cover
series title
title
Оглавлени
От редакторов сери
1 - Двойные интеграл
2 - Тройные и многократные интеграл
3 - Элементы дифференциальной геометри
4 - Криволинейные интеграл
5 - Поверхностные интеграл
6 - Теория пол
7 - Тензор
8 - Функциональные последовательности и ряд
9 - Несобственные интеграл
10 - Интегралы, зависящие от параметр
11 - Ряды Фурье и интеграл Фурь
Добавление 1 - Об асимптотических разложения
Добавление 2 - Некоторые сведения об универсальных вычислительных машина
Литератур
Предметный указател
Текст
                    

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА. В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967
Б. М. БУДАК, С. В. ФОМИН КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для физических и физико-математических факультетов университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967
ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии............................................. 14 Предисловие..................................................... 14 Глава 1. Двойные интегралы...................................... 15 § 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 16 1. Граничные и внутренние точки. Область (16). 2. Расстояние между множествами (18). 3. Площадь плоской фигуры (19). 4. Основные свойства площади (22). 5. О понятии меры мно- жества (23). § 2. Определение и основные свойства двойного интеграла....... 24 1. Определение двойного интеграла (24). 2. Условия существо- вания двойного интеграла. Верхние и нижние суммы (26). 3. Важнейшие классы интегрируемых функций (32). 4. Свой- ства двойного интеграла (33). § 3. Аддитивные функции области. Производная по площади .... 35 1. Функции точки и функции области (35). 2. Двойной инте- грал как аддитивная функция области (36). 3. Производная функции области по площади (36). 4. Производная по пло- щади от двойного интеграла (37). 5. Восстановление аддитив- ной функции области по ее производной (38). 6. Определен- ный интеграл как функция области (40). 7. Продолжение функций области по аддитивности (41). § 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных интегралов................................................... 41 1. Вычисление объемов (41). 2. Вычисление площадей (42). 3. Масса пластинки (42). 4. Координаты центра масс пла- стинки (43). 5. Моменты инерции пластинки (44). 6. Свето- вой поток, падающий на пластинку (45). 7. Поток жидкости через поперечное сечение канала (45). § 5. Сведение двойного интеграла к повторному................ 46 1. Наводящие соображения (46). 2. Случай прямоугольной обла- сти (48). 3. Случай криволинейной области (50). § 6. Замена переменных в двойном интеграле................... 54 1. Отображение областей (54). 2. Криволинейные коорди- наты (56). 3. Полярные координаты (57). 4. Постановка за- дачи о замене переменных в двойном интеграле (58). 5. Пло-
6 ОГЛАВЛЕНИЕ щадь в криволинейных координатах (59). 6. Замена перемен- ных в двойном интеграле (66). 7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной области (69). Г л а в а 2. Тройные и многократные интегралы................ 71 § 1. Определение и основные свойства тройного интеграла.... 71 1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи- гуры (71). 2. Определение тройного интеграла (73). 3. Усло- вия существования тройного интеграла. Интегрируемость непре- рывных функций (74). 4. Свойства тройных интегралов (75). 5. Тройной интеграл как аддитивная функция области (76). § 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геомет- рии .................... '.................................... 77 1. Вычисление объемов (77). 2. Нахождение массы тела по плотности (77). 3. Момент инерции (78). 4. Вычисление коор- динат центра масс (78). 5. Притяжение материальной точки телом (79). § 3. Вычисление тройного интеграла............................. 80 1. Сведение тройного интеграла по параллелепипеду к повтор- ному (80). 2. Сведение тройного интеграла по криволинейной области к повторному (82). § 4. Замена переменных в тройном интеграле..................... 85 1. Отображение пространственных областей (85). 2. Криволи- нейные координаты в пространстве (86). 3. Цилиндрические и сферические координаты (86). 4. Элемент объема в криволи- нейных координатах (88). 5. Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана (89). § 5. Понятие о многомерных интегралах...................... 93 1. Общие сведения (93). 2. Примеры (94). Глава 3. Элементы дифференциальной геометрии.................. 97 § 1. Вектор-функции скалярного аргумента................... 97 1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность (97). 2. Дифференцирование вектор-функции (98). 3. Годограф. Осо- бые точки (100). 4. Формула Тейлора (101). 5. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу (101). 6. Вектор- ные функции нескольких скалярных аргументов (102). § 2. Пространственные кривые..................................102 1. Векторное уравнение кривой (102). 2. Основной трехгран- ник (105). 3. Формулы Френе (106). 4. Вычисление кривизны и кручения (107). 5. Система координат, связанная с основным трехгранником (109). 6. Вид кривой вблизи произвольной ее точки (ПО). 7. Ориентированная кривизна плоской кривой (113). 8. Понятие о натуральных уравнениях кривой (113). 9. Неко- торые приложения к механике (115). § 3. Параметрическое уравнение поверхности................... 117 1. Понятие поверхности (117). 2. Параметризация поверхно- сти (118). 3. Параметрическое уравнение поверхности (119).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 4. Кривые на поверхности (120). 5. Касательная плоскость (121). 6. Нормаль к поверхности (122). 7. Системы координат в каса- тельных плоскостях (123). § 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей. Первая квадратичная форма поверхности ........................ 124 1. Аффинная система координат на плоскости (125). 2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма (126). 3. Угол между двумя кривыми (128). 4. Определение площади поверх-, ности. Пример Шварца (129). 5. Вычисление площади гладкой поверхности (131). § 5. Кривизна линий на поверхности. Вторая квадратичная форма 135 1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна (136). 2. Вторая квадратичная форма поверхности (138). 3. Индикат- риса кривизны (139). 4. Главные направления и главные кри- визны поверхности. Формула Эйлера (140). 5. Вычисление главных кривизн (142). 6. Полная кривизна и средняя кри- визна (143). 7. Классификация точек на поверхности (143). 8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система инвариантов поверхности (145). § 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности...............146 1. Наложимость поверхностей. Необходимое и достаточное усло- вие наложимости (146). 2. Внутренняя геометрия поверхно- сти (147). 3. Поверхности постоянной кривизны (148). Глава 4. Криволинейные интегралы.................................150 § 1. Криволинейные интегралы первого рода.....................150 1. Определение криволинейного интеграла первого рода (150'. 2. Свойства криволинейных интегралов (154). 3. Некоторые применения криволинейных интегралов первого рода (155). 4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве (157). § 2. Криволинейные интегралы второго рода.....................158 1. Постановка задачи. Работа силового поля (158). 2. Опреде- ление криволинейного интеграла второго рода (159). 3. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода (160). 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода (162). 5. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от ориентации кривой (165). 6. Криволинейные интегралы вдоль самопересекающихся и замкнутых путей (165). 7. Криво- линейные интегралы второго рода вдоль пространственных кри- вых (166). § 3. Формула Грина............................................168 1. Вывод формулы Грина (168). 2. Вычисление площади с по- мощью формулы Грина (173). § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Интегрирование полных дифференциалов...........................174 1. Постановка вопроса (174). 2. Случай односвязной обла- сти (174). 3. Нахождение функции по ее полному дифферен- циалу (178). 4. Криволинейные интегралы в многосвязной области (179).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Поверхностные интегралы............................183 § 1. Поверхностные интегралы первого рода................183 1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ- ции (183). 2. Сведение поверхностного интеграла к двой- ному (184). 3. Некоторые применения поверхностных интегра- лов к механике (188). 4. Поверхностные интегралы от вектор- ных функций. Общее понятие поверхностного интеграла пер- вого рода (189). § 2. Поверхностные интегралы второго рода......................191 1. Сторона поверхности (191). 2. Определение поверхностного интеграла второгорода (195). 3. Сведение поверхностного инте- грала второго рода к двойному интегралу (199). § 3. Формула Остроградского....................................201 1. Вывод формулы Остроградского (201). 2. Вычисление поверх- ностных интегралов с помощью формулы Остроградского. Пред- ставление объема пространственной области в виде поверхно- стного интеграла (205). § 4. Формула Стокса............................................207 1. Вывод формулы Стокса (207). 2. Применение формулы Стокса к исследованию пространственных криволинейных инте- гралов (210). Глава 6. Теория поля...........................................213 § 1. Скалярные поля........................................ 213 1. Определение и примеры скалярных полей (213). 2. Поверх- ности и линии уровня (214). 3. Различные типы симметрии полей (215). 4. Производная по направлению (216). 5. Градиент скалярного поля (217). § 2. Векторные поля...........................................219 1. Определение и примеры векторных полей (219). 2. Векторные линии и векторные трубки (220). 3. Различные виды симметрии векторных полей (220). 4. Поле градиента. Потенциальное поле (221). § 3. Поток векторного поля. Дивергенция.......................223 1. Поток векторного поля через поверхность (223). 2. Дивер- генция (224). 3. Физический смысл дивергенции для различных полей. Примеры (226). 4. Соленоидальное поле (229). 5. Урав- нение неразрывности (230). 6. Плоское течение жидкости. Фор- мула Остроградского на плоскости (231). § 4. Циркуляция. Ротор........................................233 1. Циркуляция векторного поля (233). 2. Ротор векторного поля. Запись формулы Стокса в векторных обозначениях (233). 3. Символическая запись ротора (235). 4. Физический смысл ротора (235). 5. Еще раз о потенциальных и соленоидальных полях (238). § 5. Оператор Гамильтона......................................239 1. Символический вектор V (239). 2. Действия с векто- ром V (240).
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 § 6. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лап- ласа ........................................................243 1. Дифференциальные операции второго порядка (243). 2. Урав- нение теплопроводности (245). 3. Стационарное распределение температур. Гармонические поля (246). § 7. Запись основных дифференциальных операций теории поля в ортогональных криволинейных координатах....................248 1. Постановка задачи (248). 2. Криволинейные ортогональные координаты в пространстве (249). 3. Цилиндрические и сфери- ческие координаты (251). 4. Градиент (252). 5. Диверген- ция (252). 6. Ротор (253). 7. Оператор Лапласа (254). 8. Запись основных формул в цилиндрических и сферических координа- тах (255). § 8. Переменные поля в сплошных средах.......................256 1. Локальная и материальная производные (256). 2. Уравнение Эйлера (258). 3. Производная по времени от интеграла по жид- кому объему (259). 4. Другой вывод уравнения неразрывно- сти (262). Глава 7. Тензоры............................................- . 263 § 1. Понятие аффинного ортогонального тензора................264 1. Преобразования ортогональных нормированных базисов (264). 2. Определение аффинного ортогонального тензора (266). § 2. Связь между тензорами второго ранга и линейными операто- рами ........................................................268 1. Линейный оператор как тензор второго ранга (268). 2. Тен- зор второго ранга как линейный оператор (269). § 3. Связь между тензорами и инвариантными полилинейными фор- мами ........................................................271 1. Тензоры первого ранга и инвариантные линейные формы (271). 2. Тензоры второго ранга и инвариантные билинейные формы (272). 3. Тензоры произвольного ранга р и инвариант- ные полилинейные формы (274). § 4. Тензор деформаций.......................................275 § 5. Тензор напряжений.......................................Z76 1. Определение тензора напряжений (276). 2. Тензор напряже- ний как линейный оператор (278). § 6. Алгебраические операции над тензорами...................279 1. Сложение, вычитание и умножение тензоров (279). 2. Умно- жение тензора на вектор (280). 3. Свертка (281). 4. Переста- новка индексов (281). 5. Разложение тензора второго ранга на симметричный и антисимметричный (281). § 7. Тензор относительных смещений...........................282 § 8. Поле тензора............................................284 1. Поле тензора. Дивергенция тензора (284). 2. Формула Остро- градского для поля тензора (286). 3. Уравнения движения сплошной среды (287).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ § 9. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям........................................................288 § 10. Общее определение тензора..................................289 1. Взаимные базисы векторов (289). 2. Ковариантные и контра- вариантные координаты векторов (290). 3. Операция суммиро- вания в тензорной символике (290). 4. Преобразование базис- ных векторов (291). 5. Преобразование ковариантных и коп- травариантных координат вектора (291). 6. Общее определение тензора (292). 7. Операции над тензорами (294). 8. Дальней- шие обобщения (294). Дополнение к гл. 7. Об умножении матриц.....................294 Глава 8. Функциональные последовательности и ряды..............297 § 1. Понятие равномерной сходимости; признаки равномерной схо- димости.....................................................297 1. Сходимость и равномерная сходимость (297). 2. Признаки равномерной сходимости (303). § 2. Свойства равномерно сходящихся функциональных последова- тельностей и рядов............................................308 1. Непрерывность и равномерная сходимость (308). 2. Пре- дельный переход под знаком интеграла и почленное интегри- рование ряда (311). 3. Предельный переход под знаком про- изводной и почленное дифференцирование ряда (314). 4. По- членный предельный переход в функциональных последова- тельностях и рядах (316). § 3. Степенные ряды..........................................318 1. Интервал сходимости степенного ряда; радиус сходимости (318). 2. О равномерной сходимости степенного ряда и непре- рывности его суммы (324). 3. Дифференцирование и интегри- рование степенных рядов (327). 4. Арифметические операции над степенными рядами (329). § 4. Разложение функций в степенные ряды.....................330 1. Основные теоремы о разложениях функций в степенные ряды; разложения элементарных функций (330). 2. Некоторые применения степенных рядов (336). § 5. Степенные ряды в комплексной области.................... 338 § 6. Сходимость в среднем.....................................342 1. Квадратичное уклонение и сходимость в среднем (342). 2. Неравенство Коши — Буняковского (343). 3. Интегрирова- ние сходящихся в среднем последовательностей и рядов (344). 4. О связи между сходимостью в среднем и возможностью по- членного дифференцирования последовательностей и рядов (347). 5. Связь между сходимостью в среднем и другими ви- дами сходимости (348). Дополнение 1 к гл. 8. Критерий компактности семейства функций . . 350 Дополнение 2 к гл. 8. Слабая сходимость и дельта-функция........353
ОГЛАВЛЕНИЕ 11 Глава 9. Несобственные интегралы •............................... § I. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования........ 1. Определения; примеры (358). 2. Сведение несобственного + со интеграла J* f(x)dx к числовой последовательности и число- а вому ряду (362). 3. Критерий Коши для несобственных инте- гралов (364). 4. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной сходимости (366). 5. Условная сходимость (372). 6. Распро- странение методов вычисления интегралов на случай несоб- ственных интегралов (374). § 2. Интегралы от неограниченных функций с конечными и беско- нечными пределами интегрирования ............................. § 3. Главное значение расходящегося интеграла................. § 4. Несобственные кратные интегралы.......................... 1. Интеграл от неограниченной функции по ограниченной об- ласти (387). 2. Интегралы от неотрицательных функций (389). 3. Абсолютная сходимость (393). 4. Признаки абсолютной схо- димости (394). 5. Эквивалентность сходимости и абсолютной сходимости (397). 6. Несобственные интегралы с неограничен- ной областью интегрирования (399). 7. Методы вычисления не- собственных кратных интегралов (400). Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра...................... § 1. Собственные и простейшие несобственные интегралы, зависящие от параметра ................................................. 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (402). 2. Простейшие несобственные интегралы, зависящие от пара- метра (407). § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.......... 1. Понятие равномерной сходимости (411). 2. Сведение несоб- ственного интеграла, зависящего от параметра, к последователь- ности функций (413). 3. Свойства равномерно сходящихся интегралов, зависящих от параметра (416). 4. Признаки равно- мерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра (423). 5. Примеры вычисления несобственных инте- гралов с помощью дифференцирования и интегрирования по параметру (428). § 3. Эйлеровы интегралы....................................... 1. Свойства гамма-функции (435). 2. Свойства бета-функции (438). § 4. Кратные собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметров ................................................ Глава 11. Ряды Фурье и интеграл Фурье............................ § 1. Предварительные сведения о периодических функциях и поста- новке основной задачи ......................................... 1. Периоды периодической функции (449). 2. Периодическое продолжение непериодической функции (450). 3. Интеграл от 358 358 375 383 387 402 402 410 434 442 449 449
12 ОГЛАВЛЕНИЕ периодической функции (451). 4. Арифметические действия над периодическими функциями (451). 5. Суперпозиция гармоник с кратными частотами (452) 6. Постановка основной задачи (453). 7. Ортогональность тригонометрической системы; коэф- фициенты Фурье и ряд Фурье (453). 8. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций (456). 9. Разложение функции на отрезке [—л, л] (458). § 2. Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье...........................................................459 1. Класс кусочно-гладких функций (459). 2. Формулировка основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье (461). 3. Основная лемма (461). 4. Доказательство основной теоремы сходимости (463). 5. Примеры (467). 6. Раз- ложение функций, заданных на отрезке [0, /], только по синусам или только по косинусам (472). § 3. Ряды Фурье по ортогональным системам. Неравенство Бесселя 474 1. Ортогональные системы функций (474). 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье функции f (х) по ортогональной системе (476). 3. Задача о наименьшем квадратичном уклонении. То- ждество Бесселя. Неравенство Бесселя (477). § 4. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходи- мости ее тригонометрического ряда Фурье. Понятие улучшения сходимости .....................................................481 1. Условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (481). 2. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье (484). 3. Понятие улучшения сходимости тригонометрического ряда Фурье (489). § 5. Равномерная аппроксимация непрерывной функции тригономе- трическими и алгебраическими многочленами; теоремы Вейер- штрасса . .............................................. 491 § 6. О полноте и замкнутости ортогональных систем..............495 1. Понятие полноты ортогональной системы (496). 2. Критерий полноты — равенство Парсеваля (496). 3. Свойства полных си- стем (497). 4. Полнота основной тригонометрической системы (499). 5. Полнота других классических ортогональных систем (502). § 7. Ряды Фурье по ортогональным системам комплексных функций и комплексная запись тригонометрического ряда Фурье .... 503 § 8. Тригонометрические ряды Фурье для функций нескольких неза- висимых переменных..............................................507 § 9. Интеграл Фурье.............................................510 1. Неограниченное растяжение интервала разложения функции в ряд Фурье и интегральная формула Фурье (510). 2. Обосно- вание интегральной формулы Фурье (511). 3. Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник (516). 4. Комплексная форма интеграла Фурье (517). 5. Преобразование Фурье (518). 6. Интеграл Фурье для функций нескольких независимых пере- менных (521).
ОГЛАВЛЕНИЕ 13 Дополнение 1 к гл. II. О полиномах Лежандра..................527 Дополнение 2 к гл. 11. Ортогональность с весом и ортогонализация . 529 Дополнение 3 к гл. 11. Функциональное пространство и геометриче- ские аналогии............................................535 Дополнение 4 к гл. 11. О некоторых применениях преобразования Фурье....................................................539 Дополнение 5 к гл. 11. Разложение б-функции в ряд Фурье и инте- грал Фурье.............................................. 544 Дополнение 6 к гл. 11. Равномерная аппроксимация функций много- членами ................................................. ... 546 Дополнение 7 к гл. 11. Об устойчивом суммировании рядов Фурье с возмущенными коэффициентами............................551 Добавление 1. Об асимптотических разложениях....................556 § 1. Примеры асимптотических разложений......................556 1. Асимптотические разложения в окрестности нуля (556). 2. Асимптотические разложения в окрестности бесконечности (557). § 2. Некоторые общие определения и теоремы...................560 1. Соотношения порядка. Асимптотическая эквивалентность (560). 2. Асимптотические разложения функций (562). § 3. Метод Лапласа для асимптотического разложения некоторых интегралов.................................................. 568 Добавление 2. Некоторые сведения об универсальных вычисли- тельных машинах.................................................573 § 1. Общие сведения о вычислительных машинах ................573 1. Введение (573). 2. Основные типы вычислительных машин (574). 3. Основные узлы УЦВМ и их назначение (575). Системы счи- сления, используемые в УЦВМ (578). 5. Представление чисел в вычислительной машине (579). § 2. Основные операции, выполняемые УЦВМ. Команды............580 1. Типы операций (580). 2. Основные арифметические опера- ции (581). 3. Дополнительные операции вычислительного назна- чения (582). 4. Поразрядные (логические) операции (582). 5. Операции обращения к внешним устройствам (583). 6. Опе- рации передачи управления (584). 7. Осуществление операций в машине (585). § 3. Элементы программирования.....................•.........586 1. Общие сведения (586). 2. Программирование по форму- лам (587). 3. Циклические процессы (589). 4. Блок-схемное про- граммирование. Подпрограммы (592). 5. Коды команд. Операции над командами (593). 6. Об автоматизации программирова- ния (595). § 4. Некоторые вопросы организации работы на УЦВМ............596 1. Условия, определяющие эффективность применения на УЦВМ (596). 2. Основные этапы решения задачи с применением УЦВМ (596). 3. Методы предупреждения и обнаружения ошибок счета (597). Литература..................................................... 599 Предметный указатель............................................600
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Кратные, криволинейные и несобственные интегралы, теория поля, степенные и тригонометрические ряды — это те разделы математики, с которыми каждому физику приходится встречаться достаточно часто. Им и посвящена эта книга. Такие важные для читателя-физика вопросы, как, например, теория поля, ряды и интегралы Фурье, из- ложены здесь несколько шире, чем это делается обычно в общих курсах анализа. Кроме того, в книге излагаются элементы дифферен- циальной геометрии, а также сведения о тензорах, об асимптотических разложениях и о вычислительных машинах, что обычно не входит в традиционные руководства по анализу. Эта книга представляет собой второй выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики». Вместе с первым выпуском она соответствует программе курса анализа для физических и физико- математических факультетов. ПРЕДИСЛОВИЕ Этот выпуск, как и остальные выпуски, входящие в серию, на- писан на основе опыта чтения лекций на физическом факультете МГУ. В нашем изложении мы старались показать связи между различными математическими понятиями, их применения и, если это возможно, их физический смысл, уделяя также должное внимание алгоритмиче- ской, вычислительной стороне дела. Главы 1—6 и добавление о вы- числительных машинах написаны С. В. Фоминым, главы 7—11 и до- бавление об асимптотических разложениях — Б. М. Будаком, однако общий план и детали изложения неоднократно обсуждались совместно. При работе над книгой нам оказали помощь своими советами наши товарищи по кафедре В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, А. Г. Свешников и др. Особенно большую и ценную помощь мы получили от А. Н. Ти- хонова. Ряд важных замечаний сделали Н. В. Ефимов и Л. Д. Куд- рявцев, прочитавшие книгу в рукописи. Всем этим лицам авторы вы- ражают глубокую благодарность. Авторы
ГЛАВА 1 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Понятие определенного интеграла * f f(x) dx а х, скажем двух, незави- связано с такими задачами, как вычисление пройденного пути по заданной скорости, нахождение площади криволинейной трапеции и т. д. Существует много задач, аналогичных названным, но относящих- ся к функциям не одной, а нескольк симых переменных. Типичная задача такого рода — нахождение объема криволинейно- го цилиндра (трехмерный аналог криволи- нейной трапеции). Под криволинейным цилиндром с ос- нованием F, лежащим в плоскости ху, понимается тело Т, ограниченное этим основанием, некоторой поверхностью 2!=гх/(х, у) И боковой ЦИЛИНДрИЧеСКОЙ поверхностью (рис. 1.1). Объем такого тела естественно искать следующим обра- зом. Разобьем основание F сетью кривых на ячейки тогда весь цилиндр Т разобьется на цилиндрические столбики Т основаниями которых служат ячейки Ft. Ясно, что объем цилиндра Т следует счи' составляющих его столбиков Т Чтобы вычислить объем столбика Твыберем в Ft некоторую точку (£z, T]f) и заменим цилиндрический столбик Тz с «кривым» верхним основанием «настоящим» цилиндром с постоянной высотой; равной /(!;, и тем же основанием Ft. Иначе говоря, объем столбика Т( примем (приближенно) равным Рис. 1.1. равным сумме объемов
16 двойные интегралы 1ГЛ. 1 где ASZ — площадь ячейки Ft. За приближенное значение объема всего цилиндра Т примем сумму п 2/(^, T|Z)A5Z, (1.1) взятую по всем ячейкам, на которые разбито основание F. Интуи- тивно ясно, что сумма (1.1) будет представлять объем цилиндра Т с точностью тем большей, чем меньше размеры ячеек Ft. Для полу- чения точного значения этого объема нужно в выражении (1.1) перейти к пределу, неограниченно уменьшая размеры ячеек Ft. Этот предельный переход и приведет нас к понятию интеграла от функции /(х, у) двух независимых переменных — так называемому двойному интегралу. Изучение двойных интегралов составит содер- жание настоящей главы. Очевидна аналогия между изложенными (пока лишь наводящими) рассуждениями и построением определенного интеграла на отрезке. Отличие их состоит лишь в том, что здесь рассматриваются функции не одной, а двух переменных, а вместо длин отрезков Axz берутся площади тех ячеек Ft, на которые разбивается фигура F, служащая основанием цилиндра. Помимо задачи о вычислении объема криволинейного цилиндра, существует много других задач, также связанных с понятием двойного интеграла. Некоторые из них будут рассмотрены в § 4 этой главы. Ряд физических и геометрических задач приводит к понятию интеграла от функций трех и большего числа переменных. Изучению таких интегралов будет посвящена следующая глава. Уже рассмотренная выше задача о вычислении объема криволи- нейного цилиндра показывает, что понятие двойного интеграла суще- ственно опирается на понятие площади криволинейной плоской фигуры, поскольку в выражение (1.1) входят площади ASZ криволинейных ячеек Ft, на которые мы разбили основание цилиндра. Поэтому, хотя с понятием площади читателю приходилось встречаться и раньше *), мы начнем эту главу с краткого изложения основных сведений о площадях. § 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 1. Граничные и внутренние точки. Область. Напомним не- которые необходимые для дальнейшего понятия. Пусть а — не- которая точка на плоскости. Открытый круг радиуса е с центром *) См. вып. 1, гл. 11, § 2.
§ I] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 17 в точке а*) называется ^.-окрестностью или просто окрестностью этой точки. Точка а, принадлежащая данному множеству А, называ- ется его внутренней точкой, если некоторая «достаточно малая» е-окрестность точки а целиком состоит из точек множества А. Мно- жество, все точки которого внутренние, называется открытым множе- ством, Говорят, что открытое множество G связно, если любые две его точки можно соединить не- прерывной кривой, целиком принадлежащей О. Связное открытое множество короче называется областью. Например, совокупность точек, координаты которых удовлетворяют условию х2 у2 < 1, есть область (рис. 1.2, а). Множество, состоящее из двух кругов х2—у2<1 и (х— 2)2-f-y2<l, не область: оно открыто, но не связно (рис. 1.2, (Г). Точка а называется граничной для множества А, если любая ее окрестность содержит точки, как принадлежащие, так и не принад- лежащие А. Сама граничная точка при этом может принадлежать А, а может ему и не принадлежать. В частности, открытое множество не содержит ни одной своей граничной точки. Совокупность всех гра- ничных точек множества называется его границей. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым. Каждое множество может быть превращено в замкнутое присоедине- нием к нему всех его граничных точек. В частности, присоединив к некоторой области О все ее граничные точки, мы получим множество, называемое замкнутой областью. Точка а называется предельной для множества А, если в А существует последовательность попарно различных точек av а2..... ап..... сходящаяся к а. Предельная точка множества А может принадлежать, а может и не принадлежать А. Замкнутые множества, и только они, содержат все свои предельные точки. (Докажите это!) Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутрь некоторого достаточно большого круга. Пусть А — ограни- ченное множество. Обозначим р(ар а2) расстояние между двумя его произвольными точками. Пусть теперь aj и а2 пробегают (независимо друг от друга) все множество А. Ясно, что множество чисел р(ар а2) ограничено сверху (р(ар а2) не может превысить диаметр круга, *) То есть совокупность всех точек плоскости, расстояние которых от а строго меньше е.
18 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I в котором помещается Л). Точная верхняя грань чисел р (аг, а2) называется диаметром d(A) множества А (рис. 1.3). Если множество А есть часть множества В (или совпадает с ним), то мы будем обозначать это, как обычно, символом АсВ. Принад- _________________ лежность точки а множеству А записывается /у так: я £ Л. / $ Объединение двух множеств А и В, т. е. совокупность точек, принадлежащих хотя бы -X С—одному из них, мы обозначим А-\-В, а об- щую часть множеств А и В, т. е. сово- Рис. 1.3. купность точек, принадлежащих и Л и В од- новременно, обозначим АВ. 2. Расстояние между множествами. Введем еще одно понятие, которое нам понадобится при доказательстве теоремы существования двойного интеграла. Пусть Л и В — два произвольных множества на плоскости. Назо- вем расстоянием между множествами А и В число р(Л, B) = infp(<z, Z>), (1.2) где точная нижняя грань берется по всем парам а£А, Ь£В. Ясно, что если Л и В имеют хотя бы одну общую точку, то р(Л, В) = 0. Обратное, вообще говоря, не верно; например, расстояние между гиперболой У=~ и осью х равно нулю, хотя эти две линии не имеют общих точек. Справедлива, однако, следующая теорема, кото- рая нам понадобится в § 2. Теорема 1.1 (отделимость замкнутых множеств). Если Р и Q — ограниченные замкнутые множества без общих точек, то р(Р, Q) > 0. Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть р(Р, Q) — 0. Тогда, по определению расстояния между множествами, для каждого и—1, 2, ... найдутся такие точки рп £ Р и qn £ Q, что Р(дп. Qn)<^- (1-3) Так как {/>„} — ограниченная бесконечная последовательность, то по теореме Больцано — Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 14, § -2) из нее можно выбрать подпоследовательность Рп; Рп2.....Рпк...... сходящуюся к некоторой точке рй. Но тогда соответствующие точки ^п2...................................• • • из последовательности {<7Л} образуют подпоследовательность, сходя- щуюся, в силу (1.3), к той же самой точке р0.
же подпоследо- точки, начиная они совпадают § и ПЛОЩАДЬ плоской ФИГУРЫ 19 Точка р0 обязательно принадлежит множеству Р. В самом деле, здесь возможны два случая. Либо подпоследовательность [рп } со- держит бесконечно много различных точек, тогда р0 будет предель- ной для Р и, в силу замкнутости Р, ра£Р', либо вательность [рп } стабилизируется, т. е. все ее с некоторого места, совпадают. Тогда, очевидно, с р0 и р0£Р. По тем же причинам р0 £ Q. Но тогда Р и Q имеют общую точку, что противо- речит условию теоремы. Упражнение. Убедиться, что теорема вер- на, когда из двух замкнутых множеств Р и Q ог- раничено хотя бы одно. 3. Площадь плоской фигуры. Из элементарной 4 геометрии известно понятие площади многоуголь- ной фигуры. (Под многоугольной фигурой мы по- нимаем множество, составленное из конечного числа ограниченных многоугольников (рис. 1.4.) Площадь многоугольной фигуры — это число, обязательно неотрицательное*), обладающе свойствами: 1 (монотонность). Если Р и Q—две многоугольные фигуры и Р целиком лежит внутри Q, то плР 2 (аддитивность). Если Рх и Р2—две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и P\-\-Pi означает объединение этих фигур, то пл (Pj Р2) = пл Pi + пл Р2 **). 3 (инвариантность.) Если многоугольные фигуры Рг и Р2 конгруэнтны между собой, то пл (Pi) — пл (Р2). Рис. 14. следующими Распространим теперь понятие площади, сохранив все три свойства, с многоугольных фигур на некоторый более широкий класс фигур. Эта задача решается следующим способом. *) Нулем оно будет, разумеется, лишь тогда, когда многоугольная фигура вырождается в конечное число точек или отрезков. **) Легко убедиться в том, что требования 1 и 2 не независимы: моно- тонность площади вытекает из ее. неотрицательности и условия аддитивности. Действительно, если многоугольная фигура Р лежит внутри многоугольной фигуры Q, то Q можно представить как объединение Р и многоугольной Вигуры, которую естественно назвать разностью между Q и Р и обозначить — Р. Тогда (по аддитивности) пл Q = пл Р-f- пл (Q — Р), но так как пл (Q — Р)^ 0, то пл Q > пл Р.
20- ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Пусть F—некоторая плоская фигура*). Будем рассматри- вать всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком лежащие вну- три F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Фигуры Р будем называть вложенными, а фигуры Q — объемлющими. Площади вложенных фигур ограничены в совокупности сверху (например, площадью любой объемлющей фигуры), а площади объемлющих фигур ограничены снизу (например, нулем). Поэтому существуют точная верхняя грань **) <S, = S,(F)= sup (плР) площадей всех многоугольных фигур, вложенных в фигуру F, и точ- ная нижняя грань S* = S*(F)= inf (пл Q) площадей всех многоугольных фигур, объемлющих F. Величина S, называется внутренней площадью фигуры F, a S* — ее внешней площадью. Из того, что площадь любой вложен- ной фигуры не больше, чем площадь любой объемлющей, следует: 5, <S\ Если S* = S*, то их общее значение S называется просто пло- щадью фигуры F. Сама фигура F при этом называется имеющей площадь или квадрируемой. Итак, мы распространили понятие площади с многоугольников на некоторый, более широкий класс фигур ***). Сохранение основных свойств площади (аддитивность, монотонность и инвариантность) будет доказано в п. 4. Установим следующее, полезное для дальнейшего условие квадри- руемости фигуры. Теорема 1.2. Фигура F квадрируема в том и только том случае, если для любого е > 0 найдутся две такие много- угольные фигуры PcF и Qz>F, что iuiQ — плР<е. (1.4) Доказательство. Действительно, если такие фигуры суще- ствуют, то из пл Р 5* пл Q *) То есть некоторое ограниченное множество точек на плоскости. **) Если в фигуру F нельзя вписать ни одного многоугольника, то мы полагаем по определению, что S„ = 0. ***) Ясно, что всякая многоугольная фигура представляет собой квадри- руемую (в указанном выше смысле) фигуру и для нее новое определение площади (с помощью S„ и $*) дает исходную величину этой площади.
§ 1] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 21 получаем, что О — St<e, а так как е>0 произвольно, то «$* = £,. Обратно, если S* = S*, то, по определению точных граней, для заданного е > 0 найдутся вложенная фигура Р и объемлющая фи- гура Q такие, что \ — у<плР<5ф> 5*<пл(?<5* + -|, откуда пл Q —плР < е. Совокупность точек, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р, представляет собой многоугольную фигуру площади пл Q — плР, содержащую границу фигуры F. Поэтому ус- ловие теоремы 1.2 означает, что фигура F квадрируема в том и только том случае, если ее граница может быть погружена в М многоугольную фигуру сколь угодно малой V& площади (рис. 1.5). С помощью этой теоремы легко устано- вить квадрируемость ряда фигур, отличных от многоугольных, например квадрируемость Рис. 1.5. круга. В качестве Р и Q для круга можно взять правильный вписанный и правильный описанный многоугольники с достаточно большим числом сторон. Собственно говоря, тот вывод формулы площади круга, который обычно приводится в школьном курсе геометрии, основан на тех же самых рассуждениях, которые здесь излагаются в общем виде. Введем следующую терминологию. Будем говорить, что некоторое множество, в частности кривая, имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Мы можем теперь сформулировать теорему 1.2 иначе. Теорема 1.2'. Для того чтобы фигура F была квадрируе- мой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела пло- щадь нуль. Опираясь на эту теорему, мы опишем сейчас некоторый класс заведомо квадрируемых фигур, достаточно широкий для того, чтобы ограничиться им во всех дальнейших рассмотрениях. Лемма. Всякая спрямляемая *) кривая имеет площадь нуль. *) Спрямляемой называется кривая, имеющая конечную длину. Как известно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), если кривая задана уравнениями х = ф (/), у — ф (i), а < i < р, где ф(<) и ф (<)— непрерывные функции, имеющие непрерывные (или кусочно- непрерывные) производные, то она спрямляема.
22 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Доказательство. Пусть L — спрямляемая-кривая и I—ее длина. Разобьем эту кривую с помощью «+1 точек на части, длина каж- дой из которых меньше уем (это, разумеется, всегда возможно), „ 2/ и примем каждую из этих точек за центр квадрата со стороной — (рис. 1.6). Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную —। фугуру, объемлющую кривую L, а площадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы площадей составляющих ее квадра- JytLJ 4/2 Д/р-1 тов, т. е. -^г(п~Ь !)• Так как I фиксиро- ,-j/T вано, а п можно взять произвольно боль- шим, то кривую L действительно можно по- грузить внутрь фигуры сколь угодно малой площади. Лемма доказана. Рис. 1.6. Из этой леммы и теоремы 1.2' полу- чаем: Всякая плоская фигура (т. е. ограниченное плоское множе- ство), граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема. Именно этот класс фигур мы и будем, как правило, рассматри- вать в дальнейшем. Замечание. Укажем еще один класс плоских квадрируемых фигур. Всякая кривая, определяемая уравнением у = f(x), а^х^д, где f (х)—непрерывная функция, или уравнением х = g(у), c^y^d, где g(y) тоже непрерывна, имеет площадь нуль. (Доказательство этого было дано в гл. 11 вып. 1.) Отсюда, в силу теоремы 1.2', следует, что всякая фигура, граница которой представима в виде конечного числа непрерывных кривых, задаваемых уравнениями вида у = / (х) или х — g (у), квадрируема. 4. Основные свойства площади. Покажем теперь, что введенное нами определение площади плоской фигуры действительно обладает свойствами монотонности, аддитивности и инвариантности. Монотонность почти непосредственно вытекает из определения площади, и ее проверка может быть предоставлена читателю. Уста- новим аддитивность, т. е. докажем следующее предложение: 1) Пусть Рх и F2—две квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и F— их объединение (рис. 1.7); тогда F тоже квадрируема и пл F = пл -|- пл f2. (1-5)
§ 1] ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 23 Квадрируемость фигуры F следует из теоремы 1.2' и того, что ее граница составлена из множеств площади нуль, ограничивающих фигуры Fr и F2 (она является частью объединения границ фигур Fy и F2) *) Остается доказать равенство (1.5). Для этого рассмотрим многоугольные фигу- ры Ру и Р2, вложенные в Fy и F2 соответствен- но, и многоугольные фигуры Q} и Q2, объем- лющие соответственно Fy и F2. Фигуры Ру и Р2 не пересекаются, поэтому площадь много- угольной фигуры, составленной из Ру и Р2, равна пл Ру -|- пл Р2. Фигуры и Q2 (возмож- но, пересекающиеся) составляют в сумме фи- гуру Q, площадь которой не превосходит пл Qj-I-пл Q2. Таким обра- зом, имеем пл Р ~ пл Ру + пл Р2 пл F пл Q пл Qj -J- пл Q2 и пл Ру пл Р2 пл Fy -j- пл F2 пл Qj + пл Q2. Так как разности naQj — пл/3! и плф2 — плР2 могут быть сделаны сколь угодно малыми, то отсюда следует равенство (1.5). Аддитив- ность доказана. Наконец, свойство инвариантности площади непосредственно выте- кает из инвариантности площади для многоугольных фигур и самого способа определения площади квадрируемых фигур через площади многоугольников. Укажем еще одно свойство квадрируемых фигур. 2) Общая часть двух квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Действительно, если Fy и F2— какие-либо две фигуры и F — их общая часть (рис. 1.8), то каждая точка, граничная для F, является Fy, либо для F2. Поэтому наше утверждение 1.2' и того факта, что объединение множеств площади нуль само имеет площадь нуль. 5. О понятии меры множества. Введенное в этом параграфе понятие площади называют понятием площади по Жордану **), или мерой /Кардана. Это понятие имеет, однако, некоторые недостатки. Действительно, выше было показано, что объединение двух квадрируемых фигур есть квадрируе- мая фигура. Отсюда, конечно, немедленно следует, что и объединение любого конечного числа квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Однако если мы рассмотрим некоторую последовательность квадрируемых фигур Л, Р2....Рп..... Рис. 1.8. граничной либо для следует из теоремы *) Очевидно, что всякая часть множества площади нуль сама является множеством площади нуль. *♦) Камилл Жордан (1838—1922) — французский математик.
24 двойные интегралы [гл. 1 то их объединение может быть уже и не квадрируемой фигурой. Вот про- стой пример. Рассмотрим на плоскости квадрат 0<х< 1, 0<у<1, и отметим в нем точки с рациональными координатами. Нетрудно показать, что все эти точки образуют счетное множество, т. е. что их можно располо- жить в виде последовательности Р1 = (*1. У1). Р2 = (х2, у2)..........рп = (х„, у„), ... g Возьмем теперь некоторое число е > 0 и построим круг радиуса Г] < -g- с центром в точке Далее, возьмем первую из точек р2, Рь . не попав- шую в этот круг, и построим с центром в этой точке круг радиуса г2 < , не пересекающийся с первым кругом. После этого возьмем первую из остав- шихся точек, не попавшую в построенные круги, и примем ее за центр круга е радиуса г3 < , не пересекающегося с двумя уже построенными кругами. Будем продолжать такое построение до бесконечности. Мы получили последо- вательность помещенных внутри квадрата кругов (без общих точек), расположенных в этом квадрате «всюду плотно*)». Нетрудно показать (сде- лайте это), что объединение этих кругов представляет собой фигуру F, не квадрируемую в смысле Жордана. Вместе с тем этой фигуре естественно приписать площадь, равную сумме площадей составляющих ее кругов. Эта сумма, очевидно, равна 00 оо i=l i = l Подобные затруднения отпадают, если вместо понятия меры Жордана пользоваться более гибким и совершенным понятием меры Лебега **), кото- рое мы, к сожалению, не можем здесь излагать. § 2. Определение и основные свойства двойного интеграла 1. Определение двойного интеграла. Перейдем к основной теме этой главы—понятию двойного интеграла. Пусть G— некоторая квадрируемая фигура, и пусть в G определена ограниченная функция /(х, у). Разобъем G на конечное число непересекающихся квадри- руемых частей Gt и составим сумму п (1-6) z=i где ASf — площадь 0{, а (|г, ify) — произвольная точка, принадлежа- щая Gt. Суммы вида (1.6) будем называть интегральными суммами *) Это означает, что объединение этих кругов представляет собой множество, замыкание которого есть весь квадрат. **) Анри Лебег (1875—1941) — французский математик, один из созда- телей современной теории функций.
свойства двойного интеграла 25 § 2] (отвечающими функции /(х, у) и фигуре О). Введем понятие пре- дела интегральных сумм (1.6) следующим образом. Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d (Оj) фигур О[. Мы скажем, что число J есть предел инте- г р а ль ны х сумм (1.6) при D-±Q, если для любого с > 0 най- дется такое 6 > 0, что |a-J|<e (1.7) как только D<t>. (1.8) Иными словами, неравенство (1.7) должно выполняться для всех интегральных сумм о, соответствующих разбиениям O=G1-|-G2-)- 4- . .. -j- Оп, которые удовлетворяют условию (1.8) независимо от вида разбиения фигуры G на части Ot и независимо от выбора точки (&£’ Л/) в каждом из элементов разбиения. Определение 2. Если предел п lim 2 D->0 i = l интегральных сумм (1.6) существует, то он называется двой- ным интегралом от функции f (х, у) по области О и обо- значается символом f f f(x, у) ds а или f Jf(x, y)dxdy. о Сама функция f(x, у) при этом называется интегрируемой по фигуре О. Иногда понятие двойного интеграла вводят несколько иначе. Фигуру G, взятую из того или иного класса фигур, разбивают прямыми, параллельными осям координат на прямоугольные ячей- ки (рис. 1.9). В каждой из ячеек Gt вы- бирают по точке (5/, Л/) и составляют сумму а = 2/ (lb П/) AS,. Сумму берут, скажем, по всем ячейкам, лежащим вну- три G, игнорируя ячейки, прилегающие к границе G (их суммарная площадь ма- ла). Затем переходят к пределу, когда максимальный диаметр ячейки стремит- ся к нулю. Неудобство этого определе- ния состоит в том, что оно по форме привязано к определенной системе координат на плоскости, в то вре- мя как интуитивно ясно, что интеграл f f f(x, у) ds, т. е. * о объем цилиндрического тела, не должен зависеть от выбора системы декартовых координат на плоскости. Определение с прямоугольными ячейками потребовало бы специального доказательства этого факта. При нашем определении это получается автоматически. Изло- женное выше определение обладает и другими преимуществами. Пусть, ска- жем, функция f (х, у) принимает на G только два значения: и а2 (рис. 1.10).
26 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Если части Gt и G2, на которых f(x, у) равна at и а2 соответственно, квадри- руемы, то наше определение позволяет получить интеграл f J* f(x, у) ds, а по существу, без предельного перехода. Ин- туитивно очевидно, что J* J” f (х, у) ds = пл G| • а1 4- пл О2 • а2 а (доказать!). Определение с прямоугольными ячейками потребовало бы даже в этом очевид- ном случае кропотливого предельного пере- хода. Вместе с тем следует подчеркнуть, что оба указанных пути приводят к одному и тому же понятию двойного интеграла. Рис. 1.10. 2. Условия существования двойно- го интеграла. Верхние и нижние сум- мы. Выясним, какие условия нужно наложить на функцию /(х, у), определенную на некоторой квадрируемой фигуре О, для того, чтобы можно было гарантировать существование двойного интеграла f f у) ds. а Вводя определение двойного интеграла, мы предполагали, что соответствующая функция /(х, у) ограничена*). Однако, как легко показать на примерах, не всякая ограниченная функция инте- грируема **). *) В гл. 10 вып. 1 применительно к функциям одной переменной на от- резке было доказано, что всякая интегрируемая функция ограничена. Однако проведенные там рассуждения мы не можем полностью перенести на случай двух переменных. Действительно, рассматривая различные разбиения квадри- руемой фигуры G на квадрируемой части О;, мы, вообще говоря, не сможем избежать случая, когда некоторые из этих элементов разбиения имеют пло- щадь нуль. Но тогда из неограниченности функции не следует неограничен- ность ее интегральных сумм / (х;, yi)&Si при каждом разбиении (по- скольку функция может оказаться неограниченной только на том элементе разбиения, который имеет площадь нуль). В случае одной переменной при разбиении промежутка интегрирования на непересекающиеся полусегменты такое положение не возникает. В случае двух (или нескольких) переменных мы могли бы исключить появление элементов нулевой площади, сузив как класс рассматриваемых фигур, так и класс рассматриваемых разбиений. Дру- гой возможный путь (который мы здесь и выбрали) состоит в том, чтобы заранее исключить из рассмотрения неограниченные функции. **) Примером ограниченной, но не интегрируемой функции двух пере- менных может служить функция, определенная на квадрате 0 < х <11, 0 < у С 1 следующим образом: f(x, у) = 1, если х и у рациональны, и f (х, у)— 0 в противном случае. Доказательство неинтегрируемости такой функции предо- ставляется читателю.
§ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 27 Для нахождения условий интегрируемости удобно, как и в слу- чае одной переменной, воспользоваться так называемыми нижними и верхними суммами Дарбу*). Пусть /(х, у)— ограниченная функция, определенная на квадри- руемой фигуре О, и (GJ—некоторое разбиение этой фигуры. Обо- значим Afz и mt соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани значений /(х, у) на элементе Gt. Суммы Q=2-MZASZ и ®== 2 mi ^$1 z=i z=i назовем соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функ- ции /(х, у) (отвечающими данному разбиению {GZJ фигуры G). Оче- видно, что Q^-co для любого разбиения {Gz}. Укажем основные свойства верхних и нижних сумм. 1) Для данного разбиения {GJ фигуры О верхняя и ниж- няя суммы представляют собой соответственно точную верх- нюю и точную нижнюю грани интегральных сумм п отвечающих данному разбиению {Gz} (и всевозможным выборам точек (£z, т];)). В частности, всегда п п п q = 3 mz < 2 / П/) ASZ < 2 М{ AS, = Q. t=i i=i 1=1 Неравенство Ж ni)AS/<SAIzASz = Q i=l 1 = 1 очевидно при любом выборе точки (£z, r]z) на Gz. С другой стороны, по определению точной верхней грани, для каждого е > 0 можно в каждом из элементов данного разбиения {Gz} выбрать точку (£z, t]z) так, что Mt—/ (£z, T]z) < (•$ — площадь области G). Но тогда п п п Q - S f =2 - f < 12 asz=е. / — 1 Z =1 I и 1 Для нижней суммы рассуждения аналогичны. *) Гастон Дарбу — французский математик (1842—1917).
28 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. I Назовем разбиение {<?>} измельчением разбиения {Gz}, если каж- дый элемент Ql второго разбиения либо служит элементом первого разбиения, либо представляет собой объединение нескольких элемен- тов этого первого разбиения. Справедливо следующее утверждение: 2) Если Q и <о— верхняя и нижняя суммы, отвечающие раз- биению {GJ, а СУ ион' — верхняя и нижняя суммы, отвечающие некоторому его измельчению {Gy}, то <о в/ СУ СУ т. е. при измельчении разбиения верхняя интегральная сумма не увеличивается, а нижняя не уменьшается. Действительно, пусть {GJ—некоторое разбиение фигуры О и {Оу} — его измельчение. Это означает, что каждый элемент Gt раз- биения (Ог) представляет собой сумму элементов Gifl, а — 1, 2.kt, второго разбиения. При этом kt Д5£=2Д5;а, (1.9) а=1 а=1, 2.......kt. (1.10) и каждый элемент Gy входит в состав одного из Gz. Отсюда следует 2 Mla \S'ia = Q'. i=1 i=i а=1 Аналогично доказывается неравенство 3) Пусть {О/} и {Gy} — два произвольных разбиения фи- гуры О, а СУ, о' и СУ', <£>" — отвечающие им верхние и нижние суммы. Тогда СУ>с>", СУ'>в>', т. е. любая верхняя сумма (отвечающая данной функции /(х, у)) не меньше, чем любая нижняя сумма (отвечающая той же функ- ции). Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего, что для любых двух разбиений {в}} и {Gy} фигуры G найдется их «.общее продолжение», т. е. такое разбиение, которое служит из- мельчением каждого из двух данных. В качестве элементов этого «общего продолжения» можно взять, например, пересечения произ- вольного элемента G/ одного разбиения с произвольным элементом Оу второго разбиения (нужно брать, конечно, только такие Gt и Gy, которые имеют общие точки). Рассмотрим теперь верхние и нижние суммы, отвечающие разбие- ниям и их общему продолжению {О*}. Обозначим эти
§ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 29 суммы соответственно й', о/; О!', ft)"; Q, ft>- Тогда по свойству 2) й'>й, и ft)' <1 0), <i>" ft). Кроме того, очевидно, имеет место неравенство Таким образом, S' Q со о" и аналогично й" й со (o'. Утверждение доказано. Совокупность всех верхних сумм, отвечающих данной функции /(х, у), ограничена снизу (например, любой нижней суммой), а сово- купность всех нижних сумм ограничена сверху (например, любой верхней суммой). Обозначим J точную нижнюю грань верхних сумм, a J—точную верхнюю грань нижних сумм. Числа J и J называются верхним и нижним интегралами функции f(x, у) (по области G). Имеет место неравенство j<J. Действительно, если бы имело место обратное неравенство, то на- шлось бы число е такое, что J—7>е>0. (1.11) Далее, по определению точных граней, нашлись бы верхняя сумма и нижняя сумма (о2 такие, что fij —J<^- И J — й2<|, т. е. ^1 — ®2 4~ < е» откуда, в силу (1.11). йг — ft»2 < 0, что противоречит свойству 3). Свойства 1) — 3) верхних и нижних сумм позволяют установить следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функ- ции f(x, у), вполне аналогичное необходимому и достаточному усло- вию существования определенного интеграла (см. вып. 1, гл. 10, теорема 10.1). Теорема 1.3. Ограниченная на квадрируемой фигуре О функция f (х, у) интегрируема на G в том и только том случае.
30 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I если для любого е>0 найдется такое разбиение фигуры G, что отвечающие этому разбиению суммы Дарбу удовлетво- ряют условию Й— со < е. Доказательство этой теоремы опирается на следующую лемму Дарбу. Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы J и J служат соответ- ственно пределами верхних и нижних интегральных сумм Дарбу при D -> 0. (D — максимум диаметров d (G() элементов разбиения {GJ фигуры G.) Для удобства введем понятие границы разбиения. Если дано разбие- ние {G,} фигуры G на квадрируемые элементы G;, то под границей L раз- биения {G;} мы будем понимать объединение границ Lt всех элементов Gy. Z. = Z-i-(-^2+ + Ln. Для всякого разбиения фигуры G на квадрируемые G, границы Li имеют площадь нуль, поэтому граница L разбиения {G;} также имеет площадь нуль. Граница L как объединение конечного числа замкнутых множеств L[ является замкнутым множеством. (Это общее утверждение о замкнутых мно- жествах читателю предлагается доказать!) Перейдем теперь к доказательству леммы Дарбу. Доказательство леммы Дарбу. По определению верхнего инте- грала J для всякого е > 0 найдется такое разбиение ^GZJ фигуры G, что отвечающая ему верхняя сумма й* удовлетворяет условию 0<й* —7<у. Заключим границу L* этого разбиения строго внутрь некоторой многоуголь- ной фигуры Q, площадь которой меньше чем тгп~> где Al — sup I f (х, у) |. (х,у)(.а Граница L* и граница многоугольной области Q — это два ограниченных замкнутых множества без общих точек (рис. 1.11). Следовательно, по тео- реме 1.1 расстояние между ними есть некоторая положительная величина а. Рассмотрим теперь произвольное разбиение {Gft} фигуры G, для которого D< а. Элемен- ты G* этого разбиения обладают, очевидно, ДДгР&тмД Ж УИ следующим свойством: если Gs имеет хотя бы Шх Ш т ОДНУ °6|ЦУЮ точку с А*, то G* целиком лежит Mr Дг внутри области Q. Такие элементы Gs мы на- Ж зовем граничными, а все остальные — внут- ренними. Покажем теперь, что всякому раз- Ж .лиаД биению {Gfe}, для которого D < а, _отвечает верхняя сумма й, отличающаяся от J меньше ы чем а разобьем сумму й на два слагаемых: п рис. i.i 1. й = 2 Mk =SX as;+2'Х as;, Й = 1 где первая сумма 2' берется по всем внутренним, а вторая 2" по всем граничным элементам разбиения {G^}. Оценим каждую из этих сумм в отдель- ности. Каждый внутренний элемент разбиения {G^} целиком лежит внутри некоторого элемента разбиения {Gf}. При этом соответствующая точная верхняя грань М.'к не превосходит, очевидно, точной верхней грани значений
§ 2] СВОЙСТВА двойного ИНТЕГРАЛА 31 функции f(x, у) на этом элементе разбиения [О*]. Отсюда следует, что £Xas'<q*. Далее, очевидны неравенства |тИЯ<Л1= sup !/(-*, У) I при всех k 1 1 (х, у)$О и Д5а < пл Q < 2^-. Следовательно, и, значит, а = j; м; as;+2Х < а*+у < ^+ что и требовалось доказать. Для нижних сумм доказательство аналогИно. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.3. Необходимость. Пусть /(х, у) интегрируема и пусть задано £ > 0. Обозначим интеграл от f(x, у) символом /. По определению предела инте- гральных сумм, для данного е найдется такое 6 > 0, что для всякого разбие- ния (О/}, для которого D < б, выполняется, независимо от выбора точек (^- ПД условие (1-12) Далее, верхняя и нижняя суммы, отвечающие разбиению {(?/), представляют собой соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани интеграль- ных сумм, отвечающих этому разбиению. Поэтому, зафиксировав разбиение, можно выбрать точки (g-, тр) и r]z) в элементах Gz этого разбиения так, чтобы выполнялись неравенства п п й-^/(ия;)Д5, <4; 2/(^г1')д^-й)<Т <113) ial 1 = 1 Так как каждая из этих двух интегральных сумм удовлетворяет неравен- ству (1.12), то из (1.13) следует: £2 — <э < ,е. Достаточность. Если для любого е > 0 существует такое разбие- ние, что Q — <о < е, то, очевидно, _ /= 7. Обозначим общее значение этих величин через J и покажем, что J предста- вляет собой предел интегральных сумм, т. е. двойной интеграл от функ- ции f (х, у) по G. В силу леммы Дарбу, J есть общий предел верхних и нижних сумм при £>->0. Но так как любая интегральная сумма, отвечающая
32 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 некоторому разбиению, заключена между соответствующими суммами Quo, то J есть предел интегральных сумм при £>->0. Теорема доказана. 3. Важнейшие классы интегрируемых функций. С помощью теоремы 1.3 мы установим сейчас интегрируемость некоторых важ- ных классов функций, в первую очередь непрерывных функций. Ниже мы будем считать, что каждая из рассматриваемых функций задана в некоторой замкнутой ограниченной квадрируемой области. Теорема 1.4. Всякая функция f(x, у), непрерывная в замк- нутой ограниченной*) области G, интегрируема на G. Доказательство. Поскольку /(х, у) непрерывна на замкну- том ограниченном множестве, она ограничена и равномерно непре- рывна на этом множестве**). В силу равномерной непрерывности функции / (х, у), для каждого е > 0 найдется такое 6 > 0, что как только фигура О разбита на части G(, диаметр каждой из которых мен'1>ше 6, колебание функции /(х, у) в каждой из этих частей, т. е. разность — mt, будет меньше чем е. Но тогда Q — (0—2 — 2 mt < е 2 i=i i=i i=i следовательно, функция /(х, у) интегрируема. Требование непрерывности подынтегральной функции слишком стеснительно. Поэтому для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойно- го интеграла для некоторого класса разрывных функций. Теорема 1.4'. Если функция f(x, у) ограничена в замкнутой ограниченной области Q и непре- рывна на G всюду, кроме некото- рого множества площади нуль, то f(x, у) интегрируема в G. Доказательство. Возьмем про- извольное е > 0. По условию /(х, у) ограничена, т. е. существует такое К, что |/(х, у) | < К. Заключим множество, на котором функ- ция /(х, у) может быть разрывной, внутрь многоугольной фигу- ры Q, площадь которой меньше чем (рис. 1.12). Часть области G, не входящую в Q, обозначим G. Граничные точки много- *) И, конечно, квадрируемой; в дальнейшем мы всегда будем пред- полагать выполненным условие квадрируемости, не оговаривая этого особо. ♦*) См. вып. 1, гл. 14, теоремы 14.6 и 14.8.
§ 2] СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 33 угольной фигуры Q, принадлежащие G, мы причисляем к G, поэто- му G замкнута. На замкнутом множестве О функция /(х, у) непре- рывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Выберем 6 > О так, чтобы в любой части фигуры G, имеющей диаметр меньше чем 6, колебание функции /(х, у) было бы меньше чем (где 5 — площадь G). Рассмотрим теперь такое разбиение области G: первым его элементом Gl служит Q, а все остальные имеют диа- метр, меньший чем 6. Оценим разность й— ® для этого разбиения. Имеем Й — со — Мj AS! — /Hj ASj -|- (М; — mz) AS; < Z = 2 п <(Ml-m1) + £ 2TASz. / = 2 n Ho Afj — mt 2/C a 2 < •$, следовательно, 1 = 2 Й-со<2К^ + -^-£ = е. Так как е>0 произвольно, то, в силу теоремы 1.3, функция /(х, у) интегрируема. 4. Свойства двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам определен- ного интеграла для функции одной переменной, поэтому мы только перечислим эти свойства, не останавливаясь на доказательствах. 1. Если функции fi(x, у) и /2(х, у) интегрируемы в обла- сти G, то их сумма (разность) тоже интегрируема в G и J J 1/1 (X, у)±/2(х, y)]ds = J J/!(х, y)ds ± f J/2(х, y)ds. о а о 2. Если k — постоянное число и функция f(x, у) интегри- руема в G, то функция kf(x, у) тоже интегрируема в G и J f kf(x, y)ds = k f f f(x‘ >)ds- о о Совокупность этих двух свойств называется линейностью ин- теграла. 3. Если область О представляет собой объединение двух областей Ог и 02, в каждой из которых функция f(x, у) инте- грируема, то в О эта функция также интегрируема. Если,
34 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 кроме того, Gx и С2 не имеют общих внутренних точек, то У / f(x> y)ds = у у f(x, y)ds-]- у у f(x, y)ds. a Gi <?: Это свойство называется аддитивностью интеграла. 4. Если j\(x, у) и f2(x, у) интегрируемы в G и j\(x, у) У)- т0 f f fl <х< У)ds <• У У /г(х> У) ds. о а Это свойство называется монотонностью интеграла; из него вы- текают свойства 5 и 6. 5 (оценка интеграла по модулю). Если f(x, у) инте- грируема в G, то функция |/(х, у)| также интегрируема в G а У У f(.x- У) ds < У У | / (х, у) | ds. о о 6 (теорема о среднем). Если функция f(x, у) интегри- руема в G и удовлетворяет неравенствам m^f(x, у)<Л1. то mS^ у у f(x, y)ds MS, (1.14) а где S — площадь фигуры G. Это утверждение непосредственно вытекает из свойства 4 и того очевидного факта, что У у с ds = cS, с = const. а Если функция /(х, у) непрерывна, то теорема о среднем может быть сформулирована в таком виде: 6'. В области G найдется такая точка (£, т|). что У У f(x> y)ds = fQ„ ri)S. (1.15) а Действительно, примем за т и М соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани значений функции f(x, у) в G. Тогда, со- гласно (1.14), f f (х> У) ds < М.
§ 3] АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 35 Но (см. вып. 1, гл. 14, § 3) функция, непрерывная в замкнутой области, принимает значения т, М. Предположим для простоты, что функция f(x, у) принимает значения М и т в точках (хр yj и (х2, у2), лежащих внутри области О. (Рассуждение несколько усложняется, если какая-либо из этих точек, или обе они, попадают на границу области G.) Любые две точки области мы можем соеди- нить ломаной, лежащей в области. Соединим ломаной точки (хр yt) и (х2, у2), в которых функция равна соответственно М и т. Вдоль такой ломаной функция /(х, у) непрерывна и, следовательно, вместе со значениями М и т принимает и все промежуточные. В частности, найдется точка, обозначим ее (£, т}), в которой f(& т1) = -5- f f f(.x, y)ds, a тем самым формула (1.15) доказана. § 3. Аддитивные функции области. Производная по площади 1. Функции точки и функции области. Одно из самых основ- ных понятий анализа — понятие функции. Мы встречались с функ- циями, зависящими от одной, двух или нескольких независимых переменных. Пользуясь геометрической терминологией, можно ска- зать, что эти функции представляют собой переменные величины, зависящие от точки на прямой (в случае одной переменной), от точки на плоскости (при двух переменных) или от точки в про- странстве некоторого числа измерений. Однако в анализе и его фи- зических применениях часто встречаются функции другого рода, в которых роль значений аргумента играют уже не отдельные точки, а множества — например плоские или пространственные фигуры; такие функции называются функциями множества или функциями области *). Примером функции области может служить площадь S (G) об- ласти G, определенная для всех квадрируемых плоских областей так, как это было описано в § 1. Рассмотрим еще один пример. Пусть по плоскости ху распределена некоторая масса. Тогда каждой области G, лежащей в этой плоскости, отвечает определенное число — масса ji(G), сосредоточенная на G. Здесь опять-таки мы имеем дело *) Термин «область» употребляется здесь просто как синоним термина «множество», а не как термин, означающий открытое связное множество. Запас областей (т. е. запас множеств), на которых определена данная функ- ция области (т. е. множества), различен в различных ситуациях. У нас таким запасом будет, как правило, совокупность всех квадрируемых фигур.
36 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 с переменной величиной, зависящей от области, т. е. с некоторой функцией области. Введем следующее важное определение. Определение. Функция области F (G) называется аддитив- ной, если выполнены следующие условия'. 1) если F(G) определена для областей Ог и О2, то она определена и для их объединения G1-|-G2; 2) если Gj и G2 не имеют общих внутренних точек, то /=’(Oi + O2) = /7(O1) + /;’(G2) *). Обе указанные выше функции — площадь и масса — обладают этим свойством аддитивности. Можно привести и много других примеров аддитивных функций области: поверхностный заряд, количество све- товой энергии, падающей на освещенную поверхность, давление жидкости на дно сосуда и т. п. Можно, конечно, указать примеры и не аддитивных функций области. Например, если каждой квадрируемой области поставить в соответствие квадрат ее площади, то мы получим функцию об- ласти, но не аддитивную. С аддитивными функциями, в которых роль аргумента играет не плоская, а пространственная область, мы встретимся в следующей главе, посвященной тройным интегралам. 2. Двойной интеграл как аддитивная функция области. Рас- смотрим двойной интеграл J f f (*, y)ds. а считая в нем подынтегральную функцию f(x, у) фиксированной, а область интегрирования G переменной. Тогда этот интеграл будет представлять собой некоторую функцию Ф (G) области G. В силу свойства 2 двойных интегралов, сформулированного в предыдущем параграфе, эта функция области аддитивна. Запас областей, на ко- торых она определена, составляют все квадрируемые фигуры, содер- жащиеся в квадрируемой фигуре Go, на которой задана f (х, у). 3. Производная функции области по площади. Рассмотрим снова функцию р (G), т. е. некоторое распределение масс по пло- скости. Если О — квадрируемая область и 5 (G) — ее площадь, то отношение Ц(О) 5(G) *) Отсюда, в частности, следует, что если G имеет площадь нуль, то F(G) —0. Это означает, что мы рассматриваем лишь массы, распределенные с некоторой двумерной плотностью (а не сосредоточенные в отдельных точ- ках или на отдельных линиях).
§ 3] АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 37 представляет собой среднюю плотность распределения массы в данной области О. Будем теперь уменьшать размеры области О, стягивая ее к некоторой фиксированной точке р0. Если при этом отноше- ние (1-16) стремится к некоторому пределу р(р0), то этот предел называется плотностью распределения масс в данной точке рй. Таким образом, распределение масс по плоскости можно задавать непосредственно с помощью аддитивной функции области р. (G), а можно его характеризовать и соответствующей плотностью. Перейдем теперь от нашего конкретного примера (распределения масс) к произвольной функции области. В отличие от рассмотрен- ного выше примера — массы, произвольная функция области может принимать, как положительные, так и отрицательные значения. Пусть F (О') — некоторая аддитивная функция области, определен- ная для всех квадрируемых областей *). Мы скажем, что число А есть предел отношения F(G) S (О) (S (G) — как обычно, площадь области G) при стягивании области G к точке рй, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что для всякой области G, целиком помещающейся в круге радиуса б с центром в точке р0. Этот предел мы будем обозначать символом F(G) dF 11Ш или —т- S (G) ds и называть производной аддитивной функции Г (О) по площади. Эта производная представляет собой, очевидно, уже функцию в обыч- ном смысле, т. е. переменную величину, зависящую от точки. Возвращаясь к нашему примеру, можно сказать, что плотность р(р0) распределения масс по плоскости есть производная по пло- щади от массы. 4. Производная по площади от двойного интеграла. Из тео- ремы о среднем для двойных интегралов (см. § 2, п. 4, свойство 6) вытекает следующий результат. Пусть /?(G) = / f f{x, y)ds, Q (1.17) *) Или для всех квадрируемых областей, содержащихся в некоторой фиксированной области.
38 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !ГЛ. 1 где /(х, у) — некоторая фиксированная функция, которую мы пред- положим непрерывной во всей рассматриваемой части плоскости. Покажем, что аддитивная функция области F (О), определенная ра- венством (1.17), имеет производную по площади и эта производная совпадает с подынтегральной функцией f(x, у). Действительно, пусть р0 — некоторая фиксированная точка, О — область, лежащая в некотором круге с центром в р0, и т, М — соответственно точная нижняя и точная верхняя грани значений функции /(х, у) в области G. По теореме о среднем sTG)/J f(x' о При стягивании области G к точке р0, т. е. при стремлении радиуса круга к нулю, числа т и М стремятся (в силу непрерывности /(х, у) в точке р0) к одной и той же величине, а именно к значению функции /(х, у) в этой точке. Следовательно, к этому пределу стремится и заключенное между ними отношение. Итак, действи- тельно, ~di = ^x- уУ 5. Восстановление аддитивной функции области по ее произ- водной. Выше мы говорили о нахождении производной от функции области. Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана функция точки /(х, у); найти такую функцию области F(G), производная которой совпадала бы с f (х, у). Считая / (х, у) непрерывной, мы сразу можем указать одну такую функцию области, а именно двой- ной интеграл fff(x,y)ds (1.18) о (рассматриваемый как функция от О). Естественно поставить вопрос: существуют ли какие-либо другие аддитивные функции области, имеющие ту же самую производную. Покажем, что если /(х, у) непрерывна, то существует лишь одна аддитивная функция области, имеющая /(х, у) своей производной (и представимая, следовательно, двойным интегралом (1.18)). Если F1(G) и F2(G) — две аддитивные функции области, имею- щие одну и ту же производную по площади, то 4<Л-г,)=о. Поэтому нам достаточно показать следующее:
§ 3] АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ 39 dF Если то F=Q. Это в свою очередь вытекает из сле- дующей леммы: Лемма. Если в ограниченной замкнутой области D про- dF изводная аддитивной функции области F(D) суще- ствует и неотрицательна, то F(D)^-Q. Доказательство. Предположим противное, т. F(Z9)<0. Тогда найдется такое Z < 0, что S (D) и’ е. пусть т. е. (1-19) Далее, выберем последовательность положительных е2, .... сходящуюся к нулю, и разобьем область D на число частей Dt, диаметр каждой из которых меньше еР ней мере для одной из этих частей, обозначим ее О(1), подняться условие F(D{iy)^lS(Dw), так как если бы для всех выполнялось противоположное нера- венство F(Di)>lS(Di), чисел ер конечное По край- должно вы- то, просуммировав эти неравенства по всем Dt, мы пришли бы к противоречию с неравенством (1.19). Далее, разобьем D*1' на части, диаметр каждой из которых меньше чем е2. Среди них найдется хотя бы одна, обозначим ее О(2), для которой выполнено неравенство F < IS (D(2)). Продолжив этот процесс, мы получим последовательность {£)(л)} вложенных друг в друга замкнутых ограниченных областей, диаметры которых стремятся к нулю Q5W означает замыкание £)(л), при этом F(DW)=zF(D(n))). Но тогда существует точка, обозначим ее pQ, принадлежащая всем £>(л) *). Так как, по предположению, производ- dF ная существует всюду, в частности и в точке р0, то ее значе- ние в этой точке может быть представлено как lim П“>0О F(DW) S (Р(л)) ’ (1-20) *) Это — двумерный аналог леммы о вложенных сегментах, см. вып. 1, гл. 3, § 3.
40 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I (л) F Но по построению последовательности D[ 1 отношение $ (р(л))" ПРИ всех п не превосходит фиксированного отрицательного числа I, по- этому предел (1.20) не может быть неотрицателен. Лемма доказана. Заменив F (О) на — F (G) и воспользовавшись доказанной лем- мой, получим, что если F(£))<;0. Наконец, если dF — существует и неположительна, то ds т. е. если одновременно dF ds О и ds то F (£)) = 0 для всякой замкнутой ограниченной области. 6. Определенный интеграл как функция области. Сравним изложен- ные сейчас факты с тем положением, которое существует для функций одного независимого переменного. Определенный интеграл ь //(5)^ а можно рассматривать (при фиксированной функции /) как функцию от сег- мента [а, 6], т. е. как функцию области на прямой, причем, в силу известных свойств определенного интеграла, это будет аддитивная функция. Но сегмент определяется двумя точками — своими концами. Если же один его конец, скажем левый, считать фиксированным, то функция сегмента сводится к обычной функции точки. Именно так и поступают, рассматривая интеграл f/(i)d£ (1.21) а (при фиксированном а) как функцию верхнего предела. При этом, выбрав вместо нижнего предела а какую-либо иную точку а', мы изменим функ- цию (1.21) на постоянное (т. е. не зависящее от х) слагаемое, а именно на величину а' f f (£)<*. а Таким образом, интеграл от функции одного переменного представляет собой однозначно определенную функцию области на прямой. Эту функцию, рас- сматриваемую на сегментах, можно свести к функции одной переменной, определенной с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Изло- женные в этом параграфе теоремы о производной двойного интеграла по площади и о восстановлении функции области по ее производной предста- вляют собой двумерные аналоги теорем о производной определенного инте- грала от непрерывной функции по верхнему пределу и о том, что первооб- разная определяется по функции однозначно, с точностью до постоянного слагаемого.
§ 4] ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 41 7. Продолжение функций области по аддитивности. Если некоторая функция задана не всюду, где она может быть определена, то ее обычно можно продолжить, если известны те или иные ее свойства. Например, если известно, что функция f(x) линейна, т. е. имеет вид f (х) = ах 4-й, то достаточно знать ее значения в двух точках для того, чтобы определить ее значение всюду. Если же функция f{x) периодическая, т. е. обладает тем свойством, что при некотором Т f (хТ) = f (х) для всех х, то достаточно знать значения этой функции на отрезке [О, Г] для того, чтобы определить ее значения всюду (например, зная sin х для всех х от 0 до 2л, мы можем найти синус любого угла). Аналогично обстоит дело и с функциями области. Если известно, что функция области F(G) аддитивна, то, зная ее значения на некотором классе областей, мы можем во многих случаях однозначно продолжить ее (с сохранением свойства аддитивности) на некоторый более широкий класс областей. Например, пусть F (G) — адди- тивная функция области, определенная на всех треугольниках. Тогда ее можно продолжить «по аддитивности» на все многоугольники (а затем и на более широкий класс областей). Фактически именно с такой задачей о продолжении функции области по аддитивности мы имели дело в § 1, где рассматривалось понятие площади. Площадь представляет собой аддитивную функцию области, которую мы считали определенной на многоугольниках (или на многоугольных фигурах) и затем продолжали, с сохранением аддитивности, на более широкий класс фигур, которые мы назвали квадрируемыми. Общая задача о продолжении аддитивных функций «по аддитивности», о нахождении того возможно более широкого класса фигур, на который такое продолжение возможно, и т. д. играет важную роль во многих вопросах математики. К сожалению, мы не имеем возможности излагать здесь эти вопросы: это потребовало бы от нас введения и систематического использования идей и понятий общей теории меры. § 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных интегралов 1. Вычисление объемов. В самом начале этой главы мы уже рассматривали одну геометрическую задачу, лежащую в основе поня- тия двойного интеграла, а именно задачу о вычислении объема криволинейного цилиндра. Мы видели, что для цилиндра, ограничен- ного снизу замкнутой областью G, а сверху поверхностью z — f (х, у), где /(х, у) — неотрицательная непрерывная функция, приближенное значение объема дается интегральной суммой п (1.22) i = i (Сумма берется по всем элементам Ot разбиения фигуры О на ква- дрируемые части; AS;—площадь элемента Ог; (E,z, T]Z)(;GZ.) Как уже говорилось во введении к этой главе, точное значение объема — это
42 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 предел, к которому стремятся интегральные суммы (1.22) при неогра- ниченном измельчении разбиения фигуры О. Но предел сумм (1.22)— это двойной интеграл от функции f (х, у) по О. Его существование (при указанных выше предположениях об f (х, у) и G) было доказано (теорема 1.3). Итак, объем V криволинейного цилиндра, ограничен- ного снизу замкнутой областью G, а сверху поверхностью z = / (х, у) (/ непрерывна), представляется двойным интегралом J f f (X, У) ds. G На самом деле объем криволинейного цилиндра следует определить как значение этого интеграла. Ведь само понятие объема, хотя и ясное геометрически, заранее не определено. Строго говоря, приведенные рас- суждения показывают лишь, что такое определение естественно и хорошо согласуется с нашей геометрической интуицией. Рассмотрим еще некоторые задачи, в которых находит применение понятие двойного интеграла. 2. Вычисление площадей. Полагая в двойном интеграле подын- тегральную функцию /(х, у) тождественно равной 1, мы получим интеграл f f ds. (1.23) а равный, очевидно, площади фигуры G (поскольку этой площади будет равна каждая из интегральных сумм, отвечающих интегралу (1.23)). Формула S = f f ds (1.24) о для вычисления площади часто бывает удобнее, чем формула ь S = J / (х) dx, а выражающая площадь криволинейной трапеции, поскольку фор- мула (1.24) применима не только к криволинейным трапециям, но и к любым квадрируемым фигурам, расположенным произвольным образом по отношению к координатным осям. 3. Масса пластинки. Рассмотрим на плоскости ху материальную пластинку, т. е. некоторую область О, по которой распределена масса с плотностью р(х, у). Вычислим по заданной плотности р(х, у) массу этой пластинки, считая, что р(х, у) — непрерывная функция от х и у. Разобьем G каким-либо образом на части Gf и в каждой из этих частей выберем некоторую точку (|г, t]z). Массу каждого такого
§ 4) ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 43 элемента Ot можно считать равной приближенно p(|z, t]z) Д8( (где — площадь Gz), а масса всей пластинки приближенно равна сумме 2р(^. Л/)Д5р (1.25) i=i взятой по всем элементам разбиения. Для получения точного значения массы пластинки нужно перейти в этой сумме к пределу, неогра- ниченно измельчая разбиение (Gz) области Q. При этом сумма (1.25) переходит в двойной интеграл fff(x,y)ds, (1.26) о который и представляет собой массу пластинки. Ясно, что нахождение массы пластинки по плотности есть частный случай задачи о восстановлении функции области по ее производной по площади, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе. 4. Координаты центра масс пластинки. Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости ху некоторую область G. Пусть р (х, у) — плотность этой пластинки в точке (х, у). Разбив область О на части Gz, выберем в каждой из этих частей некоторую точку (£z, T]z) и будем приближенно считать массу каждой из частей пластинки равной p(£z, ,qz)ASz, где ASZ— площадь частичной области Gz. Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке (£z, T|z), то для координат хс и ус центра масс такой системы материальных точек получаются сле- дующие выражения: п п 2 &/Р&- nz)A$z 2 V nz) = —п--------------: Ус = . (1-27) xLi Р Р ’h) 1=1 1=1 которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, нужно в формулах (1.27) перейти к пределу, неограниченно измельчая разбиение области О. При этом стоящие в формулах (1.27) суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что коорди- наты центра масс пластинки определяются формулами: f f хр (х, у) ds J* J ур (х, у) ds хс=-Vr-------------•- Ус=-т~т-------------• <1<28> J J Р и у) ds j J р (х, у) ds О О
44 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 Если пластинка однородна, т. е. р —const, то формулы для коор- динат центра масс имеют более простой вид: J* £ х d s J" J* у d s xc = Srr-----; Ус = Л-г-------> (1.29) JJds Sfds Q О б. Моменты инерции пластинки. Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции системы материальных точек (относительно одной и той же оси) равен сумме моментов инерций, составляющих эту систему масс. Пусть область О плоскости ху занята пластинкой, имеющей плот- ность р(х, у). Разбив область G на части Gz, площади которых равны и выбрав в каждой из этих частей некоторую точку (£z, т|(), заменим нашу пластинку системой масс p(£z, T]Z)ASZ, лежащих в точках Qp т];). Момент инерции такой системы точечных масс относительно оси у равен п ч,)А5,. Это выражение мы принимаем за приближенное значение момента инерции пластинки, тем более точное, чем мельче взятое разбиение. Переходя здесь к пределу при неограниченном измельчении разбиения области О, получим для момента инерции пластинки относительно оси у следующую формулу: /у = J" J х2р(х, у) ds. (1.30) а Аналогично момент инерции пластинки относительно оси х равен = У2Р(х, у) ds. (1.31) о t Найдем еще момент инерции /0 пластинки относительно начала коор- динат. Приняв во внимание, что момент инерции материальной точки с массой т относительно начала координат равен m(x24~y2) и воспользовавшись рассуждениями, аналогичными проведенным выше, получим, что 4 = J f (*2 + y2)p(*- y)<is> Q т. е. /0=л+/г
§ 41 ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 45 6. Световой поток, падающий на пластинку. Пусть пластинка, лежащая в плоскости ху, освещена точечным источником света, находящимся в точке с координатами (0, 0, z0). Его силу света (одинаковую по всем направлениям) обозначим /. Вычислим световой поток, падающий на пластинку. Световой поток dF, падающий на элементарную площадку ds, равен / da, где da— телесный угол, под которым видна площадка ds из точки (0, 0, д0). В свою очередь da равняется площади площадки ds, деленной на квадрат расстояния до источника и умноженной на косинус угла между нор- малью к площадке и направлением на источник. Освещенностью А (х, у) пластинки в точке (х, у) называется величина Из сказанного выше следует, что А (х, у) = — =1^- =----------. ds ds (х2 + у2+г2)/а Полный световой поток, падающий на пластинку, равен двойному интегралу от А (х, у) по области О, занимаемой пластинкой, т. е. равен (х2 ф-у2 4-г2)’/г ’ 7. Поток жидкости через поперечное сечение канала. Рас- смотрим канал, по которому течет жидкость, и выделим некоторое сечение этого канала, перпендикулярное направлению течения. Приняв плоскость этого сечения за плоскость ху, мы можем сказать, что скорость У жидкости в каждой Точке рассматриваемого сечения есть функция от х и у, т. е. У = V (х, у). Вычислим количество жидкости, протекающее через это сечение в единицу времени. Рассмотрим бес- конечно малый элемент площади ds этого сечения. Количество жидко- сти, протекающей через этот элемент в единицу времени, равно, оче- видно, массе столбика с основанием ds и высотой У (х, у), т. е. равно рУ (х, у) ds, (1.32) где р—плотность жидкости. Для получения количества жидкости, про- текающего через все сечения, надо просуммировать бесконечно малые элементы (1.32), т. е. взять двойной интеграл У / Р^(х, у) ds а по рассматриваемому сечению. Замечание. Выше, в частности при рассмотрении последней задачи, мы пользовались такими выражениями, как «бесконечно малый элемент площади», «элемент массы» и т. п. Такой язык широко
46 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 применяется, особенно в физической литературе. Например, обычно говорят, что для пластинки с плотностью р(х, у) величина р(х, у) ds есть «элемент массы» (сосредоточенный на «элементе площади ds»), а масса этой пластинки, т. е. интеграл J f Р<х> У)аз’ а есть «сумма этих элементов массы». Смысл подобных выражений состоит в том, что в них каждый раз подразумевается тот процесс предельного перехода (от конечных сумм к интегралам), который нам встречался в каждой из рассмо- тренных выше задач. В дальнейшем мы тоже будем пользоваться иногда этим «физическим» языком (отдавая, однако, себе ясный отчет в точном смысле того предельного перехода, который за ним скрывается). § 5. Сведёние двойного интеграла к повторному Мы познакомились уже с определением и основными свойствами двойного интеграла, условиями его существования и некоторыми физическими и геометрическими задачами, связанными с этим понятием. Но мы еще совсем не затраги- вали вопроса о способах фак- тического вычисления двойных интегралов. В решении этой за- дачи основную роль играет теорема о том, что вычисление двойного интеграла сводится, при достаточно широких усло- виях, к последовательному ин- тегрированию по каждой из переменных в отдельности. Доказательство этой теоремы и составляет содержание на- стоящего параграфа. 1. Наводящие соображения. Основная идея излагаемых ниже теорем состоит в следующем. Будем рассматривать двойной интеграл / / f(x, y)dxdy о как объем криволинейного цилиндра Т, ограниченного снизу обла- стью О, сверху поверхностью z=f(x, у), и сбоку цилиндрической
§ 5] СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 47 поверхностью, проходящей через границу области О (рис. 1.13). Тело Т можно представлять себе как составленное из бесконечно тонких слоев, параллельных плоскости yz. Объем каждого такого слоя равен J(x) dx, т. е. произведению площади J(x) соответствующего сечения тела Т на толщину слоя dx. Объем всего тела Т при этом равен ь fd(x)dx. (1.33) а В свою очередь величина J(x) (площадь криволинейной трапеции) представляется интегралом y2W f f(x,y)dy, (1.34) У1 W где х рассматривается как фиксированная величина, a yj (х) и у2(х)— концы того отрезка, который служит проекцией рассматри- ваемого сечения на плоскость ху (рис. 1.13). Комбинируя (1.33) и (1.34), получаем, что объем тела Т может быть представлен в виде ь у2И f dx J f (x, у) dy, a yt(x) т. e. что имеет место равенство ь У2<*) J f f(x, y)ds = fdx jf /(x, y)dy. (1.35) О а У[(х) Эта формула означает, что, представляя себе двойной интеграл как сумму элементов / (х, у) dx dy, мы можем при вычислении этой суммы сначала произвести суммирование по слоям, параллельным одной ко- ординатной оси, а потом просуммировать результаты, относящиеся к каждому слою. Алгебраическим аналогом равенства (1.35) служит формула 2 aik — S (ZEj atk\' i,k i \ k / Ясно, что, если бы мы, снова взяв некоторый криволинейный цилиндр, стали бы рассматривать его сечения, параллельные не плоскости yz.
[ГЛ. 1 48 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а плоскости xz, это привело бы к равенству d f(x, y)ds = J dy J" f(x, y)dx О c xt (y) (рис. 1.14). Перейдем теперь от картинок к точному изложению. 2. Случай прямоугольной области. Рассмотрим сначала двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллель- ными осям координат. Теорема 1.5. Если для функции f (х, у), опреде- ленной в прямоугольнике Р = \а ^_ х ^b, c^.y^.d\, (1.36) существует двойной инте- грал J* J / (х, y)dxdy, (1.37) р а при каждом фиксирован- ном значении х, а^х^Ь, существует однократный инте- грал J(x) = ff(x, y)dy, (1.38) с то существует повторный интеграл b d ъ J dx J* f(x, y)dy— J J(x)dx (1.39) ас a и выполняется равенство ь d f(x, y)dx dy — j dx P a c Доказательство. Разобьем прямоугольник P на частичные прямоугольники Р^, подразделив его стороны точками а = х0 < < xz < х2 < ... < хй = Ъ и соответственно с = у0 < yz < У2 < • • • ... <yz = d; таким образом, PLj = {xz_j х xz, У,-! У у7 } (рис. 1.15). Пусть тц — точная нижняя грань, a Mtj~ точная верхняя грань значений функции /(х, у) в прямоугольнике Р^. Выберем f /(х, y)dy. (1.40)
§ 5] СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 49 в каждом из промежутков [xz_P xz] произвольную точку |z. Так как m;y</(?z, y)<Afzy при yy_i <у <у? то у7 mzyAyy< f y)dy^MijXyj — (1.41) У/-1 причем стоящий здесь интеграл существует, так как по предполо- жению существует интеграл (1.38), взятый по всему отрезку [с, d\ при произвольном х. Суммируя неравенства (1.41) по j от 1 до /, получим г d _z ^mz/Ayy<J(^z) = J/(|z, y)dy ^^Ми\у). 7 = 1 c j=l Умножив каждое из этих неравенств на Axz — xt — х^ и просум- образом, * о) 2 (&/) ^xi i = i Если теперь все Axz и Ayft устремить к нулю, то, поскольку мы предположили существование двойного интеграла (1.37) *), как *) Так как двойной интеграл (1.37) по предположению существует, то при любом способе разбиения прямоугольника Р на части, таком, что ма- ксимум диаметров элементов разбиения стремится к нулю, верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к общему пределу, а именно, к соответствующему двойному интегралу. Мы выбрали тот способ разбиения, который для нас наиболее удобен, а именно, с помощью систем вертикальных и горизон- тальных прямых.
50 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I нижние, так и верхние интегральные суммы будут стремиться к этому k двойному интегралу. Следовательно, и интегральные суммы 2 1=1 стремятся к тому же самому пределу. Таким образом, ь b d J J" f (х, y)dxdy = J J(x)dx — J dx J f(x, y)dy. P a a c Меняя роли переменных x и у |и предполагая существование инте- д х грала Jx (у) = J* f (х, у) dx 1 , получаем аналогичное равенство а ' d Ь J dy J f (х, у) dx ~ J J /(х, yjdxdy. р интегралом (1.37) существуют оба ь c a Наконец, если наряду с двойным d интеграла, J(x) = J" f(x, y)dy и = J f(x, y)dx, to c b d J* J/(x, y)dx dy — J" dx f f(x, y) dy — J" dy J* /(x, y) dx. P a с c a a d b 8. Случай криволинейной области. Рассмотрим теперь вопрос о сведении двойного интеграла к повторному для случая криволиней- ной области. Пусть область О ограничена двумя непрерывными кри- выми у = у1(х) и у = у2(х) и вертикальными отрезками х = а и х = Ь (рис. 1.16). Тогда справедлива следующая теорема: Теорема 1.6. Если для функции /(х, у), определенной в области G, существует двойной интеграл J j~ /(х, у) dx dy, а а при каждом фиксированном значении х из [а, существует интеграл J(x)= J У1(-г) то существует повторный интеграл ь Уг(л) J dx f f (х, у) dy а УМ
§ 5] сведение двойного интеграла к повторному 51 и выполняется равенство ь Уа(Х) f f/(x, y)dxdy = fdx J f(x,y)dy. (1.42) О а У1(лг) Доказательство. Положив с — min уг (х), d = max у2 (х), заключим область G в прямоугольник Р, определяемый неравенствами я х с < у < </ (рис. 1.16), и рас- смотрим в этом прямоугольнике вспомога- тельную функцию ч I f(x' Я ВНУТРИ °- / (xt у) —• { 7 v ' I 0 в остальных точках. Функция f*(x, у) удовлетворяет ус- ловиям предыдущей теоремы. Действи- тельно, она интегрируема в области G (так как совпадает в ней с / (х, у)) и Рис j 16 интегрируема в остальной части прямо- угольника Р, которую мы обозначим Р — Q (там она равна нулю). Следовательно (по свойству аддитив- ности интеграла, см. стр. 33—34), она интегрируема и по всему прямоугольнику Р. При этом и / J /* (х, у) dx dy — f f f(x, y)dxdy о a f f fix, y)dxdy — 0, p-o откуда J y)dxdy = j‘ J f(x, y)dxdy. (1.43) p о Далее, при каждом значении х, лежащем между а и Ь, существует интеграл Jf*(x,y)dy = j f*(x,y)dy+f f*(x. y)dy+ f f(x, y)dy, c c yt(X) y2(JT) (1.44) так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки [с, yj(x)] и [у2(х)> лежат вне области О УМ и на них /*(х, у) равна нулю, а интеграл J* f*(x, у) dy совпадает уМ
52 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ, 1 с интегралом Уг(-Г) У f(x, y)dy, УМ существующим по условию. Первый и третий интегралы в правой части равенства (1.44) равны нулю, поэтому окончательно получаем d уг(х) ff*(x,y)dy = f /(х, y)dy. (1.45) с УМ Мы видим, что функция /*(х, у), определенная в прямоугольнике Р, удовлетворяет условиям теоремы 1.5 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по Р может быть сведен к повторному: b d ----\ J f f*(x, y)dxdy = J dx J f (x, у) dy. ____\ P a c Отсюда и из равенств (1.43) и (1.45) полу- ют ^1 чаем / Ь у2(х') / f f f(x, y)dxdy=J'dx J f(x,y)dy, о a y^x) что и требовалось доказать. Рис. 1.17. В теореме 1.6 мы рассматривали такую область G, что каждая вертикальная прямая х = const пересекает ее границу не больше чем в двух точках у^х) и у2(х), и предполагали существование интеграла Уг(л-) J(x) — J / (х, У) dy (а <. х < 6). ум Предположив, что каждая прямая у = const пересекает границу области G не более чем в двух точках xt(y) и х2(у) (рис. 1.17), х-АУ) и потребовав существования интеграла $ f(x, y)dx при каждом *|(У) фиксированном у, мы можем доказать существование повторного интеграла d х2(у) У dy У /(х, y)dx с Х1(у) и его совпадение с двойным интегралом.
§ 5) СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА к ПОВТОРНОМУ 53 Как мы уже видели в самом начале этого параграфа, геометри- ческий смысл формул, сводящих двойной интеграл к повторному, состоит в том, что объем тела равен интегралу от площади его поперечного сечения (представляющей собой функцию той перемен- ной, которая определяет положение секущей плоскости). Замечание 1. Если область G такова, что некоторые прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для представления двойного интеграла, взятого по этой области, в виде повторного область Q следует разбить на части, каждая из которых удовлетворяет условиям тео- ремы 1.6, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно (рис. 1.18). Например, пусть область интегрирования G— единичный круг х2_|_у2^1, из которого вырезан эллипс х2-]-2у2<^1 (рис. 1.19). Тогда двойной интеграл по G можно представить, например, так: 1 J f /(х> y)dx dy — J a -i /(x, y)rfy 4- ]/ 1-л* 1 V 2 + J dx J* f(x, y)dy. -1 т. e. в виде суммы двух повторных интегралов. Замечание 2. Если двойной интеграл может быть сведен как ft у2(х) к повторному интегралу вида J* dx § f(x, y)dy, так и к инте- а У> (л)
54 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 1 d *2<У) гралу вида f dy § f (х, у) dx, то для вычисления двойного инте- с .ту) грала можно воспользоваться любым из этих представлений. Однако Рис. 1.20. может оказаться, что одно из них значи- тельно удобнее, чем другое, поэтому в кон- кретных задачах выбор того или иного по- рядка интегрирования (т. е. сначала по х, а потом по у, или наоборот) может быть не безразличен. Пример. Записать двойной интеграл f f f(x> y)dx dy, о где G— область, ограниченная кривыми у = ]/2ах— х2 и у — У Чах и прямой х — Ча (рис. 1.20), в виде повторного (двумя способами). 2а Уйх Ответ. 1) J dx J" /(х, y)dy, 0 У2ах-х2 2а 2а а а-Уа’-у2 2) f dy f f(x, y)dx + j"dy J /(x, y)dx + a 0 y2}2a a 2a -i-f dy f f(x' y^dx- ° а+У a2-y3 Во втором случае нам пришлось разбить интеграл на три слагаемых, а в первом мы обошлись одним. § 6. Замена переменных в двойном интеграле К замене переменных часто приходится прибегать при интегри- ровании функций одной переменной. Не менее важную роль играет замена переменных и при вычислении двойных интегралов. Прежде чем заняться вопросом о замене переменных в двойном интеграле, мы должны будем изложить некоторые сведения об отображении областей. 1. Отображение областей. Рассмотрим две плоскости с декар- товыми координатами х, у и £, т] соответственно и предположим, что в плоскости ху выделена некоторая замкнутая ограниченная область О с границей L, а в плоскости |г]— замкнутая ограниченная
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 55 область *) Г (рис. 1.21, а и б). Предположим, что в области Г определены функции х = х(& т]). У = У(£. П) (1-46) такие, что, когда точка (£, г]) пробегает область Г, соответствующая точка (х, у) пробегает всю область О. Таким образом, функции (1.46) определяют отображение области Г на область G. Рис. 1.21. Мы предположим, что это отображение удовлетворяет следующим условиям: 1) Отображение взаимно однозначно, т. е. различным точкам области Г отвечают обязательно различные точки области О. Иными словами, мы предположим, что существуют решения 1 = £>(х, у), т] = У) О-4?) уравнений (1.46) относительно £ и т], однозначные во всей области G. 2) Функции (1.46) и (1.47) непрерывны и имеют непрерыв- ные частные производные первого порядка. 3) Функциональный определитель (якобиан) D (х, у) D (£, п) дх дх Tfdn ду ду ’drf (1-48) всюду в области Г отличен от нуля, а следовательно, поскольку входящие в этот якобиан производные предполагаются непрерывными, сохраняет в Г постоянный знак. Якобиан обратного отображения (1.47) связан с якобиа- ном (1.48) .соотношением D (х, у) D (|, п) _ , D (g. Я) D (х, у) *) Области G и Г предполагаются, конечно, квадрируемыми.
56 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 непосредственно вытекающим из определения произведения опреде- лителей и правила дифференцирования сложной функции, поэтому D (£. Л) к ™ у' также нигде не обращается в нуль. Если в области Г дана некоторая гладкая или кусочно-гладкая кривая 1 = Л = Л(О> а</<₽, то отображение (1.46) переводит ее в кривую х = х&(Г), я(0)> У = У(£(О. Л(0). опять-таки гладкую или кусочно-гладкую, так как если производные йЕ йп ~dt и ~dt сУществУют и непрерывны, то существуют и непрерывные производные dx __ дх di, . дх dr] dy ________ ду di, ду йт| dt di, dt ' <Эт) dt И dt dt dt От) dt ' причем они не обращаются в нуль одновременно, если хотя бы одна di, dr\ ( из производных и отлична от нуля (последнее вытекает D(x, у) из того, что D ф 0J. В частности, граница Л области Г переводится в границу L области О. Это вытекает из теоремы о неявных функциях (см. вып. 1, гл. 15, § 2). Если бы точке (х0, у0), принадлежащей L, отвечала какая-то внутренняя точка (U т]0) области Г, то из равенств X = X (g, л), у = у (g, •»!) величины £ и т| определялись бы в некоторой окрестности точки (х0, у0) как функции от х и у. Но всякая окрестность граничной точки (л0, у0) со- держит точки, не принадлежащие G, следовательно, у точки (Sj0, т]0) (внутрен- ней для Г) нашлась бы окрестность, содержащаяся в Г и не отображаю- щаяся в область О, что противоречит условию. 2. Криволинейные координаты. Рассмотрим в области Г прямую | = (см. рис. 1.21). В области G ей отвечает гладкая линия, опре- деляемая параметрическими уравнениями х = х(10, 11), у = уа0. л) (1-49) (параметром служит г]). Аналогично каждой прямой Л — Ла отвечает в области G линия, определяемая уравнениями * = х(|. т]0), у = у(& Ло)- (1.50) Линии (1.49) и (1.50) области G, в которые отображение (1.46) пере- водит прямые из Г, параллельные координатным осям, называются координатными линиями т] и | в области О.
§ 6] ЗАМЕНА переменных в двойном интеграле 57 Из взаимной однозначности отображения х = хЦ, л). У = У(&- *1) следует, что через каждую точку (х, у) области О проходит един- ственная линия вида (1.49), отвечающая постоянному значению %, и единственная линия вида (1.50), отвечающая постоянному значению т]. Следовательно, величины | и г) можно рассматривать как координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области О. Так как коор- динатные линии (1.49) и (1.50), отвечающие этим координатам, будут, вообще говоря, кривыми (а не прямыми, как в,случае декартовой координатной сетки), то величины £ и т] называются криволиней- ными координатами точек области G. Таким образом, переменные g и т) имеют двоякий геометрический смысл: во-первых, это—декартовы координаты точек области Г, а во-вторых, это— криволинейные координаты точек области G. В соответствии с этим каждое соотношение вида Ф (£, т]) = 0 можно рассматривать как уравнение (в де- картовых координатах) некоторой кривой Л, лежащей в области Г, и как уравнение (в криволинейных координатах) кривой I, лежащей в О и являю- щейся образом кривой Л при отображении (1.46). употребительная система это полярные коорди- 3. Полярные координаты. Наиболее криволинейных координат на плоскости — наты. Они связаны с декартовыми ко- ординатами х и у соотношениями х - г cos <р, y = rsin<p (г>0; С-<лр<2л). (Е51) Координатными линиями для поляр- ных координат служат концентрические — окружности с центром в начале коор- динат (г = const) и лучи, выходящие из этого центра (<р = const). Отображение (1.51) переводит полуполосу г^>0, 0^Сф<2л в целую плоскость ху. Оно взаимно однозначно всюду, кроме точки х = 0, у —0, которой на плоскости Гф Рис. 1.22. отвечает полусегмент г — 0, 0 ф < 2л. Исключив точку х = 0, у = 0, мы можем рассмотреть отображение плоскости ху на полуполосу г > 0, обратное (1.51). Это обратное отображение непрерывно всюду, кроме положительной полуоси х, так как, хотя лежащим на ней точкам отвечает значение ф, равное нулю, но если точка М приближается к этой полуоси снизу, то соответствую- щее значение ф стремится не к нулю, а к 2л. Таким образом, фор- мулы (1.51) устанавливают отображение полуполосы 0 <(ф<2л на плоскость ху, взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное всюду, кроме тех точек, в которых г =0 или <р == 0.
58 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I Наглядно можно представлять себе переход от полуполосы на плоскости гср к плоскости ху как «раскрывание веера». Мы берем полуполосу 0<г<оо, 0<^<р<2л и как веер развертываем ее на плоскость ху (рис. 1.23). Рис. а — первый кадр фильма, рис. б—вто- рой кадр, рис. в — уже почти конец фильма, рис. г — это последний кадр. Рис. 1.23. Например, пусть на плоскости гср 0<а ^Ь, < 2л. Рис. 1.24, задана прямоугольная область Наше «раскрывание веера» пре- вращает ее в сектор кругового кольца на плоскости ху (рис. 1.24). Вычислим якобиан перехода от декартовых координат к по- лярным, т. е. якобиан преобра- зования (1.51). Получим D (х, у) _ | cos q> — г sin ф | D т1) I sin ф г cos ф | ’ Он отличен от нуля всюду, кро- ме точки х = 0, у = 0. 4. Постановка задачи о замене переменных в двойном инте- грале. Сформулируем теперь задачу о замене переменных в двойном интеграле, о которой уже говорилось выше. Пусть О — замкнутая область, ограниченная кусочно-гладкой кривой L, и /(х, у) — задан- ная в О функция, непрерывная или имеющая разрывы, лежащие
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 59 на множестве площади нуль, и ограниченная. Пусть, далее функции х = х(&, Т1), у = у(£, П) определяют отображение на область G некоторой области Г, удо- влетворяющее условиям 1) — 3), перечисленным в п. 1. Задача со- стоит в том, чтобы интеграл f f f(x- У) dx dy, а взятый по области О, представить, преобразовав в нем подынтеграль- ное выражение к новым переменным £ и -rj, в виде интеграла по об- ласти Г. 5. Площадь в криволинейных координатах. При выводе фор- мулы замены переменных в двойном интеграле основной шаг состоит в том, чтобы выразить через криволинейные координаты площадь области. Здесь имеет место следующая теорема: Теорема 1.7. Пусть х — х(1, г]), у = у(^, г)) — взаимно одно- значное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое отобра- жение области Г на область О, якобиан которого отличен от нуля. Тогда пл G = f f dxdy = f J" | (1-52) 'o' ' г Доказательству этой теоремы мы предпошлем наглядные рассу- ждения, проводимые «на физическом уровне строгости». (При жела- нии читатель может ими и ограни- читься.) Рассмотрим в области О две па- ры бесконечно близких координатных линий. Пусть первая из этих пар от- вечает значениям £о и + координаты а вторая пара — значе- ниям По и По + ^П Рис. 1.25. координаты rj. Эти координатные линии вырезают в области G бес- конечно малый элемент площади А0А1А3А2, который с точностью до малых выше первого порядка можно считать параллелограммом (рис. 1.26). Сторонами этого параллелограмма служат, очевидно,
60 двойные интегралы [ГЛ. 1 векторы Площадь ds параллелограмма Л0Л1Л3Л2 равна абсолютной величине детерминанта, составленного из компонент векторов Л0А] и Д0Д2, т. е. ds = a6c. вел. дх л дх , -г— dx\ ^-“1 di, ь ду я "1»^- (1.53) А площадь S всей области Q получается суммированием всех таких элементов, т. е. действительно представляется в виде двойного интеграла г где х0, у0> «> b, at к bi — постоянные и взятого по области Г изменения переменных £ и т]. Оформим теперь эти наглядные рассуждения в виде доказательства. При этом мы позволим себе опускать некоторые детали, которые читатель при желании легко восстановит. Кроме того, для упрощения рассуждений мы будем предполагать, что рассматриваемое отображение определено и удо- влетворяет указанным в теореме условиям не только в области Г, но и в некоторой большей области, содержащей внутри себя область Г (вместе с границей). Доказательство теоремы 1.7. Рассмотрим сперва тот элемен- тарный, но, по существу, основной случай, когда рассматриваемая в пло- скости §т) область представляет собой прямоугольник П со -сторонами, па- раллельными осям координат, а ее отображение на плоскость ху есть ли- нейное отображение, определяемое формулами + + Н ]>5 У — Уо + в1?>+ а Ь ai ^1 литической геометрии, образ прямоугольника П при таком отображении будет параллелограммом (обозначим его Р), площадь которого связана с площадью прямоугольника П соотношением пл Р=абс. вел. | пл П (1.55) (докажите это!). Отсюда следует, что любая квадрируемая фигура Ф, лежащая в плоскости gq, переводится линейным отображением (1.54) в 0. Как известно из ана-
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 61 квадрируемую фигуру /•', площадь которой выражается так: пл F — абс. вел. Н I пл Ф. (1.56) Впрочем, для дальнейшего нам понадобится лишь равенство (1.55). Рассмотрим теперь некоторое произвольное (нелинейное) отображение х — x(g, т]), у = у (g, п), удовлетворяющее условиям теоремы. Возьмем в области Г, где это отображение определено, некоторую точку (g0. По) и рассмотрим прямоугольник ёо < ё< ёо + hl, По<Н<По + *2. который мы снова обозначим П (рис. 1.26). С помощью формулы конечных при- ращений запишем отображение этого пря- моугольника на плоскость ху в виде Х = х° + 7Г + 77 a a (L57) У = Уо+-^+-^п+а2. где х0 = х (g0, По), У а = У (ёо, По), значения производных берутся в точке (So, Из) “ а1 = (х^(ё*, п*) — 4 Go- Ho))^ + (4G*- Ю-ЧОо- Ио))^, а2 = (у IG**, И *) - у i (£о« По)) + (Уд (Г, В*) - Уд Go, По)) rfn- (Здесь ёо < V < ё: ёо < ё** < ё1 Ио < Н* < И! По < И** < П-) Первые производные от х и у по g и п по условию непрерывны, а зна- чит, и равномерно непрерывны в замкнутой ограниченной области Г. Следо- вательно, для любого £ > 0 можно выбрать число h настолько малым, что, как только hi + h2 < h, для всех точек (g, п), принадлежащих прямоуголь- нику П, выполняются неравенства | х\(g, п) — 4 Go- Ио) | < е> 14 (ё, и) — Go. По) | < е и аналогично для у& и у^, причем е не зависит от выбора точки (g0, По)- С помощью этих оценок получаем, что | Я[ | < ей, | а21 < ek. (1.58) Сравним теперь нелинейное отображение (1.57) с линейным отображением , дх .. . дх . - , ду , ду , •v=*°+-^-rfs+-^-rfn. У = Уо +<*И, (1-59) которое получается, если в формулах (1.57) отбросить cq и а2. Как мы уже знаем, такое линейное отображение переводит прямоугольник П в
62 двойные интегралы [ГЛ. 1 параллелограмм, который мы снова обозначим Р, причем, 'согласно (1.55), дх дх д1 ОТ] пл Р = абс. вел. пл П. ду 5у К ch) (1.60) Нелинейное отображение (1.57) переводит П в некоторую криволиней- ную фигуру Посмотрим, насколько ее площадь отличается от площади параллелограмма Р. В силу (1.58), для любой точки (g, л)СП | х — х | = | И| | < ей, | у — у | = | а21 < ей, т. е. /(л —л)2 + (у —у)2 < /2 th. Иначе говоря, расстояние между образами одной и той же точки (g, л)СП при линейном (1.59) и нелинейном (1.57) отображениях не превышает 1^2* th. Поэтому если мы заключим границу параллелограмма Р в полоску ширины /2 th, то граница криволинейной фигуры & будет целиком лежать внутри Рис. 1.27. этой полоски (рис. 1.27). Ясно, что пл отличается от пл Р не больше чем на площадь этой полоски. Элементарный подсчет показывает, что площадь такой полоски не превосходит ее ши- рины, умноженной на периметр парал- лелограмма Р. Этот периметр лег- ко оценить. Пусть М выбрано так, что во всей рассматриваемой области Г дх дх ду каждая из производных--^, ~, 0g Од д£ дУ ,, / не превосходит по модулю М (эти производные непрерывны, а значит, и ограничены в замкнутой ограниченной области Г). Тогда из (1.59) сразу следует, что стороны параллелограмма Р не превосходят Mh. Таким обра- зом, периметр Р не больше, чем 4Afh, а площадь полоски, в которую мы заключили границу Р, не превосходит 4^2 tMh2, т. е. не превосходит Следовательно, или, в силу (1.60), У2 tM пл П. пл = пл Р-|-у, пл сЯ = абс. вел. дх ду К пл П + у, (1-61) где | у | < |^2 tM пл П. (1-62)
§ б] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 63 Пусть теперь Ф — многоугольная фигура, лежащая внутри Г и соста- вленная из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, а У — фигура, в которую она переводится отображением х = х (£, т]), у = у (g, г|). Разобьем Ф на прямоугольники Пр полупериметр каждого из которых меньше h. Образы этих прямоугольников в сумме составляют фигуру ^г, а площадь каждого можно представить в виде "МЯШ.Е,“п‘+т'' (1И) 11=11/ где точка (£/, т)() принадлежит прямоугольнику П/ и j | < / 2 еЛ4 пл П/. Просуммировав равенства (1.63) по всем прямоугольникам получаем п п п = = плП/ + ^уг (1-64) Z = 1 Г = 1 6 ч 1 = 1 Т1=Л/ Первое слагаемое в правой части этого равенства представляет собой, очевидно, интегральную сумму, отвечающую интегралу f (16S) ф а второе не превосходит У 2 Me У, пл П/ = У 2 Me пл Ф, 1=1 где е может быть сделано (за счет выбора достаточно мелкого разбиения фигуры Ф) сколь угодно малым. Интеграл (1.65) заведомо существует, так как подынтегральная функция непрерывна. Следовательно, мы можем в ра- венстве (1.64) перейти к пределу, неограниченно измельчая разбиение фигуры Ф. Получим ф Для завершения доказательства теоремы остается сделать переход от много- угольной фигуры Ф, погруженной в область Г, к самой области Г. Этот переход уже не составляет труда. Так как Г квадрируема, то можно найти две такие фигуры Ф1 и Ф2, составленные из прямоугольников *), первая из которых вложена в Г, а вторая объемлет Г, что разность их площадей меньше заданного положительного числа б. Отображение х = х (g, q), У (5, Л) переводит их в две квадрируемые фигуры и г, одна из которых вло- жена в G, а другая объемлет О. Нетрудно показать, что | пл — пл <Г21 < (2тИ2 4- /2 Me) б *) При этом объемлющая фигура Ф2 должна лежать в той области, большей чем Г, в которой, как мы условились, рассматриваемое отображе- ние определено и удовлетворяет условиям теоремы.
64 двойные интегралы [ГЛ. 1 (проделайте это, воспользовавшись равенством (1.64) и тем, что max I < 2Af2^. Тогда тем более I D д) | } | пл О — пл <7*, I < (2М2 + К 2 Me) 6. (1.66) Но <7"] —образ многоугольной фигуры Ф„ следовательно, по доказанному ранее Ф1 . Кроме того, по теореме о среднем Г Ф, - f <1е8> Г-Ф, Из (1.66) и (1.68), учитывая (1.67), получаем InaG-y* J | Dd{^ g рИП | < (4М2 + К 2 Me) б. Так как б произвольно мало, то отсюда вытекает утверждение теоремы. Замечание 1. Основная идея, на которую опирались как изложенное доказательство, так и приведенные выше наглядные рас- Рис. 1.28. сторонами dr и rod<p суждения, состоит в том, что нелинейное отображение х = х(£,, т]), у = у(ь, 1)) в ма- лой области можно аппроксимировать ли- нейным, притом тем точнее, чем меньше область. Собственно говоря, рассмотрение нелинейного функционального соотношения как линейного в бесконечно малом — это основа всего анализа. Пример. Рассмотрим снова полярные координаты. Линии r — rC), г — r0-{-dr, ф = ф0, <р = ф0-|--4?ф вырезают на плоско- сти ху бесконечно малый прямоугольник со (рис. 1.28). Поэтому элемент площади в полярных координатах равен rQdqdr. (Этот же результат вытекает, конечно, и из общей формулы (1.52), поскольку Сле- довательно, площадь в полярных координатах выражается формулой 5 = J J г dr dtp, (1.69)
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 65 где Г — область изменения переменных г и область G ограничена двумя лучами ф — <рх г — г (<р), т. е. имеет вид, изображенный на эту область на плоскости Гф), то, преобразо- вав двойной интеграл (1.69) в повторный, по- лучим Ч>2 rW S — J d<p J г dr. Ti о Выполнив здесь интегрирование по г, на- ходим Фг 5 = У f Г2 (ф) £?ф. ф. В частности, если и ф = ф2 и кривой рис. 1.29 (изобразите Ч>1 Это — известная формула площади в полярных координатах (см. вып. 1, гл. 11, § 2). Замечание 2. Из формулы (1.53) ясен геометрический смысл абсолютной величины якобиана RS*' R . Обозначим этот якобиан, л) для сокращения записи, ./(£, т]) и рассмотрим отображение области Г на область О, определяемое формулами х = х(£, Т]). У = У(.1< П)- Это отображение переводит лежащий в Г бесконечно малый прямо- угольник (рис. 1.30), ограниченный прямыми и имеющий площадь dt, г/г], в параллелограмм, площадь которого равна |У(^, n)| d^.
66 двойные интегралы [ГЛ. I Следовательно, |J(|, я)| представляет собой коэффициент растяжения площади (в точке (£, я)) ПРИ отображении области Г на О. Замечание 3. В теореме 1.7 мы предполагали, что отображение х = х (%, я). У = У (£ П) области Г на область G взаимно однозначно. Однако выражение (1.52) для площади в криволинейных координатах сохраняет силу и в том случае, если это условие нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий. Рассмотрим Рис. 1.31. в качестве типичного примера ото- бражение прямоугольника 0 г а, О ф 2л на круг, отвечающее введению полярных координат по формулам x = rcos<p, у = г sin <р. (1.70) Это отображение ловиям теоремы точек, лежащих 0 С х а. Возьмем удовлетворяет ус- 1.7 всюду, кроме на отрезке у = 0, в плоско- СТИ Гф прямоугольник 0<^ф<^2л — е, а в плоскости ху— область, отвечающую этому прямоугольнику при отображении (1.70) (рис. 1.31). Для этих областей формула (1.52) верна (так как там условия 1) — 3) выполнены). Если теперь перейти к пределу при р->0 и е—>0, то получим, что формула (1.52) остается справедливой и для всего рассматриваемого круга г а. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в общем слу- чае произвольного отображения, взаимно однозначного всюду, кроме отдельных точек или линий. 6. Замена переменных в двойном интеграле. Полученное нами выражение (1.52) площади в криволинейных координатах позволяет легко найти и общую формулу замены переменных в двойном инте- грале. Рассмотрим интеграл J f f(x, y)dxdy, Q (1.71) где область G ограничена кусочно-гладким контуром L, а функ- ция /(х, у) или непрерывна в этой области (включая границу) всюду, или же ограничена в ней и непрерывна всюду, кроме некоторого множества площади нуль. Пусть функции х — х (S,, я) и у — у (%, я) определяют соответ- ствие между точками области G и точками некоторой области Г, удовлетворяющее всем тем предположениям, при которых была уста- новлена формула (1.52), выражающая площадь области G в криво-
S 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 67 линейных координатах. Разобьем область Г на части Г; некоторой системой кусочно-гладких кривых. Соответствующие им кусочно- гладкие кривые разобьют область О на части Oz площади ASZ. Выбрав в каждой из этих частей QL произвольную точку (xz, yz), составим интегральную сумму 2 f(xi’ i=l (1-72) отвечающую интегралу (1.71). Применив к каждой из частичных областей Gz формулу (1.52), получим Г, Обозначив якобиан символом J(^, т]) вместо вавшись теоремой о среднем, будем иметь D (х, у) D& п) и воспользо- = <)| д«„ где Aoz— площадь области Г). Заменив в интегральной сумме (1.72) каждую из величин ASZ найденным выражением, получим 01^(0 OIA<v Точка (с*, г]*) получается в результате применения теоремы о сред- нем, и выбор ее в каждой из частичных областей Г\ от нас не зависит. Напротив, точка (xz, yz) выбирается в каждой из частичных областей Gz совершенно произвольно. Поэтому мы можем положить т. е. выбрать ту точку области Gz, которая соответствует точке (?*’ Л*) области Г,. Тогда рассматриваемая интегральная сумма при- мет вид п ч!). у(«. <))|J(i;. oi4’.- а это не что иное, как интегральная сумма для интеграла f f 7(x(l. n). У& n))P(l. (1.73) г Этот интеграл существует, так как подынтегральная функция в об- ласти Г либо непрерывна, либо ограничена и непрерывна в Г всюду,
68 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 1 кроме точек некоторого множества, имеющего площадь нуль. Если теперь неограниченно измельчать разбиение области Г на части Г(-, то, в силу непрерывности соответствия, диаметры областей также будут стремиться к нулю. При этом рассматриваемая интегральная сумма должна стремиться, с одной стороны, к двойному интегралу (1.71), а с другой — к интегралу (1.73). Следовательно, эти инте- гралы равны f ff (х, у) dxdy = f f л), У (I, П))1Ж (1-74) о г Это и есть формула замены переменных в двойном интеграле. Итак, если Q — замкнутая ограниченная область с кусочно- гладкой границей и f(x, у) — заданная в этой области функ- ция, непрерывная всюду или же ограниченная и непрерывная всюду, кроме некоторого множества площади нуль, и если фо рмулы х = х (I, п). У = У (В. Л) устанавливают соответствие между точками области G и точками некоторой области Г в плоскости £т|, удовлетво- ряющее условиям 1) — 3) п. 1, то имеет место формула замены переменных (1.74). Равенство (1.74) справедливо и в тех случаях, когда условия взаимной однозначности, непрерывности и непрерывной дифференци- руемости соответствия между областями G и Г нарушаются в отдель- ных точках или вдоль конечного числа кривых площади нуль. В двойном интеграле, как и в однократном, замена перемен- ных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удоб- ному для его вычисления. Необходимо, однако, подчеркнуть, что в случае двух переменных возникает одно новое обстоятельство. В то время как для однократного интеграла замена переменных делается лишь с целью упрощения подынтегрального выражения, при вычислении двойных интегралов стремятся упростить не только инте- грируемую функцию, но и ту область, по которой берется интеграл. Последнее обстоятельство, настолько важно, что иногда имеет смысл пойти даже на некоторое усложнение подынтегральной функции, но зато получить простую область интегрирования. Пример. Вычислить j'j'dxdy, где G — область, ограниченная о эллипсом = 1- Здесь подынтегральная функция тождественно равна 1, т. е. является простейшей из всех возможных. Однако для вычисления этого интеграла зсе же имеет смысл сделать замену
§ 6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 69 переменных, положив x = apcos<p, y = Z?psin(p. (1.75) Якобиан такого преобразования равен abp. Область интегрирова- ния при этом переходит в прямоугольник О <р < 2л, О С р 1. Переходя к новым переменным и записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем 2л 1 J J dx dy — ab J dtp J p dp = nab. a oo Упражнения. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми ху = 1, ху — 2, у = х2, у = 2х2. Указание. Принять за новые переменные 1 = ху, (1-76) 2. Нарисовать сети координатных линий, отвечающие заменам (1.75) и (1.76). 7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной области. Формула (1.74) аналогична формуле замены переменной в опреде- ленном интеграле ь 6 (1-77) J f(x)dx = J f(x (0) х' (/) dt а а с той только разницей, что в случае одной переменной производной х' (f) (играющей здесь роль якобиана), водная. Причина этого различия состоит в том, что ь грал I / (х) dx берется по орквитированному берется не модуль а сама эта произ- определенный инте- отрезку [а, 6] и при а перестановке пределов меняет знак, а двойной интеграл берется по не- oi p и е н т и р о в а н н о й области. Если бы мы условились в определенном интеграле пределы интегрирования всегда ставить так, чтобы нижний предел был не больше верхнего, то формула (1.77) (где х = х (t)— монотонная функция) приняла бы вид ь ₽ J f (х) dx = а а (Проверьте это!) С другой стороны, можно было бы в случае двойных интегралов ввести понятие ориентации области и приписывать площади такой области знак плюс или минус. За ориентацию области принимается выбор определенной ориентации (направления обхода) ее границы. Именно, область называется ориентиро- jf(*(t)) l*'(i)idt. (1.78)
70 двойные интегралы [ГЛ. I ванной положительно, если при движении по ее границе область остается слева от наблюдателя (рис. 1.32). представляющая в криволинейных области G, имеет вид В противоположном случае область назы- вается ориентированной отрицательно. Если площадь области G (неориенти- рованной) равна S, то площадь этой области, взятой с положительной ориен- тацией, положим равной опять-таки S, а площадь отрицательно ориентирован- ной области Сбудем считать равной—S. Можно показать, что отображение х = х (£, т])> У = У (5- Л) области Г на G сохраняет ориентацию, если его якобиан положителен, и меняет ориентацию, £) (х, у) „ _ ж если < 0, Поэтому формула, координатах площадь ориентированной S-f г (без знака модуля); аналогично меняется и формула (1.74).
ГЛАВА 2 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В предыдущей главе мы ввели понятие двойного интеграла. Сей- час мы определим интеграл от функции трех переменных, так назы- ваемый тройной интеграл. Тройные интегралы, подобно двойным, находят широкое применение в различных физических и геометриче- ских задачах. Некоторые из этих задач будут рассмотрены в § 3. Между тройными интегралами и двойными существует почти полная аналогия. Те доказательства, которые не отличаются сколь-нибудь существенно от доказательств соответствующих утверждений для двой- ных интегралов, мы будем, как правило, опускать. В § 5 этой главы будет дано понятие о многократных интегралах, т. е. об интегрировании функций произвольного числа независимых переменных. § 1. Определение и основные свойства тройного интеграла 1. Предварительные замечания. Объем пространственной фи- гуры. Понятия внутренней точки области, границы, замкнутой обла- сти, диаметра и т. д., определенные в § 1 гл. 1 для плоскости, пе- реносятся без всяких изменений на случай трехмерного пространства. Вводя двойной интеграл, мы пользовались понятием площади. Аналогично определение тройного интеграла опирается на понятие объема пространственной фигуры. Определение объема многогранника мы считаем известным из эле- ментарной геометрии. Распространить это понятие на более широкий класс фигур можно так же, как в § 1 гл. 1 мы распространили по- нятие площади с многоугольных фигур на криволинейные квадрируе- мые фигуры. Изложим вкратце соответствующие рассуждения. Объем V (Р) многогранного тела (т. е. тела, составленного из конечного числа многогранников) представляет собой неотрица-* тельную величину, обладающую следующими свойствами:
72 ТРОЙНЫЕ и многократные интегралы [ГЛ. 2 1 (монотонность). Если Р и Q — два многогранных тела и Р содержится в Q, то V(P)<V(Q). 2 (аддитивность). Если Р и Q — два многогранных тела без общих внутренних точек, то V(P-bQ) = V(P) + V(Q). 3 (инвариантность). Если многогранные тела Р и Q кон- груэнтны между собой, то их объемы равны. Эти три свойства должны быть сохранены при распространении понятия объема с многогранных тел на более общий класс куби- руемых тел. Возьмем произвольное пространственное тело*) Фи рас- смотрим всевозможные вложенные в него многогранные тела; точную верхнюю грань их объемов назовем внутренним объемом тела Ф (если тело Ф таково, что внутрь него вообще нельзя поместить ни одного невырожденного многогранного тела, то его внутренний объем мы положим по определению равным нулю). Точную нижнюю грань объемов многогранных тел, объемлющих тело Ф, мы назовем его внешним объемом. Если внешний объем тела Ф равен его внутреннему объему, то это общее их значение называется просто объемом тела Ф, а само это тело называется кубируемым. Ана- логично теореме 1.2 доказывается следующая теорема: Теорема 2.1. Тело Ф кубируемо в том и только том случае, если для любого & > 0 найдутся два таких много- гранных тела РсгФ и <2^>Ф, что V(Q)~V(P)<e. Мы скажем, что некоторое множество имеет объем нуль, если его можно поместить внутрь многогранного тела сколь угодно малого объема. Пользуясь этим понятием, мы можем теорему 2.1 сформу- лировать так: Чтобы тело Ф было кубируемо, необходимо и доста- точно, чтобы его граница имела объем нуль. Этот критерий позволяет установить кубируемость достаточно широких классов тел. Например, кубируемо всякое тело, составлен- ное из конечного числа криволинейных цилиндров, каждый из кото- рых имеет квадрируемое основание, а сверху ограничен поверхностью, задаваемой уравнением z—f(x, у), где / (х, у) — непрерывная функ- *) То есть некоторое ограниченное множество точек в пространстве.
§ 1] СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 73 ция. Объем каждого такого цилиндра представляется двойным инте- гралом f f f(x> y)dxdy, а взятым по основанию этого цилиндра. Другой важный класс кубируемых тел — это пространственные области, ограниченные конечным числом гладких *) поверхностей. Доказательство того, что область, ограниченная гладкими поверхно- стями, кубируема, по существу, аналогично доказательству того, что гладкая кривая имеет площадь нуль, но несколько более громоздко. Мы не будем приводить его. Повторив рассуждения, проведенные в п. 4 § 1, можно устано- вить справедливость следующих утверждений: 1) Если Oj и Ф2 — два кубируемых тела, то их объедине- ние Ф — кубируемое тело, и если тела Ф] и Ф2 не имеют общих внутренних точек, то объем Ф равен сумме объемов Ф! и Ф2, 2) Пересечение (общая часть) двух кубируемых тел есть ку- бируемое тело. Замечание. Обратим внимание на то, что к понятию объема у нас имеются два различных по форме подхода. С одной стороны, мы определили объем криволинейного цилиндра с квадрируемым основанием G, ограниченного сверху поверхностью z — f lx, у), как двойной интеграл f ff(x, у) dx dy. о С другой стороны, мы ввели понятие объема кубируемого тела с по- мощью аппроксимации такого тела (изнутри и снаружи) многогран- ными телами. Можно, однако, показать, что для достаточно широкого класса тел (во всяком случае, для тел, ограниченных кусочно-глад- кими поверхностями) оба эти подхода равносильны. 2. Определение тройного интеграла. Пусть на кубируемом теле V задана ограниченная функция f(x, у, z). Разобьем V на части Vt и, произвольно выбрав в каждой из Vt некоторую точку (£Р т];, Сг), составим сумму п Г = Л/. (2-1) i = l где Д©г — объем элемента V t, а сумма берется по всем элементам разбиения. Введем следующие определения. *) Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой ка- сательной плоскости меняется непрерывно.
74 ТРОПНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Определение 1. Пусть D — наибольший из диаметров d(Vt) элементов Vt, на которые разбито тело V. Число J называется пределом интегральных сумм (2.1) при D—>0, если для любого е > 0 найдется такое & > 0, что |Г — J| < е, как только D <6. Иначе говоря, неравенство |Т — <е должно выполняться для каждой интегральной суммы Т, отвечающей любому разбие- нию {У,}, для которого D <6, и любому выбору точек (^, т]г, £;) в каждом из У(-. Определение 2, Если предел интегральных сумм (2.1) при D->G существует, то он называется тройным интегра- лом от функции f(x, у, z) по V и обозначается символом J J* J* f(x, у, z)dv или J* J* j" f(x, у, z)dxdydz. Функция /(х, у, z) при этом называется интегрируемой по V. 3. Условия существования тройного интеграла. Интегрируе- мость непрерывных функций. Как и в случае одной или двух пе- ременных, не всякая ограниченная функция /(х, у, z) интегрируема. Для нахождения достаточных условий существования тройного инте- грала используют обычно, как и в случае двойных или однократных интегралов, верхние и нижние суммы Дарбу. Пусть /(х, у, ^ — ограниченная функция, заданная на кубируемом теле V, (VJ—некоторое разбиение этого тела и Afz, т{ — соответ- ственно точная верхняя и точная нижняя грани значений функции /(х, у, z) на У/. Тогда п п и ^m-i&Vt i = l i = l (здесь Дт>/ — объем элемента Vz) называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции /(х, у, z) и данного раз- биения {тела У. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу, сфор- мулированные в § 2 гл. 1, дословно переносятся на случай трех переменных. С помощью рассуждений, в точности повторяющих доказатель- ство теоремы 1.3, доказывается следующее необходимое и достаточ- ное условие существования тройного интеграла: Теорема 2.2. Ограниченная на кубируемом теле V функция f (х, у, z) интегрируема по У в том и только том случае, если для любого ё > 0 найдется такое разбиение тела У, что разность между верхней и нижней суммами Дарбу для функ- ции /(х, у, z), отвечающими этому разбиению, меньше е.
§ 1] свойства тройного ИНТЕГРАЛА 75 С помощью этого критерия устанавливаются следующие теоремы, аналогичные теоремам 1.4 и 1.4' для двойных интегралов. Теорема 2.3. Всякая функция f (х, у, z), непрерывная в зам- кнутой ограниченной*) области V, интегрируема в этой области. Теорема 2.4. Если функция f(x, у, г) ограничена в замкну- той ограниченной*) области и непрерывна в этой области всюду, кроме, быть может, точек, принадлежащих некото- рому множеству объема нуль, то f (х, у, г) интегрируема по этой области. 4. Свойства тройных интегралов. Основные свойства тройных интегралов вполне аналогичны свойствам двойных интегралов. Пере- числим их. 1—2 (линейность). Если fi(x, у, z) и /2(х, У> 2) интегри- руемы по области V, a и k2 — постоянные, то интегрируема по V и f f f ^1/1 У' Я + Ьъ/Лх, у, z)]dv — V — f f У’ z^>dv+^ f f f /г(х, У> z)dv. V V 3 (аддитивность). Если V — объединение двух тел и У2 без общих внутренних точек и f(x, у, z) интегрируема по V\ и по V2, то f (х, у, z) интегрируема по V и f f f f (х, у, z)dv = f f f f (x, y, z)dv -J- f f f f(x, y, z)dv. v v, 4 (монотонность). Если f\(x, у, z)^-f2(x, у, z) и обе эти функции интегрируемы по V, то J f f У> z)dv>f f f A О- У- z) dv- V V 5 (оценка интеграла по модулю). Если f (х, у, г) инте- грируема по V, то |/(х, у, z)l также интегрируема и f f f f (х, у, z) dv^ C f f f lf(x, У. z)ldv. V I V *) И кубируемой. Условие кубируемости мы в дальнейшем всегда будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз особо.
76 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 6 (теорема о среднем). Если функция f(x, у, z) интегри- руема по V и удовлетворяет неравенствам m^f(x,y,z)^M, то mv </ f f f(x, у, z)dv Mv, V где v — объем тела V. Для непрерывных функций теорема о среднем может быть сфор- мулирована так: 6'. Если функция f{x, у, z) непрерывна, а V — связная зам- кнутая ограниченная область, то в области V найдется такая точка (£, q, С), что f f f f(x- У- z)av = f(l< Д О®- v 5. Тройной интеграл как аддитивная функция области.. Ана- логично функциям области на плоскости можно ввести понятие функ- ции пространственной области*). Примером такой функции (опре- деляемой на всех кубируемых телах) может служить объем области. Далее, если пространство (или некоторая его часть) заполнено мате- рией, то, ставя в соответствие каждой области ту массу, которая находится внутри этой области, мы опять-таки получим некоторую функцию области в пространстве. Объем и масса обладают уже зна- комым нам свойством аддитивности, которое формулируется здесь точно так же, как и для плоского случая: функция области E(V) называется аддитивной, если для любых двух областей и У2> для которых F(V') определена и которые не имеют общих внутрен- них точек, F(Vj + y2) определена и Если /(х, у, z) — интегрируемая функция, то тройной интеграл f f f ^Х’ У’ Z)dV’ V рассматриваемый как функция области интегрирования, представляет собой аддитивную функцию области (свойство 3 и. 4). Аналогично двумерному случаю вводится понятие производной аддитивной функции области в пространстве по объему, а именно: число А мы назовем пределом отношения Е(У) v *) Термин «область» мы здесь употребляем как синоним термина «куби- руемое тело».
ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 77 § 21 (где v — объем области V) при стягивании V к точке /Ио, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что для всякой области V, целиком помещающейся в шаре радиуса б, с центром в точке тИ0. Этот предел называется производной функ- ции F (V) по объему в точке Мо и обозначается Если F(V)— масса, содержащаяся в области V, то ее производ- ная по объему (если она существует) представляет собой плотность р(х, у, z) пространственного распределения масс. Из теоремы о среднем для тройного интеграла и из непрерыв- ности подынтегральной функции сразу вытекает, что производная интеграла от непрерывной функции по объему существует и совпа- дает с подынтегральной функцией ^.1 f J ^Х' У’ ^dv = f(x' У- *)• V причем этот интеграл представляет собой единственную аддитивную функцию области в пространстве, производная которой по объему есть заданная непрерывная функция /(х, у, z). § 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геометрии Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с вычислением тройных интегралов. 1. Вычисление объемов. Если V — кубируемое тело, то тройной интеграл J J* J dxdydz (2.2) v равен объему этого тела. Действительно, этому объему равна каждая из интегральных сумм, отвечающих интегралу (2.2). Тройные инте- гралы в некоторых случаях бывают удобнее для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно записать сразу объем не только криволинейного цилиндра, но и любого кубируемого тела. 2. Нахождение массы тела по плотности. Если дано некото- рое тело с объемной плотностью р(х, у, г), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл I I I р(х, У> z) dx dy dz.
78 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 взятый по всему объему, занимаемому этим телом, представляет собой массу данного тела. Вывод здесь вполне аналогичен выводу формулы для нахождения массы пластинки по ее плотности. 3. Момент инерции. Проводя обычный предельный переход от системы материальных точек к непрерывно распределенной массе, легко получить следующие выражения для моментов инерции отно- сительно координатных осей тела с объемной плотностью р(х, у, г): Jz—f f J(*2 + y2)P(*- у. z^dxdydz, V /y = ff J (x2 + z2) p (x, y, z)dxdydz, J J (y24-z2)p(x, y, z)dxdydz. Момент инерции относительно начала координат выражается фор- мулой /0 = f f f (x2-j-y2-hz2)p(x, у, z)dxdydz. v 4. Вычисление координат центра масс. Координаты центра масс некоторого тела, имеющего объемную плотность р(х, у, z), выражаются формулами: J f J" ХР (х, у, z) dx dy dz f f f УР ^x’ dz %_______v___________________. у _____ v_____________________. J* J" J* p (x, y, z) dx dy dz f f f p (x’ y’ dx dy V V f f f zp (x, y, z) dx dy dz V___________________ J* f f P(x, y, z) dx dy dz V Z. которые получаются с помощью тех же рассуждений, что и в слу- чае двух измерений. В частности, если рассматриваемое тело одно- родно, т. е. р(х, у, z)~ const, то выражения для координат центра масс принимают более простой вид: fffydv х dv ff fsdv
§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 79 5. Притяжение материальной точки телом. Пусть даны тело, заполняющее область V и имеющее плотность р(х, у, z), и мате- риальная точка (лежащая вне V) с координатами (х0, у0, z0) и мас- сой т. Найдем силу, с которой материальная точка притягивается телом. Рассмотрим элемент объема тела dv. Масса этого элемента равна р(х, у, z)dv, а сила, с которой он притягивает материальную точку, равна по величине 7 тр (х, у, z) dv , где y — постоянная тяготения (зависящая от выбора единиц) и г = /(* — х0)2 + (у — у о)2 + (^ — ^о)2, а направление ее совпадает с направлением вектора г, соединяющего точки (х0, у0> z0) и (х, у, г). Рассмотрим компоненту этой силы вдоль оси х. Эта компонента равна (х — х0) тр (х, у, z) dv (2.3) (поскольку косинус угла между осью х и вектором г равен —-—. Для того чтобы получить проекцию Fx на ось х силы, с которой притягивает материальную точку все тело, нужно просуммировать элементы (2.3), т. е. взять тройной интеграл. Итак, Г'-/// утр (х, у, z) (х — х0) р ~~ dv. Аналогично получаются и две другие компоненты: Fy = f f J V.^(^ У^(У-Уо) dv. V Fz = f f f YWP (•*• У'_£) (г ~ го) dv. Замечание. Следует подчеркнуть, что в рассматриваемых здесь за- дачах о нахождении координат центра масс, моментов инерции и т. д., равно как и в аналогичных задачах, о которых шла речь в § 4 предыдущей главы, полученные нами формулы представляют собой, собственно говоря, опреде- ления соответствующих понятий (центра масс, моментов инерции и пр.) для случая непрерывного распределения масс. Оправданием этих определений служат, в конечном счете, не логические рассуждения, а совпадение резуль- татов экспериментов с расчетами, основанными на этих определениях.
80 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 § 3. Вычисление тройного интеграла Как и в случае двойных интегралов, основной прием, на кото- ром базируется вычисление тройных интегралов, состоит в сведении интеграла к повторному, т. е. к замене интегрирования по объему интегрированием по каждой из переменных в отдельности *). Задачу о сведении тройного интеграла к повторному мы рассмо- трим сначала для случая, когда интеграл берется по некоторому параллелепипеду со сторонами, парал- лельными осям координат. 1. Сведение тройного интеграла по параллелепипеду к повторному. Рассмотрим тройной интеграл f f f f(x> У- z) dxdydz, Q в котором область интегрирования Q представляет собой прямоугольный па- раллелепипед: а-^х-^Ь, c^y^d, k^z^l (рис. 2.1), проектирующийся на плоскость ху в прямоугольник Р, определяемый неравенствами a^x^b, c<^y^.d. Имеет место следующая Теорема 2.5. Если для функции f(x, у, z) существует, тройной интеграл У / У У’ Q и если для каждой фиксированной точки (х, у) из Р суще- ствует интеграл i /(х, У) = J f(x> у, z)dz, k то повторный интеграл i J fdxdy J f(x, у, z)dz р k *) Здесь мы имеем в виду точное вычисление интеграла. Для прибли- женного вычисления кратных интегралов сведение их к повторным, как пра- вило, не применяется.
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 81 существует и имеет место равенство i ff у' = f fdxdy f f(x, у, z)dz. (2.4) Q P k Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о сведении двойного интеграла к повторному (см. тео- рему 1.5). Оно сводится к установлению того факта, что любая интегральная сумма, отвечающая при некотором разбиении интегралу J* J*/(x, y)dxdy, заключена между нижней и верхней суммами Дарбу, р отвечающими тройному интегралу Предположив, что интеграл f f f ^Х' У’ Z’>dV' Q d = J / (X, y)dy c (при любом фиксированном x, a^x^.b) также существует, мы можем в формуле (2.4) интегрирование по прямоугольнику Р заме- нить повторным интегрированием, сначала по у, а потом по х. Сде- лав это, мы можем переписать равенство (2.4) в следующем виде: ь d I J J* J* f(x, у, z) dv = J dx f dy f f(x, y, z)dz. (2.5) Q ack Это и есть формула, сводящая вычисление тройного интеграла по параллелепипеду Q к последовательному интегрированию по каждой из трех переменных в отдельности. В формуле (2.5) интеграл справа берется сначала по z, потом по у и, наконец, по х. Мы могли бы, предположив существование интегралов ь d Л(у. *) = f f(x, у, z)dx и Л(д) = /Л(У- а с получить аналогичную формулу / а ь J* J У /(х, yt ^dv — j' dz I dy j* f(x, у, z)dx, Q k c a а также (опять-таки при условии существования соответствующих однократных и двойных интегралов) и другие аналогичные формулы, сводящие тройной интеграл к повторному, взятому по х, у и z в той или иной последовательности. В частности, если /(х, у, г) непрерывна, то как тройной, так и все возможные двойные и одно- кратные интегралы от этой функции существуют, поэтому при
82 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 вычислении тройного интеграла от непрерывной функции можно инте- грировать по переменным х, у и z в любой последовательности. 2. Сведение тройного интеграла по криволинейной области к повторному. Рассмотрим теперь криволинейную область V, кото- рая снизу и сверху ограничена поверхностями z^z^x, у) и г = г2(х, у), а сбоку — некоторой G — проекция области И на Рис. 2.2. цилиндрической поверхностью, и пусть плоскость ху (рис. 2.2). Будем такую область кратко называть «цилиндри- ческой по г». Пусть в области V за- дана функция f (x, у, Z), интегрируе- мая в этой области и такая, что для любой фиксированной точки (х, у) ив О существует однократный интеграл *2 (X, У) J f(x> У> z)dz. *1 (х, у) Заключим область V в некоторый па- раллелепипед Q: a^x^b, c<^.y^.d, k^.z^l, и определим на Q вспомогательную функцию /*(х, у, z), положив Г(х, ( /(х, у, z) в V, У- о вне V. Ясно, что /*(х, у, z) интегрируема по Q и что J / f У' z')dv^ / / f f(x’ у’ z^dv' <2-6> Q v Применив к /*(х, у, z) формулу (2.4), получим i f f f Г(х< У> z)dv = j’ fdxdy J y, z)dz, (2.7) Q P k где P — проекция Q на плоскость ху. В силу того, что /*(х, у, z) равна нулю вне V, имеем I z2(x, у) J f*{x’ У< z)dz= J /(х, у, z)dz. (2.8) А у) Этот интеграл представляет собой функцию от х и у, равную, оче- видно, нулю вне области О. Поэтому двойной интеграл от нее, взя-
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 83 тый по Р— проекции параллелепипеда Q на плоскость ху,— сов- падает с интегралом от нее же, взятым по О. Таким образом, учи- тывая (2.6) и (2.8), равенство (2.7) можно переписать в следующем виде: z2(x, у) J J* f f(x, у, z)dx dy dz = J J dxdy J f(x, y, z)dz. (2.9) v a zdx, y) Итак, мы получили следующий результат: Теорема 2.6. Если для функции f(x, у, z), заданной в области V, цилиндрической по z, существует тройной ин- теграл f f f У> z>dv> v а для каждой фиксированной точки (х, у), принадлежащей проекции G области V на плоскость ху, существует инте- грал х,{х, у) I (х, у)= J f(x, у, z)dz, zl (х, у) то повторный интеграл Zj(X, у) dxdy J* f(x, у, z}dz а г,(Х, у) существует и имеет место равенство (2.9). Выражение Zj (х, у) / (х, у)= J f(x, у, z)dz Z1 (X, У) представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функ- ции и той области G, по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 1.6, то двойной интеграл J / (х, у) dx dy а можно в свою очередь представить в виде повторного, взятого, ска- жем, сначала по у, а потом по х. В результате получаем равенство ь у2 (х) га (х, у) J J J /(х, у, z)dv = J dx J dy J /(х, у, z)dz. (2.10) V а У1(х) Z((x,y) Это и есть окончательная формула, сводящая тройной интеграл к по- вторному. Ясно, что мы могли бы поменять ролями переменные х,
84 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 у и z и свести тройной интеграл к повторному, взятому в каком- нибудь ином порядке, например, сначала по х, потом по у и, нако- нец, по z. При этом всегда пределы интегрирования по какому-либо переменному зависят от тех координат, по которым мы еще не ин- тегрировали. При выводе формулы (2.9) мы пользовались тем, что каждая прямая, параллельная оси z, встречает границу области V не более: чем в двух точках. Если область имеет более сложный вид, то для сведения взятого по ней тройного интеграла к повторному нужно эту область предварительно разбить на такие части, к каждой иа которых формула (2.9) применима. С аналогичным положением дел мы уже встречались в случае двойных интегралов. Подводя итог сказанному выше, сформулируем кратко «рецепт» сведения тройного интеграла к повторному (для определенности бу- дем считать, что повторный интеграл берется сначала по z, а по- том по остальным переменным). 1. Область, по которой берется тройной интеграл, следует раз- бить на такие части, чтобы граница каждой из этих частей пересе- калась любой вертикальной прямой не более чем дважды. Ниже бу- дем рассматривать только одну такую часть. 2. Зафиксируем х и у, т. е. рассмотрим некоторую прямую, па- раллельную оси г. Пусть zr(x, у) и z2(x, у) — точки пересечения этой прямой с границей области интегрирования; гг(х, у) и z2(x, у) являются пределами для интегрирования по z. 3. После интегрирования по z мы получаем функцию двух пере- менных х и у; ее область определения — это проекция простран- ственной области V на плоскость ху. Двойной интеграл от этой функции двух переменных заменяется повторным так, как это было, описано в § 5 гл. 1. По существу, формула сведения тройного интеграла к повторному осно- вана на той же самой «группировке слагаемых», с которой мы уже имели дело. Вместо того чтобы суммировать элементы f (х, у, z) dx dy dz в ка- ком-то произвольном порядке / т. е. брать J" J £ f (х, у, z)dxdy dz\, мы \ V / сначала собираем все слагаемые, отвечающие одному столбику над точкой («2 (X, У) \ т. е. берем J" / (х, у, z) dx I, затем собираем вместе все стол- 21 (X, У) / бики, лежащие в сечении области V плоскостью х = const т. е. вычисляем у2(х) г2(х,у) j dy f f{x,y,z)dz У1(х) ?!(-*, У) и, наконец, собираем вместе все такие сечения
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 85 т. е. получаем формулу * Уа(ж) f f ff(x.y.z)dv=fdx f У a y,(x) z,(x, у) z, (X, y) Пример. Тройной интеграл, взятый по х2-4— у2 + z2 а2, шару записать в виде повторного. Ответ. f f f f(.x, у, z~)dv — x!+y:+z2<aJ Уа2-х2 -а -Уа2-хг Уа2-х2-у2 У f(x’ У- z)dz. -У а2-х2-у'' § 4. Замена переменных в тройном интеграле Мы уже встречались с заменой переменных в двойном интеграле (§ 6 гл. 1) и в однократном (вып. 1, гл. 6, § 2). Здесь мы рассмотрим вопрос о замене переменных параграфа во многом ана- логично §6 гл. 1. 1. Отображение про- странственных областей. Рассмотрим два экземпляра трехмерного пространства. Пусть в одном из них вве- дены координаты х, у, z, а в другом — координаты к], £. Пусть, далее, V и Q— две области в этих про- странствах, ограниченные кусочно-гладкими поверхностями S и S соответственно (рис. 2;3). Предположим, что между точками этих областей установлено взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие. Это соот- ветствие может быть записано с помощью х = х (I, г]. Z), У = У (ё. П. 0. или с помощью обратных функций | = £(х, у, г), Т]== п(х, у, z), Предположим, что функции (2.11) и (2.12) не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда якобианы в тройном интеграле. Содержание этого Рис. 2.3. трех функций z = z (|, я. С) £ = £(х. У. Z). D U у. г) D & Т]. О D (5, n. □ D (x, y, z) (2.U) (2.12)
86 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 существуют и непрерывны. Мы будем предполагать, что каждый из этих якобианов отличен от нуля. При этих условиях выполняется соотношение D (х, у, z) D (|, Ц. □ _ . ,9 , о,. D& я, О ‘ D (х, у, г) — ь Как и в двумерном случае, можно показать, что соответствие, опре- деляемое формулами (2.11) и (2.12), переводит внутренние точки одной области во внутренние точки другой, а граничные точки — опять-таки в граничные. 2. Криволинейные координаты в пространстве. Отображе- ние (2.11) переводит область Q в V. Следовательно, задание точки (£, Л- ?) из вполне определяет соответствующую точку (х, у, z) из V. Иначе говоря, величины £, т]> £ можно рассматривать как координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области V. Они называются криволинейными координатами. Рассмотрим в Q плоскость, определенную условием £ = |0, т. е. параллельную координатной плоскости г£>. Отображение (2.11) пере- водит ее в некоторую поверхность. Декартовы координаты точек этой поверхности суть *) х = х(£0, т], £), y = y(lQ, т]. £). z = т]. О- (2.14) Придавая различные значения, мы получим некоторое семейство поверхностей, зависящее от £ как от параметра. Плоскости г) —const и = const переходят при отображении (2.11) в два аналогичных семейства поверхностей в области V. Эти три семейства поверхно- стей называются координатными. Через каждую точку области V проходит по одной поверхности каждого из трех семейств (при усло- вии взаимной однозначности отображения (2.11)). 3. Цилиндрические и сферические координаты. Рассмотрим две наиболее употребительные системы криволинейных координат в пространстве — цилиндрические и сферические координаты. а) Цилиндрические координаты. Определим положение точки М в пространстве ее декартовой координатой z и полярными коорди- натами г, <р ее проекции на плоскость ху (рис. 2.4). Величины г, ф, z называются цилиндрическими координатами точки М. Непосредственно из чертежа видно, что они связаны с декартовыми координатами точки М следующими соотношениями: Х = ГС03ф, у = Г51Пф, z — z. (2.15) *) Выражения (2.14) представляют собой так называемые параметрические уравнения поверхности. Подробнее о параметрических уравнениях поверх- ности будет сказано в гл. 3.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 87 § 4J Цилиндрическим координатам отвечают следующие три семейства координатных поверхностей: а) цилиндры г — const (0 г < оо), 0) вертикальные полуплоскости ф = const (0 ф у) горизонтальные плоскости z — const (— оо < Якобиан, соответствующий к цилиндрическим, равен переходу от < 2 л), Z < со), декартовых координат D [х, у, г) _ D (г, <р, г) СОЗф — г sin ф О 0 0 = г. 1 (2.16) устанавливающие sin ф г cos ф О (2.15), декартовыми и цилиндри- Формулы связь между ческими координатами, определяют отоб- ражение области 0 % г < оо, 0 ф Рис. 2.4. 2л, — оо < z < оо (2-17) пространства переменных (г, ф, z) на все пространство (х, у, z). При этом каждой точке (0, 0, z0) отвечает в области, определенной неравенствами (2.17), целый полусегмент г = 0, 0<ф<2л, Таким образом, в точках, лежащих на оси z, наше отображение не является взаимно однозначным. Во всех остальных точках простран- z = z0. ства (х, у, z) рассматриваемое соответствие бу- дет, очевидно, взаимно однозначным. б) Сферические координаты. Определим положение точки М в тремя величинами: а) расстояние р до М, 0) угол 9 между тельным направлением оси z, у) угол ф между проекцией ОМг отрезка ОМ на плоскость ху и положительным на- правлением оси х (рис. 2.5). Величины р, 9 и ф называются сферическими координата- ми точки М. Из чертежа видно, что декар- точки М связаны с ее сферическими координа- соотношениями: х = р81п9созф, у »рsin 9 sinф, z = pcos9. (2.18) Сферическим координатам отвечают следующие три семейства коор- динатных поверхностей: пространстве следующими от начала координат О отрезком ОМ и положи- товы тами координаты следующими
88 ТРОПНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 а) сферы р= const (0<^р<оо), Р) полуконусы 0 = const (0 0 л), у) вертикальные полуплоскости ф = const (0 <р < 2л). Якобиан, соответствующий переходу от декартовых координат к сферическим, равен sin 0 cos ф pcos 0 cos ф -psin 0 sin ф sin 0 sin ф pcos 0 з!пф p sin 0 cos ф cos 0 — psin 0 0 = p2 sin 0. (2.19) Формулы (2.18) определяют отображение области (полубесконеч- ный брус) 0<^р'<со, О<0< л, 0<^ф<2л (р, 0, ф) на все пространство (х, у, z). Это отобра- отображение, отвечающее цилиндрическим координатам, пространства жение, как и взаимно однозначно во всех точках пространства (х, у, х), кроме точек, лежащих на оси z. Каждой точке (О, О, z0) отвечает полу- сегмент р = z0, 0 = 0 (или 0 = л, если z0 < 0), 0 ф < 2л, а точке (0, 0, 0) отвечает прямоугольник р = 0, О-^0<(л, 0<^ф< 2л. 4. Элемент объема в криволинейных координатах. Найдем теперь выражение элемента объема в криволинейных координатах. Рассмотрим снова некоторую пространственную область V, в кото- рой введены криволинейные координаты g, тр £, связанные с декартовыми координата- ми х, у, z формулами X = X (|, Т]. £). У = У (£. п. 2). 9 9П. Z = Z&. Т), £). ( } Функции х(|, Т], С), у(£, т], 5) и г(£, т], £) мы предполагаем непрерывными и имеющи- ми непрерывные производные, а якобиан D (х, у, г) считаем отличным от нуля. D (g, т]. С) ? пары бесконечно близких между собой коорди- Рассмотрим три натных поверхностей. Пусть первая из этих пар задается фиксиро- ванными значениями первой координаты, равными соответственно | и вторая — значениями т] и второй координаты и третья — значениями С и третьей координаты. Эти три пары поверхностей вырезают в пространстве бесконечно малый криволи- нейный параллелепипед. Найдем его объем dv, пренебрегая вели- чинами выше первого порядка малости по сравнению с этим объе- мом. С точностью до бесконечно малых высшего порядка этот па- раллелепипед совпадает с прямолинейным параллелепипедом, ребрами которого служат векторы PPV РР2 и РР-Л (рис. 2.6). Легко про-
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 89 верить, что эти векторы имеют следующие координаты (мы опять здесь ограничиваемся главными членами) ".=(£«• dg 5 ду , -4-ЙТ1, di] 1 dg <4 5W- <4 Как известно, объем параллелепипеда, построенного на трех векто- рах, равен абсолютной величине детерминанта, составленного иа координат этих векторов. Следовательно, дх dz „ -dF^ "df^ дх , ду . дг , -d?^ -d? = ± dx dg dx dt] dy dz ~d£ dy dz dt] dt] dt, dr\dZ, ^-dZ — d£ dx dy dz dt, * dg s dg s dg где знак плюс или минус берется так, чтобы все выражение было, положительно. Итак, мы получим, что dv = \J& г], Q\dldi]d£, (2.21) где J(£, Т|, £) = У' &------якобиан преобразования (2.20). 5. Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана. Мы показали, что объем бесконечно малого эле- мента выражается в криволинейных координатах формулой (2.21). Из нее сразу следует, что объем конечной области V записывается в виде тройного интеграла *) JJ/m n. (2.22>. <2 взятого по той области Q изменения переменных £, т], £, которая, переводится в область V отображением (2.20). Из этого выражения для объема формула замены переменных получается с помощью следующих рассуждений, аналогичных изло- женным в п. 6 § 6 гл. 1. *) Мы опустили здесь те оценки, которые в § 6 гл. 1 были проведены для двух переменных. Читатель, разобравший доказательство теоремы 1.7, легко воспроизведет аналогичное доказательство и для данного случая. Здесь, как и в случае двух переменных, основная идея состоит в аппроксимации нелинейного отображения малой области подходящим ее линейным отображением.
SO ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Пусть f (х, у, г) — непрерывная функция, заданная в замкнутой ограниченной области V. При этих предположениях интеграл f f f f(x< У- z)dxdydz (2.23) v существует. Он представляет собой предел интегральных сумм вида п yz, (2.24) z=i Пусть формулы (2.20) устанавливают соответствие между об- ластью V и некоторой областью £2 изменения переменных £, т), £, причем это соответствие удовлетворяет условиям, указанным в п. 1. В силу этого соответствия, каждому разбиению {V)} области V на части отвечает определенное разбиение (£2Z) области £2, и обратно. Согласно (2.22) можно объем Avz области Vt представить в виде д^=f f JVa. n- Применив к этому интегралу теорему о среднем, получим = № «)1А^ где Acoz— объем частичной области £2;, а (£*, т]*, £*)— некоторая точка, принадлежащая £2Z. В сумме (2.24) каждая из точек (xz, yz, zz) выбирается внутри соответствующей области VL произвольно. В частности, можно в ка- честве (xz, yz, zt) взять ту точку, которая имеет криволинейные координаты £*, т]*, £*. Следовательно, интегральную сумму (2.24) можно переписать в виде ч;. Q. У(& 4 Q. <. <. c;jp»,. (2.25) т. е. в виде интегральной суммы, отвечающей интегралу f f f/(x& n. £). У& n- 0. n. ?))!•/(£. n. (2.26) ц Этот интеграл заведомо существует, уак как подынтегральная функ- ция в нем непрерывна. Рассмотрим некоторую последовательность неограниченно измельчающихся разбиений области V. Ей отве- чает, в силу отображения (2.20), определенная последовательность разбиений области £2, причем если максимум диаметров областей Vt стремится к нулю, то максимум диаметров областей £2Z тоже стре-
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 91 мится к нулю. Этой последовательности разбиений отвечает последо- вательность интегральных сумм, каждую из которых можно записать в виде (2.24) или в виде (2.25). Предел этой последовательности интегральных сумм (2.24) равен интегралу (2.23), а предел сумм (2.25) есть интеграл (2.26). Таким образом, интегралы (2.23) и (2.26) пред- ставляют собой пределы одних и тех же интегральных сумм. Следо- вательно, они равны, т. е. Iff ^х' у' z^dv = v :)> у(^ т>- z(& т’’ (2-27) о Итак, если задано взаимно однозначное отображение зам- кнутой ограниченной области V на область Q, непрерывное, непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан, и если f(x, у, z)— непрерывная функция, опреде- ленная в этой области V, то имеет место формула (2.27)— формула замены переменных в тройном интеграле. Нетрудно показать, что она справедлива не только для непре- рывной функции /, но и для ограниченной функции, непрерывной в V всюду, кроме точек, образующих множество объема нуль. Вернемся снова к формулам (2.20), устанавливающим соответ- ствие между областью V изменения переменных х, у, z и областью Q изменения переменных £, т], £. Это соответствие переводит лежащий в Q бесконечно малый параллелепипед £о<£<£о + ^. ПоС'ЛС'ПоЧ-^'П. + объем которого равен do = d\ dt» в криволинейный параллелепи- пед, определяемый теми же неравенствами, с объемом dv — ]У(£, л. (2.28) Следовательно, модуль якобиана |J(£, т], £)|—это отношение бес- конечно малых объемов, отвечающих друг другу при отображении (2.20) (рис. 2.7). В простейших случаях якобиан, отвечающий той или иной замене переменных, можно найти, пользуясь выражением (2.28) для элемента объема, из чисто геометрических соображений, не проводя вычисле- ний. Покажем это на примерах цилиндрических и сферических коор- динат. Цилиндрические коо рдинаты. Рассмотрим элемент объема, заключенный между тремя парами бесконечно близких координатных поверхностей, а именно, двумя цилиндрами радиусов г и r-\-dr, двумя горизонтальными плоскостями, лежащими на уровнях z nz-\-dz.
92 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 и двумя полуплоскостями, проходящими через ось z и составляющими с осью х углы ф и ф-f-Ap. Ограниченный ими элемент объема представляет собой, с точностью до малых высшего порядка, прямо- угольный параллелепипед с ребрами dr, dz и rdq (рис. 2.8). Его объем равен г dr d(f dz, откуда видно, что якобиан перехода от декартовых координат к ци- линдрическим равен г. Сферические координаты. Рассмотрим область, ограниченную двумя сферами радиусов г и r~г/г, двумя полуконусами, опреде- ляемыми углами 0 и 0-|-d0 (отсчитываемыми от оси д), и двумя полуплоскостями, составляющими углы ф и ф + dtp с плоскостью xz.
$ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 93 Эту область можно считать прямоугольным параллелепипедом с реб- рами г </0, dr и г sinQrfcp (рис. 2.9). Следовательно, объем этого параллелепипеда равен г2sin О dr d0 dtp, откуда видно, что соответствующий якобиан равен г2sin 0. § 5. Понятие о многомерных интегралах 1. Общие сведения. Те определения и факты, которые в первой главе были изложены для двух переменных, а в этой —для трех, могут быть перенесены на случай любого числа переменных. Именно, прежде всего определяется объем «-мерного параллелепипеда. В соответствии с известными из аналитической геометрии фор- мулами, представляющими площадь параллелограмма и объем парал- лелепипеда в виде детерминантов, за объем «-мерного параллелепи- педа принимается абсолютная величина детерминанта, элементами строк (или столбцов) которого служат координаты векторов, образующих ребра этого параллелепипеда. Далее, отправляясь от объема парал- лелепипеда, нетрудно ввести объем для многогранных «-мерных тел, а затем определить объем и для некоторого класса областей в «-мер- ном пространстве. После этого интеграл от функции « перемен- ных /(хр х2.......хл) вводится как предел соответствующих инте- гральных сумм; «-кратный интеграл от /(хР х2.......х„), взятый по некоторой «-мерной области Q, обозначается символом J f f f (Х1’ Х2.........Хп) dXl dX2 dxn- о При соответствующих условиях, налагаемых на область G и на подынтегральную функцию, «-кратный интеграл может быть записан с помощью « последовательных интегрирований по каждому перемен- ному в отдельности, т. е. в виде J J ’ ’' J ?(хр Х2......Хя) dXi dXi ’ ’ ‘ dXn = О b Л2)(х1) хп\х1...хл-1) = fdxi f dx2 ... j' f(xlt x2...................... xn)dx„. a IX X Д1) IX X X X2 (1) xn (X1..xn-l) Формула замены переменных в «-кратном интеграле аналогична соответствующим формулам для двойных и тройных интегралов, а именно, если xi = xi(y1, у2.......... уп), /=1, 2........... п,
94 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 ТО f • f f<xi...x„)dx1 ... dxn = О •=// .....л).......*.Oi.......у»))Х где Г — область изменения переменных у1( уп. 2. Примеры. Для «.-кратных интегралов остаются в силе все основные факты, изложенные выше для двойных и тройных инте- гралов. Не останавливаясь на общих вопросах теории п-кратных интегралов, рассмотрим некоторые простейшие примеры. 1) Взаимное притяжение двух материальных тел. Хотя реальное физическое пространство, в котором мы живем, имеет только три измерения, существуют разнообразные конкретные задачи, в которых приходится рассматривать интегралы кратности большей трех. В качестве простейшего примера такого рода укажем формулу для силы взаимного притяжения двух материальных тел конечных размеров. Пусть одно из этих тел занимает некоторую область О и имеет объемную плотность р(х, у, z), а другое занимает область G' и имеет объемную плотность р'(х', у', z') (нам удобно обозначить декартовы координаты точек одного и другого тела разными симво- лами). По закону Ньютона направленная по оси х компонента dFx силы притяжения, действующей между двумя бесконечно малыми элементами do — dx dy dz и dv' = dx' dy' dz' объемов этих двух тел, равна у.Р (•*!.?’ У’ г1(х — х') dx dy dz dx' dy' dz', (2.29) где у — постоянная и Г = V(x — x')2 Ч- (У — У')2 + О ~ -И2 • Для того чтобы получить полную величину компоненты Рх силы взаимодействия между рассматриваемыми телами, нужно просуммиро- вать выражения (2.29) по всем элементам объема обоих тел. Иначе говоря, компонента Рх силы взаимного притяжения тел, заполняющих области G и G', равна yj J" I У* j* Р(х’ У- г)р^х ’ У ’ г"> (х—х') dx dy dz dx' dy' dz'. GxG' (2.30)
§ 5] ПОНЯТИЕ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 95 Аналогично записываются и две остальные компоненты. При этом точка (х, у, z) пробегает всю область О, а точка (х', у', z') неза- висимо пробегает всю область G'. Таким образом, интеграл (2.30) берется по области в шестимерном пространстве, которую естественно обозначить О X О' и назвать «произведением» областей G и G'. 2) Рассмотрим интеграл In — f f .. . J dXi dx2 ... dxn, (2.31) a взятый по области G, определяемой неравенствами Xj^-0, x2>0, .. ., xn>0, xi + X2~l~ ••• Сводя интеграл (2.31) к повторному, получаем 1П = J f ... J dxldx2 ... dxn = а 1 1-xl l-X]-.r2- ... -Xn_j ~ ! dxif dx2 ... J dxn. 0 0 0 Выполнив интегрирование по хя и подставив пределы, получим 1 1-ж1 ••• ~ХП-3 !n = fdXlj dx2... f (1—хх—... —xn_i)dxn_!. 0 0 0 Далее, проинтегрировав no x„_t и подставив пределы, будем иметь 1 1-xi ••• _лгл-з In = fdx.f dx2... f ~-Хя-2)2 dxn_2. 0 0 о Продолжая последовательно интегрирование, окончательно получим _ с (1-х.Г-1 __1_ —J (п-1)! п! ’ о 3) Объем n-мерного шара, «-мерный шар радиуса а с центром в начале координат — это совокупность тех точек «-мерного про- странства, координаты которых удовлетворяют условию + ••• + *«О2- Объем Vn такого шара — это интеграл J" f ... f dxx dx2 ... dxn. Xj+Xj+ ... +x2<a2
96 ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Вычислить этот интеграл можно следующим образом. Положив х( — ау, получим Vn^anUn. где Un — объем шара радиуса 1. Далее, так как Un= f f ... f dxxdx2 ... dxn = то, положив xrt = cosO, получим Л 2 U„ = 2U„_l J sin" 0 de. (2.32) о Приняв во внимание, что Ul — 2 (одномерный шар радиуса 1 — это отрезок [—1, 1], а одномерный объем — это длина), мы можем по- следовательно найти U2, U3 и т. д. *). *) С помощью эйлеровых интегралов (см. гл. 10, § 3, в частности при- мер 3) можно дать явное выражение для Un.
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе мы применим дифференциальное и интегральное исчисления к изучению геометрических объектов — кривых и поверхностей. Исследование геометрических образов средствами анализа составляет содержание дифференциальной геометрии. Рамки этого курса позволяют нам изложить лишь основы дифферен- циальной геометрии, которая представляет собой обширную науку, тесно связанную с механикой, теорией дифференциальных уравнений и другими дисциплинами. § 1. Вектор-функции скалярного аргумента 1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность. Кри- вые и поверхности удобно задавать функциями, принимающими векторные значения (короче, в е к т о р-фу н к ци я м и). Поэтому мы начнем главу с того, что кратко сформулируем основные понятия анализа применительно к вектор-функциям. Мы можем при этом не входить в подробности, так как нового (по сравнению со случаем скалярных функций) здесь будет немного. Определение. Пусть каждому значению переменной t, принадлежащему отрезку [а, &], поставлен в соответствие вектор \ r(/) = x(/)i + y(Oj + ^(Ok- (3-1) \ ( ) Такой вектор называется век- х то р-фу нкци е й скалярного ар- гумента t. рТ С вектор-функцией г (0 связыва- ются следующие наглядные представ- ис‘ ’ ’ ления. Если откладывать от начала координат векторы г(/), отвечающие различным значениям аргумента t, то концы этих векторов составят некоторую кривую — график вектор- функции г (/), обычно называемую годографом функции г(/)(рис. 3.1).
98 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ геометрии [ГЛ. 3 Если рассматривать аргумент t как время, то годограф функции г (0 — это траектория движения некоторой точки. Постоянный вектор R = а! bj 4~ ск называется пределом г(0 при /—>0, если lim | г (/) — RI = 0, (3.2) где | г (0 — R | — длина вектора г (t) — R. Это условие равносильно трем скалярным условиям: limx(0 = a, lim у (t) — b, lim z (f) — c. (3.2') t-¥t$ Вектор-функция r(0 называется непрерывной в точке t0, если lim r(0 = r(0). Вектор-функция r(t) непрерывна в точке t0 тогда и только тогда, когда все т р и ее компоненты — скалярные функции х (t), у (t), z (t) — непрерывны в точке t0. (Докажите это!) Сумма, разность, ска- лярное и векторное произведения непрерывных вектор-функций не- прерывны. (Проверьте это!) 2. Дифференцирование вектор-функции. Вектор-функция г (0 называется дифференцируемой в точке t, если существует предел lim дг-»о АГ (О д/ lim г (/ + Д0 — г (t) Ы Этот предел называется производной вектор-функции г (0 и обозна- чается символами , г'(0 или г(0. Легко проверить, что суще- ствование г' (0 равносильно существованию трех производных х' (0, у' (0 и z'(f), причем г' (0 = х' (0 i 4- у' (0 j 4- z' (t) k. Вектор направлен по секущей годографа функции г(0 (рис. 3.2), а направление вектора ~ — это направление предельной прямой, к которой стремится эта секущая, когда точка Л41 прибли- жается к М, т. е. направление касательной к годографу в точке М. Кинематически г' (0 — это скорость точки, движущейся по за- кону г(0. Для вектор-функции имеют Место следующие правила дифферен- цирования: 1) если г (0 = const, то т' (t) = 0; 2) (Ar (t))' = kr' (t), A = const;
§ 1] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 99 3) (и (/) г (/))' = и' (/) г (/) -|- и (t) г' (/), и (/) — скалярная функция; 4) (г1(0±г2(0)' = т;(0±Г2(0; 5) (Г, (/), Г2 (0)' = (Г; (0. г'(0); 6) [гт(/), г2(/)]' = [г'(/), r2(O]~Hrj(O> ^(0) (здесь необходимо сохранять порядок сомножителей); 7) если г = г(О и t = t(x), то dt dr dt dt dt dr — правило дифференцирования сложной вектор-функции. Доказательство этих правил мы предоставим читателю. Отметим следующие частные случаи дифференцирования вектор- функции: а) Производная вектора постоянного направления. Пусть вектор г(t) имеет постоянное направление (т. е. от t зависит лишь его длина). Тогда векторы г (0 и г' (0 коллинеарны. Дей- ствительно, в этом случае г (0 мож- но записать в виде'; г(О = «(Ое, где «(/)— скаляр, а е — постоянный вектор, например единичный. Тогда г'(0=и' (0 е, т. е. г' (0= г (О- б) Производная вектора постоянной длины. Если |г(£)|== = const, то векторы г (t) и г' (t) взаимно ортогональны. Действи- тельно, в этом случае (г (0, г' (f)) = const; дифференцируя это равен- ство, получаем 2(г(0, г'(0) = О, т. е. (г(0, г'(0) = О, что и требовалось. Геометрический смысл этого соотношения очень прост. Если |г(01 = Я. то годограф функции г (t) лежит целиком на сфере ра- диуса R с центром в начале координат. Касательная к такой кривой лежит в плоскости, касательной к сфере, и, следовательно, перпенди- кулярна радиусу-вектору г(0, идущему в точку касания. Дифференциалом вектор-функции г (t) называется вектор dr = dx- i dy - j + dz k. Иначе говоря, dr = x' (t) dt • i + y' (0 dt • j z' (0 dt • k = r' (t) dt.
100 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 т. е. дифференциал вектор-функции равен произведению ее произ- водной на дифференциал (т. е. приращение) независимой переменной. Как и в случае скалярной функции, дифференциал dr вектор-функции отличается от ее приращения Дг на величину выше первого порядка малости относительно Д/. 3. Годограф. Особые точки. Мы назвали годографом вектор- функции г(/) ту кривую, которую описывает конец вектора г(/) при изменении t, если его начало все время находится в некоторой фикси- рованной точке. Если r(Z)— дифференцируемая вектор-функция, то вектор г'(0 там, где он не равен нулю, направлен, как мы видели, по касатель- ной к годографу. Точки, в которых производная т' (t) не существует или существует и равна могут иметь различный 0, называются особыми. Эти особые точки характер. Приведем несколько примеров г) Рис. 3.3. (рис. 3.3). При движении точки по закону г (t) путь может пред- ставлять собой «гладкую» кривую, однако скорость v (t) = г' (/) при t^-ty может стремиться к нулю. Материальная точка испытывает остановку в момент t — t0. Это — особенность самого движе- ния, но не той геометрической кривой, по которой движется точка (рис. 3.3, а). В других случаях такая остановка может сопрово- ждаться изменением направления пути (излом; см. рис. 3.3, б). Это — особенность как самого движения, так и соответствующей геометри- ческой кривой. Может оказаться, что на кривой имеется излом, но скорость г' (/) при приближении к этой точке не стремится к нулю (рис. 3.3, б). Здесь точка испытывает толчок, меняющий ее скорость скачком. Далее, кривая, по которой происходит движение, может иметь точку возврата (рис. 3.3, в), причем скорость материальной точки вблизи этой точки также может либо стремиться к нулю, либо меняться
§ 1] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 101 скачком. Наконец, при t—>t0 движение г (Z) может просто «замирать» и не возобновляться при t > t0. Это—«покой» в конце пути (рис. 3.3, г). Эти и различные другие особенности движения представляют интерес при изучении конкретных случаев; вместе с тем они затрудняют при- менение общих методов. Мы будем в дальнейшем такие особенности исключать и рассматривать движения, для которых r'(f) всюду суще- ствует и не обращается в нуль. 4. Формула Тейлора. Для вектор-функции имеет место формула Тейлора г (t + At) = г (0г' (0 At +1 г" (О А/2 + ... +1 (г(«> (/) 4-«) АГ. (3.3) где а — вектор, стремящийся к нулю при At -> 0. Действительно, применив формулу Тейлора к каждой из трех компонент *) x(t), y(t) и z (t) вектора г (/), получим = + +• • • (0+at) А/" и еще два аналогичных равенства для у и г. Умножив эти равенства соответственно на i, j и к и сложив, получим формулу (3.3). Мы видим, таким образом, что основные понятия и правила диф- ференциального исчисления легко и без существенных изменений пере- носятся со скалярных функций на векторные. Следует, однако, иметь в виду, что такой перенос все же нельзя делать совершенно автоматически. Например, известная формула конечных прираще- ний (вып. 1, гл. 8, § 9) для вектор-функций несправедлива. (Постройте пример!) б. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу. Для вектор-функции г(/), заданной на отрезке как и для обычных скалярных функций, можно составить интегральные суммы и рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины отрезков, на которые разбит отрезок [а, Ь\. Этот предел называется интегралом от г(£) по отрезку [а, 6] и обозначается символом ь J* г (Z) dt. а *) Мы, разумеется, предполагаем, что компоненты х(£), у (0> хг(ОвектоР' функции г(^) удовлетворяют тем условиям, при которых формула Тейлора для каждой из них имеет место.
f x(t)dt-\-j • J y(f)^4-k-J z(t)dt. j и (C r' (t) dt c, J* r (0 dt a 102 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Как и для скалярных функций, можно установить, что если r(t) непрерывна на [а, 6], то этот предел существует. Легко видеть, что существование предела одной векторной инте- гральной суммы п /=1 (здесь д = ^0</1< ... — t^^Xf^t?) равносильно суще- ствованию пределов трех скалярных интегральных сумм для трех компонент х(/), у(0> 2 (О функции г(/). При этом b b ь ъ J r(0^ = i • а а а а На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства интегралов от скалярных функций. Например, ь ь J и' (t) г (0 dt — u (t>) r(b) — и (а) г (а) — а а — формула интегрирования по частям; и (/) — скалярная функция. Легко выводятся также формулы, связывающие интегрирование с основными операциями векторной алгебры. Например, ь f [С, r(t))dt = а где с — постоянный вектор. 6. Векторные функции нескольких скалярных аргументов. Можно рассматривать векторные функции не одного, а нескольких скалярных аргументов (в частности, с вектор-функциями двух ска- лярных аргументов мы встретимся в этой главе при изучении поверх- ностей). На такие функции легко переносятся понятие частной произ- водной и другие понятия анализа. § 2. Пространственные кривые 1. Векторное уравнение кривой. Вектор-функции скалярного аргумента представляют собой удобный способ задания кривых в про- странстве. Действительно, если нам задана некоторая непрерывная вектор-функция г (t) (a t b), то, построив ее годограф, мы полу- чим некоторую кривую у в пространстве.
$ 21 Пространственные кривые 103 Обратно, если задана тем или иным способом некоторая кри- вая *) у, то можно попытаться задать ее с помощью вектор-функции. Для этого поступим следующим образом: Мы скажем, что кривая у параметризована, если каждой ее точке поставлено в соответствие определенное значение некоторого параметра t, пробегающего какой-то отрезок [а, £>], причем это соот- ветствие взаимно однозначно**) и непрерывно в каждой точке отрезка [а, Ь\ (последнее условие означает, что-если t—>/0, то и расстояние между точками г (tQ) и г (f) кривой тоже стремится к нулю). Если кривая у параметризована, то радиус-вектор каждой точки этой кривой определяется соответ- ствующим этой точке значением парамет- / pa t, т. е. ------ г = r(Z) (г = xi + yj + zk). (3.4) С Это соотношение называют параметра- j ческим (векторным) уравнением кри- п / вой у. Ясно, что векторное уравнение (3.4) У *у можно заменить тремя скалярными урав- ( / нениями: Х — Х (f), у = у (f), z = z (t). Пользуясь термином, введенным в Рис- предыдущем параграфе, можно сказать, что, параметризуя кривую, мы представляем ее как годограф некото- рой вектор-функции г (/). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые и такие их параметризации, для которых соответствующая вектор-функ- ция г (t) трижды непрерывно дифференцируема. Пример. Положим r(0 = iacos/-]-ja:sinZ-|-kM. (3.5) Это параметрическое уравнение определяет кривую, называемую вин- товой линией (рис. 3.4). Рассматривая ту или иную кривую, мы можем выбрать для нее различные параметризации. Например, если кривая у задана уравне- нием г = г (t), a-^t ^b, то, положив t = t (т), а т р, где t(x)— монотонная функция такая, что t' (т) > 0, t(<3.) — a, t($) — b, мы можем принять т за новый параметр и писать уравнение *) Мы не уточняем здесь самого понятия кривой. Некоторые сведения по этому поводу содержатся в вып. 1, гл. 11, § 1. **) Это условие означает, что мы рассматриваем кривые, не имеющие точек самопересечения.
104 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 кривой y в виде г = г(/(т)). Во многих случаях удобна так называемая натуральная пара- метризация кривой, когда за параметр принимается длина дуги этой кривой, отсчитываемая от фиксированной точки. Переход от какого-либо параметра на кривой к натуральному параметру может быть осуществлен следующим образом: пусть у — некоторая кривая и t — какой-либо параметр на ней. Выберем на у некоторую точку Af0, отвечающую значению параметра t — и назовем ее начальной точкой. Возьмем на у произвольную точку М. Длина I дуги Л40Л4 выражается, как известно, формулой t ________________ i 1= J* Vх'2 у'2 -|- z'2 dt *), т. е. I — J | г' (t) | dt, h to где t — значение параметра, отвечающее точке М. Эта формула определяет I как однозначную и непрерывную функцию от t-. 1 = 1 (Z). Если функция r(Z) такова, что г' (/) нигде не обращается в нуль, то всюду /'(/)=# 0 и, следовательно (см. вып. 1, гл. 11, § 1), t можно представить как однозначную и непрерывную функцию от I: t = t (I). Положив r = r(Z(Z)), мы представим г как функцию дуги I, т. е. получим натуральную параметризацию кривой. Пример. Рассмотрим снова винтовую линию (3.5). Для нее dl = ya2 sin21 -j- a2 cos21 -|- b2 dt = a2 + b2 dt, т. e. I = У a2 -f- b21. Переходя к параметру Z, мы можем переписать уравнение винтовой линии в виде г (Z) = 1 a cos 1 -I- ja sin ______- -f- kb 1 . " Уа2 + Ь2 J /a2-)-Z>2 /a24-Z>2 Замечание. Если в уравнении г = г (Z) *) По существу, эта формула означает следующее: кривая (x (Z), у (/), z (t)) рассматривается как «ломаная» с бесконечным числом бесконечно малых звеньев (dx, dy, dz). Длина отдельного звена дается теоремой Пифа- гора и равняется К(dx)2 -f- (dy)2 + (dz)2 = У(х' (t) )2 + (у' (t) )2 + (*’ (t) )2 dt. t «Сумма» длин этих «звеньев», т. е. интеграл § ^х'2 у'2 -j- z'2 dt, и равна 6 длине кривой.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 105 § 21 параметр t представлять себе как время, то кривую, определяемую этим уравнением, можно рассматривать как траекторию точки, дви- жущейся из начального положения со скоростью r'(Z). Но по одной и той же кривой точка может двигаться разными способами: зада- нием кривой определяется лишь направление скорости в каждый момент, но не ее величина. Можно, в частности, рассмотреть случай, когда скорость движения г' по модулю тождественно равна единице. Именно это и будет иметь место в случае натуральной параметри- зации кривой. Действительно, dr = idx jdy-[-kdz, следовательно, I dt_ I _ K(rfx)24-(dy)2 + (d^)2 = dl_ _ j 3 6 I dl I dl dl ' \ • f Таким образом, различные параметрические уравнения одной и той же кривой можно кинематически представлять себе как законы движения частиц, описывающих одну и ту же траекторию с разными скоро- стями. При этом уравнение r==r(Z). где I — длина дуги описывает движение частицы со скоростью, по модулю равной единице. 2. Основной трехгранник. Рассмотрим кривую, заданную урав- нением г = г(/). (3.7) В каждой ее точке М (отвечающей значению /) единичный вектор *) т = г (Z) определяет направление касательной к этой кривой. Вектор г — т ортогонален т, как производная вектора постоянной длины (см. п. 2 § 1). Разделив его на | г |, мы получим единичный вектор **) , = ти. (3.8) ортогональный т. Присоединим еще к т и v вектор ₽ = [т, V]. (3.9) *) Здесь и дальше мы будем обозначать производные от г по натураль- ному параметру символами г, гит. д., сохранив обозначения г', г" и т. д. для производных по произвольному параметру. **) В тех точках, где г = 0, вектор v не определен. Такие точки (они называются точками спрямления) мы в дальнейшем будем исключать из рассмотрения.
106 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Векторы 1, v и Р образуют тройку взаимно ортогональных единич- ных векторов, которая называется основным репером или основным трехгранником кривой (3.7) в данной точке (рис. 3.5). Этот трехгранник жестко связан в каждой точке с рассматриваемой кри- вой, поэтому вид самой кривой можно пол- л ностью охарактеризовать, описав движение ос- Р новного трехгранника при перемещении его вершины по кривой. Отметим, что векторы т, v и f удовлетво- —• ряют, кроме соотношения (3.9), еще двум ана- рис 3 5 логичным соотношениям: [V, р] = т, $, t] = v. Векторы т, у, р называются соответственно единичными векторами касательной, нормали и бинормали. 3. Формулы Френе, Движение основного трехгранника задается скоростями изменения векторов т, у и £, т. е, их производными по I. Вычислим эти производные. Производную вектора ф, т. е, вектор г, мы уже рассматривали. Введя обозначение k — | г |, мы запишем эту производную в виде т = Ау, где k — неотрицательное число. Рассмотрим теперь вектор £. Его производная р, как и произ- водная всякого единичного вектора, перпендикулярна ему. Кроме того, она перпендикулярна т. В-самом деле, = У] и, значит, Р = [т, у]-}-[т, у] = [/гу, у]-}-[-с, v] = [т, у], а этот вектор перпен- дикулярен т. Вектор р перпендикулярен р и т, следовательно, он коллинеарен у. Поэтому можно положить Р = — ху, где х — числовой коэффициент *). Наконец, вычислим у. Имеем * = <Г = [fL 's] + l₽. т] = [—ху, т]-HP* £v] = — Ax-j-xp. *) Этот коэффициент может быть как положительным, так и отрица- тельным. Обозначение —х (а не х) удобно для дальнейшего.
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 107 Итак, мы получили для производных х, v и р следующие формулы: т= Av, (3.10) v = — kx Ч-хР, (3.11) Р = — zv. (3.12) Они называются формулами Френе*). Эти формулы содержат две скалярные величины: А и и. Величина А называется кривизной кривой, а х — кручением. Геометрический смысл кривизны и кру- чения мы рассмотрим несколько позже. 4. Вычисление кривизны и кручения. По определению А = |г|. (3.13) Таким образом, для вычисления кривизны кривой г = г (/) достаточно найти вектор г(/) и вычислить его длину. Для вычисления кручения х возьмем равенства г = х, г — Av и продифференцируем последнее из них еще раз по I. Воспользо- вавшись формулой (3.11) для V, получим г = Av — А2т 4- А%р. Из трех последних равенств следует, что (г. г, ?) = АЧ (3.14) (г, г, г) откуда х = ^2 ' т- е- (3.15) № Формулы (3.13) и (3.15) позволяют вычислить кривизну А и кру- чение х при натуральной параметризации кривой. Если же кривая задана уравнением Г = Г (/), где г (f) — трижды дифференцируемая функция какого-то произволь- ного параметра t, то, рассматривая t как функцию длины дуги I, получим dr _ dr dt d2r _ d2r IdtV . dr d2t dl ~~ dt ' dl ’ dl1 ~ dt2 \dl) dt dl2 ’ d3r _ rf3r i \3 d2r dt d2t . dr d3t (3.16) dl3 — dt3 \~dl I + d dt2 dl dl2 "I- dt dl3 ‘ ) Жан Ф p e и e — французский математик (1801—1880).
108 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ геометрии [ГЛ. 3 Первое из этих равенств можно переписать так: , dt Т —Г 777 . dl откуда (поскольку |т|=1) ^мы считаем, что t и I возрастают в одном и том же направлении, т. е. что > о) • Далее, взяв векторное произведение первых двух равенств (3.16), будем иметь г dt d2t 1 Г dr d2t 1 (<# \3 L dl ’ dl2 J — L dt ’ dt2 J ( dl J ’ Г dt d?r ] , e ИЛИ, поскольку =«P> *P = [r'(O. r"(01(^)3. (3.18) Так как |p| = l, то из (3.17) и (3.18) получаем <3.19) Наконец, подставляя выражения (3.16) в равенство (3.14), получим (г' (/). Г" (0, х"' (0) (3.20) Из двух последних равенств получаем окончательную формулу для кручения: _ (г'(О. г"(0, (0) ~ |[г'(0.г"(0П2 (3.21) Упражнение. Вычислить кривизну и кручение винтовой линии г = i a cos t j a sin t k bt. Замечание. Вернемся еще раз к формулам (3.16). Они пока- зывают, что векторы г' и х" выражаются линейно через векторы г и г. Иначе говоря, векторы х' и х" определяют ту же самую пло- скость, что и векторы г, г, а именно, соприкасающуюся плоскость. Таким образом, соприкасающаяся плоскость кривой (в данной точке) может быть определена как плоскость, в которой лежат векторы х' (t) и г" (/) (какой бы ни была параметризация кривой). Если предста- влять себе t как время, а уравнение г=г(7)
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 109 как закон движения точки, то можно сказать, что соприкасающаяся плоскость — это та плоскость, в которой лежат векторы скорости и ускорения движущейся точки. 5. Система координат, связанная с основным трехгранником. Три вектора т, v и £ определяют в каждой точке кривой г(/) свою систему координат, в которой координатными осями служат: 1) касательная (ее направление определяется вектором t), 2) главная нормаль; ее направление определяется вектором v) и 3) бинормаль (ее направление определяется вектором ^). Координатными плоскостями в этой системе служат: 1) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная t (т. е. плоскость, в которой лежат главная нормаль и бинор- маль); она называется нормальной плоскостью кривой г —г(/)в точке М; 2) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная v; она называется спрямляющей плоскостью; 3) плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная fl (т. е. плоскость, в которой лежат г и г); она называется1] сопри- касающейся плоскостью. Эта система координат называется сопровождающей системой координат. Ра сположение этих прямых и плоскостей показано на рис. 3.6. Задача. Для кривой г = г (Z) написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали, а также нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостей в точке г0 — г (Zo). Решение. Векторное уравнение прямой, проходящей через точку с радиусом-вектором г0 в направлении вектора а, имеет вид р — г0 + Ха, — оо < X < со, а уравнение плоскости, проходящей через точку с радиусом-векто- ром г0 и ортогональной вектору п, пишется так: (р — г0, п) = 0. Отсюда сразу получаем следующие уравнения: р = г04~Хг0 (касательная), р = г0-j~Xr0 (главная нормаль), р — r0-f- X (г0, г0] (б и н о р м а л ь), (р — г0, г0) = 0 (нормальнаяплоск (р — г0, г0) = 0 (с п р я м л я ю щ а я п л о с (касательная), (главная нормаль), (бинормаль), (нормальная плоскость), (спрямляющая плоскость), (р — г0, (г0, г01) = 0 (соприкасающаяся плоскость) (здесь г0= r(Z0), г0=г(/0), r0=r(Z0)).
110 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЙ (ГЛ. 3 Упражнения. 1. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали для кривой г = г (/). Указание. Заметим, что вектор [г', г"] направлен по бинор- мали, а вектор [г', [rz, г"]] — по главной нормали. 2. Написать уравнения нормальной, спрямляющей и соприкасаю- щейся плоскостей для кривой г=г(О- 3. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинор- мали, а также уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляю- щей плоскостей для винтовой линии x = acost, у —a sint, z = bt в точке t = 0. 6. Вид кривой вблизи произвольной ее точки. Воспользуемся сопровождающей системой координат для выяснения вида кривой в окрестности какой-либо ее точки. Предположим, что в точке r0 = г (10) производные г0 = г (W- Го = г <zo)> *о = г %) отличны от нуля, и разложим функцию г(/) в окрестности точки 10
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Ш по формуле Тейлора *): г (0 = г0 + г0 А/ + j г0 А/2 + 4 го АР + О (А/4); (3.22) AZ —Z —10. Воспользуемся теперь сопровождающей системой координат, т. е. примем точку г0 за начало координат, касательную за ось х, глав- ную нормаль за ось у и бинормаль за ось z. Применив для вычи- скости. Возьмем равенства (3.23а) и (3.236) и ограничимся в них глав- ными членами; эти равенства примут вид х — А/, у = k АР. Исключив отсюда AZ, получим уравнение параболы (рис. 3.7) У = у kx2' которая представляет собой, с точностью до величин порядка А/3, проекцию кривой г = г (Z) на соприкасающуюся плоскость. Так как по определению k > 0, то ветви этой параболы отходят от касатель- ной в ту же сторону, куда направлен и единичный вектор V, причем тем быстрее, чем больше k. Рассмотрим теперь проекцию кривой на спрямляющую плоскость. Из формул (3.23а) и (3.23в), ограничиваясь в них главными членами, получаем х = А/, z — 4 №. о Исключив отсюда А/, получим уравнение кубической параболы z = -&kxx3. (3.24) *) О (AZ4) означает в соответствии с общепринятой символикой вели- чину порядка AZ4,
112 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Здесь знак коэффициента при х3 совпадает со знаком кручения (так как кривизна всегда положительна). Соответствующие параболы изо- бражены на рис. 3.8, а и б. Так как при малых А/ знаки коорди- нат х и у определяются знаками их главных членов, то из фор- мулы 3.24 вытекает: 1. Вблизи точки, в которой кручение отлично от нуля, кривая расположена по обе стороны от соприкасающейся плоскости. 2. Кривая отходит от соприкасающейся плоскости тем быстрее, чем больше абсолютная величина кручения. При этом, если х > О, то при возрастании I кривая отходит от соприкасающейся плоскости в ту сторону, куда указывает вектор J3, а при х<0 — в противо- положную. Задачи. 1. Показать, что кривая, кривизна которой тождественно равна нулю, есть прямая линия. 2. Показать, что кривая, кручение которой тождественно равно нулю, — плоская (т. е. она целиком лежит в некоторой фиксирован- ной плоскости). Ре шение. 1. Если /г = 0, то г = 0, т. е. r = e = const, откуда г= r0—|—Ze0, а это — уравнение прямой. 2. Если х^О, то, в силу третьей формулы Френе, [5 = 0, т. е. Р = Р0 = const. Так как векторы г и [30 ортогональны, то (0. г) —0, т. е., в силу постоянства ^ = ро, 4<р»- г>=«- Отсюда ф0, г) — const, а это есть уравнение плоскости.
§ 2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 113 7. Ориентированная кривизна плоской кривой. Рассмотрим кри- вую, лежащую в некоторой фиксированной плоскости. Приняв эту плоскость за плоскость ху, напишем уравнения нашей кривой в виде х = х (f), y = y(f), z = Q. (3.25) Вычислив кривизну этой кривой по формуле (3.19), получим __ | х'у" — х"у’ | '2 + /2)'2 (3.26) Однако обычно (см., например, вып. 1, гл. 16, § 3) кривизной плоской кривой называют само выражение х'у" — х"у’ U'2 + y'2)3/2 ’ (3.27) а не его модуль. Дело в том, что на плоскости (в отличие от трех- мерного пространства) можно определить не только абсолютную вели- чину скорости вращения касательной, но и направление этого вра- щения (против или по часовой стрелке). Именно это направление вращения и указывается знаком величины (3.27). Если это выражение положительно, то кривая называется выпуклой (рис. 3.9, а), а если оно отрицательно, то кривая называется вогнутой (рис. 3.9, б). Вели- чину (3.27) называют иногда ориентированной кривизной кривой (3.25). 8. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Формулы (3.13) и (3.15) позволяют найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнением г = г (/), в виде функций от /: A = A(Z), z = x(Z). (3.28) Эти соотношения, связывающие кривизну и кручение кривой с длиной дуги, называются нату- ральными уравнениями данной кривой. Естественно поставить вопрос: в какой мере нату- ральные уравнения (3.28) опре- деляют саму кривую. Нетрудно показать, что каждая кривая определяется своими натуральными уравнениями однозначно с точностью до ее положения в прост- ранстве. Действительно, пусть даны две кривые у и уи Если на этих кривых можно ввести натуральные параметры I и Ц так, чтобы в точках, отвечаю- щих одинаковым значениям этих параметров, совпадали их кривизны k и kt и их кручения х и хь т. е. чтобы при I = 1\ выполнялись равенства МО=МЛ). х(0 = и1(^1).
114 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 то мы скажем, что кривые у и у! имеют совпадающие натуральные уравне- ния. Покажем, что в этом случае можно, передвигая одну из кривых как твердое тело, полностью эти кривые совместить. Действительно, совместим некоторую точку А кривой у, отвечающую фиксированному значению 1° пара- метра I, с точкой кривой у,, отвечающей тому же значению параметра Далее, повернем кривую у так, чтобы единичные векторы т, v, 3 основного трехгранника, отвечающего этой кривой в точке А, совпали бы соответ- ственно с единичными векторами ть V], Pi основного трехгранника, отвечаю- щего точке Л| кривой уь Этого, очевидно, всегда можно добиться. Мы имеем, таким образом, = v°=v?, р°=р?, (3.29) где индекс «нуль» означает, что векторы берутся в точке, отвечающей зна- чению параметра /° = I®. Ставя в соответствие друг другу те точки М и Mj кривых у и У1, в которых I = ZP мы можем считать, что на у и у, введен один и тот же параметр, и рассматривать т(, V] и Pj как функции от I. Рас- смотрим, далее, скалярную функцию а (Z) = (т, -сО + (V, >0 + (?, pi) и вычислим ее производную по I. Пользуясь при этом формулами Френе, получаем = k (V, т() + k (v„ т) + (- кг + хр, v,) + + (v, — kzx + xPO — x (v, 31) — x (v„ 3) = 0, т. e. на самом деле а от l не зависит. Из равенств (3,29) вытекает, что при I = 10 значение а равняется трем; таким образом, а (0 = 3. Каждое из трех входящих в o(Z) слагаемых представляет собой скалярное произведение двух единичных векторов и, следовательно, не может быть больше единицы. А так как вся сумма равна трем, то каждое из этих сла- гаемых должно быть в точности равно единице. Но скалярное произведение двух единичных векторов равно единице только тогда, когда эти векторы совпадают. Таким образом, TS’l. V = V1, 3 = 31 при всех I, т. е. основные трехгранники кривых у и yt совпадают не только в начальной точке Zo, но и при всех значениях параметра. Отсюда вытекает, что совпадают и сами кривые, потому что кривую всегда можно восстано- вить по вектору т = г (Z), именно r(Z)=r(Z0)+ J T(X)rfX. i, Счевидно, верно и обратное: если две кривые отличаются друг от друга только положением в пространстве, то они имеют одинаковые натуральные уравнения. Естественно поставить следующий вопрос: возьмем произвольно две непрерывные функции k (I) и х (/), Zj Z Z2,
Пространственные кривые 115 § 4) причем k (Г) > 0. Существует ли кривая, для которой эти функции представляют собой соответственно кривизну и кручение? Ответ на этот вопрос положительный. Однако приводить здесь соответствую- щее доказательство мы не будем, так как оно потребовало бы ряда сведений из теории дифференциальных уравнений, которых мы здесь не приводим. 9. Некоторые приложения к механике. Рассмотрим материаль- ную точку, движущуюся по некоторой траектории. Если г (7)— ра- диус-вектор точки в момент времени t, то уравнение ее траектории запишется в виде Г — г (О- Производная представляет собой скорость движения точки по траектории. Вводя натуральный параметр I, мы можем написать ___dr ___dr dl ___ dl V~~dF'~~di~di~’Z'di' Так как т — единичный вектор, то । । dl т. е. производная представляет собой абсолютную величину ско- рости. Вторая производная W = ^ радиус-вектора по t — ускорение. Его можно записать в виде d2r ( dl \2 d2l w ~ dl2\dt) “г т dt2 • С помощью формул Френе получаем d2l . , (dl \2 Таким образом, ускорение раскладывается в сумму двух составляю- rf2Z щих, одна из которых т направлена по касательной и называется . I dl V тангенциальным ускорением, а другая vs (I —по главной нор- мали и называется нормальным ускорением. Тангенциальное уско- d2l dv dl рение wt = т можно записать в виде wT = т -л- , где v — —гт — Г dt2 dt dt абсолютная величина скорости, т. е. тангенциальное ускорение —
116 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 это скорость изменения абсолютной величины скорости V. С формулой для нормального ускорения wv = v« 1-^-1 читатель зна- ком из элементарного курса физики. Именно, известно, что при дви- жении точки по окружности радиуса R с постоянной скоростью v ускорение направлено к центру окружности и равно -r но — это как раз кривизна k окружности. Таким образом, разложение . d.4 . , / dl \2 w = wT -j- wv == т -f- vk I —ry-) можно на- глядно представить себе так: движение в данный момент времени как бы разлагается на уско- ренное движение по касательной (что дает в ускорении член wT) и на движение по ок- ружности радиуса с постоянной ско- ростью (что дает в ускорении член wv). Точка участвует одновременно в двух этих движениях (рис. 3.10). Задача. Материальная точка движется под действием некоторой центральной силы, т. е. силы, которая в каждый момент времени направлена по прямой, соединяющей эту материальную точку с неко- торым неподвижным центром. Доказать, что траектория плоская. Решение. Примем притягивающий центр за начало координат. Пусть г = г (О — уравнение траектории движения. Сила, действующая на движу- щуюся точку, направлена к притягивающему центру. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, такое же направление имеет и ускорение, т. е. вектор г" (I); таким образом, векторы г и г" колли- неарны. Но тогда в каждой точке траектории выполнено соотношение (г, г', г"') = 0. Дифференцируя это смешанное произведение по t, получаем -^-(г, г', г") = (г', г', г")-1-(г, г", г")-|-(г, г', г'") = 0. Первые два слагаемых в средней части равенства равны нулю, сле- довательно, равно нулю и третье. Но если (г, г', г"') = 0 и векторы г и г" коллинеарны, то (г', г", г'") = 0 при всех t, но тогда х = 0, а это и есть условие того, что наша кривая плоская (п. 6 § 2).
§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 117 § 3. Параметрическое уравнение поверхности 1. Понятие поверхности. В этом и следующих параграфах мы применим аппарат анализа к изучению поверхностей. Понятие поверхности, интуитивно достаточно ясное, можно опре- делять с различной степенью общности. В анализе чаще всего при- ходится рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями вида 2 = /(х, у), где /(х, у) — непрерывная функция, определенная в некоторой области G. Несколько более широкий класс поверхностей мы полу- чим, рассматривая уравнения вида F(x, у, z) = 0. Чтобы такое уравнение действительно определяло поверхность (в смысле, соответствующем нашим наглядным представлениям), необ- ходимо на функцию /7(х, у, z) наложить некоторые дополнительные условия. Определение поверхности как совокупности точек, координаты кото- рых удовлетворяют уравнениям вида z = f(x, у) или F(x, у, z) = 0, не очень удобно, так как оно привязывает понятие поверхности к выбору той или иной системы координат. Сформулируем понятие поверхности, не прибегая к координатной системе. Введем прежде всего важное понятие односвязной области. Пусть G—некоторая область на плоскости. Назовем область О о д н освязной, если она удовлетворяет следующему условию: каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим конту- ром (конечная) часть плоскости целиком лежит в О. Иными словами, односвязность области озна- чает отсутствие в ней «дырок». Любой замкнутый r/мт У/Ль' контур, лежащий внутри такой области, можно r J//A/// стянуть в точку, не выходя за пределы этой об- Y/WX&foZrf/ffwW ласти. Если область не односвязна, то она называется многосвязной. Сг Примерами односвязных областей служат круг, треугольник, квадрат и т. д. Кольцо, т. е. ис‘ ' ’ часть плоскости, ограниченная двумя концентри- ческими окружностями, представляет собой простейший пример много- связной области: действительно, область, ограниченная контуром L (рис. 3.11), вовсе не составляет части кольца, заключенного между окружностями Сх и С2. Назовем теперь простой поверхностью множество то- чек в трехмерном пространстве, представляющее собой взаимно
118 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. 3 однозначный и в обе стороны непрерывный образ какой-либо замкну- той ограниченной односвязной области. Далее, просто поверхно- стью мы будем называть соединение любого конечного числа простых поверхностей. При этом мы, вообще говоря, допускаем и наличие у поверхности самопересечений, т. е. рассматриваем и такие гео- хштппгтг^ ^гттгтгх метрические образы, как, скажем, изо- ll ТГГТТ^экППИТПТГ Ж браженный на рис. 3.12. . HLUijI pljJJI 1Ш1 Если f(x, у)— непрерывная функ- I И ния, определенная в замкнутой одно- связной ограниченной области G, то И уравнение z^=f(X’ У) |М определяет простую поверхность. Дей- ствительно, отображение Рис'3’12, (X, у)*->(х, у, /(х, у)) устанавливает взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие (проверьте это!) между точками области О и точками, координаты которых удовлетворяют уравнению z — f(x, у). Практически наши дальнейшие рассмотрения будут ограничи- ваться поверхностями, представленными как соединение конечного числа простых поверхностей, определяемых уравнениями вида z = f (х, у). При этом от соответствующих функций / нам придется обычно, кроме непрерывности, требовать еще и некоторой гладкости (суще- ствования и непрерывности первых или вторых производных). Эти условия будут оговорены там, где они нам понадобятся. 2. Параметризация поверхности. Хотя задание поверхности с помощью уравнения вида z — f(x, у) или Р(х, у, д) = 0 в ана- лизе встречается очень часто, во многих случаях удобнее задавать поверхность с помощью параметрических уравнений. Для того чтобы написать уравнение поверхности в параметрической форме, введем прежде всего понятие координат на поверхности. Пусть на некоторой поверхности 2 задано однопараметрическое семейство линий *). Назовем это семейство правильным, если через каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия из данного семейства. Если на поверхности даны два правильных семей- ства, такие, что каждая из линий первого семейства пересекается (без касания!) с каждой линией второго семейства не более чем в одной точке, то говорят, что на поверхности задана координат- ная сеть. Пусть линии первого из семейств, образующих коорди- натную сеть, определяются значениями некоторого параметра и. *) Таким образом, каждая линия этого семейства характеризуется опре- деленным значением некоторого параметра.
§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 119 а линии второго семейства — значениями некоторого параметра v. Так как по условию через каждую точку поверхности проходит единственная кривая из первого семейства и единственная кривая второго семейства, то положение точки на поверхности однозначно определяется соответствующими этим линиям значениями м0 и т/0 параметров и и v. Параметры и и v, значениями которых опреде- ляются линии, составляющие коор- динатную сеть, называются ко- ординатами на данной поверх- ности. Замечание. В §6 гл. 1 мы вводили криволинейные координаты в плоской области. Здесь мы, собствен- но говоря, повторили то же самое по- строение, но только применительно к кривой поверхности. Введение коорди- нат на поверхности можно, очевидно, рассматривать как задание взаимно од- нозначного и взаимно непрерывного рис здз отображения поверхности на некоторую часть плоскости, в которой введены декартовы координаты и и v. При этом линии, образующие координат- ную сеть, — это образы лежащих в плоскости uv прямых, параллельных координатным осям. Примеры. 1. Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг не пересекающей ее прямой, лежащей в плоскости этой окружности. Положение точки на окружности можно задавать углом ф(0<^ф<2л), отсчитываемым от некоторой начальной точ- ки. Положение самой окружности мож- / "'"у л но задавать углом поворота ф, который Ik )} отсчитывается от начального положения. Таким образом, положение точки на торе определяется двумя углами ф и ф, каж- „ „ ,, дый из которых меняется от 0 до 2л. Рис. 3.14. п л 1 п Линии ф = 0 и ф = 0 соответствующей ко- ординатной сети изображены на рис. 3.14. 2. Пусть поверхность задана уравнением z — / (х, у); иначе говоря, она проектируется взаимно однозначно на некоторую часть плоскости ху. Линии, которые при этом проектируются в прямые х = const и у = const, образуют на поверхности z=f(x, у) коор- динатную сеть (рис. 3.15). Ясно, конечно, что на одной и той же поверхности можно зада- вать различные координатные сети. 3. Параметрическое уравнение поверхности. Если на поверх- ности S введены каким-либо образом координаты и, v, то говорят, что эта поверхность параметризована параметрами и и V. Каждая
120 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. 3 точка такой поверхности может быть задана значениями параметров и и V. Но эта же точка может быть задана и своими декартовыми координатами. Следовательно, декартовы координаты точек пара- метризованной поверхности г представляют собой функции Рис. 3.15. координат на поверхности: х — х(и, v), у = у(и, V), z = z(u, v). (3.30) Эти три скалярных урав- нения можно заменить одним векторным: г —г (а, т»), (3.30') где г — xi + yj zk. Урав- нения вида (3.30) или (3.30') мы будем называть параметри- ческими уравнениями поверх- ности. Замечание 1. В параметрическом уравнении кривой коорди- динаты х, у, z являются функциями одного параметра. В уравне- нии поверхности г = г(и, v), представляющей собой геометрический образ двух измерений, естественно должны участвовать два неза- висимых параметра. Замечание 2. Уравнение z = f(x, у) можно рассматривать как частный случай параметрического уравнения, если принять х и у за параметры и положить г = xi4-yj4-/(x, y)k. Упражнение. Написать параметрическое уравнение тора в коор- динатах <р и ф (см. пример 1 п. 2). В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, заданные именно параметрическими уравнениями, причем функцию г («, г») будем предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные производ- ные по и и v. Начиная с § 8, нам придется потребовать также сущест- вования и непрерывности ее частных производных второго порядка. 4. Кривые на поверхности. Рассмотрим на поверхности, задан- ной уравнением (3.30'), какую-нибудь кривую. Если на этой кривой введен некоторый параметр t, то каждому значению t будет отвечать некоторая точка поверхности, т. е. некоторые значения и и V. Таким образом, вдоль кривой координаты и n v являются функциями параметра t: и = и (t), v — v (t).
S 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 121 Эти уравнения называются уравнениями кривой на поверхности. Под- ставив их в уравнение поверхности, получаем параметрическое урав- нение кривой на поверхности: г = г(«(О. v (t)). (3.31) И обратно, подставив в уравнение поверхности (3.30') вместо независимых переменных и и v какие-либо функции одного пере- менного t, мы получим уравнение не- которой кривой, лежащей на этой по- верхности. Рассмотрим касательную к кривой (3.31). Ее направление определяется вектором dt dr du . dt dv dt du dt' dv dt ’ который представляет собой линей- , dr dr ную комбинацию векторов называемых координатными векторами и представляющих собой векторы, касательные к координатным линиям, проходящим через рассматриваемую точку. Для краткости обозначим их гв = -^-, _ dr 1"г' dv 5. Касательная плоскость. Рассмотрим всевозможные кривые на поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные векторы к ним в этой точке (рис. 3.16). Каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов гц и rv, т. е. лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы г0 и rv лежат в касательной плоскости, вектор N — [гв, нормален к ней и уравнение этой плоскости имеет вид *) (р —г, N) = 0 (3.32) (здесь г — радиус-вектор точки касания, р — радиус-вектор текущей точки касательной плоскости). Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, у), т. е. в век- торной форме г = ixH-jy + k/(x, у). Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. *) Точки, в которых [Гц. гД = 0, мы исключаем из рассмотрения.
122 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЁОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Имеем и, следовательно, N==[*> гУн-j/;+k- (з-33) Подставив в уравнение касательной плоскости (3.32) вместо р — г вектор i(x — х0) -|- j (у — y0) + k(z — z0), а вместо нормального вектора N его выражение (3.33), получим уравнение плоскости, касающейся поверхности z=f(x, у) в точке (х0, у0, g0): <3-34) где значения четных производных f'x и /' берутся в точке касания (х0. Уо)- Если поверхность задана неявным уравнением F(x, у, д) = 0, которое определяет z как дифференцируемую функцию от х и у, то dF dF дг дх дг __ ду дх dF ’ ду dF ' дг дг Подставив эти выражения вместо fxn f' в уравнение (3.33), полу- чаем уравнение плоскости, касательной к поверхности F(x, y,z) — 0, +(у - +1* - *o)=°- Здесь значения F'x, F' и F'z также берутся в точке касания (х0, у0, z0). 6. Нормаль к поверхности. Вычислим направляющие косинусы вектора N —[гв, rj, нормального к поверхности г = г(«, о). Так как ____________/ дх ду дг\ _____________/ дх ду дг \ Г“ \ ди ’ ди " ди) И Г° \ dv ’ dv ’ dv / ’ то вектор [rB, Tj,] имеет компоненты ду дг дг дх дх ду ди ди ди ди ди ди ду дг , в= дг дх , с== дх ду , (3,35) dv dv dv dv dv dv а его направляющие косинусы соответственно равны cos(N, х) = ~7= , cos(N, у) = —----- /л24-в24-С2 /л2 + в2 4-с2 cos(N, z) = —== . К Л2 4- В2 4- С2
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 123 § 3) ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В частности, если поверхность задана явным уравнением *=/(*. у), или в векторной форме уравнением r = xi + yjH-/(x, y)k, А = в= о 1 1 о с = т. е. в этом случае cos(N, х') —— ......., cos(N, у) — 1 / . . ./2 . ./2 К1+/;2+< (3.36) 7. Системы координат в касательных плоскостях. Рассмотрим поверхность 2, в каждой точке М которой можно построить каса- тельную плоскость. Полезно представлять себе поверхность, покры- тую «чешуей» касательных плоскостей. Поверхность — это кривое многообразие-носитель, ее касательные плоскости — это плоские несомые многообразия. Этот наглядный образ будет полезен при изучении дальнейшего материала этой главы. Выберем в каждой касательной плоскости пару неколлинеарных У,'" векторов (репер) и е2, кото- рые определят в ней систему коор- /''''-^<5 динат. Этот репер, разумеется, '>^u=c(msT, можно выбирать в каждой точке г/=сопэт\. / произвольным образом. Однако за- дание параметризации и, v, есте- ственно, порождает в каждой из ка- Рис- 3-17- сательных плоскостей некоторый „ <5г дг „ „ специальный репер, именно репер 6] = -^-, е2 = Действи- тельно, фиксируем значение параметра v = г»0 и будем менять пара- метр и; тогда радиус-вектор г (и, v0) опишет на поверхности коор- динатную кривую v — v0~ const (рис. 3.17). Касательный вектор к этой кривой, т. е. т>0), будет лежать в касательной пло- dr скости к поверхности (см. п. 4). Аналогично вектор также лежит в касательной плоскости к поверхности. Мы предполагаем, что через
124 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 каждую точку поверхности проходит одна и только одна линия каждого из семейств « — const и v — const. Поэтому в каждой каса- тельной плоскости возникает один и только один репер (ru, гс); если эти векторы отличны от нуля, то они не коллинеарны, поскольку по условию кривые и. = const и v = const ни в одной точке не касаются друг друга. Опасно лишь обращение какого-либо из этих векторов в нуль. Мы будем в дальнейшем считать, что параметриза- ция на рассматриваемом куске поверхности такова, что гя #= 0 и го #= 0. Итак, задание параметризации и, v на поверхности по- рождает в каждой касательной плоскости невырожденный репер е1 —ru, е2~ Tv т- е- некоторую аффинную систему ко- ординат. Выбор другой параметризации и, о порождает в несомых каса- тельных плоскостях другой набор систем координат в! = г~, е2 = г~, а в каждой из касательных плоскостей переход от одной параметри- зации к другой порождает аффинное преобразование системы координат. Действительно, пусть и —и (и, v), v = v(u, и) — выражение старых параметров и, v через новые и, v. По правилу дифференцирования сложной вектор-функции имеем Таким образом, новый репер еР е2 выражается через старый еР е2 по формулам Аналогично выражается старый репер еР е2 через новый ер е2. § 4. Измерение на кривой поверхности длин, углов и площадей*. Первая квадратичная форма поверхности Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверх- ности. Этот круг вопросов мы и рассмотрим сейчас. Основная идея
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 125 всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит, по существу, в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ- ствующим элементом касательной плоскости. Поэтому нам полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости. 1. Аффинная система координат на плоскости. Рассмотрим плоскость и некоторый невырожденный репер еР е2 на ней. Любой вектор г, лежащий в плоскости, можно представить в виде Г = ^1 + ^2- Запишем квадрат длины вектора г. Имеем г2 = (г, r) = ^(e1( е1)4-2^(е1, е2) + £22(е2- е2). Введя обозначения *) £п = (еР ej), ^12 = (е1. е2), £22 = (е2, е2), перепишем это равенство в виде '2 = ^1^ + 2^iS2 + ^. (3-38) Величины gu, gl2 и g22 определяются выбором репера еР е2. Легко видеть, что через эти' величины (и, конечно, координаты соответ- ствующих векторов) выражаются длины векторов, углы между век- торами и площади параллелограммов, натянутых на два вектора. Действительно, выражение для длины г вектора г получается из (3.38). Далее, если Г = 1А + ^е2, р = ЛА 4-ДА, то (Г. р) = gl 161Л1 4- £1261112 + £12ЬП1 4- £2262Д1- Воспользовавшись формулой мы можем выразить угол между векторами г и р через их коорди- наты и коэффициенты gik. *) Иногда также пользуются обозначениями E = (elt е,), Л=(е1, е2), О=(е2, е2). Полагая еще £2i= £12’ совокупность величины g.k (г, k = 1, 2) часто запи- сывают в виде матрицы
126 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Наконец, найдем площадь S параллелограмма, построенного на векторах г и р. Как известно 5 = | [г, р]|. поэтому 5 = I [&iei + £2е2, тцв1 + Tn2e2] I = I — 12П11 I [еР е2] |. Но _______________ ЦеР e2]| = |e1||e2|sin(e1, е2) = |е1||е2|/1— cos2(elt е2) = = е2)2 = V>u£22 —£?2- Следовательно, 5 = — I М2 — £2П11- Итак, знание величин gn, g12, g22 действительно позволяет вычи- слять на плоскости длины, углы и площади, т. е. все метрические величины. 2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма. Пусть задана поверхность г = г («, <0- Вычислим длину линии, расположенной на этой поверхности. Вы- брав на этой линии за параметр длину дуги, ее уравнение можно записать в виде г = г(и(Г), v(l)). _ dr Так как вектор — имеет длину единица, то dl2 = dr2. Но d г = ги du + ro dv, следовательно, dZ2 = r2 d«24-2(ru, r J du dv -|- r2 dv2. Воспользуемся обозначениями = £12 = (r„, гр), g^r2, тогда Ш2 = gu du2 + 2g12du dv + g22 dv2. (3.39) Это выражение представляет собой квадратичную форму (относи- тельно переменных du и dv), при этом, очевидно, положительно определенную *). Она называется первой квадратичной формой п *) Квадратичная форма atk%fik называется положительно опре- п деленной, если У, aikl£k > 0 для любых g ,..., £я, кроме ...
§ 4) ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 127 поверхности r = r(«, v). Коэффициенты £1Р £12 и g22 квадратичной формы (3.39) — это, очевидно, те самые коэффициенты £п, £12, £22, которые отвечают реперу ru, rv, в плоскости, касательной к нашей поверхности в рассматриваемой точке. Эти коэффициенты зависят от точки поверхности. Кроме того, они зависят, конечно, и от вы- бора параметризации поверхности. Первая квадратичная форма поверхности дает выражение, для длины бесконечно малого элемента дуги. Длина некоторой конечной кривой, лежащей на поверхности, получается отсюда интегрирова- нием. Точнее, если кривая на поверхности задана уравнениями и = и (t), V — V (/), t t2, то ее длина равна h ___________________________________ , Г _ Г / du\2 . о du dv . / dv \2 ,, l— J у + 2^ ~dF~di'^^\~dF) dt h (вдоль этой кривой gw gi2 и g22 представляют собой, очевидно, функции параметра /). Примеры. 1. На плоскости задана декартова система коорди- нат, определенная взаимно ортогональными единичными векторами ej и е2. Если г0 — радиус-вектор начала этой системы координат, то радиус-вектор произвольной точки плоскости равен г = г0 + е,и 4- е2и Мы получили уравнение плоскости, параметризованной декартовыми координатами и и v на ней. Для этой параметризации ra = eP ro = e2, £п=1. gi2 = 0, g22=l, следовательно, для плоскости, параметризованной декартовыми коор- динатами, первая квадратичная форма записывается так: dP^dut + dv2. Здесь несомое многообразие — касательная плоскость — совпадает в каждой точке с несущим многообразием (тоже плоскостью), а по- рождаемый в каждой из касательных плоскостей координатный репер совпадает (с точностью до параллельного переноса) с координатным репером еР е2 рассматриваемой плоскости. 2. Пусть на плоскости введены полярные координаты риф. Тогда радиус-вектор произвольной точки плоскости можно записать так: г = г0 р («1 cos ф + е2 sin ф)
128 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 (в! и е2 — опять-таки единичные взаимно ортогональные векторы). Это — уравнение плоскости, параметризованной полярными коорди- натами. Здесь гр = в! cos <р + е2 sin <р, fq> = р (— в! sin Ф + е2 cos ф) и, следовательно, £п = (гР’ гр)= Ь ^12 = (Гр. гФ) = 0, §-22 = (гф, Гф) = р2, dl2 — dp2 -f- р2 t/ф2. 3. Рассмотрим сферу радиуса а, приняв на ней за параметры долготу ф и широту 0*) (рис. 3.18). Ее урав- /V нение в координатах ф и 0 имеет вид (про- /^7 верьте это!) If>=d \ г = r0-f- a [(i cosф4“j з!пф) cos 0 -f-k sin 0}. в=0 этого УРавнения получаем / ге = — a (i созф 4~ j зшф) sin 04~ як cos 0, Ч \ У г<р = а(—1 sin ф 4~ j cos ф) cos 0 S и, следовательно, здесь Рис' 318’ dP = а2 (с/02 4- cos2 0 t/ф2). 4. Если поверхность задана явным уравнением z — f(x, у), т. е. r = xi4-yj4-/(x, у)к, то для нее гх=*+кЛ. ry=j4-k/; и, следовательно, dp = (1 4- Л2) dx2 + 2/;/; dx dy 4- (1 4- /у ) dy2. Упражнение. Написать первую квадратичную форму тора в координатах ф и ф (см. уПр. в п. 3 § 3). 3. Угол между двумя кривыми. Углом между двумя пересе- кающимися кривыми называется угол между их касательными в точке пересечения. Пусть через точку на поверхности проходят две кривые и пусть смещению по одной кривой соответствуют диф- ференциалы координат du и dv, а смещению по другой — диффе- ренциалы Ъи, bv. Векторы смещений можно записать так: dr = radu~\-rvdv, 6r = ru6w 4~ г»в®. ♦) Отсчитываемую от экватора.
129 § 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ Угол ф между ними определяется формулой (dr, 6г) v I dr II dr I В частности, угол со между координатными линиями, т. е. между векторами ги и г^, определяется формулой cos со = . V gl\g22 Если g-12 —0, то координатные линии на поверхности пересе- каются под прямым углом. Такая координатная сеть называется о ртогональной. В ортогональных координатах первая квадратичная форма имеет вид dP = gndui-\-g72dv2. 4. Определение площади поверхности. Пример Шварца. Пе- рейдем теперь к рассмотрению площади кривой поверхности. Прежде чем говорить о ее вычислении, нужно определить само по- нятие площади поверхности. Введем это понятие следующим образом. Пусть 2 — некоторая гладкая поверхность, ограниченная кусочно- гладким контуром L. Разобьем эту поверхность с помощью некото- рого числа кусочно-гладких кривых на части — «элементы» 2^ Z = 1, .. ., N, — и выберем в каждой из этих частей произвольную точку Mt. Проведем через точку Mt касательную плоскость к по- верхности 2 и спроектируем элемент 2г на эту касательную пло- скость; мы получим на этой ка- сательной плоскости некоторую /--jr—~7 квадрируемую плоскую фигуру S, / / (рис. 3.19). // Определение. Площадью / 1 / поверхности 2 мы назовем /___________________________-/ предел (если он существует) сумм 3 1д площадей этих проекций, взя- тых по всем элементам разбие- ния, при условии, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю. Поверхность, для которой этот предел суще- ствует, называется квадрируемой. На первый взгляд кажется, что естественнее всего было бы определить площадь поверхности S как предел, к которому стремятся площади поверх- ностей вписанных в S многогранников, при условии, что максимум диаметров их граней стремится к нулю (так же как длина кривой есть предел длин вписанных в эту кривую ломаных). Однако еще в прошлом веке была обна- ружена несостоятельность такого определения. Рассмотрим следующий при- мер, принадлежащий Шварцу. В цилиндр радиуса R и высоты Н впишем многогранник следующим образом: разделив цилиндр i оризонтальными плоскостями на т равных
130 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 цилиндров высоты — каждый, разобьем каждую из возникающих «4-1 окружностей (включая сюда верхнее и нижнее основания исходного цилиндра) на равные части п точками так, чтобы точки деления на каждой окружности находились над серединами дуг соседних окружностей. Возьмем теперь две соседние точки, лежащие на какой-либо окружности, и точку, лежащую не- посредственно над или под серединой дуги, соединяющей эти две точки, и построим на этих трех точках треугольник (рис. 3.20). Совокупность всех таких треугольников образует много- гранную поверхность, вписанную в ис- ходный цилиндр. На вид этот многогран- ник похож на голенище сапога, собран- ное в гармошку. Его называют поэтому сапогом Шварца (рис. 3.21). Если теперь и п и т неограни- ченно растут, то размеры каждого из треугольников, составляющих вписан- ный в цилиндр многогранник, стремятся к нулю. При этом, однако, суммарная площадь этих треугольников вовсе не обязана стремиться к 2nRH (боковой поверхности цилиндра); в зависимости от того, как меняются пит, она может неограниченно расти, стремиться к пределу, отличному от 2л/?//, или же вообще не иметь предела. Действительно, элементарный подсчет показывает, что площадь одного треугольника (при заданных т и п) равна Число таких треугольников равно, очевидно, 2пт, поэтому сумма их площадей есть _________________________ ап, т — sin ~ j/"Н2 + ^2/га2 — cos ’ (3.40) Если теперь п и т стремятся к бесконечности, причем так, что т растет быстрее, чем л2, то выражение (3.40) неограниченно растет. Если же п и т т меняются так, что отношение стремится к некоторому конечному пре- делу q, то lim mil — cos — = lim m2 sin2 q, л, m->oo \ Л/ *
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 131 и, следовательно, lim + п, пг->оо г * Подбирая q, мы можем получить в пределе любое число, большее или равное 2nRH, т. е. любое число, большее «истинной» площади цилиндра. Истинное значение площади боковой поверхности цилиндра мы получим лишь при q — 0, т. е. если т растет медленнее, чем п2. Итак, попытка определить площадь кривой поверхности с помощью вписанных многогранников оказалась неудачной даже для обыкновенного круглого цилиндра. Легко понять причину, по которой способ, пригодный для определения длины кривой, не годится для определения площади поверх- ности. При достаточно мелком разбиении кривой (будем считать кривую гладкой) направление хорды, соединяющей соседние точки деления, близко к направлению касательной, проведенной в любой точке соответствующей дуги. В случае поверхности это не так: многоугольная площадка сколь угодно малых размеров может опираться всеми своими вершинами на гладкую поверхность так, что угол между нормалью к площадке и поверх- ности будет большим. При этом, очевидно, такой плоский элемент не может служить хорошей аппроксимацией соответствующего элемента поверхности. Это как раз и наблюдается в приведенном выше примере Шварца: если т , q sj велико, то треугольники, образующие вписанную поверхность, почти перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Образованный ими много- гранник весь состоит из мелких складок. Это и служит причиной того, что площадь поверхности такого многогранника может быть много больше площади боковой поверхности цилиндра. 5. Вычисление площади гладкой поверхности. В предыдущем пункте мы ввели определение площади кривой поверхности. Уста- новим теперь для гладкой поверхности существование площади и формулу, с помощью которой эта площадь может быть фактически вычислена. Теорема 3.1. Пусть параметрическое уравнение г = Г (и, V) определяет гладкую поверхность, ограниченную кусочно-глад- ким контуром. Тогда эта поверхность квадрируема и ее площадь равна G=ff V ^12—^12 audv> (3-41) D где Sii’ Sa и S22— коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности, a D — область изменения переменных и и v. Доказательство. Разобьем поверхность S на части Вы- брав в каждой из этих частей некоторую точку Mt, проведем в ней касательную плоскость. Введем местную систему декартовых коорди- нат, выбрав за начало точку Mt, нормаль в этой точке за направление оси z, а касательную плоскость за плоскость ху. Координаты х, у
132 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ геометрии [ГЛ. 3 и z произвольной точки поверхности Sz можно записать как функции от и и и: x — x(u,v), y~y(u,v), z — Z (и, V)*). Проекция поверхности Sz на определяется уравнениями х = х(и, v), касательную плоскость в точке у = у(и, v), z = 0. Пользуясь выражением для линейных координатах (§ 6 этой проекции в виде площади плоской фигуры в криво- гл. 1), мы можем записать площадь Dl где Dt — та область, которую пробегают переменные и, v, когда точка (х, у, z) пробегает элемент 2Z, а знак берется так, чтобы все выражение было положительным. Выражение + xtt xv Уч Уч можно переписать в виде, не нат, а именно: связанном с выбором системы коорди- V ла Уи Уч Если области Sz (а следовательно, и Z)z) достаточно малы, то J / I rj I du dv = (| [ги, rj | Di 1 + ez [df, где rfz — площадь области Dlt ut, vt — координаты точки Mt и maxez—>0 при измельчении разбиения поверхности S. Таким образом, сумма площадей проекций всех частичных поверхностей Sz на соот- ветствующие касательные плоскости равна 2 |[гя. rj| t=i I (3.42) *) Правильнее было бы писать х = xt (и, v), у = у; (и, v), z = zt (и, о), потому что эти уравнения соответствуют г-й системе координат, связанной с касательной плоскостью и нормалью в точке М(.
§ 4] ИЗМЕРЕНИЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 133 Предел этого выражения при неограниченном измельчении разбиения поверхности мы и назвали площадью поверхности. Этот предел существует и равен интегралу / / Нг«> гД1du dv D (поскольку в (3.42) первое слагаемое есть интегральная сумма для этого интеграла, а предел второго равен нулю). Для завершения доказательства остается установить, что |[Г«’ ГЛ =/^22-^2- <3-43) Пусть <в— угол между векторами ги и го. Тогда I [га. rjl=|rj |rw| sina> = | ги || 1—cos2o> = = VrlTl — Т1Л cos2 ® /^1^22 — ^12- Теорема доказана. Замечание 1. С вектором [r„, rv] мы уже встречались выше (п. 5 § 3). Там мы установили, что этот вектор имеет следующие компоненты: ду dz ди ди ду дг dv dv dz дх ди ди дг дх dv dv дх ду ди ди дх ду dv dv следовательно, длина его равна У Л2 4-В2 4-С2. поверхности можно пере- Рис. 3.22. Таким образом, формулу (3.41) площади писать так: о = f f У Л24-В24-С2du dv. (3.41') D Замечание2. Геометрический смысл полученной нами формулы (3.41) состоит в том, что подынтегральное выражение У— ^12du dv (с точностью до бес- конечно малых высших порядков) — площадь «бесконечно малого параллело- грамма», вырезаемого из поверхности S двумя парами бесконечно близких координатных линий и —и0, u = u0~ydu, v = v0 и v — v0-\-dv (рис. 3.22). Действительно, вер- шины Ро, Ру Р% этого параллелограмма имеют криволинейные координаты (я0, f0), (zz04-rf«, vQ) и («g, v9-ydv) соответственно,
134 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Поэтому с точностью до малых выше первого порядка имеем PoP\ = radu, P0P2=rvdv. Площадь da параллелограмма, построенного на векторах Р^ и PqP2, равна модулю их векторного произведения da = | [ru, ro]|dudv. В силу (3.43) это выражение можно переписать так: do = /^11^22 — ^2du dv- Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы (3.41). Если поверхность S задана явным уравнением z=/(x, у), то, как мы уже видели выше (см. п. 2, пример 4), в этом случае £ц = 1 + fx £12 = f'xf'y- £22 = 1 + /у2’ откуда ____________ К£п£22 - £?2 = К1 + /ж -+-<• Следовательно, площадь поверхности z = f (х, у) выражается фор- мулой 0 = f <3-44) D причем в данном случае D — проекция поверхности S на плоскость ху. Замечание 1. Так как 1/"1 4- f2 4- f'2 —--J---- " т J X г J у cos (N, г) (см. п. 5 § 3), то формулу (3.44) можно переписать так: ndx dy cos (N, z) ' D Смысл ее состоит в том, что элемент площади поверхности равен его проекции на плоскость ху, деленной на косинус угла между нормалями к этому элементу поверхности и к плоскости ху. Замечание 2. Если поверхность S состоит из конечного числа кусков, каждый из которых представим уравнением вида z=f(x, у), то ее площадь можно вычислить, применив формулу (3.44) к каж- дому такому куску в отдельности. Пример. Найти площадь части параболоида z — x2-j-y2, лежа- щей внутри цилиндра х2-|-у2=а2.
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 135 Решение. Искомая площадь равна о= J* J ]/ 1 -|-4х2-|- 4y2dx dy. x2+y!<as Переходя к полярным координатам, получаем 2л а 2л о=J* dtp J /4r2 + lrdr у [(4г24-= об б 2л =т?/ [(4а2 +1)5/2 - о Предположим теперь, что поверхность задана неявным уравне- нием F(x, у, z) = 0. Если поверхность такова, что это уравнение можно однозначно разрешить относительно z (это равносильно тому, что наша поверхность пересекается любой вертикальной пря- мой не более чем в одной точке), то, воспользовавшись правилами дифференцирования неявных функций, получаем dF . dF dz dx dz _ dy dx ' dF ’ dy dF ' dz ~dz Подставляя эти выражения вместо f'x и f в формулу (3.44), получаем d (3 451 о= -—>----——--------------— dx dy. (3.45) о | d? | Здесь опять-таки, как и в формуле (3.44), подынтегральная функ- ция представляет собой не что иное, как обратную величину косинуса угла между нормалью к поверхности и осью z. Упражнение. Найти площадь части поверхности конуса х2-(-у2 — z = О, лежащей внутри цилиндра x2-j-y2—a2. Ответ. о = 2 ]/2на2. § 5. Кривизна линий на поверхности. Вторая квадратичная форма В предыдущих параграфах мы получили формулы для вычисления длин кривых на поверхности, углов между кривыми и площади поверхности. Однако эти величины еще не определяют форму поверх- ности. Например, цилиндр и плоскость — это разные поверхности,
136 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 хотя цилиндр можно развернуть на плоскость так, что при этом все углы, длины и площади сохраняются. Для изучения формы поверхности мы примем следующий метод: взяв в рассматриваемой точке нормаль к поверхности, будем проводить через эту нормаль всевозможные плоскости (нормальные плоскости) и изучать форму получаемых при этом сечений поверхности (нормальных сечений). 1. Нормальные сечения поверхности и их кривизна. Рассмо- трим поверхность S, заданную уравнением г = г (и, v). Вектор-функцию г (и, v) мы будем считать здесь и далее дважды непрерывно дифференцируемой. Возьмем на поверхности S некото- Рис. 3.23. рую точку Мо и выберем на норма- ли к S, проведенной в этой точке, определенное направление, т. е. опре- деленный единичный вектор п. Пусть у — одно из проходящих через Мо нормальных сечений. Таким образом, кривая у лежит в плоскости, проходя- щей через единичный вектор и, нор- мальный к 5 в точке Мо (рис. 3.23). у представляет собой плоскую кривую, и форма этой кривой в окрестности точки Л40 вполне определяется ее кри- визной k в этой точке и направлением вогнутости (по отношению к выбранному направлению нормали в точке Л40). Для вычисления кривизны кривой у запишем уравнение этой кривой в виде т = г(и(1), v(l)) (3.46) (I — натуральный параметр) и воспользуемся 1 -й формулой Френе dt d2r откуда (3.47) Единичный вектор V направлен, очевидно, по нормали К поверх- ности S в точке Л40, и следовательно, он или совпадает с и (если направление вогнутости сечения у совпадает с выбранным направле- нием нормали к S), или отличается от п знаком (если эти напра- вления противоположны). Для того чтобы учесть одновременно и величину кривизны и направление вогнутости сечения, введем ве- личину г (d2r \ k ~ \ dl2 ’ П) ’ (3.48)
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 137 которую мы назовем но рмальной кривизной поверхности 2 н точке Мо в направлении сечения у. Из сказанного ясно, что /г— |А|. При вращении вокруг п плоскости, в которой лежит сечение у, будет меняться и нормальная кривизна k — k (у); она будет теперь «следить» не только за формой нормального сечения, но и за его направлением вогнутости. Так, например, если поверхность в точке 7140 имеет форму седла, как на рис. 3.24, то для сечения уг нор- мальная кривизна %! будет положи- тельна, поскольку вектор V] главной нормали к Yj совпадает с п, а для сечения у2 нормальная кривизна k2 бу- дет отрицательна, поскольку v2 = — п. В дальнейшем, говоря о нормаль- ных сечениях поверхности, мы будем рассматривать только соответствую- щую нормальную кривизну (3.48), а не кривизну, определяемую форму- лой (3.47). Эту нормальную кривизну мы будем дальше обозначать просто буквой k, опуская значок—над ней. Величину мы будем называть радиусом нормальной кривизны поверхности 2 (в данной точке и в данном направлении). Неотрицательная вели- чина |/?| есть, очевидно, радиус кривизны соответствующего нор- мального сечения. Поскольку k может обращаться в нуль, для R мы должны допускать и бесконечные значения. Выведем теперь формулу для вычисления нормальной кривизны k. Для этого воспользуемся уравнением (3.46) кривой у и вычислим Введем для сокращения записи обозначения _ д2г д2г _ о2г г““ — Tzt2" ’ — ди di ' — dv2 ‘ Из уравнения (3.46) кривой у получим, что d2r d / du . dv\ ~dP ~~dl \а~дТ'Х,и~ЗЛ } ~ {du\2 . n du dv , (dv\2 . d2u , d2v .n, Г““\5Г) + r"ja \^г) “I- Г“ Hd2"^ Гу~сПг' С3-49) Векторы гц и rv лежат в касательной плоскости. Следовательно, они ортогональны и, т. е. (г„, п) = (гр, п) = 0.
138 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 d2t Поэтому, подставив в формулу (3.48) выражение (3.49) для • получим = <Г., п>«У + 2(г„. п)(^у. (3.50) 2. Вторая квадратичная форма поверхности. Запишем полу- ченную нами формулу (3.50) нормальной кривизны поверхности в более удобном виде. Введя обозначения = П), b12 = (ruv, и), 022 = (rTO, п), (3.51) перепишем равенство (3.50) следующим образом: . __ 1 __ bu du2 -]- 2Z>12 du dv-т- b22 dv2 r — ~r~~ dP (3.52) В знаменателе здесь стоит dP, т, е. первая квадратичная форма поверхности. Числитель тоже представляет собой квадратичную форму (относительно du и dv). Она называется второй квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей (наряду с первой квадратичной формой) фундаментальную роль. Вторую ква- дратичную форму поверхности мы будем в дальнейшем обозначать символом <р2. Таким образом, <р2 = budu2 + 2£12 du dv + b22 dv2, где blx, b]2 и b22 определены равенствами (3.51). Пример. Рассмотрим поверхность, заданную уравнением z=f{x, у), т. е. в векторной форме r = xi+yj-|-/(x, y)k. Здесь TXX = f"XX^ 'xy = fx^ ryy=fyyk- Следовательно, = /LC0S(n- bVi^f"XyC0S(n- Z)' b22 = /yyCOS(n’ *)• t. e. (P2 = (fxx(ix2-i-2fXydxdy + fyydy)C0S(n’ (3.53) Таким образом, в этом случае вторая квадратичная форма предста- вляет собой, с точностью до множителя cos(n, z), совокупность членов второго порядка в разложении функции z = у) по фор- муле Тейлора.
§ 5] КРИВИЗНА ЛуНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 139 Замечание. Мы уже видели, что первая квадратичная форма определяет «метрику» поверхности: с ее помощью на поверхности измеряются длины, углы и площади. Вычисление этих величин опи- ралось, по существу, на возможность заменять в первом приближе- нии бесконечно малый элемент поверхности соответствующим эле- ментом касательной плоскости. Вторая квадратичная форма — это мера того, насколько поверхность уклоняется в окрестности данной ,_____________> точки от касательной плоскости, /, м р проведенной через эту точку. ° 1 s' Чтобы убедиться в этом, вы- /dl числим расстояние между близкой / /_________________/ к Мо точкой М поверхности S и Д / касательной плоскостью, проведен- 1 ной в точке Мд (рис. 3.25). Рас- рис 325 смотрим проходящее через точки Мо и М нормальное сечение. Искомое расстояние равно, очевидно, расстоянию МР от М до касательной к кривой у. Но это расстояние с точностью до малых высшего по- рядка (см. п. 6 § 2) равно ~ k dl2 = у (Z>n du2 -ф- 2£12 du dv -|- b22 dv2), причем знак этого выражения указывает направление, в котором по- верхность отходит от касательной плоскости. Можно было бы само понятие второй квадратичной формы ввести, исходя из задачи о вычислении расстояния от точки поверхности до касательной плоскости, проведенной через близкую точку. Упражнения. 1. Показать, что для плоскости (при любой ее параметризации) вторая квадратичная форма тождественно равна нулю. 2. Вычислить вторую квадратичную форму для тора в коорди- натах <р и ф (см. пример 1 п. 1 § 3). 3. Индикатриса кривизны. Радиус кривизны = нормаль- ного сечения у в точке 7И0 зависит от направления, в котором про- ведено сечение у. Чтобы изобразить эту зависимость наглядно, вос- пользуемся следующим приемом. Отложим от точки /Ио на касательной плоскости в каждом направлении вектор р, длина которого равна ]Л|7?|, где R — радиус нормальной кривизны поверхности в этом направлении. Этот вектор можно, очевидно, записать в виде где т — единичный вектор, касательный к соответствующему нор- мальному сечению.
140 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Геометрическое место концов этих векторов представляет собой некоторую кривую, лежащую в плоскости, касательной к S в точке Л40 (рис. 3.26). Эта кривая называется индикатрисой кривизны по- верхности S в данной точке. у-------------------Найдем уравнение индикатрисы ''X / кривизны. / г*— / Примем за координатные век- / торы в касательной плоскости гй ' х. и го. Так как /'---- __________________________dr___ du . dv --------------------------2 Х — dl — Г“ dl Г® dl ’ ТО Рис. 3.26. г___ da г________ dv т. е. каждая точка индикатрисы кривизны имеет, в выбранном базисе, координаты Воспользуемся равенством 1 , I du\2 , п, du dv t . / dv\ ~R—b^\di) + 2612 W’dr + M’^T Умножив его на |/?|, получаем, что »п (пж •&)'+(иж -^) (иж 49+ +»и(ИЖ-£)'=±|. т. е. что £ и г) удовлетворяют уравнению Ы24-2Ып+М2=±1- (3-54) Это — уравнение некоторой центральной кривой второго порядка с центром в начале координат *). Таким образом, индикатриса кривизны представляет собой цен- тральную кривую второго порядка **) с центром, находящимся в рас- сматриваемой точке поверхности. 4. Главные направления и главные кривизны поверхности. Формула Эйлера. Уравнение индикатрисы кривизны, как и уравне- ние всякой центральной кривой второго порядка, можно привести *) Последнее видно из того, что в уравнении отсутствуют члены первой степени. **) Точнее, здесь имеются две такие кривые: Ь^2 + 2/>12Ц &22П2 — 1 и Лп£2 26]2gt) -)- Ьгг’П2 — —1, уравнения которых отличаются лишь свобод- ным членом. Подробнее о виде индикатрисы кривизны см. п. 7.
§ 51 КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 141 к главным осям, т. е. вместо базисных векторов ги и го можно выбрать в касательной плоскости два других базисных вектора так, чтобы они были взаимно ортогональными и единичными и чтобы в уравнении индикатрисы кривизны отсутствовал член с произведе- нием координат. Для этого нужно, чтобы новые базисные векторы были направлены по главным осям индикатрисы кривизны. Эти два направления мы назовем главными направлениями нашей поверх- ности (в данной точке). При таком выборе системы координат в касательной плоскости уравнение индикатрисы принимает вид px2-f- qy2 = ± 1. (3.55) Пусть <р — угол между главным направлением, принятым за напра- вление оси х, и произвольным нормальным сечением. Тогда, очевидно, х = | cos ф, у = У\ R | sin ф, где R — радиус кривизны данного нормального сечения. Подставив эти выражения х и у в уравнение (3.55) и вспомнив, что правая часть этого уравнения представляет собой отношение | R | к R, получим рсо82ф + <7 3И12ф = -^- = &. (3.56) ,Т ,1,1 Назовем главными кривизнами пх = -^~ и л2 = -^- поверхности в данной точке нормальные кривизны, отвечающие главным напра- влениям индикатрисы кривизны в этой точке. В выбранной нами л П системе координат это — направления ф = 0 и ф-^-, поэтому Aj = р, k2 = </• Таким образом, равенство (3.60) принимает вид k — kx cos2 ф-J- k2 sin2 ф, (3.57) или 4г = 4~СО82ф + -1^-51П2ф. (3.57') A Al А 2 Это — так называемая формула Эйлера. Она дает выражение нормальной кривизны поверхности по любому направлению через главные кривизны. ' Из формулы Эйлера сразу видно, что главные кривизны — это экстремальные значения нормальной кривизны. Действительно, если kx = k2, то k не зависит от ф и здесь любое направление будет
142 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 экстремальным *). Пусть kx #= k2, например kx > k2. Тогда kx—k2 > О и, переписывая формулу Эйлера в виде k — (kx — /г2) cos2 ф Н- k2 (cos2 ф -j- sin2 ф) = (ftj — fe2) c°s2 Ф + fe2> получаем, что kx~^- k2 при каждом ф. Эти экстремальные свойства главных кривизн дают удобный способ для их фактического вычисления. 5. Вычисление главных кривизн. Из формулы Эйлера (3.57) легко усмотреть, как нормальная кривизна А(ф) зависит от напра- вления ф. График зависимо- на что &о» че- при как л, сти k ОТ ф рис. 3.27. Из при каждом > ^2’ ф. Так на же нор- изображен него видно, заданном существуют тыре значения угла У7 которых k (ф) = Ло. углы, отличающиеся определяют одно и то мальное сечение, то каждому k0 отвечают два нормальных се- кривизна равна k0. Но если k0 — kx чения, для которых нормальная или k0 = k2, то эти два нормальных сечения сливаются в одно. Иными словами, главные кривизны — это те значения нор- мальной кривизны, каждому из которых отвечает одно и только одно нормальное сечение нашей поверхности. Форму- лу (3.52) для определения нормальной кривизны как функции на- правления можно переписать так: (5ц — Agu) du2 + 2 (&12 — *gi2) du dv + (b22 — kg22) dv2 = 0, или, деля на dv2 и полагая -т- — t (где t определяет сечение), (£ц — kgn) t2 + 2 (£12 — kgn) t + (р22 — kg^ = 0. (3.58) В соответствии с изложенным выше это квадратное уравнение для t, отвечающих главным направлениям и только для них, имеет не два, а лишь один корень. Для этого в свою очередь необходимо и доста- точно, чтобы дискриминант уравнения (3.58) обращался в нуль. *) Точка, в которой kx — k2, называется точкой округления или омби- лической точкой. Можно показать, что единственная поверхность, целиком состоящая из точек округления, — это сфера.
§ 5] КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 143 Итак, для нахождения главных кривизн мы получаем уравнение (*12 kg12)2 (Ьц ^н) (*22 kg22) — 0’ (3.59) или ^2~ kg„ =0_ (35д/) *12 kgl2 *22 ^g22 6. Полная кривизна и средняя кривизна. Во многих случаях вместо главных кривизн kx и k2 удобнее рассматривать их про- изведение K = kxk2 (3.60) и полусумму + = |(*l + *2). (3-61) К называется полной или гауссовой кривизной поверхности, а Н—ее средней кривизной. Из квадратного уравнения (3.59') сразу получаем формулы bub22 — ^11*22“ 2g12*12 +^22*11 ,Q А =----------2~ . л =-------Т7---------2“\--• (3 • о2) £1^22 ~ #12 2 (^1^22-^2) Пример. Вычислить полную и среднюю кривизны для гипербо- лического параболоида z — х2 — у2. Решение. = 1 + 4х2, g12 = —4ху, g22=l + 4y2; *п = 2, Z>12 = 0, b22 = — 2. Значит, К — ~4 н — 4<-*2—+) Л 1+4х24-4у2 ’ 14-4х24-4у2 ’ В частности, - в начале координат К — — 4, Н = 0. 7. Классификация точек на поверхности. Каждой точке Мо дважды непрерывно дифференцируемой поверхности S мы сопоставили определенную кривую — индикатрису кривизны в этой точке. Урав- нение индикатрисы можно, как мы знаем, привести к виду ZjjX2 + k2y2 = ± 1, (3.63) где и k2 — главные кривизны нашей поверхности в точке Л40. Тип кривой (3.63) зависит от знака произведения ktk2. Рассмотрим возможные здесь три случая. 1) Ajftj > 0. Можно считать, что kx >0, k2 > 0, так как, изменив направление нормального вектора п, мы можем изменить знаки у kx и k2 на противоположные. При > 0 и k2 > 0 уравнение (3.63) определяет эллипс, если в нем справа стоит 4-1, а уравнение, в ко- тором справа стоит —1, никакой кривой не соответствует. Точки, в которых kxk2 > 0 (т. е. индикатриса кривизны — эллипс), называются эллиптическими точками.
144 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 2) kxk2 < 0. В этом случае уравнение (3.63) определяет гиперболу или, точнее говоря, две гиперболы с общими асимптотами. Одна из них отвечает правой части -|-1, а другая — правой части —1. Точки, в которых kYk2 < 0 (индикатриса кривизны — пара гипербол), назы- ваются гиперболическими. 3) kxk2 = 0. Если при этом одна из главных кривизн отлична от нуля, то уравнение (3.63) определяет пару параллельных прямых. а) б) 6} Рис. 3.28. Точки, в которых kxk2 = 0 (но одна из главных кривизн отлична от нуля), называются параболическими. Если в данной точке kx = k2 = 0, то в ней понятие индикатрисы кривизны теряет смысл. Точки, где й1 = й2 = 0, называются точками уплощения поверхности. Итак, тип точки определяется знаком полной кривизны /( = klk2 в этой точке. Поскольку ,, ^11^22— ^12 А о ’ gllg22~gl2 а величина gng12— g2i2 всегда положительна, то тип точки опреде- ляется знаком дискриминанта bub22— Ь^2 второй квадратичной формы. Легко представить себе строение поверхности в окрестности точки каждого из трех типов. Пусть точка Л10 — эллиптическая. Тогда Aj и k2 имеют одинаковые знаки, а следовательно, в силу формулы Эйлера, все нормальные кривизны в данной точке имеют одинаковые знаки. Геометрически это означает, что в рассматриваемой точке все нормальные сечения имеют одно и то же направление во- гнутости. В окрестности эллиптической точки поверхность похожа на эллипсоид и имеет вид, изображенный на рис 3.28, а. Рассмотрим теперь гиперболическую точку. В ней главные кри- визны имеют разные знаки. Поэтому здесь существуют нормальные сечения с различными направлениями вогнутости. Поверхность в окре- стности такой точки имеет седлообразный вид (см. рис. 3.28, б). Несколько сложнее строение поверхности в окрестности парабо- лической точки. Здесь имеется одно направление, по которому нор- мальная кривизна равна нулю. По всем остальным направлениям нор- мальная кривизна имеет один и тот же знак. Типичным примером
§ 5j КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 145 параболической точки является любая точка обыкновенно круглого цилиндра (см. рис. 3.28, в), однако возможны и другие случаи, на которых мы не будем останавливаться. Рассмотрим следующий пример. Пусть поверхность задана урав- нением z = f(x, у) и пусть в точке (х0, у0) выполнены необходимые условия экстре- мума, т. е. -^- — 0, -^- = 0. Тогда нормаль к поверхности в этой точке совпадает с направлением оси z и, как показывает простое вы- числение, коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в этой точке равны ЬП=ГХХ’ bU = b21=fXV‘ и, следовательно, (з-64) Мы видим, что тип рассматриваемой точки определяется знаком вы- ражения (3.64). Но, как известно, знаком этого же выражения опре- деляется наличие или отсутствие экстремума в данной точке. Таким образом, мы получаем следующие связи между типом точки и нали- чием или отсутствием в этой точке экстремума: эллиптическая точка — экстремум есть (j"xxfyy — f'xy > 0), гиперболическая точка—экстремума нет (jxxfyy—/"у<0), параболическая точка — неопределенный случай (f f = V xxJ уу J ху / Упражнение. Каков тип точек, лежащих на: 1) эллипсоиде, 2) двуполостном гиперболоиде, 3) однополостном гиперболоиде, 4) эллиптическом параболоиде, 5) гиперболическом цилиндре. 8. Первая и вторая квадратичные формы как полная система инвариантов поверхности. Мы ввели для поверхностей первую квадратичную форму и показали, что эта форма определяет на по- верхности длины, углы и площади. Далее, мы показали, что вторая квадратичная форма определяет нормальные кривизны поверхности, т. е. вид поверхности в окрестности каждой точки. Естественно поставить следующий вопрос: в какой мере поверхность определяется своими двумя квадратичными формами. Ответ на него дает следую- щая теорема. Теорема 3.2. Если на поверхностях S « S* можно ввести координаты и и v и, соответственно, и* и о* так, чтобы в тех точках, в которых и = и*, v = v*, совпадали бы и соответ-
146 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 стелющие квадратичные формы, т. е. чтобы в этих точках выполнялись равенства — &12~ё12’ ^22~ ^22’ ^П = ^1Г ^12 ^12’ ^22 ~^22' то такие две поверхности конгруэнтны, т. е. могут отли- чаться друг от друга только положением в пространстве. Таким образом, первая и вторая квадратичные формы играют для поверхностей ту же роль, что и натуральные уравнения для кривой: они образуют полную систему инвариантов, определяющую по- верхность с точностью до ее положения в пространстве. Мы не будем проводить здесь доказательство сформулированной теоремы. Его можно найти почти во всех учебниках дифференциаль- ной геометрии*). § 6. Понятие о внутренней геометрии поверхности 1. Наложимость поверхностей. Необходимое и достаточное условие наложимости. Выше мы рассматривали поверхности как твердые тела, считая, что они могут перемещаться в пространстве, но не меняют свою форму. В некоторых случаях естественнее, однако, другая точка зрения, состоящая в том, что поверхности рассматриваются как нерастяжимые, но абсолютно гибкие пленки. При этом изучаются те свойства поверхности, которые не меняются при ее изгибании, т. е. при деформациях, не связанных с растяжением. Если одна поверхность может быть совмещена с другой при помощи изгибания, то эти поверхности, называются наложимыми друг на друга. Иначе говоря, две поверхности называются наложимыми друг на друга, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы линии, переходящие друг в друга при этом соответствии, имели одну и ту же длину. Естественно возникает вопрос: каковы условия, необходимые и доста- точные для того, чтобы две поверхности были наложимы друг на друга. Ответ на него дает следующая теорема. Теорема 3.3. Для того чтобы две поверхности 2 и 2* были нало- жимы друг на друга, необходимо и достаточно, чтобы эти поверх- ности допускали такую параметризацию и, v, при которой в точках и 44* £2*, имеющих одинаковые координаты и, v, соответствую- щие коэффициенты их первых квадратичных форм были бы равны. Доказательство. Достаточность этого условия очевидна: если та- кая параметризация возможна, то, поставив в соответствие друг другу те точки поверхностей 2 и 2*, которые имеют одинаковые координаты и, v, мы получим в соответствующих точках одинаковые коэффициенты первых квадратичных форм £ц = £11> Sl2 = Sl2’ S22 — S22- Но тогда, параметризовав две соответствующие друг другу линии на этих поверхностях с помощью одного и того же параметра t (т, е. так, чтобы *) См„ например, А. П. Н о р д е и, Дифференциальная геометрия, Учпедгиз, 1948, стр. 188.
§ 61 ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 147 в соответствующих друг другу точках этих линий значение параметра было одно и то же), мы получим, что _______ . . . С, Г / du У , n_ du dv „ ( dv\2 J V g 11 \dt) +2Si24F~dT + g22\dF) h a65> т. e. что длины этих дуг равны. Обратно, если две поверхности 2 и 2* наложимы друг на друга, то на этих поверхностях можно ввести общую параметризацию, введя каким-либо образом координаты и, v на поверхности 2 и считая, что точка Л1*£2* имеет те же внутренние координаты и, v, что и отвечающая ей точка М. Рас- смотрим теперь на поверхностях 2 и 2* две отвечающие друг другу линии и параметризуем их так, чтобы их точки, совпадающие при наложении, отвечали одному и тому же значению параметра t. Тогда равенство длин дуг этих кривых запишется в виде (3.65). Так как это равенство будет иметь место при всех и t2, то из него получим du2 -j- 2£12 du dv 4- g22 dv2 = du2 4- 2^*2 du dv 4- g22 du2. Но это последнее равенство должно выполняться тождественно по du и dv, так как оно справедливо для любых соответствующих друг другу кри- вых, проходящих через любые точки и в любых направлениях. Тождествен- ное равенство двух квадратичных форм влечет совпадение их коэффициентов. Таким образом, £ц = #11> Д12 = Д12> Sil= Sl1< что и требовалось доказать. 2. Внутренняя геометрия поверхности. Совокупность тех свойств по- верхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геомет- рии поверхности относятся те и только те ее свойства *), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внут- ренняя^ геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. Далее, поскольку угол между лини- ями на поверхности и площадь поверхности выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы (см. п. 2 и 4 § 4), то эти величины также отно- сятся к внутренней геометрии. Замечательно то обстоятельство, что внутренним свойством поверхности является и ее полная кривизна К. Именно, Гауссом была получена для пол- ной кривизны в ортогональных координатах следующая формула: ________1 J д / 1 । д / 1 dgn\ 1 ^Vgugzi \ди \ У gltg22 ди dv \ Vgng22 dv / J’ в которую входят только коэффициенты первой квадратичной формы. В то же время ни средняя кривизна, ни главные кривизны при изгибании не сохра- няются. *) Речь идет, конечно, о тех свойствах, которые относятся к самой по- верхности и не зависят от выбора ее параметризации.
148 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. 3 Сам термин «внутренняя геометрия» применительно к свойствам, сохра- няющимся при изгибании поверхности, означает, что они присущи именно самой поверхности и не связаны с ее вложением в пространство. Поясним это сле- дующим «мысленным экспериментом». Представим себе, что поверхность населена некими двумерными существами, достаточно разумными, но не имею- щими никаких выходов в окружающее эту поверхность пространство. Такие существа могли бы построить геометрию своего «мира», назвав «прямой», проходящей через две точки, кратчайшую из всех линий (лежащих целиком на поверхности), проходящих через эти точки (например, на сфере такой «прямой» будет дуга большого круга), и, далее, определить «треугольники», «многоугольники» и I । I т. д. и изучать свойства этих фигур (не выходя /II в окружающее поверхность пространство). Та / | \ геометрия, которая при этом получилась бы, и / j \ является внутренней геометрией нашей поверх- / • \ ности. При этом наши гипотетические существа / । \ никоим образом не смогли бы отличить одну по- / | \ верхность от любой другой, на нее наложи- У' । мой *). Например, внутренняя геометрия плоско- | сти — это обычная планиметрия, которую все 1 изучают в школе. Однако все теоремы плани- _ I метрии останутся верны, если вместо плоскости рассматривать любую наложимую на нее по- \ верхность, скажем параболический цилиндр. А \ | / вот внутренняя геометрия сферы существенно \ j / отличается от геометрии плоскости: например, на \ । / сфере сумма углов треугольника всегда больше, | ! / чем л. V~i 3. Поверхности постоянной кривизны. Рас- ' смотрим поверхность, полная кривизна К кото- Рис. 3.29. рой в каждой точке имеет одно и то же зна- чение. Такие поверхности называются поверх- ностями постоянной кривизны!' Из инвариантности полной кривизны при изгибаниях следует, что две поверхности постоянной кривизны наложимы друг на друга только тогда, когда их кривизны равны. Можно показать, что верно и обратное: две поверхности одной и той же постоянной кри- визны наложимы друг на друга. Таким образом, каждая из этих поверхностей полностью (с точки зрения внутренней геометрии) характеризуется одним числом — своей полной кривизной К,- Геометрические свойства поверхности постоянной кривизны существенно зависят от знака кривизны, поэтому следует отдельно рассматривать поверх- ности положительной, нулевой и отрицательной кривизны. Поверхностью нулевой кривизны является плоскость. Ее внутренняя геометрия — это обычная планиметрия. Ту же самую внутреннюю геометрию имеет и любая другая поверхность нулевой кривизны. «Канонической моделью» поверхности положительной кривизны К может служить сфера радиуса У?= -2—-. Внутренняя геометрия этой поверхности *) Соображения о том, когда возможно, а когда невозможно «внутренним Образом» отличить прямое от кривого, имеют смысл не только примени- тельно к двумерным объектам — поверхностям, но и для объектов большей размерности, в частности и для трехмерного пространства. Эти вопросы очень важны с точки зрения общих представлений о вселенной. К сожале- нию, мы не имеем возможности здесь их рассматривать.
§ б] ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 149 отлична от привычной нам планиметрии: если под «прямыми» понимать кратчайшие линии (т. е. в случае сферы дуги больших кругов), то верны следующие утверждения: любые две «прямые» при неограниченном их про- должении пересекаются, сумма углов треугольника больше двух пря- мых и т. д. Поверхностью постоянной отрицательной кривизны К < 0 является так называемая псевдосфера, которая изображена на рис. 3.29. Она представляет собой поверхность, образованную вращением трактрисы, т. е. кривой, опре- деляемой уравнениями х~ a (cos /-f-In tg-|j, у = sin Д Изображенная на рис. 3.29 поверхность не гладкая: она имеет ребро. Это обстоятельство не случайно: можно показать, что в трехмерном про- странстве не существует неограниченно продолжимой гладкой поверхности, имеющей постоянную отрицательную кривизну. Внутренняя геометрия псевдо- сферы отлична и от обычной планиметрии и от геометрии на сфере. Она совпадает с так называемой геометрией Лобачевского, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых, через данную точку проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную, и т. п. Не имея воз- можности останавливаться здесь на всех этих вопросах (имеющих, между прочим, глубокие связи с современными физическими представлениями, в частности с теорией относительности), мы отсылаем интересующегося ими чатателя к соответствующей специальной литературе *). *) См., например, Н. В. Ефимов, Высшая геометрия, Физматгиз, 1961.
ГЛАВА 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Нахождение массы материальной кривой по ее плотности, вычисле- ние работы силового поля вдоль некоторого пути и ряд других задач требуют введения так называемых криволинейных интегралов, т. е. интегралов от функций, заданных вдоль кривых. Этому поня- тию, важному как для самого анализа, так и для его физических приложений, посвящена настоящая глава. Рассмотрение различных физических задач, связанных с интегри- рованием функций вдоль линий, приводит к необходимости введения двух типов криволинейных интегралов, называемых обычно криво- линейными интегралами первого и второго рода. Впрочем, как мы увидим, эти два типа криволинейных интегралов легко преобразуются друг в друга. § 1. Криволинейные интегралы первого рода 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть АВ — некоторая кривая, гладкая или кусочно-гладкая*), и пусть /(А1) — функция, заданная на этой кривой. Рассмотрим не- которое разбиение этой кривой на части А1_1А1 точками А — Ай, А,.....Ап — В, (4.1) выберем на каждой из дуг произвольную точку и соста- вим сумму п (4.2) z=i *) Напомним, что кривая, заданная уравнениями х = ср (/), у = ф (/), называется гладкой, если функции cp(Z) и ф(<) непрерывны и имеют не- прерывные первые производные, не обращающиеся в нуль одновременно (иными словами, если кривая в каждой точке имеет касательную и напра- вление этой касательной непрерывно зависит от точки касания). Непрерыв- ная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.
§ 1] криволинейные интегралы первого рода 151 где A/z— длина дуги (рис. 4.1). Мы будем называть такие суммы интегральными суммами. Введем следующее определение: Определение. Если при стремлении maxA/z к нулю инте- гральные суммы (4.2) стремятся к некоторому конечному пределу*) J, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (М) по кри- вой АВ и обозначается J f{M)dl. АВ Поскольку точки кривой АВ определяются своими координа- тами (х, у), функцию f (Л4), заданную на АВ, мы будем обычно писать в виде /(х, у), а сам интег- рал J* / (/И) dl — в виде АВ f f(x, y)dl. АВ При этом, однако, следует иметь в виду, что переменные х и у здесь не независимы, а связаны условием: точ- ка (х, у) лежит на кривой АВ. Нетрудно убедиться в том, что по- (4-3) нятие криволинейного интеграла пер- вого рода на самом деле почти не отличается от обычного понятия определенного интеграла функции одной переменной и легко к нему сводится. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А, запишем эту кривую с помощью уравнений вида х - х (/), у = у (/) (О L). (4-4) При этом функция /(х, у), заданная на АВ, сведется к функции f(x{l), у(1)) переменной I. Обозначив I* значение параметра /, отве- чающее точке Mit перепишем интегральную сумму (4.2) в виде п 1=1 (4-5) *) Как и в случае определенных интегралов (см. вып. 1, гл. 10, § 1), число J называется пределом интегральных сумм, если для любого е > 0 выпол- п i = l нено неравенство < е, как только max Д// достаточно мал.
152 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Это — интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу L f y(T))dl. о Раз интегральные суммы (4.2) и (4.5) равны между собой, то равны и отвечающие им интегралы; таким образом, L f/(M)dl = f/(х (I), у (I)) dl, (4.6) AB 0 причем оба эти интеграла существуют или не существуют одно- временно. Следовательно, если функция f (Л4) непрерывна *) (или же кусочно-непрерывна и ограничена) вдоль кусочно-гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл (4.3) заведомо существует, поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (4.6) справа. Замечание. Хотя, как это ясно из сказанного, криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному интегралу от функции одной переменной, между этими понятиями имеется следующее различие. В интегральных суммах (4.2) величины (длины дуг ^Z-1XZ)—обязательно положительные, независимо от того, какую точку кривой АВ мы считаем начальной, а какую — конечной. Таким образом, выбор на кривой АВ того или иного направления (ориентация этой кривой) на величину интеграла (4.3) никак не влияет, т. е. f/(M)dl= f f(M)dl, (4.7) АВ BA b в то время как определенный интеграл J* f (х) dx при перестановке а пределов меняет знак. Для сведения криволинейного интеграла первого рода к обыкно- венному определенному интегралу нет необходимости пользоваться натуральным параметром (длиной дуги). Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = <р(О, У = Ф(О (4) < (4-8) причем ф(0 и ф(/) непрерывны, а <р' (t) и ф'(0 кусочно-непрерывны и ограничены и ф'2(О+'ф,2(О > О- Тогда на АВ можно ввести *) Мы говорим, что функция f (М), определенная на спрямляемой кривой, непрерывна на этой кривой, если она непрерывна на ней как функция параметра /.
§ 1] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 153 в качестве параметра длину дуги I, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Выберем при этом направление отсчета для I так, чтобы возрастанию параметра t отвечало возрастание длины дуги I. Тогда I будет монотонно возрастающей функцией t и dl=V<f'\t)+y\t)dt. (4.9) Воспользовавшись равенством (4.6) и формулой замены переменной в определенном интеграле, получим i t, _____________ f f(M)dl = f/(x(l), y(l))dl — р(ф(0, W)) VV(0 + T'2(0^. AB 0 t, причем здесь to < /1. Итак, справедлива следующая Теорема 4.1. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав- нениями x = tp(t), y = $(t) (t£[t0, /J), и f(x, у)— функция, заданная на этой кривой. Тогда имеет место равенство 6 ______________ f f(x, y)dl = ff(y(t), ф(0)У<р'2(0 + ф'2(/Ж (4.10) AB причем стоящий слева криволинейный интеграл существует в том и только том случае, когда существует определенный интеграл, стоящий справа. В частности, если кривая АВ задана явным уравнением у = у(х) (а<^х<;^), то формула (4.10) сведения криволинейного интеграла к определен- ному пр'ншает вид ь _______ f f(M)dl= f f(x, y(x))Vi-j-y'2dx. (4.11) AB a Упражнение. Записать криволинейный интеграл от функции f(x, у) по дуге АВ, заданной полярным уравнением г = г (ф) (ф1 < ф < ф2) в виде определенного интеграла по ф. Ч>2 _______ Ответ. J / (х, у) dl~ J / (г cos ф, г sin ф) Vг2 г'2 dq. АВ q>i
154 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 4 Замечание. Определенный интеграл f f(x) dx а от неотрицательной функции можно трактовать как площадь криво- линейной трапеции (рис. 4.2, а). Подобным же образом криво- линейный интеграл f f(M) dl АВ можно при / (Л4) 0 представлять себе как площадь куска цилин- дрической поверхности, составленной из перпендикуляров к пло- скости ху, восставленных в точках М кривой АВ и имеющих переменную длину f(M) (рис. 4.2, б). 2. Свойства криволинейных интегралов. Свойства криволиней- ных интегралов вполне аналогичны свойствам определенных интегра- лов и сразу вытекают из формулы (4.6), сводящей криволинейный интеграл к определенному. Перечислим основные из них. 1 (линейность). Если 6 = const, a f (М) интегрируема на АВ, то f kf(M)dl = k f f(M)dl AB AB и интеграл слева заведомо существует. 2 (линейность). Если f (М) и g(M) интегрируемы на АВ, то f(M') + g(M) интегрируема и f (/(M)±g(M))dl = $f(M)dl± fg(M)dl. AB AB AB
§ 1] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 155 3 (монотонность). Если f (М)— неотрицательная инте- грируемая функция, то всегда f f(M)dl^0. АВ 4 (аддитивность). Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ, то f f(M)dl = f f(M)dl+ f f(M)dl, AB AC CB причем интеграл слева существует тогда и только тогда, если существуют оба интеграла справа. 5 (оценка по модулю). Если f (М) интегрируема на АВ, то | / (AI) | тоже интегрируема и | f /(М)Л|< f\f(M)\dl. АВ АВ 6 (теорема о среднем). Если f (М) непрерывна на АВ, то на этой дуге найдется такая точка М*, что f f(M) dl — f (М*) L AB (L — длина дуги AB). 7 . Подчеркнем, наконец, еще раз, что f f(M)dl = f f(M)dl, AB BA m. e. что выбор направления на дуге АВ не влияет на вели- чину интеграла от скалярной функции f (Л1) по этой дуге. 3. Некоторые применения криволинейных интегралов первого рода. Укажем некоторые типичные задачи, в которых удобно поль- зоваться криволинейными интегралами первого рода. 1) Нахождение массы материальной кривой по ее плот- ности. Материальной кривой будем называть кусочно-гладкую кри- вую, вдоль которой распределена некоторая масса. Линейной плот- ностью р (М) материальной кривой в точке М называется предел, к которому стремится отношение массы Др, находящейся на дуге ММ' этой кривой, к длине дуги ММ', при условии, что длина этой дуги стремится к нулю. Иначе говоря, если I — длина дуги AM и ц(Л4) — масса этой дуги, то р (М) = Отсюда ясно, что
156 криволинейные интегралы [ГЛ. 4 I масса дуги АВ выражается интегралом | pdZ, т. е. криволиней- о ным интегралом J р (Л4) dl АВ от плотности, взятым по кривой АВ. 2) Вычисление координат центра масс материальной кривой. Пусть масса распределена вдоль кривой АВ с плотностью р(х, у)*). Разбив эту кривую на части длины A/z и выбрав на каждой из этих частей некоторую точку (xz, yz), можно материальную кривую при- ближенно рассматривать как систему масс p(xz, yz)A/z, расположен- ных в точках (xz, yz). Центр масс такой системы материальных точек имеет координаты п п у.)д/г y^k , у_ = ------------ П ’ 'С п 5р(хгУг)Ч 2S Р (хг У[) Эти выражения можно считать приближенными значениями координат хс и ус центра масс материальной кривой АВ. Для получения точных значений этих координат следует перейти к пределу при maxA/z->0. В результате такого предельного перехода получаем J хр {х, у) dl X =AS._____________' хс — (• ’ J р (х, у) dl АВ У УР {х, у) dl уе=—------------• ✓ 4? л • J р (х, у) dl АВ (4.12) В частности, в случае однородной кривой р = const имеем АВ bdl АВ (4-13) 3) Вычисление моментов инерции материальной кривой. Момент инерции системы точечных масс mt относительно некоторой *) Здесь и в последующих задачах нам естественно задавать точки кривой их декартовыми координатами х, у (см. п. 1).
§ I] криволинейные интегралы первого РОДА 157 прямой равен п S 1=1 где rt— расстояние от /-й массы до этой прямой. В частности, моменты инерции такой системы масс, лежащих в плоскости ху, относительно осей х и у равны соответственно п п /=2^ и / 2%2„г/ 1=1 1 = 1 (где (xz, уг)— координаты точечной массы znz). Для получения моментов инерции относительно координатных осей материальной кривой АВ, вдоль которой распределена масса с плотностью р(х, у), нужно сделать такой же предельный переход, как и в предыдущей задаче. Тогда для моментов инерции кривой АВ относительно коор- динатных осей мы получим выражения Ix= J у2р(х, у)dl, /у= J х2р’(х, y)dl. (4.14) АВ АВ 4) Притяжение точечной массы, материальной кривой. Пусть снова АВ — материальная кривая с плотностью р(х, у) и т0 — точечная масса, имеющая координаты (х0, у0). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что кривая АВ при- тягивает массу гпц с силой, проекции которой на координатные оси равны соответственно Г.-v«<. fл г,dl. АВ АВ Здесь у — постоянная тяготения и г = ]/(х — х0)2 (у — у0)2. Если считать, что интегрирование вектора по некоторому пара- метру означает интегрирование каждой из его компонент (см. § 1 гл. 3), то эти две скалярные формулы можно заменить одной векторной: сила F, с которой материальная точка т0 притягивается материальной кривой АВ, равна F=y/n0 f^^-rdl, (4.15) АВ где г — вектор с компонентами (х — х0) и (у — у0). 4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве. Определение криволинейного интеграла первого рода, сформулиро- ванное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай функции f (Al), заданной вдоль некоторой пространственной кривой.
158 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Если эта кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = <р(О, У = Ф(О. * = X(0 то криволинейный интеграл первого рода, взятый вдоль этой кривой, сводится к определенному интегралу по формуле _____________________ f f (/И) di = ff (ср (О, Ф (0. х (0)/<р'2 (04-Ф'2 (0+X'2 (0 dt. АВ 6 Условия существования и основные свойства пространственных криволинейных интегралов вполне аналогичны тем, которые были сформулированы выше для плоского случая. Криволинейные инте- гралы первого рода в пространстве естественно возникают при рас- смотрении таких задач, как вычисление массы пространственной кри- вой по заданной плотности, нахождение координат центра масс ма- териальной пространственной кривой, ее моментов инерции и т. п. Соответствующие формулы читатель легко может получить с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше для плоского случая. § 2. Криволинейные интегралы второго рода 1. Постановка задачи. Работа силового поля. Введем теперь криволинейные интегралы другого типа — так называемые криволи- нейные интегралы второго рода. Для того чтобы подойти к этому понятию, начнем с конкретной физической задачи. Рассмотрим плоское силовое поле, т. е. некоторую плоскую область, в каждой точке А1 которой задана сила F(M). Компоненты F (Л4) по осям х и у обозначим Р (Л4) и Q (Л4). Определим работу этого силового поля при перемещении точки вдоль некоторой кривой АВ. Если сила F постоянна (и по величине и по направлению), а путь АВ прямолинеен, то соответствующая работа равна произведению вели- чины этой силы на длину пути и на косинус угла между силой и перемещением, т. е. работа равна скалярному произведению (F, АВ). Найдем теперь выражение для работы в общем случае, т. е. когда сила F переменна, а путь криволинеен. Пусть АВ — гладкая кривая, лежащая в той области, где задано силовое поле. Разобьем кривую АВ на части точками Д = Л40, ....Мп = В и рассмотрим ломаную, вершинами которой служат точки (рис. 4.3). Считая, что вдоль каждого звена ломаной сила F сохраняет постоянное значение, скажем, равное Д(Л4г), вычислим работу, отвечающую перемещению вдоль этой ломаной. Если (хг, yz) —
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 159 координаты точки Alz и Axz=xz —xz_p Ayz = yz —yz_p то работа, отвечающая перемещению вдоль отрезка Afz_p Mit равна (F(MZ), M^z) = P(Mz)Axz + Q(Mz)Ayz, а работа, отвечающая перемещению вдоль всей ломаной, равна п 2 (Р (2И z) Axz + Q (МЦ Ayz). (4.16) /=i Эту сумму можно принять за приближенное значение работы, совер- шаемой силовым полем F (М) вдоль кривой АВ. Для получения точ- ного выражения этой работы нужно в сумме (4.16) перейти к пределу, устре- мив максимум длин дуг М[_1М1 к ну- лю. Рассмотрим этот предельный пере- ход в общем виде. 2. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть АВ — гладкая кривая и F (Л4) — (Р (Л4), Q (/И)) — вектор-функция, определенная на кривой АВ. Разобьем эту кривую на части точками Д = Л40. /И,....Мпг=В. координаты которых обозначим соответственно (х0, у0), (хр yz), ... ..., (хя, уя). Рассмотрим сумму п + (4.17) 1 = 1 где Axz=xz— xz_P Ayz = yz — yz_p Если при стремлении макси- мума длин дуг 2WZ_1A1Z к нулю эти суммы стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется криволинейным инте- гралом второго рода от вектор-функции F = (/э. Q) и обозна- чается *) символом J P(M)dx + QOM)dy. (4.18) АВ *) Вместо Р (М) и Q (М) мы будем иногда писать Р(х, у) и Q (х, у), понимая под х и у декартовы координаты переменной точки м\ в тех слу- чаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем функции Р (М) и Q (М) обозначать просто Р и Q, а криволинейный интеграл (4.18) писать в виде J Р dx + Q dy. АВ
160 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Этот интеграл представляет собой, очевидно, сумму д ух интегралов §P(M)dx и J Q(M)dy, АВ АВ .0 отвечающих векторам (Р, 0) и (0, Q), на которые разлагается век- тор (Р, Q). Замечание. Понятие криволинейного интеграла второго рода не следует смешивать с тем «покомпонентным» интегрированием векторной величины по скалярному аргументу, с которым мы встре- чались выше (см. п. 5 § 1 гл. 3 и конец п. 5 § 1 этой главы), например при вычислении силы притяжения материальной точки мате- риальной кривой. 3. Связь между криволинейными интегралами первого и вто- рого рода. Криволинейный интеграл второго рода легко сводится к интегралу первого рода, рассмотренному в § 1. Действительно, справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная урав- нениями х — х(1), у = у(Г), (4.19) и F — (Р, Q)— векторная функция, определенная и ограничен- ная*) на этой кривой. Тогда имеет место равенство J Р dx-]-Q dy = J (Р cosa-)-Q sin a) dl, (4.20) AB AB где a — а(Л4) — угол между касательной к кривой АВ в точке М и положительным направлением оси х. При этом стоящий слева интеграл существует, если существует криволинейный интеграл первого рода, стоящий в равенстве (4.20) справа. Доказательство. Докажем равенство f Pdx— Г Р cos a dl. АВ АВ Равенство J" Qdx— J* Qsinadl АВ АВ доказывается так же. Интеграл yPdx АВ *) Вектор-функция (Р, Q) называется ограниченной, если Р и Q — огра- ниченные функции.
§ 21 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 161 представляет собой по определению предел сумм вида Т — ^^Р {М \х t. Сравним эту сумму с интегральной суммой п Г = 2 P(Ml)cosa(Ml)Mi, / = 1 отвечающей (при том же самом разбиении кривой АВ) интегралу J Р cos a dl. АВ Если х = х (/), то в каждой точке М кривой АВ = cos а (/И) (4.21) и, следовательно, \xt— J cosarfZ. Воспользовавшись теоремой о среднем, получаем Дх, = cos(/VIi) AZ;, где М* — некоторая точка дуги Следовательно, |Т— 7’*] = 2 Р(Л1/)[соза(М1-) — cos Д/е- n <; 2 |^(^/)| • |cosa(Mz)— cosa(M*)| i=i Вдоль гладкой кривой функция cos а (Ж) непрерывна, а значит (по- скольку эта кривая представляет собой замкнутое ограниченное мно- жество), и равномерно непрерывна. Следовательно, каково бы ни было е > 0, для каждого достаточно мелкого разбиения кривой АВ имеет место неравенство i cos a (Mz) — cosa(Alz)| < e. Тогда |Г — Г | < Ce 2 = ceZ,, где C = sup |Р|, a L — длина кривой АВ. Отсюда следует, что если
162 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 интегральные суммы Г* имеют предел, то суммы Т стремятся к этому же пределу. Тем самым теорема доказана. Замечание. Выражение Pcosa4~Qs>na представляет собой скалярное произведение (F, т) вектора F = (P, Q) на единичный век- тор T = (cosa, sin а), касательный к кривой АВ, т. е. проекцию вектора F = (P, Q) на касательную к АВ. Обозначив эту проекцию символом Fx и воспользовавшись равенством (4.20), мы можем за- писать криволинейный интеграл (4.18) в виде J* Fx dl. (4.22) АВ Этой краткой записью мы будем часто пользоваться ниже, особенно в гл. 6. Иногда также, особенно в физической литературе, этот ин- теграл пишут в виде f (F, dl), (4.23) АВ понимая под dl бесконечно малый вектор с компонентами dx = dlcosa и dy — dlsin a. 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Из сопоставления теорем 4.1 и 4.2 сразу вытекает следующая Теорема 4.3. Пусть АВ — гладкая кривая, заданная уравнениями х = ф(0> У = Ф(О> (4.24) и пусть F = (P, Q)— вектор-функция, заданная на этой кри- вой. Тогда Л J Р dx -y Q dy — J [Р(ф(0. Ф(О)ф,(О + <?(ф(О» Ф(О)Ф'(*)1^. АВ (4.25) и интеграл слева существует, если существует определенный интеграл, стоящий справа-, при этом ta — значение парамет- ра t, отвечающее точке A, a —значение, отвечающее точке В. Теоремы 4.1—4.3 очевидным образом остаются справедливы, если кривая АВ не гладкая, а лишь кусочно-гладкая. Рассмотрим важнейшие частные случаи формулы (4.25). Если кривая АВ задана явным уравнением У = У <х), (4.26)
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 163 где х пробегает отрезок [а, £], то формула (4.25), сводящая криво- линейный интеграл второго рода к определенному, принимает вид ь J Р dx-\-Qdy = J [Р(х, у (х)) + Q (х, у (х)) у' (х)] dx (4.27) АВ а (где х — а отвечает начальной точке А кривой, а х = Ь — ее конеч- ной точке В). Если, в частности, кривая АВ — отрезок горизонталь- ной прямой у = у0, то вдоль него /=0 и интеграл J* Р dx -|- Q dy АВ вдоль такого отрезка сводится просто к интегралу ь J y0)dx. а Аналогично для кривой, заданной уравнением х = х(у), (4.28) где у пробегает некоторый отрезок [с, d], имеем d J Pdx-j-Q dy = j' (Р(х(у), y)x'4-Q(x(y), у)] dy (4.29) АВ с В частности, если АВ — отрезок вертикальной прямой х = х0, то х' = 0 и интеграл (4.29) сводится к f Q(x0, y)dy. (4.30) АВ Примеры. 1. Вычислить интеграл J* x2dx-j-xydy (4.31) АВ а) вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки (1, 0) в точку (°. О- б) вдоль четверти окружности х = cos t, у = sin t ^0 t j , соединяющей те же точки (рис. 4.4).
164 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Решение. о а) х2 dx -|- ху dy -- (х2— х(1—x)')dx — ав i о — У (2х2— x~)dx = — 1 Л 2 б) J х2 dxху dy = J" (— cos2/sin t-j- cos21 sin t) dt = O. ав о 2. Вычислить интеграл У 3x2ydx + (x3 + V)dy (4.32) AB а) вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки (0, 0) в точку (1, 1), б) вдоль дуги параболы у — х2, соединяющей те же точки, в) вдоль ломаной, проходящей через точки (0, 0), (1, 0), (1, 1) (рис. 4.5). Решение. 1 а) У Зх2у dx + (х3 -j- l)dy = У (4х3 + 1) dx =2; ав о 1 б) У Зх2у t/x + (x3+ 1) dy = У (5х4+ 2х) dx — 2; ав о в) у Зх2у dx + (*8+ 1)</у = АВ (1,0) (1,1) 1 — У 3x2y<Zx + у (x3-|-l)t/y = j’2dy — 2. (0, 0) (1, 0) о
§ 2] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 165 Замечание. Читатель, видимо, обратил внимание на то, что во втором примере мы, взяв три различных пути (соединяющих одни и те же точки), получили три одинаковых результата. Это обстоя- тельство не случайно. Причину его мы разъясним в § 4. 5. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от ориентации кривой. Из определения криволинейного интеграла J Pdx + Qdy (4.33) АВ непосредственно следует, что в нем постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, что интеграл от суммы двух векторных функций равен сумме интегралов от слагаемых и т. д. Подчеркнем следующее важное свойство интеграла (4.33): криволинейный интеграл второго рода в отличие от интеграла первого рода, определенного в § 1, зависит от ориентации кривой АВ, по которой этот интеграл берется, а именно, при изменении ориентации этой кривой интег- рал (4.33) меняет знак: J' Р dx -[-Q dy =— £ Р dx Q dy. BA BA (4-34) Действительно, изменив направление обхода кривой АВ, мы заменим тем самым Дх; и Ду; в сумме (4.17) на —Дх( и —Ду£ соответ- ственно. При этом изменят знак интегральные суммы (4.17), а сле- довательно, и их предел. Это свойство криволинейного интеграла второго рода вполне соот- ветствует физической интерпретации такого интеграла, как работа силового поля вдоль некоторого пути: при изменении направления движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 6. Криволинейные интегралы вдоль самопересекающихся и замкнутых путей. С точки зрения возможных приложений теории криволинейных интегралов целесообразно не исключать из рассмо- трения пути интегрирования, которые имеют самопересечения. Иначе говоря, если кривая задана уравнениями х = х (р, y — y(t) («<;/<: b), то мы не исключаем того, что существуют два различных значения £j и t2 параметра t, для которых х (Л) = х (72) и у (/j) = у (tj. При этом, однако, когда речь идет об интегралах второго рода, нужно учитывать, что задать путь интегрирования это значит не просто задать множество точек, но и определенное направление обхода. Для кривых с самопересечениями направление обхода не определяется
166 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 заданием начальной и конечной точек. Например, кривые, изображен- ные на рис. 4.6, а и б, нужно рассматривать как две различные кри- вые. Сказанное относится не только к плоским, но и к простран- ственным кривым. Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы, взятые по тому или иному замкнутому контуру. При этом под замкнутым контуром (на плоскости) мы понимаем такую кривую х = х (f), y — y(t) (а t b), что х (а) = х (Ь) и у (а) — у (б). Не исключается, что этот контур имеет еще и точки самопересечения, т. е. что, кроме t — a и t — b, есть и дру- гие различные между собой значения параметра, которым отвечают одина- ковые значения х и у. не имеет точек самопересечения, то для олько два направления обхода (ориента- ции): против часовой стрелки (положительная ориентация) и по часо- вой стрелке (отрицательная ориентация). Если рассматривается инте- грал второго рода J Р dx-\~Qdy с а) б) Рис. 4.6. Если замкнутый контур него можно указать два и вдоль такого контура, то его значения, отвечающие двум различным ориентациям контура С, равны между собой по абсолютной вели- чине и противоположны по знаку. Мы будем, как правило, рассмат- ривая замкнутый контур, считать его ориентированным положительно, а криволинейный интеграл второго рода по отрицательно ориентиро- ванному контуру заменять интегралом, взятым в положительном направлении, но со знаком минус перед интегралом. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру С часто обо- значают символом Р dx-\-Qdy. с 7. Криволинейные интегралы второго рода вдоль простран- ственных кривых. Выше мы рассматривали криволинейные инте- гралы от векторных функций вдоль плоских кривых. Все сказанное о них более или менее автоматически переносится на пространствен- ный случай. Пусть АВ — гладкая пространственная кривая и F = (Р, Q, Р) — непрерывная вектор-функция, заданная вдоль этой
§ 2) КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 167 кривой. Разбив АВ на части точками А = М0, .....Мп=В с координатами (х{. yit z^, Z= 1, 2, п, рассмотрим сумму п 2 J/3 (М<) bxt + Q (Mz) Ayz + R (/Mz) ЬгД. 1=1 где \xl = x[ — xl_1, \zl^zi — zi_1. Предел этих сумм мы назовем криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции F — (Р, Q, R) вдоль про- странственной кривой АВ и обозначим f P(M)dx + Q(M)dy + R(M)dz. (4.35) АВ ИЛИ *) f Р(х, у, z) dx 4-Q (х, у, z) dy 4- R(x, у, z)dz. АВ С помощью рассуждений, дословно повторяющих те, которые были проведены для плоского случая, устанавливается формула, сводящая интеграл (4.35) к криволинейному интегралу первого рода J Р dx -j- Q dy + R dz — J [P cos a 4- Q cos ₽ 4- R cos Y1 dl AB AB (здесь a, 0, у — углы между касательной к АВ и осями координат х, у и д). Если гладкая кривая АВ задана уравнениями х = ф(О. у = ф(О. z = причем точке А отвечает t = t0, а точке В отвечает t — tx, то имеет место равенство f Р dx 4- Q dy 4- R dz = f [P((p(t), ф(0. х(О)ф'(О + AB tn 4-Q (Ф(0. Ф(0. x(0)Ф' (0 + R (Ф(0. Ф(0- x(0) x'(01 dt. (4.36) сводящее криволинейный интеграл второго рода к определенному интегралу. Так как выражение Pcosa4-Qcos04~^cosY— это проекция вектора F = (Р, Q, R) на направление касательной к АВ, то, *) Часто для краткости мы будем писать его просто в виде J" Р dx -j- Q dy 4" R dz. AB
168 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 обозначив эту проекцию Fx, мы можем, как и в плоском случае, запи- сать криволинейный интеграл (4.35) в виде f Fxdl. АВ Все свойства плоских криволинейных интегралов, изложенные выше, автоматически переносятся на пространственный случай. В частности, криволинейный интеграл (4.35) меняет знак при изменении ориента- ции кривой, т. е. J Р dx 4- Q dy 4~ R dz = — J P dx -|-Q dy 4- R dz. AB BA В соответствии с этим в определенном интеграле, стоящем в фор- муле (4.36) справа, нижний предел t0 — это значение параметра, отвечающее начальной точке А кривой АВ, а верхний предел tx — зна- чение параметра, отвечающее конечной точке В. (Независимо от того, какое из чисел tQ, больше, а какое меньше.) § 3. Формула Грина В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Грина*), связывающую криволинейный интеграл Р dx-\-Qdy, с взятый по границе некоторой области, с двойным интегралом по са- мой этой области. Эта формула широко применяется как в самом анализе, так и в его приложениях. Неко- торые из этих применений будут рассмот- рены ниже. 1. Вывод формулы Грина. Рассмот- рим сначала область О, имеющую простой вид: снизу и сверху она ограничена ку- сочно-гладкими кривыми У = (X), у = у2 М, (4.37) а слева и справа — вертикальными отрез- ками х = а, х — Ь (4.38) (рис. 4.7). Границу ABCDA области мы будем считать ориентиро- ванной положительно, т. е. будем считать принятым на ней то направление обхода, при котором сама область О остается все время *) Джордж Грин (1793—1841) — английский математик, автор ряда исследований по математической физике.
§ 3] ФОРМУЛА ГРИНА 169 слева. Пусть функция вместе со своей частной Р(х, у) определена и непрерывна дР производной во всей области О, вклю- чая ее границу. Рассмотрим двойной интеграл f f о dx dy и постараемся пре- образовать его в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и выполним интегрирование по у. Получим » ya to = / -^dy = Q а Ух (х) Ъ — f[P(x, у2(х)) — Р(х, yt (х))] dx= а ь ь = у Р(х, y2(x))dx — J Р(х, y1(x))dx. (4.39) а а Каждый из этих двух определенных интегралов можно рассматривать как криволинейный интеграл, взятый по соответствующей дуге (см. (4.27)), а именно: ь J Р(х, у2(х))б/х= J Р(х, y)dx =— J Р(х, y)dx a DC CD И b — J Р(х, y1(x))dx = —J Р(х, y)dx. а АВ Добавив к правой части равенства (4.39) еще два криволинейных интеграла: — J Р(х, y)dx и — J Р(х, у) dx, ВС DA каждый из которых равен нулю (как интеграл по dx вдоль верти- кального отрезка), получим равенство Jf-~-dxdy = —j’Pdx— JPdx—f P dx—JPdx, О AB BC CD DA t. e. ^dxdy = — J P dx. (4.40) a ABCDA Мы доказали это равенство для области, ограниченной линиями (4.37) и (4.38). Но формулу (4.40) можно распространить и на
170 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 любую область, которую можно разбить на конечное число частей такого вида. Действительно, пусть область G с границей L разбита на части Gz, i— 1, 2, .... п, для каждой из которых имеет место равенство О Lt (Lc — граница области Gz). Просуммировав эти равенства по I от 1 до п, мы слева- получим двойной интеграл, взятый по всей области G, а справа получится сумма кри- волинейных интегралов, взятых по контурам £г. Каждый из этих кон- туров состоит из линий, ограни- чивающих область G, и из вспо- могательных линий, с помощью ко- торых область G разбивается на части. Но каждая из этих вспомо- гательных линий входит в состав ровно двух контуров Lt, следова- тельно, по каждой из них криволи- нейный интеграл будет взят дважды, причем в двух противоположных направлениях (рис. 4.8). Поэтому при суммировании интегралов вида § Pdx Li интегралы по всем вспомогательным линиям взаимно уничтожатся и останется лишь интеграл по границе области G, т. е. мы получим равенство f f ^dxdy = ~J Pdx' <4-4l> G L где L — положительно ориентированная *) граница области О. Поменяем теперь х и у ролями и рассмотрим область, ограни- ченную горизонтальными отрезками у = с, у = d (4.42) и линиями х = Х1(у), х = х2(у) (4.43) (рис. 4.9). Пусть функция Q(x, у) и ее производная опреде- *) То есть на L выбрано то направление обхода, при котором область G остается слева.
§ 31 ФОРМУЛА ГРИНА 171 лены и непрерывны в области G (включая границу). Записав двойной интеграл f f^dxdy о в виде <2 х2 (у) Jdy J ^dx с X, (у) и проделав те же выкладки, что и при выводе формулы (4.40), по- лучим равенство ff^dxdy= J ®аУ' О ABCDA аналогичное (4.40) (с той лишь разницей, что справа нет знака ми- нус). Рассуждения, ничем не отличающиеся от изложенных выше, показывают, что равенство f J 7^dxdy^f Qdy <4-44) a l верно не только для областей, ограниченных линиями (4.42) и (4.43), но и для конечных объединений таких областей. Будем, для краткости, называть область О простой, если она допускает разбиение как на части с границами вида (4.37), (4.38), так и на части с границами вида (4.42), (4.43). Для простой области справедливы, в силу до- казанного, как равенство (4.41), так и равенство (4.44). Вычтя (4.41) из (4.44), получим формулу fpdx + Qdy = JJ (g —^)dxdy. (4.45) l а где криволинейный интеграл берется по границе L области G в по- ложительном направлении. Это и есть формула Грина, которую мы хотели установить. Итак, мы получили следующий результат: Теорема 4.4. Пусть G — простая область и пусть функ- ции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными и -g в замкнутой области G. Тогда имеет место формула Грина (4.45).
172 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {ГЛ. 4 Замечание 1. Если граница L области G состоит из несколь- ких отдельных контуров, то J*Р dx-\-Qdy означает сумму интегра- L лов, взятых по составляющим L контурам, причем по каждому из них берется то направление обхода, при котором сама область (рис. 4.10). Замечание 2. При на мы предполагали, что дР dQ производные и непрерывны не внутри области, но и на ее границе. Однако от- дР dQ носительно производных и предположить, что они непрерывны и огра- ничены внутри области Q. Действительно, pac- о. ограниченную кривыми у = yj (х) и у = у2 (х) Рис. 4.10. О остается слева выводе формулы Гри- Р и Q и их частные только достаточно смотрим снова область и вертикальными отрезками х = а, х= b (рис. 4.7). Пусть 6 > 0 и пусть G6— область, ограниченная сверху и снизу кривыми у=у2(х)—6 и у=У1(х)4-6 соответственно, а слева и справа вертикальными отрезками х — а + 6 и х = b — б. Область G6 при всяком б > 0 лежит вместе с гра- ницей внутри G, следовательно, для G6 выполнены те условия, при которых равенство (4.41) было доказано. Таким образом, fj^-dxdy^ (4.46) (Z,6 — граница области Gs). Так как площадь области Gft отличается от пло- щади области G не больше чем на /5, где I — длина границы L области G, то интеграл, стоящий в равенстве (4.46) слева, отличается от J f^-dxdy G не более чем на Z6A1, где М — верхняя грань j J внутри G. Далее, функ- ция Р(х, у) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна и огра- ничена в замкнутой области G. Отсюда сразу следует, что J Р dx при б -> 0. L Таким образом, в равенстве (4.46) можно сделать предельный переход при 6 -> 0, и мы получаем, что равенство dP ду О L
§ 3) ФОРМУЛА ГРИНА 173 верно для области, изображенной на рис. 4.7, а следовательно, и для любой простой области. Аналогично устанавливается и равенство f f ^dxdy=fQdy- О L Воспользовавшись понятием несобственного двойного интеграла *), можно , А , dPdQ было бы требование ограниченности производных и в области G й С С (dQ дР\ . заменить требованием существования интеграла J у —-^-jdxdy о’ (хотя бы как несобственного интеграла). Замечание 3. Мы доказали формулу Грина для областей, которые мы условились называть простыми. К ним заведомо от- носятся все многоугольные фигуры. С помощью аппроксимации кри- волинейных областей многоугольными нетрудно получить, что фор- мула Грина верна и для любой области, ограниченной конечным числом кусочно-гладких линий. 2. Вычисление площади с помощью формулы Грина. Из фор- мулы Грина вытекают некоторые полезные формулы для вычисления площади области. Пусть G — некоторая простая область с границей L и S — пло- щадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл J х dy. L Применив к нему формулу Грина, получим J х dy — У У dxdy—S. L о Аналогично получается формула S — — у у dx, L а также следующая, более симметричная, формула **) для *) О несобственных интегралах см. гл. 9. **) Можно, конечно, получить бесконечно много различных формул вида 8= у Pdx+Qdy. L Для этого достаточно в качестве Р и Q брать любые функции, удовлетво- dQ дР . ряющие условию ---------— 1.
174 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 4 площади: S = у х dy — ydx. (4.47) i. Пример. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой № a cos3Л y = csin3L Решение. Применяя формулу (4.47), получаем 2я S = i xdy— у dx = -|-а2 J* sin21 cos21 [cos21-\- sin2/] dt = i о 2л ~i-a2 /* sin2 2t dt — ^- ла2. o J о 0 § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Интегрирование полных дифференциалов 1. Постановка вопроса. В § 2, рассматривая примеры криво- линейных интегралов, мы обратили внимание на то, что в некоторых случаях криволинейный интеграл J Р dx-\-Qdy АВ зависит не от самой кривой АВ, а только от начальной и конечной точек, т. е. принимает одинаковые значения для всех кривых, соеди- няющих фиксированные точки А и В. Сейчас мы установим условия, при которых такая независимость интеграла от выбора пути имеет место. С этим вопросом связана другая важная задача, которую мы здесь также рассмотрим: нахождение функции двух переменных по ее полному дифференциалу. 2. Случай односвязной области. Напомним (см. гл. 3), что плоская область G называется односвязной, если, каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, огра- ниченная этим контуром (конечная) часть плоскости целиком при- надлежит Q. Теорема 4.5. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) определены дР и непрерывны вместе со своими частными производными
§ 4) НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 175 и в замкнутой ограниченной односвязной области О. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой (т. е. выполнение любого одного из них влечет за собой выполнение остальных трех): 1. Интеграл § Рdx-\-Qdy, взятый по любому замкнутому пути, лежащему в О, равен нулю. 2. Интеграл J Р dx-\-Qdy АВ не зависит от выбора пути интегрирования. 3. Выражение Pdx-^-Qdy представляет собой полный диф- ференциал некоторой однозначной функции, определенной в области G. 4. В области Q всюду дР _ dQ ду дх (4.48) Доказательство этой теоремы мы проведем по следующей логической схеме: 1->2->3->4-> 1, т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из вто- рого— третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое. Тем самым будет доказана равносильность всех четырех условий. а) 1—>2. Рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки А и В, скажем, АСВ и ADB (рис. 4.11). В сумме они составляют замкнутый путь ACBDA. По условию интеграл, взятый по любому замкнутому пути, равен нулю, т. е. Но J* Рdx-}-Qdy = 0. ACBDA J Р dx + Q dy — f Pdx-^-Qdy + J Pdx-j-Qdy^= ACBDA ACB BDA = j P dx -j- Q dy — J P dx Qdy. ACB ADB
176 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Следовательно, J Р dx Q dy — J Pdx-\-Qdy. АСВ ADB Утверждение «1—>2» доказано*). б) 2->3. Пусть интеграл § Р dx-\-Qdy не зависит от пути АВ интегрирования; тогда, если точку А зафиксировать, то этот интеграл будет однозначной функцией координат х и у точки В: J Р dx -|- Q dy = U (х, у). АВ Покажем, что эта функция U (х, у) дифференцируема и что dU = Р dx -у Qdy. Для этого достаточно показать, что производные и суще- ствуют и равны Р(х, у) и Q(х, у) соответственно**). Вычислим W _ Ит U (х + Дх, у) —U (х, у) дх txx Величина At/ = U (х Ах, у) — U (х, у) представляет собой интеграл от Р dx-{-Qdy, взятый по пути, соединяющему точки (х, у) и (х4~Ах, у). Так как, по условию, этот интеграл не зависит от вида кривой, то можно считать, что путь совпадает с *) Если кривые АСВ и ADB имеют общие точки, отличные от Л и В (рис. 4.12), то небольшое усложнение проведенных рассуждений приводит к тому же самому результату. **) Как известно, функция, имеющая непрерывные частные производ- ные, дифференцируема.
§ 4]' НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 177 горизонтальным отрезком ВВХ (рис. 4.13). Таким образом, ~ = f Pdx + Qdy = ^~ f Р(х, y)dx = P(x + Q&x. у). l\a La л ал tj ВВ, x, у (В последнем равенстве мы использовали теорему о среднем для интегралов.) Следовательно, lim Р(х + ЭЛх, у) = ах Дх->0 = Р(х, у), В^-У) g^z+ДХ'у) У поскольку Р(х, у) непрерывна, л ди Аналогично доказывается, что-?— = ду ~Q(x, у). в) 3 —> 4. Если Р dx-}-Q dy А^о’Уо) О Рис. 4.13. — полный дифференциал некоторой функции = Л Ж дх ду Но тогда по теореме о смешанных производных dQ _ дЧ7 _ дги _ дР дх дхду ду дх ду ' х л 1 п dQ dP г) 4—>1. Пусть равенство —~ = -г— выполнено произвольный контур, лежащий в облас-ти О. область по условию односвязна, то ограниченная контуром L часть плоскости принадлежит области О, в которой определены функции Р, Q и их производные. Поэтому криволинейный интеграл У Pdx-\-Q dy U (х, у), то и пусть L — Так как эта по формуле Грина можно преобразовать в двойной: f Р dx + Q dy = f f (-g- - dx dy, L D где D — область, ограниченная контуром L. В силу (4.48), интеграл справа равен нулю. Следовательно, J Р dx -ф- Q dy — О L для всякого замкнутого контура L, лежащего внутри О. Доказатель- ство теоремы закончено.
178 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 3. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. В процессе доказательства теоремы 4.5 мы получили решение сле- дующей задачи, с которой нам еще придется встречаться (см. п. 4 § 2 гл. 6); найти функцию, полный дифференциал которой есть заданное выражение Рdx-\~Q dy. про- Ограничившись случаем, когда функции Р и Q и их частные изводные -ду- и непрерывны в некоторой односвязной области О, мы доказали (теорема 4.5), что Р dx-]-Q dy служит полным диф- ференциалом некоторой функции в том и только том случае, когда дР _ dQ ду дх О Далее, мы показали (там же), что если это равенство выполнено, то условию dU = Pdx-\-Qdy (4.49) удовлетворяет функция (х, у) U(x,y) = J* Pdx-{-Qdy. (Хо, Уо) Наконец, из формулы конечных приращений (см. вып. 1, гл. 8, § 9) следует, что две функции, имеющие одинаковые полные дифферен- циалы, отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Следовательно, формула (X, у) U (х, у) — J Pdx-^-Q dy^-C (4.50) (Хо, Уо) (где (х0, у0)— фиксированная точка, а С — произвольная постоянная) содержит все функ- ции, удовлетворяющие условию (4.49). Так как в равенстве (4.50) интеграл не зависит от пути, то мы можем выбрать линию, сое- диняющую точки (х0, у0) и (х, у), по своему усмотрению. Удобно, например, за путь интегрирования взять лома- ную, составленную из горизонтального и вертикального отрезков *) (рис. 4.14). При этом выборе пути равенство (4.50) принимает вид (X, Уо) (X, у) £/(х, у) = J* Pdx-\- J Qdy-\-C. (Х„, Уо) (X, Уо) (х,у) Рис. 4.14. *) Если эти отрезки принадлежат G,
§ 4) НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 179 Начальную точку (х0, у0) можно выбрать произвольно (в пределах той области, в которой определены функции Р и Q). Изменение этой точки равносильно, очевидно, изменению аддитивной по- стоянной С. Практически при нахождении функции по ее полному дифферен- циалу удобно поступить следующим образом. Если = Л = (4.51) дх оу ' то, интегрируя первое из этих равенств по х и рассматривая в нем у как параметр, получим L/(x, у) = + (4.52) где /1 не зависит от х (но, вообще говоря, зависит от у, т. е. f1 — f1(y)). Далее, интегрируя второе из равенств (4.51) по у и рассматривая в нем х как параметр, получим U{x, y)^=fQdy + f2, (4.53) где — если мы сможем подобрать функции /Ду) и /2(х) так, чтобы правые части равенств (4.52) и (4.53) совпали, то полу- ченная таким образом функция переменных х и у и будет той функ- цией, полный дифференциал которой совпадает с Р dx-\-Qdy. Пример. Пусть dU = (2ху-|- l)dx-|-(x24- Зу2) tZy. Интегрируя коэффициент при dx по х, имеем J (2%У + 1) dx = х2у 4- х + /j (у), (4.54) а интегрирование коэффициента при dy по у дает f (х2 + 3у2)с?у = х2у + у3 + /2(х). (4.55) Правые части равенств (4.54) и (4.55) совпадут, если мы положим /1(У) = У3+С, /2(х)=х + С. Таким образом, получаем, что U — х2у-(-х4-у3-|-С. 4. Криволинейные интегралы в многосвязной области. На по- следнем шаге доказательства теоремы 4.5, т. е. там, где мы из условия дР __ dQ ду дх (4.56)
180 Криволинейные Интегралы [ГЛ. 4 вывели справедливость равенства j) Р dx -j- Q dy = 0 L (4-57) для любого замкнутого контура, была существенно использована односвязность области G. Рассмотрим простой пример, показывающий, что в много- связной области из условия (4.56) равенство (4.57), вообще говоря, не следует. Пусть + (4-58) С Подынтегральное выражение не имеет смысла в точке (0, 0), поэтому мы исключим из рассмотрения некоторую окрестность начала коор- динат. В оставшейся части плоскости (это будет уже многосвязная область) коэффициенты при dx и dy непрерывны, имеют непрерывные частные производные и d ( —У ) _ д ( х \ ду \ х2 + у2 / дх ( х2 У2 / ' Однако интеграл (4.58), взятый по некоторому замкнутому пути, не равен, вообще говоря, нулю: например, если С — окружность, заданная уравнениями x = cos/, y==sin£, то 2Я f=f^fdx+-^ydy = fdt = 2n. (4.59) с 6 Выясним, какими свойствами обладает интеграл УPdx-\-Qdy, если функции Р и Q удовлетворяют условию * *) дР _ dQ ду дх ' но область G, в которой они заданы, многосвязна. Рассмотрим для определенности область G, изображенную на рис. 4.15, т. е. ж. п дР dQ *) Мы по-прежнему предполагаем, что Р, Q, и в замкнутой ограниченной области G. непрерывны
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 181 имеющую три «лакуны». Рассмотрим сначала некоторый замкнутый контур L, который не охватывает ни одной из этих лакун. Тогда к интегралу, взятому по такому контуру, можно применить формулу Грина, и мы получим, что этот интеграл равен нулю. Пусть теперь Lv — контур, охватывающий одну из лакун. Здесь формула Грина уже неприменима и интеграл по такому кон- туру, вообще говоря, нулю не ра- вен (см. приведенный выше при- мер). Покажем, что величина этого интеграла не зависит от выбора контура, охваты- вающего данную лакуну. Пусть и Li—два таких контура. Соеди- нив их вспомогательной линией (ab), получим контур (zz^ + ^ + ^a) — L\ (4.60) ° ! Рис. 4.15. (знак минус перед Ц означает, что этот контур обходится в отрица- тельном направлении). Этот контур не охватывает ни одной из лакун, следовательно, интеграл по нему равен нулю. Но интегралы по (ab) и (Ьа) равны по величине и противоположны по знаку. Таким обра- зом, получаем Р dx Q dy j* Р dx -|- Q dy = 0, Li ~Li t. e. J* P dx-\-Qdy = JP dx-\-Qdy. £i Таким образом, каждой из лакун в области О отвечает неко- торое определенное число — значение криволинейного интеграла (j) Р dx + Q dy, взятого по любому из замкнутых контуров, охваты- вающих эту лакуну. Оно называется циклической постоянной этой лакуны. Отсюда легко получается, что значение интеграла § Р dx~\-Qdy по произвольному замкнутому контуру записывается так. Пусть <о2, и3— циклические постоянные лакун, имеющихся в области О, и пусть контур обходит первую лакуну kx раз, вторую /г2 раз, а третью k3 раз (при этом под каждым из k{ понимается алгебраическая сумма ориентированных обходов, т. е.
182 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ интегралы [ГЛ. 4 число обходов против часовой стрелки минус число обходов по часо- вой стрелке), тогда Р dx 4- Q dy = AjWj 4- k2<s>2 4- ^з®з- Если в многосвязной области О провести разрезы /, II, III, как это показано на рис. 4.16, то мы получим односвязную область, и в ней у. можно построить однозначную функ- -----\ цию /-------- (х’у> ( ('-S j U(x, у) — J Рdx~\-Qdy, У (4-61) --------------------------— . -—.-------------------» однако, в силу сказанного выше, У--------------------------ее значения на противоположных Рис. 4.16. краях разреза I будут отличаться на (др на краях разреза II—на со2 и на краях разреза III — на сд3. Если же разрезов не делать, то выражение (4.61) будет опять-таки функцией, полный дифферен- циал которой равен Pdx-j-Qdy, но уже функцией многозначной. Ее значения в фиксированной точке (отвечающие путям, делающим различное число обходов вокруг лакун) отличаются друг от друга слагаемым вида 4" ^2М2 + ^3®3> где йр k2 и k3 могут принимать любые целые значения *). Ясно, что все сказанное здесь автоматически переносится на случай любого числа лакун. *) Конечно, может оказаться случайно, что все циклические постоян- (х, у) ные (0/ равны нулю. Тогда функция U (х, у) = J Pdx-]-Q dy окажется (-Vo, Уо) однозначной и при отсутствии разрезов. В этом случае будут иметь место все утверждения теоремы 4.5 (независимо от связности области).
ГЛАВА 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В разных физических вопросах часто встречаются функции, заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций могут служить плотность распределения зарядов на поверхности проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, проте- кающей через некоторую поверхность, и т. д. Эта глава посвящена изучению интегралов от функций на поверхности, так называемых поверхностных интегралов, и некоторым их применениям. Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов, изложенной в предыдущей главе. В част- ности, мы и здесь будем различать интегралы первого и второго рода. Вводя определение поверхностного интеграла, мы будем опи- раться на некоторые сведения о поверхностях, изложенные в §§ 3 и 4 гл. 3, и в первую очередь на понятие площади кривой поверхности. § I. Поверхностные интегралы первого рода 1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функ- ции. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности S с кусочно-глад- кой границей *) L определена некоторая ограниченная функция /(Л4). Разобьем поверхность S кусочно-гладкими кривыми на части Sp S2, .... (рис. 5.1). Площадь каждой из них обозначим <TZ (Z = 1, 2, .... я). Выбрав в каждой из этих частей произвольную точку составим сумму (5.1) «=1 которую мы будем называть интегральной суммой, отвечающей функции f(M) (при данном разбиении поверхности S и данном выборе точек Л4;). *) Поверхность S может быть, в частности, замкнутой.
184 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Введем следующее Определение. Если при стремлении наибольшего из диа- метров частей 2/ поверхности 2 к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел ы м интегралом первого рода от функции f (А1) по по- верхности 2 и обозначается символом fff(M)da. (5.2) s Точку М поверхности 2 можно задать декартовыми координатами х, у, z. Поэтому функцию f (/И), определенную на 2, мы будем обо- значать также f(x, у, z), а соот- ветствующий поверхностный инте- грал — символом J J f(x, у, z)d<5. S называется поверхност При этом, однако, необходимо помнить, что переменные х, у и z не независимы, а связаны условием: точка (х, у, z) лежит на поверх- ности 2. 2. Сведение поверхностного интеграла к двойному. Мы сформу- лировали определение поверхностного интеграла первого рода, теперь возникает вопрос об условиях его существования и о спо- собах его фактического вычисления. Оба эти вопроса решаются легко, путем сведения поверхностного интеграла к двойному. Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах. Теорема 5.1. Пусть 2 — гладкая поверхность, заданная уравнением z — z(x,y), (x,y)£D, где D — замкнутая огра- ниченная область, a f(x, у, z) — некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности 2. Тогда справедливо равенство / J /(х, у, z)do — У У f{x, у, z(x,y)) К\-\-z'2-\-z'2 dxdy. (5.3) S D При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, суще- ствует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (5.3). Доказательство. Разобьем поверхность 2 кусочно-гладкими кривыми на п частей 2(, Спроектировав это разбиение на пло-
§ Н ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 185 скость ху, мы получим разбиение области D на квадрируемые части Dt (рис. 5.2). При этом диаметр каждого из элементов Dt будет не больше, чем диаметр соответствующего элемента S( по- верхности S. Рассмотрим теперь интеграль- ную сумму п T’=2/(-vo У/- Фг (5-4) Z=1 отвечающую поверхностному ин- тетраду J J* f(x, у, z) do. Пло- s щадь о(- элемента можно пред- ставить в виде Рис. 5.2. = f f V * l~hZx+Zy dx Di где z = z(x, у), и затем, воспользовавшись теоремой о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции *), в виде где (х*, у*)—некоторая точка, принадлежащая области Dit a Sz—пло- щадь этой области. Следовательно, интегральную сумму (5.4) можно переписать так: п ________________________________ т= 2 f(xit у,., z(xz, у,.))|/ 1 + z’x2(x*. У*) + <2«. y*)Sz. (5.4') Сравним ее с интегральной суммой П -- - - г=2/(х<- у,- z{xi' у())и 1 + <2(л-> у») + *у2(Л’ yt)si- (5-5) отвечающей двойному интегралу, стоящему в равенстве (5.3) справа (при том разбиении области D, которое отвечает данному разбиению поверхности S). Суммы (5.4') и (5.5) отличаются друг от друга только тем, что в (5.5) значения как функции /, так и выражения '! + < + < берутся в одной и той же точке (х;, у,), произвольно выбираемой внутри элемента Dt, а в (5.4') значения У 1 -ф- сф2 -ф z’2 берутся *) Поверхность z — z(x, у) мы считаем гладкой, следовательно, К, 2 ,2 1 ф- zx (х, у) ф г (х, у) — непрерывная функция.
186 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. S в точке (х*, yz), диктуемой нам теоремой о среднем и, хотя и при- надлежащей тому же элементу £>z, но, вообще говоря, не совпадаю- щей с точкой (xz, yz)._____ Функция pl + z'* -|- z'J непрерывна, а следовательно, и равно- мерно непрерывна в замкнутой ограниченной области D, поэтому для каждого е > 0 найдется такое бх > 0, что + + У,)- - 1 + <(х*. у*) + г/(xj, у;) | < е, (5.6) как только максимум диаметров областей Dt станет меньше, чем бР Функция /(х, у, г) по условию ограничена, т. е. |/(х, у, z)| = const, поэтому из (5.6) следует оценка: И - f| = |i /(xz, У, z(xt, у,))[И + <(4 -K1 + <(*Z- ^)+<(хн У/)] I <Кг 2 s‘ = KeS- где S — площадь области D. Теперь мы уже легко закончим доказательство теоремы. Если интеграл, стоящий в (5.3) справа, существует, то для всякого е > О найдется такое б2 > О, что для всякой суммы Т, отвечающей такому разбиению {Z)z} области D, диаметры элементов которого меньше б2, выполнено неравенство / f Дх, у, z(x, у)) V 1 + (х, у) + г'у (х, у) dxdy — T D < е. (5.8) Пусть теперь б = min (бР б2), a {2ZJ—такое разбиение поверх- ности 2, что диаметры всех Sz меньше, чем б, и пусть —отве- чающее ему разбиение области D. Тогда диаметр каждого из Dt меньше, чем б, и, следовательно, выполнены неравенства (5.7) и (5.8). Из этих неравенств получаем, что J J/(X, y.z D (X, у)) 1 + z'* (х, у) -Н z'y (х, у) dx dy — Т <£(1-4- KS) для всякого достаточно мелкого разбиения поверхности S. Но это и означает, что предел интегральных сумм Т существует и равен инте- гралу, стоящему в (5.3) справа. Теорема доказана.
§ 1] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 187 Следствие. Если поверхность S — гладкая, а функция f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл f f f(x, у, z)do х существует. Действительно, в этом случае в равенстве (5.3) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, а следовательно, существует и стоящий слева поверхностный интеграл. Замечание 1. Так как (см. п. 6 § 3 гл. 3) г 1 + zx + zy cos (п > то равенство (5.3) можно переписать так: f ff(x, у, z)da = J f f(x, у, z(x, у)) co-f.^yg) . (5.9) X D Переменив роли координат x, у и z, можно в случае поверхности, заданной уравнением х — х (у, z\, получить равенство f f f(x, у. z)da=f f f(x (у, z). у, z) coyx)- (5.90 X D, (где — проекция поверхности S на плоскость yz), а в случае поверхности y = y(z, х) — равенство f ff(x, у. z)do=f ff(x, y(z, x), z) (5.92) X d2 (где D2 — проекция S на плоскость zx). Замечание 2. Если поверхность S состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида х = х(у, z), y~y(z, х) или z~z(x, у), то для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверх- ности, к двойному можно воспользоваться тем, что поверхностный интеграл по 2 равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям, и затем применить формулы (5.9) к каждому из этих частичных интегралов в отдельности.
188 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 6 Если поверхность задана параметрическим уравнением, то рас- суждения, не отличающиеся сколько-нибудь существенно от приве- денных выше, приводят к следующей теореме. Теорема S.f . Пусть 2 — гладкая поверхность, заданная уравнением г —г (и, V), и f(x’ У< — ограниченная функция, определенная на этой поверхности. Тогда справедливо равенство f j f(x> z)da = х — f f f(x(U, V), у (и, V), Z(U, Т>)) — ^12 dU dV' <5’10) D причем поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если только существует двойной интеграл в правой части равенства. Здесь D- - область изменения параметров и и v, a gn, g12 и g22 —коэффициенты первой квадратичной формы поверхностном, п. 1 § 4 гл. 3). Выражение У gng22— g\2dudv представляет собой эле- мент площади поверхности, записанный в криволинейных коорди- натах. Таким образом, формула (5.10) означает следующее: для того чтобы записать поверхностный интеграл f f f(x- У> z^do х в виде двойного, нужно подставить в него вместо декартовых координат х, у, z точек поверхности их выражения через криволинейные координаты uav, а элемент площади da тоже заменить его выражением через криволинейные коо-рдинаты. Формула (5.3) и формулы (5.9), (5.90 и (5.92) являются, оче- видно, частными случаями общей формулы (5.10). Легко проверить, что все эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая. 3. Некоторые применения поверхностных интегралов к меха- нике. Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей и т. п. Вывод соответствующих формул, по существу, ничем не отличается от вывода формул, относящихся к распреде- лению масс в плоской области или вдоль кривой (см. пп. 3—5 § 4 гл. 1 и п. 3 § 1 гл. 4), поэтому мы приведем лишь окончательные результаты, предоставив все выкладки читателю. Пусть по поверхности S (гладкой или кусочно-гладкой) распре- делена некоторая масса с поверхностной плотностью р(х, у, z).
§ 1] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 189 представляющей собой непрерывную функцию на 2. Такую поверх- ность 2 будем кратко называть материальной поверхностью. Тогда имеют место следующие формулы: 1) Масса у. материальной поверхности 2 равна Р- = ff PC*’ У’ z) do. 2 2) Координаты центра масс материальной поверхности опреде- ляются формулами: f f хр (X, у, z) da J J ур {х, у, z) da - - 2' Ус==~~-----------------' f Р У’ da f f zp (x, у, z) da У j P (X, y, z) da 2 z. f f p(x, y, z) da 2 В частности, для однородной поверхности (р = const) х da у da z da 2 2 2 3) Момент инерции поверхности 2 относительно оси z равен У У (*2 + У2)Р (х< у. z) do. 2 Аналогично выражаются моменты инерции относительно других осей. 4. Поверхностные интегралы от векторных функций. Общее понятие поверхностного интеграла первого рода. Выше мы рас- сматривали поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие легко переносится на векторные функции. Пусть F(/W) = Pi + Qj + #k — некоторая векторная функция, заданная на поверхности 2. Опре- делим интеграл от этой функции по поверхности 2, положив У у F(Al)«to = i у у Р(М)do + j у у Q(M)do+kf f R(M)do. 2 2 2 2 (5.11)
190 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Мы назовем его поверхностным интегралом первого рода от векторной функции F. Значение такого инте- грала представляет собой вектор. Вопросы об условиях существова- ния поверхностного интеграла первого рода от векторной функции, о сведе- нии его к двойному, о его свойствах и т. д. непосредственно сводятся к со- ответствующим вопросам для интегра- лов от скалярных функций Р, Q и R — компонент вектора F. Для иллюстрации этого понятия вы- числим силу, с которой материальная поверхность притягивает материальную * точку. Пусть р(х, у, г) — плотность рас- пределения масс на поверхности S и т—масса, сосредоточенная в некото- рой точке (х0, у0, z0), не лежащей на этой поверхности. Элемент поверхно- сти da несет на себе элемент массы р(х, у, z)da, а сила dF, с кото- рой этот элемент притягивает точечную массу т0, равна по закону Ньютона dF = ymop(x, у, z)-^da, (5.12) где у — постоянная, зависящая от выбора единиц, а г — вектор, сое- диняющий точки (х0, у0, Zq) и (х, у, z) (рис. 5.3). Полная сила F, с которой вся поверхность S притягивает массу т0, равна сумме элементарных сил (5.12), т. е. поверхностному интегралу y/n0 J j р(х, у, z)±-da. 2 Таким образом (поскольку г — (х — х0)i-j-(у — Уо)}-}~(г — z0)k), F = ym0 I / У* р(х, у, z\* r^~da-\- +j J f p(*. у, z) y do-j-k f f p(x, y, z) — da Этот интеграл обязательно существует, если поверхность S гладкая или кусочно-гладкая, а поверхностная плотность р(х, у, z) непре- рывна на 2.
§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 191 В том понятии поверхностного интеграла, которое мы рассмо- трели, было существенно, что каждый «интегральный элемент» / (/И) do зависел от величины элемента площади do и значения функции f(M) (скалярной или векторной) в данной точке, но не зависел от ориен- тации поверхностного элемента do в пространстве. Именно так обстоит дело в тех физических задачах, которые мы рассматри- вали здесь: масса элемента материальной поверхности или сила, с которой этот элемент притягивает материальную точку, не будут меняться, если этот элемент поверхности мы каким-либо образом повернем. Однако существуют задачи другого типа, в которых ориентация элемента do играет существенную роль. К ним относится, например, задача (которую мы рассмотрим ниже) о вычислении количества жидко- сти, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Этот второй круг задач приводит нас к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному инте- гралу второго рода. Ему будет посвящен следующий параграф. Как мы увидим ниже, поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами. § 2. Поверхностные интегралы второго рода 1. Сторона поверхности. Для того чтобы определить поверхно- стный интеграл второго рода, нам нужно ввести сначала понятие сто- роны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой. Пусть 2—гладкая поверхность. Возьмем на 2 некоторую внутрен- нюю точку УИ0, проведем через нее нормаль к 2 и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, фиксировав определенный единичный вектор п, нормальный к 2 в точ- ке 440. Проведем теперь на поверхности 2 через, точку /Ио какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхно- сти, и будем передвигать единичный вектор п из точки Л40 вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к 2 и чтобы его направление менялось при этом передвижении непрерывно. По- скольку вектор п все время остается нормальным к 2, то имеются две возможности: 1) при возвращении в точку Мо вектор п возвращается в первоначальное положение; 2) в результате обхода по контуру С вектор п меняет свое направление на противоположное. Введем следующее Определение. Гладкая поверхность 2 называется д в у - сторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности 2 и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности.
192 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Если же на поверхности существует замкнутый, контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односто- ронней. Если поверхность 2 двусторонняя, то в каждой ее точке М можно выбрать единичный вектор нормали n (Л4) так, чтобы вектор п(УН) зависел от точки М непрерывно. Для построения такой вектор- функции п(Л1) возьмем на 2 некоторую начальную точку Мо и вы- берем в этой точке один из двух возможных единичных нормальных векторов п(Л10). После этого возьмем на 2 произвольную точку М, соединим ее с Л40 какой-либо кривой L, лежащей на 2, и перенесем вдоль L вектор п из Мо в М так, чтобы он все время оставался нормальным к поверхности и чтобы его направление при этом пере- носе менялось непрерывно. Вектор n(А1), полученный таким образом в точке М, не зависит от выбора кривой L, соединяющей точки А10 и Ж. Если бы две разные кривые Ц и Л2 приводили к разным резуль- татам, то, соединив эти кривые в одну, мы получили бы на 2 замкну- тый путь С, при обходе по которому направление нормального вектора меняется на противоположное, т. е. эта поверхность не была бы двусторонней. Из сказанного ясно, что на двусторонней поверхности существуют две и только две такие функции n (М), непрерывные на всей поверх- ности 2. Действительно, каждая такая функция полностью опреде- ляется выбором одного из двух воз- Z можных направлений нормали в одной точке. Мы будем называть каждую из этих двух функций «непрерывным полем нормалей» на 2. Ясно, что на / односторонней поверхности нельзя по- строить ни одного непрерывного по- п___________________ля нормалей. Zy Выбор на 2 определенного непре- рывного поля нормалей мы будем на- зывать выбором стороны этой поверх- Рис 5 4 ности. Примеры. 1. Простейший при- мер двусторонней поверхности— плоскость. Двусторонней поверхностью будет и любая часть пло- скости, например круг. 2. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением z = f(x, у), — двусторонняя. Действительно, мы получим одну ее сторону (верхнюю), выбрав в каждой ее точке нормальный вектор так, чтобы он составлял с положительным направлением оси z ост- рый угол, а другую (нижнюю) сторону — при противоположной ориен- тации нормали (рис. 5.4).
5 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 193 3. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопе- ресечений, — например сфера, эллипсоид ит. п., — двусторон- п я я. Направив в каждой точке замкнутой поверхности нормаль внутрь объема, ограниченного поверхностью, мы получим внутреннюю сто- рону поверхности, а направив нормаль наружу, получим внешнюю сторону. xf’mT| | | ПТГПТи 4. Простейшим примером односторонней | поверхности может служить так называемый лист Ill Мёбиуса, изображенный на рис. 5.5. Его можно д с получить, взяв полоску бумаги ABCD (рис. 5.6,а) и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точ- Рис- 5-5- кой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один ее край на 180° (рис. 5.6, б). Легко видеть, что при обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление нормали к нему меняется на противоположное, т. е. эта поверхность действительно является односторонней. Замечание 1. Двустороннюю поверхность называют также о риентируемой, а выбор определенной ее стороны — ориентацией. Рис. 5.6. поверхности. Односторонние поверх- ности называют неориентируе- мыми. Читатель должен различать тер- мины «ориентируемая» (сторону можно выбрать) и «ориентирован- ная» (сторона уже выбрана). Замечание 2. В отличие от таких свойств, как, например, глад- кость поверхности, которые могут иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свой- ства), ориентируемость (или неориентируемость) — это свойство, характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свой- ство). Действительно, на листе Мёбиуса или любой другой поверх- ности малая окрестность любой точки ориентируема. В каждой та- кой окрестности можно построить непрерывное поле нормалей, хотя на всем листе Мёбиуса такое поле построить нельзя. С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориен- тации ее границы, которое нам понадобится ниже*). Пусть S — ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каж- дого контура L, входящего в состав границы поверхности S, согласованную с ориентацией поверхности S, по следующему *) Эта связь существенно зависит от того, к какой координатной си- стеме, правой или левой, отнесено все трехмерное пространство. Мы будем иметь в виду правую систему.
194 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 правилу: направление обхода контура L мы считаем положи- тельным (согласованным с ориентацией 2), если наблюдатель, расположенный на поверхности так, что направление вектора нормали совпадает с направлени- Рис. 5.7. ем от ног к голове, ооходит кон- тур L, оставляя поверхность 2 все время слева от себя (рис. 5.7). Противоположное направление мы считаем отрицательным. Если L — произвольный замкнутый' кон- тур, ограничивающий какую-либо часть ориентированной поверхности 2, то направлением обхода этого контура, согласованным с ориен- тацией поверхности 2, мы считаем опять-таки то, при котором ограни- ченная этим контуром часть поверх- ности 2 (на рис. 5.8 она заштрихо- вана) остается слева *). Если в качестве поверхности 2 взята ориентированная плоскость, то это определение согласованности ориентации контура и по- верхности сводится к уже хорошо знакомому читателю правилу, по которому контур считается ориентированным положительно, если его обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно в противоположном случае. Замечание 3. Правило согласования ориентации поверхности 2 и ограничивающего ее контура L можно сформулировать еще следующим образом: пусть п — единичный вектор нормали к по- верхности 2 в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть *) Если в пространстве взята левая система координат, то согласова- ние противоположное, т. е. положительно то направление обхода кон- тура L, при котором поверхность 2 остается справа.
§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 195 v — вектор, нормальный к L и к п и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность S. Тогда положительное на- правление обхода контура L указывается вектором [у, п] *)(рис. 5.9). 2. Определение поверхностного интеграла второго рода. Рас- смотрим сначала одну из задач, приводящих к понятию поверхно- стного интеграла второго рода, а именно, задачу о вычислении потока жидкости через некоторую по- верхность. Пусть пространство заполне- но движущейся жидкостью, ско- рость которой в точке (х, у, z) задается вектором V (х, у, z) с компонентами Р — Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z). Рис. 5.10. Вычислим количество П жидко- сти, протекающей за единицу времени через некоторую ориен- тированную поверхность S. Рассмотрим бесконечно малый элемент do поверхности S. Количество жидкости, протекающее через do за единицу времени, равно, очевидно, dH = Vndo, где Vn — проекция скорости V на направление нормали п к do (рис. 5.10), Записав Vп как скалярное произведение вектора V на единичный вектор нормали п к do, имеем dII = [Pcos(n, x)4~Qcos(n, y) + Pcos(n, z)\do. (5.13) Это — элемент потока жидкости. Чтобы получить количество жидко- сти, протекающее через всю поверхность S, нужно просуммировать выражения (5.13) по всем элементам do, т. е. взять интеграл П = У J* [Pcos(n, x)-|-Qcos(n, у)cos (n, z)] do. 2 Этот интеграл представляет собой не что иное, как поверхно- стный интеграл первого рода (в том смысле, как мы определили его в § 1) от выражения Pcos(и, x) + Qcos(n, y)-|-Pcos(n, z). Важно, однако, то, что само это выражение зависит не только от вектор-функции (Р, Q, R), заданной на поверхности S, но и от на- правления нормали в каждой точке этой поверхности. *) Это правило остается справедливым, независимо от того, к какой системе координат, правой или левой, отнесено все пространство. Направле- ние вектора п не зависит от системы координат, направление v также не зависит. При смене правой системы на левую векторное произведение [v, п] меняет свое направление на противоположное.
196 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Перейдем теперь к общему определению. Пусть 2 —гладкая дву- сторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную сторону этой поверхности (поле нормалей п(7И)) и рассмотрим не- которую векторную функцию А — (Р, Q, R), заданную на S. Обо- значим Ап проекцию вектора А на направление нормали к 2 в дан- ной точке. Эту проекцию можно записать в виде Xn = ftcos(n, x) + Qcos(n, y)4-ftcos(n, z), где cos(n, x), cos(n, у) и cos(n, z) — косинусы углов между напра- влением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, т. е. компоненты единичного вектора нормали п. Интеграл J J [Pcos(n, x) + Qcos(n, у)4~ R cos(n, z)] do (5.14) s мы назовем поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции R = (P, Q, R) по поверхности S (точнее говоря, по выбранной стороне поверхности S) и будем обозначать J У Р dy dz -j- Q dz dx 4- R dx dy. Z Таким образом, по определению У У Р dy dz -\-Qdz dx-\- R dx dy = z = У У [ftcos(n, x)4-Qcos(n, y)4-#cos(n, z)}do. (5.15) z При переходе к другой стороне поверхности компоненты единич-. ного вектора нормали, а следовательно, и сам интеграл (5.14), меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверх- ности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. Для того чтобы понятие поверхностного интеграла приобрело общ- ность, необходимую для приложений, приходится рассматривать инте- гралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения (с аналогичной ситуацией мы уже встречались в теории криволинейных интегралов). Замечание 1. Если do — бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения cos(n, x)do, cos(n, у) do, cos(n, z)do
§ 2] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 197 представляют собой проекции элемента da на плоскости yz, zx и ху (рис. 5.11), поэтому мы и обозначаем их dydz, dz dx и dxdy соот- ветственно. Замечание.2. Мы определили поверхностный интеграл второго рода, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода. Рис. 5.11. Однако интеграл второго рода можно определить и непосред- ственно, с помощью соответствующих интегральных сумм, а именно, следующим образом: Будем для сокращения записи рассматривать только одну компо- ненту вектора (Р, Q, R), скажем R. Возьмем некоторую гладкую ориентированную поверхность S и рассмотрим разбиение этой поверх- ности на части 2г. Взяв в каждой их этих частей произвольную точку (х(, yt, Zi), составим интегральную сумму п У-,. Z^S;, (5.16) i s=l где St— проекция . на плоскость ху. При этом величину мы будем считать положительной, если в точках, принадлежа- щих нормаль к поверхности образует с положительным направле- нием оси z острый угол, и отрицательной, если в каждой точке элемента S(- этот угол тупой*). Нетрудно проверить, что *) В разбиение поверхности S могут входить еще и «неправильные» элементы, т. е. такие, что в некоторых их точках угол (n, z) острый, а в не- которых — тупой (рис. 5.12). Можно или избегать разбиений, содержащих такие элементы, или приписывать таким элементам произвольный знак. Это не влияет на результат, поскольку сумма площадей проекций таких элемен- тов мала.
198 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 для непрерывной функции R(x, у, z) и гладкой поверхности S пре- дел интегральных сумм (5.16) при неограниченном измельчении раз- биения поверхности существует и равен J у /?(х, у, z)dxdy х (ср. с определением криволинейного интеграла второго рода в п. 2 § 2 гл. 4). Аналогичным образом можно определить через интегральные суммы и интегралы Р(х. у, z)dydz и f f Q(x> У' z)dzdx, 2 X а следовательно, и интеграл общего вида У у Р dy dz + Q dz dx R dx dy 2 — сумму интегралов этих трех типов. Замечание 3. Отличие поверхностного интеграла второго рода от интеграла первого рода состоит, по существу, в том, что в инте- грале второго рода элемент площади da рассматривается не как скалярная величина, а как вектор da, направленный по нормали к поверхности и имеющий компоненты: da cos (n, х), da cos (n, у), do cos (n, z). В соответствии с этим поверхностный интеграл второго рода от векторной функции А = (Р, Q, Л) часто записывают в виде У У (A, da), (5.17) х что равносильно записи У У (A, n)do. (5.18) 2 Замечание 4. Наряду с интегралами вида (5.18) в некоторых задачах приходится рассматривать интегралы вида f f !*• "1 da. (5.19) 2 Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр, а вектор. Его вычисление сводится, очевидно, к покомпонентному интегрированию вектора [А, п]. Так как здесь подынтегральное вы- ражение зависит и от нормали п к поверхности 2, то интеграл (5.19)
§ 21 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 199 естественно рассматривать как поверхностный интеграл второго рода (но только «в е к т о р н ы й», в отличие от «с к а л я р н о г о» инте- грала (5.18)). 3. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двой- ному интегралу. Из определения поверхностного интеграла второго рода и теоремы 5.1 сразу вытекает следующий результат: Пусть гладкая {или кусочно-гладкая) поверхность 2 за* дана уравнением z = z(x, у) (причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R (х, у, z) — некоторая ограниченная функция на 2. Тогда J* J" R(x, у, z)dxdy = J* у R(x, у, z(x, y))dxdy, (5.20) s D где D — проекция поверхности 2 на плоскость ху; входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если суще- ствует стоящий Действительно, переписать в виде справа двойной интеграл. рассматриваемый поверхностный интеграл можно J J R(x, у, 2)cos(n, z) da. z Применив к нему равенство. Таким образом, для того чтобы поверхностный инте- грал у у R(x, у, z)da, взятый по верхней стороне поверх- ности 2, определенной уравнением z = z(x,y), преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z подставить соответствующую функцию z(x, у), а интегриро- вание по поверхности 2 заменить интегрированием по ее проек- ции D на плоскость ху. Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности 2, то f f R(x, У> z)dxdy — — у у R{x, у, z{x, Z D Аналогично получаются формулы У у Р {х, у, z) dy dz = ± У у Р (х (у, z), у, Z и f f Q(x> У> z)dz dx — ± у у Q(x, у (z, х), z d2 формулу (5.9), немедленно получаем требуемое у)) dx dy. z)dydz (5.21) z) dz dx, (5.22)
200 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 где в первом случае под S понимается поверхность, заданная урав- нением х = х(у, г), а во втором — поверхность, заданная уравне- нием y — y(z, х). Знак плюс берется в том случае, когда нормаль к поверхности образует с осью х (соответственно с осью у) о с т р ы й угол, а знак минус, когда этот угол тупой. Dt и D2 — проекции поверхности S на плоскости yz и гх соответственно. Формулой типа (5.20) можно воспользоваться для сведения по- верхностного интеграла к двойному и в том случае, когда ориенти- рованная поверхность S состоит из нескольких кусков, каждый из которых определяется уравнением вида z = z(x, у). В этом случае рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегра- лов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых применить формулу (5.20). Упражнение. Интеграл J= J J R(x, у, z)dxdy, s взятый по внешней стороне сферы х2 у2 z2 = а2, записать в виде суммы двойных интегралов. Ответ. J— J J R\x, у, У а2 — х2 — у2) dx dy — х2+у2<а2 — f J* /?(x, y, — j/a2 — x2 — y2) dxdy. x,+y2<a1 (Первое слагаемое равно интегралу, взятому по верхней стороне верхней полусферы, а второе, вместе со знаком минус, равно инте- гралу, взятому по нижней стороне нижней полусферы. Две таким образом ориентированные полусферы составляют вместе внешнюю сторону полной сферы.) Мы показали, как сводится к двойному интегралу поверхностный интеграл второго рода, взятый по поверхности, заданной уравнени- ем в декартовых координатах. Для поверхности, заданной парамет- рическим уравнением, применение теоремы 5.1' сразу дает следующий результат: если гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность S задана параметрическим уравнением г — г (и, V)
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 201 и (Р, Q, /?) — ограниченная вектор-функция, определенная на 2, то Р dy dz-\-Qdz dx 4- Rdx dy — s = f f |/’cos(n, x)4-Qcos(n, у) -b R cos (n. z)J V gugm—gl2du dv, D (5.23) где D — область изменения параметров и и v, a gxi, gX2 « g22— коэффициенты первой квадратичной формы поверхности 2; входящий в это равенство поверхностный интеграл сущест- вует, если существует стоящий справа двойной интеграл. Формулу (5.23) можно записать несколько иначе. Известно, что (см. п. 5 § 3 гл. 3) . . А , . В cos(n, X) — —7= — , COS(n, у) — —F— --------, У А2 4- В2 + С2 УА2 + В2+С2 COS(n, Z) ——7=^. = /л2 + В2 4- С2 (5.24) где ду ди ду dv dz du dz dv dz du dz dv dx du dx dv Ox du dx dv dy du dy dv и что V^22-^2" = Поэтому формулу (5.23) можно записать так: ff s Р dy dz -\-Qdz dx-\- R dx dy = J* J [РЛ 4~ dudv, D (5.25) где P — P{x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и аналогично для Q и R. Ясно, что равенства (5.20) — (5.22) представляют собой частные случаи общей формулы (5.23). § 3. Формула Остроградского 1. Вывод формулы Остроградского. В предыдущей главе мы вывели формулу, связывающую двойной интеграл по некоторой плоской области, с криволинейным интегралом, взятым по ее границе {формула Грина). Сейчас мы установим аналогичную формулу,
202 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 связывающую тройной интеграл по пространственной области с по- верхностным интегралом, взятым по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой Остроградского *). Введем для удобства следующие термины. Пространственную область V, ограниченную двумя кусочно-гладкими поверхностями и 2г, заданными уравнениями z = z1(x, у) и z — z2(x, у), (5.26) и боковой цилиндрической поверхностью 23 с образующими, парал- лельными оси г, мы назовем областью, цилиндрической вдоль оси z или, короче, «z-цилиндрической». Поверхности z — z1 (х, у) и z = z2(x, у) назовем ее криволинейными основаниями, ниж- ним и верхним**) (рис. 5.13). Ана- логично область, ограниченную ку- сочно-гладкими поверхностями x = x1(y, z) и х = х2(у, z) и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси х, назовем «х-цилиндрической». Так же определяются и «у-цилиндриче- ские» области. Назовем, наконец, область V простой, если ее можно разбить как на конечное число г-цилиндри- ческих областей, так и на конеч- ное число областей каждого из двух остальных типов. Пусть V — некоторая z-цилинд- рическая область с основаниями 2Р 22, заданными уравнениями (5.26) и боковой поверхностью 23. Сое- динение этих трех поверхностей, т. е. всю границу области V, обо- значим 2. При этом мы будем рассматривать внешнюю сторону поверхности 2. Возьмем функцию R(x, у, z), определенную и непре- *) М. В. Остроградский опубликовал эту формулу в 1828 г. в ра- боте «Заметка о теории тепла». Часто ее называют также формулой Гаусса, однако Гауссом эта формула была получена значительно поЗже, в 1841 г. **) Боковая поверхность 2 может отсутствовать. Например, шар мы считаем z-цилиндрической областью, основания которой суть 2j — нижняя полусфера и 22 — верхняя полусфера, а боковая поверхность 23 вы- родилась в экватор (шар является также и областью, цилиндрической вдоль осей х и у).
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 203 § з) dR рывную вместе со своей частной производной в области V (вклю- чая ее границу), и рассмотрим очевидное равенство Хг(Х, у) J ^-dz — R(x, у, z2(x, y)) — R(x, у, zx(x, у)). (X У) Проинтегрируем это равенство по области D, представляющей собой проекцию V на плоскость (х, у), заменяя повторный интеграл тройным: dxdydz = J’ R(x, у, z2(x, y))dxdy — V J " D — j* J* R(x, у. zr(x, y))dxdy. (5.27) D Первый из стоящих справа интегралов можно записать (см. фор- мулу (5.20)) в виде поверхностного интеграла от функции R(x, у, г), взятого по верхней стороне поверхности z = z2 (х, у). Аналогично второй из этих интегралов можно рассматривать как поверхностный интеграл от той же функции R(x, у, z), взятый по верхней стороне поверхности z — zx (х, у), или как интеграл по нижней стороне той же поверхности z — (х, у), взятый с обрат- ным знаком. Таким образом, мы получим J' f f dx dy dz = У* j* R dx dy-]- j* j* Rdxdy, (5.28) V S, 2, где первый из стоящих справа интегралов берется по верхней сто- роне поверхности S2, а второй — по нижней стороне поверхности Sx. Прибавив к правой части формулы (5.28) интеграл J* J Rdxdy (равный, очевидно, нулю), взятый по внешней стороне боковой поверхности S3, мы получим справа поверхностный интеграл, взятый по внешней стороне всей поверхности S, ограничивающей область V. Таким образом, мы получаем следующее равенство: J J f dx dy dz = l' У* Rdx dy — J J' /?cos(n, z)do. (5.29) v 's'7 s
204 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {ГЛ. Б Равенство (5.29) справедливо и для любой области V, которую можно разбить на конечное число ^-цилиндрических частей. Дей- ствительно, разобьем V на такие части Vz, напишем для каждой из них равенство вида (5.29) и просуммируем эти равенства. Слева мы получим тройной интеграл, взятый по всей области V, а справа — сумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности S, ограничивающей V, и по тем поверхностям, с помощью которых V разбивается на части Vпричем по каждой из этих последних инте- грал берется дважды, один раз по одной ее стороне, а второй раз — по другой. Поэтому в результате суммирования все интегралы, взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожа- ются, и мы получаем f f f "^dxdydz — У* Rdxdy. (5.30) V 2 Пусть теперь V — область, цилиндрическая вдоль оси х, т. е. ограниченная кусочно-гладкими поверхностями-основаниями X—Х1(У1, z), х = х2(у, г) и боковой цилиндрической поверхностью, а Р(х, у, z)— функция, дР непрерывная вместе со своей производной в области V (включая ее границу). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят к равенству f f f ‘^7’dx dy dz— Г j* Pdydz, (5.31) v J % которое остается в силе и тогда, когда V состоит из конечного числа х-цилиндрических частей. Аналогично получается и равенство dz — У* Qdzdx, (5.32) v J х справедливое для всякой области V, которую можно разбить на ко- нечное число у-цилиндрических областей. Пусть, наконец, V — некоторая простая область и пусть функ- ции Р, Q, R вместе со своими производными -4^-, непре- рывны в этой области всюду, включая ее границу (т. е. непрерывны в замкнутой области). Тогда .справедливы все три равенства: (5.30),
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 205 dx dy dz — § 3) (5.31) и (5.32). Сложив их, получаем = У* У Р dy dz Q dz dx-\- R dx dy (5.33) (5.33') считали, dx dy dz — или, в других обозначениях, V ~ f f f IP cos (n, x)+Qcos(n, y) + /?cos(n, z)]dv. 2 Это и есть формула Остроградского. Замечание. При выводе формулы Остроградского мы , n n п - дР dQ dR что функции Р, Q, R и их частные производные-—-, непрерыв- ны (а следовательно, и ограничены) в замкнутой простой области. Применив те же рассуждения, что и для формулы Грина (см. замечание 1 § 3 гл. 4), можно доказать справедливость формулы Остроградского при следующих более общих условиях: 1/ V — ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. 2. Функции Р (х, у, z), Q (х, у, г) и R (х, у, г) непрерывны, а следова- тельно, и ограничены в замкнутой области V. D п дР dQ dR 3. Производные существуют и непрерывны внутри , I/ ,х ч Г С Г (дР , dQ . dR\ , , . области V (без границы) и интеграл J J J 4" х “У “г V существует (быть может, как несобственный интеграл*)). 2. Вычисление поверхностных интегралов с помощью фор- мулы Остроградского. Представление объема пространственной области в виде поверхностного интеграла. Выше мы показали (формула (5.10)), как поверхностный интеграл второго рода свести к двойному. Однако для фактического вычисления поверхностного интеграла этот путь не всегда самый удобный. В частности, инте- грал по замкнутой поверхности иногда удобнее сводить к тройному по формуле Остроградского. Примеры. 1. Вычислить интеграл J х2 dy dz 4- у3 dz dx-\-z2dxdy, 2 взятый по сфере х' a1. *) О несобственных кратных интегралах см. гл. 9.
206 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского, будем иметь J= 3 f f f (x2-j-у2-}-z2)dx dy dz, r2+y2+z2<o2 откуда, введя сферические координаты, получаем 2л л а dtp У* dQ l' r4 sin Qdr = -|- ла5. ООО 2. Вычислить интеграл J= f fzdy dz-\-xdz dx-\-ydxdy, взятый по некоторой замкнутой поверхности 2. Решение. По формуле Остроградского рассматриваемый инте- грал сводится к тройному, под знаком которого стоит тождествен- ный нуль. Следовательно, J—Q, какова бы ни была замкнутая по- верхность 2. В предыдущей главе мы видели, что формула Грина дает, в частности, выражение для площади области через криволинейный интеграл по ее границе (см. (4.47)). Точно так же и из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности 2 — границе этой области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы dP dQ . дх ду ‘ dz Тогда получим J* fPdy dz-^-Qdz dx-}- Rdxdy = J* J J dx dydz — V, S V где V — объем, ограниченный поверхностью 2. Интеграл здесь бе- рется по внешней стороне 2. В частности, положив P = -jX, Q=-^y, R = ~z, мы получим для вычисления объема удобную формулу И = f xdy dz + у dz dx-}-z dxdy. (5.34)
§ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 207 § 4. Формула Стокса 1. Вывод формулы Стокса. В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Стокса, связывающую поверхностные интегралы с криволинейными. Формула Стокса обобщает формулу Грина и пере- ходит в нее, если рассматриваемая поверхность сводится к плоской области, лежащей в плоскости ху. Подобно формулам Грина и Остроградского, формула Стокса широко применяется как в самом анализе, так и в его приложениях. Пусть дана гладкая ориентированная поверхность S, ограниченная ориентированным контуром Л (ориентации S и Л согласованы, см. п. 1 § 2), и пусть в некоторой трехмерной области, содержащей внутри себя поверхность 2, определена векторная функция (Р, Q, R), такая, что Р, Q и R непрерывны в этой области вместе со своими частными производными первого порядка. Постараемся преобразовать криволиней- ный интеграл J* Р dx Q dy + R dz, (5.35) л взятый по контуру Л, в интеграл по по- верхности S. Рассмотрим сначала случай, когда поверхность S задана уравнением z = z{x, у) в декартовых координатах. Обозначим D проекцию поверхности S на плоскость ху, и пусть L — граница области D, т. е. проекция контура Л (рис. 5.14). Преобразование криволинейного инте- грала (5.35) в поверхностный мы проведем по следующей схеме: f -f -Jf-ff' Л L D 2 т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру Л пре- образуем сперва в криволинейный интеграл по плоскому контуру L, затем (с помощью формулы Грина) переведем его в двойной инте- грал по области D и, наконец, этот последний преобразуем в поверх- ностный интеграл по S. Проведем теперь соответствующие выкладки. Рассмотрим сначала интеграл вида Ji = J Р dx. л
208 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Заметим прежде всего, что Ji= J"P(x, у, z) dx = J Р (х, у, z(x, y))dx, л L поскольку контур Л лежит на поверхности S, заданной уравнением z = z(x, у). Далее, применив формулу Грина, получаем Jp= f Р(х, у, z(x, y))dx~ — J f (^--]-^-^dxdy (5.36) L "о (здесь P — сложная функция от x и у, и мы учли это при вычи- слении производной от Р по у). Воспользовавшись выражениями для направляющих косинусов нормали (см. (3.36)), получаем, что dz cos (п, у) ду cos (п, г) ' Поэтому л=- Г /7^-^-cos> 1 ,/ J \ду dz cos (n, z) / * D Теперь, воспользовавшись формулой (5.20), мы можем этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем , С С (дР дР cos (п, у) \ , ч , Ji=— / / -s-------3-----т—cos(n, z)da = J J \ dy dz cos (n, z)) v 2 = — f f COS (n, z) — ~ cos (n, y)j da. Итак, f nj C C(dP . . dP , Q_4 у Pdx — J J ^-cos(n, y)— -^-cos(n, z)j da. (5.37) A 2 Мы предполагали, что поверхность 2 задана уравнением z — z(x, у). Тот же результат можно было получить, предположив, что 2 задана уравнением у —y(z, х). Для этого нужно было бы рассмотреть проекцию 2 на плоскость zx (вместо ху) и провести рассуждения, аналогичные изложенным выше. Далее, если 2 — часть плоскости, перпендикулярной оси х (тогда 2 нельзя однозначно спроектировать ни на плоскость ху, ни на плоскость zx), то равен- ство (5.37) верно тривиальным образом: и правая и левая его части будут равны нулю (проверьте это!). Наконец, стандартные рассужде- ния, которыми мы уже пользовались при выводе формул Грина и Остроградского, показывают, что если поверхность 2 состоит из конечного числа частей, для каждой из которых верно равенство (5.37),
ФОРМУЛА СТОКСА 209 § 4] то оно верно и для всей поверхности 2. Таким образом, равен- ство (5.37) установлено для поверхности, состоящей из конечного числа кусков перечисленных выше типов. В точности так же полу- чаются два аналогичных равенства: I' Qdy — У* J* ^cos(n, z) — cos(n, x)po, (5.38) A X f Rdz = J У* cos(n, x) — cos (n, y)jdo. (5.39) A Складывая все эти три равенства, получаем J Pdx-\-Qdy-\-Rdz = f J cos(n, z) + A X , / dR dQ\ , , . / dP dR\ , /1 . +W ~ )cos (n> x)+hr - cos <n’ da- <5 -4°) Это и есть формула Стокса. Ее можно переписать в следующем виде: [ Pdx + Qdy^Rdz^ f A s’ 77)^^ + dQ\ . , . I dP -5— I dy dz —I— I -3— dz ) s 1 \dz ^)dzdx. (5.41) Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части — это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье по- лучаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций Р, Q, R. Если поверхность 2 сводится к плоской области, лежащей в пло- скости ху, то интегралы по dz dx и dy dz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина. Замечание 1. При выводе формулы Стокса мы пользовались декартовой системой координат. Но ни криволинейный, ни поверх- ностный интегралы, входящие в эту формулу, не зависят от способа задания поверхности 2 и ее границы А. Поэтому формула Стокса остается в силе и при любом другом способе задания поверхности, например с помощью параметрического уравнения г = г (и, V).
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 210 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Замечание 2. Формула Стокса остается в силе и в том случае, когда граница Л поверхности 2 состоит из нескольких отдельных контуров. В этом случае под J Р dx -ф- Q dy -ф- R dz следует пони- Рис. 5.15. мать сумму интегралов, взятых по этим контурам, причем ориентация каждого из этих контуров опять-таки должна быть согласована с вы- бором стороны поверхности S. Например, если S представляет со- бой боковую поверхность цилиндра с вырезан- ным в ней отверстием (рис. 5.15) и мы рас- сматриваем внешнюю сторону этой поверхно- сти, то формула Стокса связывает интеграл по 2 с криволинейным интегралом, взятым по трем контурам, образующим ее границу и ори- ентированным так, как это показано стрелка- ми на рис. 5.15. 2. Применение формулы Стокса к ис- следованию пространственных криволиней- ных интегралов. Формула Стокса имеет много- численные применения, и мы еще вернемся к ней в следующей главе. Сейчас мы воспользу- емся этой формулой для того, чтобы перенести на пространственные криволинейные интегралы те результаты об условиях независимости кри- волинейного интеграла от пути, которые в § 4 гл. 4 были получены (с помощью формулы Грина) для плоского случая. Введем следующее Определение. Трехмерная область V называется поверх- ностно односвязной*), если на любой замкнутый контур, лежащий в V, можно натянуть по- верхность, также целиком лежащую в V (т. е. если внутри V найдется поверхность, имеющая этот контур своей границей). Примерами поверхностно односвязных областей являются: шар, все пространство, область, заключенная между двумя концен- трическими сферами, и т. п. Примером не- односвязной области может служить шар, сквозь который проходит цилиндрический туннель (рис. 5.16). Установим теперь следующий результат, аналогичный теореме 4.5. Теорема 5.2. Если функции Р(х, у, г), Q(x, у, z), R(x, у, г) непрерывны вместе со своими частными *) Или, короче, просто «о д н о с в я з н о й».
$ 4] ФОРМУЛА СТОКСА 211 производными первого порядка в некоторой замкнутой огра- ниченной поверхностно односвязной области V, то следующие четыре утверждения равносильны между собой’. 1. Интеграл Р dx-\-Q dy R dz, взятый по любому зам- кнутому контуру, лежащему внутри V, равен нулю. 2. Р dx-\-Qdy-\-Rdz не зависит от выбора пути, со- АВ единяющего точки А и В. 3. Р dx Q dy + R dz — полный дифференциал некоторой однозначной функции, определенной в V. 4. Выполняются равенства 1 dQ _ дР dR _ dQ dP _ dR „ „ dx dy ’ dy dz ’ dz dx ' ( • ) Доказательство этой теоремы, по существу, не отличается от доказательства теоремы 4.5 и проводится по той же схеме 1 —> -> 2->3->4-> 1. Мы предоставим его читателю, ограничившись лишь следующим указанием: для того чтобы из условия 4) получить условие 1), рассмотрим некоторый замкнутый контур Л, лежащий в V; так как область V по условию односвязна, то на Л можно натя- нуть поверхность S, целиком лежащую внутри V. Применив к кри- волинейному интегралу, взятому по Л, формулу Стокса, получаем, что из условия (5.42) следует равенство J* Р dx -j- Q dy 4- R dz = 0. д Если выражение Р dx + Q dy + R dz представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z), то нетрудно написать явное выражение этой функции: (л-, у, г) U (х, у, z) = J* Pdx-j-Qdy-i-Rdz-^-C, (5.43) (л0, Уя, г„) аналогичное формуле (4.50), установленной в § 4 гл. 4 для двух переменных. / (х, у, г) I Здесь J* означает интеграл, взятый по произвольному пути, \ (Хя, Уя, 2я) целиком лежащему в области V и соединяющему точку (х0, у0, z0) с (х, у, г). 1
212 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ, 5 Если функции Р, Q и R удовлетворяют условиям (5.42), но об- ласть, в которой они определены, не односвязна, то свойства инте- грала J* Р dxQ dyRdz АВ аналогичны свойствам криволинейного интеграла J* Р dx -|- Q dy АВ в плоской многосвязной области. В частности, выражение (5.43) при выполнении равенств (5.42) и в случае многосвязной области пред- ставляет собой функцию, полный дифференциал которой равен Pdx-\-Qdy-\-Rdz, но в многосвязной области эта функция, во- обще говоря, многозначна.
ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ПОЛЯ Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В этой главе мы изложим элементы того математического аппарата, которым приходится пользоваться при изучении физических полей. В физических задачах чаще всего встречаются величины двух типов: скаляры и векторы*). В соответствии с этим мы будем рассматривать два типа полей — скалярные и векторные. § 1. Скалярные поля 1. Определение и примеры скалярных полей. Пусть й— неко- торая область в пространстве. Мы говорим, что в этой области задано скалярное поле, если каждой точке М этой области поставлено в соответствие некоторое число U(Л1). Примерами скалярных полей могут служить поле температур внутри некоторого нагретого тела (в каждой точке М этого тела задана соответствующая температура U (УИ)), поле освещенности, со- здаваемое каким-либо источником света, и т. д. Важным примером скалярного поля служит поле плотности массы, с которым мы уже встречались. Напомним это понятие. Пусть неко- торая пространственная область й заполнена непрерывно распреде- ленной массой. Сопоставив каждой области V, содержащейся в й, ту массу, которая находится в области V, мы получим аддитивную функцию области р (V). Если в каждой точке существует производ- ная от р(У) по объему, то эта производная называется плотностью *) Это, собственно говоря, верно лишь применительно к более элемен- тарным вопросам физики. В ряде разделов теоретической физики — электро- динамике, теории относительности, теории элементарных частиц и т. д. суще- ственную роль играют величины более сложной природы, чем скаляры и векторы. Об одном важном типе таких величин — так называемых тензо- рах — будет идти речь в следующей главе.
214 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 массы, а значения этой производной образуют скалярное поле, назы- ваемое полем плотности массы. Аналогично, рассматривая некоторое непрерывное распределение зарядов по пространственной области Q, мы приходим к скалярному полю плотности электрического заряда. Число подобных примеров можно было бы увеличить. Наряду с полями, заданными в пространственных областях, часто приходится рассматривать и плоские скалярные поля. Примером такого поля может служить освещенность части плоскости, создавае- мая каким-либо источником света. 2. Поверхности и линии уровня. Если U (Л1) — некоторое ска- лярное поле, то, введя в области, где задано поле, декартовы коор- динаты, можно представить это поле в виде функции U (х, у, z) координат точки М *). Эту функцию мы всегда будем в дальнейшем предполагать непрерывной и имеющей в рассматриваемой области непрерывные частные производные первого порядка по х, у и z. Задание скалярного поля с помощью фиксированной системы ко- ординат и соответствующей функции U (х, у, z) не всегда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля. Для полу- чения более наглядной картины удобно пользоваться так называемыми поверхностями уровня. Поверхностью уровня скалярного поля U (/И) называется геометрическое место точек, в кото- рых поле U (Л4) имеет данное фиксированное значение С. Уравнение поверхности уровня имеет вид **) U (х, у, г) = С. (6-1) Ясно, что поверхности уровня (отвечающие различным С) запол- няют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверх- ности U(х, у, z) — Cx и U (х, у, z) = C2 не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня с отмет- *) Вид этой функции зависит, конечно, не только от рассматриваемого поля, но и от выбора системы координат. Но если система координат счи- тается фиксированной, то понятие скалярного поля просто совпадает с понятием функции трех переменных. Мы, однако, будем все время поль- зоваться термином «поле», подчеркивая этим, что речь идет здесь, как пра- вило, о величинах, имеющих непосредственный физический смысл, не свя- занный с выбором той или иной системы координат. **) При сделанных выше предположениях относительно функции U (х, у, z) такое уравнение действительно определяет некоторую гладкую поверхность, если только точки, удовлетворяющие равенству (6.1) (при дан- ном С), вообще существуют и если в этих точках производные не обращаются в нуль одновременно (см. вып. 1, гл. 14, § 4).
§ 1] СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 215 кой на них соответствующих значений С равносильно заданию самого поля U(Л1). Взаимное расположение поверхностей уровня в пространстве дает наглядное представление о соответствующем ска- лярном поле. Указанный способ изображения поля особенно удобен тогда, когда речь идет о поле, заданном не в пространственной, а в плоской области. Такое поле описывается функцией двух переменных U (х, у). Равенство вида U (х, у) —С опре- деляет, вообще говоря, некоторую кривую. Такие кривые называют- ся линиями уровня плоского ска- лярного поля U (уИ). С помощью линий уровня обычно изображается рельеф местности на топографиче- Рис. 6.1. ских картах, а именно, на них про- водятся линии, состоящие из то- чек, имеющих одну и ту же высоту над уровнем моря; эти линии называются горизонталями (рис. 6.1). Распределение температур, давлений, количества осадков и т. п. обычно также изображается на специальных картах с помощью соот- ветствующих линий уровня (называемых изотермами в случае температур, изобара- ми, когда речь идет о давлениях, и т. д.). 3. Различные типы симметрии полей. Во многих физических задачах приходится иметь дело с полями, обладающими теми или иными специальными свойствами сим- метрии, облегчающими изучение таких полей. Укажем некоторые частные случаи. а) Плоскопараллельное поле. Если скалярное поле U(уИ) в какой-либо декар- товой системе координат можно описать функцией, зависящей не от трех, а только от двух координат, ска- жем, функцией вида U(х, у), то такое поле называется плоскопа-^ раллельным (или двумерным). Иначе говоря, поле U (уИ) назы- вается плоскопараллельным, если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле U (Л1) переходит само в себя. Поверхности уровня такого поля — это семейство ци- линдрических поверхностей (рис. 6.2); в соответствующим обра- зом выбранной системе координат они задаются уравнениями ви- да U (х, у) —С. б) Осесимметрическое поле. Если для поля U (7И) можно подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой оно изображается функцией, зависящей только от переменных
216 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 г = Ух14- у2 и z (но не от угла <р), то это поле называется осесимметрическим. Иначе говоря, поле U (/И) осесимметрическое, если оно переходит само в себя при повороте пространства (на произвольный угол) вокруг некоторой фиксированной прямой — оси симметрии этого поля. Поверхности уровня такого поля предста- вляют собой, очевидно, поверхности вращения (рис. 6.3). Если эти поверхности вращения — круглые цилиндры (рис. 6.4), т. е. если поле U(М) в соответствующей цилиндрической системе координат изо- бражается функцией, зависящей лишь от одной координаты г (рассто- яния точки от оси симметрии поля), то U (Л4) называется цилинд рическим полем. в) Сферическое поле. Если значе- ния U (Л4) зависят лишь от расстояния точ- ки М от некоторой фиксированной точки Мо, то такое поле называется сферическим. Поверхности уровня сферического поля — семейство концентрических сфер (рис. 6.5). 4. Производная по направлению. При изучении скалярного поля методами анализа мы должны в первую очередь описать его локальные свойства, т. е. изменение вели- чины U (Л4) при переходе от данной точки М к близким точкам. Для этого мы используем производную поля по направлению. Напомним это понятие. Пусть U (Л4) — скалярное поле. Рассмотрим две близкие точки М и М' и составим отношение h (6-2) где h—длина отрезка ММ'. Пусть точка М' приближается к М, причем направление отрезка ММ' все время совпадает с направле-
§ t] СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 217 нием фиксированного единичного вектора X. Если при Этом отноше- ние (6.2) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной скалярного поля U(М) в точке М по направле- нию X и обозначается дЩМ) дК ’ Производная характеризует скоросте изменения величины U(M) в направлении X. тт ди * для вычисления выберем некоторую систему координат и представим U (Л4) в виде U (х, у, г). Пусть направление X образует с осями координат углы а, р и у. Тогда ММ' = h(i cos аД-jcosp-j-kcos у) и U (М') — U (х -J- h cos a, y-|-Acosp, ^-j-Acosy). (6.3) а производная 4^- совпадает с производной по h от сложной функ- ции (6.3) при h — О. Дифференцируя, получаем dU(M) dU(M') I dU . dU o . dU ———- =-5—cos а+ -Д—cos 6-{--г—cosy. (6.4) d>. dh |л=0 dx 1 dy ' 1 dz 1 4 ’ 5. Градиент скалярного поля. Выражение (6.4) можно рассма- тривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора X = (cos a, cos р, cos у), a dU определяющего направление, по которому берется производная и вектора, имеющего компоненты dU dU dU dx ’ dy ’ dz ’ Этот вектор называется градиентом скалярного поля U и обозна- чается символом grad U. Таким образом, .,, (dU dU dU\ grad , -г, (6.5) и, следовательно, — = (grad U, X). (6-6)
218 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Рис. 6.6 дает наглядную интерпретацию выражения производной по направлению как проекции grad U на это направление. Из формулы (6.6), которую можно переписать в виде = | grad U | cos <р (где ф — угол между grad U и единичным вектором X), видно, что в каждой точке, в которой grad U =£= 0, существует единственное dU направление, по которому имеет наибольшее значение, т. е. един- ственное направление наибыстрейшего возрастания функции U. Это направление совпадает с направлением вектора grad U. Действительно, __________________ для этого направления ф = 0 и, следова- тельно, /----Х( ara3!L-A dU . .... / -^7 = I grad U |• • /X—jx в то Время как для всех других направле- у/ НИЙ Рис. 6.6. = | grad U | cos ф < | grad U |. Итак, мы получили, что направление вектора grad U — это на- правление наибыстрейшего возрастания величины U, а длина вектора grad U равна скорости возрастания величины U в этом направлении. Однако ни направление наибыстрейшего возрастания функции, ни величина ее производной в этом направлении не зависят, очевидно, от выбора системы координат. Мы установили, таким образом, что градиент скалярного поля зависит лишь от самого поля, но не от выбора системы координат (хотя из равенства (6.5), при- нятого нами за определение градиента, это сразу и не видно). „ dU dU dU „ Производные в данной точке м — это компоненты вектора, нормального к поверхности U (х, у, z) — const, проходящей через эту точку *). Таким образом, в каждой точке поля U градиент поля направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку. *) Действительно, если направление Л лежит в плоскости, касательной к поверхности U (х, у, z) = const, то производная по этому направлению равна нулю: -^- = (gradf7, Х) = 0, т. е. grad U ортогонален любому вектору, лежащему в касательной плоскости.
5 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 219 Назовем линией градиента *) скалярного поля U всякую кривую, касательная к которой в каждой ее точке направлена по grad U в этой же точке. Таким образом, линии градиента поля — это те линии, вдоль которых поле U меняется быстрее всего. Можно показать, что если функция U (х, у, z) имеет непрерыв- ные частные производные до 2-го порядка включительно, то через каждую точку области, в которой задано поле U, проходит одна и только одна линия градиента. В каждой точке линия градиента ортогональна той поверхности уровня, на которой эта точка лежит. § 2. Векторные поля I. Определение и примеры векторных полей. Мы говорим, что в некоторой области й определено векторное поле, если каждой точке М этой области поставлен в соответствие определен- ный вектор А (Ж). Один из важных примеров векторных полей, к которому мы будем неоднократно возвращаться, — это поле скоростей стацио- нарного потока жидкости. Оно определяется так: пусть область Й заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой ско- ростью V, не зависящей от времени (но различной, вообще говоря, в разных точках); поставив в соответствие каждой точке М из Й вектор v = v (7И), мы получим векторное поле, называемое полем скоростей. Другой важный пример векторного поля — это поле тяготения. Пусть в пространстве распределена некоторая масса. Тогда на мате- риальную точку с массой 1, помещенную в данную точку М, дей- ствует некоторая гравитационная сила. Эти силы, определенные в каждой точке, образуют векторное поле, называемое полем тяготения (отвечающим данному распределению масс) или гра- витационным полем. Если в пространстве распределены каким-либо образом электри- ческие заряды, то на единичный электрический заряд, помещенный в точку уИ, эти заряды действуют с определенной силой ^(Af). Образуемое этими силами векторное поле называется электро- статическим полем. И поле тяготения, и электрическое поле представляют собой примеры силовых полей. Если А (7И) — некоторое векторное поле в пространстве, то, взяв в этом пространстве какую-либо декартову систему координат, мы можем представить А (Л1) как совокупность трех скалярных функций— компонент этого вектора. Эти компоненты мы будем обозначать, как правило, Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z). В дальнейшем мы *) Ср. с общим определением векторной линии в следующем параграфе.
220 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непре- рывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка *). 2. Векторные линии и векторные трубки. Пусть в области Q задано векторное поле А (/Л). Кривая L, лежащая в Q, называется векторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направлением вектора А в этой же точке. В частности, если поле А есть поле скоростей стационарного потока жидкости, то его векторные линии — это траектории частиц жидкости. В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля А, проходящей через данную точку Мо. Аналитически эта задача формулируется, очевидно, так: требуется найти вектор-функцию г (/), удовлетворяющую условиям т' (t) — ХА, г (to) = Го» где г0 — радиус-вектор начальной точки Л10, t0 — начальный момент времени, а X — произвольная числовая величина. Можно показать, что если компоненты Р, Q, R вектора А — непрерывно дифферен- цируемые функции координат, ни в одной точке не обращающиеся в нуль одновременно, то условия (6.7) действительно определяют в той области, в которой задано поле А, одну и только одну век- торную линию **). Ограниченная некоторой поверхностью 2 часть пространства, в котором задано векторное поле А, называется векторной труб- кой, если в каждой точки поверхности 2 нормаль к 2 орто- гональна вектору А в этой же точке. Иначе говоря, векторная трубка — это часть пространства, состоящая из целых век- торных линий; каждая векторная линия или целиком лежит внутри данной векторной трубки, или находится целиком вне ее. Можно сказать, что поверхность 2, ограничивающая векторную трубку, соткана из векторных линий. Если снова представить себе векторное поле А как поле скоро- стей движущейся жидкости, то векторная трубка — это та часть пространства, которую «заметает» при своем перемещении некоторый фиксированный объем жидкости. 3. Различные виды симметрии векторных полей. Изучение векторного поля (как и скалярного) существенно облегчается, если это поле обладает теми или иными свойствами симметрии. Перечислим некоторые важнейшие частные случаи. *) Ясно, что если это условие выполнено в какой-либо одной декарто- вой системе координат, то оно выполнено и в любой другой системе. **) Это следует из теоремы существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений (см. вып. 3, гл. 1, § 6).
§ 2] ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 221 а) Плоскопараллельное поле. Если для данного векторного поля А можно подобрать декартову систему координат, в которой компоненты поля А имеют вид Р(х, у), Q(x, у), R(x, у) (т. е. не зависят от г), то поле А называется плоскопараллельным. Если при этом R(x, у)—0, то поле А называется плоским. Примером такого поля может служить поле скоростей жидкости, скорости частиц которой параллельны некоторой фиксированной плоскости и не зависят от расстояния частицы до данной плоскости (плоский поток). Векторные линии такого поля — плоские кривые (одни и те же в каждой параллельной плоскости). б) Осесимметрическое поле. Векторное поле А называется осесимметрическим, если существует такая цилиндрическая система координат г, ф, z, что в каждой точке М вектор А(А4) зависит лишь от г и z, но не от ф. Иными словами, такое поле переходит само в себя при повороте вокруг оси z. Если вектор А (Л1) зависит только от г, то поле называется цилиндрическим. в) Одномерное поле. Векторное поле называется одномерным, если существует такая декартова система координат, в которой ком- поненты этого поля имеют вид Р(х), 0, 0. Векторные линии такого поля представляют собой, очевидно, совокупность всех прямых, параллельных оси х. 4. Поле градиента. Потенциальное поле. Рассмотрим снова некоторое скалярное поле U (Л1). Построив в каждой точке М вектор grad £7, мы получим векторное поле — поле градиента скаляр- ной величины U. Введем следующее Определение. Векторное поле А(Л1) называется потен- циальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U (Му. А = grad U. Само скалярное поле U называется при этом потенциалом вектор- ного поля А. Рассмотрим следующий пример. Пусть U = f (г), где г = = j/x2 + у2-J- z2 (т. е. U — сферическое поле). Найдем grad £7. Имеем dU „ dr j-r, х Му- Аналогично ду j \ > r ()z j v j г Таким образом, grad £7 = /'(г) X, (6.8) г — xi -j- yj -ф- zk.
222 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Если векторное поле А имеет потенциал, то этот потенциал определяется полем А однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Действительно, если скалярные поля U и V имеют один и тот же градиент, то grad ((7 — У) = 0. Но тогда и производная от U — V по любому направлению равна нулю в любой точке, откуда сразу следует, что U — V = const. Векторные линии потенциального поля А представляют собой, разу- меется, линии градиента его потенциала U, т. е. линии наибыстрей- шего изменения этого потенциала. Естественно возникает вопрос об условиях, при которых данное векторное поле А потенциально. Фактически этот вопрос мы уже рассмотрели в гл. 5. Действительно, там было показано (теорема 5.2), что выражение Р dx -|- Q dy + R dz (где Р, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные част- ные производные 1-го порядка) служит полным дифференциалом не- которой однозначной функции U (х, у, z) в том и только том слу- чае, если Р, Q, R удовлетворяют условиям *): дР_ _ dQ_ dQ__dR dR___dP_ ду дх ’ дг ду ’ дх дг ' ' ’ ' Но если Р dx -\-Qdy~\- R dz = dU, то дх ду дг т. е. условие (6.9) как раз и означает, что поле (Р, Q, R) потен- циально. Итак, для того чтобы векторное поле R = (P, Q, R), имею- щее непрерывные и непрерывно дифференцируемые компоненты, было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (6.9). Если А — потенциальное векторное поле, то фактическое нахо- ждение его потенциала сводится к нахождению функции по ее пол- ному дифференциалу — задаче, которую мы рассматривали в § 4 гл. 5 (формула (5.43)), а для двух переменных — в § 4 гл. 4 (фор- мула (4.50)). *) Мы считаем, что область, в которой определено векторное поле А, односвязна.
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 223 К понятию потенциального поля мы еще вернемся в п. 5 § 4. Пример. Пусть в начало координат О помещена масса т. Если теперь в некоторую точку М(х, у, z) поместить единичную массу, то на нее будет действовать сила притяжения, равная F = (r = xi + yJ + zk). Эти силы, определяемые в каждой точке пространства, образуют векторное поле — поле тяготения точечной массы т. Его можно представить как градиент скалярной величины ут г ’ называемой ньютоновским потенциалом точечной массы т. В самом деле, воспользовавшись формулой (6.8), получаем , ут т grad—= —у-р-г. § 3. Поток векторного поля. Дивергенция 1. Поток векторного поля через поверхность. В предыдущей главе (§ 2) мы показали, что количество жидкости, протекающей за единицу времени через данную (ориентированную) поверхность 2, равно интегралу J* f A„do, х где Ап — нормальная составляющая вектора скорости А = (Р, Q, R). Эту величину мы назвали потоком жидкости через поверхность 2. Пусть теперь А — произвольное векторное поле и 2 — ориентиро- ванная поверхность. Поверхностный интеграл ffA^° х мы назовем потоком векторного поля А через поверхность 2. Таким образом, если А — скорость движения жидкости, то поток вектора А через некоторую поверхность равен количеству жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для век- торного поля иной природы поток имеет, конечно, другой физиче- ский смысл. Пример. Пусть U = U(х, у, г) — поле температур внутри не- которого тела, k — коэффициент теплопроводности и А = grad U. Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, протекающее за
224 теория поля [гл. 6 единицу времени через элемент da некоторой поверхности 2, вы- ражается формулой dQ — — k-^da, (6.10) dU где ------производная поля температур в направлении нормали к do. (Знак минус в правой части равенства (6.10) отвечает тому известному факту, что тепло течет от более нагретых частей тела к менее нагретым, т. е. в направлении убывания U.) Так как -^- = (gradt/)„, то равенство (6.10) можно переписать в виде dQ = — k (grad U)n do, из которого следует, что количество тепла Q, протекающего за еди- ницу времени через всю поверхность 2, равно Q = ~ff k(gradU)„do. (6.11) s Введя вектор q = — k grad U, называемый вектором потока тепла, получаем Q = / J Чпda- Е Таким образом, количество тепла, протекающее через 2 за еди- ницу времени, равно потоку вектора q через поверхность 2 (отсюда и название «вектор потока тепла»). 2. Дивергенция. Пусть А — некоторое векторное поле, которое мы снова будем представлять себе как поле скоростей несжимаемой жидкости. Поскольку жидкость несжимаема, поток H = ff Anda Е вектора А через какую-либо замкнутую поверхность 2 *) равен, очевидно, количеству жидкости, которое за единицу времени возни- кает или уничтожается в пределах той пространственной области Q, границей которой служит 2. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П > 0) или стоков (если II < 0), *) Мы условимся рассматривать внешнюю сторону этой поверхности.
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 225 расположенных в области 2. Рассмотрим отношение ffA"da ТО- потока жидкости через поверхность 2 к объему области Q, ограни- ченной этой поверхностью. Оно представляет собой среднюю плот- ность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возни- кающей (исчезающей) за единицу времени в единице объема области Q. Рассмотрим, наконец, предел J f А" da этого отношения, где знак iim означает предел при условии, что Й->7И область £2 стягивается к некоторой фиксированной точке М. Этот предел можно назвать плотностью источников (стоков) в точке М. Он представляет собой скалярную величину и служит важной харак- теристикой исходного поля. Рассмотрев этот пример, перейдем к общим определениям. Пусть А — некоторое векторное поле. Поставим в соответствие каждой пространственной области й, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью S, величину 2 — поток вектора А через внешнюю сторону поверхности S. Мы получим некоторую функцию области Ф(Й). Легко проверить, что эта функция аддитивна. Определение. Производная функции Ф(й) по объему, т. е. предел f f Anda lim (6’12> Q->Af V W называется дивергенцией векторного поля А и обозна- чается div А. Таким образом, введенная нами для поля скоростей несжимаемой жидкости плотность источников представляет собой дивергенцию этого поля скоростей.
226 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Теорема 6.1. Если h = (P, Q, R)— векторное поле, опреде- ленное в области Q и такое, что функции Р, Q, R непре- рывны в Q вместе со всеми своими первыми производными, то div А существует во всех точках этой области и в любой де- картовой системе координат выражается формулой .. . dP.dQ.dR /с div А — -5-(6.13) dx 1 ду 1 dz ' ’ Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского 2 Q В силу теоремы о производной тройного интеграла по объему (п. 5 § 1 гл. 2), производная по объему от правой части этого ра- dP.dQ.dR п венства существует и равна i'gy'+'ду. Следовательно, тому же самому выражению равна и производная по объему от левой его части. Но эта последняя и есть по определению div А. Замечание. Часто равенство .. . dP . dQ . OR div A = -г—1- -г— dx 1 dy 1 dz принимают за определение дивергенции. Однако это определение менее удобно, чем принятое нами, так как оно опирается на выбор той или иной системы координат, и мы должны еще доказывать, что сумма уу i уу । уу от выбора системы координат не зависит. А независимость от выбора системы координат выражения (6.12) очевидна. Итак, каждому векторному полю А, компоненты которого непре- рывны и имеют непрерывные частные производные, мы поставили в соответствие скалярную функцию div А. Пользуясь этим понятием, мы можем теперь формулу Остроградского записать так: 2 J Р J div A dv, й (6.14) т. е. поток вектора А через внешнюю сторону замкнутой по- верхности S равен интегралу от дивергенции поля А, взя- тому по области, ограниченной поверхностью S. 3. Физический смысл дивергенции для различных полей. Примеры. а) Мы уже выяснили, что для поля скоростей А несжимаемой жидкости, движущейся в некоторой пространственной области,
§ 3] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ 227 выражение iff Q div A dv представляет собой суммарную мощность источников, расположенных в области Q, a div А — это плотность источников (т. е. их мощ- ность, приходящуюся на единицу объема). В частности, если А — поле скоростей несжимаемой жидкости, у которой нет ни стоков, ни источников, то div А — 0. б) Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое некоторым распределением масс. Выясним, что представляет собой дивергенция такого поля. Рассмотрим сначала поле, создаваемое массой тй, со- средоточенной в точке (х0, у0, Zq). В этом случае единичная масса, помещенная в точку (х, у, z), притягивается с силой „ / X — Хо у — у о Z—Zn\ F = (Y^o —73— • Y^o • Ymo -ft - ) (6.15) (г = У (х — хо)2 + (у — у0)2 + (Z — Zq)2). Здесь у — постоянная тяготения, зависящая от выбора единиц. Ниже мы у писать не будем, считая, что система единиц выбрана так, что у—1. Вычислим дивергенцию силового поля (6.15). В ка- ждой точке, отличной от точки (х0, у0, z0), имеем д / х — хв\ ft —3(х— х0)2 г г2 — 3 (х — х0)2 7Z (™о —--------------те---— = «о--------ft----• аналогично д (т у~Уо\ -<п r2-3(Y-Yo)2 77 |^о ft—J — то -5 д дг т0 z — z<>\________г2 — 3(г — z0)2. ftft- j — то ft Складывая, получаем divр_т 3ft—3(х —xQ)2 —3(у —у0)2 —3(z —z0)2 _0 ^5 Однако в точке (х0, у0, z0) приведенные выкладки теряют смысл, и в этой точке значение divF вообще не определено. Поэтому и значение интеграла fffdivFdv а не может быть получено непосредственным вычислением, если об- ласть £2 содержит точку (х0, у0, z0). Таким образом, выражение,
228 ТЕОРИЯ ПОЛЯ [ГЛ. 6 стоящее в формуле Остроградского (6.14) справа, в нашем случае не определено. Однако мы легко можем найти величину, стоящую в этой формуле слева, т. е. поток вектора F через поверхность 2, ограничивающую объем й. Сделаем это. Пусть сначала 2—сфера некоторого радиуса а с центром в точке (х0, у0, с0). В каждой точке такой сферы направление вектора (6.15) совпадает с напра- влением нормали к этой сфере. Поэтому проекция вектора (6.15) на нормаль в данном случае равна длине этого вектора, т. е. постоян- ной величине Следовательно, а2 / / рп da = ^T 4л«2 = 4лт0. Заменив сферу 2 любой другой замкнутой поверхностью 2Р охва- тывающей точку (х0, у0, г0), мы получим тот же самый результат. Действительно, выберем сферу 2 настолько малой, чтобы она цели- ком содержалась внутри 2Р Тогда 2! 2 так как левая часть этого равенства представляет собой поток век- тора F через границу пространственной области, в которой divF = 0. Следовательно, f f рп do = f f Fn do. X, X Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое несколькими то- чечными массами. Это поле равно сумме полей, создаваемых каждой массой в отдельности. Поток суммы полей через некоторую поверх- ность 2 равен, очевидно, сумме потоков слагаемых; отсюда выте- кает, что поток через некоторую замкнутую поверхность поля тяго- тения, создаваемого системой материальных точек, равен сумме на- ходящихся внутри этой поверхности масс, умноженной на 4л. С помо