и непрерывна всюду, кроме некоторого множества площади нуль. Пусть функции х=х{\, X]) и у = у(|, ц) определяют соответ- соответствие между точками области О и точками некоторой области Г, удовлетворяющее всем тем предположениям, при которых была уста- установлена формула A.52), выражающая площадь области О в криво-
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 67 линейных координатах. Разобьем область Г на части Гг некоторой системой кусочно-гладких кривых. Соответствующие им кусочно- гладкие кривые разобьют область G на части Ог площади А5г. Выбрав в каждой из этих частей Ог произвольную точку (хг, уг), составим интегральную сумму п 2/(*„ Уг)А5г, A.72) i-l отвечающую интегралу A.71). Применив к каждой из частичных областей Ог формулу A.52), получим ~J J \ Обозначив якобиан символом J{\, ц) вместо у' у' и воспользо- воспользовавшись теоремой о среднем, будем иметь где Ааг — площадь области Гг Заменив в интегральной сумме A-72) каждую из величин А5г найденным выражением, получим ± Точка (I*, rQ получается в результате применения теоремы о сред- среднем, и выбор ее в каждой из частичных областей Гг от нас не зависит. Напротив, точка (хг, уг) выбирается в каждой из частичных областей Gt совершенно произвольно. Поэтому мы можем положить т. е. выбрать ту точку области Ог, которая соответствует точке (£*• Л*) области Г;. Тогда рассматриваемая интегральная сумма при- примет вид а это не что иное, как интегральная сумма для интеграла (x(i, л). уA. л))!•/(!. ri>\didi\. A73) г Этот интеграл существует, так как подынтегральная функция в об- области Г либо непрерывна, либо ограничена и непрерывна в Г всюду, 5*
68 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I кроме точек некоторого множества, имеющего площадь нуль. Если теперь неограниченно измельчать разбиение области Г на части Гг, то, в силу непрерывности соответствия, диаметры областей Gl также будут стремиться к нулю. При этом рассматриваемая интегральная сумма должна стремиться, с одной стороны, к двойному интегралу A.71), а с другой — к интегралу A.73). Следовательно, эти инте- интегралы равны (*> y)dxdy = f f f(x(l, ц), у(|. П))№ 4)|d!dTi- A-74) а г Это и есть_ формула замены переменных в двойном интеграле. Итак, 'если О — замкнутая ограниченная область с кусочно- гладкой границей и f(x, у) — заданная в этой области функ- функция, непрерывная всюду или же ограниченная и непрерывная всюду, кроме некоторого множества площади нуль, и если формулы х = х{%, г]), у = уЦ, ц) устанавливают соответствие между точками области G и точками некоторой области Г в плоскости |г|, удовлетво- удовлетворяющее условиям 1)— 3) it. 1, то имеет место формула замены переменных A-74). Равенство A.74) справедливо и в тех случаях, когда условия взаимной однозначности, непрерывности и непрерывной дифференци- руемости соответствия между областями О и Г нарушаются в отдель- отдельных точках или вдоль конечного числа кривых площади нуль. В двойном интеграле, как и в однократном, замена перемен- переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удоб- удобному для его вычисления. Необходимо, однако, подчеркнуть, что в случае двух переменных возникает одно новое обстоятельство. В то время как для однократного интеграла замена переменных делается лишь с целью упрощения подынтегрального выражения, при вычислении двойных интегралов стремятся упростить не только инте- интегрируемую функцию, но и ту область, по которой берется интеграл. Последнее обстоятельство настолько важно, что иногда имеет смысл пойти даже на некоторое усложнение подынтегральной функции, но зато получить простую область интегрирования. Пример. Вычислить I I dxdy, где О — область, ограниченная а х1 v2 эллипсом —Т-\--р-= 1. Здесь подынтегральная функция тождественно равна 1, т. е. является простейшей из всех возможных. Однако для вычисления этого интеграла все же имеет смысл сделать замену
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 69 переменных, положив x = apcos<p, у = b psincp. A-75) Якобиан такого преобразования равен abp. Область интегрирова- интегрирования при этом переходит в прямоугольник 0<<р<2я, Переходя к новым переменным и записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем 2я 1 Г Г dxdy = ab Г dtp Г р ф = nab. а оо Упражнения. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми ху=1, ху = 2, у = х2, у = 2х2. Указание. Принять за новые переменные | = *у, т|=-^-. A.76) 2. Нарисовать сети координатных линий, отвечающие заменам A.75) я A.76). 7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной области. Формула A.74) аналогична формуле замены переменной в опреде- определенном интеграле ь р ff(x)dx^jf(x(t))x'(t)dt A.77) а а с той только разницей, что в случае одной переменной берется не модуль производной х' (t) (играющей здесь роль якобиана), а сама эта произ- производная. Причина этого различия состоит в том, что определенный инте- ь грал I / (x) dx берется по ориентированному отрезку [а, Ь\ и при а перестановке пределов'меняет знак, а двойной интеграл берется по не- неориентированной области. Если бы мы условились в определенном интеграле пределы интегрирования всегда ставить так, чтобы нижний предел был не больше верхнего, то формула A.77) (где х = х (t) — монотонная функция) приняла бы вид ь р j f(x)dx= j f(x (t)) I x' (t) I dt. A.78) a a {Проверьте это!) С другой стороны, можно было бы в случае двойных интегралов ввести понятие ориентации области и приписывать площади такой области знак плюс или минус. За ориентацию области принимается выбор определенной ориентации .{направления обхода) ее границы. Именно, область называется ориентире-
70 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 ванной положительно, если при движении по ее границе область остается слева от наблюдателя (рис. 1.32). В противоположном случае область назы- называется ориентированной отрицательно. Если площадь области G (неориенти- (неориентированной) равна S, то площадь этой области, взятой с положительной ориен- ориентацией, положим равной опять-таки S, а площадь отрицательно ориентирован- ориентированной области G будем считать равной—S. Можно показать, что отображение - х = х (|, т|), у = у (|, т|) области Г на О сохраняет ориентацию, если его якобиан положителен, и меняет ориентацию, Рис. 1.32. £> ix уч если '■ ' }> < 0. Поэтому формула, представляющая в криволинейных координатах площадь ориентированной области G, имеет вид О ' (i. ч) r аналогично меняется и формула A.74). Я£> (х, у) В it n\ d^dx\ (без знака модуля);
ГЛАВА 2 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В предыдущей главе мы ввели понятие двойного интеграла. Сей- Сейчас мы определим интеграл от функции трех переменных, так назы- называемый тройной интеграл. Тройные интегралы, подобно двойным, находят широкое применение в различных физических и геометриче- геометрических задачах. Некоторые из этих задач будут рассмотрены в § 3. Между тройными интегралами и двойными существует почти полная аналогия. Те доказательства, которые не отличаются сколь-нибудь существенно от доказательств соответствующих утверждений для двой- двойных интегралов, мы будем, как правило, опускать. В § 5 этой главы будет дано понятие о многократных интегралах, т. е. об интегрировании функций произвольного числа независимых переменных. § 1. Определение и основные свойства тройного интеграла 1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи- фигуры. Понятия внутренней точки области, границы, замкнутой обла- области, диаметра и т. д., определенные в § 1 гл. 1 для плоскости, пе- переносятся без всяких изменений на случай трехмерного пространства. Вводя двойной интеграл, мы пользовались понятием площади. Аналогично определение тройного интеграла опирается на понятие объема пространственной фигуры. Определение объема многогранника мы считаем известным из эле- элементарной геометрии. Распространить это понятие на более широкий класс фигур можно так же, как в § 1 гл. 1 мы распространили по- понятие площади с многоугольных фигур на криволинейные квадрируе- мые фигуры. Изложим вкратце соответствующие рассуждения. Объем V (Р) многогранного тела (т. е. тела, составленного из конечного числа многогранников) представляет собой неотрица- неотрицательную величину, обладающую следующими свойствами:
72 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 1 (монотонность). Если Р и Q — два многогранных тела и Р содержится в Q, то V(P)<V(Q). 2 (аддитивность). Если Р и Q — два многогранных тела без общих внутренних точек, то 3 (инвариантность). Если многогранные тела Р и Q кон- конгруэнтны между собой, то их объемы равны. Эти три свойства должны быть сохранены при распространении понятия объема с многогранных тел на более общий класс куби- руемых тел. Возьмем произвольное пространственное тело*) Фи рас- рассмотрим всевозможные вложенные в него многогранные тела; точную верхнюю грань их объемов назовем внутренним объемом тела Ф (если тело Ф таково, что внутрь него вообще нельзя поместить ни одного невырожденного многогранного тела, то его внутренний объем мы положим по определению равным нулю). Точную нижнюю грань объемов многогранных тел, объемлющих тело Ф, мы назовем его внешним объемом. Если внешний объем тела Ф равен его внутреннему объему, то это общее их значение называется просто объемом тела Ф, а само это тело называется кубируемым. Ана- Аналогично теореме 1.2 доказывается следующая теорема: Теорема 2.1. Тело Ф куб и руе мо в том и только том случае, если для любого е>0 найдутся два таких много- многогранных тела РсФ и QzdQ), что V(Q)-V(P)<s. Мы скажем, что некоторое множество имеет объем нуль, если его можно поместить внутрь многогранного тела сколь угодно малого объема. Пользуясь этим понятием, мы можем теорему 2.1 сформу- сформулировать так: Чтобы тело Ф было куб и р у е мо, необходимо и доста- достаточно, чтобы его граница имела объем нуль. Этот критерий позволяет установить кубируемость достаточно широких классов тел. Например, кубируемо всякое тело, составлен- составленное из конечного числа криволинейных цилиндров, каждый из кото- которых имеет квадрируемое основание, а сверху ограничен поверхностью,, задаваемой уравнением г = /(х, у), где f(x, у) — непрерывная функ- *) То есть некоторое ограниченное множество точек в пространстве.
$ I] СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 73 ция. Объем каждого такого цилиндра представляется двойным инте- интегралом ( (fix, y)dxdy, а взятым по основанию этого цилиндра. Другой важный класс кубируемых тел — это пространственные области, ограниченные конечным числом гладких *) поверхностей. Доказательство того, что область, ограниченная гладкими поверхно- поверхностями, кубируема, по существу, аналогично доказательству того, что гладкая кривая имеет площадь нуль, но несколько более громоздко. Мы не будем приводить его. Повторив рассуждения, проведенные в п. 4 § 1, можно устано- установить справедливость следующих утверждений: 1) Если <Е>1 и Ф2 — два кубируемых тела, то их объедине- объединение Ф — кубируемое тело, и если тела Фх и Ф2 не имеют общих внутренних точек, то объем Ф равен сумме объемов Фх и Ф2. 2) Пересечение (общая часть) двух кубируемых тел есть ку~ бируемое тело. Замечание. Обратим внимание на то, что к понятию объема у нас имеются два различных по форме подхода. С одной стороны, мы определили объем криволинейного цилиндра с квадрируемым основанием G, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у), как двойной интеграл {x, y)dxdy. С другой стороны, мы ввели понятие объема кубируемого тела с по- помощью аппроксимации такого тела (изнутри и снаружи) многогран- многогранными телами. Можно, однако, показать, что для достаточно широкого класса тел (во всяком случае, для тел, ограниченных кусочно-глад- кусочно-гладкими поверхностями) оба эти подхода равносильны. 2. Определение тройного интеграла. Пусть на кубируемом теле V задана ограниченная функция f(x, у, z). Разобьем V на части Vt и, произвольно выбрав в каждой из Vt некоторую точку (|г, % £г), составим сумму Г = 2/(&,.*)<.£<) А*/. B-1) i= I где Лог — объем элемента Vt< а сумма берется по всем элементам разбиения. Введем следующие определения. *) Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой ка- касательной плоскости меняется непрерывно.
74 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d(Vt) элементов Vt, на которые разбито тело V. Число J называется пределом интегральных сумм B.1) при D->0, если для любого е > О найдется такое б > 0, что ||< как только D < 6. Иначе говоря, неравенство \Т — J\ <e должно выполняться для каждой интегральной суммы Т, отвечающей любому разбие- разбиению (У;), для которого D < 6, и любому выбору точек (|г, т]г, £г) в каждом из У;. Определение 2. Если предел интегральных сумм B.1) при D—>0 существует, то он называется тройным и нтег р а- лом от функции f(x, у, z) no V и обозначается символом Г Г Г / (х, у, z)dv или Г Г Г f(x, у, z)dxdydz. V V Функция f(x, у, z) при этом называется интегрируемой по V. 3. Условия существования тройного интеграла. Интегрируе- Интегрируемость непрерывных функций. Как и в случае одной или двух пе- переменных, не всякая ограниченная функция /(х, у, z) интегрируема. Для нахождения достаточных условий существования тройного инте- интеграла используют обычно, как и в случае двойных или однократных интегралов, верхние и нижние суммы Дарбу. Пусть /(х, у, z) — ограниченная функция, заданная на кубируемом теле V, {Vi\—некоторое разбиение этого тела и Mit nil — соответ- соответственно точная верхняя и точная нижняя грани значений функции /(х, у, z) на У;. Тогда (здесь hvt — объем элемента Vj) называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции /('х, у, z) и данного раз- разбиения (Уг) тела V. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу, сфор- сформулированные в § 2 гл. 1, дословно переносятся на случай трех переменных. С помощью рассуждений, в точности повторяющих доказатель- доказательство теоремы 1.3, доказывается следующее необходимое и достаточ- достаточное условие существования тройного интеграла: Теорема 2.2. Ограниченная на кубируемом теле V функция /(х, у, z) интегрируема по V в том и только том случае, если для любого е > 0 найдется такое разбиение тела V, что разность между верхней и нижней суммами Дарбу для функ- функции f(x, у, z), отвечающими этому разбиению, меньше е.
§ I] СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 75 С помощью этого критерия устанавливаются следующие теоремы, аналогичные теоремам 1.4 и 1.4' для двойных интегралов. Теорема 2.3. Всякая функция f(x, у, z), непрерывная в зам- замкнутой ограниченной*) области V, интегрируема в этой области. Теорема 2.4. Если функция f(x, у, z) ограничена в замкну- замкнутой ограниченной *) области и непрерывна в этой области всюду, кроме, быть может, точек, принадлежащих некото- некоторому множеству объема нуль, то f(x, у, z) интегрируема по этой области. 4. Свойства тройных интегралов. Основные свойства тройных интегралов вполне аналогичны свойствам двойных интегралов. Пере- Перечислим их. 1—2 (линейность). Если fx{x, у, z) и /2(х, у, z) интегри- интегрируемы по области V, a kx и k2— постоянные, то klfl-\-k2f2 интегрируема по V и dV = f f ff2(x, y, z)dv. V V 3 (аддитивность). Если V — объединение двух тел V, и V2 без общих внутренних точек и f(x, у, z) интегрируема по Vt и по V2, то f(x, у, z) интегрируема по V и f f ff(x, y, z)dv = ffff(x,y, Z)dv+ffff(x, у, z)dv. v vt v% 4 (монотонность). Если f\{x, у, z)^>f2(x, у, z) и обе эти функции интегрируемы по V, то f { f /а (*. У. z)dv. 5 (оценка интеграла по модулю). Если f(x, у, z) инте- интегрируема по V, то \f(x, у, z)\ также интегрируема и /(х, у, z)dv\^fff\f(x, у, z)\dv. *) И кубируемой. Условие кубируемости мы в дальнейшем всегда будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз особо.
76 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 6 (теорема о среднем). Если функция f (х, у, z) интегри- интегрируема по V и удовлетворяет неравенствам m^f {х, у, то mv - Г Г Г / (х< У' z)dv где v — объем тела V. Для непрерывных функций теорема о среднем может быть сфор- сформулирована так: 6'. Если функция f(x, у, z) непрерывна, а V — связная зам- замкнутая ограниченная область, то в области V найдется такая точка (|, г], £), что ////(х, у, z)dv = 5. Тройной интеграл как аддитивная функция области. Ана- Аналогично функциям области на плоскости можно ввести понятие функ- функции пространственной области *). Примером такой функции (опре- (определяемой на всех кубируемых телах) может служить объем области. Далее, ■ если пространство (или некоторая его часть) заполнено мате- материей, то, ставя в соответствие каждой области ту массу, которая находится внутри этой области, мы опять-таки получим некоторую функцию области в пространстве. Объем и масса обладают уже зна- знакомым нам свойством аддитивности, которое формулируется здесь точно так же, как и для плоского случая: функция области F(V) называется аддитивной, если для любых двух областей V1 и V2, для которых F(V) определена и которые не имеют общих внутрен- внутренних-точек, F(yi~\-V2) определена и Если /(х, у, z)—интегрируемая функция, то тройной интеграл ////(х, у, z)dv, V рассматриваемый как функция области интегрирования, представляет собой аддитивную функцию области (свойство 3 п. 4). Аналогично двумерному случаю вводится понятие производной аддитивной функции области в пространстве по объему, а именно: число А мы назовем пределом отношения F{V) v *) Термин «область» мы здесь употребляем как синоним термина «куби- руемое тело».
§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ. ИНТЕГРАЛОВ 77 (где v — объем области V) при стягивании V к точке Мо, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что <е для всякой области V, целиком помещающейся в шаре радиуса б, с центром в точке Мо. Этот предел называется производной функ- функции F(V) no объему в точке Мо и обозначается dF lim —*—i , или -г- v dv Если F (V) — масса, содержащаяся в области V, то ее производ- производная по объему (если она существует) представляет собой плотность р(х, у, z) пространственного распределения масс. Из теоремы о среднем для тройного интеграла и из непрерыв- непрерывности подынтегральной функции сразу вытекает, что производная интеграла от непрерывной функции по объему существует и совпа- совпадает с подынтегральной функцией (x> y> z)dv=f(x> у> z)> причем этот интеграл представляет собой единственную аддитивную функцию области в пространстве, производная которой по объему есть заданная непрерывная функция f(x, у, z). § 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геометрии Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с вычислением тройных интегралов. 1. Вычисление объемов. Если V — кубируемое тело, то тройной интеграл j J jdxdydz B.2) v равен объему этого тела. Действительно, этому объему равна каждая из интегральных сумм, отвечающих интегралу B.2). Тройные инте- интегралы в некоторых случаях бывают удобнее для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно записать сразу объем не только криволинейного цилиндра, но и любого кубируемого тела. 2. Нахождение массы тела по плотности. Если дано некото- некоторое тело с объемной плотностью р(х, у, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл JJJp(x, у, z)dxdydz,
78 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 взятый по всему объему, занимаемому этим телом, представляет собой массу данного тела. Вывод здесь вполне аналогичен выводу формулы для нахождения массы пластинки по ее плотности. 3. Момент инерции. Проводя обычный предельный переход от системы материальных точек к непрерывно распределенной массе, легко получить следующие выражения для моментов инерции отно- относительно координатных осей тела с объемной плотностью р(х, у, z)\ /г= J J J(x2+y2)p(x, у, z)dxdydz, V /y = ///(x2+22)p(x, у, z)dxd$dz, . у. z)dxdydz. V Момент инерции относительно начала координат выражается фор- формулой IQ=fff(x2 + f- + z2)p(x, у, z)dxdydz. V 4. Вычисление координат центра масс. Координаты центра масс некоторого тела, имеющего объемную плотность р(х, у, z), выражаются формулами: Г Г Г хр (х, у, z) dx dy dz }[] Ур (x> У' v dz хс — r r r ' У" — Г г г ' I I I Р {х, у, z) dx dy dz J I J p {x, y, z) dx dy dz V V f J / zp ^x< y' г) dx dy dz j j j P (x. y, z) dx dy dz V которые получаются с помощью тех же рассуждений, что и в слу- случае двух измерений. В частности, если рассматриваемое тело одно- однородно, т, е. р(х, у, z)= const, то выражения для координат центра масс принимают более простой вид: iljxd" SSh"" И! '""
§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 79 б. Притяжение материальной точки телом. Пусть даны тело, заполняющее область V и имеющее плотность р(х, у, z), и мате- материальная точка (лежащая вне V) с координатами (х0, у0, z0) и мас- массой т. Найдем силу, с которой материальная точка притягивается телом. Рассмотрим элемент объема тела dv. Масса этого элемента равна р(х, у, z)dv,a сила, с которой он притягивает материальную точку, равна по величине тр (х, у, z) dv Р где у — постоянная тяготения (зависящая от выбора единиц) и г = У(х - х0J + (у — у0? + (z - zof, а направление ее совпадает с направлением вектора г, соединяющего точки (х0, уй, z0) и (х, у, z). Рассмотрим компоненту этой силы вдоль оси х. Эта компонента равна (х — х0) тр (х, у, z) dv У р \г-6> (д. д. \ поскольку косинус угла между осью х и вектором г равен . Для того чтобы получить проекцию Fx на ось х силы, с которой притягивает материальную точку все тело, нужно просуммировать элементы B.3), т. е. взять тройной интеграл. Итак, v Аналогично получаются и две другие компоненты: Замечание. Следует подчеркнуть, что в рассматриваемых здесь за- задачах о нахождении координат центра масс, моментов инерции и т. д., равно как и в аналогичных задачах, о которых шла речь в § 4 предыдущей главы, полученные нами формулы представляют собой, собственно говоря, опреде- определения соответствующих понятий (центра масс, моментов инерции и пр.) для случая непрерывного распределения масс. Оправданием этих определений служат, в конечном счете, не логические рассуждения, а совпадение резуль- результатов экспериментов с расчетами, основанными на этих определениях.
80 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 г. § 3. Вычисление тройного интеграла Как и в случае двойных интегралов, основной прием, на кото- котором базируется вычисление тройных интегралов, состоит в сведении интеграла к повторному, т. е. к замене интегрирования по объему интегрированием по каждой из переменных в отдельности *). Задачу о сведении тройного интеграла к повторному мы рассмо- рассмотрим сначала для случая, когда интеграл берется по некоторому параллелепипеду со сторонами, парал- параллельными осям координат. 1. Сведение тройного интеграла по параллелепипеду к повторному. Рассмотрим тройной интеграл (х, у, z)dxdydz, Рис, 2.1. (рис. 2.1), проектирующийся на плоскость ху в прямоугольник Р, определяемый неравенствами ^л /\ J 1 / Р Q в котором область интегрирования Q представляет собой прямоугольный па- параллелепипед: Имеет место следующая Теорема 2.5. Если для функции /(х, у, z) существует тройной интеграл (х, у, z)dv Q и если для каждой фиксированной точка (х, у) из Р суще- существует интеграл Пх, y) = ff(x, у, z)dz, k то повторный интеграл i f (dxdyff(x, у, z)dz *) Здесь мы имеем в виду точное вычисление интеграла. Для прибли- приближенного вычисления кратных интегралов сведение их к повторным, как пра- правило, не применяется.
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 81 существует и имеет место равенство i ////(*• У> z)dv = ffdxdyff(x, у, z)dz. B.4) Q Р к Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о сведении двойного интеграла к повторному (см. тео- теорему 1.5). Оно сводится к установлению того факта, что любая интегральная сумма, отвечающая при некотором разбиении интегралу Г Г/(х, y)dxdy, заключена между нижней и верхней суммами Дарбу, р отвечающими тройному интегралу Г Г Г f(x, у, z)dv. Q Предположив, что интеграл а Г(х, y)dy (при любом фиксированном х, а-^x-^b) также существует, мы можем в формуле B.4) интегрирование по прямоугольнику Р заме- заменить повторным интегрированием, сначала по у, а потом по х. Сде- Сделав это, мы можем переписать равенство B.4) в следующем виде: ъ a i ////(*■ У. z)dv = fdxfdyff(x, у, z)dz. B.5) Q а с k Это и есть формула, сводящая вычисление тройного интеграла по параллелепипеду Q к последовательному интегрированию по каждой из трех переменных в отдельности. В формуле B.5) интеграл справа берется сначала по z, потом по у и, наконец, по х. Мы могли бы, предположив существование интегралов ь d 1ЛУ> z) = Jf(x, у, z)dx и •/,(£) = /Л(У. *)dy, а с получить аналогичную формулу { d Ь J* ///О- У. z)dv = fdzfdyff(x, у, z)dx, Q к с а а'также (опять-такн при условии существования соответствующих однократных и двойных интегралов) и другие аналогичные формулы, сводящие тройной интеграл к повторному, взятому по х, у и z в той или иной последовательности. В частности, если f(x, у, z) непрерывна, то как тройной, так и все возможные двойные и одно- однократные интегралы от этой функции существуют, поэтому при 6 Б. М. Будак, С, В. Фомин
82 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 вычислении тройного интеграла от непрерывной функции можно инте- интегрировать по переменным х, у и z в любой последовательности. 2. Сведение тройного интеграла по криволинейной области к повторному. Рассмотрим теперь криволинейную область V, кото- которая снизу и сверху ограничена поверхностями z = z1(x, у) и z = z2(x, у), а сбоку — некоторой цилиндрической поверхностью, и пусть О — проекция области V на плоскость ху (рис. 2.2). Будем такую область кратко называть «цилиндри- «цилиндрической по z». Пусть в области V за- задана функция /(х, у, z), интегрируе- интегрируемая в этой области и такая, что для любой фиксированной точки (х, у) из О существует однократный интеграл гг (х, у) f f{x, у, z)dz. г, (х, у) Заключим область V в некоторый па- параллелепипед Q: Рис. 2.2. и определим на Q вспомогательную функцию /*(х, у, z), положив /*(х, у, z) = - О вне V. Ясно, что /*(х, у, z) интегрируема по Q и что V, z)dv. B.6) Q V Применив к /*(х, у, z) формулу B.4), получим i ////*(*. У> z)dv = ffdxdyff*(x, у, z)dz, B.7) Q P ft 1де Р — проекция Q на плоскость ху. В силу того, что /*(х, у, z) равна нулю вне V, имеем I z%(x, у) ff*(x, у, z)dz= f /(x, у, z)dz. B.8) ft г,(х, у) Этот интеграл представляет собой функцию от х и у, равную, оче- очевидно, нулю вне области О. Поэтому двойной интеграл от нее, взя-
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 83 тый по Р — проекции параллелепипеда Q на плоскость ху,—сов- ху,—совпадает с интегралом от нее же, взятым по О. Таким образом, учи- учитывая B.6) и B.8), равенство B.7) можно переписать в следующем виде: гг(х, у) ////(*. у, z)dxdydz = Jjdxdy J f(x, у, z)dz. B.9) V G г, (х, у) Итак, мы получили следующий результат: Теорема 2.6. Если для функции f(x, у, z), заданной в области V, цилиндрической по z, существует тройной ин- интеграл ////(*> У- z)dv, v а для каждой фиксированной точки (х, у), принадлежащей проекции G области V на плоскость ху, существует инте- интеграл z2(x, у) I(x, y)= j fix, у, z)dz, г, (х, у) то повторный интеграл z3 (х, у) f fdxdy f f(x, y, z)dz a z,(x, y) существует и имеет место равенство B.9). Выражение z2(x, у) 1{х, у)= J fix, у, z)dz Zi (х, у) представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функ- функции и той области О, по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 1.6, то двойной интеграл , у) dx dy o~ можно в свою очередь представить в виде повторного, взятого, ска- скажем, сначала по у, а потом по х. В результате получаем равенство Ь уг(х) z2(x, у) f J ffix, у, z)dv = f dx f dy f f(x,y,z)dz. B.10) V а У\(х) Zi(x,y) Это и есть окончательная формула, сводящая тройной интеграл к по- повторному. Ясно, что мы могли бы поменять ролями переменные х,
84 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 у и z и свести тройной интеграл к повторному, взятому в каком- нибудь ином порядке, например, сначала по х, потом по у и, нако- наконец, по z. При этом всегда пределы интегрирования по какому-либо переменному зависят от тех координат, по которым мы еще не ин- интегрировали. При выводе формулы B.9) мы пользовались тем, что каждая прямая, параллельная оси z, встречает границу области V не более чем в двух точках. Если область имеет более сложный вид, то для сведения взятого по ней тройного интеграла к повторному нужно эту область предварительно разбить на такие части, к каждой из которых формула B.9) применима. С аналогичным положением дел мы уже встречались в случае двойных интегралов. Подводя итог сказанному выше, сформулируем кратко «рецепт» сведения тройного интеграла к повторному (для определенности бу- будем считать, что повторный интеграл берется сначала по z, а по- потом по остальным переменным). ,1. Область, по которой берется тройной интеграл, следует раз- разбить на такие части, чтобы граница каждой из этих частей пересе- пересекалась любой вертикальной прямой не более чем дважды. Ниже бу- будем рассматривать только одну такую часть. 2. Зафиксируем х и у, т. е. рассмотрим некоторую прямую, па- параллельную оси z. Пусть z1(x, у) и z2(x, у) — точки пересечения этой прямой с границей области интегрирования; z1(x, у) и z2(x, у) являются пределами для интегрирования по z. 3. После интегрирования по z мы получаем функцию двух пере- переменных х и у; ее область определения — это проекция простран- пространственной области V на плоскость ху. Двойной интеграл от этой функции двух переменных заменяется повторным так, как это было описано в § 5 гл. 1. По существу, формула сведения тройного интеграла к повторному осно- основана на той же самой «группировке слагаемых», с которой мы уже имели дело. Вместо того чтобы суммировать элементы / (х, у, z) dx dy dz в ка- каком-то произвольном порядке /т. е. брать I I I f (х, у, z) dxdy dz \, мы \ v I сначала собираем все слагаемые, отвечающие одному столбику над точкой (z,{x,y) \ т. е. берем I f {х, у, z) dx I, затем собираем вместе все стол- столбики, лежащие в сечении области V плоскостью х = const I т. е. вычисляем Уг(х) Zi{x,y) \ Г dy Г / (х, у, z)dz\, и, наконец, собираем вместе все такие сечениа
§4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ т. е. получаем формулу Ь у2(х) z2(x,y) \ *• y,z)dv=fdx j dy J f{x,y,z)dz\. a yt(x) zt(x,y) I V a yt(,x) zt(x,y) Пример. Тройной интеграл, взятый по шару записать в виде повторного. Ответ. f f f f(x, у, z)dv= J dx f dy j f(x,y,z)dz. <a2 -a -Va2-x2 -Va?-x2-y2 § 4. Замена переменных в тройном интеграле Мы уже встречались с заменой переменных в двойном интеграле- (§ 6 гл. 1) и в однократном (вып. 1, гл. 6, § 2). Здесь мы рассмотрим вопрос о замене переменных в тройном интеграле. Содержание этога параграфа во многом ана- аналогично § 6 гл. 1. zk „ 1. Отображение про- ^ГГ7Т" странственных областей. Рассмотрим два экземпляра трехмерного пространства. Пусть в одном из них вве- введены координаты х, у, z, a в другом — координаты |, т], £. Пусть, далее, V и Q — две области в этих про- пространствах, ограниченные кусочно-гладкими поверхностями S и 2 соответственно (рис. 2.3).- Предположим, что между точками этих областей установлено взаимно- взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие. Это соот- соответствие может быть записано с помощью трех функций х = х(£, я £), у^= у(£, т|> £)> z = z(£, п, t.) B.11) или с помощью обратных функций 1=1(х, у, z), i\ = i\(x. у, z), 1 = 1{х, у, z). B.12) Предположим, что функции B.11) и B.12) не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные первого порядка- Тогда якобианы Рис. 2.3. D D E, у, z) D D (х, у, г) ], Q
:g6 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 существуют и непрерывны. Мы будем предполагать, что каждый из этих якобианов отличен от нуля. При этих условиях выполняется ■соотношение D (*. У. г) D F, Г), I) _ . D& л. О ' D(x,y,z) -Ь ^-ld) Как и в двумерном случае, можно показать, что соответствие, опре- определяемое формулами B.11) и B.12), переводит внутренние точки одной области во внутренние точки другой, а граничные точки — опять-таки в граничные. 2. Криволинейные координаты в пространстве. Отображе- Отображение B.11) переводит область Q в V. Следовательно, задание точки (|, т], С) из Q вполне определяет соответствующую точку (х, у, z) из V. Иначе говоря, величины |, ц, t, можно рассматривать как координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области V. Они называются криволинейными координатами. Рассмотрим в Q плоскость, определенную условием £ = £0> т- е- параллельную координатной плоскости г)£. Отображение B.11) пере- переводит ее в некоторую поверхность. Декартовы координаты точек этой поверхности суть *) х = х (|о, т], 0. У = У (So- Л. С), г = z (|0, ц, I). B.14) Придавая |0 различные значения, мы получим некоторое семейство поверхностей, зависящее от | как от параметра. Плоскости г) = const и С = const переходят при отображении B.11) в два аналогичных семейства поверхностей в области V- Эти три семейства поверхно- поверхностей называются координатными. Через каждую точку области V проходит по одной поверхности каждого из трех семейств (при усло- условии взаимной однозначности отображения B.11)). 3. Цилиндрические и сферические координаты. Рассмотрим две наиболее употребительные системы криволинейных координат в пространстве — цилиндрические и сферические координаты. г) Цилиндрические координаты. Определим положение точки М в пространстве ее декартовой координатой z и полярными коорди- координатами г, ф ее проекции /И, на плоскость ху (рис. 2.4). Величины г, ф, z называются цилиндрическими координатами точки М. Непосредственно из чертежа видно, что они связаны с декартовыми координатами точки М следующими соотношениями: Z=Z. B.15) *) Выражения B.14) представляют собой так называемые параметрические уравнения поверхности. Подробнее о параметрических уравнениях поверх- поверхности будет сказано в гл. 3.
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 87 Цилиндрическим координатам отвечают следующие три семейства координатных поверхностей: а) цилиндры г = const @ <; г < со), Р) вертикальные полуплоскости ср = const @^ср<2л), у) горизонтальные плоскости z = const (— со < z < со). Якобиан, соответствующий переходу от декартовых координат- к цилиндрическим, равен coscp sincp О D (х, у, z) _ D (г, ф, г) = г. Рис. 2.4. — rsincp r coscp и О 0 1 B.16) Формулы B.15), устанавливающие связь между декартовыми и цилиндри- цилиндрическими координатами, определяют отоб- отображение области 0<г<со, 0^ср<2л, —co<z<co B.17) пространства переменных (г, ср, z) на все пространство (х, у, z). При этом каждой точке @, 0, z0) отвечает в области, определенной; неравенствами B.17), целый полусегмент г = 0, 0<ф<2л, z = z0. Таким образом, в точках, лежащих на оси z, наше отображение не является взаимно однозначным. Во всех остальных точках простран- „ ства (х, у, z) рассматриваемое соответствие бу- будет, очевидно, взаимно однозначным. б) Сферические координаты. Определим положение точки М в пространстве следующими тремя величинами: а) расстояние р от начала координат О до М, Р) угол 9 между отрезком ОМ и положи- положительным направлением оси z, у) угол ф между проекцией ОМХ отрезка ОМ на плоскость ху и положительным на- направлением оси х (рис. 2.5). Величины р, 0 и ф называются сферическими координата- координатами точки М. Из чертежа видно, что декар- декартовы координаты точки М связаны с ее сферическими координа- координатами следующими соотношениями: х = рзт9созф, y = psin9s^, z = pcos9. B.18> Сферическим координатам отвечают следующие три семейства коор- координатных поверхностей: Рис. 2.5.
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 а) сферы р = const @ -^ p < со), P) полуконусы 0 = const @ <^ 0 -^ л), у) вертикальные полуплоскости ф = const (I Якобиан, соответствующий переходу от декартовых координат :к сферическим, равен sin 0 cos ф sin 0 sin ф cos0 = p2sin0. B.19) —psin0 — psinGsincp рвшОсовф О Формулы B.18) определяют отображение области (полубесконеч- иый брус) 0<р<со, О<0<л, 0<Ф<2л пространства (р, 0, ф) на все пространство (х, у, z). Это отобра- отображение, как и отображение, отвечающее цилиндрическим координатам, взаимно однозначно во всех точках пространства (х, у, z), кроме точек, лежащих на оси z. Каждой точке @, 0, z0) отвечает полу- полусегмент p = z0, 0 = 0 (или 0 = л, если z0 < 0), 0^ф<2л, а точке @, 0, 0) отвечает прямоугольник р = 0, 0 <; 0 .< л, 0 .< ф < 2л. 4. Элемент объема в криволинейных координатах. Найдем теперь выражение элемента объема в криволинейных координатах. Рассмотрим снова некоторую пространственную область V, в кото- которой введены криволинейные координаты £, v\, £, связанные с декартовыми координата- координатами х, у, z формулами х = хA, ц, £), у = у(|, т], £). п 9Пч Функции x(l, ч), £), y(|, ц, £) и 2A, ц, 0 мы предполагаем непрерывными и имеющи- имеющими непрерывные производные, а якобиан D (х, у, z) D —J ' считаем отличным от «уля. Рассмотрим три пары бесконечно близких между собой коорди- координатных поверхностей. Пусть первая из этих пар задается фиксиро- фиксированными значениями первой координаты, равными соответственно £ и \-\~d\, вторая — значениями г) и г)-}-<2г) второй координаты и третья — значениями £ и X>-\-d%> третьей координаты. Эти три пары поверхностей вырезают в пространстве бесконечно малый криволи- криволинейный параллелепипед. Найдем его объем dv, пренебрегая вели- величинами выше первого порядка малости по сравнению с этим объе- объемом. С точностью до бесконечно малых высшего порядка этот па- параллелепипед совпадает с прямолинейным параллелепипедом, ребрами которого служат векторы PPV РР2 и PPS (рис. 2.6). Легко про-
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 89- верить, что эти векторы имеют следующие координаты (мы опять здесь ограничиваемся главными членами) w.-Df* •£* -14 Как известно, объем параллелепипеда, построенного на трех векто- векторах, равен абсолютной величине детерминанта, составленного из. координат этих векторов. Следовательно, дх ду i dz dz = + dx dl dx ch, dx dy dl _dy dt] dy dz dz dz где знак плюс или минус берется так, чтобы все выражение было положительно. Итак, мы получим, что dv = \J(l, т), t)\dld4di, B.21) где У(|, т], £,)= n,J у> 5. якобиан преобразования B.20). 5. Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана. Мы показали, что объем бесконечно малого эле- элемента выражается в криволинейных координатах формулой B.21). Из нее сразу следует, что объем конечной области V записывается в виде тройного интеграла *) J/JV(i. B.22) взятого по той области й изменения переменных |, г), £, которая переводится в область V отображением B.20). Из этого выражения для объема формула замены переменных получается с помощью следующих рассуждений, аналогичных изло- изложенным в п. 6 § 6 гл. 1. *) Мы опустили здесь те оценки, которые в § 6 гл. 1 были проведены для двух переменных. Читатель, разобравший доказательство теоремы 1.7, легко воспроизведет аналогичное доказательство и для данного случая. Здесь, как и в случае двух переменных, основная идея состоит в аппроксимации нелинейного отображения малой области подходящим ее линейным отображением.
SO ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Пусть /(х, у, z)—непрерывная функция, заданная в замкнутой ограниченной области V. При этих предположениях интеграл /(х, у, z)dxdydz B.23) существует. Он представляет собой предел интегральных сумм вида п 2/(хг- Уг. ■гг)Аг>,. B.24) Пусть формулы B.20) устанавливают соответствие между об- областью V и некоторой областью Q изменения переменных |, г), £, причем это соответствие удовлетворяет условиям, указанным в п. 1. В силу этого соответствия, каждому разбиению {Vt} области V на части отвечает определенное разбиение {Q^} области Q, и обратно. Согласно B.22) можно объем Лг»г области Vt представить в виде Я 01 <*£ Применив к этому интегралу теорему о среднем, получим где Дсог — объем частичной области Q;, а (|*, г)*, ^ — некоторая точка, принадлежащая Q;. В сумме B.24) каждая из точек (хг, уг, zt) выбирается внутри соответствующей области Vt произвольно. В частности, можно в ка- качестве (xt, yt, zt) взять ту точку, которая имеет криволинейные координаты !*, т)*, t,*. Следовательно, интегральную сумму B.24) можно переписать в виде B.25) т. е. в виде интегральной суммы, отвечающей интегралу ////(*(&. Я 0. У(Е. Л. 0. Ч1> Я 0I^A. Л. 0|^^Л^- B-26) Этот интеграл заведомо существует, так как подынтегральная функ- функция в нем непрерывна. Рассмотрим некоторую последовательность неограниченно измельчающихся разбиений \Vt\ области V. Ей отве- отвечает, в силу отображения B.20), определенная последовательность разбиений {Q;} области Q, причем если максимум диаметров областей V{ стремится к нулю, то максимум диаметров областей Qt тоже стре-
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 91' мится к нулю. Этой последовательности разбиений отвечает последо- последовательность интегральных сумм, каждую из которых можно записать, в виде B.24) или в виде B.25). Предел этой последовательности интегральных сумм B.24) равен интегралу B.23), а предел сумм B.25). есть интеграл B.26). Таким образом, интегралы B.23) и B.26) пред- представляют собой пределы одних и тех же интегральных сумм. Следо- Следовательно, они равны, т. е. У(I. Ч 0. *(&. Л. £))№ т,. 0|Ао. B.27) Итак, если задано взаимно однозначное отображение зам- замкнутой ограниченной области V на область Q, непрерывное, непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан, и если f(x, у, z)— непрерывная функция, опреде- определенная в этой области V, то имеет место формула B.27) — формула замены переменных в тройном интеграле. Нетрудно показать, что она справедлива не только для непре- непрерывной функции /, но и для ограниченной функции, непрерывной в V всюду, кроме точек, образующих множество объема нуль. Вернемся снова к формулам B.20), устанавливающим соответ- соответствие между областью V изменения переменных х, у, z и областью £1: изменения переменных \, х\, £. Это соответствие переводит лежащий в Q бесконечно малый параллелепипед !о<!<£<>+<*&■ Т1о<л<л0+^. loKKU+dt объем которого равен da> = dl,dr\dt,, в криволинейный параллелепи- параллелепипед, определяемый теми же неравенствами, с объемом dv=\J(l, т), t)\dld4dl. B.28), Следовательно, модуль якобиана |У(|, т|, £)|—эт0 отношение бес- бесконечно малых объемов, отвечающих друг другу при отображении, B.20) (рис. 2.7). В простейших случаях якобиан, отвечающий той или иной замене переменных, можно найти, пользуясь выражением B.28) для элемента объема, из чисто геометрических соображений, не проводя вычисле- вычислений. Покажем это на примерах цилиндрических и сферических коор-- динат. Цилиндрические координаты. Рассмотрим элемент объема,, заключенный между тремя парами бесконечно близких координатных, поверхностей, а именно, двумя цилиндрами радиусов г и r-\~dr, двумя горизонтальными плоскостями, лежащими на уровнях z n\d
-92 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 и двумя полуплоскостями, проходящими через ось z и составляющими <. осью х углы ф и (f-{-d(f. Ограниченный ими элемент объема лредставляет собой, с точностью до малых высшего порядка, прямо- угольный параллелепипед с ребрами dr, dz и rrfcp (рис. 2.8). Его объем равен г dr d(f> dz, откуда видно, что якобиан перехода от декартовых координат к ци- цилиндрическим равен г. г Рис. 2.9. Сферические координаты. Рассмотрим область, ограниченную двумя сферами радиусов г и r-\-dr, двумя полуконусами, опреде- определяемыми углами 9 и 9 + ^9 (отсчитываемыми от оси z), и двумя ЛОЛуПЛОСКОСТЯМИ, СОСТавлЯЮЩИМИ уГЛЫ ф И (f)-\-d(f С ПЛОСКОСТЬЮ XZ.
$ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 93 Эту область можно считать прямоугольным параллелепипедом с реб- ребрами г dQ, dr и rsinOdcp (рис. 2.9). Следовательно, объем этого параллелепипеда равен г2 sin QdrdQdy, •откуда видно, что соответствующий якобиан равен г2 sin 9. § 5. Понятие о многомерных интегралах 1. Общие сведения. Те определения и факты, которые в первой главе были изложены для двух переменных, а в этой — для трех, могут быть перенесены на случай любого числа переменных. Именно, прежде всего определяется объем re-мерного параллелепипеда. В соответствии с известными из аналитической геометрии фор- формулами, представляющими площадь параллелограмма и объем парал- параллелепипеда в виде детерминантов, за объем re-мерного параллелепи- параллелепипеда принимается абсолютная величина детерминанта, элементами строк (или столбцов) которого служат координаты векторов, образующих ребра этого параллелепипеда. Далее, отправляясь от объема парал- параллелепипеда, нетрудно ввести объем для многогранных я-мерных тел, а затем определить объем и для некоторого класса областей в ге-мер- ном пространстве. После этого интеграл от функции п перемен- переменных f(xv х2, ..., хп) вводится как предел соответствующих инте- интегральных сумм; п-кратный интеграл от f(xv х2 хп), взятый по некоторой re-мерной области G, обозначается символом (*!, х2 xn)dx1dx2 ... dxn. При соответствующих условиях, налагаемых на область О и на подынтегральную функцию, re-кратный интеграл может быть записан с помощью п последовательных интегрирований по каждому перемен- переменному в отдельности, т. е. в виде J f •I a i— j f{xv b л fdx, x2, i2> (x / i) dx2 xn)dxx dx, 2 • ■ / . dx xn-\ n ) /(• xn)dxn. Формула замены переменных в re-кратном интеграле аналогична •соответствующим формулам для двойных и тройных интегралов, а именно, если х,- — xi(y1, у2, .... уп), г —1, 2 п,
94 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 ТО / xn)dXl...dxn = = j ■•• J /О1О1 уп)> •••■ *п(у>1 Уп) X x Уп) ... dyn, где Г—область изменения переменных у1( ..., уп. 2. Примеры. Для re-кратных интегралов остаются в силе все основные факты, изложенные выше для двойных и тройных инте- интегралов. Не останавливаясь на общих вопросах теории ге-кратных интегралов, рассмотрим некоторые простейшие примеры. 1) Взаимное притяжение двух материальных тел. Хотя реальное физическое пространство, в котором мы живем, имеет только три измерения, существуют разнообразные конкретные задачи, в которых приходится рассматривать интегралы кратности большей трех. В качестве простейшего примера такого рода укажем формулу для силы взаимного притяжения двух материальных тел конечных размеров. Пусть одно из этих тел занимает некоторую область G и имеет объемную плотность р(х, у, z), а другое занимает область О' и имеет объемную плотность р'(х', у', z') (нам удобно обозначить декартовы координаты точек одного и другого тела разными симво- символами). По закону Ньютона направленная по оси х компонента dFx силы притяжения, действующей между двумя бесконечно малыми элементами dv = dx dy dz и dv' = dx' dy' dz' объемов этих двух тел, равна у р {х' у' z) ргз(х'' у/' г>) (х — х') dx dy dz dx' dy' dz', B.29) где у — постоянная и г = У (х- х'J+(у - y'f~\-{z- z'f . Для того чтобы получить полную величину компоненты Fx силы взаимодействия между рассматриваемыми телами, нужно просуммиро- просуммировать выражения B.29) по всем элементам объема обоих тел. Иначе говоря, компонента Fх силы взаимного притяжения тел, заполняющих области G и G', равна yIfffff 00" f 0X0" B.30)
§ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 95 Аналогично записываются и две остальные компо ,енты. При этом точка (х, у, z) пробегает всю область G, а точка (х'', у', z') неза- независимо пробегает всю область G'. Таким образом, интеграл B.30) берется по области в шестимерном пространстве, которую естественно обозначить GXG' и назвать «произведением» областей О и G'. 2) Рассмсг эим интеграл fxidx2...dxn, B.31) о взятый по области G, определяемой неравенствами х,>0, х2>0 х„>0, Сводя интеграл B.31) к повторному, получаем dx2... f dxn. 0 0 0 Выполнив интегрирование по хп и подставив пределы, получим In=fdx1f dx2... f (l—xl—... — xn_1)dxn_1. 0 0 0 Далее, проинтегрировав по xn_t и подставив пределы, будем иметь г — С rlx С dx Г (l-xl~...~xn_2f 0 0 0 Продолжая последовательно интегрирование, окончательно получим (/г—1)! aJCl~nl' о 3) Объем п-мерного шара, п-мерный шар радиуса а с центром в начале координат—это совокупность тех точек я-мерного про- пространства, координаты которых удовлетворяют условию Объем Vп такого шара — это интеграл //•••/ dxi --- dxn.
96 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Вычислить этот интеграл можно следующим образом. Положив х,- — ау, получим где Un—объем шара радиуса 1. Далее, так как Un= //•••/ dxi dx2 ... dxn = = f dxn /-••/ dxl...dxn_l = ^44 n-l n-1 -1 то, положив xn = cos9, получим я т B.32) Приняв во внимание, что G1 = 2 (одномерный шар радиуса 1 — это отрезок [—1, 1], а одномерный объем — это длина), мы можем по- последовательно найти U2, иг и т. д. *). *) С помощью эйлеровых интегралов (см. гл. 10, § 3, в частности при- пример 3) можно дать явное выражение для Uп.
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе мы применим дифференциальное и интегральное исчисления к изучению геометрических объектов — кривых и поверхностей. Исследование геометрических образов средствами анализа составляет содержание дифференциальной геометрии. Рамки этого курса позволяют нам изложить лишь основы дифферен- дифференциальной геометрии, которая представляет собой обширную науку, тесно связанную с механикой, теорией дифференциальных уравнений и другими дисциплинами. § 1. Вектор-функции скалярного аргумента 1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность. Кри- Кривые и поверхности удобно задавать функциями, принимающими векторные значения (короче, вектор-функциями). Поэтому мы начнем главу с того, что кратко сформулируем основные понятия анализа применительно к вектор-функциям. Мы можем при этом не входить в подробности, так как нового (по сравнению со случаем скалярных функций) здесь будет немного. Определение. Пусть каждому значению переменной t, принадлежащему отрезку [а, Ь], поставлен в соответствие вектор C.1) Такой вектор называется век- вектор-функцией скалярного ар- ^—~777 гумента t. 0 С вектор-функцией r(i) связыва- _ ются следующие наглядные представ- представления. Если откладывать от начала координат векторы г (f), отвечающие различным значениям аргумента t, то концы этих векторов составят некоторую кривую — график вектор- функции г (t), обычно называемую годографом функции г(^)(рис. 3.1). 7 Б. М. Будак, С. В. Фомин
98 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Если рассматривать аргумент t как время, то годограф функции г (t) — это траектория движения некоторой точки. Постоянный вектор R = ai -Ь *j -Ь ск называется пределом г @ при t-+t0, если lim |r@ — R| = 0, C.2) где |r(f)—R|—длина вектора r(t)—R. Это условие равносильно трем скалярным условиям: lim х (t) = a, lim у (t) = b, lim z (t) = с C.2') t-*t0 t-±ta <-*•/■„ Вектор-функция г (t) называется непрерывной в точке t0, если lim r (t) = г (t0). Вектор-функция г(^) непрерывна в точке ^0 тогда и только тогда, когда все т р и ее компоненты — скалярные функции х (t), у (t), z (i) — непрерывны в точке t0. (Докажите это!) Сумма, разность, ска- скалярное и векторное произведения непрерывных вектор-функций не- непрерывны. (Проверьте это!) 2. Дифференцирование вектор-функции. Вектор-функция г (t) называется дифференцируемой в точке t, если существует предел Иш Этот предел называется производной вектор-функции г (t) и обозна- обозначается символами —, г' (f) или г (t). Легко проверить, что суще- существование г' (t) равносильно существованию трех производных х' {t), у' (i) и z' (t), причем Вектор -гт- направлен по секущей ММХ годографа функции г(/) (рис. 3.2), а направление вектора -тт — это направление предельной прямой, к которой стремится эта секущая, когда точка Мг прибли- приближается к М, т. е. направление касательной к годографу в точке М. Кинематически г'(^) — это скорость точки, движущейся по за- закону г(^). Для вектор-функции имеют место следующие правила дифферен- дифференцирования: 1) если г (t) = const, то г'@ = 0; 2) (kr @ )' = kr' @, k = const;
§ I] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 99 3) (u(t)r(t))' = u'(t)r(t)+u(t)r'(t), к (О —скалярная функция; 4) (r,(O±ra(O)' = ;±J 5) (i-jCO, гя (*))' = (г; ( 6) [г^О. гя (/)]' = [rj (/). rjCOIH-Ir,^), гя(*)] (здесь необходимо сохранять порядок сомножителей); 7) если г = г (t) и * = * (т), то dx _ dx dt dx dt dx — правило дифференцирования сложной вектор-функции. Доказательство этих правил мы предоставим читателю. Отметим следующие частные случаи дифференцирования вектор- функции: а) Производная вектора постоянного направления. Пусть вектор г (t) имеет постоянное направление (т. е. от t зависит лишь его длина). Тогда векторы r(t) и г'(^) коллинеарны. Дей- Действительно, в этом случае г(/) мож- можно записать в виде где и {t) — скаляр, а е — постоянный вектор, например единичный. Тогда гЧ0=«'.@е.т.е.г'@=£$г(,). б) Производная вектора постоянной длины. Если |г(£)| = = const, то векторы г(t) и г'(t) взаимно ортогональны. Действи- Действительно, в этом случае (г (t), r' (t)) = const; дифференцируя это равен- равенство, получаем 2(r(t), г/@) = 0. т. е. (г (О, что и требовалось. Геометрический смысл этого соотношения очень прост. Если \r(t)\=^R, то годограф функции г(^) лежит целиком на сфере ра- радиуса R с центром в начале координат. Касательная к такой кривой лежит в плоскости, касательной к сфере, и, следовательно, перпенди- перпендикулярна радиусу-вектору г (i), идущему в точку касания. Дифференциалом ее кто р-ф у нкции г (t) называется вектор dr = dx- i-\-dy- i-\-dz-k. . Иначе говоря, d r = х' (t) dt • i -+- у' (t) dt • j -f- z' (t) dt • k = r' @ dt.
100 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 т. е. дифференциал вектор-функции равен произведению ее произ- производной на дифференциал (т. е. приращение) независимой переменной. Как и в случае скалярной функции, дифференциал dr вектор-функции отличается от ее приращения Аг на величину выше первого порядка малости относительно А^. 3. Годограф. Особые точки. Мы назвали годографом вектор- функции г@.ту кривую, которую описывает конец вектора г(^) при изменении t, если его начало все время находится в некоторой фикси- фиксированной точке. Если г(^) — дифференцируемая вектор-функция, то вектор г'(^) там, где он не равен нулю, направлен, как мы видели, по касатель- касательной к годографу. Точки, в которых производная г' (t) не существует или существует и равна 0, называются особыми. Эти особые точки могут иметь различный характер. Приведем несколько примеров Рис. 3.3. (рис. 3.3). При движении точки по закону г(^) путь может пред- представлять собой «гладкую» кривую, однако скорость v (t) = г' (t) при t—>t0 может стремиться к нулю. Материальная точка испытывает остановку в момент t — t0. Это — особенность самого движе- движения, но не той геометрической кривой, по которой движется точка (рис. 3.3, а). В других случаях такая остановка может сопрово- сопровождаться изменением направления пути (излом; ель рис. 3.3, б). Это — особенность как самого движения, так и соответствующей геометри- геометрической кривой. Может оказаться, что на кривой имеется излом, но скорость г' (t) при приближении к этой точке не стремится к нулю (рис. 3.3, б). Здесь точка испытывает толчок, меняющий ее скорость скачком. Далее, кривая, по которой происходит движение, может иметь точку возврата (рис 3.3, в), причем скорость материальной точки вблизи этой точки также может либо стремиться к нулю, либо меняться
§ 1) ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 101 скачком. Наконец, при t —>t0 движение г @ может просто «замирать» и не возобновляться при t > t0. Это — «покой» в конце пути (рис. 3.3, г). Эти и различные другие особенности движения представляют интерес при изучении конкретных случаев; вместе с тем они затрудняют при- применение общих методов. Мы будем в дальнейшем такие особенности исключать и рассматривать движения, для которых г' (t) всюду суще- существует и не обращается в нуль. 4. Формула Тейлора. Для вектор-функции имеет место формула Тейлора C.3) где я— вектор, стремящийся к нулю при At—>0. Действительно, применив формулу Тейлора к каждой из трех компонент *) х (t), y(t) и z(t) вектора r(t), получим ...~\-~{x^{t) + al) At" я еще два аналогичных равенства для у и z. Умножив эти равенства соответственно на i, j и к и сложив, получим формулу C.3). Мы видим, таким образом, что основные понятия и правила диф- дифференциального исчисления легко и без существенных изменений пере- переносятся со скалярных функций на векторные. Следует, однако, иметь в виду, что такой перенос все же нельзя делать совершенно автоматически. Например, известная формула конечных прираще- приращений (вып. 1, гл. 8, § 9) для вектор-функций несправедлива. (Постройте пример!) 5. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу. Для вектор-функции г (t), заданной на отрезке a-^t <^#, как и для обычных скалярных функций, можно составить интегральные суммы и рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины отрезков, на которые разбит отрезок [а, Ь]. Этот предел называется интегралом от г(^) по отрезку [а, Ь\ и обозначается символом и г @ dt. *) Мы, разумеется, предполагаем, что компоненты х (t), у (t), z (t) вектор- функции г (t) удовлетворяют тем условиям, при которых формула Тейлора для каждой из них имеет место.
102 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Как и для скалярных функций, можно установить, что если r(t} непрерывна на [а, Ь], то этот предел существует. Легко видеть, что существование предела одной векторной инте- интегральной суммы 1 = 1 (здесь а = ^0<^< ... <^tn = b, tl_1<^.xi^.tl) равносильно суще- существованию пределов трех скалярных интегральных сумм для трех компонент х (t), у (t), z (t) функции г (t). При этом На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства интегралов от скалярных функций. Например, ь ь j и' (i) r (i) di=u (b) r(b) — u (a) r (a) — f и (t) r' (/) dt a a — формула интегрирования по частям; a (i) — скалярная функция. Легко выводятся также формулы, связывающие интегрирование с основными операциями векторной алгебры. Например, ь р ь f[c, r(t)]dt=\c. fr(t) а [_ а dt где с — постоянный вектор. 6. Векторные функции нескольких скалярных аргументов. Можно рассматривать векторные функции не одного, а нескольких скалярных аргументов (в частности, с вектор-функциями двух ска- скалярных аргументов мы встретимся в этой главе при изучении поверх- поверхностей). На такие функции легко переносятся понятие частной произ- производной и другие понятия анализа. § 2. Пространственные кривые 1. Векторное уравнение кривой. Вектор-функции скалярного аргумента представляют собой удобный способ задания кривых в про- пространстве. Действительно, если нам задана некоторая непрерывная вектор-функция г (t)(a^t -^.b), то, построив ее годограф, мы полу- получим некоторую кривую у в пространстве.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 103 Обратно, если задана тем или иным способом некоторая кри- кривая *) у> то можно попытаться задать ее с помощью вектор-функции. Для этого поступим следующим образом: Мы скажем, что кривая у параметризована, если каждой ее точке поставлено в соответствие определенное значение некоторого параметра t, пробегающего какой-то отрезок [а, Ь], причем это соот- соответствие взаимно однозначно**) и непрерывно в каждой точке отрезка [а, Ь] (последнее условие означает, что если ^->^0> то я расстояние между точками г(^0) и r(t) кривой тоже стремится к нулю). Если кривая у параметризована, то радиус-вектор каждой точки этой кривой определяется соответ- соответствующим этой точке значением парамет- параметра t, т. е. r = r@ (r = xi + yj+^k). C.4) Это соотношение называют параметри- параметрическим (векторным) уравнением кри- кривой у- Ясно, что векторное уравнение C.4) можно заменить тремя скалярными урав- уравнениями: Рис. 3.4. x=x(i), y = Пользуясь термином, введенным в предыдущем параграфе, можно сказать, что, параметризуя кривую, мы представляем ее как годограф некото- некоторой вектор-функции г (t). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые и такие их параметризации, для которых соответствующая вектор-функ- вектор-функция г(^) трижды непрерывно дифференцируема. Пример. Положим C.5) Это параметрическое уравнение определяет кривую, называемую вин- винтовой линией (рис. 3.4). Рассматривая ту или иную кривую, мы можем выбрать для нее различные параметризации. Например, если кривая у задана уравне- уравнением r=r(/), a^t^b, то, положив а<т<р, где ^(т) — монотонная функция такая, что ^'(т)>0, t(a) = a, t(fi) = b, мы можем принять т за новый параметр и писать уравнение *) Мы не уточняем здесь самого понятия кривой. Некоторые сведения по этому поводу содержатся в вып. 1, гл. 11, § 1. **) Это условие означает, что мы рассматриваем кривые, не имеющие то_чек самопересечения.
104 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 кривой у в виДе г = г(/(т))- Во многих случаях удобна так называемая натуральная пара- параметризация кривой, когда за параметр принимается длина дуги этой кривой, отсчитываемая от фиксированной точки. Переход от какого-либо параметра на кривой к натуральному параметру может быть осуществлен следующим образом: пусть у—некоторая кривая и t — какой-либо параметр на ней. Выберем на у некоторую точку Мо, отвечающую значению параметра t = t0, и назовем ее начальной точкой. Возьмем на у произвольную точку М. Длина I дуги М0М выражается, как известно, формулой / t 1= f Vх'2 + у'2 + z'2 dt *), т. е. 1= f\r'(t)\dt, /о 'о где t—значение параметра, отвечающее точке М. Эта формула определяет I как однозначную и непрерывную функцию от t: 1 = 1 (t). Если функция г (t) такова, что t'(t) нигде не обращается в нуль, то всюду I' (t) Ф 0 и, следовательно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), t можно представить как однозначную и непрерывную функцию от Z: £ = £(/). Положив г = г(^(/)), мы представим г как функцию дуги /, т. е. получим натуральную параметризацию кривой. Пример. Рассмотрим снова винтовую линию C.5). Для нее dl = У a1 sin21 + a2 cos2 t + b2dt = Y~a?~+¥dt, т. е. 1= Y^-^r^t. Переходя к параметру I, мы можем переписать уравнение винтовой линии в виде / г (/) = i п. гпя—— -\-\а sin Замечание. Если в уравнении *) По существу, эта формула означает следующее: кривая (х (t), у (t), z (t)) рассматривается как «ломаная» с бесконечным числом бесконечно малых звеньев (dx, dy, dz). Длина отдельного звена дается теоремой Пифа- Пифагора и равняется y~(dxf + (dyJ + (dzy = /(•*'@ J+ (/@ J+ (*'(') J dt. t «Сумма» длин этих «звеньев», т. е. интеграл Г у х'2-\-у'г-\-z'2 dt, и равна длине кривой.
§ 2) ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 105 параметр t представлять себе как время, то кривую, определяемую этим уравнением, можно рассматривать как траекторию точки, дви- движущейся из начального положения со скоростью г'(^). Но по одной и той же кривой точка может двигаться разными способами: зада- заданием кривой определяется лишь направление скорости в каждый момент, но не ее величина. Можно, в частности, рассмотреть случай, когда скорость движения г' по модулю тождественно равна единице. Именно это и будет иметь место в случае натуральной параметри- параметризации кривой. Действительно, dr = \dx-\-\dy-\-\s.dz, следовательно, dr 2__dl_ ~dl ~ dl 6 Таким образом, различные параметрические уравнения одной и той же кривой можно кинематически представлять себе как законы движения частиц, описывающих одну и ту же траекторию с разными скоро- скоростями. При этом уравнение г=г@. где I — длина дуги описывает движение частицы со скоростью, по модулю равной единице. 2. Основной трехгранник. Рассмотрим кривую, заданную урав- уравнением г = г(/). C.7) В каждой ее точке М (отвечающей значению I) единичный вектор *) определяет направление касательной к этой кривой. Вектор Г = X ортогонален т, как производная вектора постоянной длины (см. п. 2 § 1). Разделив его на |г|, мы получим единичный вектор**) ортогональный t. V Присоединим P r |r еще = h, к t v]. и V вектор C C .8) • 9) *) Здесь и дальше мы будем обозначать производные от г по натураль- натуральному параметру символами г, г и т. д., сохранив обозначения г', г" и т. д. для производных по произвольному параметру. **) В тех точках, где г'=0, вектор v не определен. Такие точки (онн называются точками спрямления) мы в дальнейшем будем исключать из рассмотрения.
106 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Векторы х, v и р образуют тройку взаимно ортогональных единич- единичных векторов, которая называется основным репером или основным' трехгранником кривой C.7) в данной точке (рис. 5.5). Этот трехгранник жестко связан в каждой точке с рассматриваемой кри- кривой, поэтому вид самой кривой можно пол- полностью охарактеризовать, описав движение ос- основного трехгранника при перемещении его вершины по кривой. Отметим, что векторы т, v и {3 удовлетво- удовлетворяют, кроме соотношения C.9), еще двум ана- логичным соотношениям: рис [v, р] = Векторы х, v, P называются соответственно единичными векторами касательной, нормали и бинормали. 3. Формулы Френе. Движение основного трехгранника задается скоростями изменения векторов х, v и р, т. е. их производными по I. Вычислим эти производные. Производную вектора х, т. е. вектор г, мы уже рассматривали. Введя обозначение мы запишем эту производную в виде где k — неотрицательное число. Рассмотрим теперь вектор р. Его производная р, как и произ- производная всякого единичного вектора, перпендикулярна ему. Кроме того, она перпендикулярна х. В самом деле, р = [х, v] и, значит, P = [t, v]-f-[x, v] = [&v, v]-f-[x, v] = [x, v], а этот вектор перпен- перпендикулярен x. Вектор р перпендикулярен р и х, следовательно, он коллинеарен v. Поэтому можно положить где к — числовой коэффициент*). Наконец, вычислим V. Имеем *) Этот коэффициент может быть-как положительным, так и отрица- отрицательным. Обозначение —% (а не и) удобно для дальнейшего.
§ 2) ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Ю7 Итак, мы получили для производных х, v и р следующие формулы: х= Av, (ЗЛО) v = — их -+-к?. C.11) р= —XV. C.12) Они называются формулами Френе *). Эти формулы содержат две скалярные величины: k и %. Величина k называется кривизной, кривой, а и—кручением. Геометрический смысл кривизны и кру- кручения мы рассмотрим несколько позже. 4. Вычисление кривизны и кручения. По определению k — \x\. C.13) Таким образом, для вычисления кривизны кривой г = г(/) достаточно найти вектор г @ и вычислить его длину. Для вычисления кручения % возьмем равенства и продифференцируем последнее из них еще раз по I. Воспользо- Воспользовавшись формулой C.11) для v, получим r = ftv — i Из трех последних равенств следует, что' (г, г, г') = й2и, C.14) (г, г, г) откуда к = -—rj—- , т. е. Формулы C.13) и C.15) позволяют вычислить кривизну k и кру- кручение и при натуральной парал1етризации кривой. Если же кривая задана уравнением r = r(f). где г(^)—трижды дифференцируемая функция какого-то произволь- произвольного параметра t, то, рассматривая t как функцию длины дуги /, получим dt__dt_ dt^ d2r _ d?v (dt\* . dx d.4 dl ~ dt ' dl ' dP ~ df \dl) "+" dt dP ' ^.^£tdtd4.dt dH (Ъ.Щ dl3 ~ dt3 \dl! ~r° dt2 dl dP "f" dt dl3 ' *) Жан Френе — французский математик A801—1880).
108 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3> Первое из этих равенств можно переписать так: х = r' Tl ' откуда (поскольку |т|=1) dl — | г' (t) I ^Л/> (мы считаем, что i и I возрастают в одном и том же направлении,. т. е. что --7Т > 0). Далее, взяв векторное произведение первых двух равенств C.16)> будем иметь [dl ' dl2\~[dt ' dt2 \\dlj ' Г dx d2r  , 0 или, поскольку \—fj-> ~df*\= P' (§K- C.18) Так как |Р|=1, то из C.17) и C.18) получаем l[r'(t),r"(t)]\ «— |r'(*)|8 • ^ЛУ> Наконец, подставляя выражения C.16) в равенство C.14); получим k*K. C.20) Из двух последних равенств получаем окончательную формулу для кручения: ('(f)'("'(*) к— | [г' (t), r" (t)} |* ■ ^'Z1^ Упражнение. Вычислить кривизну и кручение винтовой линии г = i a cos t -f- j a sin t -f- k W. Замечание. Вернемся еще раз к формулам C.16). Они пока- показывают, что векторы г' и г" выражаются линейно через векторы г и г. Иначе говоря, векторы г' и г" определяют ту же самую пло- плоскость, что и векторы г, г, а именно, соприкасающуюся плоскость. Таким образом, соприкасающаяся плоскость кривой (в данной точке) может быть определена как плоскость, в которой лежат векторы г' (t} и г" (t) (какой бы ни была параметризация кривой). Если предста- представлять себе t как время, а уравнение
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 109 как закон движения точки, то можно сказать, что соприкасающаяся плоскость — это та плоскость, в которой лежат векторы скорости и ускорения движущейся точки. 5. Система координат, связанная с осиовным трехгранником. Три вектора •?, v и р определяют в каждой точке кривой г(/) свою систему координат, в которой координатными осями служат: 1) касательная (ее направление определяется вектором х), 2) главная нормаль; ее направление определяется вектором v) и 3) бинормаль (ее направление определяется вектором $). Координатными плоскостями в этой системе служат: 1) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная х (т. е. плоскость, в которой лежат главная нормаль и бинор- бинормаль); она называется нормальной плоскостью кривой г = г (/) в точке М; 2) плоскость, проходящая через точку /VI и перпендикулярная v; она называется спрямляющей плоскостью; 3) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная ,3 (т. е. плоскость, в которой лежат г и г); она называется сопри- соприкасающейся, плоскостью У га система координат называется сопровождающей системой коо рдинат. Расположение этих прямых и плоскостей показано на рис. 3.6. Задача. Для кривой г = г(/) написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали, а также нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостей в точке го=г(/0). Решение. Векторное уравнение прямой, проходящей через точку с радиусом-вектором г0 в направлении вектора а, имеет вид р = го-|-Яа, —со < % < со, а уравнение плоскости, проходящей через точку с радиусом-векто- радиусом-вектором г0 и ортогональной вектору п, пишется так; (р — г0, п) = 0. Отсюда сразу получаем следующие уравнения: р=го-г-Яг0 (касательная), p=ro-J-A.ro (главная нормаль), р=го + Мго, г0] (бинормаль), (р — г0, г0) = 0 (нормальная плоскость), (р — г0, г0) = 0 (спрямляющая плоскость), (р — г0, [г0, го]) = О (соприкасающаяся плоскость) (здесь г0 = г (/„). г0 = г (/0), г0 = г (lQ)).
по ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Упражнения. 1. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали для кривой Указание. Заметил!, что вектор [г', г"] направлен по бинор- бинормали, а вектор [г', [г', г"]] — по главной нормали. Рис. 3.6. 2. Написать уравнения нормальной, спрямляющей и соприкасаю- соприкасающейся плоскостей для кривой г = г (t). 3. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинор- бинормали, а также уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляю- спрямляющей плоскостей для винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z^bt в точке ^ = 0. 6. Вид кривой вблизи произвольной ее точки. Воспользуемся сопровождающей системой координат для выяснения вида кривой в окрестности какой-либо ее точки. Предположим, что в точке ro=r(Zo) производные г0 = г Со). г0 = г A0), г0 = г <70) отличны от нуля, и разложим функцию г@ в окрестности точки 10
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ по формуле Тейлора *): г (I) = r0 -f- г0 М + % гс 111 1 го C.22) Воспользуемся теперь сопровождающей системой координат, т. е. примем точку г0 за начало координат, касательную за ось х, глав- главную нормаль за ось у и бинормаль за ось z. Применив для вычи- вычисления производных гиг формулы Френе, заменим равенство C.22) сле- следующими тремя скалярными равенст- равенствами: 4), C.23а) ' (Д/4), C.236) C.23в) - о Рис. 3.7. Найдем проекции этой кривой на со- соприкасающуюся и спрямляющую пло- плоскости. Возьмем равенства C.23а) и C.236) и ограничимся в них глав- главными членами; эти равенства примут вид х = М, у=уйДГ2. Исключив отсюда Д/, получим уравнение параболы (рис. 3,7) y которая представляет собой, с точностью до величин порядка Д/3, проекцию кривой г—г (Г) на соприкасающуюся плоскость. Так как по определению k > 0, то ветви этой параболы отходят от касатель- касательной в ту же сторону, куда направлен и единичный вектор v, причем тем быстрее, чем больше k. Рассмотрим теперь проекцию кривой на спрямляющую плоскость. Из формул C.23а) и C.23в), ограничиваясь в них главными членами, полу-'ае а х = М, z = ± Исключив отсюда Д/, получим уравнение кубической параболы Z =-jr C.24) *) О (А^4) означает в соответствии с общепринятой символикой вели- величину порядка Д^4.
112 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ {ГЛ. 3 Здесь знак коэффициента при х3 совпадает со знаком кручения (так как кривизна всегда положительна). Соответствующие параболы изо- изображены на рис. 3.8, а и б. Так как при малых \1 знаки коорди- координат х я у определяются знаками их главных членов, то из фор- формулы 3.24 вытекает: 1. Вблизи точки, в которой кручение отлично от нуля, кривая расположена по обе стороны от соприкасающейся плоскости. 2. Кривая отходит от соприкасающейся плоскости тем быстрее, чем больше абсолютная величина кручения. При этом, если и > О, fi а) Рис. 3.8. то при возрастании I кривая отходит от соприкасающейся плоскости в ту сторону, куда указывает вектор р, а при и < О — в противо- противоположную. Задачи. 1. Показать, что кривая, кривизна которой тождественно равна нулю, есть прямая линия. 2. Показать, что кривая, кручение которой тождественно равно нулю, — плоская (т. е. она целиком лежит в некоторой фиксирован- фиксированной плоскости). Решение. 1. Если й^О, то г^О, т. е. r = e = const, откуда г = ro о> а эт0 — уравнение прямой. 2. Если и^О, то, в силу третьей формулы Френе, |3 = 0, т. е. = J50= const. Так как векторы г и р0 ортогональны, то (Р. г) = 0. т. е., в силу постоянства Отсюда (Ро, г) = const, а это есть уравнение плоскости.
§ 21 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 113 7. Ориентированная кривизна плоской кривой. Рассмотрим кри- кривую, лежащую в некоторой фиксированной плоскости. Приняв эту плоскость за плоскость ху, напишем уравнения нашей кривой в виде x=x(t), y = y(t), *==(). C.25) Вычислив кривизну этой кривой по формуле C.19), получим k = | Х'у" _ л-"/ | C.26) Однако обычно (см., например, вып. 1, гл. 16, § 3) кривизной плоской кривой называют само выражение Х'у" _ C.27) а не его модуль. Дело в том, что па плоскости (в отличие от трех- трехмерного пространства) можно определить не только абсолютную вели- величину скорости вращения касательной, но и направление этого вра- вращения (против или по часовой стрелке). Именно это направление вращения и указывается знаком величины C.27). Если это выражение положительно, то кривая называется выпуклой (рис. 3.9, а), а если оно отрицательно, то кривая называется вогнутой (рис. 3.9, б). Вели- Величину C.27) называют иногда ориентированной кривизной кривой C.25). 8. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Формулы C.13) и C.15) позволяют найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнением г = г (I), в виде ■функций от I: k = k(l), x = x(l). C.28) а) х О Рис. 3.9. У\ Эти соотношения, связывающие кривизну и кручение кривой с длиной дуги, называются нату- натуральными уравнениями данной О кривой. Естественно поставить вопрос: в какой мере нату- натуральные уравнения C.28) опре- определяют саму кривую. Нетрудно показать, что каждая кривая определяется своими натуральными уравнениями однозначно с. точностью до ее положения в прост- пространстве. Действительно, пусть даны две кривые у и \i- Если на этих кривых можно ввести натуральные параметры / и lt так, чтобы в точках, отвечаю- отвечающих одинаковым значениям этих параметров, совпадали их кривизны k н kt и их кручения у. и р р т. е. чтобы при I k (I) = 1{ выполнялись равенства Б. М. Будак, С. В. Фомин
114 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 то мы скажем, что кривые Y и Yi имеют совпадающие натуральные уравне- уравнения. Покажем, что в этом случае можно, передвигая одну из кривых как твердое тело, полностью эти кривые совместить. Действительно, совместим некоторую точку А кривой у, отвечающую фиксированному значению /° пара- параметра /, с точкой кривой Yi. отвечающей тому же значению параметра /,. Далее, повернем кривую y так' чтобы единичные векторы х, v, ft основного трехгранника, отвечающего этой кривой в точке А, совпали бы соответ- соответственно с единичными векторами хи \и E, основного трехгранника, отвечаю- отвечающего точке А\ кривой Yi- Этого, очевидно, всегда можно добиться. Мы имеем, таким образом, х°=х°, v°=v°, (J°=g°, C.29> х°=х где индекс «нуль» означает, что векторы берутся в точке, отвечающей зна- значению параметра /° = l\. Ставя в соответствие друг другу те точки М и М1 кривых y и Yb в которых 1 — 1и мы можем считать, что на y и Yi введен один и тот же параметр, и рассматривать хи v, и E, как функции от /. Рас- Рассмотрим, далее, скалярную функцию и вычислим ее производную по /. Пользуясь при этом формулами Френе, получаем + (v, — ft,, т. е. на самом деле а от / не зависит. Из равенств C.29) вытекает, что при / = 1а значение а равняется трем; таким образом, а (/)=3. Каждое из трех входящих в a (/) слагаемых представляет собой скалярное произведение двух единичных векторов и, следовательно, не может быть больше единицы. А так как вся сумма равна трем, то каждое из этих сла- слагаемых должно быть в точности равно единице. Но скалярное произведение двух единичных векторов равно единице только тогда, когда эти векторы совпадают. Таким образом, при всех I, т. е. основные трехгранники кривых Y и Yi совпадают не только в начальной точке 10, но и при всех значениях параметра. Отсюда вытекает, что совпадают и сами кривые, потому что кривую всегда можно восстано- восстановить по вектору х = г (I), именно «•(/)=«•(/„)+ h Очевидно, верно и обратное: если две кривые отличаются друг от друга только положением в пространстве, то они имеют одинаковые натуральные уравнения. Естественно поставить следующий вопрос: возьмем произвольно две непрерывные функции ft @ и кA),
^ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ J J5 причем k (I) > 0. Существует ли кривая, для которой эти функции представляют собой соответственно кривизну и кручение? Ответ на этот вопрос положительный. Однако приводить здесь соответствую- соответствующее доказательство мы не будем, так как оно потребовало бы ряда сведений из теории дифференциальных уравнений, которых мы здесь не приводим. 9. Некоторые приложения к механике. Рассмотрим материаль- материальную точку, движущуюся по некоторой траектории. Если r(f)— ра- радиус-вектор точки в момент времени t, то уравнение ее траектории запишется в виде Производная £=»«> представляет собой скорость движения точки по траектории. Вводя натуральный параметр I, мы можем написать dr_ _ dt_ dl _ dl dt ~~ dl Так как х — единичный вектор, то V — dt ~~ dl dt X dt' т. е. производная —гт представляет собой абсолютную величину ско- скорости. Вторая производная _ d4 W~ dt2 радиус-вектора по t — ускорение. Его можно записать в виде d4_ ~ dt2 ■ ( w~ dl2\dt С помощью формул Френе получаем d4 . .( dl Таким образом, ускорение раскладывается в сумму двух составляю- dH щих, одна из которых t-тп направлена по касательной и называется \-ут) — тангенциальным ускорением, а другая v& \-ут) —по главной нор- нормали и называется нормальным ускорением. Тангенциальное уско- dH dv dl рение \ут = т-^р- можно записать в виде \ут = т-тт-, где v=--rr — абсолютная величина скорости, т. е. тангенциальное ускорение — 8*
116 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Л это скорость изменения абсолютной величины скорости v. С формулой для нормального ускорения wv=vfe(-r-l читатель зна- \ at j ком из элементарного курса физики. Именно,, известно, что при дви- движении точки по окружности радиуса R с постоянной скоростью v ускорение направлено к центру окружности и равно -„ v2, но -д—это как раз кривизна к окружности. Таким образом, разложение W=: WT-f- Wv = t-rrr- -f- Vfe \-tt\ МОЖНО Ha- at \ dt / •.. глядио представить себе так: движение в данный момент времени как бы разлагается на уско- ускоренное движение по касательной (что дает а ускорении член wT) и на движение по ок- окружности радиуса R=l/k с постоянной ско- скоростью (что дает в ускорении член wv)- Точка Рис. 3.10. участвует одновременно в двух этих движениях (рис. 3.10). Задача. Материальная точка движется под действием некоторой центральной силы, т. е. силы, которая в каждый момгнт времени направлена по прямой, соединяющей эту материальную точку с неко- некоторым неподвижным центром. Доказать, что траектория плоская. Решение. Примем притягивающий центр за начало координат» Пусть г = г (О — уравнение траектории движения. Сила, действующая на движу- движущуюся точку, направлена к притягивающему центру. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, такое же направление имеет и ускорение, т. е. вектор г" (t); таким образом, векторы г и г" колли- неарны. Но тогда в каждой точке траектории выполнено соотношение (г, г', г")='0. Дифференцируя это смешанное произведение по t, получаем А(Г, г', г") = (г', г', г Первые два слагаемых в средней части равенства равны нулю, сле- следовательно, равно нулю и третье. Но если (г, г', 0 = 0 и векторы г и г" коллинеарны, то (г', г", 0 = 0 при всех t, но тогда я = 0, а это и есть условие того, что наша кривая плоская (п. 6 § 2).
$ 3) ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 117' § 3. Параметрическое уравнение поверхности 1. Понятие поверхности. В этом и следующих параграфах мы применим аппарат анализа к изучению поверхностей. Понятие поверхности, интуитивно достаточно ясное, можно опре- определять с различной степенью общности. В анализе чаще всего при- приходится рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями вида z = f(x, у), где f(x, у)— непрерывная функция, определенная в некоторой области О. Несколько более широкий класс поверхностей мы полу- получим, рассматривая уравнения вида F(x, у. z) = 0. Чтобы такое уравнение действительно определяло поверхность (в смысле, соответствующем нашим наглядным представлениям), необ- необходимо на функцию F(x, у, z) наложить некоторые дополнительные условия. Определение поверхности как совокупности точек, координаты кото- которых удовлетворяют уравнениям вида z = f(x, у) или F(x, у, z)=Q, не очень удобно, так как оно привязывает понятие поверхности к выбору той или иной системы координат. Сформулируем понятие поверхности, не прибегая к координатной системе. Введем прежде всего важное понятие од поев яз ной области. Пусть G — некоторая область на плоскости. Назовем область О односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим конту- контуром (конечная) часть плоскости целиком лежит в О. Иными словами, односвязность области озна- означает отсутствие в ней «дырок». Любой замкнутый контур, лежащий внутри такой области, можно стянуть в точку, не выходя за пределы этой об- области. Если область не односвязна, то она называется м н о г о с в яз но й. Примерами односвязных областей служат круг, треугольник, квадрат и т. д. Кольцо, т. е. Рис" " часть плоскости, ограниченная двумя концентри- концентрическими окружностями, представляет собой простейший пример много- многосвязной области: действительно, область, ограниченная контуром L (рис. 3.11), вовсе не составляет части кольца, заключенного между окружностями Сх и С2. Назовем теперь п р о с гой н о в е р х н о ст ь ю множество то- точек в трехмерном пространстве, представляющее собой взаимна
118 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Рис. 3.12. однозначный и в обе стороны непрерывный образ какой-либо замкну- замкнутой ограниченной односвязной области. Далее, просто поверхно- поверхностью мы будем называть соединение любого конечного числа простых поверхностей. При этом мы, вообще говоря, допускаем и наличие у поверхности самопересечений, т. е. рассматриваел1 и такие гео- геометрические образы, как, скажем, изо- изображенный на рис. 3.12. Если /(х, у)— непрерывная функ- функция, определенная в замкнутой одно- связной ограниченной области G, то уравнение * = /(*. У) определяет простую поверхность. Дей- Действительно, отображение (х, у)*->-(х, у, /(х, >>)) устанавливает взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие (проверьте это!) между точками области О и точками, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(x, у). Практически наши дальнейшие рассмотрения будут ограничи- ограничиваться поверхностями, представленными как соединение конечного числа простых поверхностей, определяемых уравнениями вида z — f(x,y). При этом от соответствующих функций / нам придется обычно, кроме непрерывности, требовать еще и некоторой гладкости (суще- (существования и непрерывности первых или вторых производных). Эти условия будут оговорены там, где они нам понадобятся. 2. Параметризация поверхности. Хотя задание поверхности с помощью уравнения вида z = f(x, у) или F(x, у, z) = Q в ана- анализе встречается очень часто, во многих случаях удобнее задавать поверхность с помощью параметрических уравнений. Для того чтобы написать уравнение поверхности в параметрической форме, введем прежде всего понятие координат на поверхности. Пусть на некоторой поверхности 2 задано одпопараметрическое семейство линий *). Назовем это семейство правильным, если через каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия из данного семейства. Если на поверхности даны два правильных семей- семейства, такие, что каждая из линий первого семейства пересекается (без касания!) с каждой линией второго семейства не более чем в одной точке, то говорят, что на поверхности задана координат- координатная сеть. Пусть линии первого из семейств, образующих коорди- координатную сеть, определяются значениями некоторого параметра и, *) Таким образом, каждая линия этого семейства характеризуется опре- определенным значением некоторого параметра.
§ 3) ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 119 Рис. 3.13. а линии второго семейства — значениями некоторого параметра v. Так как по условию через каждую точку поверхности проходит единственная кривая из первого семейства и единственная кривая второго семейства, то положение точки на поверхности однозначно определяется соответствующими этим линиям значениями и0 и v0 параметров и и v. Параметры миг», значениями которых опреде- определяются линии, составляющие коор- координатную сеть, называются ко- координатами на данной поверх- поверхности. Замечание. В § 6 гл. 1 мы вводили криволинейные координаты в плоской области. Здесь мы, собствен- собственно говоря, повторили то же самое по- построение, но только применительно к кривой поверхности. Введение коорди- координат на поверхности можно, очевидно, рассматривать как задание взаимно од- однозначного и взаимно непрерывного отображения поверхности на некоторую часть плоскости, в которой введены декартовы координаты и н v. При этом линии, образующие координат- координатную сеть, — это образы лежащих в плоскости uv прямых, параллельных координатным осям. Примеры. 1. Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг не пересекающей ее прямой, лежащей в плоскости этой окружности. Положение точки на. окружности можно задавать углом cp@<^cp<2jr)t отсчитываемым от некоторой начальной точ- точки. Положение самой окружности мож- можно задавать углом поворота ф, который отсчитывается от начального положения. Таким образом, положение точки на торе определяется двумя углами ср и ф, каж- каждый из которых меняется от 0 до 2л. Линии ф = 0 и ф= 0 соответствующей ко- координатной сети изображены на рис. 3.14. 2. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, у); иначе говоря, она проектируется взаимно однозначно на некоторую часть плоскости ху. Линии, которые при этом проектируются в прямые х = const и у = const, образуют на поверхности z=f(x, у) коор- координатную сеть (рис. 3.15). Ясно, конечно, что на одной и той же поверхности можно зада- задавать различные координатные сети. 3. Параметрическое уравнение поверхности. Если на поверх- поверхности 2 введены каким-либо образом координаты и, v, то говорят, что эта поверхность параметризована параметрами и и v. Каждая Рис. 3.14.
120 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 точка такой поверхности может быть задана значениями параметров и и г». Но эта же точка может быть задана и своими декартовыми координатами. Следовательно, декартовы координаты точек пара- параметризованной поверхности представляют собой функции координат на поверхности: х=х(и, г»), у —у (и, г»), z = z(u, v). C.30) Эти три скалярных урав- уравнения можно заменить одним векторным: г=г(м, г»), C.30') где r = jci-f yj + ik. Урав- Уравнения вида C.30) или C.30') мы будем называть параметри- Рис. 3.15. ческими уравнениями поверх- поверхности. Замечание 1. В параметрическом уравнении кривой коорди- динаты х, у, z являются функциями одного параметра. В уравне- уравнении поверхности г = г(м, г»), представляющей собой геометрический образ двух измерений, естественно должны участвовать два неза- независимых параметра. Замечание 2. Уравнение z=f(x, у) можно рассматривать как частный случай параметрического уравнения, если принять х и у за параметры и положить r = xi + yj-f-/(*, у) к. Упражнение. Написать параметрическое уравнение тора в коор- координатах ф и tJ) (см. пример 1 п. 2). В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, заданные именно параметрическими уравнениями, причем функцию г (и, г») будем предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные производ- производные по к и г». Начиная с § 8, нам придется потребовать также сущест- существования и непрерывности ее частных производных второго порядка. 4. Кривые на поверхности. Рассмотрим на поверхности, задан- заданной уравнением C.30'), какую-нибудь кривую. Если на этой кривой введен некоторый параметр t, то каждому значению t будет отвечать некоторая точка поверхности, т. е. некоторые значения «иг». Таким образом, вдоль криоой координаты миг» являются функциями параметра t: v{t).
3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 121 Эти уравнения называются уравнениями кривой на поверхности. Под- Подставив их в уравнение поверхности, получаем параметрическое урав- уравнение кривой на поверхности: N И обратно, подставив в уравнение поверхности C.30') вместо независимых переменных миг» какие-либо функции одного пере- переменного t, мы получим уравнение не- некоторой кривой, лежащей на этой по- поверхности. Рассмотрим касательную к кривой C.31). Ее направление определяется вектором dx дг du . Or dv аи dt dt ov dt Рис. 3.16. который представляет собой линей- , дт дт ную комбинацию векторов ——, —.—, J r да Ov называемых координатными векторами и представляющих собой векторы, касательные к координатным линиям, проходящим через рассматриваемую точку. Для краткости обозначим их re = -s—,. _ дт Tv dv ' 5. Касательная плоскость. Рассмотрим всевозможные кривые на поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные векторы к ним в этой точке (рис. 3.16). Каждый из этих векторо» представляет собой линейную комбинацию векторов г„ и rv, т. е. лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы гц и rv лежат в касательной плоскости, вектор N = [r,,, г.,] нормален к ней и уравнение этой плоскости имеет вид *) (р — г, N) = 0 C.32> (здесь г — радиус-вектор точки касания, р — радиус-вектор текущей точки касательной плоскости). Пусть поверхность задана уравнением z — f(x, у), т. е. в век- векторной форме , у). Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. *) Точки, в которых [гц, rv] = 0, мы исключаем из рассмотрения.
122 Имеем ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ и, следовательно, N=[ v [ГЛ. 3 C.33) Подставив в уравнение касательной плоскости C.32) вместо р—г вектор i (х — xo)-\-j(y — yo)-{-k(z — z0), а вместо нормального вектора N его выражение C.33), получим уравнение плоскости, касающейся поверхности z — f(x, у) в точке (х0, у0, z0): z — zo = f'x(x — xo) + f'y (У — У о)- С3 •34) где значения четных производных f'x и f берутся в точке касания (х0, у0). Если поверхность задана неявным уравнением F(x, у, z) = Q, которое определяет z как дифференцируемую функцию от х и у, то dF_ dF_ дг dx дг dy ~ Ту~- dF дР_ дг Подставив эти выражения вместо f'x и /' в уравнение C.33), полу- получаем уравнение плоскости, касательной к поверхности F(x, y,z) = Q, Здесь значения F'x, F' и F'z также берутся в точке касания (х0, у0, z0). 6. Нормаль к поверхности. Вычислим направляющие косинусы вгктора N = [rB. г„], нормального к поверхности г = г (и, v). Так как I дх ду дг \ I дх ду дг \ Гц \~дп ' HIT ' ~дй) " *v \~д%Г' ~~d~v ' ~~5v) ' то вектор [гц, rv] имеет компоненты А = ди dv дг ди дг dv дг ди дг dv дх ди дх dv С = дх ди ди dv C.35) его направляющие косинусы соответственно равны А cos(N, x) = У А2 + В2 + С2 cos(N, z) = cos(N, y) = У А* + В2 + С2 В У А2 + В2 4- С2
§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В частности, если поверхность задана явным уравнением z = f(x, у), или в векторной форме уравнением , у) к. 123 то А = =-/;■ *= 1 О О 1 т. е. в этом случае cos(N, x) = v\ 2 cos(N, y) = <2 . .'2 cos(N, z) = v\ C.36) 7. Системы координат в касательных плоскостях. Рассмотрим поверхность 2, в каждой точке М которой можно построить каса- касательную плоскость. Полезно представлять себе поверхность, покры- покрытую «чешуей» касательных плоскостей. Поверхность — это кривое многооб разие-носитель, ее касательные плоскости — это плоски? несомые многооб разия. Этот наглядный образ будет полезен пра изучении дальнейшего материала этой главы. Выберем в каждой касательной плоскости пару неколлинеарных векторов (репер) ег и е2, кото- которые определят в ней систему коор- координат. Этот репер, разумеется, можно выбирать в каждой точке произвольным образом. Однако за- задание параметризации и, v, есте- естественно, порождает в каждой из ка- касательных плоскостей некоторый специальный репер, именно репер t, — -^—, t2—"з— тельно, фиксируем значение параметра v —г;0 и будем менять пара- параметр и; тогда радиус-вектор г (и, v0) опишет на поверхности коор- координатную кривую v = vo= const (рис. 3.17). Касательный вектор к этой кривой, т. е. -у-(и, v0), будет лежать в касательной пло- плоскости к поверхности (см. п. 4). Аналогично вектор -у- также лежит- в касательной плоскости к поверхности. Мы предполагаем, что через. Р|1С- , = -з—, е2=-з—. Действи-
Действи124 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия каждого из семейств и = const и v = const. Поэтому в каждой каса- касательной плоскости возникает один и только один репер (ru, rv); если эти векторы отличны от нуля, то они не коллинеарны, поскольку по условию кривые и = const и v = const ни в одной точке не касаются друг друга. Опасно лишь обращение какого-либо из этих векторов в нуль. Мы будем в дальнейшем считать, что параметриза- параметризация на рассматриваемом куске поверхности такова, что ги Ф О и rv ф 0. Итак, задание параметризации и, v на поверхности по- порождает в каждой касательной плоскости невырожденный репер e1 = ru, e2=rj,, т. е. некоторую аффинную систему ко- координат. Выбор другой параметризации и, v порождает в несомых каса- касательных плоскостях другой набор систем координат е: = г~, е2 = г~, а в каждой из касательных плоскостей переход от одной параметри- параметризации к другой порождает аффинное преобразование системы координат. Действительно, пусть и = и(и, v), v = v(u, v) — выражение старых параметров и, v через новые и, v. По правилу дифференцирования сложной вектор-функции имеем ди . dv и ди ^ v ди . ди , dv \ C-37> г~= г. г Таким образом, новый репер ер е2 выражается через старый е^ tio формулам ~ ди , dv 2 dv 1 dv 2' | Аналогично выражается старый репер е,, е2 через новый ер е2. § 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей. Первая квадратичная форма поверхности Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверх- поверхности. Этот круг вопросов мы и рассмотрим сейчас. Основная идея
3 4) ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 125 всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит, по существу, в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ- соответствующим элементом касательной плоскости. Поэтому нам полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости. 1. Аффинная система координат на плоскости. Рассмотрим плоскость и некоторый невырожденный репер ер е2 на ней. Любой вектор г, лежащий в плоскости, можно представить в виде Запишем квадрат длины вектора г. Имеем /-2 = (r, r) = l\(ev et) + 21^,, е2) + Ц(е2, е2). Введя обозначения *) gn = (ev e,), gl2 = (ev e2), g22 = (e2, e2), перепишем это равенство в виде ll2 + g22H. C.38) Величины gu, g12 и g22 определяются выбором репера еР е2- Легко видеть, что через эти величины (и, конечно, координаты соответ- соответствующих векторов) выражаются длины векторов, углы между век- векторами и площади параллелограммов, натянутых на два вектора. Действительно, выражение для длины г вектора г получается из C.38). Далее, если то Воспользовавшись формулой мы можем выразить угол между векторами г и р через их коорди- координаты и коэффициенты glk. *) Иногда также пользуются обозначениями £ = (e,, е,), /7=(е1, е2), G=(e2, е2). Полагая еще g2l*- gl2, совокупность величины glk (i, k— 1, 2) часто запи- записывают в виде матрицы /gu gu\ \g2\ g22/
126 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Э Наконец, найдем площадь 5 параллелограмма, построенного на векторах г и р. Как известно S=|[r. p]|, поэтому 5 = I Iliei + l2e2. ■Hiel + %е2] | = | 1хх\2 — ^11 [е„ е2] |. Но \[еи е2]| = Следовательно, I ех 11 е2 s= sin (ej, -(e,. e e2) = eil|e2|Vl- ») = V gi\g22 g\2- cos2(ep e2) = Итак, знание величин g"n, g2, g22 действительно позволяет вычи- вычислять на плоскости длины, углы и площади, т. е. все метрические величины. 2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма. Пусть задана поверхность г = г (и, v). Вычислим длину линии, расположенной на этой поверхности. Вы- Выбрав на этой линии за параметр длину дуги, ее уравнение можно ваписать в виде г=г(«(/). «(/)). Так как вектор -тт- имеет длину единица, то dP = dr2. Но dr = radu-\- rvdv, следовательно, Воспользуемся обозначениями тогда dP = gn du2 + 2g12 da dv + ^ dv2. C.39) Это выражение представляет собой квадратичную форму (относи- (относительно переменных du и dv), при этом, очевидно, положительно определенную *). Она называется первой квадратичной формой п *) Квадратичная форма 2 aififek называется положительно опре- i, k=l п деленной, если 2 ацЛ£>к>® для лю^ых |j 5Л, кроме \х — ... i А 1
$ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 127 поверхности г=г(и, v). Коэффициенты gn, gl2 и g-22 квадратичной формы C.39) — это, очевидно, те самые коэффициенты gn, gl2, g-22, которые отвечают реперу гв, г^, в плоскости, касательной к нашей поверхности в рассматриваемой точке. Эти коэффициенты зависят от точки поверхности. Кроме того, они зависят, конечно, и от вы- выбора параметризации поверхности. Первая квадратичная форма поверхности дает выражение для длины бесконечно малого элемента дуги. Длина некоторой конечной кривой, лежащей на поверхности, получается отсюда интегрирова- интегрированием. Точнее, если кривая на поверхности задана уравнениями и = и (t), v = v (t), tx < t < t2, го ее длина равна h Г -t f i du\i _ du dv , dv\2 чг) dt (вдоль этой кривой gn, g12 и ^ представляют собой, очевидно, функции параметра t). Примеры. 1. На плоскости задана декартова система коорди- координат, определенная взаимно ортогональными единичными векторами «! и е2. Если г0 — радиус-вектор начала этой системы координат, то радиус-вектор произвольной точки плоскости равен г = г0 -)- йхи + e2v. Мы получили уравнение плоскости, параметризованной декартовыми координатами и и г; на ней. Для этой параметризации следовательно, для плоскости, параметризованной декартовыми коор- координатами, первая квадратичная форма записывается так: dl2 = du2 + dv2. Здесь несомое многообразие — касательная плоскость — совпадает в каждой точке с несущим многообразием (тоже плоскостью), а по- порождаемый в каждой из касательных плоскостей координатный репер совпадает (с точностью до параллельного переноса) с координатным репером ер е2 рассматриваемой плоскости. 2. Пусть на плоскости введены полярные координаты риф. Тогда радиус-вектор произвольной точки плоскости можно записать так: г = r0-[-p(e1cos94-e2sin9)
128 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 (ej и е2 — опять-таки единичные взаимно ортогональные векторы). Это — уравнение плоскости, параметризованной полярными коорди- координатами. Здесь rp = e: cos rp -f- e2 sin ф, гф = р (— и, следовательно, gu = (гР. гр) = sin ф 4- е2 cos ф) g22 = (r<f, гф) = р2, 3. Рассмотрим сферу радиуса а, приняв на ней за параметры долготу ф и широту 0*) (рис. 3.18). Ее урав- уравнение в координатах ф и 0 имеет вид (про- (проверьте это!) г = ro-\~a {(i созф4- j sinф) cos 0 4-k sin 0j. Из этого уравнения получаем г0 = — a (i cos ф 4~ j sin ф) sin 0 4- «к cos О, гф = а (— i sin rp 4- j cos ф) cos 0 и, следовательно, здесь rf/2=a2(rf024-cos20*iJ). 4. Если поверхность задана явным уравнением z = f{x, у). . У)к, т. е. то для нее и, следовательно, м=A+г*)dx2+2/;/; d Упражнение. Написать первую квадратичную форму тора в координатах ф и ф (см. упр. в п. 3 § 3). 3. Угол между двумя кривыми. Углом межОу Овумя пересе- пересекающимися кривыми называется угол между их касательными в точке пересечения. Пусть через точку на поверхности проходят две кривые и пусть смещению по одной кривой соответствуют диф- дифференциалы координат du и dv, а смещению по другой — диффе- дифференциалы Ьи, bv. Векторы смещений можно записать так: dr=rudu-\-rvdv, 6r = ru6u-\-rv6v. *) Отсчитываемую от экватора.
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 129 Угол ф между ними определяется формулой I rfr I I 6r I В частности, угол со между координатными линиями, т. е. между векторами ги и rv, определяется формулой cos со = ?Ug22 Если gl2 = Q, то координатные линии на поверхности пересе- пересекаются под прямым углом. Такая координатная сеть называется ортогональной. В ортогональных координатах первая квадратичная форма имеет вид 4. Определение площади поверхности. Пример Шварца. Пе- Перейдем теперь к рассмотрению площади кривой поверхности. Прежде чем говорить о ее вычислении, нужно определить само по- понятие площади поверхности. Введем это понятие следующим образом. Пусть 2— некоторая гладкая поверхность, ограниченная кусочно- гладким контуром L. Разобьем эту поверхность с помощью некото- некоторого числа кусочно-гладких кривых на части — «элементы» 2;, г = 1 N, — и выберем в каждой из этих частей произвольную точку Mt. Проведем через точку Mt касательную плоскость к по- поверхности 2 и спроектируем элемент 2(. на эту касательную пло- плоскость; мы получим на этой ка- касательной плоскости некоторую квадрируемую плоскую фигуру 5- (рис. 3.19). Определение. Площадью поверхности 2 мы назовем предел (если он существует) сумм площадей этих проекций, взя- Рис' 3'19' тых по всем элементам разбие- разбиения, при условии, что. максимум диаметров этих элементов стремится к нулю. Поверхность, для которой этот предел суще- существует, называется квадрируемой На первый взгляд кажется, что естественнее всего было бы определить площадь поверхности^ 2 как предел, к которому стремятся площади поверх- поверхностей вписанных в 2 многогранников, при условии, что максимум диаметров г.х граней стремится к нулю (так же как длина криной есть предел длин вписанных в эту кривую ломаных). Однако еще в прошлом веке была обна- обнаружена несостоятельность такого определения. Рассмотрим следующий при- пример, принадлежащий Шварцу. В цилиндр радиуса R и высоты Я впишем многогранник следующим образом: разделив цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных 9 Б. М. Будак, С. В. Фомин
130 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Н [ГЛ. 3 цилиндров высоты — каждый, разобьем каждую из возникающих т +1 окружностей (включая сюда верхнее и нижнее основания исходного цилиндра) на равные части п точками так, чтобы точки деления на каждой окружности находились над серединами дуг соседних окружностей. Возьмем теперь две соседние точки, лежащие на какой-либо окружности, и точку, лежащую не- непосредственно иад или под серединой дуги, соединяющей эти две точки, н построим на этих трех точках треугольник (рис. 3.20). Совокупность всех таких треугольников образует много- многогранную поверхность, вписанную в ис- исходный цилиндр. На вид этот многогран- многогранник похож на голенище сапога, собран- собранное в гармошку. Его называют поэтому сапогом Шварца (рис. 3.21). Если теперь и п и т неограни- неограниченно растут, то размеры каждого из треугольников, составляющих вписан- вписанный в цилиндр многогранник, стремятся В Рис. 3,20. Рис. 3,21. к нулю. При этом, однако, суммарная площадь этих треугольников вовсе не обязана стремиться к 2%RH (боковой поверхности цилиндра); в зависимости от того, как меняются пит, она может неограниченно расти, стремиться к пределу, отличному от 2nRH, или же вообще не иметь предела. Действительно, элементарный подсчет показывает, что площадь одного треугольника (при заданных тип) равна Число таких треугольников равно, очевидно, 2пт, поэтому сумма их площадей есть n, т- : 2Rn sin — C.40) Если теперь пит стремятся к бесконечности, причем так, что т растет быстрее, чем и2, то выражение C.40) неограниченно растет. Если же и и от т меняются так, что отношение —j- стремится к некоторому конечному пре- пределу д, то litn m п, — cos —1= litn и, т-^оо ~
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ. ПОВЕРХНОСТИ 131 и, следовательно, / .„, ... , Подбирая q, мы можем получить в пределе любое число, большее или равное 2я/?Н, т. е. любое число, большее «истинной» площади цилиндра. Истинное значение площади боковой поверхности цилиндра мы получим лишь при q = О, т. е. если т растет медленнее, чем и2. Итак, попытка определить площадь кривой поверхности с помощью вписанных многогранников оказалась неудачной даже для обыкновенного круглого цилиндра. Легко понять причину, по которой способ, пригодный для определения длины кривой, не годится для определения площади поверх- поверхности. При достаточно "мелком разбиении кривой (будем считать кривую гладкой) направление хорды, соединяющей соседние точки деления, близко к направлению касательной, проведенной в любой точке соответствующей дуги. В случае поверхности это не так: многоугольная площадка сколь угодно малых размеров может опираться всеми своими вершинами на гладкую поверхность так, что угол между нормалью к площадке и поверх- поверхности будет большим. При этом, очевидно, такой плоский элемент не может служить хорошей аппроксимацией соответствующего элемента поверхности. Это как раз и наблюдается в приведенном выше примере Шварца: если q я —- велико, то треугольники, образующие вписанную поверхность, почти перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Образованный ими много- многогранник весь состоит из мелких складок. Это и служит причиной того, что площадь поверхности такого многогранника может быть много больше площади боковой поверхности цилиндра. 5. Вычисление площади гладкой поверхности. В предыдущем пункте мы ввели определение площади кривой поверхности. Уста- Установим теперь для гладкой поверхности существование площади и формулу, с помощью которой эта площадь может быть фактически вычислена. Теорема 3.1. Пусть параметрическое уравнение г = г (и, v) определяет гладкую поверхность, ограниченную кусочно-глад- кусочно-гладким контуром. Тогда эта поверхность квадрируема и ее площадь равна ffgnga— g\2dudv, C.41) где gu< g\2 u ёчъ — коэффициенты, первой квадратичной формы этой поверхности, a D — область изменения переменных и п v. Доказательство. Разобьем поверхность S на части 2^. Вы- Выбрав в каждой из этих частей некоторую точку Mt, проведем в ней касательную плоскость. Введем местную систему декартовых коорди- координат, выбрав за начало точку Mit нормаль в этой точке за направление оси г, а касательную плоскость за плоскость ху. Координаты х, у Q*
132 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 и z произвольной точки поверхности Ег можно записать как функции от и и г»: х=х(и, v), y = y(u, v), z = z(u, v)*). Проекция поверхности Ег на касательную плоскость в точке Mt определяется уравнениями х = х(и, v), y = y(u,v), 2 = 0. Пользуясь выражением для площади плоской фигуры в криво- криволинейных координатах (§ 6 гл. 1), мы можем записать площадь этой проекции в виде D. Уи du dv, где Dt — та область, которую пробегают переменные и, v, когда точка (х, у, z) пробегает элемент 2,-, а знак берется так, чтобы Dee выражение было положительным. Выражение Уи можно переписать в виде, не связанном с выбором системы коорди- координат, а именно: + хи х Уи У Если области Ег (а следовательно, и Dt) достаточно малы, то rv\ где dt—площадь области Dit ut, v{—координаты точки Mt и max e; ->0 при измельчении разбиения поверхности S. Таким образом, сумма площадей проекций всех частичных поверхностей Ег на соот- соответствующие касательные плоскости равна [г„. rv] dt C.42) *) Правильнее было бы писать х = xt (и, v), у = Уг (и, v), z = z. (и, v), потому что эти уравнения соответствуют г-й системе координат, связанной с касательной плоскостью и нормалью в точке Mi%
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 133 Предел этого выражения при неограниченном измельчении разбиения поверхности мы и назвали площадью поверхности. Этот предел существует и равен интегралу |[г„, rv]\dudv (поскольку в C.42) первое слагаемое есть интегральная сумма для этого интеграла, а предел второго равен нулю). Для завершения доказательства остается установить, что \\ru< rv]\=VSugm—g\r C-43) Пусть со — угол между векторами г„ и rv. Тогда 1[г„. rJ|= |г„| |rj sinco = |r,,|| rj —cos2 со = "~ Vrlrl — г2/2 cos2 со = Теорема доказана. Замечание 1. С вектором \ru, rv\ мы уже встречались выше (п. $ § 3). Там мы установили, что этот вектор имеет следующие компоненты: дг dx du ди дг дх dv dv А = du dv dz du дг dv в = дх ди дх dv ду_ ди ду_ dv следовательно, длина его равна Таким образом, формулу C.41) площади поверхности можно пере- переписать так: о= J j C.41') Замечай не 2. Геометрический смысл полученной нами формулы C.41) состоит в том, что подыинтегральное выражение Уёиёп —g^dudv (с точностью до бес- бесконечно малых высших порядков) — площадь «бесконечно малого параллело- параллелограмма», вырезаемого из поверхности S двумя парами бесконечно близких координатных u = uo-{-du, v = v0 Рис. 3.22. линий и = и. шины О' и v = vo-{-dv (рис. 3.22V. Действительно, вер- этого параллелограмма имеют криволинейные координаты (и0, v0), (uo-{-du, v0) и (и0, vo-\-dv) соответственно.
134 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Поэтому с точностью до малых выше первого порядка имеем 0P,= vadu, P0P2=rvdv. Площадь do параллелограмма, построенного на векторах РйРх и Р0Р2> равна модулю их векторного произведения do=|[rtt. rv\\dudv. В силу C.43) это выражение можно переписать так: do= Vgng22 — g\2dudv. Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы C.41). Если поверхность S задана явным уравнением z = f(x, у), то, как мы уже видели выше (см. п. 2, пример 4), в этом случае откуда Следовательно, площадь поверхности z — f(x, у) выражается фор- формулой f fV~2 C.44) причем в данном случае D — проекция поверхности S на плоскость ху Замечание 1. Так как 1/ 1 1 f'2 | f2— f у — cos (N, г) (см. п. 5 § 3), то формулу C.44) можно переписать так: dx dy cos(N, z) D Смысл ее состоит в том, что элемент площади поверхности равен его проекции на плоскость ху, деленной на косинус угла между нормалями к этому элементу поверхности и к плоскости ху. Замечание 2. Если поверхность S достоит из конечного числа кусков, каждый из которых представим уравнением вида z = f(x, у), то ее площадь можно вычислить, применив формулу C.44) к каж- каждому такому куску в отдельности. Пример. Найти площадь части параболоида z=^x2-\-y2, лежа- лежащей внутри цилиндра х2-\-у2=а2.
5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 135 Решение. Искомая площадь равна Переходя к полярным координатам, получаем 2л а 2л о = f dq> f 0 0 2я D«2 + 1)'/2- 1] ЙФ = | [Dа2 + l)'/s- 1]. Предположим теперь, что поверхность задана неявным уравне- уравнением F(x, у, 2)=0. Если поверхность такова, что это уравнение можно однозначно разрешить относительно z (это равносильно тому, что наша поверхность пересекается любой вертикальной пря- прямой не более чем в одной точке), то, воспользовавшись правилами дифференцирования неявных функций, получаем dF_ dF_ дг дх дг ду дх df_ ' ду dF дг дг Подставляя эти выражения вместо f'x и /' в формулу Г3.44), получаем C.45) dF дг Здесь опять-таки, как и в формуле C.44), подынтегральная функ- функция представляет собой не что иное, как обратную величину косинуса угла между нормалью к поверхности и осью z. У п р а ж н е н и е. Найти площадь части поверхности конуса х2-\-у2 — z~== 0, лежащей внутри цилиндра х2-|-у2 = а2. Ответ. о = г § 5. Кривизна линий на поверхности. Вторая квадратичная форма В предыдущих параграфах мы получили формулы для вычисления длин кривых на поверхности, углов между кривыми и площади поверхности. Однако эти величины еще не определяют форму поверх- поверхности. Например, цилиндр и плоскость—это разные поверхности,
136 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 хотя цилиндр можно развернуть на плоскость так, что при этом все углы, длины и площади сохраняются. Для изучения1 формы поверхности мы примем следующий метод: взяв в рассматриваемой точке нормаль к поверхности, будем проводить через эту нормаль всевозможные плоскости (нормальные плоскости) и изучать форму получаемых при этом сечений поверхности (нормальных сечений). 1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна. Рассмо- Рассмотрим поверхность S, заданную уравнением г = г (и, v). Вектор-функцию г (и, v) мы будем считать здесь и далее дважды непрерывно дифференцируемой. Возьмем на поверхности 2 некото- некоторую точку Мо и выберем на норма- нормали к S, проведенной в этой точке, определенное направление, т. е. опре- определенный единичный вектор п. Пусть Y — одно из проходящих через Мо нормальных сечений. Таким образом, кривая 7 лежит в плоскост.1, проходя- проходящей через единичный вектор п, нор- нормальный к 2 в точке Мо (рис. 3.23). Y представляет собой плоскую кривую, и форма этой кривой в окрестности точки Мо вполне определяется ее кри- кривизной k в этой точке и направлением вогнутости (по отношению к выбранному направлению нормали в точке Мо). Для вычисления кривизны кривой у запишем уравнение этой кривой в виде r=r(«(Q. «(/)) C.46) Рис. 3.23. (/—натуральный параметр) и воспользуемся 1-й формулой Френе dl откуда ,4/9 » * C.47) Единичный вектор v направлен, очевидно, по нормали к поверх- поверхности 2 в точке Мо, и следовательно, он или совпадает с п (если направление вогнутости сечения у совпадает с выбранным направле- направлением нормали к S), или отличается от п знаком (если эти напра- направления противоположны). Для того чтобы учесть одновременно и величину кривизны и направление вогнутости сечения, введем ве- величину (§) C8>
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИП НА ПОВЕРХНОСТИ 137 которую мы назовем нормальной кривизной поверхности S в точке Мо в направлении сечения у. Из сказанного ясно, что k=\k\. При вращении вокруг п плоскости, в которой лежит сечение y> будет меняться и нормальная кривизна k = k(y); она будет теперь «следить» не только за формой нормального сечения, но и за его направлением вогнутости. Так, например, если поверхность в точке Мо имеет форму седла, как на рис. 3.24, то для сечения Yi нор- нормальная кривизна kx будет положи- положительна, поскольку вектор v, главной нормали к Yi совпадает с п, а для сечения у2 нормальная кривизна Ъ2 бу- будет отрицательна, поскольку v2 = — п. В дальнейшем, говоря о нормаль- нормальных сечениях поверхности, мы будем рассматривать только соответствую- соответствующую нормальную кривизну C.48), а не кривизну, определяемую форму- формулой C.47). Эту нормальную кривизну мы будем дальше обозначать просто буквой k, опуская значок ~ над ней. Величину Рис. 3.24. мы будем называть радиусом нормальной кривизны поверхности S (в данной точке и в данном направлении). Неотрицательная вели- величина \R\ есть, очевидно, радиус кривизны соответствующего нор- нормального сечения. Поскольку k может обращаться в нуль, для R мы должны допускать и бесконечные значения. Выведем теперь формулу для вычисления нормальной кривизны k. Для этого воспользуемся уравнением C.46) кривой у и вычислим -Tj2- Введем для сокращения записи обозначения "" аи2 uv аи dv m dv2 Из уравнения ;C.46.) кривой у получим, что d2r d I du К dv \ dl2 dl \ u dl v dl ) / du\2 . o du dv . (dv\2 , d'-u , rf2f C.49) Векторы г„ и rv лежат в касательной плоскости. Следовательно, они ортогональны п, т. е. (г„. п) = (г1), п) = 0.
138 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Поэтому, подставив в формулу C.48) выражение C.49) для -Л-, получим 1 / d2t ^). C.50) 2. Вторая квадратичная форма поверхности. Запишем полу- полученную нами формулу C.50) нормальной кривизны поверхности в более удобном виде. Введя обозначения перепишем равенство C.50) следующим образом: ь 1 bu du2 + 26,2 du dv -f b22 dv2 „ _ В знаменателе здесь стоит rf/2, т. е. первая квадратичная форма поверхности. Числитель тоже представляет собой квадратичнуюформу (относительно du и dv). Она называется второй квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей (наряду с первой квадратичной формой) фундаментальную роль. Вторую ква- квадратичную форму поверхности мы будем в дальнейшем обозначать символом ф2. Таким образом, ф2 = bndu2 + 2bn du dv -f- b22 dv2, rue bn, bn и £22 определены равенствами C.51). Пример. Рассмотрим поверхность, заданную уравнением z = f(x, у), т. е. в векторной форме r = x\+y)-\-f(x, у)к. Здесь Следовательно, Гху = т. е. ф2=(/«**2-|-2/1и**у+/;;,<*у)со8(п. «). C.53) Таким образом, в этом случае вторая квадратичная форма предста- представляет собой, с точностью до множителя cos (n, z), совокупность членов второго порядка в разложении функции z = f(x, у) по фор- формуле Тейлора.
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 139 Замечание. Мы уже видели, что первая квадратичная форма определяет «метрику» поверхности: с ее помощью на поверхности измеряются длины, углы и площади. Вычисление этих величин опи- опиралось, пс существу, на возможность заменять в первом приближе- приближении бесконечно малый элемент поверхности соответствующим эле- элементом касательной плоскости. Вторая квадратичная форма — это мера того, насколько поверхность уклоняется в окрестности данной точки от касательной плоскости, проведенной через эту точку. Чтобы убедиться в этом, вы- вычислим расстояние между близкой к М9 точкой М поверхности S и касательной плоскостью, проведен- проведенной в точке Мй (рис. 3.25). Рас- р „2g смотрим проходящее через точки Мо и М нормальное сечение. Искомое расстояние равно, очевидно, расстоянию МР от М до касательной к кривой у. Но это расстояние с точностью до малых высшего по- порядка (см. п. 6 § 2) равно ~kdP=~ (bn du2-{-2bl2 du причем знак этого выражения указывает направление, в котором по- поверхность отходит от касательной плоскости. Можно было бы само понятие второй квадратичной формы ввести, исходя из задачи о вычислении расстояния от точки поверхности до касательной плоскости, проведенной через близкую точку. Упражнения. 1. Показать, что для плоскости (при любой ее параметризации) вторая квадратичная форма тождественно равна нулю. 2. Вычислить вторую квадратичную форму для тора в коорди- координатах ф и i|) (см. пример 1 п. 1 § 3). 3. Индикатриса кривизны. Радиус кривизны R = -j- нормаль- нормального сечения у в точке А10 зависит от направления, в котором про- проведено сечение у. Чтобы изобразить эту зависимость наглядно, вос- воспользуемся следующим приемом. Отложим от точки Мо на касательной плоскости в каждом направлении вектор р, длина которого равна 1^1/?], где R — радиус нормальной кривизны поверхности в этом направлении. Этот вектор можно, очевидно, записать в виде где т— единичный вектор, касательный к соответствующему нор- нормальному сечению.
140 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Геометрическое место концов этих векторов представляет собой некоторую кривую, лежащую в плоскости, касательной к S в точке Мо (рис. 3.26). Эта кривая называется индикатрисой кривизны по- поверхности S в данной точке. Найдем уравнение индикатрисы кривизны.! Примем за координатные век- векторы в касательной плоскости га и rv. Так как dt_ U du dv rv~dT Рис. 3.26. то т. е. каждая точка индикатрисы кривизны имеет, в выбранном базисе, координаты Воспользуемся равенством 1 h (duY ! du dv . , I dv-p Умножив его на \Щ, получаем, что и г) удовлетворяют уравнению т. е. что = ± 1. C.54) Это—уравнение некоторой центральной кривой второго порядка с центром в начале координат *). Таким образом, индикатриса кривизны представляет собой цен- центральную кривую второго порядка **) с центром, находящимся в рас- рассматриваемой точке поверхности. 4. Главные направления и главные кривизны поверхности. Формула Эйлера. Уравнение индикатрисы кривизны, как и уравне- уравнение всякой центральной кривой второго порядка, можно привести *) Последнее видно из того, что в уравнении отсутствуют члены первой . степени. **) Точнее, здесь имеются две такие кривые: bnl? -f 26,,!^ 4- b^rf = 1 и ^iil2 -f- 2^i2irl + *22"П2 = — It уравнения которых отличаются" лишь свобод- свободным членом. Подробнее о виде индикатрисы кривизны см. п. 7.
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 141 к главным осям, т. е. вместо базисных векторов ru n rv можно выбрать в касательной плоскости два других базисных вектора так, чтобы они были взаимно ортогональными и единичными и чтобы в уравнении индикатрисы кривизны отсутствовал член с произведе- произведением координат. Для этого нужно, чтобы новые базисные векторы были направлены по главным осям индикатрисы кривизны. Эти два направления мы назовем главными направлениями нашей поверх- поверхности (в данной точке). При таком выборе системы координат в касательной плоскости уравнение индикатрисы принимает вид px2-\-qy2= ± 1. C.55) Пусть ф — угол между главным направлением, принятым за напра- направление оси х, и произвольным нормальным сечением. Тогда, очевидно, х—У\Щ cosy. y = V[R~ где R — радиус кривизны данного нормального сечения. Подставив эти выражения х и у в уравнение C.55) и вспомнив, что правая часть этого уравнения представляет собой отношение \ R\ к R, получим р cos2 ф-j- (] sin2 ф ^тт == k- C.56) 1 1 Назовем главными кривизнами «i = -?r~ и «9 = -^— поверхности К\ " Кг в данной точке нормальные кривизны, отвечающие главным напра- направлениям индикатрисы кривизны в этой точке. В выбранной нами . л системе координат это — направления ф = 0 и ф-«-, поэтому Таким образом, равенство (З.сО) принимает вид V. t Ч t f. л ■ 9 /О К'7\ или r — Ж""° т ! /г _ = — cos2 ф -+- -тг- sin2 ф. (З.о7 ) Это—так называемая формула Эйлера. Она дает выражение нормальной кривизны поверхности по любому направлению через главные кривизны. Из формулы Эйлера сразу видно, что главные кривизны — это экстремальные значения нормальной кривизны. Действительно, если kx = k2, то k не зависит от ф и здесь любое направление будет
142 элементы дифференциальной геометрии [гл. з экстремальным *). Пусть kx Ф k2, например kx > k2. Тогда kx—k2 > 0 и, переписывая формулу Эйлера в виде k = {kx — k2) cos2 ф -f- k2 (cos2 ф -f- sin2 ф) = (kx — k2) cos2 ф + k2, получаем, что kx~^k^>k2 при каждом ф. Эти экстремальные свойства главных кривизн дают удобный способ для их фактического вычисления. 5. Вычисление главных кривизн. Из формулы Эйлера C.57) легко усмотреть, как нормальная кривизна k (ф) зависит от напра- вления ф. График зависимо- 4 сти k от ф изображен на рис. 3.27. Из него видно, что при каждом заданном kQ, k-i ~> ко > k2, существуют че- ^г\ ^^^ тыре значения угла ф, при -t ^ -^ IzjT^ кот°рых *(ф) = *о- Так как -g -jr углы, * отличающиеся па я, определяют одно и то же нор- Рис. 3.27. мальное сечение, то каждому k0 отвечают два нормальных се- сечения, для которых нормальная кривизна равна k0. Но если k0 —kx или ko = k2, то эти два нормальных сечения сливаются в одно. Иными словами, главные кривизны — это те значения нор- нормальной кривизны, каждому из которых отвечает одно и только одно нормальное сечение нашей поверхности. Форму- Формулу C.52) для определения нормальной кривизны как функции на- направления можно переписать так: или, деля на dv2 и полагая —г- = t (где t определяет сечение), — kg22) = 0. C.58) В соответствии с изложенным выше это квадратное уравнение для t, отвечающих главным направлениям и только для них, имеет не два, а лишь один корень. Для Этого в свою очередь необходимо и доста- достаточно, чтобы дискриминант уравнения C.58) обращался в нуль. *) Точка, в которой kx = k2, называется точкой округления или омби- омбилической точкой. Можно показать, что единственная поверхность, целиком состоящая из точек округления, — это сфера.
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 143 Итак, для нахождения главных кривизн мы получаем уравнение или Л.. — her.. Ьло — kgto '2 *12 =0. C.59') 6. Полная кривизна и средняя кривизна. Во многих случаях вместо главных кривизн kx и k2 удобнее рассматривать их про- -изведение K=k1k2 C.60) и полусумму ±J. C.61) К называется полной или гауссовой кривизной Поверхности, а Н—ее средней кривизной. Из квадратного уравнения C.59') сразу получаем формулы j, ^11^22 ^12 I, ьц*22 ^ol2^l2"f S<sPп Д — 2~ , П — —. 7Г\ 2( ) Пример. Вычислить полную и среднюю кривизны для гипербо- гиперболического параболоида z — х2 — у2. Решение. gn = 1 + 4х2, gl2=—4xy, g-22=l-f 4y2; bu = 2 £12 = 0, Ь22= — 2. Значит, к -4 „ 4(^-у») В частности, в начале координат # = — 4, Я^О. 7. Классификация точек на поверхности. Каждой точке Мо дважды непрерывно дифференцируемой поверхности S мы сопоставили определенную кривую—индикатрису кривизны в этой точке. Урав- Уравнение индикатрисы можно, как мы знаем, привести к виду klX2 + k2y2= ±1, C.63) где k1 и k2 — главные кривизны нашей поверхности в точке Мо. Тип кривой C.63) зависит от знака произведения kxk2. Рассмотрим возможные здесь три случая. 1) k1k1 > 0. Можно считать, что kx > 0, k2 > 0, так как, изменив направление нормального вектора п, мы можем изменить знаки у kx и k2 на противоположные. При kx > 0 и k2 > 0 уравнение C.63) определяет эллипс, если в нем справа стоит -(-1, а уравнение, в ко- котором справа стоит —1, никакой кривой не соответствует. Точки, в которых kxk2 > 0 (т. е. индикатриса кривизны — эллипс), называются эллиптическими точками.
144 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 2) /ej/e2< 0. В этом случае уравнение C.63) определяет гиперболу или, точнее говоря, две гиперболы с общими асимптотами. Одна из них отвечает правой части -f-1, а другая — правой части —1. Точки, в которых kxk2 < 0 (индикатриса кривизны—пара гипербол), назы- называются гиперболическими. 3) klk2-=Q. Если при этом одна из главных кривизн отлична от нуля, то уравнение C.63) определяет пару параллельных прямых. в) Точки, в которых £^ = 0 (но одна из главных кривизн отлична от нуля), называются параболическими. Если в данной точке kx = k2 = 0, то в ней понятие индикатрисы кривизны теряет смысл. Точки, где kx = k2 = 0, называются точками уплощения поверхности. Итак, тип точки определяется знаком полной кривизны K = ktk2 в этой точке. Поскольку А = г~. а величина glig]9—g\2 всегДа положительна, то тип точки опреде- определяется знаком дискриминанта bub22—&\2 второй квадратичной формы. Легко представить себе строение поверхности в окрестности точки каждого из трех типов. Пусть точка Мо — эллиптическая. Тогда kx и k2 имеют одинаковые знаки, а следовательно, в силу формулы Эйлера, все нормальные кривизны в данной точке имеют одинаковые знаки. Геометрически это означает, что в рассматриваемой точке все нормальные сечения имеют одно и то же направление во- вогнутости. В окрестности эллиптической точки поверхность похожа на эллипсоид и имеет вид, изображенный на рис 3.28, а. Рассмотрим теперь гиперболическую точку. В ней главные кри- кривизны имеют разные знаки. Поэтому здесь существуют нормальные сечения с различными направлениями вогнутости. Поверхность в окре- окрестности такой точки имеет седлообразный вид (см. рис. 3.28, б). Несколько сложнее строение поверхности в окрестности парабо- параболической точки. Здесь имеется одно направление, по которому нор- нормальная кривизна равна нулю. По всем остальным направлениям нор- нормальная кривизна имеет один и тот же знак. Типичным примером
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 145 параболической точки является любая точка обыкновенно круглого цилиндра (см. рис. 3.28, в), однако возможны и другие случаи, на которых мы не будем останавливаться. Рассмотрим следующий пример. Пусть поверхность задана урав- уравнением z = f(x, у) и пусть в точке (х0, у0) выполнены необходимые условия экстре- экстремума, т.е. —^=0, —i = 0. Тогда нормаль к поверхности в этой J Ох иу ^ точке совпадает с направлением оси z и, как показывает простое вы- вычисление, коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в этой точке равны и, следовательно, Мы видим, что тип рассматриваемой точки определяется знаком вы- выражения C.64). Но, как известно, знаком этого же выражения опре- определяется наличие или отсутствие экстремума в данной точке. Таким образом, мы получаем следующие связи между типом точки и нали- наличием или отсутствием в этой точке экстремума: эллиптическая точка — экстремум есть {f'xxf"yy — f' > 0), гиперболическая точк а—экстремума нет (f"xxf" — /гУ<0)- параболическая точка — неопределенный случай' (/" /" _/ = 0). V ххJ уу J ху 1 Упражнение. Каков тип точек, лежащих на: 1) эллипсоиде, 2) двуполостном гиперболоиде, 3) однополостном гиперболоиде, 4) эллиптическом параболоиде, 5) гиперболическом цилиндре. 8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система инвариантов поверхности. Мы ввели для поверхностей первую квадратичную форму и показали, что эта форма определяет на по- поверхности длины, углы и площади. Далее, мы показали, что вторая квадратичная форма определяет нормальные кривизны поверхности, т. е. вид поверхности в окрестности каждой точки. Естественно поставить следующий вопрос: в какой мере поверхность определяется своими двумя квадратичными формами. Ответ на него дает следую- следующая теорема. Теорема 3.2. Если на поверхностях S и X* можно ввести координаты и и v и, соответственно, и* и v* так, чтобы в тех точках, в которых и = и*, v = v*, совпадали бы и соответ- 10 Б. М. Будак, С. В. Фомин
146 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 ствующие квадратичные формы, т. е. чтобы в этих точках выполнялись равенства то такие две поверхности конгруэнтны, т. е. могут отли- отличаться друг от друга только положением в пространстве. Таким образом, первая и вторая квадратичные формы играют для поверхностей ту же роль, что и натуральные уравнения для кривой: они образуют полную систему инвариантов, определяющую по- поверхность с точностью до ее положения в пространстве. Мы не будем проводить здесь доказательство сформулированной теоремы. Его можно найти почти во всех учебниках дифференциаль- дифференциальной геометрии*). § 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности 1. Наложимость поверхностей. Необходимое н достаточное условие наложимости. Выше мы рассматривали поверхности как твердые тела, считая, что они могут перемещаться в пространстве, но не меняют свою форму. В некоторых случаях естественнее, однако, другая точка зрения, состоящая в том, что поверхности рассматриваются как нераетяжимые, но абсолютно гибкие пленки. При этом изучаются те свойства поверхности, которые не меняются при ее изгибании, т. е. при деформациях, не связанных с растяжением. Если одна поверхность может быть совмещена с другой при помощи изгибания, то эти поверхности называются наложимыми друг на друга. Иначе говоря, две поверхности называются наложимыми друг на друга, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы линии, переходящие друг в друга при этом соответствии, имели одну и ту же длину. Естественно возникает вопрос: каковы условия, необходимые и доста- достаточные для того, чтобы две поверхности были наложимы друг на друга. Ответ на него дает следующая теорема. Теорема 33. Для того чтобы две поверхности 2 и 2* были нало- наложимы друг на друга, необходимо и достаточно, чтобы эти поверх- поверхности допускали такую параметризацию и, v, при которой в точках JH£2 и М* £2*, имеющих одинаковые координаты и, v, соответствую- соответствующие коэффициенты их первых квадратичных форм были бы равны. Доказательство. Достаточность этого условия очевидна: если та- такая параметризация возможна, то, поставив в соответствие друг другу те точки поверхностей 2 и 2*, которые имеют одинаковые координаты и, v, мы получим в соответствующих точках одинаковые коэффициенты первых квадратичных форм Su = Su, gl2 = g'l2> £22 = 222- Но тогда, параметризовав две соответствующие друг другу линии на этих поверхностях с помощью одного и того же параметра t (т. е. так, чтобы *) См., например, А. П. Н о р д е н, Дифференциальная геометрия, Учпедгиз, 1948, стр. 188.
§ 6] ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 147 в соответствующих друг другу точках этих линий значение параметра было одно и то же), мы получим, что /У*. «, г /*,/*/ du\2 о * du dv , * / dvY1 ., ,о Ксч = У V g» Ы +2g* ИГ-Ж + е* Ы) dt' C5) У т. е. что длины этих дуг равны. Обратно, если две поверхности 2 и 2* наложимы друг на друга, то на этих поверхностях можно ввести общую параметризацию, введя каким-либо образом координаты и, v на поверхности 2 и считая, что точка Л1*£2* имеет те же внутренние координаты и, v, что и отвечающая ей точка М. Рас- Рассмотрим теперь на поверхностях 2 и 2* две отвечающие друг другу линии и параметризуем их так, чтобы их точки, совпадающие при наложении, отвечали одному и тому же значению параметра t. Тогда равенство длин дуг этих кривых запишется в виде C.65). Так как это равенство будет иметь место при всех tx и t2, то из него получим gn du2 -f 2£12 du dv + g22 dv2 = g*n du2 + 2g\2 du dv + g*22 du2. Но это последнее равенство должно выполняться тождественно по du и dv, так как оно справедливо для любых соответствующих друг другу кри- кривых, проходящих через любые точки и в любых направлениях. Тождествен- Тождественное равенство двух квадратичных форм влечет совпадение их коэффициентов. Таким образом, gu = g*n> Sn = S*i2. S22 = g\i, что и требовалось доказать. 2. Внутренняя геометрия поверхности. Совокупность тех свойств по- поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геомет- геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства *), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внут- внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой, квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. Далее, поскольку угол между лини- линиями на поверхности и площадь поверхности выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы (см. п. 2 и 4 § 4), то эти величины также отно- относятся к внутренней геометрии. Замечательно то обстоятельство, что внутренним свойством поверхности является и ее полная кривизна К- Именно, Гауссом была получена для пол- полной кривизны в ортогональных координатах следующая формула: в которую входят только коэффициенты первой квадратичной формы. В то же время ни средняя кривизна, ни главные кривизны при изгибании не сохра- сохраняются. *) Речь идет, конечно, о тех свойствах, которые относятся к самой по- поверхности и не зависят от выбора ее параметризации. 10*
14В ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Сам термин «внутренняя геометрия» применительно к свойствам, сохра- сохраняющимся при изгибании поверхности, означает, что онн присущи именно самой поверхности и не связаны с ее вложением в пространство. Поясним это сле- следующим «мысленным экспериментом». Представим себе, что поверхность населена некими двумерными существами, достаточно разумными, но не имею- имеющими никаких выходов в окружающее эту поверхность пространство. Такие существа могли бы построить геометрию своего «мира», назвав «прямой», проходящей через две точки, кратчайшую из всех линий (лежащих целиком на поверхности), проходящих через эти точки (например, на сфере такой «прямой» будет дуга большого круга), и, далее, определить «треугольники», «многоугольники» и т. д. и изучать свойства этих фигур (не выходя в окружающее поверхность пространство). Та геометрия, которая при этом получилась бы, и является внутренней геометрией нашей поверх- поверхности. При этом наши гипотетические существа никоим образом не смогли бы отличить одну по- поверхность от любой другой, на нее наложи- наложимой *). Например, внутренняя геометрия плоско- плоскости— это обычная планиметрия, которую все изучают в школе. Однако все теоремы плани- планиметрии останутся верны, если вместо плоскости рассматривать любую наложимую на нее по- поверхность, скажем параболический цилиндр. А вот внутренняя геометрия сферы существенно отличается от геометрии плоскости: например, на сфере сумма углов треугольника всегда больше, чем я. 3. Поверхности постоянной кривизны. Рас- Рассмотрим поверхность, полная кривизна К кото- которой в каждой точке имеет одно и то же зна- значение. Такие поверхности называются поверх- поверхностями постоянной кривизны. Из инвариантности полной кривизны при изгибаниях следует, что две поверхности постоянной кривизны наложимы друг на друга только тогда, когда их кривизны равны. Можно показать, что верно и обратное: две поверхности одной и той же постоянной кри- кривизны наложимы друг^на друга. Таким образом, каждая из этих поверхностей полностью (с точки зрения внутренней геометрии) характеризуется одним числом — своей полной кривизной К- Геометрические свойства поверхности постоянной кривизны существенно зависят от знака кривизны, поэтому следует отдельно рассматривать поверх- поверхности положительной, нулевой и отрицательной кривизны. Поверхностью нулевой кривизны является плоскость. Ее внутренняя геометрия — это обычная планиметрия. Ту же самую внутреннюю геометрию имеет и любая другая поверхность нулевой кривизны. «Канонической моделью» поверхности положительной кривизны К. может служить сфера радиуса /? = Внутренняя геометрия этой поверхности у К Рис. 3.29. *) Соображения о том, когда возможно, а когда невозможно «внутренним образом» отличить прямое от кривого, имеют смысл не только примени- применительно к двумерным объектам — поверхностям, но и для объектов большей размерности, в частности и для трехмерного пространства. Эти вопросы очень важны с точки зрения общих представлений о вселенной. К сожале- сожалению, мы не имеем возможности здесь их рассматривать.
§ 61 ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 14£ отлична от привычной нам планиметрии: если под «прямыми» понимать кратчайшие линии (т. е. в случае сферы дуги больших кругов), то верны, следующие утверждения: любые две «прямые» при неограниченном их про- продолжении пересекаются, сумма углов треугольника больше двух пря- прямых и т. д. Поверхностью постоянной отрицательной кривизны К < 0 является так. называемая псевдосфера, которая изображена на рис. 3.29. Она представляет собой поверхность, образованную вращением трактрисы, т. е. кривой, опре- определяемой уравнениями := a (c cos ^ + In tg-g-J, y = as,\\it. Изображенная на рис. 3.29 поверхность не гладкая: она имеет ребро^ Это обстоятельство не случайно: можно показать, что в трехмерном про- пространстве не существует неограниченно продолжимой гладкой поверхности, имеющей постоянную отрицательную кривизну. Внутренняя геометрия псевдо- псевдосферы отлична и от обычной планиметрии и от геометрии на сфере. Она совпадает с так называемой геометрией Лобачевского, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых, через данную точку проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную, и т. п. Не имея воз- возможности останавливаться здесь на всех этих вопросах (имеющих, между прочим, глубокие связи с современными физическими представлениями, в частности с теорией относительности), мы отсылаем интересующегося ими. читателя к соответствующей специальной литературе*). *) См., например, Н. В. Ефимов, Высшая геометрия, Физматгиз,
ГЛАВА 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Нахождение массы материальной кривой по ее плотности, вычисле- вычисление работы силового поля вдоль некоторого пути и ряд других задач требуют введения так называемых криволинейных интегралов, т. е. интегралов от функций, заданных вдоль кривых. Этому поня- понятию, важному как для самого анализа, так и для его физических приложений, посвящена настоящая глава. Рассмотрение различных физических задач, связанных с интегри- интегрированием функций вдоль линий, приводит к необходимости введения двух типов криволинейных интегралов, называемых обычно криво- криволинейными интегралами первого и второго рода. Впрочем, как мы увидим, эти два типа криволинейных интегралов легко преобразуются друг в друга. § 1. Криволинейные интегралы первого рода 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть АВ— некоторая кривая, гладкая или кусочно-гладкая*), и пусть f {M) — функция, заданная на этой кривой. Рассмотрим не- некоторое разбиение этой кривой на части Ai_lAi точками А = А0. А1 Ап = В, D.1) выберем на каждой из дуг Л^Л,- произвольную точку Mt и соста- составим сумму *) Напомним, что кривая, заданная уравнениями x=q>(t), у = |() называется гладкой, если функции ф (t) и \|з (t) непрерывны и имеют не- непрерывные первые производные, не обращающиеся в нуль одновременно (иными словами, если кривая в каждой точке имеет касательную и напра- направление этой касательной непрерывно зависит от точки касания). Непрерыв- Непрерывная кривая, составленная нз конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.
§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 151 где А1[ — длина дуги А1_ХА1 (рис. 4.1). Мы будем называть такие суммы интегральными суммами. Введем следующее определение: Определение. Если при стремлении max bdt к нулю инте- интегральные суммы D.2) стремятся к некоторому конечному пределу*) J, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(M) no кри- кривой АВ и обозначается f f{M)dl. D.3) АВ У\ о А=А a; Поскольку точки кривой АВ определяются своими координа- координатами {х, у), функцию f(M), заданную на АВ, мы будем обычна писать в виде f(x, у), а сам интег- интеграл Г f(M)dl— в виде АВ J/(x, y)dl. АВ При этом, однако, следует иметь в виду, что переменные х и у здесь не независимы, а связаны условием; точ- точка (х, у) лежит на кривой АВ. Нетрудно убедиться в том, что по- понятие криволинейного интеграла пер- первого рода на самом деле почти не отличается от обычного понятия* определенного интеграла функции одной переменной и легко к нему сводится. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А, запишем эту кривую с помощью уравнений вида х — х{1), у — у{1) (O-^J-^Z.). D.4) При этом функция f(x, у), заданная на АВ, сведется к функции /(х(/). у@) переменной /. Обозначив It значение параметра I, отве- отвечающее точке Mt, перепишем интегральную сумму D.2) в виде Рис. 4.1. D.5) *) Как и в случае определенных интегралов (см. вып. 1, гл. 10, § 1), число J называется пределом интегральных Сумм, если для любого е > 0 выпол- нено неравенство < с, как только max Д/; достаточно мал.
152 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Это — интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу //(*(/), y{l))dl. о Раз интегральные суммы D.2) и D.5) равны между собой, то -равны и отвечающие им интегралы; таким образом, L ff(M)dl = ff(x @, у @) dl, D.6) АВ О причем оба эти интеграла существуют или не существуют одно- одновременно. Следовательно, если функция / (М) непрерывна *) (или же кусочно-непрерывна и ограничена) вдоль кусочно-гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл D.3) заведомо существует, поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве D.6) справа. Замечание. Хотя, как это ясно из сказанного, криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному интегралу от функции одной переменной, между этими понятиями имеется следующее различие. В интегральных суммах D.2) величины Alt (длины дуг A^iAj)—обязательно положительные, независимо ют того, какую точку кривой АВ мы считаем начальной, а какую — конечной: Таким образом, выбор на кривой АВ того или иного направления (ориентация этой кривой) на величину интеграла D.3) никак не влияет, т. е. f f{M)dl= ff(M)dl, D.7) АВ ВА Ь в то время как определенный интеграл Г / (х) dx при перестановке а пределов меняет знак. Для сведения криволинейного интеграла первого рода к обыкно- обыкновенному определенному интегралу нет необходимости пользоваться натуральным параметром (длиной дуги). Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями 'i). D-8) причем (f(t) и ty(t) непрерывны, а ф'@ и я|/@ кусочно-непрерывны м ограничены и q/ (t)-i-ty'2 (t) > 0. Тогда на АВ можно ввести *)о Мы говорим, что функция f (Щ, определенная на спрямляемой кривой, непрерывна на этой кривой, если она непрерывна на ней как функция параметра /.
§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 15$ в качестве параметра длину дуги I, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Выберем при этом направление отсчета для I так, чтобы возрастанию параметра t отвечало возрастание длины дуги Л Тогда / будет монотонно возрастающей функцией t и dl= V<f'\t)-{-y\t)dt. D.9) Воспользовавшись равенством D.6) и формулой замены переменной в определенном интеграле, получим l tt J / (Ж) dl = J / (х (/), у @) dl = f f (Ф @, яр@) VV2 @ + V2 (О dK АВ 0 ta причем здесь to<Ch- Итак, справедлива следующая Теорема. 4.1. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав- уравнениями и /(х, у) — функция, заданная на этой кривой. Тогда имеет место равенство U J7 (*. У) <Я = / / (ф @, if it)) УФ'2 @ + я|/2 @ dt. D.10> АВ причем стоящий слева криволинейный интеграл существует в том и только том случае, когда существует определенный интеграл, стоящий справа. В частности, если кривая АВ задана явным уравнением то формула D.10) сведения криволинейного интеграла к определен- определенному принимает вид ь ffiM)dl = f /(х, у (х)) У\ + у'г их. D.11) АВ а Упражнение. Записать криволинейный интеграл от функции /(х, у) по дуге АВ, заданной полярным уравнением г = г (ф) (ф! ■<! ф ^ Фг) в виде определенного интеграла по ф. Ответ. J fix, y)dl= j fir cos (f, rsinqi) Уг2-\-г'2 d<p. AB cp,
154 Криволинейные интегралы Замечание. Определенный интеграл [ГЛ. 4 ff(x)dx от неотрицательной функции можно трактовать как площадь криво- криволинейной трапеции (рис. 4.2, а). Подобным же образом криво- криволинейный интеграл ff(M)dl АВ можно при /(М)>-0 представлять себе как площадь куска цилин- цилиндрической поверхности, составленной из перпендикуляров к пло- плоскости ху, восставленных в точках М кривой АВ и имеющих леременную длину f(M) (рис. 4.2, б). У О Ь СЕ Рис. 4.2. 2. Свойства криволинейных интегралов. Свойства криволиней- криволинейных интегралов вполне аналогичны свойствам определенных интегра- интегралов и сразу вытекают из формулы D.6), сводящей криволинейный интеграл к определенному. Перечислим основные из них. 1 (линейность). Если k = const, af(M) интегрируема на АВ, то Jkf(M)dl = k J f{M)dl АВ АВ и интеграл слева заведомо существует. 2 (линейность). Если f(M) и g{M) интегрируемы на АВ, то f{M)±g{M) интегрируема и f(J{M)±g{M))dl=ff(M)dl± fg{M)dl. АВ АВ АВ
§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 155> 3 (монотонность). Если f (M) — неотрицательная инте- интегрируемая функция, то всегда f f (M) АВ 4 (аддитивность). Если дуга АВ составлена из двух, дуг АС и СВ, то J f(M)dl= f f(M)dl-{- f f(M)dl, АВ АС СВ причем интеграл слева существует тогда и только тогда» если существуют оба интеграла справа. 5 (оценка по модулю). Если f (M) интегрируема на АВ» то \/(М)\ тоже интегрируема и f А \f(M)\dl. АВ ' АВ 6 (теорема о среднем). Если f{M) непрерывна на АВ,. то на этой дуге найдется такая точка М*, что ff(M)dl = АВ (L—длина дуги АВ). 7. Подчеркнем, наконец, еще раз, что J f{M)dl= ff(M)dl, АВ ВА т. е. что выбор направления на дуге АВ не влияет на вели- величину интеграла от скалярной функции f (M) по этой дуге. 3. Некоторые применения криволинейных интегралов первого рода. Укажем некоторые типичные задачи, в которых удобно поль- пользоваться криволинейными интегралами первого рода. 1) Нахождение массы материальной кривой по ее плот- плотности. Материальной кривой будем называть кусочно-гладкую кри- кривую, вдоль которой распределена некоторая масса. Линейной плот- плотностью р(Ж) материальной кривой в точке М называется предел, к которому стремится отношение массы Дц, находящейся на дуге ММГ этой кривой, к длине дуги ММ', при условии, что длина этой дуги стремится к нулю. Иначе говоря, если I — длина дуги AM я —масса этой дуги, то р(Ж) = —~-^. Отсюда ясно, чта
156 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 I масса [iAB дуги АВ выражается интегралом Г р dl, т. е. криволиней- о ным интегралом fp(M) А fp()dl АВ от плотности, взятым по кривой АВ. 2) Вычисление координат центра масс материальной кривой. Пусть масса распределена вдоль кривой АВ с плотностью р (х, у) *). Разбив эту кривую на части длины AZf и выбрав на каждой из этих частей некоторую точку (xlt у{), можно материальную кривую при- приближенно рассматривать как систему масс р(х;, У;) А';, расположен- расположенных в точках (xt, yj). Центр масс такой системы материальных точек имеет координаты п п 2 *fi (*,. Уь) А/, t=l 1=1 Эти выражения можно считать приближенными значениями координат хс и ус центра масс материальной кривой АВ. Для получения точных значений этих координат следует перейти к пределу при тахЛ^->0. В результате такого предельного перехода получаем jxp(x,y)dl jyp(,x,y)dl Л D-12) fp(x,y)dl ' ° fP(x,y)dl АВ АВ В частности, в случае однородной кривой р = const имеем J xdl Г ydl " - Ав " Ав D.13) J, dl АВ АВ 3) Вычисление моментов инерции материальной кривой. Момент инерции системы точечных масс mt относительно некоторой *) Здесь и в последующих задачах нам естественно задавать точки кривой их декартовыми координатами х, у (см. п. 1).
§ I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 157 прямой равен где гi — расстояние от 1-й массы до этой прямой. В частности, моменты инерции такой системы масс, лежащих в плоскости ху, относительно осей х и у равны соответственно п п / = S v?m, и /..= 1Х — 2 у\щ и 1у 2 (где (xt, yt) — координаты точечной массы mt). Для получения моментов инерции относительно координатных осей материальной кривой АВ, вдоль которой распределена масса с плотностью р(х, у), нужно сделать такой же предельный переход, как и в предыдущей задаче. Тогда для моментов инерции кривой АВ относительно коор- координатных осей мы получим выражения Ix= Ix= fyp(x, y)dl, /y= Jx2p(x. y)dl. D.14) АВ АВ 4) Притяжение точечной массы материальной кривой. Пусть снова АВ — материальная кривая с плотностью р(х, у) и т0 — точечная масса, имеющая координаты (х0, у0). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что кривая АВ при- притягивает массу т0 с силой, проекции которой на координатные оси равны соответственно = ущ f PU УН«-*> Mt Fy = ущ АВ АВ dL Здесь у — постоянная тяготения и г — ]/ (х — х0J -f- (У — у0J. Если считать, что интегрирование вектора по некоторому пара- параметру означает интегрирование каждой из его компонент (см. § 1 гл. 3), то эти две скалярные формулы можно заменить одной векторной: сила F, с которой материальная точка т0 притягивается материальной кривой АВ, равна *%£-г dl. D.15) АВ где г — вектор с компонентами (х — х0) и (у — у0). 4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве. Определение криволинейного интеграла первого рода, сформулиро- сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай функции f (M), заданной вдоль некоторой пространственной кривой.
158 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Если эта кривая АВ задана параметрическими уравнениями 3» — "Ф СО- * = то криволинейный интеграл первого рода, взятый вдоль этой кривой* сводится к определенному интегралу по формуле J / (ж) di = ff (Ф (t). t @, х (О )>V2 @ +1'2 @ + х'2 @ л. Условия существования и основные свойства пространственных криволинейных интегралов вполне аналогичны тем, которые были сформулированы выше для плоского случая. Криволинейные инте- интегралы первого рода в пространстве естественно возникают при рас- рассмотрении таких задач, как вычисление массы пространственной кри- кривой по заданной плотности, нахождение координат центра масс ма- материальной пространственной кривой, ее моментов инерции и т. п. Соответствующие формулы читатель легко может получить с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше для плоского случая. § 2. Криволинейные интегралы второго рода 1. Постановка задачи. Работа силового поля. Введем теперь- криволинейные интегралы другого типа — так называемые криволи- криволинейные интегралы второго рода. Для того чтобы лодойти к этому понятию, начнем с конкретной физической задачи. Рассмотрим плоское силовое поле, т. е. некоторую плоскую область, в каждой точке М которой задана сила F(M). Компоненты F(M) по осям х и у обозначим Р{М) и Q(M). Определим работу этого силового поля при перемещении точки вдоль некоторой кривой АВ. Если сила F постоянна (и по величине и по направлению), а путь АВ прямолинеен, то соответствующая работа равна произведению вели- величины этой силы на длину пути и на косинус угла между силой и перемещением, т. е. работа равна скалярному произведению (F, АВ). Найдем теперь выражение для работы в общем случае, т. е. когда сила F переменна, а путь криволинеен. Пусть АВ — гладкая кривая, лежащая в той области, где задано силовое поле. Разобьем кривую АВ на части точками а = м0, тх мп = в и рассмотрим ломаную, вершинами которой служат точки Mt (рис. 4.3). Считая, что вдоль каждого звена Mi_lMi ломаной сила F сохраняет постоянное значение, скажем, равное F(M;), вычислим работу» отвечающую перемещению вдоль этой ломаной. Если (хг, yt) —
§ 21 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА координаты точки Mt и 159 то работа, отвечающая перемещению вдоль отрезка Mi_I, Ж,-, равна а работа, отвечающая перемещению вдоль всей ломаной, равна ^ D16) Эту сумму можно принять за приближенное значение работы, совер- совершаемой силовым полем F(M) вдоль кривой АВ. Для получения точ- точного выражения этой работы нужно в сумме D.16) перейти к пределу, устре- устремив максимум длин дуг Mi_lMt к ну- нулю. Рассмотрим этот предельный пере- переход в общем виде. 2. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть АВ — гладкая кривая и F (М) = (Р (М), Q (М)) — вектор-функция, определенная на кривой АВ. Разобьем эту кривую на о части точками Рис- координаты которых обозначим соответственно (х0, у0), ^.., (хп, у„). Рассмотрим сумму p у{), где Hxi = xl — xt_x, Ду; = у,;—у^_р Если при стремлении макси- максимума длин дуг Mt^1Ml к нулю эти суммы стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется криволинейным инте- интегралом второго рода от вектор-функции F —(P, Q) и обозна- обозначается *) символом J D.18) J АВ *) Вместо Р (М) и Q (М) мы будем иногда писать Р (х, у) и Q (х, у), лонимая под х и у декартовы координаты переменной точки М; в тех слу- случаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем функции Р(М) •и Q (М) обозначать просто Р и Q, а криволинейный интеграл D.18) писать виде Г Р dx -(- Q dy. АД
160 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Этот интеграл представляет собой, очевидно, сумму дзух интегралов jP(M)dx и JQ(M)dy, АВ АВ отвечающих векторам (Р, 0) и @, Q), на которые разлагается век- вектор (P. Q). Замечание. Понятие криволинейного интеграла второго рода не следует смешивать с тем «покомпонентным» интегрированием векторной величины по скалярному аргументу, с которым мы встре- встречались выше (см. п. 5 § 1 гл. 3 и конец п. ь § 1 этой главы), например при вычислении силы притяжения материальной точки мате- материальной кривой. 3. Связь между криволинейными интегралами первого и вто- второго рода. Криволинейный интеграл второго рода легко сводится к интегралу первого рода, рассмотренному в § 1. Действительно, справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав- уравнениями х=хA), у = уA), D.19) и F = (P, Q) — векторная функция, определенная и ограничен- ограниченная *) на этой кривой. Тогда имеет место равенство Г Pdx~\~Qdy= j (Р cos a -f Q sin a) dl, D.20) АВ АВ где а = а (Ж) — угол между касательной к кривой АВ в точке М и положительным направлением оси х. При этом стоящий слева интеграл существует, если существует криволинейный интеграл первого рода, стоящий в равенстве D.20) справа. Доказательство. Докажем равенство АВ АВ Равенство jPdx= АВ Г Qdx= j Qs'madl АВ АВ доказывается так же. Интеграл Л Pdx АВ *) Вектор-функция (Р, Q) называется ограниченной, если Р и Q — огра- ограниченные функции.
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 161 представляет собой ло определению предел сумм вида T=j±P(Mi)Axi. 1 = 1 Сравним эту сумму с интегральной суммой л Т* = 2 Р (Мд cos a (Mt) Mt, отвечающей (при том же самом разбиении кривой АВ) интегралу I Pcos adl. АВ Если х — х (/), то в каждой точке М кривой АВ ^- = cosa(M) D.21) и, следовательно, h Ллг;= Г cos adl. Воспользовавшись теоремой о среднем, получаем где М\—некоторая точка дуги А1г_1/И;. Следовательно, \Т — Г*| = It 2 P(M^ [cos a (Mj) — cos a(ywj)] Mt < jcosa(M() — 1=] Вдоль гладкой кривой функция cosa(M) непрерывна, а значит (по- (поскольку эта кривая представляет собой замкнутое ограниченное мно- множество), и равномерно непрерывна. Следовательно, каково бы ни было £ > 0, для каждого достаточно мелкого разбиения кривой АВ имеет место неравенство |cosa(vW() — cosa(Al*)j < e. Тогда я \Т — Т*|<Се 2 Ч- = CeL- где С = sup |Р|, а L — длина кривой АВ. Отсюда следует, что если 11 Б. М. Будак, С. В. Фомин
162 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ■ [ГЛ. 4 интегральные суммы Т* имеют предел, то суммы Т стремятся к этому же пределу. Тем самым теорема доказана. Замечание. Выражение Pcosa-|-Qsina представляет собой скалярное произведение (F, т) вектора F = (Р, Q) на единичный век- вектор T = (cosa, sin a), касательный к кривой АВ, т. е. проекцию вектора F = (P, Q) на касательную к АВ. Обозначив эту проекцию символом Fx и воспользовавшись равенством D.20), мы можем за- записать криволинейный интеграл D.18) в виде J Fx dl. D.22) АВ Этой краткой записью мы будем часто пользоваться ниже, особенно в гл. 6. Иногда также, особенно в физической литературе, этот ин- интеграл пишут в виде J (F, dl), D.23) АВ понимая под dl бесконечно малый вектор с компонентами dx — dlcosa и dy = dtsina. 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Из сопоставления теорем 4.1 и 4.2 сразу вытекает следующая Теорема 4.3. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная уравнениями x = <?(t), у = яр @. D.24) и пусть F = (P, Q) — вектор-функция, заданная на этой кри- кривой. Тогда f P dx + Q dy = f [Р (Ф (t), i|) @ ) q>' @ + Q (Ф @, ф @ ) ф' @1 dt, АВ U D.25)' и интеграл слева существует, если существует определенный интеграл, стоящий справа; при этом t0 — значение парамет- параметра t, отвечающее точке A, a:tl— значение, отвечающее точке В. Теоремы 4.1—4.3 очевидным образом остаются справедливы, если кривая АВ не гладкая, а лишь кусочно-гладкая. Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы D.25). Если кривая АВ задана явным уравнением у=у(х). D.26)
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 163 где х пробегает отрезок [а, Ь], то формула D.25), сводящая криво- криволинейный интеграл второго рода к определенному, принимает вид :,y{x))y'{x)]dx D.27) АВ а (где х=а отвечает начальной точке А кривой, а х = Ь — ее конеч- конечной точке В). Если, в частности, кривая АВ — отрезок горизонталь- горизонтальной прямой у = у0, то вдоль него / = 0 и интеграл J Pdx-\-Qdy АВ вдоль такого отрезка сводится просто к интегралу ь ■ fP(x, yo)dx. Аналогично для кривой, заданной уравнением х = х(\», D.28) где у пробегает некоторый отрезок [с, d], имеем d fPdx + Qd\> = f[P(x(\»,y)x' + Q(x(\>),y)]dy. D.29) АВ с В частности, если АВ — отрезок вертикальной прямой х = х0, то х' = 0 и интеграл D.29) сводится к fQ(xo,y)dy. D.30) АВ Примеры. 1. Вычислить интеграл j x2dx-\-xydy D.31) АВ а) вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки A, 0) в точку @. 1), б) вдоль четверти окружности x = cos^, у = sinnO ^^ -^ соединяющей те же точки (рис. 4.4). 11*
164 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 АВ Решение. о a) fx2dx-{-xy dy= j(х2 — хA — x))dx = \ о = fBx2 — x)dx = — 1; б) Г х2 dx -\- xy dy — f (— cos21 sin t -\- cos21 sin ^) ^ = 0. AB 0 2. Вычислить интеграл D.32) а) вдоль прямолинейпого отрезка, идущего из точки @, 0) в точку A, 1), б) вдоль дуги параболы у = х2, соединяющей те же точки, W О\ G,0) а: Рис. 4.4. Рис. 4.5. в) вдоль ломаной, проходящей через точки @, 0), A, 0), A, 1) {рис. 4.5). Решение. 1 а) j Зх^у tfx-|-(x°-+- 1)йУ= | Dx°~(- \)dx =2; б) Г 3x2y dx -)- (x3~\- l)dy= ГEх4+2х)с?х = 2; лв о в) J3x2ydx + (x3+l)dy = (it = / A.0) / @,0) A,1) A,0)
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 165 Замечание. Читатель, видимо, обратил внимание на то, что во втором примере мы, взяв три различных пути (соединяющих одни и те же точки), получили три одинаковых результата. Это обстоя- обстоятельство не случайно. Причину его мы разъясним в § 4. 5. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от ориентации кривой. Из определения криволинейного интеграла Г Pdx + Qdy D.33) АВ непосредственно следует, что в нем постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, что интеграл от суммы двух векторных функций равен сумме интегралов от слагаемых и т. д. Подчеркнем следующее важное свойство интеграла D.33): криволинейный интеграл второго рода в отличие от интеграла первого рода, определенного в § 1, зависит от ориентации кривой АВ, по которой этот интеграл берется, а именно, при изменении ориентации этой кривой интег- интеграл D.33) меняет знак: j Pdx-\-Qdy = — J Pdx + Qdy. D.34) ВА ВА Действительно, изменив направление обхода кривой АВ, мы заменим тем самым Дхг и Дуг в сумме D.17) на —A.vf и —Ay* соответ- соответственно. При этом изменят знак интегральные суммы D.17), а сле- следовательно, и их предел. Это свойство криволинейного интеграла второго рода вполне соот- соответствует физической интерпретации такого интеграла, как работа силового поля вдоль некоторого пути: при изменении направления движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 6. Криволинейные интегралы вдоль самопересекающихся и замкнутых путей. С точки зрения возможных приложений теорда криволинейных интегралов целесообразно не исключать из рассмо- рассмотрения пути интегрирования, которые имеют самопересечения. Иначе говоря, если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t) (a<f<6). то мы не исключаем того, что существуют два различных значения t1 и t2 параметра t, для которых При этом, однако, когда речь идет об интегралах второго рода, нужно учитывать, что задать путь интегрирования это значит не просто задать множество точек, но и определенное направление обхода. Для кривых с самопересечениями направление обхода не определяется
166 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 заданием начальной и конечной точек. Например, кривые, изображен- изображенные на рис. 4.6, а и б, нужно рассматривать как две различные кри- кривые. Сказанное относится не только к плоским, но и к простран- пространственным кривым. Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы, взятые по тому или иному замкнутому контуру. При этом под замкнутым контуром (на плоскости) мы понимаем такую кривую x = x(t). y = y(f) (a<f<ft). что х(а) = х(Ь) и у(а) = у(Ь). Не исключается, что этот контур имеет еще и точки самопересечения, т. е. что, кроме t = а и t = b, есть и дру- р 4g гие различные между собой значения параметра, которым отвечают одина- одинаковые значения х и у. Если замкнутый контур не имеет точек самопересечения, то для него можно указать два и только два направления обхода (ориента- (ориентации): против часовой стрелки (положительная ориентация)и по часо- часовой стрелке (отрицательная ориентация). Если рассматривается инте- интеграл второго рода J Pdx + Qdy с вдоль такого контура, то его значения, отвечающие двум различным ориентациям контура С, равны между собой по абсолютной вели- величине и противоположны по знаку. Мы будем, как правило, рассмат- рассматривая замкнутый контур, считать его ориентированным положительно, а криволинейный интеграл второго рода по отрицательно ориентиро- ориентированному контуру заменять интегралом, взятым в положительном направлении, но со знаком минус перед интегралом. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру С часто обо- обозначают символом §Pdx-\-Qdy. 7. Криволинейные интегралы второго рода вдоль простран- пространственных кривых. Выше мы рассматривали криволинейные инте- интегралы от векторных функций вдоль плоских кривых. Все сказанное о них более или менее автоматически Переносится на пространствен- пространственный случай. Пусть АВ— гладкая пространственная кривая и F = (P. Q, #)—непрерывная вектор-функция, заданная вдоль этой
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 167 кривой. Разбив АВ на части точками А = М0, М, Мп = В с координатами (xt, yt, zc), 1=1, 2 и, рассмотрим сумму 1=1 где Ajc, = *, — *,_!. Ауг = Уг — Уг_1. Ьг^г^г^. Предел этих сумм мы назовем криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции F = (P, Q, R) вдоль про- пространственной кривой АВ и обозначим J P(M)dx-{-Q(M)dy> + R(M)dz, D.35) АВ ИЛИ *) jP(x. у. z)dx-\-Q(x, у, z)dy-\-R(x, у, z)dz. АВ С помощью рассуждений, дословно повторяющих те, которые были проведены для плоского случая, устанавливается формула, сводящая интеграл D.35) к криволинейному интегралу первого рода Г р ах + Q dy + R dz = j [P cos a -f- Q cos p + R cos y] dl АВ АВ (здесь а, p, Y — углы между касательной к АВ и осями координат х, у и z). Если гладкая кривая АВ задана уравнениями причем точке А отвечает t — tQ, а точке В отвечает t = ti, то имеет место равенство f . Х(О)Ф'(О + AS U + Q(«P(O. WO. x(W@+tf(q>@. Ф@. х(О)х'(О1<«. D.36) сводящее криволинейный интеграл второго рода к определенному интегралу. Так как выражение Pcosa-f-Qcosp-f-/?cos у — это проекция вектора F —(Р, Q, R) на направление касательной к АВ, то, *) Часто для краткости мы будем писать его просто в виде Г Pdx + Qdy + Rdz. АВ
168 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 обозначив эту проекцию Fr, мы можем, как и в плоском случае, запи- записать криволинейный интеграл D.35) в виде / АВ Fxdl. Все свойства плоских криволинейных интегралов, изложенные выше, автоматически переносятся на пространственный случай. В частности, криволинейный интеграл D.35) меняет знак при изменении ориента- ориентации кривой, т. е. С Pdx-j-Qdy-j-Rdz = — J* Pdx-\-Qdy-\- Rdz. АВ ВА В соответствии с этим в определенном интеграле, стоящем в фор- формуле D.36) справа, нижний предел tQ — это значение параметра, отвечающее начальной точке А кривой АВ, а верхний предел t1 — зна- значение параметра, отвечающее конечной точке В. (Независимо от того, какое из чисел /0, tx больше, а какое меньше.) § 3. Формула Грина В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Грина *), связывающую криволинейный интеграл &Pdx-±-Qdy, с взятый по границе некоторой области, с двойным интегралом по са- самой этой области. Эта формула широко применяется как в самом анализе, так и в его приложениях. Неко- Некоторые из этих применений будут рассмот- рассмотрены ниже. 1. Вывод формулы Грина. Рассмот- Рассмотрим сначала область G, имеющую простой вид: снизу и сверху она ограничена ку- кусочно-гладкими кривыми D.37) Рис. 4.7. а слева и справа — вертикальными отрез- отрезками х=а. х = Ь D.38) (рис. 4.7). Границу ABCDA области мы будем считать ориентиро- ориентированной положительно, т. е. будем считать принятым на ней то направление обхода, при котором сама область G остается все время *) Джордж Грин A793—1841) — английский математик, автор ряда исследований по математической физике.
§ 3] ФОРМУЛА ГРИНА 169 слева. Пусть функция Р(х, у) определена и непрерывна дР вместе со своей частной производной —— во всей области G, вклю- включая ее границу. р f г) Р Рассмотрим двойной интеграл I I ——dx dy и постараемся пре- G образовать его в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и выполним интегрирование по у. Получим ь у2 (х) а у, (х) b = f[P(x, y2(x)) — P(x, yl(x))]dx= а Ь Ь = fP(x, y^(x))dx—fP(x. у, (х)) dx. D.39) а а Каждый из этих двух определенных интегралов можно рассматривать как криволинейный интеграл, взятый по соответствующей дуге (см. D.27)), а именно: ь j P(x, y2{x))dx= j P(x, y)dx = — f P(x, y)dx a DC CD И b — fP(.x. yx{x))dx = — fP(x, y)dx. AB Добавив к правой части равенства D.39) еще два криволинейных интеграла: . y)dx и — f P(x, y)dx, f f ВС DA каждый из которых равен нулю (как интеграл по dx вдоль верти- вертикального отрезка), получим равенство ~ SPdx~ fPdx- CD DA f f^dxdy = ~ J" Pdx. D.40) Sfw l l S f О АВ ВС CD DA T. e. abcda Мы доказали это равенство для области, ограниченной линиями D.37) и D.38). Но формулу D.40) можно распространить и на
170 криволинейные интегралы [ГЛ. 4 любую область, которую можно разбить на конечное число частей такого вида. Действительно, пусть область G с границей L разбита на части Gt, i=\, 2 и, для каждой из которых имеет место равенство УН f ; (L; — граница области Gt). Просуммировав эти равенства по i от 1 до п, мы слева получим двойной интеграл, взятый по всей области О, а справа получится сумма кри- криволинейных интегралов, взятых по контурам Lt. Каждый из этих кон- контуров состоит из линий, ограни- ограничивающих область G, и из вспо- вспомогательных линий, с помощью ко- которых область G разбивается на части. Но каждая из; этих вспомо- вспомогательных линий входит в состав ровно двух контуров Lt, следова- следовательно, по каждой из них криволи- криволинейный интеграл будет взят дважды, причем в двух противоположных направлениях (рис. 4.8). Поэтому при суммировании интегралов вида о Рис. 4.8. f L. PdX интегралы по всем вспомогательным линиям взаимно уничтожатся и останется лишь интеграл по границе области G, т. е. мы получим .равенство ff^dxdy = -j'Pdx, D.41) О L где L—положительно ориентированная*) граница области G. Поменяем теперь х и у ролями и рассмотрим область, ограни- ограниченную горизонтальными отрезками и линиями у = с, у = d = хх (у), х = х2 (у) D.42) D.43) dQ (рис. 4.9). Пусть функция Q (х, у) и ее производная -р- опреде- *) То есть на L выбрано то направление обхода, при' котором Область О остается слева.
3] ФОРМУЛА ГРИНА 171 лены и непрерывны в области G (включая границу). Записав двойной интеграл в виде G d л% ( fd> I dQ_ дх dx ■My) и проделав те же выкладки, что и при выводе формулы D.40), по- получим равенство _ дх ■dy=^ I Qdy, ABCDA аналогичное D.40) (с той лишь разницей, что справа нет знака ми- минус). Рассуждения, ничем не отличающиеся от изложенных выше, показывают, что равенство f j -g- dx dy = f Q dy D.44) ' П L верно не только для областей, ограниченных линиями D.42) и D.43), но и для конечных объединений таких областей. Будем, для краткости, называть область G простой, если она допускает разбиение как на части с границами вида D.37), D.38), так и на части с границами вида D.42), D.43). Для простой области справедливы, в силу до- доказанного, как равенство D.41), так и равенство D.44). Вычтя D.41) из D.44), получим формулу Рис. 4.9. j ^j f[«L-^)dxdy. D.45) где криволинейный интеграл берется по границе L области G в по- положительном направлении. Это и есть формула Грина, которую мы хотели установить. Итак, мы получили следующий результат: Теорема 4.4. Пусть G—простая область и пусть функ- функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными -j- и -р- в замкнутой области G. Тогда имеет место формула Грина D.45).
172 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Замечание 1. Если граница L области G состоит из несколь- нескольких отдельных контуров, то I Pdx-\-Qdy означает сумму интегра- интегралов, взятых по составляющим L контурам, причем по каждому из них берется то направление обхода, при котором сама (рис. 4.10). Замечание 2. При выводе формулы Гри- Грина мы предполагали: " Л р р область G остается слева дР производные -г— и —з— д что Я и О и их частные непрерывны не только Рис. 4.10. знутри области, но и на ее границе. дР 6Q носительно производных -^г- и Однако от- достаточно ду дх предположить, что они непрерывны и огра- ограничены внутри области О. Действительно, рас- рассмотрим снова область G, ограниченную кривыми у = у, (х) и у = у2 (■*) и вертикальными отрезками х = а, х — b (рис. 4.7). Пусть б > 0 и пусть G6 — область, ограниченная сверху и снизу кривыми у = у2 (х) — о и у = у, (л:) -J- 6 соответственно, а слева и справа вертикальными отрезками х — а-\-Ь ж х=>Ъ — 6. Область G6 при всяком б>0 лежит вместе с гра- границей внутри G, следовательно, для G§ выполнены те условия, при которых равенство D.41) было доказано. Таким образом, D.46) Об S L6 (L6 — граница области Об). Так как площадь области G& отличается от пло- площади области G не больше чем на 16, где I — длина границы L области G, то интеграл, стоящий в равенстве D.46) слева, отличается от не более чем на 1ЬМ, где М—верхняя грань дР ду внутри G. Далее, функ- функция Р(х, у) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна и огра- ограничена в замкнутой области G. Отсюда сразу следует, что С Pdx->f Pdx при 6->0. Таким образом, в равенстве D.46) можно сделать предельный переход при 6 -> 0, и мы получаем, что равенство //%<*<>--/ Pdx
§ 3] ФОРМУЛА ГРИНА 173 верно для области, изображенной иа рис. 4.7, а следовательно, и для любой простой области. Аналогично устанавливается и равенство Воспользовавшись понятием несобственного двойного интеграла *), можно- было бы требование ограниченности производных -^— и —- в области Q заменить требованием существования интеграла / / \-т^-—^—\dxdy а (хотя бы как несобственного интеграла). Замечание 3. Мы доказали формулу Грина для областей, которые мы условились называть простыми. К ним заведомо от- относятся все многоугольные фигуры. С помощью аппроксимации кри- криволинейных областей многоугольными нетрудно получить, что фор- формула Грина верна и для любой области, ограниченной конечным числом кусочно-гладких линий. 2. Вычисление площади с помощью формулы Грйна. Из фор- формулы Грина вытекают некоторые полезные формулы для Вычисления площади области. Пусть G—некоторая простая область с границей L и S — пло- площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл fxdy. L Применив к нему формулу Грина, получим J х dy = j j dx dy = S. l a Аналогично получается формула S^—jydx, L а также следующая, более симметричная, формула**) для *) О несобственных интегралах см. гл. 9. **) Можно, конечно, получить бесконечно много различных формул вида S= J Pdx+Qdy. Для этого достаточно в качестве Р и Q брать любые функции, удовлгтво- dQ дР , ряющие условию -~ -^— = 1.
174 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 площади; S = -?г f xdy — ydx. D.47) Пример. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой x=acos3*, у = as\n3t. Р е ш е н и е. Применяя формулу D.47), получаем 2я S = -I J х dy — у dx = -| a2 J sin21 cos21 [cos21 + sin21\ dt = L 0 2я _ 3 2 --g-ла. § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Интегрирование полных дифференциалов 1. Постановка вопроса. В § 2, рассматривая примеры криво- криволинейных интегралов, мы обратили внимание на то, что в некоторых случаях криволинейный интеграл AB зависит не от самой кривой АВ, а только от начальной и- конечной точек, т. е. принимает одинаковые значения для всех кривых, соеди- соединяющих фиксированные точки А к В. Сейчас мы установим условия,. при которых такая независимость интеграла от выбора пути имеет место. С этим вопросом связана другая важная задача, которую мы здесь также рассмотрим: нахождение функции двух переменных по ее полному дифференциалу. 2. Случай односвязной области. Напомним (см. гл. 3), что плоская область G называется односвязной, если, каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, огра- ограниченная этим контуром (конечная) часть плоскости целиком при- принадлежит G. Теорема 4.5. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) определены дР и непрерывны вместе со своими частными производными —*—
. § 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 175 и -jp- в замкнутой ограниченной односвязной области G. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой (т. е. выполнение любого одного из них влечет за собой выполнение остальных трех): 1. Интеграл §Pdx-{-Qdy, взятый по любому замкнутому пути, лежащему в О, равен нулю. 2. Интеграл f Pdx-\-Qdy АВ не зависит от выбора пути интегрирования. 3. Выражение Рdx-\-Qdy представляет собой полный диф- дифференциал некоторой однозначной функции, определенной в области G. 4. В области G всюду 27_ ■2£- = 0О-. D.48) ду дх ч ' Доказательство этой теоремы мы . проведем по следующей логической схеме: т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из вто- второго — третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое. Тем самым будет доказана равносильность всех четырех условий. а) 1 —у 2. Рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки Л и В, скажем, АСВ и ADB (рис. 4.11). В сумме они составляют замкнутый путь ACBDA. По условию интеграл, взятый по любому замкнутому пути, равен нулю, т. е. ACBDA Но J Pdx-{-Qdy = 0. J Pdx-\-Qdy= j Pdx-\-Qdy+ J BDA = J Pdx-\-Qdy— J Pdx-\-Qdy. ACBDA ACB BDA ACB ADB
176 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ; ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Следовательно, f Pdx-!rQdy= f Pdx-{-Qdy. ACB ADB Утверждение «1->2» доказано*). б) 2—>3. Пусть интеграл I Pdx-\-Qdy не зависит от пути лв интегрирования; тогда, если точку А зафиксировать, то этот интеграл будет однозначной функцией координат х и у точки В: СPdx^-Qdy = U{x, у). АВ Покажем, что эта функция U{x, у) дифференцируема и что dU = Pdx-\-Qdy. dU dU Для этого достаточно показать, что производные -у— и —т— суще- ствуют и равны Р(х, у) и Q(x, у) соответственно**). Вычислим = {{щ у) — Ц(х, у) дх Дх ' Величина At/ = U (х -)- Ах, у) — U(x, у) представляет собой интеграл от Pdx~\-Qdy, взятый по пути, соединяющему точки (х, у) и (х-{-Ах, у). Так как, по условию, этот интеграл не зависит от вида кривой, то можно считать, что путь совпадает с *) Если кривые АСВ и ADB имеют общие точки, отличные от А и В (рис. 4.12), то небольшое усложнение проведенных рассуждений приводит к тому же самому результату. ,3 А' Рис. 4.12. **) Как известно, функция, имеющая непрерывные частные производ- производные, дифференцируема.
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ горизонтальным отрезком ВВХ (рис. 4.13). Таким образом, х+&х, у fPd + Qd 177 ВВ, х, у (В последнем равенстве мы использовали теорему о среднем для .интегралов.) Следовательно, dU ох = lim -{-Qkx, у) = = Р{х, у), поскольку Р(х, v) непрерывна. Аналогично доказывается, что—;— = = Q(x,y). в) 3->4. Если Pdx + Qdy и РИС. 4; 13. полный дифференциал некоторой функции U(x, у), то dU р dU п Но тогда по теореме о смешанных производных dQ _ d2U _ d2U. _ дР дх дх ду ду дх ду ' г) 4—>1. Пусть равенство -у^- = ~— выполнено и пусть L — произвольный контур, лежащий в области О. Так как эта область по условию односвязна, то ограниченная контуром L часть плоскости принадлежит области О, в которой определены функции Р, Q и их производные. Поэтому криволинейный интеграл J Pdx-rQdy L по формуле Грина можно преобразовать в двойной: где D—область, ограниченная контуром L. В силу D.48), интеграл справа равен нулю. Следовательно, I P dx -j- Q dy = О L для всякого замкнутого контура L, лежащего внутри G. Доказатель- Доказательство теоремы закончено. 12 Б. М. Будак, С. В. Фомин
178 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 3. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. В процессе доказательства теоремы 4.5 мы получили решение сле- следующей задачи, с которой нам еще придется встречаться (см. п. 4 § 2 гл. 6): найти функцию, полный дифференциал которой есть заданное выражение Pdx-\-Q dy. Ограничившись случаем, когда функции Р и Q и их частные про- производные —— и -р- непрерывны в некоторой односвязной области G, мы доказали (теорема 4.5), что Рdx-\-Qdy служит полным диф- дифференциалом некоторой функции в том и только том случае, когда дР __ dQ ду дх ' Далее, мы показали (там же), что если это равенство выполнено, то условию dU = Pdx-{-Qdy D.49) удовлетворяет функция (х, у) U{x, y)= Г Pdx-{-Qdy. 0*о, Уо) Наконец, из формулы конечных приращений (см. вып. 1, гл. 8, § 9) следует, что две функции, имеющие одинаковые полные дифферен- дифференциалы, отличаются друг от друга лишь на У\ постоянное слагаемое. Следовательно, формула (х, у) U(x, y)= Г Pdx-\-Qdy-\-C D.50) (где (х0, у0) — фиксированная точка, а С — произвольная постоянная) содержит все функ» U ции, удовлетворяющие условию D.49). Так как в равенстве D.50) интеграл не зависит Рис, 4.14. от ПуТИ) то мы можем выбрать линию, сое- соединяющую точки (х0, yQ) и (х, у), по своему усмотрению. Удобно, например, за путь интегрирования взять лома- ломаную, составленную из горизонтального и вертикального отрезков *) (рис. 4.14). При этом выборе пути равенство D.50) принимает вид (X, Уо) (X, У) U(x,y)= f Pdx+f Qdy + C. {Xa, Уо) (Х, Уо) О *) Сели эти отрезки принадлежат G.
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 179 Начальную точку (х0> у0) можно выбрать произвольно (в пределах той области, в которой определены функции Р и Q). Изменение этой точки равносильно, очевидно, изменению аддитивной по- постоянной С. Практически при нахождении функции по ее полному дифферен- дифференциалу удобно поступить следующим образом. Если то, интегрируя первое из этих равенств по х и рассматривая в нем у как параметр, получим U(x, y) = fPdx-{-fv D.52) где /j не зависит от х (но, вообще говоря, зависит от у, т. е. fl = fl(y)). Далее, интегрируя второе из равенств D.51) по у и рассматривая в нем х как параметр, получим D.53) где /г = А С*)'. если мы сможем подобрать функции f1(y) и /2 так, чтобы правые части равенств D.52) и D.53) совпали, то полу- полученная таким образом функция переменных х и у и будет той функ- функцией, полный дифференциал которой совпадает с Рdx-\-Qdy. Пример. Пусть dU = Bху + 1) dx + (х2 + Зу2) dy. Интегрируя коэффициент при dx по х, имеем y), D.54) а интегрирование коэффициента при dy по у дает J(x2 + 3y2)rfy = x2y + y3 + /2(x). D.55) Правые части равенств D.54) и D.55) совпадут, если мы положим Таким образом, получаем, что 4. Криволинейные интегралы в многосвязной области. На по- последнем шаге доказательства теоремы 4.5, т. е. там, где мы из условия ■¥- = -^ D-56) ду дх к ' П*
180 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 вывели справедливость равенства 0 D.57) для любого замкнутого контура, была существенно использована односвязность области G. Рассмотрим простой пример, показывающий, что в много- связной области из условия D.56) равенство D.57), вообще говоря, не следует. Пусть Подынтегральное выражение не имеет смысла в точке @, 0), поэтому мы исключим из рассмотрения некоторую окрестность начала коор- координат. В оставшейся части плоскости (это будет уже многосвязная область) коэффициенты при dx и dy непрерывны, имеют непрерывные частные производные и д ( -у \= д ( дх \ ду Однако интеграл D.58), взятый по некоторому замкнутому пути, не равен, вообще говоря, нулю: например, если С—окружность, заданная уравнениями x = cos^, y = sin^, то t = 2n. D.59) Выясним, какими свойствами обладает интеграл ' Pdx + Qdy, /■ если функции Р и Q удовлетворяют условию *) дР _ dQ ду дх * но область G, в которой они заданы, многосвязна. Рассмотрим для определенности область G, изображенную на рис. 4.15, т. е. *) Мы по-прежнему предполагаем, что Р, Q, -у— и -~ непрерывны в замкнутой ограниченной области G.
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 181 имеющую три «лакуны». Рассмотрим сначала некоторый замкнутый контур L, который не охватывает ни одной из этих лакун. Тогда к интегралу, взятому по такому контуру, можно применить формулу Грина, и мы получим, что этот интеграл равен нулю. Пусть теперь ij — контур, охватывающий одну из лакун. Здесь формула Грина уже неприменима и интеграл по такому кон- контуру, вообще говоря, нулю не ра- равен (см. приведенный выше при- пример). Покажем, что величина этого интеграла не зависит от выбора контура, охваты- охватывающего данную лакуну. Пусть L\ и L\ — два таких контура. Соеди- Соединив их вспомогательной линией (ab), получим контур Рис. 4.15. (ей)+ Li+ (fte) — L[ D.60) (знак минус перед L\ означает, что этот контур обходится в отрица- отрицательном направлении). Этот контур не охватывает ни одной из лакун,, следовательно, интеграл по нему равен нулю. Но интегралы по (аЬ\ и (Ьа) равны по величине и противоположны по знаку. Таким обра- образом, получаем f Pdx-{-Qdy = г т. е. J = J + Qdy. Таким образом, каждой из лакун в области G отвечает неко- некоторое определенное число—значение криволинейного интеграла ф Р dx -f- Q dy, взятого по любому из замкнутых контуров, охваты- охватывающих эту лакуну. Оно называется циклической постоянной этой лакуны. Отсюда легко получается, что значение интеграла &Pdx-{-Qdy по произвольному замкнутому контуру записывается так. Пусть Юр (Од, ©з — циклические постоянные лакун, имеющихся в области О, и пусть контур Lx обходит первую лакуну kx раз, вторую k2 раз, а третью k3 раз (при этом под каждым из k. понимается алгебраическая сумма ориентированных обходов, т. е..
182 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 "число обходов против часовой стрелки минус число обходов по часо- часовой стрелке), тогда ф Р dx -f- Q dy = /fjCOj + /e2G>2 H~ ^з°>з- L Если в многосвязной области О провести разрезы /, //, ///, как это локазано на рис. 4.16, то мы получим односвязную область, и в ней „. можно построить однозначную функ- цию (х, у) (J(x, y)= f Pdx + Qdy, (•«■о, У») D.61) О ^ однако, в силу сказанного выше, s ее значения на противоположных Рис. 4.16. краях разреза / будут отличаться на coj, на краях разреза //—на со2 и на краях разреза /// — на щ. Если же разрезов не делать, то выражение D.61) будет опять-таки функцией, полный дифферен- дифференциал которой равен Pdx-^-Qdy, но уже функцией многозначной. Ее значения в фиксированной точке (отвечающие путям, делающий различное число обходов вокруг лакун) отличаются друг от друга слагаемым вида где fej, k2 и fe3 могут принимать любые целые значения *)• Ясно, что все сказанное здесь автоматически переносится на случай любого числа лакун. *) Конечно, может оказаться случайно, что все циклические постоян- постоянен, У) яые (В/ равны нулю. Тогда функция U(x,y)= Г Pdx-\-Q dy окажется однозначной и при отсутствии разрезов. В этом случае будут иметь место все утверждения теоремы 4.5 (независимо от связности области).
ГЛАВА 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В разных физических вопросах часто встречаются функции, заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций могут служить плотность распределения зарядов на поверхности Проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, проте- протекающей через некоторую поверхность, и т. д. Эта глава посвящена изучению интегралов от функций на поверхности, так называемых поверхностных интегралов, и некоторым их применениям. Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов, изложенной в предыдущей главе. В част- частности, мы и здесь будем различать интегралы первого и второго рода. Вводя определение поверхностного интеграла, мы будем опи- опираться на некоторые сведения о поверхностях, изложенные в §§ 3 и 4 гл. 3, и в первую очередь на понятие площади кривой поверхности» § 1. Поверхностные интегралы первого рода 1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ- функции. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности S с кусочно-глад- кусочно-гладкой границей *) L определена некоторая ограниченная функция f(M). Разобьем поверхность S кусочно-гладкими кривыми на части Sp Sg 2„ (рис. 5.1). Площадь каждой из них обозначим о(. A= 1, 2 га). Выбрав в каждой из этих частей произвольную. точку Mt, составим сумму которую мы будем называть интегральной суммой, отвечающей функции f(M) (при данном разбиении поверхности 2 и данном выборе точек Mt). *) Поверхность S может быть, в частности, замкнутой.
184 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Введем следующее Определение. Если при стремлении наибольшего из диа- диаметров частей 2г поверхности 2 к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции /(М) по по- 2 и обозначается верхности символом fff(M) da. E.2) Точку М поверхности 2 можно задать декартовыми координатами х, у, z. Поэтому функцию /(/И), У определенную на 2, мы будем обо- обозначать также f(x, у, z), а соот- соответствующий поверхностный инте- Рнс. 5.1. грал—символом I I f(x, у, z)da. При этом, однако, необходимо помнить, что переменные х, у и z не независимы, а связаны условием: точка (х, у, z) лежит на поверх- поверхности 2. 2. Сведение поверхностного интеграла к двойному. Мы сформу- сформулировали определение поверхностного интеграла первого рода, теперь возникает вопрос об условиях его существования и о спо- способах его фактического вычисления. Оба эти вопроса решаются легко, путем сведения поверхностного интеграла к двойному. Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах. Теорема 5.1. Пусть 2 — гладкая поверхность, заданная уравнением z^z(x, у), (х, y)£D, где D — замкнутая огра- ограниченная область, a f(x, у, z) — некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности 2. Тогда справедливо равенство f f fix, У, z)da = E.3) При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, суще- существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства E.3). Доказательство. Разобьем поверхность 2 кусочно-гладкими кривыми на п частей 2г. Спроектировав это разбиение на пло-
§ I] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 185 скость ху, мы получим разбиение области D на квадрируемые части Dt (рис. 5.2). При этом диаметр каждого из элементов Dt будет не больше, чем диаметр соответствующего элемента 2г по- поверхности 2. Рассмотрим теперь интеграль- интегральную сумму i E.4) отвечающую поверхностному ин- интегралу Г Г f(x, у, z)da. Пло- s щадь О; элемента ставить в виде можно пред- предРис. 5.2. D где г = z (х, у), и затем, воспользовавшись теоремой о среднем для: двойного интеграла от непрерывной функции *), в виде a. = l/ \-L-z'2(x* ' i г I х \ i * где (х*, у*Л—некоторая точка, принадлежащая области D(, a Sr-—пло- Sr-—площадь этой области. Следовательно, интегральную сумму E.4) можно- переписать так: Z Сравним ее с интегральной суммой f=%f{xl, yrz(xr 'y\xlt y,)S., E.5) отвечающей двойному интегралу, стоящему в равенстве E.3) справа (при том разбиении области D, которое отвечает данному разбиению поверхности S). Суммы E.4') и E.5) отличаются друг от друга только тем, что- в E.5) значения как функции /, так и выражения у 1 -\-z'*-\-z'2 берутся в одной и той же точке (xt, yt), произвольно выбираемой внутри элемента D;, а в E.4') значения у 1 -j- z '2 z' берутся *) Поверхность z — z(x, у) мы считаем гладкой, следовательно,. у 1 -J- гх {х, у) -4- zv (x, у) — непрерывная функция.
186 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 в точке (х!, у!), диктуемой нам теоремой о среднем и, хотя и при- принадлежащей тому же элементу D/r но, вообще говоря, не совпадаю- совпадающей с точкой (х(, yt). Функция у 1 + z'x ~т~ zy непрерывна, а следовательно, и равно- равномерно непрерывна в замкнутой ограниченной области D, поэтому для каждого е > 0 найдется такое 6j > 0, что \Vi+z'x\xt. как только максимум диаметров областей Dt станет меньше, чем Функция f(x, у, z) по условию ограничена, т. е. |/(х, у, г)|</С= const, поэтому из E.6) следует оценка: \T-?\= ±f(x., У г t, yt)] St Ke Д S, = /CeS, E.7) где S — площадь области D. Теперь мы уже легко закончим доказательство теоремы. Если интеграл, стоящий в E.3) справа, существует, то для всякого е > О найдется такое б2 > 0, что для всякой суммы Т, отвечающей такому разбиению }D;} области D, диаметры элементов которого меньше б2, выполнено неравенство J f f(x, у, z(x, у))]/ l+z'x\x, y)-\-z'y2(x, y)dxdy — f E.8) Пусть теперь 6= minFj, 62), a }Sf}—такое разбиение поверх- поверхности E, что диаметры всех 2г меньше, чем б, и пусть }D;}—отве- }D;}—отвечающее ему разбиение области D. Тогда диаметр каждого из Dt меньше, чем б, и, следовательно, выполнены неравенства E.7) и E.8). Из этих неравенств получаем, что f f f(x, y,z(x, y))]/l^-Z'x2(Xt y) + Zy2(x, y)dxdy — для всякого достаточно мелкого разбиения поверхности S. Но это и означает, что предел интегральных сумм Т существует и равен инте- интегралу, стоящему в E.3) справа. Теорема доказана.
§ 1] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА ]§7 Следствие. Если поверхность 2—гладкая, а функция f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл //у, s существует. Действительно, в этом случае в равенстве E.3) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, а следовательно^ существует и стоящий слева поверхностный интеграл. Замечание 1. Так как (см. п. 6 § 3 гл. 3) 1 1 + zx + zy cos („, Z) • то равенство E.3) можно переписать так: ///(*. у, z)do=fff(x, у, г(х, У))-^5Г. E-9) S D Переменив роли координат х, у и z, можно в случае поверхности, заданной уравнением х = х(у, z), получить равенство // f{x, y.z)da=JJ f(x(y, z), y, z) co7(n;;c) E.9,). D, (где Dx — проекция поверхности 2 на плоскость yz), а в случае поверхности y = y(z, х) — равенство у, z)da= I / f(x, y(z, x), z) fnw*4 E.92) 2 D2 (где D2 — проекция S на плоскость zx). Замечание 2. Если поверхность S состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида х=х(у, z), y = y(z, х) или z = z(x, у), то для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверх- поверхности, к двойному можно воспользоваться тем, что поверхностный интеграл по S равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям, и затем применить формулы E.9) к каждому из этих частичных интегралов в отдельности.
188 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Если поверхность задана параметрическим уравнением, то рас- рассуждения, не отличающиеся сколько-нибудь существенно от приве- приведенных выше, приводят к следующей теореме. Теоргма 5.1'. Пусть 2— гладкая поверхность, заданная уравнением г = г (и, v), и f (x, у, z) — ограниченная функция, определенная на этой поверхности. Тогда справедливо равенство { //(*. у, z)de = = / //(*(«■ v), у (и, v). z(u, v))Ygng^, — g\2dudv, E.10) D причем поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если только существует двойной интеграл в правой части равенства. Здесь D — область изменения параметров и и v, a gn, g12 и ^22 —коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (см. п. 1 § 4 гл. 3). Выражение YeuByi — g^dudv представляет собой эле- элемент площади поверхности, записанный в криволинейных коорди- координатах. Таким образом, формула E.10) означает следующее: для того чтобы записать поверхностный интеграл Г Г f(x, у, z)da s в виде двойного, нужно подставить в него вместо декартовых координат х, у, z точек поверхности их выражения через криволинейные координаты и viv, а элемент площади da тоже заменить его выражением через криволинейные координаты. Формула E.3) и формулы E.9), E.9j) и E.92) являются, оче- очевидно, частными случаями общей формулы E.10). Легко проверить, что все эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая. 3. Некоторые применения поверхностных интегралов к меха- механике. Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей и т. п. Вывод соответствующих формул, по существу, ничем не отличается от вывода формул, относящихся к распреде- распределению масс в плоской области или вдоль кривой (см. пп. 3—5 § 4 гл. 1 и п. 3 § 1 гл. 4), поэтому мы приведем лишь окончательные результаты, предоставив все выкладки читателю. Пусть по поверхности 2 (гладкой или кусочно-гладкой) распре- распределена некоторая масса с поверхностной плотностью р(х, у, z).
f I] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 189 представляющей собой непрерывную функцию на 2. Такую поверх- поверхность 2 будем кратко называть материальной поверхностью. Тогда имеют место следующие формулы: 1) Масса [I материальной поверхности 2 равна \i = j j р(х, у, z)da. s 2) Координаты центра масс материальной поверхности опреде- определяются формулами: J J* хр (х, у, z) da J J ур (х, у, z) da х — _* v __s J J Р (х, у, z) da J J р (х, у, z) da 2 S J J гр (х, у, z) da P U у, i s В частности, для однородной поверхности (р = const) ffxda ffyda ff. — S— •• - s z=-* Hda' c f! S / Hf!da 2 S S 3) Момент инерции поверхности S относительно оси z равен Аналогично выражаются моменты инерции относительно других осей. 4. Поверхностные интегралы от векторных функций. Общее понятие поверхностного интеграла первого рода. Выше мы рас- рассматривали поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие легко переносится на векторные функции. Пусть — некоторая векторная функция, заданная на поверхности S. Опре- Определим интеграл от этой функции по поверхности S, положив f f F(M)do = i f fP(M) rfo+j J J Q (M)da-i-k J J R (M)da. S 2 S S E.11)
190 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Мы назовем его поверхностным интегралом первого рода от векторной функции F. Значение такого инте- интеграла представляет собой вектор. Вопросы об условиях существова- существования поверхностного интеграла первого рода от векторной функции, о сведе- сведении его к двойному, о его свойствах и т. д. непосредственно сводятся к со- соответствующим вопросам для интегра- интегралов от скалярных функций Р, Q и R — компонент вектора F. Для иллюстрации этого понятия вы- 'числим силу, с которой материальная поверхность притягивает материальную точку. Пусть р(х, у, z) — плотность рас- распределения масс на поверхности 2 и пц,— масса, сосредоточенная в некото- Р"с- 5-3. рОй точке (х0, у0, z0), не лежащей на этой поверхности. Элемент поверхно- поверхности da несет на себе элемент массы р(х, у, z)da, а сила dF, с кото- которой этот элемент притягивает точечную массу т0> равна по закону Ньютона = ymdp(x,y,z)~fda, E.12) где у— постоянная, зависящая от выбора единиц, а г — вектор, сое- соединяющий точки (х0> у0, z0) и (х, у, z) (рис. 5.3). Полная сила F. с которой вся поверхность 2 притягивает массу т0, равна сумме элементарных сил E.12), т. е. поверхностному интегралу ут° j J ~F d<3' Таким образом (поскольку г = (х — xo)i-j-(y — У- , у, Этот интеграл обязательно существует, если поверхность S гладкая или кусочно-гладкая, а поверхностная плотность р(х, у, z) непре- непрерывна на S.
§ 21 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 191 В том понятии поверхностного интеграла, которое мы рассмо- рассмотрели, было существенно, что каждый «интегральный элемент» / (М) da зависел от величины элемента площади da и значения функции f(M) (скалярной или векторной) в данной точке, но не зависел от ориен- ориентации поверхностного элемента da в пространстве. Именно так обстоит дело в тех физических задачах, которые мы рассматри- рассматривали здесь: масса элемента материальной поверхности или сила, с которой этот элемент притягивает материальную точку, не будут меняться, если этот элемент поверхности мы каким-либо образом повернем. Однако существуют задачи другого типа, в которых ориентация элемента da играет существенную роль. К ним относится, например, задача (которую мы рассмотрим ниже) о вычислении количества жидко- жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Этот второй круг задач приводит нас к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному инте- интегралу второго рода. Ему будет посвящен следующий параграф. Как мы увидим ниже, поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами. § 2. Поверхностные интегралы второго рода 1. Сторона поверхности. Для того чтобы определить поверхно- поверхностный интеграл второго рода, нам нужно ввести сначала понятие сто- стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой. Пусть 2—гладкая поверхность. Возьмем на 2 некоторую внутрен- внутреннюю точку Мо, проведем через нее нормаль к 2 и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, фиксировав определенный единичный вектор п, нормальный к 2 в точ- точке Мо. Проведем теперь на поверхности 2 через точку Мо какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхно- поверхности, и будем передвигать единичный вектор п из точки Мо вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к 2 и чтобы его направление менялось при этом передвижении непрерывно. По- Поскольку вектор п все время остается нормальным к 2, то имеются две возможности: 1) при возвращении в точку Мо вектор п возвращается в первоначальное положение; 2) в результате обхода по контуру С вектор п меняет свое направление на противоположное. Введем следующее Определение. Гладкая поверхность 2 называется д в у - сторонне й. если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности 2 и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности.
192 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Если же на поверхности существует замкнутый контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односто- односторонней. Если поверхность Е двусторонняя, то в каждой ее точке М можно выбрать единичный вектор нормали n (M) так, чтобы вектор п(М) зависел от точки М непрерывно. Для построения такой вектор- функции п (Ж) возьмем на Е некоторую начальную точку Мо и вы- выберем в этой точке один из двух возможных единичных нормальных векторов п(Л10). После этого возьмем на Е произвольную точку Мг соединим ее с Мо какой-либо кривой L, лежащей на Е, и перенесем вдоль L вектор п из Мй в М так, чтобы он все время оставался нормальным к поверхности и чтобы его направление при этом пере- переносе менялось непрерывно. Вектор п(М), полученный таким образом в точке М, не зависит от выбора кривой L, соединяющей точки Мо и М. Если бы две разные кривые L{ и L2 приводили к разным резуль- результатам, то, соединив эти кривые в одну, мы получили бы на Е замкну- замкнутый путь С, при обходе по которому направление нормального вектора меняется на противоположное, т. е. эта поверхность не была бы двусторонней. Из сказанного ясно, что на двусторонней поверхности существуют две и только две такие функции п(М), непрерывные на всей поверх- поверхности Е. Действительно, каждая такая функция полностью опреде- определяется выбором одного из двух воз- возможных направлений нормали в одной точке. Мы будем называть каждую из этих двух функций «непрерывным полем нормалей» на Е. Ясно, что на односторонней поверхности нельзя по- построить ни одного непрерывного по- поля нормалей. у Выбор на Е определенного непре- непрерывного поля нормалей мы будем на- зывать выбором стороны этой поверх- поверхности. Примеры. 1. Простейший при- пример двусторонней поверхности—г плоскость. Двусторонней поверхностью будет и любая часть пло- плоскости, например круг. 2. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением z = f(x, у), — двусторонняя. Действительно, мы получим одну ее сторону (верхнюю), выбрав в каждой ее точке нормальный вектор так, чтобы он составлял с положительным направлением оси z ост- острый угол, а другую (нижнюю) сторону — при противоположной ориен- ориентации нормали (рис. 5.4). t Рис. 5.4.
§ 21 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 193 АС Рис. 5.5. 3. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопе- самопересечений, — например сфера, эллипсоид ит. п., — двусторон- двусторонняя. Направив в каждой точке замкнутой поверхности нормаль внутрь объема, ограниченного поверхностью, мы получим внутреннюю сто- сторону поверхности, а направив нормаль наружу, получим внешнюю сторону. 4. Простейшим примером односторонней поверхности может служить так называемый лист Мебиуса, изображенный на рис. 5.5. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD (рис. 5.6,а) и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точ- точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один ее край на 180° (рис. 5.6, б). Легко видеть, что при обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление нормали к нему меняется на противоположное, т. е. эта поверхность действительно является односторонней. Замечание 1. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а выбор определенной ее стороны — ориентацией поверхности. Односторонние поверх- поверхности называют неориентируе- мыми. д Читатель должен различать тер- д мины «ориентируемая» (сторону можно выбрать) и «ориентирован- - ная» (сторона уже выбрана). "' Замечание 2. В отличие от Рис. 5.6. таких свойств, как, например, глад- гладкость поверхности, которые могут иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свой- свойства), ориентируемость (или неориентируемость) — это свойство, характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свой- свойство). Действительно, на листе Мёбиуса или любой другой поверх- поверхности малая окрестность любой точки ориентируема. В каждой та- такой окрестности можно построить непрерывное поле нормалей, хотя на всем листе Мёбиуса такое поле построить нельзя. С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориен- ориентации ее границы, которое нам понадобится ниже*). Пусть 2— ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каж- каждого контура L, входящего в состав границы поверхности Б, согласованную с ориентацией поверхности 2, по следующему *) Эта связь существенно зависит от того, к какой координатной си- системе, правой или левой, отнесено все трехмерное пространство. Мы будем иметь в виду правую систему. 13 Б. М. Будак, С. В. Фомин
194 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 правилу: направление обхода контура L мы считаем положи- положительным (согласованным с ориентацией Е), если наблюдатель, расположенный на поверхности так, что направление вектора нормали совпадает с направлени- направлением от ног к голове, обходит кон- контур L, оставляя поверхность Е все время слева от себя (рис. 5.7). Противоположное направление мы считаем отрицательным. Если L — произвольный замкнутый кон- контур, ограничивающий какую-либо часть ориентированной поверхности Е, то направлением обхода этого контура, согласованным с ориен- ^_ тацией поверхности S, мы считаем У опять-таки то, при котором ограни- ограниченная этим контуром часть поверх- поверхности Е (на рис. 5.8 она заштрихо- заштрихована) остается слева *). Если в качестве поверхности Е взята ориентированная плоскость, согласованности ориентации контура и по- поуже хорошо знакомому читателю правилу, по если его 1 Рис. 5.7. то это определение верхности сводится к которому контур считается ориентированным положительно, Рис. 5.8. Рис. 5.9. обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно в противоположном случае. Замечание 3. Правило согласования ориентации поверхности 2 и ограничивающего ее контура L можно сформулировать еще следующим образом: пусть п — единичный вектор нормали к по- поверхности Е в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть *) Если в пространстве взята левая система координат, то согласова- согласование противоположное, т. е. положительно то направление обхода кон- контура L, при котором поверхность 2 остается справа.
§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 195 v — вектор, нормальный к L и к п и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность 2. Тогда положительное на- направление обхода контура L указывается вектором [v, n] *)(рис. 5.9). 2. Определение поверхностного интеграла второго рода. Рас- Рассмотрим сначала одну из задач, приводящих к понятию поверхно- поверхностного интеграла второго рода, а именно, задачу о вычислении потока жидкости через некоторую по- поверхность. Пусть пространство заполне- заполнено движущейся жидкостью, ско- скорость которой в точке (х, у, z) задается вектором \ {х, у, z) с компонентами Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R=~R(x, у, z). Вычислим количество П жидко- жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую ориен- ориентированную поверхность 2. Рис. 5.10. Рассмотрим бесконечно малый элемент da поверхности 2. Количество жидкости, протекающее чгрез da за единицу времени, равно, очевидно, dli = Vn da, где Vn — проекция скорости V на направление нормали п к da (рис. 5.10). Записав Vп как скалярное произведение вектора V на единичный вектор нормали п к da, имеем rfII = [Pcos(n, x) + Qcos(n, y)-i-Rcos(n, z)]da. E.13) Это — элемент потока жидкости. Чтобы получить количество жидко-, сти, протекающее через всю поверхность 2, нужно просуммировать выражения E.13) по всем элементам do, т. е. взять интеграл П = JJ[P cos (n, x) + Qcos(n, y) + #cos(n, z)] da. Этот интеграл представляет собой не что иное, как поверхно- поверхностный интеграл первого рода (в том смысле, как мы определили его в § 1) от выражения />cos(n, x)-\-Qcos(n, y) + /?cos(n, z). Важно, однако, то, что само это выражение зависит не только от вектор-функции (Р, Q, R), заданной на поверхности 2, но и от на- направления нормали в каждой точке этой поверхности. *) Это правило остается справедливым, независимо от того,, к какой системе координат, правой или левой, отнесено все пространство. Направле- Направление вектора п ие зависит от системы координат, направление v также не зависит. При смене правой системы на левую векторное произведение [v,n] меняет свое направление на противоположное. 13*
196 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Перейдем теперь к общему определению. Пусть Е — гладкая дву- двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную сторону этой поверхности (поле нормалей n(M)) и рассмотрим не- некоторую векторную функцию А = (Р, Q, R), заданную на Ё. Обо- Обозначим Ап проекцию вектора А на направление нормали к Е в дан- данной точке. Эту проекцию можно записать в виде Ап = Р cos (n, x)-\-Qcos(n, y)-\-Rcos(n, z), где cos(n, х), cos(n, у) и cos(n, z)—косинусы углов между напра- направлением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, г. е. компоненты единичного вектора нормали п. Интеграл § § [Р cos (n, x)-f-Qcos(n, y)+#cos(n, z)]da E.14) 2 мы назовем поверхностным интегралом второго pod а от вектор-функции А = (А*, Q, R) по поверхности Е (точнее говоря, по выбранной стороне поверхности 2) и будем обозначать f Г Р dy dz + Q dz dx + R dx dy. Таким образом, по определению J f Pdydz + Qdzdx-\-Rdxdy = = Г j [P cos (n, x) + Qcos(n, y) -\- R cos (n, z)]da. E.15) 2 При переходе к другой стороне поверхности компоненты единич- единичного вектора нормали, а следовательно, и сам интеграл E.14), меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверх- поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. Для того чтобы понятие поверхностного, интеграла приобрело общ- общность, необходимую для приложений, приходится рассматривать инте- интегралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения (с аналогичной ситуацией мы уже встречались в теории криволинейных интегралов). Замечание 1. Если do — бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения cos(n, x)do, cos(n, у) da, cos(n, z)do
■§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 197 представляют собой проекции элемента do на плоскости yz, zx и ху {рис. 5.11), поэтому мы и обозначаем их dydz, dzdx и dx dy соот- соответственно. Замечание 2. Мы определили поверхностный интеграл второго рода, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода. г .V d(£cos(n,z) Рис. 5.11. Рис. 5.12. Однако интеграл второго рода можно определить и непосред- непосредственно, с помощью соответствующих интегральных сумм, а именно, следующим образом: Будем для сокращения записи рассматривать только одну компо- компоненту вектора (Р, Q, R), скажем R. Возьмем некоторую гладкую ориентированную поверхность Е и рассмотрим разбиение этой поверх- поверхности на части Ег. Взяв в каждой их этих частей произвольную точку (Xi, У{, Zi), составим интегральную сумму л 2#(*;. У;. Zi)Sh E.16) где St — проекция Ег на плоскость ху. При этом величину St мы будем считать положительной, если в точках, принадлежа- принадлежащих Е;, нормаль к поверхности образует с положительным направле- направлением оси z острый угол, и отрицательной, если в каждой точке элемента Ег этот угол тупой*). Нетрудно проверить, что *) В разбиение поверхности 2 могут входить еще и «неправильные» элементы, т. е. такие, что в некоторых их точках угол (п, г) острый, а в не- некоторых— тупой (рис. 5.12). Можно или избегать разбиений, содержащих такие элементы, или приписывать таким элементам произвольный знак. Это не влияет на результат, поскольку сумма площадей проекций таких элемен- элементов мала.
198 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 для непрерывной функции R(x, у, z) и гладкой поверхности Е пре- предел интегральных сумм E.16) при неограниченном измельчении раз- разбиения поверхности существует и равен J J R(x, у, z)dxdy 2 (ср. с определением криволинейного интеграла второго рода в п. 2 § 2 гл. 4). Аналогичным образом можно определить через интегральные суммы и интегралы J J Р(х, у, z)dydz и J JQ(x, у, z)dzdx, 2 2 а следовательно, и интеграл общего вида Г Г Pdydz-\-Qdz dx-\-Rdx dy 2 — сумму интегралов этих трех типов. Замечание 3. Отличие поверхностного интеграла второго рода от интеграла первого рода состоит, по существу, в том, что в инте- интеграле второго рода элемент площади da рассматривается не как скалярная величина, а как вектор da, направленный по нормали к поверхности и имеющий компоненты: rfcrcos(n, х), rfcrcos(n, у), dacos(n, z). В соответствии с этим поверхностный интеграл второго рода от векторной функции А = (Р, Q, R) часто записывают в виде "(A, d<s), E.17) 2 что равносильно записи J J (A, n)da. E.18) 2 Замечание 4. Наряду с интегралами вида E.18) в некоторых задачах приходится рассматривать интегралы вида J J 2 [A, n]da. E.19) Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр, а вектор. Его вычисление сводится, очевидно, к покомпонентному интегрированию вектора [А, п]. Так как здесь подынтегральное вы- выражение зависит и от нормали п к поверхности Е, то интеграл E.19)
$ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 199 естественно рассматривать как поверхностный интеграл второго рода (но только «векторный», в отличие от «скалярного» инте- интеграла E.18)). 3. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двой- двойному интегралу. Из определения поверхностного интеграла второго рода и теоремы 5.1 сразу вытекает следующий результат: Пусть гладкая {или кусочно-гладкая) поверхность Е за- задана уравнением z = z(x, у) (причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R(x, у, z)— некоторая ограниченная функция на Е. Тогда J J R(x, у, z)dxdy = J J R(x, у, z(x, y))dxdy, E.20) X D где Р — проекция поверхности Е на плоскость ху, входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если суще- существует стоящий справа двойной интеграл. Действительно, рассматриваемый поверхностный интеграл можно переписать в виде Г \ R (х, у, 2)cos(n, z)da. s Применив к нему формулу E.9), немедленно получаем требуемое равенство. Таким образом, для того чтобы поверхностный инте- интеграл I I R(x, у, z) do, взятый по верхней стороне поверх- ности S, определенной уравнением z = z(x,y), преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z подставить соответствующую функцию z(x, у), а интегриро- интегрирование по поверхности S заменить интегрированием по ее проек- проекции D на плоскость ху. Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности S, то Г Г R(x, у, z)dxdy = — Г Г R(x, у, z(x, y))dxdy. X D Аналогично получаются формулы Г JP(x, у, z)dydz=± Г ГР(х(у, z), у, z)dydz E.21) Л Г JQ(x, у, z)dzdx=± Г Г Q(x, y(z, x), z)dzdx, E.22)
200 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 где в первом случае под S понимается поверхность, заданная урав- уравнением x = x(y, z), а во втором — поверхность, заданная уравне- уравнением y = y(z, x). Знак плюс берется в том случае, когда нормаль к поверхности образует с осью х (соответственно с осью у) о с т р ы й угол, а знак минус, когда этот угол тупой. D, и D2 — проекции поверхности S на плоскости yz и zx соответственно. Формулой типа E.20) можно воспользоваться для сведения по- поверхностного интеграла к двойному и в том случае, когда ориенти- ориентированная поверхность S состоит из нескольких кусков, каждый из которых определяется уравнением вида z = z (x, у). В этом случае рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегра- интегралов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых применить формулу E.20). Упражнение. Интеграл J= Г Г R(x, у, z)dxdy, взятый по внешней стороне сферы записать в виде суммы двойных интегралов. Ответ. J= [ j R(x, у, У а* — х2 — у2) dx dy — — J J R(x, у, — ]/а2 — х2 — y*)dxdy. (Первое слагаемое равно интегралу, взятому по верхней стороне верхней полусферы, а второе, вместе со знаком минус, равно инте- интегралу, взятому по нижней стороне нижней полусферы. Две таким образом ориентированные полусферы составляют вместе внешнюю сторону полной сферы.) Мы показали, как сводится к двойному интегралу поверхностный интеграл второго рода, взятый по поверхности, заданной уравнени- уравнением в декартовых координатах. Для поверхности, заданной парамет- параметрическим уравнением, применение теоремы 5.1' сразу дает следующий результат: если гладкая {или кусочно-гладкая) поверхность 2 задана параметрическим уравнением г=г(и, V)
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 201 и (Р, Q, R)— ограниченная вектор-функция, определенная на S, то ydz + Qdzdx-\-Rdxdy = Г Г Pdyd = JJ[Pcos(n, x) + Qcos(n, ?22~g2l2dudV- E.23) где D — область изменения параметров и wv, a gn, gl2 и g22 — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S; входящий в это равенство поверхностный интеграл сущест- существует, если существует стоящий справа двойной интеграл. Формулу E.23) можно записать несколько иначе. Известно, что (см. п. 5 § 3 гл. 3) cos (п, у) — —— —, cos(n, у) = —-— —, "■«. + * + <? т^2 + в2+с2 E24) cos(n, z) = где А = ди ду_ dv дг ди дг dv дг ди дг dv дх ди дх dv С = дх ди дх dv ди dv и что Поэтому формулу E.23); можно записать так: f f Pdydz-JrQdzdx-irRdxdy = f f S D dudv, E.25) где , v), y(u, v), z(u, v)) а аналогично для Q и R. Ясно, что равенства E.20)—E.22) представляют собой частные случаи общей формулы E.23). § 3. Формула Остроградского 1. Вывод формулы Остроградского. В предыдущей главе мы вывели формулу, связывающую двойной интеграл по некоторой плоской области, с криволинейным интегралом, взятым по ее границе {формула Грина). Сейчас мы установим аналогичную формулу.
202 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 связывающую тройной интеграл по пространственной области с по- поверхностным интегралом, взятым по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой Остроградского *). Введем для удобства следующие термины. Пространственную область V, ограниченную двумя кусочно-гладкими поверхностями St и S2, заданными уравнениями = zl(x, у) = z2(x, у), E.26) и боковой цилиндрической поверхностью Sj с образующими, парал- параллельными оси z, мы назовем областью, цилиндрической вдоль оси z или, короче, «z-цилиндрической». Поверхности z = zl(x, у) и z = z2(x, у) назовем ее криволинейными основаниями, ниж- нижним и верхним**) (рис. 5.13). Ана- Аналогично область, ограниченную ку- кусочно-гладкими поверхностями x = xI(y, z) и х = х2(у, z) и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси х, назовем «лг-цилиндрической». Так же определяются и «у-цилиндриче- ские» области. Назовем, наконец, область V z*z,(j:,y) Простой, если ее можно разбить как на конечное число z-цилиндри- "£ ческих областей, так и на конеч- конечное число областей каждого из двух остальных типов. Пусть V — некоторая 2-цилинд- рическая область с основаниями Sj, Рис. 5.13. S2, заданными уравнениями E.26) и боковой поверхностью S3. Сое- Соединение этих трех поверхностей, т. е. всю границу области V, обо- обозначим 2. При этом мы будем рассматривать внешнюю сторону поверхности S. Возьмем функцию R(x, у, z), определенную и непре- *) М. В. Остроградский опубликовал эту формулу в 1828 г. в ра- работе «Заметка о теории тепла». Часто ее называют также формулой Гаусса, однако Гауссом эта формула была получена значительно пойже, в 1841 г. **) Боковая поверхность 2 может отсутствовать. Например, шар мы считаем г-цилиндрической областью, основания которой суть 2j — нижняя полусфера и 22 — верхняя полусфера, а боковая поверхность 23 вы- выродилась в экватор (шар является также и областью, цилиндрической вдоль осей х и у).
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 203 рывную вместе со своей частной производной -з— в области V (вклю- (включая ее границу), и рассмотрим очевидное равенство •М-*, у) J dz 1 <*, У) j¥Ldz = R(x, у, гг(х, y))~R(x, у, zY(x, у)). Проинтегрируем это равенство по области D, представляющей собой проекцию V на плоскость (х, у), заменяя повторный интеграл тройным: У' *2(*> y))dxdy~ — JJR{x, у, г,(*. y))dxdy. E.27) D Первый из стоящих справа интегралов можно записать (см. фор- формулу E.20)) в виде поверхностного интеграла от функции R (х, у, z), взятого по верхней стороне поверхности х-=я2(х, у). Аналогично второй из этих интегралов можно рассматривать как поверхностный интеграл от той же функции R (х, у, z), взятый по верхней стороне поверхности z==zl(x, у), или как интеграл по нижней стороне той же поверхности z = zx{x, у), взятый с обрат- обратным знаком. Таким образом, мы получим I" f J¥Ldxdydz = j f Rdxdy + f j Rdxdy, E.28) где первый из стоящих справа интегралов берется по верхней сто- стороне поверхности 22, а второй — по нижней стороне поверхности S^ Прибавив к правой части формулы E.28) интеграл J J R dx dy (равный, очевидно, нулю), взятый по внешней стороне боковой поверхности S3, мы получим справа поверхностный интеграл, взятый по внешней стороне всей поверхности S, ограничивающей область V. Таким образом, мы получаем следующее равенство: J j / 4г rfx rf3> rf* = f f Rdxdy=f f Rcos(n, z)da. E.29)
204 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Равенство E.29) справедливо и для любой области V, которую можно разбить на конечное число z-цилиндрических частей. Дей- Действительно, разобьем V на такие части Vv напишем для каждой из них равенство вида E.29) и просуммируем эти равенства. Слева мы получим тройной интеграл, взятый по всей области V, а справа — сумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности S, ограничивающей V, и по тем поверхностям, с помощью которых V разбивается на части V;, причем по каждой из этих последних инте- интеграл берется дважды, один раз по одной ее стороне, а второй раз — по другой. Поэтому в результате суммирования все интегралы, взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожа- уничтожаются, и мы получаем Пусть теперь V—область, цилиндрическая вдоль оси х, т. е. ограниченная кусочно-гладкими поверхностями-основаниями x=xl(yl, z), х=х2(у, z) и боковой цилиндрической поверхностью, а Р(х, у, z) — функция, непрерывная вместе со своей производной -=— в области V (включая ее границу). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят к равенству / / f—dxdydz^f fpdydz, E.31) V 2 которое остается в силе и тогда, когда V состоит из конечного числа х-цилиндрических частей. Аналогично получается и равенство fff-^-dxdydz^ffQdzdx, E.32) V S справедливое для всякой области V, которую можно разбить на ко- конечное число у-цилиндрических областей. Пусть, наконец, V — некоторая простая область и пусть функ- функции Р, Q, R вместе со своими производными -т—, —-, -г— непре- непрерывны в этой области всюду, включая ее границу (т. е. непрерывны в замкнутой области). Тогда справедливы все три равенства: E.30),
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 205 E.31) и E.32). Сложив их, получаем V 2 или, в других обозначениях, = f f P dy dz-\-Q dz dx-\-R dx dy E.33) -Я/' [Pcos(n, x) + Qcos(n, y) + #cos(n, z)]da. E.33') Это и есть формула Острограоского. Замечание. При выводе формулы Остроградского мы считали, что функции Р, Q, R и их частные производные—г—, —~~, -^— непрерыв- непрерывны (а следовательно, и ограничены) в замкнутой простой области. Применив те же рассуждения, что и для формулы Грина (см. замечание 1 § 3 гл. 4), можно доказать справедливость формулы Остроградского при следующих более общих условиях: 1. V — ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. 2. Функции Р {х, у, z), Q {х, у, г) и R (х, у, г) непрерывны, а следова- следовательно, н ограничены в замкнутой области V. ~ П дР dQ dR 3. Производные —т—, , —— существуют и непрерывны внутри области V (без границы) и интеграл II (-з V ~г-Л~-~л~\ dx dy dz v существует (быть может, как несобственный интеграл *)). 2. Вычисление поверхностных интегралов с помощью фор- формулы Остроградского. Представление объема пространственной области в виде поверхностного интеграла. Выше мы показали (формула E.10)), как поверхностный интеграл второго рода свести к двойному. Однако для фактического вычисления поверхностного интеграла этот путь не всегда самый удобный. В частности, инте- интеграл по замкнутой поверхности иногда удобнее сводить к тройному по формуле Остроградского. Примеры. 1. Вычислить интеграл J = Г Г х3 dy dz -f- у3 dz dx -\- z3 dx dy, взятый no сфере x2 -f- y2 -f- z2 = a2. *) О несобственных кратных интегралах см. гл. 9.
206 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ, 5 Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского, будем иметь =3 ffj (x2 откуда, введя сферические координаты, получаем 2я я а ./= 3 f dtp f dQ f r4sin Qdr = 4 na5. -' pi pi О 0 0 0 2. Вычислить интеграл J= Г Г z dy dz-\- x dz dx-\- у dxdy, взятый по некоторой замкнутой поверхности S. Решение. По формуле Остроградского рассматриваемый инте- интеграл сводится к тройному, под знаком которого стоит тождествен- тождественный нуль. Следовательно, /=0, какова бы ни была замкнутая по- поверхность S. В предыдущей главе мы видели, что формула Грина дает, в частности, выражение для площади области через криволинейный интеграл по ее границе (см. D.47)). Точно так же и из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S — границе этой области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы дР_ dQ_ <Ш__, дх ' ду ' дг Тогда получим J J Pdydz-\-Qdzdx-\-Rdxdy= С j С dxdydz = V, X V где V — объем, ограниченный поверхностью S. Интеграл здесь бе- берется по внешней стороне S. В частности, положив мы получим для вычисления объема удобную формулу V = ~ f f xdydz-\-ydzdx~^-zdxdy. E.34)
§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 207 § 4. Формула Стокса 1. Вывод формулы Стокса. В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Стокса, связывающую поверхностные интегралы с криволинейными. Формула Стокса обобщает формулу Грина и пере- переходит в нее, если рассматриваемая поверхность сводится к плоской области, лежащей в плоскости ху. Подобно формулам Грина и Остроградского, формула Стокса широко применяется как в самом анализе, так и в его приложениях. Пусть дана гладкая ориентированная поверхность S, ограниченная оригнтированным контуром Л (ориентации Е и Л согласованы, см. п. 1 § 2), и пусть в некоторой трехмерной области, содержащей внутри себя поверхность S, определена векторная функция (Р, Q, R), такая, что Р, Q и R непрерывны в этой области вместе со своими частными производными первого порядка. Постараемся преобразовать, криволиней- ный интеграл J Pdx-\-Qdy-\-Rdz, E.35) л взятый по контуру Л, в интеграл по по- поверхности S. Рассмотрим сначала случай, когда поверхность S задана уравнением z = z(x, у) в декартовых координатах. Обозначим D проекцию поверхности Е на плоскость ху, и пусть L — граница области D, т. е. проекция контура Л (рис. 5.14). Преобразование криволинейного инте- интеграла E.35) в поверхностный мы проведем по следующей схеме: Рис. 5.14. т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру Л пре- преобразуем сперва в криволинейный интеграл по плоскому контуру L. затем (с помощью формулы Грина) переведем его в двойной инте- интеграл по области D и, наконец, этот последний преобразуем в поверх- поверхностный интеграл по Е. Проведем теперь соответствующие выкладки, Рассмотрим сначала интеграл вида
208 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Заметим прежде всего, что Jx= (Р(х, у, z)dx = JР(х, у, z(x, y))dx, Л L поскольку контур Л лежит на поверхности S, заданной уравнением z = z{x, у). Далее, применив формулу Грина, получаем Jl= [P(x, у, z(x, (здесь Р — сложная функция от х и у, и мы учли это при вычи- вычислении производной от Р по у). Воспользовавшись выражениями для направляющих косинусов нормали (см. C.36)), получаем, что dz cos (n, у) ду cos (n, г) ' Поэтому Г С ( др дР cos (n, у) \ . . D Теперь, воспользовавшись формулой E.20), мы можем этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем , Г Г I дР дР cos (n, у) \ . . , Л=— / / \-л з / ( I cos(n, z)de~ 1 J J \ ду dz cos (n, г) ) v ' =-f f(wcos(n> z)-4fcos(n> y))da- Итак, f ff(^ ^ ja. E.37) Мы предполагали, что поверхность S задана уравнением z=z(x, у). Тот же результат можно было получить, предположив, что S задана уравнением y=*y(z, x). Для этого нужно было бы рассмотреть проекцию 2 на плоскость zx (вместо ху) и провести рассуждения, аналогичные изложенным выше. Далее, если S — часть плоскости, перпендикулярной оси х (тогда S нельзя однозначно спроектировать ни на плоскость ху, ни на плоскость zx), то равен- равенство E.37) верно тривиальным образом: и правая и левая его части будут равны нулю (проверьте это!). Наконец, стандартные рассужде- рассуждения, которыми мы уже пользовались при выводе формул Грига и Остроградского, показывают, что если поверхность 2 состоит из конечного числа частей, для каждой из которых верно равенство E.37),
§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 209 то оно верно и для всей поверхности S. Таким образом, равен- равенство E.37) установлено для поверхности, состоящей из конечного числа кусков перечисленных выше типов. В точности так же полу- получаются два аналогичных равенства: A s Складывая все эти три равенства, получаем )a, E.38) х)-Ц-соз(п. у)) da. E.39) <5-4О> Это и есть формула С токе а. Ее можно переписать в следующем виде: Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части — это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье по- получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций Р, Q, R. Если поверхность Е сводится к плоской области, лежащей в пло- плоскости ху, то интегралы по dz dx и dy dz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина. Замечание 1. При выводе формулы Стокса мы пользовались" декартовой системой координат. Но ни криволинейный, ни поверх- поверхностный интегралы, входящие в эту формулу, не зависят от способа задания поверхности S и ее границы Л. Поэтому формула Стокса остается в силе и при любом другом способе задания поверхности, например с помощью параметрического уравнения г= г (и, v). 14 Б. М. Будак, С. В. Фомин
210 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 V Замечание 2. Формула Стокса остается в силе и в том случае, когда граница Л поверхности S состоит из нескольких отдельных контуров. В этом случае под I P dx-\-Q dy-\- Rdz следует пони- л мать сумму интегралов, взятых по этим контурам, причем ориентация каждого из этих контуров опять-таки должна быть согласована с вы- выбором стороны поверхности S. Например, если S представляет со- собой боковую поверхность цилиндра с вырезан- вырезанным в ней отверстием (рис. 5.15) и мы рас- рассматриваем внешнюю сторону этой поверхно- поверхности, то формула Стокса связывает интеграл по S с криволинейным интегралом, взятым по трем контурам, образующим ее границу и ори- ориентированным так, как это показано стрелка- стрелками на рис. 5.15. 2. Применение формулы Стокса к ис- исследованию пространственных криволиней- криволинейных интегралов. Формула Стокса имеет много- многочисленные применения, и мы еще вернемся к ней в следующей главе. Сейчас мы воспользу- воспользуемся этой формулой для того, чтобы перенести на пространственные криволинейные интегралы те результаты об условиях независимости кри- криволинейного интеграла от пути, которые в § 4 гл. 4 были получены (с помощью формулы Грина) для плоского случая. Введем следующее Определение. Трехмерная область V называется поверх- поверхностно о д н о с в яз ной*), если на любой замкнутый контур* лежащий в V, можно натянуть по- поверхность, также целиком лежащую в V (т. е. если внутри V найдется поверхность, имеющая этот контур своей границей). Примерами поверхностно односвязных областей являются: шар, все пространство, область, заключенная между двумя концен- концентрическими сферами, и т. п. Примером не- односвязной области может служить шар, сквозь который проходит цилиндрический туннель (рис. 5.16). Установим теперь следующий результат, аналогичный теореме 4.5. Теорема 5.2. Ес4Н функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны вместе со своими частными. Рис. 5.15. Рис. 5.16. *) Или, короче, просто «о д н ос в я з но й».
§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 211 производными первого порядка в некоторой замкнутой огра- ограниченной поверхностно односвязной области V, то следующие четыре утверждения равносильны между собой: 1. Интеграл ф Рdx-\-Qdy-\- R dz, взятый по любому зам- замкнутому контуру, лежащему внутри V, равен нулю. 2. ГРdx-\-Qdy-\-Rdz не зависит от выбора пути, со- АВ единяющего точки А и В. 3. Рdx-f- Q dy-\- R dz — полный дифференциал некоторой однозначной функции, определенной в V. 4. Выполняются равенства E.42) Доказательство этой теоремы, по существу, не отличается от доказательства теоремы 4.5 и проводится по той же схеме 1 —> -> 2—>3-> 4-> 1. Мы предоставим его читателю, ограничившись лишь следующим указанием: -для того чтобы из условия 4) получить условие 1), рассмотрим некоторый замкнутый контур Л, лежащий в V; так как область V по условию односвязна, то на Л можно натя- натянуть поверхность 2, целиком лежащую внутри V. Применив к кри- криволинейному интегралу, взятому по Л, формулу Стокса, получаем, что из условия E.42) следует равенство 0Q дх дР — ~ду~' dR ду dQ ~ dz ' дР ~ЬТ dR ~ дх ' J Pdx-\-Qdy-\-Rdz= 0. Если выражение Рdx-\-Qdy + Rdz представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z), то нетрудно написать явное выражение этой функции: (х, у, z) U{x, у, z)= J Pdx-\-Qdy-\-Rdz-\-C, E.43) (-Со, Уо, г„) аналогичное формуле D.50), установленной в § 4 гл. 4 для двух переменных. / U, у, *) I Здесь I означает интеграл, взятый по произвольному пути, \ (-«-о, Уо, г0) целиком лежащему в области V и соединяющему точку (х0, yQ, zQ) с (х, у, z). I 14*
212 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Если функции Р, Q и R удовлетворяют условиям E.42), но об- область, в которой они определены, не односвязна, то свойства инте- интеграла ;■ АВ аналогичны свойствам криволинейного интеграла \Pdx-\-Qdy АВ в плоской многосвязной области. В частности, выражение E.43) при выполнении равенств E.42) и в случае мвогосвязной области пред- представляет собой функцию, полный дифференциал которой равен Pdx-\-Qdy-\-R dz, но в многосвязной области эта функция, во- вообще говоря, многозначна.
ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ПОЛЯ Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В этой главе мы изложим элементы того математического аппарата, которым приходится пользоваться при изучении физических полей. В физических задачах чаще всего встречаются величины двух типов: скаляры и векторы*). В соответствии с этим мы будем рассматривать два типа полей — скалярные и векторные. § 1. Скалярные поля 1. Определение и примеры скалярных полей. Пусть Q — неко- некоторая область в пространстве. Мы говорим, что в этой области задано скалярное поле, если каждой точке М этой области поставлено в соответствие некоторое число U(М). Примерами скалярных полей могут служить поле температур внутри некоторого нагретого тела (в каждой точке М этого тела задана соответствующая температура U (М)), поле освещенности, со- создаваемое каким-либо источником света, и т. д. Важным примером скалярного поля служит поле плотности массьи с которым мы уже встречались. Напомним это понятие. Пусть неко- некоторая пространственная область Q заполнена непрерывно распреде- распределенной массой. Сопоставив каждой области V, содержащейся в Q, ту массу, которая нахЪдится в области V, мы получим аддитивную функцию области \х (V). Если в каждой точке существует производ- производная от n(V) по объему, то эта производная называется плотностью- *) Это, собственно говоря, верно лишь применительно к более элемен- элементарным вопросам физики. В ряде разделов теоретической физики — электро- электродинамике, теории относительности, теории элементарных частиц и т. д. суще- существенную роль играют величины более сложной природы, чем скаляры и. векторы. Об одном важном типе таких величин — так называемых тензо- тензорах— будет идти речь в следующей главе.
214 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 массы, а значения этой производной образуют скалярное поле, назы- называемое полем плотности массы. Аналогично, рассматривая некоторое непрерывное распределение зарядов по пространственной области Q, мы приходим к скалярному полю плотности электрического заряда. Число подобных примеров можно было бы увеличить. Наряду с полями, заданными в пространственных областях, часто приходится рассматривать и плоские скалярные поля. Примером такого поля может служить освещенность части плоскости, создавае- создаваемая каким-либо источником света. 2. Поверхности и линии уровня. Если U(М) — некоторое ска- скалярное поле, то, введя в области, где задано поле, декартовы коор- координаты, можно представить это поле в 7виде функции U (х, у, z) координат точки М *). Эту функцию мы всегда будем в дальнейшем предполагать непрерывной и имеющей в рассматриваемой области непрерывные частные производные первого порядка по х, у и z. Задание скалярного поля с помощью фиксированной системы ко- координат и соответствующей функции U (х, у, z) не всегда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля. Для полу- получения более наглядной картины удобно пользоваться так называемыми поверхностями уровня. Поверхностью у р о в к я скалярного поля U(М) называется геометрическое место точек, в кото- которых поле U(М) имеет данное фиксированное значение С. Уравнение поверхности уровня имеет вид **) U{x, у. z) = C. F.1) Ясно, что поверхности уровня (отвечающие различным С) запол- заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверх- поверхности U{x, у, 2) = С, и U(х, у, z) — C2 не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня с отмет- *) Вид этой функции зависит, конечно, не только от рассматриваемого поля, но и от выбора системы координат. Но если система координат счи- считается фиксированной, то понятие скалярного поля просто совпадает с понятием функции трех переменных. Мы, однако, будем все время поль- пользоваться термином «поле», подчеркивая этим, что речь идет здесь, как пра- правило, о величинах, имеющих непосредственный физический смысл, не свя- связанный с выбором той или иной системы координат. **) При сделанных выше предположениях относительно функции ■U (х, у, г) такое уравнение действительно определяет некоторую гладкую поверхность, если только точки, удовлетворяющие равенству F.1) (при дан- dU dU ном С), вообще существуют и если в этих точках производные -т—, -,—, —;— не обращаются в нуль одновременно (см. вып. !■ гл. 14, § 4).
§ I] СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 215- Рис. 6.1. кой на них соответствующих значений С равносильно заданию самого поля U (М). Взаимное расположение поверхностей уровня в пространстве дает наглядное представление о соответствующем ска- скалярном поле. Указанный способ изображения поля особенно удобен тогда, когда речь идет о поле, заданном не в пространственной, а в плоской области. Такое поле описывается функцией двух переменных U {х, у). Равенство вида О (х, у)=С опре- определяет, вообще говоря, некоторую кривую. Такие кривые называют- называются линиями уровня плоского ска- скалярного поля U (М). С помощью линий уровня обычно изображается рельеф местности на топографиче- топографических картах, а именно, на них про- проводятся линии, состоящие из то- точек, имеющих одну и ту же высоту над уровнем моря; эти линии называются горизонталями (рис. 6.1). Распределение температур, давлений, количества осадков и т. п. обычно также изображается на специальных каргах с помощью соот- соответствующих линий уровня (называемых изотермами в случае температур, изобара- изобарами, когда речь идет о давлениях, и т. д.). 3. Различные типы симметрии полей» Во многих физических задачах приходится, иметь дело с полями, обладающими теми, или иными специальными свойствами с и м- м е т р и и, облегчающими изучение таких полей. Укажем некоторые частные случаи, а) Плоскопараллельное поле. Если скалярное поле U(М) в какой-либо декар- декартовой системе координат можно описать функцией, зависящей не от трех, а только от двух координат, ска- скажем, функцией вида U(х, у), то такое поле называется плоскопа- плоскопараллельным (или двумерным)., Иначе говоря, поле U (М) назы- называется плоскопараллельным, если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле U (М) переходит само в себя. Поверхности уровня такого поля — это семейство ци- цилиндрических поверхностей (рис. 6.2); в соответствующим обра- образом выбранной системе координат они задаются уравнениями ви- вида U(x, y) = C б) Осесимметрическое поле. Если для поля U{M) можно подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой оно изображается функцией, зависящей только от переменных. Рис. 6.2.
216 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 r = Yx2-\-y2 и z (но не от угла ср), то это поле называется осесимметрическим. Иначе говоря, поле U (М) осесимметрическое, если оно переходит само в себя при повороте пространства (на произвольный угол) вокруг некоторой фиксированной прямой — оси симметрии этого поля. Поверхности уровня такого поля предста- представляют собой, очевидно, поверхности вращения (рис. 6.3). Если эти Рис. 6.3. Рис. 6.4. -поверхности вращения—круглые цилиндры (рис. 6.4), т. е. если поле U(M) в соответствующей цилиндрической системе координат изо- изображается функцией, зависящей лишь от одной координаты г (рассто- (расстояния точки от оси симметрии поля), то U (М) называется цилиндрическим полем. в) Сферическое поле. Если значе- значения U (М) зависят лишь от расстояния точ- точки М от некоторой фиксированной точки Мо, то такое поле называется сферическим. Поверхности уровня сферического поля — семейство концентрических сфер (рис. 6.5), 4. Производная по направлению. При изучении скалярного поля методами анализа мы должны в первую очередь описать его локальные свойства, т. е. изменение вели- величины U (М) при переходе от данной точки М к близким точкам. Для этого мы используем производную поля по направлению. Напомним это понятие. Пусть U (М)— скалярное поле. Рассмотрим две близкие точки М и Ж' и составим отношение U(M') — U(M) h Рис. 6.5. F.2) где h—длина отрезка MAY. Пусть точка М' приближается к М, лричем напраиление отрезка ММ' все время совпадает с направле-
§ I] СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 217" нием фиксированного единичного вектора X. Если при этом отноше- отношение F.2) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной скалярного поля U(М) в точке М по направле- направлению X и обозначается dU(M) дХ ' Производная -^- характеризует скорость изменения величины U(M) в направлении X. Для вычисления -тт— выберем некоторую систему координат и представим U (М) в виде U (х, у, z). Пусть направление X образует с осями координат углы а, р и у Тогда ММ' = h (i cos a + j cos P + k cos y) и U{M')=U{x-\-hcosa, y + ucosp, z-\- h cosy), F-3> a производная -^т- совпадает с производной по h от сложной функ- ции F.3) при h = 0. Дифференцируя, получаем =^FCosa + ^rcosP+^^cosY- F.4> dU(M) _ dU(M') дК ~ dh Б. Градиент скалярного поля. Выражение F.4) можно рассма- рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора X = (cosa, cosp, cosy). , dU определяющего направление, по которому берется производная —тт-,. и вектора, имеющего компоненты dU dU dU дх ' ду ' дг Этот вектор называется градиентом скалярного поля U и обозна- обозначается символом grad U. Таким образом, gradU={-;—, -3—, -т— | F.5) ь \ дх ду дг } v ' и, следовательно, /, XV F.6>
218 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Рис. 6.6 дает наглядную интерпретацию выражения производной по направлению как проекции grad U на это направление. Из формулы F.6), которую можно переписать в виде -дд- = | grad U | cos ф (где ф — угол между grad U и единичным вектором X), видно, что в каждой точке, в которой grad U ф О, существует единственное 6U направление, по которому —гт- имеет наибольшее значение, т. е. един- единственное направление наибыстрейшего возрастания функции U. Это направление совпадает с направлением вектора grad U. Действительно, для этого направления ф = 0 и, следова- следовательно, в то время как для всех других направле- направлений Рис. 6.6. dU = | grad U | cos ф < | grad U |. Итак, мы получили, что направление вектора grad U — это на- направление наибыстрейшего возрастания величины U, а длина вектора grad U равна скорости возрастания величины U в этом направлении. Однако ни направление наибыстрейшего возрастания функции, ни величина ее производной в этом направлении не зависят, очевидно, -от выбора системы координат. Мы установили, таким образом, что градиент скалярного поля зависит, лишь от самого поля, но не от выбора системы координат (хотя из равенства F.5), при- принятого нами за определение градиента, это сразу и не видно). „ dU dU dU „ .. Производные -;—, -т—, -г— в данной точке Ж — это компоненты вектора, нормального к поверхности U (х, у, z)= const, проходящей через эту точку *). Таким образом, в каждой точке поля О градиент поля направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку. *) Действительно, если направление К лежит в плоскости, касательной к поверхности U (х, у, z) — const, то производная по этому направлению равна нулю: dU = (gsadU, Ji) = т. е. grad U ортогонален любому вектору, лежащему в касательной плоскости.
I 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 219-" Назовем линией градиента*) скалярного поля U всякую кривую,' касательная к которой в каждой ее точке направлена по grad U в этой же точке. Таким образом, линии градиента поля — это те линии, вдоль которых поле U меняется быстрее всего. Можно показать, что если функция U(х, у, z) имеет непрерыв- непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно, то через каждую точку области, в которой задано поле U, проходит одна и только одна линия градиента. В каждой точке линия градиента ортогональна той поверхности уровня, на которой эта точка лежит. § 2. Векторные поля 1. Определение и примеры векторных полей. Мы говорим, что в некоторой области Q определено векторное поле, если каждой точке М этой области поставлен в соответствие определен- определенный вектор А (Ж). Один из важных примеров векторных полей, к которому мы* будем неоднократно возвращаться, — это поле скоростей стацио- стационарного потока жидкости, Оно определяется так: пусть область Q заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой ско- скоростью v, не зависящей от времени (но различной, вообще говоря, в разных точках); поставив в соответствие каждой точке М из О. вектор v — v(M), мы получим векторное поле, называемое полем сТ< о р о сте й, Другой важный пример векторного поля — это поле тяготения, Пусть в пространстве распределена некоторая масса. Тогда на мате- материальную точку с массой 1, помещенную в данную точку М, дей- действует некоторая гравитационная сила. Эти силы, определенные в каждой точке, образуют векторное поле, называемое полем тяготения (отвечающим данному распределению масс) или гра- гравитационным полем. Если в пространстве распределены каким-либо образом электри- электрические заряды, то на единичный электрический заряд, помещенный в точку М, эти заряды действуют с определенной силой F(M). Образуемое этими силами векторное поле называется электро- электростатическим полем. И поле тяготения, и электрическое поле представляют собой примеры силовых полей. Если А (М) — некоторое векторное поле в пространстве, то, взяв в этом пространстве какую-либо декартову систему координат, мы можем представить А (Ж) как совокупность трех скалярных функций— компонент этого вектора. Эти компоненты мы будем обозначать, как правило, Р(х, у, z), Q(x, у, г) и R(x, у, г). В дальнейшем мы *) Ср. с общим определением векторной линии в следующем параграфе..
220 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непре- непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка *). 2. Векторные линии и векторные трубки. Пусть в области Q задано векторное поле А (Ж). Кривая L, лежащая в Q, называется векторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направлением вектора А в этой же точке. В частности, если поле А есть поле скоростей стационарного потока жидкости, то его векторные линии — это траектории частиц жидкости. В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля А, проходящей через данную точку Мо. Аналитически эта задача формулируется, очевидно, так: требуется найти вектор-функцию г (t), удовлетворяющую условиям г'(О = ЬА, г W-г.. <6'7> где г0 — радиус-вектор начальной точки Мо, t0 — начальный момент времени, а К — произвольная числовая величина. Можно показать, что если компоненты Р, Q, R вектора А — непрерывно дифферен- дифференцируемые функции координат, ни в одной точке не обращающиеся в нуль одновременно, то условия F.7) действительно определяют в той области, в которой задано поле А, одну и только одну век- векторную линию**). Ограниченная некоторой поверхностью 2 часть пространства, в котором задано векторное поле А, называется векторной труб- трубкой, если в каждой точки4 поверхности 2 нормаль к 2 орто- ортогональна вектору А в этой же точке. Иначе говоря, векторная трубка—это часть пространства, состоящая из целых век- векторных линий; каждая векторная линия или целиком лежит внутри данной векторной трубки, или находится целиком вне ее. Можно сказать, что поверхность 2, ограничивающая векторную трубку, соткана из векторных линий. Если снова представить себе векторное поле А как поле скоро- скоростей движущейся жидкости, то векторная трубка — это та часть пространства, которую «заметает» при своем перемещении некоторый фиксированный объем жидкости. 3. Различные виды симметрии векторных полей. Изучение векторного поля (как и скалярного) существенно облегчается, если это поле обладает теми или иными свойствами симметрии, Перечислим некоторые важнейшие частные случаи. *) Ясно, что если это условие выполнено в какой-либо одной декарто- декартовой системе координат, то оно выполнено и в любой другой системе. **) Это следует из теоремы существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений (см, вып. 3, гл, 1, § 6).
§ 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 221 а) Плоскопараллельное поле. Если для данного векторного поля А можно подобрать декартову систему координат, в которой компоненты поля А имеют вид Р(х, у), Q(x, у), R(x, у) (т. е, не зависят от г), то поле А называется плоскопараллельным. Если при этом R(x, у) = 0, то поле А называется плоским. Примером такого поля может^ служить поле скоростей жидкости, скорости частиц которой параллельны некоторой фиксированной плоскости и не зависят от расстояния частицы до данной плоскости (плоский поток). Векторные линии такого поля — плоские кривые (одни и те же в каждой параллельной плоскости). б) О несимметрическое поле. Векторное поле А называется осесимметрическим, если существует такая цилиндрическая система координат г, ф, г, что в каждой точке М вектор А (Ж) зависит лишь от г и г, но не от ф, Иными словами, такое поле переходит ■само в себя при повороте вокруг оси z. Если вектор А (М) зависит только от г, то поле называется цилиндрическим. в) Одномерное поле. Векторное поле называется одномерным, если существует такая декартова система координат, в которой ком- компоненты этого поля имеют вид Р(х), 0, 0. Векторные линии такого поля представляют собой, очевидно, совокупность всех прямых, параллельных оси х. 4. Поле градиента. Потенциальное поле. Рассмотрим снова некоторое скалярное поле U (М). Построив в каждой точке М вектор grad U, мы получим векторное поле — поле градиента скаляр- скалярной величины U, Введем следующее Определение. Векторное поле А (М) называется потен- потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U{М)\ А = grad U. Само скалярное поле U называется при этом потенциалом вектор- векторного поля А. Рассмотрим следующий пример. Пусть U = f(r), где г — = Ух2 ^-у2-\-z2 (т. е. U — сферическое поле), Найдем grad f/. Имеем L=f(r)- дх J { ' дх Аналогично Таким образом, grad £/ = /»!■, F.8)
222 теория поля [гл. в Если векторное поле А имеет потенциал, то этот потенциал определяется полем А однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Действительно, если скалярные поля U и V имеют один и тот же градиент, то grad(t/ — V) = 0. Но тогда и производная от U — V по любому направлению равна нулю в любой точке, откуда сразу следует, что U — V = const. Векторные линии потенциального поля А представляют собой, разу- разумеется, линии градиента его потенциала U, т. е. линии наибыстрей- наибыстрейшего изменения этого потенциала. Естественно возникает вопрос об условиях, при которых данное векторное поле А потенциально. Фактически этот вопрос мы уже рассмотрели в гл. 5. Действительно, там было показано (теорема 5.2), что выражение Pdx + Qdy + Rdz (где Р, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные част- частные производные 1-го порядка) служит полным дифференциалом не- некоторой однозначной функции U(х, у, z) в том и только том слу- случае, есм Р, Q, R удовлетворяют условиям *): дР_ = dQ_ J)Q_ __ dR dR_ _^ дР_ ду дх ' дг ду ' дх дг К • J Но если Р dx + Q dy + R d z = dU, то D—dU n—dU o—dU и — ~д7' ч — ~ду~' к — ~дГ' т. е. условие F.9) как раз и означает, что поле (Р, Q, R) потен- потенциально. Итак, для того чтобы векторное поле А = (Р, Q, R), имею- имеющее непрерывные и непрерывно дифференцируемые компоненты^ было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялись равенства F.9). Если А — потенциальное векторное поле, то фактическое нахо- нахождение его потенциала сводится к нахождению функции по ее пол- полному дифференциалу — задаче, которую мы рассматривали в § 4 гл. 5 (формула E.43)), а для двух переменных—в § 4 гл. 4 (фор- (формула D.50)). *) Мы считаем, что область, в которой определено векторное поле А* односвязна.
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 223 К понятию потенциального поля мы еще вернемся в п. 5 § 4. Пример. Пусть в начало координат О помещена масса т. Если теперь в некоторую течку М(х, у, z) поместить единичную массу, то на нее будет действовать сила притяжения, равная Эти силы, определяемые в каждой точке пространства, образуют векторное поле — поле тяготения точечной массы т. Его можно представить как градиент скалярной величины ут г называемой ньютоновским потенциалом точечной массы т. В самом деле, воспользовавшись формулой F.8), получаем ут т § 3. Поток векторного поля. Дивергенция 1. Поток векторного поля через поверхность. В предыдущей тлаве (§ 2) мы показали, что количество жидкости, протекающей за ■единицу времени через данную (ориентированную) поверхность 2, равно интегралу ffAnda, 2 тде Аа — нормальная составляющая вектора скорости А = (Р, Q, R). Эту величину мы назвали потоком жидкости через поверхность 2. Пусть теперь А — произвольное векторное поле и 2—ориентиро- 2—ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл Я мы назовем потоком векторного поля А через поверхность 2. Таким образом, если А — скорость движения жидкости, то поток вектора А через некоторую поверхность равен количеству жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для век- векторного поля иной природы поток имеет, конечно, другой физиче- физический смысл. Пример. Пусть U = U(x, у, z) — поле температур внутри не- некоторого тела, k — коэффициент теплопроводности и A = gradt/. Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, протекающее за
224 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 единицу времени через элемент da некоторой поверхности 2, вы- выражается формулой dQ = — k~da, F.10) dU где —j производная поля температур в направлении нормали к da. (Знак минус в правой части равенства F.10) отвечает тому известному факту, что тепло течет от более нагретых частей тела к менее нагретым, т. е. в направлении убывания U.) Так как то равенство F.10) можно переписать в виде dQ = — k (grad U)n da, из которого следует, что [количество тепла Q, протекающего за еди- единицу времени через всю поверхность 2, равно Q = — J J k (grad U)n da. F.11) s Ввгдя вектор q = — k grad U, называемый вектором потока тепла, получаем Q=ffqada. s Таким образом, количество тепла, протекающее через 2 за еди- единицу времени, равно потоку вектора q через поверхность 2 (отсюда и название «вектор потока тепла»). 2. Дивергенция. Пусть А—некоторое векторное поле, которое мы снова будем представлять себе как поле скоростей несжимаемой жидкости. Поскольку жидкость несжимаема, поток П-Л Anda вектора А через какую-либо замкнутую поверхность 2 *) равен, очевидно, количеству жидкости, которое за единицу времени возни- возникает или уничтожается в пределах той пространственной области Q, границей которой служит 2. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если II > 0) или стоков (если П. < 0), *) Мы условимся рассматривать внешнюю сторону этой поверхности.
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 225 расположенных в области 2. Рассмотрим отношение Anda V(Q) потока жидкости через поверхность 2 к объему области й, ограни- ограниченной этой поверхностью. Оно представляет собой среднюю плот- плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возни- возникающей (исчезающей) за единицу времени в единице объема области Q. Рассмотрим, наконец, предел Я Anda этого отношения, где знак lim означает предел при условии, что область Q стягивается к некоторой фиксированной точке М. Этот предел можно назвать плотностью источников (стоков) в точке М. Он представляет собой скалярную величину и служит важной харак- характеристикой исходного поля. Рассмотрев этот пример, перейдем к общим определениям. Пусть А — некоторое векторное поле. Поставим в соответствие каждой пространственной области Q, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью 2, величину .do — поток вектора А через внешнюю сторону поверхности 2. Мы получим некоторую функцию области Ф(й). Легко проверить, что эта функция аддитивна. Определение. Производная функции <P(Q) no объему, т. е. предел Цла*о F.12) называется дивергенцией векторного поля А и обозна- обозначается div А. Таким образом, введенная нами для поля скоростей несжимаемой жидкости плотность источников представляет собой дивергенцию этого поля скоростей. 15 Б. М. Будак, С. В. Фомин
226 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Теорема 6.1. Если А = (Р, Q, R) — векторное поле, опреде- определенное в области Q и такое, что функции Р, Q, R непре- непрерывны в Q вместе со всеми своими первыми производными, то divA существует во всех точках этой области и в любой де- декартовой системе координат выражается формулой н;„ 4 дР _i_ °Q _l dR ,a 1 чч div A = -т —^ —з—• F.1 о) дх ' ду ' dz v ' Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского В силу теоремы о производной тройного интеграла по объему (п. 5 § 1 гл. 2), производная по объему от правой части этого ра- равенства существует и равна -; Ьгг^Ч~~^~- Следовательно, тому же самому выражению равна и производная по объему от левой его части. Но эта последняя и есть по определению div A. Замечание. Часто равенство ... дР . dQ . OR dvA + #+ принимают за определение дивергенции. Однако это определение менее удобно, чем принятое нами, так как оно опирается на выбор той или иной системы координат, и мы должны еще доказывать, 0P.dQ.dR , что сумма -г г~т^ t~7j— от выбора системы координат не зависит. А независимость от выбора системы координат выражения F.12) очевидна. Итак, каждому векторному полю А, компоненты которого непре- непрерывны и имеют непрерывные частные производные, мы поставили в соответствие скалярную функцию div А. Пользуясь этим понятием, Гмы можем теперь формулу Остроградского записать так: J J Anda = J [ fdivAdv, F.14) т. е. поток вектора А через внешнюю сторону замкнутой по- поверхности S равен интегралу от дивергенции поля А, взя- взятому по области, ограниченной поверхностью S. 3. Физический смысл дивергенции для различных полей. Примеры. а) Мы уже выяснили, что для поля скоростей А несжимаемой жидкости, движущейся в некоторой пространственной области,
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 227 выражение JffdivXdv представляет собой суммарную мощность источников, расположенных в области Q, a div А — это плотность источников (т. е. их мощ- мощность, приходящуюся на единицу объема). В частности, если А — поле скоростей несжимаемой жидкости, у которой нет ни стоков, ни источников, то divA = 0. б) Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое некоторым распределением масс. Выясним, что представляет собой дивергенция такого поля. Рассмотрим сначала поле, создаваемое массой щ, со- сосредоточенной в точке (х0, у0, z0). В этом случае единичная масса, помещенная в точку (х, у, z), притягивается с силой ^' Ymo£^£l) F-15) (г = V(x - xof + (у - yof + (z~ zof). Здесь у—постоянная тяготения, зависящая от выбора единиц. Ниже мы уписать не будем, считая, что система единиц выбрана так, что Y= !• Вычислим дивергенцию силового поля F.15). В ка- каждой точке, отличной от точки (х0, у0, z0), имеем д (т х — "aJV о гз аналогично Складывая, получаем Г5 Однако в точке (х0, у0, z0) приведенные выкладки теряют смысл, и в этой точке значение div F вообще не определено. Поэтому и значение интеграла п /* /* div F dv не может быть получено непосредственным вычислением, если об- область Q содержит точку (х0, у0, z0). Таким образом, выражение, 15*
228 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 стоящее в формуле Остроградского F.14) справа, в нашем случае не определено. Однако мы легко можем найти величину, стоящую в этой формуле слева, т. е. поток вектора F через поверхность 2, ограничивающую объем Q. Сделаем это. Пусть сначала 2— сфера некоторого радиуса а с центром в точке (х0, у0, z0). В каждой точке такой сферы направление вектора F.15) совпадает с напра- направлением нормали к этой сфере. Поэтому проекция вектора F.15) на нормаль в данном случае равна длине этого вектора, т. е. постоян- постоянной величине —§-. Следовательно, Заменив сферу 2 любой другой замкнутой поверхностью 2:, охва- охватывающей точку (х0, у0, z0), мы получим тот же самый результат. Действительно, выберем сферу 2 настолько малой, чтобы она цели- целиком содержалась внутри 2:. Тогда так как левая часть этого равенства представляет собой поток век- вектора F через границу пространственной области, в которой divF==0. Следовательно, Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое несколькими то- точечными массами. Это поле равно сумме полей, создаваемых каждой массой в отдельности. Поток суммы полей через некоторую поверх- поверхность 2 равен, очевидно, сумме потоков слагаемых; отсюда выте- вытекает, что поток через некоторую замкнутую поверхность поля тяго- тяготения, создаваемого системой материальных точек, равен сумме на- находящихся внутри этой поверхности масс, умноженной на 4л. С помощью предельного перехода от системы материальных точек к массе, непрерывно распределенной по пространству с объемной плотностью р(х, у, z), можно показать*), что при непрерывном распределении масс поток гравитационного поля через замкнутую поверхность 2 равен заключенной внутри этой поверхности массе, умноженной на 4л. Но эта же масса может быть представлена как *) Строгое обоснование этого предельного перехода относится к так называемой теории потенциала; оно ойирается на теорию интегралов, зави- зависящих от параметра, основы которой излагаются в гл. 10.
ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 229 интеграл от плотности р(х, у, z), взятый по объему Q, ограничен- ограниченному поверхностью 2. Таким образом, обозначая по-прежнему сим- символом F (х, у, z) значение гравитационного поля в точке (х, у, z), имеем откуда 4лр(х, у, z)= lim Q(x, y, z) = 4n J J jp(x, у, z)dv, Q ПFndo J v Уы> стоящий здесь справа предел представляет собой дивергенцию век- векторного поля F. Итак, окончательно получаем: дивергенция грави- гравитационного поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна объемной плотности, р(х, у, z) этого распределе- распределения, умноженной на 4л. в) Те же самые рассуждения, которые мы провели для поля тяготения, можно повторить и для электростатического поля и по- показать, что дивергенция такого поля равна плотности зарядов, умно- умноженной на 4л. (Это утверждение, известное в электростатике под названием теоремы Гаусса, широко используется в различ- различных задачах, связанных с электростатическими полями, например при вычислении напряженности поля в конденсаторах различной формы.) 4. Соленоидальное поле. Векторное поле, дивергенция которого тождественно равна нулю, называется соленоидальним *) или труб- трубчатым. Примером соленоидального поля может служить, как мы видели выше, поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии стоков и источников, | т. е. при условии, что ни в одной точке жидкость не исчезает и не возникает. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интен- интенсивности векторной труб- ки, состоящий в следующем. Пусть А — соленоидальное по- поле. Рассмотрим некоторую векторную трубку и возьмем ее отре- отрезок, заключенный между двумя ее сечениями 2t и 22 (рис. 6.7) Эти сечения вместе с боковой поверхностью 23 трубки образуют замкну- замкнутую поверхность 2. Так как поле соленоидально, т. е. div A= 0, то, *) От греческого слова (солен) — трубка.
230 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 в силу формулы Остроградского, J fAnda=0. s Но J fAnda = f f Ande+f f Aada+f f Anda, F.16) S 2, S2 2, причем в каждом из слагаемых имеется в виду внешняя сторона по- поверхности. Третье из стоящих справа слагаемых равно нулю, так как по определению векторной трубки на поверхности 23 направление векторного поля А перпендикулярно направлению нормали к этой поверхности, т. е. на 2^ Если мы теперь на сечении 2: направление нормали изменим на противоположное, то равенство F.16) перепишется в виде f fAnde=f fAndo, F.17) т. е.,поток вектора А через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение. Если поле вектора А представлять себе как поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии источников и стоков, то равенство F.17) означает: количество жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же для всех сечений этой трубки. б. Уравнение неразрывности. В качестве применения изложен- изложенных выше понятий дадим вывод одного из основных уравнений дви- движения жидкости, так называемого уравнения неразрывности. Пусть А — поле скоростей движущейся жидкости. Мы будем предполагать, что в рассматриваемой области жидкость не исчезает и не возникает. Однако в отличие от наших предыдущих рассмотрений мы будем предполагать эту жидкость сжимаемой, т. е. считать плотность р некоторой функцией координат х, у, z и времени t. Выясним, как связана скорость движения такой жидкости с изменением ее плот- плотности. Для этой цели рассмотрим некоторый замкнутый объем Q и подсчитаем двумя способами изменение AQ количества жидкости внутри этого объема за время At. Пусть р(лг, у, z, t) — плотность жидкости в момент t в точке х, у, z. Тогда, очевидно, С другой стороны, изменение количества жидкости внутри объема Q равно умноженному на At потоку жидкости через поверхность S,
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 231 ограничивающую этот объем, т. е. равно —Л£ Г Г (p\)nda, где S п — наружная нормаль (знак минус берется потому, что если ско- скорость направлена наружу, то количество жидкости в объеме умень- уменьшается). Преобразовав этот поверхностный интеграл с помощью фор- формулы Остроградского в объемный, получим AQ = — Л* J J J div (pA) dv. Приравняв друг Другу два выражения для AQ н сократив на At, будем иметь q a так как это равенство должно иметь место для любой области Q, то равны между собой и подынтегральные выражения, т. е. •& = —div(pA). F.18) Мы получили уравнение, связывающее между собой скорость и плот- плотность движущейся жидкости при отсутствии источников и стоков. Оно называется уравнением неразрывности. Если ввести вектор J = pA — плотность потока жидкости, то уравнение неразрывности можно переписать так: |E + divJ = 0. F.18') 6. Плоское течение жидкости. Формула Остроградского на плоскости. Рассмотрим плоское векторное поле, т. е. поле, компо- компоненты которого в некоторой декартовой системе координат имеют вид Р = Р(х, у), Q = Q(x, у), R = 0 F.19) (см. п. 3 § 2). Его можно представлять себе как поле скоростей жидкости, каждая частица которой движется параллельно фиксиро- фиксированной плоскости со скоростью? не зависящей от ее расстояния до этой плоскости (такое движение жидкости называется плоским тече- течением). Дивергенция такого поля равна дР , dQ дх ~| ду ' Пусть Q — цилиндр высоты единица, с основанием О, лежащим в пло- плоскости ху, и боковой поверхностью S (рис. 6.8). Напишем для области У формулу Остроградского, предварительно заметив, что трой- тройной интеграл от -т Ь"^" по ^ численно равен двойному интегралу
232 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 от этого выражения по плоской области G, поток вектора F.19) через поверхность 2 равен криволинейному интегралу J[Pcos(n, x) + Qcos(n, Где n — нормаль к контуру £, а поток через верхнее и нижнее осно- основания цилиндра О равен нулю (последнее вытекает из того, что век- вектор F.19) перпендикулярен оси z). В силу сказанного, формула Остроградского для плоскопараллельного поля А и цилиндрической области Q, имеет вид l Vcos(n, y)]dl = F.20) Отбросим теперь окончательно третью координату z, будем рассма- рассматривать F.19) как векторное по- поле, заданное в плоскости ху. Назовем криволинейный интеграл f [Pcos(n, x) + Qcos(n, y))dl F.21) потоком этого векторного поля через контур L. Тогда форму- формула F.20), называемая формулой Остроградского для плоскос- плоскости, означает, что двойной инте- интеграл от дивергенции плоского поля А по некоторой области G равен потоку вектора А через границу этой области. Легко убедиться в том, что формула F.20) — просто эквивалент формулы Грина D.45). Действительно, если мы, как обычно, обозна- обозначим через а угол между касательной к кривой и положительным на- направлением оси х, то cos(n, х) = — sin a, cos(n, у) = cos а, поэтому интеграл F.21) можно записать так: Рис. 6.8. или Г (Q cos а — Р sin а) dl, L J Qdx — Pdy. Преобразовав этот криволинейный интеграл в двойной с помощью формулы Грина, мы и получим равенство F.20). Это рассуждение
§ 4] ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР 233 можно обратить, т. е. если равенство F.20) установлено, то из него можно вывести формулу Грина. Таким образом, как формула Стокса, так и формула Остроград- Остроградского в плоском случае превращаются в формулу Грина. § 4. Циркуляция. Ротор 1. Циркуляция векторного поля. Пусть снова А = (Р, Q, R)— некоторое векторное поле и L—гладкая или кусочно-гладкая кривая. Криволинейный интеграл Pdx + Qdy + Rdz, L или, короче, /л, аи L где Ах — тангенциальная составляющая поля А на контуре L, мы назовем циркуляцией векторного поля А вдоль кривой L. Если А = (Р, Q, R)— силовое поле, то его циркуляция вдоль кривой L представляет собой, как мы уже знаем (см. § 2 гл. 4), работу этого силового поля вдоль пути L. Для полей иной природьТ циркуляция имеет, конечно, другой физический символ. 2. Ротор векторного поля. Запись формулы Стокса в вектор- векторных обозначениях. Если L — замкнутый контур, то криволинейный интеграл J Pdx + Qdy-\-Rdz i по этому контуру можно преобразовать в поверхностный, восполь- воспользовавшись формулой Стокса E.41): F.22) взятый по некоторой поверхности 2, натянутой на контур L. Правая часть равенства F.22) представляет собой поток через поверхность S вектора Назовем этот вектор ротором (или вихрем) векторного поля А и обозначим rot А. Таким образом, по определению dR dQ\ . . (дР dR\, , (dQ дР\ .
234 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Пользуясь понятием ротора, мы можем переписать формулу Стокса в следующем компактном виде: Ах dl = J J (rot А)„ da, F.25) i s т. е. циркуляция векторного поля А вдоль некоторого зам- замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур. В нашем определении ротора участвует не только само векторное поле А, но и некоторая определенная система координат (х, у, z). Однако на самом деле вектор rot А не зависит от выбора координат- координатной системы, а определяется лишь исходным векторным полем А. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой Стокса F.25), счи- считая, что поверхность 2—это некоторая плоская площадка, a L—огра- L—ограничивающий ее контур. Применив к стоящему в равенстве F.25) справа поверхностному интегралу теорему о среднем, получим *) rdl где М* — некоторая точка, принадлежащая площадке 2, а а — пло- площадь этой площадки. Будем теперь стягивать площадку 2 к некото- некоторой фиксированной точке М так, чтобы направление нормали п к этой площадке оставалось все время одним и тем же. В пределе полу- получим Axdl (rotA(M))n= lim . F.26) Циркуляция вектора А вдоль контура не зависит от выбора коорди- координатной системы, поэтому из равенства F.26) вытекает, что проекция rot А на направление нормали п не зависит от выбора системы коор- координат. Но направление нормали п мы могли выбрать произвольно, поэтому проекция вектора rot А на любое направление, а следова- следовательно, и сам вектор rot А не зависят от выбора системы коор- координат **). *) Как обычно, мы считаем, что компоненты Р, Q, R векторного поля А имеют непрерывные частные производные первого порядка по х, у и г. **) Предполагается, что мы рассматриваем только правые системы коор- координат. При переходе к левой системе координат (где положительным напра- направлением вращения считается направление по часовой стрелке) вектор rot A изменит направление на противоположное.
4] ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР 235 i д дх Р j д ду Q к д дг R 3. Символическая запись ротора. Ротор векторного поля А = (Р, Q, R) удобно записывать в виде символического детерми- детерминанта F.27) где i, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат, д д д а под умножением символа -г—, -*— или -?— на некоторую функцию понимается выполнение соответствующей операции дифференцирова- ния например, -т—Q означает -т2-). \ ОХ их / Действительно, разложив детерминант F.27) по элементам первой стр