КУРС
математического
АНАЛИЗА
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

Курс
математического
анализа

Том I

Допущено

Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических
и инженерно-физических
специальностей вузов
ББК 22.16

К88

УДК 517(0.75.8)

Кудрявцев Л. Д.

К 88 Курс математического анализа (в двух томах): Учеб-
ник для студентов университетов и втузов. — М.: Высш,
школа, 1981, т. I. — 687 с., ил.

В пер.: 1 р. 60 к.

Книга написана профессором, доктором физико-математических наук,
заведующим кафедрой высшей математики МФТИ, ст. научным сотрудником
Математического института им. В. А. Стейлова АН СССР. Учебник соответст-
вует новой программе для вузов.

Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и
аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические
приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и инте-
гральное исчисления функций одной переменной, простейшие сведения о функ-
циях многих переменных и теория рядов.

- Предназначается студентам . университетов и физико-математических и
инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других спе-
циальностей для углубленной математической подготовки.

„ 20203^-045

к-----------35—81

001(01)—81

1702050000

517.2

ББК 22.16

© Издательство «Высшая школа», 1981
ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый курс математического анализа написан на основе
двухтомного учебника автора «Математический анализ». Настоя-
щий учебник соответствует новым требованиям, предъявляемым
к математическому образованию. Благодаря более четкому выде-
лению вопросов, относящихся к основным понятиям математиче-
ского анализа и их применению к решению задач, этот учебник
можно использовать как в высших технических учебных заведе-
ниях, так и в университетах. Изложение материала ведется на
уровне, доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходя-
щие за рамки программы по высшей математике для втузов и
посвященные более глубокому изучению анализа на университет-
ском уровне, отмечены звездочкой.

В курсе излагаются как традиционные классические методы
математического анализа, так и современные, которые возникли
в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксио-
матически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и
полно изложить необходимые для анализа сведения о числах.
Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при дру-
гих, так называемых «конструктивных», методах построения теории
действительных чисел (когда за основу берутся бесконечные деся-
тичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или
классы эквивалентных фундаментальных последовательностей
рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому
существования (непротиворечивости) множества действительных
чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках.
Поскольку же при построении теории действительных чисел
использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сфор-
мулировать и перейти к изучению математического анализа
в собственном смысле слова.

За исключением параграфов, посвященных теории действитель-
ных чисел, в курсе за основу принят индуктивный метод изложе-
ния материала. Так, например, понятие предела сначала изучается
для числовых последовательностей, затем для функций одной
действительной переменной, далее вводится понятие предела по
множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных
сумм "и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия
предела по фильтру в топологическом пространстве.

Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наибольшей
общностью; иногда для лучшего выявления сущности изучаемого
вопроса и идеи проводимого доказательства рассмотрение прово-
дится. лишь для достаточно гладких функций. Такая точка зрения
оправдана также тем, что благодаря плотности гладких функций

’ Второе издание этого учебника выходило в 1973 г. в издательстве
«Высшая школа».
в соответствующих функциональных пространствах многие тео-
ремы, доказанные для гладких функций, могут быть единым
методом с помощью' предельного перехода перенесены на более
широкие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно
довести до конца без существенного увеличения объема книги.
Поэтому вопрос о плотности «хороших» функций в различных
функциональных пространствах рассмотрен в курсе лишь в про-
стейших случаях.

Большое внимание в учебнике уделяется решению задач мето-
дами, основанными на изложенной теории. Кроме того, читателю
для самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи.
Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения
математического анализа. Отдельные же из предлагаемых задач
довольно трудны. Их решение не является необходимым для
овладения материалом и может потребовать довольно длительного
времени. Как правило, они связаны с интересными и достаточно
глубокими математическими фактами, для подробного изложения
которых не нашлось места в книге. Нумерация упражнений
ведется отдельно в каждом параграфе, нумерация же задач, как
и рисунков —сквозная.

Значительная часть материала, вошедшего в книгу, в течение
многих лет излагается автором в Московском физико-техническом
институте в лекционном курсе математического анализа. Автор
обсуждал многие вопросы, относящиеся к изложению различных
тем, со своими коллегами по кафедре высшей математики Москов-
ского физико-технического института и получил от них много
полезных советов, которые все были приняты во.внимание при
подготовке рукописи к печати.

Автор выражает свою глубокую благодарность С. М. Николь-
скому, О. В. Бесову и Г. Н. Яковлеву, с которыми он много лет
читает параллельно курс математического анализа и постоянно
обсуждает различные аспекты курса. Раздел, посвященный обоб-
щенным функциям, написан под несомненным влиянием В. С. Вла-
димирова, которому автор выражает свою искреннюю признатель-
ность за многие полезные замечания.

Особенно признателен автор рецензентам книги — Н. В. Ефи-
мову и В. А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии кото-
рых позволили во многом улучшить изложение материала.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность
преподавателям кафедры математики Московского физико-техни-
ческого института И. А. Борачинскому, К. А. Бежанову, Ф. Г. Бу-
лаевскОй, В. А. Ходакову, сделавшим много полезных предло-
жений, которые Нее были учтены при окончательном редактиро-
вании текста.

Автор также приносит свою искреннюю признательность
научному редактору Н. М. Флацшеру, проделавшему большую
работу, содействовавшую несомненному улучшению учебника.
ГЛАВА ПЕРВАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1.	МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

1.1.	МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

В математике первичными понятиями являются понятия мно-
жества, элемента и принадлежности элемента - множеству. Мно-
жества будем обозначать большими буквами латинского или
какого-либо другого алфавита: А, В, ..., X,Y, 31, S3, ..., а эле-
менты множеств — малыми буквами: а, Ь, ..., х, у, ..., а, 0, ....
Если а является элементом множества А, то пишут а^А (чи-
тается «а принадлежит множеству Л») или, что означает то же,
Лэ а. Если же а не принадлежит множеству Л, то пишут а ф А
или Л а.

Множества Л и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов. Таким образом, равенство Л = В озна-
чает, применительно к множествам, что одно и то же множество
обозначено разными буквами Л и В.

Запись Л = {а, Ь, с, ...} означает, что множество Л состоит
из элементов а, Ь, с и, возможно, каких-то других, заданных тем
или иным способом.

Если множество Л состоит из элементов аа, где а пробегает
некоторое множество индексов 81, то будем писать Л = {аа} или,
подробнее, Л = {аа}аел, или, если это не может привести к недо-
разумениям, просто Л = {а}. Если множество Л состоит из эле-
ментов, обладающих определенным свойством, то будем писать
Л=={а:...}, где в фигурных скобках после двоеточия записано
указанное свойство элементов множества Л. Например, если а и
два таких действительных числа, что а^~Ь, и через [а, Ь]
обозначено множество всех действительных чисел х, удовлетво-
ряющих неравенствам а^х^Ь, то определение этого множества
(отрезка) посредством введенных символов можно записать сле-
дующим образом:

[а, Ь] = {х: а^х^Ь}.
Для удобства вводится понятие пустого множества, которое
обозначается символом ф. По определению пустое множество
не содержит элементов.

Если каждый элемент множества А является элементом мно-
жества В, то говорят, что множество А есть часть множества В,
или что А является подмножеством множества В, и пишут Л сВ
(читается: множество А содержится во множестве В) или, что
то же, В о А (читается: множество В содержит множество А).

Упражнение. Доказать, что включения 4 с В и В с А выполняются
одновременно тогда и только тогда, когда А = В.

Из определения подмножества следует, что А с А, каково бы
ни было множество А; принято также считать, по определению,
что пустое множество считается подмножеством каждого множе-
ства, ф cz А. Если А — произвольное множество, то ф и А назы-
ваются его несобственными подмножествами-, если же А с; В и
существует такой элемент хеВ, что хфА, то множество А
называется собственным подмножеством множества В.

41)	б)	6).	г)

Рис. 1

Если заданы два множества А и В (рис. 1, а), то через A(JB
обозначается множество, называемое их объединением или суммой,
каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из мно-
жеств А и В (рис. 1,6). Таким образом, если некоторый элемент
принадлежит множеству A J В, то он принадлежит либо только
множеству А, либо только множеству В, либо обоим этим мно-
жествам.

Через А П В обозначается множество, называемое пересечением
множеств А и В, которое состоит из элементов, принадлежащих
одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 1,в).

Через А\В обозначается множество, называемое разностью
множеств А и В и состоящее из элементов, которые принадлежат
множеству А, но не принадлежат множеству В (рис. 1,г).

Если В с А, то разность А\В называется дополнением мно-
жества В до множества А или дополнением В в А. Говорят
также, что А\В получается из множества А вычитанием из него
множества В.

Если задана система множеств Аа (термины: множество, система,
совокупность, семейство, класс будут употребляться как сино-
нимы), где значения а образуют некоторую совокупность индек-
сов 31, то объединением (J Аа множеств Аа называется множе-
аей

ство, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из
заданных множеств Аа, т. е. условие х е [J Аа равносильно
ае й

следующему: существует такое а 31, что х е Аа.

Пересечением множеств Аа, а е 31, называется такое множе-
ство, обозначаемое через

П ^«>
«ей

что каждый его элемент принадлежит всем множествам Аа, т. е.
условие х е Q Аа означает: для всех а е 81 имеет место х е Аа.
аей

Если AaczE для всех ае ?1, то

Е\ U Л«= П (£\ла),
аей

(1-1)

П 4х= U
ае’Х аей

(1.2)

Докажем, например, равенство (1.1). ЕслихеД\ |J Аа,
то, в силу определения разности множеств, х е £ и (J Аа.
ае й

В свою очередь это, согласно определению объединения множеств,
эквивалентно тому, что х е £ и для всех а е Аа имеет место
соотношение х ф Аа. Это же, снова по определению разности
множеств, равносильно утверждению, что для всех a е 31 имеем
хе£\Л2. Наконец, последнее утверждение, по определению
пересечения множеств, означает, что хе Q (ДХЛ^. Итак,
«ей

условия хе£\ (J Аа и хе Q (Д\Аа) — эквивалентны,
«ей	аей

вследствие чего выполняется равенство (1.1). Равенство (1.2) до-
казывается аналогично.

В следующем пункте 1.2* рассмотрено понятие функции,
а пункт 1.3* будет посвящен понятиям конечных множеств и
последовательности. Пункты и параграфы курса, отмеченные звез-
дочкой, при первом чтении можно пропустить и вернуться к ним
лишь в случае внутренней потребности. В частности, для пони-
мания дальнейшего материала достаточно представления о функ-
ции, имеющегося в курсе элементарной математики, как об опре-
деленном соответствии между элементами двух множеств. При
этом понятие соответствия можно понимать как первичное.
1.2	*. ФУНКЦИИ

Будем говорить, что число элементов множества А равно еди-
нице 1, если в нем имеется элемент а е /1 и нет других (иначе
говоря, если из множества А вычесть множество, состоящее из
элемента а, то получится пустое множество).

Множество А называется множеством из 2-х (двух) элементов,
если после вычитания из него множества, состоящего только из одного
элемента ае Л, т. е. множества, число элементов которого равно 1,
останется множество, число элементов которого также равно еди-
нице. Нетрудно доказать, что это определение не зависит от
выбора указанного элемента ае/1, т. е. если аеЛ и йеЛ,
причем Л\{а} состоит из одного элемента, то и множество
Л\{&} также состоит из одного элемента (а именно, из эле-
мента а).

Пусть теперь заданы множества Х = {х} и У={у}. Множество,
состоящее из. двух элементов х^Х и у eV, называется парой
{х, у} элементов х, у.

Пара вида {х, {х, у}}, где хеХ, </е/, {х, у} — пара элемен-
тов х, у, называется упорядоченной парой элементов х и у. Эле-
мент х называется первым элементом упорядоченной пары
{х, {х, у}}, а элемент у —вторым. Упорядоченная пара {х, {х, у}}
обозначается через (х, у). В дальнейшем под парой понимается
обычно упорядоченная пара.

Множество всех упорядоченных пар (х, у), х еХ, у е Y, на-
зывается произведением множеств X и Y и обозначается через
ХхУ. При этом не предполагается, что обязательно множе-
ство X отлично от множества У, т. е. возможен и случай, когда
X—Y.

Определение 1. Всякое множество / = {(х, у)} упорядоченных
пар (х, у), хеХ, y^Y, такое, что для любых пар (х', y')^f
и (*", у") из условия у #= у" следует, что х' х" называется
функцией, или, что то же, отображением.

Наряду с терминами «функция» и «отображение» в определенных
ситуациях употребляются им равнозначные термины преобразова-
ние, морфизм, соответствие.

Функции будут обозначаться различными буквами: f, g,..., F,
G, ..., <p, ф, ....

Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х, у)
некоторой функции / называется областью определения (или мно-
жеством определения) этой функции и обозначается через Xf,
а множество всех вторых элементов — множеством ее значений и
обозначается через Yf. Само множество упорядоченных пар / =
= {(*, У)}, рассматриваемое как подмножество произведения XxJK,
называется графиком функции f.

Элемент называется аргументом функции f или неза-
висимой переменной, а элемент у е Y — зависимой переменной.
Если f = {(х, у)} есть функция (отображение), то пишут /:
и говорят, что f отображает множество Xt в множество Y. В слу-
чае X = Xf пишется просто f:X-+Y.

Если f:	Y — функция, т. е. множество упорядоченных пар

/ = {(х, у)}, х^Х, y^Y, удовлетворяющих условиям определе-
ния 1, и (х, y)^f, то пишут y=.-f(x) (иногда просто у = /х) или
/ : х ।—> у и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х
элемент у (отображение f отображает элемент х в элемент у) или,
что то же самое, элемент у соответствует элементу х. В этом
случае говорят также, что элемент у является значением функ-
ции f в точке х, или образом элемента х при отображении f.

Наряду с символом / (х0) для обозначения значения функции f
в точке х0 употребляется также обозначение /(х)|х = Хо.

При заданном у s Y совокупность всех таких элементов хеХ,
что f (х) = у называется прообразом элемента у и обозначается
посредством f-1 (у). Таким образом,

f-1(y) = {x:x^X, f(x)=y}.

Очевидно, если y<=Y\Yf, то /-1(г/) = ф.

Иногда сама функция / обозначается символом /(х). Обозна-
чение функции f-.X-^Y и ее значения в точке хеХ одним и
тем же символом /(х) не приводит к недоразумению, так как
в каждом конкретном случае всегда ясно, о чем именно идет речь.

Обозначение /(х) обычно удобнее обозначения f : х>—> у при
вычислениях. Например, запись f(x) = x2 значительно удобнее и
проще использовать при аналитических преобразованиях, чем
запись f : х > х2.

Пусть задано отображение f: X Y, т. е. отображение мно-
жества X в множество Y. Иначе говоря, каждому элементу хе X
поставлен в соответствие и притом единственный элемент y^ Y,
и каждый элемент у *=Yf aY поставлен в соответствие хотя бы
одному элементу х еХ.

Если Y — X, то говорят, что отображение f отображает мно-
жество X в себя.

Если У = У/, т. е. множество Y совпадает с множеством зна-
чений функции /, то говорят, что / отображает множество X на
множество Y или, что отображение f является сюръективным
отображением, короче, сюръекцией. Таким образом, отображение
f : X-> Y есть сюръекция, если для любого элемента </е У су-
ществует по крайней мере один такой элемент хеХ, что f (х) = у.

Очевидно, если f-.X-^-Y и Yf — множество значений функ-
ции /, то f:X-+Yf является сюръективным отображением.

Если при отображении / : X Y разным хе X соответствуют
разные y^Y, т. е. при х'у=х" имеет место f (х') у= f (х"), то
отображение f называется взаимно однозначным отображанием
(взаимно однозначным соответствием) X в Y, а также однолистным
отображанием или инъекцией. Таким образом, отображение
f:X->-Y однолистно (инъективно) тогда и только тогда, когда
прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значе-
ний функции	состоит в точности из одного элемента.

Если отображение f: X -+ Y является одновременно взаимно
однозначным и на множество Y, т. е. является одновременно
инъекцией и сюръекцией, то оно естественно называется взаимно
однозначным отображением множества X на множество Y или,
что то же, биективным отображением (биекцией) в Y.

Таким образом, отображение f : X -+ Y является взаимно одно-
значным отображением множества X на множество Y тогда и
только тогда, когда для любых х' е X и х" е X, х'^=х", спра-
ведливо неравенство / (х') #=/(х"), и каково бы ни было у ^Y
существует такой элемент хеХ, что f(x) = y.

Взаимно однозначное отображение множества X на множе-
ство Y часто называют также взаимно однозначным соответствием
элементов этих множеств.

Если Д: X-> Y и АсХ, то множество

B = {y:ye=Y, y = f(x), хеА},
т. е. множество всех тех у, в каждый из которых при отобра-
жении f отображается хоть один элемент из подмножества А мно-
жества X, называется образом подмножества А и пишется В = /(А).
В частности, всегда имеем Yf = f(X).

Если f : X -+ Y и В с: то множество

А = {х: х е X, f (х) е В},
называется прообразом множества В и пишется A = f~1(B). Таким
образом, прообраз множества В состоит из всех тех элементов
х е X, которые при отображении / отображаются в элементы
из В, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов
точек у В:

f-4B)= J f-Цу).

у<=в

Если A cr X, то функция f : X Y естественным ооразом по-
рождает функцию, определенную на множестве А, ставящую
в соответствие каждому элементу хеА элемент /(х). Эта функ-
ция называется сужением функции f на множестве А и иногда
обозначается через /|д.

Таким образом, f\A:A-+-Y и для любого хеА имеет место
f|A:xi—>/(х). Если множество А не совпадает с множеством X,
то сужение f |д функции f на множестве А имеет другую область
определения, чем функция /, и, следовательно,1 является другой,
чем /, функцией. Нередко сужение функции на некотором множе-
стве обозначается тем же символом, что и исходная функция.

Если две функции fug рассматриваются на одном и том же
множестве X, точнее, если рассматриваются сужения функций f
и g на одном и том же множестве X, то запись f = g на X озна-
чает, что f(x) = g(x) для каждого хеХ. В этом случае говорят,
что функция f тождественно равна функции g на множестве X.

Отметим, что функции, у которых всем элементам некоторого
множества соответствует один и тот же элемент, т. е. функции,
у которых при изменении значения аргумента значение функции
не меняется, называются постоянными (на данном множестве),
или константами.

Итак, если при изменении одной переменной (аргумента функ-
ции) другая переменная, являющаяся функцией первой, не меняется
(т. е. «не зависит» от первой переменной), то это является част-
ным и в определенном смысле простейшим случаем функциональ-
ной зависимости.

Если f: X Y и каждый элемент у е Yf представляет из
себя множество каких-то элементов // = {?}, причем среди этих
множеств имеется по крайней мере одно непустое множество,
состоящее не из одногр элемента, то такая функция f называется
многозначной функцией. При этом элементы множества f (х) — {г}
часто также называют значениями функции / в точке х.

Если каждое множество / (х) состоит только из одного эле-
мента, то функцию f называют также однозначной функцией.

Если f-.X-^Y и g:Y-^Z, то функция F:X-^Z, определен-
ная для каждого х^Х равенством F(x) = g(f (х)), называется
композицией (иногда суперпозицией) функций fug, или сложной
функцией, и обозначается через g°f.

Таким образом, по определению каждого хе X
(g'f)(x)^g(f(x)).

Пусть задана функция f: X-+Y и Yf — множество ее значений.
Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида (у, f-1 (у)),
y^Yf, образует функцию, которая называется обратной функ-
цией для функции f и обозначается через f-1. Обратная функция
/-1 ставит в соответствие каждому элементу y^Yf его прообраз
f^fy), т. е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная
функция является, вообще говоря, многозначной функцией.

Если отображение f: X -> Y однолистно (инъективно), то
обратное отображение, определенное, как всегда, на Yf, является
однозначной функцией и отображает Yf на X, т. е. j-l:Yt-+X.
Действительно, в этом случае прообразы всех точек у е Ys состоят
в точности из одной точки хеХ.

1.3	*. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА И НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Важным, часто встречающимся классом множеств является
класс так называемых конечных множеств. Чтобы сформулировать
определение конечного множества, дадим сначала определение
.понятия натурального числа.
Определение 2. Множество N={n} называется множеством
натуральных чисел, если

а)	один из его элементов обозначен символом 1;

6)	каждому элементу n^N поставлен в соответствие в точ-
ности один элемент этого множества, обозначаемый через п* и
называемый элементом, следующим за элементом п‘,

в)	для любого n<=N имеет место п* =^1;

г)	из п*=т*, n^N, m^N, следует, что п = т;

д)	^аксиома индукции) пусть множество М — {т\ с 7V обладает
свойствами

Г) 1 е М;

2°) если т^М, то т*^М,
тогда множество М содержит все натуральные числа: М = N.

Приведенное аксиоматическое определение множества нату-
ральных чисел принадлежит Пеано*), поэтому свойства а) —д)
называются аксиомами Пеано.

Элементы множества N обозначаются через 1, 2, 3, 4. ...
(здесь после каждого натурального числа написано следующее
за ним).

Определение 3. Множество X называется множеством, состоя-
щим из п элементов, п^ N, если существует взаимно однозначное
отображение множества X на множество {1, 2, ..., п}.

Если для множества существует такое натуральное п, что число
его элементов равно п, то это множество называется конечным.

Всякое множество, не являющееся конечным, называется
бесконечным. Примером бесконечного множества является множе-
ство всех натуральных чисел.

Пустое множество считается по определению конечным, а число
его элементов равным нулю.

Если множество, содержащее т элементов, может быть Полу-
чено из множества, содержащего п элементов, вычитанием из него
некоторого конечного множества, то натуральное число т назы-
вается меньшим, чем натуральное число п, или, что то же, число п
называется большим, чем число т\ в этом случае пишут т <_ п,
или п > т.

Определение 4. Пусть X — какое-либо множество и N — множе-
ство натуральных чисел. Всякое отображение f: N -+Х (см. п. 1.2*).
называется последовательностью элементов множества X. Элемент
f(n) обозначается через хп и называется п-м членом последова-
тельности f:N^X, а сама эта последовательность обозначается
через {%„} или хп, и = 1, 2, ... .

Каждый элемент хп последовательности {хп} представляет собой
упорядоченную пару, состоящую из числа n^N и соответству-
ющего ему при отображении f: N-^-X элемента х множества X,

*) Д. Пеано (1858—1932) — итальянский математик.
т. е. хп — (п, х). Второй элемент этой пары называется значением
элемента последовательности {хп}, а первый —его номером.

Множество элементов последовательности всегда бесконечно.
Два различных элемента последовательности могут иметь одно и
то же значение, но заведомо отличаются номерами, которых
бесконечное множество.

Множество значений элементов последовательности (обычно
говорят короче: множество значений последовательности) может
быть конечным. Например, если всем ti<=N поставлен в соответ-
ствие один и тот же элемент аеХ, т. е. при всех п <=N имеет
место f (ri) = а, то множество значений последовательности хп = а,
п=1, 2, ..., состоит из одного элемента аеХ. Такие последо-
вательности называются стационарными.

Если Hi < «2, «1 е N, N, то член хп, последовательности
{хп} называется членом, предшествующим члену хП2, а член хП2
членом, следующим за членом хп,- В этом смысле члены последо-
вательности всегда упорядочены.

1.4. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

В математических рассуждениях часто встречаются выражения
«существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и
«любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство.
Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдется»
иногда пишется символ 3, т. е. перевернутая латинская буква Е
(от английского слова Existence —существование), а вместо слов
«любой», «каждый», «всякий» — символ у, т. е. перевернутое
латинское А (от английского слова Any —любой). Символ 3
называется символом существозания, а символ у — символом
всеобщности.

Примеры. 1. Определение объединения Аа множеств

7.Е 91

Ari, и 31, записывается с помощью логического символа суще-
ствования следующим образом:

U Аа = {х :ЗаеЯ, х<=Аа},
а 6=91

а определение пересечения Q Аа, записанное с помощью сим-
7.Е 91
вола всеобщности, имеет вид

Р| Аа = {х: VaeSt, хе Аа].
се 91

2.	Пусть /? —множество действительных чисел и пусть задана
функция /:/?->-./?, т. е. функция, определенная на множестве
действительных чисел и принимающая действительные значения.
Функция f называется четной функцией, если для любого хе/?
выполняется равенство/(—х) = /(х). Используя логическую сим-
волику, это условие можно записать короче:

Vx е R: f (— x)=f(x).

3.	Функция /:/?->/? называется периодической, если суще-
ствует такое число Т > 0, что каково бы ни было хе/? справед-
ливо равенство f (x+T) = f (х). Употребляя логические символы,
это можно записать следующим образом:

(BT>O)(Vxe/?):/(x + T)=f(x).

Обычно для удобства чтения утверждений, записанных с по-
мощью нескольких логических символов, все, что относится
к каждому из них в отдельности, заключается в круглые скобки,
как это и сделано в последней формуле. Двоеточие в подобных
формулах означает «имеет место».

4.	Функция	не является четной, если условие

f(—x)=f(x) не выполняется для всех хе/?. Однако подоб-
ные отрицательные формулировки не очень удобны для их
использования, так как трудно делать выводы из того, чего нет.
Гораздо удобнее иметь дело с позитивными, как их называют,
утверждениями, которые не содержат отрицаний. В нашем случае
утверждение, что равенство /(—х) = /(х) не выполняется для
всех хе/?, равносильно утверждению, что существует такое
хе/?, что f(—x)=i^f(x), или, в символической записи,

Вх е /?: f (— х) #= f (х).

5.	Функция [:	R не является периодической, если любое

число Т^>0 не является ее периодом, т. е. для любого
равенство f (х + Т) = f (х) не должно выполняться для всех хе/?,
или в позитивной форме: для любого Т>0 найдется хе/?, для
которого /(хД-Т') ¥=/(х). С помощью логических символов это
записывается следующим образом:

(VT > 0) (Эх е /?): f (х + Т) f (х).

Сравнивая запись при помощи логических символов утвер-
ждений в примерах 2 и 3 с их отрицанием в примерах 4 и 5,
видим, что при построении отрицаний символы существования и
всеобщности заменяют друг друга. Для того чтобы в некотором
множестве не существовал элемент, обладающий каким-то свой-
ством, надо, чтобы все элементы не обладали этим свойством,
т. е. в этом случае при отрицании символ существования В
переходит в символ всеобщности V. Если же каким-то свойством
обладают не все элементы рассматриваемого множества, то это
означает, что в нем существует элемент, не обладающий данным
свойством: символ всеобщности заменился символом существования.
Для того чтобы не затруднять читателя, не привыкшего
к логической символике, дальнейшее изложение материала ведется
в классической манере без использования логических символов,
которые лишь иногда употребляются параллельно с основным
текстом. С одной стороны, для того чтобы приучить читателя
к их применению (что весьма полезно при конспектировании
книг и лекций), а с другой, поскольку они позволяют более
кратко, а потому иногда и более выразительно, разъяснить нуж-
ную мысль, и тем самым помогают читателю понять содержание
излагаемого вопроса.

Символом Q в тексте книги отмечается конец проводимого
доказательства. Символ => означает «следует» (одно высказывание
следует из другого), а символ <=> означает равносильность
утверждений, стоящих по разные от него стороны. Значок def
означает, что сформулированное утверждение справедливо по
определению (от английского слова definition —определение).
Например,

def

Л с В» (Vx е А =>х еВ),

§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

2.1. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В элементарной математике изучаются действительные (веще-
ственные) ( числа. Сначала в процессе счета возникает так назы-
ваемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3 ..., п, ... В арифметике
вводятся действия сложения и умножения над натуральными
числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они
уже оказываются не всегда возможными во множестве натураль-
ных чисел. Чтобы все четыре арифметические операции были
возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на
ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится
расширить класс рассматриваемых чисел. К необходимости такого
расширения запаса чисел приводят также потребности измерения
тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому
вводятся число ноль и целые отрицательные числа (вида —1,
—2, ..., —п, ...), а затем и рациональные (вида p/q, где р, q—
целые, <7#=0).

Та же потребность измерения величин и проведение таких
операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение
алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению
фапаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и,
наконец, комплексные числа. Все рациональные и все иррацио-
нальные числа образуют множество всех действительных чисел.
Множество действительных чисел, как принято, будем обозна-
чать через R (от латинского слова real us— действительный). Это
множество образует совокупность, в которой определены взаимо-
связные операции сложения, умножения и сравнения чисел по
величине и которая обладает определенного рода непрерывностью.
Напомним кратко свойства действительных чисел, известные из
элементарной математики, и дополним их описанием некоторых
свойств, обычно не рассматриваемых там достаточно полно.

I. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары
действительных чисел а и b определено, и притом единственным
образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через аД-Ь,
так что при этом имеют место следующие свойства.

1Х. Для любой пары чисел а и b

а-\-Ь = ЬД-а.

Это свойство называется переместительным пли коммутатив-
ным законом сложения.

12.	Для любой тройки чисел а и Ь, с

я + (Ь + с)—(а + Ь) + с.

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным
законом сложения.

13.	Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем,
такое, что для любого числа а

а Ц-0 = а.

14.	Для любого числа а существует число, обозначаемое — а и
называемое противоположным данному, такое, что

а-\- (— а) = 0.

II. Операция умножения. Для любой упорядоченной
пары чисел а и b определено, и притом единственным образом,
число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так что
при этом имеют место следующие свойства.

Пр Для любой пары чисел а и b

ab = Ьа.

Это свойство называется переместительным или коммутативным
законом умножения.

П2. Для любой тройки чисел а, Ь, с

a (bc) = (ab) с.

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным зако-
ном умножения.
113.	Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей,
такое, что для любого числа а

а -1 = а.

114.	Для любого числа аД=О существует число, обозначаемое
1/а или ~а и называемое обратным данному, такое, что

III.	Связь операций сложения и умножения

Для любой тройки чисел а, Ь, с

(а + Ь)с^---асД Ьс.

Это свойство называется распределительным или дистрибу-
тивным законом умножения относительно сложения.

IV.	Упорядоченность. Для каждого числа а определено
одно из соотношений п>0 {а больше нуля), a = Q (а равно нулю)
или 0>а {ноль больше а), при этом, если а>0 и Ь>0, то

IVp a-)-b>Q',

IV2. ab>Q.

Если a — b>Q, то говорят, что число а больше числа b и
пишут a>b (подробнее об этом см. в п. 2. 3*).

Действительные числа обладают еще так называемым свой-
ством непрерывности. Чтобы сформулировать его, введем
понятие сечения.

Определение 1. Два множества А сд R и В сд R называются
сечением множества действительных, чисел R, если

1°) объедиАение множеств А и В составля£т все множество
действительных чисел R, A{jB = R;

2°) каждое из множеств А и В не пусто, А=А= ф, Д #= ф >

3°) каждое число множества А меньше любого числа множе-
ства В: если а^А, Ь^В, то a<Zb.

Свойство 1° означает, что каждое действительное число при-
надлежит по крайней мере одному из множеств А и В.

Из свойства 3° очевидно следует, что множества А и В
не пересекаются: ЛрВ = ф. Действительно, если бы нашелся
элемент х е A f|В, т. е. хе Л и'хе В, то из свойства 3° следо-
вало бы, что х<х.

Сечение множества действительных чисел, образованное мно-
жествами А и В, обозначается через А I В. Множество А назы-
вается нижним, а множество В — верхним классом данного сечения.

Простые примеры сечений можно получить следующим образом.
Зафиксируем какое-либо число осе/?. Отнесем сначала к множе-
ству А все числа х са, а к множеству В — все числа у > а:

A ^=f {.г : х а},	(2-1)

Так определенные	библ80$б£»зуют сечение, что уста-
навливается непосредственной проверкой выполнения условий 1°,
2° и 3° определения 1.

Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа
x<Z<z, а к множеству В все числа уУ-/.:

А^(х:х<а}, вЩу.у^а}.	(2.2)

Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях (2.1)
и (2.2) говорят, что сечение производится числом а и пишут
а = А |В.

Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым
числом.

1°. В случае (2.1) в классе А есть наибольшее число, им яв-
ляется число а, а в классе В нет наименьшего.

В случае (2.2) в классе А нет наибольшего, а в классе В есть
наименьшее число, им является число а.

Рассмотрим, например, первый случай (2.1). То, что а яв-
ляется наибольшим числом в классе А, ясно из первой формулы
(2.1), задающей множество А.

Покажем, что во множестве В нет наименьшего числа. Допу-
стим противное: пусть в В есть наименьшее число. Обозначим
его через 0. Поскольку 0 е В, то в силу второй формулы (2.1)
сс<0, следовательно, осос<аф-0, т. е. а < а , откуда снова
в силу второй формулы (2.1) получаем, что е В. Аналогично
из а<0 имеем а4-0<04~0, т. е. “	< 0 и так как 0 — наи-

меньшее число в классе В, то к+ - s А. Полученное противоре-
чие доказывает утверждение.

2°. Число, производящее сечение, единственно.

В самом деле, допустим, что существует сечение, которое
определяется двумя разными числами: а = A j В и 0 = А | В. Пусть,
например, сс<0. Тогда,, как мы видели при доказательстве пре-
..	сс -4- 8 о тл	_'г 3	_

дыдущего свойства,—^<0. Из неравенства се•< —- -  сле-
дует, что как в случае (2.1), так и в случае (2.2), имеет место

Аналогично из неравенства — ^<0 следует, что
Это противоречит тому, что множества А и В не пере-
секаются.

Свойство непрерывности действительных чисел состоит в том,
что никаких других сечений действительных чисел, кроме тех;
которые производятся некоторым числом, не существует.

V.	Свойство непрерывности действительных
чисел. Для каждого сечения А|В множества действительных
чисел существует число а, производящее это сечение, а = А | В.
Это число, согласно выше доказанному, является либо наи-
большим в нижнем классе, тогда в верхнем нет наименьшего,
либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем нет наи-
большего.

Таким образом, если А | В является сечением действительных
чисел, то согласно свойству их непрерывности не может случиться
так, что в классе А будет наибольшее число и одновременно
в классе В будет наименьшее (рис. 2, а). Не может также быть
и того, чтобы в классе А не было наибольшего и одновременно
в классе В не было наименьшего числа (рис. 2, б). Образно го-
воря, непрерывность действительных чисел означает, что в их
множестве нет ни скачков, ни
пробелов, короче, нет пустот.	А

Сформулированное свойство ---------1 I—-— —-—

непрерывности действительных $	б)

чисел называют также принци-	рис 2

пом Дедекинда*'1 непрерывности
действительных чисел.

Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым
простейшим вопросом использования математики на практике —
с измерением величин. При измерении какой-либо физической
величины мы всегда получаем с большей или меньшей точностью
ее приближенные значения. Если в результате эксперименталь-
ного измерения данной величины получается ряд значений, даю-
щих значение искомой величины с недостатком (т. е. принадле-
жащие нижнему классу соответствующего неизвестного сечения,
определяемого значением измеряемой величины) или с избытком
(т. е. принадлежащие верхнему классу), то свойство непрерывно-
сти действительных чисел выражает собой объективную уверен-
ность в том, что измеряемая величина имеет определенное зна-
чение; расположенное между ее приближенными значениями, вы-
численными с недостатком и избытком.

Упражнение 1. Доказать, что свойство V непрерывности действитель-
ных чисел равносильно следующему: каковы бы ни были непустые множества:
A a R и В R, у которых для любых элементов о е /1 и b <= А выпол-
няются неравенства	существует такое число g, что для всех ае Л и

Ь е В имеет место соотношение

Из перечисленных свойств I—V действительных чисел выте-
кают другие многочисленные их свойства, поэтому можно ска-
зать, что действительные числа представляют собой совокупность
элементов, обладающую свойствами I—V.

Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале пара-
графа на то, что действительные числа и их свойства известны
из курса элементарной математики, не является необходимой.
Сформулированные выше свойства действительных чисел можно

*’ Р. Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик.
взять за исходное определение. Следует только исключить три-
виальный случай: легко проверить, что для множества, состоя-
щего только из одного нуля, выполняются все свойства I—V
(в таком множестве 1=0, а сечений в нем просто нет). Множе-
ство, в котором имеется хоть один элемент, отличный от нуля,
называют нетривиальным.

Теперь, перефразируя итог наших рассмотрений, получим
следующее определение.

Определение 2. Нетривиальное множество элементов, обладаю-
щих свойствами I—V, называется множеством действительных
чисел. Каждый элемент этого множества называется действитель-
ным числом.

Напомним, что множество действительных чисел обозначается
буквой /?.

Построение теории действительных чисел, основывающееся на
таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства
I—V — аксиомами действительных чисел.

Геометрически множество действительных чисел изображается
направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа —
точками этой прямой. Поэтому совокуп-

Д *	* ность действительных чисел часто называ-

о 1	ют числовой прямой, или числовой осью,

а отдельные числа —ее точками (рис. 3).

3 Имея в виду такое изображение действитель-
ных чисел, иногда вместо а меньше b (соот-
ветственно а больше Ь) говорят, что точка а лежит левее точки b
(соответственно, что а лежит правее Ь).

Сечение А | В геометрически означает разбиение числовой пря-
мой на два луча, имеющих общее начало и идущих в противо-
положных направлениях, причем один из них содержит их общее
начало (замкнутый луч), а другой нет (открытый луч).

В следующих пунктах 2.2*, 2.3*, 2.4* будут более детально
проанализированы свойства I—V действительных чисел и выве-
дены некоторые их следствия. Как и все пункты, отмеченные
звездочками, перечисленные пункты, во всяком случае при пер-
вом чтении, можно опустить без существенного ущерба для усво-
ения курса математического анализа. Для понимания дальней-
шего материала (в п. 2.5 и следующих) вполне достаточно пред-
ставления о действительных числах., которое дается в курсе
элементарной математики.

2.2*. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим некоторые свойства сложения и умножения, кото-
рые вытекают из свойств I, II и III. Прежде всего заметим, что
для операции сложения существует обратная операция— вычита-
ние, определим ее.
Для любой упорядоченной пары чисел a<=R и b&R число
а + (— Ь) называется разностью чисел а и & и обозначается через
а — Ь, т. е.

def

а — & = « + (—Ь).

Если а-\-Ь=с, то, прибавляя к обеим частям этого равенства
число — Ь, получим (« + &)+(—Ь) = с-\-(—Ь). Отсюда согласно
ассоциативному закону 12 и определению разности имеем

а + (Ь + (—ЬУ) = с — Ь,

но & + (—&) = О, следовательно,

а = с — Ь.	(2.3)

Таким образом, после прибавления к числу а числа & число а
восстанавливается вычитанием из суммы а-\-Ь числа Ь, поэтому
операция вычитания и называется операцией, обратной опера-
ции сложения.

Перейдем теперь к свойствам сложения и умножения дейст-
вительных чисел.

Г. Число, обладающее свойством нуля, единственно.

Действительно, допустим, что существуют два нуля 0 и О',
тогда в силу 13: О' + О = О', 0-|-0'=0. Согласно коммутативному
закону 12 левые части этих равенств равны, следовательно,
равны и правые, т. е. 0 = 0'. Q

2°. Число, противоположное данному, единственно.

Пусть числа b и с противоположны некоторому числу а, т. е.
а+& = 0 и а + с = 0. Тогда из первого из этих равенств имеем
(а-{-Ь) Н~с = 0 + с, т. е. (а + Ь) + с = с, откуда (а-|-с) + b = с; но
о-рс = 0, следовательно, & = с. [7~|

3°. Для любого числа а справедливо равенство

— (— а) — а.

Из равенства а-(-(—а) = 0, определяющего противоположный
элемент, в силу коммутативности сложения, получим — а-[-а=- 0.
Это и означает, что а = — (—a). Q

4°. Для любого числа а справедливо равенство

а — а = 0.

В самом деле, а — а = а-\-(—а) = 0. Д

5°. Для любых чисел а и Ь имеем:

— а—Ъ = — (а-\-Ь),

т. е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме про-
щцсрположных им чисел.

Действительно, а + & + (—а — Ь) = (а — а) + (Ь — Ь) = 0. Q

6°. Уравнение а-\-х = Ь имеет в R решение и притом единст-
венное: х = Ь — а.
В самом деле, если решение существует, то в силу (2.3) х =
= Ь~а. Этим и доказана единственность решения уравнения
аД-х — Ь. Для существования решения достаточно проверить, что
число х=Ь — а является решением. Это действительно так:

а + (Ь - а) = а + [Ь + (— а)] = [а + (— а)] + b = Ь. □

Для операции умножения также существует обратная опера-
ция; она называется делением и определяется следующим образом.

Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь, ЬД=0, число
а  у называется частным от деления а на о и обозначается через
-с, или alb, или а : Ь, т. е.

о	’

Свойства, аналогичные свойствам 1°—6° для сложения, спра-
ведливы и для операции умножения:

7°. Число, обладающее свойствами единицы, единственно.

8°. Число, обратное данному числу, отличному от нуля, един-
ственно.

9°. Для любого числа аД=0 справедливо равенство

1

Т/а ~а-

10°. Для любого числа а=Дй справедливо равенство

а/а = 1.

11°. Для любых чисел аД=0 и ЬД=0 имеем равенство

1	1_____1_

a b	ab ’

т. е. число, обратное произведению двух чисел, отличных от нуля,
равно произведению обратных к. ним чисел.

12°. Уравнение ах = Ь, аД-Л), имеет в множестве действитель-
ных чисел и притом единственное решение.

Доказываются свойства 7°—12° аналогично свойствам Г—6°.
Все рассмотренные свойства 1°—12° касаются только операций
сложения и умножения. Эти операции позволяют определить
натуральные, целые и рациональные числа, операцию возведения
в целую степень и операцию извлечения корня. Проделаем это.

Число 1-)-1 обозначается через 2, число 2 + 1 через 3 и т. д.
Числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Их обоз-
начение и название совпадают с числами элементов в конечных
множествах (см. п. 1.3*). Это не случайно, поскольку для того,
‘.тобы получить натуральное число п в новом смысле, надо взять
конечное множество единиц, число элементов которого в п. 1.2*
было обозначено тем же символом п, и сложить их. При этом
отношение порядка, введенное в множестве натуральных чисел
(см. п. 1.3*), совпадает с порядком, имеющимся в этом множе-
стве согласно упорядоченности множества всех действительных
чисел (см. свойство IV в п. 2.1), причем натуральным числом п*,
следующим за п, является п-f-l, т. е. п*=п-\-1. Как уже отме-
чалось, множество натуральных чисел обозначается через N.

Заметим, что хотя, как это было доказано выше, единица
единственна, можно рассматривать несколько экземпляров еди-
ницы (как и вообще, несколько экземпляров любого элемента
некоторого множества), хотя бы для того, чтобы можно было
написать выражение 14-1.

Числа 0, ±1, ±2, ... называются целыми числами. Множество
целых чисел обычно обозначается через Z.

В дальнейшем будет показано (см. свойство 8° в п. 2.3*),
что из всех перечисленных в п. 2.1 свойств действительных чисел
следует, что 1>0.

Числа вида m/n, где тип — целые, а п =/= 0, называются ра-
циональными числами. Множество рациональных чисел обозна-
чается обычно через Q. Действительные числа, не являющиеся
рациональными, называются иррациональными.

Пусть заданы действительное число а и натуральное п. Число а,
умноженное п раз на себя, называется п-й степенью числа а и
обозначается через ап. Таким образом,

def

ап = аа... а .

п раз

Число b такое, что Ьп = а (если оно, конечно, существует)
называется корнем п-й степени из числа а и обозначается через
у а, или а1/п, т. е.

(п у—def

{у а) —а.

def

По определению полагается а®=1 и для любого n^N
def <
n-n = \/ап.

Отметим теперь несколько свойств, касающихся связи опе-
раций сложения и умножения.

13°. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство
a (b —с) = ab — ас.

В самом деле,

а(Ь — с) = а(Ь — с')-\-ас — ас = а(Ь — с 4- с) — ac=ab — ас. Q

14°. Для любого числа а выполняется равенство

а- 0 = 0.
Действительно, возьмем какое-либо число Ь, тогда b — b = О
(см. свойство 4°). Поэтому согласно свойству 13° будем иметь:

а-0 = a(b — b) = ab — ab = 0. Q

Из свойства 14°, между прочим, вытекает, что утверждение
1=^=0 при наличии других рассматриваемых свойств I—III экви-
валентно тому, что существует хотя бы одно число, отличное от
нуля. Очевидно, достаточно показать, что если существует число
а=^=0, то 1=/=0. Докажем это: пусть существует а=/=0, тогда из
равенства а-1=а следует, что 1=/=0, так как в противном слу-
чае согласно свойству 14° имело бы место равенство а — 0.

15°. Если ab = 0, то, по крайней мере, один из сомножителей а
и b равен нулю.

Пусть, например, а=/=0, тогда, умножив равенство а& = 0 на
1/а, получим — (ab) =•—-0, откуда = следовательно,
Ct	Ct	\ Ct J

& = о. □

16°. Для любых чисел а и b имеем'.

(— а) Ь = — ab,	(— а) (— b) — ab;

в частности, (—1)а = — а.

В самом деле,

(— а) Ь = (— a) b + ab — ab = (— а Д- a) b — ab = — ab. Q

Используя это равенство, имеем

(_. (- Ь) = - а (- Ь) = (-1) [а (- &)J= (-1) (- ab) =

= — (—ab)=ab. □

Из свойств I, II, III действительных чисел и перечисленных
выше их следствий можно получить правила арифметических
действий с дробями, т. е.. числами вида a/b, 6^0, ае/?, be.R.

17°. Равенство

а _ с
~b ~"d’

b^O, dy= 0, справедливо тогда и только тогда, когда ad = bc.

Следствие (основное свойство дроби). Каковы бы ни были дробь
а/b, &=#0, и число с=/=0, имеет место равенство

а __ас

b Ьс'

Действительно, умножив обе части равенства a/b^c/d на bd
и использовав определение деления, будем иметь следующую
цепочку эквивалентных равенств:

а = - ahbd ==-db a l.bd = с-Г db ad = cb. ГП
b d b d	b d	1—1
18°. Сложение дробей производится по правилу
а . с ad-\-bc , , п , , п
T+d=~M-’ b=^Q,

Докажем справедливость этого равенства. Использовав опре-
деление деления, дистрибутивность сложения относительно умно-
жения и основное свойство дроби, получим:

ad + be , . . , . 1	, 1 , , 1 ad . be a , c ,—.

—— = (ad + be) T-т ~ad + be	=	=.+ -г. П

bd '	' bd bd 1 bd ba 1 bd b ' d 1—1

19°. Умножение дробей производится no правилу

b^Q, d^O.
b d bd

Использовав определение деления и свойство 11°, получим

20°. Обратным элементом дроби а/b, а=/=0, 6=#0 является
дробь b/а, т. е. у • у = 1.

Это сразу следует из правила умножения дробей.

21°. Деление дробей производится по правилу

“ь--д=^> b^O,c^O,d^O.

Использовав определение деления, предыдущее свойство и пра-
вило умножения дробей, будем иметь

а с ___ а 1 ___ a	d __ad	,—.

b " d	b	cjd	b	c	be'	।—।

Выведем теперь из полученных свойств правила действий со
степенями.

22°. Если т и п — целые числа, причем в случае, когда т^О
или игСО имеет место а#=0, то

атап = ат+п, (ат)п = атп.

Если т — 0 или п — 0, то справедливость формул очевидна.

В случае, когда тип натуральные числа, то согласно опре-
делению степени

атап — а....а а....а = ат+п.

т раз п раз

Если т < 0, п > 0 и а =# 0, то, полагая k = — т и используя
основное свойство дроби (возможность одновременного деления
числителя и знаменателя дроби на одно и то же не равное нулю
число без нарушения равенства), при k^n будем иметь

п раз

aman = сгкап =	— an~k =

ак а ...а

k раз
а при kz>tv.

атап = aJ- = -1- = ап~к = а'п+п.
а« а* п

Если /п<0, п<0 и а=/=0, то, полагая k — — т, 1 = — п и
используя свойство 11°, получим:

атап = а~кагг = — Д- = —Ц- =	= am+n.

ak a1 ak+l

Подобным образом проверяется и вторая формула свойства
22°. □

Легко показать, что свойства 1ь I2, IIX, П2 и III распростра-
няются по индукции на любое конечное число членов. В каче-
стве примера покажем, что для любых чисел alt а2, ..., ап
(п^2) и b

(ai + а2 + • • •_+ ап) b = П1& + п2& -f-... + апЬ.	(2.4)

В самом деле, при п = 2 эта формула справедлива согласно
свойству III.

Пусть теперь (2.4) справедлива при n = k, покажем, что она
будет справедлива и при n = k-\-l. Применив свойство 12 для
k-{-1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство III
и использовав предположение индукции, получим

(ai 4*	+ • • • 4~ a*+i) = [(ai + • • •+ak) + ak+i] b =

= (°i 4" • • • 4* ak) b + ak+ib — Qib 4~ • • • 4- akb 4- ОнЛ

Из формулы (2.4) в случае a1 = a2 = ... = a„= 1 следует, что

nb = b 4-.. • 4- Ь,

п раз

т. е. что умножение числа на натуральное число п сводится
к сложению этого числа п раз.

Отметим, что свойства I—III п. 2.1 не описывают полностью
действительные числа в том смысле, что существуют и другие
множества, отличные от совокупности действительных чисел, удов-
летворяющие тем же свойствам I—III, если в них слово «число»
всюду заменить словом «элемент» рассматриваемого множества.
Именно в этом смысле всюду в дальнейшем понимается выраже-
ние «множество, удовлетворяющее каким-либо из свойств I—V».
Примером множеств, удовлетворяющих условиям I, II и III,
являются одни только рациональные числа или, известные из
элементарной математики, комплексные числа, а также совокуп-
ность рациональных функций, т. е. функций вида /(х) = тггт.
где Р (х) и Q(x) —многочлены.

Элементы всех перечисленных множеств можно складывать и
и умножать, причем эти операции будут подчиняться условиям I,
II и III. Множества, удовлетворяющие этим требованиям и со-
держащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются
полями.

Таким образом, и рациональные числа, и действительные
числа, и комплексные числа и рациональные функции образуют
поля.

Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле действи-
тельных чисел среди всех других полей. Одним из таких свойств
является свойство упорядоченности его элементов.

2.3*. СВОЙСТВО УПОРЯДОЧЕННОСТИ

Выведем некоторые следствия из свойств упорядоченности IV
и свойств сложения и умножения I, II и III. Прежде всего
определим понятие сравнения по величине для любых двух чисел
(напомним, что в свойстве IV говорилось только о сравнении
чисел с нулем).

Число а называется числом, большим числа Ь, и пишется а^>Ь,
или, что то же, число b называется меньшим числа а и пишется
b<Z.a, если а — Ь>0.

1°. Если а>Ь и Ь~>с, то а>с.

Это свойство называется транзитивностью отношения порядка.

Если а>Ь и Ь>с, то согласно определению это означает,
что >0 и & -с> 0. Складывая эти неравенства, согласно IVi
получаем: (а —&) + (& —с) >0, т. е. а — с>0. Это и означает,
что а>с. □

2°. Если а>Ь, то для любого числа с имеем-. a^c>b-\-c.

В самом деле, неравенство а > b означает, что а — Ь > 0. По-
скольку по свойству 5° из п. 2.2* a — b = a-}-c — с — b — fa-^-c) —
— (b + c), то (а+с) — (&4-с)>0, и, следовательно, а+с>& + с. □

3°. Для любых двух чисел а и b имеется в точности одно из
трех соотношений порядка а~>Ь, а = Ь или a<zb.

Действительно, пусть заданы два числа а и Ь. Для их раз-
ности а — Ь согласно свойству IV имеет место в точности одно
из соотношений а — Ь>0, а — Ь = 0 или 0>а — Ь.

Если а,—&>0, то по определению а>Ь. Если а — Ь = 0, то,
прибавив к обеим частям равенства число Ь, получим а = Ь.
Наконец, если 0>а — Ь, то прибавив последовательно к обеим
частям неравенства 0 > а — Ь числа — а и b (см. предыдущее
свойство), получим Ь — п>0. Это и означает, что или,
что то же, a<2b- \ |

. Соотношение а < b читается «а меньше Ь». Соотношение а = b
читается «а равно Ь». Соотношение а^>Ь читается «а больше Ь».

Наличие транзитивного отношения порядка «больше», «меньше»
между любыми двумя числами и называется обычно свойством
упорядоченности множества действительных чисел, или отноше-
нием порядка.

Запись а^Ь равнозначна записи б5=а и означает, что либо
а — Ь, либо a <Zb. Например, можно написать 2-с 2, 2s£5.
Конечно, можно написать более точно: 2 = 2, 2 <5, однако нера-
венства 2<: 2 и 2 -С 5 также верны, так как означают, что «два
не больше двух», соответственно, что «два не больше пяти».

Соотношения а<2Ь, а-=^Ь, а>Ь, а^Ь называются неравен-
ствами. Неравенства а<b и а^>Ь называются строгими нера-
венствами.

4°. Если a<zb, то —а> — Ь.

В частности, если а>0, то — п<0, а если a<Z0, то
— п>0.

Действительно, из а<b в силу определения имеем b — а>
> 0. Поэтому — а = — а + Ь + (— &) = (& — а) + (— Ь) > 0 + (— Ь) =
= -ь. □

5°. Если a<Zb и cszd, то a-]-c<ib-\-d, т. е. можно произ-
водить почленное сложение неравенств одного знака.

В самом деле, если a<cb и с sg d, то согласно свойству 2°
этого пункта а +с<Ь + с и c-j-b^d-^-b, поэтому в силу тран-
зитивности упорядоченности имеем: а + с<& + ^. Q

6°. Если a<zb и c~>d, то a — c<zb — d, т. е. неравенства
противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле.

Действительно, из c^d имеем согласно свойству 4° этого
пункта: —cs^ — d. Сложив неравенства a<Zb и — с^ — d, полу-
чим a — c<b — d. Q

7°. Если a<Zb и с<0, то ас>Ьс.

В самом деле, согласно свойству 4° этого пункта — с>0,
поэтому в силу свойства IV2: а(—c)<Zb(—с). Отсюда по свой-
ству 16° п. 2.2* получим —ac<Z — bc и, следовательно (см. свой-
ство 4° этого пункта), acz>bc. Q

Из доказанного сейчас свойства 7° (при п = 0) и из свой-
ства IV2 вытекает правило знаков при умножении действитель-
ных чисел: произведение двух сомножителей одного знака (либо
одновременно положительных, либо одновременно отрицательных)
положительно, а произведение двух сомножителей разных знаков
(один из них положителен, другой отрицателен) отрицательно.

8°. В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство 1 > 0.

В самом деле, мы уже видели (см. замечание после свойства
14° в п. 2.2*), что из условия существования элемента а=£0 (это
условие входит в определение поля, см. конец п. 2.2*) следует,
что 1	0. Покажем, что неравенство 1 < 0 невозможно. Допустим

противное, пусть 1 < 0. Возьмем какое-либо а > 0. Согласно
определению единицы имеем a-i—a. По правилу знаков произ-
ведение положительного числа а и отрицательной по предполо-
жению 1 является отрицательным числом, т. е. а <0 — противо-
речие.

Действительные числа снова не являются единственным объек-
том, который удовлетворяет аксиомам I — IV. Множества, для
которых справедливы эти аксиомы, называются упорядоченными
полями. Примером упорядоченного поля, отличного от поля дей-
ствительных чисел, является поле рациональных чисел. Однако
уже ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных функ-
ций не являются упорядоченным полем.

Во всяком упорядоченном поле можно ввести понятие абсо-
лютной величины его элементов. При ее определении и изучении
ее свойств для единообразия изложения будем все время гово-
рить о числах, а не об элементах произвольного упорядоченного
поля.

Для любого числа а число, обозначаемое | а | и определяемое
по формуле

{а, если а 2» 0,

— а, если а < 0,

называется абсолютной величиной числа а, или, что то же, его
модулем.

Отметим ряд свойств абсолютной величины.

1°. Для любого числа а выполняются неравенства

| а 10 ,
|а | = | — а

—asg|a|.

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Докажем неравенство (2.5). Если а 0, то | а | = a 2s 0; если же
а<0, то |а| = — а>0 (свойство 4° п. 2.3*). П

Докажем равенство (2.6). Если а 2=0, то \а\ = а и —asgO,
поэтому согласно определению абсолютной величины и свойству 3°
из п. 2.2* получим j — а | = — (—а) = а = |а). Если же а<0, то
| а | = — а и —а>0; это означает, что | — а| = — a. Q]

Докажем неравенство (2.7). Если a2s0, то а=\а\ и —а «С
sc0sga = |a|, т. е. (2.7) выполняется. Если же а<0, то а<.
<0<; —а=1а|, т. е. (2.7) тоже выполняется. [J

2°. Для любых чисел а и b

|« + 61 | а j +1 &

I|а| —|Ь 1|а —Ь|.

(2-8)

(2.9)
Докажем эти неравенства. Согласно (2.7) имеем:
asg|a|, — а^|а|,

Отсюда в силу свойства 5° из п. 2.3* и свойства 5° из п. 2.2*

а4- b sS | а 1 + | b |, —(а4- Ь) | а 14-1 b |.

Одно из чисел а-\-Ь или — (а4-Ь) неотрицательно и, следова-
тельно, совпадает с | а4-Ь|- Неравенство (2.8) доказано.

Неравенство же (2.9) является следствием (2.8). В самом деле

| а | — I & I = I (а~ 6)4~&| —	— 614-1ЬI — 161 = [« — Ь |;

аналогично, | & | — | а |	| — а\ = ]а — & [.

Согласно свойству 5°, п. 2.2*, |Ь| —|а| = — (| а | — | Ь [). Одно
из чисел —1&| и — (|а| —1&|) совпадает с ||о| — j&||. Нера-
венство (2.9) также доказано. Q

3°. Для любых чисел а и b выполняется равенство =
;= \а 11 Ь\.

Это сразу следует из определения абсолютной величины, свой-
ства 16°, п. 2.2* и правила знаков при умножении.

Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выделяет
поле действительных чисел среди всех прочих упорядоченных
полей.

2.4*. СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству V, называется
непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных чисел
уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем
имеются сечения, которые не определяются никаким рациональ-
ным числом. Например, можно показать, что если к верхнему
классу В отнести все положительные рациональные числа m/n,
удовлетворяющие неравенству (m/n)2 > 2, а к нижнему классу
все остальные рациональные числа, то получится сечение рацио-
нальных чисел А | В, которое не определяется никаким рацио-
нальным числом.

Оказывается, что множество действительных чисел является
в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным
полем, точнее единственным с точностью до изоморфизма.
Разъясним, что это означает.

Два упорядоченных поля Д' и Д’ называются изоморфными,
если существует такое взаимно однозначное соответствие их эле-
ментов f-.Д-^-Д' (см. п. 1.2*), что для любых двух элементов
х^Д и у ^Д, x<Zy, выполняются условия f (х) <.f(y), f (*4~У) =
^f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y).

Короче говоря, упорядоченные поля Д и Д' называются изо-
морфными, если существует взаимно однозначное отображение
одного из них на другое (биекция), сохраняющее упорядочен-
ность, сложение и умножение их элементов.

Можно показать, что все непрерывные упорядоченные поля
изоморфны между собой. Этим объясняется, что в математической
литературе встречаются различные построения множества действи-
тельных чисел, исходящие из разных конкретных объектов — все
они приводят к нетривиальным совокупностям элементов, удов-
летворяющим свойствам I—V, т. е. к непрерывным упорядочен-
ным полям и, следовательно, к изоморфным множествам. Таким
образом, приходим к следующему определению множества дей-
ствительных чисел.

Определение 2'. Множеством действительных чисел называется
непрерывное упорядоченное поле.

Поле рациональных чисел, как уже отмечалось выше, не обла-
дает свойством непрерывности, а поле действительных чисел—
обладает. Поэтому заведомо существуют действительные числа,
не являющиеся рациональными, т. е. существуют иррациональ-
ные числа. Таким образом, множество действительных чисел можно
рассматривать, как существенное расширение множества рацио-
нальных чисел — существенное в том смысле, что множество ра-
циональных чисел является собственным подмножеством множе-
ства действительных чисел. При этом расширении сохраняются
свойство упорядоченности и операции сложения и умножения.
Оказывается, что действительные числа, в отличие от рациональ-
ных, уже нельзя расширить до большего множества так, чтобы
сохранялись указанные свойства (упорядоченность и операции
сложения и умножения).

Это свойство называется свойством полноты действительных
чисел относительно их упорядоченности, сложения и умножения.

Доказательство единственности с точностью до изоморфизма
непрерывного упорядоченного поля и свойство его полноты по
отношению к упорядоченности, сложению и умножению его эле-
ментов можно найти в превосходных курсах анализа В. А. Ильина,
Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», ч. I, М., 1971
и В. А. Ильина, В. А. Садовничего, Б. X. Сендова «Математи-
ческий анализ», М., 1979.

Отметим, что в множестве действительных чисел для любого
числа и любого натурального числа п всегда существует
число Ь, являющееся корнем ц-й степени из а, т. е. сущест-
вует /"а. Мы не будем пока останавливаться на доказательстве
этого утверждения, хотя его можно было бы провести и здесь,
например, на основе понятия сечения, а докажем его позже
(см. пример в п. 6.3). Конечно, в некоторых случаях корень
может существовать и для а<0. Например, существует —8 =s
= —2, но уже корень У—4 не существует, в' том смысле, что
не существует действительного числа Ь = У—4, так как в про-
тивном случае было бы справедливо равенство Ь2 = —4, которое
противоречит правилу знаков при умножении.

Сформулируем свойства корпя. Пусть пит натуральные
числа и а О, b 0, тогда справедливы следующие формулы:

п

4°) т/“ =	, Ь^=0;

’ V Ь -ь ’

~ f п г '\т п ,-

5 ) (j/а) = ]Лат.

3°) ^аЬ^а^Ь-,

Все эти формулы доказываются одинаковым приемом. Дока-
жем, например, первую.

п __

Пусть b = Уугп. Согласно определению корня и свойству 22°
из п. 2.2* это означает, что Ьп — уа и что Ьтп — а. Отсюда
в силу того же определения корня следует, что Ь = 'П}/'а. Таким
образом, имеем:

У”7^Ь = тра. □

Если й<0 я все корни, входящие в формулу 1), существуют,
то она также справедлива, и приведенное ее доказательство со-
храняет силу. Вообще, если я<0и все корни, входящие в какую-
либо из формул 1) — 5) существуют, то они справедливы и в этом
случае.

Имея понятие целочисленной степени и корня, определим
понятие рациональной степени. Пусть а > 0 и г е Q, т. е. г = m/n,
me Z, л е Z, п 0.

Степень аг определяется равенством

Отметим основные свойства рациональной степени. Пусть а>0,
b > 0, ri е Q, г2 е Q, г <= Q; тогда

6°) агтгг = аг' +Гг;

7°) (аоу2 = ao'-2;

8°) (ab)r = arbr.

Докажем, например, формулу 6°). Если r1 = p/q, r2 = mln,
q^=0, п=£0, p, q, tn, iieZ, то, использовав определение рацио-
нальной степени, свойства корней 2°, 3° и свойство 22 из п. 2.2*,
получим:

аг'аг* = ap'-iamn = {/о?	"уТа™9 — 'у/' апР+т9 =

пр 4- тд	р_ т

— а пС1 — а11 п =аг‘ + г*. j |
Упражнение 2. Пусть В {х : х2 >2, х <= Q}, А = Q\B. Доказать,
что множества А и В образуют сечение в поле рациональных чисел Q и что
это сечение не определяется никаким рациональным числом.

2.5. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Часто бывает удобно дополнить множество действительных
чисел R элементами, обозначенными через +оо и -сои назы-
ваемыми соответственно плюс и минус бесконечностями, считая
при этом, что по определению

— ОО <+ со,

(+ ОО) + ОО) = 4- ОО, (—Оо) + (—оо) = — ОО,
(4~ оо) (4- оо) = (— оо) (--со) = 4- ОО,

(4- СО) (— оо) = (-оо) (4- оо) = — оо.

Но, например, операции (4-оо) 4-(—оо) или ±-|2 уже не опреде-
лены (см. также п. 4.9). Кроме того, для любого а е R по опре-
делению полагается выполненным неравенство

— оо < а<4~ оо

и справедливость операций

а-\- (4- оо) = 4- со -|~п = 4- оо, —со4-а = а4-(—оо) =— оо;

для а > О

а (4- оо) = (4- оо) а = 4- оо, а (—оо) = (—со) а —— оо;

для п<0

а (4- оо) = (4- оо) а = — со, а(—со) = (—оо)п = 4-оо.

Бесконечности -К00 и — оо называют иногда «.бесконечными
числами» в отличие от действительных чисел а е R, которые назы-
ваются также конечными числами.

В дальнейшем под числом всегда понимается конечное дей-
ствительное число, если не оговорено что-либо другое.

Множество действительных чисел R, дополненное элемен-
тами 4-оо и —со, называется расширенным множеством действи-
тельных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозна-
чается через R. Элементы -|-оо и — оо называются иногда беско-
нечно удаленными точками расширенной числовой прямой.

2.6.	ПРОМЕЖУТКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ОКРЕСТНОСТИ

Напомним определения некоторых основных подмножеств дей-
ствительных чисел, которые часто будут встречаться в дальнейшем.
Если as^b, а R, b е R, то множество {х: а ==£ х Ь] называется
отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через

2 Кудрявцев Л. Д. т. 1
[й, &], Т. е.

[а, &] = {xta^xs^b}, a^.R, b^R.

В случае a = b отрезок [а, 6] состоит из одной точки.

Если а<_Ь, то множество {х'.а<_х<.Ь} называется интерва-
лом и обозначается через (а, Ь), т. е.

(а, Ь) = {х : а <х< Ь}.

Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка [а, Ь].

Числовые множества

[а, Ь) = {х : а^х <&} и (а, &] = {х :
называются полуинтервалами.

Отрезки [а, &], интервалы (а, Ь) и полуинтервалы [а, Ь), (а, Ь]
называются промежутками, точки а и Ь — их концами', а —пра-
вым концом, а Ь — левым, а точки х такие, что а < х < b — их
внутренними точками.

Если а и b — конечны, т. е. а е R и b е R, то число Ь — а
называется длиной промежутка с концами а и Ь.

Если хоть одно из а и & является бесконечным, то промежу-
ток с концами а и b называется бесконечным.

Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной чис-
ловой прямой обладают следующим свойством: если точки а е /?
и р е R, а<Р, принадлежат некоторому промежутку с концами
а<^ R и b '= R, то и весь отрезок [а, Р] принадлежит этому
промежутку.

Для промежутка каждого типа это непосредственно следует
из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие е-окрест-
ности точки расширенной числовой прямой.

В случаете R, т. е. когда а является действительным чис-
лом, для любого е > О ^-окрестностью U (а, е) числа а называется
интервал (а — е, а4~е):

U (а, е)Й1(а —е, а 4-е).

Если а=4-оо, то U (4- 00, е) = (е, + оо].

Если же а =— оо, то U(—оо, е) = [—со, — е).

Всякая е-окрестность конечной или бесконечно удаленной
точки а е R называется ее окрестностью и иногда обозначается
просто через U(a)*\

При определении окрестностей бесконечно удаленных точек 4- оо
и — оо можно было бы брать не только положительные е, а и
всевозможные ее/?. Условие е>0 накладывается лишь с целью

»> Обозначение U происходит от немецкого слова Umgebung — окрестность.
единообразия всех определений: окрестность любого числа a^R
или одной из бесконечно удаленных точек +оо, — оо опреде-
ляется некоторым положительным числом е>0. Такое единообра-
зие бывает иногда удобно при формулировке результатов, для
которых не существенно, является
ли рассматриваемая точка конечной
или бесконечно удаленной.

Лемма. У любых двух различных
точек расширенной числовой прямой
существуют их непересекающиеся ок-
рестности.

Доказательство. Покажем,
что для любых a^R и b^R, а<Ь,
существуют такие е!>0 и е2>0, что
U (а, еД П U (Ь, е2)=0. В самом деле,
если а и b конечны, то можно взять
ei = е2 = Ь~а (рис. 4, а). Если а е /?,
Ь = -|-оо, то в качестве указанных
8i>0 и е2>0 подходят, например,
ех = 1 и е2 = |а|41 (рис. 4, б). Ес-
ли а =—оо, ba^R, то можно взять
ei — I&I+L ег = 1 (рис. 4, в). Нако-
нец, если а = — оо, b = -\- оо, то при
произвольном е > 0 окрестности
U (—оо, е) и Д (4 о°, е) не пересе-

каются (рис. 4, г).	_	_

Замечание 2. В случае a <Zb, a^R, b^R и U (а, ех) П
Qt/(6, е2) = ф для любых х U (а, ех) и у<^ЩЬ, е2), очевидно,
справедливо неравенство х < у.

Его справедливость устанавливается непосредственной про-
веркой во всех возможных здесь случаях, т. е. при а R, ЬеЯ,
при а е R, b = 4 оо, при а = — со, b R и при а =—оо, & = фоо.

2.7.	ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Введем ряд нужных для дальнейшего понятий и изучим
некоторые свойства числовых множеств.

Определение 3. Если для подмножества Е действительных чисел
существует такое число Ь, что оно не меньше каждого числа х^Е,
т. е. для любого х^Е выполняется неравенство х-cob, то мно-
жество Е называется ограниченным сверху, а число b — числом,
ограничивающим сверху множество Е.

Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством,
называется неограниченным сверху множеством.

С помощью логических символов определение ограниченного
сверху множества записывается следующим образом:
множество Е с R ограничено сверху <=> (3& е /?) (Vx с Е):
отсюда

множество Е с /? неограничено сверху (V6 е /?) (Эх е Е):
х~>Ь, т. е. множество Е неограничено сверху, если каково бы
ни было число b е R найдется такое число хе£, что х>&.

Заметим, что если число b ограничивает сверху множество Е,
т. е. для всех хеЕ выполняется неравенство xsgfo и &<&',
то для всех х с Е, очевидно, имеет место и неравенство xsCb',
следовательно, число Ь' также ограничивает сверху множество Е.

Если в множестве Е имеется число Ь, которое не меньше всех
других чисел из Е, т. е. & е£, и для всех х е Е выполняется
неравенство xsg&, то число b называется наибольшим или мак-
симальным числом множества Е’. Ь = тахЕ.

Очевидно, что если в множестве Е имеется наибольшее число,
то оно единственно, а само множество Е в этом случае ограни-
чено сверху этим числом.

Отметим еще, что если множество Е неограничено сверху, то
согласно определению это означает, что для любого числа b е R
существует по крайней мере один такой элемент х<сЕ, что х>&.
Обратим внимание на то, что на самом деле таких элементов
бесконечно много. Действительно, допустим, что их оказалось
лишь конечное число: х1( ..., хп, п е N. Иначе говоря, для всех
хеЕ и х#=Хй, &=1, 2, ..., п, справедливо неравенство хС£
Тогда ясно, что для &0 = тах{&, хь ..., хп} и всех хсЕ будет
выполняться неравенство х^Ь0, т. е. вопреки предположению
множество Е оказалось ограниченным.

Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется
множество, ограниченное снизу.

Определение 4. Если для подмножества Е действительных чисел
существует такое число а, что оно не больше каждого числа х е Е,
т. е. для любого х^Е выполняется неравенство а^х, то мно-
жество Е называется ограниченным снизу, а число а — числом,
ограничивающим снизу это множество.

Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством,
называется неограниченным снизу множеством.

С помощью логических символов определение ограниченного
снизу множества записывается следующим образом:

множество Ес/? ограничено снизу <=> (За s R) (Vx с Е):
х^=а; отсюда

множество Е с /? неограничено снизу <=> (Vа с /?) (Эх е Е):
х<а, т. е. множество Е неограничено снизу, если каково бы
ни было число ас/?, найдется такой элемент х е Е, что х < а.

Очевидно, что если число а ограничивает снизу множество Е,
то и любое число а'<а также ограничивает снизу это множе-
ство.

Если в множестве Е имеется число а, которое не больше всех
других чисел из Е, т. е. аеЕ и для всех х = Е выполняется
йеравенство а<х, то число а называется наименьшим или мини-
мальным числом множества Е'.а = тхпЕ.

Если в множестве Е имеется наименьшее число, то оно един-
ственно, а само множество Е в этом случае ограничено снизу
этим числом.

Определение 5. Множество, ограниченное и сверху и снизу,
называется просто ограниченным множеством.

Другими словами, множество Е cz R называется ограниченным,
если существуют такие числа а и Ь, что для любого х е Е
выполняется неравенство as^x^b.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неогра-
ниченным.

Упражнение 3. Доказать, что множество Е с. R ограничено тогда и
только-тогда, когда существует такое число а>=0, что для всех .te£ выпол-
няется неравенство | х j а.

Примеры ограниченных множеств дают отрезок [1, 2], интер-
вал (0, 1), множество значений функции sinx. Бесконечный
интервал (—5, Д оо), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ...
являются множествами, ограниченными снизу, но неограничен-
ными сверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех рацио-
нальных чисел суть множества, неограниченные как сверху, так
и снизу.

Формальное обобщение понятий ограниченного сверху, огра-
ниченного снизу и просто ограниченного множества на подмно-
жества расширенного множества R действительных чисел R
(см. п. 2.5) не приводит к содержательным понятиям, так как
все подмножества расширенного множества действительных чисел
ограничены сверху символом Дсхэ и снизу символом —оо,
а потому и просто ограничены в R. Однако понятие наибольшего
(наименьшего) элемента множества является содержательным и
в этом случае. Его определение формально совпадает с соответ-
ствующим определением для подмножеств не расширенного мно-
жества действительных чисел:

конечное или бесконечное число с е Е cz /? называется наиболь-
шим (наименьшим) в множестве Е cz R, если для всех х ееЕ
выполняется неравенство Х'-Ус (соответственно х>-с).

В дальнейшем мы воспользуемся этим понятием.

2.8.	ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

Среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное
множество, наименьшее (наибольшее) из них имеет специальное
Название.
Определение 6. Наименьшее среди всех, чисел, ограничивающих
сверху множество Е czR, называется его верхней гранью и обо-
значается через supE или sup {х}.

хеЕ

Определение 7. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих
снизу множество Е cz R, называется его нижней гранью и обозна-
чается**'1 через inf £ или inf {х}.

хеЕ

Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной
верхней (нижней) гранью этого множества.

Отметим, что в сделанных определениях не обсуждается
вопрос о том, существует или нет наименьшее (соответственно
наибольшее) число среди всех чисел, ограничивающих сверху
(снизу) данное множество — это будет сделано позже. Здесь же
лишь говорится, что если такое чисдо существует, то оно назы-
вается верхней (соответственно нижней) гранью рассматриваемого
множества. Из самого определения верхней (нижней) грани сле-
дует, что если у данного множества эта грань существует, то
она единственна, так как во всяком множестве максимальное
(минимальное) число может быть только одно.

Проанализируем определения 6 и 7. Пусть P = sup£. Это
означает, во-первых, что число р ограничивает сверху множе-
ство Е, т. е. для каждого х е Е справедливо неравенство х^ р;
во-вторых, что число р является наименьшим среди всех чисел,
ограничивающих сверху множество Е, т. е. каково бы ни было
число Р' < р, оно уже не ограничивает сверху множество Е, а это
означает, что в множестве Е найдется такое число х, что х>Р'.

Таким образом, в «арифметической форме» определение 6
можно записать в следующем виде.

Определение 6'. Число р называется верхней гранью множе-
ства Е, если

1°) Vxe£:x<p,

2°) (Vp'<p)(3xe£) :х > р'.

Условие 2°) можно перефразировать следующим образом:

21)	(Ve>0)(3xe£) :х>р-е.

Для того чтобы убедиться в равносильности условий 2° и 21,
достаточно взять Р' и е, связанные равенством р =Р —е, из
которого следует, что условие е>0 эквивалентно условию р'<р.

Аналогичным образом, если a = inf£, то согласно определе-
нию 7, во-первых, число а ограничивает снизу множество £,
а во-вторых, любое число а' > а уже не ограничивает снизу это
множество, ибо число а является наибольшим среди всех таких

*’ От латинского слова supremum — наибольший.

**' От латинского слова infimum — наименьший.
чисел. Это означает, что для любого а'>а найдется такой хе£,
что х<а'. Следовательно, определение 7 можно перефразировать
следующим образом.

Определение 7'. Число а называется нижней гранью множе-
ства Е, если

1°) Vx е Е : xS&a,

2°) (Va' > а) (Зх s Е): х < а'.

Условие 2°) эквивалентно условию

21) (Ve>0)(3xe£) :х<« + е.

Для того чтобы убедиться в эквивалентности условий 2°)
и 21), достаточно взять аЛ=а-(-е.

Сделаем несколько очевидных замечаний. Если непустое мно-
жество Е с R имеет верхнюю грань р е R (имеет нижнюю
грань ае#), то оно ограничено сверху (соответственно снизу).
Это следует из условия 1° определения 6' (определения 7').

Если p = supE (a = infE) и число b (число а) ограничивает
сверху (снизу) множество Е, то	(соответственно aCa).

Это следует из того, что верхняя (нижняя) грань множества
является наименьшим (наибольшим) числом среди всех чисел,
ограничивающих сверху (снизу) данное множество.

Если в множестве существует наибольшее (наименьшее) число,
то оно является верхней (нижней) гранью этого множества.
В частности, такая ситуация имеет место для конечных множеств:
любое конечное множество чисел имеет наибольшее и наименьшее
число, а потому нижнюю и верхнюю грани. В принципе их можно
найти простым перебором- всех чисел из данного множества, так
как оно конечно. Однако, вообще говоря, только в принципе,
а не на практике: если в данном конечном множестве, заданном
какими-то свойствами его элементов, будет «достаточно много»
элементов, то перебрать их все будет не под силу даже сверх-
мощной современной вычислительной машине,

Приведем примеры, иллюстрирующие понятие верхней и ниж-
ней граней множества.

Множество .всех положительных действительных чисел, обо-
значим его через /?+, ограничено снизу числом ноль, ибо для
любого х е имеет место х > 0; более того, inf /?+ = 0. Множе-
ство /?+ неограничено сверху, так как нет числа, которое бы
ограничивало сверху все положительные числа.

Если Е — [а, 6] —отрезок, то infE = a, supE = &. Если Е =
~(а, Ь) — интервал, то также inf£=a, supE = 6. Если, наконец,
множество Е состоит из двух точек а и Ь, а^Ь, т. е. Е ={a} U {Ь},
то снова infE = a, supE = &. Эти примеры показывают, в частно-
сти, что верхняя (нижняя) грань множества может как принад-
лежать самому множеству, так и не принадлежать ему.
Перейдем теперь к выяснению вопроса: всегда ли у числового
множества существует его верхняя (нижняя) грань? Если множе-
ство неограничено сверху (снизу), то не существует чисел, кото-
рые бы ограничивали его сверху (снизу). .Следовательно, не
существует среди них и наименьшего (наибольшего). Таким образом.,
если множество неограничено сверху (снизу), то у него нет
верхней (нижней) грани. В этом случае ответ на поставленный
вопрос получился совсем просто. Если же множество ограничено
сверху (снизу), то ответ дается следующей теоремой.

Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое числовое мно-
жество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое
числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть Е — ограниченное сверху непустое
числовое множество, Е cl R. Обозначим через В множество всех
чисел, ограничивающих сверху множество Е, а через Л —все
остальные действительные числа. Покажем, что множества А и В
образуют сечение в множестве действительных чисел и что число,
производящее это сечение, является верхней гранью множества Е.

Прежде всего убедимся, что А и В образуют сечение. Дей-
ствительно, поскольку в множество А отнесены все числа, не
попавшие в множество В, то их объединение Л J В составляет
все множество действительных чисел R

A{JB = R.	(2.10)

Множество Е — ограничено сверху. Это означает, что суще-
ствует число, обозначим его через Ь, ограничивающее сверху
множество В. Тогда, согласно определению множества В, имеем
6 ей и, следовательно, множество В не пусто:

В^ф.	(2.11)

Докажем, что и множество Л не пусто. По условию множе-
ство Е не пусто. Это означает, что существует по крайней мере
одно число хеЕ. Тогда число х— 1 заведомо не ограничивает
сверху множество Л, ибо х— 1<х, х е Е, т. е. в множестве Е
нашелся элемент х, больший чем х— 1. Таким образом, х—1фВ,
ибо множество В состоит только из чисел, ограничивающих сверху
множество В. Поэтому х—1 е Л, ибо к множеству Л отнесены
все числа, не вошедшие в множество В. Итак, множество Л
также не пусто:

А^ф.	(2.12)

Покажем теперь, что каждое число ае Л меньше любого
числа b е В:

а<Ь.	(2.13)

Допустим противное: пусть найдутся такие числа а е Л' и
b В, что а^Ь. Тогда, поскольку число b ограничивает сверху
множество Е, в силу неравенства О- b оказалось бы, что и число а
ограничивает сверху множество Е и, следовательно, принадлежит
множеству В, а<=В. Таким образом, число а принадлежит одно-
временно как множеству А, так и множеству В. Это невозможно,
ибо к множеству А были отнесены только те числа, которые
не содержатся в множестве В. Полученное противоречие показы-
вает, что неравенство сту^Ь при условии ас=А, Ь^В, невоз-
можно и, тем самым, выполняется неравенство (2.13).

Выполнение условий (2.10)—(2.13) означает, что множества А
и В действительно образуют сечение (см. определение 1 в п. 2.1).
Пусть р —число, производящее это сечение, р = Л)В. Такое
число существует в силу непрерывности действительных чисел
(см. свойство V в п. 2.1).

Покажем, что число Р ограничивает сверху множество Е.
Если бы это было не так, то нашлось бы такое число х е Е, что
х>р. Выберем какое-либо у так, чтобы р<у<х (рис. 5).
Поскольку у > Р и Р = А | В, то у е В и,
следовательно, число у ограничивает сверху	| у t

множество Е, ибо класс В состоит только	уз х

из таких чисел. Но это заведомо невоз-
можно, так как //<хихе£, т. е. у мень-	и '

ше некоторого числа из Е и потому не огра-
ничивает сверху это множество. Полученное противоречие озна-
чает, что число Р ограничивает сверху множество Е и потому
РеВ. Поскольку р производит сечение А\В, то оно может
являться либо наибольшим в классе А, если оно принадлежит
этому классу, либо наименьшим в классе В, если оно ему при-
надлежит. В нашем случае, как было показано, имеет место
второй случай: fieB; следовательно, P=minB. Таким образом,
число р является наименьшим среди всех чисел множества В,
т. е. всех чисел, ограничивающих сверху множество Е. Это и
означает, что число р является верхней гранью множества Е,
Р = sup Е.

Если теперь Е —непустое ограниченное снизу числовое мно-
жество, то отнесем к классу А все числа, ограничивающие снизу
множество Е, а к классу В все остальные. Далее, рассуждая
аналогично рассмотренному случаю верхней грани, можно пока-
зать, что множества А и В образуют сечение в множестве дей-
ствительных чисел, а число а, производящее это сечение, является
нижней гранью множества Е, a = infE.

Впрочем, утверждение о существовании нижней грани у огра-
ниченного снизу непустого множества можно получить и из уже
доказанного утверждения о существовании верхней грани у не-
пустого ограниченного сверху множества. Для этого достаточно
заметить, что если Е —ограниченное снизу множество, то множе-
ство Е* всех чисел — х, где хеЕ, т. е. множество на числовой
прямой, симметричное с множеством Е относительно нуля, яв-
E*	E

i-ll IW-l-ti-1----H-HWHt—I

-a	о	a

Puc. 6

ляется уже ограниченным сверху множеством (рис. 6). Действи-
тельно, если число а ограничивает снизу множество Е, то число—а
ограничивает сверху множество Е*. Отсюда легко следует, что
inf Е = — sup Е*. □

Теорема о существовании верхних и нижних граней принад-
лежит к так называемым чистым теоремам существования: в ней
доказывается, что при определенных условиях у множества
существует верхняя, соответственно нижняя грань. Однако из
рассуждений, проведенных при доказательстве этой теоремы,
не следует способа нахождения этих граней в конкретном случае.

Это следует из того, что построение
множества В, с помощью которого про-
водилось доказательство теорему и ко-
торое .состояло из всех чисел, ограни-
чивающих сверху рассматриваемое мно-
жество, равносильно отысканию верх-

ней грани р этого множества. В действительности задача нахож-
дения верхней (нижней) грани множества, заданного какими-
либо своими свойствами, может оказаться очень трудной задачей.

Если множество неограничено сверху (снизу), то, как уже
отмечалось, никакое число не может являться его верхней
(нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его огра-
ничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее
определение.

Верхней гранью неограниченного сверху множества называется
+ оо, а нижней гранью неограниченного снизу множества назы-
вается — оо.

Это определение естественно, так как при соглашениях, при-
нятых относительно употребления символов 4-сю и —сю в п. 2.5,
так определенные бесконечные грани множеств также удовлетво-
ряют условиям 1° и 2° определений 6' и 7'.

Удобство же этого определения состоит в том, что теперь
каждое непустое числовое множество имеет верхнюю грань, при-
надлежащую расширенному множеству действительных чисел.
При этом, если заданное множество ограничено сверху, то его
верхняя грань конечна, если же оно неограничено сверху,
то бесконечна и равна + со. Аналогичное утверждение спра-
ведливо и для нижней грани.

Упражнения. 4. Пусть заданы числовые множества Xf, (=1,2,...
...» п, и пусть
def

X = {х-.	Xi eXt, i=l, 2, ..., n}.

п

Доказать, что supX = У] supX,-.
i= 1

5. Пусть заданы два числовых множества X и У и пусть
def

Z = {г : г=х—у, хе X, у е Y}.

Доказать, что sup Z = sup X — inf Y,
Покажем теперь, что из теоремы о существовании верхних и
Нижних граней вытекают два важных свойства действительных
чисел, одно из которых обычно называют свойством Архимеда *>
(конечно, правильнее было бы сказать: свойство чисел, указанное
Архимедом, но это очень длинно), а второе принципом вложен-
ных отрезков.

2.9.	СВОЙСТВО АРХИМЕДА

Свойство Архимеда действительных чисел состоит в следующем.

Теорема 2. Каково бы ни было действительное число а, суще-
ствует такое натуральное число п, что п>а, т. е.

(Va е /?) (3« f= N): п > а.

Доказательство. Допустим, что свойство Архимеда не
выполняется. Это означает, что существует такое число а, что
для всех натуральных п выполняется неравенство n«ca, т. е.
(3ae/?) (Vn е N): п^а. Это значит, что число а ограничивает
сверху множество натуральных чисел. Поэтому множество нату-
ральных чисел, как всякое непустое ограниченное сверху число-
вое множество, согласно теореме 1, п. 2.8 имеет конечную верх-
нюю грань. Обозначим ее через р, р = supAl

Поскольку 0 — 1 < 0, то согласно свойству 2° верхней грани
в определении 6', п. 2.8 существует такое натуральное число п,
что «>0 — 1. Но тогда п-\-1 >0, причем согласно определению
натуральных чисел «4-1 е N. Неравенство п 4-1 > Р противоречит
тому, что p = supAZ, так как верхняя грань множества ограни-
чивает его сверху (см. свойство 1° верхней грани в определе-
нии 6' п. 2.8). Полученное противоречие показывает, что указан-
ного числа а не существует, т. е. свойство Архимеда справед-
ливо. [J

Следствие. Каковы бы ни были числа а и b, 0<Z.a<Z.b, суще-
ствует такое натуральное число п, что пау>Ь.

Действительно, согласно свойству Архимеда для числа Ь/а
существует такое натуральное п, что п > b/а. Это число п иско-
мое, так как, умножая неравенство n>bia на положительное
число а, получаем па>Ь.

Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если
взять два отрезка соответственно длин а и b, Q<a<ib, то
последовательно откладывая на большем отрезке от одного из
его концов меньший атрезок, мы через конечное число шагов
выйдем за пределы боАшего отрезка.

Пр и мер. Пусть множество Е состоит из чисел вида
n= 1, 2, .... Найдем sup Е ninfE.

*’ Архимед (287—212 до н. э.) - древнегреческий математик и механик.
Поскольку множество Е имеет наибольшее число 1, то оно
и является его верхней гранью: sup {--1=1. Для отыскания
нижней грани множества Ё заметим, что для любого /г=1, 2, ...

1

справедливо неравенство - > 0, т. е. число ноль ограничивает
снизу множество Е. Покажем, что оно наибольшее среди всех
таких чисел. Пусть е>0, тогда согласно свойству Архимеда
1

существует такое натуральное п, что «>--> или* что то же
самое, 1- < е. Это неравенство показывает, что любое число е > О
уже не ограничивает снизу множество Е, ибо ~ е Е при
любом п=1, 2...... Итак, ноль — наибольшее из всех' чисел,

ограничивающих снизу множество Е, т. е. inf {—1 = 0.

nEN Iп )

2.10.	ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ

Прежде всего поясним, какая система отрезков называется
вложенной.

Определение 8. Система числозых отрезков

[й1, 61], [а2, Ь2], .... [ап, &„], ...,	п=1, 2, ....

называется системой вложенных отрезков, если

aL-^a2^...^an^...^bn^...^bi-^bL,	(2.14)

т. е. если каждый следующий отрезок [ал+ь 6л+1] содержится
в предыдущем [ап, Ьп] (рис. 7).

Теорема 3. Для всякой системы вложенных отрезков сущест-
вует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам
данной системы.

Это свойство действительных чисел называют также непре-
рывностью множества действительных чисел в смысле Кантора*'1.

Доказательство. Пусть й = {[а„, 6Л]} —система вложен-
ных отрезков. В силу неравенств (2.14) множество {ал} всех
левых концов отрезков системы Й ограничено сверху, например,
числом Ьг. Поэтому согласно теореме о существовании верхней
грани (см. теорему 1 в п. 2.8) у множества {ап} существует
конечная верхняя грань (рис. 7)

a — sup \ал\.

(2.15)

Поскольку правый конец Ьп любого отрезка системы й в силу
неравенств (2.14) ограничивает сверху множество {ал}, а а явля-

*> Г. Кантор (1845— 1918) — немецкий математик.
ется верхней гранью этого множества, т. е. наименьшим из всех
чисел, ограничивающих {ап} сверху, то для всех п=1, 2, ...
выполняется неравенство

«<£„.	(2.16)

Это означает, что множество {Ьп} всех правых концов отрезков
системы Q ограничено снизу, и потому у него существует конеч-
ная нижняя грань

₽ = inf{6„}.	(2.17)

Поскольку число а согласно (2.16) ограничивает снизу мно-
жество {Ьп}, а нижняя грань р этого множества является
наибольшим среди всех таких
чисел, то р^а. Итак, имеем, '	\	'

что для всех п=1, 2, ...	>------‘>

справедливы неравенства	—н----1---н-м ।  ы  ....—।----1—

(2.18) Й2 аз	ь3 ъ2 ь,

Отсюда следует, что каждая	Рис. 7

точка отрезка [а, Р] содер-
жится во всех отрезках системы Q: если	то для всех

п= 1, 2, ... имеет место неравенство ап^х^Ьп, т. е. х ез
€=К, ЬЛ □

Замечание. При доказательстве теоремы 3 было показано,
что каждая точка отрезка [a, PJ принадлежит всем отрезкам
системы Q и, следовательно, их пересечению, т. е.

СО

[а, р]с Q [ал, Ь„].	(2.19)

п= 1

Легко убедиться и в обратном включении. Если

X е Q [ап, Ьп], то для всех п=1, 2, ... имеем a„-cx-<V
п — 1

Поскольку число х ограничивает сверху множество !аг}, а а =
ь= sup {ал} является наименьшим среди всех таких чисел, то и<х.
Аналогично показывается, что	Таким образом точка х

принадлежит отрезку [а, р], т. е.

СО

Р| [а„, bn]cz[a, р].

п~ I

Из (2.19) и (2.20) следует, что

со

Q [йл, b«]=Lai ?]•

п = 1

(2.20)

(2.21)
Определение 9. Пусть задана система отрезков [ап, bn], ап s
ей, bn е R, п=1, 2....... Будем	говорить, что длина Ьп — ап

отрезков этой системы стремится к нулю, если для каждого
числа е>0 существует такой номер пе, что для всех номеров
пД^пг выполняется неравенство Ьп — ап<е.

В курсе элементарной математики вводится понятие предела
последовательности. Сформулированное определение в терминах
предела означает, что lim (Ьп — йл) = 0. В нашем курсе пределу
п —* со
последовательности будет посвящен следующий параграф.

Отметим, что термин «номер» является синонимом термина
«натуральное число». Индекс е у числа пг показывает, что это
число зависит от задаваемого числа е<0.

Теорема 4. Для всякой системы [a„, bn], п = 1, 2, ..., вложен-
ных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует един-
ственная точка g, принадлежащая всем отрезкам данной системы
(см. рис. 7), причем

£ = sup {а«}= inf {&„}.	(2.22)

n^N	n^N

Доказательство. Пусть е>0 — произвольное, но фикси-
рованное число. Из условия, что длины отрезков \ап, ЬП] стре-
мятся к нулю следует, что существует такой номер пЕ, что для
всех п^пг выполняются неравенства —ал<е.

Поскольку из неравенства (2.18) следует, что р — as^bn — ап,
то — а<е при любом е>0. Это возможно только в слу-
чае, когда а = р (если бы Р>а, то, например, при е = |3 —а>0
указанное неравенство превратилось бы в неверное утверждение
Р~а<|3 —а). Таким образом, отрезок [а, |3] в этом случае
превращается в точку, которую обозначим через g = a = p.

В силу формулы (2.21) это и означает, что существует лишь
единственная точка	принадлежащая всем отрезкам [ап, Ьп],

п=1, 2.....Формула (2.22) следует из (2.15) и (2.17). Q

Очень часто в различных доказательствах применяется сле-
дующая конструкция построения системы вложенных отрезков
с длинами, стремящимися к нулю. Берется отрезок [а, Ь] и точ-
кой (й-ф6)/2 делится на два равных отрезка [а, (а-|-5)/2] и
[(а + 6)/2; Ь] длиеы (Ь — а)/2. Далее выбирается один из этих
отрезков (какой именно это зависит от условий конкретной
задачи), обозначается через [an 5J и снова свсей средней точкой
делится на два равных отрезка, один из которых обозначается
[а2, Ь2] и т. д. В результате получается система вложенных отрез-
ков [ап, &„], п=1, 2, ..., с длинами 6Л —Покажем,
что эти длины стремятся к нулю.

Действительно, для всякого е>0, согласно свойству Архи-
..	_ Ь — а

меда, найдется такое натуральное пг, что пЕ>---, но тогда и

8
для всех п^пг будет выполняться неравенство	и, сле-
довательно, неравенство	Замечая, что

2« = (1 + 1)« = 1+и + ^2-^4-...>и,

получаем	для п = 1, 2, .... Поэтому для всех

Ь—а	b — а

справедливо неравенство —- < е. Это и означает стрем-
ление к нулю длин отрезков [а„, Ь„] при возрастании п.

Заметим, что принцип вложенных отрезков является свойст-
вом, присущим именно множеству действительных чисел. Так,
поле одних только рациональных чисел уже не обладает анало-
гичным свойством.

Например, если взять последовательности «рациональных
отрезков» [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415]* *), т. е.
последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на
отрезках, концы ап и bn, п = 1, 2,... которых суть значения ]Л2,
вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с точ-
ностью 1/10™, п = 0, 1, 2, ...**), то, очевидно, не существует
Никакого рационального числа, принадлежащего всем этим отрез-
кам. В самом деле, таким числом могло быть только число ]Л 2
(почему?), которое, однако, не является рациональным***).

Можно доказать и более точное утверждение. Назовем поле
архимедовым, если для него выполняется свойство Архимеда, т. е.
выполняется утверждение теоремы 2 из п. 2.9. Свойство упоря-
доченного поля, состоящее в том, что каждое сечение этого поля
определяется некоторым его элементом, назовем непрерывностью
поля по Дедекинду (см. свойство V в п. 2.1), а свойство упоря-
доченного поля, выражающееся в том, что каждая система его
вложенных отрезков имеет непустое пересечение — непрерыв-
ностью поля по Кантору.

Для архимедовых упорядоченных полей можно показать, что
их непрерывность по Дедекинду, непрерывность по Кантору и
существование конечной верхней грани у каждого непустого
ограниченного сверху множества эквивалентны между собой,
т. е. из любого из этих свойств, принятого за аксиому, выте-
кают остальные два.

Нами было показано, что из непрерывности по Дедекинду
следует существование конечной верхней грани у ограниченного

*> В случае, когда концы отрезка [а, Ь] записаны в виде десятичной
дроби, запятая между а и b заменяется точкой с запятой.

**' Это означает, что	и b— а„=1/10", и = 0, 1, 2....

*	/4	ILTLTL	999

***> Доказательство иррациональности числа ]^2, обычно проводимое

в элементарной математике, воспроизведено ниже в п. 6.3.
сверху множества, откуда в свою очередь следует непрерывность
по Кантору. Для того чтобы завершить доказательство указан-
ной эквивалентности трех понятий непрерывности архимедовых
полей, достаточно показать, что из непрерывности по Кантору
следует непрерывность по Дедекинду. Доказательство этого утверж-
дения можно найти, например, в книге Л. Д. Кудрявцева «Мате-
матический анализ», том I, М., 1973.

Выше отмечалось (см. п. 2.4*), что все непрерывные по-Деде-
кинду упорядоченные поля изоморфны между собой. Теперь мы
видим, что всякое архимедово упорядоченное поле, обладающее
одним из трех указанных свойств непрерывности, также изоморфно
множеству действительных чисел (при этом при наличии -непре-
рывности по Дедекинду можно требование архимедовости поля
отбросить: как было показано в п. 2.9, оно в этом случае всегда
имеет место).

В заключение обратим еще внимание на то, что утверждение,
аналогичное теореме 3, оказывается уже неверным для числовых
промежутков других типов, чем отрезки. Например, система
вложенных интервалов (0, 1/п), п—1, 2, .... каждый последую-
щий интервал содержится в предыдущем, т. е.

"=1-2.......

имеет, как легко видеть, пустое пересечение.

Задача 1. Доказать с помощью сечений, что для любого числа а>0 и
, п/~
любого натурального п существует корень у а<

§ 3.	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Прежде всего определим понятие числовой последовательности.

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу п постав-
лено в. соответствие некоторое действительное число ап (при этом
разным натуральным числам п могут оказаться поставленными
в соответствие и одинаковые числа). Совокупность элементов ап*\
п = 1, 2, ..., называется числовой последовательностью, или просто
последовательностью', каждый элемент ап называется элементом
(или членом) этой последовательности, а число п — его номером.

Числовую последовательность с элементами ап будем обозна-
чать либо ап, п=1, 2, .... либо {ал}.

*’ Здесь под элементом понимается пара, состоящая из натурального
числа и соответствующего ему при рассматриваемом соответствии действитель-
ного числа (называемого в дальнейшем значением данного элемента последо-
вательности).
По самому определению, последовательность всегда содержит
бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента
отличаются по крайней мере своими номерами, которых беско-
нечно много.

Очевидно, что числовая последовательность является частным
случаем функции. Именно, последовательность является функ-
цией, определенной на множестве натуральных чисел и прини-
мающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функ-
цией вида	(см. п. 1.3*).

Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не все
натуральные числа, а лишь некоторые из них. Например, нату-
ральные числа, начиная с некоторого натурального числа и0: а„,
п = п0, Ло+1, ..., или одни четные числа: ап, п = 2, 4, .... Слу-
чается, что для нумерации употребляются не только натуральные,
но и другие числа, например аП, n = Q, 1, 2, ... (здесь в каче-
стве еще одного номера добавлен нуль). Во всех этих случаях
можно перенумеровать заново ап, используя все натуральные
числа т и только их. В первом примере следует положить т =
= п — «о+l, со втором — т = --, в третьем — т = п + 1. Поэтому
в подобных случаях также говорится, что ап образуют последо-
вательность и, конечно, указывается, какие значения принимают
номера п.

Определение 2. Число а называется пределом данной последо-
вательности {а„}, если для любого е>0 существует такой номер
пе, чМо для всех номеров п^пЁ выполняется неравенство

\ап-а\<г.	(3.1)

При этом пишут lim ап = а, или а„-->а при н->оо.
п -> со

Употребляя логические символы, это определение можно запи-
сать в виде:

lim ап = а <=> (Ve > 0) (ЗнЕ е N) (Чп  п£): [ ап — а | < е.
п —► оо

Последовательность, у которой существует предел, называ-
ется сходящейся.

Таким образом, последовательность \ап\ является сходящейся,
если существует такое число а, что для любого е > 0 найдется
такой номер п£, что для всех п^пЕ выполняется неравенство
|а„-а|<е.

С употреблением логических символов это определение выгля-
дит следующим образом:

(Ba е= R) (Че, > 0) (3nE е N) (Vn 2s nE): | ап — а | < е.

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Отметим, что неравенство (3.1) равносильно неравенству
а — е<ал-<а-{-е.

Напомним, что для заданного числа / ей всякий интервал
вида (х —е, х-фе), где е>0, называется г-окрестностью, или
просто окрестностью, числа (точки) х и обозначается через
U (х, е) или U (х).

С помощью понятия окрестности определение предела после-
довательности можно перефразировать следующим образом.

Определение 2'. Число а является пределом последовательности
{й„}, если в любой его окрестности содержатся почти все члены
последовательности, т. е. все члены последовательности, за исклю-
чением их конечного числа.

Если lim ап = а и an-<za (соответственно ап^а) для всех
п —>со

п=1, 2, ..., то говорят, что последовательность {пл} сходится
к числу а слева (соответственно справа) и иногда вместо lim ап =
п -* со

— а пишут lima„ = n —О (соответственно lim ап = а-]-0).
п-*сс>	п-+оо

Понятие предела последовательности связано в определенном
смысле с встречающейся на практике задачей получения значе-
ния некоторой интересующей нас величины с наперед заданной
фиксированной точностью е>0. Последовательные приближен-
ные значения ап рассматриваемой величины могут получаться
в результате проведения каких-либо экспериментов, или вычисле-
ния по каким-нибудь рекуррентным формулам или каким-то дру-
гим путем. Эта задача будет, очевидно, решена, если найдется
номер пе, начиная с которого все значения ап будут отклоняться
от точного значения рассматриваемой величины в пределах задан-
ной точности. Конечно, если указанное ns существует лишь для
одного данного е >• 0, это еще не означает, что последователь-
ность {ап} сходится: в определении предела последовательности
требуется, чтобы соответствующий номер пЕ можно было бы подо-
брать для любого е>0.

При меры. 1. Последовательность {1/п} сходится и имеет
своим пределом ноль. В самом деле, каково бы ни было е>0,
по свойству Архимеда (см. п. 2.9) действительных чисел сущест-
вует такое натуральное число пЕ, что пЕ>—. Поэтому для всех
п^пЁ выполняется неравенство 0< —	<е, а это и озна-

П /1g

чает, что lim — = 0. Очевидно, что последовательность {1/п} схо-
П-ССО П

дится к нулю справа.

2.	Последовательность {sin у п| является расходящейся. В са-
мом деле, каково бы ни было число а, вне его е-окрестности,
например при 0 < е < 1, заведомо лежит бесконечное число чле-
нов данной последовательности, и, значит, оно не является ее
пределом.

3.	Последовательность

= 0, что следует (почему?) из того, что

I — sin^rtls^— и lim —- = 0.

1«	2 | п «

!—сходится и lim — sin ~п —

[Л Z J	п п Z

fl л 1

Сходящаяся последовательность <—sin^rtl не является последо-
вательностью, сходящейся к своему пределу слева или справа.

4.	Последовательность {п} расходится.

Действительно, каково бы ни было число а, например, для
е = 1 найдется согласно свойству Архимеда такое натуральное п0,
что п0>а+1. Следовательно, и для всех натуральных п^п0
будем иметь	Поэтому никакое число а не может

являться пределом последовательности {«}.

В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости последо-
вательностей было использовано позитивное определение того
обстоятельства, что число а не является пределом данной после-
довательности. Сформулируем это определение.

Определение 3. Число а не является *> пределом последователь-
ности {а„}, если существует такое е>0, что для всякого нату-
рального п существует такое натуральное тп>п**}, что

\ат —а\^Е.

I п i

В логических символах это определение имеет вид

lim ап Ф а <=> (Эе > 0) (V« е N) (3m > ri): | аП1 — а | е.
л-* со

Напомним, что при формулировании отрицания какого-либо
утверждения логические символы существования 3 и всеобщно-
сти V меняются местами. Именно так и произошло в данном
случае, в чем легко убедиться, сравнив запись определений 2
и 4 в логических символах.

Заметим, что определение 3 не является самостоятельным
определением — оно является логическим следствием определения 2.

Упражнения. 1. Сформулировать позитивное определение понятия
расходящейся последовательности.

2.	Доказать, что если lim ап = а, то lim [ая! = ;а|.
п—>со	п—>03

Задача 2. Доказать, что последовательность {хп) расходится тогда и только
тогда, когда существует такое число е > 0, что, каково бы ни было действи-

*’ Здесь частица «не» входит не в определение, а в определяемое понятие.

**> Индекс п у числа тп показывает, что это число зависит от выбора
числа п.
тельное число а и каков бы ни был номер п, найдется такой номер т>п,
для которого выполняется неравенство । хт — нс.

Упражнение 3. Записать позитивное определение расходящейся после-
довательности и условие задачи 2 в логических символах и сравнить их.

В рассмотренных выше примерах существование или отсут-
ствие пределов у данных последовательностей было довольно
очевидным, а доказательства сводились к злементарной прове-
рке определения предела последовательности.

В качестве более сложного примера отыскания предела после-
довательности докажем следующее утверждение.

Пример 5. Если последовательность {х,,} сходится, то после-
довательность средних арифметических ее членов

х» —Хп 4- ... -4- хп	« л

. «=1, 2, ....

также сходится и притом к тому же пределу, что и сама после-
довательность |л„}.

Пусть limx„ = a. Прежде всего заметим, что для любых

П -*со

натуральных чисел п0 и п > п0 имеет место равенство

Уп~а =

*1 + - •• + *л
п

— а —

х^ + -- + хПо-пйа (хПо + ,-а) + ... + (х„-а)
п	'	п

(3-2)

Если теперь задано е>0,
существует такой номер п0>
неравенство

то согласно определению предела
что для всех п----п0 выполняется

, , 8
Хп ' & I j *

(3.3)

Поскольку Xi +... + x,,fl — пиа — фиксированное число, a lim — = О,
«-►03 П

то, как нетрудно видеть, и

lim

Л-+СО

Х1 + • • • + хп„ — поа
п

= 0.

Следовательно, существует такой номер т0, что для всех п^т0

выполняется неравенство

xi + --- + xno — n„a I	е

п	2'

(3-4)
Пусть ne = max{n0, гп0}. Тогда для всех номеров п^пЕ
в силу (3.2), (3.3) и (3.4) получим

Х1 + • • • + хПо — пиа
п

| Уп - а | =<

 I Л4„4 1 ~а !+ +	~ а I

п

^.е . п — па е _ е , е

< 2 +-ТН-Т<2-+ 2-=е’

Это и означает, что lim уп = а. Д
п~» оэ

х1г при n = 2k — 1,
ук при п = 2/с,

Упражнение 4. Доказать: 1) что отбрасывание или замена конечного
числа элементов последовательности не влияет на ее сходимость, причем в слу-
чае сходящейся последовательности не влияет и на величину предела.

2)	если lim хп = а, lim уп~а и гп =
п-+-]-со	м-*4-со

k = 1, 2, ..., то и lim гп = а.

п—>-|-со

3.2.	БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Для удобства вводится также понятие последовательностей,
имеющих своим пределом бесконечность. Такие последовательно-
сти называются бесконечно большими. Определим их.

Определение 4. Последовательность {х„} называют бесконечно
большой, если для любого числа е существует такой номер пЕ,
что для всех п^пе выполняется неравенство |хп | >е.

В этом случае, употребляя символ оо, пишут Нтхя = оо.
п->со

Если последовательность х„, п=1, 2, ..., такова, что для
любого числа е*1 существует такое пЕ, что для всех nosnE
выполняется неравенство (соответственно xn<Ze), то пишут
lim хп = Ц-оэ ^соответственно limx„ =— оо^. Во всех этих слу-
чаях говорят, что последовательность {хл} имеет бесконечный
предел, соответственно равный со, 4-со или —оо. Если lim хп =
п—*ос>

=	4-оо или limx„ =— оо, то и lim х,г = оо, т. е. {%„} является
п->со	п~*со

бесконечно большой последовательностью. Очевидно, что беско-
нечно большие последовательности не имеют предела в том смысле,
как он был определен в п. 3.1. Применение в этом случае обо-
значения «Пт» и использование слова «предел» является тради-
ционным.

В дальнейшем всегда под пределом последовательности будем
понимать конечный предел, т. е. число, если, конечно,
не оговорено противное.

*’ Следует обратить внимание на то, что здесь е не предполагается поло-
жительным.
Термин «сходящаяся последовательность» употребляется только
для последовательностей, имеющих конечный предел.

С помощью понятия окрестности можно всем сформулирован-
ным выше определениям конечного или бесконечного предела
последовательности придать более единообразную форму. В п. 2.6
было введено понятие окрестности чисел хе/? и бесконечно
удаленных точек -фоо и —оо. Аналогично можно для любого
е>0 определить и понятие 8-окрестности U (оо, б) бесконечно-
сти оо без знака:

U (оо, е) = U (ф- оо, е) J U (—оо, е).

е-окрестность U (ос, е) называют также просто окрестностью
бесконечности оо и обозначают через U (оо).

Используя понятие окрестности, определение конечного и
любого бесконечного предела числовой последовательности можно
сформулировать единым образом.

Определение 5. Элемент а, являющийся числом или одной из
бесконечностей со, -|- оо, — оо, называется пределом числовой
последовательности {%„}, если какова бы ни была окрестность U(a)
элемента а, для нее существует такой номер п0 е N, что для
всех п^п0, n^N, справедливо включение xn^U(a).

Наряду с числовыми последовательностями в нашем курсе
будут встречаться последовательности точек расширенной число-
вой прямой, т. е. занумерованные натуральными числами сово-
купности{х„} элементов расширенного множества действительных
чисел /? (см. п. 2.5). Таким образом, элементами этих последова-
тельностей наряду с действительными числами могут быть бес-
конечно удаленные точки -р оо и — оо. Для таких последова-
тельностей также можно ввести понятие предела, аналогичное
пределу числовых последовательностей и содержащее его в себе
как частный случай.

Определение 6. Элемент а, являющийся числом или одной из
бесконечностей со, -р оо, — оо, • называется пределом последова-
тельности точек xn^R, п=1, 2, ..., если какова бы ни была
окрестность U (а) элемента а, для нее существует такой номер
п0 е N, что для всех п^п0, п^. N, выполняется включение
Xn^U (а).

Если последовательность хяеЛ, п=1, 2, ..., такова, что все
ее члены равны между собой: хп = хт при всех п е N и m<=N,
то она, как известно, называется стационарной.

Всякая стационарная последовательность точек расширенного
множества действительных чисел имеет предел, равный общему
значению ее членов. Это сразу следует из того, что каждая точка
расширенной числовой прямой содержится в любой своей окрест-
ности. В самом деле, если для всех n^N имеет место х„ = ае#,
то для любой окрестности U (а) точки а и всех n^N очевидным
образом выполняется включение xn = a^U (а).

В дальнейшем под последовательностью всегда понимается
числовая последовательность, т. е. последовательность,
элементами которой являются действительные числа, если, конечно,
специально не оговорено что-либо другое.

Упражнения. 5. Привести пример неограниченной последовательности,
не являющейся бесконечно большой.

6.	Доказать, что если	п = 1, 2, ..., и lim a„ = -f-co, то

п—>оо'

lim Ьп = оэ.
л-* со

7.	Доказать, что любая подпоследовательность бесконечно большой после-
довательности также является бесконечно большой последовательностью.

8.	Доказать: почленное произведение бесконечно большой последовательности
на последовательность, абсолютная величина всех членов которой ограничена
снизу положительной постоянной, является бесконечно большой последова-
тельностью.

3.3.	ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Докажем прежде всего корректность определения предела
в том смысле, что если он существует, то он единствен.

Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой
прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Следствие. Числовая последовательность может иметь только
один предел, конечный или бесконечный определенного знака.

Доказательство теоремы. Допустим, что утверждение
теоремы , несправедливо. Это означает, что существует последо-
вательность хп е R, п=1, 2, .... у которой имеется, по крайней
мере, два различных предела а е R и бе R. Выберем ex > 0 и
е2>0 так, чтобы егокрестность точки а не пересекалась с е2-ок-
рестностью точки Ь. Это всегда можно сделать согласно лемме
п. 2.6 (см. рис. 4, а, б, в и г). В силу определения предела
из условия lim хп = а следует, что существует такой номер n±^N,
л-*оо

-что для всех номеров п>: nL, п^ N, имеет место включение
хп U (а, ёх), а из условия lim xn — b следует, что существует
П-+ОО

такое «2 е N, что для всех п^п2, n^N, справедливо включение
хп U (Ь, е2). Следовательно, если обозначить через п0 наибольший
из номеров Пх и n2: n0 = max{nx, «г}, то для любого п>п0
будем одновременно иметь хп^Ща, ex) и xn^U(b, е2), т. е.
xnEU(a, ex)(~|£/(t>, е2). Это противоречит условию U (а, е.х)П

(]U(b, ®2) = 0. □

Следствие является частным случаем утверждения теоремы.

Для единственности бесконечного предела последователь-
ности элементов из R существенным является рассмотрение
лишь бесконечностей определенного знака, так как если после-
довательность имеет своим пределом бесконечность со знаком,
то одновременно ее пределом является и бесконечность без знака.
Например, если limx„ = + oo, то, конечно, и limx„ = oo:

п—>со	п~>со

Докажем теперь некоторые простые свойства конечных и бес-
конечных пределов.

I.	Если xn^R, yn^R, zn^R, п = 1, 2, ...,

Xn Un Zn	(3.5)

U
lim xn = lim zn = a e R,	(3.6)

rt-»co	n—»co

mo lim yn — a.
n—*co

Доказательство. Пусть зафиксировано в >0. Тогда со?
гласно определению предела существуют такие щ е N и п2 е N,
что для всех п щ, пее N, выполняется включение хп е U (а, е),
а для всех пс^п2, п е N, — включение zn^U(a, е). Следова-
тельно, если обозначить через п0 наибольшее из чисел и п2:
n<)max {«!, п2}> то для всех номеров п>:пп, ti^N, будем иметь
хп е U (а, е), zn^U (а, е), а поэтому и [x„, zn] с: U (а, е) (см. за-
мечание 1 в п. 2.6). Неравенство (3.5) означает, что у„ ^[х„, гп].
Следовательно, при п-^п0 имеет место yn^.U (а, е), т. е.
lim уп = а. □
я-» со.

II.	Если Хп^Уп, xn^R, уп^ R, п=1, 2, ..., и limx„ =
д —’•со
= 4-оо (соответственна, lim уп =—со), то и limz/ra= 4~oo
\	Д—>СО	/	п~>СО

(соответственно, lim хп — — со).

Эго сзойство является усилением сзэйства I для бесконечных
пределов: в этом случае вторая последовательность {гя} не нужна.

Доказательство. Из условия limxra = 4-oo следует, что
д-*со

для любого е>0 существует такое ne^N, что для всех пзгщ,
n^N, выполняется условие хга>е. В силу неравенства
очевидно, что для всех пЗ=/ге имеет также место неравенство
z/„>e. Это и означает, что lim уп = Щсс.

Аналогично рассматривается случай limz/„ = — оо. Q
д—*со

III.	Если хп^ R, упе= R, п=1, 2, ..., и существуют пределы
lim хп = а, \\туп = Ь, причем a<b, a^R, b е R, то суще-
П-^СО	П-+СО

ствует такой номер п0 е: ^, что для всех номеров п^п0, n^N,
выполняется неравенство хп < уп.

Следствие. Если существует предел limxn — a, x„^R, п = 1г
п—>00

2, .... a<=R и а<.с (соответственно, а>с), c^R, то суще-
cmeyem такое n0^N, что для ссек п^?п0, n^.N, справедлисо
неравенство хп < с (соответственно, хп > с).

Доказательство. Выберем какие-либо числа ej>0 и
ед>0 так, чтобы окрестности U (а, е2) и U (Ь, е2) не пересекались
(см. п. 2.6). Тогда ясно, что в силу неравенства a<zb для любых
хе U (а, ег) и y^U(b, е2) выполняется неравенство х<.у
(см. замечание 2 в п. 2.6). В силу определения предела суще-
ствуют такие пх е N и n2 е N, что при п^пх, n^N, выпол-
няется включение xn^U (а, е^, а при п п2, n^N,— включение
yn^U (Ь, е2). Следовательно, если положить п0 i=f max {/гь п2},
то при nSsn0 будет справедливо неравенство хп<.уп- □

Следствие вытекает из свойства III, если в нем в качестве
последовательности {у„} взять стационарную последовательность
уп = с, п — 1, 2, ..., (см. п. 3.2).

IV.	Если существует lim х„ = а е/?, хга е/?, п=1, 2, ....

М-*со

и, для ссех n^N справедлисо неравенство хп^Ь (соответственно,
неравенство xn^b), b^R' то а-всЬ (соответственно, ав^Ь).

Действительно, если бы оказалось, что а>& (соответственно,
а<.Ь), то согласно следствию свойства III нашлось бы такое
n0E N, что при HSan0, п е V, имело бы место неравенство х„>&
(соответственно, х„ < Ь), что противоречит предположению, что
хп sg b (хп Ь) для всех п е N. Q

Отметим, что нас в основном интересуют числовые последова-
тельности. Последовательности же точек расширенной числовой
прямой введены прежде всего для большей компактности изло-
жения: они позволяют не .рассматривать отдельно случаи конеч-
ных и бесконечных определенного знака пределов последователь-
ностей. Исходя из основных целей, в дальнейшем определения и
утверждения будут в основном формулироваться для числовых
последовательностей, хотя многие из них безо всякого труда
обобщаются на случай последовательностей точек расширенной
числовой прямой.

Замечание. Если последовательность {п„} имеет конечный
предел, равный а, и если фиксировано некоторое число с>0,
то для каждого 8>0 существует такой номер, который будет,
так же как и в определении предела, обозначаться п£, что для
всех номеров п^п& выполняется неравенство

|а«-а|<се.

Действительно, если положить et = ce, то согласно определению
предела последовательности существует такой номер n£l, что для
всех номеров	выполняется неравенство

| ап — а | < ех = се

и в качестве номера пе можно взять номер щ,.
Например, если limara = a, то для всякого е>0 существует
п —>со

такой номер пг, что для всех номеров п^пе выполняется нера-
венство

I ап - а | < у.

Полезным понятием является понятие подпоследовательности
данной последовательности.

Определение 7. Последовательность bk, k=l, 2,..., называется
подпоследовательностью последовательности {а„}, если для любого k
существует такое натуральное nk, что Ь/г = ank, причем
тогда и только тогда, когда	Последовательность {6*}

обозначается в этом случае также или a„k, k = 1, 2, ....

Иначе говоря, если дана какая-либо последовательность и

из некоторого подмножества ее элементов образована новая
последовательность, то она называется подпоследовательностью
исходной последовательности, если порядок следования в ней
элементов такой же, как и в данной последовательности.

Так, последовательность 1, 3, 5, ..., 2п4-1, ... является,
а последовательность 2, 1, 3, 4, ..., п, ... не является подпо-
следовательностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., п, ...
В обоих случаях элементы последовательностей образуют под-
множество *) множества натуральных чисел, но в первом случае

члены последовательности расположены в том же порядке, как

в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок
нарушен.

Если — подпоследовательность последовательности, то,

очевидно, nk$^k, k = \, 2, ..., и, следовательно,

lim nk = + оо.
k —>оо

(3.7)

В дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться следую-
щей леммой.

Лемма. Если последовательность точек расширенного множе-
ства действительных чисел имеет предел (конечный или равный со,
+ оо или — оо), то любая ее подпоследовательность имеет тот же
предел.

Доказательство. Пусть xn^.R, п=1, 2, ..., и —
некоторая подпоследовательность последовательности {%„}. Если
lim хп = а, где а —либо число, либо одна из бесконечностей оо,
л—>оо

+ оо, — оо, то согласно определению 6 для любой окрестности U (а)
элемента а существует такой номер п0, что для всех п->-п0,

*’ Напомним (см. п. 1.1), что само множество также считается своим
подмножеством.
N, выполняется включение
xn^U(a).	(3.8)

В силу (3.7) для указанного п0 существует такое k0 N,
что при всех k^sk0, k^N, будет иметь место неравенство
и, следовательно, в силу (3.8) — включение

xnk (= U (а).

Это и означает, что

lim Xnk = a.
k —* со

Упражнение 9*. Пусть kt—> nk — некоторая биекция множества на-
туральных чисел У на себя: k е N, п^^ N. Доказать, что если последова-
тельность {хл} сходится (расходится), то и последовательность сходится
(расходится), причем в случае сходимости последовательности {хга} или су-
ществования у нее какого-либо бесконечного предела последовательность {xraft}
имеет тот же предел.

3.4.	ОГРАНИЧЕННОСТЬ СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Следует различать последовательность {ая}, т. е. множество
элементов ап и множество значений ее элементов. Первое множе-
ство всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элемен-
тов, отличающихся по крайней мере номерами п=1, 2, ... Вто-
рое множество состоит из всех чисел, являющихся значениями
элементов данной последовательности, оно может быть и конеч-
ным. Например, последовательность а„=1, п = 1, 2, ..., как и
всякая последовательность, состоит из бесконечного числа эле-
ментов, а множество значений ее элементов состоит из одного
числа 1.

Определение 8. Последовательность называется ограниченной
сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено
сверху (снизу).

В терминах элементов последовательности это определение
может быть перефразировано следующим образом.

Определение 8'. Последовательность (а„‘( называется ограни-
ченной сверху (снизу), если существует такое число Ь, что для
всех номеров п = 1, 2, ... выполняется неравенство ans^b (соот-
ветственно неравенство ап^Ь).

Определение 9. Последовательность, ограниченная сверху и
снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, что последовательность {ап} ограничена тогда и
только тогда, когда существует такое число Ь, что для всех номе-
ров п=1, 2, ... выполняется неравенство \ап\^Ь.

Определение 10. Последовательность, не являющаяся ограни-
ченной (сверху, снизу), называется неограниченной (сверху, снизу).
Например, последовательности и jsin ограничены.
Последовательность {п} не ограничена, точнее она ограничена
(	. л 1

снизу, но не ограничена сверху, а последовательность <п sin 2-п)
является неограниченной как сверху, так и снизу.

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она
ограничена.

Доказательство. Пусть дана сходящаяся последователь-
ность и пусть lim ал = а. Возьмем, например, 8 = 1. Согласно
п -* со
определению предела последовательности, существует такое пъ
что для всех выполняется неравенство |а„ —п|<1. Пусть
d —наибольшее из чисел 1, [ — а\, ..., \ап_1 — а\. Тогда для
всех п=1, 2, ... справедливо неравенство \а1г — a\^d, f1. е. для
всех п

a —d -x ап^:х а~\~ d.

Это и означает ограниченность заданной последовательности. Q

3.5.	МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 11. Верхняя (нижняя) грань множества значений
элементов последовательности {ап} называется верхней (нижней)
гранью данной последовательности и обозначается sup {а„} или
sup ап (соответственно inf {ап} или inf ап\.

п = 1, 2, ...	л = 1, 2, ... /

Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это опре-
деление можно сформулировать следующим образом.

Определение 1Г. Число а является верхней (нижней) гранью
последовательности ап, п=1, 2, ..., если".

1)	для всех п=1, 2, ... выполняется неравенство а (соот-
ветственно неравенство ап>-а)-,

2)	для любого 8>0 существует такой номер пг, что
аПе>а — г (соответственно а„Е < а -|- е).

Аналогично можно сформулировать определение верхней (ниж-
ней) грани последовательности в случае, когда указанная грань
бесконечна. (Сделайте это.)

В качестве примеров отметим, что sup{l/n} = 1, inf {1/n} = 0,
sup{n} = 4-co, inf{n}=l. Здесь везде n = l, 2,...

Определение 12. Последозательность {хп} называется возрастаю-
щей (убывающей) последовательностью, если для каждого п = 1, 2,...
выполняется неравенство xn=^xn+i (соответственно неравенство
X„Ss_X„+l). *>

*’ Возрастающие (убывающие) последовательности называются также не-
убывающими (соответственно невозрастающими).
Возрастающие и убывающие последовательности называются
монотонными.

Например, последовательность {1/п} убывает, последователь-
ность {п} возрастает, а последовательность |sin не является
монотонной.

Теорема 3. Всякая возрастающая {убывающая) последователь-
ность {хп} имеет предел, конечный, если она ограничена сверху
{снизу) и бесконечный, равный + оо {соответственно — оо), если
она неограничена сверху {снизу), причем

lim x„ = sup
п —»со

{соответственно,

lim x„ = inf {x„}\

Л —* ОО	/

Доказательство. Пусть последовательность {хл} воз-
растает и ограничена сверху. В силу последнего условия, она
имеет конечную верхнюю грань (см. теорему 1 в п. 2.8). Пусть
Р = sup {хга}. Покажем, что р = lim хг.-
п -» со

Зафиксируем произвольное в>0. Из того, что p = sup{x„},
следует, что для всех п=1, 2,... справедливо неравенство хп~о Р
и что существует такой номер пе, что	е. Тогда в силу

возрастания последовательности {x,J для всех номеров по;пг
будем иметь: р — е < х„е	-С Р  Поэтому для всех п^=/2с,

п N, выполняется неравенство | хп — р f < в,. Это и означает,
что р= lim хп. Если последовательность {хп} неограничена сверху,
п —* со

то sup{x„} = + oo (см. п. 2.8). Покажем, что в этом случае и
lim хп = + со.

Л->СО

Снова выберем произвольным образом в>0. Из того, что по-
следовательность {хга} неограничена сверху, следует, что сущест-
вует такой номер пе, что хПе > в. Тогда в силу возрастания
последовательности {хп\ для всех номеров п^пе будем иметь:

>е. Это и означает, что lim х„ = +-ос.

6	П-+ОО

Аналогично разбирается случай убывающих последовательно-
стей. Впрочем, его можно свести и к случаю возрастающей по-
следовательности, если заметить, что для каждой убывающей
последовательности {х„} последовательность {—хп} будет уже
возрастающей. Q

Таким образом, всякая монотонная последовательность имеет
предел: конечный, если она ограничена, и бесконечный, если она
не ограничена. Этот предел равен 4-ое, если монотонная после-
довательность не ограничена сверху, и он равен —ос, если она
не ограничена снизу.
Поскольку всякая подпоследовательность монотонной после-
довательности также монотонна, то она в свою очередь всегда
имеет конечный или бесконечный предел, который, очевидно,
совпадает с пределом всей последовательности (см. лемму в п. 3.3).

Мы видели, что если последовательность сходится, то она
ограничена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что если
возрастающая последовательность сходится, то она ограничена
сверху; с другой стороны, если возрастающая последовательность
ограничена сверху, то она сходится (теорема 3). Таким образом,
справедливо следующее утверждение.

Следствие. Для того чтобы возрастающая последовательность
сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена
сверху.

Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей по-
следовательности.

Замечание. Если [ап, Ь„] — система вложенных отрезков,
по длине стремящихся к нулю, а £ — точка, принадлежащая всем
отрезкам данной системы, то

£= lim ап = lim Ьп.	(3.9)

и —> со	п —* со

В самом деле, в п. 2.10 было показано, что £ = sup{a„} =
= inf {bn}. С другой стороны, последовательность {а„} (соответ-
ственно {Ьп}} возрастает (убывает), откуда и следует (3.9).

При м е р. Число е.
/	1 \/1

Пусть хп = (1 + — j , п = 1, 2, ...

Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя
формулу бинома Ньютона, получаем:

/, . 1

Х«=Ч =

=	+	l,»(n-l)(n_-2)	1

' п 1-2	! . 2 - 3 п3 ' "

. п (п— 1)... (n— &4-1) 1 ,	, п(п — 1) ... 1	1 _

1 • 2 ... fe	1-2.. .п 'пп~

= 14-1 fi __LA	——W1 — —\ +

^2!\	n) + ЗЦ	n)\ пГ

... fi-—н...

1 A! \ n) \ n )	\	« /

...+-У1--М ••• fi-—'h	(3-Ю)

1	n! \	n)	\ n j '	’

Поскольку при переходе от п к п-J-l число слагаемых, которые
все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое
увеличивается:

S

1—<1
п

8 = 1, 2,

«+1 ’

п — 1 ,
ТО

Хд+1» ft " 1» 2, • • • •

Далее, замечая, что в (3.10) каждая из скобок-вида ^1—
меньше единицы и	для всех и = 1, 2, 3, ..., имеем

х„<2 + ~ + 3’ + ... +^=sS2 + y + -|-+ ... -f-gif.

Сумма у + ^ + • • • + 2^т (которую легко подсчитать по извест-
ной из элементарной математики формуле для суммы членов гео-
метрической прогрессии, она равна 1— при любом п —
= 1, 2, ... меньше единицы, поэтому окончательно

2	< хп < x„+i < 3.	(З.Н)

Итак, последовательность {хя} возрастает и ограничена сверху,
а значит, согласно теореме 3, имеет предел. Этот предел и обозна-
чается буквой е.

Переходя к пределу в (3.11), получаем 2<егёЗ. Более точ-
ными оценками можно получить, что справедливо приближенное
равенство

6^2,718281828459045.

Доказывается также, что число е иррационально и, более
того, трансцендентно, т. е. не является корнем никакого алгеб-
раического уравнения с целыми коэффициентами. Число е в мате-
матическом анализе играет особую роль. Оно, в частности,
является основанием натуральных логарифмов.

3.6.	ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО—ВЕЙЕРШТРАССА

В п. 3.4 было доказано, что всякая сходящаяся последова-
тельность ограничена. Обратное утвержденйе, конечно, неверно.
Например, последовательность хга = (—1)”, и=1, 2, ..., ограни-
чена и расходится. Однако оказывается, что всякая ограниченная
последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Это утверждение называется теоремой Больцано — Вейерштрасса *'
или свойством компактности ограниченной последовательности.

Теорема 4. Из любой ограниченной последовательности можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неогра-
ниченной последовательности можно выделить бесконечно большую

*’ Б. Больцано (1781 —1848) —чешский математик; К. Вейер-,
штрасс (1815—1897) — немецкий математик.
подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность
определенного знака.

Доказательство. Пусть последовательность {%4 ограни-
чена, т. е. существует такой отрезок [а, 6], что а<'х„<Ь для
всех п=1, 2, ... Разделим отрезок [а, Ь] на два равных отрезка.
По крайней мере один из получившихся отрезков содержит беско-
нечно много элементов данной последовательности. Обозначим его
через [ах, йх]. Пусть хп, — какой-либо из членов данной последо-
вательности, лежащий на отрезке [аь

Разделим отрезок [ai, на два равных отрезка; снова хоть
один из получившихся двух отрезков содержит бесконечно много
членов исходной последовательности, обозначим его через[а3, Ь2].
В силу того, что на отрезке [а2, Ь2] бесконечно много членов по-
следовательности {%„}, найдется такой член хп„ что хп, [а2, Ь2]
и п2 > щ. Продолжая этот процесс, получаем последовательность
отрезков [аА, bk], в которой каждый последующий является поло-
виной предыдущего, и подпоследовательность таких элементов xnk
данной последовательности, что х„/г<^[а/г, bk], k=l, 2, ... и
при k"^>k'. Последовательность является в силу
построения подпоследовательностью последовательности{/„}. Пока-
жем, что эта подпоследовательность сходящаяся.

Последовательность отрезков [a*,	6=1, 2, ..., является

последовательностью вложенных отрезков, по длине стремящихся
к нулю, так как bk — ak = —,^->0 при k-^oo. Согласно прин-
ципу вложенных отрезков (см. п. 2.10), существует единственная
точка принадлежащая всем этим отрезкам. Как мы видели
(см. (3.9) в замечании к теореме 3), lim ak = lim bk = g, но
k —* со	k —»• со

bk, k= 1, 2, ..., поэтому в силу свойства I (см. п. 3.3)
сходящихся последовательностей последовательность {хгаА} также
сходится, и lim =

k —»• со

Пусть теперь последовательность неограничена. Тогда
она либо неограничена сверху, либо неограничена снизу, либо
имеет место и то и другое. Пусть для определенности последова-
тельность' {%„} неограничена сверху. Тогда существует такой
номер пг е N, что хП1 > 1 

Очевидно, последовательность хп, п = п1-\-\, п14-2, ....также
неограничена сверху, так как получается из данной неограни-
ченной сверху последовательности хп, п=1, 2, ..., отбрасыванием
конечного числа членов. Поэтому существует такое n2Z>n1, п2 & N,
что хЯг>2.

Продолжая этот процесс, получаем последовательность таких
номеров что

«1 < п2 <... < nk <...
И

Хп^ 1 ,	2, . . . ,	* * *

Отсюда следует, что {хя&} — подпоследовательность последова-
тельности {х„} и в силу свойства II п. 3.3 что lim x„ft = oo. Q
k —*co

Определение 13. Предел, конечный или бесконечный определен-
ного знака, подпоследовательности данной последовательности
называется ее частичным пределом.

Теорема Больцано — Вейерштрасса (первая часть теоремы 4) и
ее аналог для неограниченных последовательностей (вторая часть
теоремы 4) показывают, что

всякая последовательность имеет хотя бы один частичный
конечный или бесконечный предел, причем заведомо конечный, если
данная последовательность ограничена.

Таким образом, каждая числовая последовательность {%„},
хп е R, имеет хотя бы один частичный предел в расширенном
множестве действительных чисел, т. е. множество частичных пре-
делов в /? для любой последовательности всегда не пусто.

Упражнения. 10. Доказать, что для того чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и
имела единственный частичный предел.

11.	Доказать, что элемент а (число или одна из бесконечностей -J-co и
— оо) является частичным пределом .последовательности тогда и только тогда,
когда в любой его окрестности содержится бесконечно много членов данной
последовательности.

3.7.	КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с по-
мощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная
последовательность. Само определение сходящейся последователь-
ности для этого мало удобно, так как в него входит значение
прёдел'а, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно
иметь такой критерий для определения сходимости и расходимо-
сти последовательностей, который базировался бы только на свой-
ствах элементов данной последовательности. Нижеследующая
теорема 5 и дает как раз подобный критерий.

Определение 14. Будем говорить, что последовательность {хл}
удовлетворяет условию Коши*', если для любого е >0 существует
такой номер пе, что для всех номеров пит, удовлетворяющих
условию п^пй, т^пй, справедливо неравенство

17Сп	(3.12)

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, назы-
ваются также фундаментальными последовательностями.

*’ О. Коши (1798—1857) —французский математик.

3 Кудрявцев Л. Д. т. 1
Условие (3.12) можно сформулировать и таким образом.

Для любого е>0 существует такой номер пг, что для. всех
номеров п^пй и всех целых неотрицательных р

Хп+р Хп ]	8.

(3.13)

Для того чтобы убедиться в равносильности условий (3.12) и
(3.13), достаточно положить р = п — т, если п^т, и р = т — щ
если т>п.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы последователь-
ность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетво-
ряла условию Доши.

Доказательство необходимости. ‘Пусть последова-
тельность {хп} сходится и limx„ = a. Зададим е>»0; тогда, со-
п —.со

гласно определению предела последовательности, существует такое
п8, что для всех номеров п^пе выполняется неравенство

I Хп а I <С 2 *

Пусть теперь п га8 и т пе, тогда

| хп хт [ — ((хп а) ф- (а хД) | j Хп а | ф-^Xm а | ф- — 8,

-Ли I*£

т. е. выполняется условие Коши.

Доказательство достаточности. Пусть последова-
тельность {хп} удовлетворяет условию Коши, т. е. для всякого
8>0 существует такое пе, что если п^пе и т>;пг, то
I хп — хт | < 8. Возьмем, например, 8=1, тогда существует такое п1г
что при n^nt и m^zni выполняется неравенство |хя — хот|<1.
В частности, если	и т = П!, то |хя —хЯ1|<1, т. е.

Хп,— 1 <хя<хЯ1ф-1 при nSsni- Это значит, что последователь-
ность хп, п = пъ М1ф-1, ... ограничена. Поэтому в силу теоремы 4
существует ее сходящаяся подпоследовательность {хя }.

Пусть lim хя =а. Покажем, что вся данная последователь-
k-.co k

но’сть {х„} также сходится и имеет пределом число а. Зададим
некоторое е>0. Тогда, во-первых, по определению предела по-
следовательности существует такое ks, что для всех номеров
k^ke, или, что то же самое согласно определению подпо-
следовательности, для всех nk>^nk~ выполняется неравенство

\Xnk—а|<-2-

Во-вторых, так как последовательность {хя} удовлетворяет
условию Коши, то существует такое пЕ, что для всех п^=п8 и

I	1^8

всех /п^и8 выполняется неравенство 1х„ — хт|
Положим jV8 = inax{nE, n*8J и зафиксируем некоторое nk Ne.
Тогда для всех n^Nz получим:

1	хя-а] = |(хя —xn^ + (xnk-a)|«S

^\Хп-+ а1 <т + т = 8’
а это и доказывает, что lim хп = а. □

n-fCO

Упражнения. 12. Сформулировать позитивные необходимые и доста-
точные условия, являющиеся отрицанием критерия Коши, для того чтобы по-
следовательность не имела предела.

13.	Доказать, что для того чтобы последовательность {хя} была сходя-
щейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое
пееА, что для всех n>~ns, neN, выполняется неравенство | хп—хПе | < е.

Задача 3. Выяснить, будет или нет вытекать сходимость последователь-
ности {хя} из условия, что для любого натурального р существует предел
lim (хп+р—хя) = 0.
п-»оо

3.8.	БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Над последовательностями можно производить арифметические
операции сложения, вычитания, умножения и деления. Опреде-
лим их.

Определение 15. Пусть заданы последовательности {хп} и {уп}‘,
суммой, разностью и произведением этих последовательностей
называются соответственно последовательности {хп + уп}, {хя — уп}
и {хпуп}. Если yn=^=Q, п— 1, 2, ..., то частным от деления по-
следовательности {хп} на последовательность {уп} называется по-
следовательность {Хп1уп}- Наконец, произведением последователь-
ности {хп} на число с называется последовательность {схя}.

Если последовательность {уп} такова, что в ней имеется лишь
конечное число элементов, равных нулю, т. е. существует такое
что при n3s«о, n^N, выполняется неравенство z/„=#О,
то можно рассматривать последовательность {хп[уп}, понимая под
ней последовательность с номерами n^n0-

Определение 16. Последовательность {а„} называется беско-
нечно малой последовательностью, если lima„ = 0.

ОО

Мы уже встречались в п. 3.1 с бесконечно малыми последова-
тельностями ая = -^-, a„ = -^-sin^n, п=1, 2, ...

Отметим несколько свойств бесконечно малых последователь-
ностей.

I.	Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых по-
следовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть {ая} и {0Я} — бесконечно малые
последовательности. Покажем, что и последовательности {«„ + ря}
и {«„ —ря} являются также бесконечно малыми. Зададим е>»0,
3*
тогда существует (почему?) такой номер п8, что для всех п^=пе
выполняются неравенства | ап | < и	Поэтому для

п^п8 имеем

| ап ±	|	| ап | +1 р„ | <-|- + -|- = е,

что и означает, что lim (ага±рга) = 0.
л—* со

Соответствующее утверждение для любого конечного числа
слагаемых следует из доказанного по индукции. Q

Задача 4. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слагае-
мых (обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму
бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа
бесконечно малых последовательностей, сумма которых не является беско-
нечно малой последовательностью.

II.	Произведение бесконечно малой последовательности на огра-
ниченную последовательность является бесконечно малой последо-
вательностью.

Доказательство. Пусть {а„} — бесконечно малая последо-
вательность, а —ограниченная последовательность, т. е. су-
ществует такое число 6>0, что для всех номеров п=1, 2, ...
выполняется неравенство | хп | =$£ Ь.

Зададим е > 0; в силу определения бесконечно малой после-
довательности существует такой номер пЁ, что для всех п^пе
выполняется неравенство	Поэтому для всех n^ns

имеем

| а„х„ | = | а„ 11 хп [ < ~ • b = е,

что и означает, что последовательность {агах„} бесконечно ма-
лая.- [~]

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых по-
следовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Это сразу следует по индукции из свойства II, если заметить,
что бесконечно малая последовательность, как и всякая после-
довательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему 2
п. 3.4).

Задача 5. Определив произведение бесконечного числа занумерованных
сомножителей (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножи-
телей), а затем произведение бесконечного числа последовательностей, постро-
ить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, про-
изведение которых не является бесконечно малой последовательностью.

Упражнение 14. Доказать, что для того чтобы последовательность
хп 0, п=1, 2, ..., была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность 1/хга, и=1, 2, ..., была бесконечно большой.
3.9.	СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ, СВЯЗАННЫЕ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ
ОПЕРАЦИЯМИ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ

Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последова-
тельности {%„}, необходимо и достаточно, чтобы ее член хп имел
вид хп = а-\-ап, п= 1, 2, ..., где {ап} есть бесконечно малая по-
следовательность .

В самом деле, пусть задана, какая-либо последовательность
{%„} и число а; положим	— а. Тогда условие limxra = a

п—>со
согласно определению предела последовательности равносильно
тому, что для любого е > 0 существует такое п0 е N, что для
всех п^п0, n^N, выполняется неравенство jx„ — а|<е, т. е.
неравенство	а это и равносильно тому, что lim ая =

п -*оо
= 0. □

Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых после-
довательностей при изучении понятия предела, так как общее
понятие предела последовательности с помощью этой леммы сво-
дится к понятию нулевого предела. Это обстоятельство далее
широко используется при изучении ряда свойств сходящихся
последов атель ностей.

1°. Если хп~с, /г=1, 2, ..., то lim хп = с.
п—*со

В самом деле, последовательность хп — с — с — с = 0 бесконечно
малая, и поэтому в силу леммы lim xn—-c. [J
п—>со

2°. Если последовательности {%„} и {уп\ сходятся, то последо-
вательности {хп±уп\ также сходятся и

lim (хп±уп) = lim х„± lim у„,
л—>оо	п-+оо	п-*<х>

т. е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последователь-
ностей равен такой же сумме пределов данных последователь-
ностей.

Доказательство. Пусть limx„ = a, lim уп = b. Согласно
п —> со	п —> оо

необходимости условий леммы для существования предела, имеем

п=1, 2, ...,

где lim a„= lim ря = 0. Следовательно, xn±yn = (a±b)-}-
-]-(ая±рл), п=1, 2, ..., где в силу свойства I бесконечно ма-
лых последовательностей (см. п. 3.8) lim (ara± Р„) = 0. Поэтому,
п —»со

согласно достаточности условий леммы для существования пре-
дела, имеем lim (хп±уД = a±b = lim хп± lim уп. □

п—>00	гг—>оо	м—>оо
Следствие. Предел конечной алгебраической суммы сходящихся
последовательностей равен такой же алгебраической сумме преде-
лов отдельных последовательностей.

Это непосредственно следует по индукции из доказанного
свойства пределов сходящихся последовательностей.

3°. Если последовательности {%„} и {уп} сходятся, то после-
довательность {хпУп} также сходится и

lim хпуп = lim хп lim уп,
п-+со п—^со

т. е. предел произведения сходящихся последовательностей суще-
ствует и равен произведению пределов данных последователь-
ностей.

Доказательство. Пусть limx„ = a, Vimyn — b, тогда

П-*ОО	П —>00

хп = а + ап, уп = Ь + $п,	п=1, 2, ...,

где lim ara= lim рга = 0; поэтому хпуп = (а + ал) (6 + рц) = ab +
п —> со	п —> со

+ (апЬ +

В силу свойств I и II бесконечно малых последовательностей
(см. п. 3.8) lim	+	= 0! поэтому

/г—»оо

lim xnyn = ab= lim хп lim уп.
п-+со	п—><х> гг—>оо

Следствие 1. Если последовательность {хп} сходится, то для
любого числа с последовательность {схп} также сходится и

lim схп = с iim хь,
П —> со	п —»• со

т. е. постоянную можно выносить за знак предела.

Это утверждение сразу вытекает из свойств 1° и 3°.

Следствие 2. Если {хп} — сходящаяся последовательность и
k — натуральное число, то

lim х„ = ( Ит хп'\к.
п^><х>	\п—>со J

Это непосредственно цо индукции следует из свойства 3°.

4°. Если последовательности {%„} и {уп} сходятся, уп=£0, п =
= 1, 2, ..., и lim уп 5^0, то последовательность {хп/уп} схо-
П-+СО
дится и

lim — = lim xJlim уп,

Уп П-+СО	п~>оэ

т. е. при сделанных предположениях предел частного сходящихся
последовательностей существует и равен частному от пределов
данных последовательностей.
Доказательство. Пусть lim хп — а, lim уп = Ь=^Сз и для
М —> СО	Л2 —» СО

определенности b > 0. Тогда

хл = а + ал, г/л = 6 + Рл, п=1, 2,

где lim ал = lim рл = 0, а согласно следствию из свойства III пре-

П-+СО	п—>00

делов последовательностей из п. 3.3, существует такой номер п0,
 Ь „
что для всех номеров выполняется неравенство уп> 2>^

(действительно, заметив, что у <6, в указанном свойстве в ка-
b \

честве с надо взять с «у) —здесь используется предположение,
1	2

что &>0; поэтому при п^п0 имеем—С-т- (поскольку у,£=/=0,
Уп °

то на него можно делить).

Далее,

хп	а  а-[-ап

Уп	b ~ 6 + ₽л

b ~&(& + ₽л) ^пЬ

(3-14)

1	1	2

Здесь 0 < , ,, д... = -г— < т2-, т. е. последовательность 1/(Ь (&+Рл)),
иУп °

п = п0, По+1. •••, ограничена (отсюда, конечно, следует, что эта
последовательность ограничена и при всех п=1, 2, ...).

В силу свойств бесконечно малых последовательностей после-
довательность {ссл6 —рлЬ} является бесконечно малой, поэтому и
последовательность	(ссл6 — рла)| бесконечно малая. В силу

этого из (3.14) следует, что

lim хп
lim *'г = ~	•

п^Уп b lim уп

Аналогично рассматривается случай, когда b < 0. Q

Замечание. В случае последовательностей, имеющих беско-
нечные пределы, утверждения, аналогичные 1°—4°, вообще го-
воря, не имеют места. Например, пусть хл = п+1, уп = п,
п = 1, 2.....тогда

lim хп = lim уп— + оо и lim (хп—ул) = 1.

П—>СО	П—*00	П—>00

Если хп = 2п, y,t=--n, п = 1, 2, ..., то

lim хп = lim уп — + со и lim (хл — уп) = + оо.
П-*СО	П—>00	п—>00

Если же x„ = n + sinly, уп — п, п—1, 2, ..., то

lim хп — lim уп = 4~ оо,
п—>00	/1->ОО
nil	, n

а последовательность хл —	, п=1, 2, ...» не имеет ни

конечного, ни бесконечного предела.

Эти примеры показывают, что при одинаковых предположе-
ниях относительно последовательностей {хп} и {уп}, имеющих бес-
конечные пределы, для последовательностей {хп — уп} могут встре-
титься самые разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные
обобщения свойств 1°—4° на случай последовательностей с бес-
конечными пределами все-таки имеют место. Например, если
lim хл= 4-оо и lim уп=-]-<х) (или lim уп конечен^, то
п—>00	и—>оо	\	л—>оо	/

lim (х„ + уп) = + сю или, если сс>Ои lim х„ = + сю, то lim ахп =
= alimx„= + oo (рекомендуется доказать самостоятельно),
л—>со

Упражнение 15. Доказать, что если lim хл = -|-со, а последова-
л —> со
тельность {ул} ограничена, то lim (хл+г/л) = + со.
л-*со

Пр и м е р ы. 1. Пусть а > 0, хп > 0 и

х^Чб^х + тМ. п = 1, 2................... (3.15)

* \	лл-1/

Докажем, что lim хп = Уа. По индукции сразу ясно, что
Л—>00

х„>0 для всех n = 0, 1, 2, .... Покажем сначала, что

хП^Уа, и1, 2, ....	(3.16)

Для этого предварительно заметим, что из очевидного неравен-
ства (/— 1)2>:0 в случае />0 следует неравенство

Используя это неравенство при t = -У в силу (3.15) получаем:

V а

Покажем теперь, что последовательность хп, п=1, 2, ...,
монотонно убывает. Применяя неравенство (3.16), получаем:

1	/	 а \	Хп /«	 а '	Хп л

Хл-ы = о	( Хл + 4 ~	г ! 1	+ La I ’	 ъ- 2 — Хл,

Z	\ Хл/	2	Хп!	2

п=1, 2............ (3.17)

Итак, У a	%л+1 хп ... =CXj, где бы ни было распо-

ложено «нулевое приближение» х0>0, т. е. последовательность
{хл} ограничена снизу и монотонно убывает, поэтому, согласно
теореме 3, она имеет предел.
Пусть limx„ = x. Переходя к пределу, в равенстве (3.15) при
п->со, получаем равенство

*= 2 vv+t)-

откуда х2 = а, и так как x„5s0, то и х 5s 0, поэтому х = Уа.

Формула (3.15) может служить для приближенного вычисле-
ния значений квадратного корня из числа а. Она действительно
применяется на практике с этой целью, в частности, при вычис-
лениях на быстродействующих счетных машинах.

Нетрудно подсчитать и точность, с которой n-е приближение,
т. е. член хп, дает значение корня У а.

Из рекуррентной формулы (3.15) имеем:

= 2^(Х«-К«)2.	« = о, 1, 2,

Применяя неравенство (3.16), отсюда находим:

О^хп+1-У а^-^(хл — У а)2,	п=1, 2......

2 J а

Полученная оценка не совсем удобна на практике, поскольку
мы не знаем значения корня У а — мы его ищем. Однако всегда
можно найти приближенно такое с, что 0 < с <Уа, причем можно
выбрать и x05sc, тогда из полученной оценки будем иметь

О хл+1 — У а -L (х„ — У а)2, п = 0, 1, 2, ...,
или

^(х»+1-Уа)^У~(х„-Уа)]2,	п=0, 1, 2...

Отсюда по индукции находим:

(х„ - У а)	(хл_! - У а)]2

[(i	^ • • • ^ [ 27	- ^)Г •	(3-18)

Если выбрать нулевое приближение х0 так, чтобы

то из (3.18) получится, что

0^х„-Уа^2сд2П,

п— 1, 2, ...,
т. е. последовательность (3.15) сходится к значению корня
гораздо быстрее геометрической прогрессии со знаменателем q,
0<q'< 1.

Для иллюстрации приближенного вычисления корня по формуле (3.15)
приведём результаты вычисления У‘2 на ЭВМ в случае, когда в качестве
нулевого приближения х0 было выбрано х0= 1:

Х1 = 1,50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

х2= 1,41666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
xs=1,41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627
х4 = 1,41421356237468991062629557889013491011655962211574404458490
хъ=1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828
хв= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101
х1=1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667

Здесь полужирным шрифтом выделены числа, являющиеся правильным при-
ближением /2 с точностью до числа значащих цифр, входящих в выделенное
число (эти цифры стабилизируются в процессе вычисления). Число правиль-
ных в этом смысле цифр удваивается (как это видно из таблицы) при переходе
к следующему приближению: в хг имеется одна правильная цифра, в х2 уже 3,
в Xg — 6, в х4 —12, в хв — 24, в хв — 48, а х7 даёт уже правильное приближе-
ние ]^2 с 60 значащими цифрами, т. е. со всеми использованными разрядами.

Заметим, что если число а>0 таково, что корень из него
вычисляется в конечном виде в том смысле, что существует такая
конечная десятичная дробь х, что х2 = а, то эта дробь может
быть найдена (во всяком случае принципиально) с помощью
классического метода извлечения корня «столбиком». В случае
же извлечения корня из этого числа с помощью формулы (3.15),
если х0 выбрано отличным от точного значения корня: х0=£=У~а,
то указанное точное значение корня не получится ни на каком
шаге. Это следует из того, что в случае х0 #= У а последователь-
ность (3.15) строго убывает: хм<.хп, п=1, 2.............

Прежде чем рассматривать дальнейшие примеры докажем одно
полезное неравенство.

Лемма (неравенство Бернулли*'). Пусть а>0, тогда для
любого натурального п справедливо неравенство

(l-f-a)»> l-f-па.	(3.19)

Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
(1 +«)"= 1	се2-/... -/а".

Все слагаемые в правой части равенства положительны; отбра-
сывая все из них кроме первого и второго, отчего правая часть
может только уменьшиться, получаем искомое неравенство (3.19).

*’ Я- Бернулли (1654—1705) —швейцарский математик.
Вернемся к рассмотрению примеров.

2.	Если р>1, то Пшрл = + сю, а если 0<р<1, то
п—>оо

lim рл = 0.

«-♦со

Пусть сначала р>1, тогда р = 1 -f-cc, где а>0, и по нера-
венству Бернулли (см. (3.19))

рп — (1 а)" > 1 + па > па.

Поскольку lim an —a lim п = + оо, а> 0, то и Нтрл = 4~оо.

п—>СО	п—>СО	П —>00

Если теперь 0<р< 1, то ?=1/р>1 и

lim рл = lim -V =
л—>со*	Яп

1

lim qn
п-*<х>

О,

ибо по «доказанному Нт7л = + оо.
«—♦СО

3.	Для любого п>0:

lim а^п - 1,
п-*оо

lim a-1/n= 1.
п —>со

(3.20)

(3.21)

Пусть сначала а> 1, тогда &^=]Ла>1. В самом деле,
согласно определению корня Ьп = а. Если бы b =с 1, то, перемно-
жая это неравенство п раз, мы получили бы, что а = 6л^1, но
это противоречит условию а > 1. Положим

(3.22)

Согласно сказанному	Из (3.22) следует, что а=(1+хл)л.

Применяя неравенство Бернулли, получаем

П = (1 +хл)л>ПХл.

Следовательно, 0<хя<~> поэтому Нтхл = 0; откуда согласно
п	п-*<х>

(3.22)

lim
п-+<х>

Если теперь 0 <; а < 1, то b = уу > 1, и так как в силу дока-
занного lim & = 1, то
П—>ОО

lim л/~а = lim 1/4- = lim —-— =-----Ц—= 1.

Г	ГО	л г—	.. п —

п-*<я	V	П-+<Х> у/ b	limj/fl

п -> 00
Если а=1, то Yа=1, п=1,.2..............и, следовательно, также

lim	а — 1.

п-*со

Таким образом, (3.20) доказано при любом я>0. Отсюда
сразу следует (3.21):

lim о-1/»= lim -jL- =	1. □

п—>СО	П —*00 и	ИГО и

п —*со

Упражнение- 16. Пусть а0>0. &0ЭА «л =	^л =

п=1, 2, .... Доказать, что .последовательности {ал} и {&„} стремятся к одному
л	— ^0— «О л — l	I ^0 — «0 I

и тому же пределу а и что — ап^—— а^~——"•

3.10. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ
ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

Пусть задано какое-либо число а, для определенности а 5-0.
В силу свойства Архимеда существует целое число п0 > а. Среди
чисел п=1, 2, ..., п0 возьмем наименьшее, обладающее свой-
ством п>а, и обозначим его а0+1»
t___________*----------ч тогда а0 « <С ао + 1.

Разобьем отрезок /о = [ао> ао+ 1]
1	1 1 1 1 ' на десять равных отрезков, т. е.

рассмотрим отрезки

Рис- 8	[a0,«i‘> a0,ai+l/10],

где аь = 0, 1, 2, .... 9.

Возможны два случая: либо точ-
ка а не совпадает ни с одной точ-
кой деления (рис. 8), либо точка а
совпадает с одной из точек деления
(рис. 9, 10). В первом случае точ-
ка а принадлежит только одному
из этих отрезков. Обозначим его

71 = [а0,а1; а0, ах+ 1/10],

Рис. 10	где ах обозначает номер отрезка,

т. е. одну из цифр 0, 1, ..., 9.

Во втором случае точка а может принадлежать двум сосед-
ним отрезкам (рис. 10). Тогда через /х = Гссо.о^; «o,ai + обо-

значим тот из них, для которого точка а является левым, кон-
цом. Во всех случаях а е 1±. Разобьем отрезок 7Х в свою оче-
редь на десять равных отрезков и через /2 = рХо.о^Ог',
обозначим тот из получившихся отрезков, который содержит а
и для которого точка а не является правым концом. Продолжая
этот процесс, получим систему вложенных отрезков

iп~	Пл], И = 1, 2, ...,

где

а„ = а0» «1>а2...ал, ал = а0,«1«2 ... «„4--^-,

а а„ —одна из цифр 0, 1, 2, .... 9. Каждый из отрезков 1п
содержит а, причем а не является его правым концом,

йе/л, a=jt=an, n = 0, 1, 2,

длина отрезка /„ равна 1/10" и, следовательно, стремится к нулю
при п->оо.

Конечные десятичные дроби ап и ап называются десятичными
дробями, приближающими число а. Более точно, число ап назы-
вается нижним десятичным приближением порядка п, а число ап
верхним десятичным приближением того же порядка числа а.
Они обладают следующими свойствами, непосредственно вытекаю-
щими из их определения:

ап^а<ап,	(3.23)

(3.24)

ап — ал=1/10л.	(3.25)

В случае, если а<0, то, полагая Ь = — а, определяем
a,i=== b ц, ап b

при этом свойства (3.23) —(3.25), очевидно, сохраняются, лишь
в неравенстве (3.23) знаки и < поменяются местами.

Свойство (3-24) означает, что отрезки [а„, а„] образуют вло-
женную систему отрезков. Из свойства (3.25) следует, что длины
отрезков [аП, ап] стремятся к нулю. Наконец, (3.23) означает,
что точка а принадлежит всем этим отрезкам, поэтому согласно
замечанию п. 3.5, она является пределом их концов а„ и ап.

Итак, в частности, доказана следующая лемма.

Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность {ал}
монотонно возрастает, последовательность {ап} монотонно убы-
вает и

lim ап = lim ап = а.

n—*CQ~	fl —* ОО

Следствие. Всякое действительное число является пределом
последовательности рациональных чисел.

Следствие леммы вытекает из того, что ап и ап суть рацио-
нальные числа.
Пусть теперь снова а Ss 0 и ап = а0,	. ал. Поставим

в соответствие числу а бесконечную десятичную дробь
а0,аха2... ап ... Подчеркнем, что здесь а0 является неотрицательным
целым числом, а ал, п=1, 2, ... — одной из цифр 0, 1, 2, ...,9.
Поскольку число а является единственным числом, принадлежа-
щим всем отрезкам 1п, п=Г, 2; ..., то при указанном соответ-
ствии разным числам соответствуют разные десятичные дроби,
т. е. отличающиеся хотя бы- одним ak (k = 0, 1, 2, ...).

Заметим- далее, что при нашем построении не может полу-
читься дробь с периодом,, состоящим из одной цифры
9. Действительно, пусть числу а соответствует дробь
«о,	... а.1о 9,.. 9 ...где в случае п0 Ф 0> выполняется неравенство

аПот^9. Тогда, согласно построению,

а	’ а"“ 9 ’ ’ ' 9’ СС°’  а«о 4“	J

для всех п п0, где п — число десятичных знаков после запятой
в дроби а0,ах ... at,fl ... 9. Отсюда, следует,, что а является пра-
вым концом всех отрезков 1п, п~^п0, что противоречит выбору
этих отрезков.

Таким образом, в силу установленного соответствия каждому
действительному числу ае>0 соответствует некоторая бесконеч-
ная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной
цифры 9. Такие десятичные дроби называются допустимыми.

Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь
а0, аха2 ... «л ... в результате описанного соответствия оказы-
вается поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно
тому единственному числу, которое принадлежит всем отрезкам:

|а0,ах ... ал; а0,ах ... ал + -п=1, 2, ....

Это соответствие можно распространить и на отрицательные
числа: если числу а>0 соответствует дробь а0, ах ... а„ ..., то
числу —а поставим в соответствие дробь —а0, ах ... ал ....

Полученные результаты можно сформулировать в виде сле-
дующей теоремы.

Теорема 6. Между множеством всех действительных чисел и
множеством допустимых десятичных дробей существует взаимно
однозначное соответствие', причем если при этом соответствии
числу а соответствует дробь ± а0, аха2 ... «л ...» то

± lim а0,аха2 ... ал = а.

П-+СО

Бесконечная десятичная дробь ±а0, ссха2 ... ап . соответ-
ствующая числу а, называется его десятичной записью и исполь-
зуется для его обозначения; поэтому пишут

а — ± а0,аха2 ... ал ..
Если бесконечная десятичная дробь имеет период, состоящий
только из нулей,	. а„00 ... О ..., причем ап =/= 0, то

говорят, что эта дробь имеет п значащих цифр после запятой;
при этом обычно ноль в периоде не пишется, т. е. указанное
число записывается конечной десятичной дробью	... ал

(именно такая запись и употреблялась выше).

Замечание 1. Любой бесконечной десятичной дроби

«о,а1^2 ... а„ ...

(не обязательно допустимой) можно также естественным образом
поставить в соответствие единственное действительное число, при-
надлежащее всем отрезкам:

£<Х(),<Х1 ... Я/г, CCq,^ ... <ХЛ -]

однако получившееся при этом соответствие уже не будет
взаимно однозначным: может случиться, что разным деся-
тичным дробям будет соответствовать одно и то же действитель-
ное число. Именно дробям вида

«о.^а ... ал99 ... 9 ... и Яо.ахЯа ... (a„+1) 00 ... О ... (ал=#9)

соответствует одно и то же число. В описанной выше конструк-
ции соответствия вещественных чисел и бесконечных десятичных
дробей мы получили бы не только допустимые десятичные дроби,
если бы отказались от условия каждый раз выбирать такой отре-
зок 1п, что число а не является его правым концом.

Используя запись действительных чисел, с помощью беско-
нечных десятичных дробей можно получить правило для их
сравнения по величине и правила арифметических действий над
ними. И то и другое сводится к аналогичным операциям над
соответствующими их десятичными приближениями и, быть может,
предельному переходу. Сформулируем эти результаты в виде
лемм.

Лемма 2. Пусть а и b — действительные числа. Тогда а<_Ь
в том и только том случае, когда существует такое натураль-
ное п0, что ап<Ьп для всех п^п().

Действительно, пусть а<С.Ь. Из

а = lim ап, &=Нт&л, и

П—►ОО-	п—►со-

следует (см. свойства пределов последовательностей в п. 3.3),
что существует такое п0> что при всех n^nQ справедливы нера-
венства ап<.—, Ъп>—и, следовательно, неравенство
Обратно, если существует п0 такое, что ап<.Ьп для всех
п^п0, то случай а^>Ь невозможен в силу только что доказан-
ного. Невозможен и случай а — Ь, так как тогда бы в силу одно-
значной записи чисел с помощью допустимых десятичных дробей
при всех п=1, 2, ... выполнялось равенство ап — Ьп. Таким
образом, a<.b. Q

Лемма 3. Пусть а и b — два действительных числа, тогда

lim (a„-l-b„) = a-\-b, lim (ап— bn) = a — b, lim anbn = ab,
п—^со~ ~	п~> со ~	~	п—>00 ~ “

а при b =/= О

,. ап
lim =

п->со "п

а*

&

Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из
леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими дей-
ствиями над последовательностями (см. п. 3-9).

Замечание 2. Из леммы 3 следует, что для того чтобы
произвести с заданной степенью точности какое-либо арифмети-
ческое действие над числами, записанными в виде допустимых
десятичных дробей, надо взять с достаточной точностью конечные
десятичные приближения и произвести над ними соответствую-
щие действия. При этом при сложении, вычитании и умножении
в результате получается снова конечная десятичная дробь. В слу-
чае же деления частное двух конечных десятичных дробей будет,
вообще говоря, бесконечной десятичной дробью, причем, как это
известно из элементарной математики, — периодической. Однако
и в этом случае можно с любой степенью точности получить
результат, выраженный конечной десятичной дробью. Например,
если (ап/Ьп)п является нижним десятичным приближением порядкам
для частного ап!Ьп, то

/ а„\ а

lim нА =	(3.26)

и, следовательно, частное а/b, Ь^О, можно с любой степенью
точности выразить с помощью конечных десятичных дробей вида

*> Может случиться, что при некоторых п будем иметь Ь„ = 0 и, следо-
вательно, выражение ап/Ьп будет лишено смысла. Однако в силу условия
6#=0 и свойства III пределов последовательностей, доказанного в п. 3.3,
существует такое па, что Ьп 0 при п пи. В этом случае вместо последова-
тельности ап!Ьп, п = 1, 2........ следует рассматривать последовательность

an/bn, п--=пи, п0+1......
Для доказательства равенства (3.26) положим



ап

Ьп

а

6

в силу леммы 3 имеем (см. лемму в п. 3.9) lima„ = 0. Теперь,
п —>со

используя (3.23) и (3.25), получаем

/ ап \ а Г/ ал \ ап1 (ап а\ 1

УМ* “ ~ь = ЬХм “ м +	~	+ ап'

И поскольку lim +	= 0, то равенство (3.26) доказано.

Замечание 3. В результате вышеуказанных вычислений
с нижними десятичными приближениями порядка п в случае
сложения ап-\-Ьп, вычитания ап — Ьп и деления (ап/Ь„)п мы снова
получим конечные десятичные дроби с не более чем п значащими
цифрами после запятой. При умножении же апЬп получится,
вообще говоря, десятичная дробь с 2п значащими цифрами после
запятой. Если (а,фл)л является нижним десятичным приближе-
нием произведения апЬп, то аналогично (3.26) доказывается, что
lim («„&„)„ = аЬ.
п~~* со ------------------------

Таким образом, при приближенных вычислениях сумм а-\-Ь,
разностей а — Ь, произведений ab и частных а/b, Ь=^б, соответ-
ственно по формулам

@П 4” йп bn, (flrjln)n И (llnlbnjni

в результате указанных действий над конечными десятичными
дробями ап и Ьп, имеющими не более чем п значащих цифр после
запятой, получаются снова десятичные дроби с не более чем п
значащими цифрами после запятой, при этом результат может
быть получен с любой заданной степенью точности. Именно
таким образом и производятся обычно действия с числами на
практике.

Замечание 4. Отметим, что при построении способа записи
действительных чисел последовательностями цифр за основу было
взято число 10 (отрезки последовательно делились на десять-
равных частей). Вместо числа 10 можно взять любое натураль-
ное число п. При использовании быстродействующих вычисли-
тельных машин часто употребляется так называемая двоичная
система записи чисел, соответствующая случаю п = 2. При записи
числа в двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1.
Например, число 14,625 в двоичной системе будет иметь вид
1110,101, так как

14,625= 1-23+Ь22 4-1.21 + 0.20+ 1-2-1 + 0 - 2-2+l-2-з,
а цифры в двоичной системе записи числа являются соответ-
ствующими коэффициентами его разложения по степеням двойки.

Замечание 5. При изложении теории действительных чисел
можно идти и в обратном порядке: определить действительные
числа как бесконечные допустимые десятичные дроби и, исполь-
зуя эту запись, ввести в них соответствующим образом соотно-
шение порядка и арифметические действия.

Существуют и другие построения действительных чисел, кото-
рые исходят из других конкретных объектов, однако все они
приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам
I—V п. 2.1. Напомним (см. п. 2.4*), что наличие свойств I—V
однозначно определяет совокупность элементов, обладающих
этими свойствами. Однозначно в том смысле, что любые две сово-
купности, для элементов которых выполнены условия 1—V, изо-
морфны относительно операций сложения, умножения и свойства
упорядоченности. Здесь мы встречаемся с характерной чертой
математических методов исследования, для которых совершенно
безразлична природа элементов, а важны лишь «количественные
связи» между ними, которые в данном случае выражаются свой-
ствами I — V.

3.11	*. СЧЕТНОСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. НЕСЧЕТНОСТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Возникает естественный вопрос: все ли бесконечные множества
содержат одинаковое число элементов или бесконечности бывают
разными? Прежде всего оказывается, что непонятно, что вообще
означает термин «одинаковое число элементов» для бесконечных
множеств. Сравнение бесконечных множеств по количеству содер-
жащихся в них элементов, или, как принято говорить, по их
мощности, удобно производить с помощью понятия взаимно одно-
значного соответствия между элементами множеств (см. п. 1.2*).

Определение 17. Будем говорить, что два множества X и Y
имеют одинаковое количество элементов или что они равномощны,
если между ними можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие.

С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ..., п,... содержат
столько же элементов, сколько и четные числа 2, 4,..., 2п,
хотя на первый взгляд последних кажется в два раза меньше.
Требуемое взаимное однозначное соответствие получается, если
натуральному числу п поставить в соответствие число 2п, п =*
= 1, 2....

Четные числа составляют часть множества натуральных чисел,
однако эти множества равномощны, следовательно, в случае бес-
конечных множеств часть может равняться в нашем смысле це-
лому!
Определение 18. Множества, которое содержит столько же
элементов, сколько натуральный ряд чисел, т. е. равномощное
с множеством натуральных чисел, называется счетным.

Таким образом, если X счетно, то между множеством X и
множеством натуральных чисел можно установить взаимно одно-
значное соответствие, или, как говорят, можно- занумеровать
элементы множества X, понимая под номером каждого- элемента
х е X соответствующее ему при указанном соответствии нату-
ральное число.

Счетные множества являются в определенном смысле простей-
шими бесконечными множествами. Именно справедлива следую-
щая лемма.

Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное под-
множество.

Действительно, пусть X — бесконечное множество. Возьмем
какой-либо его элемент и обозначим его xv В силу того, что
X — бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один
элемент, отличный от элемента х±. Выберем какой-либо из таких
элементов и обозначим его х2.

Пусть в множестве X уже выбраны элементы ..., хп.
Поскольку X — бесконечное множество, то в нем заведомо есть
еще и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся эле-
ментов и обозначим его через хя+1 и т. д. В результате мы полу-
чили элементы хп е X, п = 1, 2, ..., которые образуют счетное
подмножество множества X. Q

Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества
счетно.

Доказательство. Пусть X — счетное множество, его эле-
менты могут быть перенумерованы: X = {alt а2, ..., ап, ...}. Пусть
У — бесконечное подмножество множества X. Обозначим через Ьг
первый встретившийся в ряде щ, а2, ..., ап, ... элемент множе-
ства У, т. е. тот из элементов ап е X, который принадлежит
множеству У и имеет наименьший номер по:&1 = аЛо. Через Ь2
обозначим тот из элементов ап, который принадлежит множеству У
и имеет наименьший номер среди- номеров п > п0 и т. д. Каждый
элемент множества Y имеется в ряде а1г а2, ..., ап ..., поэтому
через какое-то конечное число шагов он будет обозначен
через Ьт, и поскольку множество У бесконечно, то индекс т
примет любое значение 1, 2, 3, ... Таким образом, все элементы
множества У окажутся занумерованными натуральными числами
т=1, 2......Это и означает, что множество У является счетным

множеством. Q

Следующая теорема дает интересный пример счетного мно-
жества.

Теорема 7. Рациональные числа образуют счетное множество.

Доказательство. Расположим рациональные числа в таб-
лицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые
числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что
за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное;

О, 1, — 1,2, — 2, ..., п, —п, ..., п е N.

Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные
дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной вели-
чине, причем снова за каждым положительным числом поставим
ему противоположное:

1/2, —1/2, 3/2, —3/2, 5/2, —5/2, ....

Вообще, в п-ю строчку поместим все несократимые рациональные
дроби со знаменателем п, упорядоченные по их абсолютной вели-,
чине, так что за каждым положительным следует ему противопо-
ложное.

В результате получим			таблицу с бесконечным числом строк		
и столбцов:	0	1	— 1	2	— 2 ...
	1	1	3	3	5
	2	2	2	2	2
	1	1	2	2	4
					
	3	3	3	3	3
	1	_ £			

п п

Очевидно, что каждое рациональное число попадет на какое-то
место в этой таблице.

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно
следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих
элементов, стрелка указывает направление нумерации):

В результате все рациональные числа оказываются занумеро-
ванными, т. е. множество Q рациональных чисел счетно, [j]

Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные
множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да, суще-
ствуют, и они называются, естественно, несчетными множе-
ствами. Важный пример несчетных множеств устанавливается
нижеследующей теоремой.
Теорема 8 (Кантор). Множество действительных чисел несчетно.

Доказательство. Допустим противное: пусть удалось
занумеровать все действительные числа: х1г х2,, хп,...; запишем
их с помощью допустимых десятичных дробей:

xl = a,t)l,,a<ll'a'i1’  ...а1"..

х2 = ао2’, а?’а!221 ...off..

хп = а<л> ,a<">aW ... а(л) ..

"	0’11	т

(3.27)

Здесь а<£>, п = 1, 2,..., т=1, 2,..., обозначает одну из цифр
0, 1, 2, ..., 9 а а<п>, п=1, 2, целое число с тем или иным
знаком.

Выберем цифру а„, п~ 1, 2, ..., так, чтобы сс„ у= a^n) и а/г=^9.
Тогда дробь 0, а±а2 ... ап ... является допустимой, но числа
а = 0, а±а2 ...ап... заведомо нет среди чисел хп, п = 1, 2,..., так как
десятичная дробь 0, аъ ... ап ... хотя бы одним десятичным зна-
ком отличается от каждой из десятйчных дробей (3.27). Полу-
ченное противоречие и доказывает теорему. Q

Следствие 1. Множество действительных чисел любого интер-
вала несчетно.

Доказательство. Докажем, что, более того, множество
действительных чисел любого интервала равномощно множеству
всех действительных чисел.

В самом деле, прежде всего любой интервал равномощен интер-
валу (—1, +1). Взаимно однозначное соответствие между интер-
валом (а, Ь) и интервалом (—1, + 1) можно установить, напри-
мер, с помощью линейного отображения х—	 Если

a<Zt<b, то —1<х<+1. Интервал (—1, +1) взаимно одно-
значно с помощью отображения

отображается на всю действительную ось (проверьте это). Таким
образом оказывается, что интервал (а, Ь) равномощен всей дей-
ствительной оси и, следовательно, является несчетным множе-
ством. Q]

Взаимно однозначное соответствие между интервалом и всей
прямой легко можно наглядно осуществить геометрическим мето-
дом: сначала спроектируем открытую полуокружность, т. е. полу-
окружность без концевых точек, с помощью параллельной проек-
ции на интервал (рис. И) и, тем самым, установим между их
точками взаимно однозначное соответствие. Затем с помощью
центральной проекции из центра полуокружности спроектируем
ее на прямую (рис. 12). Эта проекция также устанавливает взаимно
однозначное соответствие, но на этот раз между указанной полу-
окружностью и всей прямой.

Следствие 2. На любом интервале имеются иррациональные
числа.

Доказательство. Действительно, если бы на некотором
интервале не оказалось бы иррационального числа, то это озна-
чало бы, что все точки этого интервала являются рациональными
числами, т. е. являются подмножеством счетного множества рацио-
нальных чисел и, значит, образуют конечное, или счетное, мно-
жество (см. лемму 2), что противоречит следствию 1. Q

Замечание. В п. 3.10 доказано, что действительное число
есть предел последовательности рациональных чисел (например,
своих верхних десятичных приближений). Отсюда сразу следует,
что всякий интервал содержит бесконечно много рациональных
чисел. В самом деле, пусть задан интервал (а, Ь). Выберем какое-
либо число £ е (а, Ь), например | = а+ &  Тогда если ti=i
= 1, 2, ..., — верхние десятичные приближения для £, то |л £ и
lim|„ = £. Поскольку интервал (а, Ь) является окрестностью
п -* со
выбранной точки S, то согласно определению предела последова-
тельности почти все рациональные числа |л будут содержаться
в интервале (а, Ь). Иначе говоря, найдется такой номер п0, что
для всех номеров п п0 будет выполняться неравенство а < £л < Ь,
т. е. |л, п — п0, «о+Ъ ..., —искомые рациональные числа.

Таким образом, на любом интервале числовой оси содержатся
как рациональные, так и иррациональные числа. Это свойство
кратко выражают, говоря, что «рациональные и иррациональные
числа образуют всюду плотные подмножества множества действи-
тельных чисел».

Упражнение 17. Доказать, что множества точек интервала, отрезка
и полуинтервала равномощны.

3.12	*. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В п. 3.6 было показано, что любая числовая последователь-
ность всегда имеет по крайней мере один частичный предел,
конечный или бесконечный. Наибольший и наименьший из них
(ниже будет показано, что они всегда существуют) играют особую
роль в теории последовательностей. Здесь понятия «наибольший»
и «наименьший» понимаются в смысле расширенного множества
действительных чисел R (см. п. 2.7), т. е. в частности, наиболь-
шим (наименьшим) элементом множества X с R может оказаться
4-оо (соответственно —оо). Это будет иметь место тогда, когда
j-cocX (—оосХ). В нашем случае это будет означать, что
бесконечность соответствующего знака является частичным пре-
делом рассматриваемой последовательности.

Определение 19. Наибольший частичный предел последователь-
ности {хя} называется ее верхним пределом и обозначается lim хп,
П<Х)
а наименьший частичный предел называется нижним пределом и
обозначается lim хп.

Теорема 9. У любой последовательности {х„} существует как
наибольший, так и наименьший частичный предел.

Доказательство. Докажем существование наибольшего
частичного предела. Для заданной последовательности {хл} воз-
можны два случая: либо она ограничена сверху, либо нет. Если
она не ограничена сверху, то 4- оо является ее частичным пре-
делом и, очевидно, наибольшим, т. е. lim хл = 4-

П —* СО

Если же последовательность {хп} ограничена сверху, то снова
возможны два случая: либо множество ее конечных пределов,
которое мы обозначим через А, не пусто, либо оно пусто. Рас-
смотрим сначала первый случай. Из ограниченности сверху данной
последовательности {хп\ следует и ограниченность сверху непустого
множества А ее конечных частичных пределов. В силу этого
множество А имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что
b = sup А является частичным пределом, т. е. что b е А. Действи-
тельно, если бы Ь^А, то существовало бы такое в>0, что
в интервале (Ь — в, &4*е) содержалось бы лишь конечное число
членов последовательности {хл} (в частности, ни одного), и поэтому
(почему?) в этом интервале не было бы ни одного элемента А,
что противоречит условию b — sup А.

Таким образом, b е А и, следовательно, является наибольшим
элементом множества А, поэтому b = lim х„.
п—>со

В оставшемся случае, т. е. когда последовательность {хл}
ограничена сверху и множество ее конечных частичных пределов А
пусто, то lim хп = — оо (докажите это), т. е. в этом случае мно-
fl —> ОО

жество ее частичных пределов состоит из одного элемента — оо,
который тем самым является и наибольшим в этом множестве,
т. е. здесь

lim хп= lim хп — — оо.
п—»оо	п-*со
Аналогично для любой последовательности доказывается и
существование наименьшего (конечного или бесконечного) частич-
ного предела. Q

(_ m 1 _|_/__ Пл

Упражнение 18. Пусть х„ — ~— 1 ——, п = 1, 2, ....

Найти lim хл, lim хп, inf {хП\, sup {%„}.
ТГТоо ,1^°°

Теорема 10. Для того чтобы число а было верхним пределом
последовательности , необходимо и достаточно выполнение для
любого числа е>0 совокупности следующих двух условий.

1.	Существует номер пе такой, что для всех номеров п^пг
справедливо неравенство хл<а + е.

2.	Для любого номера п0 существует номер п' (зависящий от
г и от п0) такой, что п' Z>n0 и xn-Z> а — е.

Условие 1 означает, что при любом фиксированном е>0
в последовательности {хл} существует лишь конечное число чле-
нов хп таких, что хп^а-\-Е (их номера меньше пе).

Условие же 2 означает, что при Любом фиксированном е > 0
в последовательности \хп\ существует бесконечно много членов хп
таких, что хп^>а — е.

Доказательство необходимости. Пусть а= lim хп
п-*ся
и пусть е>0 фиксировано. Если бы на полуинтервале [« + е, 4- оо)
оказалось бесконечно много членов последовательности {хп}, то
нашлась бы подпоследовательность последовательности {х„}, эле-
менты которой принадлежат этому полуинтервалу и которая имеет
конечный или бесконечный предел. Обозначим его через Ь. Оче-
видно, b 3= а + е > а, что противоречит тому, что а —наибольший
частичный предел последовательности {хп}. Свойство 1 доказано.

Далее, поскольку верхний предел является и частичным пре-
делом, то существует подпоследовательность такая, что
limx„fc=a. Почти все члены последовательности |хлД больше
а —е и, следовательно, существует бесконечно много членов дан-
ной последовательности {хп}, больших, чем а~ е. Свойство 2
также доказано.

Доказательство достаточности. Пусть число а удов-
летворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является
частичным пределом. Возьмем &=l/k, k—l, 2......Для каждого

натурального k существует номер nk такой, что xnk>a— \/k
(согласно условию 2) и xnk<Za-\-l/k (согласно условию 1).
Поскольку для любого k множество элементов хп данной после-
довательности, для которых выполняются неравенства а—~<С

<хл<а4-у, бесконечно, то номера пк можно последовательно
(fe=l, 2, ...) выбрать так, чтобы nkl<Znk2 при	В резуль-
тате мы получим подпоследовательность J данной последователь-
ности {%„}. Из неравенства |а — x„k !<~ следует, что lim xnk=a,
т. е. что а является частичным пределом последовательности {хп}.

Покажем теперь, что число а является наибольшим частичным
пределом. Действительно, если бы нашелся частичный предел b
последовательности {хп} такой, что b > а, то беря в > 0 так, что
а + мы получим, что на промежутке (a + s, + оо) будет
находиться бесконечно много членов последовательности
(а именно почти все члены подпоследовательности, сходящейся к Ь).
Это противоречит условию 1. Q

Упражнения. 19. Доказать, что для того чтобы последовательность
имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов + оо
или —оо), необходимо и достаточно, чтобы lim хп = lim хп.

п -* со	п —* со

20.	Доказать, что lim (хп-\-уп)^ lim х„+ lim уп.

п-*аэ	лЩ7га

21.	Доказать, что

lim x- = inf/ syP xmI= lim / sup л™1,
„-.co n	f

lim x„ = supf inf xml= lim f inf xml.

„"ЩЗо n	)	„-.oo	J

§ 4.	ФУНКЦИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

4.1.	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

При изучении тех или иных процессов реального мира (физи-
ческих, химических, биологических, экономических и всевозможных
других) мы постоянно встречаемся с теми или иными характери-
зующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых
процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины
сопутствует и изменение другой или даже, более того, изменение
одной величины является причиной изменения другой. Взаимо-
связные- изменения числовых характеристик рассматриваемых
величин приводят к их функциональной зависимости в соответ-
ствующих математических моделях. Поэтому понятие функции
является одним из самых важных понятий в математике и ее.
приложениях.

В нашем курсе математического анализа будут сначала изу-
чаться только действительные функции одного действительного
аргумента, т. е. функции f:E-+R, где Ec^R. Независимые и
зависимые переменные называются в этом случае действительными
(вещественными) переменными. Затем появятся функции многих
переменных, т. е. функции, определенные на некотором множестве
элементов, каждый из которых представляет собой упорядоченную
совокупность чисел. Будут также изучаться функции, прини-
мающие комплексные значения, функции, аргументами которых
являются комплексные числа и другие функции более общей
природы.

Над функциями, принимающими числовые значения (такие
функции называются числовыми функциями), можно производить
различные арифметические операции. Если даны две числовые
функции fug, определенные на одном и том же множестве X,
а с —некоторое число (или, как часто говорят, постоянное), то
функция cf определяется как функция, принимающая в каждой
точке х<=Х значение cf(x); функция — как функция, прини-
мающая в каждой точке х е X значение f(x) + g'(x); fg — как
функция, в каждой точке принимающая значение f(x)g(x)',
наконец, fig — как функция, в каждой точке zeX равная
/W/g'W (что, конечно, имеет смысл лишь при g(x)y=0).

Числовая функция f, определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху (ограниченной снизу), если множество ее зна-
чений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция f огра-
ничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М,
что для каждого х е X выполняется неравенство f (х) С М (соот-
ветственно /(х)ееМ).

Функция /, ограниченная на множестве X как сверху, так и
снизу, называется просто ограниченной на этом множестве. Оче-
видно, что функция f ограничена на множестве X в том и только
том случае, если существует такое число М > 0, что | f (х) | sg М
для каждого хеХ.

Верхняя (нижняя) грань множества значений Yf числовой
функции y—f(x), определенной на множестве X, называется верх-
ней (нижней) гранью функции f и обозначается

sup/, sup/, sup f(x) /inf/, inf/, inf f (x)\.
x xex ( x xex J

Более подробно это означает, что, например, X = sup/, если,
во-первых, для каждого /еХ выполняется неравенство /(х)-сХ
и, во-вторых, для любого Z'существует такое ху е X, что
/(xv)>^'- Индекс Z' у элемента множества X показывает, что
он зависит от выбора числа Z'.

В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции
может быть как конечной, так и бесконечной.

Согласно результатам п. 2.8, функция / ограничена сверху
(снизу) на множестве X тогда и только тогда, когда она имеет
на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.

Упражнения. 1. Доказать, что если функция f неограничена сверху
(соответственно снизу) на отрезке [а, Ь], то существует такая последователь-
ность точек хп <= [а, Ь], п=1, 2, .... что lim /(%„) = -[-оо (соответственно

Л —* СО
lim f(xn) = — со).
п —» со
2.	Доказать, что если функция неограничена на отрезке, то существует
то.чка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция неограничена.

3.	Построить пример функции, определенной на отрезке и неограничен-
ной на нем.

Будем говорить, что числовая функция /, определенная на
множестве X, принимает в точке х(| е X наибольшее значение
(соответственно наименьшее), если /(х)-с/(х0) (соответственно
/(х)5=/(х0)) для каждой точки х^Х. В этом случае будем
писать f (х0) = тах/ или f (х0) = max/ (соответственно /(х0) = minf
х	х

или / (х0) — min/).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также
ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные и
минимальные значения называются экстремальными.

Очевидно, что если функция f принимает в точке х0 наиболь-
шее (наименьшее) значение, то f (х0) = sup f (соответственно f (х0) =а
= inf/).

Отметим еще, что если заданы множества X, Y и соответст-
вие /, ставящее в соответствие каждому элементу множества X
единственный элемент множества Y, то этим функция /, опреде-
ленная на множестве X и с множеством значений, содержащимся
в множестве Y, полностью определена. В частности, безразлично,
какой буквой обозначать аргумент и какой — значение функции.
Так, при заданном указанном соответствии / записи у =f (х),
х е X, у еК и v = f(u), и^Х, v<=Y, обозначают одно и то
же. Например, y=logax, х>0 и x = \ogay, «/>0 обозначают
одну и ту же функцию.

4.2.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

В этой главе изучаются только действительные функции одной
действительной переменной, поэтому остановимся на способах
задания только таких функций.

Прежде всего функции могут задаваться при помощи формул:
аналитический способ. Для этого используется некото-
рый запас изученных и специально обозначенных функций,
алгебраические действия и предельный переход. Например, у
— ахД-b, у = ах2, y = sinx, у = уТ —х2, у= 1 4-]/lg cos 2лх.

При этом всегда под функцией, заданной некоторой форму-
лой, понимается функция, определенная на множестве всех тех
действительных -чисел, для которых, во-первых, указанная фор-
мула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех
необходимых вычислений по этой формуле получаются только
действительные числа, причем окончательный результат вычисле-
ний для данного числа х из области определения рассматривае-
мой функции является ее значением в точке х. Так, областью
существования функции /(х)

х+|х|

является интервал (—;1, 1),

хотя эта функция и принимает действительные значения на полу»-
прямой х < 1 с «выколотой точкой» х = — 1.

Иногда функция задается с помощью нескольких формул,
например

2х для х>0,



О для х = О,

(4-1)

х — 1

для х < 0.

Функция может быть задана также просто с помощью описа-
ния соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х>0
число 1, числу 0 —число 0, а каждому х<0 — число —1. В ре-
зультате получим функцию, определенную на всей вещественной
оси и принимающую три значения: 1, 0 и —1. Эта функция
имеет специальное обозначение signx*) и, конечно, может быть
записана с помощью нескольких формул:

signx =

1 для х > 0,

0 для х — 0,
— 1 для х<0.

Другой пример: каждому рациональному числу поставим
в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число
ноль. Полученная функция называется функцией Дирихле**}.

Отметим, что всякая формула является символической записью
некоторого где-то описанного ранее соответствия, так что, в конце
концов, нет принципиального различия между заданием функ-
ции с помощью формулы или с помощью описания соответствия;
это различие чисто внешнее.

Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная
функция, если для нее ввести специальное обозначение, может
служить для определения других функций с помощью формул,
включающих этот новый символ.

Если речь идет о действительных функциях одного действи-
тельного аргумента, то для наглядного представления о харак-
тере функциональной зависимости часто строятся графики функ-
ций.

Графиком функции y = f(x) (х и у — числа) называется множе-
ство точек на плоскости с координатами (х, f (х)), xgX (X —
как всегда, область определения функции).

*> Signum —по латыни означает «знак»

**’ Л. Дирихле (1805—1859) —немецкий математик.
Так, график функции (4.1) имеет вид, изображенный на
рис. 13, а график функции у = 1 + cos 2лх состоит из отдель-
ных точек (рис. 14).

Множество точек {(х, уу х е X, y^f(x)} называется надгра-
фиком данной функции /, а множество {(х, у): хеХ, y^=f(x)}
ее подграфиком.

Графическое изображение функции также может служить для
задания функциональной зависимости. Правда, это задание будет
приближенно, потому что измерение отрезков практически можно
производить лишь с определенной степенью точности. Примерами
графического задания функций, встречающимися на практике,
могут служить, например, показания осциллографа.

Функцию можно задать еще с помощью таблиц, т. е.
для некоторых значений переменной х указать соответствующие
значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены
как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных
математических расчетов. Примерами такого задания функций
являются логарифмические таблицы и таблицы тригонометриче-
ских функций.

Наконец, при проведении численных расчетов на компьютерах
функции задаются с помощью программ для их вычисле-
ния при нужных значениях аргумента или требуемые значения
функции в готовом виде закладываются тем или иным способом
в память компьютера.

Упражнения. Построить графики функций:

4.	у = 2х-\-\.

5.	у = ах+Ь,

6.	у = а/х.

7.	у = 2х2.

8.	у = ах2-\-Ьх-\-с,

9.	у = 2*.

10.	t/ = (l/2)*,

11.	i/=lgx. '

12.	t/ = logI/2 x.

13.	у — sin 2x.

14.	i/ = 2cos(3x+2) + l.

15.	i/ = tg3x.
16.	г/=~1 ct22*	1», »/ = 3arccos4+l.	2о-9=^4.

(X— П2

17,	t/=arcsinx,	19, t/ = arctgx,	21. z/= — ~	.

л-f-1

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналити-
ческие способы задания функции.

Неявные функции. Пусть дано уравнение вида

F(x, г/) = 0,	(4.2)

т. е. задана функция F (х, у) двух действительных переменных х
и у, и рассматриваются только такие пары х, у (если они суще-
ствуют), для которых выполняется условие (4.2).

Пусть существует такое множество X, что для каждого х0 е X
существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее
уравнению F (х0, у) — 0. Обозначим одно из таких г/-ков через
у0 и поставим его в соответствие числу х0 е X. В результате
получим функцию f, определенную на множестве X и такую, что
F(x0, /(хо)) = О для всех х0^Х. В этом случае говорят, что
функция f задается неявно уравнением (4.2). Одно и то же урав-
нение (4.2) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множе-
ство функций.

Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (4.2), назы-
ваются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых
формулой, разрешенной относительно переменной у, т. е. форму-
лой вида y = f(x).

Термин «неявная функция» отражает не характер функцио-
нальной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же
функция может быть задана как явно, так и неявно. Например,
функции f х (х) = ]/1 — х2 и /2 (х) = — У 1 — х2 могут быть заданы
также и неявным образом с помощью уравнения х2 + у2 — 1=0
в том смысле, что они входят в совокупность функций, задавае-
мых этим уравнением.

Сложные функции. Напомним, что если заданы функ-
ции y = f(x) и z = F(y), причем область задания функции F содер-
жит область значений функции /, тогда каждому х из области
определения функции f естественным образом соответствует г
такое, что z = F(y), где y — f(x). Эта функция, определяемая
соответствием z = F[/(x)], называется, как известно, сложной
функцией или композицией (суперпозицией) функций f и F и обо-
значается через F°f, т. е.

(F<f)(x)^F(f(x)).

Сложная функция отражает не характер функциональной зави-
симости, а лишь способ ее задания: может случиться, что одна
и та же функция может быть задана как с помощью компози-
ций каких-либо функций, так и без их помощи. Например, слож-
ная функция г = 2у, у = log2(l+sin2x), заданная с помощью

суперпозиций показательной и логарифмической функций, может
быть задана и без этой суперпозиции z=l+sin2x.

Подобным образом можно рассматривать сложные функции,

являющиеся суперпозицией более чем двух функций, например

функцию w =

можно рассматривать как.суперпо-

зицию следующих функций: a» = sinv, f = lg«, u = l-j-z, z—l/y,
У=Ух.

4.3.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Функции: постоянная у = с, с —константа, степенная у = х“,
показательная у = ах (а>0), логарифмическая y = \ogax (а>0,
ау=1), тригонометрические y = sinx, y = cosx, y = tgx, y — ctgx
и обратные тригонометрические y = arcsinx, z/ = arccosx, у =
— arctg x и у = arcctg x — называются основными элементарными
функциями.

Всякая функция, которая может быть явным образом задана
с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифмети-
ческих операций и суперпозиций основных элементарных функций,
называется просто элементарной функцией.

Под областью существования элементарной функции в соот-
ветствии с общим соглашением о функциях, заданных формулами
(см. п. 4.2), обычно понимают множество всех действительных
чисел х, для которых, во-первых, формула, задающая рассматри-
ваемую элементарную функцию, имеет смысл, и, во-вторых,
в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой
формуле получаются только действительные числа.

Выше рассмотренные функции, задаваемые формулами у =5
— ах-^-Ь, у —ах2, у — У\ — х2, у = 1 + V^lg cos 2лх, у =з
%+1 х I

тарная функция), являются элементарными функциями.

Элементарные функции обычно делят на следующие классы.

1.	Многочлены (полиномы). К многочленам относятся
функции, которые могут быть заданы формулами вида

п

у^Рп(х) = а0 + а1Х + ... + апхп= У akxk.

fe=0

Если an^=Q, то число п называется степенью данного много-
члена. Многочлены первой степени называются также линейными
функциями.

2.	Рациональные функции (рациональны едроб и).
К этому классу функций относятся функции, которые могут быть

(заметим, что | х I = У х2 — элемен-
заданы в виде

где Р (х) и Q (х) — многочлены.

3.	Иррациональные функции. Иррациональной функ-
цией называется функция, которая может быть задана с помощью
суперпозиций конечного числа рациональных функций, степен-
ных функций с рациональными показателями и четырех арифме-
тических действий. Например, функция

y=F (х-1)/(х2 + Кх)

является иррациональной функцией.

Заметим, что класс многочленов содержится в классе рацио-
нальных функций.

4.	Трансцендентные функции. Элементарные функ-
ции, не являющиеся иррациональными, называются трансцендент-
ными, элементарными функциями. Можно показать, что все пря-
мые и обратные тригонометрические функции, а также показа-
тельная и логарифмическая функции являются трансцендентными
функциями.

Поскольку в нашем курсе анализа изучаются в основном
действительные функции от одного или нескольких действитель-
ных аргументов, то вместо «действительная функция» будем гово-
рить и писать просто «функция». В тех случаях, когда будут
рассматриваться функции другой природы, это или будет спе-
циально оговариваться, либо будет ясно из контекста.

4.4.	ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИЙ

Для того чтобы сформулировать определение предела функ-
ции, введем сначала определение «проколотой окрестности».
Напомним, что 8-окрестностью (/ (х0, б) точки х0 е R называется
интервал вида U(х0. 8) = (х0 —8, х04-е).

Всякая 8-окрестность точки называется также просто ее окре-
стностью.

Определение 1. Проколотой ^.-окрестностью точки х0 называ-
ется ^.-окрестность точки х0, из которой удалена точка х0.

Проколотая 8-окрестность точки х0 обозначается через U (х0, е):

U (х0, б) й U (х0, б)\{х0}.

Всякая проколотая 8-окрестность точки х0 называется и просто
проколотой окрестностью этой точки и обозначается также и
через U (х0).
Отметим, что выражение «функция f определена на множе-
стве Е» не означает, что указанное множество является множе-
ством определения функции /, а лишь, что это множество при-
надлежит области Xf определения функции f и что в данном
-вопросе функция / рассматривается только на указанном множе-
стве Е, т. е. по существу рассматривается лишь сужение функ-
ции f на множестве Е*\

Определение 2. (Гейне**1). Пусть функция f определена на
некоторой проколотой окрестности U (х0) точки х0.

Число А называется пределом функции f в точке х0 (или при х,
стремящемся к х0), если для любой последовательности
xn^U (л'о), п=1, 2, ..., сходящейся к точке х0: lim хп — х0,
последовательность {/(*„)} сходится к числу А, т. е. верно ра-
венство lim f (хп) = А.
п —► оо

Если число А является пределом функции f в точке х0, то
пишется

Л=Нт/(л), или Л= lim f(x),

X —► Л'о	X — Xq —* О

а также /(%)-> А при х-+х0.

Из этого определения следует, что функция не может иметь
двух разных пределов в одной точке. Далее, из определения
следует, что значения функции / в точках х, лежащих вне любой
фиксированной окрестности точки х0, и значение функции f
в точке х0 не влияют ни на существование, ни на величину
предела функции f в точке х0.

Существует или нет предел функции в данной точке хв,
а если существует, то каково его значение, полностью опреде-
ляется значениями функции в сколь угодной малой проколотой
окрестности & (х0) точки х0. Действительно, какова бы ни была
проколотая окрестность U (х0) и какова бы ни была последова-
тельность хп^й (х0), /1 = 1, 2, ..., lim хп = х0, найдется такой
71 —> СО

номер п0 е N, что при п >- п0 будет иметь место еГ (л'о),
а конечное число оставшихся членов последовательности f (хг),
f {xA, ..., f (x„a-i) не влияет ни на существование, ни на вели-
чину предела всей последовательности {f(x„)}. В этом смысле
Говорят, что свойство функции иметь предел в данной точке
является локальным свойством функции.

*’ В случае окрестности точки (а также в случае ее проколотой окрест-
ности) наряду с выражением «функция определена на окрестности» употребля-
ется выражение «функция определена в окрестности». В подобных выражениях
предлоги в и на имеют одинаковый смысл и для ряда других множеств.

**’ Г. Гейне (1821 — 1881) — немецкий математик.

4 Кудрявцев Л. Д. т. 1
Подчеркнем, что если функция имеет предел в некоторой
точке, то она определена в некоторой проколотой окрестности
этой точки.

Примеры. 1. Пусть /(х) = (2х2 + х—1)/(х—1). Выясним,
существует или нет lim/(x). Возьмем какую-либо последова-
х—*0

тельность хп такую, что limxn==0 и х^О, п=1, 2, ..., тогда
п —> оо

на основании теорем п. 3.9 имеем:

2x‘-’4-z -1	2( lim X«Y+ lim Х«-1

lim.-"'*"   =	..ЛТ-------= 1-

xn-l	lim х„-1

п. —♦ со

(при этом мы считали хп #= 1, так как при х = 1 рассматриваемая
функция не определена). Таким образом, существует lim f(xn) =
п-*-со

= 1, и так как он не зависит от выбора последовательности хп-> О,
п=1, 2, ..., то существует и lim/(x)=l.
И—>СО

2.	Рассмотрим функцию f(x) = siny (рис. 15). Снова выясним
существует или нет lim/(x). Возьмем две последовательности:
х—о

х" = ^г и х»= Л/2+2ЛП’ п = 1> 2.......... Очевидно,	limx^

— Umx'n = 0, хп=£0, х'п^О, f(xn)—- sin пп = 0, f(x'n) = sin -?- = 1,
п -* со

/1=1, 2, .... Поэтому limf(xn) = 0 и lim/(x^) = l и, значит,
л-*оо
lim/(x) не существует.
х->0

Замечание. Пусть функции / и g определены на интервале
(а Ь), кроме, быть может, точки х0, и пусть f(x)=g(x) при х=/=
=/= х0, х е (а, Ь), тогда из то-
го, что в определении преде-
--------Д~ /I------(ГЛ---ла функции в точке х0

/1 I I / участвуют только значения
-----4—\-----------д----------1—/-- функции в точках х=/=х0 сле-
/ I---------------------------\/-дует, что пределы lim/(х) =

----VJ1—.—УК У---------------

= lim g(x) одновременно су-
х->х0

Рис. 15	ществуют или нет, причем

в первом случае lim/(x) =
= limg'(x). На этом простом замечании основано так называе-
мое правило раскрытия неопределенностей с помощью сокраще-
ния дробей. Поясним его на примере.

3.	Найдем lim -2х +х ^х. Повторение рассуждений, анало-
л:->0 л X

гичных проведенным выше при разборе примера 1, приводит
к выражению 0/0 (к неопределенности), т. е. не дает ответа на
вопрос о существовании и значении искомого предела. Однако,
беря функцию f (х) ——’ получающуюся сокращением на х
(2х^ х____________________х

выражения g(x) =—^2—х — и’ слеДовательно> такую, что
f(x) — g(x~) при х=?^0, вспоминая, что мы уже доказали, что су-
ществует lim/(х)= 1, имеем, согласно сделанному замечанию,
х—>0

limg (х) = lim (2х2^^1)- = lim	= Нт f(x) = l.

Определение 3. Пусть функция f определена на интервале
(а, х0). Число В называется пределом слева функции f в точке х0,
если какова бы ни была такая последовательность {%„}, что

lim хп = х0, а<.хп<Хо, п=\, 2, ...
л->оэ

(в частности, это означает, что последовательность {хп} сходится
слева к точке х0 см. п. 3.1), последовательность {f(xn)} сходится
к числу В, т. е.

lim f(xa) = B.

Если такое число В существует, то пишут

В= lim f(x) или В =/(.г0 —0).
0

Аналогично определяется предел справа /(хо + О) = lim f(x)
х —* х0 -J- 0

в точке х0 для функции, определенной на интервале (х0, Ь).
Именно, число В называется пределом справа функции f в точке
х0, если для любой такой последовательности точек {хп}, что
limx„ = x0, x0<.xn<.b, n=l, 2, ... (в частности, это означает,
п~-со

что последовательность {хп} сходится справа к точке х0), последова-
тельность {/ (х„)} сходится к числу В, т. е.

lim f(xn) = B.
n —*со

В случае хо = О вместо х->0-|-0 (соответственно вместо
х->0 — 0) пишут просто х-> + 0 (соответственно х-> —0). Пре-
делы слева и справа функции называются односторонними в от-
личие от предела функции, определенного в начале этого пункта,
который называется и двусторонним пределом.

В качестве примера рассмотрим функцию y = signx (см. п. 4.1
и рис. 16).

Пусть хп>0, х«<0, п — 1, 2, ... и lim хп— lim х,'=0. Тогда
п-*со	лД—»со

lim signx„ = lim 1 = 1, lim signx„ = lim (— 1) =— 1,
n—>CO	n—>CO	П-+ОЭ	n—>co
значит,

lim signx= 1,
л-»4-0

a lim signx =— 1.
х—»—О

Согласно определению предела функции функция /, определен-
ная в некоторой проколотой окрестности U (х0) точки х0, имеет
в этой точке предел, если какова бы ни была последовательность
Хп^Щхо), п=1, 2, ..., имеющая своим пределом х0: lim хп =.
= х0, последовательность {f(xn)} сходится, и ее предел не зави-
сит от выбора указанной последователь-
У	ности {хД, т. е. все последовательности

{f(xn)} имеют и притом один и тот

1	же предел: lim/(%„) = .4. Число А и

/1->со

---------------1-------- является в этом случае пределом функ-
1 х ции f в точке х0.

--------*~-1	Покажем, что если предположить
несколько меньше, а именно предполо-
жить только существование предела у

Рис' 16	каждой рассматриваемой последова-

тельности (хя)}, то уже из одного этого
будет следовать, что все эти пределы совпадают- и тем самым
функция f в этом случае будет иметь предел в точке х0.

Сформулируем это утверждение в виде отдельной леммы.

Лемма. Для того чтобы функция f, определенная в некоторой
проколотой окрестности U (х0) точки хп, имела в этой точке пре-
дел необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательно-
сти Хп^О(хо), п—1, 2, сходящейся к точке х0, последова-
тельность f (х„) имела предел.

Доказательство. Необходимость сформулированного усло-
вия для существования предела функции содержится в самом
определении этого понятия (см. определение 2).

Достаточность. Пусть функция f определена в проколо-
той окрестности U (х0) точки х0, и пусть для любой последова-
тельности хяеД(х0), limx„ = x0, последовательность f(xn), п =
= 1, 2, ..., сходится. Рассмотрим две последовательности
х'п (=U(x0) и Хп е0(хп), /1=1,2,..., limх'п = lim х„ = х0. Тогда
/I—>со	/г—>со

последовательность

{ x'k, если п = 2k — 1,

X‘ п Л „	о i.

( Xk, если п = 2k,
k = l, 2, ...

также сходится к точке х0, xn<=lJ (х0), п = 1, 2, .... Согласно
предположению существуют пределы limf(x„), limf(x„) и

Z1—>со	п-*оо
lim/(x„), причем последовательности {f (х'п)} и {f(x’n)} являются
п—»<х>

подпоследовательностями последовательности {f(x„)}.

Заметим теперь, что если у некоторой последовательности
имеется предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же
предел, поэтому

lim f (х'п) = lim f (х„), lim f (х'п) = lim f (xn)',

n~*oo	n —*CO	n—*00	n—>00

откуда

lim f(x’n) = lim f(x’n).

Таким образом, пределы последовательностей {/(х,,)}, где
п— 1, 2, .... и limx„ = x0, не зависят от выбора
п-»оо

последовательности {х„}. Обозначая их общее значение через А,
согласно определению 2 будем иметь: Иш/(х) = Л. Q

х—*Хо

Доказанная лемма естественным образом переносится и на
случай односторонних пределов.

4.5.	ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Существует другое определение предела функции, не исполь-
зующее понятия предела последовательности и называемое опре-
делением предела по Коши.

Определение 4'. Число А называется пределом функции f в точке
х0, если для любого £ > 0 существует такое 6 > 0, что для всех
х, удовлетворяющих условию

|х — xoj<6, х #= х0,	(4.3)

выполняется неравенство

]/(х) —А[<е.	(4.4)

Предел функции в смысле определения Коши также обозна-
чается

lim f (.г).

Х-*Хь

Используя логические символы, определение 4 можно записать
в виде

def

lim f (х) = А <=>
х->хв
def

<=>(Ve > 0) (36 > 0) (Vx #= x0, | x — x01 < 6): | f (x) — A | < e. (4.5)

Вспоминая, что множество точек х, удовлетворяющих условию
(4.3), называется проколотой окрестностью U(х0, 6) точки ха,
а множество точек у, удовлетворяющих неравенству \у — Д|<е,
называется просто окрестностью U(А, е) точка А, определение 4
можно перефразировать следующим образом.

Число А называется пределом функции f в точке х0, если для
любой окрестности U (Л, е) точки А существует такая проколо-
тая окрестность U(х0, 6) точки х0, что (рис. 17)

f(U(x0, 6))cU(A, е).

(4-6)

Теорема 1. Определения 2 «4 предела функции в данной точке

равносильны.

Доказательство. 1. Пусть Л = Ит f(x) в смысле опреде-

х-*х0

ления 2. Тогда функция f определена в некоторой проколотой

окрестности U(х0, 6) точки х0 и для лю-
бой последовательности хп е U(х0, 6),
п = 1, 2, ..., limxn = x0, имеет место

П-+СО

Пт/(х„) = Л. Покажем, что выполняется
п —*со

и условие, стоящее в правой части фор-
мулы (4.5).

Допустим, это не так, т. е. что
(Эе0>0) (V6>0) (Зх^х0,
|х6-х0|<б): |/(хв)-Л>е.	(4.7)

Иначе говоря, найдется такое е0>0, что для любого б>0,
а значит, в частности, и для любого 6, О<б<бо, существует
такое х6 (индекс бух подчеркивает зависимость х от выбора 6;
ничего, конечно, не изменится, если индекс 6 не писать), что

для него | Хе — х0| < 6 и выполняется неравенство

//(хв)-Д>е0.	(4.8)

Будем последовательно выбирать б = , п = 1, 2..а соот-

ветствующие хе обозначать просто через х„:



п

хп^=х0, п= 1, 2, ...,

(4-9)

следовательно, в силу (4.8)

|/(х„)- А (>Е0.

(4.Ю)

Очевидно, что из (4.9) вытекает, что х„ е 1/(х0, б0) и limxn —
п. —>со

= х0, однако из условия (4.10) явствует, что число А не может
быть пределом последовательности Д(хя)}. Это противоречит опре-
делению 2 предела функции. Полученное противоречие доказы-
вает сделанное утверждение. □
2. Пусть теперь Л = Пт/:(х) в смысле определения 4 пре-
Х-*Хо

дела функции. Покажем, что тогда- функция / прежде всего опре-
делена в некоторой проколотой окрестности точки х0. В самом
деле, возьмем, например, е= 1. Для него согласно определению 4
существует такое 60 > 0, что для всех х=^х0, | х — х01 < 60 выпол-
няется условие \f(x) — Л|<1 и, следовательно, в частности для
всех таких значений х определена функция f. Таким образом,
функция f заведомо определена в проколотой окрестности U (х0, $о)-

Возьмем

xn^U(x0, 60),	п=\, 2, ...,	(4-11)

и

limx„ = x0.	(4-12)

П—>СО

Покажем, что если функция f удовлетворяет условиям определе-
ния 4, то

Пт/(хл)=Л.	(4-13)

/2—>оо

Проверим это. Зададим произвольно s > 0 и выберем для
него 6>0, которое удовлетворяет условиям (4.3) —(4.4). Для
этого 6 в силу условия (4.12) найдется такое n0<=N, что для
всех n5sn0> n^N, будет выполняться неравенство \хп — х0|<6.
Из условия же (4.11) следует, что для всех n^N\ xn^=xQ.
Поэтому в силу (4.4) для всех п^п0 справедливо неравенство

1Л. (х) —Д|<е.

Это и означает выполнение условия (4.13). Q

Предел функции, как было отмечено в п. 4.4, является ло-
кальным свойством функции в том смысле, что его существова-
ние для функции в данной точке, а если он существует, то и
его значение не зависит от сужения функции на сколь угодно
малой проколотой окрестности рассматриваемой точки. Это хорошо
также видно и из определения 4: если задать произвольное 6о>0
и добавить в указанное определение дополнительное условие
6<6О, то получится равносильное исходному определение, так
как если условия (4.3) —(4.4) выполняются для некоторого 6 > О,
то они выполняются и для всех меньших положительных 6.

Для односторонних пределов функции в точке также можно
дать новое определение.

Определение 5. Пусть функция f(x) определена на интервале
(а, х0) (соответственно на интервале (х0> Ь))- Число В называется
пределом слева (справа) функции f (х) в точке х0, если для любого
числа е > 0 существует такое число 6 = 6 (е) > О, что для всех
точек х, удовлетворяющих условию х0 — 6<х<х0 (соответственно
условию х0 < х < Хо + 5), выполняется неравенство | f (х) — В | < е.

Совершенно аналогично теореме 1 доказывается, что это опре-
деление эквивалентно исходному (см. определение 3 в п. 4.4),
Связь между односторонними пределами и. двусторонним пре-
делом устанавливается следующей теоремой.

Теорема 2. Функция f имеет предел в точке тогда и только
тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так
и слева и они равны. В этом случае их общее значение и является
двусторонним пределом функции f в точке х0.

Доказательство. В самом деле, пусть lim /(х) = А. Тогда,

Х-+Хо

согласно определению предела функции в точке х0, это означает,
что для любого числа £>0 существует такое число 6>0, что
для всех точек х, удовлетворяющих условию |х —х0|<6, х=#х0,
выполняется неравенство | / (х) — Д|<е. Тем самым, как для
точек х таких, что х0 —6<х<х0, так и таких, что х0<х<
<х0-|-6, справедливо неравенство |/(х) —А|<е. А это, согласно
определению 5, и означает, что число А является как пределом
функции f слева, так и ее пределом справа в точке х0:

А = lim f(x) = lim f(x)	(4-14)

х-+хй—0	x^x-j-O

(обозначения см. в определении 3 в п. 4.4).

Обратно, пусть выполнены условия (4.14). Согласно опреде-
лению предела функции слева и справа, отсюда следует, что для
всякого е >> 0 существуют такие = 6j (е) > 0 и 62 = 62 (е) > О,
что для всех х, удовлетворяющих условию х0 —6i<ix<x0, и для
всех х, удовлетворяющих условию хо<х<хо + 62, справедливо
неравенство |/(х) —А|<е. Если обозначить через 6 наименьшее
из чисел и б2, то очевидно, что для всех х, удовлетворяющих
условию | х — х01 < 6, х =# х0, будет справедливо неравенство
|/(х) —А|<е. Это и означает, что

А = lim / (х). □

Х->Х0

4.6.	ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Понятие предела функции можно обобщить для случая, когда
аргумент функции или ее значения стремятся к бесконечности.
Например, будем говорить, что lim /(х) = оо, если для любого
х—>Xq~-|— О

е>0 существует такое 6>0, что для всех х таких, что
Хо<х<х0 + б, выполняется неравенство \ f(x) j >е.

Можно показать, что это определение равносильно следующему:
lim /(х) = оо, если функция f определена в некотором интер-
х *Хц О

вале (х0, Хо + 6), и для любой последовательности хяе(х0, х04-6)
п=1, 2, ..., lim х„ = х0 имеет место lim / (хя) = со.

п-*со	п->со

Приведем еще один пример. Будем говорить, что lim /(х) =

х—*—со

= А 4- 0, если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для
всех х< —6 выполняется неравенство As^f (х) <Z А-|-б.
Нетрудно сформулировать равносильное определение в терми-
нах пределов последовательностей.

Встречаются и различные другие подобные сочетания предель-
ных значений аргументов и функций. Формулировка определения
предела функции для каждого отдельного случая, хотя часто и
удобна в конкретных ситуациях (поэтому ее нужно уметь делать),
мало приспособлена к рассмотрению общих вопросов, так как
требует проведения специальных доказательств, соответствующих
данным определениям. Поэтому целесообразно ввести одно единое
определение предела функции, конечного и бесконечного, в дан-
ной «точке».

Напомним, что окрестностью точки а называется всякий ин-
тервал вида (х0 —б, х0 + 6), б>0. Правосторонней окрестностью
U (хй4-0, 6), точки х0 называется полуинтервал вида [х0, х04-ф,
а левосторонней U (х0 — 0, 6) — полуинтервал (х0 — б, х0], б>0.

По аналогии с определением проколотой окрестности U (х0, 6)
в п. 4.4 определим проколотые окрестности для хй4-0, х0 — О,
сю, -(-оо, —оо:

П(хо4-О, 6)'— (х'о, Хо4~ б)== U (х0 + 0, б) \ {Хо},

(7(х?-0, 6)^(x0-6, xo) = U(xo-O, б)\{х0},

U (со, 6) “ {х: | х | > 6} = U (оо, 6) \ {4~°о} \ {—оо},
£(4-со, б)^{х: х>6} = (7(4-оо, б) \H-oo},

U(—сю, б) = {х: х< —б} = £/(—со, 6) \{—сю},б>0

Как видно из сформированного определения, проколотые ок-
рестности любых элементов х0, х0 4-0, х0 — 0, оо, 4- оо или — оо
получаются из их обычных окрестностей посредством удаления
из них соответствующих элементов. При этом оказывается, что
во всех перечисленных случаях элементами проколотых окрест-
ностей являются только действительные числа.

Для простоты формулировок здесь под термином «точка»
будем понимать либо действительное число х0, либо один из сим-
волов Хо + 0, *o — O, сю, 4-сю, —сю. Под записью х =4= а, в случаях
п = хо±О будем понимать х^=х0 и. считать, что — сю-}-0 =—сю
и 4-ос —0 = 4* °о- Для краткости иногда обычную и проколотую
б-окрестности точки а будем соответственно обозначать через
U (а) и U (а).

Теперь можно сформулировать общее определение предела
функции.

Определение 6. Точка А называется пределом функции f в точ-
ке а и пишется lim/(x) = 4, если для любой окрестности U (А, е)
точки А существует такая проколотая окрестность U (а, б)
точки а, что f (U {a, ity'czU^A, е).
Заметим, что функция /, имеющая предел в точке а, опреде-
лена в силу определения 6 в некоторой проколотой окрестности
этой точки. Чтобы доказать ее существование, достаточно взять
какое-либо конкретное е>0, например, е = 1; тогда, если
U (а, 60) — проколотая 60-окрестность, соответствующая е = 1 со-
гласно определению 6, то функция f и будет определена во всех
точках этой проколотой окрестности. Мы уже встречались с подоб-
ным рассуждением в п. 4.5 при доказательстве эквивалентности
определений 2 и 4 предела функции.

Нетрудно сформулировать определение предела функции в точке,
равносильное определению 6, в терминах предела последователь-
ности.

Определение 7. Точка А называется пределом функции f в точ-
ке а, если функция f определена в некоторой проколотой окрест-
ности U (а) точки а и если для любой последовательности
xn^U(a), п—1, 2, ...,	имеет место lim f(xn) = A.

Аналогично случаю а — х0 е R и конечного предела А, рассмот-
ренному в п. 4.5, доказывается эквивалентность определений 6 и 7.

Для общего определения предела функции в точке справедливо
обобщение леммы из п. 4.4 в следующем виде.

Лемма. Для того чтобы функция f, определенная в некоторой
проколотой окрестности U (а) точки а имела в этой точке конеч-
ный или бесконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для
любой последовательности xn^U (а), п = 1, 2, ..., имеющей своим
пределом величину а, последовательность значений функции {f (х„)}
имела конечный или бесконечный предел.

Необходимость сформулированного условия следует непосред-
ственно из определения 7, а доказательство его достаточности
получается буквальным повторением леммы п. 4.4, если только
под встречающимися там пределами понимать конечные или
бесконечные пределы.

В дальнейшем под пределом функции всегда понимается ко-
нечный предел, если не оговорено что-либо другое. При этом,
если предел функции равен А 4-0 или А —0, где А —число:
А е /?, то этот предел также называется конечным.

Упражнения; 22. Доказать равносильность определений 6 и 7.

23.	Доказать, что если Р (лг) — многочлен степени «3=1, то lim Р(х)=со

Х-*—со
и lim Р (х) = со.

Я->4-СО

4.7.	СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены
в некоторой проколотой окрестности U (a) = U (а, 60) заданной
точки а. Напомним, что под «точкой» понимается либо число xQ,
либо один из символов Хо4-О, %о — 0, сю, 4-оо, —оо.
1°. Если у функции в - заданной точке существует конечный
предел, то в некоторой проколотой окрестности этой точки
функция ограничена.

Доказательство. Пусть у функции f существует конечный
предел Нпт/(х) = Л. Тогда согласно определению 6 для любого
е>0, в частности, для е=1, существует такая проколотая окре-
стность U (а, 6) точки а, что для всех х е U (а, 6) имеет место
f (х) е U (А, 1), т. е. выполняется неравенство А — 1 </(х)< Л-]-1.
Это и означает ограниченность функции f на проколотой окрест-
ности U (а, 6). Q

2Q. Если у функции в заданной точке существует конечный, не
равный нулю предел, то в некоторой проколотой окрестности этой
точки функция имеет тот же знак, что и указанный предел
(в частности, она не равна нулю).

Доказательство. Пусть существует конечный предел
Пт/.(х) = Д и для определенности Л>0. Тогда согласно определе-
х-*а
нию 6 для любого е > О, в частности для е = А (в случае А < О
надо взять е = — А) существует такая проколотая окрестность
(j(a, 6), что для всех х е U (а, 6) имеет место f (х) <=U (А, Л),
т. е. выполняется неравенство A — A <cf (х) <С А -’Г А. В частно-
сти, f(x)>0. □

3°. Если f (х) = с — постоянная, x^U(a), то lim/(x) = c.

4°. Если f(x)^A, x^.U(a), и существует конечный или опре-
деленного знака бесконечный предел lim/(x), то limf(x)^ А.

х-+а	х—>а

5°. Если <p(x)sg/(x)sgty(x), х (а) и существуют конечные
или бесконечные определенного знака пределы lim <р (х) = lim ф(х)=
х^>а	х-+а

= А, то lim f (х) = А.
х^>а

6°. Если существуют конечные пределы lim/(x) и limg-(x), то
х~+а	х^а

существуют и конечные пределы lim [/(x)-(-g'(x)], lim f(x)g(x), a
x->a	x-+a

если lirrig-(x)=^0, то — и предел lim 4-y-y, причем
x->a	x->a S \x)

lim [/ (x) + g (x)] = lim f (x) limg (x),
x-*a	x—>a	x->a

lim/(x)g-(x) = lim/(x) limg(x),
x—*a	x—>a x—»a

lim f(x)

lim =	t

x-,egW limgW

x^a

(4-15)

(4-16)

(4-17)
Следствие. Если существует lim/(x), то для любого числа c^R
х-+а

lime/(х) = с lim/(x).
х—*а	х—>а

Заметим, что частное f(x)/g(x) при условии, что limg(x) Д=0,
х-+а

конечно, может быть не определено на всей исходной проколотой
окрестности и (а, д0). Однако, согласно свойству 2° из условия
lim g(x) Ф 0 следует, что существует такая проколотая окрестность
х-*а

(Ца, 6), 0<6^6у, на которой g(x)=A=0, и потому на ней имеет
смысл частное f(x)/g(x). Предполагается, что в формуле предела
частного рассматривается сужение функций fug на указанной
проколотой окрестности U (а, 8).

Свойства 3° —6° могут быть доказаны одинаковым методом,
основанным на соответствующих свойствах пределов последова-
тельностей (см. п. 3.9).

Докажем, например, формулу (4.16). Пусть Л“Пт/(х),
х—*а

B=\img(x). Тогда, согласно определению 7 предела функции
х—

(см. п. 4.6), для любой последовательности хп е U (а), п = 1, 2,...,
Итхп = а, справедливы равенства

А = lim f (хп), В = lim g (х„).

Поэтому вспоминая, что предел произведения сходящихся после-
довательностей существует и равен произведению их пределов
(см.'п. 3.9), получаем, что существует предел lim f(xn)g (х„) = А В,
причем этот предел не зависит от выбора указанной последова-
тельности {хп\. Это согласно тому же определению 7 и означает,
что

lim f(x)g(x) = АВ = lim f(x) lim g(x). [П
x—>a	x-^a x-*a

4.8*	. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ

Здесь будет доказана теорема, полезная при решении задач на
нахождение пределов функций.

Теорема 3 (о замене переменной для пределов функций). Пусть
существуют конечные или бесконечные пределы limf(x) = b и
х-*а

lim F (у). Пусть, кроме того, в некоторой проколотой окрестности
у—-ь

течки а имеет место f (x)=^b, тогда в точке а существует пре-
дел сложной функции F (f (х)) и

lim F (f(x)) = lim F (у).	(4.18)

Х-.Д	y—^b
Доказательство. Из условий теоремы следует, что суще-
ствуют такие проколотые окрестности U (а, 60) и U (Ь, е), что
функция f определена на U (а, 60) и при х е U (а, 60)

f(x)J=b,	(4.19)

а функция F определена на U (Ь, е).

Из существования предела lim/(x) = b согласно определению 6
х -*а

(см. п. 6) следует существование такой проколотой окрестности
U (а, 6), что

f(U(a, 6)) cU(b, е).	(4.20)

При этом можно выбрать 8-''8о, ибо если условие (4.20) выпол-
нено для некоторого б > 0, то оно выполнено и для всех меньших
положительных 6. В силу условия (4.19) из (4.20) следует, что
множество f(U (а, 6)) принадлежит не только окрестности U (Ь, е),
но и соответствующей проколотой:

f(U(a, 8)czU(b, е).	(4.21)

Поэтому для любого х <=U (а, 6) значение f (х) принадлежит
области определения функции F и, следовательно, для любого
хе U (а, 8) определена сложная функция F (/(%)) или, как гово-
рят, композиция F°f.

Пусть, теперь, последовательность xn^U(a, 6), п=1, 2, ...,
такова, что limx„ = a и пусть yn^f(xn)- Тогда в силу определе-
п-*оо

ния предела 7 (см. п. 4.6) limyn = b, а в силу (4.21) yn<^U(b, е).

Поэтому согласно тому же определению 7 из существования
предела lim F (у), который обозначим через А, следует, что

lim F (f (x„)) = lim F (уп) = А.
п—>со	п —»со

Поскольку это верно для любой указанной последовательности
{х„}, то это и означает, что limF(f(x)) = A. Q
х—>а

Замечание. Пусть функция f определена в некоторой про-
колотой окрестности U (а, 6) и отображает ее взаимно однозначно
на проколотую окрестность U (й, е). Следовательно, на V (Ь, е)
определена однозначная обратная функция причем при
х'ёи (а, 8) имеет место неравенство f(x)^b, а при y^U(b, е)
соответственно,	Пусть limf(x) = & и lim /-1 {у) = а.

у->Ь

Пусть, кроме того, на U (Ь, е) определена функция F, и потому
на U (а, 8) определена композиция F • f. Тогда предел lim F (у)
у-*Ь
существует в том и только том случае, когда существует предел
lim F [f (х)], причем если они существуют, то равны между собой.
х->а

То, что из существования- предела limF(y) следует существо-
ванне предела limF(/(x)), и их равенство составляет утверждение
х-+а

теоремы 3. Поэтому надо доказать только обратное утверждение.
Оно при сделанных предположениях также вытекает из теоремы 3,
примененной к композиции (F • /) Д-1 функций f-1 и F-f.

Действительно, согласно этой теореме существует предел
lim(F.f) (/-1 («/)) = lim(F-Д (х), но (F-f) "/-* = Fi) = F, тем
y-*b	x~>a

самым существует предел limF(p). Q]
//—* ь

4.9.	БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на
некоторой проколотой окрестности U (а) точки а.

Определение 8. Функциям называется бесконечно малой (бесконеч-
нобольшой) при стремлении аргумента к точке а, если lima(x) = 0
х-+а
(lima (х) = оо).
х-+а

Бесконечно малые функции играют существенную роль, свя-
занную, в частности, с тем, что общее понятие предела может
быть сведено к понятию бесконечно малой.

Лемма. Предел lim/(x) существует и равен А тогда и только
х^-а

тогда, когда f (х) = А -ф а (х), где а бесконечно малая при стрем-
лении аргумента к точке а.

Действительно, если lim / (х) = А, то, полагая a (х) = f (х) — А,
х-*а

получаем lima (х) = limf(x) — А = А — А =0.
х —»а	х—► а

Наоборот, если f (х) = А -ф а (х) и lima(x) = 0, то lim/(x) =
__________________	х->а	х-+а

—	Л-фИта(х) = Л. О
х-*а

Теорема 4. Сумма и произведение конечного числа бесконечно
малых при стремлении аргумента к точке а, а также произведе-
ние бесконечно малой при стремлении аргумента к точке а на
ограниченную функцию являются бесконечно малыми при стремле-
нии аргумента к той же точке а.

То, что сумма и произведение конечного числа бесконечно
малых является бесконечно малой, непосредственно следует из
свойства пределов в п. 4.7.

Доказательство же того, что произведение бесконечно малой
на ограниченную функцию является бесконечно малой, очевидным
образом проводится на основе определения 7 предела функции
с использованием соответствующего свойства бесконечно малых
последовательностей (см. в п. 3.8 свойство II).

Упражнение 24. Доказать, что функция а, определенная и не равная
нулю в некоторой проколотой окрестности точки а, тогда и только тогда явля-
ется бесконечно малой при стремлении аргумента к точке а, когда функция
1/а является бесконечно большой при стремлении аргумента к той же точке а.

То обстоятельство, что функция, обратная бесконечно малой,
является бесконечно большой и наоборот (см. упражнение 24),
делает естественной следующую символическую запись, часто
употребляющуюся для сокращения записи: для любого числа
а>0 пишут

а . а	а	а . п а „ а

-	— = 4-00,  г- = ОО, -7-- = оо, -— = +0, --------- —0, — = 0.

-	|-0	'	—0	’ 0	’ 4-оэ 1 ’ —оо	’ оо

Отметим, что на бесконечно большие функции свойства конеч-
ных пределов, связанные с арифметическими действиями над
пределами, непосредственно не переносятся. Однако некоторые
аналогии имеют место.

Например, если lim f (х) = -(-со, limg(x) = +°°, то и lim[/(x)+
х—*а	х-*а	х~>а

4-g(x)]==+oo. Однако о существовании какого-либо предела
lim [/(х) — g-(x)] здесь уже ничего утверждать нельзя. Можно пока-
х-*а
зать, что позитивные утверждения о бесконечных пределах можно
сделать в случаях, для которых в п. 2.5 были определены неко-
торые «арифметические операции» с + °о и —оо.

4.10.	ПРЕДЕЛЫ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ

Определение 9. Функция f, определенная на числовом множе-
стве Е, называется возрастающей (убывающей) на Е, если для
любых X) Е Е и х2 е Е таких, что х2 < х2, выполняется неравен-
ство / (хх) =С / (х2) (соответственно, неравенство /(xi)^f (х2) **.

Если функция является возрастающей (убывающей) на множе-
стве Е, то говорят также, что она возрастает (убывает) на этом
множестве.

Если функция f возрастает на множестве Е, то функция—/,
получающаяся из f изменением знака у всех ее значений, т. е.
(—/)(х) = —f(x), х^Е, является убывающей на Е функций.

Возрастающие и убывающие на множестве Е функции назы-
вается монотонными на этом множестве.

Теорема 5. Пусть функция f возрастает на конечном или беско-
нечном интервале (а, Ь). Тогда в точке х — Ь существует предел

*’ Возрастающие (убывающие) функции называются также неубывающими
(невозрастающими).
слева и
lim f (х) = sup f (х),
x->b—0	(a, b)

а в точке x = а —предел справа и
lim f (x) = inf f(x).
x—*a-j-0	(a, b)

Таким образом, если в условиях теоремы функция f ограничена
сверху, то в точке х = Ь существует конечный предел слева, а
если f неограничена сверху, то lim f(x) = +oo.

x^b—O

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке
х = а существует конечный предел справа, а если / не ограничена
снизу, то lim /(х) =—оо.

X—*0'4'0

Аналогичные утверждения справедливы и для убывающих
функций, их можно' получить, перейдя от функции f к функ-
ции — f.

Следствие. Если функция f монотонна на интервале (а, Ь) и
Хо ё (а, Ь), то в точке х0 существуют конечные односторонние
пределы

/(хо-0) м /(хо + 0).	(4.22)

def

Доказательство теоремы. Пусть р — supf (х) — верх-
(а, &)

няя грань конечная или бесконечная, равная -фоо. Возьмем ка-
кое-либо т] < р. Тогда в силу определения верхней грани (см. свой-
ство 2° в определении 6' п. 2.8) существует точка £ е (а, Ь) такая, что

(4-23)

Положим, что U (6)S=(g, Ь), т. е. U (Ь) является односторон-
ней проколотой окрестностью точки b *). Тогда для любого
х е U (Ь), т. е. для любого такого х, что | < х < b (рис. 18) в силу
возрастания функции f, определения верхней грани и неравен-
ства (4.23) получим:

Итак, если х е U (Ь), то

T]<f(x)^p.	(4.24)

Задание произвольного числа г) < Р равносильно в данном слу-
чае заданию произвольной окрестности U (Р) точки р в еле-
def

дующем смысле. Именно, если р конечно, то, полагая е = р —г],
получаем, что условие (4.24) равносильно условию f (х) е t/(Р, е)>

*) В случае Ь==4-оо проколотая окрестность (т), +оо) причисляется
к односторонним проколотым окрестностям.
ибо /(x)sgp. Если же р = +оо, то условие (4.24) равносильно
условию fix) е С/(4-оо, ц).

Таким образом, ддя любой окрестности U (0) существует такая
проколотая окрестность U (Ь), что для любой точки х е U (Ь) имеет
место f(x)et/(P). Это и означает, что

lim f(x) = p = sup f(x).

x -+b—-Q	ia, b)

Аналогично доказывается, что
lim f(x)— inf fix). Q

x-*a + O	(a, b)

Доказательство следствия.
Пусть для определенности функция f воз-
растает на интервале (а, Ь). Тогда како-
ва бы ни была точка х0 е (а, Ь), для всех
х' е (а, х0) и всех х" е (х0, Ь) будет спра-
ведливо неравенство f (х') sg f (х0) f (х"),

т. е. функция f ограничена сверху на интервале (а, х0) и снизу
на интервале (х0, Ь) числом /(х0). Следовательно,

sup f (х) sg f (х0) inf fix).

(a. *„)	<x0, ft)

В частности, указанные верхняя и нижняя грани конечны. Этим

следствие доказано, так как согласно теореме

f(x0 —0) = sup fix), /(хо4-О)= inf fix). □
(а, х0)	(х0, Ь)

4.11.	КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Как и в случае предела последовательности, получим необхо-
димое и достаточное условие того, что функция имеет предел
в точке а, не используя самого значения предела, а в терминах
лишь значений самой функции в проколотой окрестности точки а.

Теорема 6 (критерий Коши). Для того чтобы функция f имела
в точке а конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > О существовала такая проколотая окрестность U (а, б)
точки а, что для любых х' ^0 ia, б) и х" е U ia, б) выполнялось бы
неравенство

|/(X")-/(X')|<8.

Доказательство необходимости. Пусть lim/(x) =
х — а

= А е /?. Это означает, что для любого е > О существует про-
колотая окрестность U ia, б) точки а такая, что для каждого
х е U (а, б) справедливо неравенство

|/(х)-Д|

е
Пусть х' е U (а, 6) и х",е U (а, 6), тогда в силу (4.25) получим:

^|/(х")-Л| + |/(х')-Л|<А + А = е. Q

Доказательство достаточности. Пусть функция f
такова, что для любого е > 0 существует такая проколотая окре-
стность U (а, б), что для всех

х' е U (а, 6), х" е 0 (а, 6)

выполняется неравенство

|/(х-")-/(х')|<8.

(4.26)

(4-27)

Прежде всего из этого условия следует, что функция f опре-
делена в некоторой проколотой окрестности U (а) точки а. Можно,
например, взять е=1, тогда функция f и будет определена в соот-
ветствующей ему в силу сформулированного условия проколотой
окрестности.

Проверим, что функция f имеет в точке а предел. Возьмем
какую-либо последовательность хп е U (а), п = 1, 2, ...,

1йпх„ = а	(4.28)

п —>оо

и произвольно зададим е>0. Для этого е существует проколо-
тая окрестность (J (а, 6), удовлетворяющая условиям (4.26) — (4.27).
В силу условия (4.28) для соответствующей обычной окрестности
U (а, 6) существует такое поеМ, что при всех п^п0, n^N,
имеет место xn^U(a, 6). Но xn^U (а), следовательно, хафа,
n^N. Поэтому Хп. принадлежат не только обычной окрестности
U(а, 6), но и соответствующей проколотой: хяе1? (а, 6), п^п0.
Отсюда в силу условий (4.26)— (4.27) для всех п^п0 и т^п0
получим:

I / (х«) — / (хот) I < е,

т. е. последовательность {f(xn)} удовлетворяет условиям критерия
Коши для последовательностей и, следовательно, сходится (см.
п. 3.7).

Таким образом, для каждой последовательности хп е (J (а),
п=1, 2, ..., удовлетворяющей условию (4.28) последовательности
{/(%„)} сходится. Отсюда, как известно (см. лемму п. 4.6), следует
существование конечного предела limf(x). □

х -* а

В случае, если а = х0 является числом, то условие Коши можно
перефразировать следующим образом.
Для любого е > 0 существует такое 6 = 6 (е) > О, что для любых
х' и х", удовлетворяющих условиям | х' — х01 < 5, | х" — х01 < 6,
х' У= х0, х" =£ х0, выполняется неравенство | f (х") — f (х') | < е.

В случае же, когда а = со, условию Коши можно придать
следующий вид.

Для любого е > 0 существует такое 6 = 6 (е) > О, что для
любых х' и х", удовлетворяющих неравенствам | х' | > 6, | х"|>» 6,
выполняется неравенство | f (х") — f (х') | < е.

Следует отметить, что эти два критерия существования пре-
дела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную
формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии (поня-
тию окрестности) получили единое доказательство.

Для случая односторонних пределов** условие Коши
можно перефразировать без терминов окрестности следующим
образом: для любого е > 0 существует такое г] (г] < а в случае
предела слева и а в случае предела справа), что для любых х'
и х", удовлетворяющих условию ч < х' < а, г] < х" < а, или, соот-
ветственно, условию a<ix' <т], а<х" <т], выполняется неравен-
ство | f (х") — f (х') | < е.

§ 5.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

5.1.	ТОЧКИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ

Определение 1. Функция f, определенная в некоторой окрест-
ности U (х0) точки х0, называется непрерывной в этой точке (или,
что то же, при х = х0), если

lim/(х) = /(х0).	(5.1)

Х^>Х0

Подчеркнем, что если функция f непрерывна в некоторой
точке, то согласно данному определению она определена в неко-
торой окрестности этой точки (обычной, а не проколотой, как
это было в случае определения предела функции). В дальнейшем
(см. п. 19.3) будет дано обобщение понятия непрерывности функ-
ции в точке, в котором не будет предполагаться, что функция
Определена в некоторой окрестности этой точки.

Согласно определению предела функции в точке в терминах
последовательностей (см. п. 4.4) определение непрерывности функ-
ции в точке х0 равносильно тому, что для любой последователь-
ности хп е U (х0), п — 1, 2, ..., такой, что

limxn = Xo,	(5.2)

п —>со

*> Мы, естественно, причисляем понятие предела функции при х-> + со
и при	—со к понятию одностороннего предела.
последовательность {/(х„)} сходится и
lim f(xn) = f (х0).

п —* со

(5.3)

Понятие непрерывности функции, сформулированное в тер-
минах последовательностей, отражает собой обстоятельство, обычно

встречающееся на практике и состоящее в том, что при косвен-
ном измерении некоторой величины у с помощью параметра х,
от которого эта величина у непрерывно зависит: у = /(х), мы
имеем объективную уверенность, что чем точнее мы будем полу-
чать (вследствие каких-либо экспериментов, измерений или рас-
четов) последовательно значения х„, п =1, 2, ... аргументах,
тем точнее будут получаться и соответствующие значения уп —
— f(xn) величины у.

Согласно же определению предела функции в точке на языке е

и 6 (см. п. 4.5), условие (5.1) равносильно условию: для любого

е > 0 существует такое 6 = 6 (е) >> О,

что для всех х, удовлетворяющих

условию

(5-4)

выполняется неравенство (рис.

19)

(5-5)

е.

\f(x)-f(xo)\

Отметим, что в определении не-
прерывности (5.2) —(5.3) вместо про-
колотой окрестности U (х0), как это было при определении пре-
дела в п. 4.4, была взята обычная окрестность U (х0), а в опре-
делении непрерывности (5.4) —(5.5) было сделано равносильное
изменение: отброшено условие х#=х0. Дело в том, что в случае,
когда предел функции в точке равен значению функции в этой
точке, определение предела оказывается равносильным, брать ли
обычные или проколотые окрестности или, что то же самое, тре-
бовать или нет выполнения условия х^=х0. Например, в слу-
чае (5.4) —(5.5) добавление значения х — хв. ничего не меняет,
так как и условие (5.4) и условие (5.5) выполняются при х = х0
для любого 6>0 и любого е>0:

|х0-х0| = 0<6, \f (хо)-/(хо)| = °<е-

Упражнение 1. Доказать, что если в определении предела функцию/1
в точке х0 в смысле п. 4.4 заменить проколотую окрестность на обычную, дда
в соответствующем определении п. 4.5 отбросить условие х хэ, то получится
определение, эквивалентное определению непрерывности функции f в точке х0.

Например, доказать, если функция f определена в некоторой окрестности
U (хй) точки х„ и если существует число А, обладающее свойством, что для
любого е > 0 существует такое 6>0, что для всех х, удовлетворяющих усло-
вию \х—х0 | <S, выполняется неравенство |/(х) —Л|<е, то функция f не-
прерывна в точке х0 и Д =/(х0). Обратно, если функция f непрерывна в точке х0,
т. е. имеет место (5.1), где предел понимается в смысле § 4 и, следовательно
требуется, что х=^=л'о, то число A=f(x0) обладает вышеуказанным свойством.

Определение непрерывности функции f в точке х0 можно еще
перефразировать так: функция f(x) непрерывна в точке х0, если,
какова бы ни была заданная степень точности е>0 дйя значе-
ний функции, существует такая степень точности для аргумента
6 = 6 (е) > 0, что коль скоро мы выберем значение аргумента х,
равное х0 с точностью б, т. е. удовлетворяющее неравенству (5.4),
и возьмем в нем значение функции /, то мы получим значение
/(х0) с заданной степенью точности, т. е. будет выполнено нера-
венство (5.5).

Как и в случае определения предела, определение непрерыв-
ности функции в точке можно дать на языке окрестностей (см.
условия (4.6)).

Функция f непрерывна в точке х0, если для любого е>0
найдется такое б > О, что для всех хе1/ (х0, 6) имеем
f(x)<^.U (f (х0), е); иначе говоря, если для любой окрестности U (уп)
точки y<) = f (х0) существует такая окрестность U (х0) точки х0,
что выполняется включение

/(£7(x0))ct7(y0).	(5.6)

Наконец, перенося f(xQ) в равенстве (5.1) в левую часть,
внося f (хо) под знак предела и замечая, что обозначение х^х»
при пределе функции равносильно обозначению х —х0->0, полу-
чаем

lim [f(x)-f(xo)] = O.	(5.7)

X — Хо -* О

Разность х —х0 называется приращением аргументам обозна-
чается Дх, а разность f (x)—f (х0) — приращением функции, соот-
ветствующим данному приращению аргумента Дх, и обозначается
Ду; таким образом,

Дх = х —х0, Ду = /(х0+Дх) —/(хо).	(5.8)

В этих обозначениях равенство (5.7) перепишется в виде

lim Ду = 0,	(5.9)

Дх—>0

т. е. говоря описательно, непрерывность функции в точке озна-
чает, что бесконечно малому приращению агрумента соответствует
бесконечно малое приращение функции.

Примеры. 1. Функция f(x)=c, где с —постоянная, непре-
рывна на всей числовой прямой. В самом деле, для любого хое/?
имеет место

lim /(х)= lim с = с = /(х0). Q

X -> Хо	X -* «О
2.	Покажем, что функция = ~ непрерывна в каждой точке
хо=7^О. В самом деле,

&У = f(Xo + ЬХ)-Нх0) =	- -^Tb)V>

откуда при х0 У= 0 имеем:

lim Дх

д^То	(%о + Лх) ха — lim (х0 + Дх)хв — х0 ~ ’

Лл->0

что и означает, согласно (5.9), непрерывность функции f (х) = 1/х
в точке х0.

3.	Покажем, что функция f (х) = | sign х | (см. рис. 13) не
является непрерывной в точке х0 = 0. Действительно, lim |signx|=
х-*0

= 1, и этот предел не совпадает со значением [sign 0| = 0.

Упражнения. 2. Выяснить, с какой степенью точности достаточно взять
значение аргумента функции х3 в данной точке ха, чтобы получить значение
функции с заданной степенью точности е > 0.

3. Выяснить, будет ли функция

(X cos — при X 0,

X

0 при х=0
непрерывной в точке х = 0,

Определение 2. Пусть теперь функция f определена на интер-
вале (а, Ь), кроме, быть может, точки х0 е («, Ь).

Точка х0 называется точкой разрыва функции f, если функ-
ция f не определена в точке х0, или если она определена в этой
точке, но не является в ней непрерывной.

Упражнение 4. Сформулировать в позитивном смысле определение
точки разрыва функции.

Определение 3. Если х0 — точка разрыва функции f и сущест-
вуют конечные пределы

/(х0 —0)= lim /(х) и f(xo4-0)= lim /(х),
х—>х0— 0	х-*хо + О

то точка х0 называется точкой разрыва первого рода. Величина
/ (хо + 0) — / (х0 — 0) называется скачком функции f в точке х0. Если
f (х0 — 0) = f (х0 + 0), то Хо называется точкой устранимого разрыва.

Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизме-
нить или доопределить (если функция f была не определена
в точке х0) функцию f, положив

/(х0)= lim /(х) = lim f(x),
x -»x0 4- 0	x-*xQ — 0

то получится непрерывная в точке х0 функция.
Точка разрыва функции f, не являющаяся точкой разрыва пер-
вого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней
мере один из пределов lim f (х) и lim / (х) не существует.

л:-*хо4-О	л:-*Хо—О

(Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный
предел.)

Упражнение 5. Сформулировать в позитивном смысле определение
точки разрыва второго рода.

Рис. 20

Функция /(x) = signx (см. рис. 16) имеет в точке Хо = 0 разрыв
первого рода, а функции f(x) = — и /(x) = sin-1- в точке хо = О
имеют разрывы второго рода. Всякая функция, монотонная на
некотором интервале, может иметь только точки разрыва первого
рода (см. следствие теоремы 5 п. 4.10).

Определение 4. Пусть, функция f определена на левосторонней
окрестности точки х0, т. е. на полуинтервале вида (а, х0]. Функ-
ция f называется непрерывной слева в точ-
ке х0, если lim f(x)=f(x0).

х —* Хо — 0

Пусть функция f определена на пра-
восторонней окрестности точки х0, т. е.
на полуинтервале вида [х0, &). Функция f
называется непрерызной справа в точке х0,
если lim f(x) = f(x0).

х -* *o4-0

Пример. Рассмотрим функцию, опре-
деленную на всей числовой оси и для каж-
дого числа х равную наибольшему целому

числу, меньшему или равному х. Эта функция имеет специаль-
ное обозначение z/=[x], читается «у является целой частью числа х»
или «г/ равно entierx*'». Ее график изображен на рис. 20. Функ-
ция [х] в точках x = n, n = 0, ± 1, ±2, ... непрерывна справа
и разрывна слева;, во всех же других точках она непрерывна
как справа, так и слева, таким образом, в частности, [х] непре-
рывна справа во всех точках.

5.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Теорема 1. Если функции fug непрерывны в точке х0, то
функции cf (с — постоянное), f-\-g, fg, а если, кроме того, g (х0) #= 0,
то и функция f/g также непрерывны в точке х0.

Эта теорема вытекает непосредственно из определения непре-
рывности и свойств пределов функций (см. п. 4.7). Докажем,
например, непрерывность функции fg. Согласно свойству (4.16),

*' Entier — целый (франц.).
имеем

lim f(x)g(x) = lim/(x) limg(x)=f(xj)g(x0) (5.10)

X-*XQ	X-*Xq х-+х0

ибо пределы lim/(x) и limg(x) существуют и в силу непрерыв-
ности f и g в точке х0 равны соответственно /(х0) и§-(х0). Выпол-
нение равенства (5.10) и означает наличие непрерывности функ-
ции fg в точке х0. □

Теорема 2. Пусть функция у = ф(х) непрерывна в точке х0,
а функция f (у) непрерывна в точке Уо = <р(хо), тогда сложная
функция f [<р (х)] непрерывна в точке х0-

Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерыв-
ной функции является непрерывной функцией.

Следует обратить внимание на то, что в теореме утверждается
непрерывность сложной функции /[ф(х)] в точке х0, а поскольку
непрерывность функции в некоторой
точке предполагает согласно опреде-
лению 1 из п. 5.1, что функция
определена в какой-то окрестности
этой точки, то в теореме тем самым
утверждается также, что функция
/[ф(х)] при сделанных предположе-
ниях определена в некоторой окрест-
ности точки х0.

Доказательство. Пусть z0=
= /(Уо) и фиксирована произвольным
образом окрестность U (г0) точки z0.

Тогда в силу непрерывности функции f в точке у0 существует
такая окрестность V (у0) точки у0, что, если

y^V (у0),
то функция f определена в этой точке у и
f (у) «= U (г0).

(5.И)

(5.12)

Далее, для полученной окрестности V (у0) в силу непрерыв-
ности функции ф в точке х0 существует такая окрестность W'('x0),
что, если х е W (х0), то функция ф определена в этой точке X
и <р (х) <= V (у0).

Следовательно, для этой точки определена и функция /[<р (х)],
причем выполняется включение (5.11),- где у = ф(х), а значит
и (5.12), которое для рассматриваемого случая имеет вид
f [<р (х)] е U (z0) (рис. 21). Это и означает непрерывность сложной
функции в точке х0. □

Утверждение теоремы можно записать в виде формулы
lim/[<р(х)] = /[ lim <р(х)1,	(5.13)

X-*XQ	Lx—>*()	J
из которой видно, что операция предельного перехода перестано-
вочна с операцией взятия непрерывной функции.

В самом деле, левая часть равенства (5.13) равна /[<р(х0)]
согласно утверждению теоремы, правая часть также равна/[<р(х0)]
в силу непрерывности функции <р (х) в точке х0-

При отыскании пределов непрерывных функций теорему 2
удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила.

Правило замены переменной для пределов непрерыв-
ных функций: пусть функция z/ = <p(x) непрерывна в точке х0,
а функция f (у) непрерывна в точке y0 — <f>(xa), тогда

lim /[ф(х)]= lim f(y), У = <?(х).

Теорема 2 естественным образом переносится и на случай
односторонней непрерывности (сформулируйте ее в этом случае).

Упражнения. 6. Доказать, что если для функции х = <р (/) существует
предел lim <р (1) = х0, а функция (/ = /(%) непрерывна в точке х0, то в некоторой
проколотой окрестности точки имеет смысл композиция f [ср (/)] и существует

lim f [<p(O]=f (хв).
t-t,

7. Сформулировать и доказать правила замены переменных для односто-
ронних пределов функций.

§ 6.	СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1.	ОГРАНИЧЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.
ДОСТИЖЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Определение 1. Функция, определенная на отрезке [а, Ь] и
непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом
отрезке.

При этом под непрерывностью в точке а понимается непре-
рывность справа, а под непрерывностью в точке b — непрерывность
слева.

Аналогично определяется и непрерывность функции на про-
межутке любого другого вида.

Будем говорить, что функция /, определенная на множестве Е,
достигает на нем своей верхней (нижней) грани 0 = sup/

Е

(а = inf /), если существует такая точка х0 е Е, что f (х0) = Р
Е

(/(хо) = ос).

Теорема 1 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке
функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани
и своей нижней грани.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, й] и пусть

М = sup f (х);
a^x^b

М, как и всякая верхняя грань непустого множества чисел,
может быть либо конечной, либо бесконечной, равной
Покажем, что М < + оо и что существует такая точка х0 е [а, й],
что f(x0) = M.

Выберем какую-либо последовательность таких чисел ап, п =
— 1, 2, ..., что

lim ап = М, ап<М, п=1, 2, ....	(6.1)

п —*со

Согласно определению верхней грани функции, для каждого аП,
п=1, 2, ..., существует такая точка хле[а, й], что

/ (хл) > йл, • и = 1, 2, ....	(6.2)

С другой стороны, поскольку М — верхняя грань функции f, то
для всех точек х е [а, Ь] справедливо неравенство

f(x)^M.	(6.3)

Последовательность {хл} ограничена: а^хл^й, п—1, 2, ....
поэтому по теореме Больцано— Вейерштрасса (см. п.3.6) из нее
можно выделить сходящуюся подпоследовательность {хлД

lim x„k = x0.	(6.4)

h-*co

Поскольку а^хП/г^Ь, й=1, 2, ..., то (почему?) и аСх0-Сй.

Из неравенств (6.2) и (6.3) следует, что для всех k—l, 2, ...
справедливы неравенства

a„k < f (x„ft) sg М.

(6-5)

Предел всякой подпоследовательности последовательности,
имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей
последовательности; поэтому из (6.1) имеем lim. ап.=М. Переходя
' &-»•££)

в (6.5) к пределу при fe->oo, получаем

lim f (x,lk) = M.

(6.6)

С другой стороны, в
[а, й] она непрерывна
из (6.4) следует, что

силу непрерывности функции /на отрезке
в точке Хо этого отрезка и, следовательно,

lim f (xn/l) = f (x0).
k —>co

(6-7)

Из (6.6) и (6.7) получаем A4 = f(x0).
Таким образом, доказано, что верхняя грань М функции f
совпадает со значением функции в точке х0 и, следовательно,
конечна. Тем самым функция f ограничена сверху и ее верхняя
грань достигается в точке х0 е [а, &].

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция
ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани. Q

Теорема, аналогичная теореме-1, несправедлива для проме-
жутков, не являющихся отрезками; в этом легко убедиться,
построив соответствующие примеры. Например, функция у=1/х
непрерывна в каждой точке интервала (0; 1) и вместе с тем
неограничена на нем; функция у—х непрерывна на всей вещест-
венной оси и неограничена на ней.

Отметим еще, что если функция f непрерывна не на отрезке,
а на промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена
на нем, она, вообще говоря, не имеет наибольшего и наименьшего
значения. Например, функции у — х на интервале (0; 1) и у —
= arctgx на всей вещественной прямой, хотя они непрерывны
(непрерывность функции y = arctgx будет доказана в п. 7.3) и
ограничены в указанных промежутках, не достигают своих верхних
и нижних граней.

Упражнение 1. Пусть функция / определена и непрерывна
на отрезке [а, &] и /(х)>0 для всех х е [а, &]. Тогда существует
такое с>0, что f(x)Z>c для всех хе [а, Ь].

6.2.	ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 2 (Больцано — Коши). Если функция f непрерывна на
отрезке [а, &] и f(a) = A, f(b) = B, то для любого С, заключенного
между А и В, существует такая точка £ е [а, 6], что f (g) = С.

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая
какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними
значение.

Доказательство. Пусть для определенности /(а) = А<
<В = f (by и А<С<В. Разделим отрезок [а, Ь] точкой х0 на
два равных по длине отрезка, тогда либо / (х0) = С и, значит,
искомая точка | = х0 найдена, либо /(хо)^С’, и тогда на концах
одного из полученных отрезков функция f принимает значения,
лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце
значение, меньшее С, на правом — большее.

Обозначим этот отрезок [п1, bj и разделим его снова на два
равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конеч-
ное число шагов придем к искомой точке В, в которой /(£) = £,
либо получим последовательность вложенных отрезков [ал, Ьп],.
по длине стремящихся к нулю и таких, что



(6-8)
Пусть И —общая точка всех отрезков [а„, Ьп], п=1, 2,...
(см. п. 2.10). Как мы знаем (см. (3.9)), lim ап = lim bn.

П—+СО	П~+(Х)

Поэтому в силу непрерывности функции f
/(£)= lim /(ал) = lim/(Ья).	(6-9)

n-*co	n —♦co

Из (6.8) же получим (см. п. 3.3)

lim /(ал)

п —»со

lim f(bn).

П-+СО

(6.10)

Из (6.9) и (6.10) следует, что /(g) = C. Q

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его
концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке
существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается
в ноль.

Это следствие — частный случай теоремы (рис. 22).

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, &]
и M — supf, m = inf/. Тогда функция f принимает все значения
из отрезка [т, Л1] и только эти значения.

---------------- Для доказательства заметим, что если
а / L М = sup /, т= inf f, то m^f(x) е М

-(----/---------к?-	[а, Ы [а. «>]

и, согласно теореме 1, существуют такие
Рис- 22 точки а е [а, &] и р е [а, &], что f (а) = т,
— Теперь рассматриваемое следствие
непосредственно вытекает из теоремы 2, примененной к отрезку
[а, р], если otsgp, или соответственно к отрезку [р, а], если
Р <а.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной
и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также
отрезок.

Отметим, что свойство непрерывных функций принимать все
промежуточные значения справедливо для любого промежутка
(конечного или бесконечного). Именно: если непрерывная на неко-
тором промежутке функция принимает в двух его точках а и Ь,
причем а < Ь, два каких-то значения, то она принимает и любое
промежуточное. В самом деле, согласно теореме 2, рассматри-
ваемая функция заведомо принимает указанное значение в неко-
торой точке отрезка [а, Ь], который является частью исходного
промежутка.

Замечание. Как в теореме 1, так и в теореме 2 бщдо
доказано существование точки на данном отрезке, в которой
значение рассматриваемой непрерывной функции обладает опре-
деленным свойством (в первой теореме в этой точке достигается
экстремальное значение, во второй — принимается заданное про-
межуточное значение). Однако между методами, примененными
для доказательства этих утверждений, имеется принципиальное
различие. Метод доказательства теоремы 2 дает возможность не
только доказать в общем случае существование указанной точки,
но и фактически найти ее с любой заданной степенью точности
для каждой конкретной функции: нужно разделить отрезок, на
котором ищется точка, достаточное число раз пополам, выбирая
каждый раз половину согласно правилу, указанному при дока-
зательстве; концы получившегося отрезка и будут приближенными
значениями указанной точки.

Метод же доказательства теоремы 1 не позволяет указать спо-
соб, с помощью которого для каждой непрерывной на отрезке
функции можно было бы найти точки, в которых она принимает
экстремальные значения. Это обусловлено тем, что доказательство
этой теоремы основано на теореме Больцано — Вейерштрасса,
утверждающей лишь возможность выделения из каждой
ограниченной последовательности сходящейся подпоследователь-
ности. Конкретного метода, или, как это принято говорить,
алгоритма, для выделения-из любой ограниченной последователь-
ности сходящейся подпоследовательности не существует.

Заметим еще, что при использовании какого-либо алгоритма
на практике важно, как быстро он приводит к цели. С этой точки
зрения при приближенном решении уравнения f(x) = O обычно
применяется не метод последовательного деления отрезка пополам,
а другие алгоритмы, быстрее приводящие к цели (см. Добавление
в конце второго тома, § 60).

Задача 6. Доказать, что периодическая непрерывная на всей
числовой оси функция, отличная от постоянной, имеет наименьший
период. Привести пример периодической функции, определенной
на всей числовой оси и отличной от постоянной, которая не ймеет
наименьшего периода.

6.3.	ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Определение 2. Функция f, определенная на числовом множе-
стве Е, называется строго возрастающей (строго убывающей), если
для любых двух чисел х±<^Е и е Е таких, что <; х2, выпол-
няется неравенство f (лд) </ (х2) (соответственно f (xd>f (х2)).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, назы-
вается строго монотонной.

Если функция является строго возрастающей (убывающей) на
множестве Е, то будем также говорить, что она строго возрастает
(убЖййет) на этом множестве.

Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убывающая)
функция является и просто монотонной (соответственно возра-
стающей, убывающей) функцией в смысле определения 9 из п. 4.10.

Лемма 1. Пусть функция f строго возрастает (убывает) на
некотором множестве X gz R и пусть Y — множество ее значений.
Тогда обратная функция f-1 (см. п. 1.2*) является однозначной
строго возрастающей (убывающей) функцией на множестве Y.

Доказательство. Пусть для определенности функции f
строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная функ-
ция однозначна.

Допустим противное. Пусть существует такая точка у е Y,
что множество фЛ(у) содержит по крайней мере две различных
точки хх и х2:

x1^f^1(y) и х2е/-Ч#)> Х1=#Х?.,

и, следовательно,

/(Х1) = /(Х3).	(6.11)

Для двух чисел х, и х2, х1у=х2 справедливо одно из двух нера-
венств: х1<х2 или Xi>x2; в первом случае в силу строгого
монотонного возрастания функции f имеем f (ху) <С/(х2), а во вто-
ром /(xi) >/(х2), т. е. в обоих случаях равенство (6.11) не
выполняется. Таким образом, для каждого y^Y множество НЧу)
состоит в точности из одной точки, т. е. функция /-1 однозначна.

Докажем теперь, что функция Д1 строго возрастает на множе-
стве Y. Пусть

У1 <Уч, Vi^Y, y2<=Y	(6.12)

и пусть %! = /-1 (z/j), х2 = (у2). Следовательно, уг = f (хг), y2 = f (х2).
Для любых двух чисел хг и х2 справедливо одно из трех соот-
ношений: Либо Х1'>Х2, Либо Х1==Х2, Либо Х1<Х2. ЕСЛИ Х!>Х2
или Xi = х2, то соответственно было бы yt > у2 (в силу строго
монотонного возрастания функции f) или yi = y2 (в силу одно-
значности), что противоречило бы неравенству (6.12). Таким
образом, из неравенства (6.12) следует, что Xj<x2, а это и озна-
чает строгое возрастание функции /-1 на множестве Y.

В случае строго убывающей на множестве функции f доказа-
тельство можно либо провести аналогичным образом, либо свести
к уже рассмотренному случаю рассмотрением функции — /, ибо
когда функция / строго убывает на множестве X, функция — /
строго возрастает на этом множестве. Ц

Теорема 3. Пусть функция f определена, строго возрастает
(убывает) и непрерывна на отрезке [а, Ь], тогда обратная
функция f-1 определена, однозначна, строго возрастает (убывает)
и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b) (рис.23).

Доказательство. Проведем доказательство теоремы для
строго возрастающих функций. Пусть c = f(a), d = f(b).

Покажем, что областью определения обратной функции Д1
является сегмент [с, d], или, что то же, [с, d] является множе-
ством значений функции /. В самом деле, из монотонного возра-
стания функции / следует, что / (a) sg/(х) sg / (&), т. е. что /(х)е
е [с, d] для любого х е [а, 6]. С другой стороны, каково бы
ни было уе[с, d], т. е. f(a)^y^f(b), согласно теореме 2
существует такая точка хе[а, Ь], что f(x) = y. Таким образом,
все значения заданной функции / лежат на отрезке [с, d], и каж-
дая точка этого отрезка является значением функции f в некото-
рой точке. Это и означает, что отрезок [с, d] является множеством
значений функции /.

Отметим, что это утверждение следует также и из следствия 2
теоремы 2, если заметить, что в данном случае

с = min /(х), d = max/(x).

[а, Ь]	[а. 6J

В силу леммы функция однозначна и строго возрастает
на отрезке [с, d].

Покажем, наконец, что функция f-1 непрерывна на [с, d].
Пусть у0 е [с, d] и хо = Л1(^о). Пусть c<z/0<d, т. е. у0 — внут-

ренняя точка отрезка
[с, d], тогда в силу стро-
гого возрастания4 функ-
ции f-1 и a<z.x0<b.
Зафиксируем некоторое
е>0. Не ограничивая
общности дальнейших
рассуждений, можно
считать (почему?), что е
таково, что

а	х0 — е < х0 < *о +

е^Ь. (6.13)

Пусть У1 = ?(х0 — е), y2 = f (хо + е). Тогда из условия (6.13) в
силу строгого возрастания функции f следует, что

с^У1<Уо<У-2^ d.

Возьмем б>0 так, чтобы y1^yQ — б < t/0 + б ==£ у2 (рис. 24).
Если теперь выбрать у так, что у0 — б<У<Уо~1гт0 тем более

У1<У<Уг,

и, следовательно, в силу строгого возрастания функции /-1 спра-
ведливо неравенство

х0 - е = f-1 (yr) < f-1 (у) < Л1 (у2) = х0 4- е.

Таким образом, для е>0 указано такое б>0, что для всех
t/e(y<j —б, у04-б) выполняется неравенство

If-1 Q/) —Q/o) i <е>

т. е. функция f-1 непрерывна в точке у0. Если теперь у0 = с или
y0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается, что функ-
ция f-1 непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в точке d.
Теорема для строго возрастающих функций доказана пол-
ностью.

Напомним, что функция f строго убывает тогда и только тогда,
когда функция — / строго возрастает, поэтому справедливость

теоремы для строго убывающих
функций следует из рассмотрен-
ного случая. Q

Рассмотрим теперь случай фун-
кции, определенной на интервале.

Теорема 4. Пусть функция f
определена, строго возрастает {убы-
вает} и непрерывна на интервале
(а, Ь) (конечном или бесконечном)
и пусть

с== lim f(x), d= lim f(x).
x—— 0

Тогда обратная функция оп-
ределена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна
на интервале (конечном или бесконечном) с концами cud (рис. 25).
При этом в случае, когда а — — сю под lim f(x) понимается
х —* — со 4- О

предел lim f(x), а в случае Ь = оо под пределом lim f(x)—
х—»—-со	х-»-|-оо — О

предел lim f(x).

X—>+ СО

Доказательство. Пусть для определенности функция f

строго возрастает в интервале (а, Ь). Покажем, что в этом случае

множеством ее значений является интервал
(с, d). Действительно, согласно теореме о
пределах монотонных функций (см. п. 4.10)
имеем: с= inf f, d= swpf и, следовательно,

(а. b)	(а. Ь)

для любого х е (а, Ь) справедливо неравенст-
во с (х) sg d. Более того, для всех
х е (а, Ь) выполняются еще неравенства
/(%)=/= с, f(x)=£d. В самом деле, если бы,
например, существовало такое х0, что
а < х0 < b и f (х0) = с (это, очевидно, возмож-
но только тогда, когда нижняя грань с ко-

нечна), то при а<х<х0 выполнялось бы
неравенство f (х) <Zf (х0) =с, что противоречило бы тому, что
c = inf/. Итак, для всех х^(а,Ь) выполняются неравенства
c<f(x)<.d. С другой стороны, поскольку с== inf f, d = supf, то
(a. by	(a. by

для любого у, с <2 у <d, существуют такие Xj е (а, Ь) и х2 е (а, Ь),
что yi = f(x1) и y2=f(x2) удовлетворяют неравенствам

c<yi<y<y2<d.
Отсюда следует, что %i<x2 *>, и поскольку f(x1) — yi и f(x2)=y2,
то по теореме Больцано — Коши о промежуточных значениях не-
прерывных функций существует такая точка xe[xi, х2], что
f(x) = y. Таким образом, для любой точки уе(с, d) существует
такая точка х е (а, Ь), что f(x) = y.

Тем самым доказано, что действительно множеством значений

функции f, или, что то же,
функции f-1, является интер-
вал (с, d). То, что функция
Д1 однозначна и строго мо-
нотонно возрастает в интер-
вале (с, d), следует из леммы.
Ее непрерывность доказыва-
ется дословным повторением
доказательства непрерывно-
сти обратной функции в пре-
дыдущей теореме. Наконец,

множеством определения обратной

как и выше, теорема для
строго монотонно убывающей функции следует из уже доказан-
ной теоремы о строго монотонно возрастающей функции с по-
мощью рассмотрения функции — f. Q

Замечание. Аналогичным образом доказывается, что если
функция строго возрастает и непрерывна на полуинтервале [а, Ь),
— сю < а < b - + со, или на (а, &], —со оо а < b < -j- то об-
ратная функция определена, строго возрастает и непрерывна
на полуинтервале [с, d), где с = /(а), d== lim f(x), соответст-
x->b — О

венно на (с, d], где с= lim f(x), d = f(b) (рис. 26).
х —о

Случай строго убывающей на полуинтервале функции f (х)
можно свести к случаю строго возрастающей, рассмотрев функ-
цию—/^).

Пр и мер. При любом целом положительном п степенная
функция у = хп строго возрастает и непрерывна на положитель-
ной полуоси х5э0.

Действительно, если О^ху-сх,, то, перемножая п раз эти
неравенства, получим х"<х”, т. е. функция у = хп, п = 1, 2, ...,
строго монотонно возрастает. Для доказательства непрерывности
функции у = хп заметим, что функция y = f(x) — x непрерывна
в любой точке x0^R. Действительно в этом случае y0 = f(xQ) = хп,
поэтому \у = у — у0 = х — х0 = Ах. Следовательно, если задано в > О,
то, беря 6 = е, получим, что из условия | \х 1 < 6 следует |А*/| =
= |Ах|<б = е. Это и означает непрерывность функции z/ = x
в точке х = х0. Функция же у == хп является произведением п

*’ Случай	невозможен, так как тогда бы в силу возрастания

функции / выполнялось бы неравенство

б Кудрявцев Л. д. т. 1 -
одинаковых функций f(x) = x и потому (см. п. 5.2) также непре-
рывна во всех точках хе/?.

Из того, что lim х = + оо, очевидно, следует, что lim хп =
X—>4-00	X + со

-ф-co, п = 1, 2, .... Кроме того, в нуле функция у = хп обра-
щается в ноль. Поэтому, согласно замечанию к теореме 4, мно-
жеством значений степенной функции у = хп при хДьО является
неотрицательная полуось у^О.

Обратной функцией для функции уп = х является корень п-й
степени у, п = 1, 2, .... Согласно теореме 4 и в силу дока-
занных свойств степенной функции у = хп, корень п-й степени jZу,
п=1, 2, ..., определен для любого неотрицательного у.

Таким образом, из доказанных теорем следует, в частности,
существование и единственность положительного корня п-й сте-
пени из любого положительного числа.

Замечание. Из рассмотренного примера следует еще раз,
что любой промежуток содержит иррациональные числа (см. след-
ствие 2 из теоремы 8 в п. 3.11). Покажем сначала, что число j/2
(существование которого вытекает из рассмотренного выше при-
мера) является иррациональным. Допустим противное: пусть су-
ществует рациональное число, равное квадратному корню из двух.
Запишем это число в виде несократимой дроби p/q (р и q—
взаимно простые натуральные числа):

Тогда p2 = 2q2 и, следовательно, число р делится на 2. Действи-
тельно, если бы р было нечетным, т. е. р = 2k + 1, k е N, то
p2 = (2k-\-1)2 = 4&24*2^4-1 также было бы нечетным, и равен-
ство p2 = 2q2 не имело бы места. Итак, p = 2k\ но тогда 4&2 = 2<?2,
или q2 = 2k2. Отсюда, как и выше, следует, что q — четное число.
Четность чисел р = q противоречит предположению о несократи-
мости дроби p/q.

Из доказанного, очевидно, следует, что всякое число вида
ту'2/п, т и « — натуральные, также иррационально. В самом
деле, если бы оно было рациональным т ~, то и ]42 ока-
залось бы рациональным числом: j42 = -Z Отсюда, в свою оче-
редь, следует, что всякий интервал содержит иррациональное
число (сравните с п. 3.11) и притом вида нг]/2/«, т и « — целые.

Действительно, пусть	Выберем так натуральное и,

чтобы

]4 2 In < b — а,
а затем натуральное пг так, чтобы

(т-1)/2	т/2

п	п

Тогда a<mЕсли же а<Л-Л0, то в силу доказанного
существуют такие целые тип, что

О ' — о <----< — а;

п

а поэтому

,
а<--------<о.

п

В случае а<0<£ согласно доказанному существуют такие це-
лые тип, что п<0<	<о. | |

§ 7.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

7.1.	МНОГОЧЛЕНЫ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Теорема 1. Любой многочлен непрерывен в каждой точке.

В самом деле, функция у = с, где с — постоянная, непрерывна,
что показано в примере 1 п. 5.1.

Функции вида у = хп также непрерывны для каждого фикси-
рованного n е N в любой точке х. Это показано в п. 6.3 (см.
приведенный там пример).

Всякий же многочлен получается из функций вида у—с и
у = хп с помощью сложения и умножения и поэтому является
непрерывной функцией в каждой точке (см. п. 5.2).

Теорема 2. Всякая рациональная функция Р (x)lQ (х), (Р (х) и
Q (х) — многочлены) непрерывна во всех точках, в которых ее зна-
менатель не обращается в ноль.

Это непосредственно следует из того, что многочлены Р (х) и
Q(x) непрерывны в каждой точке и частное непрерывных функций
также непрерывно во всех точках, где делитель не обращается
в нуль (см. п. 5.2).

Эту теорему весьма удобно использовать при нахождении
пределов рациональных функций. Пусть требуется найти lim

Для этого нужно сначала произвести, если, конечно, это воз-
можно, сокращение дроби Р (x)/Q (х) на множитель (х — х0)п
с наибольшим возможным показателем пфя1. Если получившуюся
рациональную дробь обозначить Р1(х)/С^(х), то-(см. п. 4.4)

1-	Р (х)	«. Pt (х)

lim = lim
x_>x.Q(x) x^x„Qi(x)
Если Qi (х0) =/= 0, то, в силу теоремы 2, этот предел равен простр
Pi(Xo)/Qi(xo), если же Qt(xo) = O (и, значит, Рг (х0) #=0, ибо в про-
тивном случае дробь Р± (х)/СД (х) можно было бы сократить на
(х — х0)), то этот предел равен со.

Примеры. 1. limx2 Зх+2 — цт | = — X

X2—1 „.x-Ll	2

^-1	2*

7.2.	ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

Напомним свойства степени аг, где п>0, г —рациональное
число: r = p/q, р и q — целые, q^O.

1°. Пусть ri<Zr2. Если п>1, то йг><аг>, а если п<1, то

2°. ari-ar* = аг‘+Гг.

3°. (аг‘У* — ar'r*.

4°. (аЬ)г = arbr.

Здесь везде г, щ и /^ — рациональные числа. Вспомним еще,
что а° — 1. Из свойства 2° следует, что аг • a~r = а° = 1; откуда

(7.1)

Далее, из свойства 1° и из (7.1) вытекает, что аг>0 для
любого рационального г. Действительно, если г L> 0 и oSsl, то
в силу 1° аг'^а°= 1>0. Отсюда, согласно (7.1), имеем

Аналогично доказывается неравенство аг > 0 при а < 1.

Определим теперь степень ах для любого действительного х
и а>0. Предварительно напомним, что (см. в п. 3.9 пример 3,
формулы (3.20) и (3.21))

lim а1/га = lim а~1/п = 1.

(7.2)

Лемма. Пусть п>0. Для любого е>0 существует такое
б = 6 (е) > 0, что для всех рациональных чисел h, удовлетворяющих
условию |/г|<6, выполняется неравенство \ah— 1|<е.

Доказательство. Пусть сначала п>1. Из (7.2) следует,
что для каждого фиксированного е>0 существует такое нату-
ральное число пе, что

| ai/ne — 11 < е и \а i/ne — 11 < е,

(7-3)
|hI<6, где 6 = — , то \ah— 1|<е.
«в

следовательно (см. свойство 1° степени),

1 — е < сГ 1/гае <ai,ns < 1 + е.	(7.4)

Если h — рациональное число и —, т. е. —-СЛС
/2g	rtg

то сГ1,716<ah<а1/пв и, значит, 1 — е<аЛ< 1-]-е. Таким обра-
зом, если h рационально и
Для а>1 лемма доказана.

Для а < 1 она доказывается аналогично, только соответст-
вующие неравенства, согласно свойству 1° степени аг при а<1,
надо заменить обратными. При а=1 лемма очевидна. [J

Определим теперь степень ах для любого действительного х.
Определение 1. Пусть а>0, а х — произвольное действитель-
ное число. Пусть, далее, {г п} — последовательность рациональных
чисел, сходящаяся к х (для любого х<= R такая последователь-
ность всегда существует., см. следствие леммы 1 в п. 3.10). По-
ложим по определению

ах — lima/X	(7.5)

п —► оо

Это определение корректно в том смысле, что указанный пре-
дел всегда существует и не зависит от выбора последовательности
{/•„}, сходящейся к числу хе/?.

Докажем это. Пусть последовательность рациональных чисел
{гп} сходится к числу х. Покажем, что последовательность {агп}
удовлетворяет условиям критерия Коши (см. п. 3.7) и, значит,
является сходящейся последовательностью. Для этого необходимо
оценить разность

| аГп — аГт | = аГт [ аГп~Гт — 1 |.	(7.6)

Последовательность {/•„} сходится и, следовательно, ограничена
(см. п. 3.4), поэтому существует такое число А, которое без огра-
ничения общности можно считать рациональным (почему?), что
— А<гп< А. Отсюда в случае имеем сГА^аГп^аА,
а в случае а < 1 — соответственно а~ А > аГп > аА, п = 1, 2, ...,
поэтому при любом а>0 существует такое число В, что

а*<В, п=1, 2, ...	(7.7)

(В = аА при а^1 и В = а~А при а<1), т. е. последовательность
{аГп} ограничена сверху числом В.

Далее, по лемме для любого фиксированного е > 0 сущест-
вует такое 6 = 6(е)>0, что для всех рациональных г, удовлет-
воряющих условию | г | < 6, выполнено, неравенство

(7.8)
Из сходимости же последовательности {/•„} в силу критерия
Коши (см. п. 3.7) следует, что для найденного б>0 существует
такой номер п^, что- для всех п пЁ и тяея- пЁ выполняется нера-
венство |гЛ —и, значит, в силу (7.8) неравенство

I а'п Гт — 1 I < -®-.
1	1 D

(7-9)

Из (7.6), (7.7) и (7.9) вытекает, что для всех и т^пь
справедливо неравенство \агп~ат\<е,, откуда в силу критерия
Коши следует, что последовательность {ап} сходится.

Пусть теперь —другая последовательность, сходящаяся
к х. Покажем, что последовательности {ап} и {аГп} сходятся
к одному и тому же пределу.

Составим новую последовательность:

{rk, если п = 2k — 1,
r'k, если п = 2k,

(7.Ю)

Очевидно, что Iim^ = x, поэтому в силу доказанного сущест-
п —*со

вует предел lim аГп. Предел же любой сходящейся последова-
л —* СО

тельности совпадает с пределом любой ее подпоследовательности,
поэтому

\\тап= ПтаГга= lima'-'».	(7-И)

Л->СО	/1 —► ОО	71 —* СО

Корректность определения ах доказана.

Определение 1 естественно в том смысле, что в случае, когда х
является рациональным числом г, то степень ах совпадает со
значением аг в ранее известном смысле. В самом деле, если х = г—
рациональное число, то в качестве последовательности рацио-
нальных чисел гп, п— 1, 2, ... , сходящейся к х = г, можно взять
r„ = г, п = 1, 2, .... Тогда согласно определению 1

ах - Пт аГп = Нт а = а.
п —► оо	л-* со

Определение 2. Пусть задано некоторое число а>0. Функция
ах, определенная для всех х ^R, называется показательной
функцией с основанием а.

Согласно определению 1*=1 для всех действительных х. По-
этому случай а=\ не представляет интереса для изучения, и
в дальнейшем мы не будем его рассматривать.

Теорема 3. Показательная функция ax(a>0) обладает сле-
дующими свойствами.

1°. При а>1 она строго возрастает, а при а — строго
убывает на всей числовой оси.
2°. ах  ау = ах+у для любых действительных х и у.

3°. (ах)у = аху для любых действительных х и у.

4°. Она непрерывна в каждой точке числовой оси.

Доказательство свойства 1°. Пусть для определенности
а>1 и х<у. Существуют (почему?) такие рациональные числа
г' и г", что х < г' < г" < у. Выберем какие-либо последователь-
ности рациональных чисел и так, чтобы lim г'п = х,
п^-со

limrn = y и чтобы	для всех и=1, 2, .... Тогда

«-»со

<аг” <.аг"п\

перейдя к пределу при и->-оо, получим

ах - аг' < ar" ' ау.

(7-12)

Таким образом, если х<у, то ax<Zay, что и означает стро-
гое возрастание функции ах при а>1.

Случай а<1 рассматривается аналогичным образом.

Доказательство свойства 2°. Пусть {г'п} и {гД — такие
последовательности рациональных чисел, что lim r'n = x, lim г”п =
п—^со	п—*со

t= у и, значит, lim (г^ + Гл) = %+у (см. п. 3.9). Тогда в силу
определения показательной функции

ах+у = lim аГп + Гп= lim (аГпаг'!) =
п -+ со	п со

lim аГп lim аГп = ахау.

п —* ОО	п —*00

Прежде чем переходить к доказательству следующих свойств,
заметим, что из свойства 2° следует, что для любого действитель-
ного х справедливо равенство аха~х = аР=1; поэтому а~х = ~.

Доказательство свойства 4°*>. В силу уже доказан-
ной строгой монотонности функции ах утверждение леммы
настоящего пункта справедливо (вместе с доказательством)
не только для рациональных, но и для всех действительных h.
А именно: для любого е>0 существует такое б = 6(е)>0, что
для всех вещественных чисел h, удовлетворяющих условию
выполняется неравенство |аА— 1|<е.

Пусть х фиксировано, у = ах, Ау = ах + ^х — ах = ах (пА* — 1).
Согласно сказанному, для любого s >» 0 существует такое 6 =
= 6(е), что для всех Ах, удовлетворяющих условию | Ах | < б,
выполняется неравенство

*> Свойство Зэ будет доказано после доказательства свойства 4°.

**> Отметим, что ах>0 при любом действительном х. Это вытекает из
свойств 1° и 2°, сформулированных в теореме 3, и из того, чтоа°=1 (ср. со
свойствами аг при рациональных показателях г).
следовательно, для всех Ах, удовлетворяющих условию | Ах| .< 6,
справедливо неравенство | Ay | = ах | а£х — 1 [ <; е, что и означает
непрерывность функции ах в точке х.

Доказательство свойства 3°. Пусть сначала у — р —
целое положительное число; тогда применив р раз свойство 2°,
получим

р раз

(пДр = ах  ах ... ах = ах+х+ - х = ахр.	(7.13)

р раз

Пусть-, далее, У = ~~> где Я ~~ целое положительное число. По-
кажем, что (ax)Vq = ах1ч, т. е. что ax/q является корнем у-й сте-
пени из числа ах. Для этого, согласно определению корня, надо
/ —V

доказать, что \aq ) ~ах; это следует из равенства (7.13).

Пусть теперь У — -~, Р и q натуральные, тогда, согласно уже
доказанному,

(а*)р/? = [(«*)₽]'/? = (axp)ilq = axpIq.

Если же у =— то
* q
(ax)~p/q

1 1

(ax)p/q ~'axp/q

a~xpfq.

Наконец, очевидно, что (ах)° = 1 =а°. Таким образом доказано,
что для любого действительного х и любого рационального г

(ах}г = ахг.	(7.14)

Пусть теперь задано еще одно действительное число у. Рас-
смотрим произвольную последовательность {гп} рациональных
чисел, сходящуюся к у. Тогда в силу (7.14) для всех п = 1, 2, ...
будем иметь

(ахУ* = а"п.	(7.15)

Поскольку lim хгп = ху, то согласно доказанной выше непре-
п—>со

рывности функции ах

lim ахгп — аху.	(7.16)

71 —> СО

С другой стороны, в силу определения показательной функции

lim (ах)гп = (ах)у.
п-+со

(7.17)

Переходя к пределу в равенстве (7.15) при н->-со, из (7.16)
и (7.17) получим рассматриваемое свойство для любых х, у е К. Q
/ а \* ах

Упражнение 1, Доказать, что (ab}x = axbx и- -г) = для лю-
	\ о / 0х

бых а > О, Ь > 0 и каждого х е R.
Пусть а—положительное число, неравное единице. Из элемен-
тарной математики известно, что операция, обратная возведению
в степень и ставящая в соответствие данному числу х>0 такое
число у, что ау = х (если, конечно, указанное у существует),
называется логарифмированием по основанию а. Число у назы-
вается логарифмом числа х по основанию а и обозначается через
logax. Таким образом по определению

a10g«* = x (а>0, а=£1).

При а = е логарифм числа х обозначается 1пх и называется
натуральным логарифмом числа х.

Определение 3. Функция, ставящая в соответствие каждому
числу х его логарифм logax по основанию а (а>0, а^=1), если
этот логарифм существует, называется логарифмической функцией
y = logax.

Теорема 4. Функция y = logax, а>0, а=#1, определена для
всех х>0 и является на этом множестве строго монотонной
(возрастающей при а> 1 и убывающей при а<1) непрерывной
функцией. Она имеет следующие свойства'.

1°) logax1x2 = logax1 + logax2, хг>0, х2>0;

2°) logaxa = alogax, х>0, a<=R.

Доказательство. Надо прежде всего доказать, что мно-
жеством значений функции у = ах является множество всех поло-
жительных чисел. При «>1 в силу непрерывности и строго моно-
тонного возрастания функции у~ах это означает (см. п. 4.8), что

lim a-*=-}-oo, lim а-г = 0.	(7.18)

X -+ -J- ОО	X—> — оо

При этом, поскольку пределы (7.18) (конечные или бесконеч-
ные) существуют (см. п. 4.10), достаточно доказать, что
lim а*га = -)-со ^соответственно lim ax« = 0\ хотя бы для одной
Л —> СО	\	Л —* СО	/

последовательности {%„}, которая стремится к ф- <х> (соответственно
к — со).

Покажем, что при а> 1

lim ап — + оо, lim а~п = 0.	(7-19)

п —>-|~ оо	п ->4-00

Так как а = а— 1>0, то, раскладывая (1 +а)га по биномиальной
формуле Ньютона и отбрасывая все члены (которые положи-
тельны), кроме первых двух, получаем

ап = (1 +«)" = 1 +«а+—”2 'а2-)-" . > па,

(ср. с леммой п. 3.9) и, следовательно, lim ап = -\-оо\ отсюда
71 —♦ СО

lim ц-га = —р-?—— = 0.

n-оо	аП

п -> 4- со

Таким образом, равенства (7.19) доказаны.
Если теперь ц < 1, то b = ~> 1 и

lim ах= lim Л =—^ = 0, Нт ах =	1 г-- = -}- оо.

Х- + оо	+	l™ Ьх	1ПП Ьх

х-»+оо	х-> —со

Из доказанного следует (см. п. 6.3 и теорему 4 этого пара-
графа), что как в случае а > 1, так и в случае а <1 множеством
значений функции ах, а значит, и областью определения обрат-
ной функции z/ = logax является полупрямая (0, +оо). Этим,
“в частности, доказано существование логарифма любого положи-
тельного числа. Остальные утверждения теоремы 4 непосред-
ственно следуют из теоремы 4 п. 6.3 и теоремы 3 настоящего
параграфа.

Например, покажем, как свойство 1° вытекает из свойств по-
казательной функции, указанных в теореме 3. Положим

!/i = logaXi, f/2 = bgax2,
согласно определению логарифма это означает, что

= ау\ х2 = с&.

Отсюда (см. свойство Г показательной функции в теореме 3)
имеем

XiX2 — ay'ayi = аУ* 4- й,

и, следовательно, снова по определению логарифма,
loga ХХХ2 = + у2 = loga Хх + lqgo Х2. Q

Определение 4. Пусть задано действительное число а. 'Функ-
ция х\ определенная для всех х>0, называется степенной функ-
цией с показателем а.

Теорема 5. Степенная функция х? непрерывна при всех х>0.

Действительно, из определения логарифма имеем х = е1п*,
а поэтому	1п *, т. е. х“ есть композиция показательной

функции еа и логарифмической функции, умноженной на постоян-
ную: и = а In х. Показательная и логарифмическая функции непре-
рывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому в силу теоремы о непрерыв-
ности композиции непрерывных функций (см. п. 5.2) функция ха
также непрерывна. □

При рассмотрении функции у — х“ предполагалось, что х>0,
так как при х^сО выражение х“ имеет смысл не для всех а
в области действительных чисел. Однако если а рационально
и х“ имеет смысл при х<0 ^например, х2,	то функция

у = х“ будет при а > 0 непрерывной на всей действительной оси,
а при а<0 —на всей действительной оси, кроме точки х = 0.

При х=#0 это непосредственно следует из теоремы 5, так как
функция. у = ха, если она определена и для всех х < 0, будет
всегда четной или нечетной, а если четная или нечетная функ-
ция непрерывна при х>0, то она непрерывна и при х<0
(почему?)'. Если же в точке х = О четная или нечетная функция
непрерывна справа и равна нулю, то она просто непрерывна
в этой точке (почему?). Этот случай имеет место при а>0

lim х“ = 0 = 0“,
х-»+о

ибо х'х = е“Лпл' и (см. теорему 4) lim 1пх =—оо, поэтому в этом
Х-М-О

случае функция х“ непрерывна и при х = 0.

7.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Перейдем к вопросу о непрерывности тригонометрических
функций. При этом не будем приводить, строгих аналитических
определений этих функций (как это было сделано выше с пока-

зательной функцией)-, а используем
их геометрическое определение, из-
вестное из элементарной математики.
Всюду в дальнейшем х — действитель-
ное число, а под sinx, cosx, tgx,
ctgx будем подразумевать значение
соответствующей тригонометрической
функции от угла, радианная мера ко-
торого равна х.

Лемма 3. При любом- действитель-
ном х справедливо неравенство

| sinx |	|'х |.

Доказательств.о. Рассмотрим окружность радиуса R с
центром в точке О. Пусть радиус ОВ образует уголх, Osgxsg^,
с радиусом О А, а радиус ОВ]. симметричен радиусу ОВ отно-
сительно ОА (рис. 27).

Опустим из точки В перпендикуляр ВС на радиус ОА. Тогда
ВС = R sin х, итак как BC = CBIt будем иметь BB1 = 27?sinx.
Как известно, длина дуги ВАВ] равна 2Rx- Длина отрезка, сое-
диняющего две точки, не превышает длины дуги окружности,
соединяющей те же точки, значит, 2#sinxsg2£x, т. е. sinx^gx.

Если теперь — ~^х<.0, то0< — xg", и поэтому, в силу,
доказанного, sin(—x)sg —х, но в этом случае sin(—х) = | sinx]
и —х = |х|, следовательно, | sinх| |х|. Таким образом, если
|х| sg-^-, то | sinх|	| х |‘. Если же |х|>у, то |:sinx|sg 1

<и- □
Теорема 6. Функции y=s'mx, у = cosx непрерывны на всей
действительной оси.

Следствие. Функции z/ = tgx и y = cigx непрерывны при всех х,
при которых cosx, соответственно sinx, не обращаются в ноль.

Доказательство. Так как |sinajsgl, | cos а |	1 при

любом айв силу леммы sin g*	2’I	1> т0

I Дх I i / i\x \ I

| sin (х + Ах) — sinx |	2 sin у | cos +	1 <; | Дх|,

| cos (х +Ах) — cosx |	2 | sin 11 sin [х +	| Ах

Отсюда следует, что при Ах->0 левые части неравенства также
стремятся к нулю. Это и означает непрерывность функций sinx
и cosx.

Непрерывность tg х =-гт—- и ctgx = -7—- в точках, в которых
sin х	sin X

знаменатели не обращаются в ноль, следует из непрерывности
sinx и cosx и теоремы о частном непрерывных функций (см. п. 5.2).

Теорема 7. Обратные тригонометрические функции arcsinx,
arccosx, arctg v и arcctgx непрерывны в области их определения.

Это сразу следует из теорем 3 и 4 в § 6 и из непрерывности
и строгой монотонности функций sinx на отрезке [—л/2, л/2],
cosx на отрезке [0, л], tgx на интервале (—л/2, л/2) и ctgxna
интервале (0, л).

§ 8. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

8.1.	НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

В этом пункте вычисляются пределы, которые неоднократно
будут встречаться в дальнейшем.

Лемма 1.

lim—=1.	(8.1)

лг-0 х

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром
в точке О. Пусть радиус ОВ образует угол х, 0<х< , с радиу-
сом ОА. Соединим точки А и В отрезком и восставим из точки А
перпендикуляр к радиусу О А до пересечения в точке С с про-
должением радиуса О В (рис. 28). Тогда площадь треугольника АОВ
равна 4,-7?2 sinx, площадь сектора АОВ равна -% R2x, а площадь
треугольника АОС равна -g-7?2tgx. Треугольник АОВ является
частью сектора АОВ, который в свою очередь является частью
треугольника АОС; поэтому

#2sinx<~ Я2х<-*-.R2tgx, откуда sinx<x<tgx,

следовательно,

1 < х < 1

sin х cos х

или, заменяя величины им обратными

sin х ,

COSX<-----< 1

X

(8-2)

Заметим, что в силу четности функций cosx и неравен-

ство (8.2) справедливо и при — л/2<х<1

Так как функция cosx непрерывна и
при х—<-0 следует (см. п. 4.7) равен-
ство (8.1). Ц

Следствие 1.

0.

[ cosO= 1, то из (8.2)

lim-*=l.
х—>0 х

В самом деле,
,. tg х ,. sin х..	1

lim — = lim----lim----

x.o x	x —> 0 x x->0COSX

Следствие 2.

1.

(8-3)

Puc. 28

lim

x —»0

arcsin x
x

1.

(8-4)

Функция у = sinx строго монотонна и непрерывна на отрезке
[—л/2, л/2], поэтому обратная функция х = arcsin у также строго
монотонна и непрерывна на отрезке [—1; 1]. Поскольку sin 0 = 0,
то записи х->0 и у->0 эквивалентны (см. замечание в конце
п. 8*). Чтобы вычислить предел (8.4), применим правило замены
переменного для пределов непрерывных функций (см. теорему 2
в п. 5.2). Положив x = sin у, имеем

arcsin х .. arcsin (sin (?)
lim -------= lim---------——

x^O x	y—>o

lim-X-= 1.
y^o sin У

Следствие 3.

arcfg x
lim—— =
x->0 x

1.

(8-5)

Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3).

Лемма 2.

lim (1+х)1/х = е.	(8.6)

х->0
Ранее (см. п. 3.5) было доказано, что
lim (1 4--Ц" = е,
п-оо\ п/

(8-7)

где п = 1, 2, .... Отсюда следует, что для любой последователь-
ности {nk} натуральных чисел, такой, что

lim nk = 4- сю,	(8.8)

k -+со
имеем

(1™(1+Я‘=с-	<8-9>

В самом деле, пусть задано е> 0; из (8.7) вытекает, что су-
ществует такое пе, что при п^пе

|(1+4)'-4<е'

а из условия (8.8) следует, что существует такое ks, что nk^ne
при k^kE; поэтому в силу (8.10) |(1 к — е <е при k^kz,
что и означает выполнение равенства (8.9).

Пусть теперь последовательность {х*} такая, что lim xft= + 0,
k -юо
т. е.

lim х4 = 0 и Xj>0.	(8.Н)

fe—►СО

Покажем, что lim (1 +xA)I/z* =е. При этом без ограничения
fe —♦ со

общности можно считать, что хА<1, &=1, 2,... (почему?). Для

всякого xk найдется такое натуральное пк, что п* +1

и, следовательно, —<х* «£ —, причем в силу (18.11) lim п* =
Илт-1	nk	k-юо

₽ + сю. Поэтому имеем:

1_____

«fe +1

p<(l+xft)

k

lim

k —> со

14

(8.12)

Замечая, что в силу (8.9)

lim (14-
k -*соЛ

1 \nk ..	\ +n*4-l)

---ГТ = lim ^~Т 	1 —\ 

n* + l/	II 1 \

lim

Л—*cc>

(14-

1___\

nk +1 /

nk+i

1	\n4 + ‘

nfc+ 1/

— e

и

k
и переходя к пределу в неравенстве (8.12) при &->оо, получим
lim (1 -^xk)l/x^ = e.

fe —► со

Поскольку {xft} — произвольная последовательность, удовлетво-
ряющая условиям (8.11), то тем самым доказано, что

lim (1+х)'^ = щ	(8.13)

х-* + 0

Пусть теперь последовательность {xk} такая, что lim х* =— О,
k —> co

т. е.

limxA = 0, хА<0.	(8-14)

fe—»со

Положим yk =— xk, тогда и lim yft = 0, причем без огра-

fe —>03

ничения общности можно считать, что уА<1, &=1, 2, ....Тогда

lim (1 + х*)1/д;*= lim (1 -yk)~х,уь.= lim (Д—) ’ ^ =
fe —> 03	fe —» CO	fe —> 03 V1 “kl

z „ \Myh	—+ 1

= lim(l+r^-) = lim (1+zA)Zft ,
fe—»CO X	* У kJ	k-+C£>

где

гк==Ук > О и lim Zb = 0,

и в силу уже доказанного равенства (8.13)

lim (1 + xk)'!x* = lim (l+z*)1/z* lim (l-j-zk) = e.
fe—>03	fe—>CO	fe —> co

Ho {xfe} была произвольной последовательностью, удовлетворяю-
щей условиям (8.14), поэтому

lim (1+х)‘^ = щ	(8.15)

х-> — О

Таким образом, функция (1+х)17*, х=/=0 имеет в точке 0 пре-
делы слева и справа, равные одному и тому же числу е. Поэтому
существует и ее двусторонний предел при х->0, также равный е
(см. п. 4.5). □

Следствие 1,

lim 1о^+х) = 1 , а>0, а^=1,	(8.16)

х->о х	та	'

и, в частности, при а—е

л-0 X
В самом деле, используя непрерывность логарифмической
функции (см. теорему 4 из § 7), непрерывность суперпозиции
функций (см. п. 5.2) и равенство (8.6), получим

Пш ^.(1+..^ = Пт ioga (j = loga lim (1 + х)'>х = loga e = -r-J-.
x —0	x	z-0	x—0	111 “

Следствие 2.

lim °	= In a.	(8-17)

В частности, если a = e, то

lim^zl=l.	(8.18)

x —0 x

Функция у — ax — 1 строго монотонна и непрерывна на всей
вещественной оси, поэтому обратная функция х = —также
строго монотонна и непрерывна при у> — 1- Поскольку при х = 0
имеем также и г/ = 0, то обозначения х->0 и у-^0 эквивалентны
(см. замечание в конце п. 4.8*). Применим для вычисления пре-
дела (8.17) правило замены переменного (см. теорему 2 п. 5.2).
•п	In (1 -\-у)

Положив Х =—получим

ах— 1 ,.	ulna ,	1	. ~

lim----= lim,, ,	— Ina-j—т——г = In а.

х у^0ЬЦ1+у)	lim in(1 + у)

у-о у

8.2.	СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Все рассматриваемые в этом параграфе функции определены
на некоторой фиксированной проколотой окрестности и (х0) точки х0
расширенной числовой прямой: х0 <= R, причем эта окрестность
может быть и односторонней. Поэтому каждый раз не будет ого-
вариваться, что хеб'р'о)'

Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение беско-
нечно малых функций являются также бесконечно малыми функ-
циями; этого нельзя, вообще говоря, сказать об их частном:
деление одной бесконечно малой на другую может привести к раз-
нообразным случаям, как это показывают нижеприведенные при-
меры бесконечно малых при х->0 функций а(х) и р (х).

Пусть, например, а(х) = х и Р(х) —х2, тсгд1

lim = lim х = 0, lim^7~ = lim-~ = оо.
х-оа«	«-о х

Если жеа(х) = х, р (х) = 2х, то lim Ц4 = 2, а если а(х)=х,
х->0 а W

P(x) = xsin -, то предел lim®-^. не существует.
х	x_0aW
Определение 1. Если для. двух функций fug существуют
такая проколотая окрестность V (х0) и постоянная с > 0, что
для всех х е V (х0) выполняется неравенство | f (х) j sC с | g (х) |, то
функция f называется ограниченной по сравнению с функцией g
на V (х0) и пишется

f (х) = О (g(x)), х-^хп

(читается: f (х) есть О большое от g (х) при х, стремящемся к х0).

Подчеркнем, что запись х->х0 имеет здесь другой, чем обычно,
смысл: она только указывает на то, что рассматриваемое свой-
ство имеет место лишь в некоторой окрестности точки х0; ни о

каком пределе здесь речи нет.

Лемма 3. Если f (х) = <р (х) g (х) и существует конечный предел
lim ср (х) — k, то f (х) — O(g (х)), х->х0.

X—Хп

Доказательство. Из существования конечного предела
lim ф(х) = й, согласно свойству 1° из п. 4.7, следует Существо-

вание такой проколотой окрестности V (х0) точки х0, что функ-
ция ф на ней ограничена, т. е. имеется такая постоянная с>0,
что для всех хеЙ(х0) выполняется неравенство |ф(х}|^тс,
а следовательно, и неравенство |/(х) | = |ф (х) j \g(x) | -Сс |g(x) j.
Это и означает, что f (х) = 0 (g(x)), х->х0. 0

Примеры.

• т = 0(^)при х^°’ иб° при

х->оо, ибо ~ <|у| при |x|2sl. Запись /(х) =

= 0(1) при х—>х0 означает, что функция f (х) ограничена в неко-
торой окрестности точки х0, например ^Е = 0(1) при х->-0, ибо

.. tg2x о	,	tg2x

11 m —— = 2, и, значит, функция —— ограничена в окрестности
х-0 х	х

точки х = 0.

Определение 2. Если функции f(x) и g (х) такие, что f = O(g)
и g — Otf) при х->х0, то они называются функциями одного
порядка при х—>х0; это записывается в виде
f(x)xgW. х—>-х0-

Это понятие наиболее содержательно в том случае, когда
функции fug являются либо бесконечно малыми, либо беско-
нечно большими при х->х0. Например, функции а = х и а —
= x^2-|-siny^ являются при х->0 бесконечно малыми одного
порядка, ибо

I а I _	1	1	।

I Р I | 2 sin 1	2 — | sin ~ |

I-&-I = |2 + sin -1-Lc2+ | sin -1^3.

| а |	|	' x |	1 | x [
Лемма 4. Если существует конечный предел	=

то f (x)xg(x), х->х0.

Доказательство. Положим <р(х) = Цгт. Тогда f(x)=>
= ф(х)£(х) и lim ф(х) = к. Следовательно, по лемме 3, f (х) =s

X -» х0

= O(g(x)), х->ха.

? ЛА

Поскольку lim -4-7=# 0, существует такая проколотая окре-

X — Хо£\Х>

стность V (х0) точки х0, что для всех х е V (х0) имеем f (x)/g (х) =£ О
(см. свойство 2 в п. 4.7), а следовательно, и /(х)=#0. Для
х е V (х0) положим ip (х) й тогда g (х) = ip (х) f (х) и lim.ip (х) =

Поэтому, согласно лемме 3, g{x) — O (/(х)), х->х0. Q

В качестве примера возьмем функции /(х) = 3х2 и g(x) =
= sinx2. Имеем lim т~ = 4-lim^^- = -J.- (см. (8.1)), поэтому,
x^ool W 3X3

согласно доказанному, функции Зх2 и sinx2 одного порядка при
х->0.

Определение 3. Функции f (х) и g(x) называются эквивалент-
ными при х->х0, если в некоторой проколотой окрестности
U (х0) точки х0 определена такая функция <р (х), что

f(x) = <p(x)g (х)

и

lim ср (х) = 1.

Х-*ХО

(8.20)

(8.21)

Отметим, что в силу свойства (8.21) найдется проколотая
окрестность V (х0) точки х0, на которой ф (х) Ф 0. Полагая ip (х) =s
= —j-г, xgV (хо), видим, что условия (8.20) и (8.21) для ука-
ф (Я)

занной проколотой окрестности равносильны условиям

g (х) = ф (х)/ (х), lim ip (х) = 1,

т. е. как говорят, эквивалентность двух функций обладает свой-
ством симметричности.

Функции /(х) и g(x), эквивалентные при х->х0, называются
также асимптотически равными при х—>х0. Асимптотическое
равенство (эквивалентность) функций обозначается символом

f(x)~g(x) при х->х0.

(8.22)

Из сказанного выше следует, что если /~£.при х->х0, то
и g~f при х^-х0.
xi

Примеры. 1. р^г^^х2 при х->0. Действительно, пола*
, ч 1

гая <р (х) = |^_-4, получим

т^ = ф(х)х« и 1ипоГ1^=1.

2. t х2 при х->оо. В самом деле, если ф (х) =	, то

г^1 = Ф(х)х2 и J£m-^-4=l.

Если в некоторой проколотой окрестности U (х0) точки х0
справедливы неравенства /(х)=#0, g(x)=#0, то условия (8.20) и
(8.21) эквивалентны соотношению

lim -Ш=1

и, следовательно, условию

f (х)

Чтобы в этом убедиться, достаточно положить ф(х) = 4у-(; тогда,
S W
очевидно, для функции ф(х) выполняются условия (8.20) и (8.21).
Если

f~g и g^h при х—>х0,	(8.23)

то

при x->xfl.

(8.24)

В самом деле, из условий (8.23) следует, что в некоторой про-
колотой окрестности точки х0

/(х) = ф(х)§(х) и §(х) = Ф(х)Л(х),

где lim ф(х) = lim ф(х) = 1 и, следовательно,

X Х9	X->Xq

/(х) = ф(х)ф(х)Л(х),

где lim ф (х)ф(х) = 1, т. е. выполняется асимптотическое равен-

Х-*Хо

ство (8.24).

Из результатов п. 8.1 следует, что при х->0 справедлива
следующая эквивалентность бесконечно малых:

х~sinх~ tgх~ arcsinx^arctgx^In(1 4-х)~е* — 1.

Из этой эквивалентности следуют и более общие соотношения,
которые сформулируем в виде отдельной леммы.

Лемма 4. Если функция и (х) такова, что

lim п(х) = 0,	(8.25)

X-+Xf)
то при х->х0

и (х) ~ sin и (х) ~ tg и (х) ~ arcsin и (х) ~ arctg и (х) ~
~1п[1+м(х)]~е“^>-1.	(8.26)

Доказательство. Покажем, например, что
sinu(x)~u(x) при х—>х0.	(8.27)

Пусть функция и(х) определена в некоторой проколотой окре-
стности точки х0. Положим (считая х=#х0 принадлежащими этой
окрестности)

(sin и (х)	. . , п

—И—, если и (х) Ф О,
.«(*)’ v •	(8 28)

1, если ц(х) —0.

Покажем, что

lim <р(х)=1.	(8.29)

х-*х0

Пусть задано е>0. Поскольку

sin и .

lim---= 1

и-+0 “

(здесь и — независимое переменное), существует такое число ц =
= г] (е), что при | и | < т], ц=т^0, выполняется неравенство

I sin и .1 _
-------1 < 8.

I « I

Для указанного т]>0 в силу (8.25) существует такое число
6 = 6(1]), что для всех х, удовлетворяющих условию |х —х0|<6,
х Ф Хо, выполняется неравенство |и(х)|<т]. Следовательно, если
|х —х0|<6, ху=хо и и(х)=т^0, то

I sin и (х)	. I

| И (х)	1^

Иначе говоря, если 0< | х — х0| <6, и и(х)=^0, то

| Ф (х) - 11 < е.

(8.30)

Если же 0<;1 х — Хо|<6 и н(х) = 0, то согласно (8.28) имеем
Ф (х) = 1 и, следовательно, неравенство (8.30) очевидно также
выполняется.

Равенство (8.29) доказано, а так как из (8.28) следует, что
sin и (х) = ф (х) и (х) для всех хе(х(|-6, х0 + 6), ху=х0, то дока-
зана справедливость асимптотического равенства (8.27). Анало-
гично . доказываются и остальные асимптотические формулы
(8.26). □

Определение 4. Если в некоторой проколотой окрестности
точки хо а (х) = е (х) f (х), где lime(x) = 0, то функция а назы-
х->х0
вается бесконечно малой по сравнению с функцией f при х->х0 и
пишется a = o(f), х->х0 (читается «а есть о малое cm f при х,
стремящемся к х0»).

В силу этого определения запись «а(х) = о(1), х->х0» озна-
чает просто, что функция а(х) является бесконечно малой при
х^-х0.

Если f (х) Ф 0 при х Ф х0, то условие

а = е/, lim е = 0,

х-+х0

можно переписать в виде

lim у- = 0.

Х^>Хо I

Таким образом, под o(f) при х->х0 (f(x)=^O при х=^х0) под-
разумевается любая функция такая, что

lim Ц^ = 0.

х^Хо •

В случае, когда f(x) бесконечно мала при х->х0, то гово-
рят, что а = о(/) при х—>Хо является бесконечно малой более
высокого порядка, чем f.

Например, x3 = o(sinx2) при х->0, ибо

lim -7^-5 = lim х lim -*-= = 0-1=0.

X_osinx2	^osmx2

Подобным образом ^2=О(4) и х==0(х2) ПРИ х->-<х).

Отметим, что если f — o(g) при х->х0, то и подавно f — O(g)
при х->х0. В самом деле, пусть f = eg, где lime = 0. Тогда
функция е = е(х) ограничена в некоторой проколотой окрестности
точки Хо (см. п. 4.7): | е (х) | с, х=^х0 и, значит, |f(x) |	|g(x) |

в указанной проколотой окрестности, а это означает, что f — O(g),
X—>-Хо-

Собирая вместе введенные в этом пункте основные понятия,
получим: пусть в некоторой проколотой окрестности U =U (х0)
точки х0

f(x) = <p(x)g(x),
тогда

если функция <р(х) ограничена на U, то / (х) = О (g (х));
если lim <р(х)=1, то f (х) ~ g(x), х->х0;

х-+х0

если lim <р(х) = 0, то /(х) = o(g(x)), х->х0.

х^х0

Упражнение 1. Пусть £=О(а2) при х->х0, lim а = 0. Доказать,
х-+х0
что тогда р=о(а) при %->х0.
При использовании равенств с символами Ойо следует имел?,
в виду, Пто они не являются равенствами, в обычном смысле
этого слова. Так, если

«! = «(₽) при х->х0, а2 = оф) при г->х0,

то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что а1 = а2,
как это было бы в случае обычных равенств. Например, х3 =
= о (х) и х2 = о(х) при х->0, но х2Фх3.

Аналогично, если

/ + O(f) = g + O(Z) при х->х0,
то было бы ошибкой сделать заключение, что f = g.

Дело в том, что один и тот же символ О (f) или о (/) может
обозначать разные конкретные функции. Это обстоятельство свя-
зано с тем, что при определении символов 0(f) и o(f) мы по
существу ввели целые классы функций, обладающих определен-
ными свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой
окрестности точки х0 по сравнению с функцией f и класс функ-
ций, бесконечно малых по сравнению с /(х) при х->х0) и было
бы правильнее писать не а = 0(f) и a = o(f), а соответственно
йеО0 и а е о (f). Однако это привело бы к существенному
усложнению вычислений с формулами, в которых встречаются
символы Ойо. Поэтому мы сохраним прежнюю запись a = O(f)
и a = o(f), но будем всегда читать эти равенства, в соответствии
с приведенными выше определениями, только в одну сторону:
слева направо (если, конечно, не оговорено что-либо другое).
Например, запись

a = ot(f), х->Хо

означает, что функция а является бесконечно малой по сравне-
нию с функцией f при х-*-х0, но отнюдь не то, что всякая беско-
нечно малая по сравнению е f функция» равна а.

В качестве примера на обращение1 с этими символами дока-
жем равенство

o(cff=o(f),	(8.31)

где с —постоянная.

Согласно сказанному, надо показать, что если g — &(cf), то
g — o(f). Действительно, если g~o(cf), mg = ecf, где lim е(х) =
. х->х0

= 0. Положим 61 = се, тогда g = ej, где, очевидно, lim еДх^О
Х-*Хь

и, значит, g = o(f). Q

В заключение отметим, что сказанное об использовании сим-
волов о и О не исключает, конечно, того, что отдельные формулы
с этими символами могут оказаться справедливыми не только при
чтении слева направо, но и справа налево; так, формула (8.31)
при с=/=0 верна и при чтении справа налево.
У п р а ж н:е н и я.
то при х->-х0:
2. о(а2) = о(а),
3. о (а) • О (а) = о (а2),
4. о (а) + о (а) = о (а),
5. а • о(а) = о(а2),

Доказать, что вели а — бесконечно малая >при х~*-Хд,

6.	о (а + а2) = о<(а),

7.	о2 (а) = о (а2),

8.	сО(а)4-о(а)=‘О'(а)

(с—постоянная)

9.	о (о (а)) = о (а),

10.	О (О (а)) = О (а),

11.	Если | р | sgo(a), то
Р = о(а).

12. Пусть limfp) = a, причем f (t) #= а при t =/= Ъ в некоторой окрестности
t —*Ь

точки t = b. Доказать, что тогда, если <р (х) = о р|>(х)] при х -► а, то <р [/(/)] =
= о{1|> [/(/)]} при t^b\ а если <р (х) = О р|)'(х)] при х-^а, то <₽V(t)] =
= О {i|> [/(/)]} при t-*-b.

8.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

Если функция f(x) заменяется для каких-либо целей через

g(x), то разность f (х) — g (х) называется абсолютней погрешностью,

f(x)—g(x)
f(x)

а отношение

— относительной погрешностью сделанной

замены. Если изучается поведение функции /(х) при х->х0, то

часто целесообразно заменить ее функцией g (х) такой, что 1) функ-

ция g(x) в определенном смысле более простая, чем функция
f(x); 2) абсолютная погрешность стремится к нулю при х->х8:

lim [f (х) - g (х)3 = 0.
х->х0

В этом случае говорят, что g(x) приближает или аппрокси-
мирует функцию f (х) вблизи точки х0. Таким свойством обладают
например, все бесконечно малые при х->х0 функции f и g.

Ниже будет показано, что среди них лишь те, которые экви-
валентны между собой:

g(x)~f(x), Х->Хо,
обладают тем свойством, что не только абсолютная погрешность
/(х) — g(x), но и относительная	стремится к нулю при

х->х0:

]im =
Х-Хо /W

В этом смысле функции, эквивалентные заданной, приближают
ее лучше, чем другие функции даже того же порядка, что и дан-
ная при х—>-х0.

Например, функции х, ух, 2х, Юх являются бесконечно
малыми при х->0, так же как и sin x, а поэтому абсолютные
погрешности при замене sinx каждой из них стремятся к Рулю
при х->0:

lim (sinx —х) = lim fsinx —4- х') = lim (sinx —2х) =
x->0	x-»0 \	/	x->0

= lim (sin x — ГОх) = 0.

x-^0
Но лишь одна из всех перечисленных функций, а именно g(x)-=
= х обладает тем свойством, что относительная погрешность при
замене sinx этой функцией будет стремиться к нулю при х->0:

v sinx—х ..	!. х \	_

lim —:-----= lim I 1 —— = 0.

Л-.0 SInx	Slnx/

Стремление относительной погрешности / к нулю при
х->х0 можно записать, используя символ «о малое»:

/(x)-g(x) = o(/(x)), х—>х0.

Сформулируем высказанное характеристическое свойство экви-
валентных функций в виде теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы функции f = /(х) и g = g(x) были
эквивалентными при х->х0, необходимо и достаточно, чтобы при
х->х0 выполнялось условие

f(x)^g(x) + o(g(x)).

(8.32)

Доказательство необходимости. Пусть f^g при
х—>х0, т. е.

Z(x) = <p(x)g(x),.

где lim<p(x)=l. Тогда

х->х0

f(x)-g (х) = <₽ (х) g (х) - g (х) = [ф (х) - 1 ] g (х) = е (х) g (х),
где е(х) = ф(х) — 1->0 при х->х0, т. е. имеем (8.32).

Доказательство достаточности. Пусть выполняется
условие (8.32), т. е.

f(x) = g(x)4-e(x)g(x),

где lim е(х) = 0. Тогда

X -*лг0

/ (-V) = [ 1 + е (х)] g (х) = ф (х) g (х),

где ф(х) = 1 4~е(х)->1 при х->х0, т. е. f^g при х->х0. □

Итак, мы показали, что функции /(х) и g(x) эквивалентны
при х—>Xq тогда и только тогда, когда относительная погреш-
f(x)—g(x) [	/(*)—g(x)\

НОСТЬ  [ (^ИЛИ g(x) j стРемится к нулю при х—>~х0.

Следствие. Пусть lim у- = с=/=0, где с — постоянная. Тогда
X->Xq I

g~cf и g = cf+o(f) при Х->Х0.

Доказательство. Если lim -f- = c=/=O, то lim — =1, и,
значит, g^cf при х->х0. Отсюда по теореме 1 имеем g = cf +
-\-o(cf), а значит (см. конец п. 8.2), g = cfо (J). Q
Теорема 2. Пусть /(х)~/х(х) и g(x) ~gi(x) при х->х0.
Тогда если существует

lim

х^Ха SiW

1  f (х)

то существует и lim причем

X-tXl: S Iх)

Пт Ж= lim Ш

X^Xog(x) x^Xagl(x)

(8.33)

(8.34)

Доказательство. Условие при х->х0 означает, что
/(х) = ф(х)Л(х),

где lim <р(х) = 1, а условие g^gi при х->х0 —что g(x) —
Х^Хо

= ip(x)gi(x), где lim ф (х) = 1. Кроме того, поскольку существует
х-*х0

предел (8.33), функция fi(x)/gi(x) определена в некоторой про-
колотой окрестности точки х0 и, следовательно, всюду в этой
окрестности выполняется неравенство gi (х) Ф 0. Поскольку g (х) =
= Ф (х) gi (х) и, очевидно (почему?), ф(х)#=0 в некоторой про-
колотой окрестности точки х0, то и функция g(x) обладает тем
же свойством. Поэтому функция f(x)/g(x) определена в некото-
рой проколотой окрестности точки х0.

Теперь имеем:

lim = lim	lim = lim □

x-+XQgW x^x^Wgl(x) lim WUx.ftW x^Xagi(x) l—l

X —* Xq

Поскольку обе части равенства (8.34) равноправны, то из
доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части,
существует тогда и только тогда, когда существует предел в пра-
вой части, причем в случае их существования они совпадают.
Это делает очень удобным применение теоремы 2 на практике:
ее можно использовать для вычисления пределов, не зная зара-
нее, существует или нет рассматриваемый предел.

Упражнение 13. Доказать равенство (8.34) в случае, когда предел
f (х)

lim ЦЦ-равен со, -4-со или —со.

x^Xog(x)

8.4. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

Пусть а(х) и р (х)— функции, определенные в некоторой про-
колотой окрестности точки х0. Если функция р (х) представима
в виде

Р (х) = а(х) + о(а(х)), х->х0,
то функция а(х) называется главной частью функции р (х) при
х стремящемся к х0 е /?.
Примеры. 1. Главная часть функции sinx, при х->0 равна
X, ибо sinx = x + o(x) при х->0.

2. Если Рп(х) = апхп + ... + а1х + а0, а„у=0, то функция апхп
является главной частью многочлена Рп(х) при х->оо, ибо
Рп (х) = апхп + о (хп) при х->оо.

Если задана функция 0 (х), то ее главная часть не определя-
ется однозначно: любая функция а(х), эквивалентная р (х), явля-
ется ее главной частью. Например, пусть р = х + х2Д-х3. По-
скольку, с одной стороны х2 + х3 = о (х) при х->0, то 0 = х + о(х)
при х—>-0, а с другой стороны, х3 = о(х + х2), при х->0, то
Р = х + х2 + о(х + х2) при х->0. В первом случае главной частью
можно считать а = х, во втором а = х+х2. Однако, если зада-
ваться определенным видом главной части, то при его разумном
выборе можно добиться того, что главная часть указанного вида
будет определена однозначно.

В частности, справедлива .следующая лемма.

Лемма 5. Если функция р (х) обладает при х->х0, главной
частью вида А (х — х0)к, А^О, где А и k — постоянные, то среди
всех главных частей такого вида она определяется единственным
образом.

Действительно, пусть, при х->х0,

Р(х) = Л(х —хо)* + о((х —х0)*), Д=#0,
и

Р (ж) = А1 (х - х0)*1+о ((х - х0)*«), л 1 #= 0.

Тогда р (х) ~ А (х — х0)*; Р (х) ~ А± (х — х0)*‘ при х х0’> поэтому
А (х — Хо)* ~ Лх (х — х0)*1, т. е.

что справедливо лишь в случае А=А} и = Q

Понятие главной части функции полезно при изучении бес-
конечно малых и бесконечно больших и с успехом используется
при решении разнообразных задач математического анализа.
Довольно часто удается бесконечно малую сложного аналитичес-
кого вида заменить, в окрестности данной точки, с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка, более простой
(в каком-то смысле) функцией. Например, если р (х) удается
представить в виде р (х) = А (х — х0)* + о ((х — х0)*), то это означает,
что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка,
чем (х —Хо)* при х->х0, бесконечно малая Р(х) ведет себя
в окрестности точки х как степенная функция Л(х —х0)*.

Покажем на примерах, как метод выделения главной части
бесконечно малых применяется к вычислению пределов функций.
При этом будем широко использовать полученные .нами соотно-
шения эквивалентности (8.26).
Пусть требуется найти предел- (а значит, и доказать, что он
существует).

,. In (14-х-]-х2)4-arcsin Зх—5х3
sin2x + tg2x + (e*—1)5>	’

Используя доказанную, выше (см. (8.26)) эквивалентность
1п(1ф-и)^и при и->0, имеем lw(l+х-}-х2)	х-|-х2 при х->0,

поэтому (ем. теорему 1) 1п(1 +х + х2) = х + х2+о(х + х2)- Однако
о (х 4~ х2) = о (х) (почему?) и х2 = о (х) при х->0, а следовательно,

In(1+х-|-х2) =х + о(х) при х->0.

Далее, arcsin 3х~3х, вследствие чего

arcsin Зх = Зх + о (Зх) = Зх + о (х).

Очевидно также, что
5х3 = о(х)..

Из асимптотического равенства sin2x~2x, получим

sin 2х = 2х + о (2х) — 2х+о (х),

из tg2x~x2 —

tg2 х = х2 + о (х2)=о (х)>
а из (ех — 1)5~х5 —

(ех — 1 )5 = х5 + о (х5)= о (х).

Все эти соотношения выполняются пр» х->0. Теперь имеем

In (1 +х + х2) +arcsin Зх —5х3 =

= х + о (х) + Зх + о. (х) — а (х) = 4х + о (х),
sin 2х + tg2 х + (ех — I)5 = 2х + о (х) + о (х) = 2х + о (х),
поэтому

In (1 4-х4-х2) +arcsin Зх—5х3_	4х-|-о(х)

VJ? Sin2x-rtg2x + (e^—!)•>	2х+о(х) '

Но 4х + о (х) ~ 4х, а 2х + о(х)^2х при х->0, и, значит, по тео-
реме 2,

НтШ>-Пт£-2'

£Х~\-0 \Х)	лх

Таким образом, искомый предел существует и равен 2.

При вычислении пределов функций с помощью метода выде-
ления главной части следует иметь в виду, что в случаях, не
рассмотренных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно ма-
лые заменять эквивалентными им. Так, например, при отыска-
нии предела выражения lim-----s— было бы .ошибкой заменить

х^О . х

функцию sinx эквивалентной ей при х->-0 функцией х. Естест-
венный метод решения подобных задач будет дан в 1'3.4.
Для отыскания пределов выражений вида и (x)v (*> целесооб-
разно находить предел их логарифмов. Рассмотрим подобный
пример. Найдем предел lim cos1/*2 2х. Замечая, что
х^О

cos1/*22.v = elncos,/r22*,	(8.35)

2 x-*Q

1	4%2

видим, что следует вычислить предел

,.	,	. ,v2O ,. Incos2x 1,. In (1 — sin22x)

lim In cos1/* 2x = lim =— = -o- lim ——-» 
x-*0	x-»0 *	2 x-»0	*2

Так как In (1 — sin22x) ~ — sin22x, то отсюда, согласно теореме 2
этого параграфа, имеем

1	,.	1п(1 — sin22x) 1 .. sin22x

hm —i=---------------lim ------•

2	x-»o x
но sin22x~ (2x)2, а поэтому
1 lim sin4
— O t n ------------------= — o- i|m -» = — z;

2 x-»0 x2	2 x2

таким образом,

lim In cos1 /*2 2x = — 2.

x—>0

В силу непрерывности показательной функции из (8.35) имеем

1/х2

lim In cos ' 2х i
lim cos1/*!2x = e*-*°	= —r.

x-Q	e“

Способ вычисления пределов с помощью выделения главной
части' функции является очень удобным, простым и вместе с тем
весьма общим методом. Некоторое затруднение в его применении
связано пока с тем, что еще нет достаточно общего способа вы-
деления главной части функции. Это затруднение будет устра-
нено в дальнейшем (см. § 13).

Упражнения. Вычислить пределы:

.. arcsm 2х—sin2x

14. lim—„	,	, „ . .

х—о *2 + In (1 + Зх)

In iff x

19. lim —. Указание. Полезно
л^л/4 cos 2x

л

сделать замену х = — — у.

15. lim
х->о

1 — cos х

In (l + tg2x) 

16.	lim
я-»0

ax — bx
x

(a, 6 > 0; a, b =£ 1).

21. lim

Х-.ОЭ \ Х 1 /

i-	tgx —sinx

17.	lim —----------

x->0

22. lim (1 -f-2 tg2x)ctg2x.
х-»о

18.	lim
x—>co

1п(1-}-еал)
ln(l+e₽*)

23.

,.	/ sin х \1/(х—а)

hm -------

x-a \ sm а /

(a > 0, P>0).
§ 9.	ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

9.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Определение I. Пусть функция у = 1~(х) определена в некото-
рой окрестности точки х0 и пусть х — произвольная точка этой
окрестности. Если отношение

f(x)-f(x0)

х — х0

имеет предел
ной функции
чается f (х0):

при х-^хо, то этот предел называется производ-
f в точке хо или, что то же, при х — х0 и обозна-

х-^х0	°

(9-1)

Если ввести обозначение х — х0 = Ах, то

определение

(9-1)

запишется в виде

/' (х0) = lim

Дх—>0

/(х04-Дх) —/ (х0)
Дх

Полагая f (х0 + Ах) — / (х0) = &у, опуская обозначения аргу-
мента и обозначая производную просто через у', получим еще
одну запись определения производной:

У = л11тп^Г

Дх->0

Если для некоторого значения х0 существуют пределы

,. Ду	,.	Ду

lim д7=	+ ос,	или	hm

Дх-*0	Дх—>0

то говорят, что при х = х0 существует бесконечная производная,
равная соответственно	-фоо	или —со. Подчеркнем, что под

бесконечной производной понимается только бесконечность опре-
деленного знака.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную»
мы будем понимать всегда наличие конечной производной,
если не оговорено противное.

Определение 2. Если функция f определена в некоторой право-
сторонней (левосторонней) окрестности точки х0 и существу-
ет конечный или бесконечный (определенного знака) предел
l'm Нхо+Лх) —1(х0) / |jm /(хо+Дх)—то он называется
Дх->уо	Дх	\дх—►—о	/

соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной
функции f в точке х0 и обозначается /+(х0) (или /Е(х0)).

Правая и левая производные называются односторонними про-
изводными.
Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 4.5) следует,
что функция f (х), определенная в некоторой окрестности точки х0,
имеет производную /' (х0) тогда и только тогда, когда (х0) и
f'+(x0) существуют и (х0) = /+ (х0). В этом случае f (х0) =
= /Е(х0) = /+(х0).

Если функция ^(х) определена на некотором промежутке и в
каждой его точке существует производная (причем под произ-
водной в его конце, который принадлежит промежутку, естест-
венно, понимается соответствующая односторонняя производная),
то она, очевидно, также является функцией, определенной на
данном промежутке; ее обозначают через f (х). Если y = f(x),
то вместо f (х0) пишут также у' |х=х„

Вычисление производной от функции называется дифферен-
цированием.

Примеры. 1. у = с (с —постоянная).

Так как Ду = с —с = 0, то lim-^-='0 и, таким образом

Дх-»0

с' = 0.

2.	у = sinx. Имеем

Ьу — sin (х 4- ^х)— sin х — 2 cos (х +	sin

и поэтому
•

lim-r^-= limcos х4--т,- dim -	= cosx.

Дх->0	Дх-Q \ z ! Дх—*0

2

Таким образом

(sinx)' = cos x.

3.	y = cosx. Так как

Ay = cos (x+Ax) — cos (x) = — 2 sin fx+ sin-^-,
то будем иметь

, Дх

Ду	• f , Дх\,. sm 2

lim -дТ = — lim sin X+-K- lim —Д-— = —sinx.

Дх-0	Дх—>0	\ x /ДХ-.0

2

Таким образом,

(cosx)' = — sinx.

y~ax. Имеем ку = ax^x — ax = ax (ax — 1), а поэтому

Ду , a&x— 1

Дх	Дх ’

откуда, в силу формулы (8.17), получаем:

lim = ах lim аА. ~~х =ах In а.

д^о Дх д^о Дх
Таким образом (ах)' =-«^1пщ в частности,
(ех)' =вх.

Последнее равенство показывает, что число е обладает заме-
чательным свойством: показательная функция с основанием е
имеет производную, совпадающую с самой функцией1. Этим и
объясняется то' обстоятельство, что в математическом анализе
в качестве основания степени и основания логарифмов исполь-
зуется преимущественно число в. Это' очень удобно, так как
упрощает вычисления.

5. у — хп, « — натуральное число. Используя правило возве-
дения бинома в степень, находим

Ау = (х + Дх)п — х^'— пхп~1 Ах + V х'»-2 Дх2 + • • • + Ахп,

= «хЛ-1+ ”(п~ Ч. хл'"1Ах Н+,.. + Ахп~\

Так как при Ах->0 все слагаемые правой части, содержащие
множитель Ах в степени с натуральным показателем, стремятся
к нулю, то lim — = мх"*1; таким образом,

(хл)' = «хл-1.

В дальнейшем мы увидим, что эта формула справедлива и тогда,
когда « — произвольное действительное число.

9.2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Определение 3. Функция y—f(x), определенная в некоторой
окрестности точки х0, называется дифференцируемой1 при х = х0,
если ее приращение в этой точке

Ау = f (*»+ д«) — f (хо), Ах = х — х0,

представимо в виде

Ау — А Ах А-о. (Ах),

(9-2)

где А — постоянная *' и а (А х) — о (Ах) при Дх->0.

Линейная функция А Ах (от Ах) называется дифференциалом
функции f в точке х0 и обозначается df (х0) или, короче, dy.

Таким образом,

Ay = dyA-o(Ax) при
dy = А Ах.

Ах->0,

(9-3)

(9-4)

*> При фиксированном х0 А есть некоторое число, не зависящее от Дх;
конечно, при изменении точки х0 число А, вообще говоря, меняется.
Заметим, что дифференциал dy = А Ах, как и всякая линейная
функция, определен для любого значения Ах: — оо < Ах < + оо,
в то время как приращение Ay = f (х0 + Ах) — f(x0), естественно,
можно рассматривать только для таких Ах, для которых х0 + Ах
принадлежит области определения функции /.

Если А=^0, т. е. если dy^O, то дифференцируемость функ-
ции в точке х0 означает, что с точйостью до бесконечно малых
более высокого порядка, чем приращение аргумента Ах, прира-
щение функции Ау является линейной функцией от Ах. Используя
терминологию п. 8.4, можно сказать, что главная часть прира-
щения функции Ау в точке х0 является линейной функцией отно-
сительно Ах; при этом приращение Ау и дифференциал dy — экви-
валентные бесконечно малые при Ах->0 (см. п. 8.3).

Если же Л = О, т. е. dy=Q, то Ар = о(Ах) при Ах->0., Таким
образом, при Л = 0 приращение Ау является бесконечно малой
более высокого порядка, чем Ах, когда Ах->0.

Для большей симметрии записи дифференциала приращение Ах
обозначают dx и называют его дифференциалом независимого
переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде

dy = Л dx.

Пример. Найдем дифференциал функции р = х3.

В этом случае

Ау = (х + Ах)3 — х3 — Зх2 Ах + Зх (Ах)2 + (Ах)3.

При Ах-^-0 главная линейная часть выражения, стоящего
справа, равна Зх2 Ах; поэтому dy = 3x2dx.

Пусть f(x’0) = w0. Подставив в (9.3) значения Ay = f(x) — уй,
Дх = х —Хо, dy = A(x — х0), получим

/(х)=Ро + Л(х — х0) + о(х — хо), х-»х0.	(9-5)

Итак, если функция /(х) дифференцируема в точке х0, то
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем
х —Хо, вблизи х0, она равна линейной функции; иначе говоря,
в этом случае функция f в окрестности точки х0 ведет себя
«почти как линейная функция»

Ро + А (х — х0),
причем погрешность при замене функции f этой линейной функ-
цией будет тем меньше, чем меньше разность х — х0, и, более
того, отношение этой погрешности к разнести х — х0 стремится
к нулю при х—*-х0.

Если функция / дифференцируема в каждой точке некоторого
интервала, то ее дифференциал является функцией двух пере-
менных — точки х и переменной dx:

dy = А (х) dx.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке
и существованием производной в той же точке.

Теорема 1. Для того чтобы функция f была дифференцируемой
е некоторой точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке производную', при этом

dy = f'(xo)dx.	(9.6)

Доказательство необходимости. Пусть функция f
дифференцируема в точке х0, т. е. &у = А Ах + о (Дх), Ах->0. Тогда

lim =Л+ lim = А.

Дх-*0 Д*	Дх—*0 Дх

Поэтому производная f (х0) существует и равна А. Отсюда dy =
= /' (x0)dx.

Доказательство достаточности. Пусть существует про-
изводная /' (х0), т. е. существует предел lim ~ = f (х0). Тогда

= Г (хо) + е(Ах),

где lim е(Дх) = 0, и для Ах=#0

Дя -* О

Ау = /'(х0) Ах + е (Ах) Ах.	(9.7)

Так как е (Ах) Ах = о (Ах) при Ах->0 выполнение равенства
(9.7) и означает дифференцируемость функции f в точке х0. Q

Подчеркнем, что в теореме 1 речь идет о конечной производной.

Таким образом, дифференцируемость функции /(х)
в точке х0 равносильна существованию в этой точке
конечной производной /' (х0).

Из доказанного следует, что коэффициент А, участвующий
в определении дифференциала (см. (9.4)), определен однозначно,
а именно Л = /'(х0); тем самым и дифференциал функции
в данной точке определен однозначно. Это, впрочем,
вытекает также из леммы п. 8.4 о единственности главной части
вида А (х — х0)* бесконечно малой функции.

Из формулы (9.6) находим у' = Правая часть представляет
собой дробь, числитель которой — дифференциал функции, а зна-
менатель — дифференциал аргумента.

Формула (9.6) позволяет находить дифференциалы функций,
если известны их производные. Так, например, используя произ-
водные, найденные в п. 9.1. получаем:

dc = 0 (с —постоянная), dcosx = — sinxdx,

с! sin х = cos х dx, dax = ax In a dx,
в частности, dex = exdx,

dxn = nxn~1dx (« — натуральное число).

6 Кудрявцев Л. Д. т. 1
В заключение выясним связь между дифференцируемостью и
непрерывностью в данной точке.

Теорема 2. Если функция f дифференцируема в некоторой точке,
то она и непрерывна в этой точке.

Следствие. Если функция в некоторой точке имеет производную,
то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция / дифференцируема
в точке х0, т. е. в этой точке Ау = А Ах + о (Ах) при Дх—»0.
Тогда

lim Ау—А lim Ах+ lim o(Ax) = 0,
Дх-»0	Да:-» 0	Дх—»0

что и означает непрерывность функции / при х = х0. Д
Следствие непосредственно вытекает из теорем 1 и 2.
Обратим внимание на то, что если функция имеет в точке
бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой
точке.

Упражнение 1. Построить пример функции, имеющей в некоторой
точке бесконечную производную и разрывную в этой точке.

Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т. е.
из непрерывности функции f в данной точке не следует ее диф-
ференцируемость или, что равносильно (см. теорему 1), существо-
вание производной в этой точке.

Приведем примеры, подтверждающие это.

1. Функция /(х) = |х|, очевидно, непрерывна в точке х = 0
(как и во всех других), но не имеет в этой точке производной.

В самом деле, при x^sO имеем у = \х\ = х, поэтому для точки
хо = О получим Ау — Ах. Следовательно,

4(0)= lim = 1.

Дх-»0

Аналогично, при х 0 имеем у = | х | = — х, поэтому для точки
х4=0 в этом случае получим Ау = — Ах. Следовательно,

4(0)= lim ^ = -1.

Дл: —0

Тем самым доказано, что функция /(х) = |х| не имеет при
х=0 производной, однако в этой точке существуют как левая,
так и правая производные.

Отметим еще, что при х>0 имеет место равенство (|х|)' =
= х' = 1, а при х < 0 соответственно (| х |)' = (— х)' = — 1; поэтому
для любого х=Н=0 справедлива формула

| х =signx.

Следующий пример показывает, что у функции может не быть
в точке непрерывности никакой односторонней производной.
2. Пусть

. 1
xsin-
X

О

при X =# О,
при х = О

(рис. 29). Тогда в точке х = 0 имеем Ay=Axsin~, откуда

I Az/|sg| Ах|, и поэтому lim Ау = О, т. е. рассматриваемая функ-
6.x —* О

ция непрерывна при х = 0. Вместе с тем = sin^, и поскольку

sin у не имеет в точке х = 0 пре-
дела ни слева, ни справа (см. при-
мер 2 в п. 4.4), то у функции f (х)
не существует односторонних про-
изводных при х = 0.

Упражнение 2. Ввести понятие
дифференцируемости функции справа
(слева) в данной точке и доказать, что
дифференцируемость справа (слева) в
данной точке эквивалентна существова-
нию в этой точке производной справа
(слева).

Если функция f имеет произ-	Рис. 29

водную в каждой точке некото-
рого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого проме-
жутка), то говорят, что функция f имеет производную, или что
она дифференцируема, на указанном промежутке.

9.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной
И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Понятия производной и дифференциала функции в данной
точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой
точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего каса-
тельную.

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (а, Ь) и
непрерывна в точке хое(а, Ь). Пусть Уо = /(х0), Л4о = (^о, У о).
л0 + Лх ее (а, Ь), Ау = /(х0 + Ах)-/(х0), Л4 = (х0 + Ах, у0 + Ау).

Проведем секущую М0М (рис. 30). Она имеет уравнение

y = k(&x)(x — x0)+y9,

(9-8)



где



(9.9)

Покажем, что при Лх->0 расстояние |Л40Л41 от точки Мо до
точки М стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка М
6*
стремится к точке Мо и пишут Л4->Л4О). Действительно, в силу
непрерывности функции f при х = х0 имеем lim Az/ = 0. Следова-
ла-» о

тельно, при Ах->0

| М0М | = УАх2 + Ау2 -> 0.

Определение 4. Если существует предел lim /г(Ах) = /г0, то
Дх —0

прямая, уравнение которой

у — ko (х — х0) 4* у0,

(9.10)

получается из уравнения y = k (Ах) (х — х0) + Уо при Ах->0, (рис. 30)
называется (наклонной) касательной к графику функции f в точке
(х0, уф.

Если lim £(Ах) = оо, то прямая (рис. 31), уравнение которой
Ах —* О

х = х0

(9.Н)

получается при Ах->0 из уравнения секущей, записанного в виде
fe (Дх) = * ~ хо + (Дх)~’ называется (вертикальной) касательной
к графику функции f в точке (х0,

Прямые (9.10) в случае конечного предела lim /г (Ах) и (9.11)

Дх^О

в случае, когда этот предел бесконечен, называются предельными
положениями прямой (9.8). В силу этого данное выше определе-
ние касательной к графику функции можно перефразировать сле-
дующим образом.

Предельное положение секущей МпМ при Ах->0, или, что
то же, при М->М0, называется касательной к графику функ-
ции f в точке Мо.

Заметим, теперь, что в силу равенства (9.9) существование
конечного предела lim£(Ax)= lim-^ означает существование
Дх -> 0	Дх -> 0
конечной производной fr (х0) = k. Следовательно, если у функции f
в точке Хо существует производная, то уравнение касательной
к графику функции в точке (х0, /(х0)) имеет вид

У — f' (*о) (х хо)-\-Уо,	(9.12)

где y0 = f(x0). Если же lim = оо, то, в силу (9.9), lim k (Ах) = оо
Д%-0	Длг — О

и, следовательно, (см.- (9.11)), уравнением касательной будет

х = х0.

Как известно, из аналитической геометрии, коэффициент f (х0)
в уравнении (9.12) равен тангенсу угла (см. рис. 30), который
рассматриваемая прямая образует с положительным направлением
оси Ох:

f'(xo) = tga,
т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу
угла между касательной в соответствующей точке графика функ-
ции и осью абсцисс.

Первое слагаемое правой части уравнения (9.12), т. е. выра-
жение f (х0) (х — х0) = f (хо) Ах, Ах = х —х0, является дифферен-
циалом dy функции / в точке х0- Следовательно, в силу равен-
ства (9.12),

У — Уо = dy,

Где у — текущая ордината касательной. Таким образом, дифферен-
циал функции в данной точке равен приращению ординаты
касательной в соответствующей точке графика функции.

Замечание. Если в точке х0 существует бесконечный пре-
дел lim ~ = со, то он может быть равным + оо или —со.
В этом случае при х = х0 существует бесконечная производная
У + оо или у' = — со, и график функции y = f(x) в окрест-
ности точки хо имеет вид, схематически изображенный на рис. 32
и
Возможен также и случай, когда предел lim = оо не
Лх->0 Дх
является бесконечностью определенного знака и, следовательно,
в этой точке не существует ни конечной, ни бесконечной произ-
водной (это может, например, случиться, если в точке х0 суще-
ствуют односторонние бесконечные производные разного знака).
Тогда в окрестности точки х0 график функции имеет вид, схема-
тически показанный на рис. 34 и 35.

Согласно сказанному выше, при условии lim ~ — оо в точке

Д*-»0 Лх

(х0, /(х0)) всегда существует вертикальная касательная к гра-
фику, независимо оттого, имеет функция при х = хй бесконечную
производную или нет.

Возникает вопрос, не естественно ли считать, что функция
имеет в данной точке бесконечную производную, если в этой точке
существует предел lim ~ = оо, не являющийся обязательно
Дя-*0

бесконечностью определенного знака. Такое определение беско-
нечной производной имело бы некоторые преимущества при форму-
лировке связи между существованием производной и наличием
касательной к графику. Однако, как мы увидим в дальнейшем
(см. § 11), ряд теорем перестает быть справедливым при таком
понимании бесконечной производной.

Пример. Найдем касательную к параболе у = х2 в точке
<1; , ,,

Согласно п. 9.1 (см. пример 5), у = 2х, поэтому у |х_1 = 2.
В силу формулы (9.12), искомая касательная имеет уравнение
у = 2(х — 1)4-1, т. е. у = 2х— 1.

Если функция f дифференцируема в точке х0, то, подставляя
в формулу (9.5) Л=/'(х0) (см. теорему! настоящего параграфа),
имеем

f (х) = Уо 4- f' (хо) (х — Хо) 4“ о (Х — Х0),	X —> Хо,
Г67

и, значит, согласно (9.12) (укас = f (х0) (х — х0) + Уо) получим
f(x)—yKac = o(x — xo), х-^х9.

Таким образом, наклонная касательная к графику функции обла-
дает тем свойством, что разность ординат графика и этой каса-
тельной есть величина бесконечно малая более высокого порядка,
при х->х0, по сравнению с приращением аргумента.

Обратно, если существует невертикальная прямая

Уар = А(х-Хо)+Уо,	(9.13)

проходящая через точку (х0, у0), и такая, что

f(x)-y„p = o(x-xo), х->х0,	(9.14)

то эта прямая является касательной к графику функции в точке
(х0, Уо)- Действительно, в этом случае

f (х) - [ А (х - х0) + уо] = о (х - х0),
т. е.

— f(x)— уо — А (х — Хо) + о(х — х0), Х^-Хо,
следовательно, функция f дифференцируема в точке х0 (см. (9.2))
и A=f (х0) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает
с касательной (9.12).

Таким образом, условие (9.14) необходимо и достаточно для
того, чтобы прямая (9.13) являлась наклонной касательной к графику
функции f(x) в точке (х0, Уо)- Отсюда, в частности, следует, что
если существует прямая (9.13), обладающая свойством (9.14), то
она единственна (последнее вытекает, например, из того, что
дифференциал функции единственен, или из того, что касательная
к графику функции в данной точке единственна.

9.4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Пусть функция / (х) определена в некоторой окрестности точ-
ки Хо. Воспользуемся, как и выше, обозначениями Дх = х —х0,
^^ftxo + ^Xo) — / (х0). Пусть для определенности Ах>0. Отно-
шение равное изменению переменной у на отрезке [х0, Хо + Ах],

отнесенному к единице измерения переменной х, естественно на-
эвать величиной средней скорости изменения у на отрезке
Хог-Ь AxJ относительно х. При стремлении Ах к нулю, т. е. при

стягивании отрезка [х0, х0 + Ах] к точке х0, отношение дает
величину средней скорости изменения у относительно х во все
меньшем и меньшем отрезке, содержащем точку х0. Все сказан-
ное, конечно, справедливо и при Ах < 0 для отрезка [х0 + Ах, х0]|.

Предел Jim если он существует, т. е. производную f (х0|,
естественно поэтому назвать величиной скорости изменения пере-
менной у относительно переменной х в точке х0.

Заметим, что если в точке х0 существует производная /' (х0),
то, рассматривая предел средних скоростей изменения у относи-
тельно х на отрезках [х0 —Дх, х04-Дх] (Дх>0), содержащих
точку х0 внутри себя в качестве центра, при стягивании их
к точке х0 (при Дх->-0) мы придем в пределе к тому же значе-
нию величины скорости изменения у относительно х в точке х0,
т. е. к f (х0). Действительно, величина средней скорости измене-
ния переменной у относительно х на отрезке [х0 —Дх, х04-Дх]
f (х0 + Дх) — f (х0 — Дх) ,
равна	----- (частному от деления изменения функ-

ции на длину отрезка, на котором произошло это изменение);
отсюда

Пт /(Xq + Дх) —f (х0—Ах) 

Дх->0	2Дх

1	Г lim H^,+ M-Z(Xo)+ Нп1 /(Хр-Дх)-/(хг)-1==

2	|_Дх->0	Дх —О	—Ах J

Интересно заметить, что разностное отношение
в известном смысле лучше приближает значение производной /'
f (Х-4-А) — / (X) , Л	„„ п.

в точке х, чем ———'-±-1- (см. об этом в п. 60.3).

На интерпретации производной как величины скорости изме-
нения одной величины относительно другой и основано примене-
ние производной к изучению физических явлений.

Применение же дифференциала основано на том, что замена
приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить
любую дифференцируемую в точке х0 функцию линейной функ-
цией в достаточно малой окрестности точки х0, т. е. считать, что
процесс изменения зависимой переменной «в малом» происходит
линейно относительно аргумента. Иначе говоря, можно считать,
что изменение функции прямо пропорционально изменению аргу-
мента или, как говорят, что упомянутый процесс «в малом» про-
исходит равномерно. При такой замене получающаяся погреш-
ность оказывается бесконечно малой более высокого порядка,
чем приращение аргумента.

Примеры. 1. Пусть s = s(t) — закон движения материальной
точки** (рис. 36); s —длина пути, отсчитываемая вдоль траек-
тории от некоторой начальной точки Мо\ Г—время. Пусть М —
положение точки в момент времени t, а АГ—в момент /ДД/ и
Д« —длина пути от М до М', т. е. Д$ = s (/+ Д/) — s (/).

*’ Не следует путать закон движения точки с уравнением ее траектории,
которое имеет вид r = r(f), где г—радиус-вектор движущейся точки.
л	As	„	_

Отношение называется в механике величиной средней скоро-

сти движения на участке от М до М , a lim ,.= с — величиной

А/-О

скорости в точке М или величиной мгновенной скорости в момент
времени /; таким образом, с =

По определению дифференциала, ds = vdl', следовательно, диф-
ференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за

промежуток времени от момента I
до / + А/, если бы она двигалась
равномерно со скоростью, равной
мгновенной скорости точки в мо-
мент t. Величина же As действи-
тельного перемещения точки равна
As = ds-фо (А/).

Мы видим, что с точки зрения
механики замена As через ds озна-
чает, что мы считаем движение на

As

Рис. 36

рассматриваемом участке равномерным (в смысле величины ско-
рости *0-

2.	Пусть q = q (/) — количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника; / — время; А/ —некоторый
промежуток времени; Aq = q (t 4- А/) — q (t) — количество электри-
чества, протекающее через указанное сечение за промежуток вре-
мени от момента t д,о момента /4-А/. Тогда — называется сред-
ней силой тока за промежуток времени А/ и обозначается через
7cd, а предел lim /ср= lim называется силой тока в данный
момент времени t или мгновенным током и обозначается I. Таким
образом, / = ^. Дифференциал dq=I At равен количеству элек-
тричества, протекшего через поперечное сечение проводника за
момент времени А/, если сила тока была бы постоянной и равной
силе тока в момент /. Как всегда, Aq — dq = o(At).

3.	Пусть дан неоднородный стержень **’ длины I и пусть т =
*=т(х) —масса части стержня длины х, OxXx-xzl, отмеряемой
от одного фиксированного конца (рис. 37). Тогда Ат = т (х4- Ах)—
— т (х) — масса части стержня, ограниченной точками, располо-
жевиыми соответственно на расстоянии х и х4-Ах от указанного
конца. Величина называется средней линейной плотностью

Следует иметь в виду, что скорость — вектор и потому характеризуется
ие только величиной, но и направлением.

**’ Стержень называется однородным, если два любых его участка одина-
ковой длины имеют одинаковую массу, и неоднородным — в противном случаё.
стержня на указанном участке и обозначается рср. Предел
lim pen = lim называется линейной плотностью стержня
Длг — О	Дх—>0 йх

в данной точке и обозначается р. Таким образом,

Если плотность р постоянна, то стержень будет однородным.

Для произвольного, вообще говоря, неоднородного стержня
дифференциал dm = pAx равен массе однородного стержня дли-
ны Дх с постоянной плотностью р, равной плотности рассматри-
ваемого стержня в данной
t„ О1точке.

J	Мы видим на этом при-

мере, что, интерпретируя

Рис. 37	производную как величину

скорости, мы должны пони-
мать это в широком смысле слова. Например, плотность стер-
жня тоже «скорость», а именно —скорость изменения массы с
изменением длины.

9.5. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННЫЕ
С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ДЕЙСТВИЯМИ НАД ФУНКЦИЯМИ

Все функции, рассматриваемые в этом пункте, предполагаются
определенными в некоторой окрестности точки х0-

1°. Пусть функции yi-f^x) и y2=f2(x) имеют производные
в точке Хо- Тогда их сумма */i + */2 = А (х) +/г (х) также имеет
в точке х0 производную и

(Уг + У-гУ — yi~\-y'i-	(9.15)

Таким образом, производная суммы функций равна сумме их про-
изводных.

Действительно, пусть г/ = А(х) + А(х), Ay1 = f1(x0 + Ax)—А(х0),
й>Уг = Д (х0 + Дх) — /2 (х0). Тогда

Аг/ = [А (х0 + Дх) 4»А (*о + Ах)] — [А (х0) — /2 (хо)] = Лг/Х + Аг/2',
поэтому

=	+ Дх^О.	(9.16)

Пределы lim ~ и lim согласно предположению, суще-
Дх->0 ДХ Дх->0

ствуют и равны соответственно производным у{ и у’> в точке х0,
поэтому предел левой части равенства (9.16) при Дх->0 сущест-
вует и равен г/Ц-г/2. Но lim ~ =у', поэтому у' в точке х0 су-
Дх — 0 АХ

ществует и у' =у'1 + у’1. □
2°. Пусть функции yi = f(x) и Уг = ^(х) имеют производные
в точке х0. Тогда и их произведение У1У2 = fi(x)f2(x) имеете точ-
ке х0 производную, причем

(У1У2)' = У'дН + У1У1,	(9.17)

а если у-г^О, в х0, то частное ~ также имеет в точке х0
У 2	/2 (X)

производную, причем

!У1\    У1У2 У\У'2	1 О\

\yJ ~ у!	\	)

Действительно, пусть у = А (х) А А), Ду1 = А(*о + Д*)—А(*о),
Лу2 = /2 (хо + Ах) - А (х0); тогда

&У = fi Ао + Ах) А (х0 + Ах) - fj, (хо) А (*о) =

— [А (хо) + Ayi] [А (-То) + Ау2] — А (х0) А (х0) =

— АухА (Л'о) + /1 (-То) Ду-2 Ц- Дух Ду2.
отсюда

Й = ЙгА'М + А (*<>)-£ + Ду2,

и так как в точке х0

lim
Дх-»0

ДУ1 __

Дх У1’

lim = lim Ду2 = 0

Дх->0	Дх-*0

(функция у2 = А(х) имеет производную, а потому и непрерывна
в точке Хо), то при х = х0 существует lim т^=у', и y'=yjy2 +
Дх-*0

+ У1У-1- О

Пусть теперь А Ао) ¥= 0; тогда существует такое /i>0, что
f (х0 + Дх) =^0 для всех Дх, удовлетворяющих условию | Дх| <Zh.
f м

Если положить z = и выбрать Дх так, что | Дх I < h, то
/2 (Х/

д = Л (Хр + Дх) _ а (Хр) = /1 (х0) + Дух _ /х (х0)	ДухА (Хр) —а (Хр) Дуг

А(хр + Дх) А(х,)	А(х0) + Ду2 /2(Хр)	[А (Хр) + Ду2] А(хр) ’

поэтому

л ^ААо)-А(хр)^

Дг _ Дх °'	Дх

Дх 1/2(х0)+Ду2] А(х0)

Отсюда, как и при доказательстве формулы (9.17), заключаем, что

в точке х = х0 существует lim -r- = z , и z =	2	• [J

Дх->0ЛХ	у.2

Следствие 1. Пусть функция y==f(x) имеет производную
в точке Хо- Тогда функция cf (x) (с — постоянная) также имеет
в этой точке производную, причем

(су)' = су',
т. е. производная произведения функцци на постоянную равна про-
изведению этой постоянной на производную функции.

Действительно, вспоминая, что с' = 0, из формулы (9.17) по-
лучим

(су)' = с'у + су'=су'. □	(9.19)

Следствие 2. Пусть функции У1 = К(х), ..., yn = fn(x) имеют
производные в точке хф тогда функция cj (х) ф-... ф- cnfn (х) также
имеет в точке х0 производную, причем

{С\У1 +  • • + спуп)' = сгу\ ф-... ф- спуп,

т. е. производная линейной комбинации функций равна линейной
комбинации с этими же коэффициентами соответствующих про-
изводных.

Это утверждение непосредственно выводится из формул (9.15)
и (9.19) с помощью метода математической индукции.

Замечание. Используя свойства бесконечных пределов, от-
носящиеся к арифметическим действиям над функциями (см. п. 4.7),
можно установить и соответствующие свойства бесконечных про-
изводных. Например, если существует конечная производная
у((х0) и бесконечная (определенного знака) производная у\ (х0),
то у функции у (х) = t/i (х) ф- у2 (х) в точке х0 существует беско-
нечная производная того же знака. Например, если уДх0) = + се,
то у (х0) = +со. Действительно, Ду = Ду1ф-Ду-,. Поэтому если
существует конечный предел lim и lim ^ = -|-сю, то

Дх — 0 Лх	Дя—0 Лх

lim = lim ф- — lim ^--ф- lim ^? = +со,
Дх—Дх->о\^х Ах/ дд.^,0 Ах Дх-^о Ах

т. е. у' (х0) = ф-оо.

Примеры. 1. Пусть y = exsinx — 2x2cosx; в силу формул
(9.15), (9.17) и (9.19) имеем

у' = (ех sin х)' — 2 (х2 cos х)' =

= ех sin х -ф ех cos х — 2 (2х cos х — х2 sin х).

2.	Пусть y=tgx; так как	т0 по формуле (9.18)

получаем

__[sin х\г   cosxcos x—-sin x(— sin x)   1

V \ COS X j	COS X	cos2 X ’

Таким образом

(tg x)' =—•
x ° ' COS2 X

3.	Аналогично для y = ctgx

, [ cos x _ (— sin x) sin x — cos x cos x __ _ 1

У	\ sin x J	sin2 x	sin2 x ’
Т. е.

(ctg х)'

1

sin3 х *

Свойства 1° и 2° переносятся и на дифференциалы функций.
При тех же предположениях относительно дифференцируемости
в точке х0 имеем:

d (Ут + У-z) = dyi + dy2, d (у-ЦЦ) = У2 dyiA-yx dy2,

d (су) = сdy,	d(-1\ =

У‘2 )	У-2

Вычислим, например, дифференциал произведения y — ydfa'
dy = у' dx = (угуг)' dx = у[у2 dx + у$2 dx = у2 dyx + yr dy2,
ибо у\ dx = dylt у', dx = dy2.

Аналогично доказываются и остальные формулы.

функция

(9.20)

величине

9.6. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго мо-
нотонна в некоторой окрестности точки х0 и пусть при х = х0
существует производная ^0; тогда и обратная
x = f~1(y) имеет производную в точке Уо — {(хо), причем

df-1 (j/o) _	1

dy df (x„) ’

dx

m. e. производная обратной функции равна обратной
производной данной функции.

Доказательство. Зафиксируем какую-то окрестность
точки х0, на которой функция f определена, непрерывна и строго
монотонна и, будем рассматривать f только в этой окрестности.
Тогда, как доказано ранее (см. п. 6.3), обратная функция опре-
делена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точ-
ку у0’> он является образом указанной выше окрестности точки х0.
Поэтому, если Дх = х —х0, Ду = у —у0, y = f(x), то Дх-> 0 равно-
сильно Ду->0.

Для любых Дх#=0, Дг/#=О имеем

Ах 1

Sy ~~ At/ ‘

Дх

При Дх—>-0 (или, что то же в силу сказанного выше, при
Ду->0) предел правой части существует, значит, существует и
предел левой части, причем

,.	&.х	,. Дх 1	1

lim -г- = lim =----------т- = 	. . .

Д^0Л^ Дх-0А^ lim	d f (*о)

Дх —* О А^	d%

тт	г &х df-1^)	df'1(y0)

Но hm -т— = — ---, поэтому — ,

Ау^0Лу dy	7 dy

df (xu) ’ О
dx

Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпрета-
цию (рис. 38). Как известно, = tg а, где а — величина угла,
образуемого касательной графика функции f в точке (х0, уп)

Рис, 38

с положительным направлением оси
Ох, а -	= tg р, где р— величи-

на угла, образованного той же ка-
сательной с осью Оу.

Очевидно, р = y — а, а поэтому

±HE!!)==tgp = -L- =
dy ё н ctg р

1 _________1

ctg (л/2 —а) — tga

1

df (Хц) ‘
dx

Упражнения. 1. Доказать, что если функция f=f(x) непрерывна и

строго монотонна в некоторой окрестности точки х0, если в этой точке суще-

ствует производная и

df (*о) Q
dx

то обратная функция /-1 (у) имеет в точке

y0=j(xa) бесконечную производную; следовательно, если считать условно, что

-^- = оо, то формула (9.20) справедлива и в этом случае.

4. Сформулируйте и докажите аналог теоремы 3 для односторонних про-
изводных (конечных и бесконечных).

Примеры. 1. у — arcsin х, x = sin«/, —-j-sS t/sgy»

—Isgxsgl. Применяя формулу (9.20), получаем

~ — (arcsin х)' —	= ——

dx '	dx cos у

dy

Так как —	, tocosу>0, поэтому cos у = ]/1—sin2z/ =

s= 1 — x2. Таким образом,

(arcsin х)'

1

V~T=x*‘
2.	z/ = arccosx, x = cos//, OsSz/sgn, —1==£х=^1.
Аналогично предыдущему примеру имеем:

dy /	ч, 1	1	1	1

57 = (arccosx) = ^- =-^5^=-= ~ у=,
dy

т. е.

(arccosx) =

3.	// = arctgx, х = tgу, — 2 <У< /> — со<х< + со- Имеем:

^ = (arctgx)'= 1/^- = cos2z/ = 1+tg2j/ = Т+^г;

итак,

(arctgx)' = 1/(1 +х2).

4.	z/ = arcctgx, x = ctgy, 0<г/<л, — со<х<со.

В этом случае

Й = (агссМ = ~dT = — sin2 У ~ “ l+ctg2y = “ Т+х2"’

dy

т. е.

(arcctgx)' =--1^-

5.	Если у = loga х, х = ау, а > 0, а =£= 1, х > 0, — 90 < у < + оо,
то

dx 0°§а х) ~ dx аУ In а х 1п а *

S7

Т. е.

(1о^х>,=:ик:

в частности, при а = е имеем

ОМ' = у-

9.7. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ

Теорема 4. Пусть функция y~f(x) имеет производную в точ-
ке х0, а функция z — F (у) имеет производную в точке y0 = f (х0).
Тогда сложная функция Ф (х) = F [/ (х)] также имеет производную
при х — х0, причем

Ф' (xo)=Fr (y0)f' (хв).

(9.21)
Если сложную функцию Ф обозначить символом Ф = Е»/(см.
п. 4.2), то формулу (9.21) можно записать в вида

(7Ч)'(х0) = Е'(/(хо))Г (х0).

Следует обратить внимание на то, что утверждение о суще-
ствовании в точке х0 производной у сложной функции F[f(x)]
содержит в себе предположение о том, что рассматриваемая слож-
ная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой окрест-
ности точки х0. Опуская значение аргумента и используя запись
производной с помощью дифференциалов, равенство (9.21) можно
переписать в виде

dz   dz dy
dx dy dx ’

Доказательство. Согласно теореме 2 настоящего пара-
графа, функции y=J(x) и z = Fit/) непрерывны соответственно
в точках х0 и у0 = /(х0), и, следовательно, в силу теоремы 2 из
п. 5.2, в некоторой окрестности точки хй определена сложная
функция Ф(х) = Ё[/(х)].

Положим, как всегда, Ду = у — уп, кх = х — х0. Функция F
имеет в точке у0 производную и, значит, дифференцируема в этой
точке (см. п. 9.2), т. е.

\z = F’ (у0) ку + е (Ду) ку,	(9.22)

где Пгпе(Ду) = 0. Функция е (Ду) не определена при Ду = 0.
Ду —о

Для дальнейшего удобнее доопределить ее и при Ду = 0. Это
можно сделать произвольным образом. Проще всего продолжить
ее «по непрерывности», положив е (0) = 0. Доопределенная тйким
образом функция е (Ду) непрерывна при Ду = 0.

Поделим теперь обе части равенства (9.22) на Дх^О:

=	+	(9-3)

Функция y = f(x) имеет производную в точке х0, т. е. сущест-
вует предел

Кт й=Г(^о)-	(9.24)

Дх —0

Из существования производной f' (х0) следует непрерывность
функции у = /(х) в точке х0:

lim Ду=0.

Дх-*0

При Дх = 0 имеем Ду = 0. Следовательно, приращение Ду, рас-
сматриваемое как функция Дх, непрерывно в точке Дх = 0. По-
этому, согласно правилу замены переменных в предельных соот-
ношениях, содержащих непрерывные функции (см. п. 5.2),

lim е(Ду) = О.	(9.25)

Теперь из (9.23), переходя к пределу при Ах->0, в силу
(9.24) и (9.25), получим формулу (9.21).

Замечание. 1. При доказательстве теоремы было сказано,
что в(Ду) можно доопределить произвольно при Д«/ = 0. Однако
если, например, взять е (0) = 1, то на первый взгляд формула
(9.21) не получится, и не только потому, что в этом случае нельзя
применить правило замены переменного для предела непрерывной
функции, но и потому, что если е (0) = 1 и если существуют
такие Дх#=0, для которых Ду = 0, то равенство (9.25) будет не-
верным. Это, однако, не влияет на окончательный результат.
Действительно, если для сколь угодно малых Ах^О существует
А// = 0, то отсюда легко следует, что

/'(х0)= lim = 0

и, следовательно, второе слагаемое в правой части равенства
(9.23) все равно стремится к нулю при Ах—>-0 (более того, в этом
случае, как легко видеть, все члены равенства (9.23) стремятся
к нулю). Можно было воспользоваться также и тем, что из фор-
мулы (9.2) следует, что а(0) = 0.

На примере доказательства теоремы 4 хорошо видно, как
удачно выбранная вспомогательная конструкция (в данном случае
просто доопределение в нуле функции е(Ду) нулем, позволившее
использовать правило замены переменного для пределов непре-
рывных функций), может существенно упростить доказательство.

Замечание 2. Формула (9.21) для производной сложной
функции остается справедливой и в случае, когда под производ-
ными понимаются соответствующие односторонние производные,
если только предварительно потребовать, чтобы сложная функ-
ция, необходимая для определения рассматриваемой односторон-
ней (или двусторонней) производной, стоящей в левой части
формулы (9.21), имела смысл.

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала от-
носительно преобразования независимой переменной):

dz = F'(y9)dy = <b'(x0)dx.	(9.26)

В этой формуле dy = f’(x)dx является дифференциалом функ-
ции, a dx —дифференциалом независимой переменной.

Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же
вид: произведение производной по некоторой переменной на «диф-
ференциал этой переменной» — независимо от того, является эта
переменная в свою очередь функцией или независимой переменной.
Докажем это. Согласно формуле (9.6), dz = Ф' (х0) dx, отсюда,
применив формулу (9.21) для производной сложной функции,
получим dz = F' (у0) f (х0) dx, но f'(x0)dx = dy, а поэтому dz =
= F' (у0) dy, что и требовалось доказать.

Формулу (9.26) можно интерпретировать и несколько иначе,
если вспомнить, что дифференциалом функции в точке является
функция, линейная относительно дифференциала независимой пере-
менной. Согласно (9.21) дифференциал функции Ф (х) = F [f (х)]
имеет вид dQ = F' (y0)f' (x^dx,4. е. является результатом подста-
новки линейной функции dy = f (x0)dx, посредством которой задан
дифференциал (где у = /(х)), в линейную функцию dz = F' (y0)dy,
задающую дифференциал dF (где z = F(y)). Иначе говоря, диф-
ференциал композиции Ф = £Д является композицией дифферен-
циалов dF и df:

d(F-f) = dF°df.

Отметим, что теорема 4 по индукции распространяется на
суперпозицию любого конечного числа функций. Например, для
сложной функции вида z(y(x(0)) в случае дифференцируемости
функций z (у), у(х) их (0 в соответствующих точках имеет место
формула

dz   dz dy dx

dt	dy dx dt

Если приходится иметь дело со сложной функцией z —г (у),
у~у(х), то для обозначения ее производной г употребляется
также нижний индекс х или у, указывающий, по какой из пере-
менных берется производная, т. е. пишут z'x или г'у. Часто для
простоты штрих опускается, т. е. вместо z'x пишется просто zx.
В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид

zx = zyyx.

Примеры. 1. Пусть у = х“, х>0, найдем —. Имеем х“=е“,
где и = а1пх. Замечая, что ~ = у, получаем

dx

dea
dx

dea du

du dx

= ea • - = eFIn x — = ax“-l
x	X

Таким образом,

(x“)' = ax“-1.

Так, если y = x\ то у' = 2x;

если y=l/x = x~1, то y' = (—l)x~2 =—1/x2;

если w = l/x=x1/2, to y' =~x-1/2 =—X=-.
y r	’ a 2 2kx
Если функция у = х“ определена при х = 0 или при х<0, то
при этих значениях х она также имеет производную у'=а.х^
Например, при а = 1, т. е. для функции у = х в точке х = 0, как
и во всех других точках у' = 1.

2.	Пусть y = |f(x)|, где функция f(x) дифференцируема на
некотором интервале (а, Ь). Полагая u = f(x), получаем у = \и\,
u = f(x). Пользуясь формулой из примера 1, п. 9.2, находим
у' = (| и [)' и' = f (х) • sign f (х). Эта формула справедлива для всех
х е (а, Ь), для которых f(x)^O; она позволяет найти односто-
ронние производные в тех точках, где f (х) =» 0.

3.	Найдем производную функции

у = 4-InI А~~--1 (х^=а, х^= — а).

v 2а I х-\-а |	’

В силу сказанного в примере 2

х— а V _ 1 х + а х-[-а— (х—а)

х+а ) 2а х —а (х + а)2

1

х2 — а2

3.	Найдем производную функции г/= In |х Ц-]/х2 + А Анало-
гично предыдущему получим

У'

_ sign (x-f-1^x2-f- А)
~ Ix-h/xM^I

(х+К^+Х)' =

_____1

“ х + /х2+Л

I * —f — — 1 ----

Vx2+4/	/х2+4

1

4.	Пусть у = In2 arcsin —, х>1. Найдем производную и диффе-
ренциал этой функции:

y' = (In2 arcsin =2 Inarcsin у fin arcsin=

«1	-1	1	/	•	1

= 2 In arcsin — —------ arcsin —

X 1 \	x

arcsin—
x

,  1

In arcsin —

X

. 1
arcsin —

X

1

01	1

2 In arcsin —
х

| x j V x2 — 1 arcsin —
x

Отсюда дифференциал находится иепосредств’енно по формуле
dy = y'dx; однако, если бы мы еще не имели готового выражения
для производной, т. е. дифференциал можно было бы найти
и непосредственно, используя его инвариантность относительно
выбора переменных:

d(In2 arcsin — = 2 In arcsin1- d fin arcsin -1
\	X )	X \	X

oi	•	1

= 2 In arcsin —
x

1 л! •	1

--------i- d arcsin —

. 1	\ x

arcsin —	'

x

oi •	1

2 In arcsin —
X

: i

arcsin —
x

1

1

X2

OI	1

— 2 In arcsin —
-------------------?—^dx.
| x | Kx2 — 1 arcsin —

5.	Выведем с помощью теоремы 4 еще одну часто применяемую
формулу. Пусть y — uv, где г/= «(%)> О, v = v(x). Представим
нашу функцию в виде г/ = еа1п« и вычислим—:

dy dev,na i d , <	,	/ dv ,	. v du \

= —n— =e01nu -з-(п1п«) = uv -j-lnwJ------j- =

dx dx	dx '	' \dx 1 и dx ]

= «л-^1п« + сш1’-1-^.	(9.27)

(,1Л	CLX

Таким образом, производная функции uv равна сумме двух
слагаемых, из которых первое совпадает с производной и” в пред-
положении, что « — постоянная, а второе —с производной uv
в предположении, что v — постоянная.

С помощью правила дифференцирования сложной функции
можно находить и производные функций, заданных неявно.

6.	Пусть дифференцируемая функция у — у(х) задана неявно
уравнением F (х, у) = 0 (см. п. 4.2). (Вопросе том, как устано-
вить что данное уравнение на самом деле определяет некоторую
функцию и будет ли она дифференцируемой мы пока оставляем
в стороне; он будет изучен в дальнейшем.) Дифференцируя тож-
дество F (х, y(x)) = Q как сложную функцию, можно вычислить
dy
производную .

В качестве примера вычислим производную неявной функции
у(х), определенной уравнением х2 + у2 = а2. В данном конкретном
случае существование подобной функции не вызывает сомнения,
так как ею, например, является у = ]/а2— х2, а также у =
= — ]/п2 — х2. Продифференцируем уравнение х2+у2 — а2, считая у
функцией от х. Получим 2х-\-2уу' =0; отсюда у'——

С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии.
Пусть, например, требуется найти касательную к окружности
х2 + у2 = 25 в точке (3; 4). Угловой коэффициент k касательной
равен производной: k = y', и, значит, в нашем случае k ——

з

Для рассматриваемой точки k = — поэтому уравнение искомой
касательной можно записать в виде у — 4 =-----т. е. Зх+

+ 4у-25 = 0.

Применим метод дифференцирования неявных функций к выводу
формул, полученных ранее другим путем.

7.	Рассмотрим снова функцию у = и°. Логарифмируя, получаем
ее неявное задание 1пу = о1пц. Дифференцируя обе части этого
уравнения будем иметь y'ly = v' In и ф--^- и' (выражение (In у)' =
= у'1у называется логарифмической производной функции у(х)),
или у' —у (v' In и'^’ подставляя сюда у = и”, приходим снова
к формуле (9.27).

Другой пример. Функция y = arcsinx неявно задается урав-
нением x = siny. Дифференцируя обе части по х, получаем 1 =

, , 1 1 1

— у cosy, откуда у =------— -у.. ——— = Г----, т. е. то же,

а а 3	* cosy VI-sin2 у Vl-x2

что и в п. 9.6.

8.	В случае, когда функция задана не одной формулой, а
несколькими, вычисление производной приходится иногда произ-
водить непосредственно, исходя из определения производной.
Найдем, например, производную функции

2 • 1

х2 sin —
X

О

при х=^0,
при х = 0.

При х 0 производная существует и вычисляется по формулам
дифференцирования: f (x) = 2xsin у —cos L В точке же х = 0
производная находится непосредственно по ее определению

f' (O) = lim-^^- = limxsin-1 =0.

х —0 Х	>0 х

Таким образом, функция f(x) дифференцируема на всей
вещественной оси.

Замечание. Используя теорему 4, можно все полученные
нами формулы для производных основных элементарных функций
записать в несколько более общем виде: если и = и (х) — дифферен-
цируемая функция, то

(sin и)' = и’ cos it, (еи)' = еаи'‘,
(cos и)’ = — w'sinw; (In «)' =~ («> 0);

(tgU)'=-JL_: (arcsin»)' =	“—

COS2 U	V 1 — u2

(ctg »)'=----(arccos»)'=— Л^=-;

sin2 и	V 1 — a2

(«“)' = aw“-1u'(»>0); (arctg «)'=	;

(»«)' = »"»'In»; (arctg») = —

Из перечисленных формул видно (при » = х), что производные
основных элементарных функций являются элементарными
функциями.

Полученные же нами в совокупности формулы дают возмож-
ность вычислить производную и дифференциал любой элементарной
функции в случае, если эта производная существует.

Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная
функция имеет производные во всех точках своей области опре-
деления. Примером элементарной дифференцируемой не во всех
точках функции является функция |х| = ]/х2, она, как мы знаем,
не имеет производной в точке х = 0 (см. п. 9.2).

Упражнения 5. Ответить на вопросы. Можно ли доказать формулу
dz dz dy , , п	dz , .

-г-= -j—-p- ПРИ ду =/= 0, просто умножив и разделив -на dy? Можно или
иЛ UI/ ил	QX

,	dx 1	,

нет доказать формулу	при dx^=0,

разделив числитель и знамена-

dx

_ dx
тель Дроби на dx?

6. Выяснить будет ли функция

г . 1

х sin — при X =Н= 0,

/(х) = {	*

(	0 при х = 0,

непрерывной в точке i/ = 0? Будет ли она иметь производную в этой точке?
Будет ли она иметь в ней односторонние производные?

9.8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определение 5. Функции (е* + е~*)/2 и (ех — е~А')/2 называются
соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим
синусом и обозначаются chx и shx:

ех-\-е~х ,	ех — е~х	,

—— = chx, •—2— = shx.
Справедлива формула
ch2x — sh2x = l.	(9.28)

Действительно,

[е* + е~*\г	гех—е~х\2

ch2x —sh2x = (——) — (—2—j ~

= {е2х + 2 + е2г - е~2х + 2 - е~2х) = 1.

Справедлива также формула

sh 2х — 2 sh х ch х;
в самом деле,

л ,	, пех + е-х ех—е~х егх—е~2х , л

2 sh х ch х = 2---------2---=------2---= s“ хХ’

Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как
их иногда называют, круговыми) синусом и косинусом. Для shx
и chx имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответ-
ствующим формулам для sinx и cosх. Этими объясняется назва-
ние функций shx и chx. Эпитет же «гиперболический» связан
с тем обстоятельством, что формулы

x = nch£, y = a&ht	(9.29)

параметрически задают гиперболу, подобно тому как формулы

x = acos£, y = nsini	(9.30)

параметрически задают окружность. В самом деле, если возвести
в квадрат равенства (9.29), вычесть одно из другого и восполь-
зоваться формулой (9.28), то получим х2 —у2 = п2, т. е. уравнение
равнобочной гиперболы.

Подобным же образом из уравнения (9.30) вытекает х2 Ц-г/2=а2,
т. е. уравнение окружности.

Найдем производные гиперболических синуса и косинуса.
Замечая, что (е_*)' = — е~х, имеем

, ,	[ех4-е~х\' ех — е~х ,

(ch х) = ( ——I = —2— = sh х,
,, м	1ех — е~х\'	ех4-е~х ,

(sh х) = (—----\ = ——£ch х.

Таким образом, (chx)' = shx, (shx)'= chx.

Частные и по аналогии с обычными синусами и коси-
нусами называются соответственно гиперболическим тангенсом и
гиперболическим котангенсом и обозначаются
Упражнения. 7. Вычислить производные функций th х и cth х. Пост-
роить графики функций </ = chx, y = shx, </=thxH t/ = cthx. Найти производ-
ные их обратных функций. Выразить указанные обратные функции и их
производные через логарифмы (функция, обратная к ch х, определяется допол-
нительно условием неотрицательности ее значений).

Вычислить производные следующих функций (во всех точках, в которых
это возможно).

8. t/ = x3 (х?—I)4.

22.

у =—— 1п
И2

, 1

+ у arcctg

х2Ц-хУ2 +1
x2 — xj/2~ + l
x/2

1—х2 '

23.

12.	у=хг sin 2х-|-2х cos Зх.

13.	j/ = lntg-*-.

14.	у=\Ех ctg2x—£ Inxarctgx.

15.	у = 2х’ In arccos х.

16.	и = arccos '-.

х

17.	y = xVa2 — х2Ц-а2 arctg

18.	у = х2 | х |.

19.	у —хх.

20.	у=\ х j In | х

21.	i/ = ln (x-j-Kx2~j-a2)-

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

^arctg-^f?.

arcsinx ,1.1 — x
у = -r==r + — In---

/1-х2	2	1+x

.а

у = (sin x)cosх (cos x)sin <
chx	, х

У=—г------In cth -Д-.

shx	2

1
u= arccos ,
s	ch x

2 Уа2 — Ь2

10. = х .

Ь ,
у =—*4
а

а

§ 10.	ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

10.1.	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определение 1. Пусть функция f(x), определенная на интер-
вале (а, Ъ) имеет в каждой точке х е (а, Ь) производную f (х)
и пусть х0^(а, Ь). Если при х = х0 производная функции f (х)
существует, то она называется второй производной (или произ-
водной второго порядка) функции f и обозначается через f"(x0)
или /(2) (х0).

Таким образом, f" (х0) = [/' (х)]'х=х, или, опуская обозначение
аргумента, у" = (у')'- Аналогично определяется производная
любого п о р я д к а и=1, 2, ...: если существует производная г/*"-1)
порядка п — 1 (при этом под производной нулевого порядка подра-
зумевается сама функция: yw = у,. а под производной первого
порядка — у'), то, по определению, у^ =[*/(п-1)]'.
Вспоминая как определялась производная (см. п. 9.1), опреде-
ление п-й производной в точке х0 можно записать в виде предела

W „ = 1> 2	.

Дх —О

Отметим, что из предположения, что функция f имеет в точке х0
производную порядка п, следует, в силу определения последней,
что в некоторой окрестности точки хй у функции f существует
производная порядка п— 1, а следовательно, при п>1, и все
производные более низкого порядка k < п — 1 (которые к тому же
непрерывны в этой окрестности, поскольку во всех ее точках
они имеют производную, см. теоремы 1 и 2 в п. 9.2), в частности
сама функция определена в некоторой окрестности точки х0.

Все здесь сказанное естественным образом переносится и
на так называемые односторонние производные высшего порядка,
которые читатель без труда определит самостоятельно.

Определение 2. Функция называется п раз непрерывно диффе-
ренцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого
промежутка она имеет непрерывные производные до порядка п
включительно (лг — О, 1, 2, ...).

При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка
в случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под про-
изводными, как обычно, понимаются соответствующие односто-
ронние производные.

Для того чтобы функция была п раз непрерывно дифферен-
цируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела
на нем непрерывную производную порядка п. Действительно,
согласно определению, существование производной порядка п
на рассматриваемом промежутке предполагает существование
на нем производной порядка п— 1, и поскольку из существования
производной какой-либо функции в некоторой точке следует
непрерывность функции в этой точке, то производная порядка
п — 1 непрерывна на данном промежутке. Аналогично, в случае
п>1 доказывается непрерывность производной порядка п—2 и т. д.

Примеры. 1. // = х3, у'— Зх2, у" = Ьх‘ y<Si = 6, y^ = yW —
= ... = 0.

2.	у — ах, у' = ах1па, у/' = ах In2 а, у3 = ах1п3а. Вообще по
индукции легко установить, что yW = ах 1пл а. В частности,
(ех)(«) = ех, n==o, 1, 2, ...

3.	z/= sinx. Вычисляя последовательно производные, получим
y' — cosx, у" =— sinx, г/(3) =— cosx, y[i) = sinх, далее производ-
ные повторяются в том же порядке. Чтобы записать полученный
результат одной формулой, заметим, что cosa = sin -ф и
поэтому z/' = cosx = sin (я + у), y” = cos +	= sin (х-ф2-^

и т. д.
По индукции (sin х)(л) = sin 4-/1-g j для любого п=1, 2, ....

4.	у = cosx. Замечая, что —sin а = cos	аналогично

предыдущему примеру получим

(cos х)(л> = cos \х + п у), п = 1, 2, ....

10.2.	ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Пусть функции yi = f1(x) и y2 = f2(x) имеют про-
изводные п-го порядка в точке х0; тогда функции У1 + У2 = Д(*)+
+ h (х) и уцу? — fi (х) f2 (х) также имеют производные п-го порядка
в точке Хо, причем

(У1+у2Ул)=у(1л’+у!!л’.	(10.1)

= ^Уг +	1V2' > + &у^уы +... +	=

п

= S	(10.2)

А = 0

где, как обычно, С„ обозначает число сочетаний из п элементов
по k (/е = 0, 1, 2, ..., п).

Формула (10.2) обычно называется формулой Лейбница*\
ее символически можно записать в следующем виде, удобном
для запоминания:

(У1У2)(л)=(У1 + У2)(л1-

Индекс \п} означает, что выражение (У1 + у2){л} записывается
подобно биному Ньютона, т. е. в виде суммы с теми же коэффи-
циентами, что и в биномиальной формуле, только степени функ-
ций уг и у2 заменяются их производными соответствующего
порядка (см. (10.2)).

Формулы (10.1) и (10.2) доказываются пр индукции. При
п—\, т. е. для производных первого порядка, они были доказаны
в п. 9.5. Пусть теперь эти формулы верны для производных
п-го порядка. Докажем их справедливость для производных
порядка п+ 1.

В случае суммы функций имеем:

{У,+у2)(л+’>=[(У, +у2)(п)]'=(уГ+<’)' =

= (у)”»)' + (у5>л))' = У(л + 1) + У(2п + 1>.
Формула (10.2) доказана.

*' Г. Лейбниц (1564—1716)—немецкий философ. и математик.
В случае произведения функций выкладки несколько сложнее:

[s cbl-V> '=
L*= О

- i cjbp+'-v+rf-v+'i»
k = 0
n	n

— 7: ^пУ1 У2 + 2j СлУ>
6=0	ft=0

— yi У2 + Z, ^ьУ\.	i/2± Л ^пУ\ У2 -ГУ1 У2

k=i	k=0

Здесь мы воспользовались тем, что С° = СЛ=1. Теперь изменим
индекс суммирования во второй сумме, положив k = p — 1; тогда
новый индекс суммирования р будет меняться от 1 до п. После
этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содер-
жащие производные одинаковых порядков. Обозначая общий
индекс суммирования через р, будем иметь

(W+,’=9,.'+,W’+ 2 (c!+crW"+'-V’4«+'’

Р = 1

Отсюда, заметив, что Cn4-Cp-1 =C,p_|_i *’ и чт^ C“ + i = Cn^i = l,
получим

(У1У2)'Л+1)=^(1Г‘+1)У20)+ 2 ^ + li/(i'l + 1-P)Z/2₽,+i'(l0)y2n + 1):=

= s^+1#+1-pw- □
р=0

Следствие. Если с — постоянная, а у = f (х) — функция, имеющая
производную п-го порядка в точке х0, то функция cf(x) также
имеет производную порядка п при х=х0, причем

(су)^ = су‘п\	(10.3)

Действительно, если в формуле (10.2) положить z/i = c, Уг = у,
то получится формула (10.3). Впрочем, она следует очевидным
образом и из n-кратного применения формулы (9.19) к функции су.

*’ В самом деле, если зафиксировать один из п+1 элементов, составляю-
щих сочетания по р элементов, то число сочетаний, в которое вошел этот
фиксированный элемент, будет равно Ср~1, а число сочетаний, в которое он
не вошел будет равно Срп, поэтому	Ц-Ср.
Рассмотрим пример. Пусть y = x3sinx. Найдем с помощью
формулы Лейбница производную у{10}:

(х3 sinx)(10) = х3 sin (хЦ- 10 д-j + Ю • Зх2 sin (х -1- 9 • Ц-

+ 10-9-Зхsin (* + 8-у) + 10-9-8sin(х + 7-у) =

= — х3 sin х + ЗОх2 cos х + 270х sin х — 720 cos х.

10.3.	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ,
ОТ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ И ОТ ФУНКЦИИ,

ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть функция у — у(х) имеет вторую производную в точке х0,
а г = г (у) — вторую производную в точке Уо = у(хо). Тогда сложная
функция г[у(х)] имеет при х = х0 вторую производную, причем

?"хх-2"ууУх+г'уУ"хх-	0 °-4)

Действительно, поскольку существуют производные if (х0) и
г" (yf), то существуют также у' (х0) и г' (уф. Следовательно, функ-
ции у(х) и г (у) непрерывны соответственно в точках х0 и у0.
Поэтому в некоторой окрестности точки х0 определена сложная
функция z — z[y(x)]. Дифференцируя ее и опуская для простоты
обозначение аргумента, имеем г'х = г'еу'х; дифференцируя еще раз
по х, получим

4=(4’Х+г'уУхх=г”УуУх+г'Уухх- □

Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих
предположениях, и производные высших порядков сложной функции.
Этот метод позволяет также доказывать существование и находить
производные высших порядков от обратной функции.

Пусть функция у = у(х) непрерывна и строго монотонна
в некоторой окрестности точки х0 (ср. п. 9.6) и пусть при х = х0
существуют производные у' и у", причем у' (х0) =# 0; тогда и
обратная функция х = х(у) имеет вторую производную в точке
Уо = у(хф, причем она может быть выражена через значения
производных у' и у" функции у(х) при х = х0.

В самом деле, опуская, как и выше, обозначения аргумента,
согласно теореме 3 § 9 (см. п. 9.6), имеем х'у=\/ух. Вычисляя
производную по у от обеих частей и применяя к правой части
правило дифференцирования сложной функции, получаем

Аналогично при соответствующих предположениях вычисляются
и производные высших порядков для обратной функции.
Подобным же образом можно поступать и в случае так назы-
ваемого параметрического задания функции.

Определение 3. Пусть функции x = x(t) и y = y(i) определены
в некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например
x — x(f), непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности',
тогда существует обратная к x(t) функция t = t(x), и в некоторой
окрестности точки х0 = х(10) имеет смысл композиция у(1(х)).
Эта функция у от х и называется параметрически заданной
формулами x = x(t), y=y(t) функцией.

Выведем формулы для дифференцирования параметрически
заданных функций.

Если функции x(t) и у (t) имеют в точке t0 производные и если
х' (t0) =/= 0, то параметрически заданная функция у (t (х)) также
имеет в точке x0 = x(G) производную, причем

, y't (6>)

Ух ~ x't (to) ‘

(10.5)

В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функ-
ции имеем (опуская обозначение

аргумента)

Ух = У’Ф'д (Ю.6)
по правилу же дифференцирова-
ния обратной функции

=	(Ю.7)

xt

Из формул (10.6) и (10.7) и сле-
дует формула (10.5).

Если, кроме того, существуют>

"и Go) и Уtt Go), то существует и

Ухх (Х0)

причем

У XX = (ух)х —

y't\	y'!ixt-y'ixtt

7	" ,з

xijt	xt

Аналогично вычисляются производные более высокого порядка
параметрически заданных функций.

Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную
функцию

x = a(t — sin0» г/ = а(1 —cosi), (а^0, —оо</<4-оо). (10.8)

Ее график называется циклоидой (рис. 39). Пусть для определен-
ности п>0; тогда функция x(t) = a(t — sin £) строго монотонно
возрастает. Действительно, пусть Д/>0, тогда, замечая, что
0 < sin -j- < -2-, имеем

х (t + А/) — х (/) = а {М - [sin (t + Д/) — sin /]} =

= а [д/ — 2 cos (t + sin 4^- > а — 2  1 •	= 0,
что и означает строго монотонное возрастание функции %(/).
В силу этого существует однозначная обратная функция t — t(x).

Далее, х] = а(1 — cos0 = 2аsin2 —2s0, y't = asint, и x’t обра-
щается в ноль только в точках вида t = 2kn, k — Q, ±1, ±2, ....
Поэтому, если	то, согласно правилу дифференцирования

функции, заданной параметрически, имеем

Упражнение 1. Доказать, что циклоида (10.8) является траекторией
точки окружности радиуса а, катящейся без скольжения по оси х-в.

10.4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В настоящем пункте мы для удобства будем иногда вместо
символа дифференцирования d писать букву 8, т. е. вместо dy,
dx писать 8у, 8х.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором интер-
вале (а, Ь). Как известно, ее дифференциал

dy = f' (х) dx,

который называется также ее первым дифференциалом, зависит
от двух переменных: х и dx. Пусть f (х), в свою очередь, диффе-
ренцируема в некоторой точке х0 е (а, Ь). Тогда дифференциал
в этой- точке функции dy, рассматриваемой как функция только
от х (т. е. при некотором фиксированном dx), если для его обо-
значения использовать символ б, имеет вид

б (dy) = б [/' (х) dx] Хо = [/' (х) dx]' |А=Хо 8х = /" (х0) dx 8х.

Определение 4. Значение дифференциала 8(dy), т. е. диффе-
ренциала от первого дифференциала, в некоторой точке х0 при
dx = 8x называется вторым дифференциалом функции f в этой
точке и обозначается через d2y, т. е.

d2y — Г (хв) dx2.

(10.9)

Заметим, что в силу этого определения <22х = 0, ибо при
вычислении дифференциалов мы считаем приращение dx = Ax
постоянным.

Подобным же образом в случае, когда производная (п— 1)-го
порядка у1-’’-1* дифференцируема в точке хв или, эквивалентно,
когда при х = х0 существует производная п-го порядка у'"*,
определяется дифференциал п-го порядка dny функции y = f(x)
в точке х0 как дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка
dn^y, в котором взято бх = dx:

dny = 8(d'l-1y)\6x=dx-

Покажем, что справедлива формула

dny = y^n} dxn, п=\, 2, ...	(10.10)

Ее доказательство проведем по индукции. Для п = 1 и п = 2 она
доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов порядка
п=1:

d^y = //<"-0 dx”-1.

Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления
дифференциала /z-го порядка d^y необходимо вычислить сначала
дифференциал (мы его обозначим символом б) от dn~1y:

б (d^y) = б (у{п~1) dxn^'L)=(y^n-1} dx"-1)' бх = yW 8х dx"-1,
а затем положить 8x = dx:

dny = 8(dn-1y)\6x=llx = y[n'> dxn. □

Из формулы (10.10) следует, что

Отметим некоторые свойства дифференциалов высших порядков.
1°. dn (//i + //a) = dny1-(-dny2.

2°. dn (су) = cdny, с — постоянная.

п

3°. d (УхУг)= У Cndyi dife, или, употребляя символическую
k—0
запись,

dn (У1У2)=(dyt + dy2) f n>,
где выражение (dy-^ dy2)(n) записывается по биномиальной
формуле Ньютона, т. е. представляет собой сумму вида
п

У Ckndn-kyidky2, при этом для любой функции и считается,
fe=0

что d°u = н(0) dx° = и.

Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих
формул для производных п-го порядка (см. (10.1), (10.2), (10.3)
и (10.10)).

Важное замечание. Формулы (10.10) и (10.11) справед-
ливы, вообще говоря, при н>1 (в отличие от случая п — 1)
только тогда, когда х является независимым переменным. В слу-
чае дифференциалов высших порядков по зависимым переменным
дело обстоит сложнее.
Пусть z = z(z/), у = у(х), имеет смысл суперпозиция z[y(x)J и
функции z(y) и у(х) дважды дифференцируемы. Тогда
dz — z'y dy,

дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты к символу 6,
т. е. считая запись d(dz) равносильной записи б (dz) |e.v =- dx
(так всегда и поступают на практике), причем здесь под 6 (dz)
понимается дифференциал по х от функции dz = z'v(y)dy =
= z’y [у (х)]Ух (х) dx, получаем

d2z = d (dz) — d (z'y dy).= d (z'y) dy + z'yd (dy) = zyv dy2-)-Zy d2y (10.12)

(мы написали dzy — z’vudy на основании формулы (9.26), т. е.
использовав инвариантность первого дифференциала).

Сравнивая формулы (10.9) и (10.12), мы видим, что они отли-
чаются вторым членом, и так как, вообще говоря, d2y=ji=.(d, то
они существенно различны. Деля обе части равенства (10.12)
на dx2, мы получаем формулу второй производной для сложной
функции:

2хх = 2ууУх +z'yy хх,

которая была нами получена раньше (см. (10.4)) другим путем.

Подобным же образом могут быть вычислены дифференциалы
и производные высших порядков сложной функции.

	Упражнения		. Вычислить производные и дифференциалы:	
2.	у'81 для	функции	У = Ух-	о	X	In X  8. апу для функции У~~—•
3.	{У301 для	,	Г 1 — X  функции у = /—  к 1 -f- %'		9. ухх для функции x = 2t — t2, y = 3t — tK
4.	у(п} для	функции		ах-\-Ъ  У ~~ сх + d 	10. t/''Д. для функции х —a (1 — sin t), у = а(1 — cos f).
5.	ytnl для	функции	у = sin2 А'.	11. ухн ухх для функции х =у — a sin у.
6.	у<п’ для	функции	у = х ch х.	12. у'х и у"х для функции
7.	dny для	функции	у — хпех.	А'2 -ф- 2ху — у2 = 1.

§11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЙ

11.1.	ТЕОРЕМА ФЕРМА

Если функция f имеет в некоторой точке х0 конечную или
бесконечную производную, то f (х) называется функцией, имею-
щей при х = х0 производную в широком смысле.

Теорема 1 (Ферма **). Пусть функция f определена в некото-
рой окрестности точки ха и принимает в этой точке наиболь-

*' П. Ферма (1601 —1665) — французский математик.
шее или наименьшее значение. Тогда, если при х = х0 существует,
производная в широком смысле, то она равна нулю.

Доказательство. Пусть функция f определена в окрест-
ности U(x0) точки х0 и принимает для определенности при х=х0
наибольшее значение, т. е. для всех хе U (х0) выполняется нера-
венство f(x)^f(x0). Тогда, если х<х0, то

а если х>х0, то

/ (Д ~ Z fa) -^.Q

X — х0 '	’

/(Д~/fa)

х—~ Хо ~~~

(11-1)

(Н-2)

Если существует производная в широком смысле, т. е. если
существует конечный или бесконечный, определенного знака,
предел

. f (Д—f (л-,,)
f х0) = lim
хх$ х

то, перейдя к пределу при х-^-х0 —0 в неравенстве (11.1), полу-
чаем Z'(xo)2sO; аналогично из неравенства (И.2) при х->хоД-О
находим f' (хо) «£ 0. Эти неравенства выполняются одновременно
лишь при f' (х0) — 0. □

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том,
что если прих = х0 функция / принимает наибольшее нлй наимень-
шее значение на некоторой окрестности точки х0, то касательная
к графику функции в точке (х0, f (х0)) параллельна оси Ох (рис. 40).

Замечание. Если функция f принимает наибольшее или
наименьшее значение при х = х0 по сравнению с ее значениями
в некоторой односторонней окрестности точки х0 и имеет
в х0 (одностороннюю) производную, то эта производная может
не равняться нулю. Так, например, функция f(x)==x, рассма-
триваемая на отрезке [0,1], принимает при х = 0 минимальное,
а для х = 1 — максимальное значение, однако, как в той, так и
В другой точке производная равна единице (см. рис. 41).

7 Кудрявцев Л. Д.,-г. 1
11.2.	ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ О СРЕДНИХ
ЗНАЧЕНИЯХ

Теорема 2 (Ролль*5). Пусть функция f

1)	непрерывна на отрезке [а, Ь]',

2)	имеет в каждой точке интервала (а, Ь) производную
в широком смысле',

3)	принимает равные значения на концах отрезка, т. е. f (а)—

(b)', тогда существует хотя бы одна такая точка а < % <ib,
что f (S) = 0.

Доказательство. Мы уже знаем, что функция, непрерыв-
ная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения
в некоторых точках этого отрезка (см. п. 6.1). Пусть Л4 = тах/(х),
m = min/(x); тогда для всех А'е[а, 6] выполняется неравенство
тгД(г)СЛ-1.

Если т = М, то функция f постоянна и, значит /' = 0 на
[а, &]. В качестве точки можно взять любую точку интервала
(а, Ь).

Если же т=£М, то из условия f (а) = f (b) следует, что хотя бы
одно из значений т или М не принимается на концах отрезка,
[а, Ь]. Пусть этим значением является М, т. е. существует такая
точка £ е (а, Ь), что — и, значит, в этой точке % функ-
ция f принимает наибольшее значение и на интервале (а, Ь).
Поэтому из теоремы Ферма следует, что f (£) = 0. Q

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непре-
рывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции,
принимающей на его концах одинаковые значения, существует
точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 42).

Заметим, что все предпосылки теоремы Ролля существенны.
Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций,
для которых выполнялись бы два из трех условий теоремы,
третье же не выполнялось и у которых не существует точки
такой, что f (£) = 0. (При этом в силу условия 3, в котором
говорится о значениях функции в концевых точках промежутка,
следует рассматривать лишь функции, определенные на отрезках.)

Функция f(x), определенная на отрезке [0,1] и равная х,
если 0 tg:х < 1, и 0, если х=1, удовлетворяет условиям 2 и 3,
но не удовлетворяет условию 1 (рис. 43).

Функция f(x) = \x\, хе[—1; 1] удовлетворяет условиям 1
и 3, но не удовлетворяет условию 2 (рис. 44).

Наионец, функция f(x) = x, хе[0; 1] удовлетворяет условиям
1 и 2, но не удовлетворяет условию 3 (см. рис. 41).

Для всех этих функций не существует точки, в которой их
производная обращалась бы в ноль.

*> М. Ролль (1652—1719)—французский математик.
Обратим внимание на то, что по условиям теоремы Ролля
отрезок [а, 6] может содержать точки, в которых функция имеет
бесконечную производную, т. е. в которых либо lim оо,
либо lim = — оо. Это требование нельзя ослабить, заменив его
Дх—О

условием lim ~ = Например, для функции f (х) = ]/|х|,
Ах—О

—1-Сх-<1, не существует точки	—1, +1], в которой

производная этой функции обращалась бы в ноль. Вместе с
тем функция f (х) = У\х | удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля на отрезке [—1, 1], за исключением того, что в точке х=0
эта функция не имеет ни конечной, ни бесконечной производной.

В самом деле, lim ~ = со, причем	v

Ах—О лх

этот предел не является бесконечно-

стью определенного знака.	X	Z]

Этот пример показывает целесо- [ X.	/ j

образность определения бесконечной | X. /	[

производной только как бесконечно- j \	)

сти определенного знака.	~?}-----------------j—

Заметим, что построением соот-

ветствующих примеров (если, конеч-	Рис. 44

но, это удается сделать) и прове-

ряют обычно в математике существенность тех или иных усло-
вий доказываемых теорем.

В дальнейшем мы не будем проводить проверки необходимости
условий теорем, предоставляя это делать читателю по мере вну-
тренней потребности.

Если функция / (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля
на отрезке [а, Ь], то функция F (x)—f (х) — f (а) равна нулю на
его концах и Е'(х) = /'(х), в частности эти производные одно-
временно обращаются в ноль. Поэтому теорема Ролля равносильна
утверждению: если функция непрерывна на некотором отрезке,
обращается в ноль на его концах и дифференцируема во всех
его внутренних точках, то существует его внутренняя точка,
в которой производная обращается в ноль. Коротко говоря,
между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит
хотя бы один ноль ее производной.

Упражнения 1. Доказать, что если функция f удовлетворяет усло-
виям теоремы Ролля на отрезке [a, fc] и не является постоянной, то на этом
отрезке существуют такие точки и |2, что /' (^) > 0 и f (g2) < 0.

2. Привести пример функции, непрерывной на отрезке [a, 6J; имеющей
производную в каждой точке интервала. (а, Ь), но не имеющей производной
(односторонней) в точке а.

Теорема 3. (Лагранж *>). Если функция f непрерывна на
отрезке [а, Ь] и в каждой точке интервала (а, Ь) имеет произ-
водную в широком смысле, то в этом интервале существует по
крайней мере одна такая точка £, что

f(b)-f(a) = f'(l)(b-a).	(11.3)

Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролля.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=/(x)-Zx	(11.’4)

и определим число А, таким образом, чтобы F (a) = F (b), т. е.
чтобы f (a) — Xa-—f (Ь) — ХЬ. Это равносильно тому, что

b — a	v '

Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля.
Действительно, функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &], а функ-
ция Ах, будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси;
поэтому и функция F(x) = f(x) —Ах также непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Функция f имеет во всех точках интервала (а, Ь) конеч-
ную или бесконечную производную, а функция Хх — конечную
производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность F (х)
также имеет всюду в интервале (а, Ь) конечную или бесконечную
производную (см. замечание в п. 9.5). Наконец, на концах от-
резка [а, Ь] в силу выбора X (см. (11.5)) функция f принимает
одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая
точка g, (a<Z^,<Zb), что F' (£) = 0. Из (11.4) получаем F'(х) =
= /'(х) — X, поэтому fr (|) — А = 0. Подставляя сюда X из (11.5),
получим

л	□	(1L6>

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следую-
щем. Пусть A (a, f(a)), B(b, f (&)) — концы графика функции f,
АВ — хорда, соединяющая точки А и В (рис. 45). Тогда отноше-

*> ж.—Л. Лагранж (1736—1813)—французский математик и механик.
ние fравно тангенсу угла 0 между хордой АВ и осью Ок,

т. е.

^(a>=tg0,

ь—а

а производная f (g), как известно (см. п. 9.3), равна тангенсу
угла а между касательной к графику функции f в точке (£,/(£))
и положительным направлением оси Ох, т. е. /'(g) = tga. Поэтому
равенство (11.6) может быть переписано в виде

tga —tg0.

Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интер-

вале (а, Ь) должна найтись точка | (может быть, и не одна, см.

рис. 35, где условию теоремы
в которой касательная к гра-
фику параллельна хорде АВ.

Теорема Лагранжа найдет
ряд важных приложений в
дальнейшем. .

Приведем другие формы за-
писи формулы (11.3). Пусть

|^ — 0. Тогда

g = a + 0 (& —а), О<0<1.

(Н-7)

удовлетворяют точки и g"),

Наоборот, если £ выражается
формулой (11.7), то, как легко
видеть,	Таким образом, в виде (11.7) могут быть пред-

ставлены все точки интервала (а, Ь) и только они. Поэтому фор
мула (11.3) может быть записана в виде

f(b)-f(a) = f'[a + G(b-a)](b-a), О<0<1.	(11.8)

Положим теперь а = х, Ь — а=--Ах и, значит, & = х + Дх; тогда
(11.8) перепишется в виде

/(х +Дх) — / (х) = /'(х + 0Дх) Дх, О<0<1.	(П-9)

Формула (11.9), а также равнозначная ей формула (11.3) и (11.8),
называется формулой конечных приращений Лагранжа, или просто
формулой конечных приращений в отличие от приближенного
равенства

f(x + bx)-f(x)^f'(x)bx,	(П.Ю)

которое называют иногда формулой бесконечно малых прираще-
ний. Она выражает тот факт, что левая и правая части прибли-
женного равенства (11.10) равны между собой для дифференци-
руемой в точке х функции f «с точностью до бесконечно малых
более высокого порядка, чем приращение Ах при Ах->-0».

Замечание. Формула Лагранжа (11.3) может быть пред-
ставлена в виде

f(a) — f(b) = f

где a<b. Таким образом, она справедлива не только при а<Ь,
но и для а^>Ь.

Отметим три следствия из теоремы Лагранжа, полезные для
дальнейшего.

Следствие 1. Пусть функция f

1)	определена на некотором промежутке (конечном или беско-
нечном)',

2)	имеет производную, равную нулю во всех его внутренних
точках',

3)	непрерывна в концевых точках рассматриваемого промежутка,
входящих в него',

тогда функция f постоянна на указанном промежутке.

Действительно, каковы бы ни были две точки х± и х2, Xi <_ х2,
рассматриваемого промежутка, функция f, очевидно, удовлетво-
ряет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [хь х2] и, значит,

f (х2) - / (хО = /' (|) (х2 - Xi),

где xi<g<x2. Но, по условию 2 следствия, /'(S) = 0, и, зна-
чит, / (%,) = f (х2) для любых двух точек Xt и х2 из области опре-
деления функции f, что и означает, что функция f постоянна. Q

Следствие 2. Если функции fug дифференцируемы во всех
внутренних точках некоторого промежутка и в этих точках

f' = g',

а на концах промежутка, которые в него входят, функции fug
непрерывны, то эти функции отличаются на рассматриваемом
промежутке лишь на постоянную

f-g = c-

Действительно, функция F — f — g удовлетворяет условиям
следствия 1, в частности, F' = f — g' = 0 во внутренних точках
промежутка и поэтому F = с. [j

Следствие 3. Пусть функция ф

1)	непрерывна на интервале (а, Ь)',

2)	дифференцируема во всех точках интервала (а, Ь), кроме,
быть может, некоторой точки х0 е (а, Ь)\

3)	существует lim <р' (х); тогда существует и производная
ф' (х0), причем

ф' (-<о) = Нш ф' (х).

Х-*Хй
Действительно, пусть lim ф'(х) = Л. Если a<Zx<Zb и х^=х0,
х-*ха

то по теореме Лагранжа <р (х) — ф (х0) = ф' (I) (х — х0), где g е (х0, х),
если х>х0, и £^(х, Хо), если х<х0, откуда

<Р (х)—<р (х0) = ,

х—х0

Будем для определенности считать, что х>х0. Точка | = ^(х)
является функцией от х и притом, вообще говоря, многозначной.
Выберем произвольно для каждого х е (а, Ь) одно какое-либо
значение %, тогда получим однозначную функцию £ (х) (как говорят,
однозначную ветвь многозначной функции). Поскольку
х0<£(х)<х, то

lim g(x)=x0.

X—*Xq

Применяя правило замены переменного для пределов функ-
ций (см. п. 4.8*), получим, что существует предел

lim ф' (£) = А,
х-+х0

а следовательно, существует и предел
пт£^^м = л.
х-+х„ Х~Х0

Это и означает, что производная ф' (х0) существует и равна А. Ц

Упражнение 3. Пусть функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и
дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, некото-
рой точки х0 е (а< Ь). Пусть существуют lim f (х) и lim /' (х), причем
х—— 0	х-*хо4-О

они не равны между собой. Доказать, что при этих предположениях произ-
водная f (х0) не существует.

В теоремах Ролля и Лагранжа (а также и в нижеследующей
теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки g,
a<Z^<b, ее можно назвать «средней точкой», для которой выпол-
няется то или иное равенство. Этим и объясняется название «тео-
ремы о среднем» для этой группы теорем. Докажем последнее
нужное нам утверждение этого типа.

Теорема 4 (Коши). Пусть функции fug

1)	непрерывны на отрезке [а, &];

2)	имеют производные в каждой точке интервала (а, Ь)‘,

3)	ё' во всех точках интервала (а, Ь).

Тогда существует такая точка £,	что

f(&)-/(a) __ /'№)
g(b)-g(a)	g'(&"

Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (11.11)
имеет смысл, т. е. g(a)=£g(b). В самом деле, если g (а) = g (b),
то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, зна-
чит, нашлась бы такая точка что g'(t,) = 0, а<Т.^<Ь, что про-
тиворечило бы условию 3.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию-

F(x) = f(x)-kg(x),

(11.12)

где число Л выберем такшм образом, чтобы F(a) = F(b), т. е.
чтобы f(a) — kg(a) = f(b) — kg(b). Для этого нужно взять

К&)-/(а)

g(b)-g(a) •

(11.13)

Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следо-
вательно, существует такая точка £, a<z^<Zb, что£'(£) = 0. Но
из (11.12) F' (х) =f (х) —	(х), а поэтому

Г © = ©=0,

откуда следует, что

(Н.14)

Сравнивая (11.13) и (11.14), получим формулу (11.11), обычно
называемую формулой конечных приращений Коши. Q

Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является
частным случаем формулы конечных приращений Коши, в кото-
ром g(x) = x. Мы привели независимые доказательства этих фор-
мул, во-первых, из-за той важной роли, которую играет формула
Лагранжа, а во-вторых, чтобы иметь возможность, используя
одну и ту же идею (построения вспомогательной функции, удов-
летворяющей условиям теоремы Ролля), применить ее дважды
в доказательствах, причем сначала для большей наглядности
в более простом случае.

Формула Коши (11.11), так же как и формула Лагранжа
(11.3), справедлива не только если a<zb, но и для а>Ь.

Упражнение 4. Пусть f (х) = х2 sin -i- при х =/= 0 и f (0) = 0. Применим

к этой функции на отрезке [0, х] формулу Лагранжа:

, . 1	• 1 и

х2 sin — = 2Е sm — cos-_- x,

где 0 < g < x. Сократим обе части равенства на х при х=^=0:

Переходя здесь к пределу при х -> 0 (при этом, очевидно, g -> 0), получаем
lim cosv- = 0,
£-.0 s
так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю. Вместе с тем

предел функции cos

при стремлении аргумента к нулю не существует! Где

ошибка?

Задача 7 (Дарбу*1)- Доказать, что если функция дифференцируема на
отрезке, то ее производная, принимая какие-либо два значения, принимает и
любое промежуточное.

§ 12.	РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ

Во многих случаях отыскание предела функции, заданной ана-
литически, при стремлении аргумента к некоторой точке (числу
или к одной из бесконечностей оо, со или — со) выполняемое
путем формальной подстановки соответствующего значения вместо
аргумента в формулу, задающую рассматриваемую функцию,
приводит к выражениям вида 0, —0-оо, оо — сю, 0 , со
или 1да. Они называются неопределенностями, так как по ним
нельзя судить о том, существует или нет указанный предел, не
говоря уже о нахождении его значения, если он существует.
В этом случае вычисление предела называется также «раскрытием
неоп ределенности».

Наряду с основным приемом, нахождения пределов функции —
методом выделения главной части, существуют и другие способы
отыскания пределов. Некоторые из них, носящие общее название
правил Лопиталя**\ мы изложим в этом параграфе.

12.1.	НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВИДА 0/0

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g (х), определенные на
отрезке [а, Ь], таковы, что',

1)	/(a)=g(a) = 0;

2)	существуют производные (правосторонние) f' (а) и g' (а) при-
чем g' (а) Ф 0.

Тогда существует предел

Доказательство. Применим метод выделения главной
части. В силу условия 2 имеем (см. п.' 9.2).

f(x) = f(a) + f (а) (х-а) + о(х-а),
g(x)—g (а) + g' (а) (х - а) + о (х - а).

Отсюда, согласно условию 1, получим, что

f(x) = fr (а) (х — а) + о (х - a), g(x) = g' (а) (х - а) + о (х - а),

*' Г. Дарбу (1842 —1917) — французский математик.

**’ Г. Л опита ль (1661 — 1704) —французский математик.
а поэтому

г f(x) г ' >Г х—а f (а)	,

11Ш -44- = lim ----------------— = 444. ГП

х_а + 0ё^	Х-.Д4-0 „>{а} , о (х — а) g (х) L_J

s ' х—а

В теореме 1 предполагалось существование производных
в точке а. Докажем теперь теорему, близкую по содержанию
к предыдущей, .в которой, однако, не будет предполагаться суще-
ствование производных f (а) и g' (а).

Теорема 2. Пусть функции f (х) и g (ХУ-

1)	дифференцируемы на интервале (а, Ь)',

2)	lim /(х) = lim g(x) = 0;

лг-i-a + O	x-»a + 0

3)	g' (x) ф 0 для всех x e (a, fe);

4)	существует конечный или бесконечный, равный + оо или
л 1- Г (X)

।—оо, предел lim -444-.

x — a-\Q 8 (X)

Тогда существует предел

lim	Jim

+	x-a + 0^(-v)

Доказательство. В силу условий теоремы функции fng
не определены в точке а', доопределим их, положив f (а) — g (а) = 0.
Теперь f и g непрерывны в точке а и удовлетворяют условиям
теоремы Коши о среднем значении (см. п. 11.2) на любом отрезке
[а, х], где a<x<fe. Поэтому для каждого х, а<_х<_Ь, суще-
ствует такое с = t (х) е (а, х), что

Ж f(x) — f(a) = f (g)	ЛО И

g(x) g(x)-g(a) g'(l)’	(  )

причем lim g(x) = a.

x->a-4-0

Поэтому, если существует lim = k, то из правила замены
х->а + ов (X)

переменного для пределов функций следует, что существует и
lim  ,	= k. Теперь из (12.1) получаем

х->а-4-0 ё

lim -^4 = lim = □
x->a-|-0 g W	x-*a + 0 8

Теоремы 1 и 2 остаются верными с естественными видоизме-
нениями, как в случае левостороннего, так и двустороннего предела.

Теорема 3. Пусть функции fug:

1)	дифференцируемы при х>с\

2)	lim /(х) = 0, lim g(x)=0;

X—>-4сО	Л—>4-СО
3)	g' (х) =# 0 для всех х > с;

4)	существует конечный или бесконечный, равный Д-00 или

—оо, предел

lim -4-гу-.

-.-I сой W

Тогда существует и предел

lim -Ц4-= lim 4М.
x-> + oogW x_ + 03g W

Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
тать, что с>0 (если с<"_0, то в качестве нового значения с возь-
мем, например, с=1).

Выполним замену переменного х — ~. Функции ср (/)=/(!//)
и ip(/) = g(l/Z) определены на интервале (0, 1/с); если х-> + оо,
то t-> + 0 и наоборот. На интервале (0, 1/с) существуют произ-
водные

<р'(0 =—и О) =—
\ С- j ъ	\ I 1

где штрихом обозначены производные функций f и g по перво-
начальному аргументу.

Из сказанного и условий теоремы следует, что функции <р(/)
и ф(/) удовлетворяют на интервале ^0, условиям 1, 2 и 3
теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела

lim который
х^а+оё W

предела lim и

условие 4 теоремы

обозначим через k, следует существование

равенство его k, т. е. что выполняется и

2. Действительно, используя полученные

выражения для производных <р' (/) и Д' (/), находим

lim  р = lim 4-/И2' ~ '*т ~,p\ = k.

Z—-I-0 ф (0 t^+аё'(1/0	W

Теперь из теоремы 2, примененной к функциям <р(/) и ф(/), сле-
дует, что lim -*?	= k. Но

у г_+оФ(О

ф(0 . /(1/Q	f(x)

Ф(0	g(i/0	gW’

1

где x — j-> поэтому

lim W= lim ^)=k' □
x->4-oogW

Эта теорема остается верной с соответствующим видоизмене-
нием, и при х-> —оо.
12.2.	НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА <ю/оо

Теорема 4. Пусть функции f (х) и g(x~):

1)	дифференцируемы на интервале (а, by,

2)	lim /(х) = оо, lim g(x) = oo;

r-*a + 0	х-*а4-0

3)	g (х)=#0 на (а, 6);

4)	существует конечный или бесконечный, равный + оо или

—оо, предел

lim Ауу.
->a + ()g W

(12.2)

Тогда существует и предел

Их)

lim

-»а+0 gW

Г (*)

lim , . . .
х-,а + 0§ (*)

Доказательство. Пусть сначала предел (12.2) конечен;
обозначим его через /г:

lim
x-a+og W

Покажем, что и

lim -~r- = k.
A_Q+o gW

Для этого выберем точки х0 и х так, чтобы a<x<xft<6. Тогда
на отрезке [х, х0] функции f и g будут удовлетворять условиям
теоремы Коши. Поэтому согласно этой теореме существует такая
точка | е (х, х0), что

(Очевидно, точка ₽
= g(x, х0)). Найдем
писав ее в виде

g(x)-g(x0)	g'(s)’

зависит от выбора точек х и х0, т. е. | =
из этой формулы отношение f(x)/g(x). Пере-

f(x)
g(x)

, f (xd)

)(x)

, g (x>)
g(x)

&' (?) ’

получим

/(X)

g (X)

. g (хо)

_ f' gw
g'U) . X)
fW

(12.3)

при заданном х0 точку | так, чтобы
:< 5 = £(х, х0)<Хо, в силу условия 4)

Как бы ни выбирать i
выполнялось неравенство а
теоремы будем иметь

lim

хо-»а + О s W
а при фиксированном х0 в силу условия 2) теоремы получим

lim
х->-»о

j g fa)
gfa I

, /fa)

/ (faT

Однако, в правой части формулы (12.3) нельзя просто вос-
пользоваться теоремой о пределе произведения функций, так как
пределы стоящих там сомножителей берутся при разных усло-
виях: в одном случае точка х0 стремится к точке а, а в другом—
точка х0 фиксирована, а к точке а стремится точка х. Тем не
менее каково бы ни было е>0, всегда можно выбрать хп так,
чтобы отношение f (Z)/g' (£) было столь близко к числу k для
всех g (а, Хо), а затем выбрать такое 6 > 0, чтобы отношение
r g (хо)

	было столь близко к 1 для всех ,?Е(а, а + 6), что
1	- У*'"'

/W

в результате для всех указанных х выполнялось неравенство

Собственно говоря, теорема в случае конечного предела (12.2)
доказана, и на этом месте можно поставить знак Q.

Для полноты изложения сделаем некоторые разъяснения отдель-
ных этапов доказательства, которые, впрочем, каждый, кто доста-
точно хорошо овладел предшествующим материалом, легко может
провести самостоятельно.

Прежде всего, производилось деление на f(x) и g(x). Для
обоснования этого надо показать, что для соответствующих зна-
чений справедливы неравенства /(х)=^0, g(x)=£0. Конечно, эти
неравенства не имеют места, вообще говоря, при любом выборе
точки х е (а, Ь), но они справедливы для всех х, достаточно
близких к точке а. В самом деле, в силу условия 2) теоремы
существует такое 6!>>0, что для всех х е (а, а + $1) выполняются
неравенства |/(х)|>0, |g(x)|>0. Поэтому, если выбрать х0 так,
что а-ОоО+бь то х будет также удовлетворять этому нера-
венству, т. е. а <х <« + $!, и> следовательно, деление на f(x) и
g(x) будет заведомо возможно.

Далее производилось деление на 1 — f(x0)/f(x). Это также воз-
можно для всех х достаточно близких к точке а. Действительно,
в силу условия lim /(х) = оо существует такое б2, что для
всех х, удовлетворяющих условию a<Zx <а + 62, справедливо
f (х }
неравенство |/(х) |> |/(х0) |, а поэтому и неравенство 1	=#

I \х)
¥=0. При этом выберем б2 так, чтобы —это всегда воз-
можно.
Таким образом, формула (12.3) заведомо справедлива для
всех таких х и х0, что а<х<х0< «+$2-

Далее, для заданного е>0 в силу существования конечного
предела

найдется такое 63>0, что для всех хе (а, а + 63) выполняется
неравенство

|-ОД-^|<4>	(12-4)

при этом выберем б3 еще и так, чтобы 63< 6Х, а выбор х0 под-
чиним условию п<Хо<а + 63.

Положим теперь,

k, х<ё<хо.	(12.5)

б

Точка g, а потому и функция ах, зависят от точек х0 и х, однако
при сделанном их выборе, т, е. при

а < х < хв < а + 63,

будем иметь п<^<а4-б3, и, следовательно, в силу неравенства

(12.4) будет выполняться неравенство

1«1К-5-.	(12.6)

Положим далее

1 g М
м*)=—L <12-7>
1	'

Их)

Очевидно, в силу условия 2) теоремы имеем
lim «2 (х) — 0.	(12.8)

х-*а 4- О

Из (12.3), (12.5) и (12.7) следует, что

f (х)1§ (х) = (& + ai) (1 + и2 (х)) = ^ + их+(k ф- ах) а2 (х). (12.9)

Выберем теперь 6Е, 0<6е<;63, так, чтобы при а<х<а-)-6е
выполнялось неравенство

(l^l + |«i|)|a2(x)|<y,	(12.10)

для чего в силу (12.6) достаточно, чтобы выполнялось неравенство

|а2(х)|< 2(|й| + е) '

Это возможно в силу (12.8).
Из неравенств (12.6) и (12.10) следует, что для всех х, удов-
летворяющих условию а<х<.а + ^г, выполняется неравенство

I «1 + (k + oci) а2 (х) | •  | «11 + (| k | + | ai I) | aa (x) | < ± 4- ± = e,
и потому из (12.9) следует, что — &|<е при а<х<а-|-6е.
Это и означает существование предела

Так раскрываются на «языке неравенств» сделанные выше
высказывания о выборе достаточно близких значений х0 и х
к точке, а, обеспечивающих нужную близость отношения f(x)/g(x)
к числу k.

Рассмотрим теперь случай бесконечного предела.

' г м

Пусть lim ; :-= + °°- Тогда в некоторой окрестности
х^а + о S (х)

точки а имеем f'(x)^=O (почему?) и lim — 0. Поэтому,
x^a-i-0 I (х>

согласно доказанному выше, lim -f— 0, откуда следует, что

*->a4-0 I W

Но нужно доказать более сильное утверждение, а именно—>
что этот предел равен ф- оо. Покажем это. Поскольку, согласно
f (х)	,	, „

предположению, --АЧ—>Ц-со при х—>tz4-0, то существует такое-

Th>0, что для всех х, удовлетворяющих условию а < х < а + Ли
будем иметв

Г (х)
s' W

>0.

Далее, зафиксируем х0, а<х0<а + ль так как нам придется
снова использовать формулу (12.3).

Наконец, выберем т}2, 0 < т]2 < х9 — а, так, чтобы для всех
хе(в, а + Лг) имели место неравенства |/ (х) | > \f (х0) |, |g(x)|>
>|g(x0)|, вследствие чего

1

f (хо) fl
Их)

1--£7~>0.
g(x)

(12.11)

Тогда для всех х, удовлетворяющих условию а<х<а + т]2,
выполняются неравенства (12.11),

1Т$Г>0’ где х<^==^^<хо>
и справедлива формула (12.3). Из нее следует, что для всех ука-
занных х

f(x) п
ё(х)

Из доказанного выше утверждения Пт -ЦЦ- = оо следует

X->а4-0 8 (X)

теперь, что lim —• Ц-=-{-оо.

х->а + о 8 W

Аналогично рассматривается случай

lim = —оо. П

Теорема 4 вместе с ее доказательством остается в силе с есте-
ственными видоизменениями, и при х-т-а — 0, х->-4-оо и х->
->—оо, а также в случае двусторонних пределов.

Можно показать, что при выполнении условий 1, 2 и 3, вхо-
дящих в любую из теорем 2, 3 или 4, не может существовать
предел lim ~г~ = са без существования одного из двух «зна-
z-аЮЙ W

неопределенных» бесконечных пределов lim -гУ-(-=-|-оо или

Л_а+ой \х)
lim -444- =— со.

х^а + 08 (X)

Задача 8. Доказать, что если выполнены условия 1, 2 и 3 теоремы 4 и

Г (х)

lim ,-г-

-а + ОЙ W

= оэ, то либо lim ,	—-I- оо, либо lim ',	=;

х-а+ОЙ W	лг^а+О 8 W

Примеры. 1. Найдем lim ^4", а>0. Замечая, что
х — -Too х

(1пх)' —	(ха)' =аха-1 и lim J4*t = - lim ~=0,

получаем:

lim ^ = 0.

Ха

Это означает, что при х->-|-оо функция 1пх растет медлен-
нее, чем любая положительная степень переменной х.

Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз.

2.	Найдем lim где п — натуральное число и а>1. Имеем:

1-	хп	(хл)'	пхп т

Пт -г= lim -;-^ = lim —птд

Таким образом при х->- + со любая
леннее, чем показательная функция ах, а

lim ——
аЛ In" а

0.

(12.12)

степень хп растет мед-
>1.
3.	Следует иметь в виду, что проведение вычислений по
образцу (12.12) оправдано только в том случае, когда в резуль-
тате получается конечный или бесконечный предел. Так, например,
было бы ошибкой написать

x—sinx	(x — sinx)'

lim —,—;—•= lim v , .—

x+smx	(x + smx)'

так как предел

(х— sinx)' ,.	1—cosx

lim -7---:-:-<г= lim —----------

х-оо (x + smx)' x^m 14-cosx

не существует.

В самом деле, беря последовательности = 2лп->4-оо и
х"п = g 4-2л/г->• + оо при п->оо, получаем

1—-cosx'	1—COSX’

lim -----—7 = 0, lim -j—j------7 = 1.

H-cosx;	1+cosx,;

Вместе с тем данная неопределенность вида — может быть рас-

крыта элементарным путем:

lim

х — sin х ____

х + sin х

lim

л:—>оэ

J Sin X

X

X

1.

Упражнение 1- Пусть f(x) = x2sin— g(x) = sinx. Найти lim
x,

и доказать, что в этом случае правило Лопиталя неприменимо.

4.	Неопределенности 0°, оо° или Г3 можно раскрыть, пред-
варительно прологарифмировав соответствующие функции. Напри-
мер, чтобы найти lim хл, следует найти предел

lim xlnx= lim -^- =— lim -Д^- = — lim * = 0.

х-»4-0	х — 4-0 1	х-,4-0 НХ х —+0

х

Поэтому в силу непрерывности показательной функции

lim хл = lim е*1п*=1.

л—> + 0	л-^4-0

Неопределенности вида 0-оо и со —оо следует привести
к виду 0/0 или оэ/эо. При этом, как и всегда при применении
правила Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать
получающиеся выражения.. Поясним это на примере.

-	/1	, ,	sin3 X — X2COS2X О

5.	lim —ctg-.v; = lim-------„ .	. Заметим, что

='	/ v_.o №sm2x

sin2 х — х- cos2 х sin х-\-х cosx sinx — x cosx

x2 sirr2 x

sin x

x2 sin x
Предел первого сомножителя правой части находится непосред-

ственно:

,. sin х 4- х cos х ,. (,
lim-------;---------= lim 1

x-^o sinx	%—»o \

x
sin x

COS X) —2,

а предел второго — путем применения правила Лопиталя:

1 11 X	q «	" 1 I 1 1 1 А «	. q	• 1111л	—  А <

х2 sm х	2 х sin х-\-х2 cos % v n , x	3

->u	л->и	*	x-+o 24------cosx

sin x

Таким образом, lim — ctg2 x] = 2/3.
л-.0'Х'	/

Упражнения. Найти пределы:

1

2.	lim - ~х—	а>0,	4. lim

х~,о х — а	%—1

3.	lim хЕ In x, e > 0.	5. lim (ctgx— 1/x).

x-»4-0	x->0

§ 13.	ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

13.1.	ВЫВОД ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

Если функция y = f(x) имеет в точке х0 производную, то ее
приращение можно представить в виде

Д// = А Дх-f-o (Дх), Дх->0,

где Дх = х —х0, &y = f(x)—y0, y0 = f(x0) и A = f'(x0), т. е. /(%) =
= уо + А(х — хо) + о(х — х0). Иначе говоря, существует линейная
функция

Pi(x) = y0+ А (х-х0)	(13-1)

такая, что

/ (х) = Pi (х) + о (х — х0), х -> х0,

причем

Pi (.Хо) — Уо — f'(Хо), P'l (Хо) = A = f' (Хо).

Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет в точ-
ке х0 п производных. Требуется выяснить, существует ли мно-
гочлен Рп (х) степени не выше п, такой, что

/ (х) = Рп (х) + О ((х — Хо)”), Х->ХО,	(13.2)

и

/ (Хо) = Рп (Хо), f (Хо) = Рп (Хо), ...» /(П) (Хо) = Р(п} (Хо). (13.3)

Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (13.1),
в виде

Рп (х) = Ао + Ai (х — х0) + Д3 (х — х0)2 +... + Ал (х — Хо)".
Замечая, что Рп(х0) — А0, из первого условия (13.3), т. е.
/(х0) = />„(х0), имеем Ло = /(хо). Далее,

Р'п (х) = Лх + 2 Л2 (х - Хо) +  • • + пАп (х - Хо)”-1,
отсюда Р’п (х0) = Alt и так как Р'п (х0) = f (х0), то Лх = /' (х0). Затем
найдем вторую производную многочлена Рп{х)’.

Р;(х) = 2-ЬЛ8+.„+п(п-1) Лп(х-ХоГ-2.

Отсюда и из условия /" (х0) = Р'п (х0) получим ^2 = -^ и вообще

Ла== k = (}' 2’ п‘

В силу самого построения, для многочлена

Рп (X) =

= f (Хо) + Г (Хо) (х - Хо) +... +	(х - х0)* + . . . +	(х - Хо)”

выполнены все соотношения (13.3). Проверим, удовлетворяет ли
он условию (13.2).

Пусть

rn(x) iQ (х) -рп(х).

Из условия -(13.3) следует, что

Гп (Хо) = Гп (Хо) =... = r(nn) (Хо) = 0.	(13.4)

Поэтому, применяя п раз правило Лопиталя для раскрытия нео-
пределенности	при х->х0, а именно сначала п—1 раз

(X Xq)

теорему 2 из § 12, а затем теорему 1 того же параграфа, получаем:

lim

х-+х0

Гп (-Гр)

(х — ха)п

lim

х^ха

Гп (х)
п(х — х0)п^1

,.	г'"-11 (Л т(х0)	„

— hm -г-.—Ц = —— о
х^Ха »1 (х-Хр) п\

т. е. действительно rn(x) = o((x —x0)”), х->х0.

Итак, доказана следующая очень важная теорема.

Теорема 1. Пусть функция f (х) определенная на интервале
(а, Ь), имеет в точке х0 е (а, Ь) производные до порядка п вклю-
чительно. Тогда при х->х0

/(х) = /(Хо) + ф(х-Хо) + ... + ^^(х-х0)” + о((х-х0)''), (13.5)

или / (х) = 2 ftk'^ (х - xo)ft + ° ((* - Хо)п)-

k=0

Эта теорема остается справедливой, вмсте с ее доказательством,
и для функции /, определенной на отрезке [а, 5], при х0 е [а, 5],
если для х0 = а и хп = b под производными понимать соответствую-
щие односторонние производные.

Формула (13.5), называется формулой Тейлора*’ п-го порядка
с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен

РДх) = /(х0)+^(х-х0) + ... + Ц^(х-х0)'‘	(13.6)

называется многочленом Тейлора, а функция

rn(x) = f (х) — Рп (х)	(13.7)

—остаточным членом п-го порядка формулы Тейлора. Как пока-
зано, остаточный член гп(х) является бесконечно малой, при
х->х0, более высокого порядка, чем все члены многочлена
Тейлора (13.G).

Укажем другой вид записи формулы (13.5). Полагая

х — х0 = Дх, &y = f(x0 + Дх) — /(х0),
получим

Д«/= 2 ^^Дх* + о(Дх), Дх->0.	(13.5')

*=i

Если в формуле (13.5) хо = О, то получается частный вид фор-
мулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена**’:

п

Цх) = У ^xft + o(x"), х->0.	(13.8)

л-1

/2 = 0

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетво-
ряющую условиям этой теоремы заменить, в окрестности некоторой
точки, многочленом с точностью до бесконечно малых более высо-
кого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является
многочлен Тейлора. Величина погрешности дается при этом
остаточным членом.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает
единообразный метод выделения главной части функции в окрест-
ности данной точки. На этом обстоятельстве и основаны много-
численные и разнообразные приложения формулы (13.5) в раз-
личных вопросах анализа.

Отметим полезное следствие из теоремы 1.

Следствие. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, Ь),
и пусть в точке х она имеет производные до порядка п +1

*’ Б. Тейлор (1685— 1731) — английский математик.

**’ К. Маклорен (1698—1746) —шотландский математик.
включительно. Тогда при х->х0

/(х) = 2 T^(v-Xo)ft + O(x-xn)«A (13.9)

k-0

Действительно, в силу теоремы 1 при х~>л0

n-J-l

fU)=2IT^-A'«)'i+o^-x«)ri+1)’	(13Л°)

А=0

и поскольку

(х - Хо)”+1 + о ((х - Хо)"*1) = О '((х - x0)n+1) при X Хо,

то из формулы (13.10) непосредственно следует формула (13.9). Q

Упражнение 1. Доказать, что если функция f (х) в некоторой окрест-
ности точки имеет производную порядка п, то, каковы бы ни были точка х
этой окрестности и функция ф (/), непрерывная на отрезке с концами в точках х,
и х, имеющая неравную нулю производную внутри этого отрезка, найдется
такая точка 5, лежащая между х0 и х, что для остаточного члена гп1(х) фор-
мулы Тейлора функции f (х) имеет место формула

,.л Ф (*)—Ф W f,n’ (I)

п1()	Ф'(6)	(«-1)1

п=1, 2, ....

Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена:

'«-1 (х) = (Ц-1ДБ ^-х^р (х~^п-р.

р>0 (форма Шлёмильха—Роша *’)•

г п-1 (х)

Jlnl ©

п!

(х — х0)п (форма Лагранжа),

гпЛ W = {<П>	Jl>)' 0 ~ е)”-1 (х~ хдп. О < 6 < 1 (форма Коши).

Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию

Ф (0 = I W - 2

&=о

и применить к функциям <р и ф теорему Коши о среднем значении. Для вывода
остаточного члена в виде Шлёмильха —Роша положить ф(0 = (х— t)P.

13.2.	МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА КАК МНОГОЧЛЕН НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ

Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен

п

рп (х) = 2 А^‘

А = 0

(13.11)

* О. Шлёмильх (1823—1901) — немецкий математик. Э. Рош(1820 —
1883) —французский астроном и математик.
может быть представлен, для любого х0, в виде

п

Pn(x)=^ak(x-x0)k.	(13.12)

k = 0

В самом деле, достаточно в (13.11) положить x = x0 + /i и раз-
ложить правую часть по степеням h; тогда

Рп (х) = ай + аф. +... + anhn, где h = х — xOt

т. е. мы получили формулу (13.12).

Многочлен Тейлора порядка п является многочленом, наилуч-
шим образом среди всех многочленов степени п приближающим
функцию f «в бесконечно малой окрестности» точки х0, т. е. при
х->х0. При этом такой многочлен оказывается единственным.
Более точно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема до порядка п
включительно в точке х0 и пусть

/(х) = Р„(х) + о((х —х0)”), х->х0,	(13.13)

п

где Рп(х)= У ak (х — x0)k — некоторый многочлен степени, мень-
k = 0

шей или равной п. Тогда

=	=	1....п,	(13.14)

т. е. Рп(х) является многочленом Тейлора.

Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей или рав-
ной п, отличный от многочлена Тейлора порядка п, не может
приближать данную функцию с точностью до о((х — х0)'1) при
х->х0 (а значит, и с более высокой точностью о((х — x0)ft), &>п).

Доказательство. Из формул (13.5) и (13.13) следует, что

2	+	=

fe = 0
п

= 2 ak(x-Xo)k + o((x — x0)n), X-+X6

* = 0

откуда, перейдя к пределу при х->х0 получим a0 = f(x0). Отбра-
сывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих
частях выражения на х — ха (х=4=х0) и замечая, что

о((х — х0)п) = е (х) (х — Хо)”, где lime(x) = 0,

х-+х0
и, значит, при х->х0

°	— е (х) (х _ xg)"-1 = о ((х — л'о)”'1), /1=1, 2, ...,

X — Xq

получим

2 Т2	+ °«х~ ХоУ-1) -

Л = 1	п

= 2 ak(x — Хо)''"1 + о ((х — х0)"-1)-

А= 1

Перейдя снова к пределу при х->х0 будем иметь ai = /'(xo)>
Продолжая таким же образом, получим

«^т2- *=°- 11 2’ •••’ п- □

Единственность представления функции в виде (13.13) может
быть иногда использована для ее разложения по формуле Тейлора.
Именно, если удается каким-либо косвенным путем получить
представление (13.13), то в силу теоремы 2 можно утверждать,
что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.5), т. е. что
коэффициенты найденного многочлена выражаются по форму-
лам (13.14).

Так, например, соотношение (13.12) представляет собой раз-
ложение многочлена (13.11) по формуле Тейлора, причем в этом
случае г„(х) = 0, поэтому согласно теореме 2 коэффициенты
многочлена (13.12) имеют вид

°k~ kl *

Таким образом,

* = 0

В частности, при разложении многочлена степени п по формуле
Тейлора остаток /г-го порядка тождественно равен нулю.

Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию
f (х) = 1/( 1 — х) в окрестности точки хо = О. Замечая, что 1/(1—х)
есть не что иное как сумма бесконечной геометрической прогрессии

1/(1 -х) = 1+х + № + ... + %" + ..., |х I < 1,

xn+l
и полагая rn (х) = х”+1 + х"+2 +... —	, | х | < 1, получим

1/(1 -х) = 1+х + ... + х” + г„ (х),
где гп (х) = О (хп !) и, значит, гп (х) = о (хп) при х->0. Таким
образом, представление

п

х/г-/ о(х’г), х->0.

1/(1 — х) = 1 +% + • • • + Xя + о (хп) =

и есть разложение функции 1/(1— х), по формуле Тейлора
в окрестности нуля.

13.3.	ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА

1.	f(x) = sinx. Функция sinx обладает производными всех
порядков. Найдем для нее формулу Тейлора при хо = О, т. е.
формулу Маклорена (13.8). Было доказано (см. п. 10.1), что
(sinx)l'")==sin(x + /n^y поэтому

(0 для т = 2k,

k = 0, 1, 2, ... (13.15)
(— l)ft для m = 2k-\-l,

и согласно формуле (13.5),

уЗ у5	у 7	_ y2/l+l

sinx=x-J +J	irj5i_+0(x-«),

при х->0, п = 0, 1, 2, .... или, короче,

sin х = у (- l)ft t iTi + ° (х2п+2) ПРИ х 0.
ди	(/я- i;.

k=-=Q

Мы записали здесь остаточный член в виде о(х2п+2), а не в виде
о(х2я+1), так как следующий за последним выписанным слагаемым
член многочлена Тейлора в силу (13.15) равен нулю.

2.	f (х) = cosx. Как известно (см. п. 10.1),(х) = cos ^х +,
а поэтому

0 для т = 2/?J- 1,

6 = 0, 1, 2, ...,

(— 1)* для т — 2k,
и
у2 у4 уб

cosx=l-x27 + JI--b + ... + (-!)» {-Л_ + 0(^+1)

при х->0 п = 0, 1, 2, ..., или, короче,

COSX=2 (— 1 )*	+ ° (х2,,+1) прих->0,

4 = 0

(0) = cos=

п = 0, 1, 2, ...
3.	f(x)=ex. Поскольку (ехУп}—ех, то^'1)(0) = 1, n = Q, 1,
следовательно,

е*=1+х + ^ + J + ... + % + о(х”),	(13.16)

при х -> 0, п — 0, 1, 2, ..., или, короче,

еЛ‘= k\ п₽и

*=о

Отсюда, заменяя х через —х, получим

е~х =	(—1)/г+ °(ХУ ПРИ -^->0, п=-0, 1, 2, ... (13.17)

А —0

4.	shx = e ~g  и chx —е . Сложив и вычтя (13.16) и
(13.17), будем иметь

п

2у2&+1

(2А + ТП + О(Х2'1+2)’

А —0

ch х =	-{- о (х2/г+1) при х ->0 п = 0, 1, 2, ....

В силу единственности представления функции в указанном
виде (см. теорему 2) полученные соотношения являются форму-
лами Тейлора для функций shx и chx.

5.	/(г) = (1 +х)а, а —некоторое фиксированное число. Так как

УП) (х) = а (а — 1)... (а — и + 1) (1 4-х)а'п, то

fw (0) — а (а — 1)... (а — п-\-1)

и, следовательно,

(1 + х)« = 1 + ах + “	° х! + »<»-»(?-Э х> + ...+

при х->0, /г = 0, 1, 2, ..., или, короче,

(1 +%)«=!+ 2 a(a~1),'fe,(a~-+-1)xft + o(x”) при х->0,

А=1

п = 1, 2, ....

6.	/(х) = 1п(1 +%). Легко видеть, что

f' W = гЬ = ° + х)-1’ f"W “(1 + х)'2
и вообще /(ft)(x) = (—— 1)! (1 k=l, 2, .... Поэтому
fW (0) — (—— 1)!, k = l, 2, ..., и так как /(0)=0, то

In (1 + x) = x - £ +... + (—I)"'1 ~ + о (x")

при x->0, n = l, 2, ..., или, короче,

ln(l-f-x) =	(—I)*’"1 *r + o(x") при x->0, n = l, 2, ....

fe= i

Замечание. В силу следствия теоремы 1, полученные фор-
мулы можно записать, используя символ О (О большое), следую-
щим образом:

sinx= 2 (—1^(2ЯП)!+0(-г2"+3)’
k = 0

cos х — 2 (~1)*ет+О(x2n+2).

Л = 0

eA'= 2 ?+0<x"+1)’

k = 0

n

2x-k+i
WFor+o
fc = 0

chx= 2 wr+O(x2"+2)’ ra=0> 2’ •••’

(1 +x)“ = 1 + 2 а(а~\/а~Н1^0(хП
k= i

ln(l+x)= 2 (—+О(хл+1), n — 1, 2, ..., при x~>xo-
k= i

Такая запись формул Тейлора в некоторых вопросах оказы-
вается более удобной, чем их запись с символом о (о маленькое).

13.4.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ
ТЕЙЛОРА (МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ)

Формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для
выделения главной части функции. В результате этого метод вы-
числения пределов функций с помощью выделения главной части
приобретает законченный алгоритмический характер.
Рассмотрим сначала случай неопределенности вида -°-. Пусть

требуется найти предел	где lim f (х) = lim g(x) = 0.

X -* Xq & ' '	X -> Xf)	X -> Хо

В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора
функции f и g в окрестности точки х0 (если, конечно, это воз-
можно), ограничившись в этом разложении лишь первыми не рав-
ными нулю членами, т. е. взять разложения в виде

/(х) = а(х — х0)п + о((х — Хо)”),	а=#0,

g (х) = b (х — Хо)т + о ((х — х0)ш), b Ф О,

тогда

i;m fW _ lim а(х-х^ + о((х-х0)»)
х™	х™ &(х-х0)» + О((х-х0)™)

' О,
а
Т*

если

= ~ lim (х — х0)п~т =
° Х-*Хй

если

если

n >m,
n = m,
n<_m.

Часто бывает удобно для разложения функций / и g по фор-
муле Тейлора использовать готовый набор разложений элемен-
тарных функций, полученный в п. 13.3. Для этого следует в слу-
чае хо=£О предварительно выполнить замену переменного t =
= х —х0; тогда х->х0 будет соответствовать Случай х->оо
заменой переменного х=~ сводится к случаю /->0.

Если имеется неопределенность вида Ц, т. е. требуется найти
lim , где lim / (х) = lim g (х) = сю, то ее легко привести к рас-
0	<	f (х)	1 /g (х)

смотренному случаю преобразованием	’

Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя,
при применении метода выделения главной части к раскрытию
неопределенностей вида 0 • сю и со — сю их следует преобразовать
к неопределенности вида Наконец, для раскрытия неопреде-
ленностей вида 0°, сю° и 1°° указанным методом, необходимо
предварительно прологарифмировать рассматриваемые функ-
ции.

Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора
к вычислению пределов функций. Пусть требуется найти

.. ех—е~х—2.х

11Ш ------:-— .

Q X — sin X
Заметив, что (см. п. 13.3)

ел-=1+х-Р22 +^+0(%3)г е-Х=1-х + ^_^+о(Х*),
sinx = x —* +°(*3).

получим

.. ех—е~х—2х .. х’/3+о(№)	,.	№/3	„

lim------:-= lim „ дТ = lim= 2.

о *—sinx	х3/6+о х1) Х^ох“/Ь

Рассмотрим неопределенность вида оо —оо:

г X3 “12

• »	„	X — -р+о(х3) — X2

... / 1	1 \	,. Sin2X— X2 ..	6

lim ------г-j- = lim - , . ,— = lim1-5-7—. , » --=

г_8\-(	stn2x) х_0 x2sm-x Л.^о	х-[л4~о(х)2

-у+0(х-)	-3+0М	j

”1™тФгйг “1™ — = - г

1

_	.. /sin х\ х

В качестве последнего примера вычислим предел lim —- ,
,г—о \ х )

т. е. раскроем неопределенность вида 1°°. Согласно общему пра-
вилу, найдем предел логарифма выражения, стоящего под знаком
предела:

1-	1 , sin X ..	X	In (1 4-0 (.г))	,. о (г)	„

lim — In-— = lim--------= lim —2—!—— = lim = 0.

x—o x x x —0 x x—0 x	x—0 x

Следовательно,

J	1 , sin r

.. /sin x\ x r2T0 x n x 1
lim -------) = er 0	=1.

X—0\ X 1

Упражнения. Найти пределы:

2.

lim
x-o

x — sin x
ex — 1 — x — x2/2 ’

cos (sin x) —cos x
lim ------------г----------

3 iim ln(14-x4-x2)4-ln(l—x—x2)
x _ q	x sin x

.	.. (1 +x)I/v-e

4. lim —!—-------.

x-> 0 x

6.	lim (ctg x)s'n x-
x-o

„ ,.	4 р'Т^х2 -4^’ + In (1 4- r2)

7.	lim —-----------------—-----------

x _+ q	arc -V — sin x

a ,. cos (xe v) — cos (X2~x) -I- 2 v3
8. im-----------------.
§ 14.	ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

14.1.	ПРИЗНАК МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
(а, Ь) функция f возрастала (убывала) на этом интервале необхо-
димо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была
неотрицательной, f (х)	0 (соответственно, неположительной,

f'(x)-^).

Если всюду на (а, Ь) производная положительна', f' (х) > О
(соответственно отрицательна'. /'(х)<0), то функция f строго
возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.

Необходимость. Если функция f возрастает (убывает) на
(а, Ь), то для любой течки х0 £ (а, Ь) при дх >• 0 имеем дz/ = f (х0-|-
4- д4 — f (хо) 5s 0 (дг/ === 0). Поэтому -=0 (=^0); перейдя к пре-
делу при Дх->0, получаем f (х0)	0 (/' (хп) 0).

Достаточность. Пусть а<Х1<х2<Ь. Тогда по фор-
муле Лагранжа (см. п. 11.2) / (х2)— f(xi) = /'(£) (х2— Xi), где

Так как х2 —Xj>-0, то при f (х)^0 на (а, Ь) (откуда
следует, что в частности f (|)^0) будем иметь f (х2) f (Xj), т. е.
функция f возрастает. Аналогично, при f (х) < 0 на (а, Ь) имеем
Д(|)==$0 и, следовательно, f (х2)^[(х1), т. е. функция f убывает.

Если же /' (х)>0 на (а, Ь), то f'(^)>0 и поэтому f(x2)>
>f(xi), т- е- функция f строго возрастает. Пусть теперь f (х) < 0
на (а, Ь); тогда /' (£)<0, следовательно, /(х2)</(х1), т. е. функ-
ция / строго убывает. Q

Отметим, что условия f (х) >0 и /' (х) <0 не являются
необходимыми для строгого возрастания, соответственно строгого
убывания, функции, показывают примеры функций (1(х) = х3 и
f2(x) =— х3. Первая из них строго возрастает, а вторая строго
убывает на всей числовой оси, но для х = 0 их производные
обращаются в ноль.

Теорема остается верной для непрерывных функций, не имею-
щих в конечном числе точек производной. Утверждение второй
части теоремы остается в силе, если кроме того, в конечном числе
точек производная обращается в ноль. Например,

если функция непрерывна на некотором интервале и имеет
всюду в нем положительную (отрицательную) производную, кроме,
быть может, конечного числа точек, в которых производная обра-
щается в ноль или не существует, то функция строго монотонно
возрастает (соответственно строго монотонно убывает) на рас-
сматриваемом интервале.

Это непосредственно следует из теоремы 1: достаточно ее по-
следовательно применить ко всем промежуткам, на которые раз-
бивается заданный интервал указанным конечным множеством
точек.
Пример. Исследуем функцию

( sin х	г\	я

fi ~ при 0<*^Д-

( 1 при х = 0.

Функция f дифференцируема (а, следовательно, и непрерывна)
на отрезке ^0, --J. В специальной проверке нуждается лишь су-
ществование производной в точке х = 0. Применяя, например,
дважды правило Лопиталя, получаем

f(Ax)-f(O)
lim	=

Дх-0

lim

Дх-»0

sin Ах
~~А~х

Ах

lim

/-о

sin t — t
й

— lim
mo

cos t — 1

2t

4 lim sin t = 0.
z /-»0

Это и означает, что существует /'(0) = 0.
Для всех х^О имеем

x cos x— sin x
X1

,	(sin xV

f

COS X i i «. r\

-^-(x-tg x)<0,

ибо x<tgx, если 0<х<л/2 (см. доказательство леммы 1
в п. 8.1). Следовательно, функция f строго убывает на отрезке
[0, л/2], и поэтому f (0)>/(х)>/ (1), т. е.

2	. sm х . ,	п . п

— <---< 1 пои 0<х<-л-.

л х	2

(14.1)

14.2.	ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ
ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ

Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности течки хй. Тогда х0 называется точкой максимума
(соответственно точкой минимума) функции f, если существует
такое б>0, что для всех Ьх удовлетворяющих условию |Дх|<б,
выполняется неравенство f (х0 -у Ax) sS f (х0) (соответственно
f(x0 + Ах)=з/(х0)).

Если существует такое б>0, что для всех Ах=^0, таких,
что | Ах | < б, выполняется неравенство f (х0 + Ах) < Г (х0) (соот-
ветственно f (х0 + Ах) P>f (хо), то хо называется точкой строгого
максимума (соответственно строгого минимума).

Точки (строгого) максимума и минимума называются точками
(строгого) экстремума.

Для точек Хо строгого экстремума функции f, и только для
них, приращение А/= /(х0 + Ах) — / (х0) не меняет знака при пере-
ходе аргумента через х0, т. е. при изменении знака Ах. Именно
&f<.Q для точек строгого максимума и А/>0 в случае строгого
минимума независимо от знака достаточно малого Ах=^0.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть хп является
точкой экстремума функции f, определенной в некоторой окрест-
ности точки л'о. Тогда либо производная f (х0) не существует,
либо f (х0) = 0.

Действительно, если х0 является точкой экстремума для функ-
ции /, то найдется такая окрестность U (х0, 6), что значение
функции / в точке х0 будет наибольшим или наименьшим на этой
окрестности. Поэтому, если в точке х0 существует производная,
то она, согласно теореме Ферма (см. п. 11.1), равна нулю.

Отметим, что условие /'(хо) = 0 не является, для дифферен-
цируемой при х = хй функции, достаточным условием наличия
экстремума, как это показывает пример функции /(х) = х3, кото-
рая для х = 0 имеет производную, равную нулю, но для которой
х = 0 не является точкой экстремума.

Упражнение 1 (достаточные условия экстремума). Пусть функция f
определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке х(, е (а, Ь). Доказать,
если f (строго) возрастает на интервале (а, >'о) и (строго) убывает на (л0, &),
то ха является точкой (строгого) максимума; если же функция f (строго) убы-
вает на (а, лу) и (строго) возрастает на (л0, Ь), то лу является точкой (стро-
гого) минимума.

Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть
функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки х0,
кроме, быть может, самой точки х0 е (а, Ь), в которой она
является, однако, непрерывной. Если производная f (х) меняет
знак при переходе через хп (это означает, что существует такое
число б>0, что значения, производной f имеют один и тот же
знак всюду в (л'о —б, х0) и противоположный знак для всех
х е (х0, х0 + б)), то Хо является точкой строгого экстремума.

При этом, если для х0 — б<х<х0 выполняется неравенство
Г(х)>0, а для х04~б> х> Хо — неравенство /'(х)<0, то х0
является точкой строгого максимума, а если для х0 —б<х<х0
выполняется неравенство /'(х)<0, а для х0 + б > х >• х0 — нера-
венство f (х) >• 0, то х0 является точкой строгого минимума
(рис. 46).

Доказательство. Рассмотрим случай /'(х)>0 длях<х0
и f (х)<0 для х>х0, где х принадлежит окрестности точки х0,
указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа (см. п. 11.2)

А/ = f (х) - f (-Vo) = /' (В) (х - Хо),

где § лежит на интервале с концами х0 и х.

Если х<х0, то х —х0<0 и /'(£)>• 0, так как х<£<х0.
Если х>х0, то х — Хо > 0 и /'(£)< 0, так как в этом случае
х0<Ё<х. Таким образом, всегда А/ <0, т. е. точка хв является
точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй
случай. Q
Из п. 14.1 следует, что если функция имеет всюду в некото-
рой проколотой окрестности данной точки х() производную одного
и того же знака, а в самой точке х0 производная либо равна
нулю, либо не существует, однако сама функция непрерывна,
т,. е. если производная непрерывной функции «не меняет знака»
при переходе через точку х0, то эта точка заведомо не является
точкой экстремума рассматриваемой функции (более того, функ-
ция в указанной окрестности строго возрастает или убывает в за-
висимости от того, положительна или отрицательна производная
в точках х#=%о).

Объединяя это утверждение с доказанной выше теоремой 3,
получим следующий результат.

Если функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х0,
непрерывна при х = х0, имеет всюду в рассматриваемой окрестно-
сти кроме, может быть, точки хп, производную и эта производ-
ная с каждой стороны от х0 сохраняет постоянный знак (следо-
вательно, можно говорить о сохранении или перемене знака
у производной при переходе через х0), то для того, чтобы при
х = х0 функция достигала экстремума необходимо и доста-
точно, чтобы производная меняла знак при переходе через
точку Хо-

Следует, однако, обратить внимание на то, что рассмотренным
здесь случаем, т. е. случаем, когда можно в указанном смысле
говорить о перемене знака производной при переходе через
точку х0, не исчерпываются возможные ситуации (даже для всюду
дифференцируемых функций): может случиться, что в сколь угодно
малых односторонних окрестностях точки х0 производная функ-
ции меняет знак. В этом случае приходится применять -другие
методы для исследования функции на экстремум при х = х0.

Поэтому в классе всех дифференцируемых функций теорема 3
дает лишь достаточные условия строгого экстремума.

Задача 9. Построить пример функции, которая дифференцируема на интер-
вале, достигает в некоторой его точке а0 строгого экстремума, а ее производ-
ная в любой окрестности точки х„ (как слева, так и справа от нее) прини-
мает и положительные и отрицательные значения (таким образом показать,
что условие изменения знака производной в данной точке, являясь достаточ-
ным для наличия строгого экстремума, не является вместе с тем необходимым).

Введем еще одно понятие, которым будем пользоваться в даль-
нейшем.

Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х9. Будем -называть х0 точкой возрастания
(убывания) функции f, если существует такое 6>0, что при
х0 — S < х < х0 выполняется неравенство f (х) < / (х0) (соответст-
венно f (x)>f (x0)), а при хо<х <xa +8 — неравенство f (x)'^>f (х0)
(соответственно f (x)<f (л'о)).

Таким образом, точки возрастания и убывания функции f
характеризуются тем, что при переходе через них приращение А/
меняет знак, а именно с «—» на «+» в точке возрастания и
с «+» на «—» в точке убывания (рис. 47).

Не следует думать, что если функция определена на интер-
вале, то всякая точка этого интервала является либо точкой
экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убы-
вания: могут существовать точки, не принадлежащие ни к одному
из указанных типов. Например, точка х = 0 для функции

j, = p'si"T "Р"	(14.2)

[	0 при х = 0

не является ни точкой экстремума, ни точкой возрастания, ни
точкой убывания.

Производная функции (14.2) равна (см. пример 8 в п. 9.7)

f 2xsiny — cos при х=4=0,	(14.3')

I 0 при х = 0.	(14.3")

Таким образом функция (14.2) дифференцируема на всей чис-
ловой оси. При х = 0 ее производная имеет разрыв второго рода,
ибо

lim f2xsin -1-) = 0,	(14.4)

х-0 \ х J

8 Кудрявцев Л. Д. т. 1
а второе слагаемое в правой части равенства (14.3'), т. е.
— cos у, не имеет предела при х->0. Кроме того это слагаемое,

изменяясь в любой односторонней окрестности точки х = 0 от
•—1 до +1, бесконечно много раз меняет знак. Отсюда, в силу
формул (14.3') и (14.3") и (14.4) следует, что и производная
функции (14.2) в любой сколь угодно малой односторонней окре-
стности нуля также меняет знак. Общий характер поведения
функции (14.2) изображен на
ку	рис. 48.

>) Сформулируем теперь основан-
/	ные на использовании производ-

/х	них высших порядков достаточные

условия наличия строгого экстре-
/	мума, атакже точек возрастания и

_______* убывания.

Y Теорема 4. Пусть в точке ха
у функции f существуют произ-
\	водные до порядка п^-1 включи-

\	тельно, причем

\	/1<)(хо) = О для г = 1, ..., п— 1,

/<«) (Хо) =#= 0.	(14.5)

Рис- 48	Тогда, если п = 2k, k — 1, 2.....

т. е. п — четное число, то функ-
ция f имеет в точке х0 строгий экстремум, а именно максимум
при f(2A) (х0) < 0 и минимум при/12/г) (х0) >• 0. Если же п = 2k-\-1,
А = 0, 1, ..., т. е. п — нечетное число, то функция f не имеет
в точке х0 экстремума', в этом случае х0 является точкой возра-
стания при /(2А+1) (х0) > 0 и убывания при (х0) <0.

Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание.

Если Р(х) = о(а(х)) при х->х0, то существует такое 6 > 0,
что при |х —х|<6, х=#х0, справедливо неравенство

10(x)|=^-J-1 а(х) |.

В самом деле,

Р (х) = е (х) а (х),

(14-6)

(14.7)

где lim е(х) = 0 и, следовательно, существует такое 6, что при

X-+X0

|х —х0|<;6, х^х0, выполняется неравенство

|е(х)|<4-

(14-8)

Из (14.7) и (14.8) и следует (14.6).

Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку/
имеет в точке х0 производную порядка «5=1, то (согласно опре-
делению производной) производная порядкам—1 рассматриваемой
функции определена в некоторой окрестности точки х0. Поэтому
и сама функция f также определена, во всяком случае в той же
окрестности точки х0-

Напишем формулу Тейлора м-го порядка для функции f
в окрестности точки х0. В силу (13.5') и условий (14.5) будем
иметь

А/ = f (Хо + Дх) -/ (хо) -Ах'1 + а (х),	(14.9)

где

а(х) = о(Ахл), Ах->0,

и, значит (см. п. 8.2),

а(х) = о(^-^-

Ах'2), Дх->0.

Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое 6>0,
что при ] Ах| <6, Ах =0=0,

|а(х)|<‘|^—Д*"|-

Отсюда следует, что при | Ах | < 6, Ах #= 0, знак правой части
равенства (14.9), а значит и знак Af совпадает со знаком пер-
вого слагаемого правой части.

Если n = 2k, k=\, 2, ..., то в (14.9) Ах возводится в четную
степень, поэтому знак А/не зависит от знака Ах=0=0, и, значит,
х0 является точкой строгого экстремума, причем точкой строгого
максимума при f[2k} (хп) < 0 (в этом случае А/<0) и строгого
минимума при fi2k> (х0)>0 (в этом случае А/>0).

Если же и = 2А-|-1, k = Q, 1, 2, ..., то Ах возводится в не-
четную степень, поэтому знак А/ меняется вместе с изменением
знака Ах, и, значит, х0 не является точкой экстремума. Если Ах
меняет знак с «—» на «+», то при /‘2А+11 (х0) > 0 приращение А/
меняет знак с «—» на «Ц-», и, значит, х0 является точкой возра-
стания функции f, а при /(2*+1)(хо)<О приращение А/ меняет
знак с «+» на «—», и, значит, х0 является точкой убывания
функции /. О

Из доказанной теоремы вытекают, в частности, при п = 1 и
и = 2 два следствия.

1.	Если f (Хо) > 0, то х0 является точкой возрастания функ-
ции', если /'(х0)<0, то х0 — точка убывания функции.

2.	Если /'(хо) = О, а /"(хо)#=0, то при /"(хо)>0 х0 является
точкой строгого минимума, а при f" (х0) <0 — точкой строгого
максимума функции f (рис. 49).

Следствие 1 остается в силе и для бесконечных производных:
если f (ха) = ф- оо (соответственно f (х0) =— ос ), то х0 является
точкой возрастания (соответственно, убывания) функции. В самом
деле, если, например, f (х0) = + оо, то для любого. е>0 и,
8*
в частности, для 8=1 существует такое 6 > О, что при всех Дх,
удовлетворяющих условию | Дх | < 6, имеет место неравенство
> 1. Поэтому при 0 < Дх < 6 имеем Ду > Дх > 0, а при

— 6 < Дх < 0 — аналогично

Рис. 49

Лу<Дх<0, т. е. х0 —точка возра-
стания. Подобным же образом
рассматривается случай /' (х0) =
= — оо.

Заметим, что из первого след-
ствия еще раз вытекает теорема
Ферма (см. теорему 1 п. 11.1).
Действительно, если функция/(х)
определена в некоторой окрестно-
сти точки х0 и имеет в этой точке

экстремум, то производная в х0
не может быть ни положительной, ни отрицательной, так как в
противном случае функция либо возрастала, либо убывала бы в
этой точке. Следовательно, производная в х0 или не существует,
или, если существует, необходимо равна нулю.

Отметим еще, что из теоремы 4 непосредственно вытекает сле-
дующий критерий наличия точек экстремума.

Пусть у функции f в точке х0 существуют производные до
порядка п 1 включительно, причем

Л';>(хо) = О, 6=1, 2, ..., п-1,	/(«)(хо)^О.

Тогда для того чтобы при х = х0 функция достигала экстремума,
необходимо и достаточно, чтобы п было четным числом.

Все полученные правила справедливы лишь в том случае,
когда функция f определена в некоторой окрестности точки х0.
Однако об экстремуме функции можно говорить не только в этом
случае: пусть функция f определена на некотором числовом мно-
жестве £; будем называть х0 е Е точкой максимума (минимума) *\
если существует такое 6>0, что если хе£ и |х —х0|<6, то
f(x)^f(x0) (соответственно f(x)^f(x0)). Подобным же образом
определяются в этом случае и понятия строгого максимума и
строгого минимума, следует лишь знаки нестрогих неравенств
заменить знаками строгих неравенств и дополнительно потребо-
вать, чтобы х=^=х0.

Например, если функция f определена на полуинтервале [а, &),
то точка а в указанном смысле может являться экстремальной.
Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке,
вообще говоря, не обязана обращаться в ноль. Так, функция
у = х, рассматриваемая на отрезке [0, 1], имеет строгий минимум

*’ Правильнее было бы добавить — локального, но не будем усложнять
терминологию.
при х = Ои строгий максимум при х=1, однако в этих точках,
как и всюду на отрезке [0, 1], у' = 1.

Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстремум
на концах промежутка, принадлежащего ее области определения
(такой экстремум будем называть концевым), требует специального
исследования.

Упражнение 2. Пусть функция f определена на отрезке [а, /?] и
имеет производные при х-а и х = Ь. Доказать, что если f(а) > 0 (соответст-
венно f'_ (/?) < 0), то точка х = а (соответственно х = Ь) является точкой стро-
гого минимума, а если (а) < 0 (соответственно Д(/?)>0), то х = а (соответ-
ственно х=Ь) является точкой строгого максимума.

Установленные нами теоремы лежат в основе метода, позво-
ляющего единообразно решать многочисленные математические,
физические и технические задачи, в которых ищутся экстремаль-
ные значения какой-либо величины.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение
функции f на отрезке [о, Ь]. Может случиться, что это возможно
сделать достаточно просто каким-либо способом, исходя из кон-
кретного вида функции. Если же не видно, как это сделать, то
следует найти все ее критические точки, лежащие на [п, ft]
(точка, в которой функция определена, а ее производная либо
равна нулю, либо не существует, обычно называется критической
точкой этой функции). Затем из этих значений х необходимо,
исходя из сказанного, отобрать те, в которых возможен макси-
мум (можно заведомо отбросить точки, удовлетворяющие доста-
точным условиям наличия минимума). После этого достаточно
сравнить между собой по величине значения функции в получен-
ных точках и числа f (а) и / (Ь); наибольшее из этих чисел и
будет наибольшим значением функции на отрезке [а, Ь]. Эта за-
дача принципиально заведомо может быть решена, если множе-
ство критических точек конечно.

Если функция определена на полуинтервале (конечном или
бесконечном), например на полуинтервале вида [а, Ь), задача об
определении ее наибольшего значения на этом полуинтервале
требует дополнительных исследований; найдя множество указан-
ных выше точек, надо изучить еще поведение функции при
х-^-Ь — 0. Аналогичным образом решаются и задачи на определе-
ние наименьших значений функций.

Не следует, однако, думать, что изложенный метод позволяет
находить точки экстремума данной функции с любой нужной сте-
пенью точности. Это не так, поскольку если пользоваться им,
надо прежде всего уметь решать уравнение f (х) = 0 с заданной
степенью точности, что является другой математической задачей.
Как она решается с помощью дифференциального исчисления
в тех случаях, когда точное решение уравнения не выписывается
в явном виде, будет показано в дальнейшем (см. том 2, § 60).
Пример. Две точки движутся с постоянными скоростями
и t»2 по двум прямым, образующим прямой угол в направлении
вершины этого угла, от которой в начале движения первая точка
находилась на расстоянии Ь, а вторая — на расстоянии Ь. Через
какое время после начала движения расстояние между точками
будет наименьшим?

Пусть р = р (I) — расстояние между точками через время t
после начала движения, которое будем считать начавшимся при
1 = 0. Тогда

р2 (/) = (а - vj)2 + (6 - v2t)2.

Функция р (t), очевидно, достигает минимума при том же значе-
чении t, при котором достигает минимума функция y = p2(t).

Физически ясно, что расстояние p(Z) должно достигать мини-
мума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет, ибо
р (/)-> + оо при t—>--фоо. В силу необходимого условия экстре-
мума это может быть только в точке, в которой у' = 0, и, так
как у'=— 2v1(a — v1i) — 2v2(b — v2f), то из условия у'= 0 полу-
чаем единственное значение

___avi "Т bv2
0 vj + vj ’

которое и дает ответ на поставленный вопрос.

14.3.	ВЫПУКЛОСТЬ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

Пусть функция f определена на интервале (а, Ь) и пусть
a<Xi<x2<.b. Проведем прямую через точки A(xlt f (хА) и
S(x2,/(x2)), лежащие на графике функции /. Ее уравнение будет

_ f (х2) (x—xQ+f (xQ (х.г — х)
х2 —

Обозначим правую часть этого уравнения через /(х); тогда
оно кратко запишется в виде

г/ = /(х).

Очевидно, Z(xi) = /(%i), l(x2) = f(x2).

Определение 3. Функция f называется выпуклой вверх (выпук-
лой вниз) на интервале (а, Ь), если каковы бы ни были точки хг
и х2, a<Zx1<Zx2<Zb, для любой точки х0 интервала (х1т х2),
выполняется неравенство

l(x0)^f(x0),	(14.7)

(соответственно

l(x0)^f(x0)).	(14.8)

Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т. е.
отрезка прямой у = 1(х) с концами в точках А и В) лежит не
выше (не ниже) точки графика функции f, соответствующей тому
же значению аргумента (рис. 50).

Определение 4. Если, вместо (14.7) и (14.8) выполняются стро-
гие неравенства l(x0)<Zf(x0) и соответственно /(х0)>/(х0) при
любых х0, хг и х2 таких, что a<Zx1<Zx0<Zx2<Zb, то функция f
называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на
интервале (а, Ь).

В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы,
лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.

Определение 5. Всякий интервал, на котором функция (строго)
выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (стро-
гой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции.

Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть
функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда,
если f<2.0 на (а, Ь), то функция f строго выпукла вверх, а если
/">0 на (а, Ь), то функция f строго выпукла вниз на этом ин-
тервале.

Доказательство. Пусть a<Z>:i<Zx <Zx2<Zb. Тогда

l(x) — f (х) =	~х) — / (х)	*i) + (x2—х) =

_ I/ (х2) — / (х)] (х—xQ — [((х) —f (xQ] (х2 —х)

х2—*1

Применяя теорему Лагранжа (см. п. 11.2), получаем

l(x)—f (х) = ?(х—хР—/' (Q (х—хр (ха—х) _

— If' (Ф—Г (£)] (х2— X) (X —Xj)
х2—хх

где %! < g < х < ц < х2.

Применим снова теорему Лагранжа:

l(x)-f (х) = Г (а (Xi -g (х ~° 0W),	£<£<тр

Л2-
Отсюда видно, что если /"<0 на (а, Ь), следовательно, в част-
ности, /"(□<0, то l(x)<.f(x), т. е. функция f строго выпукла
вверх; если же /">0 на (а, Ь), то /(х)>/(х), т. е. функция f
выпукла вниз. Д

Условие, знакопостоянства второй производной, являясь доста-
точным для строгой выпуклости (вверх или вниз), не является
вместе с тем необходимым. Так, функция р = х4 строго выпукла
вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная
р"=12х2 обращается в ноль при х = 0.

Отметим, что если функция f (строго) выпукла вверх на ин-
тервале (а, Ь), то функция — / (строго) выпукла вниз на этом
g.	d2 г г I	d2f (х)

интервале и обратно, а поскольку —/(%)] =--------то> на’

пример, приводимое в теореме 5 достаточное условие строгой
выпуклости вверх следует из содержащегося в этой же теореме
достаточного условия строгой выпуклости функции вниз.

Упражнения 3. Доказать, что для функции

f W =

. I

X sin----

X

0

при х gfe 0,

при х=0

точка х = 0 не принадлежит никаким интервалам выпуклости вверх или вниз
и не является концом какого-либо из этих интервалов.

4.	Доказать, что функция г/ = х4 строго выпукла вниз на всей числовой
прямей.

Мы видим, что выпуклость вверх или вниз функции / зависит
от знака ее второй производной. Оказывается, что расположение

графика дважды дифференцируемой
функции относительно касательной

также в определенном смысле свя-
зано со знаком второй производной.

Теорема 6. Пусть функция f
имеет во всем интервале (а, Ь) поло-
жительную (отрицательную) вторую
производную: f" (х) > 0 (соответст-
венно /"(х)<0), х е (а, &)*'. Тогда,

какова бы ни была точка х0 е (а, Ь),
Рис- 51	все точки (х, /(%)), х^(а, Ь), гра-

фика функции f лежат выше (соот-
ветственно ниже) касательной, проведенной к нему в точке
(л'о, / (л'о)) (исключением является, естественно, сама эта точка,

которая лежит на указанной касательной**1) (рис. 51).

*’ Отсюда следует, что функция f строго выпукла вниз (вверх) на (а, Ь).

**’ Если функция f, кроме того, определена и имеет одностороннюю
производную в конце а или b интервала, то указанное свойство, как это видно
из нижеприводимого доказательства, выполняется и для касательной в точке
(a, f(a)) (соответственно в точке (6, f(b)).
Действительно, уравнением касательной к графику функции f
в точке (х0, f(xc)) будет

У—Г (x0)(x-x0)+f(x<>).

Обозначим правую часть этого уравнения через L(x). Тогда,
применив теорему Лагранжа к разности /(х) — /(х0), получим

/ (х) - L (х) = [/ (х) - f (х0)] - f (х0) (х - х0) =

= !' (?) (х - Хо) - f (Хо) (х — Хо) = [/' (g) — f (Хо)] (х — Хо),

где a<Zx0<b, a<.x<zb, а точка В лежит между х и х0.

Применив еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению
производной, получим

f (х) - L (х) == /" (п) (^ - х0) (х - х0),

где точка ц лежит между £ и х0.

При х#=х0 имеем (| — х0) (х — х0) > О, ибо точка £ всегда лежит
между х и Хо и, следовательно, всегда по ту же сторону от точки
х0, что и точка х.

В силу этого знак разности f (х) — L (х) совпадает, при х х0,
со знаком /"(р). Поэтому, если на интервале (а, Ь) вторая про-
изводная положительна (следовательно, она положительна и
в точке р), то для всех х с= (с, Ь), кроме точки х = х0, выпол-
няется неравенство f (х) — L (х) > 0; если же на интервале (а, Ь)
вторая производная отрицательна, то для указанных точек спра-
ведливо неравенство f (х) — L (х) < 0. Q

Поясним эту теорему исходя из несколько иных соображений.
Если функция f имеет всюду на некотором интервале вторую
производную, то в окрестности любой точки Хо этого интервала
можно выделить главную часть функции f в виде многочлена
Тейлора второго порядка

/ (х) = / (Хо) + f (х0) (х - Хо) + (х - Хо)2 + о ((х - Х0)2), X -> Хо,
и, следовательно, график функции f «ведет себя в окрестности
точки х0 почти как парабола»

У=f (хо) + f (хо) (х - х0) + (х - х0)2,

которая, когда ее коэффициент при ха, т. е. , положителен,
выпукла вниз и лежит выше любой касательной, в частности и
выше касательной в точке (х0, f (х0)) (эта прямая является и каса-
тельной к графику функции /), а когда указанный коэффициент
отрицателен, выпукла вверх и лежит ниже любой своей каса-
тельной.
Мы снова видим, как целесообразно при изучении функции
в окрестности данной точки выделить с помощью формулы Тейлора
главную часть функции в этой точке. В дальнейшем при решении
разнообразных задач анализа мы еще неоднократно будем иметь
возможность убедиться в больших возможностях и плодотворности
метода выделения главной части.

Определение 6. Пусть функция f дифференцируема при х = хй
и пусть у —L(x) —уравнение касательной к графику функции f
в точке (х0> f(xn)). Если разность f(x) — L(x) меняет знак при
переходе через точку х0, то х0 называется точкой перегиба функ-
ции [.

Более подробно и точно это означает, что существует такая
6-окрестность U (х0, 6) точки х0, что на каждом из интервалов
(х0 —6, л'о) и (х0, Л'о+ 6) разность f(x) — L(x) сохраняет постоян-
ный знак, противоположный ее знаку на другом интервале.

Геометрически это означает, что график функции f переходит
в точке (л'о, /(х0)) с одной стороны (от наклонной) касательной
в этой точке на другую (см. рис. 52).

Если Ло —точка перегиба функции, то точка (х0, /(х0)) назы-
вается точкой перегиба графика функции f.

Примеры. 1. f(x) = x3, f"(x) = 6x. Очевидно, что в этом
случае f" (х) < 0 для х < 0 и f" (х) > 0 для х > 0. Поэтому на
бесконечном интервале (—со, 0) функция f(x) = x3 строго выпукла
вверх, на интервале (0, ф- оо) она строго выпукла вниз, а точка
х = 0 является одновременно концом интервалов выпуклости вверх
и вниз. Она является и точкой перегиба, поскольку уравнением
касательной в ней будет z/ = 0, и при х<0 имеет место нера-
венство f (х) < 0, а при х > 0 — наоборот f (х) > 0.

2. f(x) = j/x2; график этой функции (рис. 53) называется
2

полукубической параболой. Здесь /"(х) = —____, и потому для

» у xi

всех х^=0 справедливо неравенство /"(х)<0. Следовательно,
интервалы (— оо, 0) и (0, + оо) являются промежутками строгой
выпуклости вверх. Вместе с тем при любом ху=0

~ ~)+2П~Х) = f (*) > 0 = f (°),

поэтому точка х = 0 не принадлежит никакому интервалу выпук-
лости вверх (интервалов выпуклости вниз у этой функции нет).

График функции /?(х) = уЛх2 в точке (0, 0) имеет вертикаль-
ную касательную, и его ветви, для которых х >• 0 и х < 0, лежат
по разные стороны от нее. Однако, х = 0 не является точкой
перегиба, поскольку в силу вертикальности касательной в этой
точке ее уравнение нельзя записать в виде y = L(x), и, следо-
вательно, х = 0 не удовлетворяет условиям определения 6.

Образно говоря, график полукубической параболы не пере-
гибается при переходе через касательную в точке (0, 0), а «воз-
вращается назад»; поэтому точки такого типа называются точками
возврата.

Теорема 7 (необходимое условие наличия точки перегиба).
Пусть функция f имеет непрерывную при х = х0 вторую произ-
водную. Тогда, если точка х0 является точкой перегиба функции f,
то f" (х0) = 0.

Действительно, если имело бы место неравенство /"(х0)>0
(соответственно f" (х0) <0), то, в силу непрерывности второй про-
изводной при х = х0, нашлась бы окрестность U (х0) этой точки,
в которой выполнялось бы условие /" (х) > 0 (соответственно,
f" (х) <0) и, следовательно, согласно теореме 6, для всех х е U (х),
х~Л=хп, график функции / лежал бы выше (ниже) касательной,
проведенной к нему в точке х0, что противоречило бы тому, что х0
является точкой перегиба. Д

Замечание. Подобно тому, как все точки экстремума функ-
ции принадлежат множеству точек, в которых производная либо
равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функ-
ции (дважды непрерывно дифференцируемой, кроме, быть может,
для конечного числа значений независимого переменного) входят
во множество точек, в которых вторая производная либо равна
нулю, либо не существует.

Теорема 8 (первое достаточное условие наличия точек пере-
гиба). Если функция f, дифференцируемая в точке х0, дважды диф-
ференцируема в некоторой проколотой окрестности U (х0, б) этой
точки и вторая производная /" функции f меняет знак при пере-
ходе аргумента через х0 {т. е. либо /"(х)<0 при х0 — б<х<х0
и f" (х) > 0 при х0 < х < Хо + б, либо f" (х) > 0 при х0 — б < х < х0
и /"(х)<0 при Хо<х<Хо + б), то х0 является точкой перегиба
функции f.

В самом деле, представим, как и выше, в виде y = L (х) урав-
нение касательной y = f (х0) (х — х0)+/ (х0). При доказательстве
теоремы 6 было показано, что

f (х) - L (х) = /" (П) (£ - *о) (* - *о).

где точки х и t лежат по одну сторону от х0, поэтому при х=#х0
имеем (ё — х0) (х — х0) > 0, и, следовательно,

sign [f (х) - L (х)1 = sign/" (г]).

Точка 1] лежит между g и х0, т. е. по ту же сторону от х0
что и точка х. Отсюда явствует, что если /" меняет знак при
переходе аргумента через точку х0, то разность / (х) — L (х) меняет
знак, и, следовательно, х0 является точкой перегиба. QJ

Теорема 9 (второе достаточное условие наличия точки пере-
гиба). Пусть f" (х0) = 0, д/'"(л-о)^О; тогда х0 является точкой
перегиба.

Доказательство. По формуле Тейлора в силу условия
Г(А'о) = О имеем

f (х) = f (х0) + f (х#) (х - х0) + (х - х0)’ + о ((х - х0)3),

и поскольку L(x)s/(x0) + /'(xn)(x —Хо), то

f(x)-L(x)

^^(х-Хо)3 + о((х-х0)3).

Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед дока-
зательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности f (х)—
— L(r) меняется при изменении знака х — х0. Это и означает,
что х0 является точкой перегиба. | |

Задача 10. Доказать, что если функция f непрерывна на интервале (п, Ь)
и если для любых точек х, и х2, а < лу <*> < Ь, выполняется неравенство

/ (д)+/ (.д) f ( д+М

2 f \	2	]'

то (а, Ь) является интервалом выпуклости вверх для функции f.

Задача И. Доказать нижеследующие утверждения. Для того чтобы диф-
ференцируемая функция была выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале,
необходимо и достаточно, чтобы се производная монотонно убывала (монотонно
возрастала) на нем. Для того чтобы дифференцируемая функция была строго
выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале, достаточно, чтобы ее произ-
водная строго убывала (строго возрастала) па нем.

14.4. АСИМПТОТЫ

Определение 7. Пусть функция f (х) определена для всех х>а
(соответственно для tcex :<<Za\. Если существ, уют такие числа k
и I, что f (х) - kx — I = о (1) при х—>- + оо (соответственно при
х-з—д-i), то прямая

y = kx + l	(11.9)

называется асимптотой графика функции f (х) при х-^--\-ео (соот-
ветственно при х—> —оо).
Существование асимптоты графика функции означает, что при
х->-рсю (или х->—оо) функция ведет себя «почти как линейная
функция», т. е. отличается от линейной функции на бесконечно
малую.

Найдем, например, асимптоту графика функции г/ = х-~^~2.
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления много-
2	2

членов, получим у = х — 4-j--^-. Так как -- - = о (1) при
х->±оо, то прямая у = х — 4 является асимптотой графика дан-
ной функции как при х + со, так и при х-> —оо.

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М =
= (х, /(х)) —точка графика

точки на ось Ох, АВ—
асимптота (14.9), 9 — угол
между асимптотой и положи-
тельным направлением оси
Ох, 0 =# ~, МР — перпенди-
куляр, опущенный из точки
М на асимптоту АВ, Q —
точка пересечения прямой
ММ0 с асимптотой АВ (рис.

54). Тогда MM0 = f(x), QM0~
=---- kx + I, MQ = MM0 - QM0=
= f(x) - (/ex + I), MP =
= MQ cos 9. Таким образом,

функции /, Мо — проекция этой

МР отличается от MQ лишь на

не равный нулю множитель cos 9, поэтому условия Л-IQ—>-0 и
Л1Р->0 при х-> + оо (соответственно при х-> —со) эквивалентны,
т. е. если lim A4Q = 0, то и lim Л4Р = 0, и наоборот.

X —* СО	X + со

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как
прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е. отре-
зок МР, стремится к нулю, когда точка М = (х, f (х)) «стремится,
оставаясь на графике, в бесконечность» (при х->ф-оо или, соот-
ветственно, х->—со).

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты (14.9), т. е.
способ определения коэффициентов k и I в уравнении (14.9).
Будем рассматривать для определенности лишь случай х->Ц-оо
(при х-> —со рассуждения проводятся аналогично). Пусть гра-
фик функции f имеет асимптоту (14.9) при х^-ф-оо. Тогда, по

определению,

f (х) =kx-\- /ф-о (1).

(14.10)

Разделим обе части равенства (14.10) на х и перейдем к пре-
делу при хсо. Тогда

lim ^- = k.	(14.11)
Используя найденное значение k, получим из (14.10) для
определения I формулу

1= lim (f(x) — kx).	(14.12)

X00

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие
числа k и I, что выполняется условие (14.12), то прямая y = kx-{-l
является асимптотой графика функции f (х). В самом деле, из
(14.12) имеем

lim [/ (х) — (kx + Z)] = О,

*-»+ со

т. е. прямая y = kx-\-l действительно удовлетворяет определению

Рис. 55

асимптоты, иначе говоря, выполняет-
ся условие (14.10).

Таким образом, формулы (14.11)
и (14.12) сводят задачу отыскания
асимптот (14.9) к вычислению пре-
делов определенного вида. Более
того, мы показали, что если сущест-
вует представление функции / в ви-
де (14.10), то k и I выражаются по
формулам (14.11) и (14.12). Следо-
вательно, если существует представ-
ление (14.10), то оно единственно.

Найдем по этому правилу асимп-
тоту графика функции f (х) = х 2 , найденную нами выше
другим способом:

k= lim — lim

X —► ОО Х	X -► оо

х2 —Зх-2
х (х-|-1)

1= lim

X <х>

/ х2 — Зх—2

\ *+1

\	, 	— 4х — 2

X = 11Ш   —:—
/ х^оо *+1

- 4,

т. е. мы, как и следовало ожидать, получили то же уравнение
асимптоты г/ = х — 4, как при х^-ф-оо, так и при х-> —оо.

В виде (14.9) может быть записано уравнение любой прямой,
непараллельной оси Оу. Естественно распространить определение
асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу.

Определение 8. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0 (быть может, односторонней) и пусть
выполнено хотя бы одно из условий

lim /(х) = оо, или lim /(х) = оо. (14.13)
х ->• Хо — О	X х0 + О

Тогда прямая х = х0 (рис. 55) называется вертикальной асимпто-
той графика функции f (в отличие от асимптоты вида (14.9),
которая называется также наклонной).
В случае вертикальной асимптоты, как и в случае наклонной,
расстояние МР=^х — х0 между точкой М и прямой х = х0 стре-
мится к нулю, если точка М (х, f (х)) стремится вдоль графика
в бесконечность, т. е. когда х->х0 —О или х->хо-|-0.

Чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции f,
надо найти такие значения х, для которых выполняется одно
или оба условия (14.13). Например, функция у=	имеет

Р (х)
вертикальную асимптоту х = — 1. Вообще если / (х) =	— рацио-

нальная функция ((Р (х) и Q (х) — многочлены), Q (х0) = О, Р (х0) О,
то прямая х = х0 является асимптотой графика функции /'(х).

14.5.	ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью
развитого нами аналитического аппарата целесообразно проводить
в следующем порядке.

1.	Определить область существования функции, область непре-
рывности и точки разрыва.

2.	Найти асимптоты.

3.	Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.

4.	Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную
(без производных более высокого порядка часто удается обойтись).

5.	Найти точки, в которых первая и вторая производные либо
не существуют, либо равны нулю.

6.	Составить таблицу изменения знака первой и второй про-
изводных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпук-
лости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том
числе концевые) и точки перегиба.

7.	Окончательно вычертить график.

При этом чем большую точность графика мы хотим достигнуть,
тем больше, вообще говоря, необходимо найти точек, лежащих
на нем. Обычно целесообразно найти (быть может, с определенной
точностью) точки пересечения графика с осями координат и точки,
соответствующие экстремумам функции; другие точки находятся
по мере потребности.

В случае очень громоздких выражений для второй производ-
ной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств
графика, которые можно изучать лишь с помощью первой произ-
водной.

Пример 1. Построим график функции f(x) =——.

Эта функция определена и непрерывна для всех хф— 1. Она,
как мы уже знаем (см. п. 14.4), имеет асимптоты у = х — 4 и
х ——1, причем lim /(х) = 4-оо, lim /(х) = — со. Было

—о	х-*— i-t-o
2

отмечено также, что / (х) = х — 4 -}--_рр поэтому /(х)>х —4 при
х> —1 (график функции находится выше асимптоты) и/(х)<
<х —4 при х<—1 (график
лежит ниже асимптоты).

График функции f (х) пере-
секает ось Ох в точках, в ко-

Рис. 56

торых х2 —Зх —2 = 0, т. е. при
Х1,а-2 = (3 ±]/17)/2 или при-
близительно в точках х1 = 3,5,
х2 =— 0,5. Ось Оу график пе-
ресекает в точке у = — 2. Это
позволяет нарисовать график
функции f (х) в виде, указан-
ном на рис. 56.

Дальнейшее исследование
имеет своей целью нахождение
экстремумов точек переги-
ба и интервалов, выпуклости
вверх или вниз графика функ-
ции. Для этого найдем у' и у":

, _ х2 + 2х—1

У ~ (х-Ы)2 ’

4

У " (х+ 1)'J 

Отсюда видно, что у' = 0 при х = — 1 — ]/2	— 2,4 и х — — 1 ф-

ф- р 2 ?= 0,4. В точке х = — 1 производные у' и у" не существуют.

Составим таблицу изменения знака первой и второй произ-
водных в зависимости от изменения аргумента, включив в нее
критические точки:

X		-1-/2		— 1		-1+/2	
у'	+	0	—	Не существует	—	0	+
У"	—	—	—	Не существует	+	+	+

Из этой таблицы видно, что функция f (х) имеет в точке х =
= —1ф-]/2 строгий минимум, а в точке х =—1 — ]/2 — строгий
максимум; при х< — 1 функция строго выпукла вверх, а при
х>—1—строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при
х = — 1 функция разрывна.

Мы нашли общий характер поведения функции. Чтобы по-
строить график более точно, надо найти ряд точек графика, как
это отмечалось выше.
В дальнейшем для краткости таблицы, подобные табл. 1, будем
называть таблицами поведения функций и иногда сразу отмечать
в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы выпуклости.

Пример 2. Построим график функции f (х) = (х + I)3 j/x2.

Область определения этой функции — множество всех действи-
тельных чисел, причем она непрерывна в каждой точке и потому
не имеет вертикальных асимптот. Из того, что

следует, что нет и наклонных асимптот.

Для построения графика вчерне заметим, что

1)	f(x) обращается в ноль в точках х =—1 и х = 0;

2)	/>0 при х> —1, х=^0;

3)	/<0 при х<— 1;

4)	lim /(х) = -(-оо и lim f (х) — — со.

Приблизительный вид графика функции, который можно нари-
совать на основании этих замечаний, изображен на рис. 57.

Проведем теперь более подробное исследование функции с по-
мощью производных. Найдем у' и у":

, = (X+D41U+2)	„ = 2(x+l)(44^+16v-l) _

3 у х ’	9х I х

Отсюда видно, что у' = 0 при х =—1 и х =— 2/11; у" = О
при х —— 1, а также когда 44х2+16х—1 = 0, т. е. приблизи-
тельно при Xi = — 9/22 и х2=1/22. При х = 0 производные у' и
У не существуют.

Составляем таблицу поведения функции — см. с. 242.

Теперь график функции у = (х + 1)® jZx3 можно нарисовать
более точно. Его вид изображен на рис. 58. Как видно, с по-
мощью исследования производных мы существенно уточнили вид
графика (ср. с рис. 57}.
Развитый аппарат позволяет строить и графики функций,
локально заданных параметрически: x = x(t), y=y(t). Здесь не
предполагается, что пара функций x = x(t), y = y(t) определяет
однозначно одну функцию вида у = у(х) или х = х(у). Под гра-
фиком параметрически заданной функции подразумевается объеди-
нение графиков всех функций вида y = f(x) и x = g(y), задавае-
мых формулами x = x(t), y=y(t).

Сделаем несколько предварительных замечаний. Для нахож-
дения асимптот, параллельных оси Оу, необходимо найти такие
значения tQ *>, для которых существует конечный предел
lim x(t) = a или lim x(t) = a, a lim y(t), соответственно
/-fo + 0	t-+to-0	t-^h + O

lim y(f), равен + oo или —co.

*' Здесь и в дальнейшем — число или одна из бесконечностей -|-оо,
— со,
Если такие значения t0 существуют, то



(14.14)

будет уравнением искомой асимптоты.

Аналогично нахождение асимптот, параллельных оси Ох, сво-
дится к определению таких значений /0, для которых существует
конечный предел lim y(t) — b или lim y(t) = b, a lim x(i),
t—>/q0	— О-	t—>/qо

соответственно lim x(t), равен 4-схз или — оо. Если окажется,
t-tn—o
что такие значения t0 существуют, то

у = Ь	(14.15)

является уравнением искомой асимптоты.

Наконец, для нахождения асимптот, не параллельных ни
оси Ох, ни оси Оу, надо найти такие значения t0, для которых
пределы lim x(i) и lim y(t) (или lim x(t) и lim y(/))
t —* if) -J- 0	t —*• to -j- 0	t —> if) — 0	t —► if) — 0

равны 4-oo или — оо и существует конечный предел lim ^-77 =
/-и<>+оЛ' )
== k Ф 0 (соответственно lim = k\ Если для этого значения,
кроме того, существует конечный предел lim [у (t) — kx (/)] = I
t „ + о
/соответственно lim [у (/) — kx (/)] = 1\, то прямая
k	t-^-o	)

y = kx + l	(14.16)

является асимптотой графика рассматриваемой функции.

Здесь везде t0 может быть как конечным, так и бесконечным.

Упражнение 5. Вывести уравнения асимптот (14.14), (14.15) и (14.16),
исходя из того, что асимптотой называется прямая, расстояние до которой от
точки (х (/), у (/)) графика функции, заданной параметрически: х = х(/), у =
= y(t) стремится к нулю, когда точка стремится, оставаясь на графике функ-
ции, в бесконечность, т. е. когда /л2 (/)-j-у2 (Qпри t ->-10-j-0 или

При предварительном вычерчивании графика функции, задан-
ной параметрически, часто бывает полезно построить сначала
в отдельности графики функций x = x(t) и y = y(t).

Для определения промежутков возрастания и убывания функ-
ции, заданной параметрически, нахождения ее экстремумов, точек
перегиба, а также интервалов выпуклости вверх и вниз надо
использовать выражения для производных ухх и ухх через произ-
водные x't, y't, x'tt и -ytt. При этом следует иметь в виду, что
уравнения х = х(/), у = //(() вообще говоря, не определяют одно-
значно функцию вида у = у(х), так что при исследовании гра-
фика функции надо все время внимательно следить за тем, какая
«ветвь» графика рассматривается. Иногда полезнее рассматривать,
наоборот, х как функцию от у.
Пример 3. Построим график функции

/2 + 1	t

Х~ 4(1—/)’ У 1+Г

(14-17)

Параметрическое представление имеет смысл для всех t, кроме

из-

t = ± 1. Асимптоты,

менения t; в
ные значения
таблица.

раллельные оси Ох, полу-
чаются при ( = 1 и t =
= ±оо; их уравнения со-
ответственно у= 1/2 и у —
= 1. Асимптота, парал-
лельная оси Оу, получа-
ется при t — —1; ее урав-
нение х = 1/4. Наклонных
асимптот в данном случае
нет.

Для построения гра-
фика вчерне полезно со-
ставить таблицу измене-
ния знаков переменных х
и у в зависимости от из-

нее могут быть включены и некоторые характер-
х и у. Так, в данном случае полезна следующая

t	— со		— 1		0		1		4-00
X	4-00	+	1/4	4-	1/4	+	ОО	—	— со
У	1	+	СО	—	0	4-	1/2	+	1

Теперь строим график (рис. 59). Для наглядности на графике
указано, как ветви графика соответствуют изменению параметра.

Далее,
,	l-f-2/—/2	_	1

х*~ 4(1—О» ’ ^~(14-/)2’

поэтому
, _ (1 4-/)2 (1-|-2/—/2)	(1418)

Ху— 4(1—/)2	•	V

В данном случае лучше рассматривать х как функцию от у,
а не наоборот, так как из нарисованного графика видно, что
естественно ожидать, что х определяется однозначно как функ-
ция от у, у=/?=]у2 и у ф 1.
Из (14.18) видно, что У = 0 при t = — 1 и когда 1+2/ — /2 =
= 0, т. е. при /= 1 +р'2 и / = 1 — |+2. Значению / = —1 не
соответствует никакая точка графика, а при t = 1 + ]/2 и / =
= 1 — ]/2 имеем соответственно

. J+/2	/2

J 2+И2	2

1-/2

и и =---—

2 —р 2

V 2

2

Составим теперь таблицу
эта таблица позволяет найти



изменения знака производной
и точки экстремума.

t	— СО		— 1		1-/ 2		1		1+/2		+ со
У	1		со		— /2/2		1/2		/2/2		1
Ху		—	0	—	0	+		+	0		
Экстремумы					Мини- мум				Макси- мум		

Из таблицы видно, что в точке у = ]/2/2 функция х = х(у)
имеет максимум, в точке у = — /2/2 — минимум и строго моно-
тонна на интервалах

2’

'1 /2\ У2 /

Следует обратить внимание па то, что, взяв у за независимую
переменную, х —за зависимую, т. е. взяв ось Оу за первую
координатную ось, а Ох —за вторую, мы получили систему коор-
динат, ориентированную противоположно рассматриваемой нами
все время системе координат, у которой первой осью является
Ох, а второй —Оу. Читателю полезно убедиться, что доказанные
нами выше критерии, например, для наличия экстремумов и
точек перегиба геометрически не связаны с той или иной ориен-
тацией осей координат.

Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у)
найдем ХуУ:

_(1+/)3(3 + 3/-ЗГ-+/з)
хуу — \луН 1у —	2 (1 — t)3	•

Производная хУ1/ равна нулю при / = — 1 и для тех /, для кото-
рых

Р(/) = 3 + 3/-3/2 + /3 = 0.

Замечая, что Р' (/) = 3 (/ — I)25s0, причем Р’ = 0 только
в одной точке / = 1, видим, что Р (/) строго монотонно возрастает
на всей вещественной оси (почему?). Следовательно, существует
единственное t0 такое, что P(to) = O. При этом /5(0) = 3>0,
а Р (—1) = — 4<0, откуда — 1<Ь<0. Если	то,

очевидно, — оо <//0< 0 (можно, конечно, получить и более точ-
ную оценку для уй, выбирая более близкие и /2, такие, что
Р (/х)< 0, /5(Ь)>0)- Составим теперь таблицу изменения про-
изводной х’уу и определим с ее помощью интервалы выпуклости
вверх и вниз, а также точки перегиба:

/	— со	( — СО, -1)	-1	(— 1, W	^0	Уо, 1)	1	(1.  4-со)	4-00
У	1	(1.  + =о)	со	(	 0°,  //о)	Уо	(</0,1/2)	1/2	(1/2, 1)	1
!Г  Ху		+		—	0	+	Не су- щест- вует	—'	
Интервалы выпуклости		Выпук- лость вниз		Выпук- лость вверх		Выпук- лость вниз		Выпук- лость вверх	
Точки пере- гиба и точ- ки разрыва	Точка раз- рыва				Точка пере- гиба		Точка раз- рыва		Точка раз- рыва

График функции (14.17) исследован.

Пример 4. Построим график функции

__ t	Р

х~ i+/3’ и— 14-/3-

(14.19)

Асимптот, параллельных осям координат, в данном случае
нет; так как х->оо и //->оо при t-i—1, то, возможно, суще-
ствует наклонная асимптота. Для ее нахождения вычислим соот-
ветствующие пределы:

lim — = lim t ——1, т. е. й = —1,
ДТ t (y-kx) = Дт1	= ^lim >

Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что
ее уравнение будет

у —— х— 1/3.

Построим приблизительно графики функций x(t) и у (У); для
этого предварительно найдем производные:

,	1—2^з	, /(2-/з)

xt (j _j_/3)2> У* (i-j./sja1	(14.20)
Производная x't обращается в ноль при / = 1/^2, меняя знак
с « + » на « —», поэтому это точка максимума; производная y't
обращается в ноль при £ = 0, меняя знак с « —» на « + » (зна-
чит, это.точка минимума) и при t = 1/^2, меняя знак с « + » на
« —» (следовательно, это также точка максимума). Пз этих заме-
чаний следует, что графики функций x(t) и y(t) имеют вид,
изображенный на рис. 60.

По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти
приблизительно график искомой функции (14.19). Он имеет вид,
изображенный на рис. 61.

Исследование производной ух позволит уточнить размеры
«петли», образуемой графиком. Из (14.20) имеем у'х — уТбУ•

Теперь видим, что: 1) Ух = 0 при ( = 0
и (=|Z2, т. е. касательная к графику
параллельна оси Ох в точках (0; 0) и
(^2/3; ^4/3); 2)	= ээ при t = ^

и t = co, т. е. касательная параллель- ___

на оси Оу в точках (^4/3; ^2/3)
и (0; 0). Таким образом, точке (0; 0)
(являющейся, как говорят, точкой
самопересечения графика) соответ-
ствуют два значения параметра t = 0 и
t — сс, если только доопределить функ-
ции (14.19), положив х(оо) = 0, у(оо) = 0.
части графика имеют соответственно своими

В этой точке две
касательными коор-

динатные оси.

График функции (14.19) называется декартовым*'! листом.
Из формул (14.19) нетрудно получить его неявное задание

х3 + у3 — ху — 0.

*’ Р. Декарт (1596—1650)—французский философ, математик, физик,
физиолог.
	Упражнения.	Построить графики следующих функций:
6.		11. у = х2 G —1- sin — .  а	\	4	X.)
7.	// = v/(x+l)2-E(.	х— I)2.	12. x=2t-it, y = '8t — t3.
8.  9.	у = sin3 х + cos3 х.  у = %2 In х.	13. x = if —еД y = 2i—e2i, 14 x /2+1 и *
		141 X~	y-/4+l'
10.	х2 И х- - 1	15. y3 — x'2y2— x3 = 0. Указание: выра-
	У~ 2х2—1 1	зить x и у через параметр t, полагая y=tx.
		

§ 15.	ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ

15.1.	ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ

ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Определение 1. Если каждому значению t^E, где Е — некото-
рое множество чисел, соответствует определенный вектор г = г (/)
трехмерного пространства, то будем говорить, что на Е опре-
делена вектор-функция, или, что то же, векторная функция r(t).

В этом определении в зависимости от рассматриваемых задач,
под значениями г(() можно понимать как свободные векторы,
так и векторы с закрепленными в одной и той же точке началами
(так называемые радиус-векторы).

Если в пространстве задана прямоугольная система координат,
то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упоря-
доченная тройка действительных чисел —его координат, и наобо-
рот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор,
для которого числа, входящие в эту тройку, являются его коор-
динатами. Поэтому задание вектор-функнии эквивалентно заданию
трех скалярных (числовых) функций x(t), y(t), z(t), являющихся
его координатами:

г(0 = (х(0, у (t), z(t)).

Если при всех t^E имеем z (0 = 0, то вектор-функция r(f)
называется двумерной; в этом случае пишется

r(0 = (x(0, y(t'))-

Длина всякого вектора р обозначается через |р|. Будем пред-
полагать известными основные алгебраические свойства векторов,
понятие скалярного и векторного произведений, а также свойства
этих произведений. Скалярное произведение векторов а и b обо-
значается через ab или (а, Ь), а векторное через axb или [а, &].

Введем понятие предела, непрерывности, производной и диф-
ференциала для векторных функций.

Определение 2. Пусть вектор-функция r(t) определена в неко-
торой проколотой окрестности точки t0 и а — некоторый вектор.
Будем называть вектор а пределом функции r(f) при t^-tn и
писать a = \imr(t) (или r(t)->a при t-+t0), если для любого
i—*to

е>0 существует такое б = 6(е)>0, что для всех t, удовлетво-
ряющих условию 11 —10 j < 6, t^to, выполняется неравенство
(рис. 62) \r(t) — a\<&.

Очевидно (ср. с леммой п. 4.9), что

lim r(t) = a,

(15.1)

тогда и только тогда, когда

lim j г (t) — а | = 0.

(15.2)

Если г (/) = (%(/), y(t), z(t)) и а — (аъ а2, а3), то для того,

чтобы а — lim г (t), необходимо и доста-
t-t,

точно, чтобы

lim х (t) = au Vimy(t) = a2, Vimz(t) = a3.

t-*ta	t -> i о	t -ft 0

(15.3)

В самом деле,

г (0 - а 1 =________________________________

= /[% (t) - oj]2 + [у (I) - а2]2 + [г (i) - a;j]2.

(15.4)

Рис. 62

Поэтому | r (t) — a\ Ss ’tx (t) — L Отсюда
следует, что условие \r(t) — при
t-+t0 влечет за собой условие | х (/) — ах|

->0 при	т. е.

limx(0 = «i- Аналогично доказываются другие равенства (15.3).

/-* t0

Наоборот, если выполнено (15.3), то из (15.4) сразу получаем,
что \r(t)~aj->0 при t-+tQ, т. е. a=lim r(t).

t-+to

Отметим некоторые свойства пределов векторных функций.

1°. Если lim г (t) = a, то lim | r(t) | — ja|. Это непосредственно
t —* ^0	t —> to

следует из неравенства ||г| — | а 11	| г — а\.

2°. lim [rx (t) + г2 (0]== 1™ ''1(0 + l‘m МО-
t —► to	t —* О	6)

3°. lim f (t)г (t) — lim f(t) lim r (t) (/(?) — скалярная функция).
t —* to	, t —* to	t —> to

4°. lim i\(t)r2(t) = lim t\(t) lim r2(0-

t—^io	t—>to	t—*to

5°. lim ri(/)Xr2(0= lim i\(t)X, lim r2(t).
t -*io	t —* to	t tp

В свойствах 2°—5° все рассматриваемые функции определены
в некоторой окрестности точки /0, кроме, быть может, самой точки f0,
и предполагается, что все пределы, входящие в правые части
равенств, существуют; тогда утверждается, что существуют и пре-
делы, стоящие в левых частях, причем справедливы написанные
равенства.

Все эти свойства доказываются аналогично тому, как мы дока-
зывали подобные утверждения, встречавшиеся нам раньше (см.
п. 3.9, 4.7). Докажем, например, свойство 5°. Предварительно
заметим, что для любых векторов р и q

\pxq\=\p\\q\sinpq^\p\\q\.	(15.5)

Поэтому, если р —р (t), q — q (t), причем lim |p (/) | = 0, a 1^(01 —
ограниченная функция, то из (15.5) имеем (см. п. 4.9)

lim \р Xq j = 0.	(15.6)

Пусть теперь ПгпгД^ — а, lim г2 (f) — b. Положим a(f) =
to	t —* Zq

= ri (t) —	(i) = r2 (0 — b', тогда согласно (15.2),

lim |a(Z) | = lim |P (/) | = 0	(15.7)

Z-Z»	Z->Z0

и

ri (/) X r2 (/) = [a + a (/)] x [b + p (/)] =

= a X b + a x P (0 + a (t) X b + a (t) x P (/),

где, в силу (15.7), lim |«xp (/) | = lim | a (f)Xb\ = lim |a(/)xp(/) |=
Z—>Z0	Z-» Zo	t-^to

=0. Так как

|axp(0 + a(0xZ> + a(0|xP(0|^

-C | a X p (t) 14-1 a (t) x b | +1 a (t) x p (/) [,

то и lim | axp (/)+«(t)xb-\-a (/)xp (/) |=0. А это, согласно (15.2),
/ —* /о

и означает, что

lim ry (/)xr2(/) = axb. □

I to

Отметим, что свойства 1°—5° пределов вектор-функций могут,
конечно, быть получены с помощью формул (15.3) из соответст-
вующих свойств скалярных функций, если перейти к координат-
ной записи векторов и их скалярных и векторных произведений.

Перейдем к определению непрерывности вектор-функции.

Определение 3. Вектор-функция r = r(i), определенная в неко-
торой окрестности точки t0, называется непрерывной в t0, если
lim r(t) = r(to).

Z-Zo

Из эквивалентности условий (15.1) и (15.3) следует, что для
того чтобы вектор-функция г (/) = (%(/), y(t), определенная
в некоторой окрестности точки t0, была непрерывной в этой точке,
необходимо и достаточно, чтобы при t = t0 были непрерывными
функции x(t), y(f), z(t).
Из свойств пределов векторных функций следует, что сумма,
скалярное и векторное произведения векторных функций,
а также произведение скалярных функций на векторные
будут непрерывными в некоторой точке, если в этой точке непре-
рывны все слагаемые, соответственно — сомножители.

15.2.	ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Определение 4. Пусть вектор-функция r — r(t) определена
в некоторой окрестности точки 10. Если существует предел

lim r (fo + A/)-r (Q
д/-»о	’

то он называется производной данной вектор-функции в t0 и обо-
значается через г'(t0) или r(t0).

Таким образом, производная вектор-функция в точке есть вектор.

Для того чтобы функция г (t) = (x(t), y(t), z(t)), определен-
ная в некоторой окрестности точки t0, имела производную в t0,
необходимо и достаточно, чтобы функции x(t), y(t) и z(t) имели
производные при t = t0, причем в этом случае

г' (to) = (х' (to), у’(to), г'(to)), \r'(to)\ = Vx'2 (to) + y,s(to) + z'2 (to).

Это непосредственно следует из эквивалентности двух подходов
(15.1) и (15.3) к определению предела для вектор-функции:

lim

г (/0 +Др-/•(/„)
Д/

( lim
\дг->о

xfa + AQ —хЦ„)
Д/

lim У (7ТД-) У (to)
д7™

lim
дг-.о

г (4~Ь ДО г (to)
М

Д/-^0

Определение 5. Вектор-функция r = r(t), определенная в неко-
торой окрестности точки t0, называется дифференцируемой при
t = t0, если ее приращение Д/* = /*(0 + А0 — г (to) в точке t0 пред-
ставимо в виде

\г = akt + в (Д/) ДО

(15.8)

где lim е(AZ) = 0. При этом линейная вектор-функция*) a\t
д/ —о

называется дифференциалом функции г (t) в точке t0 и обозначается
через dr—aAt:

Дг = Фг4-Е(Д0 ДА	(15.9)

*> Вектор-функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид
at-^-b, где а и Ь — какие-либо два фиксированных вектора.
Очевидно, что если вектор-функция дифференцируема при
i = i0, то она и непрерывна в этой точке.

Как и в случае скалярных функций, из дифференцируемости
функции следует существование производной г' (i) и равенство
ее вектору а. В самом деле, из (15.8) имеем

lim — = lim [a4-s(Ai)] = a.
ы — о Л'	д< — о

Наоборот, если существует производная r'(/0) = lim -Л-7, то, пола-
дь о

гая е(Д/) = у—г'(/0), получаем Д/* = /*' (i0) Ai-]-e(Ai) Ai, где
lim е(Д/) = 0. Значит, r(t) дифференцируема в точке i0 и

А/ ^0

dr = r' (t0) АЛ

Положим для независимой переменной t, по определению,
d/ = AZ; тогда (опуская обозначение аргумента /0)

dr — r'dt, г' — ~.
dt

Подставляя полученное выражение для dr в (15.9), получим

&г = г' Ai -ф- е (Ai) Ai,
или

Ar = r'Ai4-a (Ai),.	(15.10)

где a (Ai) = е (Ai) А/= о (Ai) при Af-j-O*’ и а(0) = 0.

Пусть теперь i = i(r). Если эта функция дифференцируема
в точке т0, i0 = i(T0) и Дт = т —т0, то из (15.10) (обозначая для
ясности г' через Г/), следует, что

Ar _ Ai . a (At)

Ат 1' Ат Ат

Так как Ai->0 при Ат—>-0, то, как и в случае числовой функ-
ции (см. п. 9.7), положив е(0) = 0, получим

lim ijm e(Ai)~ = 0.

дт—о Дт д/_0 Ат

поэтому производная r'x~ lim ~ существует иК = /)ф Отсюда,
д/-> о Лт

как и в случае скалярных функций, вытекает инвариантность
записи дифференциала вектор-функции; как для зависимой пере-
менной i, так и для независимой переменной т имеем

dr = r’t dt, dr = rxdr.

* По аналогии со случаем скалярных функций, дли вектор-функции a (t)
пишется а = о(Р) при t->/0, если a(t) = e (t) Р (t), где lim е(/) = 0.
Приведем формулы дифференцирования вектор-функции (аргу-
мент для простоты обозначений опущен):

1-	(Г1 + г2)'=г; + ^.

2.	(fr) = fr + fr'.

3.	(Г1Г2)' ^г^г + ПГз-

4.	(ЛХГг)'= ^1ХГ2 + ^1ХГ.2.

Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой
окрестности точки /0 и предполагается, что все производные,
стоящие в правой части каждого равенства, существуют при t—t0\
тогда в точке /0 существуют и производные, стоящие в левой
части, причем справедливы написанные равенства.

Все эти формулы доказываются аналогично формулам диффе-
ренцирования скалярных функций (см. п. 9.5). Докажем, напри-
мер, формулу 4.

Использовав свойства 1°—5° пределов вектор-функций, получим:

[Л(Охг2(О];=/о= lim	=

= 1 im ГM/o+AO-M/c,) х Гг цо +	+ Г1 (/о) хМ./о + А/) -г2 (Ш =

д/^oL	ы ]

= Г1 (/о) X Г2. (t0) -J-/*! (t0) X Г-2 (t9).

Если вектор-функция r(t) — (х (/), у (/), г (/)) определена в неко-
торой окрестности точки t0 и имеет п производных в этой точке,
то для нее справедлива формула Тейлора

п

Ar = г (?0 +ДО-/*(/») = 2	+

k = 1

Она непосредственно следует из разложения по формуле Тейлора
координатных функций x(t), y(t) и г(/).

Мы видим, что многие факты, установленные в теории ска-
лярных функций,дословно переносятся на вектор-функции. Однако
было бы ошибкой думать, что это всегда так: например, в опре-
деленном смысле аналог формулы конечных приращений не имеет
места для вектор-функций.

Действительно, рассмотрим двумерную вектор-функцию г(/)=
=(cos/, sin/), 0=С/<:2л. Поскольку г'(0 = (—sin/, cos О, то
]/*' (0 | = ]/~sir?1 + cos21 = 1 при любом t е [0, 2л]. Следовательно,
не существует такой точки £ е [0, 2л], для которой было бы
справедливо равенство, аналогичное формуле конечных прираще-
ний Лагранжа для скалярных функций,

г (2л) — г (0) = 2лг' (|),

так как слева стоит нулевой вектор, ибо г (2л) = г (0), а справа —
не нулевой.
Некоторой заменой формулы конечных приращений для вектор-
функций является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть вектор-функция г (/) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и дифференцируема внутри него. Тогда существует такая
точка ? е (а, Ь), что

| г (Ь) - г (а) | =< (Ь - а) | г' (?) |.	(15.11)

Доказательство. Если г (а) = г (Ь), то неравенство (15.11)
справедливо при любом выборе точки ? е (а, Ь), ибо его левая
часть обращается в ноль.

Пусть г(а)=£г (Ь). Оценим длину | г (b) — г (а) । вектора г (Ь) —
г(а)=^0. Если задан какой-либо вектор х, то обозначая через е
единичный вектор в направлении вектора х, получим |х|=(х, е),
ибо согласно определению скалярного произведения (х, е) —
= |х 11 е | cos хе, |е|==1, хе = 0, и, следовательно, cos хе = 1.
Поэтому, если е — единичный вектор в направлении вектора г (&) —
— г(а)у=0, то

\r(b) — г (a) | = (/-(&) — г (а), е) = (г(Ь), е) — (г(а), е),
т. е. получилась разность значений числовой функции

Н0 = (г(П, е)	(15.12)

на концах отрезка [а, Ь]:

\r(b)—r(a)\ = f(b) — f(a).	(15.13)

Из (15.12) следует, что функция f (I) непрерывна на отрезке
[а, &] и дифференцируема во всех его внутренних точках, ибо
согласно условиям теоремы этими свойствами обладает функция
r(t). Поэтому, в силу формулы конечных приращений Лагранжа,
существует такая точка ? е (а, Ь), что /(&) —/(а) =/'(?)(& —а).
Но согласно правилу дифференцирования скалярного произведе-
ния имеем

/'(0 = (г'(0, е),
вследствие чего

f(b)-f («) = (r'(g), e)(b — a), a<l<b. (15.14)

Для любых же двух векторов х и у из определения скаляр-
ного произведения следует неравенство

|(х, _у)| = |X||JIIcos^»|^1х||_у|;

в частности

|(r'(?), e) | ^ | г'(?) 11 e | = | г'(?) |.

Следовательно, из (15.14) получаем:

f(b)-f(a)^\r' (?)|(&-а), а<Л<Ь.

Из этого неравенства и формулы (15.13) сразу следует нера-
венство (15.11). □
§ 16.	ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

16.1.	ПОНЯТИЕ КРИВОЙ

Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное простран-
ство 7?3. Пусть [а, Ь] — некоторый отрезок, ar(t) — его отображе-
ние в R3, т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой
точке ге[а, й] точку г (t) пространства/?3, короче, г: [а, Ь]->7?3.

Будем считать, что в пространстве 7?3 фиксирована система
координат. В этом случае задание точки пространства равносильно
заданию трех ее координат. Обозначим координаты точки г (/)
через x(t), y(f), z(t):

r(t) = (x(t), y(t),

Тогда задание отображения r (/) оказывается равносильным зада-
нию трех числовых функций х (t), у (t), z (t), называемых коорди-
натными функциями отображения r(t).

Отображение r(t) называется непрерывным на отрезке [а, Ь],
если на этом отрезке непрерывны все его координатные функции.

Для отображения r(t) будем обозначать через r(t) вектор-
функцию, у которой координаты вектора r(t) совпадают с коор-
динатами точки г(/), т. е. r(t) = (x(f), y(f), z(t)), и будем назы-
вать отображение г (t) и вектор-функцию r(t) соответствующими
ДРУГ ДРУГУ-

Очевидно, что отображение r(t), as^ts^b, непрерывно на
отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда на этом отрезке не-
прерывна соответствующая ему вектор-функция r(t). Действи-
тельно, мы знаем, что вектор-функция непрерывна на отрезке
в том и только том случае, когда на нем непрерывны все ее
координаты (см. п. 15.1), что по определению является условием
непрерывности отображения г (t) на отрезке.

Теперь можно сформулировать определение кривой.

Множество Г пространства, заданное как непрерывный образ
некоторого отрезка называется непрерывной кривой или просто
кривой.

Указанное непрерывное отображение, обозначим его снова
через r(t), as^ts^b, отрезка [а, Ь] на множество Г с/?3 назы-
вается представлением кривой Г и пишется

Г = {r(I), а^Л-<,Ь}.

Переменная t называется параметром кривой Г.

Таким образом, кривая есть не просто множество простран-
ства, а множество, рассматриваемое как результат некоторого
непрерывного отображения отрезка. Иначе говоря, кривая —это

*’ Непрерывным образом отрезка называется образ отрезка при непрерыв-
ном отображении последнего.
множество пространства плюс непрерывное отображение на него
отрезка.

Поэтому одно и то же множество, полученное как образ двух
разных непрерывных отображений отрезков, рассматривается как
различные кривые.

Отметим, что непрерывное отображение г (t), axcj-xzb, являю-
щееся представлением кривой Г, не предполагается взаимно
однозначным: в одну и ту же точку кривой Г могут отобразиться
две или больше точек отрезка [а, &].

Точки кривой Г = {г(/); а'РД--рЬ}, в которые отображается
более чем одна точка отрезка [a, &J, называются точками само-
пересечения, или кратными точками этой кривой.

Таким образом, если точка М непрерывной кривой Г является
кратной точкой последней, то при заданном представлении rtf},
a-upt-upb, этой кривой Г существуют по крайней мере два таких
различных значения и t2 параметра t, axzt^xtb, а--ДЛ2--дЬ,
что г (Z'x) = г (t2) = М.

Точка г (а) кривой Г = {/(/); a xpt-upb} называется ее началом,
а точка г (Ь) — ее концом.

Определение 1. Кривая! — {г (Z); a xpb\ называется замкну-
той кривой, или, что то же самое, замкнутым контуром, если
ее начало совпадает с ее концом: r(a) = r(b).

Замкнутая кривая, не имеющая точек самопересечения, кроме
точки г (а') = г (Ь), и такая, что г (t) г (а) = г (b) npua<.t<Zb,
называется простым замкнутым контуром.

Будем говорить, что точка М = г (/) кривой Г = {г (/); а ~z t Ь]
стремится к точке /Ий = г (t0) этой кривой, если JMMJ -> 0 при t t0.

Если кривая Г лежит в некоторой плоскости, то эта кривая
называется плоской. Если указанная плоскость выбрана за коор-
динатную плоскость хОу, то представление кривой имеет вид

у=х(0, У = г/(О. z = 0,

причем уравнение г = 0, если это не может привести к недора-
зумениям, обычно не пишется.

График непрерывной на некотором отрезке [а, Ь] функции
y=f(x) является плоской кривой в нашем смысле с представ-
лением

х—х, y — f(x), а-^х-дЬ

(в этом случае параметр t = x).

Отображение г (t), a-xzt-szb, задающее кривую Г, при фикси-
рованной в пространстве системе координат х, у, г можно зада-
вать также в координатном виде, т. е., задавая координаты
точки г Цу

гЦ) = (хЦ), уЦ), гЦ)).
В этом случае тройка функций x(t), y(t), z(t), a^'t^'b, назы-
вается координатным представлением кривой Г и пишется'.

Г = {х(0, y(t), z(ty, a^t^b}.

Отображение г (/) можно задать и соответствующей ему век-
тор-функцией г (t), a^i-:,b, где, как всегда, г (t) — радиус-вектор
с концом в точке г (t). *> В этом случае кривая Г = {г (Z); а=с t -ebb\
называется годографом вектор-функции r(t), а сама эта вектор-
функция г (t) — векторным представлением кривой Г и пишется

Г ={r(/); as^t^b}.

Примером кривой является окружность. Возьмем для опреде-
ленности окружность радиуса г с центром в начале координат.
Ее можно, например, представить как непрерывный образ отрез-
ка [0, 2л] с помощью функций

x = rcos/, г/ = г sin/, 0сА<2л.	(16.1)

Очевидно, окружность является простым замкнутым контуром.
Примером незамкнутой кривой является любая дуга окружности,
соответствующая, например, изменению параметра t на отрезке
[О, а], где Ос;а<2л.

Отметим, что множество точек кривой

x = rcos/, г/ = г sin/, 0-с^С4л	(16.2)

совпадает с множеством точек кривой (16.1): и в том и в другом
случае это окружность х2-1-у2 = г2 на плоскости х, у. Однако
получена она как результат разных отображений: при отображе-
нии (16.1), т. е. при изменении параметра t от 0 до 2л эта
окружность проходится один раз, а при отображении (16.2), т. е.
при изменении параметра t от 0 до 4л, она проходится дважды.
Поэтому (16.1) и (16.2) — разные кривые.

Аналогичным образом определяются специальные виды непре-
рывных кривых: (непрерывно) дифференцируемые, дважды (не-
прерывно) дифференцируемые и т. п. Определим, например,
непрерывно дифференцируемые кривые. Отображение г (t) =
= (x(f), y(t), z(t)) отрезка [a, ft] в пространство называется
непрерывно дифференцируемым, если все функции x(t), y\t), z(t)
непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, -&].

Кривая Г = {г(/), a-zt-^b} называется непрерывно дифферен-
цируемой, если ее представление г (i) непрерывно дифференцируемо
на отрезке [а, Ь].

Аналогично определяются дифференцируемые кривые, дважды
дифференцируемые, дважды непрерывно дифференцируемые и т. д.

*’ Если не оговорено что-либо другое, то всегда предполагается, что на-
чало радиус-вектора находится в начале координат.

9 Кудрявцев л. д. т. 1
Приведенное определение кривой имеет в своей основе физи-
ческое представление о траектории (пути) движущейся в простран-
стве материальной точки. Но на такой траектории можно выби-
рать различные параметры, например, время движения t, длину
пройденного пути s или что-либо еще. Поэтому условие, состоя-
щее в том, что две кривые с разными представлениями считаются
всегда различными, ле всегда удобно. Такое соглашение естест-
венно для кривых (16.1) и (16.2). Однако два представления
кривых

X = COS/, У — — Sin/, — Jtsg/=C0 И # = ]/ 1 — X2, —1 sCXeC 1,
естественно было бы считать представлением одной и той же
кривой: полуокружности х2 + #2 = 1, z/2s0.

Эти соображения приводят к мысли о проведении некоторого
уточнения понятия кривой: объединения некоторых различных
в смысле данного выше определения кривых в одну кривую.
Сделаем это.

Будем говорить, что кривые Г\ = {г(/), a^t^b} и Г2 =
={р (т), а<т Р} являются одной и той же кривой, если существует
непрерывная строго возрастающая функция т = <р(/), as^t^b,
Ф (а) = а, ср (&) = р или непрерывная строго убывающая функция
т = ф(/), a^t^b, ф(а) = р, ф(&) = а, такая, что для всех
/е[а, Ь] имеет место равенство г (/) = р(ф(/)).

В случае (непрерывно) дифференцируемых кривых предпола-
гается, что функция ф: [а, Ь]->[а, р] кроме того (непрерывно)
дифференцируема на [а, Ь] и имеет не обращающуюся в ноль
производную. Последнее условие обеспечивает (непрерывную) диф-
ференцируемость обратной функции ф-1.

Подобные преобразования параметра, т. е. такие, которые
приводят к той же кривой в смысле сделанного определения,
называются допустимыми преобразованиями параметра, а все
представления одной и той же кривой называются эквивалент-
ными между собой.

Более подрббно переход к другим представлениям данной
кривой будет рассмотрен в следующем пункте.

16.2*. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАННЫЕ КРИВЫЕ

Для построения строгой теории кривых, допускающих разные
представления, введем предварительно понятие эквивалентных
отображений отрезков в пространство.

Определение 2. Непрерывное отображение r(t) отрезка [а, Ь]
в пространство называется эквивалентным непрерывному отобра-
жению р(т) отрезка [а, Р] в то же пространство, если сущест-
вует такая непрерывная строго монотонная функция / = ф(т)
(возрастающая или убывающая), что она отображает отрезок
[а, р] на отрезок [а, и для каждого т е [а, Р] справедливо ра-
венство (рис. 63)

г(ф(т)) = р(т).

(16.3)

Функция <р(т) называется отображением, осуществляющим экви-
валентность отображений г (t) и р (т).

Если непрерывное отображение г (t), a-^t-^b, отрезка [а, &]
в пространство эквивалентно непрерывному отображению р(т),
«еСт-ср, отрезка [ос, Р] в пространство, то пишут г (t) р (т).

Легко убедиться, что всякое непрерывное отображение отрезка

в пространство эквивалентно самому себе: r(t)^r(t) (здесь
отображением, осуществляющим эквивалентность, является функ-

ция / = т, а = а=Ст=сР=Ь). Это свойство
называется свойством рефлексивности. Легко
проверяется также, что если r(/), a^t^b,
и р(т),	суть непрерывные отобра-

жения соответственно отрезков [а, £>] и [а, 0]
в пространство и если г (t) ~р(т), то и
р (т) ~ г (t) — свойство симметричности. Так
же легко убедиться, что если ri(^i),
r2(t2),	и r3(t3),

а3^-Л3^Ь3, являются непрерывными отображе-

Рис. 63

ниями соответственно отрезков [а1(	[а2, Ь2] и [а3, Ь3] в про-

странство, то из ri (tj) ~г2 (/2) и r2(l2)r3(t3) следует, что
ri (ti) r3 (t3) — свойство транзитивности.

Если в некотором множестве элементов введено понятие экви-

валентности, обладающее тремя указанными свойствами (рефлек-
сивностью, симметричностью и транзитивностью), то такое мно-

жество распадается на непересекающиеся классы эквивалентных
элементов (см. § 61). В нашем случае получаются непересекаю-
щиеся классы эквивалентных между собой непрерывных отобра-
жений отрезков.

Наконец, заметим, что, если r(f), a^t^b, и р(т), аеСтеС
sgР —эквивалентные непрерывные отображения отрезков в про-
странство, то образы отрезков [а, &] и [а, Р] в пространстве
соответственно при отображениях г (t) и р (т) совпадают. Это
сразу следует из условия (16.3).

Перейдем теперь к понятию кривой.

Определение 3. Всякое множество Г непрерывных эквивалент-
ных отображений г (t) отрезков [а, &] в пространство (см. опре-
деление 2) называется параметрически заданной кривой:

V = {r(t)-, as^trs^b}.

Каждое из указанных отображений называется представлением
этой кривой.

Вектор-функция r(t) (r(t) — радиус-вектор с концом в точке г(0)
называется по аналогии с п. 16.1 векторным представлением
параметрически заданной кривой Г:

Г = {/-(/); a^ts^b}.

Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то функции x(t), y(t), z(f),
a-cni^nb называются координатным представлением параметриче-
ски заданной кривой Г:

Г = {%(/), y(i), z(t); a-ent-епЬ} 

Очевидно, что параметрически заданная кривая однозначно
определяется каждым из своих представлений. Это позволяет (что
более удобно), например, в записи Г = {r(t); a^ntcnb} правую
часть равенства понимать не как совокупность всех представле-
ний кривой Г, а как некоторое вполне определенное ее представ-
ление r(t), acni^zb. Мы так и будем поступать в дальнейшем,
причем не только в указанном случае, но и в случаях как век-
торных, так и координатных представлений.

Пример. В силу нашего определения параметрически задан-
ные кривые

х — cos/, z/ = sin/, 0=sj/sg2n,
и

x = cos/, y = sin/, 0 =с/ «с 4л,

являются, как это уже отмечалось в п. 16.1, различными кри-
выми, хотя как множества точек плоскости они совпадают: эти
множества представляют собой одну и ту же окружность х2 +г/2 =
= 1. В первом случае эта окружность «пробегается» один раз,
во втором — дважды.

Представления же

x — cost, у = sin/, — n/2sg/sgn/2
и

х = ]/гт(2 — т), у — х — 1,	0<т<2,

задают одну и ту же кривую. Действительно, функция т = 1 + sin t
непрерывна, строго монотонно возрастает на отрезке [— л/2, л/2]
и переводит одно представление в другое. Множество точек кри-
вой образует в этом случае полуокружность x2 + z/2 = l, xgsO.

При заданном представлении r(/), neg/-</?, некоторой непре-
рывной кривой и при фиксированном значении параметра / через
г(/), естественно, обозначается точка рассматриваемой непрерыв-
ной кривой, в которую при данном представлении отображается
точка / ей [а, &].

Определим, теперь, что называется точкой параметрически
заданной кривой, т. е. кривой, определенной как класс эквива-
лентных непрерывных отображений отрезков.

Определение 4. Пусть r(f), a^t^b, и р(т), а -СтеСр,—
два представления параметрически заданной кривой Г, у —отобра-
жение, осуществляющее их эквивалентность (см. определение 3) и
пусть ^ = <р(т),	a^bt-'bb (причем значение г, а потому

и значение t фиксированы), и, следовательно, г (t) = р (х). Обозна-
чим эту точку пространства через Р, т.е. Р = r (t) = p(x). Пары
(Р, /) и (Р, т) называются эквивалентными.

Эквивалентность пар (Р, t) и (Р, т) будем обозначать симво-
лом (Р, t)~P(x).

Легко проверить, что 1) (Р, t)~(P, t)\

2)	если (Р, t)~(P, т), то (Р, х)^(Р, t);

3)	если (Р, t1)^(P, t2) и (Р, t2)^(P, t3), то (Р,	(3).

Определение 5. Для данной параметрически заданной кривой Г
совокупность {(Р, t)} всех эквивалентных пар (Р — фиксировано)
называется точкой этой кривой, а точка пространства Р — ее
носителем.

Каждая точка {(Р, t)} параметрически заданной кривой Г =
— {г (t)\ a -^ t 'Qb} однозначно определяется каждой парой (Р, t),
и поскольку в этой паре P = r(t), то каждая точка кривой Г
однозначно определяется значением параметра t [а, Ь] при каж-
дом представлении. Поэтому для краткости точки параметрически
заданных кривых будем обозначать не символом {(Р, /)}, а просто
г (I). В силу сказанного это обозначение имеет однозначный смысл.

Определение 6. Совокупность носителей всех точек параметри-
чески заданной кривой Г называется носителем этой кривой.

Точка Р носителя кривой Г, являющаяся носителем по край-
ней мере двух различных точек кривой, называется кратной
точкой (или точкой самопересечения) носителя кривой Г.

Как мы уже видели на примерах в п. 16.1 (см. (16.1) и (16.2)),
различные кривые могут иметь один и тот же носитель. Заметим
еще, что если г (t)^=r (a) = r (b), a<Zt<Zb при одном представ-
лении кривой, то это условие выполняется и при любом другом
ее представлении. Следовательно, понятие замкнутого контура
(см. определение 1 в п. 16.1) не зависит от выбора представле-
ния кривой.

Перейдем, теперь, к определению кривых других классов.
Понятие эквивалентности отображений отрезка в пространство
можно вводить не только для непрерывных отображений, но и
для других отображений. Это дает возможность определить
специальные классы параметрически заданных кривых: п раз
дифференцируемых и п раз непрерывно дифференцируемых пара-
метрически заданных кривых, п = 1, 2, ....

Определим, например, понятие эквивалентности для непре-
рывно дифференцируемых отображений отрезков и непрерывно
дифференцируемую параметрически заданную кривую.

Определение 7. Два непрерывно дифференцируемых отображе-
ния отрезкоз в пространство называются непрерывно дифферен-
цируемо эквивалентными, если существует функция ср, осущест-
вляющая их эквивалентность в смысле определения 2, которая
как сама, так и ей обратная непрерывно дифференцируемы.
Определение 8. Всякое множество Г непрерывно дифференци-
руемых и непрерывно дифференцируемо эквивалентных отображе-
ний отрезков в пространство называется непрерывно дифференци-
руемой параметрически заданной кривой.

Вообще параметрически заданная кривая данного класса опре-
деляется как совокупность отображений отрезков в пространство
(называемых ее представлениями), эквивалентных в некотором
смысле. Отображения одного отрезка на другой, осуществляющие
эту эквивалентность, называются в этом случае допустимыми
преобразованиями параметра и удовлетворяют условиям, рефлек-
сивности, симметричности и транзитности (см. п. 16.1).

Каждая параметрически заданная кривая некоторого класса
однозначно определяется любым своим представлением и для нее
по той же схеме, что и выше, определяется понятие точки, носи-
теля точки и носителя кривой. В дальнейшем для простоты там,
где это не сможет привести к недоразумениям, параметрически
заданные кривые и их носители (непрерывные кривые в смысле
п. 16.1) будут называться одним и тем же термином «кривые».

16.3.	ОРИЕНТАЦИЯ КРИВОЙ. ДУГА КРИВОЙ.

СУММА КРИВЫХ. НЕЯВНОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ

Порядок чисел (по величине) на отрезке [а, /?] с помощью
данного фиксированного представления г (t) кривой Г = {г (0;
а-тД-mtb}, естественно, порождает соответствующий порядок
точек на кривой. Точка г (£.') е Г считается предшествующей
точке г((")еГ, или, что то же, точка r(f) считается следующей
за точкой г (К), если a^f <.f s^b. Если этот же порядок точек
желательно сохранить и при других представлениях кривой, то
необходимо сузить класс допустимых преобразований параметра,
именно допускать лишь строго монотонно возрастающие преобра-
зования параметра.

Определение 9. Кривая Г, определенная классом эквивалент-
ных непрерывных отображений отрезков в пространство, для
которых допустимыми преобразованиями параметров являются
только строго монотонно возрастающие непрерывные функции,
называется ориентированной кривой.

Таким образом, функции ср, осуществляющие эквивалентность
двух представлений данной ориентированной кривой, удовлетво-
ряют условиям определения 2 и, кроме того, являются строго
монотонно возрастающими.

Вместо выражения «задана ориентированная кривая» говорят
иногда, что «на кривой задана ориентация» (т. е. порядок точек).

Определение 10. Пусть Г = {г (0; а t Ь} — ориентированная
кривая и пусть t = t (х) —строго монотонно убывающая и непре-
рывная на отрезке [а, (5] функция, причем t(a)=^b, t (fJ) = а.
Кривая, определяемая представлением г =г(((г)),а«£т-с₽, новы-
ваепгся кривой, ориентированной противоположно кривой Г, и
обозначается —Г.

Подобным же образом определяются ориентированные и про-
тивоположно ориентированные кривые других классов (диффе-
ренцируемые, непрерывно дифференцируемые и т. п.).

Если t = t (т) — указанное в определении 10 отображение
отрезка [а, Р] на отрезок [а, й], тое[а, Р] и /0 = /(т0), то точки
г (t0) и г (t (т0)) соответственно кривой Г и противоположно ориен-
тированной кривой —Г называются соответствующими друг другу.
Одна точка кривой Г предшествует другой точке этой кривой
тогда и только тогда, когда точка кривой —Г, соответствующая
первой точке, следует за точкой, соответствующей второй. Этим
оправдывается термин «противоположно ориентированная кри-
вая».

Если г (t), a sg t -g b — представление кривой Г, тог(а + & —т),
asgtsgb, является представлением противоположно ориентиро-
ванной кривой —Г, ибо функция t = a-\-b — т, flsgtsgb, строго
монотонно убывает и отображает отрезок [а, Ь] на себя.

В заключение сформулируем еще несколько полезных для
дальнейшего определений.

Пусть задана кривая Г = {г(0; asg/sgb}.

Определение 11. Если [a', b'] а: [а, д], то кривая Г'={г(^);
a'sgggi»'} называется частью кривой Г (или ее дугой) и пишется
Г'сГ.

Определение 12. Если t0^(a, b), Гх = {r(t), a^t^t0}, Г2 =
—{г (t), tos^ts^b}, то кривая Г называется суммой кривых Г у и
Г2 и пишется Г = ГхиГ2.

Аналогично определяется сумма конечного числа кривых.

Определение 13. Сумма конечного числа непрерывно дифферен-
цируемых кривых называется кусочно-непрерывно дифференцируе-
мой кривой.

Определение 14. Пусть Г = {г(£); a sg t eg Ь} — плоская кривая,
расположенная на плоскости х, у. Если существует такая функ-
ция F (х, у), что координаты точек (х, у) кривой Г удовлетво-
ряют условию

F (х, у) = 0,	(16.4)

то говорят, что уравнение (16.4) является неявным представле-
нием кривой Г.

Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, множество
всех точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.4), не является
кривой в выше определенном смысле даже для достаточно «хоро-
ших» функций F (х, у). Например, множество точек., координаты
которых удовлетворяют уравнению (х2 + р2) (x2 + z/2— 1) = 0, пред-
ставляет собой окружность х2 + у2 = 1 и точку (0; 0). Можно
показать, что это множество не является непрерывным образом
отрезка.
Можно и в пространственном случае задавать кривые неявным
образом, но уже при помощи системы друх уравнений:

F, (х, у, г) = О, F2 (х, у, г) = 0.

Более подробно этим вопросом мы займемся в п. 41.3.

Наконец, отметим, что кривая всегда ограничена, т. е. лежит
в некотором шаре; это следует из того, что функции координат-
ного представления кривой, согласно теореме Больцано — Вейер-
штрасса, ограничены в силу их непрерывности. Вместе с тем уже
в элементарной математике встречаются неограниченные кривые,
к таковым относятся, например, прямая, парабола, гипербола,
синусоида, график tgx и т. п. Чтобы охватить и такие «кривые»,
можно определить класс так называемых открытых кривых по
схеме, подобной вышеприведенной, в которой за основу взято
непрерывное отображение интервала, а не на отрезке, как это
было сделано выше. Открытые кривые, в частности, могут быть
и неограниченными. Подробное и точное формулирование всех
этих понятий предоставляется проделывать читателю по мере
потребности.

16.4.	КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Пусть задана кривая Г = {г(0,	вектор-функция

г(0 дифференцируема в точке (ое[й, b] и г' (to)y=O. Поскольку
в силу определения дифференцируе-
.мости

** Лг = г (0 + ДО — г (t0) =

= г'(/о) + ° <д/>> Д/ “* °’

/	т0 Для всех достаточно малых Д/ =/= 0

'	/	имеет место неравенство

/r(t0+At)	г (to + ДО ¥= Г (to)-

/	Действительно при	сделанных пред-

ду	положениях г' (ta)	а	потому

для всех достаточно	малых	Д/#=0

Рис. 64	будем иметь и

г' (0) Д^ + о (ДО #= 0.

Прямая, проведенная через точки г (10) и г(/о4-ДО называется
секущей для кривой Г. Обозначим ее через (рис. 64). Для
всех достаточно малых Д1=#0 в силу условия г (0) г (4 + ДО
секущая определена однозначно. Поскольку вектор Дг =
far
=^(0 +ДО —''(О) параллелен этой секущей, то и вектор
Д/=#0, отличающийся от вектора Дг лишь скалярным множите-
лем 1/Д/, также ей параллелен.
По условию в точке /0 существует производная, т. е. предел

Пт = г' (/«).	(16.5)

ДС-.0

Так как все секущие проходят через одну и ту же точку г (t0),
то геометрически формула (16.5) означает, что секущие 1м при
А/, стремящемуся к нулю стремятся к некоторому предельному
положению, т. е. к прямой, проходящей через ту же точку г (t0)
в направлении вектора г' (/0). Эта прямая в силу условия г'(/о)=/=О
определена однозначно. Она и называется касательной к кривой Г
в точке г(/0).

Таким образом, в силу самого определения касательной
к кривой Г в точке г(/0), производная г' (/0) вектор-функции г(/)
в случае, если г' (t0) Ф 0 является вектором, параллельным каса-
тельной в точке г (t0). Если начало вектора г' (/0) поместить в эту
точку, как это обычно и делается, то он будет направлен по
касательной.

В рассматриваемом случае дифференциал dr (t0) = г' (/0) dt
также направлен по касательной к кривой, ибо он отличается
от производной лишь скалярным множителем dt. Вектор £ =
= /*7|/*'|» является единичным вектором, направленным
по касательной. Вектор Аг при А/>0 направлен от точки кри-
вой с меньшим значением параметра к точке с большим значением
параметра, поэтому можно сказать, что вектор Аг при А/>0
показывает направление, в котором параметр на кривой возра-
стает, т. е., как говорят, положительное направление на кривой.
Вектор при А/ > 0 имеет то же направление, что и вектор Аг.
Поскольку lim ^- = r' (t), то естественно говорить, что вектор

Д( —о

г' (I), а значит, и вектор £, который отличается, быть может,
от вектора г' (t) положительным числовым множителем 1/| г' (/) |,
также направлены в сторону возрастания параметра и что их
ориентация (направление) соответствует ориентации кривой.
Направление вектора £ (или, что то же, вектора г') называется
положительным направлением касательной.

Уравнение касательной к кривой Г в точке г (/0), для которой
г' (t0) =/= 0, в векторной записи имеет вид

Г = Г (£0)4-г'(£0)т, — оо<т< + сю,
где г —текущий радиус-вектор касательной. В координатной
записи уравнение касательной в этом случае имеет вид

x = x(t0) + x' (/0) т,

У = У(*о)+у' (t0)x,
z = z (to) + z' (to) т,

— OQ
Исключив переменную т, получим

х—х0 _ у — у0 _ г — г0
X' (/о) у' [to) г' (t0) ‘

Определение 15. Пусть Г — дифференцируемая кривая и r(t),
a^i=cb — ее векторное представление. Точка кривой Г, в кото-
рой г' 0, называется неособой, а гцочка, в которой г' = 0 —
особой.

Если г = (х (/)), у (/), z (/)), то из равенства | г' | = ]/х'24-г/,24-г'3
(см. п. 15.2) имеем: точка (x(t), y(t), z(t)) кривой Г неособая
тогда и только тогда, когда в ней х'2 + z/'2 ф-z'2 > О, т. е. хоть
одна из производных х', у' и z' не обращается в нуль.

Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке кривой Г
существует касательная.

В определении 15 формально правильнее было бы говорить
об особой и неособой точке кривой при данном ее представлении.
Это не было сделано, поскольку понятие особой точки не зависит
от выбора представления кривой. Поясним и докажем это.

Допустимыми преобразованиями параметра для дифференци-
руемых кривых являются функции t — t(x), которые, как сами,
так и обратные к ним, являются строго монотонными дифферен-
цируемыми функциями. Поэтому в силу теоремы 3 п. 9.6 о про-
изводной обратной функции имеем #г<=1. Отсюда следует, что
для каждого допустимого преобразования t = t(x),
Цараметра дифференцируемой кривой всегда t' (т)=#0, а Ст=ср.
Поскольку

х'х + Ух + Zx = (x't2 + г/f + z't) tx,

то неособая точка при одном представлении дифференцируемой
кривой будет одновременно неособой и при любом другом ее
представлении.

Определение 16. Непрерывно дифференцируемая кривая без
особых точек называется гладкой.

Кривая, представимая как сумма конечного числа гладких
кривых, называется кусочно-гладкой.

Отметим, что если плоская кривая имеет явное представление
у — у(х) или х — х(у), то для нее вектор (х' (/), у' (t)) — всегда
не нулевой: в первом случае это (1, у’), а во втором — (х', 1).

Аналогичным образом определяется касательная как предель-
ное положение секущей и кривой Г = {г(0, a^/^b} в точке
г (t0), t0^[a, b], и в случае, когда г'(/о) = О, но существует
некоторое натуральное п>1, для которого г<л) (70) у= 0.

Если все rlft)(/o) = O, k=l, 2, .... п—1, а № (t0) =/= 0, то
раскладывая Дг по формуле Тейлора, получаем

Дг = Г (t0 + до - Г (to) = ~ r(Z!) (to) Ktn 4- о (Мп), М -> 0.
Вектор направлен параллельно секущей /д/, проходящей
через точки r(t0) и г(/0 + Д/). Из написанного равенства следует,
очевидно, что существует предел

Поэтому в этом случае предельное положение секущей /Д/, т. е.
касательная в точке r(t0), является прямой, проходящей через
точку г (t0) параллельно вектору (t0).

16.5.	ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

Прежде чем определять понятие длины дуги кривой, введем
понятие разбиения отрезка —понятие, которое будет неоднократно
встречаться и в дальнейшем.

Определение 17. Для всякого отрезка [а, Ь] систему его точек
iit t = О, 1, 2, ..., п, таких, что

a = t0<Zt1<Z...<Zti-1<ZtiC...Ctn = b,

будем называть его разбиением и обозначать т =	= о.

Пусть задана кривая Г = {г(I), a^t^b} и пусть т={/{}^0 —
некоторое разбиение отрезка [а, &].

Положим

п

Ot-' 5|»-(У-Г(/н)|.
«=1

Очевидно (рис. 65), ах — длина ло-
маной с вершинами г (а), г (^),...
..., г г (Ь), т. е. как обыч-
но говорят, ломаной, вписанной в
кривую Г.

Всякую ломаную, в частности

={r(Z); a-^t-^b}, можно рассматривать как кривую в смысле
данного выше определения, если только задать ее представление.
Пусть А, —ломаная, т. е. множество, состоящее из конечного
числа отрезков с вершинами в точках Мо, Мх, ..., Мп (эти
отрезки называются звеньями ломаной). Возьмем некоторый отре-
зок [а, Ь] и какое-либо его разбиение на п отрезков: т ={/,•},
Будем для простоты всегда считать, что представлением ломаной
является непрерывное отображение р(/), линейно отображающее
каждый отрезок [^_т, </] на отрезок М^М,, «= 1, 2, ..., п;
таким образом, если обозначить через рг радиус-вектор точки Mi,
1 = 0, 1,..., п, то векторное представление ломаной будет иметь вид

р(0=77Е^7^-;<-1)+р-1> ti-i^t^ti, i=l, 2, ..., п.
Если	при 1=1, 2, п, то ломаная называется

невырожденной.

Определение 18. Величина Sr = supcrt, где верхняя грань взята
г

по всевозможным разбиениям х отрезка [а, &], называется длиной
кривой Г. Если 5г<_+«з, то кривая Г называется спрямляемой.

В силу этого определения спрямляемость кривой и ее длина
не зависят от выбора представления кривой и всегда

О sg Sr + оо.

Упражнение 1. Доказать, что кривая, являющаяся частью спрямляе-
мой кривой, также спрямляема.

Лемма 2. Пусть Г = Га (J Г6, тогда

Sr = 5га + 5гл.	(16.6)

Доказательство. Пусть a<Zc<Zb и

Г = {г(/), a^t^b}, Га = {г(/), a=c/sgc}, Г& = {г(/), cs^t^b}.

Пусть т —разбиение отрезка [а, Ь], а т* — разбиение этого же
отрезка, совпадающее с т, если точка с входит в разбиение т, и
получающееся из т добавлением к нему точки с, если эта точка
не входит в разбиение т. Разбиение т* является объединением
двух разбиений отрезков [а, с] и [с, 6], которые мы обозначим
соответственно то и хь, т. е. т* =тл J тг>- Очевидно, для длин
ломаных, соответствующих разбиениям т*, ха и хь справедливо
равенство ст-* = стг 4-<гг.. Но supoT =Sr , sup стт= Sr, следова-

CL О	* CL	CL — О	О

{'а	'‘b

тельно,

CTv^Sr^ + Sry

При переходе от разбиения х к разбиению т*, быть может,
лишь одно звено	заменяется двумя /•(^_1)г(с) и г(с)г(/г),

и поскольку I Г (ti-j) Г (ti) I sg I г (с) |-j-| г (с) то стг-сщ*
и, следовательно,

(TtSgSra + Sr6.

Но Sr = supa-, поэтому

Sr^Sra + Srs.	(16.7)

Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных ха
и хь разбиений соответственно отрезков [а, с] и [с, Ь] и разбиения
т*=тл1Иг> отрезка [а, £>] имеем оТ(г4-стТб = от. sg Sr. Отсюда
стТ(г Sr — Отб; фиксируя разбиение хь и переходя к верхней
грани стт при всевозможных ха, получаем неравенство Sre*g
=CSr~ оТ[/, и затем —

Sr(l + %:CSr-
Беря верхнюю грань множества чисел, которое получается
при всевозможных разбиениях тй, будем иметь:

Sr^Sr^Sr. □

Отметим, что в лемме 2 не предполагается, что рассматри-
ваемые кривые спрямляемы.

Задача 12. Построить пример неспрямляемой кривой.

Теорема 1. Если кривая Г = {/*(/), a-^t-^b} непрерывно диф-
ференцируема, то она спрямляема, и ее длина Sr удовлетворяет
неравенству

\r(b)-r(a)\^Sr^M(b-a),	(16.9)

где

М = тах |г' (/)	(16.10)

[о. Ь]

Отметим, что в силу непрерывности производной г' (f), ее
абсолютная величина | г' (/) | также непрерывна и потому дости-
гает на отрезке [а, £>] своего наибольшего значения М.

Доказательство. Возьмем какое-либо разбиение т =
= {^}/=о отрезка [а, &]. Тогда применив неравенство (15.11), получим

|г(Ь)—г(а)| =

2 г -г (W

1=1

п	п

S I Г - Г (/.-,!) I - 2 | Г' I (ti - h-!), (16.11)
1 = 1	1 = 1

где 1-е (/,_!, td, 4=1, 2, ..., п.
Поскольку

Sk(W-',(Wl =<Тг

— длина вписанной в кривую Г ломаной, соответствующей раз-
биению т, и для всех 4—1, 2, ..., п в силу (16.10) имеет место
неравенство | г'(£,) | М, то из неравенства (16.11) для любого
разбиения т, будем иметь

| г (Ь) — г (а) | sg <тг М — ti-j) — М (b — а).	(16.12)

i=i

Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим
утверждение теоремы. □

Теорема 2. Пусть кривая Г={r(/)=(х(t), y(t), a^t^b}
непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги s,
отсчитываемая от начала г (а) кривой Г или соответственно от
ее конца г (Ь), является возрастающей, соответственно убывающей,
непрерывно дифференцируемой функцией параметра t‘, при этом

соответственно

^=_1/х,.+!/,.+г,.=_|*|.

116.13)

(16.14)

Доказательство. Пусть s — s(t) длина дуги кривой Г
от точки г (а) до точки r(t). Пусть Ое[а, Ь], t0 + М е [а, Ь] и
Дх = х(/о + ЛО — s(t). Очевидно, что функция s = s(t) возрастает
на отрезке [а, &], т. е. если Д/>0, то Дх^О; если же Д/<0,
то Дхе^О. Поэтому всегда

Применив неравенство (16.9) к части кривой Г, соответствую-
щей отрезку [О, /0 + ДЛ при Д/>0 (соответственно отрезку
[/о + ЛО 0] при Д/<0), получим:

откуда

|r (t0 + М) — г (t0) |	| Дх | sg М | Д11;

г(?о+Др—г (10) I As
д;	д/

(16.15)

где М — наибольшее значение | г'(t) | на отрезке [/0, 0 + Д1] при
Д/>0 или на отрезке [10 +ДО /0] при Д/<0.

В силу непрерывности производной г' (t) ее абсолютная
величина | г' (t) | также непрерывна и потому ее наибольшее
значение существует, т. е. принимается в некоторой точке | =
= £О4~6Д/, 0<8<1, указанного отрезка. Поэтому неравен-
ство (16.15) можно переписать в виде

г (Q + AZ)-r(Q)
А/

(/о+6 Д01.

о<е<1.

Перейдя здесь к пределу при Д1->0, в левой части неравенства
в силу определения производной, а в правой в силу непрерыв-
ности производной г' (t) в точке t = t0, получим | г' (t0) Следо-
вательно, предел lim существует и также равен |г'(0)|, т. е.

существует производная s' (t0) и s' (t0) = \r' (t0)\.

Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)), to r'(t) = (xr (t), y'(t), z'(t)) и
потому

S' (0 = IГ' (t) I = V[x' (OF+[y' (OF+[z- (OF-

Если теперь ст = ст (0 —переменная длина дуги, отсчитываемая
от конца г(Ь) кривой Г, то, очевидно, ст=5г —х, откуда, диффе-
ренцируя это равенство по t, будем иметь

da   ds  I dr I
dt	di	I dt [’
Следствие I. Если параметром непрерывно дифференцируемой
кривой является переменная длина дуги s, то

1 dr I_।

I ds [ ~

(16.16)

Это сразу следует из формулы j ~ при t = s.

Замечание. Формула (16.16) имеет простой геометрический
смысл. Поясним его. Пусть параметром непрерывно дифференци-
руемой кривой Г является переменная длина дуги s: Г =
= {r(s); 0-Css;~Sr}. Величина | Аг | = | г (s + As) — г (s) | равна

длине отрезка, соединяющего точки г (s) и
r(s + As). Этот отрезок называется обычно
хордой, стягивающей дугу кривой Г с нача-
лом в точке r(s) и концом в точке r(s-(-As).
Длина указанной дуги, очевидно, равна | As |
(рис. 66). Поскольку	= lim	т0 из

равенства (16.16) следует, что

lim = 1.

As — О I I

Рис. 66

Это означает, что предел отношения длины дуги к длине стя-
гивающей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается
в точку. В этом и состоит геометрический смысл формулы (16.16).

Следствие 2. Для всякой непрерывно дифференцируемой кри-
вой Г без особых точек, т. е. для всякой гладкой кривой, суще-
ствует ее представление r — r(s), в котором за параметр s взята
переменная длина дуги кривой Г.

Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируемая
кривая Г = {г(/); a-ezt^zb\ не имеет особых точек, т. е. г' (/)=#0
для всех t е [а, Ь]. В этом случае переменная длина дуги s =
~s(t) является строго монотонно возрастающей непрерывно диф-
ds

ференцируемой функцией, ибо - = |г | >0 во всех точках [а, &].
Поэтому существует обратная функция t = t(s), 0-cs-cSr, кото-
рая также строго монотонно возрастает и имеет непрерывную не
обращающуюся в ноль производную на отрезке [0, Sr], т. е.
функция t = t(s) является допустимым преобразованием параметра
для непрерывно дифференцируемых кривых без особых точек и
представление r = r(t (s)) является искомым представлением, в ко-
тором роль параметра играет переменная длина дуги, [j

Выясним теперь геометрический смысл координат вектора

Обозначим через а, 0 и у углы, образованные вектором ~ или,
что то же, касательной к кривой Г —{r(s)} соответственно с ося-
ми Ох, Оу и Oz. Тогда из равенства |=1> очевидно, следует,
что проекции вектора на оси координат равны соответственно
rfr	О

направляющим косинусам вектора cos a, cosp и cosy, т. е.
^ = (cosa, cosp, cosy).	(16.17)

Наряду с этим для вектор-функции r(s) = (.r(s), z/(s), z(s)),
как для всякой вектор-функции (см. п. 15.2), имеем

dr ___ /dx dy dz\

ds \ ds' ds ' ds)'

(16.18)

Сравнивая (16.17) и (16.18), получаем

dx	dy	a dz

-,-- = cosa, = cos p, =cosy. (16.19)

ds	ds	1	ds	1	v >

В качестве примера рассмотрим кривую, называемую винто-

вой линией. Эта кривая задается пред-
ставлением

у = a cos/, z/ = nsin/, z = bt,
a2 + b2^0,

Очевидно, что винтовая линия являет-
ся бесконечно дифференцируемой кривой,
и так как

х Л~У г =

== a2 sin2t -J- a2 cos21 ф- b2 = а2 Ь2 Ф О,
то она не имеет особых точек (рис. 67).
Следовательно, переменную длину ее дуги

можно принять за параметр.

Найдем соответствующее представление. Согласно формуле
(16.13), имеем

= ]/Гх'~ + у'2 ф- г'2 = У а2 ф-Ь2.

Отсюда

- = -	  и, так как /(0) = 0, то t == s/1 ra2 ф- b2.

Поэтому

искомое представление имеет вид

S

х (s) = a cos

у (s) = a sin -Т==-,
Г a'- — b-

z(s) =

ОдхдТфлгфФ

Упражнение 2. Доказать, что для спрямляемой кривой без точек
самопересечения переменная длина дуги является непрерывной строго моно-
тонной функцией параметра.
16.6.	ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

Пусть Г = {/•(/); а-с/«с 6} —непрерывно дифференцируемая
плоская кривая, лежащая в плоскости хОу,

r(t) = (x(t), y(t))

и пусть s = з (0 — переменная длина дуги кривой Г; для ее про-
изводной из формул (16.13) и (16.14) получаем:

ds = -t-l/~f—(16.20)
dt у \dt / \dt / ’

здесь знак «--]-» берется, если длина дуги s (/) отсчитывается от
начальной точки г (а) кривой, и знак «—», если от конечной
точки г(Ь). Из формулы (16.20) для дифференциала дуги полу-
чаем выражение

ds2 = dx2 -f- dy2.	(16.21)

Пусть точка (х(/0), У (^о)) — неособая, т. е. х'2 (/0) + у'2 (Ф) > 0.
например х' (io)=#=O. Пусть для определенности х'(/0)>0, тогда
в некоторой окрестности точки ф также х'(/)>0 и, значит,
функция х(0 строго монотонно возрастает в этой окрестности;
поэтому существует обратная непрерывно дифференцируемая функ-
ция i = t(x). Подставляя ее в представление кривой Г, находим

y = y(t (х)) = [(х),

т. е. в некоторой окрестности неособой точКи непрерывно диффе-
ренцируемая кривая, является графиком непрерывно дифферен-
цируемой функции /; точнее, существуют окрестность точки t0 и
непрерывно дифференцируемая функция f, определенная на не-
котором интервале, содержащем точку xn = x(t0), такие, что часть
кривой, соответствующая значениям параметра, принадлежащим
указанной окрестности точки t0, является графиком функции f.

В случае, если кривая Г является графиком непрерывно диф-
ференцируемой функции y = f(x), формула (16.20) превращается
в формулу

^ = ±1^1 +у’2, и, следовательно, ds = ±Vl -\-у'2 dx.

Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.21) в случае,
когда Г является графиком непрерывно дифференцируемой функ-
ции y = f(x), a<zxsr~b, и длина дуги кривой отсчитывается от
начальной точки кривой (рис. 6S). Пусть

хое[л, &], Хо + dx е [л, 6], у0 = /(х0), Мо = (х0, у0),

Уо“Ь 1^У — f (л’о“Ьdx), М — (а'оdx, z/g-j-Ay),

— касательная в точке Af0, РМ = Ау — приращение функции
в точке x0 + dx, PN = dy — приращение ординаты касательной
в точке x0 + dx. Треугольник M^NP прямоугольный; поскольку
M0P = dx, PN = dy, то

Мо№ = Mo/32 + PN2 = dx2 + dy2 = ds2,

т. е. длина отрезка касательной M0N равна ds. Иначе говоря,
приращение длины касательной y^dx2-\-dy2 равно главной части ds
приращения длины дуги As.

Если теперь на кривой Г в качестве параметра взята пере-
менная длина дуги s: T = {r(s); Os^ssgSr}, то, согласно (16.19),

^ = cosa, ^ = cos£ = sina, a-{-0 = y, (16.22)

где (рис. 69) а —угол, образованный касательной с осью Ох,
а ₽-с осью Оу.

Отметим, что эти формулы могут быть получены применением
к «криволинейному треугольнику» МпМР (см. рис. 68) формул,
выражающих синус и косинус углов обычного прямоугольного
треугольника через его катеты и гипотенузу, считая стороны
указанного «треугольника» М0МР равными соответственно dx,
dy, ds. Подобное обстоятельство имеет место и для пространст-
венных формул (16.19). Такой метод получения формул (16.19) и
(16.22) является, конечно, необоснованным — он не имеет доказа-
тельной силы, однако он облегчает запоминание этих формул.

16.7.	ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой век-
тор-функции /'(/) есть траектория движущейся материальной
точки, а параметр / — время движения. Обозначим переменную
длину дуги, отсчитываемую от некоторой начальной точки г (i0),
через s = s (/). Пусть t > /0; положив As = s (/ + A/) — s (/) согласно
(16.13), получим

I dr I ds  .. As
т. е. длина вектора совпадает с величиной скорости в рас-
сматриваемой точке (см. п. 9.4); сам же вектор как мы знаем
(см. п. 16.2), направлен по касательной. Вектор называется
в этом случае скоростью движения в данной точке и обозна-
чается V.

§ 17.	КРИВИЗНА КРИВОЙ

17.1.	ДВЕ ЛЕММЫ. РАДИАЛЬНАЯ И ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ СКОРОСТИ

Докажем две полезные для дальнейшего леммы о производных
вектор-функции.

Лемма 1. Пусть вектор-функция г (t) имеет производную
в точке t0. Если длина вектора г (/) в некоторой окрестности
точки t0 постоянна, то вектор г' (/0) ортогонален вектору г (t0),
т. е.

r'(to)r(to) = O.	(17.1)

Доказательство. По условию, существует окрестность
точки t0, в которой длина вектора r(t) постоянна: \r(t)\=c, где
с —константа. Поэтому для всех точек указанной окрестности
имеем | л* (/) |2 = с2, а следовательно, и r2(t) = c2. Вычислив про-
изводную функции г2(/) в точке t0, получим (см. п. 15.2)
2r (t0) г' (t0) = 0 откуда и следует (17.1). Q

Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что
у материальной точки, движущейся так, что она все время
остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по каса-
тельной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна радиус-
вектору.

Пусть функция r(t) определена в некоторой окрестности U (tQ)
точки t0 и пусть в этой окрестности r(t)^Q (если вектор-функ-
ция r(t) непрерывна в точке t0, то условия неравенства нулю
радиус-векторов г (t) в достаточно малой окрестности точки t0
всегда можно добиться переносом начала координат). Пусть t =
==/0 +Д/<=t/(/0) и пусть <р = <р (/) — угол (выраженный в радиа-
нах) между векторами г (to) и r(t), | ф | л, причем будем счи-
тать, что ф (t) Ss 0 для Д^ЗэО и ф«^0 для Д/<0. В точке /0
для приращения Дф функции ф имеем

Дф = ф (t) - ф (to) = ф (t),
ибо ф (to) = 0; поэтому всегда ~	0.
Определение 1. Производная —называется скоростью вра-
щения вектор-функции г (t) в точке t0 и обозначается <о =
= <о(/0; г(/)):

=	(17.2)

Заметим, что, если выбрать противоположный отсчет углов,
т. е. определить угол между векторами г(/0) и r(t) как угол
ф =— ф, то, очевидно,

и

dt ~~~



Таким образом, как при одном, так и при другом отсчете
углов <р между векторами г(/0) и r(t) всегда

«(/о; Н = |§|-

Лемма 2. Пусть вектор-функция r(t) определена в некоторой
окрестности точки t0 и r(to)^O. Тогда, если в точке t0 суще-
ствует производная г’ (tQ), то в этой точке существует и ско-
рость вращения со = со (tQ; г (t)), причем

® = ^jl''(Mxr'(/0)|.	(17.3)

Следствие. Если в дополнение к условиям леммы длина век-
тора r(t) постоянна-. |r(/)j = r, г —константа, то

"> = \r'(t)\/r.	(17.4)

Доказательство. В силу существования производной
г' (t0) функция r(t) непрерывна в точке t0. Отсюда и из условия
г (to) =# 0 следует, что для всех достаточно малых А/ выполняется
неравенство r(t0 + &t)y=O и, следовательно, определен угол Аф
между векторами г (to) и r(t0-\-&t). Из непрерывности вектор-
функции r(t) в точке t0 следует также*) и непрерывность в точ-
ке t0 функции ф(/), т. е.

lim Аф, = 0

Д/-.0

(как всегда \t — t —t0, Аф = ф(0~<Р(М = ф(О» ибо ф(^о) = О).

Для вычисления производной (17.2) заменим бесконечно малую
Аф на эквивалентную ей при А/->0 бесконечно малую sin Аф
(см. лемму в п. 8.2), которую можно найти из формулы

\r(to)'Xr(to + M) I = |r0(/0) I |г(/0 + АО 11 sin Аф|.

Это вытекает, например, из равенства cos <р = -—- \ , , '	.

I г (to) I-1 г (t) |
В силу теоремы 2 п. 8.3 о замене бесконечно малых им эквива-
лентными при вычислении.пределов имеем

dtp ,. Аф .. I Аф I ,. I sin Аф I
со = -~ = lim = lim -тг = lim -г?-  =

Л/--О Д/^0 1 I Д/ — 0>	I

lim	|г^о)Хг(/о + А/) I_____1	|г(ЦХг(/0 + А/)|

А"о \r(ta)\\r(to+M)\\M\	r2(/o) azLo 1д/1

(17-5)

Здесь снова была использована непрерывность вектор-функции г (t)
в точке to- lim г (^0 +ДО =г(/0).

Af-0

Далее, поскольку функция r(t) дифференцируема в точке О,
то

Г (to + ^t)=r (to) + r' (to) Ы + 8 (M) At,

где lime(A0 = O. Подставив это выражение для r(t0-V At) в (17.5)
дс^о

и заметив, что \r (to) xr (t9) | = 0 и lim \г (/0)Хе(Д/) = 0 получим:
дс^о

„ d(f lim А(₽ — ! r (Zo)X/" Ро) I Г—I

<^-dr = ^0-аГ-----------------• О

Доказательство следствия. Если | г (t) | = г — постоян-
ная, то в силу леммы 1 г (t0) г' (ta) = 0, т. е. | г (t0) | |Т' (t0) | cos rr' =
= 0. Поскольку | г (t0) | =# 0, то либо | г' (to) | = 0, либо угол гг'
между векторами r(t0) и г'(to) равен ±л/2 и, следовательно,
|sinrr'| = l. В обоих случаях

| г (to) xr’ (to) I = | r (to) 11 r' (to) |i sin rr' I = r I r' (to) |.

Подставляя это выражение в формулу (17.3), получим (17.4). Д
Леммы 1 и 2 остаются справедливыми и в случае, если в них
под окрестностями понимать односторонние окрестности.

Для выяснения физического смысла формул (17.3) и (17.4)
будем снова интерпретировать кривую, описываемую концом
радиус-вектора г (t), как траекторию движения материальной
точки, а параметр t — как время. Пусть длина вектора г (t) оста-
ется постоянной: | г (t) | = г, т. е. точка движется по сфере радиуса г.
Рассмотрим движение точки в каждый момент времени как вра-
щение около так называемой мгновенной оси вращения, т. е. оси,
проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости
движения (так называется плоскость, проходящая через радиус-
вектор r(t) параллельно скорости v — -г-^ . Тогда вектор w =
= (rxr')/r2 физически означает вектор угловой скорости, а фор-
мулы (17.3) и (17.4) выражают связь между угловой скоростью ш
и линейной скоростью D. В частности, формула (17.4) в этих обоз-
начениях принимает вид

| (О | = | V |/Г.
Замечание. Используя лемму 1, можно легко получить
разложение производной вектор-функции на две ортогональные
составляющие: в направлении вектора г (t) (радиальная составляю-
щая) и в перпендикулярном направлении (трансверсальная состав-
ляющая).

Пусть вектор-функция г (t) определена в некоторой окрест-
ности точки t0, г (t) =7^=0 и существует производная г' (t0). Поло-
/* (О

жим r0 (t) — -:	очевидно, | r0 (t) | = 1. В точке /0 существует

И v) I

производная

,	drn

следовательно, в точке tQ существует и производнаякоторая,
согласно лемме 1, ортогональна вектору r0(t0), а потому, и век-
тору Г (t0).

Дифференцируя равенство г (t) = | г (I) | r0 (t) в точке t0, получим

dr d |г |
df ~ dt

'•о+И

dro
dt

(ГоГ')Го+\г\~^.

(17.6)

Это и есть искомое разложение.

В случае, если годограф вектор-функции г (t) является траек-
торией движущейся материальной точки, то формула (17.6) дает
разложение ее скорости на составляющую поступательного дви-
жения (радиальная составляющая) и составляющую вращательного
движения (трансверсальная составляющая).

17.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ КРИВОЙ
И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть Г = {г(з); OsgssgS} —непрерывно дифференцируемая
и, следовательно, спрямляемая кривая, з —переменная длина
дуги 0 «2 s0 S, As = s — s0, a a = a (s) — угол между касательными
к кривой Г в точках r(s0) и r(s04-As), причем будем считать, что
a(s)2s0 для As 2s 0 и a(s)«c0 для Аз<;0. Очевидно, Аа =
= a(s) — a(s0) = a(s), ибо a(so) = O.

Пусть теперь f(s)=-^^l. Как было показано, t(s) является
единичным вектором (см. (16.16)), параллельным касательной
к кривой в соответствующей точке (см. п. 16.4), поэтому угол Аа
является и углом между векторами t(so) и f(s0-j-As).

Определение 2. Угловая скорость вращения касательного единич-
ного вектора t = в данной точке кривой называется кривизной
k(s0) кривой в этой точке, k (s0) = (s0', t) =
Опуская для краткости значение аргумента, получаем
k=^-	П7-7)

Поскольку |f| = l, то в силу следствия леммы 2 из п. 17.1
отсюда имеем

!	dt	\

(если, конечно, производная существует).

Определение 3. Величина, обратная кривизне, называется ра-
диусом кривизны в данной точке и обозначается R, т. е. R = i/k.

Пусть Г —окружность радиуса 7?. В этом случае угол Дос
между касательными равен углу, образованному радиусами точек
касания (рис. 70), а для длины дуги
As между этими точками имеется фор-
мула As = 7?Aa. Поэтому =
По определению же кривизны для ок-
ружности имеем

fe== lim I 1 = -g.
As — ol As I 7?

Таким образом, в случае окружно-
сти ее кривизна k постоянна (не зави-
сит от точки) и равна обратной вели-
чине радиуса; радиус же кривизны ок-

ружности равен ее радиусу. Отсюда и произошел термин «ра-
диус кривизны».

Достаточные условия существования кривизны в данной точке
и метод ее вычисления даются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть Г = {г(7); a — дважды дифференциру-
емая кривая без особых точек. Тогда в каждой ее точке сущест-

вует кривизна и

k = | г' х г" | /1 г' |3.

(17.9)

Штрихом здесь и в дальнейшем обозначаются производные по
произвольному параметру /. Производные по длине дуги s будем
обозначать символом -j—•
ds

Доказательство. При предположениях теоремы переменная
длина дуги s = s(7),	0-~;s-cS, кривой Г может быть

принята на этой кривой за параметр (см. следствие 2 из теоремы
2 в п. 16.5). При этом единичный касательный вектор £ = -^-
является непрерывно -дифференцируемой вектор-функцией и поэ-
тому для него при каждом значении s0 <= [0, S] определена ско-
рость его вращения <o(s0; t), т. е. в каждой точке кривой Г
определена кривизна

/г (s0) = <о (s0; 0 = 4г’	(17.10)

где a = a(s)~ угол между векторами и —, выбранный,
как указано в начале этого пункта. В частности, это означает,
что для всех s е [О, S] выполняется неравенство	0.

Из формулы

dr (9 _ dt _ r'(t)
ds '	> ds s'

следует, что векторы -qj~- и г’(t) при s = s(f) всегда коллине-
арны, и поскольку функция s' (/) не меняет знака, то указанные
векторы либо всегда имеют одно направление (если s'(Z)>0),
либо всегда противоположное (если s'(/)<0).

При этом в первом случае достаточно малым приращениям
Д/ соответствуют приращения Да того же знака, а во втором —
противоположного. В силу сказанного, если s0 = s(^0), t0^\a,b],
и если р = р (t) — угол между векторами г' (t0) и г' (t), то либо
для всех t <= [а, Ь] будет Р = а, либо для всех t е [а, Ь] будет
р = —а; поэтому (см. п. 17.1)

со(/о, =	(17.11)

Теперь, используя формулы (17.10), (17.11) и лемму 2, полу-
чим

ь (с \	= I dt_ I = ,	, 1 = I г'хг"|

(°* ds j dt ds j ' °’ q s' | r' |3

(мы воспользовались также формулой (16.13)). Д

От формулы (17.9) легко перейти к выражению для кривизны
в координатной записи. В самом деле, замечая, что г'=(х', у', z'),
г" = (х", у", г") и что

z j k

г' X г" =

У' г'

/ г"

(где z, j, k — единичные векторы соответственно в направлении
осей Ox, Оу, Oz), получаем

IГ' х г" ] = V(у'z" - tf г')г + (г'х" - г"х')2 + (х'у" - х"у')2,	(17.12)

с другой стороны

1г'1 = Ух'2 + у'2 + г'г-

(17.13)

Подставив (17.12) и (17.13) в (17.9), мы и найдем искомое вы-
ражение.
17.3.	ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим дважды дифференцируемую кривую Г без особых
точек. У такой кривой существует дважды дифференцируемое
представление r=r(s), где s — переменная длина дуги, Os^ssgS.

Обозначим через п единичный вектор в направлении вектора
dt . dr

где г= —единичный касательный вектор к рассматриваемой
кривой. Из формулы (17.8) следует, что п определен лишь
для тех точек, в которых кривизна k^=0, и что в этих точках

=	(17.14)

Вектор t — единичный, поэтому вектор п перпендикулярен
(см. п. 17.1) вектору £. Формула (17.14) называется формулой
Френе *’.

n	d-r	1 d-r	Л

Вектор а значит, и вектор п = , -т-д не зависят от выбора
Cl S	/с U j

ориентации кривой. Действительно, ес-
ли о — переменная длина дуги кривой,
отсчитываемая в противоположном, чем
s, направлении, и, следовательно, если
о	do	,

a = S— s, то, замечая, что = —1,
’	’	ds

получим

d2r _ tPrfdo\2 _ d2r
ds2	do'1	\ds )	do'1 '

Определение 4. Всякая прямая, про-
ходящая через точку кривой и перпен-

дикулярная к касательной в этой точ-	рис_ 7]

ке, называется нормалью к кривой в

данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору п, назы-

вается главной нормалью.

Вектор главной нормали п с точностью до бесконечно малых
более высокого порядка, чем As2, указывает направление, в ко-
тором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей
касательной (рис. 71). Действительно, выбирая на кривой в ка-
честве параметра переменную длину дуги s, согласно формуле
Тейлора для вектор-функции (см. п. 15.2), будем иметь

Ar = г (s0 + As) - г (s0) == As + -% As2 + о (As2),

или, заметив, что (см. 17.14))

dr d2r __________ dt ____ ,

~ds "ds2 ~ Ts ~Rn’

(17.15)

*' Ж. Френе (1801 —1880) —французский математик.
получим

Дг = Ast + у kks2n + o(As2);

поскольку у Ms2 > 0, то эта

формула и доказывает справедли-

вость нашего утверждения.

Определение 5. Плоскость, проходящая через касательную и
главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасаю-
щейся плоскостью.

В силу этого определения соприкасающаяся плоскость опре-
делена для точек, в которых k=^0. Найдем уравнение этой
плоскости для кривой, заданной представлением г = г(£) с про-
извольным параметром t. Как и выше, производные по перемен-
ному t будем обозначать штрихом,
а производные по длине дуги
s — символом . Дифференцируя
г = г(/) как сложную функцию
r = r(s), s = s(f), получим (см.
(17.15))

г' = ~r~ s' = s't,
ds	’

Рис. 72	r" = s'2^- + s7 = s'2.<:/i + s'7.(17.16)

Отсюда следует, что векторы г' и г" также параллельны со-
прикасающейся плоскости; в силу же условия выполня-
ется неравенство г'хг"т^0 (см. (17.9)), и, значит, г' и г" не
коллинеарны. Обозначим теперь через г0, г’о и г о векторы г, г'
и г" в некоторой фиксированной точке данной кривой Г, а через
г обозначим текущий вектор соприкасающейся плоскости; тогда
смешанное произведение векторов г —г0, Го и Го должно быть
равно нулю, так как все они параллельны соприкасающейся
плоскости (рис. 72):

(Г-Го, Го, Го) = О.

Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде.
В координатном виде оно запишется следующим образом

х — х0 у — у0 z — z0

Хо	Уо	20

w	п	tr

Хо	Уо	2о

= 0,

где Го = (х’о, Уо, z’o), г" = (х’о, Уо, го).

В случае если в данной точке & = 0, то любая плоскость,
проходящая через касательную в этой точке, называется сопри-
касающейся.
17.4.	ЦЕНТР КРИВИЗНЫ И ЭВОЛЮТА КРИВОЙ

Определение 6. Точка пространства, лежащая на главной нор-
мали к кривой в данной точке и находящаяся от этой точки на
расстоянии R в направлении вектора п, называется центром
кривизны кривой в указанной ее точке.

Таким образом, если р является радиус-вектором центра кри-
визны, а г, как обычно, радиус-вектор данной точки кривой,
то

p = r + Rn,

или, что то же (см. (17.15)),
, 1 d2r

Р Г ' k* ds* '

(17.17)

Найдем выражение р через производные вектор-функции по
произвольному параметру /. По правилу дифференцирования
сложной функции,
dr , dt г'
-Г-= Г = —Г >
ds ds s

d*r   d f г' \   t г' V 1
ds*	ds \ s' J	\ s' j s'

r"s' — r's"

(17.18)

Эти формулы в силу формул (17.15), очевидно, являются обра-
щением формул (17.16).

Подставив (17.18) в (17.17), получим

где (считая для простоты, что при возрастании параметра t длина
дуги s(/) также возрастает) s' = | г' | = Vх'2 -ф у'2 -ф г'*, откуда

 х'х"+у'у" + z'z"

Формулы (17.17) и (17.19) можно рассматривать как пред-
ставления некоторой кривой, точками которой являются центры
кривизны данной кривой. Эта кривая называется эволютой дан-
ной кривой.

17.5.	ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ и эволюты
ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, справед-
ливо и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая
Г = {г(/)} лежит в некоторой плоскости, то все производные
вектор-функции r(t) также лежат в этой плоскости. В самом деле,
в ней лежит приращение вектор-функции Дг = г (t -ф Д/) — г (I),
а поэтому и отношение Отсюда легко следует, что и предел
этих отношений г' = lim -.7 лежит в указанной плоскости. При-

Л/^0

меняя то же рассуждение к г', мы докажем, что и г" находится
в той же плоскости, и т. д.

Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой
плоскости, то касательный вектор г, а если ее кривизна &^=0,

то и вектор главной нормали п
лежат в той же плоскости. По-
этому эта плоскость является со-
прикасающейся плоскостью для
рассматриваемой кривой.

Отметим также, что, если в
случае кривой Г — \г(.$)}, лежа-
щей в плоскости хОу в отличие
от п. 17.2 через a (s) обозначить
угол, образованный касательной
в точке г (s) с осью Ох (рис. 73),
то Да = а (s0 As) — а (s0) будет

являться углом между касатель-
ными в точках г (s0) и r(sn4-As). Если угол а возрастает вместе
Да.. .. м	,	,. Да da

с s, т. е. если . при As > 0, то k= lim -	; если же а

AS	as->o “s

убывает с возрастанием s, то
k = — lim ~

Д5->Ю

da.

ds ’

Выпишем некоторые из формул, полученных в предыдущем
пункте, считая, что кривая Г = {г(0;	лежит в пло-

скости xOy.r (t) = (х (/), y(ty). Из формул (17.9), (17.12) и (17.13)
имеем

Ь = 1 — I * У ~* У I	/1 7 ОГЛ

R (Х'2 + у,2)3/2 •

Обозначая (?, т]) центр кр.ивизны кривой Г, из формулы (17.17)
получим формулы, выражающие координаты' g и т] через произ-
водные по s:

|=x+^g, ^y + R*^,

а из формул (17.19) и (17.20) следуют формулы, выражающие
координаты центра кривйзны через производные по произволь-
ному параметру



+ У'2)3

,2

(x’y’’-хГуу.

3

,2 ,	,2
аналогично,

у} = у + х'

х'2+у’2
х’у" — х"у' '

(17.22)

Упражнение 1. Пусть Г — дважды дифференцируемая плоская кривая
без особых точек, пусть а —угол наклона ее касательной к оси Ох и пусть
k* = ~ (следовательно, | k* | = £) и R*—^. Показать, что £ = х—/?* sin а,
, г,*	? dy	. dx

i] — y-\-R* cos а, a также что g = x— т\ = у-\-

В случае, когда кривая является графиком функции у =f (х),
формулы (17.20), (17.21) и (17.22) принимают вид

(1+у'2)3/2-

ь (/- у >

(17.23)

(17.24)

Примеры. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы у — ах2,
0.

Замечая, что у' = 2ах, у” = 2а, по формуле (17.23) имеем k =
~(1'2р4а2 2)3/2' Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемся
формулами (17.24):

t l-J-4a2/2 _	. „ „	, , + 4а2х2	6а2х2+1

ё = X-------------2ах = — 4п2х3, п = ах2 4- —4-----------= —^-4-.

2а	1	1 2а	2а

Получилось параметрическое представление эволюты параболы
с параметром х. Можно получить и ее явное представление,
исключив этот параметр х. Для этого из первого равенства най-
дем х3 = — £/4а2, а из второго х2 = (2пт] — 1)/6а2. Возводя первое
получившееся равенство в квадрат, а второе в куб и прирав-
нивая правые части, будем иметь

( Е, \2	/2ан— IV „ е 4 Га f 1 \3/2

Ы =	0ТКуДа ? = ± 3 У 3 ^-2а) •

Эта кривая, изображенная на рис. 74, является, как мы знаем
(см. пример 2 в п. 14.3), полукубической параболой.

2.	Найдем радиус кривизны и эволюту эллипса x = acos/,
y = bsint, a>~b^>0.

Заметив, что х'=— a sin/, у' = b cos/, х" =— a cost, у" =
= — 6sin/, по формуле (17.2z0) получим

п _ 1 _ (a2 sin2 + t>2 cos21)3/2 _ (а2 sin21 + Ьг cos2 /)3/2

К k ab sin2 t-\-ab cos21	ab
Поэтому из формул (17.21) и (17.22) следует, что

..	,	,	, a2sin2t-]-b2cos2t а2 — Ь2

Е = a cos t — b cos t---------4-------=------------cos31,

B	ab	a	’

, . ,	. , a2 sin2 tA- b2 cos21	b2 — a2 .

n = b sin t — a sin t----4------= —г— sin31.

1	ab	b

Это параметрическое представление искомой эволюты; пара-
метр t можно исключить, возводя получившиеся равенства в сте-
пень 2/3 и складывая их:

(а£)2/3+(6т])2/3 = (а2 — &2)2/3.

Эта кривая называется астроидой (рис. 75).

Рис. 74

Рис. 75

Иногда для изображения кривой бывает удобно использовать
так называемые полярные координаты (р, <р), р^=0, —л < ср л,
где р—длина радиус-вектора данной точки /И, а <р —угол, обра-
зованный этим радиус-вектором с осью Ох. Таким образом, каж-
дой точке плоскости, кроме начала координат, взаимнооднозначно
соответствует указанная упорядоченная пара (р, <р); для начала
же координат имеем р = 0, а угол ср не определен (рис. 76).

Если. М = (х, у) где, как обычно, х и у — декартовы коорди-
наты точки М, то

x = pcos<p, у = р sin ср.	(17.25)

Обратная связь выражается формулами

р = ]/х2 + у2, <р = arctg у -f-fert,

где k — Q, если k=\, если х<0, #>0, и k = — 1, если
«/<0; при этом, как обычно, при х = 0, y^Q считается
, ц л .

arctg ~ = -g-sign//.
Иногда на угол ф не накладывают ограничения —л<ф^л,
а обозначают через ф любой угол, для которого tg<p= . В этом
случае соответствие между упорядоченными парами (р, ф), р=^0,
и точками плоскости, отличными от начала координат, уже, оче-
видно, не является взаимно одно-
значным.

Если задана непрерывная функ-
ция

Р = Р(<Р), а

(17.26)

то, подставляя ее в (17.25), полу-
чаем

X = р (ф) COS ф, # = р(ф)5Шф,

(17.27)

т. е. параметрическое представление
некоторой кривой Г. В этом смысле
можно говорить, что уравнение (17.26)
динатах кривую Г. Для вычисления

задает в полярных
кривизны, радиуса

визны и эволюты кривой Г, заданной уравнением (17.26),

коор-
кри-
надо

перейти к ее параметрическому представлению (17.27) и восполь-
зоваться выведенными выше формулами.

Упражнения 2. Пусть в полярных координатах задана кривая р =
= р(ф), пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох, а ы—угол, обра-
зованный этой касательной с продолжением радиус-вектора точки касания.
Доказать, что а = со + ф и tg<o = p/p'.

3.	Найти эволюту кривой р = а (1-|-cos <р), 0^ф^2л называемой кар-
диоидой.

Указание. Полезно воспользоваться результатами упражнений 1 и 2.

Задача 13. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек,
Г = {г(0;	и пусть t0 е [а, &], ?0 + Д/уе|а, &], t0 + Д/2 е [«> &]•

Проведем через точки г (/„), г^о + Д/у) и г(/0 + Д/2) плоскость; доказать, что
если в точке г (t0) кривизна k^=0, то при Д/у-э-О и Д/2—>-0 эта плоскость
стремится (определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке
г (t»)-

Задача 14. В предположении предыдущей задачи проведем через те же три
точки г (10), г^о + Д/у) н г (10+Д/.>) окружность. Доказать, что эта окружность
при Д/у —> О и М.2-+0 стремится к окружности (определите это понятие),
лежащей в соприкасающейся плоскости с центром в центре кривизны кривой
и радиусом, равным радиусу кривизны в точке г (1В).

Эта предельная окружность называется соприкасающейся окружностью
в данной точке кривой.
ГЛАВА ВТОРАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 18. МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

18.1.	ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК. ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ТОЧЕК

Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных,
ознакомимся с некоторыми свойствами множеств, на которых эти
функции задаются. Будем предполагать, что на рассматриваемой
нами плоскости или в пространстве всегда задана некоторая прямо-
угольная система декартовых координат. Точки будем большей
частью обозначать буквами а, Ь, ..., х, у, г, ...*), а их коорди-
наты—теми же буквами с индексами, т. е. в случае плоскости
будем писать х = (х1, х2), у = (Уъ Уз), а в случае пространства
х — (х!, х2, х3), У = (У\, Уз, Уз)- Расстояние между точками х и у
будем обозначать р(х, у). Как известно, формула для расстояния
между точками х и у в случае плоскости имеет вид

Р(х, {/) = К (хх - У1)2 + (х2 - у2)2,
а в случае пространства —

р(х, У) = Г"(%1 - У1)2 + (х2 - Уз)2 + (х3 - Уз)2-

В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями
двух и трех переменных, но и с функциями большего числа пере-
менных, а поэтому полезно ввести понятие n-мерного пространства
для любого п=1, 2, 3, ...

Определение 1. Точкой х п-мерного пространства называется
упорядоченная совокупность п действительных чисел (xt, ..., х„) = х.

Число Xt называется i-координатой точки х; 1= 1, 2, ..., п.

Расстояние между двумя точками (хь ..., х„) и ..., уп)
определяется по формуле

Р(х, У) = К(Х1-У1)2+ ••• +(х„-у„)2.	(18.1)

*’ Иногда точки обозначаются и большими буквами, например М, №, Р,
а их координаты —буквами х, у, г.
Совокупность точек п-мерного пространства, для которых
определено расстояние согласно формуле (18.1), называется п-мер-
ным евклидовым пространством (или, более полно, п-мсрным ариф-
метическим евклидовым пространством) и обозначается через Rn
или R*.

Иногда для краткости вместо х = (xlf ..., хп) будем писать
х — (Xi).

В случае п= \ пространство Rn совпадает с прямой, в случае
и = 2 —с плоскостью, а в случае п = 3 — с пространством, изу-
чаемым в элементарной и аналитической геометрии. В случае
произвольного п > 3 не следует искать в нашем определении
какого-то скрытого физического или геометрического смысла.
Нашей целью является лишь построение некоторого математиче-
ского аппарата, удобного для изучения функций многих пере-
менных; определения и терминологию мы заимствуем из обычной
геометрии, так как это позволяет включить прямую, плоскость
и трехмерное пространство в одну более общую схему.

Расстояние между точками в /г-мерном евклидовом простран-
стве Rn обладает следующими свойствами:

1°) р(х, z/)^0, причем р (х, у) = 0 в том и только том случае,
когда х = у,

2°) р(х, у) = р(у, х) для любых двух точек х и у из Rn;

3°) р (х, г)^р (х, у) + р(у, г) для любых трех точек х, у и г
из Rn.

Свойства 1° и 2° непосредственно следуют из формулы (18.1),
третье же, обычно называемое «неравенством треугольникам и
хорошо известное для обычного трехмерного пространства, в общем
случае (при произвольном п) требует доказательства.

Докажем предварительно лемму.

Лемма 1 (Коши — Шварц *’). Для любых действительных чисел
ak и bk, k — \, 2,..., п, выполняется неравенство

t	bl.	(18.2)

Следствие.

+	.2 al +	2	(18-3)

Доказательство. Если все at = 0, i = 1, 2, ..., п, то нера-
венство (18.2) очевидно — обе его части обращаются в ноль. Если же
<Д + ...	то рассмотрим квадратичную функцию

F(t)= 2 (^' + М2=^2 2	» Z й^-+ S (18-4)

1=1	1=1	1=1	1=1

*' Г. Шварц (1843—1921)— немецкий математик.

10 Кудрявцев Л. Д. т. 1
Очевидно, что

F(0^0.

(18.5)

Из условия (18.5) следует, что квадратный трехчлен (18.4)
имеет либо совпадающие действительные корни, либо существенно
комплексные корни, и поэтому его дискриминант не положителен:

/ п	\ 2	п п

I 2 atbi] - Ц al 2 bl^O.
\i=l	i	i=\ i=l

Перенеся второе слагаемое в правую часть и извлекая квадратный
корень, получим (18.2). [~|

п

Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму У (а^Ь,)2,

1
применяя неравенство (18.2):

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (18.3). Д
Вернемся теперь к свойству 3 расстояния между точками в
пространстве Rn.

Пусть х = (%1, ..., х„), у — (У1, .... уп) и г = (гх, ..., г„). Поло-
жим at = Xi — у{, bi = yt — zif и значит, су -ф bi = Xi~Zi, i = 1, 2,..., n.
Тогда неравенство (18.3) перепишется следующим образом:

]/ £ (Xi - ztf ===	£ (Xi - Уд2 + -|/ £ (У1 - ZiY,

или, согласно (18.1) р (х, z)-Cp(x, у)-]-р(у, г). Д

В дальнейшем в этом параграфе пространство будем счи-
тать фиксированным (т. е. считать фиксированным число п).

Определение 2. Множество точек х = (xlt ..., х„) п-мерного
евклидова пространства Rn таких, что Хх = х2= ... = х^ — хм =
= хп — 0, называется i-й координатной осью (i = 1, 2,..., ri) этого
пространства. Точка О = (0, 0 ..., 0) называется началом коор-
динат.

Очевидно, в случае п = 2 и п = 3 наше определение дает обыч-
ные координатные оси.

Замечание. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат, точка М в одной системе имеет координаты
(х, у), а в другой (5, т]), т. е. М = (х, у) = (5, л)- Ставя в соот-
ветствие упорядоченной паре чисел (х, у) упорядоченную пару
(5, л), получаем взаимно однозначное соответствие между множе-
ством всех упорядоченных пар (х, у) и множеством всех упоря-
доченных пар (5, л)- При этом если

М' = (х', у’) = (£, л'), М" = (х", /) = (Г, л").

то

Р (М', М") = /(х"-х')2 + (г/"-г/')2 = Ж-5')2 + (л''-л')2-

Этот пример делает естественным следующее определение.

Пусть каждой точке x = (xlt ..., хп) е Rn поставлен в соответ-
ствие упорядоченный комплекс из п действительных чисел 5 (х) =
= (51, .... 5л), таким образом, что для любых двух точек х’ =
— (хь ..., хп) и х" = (xi, ..., х"п) и соответствующих им комплексов
5(х') = (51, ..•, 5л) И t(x") = (tb •••. 5») выполняется равенство

п	п

2 (xz-x<)3= 2 (5;-m
i= 1	i= 1

тогда числа, входящие в совокупность (51, ..., 5л) также назы-
ваются координатами точки х («в другой системе координат»).
При таком определении координат расстояние между двумя дан-
ными точками не меняется при изменении систем координат, т. е.
при замене одной системы координат другой. В дальнейшем, если
не оговорено что-либо другое, система координат считается фик-
сированной.

Если точка х задается координатами (х1( ..., хп), то иногда
для ясности пространство 7?" будет обозначать ..., хп.

Определение 3. Пусть х е Rn и 8 >> 0. Совокупность всех точек
у пространства Rn, таких, что р (х, у) < 8, называется п-мерным
шаром с центром в точке х и радиусом 8 или ^-окрестностью
(а иногда сферической или правильнее, шаровой окрестностью)
точки х в пространстве Rn и обозначается U (х; 8); таким образом,

U(x; e.) = {y:y^Rn, р(х, у)<е}.	(18.6)

В координатной записи это определение выглядит так:

t/ (xj е) = ly -= (ylt ..., уп): У, (yi - xtf < 82} ,
1	Г= 1	1

Х = (Хх, . . . , Х„), 8 > 0.

В случае прямой, т. е. при н=1 (рис. 77) х = хь у = уъ
айоэтому

П(х; 8) = {z/: \у-х|<е}.
Таким образом, U (х\ е) является интервалом длины 2е с цент-
ром в точке х, т. е. окрестностью точки х в рассмотренном выше
смысле (см. п. 2.6).

В случае плоскости, т. е. при п = 2 (рис. 78) х = (хъ х2),
У = (Уъ Уг) и

U (х; е) == {у = (у±, у2): (уг - xj2 - (yt - Xj)2 < е2}, е > О,
т. е. £7(х; е)—круг радиуса е с центром в точке х = (хх, х2),
а в случае пространства, т. е. при п—3 окрестность точки
х = (Xi, х2, х3)

U (х; е)=

= {у = (Уъ Уг, Уз): (У1-л-)2 + (г/2-х2)2 + (г/3-х3)2<е2}, 8>0,

является шаром радиуса 8 с центром в точке (хь х2, х3).
Таким образом, понятие окрестности обобщено на

случай

n-мерного евклидова пространст-
ва Rn. Однако наряду с указанным
обобщением бывает полезно и
другое обобщение этого понятия,
а именно понятие так называе-
мой прямоугольной окрестности.

Рис. 78

х-с

X	Х+€

Рис. 77

Определение 4. Пусть х = (xlt..., xn) е Rn, б; > 0, i = 1, 2, ..., п.
Множество

Р (х; 6Ъ ..., б„) =

= {У = (У1, • ••, yn)-xi-8i<yi<xi + 8i,	1 = 1, 2,..., п} (18.7)

называется п-мерньм параллелепипедом, а точка х ~ его центром.

Определение 5. Если 61 = б2 = ... = б„ = б, то Р (х, б, б, ..., б)
называется п-мерным кубом с центром в точке х и обозначается
Р (х\ 8).

Если п = 1, то множество Р (х; б) является интервалом с цент-
ром в точке х длины 26; если п = 2, то множество Р (х; бх, б2)
является прямоугольником со сторонами, параллельными осям
координат (их длины равны соответственно 2бх и 2бг)', при п — 3
множество Р(х; бь б2, б3) представляет собой прямоугольный
параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат (их
длины соответственно равны 2бь 2б2 и 2б3).

Под n-мерным параллелепипедом, соответственно п-мерным
кубом, понимается также множество, определеннее вышеуказан-
ними условиями хотя бы в одной системе координат (а не обяза-
тельно в данной, как это было сделано выше). В дальнейшем
n-мерный параллелепипед и /i-мерный куб понимаются лишь в узком
смысле, т. е. в смысле данного выше определения при фиксиро-
ванной системе координат.

Определение 6. Всякий п-мерный параллелепипед Р (х; бх, ..., 6„)
называется прямоугольной окрестностью точки х.

Если прямоугольная окрестность точки является п-мерным
кубом, то она называется также и кубической окрестностью этой
точки.

Лемма 2. Какова бы ни была е-окрестность U (х; е) точки
х е Rn, существует ее прямоугольная окрестность Р (х;
такая, что

Р(х; 6b .... 6„)<=t/(x; s),	(18.8)

и наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность
Р (х;	..., S„) точки х е Rn, существует ее Е-окрестность

U (х; е) такая, что

U (х‘, е)<=Р(х; 6j, .... 6„).	(18.9)

Эти утверждения геометрически очевидны, при п = 1, 2 и 3.
Действительно, при п=1 понятия сферической и прямоугольной
окрестностей совпадают. При п = 2 лемма означает, что во вся-
кий прямоугольник можно поместить круг с центром в центре
прямоугольника, а во всякий круг можно вписать прямоуголь-
ник с центром в центре круга. Наконец, при п = 3 лемма озна-
чает, что во всякий прямоугольный параллелепипед можно поме-
стить шар с центром в центре этого параллелепипеда и во всякий
шар можно вписать прямоугольный параллелепипед с центром
в центре рассматриваемого шара. Нетрудно записать и доказать
эти утверждения и в аналитической форме, использовав коорди-
натную запись. Этот способ, как это сейчас будет показано,
легко обобщается и на случай произвольного /i-мерного прост-
ранства.

Доказательство леммы. Для любых точек х = (хь ..., х„)
и а = («!, ..., а„) пространства R'1 при каждом i = 1, 2, ..., п
справедливы неравенства

\xt-at |=Ср(х, a)<jx1-a1| + ... + |x„-a„|.	(18.10)

Левое неравенство получится, если в выражении р(х, а) =
= Г(*1 — ai)2 +    + (хп — й„)2 все слагаемые под корнем, кроме
i-ro, заменить нулем — в результате значение р (х, а) может только
уменьшиться.

Правое неравенство (18.10) следует из неравенства

У ®! “Ь  •. Д «1J -j-... ДI !•	(18.11)
справедливого для любых действительных чисел аг, i = 1, 2, ..., п,
и проверяемого непосредственным возведением в квадрат. Пола-
гая в (18.11) &i = Xi — at, i=l, 2, ..., п, получаем неравенство,
стоящее в правой части (18.10).

Пусть задана шаровая окрестность U (а; е) точки а. Рассмот-
рим прямоугольную окрестность Р (а; 8/п), т. е. n-мерный куб
с центром в точке а и ребром длины 2е,/п (случай п = 2 изобра-
жен на рис. 79). Если х е Р (а; е/n) и, следовательно, в силу
определения (18.7) выполняются неравенства | х,- — а,- [ i = 1,
2, ..., п, то из (18.10) вытекает и справедливость неравенства

р(х, a)sS|x1-a1| + ... + |x„-rz„|<-^-+...+^ = B.

Это означает, что хе U (а', б). Поскольку под х подразуме-
валась произвольная точка куба Р (ст, е/п), то Р (a; e/n) cz U (а\ в);
таким образом (18.8) доказано.

Пусть теперь задана прямоугольная окрестность Р (а\ бь ..., б„)
точки а. Положим е = min б, и рассмотрим шаровую
i=l,2.............................п

окрестность U (а; е) этой точки (см. рис. 80). Если хе(/(я; е)
то для любого i=l, 2, ..., п в силу (18.10) получим неравен-
ства

I Xi — di I p (x, a) < 8 < 6;,

т. e. согласно определению (18.7) x^P(a; бь ..., б„). Поскольку
х — произвольная точка шара 0 (а; 8), то U (а\ e.)czP(d; бь ...
••> Sn). О

На примере доказательства этой леммы хорошо видно, как
используя для наглядности плоский чертеж, можно проводить
доказательства в n-мерном пространстве.

От слишком поспешного использования аналогий, не под-
крепленных математическими доказательствами, предостерегает
пример, содержащийся в нижеследующем упражнении.
Упражнение!. Доказать, что при я=1, 2, 3, 4 n-мерный кубе реб-
рами, длины которых равны единице, содержится в шаре единичного радиуса
и с центром в центре куба, а при /г >- 5 аналогичное утверждение несправед-
ливо.

Определение 7. Пусть каждому натуральному числу т постав-
лена в соответствие некоторая точка х{т} е Rn (не обязательно
разные точки для разных т). Тогда множество {х(т>: т = 1, 2, ..
состоящее из точек пространства Rn с различными номерами
называется последовательностью точек этого пространства и обо-
значается

х(т\ т — \, 2, ..., или

Последовательность {«/'*)} называется подпоследовательностью
последовательности и обозначается.

х^, 6 = 1, 2, или {хСМ},

если для любого k существует такое mk, что ytk'' = х-™^, причем
если k' <Z k", то mk’ < mk«.

Определение 8. Точка х е Rn называется пределом последова-
тельности и пишется

х= lim если lim p(x(m\ х) = 0.
т —* со	т —► со

Если х— lim х(т\ то говорят, что последовательность {л/т'}
т —> со

сходится к точке х. Последовательность, которая сходится к неко-
торой точке, называется сходящейся.

Используя понятие окрестности, легко установить, что х ~
= lim x(m) тогда и только тогда, когда для любого е>0 суще-
т -*со

ствует такое те, что для всех т^т£ выполняется включение
е (j (х; Согласно лемме 2, получаем также х= lim х[т}
т-*<х>

в том и только том случае, когда для любой прямоугольной
окрестности Р (х; 61, ..., 8п) существует номер т0 (зависящий
от этой окрестности) такой, что для всех т-хт0

х^^Р(х-, 8Ъ ..., б„).	(18.12)

Конечно, при определении предела можно ограничиться и
только одними кубическими окрестностями.

В случае п = 1 определение 8 превращается в обычное опре-
деление предела числовой последовательности.

При п = 2 сходимость последовательности {х(т>} точек пло-
скости R2 к точке х е/?2 означает, что, каков бы ни был круг
с центром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего
от радиуса этого круга, все члены данной последовательности
лежат в этом круге (рис. 81). В случае п = 3 сходимость после-
довательности точек {х‘ '”*} пространства к точке х е R3 означает,
что, каков бы ни был обычный трехмерный шар с центром

в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от радиуса
шара, все члены данной последовательности лежат в этом шаре.

Как и в случае числовых последовательностей, можно ска-
зать, что lim xim> = x, x{m>^Rn, m = l, 2, ..., если всякая
m —* со

е-окрестность точки х содержит почти все точки данной после-

довательности, т. е. все, за исклю-
чением, быть может, конечного числа
их.

Понятие предела последователь-
ности {х(яг'} точек пространства Rn
может быть сведено к понятию пре-
дела числовых последовательностей,
а именно последовательностей коор-
динат точек x'm>, т=1, 2 ....

Рис. 81	Теорема 1. Для того чтобы после-

довательность x(m, = (x<m>, . . ., Х(лт))е
/п=1, 2, ..., сходилась к точке х = (хь ..., хп) е Rn, не-
обходимо и достаточно, чтобы

lim x<m) = x£, i = l, 2, .... и.	(18.13)

т —> со

Доказательство. Докажем необходимость условия (18.13).

Пусть lim xim, = x. Зафиксируем произвольное е >0; тогда,
т со

согласно (18.12) существует такое тЕ, что при всех т^тв
выполняется включение

x(m) е Р (х; е),

т. е. для любого i = 1, 2, ..., п и при т те справедливо нера-
венство

Ы”1> - Х,-|<8,

а это и означает, что

lim x<m> = х£, i = 1, 2, ..., п.
со

Докажем достаточность условия (18.13). Пусть lim x(m) = x>£;

т —* со

1 = 1, 2, ..., п, и Р(х; еъ ..., е„) — заданная прямоугольная
окрестность точки х. Тогда для каждого е,->0 (i=l, 2, ..., п)
существует такой номер т, = т;(ег), что для всех т>:гП[ выпол-
няется неравенство

| x<.m) — x£j <е£, i=l, 2, ..., п.	(18.14)
Обозначим через т0 наибольший из номеров тъ тп:
т0 — шах {ть ..., тп}\

тогда при m^me и всех i= 1, 2, ..., п будут одновременно
выполнены условия. (18.14) и, следовательно (см. (18.7)), при
т^т0 будем иметь включение

xim'> f=P(x\ еь ..., е„),

что и означает, согласно (18.12), что

lim х[т} = х. Q
771 —> СО

Из теоремы 1 и свойств пределов числовых последователь-
ностей следует, что если последовательность точек имеет предел,
то он единственен, и что всякая подпоследовательность сходя-
щейся последовательности сходится к тому же пределу, что и
вся последовательность.

Упражнение 2. Сформулировать и доказать необходимое и достаточ-
ное условие сходимости последовательности точек пространства рп, аналогич-
ное критерию Коши для числовых последовательностей.

Определение 9. Множество Е cz Rn называется ограниченным,
если существует п-мерный куб Р (О; а) с центром в начале коор-
динат О такой, что Е сд Р (О', а).

Аналогично лемме 2 доказывается, что, каков бы ни был шар
U (х', е), существует куб Р (х; б) такой, что Р (х~, б) дд> U (х; е),
и, наоборот каков бы ни был куб Р (х; б), существует шар
U (х; е) такой, что U (х; s)dP(x; б). Отсюда следует, что
можно дать еще одно эквивалентное предыдущему определение
ограниченного множества.

Определение 9'. Множество Е dRn называется ограниченным,
если существует п-мерный шар U (О', е) такой, что Е aU (О', е).

Определение 10. Последовательность точек x'm,^Rn, т =
= 1, 2, ..., называется ограниченной, если множество ее значе-
ний, т. е. {х(т>: т=1, 2, ...}, ограничено в пространстве Rn.

Если последовательность х(лг) =(х(1ш), ..., x(nm)), m=l, 2, ...,
сходится, то она ограничена, ибо каждая из координатных после-
довательностей х)т>, т = \, 2, ..., / — фиксировано (i = 1, 2, ...
..., п), в этом случае также сходится и, значит, ограничена.

Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности точек
пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность.

Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется
теоремой Больцано — Вейерштрасса.

Доказательство. Пусть задана ограниченная последова-
тельность точек х,т| = (х(1'"), ...,	т=1, 2, ..., простран-

ства Rn. Очевидно, что каждая из п последовательностей 1х(ш>1
г = 1, 2, п, также ограничена. Поэтому, согласно теореме
Больцано —Вейерштрасса (см. п. 3.6), последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность; пусть это будет
последовательность x[mk^, fei = l, 2......... Последовательность

как подпоследовательность последовательности {х2т)},
также ограничена и, значит, содержит сходящуюся подпоследо-
вательность. Пусть ею будет последовательность x^mk^, /г2 = 1,
2, .... Последовательность	как подпоследовательность

сходящейся последовательности {х(т*Д очевидно, также будет
сходящейся. Продолжив это рассуждение, через п шагов полу-
чим п сходящихся последовательностей ]хр*л^|, i=l, 2, ..., п,
каждая из которых является подпоследовательностью, соответст-
венно последовательности Тогда, согласно теореме 1 после-
довательность точек {хСМ} пространства R" будет также схо-
дящейся. QJ

Иногда бывает удобно рассматривать последовательности точек,
стремящиеся к бесконечности.

Определение 11. Последовательность точек xim'!^Rn, т = 1,
2	, называется стремящейся к бесконечности, если расстояние

ее членов от начала координат О = (0, 0, ..., 0) стремится
к бесконечности, т. е. если

lim р(х(яг), О) = -{-со	(18.15)

т —> со

В этом случае пишут

lim x(m) = сю
т—>со

Поскольку для любой точки а е Rn в силу неравенства тре-
угольника

р (х(яг), О) sgp (х(яг), а)-фр (а, О)

справедливо неравенство

р (х^т), а) 5s р (х(т), О)— р(а, О),

то при выполнении условия (18.15) имеем: lim р (x(m), а) = -Д сю,
т -* со

т. е. если lim x(m) = oo, то расстояния от точек последователь-
т -> со

ности {х(т*} до любой фиксированной точки а е Rn стремятся
к бесконечности.

Отметим, что, если lim x(m) = oo, то у точек х(т) существует
т —*со

по крайней мере одна координата, которая также стремится
к бесконечности при т—>-сю. Действительно, если lim x(m> = oo,
tn -> со
то например для каждого р = 1, 2, ... существует такой номер
тр, что для всех m^-.mP выполняется неравенство

Р(Х^), О)=уХ(т)‘ + ... + xw > р>

откуда в силу (18.11) следует, что

|х<->| + ... + |х<т)|>р.	(18-16)

Поэтому при данном р найдется такая ьая координата, t= 1,
2, ..., п, что для нее будем иметь

В противнбм случае,
бы место неравенство

т. е. если для всех i= 1, 2, ..., п имело

x(m) |<Z

I I п

то не выполнялось бы неравенство (18.16). Номеров координат
конечное число, а поэтому один из них, обозначим его через f0,
при р=1,2, ... будет повторяться бесконечно много раз, т. е.
найдется такая подпоследовательность pk натуральных чисел, что
при всех т>-рк, k=\, 2, ..., будем иметь: | xW j pk/n.
Поскольку lim (pk/n) =4-00, то для указанного i0 получим

/г—* со

lim = 00.
io
m—*co

18.2. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МНОЖЕСТВ

В настоящем пункте рассматриваются вопросы, вспомогатель-
ные для дальнейшего изложения математического анализа и свя-
занные с геометрией n-мерного пространства.

Определение 12. Пусть Е — некоторое множество точек евкли-
дова пространства Rn. Точка х^Е называется внутренней точ-
кой множества (относительно пространства Rn), если существует
^-окрестность этой точки, содержащаяся во множестве Е, т. е.
существует такое е>0, что U (х\ е) cz £.

Определение 13. Множество, каждая точка которого является,
его внутренней точкой (относительно рассматриваемого простран-
ства E"), называется открытым множеством.

Следует иметь в виду, что одна и та же точка одного и того
же множества может быть его внутренней точкой относительно
одного пространства, содержащего это множество, и не быть внут-
ренней точкой рассматриваемого множества относительно другого
пространства, также содержащего это множество. Рассмотрим,
например, пространство R^y, т. е. плоскость с некоторой фикси-
рованной системой декартовых координат, которые будем обозна-
чать х и у. Ось х-ов этой плоскости, как всякая числовая- ось,
является евклидовым пространством Rx. Каждая точка какого-
либо интервала (а, &) этой оси, т. е. множество точек

{(х, у) \ а<х<Ь, у = 0}

Рис. 82

Если z е U (у, 6) и,
венство треугольника и

плоскости Rxy, является внутренней точкой этого интервала отно-
сительно указанного пространства Rlx (оси х-ов) и не является
внутренней точкой этого интервала относительно всей плоско-
сти Rxy. Тем самым интервал (а, Ь) является открытым множе-
ством пространства Rlx и не является
открытым множеством пространства Ry.
Важный класс открытых множеств
устанавливается следующей леммой.

Лемма 3. Всякая к-окрестносшь
U (х; е) любой точки х е Rn является
открытым множеством.

Доказательство. Пусть задана
некоторая окрестность U (х; е) и пусть
у е U (х; е). Положим

6 = е — р (у, х) (13.17)

и покажем, что U (у; 8)ceU(x; е)
(рис. 82).

значит, р(г; у)<б, то, применив нера-
(18.17), получим

р(г, x)-=sp(z, у) + р(у, х)<6 + р(г/, х) = е,

т. е. ze(/(x; е). В силу того что г — произвольная точка мно-
жества U (у, б), это означает, что U (у, 8)c=U(x', е). Q

Открытые множества пространства Rn будем обозначать боль-
шей частью буквой G.

Упражнение 3. Доказать, что множество внутренних точек всякого
множества является открытым множеством.

Лемма 4. Пересечение конечного числа, так же как и объеди-
нение любой совокупности открытых множеств являются откры-
тыми множествами.

Доказательство. Пусть бх, б2, ..., б* —открытые мно-
k

жества пространства Rn. Если их пересечение Q б, —пустое
/=1

множество, то оно является открытым ибо его множество внут-
ренних точек пусто и, следовательно, совпадает с самим пе!эесе-
чением. Если же указанное пересечение не пусто и xg Q б7,
/=1
то, в силу открытости множеств Gy, для каждого / = 1, 2, k
существует такое е,- >> 0, что U (х; е,-) cz G,. Полагая е =
=	efc}, получим, что для каждого / справедливо

включение U (х, е) cz G,- (/ = 1, 2, ..., k). Следовательно, U(x, е) cz
k

cz Q Gj, t. e. точка x является внутренней для пересечения
/=i
k

Р| Gj. Поскольку x — произвольная точка этого пересечения, оно
/=1
является открытым множеством.

Пусть теперь дана произвольная система открытых множеств
{Ga\, иеЯ, где 21 — некоторое множество индексов, и G= |J Ga.

as st

Покажем, что G —открытое множество. Действительно, какова бы
ни была точка х eG, существует такой индекс а0 е 21, что
х е Ga„. Поскольку Ga„— открытое множество, то найдется такое
е>0, что U (х\ е) cz Ga„. Но тогда U (х, е) cz |J Ga = G, т. е.

as?[

х — внутренняя точка множества G, и значит это множество
открыто. □

Очень удобным оказывается следующее определение.

Определение 14. Всякое открытое множество, содержащее
точку называется ее окрестностью.

Окрестность точки х будет обычно обозначаться через U = U(х),
быть может, с теми или иными индексами.

Замечание. Во всякой окрестности U (х) точки х, очевидно,
содержится как сферическая, так и прямоугольная окрестность
этой точки. Далее, при понимании окрестности точки в смысле
определения 14 сохраняется и аналог свойства (18.12), т. е.
точка х является пределом последовательности {х|т)} тогда и
только тогда, когда для каждой ее окрестности U (х) существует
такой номер т0, что для всех т;>т„ выполняется включение
х{т> е U (х).

Определение 15. Точка х е Rn называется точкой прикоснове-
ния множества Е cz Rn, если любая окрестность этой точки
содержит по крайней мере одну точку множества Е.

Очевидно, что каждая точка множества Е является его точ-
кой прикосновения, ибо всякая окрестность точки х е Е содер-
жит саму точку х. Вместе с тем могут, конечно, существовать
и точки прикосновения данного множества, не принадлежащие
ему (например, концы интервала на прямой являются его точ-
ками прикосновения).

Упражнение 4. Доказать, что для того чтобы точка х е Rn была
точкой прикосновения множества Е a Rn, необходимо и достаточно, чтобы
существовала последовательность точек х,т1 ^Е, т=1, 2, ..., такая, что
lim х1т>=х.

m-t-co
Определение 16. Если у точки х^Е существует окрестность,
не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой
точки х, то эта точка называется изолированной точкой мно-
жества Е.

Определение 17. Точка x^Rn называется предельной точкой
множества Е, если любая окрестность точки х содержит по
крайней мере одну точку множества Е, отличную от х.

Очевидно, что предельная точка является точкой прикосно-
вения.

У всякой точки прикосновения х0 множества Е либо суще-
ствует окрестность, содержащая лишь одну точку из Е (в этом
случае этой точкой является сама точка х0), либо такой окрест-
ности нет, т. е. в каждой окрестности точки х0 имеется по край-
ней мере две точки множества Е (следовательно, по крайней
мере одна из них отлична от х0). Поэтому всякая точка прикос-
новения множества Е является либо его изолированной точкой,
либо его предельной точкой (в последнем случае она может как
принадлежать, так и не принадлежать самому множеству).

Примеры. Пусть п = 1, £ = (0, 1) —интервал. Каждая точка
отрезка [0, 1] является точкой прикосновения и предельной точ-
кой множества Е, при этом точки 0 и 1 не принадлежат самому
множеству Е. Если Е = [0, 1] —отрезок, то множество точек при-
косновения множества Е совпадает с самим множеством. Нако-
нец, если множество Е состоит из интервала (0, 1) и точки 2,
т. е. £ = (0, 1) (J {2}, то точка 2 является его изолированной
точкой, а множеством его точек прикосновения будет [0, 1](J {2}.

Определение 18. Совокупность всех точек прикосновения мно-
жества Е с Rn называется замыканием множества Е и обозна-
чается Е.

Как уже отмечалось, каждая точка множества £ является
его точкой прикосновения, поэтому

£с£.	(18.18)

Определение 19. Множество Е называется замкнутым, если
Е — Е, т. е. если оно содержит все свои точки прикосновения.

Например, при п=1 интервал (0, 1) не является замкнутым
множеством, а отрезок [0, 1] —замкнутое множество.

Все пространство и пустое множество являются единственными
в Rn одновременно замкнутыми и открытыми множествами (про-
верьте это).

Поскольку всякая точка прикосновения множества является
либо его предельной, либо его изолированной точкой, а изоли-
рованная точка в силу самого своего определения принадлежит
множеству, то требование принадлежности каждой точки прикос-
новения к множеству эквивалентно требованию принадлежности
к этому множеству каждой его предельной точки. Иначе говоря,
множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит
все свои предельные точки.

Упражнение 5. Пусть Е с. Rk с. Rn. Доказать, что является
точкой прикосновения множества Е в пространстве Rn тогда и только тогда,
когда она принадлежит пространству Rk и является в нем точкой прикоснове-
ния множества Е.

Отсюда следует, что множество Е является замкнутым множеством про-
странства Rk тогда и только тогда, когда оно является замкнутым множеством
пространства Rn. Таким образом, свойство множества быть замкнутым в неко-
тором пространстве Rn является его «внутренним» свойством, т. е. свойством,
которое не зависит от выбора пространства Rn, в котором лежит рассматри-
ваемое множество. Как было отмечено выше, свойство множества ‘быть откры-
тым не является «внутренним» свойством в указанном смысле, одно и то же
множество может быть открытым в одном пространстве Rn и не быть откры-
тым в другом.

Отметим следующее очевидное свойство замкнутых множеств.

Если А —замкнутое множество, а {х^} — сходящаяся после-
довательность, все члены которой принадлежат множеству А:
х,т‘ ^ А, т=1, 2, ..., то ее предел также принадлежит мно-
жеству А.

Действительно, если х|0)= lim х(т\ то из определения пре-
га—*со

дела последовательности точек следует, что в любой окрестности
точки х'0) имеются точки данной последовательности (и, более
того, там лежат почти все точки последовательности, т. е. все за
исключением конечного числа их), являющиеся, по предположе-
нйю, и точками множества А. Таким образом, точка х,0) является
точкой прикосновения множества А, и поскольку Л —замкнутое
множество, то х'0' е А.

Лемма 5. Точка прикосновения замыкания множества является
и точкой прикосновения самого множества.

Следствие. Замыкание всякого множества является замкнутым
множеством.

Доказательство леммы. Пусть Е az R'\ Е — замыкание
множества Е и х — точка прикосновения множества Ё, т. е. х.^Е.
Покажем, что х <= Ё.

Из условия х е Ё следует, что любой окрестности U = U (х)
точки х принадлежит хотя бы одна точка у множества Е:
у П £. Поскольку U, как всякая окрестность, является откры-
тым множеством, то она является и окрестностью содержащейся
в ней точки у. Но у е Ё, следовательно, в любой окрестности
точки у, в частности —в U, имеется точка г из множества Е:
z^U \\Е.

Итак, в любой окрестности U точки х е Е имеется точка из Е.
Это и означает, что х является точкой прикосновения множества
Е : х ^ Ё. (3

Доказательство следствия. В лемме 5 доказано, что

Е <= Е,
<2Л =

и так как согласно (18.18), Е cz Е, то

Т =	(18.19)

Примеры. 1. Всякий /1-мерный шар

Q// = |x=(xb .... х„) : J] (х; — а,)* <	(18.20)

является открытым множеством (см. лемму 1), поэтому его часто называют
также п-мерным открытым шаром. Множество же

п	)

х=(хь .... х„): 2 (х,— а{)*^г*\,	(18.21)

замкнуто, так как нестрогие неравенства сохраняются при предельном пере-
ходе. Оно является замыканием открытого шара Qn и называется п-мерным
замкнутым шаром. В случае п = 2: С2 —открытый круг, Q2—замкнутый круг;
в случае n=l: Q1 — интервал, Q1 —отрезок.

2. Замкнутый шар Qn получается из открытого шара Qn присоединением
к нему множества
п

х„): У} (rz-az)2 = r2

i= 1

называемого (п— \)-мерной сферой радиуса г с центром в точке a = (at ... , ап)
и обозначаемого S”-1. В случае п = 2: S1 — окружность, в случае /1=1: S0 —
пара точек.

Сфера

S (х;-я;)2 = Д	(18.22)

= 1	I

также дает пример замкнутого множества (почему?)

Заметим еще, что «-мерный шар радиуса 1 с центром в начале Координат
обычно называется п-мерным единичным шаром (замкнутым или открытым),
а (п—1)-мерная сфера радиуса 1' с центром в начале координат — (и—1)-мер-
ной единичной сферой.

Определение 20. Для всякого множества Е cz Rn множество
Rn\E называется его дополнением в пространстве Rn (см. п. 1.1).

Лемма 6. Для того чтобы множество было открытым,-необ-
ходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнутым.

Доказательство необходимости. Пусть G — открытое
множество. Тогда никакая точка ,t eG не является точкой при-
косновения его дополнения F — Rn\G, так как множество G,
будучи открытым, является окрестностью точки х и не содержит
точек множества F. Следовательно, все точки прикосновения мно-
жества F содержатся в F, что и означает замкнутость множе-
ства F.

Доказательство достаточности. Пусть F является
замкнутым множеством и пусть хе G = В силу замкну-
тости F точка х не является его точкой прикосновения, поэтому
существует ее окрестность U (х), не пересекающаяся с множе-
ством F и следовательно, такая, что U (х) cz G. Таким образом,
любая точка множества G является внутренней, т. е. G открыто. Ц

Следствие 1. Множество замкнуто тогда и только тогда,
когда его дополнение открыто.

Это сразу следует из леммы 6, так как если множество В
является дополнением множества А в Rn, т. е. В = Rn\A, то и
наоборот множество А является дополнением В в Rn: A = R'l\B.

Следствие 2. Пересечение любой совокупности и объединение
конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми мно-
жествами.

В самом деле, пусть Fa — замкнутые множества, тогда по
лемме 6 множества Ga = Rn\Fa, а е 91, являются открытыми.
Согласно формуле (1.1) имеем:

П f а = А (Я"ХСа) =	U G-

а	а	а

Множество [J Ga. по лемме 4 открыто как объединение открытых
а

множеств. Следовательно, его дополнение Q Fa = -R"\.U Ga>
а	а

согласно лемме 6 замкнуто.

Аналогично с помощью формулы (1.2) доказывается замкну-
тость объединения конечного числа замкнутых множеств. Q

Упражнение 6. Доказать, что если G —открытое множество, a F —
замкнутое, G с Rn, F cz Rn, то G\F—открытое множество.

Лемма 7. Пусть А и В —замкнутые непересекающиеся мно-
жества из Rn и множество А ограничено; тогда существует такое
число d>0, что для любых двух точек хе А и у еж В выпол-
няется неравенство р (х, у) d.

Доказательство. Допустим, что такого числа d не суще-
ствует. Тогда для любого т—\, 2, ... существует пара точек
х1т) е А и е В таких, что р(х(т), yimi)<;l/m. Поскольку
А — ограниченное множество, то из последовательности {х<т)}
можно выделить сходящуюся подпоследовательность Пусть
lim = х1°’. В силу замкнутости множества А имеем
k —

Из неравенства

р(?°>, у(т*У)^р(х(0>, х^ + рСх^), у<т^)<р(х(0), х(т^ + ~

следует, что lim р(х(01, у(т*)) = 0. Поэтому точка х(0' является
/г—-о

дракой прикосновения множества Вив силу его замкнутости
х^ ^-В. Таким образом, х1”1 е А и х0|еВ, а это противоречит
тому, что А и В не пересекаются. Q
Определение 21. Для двух множеств Ех и £2 величина

р(£ь £2) = inf р(х, у)
х^Е„ уе.Е2

называется расстоянием между Ег и £2. В частности, если Е±
состоит из одной точки х, то р (£i, £2) = р(х, £2) называется
расстоянием от точки х до множества Ег.

Применяя этот термин, лемму 7 можно сформулировать сле-
дующим образом.

Если два замкнутых множества не пересекаются и по край-
ней мере одно из них ограничено, то расстояние между ними по-
ложительно.

Упражнение 7. Привести пример двух непересекающихся замкнутых
множеств, расстояние между которыми равно нулю.

Лемма 8. Если А — замкнутое множество, A cz Rn, хе Rn и
р (х, 4) = d, то существует такая точка у^А, что р (х, у) = d.

Доказательство. Если р (х, А) = inf р (х, у) = d, то для
г/еЛ

любого т=1, 2, ... найдется такая точка	что

р(х,у(т))<Д + ^-. Очевидно, для каждого т справедливо вклю-
чение у(т) е £ (х, Д-4-1), а поэтому последовательность
ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность Пусть lim y^mk) = yW, В силу замк-
k —+ со

нутости множества А имеем у(0) е А; далее

Р (х, ут) < р (х,	+ р	у^) < d + ~ + р у(0>).

Ill'k

Переходя здесь к пределу при &-»-оо, получим р (х, y,0,)'Cd.
С другой стороны, р (х, y(0))Zsp(x, A) = d, следовательно,
р(х, ym) = d. □

Определение 22. Точка х е Rn называется граничной точкой
множества Е cz Rn, если в любой ее окрестности существуют
точки, как принадлежащие множеству Е, так и не принадлежа-
щие ему. Совокупность всех граничных точек множества Е назы-
вается его границей и обозначается дЕ.

Очевидно, что дЕ cz £. При этом каждая точка прикосновения
множества £ является либо его граничной точкой,_ либо его
внутренней точкой — других возможностей нет, поэтому £ = £ Цд£.

Если G —открытое множество, то в объединении G = G U dG
G и dG не пересекаются.

Действительно, поскольку множество G открыто, всякая его
точка является внутренней и тем самым не принадлежит его
границе.

Примеры. Пусть п = 2, Q2 = {(хь х2) : xf + x.'i < 1} — открытый
круг. Если £ = Q2, то любая точка окружности S1=={(x1, х2): х[ +
+ х|=1} является граничной точкой множества Е и других гра-
ничных точек нет, т. е. S1 = dE. В этом случае граница мно-
жества Е не принадлежит ему.

Пусть Е = Q2 — замкнутый круг, и в этом случае окружность
S1 является границей для Е, причем теперь дЕ gz Е.

Наконец, если E = S1 — окружность, то каждая точка мно-
жества Е является его граничной точкой и других граничных
точек нет, т. е. Е = дЕ.

Вообще, (п — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как
n-мерного открытого шара (18.20), так и замкнутого (18.21),
а также совпадает со своей собственной границей (почему?)

Упражнения. 8. Доказать, что для того чтобы множество А с. Rn
было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы дА с. А.

9. Доказать, что дЕ = дЕ.

Для дальнейшего нам понадобится еще понятие кривой в п-
мерном пространстве. Для этой цели обобщим данное выше опре-
деление кривой в трехмерном пространстве, не касаясь вопроса
о преобразовании параметра.

Определение 23. Множество точек х = (х1, ..., хп) простран-
ства Rn, координаты которых заданы как непрерывные функции
Xi = xi(t), 1 = 1, 2, ..., п, определенные на некотором отрезке
[а, &], называется непрерывной кривой в пространстве Rn. Аргу-
мент t называется параметром кривой. Точка х(а) — (х1(а), ...
..., хп (а)) называется началом, а точка х (Ь) = (хг(Ь),..., хп (&)) —
концом данной кривой.

Все сказанное в п. 16.1 и 16.2 о кривой в трехмерном про-
странстве можно естественным образом перенести и на общий
n-мерный случай, но мы не будем на этом останавливаться. Важ-
ным для дальнейшего является понятие прямой в /i-мерном про-
странстве.

Определение 24. Пусть = (Ч01, ..., х'п') е Rn и аь ..., ап—
п

некоторые фиксированные числа У, а} > 0. Множество точек х =
i = 1

= (Xi, ..., хп) пространства Rn, координаты которых представимы
в виде

Xi = x't' + «Л 1 = 1,2,...,», —со <Z t <Z + оо,

называется прямой в пространстве Rn, проходящей через точку х'0).

Часть прямой, соответствующая изменению параметра t в не-
котором отрезке [а, &], называется прямолинейным отрезком (пря-
мой), а ее часть, соответствующая изменению параметра в беско-
нечном промежутке t а, — лучом. Очевидно, что в случае п = 3
получается прямая, соответственно отрезок или луч, в обычном
трехмерном пространстве, a (ai, a2> «з) является направляющим
вектором этой прямой. Если даны две различные точки (х{, ... ,х'п)
и (x'i, ..., х'п), то уравнение прямой, проходящей через эти точки,
имеет вид

Xi — х'( + {х'с — Xi) t; i=l, 2, п; — co <;/•< +co.

Определение 25. Множество Е с. Rn, любые две точки кото-
рого можно соединить целиком лежащей в нем непрерывной кри-
вой, называется, линейно связным *'.

Иначе говоря, множество Е называется линейно связным, если,
каковы бы ни были точки х(1) е £ и х{2) е Е, существует непре-
рывная кривая x(t) = {xi{t)-,	такая, что ее началом

является точка х(1), т. е. х(а)='х(1), концом —точка х<2), т. е.
х(Ь) = х{2\ и все точки этой кривой принадлежат множеству Е,
т. е. х (i) е Е для всех t е [а, &].

Примерами линейно связных множеств являются точка, отре-
зок, а примером линейно несвязного множества —пара различных
точек.

Лемма 9. Если линейно связное множество пересекается с не-
которым множеством и с его дополнением в Rn, то оно пересе-
кается и с границей этого множества.

Доказательство. Пусть А — линейно связное множество
A cz Rn, В — некоторое множество, В с R", и пусть пересечения
А П В и A (7?"\В) не пусты. Пусть е A Q В и х(2)еД f| (7?"\В).
Поскольку А — линейно связное множество, то существует такая
непрерывная кривая x(t), as^t^b, что х(а) = х11), х(6) = х(2) и
x(t)<=A для всех t^[a; &]. Обозначим через т верхнюю грань
тех t е [а, Ь], для которых х (I) е В. Очевидно, а -Ст-С ft. В лю-
бой окрестности точки х(т) содержатся как точки, принадлежа-
щие В, так и не принадлежащие В (почему?). Следовательно,
х(г)^дВ. Поскольку х(т)еЛ, пересечение дВ f) А не пусто.

Определение 26. Открытое линейно связное множество назы-
вается областью. **}

Примеры. В случае п= 1 всякий интервал является областью,
а множество, состоящее из двух или более непересекающихся
интервалов (рис. 83), хотя и пред-
ставляет собой открытое множе-
*	"*	“	ство, но не является областью.

В случае п = 2 всякий откры-
Рис- 83	тый круг есть область, а множе-

ство, состоящее из двух или бо-
лее непересекающихся открытых кругов (рис. 84), хотя и
открыто, но не является областью, так как две точки х и у,

*’ Кроме понятия линейной связности в математике существует
связности множества, которое в нашем курсе не рассматривается.

**> Не следует смешивать понятие области определения функции
тие области в смысле этого определения.

понятие

и поня-
принадлежащие разным кругам, нельзя соединить непрерывной
кривой, лежащей целиком внутри рассматриваемого множества.
Всякий п-мерный открытый шар является областью.

Определение 27. Область, люб
соединить отрезком, целиком в ней
областью.

Всякий п-мерный открытый
шар является выпуклой областью.

Определение 28. Множество,
лежащее в пространстве Rn и яв-
ляющееся замыканием некоторой
области, называется замкнутой
областью.

Замкнутый п-мерный шар яв-
ляется замкнутой областью.

ые две точки которой можно
лежащим, называется выпуклой

Рис. 84

Упражнение 10. Построить пример невыпуклой области.

Задача 15 (теорема Жордана *’). Доказать, что всякий простой контур
(см. п. 16.1) на плоскости разбивает плоскость на две области (ограниченную
и неограниченную); это означает, во-первых, что он является границей каждой
из этих областей, во-вторых, что никакие две точки, принадлежащие различ-
ным указанным областям, нельзя соединить кривой, не пересекающей данный
контур.

18.3 КОМПАКТЫ

В этом пункте будут рассмотрены некоторые свойства мно-
жеств, называемых компактами и играющих важную роль в ана-
лизе.

Определение 29. Множество A cz Rn называется компактом,
если из любой последовательности его точек можно выделить схо-
дящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит мно-
жеству А.

Важное свойство, характеризующее компакты в Rn, устанав-
ливается следующей теоремой.

Теорема 3. Для того, чтобы множество Е cz Rn было компак-
том, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и
замкнутым.'

Доказательство необходимости. Пусть A cz Rn и
А — Компакт. Если множество А было бы неограниченным, то
для любого натурального числа т нашлась бы такая точка
что р (О, x'"!l)>nz (nz=l, 2, ...). Здесь, как всегда,
д = (0, 0, ..., 0). Очевидно, lim лЗт) = оо. Поэтому любая под-

ГП->СО
последовательность последовательности {х(т)} также имеет пре-
делом оо, и, следовательно, из нельзя выбрать сходящуюся
подпоследовательность, что противоречит тому, что А — компакт.
Итак, А — ограниченное множество.

*’ К- Жордан (1838—1922) —французский математик.
Если множество А не было бы замкнутым, то существовала бы
его точка прикосновения х, которая ему не принадлежала бы
х ф А. Для этой точки нашлась бы такая последовательность

gz А, т=1, 2, ..., что limx(m) = x. Поэтому любая ее под-
zn-*co

последовательность также имела бы своим пределом точку х ф А,
т. е. множество А снова не было бы компактом. Следовательно,
А — замкнутое множество.

Доказательство достаточности. Пусть Е — ограни-
ченное замкнутое множество и — какая-либо последователь-
ность его точек: x(m) <= Е (т=1, 2, ...). В силу ограниченности
множества Е эта последовательность также ограничена. Следова-
тельно, по теореме 2 п. 18.1, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность	Обозначим ее предел через х:

Нтх^=х. Очевидно х — точка прикосновения множества Е,
k—>со

ибо х^т^ е £, а поскольку Е — замкнутое множество, то хеЕ,
т. е. Е действительно компакт. Q

Доказанная теорема позволяет легко устанавливать компакт-
ность многих часто встречающихся множеств, например, отрезков,
замкнутых шаров и параллелепипедов, сфер в пространствах Rn
любой размерности — все перечисленные множества, будучи огра-
ниченными и замкнутыми, являются компактами. Так же легко
с помощью теоремы 3 устанавливается и некомпактность многих
множеств. Например, конечные интервалы, не будучи замкнутыми,
а бесконечные, не будучи ограниченными множествами, не яв-
ляются компактами.

Отметим, что в силу той же теоремы 3, лемму 7 из п. 18.2
можно сформулировать следующим образом: если два замкнутых
множества не пересекаются и по крайней мере одно из них яв-
ляется компактом, то расстояние между ними больше нуля.

Прежде чем перейти к другим характеристическим свойствам
компактов, введем ряд определений и докажем одно вспомога-
тельное утверждение.

Последовательность «-мерных кубов {Q*}, #=1, 2, .... назы-
вается последовательностью вложенных кубов, если

Qi о Q2 о ... о Qk о Qk+1 ...

Лемма 10. Для последовательности замкнутых вложенных кубов
{Q*}, длины ребер которых стремятся к нулю при £->оо, сущест-
вует одна и только одна точка, принадлежащая всем кубам рас-
сматриваемой последовательности.

Доказательство. Пусть кубы

Qk = {x = (xi):a^^xl + d(ft); i=l, 2, ...,«}	(18.23)

с ребрами длин d(A) образуют последовательность вложенных
кубов*’ и пусть lim = 0. Тогда отрезки [а(/г>, а^ +
k —► со

k=l, 2, образуют систему вложенных отрезков, длины d^'1
которых стремятся к нулю при &->оо. Поэтому существуют и
притом единственные числа такие, что при фиксированном
i=l, 2, ...,п и любом k=l, 2, ... имеет место включение е
е[а®,	+ dm[ Отсюда следует, что точка g = (li, .... 1п)

принадлежит всем кубам рассматриваемой последовательности
S е Q/;, k = 1, 2, ..., и эта точка единственна.

Определение 30. Пусть Е cz Rn. Система

Q = {£'„},	21	(18.24)

множеств £aczZ?n (21 = {а} — некоторая совокупность индексов а)
называется покрытием множества Е, если

Е cz (J Еа.

ае Д

Таким образом, система (18.24) называется покрытием мно-
жества Е, если каждая точка этого множества принадлежит хотя
бы одному множеству Еа системы Q.

Покрытие (18.24) множества Е, состоящее из конечного числа
множеств Еа, называется конечным покрытием этого множества.

В случае, когда все множества системы Q открытые, покры-
тие Q называется открытым покрытием множества Е.

Теорема 4. Для того чтобы множество Е cz Rn было компак-
том, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого
покрытия можно было выделить конечное покрытие.

Доказательство необходимости. Пусть Л—-компакт
и пусть система

Q = {Ga}, ссе21	(18.25)

— его открытое покрытие. Допустим, что из этого покрытия
нельзя выделить конечного покрытия компакта А. Согласно тео-
реме 3 из того, что множество А является компактом, следует,
что оно ограничено. Поэтому существует замкнутый куб Q, содер-
жащий множество А.

Пусть

Q = \х = (xz): at sc xt ==£ + d, i = 1, 2, ..., n}.

Разобьем куб Q на 2n равных замкнутых кубов Qj, определяемых
набором п неравенств вида

o-i + у  Xi - ai + d или ai - xt - ai + y

Напомним, что мы договорились (см. п. 18.1) под кубом всегда пони-
мать лишь кубы, задаваемые неравенствами вида (18.23) при данной фиксиро-
ванной системе координат,
(на рис. 85 изображен случай, когда п = 2), тогда

(18.26)

Система (18.25) образует открытое покрытие каждого из мно-
жеств А ПО.; (/=1, 2, ..., 2"). Среди этих множеств существует
такое непустое множество — обозначим его через -A П Q,t — , что
из покрытия (18.25) нельзя выделить конечное покрытие этого
множества —в противном случае из системы (18.25) можно было
бы в силу равенства (18.26) выделить конечное покрытие и

всего множества А, что противоре-
чило бы сделанному предположению.

Разобьем куб Q/, снова на 2п
равных замкнутых кубов Qjj (/ = 1,
2, ..., 2"). Обозначим через Q/,/a тот
из кубов Qu, пересечение которого
с компактом А нельзя покрыть ко-
нечным числом множеств системы О
и т. д. В результате получим после-
довательность вложенных замкнутых
кубов

г1'2 • • 4 -’ • • • •

(18.27)

длины ребер которых равны, соответственно, Д/2, d/4,	, d/2k,...,

и, следовательно, стремятся к нулю при fe-н^оо.

Каждый из кубов Q// ./ последовательности (18.27) обладает
тем свойством, что из системы (18.25) нельзя выделить конечное
покрытие непустого множества

jv принимает одно из значений 1, 2, 3, ..., 2"; v = l, 2, ..., k;
k=l, 2, .... Согласно лемме 10 существует, и притом единствен-
ная, точка I, принадлежащая всем кубам системы (18.27).
Поскольку ребра кубов этой системы стремятся к нулю и каж-
дый куб имеет непустое пересечение с множеством Л, то в любой
окрестности точки £ имеются точки множества А. Действительно,
заметим, что диагональ куба Qi\i2...ik равна d]An/2k. Далущ
каково бы ни было е>0 выберем k0 так, что

dK«/2*°<e.

(18.28)

Это возможно,
точка х <= Q,

ибо lim " = 0. Теперь, замечая, что люба®
fe —* оо 2*

. находится от точки Е е ... на рас-
стоянии, не превышающем диагонали куба ... jk, будем иметь

Это означает, что х лежит в е-окрестнос.ти точки Н. Следовательно,
весь куб Qj^j , в том числе и его точки, принадлежащие мно-
жеству А, содержатся в рассматриваемой е-окрестности точки Е-.
Таким образом, £ является точкой прикосновения множества А.
Согласно же теореме 3, множество А, будучи компактом, замк-
нуто, и поэтому СЕ /1.

Построенная вспомогательная последовательность кубов (18.27)
легко позволяет доказать невозможность выполнения сделанного
предположения о том, что из покрытия (18.25) компакта А нельзя
выделить конечного покрытия этого компакта. В самом деле,
поскольку система (18.25) является покрытием множества А, то
существует такой индекс	что сеСг/1. Множество Ga„

открыто, следовательно, найдется такое число е > 0, что е-окре-
стность (7 (1; е) точки £ будет целиком содержаться в Ga„\

L/(g; e)<=Gao.	(18.29)

Заметим теперь, что для любого е>0, в частности для е,
удовлетворяющего условию (18.29), найдется, как показано выше,
такой номер /е0, что будет выполнено включение

е).	(18.30)

Из (18.29) и (18.30) имеем

А П Q/v /а... 4, <= Q/j2 ... 4о <= U (В, е) <= G%1,

и, следовательно, из системы (18.25) можно выделить конечное
покрытие множества A Q Qij2... jk , а именно покрытие, состоящее
только из одного множества Gao. Это противоречит допущению
в соответствии с которым выбраны кубы Qj1i2...jk- Таким обра-
зом предположив, что из системы (18.25) нельзя выделить конеч-
ного покрытия компакта, мы пришли к противоречию. Тем самым
необходимость условия доказана.

Доказательство достаточности. Пусть £ cz Rn и пусть
из любого открытого покрытия множества Е можно выделить
конечное покрытие. Допустим, что Е не является компактом.
Это согласно определению -29 означает, что существует последо-
вательность cz £, m= 1, 2, ..., из которой нельзя выделить
сходящуюся к некоторой точке из Е подпоследовательность. Сле-
довательно, какова бы ни была точка х = £, она не является
частичным пределом последовательности Поэтому у каждой
точки х^Е найдется окрестность — обозначим ее через Gx, содер-
жащая лишь конечное число элементов последовательности {х1"1'};
в противном случае из последовательности можно было бы
выделить сходящуюся к х подпоследовательность (если все эле-
менты последовательности {х^}, лежащие в Gx, таковы, что
т0 из T0r0j чт0 этих элементов лишь конечное число,
очевидно, следует, что у точки х можно выбрать даже такую
окрестность, которая вовсе не будет содержать элементов после-
довательности

В силу выбора окрестностей Gx, каждая точка х множества
Е принадлежит соответствующей окрестности:, х е Gx. Поэтому
совокупность Q = {Gx}, х е Е, всех таких окрестностей образует
открытое покрытие множества Е. Согласно условию теоремы, из
него, можно выделить конечное покрытие. Пусть им будет

=	..., GXk}.

Каждый элемент этого покрытия содержит лишь конечное
число членов последовательности Следовательно, все эле-
менты покрытия Qo также содержат лишь конечное число членов
последовательности {%<"*>}. Это, однако, невозможно, так как покры-
вая все множество Е, элементы конечного покрытия Но должны
содержать все члены последовательности	которых беско-

нечно много. Полученное противоречие доказывает достаточность
условий теоремы. Q

Замечание. Необходимость условий теоремы, т. е. утверж-
дение, что из всякого открытого покрытия компакта можно
выделить конечное покрытие, обычно называют леммой Гей-
не-Бореля*'.

Подчеркнем, что в теореме 4 существенным является то, что
рассматриваются покрытия, состоящие именно из открытых мно-
жеств. Так, например, из покрытия отрезка [0, 1] (который, как
уже отмечалось, будучи ограниченным замкнутым множеством,
является компактом) отрезками [!/(«+1), 1/и], п=1, 2, и
отрезком [—1, 0] нельзя выделить конечного покрытия. Это
объясняется тем, что здесь покрытие состоит не из открытых,
а из замкнутых множеств.

Упражнение 11. Доказать, что для любого конечного
открытого покрытия Q = {Gft) (k=l, 2, ..., tn) компакта А с Rn
существует такое число I >> 0, что каково бы ни было множество
Ес А, для которого sup р(х, у)^1, существует такой элемент
х, уеЕ

Gk0 покрытия Q, что Е с Gua.

В заключение этого пункта докажем еще одно вспомогательное
утверждение. Предварительно введем следующее обозначение: для
всякого множества Е cRn обозначим через £п, где т] >- 0, сово-
купность всех точек, расстояния которых от Е не превосходят

*’ Э. Борель (1871 — 1956)—французский математик.
числа т], т. е. положим

End^{x: р(х, Е)^}.

Лемма 11. Если А —компакт, AaRn, то при любом т] > О
множество Ап также является компактом.

Доказательство. Согласно теореме 3, множество А, бу-
дучи компактом, ограничено и замкнуто. Ограниченность множе-
ства А означает, что существует такое а > 0, что А содержится
в шаре U (О, а).

Покажем, что ЛпсД(О, п-|-т]). Если х е Лл, то согласно
лемме 8 найдется такая точка у^А, что р (х, у) = р(х, Л)еСт].
Из условия же A cz U (О, а) следует, что р (О, y)<Za, поэтому

р(0, х)^р(О, у) + р(у, х)<а4-т].

Таким образом, хе U (О, п + т]). Точка х является произвольной
точкой множества Лл. Следовательно, Лп cz U (О, а + л) и поэтому
множество Лп ограничено.

Покажем теперь, что Лл —замкнутое множество. Если х —
точка прикосновения множества Лп: х е Лп то для любого е >• О
существует такая точка у = Лф что р (х, у)<е. Из определения
множества 'Лп и леммы 8 следует, что существует такая точка
гоеЛ, что р (у, г0) = р(г/, Л)-ся; поэтому

р(х, Л)= inf р(х, г)^р(х, г0)«Ср(х, у) + Р(у, г0)<е + т].

ге л

Это неравенство верно для любого е>0. Устремляя е к нулю,
получаем р (х, ЛД-Ст], т. е. х е Лп, что и доказывает замкнутость
множества Лп.

Итак, множество Лп ограничено и замкнуто, а следовательно,
в силу той же теоремы 3 является компактом. Q

18.4. МНОГОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В п. 15.1 отмечалось, что при фиксированной системе коор-
динат в трехмерном пространстве задание вектора равносильно
заданию трех его координат. При сложении векторов и их умно-
жении на числа те же действия выполняются и с их координа-
тами. В n-мерном случае вектор можно определить при помощи
его координат.

Определение 31. Упорядоченная система п действительных
чисел

(хъ ..., хя); Xi<=R', i=l, 2, ..., п,

называется п-мерным действительным вектором х, а числа хь...
..., хп — его координатами. Число п называется размерностью
вектора.
Суммой х+у векторов х = (хь .... хп) и у = (Уъ ..., уп) на-
зывается вектор (л'х + z/j, хп-\:Уп), т. е.

х + у = (Х1 -|-У1, ..., х:1-\-у„),

а произведением вектора х на число /.^R называется вектор

ХхйхЛ^(Ах1........Хх„).

Множество всех «-мерных векторов, в котором введены опе-
рации сложения векторов и умножения вектора на действитель-
ное число, называется п-мерным действительным векторным про-
странством, или, более полно, п-мерным арифметическим век-
торным пространством над полем действительных чисел.

Вектор 0 = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором или
нулем п-мерного векторного пространства.

По определению вектор — х = (—1)х называют противопо-
ложным вектору х.

Упражнение 12. Доказать, что если х, у, г —любые векторы, а числа
р е/? произвольны, то 1) х+у=у + х; 2) (x+y)-f-z = x-(-(y + z); 3) х ,-
+ 0 = х; 4) 1-х = х; 5) X (цх) = (Хр.) х; 6) (Х+ц) х = Хх+цх; 7) Х(х+у) =
X х -j- Ху.

Таким образом, «-мерное арифметическое пространство (см. оп-
ределение 1 в п. 18.1) превращается в «-мерное арифметическое
векторное пространство, если в нем ввести сложение его элемен-
тов и умножение их на число согласно определению 31.

В трехмерном случае связь между точками пространства и
векторами в нем можно установить (как всегда, считая систему
координат фиксированной), сопоставляя каждой точке М = (хх,
х2, х3) этого пространства ее радиус-вектор, т. е. вектор ОМ =
= Ui, х2, xs). Это сопоставление является взаимно однозначным
соответствием между точками трехмерного пространства и векто-
рами в нем.

Иногда «-мерное арифметическое пространство, введенное
в определении 1 п. 18.1 в отличие от «-мерного векторного про-
странства называют точечным пространством.

Итак, как «-мерное точечное, так и «-мерное векторное про-
странство состоят из одних и тех же элементов — из упорядочен-
ных совокупностей « действительных чисел. Поэтому как то, так
и другое пространство будет обозначаться одним и тем же символом
Rn. Они отличаются друг от друга тем, что в арифметическом «-
мерном пространстве вводится понятие расстояния между его
элементами (см. определение 1 в п. 18.1), а в «-мерном вектор-
ном — определяются операции сложения векторов и умножения
их на действительные числа (см. определение 31 этого пуцк^а).

Если через ek обозначить «-мерный вектор, все координаты
которого равны нулю, кроме й-й, равной единице, k — фиксиро-
ванное натуральное число (£е{1, 2, .... п}), то для любого п-
мерного вектора х = (хх, ..., хп) справедливо равенство

х = х1е1^-...^-хпеп,	(18.31)

правая часть которого называется разложением вектора х по
векторам ех, ..., еп. При этом коэффициенты хх, .... х„ этого
разложения единственны, т. е. однозначно определяются самим
вектором х, и, следовательно, в силу равенства (18.31) совпадают
с его координатами хх, ..., хп.

Векторы ek, k — 1, 2, ..., п называются координатными или
базисными векторами, а их совокупность {ег, .... еп} — стандарт-
ным базисом пространства Rn (общее определение базиса будет
дано в п. 57.2).

Подмножество L векторного пространства Rn называется под-
пространством пространства Rn, если для любых векторов хе/.,
у е L и любых чисел лей, ц <= R имеет место включение

7.x ф- оу е L

Определение 32. Скалярным произведением векторов х = (х1, ...
..., хп) и у = (уи ..., уп), п>3, называется число, обозначаемое
через (х, у) и определяемое по формуле

(х, у) = хгу1-\-.. хпуп.	(18.32)

Из элементарной математики известно, что формула (18.32)
справедлива и при обычном определении скалярного произведе-
ния векторов, т. е. и для п<3.

Всякое n-мерное векторное пространство, в котором введено
скалярное произведение, называется евклидовым.

Число У(х, х) = ]/хх +. • • ф-называется длиной вектора х
и обозначается через | х |:

|х| — ]/х1 + ... + хФ	(18.33)

Очевидно, что для любого вектора х е Rn и любого числа
имеет место равенство

|Хх| = |Х||х|,	(18.34)

а из неравенства (18.3) (см. п. 18.1) следует, что для любых
х е Rn, у <= Rn выполняется неравенство

I х+у | sc | х | ф- |_у |,	(18.35)

называемое неравенством треугольника.

Из (18.35) следует, что

(18.36)

Действительно, |х| = |х — _уф-_у|=е£|х — >| + |j|, поэтому

I* I - I < IX - у |.
В силу равноправия х и у имеем также
|>|-|x|^|j-x| = |x->|.

Из двух последних неравенств и следует (18.36). 0

Если х = (хь ..., хп) цу = (х1,..., уп), то х—у = (х1 — у1,...
..., хп — уп) и поэтому

\х-у\=У(х1-у1)2+... + (хп-у„)2 = р(х, у),	(18.37)

где х и у —точки точечного «-мерного пространства с теми же
координатами, что и векторы х и у. Таким образом, в «-мерном
векторном пространстве со скалярным произведением определено
расстояние |х — | между его элементами, совпадающее с рассто-
янием р (х, у), определенным в п. 18.1. Поэтому все понятия,
введенные в п. 18.1 — 18.3 для точечных пространств имеют смысл
и для векторных пространств со скалярным произведением.

В качестве примера использования векторной символики
отметим, что замкнутый шар Qn(x0, г) радиуса г с центром в
точке х0 в векторных обозначениях определяется равенством

Q" (Хо, г) = {х: | х - х01 sg г},

а ограничивающая его («— 1)-мерная сфера г) — равенством
S’1-1 (х0, г) = {х : | х — х01 = г}.

Скалярное произведение обладает следующими непосредственно
проверяемыми свойствами:

1°. Коммутативность. Для любых х е Rn, y^Rn:
(х, у) = (у, х).

2°. Дистрибутивность. Для любых x^Rn, y^Rn,
z^Rn: (х+у, Z) = (x, z)-[-(y, z).

3° Однородность. Для любого x^Rn и любого числа
Хе : (Ах, у) = А(х, у).

4°. Невырожденность. Для любого х Rn: (х, х)е-0,
причем

(х, х) = 0 <=> х = 0.

Дистрибутивность и однородность скалярного произведения
составляют вместе свойство, называемое линейностью скалярного
произведения.

Если ег, ..., еп — координатные векторы в Rn, то согласно (18.32)

х ( 1 при i = /, .	, „

(е,, е<) = { п . I, j — 1, 2, ..., «.

7	(0 при 1^],

Поэтому для любого вектора x = (xj, ... , хп) в силу свойств ска-
лярного произведения получим:

(х, ei) = (x1ei + ... + xnen, ei)=x1(e1, е<) + .. , + хп (еп, et) =

= Xi(ei, ed=Xi, (18.38)
т. е. Лая координата вектора х равна скалярному произведению
(х, е;).

Используя обозначение скалярного произведения и длины
вектора, неравенство Коши —Шварца (см. (18.2) в п. 18.1) для
векторов х = (Xi, ..., хп) и у = (ух, ..., уп) можно записать в виде
|(х, _y)|^|x|.|_y|-	(18.39)

Углом ф между векторами х <= Rn и у <= Rn, и > 3, называется
угол ф, Ог^фгСл, определяемый равенством

cos ф = Д—.	(18.40)

В силу неравенства Коши—Шварца (18.39) это определение
корректно, ибо в силу (18.39) для ф, определяемого формулой
(18.40), имеет место неравенство |со5ф|^1.

Здесь снова, как и в случае определения скалярного произ-
ведения за исходное определение принимается высказывание,
аналогичное которому в пространстве Rn, n<'J, является дока-
зываемым утверждением. Благодаря этому формулы (18.32) и
(18.40) оказываются справедливыми во всех пространствах Rn,
и —1, 2, ...

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, назы-
ваются ортогональными.

Вектор единичной длины кратко называют единичным вектором.

Если а и b — единичные векторы, то для косинуса угла между
ними из формулы (18.40) получаем

со8ф = (а, Ь), |а| = |д| = 1,	(18,41)

Если а = (а}, ..., ап) — единичный вектор, то обозначая через
а, угол между векторами а и согласно (18.38) и (18.41) имеем:
а, = (а, е,) = со5аг-, т. е. а = (cosо^, ... , cosa„).

Косинусы cosa;, i=l, ..., п, называются направляющими
косинусами вектора а.

Поскольку |а| = 1, то в силу (18.33)

cos2«! +... + cos2 а„ = 1.	(18.42)

Если а — не единичный вектор и а=#0, то, очевидно, вектор
а/\а\ уже единичный, и его направляющие косинусы называются
также и направляющими косинусами вектора а.

Уравнение прямой в пространстве Rn (см. определение 24
в п. 18.2) в векторной записи имеет вид

х = х(0} ~rta, — оо</< + оо,	(18.43)

х = (хъ ..., x„), xt0) = (xi”, ..., х'п), a = (aL, ..., ап)

(при сложении координат векторов сами векторы также склады-
ваются, а при умножении их координат на число они сами умно-
жаются на то же число). Прямая (18.43) называется прямой, про-
ходящей через точку х'0) = (x'i \ ..., х'п) точечного пространства
в направлении вектора а.

Если а —единичный вектор |а| = 1 и, следовательно, а =
= (cos <хх, ..., cos ап) (cos а; — направляющие косинусы вектора а\
г=1, 2, ..., п), то прямая (18.43) в координатной записи имеет
вид

Xj = x'j” -\-t cos ос,-; i=l, 2, ..., и; — оо </< + оо. (18.44)

Пусть заданы две точки x' = (Xi, ..., х'п) и х" = (%'[, ..., х"п)
точечного пространства; обозначим через х' и х" векторы с теми же
координатами. Тогда уравнением прямой, проходящей через
точки х' и х" (см. п. 18.2), в векторной записи будет

х = х’ + (х" — x')t,	— оэ</< + оо. (18.45)

По аналогии с § 15 можно рассмотреть «-мерную вектор-
функцию

=	..., xn(t)), t<=Ec.R

(Л —как всегда, множество всех действительных чисел). Совер-
шенно аналогично тому, как это было сделано в § 15, при любом
натуральном п определяются понятия предела, непрерывности и
производной вектор-функции r(t)^R!l. Как и для «;-'3 при
дифференцировании вектор-функции дифференцируются ее коор-
динаты: г' (t) = (х[ (/), ..., x'n(ty), и утверждение lim г (t) = Орав-
t “*

несильно тому, что lim I г (0 1 = 0.

§ 19.	ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ

19.1.	ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этом параграфе рассматриваются функции, которые опре-
делены на множествах «-мерного арифметическвго евклидова про-
странства Rn и значениями которых являются действительные
числа. Таким образом, все функции будут являться функциями
точек пространства. Это означает, что если имеется какая-либо
функция / (Xi, ..., х„) и в пространстве Rn задана система коор-
динат Xj, ..., хп, то в другой системе координат £1( ..., свя-
занной с исходной преобразованием

Х[ = Xi (^i, ..., ^я), Z = 1, 2, ..., «,

под той же функцией понимается не f (glt ..., £Л).»
а функция

------U, хп(Ъ, U1-
Рассматриваемые функции будут обозначаться либо одной бук-
вой, например /, либо более подробно, с указанием аргумента,
через f (х) или f (хх, ..., х„). При п>1 они называются функ-
циями многих переменных. В случае п = 2 вместо f (хх, х2) будем
писать также f (х, у), в случае п = 3 вместо f(xlt х3, х3)~ также
f(x, у, 2).

Каждой функции y = f(Xx, х2, ..., хп) п переменных хъ х2, ...
..., хп соответствует ее график в n-мерном пространстве точек
(х1г х2, ..., х„, у). Определим это понятие для рассматриваемого

здесь случая.

Определение 1. Пусть на множестве Е евклидова простран-
ства Rn определена функция y=f(x), x = (xt, ..., хп) & Е, и пусть
Rif1 — (п 4- \)-мерное евклидово пространство точек (х, у) =

= (хХ) ..., хп, у). Множество точек
(х, f (х)) = (хх, ..., х,;, f(x)), где
х <=Е, называется графиком функ-
ции f.

График функции многих пе-
ременных, так же как и график
функции одной переменной, удоб-
но использовать для геометриче-
ской интерпретации вводимых по-
нятий и доказываемых утвержде-
ний. Конечно изображение графи-
ка на чертеже в случае, когда чи-
сло независимых переменных боль-
ше единицы, сложнее, чем в од-
номерном случае. На рис. 86 изо-
бражен вид графика функции
двух переменных y = f(x1, х2).

пространства Rif1 вида

Сформулированное здесь определение графика функции п пере-

менных является частным случаем общего определения графика
функции, сформулированного в п. 1.2*.

Пусть снова функция / определена на множестве Е cz Rn.
Множество точек х = (хх, ..., х„) пространства Rn удовлетворяю-

щих уравнению

/(хь ..., х„) = с,

где с —некоторая постоянная, называется множеством уровня
функции /, соответствующим данному значению с.

В случае п — 2 множество уровня называется также линией
уровня, в случае п = 3 — поверхностью уровня, а при /г>3 —
гиперповерхностью уровня.

11 Кудрявцев Л. Д. т. 1
19.2.	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определим понятие предела функции многих переменных.

Определение 2. Пусть функция f определена на множестве
XfCzRn, Е —некоторое подмножество множества Xf и х(0} —пре-
дельная точка множества Е.

Число а называется пределом функции f по множеству Е в точкех<0)
(или при х, стремящемся к х'0'), если для любой последователь-
ности точек

х^^х^\	т=1,2,...,

такой, что lim x(m> — х(0) числовая последовательность {/(х(И1))}
т —> со

сходится к числу а,
lim /(х(т|) = п.
т -> оо

В этом случае будем писать
lim f(x) = a.
х^х'0', хеЕ

При сделанных предположениях можно дать и другое, экви-
валентное предыдущему определение предела функции многих
переменных по аналогии с тем, как это было сделано раньше
для функции одной переменной (см. п. 4.4 и п. 4.5).

Определение 3. Пусть х'01 является предельной точкой множе-
ства Е содержащегося в области определения Xf функции f.

Число а называется пределом функции f по множеству Е
в точке х(0) (или, что то же, при х, стремящемся к х'01), если
для любого е > 0 существует такое б > 0, что для любой точки
х^Е, х=/=х(0), р (xi, х1°')<6, выполняется неравенство
j / (х) - а | < е.

Совершенно аналогично случаю функции одной переменной
доказывается эквивалентность определений 2 и 3.

Иногда наряду с обозначением lim / (х) применяется
х--х10’, хеЕ
равносильное обозначение lim f(х)

р (х, .¥,0’)->0, >тЕ

Упражнения. 1. Доказать эквивалентность двух приведенных опре-
делений предела функции многих переменных по множеству.

2. По аналогии со случаем функции одной переменной сформулировать и
доказать критерий Коши существования предела функции многих переменных.

Употребляя термин сужения функции (см. п. 4.1), можно
сказать, что существование предела функции и его значение
в точке х10’ не зависят от выбора сужения функции на пересе-
чении какой-либо окрестности точки х*0) с областью определения
данной функции, т. е. в конечном итоге не зависят от выбора
указанной окрестности. Точная формулировка этого утверждения
состоит в следующем: если функция f, определенная на множе-
стве Xf, имеет предел по множеству Е cz Xf в предельной точке х(0)
этого множества, тодлялюбой окрестности U (х<°>) точки х(0)
функция f имеет предел в точке х(0) по множеству Е f| U (х(0));
при этом, если указанные пределы существуют, то они совпадают

lim /(х) = Нт /(х);

х-*х10', хеЕ	х^х'0’, х<^ЕПи(хт)

если же функция f имеет предел в точке х(0) по множеству
£,pt/(x0) хотя бы для одной окрестности U (х0), то она
имеет предел в этой точке и по множеству Е. Все это совсем
легко проверить и поэтому может быть самостоятельно проделано
читателем.

Свойство функции, не зависящее от выбора достаточно малой
окрестности, содержащей данную точку, называется локальным
свойством функции в этой точке. Очевидно, существование пре-
дела функции и его значение в некоторой точке (если он, ко-
нечно, существует) являются локальными свойствами функции
в этой точке.

Из определения предела функции следует также, что сущест-
вование предела функции в точке х(0) (по некоторому множеству),
а если он существует, то и его значение, не зависят от значения
самой функции в точке х(0) (если она определена в этой точке).

При определении предела функции многих переменных так же,
как и в случае одной переменной, удобно использовать понятие
проколотой окрестности, т. е. окрестности точки, из
которой удалена сама эта точка: если U (х(0)) — окрестность
точки х(0), то множество

U (х(°') U (х(°0\{х(оф

называется проколотой окрестностью точки х(0'.

Определение 4. Если функция f определена в некоторой про-
колотой окрестности U (х{0>) точки х(0\ то предел функции f
в точке х(0) по этой проколотой окрестности называется просто
пределом функции в точке f и обозначается через lim f(x).

лг->х10)

Определение 5. Пусть через точку х(0) проведена прямая I
(см. определение 24 в п. 18.2) и U (х<0)) — некоторая проколотая
окрестность точки х(0). Предел функции f в точке х(0) по пере-
сечению 0 (х(0’) 01 называется пределом функции f в точке х(0)
в направлении прямой I.

Определение 6. Если множество Е (см. определение 2) является
множеством точек некоторой кривой, проходящей через х(0), то
в этом случае предел функции f по множеству Е при х, стремя-
щемся к х(0), называется пределом функции по данной кривой
в точке xt0).

11*
Очевидно, что если у функции f существует предел в точке хп,
то он существует в этой точке и по любому направлению и по
любой кривой, причем все эти пределы совпадают.

Пр и мер. Пусть f(x, у) = xi_^yZ • Эта формула задает функ-
цию во всех точках плоскости, кроме начала координат (0, 0).
Исследуем пределы этой функции по различным направлениям
в точке (0, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало коор-
динат (0, 0) в направлении вектора (а, 0), имеет вид x = at,
y = $t, а2 + 02>О. Имеем: f(at, 0/)	>-0 при / —>-0, т. е.

предел по любому направлению существует и равен нулю. Если же
у = х2, то f(x, х2) = ~^, и, значит, предел вдоль параболы у — х2
также существует, но равен 1/2.

Таким образом, для рассмотренной функции существует один
и тот же предел по любому направлению, а предел по указан-
ной параболе, хотя и существует, отличен от общего значения
пределов по направлениям, тем-самым просто предел в точке (0, 0)
не существует.

Упражнение 3. Исследовать пределы по направлению в точке (0, 0)

функции

t(x,

У) =

ху
х2+У2'

Аналогично случаю функций одного переменного для преде-
лов функций многих переменных по множеству имеют место соот-
ветствующие теоремы о пределах суммы, произведения и частного,
так как в силу приведенного выше определения, предел функ-
ции п переменных по множеству также сводится к понятию пре-
дела последовательности (см. п. 4.7).

Наряду с указанными пределами у функций многих перемен-
ных можно рассматривать и пределы других видов, связанные
с последовательным переходом к пределу, например по различ-
ным координатам, т. е. пределы вида

lim lim ... lim f(xlt ..., xn),

r. v'.O'	r. J.0*

где (ii, г2, ..., i„) — некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., n,
x<°) = (x)0’, ..., х'п’), а функция f определена в некоторой
проколотой окрестности точки х(0*.

Пределы указанного вида называются повторными пределами.
Они представляют собой специфику функций многих переменных.

Рассмотрим определенную на всей плоскости функцию

(xsin—+ z/sin —, если х=#0 и у =#0,
у	х

0,	если х = 0 или z/ = 0,

Исследуем различные ее пределы в точке (0, 0).
Очевидно, lim f(x, у) = 0. Что же касается повторных
(х, у)-* (О, 0)
пределов

limTlim xsin-1+lim wsin--| и lim Him x sin-4- lim и sin —1,
z/ —oU —О У x-^0 XJ x^O|_z/ —О У y-’O XJ

то они не существуют, так как не существуют даже пределы

lim у sin — (у =#0) и lim х sin— (х#=0).
х —О х	{/-О У

Для функции же f (х, у) =	, определенной этой формулой

на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных преде-
ла в точке (0,0), существуют, и lim lim/ (х, у) = lim lim/ (х, у) =

у -> 0 х — О	х — 0 jz О

=t 0. Однако предела функции / в точке (0, 0) не существует,
ибо, как легко видеть, предел вдоль координатных осей
равен нулю, а вдоль прямой у — х он равен 1/2.

Таким образом, из одного лишь существования предела функ-
ции в данной точке не следует существования повторных преде-
лов в этой точке, и наоборот, из существования повторных пре-
делов не следует существования предела в соответствующей точке.
Тем не менее определенная связь между этими понятиями может
быть установлена.

Теорема 1. Пусть функция f (х, у) определена на множестве Е,
содержащем есе точки некоторой прямоугольной окрестности
Р((х0, Уо)’ $i, 62) течки (х0, Уо), кроме, быть может, точек пря-
мых х = хй и у = у<}. Если существует предел функции / в точке
(х0, у0) по множеству Е и при любом //е(/у0 —б2, //о + ^г)> Ут^Уо*
существует предел *1

lim/(х, y) = g(y),	(19.1)

х^> к0

то повторный предел lim lim / (х, у) существует, и
у ^уах->ха

lim lim/(x, z/)= lim /(x, у).	(19.2)

у — z/o x x„	(x, y)-’(xa, y„). (x. y)eE

Доказательство. Пусть	lim /(x, у) = А и

(x, {/)-> (x0, ya), (x, ц)СЕ

пусть фиксировано произвольное e>0. Существует прямоуголь-
ная окрестность Р = Р((х0, //о); Ль Лг)> 0<Л1<$ь 0<т]2<:62,
такая, что если 0 < | х — х01 <; i]i, 0 < | у — у01 <; ц2, то

|/(х, у)-А\< |

(19.3)

*J Как всегда, под пределами, если не оговорено что-либо другое, пони-
маются конечные пределы.
В силу существования предела (19.1) для любого числа у,
такого, что 0 < | z/— z/o | < th, из (19.3) следует, что

|g-(z/)-Л|==£ ®-<е

(для этого достаточно перейти к пределу при х-+х<А> в равен-
стве (19.3)), а это и означает, что lim g(y) = А. Д

У^-Уо

Пример. Рассмотрим функцию f (х, z/)=xsiny, у =#0. Эта
функция определена во всей плоскости, кроме точек оси х-ов.
Обозначим ее область определения через Е. Очевидно, существуют
пределы

lim f(x, z/) = 0 и lim/(x, z/) = 0, z/т^О;

(x,	0), reE	x-»0

поэтому, согласно доказанной теореме, существует и повторный
предел lim lim/(x, z/) = 0. Это конечно, ясно и непосредственно.

у—* 0х->0

Заметим, что другой повторный предел lim lim/(x, у) в этом
х —> 0 у —> 0

случае не существует.

Как и для случая функций одной переменной, для функций
f (х) многих переменных можно определить предел lim f(x), т. е.

Х->О0

предел, когда точка х — (хг, ..., хп) неограниченно удаляется от
начала координат, иначе говоря, когда "j/xj-j- ... -рх^->-|-оо,
а также повторный предел по переменным х;->сю и Х/->оо
(i, / = 1, 2, ... , п). Отметим, что и в этом случае имеет место
утверждение, аналогичное теореме 1. Можно ввести и понятие
бесконечных пределов. Мы всего этого делать не будем, предо-
ставляя это проделывать читателю по мере потребности.

Замечание 1. В дальнейшем будут рассматриваться ком-
позиции функций многих переменных,. Для сложных функций
многих переменных справедлив аналог правила замены перемен-
ного для пределов функций, установленного ранее для функций
одного переменного (см. п. 4.8*). Его формулировку и доказа-
тельство (также аналогичное одномерному случаю) предоставляем
читателю.

Замечание 2. Данное в настоящем параграфе определение
предела функции расширяет это понятие и для функций одного
переменного. Определение предела функции, сформулированное
в п. 4.4 и в п. 4.5, является определением предела по интервалу
(т. е. когда множество Е в определении 2 этого пункта является
интервалом). Конечно, и в случае функций одной переменной
можно рассматривать пределы по произвольным множествам.
В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле (см. п. 4.2).

1, если х рациональное,

0, если х иррациональное.

fw=!
Для предела в нуле по множеству рациональных чисел и по
множеству иррациональных чисел имеем соответственно

limf(x) = l, lim/(x) = 0.

х->0	х-+0

Замечание 3. Если множество Хс/?г, на котором опре-
делена функция	состоит только из точек х, координаты

которых суть натуральные числа: x = (m, п), m^N, n^N, то
функция f называете^'двойной последовательностью и ее значение
y = f(m, ri) обозначается через утп, а сама последовательность —
через {утп}.

Для двойных последовательностей {утп} можно рассматривать
предел lim утп (см. п. 38.1) и повторные пределы
(т, п)->вэ

lim lim утп, lim lim ут„.

tn —> 4- оо п -* 4- со	п —► 4- со т —> -f-00

Пр и мер. Пусть утп = cos'"2nn!x,
тогда

lim lim cosm2nn!x —
д 4> 00 w	00

mc=N, nc=N, х eR;

рациональное число,
иррациональное число.

1, если х

О, если х

Действительно, если x = p/q, p^Z, q^Z, q>0, то при n<=N,
п'л-q, имеет место равенство cos 2лп! х = 1 и, следовательно,
lim cos'"2шг! х = 1, n^q, а поэтому lim lim cos'" 2лп! х= 1.

ш-*4-оо	п -* 4- со т ->4-со

Если же числб х иррационально, то при любом натуральном п
справедливо неравенство | cos 2лп! х | <; 1, из которого и вытекает,
что lim lim cos'" 2лп! х = 0. Ц
п -* 4- ОО tn -> 4- СО

В результате нами получено аналитическое задание функции
Дирихле (см. замечание 2):

fix) — lim lim cos'"2nn!x,
n -*4- oo m ->4~ c°

x R.

19.3.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Определение 7. Функция f, определенная на множестве Е cz Д",
называется непрерывной в точке xw е Е по множеству Е, если
для любого е > 0 существует такое 6 = 6 (е) > 0, что для всех
х^Е, удовлетворяющих условию р(х, х<0)) < 6, выполняется нера-
венство

|/(x)-/(.rW)|<s.	(19.4)

Заметим, что это определение в случае п = 1 шире соответ-
ствующего определения непрерывности, данного в п. 5.1, так как
мы здесь не предполагаем, что функция f определена обязательно
в некоторой окрестности точки дЛ0>.
Определение непрерывности, данное здесь (в отличие от сфор-
мулированного в п. 19.2 определения предела), не предполагает
и того, что точка х10) является предельной для множества Е.
Точка xt0) может быть и изолированной; при этом в изолированной
точке множества Е функция f всегда непрерывна, ибо в этом
случае в качестве 6 >0, участвующего в определении непрерыв-
ности, всегда можно взять такое б, что окрестность U (х(0'.; б) не
содержит других точек множества Е, кроме самой точки х10), а для
точки х = х(0’ условие (19.4), очевидно, вййтолняется при любом
е>0.

Например, раньше для элементарной функции у = ]Л1п cos 2лх,
определенной лиШь для целочисленных значений х = 0, ± 1,
±2, ..., мы не могли говорить о ее непрерывности, так как
множество, на котором она определена, состоит только из изоли-
рованных точек. В смысле же определения 7 эта функция непре-
рывна во всех точках ее области задания.

Если же точка х(0) является предельной для множества Е,
то данное определение непрерывности функции f в точке х'0) по
множеству Е эквивалентно условию

lim /(х)=/(х’0>).	(19.5)

х^хп>, х<=Е

Из сказанного следует, что если функция /, определенная на
множестве Е, непрерывна в точке х(0) еЕ по множеству Е, то
либо х(0) является предельной точкой множества Е и тогда выпол-
няется условие (19.5), либо xt0) является изолированной точкой.

Если в равенстве (19.5) перенести / (х';о)) в левую часть и
положить Az/=;/(x) —/(xto0, то условие (19.5) перепишется в виде

lim Ду = 0.

р (х, л:'01) ->0, хе Е

Число Аг/ называется приращением функции в точке х(0), соот-
ветствующим изменению аргумента от точки х10' = (х10), ..., х'п)
до точки х = (xi,..., хп). Так как р (х, х(0>) = Дх( + ... + Дх„, где
Дх, = Xi — хГ, i = 1, 2, ... п, то непрерывность функции f в точке х10)
по множеству Е означает, что ее приращение Дг/ в этой точке
стремится к нулю, когда приращения Дх,- всех ее аргументов
одновременно стремятся к нулю, (т. е. таким образом, когда
р(х, х(0,)->0).

Можно, конечно, сформулировать понятие непрерывности функ-
ции и на языке последовательностей.

Функция f (х), определенная на множестве Е, непрерывна по
этому множеству в точке х'01еЕ в том и только в том случае,
когда для любой последовательности точек х^^Е, /г = 1, 2, ...,

lim / (х(*>) =/(х<0)).	(19.6)

X-»со
Действительно, точка х’0) является либо предельной точкой
множества Е, либо его изолированной точкой. В случае, когда
х1°> — предельная точка множества Е, равенство (19.6) равно-
сильно равенству (19.5) в силу определения предела функции.
Если же х'01 является изолированной точкой, то, как это отме-
чалось выше, в этой точке функция f (х) всегда непрерывна.
С другой стороны, поскольку в этом случае существует окрест-
ность (7(xlOi) точки xlOi, в которой не содержится точек множе-
ства Е, кроме самой точки х'01, и поскольку последовательность
точек х'^'^Е, k = l, 2, ... сходится к точке х!0), то в указанной
окрестности содержатся все точки этой последовательности, начи-
ная с некоторого номера k0: x'k} е t/(xl0) ), k5?k0, что возможно
лишь когда х,/г1=х|01, k k0. Очевидно, что в этом случае равен-
ство (19.6) также справедливо. Q

Когда говорят, Что функция f определена на множестве Е,
это означает, что она заведомо определена во всех точках этого
множества, но не исключает того, что она может быть определена
и на некотором большем множестве D гэ Е. Может, конечно, слу-
читься, что функция / будет непрерывной в какой-то точке
xi0) е Е по множеству Е и не будет непрерывной в этой точке
по множеству D (например, функция Дирихле, см. п. 4.2 и 19.2,
непрерывна в точке х— 0 по множеству рациональных чисел и
не является, непрерывной в этой точке по множеству всех дей-
ствительных чисел). Поэтому слова «по множеству £» в опреде-
лении непрерывности существенны. Впрочем, иногда в случаях,
когда это не может привести к недоразумениям, они опускаются.

Лемма 1. Если функция f определена на множестве Ec.Rn и
непрерывна в точке xi 0) е Е по этому множеству, причем f (х,0)) =ДС,
то существует такая окрестность Д(х|01) точки х(0), что для
всех х U (x,0J П Е справедливы неравенства

f (х) >	’ если / (х'0)) > О»

u	f (х) < —, если f (х(0)) < О,

в частности, во всех точках множества U (xt0))Q Е значения функ-
ции f (х) имеют тот же знак, что и f (х0).

Следствие. Если функция f непрерывна в точке х(0) по множе-
ству EcRn и /(х(0!)>с (соответственно, / (х101) <с), то суще-
ствует такая окрестность Д(х,0)) точки х(0), что для любых
х свЕ (xlOi) П Е выполняется неравенство f (х) > с (соответственно
f(x)<c)-

Доказательство леммы. Пусть е = J	, тогда в силу

непрерывности функции f в точке х(о) по множеству Е существует
такое 6>0, что для всех хе(/(х(0); 6)П-Е справедливо неравен-
ство | f (х) — f (x(Oj) | < е = —.—, и поэтому

f (Х(О)) _	</(х)</ (х(»>) + |НУ-.

Если / (х(0))>0, то f (х(0') —	 и, следовательно,-

/ (х) > 2 если же / (х(0)) <0, то

, . /«и , Щх,0,)|	И*'01)	£/ \ Jf1''0') г—।

f (х(0)) +	2	= 2 ” и’ след°вательно f (*) < 2 • U

Чтобы получить утверждение следствия достаточно применить
лемму к функции g (х) “ f (х) — с.

Совершенно аналогично случаю п=1 доказывается, что, если
функции fug непрерывны в точке х{0} множества Е, то функции
f+g, cf (с-постоянная), fg, а если g(x(0))#=0, то и f/g также
непрерывны в точке х,0;.

Для функций f (xlt ..., хп), п > 1, наряду с их непрерывностью
в вышеопределенном смысле, которую называют также непрерыв-
ностью по совокупности переменных Xi,..., хп, можно рассматри-
вать и непрерывность по отдельным переменным х,-.

Функция f (хь ..., хп), определенная в некоторой окрестности
точки х101 = (ху",..., х'п), называется непрерывной в точке х'0' по
переменной xt, если функция

ф (х;) f f (xi°>.X?lb X,-, Х^ь ..., X'»’)

одной переменной хг непрерывна в точке х/”.

Отметим, что из непрерывности функции по всем переменным
в отдельности не следует ее непрерывность по совокупности. На-
пример, функция

[ xz//(x24-z/2), если х2+//2>0,
f(x, У) = \ А	А

' '	'	(0	, если х = у = 0

непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности в каждой
точке плоскости, но не непрерывна по их совокупности в точке
(0, 0), так как не имеет в этой точке даже предела (проверьте
это).

19.4.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ КОМПОЗИЦИИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ

Пусть на некотором множестве Et cz Rk задана система п функ-
ций ф1(0> фг(0, •••, 4>n(t), t =	..., tk)<=Et и пусть на неко-

тором множестве Ех с Rn задана функция f (х), х = (хь ..., хп) (=
е Ех.

Если (ф1 (t), ф2 (0. • • •. фл (0) *= Ех для любой точки t е Et,
то имеет смысл говорить о сложной функции /(Фь Ф«)>
т. е. функции, ставящей в соответствие каждой точке t ^Et
число /(ф1(0> •••, фл(0)- Функция /(фь фл) называется
также композицией функций f и фъ ..., фя.

Теорема 2. Пусть имеет смысл сложная функция /(ф1;	ф„).

Если функции ф1, ..., ф„ непрерывны в точке Е0) е EtczRk
по множеству Et, а функция f непрерывна в точке х(0) =
= (ф1 (^°’)> • • • > Фл (^0))) Ех с R'1 по множеству Ех, то сложная
функция /(фп Фп) непрерывна в точке Р°> по множеству Et.

Доказательство. В силу непрерывности функции f в точке
х'т —	..., х'п') по множеству Ех для любого е>0 сущест-

вует т] = ц (е) > 0 такое, что

!/(х)-/(Дф)|<е

(19-7)

для всех точек xsPi'x1'01; ц) Г) Ех * ’, т. е. для всех точек х =
= (хи ..., хп) Ех, для которых

|х,- — хГ |<Г],	» = 1» 2, ..., п.

(19.8)

В силу же непрерывности по множеству Et в точке Ео) каждой
из функций ф;, 1=1, 2, ..., п, для указанного г]>0 существуют
такие б,- = б; (гр > 0, что для всех / е Е) f) Д (^0); б;) выполняется
неравенство

I ф« (0 — Ф» Gt0)) I < П-	(19.9)

Обозначим через б наименьшее из чисел б,-, I— 1, 2, ..., п.
Тогда для всех t е Et Q t/(/10'; б) и Bcexi = l, 2, .... п выпол-
няется неравенство (19.9), т. е. неравенство (19.8), где

х, = Ф>(0, х)01 = ф, (Е01), i = l, 2, ..., п.

По условиям теоремы имеет смысл сложная функция /(фъ .... ф„),
т. е. при t еEt выполняется включение (фг(0,..., ф„(/))е
е Ех, а следовательно, в силу (19.9) при t е Et П U (Ес); б)—
включение (фх(0, фл (0) е Р (хк0); т])Г)£А- Поэтому для всех
t £= Et П U (Ео>', б) выполняется условие

|/(х)-/(х<<»)|<8,

где х = (ф1(0, •••, фл(0), х'0) = (ф1(/(0)), • ••, Фл (Е0)))- Это и озна-
чает непрерывность сложной функции / (фь ..., ф„) в точке ^°>. Q]
Как видно из проведенных рассуждений, доказательство тео-
ремы 2 по идее повторяет доказательство соответствующей тео-
ремы для п = 1 (см. п. 5.2).

Замечание. Если функции фх(/), ..., ф„(0, определенные
на множестве Е( с: Rk, непрерывны по этому множеству Et в точ-
ке Zt0! е Et с: Rl!, а функция f определена в некоторой окрестно-
сти точки х(0) = (ф1 (^0|), • • •, Фл (^0|)), то существует такая окрест-

*' Здесь удобнее воспользоваться кубической окрестностью Р (х10’; г|), чем
сферической.
ность U (/(0)) точки £10', что для всех t е U(Zl0)) f|Et имеет смысл
КОМПОЗИЦИЯ /(ф1,	ф„).

В силу этого, когда функция f определена на множестве, со-
держащем некоторую окрестность точки х101, то требование суще-
ствования композиции f (epi, ..., фч) в условиях теоремы 2 можно
отбросить.

Действительно, если функция f определена в какой-то окрест-
ности точки х'01, то существует и прямоугольная окрестность
Р (х(0); г]) этой точки, в которой функция f также определена.
В качестве же искомой окрестности точки t'°> можно взять
6-окрестность этой точки, построенную при доказательстве тео-
ремы 2. В самом деле, если	6)(]Elt то, согласно не-

равенству (19.9), получим (cpi(O, ..., ф« (0) е Р (x(Oi; т|), следо-
вательно, сложная функция определена на U (((0); 6)Q£Z.

С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерывность
функций, большей частью встречающихся на практике, а именно
так называемых элементарных функций многих переменных.

Определение 8. Функции, получающиеся из переменных хь ...

хл с помощью конечного числа композиций элементарных функ-
ций одного переменного, операций сложения, умножения и деле-
ния, называются элементарными функциями переменных хь ...
• . • , Xff

ху

Например, функция f(x, у)=хеч х+и является элементарной
функцией двух переменных х и у. Действительно,

/(х, yj = xw, w = ev, u = yz, z = sint, t = a.!$, a = xy, 0=x + z/.

Из теоремы 2 и сохранения непрерывности в соответствующих
точках при арифметических операциях над непрерывными функ-
циями (см. п. 19.3) следует, что всякая элементарная функция
любого числа переменных непрерывна в каждой точке области
своего определения.

19.5.	ТЕОРЕМЫ О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ
НА МНОЖЕСТВАХ

Функция f называется непрерывной на множестве Е, если она
непрерывна по этому множеству в каждой его точке. Иногда
в этом случае говорят также, что функция f непрерывна во мно-
жестве Е.

Докажем ряд теорем о функциях, непрерывных на множест-
вах. Эти теоремы доказываются аналогично соответствующим тео-
ремам для функций одного переменного. Мы рассмотрим их при
достаточно общих предположениях, это позволит более глубоко
выяснить, с чем связаны рассматриваемые свойства непрерывных
функций. Начнем с обобщения теоремы Вейерштрасса (см. п. 6.1)
на многомерный случай. Определение ряда понятий, которые
будут рассматриваться ниже, как, например, ограниченность
функции, верхняя и нижняя грани функции и т. п. — см. в п. 4.1.

Теорема 3. Всякая функция, непрерывная на компакте, огра-
ничена на нем и достигает своей верхней и своей нижней грани *\

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на ком-
пакте A cz R'1 и пусть A4 = sup/. Выберем по аналогии с одно-
А

мерным случаем (см. доказательство теоремы 1 в п. 6.1) последо-
вательность таких чисел ат, что lim ат = М и ат<М, т=1,
т —>со

2, ....

Для каждого т—\, 2, ... существует такая точка хт А,
что f (х{т)) > ат. Поскольку множество Л —компакт, то из после-
довательности {х(т,| можно выделить сходящуюся подпоследова-
тельность {х(т*)}, предел х^0) которой лежит в A: lim х('”*) =
fe—>со
= х<°> е А.

Для любого &=1, 2, ... справедливо неравенство
</(x(mfr))^M. Переходя в нем к пределу при &->со, получим
lim f (х^) = М. В силу же непрерывности функции f в точке х(°!
Л~»со
по множеству А имеем lim= /(х|0|)> и, следовательно,
/? —>со
Л4 = /(х(°)).

Таким образом, верхняя грань функции / конечна, и поэтому
функция / ограничена сверху; кроме того, эта верхняя грань
достигается в точке х(0) е А. Аналогично доказывается, что функ-
ция f ограничена снизу и что ее нижняя грань достигается в не-
которой точке множества A. Q

Перейдем теперь к рассмотрению обобщения теоремы Коши
о промежуточных значениях (см. п. 6.2) для случая функций
многих переменных.

Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна в обла-
сти G сд Д”, тогда, принимая какие-либо два значения в G, функ-
ция f принимает в G и любое значение, заключенное между ними.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна в области
Gq/(", пусть .1'Ц|еС, х'2) eG, f(x[1}) — a, f(x<-2}) = b и, напри-
мер, a<Zb. Пусть далее, с —какое-либо число, такое, что
<Zc<Zb. Согласно определению области (см. определения 25 и 26
в п. 18.2), существует такая кривая x(t), о^йДддр, что х(а) =
= x(li, х(Р) = х<2) и x(t)^G при всех ie[a, §],

Если x(/) = (xi(Z), ..., xn(t)), то, по определению кривой,
функции х,- (Z) непрерывны на отрезке [а, Р]. Согласно же тео-
реме 2‘ о суперпозиции непрерывных функций многих перемен-
ных, функция /(x(Z))=/(xi(Z), ..., х„(/)) также непрерывна на

*! Иначе говоря, функция, непрерывная на компакте, принимает на нем
наибольшее и наименьшее значения.
отрезке [а, 0]. Так как f(x(a)) = a, f(x($y) — b и а<с<6, то
согласно теореме Коши (см. п. 6.2), существует точка t0^(a, 0)
такая, что f(x(t0)) = c. Полагая xw=^x(t0), имеем x10ieG и
/(Х(°)) = с. □

Следствие. Функция f, определенная и непрерывная в замкну-
той области G, принимая какие-либо два значения, принимает
в G и любое промежуточное.

Доказательство. Пусть G— область,_ функция f опреде-
лена и непрерывна на ее замыкании G, х(1) е G, х(2) е G, /(х^)) =
= a, f(xW) = b и пусть для определенности a<Zc<Z.b. Докажем,
что существует точка ;eG, такая, что /(£) = с.

Возьмем число е>0, определяемое равенством

e = min{c — а, Ь — с}.

В силу непрерывности функции f в точке х(1) существует такое
6 = 6(е)>0, что если хе U(х(1); 6) Q G, то \f (х) — /(х(1)) j <е и,
значит, \f(x) — a\<Zc — a в частности, /(х)<с. Точка xW е G„
т. е. точка х(1) является точкой прикосновения множества G,
поэтому в окрестности V (х(1); 6) заведомо существует точка, при-
надлежащая G; обозначим ее yw. Таким образом,.

et/(x(1); 6)f)G, и поэтому	Аналогичным методом до-

казывается существование точки z/(2>eG, такой, что f (z/<2))> с.
Из существования в области G точек у^ и z/(2> с указанным
свойством в силу теоремы 4 вытекает существование в G точки t,
такой, что /(£) = с. Q

Отметим, что ни при доказательстве самой теоремы 4, ни при
доказательстве ее следствия не использовалось то, что множе-
ство G открыто. Использовалось лишь то, что любые две его
точки можно соединить кривой, принадлежащей самому множе-
ству, т. е. что оно линейно связно.

Упражнение 4. Пусть функция f непрерывна и принимает значения
разных знаков на открытом множестве. Доказать, что множество точек, в ко-
торых f 0 является открытым множеством, но не является областью.

Задача 16. Построить пример области G, в замыкании G ко-
торой не существуют две точки, не соединяемые в G непрерывной
кривой.

19.6.	РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.

МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Наряду с понятием непрерывности функции в точке в мате-
матическом анализе большую роль играет так называемое поня-
тие равномерной непрерывности функции на множестве.

Определение 9. Функция f (х), определенная на множестве
Е с. Rn, называется равномерно непрерывной на Е, если для любого
е > 0 существует такое 8 — 8 (е) > 0, что для любых двух точек
х ^Е, х' ^Е, удовлетворяющих условию

р(х, х')<6,	(19.10)

выполняется неравенство

\f(x)-f(x')\<z.	(19.11)

Отметим, что если функция f равномерно непрерывна на мно-
жестве Е, то она и просто непрерывна на Е, т. е. непрерывна
в каждой точке х(0) е Е. Чтобы в этом убедиться, достаточно,
например, в (19.10) и (19.11) положить х' = х(0).

Если же функция / непрерывна в каждой точке хеЕ, то
для любого е>0 существует лишь 6 = 6(е; х) такое, что для
всех х' е Е, удовлетворяющих условию р (х, х') < 6, выполняется
неравенство |/(х) — f (х') | <е. В этом случаевыбор 6 зависит не
только от е, но, вообще говоря, и от точки х.

Подчеркнем, что в случае, когда функция f равномерно не-
прерывна на множестве Е, выбор , соответствующего 6 зависит
только от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек мно-
жества Е.

Сказанное хорошо видно при записи указанных определений
с помощью логических символов. Условие непрерывности функ-
ции f на множестве Е имеет вид

(Ve > 0) (Vx (= Е) (36 >0) (Vx' еЕ, р (х', х)<6): | f (х') — f (х) | <е,
а условие ее равномерной непрерывности на Е — вид

(Ve > 0) (36 > 0) (VxeE, Vx' еЕ, р (х', х) <6): |/(х') — /(х) | <е.

Примеры 1. Функция /(х) = х равномерно непрерывна на
всей числовой оси, ибо, если задано е>0, достаточно взять
6 = 8, тогда если |х — х'|<6, то в силу равенств /(х) = х,
/(х') = х' получим |/(х) — f(x’) | <е.

2. Функция /(x) = sin-^-, х^=0, не будет равномерно непре-
рывной на своей области определения, т. е. на числовой оси, из
которой удалена точка х = 0. В самом деле, если взять, напри-
мер, 8=1, то при любом сколь угодно малом 6>0 найдутся
точки х и х', например точки вида

х = 1 /Q- + 2л Д и х' = 1Д 2- л + 2nnj

(п — достаточно большое натуральное число) такие, что | х — х' | <6,
а вместе с тем |/(х) —/(х') | > 1.

В качестве достаточного признака равномерной непрерывности
функций одного переменного на интервале отметим следующий.

Лемма 2. Если функция f (х) определена и имеет ограничен-
ную производную на некотором интервале (а, Ь), то она равно-
мерно непрерывна на этом интервале.
Действительно, если |/'(x)|sgc (с — постоянная) на (а, Ь), то
с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2)
получим

|/(х')-/(х)] = |/' (£) (х' - х) I < с] х' -X |,
a<.x<.b, a<ix'<.b, a<zl<Z.b.

(19.12)

Поэтому для е > 0 достаточно взять 6 = е/с; тогда если | х' — х | < б,
а<.х<.Ь, а<.х’ <Ь, то в силу (19.12) справедливо неравенство
|/(х') —/(х) j <е, что и означает равномерную непрерывность
функции f на (а, Ь). Г]

Аналогичный результат имеет место для любого промежутка,
конечного или бесконечного. Обобщение этого критерия на мно-
гомерный случай будет дано в п. 39.2.

Принципиальное значение имеет следующая теорема.

Теорема 5 (Кантор). Функция, непрерывная на компакте, рав-
номерно непрерывна.

Следствие. Непрерывная на отрезке функция равномерно не-
прерывна.

Доказательство теоремы. Воспользуемся методом от
противного. Допустим, что существует функция f, определенная
и непрерывная на некотором компакте Ec.R’1, но не равномерно
непрерывная на нем. Тогда существует такое ео>0, что для
любого б > О найдутся точки х^ е Е и хе е Е (индекс «б» у точек
означает, что они зависят от выбора б), для которых р (хб, xg) < б
и вместе с тем )/ (xg) — /(х£) I Sae0. Возьмем какую-либо последо-
вательность чисел 8т, так, чтобы lim бт = 0, например, бл=1/т,
т-*со

/71=1, 2, ... . Пусть x'<m'=xem, x"(m) = xem и, значит,

p(x'<m\ х"!т')<^-, |f(x''(m>)-/(^'lm')l ^е0.	(19.13)

Множество Е является компактом, поэтому из последователь-
ности {х'(т)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{х'(т< предел £ которой принадлежит компакту Е, lim x'bnk) =
= £ е Е. Точка £ является точкой прикосновения замкнутого
множества Е, и поэтому £ еЕ.

Рассмотрим теперь подпоследовательность {х^"’*)} последова-
тельности {х"1"1'}, соответствующую подпоследовательности {х^*)}.
Докажем, что lim х”’('”^ = £. Действительно,
/? —► со

,,lk

и так как р (xz(m*\ £) ->0 и — ->0 при оо, то и р £)->-0
при	а это и означает,, что х’С"*)->£ при £->с>о.
В силу непрерывности функции
f(xW}-,-/(£) и /(xW) _>/(£) пРи

f в точке £ е Е имеем
fe->oo, и, следовательно,

f(x'W)_f(x'M)-^0

(19.14)

при fe->-oo.

Но, по способу построения последовательностей {х'(т)} и {х"(тф
(см. (19.13))

|/(/(-*)) _/(xW)|^Eo	(19.15)

для всех k — 1, 2, ... .

Очевидно, условия (19.14) и (19.15) противоречат друг другу.
Это и доказывает теорему 5. Q

Справедливость следствия вытекает из того, что отрезок яв-
ляется компактом.

Отметим, что при отказе от требования, чтобы множество, на
котором рассматриваемая функция непрерывна, было компактом
она может уже не оказаться равномерно непрерывной. Напри-
мер, функция /(х) = 1/х определена и непрерывна на интервале
(О, 1), который хотя и является ограниченным множеством, но
не является замкнутым; эта функция не будет равномерно непре-
рывной на интервале (0; 1). Функция z/ = x2 определена и непре-
рывна на всей вещественной оси, которая хотя и является замк-
нутым множеством, но не является ограниченным. Эта функция
также неравномерно непрерывна на вещественной оси. Доказа-
тельство того, что функции у=1/х и у = х- неравномерно непре-
рывны на указанных множествах будет дано в этом пункте не-
сколько дальше.

Часто оказывается более удобным другой подход к понятию
равномерной непрерывности, а именно с помощью так называе-
мого модуля непрерывности функции.

Определение 10. Пусть функция f определена на множестве
Е cz Rn. Ее модулем непрерывности со (б; f; Е) называется функция

со (б; /; Е)= sup [7(х")~ / (х')], х'<=Е, х"^Е.	(19.16)

р (X', х")

Часто для краткости вместо со (б; /; Е) пишется просто со (б; /)
или даже со (б).

Нетрудно убедиться, что

sup [/ (х') - f (х")] = sup | / (х") - f (х') I, х'(=Е, х”^Е,
p<r',x")<6	p(v', x"}^b

т. e. в правой части равенства (19.16) под знаком верхней грани
можно писать или не писать знак абсолютной величины, от чего
величина указанной верхней грани не меняется.

Очевидно, также, что со(б)2эО.
Далее, если 0<б!<;б2, то

У: г/= /(%")-/(*'), р(л', x")^6j}c=

<= {у :y = f(x") -f(x’), р(х', х")^б2},

sup [/(x’)-f(x')]^ sup [/(х")-/(х')]

p (X’, x") <0,	p(x', x")s^6.

(так как при расширении числового множества его верхняя грань
может только возрастать), т. е. со (6j) sg со (62), иначе говоря,
модуль непрерывности является монотонно возрастающей функ-
цией.

Задача 17. Пусть G — область в R'1. Доказать, что если lim Ю /’— = 0,
о —о	о

то /—постоянная функция.

Примеры 1. Найдем со (6) для функции у=х2, — оо <х <+оо.

Для любого 6>0и произвольного фиксированного х0 имеем:

со (6; х2) = sup (х"2 — л:'-) о=г %о — (х0 — б)2 = 2х06 — б2. (19.17)
\ X" — X' 1^6

Это неравенство верно

для всех хп и так как при любом фикси-
рованном б имеем lim (2хоб —62)=

Хо->- + со

= -фоо, то из (19.17) получаем

СО (б; Х2) = 4-О0, — СЮ < X < + ОО.

Найдем теперь модуль непрерыв-
ности функции z/ = x2 на отрезке
[0; 1]. Интуитивно ясно, что по-
скольку модуль непрерывности со (б)
описывает согласно определению на-
х ибольший рост функции на отрезке
длины б, то чтобы получить модуль
непрерывности функции в данном

случае следует взять отрезок [1—6, б], на котором функция
/(х) = х2, OsCxsgl, растет наиболее быстро: модуль непрерывно-

сти совпадает с приращением функции на этом отрезке (рис. 87);

со (б) =/ (1) -/ (1 - б) = 1 - (1 - б)2 = 26 - б2.

Аналитически это проверяется следующим образом. Пусть

О ^х" — б х' s^x" «с 1, тогда, в силу неравенства

х"г -х'2^ х"2 - (х" - б)2 = 2х"б - б2 26 - 62,

получим

со (6; х2)= sup (х"2 — х'г)-с26 — б2,	(19.18)

|.v"— х'
но если взять х' = 1 — 6, х" = 1, то

w(6; х2) = sup (Z-x'2)> 1 -(1 -6)2 = 26-62. (19.19)
| х" — х' | б

Из оценок (19.18) и (19.19) следует, что на отрезке [0; 1]
имеем со (6; х2) = 26 —62.

2.	Рассмотрим функцию у = sin х^О. С одной стороны

С другой стороны, выбрав х„ = l/f^- + 2nnj, х'п = 1/^~-л+2лп^
и зафиксировав п так, что |'хп|=Сб/2, | х'п |	6/2, и поэтому

|х"п — х’п | С | х'п | + | х’п j 6, будем иметь

со ("б; sin -П 2s sin -Д- — sin Д- = 1 + 1 = 2.

\	х 1	хп	хп

Из полученных оценок следует, что со ^6; sin-^ = 2.

3.	Рассмотрим функцию = у на интервале (0; 1).
При любом фиксированном 6, 0<6<;1, имеем

/я 1 \	I 1	1 \	/ 1	1 \

® 6, — = sup U—-Г = sup X- 5s

\ х /	| х" — х' | ’С б	х / х' х" < х' + б	х /

14,11 х»->+°-

Таким образом, со (6; 1/х) = +оо.

В терминах модуля непрерывности равномерная непрерывность
может быть выражена следующим образом.

Теорема 6. Для того чтобы функция f, определенная на мно-
жестве Е, была равномерно непрерывной на этом множестве,
необходимо и достаточно, чтобы

lim (о (6; /; £) = 0.
б—+о

(19.20)

Доказательство. Пусть функция f равномерно непрерывна
на множестве Е, т. е. выполнены условия (19.10) — (19.11); тогда
для любого е > 0 существует такое 6Е > 0, что если х' е Е, х" е Е,
р(х', х")<6Е, то |/(%") — /(%') | <е/2. Отсюда явствует, что для

*’ Здесь таково, что 0<х0с 1—6.
любого б<бе выполняется неравенство

sup	<е,

р (х', х") <6	z

т. е. если 0 < б •< бе, то со (б) <_'8. Это и означает, что limco(6)=0.

6-0
Необходимость условия (19.20) доказана.

Докажем достаточность условия (19.20). Выполнение условия
(19.20) означает, что для любого 8 >0 существует такое бе > 0,
что если 0 С б С бЕ, то со (б; /; Е)<.е. Выберем какое-либо из
указанных б. Тогда при р (х', х")<б, х' е Е, х"^.Е, будем
иметь (см. (19.16)): |/(х”) — / (х') | -С со (б, /, £)<8, т. е. функ-
ция f равномерно непрерывна на Е. Q

Мы видели выше, что на отрезке [0, 1] со (б; х2) = 2б —б2,
поэтому lim и (б; х2) = 0, и, следовательно, функция х2 равно-
6—+0

мерно непрерывна на этом отрезке, как и должно быть согласно
теореме 5. Модуль непрерывности той же функции х2, но уже
рассматриваемой на всей вещественной оси, так же как и модули
непрерывности оэ Гб; sin j, х =#= 0, и со ^б;	, 0 < х < 1, не стре-

мятся к нулю при б -> + 0 и поэтому все эти функции не
являются равномерно непрерывными на соответствующих множе-
ствах.

Упражнения. 5. Доказать теорему Кантора о равномерной непрерыв-
ности функции, непрерывной на компакте, с помощью леммы Гейне —Бореля
(см. теорему 4 в п. 18.3 и замечание после нее).

6. Непрерывная на отрезке [а, 6] функция f (х) называется кусочно линей-
ной, если существует такое разбиение отрезка [а, 0] на конечное число отрез-
ков [х,_1( X,],

а = х0 < хг < ... < xi < ... < x„_i < х„ = Ь,

что функция f (х) линейна на каждом отрезке [х(1, х,], i — 1, 2, ..., п— 1.

Доказать, что всякая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция F (х) может
быть с любой степенью точности аппроксимирована кусочно линейной функ-
цией, т. е. для любого е > 0 существует такая кусочно линейная функция f (х),
что для всех х е [а, 6] выполняется неравенство | F (х) — f (х) | < е.

Введем теперь еще некоторые понятия, полезные для дальнейшего.

Определение 11. Пусть E<^Rn. Число (конечное или беско-
нечное) d = sup р(х', х") называется диаметром множества Е
х' G Е, х" (= Е
и обозначается через d (£).

Упражнения 7. Пусть Qn — «-мерный шар с центром в некоторой
точке x,Oi и радиусом г : О'1 —О (х,0>, г), тогда d(Q") = 2r. Доказать, что множе-
ство Е ограничено тогда и только тогда, когда d (£)<;-|-оо.

Определение 12. Пусть функция f определена на множестве Е\
тогда значение модуля непрерывности со (б; /; £) при б, равном
диаметру множества Е, т. е. со (d (£); f’, Е) называется колеба-
наем функции f на множестве Е и обозначается через &>(/; Е)
или просто <о(/).

Очевидно, что в силу (19.16)

ю(/;£)= sup [f(x")-f(x')].

х'еЕ, i"eF.

Замечание. Из сказанного в этом и предыдущем парагра-
фах, в частности, видно, что в ряде вопросов, относящихся к функ-
циям многих переменных, всю их специфику можно в достаточной
мере усмотреть уже в двумерном или трехмерном случае. Благо-
даря удачно выбранным определениям и обозначениям доказа-
тельства теорем автоматически переносятся со случая п = 2 на
произвольный n-мерный случай иногда лишь приводя к некото-
рому техническому усложнению записи. Случай же п — 2 имеет
преимущество геометрической наглядности и более простой записи,
когда в ней участвуют координаты точек. Поэтому для большей
ясности и простоты изложения мы, как правило, будем подробно
рассматривать лишь случаи и = 2 или п = 3, а в случае произ-
вольного п — лишь формулировать соответствующие результаты
или даже только отмечать возможность их обобщения на случай
произвольного п. Если же при рассмотрении какого-либо вопроса
при п > 3 возникают какие-либо специфические трудности, то
этот вопрос будет детально рассматриваться в общем случае.

§ 20.	ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

20.1.	ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Рассмотрим сначала случай функций трех переменных.

Определение 1. Пусть в некоторой окрестности точки (хв, у0, г0)
задана функция и — и(х, у, г). Фиксируя переменные у и г: у—у0,
г = z0, получим функцию одного переменного х~. и = и (х, уп, г0).
Обычная производная (см. п. 9.1) этой функции в точке х = х0
называется частной производной функции и (х, у, г) в точке (х0, у0, г0)
по х и обозначается через ои Z|>^ 

Таким образом,

ди (х„ уя, г„) det du (х, у0, г0) I
дх	dx |x=a-0

Заметим, что обозначение частной производной по перемен-
„	ди (.г,,	г,)	„

нои х через — дх—- традиционно. Правильнее было бы писать
ди ,	х	ди

— (х0, Wn, z0), так как является единым символом, обозначаю-
щим новую функцию, значение которой и рассматривается в точке
(х'о, У о, го)-
Если вспомнить определение обычной производной ~ (см. п. 9.1)
то, согласно этому определению, можно написать

ди (х0, у0, z0) = |-т и (х0 + Ах, Уо, г0)—и (х0, у,„ г„)
дх	Дх—>о	д*

или, если ввести обозначение w(x0 + Ax, у0, г0) — и(ха, у0, г0)=кхи,
(Дхи — приращение функции по переменной х),

ди .. \хи

= lim —.

дх	Дх—>0

Аналогично вводятся частные производные по у и г:

ди (х0, уо, z„) = du (х0, у, z0) I
ду	dy	\у=уо'

ди (х0, у0, г0) _ du (х0, у0, z) I
dz	dz	|г = г„ ’

ИЛИ

ди	Ауи ди	/\ги

-3-= lim -т—,	-3-= lim

дУ д^о дг дг_о дг

где \уи и Агп — приращения функции соответственно по перемен-
ным- у и г.

По аналогии с функциями одной переменной линейные функ-
ции j^dx, ^-dy, dz переменных dx, dy, dz, называемых диф-
ференциалами независимых переменных, называются частными
дифференциалами функции w(x, у, г) соответственно по перемен-
ным х, у, г и обозначаются через

dxu = dx, d.u = ~ dy, dzu — dz.
дх у ду	dz

Аналогичные определения имеют место для любого числа
переменных.

Если функция y=if(x1, ..., хп) определена в некоторой окре-
стности точки х10) = (х;°’, ..., х'п), то по определению

...,х<«') def d/(x;«>,	х;, x^v .... х<">)|

dxi	dxi	lx,.= x?” 1	>

ди	^ч-У

или, что то же, опуская обозначение аргумента, lim -д^-,
где A.v.y = /(xi0’, ..., Xt°Li, х;-0) + Ах;, х)"ф1, .... х'ф) — f (х)0’, ...
.... х?2_1, Хг01, Xf+i, .... Хп')- Для обозначения частной произ-
водной применяются также обозначения ух. или fx..
Частный дифференциал dx.y определяется по формуле

сЦу = d%i, — оо < dxt < + оо,	(20.2)

и тем самым является линейной функцией переменной dxh назы-
ваемой дифференциалом независимой переменной xt. Здесь везде
i=l, 2 п. В случае п=1 частная производная совпадает
с обычной производной, а частный дифференциал — с обычным
дифференциалом.

Подчеркнем, что ~ — единый символ, т. е. в нем числитель
и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой сто-
ди
роны, частная производная конечно, может быть записана

‘	дУ d^y

и в виде частного двух дифференциалов:

Из определения частных производных, как обычных производ-
ных при условии фиксирования всех переменных, кроме одной,
по которой берется производная, следует, что при вычислении
частных производных можно пользоваться правилами вычисления
обычных производных. Пусть, например, требуется найти произ-
водную функции г = хуех!у. Для этого, зафиксировав в этой
формуле х, получим функцию одной переменной у, вычисляя ее
производную, будем иметь:

f)?	f) / Y \

= хех/у + хуех/у =— (—)
оу	' J ду\ у j

х(у — х) ех,у

У

В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности
в данной точке функции п переменных не вытекает существова-
ние у нее в этой точке частных производных. Соответствующий
пример в случае п = 1 был приведен ранее (см. п. 9.2). Важно
заметить, что при п>:2 из существования даже всех частных
производных в некоторой точке не следует непрерывность функ-
ции в этой точке *>. Это естественно, поскольку условие непре-
рывности функции нескольких переменных в точке накладывает
определенное ограничение на ее поведение при приближении
к этой точке по всем направлениям, в то время как существо-
вание частных производных в точке означает, что функция удов-
летворяет определенным условиям при приближении к указанной
точке лишь в направлении координатных осей.

Чтобы в этом наглядно убедиться, рассмотрим функцию
f (х, у), равную 0, если ху = 0, и 1, если хуД=0. Очевидно,

*’ Напомним, что при л=1, т. е. для функции одной переменной из
существования в точке производной вытекает и непрерывность функции в этой
точке (см. п. 9.2).
f (х, 0)s=/(0, у) = 0, и, следовательно,
df (0, 0) _ df (0, 0)
дх	ду

Однако эта функция разрывна в точке (0, 0), так как, напри-
мер, ее предел вдоль прямой у = х при (х, у)->(0, 0) равен 1,
а /(О, 0) = 0.

Более того, существуют функции, имеющие частные произ-
водные во всех точках и все-таки разрывные. Примером такой
функции является функция

f(x, у)

ху/(х2 + у2) при х2 + у2>0,
0	при х = у = 0.

(20.3)

Эта функция имеет частные производные во всей плоскости и
разрывна в точке (0, 0) (почему?).

20.2.	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ В ТОЧКЕ

Рассмотрим сначала случай функций двух переменных. Пусть
функция z — f(x, у) определена в некоторой 6-окрестности (7 =
= (7(М0; 6) точки M0 = (x0, Уо)
и пусть (рис. 88)

М — (х, y)^U(M0; 6),
Дх = х-х0, Ьу = у-у0

название объясняется тем, что

и, значит,

р = р (М, Ма) = УДх2 + Ду2 < 6.

Пусть, наконец, Дг = f (х0-ф Дх,
Уо+ ky)-f(x0, у0).

Обычно Дг называется пол-
ным приращением функции', это
здесь, вообще говоря, все неза-

висимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

Определение 2. Функция z = f(x, у) называется дифференци-
руемой в точке (х0, у0), если существуют два такие числа А и
В, что

Дг = Л Дх-J-B Ду + а(Дх, Ду),
где при р =/= 0:

(20.4)

а(Дх; Ду) = е(Дх, Ду)р, Нше(Дх, Ду) = 0*’.	(20.5)

Р-0

*> Напомним, что, согласно сделанному соглашению, запись lim / равно-
р — 0

сильна записи lim f, где р=р(Л1, Мо).

М — ЛЦ
Из (20.4) следует, что а(0, 0) = 0.

Вместе с тем заметим, что значение функции е(Дх, Ду) в точке
(0, 0) не определено формулой (20.5).

Определение 3. В случае дифференцируемости функции }
в точке (х0, у0) линейная функция АА.х-\-В\у переменных Дх и
&у называется полным, дифференциалом, или просто дифферен-
циалом, функции f в точке (хп, у») и обозначается через dz.

Таким образом dz = ЛДхфВ Ду.

Вместо Дх и Ду употребляются также равнозначные обозна-
чения dx и dy, т. е. пишут dz = A dxA- В dy. Из (20.5) следует,
что

lim aJ.Ax’,A^ = o.	(20.6)

Л! Л-f, Р

Функции а(Дх, Ду), обладающие свойством (20.6), будем обо-
значать по аналогии с функциями одного переменного через о (р)
при р->0 *’. Применяя это обозначение, определение дифферен-
цируемости можно переписать в виде

Дг = А Ух У В Дуфо(р), р->0.

(20.7)

Лемма 1. Условие (20.5) эквивалентно условию

а(Дх, Ду) = е1(Дх, Ду) Дх-ф е2 (Дх, Ду) Ду, р=/=0, (20.8)
где lim ех = lim е2 = 0.
р — о р ->-0

Доказательство. Пусть выполнено условие (20.5), т. е.
а = ер, рФ=0, где е->0 при р -> 0; тогда

а = ер = е Дх2 -ф Ду2 =

= е ФгЙглЛ Лх + е	= е1+ е2 АУ>

у Дх“+ Ду2 у Дх2ф Ду2

где е'1 =	е2 =	Замечая- чт0 !ах/У'Дх2+ а.г/2:

У Дх2-р Аг/2 4 У Дх2-}- Ат/2

гС1, | Ду/|/ Дх2-ф Ду2|	1, имеем | er | I е I, |e2|sg|e|, откуда

lim ei= lim е2=-0, т. е. получилось представление функции а
р -»0 р —о
в виде (20.8).

Пусть, наоборот, выполнено условие (20.8), т. е. а = б1Дх-ф
4-е2Ду, рф=0, где ех->0 и е2->0 при р-э-0; тогда

а = ( Ах-.....= 61 -ф -?_-А^ еЗ УДх2 ф Ду2 = ер,

\^Дх2+ДУ2	|/Дл--;-Ду2 У	J

*> Вообще для функций а и fi многих переменных а = о(Р) при х-+-х’0>,
х е Е с Rn, г0’ е R!L, если а (х) = е (х) £ (х), где lim е(х) = 0. В этом
.г^х<|>|, x s Е

случае будем говорить, что функция а является бесконечно малой по сравне-
нию с функцией Р при х-+-х,0>, хеЕ.
Ах	। Ау	1,11,11

где е =	—— Ei + т/ - е2 и, значит, е sg е, 4- е» ;

VДх2 + Ду2 1 ЕДх2+Ду2 ’	» I I 1 X.J 2 1»

поэтому е->0 при р—>-0. Таким образом получилось представ-
ление функции ос в виде (20.5). [J

Теорема 1. Если функция z=f(x, у) дифференцируема в точке
(х0, Уо), то она непрерывна в этой точке.

Действительно, так как |Ах|-ср и |Ay|sCp, то из формул
(20.4) и (20.5) следует, что Аг—^0 при р->0, что и означает
непрерывность функции f в точке (х0, у0). Ц

Теорема 2. Если функция z — f(x, у) дифференцируема в точке
(х0, у о) и dz = A dx-ф В dy — ее дифференциал в этой точке, то
в точке (х0, у0) у функции f существуют все частные производ-
ные и

df fa. Уо)  д df (х0, у0) _	<2q g.

Таким образом,
dz^dx + ^dy.	(20.10)

Доказательство. Согласно определению дифференцируе-
мости (см. (20.4) и (20.8)),

Аг = Л Ах ф- В Ау + ех Ах + е2 Ау,
где

lim ех = lim е2 = 0.	(20.11)

р — о р ->о

Полагая Ау = 0, получим Az = Ал.г = А Ах -}- ех Ах, где lim е^О

Длг ->0

(это следует из (20.11), поскольку, полагая Ау = 0, получим р =;
= | Ах|). Отсюда

А у

М = Л + е1(	(20.12)

где при Ах->0 правая часть стремится к пределу, равному Л,
поэтому и левая часть при Ах->0 имеет тот же предел, а это и
означает (см. (20.1)), что в точке (х0, у0) существует частная
производная —= Л. Аналогично, полагая в (20.4) Ах = 0 и пере-

ходя к пределу, при Ау->0 получим ~ = В. Ц

Следствие. Если функция f (х, у) дифференцируема в точке
(х0, Уо), то она имеет единственный дифференциал.

Единственность дифференциала непосредственно вытекает из
формул (20.9), так как частные производные в данной точке
определяются однозначно.

Вспоминая определения частных дифференциалов (см. (20.2)),
формулу (20.10) можно переписать в виде

dz = dxz -J- dyZ,
т. е. полный дифференциал функции (когда он существует) явля-
ется суммой ее частных дифференциалов.

Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, не имеет места:
существуют функции, имеющие все частные производные во всех
точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой точке.
Примером может служить функция (20.3), приведенная в конце
предыдущего пункта: в точке (0, 0) эта функция не непрерывна,
откуда в силу теоремы 1 вытекает, что в точке (0, 0) она и не
дифференцируема.

Из сказанного следует, что не всегда выражение dxz-\-daz,
когда оно имеет смысл, является полным дифференциалом функ-
ции. Связь между дифференцируемостью функции в точке и
существованием в этой точке частных производных сложнее, чем
связь между дифференцируемостью и существованием производ-
ной у функции одной переменной.

Сформулируем достаточные условия в терминах свойств част-
ных производных для дифференцируемости функции.

Теорема 3. Пусть функция z=f(x, у) в некоторой окрестно-
.	л дг дг

сти точки (х0, у о) имеет частные производные и которые
непрерывны в самой точке (х0, уф', тогда функция z=f(x~, у)
дифференцируема в этой точке.

Следствие. Если функция z = j (х, у) имеет в некоторой окрест-
.	.	дг дг

ности точки (х0, у0) частные производные и причем эти
частные производные непрерывны в самой точке (х0, у0), то и
функция z — f(x, у) также непрерывна в этой точке.

Доказательство теоремы. Обозначим через U (б)
б-окрестность точки (х0, уи), в которой определена вместе со
своими частными производными fx и fy функция f. Выберем Ах
и Ау так, чтобы (х0-|- Ах, у0 + Ay) е U (б). Замечая, что

Аг = /(х04-Ах, у0 + Ау) - / (х0, у„) =

= [/(х0-|-Ах, Уо + Ау)-/(хо, у0 + Ау)]-[-[/(ха, у0 + Ay) - f (х0, у0)],
применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являю-
щимся приращениями функций только по одной переменной,
формулу конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2). Это воз-
можно, поскольку функция /(х, уп-|-Ау), рассматриваемая как
функция одного переменного х, имеет на отрезке с концами
в точках х0 и Хо + Ах производную (являющуюся частной произ-
водной по х функции /), поэтому она и непрерывна на указан-
ном отрезке. Таким образом, функция f(x, уп4-Ау) удовлетво-
ряет всем условиям, при которых была доказана формула конечных
приращений Лагранжа. Аналогично проверяется и возможность
применения формулы Лагранжа к функции f (х(„ у), рассматри-
ваемой как функция одного переменного у, на отрезке с концами
в точках у0 и уп + Ау. Тогда

Дг^/ЯХо + б, Дх, уп + &У) Дх + /У(хо, у0 + 92 Ау) Ау,

О < 0Г< 1, 0< 02< 1,	(20.13)

причем 9( и 92 зависят, конечно, от выбора точки (х04-Ах,
уп4-Ау), т. е. от Ах и Ау.

Если

/л (х<) + $1 Ах, уо + Ay) — fx (Хо, Уо) = £1,
fy(xa, у0+9.Ду)-/у(х0, Уо) = е2,	(20.14)

то в силу непрерывности частных производных fx и fy в точке
(хп, Уо) имеем
lim = lim е2 = 0.	(20.15)

р -> о	р —о

Подставив (20.14) в (20.13), получим:

Лг=/Д-(хп, у„) Дх + /У(хо, уо) Ду 4-Дх + е2 Ду, (20.16)

что в силу выполнения условий (20.15) и означает дифферен-
цируемость функции / в точке (х0, уп) (см. (20.4) и (20.8)). Q

Следствие из теоремы вытекает из того обстоятельства, что
функция, дифференцируемая в некоторой точке, является и непре-
рывной в ней (см. теорему 1).

Теорема 3 имеет важное значение, связанное с тем, что поня-
тие дифференцируемости функции играет первостепенную роль
в ряде разделов теории функций многих переменных. Однако
непосредственная проверка дифференцируемости функции (напри-
мер, для выяснения возможности применения тех или иных тео-
рем) часто бывает затруднительна, в то время как проверка
непрерывности частных производных, для вычисления которых
имеется удобный аналитический аппарат, оказывается проще.

Определение 4. Функция, имеющая в некоторой точке (или
соответственно на некотором множестве} непрерывные частные
производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой
точке (соответственно на этом множестве).

Сопоставим определение дифференцируемости функции (опре-
деление 2) и определение непрерывной дифференцируемости (опре-
деление 4). Дифференцируемость функции в точке означает суще-
ствование в этой точке дифференциала, т. е. справедливость для
этой точки формулы (20.4). Непрерывная же дифференцируемость
функции в точке означает непрерывность в этой точке ее частных
производных. Таким образом, дифференцируемость функции свя-
зана с понятием дифференциала, а непрерывная дифференцируе-
мость — с понятием частных производных. Вместе с тем из непре-
рывной дифференцируемости в точке (на открытом множестве)
следует дифференцируемость в этой точке (соответственно на
этом множестве); в этом состоит утверждение теоремы 3.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые дополнительные
свойства функций ел и е2 из формулы (20.16).

Определение 5. Пусть А и В — два плоских множества, А с
B<^R.‘UV и пусть функция f — f(x, у, и, v) определена для
(х, у) <= А, (и, у) е В.

Функция f называется равномерно стремящейся к нулю на
множестве А переменных х, у при (и, v) -> (u0, Уо), если для
любого е>0 существует такое б = б(е)>0, что для всех (и, у),
удовлетворяющих условию ]/(« — и0)2 + (о — у0)2 < б, (и, у) =# (w01 v0)
и всех (х, у) е А выполняется условие \f(x, у, и, у)|<е.

Общее определение равномерного стремления функции к пре-
делу будет дано в п. 39.4.

Теорема 4. Пусть функция z= f(x, у) непрерывно дифферен-
цируема на открытом множестве GccR2. Тогда

\z = fx(x, у) \x + fy(x, у) \у + Ej\х + е2\у,	(20.17)

где функции = 8j (х, у, Дх, Ду) и е2 = е2 (х, у, &х, &у) равно-
мерно стремятся к нулю при р = j/Дх2 -ф Ду2 -> 0 на любом ком-
пакте A <^G.

Доказательство. Пусть Л —компакт, лежащий в G.
Тогда замкнутые множества А и 7?2\G не пересекаются, и так
как А ограничено (см. п. 18.3, теорему 3), то d = p(A, 7?2\G)>0
(см. лемму 7, п. 18.2).

Множество Л(//2 = {(х, у):р((х, у), Л)=сс//2} содержится во
множестве G и является компактом (см. лемму 11 п. 18.3).

Пусть теперь р = ]/Дх2 -ф Ду2 < d/2; тогда при (х0, у0) е А
получим (см. (20.13)):

(хо4-01Дх, у0-г Ду) е Л^/г, (х0, Уо +02 Ду) S Л^/г,
и, следовательно, согласно формулам (20.14), имеем неравенства
|81|«=ю(р; fx; Ad/2), | е21 s£w(p; /у, Ad/2),
где в их правых частях стоят соответственно модули непрерыв-
ности функций fx и f,j. Из непрерывности частных производных
fx и fу на компакте Adl2 следует, что

lim со(р; Л<//2) = 0 и lim со (р; fy, Adi2) = Q.
р ->0	р -► о

Поэтому для любого е > 0 существует б = б (е) > 0 такое, что для
всех р < б выполняются неравенства

®(р; fx\ Ad/2)<e, со(р; fy; Л(?/2)<е.

Следовательно, для всех р < б и всех (х0, у0) е А справедливы
неравенства

|е1|<е, |е2|<е.
Это и означает равномерное стремление к нулю при р->0 функ-
ций ех и е2 на компакте A.

Замечание. В предположениях теоремы 2 приращение
функции Дг представимо также в виде

Дг = Д¥(х, y)\x + fy(x, у) Ду4-ер,	(20.18)

где е = е (х, у, Ах, Ау) равномерно на каждом компакте А с. G
стремится к нулю, когда р =Удх* 2-|- Ду2->0. Для доказатель-
ства достаточно в формуле (20.18) положить е = е1^ф-е2“-
(сравните с доказательством леммы в начале этого пункта).

Все определения и утверждения этого пункта переносятся и
на случай функции y = f(x), х = (хь ..., хл), любого числа п
переменных, определенной в некоторой окрестности точки х(0).
Например, условие дифференцируемости в данной точке Х'0)
в общем случае выглядит так:

Ду = Al Дхх +... 4- Ап Ахп + о (р), р—>0,	(20.19)

где

Р = j/ S Дх1, Ду = f (хъ ..., х„) -f (xi”, ..., xk”),

Дхг = х; —х?1, i=l, 2, ..., п,

df (г'”’)

причем в этом случае Лг= —	, t = l, 2, ..., п.

Таким образом, если функция f дифференцируема, то

f (х) = f (хW) + А (хх - xi”) +... + Ап (хп - хк”) 4- о (Р),

р->0,	(20.20)

т. е. функция f в окрестности данной точки с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка, че,м р =
= у/" 2 (xi — Xi0")2, равна линейной функции Образно говоря,
дифференцируемость функции в данной точке означает, что функ-
ция f «почти линейна» в окрестности этой точки; точный смысл
выражения «почти линейна» заключается в формуле (20.20).

В случае, когда имеет место (20.19), линейная функция

Дхх4-• • • 4-Лхп от переменных Дхь ..., Дх„ (здесь вместо
х(0) написано х) называется дифференциалом функции, или, подроб-
нее, полным дифференциалом функции в данной точке х и обо-

*> Функции вида у = с11-\-с1х1-\-...-\-спхп, где с,- — постоянные, i = 0, 1,

2, ..., п, называются линейными функциями п переменных, или, что то же
самое, линейными функциями точки х = (х1..............xj£iir‘.
значается df(x):

(20.21)

Дифференциал, как и всякая линейная функция п перемен-
ных определен на всем n-мерном пространстве Rtl. Таким обра-
зом, формула (20.21) имеет смысл для всех, значений Дх.-, i = l,
2, ..., п, в то время как формула (20.19)— только для тех, кото-
рые не выводят за область определения функции f.

Переменные Дх(- называются также дифференциалами перемен-
ных xt и обозначаются dx,, i= 1, 2, ..., п. В этих обозначениях
дифференциал функции f записывается в виде

df (х) = dxj. +... + dxn.
их±	*-'Лц

Очевидно, что Af (х) =df(x) + o (р) при р—>0.

Если же рассматривать дифференциал и при изменении точки
х=(хъ ..., хп), то он будет уже являться функцией от 2п пере-
менных: хь ..., хп, dxlt ..., dxn.

Теоремы 1—4 настоящего параграфа очевидным образом
обобщаются на функции п переменных, поэтому мы не будем
приводить их формулировки.

20.3.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 5. Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t
дифференцируемы в точке t0 (что, как мы знаем, эквивалентно
существованию у них производных в точке t0, см. п. 9.2) и пусть
x0 = x(t0), y0 = y(t0). Если функция z = f(x, у) дифференцируема
в точке До, Уо), гпо сложная функция z — f(x(t), y(t)) определена
в некоторой окрестности точки t0, имеет в t0 производную и эта
производная вычисляется по формуле

dz = dzdx дг dy

dt дх dt dy dt ’	{/ю.хл)

или, подробнее,

df{x{t9), yQ = df(x„, Уо) dx (t„) . ф (xu, yn) dy (tn)
dt	dx dt ' dy dt ‘

Доказательство. Функция f(x, у), согласно определению
дифференцируемости функции, определена в некоторой окрестно-
сти точки (х8, уо)- Из дифференцируемости же функций x(t) и
у (t) следует их непрерывность в точке t0. Поэтому, согласно
замечанию к теореме 2 в п. 19.4, в некоторой окрестности точки t0
определена сложная функция f(x(t), y(t)).

Дифференцируемость функции z—f(x, у) в точке (х0, уф озна-
чает, что ее полное приращение \z = f (хоф- \х, у0-\-&у) — f (кй, уф
представимо в виде

Дг = J Дх + J Ду + 8 /Дх2 + ДгА (20.23)

где функция 8 = е(Дх, Ду) такова, что lim е(Дх, Ду) = 0. Здесь,
_	р

как обычно, р = ]/Дх2 +Ду2. Доопределим функцию е(Дх, Ду)
в точке (0, 0), положив е(0, 0) = 0 (ср. с доказательством тео-
ремы 4 в п. 9.7). Так, доопределенная функция 8 (Дх, Ду) явля-
ется непрерывной в точке (0, 0).

Пусть теперь Д^ — приращение переменной t и Дх = х (tQ ф- ДО —
— х(0), Ду = у(0 + Д0—’У(^о)- Разделим обе части равенства
(20.23) на ДЛ

Дг _ dz Nx . dz Дц ,  Г/Дх\2 . (Дг/\2
Д/ дх Nt ' dy N t 6 У \Nt ) \Д/ /

(20.24)

При Д/->0 в силу непрерывности функций х(0 и у (0 в точке t0
получим Дх->0 и Ду->0, а значит, и limp = 0. Отсюда, по
лг-о

теореме о композиции непрерывных функций (см. п. 19.3),
Ите(Дх, Ду) = 0. Заметим, наконец, что существует конечный

предел

lim

А/^0

/(^+(g)'-TZ(M+/(w.

Из всего этого следует, что при Ы->0 правая часть формулы
,п„	dz dx . dz dy ,,	, .

(20.24)	стремится к конечному пределу + (f = r0), по-

„ ,	Дг

этому и левая часть этой формулы, т. е. ^-.стремится к тому же

пределу, а это и означает, что в точке t0 существует произвол-
ная и выражается формулой (20.22). □

Отметим, что, хотя в окончательную формулу производной
сложной функции (20.22) входят только частные производные
д/х и Функции z — f(x, у), по ходу доказательства существенно
использовалось более сильное свойство этой функции, чем сущест-
вование частных производных, а именно ее дифференцируемость.

Упражнение I. Показать, что при отказе от требования дифферен-
цируемости функции z=f(x, у) в точке (х0, уа), а лишь при предположении
dz dz

существования в этой точке частных производных и и существования

производных ~ и в точке ta формула (20.22), вообще говоря, несправед-
лива и, более того, сложная функция f [х (/), у (')] (предполагается, что она
имеет смысл), вообще говоря, не имеет производной в точке ф.
Следствие. Пусть функции х = х(и, о) и у = у(и, о) определены
в некоторой окрестности точки (и0, оф, а функция z = f(x,y)
определена в некоторой окрестности точки (х0, уф, где х0 —
= х(и0, оф, Уо — у(и0, оф.

Если функция f (х, у) дифференцируема в точке (х0, уф и если
в точке (и0, оф существуют частные производные * и то
dz
в этой точке (и0, оф существует и частная производная слож-
ной функции z = f[x(u, о), у (и, &)], причем

дг  дг дх . дг ду
ди дх ди ' ду ди

(20.25)

Доказательство. Зафиксируем v = oe и рассмотрим слож-
ную функцию z = f[x(u, оф, у (и, v0)j одного переменного и. Со-
гласно теореме 5, эта функция определена в некоторой окрест-
ности точки и0 и имеет в этой точке производную. Таким образом,
dz

производная в точке (и0, оф существует и из формулы (20.22)

вытекает формула (20.25). Ц

Аналогично, если в точке (и„, оф существуют частные про-
изводные и то у сложной функции z = f(x(u, о), у (и, о))
существует в точке (и„, оф частная производная по о и для нее
справедлива формула

дг _ дг дх . дг ду

ди дх dv оу ди'

Рассмотрим общий п-мерный случай. Пусть в окрестности
точки x(0' = (x'i', ..., х'п') задана функция у = у (хг, ..., хф, а на

некотором множестве Et<zcRk — функции х^хфф, ..., /*), i =
= 1, 2, ..., п, такие, что хфН", ..., t‘k') = x'"'. Если функция

у = у(х) = у(Х'„ ...,
в точке	..

хф дифференцируема в точке х10' и
, t'k') существуют частные производные

если
дх,
dt/ ’

j = 1, 2, ..., k, г=1, 2, ..., п, то сложная финкция у (х (ф) имеет

в точке частные производные , j = 1, 2, ..., k, причем
Ot j

П

ду ___ VI ду дх, ._________।

~дф дх, at, ’	’

i = о

(20.26)

Заметим, что если при сделанных предположениях частные
ду	дх, , ,,	, „

производные х - и , t = 1, 2, ... , п, / = 1, 2, ..., п, непрерывны
ох^	ot i

соответствен но в точках х*01 и /(0), то в силу формулы (20.26)
частные производные сложной функции у = у(х(ф) также будут

12 Кудрявцев Л; Д. т. 1
непрерывными в точке /(0), и, следовательно, она будет диффе-
ренцируемой в этой точке (см. теорему 3 и. 20.2). В следующем
пункте будет доказана дифференцируемость композиций функций
при более слабых предположениях.

20.4.	ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫБОРА ПЕРЕМЕННЫХ.
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Теорема 6. Пусть функция f(x), х = (хх...х„), определена

в некоторой окрестности точки xt0) = (х'/", ..., х'п), а функции
Xi — Xi(t), t = (ti, ..., tk), г = 1, 2, ..., п, определены в некоторой
окрестности точки —	..., /*') и пусть х}01 = хг-(Л0)), i =

— 1, 2, ..., п.

Тогда, если функция f (х) дифференцируема в точке х’0), а
функции Xi = Xi(t), г = 1, 2, ..., п, дифференцируемы в точке t<°>,
то сложная функция / (х (/)) = /(Хц (/), ..., xn(t)) определена в не-
которой окрестности точки Ло) и дифференцируема в этой точке.
При этом дифференциал df функции f(x(t)) в точке tw может
быть записан в следующих двух видах:

k

df= У	dtj,	(20.27)

П

df= ^^0>)-dxz, где dxi = dxi(t)\t = iW. (20.28)

Доказательство. Поскольку функции xz (t), i = 1, 2,..., n,
определены в некоторой окрестности точки £(0) и поскольку
из дифференцируемости функций следует их непрерывность, то
сложная функция f(x(t)) определена в некоторой окрестности
точки /(0) (см. замечание к теореме 2 п. 19.4). Зафиксируем ка-
кие-либо два числа б>0 и т]> 0 так, чтобы функция /(х) была
бы определена на трокрестности точки х(0), функции х; (/), i =
= 1, 2, ..., п, на б-окрестности точки ^0) и чтобы (xr(t), ...
...,	(/)) е U (х1"’; т]) при t^U(tw: б). Тогда на окрестности

U (tw: б) определена сложная функция f(x(t)). Возможность вы-
бора таких чисел бит] (очевидно б зависит от выбора ц) была
показана в п. 19.4. Функция f (х) дифференцируема в точке х(0);
поэтому при г = 1/^ 2 Ах) <т] имеем

А/ = f Ui01 + Ахх.х)?’ + Ах„) - f (х)0’,... , х'”) =

п

= 2^)Ах/+ег’ (20-29)

1=1	1
где е = е(Дхъ ..., Дхге) таково, что lime = 0. Положим е(0,..., 0)=:

г —> 0

= 0. Доопределенная таким образом функция е является непре-
рывной в точке (0, ..., 0).

В силу дифференцируемости функций х,- = х,- (/), 1 = 1, 2, ..., п,
в точке Л°> при р = |//Г 2	получим:

Дхг = хг (^’ + Д/ь ..., V + Д^) - х,- (/?'.4°’) =

= J ^^д/._|_8/р, 1 = 1, 2, ..., п, (20.30)

где lim е,- = 0, i = 1, 2, ..., п.

р — о

Подставив значения Дх,- из (20.30) в (20.29), получим

И	k

<3»-3»

<=1	/=1

где

₽=2	-)е<Р + ег.	(20.32)

/=1

Переставив порядок суммирования в (20.31), будем иметь

k / п	\

«’IZT-Tw <20-33’

/=!'» = !	/

Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция /(х(/))
дифференцируема в точке Р0’, надо показать, что р = о(р) при
р-^-0. В силу непрерывности функций хг (/), 1 = 1, 2, ..., п
в точке /(0) имеем ПтДх/ = 0 и, следовательно, limr = 0. Отсюда
р — О	р ->0

в силу теоремы о суперпозиции непрерывных функций (см. п. 19.2)

lime = 0.

Р-0

Из (20.32) имеем:

А = Vdf с*'01) о I г г
р Z» dxi ' р '

(20.34)

(20.35)
Докажем, что отношение г/р ограничено. Использовав фор-
мулы (20.30), получим

Поскольку lim 8,-= 0, то в некоторой окрестности точки Д0) функ-
р-^0

ции ef ограничены, и так как | At, |/р	1, то функция г/р огра-

ничена в некоторой окрестности точки /(0). Поэтому из (20.34) и
(20.35) следует, что lim (Р/р) — 0, т. е. что 0 = о(р) при р->0.

Р-0

Дифференцируемость сложной функции/(х(/)) в точке /(0) дока-
зана.

Из формулы (20.31) имеем

П	k‘

<•=1 ‘ /=1

k

дх-

Отсюда, замечая, что > - -A/y = dx,-, t==l, 2, ..., п, мы и
/ = 1 '

получаем формулу (20.28). Формула же (20.27) является обычной
формулой для дифференциала (см. (20.21)). [J

Формально обе записи (20.27) и (20.28) дифференциала функ-
ции выглядят одинаково: в обеих формулах дифференциал равен
сумме произведений частных производных на соответствующие
дифференциалы, однако в случае формулы (20.27) dt/ являются
дифференциалами независимых переменных, а в случае формулы
(20.28) dxi суть дифференциалы функций. Это свойство назы-
вается инвариантностью формы первого дифференциала относи-
тельно выбора переменных.

Замечание 1. Из формулы (20.33) следует, что

k / п	\

давч=2 2^^Т>

/= 14 = 1	/

Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах
независимых переменных определяются однозначно и равны соот-
ветствующим частным производным, поэтому, сравнивая эту фор-

/п	п

У	2	I ai 1> которое яв-

i = 1	* 1	1=1

П / п \2

ляется следствием очевидного неравенства S Ш | а, | (см. (18.11)).
у = 1	/
мулу с формулой (20.27), получим

df_ _ у df dxi (/«»)
dtj ~ дх, dtj ’
i= 1

т. е. снова формулу (20.26). Правда, на этот раз она выведена
при более сильных ограничениях, чем раньше; на этот раз пред-
полагалась дифференцируемость функций xz(/), t = l, 2,...,п,
в то время как в п. 20.3 —лишь существование у этих функций
соответствующих частных производных.

Замечание 2. Если функции f(xlt ..., х„) и Xi = Xi(t),
t =	..., Д) е/?*, t = l, 2, ..., п, имеют непрерывные частные

производные соответственно в точке (х)”, ..., x„') е/?"ив точке
/(0) е/?*, где х)0 ==хг (00)), то эти функции, согласно теореме 3
п. 20.2 (см. также замечания в конце п. 20.2 об общем случае),
дифференцируемы в указанных точках и потому удовлетворяют
условиям теоремы 6. Следовательно, для них справедливо утвер-
ждение этой теоремы и вытекающая из него формула для вычис-
ления частной производной сложной функции (см. предыдущее
замечание).

Инвариантность формы первого дифференциала широко исполь-
зуется при практическом вычислении дифференциалов и частных
производных. Если и и v суть функции какого-то числа пере-
менных, то с помощью формулы (20.28) легко получаются сле-
дующие:

1.	d(u + v) = du + dv.

2.	d (uv) = v du + и dv.	(20.36)

Докажем, например, формулу 3. Пусть z = u/v, где и —
— и (xi, ... , хп), v = v (хх, ..., х„). Замечая, что = — и fг =
'	7	'	'	ди v до

= — " , согласно формуле (20.28) имеем

,	1 , и ,	v du — и dv ।—.

dz = du — ,dv =——5——.

V vi	vi	L—1

При вычислении конкретных дифференциалов функций многих
переменных можно широко использовать формулы, полученные
нами рЭньше (см. § 9) для дифференциалов элементарных функ-
ций. Заметим для этого следующее: пусть функция у = у (х1(..., хп)
представлена в виде y = F(u), где и = и(х,, ..., хп). Тогда при
соответствующих предположениях, согласно формуле (20.28),

dy = F' (и) du, и —и (Xj, ..., х„).
Например, если z/ = sin«, то dy = cos и du; если у = 1пи, то
dy =	; если у = arctg и, то dy = и т. д. (подчеркнем, что

здесь везде u = u(xL, ..., хп)).

В качестве примера найдем дифференциал функции z — arctg у.

Вычисления производятся в следующем порядке:

dz = dfarctgy

х3 xdy— у dx _____х dy—у dx

x2-|-r/2 х2	х2+</2

Если требуется вычислить частные производные функции многих
переменных, особенно если надо вычислить все производные, то
целесообразно вычислить дифференциал этой функции, тогда иско-
мыми частными производными будут коэффициенты при соответ-
ствующих дифференциалах.

Так, в рассмотренном примере z = arctgу, беря коэффициенты
при dx и dy из найденного нами выражения для дифференциала,
получим

дг   у	дг _ х

дх	х-Д-у2’ ду х2-|- у2'

Замечание 3. Всякую функцию у = 1(хи х„) от п пе-
ременных можно рассматривать в, определенном смысле и как
функцию от любого числа п + т>п переменных хь х2, ..., хп, ...
..., хп+т. Именно, для всякой функции f(x}, ...,хп), заданной
на множестве Е cz Rn, определим функцию /* (хг, ..., хп, ..., х„+т)
на множестве точек (xi, ..., х„, ..., ха+т) таких, что (хъ ..., х„) <=
е £, — сю < Xj < + сю, j = п 4-1, ..., п -ф т, следующим образом:

/*(Х1, ..., х„, ..., хл+т) = /(х1, ..., хп). (20.37)

Таким образом, рассмотрение функции п переменных, как
функции пД-т переменных, означает фактически продолжение
по формуле (20.37) функции f с множества ее определения EaR"
на множество

Е* = {(хъ .... х,г+т): (хх, ..., х„) <= Е, — со < ху < + со ,

/ = «+!> • • •, « + т},

лежащее уже в пространстве Rn+m. Для функции /*, полученной
после такого продолжения, имеем

df* (х,, ... , Хп+т) —	.....хп) ; _ 1 9

dxt ~ dxi ’	1, z, ...

df*(xt ..yxn+m) = Q^ j = n+l, п + т>
поэтому

п 4- m

.... %n+m)= 2

=	’ x«) dxi = df (xlt xn).

i — 1

Например, когда мы говорим, что функцию одного перемен-
ного z = f(x), определенную н'а некотором интервале (а, Ь), мы
рассматриваем как функцию двух переменных f(x) = F(x, у),
х^(а,Ь), — оо <//< + оо, это означает, что функция F (х, у)
является постоянной, равной f(x) на любой прямой, проходящей
через точку х интервала (а, Ь) оси Ох параллельно оси Оу. При
этом

^§^=0, dF (х, y) = df(x),

a<2.x<Zb, — оо < у < ф- оо.

Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обрат-
ный факт. Пусть Е с: Rn. Если функция f* (хъ , хп, х„+1) опре-
делена на множестве

£* = {Сч, .... х„, х„+1): (хь ..., х„) е£, а<хл+1 <Ь}

и

дГ(Х1’ бх’+1У"’ *Л+1) = 0 на Е * ’	(2°.38)

то существует функция /(хь ...,х„) от п переменных, опреде-
ленная на множестве Е и такая, что f* (хь ..., х„, х„+1) =
= /(хь ..., хп) для всех (хъ ..., х„) е Е, х„+1 е (а, Ь). В этом
случае говорят, что функция /* фактически не зависит от
переменной хп+1. В самом деле, из условия (20.38) следует,
что функция /* постоянна как функция х„+1 (см. следствие 1
теоремы 3 из п. 11.2) при фиксированной точке (хь ..., хп), т. е.
зафиксировав какое-либо с е (а, Ь) для любой точки (xi,..., х„) е Е
и х„+1 е (а, Ь), имеем /* (хь ..., хя+1) = /* (хп ..., х„, с). Искомая
функция /, очевидно, определяется равенством f (х1( ..., х„) =
—f* (хь ..., хп, с), причем она не зависит от выбора с <= (п, Ь).

Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы (20.36)
для дифференциалов остаются справедливыми и в том случае,
когда функции и и v зависят от разного числа переменных, так
как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести
к вышеразобранному случаю функций одного числа переменных..
20.5.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

df (х0, Уо) = df(x, у0)

Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы
не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмот-
рением функций двух переменных.

Рассмотрим функцию г = f (х, у), определенную на плоском
открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на пло-
скости R2. Пусть (х0, у0) ^G и пусть в точке (х0, у0) существует
dz т,
частная производная Ее геометрический смысл сразу полу-
dz

чается из определения частной производной как обычной про-
изводной функции f(x, у) по х при фиксированном у и из гео-
метрического смысла
обычной производной
(см. п. 9.3). В самом
деле, возьмем замкну-
тый круг Q радиуса
г с центром в точке
(х0, z/0) и лежащий в
G*}. Пусть у —кривая,
заданная представле-
нием

Z = f(x, Уо), У — Уо,

Хо — Г si .Г С А'о+ Г,
т. е. кривая, которая
получается сечением
графика функции z =
= /(х, у), (х, y)<=Q
ПЛОСКОСТЬЮ У = Уо (рис.
89). Как известно,
)л, образованный каса-

тельной к графику функции f (х, у0) в точке (х0, / (х0, у0)) с осью Ох,
т. е. угол, образованный касательной к кривой у в точке
(*о> У о, f (х0, уо)) с осью Ох.

Таким образом,

— в этом
„ df

нои дх'

и состоит геометрический

смысл частной

производ-

*’ Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения
открытого множества существует такая 6-окрестность U точки (х0, у0), что
UcG. Тогда замкнутый круг Q радиуса 6/2 с центром в точке (х0, уя) будет
заведомо лежать в G.
Аналогично устанавливается и геометрический смысл частной
производной	как тангенса угла наклона, образованного

касательной в точке (х0, у0, f(x0, уаУ)- к кривой, получающейся
сечением графика функции z = f(x, у), (х, у) eQ плоскостью
х = х0, с осью Оу.

Что же касается геометрического смысла дифференциала, то
из формул (20.20) и (20.9) для, нашего случая, т. е. при м = 2,
получим

f(x, у) = г0+ А(х — x0) + B(y-yQ) + o(p), р->0,	(20.39)

р = V"(x — х0)2 + (У — у0)3, z0 = f(xQ, Уо).

Уравнение

Z = ZO + А(х-Хо) + В{у-Уо)

(20.40)

является уравнением плоскости, проходящей через точку (х0, yQ, г0)
и не параллельной оси Ог. Как мы знаем, коэффициенты А и В
однозначно определяются из соотношения (20.39), причем

A = dl^id!A B = df(Хо, у0)	(20.41)

дх	ду	'	'

и, значит, плоскость (20.40) однозначно определена соотношением
(20.39). Эта плоскость называется касательной плоскостью к гра-
фику функции z = f(x, у) в точке (х0, у0. г0).

Таким образом, мы пришли к следующему определению.

Определение 6. Касательной плоскостью к графику функции
f(x, у) в данной точке называется такая плоскость, что разность
ее аппликаты и значения функций f (х, у) является величиной,
бесконечно малой по сравнению с р при р->0.

В силу (20.41) уравнение этой касательной плоскости имеет
вид

г-г0 = ^-^(х-х0) + ^^(//-у0).	(20.42)

В дальнейшем (см. т. 2, п. 50.4) мы познакомимся с другим под-
ходом к понятию касательной плоскости.

Полагая Ах = х — х0, Ау — у — у0, правую часть уравнения (20.42)
запишем в виде

df(xp, уо) Л	df (х„, уо) .

дх + ду

Это есть обычная запись дифференциала dz функции z = f(x, у)
в точке (х0, уо) и поэтому уравнение (20.42) можно переписать:

z — г0 = dz.
Таким образом, геометрически полный дифференциал функции

приращению аппликаты плоскости, каса-
тельной к графику функции (рис. 90).

в точке (х0, у0) равен

Более подробно, дифференциал

dz =	Дх +	Ду,

дх 1 дх

Дх = х —х0,	Ду = «/-//0

совпадает с приращением в точке х==
= х0 + Дх, у = уи + Ду аппликаты пло-
скости касательной к графику функции
в точке (хэ, уй, /(х0, у0)).

20.6.	ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

Пусть функция F (х, у) дифферен-
цируема в точке (х0, у0), а кривая у
такова, что функции х = x(t), y = y(t),
а-ДД=дЬ, с помощью которых она за-
дана в параметрической форме, удовле-
творяют уравнению

F(x, у) = 0,

т. е. посредством его осуществлено неявное задание кривой у.
Пусть /ое[а, b], x0 = x(t0), yo~y(to)> а функции х(1) и y(t)
дифференцируемы при t — t&.

Дифференцируя-при t = t0 тождество F (х (/), у(/)) = 0, a^t^z
еДЬ, получим

, OF , , dF „	,	,

Xt дх +yi ду -0’	—

, , ,, .	! ц. w (dF (Хп, уи) dF (ха, и„)\

т. е. векторы (х (/с), у (г0)) и I—Ч —ортогональны.

\ С/Л	С/1/	/

Вектор a = (x’t, y't) в случае, когда он не равен нулю, является,
как известно, касательным вектором к кривой у в точке (х0, у0) =
= (х(/0), У (to))- Вектор fуд\ называется градиен-
том функции F в точке (х0, уф и обозначается через gradF(x0, у0).
Из сказанного следует, что градиент функции F ортогонален
касательной к кривой, неявно задаваемой уравнением F(x, у) = 0.
Прямая, перпендикулярная касательной к плоской кривой и
лежащая в одной плоскости с вей, называется (см. п. 17.3) нор-
малью к данной кривой.

Таким образом, градиент функции F коллинеарен нормали
в соответствующей точке к кривой, задаваемой уравнением
F(x, i/) = 0.

В случае дифференцируемой функции f (xlt ..., х„) ее гра-
/ df	df \

диентом называется вектор (тг-, ...,-Ч- .

\OXi	ОХп /
20.7.	ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Частные производные от функции являются производными
«в направлениях координатных осей». Естественно поставить воп-
рос об определении и вычислении производной по любому фик-
сированному направлению. Прежде всего определим это понятие.
Проведем рассмотрение этого вопроса на примере функций трех

переменных.

Пусть функция / определена в 6-окрестности U (Л!о> 6) точки
Л10ед/?3, пусть М1еД(М0; 6). Проведем через точки Л10 и Л1Х
прямую. За положительное направление на этой прямой возьмем

направление вектора 1 — Мс,Мъ
к точке Mt. Для всякой точки
М этой прямой обозначим че-
рез М0М ориентированную дли-
ну отрезка с началом в точке
Л10 и концом в точке М, т. е.
длину этого отрезка со знаком
плюс, если вектор Л10А1 имеет
то же направление, что и век-
тор Z и со знаком минус в про-
тивном случае.

Определение 7. Предел

,. f(M) — f (Л10)

lim 'v .. '	, если он суще-

ствует, называется производной

т. е. направление от точки Мо

функции f в точке Мо по направлению вектора I и обозначается



д1 ’

Пусть теперь в пространстве R3 зафиксирована некоторая
система координат х, у, г. Пусть Л10 = (х0, у0, г0), М = (х, у, г),
\х = х — х0, &у = у — у0, hz — z — zo и s = A40Al. Найдем связь
между координатами точки М и ориентированной длиной s
отрезка М0М. Пусть а, 0 и у —углы, образованные вектором
М0М± соответственно с осями Ох, Оу и Ог, тогда (рис. 91)

X — x0 = scosa, у — z/0 = scosp, z — Z0 = SCOSy.

Вдоль прямой	функция / является функцией одной

переменной s, а именно

f(x, у, г) = f (х0 + s cos а, г/о + scosp, zo + scosy).

Производная этой функции по s (если она, конечно, существует)
и является производной функции f в точке Мо по направлению
вектора ЛДЛД.

Заметим, что направляющие косинусы cos<z, cosp и cosy век-
тора M0Mi через координаты точек Мо = (х0, у0, z0) и АД =
= (хь ,уъ Zi) определяются следующим образом:

COSa = ^l^!’, cos p =	cosy^-^p-, (20.43)

P = V(xt - x0)2 + (Ui ~ Уо)2 + (Л - z0)2-

Вычисляется производная по направлению по правилу диф-
ференцирования сложной функции. Пусть функция / (х, у, z)
дифференцируема в точке (х0, z/0, z0) и пусть

х = х() 4- s cos a, z/ = z/0-|-scosp, z = z04~s cosy. (20.44)

Согласно определению производной по направлению и фор-
муле производной сложной функции имеем:

dF(MB) _ ,.	f(M)-f(Mr,)_

*	м™,	Л10Л1

— lim ffe+scosa, yu + scosp, г0+$созу) —Уо. ?о) __
s-»o	s

_ df I	_ df (M„) dx df (M„) dy_	df (M„) dz_

ds (s-о dx ds ' dy ds dz ds ’

но из (20.44) следует, что

-j-=cosa, 4~ = cosp, -^=cosy, (20.45)
ds	’ ds ' ds •’	'	’

поэтому окончательно

df (M-) Of (M.) df (МД; . 5444-,) Q , df (М2)	,ar. ,r.

= -Ц- ” =  \ — cosa4------4-^- cos В 4- '), cosy. (20.46)

dl	ds	dx	1 dy r dz t \	/

Это и есть искомая формула.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 7. Пусть функция f дифференцируема в точке (х0, у„, г0).
Тогда в этой точке функция f имеет производную по любому
направлению и эта производная находится по формуле (20.46).

Любопытно отметить, что из полученной формулы (20.46) для
производной по напргвтению сразу не видно, что эта производ-
ная не зависит от выбора системы координат. Эта независимость
непосредственно следует из самого определения производной по
направлению, откуда в свою очередь вытекает, что правая часть
формулы (20.46) не зависит от выбора прямоугольной декартовой
системы координат, а определяется только точками Мп и
или, что то же, точкой М9 и вектором МЛМГ.

D	5)(Л-10) df(M2i df(M.f)

Вектор с координатами -Ц—, -Ч;—,	называется, как

С/Х	С/«/	(JZ

мы знаем, градиентом функции f (М) в точке Л1Р и обозначается
grad/. (Мы уже встречались с понятием градиента функций при
рассмотрении кривых, заданных неявным образом: см. п. 20.6.)
Таким образом, если /, j и k — координатные орты, то

grad^^Z + Ay+.Js.	(20.47)

Часто оказывается удобным использование символического
вектора Гамильтона*’

V — I --Г J “Д-Г k "д—,

дх 1 J ду 1 дг ’

называемого наблой. Набла является обозначением определенной
операции, которую следует произвести над той или иной функцией.

Для функции /, по определению, полагаем

. i°L+k-df-

V' 1 дх ду + й дг '

Формально это равенство можно рассматривать как «произведе-
ние» вектора V на число /. Итак, grad/ и V/ являются обозна-
чениями одного и того же выражения.

Пусть теперь вектор I единичный, и, следовательно, I =
= (cosa, cos0, cosy). С помощью градиента формула для произ-
водной функции / по направлению вектора Z запишется следую-
щим образом:

-| = Cosaf + Cosp | + cos у < =/gradA (20.48)

где в правой части стоит скалярное произведение вектора I и
grad/. Отсюда, поскольку / — единичный вектор,

df I J £ |

-~= | grad/1 cos ф,

где <р —угол, образованный вектором I и grad/. Из этой фор-
мулы видно, что в случае, если в данной точке

то производная дифференцируемой функции по направлению
достигает наибольшего значения в единственном направле-
нии, а именно том, при котором созф=1, т. е. в направлении
градиента. Из этого следует, что для заданной функции точки
/(М) градиент в каждой точке однозначно определяется самой
функцией, а не зависит от выбора системы координат, как это
могло бы сначала показаться из формулы (20.47).

*> У. Гамильтон (1805—1865)—ирландский математик.
Действительно, прежде всего, если градиент равен нулю
в одной декартовой системе координат, то он равен нулю и
в каждой другой подобной системе координат. В самом деле,
равенство нулю градиента в некоторой точке, согласно формуле
(20.48), равносильно равенству нулю в этой точке производных
по всем направлениям, последнее же не зависит от выбора декар-
товой системы координат, поскольку от этого выбора не зависит
производная по направлению. Если же градиент не равен нулю,
то его независимость от выбора декартовой системы координат
следует непосредственно из доказанного выше его геометрического
смысла: направление градиента показывает направление наибы-
стрейшего роста функции (оно единственно), а его величина равна
производной в этом направлении.

Возьмем теперь любую непрерывно дифференцируемую кри-
вую без особых точек, проходящую через точку (х0, у0, г0), и
такую, что вектор /И0Л11 является ее касательным вектором.
Обозначим через s переменную длину дуги этой кривой, отсчи-
тываемую от точки Мо в таком направлении, чтобы вектор
давал положительное направление на касательной. Если x = x(s),
y = y(s), z = г (s) — представление этой кривой, то, как мы знаем
. 1П r. dx	du п dx

(см. п. 16.5), -т-= cos а, -,=cosp, -j- = cosy, т. е. также вы-
4	''ds	'ds ' ds	' ’

полняется (20.45). Поэтому если взять производную в точке
(х0, у0, z0) от дифференцируемой функции f(x, у, г) по данной
кривой, т. е. при x = x(s), y = y(s), z = z(s), иначе говоря, взять
производную от функции /(x(s), y(s), z (s)) ПО S, то для этой
производной будет справедлива формула (20.46). Это означает,
что производная в некоторой точке от функции вдоль кривой,
проходящей через указанную точку, совпадает с производной по
направлению касательной к этой кривой в той же точке.

Все сказанное переносится на функции любого числа п пере-
менных (п 5s2). Сформулируем лишь определение производной
по направлению.

Пусть в некоторой окрестности точки х(0) = (лф", ..., х'п) опре-
делена функция f(x) и пусть х(1) =(xi1’, ..., xk11) —точка этой
окрестности, х(1) =/= х<°\

Проведем прямую через точки х,0) и х(1). Ее уравнение имеет
вид (см. (18.44.) и (18.45))

Xi = X/” + s COS a,-, i=l, 2, ..., п, —оо<$<Ц-оэ,
где cos а, —направляющие косинусы вектора
7__________________/v(i>	v(0)	v(oi\

7 —	Лп —лп ),

Рассмотрим заданную функцию f только на точках этой пря-
мой, т,- е. рассмотрим функцию

f(х)” + scosаь ..., Xn’ + scoseQ.
Производная функции f (х1( ,.., хп) в точке х<°> в направ-
лении точки х^1’, или, что то же, в направлении (cosab..., cosa„),
определяется как производная от сложной функции f (xi0’ +
+ s cos a(, х'п +s cosa„).

В случае, если функция / дифференцируема в точке х(0!, то,
согласно формуле для производной сложной функции, имеем
в этой точке

Of def <#_
dl ds

df ,	, df

cos a, 4-... 4- ~-
dxL 1 1	1 dxn

cosa„.

Вспоминая определение градиента функции п переменных

(см. п. 20.6), с помощью скалярного произведения /i-мерных век-

торов (см. (18.32)) формулу производной
функции f по направлению вектора I для
любого «-мерного пространства Rn можно
записать в виде (20.48), т. е.

-J- = (grad/, /0),

где /0 = (coso'1, ..., cosa„).
В заключение отметим, что из того,

что функция в некоторой точке имеет про-
изводные по всем направлениям, не следует, что функция в
этой точке дифференцируема. Например, функция

к ( 0, если
f(x, у) = 1 ,

( 1, если

у=£х2, или х=у=0,
у = х2, х’+//2>0,

имеет в точке (0, 0) по любому направлению производную, рав-
ную нулю. Однако, в точке (0, 0) функция / разрывна и, тем
более, не дифференцируема (рис. 92).

20.8. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

С помощью частных производных можно изучать поведение
функций многих переменных, подобно тому как исследовалось
поведение функции одной переменной с помощью ее производной.
Вопросом отыскания наибольших и наименьших значений мы
займемся позже в § 40 и § 43, здесь же ограничимся одним при-
мером изучения функции двух переменных, который позволит
нам получить одно полезное для дальнейшего неравенство.

Покажем, что для любых а^0, b^Q, 1 и числа q, опре-
деляемого равенством
справедливо неравенство
+ (20-50)

Прежде всего отметим, что уравнение (20.49), связывающее
числа р и q, равносильно соотношению

(р—!)(?—1) = 1,	(20.51)

которое эквивалентно условию
=	(20.52)

Это устанавливается непосредственной проверкой.
Для доказательства неравенства (20.50) рассмотрим функцию

F (х, у) = ху-—~-~	х>0, z/2sO. (20.53)

Вычислим ее частные производные:

dF ,	.	„ , dF ,  л (*, у} = У — хР . л - V0 дх у	а	ду	У) = х-р’-1.	(20.54)
Из (20.51) следует, что при г>0 и у — хр-1 = 0	у 5=0 уравнения	(20.55)
х - Z/?-1 = 0		(20.56)

равносильны. Таким образом, точки (х, у), удовлетворяющие как
условию дх (х, у) = 0, так и условию (х, у) = 0 лежат на кри-
вой (20.55) или, что то же, на кривой (20.56).

В силу (20.49) и (20.52) вдоль кривой (20.55) имеем:

rP у(Р 1> Q

F(x, х^хр—*---^—

= ХР-

хр

P

х.р. = хр [ 1 _ 1 - I'j == 0. (20.57)
q \' р q j v 7

Обозначим теперь через G+ множество всех точек, располо-
женных выше кривой (20.55), включая саму кривую:

G+M{(x, у)-.у-^хР-1, х2э0},

а через G —множество всех точек первой координатной четверти
(включая ось х-ов), лежащих ниже этой кривой:

G" = {(х, z/hO^psgxP-1, х>0}.
Согласно формулам (20.54) при (х, у) G+, у =/= хрЛ имеем
4-(х, z/)>0, а при (х, y)^G~, у^хР-1, соответственно (х, y)>G
(J и

(здесь использована эквивалентность уравнений (20.55) и (20.56)).
Поэтому вдоль любого отрезка, лежащего во множестве G+ и

параллельного оси х-ов (рис. 93) функция F (х, у) строго возра-

стает. Следовательно, если (х, у) е G+,
у^хр~г, то (см. (20.57))

F (х, y)<F (х, х''1) = 0.

Аналогично, на любом отрезке, лежа-
щем во множестве G~ и параллельном оси
z/-ob функция F (х, у) также строго возра-
стает. Поэтому, если (х, y)^G м. у
=^xpl, то опять

F (х, y)<F (х, хр-1) = 0.

Таким образом, если у^хр~\ хз^О, z/з^О, то всегда F (х,
Итак, вспоминая вид функции F (см. (20.53)), имеем: если
а=>_0, 6>=0, то

,	ар, ЬЧ	, , „ 1

аЬ<~~	~ при b =/= ар , .

,	ар . Ьч	. п 1

Ctb —	+ у при b = ар~\

Тем самым неравенство (20.50) доказано.

§ 21.	ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

21.1.	ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть задана функция /(х, у). Тогда каждая из ее частных
,	. df (х, и) df (х, у)

производных (если они, конечно, существуют) ур- и —,
которые называются также частными производными первого
порядка, снова является функцией независимых переменных х, у
и может, следовательно, также иметь частные производные,
т т	д [ df \ л	d2f .

Частная производная у (у) обозначается через или fxx,
д / df \	d2f	гт	г-

а ~dy\SF] через ~d^dF или Таким образом,

_д	LdL\ _ dif _ t

dx \ дх} дх2 'хх’ ду \дх / ду дх 'хр

и, аналогично,
д fdf\ _	d2f	_f	д (Of \	d2f	f

дх\ду)	дхду 'рх’	ду\ду)	ду2	'ру'
Производные fxx, fxy, fyx и fyy называются частными производ-
ными второго порядка. Рассматривая частные производные от
них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:

d3f d3f d3f d3f

дх3 ’ ду дх2 ’ ду2 дх ’ дх ду дх И Т’

Аналогично определяются частные производные произвольного
порядка и для функций любого числа переменных.

Определение 1. Частная производная (по любой из независимых
переменных) от частной производной порядка т— 1, т = 1, 2, ...
...,*) называется частной производной порядка т.

Частная производная, полученная дифференцированием по раз-
личным переменным, называется смешанной частной производной.
Частная же производная, полученная дифференцированием только
по одной переменной, называется чистой частной производной.

Число различных частных производных при увеличении т,
очевидно, возрастает, однако оказывается, что при определенных
предположениях многие из них совпадают, а именно смешанные
частные производные по одним и тем же переменным не зависят
от порядка дифференцирования.

Более точно имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция f(x, у) определена вместе со своими
частными производными fx, fy, fxy и fyx в некоторой окрестности
точки (х0, z/o), причем fxy и fyx непрерывны в этой точке', тогда
fxy(%0> Уо)—?ух(Х(ь Уо)-	(21-1)

Доказательство. Пусть функция f(х, у) определена
вместе с производными fx, fy, fxy и fyx в б-окрестности точки
(х0, уо) и пусть Дх и \у фиксированы так, что Дх2-}- &у2 <б2.
Будем обозначать, как и раньше (см. п. 20.1), символом Дх,
соответственно Д^, приращение функций f по аргументу х, соот-
ветственно у, в точке (х0, уо)**}- Введем обозначения

^xyf = A.V (A,/), ^yxf = (АД)
и покажем, что

kxyf = kyxf.	(21.2)

Действительно,

АдД = Ах(ДД) = ДД/(х0, й + А//)-/(х0, z/0)]=

=[/(хо + Лх, г/о +Az/)~/(x0-l-Ax, z/0)]—

—[f(x0, //o + Az/)-/(xo, z/o)];	(21.3)

*’ Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений счи-
тается сама функция.

**> Для всякой функции F (х, у) имеем:

bxF(xa, yB)=F (х„ + Дх, yJ)—F(x.., ув),

&yF (х0, yB) = F(xB, yo + ^y) — F(Xo, Уо).
аналогично,

Ay xf = Ay (A xf)=[/ (х0 + Ах, у0 + Ay) - f. (х0, у о + Ау)]—

—[f(x0 + Ax, у0)-/(х0, Уо)]-	(21.4)

Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости соотно-
шения (21.2).

Положим теперь

ф(х) = /(х, у0 + Ау)-/(х, Уо)-,

тогда (21.3) можно переписать в виде

^xyf = ф (Хо + Ах) - ф (Хо).

В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0)
существует частная производная fx, функция ф (х) дифференци-
руема на отрезке с концами в точках х0 и х0-}-Ах. Из теоремы
Лагранжа о конечных приращениях следует, что

&xyf = ф' (Хо + 61Ах) Ах, 0 < 0Х < 1.

Но ф'(х) = ^(У, z/o + Az/) — fx(x, Уо), а поэтому

&xyf = [/x (^о +6iAx, z/0-|- \y) — fx (х0 + 6jAx, z/o)] Ax.

Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях,
но теперь уже по переменной у, будем иметь

^xyf = fXi/(x + e1Ax, yo + 02Ay) АхАу,

О<0Х< 1, 0<02< 1.	(21.5)

Совершенно аналогично, полагая ф (у) = f (х0 + Ах, у) — f(x0, у),
имеем

byXf = ф (Уо + Ау) - ф (z/o) = Ф' (z/o + бзАу) Ау =

=[fy (*о + Ах, у0 +03Ау) —(х0, у„ + 03Ау)] Ау =

= fyx (*о -ф 0<Ах, Уо -ф 63Ау) АхАу, О <С 03	1, О <Z 0$	1. (21.6)

Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны
между собой, значит, равны и правые; приравнивая их и сокра-
щая на АхАу при Ах#=0 и ДуФ=0, получим

fxy (^o + 0iAx, z/o + 02Ay) = fyjc(xo +-04Ax, УоФ63Ау),

О<0; < 1, z = l, 2, 3, 4.	(21.7)

В силу непрерывности частных производных fxy и fyx в точке
Хо, Уо, переходя в (21.7) к пределу при Ах->0, Дг/->0, полу-
чаем (21.1). [j

Замечание 1. Из доказанной теоремы по индукции легко
следует, что если у функции п переменных смешанные частные
производные m-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они
не зависят от порядка дифференцирования.
Это следует из того, что любые две последовательности диф-
ференцирования, отличающиеся только порядком дифференциро-
вания (т. е. такие, что по каждому фиксированному аргументу
они содержат одно и то же суммарное число дифференцирований),
можно перевести одну в другую конечным числом шагов, при
каждом из которых меняется порядок дифференцирования только
по двум переменным, а другие остаются при этом фиксирован-
ными. Таким образом, при каждом шаге фактически рассматри-
вается изменение порядка дифференцирования у функции лишь
двух переменных, т. е. в этом случае мы находимся в условиях
вышедоказанной теоремы. Тем самым общий случай и сводится
к случаю функций двух переменных.

Поясним это на примере. Докажем, например, что
fxyz ~ f zyx-

Согласно вышесказанному, имеем последовательно

f xyz — (fx)yz — (fx)zy — (fxz)y — (fzx)y = (fz)xy = (fz)yx = fzyx-

Замечание 2. В заключение этого пункта отметим, что,
на первый взгляд, доказанная теорема может показаться не очень
содержательной: для того чтобы судить о том, имеет ли место
равенство fxy = fyx, надо, согласно этой теореме, проверить непре-
рывность функций fxy и fyx, а для этого надо как будто бы их
знать, но если мы их уже знаем, то без всякой теоремы можем
выяснить, равны они или нет. Тем не менее теорема 1 все-таки
содержательна. Дело в том, что о непрерывности функции можно
иногда судить на основании некоторых общих теорем, не прибегая
к конкретному вычислению и исследованию самой функции. Так,
мы знаем, что все элементарные функции многих переменных
непрерывны в своей области определения (см. п. 19.4). С другой
стороны, частные производные элементарных функций сами яв-
ляются элементарными, поэтому если, например, частная произ-
водная некоторой элементарной функции определена на некоторой
окрестности какой-либо точки, то эта производная и непрерывна
в каждой точке указанной окрестности.

Задача 18. Докажите, что если функция f(x, у) определена вместе со своими
частными производными fx, fy и fxy в некоторой окрестности точки (л'о, у0),
причем частная производная fxy непрерывна в точке (х0, у0), то в этой точке
существует частная производная fyx и

fyx(xot Уо) — fxy(*<>, Уо)-

Функция, имеющая в некоторой точке (или, соответственно,
на некотором открытом множестве) непрерывные частные произ-
водные всех порядков до* некоторого порядка m включительно,
называется m раз непрерывно дифференцируемой в этой точке
(на этом множестве).
Заметим, что, для того чтобы функция имела в точке (на от-
крытом множестве) непрерывные частные производные всех поряд-
ков до некоторого порядка т включительно, достаточно, чтобы
она имела в этой точке (на этом множестве) непрерывные частные
производные порядка т. Действительно, из непрерывности всех
частных производных порядка т в точке (на открытом множе-
стве), согласно следствию из теоремы 3 в п. 20.2, вытекает
непрерывность всех частных производных порядка т — 1 в рас-
сматриваемой точке (на рассматриваемом множестве). Из непре-
рывности же частных производных порядка т — 1 вытекает
(в случае 1) непрерывность частных производных порядка
т — 2 и т. д.

21.2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Функция от 2п переменных xlt .... хп, уи ..., у„, или, что
то же, от упорядоченной пары точек «-мерного пространства
а = (хь ..., хп), y = (yt, ..., уп) вида

А(х, у) = А(хь .... хп-, уг, ..., уп)= У аи^уь,
i, k = l

где a,— заданные числа (i, k=\, 2, ..., ri), называется билиней-
ной формой от х и у. Это название объясняется тем, что если
одну из точек х или у зафиксировать, то функция будет линейной
относительно координат оставшейся точки.

Функция А (х, х) называется квадратичной формой, соответ-
ствующей данной билинейной форме А (х, у):

п

А(х, x) = A(Xi, ..., х„; хь ..., х„)= У] а,-*хдх*.

I, k=i

В случае, когда aitt = aki, i, k=--\, 2, ..., п, билинейная форма
А(х, у) и соответствующая ей квадратичная форма А (х, х)
называются симметричными.

Например, скалярное произведение двух векторов х —
— (x-i, х2, ..., х„) и у = (уъ уг, .... yh) «-мерного евклидова
пространства Rn

Ху — Xiyt 4- X2U2	+ xhyn

является симметричной билинейной Формой точек х =(хъ х2,
..., х„) и // = (.'/), у*, ..., уп), а квад>ат длины вектора | х j —
соответствующей ей квадратичной:

| X |2 = XI Xi	Хп.

В дальнейшем для удобства изложения будем обозначать
дифференциалы не только символом d, но и символом б, напри-
мер, писать не только

dz = dx + -f- dy, но и 8z = 8х +	8у,

дх 1 ду 3	дх ' ду 3

причем дифференциал какой-либо функции будем называть также
и ее первым дифференциалом.

Пусть функция z = z(x, у) имеет непрерывные первые и вторые
частные производные на некотором открытом плоском множестве
G (такие функции, согласно определению предыдущего пункта,
называются дважды непрерывно дифференцируемыми на мно-
жестве G). Из непрерывности на множестве G частных произ-
водных и -ч- следует, как мы знаем (см. теорему 3 в п. 20.2),
дифференцируемость самой функции г (х, у) в каждой точке этого
множества. Таким образом, для всех точек (x,.y)^G определен
дифференциал

Поскольку, согласно сделанным предположениям, частные
дг дг

производные и имеют на открытом множестве непрерыв-
ные частные производные

д f дг\   д2г д / дг\ _ д2г д / дг \ _ д2г
дх \дх ) дх2 ’ ду \ дх / ~ дудх ’ дх \ ду J дхду И

д f дг \  д2г

ду \ду J	ду2 '

dz dz

то в силу теоремы 3 из п. 20.2 и также дифференцируемы
на множестве G. Поэтому дифференциал dz, рассматриваемый
как функция только переменных х и у, в свою очередь является
дифференцируемой на множестве G функцией. Вычислим диффе-
ренциал от первого дифференциала dz, считая dx и dy фиксиро-
ванными, а точку (х, у) — принадлежащей области G: (х, у) е G,
при этом новое дифференцирование обозначим символом 6:

6 =6 (idx + w = (б i}dx + (б dy=

I д2г е . д2г х \ ,	( д2г s , д2г s \ ,

= dx 8х + (dx 8у + 8х dy) + — dy 8у.

Обратим внимание на то, что непрерывность вторых произ-
водных была использована не только для того, чтобы проведен-
ные вычисления имели смысл (т. е. для того чтобы во всех рас-
сматриваемых точках существовали дифференциалы 6-^-и 8^~\,
но и для того, чтобы в процессе вычислений не обращать вни-
мания на порядок дифференцирования. Действительно, было по-
казано (см. п. 21.1), что в случае непрерывности смешанных
d2z д2г

частных производных и они совпадают, поэтому для
их обозначения может быть использован один и тот же символ,
что и было сделано при указанных вычислениях.

В результате получилась симметричная билинейная форма
переменных dx, dy, 8х, 8у. Полагая 8х — dx, 8у = dy, получим
соответствующую ей квадратичную форму, которая и называется
вторым дифференциалом функции г=г(х, у) в данной точке
(х, у) Еб и обозначается d2z.

Таким образом, мы пришли к следующему определению.

Определение 2. Вторым дифференциалом d2z функции г =
—f (х, у) в данной точке называется квадратичная форма от
дифференциалов dx и dy независимых переменных, соответствую-
щая билинейной форме дифференциала от первого дифференциала,
т. е.

d2z = 44 dx2 + 2 4 д dxdy ф- — dy2.	(21.8)

ox3 1 дхду J dy2 J	v '

На практике при конкретном вычислении дифференциалов
обычно совмещаются оба шага — вычисление дифференциала от
дифференциала 8(dz) и приравнивание дифференциалов аргумен-
тов при последовательных дифференцированиях: 8х — dx, 8y = dy.
Например, пусть z = y3cos2i/ и требуется найти d2z. Последова-
тельно имеем:

dz = Зх2 cos2 у dx — № sin 2ydy,

d2z = 6x cos2 у dx2 — 3x2'sin 2y dx dy — 3x2 sin 2y dx dy —

— 2x3 cos 2y dy2 = 6x cos2 у dx2 — 6x2 sin 2y dx dy — 2x3 cos2 2y dy2.

Аналогичным образом при непрерывности частных произ-
водных третьего порядка можно вычислить и дифференциал от
второго дифференциала 8(d2z), после чего, полагая 8x = dx и
8y = dy, мы получим по определению третий дифференциал. По
индукции определяется и дифференциал (т-|-1)-го порядка
dmlz, m=i, 2, .... Именно, чтобы в предположении непрерыв-
ности у рассматриваемой функции г(х, у) всех ее частных про-
изводных до порядка т ф-1 включительно на некотором откры-
том множестве получить ее дифференциал dm+1z, надо взять диф-
ференциал от дифференциала dmz порядка т: 6(dmz) и положить
8x = dx, 8y = dy. При этом для дифференциалов порядка т —
= 1, 2, ... справедлива формула
т

dmz = J Сп П^дфГ d^dy",	(21.9)

k=0
ее обычно символически записывают в следующем виде, более
удобном для запоминания:

! д ,	.	д,\{т}

(21.10)

Докажем формулу (21.9) по индукции. При т=1 она, оче-
видно, верна. Пусть она справедлива при некотором т, пока-
жем ее справедливость при т-\-1. Имеем
б (dmz) =
т

= 2 ( dxd2ZZidyk - ^xdxm~-kdyk +	dxm-k6ydy^.

k=0

Положим dx = dx и §y = dy\ тогда

m

d^z = 2 C"‘ dx^dy^ dxmk+1dyk +
fc=0

Заменим во второй сумме индекс суммирования р на k— 1
и заметим, что	= С*+1; окончательно получим:

т

d^z = 2 Ckm dxmdZ\dy— dxmk+1dyk +

A=0

zn+1

4-	У Ck~1_____—------dxm k ‘ 1duk —

dx>n-i<^-dy& ax аУ —
m + 1

= 2 CZi-gJZld^ dx^kdyk. □
fe=.-0

Замечание. Следует иметь в виду, что если имеется слож-
ная функция z = f(x, у), где х = х(ц, и), у = у(и, и), то второй
дифференциал функции /, записанный через дифференциалы пере-
менных х и у, уже не будет, вообще говоря, иметь вид (21.8),
а будет, как правило, выглядеть сложнее. Таким образом, в слу-
чае дифференциала высшего порядка (т. е. порядка, большего
или равного двум) не имеет места инвариантность формы диффе-
ренциала относительно выбора переменных. Чтобы в этом убе-
диться,-вычислим в рассматриваемом случае второй дифферен-
циал функции z = f(x, у), где х = х(и, v), у = у(и, v). В силу
инвариантности формы первого дифференциала имеем

dz — ^-dx+ Z dy.

дх 1 ду v
Далее вычислим дифференциал б(с(г), считая, что 8u = du,
8v = dv. Использовав инвариантность формы первого дифферен-
циала относительно выбора переменных и заметив, что диффе-
ренциал 6 (dx) есть дифференциал функции и, значит, вообще
говоря, не ноль, получим

dz2 = 8 (dz)

6u=du = 6 (J^dx + -f- dy\

6v=dv \	°У /

bu=du —
&v=dv

=ч * 6 dx+6 (» + -16 w+-J-6

6v=du —
6u=dv

= 44 dx2 4- 2 44" dxdy + 44 dy2 + 4- d2x + 4- d2y.
dx2 1 dxdy ' dy2 J ' dx	dy y

На практике и в этом случае обе операции: вычисление диффе-
ренциалов и приравнивание дифференциалов 8u = du, 8v = dv —
производятся одновременно, т. е. запись б (dz) считается
\bi/~dy
равноправной записи d(dz).

Все сказанное, в частности определение дифференциалов выс-
ших порядков, естественным образом переносится на функции
большего числа переменных. Отметим, что дифференциал т-го
порядка от функций п переменных у = у(хг, ..., хп) имеет вид

Доказывается эта формула аналогично формуле (21.10).

Упражнения. 1. Найти частные производные первого порядка функ-

1 г х
ции 2 = In tg — .

ч у

2. Найти полный дифференциал функции и — гхУ.

3. Найти все частные производные второго порядка функции
u=xsin (% + !/) + !/ cos (х + р).

4. Найти d2z, если z-~- In (x2-J-p2)-

5. Найти производные первых двух порядков от функции w=f(u,v)
где M = x2+y2, v=xy.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 22.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА

22.1.	ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В этом параграфе рассматривается задача отыскания функции,
для которой заданная функция является производной.

Определение 1. Пусть функция f определена на некотором
конечном или бесконечном промежутке А числовой оси R, т. е. на
интервале, полуинтервале или отрезке

Функция F, определенная на этом же промежутке, называется
первообразной функцией (или просто первообразной) функции f
на А, если

1)	функция F непрерывна на промежутке А;

2)	во всех внутренних течках х промежутка А функция F
имеет производную и F' (x)=f (х).

Иногда вместо «первообразная данной функции» говорят «пер-
вообразная для данной функции».

Таким образом, если а — конец промежутка А и аеА, то
в точке а первообразная F обязательно непрерывна. При х = а
она может иметь или не иметь одностороннюю производную, кото-
рая, если она существует, может и не совпадать со значением
функции / в точке а.

Пример. Пусть

( 1 при 0<х< 1,

(О при х = 0.

Тогда функция F(x)—x,	являетсящервообразной для /,

так как оба условия определения 1 очевидно выполняются. Отме-
тим, что функция F(x)=x, O-cx-Cl, является и первообразной
для функции /1 (х) = 1, 0 х -sg 1.

На этом примере видно, что одна и та же функция может
быть первообразной для разных функций, однако они могут отли-

*’ Если рассматриваемый промежуток является отрезком, то само собой
разумеется, что он может быть только конечным.
чаться друг от друга только на концах промежутка Д, так как
во всех внутренних точках в силу условия 2) определения 1
указанные функции совпадают.

Очевидно, что если F — первообразная функции f на проме-
жутке Д, т. е. функция F непрерывна на Д и во всех внутрен-
них точках х промежутка Д выполняется условие F' (х) = f (х),
то для любой постоянной С функция F (х) + С также непрерывна
на Д и во внутренних точках х имеем

[F (х) + С]'= F'(х) + С'=/(х),

т. е. функция F(x)4-C тоже является первообразной функции f
на Д.

С другой стороны, в силу следствия 2 теоремы 3 п. 11.2,
если F и Ф —две первообразные для функции/на Д, т. е. если F
и Ф —непрерывны на Д и во всех внутренних точках х проме-
жутка Д выполняются равенства F' (x) — f (х), Ф' (х) =/ (х), и,
следовательно,

[F (х) — Ф (х)]'= О,

то рассматриваемые первообразные отличаются на Д на некото-
рую постоянную С:

Ф (х) = F (х) + С, хеД.	(22.1)

Итак, если функция F является какой-либо первообразной
функции / на промежутке Д, то всякая функция Ф вида (22.1)
также является первообразной функции /, и всякая первообраз-
ная функции / представима в виде F(x)-j-C.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f,
определенных на некотором промежутке Д, называется неопреде-
ленным интегралом от функции f на этом промежутке и обозна-
чается через

$/(x)dx.	(22.2)

Символ J называется знаком интеграла, f (х) — подынтеграль-
ной функцией.

Если F — какая-либо первообразная функции / на Е, то пишут

5 / (х) dx = F (х) + С,	(22.3)

хотя было бы правильнее писать

J/(x)dx = {F(x) + C}.	(22.4)

Мы, как обычно принято, будем употреблять запись (22.3). Тем
самым один и тот же символ / (х) dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции /, так и любой элемент
этого множества, т. е. какую-то первообразную функции /.
Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих
частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство
между множествами.

Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию/,
а ее произведение на дифференциал dx. Это делается прежде
всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется пер-
вообразная. Например,

$ x2z dx =	+ С, x2z dz =	+ С;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна х2г, но
ее неопределенные интегралы в рассмотренных случаях оказы-
ваются различными; в первом случае она рассматривается как
функция от переменной х во втором —как функция от г.

Другие удобства, вытекающие из употребления записи J/(x)dx,
будут указаны в дальнейшем (см. замену переменного в инте-
грале, п. 22.3).

Если F — первообразная функции / на промежутке Д, то со-
гласно определению 2 в формуле (22.2) под знаком интеграла
стоит дифференциал функции F во внутренних точках проме-
жутка Д:

dF (x) = F' (х) dx = / (х) dx.

Будем считать по определению, что этот дифференциал под зна-
ком интеграла можно записывать в любом из указанных видов,
т. е. согласно этому соглашению

\f(x) dx = F’ (х) dx = dF (х).	(22.5)

Основные свойства неопределенного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции опре-
делены на одном и том же конечном или бесконечном проме-
жутке Д.

1°. Пусть функция F непрерывна на промежутке Д и диффе-
ренцируема в его внутренних точках-, тогда

J dF (х) = F (х) + С,

или, что то же (см. (22.5)):

jj F' (х) dx = F (х) + С.

Справедливость этого равенства вытекает из определения не-
определенного интеграла как совокупности всех функций, непре-
рывных на данном промежутке Д, дифференциал которых (во
внутренних точках хеД) стоит под знаком интеграла (см. (22.5)),
и общего вида (22.1) всех первообразных данной функции.
2°. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке Д;
тогда для любой внутренней точки промежутка \ имеет место
равенство

d^f (х) dx —f (х) dx.

В данной формуле под интегралом ^f(x)dx понимается любая
первообразная F функции f. Справедливость этой формулы оче-
видна в силу определения -первообразной.

3°. Если функции fi и f2 имеют первообразные на то и
функция fi + fi также имеет первообразную на Д, причем

$ [/i (х) + /г (х)] dx = $ fi (х) dx + ^fz (х) dx. (22.6)

Это равенство выражает собой совпадение двух множеств
функций и означает, что сумма каких-либо первообразных для
функций ff'ii f2 является первообразной для функции fi~j-f2 и
что наоборот, всякая первообразная для функции /1 + /2 является
суммой некоторых первообразных для функций fi и f2.

Свойство интеграла, выражаемое формулой (22.6) называется
аддитивностью интеграла относительно функций.

Пусть J fi (х) dx = Fx (х) + Съ §/2(х) dx = F2(x) + C2, и, следо-
вательно, функции Fi и F2 непрерывны на промежутке Д и во
всех его внутренних точках х справедливы равенства FJ (х) = /х (х),
f;(x)=/2(x).

Положим F = Fi + F2. Тогда функция F непрерывна на про-
межутке Д, как сумма непрерывных функций Fi и F2 и для любой
внутренней точки х промежутка Д

F' (х) = [Fi (х) + F2 (х)]' = Fi (х) + F2 (x) = h (x) + f2 (x).

Это означает, что F является первообразной для функции
/1 + /2 на Д, а поэтому

$ [/г (х) + /2 (х)] dx = F (х) + С = Fi (х) + F2 (х) + С.

Таким образом, левая часть формулы (22.6) состоит из функ-
ций вида Fi (х) + F2 (х) + С, правая — из функций вида Fi (х) +
4- Ci4-F2(x) + C2- Ввиду произвольности постоянных С, Ci и С2
эти совокупности совпадают.

4°. Если функция f имеет первообразную на промежутке \ и
k —число, то функция kf также имеет на Д первообразную, при-
чем при k^=0 справедливо равенство

^kf(x)dx = k^f(x)dx.	(22.7)

Действительно, пусть § f (х) dx = F (х) + С, т. е. F — непрерывна
на Д и во внутренних точках х промежутка Д выполняется
условие F' (х) = f (х). Тогда функция kF также непрерывна на этом
промежутке и в его внутренних точках х имеет место равенство
[kF (х)]'= kF'(х) = kf (х). Это означает, что функция kF является
первообразной для kf, а поэтому \kf (x)dx = kF (x)~FC1.

Таким образом левая часть формулы (22.7) представляет собой
совокупность функций вида kF (x)-FClt а правая состоит из функ-
ций вида k[F (x)~i-C] — kF (x)-\-kC. Ввиду произвольности по-
стоянных С и Сг при условии k Ф 0 обе совокупности совпадают.

Вопрос о существовании первообразной будет изучаться не-
сколько позже (см. п. 29.2), а теперь рассмотрим простейшие
методы вычисления первообразных для элементарных функций.

Упражнение 1. Доказать, что для функции sign* не существует
такой функции F, что для всех х е R выполнялось бы равенство F' (x) = signx.

22.2. ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной
функции, называемая интегрированием, является действием, обрат-
ным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной
функции ее производной (см. свойства 1 и 2 неопределенного
интеграла в п. 22.1). Поэтому всякая формула, выражающая
производную той или иной функции, т. е. формула вида F’ (л) =
= /(х), может быть обращена (записана в виде интегральной
формулы):

J / (х) dx = F (х) + С.

Используя это соображение, напишем таблицу значений ряда
неопределенных интегралов, получающуюся непосредственно из
соответствующей таблицы производных элементарных функций
(см. § 9)

1. xadx =	+ С, х > 0, а — 1.

Если число а таково, что степень х“ имеет смысл и для всех
xscO, то формула 1 справедлива на любом промежутке. Напри-
мер, формула

f x2dx = -^--FC

tJ

справедлива на всей числовой оси.

Однако для интеграла уже нельзя написать подобную
единую формулу, справедливую для всей ее области определе-
ния, т. е. для всей числовой оси, из которой исключено число
ноль. В этом случае имеем:

—	~ + Ci Для х > О

—	1+^2 ДЛЯ х<0.
2.	J у = 1п|х| + С

на любом промежутке, на котором хфО.

3.	\ axdx = ~—рС,	й>0, а =£1.

J	In а 1	~

В частности, ^ех dx = ex+C.

4.	jjsinxdx =— cosx + C.

5.	$ cosxdx = sinx + C.

6.	f ~-=tgx + C.

7.	= — ctgx + C.

J sm2x b '

8.	§shxdx = chx + C.

9.	J ch x dx — sh x + C.

10.	{-S- = thx4-C.

J ch2 x

11-	= — cth x+C.

J sh2 x

12.	f ^2 = 1 arctg ~ + C = — ± arcctg 4 + C.
x24~a2 a ° a	a ° a 1

13.	( -2^4 = o-ln|^| + C.

J x2 -c2	2a I x 4- a | 1

< л f* dx	' X i /*>	X i /*> I г [	

14.	\	. ^arcsin—— arccos—PC,	x < a .

J/a2_X2	a	a	1 1	1	1

15.	f -^== 1п1х + 1/л;2±а21 + С,

J /x2±a2

причем, когда под корнем стоит х2 — а2, предполагается, что
| х | > | а |.

Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной
функции обращается в ноль в некоторой точке, то написанные
формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в кото-
рых не происходит обращения в ноль указанного знаменателя
(см. формулы 2, 6, 7, 11, 13, 15). Это замечание относится и
к аналогичным ситуациям, которые встретятся нам в дальнейшем
и не будут каждый раз специально оговариваться.

То, что производными функций, стоящих в правых частях
этих формул, являются соответствующие подынтегральные выра-
жения, проверяется непосредственным дифференцированием (см.
примеры в § 9).

С помощью интегралов 1 — 15, называемых обычно табличными
интегралами, и доказанных выше свойств неопределенного инте-
грала можно выразить интегралы и от более сложных элемен-
тарных функций также через элементарные функции.
Например,

( С5 cos х + 2 — Зх2 + --Д-; dx —

J V	х	х3 —1 /

— 5 f cos xdx-[-2 { dx — 3 f х2 dx + f — — 4 ( -/f-r =

J	J J	J x Jx24~l

= 5 sin x + 2x — xs + In | x | — 4 arctg x + C.

Отметим, что для всякого многочлена степени п существует
первообразная и она является многочленом степени n +1, точнее,

(а0 + atx + а2х2 +... + апхп) dx =
п „ | в{Х^ j	, I aflXn+l , Z-, mn

= Я(йН—g-  3-4* • • • + „+6.	(22.0)

Это следует из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см.
п. 22.1) и формулы 1 этого Пункта.

Если первообразная некоторой функции f является элементар-
ной функцией, то говорят, что интеграл J f (х) dx выражается
через элементарные функции или что этот интеграл вычисляется.

22.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ
(ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ)

В этом и следующем пунктах будут рассмотрены два свой-
ства неопределенного интеграла, часто оказывающиеся полезными
при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и <p(t) определены соответ-
ственно на промежутках &х и \t, ф(А/)сА6 функция ф непре-
рывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних
точках. Тогда, если функция f (х) имеет первообразную F (х) на
\х и, следовательно, f (х) dx — F (х ) + С, то функция f [<р (/)] ф' (t)
имеет на первообразную F [ф (()] и поэтому

$Дф(/)]фЧ/И = 5[ф(/)] + С.	(22.9)

Доказательство. Функции f(x) и F (х) определены на
АЛ. по условию теоремы ф (А,) сд Аг, поэтому имеют смысл слож-
ные функции /[ф (Z)J и F [ф(()]. Поскольку функция F (х) явля-
ется первообразной для /(х) на Дх, она непрерывна на А', и во
внутренних точках х промежутка АЛ- справедливо равенство
F'(x)=/(x). Функция ф(() по условию теоремы непрерывна на
промежутке А/ и дифференцируема в его внутренних точках.
Поэтому функция /г[ф(0] непрерывна на А/ как композиция
непрерывных функций, и согласно правилу дифференцирования
сложных функций для всех внутренних точек промежутка А,
имеет место равенство

у Р[ф (01 =	ТГ- “ I l<f <01V (0.
т. е. функция /[<р (/)]<₽' (0 имеет в качестве одной из своих
первообразных функцию F [ф (/)]. Отсюда сразу и следует фор-
мула (22.9). Q

Формула (22.9) часто применяется на практике при вычисле-
нии интегралов. Для удобства ее использования придадим ей
несколько другой вид. Заметив, что

/ (х) dx (Z) = [F (х) + C].v=(p = F [ф (/)] 4- С,
перепишем формулу (22.9) в виде

$ f [ф (01 ф' (0 dt =	(х) dx I.w(n.	(22.10)

Отсюда видно, что можно сначала вычислить интеграл \f(x')dx,
а затем вместо х подставить функцию ф (/). Эта формула и назы-
вается обычно формулой интегрирования подстановкой. Ее левую
часть можно записать в другом виде согласно равенству

$Иф(0]ф'(0^ = № (0] rf<p(0-

Отметим также, что формулу (22.10) бывает целесообразно
использовать и в обратном порядке, т. е.. справа налево. Именно,
иногда бывает удобно вычисление интеграла

$.f(x)dx

с помощью соответствующей замены переменного х = ф(/) свести
к вычислению интеграла

р[ф (01 ф' (0^

(если этот интеграл в каком-то смысле «проще», чем исходный),
т. е. использовать формулу (22.10) в виде

$f(x)dx = $/[ф(/)]ф' (f)dtIf = <₽-l(x).	(22.11)

Эта формула непосредственно следует из (22.10), если в обеих
ее частях сделать замену переменного t — ф*1(х), где ф1, как
всегда, обозначает функцию, обратную функции ф. Чтобы функ-
ция ф'1 существовала, в дополнение к условиям теоремы 1 до-
статочно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом про-
межутке функция ф была строго монотонной. В этом случае,
как известно (см. п. 6.3), будет существовать однозначная
обратная функция ф Е

Формула (22.11) обычно называется формулой интегрирования
заменой переменной.

Примеры. 1. Для вычисления интеграла jjcosaxdx естест-
венно сделать подстановку и = ах, тогда

f cos axdx = 1 ( cos udu = — sin и 4- С = ДЕДЕ _i_г п 0.

J	a J	а 1 а ‘

13 Кудрявцев Л. Д. ,т. 1
2.	Для вычисления интеграла
подстановку и = х2 + а2:

xdx
х2 — а2

удобно применить

- И 4г Ч 1П w + С - J-In (х* + О«) + С.

3.	При вычислении интегралов вида
лезна подстановка м = <р(.г):

ср' (х) dx

<р W

<р (х)	0, по-

$4г#‘М4йг = |пм*)1+с.

Например,

f ,	, С d cos х

д tg xdx = — \ ---------= —

J ь	J COS X

In 1 COS X I + C,

. x n , X
tg-2- 2 cos- 2

= ln|tg’| + C.

4.	Интегралы вида i...	----, a^=0, в случае, когда под-

J у ax2-\-bx-\-c

коренное выражение неотрицательно на некотором интервале *'>,
легко сводятся с помощью замены переменного к табличным.

Действительно, замечая, что ах2-\-Ьх-\-с = а (х-\-	+с—

ь2	г q /п—г! , о \

~~4а’ сДелаем замену переменной t=y 1йЦх+‘2а) и положим

Ь2

d = c —	Тогда dx

^=, и в силу формулы (22.11) получим

dx _________ 1

У ах2-{-Ьх-{-с	V ]а |-

dt

^±t2 + d

(перед i2 стоит знак « + », если а>0, и знак « —», если a<Q).
Интеграл, стоящий справа, является табличным (см. формулы
14 и 15 в п. 22.2). Найдя его по соответствующим формулам и
вернувшись от переменной t к х, получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

dx

ах2 bx -j- с

(см. об этом в п. 24.1).

*’ В противном случае,
для всех х е R, получится

т. е. когда подкоренное выражение отрицательно
интеграл от комплекснозначной функции.,- Такие

интегралы здесь не рассматриваются.
22.4. Имтвгрмро&мше по чаетям.

5.	Интеграл $|АД— x?dx ионии* вычислить с помощью. под-
становки x — asint (см. также пример 2 а и. 22.4)>. Имеем- dx =
— a cos t dt, а поэтому

j У а2 — x2dx = а2 § cos2tdt	_

Я2 $ J1 ,	Г ' OXJ2	! Л

— "о* I dt • ~су.- у. cos ^tdt — —о—sin 2Z С.

Z- J	J	Z 4

Подставляя в. полученное выражение I = arcsin *- и замечая,

•	г, 	X	<->/	X	\	/	X	\ п X -1 /~ ,	X2

что sin	2 arcsin	—	= 2 sin arcsin — cos arcsin- = 2—1/ 1	—«-=

a	\	a J \ a ] ay	a2

= a., - x ]/ a2 — x2 окончательно будем иметь

С ]/ n2 — х2 dx — a„- arcsin -- /- * У a2 — x2 -f- C.

J r	2	a. ' 2 ’	1

Заметим, что для проверки результата, полученного при
вычислении неопределенного интеграла,, достаточно его продиф-
ференцировать, после чего должно получиться подынтегральное
выражение вычисляемого интеграла.

Другие примеры на интегрирование с помощью замены пере-
менного будут рассмотрены в § 25 , 26.

22.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Теорема 2. Если функции и (х} и v (х) непрерывны на некото-
ром промежутке, дифференцируемы в его внутренних точках и
на этом промежутке существует интеграл у du, то на нем су-
ществует и интеграл § udv, причем

ydv = uv ~ydu.	(22.12)

Доказательство. Для внутренних точек указанного в
условиях теоремы промежутка по правилу дифференцирования
произведения имеем

d (uv) = vduudv, и поэтому udv = d(uv) — vdu.

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует,
ибо по свойству 1° п. 22.1

d (uv) = uv + C,

а интеграл § vdu существует по условию теоремы. Поэтому со-
гласно свойству 3° п.22.1 существует и интеграл J udv, причем
udv = У (uv) J vdu.	(22.13)
Подставляя в правую часть (22.13) uv-уС вместо ^d(uv) и
относя произвольную постоянную С к интегралу § vdu, получим
формулу (22.12). □

С помощью формулы (22.12) вычисляются многие интегралы.
При ее практическом использовании задана левая часть (22.12),
т. е. функция и и дифференциал dv, а поэтому v определяется
неоднозначно; Обычно в качестве v выбирается функция, запи-
сываемая наиболее простой формулой.

Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл jj хех dx.
Полагая

и = х, dv = exdx, откуда du~dx, v=ex,

имеем

J xexdx = J xdex = xex — J exdx = xex — ex + C.

Заметим, что, взяв u = ex и dv = xdx, откуда u = ex и y = x2/2,
мы имели бы

f xexdx = х2ех — ~ С x2exdx,

т. е. интегрирование по частям привело бы к интегралу, более
сложному, чем исходный. Отсюда видно, что при вычислении
интегралов с помощью формулы (22.12) не каждый способ вы-
бора функций и и v приводит к интегралу, более простому, чем
первоначальный.

2. Вычислим интеграл / = §]/Ъ2 — х2 dx посредством интегри-
рования по частям (ранее, см. п. 22.3, пример 5, он был вычис-
лен с помощью замены переменного).

Полагая и = Уа2 — х2, dv = dx и, следовательно, du =
=-----, х -dx, v=x, получим

У а2 — х2

1 = \ V= х У^^х2 + {	(22.14)

J	J У a2 — x2

Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции
интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя
деление на У а2 — х2, будем иметь

x2dx ____

V а2 — х2

а2—(а2 — х2)

dx =

Va2 — x2

dx

Va2 — x2

У a2 — x2dx = a2 arcsin — I.

Подставив это выражение в (2.14), получим:

/=х]/й2 — х2 Д-a2 arcs in— 1.	(22.15)
Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида представ-
ляет собой равенство между двумя множествами функций, эле-
менты каждого из которых отличаются друг от друга на посто-
янную. Поэтому общее выражение для элемента множества I,
согласно (22.15), имеет вид

/ = * У’а2 — х2 +	arcsin + С.

3.	Иногда для вычисления интеграла правило интегрирования
по частям приходится применять несколько раз, например,

I arcsin2xdx — x arcsin2х — 2 ( arcsin г xdx =

J	J

= x arcsin2x-2 arcsin xd y’ l — x2 =

= x arcsill2x +2 arcs in x ]/ 1 — x2 — 2x + C.

4.	Если (x) — многочлен степени x, то для вычисления ин-
теграла ^Рп{х)еах dx следует формулу интегрирования по частям
применить п раз. Выполнив это, получим

[Pn{x)e^dx = er'-X\^L _ ДМ +...+ (—1)"	+С-

J '	\ а	а2 1	1 '	'	а«+1 j

Другие примеры па применение интегрирования по частям
будут рассмотрены в § 26.

§ 23. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ
И МНОГОЧЛЕНАХ

23.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Как известно из алгебры комплексными числами называются
выражения вида

z = x-H‘y,

где i2 = —1, а х и у —любые действительные числа. Множество
всех комплексных чисел обозначается через С. Число х назы-
вается действительной частью, у —мнимой частью комплексного
числа г = х-Ну- Это записывается следующим образом: x = Rez,
у= Imz*1.

' От латинских слов real is—действительный и imaginarius —мнимый.
Комплексное число г, не являющееся действительным, т. е.
у которого Im z =/=0, будем называть существенно комплексным

числом. Число ]/№ + z/2 называется модулем комплексного числа

z = x-[-iy и обозначается |г|, т. е. | г | — Ух2-}-у2.

Каждому комплексному числу z = x-}-iy соответствует упоря-
доченная пара действительных чисел (х, у), и обратно, каждой

упорядоченной паре действительных чисел (х, у) соответствует
комплексное число z—x-\-iy. В силу этого взаимно однозначного

соответствия (а также и в силу
других обстоятельств, о которых
речь будет ниже) комплексное
число z = х + iy геометрически
удобно интерпретировать либо
как точку (х, у), либо как ра-
диус-вектор на плоскости с ко-
ординатами х и у (при некоторой
фиксированной прямоугольной де-
картовой системе координат).

Координатная плоскость, точ-
ка (х, у) которой (при любых х,

y^R), отождествлена с числом x-}-yi, называется комплексной

плоскостью. В ней ось Ох называется действительной, а Оу—•
мнимой осью.

Угол <р, образованный радиус-вектором г,. г=/=0, с положи-
тельным направлением оси Ох, называется аргументом комплек-
сного числа z и обозначается Argz. Значения <р аргумента комп-
лексного числа г, такие, что — л < ф sc л, обычно обозначают
argz. Очевидно, что Argz определяется комплексным числом
г=#0 с точностью до целочисленного кратного 2л, в то время
как argz определяется уже числом z=#0 однозначно. Очевидно
также, что

arg z = arctg + kn,

где k = 0 для первой и четвертой координатных четвертей, k= 1
для второй и k —— 1 для третьей. Если х = 0, то при г/=/=0
считается, что arg z = -- sign у, а при x = y = 0 argz не определен.

Пусть lz] = r, Argz = <p, тогда (рис. 94)x = rcostp, y = r sin <р,
и поэтому

z = х -|- iy = г (cos <р i sin <р).

Правая часть этого равенства называется тригонометрической
формой комплексного числа г.

Комплексные числа Хх + l/ii и x2 + y2i считаются равными
тогда и только тогда, когда Xi = x2 и Ут = у^ По определению
полагают также хф-01 = х, §-}-yi = yi, 04~0г = 0.
Сумма двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и г2 = х2 + /у2
определяется согласно формуле

Zi + z2 = (xi + x2) + z(23.1)

Иначе говоря, действительная и мнимая части суммы г1-{-г2
равны суммам соответственно действительных и мнимых частей
zL и г2.

Разность комплексных чисел определяется как действие, об-
ратное сложению, т. е. разность z = гх — г2 является таким числом
z, что г2 + г = гх. Следовательно, если z=x-+-iy, то х2 + * +
+ЦУз + у) =x1+iy1. Отсюда х = хх —х2, у = ух — у2, т. е. действи-
тельная и мнимая части разности гх — z2 равны разностям соот-
ветственно действительных и мнимых частей чисел гх и г2.

Поскольку геометрически действительная и мнимая части
комплексного числа являются его координатами и при сложении
(вычитании) координат векторов сами векторы также складываются
(вычитаются), то формула (23.1) означает, что геометрически
комплексные числа складываются и вычитаются как векторы
(рис. 95 и 96).

Произведение двух комплексных чисел z1 = x14-rz/1 и г2=х2ф-
+ iy2 определяется по формуле

Zi22 = (Xi "т Wi) (х2 + iу2) = (Х1Х2 — У1У2) 4- i (х^уъ + г/1Х2).	(23.2)

Найдем формулы умножения комплексных чисел в тригоно-
метрической форме. Если

2i = fi (cos фх ф- i sin фх),	z2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2),

то

ZiZ2 = ry2 [(cos фх cos ф2 — sin фх sin ф2) +

+ i (cos фх sin ф2 + sin фх cos ф2)] =

= ry2 [cos (фх + ф2) + i sin (фх + ф2)]
и, таким образом,

! J == | I - (г2 ], Arg(z1-z2) = Argz1 + Argz2*\ (23.3)

Методом математической индукции легко показать, что

\z1z2 ... z„| = lz1|-|z2| ... \zn\,

Arg (ZjZ2 ... z„) = Arg zx + Arg z, +... + Arg zn.

Отсюда, полагая z1 = z2 = • • • = zn = z, для степени z'\ n~
= 1, 2, 3, ..., комплексного числа z имеем

|zn| = |z|n,	Arg zn = n Arg z + 2kn, k — Q, ±1, ±2, ...,**>

в частности, при |z|=l, т. е. когда z = cosф-j-isin<p,

(cos <p 4- i sin <p)" = cos n<p +1 sin «ф.	(23.4)

Это соотношение называется формулой Муавра. ***)

Деление — комплексного числа Zj на комплексное число z2=#
г2

#= 0 определяется как операция, обратная умножению, т. е. число

г = — называется частным от деления гг на г2, если zr = z2z.
г2

Поэтому

| Zj | =' | z211 г | и Arg Zi = Arg z2 + Arg z,
откуда

|z| = |rl = iTT’ Argz = Arg Jl- = Argz1-Argz2. (23.5)
| ^2 I I *2 I

Формулами (23.5) комплексное число z = — при заданных zx
г2

и г2=А=0 очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств
комплексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциа-
тивность сложения и умножения, дистрибутивность умножения
относительно сложения и другие свойства, непосредственно сле-
дуют из формул, с помощью которых определены эти операции
для комплексных чисел, и из соответствующих свойств действи-
тельных чисел. Поэтому не будем на них подробно останавливаться.

Корень «-и степени w = у г из комплексного числа z опреде-
ляется как такое число w, п-я степень которого равна подкорен-
ному выражению:

Wn = Z.

Если

z = г (cos ф-j-i sin ф), а ш = р (cosip-f-i sinif),

*’ Это равенство, как и вообще все равенства, содержащие Arg, следует
понимать как равенство соответствующих множеств.

**’ Заметим, что Arg г” ¥=/г Arg z, я = 2, 3.

***) д Муавр (1667—1754)—французский математик.
то

отсюда

рп (cos пф + i sin nip) = r (cos <p -f- i sin <p);

P = V r.

Здесь корень понимается в арифметическом смысле —как неотри-
цательное действительное число, ибо по определению модуля
комплексного числа р>-0.

Далее,

пф = ф4-2Лл (k — целое), или ф=

По существу различные значения аргумента получатся при
значениях k — 0, 1, ..., п— 1: различные в том смысле, что если
обозначить эти значения аргумента через ф* и положить wk =
= р (cosipft-|-i sinipft), то при р#=0 получатся различные комп-
лексные числа. При всех остальных k значения ф будут отличаться
от указанных чисел ф* на кратное 2л, т. е. эти значения аргу-
мента будут приводить к одному из комплексных чисел wk, k —
= 0, 1, .... п — 1. Таким образом, корень yf z имеет при г=Н=О

В комплексной плоскости числа wk, k = 0, 1, ..., п — 1, рас-
полагаются в вершинах правильного /г-угольника, вписанного
в круг радиуса р с центром в начале координат. Это следует из
того, что аргумент числа wk отличается от аргумента числа
при всех k= 1, 2, ..., п— 1 на одно и то же число 2л/п. На
рис. 97 изображен случай п — 5.

Каждому комплексному числу z = х ф- iy соответствует число
x — iy, которое называется сопряженным с г и обозначается г;
z=--x — iy. Геометрически число z изображается вектором, симмет-
ричным с вектором z относительно оси Ох (рис. 98).
Свойства сопряженных комплексных чисел

1°. |г| = |г], arg 2 =— arg г.

2°. zz = I г |2.

3°. 2 = 2.

4°. 21 + ?2 = ?i + z2.

5°. 2i — 22 = ?1~г2.

6°. ад=2122.

Т>.[г±\ = ^, г2+=0.

\г2/ г2

Свойство. 1 очевидно (см. рис. 93).

Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел^

22 = (х+ iy), (х — iy) = ха+ г/2 — | г |2.

Свойство. 3 также, очевидно: если z = .s + zy, то. z—x — iy и

г — х — iy^x + iy = z. □

В справедливости свойства 4 можно, убедиться геометрически,
взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох. с па-

раллелограммом, построенным на векторах z± и г2 как на сторо-
нах (рис. 99), т. е. параллелограмм,

натянутый на векторы zx и z2. Диа-
гонали этих параллелограммов будут
также симметричными друг другу
относительно оси Ох и, следователь-
но, будут соответственно- равными
zr+z2 и 2i4-22. С другой стороны,
последняя диагональ, как сумма
векторов 21 и z2, равна также и
2i + Z2- I I

Свойство 5° доказывается анало-
гично.

Свойства 6° и 7° следует из то-
го, что модули и аргументы выра-
жений, стоящих в- разных частях

соответствующих равенств, совпадают. Действительно, используя
свойство 1, получим'

I = I ЭД | = I • I = | Z1I • | Z2 | =| Zi; z jft

Arg Z^= — Arg 2i2a = — (Arg 2i + Arg. Z2) ==

= — ArgZj—A^za.= ArgZi + Arg % = Arg-z^.,. Q

Аналогично доказывается; свойства 7°.
Для любых комплексных чисел Zi и г2 справедливо неравен-
ство треугольника

|2i+za|^[2i|'+|z2| и его следствие | |zx| — [ г| | ==£ | zr — z2|.

Первое из этих неравенств геометрически означает, что длина
стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других
его сторон (см. рис. 95), а второе —что разность длин двух сто-
рон треугольника не превосходит длины третьей стороны
(см. рис. 96).

23.2*	. «НОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вдумчивый читатель обратил внимание на то, что приводимая
в и. 23.1 формулировка «выражения вида z = x-\-iy называются
комплексными числами» не является четким определением комп-
лексных чисел.

Множество комплексных чисел С можно определить как мно-
жество упорядоченных пар (х, у) действительных чисел, хе/?,
у е /?, в котором введены операции сложения и умножения
согласно следующему определению:

(х, у) + (х', /) = (х+х', у + у'),
(X, у)(х', у')^(хх' -уу', ху' + х'у),
(х, у) е С, (х', у') е С.

Нетрудно проверить, что в результате этого определения мно-
жество указанных пар превращается в поле, т. е. удовлетворяет
условиям I, II, III и. 2.1. Полученное таким образом поле,
а также каждое изоморфное ему, называется полем комплексных
чисел.

Пары (х, 0) обозначаются просто через х (их совокупность
изоморфна полю действительных чисел), а пара (0, 1) обознача-
ется через i: i=(0, 1).

Согласно определенной операции умножения

i2=(0, 1)(0, !)==(— 1, 0)=— 1, т. е. i2 = —1.

Для любого комплексного числа (х, у) имеет место легко
проверяемое тождество

(х, y) = x + iy.

Действительно,

(х, у) = (х, 0)4-(О, У) = (х, 0)4-(О, 1)(у, 0) = x + iy,
и мы снова пришли к записи комплексных чисел, из которой ис-
ходили в п. 23.1.
23.3.	НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА В ОБЛАСТИ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Понятия числовой последовательности и ее предела легко
обобщаются и на случай комплексных чисел.

Функция, определенная на множестве натуральных чисел и
имеющая своими значениями комплексные числа, называется
последовательностью комплексных чисел. Как и в случае действи-

тельных чисел, комплексное число а, соответствующее натураль-

ному числу п, снабжается индексом и: г,., п—1, 2, ....

Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных

чисел zn = xn + iyn, /1=1, 2, .

.. Число t, — g + it] называется ее
пределом, если для любого дейст-
вительного числа е > 0 сущест-
вует такой номер пг, что при
п с-пе выполняется неравенство

\гп - <е.

В этом случае пишут lim гга = £
п-*оо

и говорят, что последовательность
{?„} сходится к числу £.

Таким образом, по форме это
определение совершенно такое же,
как для предела последователь-
ности действительных чисел.

Геометрически, если обозначить

через Мп конец радиус-вектора
а„, т. е. точку с координатами (хп, у„), а через N — точку с коор-
динатами (|, т])> т0 равенство lim zn = t, будет иметь место в том

п-*оо

и только том случае, когда lim Mn = N в смысле п. 18.1. Это

непосредственно следует из того, что совокупность концов М =
= (х, у) векторов z — x + iy таких, что jz — С|<е, образует е-
окрестность точки N = (%, п) (рис. 100).

Из сказанного следует (см. п. 18.1), что последовательность
zn = Xn + iyn сходится к числу С = В + »11 тогда и только тогда,
когда

limx„ = g,	Итг/„=г|.

п—>оо	п-*со

Последовательность комплексных чисел, имеющая своим пределом
ноль, называется бесконечно малой.

На последовательности комплексных чисел естественным обра-
зом переносится ряд теорем о пределах последовательностей дей-
ствительных чисел, например, теорема о единственности предела,
об ограниченности последовательности, имеющий предел, крите-
рий Коши и т. п.
В § 8 были введены обозначения «о» и «О» для сравнения
функций. В дальнейшем понадобятся такие же обозначения и
для последовательностей.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность {zn}
ограничена относительно последовательности {wn} и писать zn =
= O(u,„)*), если существует постоянная с>0, такая, что
п= 1, 2, ....

Это определение в случае wn #= 0, п = 1, 2, ..., эквивалентно
следующему: для двух данных последовательностей {?„} и {а1,,}
существуют постоянная с' >0 и номер п0, такие, что

|г„	|ш„|, п = п0, «о+1..........

Действительно, полагая в этом случае

с —max

?1

wt

получим

I zn I sg C I Wn I,

n — 1, 2, ...,

t. e. первоначальное определение.

Определение 3. Если zn = O(wn) и wn — 0(zn), то будем гово-
рить, что последовательности {?„} и {wn} одного порядка и писать
гп Ж wn.

Определение 4. Будем говорить, что последовательность {z„}
является бесконечно малой по сравнению с последовательностью
{ау„} и писать zn = o(wn), если существует бесконечно малая после-
довательность такая, что zn — anwn, п = 1, 2, ... .

Определение 5. Последовательности {г„} и {wn} называются
эквивалентными, или асимптотически равными, если существует
такая последовательность {е„}, что

lime„=l и zn = enwn, п—\, 2,....
п -> со

В этом случае пишется zn^wn, п=1, 2, ... .

Упражнения. 1. Доказать, что для того чтобы гп ~ wn, необходимо
и достаточно, чтобы zn = wn-j-o (ш„), п=1, 2, ... .

2.	Доказать: если zn = cwn4-o (wn), n=l, 2, ..., то zn = 0(wn).

Можно рассматривать и функции комплексного аргумента.
Например, /(г) = |г|, f(z) = z2. Обе эти функции определены на
множестве всех комплексных чисел, первая из них принимает
только неотрицательные действительные значения, вторая и суще-
ственно комплексные.

*’ Иногда к этому добавляют: при п->оо.
Геометрически, если, функция f (?) определена на некотором
множестве Е «-мерного евклидова пространства Rn и принимает
комплексные значения, то она задает отображение множества Е
в плоскость. Например, функция ®>=|zf отображает плоскость
на полупрямую, а функция w>—2^ всю плоскость на всю плос-
кость, как. говорят, двукратным образом — в данном случае это
означает, что при отображении w = г2 каждая точка образа, кроме
нуля, имеет прообраз, состоящий из двух точек.

Если множество Е, на котором! задана некоторая функция,
лежит на плоскости J?2, то езго можно рассматривать всегда при
фиксированной системе координат как множество комплексных
чисел, а заданную функцию как функции» комплексного аргумента.

Для комплекснозначных функций, определенных на множестве
Е «-мерного пространства Рп, мето ввести многие из понятий,
введенных ранее для действительнозначных функций (предел,
непрерывность, частные производные, дифференцируемость, инте-
грал и др.). В ближайших параграфах нам придется встретиться
лишь с понятием ограниченности и непрерывности комплексно-
значных функций.

Комплекснозначная функция f (Р), Р <=Е, называется ограни-
ченной на множестве Е, если на этом множестве ограничена функ-
ция |/(Р)|..

Таким образом, понятие ограниченности комплекснозначной,
функции f сводится к понятию ограниченности действительно-
значной функции |f|.

Определение б. Пусть комплекснозначная функция f определена
на множестве Е с и пусть Рп е Е. Функция f называется
непрерывной в точке Ро„ если для любого в>0 существует
6 = 6(е)>0 такое, что для всех точек Р^Е, удовлетворяющих
условию р(Р,	выполняется неравенство

Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает
с определением непрерывности для действительнозначных функ-
ций (ср. с п. 19.3).

В случае, когда Е — плоское множество и, стало быть, его
точки можно рассматривать как комплексные числа г, определе-
ние непрерывности примет вид: функция f (?) непрерывна в точке
zoe£, если для любого существует1 8 = б (е) > О такое, что
для всех ге£, удовлетворяющих условию \г — ?а|, <6, выпол-
няется неравенство-

Комплекснозначиая функция, непрерывная в каждой точке
некоторого множества, называется непрерывной на этом множестве.
В силу определения непрерывности функции и неравенства
очевидно, что если функция f(P), определенная на множестве
Е cz Rn, непрерывна в какой-то точке Ро этого множества: Ро^Е,
то и действительнозначная функция \f(P)\ непрерывна на этом
множестве. Поэтому, если комплекснозначная функция f непре-
рывна на компакте Е с Rn, то, согласно сказанному, функция [/1
также непрерывна, а следовательно, и ограничена на этом ком-
пакте. Это, по данному выше определению ограниченности функ-
ции, означает ограниченность и самой функции f. Таким образом,
для непрерывных комплекснозначных функций справедлив аналог
первого утверждения теоремы Вейерштрасса (см. теорему 3
в п. 19.4): функция, непрерывная на компакте, ограничена на
нем.

Переносятся на комплекснозначные функции и теоремы о том,
что если две функции fug, определенные на некотором множе-
стве Е czRn, непрерывны в точке Рое£, то и функции f + g, fg,
а если g(Po)^=O, то и f/g непрерывны в этой точке. Из этой
п
теоремы следует, например, что любой многочлен Pn(z) = 2 akZk
k = о

с комплексными коэффициентами ak, k=Q, 1, ..., п непрерывен
в любой точке гоеС (ср. с п. 7.1).

23.4.	РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Пусть

Рп (z) = А~ zn + An-lzn~r ... 4- AjZ + Aq (23.6)

— многочлен с комплексными в общем случае коэффициентами
Aj, j = 0, 1, ..., п. Если Ап Ф 0, то число п называется сте-
пенью многочлена.

Из алгебры известно, что если степень т многочлена Qm(x)
не превышает степени п многочлена Рп (х), то существуют такие
многочлены Sk(x) степени k и Rifx) степени I, что n = m-{-k,
Qs^l<Zm, и многочлен Рп (х) представим в виде

Pn(xy=Sk(x)Qm(x) + Rl (х).

При этом такое представление единственно.

Операция нахождения многочленов S*(x) и Ri (х) по заданным
многочленам Рп (х) и Qm (х) называется делением многочлена Рп (х)
на Qm (х), многочлен Рп (х) — делимым, Qm (х) — делителем, Sk (х) —
частным, (х) — остатком от деления Рп(х) на Qm(x).

Отметим, что из т = 1 следует, что I = 0, т. е. в этом случае
остаток от деления является константой.

Комплексное число г0 такое, что

Рп (z0) = О,

называется корнем данного многочлена (23.6).
Если многочлен Pn(z) степени разделить на г — где
£ —какое-либо комплексное число, то получим

Рп(г) = (г-дея-1(г) + г,

где Qn-i (г) — многочлен степени п — 1, а остаток г — постоянная.
Отсюда непосредственно следует, что число z0 является корнем
многочлена Pn{z) тогда и только тогда, когда многочлен Pn(z)
делится без остатка на z — z0 (теорема Безу*’).

Если многочлен Рп (г) делится на (г — z0)k (k — положительное
целое) и не делится на (г — z0)ft+1, то число k называется крат-
ностью корня z0.

Таким образом, если комплексное число z0 является корнем
кратности k многочлена Рп (г), то

Рп (г) = (г - г0У‘ Qn_k (г),

где Q„-k (г) — такой многочлен степени n — k, что Qnlt (г0)	0.

В курсе алгебры доказывается, что всякий многочлен Р„ (г)
степени п^гА имеет по крайней мере один корень г^. Если его
кратность равна klt то, как отмечалось, справедливо разложение

Рп (z) = (г — гт)к‘ Qn-kl (2), Qn-kl (z^ 0,

где степень многочлена Q„_j.,(z) меньше п. Многочлен Q,,_fe,(z),
если его степень больше 1, также имеет" хотя бы один корень г2.
Если кратность этого корня равна k2, то

Ря (г) = (z — Z!)k‘ (г — z2)k‘ Qn-k.-k, (z),

Qn-kt-k<, (г1) ¥= 0,	(г2) ф 0.

Продолжая этот процесс дальше, через конечное число т шагов
получим многочлен нулевой степени Рп_к ..._к (г) = А„ и, сле-
довательно, для многочлена Р„ (г) справедливо следующее разло-
жение на множители:

Рп (z) = Ап(г — ztfi (г - z2)k* ... (г - г,„)Ч	(23.7)

где ki + k2 4- ... + km = п, откуда следует, что каждый многочлен
степени п 5г 1 имеет в точности п корней, если каждый корень
считать столько раз, какова его кратность.

Для многочлена (23.6) обозначим через P„(z) многочлен,
коэффициенты которого являются комплексными числами, сопря-
женными коэффициентам многочлена P„(z):

Рп (?) = Anzn +	+ Akz -f- Ао.

Многочлен Рп(г) называется многочленом, сопряженным много-
члену Pn(z).

*’ Э. Безу (1730—1783)—французский математик.
В силу свойств сопряженных комплексных чисел имеем

О) = Р„ (2)-

Действительно,

Рц (?) = Anzn	4- ... 4- Anz 4- Ап =

= Aazn 4- A^z*-' 4-... 4~ A? + Ло = P„ (2).

Очевидно также, что Р(г) = Р(г).

Покажем, что если число г0 является корнем многочлена Р„(г)
кратности k, то сопряженное ему число z0 является корнем сопря-
женного многочлена Рп(г) и притом той же кратности.

В самом деле, переходя в формулах

Рп (?) = (г - ?0)" Qn_k (г), Q„_A (г0) =/= О,
к сопряженным выражениям, получим

Рп (?) = (2 - 20)fe Qn-k (2),	(2о) =# 0.

Полагая для наглядности £ = 2 (2, как и г — произвольные комп-
лексные числа), перепишем-полученные формулы в виде

Рп (0 = (С - Z0)ft Qn-k (0, Qn-k (20)	0.

Это и означает, что число 20 является корнем кратности k для
многочлена Р„(г).

Пусть теперь все коэффициенты многочлена Рп (г) суть дей-
ствительные числа. В этом случае сопряженный многочлен Р„(г),
очевидно, совпадает с самим многочленом P„(z). Поэтому из
доказанного следует, что если комплексное число г0 является
корнем кратности k многочлена Рп(г) с действительными коэффи-
циентами, то и сопряженное ему число z0 также является корнем
кратности k этого многочлена.

Отметим далее, что произведение (г — г0) (г —г0) всегда является
многочленом (относительно г) с действительными коэффициентами.
Действительно, пусть г0 = а4~£н, где а и b действительны. Тогда
z0 = a — bi, и поэтому

(z — г0) (z — ?и) = (г — а — Ы) (г — а 4- bi) =

— (z — а)2 4- b2 = z2 — 2az 4- a2 + b2 = z2 4~ pz 4~ 7. (23.8)
где положено p = —2a и <7 = a24~b2; очевидно, p и q действи-
тельны. Отметим, что — <7 = — b2, поэтому при Ь=^0, т. е.
тогда, когда корень г0 является существенно комплексным числом,
выполшется неравенство

Pl-7<0.	(23.9)
Обратим внимание и на справедливость обратного утверждения:
если выполнено неравенство (23.9), то корни трехчлена г2 + pz-{-<7
(р и q действительны) — существенно комплексные числа.

Из сказанного следует, что для всякого многочлена степени п
с действительными коэффициентами справедливо разложение на
множители вида

Рп (х) = А„(х- fl!)“i ... (х- arf'r (х2 + Р1х +	.

+	(23.10)

где

<xz + 2 V ре-= «,	/ = 2,

1=1 z=i

и все коэффициенты А„, а1; ..., ar; p^qi, ..., ps, qs действительны.
При этом аг, ..., аг суть все действительные корни многочлена
Рп(х), а каждому существенно комплексному корню г0 и ему
сопряженному корню z0 соответствует множитель вида х2 + рх + <7 =:
= (х — г0)(х — ?о)- Вместо буквы г, употреблявшейся выше для
обозначения аргумента рассматриваемого многочлена, здесь по
традиции написана буква х, чтобы подчеркнуть, что все рас-
смотрения происходят в действительной области (это означает,
что коэффициенты многочлена x2A~px4-q действительны).

Формула (23.10) непосредственно следует из формул (23.7) и
(23.8): нужно в разложении (23.7) сгруппировать попарно мно-
жители с сопряженными корнями и записать произведения вида
(г — z0) (г — z0) в форме (23.8). Тогда, замечая, что кратность
сопряженных корней z0 и z0 одинакова, мы и получим формулу
(23.10).

Разложение многочлена на множители вида (23.10) единственно,
ибо оно однозначно определяется корнями этого многочлена и
их кратностями.

2.3.5*. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ

Пусть дан многочлен Р (х). Всякий многочлен R (х), на кото-
рый делится многочлен Р (х), т. е.

Р (х) = Я (х) г (х),	(23.11)

где г (х) — также многочлен, называется делителем многочлена
Р(х).

Мы видели, что многочлен Р (х) можно записать в виде

Р (х) = А (х - сф ... (х — а/)*г (х2 + Р1х + 7i)pi ...

...(x8 + P^+<7s)4 (23.12)
где аъ ..., аг — действительные корни многочлена, а множители
вида х2 4- PjX + q, соответствуют существенно комплексным корням
этого многочлена,

р2-

/ = 1, 2,...,s;

коэффициенты А, р, н q^f = 1, 2, ... , s) действительны. Отсюда
следует, что всякий делитель R (х) многочлена Р (х) может быть
записан в виде

R (х)=В (х —	... (х — arfr (х1 ф- ррс + q^i ,..

...(х2 + р,х + ^)% (23.13)

где "kg^a.1, i = 1, 2, ... , г, ц, Р7, j= 1, 2, ..., s. (23.14)
Действительно, никаких других множителей вида

х — а и x2Ppx±q,	(23.15)

где а, р и q действительны и ~ — 7<0 в разложении много-
члена R(x) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен R (х),
как всякий многочлен, может быть разложен на множители вида
(23.1’5), с другой стороны, из формулы (23.11) следует, что если
в разложении R (х) на множители имеется множитель вида х — а,
соответственно вида х2 + рх + 7, то х = а, соответственно корни
трехчлена х2 + р* + 7> являются и кфнями многочлена Р(х); по-
этому указанные множители входят в разложение (23.12). Нера-
венства (23.14) также очевидны: из той же формулы (23.11) сле-
дует, что кратность корня многочлена R (х) не может превышать
кратности того же корня многочлена Р(х).

Пусть теперь даны два многочлена Р (х) и Q(x). Всякий мно-
гочлен, являющийся делителем как многочлена /’(х), так и мно-
гочлена Q(x), называется их общим делителем. Общий делитель
двух многочленов, который делится на любой общий делитель
этих многочленов, называется их наибольшим общим делителем.

Если многочлены Р (х) и Q>(x) записаны в виде (23.12):

Р (х) = А'(х —	... (х -	(х2 4-р[ф-qtf'1 - • •

... (x2 + p'sx + qs')^',	(23.16)

Q (х) = (х - al)011’ ... (x - a;#' (x2 + p[x + q^ ... „

.... (x2 + p;--x + 7s4Ps’',	(23.17)

то всякий их общий делитель R(x) можно записать в виде (23.13),
где множители

x — ak (& = 1, 2, ..., г), x2 + pix + qj (/=1, 2, ..., s) (23.18)
входят как в разложение (23.16), так и в разложение (23.17).
Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.18) в разло-
жениях (23.16) и (23.17) равны соответственно t*, у и i*, у,
тогда в силу неравенств (23.14) имеем

kk^ah, k = 1, 2, ..., г,

(23.19)
^ = 1, 2, ..., s.

Для того чтобы многочлен (23.13) был наибольшим общим
делителем многочленов Р(х) и Q(x), необходимо и достаточно,
чтобы показатели степени kk, k=\, 2, ..., г и р7, 1=1, 2,...,s
были максимальными из возможных, т. е. чтобы

kk— min(aL ah], k = l, 2, ..., г,

1 ,	,	(23.20)

pz = min{p(), P/f},	1=1, 2, ..., s.

Действительно, при выполнении этих условий многочлен R (х)
будет общим делителем многочленов Р(х) и Q(x), кроме того он
будет делиться на любой многочлен вида (23.13), для которого
выполнены условия (23.19), т. е. R(x) будет делиться на любой
общий делитель многочленов Р (х) и Q(x). Q

Из найденного вида общего делителя, и в частности, наиболь-
шего общего делителя следует, во-первых, что наибольший общий
делитель двух многочленов не единственен; однако два наиболь-
ших общих делителя двух данных многочленов могут отличаться
друг от друга лишь постоянным множителем (постоянную В в фор-
муле (23.13) можно брать произвольной, неравной нулю); во-вто-
рых, что наибольший общий делитель двух многочленов имеет
степень, большую, чем любой их общий делитель, не являющийся
наибольшим общим делителем.

В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем наи-
больший общий делитель многочлена Р (х) и его производной Р' (х).

Предварительно заметим, что если число а является действи-
тельным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е.

Р(х) = (х-а)“Р1(х), РДа^О,	(23.21)

то а является корнем кратности а—1 для многочлена Р' (х).

Действительно, дифференцируя (23.21), имеем

Р' (х) = а (х — а)а1 Рг (х) 4* [х — а)“ Р) (х) = (х — й)“-1 Р2 (х),
где

Р2 (х) = «Pi (х) + (х — а) Р[ (х)
и

Р2 (а) = аРх (а) =# 0.

Подобным образом, если
где р4~ —7<0, и, значит, корни г4 и г2 (z2 = z4) трехчлена х2 ф-
+ рх + <? существенно комплексны, и если

Рз(г1)=#0, Р3(г2)=#0, то Р' (х) = (x^ + px + q)^1 Р± (х),

где P4(zt)=#'O, Л1(г2)У=0, т. е. Р4(г) не делится на x2 + px-]-q.

Действительно, дифференцируя (23.22), получим:

Р' (х) = р (X2 + рх 4- 0Р-1 (2х + р) Р3 (х) +

+ (Л-2 + рх + г/)р Р'з (х) = (х.2 + рх + <7)р~х Pt (х),
где Pi (х) = Р (2х + р) Р3 (х) + (х2 + рх + q) Р'3 (х), откуда следует, что

Pi (Z1) = р (2z4 + р) Р3 (21)	0, Pi (г2) = р (2z2 + р) Р3 (z2) Ф О,

ибо Zi^= — р/2 и z2=/= — pl2, так как они существенно комп-
лексны. Q

Из доказанного следует, что если многочлен Р (х) записан
в виде (23.12), то его производную Р' (х) можно представить
в виде

Р' (x)=C(x-ai)“i-1 ...	(х2 + р1х + 71)р1~1 ...

... (х2 + psx + q^'s~1 Ръ (х),

где многочлен Р5(х) не делится ни на х — a,, i = 1, 2, ..., г,
ни на x2-\-PjX-\-qj, /= 1, 2, ..., s, т. е. не имеет общих корней
с многочленом Р (х).

Из формул (23.13) и (23.20) получаем, что наибольший общий
делитель Р (х) многочлена Р (х) и его производной Р' (х) имеет
ВИД

Л(х)==(х-а1)“1-1 ... —	(xa + piX+t71)Pi-> ...

... (х2 + psx + qs)^~1. (23-23)

Изложенный метод получения наибольшего общего делителя
двух многочленов Р (х) и Q (х) принципиально полностью решает
вопрос о существовании и виде наибольшего общего делителя.
Практическое же его применение может, однако, вызвать сущест-
венные затруднения: для использования этого метода надо знать
разложения на множители вида (23.16) и (23.17) данных много-
членов Р (х) и Q(x), которые далеко не всегда удается написать
в явном виде.

Существует, однако, другой способ получения наибольшего
общего делителя двух многочленов Р (х) и Q(x), называемый обычно
алгоритмом Евклида. *’ Опишем его.

Пусть для определенности степень многочлена Р (х) больше
или равна степени многочлена Q(x). Разделив Р (х) на Q(x),

*’ Евклид (ок. 365 —ок. 300 до н. э.)— древнегреческий математик.
получим в качестве частного некоторый многочлен Qi(x) и оста-
ток	степень которого, очевидно, меньше степени много-

члена Q (х) (в противном случае процесс деления на Q (х) можно
было бы продолжить):

P(x) = Q(x)Q1(x) + 7?1(x).

Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р (х) и Q(x)
делятся на некоторый многочлен г(х), то и многочлен ^(х)
делится на этот многочлен; 2) если многочлены Q(x) и 7?i(x) де-
лятся на какой-то многочлен г(х), то и многочлен Р (х) делится
на этот многочлен г(х). Отсюда в свою очередь следует, что
общие делители многочленов Р (х) и Q(x), в частности их наи-
большие общие делители, совпадают с общими делителями, соот-
ветственно с наибольшими общими делителями, многочленов Q (х)
и Riix).

Разделим далее многочлен Q(x) на многочлен Рх(х):

Q (х) = Pi (х) Q2 (х) + R2 (х),
продолжая процесс дальше, будем иметь

Ri (х)= Ri (х) Qa (х) -ф R3 (х),

Rk-2 (х) = Р*-! (х) Qfe (х) -ф Rk (х).

Степени многочленов Rt(x), i=l, 2, ...убывают, поэтому сущест-
вует номер (мы его обозначим т-ф1) такой, что Pm+i(x) = 0, и
следовательно,

Rm-1 (х) = Rm (х) Qm+1 (х).

Пары многочленов Р(х) и Q(x), Q(x) и 7?i(x), /?х(х) и
Rz(x), ..., Rm-itx) и Rm{x) имеют одинаковые общие делители,
а значит, и одинаковые наибольшие общие делители. Но (х)
делится на Rm(x), поэтому Rm(x) является наибольшим общим
делителем Rm-i(x) и /?т(х), а значит, и наибольшим общим дели-
телем многочленов Р (х) и Q(x).

23.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ

Пусть. Р (х) и Q (х) — многочлены с действительными коэффи-
циентами.

Рациональная дробь P(x)/Q(x) называется правильной, если
степень многочлена Р (х) меньше степени многочлена Q(x).

Если рациональная дробь P(x)/Q(x) не является правильной,
то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу
деления многочленов, ее- можно представить а виде

= + <23-24>

где R(x), Pi(x) и (Д (х) —некоторые многочлены, a P1(x)/Q1(x)—
правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Пусть Р (x'yQfx) — правильная рациональная дробь.
Если число а является действительным корнем кратности а >= 1
многочлена Q(x), т. е.

Q (х) = (х. - а)а & (х) и Qi (а) ф О,
то существуют действительное число А и многочлен Рг (х) с дей-
ствительными коэффициентами такие, что

Р(х) А . Pi (х)

Q (х)	(х—а)а ~г~ (х—0)“-! Qx (х) ’

где дробь ^x_a^,-iQ также является правильной.

Доказательство. Каково бы ни было действительное
число А, прибавляя и вычитая из дроби

Р(х) = Р(Х)

Q(x) (х—a)(l Qt (х)
выражение ,----™ получим:

— dp

РЦх) _ _ А . Г Р (х)____________А ~1 _

Q (х) ~ (х — а)“ ' |(х — а)а QL (х)	(х—а;а J

_ А_______. Р (%) Atyj (х)	то ПГ-,

(х — а)“ “Г (х — a^QHx). ’	'

По условию, степень многочлена Р(х) меньше степени много-
члена Q (х) = (х — a)xQj. (х>. Очевидно, что и степень многочлена
ОДх) меньше степени многочлена Q(x) (ибо a^&l), поэтому при

р Л	л	л Р (х) — 4Qi (х)-

любом выборе числа А рациональная дробь	до является

правильной.

Выберем теперь число А таким образом, чтобы число- а было
корнем многочлена Р (х) — А%Ах) и, следовательно, чтобы этот
многочлен делился на. х.—о. Иначе говоря, определим А из
условия

Р (а> — AQt^a) = 0;

поскольку, по условию, Qi(a) ^=0, то отсюда А —. При таком
выборе А второе слагаемое правой части в формуле (23.25) можно
сократить на х — а, в результате получим дробь вида

Л(х>

(x-aJo-iQHx)’

Поскольку она получена сокращением правильной рациональной
дроби с действительными коэффициентами на множитель х — а,
где а действительно, то и сама она является также правильной
рациональной дробью с действительными коэффициентами. Q

Лемма 2. Пусть ^- — правильная рациональная дробь. Если
комплексное число z^ — а + Ы (а и b действительны, b #= 0) является
корнем кратности 1 многочлена Q(x), т. е.

Q (х) = (х2 + рх + <7)е	(х),

где Qi (гд) =#= 0, a x2-\-px-\-q = (x — z1)(x — z1), то существуют дей-
ствительные числа М, N и многочлен Pi(x) с действительными
коэффициентами такие, что

Р(х) = Mx+N _ j__________Р1(х)

Q(x) ~ (х2Н-рх-Н)Р ' (х2+ px-\-q)~ !Qi(x) ’

,	Р} (х)

где дробь	- также является правильной.

г	(x2 + px + ?Jp !Q1(X)

Доказательство. Для любых действительных М и N
имеем

р (X)	Р (х)

Q(x)	(x2 + px+<?)PQ1(x)

— Mx-t-N Г Р(х)Mx-j-N 1 _

(х2 + px + q)?1	_(x2 + px + q)$Ql(x)	(x3+px-H)i\

__ Mx-j-N	P (x) — (Mx4-N) Qi (x)	^22 26)

(x2 + px+<?)P	(x2 + px + ?)pQi(x)

причем второе слагаемое правой части равенства (23.26) является,
как нетрудно видеть, правильной дробью.

Постараемся теперь подобрать 7W и N так, чтобы числитель
этой дроби делился на x2-\-px-\-q = (х — гг) (х — Zj). Для этого
достаточно выбрать М и N так, чтобы Zi было корнем много-
члена Р (х) — (Мх +N)Q1(x). Действительно, тогда, согласно ска-
занному в п. 23.3, число ?!, сопряженное с zit также будет
являться корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что
этот многочлен в силу существования его разложения вида (23.10)
делится на x2-\-px + q. Итак, пусть

Р (21) - (Mzj + N) (?! (21) = 0.	(23.27)

Если это имеет место, то Mzt ф- N = f где, по условию,
41 (21)

Qi (г1) #= 0-

Пусть zj. = a + bi, Р (zJ/Q (zi) = А тогда

А + IB = Mzi + N = М (a+bi) + N.

Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, полу-
чим уравнения Ма + N = А и МЬ = В и следовательно,

М = ~ и ^ = Л-yS.	(23.28)
При этих значениях М и N многочлен

P(x)-(A1x+W)Q1(a')

будет делиться на многочлен x2-'rpx-\-q. Сокращая второе сла-
гаемое правой части равенства (23.26) на х2-фрх-\-у, получим
дробь вида

______Pi(x)_____

(х2-фрх + <7)|V1 Qi W

Поскольку она получена сокращением правильной рациональ-
ной дроби с действительными коэффициентами на многочлен с дей-
ствительными коэффициентами, то и сама она является также
правильной рациональной дробью с действительными коэффициен-
тами. Q

Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.

Теорема 1. Пусть Р (x)/Q (х) — правильная рациональнаядробь*\
Р (х) uQ (х) — многочлены с действительными коэффициентами. Если
Q (х) = (х — П1Г1 ... (х — ar'ft'r (х2 + ррс + <?1)^1 •••

... (x2 + Psx+qs)\ (23.29)

где а,- -г- попарно различные действительные корни многочлена Q (х)
кратности оц, 1 = 1, 2, ..., г, a х2-ыр}-х-\-у/ = (х — z,-) (х — z7),
где Zj и — попарно различные при разных j существенно комп-
лексные корни многочлена Q(x) кратности fy, /=1, 2, ..., s, то
существуют действительные числа Д;а>, i = 1, 2, ..., г, а —
= 1, 2, ..., а,-,

Л1<Р) и N,-,	/= 1, 2, .... s, 0 = 1, 2, ...,

такие, что

РМ 41’	А<2>

—_______1_____I_______!--------1- Д------!----L д_

QW (х —	(х—щ)®1 1	х—щ

Л<‘>	А™

	,	<’х+^2>	ЛГ^х-фЛ^1’
1	р	1	в 1 1 	—	-+••• +
	(х2 + р1х+<?1) s	х2 + Р1Л + <?1
М<1’х + ^1)	Л4<2)х + ЛА2’	М^хф-Л^
I	в	1	р -1 I •	..Н			—. (23.30)
(x2 + psx+?s) s	(x“ + psx+<?s) Л	x2 + psx + qs

*> Без ограничения общности можно считать, что коэффициент у старшего
члена многочлена Q (X) равен единице, так как в случае, когда он равен ка-
кому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделить числитель и
знаменатель дроби Р (x)/Q (х) на это число, после чего у получившегося в зна-
менателе многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным единице.
Доказательство.. Из; разложения (23.29) имеем:

Q (х) = (л - а^ Qi (х>

Здесь

Qi («) — (х — сф2 ... (х- аг)ас (х2 Д- Pix +	... (х2 4 psx 4- qsfs

и, следовательно, Qi («1)4 0, поэтому, согласно лемме 1,

Р(х) =	Pi (х)

Q'(x)	(х—а)0,1	(х—aj®1-1 Qi (х)

Применяя в случае «i > 1 подобным образом ту же лемму
„ Л	Рх (х)

к рациональной дроби -----> получим

(х а) 1 Q1 (х)

Р(х) =	A*,11	.	._____Р2 (х)

<2 (х)	(х —аД®1	(х —(х—2Q2 (х)

Продолжая этот процесс дальше, пока показатель степени
у сомножителя Xi — а не станет равным нулю, а затем поступая
аналогичным образом! относительно множителей х — ait i = 2, ..., г,
будем иметь

Р(Х).	4°	А™

Q(x) (х — a-i)®1 (х —щ)®1-1	'	х —ах

4”	42>	а^г) р*,}

+ —Нг +--------4г^т+---+^—+—,

(х—ar) r	(x—ar) r	x—ar Q* (х)

Р* (х)

где — снова правильная рациональная дробь, причем Р* (х)
и Q* (х) суть многочлены с действительными коэффициентами и
многочлен Q* (х) не имеет действительных корней.

Применяя последовательно лемму 2 к дроби P*(x)/Q*(x) и
к получающимся при этом выражениям, в результате получим
формулу (23.30). [3

Рациональные дроби вида

А	Мх+Н

(х—(х? + рх+<?)Р ’

р2

где а, р, q, А, М n N — действительные числа и у —^<0 (корни
тре-х-члена-х2--)-/тх4 7 существенно комплексные), называются эле-
ментарными рациональными дробями.

Таким образом, доказанная теорема утверждает, что всякая
правильная рсщиональнал дробь может быть разложена в сумму
элементарных рациональных дробей.

При выполнении разложения, вида (23.30) для конкретно задан-
ной, дроби обычно оказывается: удобным, так называемый метод
неопределенных коэффициентов. Он состоит в следую-
щем. Для данной дроби P(x)/Q(x) пишется разложение (23.30),
в котором коэффициенты Д^*, 2И*Р), считаются неизвестными
(i = 1, 2, ..., г, а = 1, 2, ..., az, / = 1, 2, ..., s, р = 1, 2, ..., Ру).
После этого обе части равенства приводятся к общему знамена-
телю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются
коэффициенты. При этом если степень многочлена Q(x) равна п,
то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (23.30)
после приведения к общему знаменателю получается многочлен
степени п — 1, т. е. многочлен с п коэффициентами, число же
неизвестных Aza), Л1/₽), Л//Р) также равняется п (см. (23.10)):

У. а<+-2 У Р/ = «.
/=1 /=1

Таким образом, мы получаем систему п уравнений с п неизвест-
ными. Существование у нее решения вытекает из доказанной
теоремы.

Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему
знаменателю и его отбрасывания, в случае когда Q(x) имеет дей-
ствительные корни, целесообразно подставить в обе части полу-
чившегося равенства последовательно эти корни; в результате
получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициен-
тами, полезные для их окончательного определения.

Примеры. 1. Разложим дробь х/((ха —1) (х —2)) на элемен-
тарные дроби. Согласно (22.30), искомое разложение имеет вид

(х2—1)(х —2) — X—1 “Г х+1 ' х —2‘

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим

х = А (х+1)(х —2)Д-В(х — 1)(х —2)Д-С(х — 1) (хД-1).	(23.31)

Мы имеем случай, когда все корни знаменателя действительны.
Полагая в равенстве (23.31), согласно сказанному выше, после-
довательно х=1, х =—1 и х = 2, находим

1==— 2А, — 1=6В, _2 = ЗС,
откуда

Д— L R — L С——
Я — 2 , D — 6 , С — 3 .

Таким образом, искомое разложение будет

(х2-1) (х-2) = ~ 2 (х —1) ~ 6 (х+1) + 3(х-2)'	(23.32)
2.	Найдем разложение на элементарные дроби для

Общий вид разложения в этом случае
х3—1 _ А ВхА-С	Dx + E

х(х24-1)2 “ х "Г (х2-)-])2 + х24-1 ’

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем

х2- 1=Л (х2+ l)2 + (Bx + C)x + (Dx + E)(x2 + l)x.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

— 1=Л, 0 = СН-£, 1=2Л + В-1-П, 0 = Е, 0 = Л + П,
отсюда находим

Л = —1, В = 2, С = 0, D=l, Е = 0,

и, поэтому, искомое разложение имеет вид

л’2 ~~ 1  __! ।	। х	(‘У1 оо\

X (X2 + 1 )2	X ' (х- + 1 )2 Г" X2 + 1'	'

Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на
элементарные дроби можно получить быстрее и проще, не при-
бегая к методу неопределенных коэффициентов, а действуя каким-
либо другим путем. Например, для разложения дроби

1
х2(14-х2)2

на сумму элементарных проще всего дважды прибавить и вычесть
в числителе х'2 и произвести деление так, как это указано ниже:

1	_ (14-х2) — X2	1	1	_

х2(14-х2)2 — х2(14-х2)2 — х2(1 + л2)	(14-х2)2-

= (1-|-х2)-х2	1	= 1	1	1

л2(1+х2)	(14-х2)2 X2 14-х2	(14-Х2)2 

Полученное в результате разложение и является разложением
данной дроби на сумму элементарных дробей.

Упражнение 3. Доказать, что разложение вида (23.30) правильной
рациональной дроби единственно.

§	24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

24.1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

В этом и следующем параграфах будут рассмотрены методы
интегрирования некоторых классов элементарных функций. При
этом каждый раз, не оговаривая этого специально, будем пред-
полагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором
промежутке, во всех точках которого определена подынтеграль-
ная элементарная функция (иначе говоря, на котором формула,
задающая подынтегральную функцию, имеет смысл, см. об этом
в п. 4.3).

В предыдущем параграфе показано, что всякая рациональная
дробь представима в виде суммы многочлена и элементарных
рациональных дробей (см. (23.24) и (23.30)). Интеграл от многочлена
вычисляется, и притом очень просто (см. п. 22.2). Рассмотрим
вопрос об интегрировании элементарных рациональных дробей.

Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей вида

А	1 о

-.----г—, п = 1, 2, ...,

(л — а)п ’	’	’	’

Если п=1, то (см. формулу 2 в п. 22.2)

$	dx = A In \х — а | + С,	(24.1)

а если п=?=1, то (см. формулу 1 в п. 22.2)

J (х—а)«	=	(И_])(Х—ар'1 + С'	(24.2)

Рассмотрим теперь интегралы от дробей

Mx + N

W + px + q)» ’

d2

где—-----<7<0, п = \, 2,.... Снова начнем со случая п = 1.

Замечая, что

x2A-px + q=- (х+’5)2 +

и полагая / = х + a2 — q —	получим:

J х2 + рх-Н	J	/2 + а3	J г2 + а2 '

+ (« -	=4агс|4+с=

= 4 1П (хг + рх-Н) + 2Л4^ arcts 44 + Г. (24.3)

В случае п>1, полагая, как и выше, t = xA--$, a2 = q-~^<
подобным же образом получим

f Mx+N dx = M f ——-P pM f _— - (24 4)

J (x2 + px+?)«	J (Z2 + a2)« '	2 J (Z2 + a2)«	'

Рассмотрим в отдельности каждый из получившихся интегра-
лов в правой части этого равенства. Что касается первого из
них, то он вычисляется сразу:

t dt 1 Г d(/2 + a3) _	1

(Z24-a2)" — 2 У (П + а2)п ~	2(/i—IJ^ + a2)”-1

(24.5)

Второй же интеграл правой части равенства (24.4) вычисляется
несколько сложнее. Пусть

1,1 = § р2 + а2)« ’ n = 1, 2, 3, ....

Проинтегрируем интеграл 1п по частям, положив

1	,	,,	,	2ntdt	j

« =	= Л, и, следовательно, du = —v = t,

а затем, добавив и вычтя а2 в числителе получившейся под зна-
ком интеграла функции и произведя деление так, как это указано
ниже, получим

Т С	| Q С	Л/

ln = J (P4-a2)« = (/"2 + a2)« “г М J ’(/2 + a2)^-i а1 =

= _J_______4-2/г С	=

(t2 + a,-)n '	1 J (Г2--и2)"1 u

=<_________+ 2/г[Ч-^___________n2 f __________1

Щ + а2)'» Lj 02 + a2)zi J (/24-a2)«+1 J’

t. e. /rt = -^r+a2jT + 2н/„ - 2/ш2/„+1, откуда

А.н = Л-H2 1 ы +	n=l, 2,....	(24.6)

L 2na2 (<2 + a2)n 1 2/га2	’	’ ’	'	'

Интеграл /х легко вычисляется (см. в п. 22.2 формулу 12);
формула (24.6) позволяет вычислить /2: зная же /2, по той же
формуле можно найти значение и /3, продолжая этот процесс
дальше, можно найти и выражение для любого интеграла /„
(п = 1, 2,...).

24.2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Из результатов п. 23.6 и предыдущего п. 24.1 непосредственно
вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной
дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не
обращается в- ноль, существует и выражается через элементарные
функции, а именно он является алгебраической суммой суперпо-
зиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных лога-
рифмоз.

Теорема 1 есть прямое следствие формул (23.24), (23.30), (22.6),
(22.8), (24.1) — (24.6). Эти формулы дают и конкретный способ
вычисления интеграла от рациональной функции: сначала деле-
нием числителя на знаменатель выделяется «целая часть», т. е.
данная рациональная дробь представляется в виде суммы много-
члена и правильной рациональной дроби (23.24), затем получив-
шаяся правильная рациональная дробь раскладывается на сумму
элементарных дробей (23.30), после чего, используя линейность
интеграла (22.6), можно вычислить интегралы от каждого слагае-
мого в отдельности, согласно формулам (22.8) и (24.1)— (24.6).

Примеры. 1. Вычислим Д 71—ттт-—57. Уже известно
(см. (23.32)), что

х	1	1.2

(х2-1)(х-2) ~	2(х—1)	6(х-р1) + 3(лс—2) ’

поэтому

х dx	1 С dx 1 С dx j 2 f dx

(х2—1)(х —2) — — ~2 J х—1 ~ 6 J х-f-l + 3“ J ~х^2 ~

= — 4-ln [х— 11-4- 1п|х4-1 | +	] х — 2 l + C.

Z	и	О

on	f Xе 4- 2х4 + 2х2 — 1 ,	„	х

2. Вычислим —х(х2+1)2--dx' Согласно общему правилу,

выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим

хв + 2х44-2х2—1
х(х2+1)2

х2 —1

X (х2+ I)2 '

Для получившейся правильной рациональной дроби уже найдено
ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (23.33)):

х2 —1
х(х2+1)2

J____—-----1__±—

х ' (х2+1)2 ' х2+1 ’

поэтому

(* хв + 2х4 4- 2х2 — 1 , Г >	С dx , [* 2xdx .

J x(x2+i)2—dx = J xdx~ J T + J W1F +

, f X ,	x2	1 I 1 , f d(x2+l) , 1 f d(x2+t)

+ J X2 +! dx— 2	ln|x|+^ (X2+1)2 + 2 J x2+1

= 4 - !n| x| -	+ I Jn (x2+ !) + C.

Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления неопре-
деленного интеграла от рациональной дроби является общим:
с помощью его можно вычислить неопределенный интеграл от
любой рациональной дроби, если можно получить конкретное
разложение знаменателя на множители вида (23.10). Однако
естественно, что в отдельных частных случаях бывает целесооб-
разнее для существенного сокращения вычислений действовать
иными путями.
Например, для вычисления интеграла

/ =

х3 dx
(1-х2)3

проще не раскладывать подынтегральную функцию на элементар-
ные дроби, а применить правило интегрирования по частям.
Положив

и=х, dv = —^^- и следовательно, du~dx, v =
(1 X )а

получим

.	1 С , d(l —х2) х If 1

1 — "2 JX (1-х2)3 — 4(1—x2)2	4' J (1-x2)3

Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтеграль-
ной функции х2, производя деление, получаем два интеграла, из
которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегри-
рованием по частям:

х If (1-х2) + х2 ,

1	~4 (1-х2)3	4 J (1-х2;2 ил

х	1 f dx 1 f х3 dx

= 4 (1-x2)2 ~ ~4 J 1-x2 “ T J (1-x2)2 ~~

- x _ 1 In I 1+* I _u JL С v _

— 4(1—x2)2	8 I 1— x I"1" 8 J (l-x2f

__ x	1 , I- 1 + x I x	, 1 f dx  

~ 4(1—x2)2	8 Ш j 1-x I ~ 8(1 — x2) + У J 1—x2 ~

__ x	1 I I 1 +* I x	l r

~ 4(1—x2)2	16 ln I I — 8(1—x2) + C •

24.3*. МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО

В пункте (24.1) было показано, что всякая правильная рацио-
нальная дробь’ может быть представлена в виде суммы элемен-
тарных дробей. Но из п. 24.1 следует, что первообразные элемен-
*	1 Mx-\-N / р2 . п\

тарных дробей и 'x2 ' q_px+<r\ 4—являются транс-
цендентными функциями вида A arctg (агх 4- а2) + В 1п(&1х + 62)-|-С
(см. (24.1) и (24.3)); первообразная элементарной дроби

Л/(х —а)“, а = 2, 3, ...,

является рациональной дробью; первообразная же элементарной
дроби (Мх + А()/(х2 + рх + Я^, Р=2, 3,..., в силу формул (24.4),
(24.5), (24.6) и формулы 12 п. 22.2 может быть, вообще говоря,
представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и
трансцендентной функции вида A arctg(a1x-j-a2) + C', являющейся

В	/ п2	\

первообразной от дроби вида —т——:—Pj---------</<0 . Поэтому

% I- РХ Р \ *	/
всякая первообразная любой рациональной дроби представима,
вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраиче-
ская часть) и трансцендентной функции, являющейся первообраз-
ной от суммы дробей вида

А	МхА-N Р2 _____________

х—а И х24-рх + <? ’	4 У '

Таким образом, если Р (x)/Q(x) — правильная рациональная
дробь и

Q (х) = (х - fljfi ... (х - аг)а>- (х3 ф- ргх -j- <7i)₽i ... (х3 4- psx 4- qsfs

разложение ее знаменателя в виде (23.10), то

Р(х)

Q(x) ах Qi(x)

Л

dx; (24.7)

хг + Р)Х+Ч/

отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем

4- J

Р(х)
QW

(/х =

Pi(x)

Qt(x)

рг(х)

Q2(x)

dx,

(24.8)

где Q2 (х) = (х - fli) ... (х — аг) (х2 4-PiX + 71) ... (x2 + psx + qs). Из
формул (24.2) и (24.6) следует, что многочлен Qi(x) имеет вид

Qi(х) =

~(х — aif1-'   • (х - arf~l (х* 4-Р1х + q^1-1 ... (х3 + psx + q$s~',

т. е. многочлен Qj (х) является наибольшим общим делителем
многочлена Q(x) и его производной Q' (х) (см. (23.23)).

Формула (24.8) называется формулой Остроградского Второе
слагаемое правой части формулы (24.8) называется трансцендент-

ной частью интеграла

; это естественно, ибо из сказан-

кого выше следует, что всякая первообразная дроби /’2W/Q2W

с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линей-
ную комбинацию логарифмов и арктангенсов от рациональных
функций и, значит, как это можно показать, будет являться,
вообще говоря, трансцендентной функцией. Первое же слагаемое,
называемое алгебраической частью,.может быть найдено чисто алгеб-
раическим путем, если известны многочлены Р (х) и Q (х) (а зна-
чит, и Q' (х), т. е. без интегрирования каких-либо функций. В самом
деле, многочлен Qi(x), являясь наибольшим общим делителем
многочленов Q(x) и Q' (х), всегда может быть найден с помощью-

алгоритма Евклида (см. п. 23.5*), тем самым для отыскания

*’ М. В. О с т р о г р а д с к и й (1801 — 1861)— русский математик.

14 Кудрявцев л. д.,т ।
многочлена Qx(x) не требуется знания корней многочлена Q(x);
однако, если корни многочлена Q (х) известны, а значит, известно
и его разложение вида (23.17), то многочлен Qx(x) сразу выпи-
сывается по формуле (23.23). Многочлен Q2(x) находится как
частное от деления Q(x) на Qx(x).

Для отыскания же многочленов Р1(х) и Р2(х) можно приме-
нить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обо-
значим степень многочлена Qx (х) через nlt степень многочлена
Q2 (х) — через п2; тогда из равенства

Q(x) = Qx(x)Q2(x)	(24.9)

получим п = Пх + п2. В силу того что дроби Pr (x)/Qx (х) и
ДгС’О/ФгС’О правильные, степени многочленов Рх(х) и Р2(х) соот-
ветственно не выше, чем 1 и п2 — 1 и, значит, в этих много-
членах число отличных от нуля коэффициентов соответственно
не превышает пх и п2; таким образом, число неизвестных коэф-
фициентов равно п1 + п2 = м- Дифференцируя первообразные, вхо-
дящие в обе части формулы (24.8), получим (опуская для крат-
кости обозначение аргумента) соотношение

Z.-ffiV 1 А

Q \ Qi 7 + Qx ’

Производя дифференцирование, будем иметь

Р	Р'Л-PiQ', , Р-2

Q Qi Qx
Заметим, что

Qi	QiQz

(24.10)

(24.11)

где Р = Q'iQ2/Qi является многочленом. Действительно, если z —
корень многочлена Qx кратности %, то, как мы знаем (см. п. 23.4),
z является корнем кратности Л — 1 для производной и одно-
кратным корнем многочлена Qs, поэтому в этом случае z является
и корнем кратности 1 для многочлена QJQ2. Отсюда, согласно
формуле (23.7), сразу следует, что многочлен Q1Q2 нацело делится
на многочлен Qi, т. е. что R также является многочленом. Итак,
из (24.9), (24.10) и (24.11) имеем

Р ___ P'iQx । Рх

Q Q Q2 ’

откуда

P = P[Q2-PlR + P2Q1.

(24.12)

Многочлен Р имеет степень не выше, чем п — 1 (ибо дробь
Р/Q —правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях k, k = 0, 1, ..., п — 1, переменного х в обеих частях
равенства (24.12), получим п линейных уравнений относительно/г
неизвестных. Выше было доказано (см. (24.8)), что многочлены
Ру и Р2 всегда (в частности, при некотором фиксированном много-
члене Q и при любом многочлене Р степени, не превышающей
п— 1) существуют; поэтому полученная система линейных урав-
нений имеет решение при любой правой части *>. Отсюда следует,
что определитель этой системы не равен нулю, а значит, про рас-
сматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет реше-
ние, но и что оно единственно. Тем самым не только получен
метод для определения неизвестных коэффициентов в формуле
(24.8), но и доказана единственность этого представления.

Формула (24.8) сводит, вообще говоря, задачу интегрирова-
ния любой правильной рациональной дроби к задаче интегриро-
вания правильной рациональной дроби, у которой знаменатель
Q (х) имеет только простые корни. С помощью этой формулы при
интегрировании правильной рациональной дроби можно найти
.	С Р (х) ,

указанным выше путем алгебраическую часть интеграла \ ртр-.дх,
а затем проинтегрировать более простую рациональную дробь
(-^)/Qa (-^)> если, конечно, случайно не окажется, что Ps(x)—
тождественный ноль: в этом случае задача будет уже решена.

Описанный здесь метод интегрирования рациональных дробей
носит название метода Остроградского.

При использовании метода Остроградского для интегрирования
рациональных дробей часто оказывается целесообразней записы-
вать формулу Остроградского (24.8) в виде (24.7), так как в этом
случае после нахождения неизвестных коэффициентов в подын-
тегральной функции ее сразу можно проинтегрировать.

Неизвестные коэффициенты в формуле (24.7) находятся тем же
методом, который был описан для формулы (24.8): следует про-
дифференцировать обе части равенства (24.7), привести к общему
знаменателю все рациональные дроби, получившиеся в обеих
частях равенства, приравнять коэффициенты у одинаковых степе-
ней переменной х в многочленах, стоящих в числителях, и решить
получившуюся систему линейных уравнений.

Пример. Применим метод Остроградского для вычисления
интеграла f ~-2* +/ dx. Согласно формуле (24.8),

С х4--2х3 — 2х2-’Гх , _ Kx3d-Lx2-\-Mx-\rN Г kx21хт ,

(1-х)3(1+х2)2 йХ~ (1-х)2(1+%2) Г J (1 -х) (1 +х2) ах'

поэтому

х4 + 2х3 — 2х2 + х
"(1-х)!(х2+1)2

Г Kx2 + Lx2+Mx + N Т

L (1-х)2 (1+х2) J

kx2 -1-1x4-т

(1-х) (1+х2) •

*’ Как обычно, предполагается, что все члены уравнений, содержащие
неизвестные, и только они перенесены в левую часть равенства.
Произведя дифференцирование, получим

х44~2х3 —2х2 + х _
(1—х)3(1+х2)2 ~

(ЗКх2 + 2Lx + М) (1 - х) (х2 + 1) - (Крс1 + Lx2+Mx + N) X

X [-2(Ц-х2) + (1-х)2х]

—	(1-х)3(1+х2,2	ф

.	Ax2-|-Zx-|-m

+ (1-х) (1+х2) ’
Отсюда имеем:

х4 + 2х3 — 2х2 + х = (3/<х2 + 2Лх + Л4) (— х3 + х2 — х ф- 1) —

— (Дх3 + Lx2 + Mx+N) (— 4х2 + 2х - 2) +

+ (ftx2 + /x + m) (х4 —2х3 + 2х2+ !)•
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
Л4 + 2ЛГ+/и = О,

-M+2L + 2M-2N — 2тф-/ = 1,
ЗД —2L + Л4 4-21, — 2Л4 4~4Д ф-& —2/ф-2т = —2,
— M + 2Z,-3K + 2K-2L + 4A4-2K4-2/-2m = 2,
ЗД-2£-2Д + 4£ + 2£-2/4-т = 1,
-ЗД4-4Д-2^ф-/ = 0,
/г = 0,
или
M-\-2N 4-m = 0,
2L + M-2N + l-2m= 1,
3^-Лl + 4^ + /г-2/ + 2m = —2,
— /< + ЗЛ4 — 2/г + 2/ — 2m = 2,
/C+2L + 2A-2/ + m=l,
/С — 2A + Z = 0,
fe = 0.

Решая эту систему уравнений, находим:

L = --2’ М=32’ Л/=-!>

fe=0, / = — у, т=2;
поэтому

f х4 Ч-2х3 — 2х2 + х 4лл 1 х3 —х2 + 3х—2 .

3 (1 -х)3 (х2+ I)2 ах~~ 2~ (1-Х)2 (1+х2) +

1 С —х-}-1	,	1х3 — х2 + 3х — 2 , 1 _rrt ।

+ 2 J	(1- x)2(l+x2) +'2 aretg* + C-
§ 25.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

25.1.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Функции вида

«(»>....<25Л)

где Р и Q — многочлены от переменных ult ..., ип, т. е. функции
вида

S ...........•••<"-

ftl+ ••• +kn^k

называются рациональными функциями от ult ..., ип.

Если в формуле (25.1) переменные ult ..., ип в свою очередь
являются функциями переменной х: пг = ф( (х), 1 = 1, 2, п, то
функция

/?[<Р1(х), .... <р„(х)]

называется рациональной функцией от функций фх (х), ..., ф„ (х).

Например, функция

П > yx_/F'+l

является рациональной функцией от х и радикалов Ух, Ух2 — 1,
и У х2 + 1:

f(x) = /?(x, Ух, У^~у ]/гМЙ);

здесь R(ult и2, и3, «4) =	, п1 = х, и2 = У х, и3 — Ух2 — 1,

____ w2 — 1*4

ut = Ух2 + 1.

Если в формуле (25.1) переменные иг, ..., ип являются эле-
ментарными тригонометрическими функциями, то получающаяся
сложная функция называется рациональной относительно элемен-
тарных тригонометрических функций. Примером такой функции
является следующая:

Перейдем теперь к интегралам от функций рассмотренных
типоз и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам
от рациональных функций.
25.2.	ИНТЕГРАЛЫ ВИДА С R Гх, ( “^44У* > • • • > (g* ах-
j L \схц-а]	\cx-\-a/ J

Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при
условии, что постоянные гъ ... , rs рациональны, и *|^=0 (а,
Ь, с, d — постоянные). Последнее предположение естественно, так
как если ^| = 0, то коэффициенты а, b были бы пропорциональ-
ны коэффициентам с, d и поэтому отношение не зависело
бы от х. Подынтегральная функция в этом случае была бы обык-
новенной рациональной дробью от одного переменного, вопрос об
интегрировании которой был рассмотрен выше.

Пусть пг — общий знаменатель чисел rlt ... , rs:

ri = m’ целое> 1 = 1 > 2, ... , s.

Положим

= <25‘2)

СХ —j- С1

откуда

= <25-3)

р(0 является рациональной функцией, поэтому р' (t) также рацио-
нальная функция; далее,

dx — p'(t)dt,	(25.4)

.= 1 2 s< (25 5)

\сх + d ]	’	'	'

Подставляя (25.3), (25.4) и (25.5) в подынтегральное выражение
рассматриваемого интеграла, получим

где /?* (/) = Я	 ’ iPs) Р'(0> очевиДно, является рацио-

нальной функцией переменного t. Таким образом, вычисление
интеграла

(ф, СтйГ...............<25-6)

1 I	\СХ —|- CL ]	^сл —|-и/ J

сводится к интегрированию рациональных дробей.

Конечно, для того чтобы найти выражение для исходного
интеграла, надо после вычисления интеграла $ R* (f) dt, сделав
обратную замену переменного t = ((ах + b)/(cx +	, вернуться

к первоначальной переменной х. В дальнейшем в аналогичных
ситуациях мы не будем каждый раз оговаривать необходимость
обратного перехода к исходной переменной х.

Отметим, что, в частности, к рассмотренному типу интегралов
относятся интегралы вида

JR[х, (ах + Ь)г>, (ах+6)rs]dx, в частности (х, хг', ..., xrs)dx.

dx

Пример. Вычислим интеграл \ -?=—Полагая, согласно
ЗУх-\-(/х

общему правилу, x = te, dx = 6ti dt, получим

f -^— = 6 {	=	(?-t+ydt- { 7~гт1 =

Jj/x-l-yx ЗЖ |_J	J Z~HJ

= e[f — J + / — 1п|/+1 |]+c=

= 2]/x - 3/x + 6vG - 6 In (Ух + 1) + C.

К интегралам вида (25.6) сводятся иногда с помощью элемен-
тарных преобразований и интегралы других типов, например, типа

§ У (х — а) (х — b) dx.

Покажем метод вычисления подобных интегралов на примере
интеграла	__________

$ У (х — 1) (х — 2) dx.	(25.7)

Вынося в подынтегральной функции множитель (х— 1) за знак
радикала, получим интеграл вида (25.6): именно при х^=2

J У(х- l)(x-2)dx = J (x-l)y^dx,

а при х< 1

J У(х-1)(х-2)dx — J (l-x)yr~ldx.

При 1<х<2 подынтегральное выражение чисто мнимое.

Рассмотрим, например, случай х >=2. Положим здесь (см. (25.2))
/2=^Ет> тогДа

dx- *dt_

поэтому
f -1/-7-----ГГ7---тл	С (2—t2	Л 2t2dt	t2 dt

J V (X 1) (x 2) dx j ly 0 ~t2)2 j (1________t2}*

— получился интеграл от рациональной дроби, который был
вычислен раньше (см. п. 24.2).
25.3.	ИНТЕГРАЛЫ ВИДА $ /?(х, /ах2+&х-|-с) dx.
ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА

Указанные интегралы могут быть сведены с помощью замены
переменного к рациональным функциям. Рассмотрим три замены
переменного, носящие название подстановок Эйлера *>. Итак, пусть
дан интеграл

\R(x,	ах2 + Ьх + с) dx, а=^0.	(25.8)

Первый случай: а>0.

Сделаем замену х на t следующим образом:

]/ах2-|-Ьх-|-с==±х]/а±£	(25.9)

(знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части
написанного равенства в квадрат:

ах2 + Ьх + с = ах2 ± 2	xt +t2,

отсюда

Rt (О — рациональная функция от /, значит R[(t) — также рацио-
нальная функция.	__________

Далее, dx = R[(t) dt, ]/ar2 + bx-|-c==±Rx(/)	= R2(t),

где, очевидно, Rx (t) — рациональная функция. Окончательно,

§ R (х, У ах2 + Ьх с) dx =

= $ R (Rx (I), R2 (0) R! (0 dt = R* (/) dt,

где R* (/) = R (Ri (/), R2 (0) Ri (0 — рациональная дробь. □

Второй случай: корни трехчлена ах2 +-Ьх + с действитель-
ные.

Пусть Хх и х2 действительны и являются корнями трехчлена
ах2Ьх с. Если Хх = х2, то

У ах2 Ьх + с = ]/ а (х — Xj)2 = | х — хх j У а.

Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит
отрицательная при всех значениях x#Xj величина, т. е. корень
принимает только чисто мнимые выражения,— этот случай имеет
место при а<0 и мы его не рассматриваем, либо при
после указанного элементарного преобразования получаем, что
переменное х не входит под знак корня, т. е. под интегралом

*> Л. Эйлер (1707—1783) —швейцарский математик.
стоит просто рациональная функция от х, вообще говоря, разная
для каждого из промежутков (-—оо, х,) и (хх, 4-оо).

Рассмотрим теперь случай, когда х1=й=х2. Замечая, что
ах2 -р Ьх 4- с = а (х — хх) (х — х2), и вынося х — хх из-под знака корня,
получаем, что

R(x, У ax2 + bx + c) = r(x, | х — Xi |	=

= Я3(х,	(25.10)

здесь Rs (и, v) — рациональная функция переменных и и v.

Как известно (см. п. 25.1), интеграл от функции (25.10) может
быть вычислен с помощью подстановки (см. 25.2) /2  а (* ха)>
что в нашем случае дает

± (х — Xi) t = У а (х — хх) (х — х2),

или, беря />0 при хоо'Хх и /<0 при x-C:xb (х — x^t —
= У ах2 + bx+c. Q

Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) является
примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рациональ-
ной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае.

Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8) поз-
воляют всегда свести этот интеграл к интегралу от рациональной
дроби на любом промежутке, если только корень У ах2 4- Ьх 4- с
на этом промежутке не принимает чисто мнимые значения (естест-
венно, изучая анализ в действительной области, исключить этот
случай из рассмотрения). В самом деле, допустим, что ни первый,
ни второй случай не имеют места, т. е. а<0 и корни Xi и х2
трехчлена ах2 4-6x4- с существенно комплексны: x1 = g-)-hi, х2 =
= g — hi, h^=0. Тогда

У ах2 4- Ьх 4- с = У а(х — хх) (х — х2) =

= Уа(х - g - hi) (х - g + hi) = Уа[(х - g)2 + h2],
и так как а < 0, a h ф 0, то под корнем при любых х стоит
отрицательное выражение. Q

Третий случай: с>0.

В этом случае можно применить подстановку

У ах2 4- Ьх 4- с = ±Уc±xt

(комбинация знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим
равенство

ах2 4- Ьх = ± 2 Ус xt 4- хЧ2,
откуда

х =	= «4 (0> dx = Ri (t) dt,
yax2 + bx + c = ±Vc±Ri(t)t = Ri(t'), где R4(t), Rt(i) и R5(t)
суть рациональные функции t. Поэтому

$ /?(х, /axa + fe.v-R) dx^\R (t), R5 (0) Rl (0 dt = \R(t) dt,

где R(t) = R(,Ri(t), R-a (t)) Ri (t) — рациональная дробь. □
Интегралы вида ^R(x, ]/ ах + b, ycx-\-d)dx сводятся подста-
новкой

t2 = ax + b	(25.11)

к рассмотренным интегралам вида (25.8).

В самом деле, из (25.11) имеем:

х= —, dx = -tdt,VM + d = l/'c- t2-cb +d=VAt2 +В,
а	а г 1 Г а а г 1

где А — В = —~A~d, поэтому

§ R(x, УахА-b, Усх4- d) dx = § Д6 (/, yAt2 + B)dt,

где Ra(u, v)—рациональная функция переменных и и v. В пра-
вой части последнего равенства стоит интеграл типа (25.8). Q
Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно
приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует приме-
нять, вообще говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый интеграл
не удается вычислить другим более коротким способом. Например,
/ fa \а

замечая, что ах2 А-Ьхс = а\ х А~ ~^с~4а’ нетрудно убедиться,
что интеграл (25.8) в случае, когда подкоренное выражение поло-
жительно на некотором интервале, с помощью линейной подста-
новки может быть приведен (ср. п. 22.3) к одному из трех
интегралов:

\R(t, yy^dt, \R(t, yi*=T)dt, \R(t, yy+i)dt

(конечно, здесь символом R ббозначена, вообще говоря, другая,
чем в формуле (25.8), рациональная функция). Для вычисления
полученных интегралов часто оказывается очень удобным исполь-
зовать тригонометрические подстановки

^ = sina, t = cosu, t=Agu,

а также гиперболические подстановки

Z = sha, / = cha, / = tha.

25.4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА

Выражение xm (а + bxn)p dx (а=£0, Ь#0) называется дифферен-
циальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда и, т
и р — рациональные, а а и b действительные числа.

Положим

x = tl/n,

(25.12)
тогда

1	р	1 (•	m-f-l  ,

dx = -t1/n-1dt и \xm(a + bxn)Pdx = ^ \ (a + btyt n dt.

Таким образом, интеграл

\xm(a + bxn)Pdx	(25.13)

сводится подстановкой (25.12) к интегралу типа

\(а + Ы)Р^ dt,	(25.14)

где р и q рациональны. В рассматриваемом случае

m-4-1	,

<7 = —----1.

' п

Первый случай: р—целое число.

Пусть <7 = '> гДе г и s —целые числа. Согласно результатам
п. 25.2 в этом случае подстановка z = Z1/s сводит интеграл (25.14)
к интегралу от рациональной дроби.

Второй случай: q — целое число.

Пусть теперь р — r's, г и s —целые числа. Согласно резуль-
татам пункта 25.2, интеграл (25.14) приводится в этом случае
у

подстановкой z — (a-}-bt)s к интегралу от рациональной дроби.

Третий случай: p-\-q — целое.

Пусть p = r/s и s —целые. Запишем для наглядности интеграл.
(25.14) несколько в другом виде:

<\j(a + bt)Pt‘idt= J tP^dt.

Снова имеем интеграл типа, рассмотренного в том же п. 25.2.
На этот раз к интегралу от рациональной дроби его приводит
подстановка

/а + WU/s

Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, q или р + <7
является целым, интеграл (25.14) при помощи указанных выше
подстановок приводится к интегралу от рациональной дроби.

Применительно к интегралу (25.13) этот результат выглядит
следующим образом: когда одно из чисел	или —“+р

является целым, интеграл (25.13) может быть сведен к интегралу
от рациональной дроби. При этом в случае, когда р целое, это
сведение осуществляет подстановка

г = xn!s,

/тг4-1	m +1 г

где число s является знаменателем дроби —, т. е. .......~ - =- ;

в случае, когда —целое, — подстановка

z = (а +Ьх'1)1'5,
где число s является знаменателем дроби р, т. е. р = г/s', а в слу-
чае, когда ——(- р целое, — подстановка

z = (ax~" + b)1/T,

где число s также является знаменателем дроби р.

П. Л. Чебышев** показал, что при показателях т, п и р,
не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (25.13)
не выражается через элементарные функции.

Пример. Рассмотрим интеграл

с -----------Г	г !	-3\’/4

/ = \ Yх 1/ 1 —— dx= \ х1/2 \ 1 — х 21 dx.

1	3	1

Здесь т — 2 , п = — 2 , р = и (тф- 1)/л =— Г, имеем второй
случай.

Сделаем указанную выше подстановку:

z = (l _х-з,2)1/4;	(25.15)

отсюда

х = (1 - г4) 2 '3, dx = з (1 - z4)5'3 z3 dz,

и потому

,	8 f г4	,	2 С , 1	2 / Z	f dz \

1	3 J (1 —г4)2	3 J	l z4 3 \1 —г4	J1-Z4/

=	’ ft'_L_ + _L_U =

3(1—г4)	з}\1-г2^1 + г2/

2z	1 j 1 1 -1- z!	1	,

— 3(1 —г4)	~б п|1 —г|	з arctgZ + С,

где z выражается чсрэз х согласно формуле (25.15).

*’ П. Л. Чебышев (1821 — 1894) —русский математик.
о Р (х)

25.5. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА I " dx
j Уах2 ybx-yc

Рассмотрим интеграл

где Р„ (х) — многочлен степени n^l. С принципиальной точки
зрения этот интеграл всегда можно свести к интегралу от рацио-
нальной дроби с помощью одной из подстановок Эйлера (см.
п. 25.3). Однако в данном конкретном случае значительно быст-
рее к цели приводит обычно другой прием.

Именно покажем, что справедлива формула

f	=

J У ах2 Ьх + с

= Рп-х (х) Vax2 + bx+c + а (	,	(25.16)

J У ах2^-Ьх +с

где Р,,-] (х) — многочлен степени не выше, чем п— 1, а а —неко-
торое число.

Итак, пусть многочлен

Рп (х) = апхп + ал_1хя~1 +... 4- а0	(25.17)

задан. Если существует многочлен

Pn-i (х) = Ьп^х"-1 + Ьп-2хп~2+... + Ьо, (25.18)

удовлетворяющий условию (25.16), то, дифференцируя это равен-
ство, получим:

Рп (х)

К<2Х2 -j- &Х + С

= Р'п-1 (х) /ах2 + Ьх + с+ -” j-Lx)^ax±^ + а =.-

2 У ах2 + Ьх -|- с	У ах2-j-Ьх-ус’

ИЛИ

2РЯ (х) = 2РЯ _ 1 (х) (ах2 + Ьх 4- с) + Р„^ (х) (2ах 4~ Ь) 4~ 2а.	(25.19)

Здесь слева стоит многочлен степени п, а справа каждое сла-
гаемое также является многочленом степени не больше п.

Замечая, что

Р'п _ j (х) = (и - 1) Ьп^х^ 4- • •  4- kbkxkl4- • • • 4- bt, (25.20)
и подставляя (25.17), (25.18) и (25.20) в (25.19), имеем равен-
ства

2 (а„хп 4- а^х"-14-... 4- ajx 4- a0) =

= 2 (ax2 4- bx 4- с) [(л - 1) bn^xn~2 4-... 4- kb^-14-... 4-	4-

4- (2ax 4- b) (b^x"-14-.. • + bkxk +... 4- bn) 4- 2a.
Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, полу-
чим следующую систему п +1 линейных уравнений с п + 1 неиз-
вестными bQ, blt , bn-!,..а:

2а0 = 2cbi + bb0 + 2а,

2а.! = 2ЬЬ± + 4сЬ2 -ф 2ab0 -ф bblt

2ak = 2 (k — 1) abk-! -ф 2kbbk -ф 2 (k -ф 1) cbk+i + 2abk-! -\-bbk’	(25.21)

2йл-1 = 2 (ti — 2) dbn-z + 2 (n — 1) bbn-! -ф 2abn_2 4- bbn-i,
2an = 2 (n - 1) abn-! -ф 2ab„_x.

Из последнего уравнения сразу находится

Подставляя это выражение в предпоследнее уравнение и замечая,
что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ь„_2 равен
2а (п— 1)#0 найдем значение Ьп-2. Подставляя далее значения
bn-i и Ьп-2 в предыдущее уравнение, найдем значение Ьп-3, и т. д.
Последовательно получим все значения неизвестных bk (k = 0,
1 ..., п— 1). После этого из первого уравнения сразу находится
неизвестное а.

Таким образом, система (25.21) имеет решение при любых
значениях а0, alt ..., ап, поэтому определитель этой системы не
равен нулю и указанное решение единственно.

На практике многочлен Рп_!(х) в формуле (26.16) пишут
с неопределенными коэффициентами, которые находят, решая
систему (25.21). После этого вычисление данного интеграла сво-
дится к вычислению интеграла

Р_____dx___

J V ах2 -ф Ьх + с ’

который в случае, когда подкоренное выражение положительно
на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см.
п. 22.3).

Интегралы вида

Jdx

(x — P)k j^ax2-j-bx-j-с
подстановкой

сводятся к интегралам рассмотренного типа (25.16).
§ 26.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
трансцендентных ФУНКЦИЙ

26.1.	ИНТЕГРАЛЫ ВИДА j R (sinx, cosx)dx

Подстановка

« = tg 2

Tt X Л,

сводит указанный в заглавии интеграл к интегралу от рацио-
нальной дроби. Действительно, имеем

п . х х	п. х

2S1nTcoSy	2tgy	2u

sinx=—2 х--—т = т+^>
cos2 2- + sm2 у 1 + tg2 у

cos3 у — sin3 у	j _ м3	(26.1)

COS X =--------------- = у-;-т ,

, х . . „ х 1+а2
cos3 у + sin2 у

х — 2 arctg и, dx — .2du-2,
поэтому

R (sinx, cosx)dx = 2 ( R	ттгЧ-

J '	' J \1 + «2 1 + «2/ 1 + «2

Таким образом, получился интеграл от рациональной функции.
(* dx

Вычислим указанным методом интеграл \ -j——.—. Используя

1 j —sin X

формулы (26.1), получим:

dx

1 + sin х

о С du	2

' (1 + «)2 ~ ~ г+^

, , , х

!+tg у

Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной
точки зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести
к интегралу от рациональной дроби указанным методом, при
практическом его применении он часто приводит к громоздким
вычислениям; вместе с тем другие методы, в частности подста-
новки вида

w = sinx, u = cos.r, и = tg х,	(26.2)

иногда значительно быстрее позволяют вычислить нужный инте-
грал.

Sdx

—-4Представим его

Г dx Г 1 dx

в ввде \ 7^47= 1	сРазУ видно, что в этом случае

-J vvo Л -I VW Л CUO Л
очень удобна подстановка и = tg х:

= J G+tg2*Mtg*= J (l + w2)dw =

= п+з+C^tgx + ^ + C.

л т-r	С dx	С dx

2.	Представляя интеграл \	------ в виде \	------=

‘	r J sin3 X COS X	J sin3 X COS X

f sin x dx ,

= \ -т-j----, убеждаемся в целесообразности подстановки и —

1 sin X COS X

= cosx. Действительно,

dx

sin3> cos x

d cos x
sin4 x cos x

du	If du2 _________

(J—u2)2u ~ ~ 2 J (1 — u2)2 n2 ~

dv *>

(1 — v)2 v

2 J (l-v)2v uu

If dv 1 f dv

2 J (1—v) v 2 J (1—v)2

1 C dv	1 C dv

2 J c	2jl — v

_ 1Д Oz^+£dy_l_L

2 J (1 — v)v	21 — v

2 T^v ~ 2 ln ! U I +

4- -1	In I	1 — V I	— -9 y-!------h	C = In I tg X I	— 9-.1 „ - +	C.

'2	1	1	2 1 — у 1 i ь i 2 sin2 x 1

Конечно, интегралы, рассмотренные в примерах 1 и 2, могут
быть вычислены и с помощью подстановки (26.1), например,

С dx __________ 1 С (1-j-«2)3rfu.

J sin3 х cos х	4 J u:i (1 — и2) ’

однако, при таком способе пришлось бы интегрировать более
сложную рациональную дробь, чем в результате применения
подстановки и = cos х.

3.	Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное выра-
жение которых содержит sinx и cosx, бывает полезно прибегать
и к другим искусственным приемам, используя известные триго-
нометрические формулы, как, например, формулу sin2x4-cos2x =
= 1. Покажем на рассмотренном только что примере способ при-
менения этой формулы:

С dx	С sin2 х + cos2 х	. С dx	,	С cos х dx

1 . о	= I  ;—q--------dX = I  .   4- I —;—4 

J sin3 х cos х	J sin3x.cosx J	sinx cosx	1	J sinJx

__ C d tgx . C d sin x _ C du . C du *’ __
J tg x *” J sin3 x ' w v3 ~

= In I w 1 — 4 + C = In I tg x [ — x-4—ь c.

11	2 v2 1	1 ь 1	2 sin2 x

Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что
и выше.

*’ Здесь сделана подстановка v — u2.
26.2.	ИНТЕГРАЛЫ ВИДА J sinmx Winxdx

Пусть tn и /г —рациональные числа. Интеграл j sinmxcos”xdx
с помощью подстановок и = sinx или и — cosх сводится к инте-
гралу от дифференциального бинома.

Действительно, полагая, например, n = sinx, получим
cosx = (l — u2)1/2, du — cosxdx, dx = (l — иг)~1,г du,
и потому
n — 1

$ sinmxcos"xdx = $ um (1 — u2) 2 du.

Таким образом, интеграл $sinmxcosmxdx выражается или нет
через элементарные функции в зависимости от того, обладает
этим свойством или нет получающийся интеграл от дифферен-
циального бинома.

В случае когда тип целые (не обязательно положительные)
числа, интеграл $ sinmxcosmxdx относится к типу интегралов,
рассмотренных в предыдущем пункте, в частности, для их вычис-
ления целесообразно применять подстановки (26.2).

Например, если /и = 2£4~1 (соответственно п = 26 4* 1) — нечет-
ное число, то можно сделать подстановку и = cos х (соответст-
венно и = sinx):

§ sin?*+1xcosraxdx =— § (1 — cos2 x)ft cos” xd cos x =

= — (1 — u2)kundu.

Рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной
дроби.

Аналогичный результат можно получить и для интеграла
$ sinmxcos2*+1xdx с помощью подстановки и — sinx.

Если /п = 2й4-1, и = 2/4-Г, то .бывает полезной подстановка
t — cos 2х:

sin2*+1 х cos2'+1 х dx = sin2ft x cos2' x sin x cos x dx =

(' /1 — cos 2x\k /1 4-cos 2x\i /	1 , o \

=	) (-~2dcos2xj =

т. e. снова получился интеграл от рациональной дроби.

Если оба показателя т и п положительны и четны (или один
из них ноль), то целесообразно применять формулы

. ,	1 — cos 2х	,	1 4- cos 2х

Sin2 X =------, COS2 X = —2—,
которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл К инте-
гралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными
показателями. Например,

С о j	С 1 + cos 2х ,	х , sin 2х , „

I cos2 х ах = i-g— ах = % Ф----4—I- С-

26.3.	ИНТЕГРАЛЫ ВИДА j si пах cosPxdx

Указанные в заглавии пункта интегралы непосредственно
вычисляются, если в них подынтегральные функции преобразо-
вать согласно формулам

sin ах cos рх =-*-[sin (аф- Р)хф-зш(а — Р)х],

sin ах sin [Jx = y [cos (а — Р)х — cos (аф- Р)х],

cos ах cos Рх = y [cos (а + Р)х Ф~ cos (а — р) х].

Например,

§ sin 2х cos х dx =	§ (sin Зх ф- sin х) dx =

— —cos Зх — cos х ф- С.
О

26.4.	ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ,
ВЫЧИСЛЯЮЩИЕСЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

К числу интегралов, указанных в заглавии этого пункта,
относятся, например, интегралы

§ еах cos Рх dx, § еах sin рх dx, § xn cos ах dx, $ хя sin ах dx, $ хпе?х dx,
$хя arcsinxdx, § хп arccosх dx, § хп arctgх dx, § хп arcctgхdx,
JхяInxdx (и —целое неотрицательное).

Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря,
повторного интегрирования по частям.

Действительно, имеем:

о 1	(*	, sin Рх еах sin Рх	а С  о ,

еах cos Рх dx = \ еах d —- = —„—"---4 е sin Рх dx =

J р	р р J

еах sin рх а С av, / cospx\_
“ Р ’₽ ' е \ Р J

eaxsinRx r/.e“A'cos Рх и2 f	R ,

= —р—— Ф--------рт-к--J еах cos Рх dx =

е“х (Р sin Рх-ф а cos Рх) а2,.

—	р	02
откуда

. __еах (Р sin Р% + и cos Рх)

Аналогично вычисляется и интеграл ^e^sin fixdx.

В интегралах §x"cosaxdx, jjx4 sinaxdx, ^xneaxdx, положив
и=хп и соответственно du = cos ах dx, du — sin ах dx, dv = eax dx,
после интегрирования по частям снова придем к интегралу одного
из указанных видов, но уже с меньшим на единицу показателем
степени. Применяя этот прием п раз, придем к интегралу рас-
сматриваемого типа с и=0, который, очевидно, сразу берется.
Например,

х2 sin хdx = x2d (— cosx) = — x2 cosx + 2 x cosxdx —

= — x2 cosx + 2 § xdsinx =— x2 cosx-|-2xsinx —

— 2 § sinxdx = — x2 cosx+2x sinx-|-2 cosx -f-C.

Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычислять
и более сложные интегралы. Вычислим, например, интеграл

$ ХП^лх cos dx.

Интегрируя по частям и применяя (26.3), имеем:

С „ пг о , С „ j Ге“ (В sm 6х + <х cos 6х)1

I хяе“* cos Вх dx = \ xnd —=

J	J L а2 + р2 J

„ „ „ В sin 6х + а cos Вх . мВ С „ i • о j

= х е х L---а2^В2~" " ~ J Х 6 smf>xdx-

-----гГ йр ? х"-1^* cos рх dx.
а + В J	г

Полученные в правой части интегралы — того же типа, что и
исходный, только степень у х на единицу меньше. Применяя
последовательно указанный прие.м, мы придем к интегралам вида

§ еах sin Рх dx и § eax cos рх dx,

которые были рассмотрены выше.

Наконец, интегралы

J хп arcsin х dx, $ xn arccos dx, j xn arctg x dx,

xn arcctg x dx и § xn In x dx
сводятся интегрированием по частям к интегралу от алгебраиче-
ской функции, если в них положить du = xndx, а за функцию и
взять оставшуюся трансцендентную функцию, т. е. одну из функ-
ций: arcsinх, arccosх, arctgх, arcctg х, 1пх. Например,

Ci j Ci j x2 x2lnx 1 C J x2lnx x3 , r,
I x In x dx = \lnxdy = —g----g- \ xdx — —-----4 + £•
2/65. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА j /?(shx, ch x)dx

Подстановка

и = th

сводит интеграл § R (sh х, chx)dx к интегралу от рациональной
дроби.

Действительно, при указанной замене переменной имеем

поэтому

, 2u ,	1+«2 j 2du

shx —ТТГП2’ chx —	1-«2 ’

f R(shx, chx)dx = 2 (flUiL 1±4Л

J '	' J \ 1 — u2 1 — u2 j 1 — u2

В конкретных примерах иногда оказывается значительно удоб-
нее использовать .подстановки вида и = sh х, и = ch х или и = th х,
позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср. п. 26.1).

Интегралы вида

j shm х ch" х dx,

где m и /г —рациональные числа, с помощью подстановок v = sh х
(w = chx) приводятся к интегралу от дифференциального бинома
(ср. п. 26.2).

26.6.	ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Мы рассмотрели различные классы элементарных функций и
нашли их первообразные, которые также являются элементарными
функциями. Однако не всякая элементарная функция имеет
в качестве своей первообразной элементарную же функцию.
С подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотре-
нии интеграла от дифференциального бинома: в этом случае
подынтегральная функция— элементарная (иррациональная),
а интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.

Можно показать, что интегралы

С ех , С sin х . С cos х ,
\ — dx, । ——dx, \ —— dx
J хп ’ J хп ’ J хп

(л —натуральное число) также не выражаются через элементар-
ные функции.

Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выра-
жающихся через элементарные функции и играющих большую
роль как в самом математическом анализе, так и в. его разно-
образных приложениях. К таким интегралам относится, напри-
мер, интеграл

§e~*!dx,

а также так называемые эллиптические интегралы
R (х, VP (х)) dx,

где Р (х)—многочлен третьей или четвертой степени. В общем
случае эти интегралы не выражаются через элементарные функ-
ции. Особенно часто встречаются интегралы

(*	dx	С х2 dx	п	,

\	.. —. И 1 -у	—,	0 < k < 1,

J У(1-х2)(1-62х2) J V (1 — %2) (1 —/г3А'2)

которые подстановкой x = sin<p приводятся к линейным комби-
нациям интегралов

С ... d(f = и С У 1 — Sin2фdtp;

J )1 —k2 sin2 <р J

они называются соответственно эллиптическими интегралами пер-
вого и второго рода в форме Лежандра*'.

У пр ажнения. Вычислить интегралы.

1.	j | х j dx.

2.	j (2x — 5)2 dx.

3.	sin2 x dx.

4.	$ ^2x2-3x+~ jdx.
n .arccosx

5.	\ l dx.

J V 1-X2

6.	j x2 у 2x3 — 1 dx.

7	f dx

J cosx’

8.	$ ctg x dx.

9.	j xe~-v dx.

10.	j In x dx.

11.	arctgx dx.

12.	$ x2 In xdx.

13.	JKxM^dx.

14.	j p'x2 — 1 dx.

15	C________.

J (x+D(x + 2)(x-3)

Г x4 +1	,

16.	\ "t:---m—гттг “x.

J X2(X—l)(x+D

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

P 2x5 + x2 + 5x+1

J (x2 + 3) (x2-x+ 1) dX‘
c dx

J (1 -x) (i +x-’)-
0 4xa — 8x ,
J ix-l)2(x2+l)2 dX'
f x7 dx

J x™ + Г

f dx

J x2(x2+l)2’

J x±Kf+jgdx.

J x(l+j/x)

C dx

J У(2+х) (2-x)5 

f 1-УЛ1+х+х2^

J xVl-J-x+x2 

j ух (1 — x2) dx.

f ^2+ 1) dx

J V—x2+3x —2'

P	x3 dx

J (x-l)2Vx2+2x + 4‘

j sin3 x cos8 x dx.

V sin4 x dx.

*’ А. Лежандр (1752—1833)—французский математик.
С sin2 х ,

30-	J

31.	f

J COS X Sin2 X

С dx

32,	J 2 +cosx’

33.	$ sin Зх cos 5х dx.

34.	j arccos2 x dx.

35.	( x2 arcsin2 x dx.

36.	C dx

J sh x — 2 ch x
37. j x3 In3 x dx.
38. j xex sin x dx.

39	. J
(l+x2)v

40	€ dx____________.

J sin4x-(-cos4x

§ 27.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

27.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО РИМАНУ

Напомним (см. п. 16.5), что разбиением т отрезка [а, &] назы-
вается любая конечная система его точек х,-, 1 = 0, 1, 2, ..., k,
такая, что

а = х0 <<... <Xfe-i <Zxk = b.

При этом пишется т = {х;}‘>£. Каждый из отрезков [х2-1, хг],
i=l, 2, ..., k, называется отрезком разбиения т, его длина
обозначается через Дх„ Дхг = х2 —	i= 1, 2, ..., k.

Величину

бх = шах Дх{-

1=1, 2..k

назовем мелкостью разбиения т.

Разбиение т' отрезка [а, Ь] называется следующим за разбие-
нием г (или продолжающим разбиение т) того же отрезка,
а также вписанным в разбиение г, если каждая точка разбие-
ния г является и точкой разбиения г'; иначе говоря, если каж-
дый отрезок разбиения т' содержится в некотором отрезке раз-
биения т (говорят еще, что г'— измельчение разбиения г). В этом
случае пишут г' т, или, что то же, г -^т'.

Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает сле-
дующими свойствами.

1°. Если Ti а Та Нтз, то Ti Нт3.

2°. Для любых Ti и т2 существует такое г, что т£- и и т(-т2.

В самом деле, первое свойство следует просто из того, что
в силу условия т.Д—т2 каждый отрезок разбиения т3 содержится
в некотором отрезке разбиения т2, который в свою очередь, со-
гласно условию т2Н Ti, содержится в каком-то отрезке разбие-
ния тд; таким образом, всякий отрезок разбиения т3 лежит на
определенном отрезке разбиения Ti, а это и означает, что т3Д- тд.

Для доказательства второго свойства разбиений заметим лишь,
что если заданы два разбиения тд и т2, то разбиение т, состоя-
щее из всех точек, входящих как в разбиение Тх, так и в раз-
биение т2) очевидно, будет следовать за и за т2.

Пусть теперь на отрезке [а, Ь] определена функция f и пусть
т = {Х;}< = о — некоторое разбиение этого отрезка,

Дх; — Xi — Xj-x, 1 = 1, 2, . . . , k,

а — мелкость этого разбиения.

Зафиксируем произвольным образом точки & е [х,-х, х<],
i=l, 2, ..., k, и составим сумму

k

и,.... мум.

i = 1

Суммы вида ох (f‘, gx, ..., tk) называются интегральными сум-
мами Римана*'’ функции f (рис. 101). Иногда для краткости мы

будем их обозначать через ат (/),
(Bi> • • , Ik) или даже просто через <гт.
Геометрически в случае, когда функ-
ция f неотрицательна (рис. 101) каж-
дое слагаемое интегральной суммы Ри-
мана <гт равно площади прямоугольни-
ка с основанием длины Дх£ и с высо-
той /(?,). Вся же сумма at равна пло-
щади «ступенчатой фигуры», получаю-
щейся объединением всех указанных
прямоугольников.

Определение 1. Функция f называет-

‘Y

О

1 X

Рис. 101

а

ся интегрируемой (по Риману) на от-

резке [а, Ь], если существует такое число А, что для любой по-
следовательности разбиений отрезка [а, Ь]

т„={4”}коя> /1=1,2,...,

у которой lim 6Тя = 0, и для любого выбора точек
п —> со

х<">], i = l, 2, ..., kn, и = 1, 2, ...,

существует предел последовательности интегральных сумм
lin), , |1Я>) и он равен А:

lim 2 /Шя))Дх|я,= А,	(27.1)

л-о°, = 1

где

Дх^ = хН-х^,;	1 = 1, 2, ..., kp, п = 1, 2.

*’ Б. Риман (1826—1866) —немецкий математик.
При выполнении этих условий число А называется (римановым)-
определенным интегралом функции f на отрезке [а, ft] и обозна-
ъ

чается через *)f(x)dx.
а

b

Выражение $ f (х) dx читается «интеграл от а до b f (х) dx; х на-
а

зывается переменной интегрирования, f — подынтегральной функ-
цией, а — нижним, а Ь — верхним пределом интеграла; отрезок
[а, Ь] называется промежутком интегрирования.

Таким образом,
ь
\f(x)dx = lim ах (f; ^л),
а

где последовательность хп такая, что lim 8Хп = 0.

п —»со

Для краткости записи будем в этом случае просто писать

ь

\f(x)dx = lim
a

Подобно тому как определение предела функции можно сфор-
мулировать двумя эквивалентными способами с помощью преде-
лов последовательностей и с помощью «(е — б)-языка», так и опре-
деление интеграла можно сформулировать иначе.

Определение 2. Число А называется определенным интегралом
функции f на отрезке [a, ft], если для любого е>0 существует
такое б = б(е)>0, что каково бы ни было разбиение т= {%;}< = о
отрезка [a, ft], мелкость которого меньше б: бт <6, и каковы бы
ни были точки е [х,-!, х,], выполняется неравенство

^f(b) ЛХ'-А
t= 1

<8,

где

Дх,- = х, — x,_j,	1 = 1, 2, ..., k.

Упражнение 1. Доказать, что два данных выше определения опре-
деленного интеграла эквивалентны.

Из определения 1 следует, что для неотрицательных функций
ь

определенный интеграл ^f(x)dx является пределом, при бт->0,
а

последовательности площадей соответствующих ступенчатых фигур;
поэтому он, естественно, оказывается связанным с понятием пло-
щади, а именно он равен площади фигуры*» (называемой

*’ Привычный из элементарной геометрии термин «фигура» употребляется
здесь всюду в смысле «плоское множество».
«криволинейной трапецией»), границей которой является график
функции f, отрезок [а, 6] оси х-ов и, быть может, отрезки пря-
мых х — а и х = Ь, ординаты точек которых меняются соответ-
ственно от нуля до f(a) и до f (Ь) (рис. 102). Для того чтобы это
доказать, надо прежде всего уточнить само понятие площади
рассматриваемых фигур. Все это будет сделано ниже, в § 31.

Заметим, что введенное здесь понятие предела интегральных
сумм Римана является новым понятием, не укладывающимся
ни в понятие предела последовательности, ни в понятие предела
функции.

В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие
предела не только для интегральных
других объектов. Поэтому сформули-
руем общее определение предела этого
вида.

Определение 3. Рассмотрим множе-
ство {т} всех разбиений отрезка
[а, &]. Пусть на этом множестве оп-
ределена числовая, вообще говоря, много-
значная функция Ф(т), те?. Будем
говорить, что функция Ф(т) при >-0
имеет предел, равный А, и будем пи-
сать

lim Ф (т) = А,

6х-°	Рис. 102

если для любой последосательности разбиений тл е £, п = 1, 2, ...,
такой, что lim 6Тп = 0, при любом выборе значений Ф(т„) число-
П-+ОЭ

еая последовательность Ф(т„) сходится к числу А, т. е.

lim Ф (т„) = А.

п —►со

Это понятие предела определено с помощью понятия предела
последовательности, поэтому для него оказываются справедливыми
многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам предела
последовательности. С соответствующими примерами мы встре-
тимся в дальнейшем.

Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие
этого предела можно сформулировать на «(е — б)-языке», что пре-
доставляется читателю.

Заметим в заключение, что многозначность функции Ф, о кото-
рой идет речь в определении 3 в случае интегральных сумм
Римана, связана с различным способом выбора течек

& [x,-i, х,], i = l, 2, ..., k.
27.2.	ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Установим прежде всего необходимое условие, которому удов-
летворяют интегрируемые функции —их ограниченность.

Теорема 1. Если функция интегрируема на некотором отрезке,
то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция f не ограничена на
отрезке [а, й] и пусть фиксировано некоторое разбиение х =
= {*>}Со этого отрезка. В силу неограниченности функции f на
всем отрезке [а, Ь] она не ограничена по крайней мере на одном
отрезке разбиения т. Пусть для определенности функция f не
ограничена на отрезке [х0, Xi]- Тогда на этом отрезке сущест-
вует последовательность SV0 е |х0, Xi], п=1, 2, .... такая, что**
limf(^n)) = oo.	(27.2)

Зафиксируем теперь каким-либо образом точки е х,],
i = 2, 3, ..., k. Тогда сумма

k
ЖД
i=%

будет иметь вполне определенное значение. Поэтому в силу (27.2)

lim ox(f; ^га), ?2,...,

Ik) = Ит

п—»со

k

1=2

и, значит, каково бы ни
добрать такой номер п0,
взять точку ёД), то

было число М > 0, всегда можно по-

что если на первом отрезке [х0, xj



Отсюда следует, что суммы стх не могут стремиться ни к какому
конечному пределу при 6Х—<-0.

Действительно, если бы существовал конечный предел limox =

= А, то для любого е>0 нашлось бы такое бе>0, что для
всех разбиений т = {х;};Д отрезка [а, foj мелкости бх<бе при
любом выборе точек е [xz_i, хг], i=l, 2, ..., k, выполнялось
бы неравенство |ох — Д|<е и, следовательно,

I | — | (<Д — Д) -J- Л | | ох — Д|4-|Д|<е+|Д|.

*’ Действительно, в силу неограниченности функции f на отрезке [х0, Xj],
например для любого натурального п — 1, 2.......... существует такая точка

g(in)e[X), xj, что |/(^)|>п. Очевидно, что последовательность и
удовлетворяет условию (27.2).
В нашем случае, т. е. в случае неограниченности функции f,
для любого разбиения т (в том числе и такого, что 6Х < бЁ, если
существовало бы указанное бЁ) при любом фиксированном е>0
можно так выбрать точки gz, что будет выполняться неравенство

|стх|>| А | + е.

Полученное противоречие доказывает теорему. Q

Условие ограниченности функции / будучи необходимым для
ее интегрируемости, не является вместе с тем достаточным. При-
мером, доказывающим это утверждение, может служить так на-
зываемая функция Дирихле (см. п. 4.2)

. . . _( 1, если х рационально,
I 0, если х иррационально.

Рассмотрим ее на отрезке [0, 1]. Она, очевидно, ограни-
чена на нем. Покажем, что она не интегрируема. Зафиксируем
произвольное разбиение т = {х;}гй> отрезка [0, 1]. Если выбрать
точки	%,], i = l, 2, ..., k рациональными, то получим

k	k

ax=W^=l>=i,
i=i	i=i

а если взять |г иррациональными, то

k

i=i

Так как это верно для любого разбиения т, то интегральные
суммы сгх заведомо не стремятся ни к какому пределу при бх->0.

27.3.	ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ ДАРБУ. ВЕРХНИЙ
И НИЖНИЙ ИНТЕГРАЛЫ ДАРБУ

Пусть функция f(x) определена на отрезке [а, Ь], т =	—

некоторое его разбиение и Дхг-=х(- — х^, г = 1, 2, ..., k. Поло-
жим (рис. 103)

Mt= sup f(x), mt== inf f(x), i=l, 2, ..., k,

5г = 5х(/) = 2ЯдХь	(27.3)

fe

St = Sx (f) = 2	(27.4)

1=1

Очевидно, sxsgSx.

Сумма Sx называется верхней, a sx — нижней суммой Дарбу.
Свойства сумм Дарбу

Г. Если функция f ограничена, то при любом разбиении суммы
Sx и sx определены.

В самом деле, в этом случае Mt и tnh i — 1, 2, k ко-

Рис. 104

нечны, и поэтому выражения (27.3)
и (27.4) имеют смысл.

2°. Если т' т, то SX'S^SX
и SX^SX/.

Доказательство. Пусть
т = {т/}£* ит' = {х<}'-3*' — два раз-
биения отрезка [а, 6], таких, что
т т' и. ,

пц = inf f (х), t = l, 2, ..., k,
xi ! < х х,-

m'j — inf f (x), / = 1, 2, ..., k'.

X,_l

Если [x'f-i, x)] cz [x,-. x, Xi], то, оче-
видно,

пц^т'/.	(27.5)

(нижняя грань при уменьшении множества может только увели-
читься).

В силу условия т-^т' каждый отрезок [x,.j, х,] разбиения т
является объединением каких-то отрезков разбиения т'; будем
обозначать эти отрезки через [X(/_i)., х).]. Таким образом, если

Дх. = X. — X. И Дх). = Хц — Х(/_1).,
то (рис. 104)

Дх,- = 2 Дх).

Используя эти обозначения и неравенство (27.5), получим:

k	k	k

St = У, miДх,- = У mt У Дх). = У У т; Дх). <

1=1	1=1 Ц	|=1

k	k'

S У т;-. Дх). = У т'Дх) = sr

/,-	i=i

Мы доказали, что stscsT-.

Аналогично доказывается, что St2=Sx< при т-^т'. Q
Следствие. Для любых двух разбиений и т2 отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство

(27.6)

т. е. любая нижняя сумма Дарбу меньше любой верхней.

Действительно, если даны два разбиения тх и т2 отрезка
[а, 6], то существует разбиение т этого отрезка, такое, что тН

Тх и т F т2 (см. п. 27.1). Применяя свойство 2°, получим

Очевидно, что суммы Римана и Дарбу связаны неравенствами
Sx Их Sx.

Следующее свойство является уточнением этого утверждения.

3°. Если от = о(f'< Bi. • ••, Вл)— какая-либо интегральная сумма
Римана, соответствующая данному разбиению т, то

Sx= inf ох, 5r= sup ot.

Bi.	Bp ,

Доказательство. Пусть т = {х,}‘1=о — разбиение отрезка
[а, £>] и Zi [x,-i, х,], г=1, 2, .... k.

Если заданы какие-либо числовые множества X,-, i = 1, 2, ..., k
и постоянные ог>>0, i = 1, 2, ..., k, то для множества

(	k	)

X = <х : х = У,a,Xi, х,<^Х,, i—\, 2, ..., k\,
1	1=1	J

как легко видеть, справедливы равенства (почему?)
k	k

sup X = У az sup X;, inf X = У ai inf X,.

1=1	1=1

В силу этого имеем:
k	k	k

Sx = У m^ = у inf /(^)Ax,= inf У/(В,)Дх,=

1=1	1=1 Xi	xi-v&i^xi 1=1

1=1, 2.k

= inf oT(/;	..., E*).

xi
t=l,2, ...

Аналогично,
k	k

Sx = у Mi \Xi = У sup f (",•) Axt. =

1=1	i=i xt-

k

= sup у f (ti) Ax.- = sup Ox (/; |1( .... h). □
xi	1=1	xi

1=1,2, ... ,k	»=1,2, ... ,k
k

4°. Sx — sx = У, со,- (/) Дх,-, где со,- (/) — колебание функции f на
1=1

отрезке х,-] (см. п. 19.6), 1 = 1, 2, .... k.

Доказательство. Отметим сначала, что если для двух
данных числовых множеств X и Y положить

Z = {z: г = х — у, х е X, y^Y],

то sup Z = sup X — inf Y (почему?).
Используя это, получим

Mt — mi— sup f(x) — inf f(x) = sup [/(x")~
X^X’^X.
xi-l<x"^xi

-f(x')] = M/), i= 1, 2, ..., k,
поэтому
k	k

sx - sr = S (Mi - ^xt = S (/) ^xi- □

C=1	i=l

Положим теперь

7* = supsx, 7* = infSt.
T	%

I* называется нижним интегралом Дарбу функции f на отрезке
[а, Ь], а /*—ее верхним интегралом.

Из свойств 1° и 2° сумм Дарбу следует, что если функция f
ограничена, то как ее нижний интеграл Дарбу, так и верхний
конечны. В силу следствия из свойства 2° будем иметь также

7 < 7*

(27.7)

27.4.	НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на некотором от-
резке функция была интегрируемой на нем, необходимо и доста-
точно, чтобы

lim (Sx-sx) = 0.
6^0

(27.8)

Условие (27.8) означает (см. определение 3 в п. 27.1), что
для всякого е>0 существует такое б = 6(е)>0, что для любого
разбиения т мелкости 6Х<6 выполняется неравенство

I ^х $х I *-6. В.

(27.9)

Поскольку sx-cSx, то (27.9) равносильно неравенству
*SX Sx 8.
Доказательство необходимости. Пусть ограничен-
ная на отрезке [а, б] функция / интегрируема на нем и пусть
ь

I = ^f(x)dx; тогда Нт<тх = /. Поэтому для любого е>0 сущест-
а	$х“*0

вует такое б = б (е) > 0, что если бх < б, то

|ох —/|<е, или / —е<ох</4-е.

Отсюда при бх<б, согласно свойству 3° сумм Дарбу (см. и.
27.3), получаем неравенство

I — е ' sx -< Sx sg 14- e.

Таким образом, если бх<б, то

О  ' Sx — sx  ' 2е,
а это и означает выполнение условия (27.8).

Доказательство достаточности. Пусть функция /
ограничена и выполняется условие (27.8). Из определения ниж-
него и верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (27.7) имеем
sx^I^I^Sx,	(27.10)

поэтому

0^/*-/#^Sx-sx,

откуда в силу (27.8) следует, что I* — I*—®. Обозначая общее
значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу через I, т. е.
полагая 1 = 1* = !*, из (27.10) получим

sx  /  Sx,
и поэтому

О ' /— sx Sx —sr, 0sgSx — I=scSx — sx.

Отсюда в силу (27.8) вытекает, что

lim (/ —sx) = lim(Sx—/) = 0,
бд,—*0	*0

а значит,
lim sx= limSx = I.	(27.11)

ex-o

Но в силу свойства 3° интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.3)
st=gffxsgSx.	(27.12)

Из (27.11) и (27.12) следует (ср. аналогичные утверждения
в п. 3.3 и 4.7), что

lim cfx = /,
«х-о

а это и означает интегрируемость функции f. □

Следствие 1. Если, функция f интегрируема, то не только ее
интегральные суммы Римана, но и ее суммы Дарбу стремятся
к ее интегралу при стремлении мелкости разбиения к нулю.
Действительно, если функция / интегрируема, то выполняется
условие (27.8), а из него, как мы видели, и следует утвержде-
ние следствия, т. е. равенство (27.11). Д

Следствие 2. Для того чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция f была интггрируемой на этом отрезке, необхо-
димо и достаточно, чтобы
k

lim V а, (/) Дх,- = О,

где со; (/) — колебание функции f на отрезке [х,-!, х;] разбиения
т = |х,},;=о отрезка [а, Ь].

Это следует непосредственно из свойства 4° сумм Дарбу (см.
п. 27.3). □

Задача 19. Доказать, что, для того чтобы функция была интегрируемой
на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной на нем и
чтобы ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадали; при этом общее зна-
чение этих интегралов и является ее интегралом.

27.5.	ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ
И МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 3. Функция, определенная и непрерывная на некотором
отрезке, интегрируема на нем.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6]; тогда, как известно, она ограничена (см. теорему 1 в п.
6.1) и равномерно непрерывна (см. теорему 5 в п. 19.6) на-этом
отрезке. Зафиксируем произвольно е>0. В силу равномерной
непрерывности существует такое 6 >0, что для любых точек
g е [а, Ь] и т] е [а, Ь], удовлетворяющих условию |т] —1|<6,
выполняется неравенство

1/(л)-/а)1<-7^-	(27.13)

Возьмем какое-либо разбиение т = {х,-};=1 мелкости бт<6.
Пусть, как всегда, Дх; = х,- — хг_ъ m,- = inf f(x), М/= sup f(x),
[Д г	ГД-Р

i=l, 2, ..., k. Поскольку непрерывная на отрезке функция до-
стигает своей нижней и верхней грани на этом отрезке, то су-
ществуют такие точки е [х,--!, хг] и	х,-], что

f(^-) = m;, /(пг) = Л4;.

Точки и rj,- принадлежат одному и тому же отрезку разбие-
ния т, поэтому

I Pi ~ I <	< бт < б.

Отсюда, в силу (27.13), вытекает неравенство

нп/)-шчж)-Ш1<гдг> 2,.... k.
Следовательно, для любого разбиения т мелкости 6t < б вы-
полняется условие

О  ST — st —
k	k	k

= 2 (M; - m;) Ах,-= J [/Ob)-/(&)]	2 Дх‘,==8-

i= 1	i=l	i=l

Это означает, что lim (Sx — sx) — 0. Поэтому, согласно теореме 2,

функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Q]

Теорема 4. Функция, определенная и монотонная на отрезке
[а, Ь], интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция f(x) монотонна на от-
резке [а, 6], например, монотонно возрастает на нем. Тогда

/(а)-с/(х)	(&),	a^x-^b.

Таким образом, функция / ограничена на отрезке [а, б].
Далее, для любого разбиения r = {Xi}iZo отрезка [а, 6], очевидно,
имеем

m;=/(x,_i),	М,=/(х,),	1 — 1, 2, ..., k,

поэтому
k

Sx(f)-sx(f) = ^М.-т^Ьх^
i = l
k	k

= S [Ж)-Ж-1)]Л*г^6т£ [f (x,)-/(x^)] = [f(b) — f (a)] 6X.
i=l	(=1

k

ибо в сумме 2 [/(х() — / (x,-i)] взаимно уничтожаются все сла-
«=1

гаемые, кроме / (Ь) и / (а).

Из полученного неравенства следует, что

lim [Sx(/)— $х (/)]== 0.

Поэтому (см. п. 27.4) функция / интегрируема на отрезке [а, б]. Д

Упражнение 2. Доказать, что если функция ограничена и непрерывна
на некотором отрезке, кроме, быть может, конечного числа точек, то она
интегрируема на этом отрезке.

Задача 20. Доказать, что, для того чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция была интегрируемой на нем, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого е > 0 существовала конечная или счетная система интервалов,
которые содержали бы все точки разрыва заданной функции и сумма длин
которых была бы меньше заданного е.

15 Кудрявцев Л. Д. т. 1
§ 28.	СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

28.1.	СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Будем систематически, не делая специальных ссылок, упот-
реблять обозначения и терминологию, введенную в предыдущем
параграфе.

Прежде всего заметим, что поскольку интеграл от функции
является числом, сопоставляемым заданной функции согласно
данному выше определению, то само собой разумеется, что это
число не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтег-
ральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования'.

а	а	а

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств опреде-
ленного интеграла.
ь

1°. ^dx = b — а.
а

Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице,
поэтому для любой интегральной суммы Римана оу имеем

ь

ot = 2 Ах,- = b — а. Д
i= 1

2°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], то она
интегрируема на любом отрезке [а*, Ь*], содержащемся в [а, Ь].

Доказательство. Прежде всего, если функция f огра-
ничена на отрезке [а, 6], то она, очевидно, ограничена и на
[а*, &*]. Далее, каково бы ни было разбиение т* =	от-

резка [а*, 6*] мелкости бх*, его всегда можно продолжить в раз-
биение т = {хф‘=о отрезка [а, Ь] такой же мелкости 6Т = <5Т*; для
этого достаточно добавить к точкам х*, г=1, 2, ..., k* конечное
число соответствующим образом выбранных точек, принадлежа-
щих отрезку [а, 6], но не принадлежащих отрезку [а*, Ь*\.

Полагая

= inf /(х),	Л4*= sup f(x),

Дх* = х* — х*_ 1, i — 1, 2, ..., k*,

k

и замечая, что каждое слагаемое суммы (М* —т*)Лх* явля-

k

ется и слагаемым суммы ^(Mt — пц) и что все слагаемые
1= 1
обеих сумм неотрицательны, имеем

k*	k

О < St. — sT* = У, (М* — m*) Дх*  У (Mi — m,) Дхг = ST— sT.

1 = 1	1 = 1

(28.1)

Цели функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то, как мы
знаем (см. п. 27.4),

lim (St-st) = 0.	(28.2)

Поскольку 6т —S*, то из (28.2) и из неравенства (28.1) сле-
дует, что

lim (ST*—St*) = 0,	(28.3)

6-р* —> о

т. е. (см. п. 27.4) функция f интегрируема на отрезке [a*, b*]. Q
3°. Пусть a<Zc<Zb. Если функция f интегрируема на отрезках
[а, с] и [с, &], то она интегрируема и на отрезке [а, &], причем

Ь	с	Ь

§/(х) dx = §/(х) dx + §/(х) dx.	(28.4)

а	а	с

Доказательство. Если функция f интегрируема на [а, с]
и [с, &], то она ограничена на каждом из этих отрезков, а зна-
чит и на всем отрезке [а, &], т. е. существует постоянная А > 0
такая, что

| f (х) |  A, а^х-^:Ь.	(28.5)

Пусть т —некоторое разбиение отрезка [а, />]. Если точка с
не входит в разбиение т, то обозначим через т' разбиение отрезка
[а, Ь], получающееся из т до-
бавлением точки с; очевидно, ,—

т' т. (28.6)	3	4 х

Если же точка с входит в	Рис- 105

разбиение т, то положим т' = т.

В первом случае обозначим через М и Д" длины двух отрез-
ков разбиения т', примыкающих к точке с с двух сторон. Оче-
видно, что Д = Д' + Д" является длиной отрезка разбиения т,
содержащего точку с (рис. 105). Верхние суммы Дарбу ST и ST-
функции f на отрезке [а, Ь] отличаются только слагаемыми, соот-
ветствующими отрезкам разбиения тит', которые содержат
точку с.

Обозначая через Mr, М" и М верхнюю грань функции |f| на
рассматриваемых отрезках, длины которых обозначены соответст-
15*
венно Д', Д" и Д, получим (см. также (28.5))

О < ST - ST. s' ЛТД' + М"Д" + МД < А (Д' + Д" + Д) = 2АД	2Лбт.

Во втором случае, т. е. при т'=т просто 8г = 8г, sX' = sx.

Поэтому в обоих случаях

lim (ST- Sx-) = 0	(28.7)

бг^°

и аналогично,

lim (st — sT') =0.	(28.8)

\-о

Совокупность точек разбиения т', принадлежащих отрезку
[о, с], образует его разбиение, которое обозначим т'[а, с]; сово-
купность же точек разбиения т', принадлежащих отрезку [с, Ь],
образует разбиение этого отрезка, которое обозначим через т' [с, &].

Очевидно,

Sx' = Sx' [а, с] + SX' [с, &],	Sx'— Sx'[a, с] И-Sx'[c, 6],	(28.9)

а поэтому

Sx' — Sx' = (Sx'[a, с] Sx'[a, с]) -ф (Sx'[x, b] Sx'[c, 6]),	(28.10)

и так как функция f, по предположению, интегрируема на [а, с]
и на [с, &], то

lim (Sx'[a,t?i	Sx' [а, с]) — 0,	lim (Sx'^,6] Sx*-[r, ь]) =0.

Замечая, что 6T-[a,	6Х', бТ'[с, &] бх'> находим в силу (28.10)

lim (Sx' Sx') = lim (SX'[a,c]	$х'[а, с]) A* Iim(Sx-[C, ь] Sx'[c, ь]) = 0.

бх'-*^	$x'“*0	6x'~*0

(28.11)

Мы видели выше, что выполнение подобного условия для лю-
бых разбиений т влечет за собой интегрируемость функции. Здесь
же рассматриваемые разбиения т' имеют специальный вид: они
обязательно содержат точку с. Для того чтобы перейти к произ-
вольному разбиению т, представим разность ST — st-b виде

Sx — Sx = (Sx — Sx-) + (Sx- — Si')4* (sx- — Sx).

Теперь из (28.7), (28.8) и (28.11) имеем

lim (ST —s’x) = 0;	(28.12)

eT->o

и, так как т было произвольным разбиением отрезка [о, &], то из
ограниченности функции f на отрезке [а, 6] и выполнения усло-
вия (28.12) следует ее интегрируемость на этом отрезке.
Из интегрируемости функции f на отрезках [а, с], [с, 6] и
[а, Ь] следует (см. п. 27.4), что

с	b

lim Sv[a, c] = \f(x)dx, lim Sr[c, 6] = \f(x)dx,
а	®т'[с, 6]~*°	c

b

lim Sx> = \f (x) dx.

Поэтому, переходя к пределу при 6т-->0 в первом равенстве
(28.9), получаем формулу (28.4). Q

4°. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, 6], то
их сумма f-\-g также интегрируема на нем, причем

b	ь	ъ

И (*) + g (*)] dx = $ f (х) dx + g (x) dx.	(28.13)

a	a	a

Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были раз-
биение т = {х,-}Йо отрезка [а, 6] и точки |ге[х(-1, х,], г=1, 2,...
..., k, имеем

k

ox(/+g)=	=

i = l
k	k

= 2/а;)Дхг+ 2g(^)Axz=<TT(/)+aT(g).	(28.14)

i — 1	i— 1

Поскольку в силу интегрируемости функций fug существуют
пределы интегральных сумм сгт(/) и aT(g) при 6Т ->0, то из (28.14)
следует, что существует и предел (почему?) интегральной суммы
ot(/ + g), причем

lim ax(f + g) = lim at(/) + lim <rT(g),	(28.15)

6T^0	6T —0	6T^0

что и означает интегрируемость функции f+g на отрезке [а, Ь].
Согласно же определению интеграла,

ь

1 im <гт (/ + g) = [/ (х) + g (х)] dx,
а
b	b

lim <yx(f) = \f(x)dx, lim ox (g) = g (x) dx.

a	6x^0	a

Подставляя эти выражения в формулу (28.15), получим
(28.13). □

5°. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь] и с —
постоянная', тогда функция cf также интегрируема на этом от-
резке и
ь	ь

cf (х) dx = с \ f (х) dx.
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение т =
=	* отрезка [а, и точки g4 (=[х.-i, xj, г = 1, 2, kt

имеем
k	k

<Тт (cf) = ^cf (gz) \Xi = С У f (gf) hX; = CGX (/),
i= 1	t= 1

отсюда, проводя рассуждения по той же схеме, как и при дока-
зательстве предыдущего свойства, получим

ь	ь

( cf (х) dx= lim сгт (cf) = lim сох (f) = с lim <Jx(f) = c\f (x) dx. [J

J	6^0	6t_0	-a

Из последних двух свойств вытекает следствие: если каждая
из функций ft, i=l, ..., п, интегрируема на отрезке [а, &],
п

а Хг — произвольные постоянные, то функция У, Л,(Д — интегри-
i—- 1

руема на [а, &], причем
b п	п	b

$ У, 4i (X) dx= У $ fi (х) dx.
a i—\	i= 1	а

Это свойство определенного интеграла называется его линейностью.

6°. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь].
Тогда и их произведение f(x)g(x) интегрируемо на нем.

Доказательство. В силу интегрируемости функций fug
на отрезке [п, Ь] они ограничены на этом отрезке, т. е. сущест-
вуют постоянные А > 0 и В > 0, такие, что

(28.16)
для всех хе [а, &]. Поэтому произведение f(x)g(x) также огра-
ничено: для всех точек х е [а, &] выполняется неравенство

\f(x)g(x)\^AB.

Пусть т= {х,}‘= о — какое-либо разбиение отрезка [а, 6]. Оце-
ним выражение f(x")g(x”) — f(x')g(x'); для этого добавим и
вычтем из него f(x')g(x"):

f (X") g (х") -f(x')g (x') = [/ (x") - f (X')] g (x") + [£ (x") - g (X')] f (xl).

(28.17)

Для точек x'efx,-!, x,] и x"e[x,_i, хг] из (28.16) и (28.17) сле-
дует, что

I f (X") g (x”) - f (x') g (xr) I < (/) + Л<о; (g),	(28.18)

где co; (/) и <of (§) суть колебания функций f и g на отрезках
[X;-i, Xi], i = 1, 2, ..., k.

Из неравенства (28.18) для колебания ti>i(fg) произведения fg
на отрезке [х(_!, х(] вытекает оценка

(fg) «С (/) ф- Л®, (g).
Отсюда

k	k	k

У (fg) bxt 2 co,- (f) bXi + A^ co,- (g) &Xi.

1=1	1 = 1	i = l

(28.20)

В силу интегрируемости функций f и g (см. следствие 2 из
теоремы 2 в п. 27.4)

k	k

lim У со, (f) Ьх, = lim У со,- (g) \xt == 0.

<4-°c=i	t-=i

Поэтому из оценки (28.20) следует равенство

k

lim У <Pi(fg)\Xi =0,
бГ-° 1= 1

которое и влечет за собой интегрируемость произведения fg на
отрезке [а, &]. Q

Методом математической индукции легко доказать, что если
каждая из функций ft(x), i = l, ..., п, интегрируема на отрезке
[а, &], то и их произведение интегрируемо на [а, &]. В частности,
вместе с функцией f(x) интегрируема и [/(%)]" при любом нату-

ральном п.

7°. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] и ниж-
няя грань функции |/(х)| на [я, 6] положительна, то и 1/f (х)
интегрируема на [сг, &].

Доказательство. Если всюду на [а, /?]: \f (х) \~2»т^>0,

для всех х [а, 61; поэтому , / . —

I I (Х2> I W

sg 11	1. ПрИ любых Х2 е [а> £,]. Отсюда следует, что

если т = {х,}‘ = 1 произвольное разбиение отрезка [а, /?], то

-^2 со» (/), следовательно

0<lim У со,Ш Дх,-< -^-lim У со, (/)	= 0. □

Следствие. Если функции fug интегрируемы на отрезке [я, &]
и нижняя грань функции !§[ положительна, то и f/g интегри-
руема на [я, &].

Это вытекает, в силу свойств 6° и 7°, из того, что — = f х
8°. Если функция f неотрицательна и интегрируема на отрезке
[а, 6], то

ъ

\f(x)dx^O.	(28.21)

а

Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были раз-
биение т =	1 отрезка [а, 6] и точки e[xt-i, х,], i = 1, 2, ..., k

для функции /2э0 имеем

k

<тД/)= Ц	(28.22)

1=1

Если функция / интегрируема на отрезке [а, &], то, переходя
к пределу в (28.22) при 6т->0, получим неравенство (28.21). Q
Следствие. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а,
и для всех х е [а, 6]

f(x)^g(x)>	(28.23)

то
b	ь

\ f (х) dx~^\g(x) dx.	(28.24)

а	а

Если интегрируемые функции fug удовлетворяют неравен-
ству (28.23), то

f(x) — g (х)	0, хе [а, &];

поэтому, замечая, что на основании следствия из свойств 4° и 5°
функция f — g интегрируема, в силу неравенства (28.21) имеем
ъ

$|/(х)-£(4Мх2гО.

Но (см. выше указанное следствие)

и, значит,

ь	ь	ъ

5 [/(*)-g(*)]dx = \f(x)dx-\g(x) dx
а	а	а

Ъ	Ъ

*yf (х) dx — \g (х) dx 0. □
а	а

Доказанное следствие утверждает, что обе части неравенства
вида (28.23) можно интегрировать по одному и тому же проме-
жутку. (В связи с этим заметим, что дифференцирование обеих
частей неравенства без специальных дополнительных предполо-
жений недопустимо).
9°. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь]. Если
она неотрицательна на нем: f (х)^0, х е [а, Ь], и существует
точка х0 е [а, 6], в которой функция f непрерывна и положи-
тельна: f (х0) > 0, то
ь

5 f (х) dx > О.
а

Доказательство. Согласно лемме п. 19.3 существует такое
6>0, что /(х)^-Ц^- для всех x^U(xa,	Ь]. Пусть

[а, 0] с: U (х0, 8) ("] [а, &], а< 0; тогда
b	ь

J f (х) dx^s J f (х) dx	(0 — а) > 0. Q

а	а

Отметим, что если отказаться от условия непрерывности функ-
ции f в точке х0, то может случиться, что для интегрируемой неотри-
цательной на отрезке функции, положительной в некоторой точке,
интеграл по всему отрезку равен нулю. Так, например, функция
0 при 0<хс1,
1 при	х = 0

1

интегрируема и неотрицательна, f (0) 0, но \j(x')dx = 0. Это
о

равенство легко следует из определения интеграла.

10°. Нами было введено понятие определенного интеграла
ъ

^f(x)dx от функции f по отрезку [а, 6], где, согласно принятым
а

обозначениям, a<Zb.

Для любой функции f, определенной в точке а, положим, по
определению,
а

\f(x)dx = O,	(28.25)

а

а для функции f, интегрируемой на отрезке [а,

а	Ь

\f(x)dx =— ^f(x)dx, a<Zb.	(28.26)

b	a

Эти определения в известной мере естественны. В первом слу-
чае, т. е. при а~-=Ь, следует считать, что все промежутки раз-
биения отрезка [а, 6] становятся точками, а их длины Дх, равны
k

нулю. Поэтому все интегральные суммы У, f (£,) Дх, в этом слу-
i— 1

чае также равны нулю, а вместе с ними обращается в ноль и
интеграл, стоящий в левой части (28.25).
Во втором случае следует считать отрезки х,] разбиения
т = {х,-}/ = о отрезка [а, Ь] ориентированными в отрицательном
направлении оси Ох (понятие ориентированного отрезка знакомо
читателю из аналитической геометрии), и поэтому их длины Дхг
отрицательными. Отсюда следует, что все интегральные суммы,
а

образуемые для интеграла ^f(x)dx отличаются лишь знаком от
ь

ь

соответствующих интегральных сумм интеграла f (х) dx, что и
а

делает естественной формулу (28.26).

Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и
строгую логическую форму, введя соответствующие определения,
однако гораздо проще и короче ввести равенства (28.25) и (28.26)
по определению.

11°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, /?], то и
функция |/| интегрируема на нем и

ь

f (х) dx

а

b

•С'j । / (х) | dx, о<Ь.
а

(28.27)

Действительно, во-первых, из ограниченности функции f, оче-
видно, следует и ограниченность функции |f|, а во-вторых, для
любых двух точек £ е [а, 6] и т| е [а, 6] имеет место неравенство



откуда следует, что, каково бы ни было разбиение r = {x/}/Zo
отрезка [а, Ь], обозначая через со,- (/’) и со,- (| /1) соответственно
колебания функций f и |/| на отрезке [Х/_х, хг], получим

®г(7|)^<оД/); г = 1, 2,

поэтому

k	k

1=1	/=1.

Отсюда следует, что если

k

lim У (f) &Xt = 0, то и

С= 1

lim У coz ([ f [) Дх/ = 0.

1

Это означает (см. п. 27.4,) что из интегрируемости функции
следует интегрируемость функции |/|.

Пусть теперь £/ е[X/-i, xj, i=l, 2, ..., k; тогда

k

I = 1



k

< 2 |/ОАхг=<Тг(|/|).

i = 1
Переходя в этом неравенстве к пределу при 8t->0 и заме-
чая, что
ь	ь

lim | <\ (/) | = I lim at (f) 1 = j f (x) dx , lim at (| f |) = f (x) | dx,
«т-O	|e^o I >a	J

получим неравенство (28.27). [J

Если отказаться от ограничения т. е. допускать слу-
чаи а = Ь и а>Ь, то аналог неравенства (28.27), имеет вид

ь

$ / (х) dx
а

b

$ ] f (х) J dx

а

(28.28)

В самом деле, пусть a<Zb. Поскольку (см. свойство 8°)

b	ь

§ | f (х) | dx = j | f (x) I dx,
a	a

то неравенство (28.28) совпадает в этом случае с неравенством
(28.27). Если же а>Ь, то, используя свойство (28.26) и нера-
венство (28.27), получим

$f(x)dx
а

51 / (х) I dx
а

Наконец, при а = Ь неравенство (28.28) очевидно.

28.2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА,

Теорема 1. Пусть

1)	функции fug интегрируемы на отрезке [п, Ь];

2)	m-С f (х)-С Л4, хе[я, (?];	(28.29)

3)	функция g не меняет знака на отрезке [а, (?], т. е. либо
неотрицательна, либо неположительна на нем’, тогда существует
такое число ц, что

т^р^М	(28.30)

и
ъ	ь

<\f(x)g(x)dx = p,'\ig(x)dx.	(28.31)

а	а

Следствие. При дополнительном предположении непрерывности
функции f на отрезке [а, Ь] существует такая точка g на интер-
вале (а, Ь), что
ь	ь

\f(x)g (х) dx=f(&\g (х) dx.	(28.32)

а	а
В частности, при g(x)=,l на [а, Ь]:

ь

y(x)dx = f(^) (b-a).
а

(28.33)

Последняя формула в случае неотрицательной на отрезке [а, 6]
функции f имеет простой геометрический смысл: площадь криво-
линейной трапеции, порожденной графиком функции /, равна

Рис. 106

площади прямоугольника с основа-
нием длины b — а и высотой длины
/(g) (рис. 106)

Доказательство теоремы.
Умножая неравенство (28.29) на g(x),
получаем при g(x)^Q

mg (х) ^f(x)g (х) < Mg (х),

а при g (х) ' 0

mg (х) ^f(x)g (х) Mg (х).

Интегрируя эти неравенства будем иметь, на основании следствия
из свойства 8° (п. 28.1),
ь	ь	ь

m^gfx) dx^;\f (х)g(x) dx^M^g(x) dx, (28.34)
a	a	a

соответственно,
b	b	b

m J g (x) dx 2= $ / (x) g (x) dx 2* M g (x) dx. (28.35)
a	a	a

b

Если §g(x)dx = 0, то как в первом, так и во втором случаях
а
b

\f(x)g(x)dx = 0.
а
b

Таким образом, если ^g(x)dx = 0, то обе части равенства
а

(28.31) при любом и. обращаются в ноль, т. е. при выполнении
ь

условия Jg(x)dx = O равенство (28.31) справедливо при любом
а

выборе числа ц, в частности и при гп-СщСЛ!.
ь

Если же $g(x) dx=£0, то при g (х) 2^0, хе[й, Ь], имеем
а
b	b

\g(x) dx>0, a npHg(x) <0, х^\а, b], соответственно, Jg(x)dx<0.
«	а
28.2. Первая теорема о среднем значении для интеграла 461

ь

Деля неравенство (28.34) и (28.35) на интеграл ^g(x) dx, получим
а

в обоих случаях одно и то же неравенство

ь

р (х) g (х) dx

m =< 4L_-------М.	(28.36)

$ g (х) dx
а

Полагая

ь

(х) g (X) dx

,	(28.37)

j g (х) dx
а

убеждаемся, что при таком выборе р выполняются как условие
(28.30) (в силу (28.36)), так и (28.31) (в силу (28.37)). [J

ь

Доказательство следствия. Если \g(x) dx — О, то
а
b

в силу равенства (28.31) получим ^f(x)g(x)dx = 0 и, следова-
а

тельно, формула (28.32) справедлива при любом выборе точки
Е е (а, Ь). В дальнейшем для простоты будем считать, что g(x) >;0,
х^[а, 6] (случай g(x)^0, х^[а, 6], рассматривается анало-
гично или сводится к предыдущему заменой функции g(x) на
функцию — g(x)).

ь

Пусть теперь g (х) dx #= 0; тогда в силу неотрицательности
а

функции g(x) выполняется неравенство

ь

\g(x)dx>0.	(28.38)

а

В дальнейшем будем считать, что m = inf f(x), М= sup f(x).
[а, &]	[а, b]

Это предположение допустимо, так как при таком выборе т и М
выполняется условие (28.29). В формуле (28.31) согласно условию
(28.30) возможны три случая: т<р<Л4, р = /И и ц = т.

Если т<р<Л4, то согласно теореме о достижении непре-
рывной на отрезке функции своих наибольшего и наименьшего
значений (см. теорему 1 в п. 6.1) существуют такие точки а е [а, Ь]
и	&], что /(а) = т, )(Р) = Л4. Поэтому в силу теоремы

о промежуточных значениях непрерывной функции (см. теорему 2
и следствие 2 из нее в п. 6.2) на интервале с концами аир
найдется такая точка что f ($•) = р. Очевидно, £ е (а, Ь) (рис. 107).
Если ц = Л4 (случай ц = т рассматривается аналогично), то
равенство (28.31) принимает вид

ь	ь

(X) g(x) dx = M\g(x) dx,
a	a

откуда

b

\[M-f(x)]g(x)dx = Q.	(28.39)

a

Покажем, что существует такая точка £ е (а, Ь), что f (g) = М.
Предварительно заметим, что

Ь	6 — 8

\g(x)dx = lim g(x)dx.

а	е ->4- о а_|_е

(28.40)

В самом деле, функция g(x) интегрируема на отрезке [а, Ь],

а поэтому и ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная
А > 0, что для всех х е [а, 6] выполняется
р	неравенство |g(x)|sC А. Отсюда имеем

Рис. 107

b	6 — 8	а 4- 8

\g(x)dx- jj g(x)dx = $ g(x)dxA-

а	а + 8	а

b	а 4-е

+ 5 g(x)dx < j |g(x)|dx +
6 —e	a

b	a 4- e	b

4- § \g(x)\dx^A § dx + A § dx
b — 8	a	b — z

— 2 Ar, 0	— a.

Из этого неравенства сразу следует (28.40).

В силу неравенства (28.38) из (28.40) вытекает существование
такого е0, 0 <4 е0 < Ъ — а> что

Ь — е0

g (х) dx > 0.
а -£ 8о

Если бы не существовало точки £ е (а, Ь), в которой f (|) = М,
то непрерывная функция М — /(£) была бы положительной на
интервале (а, Ь), а, следовательно, и на отрезке [а + е0, Ь — е0].
В частности, она была бы положительной и в той точке х0,
в которой она принимает свое наименьшее значение

Л4 — /(х)2= min [М — f (х)] = М — f (х0) > 0.
[а + Е„, Ь — е0]
Поэтому

5[М-f (х)]g(х) dx^
а

2s [Л4-/(x)]g(x) dx2s[M — f (х0)] $ g(x)dx>0,
д 4“ во	fi 4~

а это противоречит равенству (28.39). Q

Следствие теоремы 1 обычно называется интегральной теоремой
о среднем. Это название объясняется тем, что в нем утверждается
существование некоторой точки на отрезке — «средней точки»,
обладающей определенным свойством, связанным с интегралом от
функции.

Формулы (28.31) и (28.32) остаются очевидным образом вер-
ными и при a 2s b.

28.3	. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЙ

Обобщим теперь теорему 3 предыдущего параграфа об интег-
рируемости непрерывных функций на так называемые кусочно-
непрерывные функции.

Определение 1. Функция f, определенная на отрезке [а, Ь],
называется кусочно-непрерывной на нем, если существует такое
разбиение т= {х;'‘--о этого отрезка, что функция f непрерывна
на каждом интервале (х;_х, х,) и
существуют конечные пределы
/(х;_14-0)= lim f(x) и
х4-О
f(Xi — 0) = lim f (x), i = 1, 2 ..., k.
x~^xi “0

Короче, функция кусочно-непрерыв-
на на отрезке, если она имеет на
нем только конечное число точек
разрыва и притом только первого
рода (рис. 108).

Лемма 1. Пусть функции f и ср определены на отрезке [а, 6]
и f(x) — (p(x) на интервале (а, Ь). Тогда если функция f интег-
рируема на [а, &], то и функция ср интегрируема на [а, Ь] и
b	ь

ср (х) dx = f (х) dx.
а	а

Иначе говоря, изменение значений функции на концах отрезка не
влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла,
если функция интегрируема. Аналогичное утверждение, конечно,
справедливо при изменении значений функции в любом конечном
числе точек.

Доказательство леммы. Функция f интегрируема и,
следовательно, ограничена: \f(x)\^M, для всех х^[а, 6]. Пусть
Л10 = тах{Л1, ф(п), Рассмотрим какое-либо разбиение т =
— {xt}!•=о отрезка [а, 6] и составим интегральные суммы Римана
стт(/) и сгт(ф), выбирая одни и те же -точки	х(]. Пусть,

как всегда, &х{ = х, — x,-i, i = l, 2, ..., k. Поскольку

| f (gx) Дхг | < M06t, | f (gft) ДхА I	M06t,

|ф(В1) Axij<Al06t и |ф(В*) AxA|<A406t,
то

lim /(gx) Дхх = lim /(?й)ДхА= lim ф(£х)Дхх = lim ф (£й) Axft = 0.

et-o	et-o	eT-o	6x-o

Поэтому

k	fe-1

lim цт(ф)= lim £ ф(£х)Дх; = lim jj ф(£,-)Дх; =

«t-о	6t-o(=i	6t-oz = 2

= lim 2 f (£,•) \Xi = lim 2 f di) &Xi = \f (x) dx.

b	b

Следовательно, интеграл ^ф(х)с1х существует и равен ^f(x)dx. Q
а	а

Упражнение 1. Доказать, что изменение значения функции в конеч-
ном числе точек не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение
интеграла, если он существует.

Теорема 2. Функция, f, кусочно-непрерывная на отрезке [а, Ь],
интегрируема на нем.

Доказательство. Пусть функция f кусочно-непрерывна на
отрезке [а, 6] и т = {хДгДо — его разбиение, указанное в опреде-
лении 1. Положим

ft (х) =

f(x)

m-o)

при
при
при

X = х,-ъ

X = Xi.

<Xi,

На каждом из отрезков [х{-1г х;] функция отличается от
непрерывной функции быть может, только на концах этого
отрезка. Следовательно, по лемме, функция f интегрируема на
fXi-i, Х(] и

xi

/ (х) dx = § fi (х) dx, i = 1, 2, ..., k.
Применяя свойство 3° интегралов, получим, что функция f
интегрируема на отрезке [а, &] и что

b	k xi

$f(x)dx=2 ft(x)dx. □

a	xii xi-i

(28.41)

Замечание. Bn. 44.5 будет доказано более общее доста-
точное условие интегрируемости (см. теорему 10 в п. 44.5 и
замечание 2 в п. 44.7), из которого в частности следует, что
всякая ограниченная на отрезке функция, непрерывная на нем
всюду, кроме конечного числа точек, интегрируема. Тем самым
условие наличия у функции f только конечного числа точек раз-
рыва первого рода не является существенным в теореме 2:
они могут быть и второгорода — утверждение теоремы оста-
ется верным.

28.4	*. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ГЁЛЬДЕРА*1
И МИНКОВСКОГО **»

Пусть функции f и g определены и интегрируемы на отрезке
[а, 6], 1	+ а число q определяется равенством

j + |=l	(28.42)

(см. (20.49), (20.51) и (20.52)). Тогда имеем:

ь

$\f(x)g(x)\dx^

а

(неравенство Гёльдера)

f(x)4-g(x)|pdx

7?	11/р

jj I f (х) |р dx

-а

|g(x);p dx

(28.44)

(неравенство Минковского).

Докажем эти неравенства. Введем для

краткости обозначения

II Лр

р

= jl/W pdx
а

\!р	р	1 \/q

L(3	J

(28.45)

В неравенстве (20.53)

.__а? . bi п п

ab-^-------, a 5s 0, b5z0,

p'q	’

*’ О. Л. Гёль дер (1859—1937) — немецкий математик.

**’ Г. Минковский (1864—1906) —родился в России, .работал в Швей-
царии и Германии.
ПОЛОЖИМ

а= ШХ	х<=[а, 6].

l./llp	llg Ik?	L > J

Тогда для любого х е [а, (?]

I / w । । g w । х । f <хУ\р । 1 । g (х) I?

Шр	Р ||/1£ q

Проинтегрировав это неравенство по отрезку [а, Я и использо-
вав (28.45) и (28.42), найдем

ь

а
b	b

Поэтому

$ I/(x)g(х) I dx^Wfyg^,
а

т. е. неравенство (28.44) доказано.

Докажем неравенство (28.44). Легко убедиться в справедли-
вости неравенства

$ I f (*) + g (х) lp dx = | f (х) + g (*) 11 f(x) + g (х) К'1 dx
а	а

SI Ж ! I f (х) + g(x)ip-1dx + ^g(x)ll f (х) + g (х) Ip-X dx.
а	а

Применив к каждому из полученных интегралов неравенство
Гельдера и заметив, что q(p—\) = p (см. (28.42)), получим:

ь

а

а

г&

jj|/(x)|pdx

La

1/р р

К !/(*) + £ (X) |?(р-1) dx

(-a

1/<7

1/?

 1/р р

	$lf(x)+g(x) p^dx

La

7,	1/<7

$1/(х)+£(х) \pdx .(28.46)
а

Если левая часть этого неравенства равна нулю, то неравенство
(28.44) очевидно справедливо, если же она не равна нулю, то,
сократив обе части неравенства (28.46) на множитель
ГЬ	] 1/?

$|/(x) + gf(x) \pdx	, в силу соотношения (28.42), получим нера-

венство Минковского. □
Отметим важный частный случай неравенства Гёльдера. При
р = q = 2 имеем

Ъ	ГЬ	' гь

$ I f (*) g (*) I dx < 1/ $|f(x)|dxl/ $|g(x))dx.	(28.47)

a	* a	• a

(неравенство Коши).

§ 29.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ
ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

29.1.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, /?]. Тогда
она интегрируема и на любом отрезке [а, х], где а-гехгеЬ,
X

т. е. для любого хе [а, /?] имеет смысл интеграл ^f^dt.
а

Рассмотрим функцию
X

F(x) = \f(t)dt.	(29.1)

а

Эта функция F определена на отрезке [а, 6] и называется
интегралом с переменным верхним пределом. Установим ее основ-
ные свойства.

Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6],
то функция (29.1) непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть
из формулы (29.1) следует, что

хЦ- Ах

F(x + Ax) =	f(t)dt =

а

х	х *}- Дх

^]f(t)dt+ $ f(t)dt = F(x) +

а	х

х-\~ Дх
+ $ f(t)dt,

X

поэтому (рис. 109)

AF = F(x + Ax)-F(x) =

x-j- Дх

5 f(t)dt. (29.2)

X

Поскольку функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], она

ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная
Л1>0, что |/(х)|еСЛ4 для всех хе[й, &]. Применяя это нера-
венство для оценки выражения | АЛ j, получим (см. п. 28.1):

) AF | —

х +- Дх

5 f (О М

х 4- Дх

Mdt

] Ах].



Отсюда следует, что lim AF = 0 для любого хе [а, 6], а это

Дл-*0

означает непрерывность функции F в каждой точке х е [а, Ь]. 0

29.2.	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ИНТЕГРАЛА
ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
У НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 2. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6] и
X

непрерывна в точке хое[а, 6], то функция F (х) = §/ (О dt диф-
а

ференцируема в точке х0 и

F' (%о) = f (х0).

Доказательство. Покажем, что

lim =

Дх—*0 аХ

где AF = F(x0 +Ах) —F(x0), х0-|-Дхе[я, &]. Для этого оценим
ДЕ г, ч

модуль разности —/(Хо).

Заметив, что

Хо + Дх

х0 4-Д х

1	С

Дх	J

Хо

следовательно /(х0) —

AF

Дх

J f (Хо) dt, будем иметь

Хо

f (хо) | ==

Хо4" Дх

J /И*
-------------/<*•)

1

~~ Дх

и

Хо4-Д*
f(f)dt — j f(xe)di
Хо

Дх

Хо + Дх

ДАЛ

Хо

1

\f(t)-f(x0)\dt

(29.3)

Пусть задано е > 0. В силу непрерывности функции f в точке х0
существует такое 6 = 6 (е), что если | х — х0 ] < 6 и х е [а, Ь], то

|/(х) —/(Хо)|<е.	(29.4)
Выберем Дх так, что | Дх | <6. Тогда для значений t на отрезке,
по которому ведется интегрирование, будем иметь 11 — х01
«С | Дх | < 6 и, следовательно, из неравенств (29.3) и (29.4),

получим

xQ -f- Дх

а это означает, что lim пг- = /(х0).

Дх — 0

В случае, когда точка х0 совпадает с одним из концов отрезка
[а, /?], под F' (х0) следует подразумевать соответствующую одно-
стороннюю производную функции F (х). Q

Теперь можно решить вопрос о существовании первообразной
для произвольной непрерывной функции.

Теорема 3. Если функция интегрируема на отрезке и непре-
рывна в его внутренних точках, то на этом отрезке существует
ее первообразная.

Следствие. Непрерывная на отрезке функция имеет первооб-

разную.

Доказательство. Если функция f интегрируема на
отрезке [а, 6] и непрерывна на интервале (а, Ь), то согласно тео-
ремам 1 и 2 ее первообразной на отрезке [а, 6] является, напри-
мер, функция

F (х) = f (/) dt, аЩх<Ь.

а

В самом деле, во всех внутренних точках х отрезка [а, /?] т. е.
в точках интервала {а, Ь), согласно теореме 2 функция F диф-
ференцируема и F' (x) = f (х), а на концах отрезка [а, 6] согласно
теореме 1 функция F непрерывна. Это и означает (см. определе-
ние 1 в п. 22.1), что F является первообразной для f на [п, Ь]. Q

Покажем справедливость следствия: если функция непрерывна
на некотором отрезке, то она, согласно теореме 3 п. 27.5, интег-
рируема на нем и, следовательно, удовлетворяет условиям дока-
занной теоремы. □

Таким образом, операция интегрирования с переменным верх-
ним пределом, примененная к непрерывной функции, приводит
к первообразной функции, т. е. является операцией, обратной
дифференцированию

X

-^-X^f(t)dt = f(x), а-щх^щЬ.	(29.5)

а

Это утверждение (называемое формулой дифференцирования
определенного интеграла по верхнему пределу) является основопо-
лагающим для дифференциального и интегрального исчисления.
Из него следует, в частности, что любая первообразная функции
f(x), непрерывной на отрезке [я, Ь], имеет вид

§ f (t) dt + С, a-^x-^b.
а

х
Действительно, согласно доказанному функция F (х) = $ f (0 dt
а
является первообразной для функции /(х), а всякая другая ее
первообразная может отличаться от F (х) лишь на постоянную
(см. п. 22.1). Таким образом установлена связь между неопреде-
ленным и определенным интегралами в виде

$/(x)dx = J/(0^ + C.
а

Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирова-
ния с переменным верхним пределом приводит к «улучшению»
или «сглаживанию» свойств функции: интегрируемая функция
переходит в непрерывную, а непрерывная — в дифференцируемую.

Заметим, что операция дифференцирования в определенном
смысле «ухудшает» свойства функции: например, призводная
непрерывной функции, если она существует, может быть уже
разрывной функцией.

Из формулы дифференцирования по верхнему пределу (29.5)
можно легко получить и формулу дифференцирования по нижне-
му пределу. Пусть функция f интегрируема на отрезке [п, 6]. Тогда
на этом отрезке определена и функция

ь

G (x) = \f (t) dt, a^x^b,
X
причем из тождества

Ъ	х	b

\f(t)dt^f(t)dt-Y\ftt)dt
а	а	х

имеем
ь

G (x) — ^f (t)dt — F (х).	(29.6)

а

Если функция f непрерывна в точке х е [а, &], то, как дока-
зано выше, функция F дифференцируема в этой точке. Из фор-
мулы (29.6) следует, что в этом случае функция G (х) в точке х
также дифференцируема и

dG (х) _ dF (х)
dx ~ dx ’
Таким образом,
ъ

f(t)dt = — f(x).

X
Замечание. Из формул дифференцирования интеграла от
непрерывной функции по верхнему (нижнему) пределу интегри-
рования следует также, что всякая функция, непрерывная на
некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет на нем
первообразную. Действительно, пусть например, функция f непре-
рывна на интервале (а, Ь). Выберем произвольную точку
е (а, Ь) и положим

Д(х)=

Хо

Тогда для всех хе (а, Ь) справедливо равенство F'(x)=f(x),
т. е. F (х) является первообразной функции f(x) на интервале
(а, Ь).

Упражнение. Пусть функция f (х) непрерывна, а ф (х) и ф (х)— диф-
ференцируемы всюду в R. Доказать следующие обобщения формулы (29.5):

<Р (X)	<Р (X)

— $ /(0Л=/(ф(х))<р'(х);	—	((/)Л=/(ф(х))ф'(х)—/(ф (х))ф'(х).

а	Ч> (х)

29.3.	ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА

Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления).
Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, 6]. Если функция Ф
является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то

ь

У(х)Фх = Ф(Ь)-Ф(а).	(29.7)

а

Эта формула называется формулой Ньютона —Лейбница*').

X

Доказательство. Положим F (х) — § f (f) dt. Согласно до-
а

казательству следствия из теоремы 3 и. 29.2 функцйя F является
первообразной для функции f на отрезке [а, /5]. Таким образом F
и Ф —две первообразные одной и той же функции f на отрезке
[а, 6], поэтому

F (х) = Ф (х) + С, а-^х-<~Ъ,
где С —некоторая определенная постоянная, т. е.

^(/)с1/ = Ф(х) + С, а^х^Ь.
а

♦> И. Ньютон (1643 —1727) —английский физик, механик, астроном и
математик.
При х = а отсюда следует, что С = — Ф(а), следовательно,

$И9Л = Ф(х)-Ф(й).
а

Полагая здесь х — Ь, получим формулу (25.7). Д

Для краткости записи часто употребляется обозначение

Ф(х)|а = Ф(й)-Ф(а),
или

[ф ф (Ь) - Ф (а).

Если в приведенном доказательстве теоремы 4 вместо след-
ствия из теоремы 3 использовать саму эту теорему, то получится
доказательство более общего утверждения. Сформулируем его
также в виде теоремы.

Теорема 4*. Пусть функция f интегрируема на отрезке [й, &]
и непрерывна в его внутренних точках. Если функция Ф является
какой-либо ее первообразной на этом отрезке, то

ь

У (х) dx = Ф (Ь) — Ф (й).
а

Отметим еще, что формула Ньютона — Лейбница (29.7) спра-
ведлива и для а>Ь. Действительно, если а и b поменять местами,
то обе части равенства (29.7) изменят знак.

Замечание. Можно показать, что условие интегрируемости
функции на отрезке при условии ее непрерывности во внутрен-
них его точках равносильно ограниченности функции на этом
отрезке. Это непосредственно следует из ограниченности интегри-
руемой функции и замечания в конце п. 28.3.

Примеры. 1. Найдем §x2dx. Известно, что
о
1

f ,, X3 ~	о >	X3]1	1

\xadx=C(+C, поэтому \x2dx=Q\ =
J'	V	о о О

О
л

2. Найдем ^sinxdx. Имеем
о

Л

§ sinxdx =— cos х|^ =— cos л + cos 0 = 2.
о

Теорема 4* может быть усилена за счет отказа от выполне-
ния условия F'(x) = /(x) в конечном числе точек. Точнее, спра-
ведливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть f — интегрируемая, a F — непрерывная
на отрезке [а, Ь] функции и пусть всюду на [а, Ь], кроме конеч-
ного множества точек, справедливо равенство F' (х) — f (х). Тогда
справедлива и формула Ньютона —Лейбница

ь

\f(x)dx = F(b) — F(a).	(29.8)

а

Доказательство. Обозначим через alt ат точки
конечного множества, в которых не выполняется равенство
F' (х) = f (х), ау^[а, Ь], j = 1, ..., т, и рассмотрим какое-либо
разбиение t={x,-};Zo отрезка [а, Ь], содержащее все точки alt ...
..., ат. Тогда на каждом отрезке [х;-х, х,] функция F непрерывна,
а внутри него она имеет производную F'(x) = f(x). Поэтому
к функции F на указанном отрезке можно применить формулу
конечных приращений (теорему Лагранжа о среднем значении):

F (х,-) - F (хг_х) = F' (£,-) Дх,- = f (£,-) Дх,-,	(29.9)

где Дх,= хг —Xj-x, ^е(х,-_х, х,-), i = 1, ..., k.

Суммируя получившиеся равенства от 1 до k и замечая, что

k

2 F (х,-) - F (х„) = F (xk) - F (х0) = F (b) - F (а),
i= 1

получим

k

F(b)-F(a)=£	(29.10)

i= 1

В правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана
функции f.

Пусть теперь т = т„, га=1, 2, ... —последовательность разбие-
ний, содержащих точки alt ат, для которой 8Хп->0 при
п->оо. Переходя к пределу при п->оо в (29.10) и замечая, что
левая часть этого равенства постоянна й равна F(b)—F (а), а пра-
вая в силу интегрируемости функции / (см. теорему 3 в п. 28.3)
ь

стремится к интегралу $/(x)dx получим формулу (29.8). Q
а

В случае, когда функция f кусочно-непрерывна, нетрудно до-
казать, что всегда, существует функция F, удовлетворяющая
условиям теоремы 5. Для этого надо взять разбиение т = {x,-}J-=o
отрезка [а, &], состоящее из точек а, b и точек разрыва функ-
ции f. На каждом отрезке [х,--х, х,-] существует первообразная F,
функции f (теорема 3). При любых постоянных Сг функции Л+Сг
также будут первообразными для f на [х,--х, xj. Выбрав одну
из постоянных Ci произвольно, остальные можно последовательно
выбрать так, что в результате получится непрерывная на отрезке
[а, Ь] функция F, для которой F'(x)=/(x), х#=х;, 1=0,1, ... , k.
Функция F, удовлетворяющая условиям теоремы 5, т. е. не-
прерывная на отрезке [а, Ь] и такая, что для всех его точек,
кроме конечного множества, выполняется условие F' (x) = f (х),
также называется первообразной функцией функции f. Это неко-
торое обобщение определения-1 и. 22.1.

§ 30. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

30.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 1. Пусть

1)	функция f(x) непрерывна на интервале (а, Ь)‘,

2)	функция ф (t) определена и непрерывна вместе со своей про-
изводной (/) на интервале (а, 0), причем для всех £ е (а, 0)

выполняется неравенство

а<Ф (/)<&• Тогда, еслиаое(а, 0),
₽о е (а, Р), <2о = <р(°'-о). &о = ф(₽о),
то



₽о

jj f (х) dx = J f [ср (/)] ф' (0 dt.

Оо

а,

(30.1)

Эта формула называется фор-
мулой замены переменной в опре-
деленном интеграле или формулой
интегрирования подстановкой.

Доказательство. Прежде
всего заметим, что, по усло-
вию, функция f заведомо опреде-
лена на множестве значений функ-
ции <р (рис. ПО), поэтому имеет
смысл сложная функция /[ф(/)].

сделанных предположений подынтегральные функции
частях формулы (30.1) непрерывны, поэтому оба инте-
этой формуле существуют.

В силу
в обеих
грала в

Пусть Ф (х) — какая-либо первообразная функция f (х) на интер-
вале (а, Ь). Тогда для точек t интервала (а, 0) имеет смысл
сложная функция Ф [<р (/)], которая является первообразной для
функции /[ф(01 фл (0- По формуле Ньютона — Лейбница (см. п. 29.3),
ъ0

\ f(x)dx = <D (Ьо) - Ф (я0),
во
00

$ f [ф (./)] ф' (0 dt = Ф [ф (0О)] - Ф [ф («о)] = Ф (&0) - Ф (я0).

ССо

Из этих равенств и следует формула (30-1). □
Как видно из доказательства, формула (30.1) справедлива
как при ао=^₽о, так и при ао>₽о-

Интересно отметить, что некоторые значения функции ф (/)
могут и не принадлежать отрезку [а0, Ьо], по которому происхо-
дит интегрирование (см. рис. НО) в левой части равенства (30.1).

Если воспользоваться формулой для односторонних производ-
ных сложной функции (см. замечание 2 в п. 9.7), то формулу
(30.1) можно доказать для случая, когда функция / задана на
отрезке [а, Ь], функция ф(£) — на отрезке [а, 0] и множество

значений функции <р содержится в отрезке [a, t>], причем а = ф(а),

й = ф(0) (рис. 111). В этом случае

формула замены переменной может
быть применена ко всему отрезку

[а, Ь]:

ь

3

§ f (х) dx = § / [ф (/)] q>' (t) dt. (30.2)

а

а

При употреблении символа опре-
деленного интеграла мы всегда пи-
сали под знаком интеграла выра-
жение f(x)dx, где х — независи-
мая переменная. При этом, когда давалось определение опре-
деленного интеграла, не предполагалось, что f (х) dx является
дифференциалом какой-либо функции. Затем (см. п. 29.2) было
показано, что, по крайней мере, для непрерывной функции f
выражение f(x')dx всегда является дифференциалом некоторой
функции F (х): dF (х) = f (х) dx. Поэтому естественно считать, что

ь

в этом случае записи jj dF (х) и

а

ь

f (х) dx равнозначны, т. е.

а

ь ь

J dF (х) = J / (х) dx.
а	а

Будем вообще допускать под знаком определенного интеграла
любую запись дифференциала, т. е. положим, по определению,
для дифференцируемой функции g(x):

ь	ъ

\f(x)dg(x) = \f(x)g' (x)dx
а	а

(если, конечно, интеграл, стоящий в правой части равенства, су-
ществует). С помощью этого обозначения, например, формула
(30.2) примет вид

ь	р

$/(x)dx = 5/[(P (0№ (0-

а	а
Таким образом, при замене переменного x = y(t) в определен-
ъ

ном интеграле \f(x)dx следует всюду формально заменить х на
а

<р (/) и соответственным образом изменить пределы интегрирования.

Обратим внимание на то, что при применении формулы (30.1)
(соответственно формулы (30.2)) ее, подобно случаю неопределен-
ного интеграла, можно использовать как слева направо, так и
справа налево. Однако в отличие от неопределенного интеграла,
где мы в конце вычисления должны были возвращаться к пер-
воначальной переменной интегрирования, здесь этого делать
не нужно, так как наша цель найти число, которое в силу дока-
занных формул равно значению каждого из рассматриваемых
интегралов.

2

Примеры. 1. Вычислим интеграл ^e^xdx. Применив фор-
fl

мулу (30.1) справа налево (здесь роль переменной t играет х),
получим

2	2	4

$ ех2хdx— % ех2 dx2 = у j еу dy = еуГ = —$-*•
ООО

In 2	_____

2. Пусть требуется вычислить интеграл	У ех — 1 dx. Попы-

fl	____

таемся упростить подынтегральное выражение, положив Уех — 1 =
= t. Иначе говоря, сделаем замену переменного х = In (1 ~М2);
тогда dx — ^^p и, поскольку при	имеем 0^х^1п2,

то применив формулу (30.1) слева направо, получим

In 2	1	1

( Г^<ь=2(1^ = 2$(1--гО<и =

о	6	о

= 2[f-arctg^ = ЦЛ

Упражнение 1. Доказать, что если функция / непрерывна на [а, Ь]
и для всех t <= [0, b — a] f (a-\-f)=f (b — t), то

ь	ь

xf (х) dx = —j' f (x) dx.

a	a

30.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Теорема 2. .Если функции и = и(х) и v = v (х) непрерывны
вместе со своими производными на отрезке [а, Ь], то

ь	ь

и dv = [uv}^ du.	(30.3)

а	а
Эта формула называется формулой интегрирования по частям,
для определенного интеграла.

Доказательство. Имеем:

ь	ь	ь	ь

§ (uv)' dx = 5 (uv' + u'v) dx = § и dv + § v du.
a	a	a	a

(30.4)

Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции
непрерывны. Но согласно формуле Ньютона — Лейбница

ь

$ (uv)' dx = [uv]b.
а

(30.5)

Сравнив формулы (30.4) и (30.5), получим равенство

ь	ь

(udu-j-^v du = [uv]b,
а	а

откуда и следует формула (30.3). [2]

Теорема 2 легко обобщается на случай так называемых ку-
сочно-непрерывно дифференцируемых функций. Определим эти
функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, Ь], существует
такое разбиение t = {x,-}JZo отрезка [а, ft], что f(x) непрерывна
на каждом интервале (x,-_i, х,) и существуют конечные пределы
/(хг_1 + 0), f(xi — 0), i = l, 2, ..., k. (Следовательно, функция f
кусочно-непрерывна на отрезке [a, ft], см. определение 1 в п. 28.3).
Введем, как и выше (см. доказательство теоремы 2 в п. 28.3),
функции

f(x),

Л(х)= /(х.-1 + О),
f(Xi-Q),

если

если

если

Xt-x < X < Х{.

X — Xi-X'

х = х.

Определение 1. Если каждая функция ft(x), г=1, 2, ..., k,
(непрерывно) дифференцируема на отрезке х,], то функ-
ция f (x) называется кусочно (непрерывно) дифференцируемой на
отрезке [a, ft].

Теорема 2'. Пусть функции и(х) uv (х) непрерывны и кусочно-
непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, ft]; тогда для них
справедлива формула (30.3) интегрирования по частям.

Доказательство теоремы 2 остается в силе и в этом случае.
Действительно, произведение uv — непрерывно, а его производная
(uv)' = uv' + u'v — кусочно-непрерывна. Поэтому согласно теореме 5
п. 29.2 к интегралу, стоящему в левой части (30.5), можно также
применить формулу Ньютона — Лейбница. Q
2

Примеры. 1. Найдем значение интеграла jjlnxdx. Приме-

1
ним формулу интегрирования по частям:

2	2

рп х dx = х In х |i — $ dx — 2 In 2 — 1.
i	i

2. Покажем, что для любого п = 0, 1, 2, ...

Л/2	Л/2	—~р!! у при п четном ,

In= § sinnxdx= 5 cos" xdx =	(30.7)

о	о	'л!!	ПРИ п нечетном-

Заметим прежде всего, что равенство интегралов, входящих
в (30.7), легко установить с помощью замены переменного х
= n/2 — t. Далее, проинтегрировав по частям, получим:

Л/2	п/2

In= $ sin”xdx== jj sin"-1xd(—cosx) =
о	о

л/2

= — sinn"1xcosx]JE/24-(^—1) sin"‘2xcos2xdx =
о

Л'2

= (п—1) § sin"'2x(l — sin2x)dx = («—1)7Л_2 —(п—1)7„,
о

отсюда

‘п- —— 1 п-2*

П/2	л/2

Заметим, что 70= j dx = y, Л= j sinxdx =1. Поэтому при
о	о

п = 2k + 1, т. е. нечетном, будем иметь

т _ 2k j	_	2k(2k — 2) ...2	(2ky.\

/2ft+i — 2^+1—•••	(2^+1)(2й-1) ... 1	(2fe+l)!!»

а при n = 2k, т. e. четном —

_2£-l,	_	_ (2£ —1) (2£-*3) ... 1 j	(26 — 1)!! л

'2Й 2k 12k-2	2£(2fe —2) ... 2	/o~ (2&)1! 2 ' LJ

Из формулы (30.7) легко получается так называемая фор-
мула Валлиса**), которая нам понадобится в дальнейшем:

iim _L_ [JMLI2

2 п"со2«+l L(2«-1)!U

(30.8)

*’ Под л!!, n = N, п > 1, подразумевается произведение всех натуральных
чисел, не превосходящих п и обладающих той же четностью, что и число п.

**> Дж. Валлис (1616 —1703) —английский математик,
Докажем ее. Интегрируя неравенство

sin2/!+1 x-Csin2" х -С sin2"-1 х,	О С х -С л/2,

по отрезку [0, л/2] будем иметь

Л/2	Л/2	Л/2

§ sin2'!+1xdxsg; sin2zlxdx-<~ sin2"'1 xdx
0	0	0

(нетрудно показать, что в действительности здесь имеют место
строгие неравенства). В силу (30.7)

(2rt)!!	(2п-1)!1 л (2п-2)!!

(2/г+1)!1^ (2/г)!! 2~^(2п-1)!!’

откуда

def 1 Г (2/г)!! 12	л	1 г (2п)!! 12 def

2n+l[(2n-l)!! J	2	2n L(2n—1)!!J ~ Уп'	{	>

Поскольку в силу этого неравенства

_ 1	1 Г (2n)!! ]2	1 л „

Уп Хп~ 2/г 2/г 4-1 L(2n-1)1! J ^2/1’2 "*°

при н->со, то lim (уп — х„) = 0, т. е. длины отрезков [х„, уп} з л/2
п —>оэ

стремятся к нулю и, следовательно,
limx„ = n/2, lim г/я = л/2.
п-*оо	п->со

Первое из этих равенств, в силу определения хп (см. (30.9)),
и означает справедливость формулы Валлиса. Q

Упражнения. Вычислить определенные интегралы:

2.	(	4-	\x2/l-x'2dx.

2	я/2

„ с ,	,	, ,	_	С / sin х , cos х	\	,

3.	\	х— 1	dx.	5.	\ х —----— 4- ——dx.

J1 1	J (14~cos2x	14-sin3x)

°	о

30.3*. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Лемма 1. Пусть f — непрерывная, a g — возрастающая неотри-
цательная непрерывно дифференцируемая на отрезке, [а, 6] функ-
ция. Тогда существует такая точка £ ен [а, 6], что

ь	ь

^g(x)f(x)dx = g(b)y(x)dx.	(30.10)

а	5

Доказательство. Рассмотрим функцию
ь

FW&^ftfjdt, a^x^b.

(30.11)
Функция F, являясь интегрдлом с переменным нижним пределом
от интегрируемой (даже непрерывной) функции f, непрерывна на
отрезке [а, Ь] и поэтому достигает на нем своего наибольшего и
наименьшего значений. Если

m = minF(x), A4 = maxF(x),	(30.12)

[а. &]	[а. Ь}

то, очевидно,

m<_F (x)-<zM, хе [а, &].	(30.13)

Заметив, что dF(x) =— f(x)dx и проинтегрировав по частям
интеграл, стоящий в левой части равенства (30.10), положим

b	b	ь

\g(x')f (x)dx = — \g(x)dF (x) = g(x)F(x)|£ + $F (x)g' (x) dx =

a	a	a

b

— g (a)-F (a) + ^F (x) g’ (x) dx,	(30.14)

ибо в силу (30.11) F(b) = O.

Вследствие возрастания функции g имеем g’ (xjxsO для всех
хе [а, Ь]. Применив это неравенство, неравенства (30.13) и заме-
тив, что из неотрицательности g на [а, Ь] следует в частности,
что и g(a)gs0, получим оценки

ь	ь

g (d) F (а) + $ F (х) g’ (х) dx Mg (а) + М $ g' (х) dx =
а	а

ь	=Mg(a) + M[g(b)-g(a)] = Mg(b),

g (a) F (а) + $ F (х) g' (х) dx > mg (а) + m [g (b) - g (а)] = mg (b).

a

Таким образом, (см. (30.14)) имеем

ь

mg (b)^\g (х) f (х) dx sg Mg (b).
a

Если g(&) = 0, то из неотрицательности и возрастания функ-
ции g следует, что g(x)=0 на [а, Ь]. В этом случае формула
(30.10) справедлива при любом выборе £ е [а, й].

Если же §(£)> 0, то

ь

m^g^) \g(x)f(x)dx^M-
а

Поскольку непрерывная на отрезке [я, &] функция F прини-
мает на этом отрезке любое значение, лежащее между ее мини-
мальным значением tn и максимальным М (см. (30.12)), то су-
ществует такая точка £ е [а, Ь], что
ь

F(£) = ^j- ^g(x)f(x)dx.
а

В силу условия (30.11) это и есть формула (30.10). Q

Теорема 3 (Бонне ы). Пусть f — непрерывная, a g — монотонная
непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, ft] функция. Тогда
существует такая точка £ е [а, ft], что

Ь	£	ь

j g (х) f (х) dx = g (а) У (х) dx + g (ft) V (x) dx.	(30.15)

а	а	|

Доказательство. Допустим сначала, что функция g воз-
растает на отрезке [a, ft]; тогда функция ft(x)^g(x) —g(a), а-ф
s^x^b, будет неотрицательной возрастающей непрерывно диф-
ференцируемой на отрезке [я, ft] функцией. Поэтому согласно
лемме существует - такое g е [a, ft], что
ь	ь

^h(x)f (х) dx = h (ft) f (x) dx.
a	g

Подставив сюда выражение для h (х), получим

ь	Ь

[g W - g (a)] f W dx = [g (ft) - g (а)] У (x) dx,
a	g

откуда
b	b	b

j g (x) f (x) dx = g (а) У (x) dx - g (a) $ f (x) dx +
a	a	g

b	g	b

+g(b)y(x)dx = g(a)y (x) dx 4- g (ft ) (f (x) dx,
Sag

т. e. получилась формула (30.15).

Если функция g убывает на отрезке [a, ft], то для доказа-
тельства теоремы достаточно применить формулу (30.15) к функ-
ции—g, которая, очевидно, возрастающая.

Отметим, что теорема 2 справедлива и при более слабых
ограниченйях: от функции f достаточно потребовать лишь ее
интегрируемость, а от g —ее монотонность.

30.4.	ИНТЕГРАЛЫ ОТ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Аналогично тому, как были определены интегралы от число-
вых функиий, можно определить и интегралы от вектор-функции,
значения которых принадлежат «-мерному векторному простран-
ству Rn (см. п. 18.4).

*’ О. Бонне (1819—1892)—французский математик.

16 Кудрявцев Л. д. т. 1
Пусть г(/)ен/?л, а	-вектор-функция, т = Д;}-Дг0°—

разбиение отрезка [а, Ь],	<=	/,], А/(- = /г- — t^, I = 1, 2,..., i0,

— мелкость разбиения т. Если при любом указанном выборе
точек существует предел**

lim 2 г(|()А/г-,
вт-0='=1

не зависящий от выбора последовательности разбиений, то он
называется интегралом от функции г (I) по отрезку [а, и
обозначается

ь

§ г (0 dt.
а

При постоянных а и b он представляет собой постоянный век-
тор в R".

Пусть г (t) = (х1(7), ••> xn(t)). Поскольку при сложении век-
торов складываются их координаты, при умножении векторов
на число их координаты умножаются на то же число, а предел
вектор-функции равен вектору, координаты которого являются
пределами ее соответствующих координат, то

$ г (t) dt =	(0 dt, .... \хп(ф)

a	\a	a

В силу этого равенства многие свойства интегралов от число-
вых функций переносятся на интегралы от вектор-функций.
В частности, вектор-функция F(t), определенная на некотором
конечном или бесконечном промежутке Е числовой прямой,
называется первообразной для данной функции г (t) е Rn, опре-
деленной на том же промежутке Е, если во всех его внутренних
точках t имеет место равенство	а на каждом конце

промежутка Е, входящем в Е, функция F непрерывна.

Для вектор-функций справедливо предложение, аналогичное
основной теореме интегрального исчисления (см. теорему 4
п. 29.3):

если вектор-функция r(t) ^Rn интегрируема на отрезке [а, Ь]
и непрерывна в его внутренних точках (в частности, если она
непрерывна на всем отрезке [а, //]), то у нее существует на этом
отрезке первообразная, и для любой ее первообразной F(t), спра-
ведлива формула

ь

J г’ (t) dt = F(b) — F (a)
a

*> Понятие предела в этом случае определяется с помощью предела век-
торной последовательности либо на (е — б)-языке совершенно аналогично слу-
чаю скалярных функций, рассмотренному в п. 27.1, и предоставляется читателю.
называемая, как и в случае скалярных функций, формулой Ньюто-
на-Лейбница.

Справедливость этого утверждения следует из справедливости
формулы Ньютона — Лейбница для всех координат функции г (t).

Замечание. В п. 15.2 была доказана следующая теорема:
если вектор-функция г (t) непрерывна на отрезке [а, &] и диф-
ференцируема внутри него, то существует такая точка £ е (а, Ь),
что

| г (b) - г (a) I I г' (£) \\b-a).

Приведенное в п. 15.2 доказательство этого утверждения имело
несколько искусственный характер — надо было догадаться вос-
пользоваться некоторой вспомогательной функцией. С помощью
понятия интеграла (предполагая непрерывность производной рас-
сматриваемой вектор-функции) доказательство можно провести
более естественным образом.

Пусть вектор-функция r(t)^Rn имеет непрерывную на
отрезке [а, 6] производную. Тогда, применяя формулу Ньютона —
Лейбница, получаем

| г (&) — г (а)! = § г' (t) di -С \ | г' ({) | dt.

В правой части получился интеграл от непрерывной скаляр-
ной функции. Согласно интегральной теореме о среднем (см.
следствие из теоремы 1 в п. 28.2) существует такая точка £ е
е (а, Ь), что

5 |r' (t)\dt = \rr (?)!(&-«);

следовательно,
\r(b)-r(a)\^]r'(%)\(b-a), 1^(а, Ь). □

§ 31.	МЕРА ПЛОСКИХ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

31.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ (ПЛОЩАДИ) ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Рассмотрим плоскость, на которой зафиксирована некоторая
прямоугольная система координат. Обозначим через Т() разбиение
этой плоскости на замкнутые квадраты, получающиеся при про-
ведении всевозможных .прямых х = р, y = q, р = 0, ±1, ±2, ...,
<7 = 0, ±1, ±2, .... Такое разбиение назовем квадрильяжем
плоскости ранга 0, а указанные квадраты — квадратами нулевого
ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ранга на 100
равных квадратов прямыми, параллельными осям координат
(любые две соседние параллельные прямые отстоят друг от друга
на расстояние 1/10). Совокупность получившихся квадратов обо-
значим Т\. Продолжая этот процесс дальше, получаем квад-
рильяжи Тт, т = \, 2, плоскости, состоящие из квадратов,
образовавшихся в результате проведения всевозможных прямых
вида

У=^’ P = Q’ — ±2> •••> ? = °>	±2.

Рис. 112

и, следовательно, со сторонами длины 1/10т,- Квадраты, принад-
лежащие квадрильяжу Тт, будем называть квадратами ранга т,
т — 1, 2, ...

Пусть G — плоское открытое множество. Обозначим через s0 =
~s0(G) совокупность точек всех квадратов нулевого ранга,
лежащих вместе со своей, границей
во множестве G, а через s1=s1(G) —
совокупность точек всех квадратов
первого ранга, лежащих в G вместе
страницей. Вообще через sm~ sm (G)
обозначим совокупность всех квад-
ратов ранга т, лежащих вместе со
своей границей во множестве G,
т = 0, 1, .... Очевидно, что (рис. 112)

s0 cz Si cz ... с sm cz ... cz G. (31.1)

Множества s0, slt ..., sm, ... пред-
ставляют собой «многоугольники»,
составленные из конечного или бес-
конечного числа квадратов соответ-
ствующего ранга. В случае, если sm
состоит из конечного числа квадра-
тов, обозначим площадь многоуголь-

ника sm через пл. sm, если же sm состоит из бесконечного числа
квадратов, положим пл. sm = 4- сю. Если какое-то sm состоит из
бесконечного числа квадратов, то и все следующие sm, т>~т0
также состоят из бесконечного числа квадратов.

Из включений (31.1) в силу соглашения об использовании
символа + оо (см. п. 2.5) следует, что всегда

ПЛ. So ПЛ. Sj '4^ ,,. ПЛ. Sm •

(31.2)

Возможны два случая.

1.	Все пл. sm конечны, тогда (31.2)1 является монотонно воз-
растающей последовательностью, и поэтому она имеет либо конеч-
ный предел, либо стремится к 4-ею. Этот предел в этом случае
и называется площадью, или мерой, открытого множества G и
обозначается mesG*\

*> От французского слова mesure—мера, размер.
2.	Если же существует такой номер т0, что пл. sm„ = + oo,
то пл. sm = + со и для всех номеров т^т0. В этом случае
положим

mes G = + со.

Согласно определению предела последовательности элементов
расширенной числовой прямой /? (см. п. 3.2) последовательность
элементов ап, п=1, 2, ..., принадлежащих расширенному мно-
жеству действительных чисел R, таких, что начиная с некото-
рого номера они все равны 4-оо, имеет своим пределом -фоо:
lim ая== + со. Используя это понятие, оба рассмотренных выше
л —*• со

случая можно объединить в один. Сформулируем окончательное
определение.

Определение 1. Предел lim пл. sm(G) (конечный или бесконеч-
т—^со

ный) называется площадью, или мерой, открытого множества G
и обозначается mes G:

mesG = lim пл. sm(G).	(31.3)

т —*• со

Такое определение меры открытого множества естественно,
так как последовательность множеств sm, т = 0, 1, ..., исчер-

пывает открытое множество, т. е.

(J sm = G,

m— О

иначе говоря, для любой точки Р <^G
существует такой многоугольник sm„
что

Р е Sm„.

Действительно, какова бы ни была

Рис. 113

точка PeG, в силу открытости мно-

жества G существует сферическая окрестность U (Р\ е) сб, е>0.

Заметив
выберем

теперь, что диаметр квадрата ранга т равен j/ 2/Ю"';
т0 так, чтобы

1 е

Ют» р2‘

(31-4)

Для всякой точки плоскости существует по крайней мере
один квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть —
квадрат ранга т0, содержащий точку Р. В силу неравенства
(31.4) Q^aUfP; е), значит, QmvczG и, следовательно, Qm, с
csm„, но P^Qm„, поэтому P^sm„ (рис. ИЗ). □

Если открытое множество G ограничено, то всегда mes G <
В самом деле, если G ограничено, то существует зам-
кнутый квадрат Q, содержащий множество G (G с Q) и являю-
щийся объединением квадратов нулевого ранга, тогда sm(G)aQ
при любом m = 0, 1, и, значит, пл. sm (G) пл. Q.

Таким образом, последовательность (31.2) ограничена сверху
и, значит, предел (31.3) конечен.

Задача 21. Доказать, что мера плоского открытого множества не зависит
от выбора прямоугольной системы координат на плоскости, на которой оно’
расположено.

Из курса элементарной математики известно, что в случае,
ес'ли открытое множество S является многоугольником, то его
площадь, являющаяся, по определению, и площадью замкнутого
многоугольника 5, совпадает с определенной нами мерой:

пл. 5 = пл. S = mes S* >.

31.2.	СВОЙСТВА МЕРЫ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Теорема 1 (монотонность меры). Если G и Г — плоские откры-
тые множества и

GcT,	(31.5)

то

mes G semes Г.	(31.6)

Доказательство. Обозначим, как и выше, через sm(G) и
sm (Г) совокупности квадратов ранга т, лежащих вместе со своей
границей соответственно в множествах G и Г, т = \, 2, ....
Тогда из условия (31.5) следует, что

sm (G) с sm (Г),
откуда

пл. sm (G) пл. sm (Г).	(31.7)

В случае, когда оба множества sm(G) и sm(T) состоят из конеч-
ного числа квадратов, это следует из того, что площадь объем-
лющего многоугольника не меньше площади объемлемого,
а в случае, когда хоть одно из множеств sm (G) и sm (Г) содержит
бесконечно много квадратов,—из соглашения об употреблении
символа + оо.

Переходя к пределу в неравенстве (31.7) при т->оо в силу
(31.3) получим неравенство (31.6). Q

Теорема 2. Пусть G и Gk, k=\, 2,	—плоские открытые

множества, G1cz.G2cz....czGkcz... и G= (J Gk, тогда
k= i

lim mes Gft = mes G.	(31.8)

k—>oo

*’ См. также n. 44.2 (квадрируемые множества).
Заметим, что если при некотором k0 имеет место mes Gk = 4- оо,
то, согласно теореме 1, и для всех kz^~kti также mesGk = 4- оо;
в этом случае равенство (31.8) означает, что mesG = 4-oo.

Докажем предварительно лемму.

Лемма 1. Пусть Gk, fe = l, 2, ...,— открытые плоские мно-
жества,

G1czG2cz...czGkC:Gk^c:...	(31.9)

и

СО

G= (J Gk.	(31.10)

Тогда если Е — компакт и

EczG,	(31.11)

то существует номер k0, такой, что

EczGko.	(31.12)

Доказательство леммы. Из (31.10) и (31.11) следует,
что система {G*}, k—\, 2, ..., образует открытое покрытие мно-
жества Е. Поэтому, согласно теореме об открытых покрытиях
компакта (см. теорему 4 в п. 18.3) существует конечное покры-
тие {Gft, ..., Gkmj множества Е

т
Е<= J G*i-
i = 1

Обозначим через k0 наибольший из номеров klt .... km. В силу
условия (31.9) имеем равенство

т

U Gt4 = GkQ.

i= 1

Следовательно, Е cz Gk„- [J

Доказательство теоремы 2. Предварительно заметим,
что из условия Gi с: G2 с .. .Gk с:.. следует (см. теорему 1), что

mes Gx - < mes С2=С..	mes G* ^...,	(31.13)

поэтому последовательность Gk, k = 1, 2, ..., всегда имеет пре-
дел, конечный или равный 4-оо.

Рассмотрим два случая.

1.	Пусть все множества sm(G), m = 0, 1, ..., состоят из конеч-
ного числа квадратов. В этом случае каждое из множеств sm (G)
является ограниченным замкнутым множеством и, следовательно,
компактом. Поэтому по лемме 1, для всякого номера т сущест-
вует такой номер km, что

sm(G)czGkrn, m = l, 2, ....	(31.14)
При этом выберем km так, что km->km при tn'>m. Это всегда
можно сделать, например, следующим образом. Если выбраны
номера ky < k2 <Z... < &m-i и для множества sm (G), согласно
лемме 1, найдено множество G„ такое, что

sm(G)cG„,	(31.15)

то обозначим через km какое-либо натуральное число такое, что
km>km-.x и	тогда G„czGftm и, значит, sm(G) <=Gkm,

Таким образом построенная последовательность km, m — 1, 2, ...,
является подпоследовательностью последовательности натураль-
ных чисел.

Обозначим теперь через sm (G) совокупность всех внутренних
точек множества sm (G). Очевидно, sm (G) — открытое множество и
sm(G) <=sm(G) с Gkm, поэтому в силу теоремы 1

messm(G)sCmesG*;n)	(31.16)

Поскольку Gk с: G, k — 1, 2, ..., то в силу той же теоремы 1

mes 6*^ оо mes 6.	(31.17)

Объединяя неравенства (31.16) и (31.17), получим:

mes sm (G) = mes sm (fi) or mes Gkjn mes G.

Переходя в этом неравенстве к пределу при иг->сс, будем иметь
lim mes Gkm = mes G,
m —

ибо, согласно (31.3): lim mes sm (G) = mes G.

Последовательность {mesGft}, как отмечалось выше, имеет
конечный или бесконечный предел, поэтому он совпадает с пре-
делом любой ее подпоследовательности, следовательно,

lim mesGft = mesG.
k -* со

Г. е. выполняется равенство (31.8).

2.	Пусть существует множество s,„(G), содержащее бесконечно
много квадратов; тогда пл. sm (G) = + оо, поэтому и mes G = -f- оо.
Покажем, что в этом случае и

lim mesG* = + °°"	(31.18)

k —> со

Пусть задано е > 0 и пусть sm (G) состоит из бесконечного
множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга m равна
Зафиксируем натуральное число п так, чтобы

n/102m>e,

(31.19)
и выберем из sm(G) п каких-либо квадратов. Обозначим множе-
ство их точек через D. Множество D является многоугольником
(оно является объединением конечного числа квадратов) и, сле-
довательно, ограниченным замкнутым множеством, т. е. компак-
том, причем

пл. 0 = 1^.	(31.20)

В силу леммы существует такой номер k, что

DaGk.	(31.21)

Обозначим через Ь множество внутренних точек многоугольника
D. Согласно теореме 1 и формулам (31.19), (31.20), получим

mes Gk пл. D = пл. D > е

В силу же (31.13) и для всех k'>~k

mes G*>e.

Это и означает выполнение условия (31.18). Д

Примером неограниченной плоской области, имеющей беско-
нечную меру, является полоса

G = {(x, г/):0<г/<1}.

Она содержит в себе бесконечное множество, например, квадра-
тов первого ранга и потому

mes G — 4- оо.

Для того, чтобы построить пример неограниченной области
с конечной площадью, поступим следующим образом. Пусть Q —
единичный квадрат:

Q = {(*> t/):O^x=^l, O=sSy==£,l}.

Положим

Gi = |(х, у): 0 < х < 1, 0 < у < },

G2 = Gi(J |(х, t/):l==Sx<2, 0<р<^|,
вообще

GA+i = Gftu{(*> y)‘.k^x<k-\-\, 0<г/<2^|, k=\, 2...,

Каждое множество Gfe открыто (почему?).

Наглядно образование множеств Gk можно представить себе
следующим образом: 6г —половина квадрата Q; для получения
G3 берется половина оставшейся половины квадрата Q и прикла-
дывается соответствующим образом к Glt получается G2; далее,
половина оставшейся части квадрата Q прикладывается уже к G3
(рис. 114) и т. д.
Очевидно, имеем цепочку включений

Gx cz G2 с ... d Gk а...
и

1 1

2

Положим G = [J Gk.
k= i

Множество G открыто и неограничено. Найдем, применив тео-
рему 2, ее площадь:

mesG = lim mesGft= lim (1 —-L} = 1-

Мера (объем) открытых множеств в трехмерном и вообще
/г-мерном пространстве (и = 1, 2, 3, 4, ...) определяется с по-
мощью аналогичной конструкции, следует только, естественно,
исходить не из разбиений плоскости на квадраты (квадрильяжей),

а из разбиений пространства на соответствующие л-мерные кубы
(кубильяжей). На n-мерный случай переносятся и теоремы, дока-
занные в этом параграфе. Мы вернемся еще к изучению меры
множеств в дальнейших главах, см. п. 44.1. В этом пункте будут
излагаться дальнейшие свойства меры (например, ее поведение
при объединении множеств —так называемая аддитивность меры);
его можно читать непосредственно вслед за настоящим пара-
графом.

Упражнение 1.. Доказать, что площадь прямоугольника равна произ-
ведению его сторон.

2. Пусть G —прямой круговой цилиндр, основанием которого является
круг К, а высота которого имеет длину h. Доказать, что mes G = h mes К, где
mes G есть мера G в пространстве, a mes К — мера К. на плоскости.
§ 32.	НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

32.1.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

В этом пункте будут выведены формулы для вычисления
площадей некоторых плоских областей. При этом воспользуемся
известными из элементарной математики свойствами площади
простейших плоских фигур (многоугольников, секторов), например,
тем, что при объединении таких фигур, не имеющих общих
внутренних точек, их площади складываются. Впрочем, это
утверждение будет строго доказано в п. 44.1.

Теорема 1. Пусть функция f определена, неотрицательна и
непрерывна на отрезке [a, ft]. Тогда площадь S множества

G = {(x, у): а<.х<Ь, 0 <//</(%)}
выражается формулой
ь

S = \f(x)dx.	(32.1)

Множество G является открытым ограниченным множеством.
Действительно, его ограниченность следует из того, что функ-
ция /, будучи непрерывной на отрезке [a, ft], ограничена на нем.

Покажем, что множество G открыто. Пусть (х0, J/O) eG; тогда
О<уо</(-М- Возьмем какое-либо число ч>0. такое, что 0<
<Уо~ n<//o<yo + n</('vo)- В силу непрерывности функции f
в точке х0 существует такое 6 > 0, что для всех х е (х0 —6, х0 + $)
выполняется неравенство f (х) > у0 + Л• Ясно, что прямоугольная
окрестность Р ((х0, Уо)', б, г]) принадлежит множеству G, т. е.
точка (х0, уо) является его внутренней точкой.

Граница множества G содержится в объединении графика
функции f, отрезка [a, ft] оси Ох и отрезков [0, f (а)] и [0, /(ft)]
соответственно прямых х = а и х = Ь. Оно обычно называется
криволинейной трапецией (см. рис. 90), порожденной графиком
функции f.

Доказательство. Пусть т = {х,-}/=о — некоторое разбиение
отрезка [a, ft]. Обозначим через Gx и gx замкнутые многоуголь-
ники, составленные из всех прямоугольников вида

Gx, i = {(х, у): x;_r<x < Xt, O^ys^Mi, i = 1, 2, ... , k},
gx. i —{(x, y) '.Xi-i^x^Xi, О^у^пу, t=l, 2,..., k},

где try — inf f (x), Mi = sup f (x), т. e. (рис. 115)

x x>	xi~i ^x ^xi

k	k

U gx = U Sx,i-	(32.2)

i=i	<= i
Если обозначить через Gx и gx множество внутренних точек
многоугольников Gx и gx, то

gxc:G<=.Gx.

(32.3)

Если ST и sx — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу
функции f на отрезке [а, Ь], соответствующие его разбиению т,

то очевидно, что пл. gx = sx, пл. GX = SX. Поэтому из (32.3) в силу
монотонности меры следует, что

Поскольку

sx mes G ' ST.

то

ь
lim st= lim Sx — \f(x)dx,
6t-.o бт^0 j

b

mes G==y (x) dx. Q
a

(32.4)

(32.5)

Как известно (см. п. 27.4),
ь
lim ot= lim st= lim ST = \ / (x)Jx,
eT^o eT-.o	2

поэтому в силу формулы (32.1)

lim ot= lim sx = lim St = mesG.
6T^0	6t-^0	6r — 0

Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана
и суммы Дарбу равны приближенному значению площади рас-
сматриваемой криволинейной трапеции, причем любая точность
достигается выбором достаточной мелкости разбиения т, а предел
интегральных сумм равен истинному значению указанной площади.

Пусть теперь функция f непрерывна и неположительна на
отрезке [а, &]. Положим в этом случае

G = {(х, у):а<х<Ь, /(х) <//<()}.
Пусть G — множество, симметричное множеству G относительно
оси Ох*) (рис. 116), тогда

mes G = mes G.

(32.6)

В рассматриваемом случае функция — f неотрицательна-на отрезке
[a, ft], поэтому
ь	ь

mes G = § [—f(x)] dx = — § / (х) dx.
а	а

(32.7)
Сравнив (32.6) и (32.7), получим
ь
mes G — — (х) dx,
а
b

т. е. здесь интеграл $ f (х) dx равен, с
а

точностью до знака, значению площа-
ди криволинейной трапеции G. Если
же функция f меняет знак на отрезке
[a, ft] в конечном числе точек, то интеграл § f (х) dx равен ал-
а

гебраической сумме площадей соответствующих криволинейных
трапеций, ограниченных частями графика функции f, отрезками
оси Ох и, быть может, отрезками, параллельными оси Оу (рис. 117).

Как видно, одной из задач, естественным образом приводящих
к понятию определенного интеграла, является задача вычисления
площадей. Развитый.аппарат интегрального исчисления дает общий
и единый метод вычисления площадей разнообразных плоских
фигур.

Примеры. 1. Найдем площадь S круга радиуса г. Поместим
начало координат в центр указанного круга. Тогда уравнение

*> Это означает, что G = {(x, у) : (х, — у) е G}.
полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости, имеет вид
z/ = y72 —х2 (рис. 118). Поэтому площадь полукруга радиуса г
вычисляется, согласно теореме 1, по формуле (32.1)

Г	JT

S= ( У г2 — x2dx = r2 € sin2 tdt = r2
— г	О

Я

Г 1 — cos 2/

J 2

о

,, лг2
dt = ~T

(при вычислении интеграла сделана замена переменного x = r cost),
откуда искомая площадь круга равна пг2.

Подобным же образом находится и площадь Sv сектора круга
(радиуса г), соответствующего центральному углу <р. Считая для
простоты 0 sg <р sg л/2, имеем (рис. 119):

rcosq)	г

Sa— f xtg(pdx-[- f У г2 — x2dx = —9— I С° Ф +

' J	J	"	|0

О	г cos ф

<Р

।	cos2/ г2 sin <р cos ср , r2<p г2 sin 2<р _ г2ф

+r J 2	М~~	2	*" 2	4	— 2 ’

О

2.	Найдем площадь S, ограниченную осью Ох и одной аркой
синусоиды (рис. 120)

Л

S = j sin х dx = — cos х |g = 2.
о

Здесь, как и всегда в дальнейшем, говоря об области, огра-
ниченной некоторой кривой, являющейся простым замкнутым
контуром (см. п. 16.1), мы всегда будем иметь в виду ограничен-
ную область, границей которого является данный контур. Всякую
неограниченную область, границей которой является подобный
контур, будем называть внешней (для данного контура). В рас-
сматриваемом случае внешней областью является «внешность»
области, заштрихованной на рис. 120. Внешняя область всегда
имеет бесконечную площадь. Действительно, всякая кривая огра-
ничена (см. п. 16.3), поэтому во внешней области любого простого
контура содержится, например, квадрат со сколь угодно большой
стороной. Отсюда сразу и следует бесконечность площади внеш-
ней области.

3.	Найдем площадь S, ограниченную гиперболой у=\/х,
осью Ох, отрезком прямой х=1 и отрезком прямой, проходящей
через точку оси Ох с абсциссой, равной х и параллельной оси
ординат (рис. 121):

X

S = ( ~ = In I* = In х.

J t i

i

j^2	£j2

4.	Вычислим площадь, ограниченную эллипсом -2 + — 1.
Посколько лежащий выше оси абсцисс полуэллипс описывается
уравнением у = |]/а2 — х2, то для четверти искомой площади S
имеем (см. пример 5 в п. 22.3 или пример 1 в п. 22.4):

) с  С 1/Д2	_ - Г°2 arcsin - I Х Л/~гЛ

4 *-* — a J ’ а	Х — b |_2 arcsin а । 2 г а х jo — 4 »

О

5.	Доказанное в п. 20.8 неравенство (20.50) имеет простой
геометрический смысл. Рассмотрим кривую у = хРЛ или, что то
же, x = yi-1, где р>1, | + |=1 (см. (20.55) и (20.56)). Выберем
произвольно а^зОиЬ^Ои подсчитаем площади Sx и S2 (рис. 122):

а	b

S1= xp-1dx=~, S2= j //?-Чг/ = у.
o'	о

Геометрически ясно, что площадь прямоугольника со сторо-
нами а и b не превышает суммы 5х + 52, т. е. ab xx S±-r S2 или,

подробнее,

аР b'i_ 11
р + <7 ’ р ' g
а это и есть неравенство (20.50). При этом очевидно, что ab =
в том и только том случае, когда fe==apl.

Найдем теперь формулу для площади сектора кривой, задан-
ной уравнением, связывающим ее полярные координаты: р = р (<р),

Рис. 123

где р = р (ф) — неотрицатель-
ная, непрерывная на отрез-
ке [a, PJ функция, 0<а<
Пусть G —откры-
тое множество, граница кото-
рого состоит из кривой АВ,
описываемой в полярных ко-
ординатах уравнением р =
= р(ф) и, быть может, из

отрезков ОА и ОВ лучей
ф = а и ф = р (рис. 123), G = {(p, ф): а<ф<р, 0<р<;р(ф)).
Пусть т = {ф,р-Хо — некоторое разбиение отрезка [а, ₽].
Положим

Д Ф,- = ф,- — ф,-!, m;= inf р (ф), М,= sup р(ф),
Ф/_1<Ф<Ф,-	Ф/.^Ф^Ф,-

^,г = {(р, ф) = Ф«-х < Ф < Ф/, 0<р<тф,
Gi,t = {(P. Ф)-’Ф«-1=^Ф=^Ф», 0<ps=sMJ-
Впишем во множество G и опишем вокруг него ступенчатые
фигуры gx и Gx, составленные из круговых секторов gi х и G, х,
i = 1, 2, ..., k-
k	k

ёг — (J ё‘. Т> М = U Gi, Г-
1=1	1=1

Обозначим через gx и GT совокупности всех внутренних точек
множеств gx и GT. Очевидно, gx и Gt — открытые множества
и gx gl G сд GT; поэтому, согласно свойству монотонности площади,

пл. gx mes G «Д пл. Gt.

Но пл. £т = пл. gx, пл. GT = пл. GT, следовательно,
пл. gx -g mes G sg пл. Gt.	(32.8)

Площади круговых секторов giyX и G,-.r равны соответственно
% ггц Дф, и $М-Дфг- Из элементарной математики известно, что
при объединении плоских фигур их площади складываются (см.
об этом также в п. 44.1), значит
k	k

пл. gx = I V ГГЦ Дфь пл. Gx = 2 2 М*‘ Д(р/‘

<=1	1=1
Из этих равенств видно, что пл. gt и пл. GT являются соответ-
ственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции р2 (ф)
на отрезке [а, р]: sT = пл. gx, Sx = пл. Gx, следовательно
₽
j Р2(ф) sS ST.
а

Вычитая это неравенство из неравенства (32.8), переписан-
ного в виде <S’X Ss mes G получим v

(5

sx-Sx^ mes G - ’ j p2 (<p) dtp ==£ ST — sT.
a

Отсюда, перейдя к пределу при 6т->-0,

имеем

₽

mes G = | j р2 (<р) dtp. [J (32.9)
a

В качестве примера найдем площадь	Рис. 124

S фигуры, ограниченной кардиоидой

р = а (1 4-cos <р) (см. п. 17.5), которая изображена на рис. 124.

По формуле (32.9) получим

(*	/т2 (*

S =	(1 4-cos <р)2 dtp =-g-dtp +

о	о

2л
(*	(ft

+ a2l СО5ф4?ф+ 2
о

2я

I* Д Д- cos 2m ,	3 л

\ —-2 -  dtp = 2 ла®.

о

32.2. ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

В конце п. 31.2 отмечалось, что понятие объема в простран-
стве вводится аналогично понятию площади на плоскости. Выве-
дем формулу для вычисления объемов тел вращения.

Теорема 2. Пусть функция /(х)5=0 непрерывна на отрезке
[а, &], а Q — тело, полученное вращением криволинейной трапеции G,
порожденной графиком функции f. Тогда для его объема mesQ
справедлива формула

mes Q = л (х) dx.	(32.10)

а

Доказательство. Обозначим через qx и Qx тела, образо-
ванные вращением вокруг оси Ох ступенчатых фигур gx и Gx
(см. доказательство теоремы 1). Из включения (32.3) следует, что
qxaQ<^Qx, а потому и

mes qx хх mes Q mes Qt.

(32.11)

Объемы vx и Vx множеств qx~^ Qx равны, суммам объемов цилин-
дров, образованных вращением прямоугольников gx t и Gx, t
(рис. 125):

*

Vx = mes = 2 nm? ^Xi’
t=i

k

Vx = mes Qt =

i — I

И Vx являются нижними
и верхними суммами Дар-
бу функции л/2(х); поэто-
му
ь

Vx^n\f2 (x)dx^_Vx,

(32.12)

и так как функция /2 не-
прерывна и, следователь-
но, интегрируема, то

lim [Vt-vJ = 0. (32.13)

Из неравенств (32.11) и (32.12) следует, что

ь

vx — л $/2 (х) dx — mesQsS Vt — vx,
a

откуда в силу (32.13) и вытекает формула (32.10).

Примеры. 1. Найдем объем V шара радиуса г. Рассматри-
вая этот шар как тело, образованное вращением полуокружности
у =]/У2 — х2, —rsgxsgr вокруг оси Ох (см. рис. 96), по фор-
муле (32.10) получим:

V = л j* (г2 — х2) dx = лг2х — у3 = 2лг3 — | лг3 = | яг3.
— г

2. Найдем объем V прямого кругового конуса с высотой,

равной h, и радиусом основания г. Рассматривая указанный
конус, как тело, полученное вращением треугольника с верши-
нами в точках (0, 0), (/г, 0) и (/г, г) вокруг оси Ох (рис. 126),
получим, согласно формуле (32.10),
h

ar2 С <, , яг2х3 (Л nr2h

V \ x2dx =	= -Х-.

h2 J	ЗЛ2 |о 3

о

3. Найдем объем V тела, полученного вращением вокруг оси
Ох графика функции y = ach~, — b^x^b. Эта кривая называ-
ется цепной линией (рис. 127). По формуле (32.10) имеем

ь	ь

V = na2 (ch2 — dx = ^~ ((l-(-ch—\dx =

J a 2 J \ 1 a J

-ь	— b

[яа2х , ла3 , 2x16	,, , ла3 , 2b

—5-4--f-sh— = na2&4-~o-sh —.

2 1 4	a J—ь	1 2 a

Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетливо
видна сила и общность методов интегрального исчисления: еди-

ным методом быстро и просто получаются формулы для площа-
дей и объемов, как известные ранее из курса элементарной мате-
матики, так и совершенно новые. В ближайших пунктах мы
рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых методами
интегрального исчисления.

32.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ КРИВОЙ

Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию опреде-
ленного интеграла. Все они имеют то общее, что в них нахождение
значения какой-то величины приводилось к определению предела
некоторой интегральной суммы при стремлении мелкости разбие-
ния к нулю, т. е. к определенному интегралу.

Существует, однако, и другой круг задач, приводящих к по-
нятию определенного интеграла, В них известна скорость изменения
одной величины относительно другой и требуется найти первую
величину или, говоря точнее, дана производная функции, а тре-
буется найти саму функцию, т. е. по заданной функции найти
одну из ее первообразных. Эта задача также решается с помощью
определенного интеграла, так как такой первообразной является,
например, определенный интеграл с переменным верхним преде-
лом. В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление
длины дуги кривой.

Пусть кривая Г задана параметрическим векторным представ-
лен йем

r = r(t), a^t^b,

где функция г (/) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, ft].
Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина
дуги s(t), отсчитываемая от начальной точки (ее радиус-вектором
служит г (а)) кривой Г, является также непрерывно дифферен-
цируемой функцией параметра t на отрезке [a, ft], причем
(см. п. 16.3)

ds  I dr |
di I dt I'

Поэтому в силу формулы Ньютона— Лейбница, замечая, что
s(a) = 0) для длины S = s(ft) кривой Г, получим

ь	ь

S — s(b) — s(a)—^^dt, откуда
а	а

Если = y(t\ z(t)\ ТО

b

s = 5 Vг (t) + у'2 (/) + г'2 (0 dt.	(32.14)

а

В случае, когда кривая Г является графиком непрерывно
дифференцируемой функции у — ?(х), axxxaxb, формула (32.14)
принимает вид

ь

S = [Vi+f\x)dx.	(32.15)

а

Примеры. 1. Найдем длину S дуги параболы у —ах2, Osg:
^Qx-xzb. Замечая, что у’ — 2ах, согласно формуле (32.15), имеем

ь

S = $ V1 + 4а2х2 dx.	(32.16)

о

Неопределенный интеграл I — ]Л1 -ф 4а2х2 dx вычислим сле-
дующим образом: проинтегрируем его сначала по частям; затем
к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла, прибавим
и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем (под-
становкой у = 2ах) получившуюся дробь:

I = ( '|/ 1 + 4а2х2 dx = х |/1 + 4а2х2 — f Л 4а х.— dx =

J	r	J И+4а2х2

= х 1/1 4- 4а2х2 — С '|/1 + 4а2х2 dx ф- €	- =

J	J V 1 + 4a2x2

= xf 1 +4a2x2-7 +2^ In j 2ax + ]/'l + 4a2x2|.

Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно
интеграла I, дает возможность найти его значение:

I = g х Y1 + 4й2х2 + 4—- In 12ax + Y1 + 4a2x2 j у С.

Теперь легко получить величину интеграла (32.16):

S = b Y 1+4агЬ* + In J 2ab + ]/ 1+4а252 |.

2.	Найдем длину астроиды x = acos3/, z/ = asin3/ (см. рие. 75).
Астроида симметрична относительно начала координат. Ее части,
лежащей в первой четверти, соответствует изменение параметра t
от 0 до л/2. Вычислим длину S этой части (равной, очевидно,
одной четвертой длины всей астроиды). Заметив, что

х' = — 3a cos2/sin/, у = За sin2/cos/,

по формуле (32.14) (в которой следует положить z’ = 0) получим:
л/2	л/2

S = j' yr9a2cos4/sin2/ + 9a2sin4/cos2/t//=у | sin2/dt = у-
о	о

3.	Найти длину S дуги эллипса x = asin/, у —boost, 0<
-с:/---2л, 0 <5 -< а от верхнего конца малой полуоси до его
точки, соответствующей значению параметра / е [0, 2л]. Положим
е = —-— (е — эксцентриситет эллипса), тогда

х'2 у'2 = Ya2 cos2/-(-52sin2/ = aY 1 — e2sin2/,
поэтому

t ___________

<S =a jj ]/1 — e2sin2/d/, 0sCe<l. (32.17)
о

Мы получили эллиптический интеграл второго ряда, который,
как известно (см. п. 26.6), не выражается через элементарные
функции, т. е. формула (32.17) в данном случае является окон-
чательным ответом. Приближенные значения длин дуг эллипса
можно получить, либо непосредственно, вычислив приближенно
интеграл (32.17), либо воспользовавшись имеющимися таблицами
значений эллиптических интегралов.
Упражнения. 1. Доканать, что если плоская кртвтя гадала в поляр-
ных координатах непрерывно дифференцируемым представлением г = г(<р),
а <р Р, то для ее длины S справедлива формула

₽ ,___________

S =$ ]/ г2 + г'2 dtp.
а

(32.18)

2. Найти длину дуги логарифмической спирали r = aet>4’ от точки (ф0, г0)
до точки (<р, г).

Интегральная формула, для длины кривой позволяет выразить
ее длину не только как верхнюю грань длин всевозможных впи-
санных в нее ломаных, но и как их предел при условии, что
мелкости соответствующих разбиений стремятся к нулю. Чтобы
это доказать, нам потребуется одна лемма.

Лемма. Пусть у = {г = г (s), 0 «£ s sc S} — непрерывно диффе-
ренцируемая кривая в R3, s — ee переменная длина дуги и Аг =
= г (s + As) — г (s). Тогда отношение  j  стремится к единице
при As->0 равномерно на отрезке [О, S]. Это означает, что для
любого е>0 существует такое 6>0, что для любой точки se
е[0, S] и для любого приращения As(s + Ase[0, S]), удовлетво-
ряющего неравенству | As | < 6, выполняется неравенство

Доказательство. Допустим противное, т. е. что сущест-
вует такое е0>0, что для любого б>0 найдется такая точка
s6 е [О, S] и такое приращение Asg, | Дзл | < 6, что для Дгб =
= г (s6 4- Ass) — г (sg) выполняется неравенство

Будем брать последовательно 6 = 1/п, я = 1, 2, ..., причем соот-
ветствующие точки sg и приращения Asg будем обозначать через
sn и As,.z. Тогда для всех натуральных п будут выполняться
неравенства

е0) |As„|<~,

где Дгп = г (s„ + As„) - г (s„).

Выделим из последовательности {s„} сходящуюся подпоследо-
вательность {s„ft}, тогда s0 = lim s„fcе [О, S], В силу непрерыв-
ности производной г' (s) в точке s0 существует такое 60> 0, что
при |s — s0|.<60 справедливо неравенство

I г' (s) - г' (s0) | < %
или, что то же самое,

r'(s) = r' (s0) + a(s), |a(s)|<y при	]s — s0|<6, se[0, S].

Выберем теперь натуральное k0 так, чтобы имели место нера-
венства

I. —С I -	в° 

I 5(11 < 2 ’ nko 2 ’

тогда, замечая, что согласно выбору приращений As„ выполняется
неравенство |As„aJ<^-, имеем |As„feJ<y. Следовательно, для
всех s, лежащих на отрезке с концами в точках s„k и + As„feo>
будем иметь

| S — So I < [ S — Snka 14-1 s„ka — So [ < ] As„feo | + у < 60.

Поэтому, заметив, что | г' (s0) | = 1 и что

Дг"/го = г(%о + дМ-г(М=	S r'(s)rfs =



Snk„ +

[г' (s0) + a (s)] ds = r' (s0) As„fto +	$ a (s) ds,

получим

ЛЧ„

- 1

a(s)ds — |r'(s0)| ==S

Это противоречит сделанному предположению. Q

Теорема 3. Пусть y = {r = r(s), Ocs<Sj- непрерывно диф-
ференцируемая кривая в R3, s — ee переменная длина дуги, т =

= {sz}J=o — разбиение отрезка [0, 5],	2 ir(s<) — r(s;-i)b

тогда

S = lim

«г-0

Здесь является, очевидно, длиной вписанной в кривую у
ломаной с вершинами в точках г (s;), г = 0, 1, 2, ..., k.
Доказательство. Положим Дэ,-= s£ — s,-_1( Дгг = г(§;) —
k

—	i=l, 2, .k. Заметив, что s=2jAs£ и =

i= 1
fe

= I ^Г1 l> ПОЛУЧИМ

i= 1
fe	fe

is—iT|= 2 As«-2 |Дгг1

Согласно лемме для любого е > 0 существует такое б > О, что
как только | As, | < б, то имеет место неравенство

IIАг»' I _ 1 I Л

|| As,- |	| ^ S '

Поэтому для всякого разбиения т мелкости 6t<6 выполняется
неравенство

fe

। s—। < -|- 2 =е-

<=1

Это и означает, что lim XT = S. ГП
6^0

32.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Понятие поверхности и ее площади будет специально изу-

Здесь же мы ограничимся специальным случаем

чаться в § 50.

поверхностей, образованных враще-
нием кривых вокруг некоторых осей.
Как всегда будем предполагать,
что в пространстве R3 фиксирова-
на прямоугольная декартова система
координат.

Пусть y = {r — r(t), aszts^b} —
кривая, лежащая в полуплоскости
у > 0 плоскости переменных х, у,
г = {/,}‘=о — разбиение отрезка [а, &].
Впишем в кривую у ломаную с вер-
шинами в точках г(/£) = (х£, у,), i —
= 0, 1, 2, ..., k (рис. 128). При
вращении звена Дг£ = г (ti) — г (Z^)
этой ломаной вокруг оси Ох полу-

чится поверхность усеченного конуса (в частности, быть может,
цилиндра) с площадью

/,= n(z/^i + z/,)| Дг,-|,
а при вращении всей ломаной— поверхность с площадью

k	k

Lx=	(у^ + уд | Дг,

> = 1	i = 1

Определение 1. Если существует предел lim Lx, то он назы-
вается площадью L поверхности, образованной вращением кривой
у вокруг оси Ох.

Таким образом,

L=limLt.	(32.19)

Теорема 4. Пусть y = {r = r((), a-^t^b} — непрерывно диф-
ференцируемая кривая без особых точек, лежащая в полуплоскости
y>Q плоскости переменных х, у. Тогда для площади L поверх-
ности, полученной вращением кривой у вокруг оси х-ов, справед-
лива формула

ь __________ s

L — 2л у Vx/2 + Ус~ dt — 2л $ у (s) ds,	(32.20)

а	О

где s —переменная длина дуги кривой у, 0^s-=zS.

Доказательство. Как известно, при сделанных в теореме
предположениях (см. п. 16.5) функция s = s((), a^t=^b, явля-
ется допустимым преобразованием Параметра, и, следовательно,
длина дуги s может быть принята за параметр:

? = {r = r(s) = (x(s), y(s)), 0<s<S}.

Пусть T = {sz};=o— разбиение отрезка [0, S],

Дгг = г(\) —r(Sj-i), Дз,- = Si — Su, i = l, 2, ...k.

Сравним сумму

fe

Ьх = л 2(//,--1 + 1/,-)|Дг;|, z/i^z/i(s), i = 0, 1, ..., k, (32.21)
i= 1

с интегральной суммой (функции 2лу (s))

k

ot = 2n У, уi As,-.	(32.22)

i= i

Для этого заметим, что функция y(s), будучи непрерывной на
отрезке [0, S] ограничена на нем, т. е. существует такая посто-
янная М > 0, что для всех s е [0, 5] выполняется неравенство
\y(s)\s^M. Обозначая через м(б; у) модуль непрерывности
функции z/(s), а через Xt —длину ломаной с вершинами в точках
r(Si) и заметив, что | Аг,-[ sg As,-, t = l, 2, ..., k, получим

I (T-t Lx | —

fe	k

n У, 2yi bst - л У, [2г/, + (г/;_1 - #)] | Ar; |
1=1	1=1

k	k

2 л У | yt | (As,- - ] An I) + л У | yt - z/,-_j 11 An |
t=i	i=i

^2лм! У As,- - 21 An|Vnco(6t; z/) 2|An| =
v=i	;=i i	»=i

= 2nM (S — Хг) + лсо (6t; г/) Xt.

Здесь lim (S — Лт) = 0 (см. теорему 3), lim ®(6T, у) = 0 (см. тео-
бг^°	6t-o

рему 5 в п. 19.6) и	Поэтому lim (or — Lt) = 0, a no-

6r-°
s	s

скольку lim crt = 2л \ у (s) ds, то и lim Lx = 2л ) у (s) ds. Сделав
о	о

в последнем интеграле замену переменного s = s(/) и вспоминая,
что ds = Vx'2 + у'~ dt, получим:

ь __________

Ь = 2л^у W2 + у'~ dt.

Если кривая у задана явным уравнением y = f(x), a^xs^b,
то формула для площади поверхности, образованной вращением
графика функции f вокруг оси Ох, имеет вид

ь _________

L = 2n\y V 1+у'2 dx.
а

(32.23)

Вспоминая, что (см. п. 16.4) V1 фу'2 dx = ds, формулу (32.23)
можем переписать в виде

s

L = 2л ^у ds.

о

Предложенный вывод формулы (32.20) имеет некоторый недо-
статок, так как в этом выводе по ходу дела уже использовалось
понятие площади поверхности и ее аддитивность, правда, лишь
в простейшем случае —для поверхностей усеченного конуса и их
объединений. Можно ввести общее понятие площади поверхности,
не используя понятие площади поверхности для каких-либо эле-
ментарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства.
Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем в п. 50.5.
Примеры. 1. Найдем площадь S сферы радиуса г. Указан-
ная сфера может быть получена вращением полуокружности
z/ = ]/r2 — х2, -r^xs^r, вокруг оси Ох. Однако это явное пред-
ставление полуокружности не является непрерывно дифференци-

руемым: производная у' =

*--- обращается в бесконечность

при х = ±г. Гораздо удобнее взять параметрическое представле-

ние полуокружности

x = rcos/, y — rsmt,

Тогда х' = — г sin/, у' = г cost; поэтому площадь S поверхности
сферы радиуса г легко вычисляется по формуле (32.20):

*5 = \у Ух'2 + у'2 dt = 2лг2 § sin t dt = 4w2.
о	о

2. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги цепной линии (см. рис. 107) y — ach~,
— b^xs^b (эта поверхность называется катеноидом). По фор-
муле (32.23) имеем:

ь	_________

S = 2па С ch ~ "j/" 1 + sh2 ~ dx =
— ь
b	ь

= 2ла ( ch2-*dx = rca (1+ch —) dx = ла (26 4-ash —V
J а	3 \ a	\	a J

— b	— b

32.5.	РАБОТА СИЛЫ

Пусть материальная точка М движется по непрерывно диф-

ференцируемой кривой Г = {г = 1
дуги, 0 s sC S. Пусть на рас-
сматриваемую материальную
точку, находящуюся в положе-
нии г (s), действует сила F (s),
направленная по касательной к
траектории в направлении дви-
жения.

Возьмем какое-либо разбие-
ние T={s;}j=k отрезка [0, S].
Ему соответствует разбиение
траектории Г на части

Г£ = {г(5),

i	= 1, ..., k.

Выберем произвольно по точке
Величина F (£,) As,, As, = s; — s^i

(s)}, где s —переменная длина

[S;-1, S;], i = 1, 2,..., k (рис. 129).

, i = l, 2, ...,k называется эле-
ментарной работой силы F на участке Г,- и принимается за приб-
лиженное значение работы, которую производит сила F, воздей-
ствующая на материальную точку, когда последняя проходит
k

кривую Г,-. Сумма всех элементарных работ У F (£,) As,- является

интегральной суммой Римана функции F (s).

Определение 2. Предел, к которому стремится сумма
к

у, F (£,) As, всех элементарных работ, когда мелкость разбие-
i — 1

ния т стремится к нулю, называется работой силы F вдоль кри-
вой Г.

Таким образом, если обозначить эту работу буквой W, то
в силу данного определения

k

IF = lim yF^As,-

= 1
и, следовательно,
s

W = ^FO)ds.	(32.24)

о

Если положение точки на траектории ее движения описы-
вается с помощью какого-либо другого параметра t (например,
времени) и если величина пройденного пути s = s(/), a^t^b,
является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы
(32.24) получим:

lF = $F[s (/)]s' (0 dt.

32.6.	ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
И ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ КРИВОЙ

Пусть М — материальная точка массы т с координатами х и у.
Произведения ту и тх называются ее моментами соответственно
относительно осей Ох и Оу.

Пусть Г = {г (s), 0<s<S}-спрямляемая кривая, где s — пере-
менная длина дуги. Будем считать, что кривая Г имеет массу и
что масса ее дуги прямо пропорциональна длине дуги; если
Ат —масса дуги длиной As, то Am = pAs, где р —некоторая
постоянная, называемая линейной плотностью кривой Г. Такие
кривые в механике называются однородными. Поскольку р = -^,
то плотность равна тиассе длины дуги кривой, приходящейся на
единицу длины дуги. Будем считать для простоты, что р = 1, т. е.
что масса части кривой длины As также равна As, в частности,
что масса всей кривой численно равна S.
Пусть теперь T = {s,}?-g —какое-либо разбиение отрезка [О, S],
As = s,- — i = l, 2, k. Разбиению т соответствует разбиение
кривой Г на части Г,= {г (s), Sj-i^ssgs,}. Выберем по какой-либо
точке |г е [s,-!, s£] и положим Xi = х (S£), yt = у (£,), 1 = 1, 2, k.

Величины yt^Si при любом выборе указанных точек £,• назы-
ваются элементарными статическими моментами части Г, кри-
вой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный статический
момент Г, численно равен моменту материальной точки массы As
с ординатой у£, т. е. мы как бы заменили данную непрерывную
кривую Vk материальными точками.

Определение 3. Предел, к которому стремится сумма

k

Л Pi As£	(32.25)

1=1

всех элементарных моментов, когда мелкость разбиения т стре-
мится к нулю, называется моментом Мх кривой Г относительно
оси Ох.

Этот предел всегда существует, ибо, по определению кривой,
функция r = r(s), а значит, и координатные функции x = x(s),
y = y(s) непрерывны на отрезке [О, S]; сумма же (32.25) является
интегральной суммой Римана функции у($) и потому при 6->0
s

стремится к интегралу \y(s)ds. Таким образом,

о

S

Mx = ^yds.	(32.26)

о

Аналогично определяется и вычисляется момент Му кривой Г
относительно оси Ох:

s

My=^xds.	(32.27)

о

Определение 4. Точка плоскости Р = (х(), у0), обладающая тем
свойством, что если в нее поместить материальную точку массы,
равной массе кривой (в рассматриваемом нами случае массы S),
то эта точка относительно любой координатной оси имеет ста-
тический момент, численно равный статическому моменту кривой
относительно той же оси, называется центром тяжести данной
кривой.

Таким образом,

Sxe = Му, Sy0 = Мх.

откуда в силу формул (32.26) и (32.27) для координат центра
тяжести получаем формулы

s	s

Хо = у j х ds, Уо = у § У ds.	(32.28)

о	о
Сравнивая формулы для ординаты центра тяжести кривой
s

y0S ^^yds и для площади L поверхности, полученной от вра-
о

s

щения этой кривой вокруг некоторой оси L = 2л у ds, получим
6

интересное соотношение L~2nyaS (здесь под кривой понимается
непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек), состав-
ляющее содержание так называемой первой теоремы Гуль-
дина*’.

Теорема 5 (Гульдин). Площадь поверхности, полученной от
вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна
длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной
центром тяжести этой кривой.

В случае, когда известно положение центра тяжести кривой,
теорема Гульдина позволяет просто находить площадь соответ-
ствующей поверхности вращения. Например, площадь поверхности,
полученной от вращения окружности (х — а)2 + у2 = г2, 0<г<а,
вокруг оси Оу (такая поверхность называется тором) легко вычис-
ляется указанным способом: £ = 2ла-2лг = 4л2пг, так как центр
тяжести окружности совпадает с ее центром.

В качестве примера вычисления центра тяжести кривой по
формуле (32.28) найдем центр тяжести цепной линии y = ach^-,
— bs^x^b. В силу симметрии цепной линии относительно оси Оу
имеем Л4у = 0. Действительно, выбирая за начало отсчета дуг
точку цепной линии, лежащую на оси Оу, и обозначив длину
всей цепной линии через 2S, получим

s

Му= jj x(s)ds = Q,
— s

ибо х (s) — нечетная функция. Из равенства Му — 0 в силу фор-
мулы (32.28) следует, что хо = О. Далее,

s

Мх ~ yds.

-s

Как отмечалось выше, 2лМх — Lx, где Lx — площадь поверх-
ности, образованной вращением цепной линии вокруг оси Ох, и,
следовательно (см. п. 32.4),

Lx = па (2Ь -ф a sh	\, поэтому Mx = ~-[2b-1ras>h~'^.

*> П. Гульдин (1577—1643) — швейцарский математик.
С другой стороны, заметив, что длина 2S цепной линии легко
вычисляется по формуле (32.15):

ь _______ ь _______________

S= J l/l + z/'2dx= § j/"l+sh2-^dx =

- b	-b

b

— \ ch — dx = ash — |b =2ash—;

.1 a	a — ь	a

— b

в силу формулы (32.28) получим

у0 = \2Ь 4- a sh 4 sh ~.

Упражнения. 3. Найти площадь конечной области, ограниченной
параболой у2 = 2х-|-1 и прямой у = х — 1.

4.	Найти площадь области, ограниченной циклоидой
x=a(t — sin 0, у~а(\—cost), 0-<:/у2л,
и прямой у — 0.

5.	Найти площадь области, ограниченной кривой р2 — a2 cos 2ср (эта кривая
называется лемнискатой).

6.	Найти объем тела вращения, образованного вращением одной арки
синусоиды у = sin x,	вокруг оси Ох.

д

7.	Найти длину кривой у = In cos х, (НСх<Щ<

8.	Найти длину дуги спирали Архимеда р = аср, O;Ccp-<2.-r.

9.	Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2'3 -)-
4-</2/3 =а2/3 вокруг оси Ох.

10.	Найти координаты центра тяжести дуги круга

x=rcos<p, у = г sin <р, | <р । - a  л,

11.	Доказать существование центра тяжести для непрерывно дифферен-
цируемой кривой, иначе говоря, доказать, что точка плоскости, определяемая
формулами (32.28), не зависит от выбора декартовых координат на плоскости.

§ 33.	НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

33.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Функция, неограниченная на отрезке, не интегрируема на нем
по Риману (теорема 1, п. 27.2). Если функция определена на
бесконечном промежутке, то нельзя говорить о ее интегрируе-
мости по Риману просто потому, что определение интеграла отно-
сится только к функциям, заданным на отрезке. В настоящем
параграфе понятие интеграла обобщается как на случай функций,
определенных на неограниченных промежутках, так и на случай
функций, определенных на ограниченных промежутках, но неогра-
ниченных на них. Это делается с помощью предельного перехода,
дополнительного к пределу, с помощью которого вводится инте-
грал Римана.
Определение 1. Пусть функция f определена на конечном или бес-
конечном полуинтервале [а, Ь), —oo<a<6.sg:-|-oo, и интегри-
руема по Риману на любом отрезке [a, -rj], а-Ст|<Ь. Если существует
л

lim \ f (х) dx, то функция f называется интегрируемой в несоб-

ственном смысле на промежутке [а, Ь), а указанный предел назы-
вается ее несобственным	ин-

___	тегралом и обозначается	че-

ь

\	рез \f(x) ах.

—	\	"Т	О.

а	у	Таким образом (рис. 130)

Рис. 130	\f(x)dx^i lim р(х) dx. (33.1)

Q	Л —♦ b a

Если предел (33-1) существует (и, следовательно, конечен),
ь

то говорят также, что несобственный интеграл § f (х) dx сходитс я,
а

в противном случае —что он расходится. В отличие от несоб-
ственного интеграла обычный интеграл Римана называют иногда
собственным интегралом.

ъ

Существование несобственного интеграла § f (х) dx эквивалентно
а
b

существованию несобственного интеграла f (х) dx при любом
С

Л

се (а, Ь). В самом деле, интеграл jj/(x)dx отличается от инте-
л

грала j/(x)dx (при с<ц<Ь) на конечную, не зависящую от т|,
С

с

величину f (х) dx:

а

Л	с	л

5 f (х) dx = $ f (х) dx + J f (x) dx.

a	a	c

Л Л

Поэтому при оба интеграла $ и $ одновременно имеют
или не имеют	предел,	причем	в	случае его	существования

ь	с	ь

\f(x) dx = \f(x)dx + y (x)dx.	(33.2)

а	а	с
Из определения (33.1) несобственного интеграла и из (33.2)
ь

следует, что если интеграл \J(x)dx сходится, то
а

b

lim (x)dx = G.
с-> b •

(33.3)

Отметим, что выполнение этого условия нельзя принять в каче-
стве определения сходящегося интеграла \f(x) dx, так как интеграл

а

b

§ f (х) dx также является несобственным и говорить о его стрем-
С

лении к нулю при можно лишь уже обладая определением
сходящегося несобственного инте-

грала.

Если функция f неотрицательна
и непрерывна на промежутке [а, Ь),
ь

то несобственный интеграл f (х) dx
а

равен площади неограниченного от-
крытого множества

G = {(x, y)'.a<x<b‘, 0< z/</(x)},

т. е.

ь

f (х) dx = mes G.
а

(33.4)

Действительно (на рис. 131 изображен случай конечного Ь),
выберем какую-либо последовательность гр е[a, b), k=\, 2, ...
так, чтобы lim тр = b и положим
k — оо

Gk = {(x, у):а<х<щ, 0<у</(х)}.

Тогда согласно теореме 1 из п. 32.1

mes Gfe = § / (х) dx.

(33.5)

Поскольку Gfe —открытые множества, k=\, 2, ..., и

Gi с: G2 с: ... с: Gfe с .... и (J Gk = G,
k = i

то, в силу теоремы 2 и. 31.2

lim mes Gk = mes G.

k —>co

17 Кудрявцев Л. Д. т. 1
Согласно же определению несобственного интеграла

lim

$ f (х) dx = f (х) dx.
а	а

функция, интегрируемая по Риману
аС1]<Ь< + сх;, и ограниченная на

Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (33.5) при k—>со, полу-
чим (33.4).

Отметим, что определение (33.1) несобственного интеграла
ь

§ f (х) dx в случае конечного промежутка [а, Ь) содержательно
а

лишь в случае, когда функция f неограничена в любой окрест-
ности точки х=Ь, т. е. на любом интервале (Ь — е, Ь) (0<е<
<& — а). Это связано с тем, что (как нетрудно показать) всякая
на любом отрезке [а, т]],
полуинтервале [а, Ь) будет
интегрируемой по Риману
и на отрезке [а, Ь] при
любом ее доопределении в
точке х = &. При этом ин-
теграл Римана от таким об-
разом доопределенной фун-
кции равен пределу (33.1)
и, тем самым, не зависит
от выбора дополнительного
значения функции при х=
= Ь. В этом смысле ин-

теграл Римана является частным случаем несобственного инте-
грала. Поэтому все дальнейшее изложение содержательно лишь
когда функция определена на бесконечном промежутке или ко-
нечном, причем в последнем случае неограничена (рис. 132).
Содержательность здесь понимается в том смысле, что для огра-
ниченных подынтегральных функций, определенных на ограни-
ченных промежутках, доказываемые ниже теоремы либо триви-
альны, либо доказаны раньше.

Упражнения. 1. Пусть функция f ограничена на полуинтервале
[а, 6), —со < a <z Ь < + сю и интегрируема по Риману на любом отрезке

Ч

[а, т)], а-''т1<Ь. Доказать, что в этом случае предел lim \ f (х) dx всегда
существует, причем если функцию f произвольным образом доопределить при
х=Ь, то этот предел будет равен интегралу Римана по отрезк/[a, bj от
доопределенной функции.

2. Привести пример неотрицательной при х >: 1 и неограниченной в любой
окрестности + со функции f, для которой сходится несобственный интеграл

j f(x)dx.

i
Если функция / определена на полуинтервале вида (а, Ь],
— о; =<: а < £> < + оо, и интегрируема по Риману на всех отрез-
ft

ках [£, Ь],	то несобственный интеграл ^f(x)dx опре-

а

деляется по формуле
b	ь

lim \f(x)dx.	(33.6)

a

Если же функция f определена на интервале (а, Ь), —м-с
«4 а <6-С ф ос, и при некотором выборе точки cela, Ь) суще-
ствуют несобственные интегралы f (х) dx (в смысле (33.6)) и
а
b

У (х) dx (в смысле (33.1)), то по определению полагается

С	bob

У (х) dx = У(х) dx + У (х) dx.	(33.7)

а	а	с

b

При этом существование и значение интеграла § f (х) dx не зависит
а

от выбора точки се(й, Ь). В самом деле, в рассматриваемом
случае функция f очевидно интегрируема по Риману на любом
отрезке |ф, г]], a<g<r]<;b, и определение (33.7) в силу опре-
делений (33.1) и (33.6) равносильно следующему:

f (х) dx = lim j f (x) dx,
а
Ti^b ”

Здесь правая часть является пределом функции двух переменных £
и ц. Образно говоря, переменные £ и т] стремятся соответственно
к а и b независимо друг от друга.

Пусть теперь существует конечное число точек xf, i = 0, 1, ..., k,
— oo=c« = Xo<Xi<...<xfe = &sg + oo (под Хо можно подразу-
мевать также — со, а под xk — ф- сю) таких, что все несобственные
интегралы

j f(x)dx, i = l, 2, ..., k,
xi-i

ь

существуют. Тогда несобственный интеграл J f (х) dx определяется
а

по формуле

y(x)dx^ 2 \ f(x)dx.	(33.8)

a	i=l xi-t
Из этого определения и определения (33.7) следует, что несоб-
ственный интеграл в общем случае сводится к интегралам вида
(33.1) и (33.6). Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь изуче-
нием несобственных интегралов двух указанных видов.

Упражнение 3. Доказать, что существование и значение несобствен-
b

ного интеграла ( f (х) dx в определении (33.8) не зависит от выбора точек xit
а

i=0, 1, 2, ..., k, удовлетворяющих сформулированным выше условиям.

Примеры. 1. Покажем, что несобственный интеграл от
функции f(x) = y по полуинтервалу (0, 1] расходится. Действи-
тельно,

1 1

( —= ijm С—= Hm lnx]' = — lim ln£ = + co-

J х + х £- + « к s-H-o

Обычно проведенные вычисления записываются короче:

1

С dx __ *1-“ |i
' ха ~ 1 —а [о

о

2.	Выясним при каких а^=1 сходится, а при каких —расхо-
дится интеграл от функции f (х) = ~ по промежутку (0, 1]. Имеем:

---- при а<1,

1—а 1	’

4- оо при аД> 1.

Отметим, что при «дО рассматриваемый интеграл является соб-
ственным. Объединив результаты, полученные в примерах 1 и 2,
получим

С dx ( сходится	при а < 1,

' ( расходится при cc^sl.

3.	Рассмотрим теперь функцию f (х) = на бесконечном про-
межутке [1, + оо). Если а=1, то

Н-

С dx 1	1+ 00	.

\ “х* = ПХ 1	= + °°-

1

Если же а #= 1, то

+ “ j , „ ,,	----Г при а>1,

С dx __ хг~а + со__ I а—1	1

J ха	1 —а	-|-со при а<1.
Таким образом,

С dx ( сходится	при а>1,

J ха ( расходится при a 1.

Мы ввели новое понятие — понятие несобственного интеграла.
Прежде всего естественно выяснить, какими свойствами обладает
этот интеграл. Сохраняются ли для него свойства обычного инте-
грала? Возникают ли для несобственного интеграла (а если воз-
никают, то такие) новые задачи и вопросы, специфические именно
для него? Мы получим ответы на эти вопросы в дальнейших
пунктах этого параграфа.

33.2. ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

В этом и в дальнейших пунктах при рассмотрении свойств
несобственных интегралов будем останавливаться более подробно
лишь на интегралах от функций, определенных на конечных или
бесконечных промежутках вида [а, Ь) и интегрируемых по Риману
на всех отрезках [а, ц], а=Ст]<&. Любые другие предположения
будут специально оговариваться.

В силу свойств предела и определения несобственного инте-
грала, как предела обычного интеграла Римана, на несобственные
интегралы переносятся многие свойства определенного интеграла.
Рассмотрим некоторые из них.

1° (Формула Ньютона—Лейбница для несобственных интегра-
лов). Если функция f непрерывна на полуинтервале [а, Ь) и F —
какая-либо ее первообразная на нем, то

b.	(F (Ь — 0) — F (а), если Ь конечно

\f(x)dx = L' ,	.	,	(33.11)

a	|F(4~oo) — F (а), если Ь = + оо

Здесь F (Ь — 0) — lim F (х) в случае, когда b конечно, и F (+оо) =
х-*Ь—О

= lim/7 (х), а под первообразной F функции f на промежутке
[а, Ь) понимается функция F, непрерывная на нем, дифференци-
руемая во всех его внутренних точках и такая, что F' (х) = f (х),
а<х<Ь.

Равенство (33.11) понимается в том смысле, что либо обе его
части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они
одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не
существуют. Действительно, согласно формуле Ньютона —Лейб-
ница для функций, интегрируемых по Риману (см. п. 29.3), для
любого т] е [а, Ь) имеем

ч

[f(x)dx = F(x])-F(a).
Переходя в этом равенстве к пределу при ц -> b, a -С т] < Ь, по-
лучаем формулу (33.11).

Подчеркнем, что эта формула доказана в предположении, что
функция f интегрируема в обычном смысле на каждом отрезке
вида [а, ц), а ц < Ь. Для интегралов вида (33.8) в случае,
когда в правой части имеется более чем одно слагаемое, анало-
гичная формула верна не всегда. Образно говоря, если в неко-
торой внутренней точке данного промежутка функция обраща-
ется в бесконечность, то на всем этом промежутке нельзя, во-
обще говоря, применять формулу Ньютона — Лейбница. Например,

С dx

если к интегралу \ формально применить формулу Ньютона —
-1

Лейбница, то он будет равен числу —=— 2. Однако, как
мы уже знаем, рассматриваемый интеграл не существует. Таким
образом, в этом примере применение формулы Ньютона — Лейб-
ница сразу на всем промежутке интегрирования невозможно по
существу.

Формула, аналогичная (33.11), справедлива, конечно, для
несобственных интегралов вида (33.6). Если же несобственный
интеграл определяется равенством (33.8), то формулу Ньютона —
Лейбница следует применять (если это возможно) отдельно
к каждому слагаемому правой части.

2°. (Линейность несобственного интеграла). Если несобственные
b	ь

интегралы § f (х) dx, g (х) dx сходятся, то для любых чисел
а	а

b

X, р сходится и несобственный интеграл [Xf (х) + pg- (х)] dx,
а

причем

ъ	ь	ь

$ [V (х) -|-pg (х)] dx = X $ f (х) dx + р 5 ё (•*) dx-

а	а	а

В самом деле

Ь	т|

5 [V (х) + pg (х)] dx = 1 im J [X/ (х) + pg (х)] dx =
о	а

[П	Я

X f (х) dx + р § g (х) dx =
а	а	~

Л	tj	b	b

= Х lim \f(x) dx-J-p lim (g (x) dx = X	(x) dx + p \g(x) dx,

a	T)—a	a	a

d^x\<Zb,
Подобным же образом доказываются и нижеследующие свой-
ства несобственных интегралов, аналогичные соответствующим
свойствам интеграла Римана.

ь

3° (Интегрирование неравенств). Если интегралы \f(x)dx,

а
b

§ g (х) dx сходятся, и для всех х е [а, Ь) выполняется неравенство
f(x)^g(x), то
ь	ь

$ f (х) dxsz\g (х) dx.

а	а

4° (Правило интегрирования по частям). Если функции и =
= и(х) и v — v{x) непрерывно дифференцируемы на промежутке
[а, Ь), то

ь

§ udv — ио
а

b Ъ

— ^vdu,
а а

(33.12)

ь	ь	ь

причем, если любые два из выражений § и do, uv и du имеют
а	а	а

смысл (т. е. соответствующие пределы конечны), то имеет смысл
и третье.

5° (Замена переменного в несобственном интеграле). Пусть
функция f непрерывна на [а, Ь), функция ф(/) непрерывно диффе-
ренцируема на полуинтервале [а, £), — оэ<а<р sSJ + оо, причем
а —ср (а) ' ф = lim ф (t) при а ==£/•< 6; тогда

ь	р

$/(х)^х = $/[ф (01 ф' (0]^-

а	а

(33.13)

При этом интегралы в обеих частях этой формулы одновременно
сходятся или нет.

Может случиться, что с помощью замены переменного несоб-
ственный интеграл превратится в обычный. Например, выполняя

[* dx

в несобственном интеграле^ р==== замену переменной x = sin/,
о

получаем собственный интеграл

1
г* dx

о

л/2

= I Л =
о
ь

Отметим, что всякий несобственный интеграл § f (х) dx по ко-
а

нечному промежутку [а, Ь) может быть заменой переменной
сведен к несобственному интегралу по неограниченному проме-
жутку. Действительно, сделав, например, замену переменной
x=bt±a_ dx= b~a-dt

Х /+] >	(/+ 1)2

получим

ь

а

о

dt

a+lF •

По аналогии с интегралом Римана для сходящегося несобст-
ь

венного интеграла \f(x) dx, a<b, по определению полагается:
а

а	b

/ (х) dx = — $ / (х) dx.

Ь	а

Следует обратить внимание на то, что не все свойства опре-
деленного интеграла Римана переносятся на несобственные интег-
ралы. Так, например, произведение двух функций, интегрируе-
мых по Риману на некотором отрезке, является.функцией, также
интегрируемой по Риману на нем. Аналог этого утверждения
для несобственных интегралов не всегда справедлив. Существуют
функции f и g, интегралы от которых на некотором промежутке
сходятся, а интеграл от их произведения на том же промежутке
расходится. В самом деле, пусть например, f {х) — g (х) =-^=.

Р dx

Как мы знаем (п. 33.1) интеграл J -у-~. сходится, а интеграл
о

1 1

О

। — расходится.
о

Сделанное замечание еще раз напоминает .о том, что, исполь-
зуя при обращении с несобственным интегралом аналоги свойств
интеграла Римана, следует всегда не забывать о необходимости
проверки справедливости для несобственного интеграла всякого
утверждения, аналогичного соответствующему утверждению для
собственного интеграла.

Примеры. Вычислим нижеследующие несобственные инте-
гралы, используя сформулированные выше свойства:

(* dx	1

1.	1 	- -. Посредством замены переменной х = -г, полу-

_ I г1/ г 2 — 1	t
чим

4-СО	1

f	„с

J х^х?—J /1—/2

1	о

i

Л

:2 ’

= arcsin t

1

2.	1п = (Inх)пdx. n = Q, 1, 2, ... Интегрируя по частям
о

(при п> 0), имеем

1

In — x (In х)л IJ — « J (In х)”-1 dx = — nln-r,
о

ибо lim х(1пх)л = 0. Это равенство легко получить, если при-
х->4-со

менить п раз правило Лопиталя:

.	,.	(1пх)я	V (1пх)«-1

limx(lnx)n = lim - = — nlim-5———=...=

*->0	х-0	4х	х->0 О*

= (— 1 )л+1и! limx = 0)
х-*0

1

Заметив, что /0= ^dx~l, получим/л — (—1)”ft!*);
о

4“ СО

3.	Jn= J хпе~х dx, п — 0, 1, 2, ... Снова проинтегрировав
о

по частям заданный интеграл при п>0, получим

+с°

Jn = — хпе~х |0Нсо + п § хп^х dx = nln^1
о

и поскольку

4-со

Jo = j е~х dx = —	= 1,

о

то Jn = n!

4.	Остаются справедливыми для несобственных интегралов
неравенства Минковского и Гельдера (см. п. 28.4*):

/6	\Up jb	\\/p /Ь

Kl/W + g W lpdx] ^[{\(x)\Pdx\ +Ц

/ \a

ь

;b

Ъ	,'Ь	\1/р /Ь	\1/д

y(x)g(x)dx ^{\\f(x)\Pdx]	51g(x)I9dxI :

a	\<x	/	'a

а

<а

1+1
Р q

*> Напомним, что по определению 0! = L
Для доказательства достаточно написать соответствующие не-
равенства для интегралов на отрезке [a, tj] и перейти к пре-
делу при ц-уЬ.

В следующем пункте мы займемся специфической задачей
теории несобственных интегралов: установлением признаков их
сходимости.

Упражнения. Вычислить несобственные интегралы:

а > 0.

Ь

Sdx
....

У (х — а)(Ь — х)
а

х

j (tP+aP)Odt

9. Найти lim------xpg+i,---’ а’ Р>

Указание: воспользоваться правилом Лопиталя.

33.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ

Изучение признаков сходимости несобственных интегралов
начнем со случая, когда подынтегральная функция неотрица-
тельна. При этом будем придерживаться соглашения, сформули-
рованного в начале предыдущего пункта.

Лемма 1. Если функция f неотрицательна на полуинтервале
ь

[а, Ь), то для сходимости несобственного интеграла ^f(x')dx не-
а

обходимо и достаточно, чтобы все интегралы

ч

§ f (х) dx, а^ц<Ь
а

были ограниченными в совокупности, т. е. чтобы существовала
такая постоянная М > 0, что для всех ц е [я, Ь) выполняется
неравенство

л

\f(x)dx^M.	(33.14)

а

При выполнении этого условия
Доказательство. Рассмотрим функцию
ч

<р (ц) = § f (х) dx, й<ф<ф.	(33.16)

а

В силу того, что функция <р возрастает: действительно,
если « «J т| < ц'< 6, то (см. свойство 8° интеграла в п. 28.1)

ч'

§ f (х) dx О,
ч
и поэтому
я'	л	ч'	л

Ф 0)') = dx = jj f (х) dx ф- $ / (х) dx 2г (х) dx = <р (rj).
а	а	т]	а

b

Теперь заметим, что несобственный интеграл § f (х) dx схо-
а

датся тогда и только тогда, когда существует предел
п

lim ?/(х) dx — limtp (т|), а последний предел существует в том и

Ч^Ь а	Ч-»&

только том случае (см. теорему 5 в п. 4.10), когда функция <р
ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие (33.14).
При этом,

Ь	1)

\f(x) dx = lim <р (ц) = sup f/(x)dx. ГТ
а	j

Из доказанной леммы следует, что для того чтобы несобст-
ь

венный интеграл ^f(x)dx от неотрицательной функции расхо-
а

дился, необходимо и достаточно, чтобы функция ф(ц) (см. (33.16))
была неограниченной сверху; но тогда в силу ее возрастания

ч
lim (f (х) dx = lim <р (q) = ф- сю.
ч^ь а	ч^ь

ь

Поэтому, если несобственный интеграл f (х) dx от неотрицатель-
а
b

ной функции расходится, то пишут § / (х) dx = ф-оо. При таком
а

соглашении остается справедливым равенство (33.15).

Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции fug неот-
рицательны на полуинтервале [а, Ь) и

/(х) = О(§фх)) при х->6*>.	(33.17)

*> В частности f (х) ^zg (х), х е [а, Ь).
Тогда

ь

1)	если интеграл J g (х) dx сходится, то сходится и интеграл
а

Ь

\f(x)dx;

а

b

2)	если интеграл f (х) dx расходится, то расходится и интеграл
а

b

\g(x) dx.
а

Следствие. Пусть функции f, g неотрицательны на полуин-
тервале [a, b), g(x)^=O, хе [а, Ь) и существует

Н1иЖ = ^ а-^х<Ь.	(33.18)

Тогда

ъ

1)	если интеграл ^g(x)dx сходится и 0s^^<4-cx>, /по инте-
а

b

грал ^f(x)dx также сходится,
а

b

2)	если интеграл ^gtxjdx расходится и 0<&^4-оо, то
а

b

интеграл ^f(x)dx также расходится,
а

В частности, если f и g — эквивалентные при х-уЬ функции-,
ь	ь

f^g, х-уЬ (см. п. 8.2), то интегралы ^f(x)dx и \g(x)dx схо-
а	а

дятся или расходятся одновременно.

ь

Доказательство теоремы. Пусть интеграл g(х)dx

а

сходится. Из условия (33.17) следует существование такого т]0,
а=Ст]о<&> и такого с>0, что для всех хе[т]0, Ь) выполняется
неравенство

/(x)^cg(x)	(33.19)

ь

(см. п. 8.2). Из сходимости интеграла ^g(x)dx следует и сходи-
а

b

мость интеграла ^g(x)dx. В силу же необходимости условий

Ло
леммы для сходимости интеграла, существует такое число М > О,
что для любого т] е [т]0, Ь) справедливо неравенство

п
g (х) dx sg М.

По

Отсюда и из неравенства (33.19) имеем

п	п

§ f (х) dx «J с J g (х) dx sg сМ.
По	По

Из этого неравенства, в силу достаточности условий леммы для
сходимости интеграла от неотрицательной функции получаем, что
ъ	ь

интеграл f (х) dx, а, следовательно, и интеграл f (х) dx exo-
ne	а

дятся.

Первое утверждение теоремы доказано. Второе —логически
ь

равносильно первому. В частности, если интеграл §/(x)dx рас-
а

b

ходится, то ^g(x)dx не может сходиться, так как если он был
а

бы сходящимся, то в силу уже доказанного первого утверждения
ь

теоремы, сходился бы и интеграл ^f(x)dx. Таким образом, инте-
а

b

грал Jg(x)dx расходится. □
а

Доказательство следствия. Из выполнения условия
(33.18) для k, удовлетворяющего условию Osg&<-|-co, следует,
что существует такое ц е [а, Ь), что если т]<х<;й, то

^<^4-1, т. е. f(x)<(k+V)g(x),
а это означает, что

/(x) = O(g(x)),	x-+b.

Поэтому утверждение 1) следствия непосредственно вытекает из
утверждения теоремы 1) теоремы 1.

Пусть теперь условие (33.18) выполнено при некотором k,
удовлетворяющем условию 0<g&sg4-oo. Тогда для любого k' е
е (0, k) существует такое т] е [а, Ь), что если т\<.х<.Ь, то

или g(x)<~f(x).

Это и означает, что g(x) = О (f(x)), x^b. Поэтому утверждение
2) следствия непосредственно вытекает из утверждения 2) тео-
ремы 1. Q
Функция g'(x) в утверждении 1 теоремы 1 и в ее следствии,
ь

с помощью которой устанавливается сходимость интеграла jj f (х) dx,
а

называется функцией сравнения. Если, в частности, /(x)^g'(x)
для всех хе[а, Ь), то говорят также, что f(x) мажорируется
функцией g(x) или что g(x) служит мажорантой для Не-
эффективность использования критерия сравнения для реше-
ния вопроса о сходимости интеграла зависит, конечно, от запаса
функций сравнения, о которых известно, сходится или расхо-
дится несобственный интеграл от них, взятый по рассматривае-
мому промежутку, и которые, тем самым, можно пытаться исполь-
зовать для исследования сходимости данного интеграла. Заметим,
что утверждение, аналогичное теореме 1, справедливо, конечно,
и для несобственных интегралов типа (33.6).

В качестве функций сравнения g(x) часто достаточно брать
степенные функции. Именно, в случае конечных промежутков
[а, Ь) и (а, 6] берутся, соответственно, функции g (х) = ^2 ~^а и
ъ	ъ

. .	1	f dx f dx

g(x) = (x_a)a. интегралы от которых J	j ^а)а- сходятся

а	а

при а<1 и расходятся при а 5^1 (в этом легко убедиться,
сведя указанные интегралы линейной заменой переменной к инте-

1

С dx

гралам \ рассмотренным в п. 33.1). В случае же бесконеч-
б

ных промежутков [а, +оо) и (—со, 6] за функции сравнения
берутся, соответственно,	и g (х) = интегралы от

4* оо	— 1

С dx С dx	,

которых I дя И \ т—СХОДЯТСЯ при й> 1 И рЭСХОДяТСЯ При
J	J | X |

1	— оо

сскС 1 (см. примеры в п. 33.1).

Отметим еще, что, очевидным образом, все сформулированные
признаки сходимости и расходимости интегралов остаются в силе
(с очевидными изменениями), если в них условие неотрицатель-
ности функции f заменить условием ее неположительности (это
ъ

следует из того, что интеграл ^ (— f (х)) dx сходится тогда и
а

b

только тогда, когда сходится интеграл $/(x)dx).
а

Примеры. 1. Интеграл

1

J^7==^	(33.20)
сходится. В самом деле, обозначая через f подынтегральную

функцию /(%)

=  — и беря в качестве функции сравнения

здесь а=4’

имеем

.. Нх) ,.

lim = lim

x-^l—O g(x) xi—Q

lim

ЛГ— 1 —

x?

О К1 +*

1

/2’

поэтому, согласно следствию из теоремы 1, интеграл (33.20) схо-

дится.

2. Интеграл
о
достаточно взять

расходится. Чтобы убедиться в этом,
в качестве функции сравнения

здесь а = 1.

В рассмотренных примерах выбор показателя а у функции
сравнения можно было сделать сразу, исходя из конкретного
вида заданной подынтегральной функции. Иногда, когда такой
выбор сразу не ясен, приходится предварительно проделывать
некоторые дополнительные исследования, например, попытаться

поэтому, согласно следствию из теоремы 1 (точнее, его аналогу
для неположительных функций), интеграл (33-21) сходится.

Геометрически сходимость и расходимость интегралов (33.9),
(33.10) и (33.21) означает конечность или бесконечность площа-
дей соответствующих «бесконечных криволинейных трапеций»,
сравнительное расположение которых изображено на рис. 133.
4.	Для выяснения вопроса о сходимости интеграла

(33.22)

заметим, что 1пх = 1п[1 + (х — 1)]~х — 1 при и возьмем
за функцию сравнения g(x) =--------г, (а=1). Тогда lim-,— = —1,

и, следовательно, интеграл (33.22) расходится.

5.	Интеграл

4-	оо

f Aln = dx	(33.23)

J A3 + i	v ’

3

сходится. Действительно, возьмем а — у — е, е>0. Тогда, при-
менив снова правило Лопиталя, получим:

3 _ е	3

V X2 Inx v	X2 v Inx v 1 о

hm —	= lim —. — lim —= hm — = 0.

x 4- co У x3 4* 1	x—► 4 оэ У x3 1 x -*4-oo Xе x-*4*co

3

Выберем e>0 так, чтобы у — е> 1; в этом случае интеграл
4- со

С dx	.

J у/2—е СХОДИТСЯ> з потому, в силу следствия из теоремы I,
1

сходится и интеграл (33.23).

6.	Исследуем сходимость интеграла

+,°° In cos —

J —^dx.	(33.24)

i

Здесь подынтегральная функция всюду отрицательна. Очевидно,
интеграл (33.24) сходится или расходится одновременно с инте-
гралом

+ “ / In cos —\

I--------dx,	(33.25)

у которого подынтегральная функция всюду положительна.
Разложив функцию Incos^- по формуле Тейлора, получим

, 1

— In cos - =

n Р-^+o(x2l| __

хР	~

Д,

'° \ X2 I	1	/ 1 \

— ХР - = 2^ + °Ы’ Х-> + СО-
, 1

In cos —

Таким образом,-------—~2х^р пРи х->+00 и> следовательно,

интеграл (33.24) сходится при 2 + р> 1, т. е. при 1, и
расходится при р — 1.

В примерах 2 и 3 сходимость рассмотренных там интегралов
можно было бы установить, вычислив их по формуле Ньютона —
Лейбница. Однако, выяснение сходимости интегралов с помощью
признака сравнения обычно требует меньше вычислений, чем
посредством предварительного их нахождения по формуле
Ньютона — Лейбница. Важно отметить, что используя признак,
сравнения, можно выяснить сходимость интегралов, конечно, и
в случае, когда первообразная подынтегральной функции не
является элементарной, и, следовательно, обычным приемом,
с помощью формулы Ньютона — Лейбница, интеграл заведомо не
вычисляется, как это было в примерах 4 и 5.

Подчеркнем еще раз, что признак сравнения для выяснения
вопроса о сходимости несобственного интеграла можно применять
только для функций, не меняющих знака. Возникает вопрос: как
выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл в слу-
чае, когда подынтегральная функция меняет знак? В следующих
пунктах мы и займемся изучением этого вопроса.

33.4.	КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ

Теорема 2. Для сходимости интеграла \f(x)dx необходимо и

достаточно, чтобы для любого е
т] = т](е), a^T]<Zb, что если
т] < т]' < Ь, г] < г]" < Ь, то

п"

§ f (х) dx
ir

е.

Доказательство. Поло-

ч

жим <р (д) = f (х) dx, a^._x]<zb-xz

(33.26)

а

> 0 существовало такое число

Рис. 134

^4-оо. Тогда сходимость интеграла § f (х) dx, т. е. существова-

а

ние предела (33.1), означает существование предела lim ф (tj).
ti b

В силу же критерия Коши для наличия конечного предела функ-
ции ф (г]) при г\-*-Ь необходимо и достаточно, чтобы для любого
е>0 существовала такая левосторонняя проколотая окрестность
U (Ь; г]) = {х : г] < х < Ь} точки Ь, т. е. существовало такое число т]0,
a^r[<Z.b, что для всех ц' е&(b', ц) и д" е U(Jr, т]) (что равно-
сильно условию: г] <!]'<;&, т]<тГ<Ь) выполнялось бы нера-
венство

|Ф(Т]")-Ф(г]')1<е.	(33.27)

Поскольку

Ч''	Ч"	л"

Ф (л")— Ф (лЭ = f(x) — $ f (х) dx=^ f (x) dx,

a	a	ту

то неравенство (33.27) равносильно условию (33.26) (рис. 134). Д
Теорема 2 называется критерием Коши сходимости интеграла.

33.5.	АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

Важным понятием для несобственных интегралов от функций,
меняющих знак, является понятие абсолютно сходящегося инте-
грала.

ъ

Определение 2. Несобственный интеграл \f(x)dx называется

а
b

абсолютно сходящимся, если сходится интеграл j f (х) | dx.

а
b

Функции, для которых интеграл ^f(x)dx абсолютно сходится
а

называются абсолютно интегрируемыми (в несобственном смысле)
на промежутке с концами а и Ь. В случае, когда а и b конечны,
говорят также, что функция f абсолютно интегрируема на
отрезке [а, &].

Из теоремы 2 непосредственно следует критерий абсолютной
сходимости интеграла.

ь

Теорема 3. Для того чтобы интеграл jj f (х) dx абсолютно схо-
а

дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 сущест-
вовало такое т] = т](е), что если <С л' <Ь и л<л"<&, то

ч"

§ ] f (х) | dx
ч'

< е.

Эта теорема называется критерием Коши абсолютной сходи-
мости интеграла.

Напомним, что, как всегда, здесь предполагается, что функ-
ция f интегрируема по Риману на любом отрезке [а, ц], где
a^i]<Zb, — оо < a <Zb ^4-со.

Признак сходимости интегралов от неотрицательных функций,
очевидно, применим также и для выяснения абсолютной сходи-
мости интегралов. Пусть, например, требуется выяснить: схо-
дится или нет интеграл

4- оо

j C-^dx.	(33.28)

4- ОО

Поскольку | j > и интеграл сходится, то согласно

4- оо

признаку сравнения сходится и интеграл J j | dx, т. е. инте-
1

грал (33.28) абсолютно сходится.

Важная связь между сходимостью и абсолютной сходимостью
интегралов устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Если интеграл абсолютно сходится, то он и просто
сходится.

Доказательство. Пусть задано е>0. Если интеграл
j / (х) dx абсолютно сходится, то в силу критерия Коши абсо-
а
лютной сходимости интеграла (см. теорему 3) для любого е>0
существует такое т]=т](е), что если	Т1<ТГ <&> то

л'

(33.29)

Поскольку

(33.29) для

п"

§ f (х) dx
п'

П"

j \f(x)\dx

11'

то в силу неравенства

любых указанных т/ и г]" имеем

Л"

f (х) dx
л'

поэтому в силу критерия Коши сходимости интегралов (см. тео-
ь

рему 2) интеграл \j(x')dx сходится. Q
а

Упражнение 10. Если несобственный интеграл от функции, опреде-
ленной на отрезке абсолютно сходится, то он и просто сходится. Интеграл
Римана является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно,
если существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то суще-
ствует и интеграл Римана от самой функции. Это неверно (привести соответ-
ствующий пример!). Где ошибка в проведенном рассуждении?

Существенно отметить, что интеграл может сходиться, но не
сходиться абсолютно. В качестве примера рассмотрим интеграл

4- ОО

f ^dx.	(33.30)
„	,. sm х ,

Прежде всего, заметим, что поскольку lim-------= 1, то подынте-

х->0 х

тральная функция, доопределенная единицей при х = 0, будет
непрерывной на полупрямой х^О и, значит, интегрируемой, по
Риману на любом отрезке [0, rj], в частности —на отрезке [0, 1].
Поэтому вопрос о сходимости, соответственно абсолютной сходи-
мости, интеграла (33.30) эквивалентен вопросу о сходимости,
соответственно абсолютной сходимости, интеграла

(33.31)

Для исследования его сходимости выполним интегрирование
по частям:

1 , / .

— a (cos х) =

cos 1 —

В правой части получился интеграл (33.28), который, как изве-
стно, абсолютно, а значит и просто, сходится.

Таким образом, оба получившихся выражения в правой части
имеют смысл, и следовательно, конечны. Поэтому, во-первых,
проделанное интегрирование по частям законно, а во-вторых,
левая часть также конечна, т. е. интеграл (33.31) сходится.

Заметим, что в результате интегрирования по частям мы
заменили интеграл (33.31) суммой некоторого конечного выраже-
ния и другого несобственного интеграла, у которого в знамена-
теле подынтегрального выражения стоит более высокая степень
переменной интегрирования, чем в (33.31), а в числителе — огра-
ниченная, как в (33.31), функция. В получившемся интеграле
подынтегральная функция быстрее стремится к нулю, чем в исход-
ном, в том смысле, что

Д- = о(—) при х->оо.

X2 \ X I г

Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно иссле-
довать, чем сходимость исходного интеграла: он оказался даже
не просто сходящимся, а абсолютно сходящимся.

Метод, позволяющий свести исследование сходимости данного
интеграла к исследованию сходимости другого интеграла, кото-
рый в каком-то смысле «лучше сходится», чем данный, называ-
ется методом улучшения сходимости.
Покажем теперь, что интеграл (33.31) не сходится абсолютно,
т. е. что интеграл

(33.32)

расходится. Действительно, из неравенства

при любом г] > 1 имеем:
ч	ч	ч

С dx^-6- ( - - 4Л dx. (33.33)
1	1	1

4- co

Интеграл $ — расходится и равен 4-oo. Интеграл же
i
4“ со

cos2xсходится. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем
1
его по частям:

4- со	4*03	Ч- со

(* cos 2х <	1 С 1 j /  о _____sin 2х 1+ go If* с:п о..д ( 1 \ _

\	\ ж (Sln 2x) ~ 2x 1	2 J Sln2Ad\x)~

1 1 1

4- co

sin 2 ! 1 [* sin 2x

— ~2~ + 2 J
1

+J50	2

В силу этой формулы сходимость интеграла ^—-dx непо-
1

средственно следует из абсолютной сходимости интеграла

4- со

С sin 2х ,

I — 2 - dx, которая в свою очередь вытекает из очевидного нера-

1

венства

I sin 2х |	1

I х2 [ ” х2'

Перейдя теперь к пределу при т]->фоо в неравенстве (33.33),
получаем, что правая, а следовательно, и левая части этого
неравенства стремятся к фсо и потому интеграл (33.32) расхо-
дится.

Таким образом, интеграл (33.31), значит, и интеграл (33.30)
не сходятся абсолютно.

Докажем еще одно полезное для дальнейшего вспомогатель-
ное утверждение.
Лемма 2. Если функция f абсолютно интегрируема, а функ-
ция g интегрируема по Риману на отрезке [а, &], то их произ?
ведение gf также абсолютно интегрируемо на [а, &].

Доказательство. Как было договорено выше, рассматри-
ваются только такие функции f, которые при любом г] е [а, Ь)
интегрируемы по Риману на отрезке [а, д]. Поскольку по усло-
вию функция g интегрируема по Риману на отрезке [а, &], то
она интегрируема по Риману и на всяком отрезке [а, т)], т] е
е [а, Ь) (см. свойство 2 в п. 28.1). Поэтому произведение gf
также интегрируемо по Риману на любом указанном отрезке
[а, д] (см. свойство 6 в п. 28.1). Это означает, что имеет смысл
ь

рассмотрение несобственного интеграла ^g(x)f (х) dx.
а

В силу интегрируемости по Риману функции g на отрезке
[а, 6], она ограничена на нем, т. е. существует такая постоян-
ная А4>0, что для всех хе[а, 6] выполняется неравенство
|g(x) | ==g'Af. Следовательно, для всех хе[а, Ь) справедливо и
неравенство \g(x)f(x)\^M\f(x)\. Заметив, что, в силу абсо-
лютной интегрируемости функции f на отрезке [а, Ь] интеграл
ь	ь

$ М | f (х) | dx = М J | f (х) | dx сходится, получим по признаку срав-
а	а

b

нения, что сходится и интеграл J|g(x)f (х) | dx, т. е., что произ-
а

ведение gf абсолютно интегрируемо на отрезке [а, &]. Д

Все сказанное в этом пункте естественным образом перено-
сится и на несобственные интегралы других видов, рассмотрен-
ных в п. 33.1, т. е. на интегралы вида (33.6), а также на инте-
гралы общего типа (33.8).

33.6. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ

Докажем один достаточный признак сходимости интегралов,
называемый обычно признаком Дирихле.

Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть

1) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную
F при х~>а',

2)' функция g непрерывно дифференцируема и убывает при

3) lim g(x)=0;

х-* 4- со

тогда интеграл

+ со

5 f(.x)g(.x)dx	(33.34)

а

сходится.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу
сделанных предположений функция fg непрерывна, а значит, и
интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Ь], а <&<+оо, и
поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (33.34).

Проинтегрировав по частям произведение f(x)g(x) на отрезке
[а, &], получим:

Ь	Ь	ъ

\f(x)g(x)dx — ^g(x)dF(x)=g(x)F(x)f-jf (x)g' (х) dx. (33.35)
а	а	а

Исследуем поведение обоих слагаемых правой части при
6-> + <х). В силу ограниченности функции F (см. условие 1 тео-
ремы)

М = sup |F(x)| <4-оо, поэтому \g(b)F (b)\^Mg(b).

В силу же условия 3 теоремы lim g(b')F (6) = 0.

Ъ ->+ оо

Далее, из монотонного убывания функции g следует, что
g'(x)<0 при х '^а и поэтому
ь	ь

{x)g' (x)|dx<A4$|gr' (х)| dx —
а	а

Ь

= — M\g' (х) dx = Л4 [g (а) - g (&)] < Mg (а),
а

ибо из условий 2 и 3 теоремы следует, что g (х)	0, в частности,

что g(b)^O.

ь

Таким образом, интегралы [ F (x)gr (х) | dx ограничены в сово-
а

купности при всех Ь>а, и поэтому интеграл

+ со

$ F(x)g'(x)dx
а

абсолютно, а значит, и просто сходится, т. е. существует конеч-
ный предел

ь

lim $ F (х)g' (х) dx.

Ь-»4-оо Ja

Мы доказали, что в правой части равенства (33.35) оба сла-
гаемых при 6->-4~оо имеют конечный предел, а значит, и пре-
дел левой части при Ь->4-°° конечен, что означает сходимость
интеграла (33.34). Q

Примеры 1. Применим признак Дирихле к исследованию
сходимости интеграла

+ °°

J ^dx, а>0,	(33.36)
Функция f(x) = sinx имеет ограниченную первообразную F(x) =
— — cosx, а непрерывно дифференцируемая функция g(x)~ 1/х?
при а>0 монотонно убывает и стремится к нулю при х->4-со.
Все условия теоремы 5 выполнены, поэтому интеграл (33.36)
сходится.

2. Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает
только достаточные, а не необходимые условия сходимости инте-
грала; поэтому не всегда с помощью его можно решить вопрос
о сходимости интеграла. Например, исследуем сходимость инте-
грала

+ со

1

Попытаемся применить признак Дирихле, положив /(x) = sinx и
g(х) = а 1 . у. Очевидно, что §(%)->0 при х->4-оо. Найдем
х sin X

производную:

, , ._— cos x

&	(ха—sinx)2 ‘

Отсюда видно, что при эта производная при х->4-оо бес-
конечно много раз меняет знак и, следовательно, сама функция
g(x) не является монотонно убывающей функцией.

Таким образом, при а<1 признак Дирихле не применим
указанным способом к выяснению вопроса о сходимости интег-
рала (33.37). В этом случае естественно попробовать прибегнуть
снова к методу выделения главной части.

Применяя разложение функции (I—/)"1, —по
формуле Тейлора (см. и. 13.3), получим, при

sin х _ sin х 1	_sin х R sin х / 1. \1____

x“—sin x ~' x“ . sin x ~~ x“ [ ""	'	\ •*“ J J

1	x““

sin x ] sin2 x r / 1 \	sin x ,	1	cos 2x , ~ ( 1 /QQ 004

~ Д^ + Даа r°\x2“J — xa + 2x2a	2x2a + 0

Интегралы

Ц-co	4“ 00

J ™^-dx и J ^dx	(33.39)

1	1

сходятся по признаку Дирихле при всех a>0. Интеграл же

(33.40)

сходится при 2а>1, т. е. при а>у, и расходится при asg;-*-
Действительно, из формулы (33.38) следует, что.функция о(1/х2а)
в указанной формуле непрерывна по х при х^1, а>0, и, сле-
довательно, имеет смысл говорить об интеграле (33.40). Функции
2^" и	+ ° 0/%2а) неотрицательны в некоторой окрестности

+ оо и эквивалентны при х-> + со, поэтому интеграл (33.40)
сходится и расходится при тех же значениях параметра а, что
+ со
dx

и интеграл I (см. следствие из теоремы 1 в п. 33.3).
1

Таким образом, при все интегралы (33.39) и (33.40)
сходятся, а значит, в силу (33.38) сходится и интеграл (33.37).
При 0<a^Y интегралы (33.39) сходятся, а интеграл (33.40)
расходится, следовательно, расходится и интеграл (33.37).

Заметим, что при а«с0 интеграл (33.37) расходится. Дейст-
вительно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции
обращается в ноль бесконечно много раз; причем, если х“ — sinx0 =
= 0, то функция ха — sinx.в окрестности точки х0, согласно фор-
муле Тейлора, имеет вид (почему?) х“—sinx = (x —х0)*ф(х), где
k — некоторое натуральное число, аф(х0)#=0. Поскольку sinx0^fc
=5^ 0, то в каждой подобной точке х0 мы имеем неинтегрируемую
особенность.

Следует обратить внимание на то, что для каждого фиксиро-
ванного а>0 функции
sin х sin х
------------------------------— и ———
— sin X ха

эквивалентны при х->4-оо, т. е.

sinx „/.д sinx
х“ 6 ' х“ — sin х ’

/ »	4 Sin X 4	I	_ 1

где е(х) = 1—^-->1 при	однако если	то

интеграл (33.37) от первой из них расходится, а интеграл (33.36)
от второй из них сходится.

Таким образом, замена подынтегральной функции на эквива-
лентную может изменить сходимость интеграла (если, конечно,
интеграл не сходится абсолютно).

3. Исследуем на сходимость и абсолютную сходимость интеграл

(33.41)

4-00

„	1 . /sin хХ I I sin х I	,	С I sin х I ,

Поскольку	при x-y-f-oo и интеграл \ 1—-—[ах


расходится (см. (33.32)), то расходится и интеграл

4-СО

1

т. е. интеграл (33.41) не сходится абсолютно.

Легко проверить, что при z/->0

tg У = У + О (у3),

(33.42)

причем в качестве окрестности, участвующей в определении сим-
вола О (см. определение 1 в п. 8.2), здесь можно взять интервал
(—1, 1): существует такая постоянная с>0, что

IО (z/3) | с | у I3,	|z/|<l.

Далее, в силу формулы (33.42) при у = ^^- интеграл (33.41)
можно представить в виде

-Poo	4-оо	-f-оо

J	J	j oHJdx. (33.43)

1 11

4-со

Поскольку интеграл § ^^-dx сходится (например, по признаку
1

+ со

Дирихле), а интеграл $ О абсолютно сходится, то интег-
1

рал (33.41) — сходящийся.

Упражнения. Исследовать на

следующие интегралы:

сходимость и абсолютную сходимость

Г х2 dx

J X1 + X2 + 1 ’
о

12.

dx

V 1 —х2

In х ,
-^—dx.

13.

dx

V 1+Х1"

14.

dx
x+V'x

4" со

15. \ х3е~* dx.
о

18.

19.

20.

dx

х In x‘

dx

x In2 x ’

dx

x In2 x‘
21.	j sinx2dx.

—со

4-	со

пл С sin х .

22.	I -—-------dx.

J x/l+x

Л

23.	j tga x dx, — co < a < + co,
о

—f-CO

c dx	_ „ ,

24‘ J l + (ln^’ — <₽< + -.

Jt

J

In sin x

dx.

sin x
_________qx
(x+cosx)a

§ 34*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Часто при решении задач оказывается необходимым не только
установить сходимость или расходимость рассматриваемого интег-
рала, но и уметь оценить в определенном смысле порядок «ско-
рости» его сходимости или характер расходимости. Мы не будем
здесь доказывать каких-либо общих теорем, относящихся к этому
вопросу (о некоторых общих методах изучения асимптотического
поведения функций см. в п. 37.10*), и формулировать определе-
ние скорости сходимости, а лишь проиллюстрируем его на отдель-
ных примерах нахождения порядка убывания сходящихся и роста
расходящихся интегралов с переменными пределами интегри-
рования.

Примеры. 1. Исследуем интеграл

dt

ta+1 In ₽<

(34.1)

при различных действительных значениях параметров а и р. Рас-
смотрим сначала случай а>0 и любого Р е Z?. При таких зна-
чениях параметров интеграл (34.1) сходится, что легко устанав-
ливается по признаку сравнения, если в качестве функции
-“-1

сравнения взять, например, функцию g(t) = t 2 , интеграл от
-f-OO
и (* dt

которой I —— сходится.

В силу сходимости интеграла (34.1) при указанных значениях
—|- оо	х	4- со

о	С dt (" dt , Г dt

параметров а и р в равенстве 1 --------= »-----------k 1 -------•

J ln₽ t J /a+1 InP t J ln₽ t
2	2	x

второе слагаемое его правой части стремится к 0 при х->оо.
Изучим порядок его убывания, а именно, покажем справедли-
вость асимптотического равенства

-|-0О

f  dt а ~----------Ц-, х-^ + со.	(34.2)

J /а+1 111$ t CLXr/- 1пР X
X

Для доказательства положим

F(x) =

ф(х)й—L—
^a+1 [np (	axa [np x

В силу сходимости интеграла (34.1) при а>0, р е R, имеем
lim F(x) = 0. Очевидно и lim Ф(х) = 0. Поскольку

F'(x)	Ф'(Х)

’ x“+4nPx

ха+1 [п(3 х аха^1In^x’

то, применив правило Лопиталя, получим:

1 . Ф (х) ,. Ф' (х) ,. (,
lim	hm -c7-7v= lim 1

_P_ = 1
a Inx/ ’

т. е. соотношение (34.2) доказано.

В случае а — 0, р > 1 непосредственным интегрированием
получим даже явное выражение интересующего нас интеграла:

1

d In t
ln$1

(1- P) Infl-lf x (P — 1)1пН

(34.3)

1

Покажем теперь, что для а < 0 и любого Р е 7? интеграл
(34.1) расходится и, более того, имеет место асимптотическое
равенство

С dt

' ta ln₽ t

2

Положив в этом случае

ах01 1п$ х’

(34.4)

del /*

2

и применив правило Лопиталя,

Ф(х)

def	j

axa ln₽ x ’

получим:

1 •	Ф (x)	,.	Ф' (x)

lim тгг-г= hm ъ,; ’ =

-.+oJW

a In x /	’

т. e. равенство (34.4) доказано.

Для оставшихся значений параметров аир интеграл

С dt

' ln$ t

2

(34.5)
вычисляется в элементарных функциях.

Если а = 0 и Р < 1, то

dt = С d In / _	1	* _ In^Px-ln^PZ

t ln₽ t J ln^/ (1 — f) ln₽ 4 2	1 —P

а если a = 0, P = 1, to

C dt ______

j t In t
2

d In t
In t

In 1п/|д: = 1п1]1Ц.
[2 In 2

Итак, интеграл (34.1) сходится при a>0 любом Р е R,
а также при а = 0 и Р>1; при этом установлены асимптотиче-
ское, соответственно точное, равенства (34.2) и (34.3) для интег-
+ со

рала У ]а+1\ р/ При остальных значениях параметров аир ин-
X

теграл (34.1) расходится и получена асимптотическая или точная
характеристика интеграла (34.5).

2. Рассмотрим интеграл

4-оо

J s^dt.

о

Покажем, что он расходится и что имеет место асимптотическое
равенство

X

У S^-d/xlnx,	х—> + оо	(34.6)

о

т. е. функции в левой и правой частях этой формулы одного
порядка (см. п. 8.2).

С одной стороны, принимая во внимание неравенство | sin/|^
sg|/|, получим при х>л/2,

х	л/2	х

^±dt= y^-dt+ \^dt^

О	О	л/2

Л/2	х

< У tdt+ у ~ = у + 1пх-1пу = 0(1пх), х-^ + оо. (34.7)
О	Л/2

С другой стороны, для любого натурального п имеем
(п4-1)л	п	(& + 1)л

С sin2/ ,, V 1* sin2/,,

J — dt=L J -rdt=

0	k=Q	ftn

n л	n	n	n

V f sin2iz ,	1 V 1 C • 2 j 1 V 1

= 7 i —r-г- du^— 7 7—rr i sin2 и du =	7 -r-r-r.

J и + ип л k +1 J	2 /г + 1

ft=OO	к—О й	k = 0
В дальнейшем (см. п. 35.7) независимо от содержания на-
стоящего пункта будет показано, что

п

Уцт = 0(1п4 п->оо.

Таким образом,

(п -р 1) л

j S1" f dt^s О (In ri), п-^оо.
о

Это означает, что существует такая постоянная с>0, что для
всех п = 1, 2, ... имеет место неравенство

(и + 1)л

j1 ^-d/=sclnn.	(34.8)

б

Заметим еще, что из легко проверяемого, например с помощью
правила Лопиталя соотношения

,. In п .

lim Т-,-ГЛ—= 1

„-.□□In (п + 2) л

следует существование такого натурального п0, что при п^п0
выполняется неравенство

^=4	<34 9)

Далее, для каждого х>0 найдется такое целое п, что

(n +1) л <+< (п + 2) л.

Теперь для любого х>-п0 согласно неравенствам (34.8) и
(34.9) получим

х	(п 4-1) л

С sin2 t	С sin2/' ,	Inn i , ।	c ,

\ dt J ~t~ dt^c^nn = c ln („ + 2).r In (n + 2) л 5s 2 In x,
t. e.

J^ttt=sO(lnx), x->4-oo.	(34.10)

0

Из (34.7) и (34.10) непосредственно следует (34.6).

В рассмотренных примерах асимптотическое поведение интег-
ралов было установлено с помощью более или менее специальных
методов, оказавшихся удобными в рассмотренных конкретных
случаях. Более общим методом, дающим часто возможность
находить асимптотическое поведение интегралов, является обыч-
ное интегрирование по частям.
3. Рассмотрим в качестве примера так называемые интег-
ралы Френеля*.

cos б2 d6,	§ sin б2 dd,

о	о

скорость сходимости которых определяется порядком убывания
интегралов.

Ч- СО	-j-	со

$ cos62d6,	§ sin62d6,	x>0.	(34.11)

X	X

Изучение асимптотического поведения интегралов (34.11) при
х->4-оо проводится одинаковым методом. Поэтому рассмотрим
только один из них, например, первый. Сделав в нем замену
переменной 62 = /, сразу убеждаемся по признаку Дирихле, что
он сходится. Затем дважды проинтегрировав по частям получив-
шийся интеграл, будем иметь

Ч~ со

cos62d0 = -1- Г ‘^tdt

2 J Vt
хг

1 sin /

ТТ7

__ sin х2 , cos x2

~ 2х Г 4x3

cos t

t2

dt

(34.12)

(согласно прежней терминологии, см. п. 33.5, мы посредством
интегрирования по частям улучшили сходимость интеграла).

ПОСКОЛЬКУ = О , Х->ОО, и

cos t
t2 V~t

dt

то будем иметь

^ld/ = op3

t2\ t	V*3

Следовательно,

-f-CO
f м jn sin x3 ~ / 1 \	.

1 COS 6" dO —----2^—О \ j »	% —>—[- co*

x

Таким образом, нам удалось с точностью до О, х->4*°о,

найти простое выражение для интеграла $ cos62d6, дающее,

А. Френель (1788— 1827)— французский физик,
в частности, представление о характере его убывания при х->-
-> + со. Если произвести дальнейшее интегрирование по частям
интеграла, стоящего в правой части формулы (34.11), то можно
4" со

получить асимптотические формулы для интеграла j cos62d9

X

С ТОЧНОСТЬЮ ДО О )> *->+сю, при любом натуральном п.

Упражнения. Исследовать скорость сходимости (расходимости) сле-
дующих интегралов при различных действительных значениях параметров а и 0:

ОО	оо

1.	3 С dt

о	' J /2(а+1п/)1/3 ’

ОО	°

2.	§ cos t3 + aij dt.

о
х

4. Доказать, что s1"2 f dt~ у Inx при -f- оо (см. пример 2).
о

_	...	1 — cos 2^

Указание. Воспользоваться тождеством sin2 t =--------------,
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

РЯДЫ

§ 35.	ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

35.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА И ЕГО СХОДИМОСТЬ

В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на неко-
торые случаи бесконечного множества слагаемых и изучаются
свойства таких обобщенных сумм. Многие из рассматриваемых
ниже вопросов справедливы не только для действительных чисел,
но и для комплексных. Поэтому в отличие от предыдущего
в настоящей главе будем вести рассмотрения в комплексной
области.

Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы,
содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконечным
рядом или, короче, рядом. Дадим строгое определение ряда и
его суммы.

Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных
чисел и,„ п = 1, 2, .... Составим новую последовательность чисел
sn, п=1, 2, ..., следующим образом:

51= «1,

S-2 = U1 + ^2,

$3 ~ ^1 + Ы2 «3,

— W1 + ^2 +. . . + Un

Пара последовательностей {ип} и {sn} называется числовым рядом
(подробнее: числовым рядом с общим членом ип) и обозначается
через

+и2 + .. •+wn-|-. • •,	(35.1)

или

S «*•	(35.2)

п= 1

Элементы исходной последовательности {ип} называются чле-
нами ряда (35.1), а элементы последовательности \sn\ — частич-
ными суммами этого ряда, при этом ип называется п-м членом
ряда, а конечная сумма sn — п-й частичной суммой ряда, л=1, 2.....

18 Кудрявцев Л. Д. т. 1
Если последовательность частичных сумм ряда (35.1) сходится,
то он называется сходящимся рядом, а если она расходится, то
расходящимся.

Определение 2. Ряд, членами которого являются члены- ряда
(35.1), начиная с («4-1)-го взятые в том же порядке, что и
в исходном ряде, называется п-м остатком ряда (35.1) и обозна-
чается через

У или ип+1 “к МЛ+2
k = tl -j- I

Определение 3. Если ряд (35.1) сходится, то предел

s = lim sn
n-»oo
называется его суммой.

В этом случае пишут

s = щ + 4* • • • + Чп +  • •,
или

СО
s=£«..	(35.3)

л = 1

Таким образом, мы будем употреблять один и тот же символ
ОО

У «„ как для обозначения самого ряда (35.1), так и для обо-
п= 1
значения его суммы, если он сходится.

Если lim sn = oo, или lim s„=+oo, или lim sn =— °°> то
П-bCQ	П-+СО	П-+ОЭ

соответственно пишут

ОО	00	co

у ип = сю, У ип = ~рсс, или У ип = — оо.
п~ 1	п= 1	п = I

Итак, каждый ряд является парой двух последовательностей,
таких, что первая может быть взята произвольной (последова-
тельность членов ряда), а вторая составлена определенным обра-
зом из членов первой (последовательность частичных сумм членов
ряда). Однако ряд однозначно определяется каждой из этих
последовательностей. Действительно, если задана последователь-
ность членов ип ряда, то члены последовательности его частич-
ных сумм находятся согласно определению 1 по формулам sn =
s= «!-]-«2 +  • • + un, n = l, 2, .... Если же задана последователь-
ность {sn) частичных сумм ряда, то его члены определяются по
формулам Uf = Sj, un = sa — s„_b п — 2, 3, .... Отсюда следует,
что для всякой последовательности всегда можно найти такой
ряд, что она будет последовательностью его частичных сумм.
Действительно, пусть дана последовательность комплексных
чисел {zn}. Положим

«1 = гь u2^z2 — zlt un = zn — zn-1, ...

и рассмотрим ряд

Й1 + й2 + • • • + Un + • • • •

Тогда для его частичных сумм имеем:

Sn = «1 + U2 +... + Un =

= Zi+ (Z2 - Zr) + (Z3 - Z2) + ... + (Zn - Z„-t) = Zn.

Это означает, что рассмотрение рядов эквивалентно рассмотре-
нию последовательностей. Всякий вопрос, сформулированный
в терминах рядов, можно перефразировать в вопрос, сформули-
рованный в терминах последовательностей и наоборот. Например,
задача изучения сходимости рядов равносильна задаче изучения
сходимости последовательностей.

Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены
рассматриваемых рядов подразумеваются комплексными.

Если п-й остаток ряда(35.1) (см. определение 2) сходится, то его
сумму будем обозначать через гп:

ОО

2Я= 2 “а,	(35.4)

k —	1

и называть для краткости просто остатком ряда.

Всякую сумму конечного числа слагаемых

sna =	+ «2 + •  • +

можно рассматривать как ряд, добавив к ней члены

1 =	— ...== 0.

Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с задан-
ной суммой, ибо при всех п5=п0 его частичные суммы равны sna.

Если заранее неизвестно, содержит сумма конечное или беско-
нечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях назы-
вать ее рядом, считая, что конечная сумма является рядом в выше-
указанном смысле.

Отметим одно существенное свойство сходящихся рядов.

Теорема 1 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
(35.1) сходится, то

lim u„==0.	(35.5)

П —* СО

Доказательство. Если ряд (35.1) сходится, то последо-
вательности его частичных сумм sn, п = 1, 2,..., и 5п-г, п=2, 3,,
18*
очевидно имеют один и тот же предел, равный сумме s этого ряда.

Поэтому, замечая, что un = sn — sn-i, п = 2, 3, ..., имеем:

lim ип = lim (s„ —s„-!)= lim sn— lim s„_! = 0. □

Л-+СО	n->oo	zi—* co	n—>oo

С помощью теоремы 1 иногда удается установить расходимость
рассматриваемого ряда: если для данного ряда условие (35.5) не
выполняется, то он расходится.

Примеры 1. Пусть q — комплексное число и |</|< 1. Тогда
ряд 1 4~ 7 4-<7а 4-<73 4-• • • + <7Л + - •  с членами un = qn, п = 0, 1,2,...,
образующими бесконечную убывающую геометрическую прогрессию,
сходится.

Действительно,

л/г+1

и так как lim 4— = 0, то

1—<7

lim s„ = y4—.

п->СО	1 V

1

1-я

qn+1

2.	Ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию,
1 +<7 + <72 + <73 + .. . + <7" + ..., при | q 15= 1 расходится, ибо его
общий член ип = qn не стремится к нулю: | ип [ = | q \п 1.

3.	Ряд 1-14-1 — 1 4-...4-(—1)”+14---- с членами «„ = (—1)/г+1,
п = 1, 2, ..., расходится.

В самом деле, в этом случае

$2* = 0, k = 1, 2, ..., з2й+1 = 1, k = 0, 1, ...,

поэтому последовательность частичных сумм {s„} не имеет предела.

Расходимость рассматриваемого ряда, следует, конечно, и из
того, что все его члены по абсолютной величине равны единице,
и поэтому не выполняется необходимое условие (35.5) сходимости
ряда.

35.2.	СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

СО

Теорема 2. Пусть с — комплексное число. Если ряд У, ип,
п= 1

ип е С сходится, то ряд У, сип, называемый произведением дан-
п= 1

ного ряда на число с, также сходится и

СО	ОС

CUn ~ С 1Лп*
п—I	п=1

(35.6)
Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выно-
сить за скобку» и в случае бесконечного множества слагаемых,
если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что
справедливо равенство (35.6).
п	fl

Доказательство. Пусть sn = У, uk и s'„= У, cuk, тогда,
*=1	k=i

очевидно,

Sn == cs^.	(35.7)

По условию, lim sn существует, поэтому в силу (35.7) lim s„
п^со	п ->от

также существует и

lim s'n — c lim sn.

п —>co	n —> co

Согласно определению суммы ряда отсюда сразу следует (35.6). Q

Теорема 3. Пусть ряды У » У vn сходятся, тогда ряд
п=1 п=1

У (un-\-vn), называемый суммой данных рядов, также сходится и
1

СО	СО	00

у (un + vn)= 2 ««+ 2 vn.	(35.8)

л = 1	п= 1	п= 1

Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно склады-
вать почленно» ,(п-й член с п-м) «можно» в том смысле, что спра-
ведливо равенство (35.8).

Доказательство. Пусть

п	п	п

3,1= У, Uk, Sn= У vk и о„= 2 («й + v»),
k= 1	k= 1	k= 1

тогда a?/ = sn + Srt, и так как lim sn и lim s^, по условию, суще-
п —>со	/г-*со

ствуют, то lim ап также существует и
п—>со

lim о„= lim (s„+ $.',) = lim s„-|- lim s’n.
П-+СО	П-+СО	П-*С£>

Это равенство эквивалентно равенству (35.8). Q

Теорема 4. Если ряд сходится, то любой его остаток сходится.
Если какой-либо остаток ряда (35.1) сходится, то и сам ряд
также сходится. При этом если

то

8= У «й,
k= 1

т	со

$ГП “

k — 1	k — 1П + 1

s = sOT4-rm.
Доказательство. Пусть sn=«i+w2+-. • + ««, и=1, 2,..—

ОО

частичные суммы ряда У, ип, a s(km) — ит+1 +... -ф um+k — частич-
п — 1

ные суммы его m-го остатка

um+l + um+2 + • • • + wm+fe 4“ • • •
Очевидно, что

sn = sm + s<r), n = tn + k,	(35.9)

откуда при фиксированном т следует, что предел

lim s„

Zl —♦ СО
существует тогда и только тогда, когда существует
lim s<m>.
k—>оо

Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда схо-
дится некоторый его остаток rm = lim Поскольку натураль-

А->00

ное число т было произвольным, то первая часть теоремы дока-
зана.

Наконец, переходя к пределу в равенстве (35.9) при k^-oo
и фиксированном т, имеем s — sm + rm, так как п = т-\-й-* + оо
при &-> + оо, a lims„ = s, lim s<,m) = rm. Q
n — oo	k ->oo

Из этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление
конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходи-
мость.

Из формулы s = sm4-rm, очевидно, следует, что если ряд схо-
дится, то его остаток стремится к нулю:

lim rm = lim (s — sm) = 0	(35.10)

tn -*• co	m —» co

Отметим, что само собой разумеется, что условие (35.10) нельзя
принять в качестве определения сходящегося ряда, так как оста-
ток ряда сам является рядом, и говорить о его стремлении
к нулю, можно лишь уже обладая определением сходимости ряда.

35.3.	КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ РЯДА

Критерий Коши для сходимости последовательностей может
быть легко перефразирован применительно к рядам. Действи-
тельно, как известно (см. п. 3.7 и 23.3), для того чтобы после-
довательность комплексных чисел {s„} была сходящейся, необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал такой
номер пе, что для любых номеров п^пе и любых целых р^О
выполнялось неравенство
| $п+р 1 f

Для удобства использования этого критерия в случае рядов
мы пишем здесь разность sn+p — s„_i вместо разности sn+p — sn,
которую писали раньше в п. 3.7. Это, конечно, не влияет на
суть дела. При этом, поскольку сумма s0 не определена, мы всегда
будем считать, по определению, что so = O.

Если теперь под {«„} подразумевать последовательность частич-
ных сумм ряда (35.1), то

$и+р Sn-1 — Un-\- Un^ +.. . 4-

и сформулированный критерий в этих обозначениях принимает
следующий вид.

ОО

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы ряд 2 сх°-

п — 1

дался, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О сущест-
вовал такой номер пЕ, что при любом п^пЕ и любом целом р^О
выполнялось неравенство

|	«П+1 + - • • + U-n+p |	6.

(35.11)

Из критерия Коши сходимости ряда легко можно получить
снова необходимое условие (35.5) сходимости ряда. Действи-
тельно, в этом случае неравенство (35.11) выполняется для лю-
бого р^О и, в частности, для р = 0. Поэтому для всех п^пЕ
имеем | ип | <е, а это в силу произвольности е>0 и означает,
что lim ип = 0.

я —♦ СО

Кратко свойство (35.5) выражают, говоря, что «общий член
сходящегося ряда стремится к нулю».

Примеры 1. Рассмотрим так называемый гармонический ряд

'+4-+-+^+--

Здесь n-й член ип=\/п стремится к нулю при п-^-оо, но ряд
расходится. Действительно, для любого п = 1, 2, ... имеем

ып + «л+1 + .-- + игп-1-4- + ^Дд + ---+2^~Л>

>я+а+-+й-й=4- f3512)

т. е. для любого п при е = ~ и р = п— 1 неравенство (35.11)
не выполняется.

Таким образом, из критерия Коши следует, что гармониче-
ский ряд расходится. Этот пример показывает, что условие (35.5),
будучи необходимым для сходимости ряда, не является вместе
с тем достаточным.

Из рассмотренного примера следует также, что ряд

+	+	(35-13)

при сс<1 расходится. В самом деле, замечая, что присс<1 для
любого п = 2, 3, ... справедливо неравенство па < п, имеем в силу
(35.12) неравенства

(n+l)aT',,T(2n-l)“-^ П (п+1Н	2 •

Поэтому в случае ряда (35.13) при сс< 1 для любого п=1, 2,...
при 8 = 1/2 и р = п — 1 неравенство (35.11) также не выполняется,
и, следовательно, в силу критерия Коши, ряд (35.13) при сс<1
также расходится.

2.	Рассмотрим теперь ряд (35.13) при сс>1. Покажем, что
в этом случае он сходится. Возьмем сначала частичные суммы
этого ряда порядков n = 2ft—1, k=\, 2, 3, ..., объединив их
слагаемые в k групп, общий вид которых

J_,	1 ...+

2₽а Т (2₽+1)« ~ (2₽ + 2)“ '

f" (2Р+1_1)“ ’ Р 0, 1, k 1,

Заметив, что для каждого слагаемого р-й группы справед-

ливо неравенство

.___!____. - -1 т _ о 1 2р — 1

(2Р + т)«	2₽« ’	’	’	’

и что в этой группе 2р слагаемых, получим

22 ,
22а '

S2ft-1 < 1 + 2“ +

2*~1

2<А-I> а <~~

-J- 09

2	1	_	1	_ 2«-i

2<А-п ta-ij ~	1	~2Z ! —1 '

!-2^С

Таким образом последовательность частичных сумм52А_! ряда
(35.13) при a> 1 ограничена сверху. Далее, в силу положитель-
ности членов рассматриваемого ряда последовательность его частич-
ных сумм возрастает. Поэтому существует конечный или беско-
нечный предел lim sn — s. Но тогда и любая подпоследователь-
п —* со
ность {s„}, в частности последовательность	имеет тот же

предел s, а поскольку по доказанному эта последовательность
ограничена, то предел s конечен.

Упражнения. Доказать, исходя из определения 1, что следующие
ряды — сходящиеся и найти сумму каждого из них:

а (а + &) + (a + ft) (a+2ft) +‘" + (а + (п — 1) ft) (a -(-nft) + "

2‘ 1-2-3+2-3-4 +••+« (п+1) (п + 2) +,-‘

3.	a + (a + d)<7 —(a+2d)<72 + ... + (a + nd)<7re + ..., | q I < 1.

Задача 22. Доказать, что для всякого сходящегося ряда
СО

2 ап с неотрицательными членами а„^0, существует такая
л— 1

возрастающая бесконечно большая последовательность {Ьп},

СО

lim &„=4-оо, Ьп^сЬпЛ, п=1, 2, ..., что ряд апЬп также
п= 1

СХОДИТСЯ.

35.4.	РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

В этом пункте займемся изучением рядов, все члены которых
неотрицательные действительные числа.

Лемма 1. Пусть все члены ряда (35.1) неотрицательны'.

ип^0,	п=1, 2...

(35.14)

Для того, чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно,
чтобы существовала хотя бы одна сходящаяся подпоследователь-
ность последовательности его частичных сумм.

Действительно, из условия (35.14) следует, что

л + 1
®л+1 = У Ц&	Wn+1 гЭ1 $л,

к= 1

т. е. последовательность частичных сумм {s„} рассматриваемого
ряда является возрастающей. Монотонная же последовательность
сходится в том и только том случае, когда сходится хотя бы
одна ее подпоследовательность (см. замечание после теоремы 3
в п. 3.5). Q

Лемма 2. Для того чтобы ряд (35.1) с неотрицательными
членами сходился, необходимо, чтобы последовательность его
частичных сумм была ограниченной сверху и достаточно, чтобы
была ограниченной сверху хотя бы одна подпоследовательность {S«A}
последовательности {s„} его частичных сумм, причем если

S = SUp {seJ

то s является суммой ряда (35.1).

В самом деле, сходимость ряда означает сходимость последо-
вательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся последо-
вательность ограничена, в частности, ограничена сверху. Таким
образом, первая часть леммы справедлива и без предположения
неотрицательности членов ряда.

Однако, в общем случае условие ограниченности даже всех
частичных сумм ряда (а не только некоторой их подпоследователь-
ности) не является достаточным для сходимости ряда, как это
показывает, например, пример 3, разобранный в п. 35.1. Поэтому
условие неотрицательности членов ряда существенно для спра-
ведливости второй части леммы 2. Докажем ее.

Из неотрицательности членов ряда, как мы убедились при
доказательстве предыдущей теоремы, следует, что последователь-
ность его частичных сумм —неубывающая. Поэтому, если сущест-
вует ограниченная сверху подпоследовательность последо-
вательности частичных сумм {s„} рассматриваемого ряда, то она
тоже не убывает (как всякая подпоследовательность неубывающей
последовательности) и, следовательно (см. теорему 3 в п. 3.5)
сходится, причем

s = sup{s„ft}= lim s„ft.

fe 1	‘	fe->00

Согласно предыдущей лемме из сходимости подпоследова-
тельности частичных сумм следует сходимость ряда, т. е.
существование конечного предела lim s„, и поскольку предел
п-*оэ

сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее
подпоследовательности, то

lim s„ = lim Snk — s. □
п —* co	fe —* co

Из леммы 2 следует, что если ряд с неотрицательными чле-
нами расходится, то последовательность его частичных сумм
не ограничена сверху и в силу ее монотонности

lim sB = + оо.
п —*00

Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами,
согласно сделанному в п. 35.1 соглашению, пишут

У, ип = + оо
и= 1
Доказанные леммы по своей формулировке внешне напоминают
соответствующие утверждения для несобственных интегралов
(см. п. 33.3). Между сходимостью рядов с неотрицательными
членами и сходимостью несобственных интегралов от неотрица-
тельных функций можно иногда установить и более непосред-
ственную связь. Для убывающих функций это будет сделано
в п. 35.7.

35.5.	ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ
ЧЛЕНАМИ. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ЧЛЕНА РЯДА

Перейдем теперь к признакам сравнения для рядов, также по
своей форме весьма напоминающих соответствующие признаки
сходимости несобственных интегралов.

Теорема 6 (признак сравнения). Пусть

un^G, t»„SsO, п = 1, 2, ...,	(35.15)

и

un = O(vn)*).	(35.16)

Тогда, если ряд

S °п	(35.17)

«= 1
сходится, то сходится и ряд

2 ип,	(35.18)

Л — 1

а если ряд (35.18) расходится, то расходится и ряд (35.17).

Доказательство. Пусть выполнено условие (35.16). Тогда
существует такое с>0, что

uk^cvk, k = \, 2............. (35.19)

Если теперь ряд (35.17) сходится, то, согласно лемме 2, после-
довательность {s„} его частичных сумм ограничена, т. е. сущест-
вует такая постоянная М > 0, что

п

Sn= У, vh^M, п = 1, 2, ....

6= 1

(35.20)

Обозначим через о„ частичную сумму ряда (35.18). Тогда
в силу неравенств (35.19) и (35.20]

п	п,

ап = у Uk ==£ с У vk = csn === сМ, п = 1, 2...................

k=1	k=i

*’ В частности, un-n_vn. Объяснение обозначения «О» см. в п. 23.3.
Согласно лемме 2, из ограниченности сверху частичных сумм
ряда (35.18) следует его сходимость. Итак, если ряд (35.17) схо-
дится, то ряд (35.18) также сходится.

Если же ряд (35.18) расходится, то и ряд (35.17) расходится,
так как если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы
и ряд (35.18), что противоречит условию. Q

Следствие. Пусть и,г =# 0, п = 1, 2, ..., и

lim u^ = k,

(35.21)

тогда

1)	если ряд (35.17) сходится и	+ то ряд (35.18)

также сходится',

2)	если ряд (35.17) расходится и 0 < & sg: + оо, то ряд (35.18)
также расходится.

В частности, если un^vn (ип и vn эквивалентны, см. п. 23.3 ,
то ряды (35.17) и (35.18) сходятся или расходятся одновременно.

Из выполнения условия (35.21) для Osg^C + oo следует су-
ществование такого пп, что если п^п0, то

^<k+l,

V»

т. е. м„<(^+1)и„,

а это означает, что

п„ = О(п„).

Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из
утверждения 1 теоремы.

Из выполнения условия (35.21) для 0 </г-=7 + оо следует, что
если зафиксировать такое k', что 0<Zk' <Z.k, то существует номер
n0 = n0(fe')> обладающий тем свойством, что если п ^па, то

,, . 1
— >к , т. е. vn<,run,
vn	n k

а это означает, что
y« = O(uJ-

Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает
из утверждения 2 теоремы. Q

_	,	„	sin2 па

Примеры. 1. Пусть ип = ——•

со

Тогда	g1-, n = 1, 2...и так как ряд	схо-

п — I
со

,	V sin2 па

ДИТСЯ (см. 41. 35.1), ТО СХОДИТСЯ И ряд 2 ---Qn~'

п — 1
2' Р“ 2 7Т75 расходится, ибо	Р-1,2.....

а

ряд	77^ > как мы видели (см. исследование ряда (35.13),

расходится.

Эффективность использования критерия сравнения для иссле-
дования сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов
сравнения», т. е. рядов, о.которых мы уже знаем, сходятся ли
они или расходятся, и которые мы тем самым можем пытаться
использовать для исследования сходимости данного ряда.

ОО

Если в качестве «ряда сравнения» (35.17) взять ряд У
п— 1
о котором мы уже знаем, при каких а он сходится, то из тео-
ремы 6 непосредственно следует справедливость следующей тео-
ремы.

Теорема 7. Пусть ип^0, л=1, 2, .... Тогда если ип = о(~^
и а > 1, то ряд

СО

2

(35.22)

сходится; если же ^ = О(ип) и а<1, то ряд (35.22) расходится.

Следствие. Пусть lim naun = k, тогда
п-»со

1)	если <х> 1 и О k< + оо, то ряд (35.22) сходится;

2)	если asgl и 0<ftsg-j-oo, то ряд (35.22) расходится.

В частности, если ил^ ^а, то ряд (35.22) сходится при а>1
и расходится при зс 1.

Если члены м„ ряда (35.22) заданы с помощью формулы,
представляющей собой функцию от п, которая имеет смысл для
всех действительных достаточно больших неотрицательных значе-
ний переменной п и, более того, является «достаточно гладкой»
функцией этой переменной, то для практического применения
теоремы 7 обычно бывает целесообразно разложить член ип с по-
мощью формулы Тейлора по степеням 1/п.

Если главный член получившегося разложения будет иметь

вид 1/п“, то, беря в качестве ряда сравнения ряд ~ и при-

л — 1

менив теорему 7, можно определить, сходится ли данный ряд
или расходится.
В известном смысле можно сказать, что этот метод исследо-
вания сходимости ряда является наиболее удобным и вместе с тем
достаточно общим.

Примеры. Исследуем сходимость рядов, общие члены ип
которых задаются нижеуказанными формулами.

1)	ып=1—cos—. Очевидно, м„>0. Так как (см. замечание
в конце п. 13.3) cosх= 1+0(х2), х->0, и, следовательно,

«л = 1-Г1+О^1==оШ, и->оо,
L \п /J \л /

то в силу теоремы 7 ряд с общим членом ип сходится.

2)	ип = In cos -1-. Здесь ип < 0. Вспомнив, что In (1 + х) = О (х),
х-->0, и применив последовательно формулу Тейлора для коси-
нуса и логарифма, получим:

u„ = lncos-l==ln[l+o(J-2)] = o(^), п->оо,

и поэтому в силу теоремы 7 ряд с положительными членами
СО

У, (—ип) сходится, а вместе с ним сходится и данный ряд
п= 1

СО

S ип.

п— 1

1 1 'А

1 “|- tg -

3)	ип = In----n = 3, 4, .... Имеем ып^0 и tg — = —4-

'	l_f_	п п *

s п

+ П-*ОО, поэтому

и.	= ln(l+tg i) - In (1 - tg i) =. 2tgi + 0 (tgi) = +

CO

_	2л	V) л

Таким образом,	—; так как ряд У Расх°Дится> то

п= 1

v 1 + tgT
расходится и ряд 5 In------—.

Л 1-tg-

35.6.	ПРИЗНАКИ ДАЛАМБЕРА И КОШИ ДЛЯ РЯДОВ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Иногда оказываются полезными некоторые специальные при-
знаки сходимости ряда. Отметим среди них так называемый при-
знак Даламбера и признак Коши, непосредственно получающиеся

*> Ж> Даламбер (1717 —1783) —французский философ и математик.
из признака сравнения, если в качестве ряда сравнения взять
соответствующим образом выбранную геометрическую прогрессию.

Теорема 8 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положитель-
ными членами

У, ип, ип>0, п = 1, 2, ....	(35.23)

п= 1

Тогда

1) если существуют такое число q, 0 <Zq<11, и такой номер п9,
что для всех п^ п9 выполняется неравенство

то данный ряд сходится',
2) если существует такой номер п0, что для всех п> п9 выпол-
няется неравенство

то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть	и пусть существует

такой номер п0, что при пс>па

^L-^q, т. е. un+1^qun.
ип

Тогда
ип„+ 1 Uni>q,
W«o + 2 ==S ^«о+ 1?	>

иПор ’ иПо_|_ p—\q unaqp,

и так как ряд unoq + u,laq2 +... + unjq? +... сходится, являясь
суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии со зна-
менателем д(0<7<;1), то по признаку сравнения сходится и
ряд

W«o+ 1 + ««„ + 2 + • . • +	p-f-. . . ,

а значит, и исходный ряд (35.23).

Если же существует такое п0, что для всех п п0 выполняется
неравенство 11,1+1 5s1, то

Un,+1 иПо,

Una + 2 Uno j • иПа,

и так как, по предположению, иЛо>0, топ-й член ряда, будучи
ограничен снизу положительной постоянной, не стремится к нулю.
Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости
ряда (см. теорему 1 этого параграфа), и потому ряд (35.23) рас-
ходится. Q

Следствие. Пусть существует lim ^±1 = /. Тогда если Z < 1,
П-.ОЭ ип

то ряд (35.23) сходится, а если l> 1, то ряд (35.23) расходится.

Это вытекает непосредственно из доказанной теоремы.

В качестве примера рассмотрим ряд
п — 1

Здесь ип — и lim lim -j—= 0, поэтому, согласно
следствию теоремы 10, данный ряд сходится. Его сходимость,
конечно, можно установить и сравнив его, например со сходя-
СО

ЩИМСЯ рядом 2 Тг-
п —> 1

Более содержательные примеры на применение признака Далам-
бера будут даны в дальнейшем (см., например, п. 36.1).

Теорема 9 (признак Коши). Пусть дан ряд

СО

^ип, ип^0, п = 1, 2................ (35.24)

п = - 1

Тогда

1)	если существуют такое q, 0=^7<1, и такое п0, что для
всех п2:^па выполняется неравенство

Vu'n^q,
то данный ряд сходится',

2)	если существует такой номер п0, что для всех п^п9 выпол-
няется неравенство

П/—1

V U>n 1 >

то данный ряд расходится.

Доказательство. Если при

Vun ^q, т. е. un^qn,

СО

то по признаку сравнения ряд (35.24) сходится, ибо ряд X Чп
п — 1

при 0<<7<1 сходится.

Если же

Vun^\, п^п0,

то и„^1, и, значит, ряд (35.24) расходится (см. теорему 1). Q
Следствие.; Пусть существует

lim == Z.

П—>00

Тогда если Z<1, то ряд (35.24) сходится, а если Z>1, он рас-
ходится.

Доказательство следствия очевидно.

Рассмотрим ряд

СО

24г-

П— 1

Так как lim ип = lim — = 0, то, согласно следствию из тео-
л —от	п—.со п

ремы 9, данный ряд сходится. Его сходимость легко устанавли-
вается и с помощью теоремы 7.

СО

Замечание. Если о ряде 2 «л, «л>0, п=1,2,.... известно
п= 1

лишь, что

lim-^±1-=l или limyrw„ = l,	(35.25)

Я—ОТ	л— со

то ничего определенного о его сходимости сказать нельзя: ряд
может как сходиться, так и расходиться. Например, ряды

СО	со

п	п2

п— 1	п— 1

удовлетворяют обоим условиям (35.25), однако первый из них
расходится, а второй сходится.

35.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДОВ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Если для данного ряда (35.1) удается подобрать функцию,
определенную при х^1 и такую, что /(«) = ««, то при опреде-
ленных условиях из сходимости или расходимости интеграла

4-со

§ f(x)dx
1

можно судить и о сходимости или расходимости ряда (35.1).

Теорема 10 (интегральный признак сходимости рядов). Если
функция /(%), определенная при ссех х$г1, неотрицательна и
убывает, то ряд

СО

2/(«)	(35.26)
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

4-СО

$ f(x)dx.	(35.27)

1

Доказательство. Если ksgх /г +1, то в силу убывания

функция f (х) (рис. 135)

f(k)^f(x)^f(k+V), * = 1, 2, ...;

поэтому, интегрируя по отрезку [ft, k + 1], будем иметь

k 4-1

f(k)^ § f (х) dx^f(k+ 1), A=l, 2, ....
k

Суммируя эти неравенства от /г = 1 до k = n, получим

п	п-1- 1	п

j f(x)dx^ 2ЛА + 1).

fe=l	1	fe=l

и, полагая
п
s«= 2 f(k),
k=i

будем иметь

f(x)dx^s„+1-f(l), n = l, 2, ....	(35.28)

i

Если интеграл (35.27) сходится, то в силу леммы 1 п. 33.3
при любом п = 1, 2, ...

л 4“ 1	4-00

j f(x)dx<s^ § f(x)dx.

i	i

Отсюда и из неравенства (35.28) следует, что

s«+i<f(l)+ $ f(x)dx,
т. е. последовательность частичных сумм ряда (35.26) ограничена
сверху, а значит, согласно предыдущей теореме, этот ряд схо-
дится.

Если ряд (35.26) сходится и его сумма равна s, то, согласно
той же теореме, sn<;s для всех п = 1, 2, .... и, значит, в силу
неравенства (35.17) для всех п = 1, 2, ...,

«4-1

f(x)dx^s.

1

Если теперь	то, беря п так, чтобы	получим

в силу неотрицательности функцию f

6	п

^f(x)dx^ \f(x)dx^s.

1	i

6

Итак, совокупность всех интегралов ^f(x)dx,	ограни-

1

чена сверху, а потому интеграл (35.27) сходится (см. лемму 1
п. 33.3). □

Эта теорема часто существенно облегчает исследование схо-
димости рядов, так как, если для данного ряда удается подо-
брать соответствующую функцию f, а значит, свести вопрос об
изучении сходимости ряда к изучению сходимости интеграла, то
это ‘дает возможность применить развитый в предшествующей
главе аппарат интегрального исчисления.

Примеры. 1. Рассмотрим снова (см. п. 35.3) ряд

1+2^ + зк + • • • + + -••	(35.13)

с n-м членом w„ = l/na, п = 1, 2, ....

В данном случае функция /(х), указанная в теореме, подби-
рается легко:

-J- СО

—	С dx	_ ,

Так как интеграл \ — сходится при а>1 и расходится при
1

asgl, то и ряд (35.13) сходится при а>1 и расходится при
а-с 1.

Эти факты были установлены ранее другим методом в п. 35.3
(см. там примеры 1 и 2). Как видно из вышеизложенного, при-
менение к изучению ряда (35.13) интегрального признака сходи-
мости рядов значительно упростило задачу исследования сходи-
мости этого ряда.
2. Рассмотрим ряд

Zj (п+ 1) ln(n+l)-
п = 1

Этот ряд легко можно исследовать с помощью интегрального
(* dx
признака сходимости: из того, что интеграл (х-(-1) in (x-f- i) =
= f ~ расходится, следует, что и ряд (35.29) расходится.

In 2

Сформулируем теперь одно простое, но часто полезное в при-
ложениях следствие из теоремы 10.

Если существует такое натуральное п0, что неотрицатель-
ная функция f убывает при х^п0, то ряд

ОО
2 /(»)
п= По

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

4-	СО
$ f(x)dx.

По

Этот случай сводится к рассмотренному в теореме заменой
переменного х = у+п0— 1.

Упражнения. Исследовать сходимость рядов:

хл 1	00

4.	7 —.	7. V sin л V ri2- + а2 (а = const е 7?).

п 1п“ п	v

п=2	п=1

_ V 2«п!	о V	 п \

5-	/ —=-•	8- 7 hr— arcsin—г-г) •

Ari	Ал	\2	n +1 /

л=1	п=1

со	со

л= 1	п=1

10.	Пусть 0<р<р<1. Доказать, что ряд
р+?2+р3+?4+---
сходится и lim - U2n . =оо.

п ~> СО И2Я-1

11.	Пусть 0<а<₽<1. Доказать, что ряд
±+±+1+±+...
рт 2$	3“ 40

сходится и lim -2п-— — со.

п~*со Щп
35.8	*. НЕРАВЕНСТВА ГЁЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО
ДЛЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ СУММ

Пусть заданы числа (вообще говоря, комплексные) xi, х„,
У1, уп, 1<1р< + оо, и число q определяется равенством
у + у = 1 (см. п. 20.8 и п. 28.4*). Тогда справедливы нера-
венства
п	/ п	\i/p / п

I S Ш) (З5.зо)
i = 1	4=1	/	ч=1	/

(неравенства Гёльдера) и

п	\1/р	/ п	\1/р	/ я	\1/р

SlAi+i/ih 2 Мр| + 2И (35.31)

.1=1	/	4=1	/	4=1	/

(неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в слу-
чае соответствующих интегральных неравенств (см. п. 28.4*).

Введем для краткости обозначения

а^Ь?

Р q

(35.32)

Применив неравенство (20.53) ab~<6

будем иметь

a =	6 = ^1, i=l, 2, ...

Wp Ы1?

n,

!*< I I У1 I	1 I xi I I 1_ I У1 1^

klip \\y\\g	p Wi£ q klip '

a^O, &5=0 к

Просуммировав эти неравенства по
и условия ~	= 1, получим:

---------- У I Х,У1 I - -----Ц- У I Xi |р +

i от 1 до п, в силу (35.32)

1

откуда

п

i= 1

тем самым неравенство (35.30) доказано.

Неравенство Минковского (35.31) следует из неравенства Гёль-
дера (35.30): из очевидного соотношения

2 \Xi+yi\p^ S I*--11 xt + yi ip_1+ S

i= 1	i=l	>=1
применив к каждому слагаемому в правой части неравенство
Гёльдера, получим:

п

4=1

/ п	\l/q / п	\ 1/?

\i= 1	/	\i= 1	/

Если левая часть равна нулю, то неравенство Минковского
очевидно справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая
/ n	\1/<7	j

обе части на множитель К + #1|₽) и заметив, что--------------(-

1	/	Р

+ у= 1> ?(р — 1)=р, получим неравенство (35.31).
СО	со

Для любых двух рядов У, хп, У уп справедливы аналогия-
д= 1	п— 1

ные неравенства

ОО	/ ОО	X 1/0 /ОО	\ 1/<

S \хпуп\^ У КМ У Ш’ •	(35.33)

П— 1	\/1 = 1	/ \л = 1	/

' СО	\1/Р	1 СО	\ 1/р	/ СО

ЕМ/К	S ШИ .(35,34)

П — 1	/	\д= 1	/	VI =1	/

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка
заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского.
Переходя в них к пределу при п->оо, мы и получим неравен-
ства (35.33) и (35.34).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды

ОО

п= 1

со

S \уп\ч

п = 1

оо

сходятся, то ряд У I хпУп I сходится, а если сходятся ряды
п= 1

оо	со

2 К|Р, S

П=1

оо

то сходится ряд У |х„ + «/л|р.

п= 1
35.9	. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

В этом пункте рассматриваются ряды с действительными чле-
нами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при измене-
нии номера; такие ряды называются знакопеременными.

Рассмотрим прежде всего так называемые знакочередующиеся
ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно то положительны,
то отрицательны.

Теорема 11 (Лейбниц). Если

lim ыя —0	(35.35)

П^-00

U

un~s: un+i>0, n= 1, 2, ...»	(35.36)

то знакочередующийся ряд

СО

2(-1)я+1«я	(35.37)

п— 1

сходится. При этом любая частичная сумма sn ряда (35.37) отли-
чается от его суммы s на величину, меньшую следующего члена un+i,
иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда гп в этом случае
не превышает абсолютной величины его первого члена, т. е.

| Гя | = | 5 - Sn |	И„+1.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы четного
порядка ряда (35.37)

2k

S2A = У (	1)"+1Ыя»

л= 1

Их можно записать в виде

S2k — (и1 — Щ) + («3— И«)+ •••	— ^2а),	k—\, 2,...

В силу условия (35.36) выражения в круглых скобках неотрица-
тельны и потому s2fcsSs2ft+2, т. е. последовательность частичных
сумм четного порядка ряда (35.37) возрастает.

Замечая, что частичные суммы s2fe можно записать также и
в виде

$2й = Ui— (U2 — Ug) — ... — («2й-2 — W2ft_i) — М2й,	k — 1, 2, ...,

и что выражения в круглых скобках в силу условия (35.36) неот-
рицательны, a u2k > 0, получаем, что	т. е. последова-

тельность {sj*} ограничена сверху. Из монотонного возрастания
и ограниченности сверху последовательности {«г*} следует, что
она сходится:

lim S2fe = s.	(35.38)

fe—>со
Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (35.37)
стремятся к тому же пределу. Действительно,

s2t+i = s2k + м2л+1> k = i, 2, ...	(35.39)

и так как, согласно (35.35), lim m2*+i = 0, то в силу (35.38) и
k —»со

(35.39) имеем

lim s2*+i = s.	(35.40)

k —> со

Из (35.38) и (35.40) следует, что

lim s„ = s.
п —> со

Теперь отметим, что для ряда (35.37) справедливо неравенство

s2*<s<s2ft_i,	£ = 1,2,...	(35.41)

Действительно, с одной стороны, мы уже видели, что s является
пределом монотонно возрастающей последовательности {s2ft},
поэтому s2k^s. С другой стороны,

s2*+i = s2k-1 — (w2* — u2*+i)	s2*-i, k = 1, 2, ...,

т. e. последовательность монотонно убывает, и так как s
является пределом и последовательности {s2ft-i} (см. (35.40), то

Из неравенства (35.41) следует

S — S2k - S2ft+1 — S2fe = W2fc+1,

s2^-i —	— s2ft = u2ji, £=1, 2, ...,

а это и означает, что для всех п=1, 2, ..., выполняется нера-
венство | 5 — Sn | ig U„+i- Q

Если условия чередования знаков ряда и монотонности будут
выполняться не с первого члена, а лишь начиная с некоторого
номера п0, то при выполнении условия (35.35), т. е. при стрем-
лении общего члена ряда к нулю, рассматриваемый ряд будет
также сходиться. Это следует из того, что отбрасывание конеч-
ного числа членов ряда не влияет на его сходимость (см. тео-
рему 4 в п. 35.2).

В качестве примера рассмотрим ряд

у’ (— i)n+1

L п

п= 1

(35.42)

Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы 11, и
поэтому он сходится. Замечая, что у него 5г=1 и s3 = 1/2, для
его суммы S имеем оценку

1/2^5^1.	(35.43)
На ряды переносятся не все свойства конечных сумм. Поясним
это на примере того же ряда (35.42). Если

£=1-у + у~т + т“4 + 7~у+’<-’	(35-44)

то

1«_ 41 _ 1 L_J _L V-L- l-E I- 1_1_

сложив этот ряд с рядом (35.44), получим равенство

45“1 + у-4 + у + 4-т + ? + тт-т+-- <35Л5>

т. е. ряд, составленный из тех же членов, что и данный ряд
(35.44), взятых только в несколько другом порядке, поэтому
yS = S, откуда следует, что 5 = 0, что противоречит неравен-
ству (35.43).

Несмотря на кажущуюся очевидность законности наших рас-
суждений, мы где-то совершили грубую ошибку. Где? Подробный
анализ этого будет дан в одном из следующих пунктов.

35.10. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ.
ПРИМЕНЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ
СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ

В этом пункте снова изучаются ряды, члены которых, вообще
говоря, комплексные числа.

Определение 4. Ряд

У, Un, ип (= С,	(35.46)

п= 1

называется абсолютно сходящимся, если ряд

у Ы	(35.47)

п= 1
сходится.

Применяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (35.47),
получим: для того, чтобы ряд (35.46) абсолютно сходился, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал такой
номер пе, что для. всех п^пе и всех целых р^О выполняется
неравенство

п+ р

У 1«л|<е.

к= п
СО

Примеры. 1. Ряд s*n абсолютно сходится, ибо
п — 1
со

1 Iя ЯП I _ 1	X? 1

|^г51пТ?+г|^ 2^’ а ряд 2 2^ сходится.
п— 1

2. Ряд	, как мы знаем, сходится, однако не абсо-

п = 1

лютно, ибо ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
СО

т. е. гармонический ряд	расходится.

Л— 1

Теорема 12. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто
сходится.

Доказательство. Пусть ряд (35.46) абсолютно сходится,
т. е. ряд (35.47) сходится. Тогда в силу необходимости выпол-
нения условия Коши для сходимости ряда (см. теорему 5), для
любого е > 0 существует такое пЕ, что для всех п 2=- пЕ и всех
целых р^=0 выполняется неравенство

п+ р

У I < В.

fe = л

Отсюда и из неравенства

У «л

k = п

всех номеров п пе и всех р — 0, 1, 2,

л-f- р

У, \иь\ следует, что для
k= п

... выполняется неравенство

п + р

я+ Р

У Uh
k — n

А это и означает в силу достаточности выполнения условия Коши
для сходимости ряда, что ряд (35.46) сходится. О

Замечание. Следует иметь в виду, что свойство абсолютной
величины суммы не превышать сумму абсолютных величин сла-
гаемых остается справедливым и для сходящихся рядов:

СО	со

(35.48)

П~ 1	П—1

Эго неравенство содержательно, когда его правая часть конечна,
т. е. когда рассматриваемый ряд абсолютно сходится. В этом
случае левая часть неравенства всегда имеет смысл, так как из
абсолютной сходимости ряда следует и его обычная сходимость.
Формально неравенство (35.48), по нашему соглашению об употреб-
лении символа + оо (см. с. 33 и с. 546), верно щдля любого
сходящегося ряда, у которого ряд, стоящий в правой части (35.48),
расходится.
Для доказательства неравенства (35.48) в случае сходящегося
ряда У, ип заметим, что для любого натурального m
п= 1
m	m

У Чп У I Чп
п= 1	п= 1

Переходя здесь к пределу при т^оо, получим неравенство (35.44).
Обозначим через

ОО

у Ч*т	(35.49)

т= 1

ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (35.46), но взя-
тых, вообще говоря, в другом порядке.

Теорема 13. Если ряд (35.46) абсолютно сходится, то ряд

(35.49) также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство. Пусть ряд (35.46) абсолютно сходится,

ОО

т. е. сходится ряд (35.47), и пусть У | ип | = s. Обозначим частич-

п= 1

ные суммы ряда (35.47) через Тогда (см. п. 35.4)

sn^s, п = 1, 2, ...

т

Далее, какова бы ни была частичная сумма зД = У | и% [ ряда

Л = 1

ОО

S |«И	(35.50)

т= 1

найдется номер п = п(т) такой, что все члены ряда (35.50), вхо-
дящие в сумму s*i (таких членов конечное число), имеют в ряде
(35.47) номера, не превышающие п, а поэтому

Зпг Sn,

где п = п(т), т = 1, 2, .... Следовательно,

т = 1, 2, ...

Отсюда (см. лемму 2 в п. 35.4) и следует сходимость ряда (35.50),
т. е. абсолютная сходимость ряда (35.49).

Покажем теперь, что если У un = s, то и сумма ряда (35.49)

Л— 1

также равна з. Обозначим частичные суммы ряда (35.46) через sa.

Пусть фиксировано е>0. Тогда в силу сходимости ряда (35.47)
существует такой номер пе, что

(35.51)

следовательно, выполняется и неравенство

|s--4 =

n=ns+I

(35.52)

Выберем, далее, номер те так, чтобы частичная сумма Sms
ряда (35.49) содержала в качестве слагаемых все члены ряда
(35.46), входящие в сумму s„s (иначе говоря, номер тг таков,
что все члены ряда (35.46) с номерами, не превышающими п£,
имеют в ряде (35.49) номера, не превышающие те). Пусть m^ms.
Положим Sm* = Sm — s„£. Поскольку | s„* | не превышает сумму
абсолютных величин слагаемых, входящих в s*„*, и поскольку
номера этих слагаемых больше, чем пЕ, а следовательно, все они

содержатся в сумме У, |и„|, то в силу (35.51) имеем
n = ng+l

]S**|^ 2 К|<|-	(35.53)

м=пе+!

Используя (35.52) и (35.53), получим при т~^тЁ,

| s - s*n I = ] s - (s„£ 4-s,^*) I < I S - S„e | +1 s^* I < 2 + |- = e.

Это и означает, что

2 uin = S. I I
m= 1

Теорема 14. Если ряд (35.46) абсолютно сходится и с —какое-

либо число, то ряд У сип также абсолютно сходится.

п = 1

Это следует из- критерия Коши сходимости рядов и равенства
п+ Р	п+ Р

У \CUk\ = \c\ У \uk\.
k---п	k = п

Теорема 15. Если ряды У ип и У vn абсолютно сходятся,
п —1 п=I

то их сумма У (un + vn) также абсолютно сходится.

п = 1
Это следует из критерия Коши сходимости рядов и из нера-
венства

п + р	п+р	п + р

У, + У I иЬ 1+ У II-

k= п	k = п	k — п

Теорема 16. Если ряды

СО	со

У Um tl У Vn
m — 1	n= 1

(35.54)

абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попар-
ных произведений ит vn членов этих рядов, расположенных в про-
извольном порядке, также абсолютно сходится. Если сумма этого
ряда равна s, а суммы рядов (35.54) равны соответственно s' и
s", т. е.

ОО	со

У = s , У vn = S ,

т—1	п =1

то

s = s's".	(35.55)

Доказательство. Образуем следующую таблицу попарных
произведений членов рядов (35.54):

			иУп	
	u2t>2			...
				
	ЧтУг		UmVn	
				

Составим из элементов этой таблицы ряд

uLv 1 + UiVz + u2o2 + «2^1 +  • •,	(35.56)

в котором ее элементы расположены в порядке, показанном на
нижеследующей схеме, где на месте каждого произведения из
таблицы указан его порядковый номер как члена ряда (35.56):

/	Z	5	10	
4	3	В	11	...
5	в	7	12	...

1В 15	74	13
Докажем, что ряд (35.56) абсолютно сходится, т. е. что схо-
дится ряд

I wjKi 14-1	14~ (^2^214- IИ2К11 4- • • •	(35.57)

Для этого в силу неотрицательности его членов достаточно дока-
зать, что существует по крайней мере одна ограниченная сверху
подпоследовательность его частичных сумм (см. лемму 2 в п. 35.4)

Обозначим через s'n и s"n частичные суммы соответственно рядов

Ы,

def

п= 1

которые в силу абсолютной сходимости рядов (35.54) сходятся,
т. е. О гС s' < 4-	<4-00- Тогда для частичных сумм

порядка пг ряда (35.57) будем иметь

S1 = | «1^1 | =	s's",

§4 = |	| 4- I «1^2 I 4- 1 U2V2 | 4- | «2^11 =

= (I ui I 4~ I u2 I) (| Щ I 4~ I u2 I) = sK sS s's",

Sns = I U1V1 14- . .. 4- I UiVn I 4- • • • 4- I Unvn I 4- • • • 4* I unvl I —

— (I U11 4~ • • • + I un I) (| Щ I + • • • 4" I On I) — SnSn s's",

Итак, подпоследовательность частичных сумм {§пф ряда (35.57)
ограничена сверху, и, следовательно, этот ряд сходится. Это
означает абсолютную сходимость ряда (35.56) и любого ряда, полу-
ченного произвольной перестановкой его членов (см. теорему 13).
Таким образом, любой ряд

2 иы^г,к,	(35.58)

k= 1

составленный из всевозможных попарных произведений umvn чле-
нов рядов (35.54), сходится и притом абсолютно.

Для доказательства формулы (35.55) воспользуемся тем, что
сумма ряда (35.58) не зависит от порядка его членов и снова
расположим их наиболее удобным для нас способом; именно, рас-
смотрим снова ряд (35.56). Обозначая через s„ и Sn частичные
суммы рядов (35.54), для частичных сумм sna, п=1, 2, ..., ряда
(35.56), очевидно, получаем

sn: = s'nSn.	(35.59)

Но

lim Sn = s', lim s„ = s", lim sn* = s,
П-+СО	П-+СО	П-*-СО

поэтому, переходя к пределу в равенстве (35.59) при п->оо,
получаем равенство (35.55). [_]
Теоремы 13—16 показывают, что свойства абсолютно сходя-
щихся рядов во. многом похожи на свойства конечных сумм: вели-
чина суммы такого ряда не зависит от порядка слагаемых, абсо-
лютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно и т. п.
В следующем пункте будет доказано, что для сходящихся рядов,
не сходящихся абсолютно, эти свойства не имеют места.

Замечание. В заключение этого пункта подчеркнем, что,
когда члены ряда комплексные или действительные, но меняющие
знак, вопрос о сходимости этого ряда нельзя решить только
с помощью определения порядка убывания п-го члена. Например,
СО	оо

n-е члены рядов — и	— имеют одинаковый поря-

П=1	П=1	1

док при п->оо, однако первый ряд расходится, а второй сходится.

ОО

Более того, нетрудно привести пример двух рядов У, ип и
п — 1
со

Л оп, n-е члены которых эквивалентны	п=1, 2, ...,),

п= 1

из которых один сходится, а другой расходится.

В качестве таких рядов можно взять, например, ряд с п-м
членом

и ряд с n-м членом

Л п (л + 1)1п(п+1) °
С одной стороны, здесь ~ о„, n = 1, 2, ..., ибо
(-1)п+1 ।__________________1

= п "Г (п + 1) In(n + 1) = 1 ,	(— 1)п+1п

Un	(- l)n+1	(п +1) 1п (п +1) •

п
и потому

lim -^- = 1.
п—>со
со

С другой стороны, ряд У, ип есть ряд вида (35.37), поэтому он
п= 1

сходится. Ряд же У, vn расходится. В самом деле, если бы он
п= 1

сходился, то сходился бы и ряд
со	оо

2	= 2 (п+1) 1п (п+1) ’

п— 1	и — 1

т. е. ряд (35.29), который, как мы видели, расходится.
Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделения глав-
ной части годится лишь в случае рядов с действительными чле-
нами, имеющими один и тот же знак. Метод выделения главной
части может с успехом применяться для выяснения сходимости
любых рядов. Суть этого метода в рассматриваемом случае осно-

вана на следующем замечании: пусть дан ряд У, ип. Если пред-
п = I

ставить его члены в виде ип = vn-\-wn, где ряд У wn сходится,
п ~ 1

со	со

то ряд 2 ип сходится и расходится одновременно с рядом У, vn
п= 1	/1=1

(почему)? В силу этого для исследования сходимости ряда 2 ип

V— 1

целесообразно попытаться представить его члены, например, в виде
«» =	так чтобы = при а>1. Тогда поскольку

ряд У wn сходится (и даже абсолютно), то сходимость данного
п — 1

ряда сводится к исследованию сходимости ряда V ип. Этот прием,
п —> со

конечно, целесообразен в том случае, если получившийся ряд

У vn проще поддается исследованию на
п~ 1
ряд (ср. с аналогичным исследованием
в п. 33.6).

Примеры. 1. Рассмотрим ряд с

= (-П«п^Мп^ п= 2, 3.......Б

п- ш п

сходимость, чем данный

сходимости интегралов

общим членом ип =

(— 1)л	in п

У—a wn =—

ш /г	п2

получаем, что ряд У, ип сходится, ибо ряд из главных частей
л = 2

У vn сходится по признаку Лейбница, а для «остатков» имеем,
л=2

например,

—О[ з/2 У

\п /

откуда следует абсолютная сходимость ряда

п~ 2

2. Рассмотрим ряд с общим членом un = ln 1
Поскольку (см. замечание в п. 13.3)

In (1 4-я) = х —

гл/	(- 1)я+1

-- 4- О (я3), то ип =	——

2	Г п

(  ] in-1	।	/ 1 '

Положим vn = -—---------------и wn — цч — vn. Тогда и>л = О (-^-+-1.

]я	2п	\п )

Ряд 2 vn расходится как ряд, являющийся разностью сходя-
п= 1

щегося (согласно признаку Лейбница) ряда У -—Д—и расхо-

I п

V 1	, -

дящегося у — (отличающегося от гармонического ряда лишь
2п

п— 1

множителем 1/2). Ряд же У w„, согласно теореме 9, абсолютно
п— 1

сходится.

Таким образом, данный ряд ип расходится, хотя его «глав-
на 1

/__ ] \п ' 1

ная часть» /  -------— и представляет собой сходящийся ряд.

) п

п = 1

Тем самым эти ряды дают еще один пример двух рядов, члены
которых образуют эквивалентные последовательности и из кото-
рых один сходится, а другой расходится.

35.11. ПРИЗНАКИ ДАЛАМБЕРА И КОШИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Если в случае числового ряда (35.1) ип =/= 0, «леС,я=1, 2,...,
существует такое q, 0 < q < 1, и такой номер п0, что для всех
выполняется неравенство

I “п+1 । —	"/-Г -

—или
i иП |

то согласно признаку Даламбера, соответственно Коши (см. п. 35.6)
данный ряд сходится и притом абсолютно.

Если же существует такой номер «0, что для всех п п0
имеет место неравенство

ДД+1+Э+1	(35.60)

! ип ।

ИЛИ

(35.61)

то по признакам Даламбера и Коши можно лишь утверждать,
что в этом случае ряд из абсолютных величин членов ряда (35.1),
19 Кудрявцев Л. Д. т. 1
т. е. ряд 2 I ui I расходится, что лишь означает, что заданный
Л— 1

ряд не сходится абсолютно.

На самом деле из (35.60) и из (35.61) следует, что данный
ряд (35.1) вообще расходится. Действительно, как видно из дока-
зательства признака Даламбера, соответственно признака Коши,
применительно к ряду 2 IНл I (см- теоРемы 8 и 9 в п. 35.6)
п~ 1

при выполнении каждого из условий (35.60) и (35.61) в отдель-
ности последовательность {j ип |} не стремится к нулю, следова-
тельно не стремится к нулю и последовательность {ип}, т. е. не
выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Полученные признаки расходимости ряда также обычно назы-
ваются признаками Даламбера и Коши.

35.12.	СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ, НЕ СХОДЯЩИЕСЯ АБСОЛЮТНО.
ТЕОРЕМА РИМАНА

Если ряд сходится, но не абсолютно, то, как ниже будет
показано, уже нельзя утверждать, что, переставив его члены
в другом порядке, получим сходящийся к той же сумме ряд.
Парадокс в конце п. 35.9 и объясняется этим обстоятельством:
получившийся там ряд (35.45) отличается порядком членов от
данного сходящегося, но не абсолютно, ряда (35.42), и потому
нельзя было утверждать, что его сумма также равна S. Более
того, получившееся противоречие показывает, что это заведомо
не так.

Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т. е. ком-
мутативный закон сложения не имеет места для неабсолютно
сходящихся рядов.

Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его
члены, не нарушая их порядка, и сложить, то последовательность
частичных сумм получившегося ряда будет являться подпоследо-
вательностью частичных сумм исходного ряда. Поэтому, если
исходный ряд сходится, то будет сходиться и вновь полученный,
причем суммы обоих рядов будут одинаковы. Однакс,если данный
ряд расходится, то второй ряд может сходиться. Например, ряд
Г— 1 + 1 — 1 + 1 — 1 +... расходится. Объединив же попарно его
члены: (1 — 1) + (1 — 1) +(1 — 1)+ •.., получим сходящийся ряд.
Таким образом, вообще говоря, для рядов неверен и ассоциатив-
ный закон сложения.

Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолютно,
рядов с действительными членами. Пусть дан ряд
Обозначим через нГ, uj, ..., и^, ...
и„^ьО, а через — ит, — 1%-,..., — и„,
и.п>®, взятые в том же порядке,
в ряде (35.56). Рассмотрим ряды

его неотрицательные члены:
... его отрицательные члены:
в каком они расположены

Л=1

(35.63)

(35.64)

Отметим, что если ряд (35.63) содержит лишь конечное число
членов, отличных от нуля, или ряд (35.64), все члены которого
по определению отличны от нуля, состоит лишь из конечного
числа членов, то начиная с некоторого номера, все члены исход-
ного ряда (35.62) имеют один и тот же знак, и, следовательно,
его сходимость равносильна абсолютной сходимости.

Лемма 3. Если ряд (35.62) сходится, но не абсолютно, то оба
ряда (35.63) и (35.64) расходятся.

Доказательство. Пусть ряд (35.62) сходится, т. е. суще-
ствует конечный предел

lim s„,	(35.65)

ft—»0О

где sn — его частичные суммы, п=1, 2, ... Обозначим через s^,
т = \, 2, ... частичную сумму порядка т ряда (35.63), а через
s*, k=l, 2, ..., —частичную сумму порядка k ряда (35.64). Для
удобства положим еще so=so=0. Тогда для любого натураль-
ного п существуют такие неотрицательные целые m = m(n)
и k — k(n), что

sn = Sm — Sb, n = m + k;	(35.66)

при этом поскольку ряд (35.62) сходится не абсолютно, то оба
ряда (35.63) и (35.64) содержат бесконечно много членов, отличных
от нуля, и, следовательно,

lim т(п)= lim k(n)— 4-оо	(35.67)

П-+СО	п-*оо

Обозначим теперь через sn частичную сумму порядка п ряда

S |«п|.	(35.68)

п= 1

Тогда, очевидно,

Sn = sJis£.	(35.69)

Поскольку данный ряд (35.62) не сходится абсолютно, т. е.
поскольку расходится ряд (35.68), то

lim Sn = 4-оо.	(35.70)

/Т—>0Q
Оба слагаемых правой части равенства (35.69) неотрицательны,
поэтому из (35.70) и (35.67) следует, что хоть одно из указанных
слагаемых стремится к бесконечности, когда п->сю. Возвращаясь
теперь к равенству (35.66), видим что левая часть этого равен-
ства имеет конечный предел (см. (35.65)), а одна из сумм s,„ и
по доказанному, стремится к бесконечности при п-+оо. Это
возможно лишь при условии, что вторая из рассматриваемых
сумм также стремится к бесконечности при

Итак, оба ряда (35.63) и (35.64) расходятся. Q

Теорема 17 (Риман). Если ряд (35.62) сходится, но не абсо-
лютно, то, каково бы ни было число А, можно так переставить
члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равной А.

Доказательство. Снова рассмотрим ряды (35.63) и (35.64).
Согласно лемме,

У1, W/n= 4_°о>	(35.71)

пг = 1

2 Uk = +оо.	(35.72)

А—1

Пусть для определенности А уг 0. Выберем число так, чтобы
at4~ и2 4~... 4" w/i, А,	(3о.73)

причем в случае, когда номер 1 не удовлетворяет этому
условию, выбор «1 произведем еще таким образом, чтобы при
этом выполнялось также и неравенство

at 4* и? .. -р- Un, — 1	А.	(35.74)

Существование номеров nlt для которых выполняется условие
(35.73), следует из условия (35.71); для того, чтобы при этом
выполнялось и условие (35.74), надо взять наименьший из этих
номеров Пх-

Далее, выберём из ряда (35.64) п2 первых членов так, чтобы
at +... + и^ — ui —... — Unz < A,

причем в случае, когда номер п2 = 1 не удовлетворяет этому
условию, то выбор п2 произведем таким образом, чтобы при этом
выполнялось еще и неравенство

at 4- • • • 4- at, — i — ui —... — i 2s A.

Существование такого номера n2 доказывается, исходя из (35.72),
аналогично существованию номера п2.

Снова выберем потряд из ряда (35.63) члены до некоторого
номера п3 так, чтобы выполнялось неравенство

at +  • • 4- Un, — ui —... — и„2 4~ ui,+1 4~ • • • 4~	> A
и (при /13>>nx+1) — неравенство

Ui + • • • + Unt — Ui —... — и„2 -|- i + • • • + Wn,_ 1 sC A.

Продолжая этот процесс дальше, получим ряд

ut + . - . + Un, — Ui — ... — Un2 + U„, +1 + . . . + Un3 —

— u,l2+i —...—un,+ • • • • (35.75)

Для последовательности его частичных сумм

$n,> sn, + п8, ''па+п3>  • • , snk+ nk+1t  • • > k = 1 , 2, . . . ,
в силу построения выполняются неравенства

Sn,-|- n,	А, Sn2 _i_ n,	A, ...,

причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных
сумм Snft+nft+1 не превышает ее последнего члена:

(35.76)

Здесь через u„~+i обозначена абсолютная величина члена ряда
(35.75) с номером пм, наверху у него в ряде (35.75) стоит
индекс « + » или « —».

В силу сходимости исходного ряда (35.62) имеем
lim u„ = 0,
Л —* ОО

и так как при k-+oo номер члена в ряде (35.62) также
стремится к оо, то

lim uj =0.

А—*со *+1

Поэтому из (35.76) следует, что

lim sn + nk+1— А.	(35.77)

k ~^со

Если теперь взять любую частичную сумму sn ряда (35.75),
то в силу конструкции этого ряда всегда можно найти такой
номер k = k(n), что будет иметь место либо неравенство

Snk+nk^l ^Sn
либо неравенство

Snk+nM 5s s« 5s s«*+l+ «*+2>

а потому из (35.77) следует, что и

lim sn = A. Q
ri-»co

Упражнение 12. Доказать, что если ряд (35.62) сходится, но не абсолютно,
то можно так переставить его члены, что полученный ряд будет расходиться.
В частности, можно сделать так, чтобы его сумма равнялась 4-со, —со,
а также и так, чтобы последовательность его частичных сумм не имела бы
ни конечного, ни бесконечного предела.
35.13.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕЛЯ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ

В этом пункте будут доказаны достаточные признаки сходи-
мости числовых рядов, пригодные и для рядов с комплексными
членами.

Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм вида

S =	4~	4* • • • 4~ апЬп,	(35.78)

где at, bi, i=l, 2, ..., п — комплексные числа. Положим

Вх — Ьх, B% = ЬхА~ Ь?., ..., Вп = + 62 + ..• + Ьп,
тогда

bi = Bi, &2 — Дг •— Дь • •  1 Ьн — Вп — Btl-i
и

S = aiBi «2 (Bz — Bx) 4- ••• 4~ a,i (Вп — Вп-х).

Раскрыв скобки и группируя по-новому члены, получим равенство

S = (оу — а2) Вх 4- (аг — я3) В2 4*... 4~ (an-i — ап) Вп-х 4- аиВп.

Таким образом, окончательно имеем:

п	п— 1

2 aibi = 5 (аг - я/+1) Bi 4- апВп.	(35.79)

i=i	i=i

Это преобразование сумм вида (35.78) называется преобразованием
Абеля*}-, оно является в известном смысле аналогом интегриро-
вания по частям. Эта аналогия особенно бросается в глаза, если
формулу (35.79) записать в виде

2 a, (Bj-Bw) = (a„B„-a1B1)- У (az+1 - а,) Д.
1 = 2	1=1

Докажем с помощью преобразования Абеля лемму.

Лемма 4 (неравенство Абеля). Если

а, ai+1, i = 1, 2, ..., п — 1,

или
и

то

агai+1, t = l, 2, ..., п — 1 **>

\bx + --- + bi\^B, bi ееС, i = l, 2, ..., n,

n

У aibi

1 = 1

В (I ax 14- 21 an I).

(35.80)

(35.81)

(35.82)

(35.83)

*' H. Абель (1802—1829) — норвежский математик.

**’ Из этих неравенств следует, что числа ait i= 1, 2, ..., п, действительны.
Действительно, согласно условиям (35.80) или (37.81), все
разности ai — aiJrl в формуле (35.79) одного знака, и поэтому
в силу формулы (35.79) и условия (35.82) имеем:

2 aibi

п—1

=s= 2 |az-a;+1|| B/l + laJI
i = l

n—l

2 (a( -«,+i)

1=1

+1 an

= B[|а1-ап\-\-\ап |]^В[|а1|4-2|ал|].□

Существенно обратить внимание на то, что в неравенстве Абеля
оценка рассматриваемой суммы дается через первый и последний
ее члены ине зависит от числа слагаемых в этой сумме.

Теорема 18 (признак Дирихле). Пусть дан ряд

2 &пЬп
п=1

(35.84)

такой, что последовательность {а„} монотонно стремится к нулю,
а последовательность частичных сумм {Вп\ ряда

^bn, bn^C, п= 1, 2, ...,
п= 1

ограничена, тогда ряд (35.78) сходится.

Доказательство. В силу ограниченности последователь-
ности {ВД существует такое число В>0, что | Вп | sg В для всех
п = 1, 2, .... Отсюда следует, что для любого п = 2, 3, ... и любого
целого р>=0

п+р

2

i = n

= | Вп+Р - В^ I I В„+р I +1 В^ I 2В (35.85)

Пусть задано е ;> 0. Из условия lim а„ = 0 следует существо-
вание такого номера пе, что для всех п^п& выполняется нера-
венство

I I	6

I ап '	6В ‘

(35.86)

п + р

Теперь, применив неравенство Абеля (35.83) к сумме 2

где п^пй,
получим:

i~ п

и приняв во внимание неравенства (35.85) и (35.86),

п + р

2

i = n

^2В (| а„| + 2|а„+р|)<8,
отсюда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд (35.84)
сходится. [J

В качестве примера рассмотрим ряд

СО

2	(35.87)

п = 1

Прежде всего, если а=#2лт, т = 0, ±1, ±2.то

2 sin 2 sin

2 sm 2

. а
sm 2

и поэтому

Если же а = 2лт, т — 0, ±1, ±2,..., то все члены сумм
п

2 sinfex равны нулю, поэтому эти суммы при любом п равны
k= 1

нулю и, следовательно, ограничены. Таким образом при всех а
п

суммы 2s*n^a ограничены.

4=1

С другой стороны, последовательность fl/n} монотонно убывает
и стремится к нулю, поэтому по признаку Дирихле ряд (35.87)
сходится при любом а.

Заметим, что признак Лейбница (см. п. 35.9) следует из приз-
нака Дирихле. Действительно, если в ряде

СО

(35.88)

п = 1

где ал 5s ал+1 > О, положить Ьп = (—1)л, то, очевидно, суммы
Ь1 + .-- + &л> п = 1, 2, ..., равны нулю или единице и потому
ограничены и, значит, по признаку Дирихле ряд (35.88) сходится.

Из неравенства Абеля (35.83) можно получить еще один приз-
нак сходимости ряда.

Теорема 19 (признак Абеля). Если последовательность {а,,}

монотонна и ограничена, а ряд У, Ьа, Ь„^С, п=1, 2, ..., схо-

Л = 1

дится, то ряд (35.78) также сходится.

Доказательство. В силу ограниченности последователь-
ности {а„} существует такое число М > 0, что для всех п=1,
2, ... выполняется неравенство i ап | М.

Пусть теперь задано е>0. Из сходимости ряда 2 Ьп еле-
п=1

дует существование такого

номера пг, что для всех номеров п

1)

и всех целых р>-0

выполняется неравенство

^bnyk
fe = 0

Поэтому для всех номеров п~>п& и всех целых pSsO,
согласно лемме 4, справедливо неравенство

р

k=0

< С ап ! + 2 |а„н> !)<е.

В силу критерия Коши сходимости рядов это означает, что ряд
(35.84) сходится. 0

Пример. Исследуем сходимость ряда

„	• л

“ sm па cos

у п

1п 1п п

н=2

(35.89)

ОО

Заметим, что ряд цщпп сходится согласно признаку Ди-

п = 2

1

рихле: последовательность । -[nмонотонно стремится к нулю,

СО

а последовательность частичных сумм ряда s*n па ограничена
и = 2

(см. предыдущий пример). Последовательность же cos , п = 2,
3, ..., монотоннна, поэтому по признаку Абеля ряд (35.89) схо-
дится при всех а.
35.14*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОСТАТКОВ
СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ И РОСТА ЧАСТИЧНЫХ СУММ
НЕКОТОРЫХ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Подобно несобственным интегралам для рядов бывает нужно
выяснить не только вопрос об их сходимости, но в случае схо-
димости ряда оценить ее скорость, а в случае расходимости выяс-
нить характер поведения его частичных сумм при возрастаний
их номера.

В случае рядов вида

ОО

п—1

где /—неотрицательная убывающая функция, на подобные воп-
росы иногда удается получить ответы с помощью метода, приме-
ненного при доказательстве интегрального признака сходимости
СО

рядов (см. п. 35.7). Действительно, если ряд У f(n) сходится,

п — 1
со

а следовательно, сходится и интеграл j / (х) dx, то, обозначив,
1

как обычно, через гп остаток рассматриваемого ряда, получим
неравенство

со	co k	-j-co

rn= f(k)^ у, 5 f(x)dx = 5 f(.x)dx- (35.90)
fe = rt-f-l	— 1	n

Это и есть искомая оценка остатка ряда, показывающая, что при
+ со

п->-оо этот остаток убывает не медленнее, чем интеграл $ f(x)dx.

Аналогично получается и оценка снизу для остатка ряда:

СО	СО	fe-4- I	оо

= У f(k)^ 2	S /(x)dx= J f(x)dx. (35.91.)

k= n +1	Л = я 4-1	n-4-1

co

Если же ряд У f(ri) расходится, а следовательно, расходится
п = 1
оо

и интеграл f(x)dx, то, заметив, что
1

fe+i

О^/(Аг)- f(x)dx^f(k)-f(k + l)
k

и просуммировав эти неравенства по k от 1 до и, получим:

П	п + 1

SHfe)- S /(X)dx^/(l)-f(n+l)</(l).

k=l	1
Из приведенных неравенств следует, что последовательность

У, f(k)— f(x)dx, п = 1, 2, ...,
k = i	i

монотонно возрастает и ограничена сверху, а потому стремится
к конечному пределу., Иначе говоря, существует такая постоян-

ная с, что

lim У f(k)~ $ f(x)dx

(35.92)

Это равенство можно переписать в виде

у f(k) = | /(x)dx + c + e„, n=l, 2, ...,	(35.93)

k = i	i

где lim е„ = 0. Оно показывает, что с точностью до бесконечно
п —♦со

малой последовательности частные суммы расходящегося ряда
оо	1

У, f (ti) растут так же, как § f(x)dx-\-c, где с —некоторая
п= 1	1

постоянная.
п

Примеры. 1. Рассмотрим гармонический ряд который
п— 1
оо
полагая =	х^1, запишем в виде /(п).

п — 1

Функция f(x) — ~~, x^sl, удовлетворяет условиям теоремы 10,
«+1

и поскольку \ — =1п(п + 1), то из доказанного следует, что
1

существует такая постоянная С, что

1 + ~2 “Ь т + • • • + уг — (и + 0 + ^+ s„, n= 1, 2, ...,
& О	fl

где lim е„ = 0. Эта постоянная С называется постоянной Эйлеря.
п-» + со	/	| \

Замечая, что In (м-р 1) — Inn = In ( 1 -j—1->0 при п->-оо, в полу-
ченной формуле можно заменить In (п + 1) на Inn (при этом,
конечно, изменится и последовательность 8П, но она останется
бесконечно малой последовательностью):

1+у + 4 + ...+^ = 1пп + С + 8„, п=1,2, .... (35.94)
£> О	fl
Любопытно заметить, что до сих пор не удается выяснить
природу эйлеровой постоянной в том смысле, что неизвестно даже,
является ли она рациональным числом или нет.

Из формулы (35.94) очевидно следует асимптотическое равенство

1 + ~ 4-... + - ~ In п, п -> оо.

1	2 1	' п

ОО

2.	Рассмотрим ряд У 0<а<1.

Л=1

В этом случае возьмем'функцию f(x) = -~, x^l, тогда

п+ 1

1

dx
~ха

1 — а

Из (35.92) и (35.93) для данного случая следует, что суще-
ствует такая постоянная са, что

1 4-4-	4--1- - (n + 1)1 а~1 4-с 4-е

1-Г 2а	„а —	1 —а

где lime„ = 0. Отсюда получаем асимптотическое равенство
л-*оо

14-L+ +J_________

2(Х	„а 1—а *

3.	Рассмотрим сходящийся ряд , а>1.

п ~ 1

Взяв снова в качестве функции f функцию 1/х® и замечая,
что

+ со

С dx________1_____

J	(а—1) гга1

п

в силу формул (35.90) и (35.91) получим:

ОО

1	V 1	1

(а—l)(n+l)u l ’ £ п“ (а-1)п“~1 ’

fe=s П

откуда

со

Гп 2 па~(а—1)па-5>*
к = п

4.	Рассмотрим ряд

2 г	(35,95)

п = 0
35.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 589

Оценим его остаток:

ОО

О с 2 (й-Llj! = (п+1)Т [1 + п + 2 + (п + 2) (п + 3) + • • •] <
k = п

<—_J_—Г1 +-J— + —1—+ 1 =

(«+!)•’ L « + 2 ^(n + 2)2^”J

=	1	1	_	п+2	1

(п+1)!	1 (п + 1)2п! п!п ’

1-’П + 2~

В дальнейшем будет показано, что сумма ряда (35.95) равна
числу е (см. (37.40) в п. 37.6). Следовательно, если «„ — частич-
ная сумма ряда (35.95) порядка п, то e = s„ + r„, г„^0, откуда

0	—.

n nln

Таким образом, число е можно приближенно вычислять в виде
суммы

1 + 1! + 2! +  •  + пТ

причем полученная оценка указывает точность получающихся
приближений.

35.15. О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ МЕТОДОМ СРЕДНИХ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ

Иногда представляет интерес изучение расходящихся рядов
т. е. рядов, частичные суммы которых не стремятся к конечному
пределу. Как мы уже видели, подобные ряды дают возможность
получать асимптотические формулы (см. п. 35.14*, а также
п. 37.10*). Изучение расходящихся рядов целесообразно, в ча-
стности, в том случае, когда для них удается определить надле-
жащим способом понятие суммы. Различные методы определения
сумм рядов называются методами суммирования рядов. Метод
суммирования ряда называется регулярным, если для сходящегося
ряда его сумма, определенная по этому методу, совпадает с обыч-
ной его суммой (в этом случае говорят: регулярный метод сум-
мирует сходящийся ряд к его сумме).

Рассмотрим так называемый метод суммирования ряда сред-
ними арифметическими его частичных сумм. Пусть дан ряд

Ы1 + ы2 + • • • + ип + • • •
и пусть

Sn = Ul~|- Ui +.. . + ип, п = 1, 2, ...,
— последовательность его частичных сумм. Обозначим через оп
среднее арифметическое первых п членов этой последовательности

_	S1 + S2 + • •  + sn

п •

Определение 5. Ряд называется суммируемым методом средних
арифметических к числу о, если последовательность {ая} средних
арифметических его частичных сумм -сходится к о;

lim оп = а.
п-»оо

Метод суммирования средними арифметическими является
регулярным методом суммирования, так как из того, что некото-
рая последовательность {хп} имеет предел, следует, что последо-
вательность, составленная из средних арифметических первых ее
п членов

+ n==1) 2............

имеет тот же предел (см. пример 5 в п. 3.1).

С другой стороны существуют расходящиеся ряды, которые
суммируются методом средних арифметических. Таким примером
является ряд

1-14-1-1+...	(35.S6)

В этом случае s2/i = 0, з2к-г = 1, о2* = , а2*-х = 2k—i' >	. 2,....

Следовательно, lim о„= 1, т. е. ряд (35.96) суммируется мето-
n->oo	Z

том средних арифметических.

С применением суммирования рядов методом средних арифме-.
тических мы встретимся в п. 55.6-

Упражнения. Исследовать сходимость и абсолютную сходимость сле-
дующих рядов:

2 («+1) 1П2 («+1)

П = 1

V (- 1)л+1
Z. (2га— 1)3 "
п= 1

2in In n
n2
n=l

co

IS.	I
na

n~ I

19. J (1^-1)-

16.	У —’

Z (Inn)1™

П = л

20.

co

20

71=1

П=1

Inn \"
n /
со	со

-	-2'"['+ЦП

п=\	п—1

со	со

22.	25. у 1„Г1+^*_|

~ Уп п-l	L т^-Н-l)nJ

п—2	п = 2

оо

23.

п=-2

Задача 23 (признак Дю Буа Реймона *’ сходимости ряда). Доказать, что

ряд 2 апЬп (ап и Ьп — комплексные числа) сходится, если ряд Ьп схем
П=1	П—1

оо

дится, а ряд У (яя — яд+1) абсолютно сходится.
п= 1

Задача 24 (признак Дедекинда сходимости ряда). Доказать, что ряд
ОО	оо

У апЬп (ап и Ьп — комплексные числа) сходится, если ряд У (<?я — <?я+1)
п=1	п=1

оо

абсолютно сходится, lim ап — 0 и частные суммы ряда V Ьп ограничены.

Я-»ет	Я=1

§ 36.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ

36.1.	СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
И РЯДОВ

В настоящем параграфе будут рассматриваться последователь*
пости и ряды, членами которых являются некоторые, вообще
говоря, комплекснозначные функции, т. е. последовательности

f,(x)eC, п=1, 2...	(36.1)

и соответственно ряды

У, ип(х), ип(х)<=С, п = 1, 2, ...	(36.2)

л= 1

При каждом фиксированном значении аргумента х эти последо-
вательности и ряды, очевидно, представляют собой уже рассмат-
ривавшиеся числовые последовательности и ряды.

Пусть Е — некоторое множество элементов, в частности мно-
жество точек прямой, плоскости n-мерного пространства или
вообще элементов произвольной природы, и пусть (36.1) — после-
довательность функций, которые определены на множестве Е и
значениями которых являются, вообще говоря, комплексные числа.

*> П. Дю Буа Реймон (1831 —1889) — немецкий математик.
Определение 1. Последовательность (36.1) называется ограни-
ченной на множестве Е, если существует такая постоянная
М>0, что для всех х^Е и всех п = 1, 2, ... выполняются нера-
венства

\f»(x)\^M.

(Иногда в этом случае последовательность (36.1) называется
также равномерно ограниченной.)

Определение 2. Последовательность (36.1) называется убываю-
щей (возрастающей) на множестве Е, если для всех х^Е и всех
/1=1, 2, ... выполняются неравенства

fn+l (х) fn (х)

(соответственно, если для всех хеЕ и. всех п = \, 2, ... выпол-
няются неравенства

fan(x)>-fa(x)).

Это определение, очевидно, предполагает, что функции fn(x),
п = 1, 2, ..., принимают действительные значения.

Определение 3. Последовательность (36.1) называется сходя-
щейся в точке*'1 х0^Е, если числовая последовательность {/л(х0)}
сходится.

Последовательность (36.1) называется сходящейся на множестве
Е, если она сходится в каждой точке множества Е.

Если lim fn (х) = f(x), х^Е, то говорят, что последователь-
п-+<х>

ность (36.1) сходится к функции f(x), х<=Е.

Аналогичное определение можно дать и для ряда (36.2).

Определение 3'. Ряд (36.2) называется сходящимся в точке

ОО

хоеЕ, если сходится числовой ряд У, ип(х0).

п — 1

Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве Е, если он
сходится в каждой точке этого множества.

Определение 4. Ряд (36.2) называется абсолютно сходящимся

ОО

на множестве Е, если на множестве Е сходится ряд У | ип (х) |.
п= 1

Подобно случаю числовых рядов, сумма

sn(x) = У ик(х), п — \, 2, ...,

fe=i

называется n-й частичной суммой ряда (36.2); предел частичных
сумм сходящегося на множестве Е ряда (36.2) называется его

1 Мы называем элементы множества Е точками.
суммой s(x):

s (х) = lim sn(x).
п -*оо

Ряд
ОО

S ик(х)	(36.3)

k=/1+1
называется n-м остатком ряда (36.2). Остаток ряда сходится на
Е тогда и только тогда, когда на Е сходится сам ряд (36.2).
Если в этом случае сумму остатка ряда обозначить через г„ (х),
то

$ (х) = s„ (х) + гп (х).

Как и в случае числовых рядов, согласно определению, каж-
дый функциональный ряд является парой последовательностей
{цДх)} и {s„(x)}, где и„(х)—его члены, a s„ (х) — частичные
суммы:
п

sn(x)S и„(х), п = 1, 2....

k=i

При этом для каждой функциональной последовательности
(36.1) существует ряд (36.2), для которого она является после-
довательностью его частичных сумм. Члены этого ряда опреде-
ляются однозначно:

u1(x) = f1(x), u,i(x)=fn(x)-fn-1(x), п = 2, 3....

Это обстоятельство дает возможность перефразировать всякую
теорему, доказанную для функциональных рядов, в соответству-
ющую теорему для функциональных последовательностей, и на-
оборот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство.
Примеры. 1. Пусть дан ряд

1+* + -^ + ...+ ^- + ...,	(36.4)

г — комплексное число. Исследуем его абсолютную сходимость,
т. е. сходимость ряда с п-м членом ип~ —Применив при-
знак Даламбера, получим

lim I «Пхг! = lim ~^- = О
л-со i i

при любом комплексном г. Таким образом, ряд (36.4) абсолют-
но, а значит, и просто сходится при любом'комплексном z, или,
как обычно говорят, на всей комплексной плоскости.

2. Изучим сходимость ряда

х* + -^ + ...+

———I

(36.5)
х — вещественное число. Этот ряд сходится при всех х. Дей-
ствительно, если х 0, то мы имеем сумму геометрической про-
грессии со знаменателем

0«7<1-

И в этом случае сумма s(x) ряда (36.5) легко вычисляется:

S« =-----= 1+х2.

1---*—

1+х2

Если же х = 0, то все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому
он, очевидно, сходится и s(0) = 0.

Таким образом,

( 0 для х = 0,

( 1 + х2 для х Ф 0.

График функции s(x) изображен на рис. 136.

Как видно, несмотря на то, что все члены ряда (36.5) явля-
ются непрерывными функциями и ряд сходится во всех точках
действительной оси, его сумма является разрывной функцией.
Следовательно, в случае сходящихся рядов (36.2), членами ко-

торых являются непрерывные
действительные функции и„(х), их
сумма s (х), вообще говоря, не яв-
ляется непрерывной, т. е.

lim s (х) #= s (хо) = У, и„ (х0),

„=1

или, что то же,

ОО	оо

lim 2 и (х) ф S lim (х).

•£~*Хо /1—1	П~\ X—*Xq

Таким образом, предел суммы бесконечного числа слагаемых не
обязательно равен сумме их пределов.

Рассмотренный ряд (36.5) показывает, как при предельных
процессах (геометрическая прогрессия) из простых непрерывных
функций возникают функции значительно более сложной при-
роды — разрывные функции.

В дальнейшем мы выясним условия, при которых можно га-
ррцтировать непрерывность суммы сходящегося ряда непрерыв-
ных функций.
Упражнения. Исследовать сходимость и абсолютную сходимость ря-
дов:
со	со

VI П	9 V ПР 5'П ПХ

' £	хп	h	1-|-п2

п=1	Я=1

36.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Определение 5. Пусть заданы последовательность функций
(36.1) и функция f, определенные на множестве Е. Будем гово-
рить, что указанная последовательность сходится к функции f
равномерно на множестве Е, если для любого е>0 существует
такой номер пе, что если п^п£, то для всех х^Е выполняется
неравенство

\fn(x)-f(x)\<s.	(36.6)

Последовательность (36.1) называется равномерно сходящейся
на множестве Е, если существует функция f, к которой она рав-
номерно сходится на Е.

Очевидно, что если последовательность (36.1) равномерно схо-
дится к функции f на множестве Е, то она и просто сходится к
этой функции на Е.

Если последовательность {fn} сходится на множестве Е к фун-
кции f, то мы будем символически записывать это следующим
образом:

Если же эта последовательность равномерно сходится на Е к
функции /, то будем писать

ЛтА

Заметим, что если последовательность (36.1) просто сходится
к функции f на множестве Е, то это означает, что для любого
е>0 и любого х <= Е существует номер п0 — по(г', х), зависящий
как от е, так и от х, такой, что для всех номеров п^п0 имеет
место неравенство (36.6).

Сущность равномерной сходимости последовательности функ-
ций состоит в том, что для любого е>0 можно выбрать такой
номер nz, зависящий только от заданного ей не завися-
щий от выбора точки хе£, что при ппе неравенство (36.6)
будет выполняться всюду на множестве Е, т. е. «графики» функ-
ций fn будут расположены в «е-полоске», окружающей график
функции / (рис. 137).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого
е>0 при всех достаточно больших п (именно при n^nz) зна-
чения функций приближают функцию f с погрешностью, мень-
шей е, сразу на всем множестве Е.

Запишем для наглядности определения сходящихся и равно-
мерно сходящихся на множестве Е последовательностей с по-
мощью символов существования и всеобщности:

def

/и -^ / <=> (Vе > °) (V* е Е) (3n е) (v«	пе) i fn (X) - f (х) I < е;

fc=^(ye.> 0) (3ne) (\fx e= E) (\fn S& ne): | fn/x) - f (x) ] < e.

В этой записи одно определение от другого отличается пере-
становкой символов (ухеЕ) и (зпЕ).

Примеры. 1. Последовательность

1, х, х2, ..., хп...	(36.7)

на отрезке [0, <?], 0<^<;1, сходится равномерно к функции,
тождественно равной нулю. Действительно, если О-сх-су, то

OsCx" п — 1, 2, ...

(36.8)

Поскольку lim<7" = 0, то для любого фиксированного е>0 су-
ществует такое пе, что qn<.& для всех п^пг. В силу неравен-
ства (36.8) 0<х"<е для всех п^пе и всех ,?е[0, q].

2. Та же последовательность (36.7) на полуинтервале [0, 1)
также, очевидно, сходится к функции, тождественно равной
нулю: Птхл = 0, 0sgx<l. Однако, в этом случае сходимость

71-*СО

уже не является равномерной (рис. 138). Действительно,
если последовательность хп, п=\, 2, ..., равномерно сходилась
бы на полуинтервале [0, 1) к некоторой функции, то она и про-
сто сходилась бы к этой функции. В силу этого последователь-
ность (36.7) может равномерно на полуинтервале [0, 1) сходиться
только к функции, равной нулю во всех точках этого полуин-
тервала.

Заметим, что при любом фиксированном натуральном п
limxn=l. Следовательно, каково бы ни было е, 0<е<1, при
JC—>1
фиксированном п найдется такое хЕ, 0<хе<;1, что х"2&е,
(например, при хе = уе будем иметь х£ = е). Поэтому при фи-
ксированном е, 0<е<;1, не существует такого номера N, что
для всех ti$zN и всех хе[0, 1) будет выполняться неравен-
ство (36.6) при /я(х) = х'г, /(х) = 0, 0<х<1. Более того, какое
бы N ни взять, для каждого n^N найдется такое хе[0, 1),
что для него будет выполняться неравенство, противоположное
неравенству (36.6), т. е.

(в качестве конкретного х здесь можно взять, например, хЕ).

Итак, неравномерная сходимость последовательности (36.7)
на полуинтервале [0, 1) доказана. Заметим, что из проведенных
рассуждений следует, что последовательность (36.7) не схо-
дится равномерно и на любом интервале вида (г, 1), где	1,

в частности, на интервале (0, 1).

Следует обратить внимание на то, что если последователь-
ность функций fn (х), определенных на множестве Е, не сходится
равномерно на некотором его подмножестве Ео а Е, то она заве-
домо не сходится равномерно и на самом множестве Е: если
условия определения 1 не выполняются для всех точек х е Ео,
то они заведомо не выполняются и для всех точек множества Е.
Вместе с тем, если последовательность функций равномерно схо-
дится на некотором множестве, то она и подавно равномерно
сходится на каждом его подмножестве.

Отсюда следует, например, что последовательность (36.7),
сходящаяся на отрезке [О, 1J к функции

х. го при о<;х< 1,
/(х) = { ,	,

7 11 при х = 1

не сходится на нем равномерно, ибо она уже не сходится равно-
мерно на полуинтервале [0, 1).

Перейдем к описанию критериев равномерной сходимости.
Для функции f и последовательности функций {[„}, заданных
на некотором множестве Е, будем рассматривать последователь-
ность чисел (конечных или бесконечных)

swp\fn(x)-f(x)\, п=1, 2, ....	(36д)

принадлежащих, вообще говоря, расширенному множеству дей-
ствительных чисел R (см. п. 2.5), и ее предел (см. п. 3.2).
Если последовательность {fn} равномерно сходится на множе-
стве Е к функции /, то существует такой номер п0, что для всех
и. >2 «о верхние грани (36.9) конечны. Действительно, если
то согласно определению равномерной сходимости, для
любого е>0, например, для е=1 существует такой номер п0,
что для всех п п0 и всех х е £ выполняется неравенство

|/л (х)-/(х)[<1,
а следовательно, и неравенство

sup	1.

ig Е

Поэтому при п^п0 все верхние грани (36.9) конечны.

Теорема 1. Последовательность функций {/„}, определенных на
множестве Е, равномерно сходится на этом множестве к функции
f в том и только том случае, когда

lim sup\fn(x) — /(х)| = 0.	(36.10)

/г-»со х^Е

Следствие. Для того чтобы последовательность {/„} равномерно
сходилась на множестве Е к функции f необходимо и достаточно,
чтобы нашлась такая числовая последовательность {ал}, что

lim an = 0, а,; 0,	(36.11)

Я-+ОО

и существовал такой номер п0, что для всех п п0 и всех х е Е
выполнялось неравенство

|/л(х)-/(х)|^ал.	(35.12)

Доказательство теоремы. Если выполнены условия
определения 5, то для каждого е>0 существует такой номер п£,
что для всех n^ns и всех хе£ выполняется неравенство

1/л(х) —Z(x)|<-J.

Взяв указанное пг для всех п^пг будем иметь
sup \ fn (х)-/(х)|^-2 <е,
xgE	z

а это, согласно определению предела числовой последователь-
ности, и означает выполнение условия (36.10).

Обратно, если условие (36.10) выполнено, то по определению
конечного предела последовательности элементов из R, для
любого е>0 существует такой номер ns, что для всех п^щ
выполняется неравенство

sup |/л(х)-/(х)|<е.
Отсюда следует, что для всех п пе и всех х е Е справедливо
неравенство

|/л (х) —/(х) | <е,

т. е. выполняются условия определения 5.

В силу того, что почти все члены последовательности верхних
граней (36.9) для равномерно сходящихся последовательностей
функций конечны, критерий (36.10) по существу сводит понятие
равномерной сходимости функциональной последовательности
к понятию сходимости числовой последовательности.

Доказательство следствия. Если fn^f, то согласно
сказанному выше существует такой номер л0, что для всех
п^пп все верхние грани (36.9) конечны. Поэтому за последо-
вательность {пл} можно взять,

ап= sup\fn(x)~f(x) |, n = n0, «о+l,
хеЕ

(очевидно ara5s0), выбрав первые члены, а1г ..., an„-i произ-
вольным образом. Тогда при условие (36.12) выполняется
очевидным образом, а в силу (36.10) будем иметь lim пя = 0.

П -*оо

Если же существует числовая последовательность {ап}, удов-
летворяющая условиям (36.11) и (36.12), то в силу (36.12) для
любого п^п0 выполняется неравенство

sup | fn (х) - f (х) | ss an.
хеЕ

Перейдя в нем к пределу при п->оо, получим согласно (36.11),
что

lim sup |/„(х)-/(х)| =0.

n-»t»

Выполнение этого условия и означает (см. теорему 1) равномер-
ную сходимость последовательности {fn} к функции f на множе-
стве Е. Q.

Примеры 3. Докажем еще раз с помощью условия (36.10),
что последовательность х", п=Л, 2, ..., не сходится равномерно
на полуинтервале [0, 1). Поскольку предел указанной последо-
вательности на рассматриваемом полуинтервале равен нулю, то
сделанное утверждение сразу следует из очевидного (при любом
фиксированном п=1, 2, ...) равенства sup |хл — 0| = 1, из

*( е [о. о
которого явствует, что условие (36.10) равномерной сходимости
в данном случае не выполняется.

4. Последовательность fn (х) = -i- х", п = 1, 2, .... 0«':х<;1,
сходится равномерно на отрезке [0, 1] (рис. 139).
Действительно, поскольку

lim — = 0 и 0< -Xя , 0«сх<
П	П П

sgl, п=1, 2, то высказанное утверждение следует из след-
ствия теоремы 1.

Сформулируем и докажем критерий равномерной сходимости

последовательности, обычно также называемый критерием Коши.

Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости последо-

вательностей). Для того чтобы последовательность функций fn,
п = 1, 2, ..., определенных на некотором множестве Е, равно-

ция f такая, что для

что для всех п >^п& и

мерно сходилась на этом множестве,
необходимо и достаточно, чтобы для
любого е>0 существовал такой номер
пе, что для всех номеров п^пе, всех
целых р>0 и всех точек х^Е выпол-
нялось неравенство

I fn+p (х) fn (х) | <С 8.

(36.13)

Доказательство необходи-
мости. Пусть последовательность {fn}
равномерно сходится на множестве Е.
Тогда, согласно определению равно-
мерной сходимости, существует функ-
любого 8 > 0 существует такой номер пе,
всех хе£ выполняется неравенство

|/(х)-/„(х)|< ® .

Поэтому, если nSsne и то для всех хе£ получим

I fn+p (X) - fn (X) |	| fn+p (X) - f (X) | + | f (X) - fn (X) | < 8.

Доказательство достаточности. Если выполнено
условие (36.13), то при любом фиксированном хе£ последова-
тельность

fn(x), п = 1, 2, ...,	(36.14)

является числовой последовательностью, удовлетворяющей крите-
рию Коши (см. п. 3.7 и п. 23.3) и потому она сходится.

Обозначим предел последовательности (36.14) на множестве Е
через /(х). Покажем, что последовательность \fn} сходится рав-
номерно к функции f на множестве Е. Действительно, в силу
условия (36.13) для любого е > 0 существует такое /гЕ, что для
всех п ns, всех целых р 0 и всех х е £ справедливо нера-
венство

\fn+P(x)-fn(x)\< ®.

(36.15)

Заметив, что lim /ч+р(х) = /(х), перейдем к пределу в неравен
р -> 00
стве (36.15) при р->-оо, тогда для всех п^пв и всех х^Е по-
лучим

\f(x)-fn (x)|=sS-| <е,

а это и означает, что fn-f^'f- □

В заключение отметим два свойства равномерно сходящихся
последовательностей.

1°. Если последовательности {/„} и равномерно на мно-
жестве Е сходятся соответственно к функциям f и g, то любая
линейная комбинация {A/„ + pg„}> це С, данных последо-
вательностей также равномерно на этом множестве сходится
к такой же линейной комбинации предельных функций, т. е.
к V+pg.

Доказательство. Если Л = р = 0, то утверждение оче-
видно. Пусть хоть одно из чисел А, или р отлично от нуля, т. е.
|’Л| + |р|>0. Зафиксируем произвольно е>0. В силу условий
fn^f и gn^-g существует такой номер п9, что для всех п^п0
и всех х е Е выполняются неравенства

I fn (X)~f (X) | < |Ь| + 1щ > I gn (X) — g (х) | < |Х| + |р|’ >

а потому и неравенство

11Чп (х) + pg„ (х)] - [V (г) + pg (х)] | <

^1*1 \fn (х)-/(х)| + |р1 |£л(х)-£(х)1<

<1Л1 |Л i + | р. | +1н1|хИ|р!=е-

Согласно определению равномерной сходимости это и означает,
что Af„ + pg„=:V + pg. □

2°. Если последовательность {/„} равномерно сходится на мно-
жестве Е к функции f, а функция g ограничена на этом множе-
стве, то последовательность {gfn} также равномерно сходится
на Е к функции gf.

Доказательство. Ограниченность функции g на множе-
стве Е означает, что существует такое М>0, что для всех хе£
выполняется неравенство |g(x)|^7W. Вейлу же равномерной
сходимости на множестве Е последовательности {/„} к функции f
существует такой номер п0, что для всех по^Пц и всех хе£
выполняется неравенство

\fn(x)-f(x)\<~,

а потому и неравенство

I g (х) fn (х) - g (х) f (х) | = | g (х) 11 fn (х) - f (х) | < е.

Это и означает, что gfn~ -gf- Q

Е
36.3.	РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равно-
мерной сходимости.

Определение. 6. Ряд

СО

У, ип(х),	(36.16)

п — 1

члены которого являются функциями, определенными на множе-
стве Е, называется равномерно сходящимся на этом множестве,
если последовательность его частичных сумм равномерно сходится
на Е.

Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16) означает
существование такой функции s(x), что

sn(x)z^s(x)	(36.17)

(здесь, как всегда sn (х) — частичная сумма порядка п ряда (36.16),
и=1, 2, ...).

Поскольку из (36.17) следует, что sn (х) ->s (х) на Е, то s(x)
является суммой ряда (36.16).

Положим

га (х) = 2 и* (х).
k — п -|- 1

Тогда s (х) — sn (х) — гп (х) и условие (36.17) для сходящегося на
множестве Е ряда можно переписать в эквивалентной форме:

Г„(х)^ О,	(36.18)

откуда в силу эквивалентности определения 5 равномерной схо-
димости последовательности функций и условия (36.10) следует,
что, для того чтобы сходящийся на Е ряд (36.16) равномерно
сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы

lim sup | rn (x) | = 0.	(36.19)

n ->oo хе E

Таким образом, из равномерной сходимости ряда, в частности,
вытекает, что начиная с некоторого номера верхние грани

sup I гп (х) I

xs Е

конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной сходи-
мости ряда к стремлению к нулю числовой последовательности
этих верхних граней.

Укажем существенное свойство равномерно сходящихся рядов.

Теорема 3 (необходимое условие равномерной сходимости ряда).

Если ряд (36.16) равномерно сходится на множестве Е, то по-
следовательность его членов ип(х), п=1, 2, равномерно стре-
мится к нулю на множестве Е, т. е.

W/i (х) ^2 0.
С.

Коротко это свойство выражается следующим образом: у рав-
номерно сходящегося ряда общий член равномерно стремится
к нулю.

Доказательство. Пусть ряд (36.16) равномерно сходится
на множестве Е. Обозначим его частичные суммы, как обычно,
через sn(x), а его сумму —через s(x), х^Е. Тогда для любого
е > 0 существует такой номер п£, что для всех /г >: и всех
х се Е выполняется неравенство

|s„ (х) — s (х) I <е/2.

Поэтому для всех п^пе и всех х е Е справедливо также нера-
венство

| ип+1 (х) I = I ?л+1 (х) - s„ (х) I =

= i [s«+i (х) - S (х)] + [s (х) - s„ (х)] I <

< I 8„,1 (х) - s (х) I +1 s„ (х) - s (х) I < ®- + 2= е.

Это и означает равномерную (на множестве £) сходимость к нулю
последовательности членов равномерно сходящегося на этом мно-
жестве ряда. [J

Отметим, что в силу условия (36.10) равномерное стремление
к нулю общего члена ряда (36.16) означает, что

lim sup | ип (х) | = 0.
п-^оо хеЕ

С помощью теоремы 3 иногда удается установить, что рас-
сматриваемый ряд не сходится равномерно. Так, ряд, члены
которого образуют геометрическую прогрессию, У, хп не схо-
п — 0

дится равномерно на интервале (0, 1), ибо, как это было пока-
зано в п. 36.2 (см. пример 2) последовательность хп, п =
= 0, 1, 2, ..., членов этого ряда не сходится равномерно к нулю

на этом интервале. Отсюда, кстати, следует, что ряд У, г"> где

/7—0

г — комплексное число, также не сходится равномерно в единич-
ном круге | г | < 1, ибо он не сходится равномерно уже на под-
множестве (0, 1) этого круга.

Часто бывает полезным следующий достаточный признак рав-
номерной сходимости.

Теорема 4 (признак Вейер штрасса). Пусть даны два ряда',
функциональный (36.16), членами которого являются функции
ип(х), определенные на множестве Е, и числовой

У, ап, а„ => О, п = 1, 2

(36.20)

п = 1

Если ряд (36.20) сходится и
неравенство

]ип (х)|=Са„,

для любого х^Е выполняется

и = 1, 2, ...,	(36.21)

то ряд (36.16) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е.

Абсолютная[ сходимость ряда (36.16) на £ в случае сходимо-
сти ряда (36.20) сразу следует по признаку сравнения из нера-
венства (36.21). Равномерная же сходимость этого ряда легко
следует из теоремы 1 этого пункта. Мы, однако, приведем ее
непосредственное доказательство.

Пусть s(x) —сумма ряда (36.21) и sn (х) — его частичная сумма.
В силу сходимости ряда (36.20) для любого е>0 существует
такой номер пЁ > 0, что для всех п пе выполняется неравен-

ство (см. (35.10)) У ат<е. Но тогда для всех п^?пЕ и всех

т = п

х^Е для остатков rn (х) — s (х) — sn (х) ряда (36.16) (по доказан-
ному выше он абсолютно, а следовательно, и просто сходится,
поэтому равенство гп (х) = s (х) — sn (х) имеет смысл) будем иметь

|s(x)-s„(x)| = |r„(x)| =

У ит(х)

т = п

У I от (х) |' : У ат С е.
т= п	т — п

Это и означает согласно определению 5 равномерную сходимость
ряда (36.16) на множестве Е. Q

Отметим, что ряд (26.20) называется рядом, мажорирующим
ряд (36.16).

СО

В качестве примера возьмем снова ряд У гп, члены которого
п = 0

образуют геометрическую прогрессию. Рассмотрим его в круге
радиуса r:|z|=Cr, где 0<г<1. Поскольку числовой ряд У гп
п — О
с неотрицательными членами, образующими бесконечно убываю-
щею геометрическую последовательность, сходится, а для членов
данного функционального ряда справедлива оценка | zn j -с гп, ибо
|г)=сг, то он по признаку Вейерштрасса равномерно сходится
во всяком круге |г|^г<1. Вместе с тем, как это было пока-
зано выше, этот ряд не сходится равномерно в круге | г j < 1.

Признак Вейерштрасса дает только достаточные условия рав-
номерной сходимости ряда, которые отнюдь не являются необхо-
димыми. Убедиться в этом для рядов, у которых с возрастанием
номеров членов чередуются их знаки совсем легко. Действительно,
сходящийся ряд > - п - (как и всякий сходящийся числовой
п— I

ряд) можно рассматривать как равномерно сходящийся, напри-
мер, на всей числовой оси R ряд: его члены ип = -	' суть

функции постоянные на /?. Вместе с тем всякий числовой ряд
У ап, удовлетворяющий условию | ип | ап, т. е. в данном слу-
п= 1

чае условию ™ ап, п = 1, 2, ..., расходится по признаку срав-

нения. Таким образом, ряд У

п — 1

-1)«

сходится равномерно, а схо-

дящегося ряда У, ап,

удовлетворяющего условиям признака

Вейерштрасса, не существует.

Можно показать, что более того условия признака Вейер-

штрасса не являются необходимыми для
равномерной сходимости даже рядов, все
члены которых неотрицательны. Чтобы
в этом убедиться, приведем пример рав-
номерно сходящегося на отрезке [0, 1]

ряда У ип (х) с неотрицательными чле-
п~- 1

нами, для которого тоже не существует

сходящегося числового ряда У ап, удов-

п= 1

летворяющего условию (36.21).

Определим член ряда ип (х) следующим

образом:

на отрезках |\).

и

ция ип (х) линейна и непрерывна на каждом из

ип (х) = 0
и функ-
отрезков

.1 . 1 \ 11 с .

пТ график изобра-

жен на рис. 140.

Ряд У и„(х) сходится равномерно на отрезке [0, 1]. Дейст-
п — 1

вительно, если гп(х)= У uk (х) — остаток этого ряда, и=1,
k— «4-1

2, ..., то для любого хе[0, 1] среди его членов существует не
более одного, для которого м*(х)=^0, k^n + 1. При этом, оче-
видно,

ПОЭТОМУ

и, следовательно, гДх)^^!) при n->oo, т. е. рассматриваемый
ряд равномерно сходится на отрезке [0, 1].

ОО

Если У, ап такой числовой ряд, что для всех ze[0, 1] вы-
п=. 1
полняется неравенство О ип (х) ап, то

1	/ ч

— = max ип (х) < ап.
п [о, п
СО

Поскольку гармонический ряд -i- расходится, то расхо-

п — 1
со

дится и ряд У ап. Таким образом, в рассмотренном случае чис-
лового ряда, удовлетворяющего, по отношению к функциональ-
ОО

ному ряду У ип (х), условиям признака Вейерштрасса, заведомо
п = 1

нет.

Перейдем теперь к условиям равномерной сходимости ряда,
являющимися одновременно необходимыми и достаточными.

Замечая, что

п+р

sn+p (х) - s„-! (х) = У uk (х),	(36.22)

k — n

из теоремы 2 получаем следующий критерий равномерной сходи-
мости.

Теорема 5 (критерий Коши равномерной сходимости рядов).
Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на множестве Е,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовал
такой номер пе, что для всех п^пе, всех целых р+^0 и всех
х е Е выполнялось неравенство

п + р

У ч-k (х)

k—n

<е.

(36.23)

Очевидно, что из критерия Коши равномерной сходимости ряда
еще раз (если в (36.23) положить р = 0) получается теорема 3,
т. е. необходимое условие равномерной сходимости ряда (36.16).

ОО

Упражнение 3. Выяснить, может ли ряд вида У апгП (а„ и г — ком-

п —О

плексные числа), у которого бесконечно много коэффициентов отличны от
нуля, равномерно сходиться на всей комплексной плоскости.
Примеры. 1. Рассмотрим снова (см. п. 36.1) ряд

1+г + |Т + --- + |г + ...	(36.4)

и покажем, что, каково бы ни было число г>0, ряд (36.4) схо-
дится равномерно в круге | z | г.

Как мы уже видели, ряд (36.4) сходится при любом комплекс-
ном г, в частности, при z — r, т. е. числовой ряд

Г2	гП

1+г + г! +••• + „[ + •••

сходится. Беря его в качестве ряда сравнения (36.20) для ряда
(36.4), при |г|=Сг имеем	Поэтому наше утверждение

о равномерной сходимости ряда (36.4) непосредственно следует
из теоремы 4.

Покажем, что ряд (36.4) не сходится равномерно на всей
комплексной плоскости. Это следует из невыполнения в данном
случае необходимого условия равномерной сходимости ряда (см.
теорему 3). Действительно, при любом фиксированном п0

lim | zn«ln0\ I = + сю.	(36.24)

Поэтому, если задано е>0, то, каково бы ни было п0>0,
в силу (36.24) можно подобрать г0 так, чтобы

I z0°/M()! | Д> е,

т. е. zn/n\ не стремится равномерно к нулю на всей комплекс-
ной плоскости.

2.	Исследуем равномерную сходимость ряда

СО

2,	У rg",	-”<*< + »•	(36.25)

П = 1

Прежде всего заметим, что

х sin пх	IXI	/36 26)

V1 + п2 (1 + пх2) '' Кн-n2 (1+ПХ2) ’	' ' ’

Далее, 1 4-«х2	21 х ||/и поэтому

Vl+n2(l+nx2) '~2/п(1+п2) ~~~ 2п3/2 '

*’ Мы воспользовались здесь неравенством 2аЬ сГ-a2-|-fe2, которое сразу
получается из очевидного неравенства (а —&)2>=0.
со

Так как ряд /, —Га сходится,, то по признаку Вейерштрасса
2гг

п=1

в силу неравенства (36.26) и (36.27) исходный ряд (36.25) равно-

мерно сходится на всей действительной оси.

3.	Рассмотрим ряд

СО

У, е-"5*2 sin пл.	(36.28)

п= 1

Очевидно, | е-п'х2 sin пх | -С п | х | e~nix2. Найдем максимум функции
vn (х) = п | х | е-"5*2

при фиксированном п. Функция vn(x) четная, поэтому достаточно
рассмотреть лишь случай xSsO (почему?). Производная v'n(x) —

= п (1 — 2n5x2) e~nSx‘

обращается в ноль в точке

1
%0~Г2п5'2‘

Поскольку u„(x)5s0 для всех х, и„(0) = 0 и lim ип(х) = 0, то
в точке Хо функция vlt (х) имеет максимум (почему?).

Поэтому

Vn (X) vn	= ^2^72 е“1/2 <

и так как ряд У сходится, то по признаку Вейерштрасса

1
п = 1
ряд (36.28) равномерно сходится на всей вещественной оси.

Метод, примененный для установления равномерной сходимо-
сти ряда (36.28) (исследование на экстремум модуля общего члена
или его мажоранты методами дифференциального исчисления},
является достаточно общим и часто применяется на практике.
Этим методом можно было бы исследовать и равномерную сходи-
мость ряда (36.25), однако примененный выше способ исследова-
ния этого ряда значительно быстрее приводит к цели.

4.	Рассмотрим ряд

СО

2	<зе-29>

п=1

По признаку Лейбница (см. п. 35.5) он сходится при любом ве-
щественном х и, как было отмечено там же, остаток ряда оце-
нивается первым своим членом

I Гп (X) [ < x2 + n+1

Из этого следует, что

Г„(х)=(0 при — ОО < X < + ОО,

т. е. ряд (36.29) равномерно сходится на всей действительной оси.
Покажем, что этот ряд не сходится абсолютно во всех точ-
ках. Действительно, выберем для данного числа х какое-либо
натуральное пх так, чтобы х2^пх. Тогда для всех пТ^пх будет
выполняться неравенство х2с«, а следовательно, и неравенство

1	1
х2 + п 2п'

СО

А так как ряд расходится, то в силу признака сравнения
п —1

ряд (36.29) не сходится абсолютно.

Упражнение 4. Привести пример ряда, который абсолютно сходится
во всех точках некоторого множества, но не сходится на этом множестве
равномерно.

Указание. Полезно вспомнить пример 2 из п. 36.1.

Докажем теперь достаточный признак равномерной сходимо-
сти, применимый в отличие от признака Вейерштрасса и к не
абсолютно сходящимся рядам. Он напоминает по своей формули-
ровке признак Дирихле для сходимости числовых рядов (см.
п. 35.13) и впервые встречается в работах Харди*.

Теорема 6. Пусть дан ряд

2 ап(х) Ьп(х),	(36.30)

Л = 1

в котором функции ап(х) и Ьп(х), и=1, 2, ..., определены на
множестве Е и таковы, что

1)	последовательность {«„(%)} монотонна при каждом х^Е
и равномерно стремится к нулю на Е\

2)	последовательность частичных сумм Вп(х), 1, 2, ...ряда

У Ьп(х)
п~1

ограничена на множестве Е.

Тогда ряд (36.30) равномерно сходится на множестве Е.

Доказательство. В силу условия 2 теоремы существует
такое В>0, что jB„(x)|sgB для всех хе£ и всех и = 1,2,...
и поэтому

п+р

У, bk (х) = I В„+р (х) -	(х) | < | Вп+Р (х) I +1 Вп_г (х) I =С 2В

k= п

для всех хе£, всех п — 2, 3, ..., и всех целых р^аО. Из усло-
вия же 1 теоремы следует, что для любого фиксированного е > 0

* Г. Харди (1877—1947) — английский математик.

20 Кудрявцев Л. Д. т. 1
существует такой номер пе, что для всех и всех п^пв
выполняется неравенство

0^ | ап(х) |<б^-.

Теперь, применив неравенство Абеля (см. п. 35.13), получим,

что

п + р

У, ak(x)bk(x)
k — n

2В[ | ап (х) | +21 ап+р (х) | ]<е

для всех х Е, всех п пг и всех целых р 0. Это и доказы-
вает равномерную сходимость ряда (36.30). Q

В качестве примера на применение теоремы 6 рассмотрим ряд

п — 1

sin пх
п

Согласно теореме 6 этот ряд равномерно сходится на любом
отрезке [а, &], не содержащем точек вида 2лт, т = 0, ±1, ±2,...
Действительно, последовательность ап—1/п, п=1, 2, .... в дан-
ном случае является числовой последовательностью, она моно-
тонно убывает и стремится к нулю (а значит, и равномерно

стремится к нулю), а суммы У sin kx удовлетворяют неравенству

*+1

п

V .	,	,	1	,	1-1

7 sin«x --------rsimax------< + оо

ftl • х

Л=1	sin •	[°- bJ sin 2

(см. п. 35.13), т. е. ограничены на любом указанном отрезке.

На всяком отрезке, содержащем точки вида x = 2kn, рассмат-
риваемый ряд не сходится равномерно. В силу свойств синуса
это достаточно доказать для отрезка [0, л]. Положим хп =
тогда для всех & = и+1, п + 2, .... 2п будем иметь Q<,kxn+'i
«+1 <?2. Следовательно, в силу неравенства —. 0<а<

(см. (14.1)), получим

sinfa^ = sin^ 1	2 1 = _1 k = n+\, ..., 2п.

k kxn 2п л2п яп

Отсюда

sin (п+1) хп , sin (п + 2) хп .	. sin 2пхП 1__.	, 1 _ 1

п+1	п + 2	"г •••"+ 2п яп ‘ яп я"

Поэтому ни для какого е<-- на отрезке [0, л] не выполняется
критерий Коши равномерной сходимости.
Заметим, что доказать равномерную сходимость рассматривае-
мого ряда на отрезке, не содержащем точек вида x = 2kn с по-
мощью признака Вейерштрасса нельзя. Например, для отрезка

Поэтому не существует такого сходящегося числового ряда У, ап
п — 1

I sin пх I _ Г л Зя 1	_ 1	V 1

что ——	на , ~2”]> иб° тогда	а ряд У Д’ Рас'

п= 1
ходится.

Подобно случаю числовых рядов, применяя неравенство Абе-
ля, можно получить еще один признак равномерной сходимости
функциональных рядов, аналогичный признаку Абеля для чис-
ловых рядов. Он также впервые встречается в работах Харди.

Теорема 7. Если

1)	последовательность {а„ (х)} ограничена на множестве Е:
| ап (х) |	Л4, х е Е, и=1, 2, ...,

и убывает или возрастает при каждом х Е,

2)	ряд У Ьп(х') равномерно сходится на множестве Е, то
п ~ 1

ряд (36.30) также равномерно сходится на Е.

Доказательство. Пусть задано е>0. В силу равномер-
ной сходимости ряда У Ьп (х) существует такой номер пг, что
Я — 1

для всех номеров п пе, всех целых р 0 и всех точек х е Е
выполняется неравенство

р

bn+k (х)

fe=0

8

<'ЗЛГ

Отсюда, в силу неравенства Абеля (см. 35.77) для всех номеров
п^Пг всех целых рг&О и всех точек х<=Е будет справедливо
неравенство

р

2 an+fe(x) ^я+fe (х)

А=0

р

< зм (I (х) | + 21 ап+р (х) I) е.

Согласно критерию Коши, это и означает равномерную схо-
димость ряда (36.30). □
„  х

°° sm пх cos —

Пример. Рассмотрим ряд 2 —1п 1г7„ " 

п —2

На любом отрезке, не содержащем точек вида 2лт, т=0,

, ,	V sin пх	г.

±1, ряд У [п 1п--- согласно теореме о равномерно сходится,
я = 2

а последовательность cos*, п = 2, 3, ... ограничена и монотонно
возрастает начиная с некоторого номера, причем можно выбрать
такой номер, что начиная с этого номера эта последовательность
будет возрастать во всех точках указанного отрезка. Поэтому на
отрезке, не содержащем точек вида 2лт; т = 0, ±1, ..., рас-
сматриваемый ряд равномерно сходится.

В заключение заметим, что из двух свойств равномерно схо-
дящихся последовательностей, доказанных в конце п. 36.2, не-
посредственно следует справедливость соответствующих свойств
для равномерно сходящихся рядов:

1°. Если ряды У н„(х) и vn{x) сходятся равномерно на
« = 1	п— 1

множестве Е, то для любых чисел Z е С и р е С ряд
ОО

2 hun (%) + [ivn (х) также сходится равномерно на множестве Е.
п= 1

оо

2°. Если ряд У, w„(x) равномерно сходится на множестве Е,
п=- 1

а функция g(x) ограничена на этом множестве, то ряд
ОО

У g (х) ип (х) также равномерно сходится на Е.

П=1

Упражнения. Исследовать на сходимость абсолютную сходимость и
равномерную сходимость ряды:

к	VI ,, ч „	„	V sin

5,	(1-х)X".	7.	У-7Й-.

" = 0	"1

ОО	ю

6.	25-	8-	5,nu+^)-

п = I	я 1

(везде х—вещественное число)

36.4. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Мы видели, что сумма сходящегося ряда, все члены которого
непрерывные функции, может и не быть непрерывной функцией.
Следующая теорема содержит достаточные условия непрерывности
суммы ряда.
Следует обратить внимание на то, что рассмотрение непрерыв-
ных на некотором множестве функций накладывает дополнитель-
ные ограничения на само множество — оно уже не может быть
множеством произвольной природы (каковым до сих пор было
множество Е, на котором были заданы члены рассматриваемых
рядов, элементы последовательностей и т. д.), а должно быть
таким, что для функций, заданных на нем, определено понятие
непрерывности. Когда речь пойдет о производных и интегралах,
придется еще более сузить класс допустимых множеств Е.

Теорема 8. Если функции ип(х), п — 1, 2, ... , непрерывны в
точке х0 множества Е с и ряд У ип (х) равномерно сходится
п = 1

на Е, то его сумма s(x) = У и„ (х) также непрерывна в точке х^.

п — 1

Доказательство. Пусть функции ип (х), и=1, 2, ... ,
непрерывны в точке х0 е Е. Докажем, что тогда функция s (х)
также непрерывна в этой точке.

Зафиксируем какое-либо е > 0. Пусть

sn W = У, «fe W, X е= Е.

k = l

Согласно условию теоремы,

s„ (х)^ s(x),
поэтому существует такой номер пг, что

|s(x)-s„(x)|<4	(36.31)

для всех х е Е и всех п>-пг и, в частности, для п = пе. Функция
s„e(x) как сумма конечного числа непрерывных на Е функций uk(x),
k = 1, 2, ... , пг, непрерывна в точке хое£. Поэтому существует
6 = б(е)>0 такое, что для всех точек х е Е, удовлетворяющих
условию р (х, х0) < б,

М)-чН<т-	(36-32>

Теперь, заметив, что s (х)—s (х0) = [s (х) — s„E (х) ] ф-[s„E (х) —
(Хо) ] “Ь [ (Хо) S (ХО) j

*’ Здесь, как и везде, где не оговорено что-либо другое, рассматриваются
комплекснозначные функции ип (х); понятие непрерывности для таких функций
см. в п. 23. 3; Rm, как обычно, обозначает m-мерное евклидово пространство.
Л —г ЛО П — I	Л ' ЛЦ

хеЕ	хеЕ

Выше отмечалось, что каждой

(рис. 141), из неравенства (36.31), взятого в точках хп и х, и нера-
венства (36.32) получим при р (х, х0) < 6 и хеЕ

I S (х) — s (х0) | < |s (х) - S„e (х) | + I S„e (х) - S„e (хо) | +

+ | sne (*о) — s (х0) I < ‘з + з + 3 = е,

что и доказывает непрерывность функции s (х) в точке х0. Q
В случае, если х0 предельная точка множества Е утверждению
теоремы можно придать вид

оэ	оо

lim У, ип (х) = lim s (х) = s (х0) = У ип (х0),
п = 1

п=1,2,..., непрерывна в
точке х е Е, то ип (х0) =
= lim н„(х), поэтому

X х0
х$=Е

со

lim У м„(х) =
Х-^Х1)п^[
х^Е

= y lim«„(x).

п ~ 1 *—**!’
х е Е

Таким образом, в усло-
виях теоремы 8 предел сум-
мы ряда равен сумме преде-
лов его членов, т. е. в рас-
сматриваемом ряде допустим
почленный переход к пределу,
последовательности функций

соответствует функциональный ряд, для которого она является
последовательностью частичных сумм. При этом если данная пос-
ледовательность равномерно сходится на некотором множестве,
то и указанный ряд также, очевидно, равномерно сходится на этом
множестве. Это обстоятельство позволяет перефразировать теоремы
о равномерно сходящихся рядах в соответствующие теоремы о
равномерно сходящихся последовательностях. Например, теорема
8 может быть перефразирована следующим образом.

Теорема 8'. Если функции fn, п=1, 2,..., непрерывны в
точке х0 £ Е cz Rm и fn^f< то f непрерывна в х0.

Это означает, что для точки х0 е Е
lim lim/n(x)=lim lim/„(x),
X —> Хо /I “* СО	п -* со х —*х9

х&£ Е	х^Е

т. е. предельные переходы по п и по х можно переставлять.
Действительно, предел f последовательности fn, п = 1, 2, ...
является в силу теоремы 8' непрерывной в точке х0 Е функ-
цией, а поэтому левая часть равенства равна f(x0):

lim lim fn (х) = lim f (x) = f (x0),

x-*x0 n -• co	x—>x0

хе E	хеE

но и правая часть рассматриваемого равенства в силу непрерыв-
ности функций fn также равна f(x0):

lim lim fn (x) = lim fn (x0) =f (x0). □
n -> ОЭ X —*	n co

x e E

Задача 25 (теорема Дини *’)• Пусть функции fn, n — l, 2 ... непрерывны и,
монотонно убывая или монотонно возрастая, стремятся на компакте Е cz
к функции /. Доказать, что для того чтобы функция / была непрерывной,
необходимо и достаточно, чтобы последовательность {[„} сходилась на мно-
жестве Е равномерно. Перефразировать этот результат для рядов.

Теперь перейдем к вопросу о почленном интегрировании и
дифференцировании рядов. Поскольку производная и интеграл
определялись только в действительной области, то, начиная
отсюда и до конца параграфа, будем считать, что все рассматри-
ваемые функции определены на промежутках действительной оси
и принимают действительные значения.

Рассмотрим сначала пример, который убедит нас в том, что
одной лишь сходимости функционального ряда недостаточно для
того, чтобы интеграл от функции, равной его сумме, можно было
найти почленным интегрированием. Иными словами, покажем,
со	со Ъ

что даже если ряды У, ип (х) и У § ип (х) dx сходятся, то равен-
л= 1	n=1 а

CTBO
b оо	оо Ь

$ у ип (х) dx = У 5 ««(х) dx
а п = 1	п= 1 а

может быть неверным, даже в том случае, когда все написанные
интегралы существуют.

Перефразируем сначала это утверждение в терминах после-
со	п

довательностей. Если положить s(х) = У ип(х), sn(x) = У uk(x),
п~1	А=1

то будем иметь
b со	b	Ь

У, и-п (х) dx = s (х) dx = § lim sn (х) dx,
а п— 1	а	а п~”са

со &	п b

У ип (х) dx = lim У Uk (х) dx —
п= 1 а	п^ос> /г— 1 а

b г п	Ъ

= lim $ У Wfe(x) dx= lim $s„(x)dx.

л 00 a = 1	_ n “* co a

*J У. Дини (1845—1918) —итальянский математик.
Покажем, что равенство

ь	ь

lim $ s„ (х) dx = lim sn (x) dx

дП-^СО

справедливо не, всегда, когда на отрезке [а, Ь] существует пре-
дел lim sn(x) и все рассматриваемые функции интегрируемы,
п -» оэ

т. е. что в этом случае не всегда можно переходить к пределу под
знаком интеграла.

Пусть sn (х) = пхе~пхг, п = 1, 2, Osgx^l. Тогда s„(0) = 0
и при любом х=#0: lims„(x) = 0. Таким образом з,![0-^0 и,
следовательно, интеграл от предельной функции, т. е. от нуля,
также равен нулю. Однако

1	1	п

sn (х) dx = п хе~пх2 dx — ~ е~* dt = у (1 — е~п).
оо	о

1

Поэтому lim I sn (х) dx = ~, т. е. действительно, для рассмот-
п^са о

ренной последовательности {s„(x)} имеет место неравенство

1	1

lim \sn(x) dx^= \ lim s„(x)dx = 0.

n^cOQ	gn->co

Если построить ряд 2 un(x), для которого последователь-
п ~ 1

ность {sn (х)} является последовательностью частичных сумм, т. е.
положить

u1(x) = s1(x),	(х) =	(х) — s„_x (х), n = 2, 3, ...,

то для этого ряда будем иметь

1 со	оо 1

5 1 Un (^) dx 1 5

0 п—1	п—16

Теорема 9. Пусть функции ип(х), и = 1, 2, ..., непрерывны
на отрезке [а, &] и ряд

S ил(х)	(36.33)

п= 1

равномерно сходится на [а, &]. Тогда какова бы ни была точка
с <= [а, Ь], ряд

СО X

2	(0 dt	(36.34)

Л= 1 с
также равномерно сходится на [а, &], и если

S (х) = 2	(X),

(36.35)

то

X	СО	х

^s(f) dt = У, ^un(t)dt,	as^xs^b. (35.36)

с	п=	1 с

Если эту формулу переписать в виде

то видно, что она означает законность при условиях, перечислен-
ных в теореме 9, почленного интегрирования ряда.

Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда
(36.33), согласно теореме 8, функция s(x) (см. (36.35)) непре-
рывна на отрезке [а, Ь] и поэтому интегрируема на любом отрезке
с концами в точках се[й, I)] и х е [а, 6].

Покажем, что ряд (36.34) равномерно на отрезке [a, ft] схо-
дится к функции

о (х) = У ип (t) di = \ s (t) dt.
С П=1	с

(36.37)

Пусть

п

s„(x)= 2 uk(x) И r„ (х) = s (х) — (х).
fe = l

Тогда для любого хе [а, &] имеем

п X

О (х) — У, \uk (0 dt
k = 1 с

X	X

jj s (f) dt — $ sn (t) dt

$is(O-s„ (t)\dt

c

\\rn(t)\dt

sg SUp |Г„(О|
[а. Я

=C IX — с I sup I rn (f) I sg (b — a) sup | rn (x) j.
[a. 6]	[a, b]

(36.38)

Последовательность sup|r„(x)|, n=l, 2, ... является число-
la. b]

вой последовательностью. В силу равномерной сходимости ряда.
(36.33) имеем

lim sup | rn (x) | = 0
n —* co [a, d]
(см. п. 36.3); поэтому из неравенства (36.38), согласно признаку
Вейерштрасса равномерной сходимости последовательности, сле-
дует, что последовательность частичных сумм ряда (36.34) равно-
мерно сходится к функции (36.37), а это и означает равномер-
ную сходимость ряда (36.34) к функции (36.37). Теорема и,
в частности, формула (36.36) доказаны.

Перефразируем полученный результат для последовательностей
функций.

Теорема 9'. Если последовательность непрерывных на отрезке
[а, Ь] функций fn, п = 1, 2, ..., равномерно на этом отрезке
сходится к функции f, то, какова бы ни была точка с£[а, Ь],

§ fn (/) dt =» f (f) dt на [а, Ь],
С	с

в частности,

lim ftl (t) dt = ([ lim f„ (0] dt.
n-^oo c	c

Упражнение 9. Показать, что если
• 2/г при х=1/2п,
0 при х = 0 и -- " х- 1
п

и fn(x) линейна на отрезках [о, и [2V 4]’ Т0 Ю0’ а
1

1™ \ fn (*) dx— 1.

«-►о J
о

Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании рядов.

Теорема 10. Пусть функции ип(х), п = 1, 2, ..., непрерывно
дифференцируемы на отрезке [а, Ь] и ряд, составленный из их
производных

2 «ИД	(35.39)

п= 1

равномерно сходится на отрезке [а, Ь]. Тогда если ряд У, ип (х)
п— 1
сходится хотя бы в одной точке с е [«, &], то он сходится рав-
номерно на всем отрезке [а, &], его сумма

<х>

s(x)=£u„(x)	(36.40)

п= 1

непрерывно дифференцируема и

s' (х) = 2 и'п(х).	(36.41)

Л = 1
Если эту формулу переписать в виде

то видно, что она означает законность при сделанных предполо-
жениях почленного дифференцирования ряда.

Доказательство. Пусть

о(х) = У, Ч^г(х).	(36.42)

п — 1

В силу равномерной сходимости этого ряда его сумма является
непрерывной функцией и его можно почленно интегрировать:

\ о (/) dt = У J Unit) dt = У, [ип (х) — ип (с)], а^х^Ь. (36.43)

-С	п = { с	п = 1

По теореме 9, ряд

2 [«л(х)-м„(с)], а^х^Ь,	(36.44)

п ~ 1

— сходящийся. Сходится, по условию теоремы, и ряд

2 и„(с),	(36.45)

п = 1

а поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т. е. ряд

У ип{х), at'-xt'-b.	(36.46)

п= 1

Отсюда следует, что равенство (36.43) можно переписать в виде
\<y(t)dt= 2 “Ах)- У ип(с),
с	п=I	п—1

или, что то же (см. (36.40)), ~в виде

§ о (t) dt = s (х) — s (с).	(36.47)

С

Функция, стоящая в левой части имеет производную по х,
значит и функция s (х) имеет производную. Дифференцируя равен-
ство (36.47), получим (см. п. 29.2)

s' (х) = о (х),	(36.48)
где функция о(х) непрерывна на отрезке [а, &], ибо представ-
ляет собой сумму равномерно сходящегося ряда (36.39), члены
которого—непрерывные функции. Подставляя (36.42) в (36.48),
и получим искомую формулу (36.41).

Остается лишь отметить, что из равенства (36.43) в силу
доказанной сходимости рядов (36.44) и (36.45) следует, что

СО	со X	со

У, «л(х)= у \u'n(t)dt+ у «„(с).
п= 1	п— 1 с	п= 1

со х

Ряд У tin (0 dt равномерно сходится на отрезке [а, Ь] (см. тео-
п — 1 с

рему 9), а У ип (с) — числовой ряд, поэтому и их сумма, т. е.
п= 1

ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [а, Ь]. Q

Итак, если сходящийся ряд непрерывно дифференцируемых
функций таков, что ряд, составленный из его производных рав-
номерно сходится, то сумма ряда является дифференцируемой
функцией и ее производная получается почленным дифференци-
рованием ряда.

Поскольку из предпосылок этой теоремы следует равномерная
сходимость ряда, то не ограничивая общности теоремы, ее можно
перефразировать следующим образом.

Если ряд непрерывно дифференцируемых функций и ряд, состав-
ленный из их производных, равномерно сходятся, то сумма исход-
ного ряда непрерывно дифференцируема и ее производная равна
сумме производных членов данного ряда (т. е. ряд можно почленно
дифференц и ровать).

Перефразируем теперь теорему 10 для последовательностей.

Теорема 10'. Пусть последовательность непрерывно дифферен-
цируемых на отрезке [а, &] функций

fn, и = 1, 2, ...,	(36.49)

сходится хотя бы в одной точке с е [а, Ь], а последовательность
их производных f'n, п—1, 2, ..., равномерно сходится на [а, &].
Тогда последовательность (36.49) равномерно сходится на [а, &],
ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке
функцией и

lim ~ЕГ = 2х lim
п —> оо ал ал п-> со

as^xs^b.

Примеры применения этих теорем будут приведены в следую-
щем параграфе.
Упражнения. 10. Будет ли справедливым равенство

1 1

lim (xndx = (/lim х”\ dx?

Zl —* СО g	Q \Л -»СО )

Можно ли это установить с помощью теоремы 9?

11. Построить пример равномерно сходящейся на отрезке последователь-
ности непрерывно дифференцируемых функций, предел которой также является
непрерывно дифференцируемой функцией, однако производные членов после-
довательности не сходятся к производной предельной функции.

§ 37.	СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

37.1.	РАДИУС СХОДИМОСТИ И КРУГ сходимости
СТЕПЕННОГО РЯДА

Определение 1. Функциональные ряды вида

У, ап(г — г0)п,	(37.1)

п = 0

где ап и z0 — заданные комплексные числа, а г — комплексное пере-
менное, называются степенными рядами. Числа

ап, п = 0, 1, 2, ...

называются коэффициентами степенного ряда (37.1).

Предполагая, что коэффициенты ряда и число г0 фиксированы,
будем исследовать поведение ряда (37.1) при различных г.

Если в ряде (37.1) выполнить замену переменного, положив
£ = z —z0, то получим ряд

£ а„£п.	(37.2)

п = 0

Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно
исследованию сходимости ряда (37.2), поэтому в дальнейшем
будем рассматривать ряды вида (37.2), употребляя, правда, как
правило, для обозначения переменной букву г, а не £.

Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд

2	(37.3)

л=0

сходится при г = го=7=О, то он сходится и притом абсолютно
при любом z, для которого j г | < | г01.

Доказательство. Пусть ряд

СО

S М	(37.4)

п= 0
сходится. Тогда его п-й член стремится к нулю при п-^-со
(см. п. 35.2), и поэтому последовательность {anzfy ограничена,
т. е. существует такая постоянная М > 0, что

| а„г" | ==g М, п = 0, 1, 2, ...

В силу этого для п-го члена ряда (37.2) получается оценка

I ап?п | = |	| • I I" М \~ I".

I zo I I zu I

Если | z | < | z01 (рис. 142), то ряд 11", являясь суммой
л=0	°

геометрической прогрессии со знаменателем g = - < 1, сходится.

I zo I

Поэтому по признаку сравнения (см. п. 35.5) сходится и ряд

У, \anzn\, а это означает абсолют-
но
ную сходимость ряда (37.3) при
1г1<1го1- □

Следствие 1. Если степенной ряд
(37.3) расходится при z = z0, то он
расходится и при всяком z, для ко-
торого I Z I > I z01.

Действительно, если | z | > | г01
и ряд (37.4) расходится, то расхо-
дится и ряд (37.3), так как если бы
он сходился, то в силу доказанного
сходился бы и ряд (37.4).

Определение 2. Пусть задан ряд У апгп. Если R — неотри-
п=0

цательное число или 4-оо, обладает тем свойством, что при
всех г, для которых |г ]</?,. ряд (37.3) сходится, а при всех г,
для которых | z | > R, ряд (37.3) расходится, то оно называется
радиусом сходимости степенного ряда (37.3).

Множество точек г, для которых | z | < R, называется кругом
сходимости ряда (3.3).

Теорема 2. У всякого степенного ряда (37.3) существует ра-
диус сходимости R. В круге сходимости, т. е. при любом z, для
которого | z | < R, ряд (37.3) сходится абсолютно. На любом
круге |г|=^г, где г фиксировано и г <ZR ряд (37.3) сходится

равномерно.

Доказательство. Разобьем все действительные числа на
два класса: к классу А отнесем все неположительные числа и
те из положительных х>0 (если такие существуют), для кото-

рых ряд У, апхп сходится, а к классу В отнесем все остальные.

п — О

Если класс В не пуст, то это разбиение является сечением
во мнсжестве действительных чисел (см. п. 2.1). В самом деле,
класс А всегда не пуст, так как содержит все неположительные
числа. Каждое действительное число заведомо попадает в один
из классов А или В, поскольку после определения класса А
к классу В отнесены все остальные числа. Наконец, если хе Л,

у^В, то либо x-СО, тогда в силу
того, что всегда у>0, получим х<у
либо х>0, тогда согласно теореме
Абеля х<у. Таким образом, все усло-
вия, определяющие сечение в области
действительных чисел, выполнены.

Обозначим через R число, которое
производит это сечение. В случае когда
множество В пусто, по определению,
положим 7? = 4-оо. Величина R явля-
ется радиусом сходимости ряда (37.3).
В самом деле, пусть зафиксировано
некоторое г, для которого |z |< R.
Возьмем действительное х0 такое, что

Рис. 143

\z[<x0<ZR- В силу определения величины R получим х0 е А
поэтому ряд

апХ0
п=0

(37.5)

сходится. Отсюда, по теореме Абеля, следует, что в зафиксиро-
ванной точке г, | z | < R, ряд (37.3) сходится, и притом абсолютно.

Если | г | > R, то выберем вещественное х0 так, что 7?<х0<
<|г|; тогда хоеВ и, следовательно, ряд (37.5) расходится.
В силу следствия из теоремы Абеля отсюда следует, что в этом
случае ряд (37.3) расходится.

Если теперь	то, по доказанному, ряд (37.3) при

z = r абсолютно сходится, т. е. сходится числовой ряд

У I ап I Гп.
п=0

А так как для любой точки z круга \z\^r (рис. 143)

I anZn |	| ап | rn, n = Q, 1, 2, ...,

то, согласно признаку Вейерштрасса (см. п. 36.3), на этом круге
ряд (37.3) сходится равномерно. Q
Таким образом, областью сходимости всякого степенного ряда
является всегда «круг»*1 исключая, быть может, некоторое мно-
жество его граничных точек. В граничных же точках круга схо-
димости ряд может как сходиться, так и расходиться (см. ниже-
следующие примеры).

Подчеркнем, что радиус сходимости степенного ряда (37.3)
обладает следующим свойством: для каждого числа г, такого,
что | z | < R, указанный ряд абсолютно сходится, а для
каждого г такого, что | z | > R, он просто, а следовательно,
и подавно абсолютно расходится (расходится ряд, составленный
из абсолютных величин членов данного ряда). Это следует,
очевидно, из определения радиуса сходимости и теоремы 2.

Члены степенного ряда являются непрерывными функциями
и, как было показано, на всяком круге, лежащем вместе со своей
границей внутри круга сходимости, степенной ряд сходится
равномерно, а поэтому его сумма непрерывна на всяком указан-
ном круге. Очевидно, что для любой точки г круга сходимости,
| z | < R, можно подобрать круг, содержащий эту точку и лежащий
вместе с границей в круге сходимости (достаточно взять его
радиус г таким, что | z | < г < R), поэтому степенной ряд непре-
рывен в каждой точке своего круга сходимости | z | < R (подчер-
кнем, что здесь речь идет об открытом круге).

Рассмотрим теперь случай, когда степенной ряд сходится
в точке z = R, лежащей на границе его круга сходимости. Отме-
тим, что случай г= — R может быть сведен к случаю z = R
простой заменой переменного £ = — г.

Теорема 3 (Абель). Если R —радиус сходимости ряда

СО

2 ап zn и этот ряд сходится при z = R, то он сходится равно-
п— О

мерно на отрезке [О, Р].

Следствие. Если степенной ряд (37.3) сходится при z = R,
то его сумма непрерывна на отрезке [ 0,R ].

Это утверждение обычно называется второй теоремой Абеля
о степенных рядах.

Доказательство. Пусть Os^xs^R. Представим ряд
СО	со	со

^апхп в виде V апхп= У anRn[~\- Поскольку члены ряда
п = 0	“	“	\ А /

"	л = 0	л=0

СО

2 a-п Rn не зависят от х, то его сходимость означает и его равно-
п— О

мерную сходимость. Последовательность же {(х//?)"} ограничена
(X \п

p-j 'С 1 и она

*> Слово «круг» написано в кавычках, так как в случае 7?==+со «круг»
означает всю плоскость.
монотонно убывает в каждой точке (при x = R она не строго убы-
вает, точнее, является стационарной). Поэтому в силу признака
Абеля равномерной сходимости рядов (см. теорему 7 в п. 36.3)
ряд (37.3) равномерно сходится на отрезке [0, /?]. Q

Следствие вытекает из того, что сумма равномерно сходяще-
гося ряда непрерывных функций является также непрерывной
функцией.

Все сказанное с помощью преобразования типа z — £ — £0 (£—
новая переменная, £0 — фиксировано) переносится и на общие
степенные ряды вида (37.1). В частности областью сходимости
такого ряда всегда является круг вида | г = г01 < 7?, конечно,
как и выше, с точностью до его граничных точек.

Этот круг называется кругом сходимости ряда (37.1), а
R— его радиусом сходимости.
СО

Примеры. 1. Радиус сходймости R ряда п! г71 равен
п~0
нулю, т. е. этот ряд сходится только при г = 0*>.

Действительно, исследуя абсолютную сходимость этого ряда
по признаку Даламбера, при любом г 0 получим

,im '	1 = Пт (п + 1) I г | = + °°.

Таким образом, рассматриваемый ряд не сходится абсолютно
при любом г=/=0; отсюда, в силу следствия из теоремы Абеля,
он расходится При любом г=/=0.

ОТ!	V г"	,

2.	Радиус сходимости ряда > равен -роа, ибо, как мы
п~ О

видели (см. п. 36.1), этот ряд сходится при любом г.

3.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии

со

S гп	(37.6)

п —О

сходится при [г|<1 и расходится при |г|^1. Поэтому ее
радиус сходимости R = l. Отметим, что во всех точках границы
круга сходимости, т. е. во всех точках окружности |г|=1, ряд
(37.6) расходится, так как для общего члена ряда имеем | zn | = 1
и, следовательно, он не стремится к нулю при п->оо.

4.	Ряд
СО

2 5	<37-7>

п= 1

*’ При z = 0, очевидно, сходится любой ряд вида (37.3).

21 Кудрявцев Л. Д. т. 1
сходится при |г]^1, ибо при выполнении этого условия j | <

ОО

а ряд 2 iсходится-
п = 1

При | z | > 1 ряд (37.7) расходится, так как в этом случае
lim-L^= + оо*’, т. е. не выполняется необходимое условие
П->СО П

сходимости ряда. Радиус сходимости ряда (37.7), как и ряда (37.6),
равен единице, однако в каждой точке границы круга сходимо-
сти ряд (37.7), в отличие от ряда (37. 6), сходится.

5.	Ряд

ОО

П = 1

имеет радиус сходимости R—1.

Действительно, применив признак Даламбера для определения
г, при которых ряд абсолютно сходится (соответственно, расхо-
дится), получим

lim

л—>со

[z"+1/(n 4-1)1

\zn/n |

= 1г1Нтет=1г1
л->со "г * 1

и, следовательно, при | г | < 1 данный ряд сходится, причем
абсолютно, а при |г|> 1 он расходится. При z = l получается
расходящийся гармонический ряд а при z =—1 сходя-

П = 1

ОО

щийся ряд У, —(см. п. 35.3 и 35.9). Таким образом, в этом
п= 1

примере на границе круга сходимости есть точки, в которых
ряд сходится, и есть точки, в которых он расходится.

Из рассмотренных примеров (см. также п. 36.1) видно, что
иногда радиус сходимости R степенного ряда находится с помощью
признака Даламбера сходимости рядов с положительными членами
(см. теорему 8 в п. 35.6). Действительно, справедливо следующее
утверждение: если существует предел (конечный или бесконечный)
lim I -^-1, то
п->оо 1ап + 1 I

Д = Пт |-^-|.	(37.8)

Л—.0О I “Л+1 I

*' Действительно, легко, например, с помощью правила Лопиталя убе-

I Z Iх

даться, что lim i—£-=-|-со (см. пример 2 в п, 12.2),
В самом

I 2	ТО

деле, если число R определено этой формулой и

lim

П->СО

|an+iZn+1|

= I z | lim ^'н1- = Lil < i
n^oo \an I R

и поэтому ряд (37.3) для такого г сходится (и притом абсолютно).

Если же I г | > R, то lim  a,n±--r-, ' =	1, и, следова-

n-oo \а^п] R ’	’

тельно, ряд (37.3) абсолютно расходится. Таким образом, R дей-
ствительно является радиусом сходимости ряда (37.3).

Аналогичным образом можно найти величину радиуса сходи-
мости R и с помощью признака Коши (см. теорему 9 в п. 35.6),
если только существует предел (конечный или бесконечный)
limy|a„|. В этом случае
п—*оо

R = —4=r	(37.8')

1™ V|a„|

п ->со

Действительно, если число R задается этой формулой и если
| г | < R, то

lim | апгп | = | г | lim д/г\а^\ =	< 1

п—>со	д—*со

и потому ряд (37.3) сходится. Если же | г | > R, то

lim |а„гп|
п-*со

и, следовательно, ряд (37.3) абсолютно не сходится.

Таким образом, R является радиусом сходимости ряда (37.3).

Затруднения при применении такого метода определения ра-
диуса сходимости степенного ряда могут возникнуть, например,
уже в случае, когда в рассматриваемом ряде имеются коэффи-
циенты со сколь угодно большими номерами, равные нулю.
В этом случае можно попробовать применить указанный метод,
предварительно перенумеровав подряд все члены ряда с отлич-
ными от нуля коэффициентами (отчего его сходимость и сумма
в случае, если он сходится, не изменяются).

Поясним сказанное на примере. Пусть требуется определить
радиус сходимости ряда

ОО

У ап2п, где

п=0

(—, если п = 1, 3, 5, ...,
п

О, если п = 0, 2, 4......

Признак Даламбера неприменим для определения сходимости
этого ряда, ибо отношение 2«±1 Не имеет смысла для четных но-
ап

меров п. Не дает ответа здесь и признак Коши, поскольку
21*
1- ,.......

нетрудно проверить, что здесь предел lim у \ап\ не

72 —* СО

Однако если положить Ьк — ~Дт--г, & = 0, 1, 2,

z/г -4-1

данный ряд в виде

существует.

и записать

2>w= j

Л=0	Л=0

г2Я-1

2ГИ’

то, исследовав абсолютную сходимость этого ряда с помощью
признака Даламбера, получим

Нт
fe-co

I .г-'- » !

. !

I 2 1‘ 2fe+I

= z I2 Нт —2— =
k—><x> 2 k 3

Отсюда следует, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится,
когда | г21 < 1, т. е. когда | г I < 1, и абсолютно расходится,
когда | г | > 1. Таким образом, радиус сходимости этого степенного
ряда равен 1,.

Подчеркнем, что с помощью признака Даламбера и признака
Коши можно найти радиус сходимости не для произвольного сте-
пенного ряда, а лишь для такого, у которого существуют ука-
занные выше пределы (быть может, после новой нумерации членов).

Упражнения. Определить радиусы сходимости рядов:

1. £ пЧп.

п=0
ос
г. у
п3
п — 1

2 (:)'•
Л=1

4 V С + 0*2"
ьл (я 4~ 1) (,г + 2)

оо

5. У 2"г-«.

п= 1

37.2*. ФОРМУЛА КОШИ — АДАМАРА ДЛЯ РАДИУСА
СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА

Найдем теперь формулу для определения радиуса сходимости
произвольного степенного ряда через его коэффициенты в общем
случае.

Теорема 4. Пусть R — радиус сходимости степенного ряда

тогда

У, ап2п\
п = 0

R

rt/“i---i

l;m у \ ап\

п—>со

(37.3)

(37.9)

♦’ О верхнем пределе (см. в п. 3.12*).
Формула (37.9) называется формулой Коши — Адамара *'.

Доказательство. Положим р = lim у | ал |. Рассмотрим

сначала случай р = 0. Покажем, что в этом случае ряд (37.3)
сходится при любом г. Возьмем какое-либо г^=0 и такое е, что
0<е<1. Тогда (см. теорему 10 п. 3.12*) существует такое Л\,
что

для всех n > Ni, т. е.

| ап 11 z < е" для всех п  АГр

Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.3) абсолютно,
а значит, и просто сходится при данном г, а так как г было
произвольно, то это означает, что /? = 4-со.

Возьмем другой крайний случай: пусть р = 4-оо. Покажем,
что в этом случае ряд (37.3) расходится при любом г=/=0. Дей-
ствительно, если р = + оо, то существует последовательность п*,
nk_____________________________________________________

fe=l, 2, ..., натурального ряда такая, что lim у |аЯь| = + оо.

Поэтому, каково бы ни было г=#0, существует такой номер k,
что при k>kz

y>«ftl^nb т-е-

Таким образом, не выполняется необходимое условие сходи-
мости ряда — стремление к нулю п-го члена, поэтому при данном
г#=0 ряд расходится, а так как г#=0 было произвольно, то это
означает, что R = 0.

Пусть теперь 0<р<-|-оо. Покажем, что при всяком г таком,
что | z | < — ряд (37.3) сходится. Выберем е>0, так, чтобы
| г | < —**>, тогда число q, определяемое равенством q = (р + е) X
р 1 В

X | z |, будет удовлетворять неравенству q<i\. Согласно свойству
верхнего предела, существует такой номер Nt, что при

Iап\

<р + е,

поэтому при п 5= Nt

| г [-y^l | <[ г I (р-l-е) == 7, т. е. \anzn\<.qn, 0<д<1,

*’ Ж. Адама р (1865—1963)—французский математик.

**’ Для этого достаточно взять е <; -—Д—.
и по. признаку сравнения ряд (37.3) при

солютно, а значит, и
Покажем теперь,
|г|> —, расходится.

просто сходится.

что ряд (37.3) при

Выберем 8 > 0, так,

1г1>х~7>0>

рассматриваемом г аб-

всяком г таком, что
чтобы

(37.10)

тогда | г | (р — е) > 1. Согласно свойству верхнего предела (см. тео-
рему 10 п. 3.12*), существует подпоследовательность nA, k —
= 1, 2, ..., натуральных чисел такая, что

/1	> р — е, k=l, 2, ....

Из этого в силу (37.10) следует, что

I г |	| аП/г | > | г | (р - е) > 1

и, следовательно,

т. е. в этом случае не выполняется необходимое условие сходи-
мости ряда — стремление к нулю его п-го члена, и поэтому для
рассматриваемого z ряд (37.3) расходится.

Таким образом, ряд (37.3) сходится, если |г|<~-, и расхо-

дится, если М > "(У ’ а эт0 и означает, что R = ~Q

37.3.	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определение 3. Функция f (г) называется аналитической в точке
г0, если существует такое	что в круге | z — г01 < R она

представима степенным рядом вида (37.1), т. е. существуют
такие комплексные числа ап, п = 0, 1, 2, ..., что

СО

7(г) = У, а„(г-г0)л,
л = 0

\z — zol<R.

(37.11)

Сумма, разность и произведение аналитических в точке функ-
ций снова является аналитической в этой точке функцией (почему?).

Лемма 1. Если R — радиус сходимости ряда (37.11), /?>0«

rn (г) = У, ak(z- z0)k
k ~п 1

'—остаток ряда (37.11), то

гп (г) = О ((г - го)^1)' гори z->z0,

(37.12)
и, следовательно,

(г) = о ((z — z0)”) при z->z0.	(37.13)

Доказательство. Если |г —г0|<#, то

rn (г) = (z — z0)”+1 У, ak (г — г0)*~п+1,
k= п -f-1

и ряд, получившийся после вынесения множителя (z — z0)”+1, схо-

дится. Поэтому функция <р(г)= У, ak (z — г0)^"_1, как сумма
k = n -f-1

степенного ряда, непрерывна в круге |z —z0|</?.

Если теперь 0 < г < R, то функция ф (z), будучи непрерывной
на замкнутом круге |z — z0|sgr, будет и ограничена на нем, т. е.
найдется такая постоянная 7И>0, что (см. п. 23.3) при |г — г01-с
«2 г выполняется неравенство |ф(г)|^Л4. Поскольку rn(z) =
= (z —г0)'1+1ф(г), то при |z —z0|<r получим:

| rn (г) I = I г - Zo |"+11 ф (г) I ==g MI z - z0 |n+1,

а это и означает (37.12). Условие (37.13) непосредственно следует
из (37.12). □

Теорема 5. Представление аналитической в точке z0 функции
f (z) в виде степенного ряда (37.11) единственно, т. е. если

У (г — г0)” = У (г — г0)л, |г —z0|</?, 7? > 0,	(37.14)

л=0	п=0

то

an = bn, n — Q, 1, 2, ....

Доказательство. Из равенства (37.14) при п = 0 в силу
формулы (37.12) следует, что при г->г0

п0 + О(г —г0) = &о + О(г —z0).

Переходя в этом равенстве к пределу при г->г0, получим а0 = Ь0.

Пусть уже доказано, что

aj = bj, j = 0, 1, 2, ..., п — 1,
тогда в силу (37.12) и (37.14)

«о+ai (г ~~ 2о) + • • • + ап (2 — 2о)” + О ((г — z0)”41) =

= b0 + (г - го) +... + Ьп (г - г0)л + О ((г — г0)л+х).

Уничтожая одинаковые члены в обеих частях этого равенства и
деля обе его части на (г — г0)л, будем иметь

ал + О(г —г0) = Ь„ + О(г —г0),	г->г0.

Отсюда в пределе при z->z0 получим, что ал — Ьп (ср. с тео-
ремой 2 в п. 13.2). □
Может случиться, что лишь рассмотрение ряда в области
комплексных чисел может объяснить величину его радиуса схо-
димости. Например, ряд

2 (~1)пхгл,

п = 0

являющийся суммой геометрической прогрессии со знаменателем
— г2, сходится при |х|< 1 и расходится при | х |	1. Его сумма

на интервале (—1; 1) равна Функция } определена и
бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси, поэтому
непонятно, почему, раскладывая ее в ряд,

1

1+х3

=

п=0

Х2п

мы получаем ряд, сходящийся только при | х | < 1. Это делается
совершенно естественным, если рассмотреть эту функцию в области
комплексных чисел, поскольку функция ду г2 имеет «особую
точку» при г = г (в этой точке функция не определена и при
приближении к ней стремится к бесконечности), т. е. как раз на
границе круга |z | «С 1.

37.4.	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В настоящем пункте будут в основном изучаться степенные
ряды с действительными членами. Однако предварительно дока-
жем одну лемму, справедливую для степенных рядов в комплекс-
ной области,

Лемма 2. Радиусы сходимости рядов

2	(37.15)

п = 0

2	(37.16)

п=0

^ina,lzn-1	(37.17)

п= 1

равны.

Доказательство. Пусть R — радиус сходимости ряда
(37.15), Д1 —радиус сходимости ряда (37.16), аД2 —радиус схо-
димости ряда (37.17). Из неравенств

| Дд!р1 | I 211a»2” I =s£ 12211 ««„г”-11, n = 1, 2, ...
и теоремы сравнения (см. теорему 6 в п. 35.5) следует, что если
в некоторой точке z сходится ряд (37.17), то в этой точке схо-
дится и ряд (37.16), и если в некоторой точке z сходится ряд
(37.16), то в той же точке сходится и ряд (37.15). Отсюда сле-
дует, что

R^R^Ry.	(37.18)

Покажем теперь, что

Пусть ряд (37.16) сходится в точке г0
такое действительное число г, чтобы
п = 1, 2, ... получим

jna„?o 1

(37.19)

и 0 < j z01 < Rj. Выберем

\z0 \<r <Ri_. Тогда при

1)
i W

|а„/-я+111га р

I «+1 II г j

(37.20)

В силу сходимости ряда (37.16) при z — r общий член этого ряда
при z = r стремится к нулю, когда н-»-сс:

I Q 1 I

Следовательно, последовательность , л=1, 2, ..., ограни-
чена, т. е. существует такое Л4>0, что для всех п=1, 2, ...
выполняется неравенство

Положив <7 = | ~ из (37.20) получим неравенство

I/ianz^-’ j eg+а1}- Mqn+1, 0<д<1.

1	w 1	I zi) I

Поскольку ряд с общим членом -Mq’i+1 сходится (в этом
! Z0

легко убедиться, например, по признаку Даламбера), то при z=z0
сходится и ряд (37.17). Неравенство (37.19) доказано. Из нера-
венств (37.18) и (37.19) следует, что

д = д1 = д2. Q

Замечание. Утверждение леммы может быть доказано
несколько проще, если использовать формулу Коши — Адамара
для радиуса сходимости степенного ряда (см. п. 37.2*). Мы не
стали этого делать, так как приведенное доказательство также
не сложно, а поскольку оно не использует формулы Коши —
Адамара, то пункт 37.2* можно пропустить при первом чтении
(на что и указывает звездочка при его номере).
В дальнейшем в этом параграфе везде, где не оговорено про-
тивное, будем предполагать, что коэффициенты всех рассматри-
ваемых рядов действительны и что переменные z и г0 также
действительны (в этом случае будем их обозначать х и х0). Правда,
все рассматриваемые ниже свойства степенных рядов переносятся
в определенном смысле и на степенные ряды в комплексной
области, однако для осуществления этого нам пришлось бы обобщить
понятие производной и интеграла на функции комплексного
аргумента, а это не входит в задачу настоящего курса.

Итак, мы будем рассматривать ряды

СО

2 ап(х-хоу,	(37.21)

п = 0

где ая (п = 0, 1, 2, ...), х и х0 действительны. Если R — радиус

сходимости ряда У, an(z — х0), где г —комплексное число, т. е.
п= 1

ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда (37.21), но рас-
сматриваемого в комплексной области, то, очевидно, ряд (37.21)
сходится, если \х — x0\<.R и расходится, если |х —х0|>7?.

В этом случае R по-прежнему называется радиусом сходимости
ряда (37.21), а интервал (x0 — R, х0 + /?) — его интервалом сходи-
мости.

Теорема 6. Если R — радиус сходимости степенного ряда

f(x)= ап(х-хоу,	(37.22)

п = 0

7?>0, то

1)	функция f имеет в интервале (х0 — R, х0 + /?) производные
всех порядков, которые находятся из ряда (37.22) почленным
дифференцированием;

2)	для любого х^(х0 — R, х0 + R)

X	оо

р(()Л=2 ап

х»	п = 0

(х-х0)п^
«+1

т. е. внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно
интегр ировать;

3)	степенные ряды, получающиеся из ряда (37.22) в. результате
почленного дифференцирования или интегрирования, имеют тот же
радиус сходимости, что и сам ряд (37.22).

Доказательство. В силу леммы, доказанной в начале
этого пункта, радиусы сходимости ряда

СО

У, пап (х - Хо)"'1,
п= 1
получающегося из ряда (37.22) почленным дифференцированием,

и ряда

ап(х-х0)^
п + 1

получающегося из того же ряда почленным интегрированием,
имеют тот же радиус сходимости что и ряд (37.22) (чтобы в этом
убедиться, достаточно сделать замену переменного х — х0 — г).

Поскольку всякий степенной ряд вида (37.22) с радиусом схо-
димости R равномерно сходится на отрезке [х0 — г, х0 + Н, 0<
(см. теорему 2 в п. 37.1), то утверждение теоремы о воз-
можности почленного дифференцирования и интегрирования веще-
ственных степенных рядов непосредственно следует из соответст-
вующих теорем о дифференцируемости и интегрируемости функ-
циональных рядов, доказанных в пункте 36.4.

Заметим, что, например, возможность почленного интегриро-
вания степенного ряда (37.22) внутри интервала сходимости
(x0 — R, x0 + R) сразу вытекает (см. теорему 9 в п. 36.4) из того,
что степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке
[х0 — г, х0 + г], 0<г</(. Отсюда следует, что при почленном
интегрировании радиус сходимости степенного ряда не уменьшается.
Доказанная теорема содержит более полное утверждение, что
указанный радиус сходимости, кроме того, и не увеличивается,
т. е. остается прежним.

Теорема 7. Если функция f аналитическая в точке х0, т- е.
представима в окрестности этой точки рядом (37.22) с радиусом
сходимости Д > 0, то

а«=^г"’ п==0> 1(	(37.23)

т. е«
со

п = 0

Доказательство. Продифференцировав п раз обе части
равенства (37.22), получим (см. теорему 6):

Д«) (х) = п (п — 1)... 2 • 1  ап + (n +1) п... 2пл+1 (х - х0) +

4- (п + 2) (п +1)... Зап+2 (х — х0)2 +...

Отсюда при х = х0 и получается формула (37.23). □

Заметим, что из доказанной теоремы следует еще раз свойство
единственности разложения функции в степенной ряд (правда,
на этот раз в силу сделанных ограничений только в действитель-
ной области, ср. с п. 37.3).
37.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАПИСИ ОСТАТОЧНОГО ЧИСЛА
ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

Определение 4. Пусть функция f определена в некотсрэй окре-
стности точки х0 и имеет в этой точке производные всех поряд-
ков, Тогда ряд

ОО

2	<37-24)

л = 0

называется рядом Тейлора функции f в точке х0.

При хо = О ряд (37.24) называется также рядом Маклорена
функции f(x).

Как мы знаем, всякая аналитическая в точке х0 функция
бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки
и равна в этой окрестности сумме своего ряда Тейлора. Оказы-
вается, что обратное, вообще говоря, неверно: существуют функ-
ции, бесконечно дифференцируемые, но не аналитические и, значит,
не представимые своим рядом Тейлора.

Примером такой функции является функция
( е-ихг для ху=0,
п	п	(37.25)

( 0 для х = 0.

При х#=0 эта функция имеет производные всех порядков, кото-
рые легко вычисляются:

Г W = I f" (X) = - А е-1/^ + е-
и вообще

fM(x) = Рп

где Рп (1/х) — многочлен некоторой степени относительно 1/х
(п — порядковый номер, а не степень многочлена), т. е. /(л) (х)
есть линейная комбинация слагаемых вида

~(Г~1/А'2, /71 = 0,1,2,....	(37.26)

Это легко проверяется по индукции. Сделав замену перемен-
ного t = найдем, применив правило Лопиталя, предел модуля
выражения (37.26) при х->0:

lim е~1/х2 = lim —= 0.

x-»ol х	I /ч-4-со

Отсюда следует, что и предел выражения (37.26) при х->0 также
равен нулю и что при любом n = 0, 1, 2, ...

lim (х) = lim Рп (1) е-*/*2 = 0.	(37.27)

Х-.0	х-»0	\х>
Из формулы (37.27) при п = 0 и п=1 следует, что функция /
непрерывна в точке х = 0 и lim/'(x) = 0, поэтому (см. следст-

вие 3 из теоремы 3 п. 11.2) f (0) существует и f (0) = 0. По индук-
ции легко убедиться подобным же образом, что /(л)(0) = 0, п=0,
1, 2.....

Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.25)
в точке хо = О равны нулю, поэтому его сумма при всех х также
равна нулю и, следовательно, не совпадает с самой функцией /.
Заметим еще, что, согласно теореме 5 п. 37.3, функция (37.25)
не может быть разложена ни в какой степенной ряд (так как
если бы это было возможно, то он оказался бы рядом Тейлора),
а это и означает, что она не является аналитической.

Упражнения. 6. Можно ли разложить функцию f (х) = е~1/х, х>0,
на отрезке [0, 1] в ряд Маклорена.

7. Пусть

(	1 при х :> 0,

6(х) = {

I —1 при х < 0.

Доказать, что функцию 6 (х) е~[х° можно так доопределить при х = 0, что
в результате получится бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси
функция.

Заметим, что если функция раскладывается в некоторой окре-
стности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единственен
(см. теорему 5 или теорему 7) и является ее рядом Тейлора.
Однако, один и тот же степенной ряд может являться рядом
Тейлора для разных функций. Так степенной ряд с нулевыми

коэффициентами, У] Ох”, является как рядом Тейлора функции
п = 0

тождественно равной нулю на всей числовой оси: /(х) = 0, x<=R,
так и рядом Тейлора функции (37.25) в точке х = 0.

Возникает вопрос: когда ряд Тейлора (37.24) функции /(х)
на некотором интервале сходится к / (х)? Чтобы исследовать этот
вопрос, напишем фо р мулуТейлора для функции f (см. п. 13.1):

п

f(x) = 2	(х - x0)ft + Гп (x),	(37.28)

k = 0

которая справедлива при любом п = 0, 1, 2, .... В этой фор-
муле г„(х) обозначает остаточный член формулы Тейлора, а не
остаток ряда Тейлора, так как с остатком ряда нельзя опериро-
вать до тех пор, пока не будет установлено, что ряд сходится —
лишь в этом случае можно будет утверждать, что остаточный
член формулы Тейлора совпадает с остатком ряда Тейлора. Полагая

п

sn(x)= 2	(x-x0)k,

k = 0
перепишем формулу (37.28) в виде

/ (х) = sn (х) + г„ (%),	(37.29)

где sn (х) — п-я частичная сумма ряда Тейлора. Отсюда видно,
что, для того чтобы функция f равнялась на рассматриваемом
интервале сумме своего ряда Тейлора, т. е. чтобы lim sn(x)=f (х),
п —* со

необходимо и достаточно, чтобы для всех х из этого интервала
ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю,

limr„(x) = 0.	(37.30)

я—* со

Если это имеет место, то из формулы (37.29) следует, что
остаточный член формулы Тейлора гп (х) является также и суммой
n-го остатка ряда Тейлора (37.24).

Теорема 8. Пусть функция f определена и непрерывна вместе
со всеми своими производными до порядка п +1 включительно на
интервале (x0 — h, x0-{-h), h>Q. Тогда остаточный член гп(х) ее
формулы Тейлора (37.29) для всех х е (х0 — h, х04-/г) можно записать
в следующих трех видах:

X

=	(37.31)

Гп W =	(% "Хо)Л+1’	(37.32)

где | принадлежит интервалу с концами в точках х0 и х, и

Гп (х) =/,,г+11 [Xfl+,6(x~X°)I (1 - 6)« (х - х0)"+1,	(37.33)

где 0 < 0 < 1.

Формула (37.31) называется остаточным членом формулы
Тейлор а в интегральной форме, формула (37.32) — в форме Лагранжа,
а (37.33) —в форме Коши.

Доказательство. Из основной теоремы дифференциального
и интегрального исчисления (см. п. 29.3, теорему 4) имеем

f (X) = / (Хв) + $ Г (t) dt = / (Хо) - $ f (t) d(x-1).

Хо	X»

Проинтегрировав по частям интеграл в правой части, получим

f (х) = / (Хо) + [- f' (/) (X - ОКо + $ f" (О (X - О dt =

Хо

= f (Хо)+/' (х0) (х - Хо) + $ Г (0 (х — t)dt.
Хо
Пусть для некоторого пг^п уже доказано, что

ГП — 1	X

fw = 2 т -х^+J dt- <37-34)

k = 0	Хо

Проинтегрируем по частям последний член еще раз:

J /И) (/) (X - О'"-1 dt = - ± J fdn) (0 d (х _ tr =
#0	*0

Хо

=	<х - x^m + И j f(m+1) (О (х - О'" dt.

Хо

и подставим это выражение в (37.34):

m	х

Ш = 2 пг - х»)й + J /(т+1) (0 (* - О'” dt.

k= 0	х0

В результате получилась формула (37.34), в которой m заменено
на m-4-l.

Таким образом, формула (37.34) доказана методом индукции
для всех msgn. При т = п ее остаточный член имеет вид (37.31).

Применим теперь первую интегральную теорему о сред-
нем значении к интегралу (37.31), вынося за знак интеграла
«среднее значение» производной /(«+1) (см. следствие из теоремы 1
в п. 28.2):

X	X

r" W = тИ/(л+1) (0 (х ~t)n dt = i(х -t)n dt=

Хц	Хо

f'n+1’ (Е) Г	(х—рл+1У _	(%)

— п! L « + 1	(«+!)•'

где | лежит на интервале с концами в точке х0 и х.

Формула (37.32) доказана.

Если же применить интегральную теорему о среднем к инте-
гралу (37.31), вынеся за знак интеграла «среднее значение» всей
подынтегральной функции (см. п. 28.2), то получим

X

r«W = ^rp("+1)

*0

ftn+i) m

L_y(x_^(x_Xo), (37.35)
где g, как и выше, л:жит на интервале с концами в точках ха
и X, т. е.

5 = 4” 0 (х ~~ -'-о)» О <С 6 <С 1.

Отсюда х— g — х — Xg — 0 (х — х0) = (х — х0) (1 — 6). Подставив это
выражение в (37.35), получим формулу (37.33). [~|

Укажем теперь одно достаточное условие разложимости функ-
ции в степенной ряд.

Теорема 9. Пусть функция f и все ее производные ограничены
в совокупности на интервале (x0 — h, x04-h), т. е. существует
такая постоянная М > 0, что для всех х е (х0 — h, х0 + h) и всех
n = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство

\фп>(х)\^М.	(37.36)

Тогда на интервале (x0 — h, x0-]-h) функция f раскладывается
в ряд Тейлора

f(x) = 2	|Х —ХО[<Л. (37.37)

п = 0

Доказательство. Прежде всего заметим, что, каково бы
ни было число а,

lim в"=0.	(37.33)

Л—СВ П-

Действительно, пусть п0 такое, что 1-. Тогда при всех
Пд

•а'	1

И Пд п~ < j , и поэтому

ап   ап° а
п!	па! «о+1

а
п6Ц-2

а ап<> / 1 \”
ъ <	( 2;

где правая часть неравенства стремится к нулю при п->оо,
откуда и следует равенство (37.38). Это равенство следует и непо-
средственно из того, что выражение ап)п\ является — общим чле-
ном сходящегося ряда -^Г (см-(36.4)). Для того чтобы доказать
п — 1

формулу (37.37), достаточно убедиться (см. (37.30)), что

lim гп (х) = 0,
п—ЮЭ

(37.39)

где гп (х) — остаточный член в формуле Тейлора функции f. Возь-
мем г„(х) в форме Лагранжа (см. (37.32)). Из неравенства (37.36)
следует, что

I ''п WI = |

Г"'1'11 (Е)
(п+1)!

I	I у ;__ у l/l+l
где | £ — х0|<|х — Хо|<й. Поскольку в силу (37.38)

lim

п —»со

 — ^о!'гП
(« + 1>!

— О,

то при \х — х0|<й выполняется условие (37.39). (3

Упражнение 8. Заменим в теореме 8 условие ограниченности произ-
водных f:,‘! (х), п—1, 2, .... на интервале (х„ — h, x,,-\-h') условием их огра-
ниченности только в точке х0, т. е. пусть существует такое М > 0, что для
всех п выполняется неравенство I j‘n‘ (х,,) । М. Тогда, очевидно, ряд (37.37)
сходится и при том абсолютно на всем интервале (ха—h, ха-|-/г), ибо

I 1	М(х—х0)«	VI (X —X,.)'1

/г!	' Х	—Х°'Я	~ща Ряд Aj —~j	сходится при всех х

п — 0

см. ряд (36.4)). Следует ли отсюда утверждение теоремы 9?

37.6.	РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА

Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основных
элементарных функций.

1.	Разложение в ряд функции f(x) — ex. Так как
f<n'(x) = ex то для любого фиксированного й>0 при всех хе
е(—h, h) и всех n = 0, 1, ...

0</<«’(х)<Л

Таким образом, условия теоремы 9 выполнены (хо = 0), по-
этому функция ех раскладывае ся в ряд Тейлора (37.34) на любом
конечном интервале, а значит и на всей действительной оси.
Поскольку в данном случае (0) = 1, то это разложение имеет
вид

ОО

ех= £ 5*	<37-40)

rt=O

со

Напомним, что в п. 36.1 было установлено, что ряд ~
п — 0
абсолютно сходится на всей комплексной плоскости Мы видим
теперь, что для действительных z — x его сумма равна ех. В слу-
чае существенно комплексных г его сумму по аналогии обозна-
чают ег; таким образом формула

СО

^=2 S’	(37.41)

Л — О

для комплексных г является определением функции е~.

*’ Это следует, согласно теореме Абеля, и из доказанной нами сходимости
ряда (37.10) на всей действительной оси.
Данное определение естественно, во-первых, потому, что в слу-
чае действительного г = х эта функция совпадает с показательной
функцией ех, а во-вторых, потому, что функция ег сохраняет ряд
характерных свойств функции ех. Покажем, например, что

= gz, + z3	(37.42)

для любых комплексных Zt и г2.

Мы знаем, что ряд (37.41) абсолютно сходится, поэтому ряды

можно почленно перемножить (см. п. 35.10), причем, поскольку
получающийся при этом ряд также абсолютно сходится, его члены
можно располагать в произвольном порядке. Соберем все члены,
содержащие произведения с одигаковой суммой n-j-m, и
расположим эти группы членов по возрастанию п-[-т:

от п+т (п^т_к) ь

2 2$т^-Й =

л 4- гп = 0 k = 0
со	п-j- т

— У 1 У (»4-/п)! ^nA-m-k^k —
£4	(п-|-т)! £4 (п-j-m—k)! /г! 1	«

п 4- т = 0	k— 0

(n+m)l

п-^ш—0

2.	Разложение в ряд shx и ch %. Заменив в формуле
(37.40) х на —х (это означает просто изменение обозначения),
получим

СО

2	<37.43)

п = 0

Складывая и вычитая равенства (37.40) и (37.43), а затем деля
их на два, получим

СО

*=4=4^'	(37.44)

k = 0 '

еХ_ е-Х Yl X2fe+1

Shx— 2	— 2j (2й+1)Г	(37.45)

k = 0

В правых частях этих формул в силу единственности разложе-
ния функций в степенные ряды стоят ряды Тейлора функций
chx и shx.
Поскольку функция определена теперь для всех комплекс-
ных г, то на существенно комплексные значения аргумента можно
распространить и гиперболические функции sh х и ch х, положив

Определенные таким образом ch г и shz для комплексных г
раскладываются в степенные ряды (37.44) и (37.45), сходящиеся
на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае пони-
мается комплексное число).

3.	Разложение в ряд sinx и cosх. Формулы Эйлера.
Если f(x) = sinx, то fW (%) = sin [х-\-п (см. пример 3 п. 10.1),
поэтому |	(х) | -С 1 для всех действительных х. Согласно тео-

реме 9, отсюда следует, что функция sin х раскладывается в сте-
пенной ряд на всей действительной оси. Вспоминая формулу
Тейлора для синуса (см. п. 13.3), получим ряд Тейлора для sinx:

SlnX= 2 (2fe+D! •
k = o

(37.46)

Рассуждая аналогично и вспоминая формулу Тейлора для
косинуса (см. п. 13.3), получим и для него ряд Тейлора

СО

cosx=24S)^’	(37-47)

k= о

также сходящийся на всей действительной оси.

В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1) ряды, стоящие в правых
частях формул (37.46) и (37.47), сходятся также и при любом
комплексном х; это позволяет распространить синус и косинус
на комплексные значения аргумента, положив для любого комп-
лексного г

03

--=2	<37.48)

/г = О

со

<37-49)

Л = 0

В комплексной области легко установить связь между пока-
зательной функцией и тригонометрическими. Заменим в ряде
(37.41) г сначала на iz, а затем на — iz',

со	со

<37-50>

п=0	п=0
Замечая теперь, что

in =

1

i

— 1

— i

при n — 4k,
при п = 4&4-1,
при п = 4& + 2,
при n = 4k-}-3,

и, следовательно, i2ft = (—1)*, k = 0, 1, 2, ..., из (37.50) будем
иметь

e^-^e-iz _ уч (—l)*z2ft	eiz_e-»z _ -у (—l)*z2ft+1

2	~ Z (2й)1 ’	2-'	~ Z (2^+1)! *

Ъ = Э	k=0

Сравнив эти формулы	с (37.48)	и (37.49), получим
cos г--	_е‘г-{-е “ 2	^>iZ __ о iz  sinz = —.	(37.51)

Из них непосредственно следует также формула
cosz-|-isinz = e'X	(37.52)

Конечно, эти формулы справедливы, в частности, и для дей-
ствительных г.

Формулы (37.51) и (37.52) называются формулами Эйлера.

Отметим два простых их применения.

Если в формуле (37.52) г = ф — действительное число, то
cos <р -ф i sin <р = е'4’.

Поэтому комплексное число с модулем г и аргументом ф

Г = 2(СО5ф4-15Шф)

можно записать в виде

г = ге'ф.

Положив здесь г =—1 и, следовательно, ф = л, получим

е,я = —1

— связь между числами е, л и i!

Напомним, что числа л, е и i возникли в математике по
совершенно разным и далеким друг от друга поводам: число л —
как отношение длины окружности к диаметру, е — как такое осно-
вание показательной функции, при котором производная функция
совпадает с самой функцией, а мнимая единица I была введена
для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело решение.

Легко находятся с помощью формул Эйлера модуль и аргу-
мент числа е\ где z = x-\-iy. Действительно (см. (37.42)),

е* = ex+iy — exeiy — ех (cos у -ф i sin у),

т. е. | ег | = ех, Arg ег = у.
Синус и косинус в комплексной области обладают многими
свойствами, которыми они обладают и в действительной области,
однако далеко не всеми; появляются и новые свойства.

Упражнения. Доказать, что при любом комплексном г:

9.	sin (— г) = — sin z, cos (— г) = cos г.

10.	sin2 г + cos2 2= 1.

11.	sin (г 4-2л) = sin г, cos (z -f- 2л) = cos z.

12.	Доказать, что для всех геС справедливо неравенство ег=/=0.

, „ „	, def sin z	_

13.	Пусть tg2 = ^y. Доказать, что для всех геС выполняется нера-
венство tg г =/=+/. Указание. Выразить tg2 через показательную функ-
цию ег.

Покажем, что абсолютные величины синуса и косинуса в комп-
лексной области могут превышать единицу и, более того, не огра-
ничены по абсолютной величине.

Заменим в рядах (37.48) и (37.49) z на iz:

. .	.	z2*+i	. yi z2fe

sin tz — i £ (2*4-1)! ’ cos 12 ~ W’
fe=0	fe = 0

Сравнив получившиеся ряды с рядами (37.44) и (37.45) (при
х — г), получим

i sh z = sin iz, chz = costz.

В частности, при действительном z — y

| sin iy | = I sh у | и | cos iy [ = ch y,
откуда и видно, что на мнимой оси функции sin z и cos z не огра-
ничены по абсолютной величине.

В качестве свойства нового типа, появляющегося у показа-
тельной функции t.z в комплексной области, укажем еще на ее
периодичность*’. Именно, докажем, что функция е? имеет пе-
риод 2ш:

ег+2Л( _ел-+>(!/+2Л) _ e.v[cos (у4~ 2л) 1 sin (у -ф 2л)] =

= ех (cos у 4- i sin у) — ex+iy = ег, z = x~\-iy.

4.	Разложение в ряд функции In(1 -фх). Формула
Тейлора для 1п(1-фх) имеет вид (см. п. 13.3)

1п(Ч-х) = х-Х2 +^_...+(_1Г1^ + г4х).

Запишем остаточный член гп (х) в формуле Лагранжа. Заме-
тив, что

[1п(1+х)]я+1 = (—

*' Если функция / определена на некотором множестве чисел (вообще
говоря, комплексных) Е, то, число Т е С называется ее периодом, если для
каждого хе/? имеем х±Т еЕ и f (x-[-T)—f(x). Функция, имеющая период,
называется периодической.
получим

Гл (х)	( 1)" (Л + ц (j _|_ вх)Л+1 >

Если 0 х =< 1, то 0 <

и поэтому |г„ (х) | < —д.откуда
limr„(x) = 0.	(37.53)

п —►со

Если же —1<х<0, то целесообразно записать остаточный
член гя(х) в форме Коши:

В этом случае

Гп (х)	( 1 )'^j + е^„+1 xn+1.

0	1-9	1-9

U<-l + 9x~l — 9 | х |

ибо в числителе дроби ° 

из единицы вычитается большее

О < в < 1.

число чем в знаменателе; кроме того

1 1^-1

1+9х	1 — 9 | х | <' 1 — |х j*

поэтому

I -	I	| 1   0 Г	1

I гп \Х) I	| 1 + 0х | • | 1 + 0Х|

I X |я+1

1-И ’

откуда при —1<х<0 также получаем (37.53).

Таким образом,

СО

1П(1+Х)= 2 (-1)л+1?	(37.54)

л= 1

для всех л'е(—1; 1].

При х =—1 ряд, стоящий в правой части равенства (37.54),
отличается от гармонического ряда лишь множителем —1 и по-
тому расходится. Расходится он также и при всех х таких, что
| х | > 1, ибо в этом случае n-й член ряда (37.54) не стремится
к нулю, более того (см. п. 12.2),

lim 1 — I = + оо.
п-со1«1

5.	Разложение в ряд бинома (1-|-х)а. Формула Тей-
лора для биномиальной функции имеет вид (см. п. 13.3)

(1 + х)“ = 1 + <хх +	х* 4-... +

+ «(«-П-+П хп + Гп (х).	(з7.55)
Рассмотрим соответствующий ряд (называемый биномиальным
рядом с показателем а):

со

1 + 2 а(а—1) ::^(<ж~я+1)х”.	(37.56)

п= 1

Если « — неотрицательное целое, то ряд (37.56) содержит лишь
конечное число членов, отличных от нуля, и, следовательно, схо-
дится при всех х.

Рассмотрим теперь случай, когда а не является неотрицатель-
ным целым. В этом случае в ряде (37.56) все члены отличны от
нуля при х=#0.

Для исследования абсолютной сходимости ряда (37.56) исполь-
зуем признак Даламбера. Иначе говоря, применим признак
Даламбера к ряду с n-м членом:

„ . |а(а-1) ... (а —п + 1)

«я-|	х |.

Замечая, что lim ^£±1 = lim =|х|, получаем, что ряд
(37.56) абсолютно, а значит, и просто сходится при | х | < 1 и
расходится при | х | > 1.

Однако из одного лишь факта сходимости биномиального
ряда (37.56) при | х | < 1 нельзя еще сделать заключение о том,
что его сумма равна (1+х)“. Для этого надо доказать, что в фор-
муле (37.55) г„(х)->0 при п->со.

Замечая, что

[(1 + х)“]("+1) = а(а — 1) ... (а — n) (1 + х)а-"-1,
запишем остаточный член гя(х) формулы (37.55) в форме Коши:

Гп (х) = а (а~1)--	(1 _ 9)Л x«+it о < е < 1

(9 зависит от х и от я). Положим

Ап (X) = («-!)_-.	!)-(”-1)1 хпг

Вп (х) = ах (1 + Ох)*-1, Сп (х) =	;

тогда

г„ (х) = Ап (х) В„ (х) С„ (х).

Очевидно, А„(х) является общим членом биномиального ряда
с показателем а—1 и, следовательно, в силу доказанной выше
сходимости биномиального ряда при |х|<1
Далее, из того, что 1 — | х| < 1 + 6х< 1 +| х|, следует, что зна-
чения | Вп (х) | заключены между величинами

|ах| (1 — | х l)01”1 и | ах| (1 +| х |)а-1,

не зависящими от 9, т. е. последовательность {Вп (х)} при фикси-
рованном хе(—1, 1) ограничена. Наконец,

(1+хГ = 1+ У

Из установленных свойств Ап (х), Вп (х) и Сп (х) следует, что
lim гп (х) = 0,	| х| < 1.

п —> со

Таким образом, для любого хе (—Г, 1) справедливо равенство

а(а—1) ... (а-п+1)
nl	Х •

п= 1

Задача 26. Доказать, что 1) в точке х=1 при а >—1 биномиальный ряд
сходится, а при asg—1— расходится;

2) в точке х——1 при а О биномиальный ряд абсолютно сходится,
а при а < 0— расходится.

При этом каждый раз, когда биномиальный ряд (37.56) сходится, его
сумма рявна (l-f-x)a.

37.7. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
И СУММИРОВАНИЕ ИХ МЕТОДОМ ПОЧЛЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд
Тейлора, можно получать разложения новых функций в степен-
ные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической
прогрессии

’ =	...+(_1у>Р>+...	(37.57)

в пределах от 0 до х, !х|< 1 (что законно, ибо ряд (37.57) равно-
мерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и х при ;х| <1),
получим известную уже формулу (37.54):

1п(1+х)=54? = х-т+%г-...(-1Г}^г+...
о

Раньше эта формула была доказана на полуинтервале (— 1; 1],
а теперь только для интервала (—1; 1). Однако в силу второй
теоремы Абеля о степенных рядах (п. 37.1) из справедливости
формулы (37.54) на интервале (—1; 1) сразу следует ее справед-
ливость и при х = 1. Действительно, ряд в правой части этой
формулы сходится при х=1 и, следовательно, его сумма непре-
рывна в этой точке (см. теорему 3 в п. 37.1), функция In (14-х)
также непрерывна при х = 1., поэтому в обеих частях равенства
(37.54) (если известно, что оно справедливо на интервале (—1; 1))
можно перейти к пределу при х->1— 0 и тем самым доказать
его справедливость и при х=1:

СО

1п2 = У 1^2
Xd п

п= 1

В результате дифференцирования или интегрирования задан-
ного степенного ряда, иногда удается получить ряд, сумма кото-
рого уже известна; это позволяет вычислить и сумму исходного
степенного ряда.

Пример ы. 1. Найдем разложение функции arcsin х в ряд.
Замечая, что

(arcsin х)' =	,

разложим (arcsin х)' в ряд по формуле разложения степени бинома
(см. п. 37.6):

ОО

(arcsin х)'	= 1 +	<37-58)

л= 1

Радиус сходимости получившегося ряда.равен единице (см. там же).

Интегрируя ряд (37.58) от 0 до х, | х j <1, получим:

х

arcsin х=

о

dx
/ГЗТз

^2«41

2n-j- 1

n'Tl (2n)!!

2.	Разложим функцию arctgх в степенной ряд и с помощью
него найдем числовой ряд, сумма которого равна л.

Поступая при | х j < 1 аналогично примеру 1, имеем:

X	X / со	\	со

arctgx =	2 (-1)"/2'1 Л- 2 (-1)"^. (37-59)

Г	О 'л = 0	! п = 0

Заметим, что полученный
(см. п. 35.9, теорему И)
ный ряд

ряд при х = ± 1 по признаку Лейбница
сходится, ибо сходится знакоперемен-

у (-Рп

Zj 2п+1 •

п=0

Поскольку функция arctg х непрерывна при х = ±1, то
согласно второй теореме Абеля для степенных рядов (см. п. 37.1,
теорема 3) сумма ряда (37.59), являясь непрерывной функцией
на отрезке [-1. И и совпадая с arctg х на интервале (-1, +0,
совпадает с ним и в концевых точках х = ±1. Иначе говоря,
разложение (37.59) справедливо для отрезка [—1, +1]. Беря
в этом разложении, например, х=1 и замечая, что arctg 1=-^,
получим

Л _ VI (— 1)«

4 ~ 2. 2пД-1 '

п — О

Этот ряд называется рядом Лейбница.

Отметим, что арктангенс определен на всей действительной
числовой оси, в частности и вне отрезка [-1. И- Однако его
разложение в степенной ряд (37.59) справедливо только на этом
отрезке. Вне этого отрезка ряд (37.59) расходится, в чем легко
убедиться, найдя его радиус сходимости, например, по формуле
(37.8'). Анализ этого явления проводится в теории функций ком-
плексного переменного.

3.	Найдем сумму ряда

S (х) = 2 пхп.	(37.60)

п= 1

Радиус сходимости этого ряда равен единице. В этом легко
убедиться, например, по признаку Даламбера

lim

п ->со

(п+1)х«+1

ПХ

Следовательно, ряд (37.60) абсолютно сходится при | х | < 1 и
расходится при |х|> 1. Из (37.60) следует, что

X

•П-1

|х|

<1.

Проинтегрируем этот ряд почленно от 0 до х, | х | < 1:

и затем продифференцируем получившееся тождество:

S (х) _ d х ____	1

х dx 1—х	(1 — x)2 ‘

В результате получаем

Ис1-
4.	Найдем сумму ряда



(37.61)

Радиус сходимости этого ряда равен единице; в этом легко
убедиться, например, тем же способом, что и в случае ряда (37.60).
Продифференцировав ряд (37.61) почленно:



и использовав разложение логарифма (см. п. 37.6), получим:

СО

xS'(х) = 2	= — 1п(1—х), |х|<1, или S'(x) = — —

п= 1

Замечая, что S (0) = 0, окончательно получим

S(x) = —j ln(1~z) dt.
о

Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных
функциях.

Упражнения. 14. Разложить в степенной ряд функцию (arcsin х)2.
СО

15.	Найти сумму ряда У п2хп.

п= 1

37.8. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА

С помощью разложения логарифмической функции в степен-
ной ряд можно легко найти формулу, описывающую асимптоти-
ческое поведение факториала п! при п->оо. Она называется фор-
мулой Стирлинга*^ и может быть записана в виде

n!~2>/L_.2 .	(37.62)

согласно определению асимптотического равенства для последо-
вательностей (см. п. 23.3) это означает, что

lim -----j------== 1.

п —> оо   п Ч 
Гп 1 о

*> Дж. Стирлинг (1692—1770) — английский математик.
Из разложения

in(i+x)= 2 (-i)"+i4’
п— 1

следует, что

= In (1 +х) — In (1 -х) =
00	оо	00

= 2<-»“v-2(-v)=^2w7-

п— I	/1=1	fe = О

Полагая здесь х = 2~, п = 1, 2, получим

In fl + Л = ln-1+2n+* =

\ п> 1______L—

2п+1

= _2_Г1+1_J + 1________! +

2n4-l L 3 (2«4- 1)а ~ 5 (2«+1)« ~ • • J — 2я-|-1	1 ’

”+ 2

откуда

inf 1 + -’)<!,

или, потенцируя и принимая во внимание, что функция 1пх —
монотонно возрастающая,

Положим	Л । 1 \я + '/2	.	m <п\  V + nJ	<е-	(37.63)  ;	(37.64)  ? "+2

поскольку согласно (37.63)

	_^==lfi+iy + I/2<i, х„+1 е\ ' п)

то последовательность {хп} убывает, и, кроме того, она ограни-
чена снизу хп>0. Следовательно, существует предел

	1 •	def  lim хп = а.  п -* со
Поэтому	хп = а (1 + е„),	(37.65)

где lim е„ = 0.
п -* со
Подставим (37.65) в (37.64):

nl = an еП.(1 +е„).

(37.66)

Для того чтобы получить формулу (37.62) осталось лишь пока-
зать, что а = ]/2л. По формуле Валлиса (см. (30.8) в п. 30.2)

<37'67>

а согласно (37.66)

(2л)!!	_ Ц2п)!!]з	2^ (n!)2	т/”«(1+еД2

<2n—1)!!	(2л)! “ (2л)! ~ а V 2 1+е2„‘

Подставив это выражение в (37.67), получим

31 _ |jm 1 Л2 п (I + %)4 _ fl2

2	а 2 (1+е2„)2’ ~4

откуда а = у"2л. О

37.9*. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ
ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

Рассмотрим вектор-функцию f : [a, b]->-Rn, где Rn — п-мерное
векторное пространство. Как уже отмечалось, на вектор-функции
обобщаются понятия предела, непрерывности, производной, диф-
ференциала и интеграла (см. § 15, п. 18.4 и п. 30.4), на которые
переносятся многие свойства этих понятий, справедливые для
числовых функций. Однако, далеко не для всех свойств это имеет
место. Так, в п. 15.2 было показано, что утверждение, анало-
гичное формуле конечных приращений Лагранжа, уже не спра-
ведливо для вектор-функций. Поэтому не справедливо, конечно,
и ее обобщение в виде формулы Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа. Покажем, что для вектор-функций справед-
лива формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Теорема 10. Пусть функция f:(t0 + h, t,) ~h)-^Rn непрерывна
вместе со всеми своими производными до порядка п +1 включи-
тельно на интервале (t0 — h, t0 + h), h^>0. Тогда для любого
—	t0-5-h) справедлива формула

п	t

(Zo) (Z “Zo)ft + ~пГ $ “T>”/tn+1) W dT- <37-63)
fe —0

Следствие.

n

fe=0

~пГ —	sup । fn+1' (t) i,

(to ti, t.3	h.)

t (to — h, to~(-h).
Доказательство теоремы. Прежде всего напомним,
что если

f (0 = (fl (0,	(0),	(37.69)

Г(О = (Л(О-	t^(t0-h, t0 + h),	(37.70)

J/(т)dr = |Д f 1 (т)dx, ..., \fn(x)dx\. (37.71)
to	4o	to	>

Из предположений теоремы следует, что каждая координатная
функция ft непрерывна на интервале (/0 — h, t0 + h) вместе со всеми
своими производными до порядка пД-1 включительно, и поэтому
для нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме
п

*=о

t

+ J ~	<т> dr’ 2, n.

to

Отсюда в силу (37.70) и (37.71) и следует сразу справедливость
формулы (37.68). Q

Следствие вытекает из неравенства

(t — х)п fn+1 (т) dx
to

$|/^(r)|dT
to



t

— Zosup |/(ra+1)(T)l \ dr =
(t0 — ht t04-ft)	j

= \t — /0|n+1 sup |/(«+1) (r)|. □
(to — h, to-f-ft)

Для вектор-функций справедлива формула Тейлора и с оста-
точным членом в форме Пеано: если функция/: (t0 — h, t0 + h)-+Rn
имеет в точке t0 производную порядка п, то

п

fit) = I я/(А)	+° - W-

*=о

Это также следует сразу из того, что для каждой координат-
ной функции fi, i = l, 2, .... п, в предположениях теоремы имеет
место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
в окрестности точки t0 (см. п. 13.1).

Если вектор-функция /:(Z0 — h, to + hj-^R" имеет в точке t0
производные всех порядков и для любого /е(/0- h, t0-[-h)
выполняется условие

l-»no	К-

*=0

= 0,

то на интервале (t0 — h, t0-{-fi) функция / раскладывается в сте-
пенной ряд с векторными коэффициентами

СО

п=о

называемый ее рядом Тейлора.

37.10*. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Известно (см. п. 13.1), что если функция f определена в окре-
стности точки х0 и п раз в ней дифференцируема, то существует
такой многочлен Рп(х) степени, не большей п, а именно много-
член Тейлора, что

/ (х) = Рл (х) + о ((х — х0)п), х->х0, п = 1, 2, ...,	(37.72)

При этом

Рп (х) = Рп—1 (х) +	(х - хо)" .

(37.73)

Из (37.72) и (37.73) следует, что разность f (х) — Рп^ (х) предста-
вима в виде

f (х) - Рп-1 (х) = /"t„|X|l>) (х - х0)« + о ((х - х0)ге), х-> х0,

и, тем самым, имеет место

асимптотическое равенство

f(x)-Pn-1(x)

f'n' (Хо)
л!

(х —Х0)п, X—>хс.

Таким образом, члены многочлена Тейлора Рп(х) (ряда Тейлора,
если функция f бесконечно дифференцируема в точке х0) можно
последовательно определить как слагаемые вида ап(х — х0)п,
асимптотически равные разности f (х) — Рп^ (х) при х->х0.

Аналогичным образом можно поступать и при изучении функции
в бесконечности. Пусть для определенности функция f определена
при х^а, и существует конечный предел

Игл /(х) = а0.	(37.74)

Х-*-|- СО

а, следовательно lim [/(х) — ао] = О.

Л-*Н-00

Иногда возникает вопрос как именно разность f (х) — а0 стре-
мится к нулю, каков порядок убывания этой разности? Может
случиться, что существует такое число аъ что

f(x)-a0~^, х^ + оэ,	(37.75)

т. е. (см. теорему 1 в и. 8.3)

Нх)-ао = 0х“ + о(’), х->+оо,	(37.76)

откуда

x[f(x) — a0] = a1 + xo(l/x), х—>--|-оо,

а поскольку в силу определения символа о lim хо(1/х) = 0, то

aL = lim х[/"(х) —а0].	(37.77)

х—»--|-оо

Наоборот, из (37.77) следует, что

х[/ (х) —• «о] = «1 + е (х),	lim е (х) = О,

и, следовательно,

/(х) = а0 + 01 +	= йо+°1 + о|'1 х->4-оо,

Л	Л	Л	\ Л)

т. е. выполняется асимптотическое равенство (37.76). Если ука-
занное ау найдено, то часто бывает нужно найти, как говорят,
«следующий член асимптотического разложения» функции f, т. е.
найти асимптотическое поведение разности / (х) — fan+ / при
х->-4-оэ. Эта разность согласно (37.76) представляет собой не
что иное, как о(1/х), х->ф-оо. Может случиться, что существует
такое число а2, что

или, что то же

f (х) - 'а0 + х) = J + оЦ, У х -> + оо.

Это условие равносильно существованию предела

lim хф(х) — (ао + °х)] = Й2-

Вообще, если

Sn-i (х) = а0+ 3 + 5 + • • • + g4. (п = 1, 2, ...) (37.78)

— такой многочлен степени не большей п— 1 относительно пере-
менной 1/X, что

f(x)-[fl0 + ^ + 3+... + ^|)~^, х-> + ~, п = 2, 3.............
то может случиться, что существует такая постоянная ап, для
которой имеет место асимптотическое равенство

f (х) - Sn_t (х) ~ J, х + оо.	(37.79)

Это условие равносильно следующему:

f(x)-Sn^(x) = afn + o^-), х->оо,	(37.80)

которое, полагая
п

S„(x) = S„_x(x) + J = 2	(37.81)

k = Q

можно переписать в виде

f(x)-S„(x) = oQ,J, х->4-оо,	(37.82)

или, что то же, в виде

lim хп [f (х) — Sn (х)] — 0.	(37.83)

х->4-оо

Как и выше, при п=1, легко показать, что условие (37.80)
равносильно существованию конечного предела

lim хп[f (х) — Sn_x (х)] = ап.	(37.84)

х->4-оо

Если указанные пределы а„ существуют для всех п = 0, 1, 2,...,
то можно образовать ряд

Оо + ^- + + • • • + “« + • • •	(37.85)

Ряды такого вида также можно назвать степенными рядами,
точнее, степенными рядами по целым отрицательным степеням
переменной х.

Определение 5. Пусть функция f определена при x^sa и
lim f(x)=a0- Если существует ряд вида (37.85), частичные суммы

Л* -* 4- со

(37.78)	которого удовлетворяют условию (37.79), либо, что равно-
сильно, одному из условий (37 82) или (37.83), то этот ряд назы-
вается асимптотическим рядом (или асимптотическим разложе-
нием) в смысле Пуанкаре*) функции f при х-> 4- оо.

В этом случае пишут

ОО

(37-8б)

п=0

Подчеркнем, что здесь знак ~ означает не асимптотическое
равенство в том смысле, как оно, например, понимается в фор-

*’ А. П у а н к а р е (1854—1912)—французский математик.

22 Кудрявцев Л. Д. т. 1
муле (37.79), т. е. в смысле определения 3 п. 8. 2, а соответствие:
ряд (37.85) соответствует функции /.

Как было отмечено, условие (37.80) равносильно условию
(37.84), поэтому, если у функции f существует при х->4-оо
асимптотический ряд (37.85), то его коэффициенты ап, п = 1, 2...,
могут быть последовательно найдены по формулам (37.84). При
п = 0 следует воспользоваться формулой (37.74). Отсюда следует,
что если у функции имеется при я-»- -ф оо асимптотический ряд,
то он единственен и его коэффициенты выражаются по формулам
(37.74) и (37.84).

Вспомним, что при разложении функции в степенной ряд также
была доказана единственность степенного ряда, в который раскла-
дывается функция, а именно было доказано его совпадение с ее
рядом Тейлора. Однако, там было отмечено, что один и тот же
степенной ряд может являться рядом Тейлора разных функций.
Подобная ситуация имеет место и для асимптотических рядов:
один и тот же ряд вида (37.85) может оказаться асимптотическим
рядом при + оо разных функций. Например, нулевой ряд,
т. е. ряд, все коэффициенты которого равны нулю,

ап = 0, х = 0, 1, 2,...,

является при х + оо как асимптотическим рядом функции,
равной нулю во всех точках числовой оси: Д(х) = 0, — оо<х<
<Ц-оо, так и функции Д (х) = е~х, в чем легко убедиться, вычислив
в этих случаях последовательно пределы (37.84).

В отличие от разложения функций в степенные ряды, при
котором суммой степенного ряда является заданная функция, и,
следовательно, рассматриваемый степенной ряд сходится, при пост-
роении асимптотического ряда функции может случиться, что
полученный ряд не только не будет сходиться к данной функции,
а будет вообще расходиться во всех точках. Тем не менее, асимп-
тотический ряд (37.86) функции является полезным инструментом
для ее изучения, в частности для вычисления ее значений. Это,
очевидно, связано с тем, что частные суммы асимптотического
ряда (37.86) функции в силу условия (37.82) достаточно хорошо
приближают саму функцию, причем тем лучше, чем больше х.

Поясним сказанное на примере функции

f(x) = f e-^dt, x>0.	(37.87)

X

Интегрируя n раз по частям, получим

V° -t

+ (-1)яп! j ^dt. (37.88)

X
Ряд

4- оо

(37.89)

п = 1

является асимптотическим разложением функции (37.87). Дейст-

вительно, если Sn (х) = У ~ , п = 1, 2, ...,

* = i

т. е. S.„ (х) — частичные суммы ряда (37.89), то интегрируя
по частям в силу (37.88) будем иметь:

|f(x)-S„(x)|=n!+J ^=Д~(«+1)!+$

т. е. выполняется условие (37.82).

Вместе с тем легко убедиться по признаку Даламбера, что ряд
(37.89) расходится при всех zg(-ot, -j-oo). Действительно,
полагая

„ _ (—1)!
ип —	~

п = 1, 2,

получим

lim I Нл+11 = ИтД=-|-оо.
п->4-оо I ип I	п -»4- оэИ

Итак, асимптотический ряд (37.89) функции (37.87) расходится
во всех точках. Однако, несмотря на это значения функции
(37.87) могут быть получены с большой степенью точности при
помощи частичных сумм этого ряда.

Покажем, что если ряд (37.85) сходится к некоторой функ-
ции /:

СО

= (з7-9°)

га=О

то он является и асимптотическим рядом этой функции при х->
В самом деле, пусть

00

k= л + 1
и, следовательно,
f (x) = S„(x) + /?„(x).
Покажем, что

Д„(х) = О^^, х^ + оо,	(37.91)
а потому, тем более, что

Rn (х) = о ^~хП-^ >	х->-|-оо,

т. е. что

f (х) - S„ (х) = о ) >	х -> + °о«

иначе говоря, что выполняется условие (37.82). Для этого рас-
смотрим функцию F(/)^J(1//), 0</sCl/a. В силу (37.90) полу-
чим равенство

СО

F(0= 2 ant-,

л=0

в котором ряд, стоящий в правой части сходится при 0</<1/а,
откуда по теореме Абеля следует, что он сходится и при всех
таких /, что |?|< 1/а. Если

мо= S «л id<i/«.

k = л + 1

то (см- лемму 1 в п. 37.3) тп (t) = О (/”+1), /->0. Выполнив здесь
замену переменного / = —, получим (37.91).

В заключение отметим, что условие (37.82) разложения функ-
ции в степенной асимптотический ряд можно заменить другим,
внешне более сильным, но по существу эквивалентным условием.
Сформулируем его в виде леммы.

Лемма 3. Для того чтобы ряд (37.85) являлся асимптотическим
при x->-f-oo для функции f необходимо и достаточно, чтобы

/(x)-S„(x) = 0(^rJ,
п = 1, 2, ...

(37.92)

Достаточность этого условия очевидна, так как	=

= о (напомним, что подобные равенства читаются только
слева направо), а, следовательно, при выполнении условия (37.92)
будет выполняться (37.82).

Наоборот, если выполнено условие (37.82):

/(x)-S„+1(x) = o^^), n = 0, 1, 2, ..., х-> + со,

ТО, поскольку S,t+1(x) = S„(x)-|-—J- получим

/(x)-S„(x) = ^ + o^) = o(^). □
37.11*. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ
СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

В этом пункте будут сформулированы и доказаны некоторые
основные свойства разложений функций в асимптотические сте-
пенные ряды. В дальнейшем, в п. 54.6, будут рассмотрены более
общие, не обязательно степенные, асимптотические ряды.
Поскольку в настоящем пункте будут изучаться только асимпто-
тические разложения функций при х->ф-оо в степенные ряды
вида (37.85), то мы будем их называть просто асимптотическими
разложениями.

I.	Если

ОО	со

(37.93)
п=0	л—О

то для любых чисел % и р

СО

2 ^±1^,	х->+оо,

п—0

т. е. асимптотическое разложение линейной комбинации функций,
имеющих асимптотическое разложение, равно такой же линейной
комбинации асимптотических разложений этих функций.

Действительно, если
п	п

7(х)=У +	*->4-°°. (37.94)

fe~0 Xk	Xk

то для любых чисел % и p:

п

W) + P£(*)= У	+	х-^ + оо. □

k=o	' '

II.	Если имеют место асимптотические разложения (37.93),
то

СО

%-> + оо«

п =0

где сп = а0Ьп + афп-х +... + апЬ0, т. е. асимптотическое разложе-
ние произведения функций, имеющих асимптотические разложения,
равно произведению этих разложений, расположенных по возрастаю-
щим степеням 1/х.

В самом деле, если имеет место (37.94), то
f(x)g(x) = (flo + ^ + --- + ^ + o^^ ^o + y + -•	+	=

п

У akbn_k
III.	Если

СО

+	(37.95)

п— О

и а0 #= 0, то функция 1 // (х) также имеет асимптотическое раз-
ложение

СО

и коэффициент dn этого разложения выражается через коэффи-
циенты а0, а{,	, ап разложения (37.95).

Действительно, из (37.95) следует (см. (37.74)), что lim f(x)=>
х—*-^~со

s= а0. Поэтому существует предел

1-	1	1

11Ш	= — •

ао

Далее, можно последовательно показать существование пределов
(37.84) для функции 1//(х), непосредственно вычисляя их. На-
пример,

Аналогично вычисляются d2, d3, .... Q

IV.	Если функция f непрерывна при х>:а>0 и имеет асимп-
, 1
тотическое разложение, начинающееся с члена порядка

СО

+	(37.96)

п—2

то
4-со	-l-оо

J f(i)dt~ 2 (n_i)Xn-i. +	(37.97)

х	п—2

т. е. в указанном случае асимптотические ряды можно почленно
интегрировать.

Докажем это. Пусть

п

Sn(x)^2~u’	Rn(x)^f(x)-Sn{x), п = 2,3.......

k= 2
Поскольку функции f и Sn непрерывны при х^а, то и функция
Rn непрерывна при х>,а. В силу (37.96)

Rn(x) = о(1 /хп),	х->- + оо.

Поэтому для любого 8 > 0 существует такое хе а, что для всех
х^хе выполняется неравенство

|адк^-

4- со

Отсюда следует, во-первых, что интеграл $ Rn (f) dt, а поэтому
хе.

4-со

и интеграл $ Rn(f)dt, х^хЁ, существуют, а во-вторых, что при

X

х^хе имеет место неравенство

*4“ со	-4- со	-4—со

X"-1 J Rn(f)dt ^х-1 J |T?„(0|d^8X'1-1 J ^-^1.
XX	X

и, следовательно, ввиду произвольности 8>0,

lim х"-1 A Rn(t)dt — t).	(37.93)

х-»4-со х

Теперь, интегрируя равенство f (x) = S„(x) + Rn (х), получим
+ оо	п	-4-00

Р (О dt = 2	( Rn (t) dt. (37.99)

х	k=2(	’	x

В силу выполнения условия (37.98) равенство (37.99) и озна-
чает справедливость асимптотического разложения (37.97) (см.
(37.83)). □

V. Если функция f раскладывается в асимптотический ряд

СО

х^ + оо,	(37.100)

п =0

и если она имеет при х>~а непрерывную производную, которая
также при х-> + оо раскладывается в асимптотический ряд, то
этот ряд получается формальным почленным дифференцированием
ряда (37.100)

ГМ—2^- *->+“•	(37.101)

п= 1

В самом деле, пусть

ОО

х^ + оо.	(37.102)
По формуле Ньютона —Лейбница для любых х^а и у^а

У	У

f (у)-f W = J Г (О dt = }>+> + (/' (0 - Ьо - £)] dt=
X	х

У

= &o(i/-x) + Mnf +	(37.103)

X

Согласно (37.102) f (t) — b0 — ~ = 0	/->4-00. Следова-

тельно, интеграл
4* оо

J [/'(O-Ьо— ^]dt

X

сходится. В силу (37.100) существует конечный предел
lim f(z/) = a0-

#-►4-00

Поэтому, переходя к пределу при	в (37.103), убеждаемся

в том, что существует конечный предел
lim	+

#— 4-ooL	j

Это возможно только в случае, когда &0 = &1 = 0. Таким образом,
равенство (37.103) в пределе перейдет в равенство

4-со
a0-f(x)= $ f'(t)dt‘,
X

при этом в силу условия b^ = bi — 0 из (37.102) имеем:
4- со

*-> + сс;

л=2
отсюда, интегрируя почленно в пределах от х до -f-оо согласно
свойству IV, получим

ОО
a0-f(x)~ J	х->4-оо.

п~1

Но из (37.100) следует, что
СО

п— 1

Вспоминая, что разложение функции при х->+оо в асимп-
тотический степенной ряд единственно, из сравнения получив-
шихся для функции a0 — f(x) рядов найдем, что

Ьп+1 = — пап, п=1, 2.....□
Замечание. Если непрерывно дифференцируемая при ха
функция / раскладывается при х->+оо в асимптотический ряд,
то ее производная может не иметь при х -+ 4- оо асимптотического
разложения. Тем самым требование существования асимптоти-
ческого разложения у производной в предложении V является
существенным. В качестве примера рассмотрим функцию f (х) =
= е~х&'тех, — оо<х<; + оо. Нетрудно с помощью формул
(37.84) убедиться, что функция / при х->-|-оо раскладывается
в пулевой асимптотический ряд, т. е. ряд (37.85), у которого
ап — 0, п = 0,1, 2..Ее производная f (х) =— e^xsine*-]-cose*

заведомо не имеет асимптотического разложения при х->ф-оо,
так как она даже не имеет предела при х->-]-оо.

Упражнение 16. Доказать, что

+ со  , С е~х!	1	2! , 4!



X  б) j e^-^dt^  X	1	1	, 1-3	1-3-5,  ~2х 2г%з 1 2V	2W 1	х->+со'

§ 38*. КРАТНЫЕ РЯДЫ

38.1. КРАТНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

В настоящем параграфе будут рассматриваться так назы-
ваемые кратные ряды вида

СО

S	(381>

"i...nk=1

где ип ..nk — заданные числа (вообще говоря комплексные) зану-
мерованные k индексами t=I, 2, .... k, каждый из которых
независимо от другого пробегает натуральный ряд чисел: п, =
= 1, 2, .... Ряд (38.1) называется 6-кратным рядом, а числа
«л —его членами.

Определим четко эти понятия. Начнем с понятия кратной
последовательности.

Определение 1. Пусть X — некоторое множество; k-кратной
последовательностью элементов множества X называется отобра-
жение f: NxNx.. .х N-^X (N, как всегда, обозначает множество
k раз
натуральных чисел).

Элемент x = f(пъ ..., пк), е N, ..., е N, обозначается
через xni...nk, а сама последовательность через {хП1 ... nft}.

Однократная последовательность называется просто последо-
вательностью.
Итак, элементы 6-кратной последовательности «занумерованы»
k натуральными индексами. Мы будем рассматривать числовые
кратные последовательности, т. е. кратные последовательности,
элементами которых являются комплексные, в частности действи-
тельные, числа. Для простоты обозначений ограничимся случаем
6 = 2. Обобщение на случай произвольного натурального 6 е N
делается безо всякого труда.

Определение 2. Число а^С называется пределом двойной
последовательности {хтл} и пишется а= lim хтп, если для
т, п-»со

любого е > О существует такое пг е N, что для всех т 5= п6,
п^зпг, m^N, n^N, выполняется неравенство | хтп — а | < в.

Если двойная последовательность имеет предел, то она назы-
вается сходящейся.

Определение 3. Двойная последовательность называется после-
довательностью, стремящейся к + оо, и пишется lim хтп =
т, п-*-са
= 4-оо, если для любого е>0 существует такое nE<^N, что
для всех т пе, п пе, m^N, n^N, выполняется неравенство
Хтп 8 •

Аналогично определяются бесконечные пределы lim хтп =
т, п-юэ

= —оо и lim хтп = оо.
т, п->со

Как обычно, под пределом (в данном случае двойной после-
довательности) понимается конечный предел, если не оговорено
что-либо другое.

Определим теперь двойной ряд.

Определение 4. Пусть задана двойная последовательность {мтл}.
Составим двойную числовую последовательность

tn п

§тп ~
k=l1=1

(38.2)

Пара последовательностей {umn}, {Smn} называется двойным
рядом и обозначается через

Umn-

п —

(38.3)

Элементы двойной последовательности {итп} называются чле-
нами ряда (38.3), а элементы двойной последовательности {Smn} —
частичными суммами этого ряда.

Определение 5. Двойной ряд (38.3) называется сходящимся,
если последовательность его частичных сумм сходится. Ее предел
называется суммой ряда; причем, если

lim Етп — *5,

(38.4)
то пишется
ОО
У Чщп — .
т, п= 1

Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.3)
называется расходящимся. Если существует один из бесконечных
пределов

lim Smn=4-oo, lim Smn =— оо, (38.5)
tn, п-+со	т, п—►оо

то соответственно пишется
оо	со

Umn = 4" °°» У Чщп=
т, 1	m, n= 1

Замечание. Содержательность определения ряда как пары
последовательностей хорошо видна на примере кратных рядов.
Например, если задана последовательность {итл}, то соответ-
ствующую ей последовательность «частичных сумм» можно зада-
вать не только выше указанным способом (38.2), но и по другому.
Наряду с суммами (38.2), определенными выше и называемыми
прямоугольными (в них суммируются элементы ukh кото-
рым соответствуют точки (k, I) плоскости ху, содержащиеся
в прямоугольнике	O^y^ri) рассматриваются тре-

угольные суммы Тг = У, иы, г = 1, 2, ..., (точка (k, I)
/г + l^r

лежит в треугольнике xjsO, у^О, x-j-ys^r), сферические
S Uki, r = 1, 2, ..., (точка (k, Г) лежит в круге № ф-
+ Z2 < г2

+ y2=s£r2) и другие. Таким образом, для одной и той же после-
довательности {«„,„} имеются разные последовательности частичных
сумм, причем в случае сходимости одной из них другая не обя-
зательно сходится. Поэтому естественно рассматривать каждую
пару, состоящую из последовательности {«тл} членов ряда и
каких-то его «частичных сумм», как самостоятельный ряд.

Отметим, что последовательности частичных сумм кратных
рядов (например, частичных сумм Тг или Sr) в отличие от после-
довательностей частичных сумм однократных рядов не всегда
однозначно определяют последовательность общих членов ряда.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямоугольные
частичные суммы Sm„.

На кратные ряды переносится ряд свойств обычных (одно-
кратных) рядов, например:

СО

1°. Если ряд У итп сходится и S — его сумма, то
т, п= 1
со

У, Хмтл = Х5 для любого числа К.
т, n = 1
ОО	00

2°. Если ряды У u'mn = S-' и У u,’m = S" сходятся, то
т, п — 1	т, п = 1

оо

У, (ит„ + Umn) — S' -f-S".
tn, n= 1

Эги утверждения легко доказываются аналогично случаю одно-
кратных рядов (это предоставляется проделать читателю).

Докажем теперь несколько теорем о кратных рядах.

Теорема 1. Если ряд (33.3) сходится, то

lim нт„ = 0.
n—>со

Это сразу следует из равенства

Umn ~ Smn Sm-1 п Sm n-i -f- Sm-1 n-l

и условия (38.4). (3

Теорема 2. Если все члены ряда (38.3) неотрицательны,
итп^0, т, п=1, 2,	,	(38.6)

то всегда существует конечный или бесконечный предел его частич-
ных сумм. Smn, причем

lim Smn= sup Smn.	(38.7)

m, /1 —* co	—

Доказательство. Если выполняется условие (33.6) и
т’>-т, п'^п, то

Далее, если S = sup Smn и S' < S, то в силу опреде-
т, п = 1, 2, ...

ления верхней грани существуют такие номера т0 и па, что
Sm„n„ > S .

Положим W = max {т0, п0}, тогда при m^N и n^.V
Smn - NN 7-r Smono > S ,
и так как	то lim Smn = S, т. е. выполняется условие

т, п, -+оо
(38.7). □

Следствие. В предположениях теоремы ряд (38.3) сходится
тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены.

Доказательство следствия очевидно.

Из двукратного ряда (38.3) можно формально образовать два
так называемых повторных ряда. Для этого следует сначала произ-
вести суммирование по одному индексу, зафиксировав другой, а
затем произвести суммирование по оставшемуся индексу:

ОО ОО	00 00

2 2	2 2	(38.8)

п^= \ т — I	т = 1 п= 1
Аналогично доказанной ранее теореме о повторных пределах
(см. теорему 1 п. 19.2) доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Если сходится двойной ряд (38.3) и для всех
со	оо оо

« = 1,2, ... сходятся ряды У итп, то повторный ряд У, У итп
т = 1	п = 1 т = 1

также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.3).

Определение 6. Ряд (38.3) называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
т. е. ряд

ОО

5 \итп\.	(33.9)

т, п = 1

Теорема 4. Если ряд (38.3) абсолютно сходится, то сходится
и любой ряд (однократный, двукратный или повторный), получен-
ный перестановкой членов данного ряда (в частности сходится и
сам заданный ряд). При этом сумма любого такого ряда совпа-
дает с суммой исходного ряда (38.3).

Доказательство. Расположим члены ряда (38.3) в беско-
нечную прямоугольную матрицу, поместив в т-к> ее строку члены
ряда с данным фиксированным первым номером т, расположен-
ные по возрастанию второго индекса п:

«11	«12	«13  • • Uin  • •

U21 «22 «23 • • • U2n . . .

«<П1	«m2 ' ИтЗ • • • ^тп • * •

Занумеруем теперь элементы
щей схеме:

этой таблицы согласно следую-

5

6

7

Член ряда (38.3), получивший при такой нумерации номер
k, обозначим vk. Рассмотрим ряд

и покажем, что	5 v*	(38.10)  он абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд ОО  У Ы-	(38.11)  /г=1
Обозначим частичные суммы ряда (38.9) через S*in, его
сумму —через S*, а частичные суммы ряда (38.11) —через S%.
Прежде всего заметим, что для любой суммы Sk найдутся такие
номера тип, что все члены ряда (38.11), входящие в сумму
St войдут и в сумму Smn, тогда

Q* О* С*
«-> k *->тп	•

Отсюда и следует (см. п. 35.4) сходимость ряда (38.11).

Из абсолютной сходимости ряда (38.10) следует, что и любой
другой однократный ряд, составленный из членов ряда (38.2),
также сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см. и.
35.10). Пусть

ОО

2 =

fe=i

Покажем теперь, что любой двойной ряд

tn, Я=1

(38.12)

полученный некоторой перенумерацией двойными индексами чле-
нов данного ряда (38.3), абсолютно сходится и что его сумма
также равна S.

Абсолютная сходимость ряда (38.12) легко следует из абсо-
лютной сходимости ряда (38.3), т. е. из сходимости ряда (38.9),
и доказывается тем же приемом, которым была доказана абсо-
лютная сходимость ряда (38.10). Докажем теперь, что сумма
ряда (38.12) равна S. Обозначим его частичные суммы через
S'mn, а частичные суммы ряда (38.10) через Sk. Пусть фиксиро-
вано число е>0. В силу сходимости ряда (33.11) существует
такой номер ke, что

ОО

ft=ft6+1
тогда и подавно

1 00

|S-S1£|=|

k=kc-4-1

оо

< S	(38.14)

k=ks+i

Выберем номер (V8 так, чтобы частичная сумма ряда
(38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10),
входящие в сумму Sftg. Пусть m>^NE и n>^Nz. Положим

9’	:

тогда, использовав (38.13) и (38.14), получим

IS-Smn | = | S — SkR | + | Smn | <e.
Итак, S является суммой любого ряда (38.12), в частности сум-
мой самого ряда (38.3).

Покажем, наконец, что S является и суммой повторных ря-
дов (38.8). В самом деле, при любом фиксированном п

т&	со

2	Ы=$*.

m=\	fe=l

Следовательно, все ряды

У Чщпу М = 1» 2, > >  ,
т=1

сходятся, и притом абсолютно.

Положим

оо

««=2 Umn.	(38.15)

т—1

Зафиксируем снова произвольное число 8>0. Выберем но-
мер ke так, чтобы выполнялось условие (38.13), а следовательно,
и условие (38.14). Далее, подобно тому, как это было сделано
выше, выберем номер Ne так, чтобы частичная сумма Swgwg ряда
(38.3) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10),
входящие в сумму Sk. Тогда при всех	и оЛ’8

*=fiE+i

Перейдя в этом неравенстве
(см. (38.15)):

к пределу при т^-со, получим

2 Щ

Отсюда в силу (38.14) следует, что при выполняется не-
равенство



S Ui $ke
f=l

+ [^e-S|<8.

Это и означает, что

оо оо	оо

2 .S ^тп = 2 — 5. [2]
п—1 т=\	п=1

Упражнение 1« Обобщить критерий Коши сходимости однократных
рядов на случай кратных рядов.
38.2.	КРАТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Определение 7. Ряд вида

2 “ЛГ.......(38.16)

Л1...ПЬ= 1

где функции иПг... nk (х) определены на некотором множестве Е,
называется k-кратным функциональным рядом, а суммы вида

mi..mk

Smi ... tnk(x)=	Uf‘i ‘ • • "fc W

"1..,lk=l

— его частичными суммами.

Определение 8. Ряд (38.16) называется сходящимся на мно-
жестве Е, если при. каждом фиксированном х0<=Е сходится
кратный числовой ряд

У Йп1.......nft (Xq).

"1....

Если ряд (38.16) сходится на Е, то функция

S(x)= У иПг... (х), х е Е
п1..........nk=l

называется его суммой.

На кратные функциональные ряды легко переносятся поня-
тия равномерной сходимости ряда, критерий Коши для равно-
мерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной
сходимости и т. п. Мы не будем на этом останавливаться.

Упражнение 2.' Определив понятие равномерной сходимости двой-
ного ряда, доказать, что, если ряд (38.16) сходится равномерно и если его
члены являются непрерывными функциями на множестве Е с Rn, то и сумма
ряда (38.16) является непрерывной на множестве Е функцией.

Определение 9. Ряды вида

ОО

Е 4...^(x1-x,1°r...(x„-x'0>)4

Л1...'4=°

где Сщ... nk — комплексные числа, называются кратными степен-
ными- рядами.

Хотя, как это видно из предыдущего, многие утверждения,
справедливые для однократных рядов, обобщаются и на кратные
ряды, последние имеют и много своих специфических особенностей,
существенно отличающих их от однократных рядов.
В качестве примера приведем двойной степенной ряд с дей-
ствительными коэффициентами, который, рассматриваемый в веще-
ственной области, сходится лишь в двух точках плоскости, а именно
в точках (0; 0) и (1; 1). Таким образом, аналога теоремы Абеля
для степенных рядов (см. п. 37.1), во всяком случае в прямом
смысле, для двойных рядов нет. Этот пример показывает опасность
использования аналогий, не подкрепленных математическими
доказательствами.

Рассмотрим ряд

5 стпхтУп,	(38.17)

m, n—Q

где, Соо = О, Co« = c„o = n!, п = 1, 2, ...;
= 1, 2, ...; стл = 0, mS=-2, n^=2.

Его частичные суммы имеют вид

Cim = cml-= — rn\, m =

m	п

Smn(x, у) = (\-у) 5 ^!xfc + i/ + (l-x)S W-	(38-18)

А=1	1 = 2

Очевидно, что Smn(0, 0) = 0 и 5тл(1, 1)=1, пг, п = 1, 2,...,
и потому ряд (38.17) сходится в точках (0, 0) и (1, 1).

Заметим теперь, что радиус сходимости ряда

ОО
у п!гл

Л=1

равен нулю (см. пример 1 в п. 37.1), при этом его частичные суммы

S„(z) = 2J k\zk, п=\, 2, ....

fe=i

при вещественных г>0, очевидно, стремятся к +оо.

Покажем, что при z<0 его четные частичные суммы S2„(z)
также стремятся к +оо. Действительно, объединив при г<0
попарно соседние члены, получим:

п

S2„ (г) = S (2k - 1)! I г (2k | г | - 1).
k=i

Далее заметим, что при любом фиксированном г =# 0 для
номеров	выполняется неравенство

(2k - 1)! | z I2*-1 (2k | z | - 1) > (2k - 1)! j z I2*-1

И ЧТО при Z =7^ 0 ряд

У (2k — \)\z2k~l
*=1
расходится (это, например, легко доказывается тем же способом,
каким доказывалась при гу=0, расходимссть ряда в примере 1
п. 37.1) и, следовательно, при z>0 его сумма равна -f-oo, по-
этому и

lim S2n (г) = + оо, г #= 0.

п—»со

Из сказанного и из равенства (38.18) следует, что, если
(х, z/)y=(O, 0) или (х, г/)#=(1, 1), то, каково бы ни было число
е>0, всегда можно подобрать такие номера тип, что

I §тп (х, у) |	6.

А это и означает, что ряд (38.17) для указанных (х, у) расхо-
дится.

ОО

Упражнения. 3. Число S назовем суммой ряда ит. п> если для
т, п—1

любого е > 0 существует такой номер N, что для всех номеров тип, удов-
летворяющих условию m-+-n>N, выполняется неравенство | Smn — S|<e.
Выяснить, эквивалентно или нет это определение определению 5 п. 38.1.

4. Число S назовем суммой ряда 2 итп< если для любого е > 0 сушест-
т, п—1

вует такое конечное множество 91Е={(т, л)} пар индексов т, п членов дан-
ного ряда, что, каково бы ни было другое конечное множество 91 пар ин-
дексов членов этого ряда, содержащее множество 91е : 91	91е, выполняется

неравенство

(m,	91 Umn $ j е>

Выяснить эквивалентно или нет это определение определению 5 п. 38.1 и опре-
делению, сформулированному в предыдущем упражнении.
Абель Н. (Abel N.) 582, 585, 621, 624

Адамар Ж- (Hadamard J.)'629

Архимед (Ap-/.ip.r|w) 43, 511

Бернулли Я. (Bernoulli J.) 74

Больцано Б. (Bolzano В.) 63, 123, 297»

Бонне О. (Bonnet О.) 481

Борель Э. (Borel Е.) 314

Безу Э. (Bezout Е.) 400

Валлис Дж. (Wallis J.) 478

Вейерштрасс К. (Weierstrass С.) 63,
121, 297, 333, 603, 609

Гамильтон У. (Hamilton W.) 365

Гейне Г. (Heine Е.) 97

Гёльдер О. (Holder О.) 465, 565

Гульдин П. (Goulden Р.) 510

Даламбер Ж- (D’Alambert J.) 558, 559,
577, 578

Дарбу Г. (Darboux G.) 201, 443, 444,
445, 446, 447, 492

Дедекинд Р. (Dedekind R.) 19, 591

Декарт Р. (Descartes R.) 247

Дини У. (Dini U.) 615

Дирихле Л. (Dichlet Lejeune Р. G.)

92, 326, 443, 534, 582 , 583, 609

Дю Буа Реймон П. (Du Bois Ray-
mond Р.) 591

Евклид (ЕиуХгбю) 317, 405

Жордан К. (Jordan С.) 309

Кантор Г. (Cantor G.) 44, 85, 336, 340

Коши О. (Cauchy A. L.) 65, 66, 113, 115,

123, 199, 213, 289, 319, 333, 530,

551, 560, 578, 600, 606, 629, 638

Лагранж Ж- (Lagrange J. L.) 196, 197,
199, 200, 213, 638

Лежандр A. (Legendre А.) 437

Лейбниц (Leibniz v. G. W.) 186, 471,
472, 517, 567, 650

Лопиталь Г, (de L’Hospital G.) 201,
208

Маклорен К- (Maclaurin С.) 212, 216

Минковский Г, (Minkowski Н.) 465,
565

Муавр A. (Moivre А.) 392

Ньютон И. (Newton I.) 471, 472; 517

Остроградский М, В, 417, 419

Пеано Дж. (Peano J. G.) 12, 212

Пуанкаре A. (Poincare Н.) 657

Риман Б. (Riemann В.) 439, 445, 447,
492, 580

Ролль М. (Rolle М.) 194, 199

Рош Э. (Roche Е. А.) 213

Стирлинг Дж. (Stirling J.) 651

Тейлор Б. (Taylor В.) 212, 214, 216, 218,
636, 637, 638 , 640, 641, 646, 655

Ферма П. (Fermat Р.) 192

Френе Ж- (Frenet J. F.) 281

Френель О. (Fresnel A. J.) 543

Харди Г. (Hardy G. Н.) 609

Чебышев П. Л. 428

Шварц Г. (Schwarz Н. А.) 289, 319

Шлемильх О. (Schlomilch О.) 213

Эйлер Л. (Euler L.) 424, 587, 644
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абеля неравенство 582

—	преобразование 582

—	признак 585

—	теорема о сходимости степенного
ряда 621, 624

Архимеда свойство действительных чи-
сел 43

Архимеда спираль 511

Асимптота 236, 243

Асимптотическое равенство 146, 397

— разложение 661—664

Асимптотический ряд 657

Астроида 286. 501, 511

Безу теорема 400

Базис стандартный пространства 317

Бернулли неравенство 74

Биективное отображение (биекция) 10

Больцано—Вейерштрасса теорема 63,
297

Бонне теорема 481

Валлиса формула 478

Вейерштрасса признак равномерной
сходимости 603, 609

— теорема 121, 332

Вектор-функция 248 , 320, 481, 653

Верхняя (нижняя) грань множества 38,
40, 42, 60, 90

Взаимно-однозначное отображение
или соответствие (инъекция) 9, 78,
83

Винтовая линия 272

Гамильтона символ (набла) 365

Гёльдера неравенство 465, 565

Гейне—Бореля лемма 314

Градиент функции 362, 364

Граница множества 306

График функции 8, 92, 239, 242, 321

Гульдина теорема 510

Даламбера признак 559, 578

Дарбу интегралы (верхний и нижний)
446

— суммы 443, 444, 445

Двоичная запись чисел 81

Дедекинда принцип 19

— признак 591

Декарта лист 247

Десятичная дробь 77, 78

Десятичное приближение 77

Диаметр множества 340

Дини теорема 615

Дирихле признак 534, 583, 609

— функция 92, 326, 443

Дифференциал функции 159, 161, 165,
177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355,
362

Дифференциальный бином 426

Длина вектора 317

— кривой 268

Допустимое преобразование параметра
258

Дробь рациональная 95, 406, 410

Дуга кривой 263

Дю Буа Реймона признак 591
е (число) 62, 141, 159, 589

Евклида алгоритм- 405

Евклидово пространство 317

Жордана теорема 309

Замена переменной 108, 121, 384, 474

Замыкание множества 302

Изоморфизм 30, 82
Интеграл абсолютно сходящийся, 530

—	неопределенный 379

—	несобственный 512

— определенный 440

Интегралы табличные 383

— эллиптические 437, 501

Интегральный признак к сходимости
рядов 561

Интегрирование подстановкой 385

— по частям 387, 477

Интервал 34

— выпуклости вверх (вниз) 231

— сходимости ряда 634

Инъекция 9

Кантора теорема о несчетности действи-
тельных чисел 85

--- о равномерной непрерывности
336, 340

Кардиоида 287, 497

Касательная 164, 265, 361

Колебание функции на множестве 340,
341

Компакт 309, 315

Компактности свойство 63

Композиция функций 11, 94

Контур 256

Координаты полярные 286

Корень из числа 23, 130, 392

— многочлена 399, 400

Коши—Адамара формула 629

— критерий 66, ИЗ, 530, 551, 600, 606

— признак 560, 578

— теорема о среднем 199

— форма остаточного члена формулы

Тейлора 213, 638

— Шварца неравенство 289, 319

Кратность корня 400

Кривая 255, 260, 263, 307

— гладкая 266

— кусочно-гладкая 266

— ориентированная 262

— параметрически заданная 259, 262

— плоская 256, 273

— спрямляемая 268

Кривизна кривой 278

Кривизны радиус 279

— центр 283

Круг сходимости степенного ряда 622

Лагранжа теорема 196

— форма остаточного члена в формуле
Тейлора 213, 638

— формула 197, 200

Лейбница признак 567

— формула 186

Лемниската 511

Линейность интеграла 454

Логарифмическая спираль 502

Ломаная 267

Лопиталя правило 201, 202, 204

Мажоранта 526

Маклорена формула 212, 216

Максимальный элемент числового мно-
жества 36

Минимальный элемент числового мно-
жества 37

Минковского неравенство 465, 565

Многочлен (полином) 95, 131, 214

Множество замкнутое 302

— линейно связное 308

—	неограниченное 35—37

—	несчетное 84

—	ограниченное 35—37

—	открытое 299

—	пустое 6

—	счетное 83

Множества равномощные 82

Модуль действительного числа 29

—	комплексного числа 390

—	непрерывности 337

Морфизм 8

Набла (символ Гамильтона) 365

Наибольшее значение функции 91

Наименьшее значение функции 91

Неопределенности 201, 204, 219 , 220

Непрерывность действительных чисел

18, 30, 31, 44

Неравенство треугольника 317

Нормаль главная 281

— к кривой 281

Носитель кривой 261
— точки кривой 261

Ньютона—Лейбница формула 471, 472,
517

Область 308, 309

—	выпуклая 309

—	замкнутая 309

—	определения функции 8, 91

Образ 10

Общий делитель 403

—	— наибольший 403

Окрестность точки 34, 96, 291, 293,
301

— — проколотая 96, 323

Окружность соприкасающаяся 287

Остаток ряда 547, 593

Остроградского метод 419

Отображение 8

— взаимно-однозначное (инъекция) 9

—	отрезка 255

Отрезок 5, 34

Пара 8

—	упорядоченная 8

Пеано аксиомы 12

—	форма остаточного члена формулы
Тейлора 212

Первообразная 378, 474, 482

Период 645

Площадь (мера) открытого множества
485

— поверхности вращения 505

Подпоследовательность 58, 295

Покрытие множества 311

Поле 27

Поле действительных чисел 29, 31

— комплексных чисел 395

— упорядоченное 29

Полнота действительных чисел 31

Полуинтервал 34

Полукубическая парабола 234, 285

Последовательность 12, 48, 295, 327,
396, 591, 665

— бесконечно большая 53, 553

— — малая 67—68, 397

—	кратная 665

—	монотонная 61

— ограниченная 59, 297, 592

—, стремящаяся к бесконечности 298,
666

— сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595

— фундаментальна я 65

Последовательности одного порядка
397

— эквивалентные 397

Предел вектор-функции 249

— последовательности 49, 50, 51, 53,
54, 87, 88, 295, 303

— функции 97—106, 249, 322, 323, 441

Представление кривой 257, 258, 260,
263

Признак сравнения 524, 555

— сходимости ряда, интегральный 561-
562

Принцип вложенных отрезков 43

Произведение множеств 8

— последовательностей 68

— ряда на число 548

Производная 157, 184, 186

— бесконечная 157

— вектор-функции 251

— логарифмическая 181

— обратной функции 173, 188

— параметрически заданной функции
189

— по направлению 363

— сложной функции 175, 188, 367

— функции, заданной неявно 180

— частная 341

— — смешанная 370

Промежуток 34

Прообраз 9, 10

Пространство п-мерное 289, 317

Равномерная непрерывность 334

Радиус сходимости степенного ряда
622, 632, 634

Разбиение отрезка 267, 438

Расстояние 288, 289, 306

Расширенное множество действитель-
ных чисел 33

Римана интегральная сумма 439, 445

— теорема о перестановке членов ряда
580
Ролля теорема 194

Ряд 545

— гармонический 551, 587

— знакопеременный 567

— кратный 668, 672

— Лейбница 650

— степенной 621, 624

— суммируемый 590

— сходящийся 592, 666, 672

----абсолютно 569, 592, 669

---- равномерно 602

— Тейлора 636, 637, 640, 655

—	функциональный 591

Сечение 17

Символ всеобщности 13

—	существования 13

Скалярное произведение векторов 317

Скорость вращения вектор-функции
276

Соответствие (отображение) 7, 8

Степень многочлена 399

—	числа 23, 133

Стирлинга формула 651

Сужение функции 10

Сумма кривых 263

—	(объединение) множеств 6

—	последовательностей 67

Сумма ряда 546, 666

---- частичная 547, 592, 666

-------прямоугольная 667

------- сферическая 667

---- — треугольная 667

— рядов 549

Суперпозиция функций 11, 94

Сюръекция 9

Тейлора многочлен 212, 214

— ряд 636, 637, 640, 655

— формула 212, 216, 218, 637, 638,
646

Точка 20

— возрастания (убывания) функции
225

— кривой 256, 261

----кратная 256, 261

---- неособая 266

— — особая 266

—	максимума (минимума) функции 222,
227

—	множества внутренняя 299

—	— граничная 306

—	— изолированная 302

-----предельная 302

—	перегиба 234

—	прикосновения множества 303

—	разрыва функции 118, 119

—	устранимого разрыва 118

—	экстремума 222

—	n-мерного пространства 288

Ферма теорема 192

Френе формула 281

Френеля интегралы 543

Функции гиперболические 182, 183

—	одного порядка 145

—	тригонометрические 139

Функция 7, 8, 11, 89

—	аналитическая 630, 635

—	бесконечно большая 110

-----малая ПО, 149

—	векторная 248

—	возрастающая (убывающая) 111
125, 221

—	выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232

—	дифференцируемая 159, 163, 185,
344, 348, 372, 477

—	заданная параметрически 189

—	интегрируемая 439, 512

—	кусочно-непрерывная 463

—	кусочно-непрерывно дифференци-
руемая 477

—	логарифмическая 137

—	многозначная (однозначная) 11

— непрерывная в точке 115, 119, 131,
162, 327, 330, 398, 468, 469

— — на множестве 121, 328, 332, 469

— непрерывно дифференцируемая 185,
348, 372

—	неявная 94

—	обратная 126, 130

—	ограниченная 90, 145

—	периодическая 14, 645

—	показательная 134—136, 159
— равномерно непрерывная 334, 335,
336

— — стремящаяся к нулю 349

— рациональная 95, 131, 421

— сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354

—	степенная 138

—	строго монотонная 125

—	трансцендентная 96

—	четная 14

—	элементарная 332

Цепная линия 499

Циклоида 189

Числа действительные (вещественные)

15, 16,20, 31,78, 79, 80,85

— иррациональные 15, 23, 86

— комплексные 15, 389, 394

— натуральные 12, 15, 43

—	отрицательные 15

—	рациональные 15, 23, 83

—	целые 23

Число существенно комплексное 390

Шлемильха—Роша форма остаточного
члена 213

Эволюта кривой 283

Эйлера подстановки 424

—	постоянная 587

—	формулы 644

Эквивалентность отображений отрезка

259

— функций 146, 152

Экстремум 222—229

Эллипс 501
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..........................................................3

Глава первая

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 1.	Множества и функции. Логические символы .......................  5

1.1.	Множества. Операции над множествами ........................ 5

12	* Функции .................................................. 8

1.З.	* Конечные множества и натуральные числа. Последовательности 11

1.4.	Логические символы ................,	, ................... 13

§ 2.	Действительные числа. Числовые множества...................... 15

2.1.	Свойства действительных чисел ............................. 15

2.2.	* Свойства сложения и умножения ........................... 20

2.3.	* Свойство упорядоченности ................................ 27

2.4.	* Свойство непрерывности действительных чисел ............. 30

2.5.	Расширенная числовая прямая ............................... 33

2.6.	Промежутки действительных чисел. Окрестности............... 33

2.7.	Ограниченные и неограниченные множества.................... 35

2.8.	Верхняя и нижняя грани числовых множеств .................. 37

2.9.	Свойства Архимеда .......................................   43

2.10.	Принцип вложенных	отрезков ........................ 44

§ 3.	Предел последовательности...................................... 48

3.1	. Определение предела	последовательности.................... 48

3.2	Бесконечные пределы........................................ 53

3	3	Простейшие свойства предела последовательности......... 55

3.4	Ограниченность сходящихся последовательностей . ;.......... 59

3.5	Монотонные последовательности.............................. 60

3	6	Теорема Больцано—Вейерштрасса ......................... 63

3.7	Критерий Коши сходимости последовательности................ 65

З.к	Бесконечно малые последовательности........................ 67

3.9	Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями
над последовательностями......................................... 69

3.10	. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными
дробями.......................................................... 76

З.П.	* Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных
чисел..........................................................   82

3	12 * Верхний и нижний пределы последовательностей ........	86

§ 4.	Функции и их пределы .......................................... 89

4.1.	Действительные функции..................................... 89

4.2.	Способы задания функций.................................... 91

4.3.	Элементарные функции и их классификация.................... 95

4.4.	Первое определение предела функции . .....................  96

4.5.	Второе определение предела функции	   101
4.6.	Обобщение понятия предела функции • ................... 104

4.7.	Свойства пределов функций............................... 106

4.8.	*	Замена переменной при вычислении пределов............. 108

4.9.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции-........... НО

4.10.	Пределы монотонных функций ............................. 111

4.11.	Критерий Коши существования предела функции ............  ИЗ

§ 5.	Непрерывность функции в точке ,.............................. 115

5.1.	Точки непрерывности и точки разрыва функций ............ 115

5.2.	Свойства функций непрерывных в точке.................... 119

§ 6.	Свойства непрерывных функций ................................ 121

6.1.	Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстре-
мальных значений.............................................  121

6.2.	Промежуточные значения	непрерывных функций.............. 123

6.3.	Обратные функции........................................ 125

§ 7.	Непрерывность элементарных	функций..........................  131

7.1.	Многочлены и дробно-рациональные функции...............  131

7.2.	Показательная, логарифмическая и степенная функции ....	132

7.3.	Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 139

§ 8.	Сравнение функций. Вычисление пределов................

140

8.1.	Некоторые замечательные пределы ......................... 140

8.2.	Сравнение функций........................................ 144

8.3.	Эквивалентные функции.................................... 151

8.4.	Метод выделения главной части функции и его применение
к вычислению пределов......................................... 153

§ 9.	Производная и дифференциал.................................. 157

9.1.	Определение производной................................ 157

9.2.	Дифференциал функции(.................................. 159

9.3.	Геометрический смысл производной	и	дифференциала......	163

9.4.	Физический смысл производной	и	дифференциала......... 167

9.5.	Правила вычисления производных, связанные с арифметиче-
скими действиями над функциями ............................. 170

9.6.	Производная обратной функции .......................... 173

9.7.	Производная и дифференциал сложной функции ........;	. .	175

9.8.	Гиперболические функции и их производные .............. 182

§ 10.	Производные и дифференциалы высших порядков................ 184

10.1.	Производные высших порядков....................... 184

10.2.	Высшие производные суммы и произведения функций	....	186

10.3.	Производные высших порядков от сложных функций,	от об-

ратных функций и от функций, заданных параметрически 188

10.4.	Дифференциалы высших порядков ........................  190

§11.	Теоремы о среднем для дифференцируемых функций............. 192

11.1.	Теорема Ферма ......................................... 192

11.2.	Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях	194
§ 12.	Раскрытие неопределенностей по	правилу Лопиталя.............. 201

12.1.	Неопределенности	вида	0/0............................... 201

12.2.	Неопределенности	вида	со/со............................. 204

§ 13.	Формула Тейлора.............................................. 210

13.1.	Вывод формулы Тейлора ................................... 210

13.2.	Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения
функции в окрестности данной точки............................ 213

13.3.	Примеры разложения по формуле Тейлора.................... 216

13.4.	Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выде-
ления главной части).......................................... 218

§ 14.	Исследование поведения функций..............................  221

14.1.	Признак монотонности функции............................. 221

14.2.	Отыскание наибольших и наименьших значений функций . . .	222

14.3.	Выпуклость и точки перегиба.............................. 230

14.4.	Асимптоты...............................................  236

14.5.	Построение графиков функций.............................. 239

§ 15.	Вектор-функция..............................................  248

15.1.	Понятие предела и непрерывности	для	вектор-функции ....	248

15.2.	Производная и дифференциал вектор-функции................ 251

§ 16.	Длина дуги кривой............................................ 255

16.1.	Понятие кривой........................................... 255

]6.2*	Параметрически заданные кривые.......................... 258

16.3.	Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное
задание кривых................................................ 262

16.4.	Касательная к кривой. Геометрический смысл производной
вектор-функции ............................................... 264

16.5.	Длина дуги кривой........................................ 267

16.6.	Плоские кривые........................................... 273

16.7.	Физический смысл производной вектор-функции.............. 274

§ 17.	Кривизна кривой.............................................. 275

17.1.	Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие

скорости . .............................................. 275

17.2.	Определение кривизны кривой и ее вычисление.............. 278

17.3.	Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость............... 281

17.4.	Центр кривизны и эволюта кривой.......................... 283

17..5	.	Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой.......	283

Глава вторая

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 18.	Множества на плоскости и в пространстве...................... 288

18.1.	Окрестности точек. Пределы последовательностей	точек ....	288

18.2;	Различные типы множеств.................................. 299

18.3.	Компакты ................................................ 309

18.4.	Многомерные векторные пространства....................... 315

§ 19.	Предел и непрерывность функций многих переменных............. 320

19.1.	Функции многих переменных................................ 320

19.2.	Предел функции........................................... 322

19.3.	Непрерывность функций.................................... 327

19.4.	Непрерывность композиции непрерывных функций............. 330

19.5.	Теоремы о функциях, непрерывных на множествах............ 332

19.6.	Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности 334
§ 20.	Частные производные. Дифференцируемость функций многих пере-
менных .........................................................  341

20.1.	Частные производные и частные дифференциалы............ 341

20.2.	Дифференцируемость функций, в точке.................... 344

20.3.	Дифференцирование сложной функции...................... 351

20.4.	Инвариантность формы первого дифференциала относительно
выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов . . .	354

20.5.	Геометрический смысл частных производных и полного диффе-
ренциала .................................................... 360

20.6.	Градиент функции....................................... 362

20.7.	Производная по направлению............................. 363

20.8.	Пример исследования	функций двух переменных............ 367

§ 21.	Частные производные и дифференциалы высших порядков.......	369

21.1.	Частные производные высших порядков.................... 369

21.2.	Дифференциалы высших порядков	373

Глава третья

Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла.........  .	378

22.1	.	Первообразная и неопределенный	интеграл................. 378

22.2	.	Табличные интегралы..................................... 382

22.3	.	Интегрирование подстановкой	(замена	переменной)........ 384

22.4	.	Интегрирование по частям................................ 387

§ 23.	Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах.....	389

23.1.	Комплексные числа....................................    389

23.2*	. Формальная теория комплексных чисел................... 395

23.3.	Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел . . .	396

23.4.	Разложение многочленов на множители..................... 399

23.5*	. Наибольший общий делитель многочленов................. 402

23.6.	Разложение правильных рациональных дробей на элементар-
ные .......................................................... 406

§ 24.	Интегрирование рациональных дробей.......................... 412

24.1.	Интегрирование элементарных рациональных дробей.........	412

24.2.	Общий случай............................................ 414

24.3*	. Метод Остроградского.................................. 416

§ 25.	Интегрирование некоторых иррациональностей.................. 421

25.1.	Предварительные замечания.................................. 421

„ „	С _.Г [ax4-b\ri fax4-b\rsl .

25.2.	Интегралы вида \ R х, —-Г— , ..., (——— 1 \dx ....	422

J I	\ сх 4* й /	\cx~y~df |

25.3.	Интегралы вида $ R (х, У^ах2-j-Ьх-f- с) dx. Подстановки Эйлера	424

25.4.	Интегралы от дифференциального бинома...................... 426

,	 dx......................... 429

V ax2 + bx-\-c

§ 26.	Интегрирование некоторых трансцендентных функций.............  431

26.1.	Интегралы вида j R (sin х, cosx) dx ,,,,,, .................431
26.2.	Интегралы вида J sin"1 х cos'1 х dx . . . . ................ 433

26.3.	Интегралы вида sin ах cos fixdx ............................ 434

26.4.	Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся
с помощью интегрирования по частям ........................... 434

26.5.	Интегралы вида j R (sh х, ch х) dx.......................... 436

26.6.	Замечания об интегралах, не выражающихся через элементар-
ные функции................................................... 436

§ 27.	Определенный интеграл........................................... 438

27.1.	Определение интеграла по Риману............................. 438

27.2.	Ограниченность интегрируемой функции........................ 442

27.3.	Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний инте-
гралы Дарбу................................................... 443

27.4.	Необходимые и достаточные условия интегрируемости......	446

27.5.	Интегрируемость непрерывных и монотонных функций ....	448

§ 28.	Свойства интегрируемых	функций.................................. 450

28.1.	Свойства определенного интеграла............................ 450

28.2.	Первая теорема о среднем значении для определенного инте-
грала ........................................................ 459

28.3.	Интегрируемость кусочно-непрерывных функций................. 463

28.4*	. Интегральные неравенства Вельдера*' и Минковского**’ . . .	465

§ 29.	Определенный интеграл с переменным верхним пределом........	467

29.1.	Непрерывность интеграла по верхнему пределу................. 467

29.2.	Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Суще-
ствование первообразной у непрерывной функции................. 468

29.3.	Формула Ньютона—Лейбница...................................  471

§ 30.	Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по
частям...........................................................  474

30.1.	Замена переменной........................................... 474

30.2.	Интегрирование по частям...................................  476

30.3*	Вторая теорема о среднем значении для определенного инте-
грала ........................................................ 479

30.4.	Интегралы от вектор-функций................................. 481

§ 31.	Мера плоских	открытых множеств................................. 483

31.1.	Определение меры (площади) открытых множеств................ 483

31.2.	Свойства меры открытых множеств............................. 486

§ 32.	Некоторые геометрические и физические приложения определенного
интеграла........................................................  491

32.1.	Вычисление площадей......................................... 491

32.2.	Объем тел вращения.......................................... 497

32.3.	Вычисление длины кривой.................................... 499

32.4.	Площадь поверхности вращения...............................  504

32.5.	Работа силы................................................. 507

32.6.	Вычисление статических моментов	и	центра тяжести кривой 508

§ 33.	Несобственные интегралы......................................... 511

33.1.	Определение несобственных интегралов........................ 511

33.2.	Формулы интегрального исчисления для несобственных инте-
гралов . . , . ..............................................  517
33.3.	Несобственные интегралы от неотрицательных функций . . ,	522

33.4.	Критерий Коши сходимости несобственных интегралов ....	529

33.5.	Абсолютно сходящиеся интегралы............................ 530

33.6.	Исследование сходимости интегралов........................ 534

§ 34	*. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами
интегрирования................................................  *	539

Глава четвертая

Ряды

§ 35.	Числовые ряды ................................................. 545

35.1.	Определение ряда и его сходимость......................... 545

35.2.	Свойства сходящихся рядов...............................   548

35.3.	Критерий Коши сходимости ряда............................. 550

35.4.	Ряды с неотрицательными членами..........................  553

35.5.	Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
Метод выделения главной части члена ряда....................... 555

35.6.	Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными
членами........................................................ 558

35.7.	Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными
членами . . ..................................:................ 561

35.8*	. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бес-
конечных сумм.................................................. 565

35.9.	Знакопеременные ряды...................................... 567

35.10.	Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходя-
щихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов 569

35.11.	Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых
рядов.........................................................  577

35.12.	Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана 578

35.13.	Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле
и Абеля........................................................ 582

35.14*	. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и
роста частичных сумм некоторых расходящихся рядов ....	586

35.15.	О суммируемости рядов методом средних арифметических 589

§ 36.	Функциональные последовательности и ряды	591

36.1.	Сходимость функциональных последовательностей и рядов 591

36.2.	Равномерная сходимость функциональных последователь-
ностей	...........................................     595

36.3.	Равномерно	сходящиеся	функциональные	ряды................ 602

36.4.	Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательно-
стей ........................................................   612

§ 37.	Степенные ряды	»	621

37.1.	Радиус	сходимости	и	круг	сходимости	степенного ряда . . .	621

37.2*	. Формула Коши — Адамара для радиуса сходимости степен-
ного ряда..............................................      .	628

37.3.	Аналитические функции..................................    630

37.4.	Действительные аналитические функции...................... 632

37.5.	Разложение функций в степенные ряды. Различные способы
записи остаточного числа формулы Тейлора...................	636

37.6.	Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.........	641

37.7.	Разложение в степенные ряды и суммирование их методом
почленного дифференцирования и интегрирования	648
37.8.	Формула Стирлинга...................................  .	651

37.9*	Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций	653

37.10*	. Асимптотические степенные ряды....................... 655

37.11*	. Свойства асимптотических степенных рядов............. 661

§ 38*. Кратные ряды............................................     665

38.1.	Кратные числовые ряды................................... 665

38.2.	Кратные функциональные ряды............................. 672

Именной указатель.................................................. 675

Предметный указатель.............................................   676
Лев Дмитриевич Кудрявцев

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Том I

Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Научный
редактор Н. М. Флайшер. Младшие редакторы С. А. воровских, Н. П. Майкова,
Т, Т. Шатилова. Художественный редактор В. И, Пономаренко. Технический редак-
тор Р. С. Родичева. Корректор Г. И. Кострикова.

И Б № 2854

Изд. № ФМ-653а. Сдано в набор 28.07.80. Поди, в печать 26.12.80. Формат 60Х90'Ав.
Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 43 усл. печ. л.
43,25 усл. кр.-отт. 38,81 уч.-изд. л. Тираж 80 000 экз. Зак. № 1450. Цена 1 р. 60 к.

Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14

Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете. СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский просп.,